Satellites: de Kepler au GPS

Satellites: de Kepler au GPS

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Michel Capderou

Satellites: de Kepler au GPS

~ Springer

Michel Capderou LMD

École Polytechnique 91128 Palaiseau

ISBN-13: 978-2-287-99049-6 Springer Paris Berlin Heidelberg New York © Springer-Verlag France, Paris, 2012 Imprimé en France

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LE PHOTOCOPILLAGE

Maquette de couverture: Nadia Ouddane

TUE LE LIVRE

, de nos jours, de pouvoir saluer la parution en de synthese synthèse s'adressant a à un public de niconsacrant plusieurs annees années a à l'ecriture l'écriture de ce ersion qui avait demande demandé le Ie meme même travail, Michel ne voie difficile, que bien peu de chercheurs ont dedéL'extraordinaire qualite qualité de ce document justifie fnnsentis et les lecteurs trouveront ici une richesse unique. Michel Capderou a realise réalisé au travers de étroite de son metier etroite métier de chercheur, au sein d'une "t pt analyser des missions d'observation spatiale de d'enseignant: d'enseignant : on sent clairement qu'une grande ii lée et affinee affinée par de nombreuses annees années face aux "lee

* Kepler au GPS » est a à l'image du livre: sobriete, sobriété, en se plaçant pla<;ant sous deux parrainages aussi fortedans le Ie temps. Michel Capderou a cons consacré acre dans aà l'histoire d'une science pluri centenaire. d'abord ete été celle de la revolution révolution des planetes planètes du ~cles qui ont suivi la Renaissance. Hors du monde ,de ide de notre histoire scientifique est sou souvent vent memétrès affadie, loin de l'audace et de la creativite tres créativité proposer une vision completement complètement differente différente de le Ie régissent. regissent. La mecanique mécanique des corps celestes célestes est ,cienne, icienne, mais pour etre être devenue classique, elle est

VI

Préface

souvent peu enseignée. La mécanique de Lagrange, par exemple, est absente de beaucoup de cursus, en classes préparatoires, dans les grandes écoles ou en université. Sur ce thème les étudiants trouveront ici un exposé unique par sa cohérence, classique et familier dans sa présentation initiale, abordant très vite des notions beaucoup plus complexes, sans jamais se départir de cette clarté et de cette maîtrise qui font la marque du livre.

* Mais les satellites auxquels Michel Capderou consacre l'essentiel de son ouvrage sont avant tout ceux que l'homme envoie dans l'espace, plateformes de mesures qui ont en quelques décennies révolutionné l'observation de notre planète. Le GPS est effectivement emblématique de cette explosion scientifique et technique, et à deux titres : parce que c'est une application directement accessible à des millions de particuliers, et parce que ce miracle d'information repose sur des méthodes qui sont très largement ignorées non seulement du grand public mais aussi de beaucoup de scientifiques. La trajectographie des satellites, le contrôle de leur altitude, la détermination de la fauchée des instruments embarqués, déterminent la qualité des mesures et sont essentiels pour la conception des missions spatiales, comme pour l'analyse de leurs résultats. Si l'histoire de ces satellites artificiels est très récente, elle n'est pas souvent écrite et Michel Capderou a choisi de la mêler de manière étroite à son exposé plus scientifique. L'ensemble est très richement illustré de diagrammes conçus par Michel Capderou lui-même (et dont certains sont disponibles grâce à un logiciel accessible sur internet).

* Le soin apporté à cet ouvrage, la précision de chaque élément, son imbrication avec une science qui continue de se développer, l'originalité d'une synthèse que Michel Capderou a développée au fil d'une longue démarche, en font un exemple rare, qui devrait donner un même plaisir aux étudiants comme aux chercheurs confirmés.

Hervé Le Treut

Membre de ['Institut de France, Académie des sciences.

matières v XVII 1 1 1

propriétés de l ' ellipse de la définition propriétés . . . et aplatissement . caractéristiques l'arc d'ellipse frilipse rHnrbure de l'ellipse

2

3 7 13 16 16 17 19 23

définitions de la latitude . . . . cartésiennes. Grande normale rHnrbure . . . . . . . . . . .

23 23 28 29 29

degré en longitude d'"xc de méridien . . . . . . à l'ellipsoïde l'altitude géodésique et du nadir à l'altitude géodésique . . . . . . de l'altitude géodésique et du nadir Li nnières . fi"ançaise ilynamique

30 32 34 34

35 35 41 41 42

47

VIn

3

4

Table des matières

Géopotentiel 3.1 Notions préliminaires . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Référentiels d'étude . . . . . . . . . 3.1.2 Rappels sur le travail et le potentiel 3.2 Champ et potentiel de gravitation 3.2.1 Gravitation . . . . . . 3.2.2 Théorème de Gauss . 3.2.3 Gravité et pesanteur . 3.3 Calcul du géopotentiel . . . . 3.3.1 Détermination du potentiel élémentaire 3.3.2 Obtention du potentiel par intégration. 3.3.3 Harmoniques sphériques. . . . . . . . . 3.3.4 Développement du potentiel au degré 2 3.3.5 Développement du potentiel à des degrés supérieurs 3.4 Champ et potentiel de pesanteur pour l'ellipsoïde. 3.4.1 Calcul du champ et du potentiel 3.4.2 Champ de pesanteur à la surface 3.4.3 Formule de Clairaut . . 3.4.4 Formule de Somigliana 3.5 Géoïde . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Anomalies de gravité 3.5.2 Satellites et géodésie. 3.5.3 Évolution des modèles de potentiel terrestre 3.5.4 Évaluation de la constante d'attraction géocentrique 3.6 Annexe: systèmes de référence terrestre 3.6.1 Référence céleste . . . . 3.6.2 Référence terrestre .. . 3.7 Annexe: fonctions de Legendre

49 49 49 50 52 52 53 55 57 57

Mouvement képlérien 4.1 Accélération centrale . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Accélération dans le cas général 4.1.2 Propriétés de l'accélération centrale 4.1.3 Mouvement à accélération centrale 4.2 Accélération newtonienne . . . . . . . . 4.2.1 Équation de la trajectoire . . . . . 4.2.2 Discussion du type de trajectoire. 4.3 Mouvement képlérien: trajectoire et période 4.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Trajectoires du mouvement périodique. 4.3.3 Période - Anomalie moyenne IvI . . . . 4.3.4 Loi horaire . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Temps en fonction de la position - les trois anomalies 4.4.1 Expression t = t( e) - Anomalie vraie v 4.4.2 Expression t = t(r) - Anomalie excentrique E 4.4.3 Relation entre les anomalies . . . . . . . . . . 4.5 Position en fonction du temps - le problème de Kepler 4.5.1 Méthodes de résolution du problème de Kepler 4.5.2 Méthode numérique de résolution par itération

87 87 87

58 60 61

64 65 65 67 69 71 72 72 73 76 79

82 82 82

84

88 89

90 90 91

93 93 94 97 98 99 99 100 102 105 105

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Table des matières

IX

4.5.3 Autres méthodes de résolution . . . . . . . . Représentation des anomalies . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Représentation des anomalies v(IvI) et E(IvI) 4.6.2 Équation du centre . . . . . . . 4.6.3 Récapitulation sur les anomalies Intégrales premières du mouvement 4.7.1 Lois de conservation . . . . . . . 4.7.2 Remarque sur l'énergie Note historique: astronomie et attraction universelle 4.8.1 Les lois de Kepler . . . . . . . . . 4.8.2 Newton et l'attraction universelle

111 112 112 112 117 125 125 127 130 130 133

5

Satellite en orbite képlérienne 5.1 Le Problème à deux corps .. 5.2 Paramètres orbitaux . . . . . . . . . . . 5.2.1 Repérer le satellite dans l'espace 5.2.2 Éléments képlériens . . . . . 5.2.3 Paramètres orbitaux adaptés .. 5.3 Période képlérienne. . . . . . . . . . . . 5.4 Annexe: rotation du solide - angles d'Euler et de Cardan

137 137 139 139 142 143 144 147

6

Satellite en orbite réelle (perturbée) 6.1 Forces perturbatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 De l'orbite idéale à l'orbite réelle . . . . . . . 6.1.2 Ordre de grandeur des forces perturbatrices. 6.1.3 Potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 Perturbations et altitude du satellite . . . . . 6.2 Méthode des perturbations: présentation . . . . . . 6.2.1 Propagation d'orbite: méthodes numérique et analytique 6.2.2 Principe de la méthode . . . . . . . . . 6.2.3 Mise en place des crochets de Lagrange 6.2.4 Propriétés des crochets de Lagrange 6.3 Méthode des perturbations: résolution. Calcul des coordonnées . . . . . 6.3.1 6.3.2 Calcul des crochets de Lagrange 6.3.3 Équations de Lagrange . . . . . 6.3.4 Éléments orbitaux métriques et angulaires 6.3.5 Cas des paramètres mal définis . . . . . . . 6.3.6 Éléments de Delaunay . . . . . . . . . . . . 6.4 Résultat du traitement des perturbations (terme en h) 6.4.1 Expression du potentiel perturbateur (terme en h) 6.4.2 Variation des éléments orbitaux . . . . . . . . 6.5 Résultat du traitement des perturbations (cas général) Cas du potentiel terrestre (terme en J n ) . . . . 6.5.1 6.5.2 Cas du potentiel terrestre complet . . . . . . . 6.5.3 Autres forces perturbatrices dérivant d'un potentiel 6.5.4 Forces perturbatrices ne dérivant pas d'un potentiel 6.5.5 Différentes définitions de la période . 6.6 Annexe: étude du frottement atmosphérique . . . . . . . .

151 151 151 152 152 153 159 159 163 164 166 167 167 170 171 173 175 176 177 177 180 183 183 189 190 190 191 193

4.6

4.7

4.8

x

Table des matières

6.7

6.8

6.9

6.10 6.11 6.12

6.13

7

6.6.1 Présentation de l'atmosphère terrestre 6.6.2 Densité atmosphérique . . . . . . . . 6.6.3 Modèles atmosphériques. . . . . . . . 6.6.4 Calcul du frottement atmosphérique. Notion de LlV 6.6.5 Influence du frottement sur l'orbite . . . . . . . . . 6.6.6 Calculs simplifiés pour une orbite excentrique. Aérofreinage Note historique: premières déterminations des harmoniques J n 6.7.1 Première détermination de J 2 par satellite 6.7.2 Première détermination de h par satellite 6.7.3 Premières déterminations des J n , jusqu'à J I4 Note historique: succès du calcul des perturbations 6.8.1 Le retard du retour de la comète de Halley 6.8.2 La découverte de Neptune par Le Verrier . . 6.8.3 L'avance au périhélie de Mercure. . . . . . . Note astronomique: perturbations et Système solaire 6.9.1 La question de la stabilité du Système solaire 6.9.2 Précession des équinoxes 6.9.3 La Terre vue comme un satellite Annexe: constantes astronomiques .. 6.10.1 Les systèmes d'unités . . . . . 6.10.2 Les constantes astronomiques. Annexe: sphère d'influence . . . . . . 6.11.1 Attractions terrestre et solaire 6.11.2 Détermination de la sphère d'influence. Annexe: points de Lagrange . . . . . . . . . . 6.12.1 Problème des trois corps restreint .. . 6.12.2 Étude simplifiée pour les points LI et L 2 6.12.3 Points de Lagrange et sphère d'influence 6.12.4 Les cinq points de Lagrange . . . . . . . 6.12.5 Points de Lagrange en astronomie . . . . 6.12.6 Satellites artificiels aux points de Lagrange Annexe: trigonométrie sphérique . . . . . . . . . . 6.13.1 Établissement des relations de Gauss 6.13.2 Les quinze relations pour le triangle sphérique

Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil 7.1 Mouvement de l'orbite . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Variations séculaires - cas simplifié 7.1.2 Variations séculaires - jusqu'au terme en J 4 7.1.3 Cas de « blocage» des mouvements de précession 7.1.4 Calcul effectif de la période et de l'altitude 7.2 Mouvements de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Mouvement de la Terre autour du Soleil . . . . . 7.2.2 Mouvement de la Terre autour de l'axe des pôles 7.2.3 Mouvement des pôles . . . 7.2.4 Mouvement orbite / Terre 7.3 Mouvement apparent du Soleil .. 7.3.1 Sphère céleste et coordonnées. 7.3.2 Angle horaire . . . . . . . . . .

193 194 195 195 198 198 201 201 202 202 203 203 204 205 208 208 210 211 214 214 215 217 217

219 220 220 221 223 223 224 225 228 228 228

233 233 233 238 241 243 246 246 247 249 250 251 251 253

Table des matières

7.4

7.5

8

7.3.3 Équation du temps 7.3.4 Temps solaire . . . . 7.3.5 Déclinaison . . . . . 7.3.6 Jour julien, date julienne Géosynchronisme . . . . . 7.4.1 Définition . . . . . . . . . 7.4.2 Calcul de l'orbite . . . . . 7.4.3 Satellites géostationnaires 7.4.4 Dérive de l'orbite géostationnaire. 7.4.5 Maintien à poste . . . . . . . . . . 7.4.6 Satellites géosynchrones en orbite très excentrée Héliosynchronisme . . . . . . . . . . . 7.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . 7.5.2 Constante d'héliosynchronisme . 7.5.3 Calcul de l'orbite - cas circulaire 7.5.4 Calcul de l'orbite - cas elliptique 7.5.5 Satellites héliosynchrones 7.5.6 Maintien sur orbite

Trace du satellite

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

Position du satellite sur son orbite 8.1.1 Étude du mouvement avec les angles d'Euler .. 8.1.2 Position du satellite en coordonnées cartésiennes 8.1.3 Position du satellite en coordonnées sphériques Trace du satellite . . . . . . . . . . 8.2.1 Équation de la trace . . . . . 8.2.2 Latitude maximale atteinte . Trace du satellite en orbite circulaire 8.3.1 Équation de la trace du satellite 8.3.2 Décalage équatorial . . . . . . . 8.3.3 Inclinaison apparente . . . . . . 8.3.4 Angle de la trace avec un méridien . 8.3.5 Vitesse du satellite et de sa trace. . 8.3.6 Équation de la trace avec élimination du temps. Annexe: Éléments orbitaux NORAD 8.4.1 Présentation de l'organisme NORAD 8.4.2 Les « Deux Lignes NORAD» (TLE) . 8.4.3 Décodage des lignes NORAD . 8.4.4 Conditions d'utilisation . . . . Annexe: Projections cartographiques 8.5.1 Définitions et propriétés . . . . 8.5.2 Classement des projections (type, aspect) 8.5.3 Description de trois projections . . . . . .

XI

253 257 259 261 262 262 263 264 265 268 274 275 275 276 277 280 282 284 285 285 285 288 288 289 289 290 291 291 292 295 298 299 303 305 305 305 306 310 311 311 312 313

XII

9

Table des matières

Orbite et mission 9.1 Classement par type d'orbite 9.2 Satellites classés par mission 9.2.1 Les premiers satellites 9.2.2 Satellites pour la géodésie. 9.2.3 Satellites pour l'environnement physique terrestre 9.2.4 Satellites pour la météorologie et l'étude du climat 9.2.5 Satellites pour la télédétection et la surveillance 9.2.6 Satellites pour l'océanographie . . 9.2.7 Satellites pour la navigation 9.2.8 Satellites pour les communications 9.2.9 Satellites pour l'astronomie, l'astrophysique. 9.2.10 Satellites pour la physique fondamentale 9.2.11 Satellites technologiques. . . . . . . . . . . . 9.2.12 Satellites à mission spécifiquement militaire. 9.2.13 Satellites avec présence humaine . . . . . . . 9.2.14 Satellites non scientifiques. . . . . . . . . . . 9.3 Annexe: le retard dans la programmation des missions spatiales

321 321 322 324 326 328 336 356 359 361 361 381 390 391 392 395 396 397

10 Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse 10.1 Cycle par rapport au Soleil 10.1.1 Heure de passage . . . . . . . . . . . . . 10.1.2 Calcul du cycle Cs . . . . . . . . . . . . 10.1.3 Cycle Cs et caractéristiques de l'orbite 10.1.4 Cycle et heure de passage au noeud ascendant 10.2 Passage pour un satellite héliosynchrone . . . . . . 10.2.1 Passage à une latitude donnée . . . . . . . 10.2.2 Choix de l'heure locale au noeud ascendant 10.2.3 Calcul de la dérive de l'heure locale . 10.3 Angle du plan orbital avec le Soleil (angle (3) 10.3.1 Position de la normale au plan orbital 10.3.2 Angle (3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Étude de l'éclipse pour les orbites circulaires 10.4.1 Durée de l'éclipse . . . . . . . . . . . 10.4.2 Orbite LEO héliosynchrone . . . . . . 10.4.3 Orbite LEO héliosynchrone crépusculaire 10.4.4 Orbite MEO . . . . . . . . . 10.4.5 Orbite CEO . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Conditions générales d'éclipse solaire . . . . . . . 10.5.1 Établissement général des conditions d'éclipse 10.5.2 Critère d'éclipse . . . . . . . . . . . . . . .

399 399 399 400 402 406 407 407 411 417 420 420 421 424 424 427 427 433 433 435 435 437

Il Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude Il.1 Contrainte de phasage . . . . . . . . .

439 439 439 440 442 443 443

11.1.1 Définition du phasage . . . . . 11.1.2 Calcul du cycle de phasage CT 11.1.3 Triplet de phasage . . . . . . . 11.2 Phasage pour les satellites LEO héliosynchrones 11.2.1 Méthode pour l'obtention du phasage ..

Table des matières

11.2.2 Module de phasage 11.2.3 Diagramme de phasage . . . . . . . . . 11.2.4 Phasage défini par le triplet de phasage 11.2.5 Phasage sur un jour . . . . . . . . . . . 11.3 Phasage pour les satellites LEO non héliosynchrones 11.3.1 Obtention du triplet de phasage . 11.3.2 Phasage, altitude et inclinaison .. 11.4 Phasage pour les satellites MEO et HEO 11.5 Grille de phasage . . . . . . . . . . . . . . 11.5.1 Construction de la grille de phasage 11.5.2 Intervalle de grille .. 11.5.3 Sous-cycle de phasage . . . 11.5.4 Grilles de référence 11.5.5 Points de grille de phasage 11.6 Maintien sur orbite du satellite phasé 11. 7 Indice de phasage. . . . . . . . . . . . 11. 7.1 Définition de l'indice de phasage 11.7.2 Phasage parfait ou imparfait .. 11.7.3 Exemples d'utilisation de l'indice de phasage 11.7.4 Indice de phasage et caractéristiques d'orbite 11.8 Variation de l'altitude . . . . . . . . . . . 11.8.1 Altitude et paramètres orbitaux . . . . . . . 11.8.2 Altitude au cours d'une révolution . . . . . . 11.8.3 Variation de l'altitude sur une longue période. 11.9 Orbite gelée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.9.1 Définition de l'orbite gelée . . . . . . . . . 11.9.2 Détermination des paramètres gelés . . . . 11.9.3 Altitude du satellite pour une orbite gelée. 11.10 Altitude et frottement atmosphérique . . . . . . . 12 Vue depuis le satellite 12.1 Fauchée des instruments. 12.1.1 Repère orbital local 12.1.2 Modes de balayage. 12.2 Géométrie de vue pour la fauchée. 12.2.1 Définition des angles . . . 12.2.2 Relations entre les angles . 12.2.3 Fauchée au sol . . . . . . . 12.2.4 Latitudes vues et recouvrement en latitude 12.3 Déformation des pixels . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Calcul des indices de déformation .. . 12.3.2 Déformation des pixels - satellites LEO 12.3.3 Déformation des pixels - satellites GEO 12.4 Trace des fauchées pour un satellite LEO 12.4.1 Fauchée orthogonale .. 12.4.2 Fauchée à lacet variable 12.4.3 Fauchée conique . . . . 12.4.4 Superposition de trace . 12.5 Vue depuis un satellite GEO .

XIII

443 444 445 455 455 455 461 462 462 462 463 467 470 472 478 482 482 483 484 486 488 488 490 494 495 495 495 498 500 503 503 503 504 506 506 508 509 510 512 512 513

517 517 517 524 526 531 531

XIV

Table des matières

12.5.1 Conditions géométriques simplifiées . . . . . . . . . . . .. 12.5.2 Correspondance entre pixels et coordonnées géographiques

532 538

13 Échantillonnage spatio-temporel et angulaire 13.1 Direction cible-satellite . . . . . . . . . . . . . 13.1.1 Étude de la direction de visée du satellite 13.1.2 Cas des satellites géostationnaires . 13.1.3 Vue locale . . . . . . . . . . . . . . 13.1.4 Durée de visibilité - satellites LEO . 13.1.5 Durée de visibilité - satellites HEO 13.2 Direction cible-Soleil . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Étude de la direction de visée du Soleil 13.2.2 Lever et coucher du Soleil, midi TSV . 13.3 Géométrie Soleil-cible-satellite . . . . . . . . . 13.3.1 Angles de la géométrie Soleil-cible-satellite 13.3.2 Réflexion spéculaire (Sun glint) 13.4 Étude illustrée de l'échantillonnage . . . . . . . 13.4.1 Tableaux mensuels d'échantillonnage .. 13.4.2 Étude du nombre quotidien de passages

547 548 549 551 553 555 560 563 563 565 567 567 568

14 Satellites pour la navigation (GPS) 14.1 Principe général du GPS ......... . 14.1.1 Principe du positionnement dans le cas idéal 14.1.2 Principe du positionnement dans le cas réel 14.1.3 Détermination de la vitesse de l'utilisateur . 14.1.4 Perturbations du signal et de la mesure . . . 14.1.5 Considérations géométriques et précision des mesures 14.1.6 Position sur la Terre: coordonnées géographiques 14.1.7 Principe du DGPS (GPS différentiel) 14.2 Système Navstar/GPS . . . . . . 14.2.1 Mise en place du système 14.2.2 Segment spatial .. 14.2.3 Segment de contrôle 14.2.4 Segment utilisateur 14.2.5 Vue locale 14.2.6 Le système Navstar/GPS et les autres 14.3 Système Glonass . . . . . . . . . . . . . 14.3.1 Les trois segments . . . . . . . . 14.3.2 Vue locale - tableau de visibilité 14.4 Système Galileo. . . . . . . . . 14.4.1 Une affaire européenne 14.4.2 Les trois segments 14.5 Système Compass 14.5.1 Les trois segments 14.5.2 Système expérimental Beidou-l . 14.6 Systèmes d'augmentation 14.7 Les systèmes régionaux . 14.7.1 Le système IRNSS 14.7.2 Le système QZSS

589 589 589 590 593 595 597 599 600 601 602 603 607 610 610 612 613 613 614 618 618 618 619 619 620 623 625 627 627

571 571 583

Table des matières

14.8 Utilisation du GPS hors localisation . . . . . . . . . . . . . 14.8.1 Radio-occultation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.8.2 Étude de la troposphère grâce aux stations de base 14.8.3 Autres applications . . . . . 14.9 Note historique: le premier système 14.9.1 Le système Transit. . . . . . 14.9.2 Le système soviétique . . . . 14.10 Annexe : G PS et plaques tectoniques . 15 Satellite de Mars 15.1 Présentation de la planète Mars. 15.1.1 Mars et l'exploration spatiale 15.1.2 Géographie de Mars . . . . . 15.2 Grandeurs géodésiques et astronomiques. 15.2.1 Données géodésiques. . . . . . . . 15.2.2 Données astronomiques . . . . . . 15.2.3 Longitude aréocentrique et jour martien. 15.2.4 Déclinaison . . . . . 15.2.5 Équation du temps 15.3 Satellite en orbite réelle . . 15.3.1 Satellite en orbite képlérienne. 15.3.2 Accélérations perturbatrices 15.3.3 Variations séculaires des éléments orbitaux 15.4 Orbites remarquables .. 15.4.1 Aréosynchronisme 15.4.2 Héliosynchronisme 15.5 Trace du satellite . . . . . 15.5.1 Représentation de la trace 15.5.2 Inclinaison apparente . . . 15.5.3 Vitesse du satellite et de sa trace en orbite circulaire. 15.6 Orbite par rapport au Soleil: passage, heure, éclipse . . . 15.6.1 Heure de passage pour un satellite héliosynchrone 15.6.2 Étude de l'éclipse . . . . . . . . . . . 15.7 Orbite par rapport à Mars: phasage, altitude 15.7.1 Phasage . . . . 15.7.2 Altitude . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.8 Vue depuis le satellite . . . . . . . . . . . . . 15.8.1 Géométrie de vue et déformation des pixels 15.8.2 Trace des fauchées pour un satellite LMO 15.8.3 Prise de vue et inclinaison apparente 15.8.4 Vue pour un satellite SMO . . . . . . 15.9 Échantillonnage spatio-temporel et angulaire 15.9.1 Étude illustrée de l'échantillonnage. 15.9.2 Réflexion spéculaire (Sun glint) 15.10 Satellites naturels 15.10.1 Phobos et Déimos . . . 15.10.2 Exploration spatiale .. 15.10.3 Vue et échantillonnage. 15.11 Note historique: Kepler et la planète Mars

XV

629 629 630 630 630 630 633 633 635 635 635 641 645 645 645 648 653 656 657 657 657 660 662 662 665 668 668 675 675 676 677 678 681 681 688 691 692 692 694 695 695 699 700 701 701 703 703 704

XVI

Table des matières

15.11.1 Calcul de la période de révolution . . . . . . . 15.11.2 Autres calculs à propos de Mars et de la Terre

704 707

16 Satellite d'autres corps célestes 16.1 Planètes du Système solaire . . . . . . . . 16.1.1 Présentation des planètes . . . . . 16.1.2 Exploration spatiale des planètes. 16.2 Grandeurs géodésiques et astronomiques (planètes) 16.2.1 Données géodésiques et astronomiques. 16.2.2 Satellite en orbite képlérienne. 16.2.3 Cartes géographiques . . . . 16.3 Satellite de planète en orbite réelle . 16.3.1 Accélérations perturbatrices 16.3.2 Classification des satellites 16.4 Trace du satellite d'une planète 16.4.1 Satellite de Mercure . . . . 16.4.2 Satellite de Vénus . . . . . 16.4.3 Satellite de l'astéroïde Eros 16.4.4 Satellite des astéroïdes Vesta et Cérès 16.4.5 Satellite de planète géante 16.5 Satellites naturels du Système solaire. . . . . 16.5.1 Présentation des satellites naturels. . 16.5.2 Exploration spatiale des satellites naturels 16.6 Grandeurs géodésiques et astronomiques (satellites naturels) 16.6.1 Données géodésiques et astronomiques. 16.6.2 Satellite en orbite képlérienne. . . . 16.6.3 Cartes géographiques . . . . . . . . 16.7 Satellite de satellite naturel en orbite réelle 16.7.1 Accélérations perturbatrices 16.7.2 Classification des satellites . . . 16.8 Trace du satellite d'un satellite naturel. 16.8.1 Satellite de la Lune . . . . . . . 16.8.2 Satellite d'Europe et de Ganymède. 16.8.3 Satellite de Titan . . . . . . . . . . 16.8.4 Satellite de Triton . . . . . . . . . . 16.9 Note historique: Kepler et le Système solaire

709 710 710 713 721 721 725 725 726 726 726 729 730 732 736 738 741 745 745 746 747 747 748 748 748 748 749 754 754 764 765 769 770

17 Planches couleur

773

Bibliographie

807

Index

813

os sciences et techniques actuelles, l'exploration le plus fortement ce contraste fondamental : t'lue repose sur des principes établis depuis longpratiquement immuables, éternels, pourraitdomaine spatial connaît une évolution technolo',xponentielle, qui brasse des enjeux commerciaux,

base immuable», nous savons que la notion de m des équations de Lagrange n'est pas chose fade l'enseignement aidant, que nous avons ]e manière claire et intéressante. Pour illustrer les fUS donnons de nombreux exemples.

* six grandes parties. dnpitres 1 à 3) est consacrée à la géodésie : nous s propriétés géométriques pour arriver au champ géoïde. ,hapitres 4 à 8) précise l'étude du mouvement du au cas réel (perturbé). l,pitres 9 à Il) nous plonge dans le monde opérasont leurs missions et comment on imagine les ;;;sions. Nous y développons des points originaux, 'iHiin3ynchronisme kh et, pour le phasage, la constante ion est abondante, toujours en relation avec des actuels ou futurs). rhapitres 12 et 13) s'intéresse, d'un point de vue à bord du satellite. Après avoir envisagé les rver la Terre depuis un satellite, nous étudions conditions (visée, fréquence de visite) un point ;rftellite.

XVIII

Avant-propos

Nous consacrons ensuite un chapitre entier (chapitre 14) au GPS : cette technique de navigation, entièrement basée sur les satellites, fait appel à presque toutes les branches de la physique moderne. Dans la dernière partie (chapitre 15 et 16), nous quittons la Terre pour appliquer toutes ces théories à Mars, puis aux autres planètes du Système solaire, et même aux satellites de planète autour desquels gravitent des satellites artificiels.

* Ixion, logiciel d'orbitographie et d'échantillonnage, sert d'ossature à tout ce livre. Nous l'avons développé dans un premier temps comme un outil d'aide à la compréhension de toutes les questions (paramètres orbitaux, géométrie satellite-pixel-Soleil, etc.) que nous nous posions, au LMD, dans le traitement des données spatiales. Dans un second temps, la précision d'Ixion ayant été vérifiée par sa confrontation avec les données réelles, nous l'avons étendu à tous les types d'orbite, puis nous lui avons ajouté un volet pédagogique. Le logiciel Ixion sert depuis à des études préliminaires, dites de stratégie orbitale, qui permettent d'adapter au mieux les paramètres orbitaux aux phénomènes physiques qu'on veut observer. Parmi les orbites étudiées dans ce cadre, nous citerons celle du satellite franco-indien Megha-Tropiques et celle du projet de mission martienne MEMO. Ixion/Web représente la partie d'Ixion maintenant accessible en ligne par Internet. Atlas, le logiciel de cartographie mathématique que nous avons créé, a été couplé à Ixion pour les représentations graphiques des orbites et des traces. Les cartes présentées, nous l'espérons, seront agréables et utiles au lecteur et le changeront de l'habituelle platitude et tristesse cartographique des projections utilisées dans ce domaine.

* Nous avons choisi de nombreux exemples dans les expériences qui nous sont familières (satellite Megha-Tropiques, instruments ScaRaB et CERES, etc.). Elles peuvent paraître un peu sur-représentées dans cet ouvrage - autant parler de sujets dont on connaît les détails!

* Parce qu'il est centré sur la mécanique spatiale et la géométrie d'observation (et ce qui en découle, comme l'échantillonnage spatio-temporel), ce livre n'aborde aucun aspect du satellite en tant qu'objet technologique: pas un mot sur les lanceurs, pas un mot sur les instruments à bord du satellite (sauf pour l'aspect géométrique de la fauchée, qui joue sur la mission).

Avant-propos

XIX

En se focalisant sur le thème des orbites, nous avons eu le souci de démontrer, ou d'expliquer, toutes les formules utilisées. Cela peut paraître un peu austère, et c'est pourquoi nous avons égayé le propos avec beaucoup d'exemples et d'illustrations. Les exemples font découvrir des formes d'orbite inattendues ... Certaines photographies montrent quel degré de précision est aujourd'hui atteint par les images prises par les instruments embarqués à bord des satellites. Pour rendre ce propos vivant, nous avons aussi insisté sur l'aspect historique, en présentant quelques pages des livres fondateurs de la mécanique céleste et en reprenant quelques-uns de leurs résultats qui nous laissent admiratifs. De Kepler au GPS ... Nous vous invitons à un voyage dans l'espace ... et dans le temps.

Michel Capderou Palaiseau, Paris, juillet 2011.

Ce travail a été mené dans le cadre du Laboratoire de météorologie dynamique (LMD) dont je remercie le directeur, Vincent Cassé. Le LMD est une unité mixte de recherche du Centre national de la recherche scientifique (CNRS), de l'École Polytechnique, de l'École normale supérieure (ENS) et de l'université Pierre et Marie Curie (UPMC, Paris). Il fait partie de l'Institut Pierre-Simon Laplace (IPSL), fédération de six laboratoires publics de recherche en sciences de l'environnement en Ile-de-France. Durant l'élaboration de ce livre, les remarques et les conseils avisés de Jacques Lefrère, François Forget et Florent Delefiie m'ont été très utiles et je les remercie chaleureusement. J'ai également une pensée très reconnaissante pour Rémy Roca, Olivier Chomette, Patrick Raberanto et toute l'équipe Megha-Tropiques (CEET / LMD), pour Karim Ramage, webmaster d'Ixion/Web, pour mes collègues de l'université et du CNRS, François Barlier, Christophe Boitel, Pierre Briole, Xavier Collilieux, Michel Desbois, Albert Hertzog, Robert Kandel, Richard Kerner, Julien Lenseigne, Richard Marchand, Jerôme Sirven, Aymeric Spiga. Le séjour que m'a offert la Fondation des Treilles restera, par la qualité de son accueil, un souvenir inoubliable lié à la rédaction de ce livre. J'ai été sensible à la confiance que m'ont témoignée les Éditions Springer. Merci à Nathalie Huilleret et Charles Ruelle.

XX

Avant-propos

N otes de présentation Figures

Lorsqu'une page comporte deux figures sous le même numéro, il est sousentendu que celle du haut correspond à (a), celle du bas à (b). Séparateur décimal

Nous avons suivi les règles typographiques classiques en français (en usage à l'Imprimerie nationale). Cependant, une exception a été faite pour le séparateur décimal: nous avons remplacé la virgule par le point. Cela permet d'avoir une notation homogène avec les sorties informatiques, qu'elles soient sous forme de graphe ou de texte.

Avertissement éditorial Nous avons publié, en 2003, Satellites: orbites et missions, chez le même éditeur. Ce livre est épuisé. Plutôt que de sortir une édition revue et corrigée nous avons opté pour un nouveau livre. Certes, les lois de Kepler sont démontrées à l'identique et le classement des missions n'a pas beaucoup changé ... Mais la présentation de nombreuses parties est souvent bien différente: des années d'enseignement supplémentaires amènent à des recentrages pédagogiques, à des évolutions de points de vue. Les questions, les remarques des étudiants et des collègues laissent des traces dans la nouvelle rédaction. En plus de tout cela, par rapport au livre de 2003, nous avons ajouté une partie en trois chapitres sur la géodésie et un chapitre entier sur le GPS. Sans compter la contribution de tous les satellites lancés entre 2003 et 2011. Nous avons aussi augmenté l'ouvrage d'une touche historique, en insistant particulièrement sur l'apport fondamental de Kepler à la naissance de la mécanique céleste.

Avant-propos

XXI

!ç(wv

IXION, figure de la mythologie grecque, n'est pas, à proprement parler, un personnage très recommandable. Roi des Lapithes, il fut particulièrement odieux le jour de son mariage: il fit tomber son futur beau-père, roi lui aussi, dans un piège enflammé pour éviter de payer la dot. Cet acte, crime suprême car bafouant les lois de l'hospitalité, lui valut la réprobation de tous les dieux, qui refusèrent de le purifier. Tous ... sauf Zeus: en matière de parjure et autres délits, c'était un connaisseur. Il accepta donc de purifier Ixion et éprouva même de la sympathie pour ce roi décidé. Il le convia à l'Olympe, lui offrit le gîte et le couvert. Et, signe exceptionnel d'amitié, lui fit boire l'ambroisie, qui rend immortel. Ixion, admirateur des frasques de Zeus, et rendu à l'aise par cette familiarité olympienne, laissa un jour trainer avec insistance son regard sur les cuisses d'Héra. Là, c'en était trop! Le roi des dieux se mit à hurler : «il faut respecter son bienfaiteur». Il attacha Ixion à une roue enflammée et le projeta pour qu'il tourne à jamais dans le ciel. Comme il était devenu immortel... le malheureux tourne encore. On peut donc considérer Ixion comme le premier de tous les satellites artificiels. Nous avons choisi son nom pour notre logiciel.

XXII

Avant-propos

De Kepler au GPS.

Chapitre 1

Géométrie de l'ellipse Les ellipses interviennent dans ce propos à deux titres différents : - l'orbite d'un satellite autour de la Terre (ou l'orbite d'une planète autour du Soleil) est une ellipse; - la section plane de la planète Terre selon l'axe des pôles est une ellipse. Certes, dans les deux cas, l'ellipse ne représente la réalité physique qu'en première approximation, mais une étude préliminaire de cette figure est utile avant d'entrer dans le vif du sujet. Dans le premier cas, l'ellipse sera vue comme une figure géométrique repérée par rapport à son foyer et définie à l'aide de l'excentricité e. Dans le second, elle apparaîtra plutôt comme un cercle aplati, repéré par son centre et caractérisée par l'aplatissement f. L'ellipse peut être définie d'une multitude de manières, comme nous allons l'évoquer. C'est une figure géométrique très riche.

1.1 1.1.1

Définition et propriétés Les coniques

L'intérêt pour cette courbe date de l'Antiquité grecque. Ménechme 1 et Apollonius de Perge 2 ont défini l'ellipse comme faisant partie de la famille 1 Ménechme (ou Menaechmus) MÉva~X[loç (-375 - -325), mathématicien grec, membre de l'Académie de Platon, est crédité par Ératosthène de la découverte des sections planes des cônes. Ces sections coniques sont envisagées dans le cadre du « problème de Délos », la duplication du cube (faire passer un cube de volume a 3 à un cube de volume 2a 3 ). Ménechme cherche deux nombres x et y tels que a/x = x/y = y/(2a), ce qui conduit à x 3 = 2a 3 , en résolvant des intersections faisant intervenir parabole (y = x 2 /a) et hyperbole (y = 2a 2 /x). 2 Apollonius (ou Apollonios) de Pergée (ou de Perga, cité de Pamphylie) 'AJ1:oÀÀwv~oç a IIEpya[oç (-262 - -180), géomètre et astronome grec, élève d'Euclide, est l'auteur de Sections coniques, en huit volumes (une partie transmise directement en grec, une autre par la traduction en arabe). Il étudie l'intersection d'un cône par un plan quelconque,

M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

2

des coniques 3 • Soit un cône de révolution C, de sommet S. Considérons un plan P ne passant pas par S et nommons P' le plan parallèle à P passant par S. Les trois cas suivants se présentent: - si P' est extérieur au cône, l'intersection de P et de C est une ellipse; - si P' est tangent au cône, l'intersection de P et de C est une parabole; - si P' est intérieur au cône, l'intersection de P et de C est une hyperbole. Les coniques étaient vues dans l'Antiquité comme une curiosité géométrique. Kepler, pour expliquer l'orbite de Mars autour du Soleil, fut le premier à retrouver cette notion d'ellipse définie par les géomètres grecs. Plus tard, en s'appuyant sur la théorie de Newton, les astronomes ont montré que les trajectoires des corps soumis à une force gravitationnelle pouvaient être non seulement des ellipses, mais aussi des paraboles ou des hyperboles. L'ellipse de Kepler se replaçait ainsi à nouveau dans la famille des coniques. Nous allons tout d'abord nous intéresser à la multitude de points de vue sous lesquels on peut appréhender les coniques.

1.1.2

Définition et propriétés de l'ellipse

Dans ce travail, nous nous intéresserons presque exclusivement aux ellipses, parmi les coniques, car les trajectoires périodiques sont elliptiques. L'ellipse possède de très nombreuses propriétés. On peut en choisir une pour définition, les autres s'en déduisent, par des démonstrations plus ou moins simples. Généralement, on prend pour définition la propriété que nous avons notée [1]. Les autres sont considérées comme des conséquences. Définition

[1] L'ellipse est le lieu des points JI.;[ du plan tel que la somme des distances NI F et JI.;[ F', à deux points fixes F et F', appelés foyers, est constanté. Propriétés principales

[2] L'ellipse est la transformée d'un cercle par affinité. [2'] La projection d'un cercle sur un plan est une ellipse. définit les trois types de coniques et leur donne le nom qu'elles ont encore. 3Le mot « conique» vient du grec kônikos, adjectif dérivé de kônos (0 XW\loç, ou), «la pomme de pin», fruit des conifères. 4L'application directe de cette définition donne une méthode de tracé de l'ellipse, dite « méthode du jardinier». On plante deux piquets dans le sol séparés d'une distance d. On y attache une ficelle inélastique de longueur R supérieure à d. Si on se déplace avec un bâton qui s'appuie sur la ficelle toujours tendue, le bâton laisse au sol la trace d'une ellipse dont les foyers sont les piquets. Le grand axe est égal à R et l'excentricité à dl R.

1.1. Définition et propriétés

3

[3] L'ellipse est le lieu des points !vI tel que le rapport !vIF/ d est égal à une constante q, q < 1, F étant un point fixe, le foyer, et d étant la distance de JI.;[ à une droite fixe, appelée directrice. [4] L'ellipse est obtenue par l'intersection d'un cône et d'un plan, dans les conditions vues plus haut. Autres propriétés

Voici quelques autres propriétés que nous ne démontrons pas ici. [5] L'ellipse est le lieu des centres des cercles passant par un point fixe, F, et tangents à un cercle fixe, le cercle directeur, de centre F'. [6] Un rayon passant par un foyer se réfléchit sur l'ellipse et passe par le second foyer 5 . [7] Si les extrémités d'un segment de longueur fixe parcourent deux droites perpendiculaires, un point quelconque du segment décrit une ellipse et l'enveloppe du segment est alors une astroïde

1.1.3

Applications de la définition

Ellipse, figure géométrique

D'après la définition [1], l'ellipse a un centré de symétrie, 0, que nous appellerons centre de l'ellipse. En prenant 0 comme origine du repère orthonormé cartésien (figure 1.1), on note les coordonnées des points suivants :

OF=

1

~

,. OF'=

I-c

,. OA

0

=

1

0a

., OB=

1

0 b

On utilise les appellations classiques :

a=OA

demi-grand axe de l'ellipse

b=OB

demi-petit axe de l'ellipse

c= OF = OF'

b~a

distance focale

Comme c est toujours strictement inférieur à a, on peut poser:

c=ea

avec 0

~

e<1

(1.1)

Le nombre réel e représente l'excentricité de l'ellipse. 5L'appellation de ce point découle de cette propriété (figure 1.1l). Un faisceau de rayons passant par un foyer converge sur l'autre foyer (et peut y allumer le feu). Le mot foyer vient du latin locarius, « du foyer», adjectif dérivé de locus, «foyer». Le mot «feu» vient directement de locus. 6Centre vient du latin centrum, i , «pointe du compas », «centre de cercle », «milieu d'un ensemble ». Le mot est emprunté du grec kentron, ,à xtv,pov, 01), «aiguillon », du verbe XEv,tw, «piquer ». C'est un exemple (assez rare) de mot technique et bucolique, puis scientifique, qui a pris plus tard un sens très général. Le mot latin s'est répandu à toutes les langues latines et à beaucoup de langues non latines.

4

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

Équation de l'ellipse en coordonnées cartésiennes centrées sur 0

On considère le repère cartésien orthonormé (0; x, y), centré sur O. L'axe Ox est la droite FI F, l'axe focal. Soit un point l'vI(x, y) appartenant à l'ellipse. On pose:

r.l = FIl'vI

T=FM La définition

[1], appliquée pour M en A donne: T + TI = 2a

(1.2)

et lorsque l'vI est en B, on obtient :

b2 = a 2 _ c2 On exprime

T

a 2(1 _ e 2)

=

(1.3)

et r.l en coordonnées cartésiennes, par leurs carrés:

+ y2

=

(x _ e a)2

+ c)2 + y2

=

(x

T2 = (x - C)2 T/2 = (x et par la différence : T /2 -

T2

+ y2

(1.4)

+ e a)2 + y2

(1.5)

= 4cx = 4eax

(1.6)

Avec (1.2), on obtient:

TI - T =

r.l 2 TI

_ T2

+T

= 2 ex

et finalement les expressions des longueurs T et r.l, dont on connaît la somme et la différence : (1.7) T=a-ex

TI = a

+e x

(1.8)

On remarque que ces expressions sont très simples et ne font pas apparaître de radicaux (racine carrée) dans les relations entre les distances T ou TI et les coordonnées cartésiennes. On écrit alors, avec (1.4) et (1.7) :

T2 = (x-ea)2+y2

=

(a-ex)2

x 2 + e 2a 2 + y2 = a 2 _ e2x2

x 2(1 _ e 2) + y2

=

a 2 _ e2a2

soit:

(1.9) ou si on préfère :

x2 a2

+

y2 b2 = 1

ce qui met bien en évidence le grand et petit demi-axe.

(1.10)

1.1. Définition et propriétés

5

y

y

B

o

e

=

H

X

0.65

FIG. 1.1 : Ellipse et cercle principal, avec notation des coordonnées cartésiennes

(axes Ox,Oy) et polaires (r

=

FM, angle e).

Équation de l'ellipse en coordonnées polaires de pôle F

Considérons tout d'abord le repère cartésien orthonormé (F; X, Y), centré sur F, d'axe F X confondu avec Ox et d'axe FY parallèle à Oy. On a donc la relation entre les abscisses :

X=x-ea Pour un point M(X, Y) de l'ellipse, la relation (1.7) devient:

r

=

a(1 - e2 )

-

eX

On pose:

(1.11)

Cette grandeur p est appelée paramètre de l'ellipse. Elle correspond à la distance entre le foyer F et le point d'intersection de l'ellipse avec l'axe FY (qui est la droite d'équation X = 0). Sur la figure 1.1, p = FC. On remarque que b est la moyenne géométrique de a et p : (1.12) L'équation de l'ellipse s'écrit encore ici de manière très simple:

r=p-eX

(1.13)

6

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

On considère les coordonnées polaires de pôle F, (figure 1.1). Les coordonnées r et 8 d'un point quelconque l'vI sont définies par

r

IIFMII

=

8

=

=

FM

(FX,FM)

(1.14) (1.15)

L'abscisse de NI en coordonnées cartésiennes est X r cos 8 et la relation (1.13) donne: p r= (1.16) 1 + e cos8 L'équation de l'ellipse en coordonnées polaires est donc

r (8)

a(1 - e 2 ) 1 + e cos8

(1.17)

Remarque sur les coniques

En définissant dans chaque cas le paramètre p comme la distance entre le foyer F et le point G, intersection de la conique et de la perpendiculaire à l'axe focal qui passe par F, la relation (1.16) permet de définir toutes les coniques 7 , l'excentricité étant la grandeur discriminante: 7 Appolonius a utilisé les trois termes suivants pour caractériser les coniques, inspiré du langage des Pythagoriciens : - ellipse (~ ÉÀÀElqHÇ, EWÇ) signifie « manque», « omission» ; - parabole (~ 11:()(P()(f3oÀ~, Tic), action de « lancer au loin », d'où« application », « comparaison» ; - hyperbole (~ \mEPf3oÀ~, Tic), action de «lancer au-dessus », d'où «excès ». Le premier terme est formé de EX, «dans» et du verbe ÀEl11:El\l, « laisser, négliger ». Les deux derniers sont formés sur le verbe f3aÀÀEl\l, « lancer ». Le terme parabole ne doit pas être associé à l'idée de «lancer au loin» si on fait référence au jet d'un projectile. Ce rapprochement entre parabole et lancer, décrit par Galilée, était inconnu des Grecs de l'Antiquité. Il est intéressant de noter que, pris dans cet ordre, ces trois termes «manque», «comparaison» et «excès », associés aux coniques, correspondent à la valeur de l'excentricité comparée à l'unité. En fait, Apollonius introduit la longueur p, le paramètre, et calcule des surfaces de carrés et de rectangles basées sur cette longueur. Avec les notations actuelles, en prenant l'axe focal comme axe Ox, l'axe Oy perpendiculaire et l'origine 0 sur un sommet de la conique, on obtient pour la parabole la relation suivante:

y2 = 2px

ce qui signifie que la surface d'un carré de côté y est égale à celle d'un rectangle de côtés 2p et x. Pour les deux autres coniques, on a : - pour l'ellipse: y2 = 2px - (p/a)x2 ; - pour l'hyperbole: y2 = 2px + (p/a)x2. Par comparaison avec la parabole, c'est donc la quantité [(p/a)x2] qui manque pour l'ellipse et qui est en excès pour l'hyperbole. Le nom des coniques fut introduit par Kepler, Desargues et Descartes, d'abord en latin, puis dans les langages européens modernes.

1.1. Définition et propriétés

O~e 1

7

pour l'ellipse pour la parabole pour l'hyperbole

On note que pour e = 0, l'ellipse est un cercle, et si e ? 1, la conique a des points à l'infini.

1.1.4

Déduction des propriétés

Nous donnons ici les démontrations des propriétés principales.

Définition [1]

Propriété [2]

On appelle affinité d'axe ,d, de direction 5 et de coefficient k (k -1- 0) la transformation ponctuelle qui, à tout point P du plan, fait correspondre le point P' par la construction suivante: la droite P P', parallèle à 5, rencontre ,d en H, avec:

HP'= k HP Soit un cercle de rayon a, de centre 0, décrit par l'équation: (1.18) L'affinité, d'axe Ox, de direction Oy, appliquée à ce cercle (dessin de Kepler, figure 1.2, et figure 1.3), transforme l'équation (1.18) en (1.10) si on applique le rapport d'affinité: (1.19) Le cercle de rayon a, défini par (1.18), est appelé cercle principal de l'ellipse de demi-grand axe a, définie par (1.10). L'aire A de l'ellipse se déduit de celle du cercle:

A=7Tab

(1.20)

FIG. 1.2 : À la fin d' Astronomia Nova, Kepler rédige le chapitre LIX Éléments de géométrie consacré aux propriétés de l'ellipse. Il explique, p. 286, la transformation du cercle en ellipse par affinité.

8

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

Propriété [2]

Propriété [2']

La propriété [2'] se déduit immédiatement de [2]. Soit un cercle de rayon a et de centre 0, dans un plan Pl. On le projette sur un plan P 2 , qui fait un angle dièdre Œ avec Pl, et qu'on fait passer par o. Appelons Ox l'axe sur la droite d'intersection et Oy l'axe perpendiculaire, dans P2. Pour les points du cercle de Pl projeté dans P2, les coordonnées x se projettent en vrai grandeur, les coordonnées y sont affectées du coefficient multiplicatif cos Œ. L'équation de la figure projetée dans P 2 est:

ce qui correspond à une tranformation par affinité de coefficient k = cos Œ. Cette figure est donc une ellipse.

Définition [1]

Propriété [3]

Si on écrit r, donné par (1.7), sous la forme:

r=a-ex=e(~-x)

(1.21)

on fait apparaître la grandeur [(ale) - xl qui est la distance du point M, d'abscisse x, à la droite parallèle à Oy, d'abscisse (ale). Ainsi, avec r = FM et [(ale) - xl = M] (figure 1.4), on montre que les points de l'ellipse sont tels que le rapport F NIl NI] est constant et que ce rapport est égal à e : FM M] =e Notons que si on appelle D l'intersection de la directrice avec Ox, on a la relation:

Définition [1]

Propriété [4]

C'est seulement au XIX€ siècle qu'a été montrée l'équivalence entre la définition d'une conique par foyer et directrice avec celle de la section de conique. Nous donnons ici, pour l'ellipse, la démonstration du théorème de Dandelin 8 . Soit un cône de révolution, de sommet S, d'axe Sx. Soit un plan P qui coupe le cône et tel que le plan parallèle à P passant par S est extérieur au cône. On considère le plan T perpendiculaire à P et contenant Sx. Dans ce plan T (dit plan du tableau ou plan de la feuille), la trace du cône est 8Théorème établi en 1822, dit aussi théorème de Dandelin et Quételet, du nom des deux mathématiciens belges, Germinal Dandelin (1794-1847) et Adolphe Quételet (1796-1841).

1.1. Définition et propriétés

9

y

k

~

0.661

/

/;/

//' /'

/'

---

f

~

0.339

\

~'"1\ r-~~

1--"""

V

~~

r--~

/,r

~~~

0

.........

x

V'l

VVr

, ---.

~ .........

N

H

~V vV

'---.

v

e

~ 0.750

1....) •./

FIG. 1.3 : Ellipse et cercle principal. L'ellipse est obtenue à partir du cercle principal par affinité d'axe Ox, de direction Oy et de coefficient k. y

e

~

0.75

FIG. 1.4 : Ellipse et directrices. L'ellipse est le lieu des points tels que la distance au foyer, notée F J'vI, et la distance à une droite, notée d = J'vI J, sont dans un rapport constant, e.

10

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

s

1.5 : Représentation plane, dans le plan T perpendiculaire au plan sécant P, de la section du cône d'axe Sx par le plan P, représenté ici par la droite AA'.

FIG.

constituée des deux génératrices SA' et SA, et la trace du plan P est la droite AA'. Considérons d'abord la figure plane dans T, figure 1.5. Parmi les cercles tangents aux 3 côtés du triangle SAA', on considère les deux cercles dont le centre est sur Sx. 0 est le centre du cercle inscrit, les points de contact du cercle et du triangle sont F avec AA', C et D avec respectivement SA' et SA. De même, 0' est le centre du cercle exinscrit, les points de contact du cercle et du triangle sont F' avec AA', C' et D'avec respectivement SA et SA'. Les segments CD et C' D' sont parallèles, chacun étant perpendiculaire à l'axe Sx. Faisons maintenant une rotation de la figure selon l'axe Sx, sauf la droite AA' : SA et SA' engendrent le cône, les cercles 0 et 0' engendrent deux sphères inscrites au cône. La droite AA' engendre, par translation, le plan P perpendiculaire à T (figure 1.6). Les sphères 0 et 0' sont tangentes au plan P en F et F', et elles sont tangentes au cône selon deux cercles parallèles, de diamètre CD et C' D', respectivement. Soit NI un point de la section de conique (intersection du cône considéré

1.1. Définition et propriétés

1l

+Q' 1

i i i ix 1.6 : Représentation dans l'espace du cône d'axe Sx et du plan P d'intersection. La trace d'intersection passe par les points A, AI et IvI.

FIG.

et du plan P). Sl'vi coupe les cercles CD et C' D'en J et J', et en ces points, la génératrice S l'vI est tangente aux sphères 0 et 0'. Comme l'vIF et l'vIF' sont tangentes aux mêmes sphères, respectivement, on a : - pour la sphère 0, l'vIF = l'vI J ; - pour la sphère 0', l'vIF' = l'vI J'. Or l'vI J + l'vI J' = J J', ce qui est une valeur constante, égale aussi à CC' ou DD'. Donc: l'vI F + l'vIF' = constante l'vI décrit une ellipse dont les foyers sont F et F'. Le plan P coupe les plans parallèles contenant les cercles CD et C' D' selon les droites perpendiculaires au plan T, passant par let l', respectivement. On peut montrer que ces deux droites, perpendiculaires à F F', sont les directrices de l'ellipse.

12

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

1.7: Ellipses de demi-grands axes constants. L'excentricité e de l'ellipse varie de 0.0 à 0.9, avec un pas constant de 0.1. Un des deux foyers et un sommet du demi-petit axe sont affectés de la valeur de l'excentricité e correspondante. On note que les foyers sont régulièrement espacés.

FIG.

1.8 : Ellipses de demi-grands axes constants. L'aplatissement f de l'ellipse varie de 0.0 à 0.9, avec un pas constant de 0.1. Un des deux foyers et un sommet du demi-petit axe sont affectés de la valeur de l'aplatissement f correspondant. On note que les extrémités des demi-petits axes sont régulièrement espacés.

FIG.

1.1. Définition et propriétés

1.1.5

13

Excentricité et aplatissement

À partir de (1.3), on peut exprimer l'excentricité e par:

(1.22) La relation entre a et b peut aussi être rendue par l'aplatissement défini :

a-b

f=-

a On note que le coefficient d'affinité, défini par (1.19), est k = 1 - f. La relation entre les deux grandeurs e et f est immédiate :

f,

ainsi (1.23)

(1.24) et elle conduit aux relations explicites suivantes:

f=l-~

(1.25)

J f(2 -

(1.26)

e=

1)

La figure 1.7 illustre la transformation d'une ellipse, de demi-grand axe a fixé, lorsqu'on augmente e avec un pas régulier de 0.1. Lorsque c'est f qui augmente avec le même pas de variation, le comportement de l'ellipse, est très différent, dans son mode de variation, comme le montre la figure 1.8. Gauss a introduit l'angle d'excentricité E, défini par: e

=

sin E

(1.27)

On peut ainsi écrire: b= a

COSE

c = a sinE

p

=

a cos 2 E

Nous verrons plus loin comment certaines formules gagnent en élégance avec l'usage de cette variable auxiliaire. Cas des excentricités faibles

On rencontre fréquemment les situations où l'ellipse est proche du cercle principal. Dans le cas e « 1, la relation (1.24) donne: (1.28) ce qui montre que l'aplatissement varie comme le carré de l'excentricité.

14

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

PAR

S

TER

T

1

A.

J49

Positions de Mars dans un référentiel héliocentrique. L'observation de Mars est faite à quatre dates différentes, séparées par des intervalles de temps multiples de la période sidérale de révolution (687 jours). Mars occupe donc la même position par rapport aux étoiles. Kepler calcule alors les positions de la Terre à ces dates et en déduit l'excentricité de l'orbite terrestre. Il peut ainsi reconstruire l'orbite de toutes les planètes. L'orbite de Mars apparaît comme quasi circulaire, mais fortement décentrée. Les orbites de Mercure, de Vénus et de la Terre (avec la Lune) sont également représentées. Elles apparaissent circulaires, mais le Soleil n'est pas exactement au centre. Petite remarque éditoriale: les imprimeurs de l'époque ne supportaient pas de voir du blanc dans les dessins, c'est pourquoi les parties vides des graphiques étaient systématiquement garnies de petites fleurs. J. Kepler, Astronomia Nova, chapitre XXVII, page 149.

FIG. 1.9 :

1.1. Définition et propriétés

15

Exemple 1.1 Excentricité et aplatissement pour l'orbite de la planète Mars. Les doutes de Kepler. ~ L'orbite elliptique de la planète Mars est caractérisée par a = 1.52366 ua (unité astronomique) et e = 0.093412. L'orbite apparaît comme pratiquement circulaire: bja = ~ = vlo.099564 = 0.99782 ===} f = 0.0022 la différence relative entre a et b étant de 0.22 %. Par contre, l'écart entre le centre de l'ellipse, quasi circulaire, et le foyer (le Soleil) est important: c = e a = 0.14233 ua ce qui fait varier la distance de Mars au Soleil entre 1.38133 ua (au périhélie) et 1.66599 ua (à l'aphélie). Kepler formula ainsi, en 1600, ce qui allait devenir sa première loi (en 1609) : l'orbite de Mars est circulaire et le Soleil n'est pas en son centre. Kepler utilise la notion d'ellipse à partir de 1603. Il écrira plus tard: « J'ai d'abord admis que l'orbite des planètes était un cercle parfait. Cette erreur m'a coûté d'autant plus de temps qu'elle était soutenue par l'autorité de tous les philosophes et était métaphysiquement tout à fait plausible. » La figure 1.9 est un dessin de Kepler, tiré de son Astronomia Nova où il représente les orbites (en partant du Soleil) de Mercure, Vénus, la Terre et Mars. Elles sont pratiquement circulaires 9 . Mais on voit à quel point l'orbite de Mars apparaît comme décentrée (de même que celle de Mercure). Voir aussi, à la fin du chapitre 15, la note historique Kepler et la planète Mars. ...

Exemple 1.2 Calcul des longueurs b et c d'une ellipse, définie par a et e, dans le cas de l'orbite quasi circulaire du satellite MetOp-A. ~ L'ellipse représentative de l'orbite du satellite MetOp-A est définie par son demigrand axe a = 7 195 606 m et son excentricité e = 0.0011655. Avec e = 1.1655 10- 3 , on obtient ~ = vil - 1.358410 6 = 1 - 0.6792 10- 6 et ainsi: a - b = f a = 4.9 m On a donc les valeurs suivantes pour a, b, c : a = 7 195 606 m b = 7 195 601 m c = e a = 8 386 m En conclusion, l'orbite est pratiquement circulaire, puisque la différence entre a et b est de 5 mètres sur 7 200 kilomètres. Par contre, la valeur de c, qui mesure la distance entre le centre de l'ellipse et le foyer, est de 8.4 kilomètres, ce qui aura de l'importance dans le calcul de l'altitude du satellite. ...

9pour illustrer cette propriéte, V. 1. Arnold conseille, dans un de ses ouvrages, la petite expérience suivante : « Laissez tomber une goutte de thé non loin du centre de la tasse. Les ondes se rassembleront au point symétrique. La raison est qu'en vertu de la définition focale de l'ellipse, les ondes issues d'un foyer de l'ellipse se rassemblent dans l'autre. »

16

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

1.2

Applications et autres caractéristiques

1.2.1

Longueur de l'arc d'ellipse

La transformation du cercle (0; a) par affinité (figure 1.10) d'axe Ox, de direction orthogonale et de rapport (b / a), donne l'ellipse (0; a, b). Les coordonnées de N, sur le cercle, et de NI, sur l'ellipse, s'expriment en fonction de l'angle 10 polaire u, centré sur 0 :

ON=I

acosu

OM=

asin u

1

ac.osu bsmu

(1.29)

Longueur d'arc

Pour obtenir la longueur d'un arc d'ellipse à partir d'une origine quelconque, on calcule d'abord l'élément ds d'abscisse curviligne à partir de dx et dy : ds 2 = (a 2 sin 2 u

+ b2 cos 2 u)

du 2 = a 2 (1 - e 2 cos 2 u) du 2

pour obtenir par intégration la longueur d'arc d'ellipse entre A (u = 0) et NI

(u

=

a) :

(1.30) La valeur de s(a) ne s'exprime pas avec des fonctions analytiques simples. Cette intégrale l l est une intégrale elliptique incomplète de seconde espèce dont le résultat s'exprime par une suite infinie de termes. Périmètre de l'ellipse

Le périmètre L de l'ellipse est obtenu par une intégrale elliptique complète de seconde espèce : L = 4a

1:r, V1- e cos u du 2

(1.31 )

2

qui n'a pas de représentation analytique simple. En effectuant un développement selon l'excentricité, on obtient (formule de Lambert) : L

=

2 7r a [ 1 _

(~) 2 2

2

e 1

(~) 2 é _ (~) 2 é ...1

_

2·4

3

2·4·6

5

(1.32)

lOCe paramètre angulaire u correspond à la latitude paramétrée u en géodésie ou à l'anomalie excentrée E, de Kepler, en astronomie, comme nous verrons dans les chapitres suivants. 11 On classe ces intégrales en trois espèces. Celles de seconde espèce sont du type:

E(cp, k)

=

101> VI -

k 2 sin 2 fJ dfJ

avec le paramètre k tel que 0 < k 2 < 1. Ces intégrales elliptiques sont dites incomplètes lorsque cp est quelconque. Lorsque cp = 7r /2, on parle d'intégrales elliptiques complètes.

1.2. Applications et autres caractéristiques

17

Il existe pour cette intégrale elliptique des formules approchées, plus ou moins simples, d'autant plus précises que l'excentricité e est faible. La plus simple des formules approchées est celle donnée par Euler

(1.33) ou la suivante:

L

~ [~(a + b) - Fab] Ir

(1.34)

Pour plus de précision, on utilise les formules données par Rananujan 12

L ~ Ir

[3 (a + b) -

J (a + 3b) (3a + b)]

ou bien

L~Ir(a+b)(l+ 10 + ~) 4 - 3h Au premier ordre en j, toutes ces formules sont équivalentes à :

(1.35) ce qui revient à considérer, pour le calcul du périmète, l'ellipse comme un cercle dont le rayon est la moyenne arithmétique des deux demi-axes de l'ellipse 13 .

1.2.2

Rayon de l'ellipse

On appelle rayon de l'ellipse la distance entre un point l'v! quelconque de l'ellipse et le centre 0 de celle-ci. Ce rayon, noté R1jJ, n'est pas constant et dépend de 1jJ. Les coordonnées polaires centrées sur 0 (figure 1.10), sont R1jJ =

IIOMII

.1jJ

= (Ox, OM)

12 Srinivâsa Aiyangâr Râmânujan (1887-1920) est un mathématicien indien, atypique, considéré comme un génie dans son domaine. Il apprend les mathématiques en autodidacte, à l'aide d'un recueil de 6 000 théorèmes, la plupart sans démonstration. Puis à partir de 17 ans, et particulièrement pendant son séjour en Angleterre entre 1913 et 1919, il établit des centaines de formules, qu'il note, sans démonstration, dans ses carnets, en s'appuyant sur une intuition et une mémoire extraordinaires. Ces équations concernent la théorie des nombres, les intégrales elliptiques, les nombres de Bernoulli, etc. Ramanujan a établi des valeurs de Ir et de e à l'aide de fractions continues, de séries ou bien par des formules extrèmement concises. 13« Toute circonférence elliptique est très près de la moyenne arithmétique entre le cercle de diamètre le plus long et le cercle de diamètre le plus court» écrit Kepler dans Astronomia Nova, chapitre LIX, p. 287. Il se limite aux orbites elliptiques des astres connus.

18

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

y

N

A

e

=

x

0.75

1.10 : Ellipse et cercle principal, avec indication des angles au centre ainsi que de l'arc d'ellipse ANI.

FIG.

1L

et

1/},

Les coordonnées cartésiennes de NI

oM =

1

x = R,p C?S 1jJ y = R,p sm·1jJ

(1.36)

donnent, avec (1.10)

puis, pour le rayon de l'ellipse R,p, en utilisant l'aplatissement a R,p = - - - ; = = = = = = sin 2 1jJ cos 2 1jJ + (1 _ 1)2

f : (1.37)

et en utilisant l'excentricité e :

R,p=

a~

VI - e

Dans le cas d'aplatissement faible (j ou

«

2

cos 2 1jJ

(1.38)

1), on utilise: (1.39)

1.2. Applications et autres caractéristiques

19

M

f

~

0.200

e

~

0.600

FIG. 1.11 : Rayon de courbure de l'ellipse. J'vI est un point de l'ellipse de foyers F et F'. IvI ' est le centre du cercle osculateur à l'ellipse, en IvI. Lorsque IvI décrit

l'ellipse, J'vi' décrit la développée. Ce dessin illustre une autre propriété de l'ellipse: J'vI J'vi' est la bissectrice de l'angle F J'vI F' : tout rayon lumineux passant par F passe par F' après réflexion sur l'ellipse.

1.2.3

Rayon de courbure de l'ellipse

Toute courbe peut être approchée autour d'un quelconque de ses points (sauf point de rebroussement), dans un intervalle infinitésimal, par un cercle appelé cercle osculateur. Son rayon p est le rayon de courbure. Le lieu des centres du cercle osculateur est appelé développée de la courbe. De manière équivalente, on peut définir la développée d'une courbe plane comme l'enveloppe des normales à cette courbe (figure 1.11). On démontre qu'en un point donné, le cercle osculateur est unique. On considère une ellipse définie avec le paramètre angulaire u. Soit l'v! un point de l'ellipse et l'v!' le point correspondant de la développée. Cela signifie donc que le cercle de centre l'v!' et de rayon p = IIM'MII est tangent à l'ellipse en l'v!. Le vecteur M'M est normal en l'v! à l'ellipse. La normale au point l'v!, de paramètre u, s'écrit, avec les coordonnées X et Y :

aX bY 2 - - - - - - c =0 (1.40) cosu sin u L'équation paramétrée de la développée s'obtient en déterminant les deux inconnues X et Y à l'aide de deux équations: l'équation de la normale, donnée

20

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

par (1.40), et l'équation dérivée par rapport à u. On écrit ces relations:

aX sin u - bY cos u = c2 sin u cos u aX cos u + bY sin u

=

c 2 (cos 2 U

-

sin 2 u)

et on obtient :

En résumé, les coordonnées de NI et NI' s'écrivent donc:

OM=

acosu

a 2 _ b2 ---cos3 u a a 2 - b2 --b-sin3u

OM'=

bsin u

(1.41)

La développée de l'ellipse, voir figure 1.12 (a), est la courbe A' B'C' D' qui présente 4 points de rebroussement. C'est la transformée par affinité, d'axe Ox, de direction orthogonale et de rapport (-b/a), de l'astroïde d'équation:

a 2 - b2 c2 avec A = - - - = - = a e 2

Acos3 u

Asin 3 u

1

a

a

Les coordonnées du vecteur MM' sont calculées à partir de (1.41)

b2

M'M=

cosu a sin u

(asin 2 u+ -cos 2 u)cosu a , a2 (bcos 2 u + b sin 2 u) sin u

b

On en déduit la valeur du rayon de courbure p =

IIM'M11

(1.42)

(1.43) On note les valeurs particulières pour les points A' et B' :

u=o

===?

OA=

a

OA'=

0

Ir

u=-===? 2

OB=

0

b

a 2 - b2 a

A'A=

0

0

OB'=

0

b2 -a 2 b

b2 a

B'B=

0

a2 b

1.2. Applications et autres caractéristiques

J

f

= 0.165 K

21

1

e = 0.550

L

f = 0.005 f = 0.046 f = 0.134

f = 0.286 f = 0.564

FIG. 1.12 : Relation entre l'ellipse et sa développée. (a) La droite reliant A' et B', centres de courbure pour A et B respectivement, passe par l et est perpendiculaire à la diagonale J L du rectangle l J K L, rectangle de côtés 2a et 2b, de centre 0, exinscrit à l'ellipse. (b) Même construction, pour diverses valeurs de l'excentricité, variant de e = 0.10 à e = 0.90 avec un pas de 0.20. Le demi-grand axe reste constant.

22

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

Le rayon de courbure varie entre les deux valeurs extrêmes: maximale pour B et D, avec p = (a 2 lb), minimale pour A et C, avec p = (b 2 la). On appelle l J K L le rectangle de centre 0, de côtés 2a et 2b, dans lequel l'ellipse est inscrite (figure 1.12(a)). Avec les coordonnées des divers points, calculées ci-dessus, on obtient les relations suivantes:

BI BB'

b

a

OA' OB'

b

a

JL=

1

+2a -2b

qui montrent que: - la droite A' B' passe par I; - la diagonale du rectangle qui ne passe pas par l est perpendiculaire à A' B'. La figure 1.12 (b) illustre cette propriété pour diverses valeurs de l'excentricité.

Chapitre 2

Géodésie 2.1

Ellipsoïde terrestre

2.1.1

Différentes définitions de la latitude

Coordonnées sphériques

Considérons un repère cartésien orthonormé (0; x, y, z). Un point NI de l'espace peut être repéré par les trois coordonnées sphériques r, VJ, À, définies classiquement de la manière suivante. On privilégie un axe, Oz, et on projette l'vI en l'vI', sur le plan perpendiculaire à Oz passant par 0, xOy. On pose:

r=IIDMII

1jJ

=

(DM', DM)

À

= (Dx, DM')

avec pour domaines de variation :

r

E

[O,oo[

Les coordonnées cartésiennes du point l'vI sont, en fonction des coordonnées sphériques: x = r cos 1jJ . cos À DM = Y = r cos 1jJ . sin À (2.1) z = r sin VJ Considérons une sphère de rayon R, centrée en O. Si cette sphère est une représentation de la Terre (sphérique), les grandeurs géométriques définies ci-dessus portent des noms géographiques: - Oz est l'axe des pôles, xOy est le plan équatorial; - la distance r = R + h est souvent définie par l'altitude, h; - VJ est la latitude, À est la longitude. Latitude et longitude sont ici définies de manière générale, en coordonnées sphériques. Les cercles passant par les deux pôles sont les méridiens (lieu des points à longitude constante) ; les cercles parallèles au plan équatorial sont M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

24

Chapitre 2. Géodésie

les parallèles (lieu des points à latitude constante) et le parallèle dans le plan équatorial est l'équateur. Les méridiens sont des grands cercles, les parallèles, à l'exception de l'équateur, sont des petits cercles 1 . On applique les conventions suivantes : - l'axe des pôles est orienté du pôle Sud vers le pôle Nord; - le plan méridien xOz qui sert d'origine est appelé premier méridien, ou méridien origine ou international, ou méridien de Greenwich 2 ; - les longitudes sont comptées dans le sens trigonométrique direct, de 0° à 360° ou bien de -180° à +180° (ce qui donne des valeurs [+E/-W], c'est-àdire positives pour Est, négatives pour Ouest) ; -les latitudes sont comptées dans le sens trigonométrique direct, -90° à +90° (ce qui donne des valeurs [+N/-S], positives pour Nord, négatives pour Sud).

Coordonnées sur l'ellipsoïde

Assimilons à présent la Terre à un ellipsoïde de révolution, l'axe de révolution étant celui des pôles. Nous considérons le point NI à la surface de l'ellipsoïde (les notions d'altitude par rapport à l'ellipsoïde seront vues plus loin) . La section d'un plan méridien quelconque avec l'ellipsoïde est une ellipse, de centre O. On pose a = OA et b = OB (figure 2.1), A étant un point de l'équateur et B est le pôle Nord. Le plan xOz représente le plan méridien. Le demi-grand axe a représente le rayon équatorial Re et le demi-petit axe b, le rayon polaire Rp. Cette ellipse, et donc l'ellipsoïde terrestre, est ainsi déterminée par deux grandeurs. On choisit a et l'aplatissement f (tableau 2.1). De par la symétrie de révolution de la figure, on peut repérer le point l'vI par la longitude définie sur la sphère. Mais pour la latitude, il faut réexaminer la question ... En effet, historiquement la latitude a été obtenue par des mesures d'angles entre la direction d'étoiles bien choisies et le plan horizontal local (ou la 1 Lorsqu'ils sont sécants, une sphère et un plan se coupent selon un cercle. Si le plan passe par le centre de la sphère, le cercle ainsi défini est appelé grand cercle, dans le cas contraire, petit cercle. 2Lorsqu'il a été officiellement choisi comme méridien origine, lors de la Conférence du Méridien International, tenue à Washington, en 1884, le méridien qui passe à l'Observatoire Royal à Greenwich était déjà utilisé dans la plupart des cartes marines (le délégué britannique déclara alors que, si on se réfère au tonnage des bateaux, 72% du commerce maritime mondial utilise des cartes basées sur Greenwich). Pour les cartes terrestres, par contre, il y avait abondance de méridiens origines. La France utilisait bien entendu le méridien de Paris, celui de Cassini, qui passe par l'Observatoire. L'Italie se référait à celui de Rome, la Russie à celui de Pulkovo, etc. Le méridien de l'Île de Fer (Isla de el Hierro) , qui passe par l'île la plus occidentale des Canaries, et donc du monde connu par l'Europe avant la découverte de l'Amérique, avait l'avantage de ne donner, à cette époque, que des longitudes positives. Il avait été utilisé fréquemment, en Europe, aux XVIIe et XVIIIe siècles. On le trouvait jusqu'au XIX e siècle sur quelques cartes des pays d'Europe centrale.

2.1. Ellipsoïde terrestre

Ellipsoïde

Année

a

(m)

25

1/ f(s. d.)

Delambre Airy Everest Bessel Clarke 1 Clarke II Hayford Internat. Krassowsky

1810 1830 1830 1840 1866 1880 1924 1942

6375653 6376542 6377 206.4 6377397.16 6378206.4 6378249.2 6378388.2 6378245

334 299.3 300.8017 299.1528 294.9787 293.4660 297 293.3

AIG67 WGS72 GRS80 WGS84

1967 1972 1980 1984

6378160 6378135 6378137 6378137

298.2471 298.26 298.257222101 298.257223563

GEM-T2 EGM96 GRIM5 EIGEN

1990 1996 2000 2008

6378137 6378136.30 6378136.46 6378136.46

298.257 298.25765 298.25765 298.25765

2.1 : Ellipsoïdes de référence en géodésie (avec année d'application). Évolution de l'estimation des valeurs du demi-grand axe a et de l'aplatissement f. Les ellipsoïdes sont séparés en trois groupes chronologiques: (a) ellipsoïdes désormais historiques; (b) ellipsoïdes à l'ère des satellites; (c) ellipsoïdes liés aux modèles de géopotentiel. TABLEAU

direction du fil à plomb, qui lui est perpendiculaire). Sur la figure 2.1, la latitude du point l'v! correspond à l'angle entre la direction de visée vers le nord (disons l'étoile polaire; visée l'v! N, parallèle à l'axe des pôles OB) avec la tangente à l'ellipse en M. Cet angle est égal à cp = (DA, lM), angle de la normale à l'ellipse avec le rayon équatorial, appelé latitude géodésique 3 . La latitude géographique, dite aussi latitude astronomique, qui est mesurée « sur le terrain», prend pour référence le fil à plomb, perpendiculaire à la surface équipotentielle représentée par le géoïde local, et non la normale à un ellipsoïde de référence théorique. La différence entre latitude géodésique et géographique, appelée déviation de la verticale, est au maximum de 3 secondes d'arc, dans les régions où le géoïde est particulièrement « bosselé». On tient compte de cette différence dans le cadre de mesures précises qui n'entrent pas dans le cadre de cet ouvrage. La latitude géocentrique 1jJ du point l'v! est définie par rapport au centre de la Terre, VJ = (DA, DM). Cet angle sert en particulier pour repérer un 3Le nom «géodésie» vient du néo-latin geodesia, attesté au XYI e siècle, créé à partir du grec, du préfixe géo-, ~ y~, y~ç, «la terre, la contrée» et -désie, ~ oak, oan:ôç, « la part, le partage», dans le sens de parts égales distribuées dans un repas.

26

Chapitre 2. Géodésie

z B

x'

x

T

e

=

0.55

z' Latitude géocentrique géodésique géographique paramétrée FIG.

-

1/J

'P 1 'P

u

Direction de référence centre de la Terre normale à l'ellipsoïde normale au géoïde centre de la Terre

Angle

1/J

=

(DA, DM)

'P = (DA,IM) 'PI = (DA, [fil à plomb en Ml)

u = (DA, DN)

2.1 : Diverses définitions de la latitude du point IvI.

satellite. Ces différentes définitions de la latitude sont regroupées dans la figure 2.1. Pour établir la relation entre 1jJ et !.p, on introduit une autre latitude, qui n'a qu'un rôle géométrique, la latitude paramétrée, u (figure 2.1). Considérons le cercle principal de l'ellipse. La parallèle à Oz qui passe par l'vI coupe le cercle principal en N, point qui permet de définir la latitude paramétrée u = (DA, ON). Le point NI est obtenu à partir de N par transformation affine d'axe Ox, de direction Oz et de rapport (b / a). On a donc : b tan·1jJ = - tan u a

(2.2)

La transformation affine conserve le contact : elle transforme la tangente

2.1. Ellipsoïde terrestre

27

au cercle en N en la tangente à l'ellipse en NI. Ces tangentes coupent l'axe Ox en un même point T. L'angle (TO, TM) est le complémentaire de cp et l'angle (TO, TN) est le complémentaire de u. Cela donne: tan cp

a

b tan u

=

(2.3)

On déduit, de (2.2) et (2.3), la relation entre les deux latitudes, en utilisant fou e : tan 1jJ (2.4) tan cp = (1 _ 1)2 Ces trois latitudes ont toujours le même signe, pour un lieu donné. Les valeurs absolues sont classées dans cet ordre:

l'égalité n'intervenant qu'à l'équateur ou aux pôles. Dans le cas des faibles aplatissements (f « 1), la relation (2.4) donne: tan cp ':':' (1 On pose 5cp

=

+ 21) tan 1jJ

cp -1jJ. En développant tan(cp -1jJ), on obtient:

tan( cp -1jJ) ':':'

tan cp - tanljJ , 2 ':':' 2 f tan 1jJ . cos 2 1jJ = 1 + tan VJ

f sin 21jJ

Compte tenu des approximations sur les petits angles, on obtient pour l'écart angulaire: 5cp ':':' f sin 2cp (2.5) Sa valeur maximale 5cpo, atteinte pour cp = ±7f j 4, latitude 45° Nord ou Sud, est égale à :

f f

=

0.0035281

(en radian)

x (180j7f) = 0.19210

(en degré)

(2.6) (2.7)

Un développement plus poussé donne, pour la Terre (WGS84), avec 5cp en degré: 5cp = 0.19242 sin2cp - 0.000323 sin4cp (2.8) Exemple 2.1 Calcul, pour la planète Terre, de la différence entre les rayons équatorial et polaire, et de la différence maximale de latitude 5cpo. ~ Considérons les valeurs de l'ellipsoïde WGS84 (World Geodetic System 1984, révisé en 2004, avec actualisation par EGM96) données dans le tableau 2.1. Les valeurs recherchées sont Re = a, Rp = a(l - f), avec f = 0.00335281 : Re = 6 378 137.000 f i R p = 6 356 752.314 f i

28

Chapitre 2. Géodésie

On note la différence de rayons : (jR = Re - Rp = f Re = 21.285 km Pour la différence maximale de latitude : (j'Po = f = 3.35 mrad = 0.19° = 11' 32". ce qui représente sur le terrain un écart M: o : (jgo c::::: Re (j'PO c::::: f Re = 21.3 km. On note donc que, tant qu'on peut considérer f petit devant 1, les valeurs de (jR et de (jgo sont identiques, car égales à f Re . ....

2.1.2

Coordonnées cartésiennes. Grande normale

Dans un repère cartésien (O;x,z), il est aisé d'exprimer des coordonnées de M en fonction des latitudes u oul/J, voir les équations (1.29) ou (1.36). Mais l'intérêt pratique est d'utiliser la latitude géodésique cp. Avec (2.3), on exprime la relation entre u et 1jJ en faisant apparaître l'excentricité :

+

cos u

=

1 + tan 2 u = 1 + (1 - e2 ) tan 2 cp

1 1 = - - - e 2 tan 2 cp = - - ( 1 - e 2 sin 2 cp) 2 cos cp cos 2 cp

d'où:

1

a cosu=a coscp (1-e 2 sin 2 cp)-" De plus: sin u = tan u . cos u = (b / a) tan cp . cos cp d'où, avec b2 / a = a(l - e 2 )

(1 -

1

e 2 sin 2 cp) - "

:

b sin u = a(l - e 2 ) sin cp

(1 -

1

e 2 sin 2 cp)-"

L'équation (1.29) donne donc: cos cp

V(1- e

x=a,====== OM=

z=a

2

sin 2 cp)

(1 - e 2 ) sin cp

V(1 - e

2

(2.9)

sin 2 cp)

La normale à l'ellipse en NI coupe l'axe z'Oz en l. Traditionnellement, en géodésie, on appelle grande normale, notée N, la longueur INI (figure 2.1). Puisque x = lM cos cp, on déduit de (2.9) la valeur de N: (2.10)

2.1. Ellipsoïde terrestre

29

et on peut écrire les coordonnées planes cartésiennes de NI sous la forme: x = N cos cp = N (1 - e 2 ) sin cp

(2.11)

OM= l z

On obtient les coordonnées de l, avec 01 = z - N sin cp :

01=

0 1

(2.12)

-N e 2 sincp

Les coordonnées de NI (latitude géodésique cp, longitude À) sur l'ellipsoïde sont donc: x = N cos cp . cos À

oM

2.1.3

=

Y

z

= N cos cp . sin À N (1 - e 2 ) sin cp

(2.13)

=

Rayon de courbure

Le centre du rayon de courbure l'vI' est situé entre l et NI. On calcule p en fonction de cp à partir de (1.43). On écrit d'abord:

et on obtient p( cp) :

p=a

(1 - e 2 sin

(2.14)

2.~

cp)~

qu'on peut aussi écrire:

(2.15) Pour les faibles aplatissements, (2.14) devient:

(2.16) Dans ce cas, le rayon de courbure est égal au rayon équatorial, indépendamment de e, pour deux valeurs de la latitude, cp = ± arcsin

J273 :

p= a

2.1.4

{==}

cp ~ 54.7° N ou 54.7° S

(2.17)

Rayon de l'ellipse

La variable «naturelle» pour le rayon de l'ellipse, noté R1j;, est la latitude géocentrique VJ comme vu précédemment avec (1.38). Si on veut cependant

30

Chapitre 2. Géodésie

exprimer ce rayon en fonction de la latitude géodésique cp, le calcul amène à une formule plus lourde:

On note la relation obtenue avec la projection de 0]\;[ sur l'axe Ox :

R1jJ cos VJ

2.1.5

=

N cos cp

(2.18) (2.19)

Degré en latitude, degré en longitude

Variation selon un méridien, selon un parallèle

Revenons à l'ellipsoïde terrestre et évaluons la distance correspondant à un accroissement infinitésimal de latitude (respectivement de longitude) selon un méridien (resp. parallèle). Selon un méridien, une variation de latitude géodésique dcp va correspondre à un arc d'ellipse dL M , confondu en ce point avec l'arc de cercle osculateur, de rayon PM = l'vI' ]\;[, voir la figure 2.1 et les équations (2.14) ou (2.15) : (2.20) avec PM = P Selon un parallèle, une variation de longitude dÀ va correspondre à un arc de cercle dL p , dans un plan perpendiculaire à l'axe des pôles, de rayon Pp = JM, voir la figure 2.1 et l'équation (2.10) : dL p = Pp dÀ

avec Pp

=

N cos cp

(2.21)

Sur la figure 2.2, on a représenté les variations des divers rayons en fonction de la latitude, qu'ils soient liés aux rayons de courbure, comme P (pour PM) et N (pour PPI cos cp) ou au rayon de l'ellipse, comme R1jJ(cp). On rappelle les domaines de variations, pour la Terre, entre l'équateur et le pôle (variations toutes monotones dans [0; 7r 12]) : - P varie entre b2 1a et a 2 lb, soit entre 6 335.439 et 6 399.594 km; - N varie entre a et a 2 lb, soit entre 6378.137 et 6399.594 km; - R1jJ varie entre a et b, soit entre 6 378.137 et 6356.752 km. Variation d'un degré

Une approche plus «parlante» consiste à remplacer une variation infinitésimale d'angle par un angle d'un degré 4 , qui reste petit par rapport à la circonférence. Le tableau 2.2 donne la valeur i1L M de la longueur, sur le 4Dans la marine, le mille ou mille marin est défini comme la distance équivalente à l' d'arc de latitude, avec la relation 1 mille = 40 10 6 /(360 x 60) = 1 851.851 m

2.1. Ellipsoïde terrestre

31

6420 6410 6400 6390

Ê

:!S c 0

>, CIl

0::

6380 6370 6360 6350 6340 6330 6320

TERRE

10

0

20

30

40

50

Latitude [N/S]

Cl

60

70

80

90

FIG. 2.2 : Différents rayons relatifs à l'ellipsoïde terrestre : le rayon de courbure dans le plan méridien p, la grande normale N, le rayon de l'ellipsoïde R1j;.

f

~

0.200

e

~

0.600

FIG. 2.3 : Longueur du degré de latitude à la surface de l'ellipsoïde en fonction de la latitude. À des angles égaux correspondent des distances inégales d'autant plus grandes qu'on s'approche des pôles. Écart angulaire de latitude géodésique représenté sur cette figure : 5°.

32

Chapitre 2. Géodésie

Latit.

1 latitude

-----+

1 longitude

Arc

Historique

cp

11LM

11Lp/ cos cp

11Lp

L(cp)

Lh( cp)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

110.574 110.583 110.608 110.649 110.704 110.773 110.852 110.941 111.035 111.132 111.229 111.324 111.412 111.493 111.562 111.618 111.660 111.685 111.694

111.319 111.322 111.331 111.344 111.363 111.386 111.413 111.442 111.474 111.506 111.539 111.570 111.600 111.627 111.650 111.669 111.683 111.691 111.694

111.319 110.899 109.639 107.550 104.647 100.950 96.486 91.288 85.394 78.847 71.696 63.994 55.800 47.176 38.187 28.902 19.393 9.735 0.000

0.000 552.885 1105.855 1658.990 2212.366 2766.054 3320.114 3874.593 4429.529 4984.944 5540.847 6097.230 6654.073 7211.339 7768.981 8326.938 8885.140 9443.509 10001.966

0.000 553.074 1106.223 1659.520 2213.032 2766.823 3320.946 3875.444 4430.349 4985.683 5541.451 6097.648 6654.255 7211.241 7768.561 8326.162 8883.982 9441.951 10000.000

0

0

2.2: Degré en latitude et longitude en fonction de la latitude cp. Ellipsoïde de référence: WGS84. Longueur 11LM, en km, sur le méridien, pour 11cp = 1 degré de latitude; longueur 11Lp, en km, sur le parallèle, pour 11'>- = 1 degré de longitude,. longueur L de l'arc de méridien, en km, à partir de l'équateur. L'arc Lh est noté à titre historique: l'ellipsoïde de référence est celui de Delambre et Méchain ayant servi à l'établissement du mètre étalon. TABLEAU

méridien, d'un arc d'un degré autour d'une valeur centrale de latitude géodésique cp. De même, i1L p est la longueur, sur le parallèle cp, d'un arc d'un degré de longitude. Il est intéressant de comparer i1L p / cos cp avec i1L JI/[.

2.1.6

Longueur d'arc de méridien

Longueur d'arc d'ellipse

Dans le cas général, la longueur de l'arc d'ellipse, que nous désignons par

L( cp), se calcule par une intégrale elliptique incomplète de seconde espèce, voir La seconde d'arc est équivalente à : 1" = 1 mille / 60 = 30.864 m. Avec des nœuds tous les 15.432 mètres (équivalent à 0.5" d'arc) et une mesure du défilement des nœuds pendant 30 secondes de temps (soit 0.5 min), on obtient directement l'expression de la vitesse en milles par heure.

2.1. Ellipsoïde terrestre

33

(1.30). La résolution classique se fait à l'aide de développements utilisant les intégrales de Wallis. Dans le cas d'un aplatissement faible, Levallois remarque que l'intégration directe donne des résultats aussi précis et qui convergent plus vite. Considérons un élément d'arc de méridien dLi\1 :

qu'on développe ainsi (les termes en é et au-delà, négligés ici, contribuent pour moins d'un millimètre dans la longueur de l'arc du méridien terrestre) :

On linéarise les sinus avec la formule de Moivre: 8 sin 4 cp = 3 - 4 cos 2cp + cos 4cp

2 sin 2 cp = 1- cos2cp 32 sin 6 cp

10 - 15 cos 2cp + 6 cos 4cp - cos 6cp

=

On obtient ainsi une expression de dL M qu'on intègre terme à terme entre 0 et la latitude cp :

1:(cp)

Jor

=

(2.22)

dL M

L'arc de méridien 1:( cp) a pour expression: (2.23) avec:

A(cp)

=

3 8

15 4 35 6 A4 e sin4cp - - - A6 e sin6cp 256 3072

Ao cp - - A 2 e sin2cp + 2

et :

3 4

2

45 64

4

175 256

Ao=l+-e +-e + - e

+ -5 e 2 + -175

4

6

7

2

e A4 = 1 + 4: e 128 Le « quart de méridien terrestre», grandeur d'importance historique, représente la longueur d'arc entre l'équateur et le pôle:

A2

= 1

4

1:

("27r) ="27r a (1 -

2

e ) Ao

(2.24)

Avec un développement au second degré en e, on obtient le résultat: (2.25) déjé vu au chapitre 1, avec (1.35). On rappelle que, pour la Terre, e 2 1/150 ~ 6.7 10- 3 et é ~ 1/22500 ~ 4.4 10- 5 .

34

Chapitre 2. Géodésie

Longueur du méridien, longueur de l'équateur La longueur du méridien LM sur un tour complet du globe (de l'ellipsoïde) et celle de l'équateur LP/équat. sont évidemment: LM

=

2 7T a (1 - e 2 ) Ao

LP/équat. =

2 7T a

Les valeurs numériques sont données dans le tableau 2.3. Ellipsoïde

Longueur (m) du méridien

Longueur (m) de l'équateur

Delambre et Méchain (création du mètre)

40000000

40059944

WGS84 (et ellipsoïdes actuels)

40007864

40075016

2.3: Longueur du méridien et longueur de l'équateur. Valeurs historiques (de la définition du mètre) et valeurs actuellement retenues, en mètres.

TABLEAU

2.2 2.2.1

Altitude par rapport à l'ellipsoïde Définition de l'altitude géodésique et du nadir

On considère un point S à une distance T du point 0, centre de l'ellipsoïde, au-dessus de l'ellipsoïde (figure 2.4). Sa longitude est À. Si on repère S avec la latitude géocentrique, 1jJ = (Ox, 08), ses coordonnées cartésiennes sont, comme vu avec (2.1) :

08 =

cos VJ . cos À cos VJ . sin À = Tsin VJ

x = y= Z

T

T

(2.26)

Le point T est l'intersection de OS avec l'ellipsoïde. Si on repère S avec la latitude géodésique, cp = (Ox, IS), ses coordonnées cartésiennes sont, en adaptant (2.13) et en notant N = lS la grande normale:

08 =

x = (N + h) cos cp . cos À Y = (N + h) cos cp . sin À Z = [N (1 - e 2 ) + hl sincp

(2.27)

où h = SN représente l'altitude géodésique ou haute UT ellipsoïdale, c'est-àdire la distance entre le point S et le pied N de la normale à l'ellipsoïde.

2.2. Altitude par rapport à l'ellipsoïde

35

Avec le vocabulaire lié à la mécanique spatiale, S représente le satellite, 0 le centre attractif (centre de la Terre), T est la trace (ou trace géocentrique) et N le nadir 5 (ou trace géodésique, ou point subsatellite).

2.2.2

Latitude liée à l'altitude géodésique

Les angles utilisés dans la détermination de ces grandeurs sont notés dans la figure 2.4. Il faut remarquer que si .1jJ et !.p sont les latitudes relatives au point S, ces angles ne s'appliquent pas au même point à la surface de l'ellipsoïde. On considère le point S parfaitement déterminé dans l'espace par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z) ou, ce qui est équivalent, par ses coordonnées sphériques géocentriques (r,ljJ, À), voir (2.26). Pour ses coordonnées géodésiques (h,!.p, À), seule l'obtention de la longitude est évidente : À =

arctan 1!... x

avec Signe(À) = Signe(y) pour [+E/-W]

(2.28)

Les valeurs de h et !.p, qui, rappelons-le, sont liées, s'obtiennent moins immédiatement. Examinons d'abord la relation entre les latitudes géocentrique et géodésique de S. Les équations (2.26) et (2.27) donnent: r cosljJ = (N + h) cos!.p r sin VJ = [N (1 - e 2 ) + h] sin!.p d'où la relation:

tanljJ N 2 --=l----e tan!.p N +h

ou bien: tan!.p

=

(1 -1 e~ N ) +

/

-1

(2.29)

tan 1/J

(2.30)

Cette relation montre aussitôt les valeurs limites de !.p : - pour h = 0, tan!.p = (1 - e 2)-1 tan 1/J ===} !.p = !.pT - pour h ----) 00, tan!.p = tan VJ ===} !.p = VJ La valeur de la latitude géodésique de S est comprise entre la latitude géodésique de la trace T et sa latitude géocentrique.

2.2.3

Détermination de l'altitude géodésique et du nadir

On peut obtenir h et !.p par méthode itérative, par approximation, ou de manière directe. 5Le nadir est la direction donnée par la verticale, orientée vers le bas. La direction opposée est le zénith. Nadir vient de l'arabe niiçlir, de la racine du verbe « regarder, voir en face ».

36

Chapitre 2. Géodésie

z

s

x

o ~,.

1/

/

/

l'

Symbole

1/J

'PT 1/JN 'P

Latitude

Latitude

Angle

géocentrique de T géodésique de T géocentrique de N géodésique de N

géocentrique de S

1/J

-

géodésique de S

=

(Ox, OS)

'PT = (Ox, l'T) 'ljJN = (Ox, ON) 'P = (Ox,IS)

FIG. 2.4 : Représentation de la latitude géodésique 'P et de la latitude géocentrique 1/J du point S. On a noté le point de trace T et le point de nadir N, ainsi que l'altitude géodésique (ou hauteur ellipsoïdale) SN.

2.2. Altitude par rapport à l'ellipsoïde

Ellipsoïde: a = Re; e 2 = f(2 - 1)

000

o 1

0

020

030

080

o 9

0

37

.4.

.5. .6. .7.

Données: x, y, z ===? P = VX2 Initialisation : 'Pl = 1/) Début de la boucle i = 1, n Ni = a

(1 -

e 2 sin 'Pi) -

P h i = - - - Ni cos 'Pi

'Pi = arctan

Test sur 'Pi Fin de la boucle Résultats

[~

arctan(z/ P)

1

2"

(1 - 1+ ~:/NJ -1] 0

f-----+

+ y2 ; 1/) =

3

0

ou

0

8

0

TABLEAU 2.4: Méthode itérative pour l'obtention de l'altitude h et de la latitude 'P du nadir (point sub-satellite).

Méthode itérative

On désigne par P la projection de OS sur le plan équatorial:

P =

yi x 2 + y2

=

(N + h) cos ip

(2.31 )

d'où l'altitude géodésique h :

P cos ip

h=--N

(2.32)

La projection de OS sur l'axe des pôles Oz est z = P tanljJ, et avec (2.29) on a:

Pz = ( 1 - N N+ h e

2)

tan ip

et donc: (2.33) On procède alors comme indiqué dans le tableau 2.4. La convergence est très rapide : deux ou trois itérations donnent le résultat avec un bonne précision. Méthode par approximation

Dans le triangle ONS (figure 2.4), l'angle en a (égal àljJ-IjJN) et l'angle en 5 (égal à ip - 'ljJ) sont petits - toujours inférieurs à 0.19° pour l'ellipsoïde

38

Chapitre 2. Géodésie

terrestre. Cela permet des approximations trigonométriques qui conduisent aux formules approchées suivantes : cp =

h

(

)

f p vJ + - sin2VJ + -

-=7]-1+ ~

(1 - :Q.4)

f/f/2

sin41jJ

j' 1 - cos21jJ P (1 _ :Q.4) 1 - cos41jJ +4 2 7]

(2.34) (2.35)

en utilisant la distance relative 7] ainsi définie : r 7] = a

(2.36)

où r représente la distance OS et a le demi-grand axe de l'ellipsoïde 6 , ici a = Re.

Méthode directe L'algorithme de Borkowski permet d'obtenir directement les valeurs de cp et h. Il utilise le fait que ce problème se réduit à une équation du 48 degré. Sa résolution, assez difficile, est d'une complexité bien supérieure à celle des deux méthodes vues ci-dessus. Le gain de précision est imperceptible. L'accord entre les trois méthodes est de 10- 4 degré pour le calcul des angles.

Remarques sur l'altitude et la latitude Pour un point S donné, on définit l'écart de latitude 5cp par:

5cp = 5cp(h, VJ) = cp -1jJ

(2.37)

On définit aussi l'écart d'altitude:

5h

=

5h(h, 1jJ)

=

h' - h

(2.38)

où h' = ST est l'altitude géocentrique. La tangente à l'ellipse étant extérieure à l'ellipse, h' est toujours supérieur à h (h est la plus petite distance entre S et l'ellipsoïde). Avec r = OS = OT + TS = R7jJ + h', la distance relative 7] est égale à (R7jJ + h' )/ Re. On en déduit, avec (1.39) :

h'= 7 ] -R7jJ - = (7]-1 ) + f 1 - cos 2VJ +0 (f2) Re Re 2

6n faut

(2.39)

bien noter que TJ = 1 ne correspond à h = 0 que dans le plan équatorial, pour

'1/) = O. Si on applique TJ = 1 avec '1/) = (1T 12) dans (2.35), on obtient (hl Re) = f, soit h

=

Re - RI" L'altitude nulle, h

= 0, aux pôles, correspond à

TJ

= 1 - f.

2.2. Altitude par rapport à l'ellipsoïde

39

(minute d'arc) (km)

(mille marin)

15-,------------------------------------------------~

14

~

13

~

12

rr

g Q)

.Q)

~

1ii ...J

Altitude (km)

a

11

400 800 1250

19 18 17 16 15 14 13 12 11 10

10

Q)

::J

rr

ëil .Q) u 0

.Q) ~

ni

2500 5000

...J

10000

Q)

"c~

20000

.Q)

t:=

ëi

40000 80000 0 10

TERRE

1If ~ 298.257

20

30

40

50

Latitude (degré)

60

70

80

90

----

infini I~tr,)JJ

FIG. 2.5: Représentation graphique de la variation de 6'P = 'P -1/}, différence entre la latitude géodésique 'P et la latitude géocentrique 1j;, pour un point 5 (un satellite 5), en fonction de sa latitude. Chaque courbe correspond à une altitude de 5, notée à droite, en regard de son sommet. La valeur de 6'P est notée en minutes d'angle (ordonnées à gauche) et en kilomètres de distance sur le terrain (à droite). On rappelle: l' de latitude = 1 mille marin de distance. La variable en abscisses a été notée «latitude» car il est illusoire de distinguer les deux latitudes pour cette coordonnée. Pour chaque altitude, le maximum est obtenu pour la latitude de 45°.

En comparant (2.37) et (2.34), puis (2.39) et (2.35), on voit que Oi.p est une quantité petite, proportionnelle à f, alors que oh est une quantité petite, proportionnelle à p. Dans le triangle SNT (figure 2.4), l'arc NT est pratiquement proportionnel à l'ouverture de l'angle en S (égal à Oi.p), donc proportionnel à f, alors que la différence entre les côtés SN et ST dépend, en écrivant les distances, du carré de f. On a représenté (figure 2.5) les variations de l'écart de latitude, Oi.p = oh(h, 'ljJ) en fonction de la latitude (variant de 0° à 90°) et de l'altitude (variant de 0 à l'infini).

40

Chapitre 2. Géodésie

1/)

cpT

(0 )

cp

n

Ibcpl

n

h (km)

hl (km)

bh (km)

L

0.000 14.963 29.957 44.992 59.987 74.905 81.330 -0.022 -81.330

0.000 15.059 30.124 45.185 60.153 75.002 81.387 -0.022 -81.387

0.000 15.048 30.105 45.162 60.134 74.991 81.381 -0.022 -81.381

0.000 0.085 0.148 0.170 0.147 0.086 0.051 0.000 0.051

822.011 823.341 827.187 832.510 837.849 841.777 842.796 822.631 843.647

822.011 823.341 827.190 832.514 837.851 841. 778 842.796 822.631 843.647

0.000 0.000 0.003 0.004 0.002 0.001 0.000 0.000 0.000

M

0.000 14.965 29.874 44.981 55.284 -0.027 -55.284

0.000 15.061 30.040 45.174 55.464 -0.027 -55.464

0.000 14.988 29.914 45.027 55.327 -0.027 -55.327

0.000 0.023 0.040 0.046 0.043 0.000 0.043

20240.459 20235.031 20226.316 20211.941 20184.322 20124.195 20208.988

20240.459 20235.039 20226.338 20211.969 20184.346 20124.195 20209.010

0.000 0.008 0.022 0.027 0.023 0.000 0.023

S.

(0)

2.5 : Calcul de la latitude géodésique cp et de l'altitude géodésique h pour deux satellites (S.), l'un en orbite LEO (L), de type SPOT-5, l'autre en orbite MEO (M), de type Navstar/GPS. Comparaison avec les grandeurs géocentriques1/; et hl. Pour l'ensemble des notations, se reporter à la figure 2.4.

TABLEAU

Exemple 2.2 Calcul des écarts bcp et bh, définis ci-dessus, dans le cas de deux satellites, un en orbite basse (LEOJ et l'autre en orbite moyenne (MEOJ. ~ Pour l'orbite basse (LEO), on choisit le satellite SPOT-5 (altitude moyenne à l'équateur: 822.3 km; inclinaison: i = 98.670°). Les résultats sont donnés pour des latitudes de 15° en 15°, à partir de 0°, la latitude extrême étant 11/;1 = 180° - i = 81.330° . On note les trois angles, 1/; (latitude géocentrique du satellite S), CPT (latitude géodésique de sa trace T), cP (latitude géodésique du nadir N et donc du satellite S), ainsi que la différence Ibcpl. Pour l'altitude, on note h (altitude géodésique) et hl (altitude géocentrique). La quantité bh est au maximum de quelques mètres. On donne les résultats équivalents pour un satellite en orbite moyenne (MEO). On choisit un élément de la constellation N avstar / G PS, le satellite N avstar- 2RM -6 (altitude moyenne à l'équateur: 20182.3 km; inclinaison: i = 55.284°). La latitude extrême est dans ce cas 11/;1 = i = 55.284°. Les résultats sont reportés dans le tableau 2.5. Données techniques sur l'orbite des satellites. Calculs Ixion avec initialisation NORAD. SPOT-5, Révolution 34006, Date 2008-11-24. Navstar-2RM-6 [PRN 07], Révolution 510, Date 2008-11-22 .....

2.3. Aperçu historique

2.3

Aperçu historique

2.3.1

Avant les Lumières

41

Si on appliquait le principe de saint Thomas - je ne crois que ce que je vois - il aurait fallu attendre Gagarine pour entendre dire : «la Terre est ronde ». Heureusement pour l'esprit humain, la nouvelle était connue et vérifiée depuis longtemps, et ce ne sont pas les satellites qui ont permis cette découverte. Mais, comme nous verrons, c'est principalement par les satellites qu'on a pu affiner (avec un degré de précision très poussé) la forme réelle de la Terre (et celle d'autres planètes du Système solaire). La plus ancienne description du monde réel qui nous soit parvenue est celle que fait Homère dans l'Odyssée. L'aède y décrit le voyage retour d'Ulysse, dix ans d'errance en Méditerranée. On peut reconstituer tout ce périple et établir une carte géographique du monde tel qu'il était perçu dans l'Antiquité : un disque plat, entouré d'un fleuve-océan 7 . Plus tard, c'est de Grèce aussi que sont venues les premières théories affirmant la rotondité de la Terre. Des théories philosophiques, avec Aristote, qui comprenait bien que la disparition d'un bateau à l'horizon - d'abord la coque, ensuite la voile - ne peut s'expliquer que si la mer épouse une forme arrondie. Et des théories scientifiques, étayées par les mesures, avec Eratosthène et sa mesure comparée de la culmination solaire à Alexandrie et à Syène. La valeur de la circonférence terrestre, donnée par ce géomètremathématicien-astronome, était très bonne, pour autant qu'on puisse jongler avec les unités de longueur de l'époque. Du point de vue de la géographie, le Moyen Âge est une période obscure, très obscure. La mappemonde de Hereford montre comment, en 1300, la perception du monde n'avait pas beaucoup évolué depuis Homère - seul changement notable, Jérusalem avait remplacé Delphes comme centre du monde. Les cartes dites « TO », pour Termrum Orbis, représentent l'ensemble des terres en forme de T, entouré de l'océan O. Ces mappemondes ne sont le vrai reflet que de l'écrasant obscurantisme qui s'appuyait sur la religion et la servait. Puis la lumière revint. Copernic, d'abord, Kepler et Galilée ensuite. La Terre redevint ronde et perdit sa place au centre de l'Univers.

7 Au centre exact de ce monde circulaire se trouve Delphes et le sanctuaire d'Apollon. Le nom de Delphes, 01 6EÀqJO(, W'I est à rapprocher du mot ~ OEÀtpÛÇ, ûoç, «la matrice, l'utérus ».

42

2.3.2

Chapitre 2. Géodésie

U ne affaire française

À ses débuts, de 1666 (fondation de l'Académie des Sciences, par Colbert, sous Louis XIV) jusqu'aux environs de 1810, la géodésie a été une « affaire française », brillamment développée par la Sçavante Assemblée et son annexe, l'Observatoire de Paris. On peut distinguer trois étapes dans cette histoire féconde - la mesure du rayon terrestre; - la mesure de l'aplatissement terrestre; - la création du mètre. La mesure de la Terre par Picard

L'abbé Picard 8 réalise la première mesure, scientifiquement sérieuse, d'un degré de latitude afin de connaître la rayon de la Terre, qui est supposée être sphérique à l'époque. Il emploie, en utilisant des instruments de précision, la méthode de triangulation 9 inventée par le Hollandais Snellius. Picard mesure (1669-1671) un degré sur le méridien Paris-Amiens (dit méridienne de Paris). Plus précisément, il établit 13 triangles entre Malvoisine (au sud) et Sourdon (au nord), couvrant 1°22', avec pour base 10 Villejuif-Juvisy. Il trouve 57 060 toises pour 1° sur le méridein, ce qui équivaut à 6 372 km pour le rayon de la Terre. C'est d'une précision remarquable, à 0.1% de la valeur exacte. On l'explique par la qualité des mesures mais aussi, en partie, au fait que la région mesurée se situe aux alentours de 50°, latitude pour laquelle le rayon de courbure est pratiquement égal au rayon de la Terre, comme le montre la relation (2.17). 8 Abbé Jean Picard (1620-1683), astronome et géodésien français. Il inventa la lunette de visée avec réticule, qui lui permit de faire des nivellements de grande précision. Ayant déterminé le rayon de la Terre, comme expliqué ci-après (Mesure de la Terre, 1671), il communique aussitôt son résultat à Newton. Celui-ci put ainsi vérifier la relation entre les accélérations et les carrés des distances et affirmer définitivement la théorie de la gravitation uni verselle. Dans un autre domaine, Picard fut le premier à réaliser des mesures systématiques du diamètre du disque solaire, pour en établir les variations et chercher des relations avec les changements climatiques. Sa série de mesures, de 1666 à 1682, fut poursuivie par La Hire, de 1683 à 1718. 90n considère, sur le terrain, aux abords d'une distance rectiligne à mesurer, une chaîne de triangles adjacents. Ces triangles ont pour sommets des clochers, ou d'autres éléments visibles de loin. On mesure les angles de ces triangles, et en connaissant un seul côté, on obtient, par la trigonométrie, la mesure de tous les autre côtés. On a ainsi la distance cherchée. Le côté qui est effectivement mesuré s'appelle la base. 10« Le grand chemin pavé, depuis le moulin de Ville-Juive jusqu'au pavillon de Juvisy, en droite ligne sans aucune inégalité considérable, est propre à servir de base fondamentale à tout cet ouvrage ». La base fut mesurée dans les deux sens, avec grand soin, par arpentage (juxtaposition de toises). De nos jours, cette portion de 11 km de la route D7 (ancienne nationale N7), qui passe sous les pistes de l'aéroport d'Orly, est toujours bien rectiligne, mis à part quelques aménagements urbains ponctuels. Une stèle, dite pyramide, marque les abords de chacune de ses deux extrémités.

2.3. Aperçu historique

43

De la sphère à l'ellipsoïde

En 1672, l'astronome J. Richer est envoyé en Guyane l l . Il constate que l'horloge mécanique qu'il a amenée, et qui était réglée précisément pour « battre la seconde» à l'Observatoire de Paris, retarde de deux minutes par jour (l'expression « battre la seconde» signifie que la période est de 2 secondes). Il attribue ce dérèglement à une diminution de la pesanteur, qui, pour lui, ne peut avoir qu'une explication : l'équateur est plus éloigné du centre de la Terre que Paris. Il suggère donc que la Terre est aplatie. Peu après, Newton et Huygens, indépendamment (en 1687 et 1690), démontrent que si l'intérieur de la Terre est plus ou moins fluide, le mouvement de rotation diurne doit transformer la sphère en un ellipsoïde, aplati selon l'axe des pôles: f = 1/230 pour Newton qui considère un ellipsoïde homogène, f = 1/576 pour Huygens avec une Terre dont la masse est concentrée dans un noyau central. J. D. Cassini 12 avait observé, en 1668, ce phénomène pour Jupiter, qui a un fort aplatissement (j = 1/18) - et il le mesurera plus tard pour Saturne. Pour déterminer l'aplatissement terrestre, l'Académie décide, en 1683, llLe rayon de la Terre étant connu depuis l'année précédente, l'Académie envoie Jean Richer à Cayenne pour observer, de concert avec Picard resté à Paris, la parallaxe de Mars (l'angle sous lequel le diamètre terrestre est vu de Mars). Et de la mesure de cette distance, on peut déduire, par la troisième loi de Kepler, les dimensions des orbites planétaires. Toute l'échelle du Système solaire repose alors sur la base Villejuif-Juvisy! 12Le nom de Cassini apparaît à plusieurs reprises dans ce chapitre. Il s'agit de la célèbre lignée d'astronomes, appelée souvent «dynastie» et dont les membres sont numérotés en chiffres romains, telles des tètes couronnées. - Jean Dominique (né Gian Domenico) Cassini (1625-1712), dit Cassini l, est d'origine italienne (niçoise). Il devint rapidement célèbre pour ses travaux en géodésie et surtout en astronomie, avec son observation très précise des planètes (Mars et Jupiter). Il commença a établir les tables des satellites galiléens de Jupiter, ce qui était un élément primordial pour déterminer les longitudes (les éclipses de ces satellites sont des signaux instantanés pour un observateur terrestre). Ce fut alors le «transfert du siècle» : Louis XIV appela Cassini à Paris en 1669 pour lui confier l'établissement et la responsabilité de l'Observatoire de Paris. En 1679, l'Observatoire fit paraître La Connaissance des Temps, publication toujours vivante, qui fournit la position des corps célestes avec la plus grande précision possible. Cassini poursuivit son travail sur les satellites de Jupiter (ce qui permit à Olaüs Riimer de montrer que la vitesse de la lumière n'était pas infinie) et réalisa les meilleures observations de l'époque sur la Lune et sur Saturne. C'est le Cassini de la division de Cassini dans les anneaux de Saturne et de la sonde Cassini d'exploration de cette planète. - Jacques Cassini (1677-1756), dit Cassini II, fils du précédent. Il poursuivit les mesures géodésiques de son père et de Picard, mais la publication De la grandeur et de la figure de la Terre (1722), où il se trompe dans l'aplatissement de la Terre, lui enleva plus tard du crédit scientifique. C'est le Cassini des Cassiniens contre Newton. - César François Cassini de Thury (1714-1784), dit Cassini III, fils du précédent. Après avoir aidé son père dans les mesures géodésiques, il se consacra à la cartographie. Louis XV, en 1750, lui demanda de réaliser la carte complète du royaume. C'est le Cassini de la projection et de la carte de Cassini. - Jacques Dominique Cassini (1748-1845), dit Cassini IV, fils du précédent. Il acheva l'édition de la carte de France, en 1790. De 1669 à 1793, les Cassini dirigèrent (de fait ou de droit) l'Observatoire, le fils prenant la succession à la mort du père.

44

Chapitre 2. Géodésie

Raflskan Tlf!deakalem/On Qjlel'"110lls Lap/ssQ

SUOM I· FI

Nom du degré Laponie Paris Pérou Le Cap

LA D 1,60

Latit. cp (0 ')

i1L lvI (toises)

i1LlvI (km)

57438 57074 56746 57037

111.949 111.239 110.600 111.167

+ 66° + 49°

20' 29' - 01° 30' - 33° 18'

2.6: Résultat de la mesure du degré de latitude i1LlvI, entre 1736 et 1754, en fonction de la latitude moyenne cp, en degré {+N/-Sj. On donne la valeur de i1LlvI en toises et la valeur moderne équivalente en kilomètres. TABLEAU

de prolonger la méridienne de Picard, au nord jusqu'à Dunkerque, au sud jusqu'à Collioure - toute l'étendue de la France. Les travaux se déroulent de 1700 à 1718, sous la conduite de J. Cassini, Maraldi et La Hire. Les mesures conduisent à un degré de latitude plus grand au sud qu'au nord, ce qui indique un ellipsoïde allongé selon l'axe des pôles, avec f = -1/95 (f est négatif si b > a), comme le montre la figure 2.3 en contre-exemple. Commence alors, pour une vingtaine d'années, la bataille entre Cassiniens et Newtoniens! La Terre: pomme 13 ou citron? Entre le nord et le sud de la France, la variation de latitude n'est pas assez grande pour obtenir un résultat sûr. Sur l'avis de l'Académie des Sciences, le comte de Maurepas, ministre de la Marine, envoie deux expéditions aux deux extrémités géodésiques du monde, l'une polaire, l'autre équinoxiale: - P. 1. M. de Maupertuis 14 , A. C. Clairaut et A. Celsius mesurent le degré de Laponie (aux confins de la Suède et de la Finlande), en 1736 et 1737; - L. Godin, C. M. de la Condamine et L. Bouguer mesurent le degré du Pérou 13L'expression traditionnelle, quand on veut illustrer ce propos, est «La Terre: mandarine ou citron? ». Elle nous semble apocryphe, car le terme « mandarine» n'apparaît en français qu'en 1773. 14 Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759), physicien français, dirigea l'expédition de Laponie. Cela lui valut, à son retour, ces deux vers de la part de Voltaire: Vous allâtes vérifier en ces lieux pleins d'ennui Ce que Newton connut sans sortir de chez lui. Sans qu'il faille y chercher un rapport avec cette dédicace ironique, Maupertuis rédigea ensuite, en 1744, le célèbre Principe de moindre action.

2.3. Aperçu historique

45

(aujourd'hui cette région est en Équateur), dans des conditions très difficiles et éprouvantes, de 1736 à 1744. Pendant ce temps, en 1739 et 1740, Cassini de Thury et l'abbé La Caille reprennent la méridienne de Picard. Puis, de 1750 à 1754, La Caille réside au Cap de Bonne-Espérance et mesure un degré dans l'hémisphère Sud. Évaluons l'aplatissement à partir de ces résultats, notés dans le tableau 2.6. Le rapport de deux rayons de courbure, Pl en 'Pl et P2 en 'P2, donne avec la relation (2.14) : 3

Pl = [1 - e 2 sin 2 'P2] P2 1 - e 2 sin 2 'Pl

2"

Avec un développement au premier ordre en e 2 , on obtient: Pl 3 2 = 1 - - e (COS2'PI - COS2'P2) P2 4

-

Le rapport des rayons de courbure étant équivalent au rapport des mesures fJ.L M pour 10 et e 2 étant pratiquement égal à 2J, on a :

J=

~ 1 - (fJ.L1I/Il / fJ.L A12 ) 3 cos 2'PI - cos 2'P2

(2.40)

Calculons l'aplatissement à partir des mesures du Pérou (fJ.L MI , 'Pl) et de Paris (fJ.L M2 , 'P2) : fJ.L MI = 0.99425 fJ.L M2 ===}

cos 2'PI - cos 2'P2 = l.15506

. 2 5.476910- 3 -3 1 j ="3 l.15506 = 3.31696 10 = 301

La mesure de l'arc du Cap n'est pas conservée car sa valeur a été surévaluée, la verticale étant faussée par la présence de montagnes voisines. Le calcul de J avec le degré de Laponie donne des résultats trop différents (f = 1/123 et J = 1/207) pour être acceptés par la communauté scientifique, à tel point que l'Académie suédoise décide, en 1801, une nouvelle expédition en Laponie (qui donnera fJ.L M = 57 196 toises, soit 0.42% de moins que la première mesure). La méthode de calcul de J par (2.40) est extrêmement sensible à la précision des mesures. En supposant les latitudes 'Pl et 'P2 connues avec certitude et le degré à Paris fJ.L M2 mesuré exactement, une erreur relative de 0.1 % sur le degré du Pérou fJ.L MI (soit une erreur de 57 toises par degré) implique une erreur de 17.3% sur J. On obtient les résultats suivants: avec fJ.L MI = 56 803 toises, 1/ J = 364.6 et avec fJ.L ltH = 56 689 toises, 1/ J = 257.0. Grâce à cette activité de pointe en géodésie, la France fut le premier pays du monde à réaliser une carte l5 très précise de son territoire, dite carte de Cassini. 15Cette carte, déjà évoquée un peu plus haut, est à l'échelle de 1/86400 (une ligne pour

46

Chapitre 2. Géodésie

La création du mètre

« À tous les temps, à tous les peuples» : bien dans l'esprit d'universalité qui caractérise cette époque bouleversée, la Révolution française veut offrir à l'Humanité un système d'unités unique et cohérent.

La longueur du pendule qui bat la seconde n'étant pas indépendante de la latitude 16 , l'Assemblée décide, le 30 mars 1791, que l'unité de longueur sera la dix-millionnième partie du quart de méridien terrestre, sur proposition de la commision constituée de Borda, Lagrange, Laplace, Monge et Condorcet. Les astromones Delambre et Méchain sont chargés de la mesure précise de l'arc de méridien Dunkerque-Barcelone, villes distantes de « 9 degrés 2 tiers» sur le méridien de Paris, et toutes deux au bord de la mer. La triangulation s'opéra 17 de juin 1792 à fin 1798 18 , avec 115 triangles et deux bases, celle de Melun (de Lieusaint à Melun) et celle de Perpignan (de Salses à Vernet). 100 toises). Elle comporte 182 planches, pour couvrir tout le royaume. Cassini de Thury utilisa une projection originale, dite projection de Cassini, en traçant des perpendiculaires au méridien de Paris. Ces perpendiculaires ne sont pas des parallèles (lieu des points à latitude constante) mais des grands cercles (pour la Terre sphérique). La perpendiculaire passant par l'Observatoire de Paris va de Granville à Strasbourg. Cette projection est l'aspect transverse de la projection dite « plate-carrée». 16La période T du pendule de longueur l, dans un champ de pesanteur g, est donnée par la relation T = 2 ;r,jff9, en unités SI. Avec T = 2 secondes, on obtient numériquement: l = gj;r2. En fonction de la variation de 9 entre l'équateur et le pôle, l varie de 0.991 m à 0.996 m. On remarque que le mètre a été choisi proche de la longueur de ce pendule, alors qu'un mètre double aurait été proche de la toise. 17Les angles étaient mesurés avec une précision de 1" d'arc, par la méthode du cercle répétiteur de Borda (instruments de Lenoir). 18L'époque n'était pas propice à ce genre d'expédition. Amener des instruments bizarres et encombrants dans les clochers d'églises ou sur les tours de châteaux intriguait beaucoup les populations locales. Il y eut de très nombreux incidents (bris de matériel, arrestation des géomètres, etc.).

2.3. Aperçu historique

47

Le résultat est proclamé en juin 1799. Le quart de méridien, calculé d'après ces mesures, donne: f2

(~)

=

5 130740 toises

qui est donc égal, par définition de la nouvelle unité de mesure, à : f2

(~)

=

10000000 mètres

Le taux de conversion officiel est ainsi fixé à : 1 toise du Châtelet = 1.949 036 3 mètre La loi instaurant le mètre 19 est signée le 10 décembre 1799 (19 frimaire An VIII). En utilisant l'ellipsoïde de Delambre et Méchain (a = 6 375.738 m; 1/ f = 334) qui donne cette valeur de définition pour f2( 7r /2), nous avons noté, dans le tableau 2.2, dernière colonne, les valeurs de l'arc de méridien en fonction de la latitude. On peut ainsi comparer avec les valeurs actuellement retenues. L'erreur relative de Delambre et Méchain, qui est de 0.02%, montre la grande qualité de ces mesures 20 .

2.3.3

La géodésie dynamique

La géodésie moderne commence avec Clairaut. Avec Théorie de la figure de la Terre, tirée des principes de l'hydrostatique (1743), il pose les bases 19Devant le retard pris dans les mesures, un mètre provisoire avait été instauré le 1 er août 1793. Avec le mètre provisoire, on obtiendrait: L("Ir /2) = 5 130 430 toises. 20 Après avoir été déterminé par rapport à l'ellipsoïde terrestre, le mètre a été ensuite fixé par la Conférence Générale des Poids et Mesures (CGPM). En 1889 (Fe CGPM), le mètre a été défini par le prototype déposé aux Archives de France. En 1960 (lIe CGPM), il l'est d'après la longueur d'onde d'une radiation émise par le krypton 86. Depuis 1983 (17 e CGPM), le mètre est défini par rapport à la vitesse de la lumière (voir chapitre 6, annexe Constantes astronomiques).

48

Chapitre 2. Géodésie

de la géodésie dynamique: la mesure de la pesanteur doit servir, comme la mesure des degrés de latitude, à déterminer la forme de l'ellipsoïde. La forme de la Terre dépend de sa vitesse de rotation selon l'axe des pôles et de la répartition des masses intérieures. Lagrange invente la notion de potentiel et ne se satisfait plus de définir l'ellipsoïde terrestre par son aplatissement. Il développe, en 1810, le potentiel gravitationnel de la Terre en harmoniques sphériques et les coefficients de ce développement représentent au mieux les imperfections de forme de la sphère. La notion de «figure de la Terre» est alors remplacée par celle de « géoïde», qui représente la surface équipotentielle épousant le niveau moyen des océans. Le 4 octobre 1957, la mise en orbite de Spoutnik-1 marque le début de la géodésie spatiale.

Chapitre 3

Géopotentiel 3.1 3.1.1

Notions préliminaires Référentiels d'étude

Considérons un repère centré sur le Soleil et dont les axes visent des étoiles lointaines (fixes). Ce repère joue le rôle d'une référentiel de Copernic (ou référentiel copernicien), noté iRa. Tout référentiel iR 1 en translation linéaire et uniforme par rapport à iRa est un référentiel de Galilée (ou référentiel galiléen). Dans un tel référentiel, l'expérience montre que la loi fondamentale de la mécanique de Newton 1 est parfaitement vérifiée:

F

=

d(rnv) dt

(3.1)

où F représente la force appliquée au corps de masse rn et (d v/dt) son accélération. Considérons un référentieliR avec pour origine le centre de la Terre et dont les axes sont parallèles à ceux d'un référentiel iR 1 . Ce référentiel iR n'est pas stricto sensu galiléen, car le mouvement de révolution de la Terre autour du Soleil n'est ni linéaire ni uniforme. Cependant ce mouvement est lent (un tour 1 Isaac Newton (1643-1727), mathématicien, physicien et astronome anglais. Il énonça en 1687 dans Philosophœ Naturalis Principia Mathematica les trois lois de la mécanique: (1) le principe d'inertie, (2) le principe fondamental de la dynamique - dans un référentiel galiléen, la force est égale au produit de la masse (inerte) par l'accélération, (3) le principe de l'action et de la réaction. On peut montrer que (1) est un cas particulier de (2) et que (3) peut se déduire de (2). La relation fondamentale (2) n'est pas exprimée tout à fait de cette manière par Newton. Combinée à la loi des ellipses de Kepler, cette relation permet d'établir la loi de l'attraction universelle. L'œuvre de Newton domine le XVIIIe siècle, en mathématiques (analyse, résolution d'équations, ... ), en physique, en particulier en optique (publication de son ouvrage Opticks). Remarque biographique pour la date de naissance : le 25 décembre 1642 du calendrier julien, alors encore en vigueur en Angleterre, correspond au 4 janvier 1643 du calendrier grégorien.

M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

50

Chapitre 3. Géopotentiel

en un an) et surtout il est parfaitement connu: on peut calculer sans problème l'accélération d'entraînement induite. Ce référentiel 1R, pseudo-galiléen, sera par la suite considéré comme le référentiel galiléen lié à la Terre. Nous utiliserons principalement, dans ce travail, deux référentiels, les deux ayant pour origine le centre de la Terre : - 1R galiléen (pseudo-galiléen), lié au trièdre orthonormé (0 ; Xc, Ye, ze), Oze étant l'axe des pôles et Oxe pointant une direction fixe dans l'espace (une étoile lointaine) ; - 1RT terrestre (non galiléen), nécessaire au repérage des points sur Terre, lié au trièdre orthonormé (0 ; XT, YT, ZT), 0 ZT = Oze étant l'axe des pôles et OXT étant lié à la rotation terrestre en restant fixe dans le méridien origine (méridien de Greenwich).

3.1.2

Rappels sur le travail et le potentiel

Travail, champ de forces, potentiel

On appelle travail élémentaire d'une force, représentée par un vecteur F, appliquée à un point NI, la grandeur scalaire : dW = F· dl le vecteur dl représentant le déplacement élémentaire de l'vI à l'vI'. Dans un repère orthonormé, avec F(X, Y,Z) et dl(dx,dy,dz), le produit scalaire donne : dW = Xdx + Ydy + Zdz Le travail total, lorsque le point d'application de la force va de A à B est:

W=

lB

F·dl

On dit qu'un point NI est soumis à un champ de forces si, dans tout son domaine d'application, on peut associer une force F(X, Y, Z) à chaque position du point M(x, y, z). S'il existe une fonction V(x, y, z) telle que les composantes de la force F(X, Y, Z) soient:

X=

av

ax

Y=

av

ay

Z=

av

az

dans tout l'espace de définition, on dit que le champ dépend (ou dérive) d'un potentiel. Dans ce cas, la force est dite conservative. En utilisant l'opérateur vectoriel gradient, noté gr ad (défini par dV = grad V . dl), on peut écrire dans ce cas : F= grad V

3.1. Notions préliminaires

et dW devient:

dW

=

51

grad V . dl

ce qui représente la différentielle totale exacte de dV :

dW=dV En intégrant entre les points A et B :

lB

dW = W: = V(B) - V(A)

Cela montre que le travail effectué de A à B, noté W:, ne dépend que des valeurs de V prises aux points A et B (et pas des valeurs intermédiaires, celles du chemin suivi). La fonction V n'est définie qu'à une constante additive près. Surface équipotentielle

On appelle surface équipotentielle la surface définie par:

V(x, y, z)

=

constante

On note les propriétés suivantes : - le déplacement sur une surface équipotentielle produit un travail nul, ce qui montre que la composante de la force selon la surface est nulle; la surface équipotentielle est une surface d'équilibre; - pour la même raison (à savoir F· dl = 0) la force est normale à la surface équipotentielle; - deux surfaces équipotentielles n'ont pas de point commun (sinon on pourrait effectuer un travail sans jamais quitter une des surfaces équipotentielles). Énergie potentielle

La fonction énergie potentielle, notée U, est définie à partir du travail d'une force conservative, lors du déplacement d'un mobile ponctuel, par la relation:

lB

dW = W: = U(A) - U(B)

On a donc simplement U = - V et la relation avec Fest:

F= -gradU

(3.2)

Cette écriture de l'énergie potentielle permet de définir l'énergie mécanique E comme la somme de l'énergie potentielle U et de l'énergie cinétique T. En effet, en écrivant dW de deux manières différentes: dW

-dU

dW

F· dl = rn -dv . dl = d dt

(1 2) = - rnv 2

dT

52

Chapitre 3. Géopotentiel

on obtient dU + dT = O. Pour un système isolé soumis à une force cons ervat ive , on établit ainsi la conservation de l'énergie mécanique: [; =

T

+U

=

constante

(3.3)

On pose habituellement U( 00) = O. Lorsque [; n'est pas constant, l'énergie étant dissipée, on dit que la force est dissipative.

3.2 3.2.1

Champ et potentiel de gravitation Gravitation

La loi de la gravitation, ou de l'attraction universelle, établie par Newton, indique que deux corps ponctuels, A et B, de masses respectives NI et m, exercent l'un sur l'autre une attraction proportionnelle à leur masse et inversement proportionnelle au carré de leur distance : (3.4) en notant par fA--;B la force exercée par A sur B et avec AB = r = r er . La valeur de Q, constante de la gravitation universelle, n'est pas directement utilisée en mécanique spatiale. On utilise la constante d'attraction centrale, notée IL, qui est le produit de Q par la masse du corps attracteur :

(3.5)

tt=QM

La relation (3.4) est symétrique. Si on veut différencier le rôle de l'un des deux corps, on peut écrire que le corps A, par exemple, crée un champ gravitationnel auquel est soumis le corps B. Ce champ g est tel que :

soit, en utilisant IL :

(3.6) Il existe une fonction U telle que : F

=

-grad U

au ar

= --

er

qu'on obtient en intégrant selon r :

U = - /

F· dr= -m

~

On introduit la grandeur U = -Ulm.

avec U(oo) = 0

(3.7)

3.2. Champ et potentiel de gravitation

53

En résumé, U est l'énergie potentielle de la masse rn plongée dans ce champ de forces (champ gravitationnel); U est le potentiel gravitationnel créé par la masse NI à la distance r : (3.8) En astronomie et en géodésie, le potentiel U est ainsi défini afin que le terme principal du potentiel, (p,jr), soit positif - voir plus loin la relation (3.28).

3.2.2

Théorème de Gauss

Dans le paragraphe précédent, on a calculé le champ et le potentiel gravitationnel créé par un corps ponctuel, de masse NI, situé en A, agissant sur un point B, de masse rn. Pour une distribution continue de masse, il faudra effectuer une intégration pour obtenir la force exercée sur B. Pour une configuration à définir, le théorème de Gauss permet d'éviter l'intégration et fournit directement le résultat. Démonstration du théorème de Gauss

La démonstration du théorème de Gauss 2 peut se faire de diverses manières. Nous utilisons ici la méthode basée sur la notion d'angle solide. On considère une surface fermée S, délimitant un volume T. On peut donc définir un intérieur et un extérieur. On considère un élément de surface dS, et sa normale unitaire n orientée de l'intérieur vers l'extérieur. Le flux élémentaire d'un vecteur g quelconque est par définition d = g. dB

avec

dB = dS n

Le flux sortant à travers toute la surface S est

l'intégrale portant sur toute la surface fermée S. 2 Carl Fiedrich GaufJ (1777-1855), astronome, mathématicien et physicien allemand. Astronome précoce et surdoué, il imagine une méthode de calcul des éléments orbitaux des planètes (voir note Piazzi), puis développe de puissantes théories et outils pour la mécanique céleste, comme la théorie des moindres carrés, dans Theoria motus corporum coelestium (1809). En mathématiques, il invente les congruences (modulo), étudie les formes quadratiques, la théorie des erreurs (courbe en cloche, 1821), les polygones réguliers, les représentations conformes, la trigonométrie sphérique, la courbure des surfaces (1827). En géodésie, il révolutionne le domaine en inventant de nouvelles et puissantes méthodes. De plus, il se frotte à la réalité du terrain (établissement du cadastre de la région de Hanovre, 1817-1821). En physique, il effectue des travaux fondamentaux en magnétisme (Allgemeine Theorie des Erdgeomagnetismus, 1839), électricité (théorème de Gauss), optique (conditions de Gauss). Ses contemporains l'avaient nommé « prince des mathématiciens». Mais qui eût été le roi?

54

Chapitre 3. Géopotentiel

On considère une surface S entourant une distribution de masses : les divers points Ai sont affectés chacun d'une masse NIi . Le champ créé par chaque masse NIi en un point B est :

Le flux sortant de S est, en appelant P un point décrivant la surface S :

Or:

n . Ai P dS = dS cos ai = dE = d!?i

AiP3

Ai P2

AiP2

en notant ai l'angle entre la normale et AiP, dE la projection de dS sur le plan perpendiculaire à AiP, La quantité d!?i est alors l'angle solide élémentaire, représenté par le cône élémentaire, de sommet Ai et s'appuyant sur l'élément de surface dS (ou dE, ce qui revient au même). L'intégration de d!?i est indépendante de la surface S. Prenons alors une sphère de centre Ai, de rayon R. On obtient:

Par contre, une masse extérieure (Ai à l'extérieur de S) crée un champ dont le flux à travers S sera nul. En effet, un cône de sommet Ai s'appuyant sur une surface dS détermine deux flux élémentaires opposés, dont la contribution est nulle (dq) est une valeur algébrique dont le signe dépend du produit scalaire) . Finalement, en notant NIint = Lint NIi la somme des masses intérieures à la surface S considérée, le flux sortant de S est : q) = -47T QLMi int

et le théorème de Gauss s'écrit:

1 g. Ys

dB =

-47T

QMint

(3.9)

Avec une distribution continue de masses et en notant p la masse volumique en un point donné, ]vlint se calcule par : M int

=

JJj~ p(r) dT

l'intégrale triple étant étendue à tout le volule V.

3.2. Champ et potentiel de gravitation

55

Calcul de champ par le théorème de Gauss

Si la masse volumique ne dépend que de r (module de r), c'est-à-dire si la répartition de masse présente une symétrie sphérique, le champ créé sera à symétrie sphérique: r g(r) = Ilg(r) Il r Son flux est dans ce cas facile à calculer. On choisit comme surface Sune sphère de rayon r contenant toute la masse lvIint . D'après les propriétés de symétrie, le champ g est orthogonal en tout point de S. On obtient (r est constant sur toute la surface S) : c[J=

j

ls

g. dS=

j Ilg(r)11 '!:. ndS= Ilg(r)11 j

ls

r

ls

dS=47T

Ilg(r)11

r2

L'application du théorème de Gauss (3.9) donne:

d'où l'expression du champ gravitationnel g : (3.10)

On obtient donc le résultat très important suivant: le champ créé par une distribution de masse à symétrie sphérique est identique à celui qui serait créé par une masse ponctuelle de même valeur située au centre de la distribution sphérique. Cette propriété découle du fait que les forces en jeu sont centrales et en r- 2 . Champ de gravitation terrestre

Si on considère que la Terre est sphérique et que sa masse volumique est uniquement fonction de la distance au centre 0, pour un point à l'extérieur (ou à la surface) de la Terre, le champ créé en un point à distance r de 0 est: avec J.L = gM (3.11) où l'vI est la masse totale de la Terre. Dans ce cas, J.L est appelé constante d'attraction géocentrique.

3.2.3

Gravité et pesanteur

Si on considère donc que la Terre est à symétrie sphérique et que, de plus, elle est immobile (par rapport à un référentiel galiléen), alors les surfaces équipotentielles sont des sphères concentriques. Mais, comme disait Galilée, elle tourne! Un point soumis à la force de gravitation est également soumis à une force d'entraînement (par rapport

56

Chapitre 3. Géopotentiel

à un référentiel non galiléen, lié à la Terre). C'est ainsi qu'au cours de sa formation, la Terre s'est transformée, s'est aplatie. Son enveloppe extérieure est une surface équipotentielle: ses points y sont à l'équilibre. La surface des océans (en enlevant marées, courants, vents, etc.) est une bonne image de cette surface équipotentielle 3 , prise généralement comme origine des altitudes. Ce géoïde se prolonge naturellement sous les continents. La surface d'un lac au repos4 représente aussi une surface équipotentielle, à une autre altitude et le fil à plomb, qui définit la verticale en un lieu, est exactement perpendiculaire à cette surface. Sur cette surface, le potentiel U est constant. Mais, répétons-le, sur cette surface d'équilibre, le champ de gravitation ne l'est pas. Le champ gravitationnel est plus fort aux pôles qu'à l'équateur (puisque Rp < Re) et l'accélération d'entraînement est nulle aux pôles et maximale à l'équateur. Nous allons calculer le potentiel de gravitation créé par une planète aplatie, puis le potentiel de pesanteur, qui tient compte de la rotation de la planète. En intégrant ce potentiel, on obtiendra la valeur de la pesanteur en fonction de la latitude. Maupertuis est le premier à avoir fait une claire distinction de vocabulaire entre gravité et pesanteur 5 , distinction qui fut ensuite reprise par D' Alembert 6 et Clairaut 7 . La gravité est la somme des actions attractives qui agissent sur une masse, par le phénomène de gravitation universelle. La pesanteur est la résultante de la gravité et de l'action de l'accélération d'entraînement due à la rotation terrestre. En d'autres termes, la gravité est le champ mesuré dans le référentiel ~ et la pesanteur le champ mesuré dans le référentiel ~T. Tout corps sur Terre est soumis à la pesanteur, un satellite en orbite autour de la Terre est soumis à la gravité. 3Mac Laurin a montré, en 1742, que l'ellipsoïde de révolution, tournant selon son petitaxe, était la seule figure répondant à la question. Plus tard, Poincaré a montré que si la rotation est beaucoup plus rapide, il y a d'autres cas possibles - mais cela ne concerne pas les planètes. 4L'eau y est en équilibre: il n'y a aucune raison qu'elle s'écoule de droite à gauche ... ou de gauche à droite! 5La distinction entre les noms gravité et pesanteur est tout à fait conventionnelle et ne s'appuie pas sur l'étymologie. Gravité vient du latin gravis, «lourd, qui a du poids», pesanteur est relatif « à ce qui pèse, qui a du poids ». 6 Jean le Rond d'Alembert (1717-1783), mathématicien, physicien et philosophe français. Il publia Recherche sur la précession des équinoxes et sur la nutation de l'axe de la Terre dans le système newtonien, en 1749. Il avait, en 1743, énoncé le principe qui porte son nom, dans son Traité de dynamique. Il fut, avec Diderot, un des auteurs de l'Encyclopédie. 7« Je fais ici la même distinction que M. de Maupertuis (La Figure de la Terre déterminée, etc.) entre pesanteur et gravité; j'entends par pesanteur, la force naturelle avec laquelle tout corps tombe, et j'appelle gravité la force avec laquelle le corps tomberait, si la rotation de la Terre n'altérait pas son effet et sa direction. » Clairaut, dans l'introduction de Théorie de la Figure de la Terre.

3.3. Calcul du géopotentiel

57

~~--~------------------~y

x FIG. 3.1 : Schéma explicatif de l'obtention, par intégration, du potentiel gravitation-

nel au point S. Le volume élémentaire, de masse d~1, entourant le point T, décrit tout le volume de la Terre. Il crée le potentiel gravitationnel dU en S. Les notations des distances sont: r = OS, P = OT, D = TS.

3.3

Calcul du géopotentiel

3.3.1

Détermination du potentiel élémentaire

La variation dans le temps de la répartition des masses terrestres (due aux marées terrestres et océaniques, et à des phénomènes liés à la géophysique interne) et la variation de direction de l'axe de rotation de la Terre (mouvement des pôles) ne sont pas prises en compte ici. On considère la valeur moyenne de ces diverses grandeurs (sur une période donnée) et on calcule le potentiel terrestre statique, créé par une répartition fixe des masses terrestres (figure 3.1). Soit 0 le centre de la Terre et (0; x, y, z) un repère lié à la Terre, comme !RT , OZ étant l'axe des pôles et (xOy) le plan équatorial. Soit S un point à l'extérieur de la Terre (le satellite). Il est repéré par ses trois coordonnées sphériques T, À, 1jJ, voir (2.26). Les angles À et 1jJ représentent la longitude et la latitude géocentrique du point S. Soit T un point à l'intérieur de la Terre. Il est repéré de même par ses trois coordonnées sphériques p, a, {J, en notant p le module de OT, a la longitude et {J la latitude géocentrique. On a les relations classiques donnant les valeurs des composantes en coordonnées cartésiennes :

os T

On note

cos VJ· cos À cos VJ· sin À sin 1jJ

OT P

cos{J· cosa cos{J· sin a sin {J

e l'angle que font les deux rayons vecteurs: e = (OS, OT)

et qui permet d'exprimer la distance D entre les deux points S et T :

(3.12)

58

Chapitre 3. Géopotentiel 1

D = D(T, S) = r [1 _

2~ cos e + (~) 2] ']

Le produit scalaire OS· DT donne la relation: cos e = sin 1/! . sin,6 + cosljJ . cos,6 . cos (À - a) Le potentiel élémentaire dU, créé en S par la masse élémentaire d1Vl, situé en T à la distance D de S, est donné, à partir de (3.8), par: dU

3.3.2

dtt D

=

=

ç dM

(3.13)

D

Obtention du potentiel par intégration

Le potentiel cherché, noté U, est obtenu par sommation de tous les potentiels élémentaires produits par les masses élémentaires. La masse élémentaire dJ\lI est affectée au point T qui décrit toute la Terre : U

r

= U(S) =

JTerre

dU

=ç

r

JTETerre

dM(T) D(T, S)

(3.14)

L'expression de D intervenant dans le calcul du potentiel est, en fonction de

e, donnée par :

1

1

1

--r=============

D

r

V11 -

(P)2 2 -;: cos e + -;: p

(3.15)

Cette expression admet un développement en polynômes de Legendre (voir, en fin chapitre, l'annexe Rappels sur les fonctions de Legendre) qui converge si (p/r) < 1. Le calcul est donc valable si S reste strictement à l'extérieur de la sphère contenant toutes les masses. On peut donc écrire, les polynômes de Legendre étant notés Pl -

1

D

=

P L (-) r r 1

00

-

1

Pz(cose)

(3.16)

1=0

On remplace cos e par sa valeur en fonction des coordonnées sphériques, les angles À,IjJ, a,,6, ou plus précisémentljJ,,6, (À - a) et on utilise la formule d'addition de Legendre:

Pl(cose)

Pl (sin 1/!) . Pz (sin,6)

+2

L I

m=l

(l- m)! (

),Pzm(sin1jJ)' Plm (sin,6)· cosm(À - a) l+m.

où Pzm représentent les fonctions de Legendre. On obtient ainsi (1/ D) en fonction des six coordonnées sphériques. On porte cette expression dans (3.16)

3.3. Calcul du géopotentiel

puis dans (3.14). Le rayon équatorial de la Terre, Re obtient:

U(r, À, 1jJ)

=

Q { ({ dM(p, a, (3) J p JexJ(3 D(r,À,IjJ,p,a,(3)

=

Q -:;: Jp=o Jex=o

{R {2n (~

1

00

J(3=-~ ~ (~)

l{

=

59

a, est ici noté R. On

Pz (sin 1jJ) . Pz (sin (3)

~ (1 - m)!

+ 2 ~ (1 m=l

+ rn

),Pzm(sin1jJ). cosmÀ· Plm (sin(3)· cosma .

+2 ~ ~

(1- m)! } ( ),Pzm(sin1jJ). sinmÀ· Pzm(sin(3)· sin ma dM 1 + m . m=l

On obtient finalement l'expression de U à l'aide des fonctions de Legendre Pl m et des coefficients Cl m et Sim sous la forme:

U(r, À, 1jJ) = avec IL

=

~ ~ (~y {t~ [Cl m cosmÀ + Sim sin mÀ] Plm(SinljJ)} (3.17)

QivI, ivI étant la masse de la Terre,

C lm et Sim étant les coefficients harmoniques du potentiel terrestre de degré 1 et d'ordre m. Dans l'expression (3.17), les termes pour m = 0 sont relatifs au polynôme de Legendre Pl et la sommation de m = 1 à m = 1 est relative aux fonctions de Legendre Pzm. Les coefficients Cl m et Sim sont obtenus par identification des deux formules donnant U. On distingue deux cas, selon que m est nul ou pas: - coefficients harmoniques (pour m = 0), CiO et SiO 1

{R {2n

{~

CiO

M RI Jp=o } ex=O } (3=- ~ pl Pz (sin (3) dM(p, a, (3)

(3.18)

SiO

o

(3.19)

Les coefficients SiO sont toujours nuls. - coefficients harmoniques (pour m of. 0), C lm et Sim

{1

2 (1 - m)! {l ( ) MRI (l+m)! J p exJ(3pPzm sin(3 cosmadM

(3.20)

2 (1 - m)! (1 ), J'l/IR +m.

(3.21)

-,-1

j·l j. p

ex (3

1

••

,

p Pzm (S111 (3) S111 ma dM

60

Chapitre 3. Géopotentiel

La fonction U(r-, À,I/J), qui représente le potentiel gravitationnel de la Terre, est appelée géopotentiel.

3.3.3

Harmoniques sphériques

Le potentiel U apparaît comme une combinaison linéaire des fonctions sphériques Fl m et Gl m définies par: Flm(À,I/J)

cos rnÀ . Pzm (sin 1/J)

Glm (À,1/J)

sin rnÀ . Plm (sin 1/J)

qu'on peut considérer comme les parties réelle et imaginaire des fonctions Hlm, appelées har-moniques sphér-iques :

Ces fonctions possèdent de nombreuses propriétés mathématiques (comme l'orthogonalité) dont l'étude est très développée dans la littérature. Elles servent aussi, dans le cas qui nous intéresse, à représenter graphiquement la décomposition du potentiel terrestre. On peut se faire une idée des variations des fonctions sphériques en traçant sur la sphère le lieu où ces fonctions s'annulent. Pour cela, on distingue trois types d'harmoniques sphériques, les har-moniques zonaux, sector-iels et tessémux. (a) Har-moniques zonaux Ils sont obtenus pour rn = O. Dans ce cas: FlO = PlO (sin 1/J) =

Pz (sin 1/J)

G lO

= 0

HlO =

Pz (sin 1/J )

Donc H lO (À,1/J) = H lO (1/J) ne dépend que de la latitude. Les harmoniques zonaux ont une symétrie de révolution autour de l'axe des pôles. Ils rendent compte, en particulier, de l'aplatissement de la Terre. Ils découpent la Terre selon des parallèles géographiques. (b) H ar-moniques sector-iels Ils sont obtenus pour rn = l. Dans ce cas : Pl m (sin 1/J)

=

Pzl (sin 1/J)

=

(21)! 2 1 ----;:-1' (cos 1/J) '2 2 .

et cette fonction de 1/J ne s'annule pas (sauf aux pôles). Donc Hll ne s'annule que pour certaines valeurs de À. Les harmoniques sectoriels ne s'annulent que sur les méridiens géographiques (on donne généralement l'image de la sphère ressemblant à une orange découpée en quartiers se rejoignant aux pôles). (c) H ar-moniques tessémux Ils sont obtenus pour tous les autres cas. Les harmoniques s'annulent selon une sorte de damier sphérique dont les cases seraient délimitées par les méridiens et les parallèles.

3.3. Calcul du géopotentiel

61

Coefficients normalisés

Les modèles de géopotentiel donnent préférentiellement les résultats avec des coefficients Ctm dits coefficients normalisés, les coefficients C1m utilisés ci-dessus étant alors dits coefficients dénormalisés. La relation entre Ctm et Cl m est donnée par :

(l+rn) ! ~--~--~--~~----~ (l - rn) ! (2l + 1)(2 - bOm) Cl m

(3.22)

avec bOm, symbole de Kronecker, prenant les valeurs 1 (si rn = 0) ou 0 (si

rn

-=J

0).

3.3.4

Développement du potentiel au degré 2

Pour exploiter ces formules assez complexes, commençons par le cas le plus simple, celui de la Terre considérée comme un ellipsoïde de révolution. Cela revient à arrêter le développement au degré et à l'ordre 2. Calcul théorique des coefficients

Si on développe le potentiel U, donné par (3.17), jusqu'au degré 2, on obtient:

~ { CooPo(sin 1)!) +

(~)

+

(~) 2 [C20 P2(sin1jJ) + (C

[ClOPI (sin 1)!) + (C 11 cos À + 21

cosÀ +

S11

sin À)P11 (sinljJ)]

S21

+ (C22COS2À+S22sin2À)P22(sin1)!)]}

sin À)P21 (sin 1jJ) (3.23)

On rappelle les valeurs des premiers polynômes de Legendre et des premières fonctions de Legendre pour l'argument (sin;3) : P o (sin;3) = 1 P 11 (sin;3) = cos;3

Pl (sin;3) = sin;3 P 21 (sin;3) = 3sin;3· cos;3

P 2(sin;3) = (3sin 2 ;3 -1)/2 P 22 (sin;3) = 3 cos 2 ;3

On peut ainsi calculer les coefficients harmoniques C 1m et Sim par les quatre formules (3.18) à (3.21), avec les coordonnées sphériques du point intérieur T définies par (3.12). Les coordonnées du centre de gravité de la Terre sont notées (xo, Yo, zo) et les composantes du tenseur d'inertieS de la Terre sont nommées Ix, Ixy , etc. Les résultats sont notés dans le tableau 3.l. 80n rappelle la définition du moment d'inertie, Ix = fff(y2 + Z2) dM et celle du produit d'inertie, Ixy = fff xy dM. Dans la littérature, on trouve souvent, pour le moment d'inertie, A = Ix, B = Iy et C = Iz, de sorte que les équations (3.25) et (3.26) donnent: oh = (C - A)/(MR2 ).

Chapitre 3. Géopotentiel

62

Cao

;1 l 1 h dM(p,a,p) = 1

(1 (

_1_ p sinp dM(p, a, p) MRlp Œlf3 _1

NIR

C11

N:R 1 MR

S11

J"lu(J z dM =

11

Zo

R

h p cosp cosa dM(p,a,p)

JiJ (1 ( JiJ (1 (

xdM= Xo R

_1_ p cosp sina dM(p,a,p) MRlp Œlf3 - 1 NIR

ydM=Yo R

1 2 3 sin 2 p - 1 MR2 lp Œlf3P 2 dM(p,a,p)

2N:R2 2N:R2 1

JJJ [3z 2 -

JfJ

(x 2 + y2

[(x 2 + z2)

2M R2 (Ix

+ Iy

+ z2)]

dM

+ (y2 + z2) -

2(x 2 + y2)] dM

- 2Iz)

j' j' lf3( 3 p2 sin p cos p cos a dM (p, a, p)

_1_2 3MR p

Œ

M~2 JJJ xz dM = M~2Ixz

(1 (

_1_2 3MR lp

Œ

lf3

3p2 sinp cosp sina dM(p,a,p)

M~2 JJJ yz dM = M~2Iyz 12;1 R211 1

4MR2

jet;· r

3 p2 cos 2 P cos 2a dM (p, a, p)

(x 2 - y2) dM

12;1 R211 2N:R2

h

h

=

1

4MR2 (Ix - Iy)

3 p2 cos 2 p sin 2a dM (p, a, p)

JJJ xy dM

=

21V:R2 Ixy

TABLEAU 3.1 : Coefficients harmoniques G 1m et 1 et d'ordre m, jusqu'à 1 = 2, m = 2.

Sim

du potentiel terrestre de degré

3.3. Calcul du géopotentiel

63

Calcul dans le cas de l'ellipsoïde terrestre Dans le cas de la Terre solide, on prend l'origine du repère de décomposition du potentiel terrestre au centre de la Terre. On a donc: Xo = Yo = Zo = 0, ce qui entraîne: C lO

=

0

C 11

=

0

S11

=

0

Si on considère que l'axe Oz passe par le pôle d'inertie, on a : I xz ce qui entraîne:

=

Iyz

=

0

La plus grande inhomogénéité de répartition des masses terrestres est celle due à l'aplatissement aux pôles. On considère ici la Terre comme un ellipsoïde de révolution d'axe Oz. La symétrie de révolution implique Ixy = 0 et Ix = Iy, ce qui conduit à :

(3.24) L'aplatissement aux pôles se traduit par: Iz > Ix. On a donc:

(3.25) Lorsqu'on développe le potentiel terrestre jusqu'au degré 2 et avec les hypothèses vues ci-dessus, le seul terme non nul (en plus du terme principal C oo = 1) est donc le terme C 20 (et sa valeur est négative). On a l'habitude d'introduire les coefficients Jz en posant 9 :

Jz

=

-Czo

(3.26)

Le potentiel terrestre s'écrit alors:

IL[ 1U(r,À,1jJ)=U(r,1jJ)=-;:

(R)2 -:;:

21jJ J 2 3sin 2

-1]

(3.27)

avec:

h

=

1.0826 10- 3

Ce terme est sans dimension, comme tous les coefficients C Zm et SZm. Le coefficient J 2 a été déterminé depuis longtemps par des considérations géodésiques (voir plus loin, avec la formule de Clairaut), puis avec une grande précision par l'étude de la trajectoire des satellites artificiels. 9Un des pionniers de la géodésie spatiale, Desmond King-Hele, décida, en 1958, d'attribuer la lettre .J à ce coefficient, en hommage au géodésien britannique Sir Harold Jeffreys (1891-1989).

64

3.3.5

Chapitre 3. Géopotentiel

Développement du potentiel à des degrés supérieurs

Pour les degrés supérieurs à 2, le potentiel peut s'écrire, avec les notations vues ci-dessus :

(3.28) Dans la partie entre accolades, on distingue trois groupes de termes: le premier, constitué du seul nombre 1, représente le potentiel central; le deuxième, avec Ji et Pi, la contribution des harmoniques zonaux; le troisième, avec Gim, Sim et Am' la contribution des harmoniques sectoriels et tesséraux. Ces termes, Ji, Gim et Sim ne peuvent être connus (à part J 2 à la rigueur) que par comparaison entre l'ellipsoïde et la forme réelle de la Terre, appelée géoïde lO • Pour cela, on réalise des mesures de pesanteur in situ, mais surtout on utilise des observations précises du mouvement des satellites artificiels. Nous allons aborder ces points dans les paragraphes suivants. Pour la Terre réelle (et non plus pour l'approximation de l'ellipsoïde), les valeurs numériques Ji sont données dans le tableau 3.2. On se reportera aussi au tableau 3.3. Ces coefficients sont généralement appelés dans la littérature sous le nom de «termes J n ». Pour le géoïde donc, les coefficients G lO (ou JI), G 11 et S11 sont nuls, mais les coefficients G 21 et S21 (cv 10- 9), G22 et S22 (cv 10- 6 ) ne sont pas nuls. En ce qui concerne les ordres de grandeur, on voit que le terme h est environ 10 3 fois plus petit que le terme principal, mais 10 3 fois plus grand que les coefficients suivants. En résumé, en considérant le développement du potentiel donné par l'équation (3.28), on note que (figure 3.2) : - le terme de degré 0 est le terme principal (responsable du mouvement képlérien, comme nous verrons par la suite), la Terre étant considérée comme une sphère constituée de couches homogènes; - le terme de degré 1 correspondrait à un décentrage du centre de masse de la Terre; il est rendu nul par le choix de l'origine des coordonnées; - le terme de degré 2 correspond à l'aplatissement de la Terre, la Terre étant considérée comme un ellipsoïde de révolution; - le terme de degré 3 et les suivants rendent compte des écarts du géoïde à l'ellipsoïde terrestre. lOLorsque les géodésiens ont compris que la forme de la Terre ne pouvait pas être assimilée exactement à un ellipsoïde, ils ont choisi l'expression géoïde (Listing en 1873), qui est tautologique: la Terre a une forme de Terre! On rencontre parfois l'expression telluroïde, fruit dissonnant d'un hybride latin-grec, tout aussi tautologique.

3.4. Champ et potentiel de pesanteur pour l'ellipsoïde

Jn

=

-eno Jo

JI

J2 J3 J4

Ju

J6

h

Js Jg

JlQ

65

Valeur (s.d.) 1 0 + 1 082.626 220 70 -2.536 15069 -1.619 363 55 -0.223 101 38 +0.540 289 52 -0.360 260 16 -0.207 767 04 -0.11456739 -0.233 800 81

10- 6 10- 6 10- 6 10- 6 10- 6 10- 6 10- 6 10- 6 10- 6

3.2 : Coefficients harmoniques J n du potentiel terrestre, jusqu'à n = 10. Valeurs tirées du modèle GRIM5-Cl.

TABLEAU

J 3 •4 ....

3.2 : Évolution de la perception de la forme de la Terre en géodésie (de gauche à droite) (a) Sphère: Jo = 1 et JI = O. (b) De la sphère à l'ellipsoïde de révolution: terme h, lié à l'aplatissement. (c) De l'ellipsoïde au géoïde: termes J n avec n? 3.

FIG.

3.4 3.4.1

Champ et potentiel de pesanteur pour l'ellipsoïde Calcul du champ et du potentiel

Pour étudier le champ de pesanteur à la surface de la Terre, il faut considérer le champ de forces gravitationnelles dans un référentiel lié à la Terre, !RT et non plus dans le référentiel galiléen !R. Pour obtenir les relations dans !RT, on doit tenir compte, en plus de l'accélération calculée dans !R, de l'accélération d'entraînement a e due à la rotation terrestre:

66

Chapitre 3. Géopotentiel

z B

x'

x 1

e

= 0.60

z' 3.3 : Pour un point ]v! à la surface de la Terre (tp, latitude géodésique; 1jJ, latitude géocentrique), on représente la gravitation, dirigée vers 0, et la pesanteur, dirigée vers l, normale à l'ellipsoïde en J'vI.

FIG.

en notant par ru la vitesse de rotation terrestre l l et par J la projection sur l'axe des pôles de Jv[, qui est le point de latitude géodésique cp (et géocentrique 1jJ) à la surface de la Terre (figure 3.3). Le centre de la Terre est 0 et on pose T = 0 Jv[. On a donc : J Jv[ = T cos VJ. Le vecteur unitaire de la direction DM est noté er . Pour simplifier l'écriture, on pose: 9 = g/fR , gravité

y

= g/fR T

'

pesanteur

On écrit la règle de composition des accélérations: acc. absolue (g) = acc. relative (y) + acc. d'entraînement (a e ) On obtient: (3.29) y= g+ru 2 JM Le vecteur y représente la pesanteur, ce qui définit le poids d'un corps en 11 Cette notation 'CU n'est utilisée que dans ce chapitre. Dans les chapitres suivants, nous utiliserons pour cette grandeur une autre notation, et nous expliquerons pourquoi. La vitesse angulaire 'CU est égale à un tour par jour sidéral, soit 'CU = 7.292 115 10- 5 rad s-l.

nT

3.4. Champ et potentiel de pesanteur pour l'ellipsoïde

67

un lieu donné. La pesanteur est la somme vectorielle de la gravité et de l'accélération dite axifuge. Le vecteur g est porté par OM; le vecteur y fait avec g un angle très petit, égal à cp -1jJ (au maximum 0.19°). On peut donc écrire:

y

= - , eT

En projetant l'équation (3.29) sur OM, on a : (3.30) En exprimant les champs g et y à l'aide des potentiels respectifs U et UT, et en intégrant selon T la relation (3.30), on obtient:

En arrêtant le développement de U au second ordre (géoïde = ellipsoïde), donné par l'équation (3.27), on obtient: (3.31 ) La symétrie de révolution de la figure étudiée se manifeste par l'absence de la variable À (longitude) dans l'expression du potentiel UT.

3.4.2

Champ de pesanteur à la surface

On obtient le champ de pesanteur y en dérivant le potentiel UT selon la normale à l'ellipsoïde. Avec le même degré d'approximation que celui qui a fait confondre les directions des vecteurs g et y, on peut considérer que le champ est donné par (OUT/OT). Son module, est: (3.32) En remplaçant le terme T par sa valeur en fonction deljJ, à savoir T = Rw (1jJ) donné par (1.37), on obtient l'expression du module du champ de pesanteur ,(1jJ), à la surface de l'ellipsoïde, en fonction uniquement de la latitude. La variation de la pesanteur en fonction de la latitude est représentée en figure 3.4. On y a fait figurer également la variation de la gravité. La gravité 9 varie, exprimée en unités SI, de 9.814 (à l'équateur) à 9.832 (au pôle) à cause de l'aplatissement de la Terre, mais cette grandeur n'est pas directement mesurable (on ne peut pas arrêter la rotation terrestre !).

Chapitre 3. Géopotentiel

68 9.840

9.830

~ li?

.S-

9.820

c 0

2 'S; ~

9.810

0)

ID ~

9.800

2c

CIl

(J)

ID

0..

9.790

9.780

9.770

TERRE

-+---;---+----+---f---+----+---f---+------1 10 20 30 40 50 60 70 80 o 90 Latitude [N/S] (')

3.4 : Graphe de variation de la pesanteur (courbe du bas) en fonction de la latitude, à la surface de l'ellipsoïde. Au-dessus de cette courbe, graphe théorique (non directement mesurable) de variation de la gravité. La différence entre ces deux courbes représente la valeur de l'accélération axifuge.

FIG.

La pesanteur Î, mesurée expérimentalement 12 , varie de 9.780 (à l'équateur) à la même valeur 9.832 (au pôle), car à la variation de g s'ajoute algébriquement la variation provoquée par la rotation terrestre 13 (nulle au pôle). 12Le document de présentation du satellite GOCE, de l'ESA, donne un très intéressant exemple de notion de précision dans la mesure de la pesanteur en un lieu donné. pesanteur = 9.8 masse de la Terre sphérique 9.81 aplatissement terrestre et rotation 9.812 montagne et failles océaniques 9.8123 distribution des masses internes 9.81234 grands réservoirs fluviaux 9.812345 marées océaniques et terrestres 9.8123456 grands bâtiments dans le voisinage 13Faisons un peu de science-fiction! Imaginons une planète semblable à la Terre, mais qui tournerait plus vite, avec une vitesse de rotation roi. On calcule le champ de pesanteur à l'équateur, en supposant la planète sphérique (rayon R). Avec (3.32), on trouve: "Y --

IL

~

- w

12

R --

IL R2

(1

-

",,2 R 3 ) -IL-

IL R2

(1

-

ma )

en utilisant ma, défini un peu plus loin par (3.34). Ce terme représente la part d'accélération axifuge dans la pesanteur, lorsque la gravité est prise pour unité. Pour la Terre, ma = 1/288. Si ma = 1, la pesanteur est nulle et tous les corps à la surface de l'équateur sont en impesanteur. Pour une telle « Terre rapide», on a donc: (roi / ro)2 = 288 soit roi c::: 17 ro. Avec une telle vitesse de rotation, le jour dure 17 fois moins que chez nous, soit 84.5

3.4. Champ et potentiel de pesanteur pour l'ellipsoïde

69

Cette formule de variation du champ de pesanteur est suffisante dans de nombreux cas. Cependant, si on cherche une formule très précise, fonction de la latitude géodésique et sans approximation, on utilisera la formule de Somigliana, présentée un peu plus loin.

3.4.3

Formule de Clairaut

Le terme J 2 du développement du potentiel terrestre, qu'on peut relier à une différence de moments d'inertie de la Terre selon l'axe des pôles et selon un axe équatorial, comme expliqué par les relations (3.25) et (3.26) vues plus haut, n'est pas directement mesurable. Sans attendre les satellites, on pouvait le déterminer par des considérations géodésiques, en utilisant la propriété des surfaces équipotentielles. Relation entre

h et aplatissement

Dans l'hypothèse de Clairaut 14 , la Terre, dans son mouvement de rotation, est en équilibre hydrostatique. Alors, quel que soit le point à la surface terrestre (sur l'ellipsoïde), le potentiel est constant. Choisissons un point au pôle (r = Rp = b) et un point sur l'équateur (r = Re = a) Ir

UT(r = a,1jJ = 0) = UT(r = b, 1jJ = "2)

La relation (3.31) donne: -IL ( 1 +

a

1)

w a 2 = -IL ( I - ah) -h + 2 2

2

2

b

2

b

Les quantités f et J 2 sont petites devant 1. En négligeant les petites quantités du deuxième degré, on obtient pour le second membre: IL·

-(1 a

+ f)

[1 - h(1

+ 2f)]

~

IL -(1 a

+ f - h)

ce qui donne la relation (dite 1re équation de Clairaut)

2

1

3

3

h = - f - - ma

(3.33)

minutes. Et ce temps est égal à la période de révolution d'un satellite terrestre d'altitude nulle, comme on le calcule au chapitre 5, avec (5.9). 14 Alexis Claude Clairaut (1713-1765), astronome et mathématicien français. Il entre à l'Académie des Sciences à l'âge de dix-huit ans, après avoir ébloui son auditoire par un mémoire sur les courbes géométriques. Il se tourne ensuite vers la géodésie et la mécanique céleste. Il est l'auteur de la Théorie de la figure de la Terre tirée des principes de l'hydrostatique (1743), basée sur les différences d'accélération de la pesanteur entre les pôles et l'équateur. L'étude du problème des trois corps l'amena à écrire la Théorie de la Lune (1752). Il fut un précurseur dans l'étude des perturbations gravitationnelles - voir au chapitre 6, la note historique sur le retour de la comète de Halley.

70

Chapitre 3. Géopotentiel

en posant:

'[iJ2 a 3

(3.34)

rna = - -

IL

La quantité sans dimension ma se calcule facilement, ma = 3.461 10- 3 . Si on considère f connu, f = 1/298.3, on obtient la valeur de h au premier ordre:

h

1.0814 10- 3

=

ce qui est très proche 15 de la valeur de h donnée dans le tableau 3.2. Relation entre

h

et pesanteur

Historiquement, c'est la quantité f qu'on voulait calculer : connaître l'aplatissement sans avoir à mesurer le méridien terrestre. Il fallait donc trouver un moyen d'exprimer h, ce qu'on peut faire en mesurant l, l'accélération de la pesanteur, en divers points à la surface de la Terre. Avec la relation (3.32), on calcule 1 à l'équateur (re) et au pôle (rp)

le IP En négligeant les petites quantités du deuxième degré, la différence donne :

9)

IL(' 2j -

2h + '[iJ 2 a

IP - le = a 2

En remplaçant, dans les termes petits, le par (IL/ a 2 ), puisqu'en première approximation g = (/L/ R 2), on obtient: IP - le

-'-"------'-'- =

le

en posant:

9

2f - -2 J 2 '[iJ2 a

rng = - -

le

+ mg (3.35)

La valeur de mg est équivalente, avec les approximations faites, à celle de ma donnée par l'équation (3.34). On pose:

fJ

=

IP -le

le

15En effectuant les calculs avec les petites quantités du deuxième degré, on obtient: h = ~f - ~mb - ~f2 + 11fmb en posant mb = w 2a 2 bj/1 = ma(l- f)· Le résultat numérique donne h = 1.082634 10- 3 , ce qui conduit à une erreur relative de 8 10- 6 avec la valeur retenue pour h.

3.4. Champ et potentiel de pesanteur pour l'ellipsoïde

7l

quantité sans dimension qu'on peut appeler aplatissement de gravité et qu'on obtient avec précision en mesurant 1 à l'équateur et au pôle. On a ainsi une autre relation pour J 2 (dite 28 équation de Clairaut)

(3.36) Formule de Clairaut En rapprochant les deux équations (3.33) et (3.36) et en éliminant J 2 , on obtient la formule de Clairaut:

f

=

5

"2

ma - (3

(3.37)

Cette formule a permis de connaître f à partir de deux mesures de f. L'application numérique donne : le = 9.7804 m.s- 2 IP = 9.8322 m.s- 2 3 (3 = 5.296 10- ~ 1/189 ma = 3.467 10- 3 ~ 1/288 3 f = 3.373 10- ~ 1/297 Compte tenu des approximations faites, on peut considérer ce résultat comme très convenable. La formule 16 de Clairaut montre que l'aplatissement f est déterminé (w et a étant connus) par des mesures de pesanteur. Pour obtenir f, il n'y a donc pas à connaître la composition de matière à l'intérieur de l'ellipsoïde.

3.4.4

Formule de Somigliana

La formule (3.32) donnant le champ de pesanteur, ou les relations de Clairaut, sont des formules approchées, au premier ordre en f. Les géodésiens italiens Pizetti (1894) puis Somigliana (1922) ont repris le problème de manière globale. L'idée directrice est de définir un corps ayant une forme d'ellipsoïde de révolution tel que l'ellipsoïde soit une surface équipotentielle de son propre champ. Même si la formule finale paraît simple, tant elle est belle et équilibrée, le calcul qui y amène est long, difficile et dépasse largement le cadre de cet ouvrage. La formule de Somigliana donne le champ de pesanteur normale, à la surface de l'ellipsoïde, en fonction de la latitude géodésique cp :

(3.38) 16Clairaut a poursuivi l'idée de Newton et de Huygens que rotation de la Terre, pesanteur et aplatissement étaient liés. Il a mis en équation ce raisonnement, mais pas de la manière exposée ici. Il n'a pas utilisé le concept de potentiel, inventé plus tard par Lagrange et ne se servait pas du coefficient h sous cette forme.

72

Chapitre 3. Géopotentiel

où re et rp sont les valeurs de la pesanteur à l'équateur et au pôle, vues précédemment. On peut aussi l'écrire sous la forme suivante:

r(cp) avec:

=

re

1 + k sin 2 cp

JI - e

2

(3.39)

sin 2 cp

b rp k=-·--l a r8

(3.40)

où k est la constante de Somigliana. On donne aussi cette formule sous forme numérique. Les valeurs des divers termes varient légèrement d'un ellipsoïde de référence à l'autre (tableau 2.1). Avec GRS80, les éléments de base sont: a 6378137 m b 6 356 752.3141 m e2 0.006 694 380 022 90 k 0.001 931 851 353 9.832 1863685 m·s- 2 re 9.7803267715 m·s- 2 rp

r( cp)

=

9.780 327 (1

+ 5.3024 10- 3

sin 2 cp

+ 5.8

10- 6 sin 2 2cp)

(3.41)

Avec WGS84, on a : re = 9.7803253359 m·s- 2 k = 0.001931853 Lorsqu'on se trouve au-dessus de l'ellipsoïde, on obtient la pesanteur rh (cp), à l'altitude h, par une relation faisant intervenir r( cp) et r8 :

rh(CP)r~ r(cp) = -2~ [1 + 1 + ma + (-31 + ~ma) sin

2

cp]

+ 3 (~r (3.42)

3.5 3.5.1

Géoïde Anomalies de gravité

À l'aide de gravimètres, on mesure la pesanteur en de nombreux lieux terrestres et, avec de grandes précautions, en mer. De plus, comme nous allons l'étudier dans les chapitres suivants, l'orbite du satellite est sensible à la répartition des masses de la région survolée. L'écart entre la position théorique (selon un modèle donné) et la position réelle, mesurée avec précision, permet de remonter aux coefficients des harmoniques sphériques du géopotentiel. À cette méthode utilisée depuis cinquante ans, dès le début de l'ère spatiale, avec des modèles de plus en plus raffinés, il faut ajouter, depuis une vingtaine d'années, les mesures altimétriques par les satellites océaniques. Le traitement de toutes ces données, le passage entre pesanteur et géopotentiel étant effectué, on obtient une carte des anomalies, c'est-à-dire la

3.5. Géoïde

73

différence d'altitude (surface équipotentielle) entre le géoïde et l'ellipsoïde. Cette carte, attachée à un modèle de géopotentiel, fait apparaître des ondulations qui ne dépassent pas une centaine de mètres. La figure 17.1 est la carte issue du modèle amricain EGM96. Les creux principaux sont au sud de l'Inde (-105 m), au Tibet (-65 m), dans l'Antarctique au sud de la Nouvelle-Zélande (-55 m) et aux Caraïbes (-50 m). Les bosses principales sont en Nouvelle-Guinée (+75 m), en Islande (+70 m) et à mi-chemin entre Madagascar et l'Antarctique (+60 m). Il est important de noter que ces anomalies sont décorrélées du relief des terres émergées. On les explique comme des manifestations d'hétérogénéité de densité de matière dans le manteau terrestre. Les anomalies de grande longueur d'onde sont repérées par satellite, celles plus locales le sont avec les mesures au sol. En terme de gravité, ces anomalies sont appelées anomalies de gravité et sont mesurées en milligal 17 .

3.5.2

Satellites et géodésie

Le premier satellite artificiel, Spoutnik-l, lancé par l'URSS le 4 octobre 1957, n'émit de signal que pendant trois semaines 18 . Mais par l'étude de la trajectoire des satellites suivants 19 , lancés peu après, le coefficient zonal J 2 fut déterminé par le géodésien tchécoslovaque E. Buchar en 1958. Sa valeur était assez proche de celle prévue par le calcul d'après les mesures terrestres. Le satellite américain Vanguard-1, lancé le 17 mars 1958, permit pour la première fois d'évaluer les écarts entre l'ellipsoïde et le géoïde. Cet important harmonique de degré 3 correspond à une élévation du pôle Nord de 15 mètres au-dessus de l'ellipsoïde et un abaissement d'autant pour le pôle Sud 20 . Le terme J 4 et quelques suivants furent établis à partir de 1960. Les méthodes de détermination de ces coefficients J n sont développées au chapitre 6, sur la Note historique à ce propos. En 1961, W. Kaula présenta un modèle complet au degré 4 (c'est-à-dire avec tous les coefficients G1m et Sim) : un harmonique sectoriel, coefficient de la fonction de Legendre P22, rend compte d'un exhaussement du géoïde vers 165°E et 15°W et d'une dépression vers 75°E et 105°W (ces points découpent 17L'unité d'accélération dans le système CGS est le Gal (en hommage à Galilée). Donc 1 Gal = 1 cm S-2. Les géodésiens utilisent le milligal, 1 mGal = 10- 5 m S-2. 18Éléments orbitaux pour les premières révolutions: altitude du périgée hp = 228 km, altitude de l'apogée ha = 947 km, inclinaison i = 65.128°, période T = 96.17 min (iJ.T = 1.80 seconde/jour), périgée situé sur la latitude 41 oN. Fin d'émission du signal: 26 octobre 1958. Rentrée dans l'atmosphère :4 janvier 1958. 19Spoutnik-2, lancé le 4 novembre 1957. Éléments orbitaux pour les premières révolutions: hp = 225 km, ha = 1671 km, i = 65.310°, T = 103.75 min (iJ.T = 3.08 secondes/jour) , périgée situé à la latitude 40 o N. Rentrée dans l'atmosphère: 14 avril 1958. Spoutnik-3, lancé le 15 mai 1958. Éléments orbitaux pour les premières révolutions: hp = 226 km, ha = 1881 km, i = 65.188°, T = 105.95 min (iJ.T = 0.75 seconde/jour), périgée situé à la latitude 45°N. Rentrée dans l'atmosphère: 6 avril 1960. 2oD'où le scoop annoncé à l'époque: «a pear-shape », la Terre a une forme de poire. Ce qui, compte tenu des grandeurs en jeu (15 m par rapport à 6400 km), est un peu exagéré!

74

Chapitre 3. Géopotentiel

3.5 : Vue d'artiste des deux satellites GRACE-A et -E, avec visualisation de leur liaison micro-onde. Document: The University of Texas Center for Space Research.

FIG.

quatre secteurs égaux sur l'équateur puisqu'il s'agit de la fonction Fl m avec 1 = 2 et rn = 2)21. Ce point est développé au chapitre 7, à propos des satellites géostationnaires (figure 7.10). La connaissance du potentiel gravitationnel terrestre avance très vite à partir de cette époque. Les géodésiens mettent non seulement à profit de nombreux satellites lancés, mais envoient de plus dans l'espace des satellites spécifiques 22 . Une amélioration considérable est apparue avec l'avènement des radars altimétriques, placés à bord des satellites, qui permettent de décrire la surface océanique (le géoïde) par rapport à l'orbite. Les premiers étaient des satellites militaires américains: GEOS-3, Seasat, Geosat. 21 D. King-Hele synthétisa cela dans une chansonnette de son invention:

When you eut a slice Through the polar ice The Earth is like a pear. But sliced along the equator She looks like a potato A giant pomme de terre. 22Parmi ceux-ci, la série de satellites américains GEOS (Geodetie Earth Orbiting Satellite), GEOS-1 (Explorer-29), GEOS-2 (Explorer-36), PAGEOS, LAGEOS, avec repérage du satellite passif (PA) ou par laser (LA) qui succédèrent aux satellites Echo-1 et Echo-2 (satellites ballons), ANNA-lB (Army, Navy, Nasa, Air Force, premier satellite émettant des flashes), ADE-A (Atmospherie Density Explorer, Explorer-19), Beacon-Explorer-1 (BEB, Explorer-22 ou S-66a, premier satellite équipé de réflecteurs laser), Beacon-Explorer-2 (BE-C, Explorer-27). Après 1970, on note les satellites français Starlette et Stella, lancés en 1975 et 1993, le satellite japonais EGP, Experimental Geodetie Payload, dit aussi EGS-1 (Earth Geodetie Satellite ou Ajisai, « hortensia» en japonais), lancé en 1986, le satellite russe Fizeau (Meteor-2-21), lancé en 1993.

3.5. Géoïde

75

FIG. 3.6 : Vue d'artiste du satellite GOCE. Sa forme est étudiée pour offrir une résistance minimale au frottement atmosphérique. Sur l'image sont représentés les ions éjectés par le moteur de compensation de traînée. Document: ESA.

À partir des années 1980, le géopotentiel sur les océans est mieux connu que sur les continents. Par la suite, les satellites européens ERS-1 et -2, puis les satellites franco-américains TOPEX/Poseidon, Jason-1 et 2 ont affiné les mesures. Ces derniers mesurent la hauteur de la mer (dont la hauteur moyenne représente le géoïde) par rapport à l'ellipsoïde de référence avec une précision de 2 à 3 cm. Cela signifie que l'altitude du satellite est connue avec une précision encore meilleure. La qualité des altimètres utilisés est importante, mais la précision avec laquelle l'orbite du satellite est restituée est tout aussi fondamentale. Et cela est possible grâce à des modèles de potentiel qui vont jusqu'aux harmoniques sphériques de degré très élevé. Un changement radical s'opère à partir de l'an 2000. Jusque-là, les satellites étaient en orbite relativement élevée (5 900 km pour LAGEOS, 800 km pour Starlette 23 ) pour éviter tout frottement atmosphérique. À partir de cette date, le maintien en orbite des satellites par compensation de traînée autorise des orbites basses, plus sensibles aux faibles anomalies de gravité. Le satellite CHAMP (Challenging Microsatellite Payload for geophysical research and applications) détermine le géoïde avec une précision de 10 cm (et 0.5 mGal pour la gravité). L'amélioration d'un facteur 10 par rapport aux précédentes missions provient de son orbite basse (450 km), d'un suivi continu de l'orbite par GPS et d'un accéléromètre embarqué très sensible. La mission GRACE (Gravit y Recovery And Climate Experiment) est constituée de deux satellites jumeaux, -A et -E, qui se suivent continûment 24 23Ce joli nom de Starlette est aussi un bel exemple d'acronyme tarabiscoté: Satellite de Taille Adaptée avec Réflecteurs Laser pour les Etudes de la Terre. 24D'où le surnom de Tom et Jerry, donné par les promoteurs de la mission.

76

Chapitre 3. Géopotentiel

sur la même orbite, à la distance de 200 km. L'orbite basse (480 km) et la mesure de la distance entre GRACE-A et GRACE-B à quelques micromètres près, ont permis d'améliorer encore les résultats: géoïde connu à 1 cm près, à l'échelle spatiale de 200 km (figure 3.5). La précision est telle qu'on peut établir des cartes mensuelles du géoïde permettant de suivre l'évolution des masses d'eau (bassins versants des grands fleuves). Le satellite 25 GOCE (Gravit y field and steady state Ocean Circulation Experiment) améliore encore la connaissance du géoïde avec une orbite très basse (200 km) et son gradiomètre, constitué de 6 accéléromètres avec une précision de 10- 12 m S-2. Le satellite est équipé d'un moteur ionique qui équilibre, à chaque instant, les forces de frottement atmosphérique. Grâce à des poussées de quelques mN, le satellite, par cette compensation de traînée, est perpétuellement en chute libre. À un horizon plus lointain, le projet LICODY (Laser lnterferometry for Core and Ocean Dynamics) est basé sur la mesure par laser des distances entre plusieurs satellites en formation. La géodésie spatiale est maintenant devenue une science « dialectique» : les modèles de potentiel sont mieux connus par le repérage des satellites et par l'étude de leur trajectoire, et la position des satellites est mieux déterminée par l'amélioration des modèles de potentiel...

3.5.3

Évolution des modèles de potentiel terrestre

Principaux modèles Les premières données satellitaires furent intégrées aux modèles déjà existants et, à partir de 1970, certains modèles furent établis exclusivement avec des données spatiales (the «satellite-only» models). Le modèle SAO-SE (Smithsonian Astrophysical Observatory - Standard Earth), établi en 1966, utilisa, en 1972, les premières mesures par laser de distance aux satellites. Le modèle NWL (Naval Weapon Lab.) était basé principalement sur les satellites de la série Transit. Suivirent ensuite de nombreux modèles, dont on retiendra ici les modèles américains GEM, JGM, EGM et GGM, et les européens GRIM et EIGEN. Le modèle GEM (Goddard Earth Model) a été établi par le GSFC (Goddard Spa ce Flight Center) de la NASA, aux États-Unis, en réaction aux modèles militaires américains «classifiés ». Le premier modèle, GEM-l, fut publié en 1972, avec un développement du potentiel de degré 12. Le modèle GEM-T2, publié en 1990, est obtenu à partir des données de 31 satellites. Il donne un modèle avec tous les coefficients jusqu'au degré 36, et d'autres jusqu'au degré 50, ainsi qu'un développement de degré très élevé pour les marées. 25Sachez, cher lecteur, que la prononciation de rigueur dans le milieu spatial pour GOCE est « go - tché ».

3.5. Géoïde

77

FIG. 3.7 : Satellite LAGEOS-2, en phase de préparation. Le satellite (60 cm de diamètre) est muni de 426 réflecteurs (38.1 mm de diamètre, 27.8 mm de profondeur), composés d'un coin de cube (dont les angles de 90 degrés sont garantis avec une précison de 0.5 seconde d'arc). Document: ASI (Agenzia Spaziale Italiana).

Le modèle JGM (Joint Gravit y Model) est un modèle commun à la NASA et à l'Université du Texas. En 1994, JGM-2 reprend GEM-T3, successeur de GEM-T2, avec les premiers résultats de TOPEX/Poseidon. En 1996, JGM-3 intègre des données de satellites supplémentaires comme LAGEOS-2. Le modèle EGM (Earth Gravit y Model) est issu d'une collaboration GSFCNASA, NIMA (National Imagery and Mapping Agency), OSU (Ohio State University). En 1996 sont produits EGM96S, de degré et ordre 70 (données provenant uniquement de satellites) et EGM96, de degré et ordre 360 (par adjonction de données géophysiques). Ils utilisent les données de 40 satellites dont les mesures de satellite à satellite, avec les constellations GPS 26 et TDRSS. À partir de 2002, le modèle GGM (GRACE Gravit y Model) est développé par l'Université du Texas à partir des seules données provenant de GRACE: accéléromètre, attitude et distance entre les deux satellites (K-band rangerate ). En Europe, le G RGS (Groupe de Recherche en Géodésie Spatiale) en France et le DGFI (Deutsches Geodiitisches Forschungsinstitut) en Allemagne ont établi conjointement le modèle GRIM (GR pour GRGS et lM pour Institut de Munich). Le premier modèle est GRIM1, en 1975 (jusqu'au degré 10). En 2000, sont établis les modèles GRIM5-S1 et GRIM5-C1, le premier à base de données de satellites 27 uniquement, le second avec toutes données. 26Les satellites Navstar/GPS-35 et -36 (ou USA-96, -100), lancés en 1993 et 1994, sont équipés de réflecteurs laser. 27Les satellites utilisés étaient: Starlette, EGP (Ajisai), LAGEOS-l et -2, Geosat, SPOT2 et -3, ERS-l et -2, Stella, Westpac-l (WPLTN-l, West Pacifie Laser Tracking Network) , TOPEX/Poseidon, GFZ-l (GeoForschungsZentrum), Dl-C, Dl-D, GEOS-3, Meteor-3-07,

78

Chapitre 3. Géopotentiel

Ces derniers modèles sont remplacés par le modèle EIGEN (European Improved Gravit y model of the Earth by New techniques )28, établi par le GFZPostdam et le GRGS-Toulouse. En 2002, EIGEN-1S reprend GRIM5-S1, avec les données de CHAMP, complétées par LAGEOS-1 et -2, Starlette et Stella. D'autres modèles suivent, utilisant les données de la mission GRACE. En 2008, le modèle EIGEN-GL05C est un modèle complet de degré et d'ordre 360 (correspondant à une longueur d'onde de 1 0 , soit ),,/2 = 55 km). En 2011, le modèle EIGEN-6 intègre les données provenant de GOCE. L'évolution du modèle européen est résumée dans le tableau 3.4. Les modèles actuels tiennent bien évidemment compte des marées et de l'atmosphère. Ils prennent aussi en considération les variations dans le temps des premiers coefficients des harmoniques sphériques 29 qui sont dues à l'ajustement isostatique, appelé rebond post-glaciaire 3o . Comparaison des modèles de potentiel terrestre

Les modèles de potentiel terrestre ne peuvent pas être comparés terme à terme (au-delà du degré 5). Pour un résultat final très voisin, deux modèles peuvent avoir des termes assez différents: des pondérations différentes des harmoniques sphériques peuvent conduire à des résultats très voisins. Au-delà du degré 16, même les signes des coefficients peuvent changer d'un modèle à l'autre, ce qui n'empêche pas un bon accord pour la restitution du géoïde et le suivi des satellites. Cela met en évidence le problème des troncatures : les coefficients d'un modèle de degré 10 ne correspondent pas aux coefficients des dix premiers degrés d'un modèle de degré 20. On donne, à titre d'exemple, dans le tableau 3.3, les coefficients Ct 0 pour six modèles évoqués ci-dessus (coefficients d'ordre 0 et de degré l de 2 à 10; on rappelle que pour 1 = 0, le coefficient est égal à l'unité, et pour l = 1, il est nul; tous les coefficients du tableau sont en unité 10- 6 ). Dans le cas m = 0, la relation de normalisation (3.22) devient simplement:

Cz 0 = v2T+1 cto On obtient ainsi la correspondance entre les tableaux 3.3 et 3.2, comme par Nova-3, Etalon-1 et -2 (Kosmos-1989 et -2024), PEOLE. 28Ici aussi, c'est un acronyme «clin d'œil». Il veut rappeler Eigenwert, terme mathématique allemand créé par Hilbert et repris en anglais en eigenvalue. Ce mot se traduit par « valeur propre» en français. Le mot anglais correspondant à eigen est own (du vieil anglais iigen). 29 À titre d'exemple, voici les valeurs du modèle GGM02. Pour les variations dans le temps: dC::; o/dt = +1.16275510- 11 an- l soit dh/dt =.Ï2 = -2610- 12 an- l ; del ddt = -0.33710- 11 an- l et dB:l ddt = +1.60610- 11 an- l . La contribution des marées est de 4.17310- 9 pour C::; o' 30 Après la fonte des calottes polaires, le niveau du sol, que ce soit au Canada, en Scandinavie ou en Antarctique, remonte de quelques centimètres par an, depuis plusieurs milliers d'années.

3.5. Géoïde

79

exemple: J2

=

-J5c~ 0

=

J5 X

484.16511...10- 6

= 1082.62622 ... 10- 6

Ces coefficients Cl m sont associés à des valeurs de IL, R et chaque modèle (tableau 3.5).

3.5.4

f,

propres à

Évaluation de la constante d'attraction géocentrique

La constante d'attraction géocentrique, IL = QlvI, joue, comme on a pu s'en apercevoir, un rôle essentiel en mécanique spatiale. On peut l'obtenir avec une très grande précision, bien supérieure à celle qu'on peut espérer pour Q, constante de gravitation universelle 31 . Les premières valeurs de IL furent fournies par la troisième loi de Kepler appliquée à l'orbite lunaire. Des valeurs de plus en plus précises ont été obtenues avec les sondes spatiales (Ranger, Mariner, Venera), puis avec des satellites, de préférence en haute altitude, les satellites moins élevés subissant plus d'actions non gravitationnelles. Un saut dans la précision a été obtenu, dans les années 1980, grâce à la technique LLR (Lunar Laser Ranging), qui consiste à mesurer la distance Terre-Lune à l'aide d'un faisceau laser. Actuellement, les mesures les plus précises sont obtenues par les mesures de distance par laser sur les satellites LAGEOS 32 (figure 3.7). 31 Henry Cavendish (1731-1810), physicien et chimiste anglais. Il a été le premier à obtenir une valeur précise de 9, publiée en 1798 dans son célébre article Experiments to determine the density of the earth. Sa méthode était subtile: au lieu de jouer sur l'énormité des masses (comme ceux qui, à cette époque, voulaient mesurer la déviation du fil à plomb par une montagne), il utilisa une balance de torsion, avec un fil très fin, soutenant deux petites masses métalliques (50 grammes). En approchant (15 cm) deux grosses boules de plomb (30 kg), il mesura la torsion du fil, par la méthode du miroir, et déduisit 9 de la période (~ 2 heures) du mouvement. Il calcula ainsi la densité de la Terre et trouva d = 5.48 (valeur obtenue actuellement : 5.52). Cette densité étant très supérieure à celle des roches de l'écorce terrestre (~ 2.7), Cavendish montra ainsi que la Terre était formée d'une partie centrale très dense. La méthode fut affinée plus tard par Charles Boys (1895), avec un fil de quartz très fin (2 !Lm) et des masses encore plus petites (2.7 g, 7.5 kg à 15 cm), sur une période courte (3 minutes). Ce type d'expérience sert encore à mesurer 9. La précision relative ne dépasse pas S9/9 = 10- 4 . On cherche maintenant d'autres voies pour essayer d'améliorer la précision. Les recommandations actuelles (CODATA 1998) sont d'utiliser la valeur : 9 = (6.673 ± 0.010) 10- 11 m 3 S-2 kg- l . 32Les satellites LAGEOS-1 (NASA), lancé le 4 mai 1976, et LAGEOS-2 (NASA - ASI, Italie), lancé le 22 octobre 1992, sont des satellites pratiquement identiques: masse de 410 kg, diamètre de 60 cm, 426 réflecteurs circulaires (422 en silice fondue et 4 en germanium). Ils sont souvent référencés LAGEOS et LAGEOS-II respectivement. Caractéristiques des autres satellites similaires pour la géodésie. Le japonais Ajisai, lancé le 2 août 1986,685 kg, 2.15 m de diamètre, 1436 réflecteurs triangulaires, silice fondue. Les soviétiques Etalon-1 et -2, lancés le 10 janvier 1989 et le 31 mai 1989, identiques, 1415 kg, 1.29 m de diamètre, 2146 réflecteurs hexagonaux (2140 en silice fondue, 6 en germanium).

80

Chapitre 3. Géopotentiel

Coeff.

C*20

C 30 C 40 Gi ;

0

C 60 C 70

C*80 C90 C~o

0

C 200

C990

GEM-T2

JGM-3

GRIM5-C1

-484.1652998 0.9570331 0.5399078 0.0686883 - 0.1496092 0.0900847 0.0483835 0.0284403 0.0549673 0.0199685

-484.165368 0.957171 0.539777 0.068659 - 0.149672 0.090723 0.049118 0.027385 0.054130 0.018790

-484.16511551 0.95857491 0.53978784 0.06726760 - 0.14984936 0.09301877 0.05039091 0.02628356 0.05101952 0.02340848 - 0.00128836

Coeff.

C*20

C 30

C*40

Gi ;

0

C 60

C*70 C*80 C90 C~o C~l C~2 C~3 C~4 C~5

0 0 0 0 0 0

C 200

C990

C 22 S22 C 31 S:31 C 33 S:3 3

EGM96

GRIM5-S1 -484.16511551 0.95857492 0.53978784 0.06720440 - 0.14985240 0.09311367 0.05046451 0.02620763 0.05076191 0.02342817 - 0.00001554

EIGEN-CH03S

- 484.165371736 0.957254174 0.539873864 0.068532348 -0.149957995 0.090978937 0.049671167 0.027671430 0.052622249 -0.050961371 0.037725264 0.042298221 -0.024278650 0.001479101 0.022238461 0.001478118

-484.165562843 0.957477372 0.539923241 0.068584004 -0.149991332 0.090539419 0.049295631 0.028093014 0.053699211 -0.050765723 0.036209032 0.041543398 -0.022288877 0.002425544 0.021496270 -0.000779156

2.439143524 -1.400166837 2.029988822 0.248513159 0.721072657 1.414356270

2.439311853 -1.400342254 2.030480649 0.248170920 0.721306788 1.414370341

3.3 : Comparaison entre les différents modèles. Coefficients zonaux normalisés ct 0 et autres coefficients normalisés ct m et st m' Toutes ces valeurs sont à multiplier par 10- 6 .

TABLEAU

3.5. Géoïde

Année 1975 1991 1997 2000 2003 2007 2008 2011

Apport

Modèle GRIM1 GRIM4 - Cl GRIM4 - C4 GRIM5 - C2 EIGEN-1 EIGEN-4 EIGEN-5 EIGEN-6

CHAMP GRACE GOCE GOCE

D. max.

N. inc.

10 50 72 120 120 160 360 1440

120 2600 5328 14640 14640 25920 130320 2076480

81

3.4 : Étapes principales dans l'évolution du modèle européen, GRIM puis EIGEN, établi par le GRGS et le GFZ. On a indiqué le degré maximal L (noté D. max) et le nombre d'inconnues N (N. inc.) à traiter pour établir le modèle, N=Lx(L+2). TABLEAU

-

Ji

R

II!

Unité km 3 S-2 km (s. d.)

p. ent.

GEM

JGM

GRIM

EGM

EIGEN

398600 6378 298

.436 . 137 . 257

· 441 5 · 13630 · 257 65

.441 5 . 13646 . 25765

· 441 5 · 136 30 · 257 65

· 441 5 · 13646 · 257 65

3.5 : Comparaison entre les différents modèles, dans l'ordre: GEM-T2, JGM-3, GRIM5, EGM96, EIGEN-CHAMP03S. Valeurs de la constante d'attraction géocentrique Ji = 9 J'vI , du rayon équatorial R, de l'aplatissement (lI!),. la partie entière (p. ent.) est la même pour tous ces modèles, seule change la partie décimale. TABLEAU

Méthode utilisée Orbite lunaire Explorer-27 Ranger-6, -7, -8, -9 Mariner-9 Venera-8 ATS-61 GEOS-3 Laser 1 Lune Laser 1 LAGEOS Laser 1 LAGEOS

Année 1959 1965 1966 1971 1972 1979 1985 1992 2000

Ji (k m 3s -2)

Erreur

398620. 398602. 398 601.0 398 601.2 398 600.4 398 600.40 398 600.444 398 600.441 5 398 600.441 5

±6. ±4. ±0.7 ±2.5 ±1.0 ±0.1 ±0.ü10 ±O.OOO 8 ±O.OOO 2

3.6 : Valeur de la constante d'attraction géocentrique mesurée Ji = gJ'v1 et de l'erreur estimée. Évolution historique, avec notation de la méthode utilisée et de l'année.

TABLEAU

82

Chapitre 3. Géopotentiel

Nous avons noté, dans le tableau 3.6, les valeurs obtenues pour IL, ainsi que l'erreur estimée, par diverses méthodes (avec mention de l'année). La précision relative sur IL est actuellement de 10- 10 , ce qui est compatible avec une précison de l'ordre du centimètre sur le demi-grand axe de l'orbite de LAGEOS.

3.6 3.6.1

Annexe: systèmes de référence terrestre Référence céleste

Le Système International de Référence Céleste (ICRS en anglais) est un référentiel quasi inertiel, copernicien, centré sur le barycentre du Système solaire. Ses axes sont fixes, son échelle de temps est le Temps Coordonné Barycentrique (TCB), défini dans le cadre de la relativité générale. Le Repère International de Référence Céleste (ICRF, Frame pour Repère) est la réalisation de l'ICRS. Le repère est matérialisé par les positions de centaines de radiosources extragalactiques connues avec une grande précision (inférieure à 1 mas, milliarc seconde).

3.6.2

Référence terrestre

À la rotation de la Terre, très légèrement ralentie par l'effet des marées, s'ajoutent deux mouvements, sous l'effet du couple luni-solaire, celui de précession (selon un cône de demi-angle au sommet égal à l'obliquité E, cycle de 25 800 ans, figure 6.7), et celui de nutation (d'amplitude 17", cycle de 18.6 ans). Tous ces mouvements sont très bien compris et modélisés - voir la relation (8.50). Mais s'y ajoutent un mouvement imprédictible de l'axe des pôles (figure 7.5), et un mouvement du centre de masse de la Terre. De plus, la croûte terrestre a un mouvement par rapport au manteau moyen. Le Système International de Référence Terrestre (ITRS) a pour origine le centre de masse de la Terre, incluant océans et atmosphère. Son orientation est définie par l'IERS (International Earth Rotation Service), son échelle de temps est le Temps Coordonné Géocentrique (TCG). Le Repère International de Référence Terrestre (ITRF) est la réalisation de l'ITRS. Il est défini conjointement par les astronomes et les géodésiens. Pour ce système orthonormé cartésien 0 ; x, y, z on choisit: - l'origine 0 près du centre de masse de la Terre; - l'axe Oz proche de l'axe de rotation de la Terre; - le plan zOx est le plan méridien origine; - xOy est le plan équatorial terrestre. Le repère est matérialisé par des centaines de stations (ITRF2008 : 934 stations réparties sur 580 sites différents). Leurs coordonnées sont mesurées par une ou plusieurs des quatre techniques suivantes:

3.6. Annexe: systèmes de référence terrestre

83

- la télémétrie par laser sur satellite, dite SLR (Satellite Laser Ranging) , depuis 1975 ; - l'interférométrie à très longue base, dite VLBI (Very Large Baseline Interferometry) , depuis 1980; - la technique d'orbitographie DORIS (Détermination d'Orbite et Repositionnement Intégrés par Satellite), depuis 1990; - l'utilisation statique du GPS, voir chapitre 14, depuis 1990. Nous présentons très brièvement le principe de chacune de ces techniques. (a) SLR Depuis une station au sol, une station émet des impulsions laser qui visent un satellite muni de réflecteurs (figure 3.7). Une (très faible) partie du rayon émis revient sur le détecteur de la station au sol. La mesure du temps donne la distance (avec une précison de l'ordre du centimètre). Au début de la géodésie spatiale, seuls les satellites de ce domaine précis, comme LAGEOS1, étaient équipés de rétroréflecteurs (miroirs en forme de coin de cube). Mais rapidement, des satellites 33 des catégories les plus diverses ont été munis de réflecteurs : des satellites pour l'océanographie et l'environnement, pour la navigation type GPS, des satellites géostationnaires ... La même techniqué 4 s'applique avec 5 réflecteurs posés sur la Lune par 3 missions américaines (Apollo-11, -14 et -15) et 2 missions automatiques soviétiques (Luna-17 et -21). (b) VLBI L'interférométrie à très grande base est une technique astronomique développée à partir de 1980 (la première expérience date de 1967). Elle consiste à mesurer, avec deux antennes très éloignées, la différence de temps d'arrivée d'un même signal (longueur d'onde de l'ordre du centimètre) provenant d'une radio-source extra-galactique (quasar). La résolution est proportionnelle à la longueur de la base (distance entre les antennes) qui est donc limitée au diamètre terrestre (de l'ordre de quelques milliers de kilomètres). La base peut dépasser cette dimension grâce à l'utilisation de satellites en orbite haute. Le VLBI terrestre donne des résultats d'une grande précision (on atteint le milliarc seconde, 1 mas = 4.85 10- 9 rad.), tellement précis qu'on inverse maintenant la méthode: la connaissance de la position de centaines de sources 33Liste des principaux satellites utilisés. Satellites pour la géodésie: LAGEOS-l et -2, GFO, GFZ-l, Stella, Starlette, Wespac-l, Etalon-l et -2, Ajisai, GRACE-A et -B, GO CE. Satellites pour l'océanographie et l'environnement: TOPEX/Poseidon, Jason-l et -2, ERS1 et -2, Envisat, TerraSAR-X et TanDEM-X, CryoSat-2, Meteor-2-21 (Fizeau). Satellites de navigation: Navstar/GPS-35 et -36, pratiquement tous les satellites russes Glonass, GIOVE-A et -B, Compass-Ml et QZS-l. Quelques satellites en orbite encore plus haute, comme l'expérience METEOSAT-P2-LASSO (Laser Synchranization tram a Stationary Orbit) sur METEOSAT-3, ou le japonais H2A-LRE en orbite de transfert GTO. 34 Le rapport entre le nombre de photons reçus par le nombre de photons émis (appelé bilan de liaison) est en r- 4 , en notant la distance T. Dans le cas où la cible est la Lune, ce rapport est très faible: quelques photons recueillis par nuit! Seules deux stations ont fait des mesures sur une longue période: l'observatoire McDonald, Texas, États-Unis et l'OCA, Grasse, France.

84

Chapitre 3. Géopotentiel

extra-galactiques permet de définir avec une grande précision les axes de référence de la Terre. (c) DORIS Le système DORIS a été conçu et développé par le CNES en collaboration avec le GRGS et l'IGN. Des balises légères, autonomes en énergie, sont réparties de manière à couvrir de manière assez homogène la Terre (continents et océans). Elles émettent un signal qui est reçu et retransmis par le satellite, équipé à cette fin. La station pilote est située au CNES à Toulouse. La position du satellite est déterminée au centimètre près, grâce au réseau de stations utilisées comme points de référence au sol. Inversement, le système permet le rattachement précis de points donnés au Repère ITRF. Le système DORIS équipe une douzaine de satellites 35 en orbite LEO. (d) GPS Nous consacrons tout le chapitre 14 de ce livre au système de navigation par satellite (GNSS), dit communément GPS. Dans l'annexe GPS et plaques tectoniques, nous montrons comment la position des stations statiques de réception GPS peut être connue avec une précision millimétrique. Ces stations participent à l'établissement du Repère ITRF

3.7

Annexe : fonctions de Legendre

Polynômes de Legendre

La fonction génératrice des polynômes de Legendré 6 est :

(3.43) Ces polynômes, qui sont les coefficients de la série entière en t vue ci-dessus, sont définis pour tout n ~ 0 par: p (x) _ _1__ dn---,['-'..(x_2_-_1-,-r--,-l n - 2nn! dxn

(3.44)

35Le système a équipé ou équipe les satellites français SPOT-2, -3, -4 et -5, les satellites à coopération française TOPEX/Poseidon, Jason-1 et -2, les satellites européens Envisat et CryoSat-2. Il est prévu pour les français Pléiades-HR-1 et -2, le franco-indien Altika, le franco-chinois HY-2, le franco-américain Jason-3 et l'européen Sentinel-3-A. 36 Adrien Marie Legendre (1752-1833), mathématicien français. Dans Recherches sur la figure des planètes (1784), il introduisit les polynômes qui portent son nom. Chargé par la Convention de mesures géodésiques (distance entre les méridiens de Paris et de Greenwich), il développa la trigonométrie sphérique. Il obtint des résultats nouveaux sur les fonctions elliptiques, les fonctions bêta et gamma, les intégrales eulériennes. Ses Eléments de Géométrie furent réimprimés treize fois entre 1794 et 1827.

3.7. Annexe: fonctions de Legendre

85

Les premiers polynômes sont les suivants :

Fo(x)

=

1

3x 2 -1 2 35x 4 - 30x 2 + 3 8

Fs(x)

5x 3 - 3x 2 s 63x - 70x 3 + 15x 8

=

Fonctions de Legendre

Les fonctions de Legendre sont définies sur l'intervalle [-1; +1], pour tout 1 ? 0 et pour tout 0 :S; m :S; l, à partir des polynômes de Legendre par:

(3.45)

On a les relations :

Fzo(x)

=

(21)!

F/(x) 2 ~

-/-11 (1 - x )2 . et les premières fonctions de Legendre sont :

Fll(X)

Fll(x) =

V1- x 2

F 21 (X) =

3x~

F31(X) =

~

F33(X) =

15 (1 - X2)~

2

(5x 2 -1)

=

~

F22 (X) =

3 (1 - x 2)

F32(X) =

15 x (1 - x 2)

Chapitre 4

Mouvement képlérien 4.1 4.1.1

Accélération centrale Accélération dans le cas général

Vitesse et accélération

On considère un point matériel 5 dans l'espace, repéré par rapport à une origine 0 et trois directions fixes. On désigne le rayon vecteur, la vitesse et l'accélération du point 5 respectivement par les notations suivantes: r= 05

.

;

dr

r=-

dt

On considère le plan contenant le rayon vecteur et le vecteur vitesse. On définit dans ce plan un repère orthonormé (0 ; i, j) et une base de coordonnées polaires (en ee). On ajoute le vecteur unitaire porté par l'axe Oz pour définir un trièdre direct : k=i/\j=er/\ee

On note r le module du rayon vecteur, r = Ilrll et e l'angle mesuré à partir de l'axe origine, = (i, r). Les vecteurs unitaires e r et ee sont définis par: e r = r/r et (e r , ee) = 1r/2. On note la vitesse et l'accélération angulaires respectivement par et ë. Dans ce système de coordonnées planes, on obtient la vitesse et l'accélération du point 5 par dérivations successives de l'expression de OS:

e

e r

r

r er

(4.1)

(r: - r e ) e r + '2

en notant que (r 2

(4.2)

i'er+reee

ë + 2r r e)

=

d(r 2 e)/dt.

M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

d 2' -1 -d (r e) ee r t

(4.3)

88

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Moment cinétique

Le moment cinétique par unité de masse est défini par la relation:

G=r/\r

(4.4)

En dérivant par rapport au temps, on obtient: dG

..

..

..

-d =r/\r+r/\r=r/\r t

(4.5)

De plus, d'après sa définition et avec (4.1) et (4.2), on obtient pour G l'expression suivante: (4.6)

4.1.2

Propriétés de l'accélération centrale

On considère un point matériel S dans l'espace. Son mouvement est dit à accélération centrale s'il existe un point fixe 0 tel qu'à chaque instant le vecteur OS et le vecteur accélération soient colinéaires. Pour que le mouvement du point soit à accélération centrale, il faut et il suffit qu'on ait:

r/\r=O

(4.7)

Si on porte cette relation de définition dans (4.5), on obtient: dG -=0 dt

(4.8)

ce qui montre que, pour le type de mouvement étudié ici, le moment cinétique est constant au cours du temps :

G = r /\ r

=

constante

(4.9)

Si cette constante est nulle, le mouvement est rectiligne, r et r étant colinéaires. Si elle n'est pas nulle et nous nous placerons par la suite dans ce cas général, le mouvement du point est contenu dans un plan, qui est orthogonal au vecteur constant. Nous désignerons ce plan par P. La grandeur C, calculée par (4.6), est donc ici constante: avec On remarque que

G=Ck

ë ne change pas de signe au cours du mouvement.

(4.10)

4.1. Accélération centrale

4.1.3

89

Mouvement à accélération centrale

Expression de l'accélération

On pose:

r=Îe r

avec

Î=f(r)

(4.11)

puisque l'accélération est centrale, Î étant la valeur algébrique de cette accélération. Avec la valeur r calculée en (4.3), on obtient les deux relations suivantes, une pour chaque composante:

r-riP=Î

(4.12)

1 d 2' -;;: dt(r e) = 0

(4.13)

Avec cette dernière relation, on retrouve le fait que C est une constante. Loi des aires

On appelle A l'aire balayée (en valeur algébrique) par le vecteur T. L'aire élémentaire est donnée par la surface du triangle de base (r de) et de hauteur r. On a : dA = (r/2)rde et la vitesse aréolaire (aire balayée par unité de temps) est donc: dA = ~r2 ë = ~C (4.14) dt 2 2 Cette relation est appelée la loi des aires. Elle signifie que l'aire balayée est proportionnelle au temps ou, si l'on préfère, qu'en des intervalles de temps égaux, les aires balayées sont égales (figures 4.1 et 4.3). Formules de Binet

Les formules de Binet donnent la vitesse et l'accélération en fonction de l'angle e et de la variable auxiliaire u : 1

u= r

(4.15)

Pour les établir, on élimine le temps t en utilisant la relation (4.10) qui donne:

.

C

e= - =Cu r2 et on note de plus:

rë

=

2

Cu

Le calcul de dérivation fournit les relations : .

dr du

du de

de dt

ë du

r=-·-·-=---=u2

de

Cdu de

(4.16)

90

Chapitre 4. Mouvement képlérien

f

di"

= dt =

(di"). . d ( dU) de e = ede -c de

(4.17)

On obtient ainsi, avec (4.2) et (4.3), les valeurs de la vitesse et de l'accélération dans la base (en el!) : (4.18) (4.19) On pose:

V= 111'11 et on obtient les deux formules de Binet, à partir des deux équations précédentes, l'une relative à la vitesse (par son module V), l'autre à l'accélération (par sa valeur algébrique ,) : (4.20)

(4.21 )

4.2 4.2.1

Accélération newtonienne Équation de la trajectoire

On appelle accélération newtonienne une accélération centrale proportionnelle à (r- 2 ). La force correspondante est attractive l . L'expression de l'accélération vue en (4.11) s'écrit donc: (4.22) Avec la variable auxiliaire u, on a donc : (4.23) On voit l'intérêt de la formule de Binet relative à l'accélération (4.21) dans le cas d'une accélération newtonienne: le rapprochement de cette formule avec (4.23) montre une simplification par u 2 . Ce qui amène à l'équation suivante: (4.24) lOn réserve l'adjectif coulombien aux phénomènes liés à l'électrostatique (où les forces en jeu peuvent être attractives ou répulsives) et newtonien à ceux liés à la gravitation (où les forces en jeu sont uniquement attractives).

4.2. Accélération newtonienne

91

Cette équation différentielle linéaire du deuxième ordre, à coefficients constants, avec second membre constant, se résout facilement: la solution générale est la somme de la solution générale de l'équation sans second membre (introduisant deux constantes d'intégration) et d'une solution particulière (ici le second membre). On trouve:

u

=

Acos(B - Bo)

+ CIL2

(4.25)

A et Bo étant les deux constantes d'intégration. On obtient l'expression de r : p r = ------,-----:-

(4.26)

1 + e cos( B - Bo)

avec

C2

p=-

(4.27)

e = Ap

(4.28)

IL

ce qui représente l'équation d'une conique en coordonnés polaires dont l'origine 0 est un des foyers, p est le paramètre, e est l'excentricité, voir (1.16). Les grandeurs e et Bo seront déterminées par les conditions initiales. Pour étudier la relation entre ces grandeurs et ces conditions initiales, c'est-à-dire faire la discussion sur la nature de la trajectoire, nous allons utiliser la formule de Binet relative à la vitesse (4.20).

4.2.2

Discussion du type de trajectoire

Expression de l'excentricité

On revient à la variable u, qu'on écrit maintenant sous la forme:

u=

l+ecos(B-Bo)

(4.29)

----~-~

p

et qui donne par dérivation: du e = -- sin(B - Bo) dB p

-

(4.30)

En portant ces valeurs dans (4.20), on a : 2

v2

e +2ecos(B-Bo)+1=C2 P

2

(4.31 )

En tirant de (4.29) la relation ecos(B - Bo) = up - 1 et en exprimant p, on obtient:

92

Chapitre 4. Mouvement képlérien

et l'expression de l'excentricité en revenant à la variable

T

est ainsi: (4.32)

Puisque e, C et IL sont des constantes, cette équation montre que la quantité !C, définie ici, est constante: 1 2 IL !C = - V - - = constante

2

T

(4.33)

Nous verrons en fin de chapitre, avec la relation (4.106), que cette quantité correspond à l'énergie mécanique (par unité de masse). Dans le cas d'un mouvement à accélération newtonienne, T et V varient en vérifiant à chaque instant la relation (4.33). Étude des divers cas

Nous étudions les grandeurs T et e définies par les équations (4.26) et (4.32). On se reportera à la figure 4.11. Selon les valeurs que prend !C, l'excentricité e peut être supérieure ou inférieure à 1. On voit que la quantité (4.34) joue un rôle particulier dans cette discrimination. En effet : - si !C > 0, soit V > Vi, alors e > 1 : hyperbole de foyer O. Il s'agit de la branche qui tourne sa concavité vers l'origine 0, puisque la force est attractive; - si !C = 0, soit V = Vi, alors e = 1 : parabole de foyer 0 ; - si !C < 0, soit V < Vi, alors e < 1 : ellipse de foyer O. Dans ce dernier cas, il y a une condition pour l'équation (4.32) le deuxième membre ne doit pas être négatif. Il faut donc : 2

IL IL V 2 -2-:>--T y C2

soit la condition : avec:

Vs

=

V!!. - !!.P 2

T

(4.35)

où la vitesse Vs est appelée vitesse de satellisation à la distance T. Nous allons revenir sur ce cas un peu plus loin dans le cas particulier de l'ellipse d'excentricité nulle (cercle de centre 0).

4.3. Mouvement képlérien: trajectoire et période

93

Quant à la vitesse Vi définie ci-dessus, on comprend son sens: avec V ~ Vi, le point S, décrivant une parabole ou une branche d'hyperbole, peut aller à l'infini; par contre, avec V < Vi, le point S reste à distance finie de 0 et le mouvement est périodique. On donne donc à cette vitesse (qui est fonction de r-) le nom de vitesse de libémtion à la distance r-. On dit aussi vitesse d'évasion. La vitesse V doit donc répondre aux conditions :

(4.36) pour que le mouvement soit périodique. La vitesse V du corps doit être supérieure à Vs pour qu'il soit en orbite, mais inférieure à Vi pour qu'il reste soumis à l'attraction gravitationnelle centrale 2 . On note que la nature de la trajectoire ne dépend pas de l'orientation du vecteur vitesse, mais uniquement de son module V, en un point à la distance r- de l'origine.

4.3 4.3.1

Mouvement képlérien trajectoire et période Définition

Le mouvement képlér-ien est le mouvement d'une masse ponctuelle dans un champ central en 1/r-2, le centre du champ étant fixe. Ce champ est un champ gravitationnel, créé par une autre masse, supposée immobile. On ne considère que ces deux masses: il n'y a pas de perturbations provenant d'autres corps. Dans ce chapitre, nous allons étudier le mouvement de ce point matériel S et il suffit de considérer qu'il est soumis à une accélération newtonienne ou, en terme de forces, qu'il est soumis à une force centrale en 1/r-2 dans un référentiel galiléen. L'objet de ce travail étant l'étude des trajectoires de satellites, nous ne nous intéressons plus à partir d'ici, sauf exception, qu'aux trajectoires périodiques, c'est-à-dire elliptiques (JC < 0 ou e < 1). 2 Au début de l'ère spatiale, on rencontre, particulièrement dans la littérature scientifique soviétique, les expressions « première vitesse cosmique» pour Vs et «seconde vitesse cosmique» pour Vj. La « troisième vitesse cosmique» est celle qui permet de quitter le Système solaire.

94

4.3.2

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Trajectoires du mouvement périodique

Trajectoires elliptiques

Pour une trajectoire elliptique, à partir de la valeur de l'excentricité, donnée par (4.32), on peut écrire:

1- e 2

2 C2 ---K

=

avec

IL2

On sait également qu'une ellipse est définie par son demi-grand axe a et son excentricité e. Le paramètre p est défini par p = a(l - e2 ). On a donc, avec (4.27) :

C2

P

2

1-e = - = a ILa

(4.37)

On déduit de ces relations : 2K

=

V2

_

2ft

=

_~

a On obtient l'expression de la vitesse V en fonction de T

(4.38) T :

(4.39) On vérifie que le second membre de l'équation est toujours positif (dans une ellipse, T est toujours inférieur à 2a). En résumé, on peut écrire l'équation de la trajectoire elliptique en coordonnées polaires T( B) sous la forme: T

=

T (B)

C2

= -

1 ft l+ecos(B-Bo)

----:-::-----=---:-

(4.40)

avec: (4.41) ou bien: T

=

T

B = a(l - e 2 ) () l+ecos(B-Bo)

(4.42)

Avec le mouvement périodique du point S, la distance T passe par un minimum et un maximum, respectivement notés 3 Tp et Ta :

Tp Ta

=T(B=Bo) = T(B = Bo + 7T)

=a(l-e) =a(l+e)

(4.43)

3Les deux indices (p) et (a) font référence à périgée et apogée, noms utilisés pour désigner ces positions dans le cas de mouvement autour de la Terre (~ yYj, Yjç), ou à périhélie et aphélie, dans le cas de mouvement autour du Soleil (0 ~ÀlOÇ, ou). On peut dire aussi, de manière plus générale, sans spécifier le corps attractif, périastre et apoastre ou bien péricentre et apocentre. Les préfixes péri et apo viennent des adverbes 1tEP1, « au-dessus» et &'1tÔ, « au loin». Les noms périhélie et aphélie ont été créés par Kepler (1596) à partir des termes de Ptolémée, périgée et apogée.

4.3. Mouvement képlérien: trajectoire et période

95

dont la somme est évidemment r p + ra = 2a. On peut exprimer l'excentricité sous la forme: e

ra - rp ra+rp

=

=

ra _ 1 = 1 _ rp a a

(4.44)

En considérant l'équation (4.39), on voit que la vitesse V passe par un maximum Vp pour r = r p et par un minimum Va pour r = ra qui ont pour valeurs respectives :

v:p

=

+e fK~ a 1-e

~ -(1 + e) p

(4.45)

Va

=

ŒJ1l+e - e = yp f0.(1 - e) y-;;

(4.46)

-

-- =

On en déduit les relations entre les vitesses aux apsides 4

qui permettent de retrouver le moment cinétique C, puisque, pour ces deux points extrêmes sur l'ellipse, la vitesse et le rayon vecteur sont orthogonaux. On note aussi : l+e (4.4 7) 1-e rp En utilisant l'angle d'excentricité apsides s'écrivent:

v:p

=

E,

défini par (1.27), les vitesses aux

Œtan (~4 + .:.) y-;; 2

(4.48)

La vitesse peut s'exprimer en fonction de l'angle polaire. En partant de (4.31), on obtient:

IL 1+2ecos(e-eo)+e 2 a

(4.49)

Exemple 4.1 Calcul de l'excentricité de l'orbite d'un satellite artificiel de la Terre dont l'altitude au périgée est de 500 km et celle à l'apogée de 40 000 km (orbite type Molnya). On prendra R = 6400 km. 40 n appelle « ligne des apsides» la ligne qui relie le périgée à l'apogée. Ce segment représente le grand axe de l'ellipse. Périgée et apogée sont les deux apsides, dites respectivement apside inférieure et apside supérieure. Ce mot vient du grec ~ &tjJk, ~ôoç, «voûte », «voûte du ciel », avec perte de l'aspiration initiale. Le terme architectural « abside» (extrémité arrondie en hémicycle qui termine le chœur d'une église) a la même origine, mais après passage par le latin absida.

96

Chapitre 4. Mouvement képlérien

~ En notant hp et ha les altitudes respectives au périgée et à l'apogée, en utilisant les distances r p et ra définies par (4.43), on a : rp = R + hp ra = R + ha a = R + (ha + h p )/2 On obtient, avec (4.44), la valeur de l'excentricité:

(4.50) Dans le cas de l'orbite Molnya, on a : e = 39 500/(12 800 + 40500) é:::: 0.75. De plus, la relation (4.47) donne: Va/Vp = (1 - e)/(l + e) = 0.25/1.75 = 1/7. Ce type d'orbite permet d'obtenir pour le satellite une vitesse sept fois plus lente à l'apogée qu'au périgée. ....

Cas particulier des trajectoires circulaires

Un cercle est une ellipse d'excentricité e

= O. La relation (4.41) donne:

ce qui, porté dans (4.26), amène à la relation attendue pour un cercle:

Les vitesses remarquables Vi et ici:

Vi

=

Vs,

définies par (4.34) et (4.35), deviennent

r;ii

V2~

(4.51 )

De plus, la relation avec la constante J( donne ici: 2 J(

=V2 _

2/t

a

=_0.. a

ce qui entraîne : (4.52) Le module V de la vitesse est constant et égal à Vs. Le mouvement circulaire est uniforme. On peut aussi vérifier, en considérant la valeur de , donnée par (4.22), qu'on retrouve bien la valeur de l'accélération normale dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme : IL

V2

,=-=-2 a

a

4.3. Mouvement képlérien: trajectoire et période

4.3.3

97

Période - Anomalie moyenne M

Période

On appelle période le temps T mis par le point pour décrire entièrement l'ellipse. En intégrant sur la durée d'une période l'équation (4.14), on a : 1 2

A= -CT Dans ce cas, A représente l'aire de l'ellipse, soit A = 7rab, b étant le demi-petit axe de l'ellipse. On rappelle la relation: b2 = pa. Donc

On obtient ainsi la valeur de la période:

T

=

la} 27ry;;

(4.53)

Cette période est appelée durée de révolution 5 , ou période orbitale, ou période képlérienne 6 du mouvement. Il faut noter que, pour un corps attracteur IL donné, la période képlérienne ne dépend que du demi-grand axe a, l'excentricité e n'intervient pas. Moyen mouvement et anomalie moyenne

On définit la pulsation n correspondante, appelée le moyen mouvement: (4.54) Le moyen mouvement est la pulsation (unité SI : rad s-1, radian par seconde) du mouvement uniforme circulaire, de rayon a, d'un point fictif qui aurait la même période qu'un point en mouvement képlérien sur une orbite de demigrand axe a. 5Révolution vient du bas-latin revalutia, anis, «déroulement», «retour», du verbe latin valvere, « rouler» avec le préfixe re-. Dès le Moyen-Âge, le sens est celui de « retour périodique d'un astre à son point de départ». Copernic l'utilise pour le titre de son œuvre. Le passage au sens courant actuel est venu plus tard, pour signifier un changement de régime politique, économique ou culturel, important ou radical, comme « la Révolution française» ). Le sens scientifique a donc précédé le sens commun. Lorsque Kant (1787) parle de « révolution copernicienne», la boucle est bouclée! 6Lorsque le mouvement képlérien est perturbé, comme nous verrons plus loin, on définit plusieurs périodes, relatives au mouvement réel, comme la période nodale (ou draconitique) et la période anomalistique.

98

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Avec (4.53), on peut exprimer très simplement la constante des aires C en fonction de n et des dimensions de l'ellipse:

C

= n a

b

(4.55)

Par souci d'homogénéité avec ce qui va suivre, à savoir l'utilisation d'angles appelés anomalies 7 , on transforme, pour un mouvement périodique, le temps en angle: l'vI varie linéairement avec le temps, de NI = 0 pour t = t p , au passage au périgée, à NI = 27f pour le passage suivant, à t = t p + T. La définition de cet angle, appelé anomalie moyenne, est donc :

(4.56)

4.3.4

Loi horaire

Les relations que nous avons établies nous ont permis de connaître la trajectoire en coordonnées polaires, c'est-à-dire une relation entre r et B. Ces relations ont été obtenues sans faire intervenir le temps, puisque les relations de départ sont les formules de Binet, établies en éliminant le temps. Pour trouver l'expression du temps t en fonction d'une des coordonnées polaires, c'est-à-dire établir la loi horaire du mouvement qui permettra de prédire à tout moment la position du point 5, il nous faut revenir à la constante de la loi des aires du mouvement à accélération centrale, l'équation (4.10). Pour obtenir t, il faut donc intégrer:

(4.57) Par cette intégration, nous obtiendrons le temps t en fonction de la position du point, définie par r ou B. D'un point de vue pratique, c'est généralement la résolution inverse qui est demandée: connaître la position du point à un instant donné t. Elle n'a pas de solution analytique directe et fait l'objet d'un traitement particulier: c'est le problème de Kepler. Nous développons ci-dessous les deux questions: - déterminer le temps en fonction de la position; - déterminer la position en fonction du temps. 7Le terme a été créé par Kepler (anomalia, œ, en latin) pour désigner ces angles. Il est calqué sur le mot grec ~ &\lWllotÀ[ot, otç qui signifie « irrégularité» (préfixe &\1 privatif, adjectif OllotÀÔÇ, «semblable à lui-méme », «régulier»). Le terme veut rendre l'idée du comportement irrégulier de cet angle au cours du temps (puisque le mouvement n'apparaît pas comme circulaire et régulier). Kepler l'a créé pour repérer la position de Mars par rapport au Soleil et a défini plusieurs anomalies. Parmi elles, les trois que nous utilisons ci-après : l'anomalie vraie (anomalia coœquata vera), l'anomalie excentrique (anomalia eccentri) et l'anomalie moyenne (anomalia media). Dans Astronomia Nova, Kepler utilise, à côté de l'anomalie vraie, l'anomalie « artificielle» (anomalia coœquata jictitia) ainsi que quatre autres anomalies (anomalia circularis 8 elliptica, anomalia distantaria, anomalia scrupularia).

4.4. Temps en fonction de la position - les trois anomalies

4.4

99

Temps en fonction de la position - les trois anomalies

L'obtention de t se fait, avec (4.57), par intégration de r 2 dB. On envisage deux méthodes. Avec la première, on élimine r, en l'exprimant en fonction de B, sous la forme r = f(B). On obtient t par: t =

~

J

[f(B)]2 dB

Avec la seconde, on élimine B, en exprimant dB sous la forme dB On obtient t par:

=

g(r)dr.

Nous verrons aussi comme ce dernier résultat peut être obtenu par une méthode basée sur les propriétés géométriques de l'ellipse.

4.4.1

Expression t = t(e) - Anomalie vraie v

On part de l'équation (4.57) dans laquelle on remplace r par son expression en fonction de B, donnée par (4.40) : dt =

~

p2

C [1 + ecos(B - Bo)]

2

dB

La valeur minimale de r = rp est obtenue pour B = Bo, voir équation (4.43), et il est plus pratique de compter les angles à partir de cette origine. On fait donc le changement de variable :

v = B - Bo

(4.58)

l'angle v est appelé l'anomalie vraie. On calcule alors t = t( v) par: p2 t = C

J

dv (1 + ecosv)2

L'intégration de fonctions de ce type donne: I

=

j' (l+ecosv)2 dv

J__

= _

d_v__ = 1 + e cos v

dv (l-e1 Jl+ecosv arctan (J_l_-_e tan ~) JI - e2 1+ e 2

e sin v + (l-e 2)(I+ecosv) 2

2)

100

Chapitre 4. Mouvement képlérien

En utilisant (4.37), on obtient:

p2 1*3(1 -

-

C

=

2;;

e )2

-

IL

=

(1 - e n

2)~

-'------------'-

avec l'expression du moyen mouvement n, donnée par (4.54). En prenant pour origine du temps t = t p pour r = rp et v = 0, on obtient:

ce qui donne la loi horaire recherchée:

n(t - t p )

=

M

=

2 arctan

v)2 --e - tan(~ l+e

e~sinv

1 + ecosv

(4.59)

e ou, ce qui est équivalent,

On a ainsi exprimé t en fonction de l'angle polaire

NI en fonction de v.

À partir d'ici, nous écrirons (4.42) sous la forme suivante:

r

=

r( v)

a(l - e 2 ) + e cos v

(4.60)

= 1

qui donne la distance r en fonction de l'anomalie vraie.

4.4.2

Expression t

t( r) - Anomalie excentrique E

=

Obtention analytique de l'équation de Kepler

Au lieu d'exprimer de directement en fonction de r, on prend un chemin voisin, en partant de l'équation (4.32), liant V et r aux caractéristiques de l'ellipse, pour écrire: 2

2/L

fL2

2

V = --;:- - C2 (1 - e ) À partir de l'expression vectorielle de la vitesse (4.2), on a :

où

e a été éliminé par l'utilisation de la loi des aires (4.14). D'où la relation: .2

r

=

(dr) 2 IL2 2 dt = - C2 ( 1 - e )

qui amène à l'équation différentielle:

2/L

+ --;:- -

C2 r2

4.4. Temps en fonction de la position - les trois anomalies

101

On remplace C 2 par JLa(l - e2 ) pour obtenir les simplifications suivantes: JL2

2

2

JL

2

2

2

--(l-e)r +2W-C =--r +2W-'La(1-e) C2 a

et arriver à :

(4.61 ) Pour intégrer cette équation, il est commode d'introduire la variable angulaire auxiliaire E telle que a - r = ae cos E qu'on peut ainsi définir par: cos E

=

~ e

(1 -

.c) a

(4.62)

Cet angle est appelé anomalie excentriqué. Il est représenté sur la figure 4.1. Nous donnons ci-dessous sa signification géométrique dans l'ellipse. On remarque: E = 0 pour r = rp et E = 7r pour r = ra, voir (4.43). On fait donc le changement de variable:

r

= a(l -

ecosE)

(4.63)

et, en fonction de E, (4.61) devient, avec dr = a e sinE dE:

dt

=

If;,

a(l - e cos E) dE

On intègre en prenant pour origine du temps t = t p pour r = rp et E = 0 : t - tp =

V{;;3 ;; (E -

e sin E)

et en utilisant le moyen mouvement n, on obtient :

n(t - t p )

=

M

=

E - e sinE

Cette relation est appelée équation de Kepler. On a ainsi exprimé t en fonction de r ou, ce qui est équivalent, fonction de E.

(4.64)

JI.;[

en

8Excentrique : en dehors du centre. Le centre dont il est question ici n'est pas le centre du cercle ou de l'ellipse, mais le foyer de l'ellipse, le centre attractif. Dans le chapitre l, cet angle apparaît dans la relation (1.29).

102

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Obtention géométrique de l'équation de Kepler

On utilise la loi des aires et le fait que l'ellipse est la transformée du cercle principal par affinité, de rapport ~, d'axe Ox et de direction Oy. Si on intègre la loi des aires (4.14) entre t p et t, on obtient: t -

2

tp = - A C

la grandeur A étant l'aire balayée entre ces deux instants, c'est-à-dire, avec les notations de la figure 4.1, l'aire du triangle curviligne OPS. On note par AI l'aire du triangle curviligne OPT, T étant le point donnant S par transformation affine. On a donc:

A=~AI En remplaçant C par

J JLa(l -

e2 ), on a :

t-t p

=

2

--A

1

VJia

Le calcul de la surface AI donne :

AI

secteur CPT - triangle COT secteur {angle E} -

~a2E-~ 2

2

1

"2

CO . HT

(ae)·(a sinE) =

~a2(E-e 2

sinE)

Par cette méthode géométrique, on obtient ainsi très rapidement l'équation de Kepler, avec l'expression de AI et en introduisant le moyen mouvement:

n(t - t p )

4.4.3

=

M

=

E - e sin E

(4.65)

Relation entre les anomalies

Relation entre les anomalies v et E

Pour établir les relations entre v et E (figure 4.1), on munit l'ellipse d'un repère (Ox,Oy). On désigne par 0 le foyer principal, centre du champ newtonien, et C le centre de l'ellipse. Le grand axe est AP, P (périgée) étant le point de l'ellipse le plus près de 0, A (apogée) le plus éloigné. On prend l'axe Ox selon OP et l'axe Oy directement orthogonal en 0 à Ox. On appelle R l'intersection de Oy avec l'ellipse, Q l'intersection de la parallèle en C à Oy avec l'ellipse. On a les correspondances suivantes:

a

=

CP; b = CQ ; p

=

OR ; ae

=

CO ;

Tp

=

OP;

Ta

=

OA

4.4. Temps en fonction de la position - les trois anomalies

103

y

T

A

x

e

=

0.75

FIG. 4.1: Trajectoire elliptique. Ellipse et cercle principal, avec notation des points

et des angles utilisés pour l'établissement géométrique de l'équation de Kepler.

On trace le cercle tangent extérieurement à l'ellipse, de centre C, de rayon CP, appelé cercle principal. Soit S un point quelconque sur l'ellipse et H sa projection sur Ox. L'anomalie vraie se définit immédiatement comme l'angle polaire: v = (Ox, OS)

L'anomalie excentrique s'obtient géométriquement à partir de sa définition comme:

E = (Cx, CT) le point T étant l'intersection de la demi-droite H S avec le cercle principal déjà défini. En effet, d'après la relation (4.62), on a cos E = (a - r) / (ae). On transforme (a - r) de manière à faire apparaître v : a - r = a(l - e 2 ) - r + ae 2 = r(l + e cos v) - r + ae 2 = e(r cos v + ae) ce qui donne, avec les points notés sur la figure 4.1 : cos E = r cos v + a e = CH a CT L'angle E est bien l'angle C du triangle rectangle HCT.

104

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Pour obtenir la relation entre les angles v et E, on écrit les coordonnées du point S :

x

rcosv

=

y = rsin v

Jx 2 + y2 = r

a(cosE - e)

(4.66)

a~sinE

(4.67)

a(l-ecosE)

et on en déduit les relations entre les anomalies vraie et excentrique. On remarque que v et E changent ensemble de signe. Pour v en fonction de E :

cosE - e cos v = 1 _ e cos E

~1 - e 2 sinE sin v = ------=1 - ecosE

On calcule les quantités (1 + cos v) et (1 - cos v) : 1 + cosv =

(1 - e)(l + cosE) 1- ecosE

(1 + e)(l - cosE) 1 - ecosE pour arriver à la relation: 1 - cosv =

v tan2

=

===}

===}

cos 2 '!!.. 2

1-e E cos 2 1 - ecosE 2

sin 2 '!!.. 2

E l+e sin 2 1 - ecosE 2

Vê+e - - t a nE 1- e 2

(4.68)

Pour E en fonction de v : cosv + e cosE= - - - 1 + ecosv

sinE

tan -E = 2

~sinv 1 + ecosv

= -----

~-e v --tan-

(4.69) l+e 2 On peut aussi exprimer la différence (v - E) en fonction de v ou de E :

v- E tan - 2 avec:

=

{3 sin E 1 - {3 cos E e

{3-

{3 sin v 1 + {3 cos v

= -----,--

1 - ~1 - e 2 ----e

(4.71)

-1+~-

Avec l'angle d'excentricité

E,

(4.70)

défini par (1.27), on a : (4.72)

tan "2 = tan V

(7r"4 + "2E)

E

tan2

tan

E = "2

tan

(7r"4 - "2f)

v tan -

2

4.5. Position en fonction du temps - le problème de Kepler

105

Relations différentielles entre les anomalies Par définition même de l'vI, on a : dM -=n dt

(4.73)

La relation (4.64) donne:

n

=

et donc:

dM

-

dt

=

dv dM

dE (1 - e cos E)-

dt

1 1 - cosE

(4.74)

(4.75)

La relation entre d1\lI et dv se déduit de la loi des aires. L'équation (4.14) donne: de c

dt

r2

et, puisque de et dv sont équivalents, on a : dM r2 dv n=-= dt a 2 Vl - e 2 dt

(4.76)

On a ainsi la relation entre dv et d1\lI : (4.77)

4.5 4.5.1

Position en fonction du temps - le problème de Kepler Méthodes de résolution du problème de Kepler

Nous venons de voir comment on peut exprimer le temps à l'aide des trois anomalies, de manière analytique. Le problème inverse consiste à exprimer l'anomalie vraie en fonction du temps. On l'appelle problème de Kepler et il n'a pas de solution analytique. Pour un instant t donné, définissant une valeur 1\11 = l'vI(t) de l'anomalie moyenne, l'équation de Kepler s'écrit:

E - e sinE

=

M

On veut obtenir E en fonction de 1\11, pour ensuite obtenir v.

(4.78)

106

Chapitre 4. Mouvement képlérien y

x

FIG. 4.2:

Schéma explicatif de la méthode itérative de Newton-Raphson.

Depuis Kepler, des dizaines 9 de méthodes ont été proposées pour résoudre cette équation transcendante en E. Nous en présentons ici quelques-unes: - une méthode numérique itérative; - un aperçu de méthodes basées sur les développements en séries et une formule approchée pour les excentricités faibles. Nous n'insisterons que sur la première méthode qui est actuellement la plus utilisée. Elle est aussi précise qu'on le veut et ses calculs, autrefois fastidieux, demandent une fraction de microseconde de temps d'ordinateur.

4.5.2

Méthode numérique de résolution par itération

Méthode de Newton-Raphson Le principe de la résolution est basé sur la méthode de Newton-Raphson qui consiste à approcher une courbe au voisinage d'un point par sa tangente en ce point (développement de Taylor au premier ordre). On procède par itération. On transforme l'équation de la courbe de manière à la ramener à la forme f(x) = O. On s'assure qu'il y a une solution et qu'elle est unique. 9Le Bulletin Astronomique de l'Observatoire de Paris, en janvier 1900, donnait une bibliographie de 123 articles sur la résolution du problème de Kepler, que ce soit de manière analytique ou graphique. On y retrouve tous les grands noms de l'astronomie et des mathématiques : Kepler (1609), Newton (1687), Cassini (1719), Simpson (1740), Euler (1747), Lalande (Astronomie, 1764), Lagrange (Sur le problème de Kepler, 1769), Gauss (Theoria motus, 1809), Littrow (Anomaliœ verœ per mediam determinatio, 1814), Delambre (1817), Bessel (Über das Keplersche Problem, 1818), Laplace (Mémoire sur le développement de l'anomalie vraie, 1823), Wallace (Two elementary solutions of Kepler's problem, 1835), Encke (Aufiosung des Keplerschen Gleichung, 1850), Cauchy (1854), Lehmann (Ueber eine definitive Losung des Keplerschen Problems, 1855, suivi de beaucoup d'autres publications - définitives? - pendant plusieurs années), Le Verrier (1855), Radau (1882).

4.5. Position en fonction du temps - le problème de Kepler

107

En un point An de coordonnées [x = X n , y = f(xn)] sur la courbe, on trace la tangente (figure 4.2). Elle coupe l'axe des abscisses en un point Bn' [x = X n+l,y = 0]. À partir de Bn, on construit le point de la courbe qui a même abscisse que Bn, noté An+1' [x = X n+l, Y = f(x n+1)] et on opère de même jusqu'à obtenir une convergence. On exprime la pente de la droite qui relie les points An et Bn : Yn -

d'où la relation: X

n+l

= Xn

°

f(xn) - f'(xn)

(4.79)

Résolution par la méthode itérative

Considérons l'équation de Kepler, avec E qui joue le rôle de x, écrite sous la forme:

f (E)

=

E - e sin E - M

La solution cherchée sera telle que f(E) = O. La dérivée de f par rapport à E est:

j'(E)

=

1 - e cosE

°

On remarque que si JI.;[ est égal à ou K, la solution est E = JI.;[. On vérifie d'abord qu'il y a une solution et qu'elle est unique. On considère donc E et M l'intervalle ouvert ]0, K[ et on voit que f(O) = -M et f(K) = K - M. Il Y a donc au moins une solution, puisque pour cette fonction continue on a f(O) < et f(K) > O. La dérivée étant toujours positive, f'(E) > avec e < 1, la fonction est strictement croissante et la solution est unique. On fait le même raisonnement dans l'intervalle] - K, 0[. On applique alors la formule d'itération:

°

°

E n+l -- E n- En - e sin En 1 - e cosEn

JI.;[

(4.80)

On part d'une valeur initiale, Eo, à définir. Lorsqu'on considère que la solution est obtenue, selon la précision requise, on pose E = En+l' Avec la solution E trouvée, on obtient v par (4.68), soit:

v = 2 arctan

-+e - tan -El [~ 1- e 2

(4.81)

108

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Convergence de l'itération

La rapidité de convergence (le nombre d'itérations N nécessaires pour obtenir le résultat) dépend de e, NI et de la valeur initiale choisie, Eo. Elle dépend aussi de la précision recherchée. Nous notons cette précision par Qk, pour laquelle l'angle choisi est connu avec une erreur inférieure à lO-k degré ou, si l'on préfère, qui garantit, pour E exprimé en degré, k chiffres exacts après la virgule. Le nombre N peut s'écrire comme une fonction:

La question de rapidité de convergence n'est plus d'actualité aujourd'hui à cause de la vitesse du calcul informatique. En hommage aux astronomes qui, pendant quatre siècles, ont effectué des calculs sur ce problème, nous donnons quelques indications sur cette question. Classiquement, on pose:

Eo=M

pour l'initialisation de E. Dans ce cas, la convergence est assez rapide, sauf pour e > 0.9 lorsque les valeurs de l'anomalie moyenne sont faibles, I.!VII < 20°. On augmente notablement la rapidité de convergence en prenant comme initialisation :

Eo = M

+e

si M

ce qu'on peut écrire:

~

0

Eo = M

Eo = M - e

si M ::::; 0

+ e . u(M)

où u( M) représente la fonction Signe de M (+ 1 pour M > 0; -1 pour NI < 0). Les angles E et NI sont comptés en radians et dans l'intervalle

] - 7f, +7f].

La figure 17.2 illustre ces deux cas, pour lesquels on a tracé:

N = N(e,M;Eo = M, Q6)

N = N (e, M; Eo = M

+ e· u(M), Q6)

Exemple 4.2 Calcul de la position (coordonnées polaires), avec un pas de 1 heure, d'un satellite de la Terre, d'excentricité e = 0.74 et de période T = 12 heures. ~ Ce satellite a une orbite du type Molnya. Une heure de temps représente, pour l'anomalie moyenne, 360/T = 360/12 = 30 degrés. Nous résolvons en détail le problème de Kepler pour J'vI = 30°. Les angles sont convertis en radians et dans l'intervalle ]- 'if, +'if]. Utilisons (4.80). L'itération commence avec Eo = J'vI = ('if /6) On calcule ensuite El :

_ -'-'----''------,-----'---'---'-:-.,.......;'-'-----'('if/6) - 0.74 sin('if/6) - ('if/6) El -_ (~/6) " 1- 0.74 cos('if/6)

= 1. 55383

4.5. Position en fonction du temps - le problème de Kepler

109

et de méme E2, E3, etc. :

E 2 = 1.55383 _ 1.55383 - 0.74 sin(1.55383) - (7f/6) = 1.25980 1 - 0.74 cos(1.55383) E3

= 1.25980 _ 1.25980 - 0.74 sin(1.25980) - (7f/6) = 1.21882 1 - 0.74 cos(1.25980)

E4 = 1.21882 _ 1.21882 - 0.74 sin(1.21882) - (7f/6) = 1.21803 1 - 0.74 cos(1.21882) E5

= 1.21803 _ 1.21803 - 0.74 sin(1.21803) - (7f/6) = 1.21803 1 - 0.74 cos(1.21803)

On considère le résultat atteint au bout de 5 itérations, vu la précision cherchée (Q4 ici) : E = 1.21803 Avec l'initialisation modifiée, l'itération commence avec: Eo = Iv! + e = (7f/6) + 0.74 = 1.26360. On calcule ensuite : E 2 = 1.21803 El = 1.21897 E3 = 1.21803. La convergence est plus rapide. L'anomalie excentrique E étant déterminée, E = 1.21803 rad = 69.7880°, on obtient v par (4.81) : v = 2 arctan [ VI. 74/0.26 tan( 69.7880/2)] = 122.0062°. On note, figure 4.3(a), où les angles sont en degrés, les valeurs de v, obtenues après itération sur E, pour les valeurs de J'vI demandées. Par raison de symétrie dans le problème de Kepler, le calcul pour les angles J'vI compris entre -180° et 0° est inutile: on remplace IvI par son opposé et, dans les résultats, on remplace E et v par leurs opposés respectifs. Pour connaître la distance r, on calcule d'abord le demi-grand axe par (4.53), ce qui donne a = 26609 km. On calcule r = r(v) avec (4.60), et les résultats sont notés dans la figure 4.3(a). On a évidemment r(-v) = r(v) (angles en degrés). Notons de plus que si on veut savoir à quel instant le satellite a atteint une anomalie vraie donnée, disons 90°, on obtient directement le résultat, sans résolution du problème de Kepler. On utilise (4.59), en posant v = 7f/2 rad: Iv! = 2 arctan (VO.76/1.74) - (0.74V1- 0.74 2 ) = 0.73773 - 0.49773

soit Iv! = 0.23000 rad = 13.751° équivalent à 13.751/30 heure = 28 min. La valeur de r à cet instant correspond au paramètre p. On a ici : r = r( v = 7f /2) = a(l - e 2 ) = p = 12 037 km. En se référant à la figure 4.1, le satellite S met 28 minutes pour aller du point P, le périgée (v = 0°), au point R, d'anomalie vraie v = 90° et il met 5 h 32 min pour aller de R à l'apogée A (v = 180°). Remarque. Nous avons considéré ici un satellite de type Molnya, avec une période d'un demi-jour moyen (720 min). En réalité, la période d'un tel satellite est d'un demi-jour sidéral (718 min). La figure 4.3(b) illustre les résultats de cet exemple. ...

l10

Chapitre 4. Mouvement képlérien

t

M

0 1 2 3 4 5 6

0 30 60 90 120 150 180

Molnya

El

E2

E3

E4,E5

v

r

00.000 89.028 118.283 132.399 146.802 162.920 180.000

00.000 72.181 102.775 125.001 144.587 162.646 180.000

00.000 69.833 101.550 124.811 144.576 162.646 180.000

00.000 69.788 101.542 124.811 144.576 162.646 180.000

00.000 122.006 144.969 157.156 165.924 173.248 180.000

6918 19806 30548 37850 42655 45403 46299

11111

Orbite et corps attractif dans le plan orbital

Distances (km) a =26560.672 b =17864.891 c =19654.896

a =26560.672 km

Altit. équiv. = 20182.5 km

e = 0.740000

Inclin. CRITIQUE = 63.42 Arg. Périgée = +270.00 0 Période

=

0

718.03 min

Illustration graphique de la "Loi des Aires"

R = 6378.136

Intervalle de temps

entre deux marques: 59.8 min

Projection de l'équateur terrestre dans le plan de l'orbite du satellite nL(,)V

MC * LMD

4.3 : (a) Tableau et (b) Schéma. (a) Problème de Kepler: obtention de l'anomalie vraie par méthode itérative (avec initialisation Eo = NI). L'anomalie moyenne NI est proportionnelle au temps t, compté à partir du passage au périgée. Les diverses valeurs Ei obtenues par itération sont notées. Ici, convergence à partir de E4. On obtient finalement l'anomalie vraie v et la distance au foyer r. Le temps t est en heures, les angles NI, E et v en degrés, la distance r en km. (b) Trajectoire d'un satellite Molnya, en orbite elliptique d'excentricité e = 0.74. La période est de 718 minutes (pratiquement 12 heures). La position du satellite, à chaque heure, est notée par un trait reliant le satellite au centre attractif (centre de la Terre, foyer de l'ellipse trajectoire) de manière à illustrer la loi des aires, seconde loi de Kepler. FIG.

4.5. Position en fonction du temps - le problème de Kepler

4.5.3

111

Autres méthodes de résolution

Nous esquissons le principe de méthodes qui, de manière différente, transforment la quantité E - NI. Quand E est obtenu à partir de NI, on calcule

v = v(E).

Fonctions de Bessel

La fonction E - NI = e sin E est une fonction impaire périodique de l'vI. On la décompose en série de Fourier, utilisant les fonctions de Bessel de première espèce, Jk :

E - M

=

~ 1

2 L

. k Jk(ke)smkM

(4.82)

k=l

Développement en série de l'excentricité

En partant de E -NI = e sinE, Lagrange écrit E -NI sous forme d'une série entière de l'excentricité: 00

é

E-M= "" L k! k=l

d k - 1 sin k l'vI dMk-l

(4.83)

Laplace a démontré que le rayon de convergence était eo = 0.66274 ... Cette méthode ne convient donc pas pour les excentricités supérieures à cette valeur. Pour les excentricités faibles, un développement limité à l'ordre 3 de l'excentricité est donné par (4.89). Formule approchée pour excentricités faibles

On écrit cos l'vI et sin NI, à partir de (4.78), en s'arrêtant au premier ordre en e. Cela revient à écrire: cos(e sinE) c:::: 1

sin(e sinE) c:::: e sinE

On obtient: cos l'vI = cos(E - e sinE) c:::: cosE - e sin 2 E = e + (1 - e cosE) cosE sinM = sin(E - e sinE) c:::: (1 - e cosE) sinE ce qui donne :

sinM tan E c:::: -----::--:--cos NI - e

(4.84)

112

4.6 4.6.1

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Représentation des anomalies Représentation des anomalies v(M) et E(M)

Sur une période, l'anomalie moyenne NI représente donc, au facteur n près, le temps écoulé depuis le passage au point P. Nous pouvons tracer les graphes donnant l'évolution de v et de E en fonction du temps, c'est-à-dire les fonctions v(NI) et E(NI). Sur les graphes représentés ici, l'vI varie sur une période, de M = -K (8 en A) à M = +K (8 en A), en passant par M = 0 (8 en P) (figure 4.1). La figure 4.4(a) représente le graphe de la fonction v(M) pour diverses valeurs de l'excentricité: e = 0.0 à e = 0.9, avec un pas de 0.1. Il y a égalité entre les deux angles pour e = 0.0 (trajectoire circulaire) et l'écart augmente avec e. Lorsque 8 est au voisinage du périastre P (NI = 0, v = 0), à de petites variations de NI, c'est-à-dire du temps, correspondent de grandes variations de v, d'autant plus que e est grand. Par contre, lorsque 8 est au voisinage de l'apoastre A (INII = K, Ivl = K), à de grandes variations de l'vI correspondent de petites variations de v. C'est bien entendu l'illustration de la loi des aires. La figure 4.4(b) représente le graphe de la fonction E(M) pour diverses valeurs de l'excentricité: e = 0.0 à e = 0.9, avec un pas de 0.1. Comme pour la fonction précédente, il y a égalité entre les deux angles pour e = 0.0 et l'écart augmente avec e de manière moins marquée que pour v(NI). Pour toutes les figures intervenant dans cette partie Représentation des anomalies, nous avons fait figurer le cas e = 1.0. Il s'agit d'un cas limite, lorsque l'excentricité de l'ellipse tend vers 1 par valeurs inférieures 1o .

4.6.2

Équation du centre

Dans le mouvement képlérien, il est intéressant de comparer les anomalies vraie et moyenne. On définit, en astronomie, l'équation du centre, notée Ec, qui est la différence de ces deux anomalies. Cette grandeur l l est un angle:

Ec

=

v-M

(4.85)

Nous la retrouverons lors de l'étude du mouvement apparent du Soleil autour de la Terre ou autour de Mars. lOpour v(lvI), le graphe est discontinu: V(1T) = 1T X ulM) et v(o) = 0, en notant le signe de M par ulM). Pour E(M), la courbe représentative est le symétrique de M(E) = E - sinE par rapport à la première bissectrice . 11 Le terme d'algèbre «équation», au sens où nous le connaissons aujourd'hui, a été défini par Descartes, en 1637. Auparavant, ce mot, attesté vers 1250, était un terme d'astronomie, qui a été précisé et utilisé (œquatio, nis, en latin) par Kepler, comme «la quantité variable, mais déterminée par le calcul, qu'il faut ajouter ou ôter aux mouvements moyens pour obtenir les mouvements vrais» (Littré). C'est ainsi qu'il faut comprendre équation du centre et, plus loin, équation du temps.

4.6. Représentation des anomalies

113

v

+7T

M

-7T -7T

-7T/2

+7T/2

+7T

E

M

-7T

-7T/2

+7T/2

+7T

4.4: (a) Graphe v(M) : variation de l'anomalie vraie v en fonction de l'anomalie moyenne ]\;1, sur une période. Pour dix valeurs de l'excentricité, e = 0.0 à e = O. g avec un pas de e = 0.1; plus la valeur limite e = 1. Angles en radians. (b) Graphe E(l'v1) : variation de l'anomalie excentrique E, mêmes conditions que le graphe (a). FIG.

114

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Mm (r)

Vm (r)

Ecm (r)

Mm(O)

vm(O)

Ecm(O)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

1.5708 1.4457 1.3203 1.1940 1.0662 0.9364 0.8033 0.6650 0.5176 0.3503 0.0000

1.5708 1.6460 1.7221 1.8004 1.8822 1.9694 2.0647 2.1730 2.3037 2.4838 3.1416

0.0000 0.2002 0.4019 0.6065 0.8160 1.0330 1.2615 1.5080 1.7861 2.1335 3.1416

90.00 82.83 75.65 68.41 61.09 53.65 46.02 38.10 29.66 20.07 0.00

90.00 94.31 98.67 103.16 107.84 112.84 118.30 124.50 131.99 142.31 180.00

0.00 11.47 23.03 34.75 46.75 59.19 72.28 86.40 102.34 122.24 180.00

0.01671 0.09341

1.5499 1.4540

1.5833 1.6410

0.0334 0.1870

88.80 83.31

90.72 94.02

1.91 10.71

0.001144 0.740000

1.5694 0.6075

1.5717 2.2217

0.0023 1.6143

89.92 34.80

90.05 127.29

0.13 92.49

e

4.1 : Valeur de la position du maximum de l'équation du centre Ecm, en fonction de l'excentricité. On a noté les valeurs correspondantes des anomalies moyenne ]\;[m et vraie v m . Angles en radians (r) et en degrés (0). (a) Excentricités de 0.0 à 1.0, avec un pas de 0.1 (les valeurs 0.0 et 1.0 sont limites). (b) Excentricités de l'orbite héliocentrique de la Terre et de Mars. (c) Excentricités du satellite SPOT-5 (e = 0.001144) et Molnya (e = 0.74).

TABLEAU

Le graphe de la fonction (v - M)(M) est représenté sur la figure 4.5(a), qui est à rapprocher de la figure 4.4(a). Les valeurs de v correspondant au maximum et au minimum de (v - l'v!) sont symétriques par rapport au point origine (le périastre). Exemple 4.3 Calcul de la valeur et de la position de l'extremum de l'équation du centre Ec. ~

De par la symétrie de la figure, on considère ici Ec = v - J'vI pour ]\;[ variant de

o à 11".

Le maximum de Ec est donné par: dv = dJ'vI. Avec (4.77), on obtient la valeur r m pour laquelle Ec est maximum: r m = JOij. Avec (4.60), donnant r(o, e, v), on obtient: rm =

en notant ainsi:

Vm

0(1 - e 2 ) 1 + ecosv m

= 0

(1 -

e2 )

1

"4

la valeur de l'anomalie vraie correspondant au maximum de Ec et Vm

= arccos [ -;;-1 (1 - e 2 )"43 - 1]

(4.86)

4.6. Représentation des anomalies

115

(v-M)

,., .,

+7T

,.,

.'. e ~ 1.0

.,., .,.,

.,.,

+7T/2

.".,

.,.,

-7T/2

.,., .,.,

.,.,

.".".

M

,.,

.,

., .'.

e ~ 1.0·'·,

-7T -7T

180 150

-7T/2

Ec

,.,. , ,, .,., ,,-1-"'

,,

120

+7T

+7T/2

(v-M)

,.,

.,.,

.,., .,., ., , .,

90 60

30 ------~\-------

o

-- -

o

30

60

-

- --~- - - - - -

90

--

- --

120

150

M

180

4.5: Équation du centre. Graphe (v-M)(M) : variation de la différence entre l'anomalie vraie v et l'anomalie moyenne ]\;1, sur une période. (a) Pour dix valeurs de l'excentricité, de e = 0.0 à e = 0.9, avec un pas de e = 0.1. ; plus la valeur limite e = 1. Angles en radians. (b) Agrandissement de (a). Pour des valeurs de e variant de 0.00 à 1.00, avec un pas de 0.05. Le lieu du maximum de la fonction Ec, en fonction de e, est noté par une ligne tiret-pointillés. Angles en degrés. FIG.

116

Chapitre 4. Mouvement képlérien

L'angle V rn varie entre 'Ir/2 (pour e = 0) et 'Ir (pour e = 1). On calcule M(v m ) par (4.59), angle qui varie entre 'Ir/2 (pour e = 0) et 0 (pour e = 1). Le maximum de l'équation du centre Ecm :

( 4.87) varie entre 'Ir/2 (pour e = 0) et 'Ir (pour e = 1) (figure 4.5(b) et tableau 4.1). Pour les excentricités faibles, on a : COSV m "::'

3

'Ir

-4 e

3

v m =-+-e 2 4

Ecm = V rn - J'virn = 2 e sin J'vI "::' 2 e

M

===}

rn

'Ir

5

=---e 2 4

Le lieu des maxima est tracé sur la figure 4.5(b) .....

Cas des excentricités faibles À partir de (4.68), on peut écrire, dans le cas général, v comme un développement en série de E. Et par (4.83), on peut écrire, si e n'est pas trop grand, E comme un développement en série de l'vI. À l'ordre 3 en e, on obtient successivement:

+

v

E

E

M

( + -=1é) e

sin E

é

2

e + -=1 sin 2E + 12 sin 3E

3) sin M + "2e2sin 2M + -83 e3 sin 3M

+ (e -"8 e

(4.88) (4.89)

puis v en fonction de NI et finalement l'équation du centre: e3 ) v - M = Ec = ( 2 e - -=1 sin M

+ 45 e

2

sin 2M

13 e + ---:t2 sin 3M 3

(4.90)

À l'ordre 1 en e, on limite les développements ci-dessus ou bien on obtient directement le résultat en utilisant (4.70) pour (v - E), avec (3 = (e/2) issu de (4.71) et (4.64) pour (E - M). Les trois angles (anomalies) étant très proches, puisqu'ici e est petit, on peut écrire:

v-E

e sin E

~

e sin NI

(4.91 )

E-M

e sin E

~

e sin NI

(4.92)

Ec =v-M

2 e sinM

(4.93)

De la même manière, le développement de (r-ja) et celui de (air) sont calculés par Lagrange. À l'ordre 3, on obtient:

r a a r

2 1 + -e

2

1-

-

(3é) e- -

( -"8é) e

8

cos M

3e

2 cos l'vI - -e cos2l'vI - -

2

9é

+ e 2 cos 2M + 8

3

8

cos 3M

cos3l'vI (4.94) (4.95)

4.6. Représentation des anomalies

4.6.3

l17

Récapitulation sur les anomalies

Résumons les paragraphes précédents. Si on exprime le temps t, représenté par NI, en fonction des coordonnées polaires e et r, représentées respectivement par v et E, on obtient les relations analytiques M(v) et M(E) :

v

=

V f--+ M = M(v) E f--+ M = M(E) v(E) +------+ E = E(v)

équation (4.59) équation (4.64) équations (4.68), (4.69)

Si on exprime l'angle polaire e, représenté par v, en fonction du temps t, représenté par l'vI, il faut passer par l'intermédiaire de E et résoudre, par itération, le problème de Kepler:

M

f--+

E

E(M) E f--+ v = v[E(M)]

itération (4.80)

=

=

v(M)

équation (4.81)

Dans l'étude d'une trajectoire, on se donne généralement le temps t qui varie avec un certain pas et pour chaque instant t i , ti+I, ... , on résout le problème de Kepler pour obtenir l'anomalie vraie. Les trois anomalies v, E et l'vI n'ont pas des rôles similaires: - v(t) permet de repérer effectivement le corps en orbite et de connaître le rayon vecteur r par (4.26) ou (4.60) ; - NI(t) est en fait une autre manière de représenter le temps; - E(t) sert principalement à résoudre le problème de Kepler, elle intervient aussi dans les équations de Lagrange du mouvement perturbé, voir (6.34) et (6.35). Exemple 4.4 Calcul de l'anomalie vraie pour la planète Mars lorsque l'anomalie moyenne est l'vI = 98.67r? L'excentricité de l'orbite de Mars autour du Soleil est e = 0.09341. ~ Nous effectuons les calculs avec les diverses méthodes présentées ci-dessus, la méthode itérative et les méthodes approchées, bien adaptées aux cas des planétes (tant qu'on se limite en précision) car l'excentricité est faible. 1 - Méthode itérative. On note les angles en degrés (mais on n'oublie pas de les mettre en radians pour le calcul, ou bien on change e en [(180/7f) el pour garder les angles en degrés). On pose Eo = M. On obtient successivement, par l'itération (4.80) : Eo = 98.679 El = 103.896 E 2 = 103.875 E3 = 103.875. Pour la précision recherchée, deux itérations suffisent. On obtient v par (4.81) E = E3 = 103.875 ===} v = 109.020 2 - Formule approchée (4.84). On obtient tanE = -4.04648 ce qui correspond à un angle de -76.119°, d'où la

l18

Chapitre 4. Mouvement képlérien Méthode utilisée

Réf.

1 - par itération 2 - formule approchée 3.1 - dével. de E / ordre 1 3.2 - dével. de E / ordre 2 3.3 - dével. de E / ordre 3 4.1 - dével. de v / ordre 1 4.2 - dével. de v / ordre 2 4.3 - dével. de v / ordre 3

(4.80) (4.84) (4.89) (4.89) (4.89) (4.90) (4.90) (4.90)

E

v

v - va

103.875 103.881 103.969 103.895 103.873

109.020 109.027 109.112 109.039 109.019 109.259 109.073 109.016

0 +0.007 -0.008 +0.019 -0.001 +0.239 +0.053 -0.004

-

4.2 : Problème de Kepler: résultats selon la méthode employée. La valeur exacte, notée Va, est celle donnée par la méthode 1. Les angles E, v et v - Va sont en degrés. Cas étudié: excentricité de l'orbite e = 0.09341 (planète Mars), M = 98.679° .

TABLEAU

valeur de E : E = 180 - 76.119 = 103.881 ===? v = 109.027 3 - Développement en série de E = E(M), par (4.89). À l'ordre 1, E = 98.679 + (180/'if)0.0934 sin(98.679) = 103.969 d'où v = 109.112. À l'ordre 2, on obtient E = 103.895 d'où v = 109.039 et à l'ordre 3, E = 103.873 d'où v = 109.019. 4 - Développement en série de v = v(M), par (4.90). Dans ce cas, il ne s'agit plus d'une résolution du problème de Kepler, puisqu'on obtient directement v à partir de ]\;1. Bien entendu, ce n'est possible que parce qu'il s'agit d'une formule approchée. À l'ordre 1, v = 98.679 + 2 (180/'if) 0.0934 sin(98.679) = 109.259. À l'ordre 2, on obtient v = 109.073 et à l'ordre 3, on a v = 109.016. Tous ces résultats sont reportés dans le tableau 4.2. La valeur exacte de v est celle donnée par la méthode itérative, Va. On note l'écart (v - va), en degrés .....

Exemple 4.5 Calcul de la valeur moyenne du rayon vecteur r, sur une révolution, selon l'angle d'intégration utilisé. ~ Lorsqu'un point décrit l'ellipse dans une révolution, on peut calculer la valeur moyenne r Œ de sa distance r au foyer de l'ellipse, qui dépend de l'angle a décrivant le mouvement:

rŒ

=

1

rh

2'if Jo

r(a) da

Cet angle a peut être une des trois anomalies v, E ou ]\;1. 1. Anomalie vraie v. Le rayon vecteur r(v) est défini par (4.60). La primitive de (1 + ecosv)-l a été calculée lors de l'établissement de (4.59). On a donc: rv = a(l - e 2'if

2) r2~ Jo

dv 1 + ecosv

a~ [arctan ( 'if

~ tan ~ ) J:~

4.6. Représentation des anomalies

119

ria

2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7

e=O.O

0.6

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

o

30

60

90

120

150

180

v

VIVe

4.4 e = 0.9 4.2 4.0 3.8 3.6 e = 1.0 3.4 3.2 ,~0.~8~____________~________________~ 3.0 ,2.8 2.6 2.4 2.2 ,, ~0.~6==~____~~__~~____~________~ 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 e = 0.0 1.0 e=O.O 0.8

0.6

0.4 0.2 0.0

o

30

60

90

120

150

180

v

4.6 : (a) Distance relative TJ = r/a; (b) vitesse V/Ve . Grandeurs en fonction de l'anomalie vraie v, pour diverses excentricités, variant de e = o. a à e = 1. a avec un pas de 0.1. Angles en degrés. FIG.

120

Chapitre 4. Mouvement képlérien

ria

2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2

~----------------=-"'

~~~========::]

1.1 1e =0.0- - - - - - - = .. 1.0 e = 0.0 0.9 1------0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 ' - - - ' ' ' ' - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E o 30 60 90 120 150 180

VIVe

4.4 ~---\--------------4.2 4.0 1 - - \ - - - - - \ - - - - - - - - - - - - - - 3.8 3.6 3.4 3.2 3.0 ~"'-------\-____t_------------_ 2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 ~~----"~""'\-----------1.8 1.6 1.4 1.2 e = 0.0 1.0 e=O.O 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 '-----_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _-"'J- E o 30 60 90 120 150 180

4.7: (a) Distance relative TJ = ria; (b) vitesse VIVe. Grandeurs en fonction de l'anomalie excentrique E, pour diverses excentricités, variant de e = 0.0 à e = 1.0 avec un pas de 0.1. Angles en degrés.

FIG.

4.6. Représentation des anomalies

121

ria

2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2

_---ê~0.9

1.1 1.0 0.9 0.8 0.7

e=O.O

e

=

0.0

0.6

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

/

o

30

60

90

120

M

150

180

V/iVe

4.4 4.2 4.0 3.8 3.6 3.4 3.2 3.0 2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8

cf--'- - - - - - - - - - - - - - - - _

e

=

0.0

0.6

0.4 0.2 0.0

---

~--------------~~-

o

30

60

90

120

150

M

180

4.8 : (a) Distance relative TJ = r/a; (b) vitesse V/Ve . Grandeurs en fonction de l'anomalie vraie v, pour diverses excentricités, variant de e = O. a à e = 1. a avec un pas de 0.1. Angles en degrés. FIG.

122

Chapitre 4. Mouvement képlérien

En utilisant (4.69), on obtient:

rv

a~ [E]21r

"2

7r

=

a =

a~ =

b

2. Anomalie excentrique E. Avec r défini par (4.63), on écrit:

rE

5!:...-

=

27r

Jor

21r (1

- ecosE) dE = 5!:...-

27r

[El~71" =

a

3. Anomalie moyenne J'vI. Avec r défini par (4.63), on utilise la relation (4.75) entre dE et dM :

rM

=

~ 27r

rh r dM -!!r2 (1- ecosE)2 dE 27r Jo =

Jo

71"

On développe. L'intégrale des termes de période 7r ou 27r est nulle:

La valeur cherchée est :

rM =

a(1 + e;)

La moyenne de r, sur une période, par rapport au temps, n'est pas égale au demigrand axe. On retrouve la valeur de (rM/a) avec (4.94). 4. Récapitulation. En utilisant la distance relative ri = r / a, déjà définie, on note amSl les valeurs moyennes fja fjE = 1

fjM = 1

e2

+"2

Les variations de 77", = r(a)/a sont représentées, pour chaque anomalie repectivement, dans la partie (a) des figures 4.6, 4.7 et 4.8. On ne trace les graphes que sur une demi-révolution, compte tenu de la symétrie de l'ellipse par rapport à l'axe des apsides .....

Exemple 4.6 Représentation de la vitesse V en fonction de l'anomalie considérée (vraie, excentrique ou moyenne). ~ Exprimons la vitesse V(r) d'un satellite en orbite elliptique, donnée par (4.39), comparée avec la vitesse Vc d'un satellite en orbite circulaire de même demi-grand axe a, donnée par (4.52). En utilisant la distance relative 77, définie par (2.36), on écrit:

avec

(4.96)

En exprimant r en fonction de v, puis de E et de J'vI, on obtient, successivement, la variation de la vitesse en fonction des anomalies. La partie (b) des figures 4.6, 4.7

4.6. Représentation des anomalies

123

Angle (r,v)

90

e ~ 0.0 ,...;==----------------="'"

80

."."

70

."."

60 50

."."

.,., .,.,

40

,.,

,., .,., .,

30

.,., .,.,

.,

20

e

, ~

.,.,

60

90

Angle (r,V)

90

120

~

0.9

, ., ., ,

1.0·'.

10 30

e

150

e

~

0.0

e

~

0.9

e

~

1.0

.,.,

180 v

80 70 60 50 40 30 20 10 0

0

30

60

90

120

150

M 180

4.9 : Angle Ct entre la vitesse et le rayon vecteur (a) en fonction de l'anomalie vraie v; (b) en fonction de l'anomalie moyenne J'vI. Graphes tracés pour diverses excentricités, variant de e = 0.0 à e = 1.0 avec un pas de 0.1. Angles en degrés. FIG.

124

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Angle (r,v)

e

90

~

0.0

80

70 60

50

40

30 20 10 e

~

e

1.0

30

60

~

0.99

90

120

150

4.10 : Angle a entre la vitesse et le rayon vecteur en fonction de l'anomalie excentrique E. Graphes tracés pour diverses excentricités, variant de e = 0.0 à e = 1.0, avec un pas de 0.1 et de 0.90 à 1.00, avec un pas de 0.01. Angles en degrés.

FIG.

et 4.8 montre ces représentations sur une demi-révolution, avec origine au passage au périgée (pour l'autre demi-révolution, la figure est évidemment symétrique). Au périgée (anomalie = 0°; TJ = 1-e) et à l'apogée (anomalie = 180°; TJ = l+e), la valeur de la vitesse (respectivement Vp et Va) est identique pour les trois graphes: Vp Ve

=v +

1 e 1- e

l+e

1- e

Par exemple, pour e = 0.6, (1 + e)/(l - e) = 4 et donc Vp/Ve = 2.0, ValVe = 0.5, Va/Vp = 4. On note, avec Vp . Va = V c2 , que Ve est la moyenne géométrique entre les deux vitesses extrêmes, Vp et Va . ....

Exemple 4.7 Représentation de l'angle entre le vecteur vitesse V et le rayon vecteur en fonction de l'anomalie considérée (vraie, excentrique ou moyenne). ~ En écrivant la vitesse V sous la forme V = Vr eT + Ve ee, l'angle entre Vet noté a, est donné par tan a = Ve/VT • Avec les relations (4.18) et (4.30), on obtient a en fonction de l'angle polaire

T,

e,

4.7. Intégrales premières du mouvement

125

représenté ici par l'anomalie vraie v : a(v)=arctan

1 + e cos v e sinv

da e + cos v dv =-e 1+2e cosv+e2

(4.97)

On trace le graphe représentatif de a(v), figure 4.9(a). Le calcul de la dérivée (da/dv) montre que le minimum de chaque courbe s'obtient pour v = arccos( -e). Pour une trajectoire circulaire (e = 0), a est évidemment un angle droit. Pour une orbite qui se rapproche infiniment près de la parabole, e = 1, on a (da/dv) = -1/2. Le graphe a(E), figure 4.10, présente une symétrie axiale, résultant de la définition de E: da ~cosE -dE- = - e --:1---e"C:"2-c-o-s"""2-=E=-

~ a(E) = arctan ---:.----:::_ e smE

(4.98)

On trace le graphe a(M), figure 4.9(b). Il n'y a pas de formulation analytique de a(M) - voir le Problème de Kepler .....

4.7 4.7.1

Intégrales premières du mouvement Lois de conservation

En partant de l'expression de l'accélération newtonienne, nous avons obtenu l'équation du mouvement par deux intégrations (pour passer de T à T). Après cette résolution détaillée, nous présentons, très rapidement, une méthode beaucoup plus synthétique, qui a l'intérêt de faire apparaître des grandeurs qui restent constantes dans le mouvement. Ces valeurs sont obtenues avec une seule intégration (pour passer de T à r), c'est pourquoi on les appelle intégrales premières du mouvement. À partir de l'équation du mouvement dans le cas de l'accélération newtonienne: (4.99) on obtient la conservation de l'énergie, du moment cinétique et du vecteur de Laplace (qui donne l'équation de la trajectoire). (a) Conservation de l'énergie On multiplie scalairement chaque membre de l'équation (4.99) par le vecteur vitesse r :

L'équation (4.99) donne donc:

~ (~i.2 dt

2

- 0..) = r

0

(4.100)

126

Chapitre 4. Mouvement képlérien

et on a ainsi :

1. 2 J.L JC = -r - - = constante

(4.101)

r

2

ce qui correspond à la conservation de l'énergie. On retrouve la relation (4.33), avec V 2 = r2 . (b) Conservation du moment cinétique On multiplie vectoriellement chaque membre de (4.99) par le rayon vecteur r. On obtient: .. J.L r/\ r= -2 r/\ eT = 0 r Avec la relation de dérivation (4.5) appliquée à la définition (4.4), on obtient:

C

=

r /\ r

=

constante

(4.102)

ce qui correspond à la conservation du moment cinétique. Le mouvement est plan. On retrouve la relation (4.9). (c) Conservation du vecteur de Laplace et équation de la trajectoire On considère le produit vectoriel de l'accélération par le moment cinétique: .. J.L 2 . . de T r/\C=--2 eT/\r Bk=ILBee=ILdt r Or, puisque Cest constant, on a: d(r/\ C)/dt

=

r/\ C, ce qui amène à:

(4.103) À partir de cette relation, on définit le vecteur A, appelé vecteur de Laplace (ou vecteur de Laplace-Runge-Lenz), qui a donc la propriété d'être un vecteur constant:

A

r/\ C

= -- -

IL

eT = constante

(4.104)

Ce vecteur A est perpendiculaire à C, puisque A /\ C = O. Il est donc dans le plan du mouvement. Pour évaluer A, calculons r /\ C:

r /\ C =

(r eT + r ë ee) /\ C k =

C (r

ë eT -

ree)

Si on projette A sur eT' on a, en utilisant la valeur de C donnée par (4.6)

On obtient ainsi l'expression de r : (4.105)

4.7. Intégrales premières du mouvement

127

On note v l'angle entre le rayon vecteur et le vecteur fixe A. En posant A . eT = Il A Il cos v et p = C 2 / IL, on trouve que la trajectoire est une ellipse. Par identification, on voit que IIAII représente l'excentricité. La distance r passe par un minimum lorsque les vecteurs A et eT sont colinéaires (avec v = 0) : le vecteur A passe par le périastre et donc v représente l'anomalie vraie précédemment définie. La connaissance du vecteur de Laplace A donne à la fois l'excentricité et la direction du périastre. Remarque. La conservation de ces grandeurs est exprimée par le théorème de Noether 12 .

4.7.2

Remarque sur l'énergie

Dans l'étude du mouvement képlérien du satellite, la masse de ce corps n'intervient jamais 13 . C'est pourquoi nous avons parlé d'accélération et non de force. Tout ce que nous avons écrit jusqu'ici peut être repris: on parlera par exemple de force newtonienne appliquée au point matériel S, de masse m, ce qui introduit la définition classique de l'énergie. Dans le cas de l'attraction newtonienne, la force s'écrit: IL F= -m-2 eT

r

On en déduit l'énergie potentielle U (on rappelle que F = -grad U avec, pour convention, U nul pour r infini) : IL U=-mr

Le point S, animé d'une vitesse V, a pour énergie cinétique T :

T

=

1

-mV 2 2

L'énergie mécanique E est donc: 2 (V

2

_!!..) r

(4.106)

12 Emmy Noether (1882-1935), mathématicienne allemande, est considérée comme la fondatrice de l'algèbre moderne (création des anneaux, des idéaux). Le théorème de Noether (1918) exprime qu'une loi de conservation est la conséquence de l'invariance d'une loi physique dans une transformation continue à un paramètre (on le démontre en utilisant le formalisme lagrangien des équations de la mécanique classique). Pour ce qui nous intéresse ici: - conservation de la quantité de mouvement résultant de l'invariance des lois physiques dans une translation due à l'homogénéité de l'espace; - conservation du moment cinétique résultant de l'invariance des lois physiques dans une rotation due à l'isotropie de l'espace; - conservation de l'énergie résultant de l'invariance dans le temps due à l'uniformité de l'écoulement du temps. 13Dans l'étude du mouvement perturbé, elle intervient dans quelques cas particuliers, comme pour l'étude du frottement dans la haute atmosphère ou de la pression de radiation.

128

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Le moment cinétique L est par définition : L = rA

mr

(4.107)

On a donc l'équivalence entre les grandeurs vues plus haut et celles liées à l'énergie: m

m

L'équation (4.33), qui établit que J( est une constante, est donc l'équivalent de: [ = m J( = constante (4.108) qui traduit la conservation de l'énergie mécanique [. Dans le cas de mouvement périodique, l'équation (4.38) donne:

-~ m ~

(4.109) 2 a qui est une valeur négative (cela provient de la convention U(oo) = 0). On voit que a est relié à [/ m, ce qui montre que la période ne dépend que de l'énergie mécanique par unité de masse du point matériel considéré. [=

Exemple 4.8 Trajectoire de divers points, en orbite autour d'un centre attracteur ponctuel, avec une énergie différente et ayant la même distance au périastre (périgée). ~ On considère un point de masse m, en orbite circulaire de rayon T o . Son énergie est: 1 f1 [; = -[;0 avec [;0 = -m2 Ta Si on augmente l'énergie en obligeant le mobile à garder la même valeur de distance au périgée (distance périgée-foyer T p = ra), l'excentricité augmente:

rp

=

ra

a(l - e) = ra

a=--

1- e

p = a(l - e 2 ) = (1

+ e)ro

et l'énergie s'écrit: [; =

-~m~ (1 -

e)

= -[;0(1-

e)

2 To Les trajectoires sont représentées sur la figure 4.11 en augmentant l'excentricité avec un pas de 0.10. Pour e = 0, avec une énergie [; = -[;0, négative, la trajectoire est un cercle. Elle se transforme en ellipse de plus en plus excentrée à mesure que l'énergie augmente, tant qu'on a e < 1. Pour e = 1, avec une énergie [; = 0, la trajectoire est une parabole. Pour e > 1, avec une énergie [; > 0, la trajectoire est une hyperbole (branche concave). Lorsqu'on exprime la trajectoire en coordonnées polaires, avec les équations (1.17) ou (4.60), a est positif pour les ellipses, infini pour la parabole, négatif pour les hyperboles. L'utilisation du paramètre p dans l'équation générale des coniques, comme en (1.16), permet d'éviter ces conventions de signe. ...

4.7. Intégrales premières du mouvement

129

FIG. 4.11 : Trajectoires et énergie. La distance foyer-périastre est constante. L'éner-

gie minimale, notée -Eo, correspond à la vitesse de satellisation: la trajectoire est un cercle. On donne ensuite au mobile l'énergie E = -Eo (l-e) où e est l'excentricité,variant avec un pas de 0.1. Quand l'énergie augmente, la trajectoire elliptique est de plus en plus excentrée, jusqu'à devenir une parabole pour e = 1 (trait épais). Puis, pour e > 1, la trajectoire est une branche concave d'hyperbole.

130

4.8 4.8.1

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Note historique: astronomie et attraction universelle Les lois de Kepler

Depuis l'Antiquité, l'astronomie était régie par le système géocentrique de Ptolémée 14 . Au xv€ siècle, les insuffisances du système de Ptolémée apparaissaient plus ou moins clairement à plusieurs astronomes (comme ceux, par exemple, des universités de Bologne ou de Padoue), mais Copernic 15 fut le premier à rejeter le système géocentrique pour le système héliocentrique. Kepler, comme l'illustrent les figures 4.12 et 4.13, était partisan du nouveau système «révolutionnaire». En utilisant les observations de Tycho Brahé 16 , il expliqua le mouvement des planètes du Système solaire par les 14 Claudius Ptolemaios KÀOI.l)o[oç IhoÀE[l.OI.~Oç (vers 90 - v. 168, après JC), dit en français Claude Ptolémée, mathématicien, astronome et géographe grec d'Alexandrie (Claudius est un prénom romain, Plolemaios est le nom grec 6 11:l:0ÀE[l.0I.~OÇ, 01), « le belliqueux»). Il est l'auteur de nombreux ouvrages dont les plus célèbres sont la Géographie et l'Almageste. Dans la Géographie (littéralement : «dessin de la terre» ), il situe des centaines de lieux (villes, montagnes, ... ) avec des latitudes correctes et des longitudes dilatées. Dans l'Almageste (titre donné plus tard par les astronomes arabes, de Al, « le », l'article défini en arabe et mageste, de megistos, superlatif de mega, en grec, «très grand»), il expose le système planétaire géocentrique, dit système de Ptolémée. Pour obtenir une bonne concordance entre observations et modèle, il fait décrire à chaque planète (particulièrement Mars) un cercle, dit épicycle, dont le centre se déplace sur un cercle centré sur la Terre immobile, appelé déférent. Il affine ce modèle avec l'excentrique (déférent décalé) et le point équant ... L'œuvre de Ptolémée, dernier astronome de l'Antiquité, fut transmise en Europe par les Arabes. Elle est le fondement de l'astronomie du Moyen Âge et de la Renaissance. 15 Nicolaj Kopernik (1473-1543), en latin Nicolaus Copernicus Torinensis, dit en français Nicolas Copernic, astronome polonais. Après des études en Italie, Copernic revient en Pologne et met au point un système cosmologique qui remplace la Terre par le Soleil comme centre de l'Univers. C'est le système héliocentrique, ou système de Copernic, dans lequel l'orbite de chaque planète est une sphère centrée sur le Soleil. Il achève De Revolutionibus orbium cœlestium vers 1530. Mais, de peur des réactions, que ce soit de sa hiérarchie catholique ou du luthérianisme naissant, il en retarde la publication. Le livre sera finalement imprimé à Nurenberg, en 1543, l'année de sa mort, grâce à l'opiniâtreté de son élève Rheticus. Une préface a été exigée par l'éditeur Petreius. On ne sait pas si l'auteur avait donné son accord. Rédigée par le pasteur Osiander, elle avertit le lecteur que ce système n'est qu'une vue de l'esprit pour faciliter les calculs et qu'il ne remet pas en cause la Bible. Ce n'est d'ailleurs qu'en 1616 que De Revolutionibus sera mis à l'Index par le Saint-Office. Pendant des décennies, ce livre n'eut pas un accueil favorable auprès des astronomes. Son contenu était déroutant et, de plus, il ne fournissait pas de bons résultats: pour la planète Mars, les positions données par Copernic sont moins précises que celles données par Ptolémée avec les épicycles! 16 Tyge Brahe, dit Tycho Brahé, (1546-1601), astronome danois. Il fit pendant vingt ans, dans son observatoire d'Uraniborg (<< la cité du ciel»), au Danemark, des mesures astronomiques très précises et fut le premier à tenir compte de la réfraction de la lumière. La précision de ses observations était de l' (1 minute d'arc, soit 1/60 de degré), celle de ses contemporains astronomes était au mieux de 10'. Il mesura le mouvement de la planète Mars, en notant dix oppositions. Son modèle d'univers était un compromis entre le modèle géocentrique de Ptolémée et le modèle héliocentrique

4.8. Note historique: astronomie et attraction universelle

ASTRONOMIA NOVA A [ T 1 0 A 0 l' II T 0 2:,

PHYSICA COELESTIS. HaditJ çümmcnrariis

COMMENTARIORVM DE

MOTIBVS

STELLAO

MAR T PARS

PRIMA

5

DE

DE j\,-lOTIBVS STELLiE

COMPARATIONE

Ex obfi::rvarÎombus C. Y.

De differentÎa motus primi & {ecundorum flve propnorum. & in propriis inxqualitatis primx &: {ç;;cunda:.

MAR T 1 S, TTCHONIS

Juffl1

&

BRAHE·

131

H Y POT H E S 1 VM. C

A

i'

V

T

1.

fi.lmpnbm

R VDOLPHI II. ROMANORVM IMPERATORIS &c

Plurium annorum percinaci i1:udio daDorata PraKT ,

rOAN:-':E

KEPLERO.

4.12 : Astronomia Nova de Kepler. Édité à Prague en 1609 - MDCIX. (g.) Page de titre. (dr.) Première page.

FIG.

trois propositions suivantes, qui portent le nom des trois lois de K epler 17 . de Copernic. En 1597, il partit en Bohême, où il travailla avec Kepler à l'établissement des tables astronomiques dites Tabulae Rudolphinae. 17 Johannes Kepler (1571-1630), en latin Ioannes Keplerus, astronome allemand. Il a publié les deux premières lois en 1609, dans Astronomia Nova Al'rIOÀoY1J'rOç seu Physica Cœlestis et la troisième en 1619, dans Harmonices Mundi. Il ne faut cependant pas imaginer que ces lois apparaissent de manière claire, comme de nos jours, dans ces ouvrages. La terminologie mathématique est très lourde, les explications difficiles à saisir. Parfois des erreurs de raisonnement en compensent d'autres. Le premier de ces deux livres est presque exclusivement consacré à la description de l'orbite de Mars (d'où le sous-titre Tradita comentariis de motibus steUœ Martis ex observationibus G. V. Tychonis Brahe). La deuxième loi apparaît au début de cet ouvrage, la première loi à la fin et ne concerne, bien entendu, que la trajectoire elliptique de la planète Mars. Le mot grec accolé au titre Astronomia Nova est le substantif issu du verbe oth:lOÀOyÉûl, « rechercher les causes». Mais, même si ces œuvres sont difficiles à lire de nos jours, elles témoignent des découvertes exceptionnelles faites par Kepler. Pour mettre en évidence l'excentricité de l'orbite de Mars ou de la Terre, il fallait une grande confiance dans les observations de Tycho Brahé, réalisées à l'œil nu, et de grandes qualités de mathématicien. Il fallait aussi beaucoup d'autres qualités morales ... Du courage et de la confiance en soi, pour mener à bout une théorie révolutionnaire, seul contre tous, au milieu des guerres de religion et des drames familiaux. De la persévérance: dans Astronomia Nova, à la suite de quinze pages de calculs serrés, Kepler écrit : « Si cette méthode vous paraît possible et ennuyeuse, prenez donc pitié de moi qui ai fait ces calculs 70 fois et ne vous étonnez pas que j'aie passé cinq ans sur cette théorie de Mars. Il se trouvera quelques géomètres subtils, tels que Viète, qui écriront que

132

Chapitre 4. Mouvement képlérien

D E MOT 1 B.

STE L L.tE

MAR T 1 S

'I-'er;gat in quam7Ju huncgradum cap. xxv libere i17qllijituri [umus quaji incognitum. ét jit SOLIS

5 -:

CAP.

XXIV.

.!!li:

TERRA

_~:~!_.'~_ "'_ w: •,_

_

l':)

~+

(" J

~

T~~~~O~

A. MDXC

in !J,anno MDXCII inn,annoMDXCIIl ine,ttnnOMDxcv in (. Et anguls !J Œ n. nŒ e. Ht ( ' .equaleJ, quia Œ eH puné/um .equalitati!, f5 periodica ..J1Jt'arti! tempora pr.efupponuntur .equaNa. Sit'lr Tlaneta hi! quatuor -vicibus in x, ejus'lr lineaapjidum ŒÀ. EH ergo angulus !J Œ X fecundurll..> indicium anomali.e commutationi!

I~}J~

co.er;:i locum ..J1Jt'arti! at~. tinet,i!die IV ant' tecedente hora ji_ ~ J milifuit 1.4.1.2. Y. d/urnus ejus diei effit 44·· érgo adnoJlrum tempus 'Vifusfuit in 1.5. (; Y. qui eHjitus !inc.e !Jx. Sed Œxtenditin 15- 53. 45 'tf. Ergo !JxuH 1.;.4;7. 45, Rejiduus igitur Œ!J x ad duos reé/os eH ri:. ;7.14. Vt rgiturjinus Œ!Jxad Œx,quam dicemus effi partium 100000 :jic!J x Œ ad!JŒqu4itum. éHergo!J(/.. 00774-. OE:od fi reliqua: n Œ, e (/.., ((/..,ejusdem prodibunt longitudinis,falfumerit quod fufpicor: at fi diverfa:, omnino vicero. SEC V ND 0 igitur,anno MDX C Il ad nojirum momentum eH longitudo co.equata LIS' 55·1.3 :commutatio co.equata 8. 1.4.IÔ. 34. houH, nŒ x angulus eH 84. 1 Ô. 34· Vrfus eH die xXlIiJanuar. H. VII. M. xv in d. 34 Y correc1ione per paraUaxin adhibita. Et eH motus bidui :ius Ï.1.5. Ergo die X x 1 hora VII M. xv in 1;.9 Y eH 'Vifur. Rejidua ferupula hor.e a/:;icianL> dtmidiumminutum. Ergo angulurnx(/.. eH 35.46.LJ,& (/. n x 60. j. f, & Œn 074-07 jamlongiorquam (/..!J. Sanequia SOL've1Ù! perig.$umdeJcendit,f5

+

+

4.13 : Astronomia Nova de Kepler. Page 132. Exposé des trois systèmes: de Copernic (héliocentrique), de Ptolémée (géocentrique) et de Tycho Brahé (hybride).

FIG.

4.8. Note historique: astronomie et attraction universelle

133

(1) loi des ellipses - La trajectoire de chaque planète est dans un plan (a), c'est une ellipse dont un foyer est le Soleil (b). (2) loi des aires - Les aires balayées par le rayon vecteur sont proportionnelles aux temps mis à les balayer. (3) loi harmonique - Les carrés des durées de révolution sont proportionnels aux cubes des longueurs des grands axes. Ce qui correspond aux équations démontrées plus haut Loi (la)

{==}

équation (4.8)

Loi (lb)

{==}

équation (4.40)

Loi (2)

{==}

équation (4.14)

Loi (3)

{==}

équation (4.53)

Il faut remarquer que les lois (la) et (2) sont applicables dans le cas des accélérations centrales, les lois (lb) et (3) dans le cas des accélérations centrales en 1/r2, c'est-à-dire newtoniennes. À la fin du chapitre 15, dans la note historique Kepler et la planète Mars, nous choisissons dans Astronomia Nova quelques passages qui témoignent de la précison et de l'originalité mathématique de l'œuvre de Kepler. À la fin du chapitre 16, dans la note historique Kepler et le Système solaire, nous tirons de Harmonices Mundi les deux tableaux de valeurs qui ont permis d'établir la troisième loi de Kepler.

4.8.2

Newton et l'attraction universelle

Si Kepler donna le début de formalisation de la mécanique céleste, Galilée 18 donna celui de la mécanique terrestre, à la même époque. Le génie de la méthode n'est pas géométrique. Qu'il aille donc, et qu'il résolve le problème» (traduction de Delambre). Profondément persuadé que l'ordre cosmique, donc divin, était parfait, Kepler eut beaucoup de mal à abandonner la perfection du cercle des orbites pour l'imperfection de l'ellipse, entachée des erreurs du bas monde. Dans toute sa démarche scientifique, Kepler a été guidé par cette recherche de l'harmonie divine, qui aboutit, dans son dernier ouvrage, à l'harmonie de la musique des planètes et à l'harmonie des polyèdres réguliers (solides de Platon) emboîtant les orbites planétaires. Kepler écrivit à ce propos: « il existe six planètes parce qu'il existe cinq polyèdres réguliers ; je n'ai pas de mots assez forts pour dire mon émerveillement devant cette découverte ». 18 Galileo Galilei (1564-1642), dit en français Galilée, physicien et astronome italien. Fondateur de la dynamique et premier véritable expérimentateur, il étudia la chute des corps et le mouvement parabolique. Il énonça le principe d'inertie, qui correspond à la première loi de Newton. Aussitôt après l'invention de la lunette astronomique, il utilisa cet instrument pour scruter le ciel. Il découvrit (1610) que quatre lunes étaient en orbite autour de Jupiter et ce fait le persuada que la Terre et les autres planètes étaient en orbite autour du Soleil. La découverte du croissant de Vénus (de forme géométrique incompatible avec un système géocentrique), dont il fit part à Kepler, le confirma dans cette idée. Galilée consigna ses découvertes astronomiques dans Sidereus Nuncius (le Messager céleste). Propagateur convaincu du système de Copernic, Galilée fut condamné une première fois

134

Chapitre 4. Mouvement képlérien

PHILOSOPHIJE NATURALIS

P R IN C 1 P 1 A MA THE MA TICA 1

Aurore s, NEWToN, 7'rÎlt. Coll. CantJb. Soc. Mathefoos Profdfore Lucaftano, & Sodetatis Regalis Sodali.

IMPRIMATUR·

S.PEPYS)

J,dii

z

J('g. Soc. PR JE SES. ~.

1686.

LONDINI,

JuiTu SocictalÎ.s Rcgi&
de Newton. Édité à Londres en 1687 - MDCLXXXVII. (g.) Page de titre. (dr.) Page 50. Newton démontre géométriquement que si le point P, soumis à une force de centre 5, décrit une ellipse de foyer 5, cette force est inversement proportionnelle au carré de la distance 5P.

FIG. 4.14 : Principia

Newton fut, entre autres choses, de synthétiser ces deux aspects d'un même phénomène en une notion unique, l'attraction universelle. De nos jours, nous montrons comment une attraction en 1/r-2 entre Soleil et planètes amène à une trajectoire elliptique des planètes. Mais historiquement, Newton, mettant au point les premières méthodes de calcul infinitésimal (appelé calcul des fluxions), partit des trajectoires elliptiques découvertes par Kepler pour tirer comme conséquence que les forces en jeu sont en 1/r-2 et énoncer la loi de l'attraction universelle (figure 4.14). le 16 février 1616 par l'Inquisition, sous le pontificat de Paul V. Il publia en 1632 Dialoga sapra i due massimi sistemi dei manda, Talemaica et Capernicana (écrit, non pas en latin, mais en langue populaire, valgare, l'italien ou toscan - cela aussi était révolutionnaire) dans lequel il choisit clairement son camp. Il est condamné une seconde fois pour hérésie le 22 juin 1633, sous le pontificat d'Urbain VIII. « L'opinion que le Soleil est au centre du monde et immobile est absurde, fausse en philosophie et formellement hérétique, parce qu'elle est expressément contraire à la Sainte Écriture. » L'abjuration à genoux lui évite le bûcher mais pas la prison, à 70 ans. Il finit sa vie en résidence surveillée. À la fin du xx e siècle, une commission vaticane est convoquée, en 1981. Elle se prononce en faveur de la réhabilitation de Galilée, le 31 octobre 1992, Jean-Paul II étant pape.

4.8. Note historique: astronomie et attraction universelle

135

Pour faire, avec les notations mathématiques actuelles, la démonstration qui correspondrait à celle de Newton, on part, comme lui, du principe que les forces en jeu sont centrales. On considère un point matériel, dont la position est définie par le rayon vecteur T, décrivant une ellipse. On peut alors écrire: 1 u= r

=

1 + e cose a(1 - e 2 )

------~

d'où on tire: du de

esine a(1 - e2 )

ecose a(1 - e 2 )

En portant dans la formule de Binet (4.21), qui, rappelons-le, concerne les forces centrales, nous obtenons: 2 [ - C 2u - e cos

e + 1 + e cos e] a(1 - e 2 )

a(1 - e 2 )

2

1

2

-C u a(1 _ e2) e r

C2

er 1

= - a(1 _ e2) r 2 e r

Or C est donné par 1fab = CT /2 (c'est la loi des aires qui concerne, elle aussi, les forces centrales), soit : 21fa 2;-;---:)1 C -- V l - e~2

T

On en déduit donc:

..

T=

et on obtient:

41f 2 T2

3

1

----a - e r2

r

136

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Les observations de Tycho Brahé, interprétées par Kepler, montrent que cette grandeur IL reste constante pour toutes les planètes qui gravitent autour du Soleil. Newton considère alors qu'elle peut s'écrire sous la forme: IL

=

QMs

est la masse du Soleil et Q une constante universelle. Finalement, la force d'attraction qu'exerce un corps de masse JI.;[ sur un corps de masse m (et réciproquement) s'écrit:

où

JI.;[s

Mm F= mr= -Q--er r2

C'est l'expression de la loi d'attraction universelle entre deux corps de masses et m, où Q est la constante de gravitation ou la constante de l'attraction universelle.

JI.;[

Chapitre 5

Satellite en orbite képlérienne À partir d'ici, nous étudions principalement le mouvement périodique d'un corps, le satellite l artificiel, soumis à l'attraction gravitationnelle de la Terre.

5.1

Le Problème à deux corps

On considère deux corps Al et A2' de masses respectives ml et m2, en mouvement dans un référentiel galiléen, noté (0 0 ; x, y, z). Le système est isolé: chacun des deux corps est soumis uniquement à la force d'attraction de l'autre. 1 En latin, satelles, satellitis désigne un garde du corps, un soldat, un auxiliaire, un complice. C'est un mot d'origine obscure, sans mot apparenté; certains y voient une origine étrusque. Il est signalé en français (satelite, vers 1265) pour désigner un homme armé qui exécute les ordres d'un chef, puis (satellite, vers 1500) un homme dépendant d'un autre, qui accompagne. C'est Kepler qui a donné, en 1611, le sens moderne de « satellite» au latin satelles, à propos des quatre satellites de Jupiter, qui viennent d'être découverts à la lunette par Galilée. Il écrit: De quattuor Jovis satellibus erronibus, c'est-à-dire « Au sujet des quatre (corps) errants accompagnateurs de Jupiter». Le terme satellite artificiel est apparu vers 1950. Dans de nombreuses langues, «satellite» s'exprime par un mot provenant directement du terme latin modernisé par Kepler, comme dans les langues latines et les langues anglosaxonnes. Dans d'autres, c'est le terme « lune» qui est employé (comme en arabe, qamar ?ana 'i, « lune artificielle»). Mais certaines langues ont gardé l'idée première de satelles. En grec moderne, le satellite est toujours un garde du corps puisqu'il se dit doryphoros, a ùopu<jJôpoç, ou, « armé d'une lance», composé de ,à ùôpu, CHOÇ, «la lance» et du suffixe <jJopôç, « qui porte». En russe, sputnik, est le compagnon de voyage (put, « chemin»). En chinois, le satellite se dit wei xing, « astre gardien », mot qui s'écrit avec les deux idéogrammes wei, « garde» et xing, « astre ». On trouve la même écriture en japonais.

M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

138

Chapitre 5. Satellite en orbite képlérienne

Tel est l'énoncé du Problème à deux corps. On cherche à déterminer le mouvement des deux corps. En prenant une origine 0 quelconque, on écrit le principe fondamental de la dynamique sous la forme : ml

d2 0A l AIA2 dt 2 = -Q ml m2 II A IA2113

m2

A2 A l d2 0A2 dt 2 =-Qmlm21IA2AIil3

ce qui donne la relation : (5.1) Le barycentre C des deux points Al et A 2 est défini par:

On a donc:

OC= Vo t

+ Uo

les vecteurs Vo et ua étant constants. Cela montre, puisque C est en déplacement uniforme dans (0 0 ; x, y, z), que le référentiel (C ; x, y, z) est galiléen. Avec (5.1) et les valeurs des accélérations, on obtient : (5.2) Le barycentre C de ces deux points (appelé aussi centre de masse) étant pris pour origine, on a donc :

et par définition du barycentre:

La relation (5.2) donne l'équation du mouvement:

(5.3) qui est effectué dans un référentiel galiléen. Le mouvement des points Al et A 2 se déduit donc de celui de T12 grâce aux relations : m'2 Tl = T12 ml +m2

5.2. Paramètres orbitaux

T2 =

+

ml ml

+m2

139

Tl2

Par exemple, dans le cas du mouvement de la Lune (A 2 ) autour de la Terre (Al), on a ml = 81 m2 : l'étude du mouvement se fait autour du barycentre Terre-Lune. Dans le cas d'un satellite artificiel (A 2 ) autour de la Terre (Ad, m2 est négligeable devant ml et on a :

En résumé, le mouvement d'un satellite artificiel autour de la Terre sera: - dans un premier temps, considéré comme un problème à deux corps dont l'un (le satellite) est de masse négligeable devant l'autre. Son mouvement est donc képlérien et l'orbite qu'il décrit est dite orbite képlérienne; - dans un second temps, on considérera ce mouvement comme perturbé; son orbite réelle sera dite orbite perturbée.

5.2 5.2.1

Paramètres orbitaux Repérer le satellite dans l'espace

Référentiel utilisé

Les propriétés de l'espace et du temps sont les mêmes, les lois de la mécanique sont identiques dans tous les référentiels d'inertie: c'est le premier principe fondamental de la mécanique, dit principe de relativité de Galilée. On considère un satellite en mouvement périodique autour de la Terre. On définit le repère (0 ; x, y, z). Le centre 0 est le centre de la Terre qui est assimilée à une sphère E. L'axe Oz est l'axe des pôles (orienté du sud vers le nord). Le plan xOy est le plan équatorial terrestre, noté c, qui coupe la sphère terrestre selon l'équateur. L'axe Ox peut être fixé arbitrairement (il vise une étoile lointaine) ou être dirigé vers le point vernal. L'axe Oy se déduit des deux autres axes (repère orthonormé direct). Le référentiel associé à ce repère est considéré comme galiléen. Il sera noté ~ (figure 5.1). Le mouvement du satellite est képlérien: dans ~, la trajectoire est une conique (ici une ellipse) dont un des foyers est le centre attractif, 0, qui est situé dans un plan, noté P. La trajectoire du satellite est appelée orbite 2 . Le plan P est le plan orbital. Dans le cas du mouvement képlérien, on parle d'orbite képlérienne. Dans ce référentiel galiléen, le plan P de l'orbite est fixe. On note par OZ la droite perpendiculaire à P en O. L'intersection des plans P et c se fait selon une droite passant par 0, appelée ligne des nœuds. Les deux nœuds 20 rbite, attesté en 1314, est emprunté au latin orbita, œ, «trace d'une roue », puis «courbe fermée décrite par un astre ». Le mot est passé en astronomie au XVIIe siècle, puis en astronautique, vers 1950, pour les satellites artificiels.

140

Chapitre 5. Satellite en orbite képlérienne

sont les points d'intersection entre l'orbite et le plan équatorial terrestre E : N est le nœud ascendant (le satellite passe de l'hémisphère Sud à l'hémisphère Nord), NI est le nœud descendant (le satellite passe de l'hémisphère Nord à l'hémisphère Sud). Repérage d'un point de l'orbite Pour repérer un point en mouvement képlérien dans l'espace, on repère d'abord l'orbite, puis le point sur l'orbite. On définit donc successivement: - la situation du plan orbital dans ce repère; - les caractéristiques de l'ellipse; - la position de l'orbite elliptique dans ce plan; - la position du point mobile (ici le satellite) sur l'orbite. Nous allons voir que six paramètres sont nécessaires et suffisants pour déterminer la position du satellite dans ~. Détaillons chacun de ces points.

(a) Situation de l'orbite dans le repère Deux angles (angles du système de coordonnées sphériques) permettent de fixer P par rapport à E, sachant que P contient 0 : un angle d'azimut et un angle de hauteur. L'angle D, du plan E, qui repère la ligne des nœuds (direction du nœud ascendant) par rapport à l'axe origine, s'appelle ascension droite du nœud ascendant (ou, plus rarement, longitude du nœud ascendant) D

=

(Ox, ON)

L'angle i, angle dièdre du plan équatorial et du plan orbital, i = (E, P), est l'inclinaison, défini également par les normales aux plans: i = (Oz, OZ)

On décrit toutes les positions relatives de P par rapport à E en faisant varier D dans l'intervalle [0; 2 1f[ eti dans [0; 1f[. (b) Caractéristiques de l'ellipse On définit l'ellipse par son demi-grand axe a et son excentricité e, le foyer de l'ellipse étant en 0, centre du corps attractif. (c) Position de l'ellipse dans son plan orbital On fixe l'ellipse dans P en choisissant l'emplacement d'un point - on choisit traditionnellement le périgée P - par l'angle w, l'argument du périgée, qui est l'angle entre la ligne des apsides et la ligne des nœuds:

w = (ON, OP)

(d) Position du satellite sur l'orbite Un point S de l'ellipse est parfaitement déterminé par son angle polaire, centré sur 0 - c'est l'anomalie vraie, v, déjà définie: v = (OP, OS)

5.2. Paramètres orbitaux

141

z

y

FIG. 5.1 : Représentation de la trace de l'orbite dans un référentiel galiléen. Trace des points: 50 (trace du satellite 5), Po (trace du périgée P), No et N6 (traces des nœuds, ascendant N et descendant N'). Plan équatorial terrestre: (xOy, No, N6), normal à Oz, axe des pôles. Plan orbital: (0, Po, 50, No, N6), normal à OZ. Paramètres orbitaux: ascension droite du nœud ascendant ([2), inclinaison (i), argument du périgée (w), anomalie vraie (v). Définition de l'ellipse: demi-grand axe (a), excentricité (e), non représentés sur la figure. En haut, représentation de l'orbite dans un référentiel galiléen.

142

Chapitre 5. Satellite en orbite képlérienne

On préfère généralement utiliser l'vI, l'anomalie moyenne, à la place de v. On a vu au chapitre 4 la relation bijective entre ces deux variables, voir équation (4.59). On utilise aussi l'angle Œ, appelé position sur orbite (ou argument de latitude, ou élongation nodale) défini par :

(5.4) qui repère S par rapport au nœud ascendant.

5.2.2

Éléments képlériens

En résumé, les paramètres vus ci-dessus définissent l'orbite et la position du satellite sur l'orbite. Ce sont les six paramètres orbitaux, appelés aussi éléments de l'orbite ou éléments orbitaux. On dit aussi éléments képlériens. On les classe généralement dans l'ordre suivant:

a, e, i,

[2,

w, l'vI.

Le paramètre a a la dimension d'une longueur, les cinq autres (e et les quatre angles) sont sans dimension. Six paramètres (dont au moins une longueur) sont nécessaires et suffisants pour repérer un point dans son mouvement. On peut utiliser d'autres paramètres que ceux de Kepler. La position d'un point (3 coordonnées de position) et sa vitesse (3 coordonnées de vitesse) à un instant donné, susceptible de fournir les conditions initiales à l'intégration des équations du mouvement, définissent la position d'un point sur sa trajectoire (3 + 3 = 6 paramètres). On peut utiliser aussi les variables de Laplace, de Delaunay, de Hill, etc. Chacune est adaptée à différents besoins. Les six éléments de Kepler ont un grand intérêt pédagogique, lors de l'étude du mouvement perturbé, car on voit alors clairement ceux qui varient et ceux qui ne varient pas (tableau 5.1). Ces angles sont exprimables en angles d'Euler, voir l'annexe en fin de chapitre. -

n i w v

Angle

Angle

Asc. dr. du n. asc. Inclinaison Argument du pér. Anomalie vraie

(Ox,ONa) (Oz, OZ) (ONa,OPa) (OPa, OSa)

Dom. 0-360 0-180 0-360 0-360

Plan

Angle d'Euler

EE

Précession Nutation Rotation propre Rotation propre

(E, P)

EP EP

5.1 : Éléments de Kepler (Angles). Les angles se réfèrent à la figure 5.1. Le domaine de variation (Dom.) est en degrés.

TABLEAU

5.2. Paramètres orbitaux

143

Nous présentons, au chapitre 8, dans l'annexe Éléments orbitaux NORAD, les paramètres orbitaux qui permettent, dans la pratique, de localiser le satellite avec une grande précision. Nous établirons la relation entre ces éléments et les éléments képlériens vus ici.

5.2.3

Paramètres orbitaux adaptés

Dans certains cas, les éléments képlériens n'offrent pas un paramétrage assez précis. On les combine pour en faire des paramètres adaptés. Nous donnons ci-dessous la liste de ces combinaisons utilisées pour contourner les difficultés. Il ne s'agit que d'une simple présentation. Ces méthodes sont utilisées pour une description très fine du mouvement du satellite (repérage très précis, maintien en position), ce qui sort du cadre de cet ouvrage. Orbites quasi circulaires

Lorsque l'excentricité est proche de 0, l'orbite est dite quasi circulaire. Le périgée est alors très mal défini: de très faibles fluctuations de e entraînent d'importantes variations de w. De plus, dans ce cas, v et JI.;[ sont très proches. Pour repérer le satellite sur l'orbite, il est plus pratique de prendre l'origine au nœud ascendant, avec Œ = w + JI.;[, qu'au périgée, avec JI.;[. On remplace alors les paramètres képlériens par les paramètres adaptés suivants:

a, ex = ecosw, ey = esinw, i, fl, Œ = w + NI Orbites quasi équatoriales

Si l'orbite est presque équatoriale, le nœud ascendant est très mal défini. Il peut même y avoir des discontinuités pour fl lorsque le plan de l'orbite franchit le plan équatorial : le nœud ascendant devient nœud descendant. Dans ce cas, on préfère utiliser les paramètres suivants: .

z

a, e, W = w + fl, hx = 2 sin "2 . cos fl, hy = 2 sin

.

z

"2 . sin fl,

JI.;[

Orbites quasi circulaires quasi équatoriales

Si les deux conditions précédentes sont simultanément réunies (comme pour les satellites géostationnaires), ni la ligne des nœuds, ni la ligne des apsides ne sont clairement définies. On utilise les angles w = w+fl et ~ = w+M = w+fl+M. Les paramètres adaptés sont les suivants : a, e cosw, e sinw, 2 sin

7,

"2 . cos fl,

2 sin

z-

"2 . sin fl,

À

144

Chapitre 5. Satellite en orbite képlérienne

h (km)

aIR 7.0

35000

6.5 6.0

30000

25000

5.5 5.0 4.5

20000

15000

4.0 3.5 3.0

10000

5000

2.5 2.0 1.5

0

1.0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Période T (heu res)

5.2 : Période képlérienne du satellite en fonction du demi-grand axe a (et de l'altitude pour une orbite circulaire). Les abréviations xEO sont expliquées plus loin.

FIG.

5.3

Période képlérienne

La période képlérienne, quelle que soit l'excentricité de l'orbite elliptique, est donnée par (4.53). Nous la notons T o pour la distinguer des autres périodes qui seront définies pour le mouvement perturbé: (5.5) Il est pratique de définir la période d'un satellite (fictif), en orbite circulaire au niveau du sol de la Terre sphérique de rayon R, notée TO(h=O) TO(h=O)

= 27r

1f; -

3

Avec la distance relative du satellite au centre de la Terre, ri définie par (2.36), on exprime T o en fonction de a, ri ou h :

To(a)

TO(h=O) =

(a) ~

Ii

(5.6)

IL

al R,

déjà

(5.7)

5.3. Période képlérienne

To(rl) =

rl~

. TO(h=O)

145

(5.8)

Le calcul numérique de la période du satellite terrestre « au ras du sol» donne: TO(h=O) = 5 069.34 s = 84.4891 min (5.9) Le nombre maximal de révolutions par jour est donc, pour un satellite de la Terre: (5.10) l/O(h=O) = 17.044 Cette notion de fréquence orbitale quotidienne est développée au chapitre 7. La figure 5.2 permet d'évaluer rapidement la période en fonction de l'altitude. On a noté quelques noms d'orbite de satellite (LEO, MEO, GEO) dont on donnera la signification plus loin. Pour une orbite quasi circulaire, on définit la hauteur h par rapport à une Terre sphérique :

h=a-R

avec R = Re, rayon équatorial

La relation (5.8) devient:

(1 +~) '] . Cl

To(h) =

TO(h=O)

Dans le cas où h est petit devant R (cas des basses altitudes, satellites LEO), on a:

Mouvement circulaire

Avec le graphe (figure 5.3(a)), nous avons représenté, dans le plan de l'orbite circulaire d'un satellite, sa trajectoire pour diverses altitudes pendant une même durée, choisie ici égale à TO(h=O) , soit 84.5 minutes. Le référentiel est ~, galiléen. Le satellite tourne dans le sens direct. La trajectoire représentée commence sur l'axe vertical où sont notées les valeurs de ri = a/Ret se termine par un petit disque noir. Pour Tl = 1.0, la trajectoire fait un tour complet. Pour Tl = 1.6, elle fait un demi-tour et pour Tl = 2.5, un quart de tour (on note: 1.6- 3 / 2 ,,-, 1/2 et 2.5- 3 / 2 ,,-, 1/4). Considérons maintenant le cas (figure 5.3(b)), où ce plan est le plan équatorial terrestre. Sur ce graphe, qui est une extension du précédent, on a noté de plus, par une demi-droite tiretée, l'angle de la rotation faite par la Terre, en 84.5 minutes, dans ~. Pour Tl < 6.6, le satellite tourne plus vite que la Terre, moins vite dans le cas contraire. Pour Tl = 6.6, satellite équatorial et Terre tournent avec la même vitesse angulaire dans ~. Pour un référentiel ~T lié à la Terre, ce satellite paraît alors immobile: il est géostationnaire. Nous reviendrons en détail sur ce cas au chapitre 7.

146

Chapitre 5. Satellite en orbite képlérienne

5.3 : Représentation de la Terre sphérique et de la trajectoire circulaire de satellites en fonction de la distance relative T}. Plan orbital. Référentiel galiléen lR. Durée représentée : 84.5 min (période de révolution képlérienne d'un satellite fictif au niveau du sol). (a) Plan orbital quelconque. (b) Plan orbital confondu avec le plan équatorial terrestre. Vue d'un point situé sur l'axe de la Terre, au-dessus du pôle Nord. Le trait tireté indique l'angle de rotation de la Terre en 84.5 min dans le référentiel lR. FIG.

5.4. Annexe: rotation du solide - angles d'Euler et de Cardan

5.4

147

Annexe: rotation du solide - angles d'Euler et de Cardan

La rotation d'un solide indéformable peut se définir comme la transformation d'un repère cartésien donné en un autre. On montre que cette transformation peut se décomposer en trois rotations élémentaires autour des axes de coordonnées, dans un ordre bien défini. Les trois axes Ox, Oy et Oz sont affectés respectivement des indices 1, 2 et 3. La rotation R se décompose en trois rotations successives d'angles ŒI, Œ2 et Œ3 : - Ri(ŒI) : rotation d'angle ŒI autour de l'axe 'i, avec 'i = 1,2 ou 3; - Rj(Œ2) : rotation d'angle Œ2 autour de l'axe j, avec j = 1,2 ou 3; j of. 'i; - Rk(Œ3) : rotation d'angle Œ3 autour de l'axe k, avec k = 1,2 ou 3; k cl j. On a donc, en notant par

0

les compositions de transformations

(5.11) Il Y a donc 3 x 2 x 2 = 12 manières de faire cette décomposition. Dans la pratique, seuls deux systèmes de composition sont utilisés : le système d'Euler 3 et le système de Cardan 4 (tableau 5.2).

Angles d'Euler La séquence [3,1,3] caractérise le système d'Euler. Nous détaillons cette décomposition en se référant à la figure 5.1 : 3 Leonhard Euler (1707-1783), mathématicien suisse. Son œuvre très féconde englobe l'ensemble des mathématiques de l'époque. Il fut le premier à développer la notion de fonction de variable, f(x), et à l'appliquer aux fonctions exponentielles, logarithmiques et trigonométriques, dans Introductio in analysis infinitorum (1748). Il fit adopter les notations e, 1T et i, et obtint sa célèbre formule: é 'r +1=0 Il inventa la théorie des graphes (avec, pour première application, la résolution du problème des 7 ponts de Konigsberg) et, travaillant sur les polyèdres convexes, démontra que les solides de Platon étaient au nombre de 5. En mécanique, il appliqua, dans Mechanica sive motus scientia analytica exposita (1736), les résultats de l'analyse au mouvement du point matériel (angles d'Euler, variables eulériennes). Il révolutionna, par ses écrits très clairs, l'algèbre, la géométrie, la théorie des nombres. En astronomie, il étudia les perturbations mutuelles de Saturne et Jupiter, dans Theoria motuum planetarium et cometarum (1744), la précession des équinoxes (1749), le problème des trois corps restreint et le mouvement de la Lune (1772). 4 Gerolamo Cardano (1501-1576), dit en français Jér{Jme Cardan, mathématicien italien. Il donna une méthode de résolution des équations du troisième degré. Il est l'inventeur d'un dispositif d'articulation (le cardan) destiné à rendre la boussole insensible aux mouvements des navires. Le nom des angles de Cardan (tangage, roulis) est emprunté au vocabulaire de la marine. Médecin, astrologue, personnage assez fantasque, Cardan cessa de s'alimenter pour mourir le jour que lui avaient dicté les étoiles, par son horoscope.

148

Chapitre 5. Satellite en orbite képlérienne

Système

Axe i

Axe j

Axe k

Œl

Œ2

Œ3

Euler Cardan

3: Oz 1: Ox

1: Ox 2: Oy

3: Oz 3: Oz

Précession Roulis

Nutation Tangage

Rot. propre Lacet

5.2 : Axes de rotation et noms des angles utilisés pour la composition de rotations dans le système d'Euler et le système de Cardan (resp. angles d'Euler et de Cardan).

TABLEAU

- la première rotation Ri(ŒI}, avec i = 3, s'appuie sur l'axe Oz pour transformer Ox en ONo ; l'angle Œ1 est l'angle de précession, Œ1 = [2; - la seconde rotation R j (Œ2), avec j = 1, s'appuie sur l'axe Ox, maintenant représenté par ONo, pour transformer Oz en OZ; l'angle Œ2 est l'angle de nutation, l'angle i formé par les deux plans; -la troisième rotation Rk(Œ3), avec k = 3, s'appuie sur l'axe Oz, maintenant représenté par OZ, pour transformer ONo en OPo ; l'angle Œ3 est l'angle de rotation propre, Œ3 = W. Pour ce système, la rotation est définie de façon univoque avec:

En remplaçant Po par So et donc Œ3 = W par Œ3 = w+v, on voit que cette décomposition est bien adaptée à l'étude du mouvement orbital du satellite. La matrice de rotation correspondant à R s'obtiendra par le produit matriciel de trois matrices simples. Angles de Cardan

Lorsque le satellite n'est plus considéré comme ponctuel mais comme un objet technologique complexe, avec des instruments émetteurs et récepteurs, des panneaux solaires, etc., on désire contrôler son attitude, c'est-à-dire son orientation dans l'espace autour de son centre de gravité. Le système de Cardan est alors très bien adapté. Il correspond à la séquence [1,2,3].

5.4. Annexe: rotation du solide - angles d'Euler et de Cardan

149

La dénomination des trois angles de Cardan est : roulis, tangage et lacet. Elle est liée au choix des axes, dans la visée de la Terre par le satellite. Nous reviendrons sur ces angles dans le chapitre consacré à la vue depuis le satellite.

Remarque sur les dénominations Dans ce livre, nous parlons d'angles d'Euler Cardan (dans la littérature anglo-saxonne, les appelés angles de Tait-Bryan). Dans certains d'Euler tout ensemble de trois angles (notés ici un quelconque des systèmes de composition.

par opposition aux angles de angles d'Euler sont souvent ouvrages, on appelle angles al, a2, (3) intervenant dans

Il

)

orbite réelle

pertlubatrices idéale à l'orbite réelle !llsqu'ici le mouvement képlérien du satellite autour Donctuel, est soumis à l'attraction gravitationnelle orbite est fixe, dans un plan fixe, immuable, dans ;; ;·;.;;;dion terrestre se réduit à l'attraction d'une masse ;;onsidérer la Terre comme sphérique et avec une ;;?trie sphérique (conditions d'application du théoun satellite en mouvement, on remarque qu'il TlLOUVement képlérien. La différence, très petite sur ;/)gulièrement au cours du temps pour devenir plus bout de quelques jours. On peut dire que l'orbite \;·;nent déformée. \nouvement réel et le mouvement képlérien résulte l'avons déjà signalé: t'ment sphérique et la répartition de masses n'est sphérique; d'autres forces que celle due à l'attraction ter";dtraction dues aux autres astres et les forces de !H'd!lrbations que nous étudions dans ce chapitre. M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

152

6.1.2

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

Ordre de grandeur des forces perturbatrices

Les forces auxquelles est soumis un satellite en orbite géocentrique sont étudiées un peu plus loin en fonction de l'altitude du satellite et résumées figure 6.1. D'un point de vue physique, il est intéressant de séparer ces forces en deux catégories, selon qu'elles sont conservatives ou non. Les forces conservatives dérivent d'un potentiel: ce sont les forces gravitationnelles (attraction terrestre et attraction due aux autres corps célestes). Les forces non conservatives ne dérivent pas d'un potentiel: ce sont des forces dissipatives, qui «coûtent» de l'énergie. En plus du frottement atmosphérique (qui décroît très rapidement avec l'altitude), il s'agit des forces dues à la pression de radiation. Il est important de connaître les ordres de grandeur de ces diverses forces. Par exemple, pour un satellite à une altitude de 800 km en orbite quasi circulaire, l'attraction centrale étant prise égale à 1, on a pour les autres attractions des valeurs beaucoup plus faibles: 10- 3 pour la perturbation due à l'aplatissement de la Terre, 10- 6 pour celles dues aux autres irrégularités du géoïde, 10- 7 pour l'attraction de la Lune et 10- 8 pour celle du Soleil. Les autres forces (conservatives et non conservatives) ne dépassent généralement pas quelques 10- 8 . Il s'agit d'ordre de grandeur et nous reviendrons sur ces valeurs plus loin. Mais cela montre qu'on peut considérer toutes ces forces (sauf la principale) comme des perturbations : elles ne sont pas traitées, toutes à la fois, dans leur globalité, mais une à une, comme des quantités petites par rapport à la force principale qu'est la force d'attraction centrale. L'ensemble des forces vues ci-dessus peut s'écrire, en utilisant les accélérations, avec les indices donnés dans le tableau 6.1 :

Y= Yccc

+ YCCN + LYe; + LYD

j

(6.1)

j

Le terme principal est ,CCC. Tous les autres sont petits devant lui. On a bien entendu l'équivalence :

(6.2) le vecteur g(r) représentant le champ gravitationnel newtonien de la Terre, défini précédemment par l'équation (3.11).

6.1.3

Potentiel

En ne considérant que les termes dus aux forces conservatives, on peut utiliser la notion de potentiel. On sait que le potentiel U d'un champ vectoriel Y est donné par la relation:

Y= gradU

6.1. Forces perturbatrices

153

et en utilisant les propriétés de linéarité de l'opérateur gradient, on a : U = Uccc

+ UCCN + LUc;

(6.3)

Le potentiel de gravitation terrestre est Ucc : UCC = UCCC

+ UCCN

Il a été calculé au chapitre 3, où il est donné sous sa forme générale par (3.28) et par (3.27) si on s'arrête au degré 2. Le terme principal Uccc, noté par la suite Ua, correspond à l'attraction centrale « képlérienne» Uccc

6.1.4

IL r

QM r

= Ua = - = - -

(6.4)

Perturbations et altitude du satellite

Nous allons examiner l'ensemble des forces (accélérations) perturbatrices en fonction de r, distance du satellite S au centre 0 de la Terre (ou de h, son altitude, h = r - R, R étant le rayon équatorial de la Terre). Nous traçons, figure 6.1, la valeur de l'accélération 1 en fonction de la distance relative, TI = r / R. On utilise une échelle dite «log/log» (graphe doublement logarithmique) avec: - en abscisses, x = 10g(TI), avec pour valeur minimale x = 0, soit r = R ou h = 0, correspondant à la surface du sol; - en ordonnées, y = loghi), en notant li l'accélération considérée. Nous avons indiqué sur cette figure les altitudes caractéristiques de trois types de satellites (sur lesquels nous reviendrons par la suite) : h = 1 000 km pour les satellites en orbite basse (LEO), h = 20 000 km pour les satellites de positionnement (MEO), h = 36 000 km pour les satellites géostationnaires (GEO). Cette figure montre comment chaque type de satellite est plus ou moins sensible à telle ou telle force perturbatrice en fonction de son altitude. Les forces, classées en forces conservatives et forces non conservatives (ou dissipatives), sont récapitulées dans le tableau 6.1. Forces conservatives

Les forces gravitationnelles agissant sur le satellite proviennent des attractions suivantes. (a) A ttraction terrestre L'accélération centrale, notée ici ICcc, est donnée par (6.2) IL Iccc(r) = g(r) = 2

r

(6.5)

154

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

2 r/R

3

4

5

6 7 8

1

1

1

1

10 12 14 1

1 1 1 1 1 1

Distance r (1000 km)

5

7 8 910

20

30

40

50 60 7080 100

10

.. pente -1

10

-2

-2

10

-3

10

-4

10

j'IIIl.:.: +1 +1

-5

10

-6

10

-4

-7

10

o

Rad. sOlaire:

-8

10

-9

.... : ............

10

~.~.;.:~

..

+1

en

-2 -4 -3

c o

-6

,-...

N

1

E '-' :0:;

CIl .....

'(J)

:ci)

01000

20000

36000

-8

() ()

«

Altitude h (km)

6.1 : Représentation de l'accélération centrale et des accélérations perturbatrices en fonction de la distance r du satellite au centre de la Terre. Double échelle logarithmique. Dans le domaine de variation considéré, les courbes peuvent être assimilées à des droites dont la pente a été notée. On a aussi mentionné les altitudes de trois types d'orbites de satellite (dans l'ordre: LEO, MEO et GEO).

FIG.

6.1. Forces perturbatrices

Symbole

Type de force Force conservative

C CC CL CS CP CM CR

CCC CCN

• •

• • •

• • •

Attraction terrestre 0 Terme central f1 = ç IvI 0 Termes autres que CCC Attraction lunaire Attraction solaire Attraction planétaire Effet des marées (terr., océan.) Effet relativiste

Force dissipative

D DF DP DA TABLEAU

155

• •

•

Frottement atmosphérique Pression de radiation solaire Effet d'albédo

6.1 : Liste des forces auxquelles est soumis le satellite.

Sa représentation est donc une droite dans un graphe en échelle « log/log», de pente p = -2, puisqu'on a : y = log (IL/ R2) - 2x. La valeur à l'origine (x = 0, soit r = R ou h = 0) est: IL

iccc(R) = g(R) = go = R2

(6.6)

dont la valeur numérique moyenne est : go = 9.80 m·s- 2

Pour le terme relatif à h, le potentiel UCCN.J2, voir (3.27), est en (r- 3 ). L'accélération iCCN.J2 est donc en (r- 4 ) et il s'ensuit que la pente de la droite représentative est p = -4. Comme valeur à l'origine (h = 0), on a considéré la valeur : iCCN.J2(R) = go J 2 représentant une valeur approchée moyenne sur les latitudes parcourues par le satellite. L'accélération iCCN.JN relative aux autres termes J n , n > 2, présente une pente encore plus forte. Nous allons voir plus bas que seuls les termes J n avec n pair ont une influence à long terme (séculaire) sur le satellite. L'équation (3.28) montre que le potentiel est en r-(n+l), donc l'accélération en r-(n+2). La pente est p = -6 pour J4, p = -8 pour J 6, etc. À l'origine, les valeurs numériques sont : go h = 1.1 10- 2 m·s- 2

156

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

en considérant, bien entendu, les valeurs absolues des termes ln. (b) Attraction luni-solaire On considère un astre attracteur (Lune ou Soleil) et on calcule son action sur le satellite. La Terre subissant aussi une attraction de l'astre, il faut calculer l'attraction différentielle subie par le satellite dans un repère lié au centre de la Terre. L'attraction différentielle due au Soleil produit l'accélération notée ici ÎCs (calculée dans l'annexe Notion sur les sphères d'influence, en fin de chapitre). L'équation (6.149) donne: ÎCS

ILs

= 2-

a1

r

(6.7)

où ILs représente la constante d'attraction solaire et as la distance TerreSoleil (le demi-grand axe de l'orbite terrestre héliocentrique). Pour l'attraction différentielle due à la Lune, l'accélération notée ÎCL se calcule, en première approximation, par un raisonnement semblable : ÎCL

ILL

= 23 r aL

(6.8)

où ILL représente la constante d'attraction lunaire et aL la distance TerreLune (le demi-grand axe de l'orbite lunaire géocentrique). Dans le domaine des valeurs représentées ici, ÎCs et ÎCL sont proportionnels à r, donc leur variation est de pente p = +1. À l'origine (h = 0), les valeurs numériques sont : Îcs(R)

= 2

ÎCL(R) = 2

IL; R as

IL~ aL

= 0.5 10- 6 m·s- 2

R = 1.110- 6 m·s- 2

L'effet de la Lune est plus de deux fois supérieur à celui du SoleiP. lOn peut obtenir, de manière astucieuse, une relation entre les deux accélérations Ics(r) et ,cL(r). Le rapport des accélérations est égal à :

,cL(r) _ ML (as)3 Ics(r) - Ms

aL

Gràce aux éclipses de Soleil, on sait que, depuis la Terre, les diamètres apparents de la Lune et du Soleil sont égaux. On a donc la relation, en notant RL et Rs les rayons respectifs: RL

Rs

aL

aS

En exprimant les masses, à l'aide des masses volumiques moyennes, notées respectivement PL et Ps, on obtient: PL (RL)3 Ms = Ps Rs et ainsi, en appliquant les valeurs numériques, on détermine la valeur du rapport: ML

,cL(r)

PL

Ics(r)

Ps

--- = -

3.3437

= - - c:::::2.25

1.4808

6.1. Forces perturbatrices

157

(c) Attraction due aux autres planètes Cette attraction différentielle provoque sur le satellite une accélération très faible, ICP, également de pente p = + l. Pour chaque planète, l'ordre de grandeur est donné par : ICP =

ILp

2 3

ap

(6.9)

r

où ILp représente la constante d'attraction de la planète et ap la distance Terre-planète. Selon les configurations, les valeurs maximales des accélérations perturbatrices sont: ICP

rv

10- 10 m·s- 2

dû à Vénus

ICP

rv

10- 11 m·s- 2

dû à Jupiter

( d) Effet des marées Les marées océaniques sont provoquées par l'action perturbatrice de la Lune et du Soleil. L'explication en a été donnée par Newton puis Bernoulli, la théorie étant achevée par Laplace et Kelvin. Ce phénomène est familier et facilement observable. Ce qui est moins connu, c'est que cette action perturbatrice s'applique aussi à la croûte terrestre: l'enveloppe terrestre solide se soulève deux fois par jour, avec une amplitude de l'ordre du décimètre. Le phénomène des marées (océanique ou terrestre) provoque des frottements : ce n'est donc pas un phénomène conservatif (c'est ce phénomène qui explique le lent ralentissement de la vitesse de rotation terrestre). Mais l'effet de ces marées sur le satellite peut se résoudre en utilisant le fait que les forces de déformation qui entrent en jeu dérivent d'un potentiel. On montre que le potentiel d'interaction est en r- 3 , d'où une accélération perturbatrice en r- 4 . Pour r = R, on a ICM rv 5 10- 7 m·s- 2 . L'effet des marées océaniques est environ le dixième de celui des marées solides. ( e) Effet relativiste La vitesse V d'un satellite n'excède pas quelques kilomètres par seconde. Elle est très petite devant la vitesse c de la lumière : un traitement relativiste est généralement inutile. Cependant, depuis TOPEX/Poseidon, l'effet relativiste est pris en compte pour les satellites d'altimétrie et pour ceux de positionnement (type GPS). On montre que la correction revient à considérer une accélération dite relativiste, dont le terme principal est noté ici ICR : (6.10)

Pour une orbite circulaire, avec (4.52), on obtient: ICR =

3/L2 c2

.

1 r3

ce qui donne une pente p = -3. A l'origine (h = 0), on a : ICR(R)

= go

~IL

c R

=

l.6 10- 8 m·s- 2

(6.11)

158

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

La principale 2 manifestation de la considération de cette correction est l'effet séculaire sur l'argument du périgée: le périgée de l'orbite avance plus vite que ne l'indique le calcul classique. C'est ce qu'on appelle l'avance au périgée. Pour les planètes autour du Soleil, on parle d'avance au périhélie, phénomène expliqué par Einstein - voir la note historique en fin de chapitre. On calcule que cette précession apsidale donne une variation .dlw de l'argument du périgée w, à chaque révolution: (6.12) L'indice [1] note la valeur obtenue sur une révolution, l'indice [A] note celle obtenue sur une année. Cette valeur reste toujours faible (une fraction de minute d'angle sur une année), que l'orbite du satellite soit quasi circulaire ou excentrée : - SPOT-5 (a = 7.20 10 6 m), .dlw = 1.1610- 8 rad, .dAw = 12".4 - TOPEX/Poseidon (a = 7.7110 6 m), .d 1w = 1.0810- 8 rad, .dAw = 10".5 - Navstar/GPS (a = 26.56 106 m), .d 1w = 3.15 10- 9 rad, .dAw = 0".48 - Molnya (a = 26.5610 6 m,e = 0.74), .d 1w = 6.8910- 9 rad, .dAw = 1".04 La force entraînant l'avance du périgée doit être considérée comme cons ervat ive , car on peut obtenir le même effet en ajoutant un petit moment quadrupolaire en r- 3 à la force de gravitation, indépendant du temps, donc conservatif. Forces non conservatives

Les forces perturbatrices non gravitationnelles ne dépendent pas de la masse NIs du satellite. Les accélérations correspondantes sont donc en (1/ NIs). Aux types de forces présentées ci-dessous, il faut ajouter les forces communiquées au satellite (par des jets de gaz, généralement) lorsqu'on veut modifier sa trajectoire. Ce sont les forces non conservatives qui permettent de piloter le satellite. (a) Frottement atmosphérique Pour les satellites en orbite basse (h < 1 200 km), le frottement sur les molécules de gaz atmosphériques résiduels est important. Il dépend de la forme du satellite (en particulier celle des panneaux solaires) et de l'état de la haute atmosphère, qui est difficile à modéliser (divers facteurs interviennent, dont l'activité du Soleil). Nous développons le sujet dans l'annexe Frottement atmosphérique en fin de chapitre. L'effet de l'atmosphère devient très faible 2Selon la théorie de la relativité générale, le champ de gravité terrestre affecte l'espacetemps au voisinage du satellite dont la trajectoire va différer de celle calculée par la mécanique classique. Cette action peut être représentée par une « accélération relativiste». On montre qu'elle se décompose en trois termes: le terme de Schwarzschild, la précession géodésique et la précession de Lense-Thirring. Le premier, de loin le plus important, fournit l'accélération "ICR étudiée ici. Les deux autres sont explicités au chapitre 7, à propos du satellite GP-B.

6.2. Méthode des perturbations: présentation

159

à partir de h = 1 000 km et décroît très rapidement avec l'altitude (très peu important pour TOPEX/Poseidon à 1300 km d'altitude, inexistant pour LAGEOS à 6 000 km).

(b) Pression de radiation La pression de radiation solaire est en a"5 2 , donc indépendante de r (car r « as). Les effets de cette pression de radiation dépendent de la forme, du revêtement, de la configuration du satellite 3 . Ils s'annulent lorsque le satellite est caché du Soleil par la Terre. L'accélération perturbatrice correspondante est évaluée à : IDP(r) = IDP = constante

cv

10- 7 m·s- 2

( c) Effet d'albédo Les effets de la pression de radiation rediffusée (rayonnement visible ondes courtes - renvoyé par la Terre, dit effet d'albédo, et rayonnement infrarouge - ondes longues - émis par la Terre) dépendent de la région survolée et de l'altitude. On peut les considérer en r- 2 .

6.2 6.2.1

Méthode des perturbations

présentation

Propagation d'orbite: méthode numérique et méthode analytique

Nous venons d'énumérer les perturbations qui représentent la différence entre potentiel newtonien et potentiel réel. Nous allons maintenant voir comment cet écart de potentiel provoque un écart dans le mouvement du satellite. On appelle restitution d'orbite la méthode qui permet de connaître, à tout instant, la position du satellite à partir du moment où le champ de forces et la position initiale sont connus. On classe ces méthodes de restitution selon le type d'intégration, en numérique ou en analytique. La première méthode fournit des séries de nombres - efficace mais peu intuitive. La seconde permet d'exprimer les modifications du mouvement de manière claire et imagée (par exemple, on dira que l'excentricité augmente, ou que l'orbite glisse dans un mouvement de précession). Autre opposition : la méthode numérique est lourde mais très précise, la méthode analytique est plus rapide mais n'atteint pas la même précision. Dans le cas des rendez-vous orbitaux, ou lorsqu'on veut éviter les collisions entre satellites, c'est la première méthode qu'il faut employer. Dans les études plus classiques d'orbitographie, la méthode analytique est amplement suffisante. Le logiciel Ixion et toutes les applications présentées dans ce livre sont basés sur la méthode analytique. 3Cette action perturbatrice est relativement importante pour les premiers satellites de type ballon, comme Echo-l, lancé en 1960, Echo-2, en 1964, PAGEOS, en 1966. Ces satellites très légers (une enveloppe de mylar aluminisé de 13 {Lm d'épaisseur, gonflée après le lancement) avaient un diamètre de 30 à 40 mètres.

160

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

Nous examinons rapidement les principes des deux méthodes. Mais, par la suite, avec la méthode de Lagrange, c'est uniquement la méthode analytique qui sera développée. Lorsque le satellite est soumis à la somme de l'accélération centrale newtonienne et d'une accélération de perturbation, on considère que, puisque la perturbation est faible, la trajectoire restera assez proche de la trajectoire conique. L'équation du mouvement s'écrit alors:

r le terme cipal :

ÎP

gradUo

=

+ YP

avec

Uo = ~

r

(6.13)

étant le terme de perturbation. Il est petit devant le terme prinJ.L

2 r et on ne considère ici que les champs d'accélérations perturbatrices dérivant d'un potentiel. Dans ce cas: ÎP«

YP = gradR où R est le potentiel perturbateur. Le satellite est donc soumis au potentiel U : U = Uo +R

(6.14)

Méthode numérique

Le système d'équations s'écrit dans ce cas: {

..

r

r= -IL r 3

+ YP

r(t=O)=ra;

r(t=O)=ra

(6.15)

L'intégration est basée sur des méthodes de construction progressive des éléments orbitaux. La méthode dite « à k pas» permet de déterminer les éléments au temps t = tn+l à partir des k éléments précédemment déterminés. Dans le cas k = 1, par exemple, l'intégration entre les temps t = ta et t = tN se fait avec un pas h = (t N - ta) / N. Chaque coordonnée cartésienne y, au temps t n+1, est évaluée en fonction de y au temps tn :

Dans le cas de la méthode d'Euler, cP représente la dérivée y/(tn). Des méthodes mieux adaptées et plus élaborées sont utilisées: - méthodes purement mathématiques, comme l'intégration de Runge-Kutta (fin du XIX€ s.), pour laquelle la fonction cP revient, dans sa forme la plus classique, à un développement de Taylor à l'ordre 4; - méthodes développées par les astronomes pour déterminer le mouvement

6.2. Méthode des perturbations: présentation

161

des planètes et autres corps célestes, comme les méthodes d'Adams-Bashforth ou d'Adams-Moulton, dites à pas multiple; - méthodes développées spécifiquement pour les satellites artificiels, à partir de 1957, comme la méthode de Cowell. Méthode analytique

On a démontré précédemment que le mouvement képlérien du satellite est défini par six paramètres orbitaux, les éléments orbitaux képlériens. On montre qu'il existe une correspondance bijective B entre les six éléments et les six coordonnées cartésiennes (dans le référentiel galiléen ~) des vecteurs Tet T:

{x(t), y(t), z(t), x(t), y(t), i(t)}

{a(t), e(t),i(t), D(t), w(t), M(t)}

Dans le mouvement képlérien, les 5 paramètres fixant la position de l'orbite (a, e, i, D, w) restent constants et JI.;[ varie linéairement: JI.;[ = n(t - t p ), en notant par t p l'instant de passage au périgée. Dans le cas du mouvement perturbé, l'étude de la transformation B montre que l'équation (6.13) est équivalente aux 6 relations: {

à

fl

= =

gl

g4

ë = g2 W =g5

i

=

g3

!VI - no =

g6

(6.16)

avec no = j 11/ a~, ao étant, dans un premier temps, la valeur de a sans perturbation. Les termes gi sont petits. Une approche classique consiste à utiliser ensuite une méthode itérative. Les paramètres, variables dans le temps, sont appelés éléments orbitaux osculateurs. Ils représentent les paramètres de l'orbite képlérienne que suivrait le satellite si les perturbations cessaient à cet instant. Ces éléments osculateurs 4 permettent de mieux décrire les déformations de l'orbite que les valeurs de la position et de la vitesse. C'est la méthode analytique qui permet, pour prendre un exemple, de mettre clairement en évidence l'inclinaison critique de l'orbite que nous verrons plus loin. La méthode des perturbations consiste à résoudre les six équations cidessus, appelées équations de Lagmngé. Voir figure 6.2. 4Le terme osculateur n'a pas la même signification qu'en géométrie. En géométrie, deux courbes sont dites osculatrices si les deux centres de courbure sont confondus pour un même point de contact considéré. Ici, dans l'étude des trajectoires spatiales, l'ellipse osculatrice (définie par les éléments orbitaux osculateurs) est tangente à la trajectoire réelle (puisque le vecteur vitesse est le même) mais n'a pas exactement le même rayon de courbure (puisque les accélérations sont différentes). Le terme a été créé par les géomètres (1752) et légèrement détourné de l'acception géométrique par les astronomes. La preuve en est son origine étymologique. Le mot est en effet emprunté du latin osculatio, nom d'action du verbe osculare, «faire un baiser», dérivé de osculum, «petite bouche», diminutif affectueux de os, oris, terme classique pour « bouche ». Il faut donc voir dans ce terme

162

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

.,..,,,,,.,.,, AVERTISSEMENT. ON 'a déja plufieurs Traités de Méchanique, nlaù:

MÉCHA NIQUE DE LA GRANGE.

propofé de réduire la théorie de cette Science, & l'art de réfoudre les pr~blêmes qui s'y rapportent, il des formules générales, dom le {impie développement:

AN ALITIQUE; Par M

le plan de cdui-ci dl emiérement neuf. .le me fuis

donne toutes les équations néceŒlirc_i pour la folution

'de chaque problème. J\::fpere que la manierc dont

dt; l'Académie des Scienca de FiUls ~

de ct:lles de BerIill, d;:Piters~ourg~ de Turin, ue.

j'ai tâché de rcmp~ir cet objet, ne laiJJera rien à

defii'er. Get Ouvrage aura d'ailleurs une autre utilité; il réunira &. préfentcra fous. un même point de vue, les différens Pl'Încipes trouvés ju[qu'ici pour facilirer la [oludon des quei1ions de Méchanique, en mon.... trera la liaifon & la dépendance mutuelle, & mettra. à portée de juger de ~eur jufteffe & de leur étendue .. Je le divife en deux Parties; la Statique ou la. Thé9fie c!e l'Équilibre, & la Dynamique ou la Théorie

A Chez

J;.A

M.

PA RIS,

DESAINT, rue du Foin S. Jacques.

VEUVE

DCC.

Libraite~

AVE R TISSE ME NT.

vj

LXXXVIII.

.ArI.C ,APPIJ.OjjATlON ET PRIVnEGE

DU

Rot.

.du Mouvement; & chacune de ces Parties traitera {éparément des Corps Colides & des. fluides. On ne trouvera point de Figures dans cet Ouvrage.

6.2 : Mécanique analytique de Lagrange. Édité à Paris en 1788 MDCCLXXXVIII. (g) Page de titre. (dr.) Avertissement. L'auteur y explique sa démarche, très novatrice : sa Mécanique devient une branche de l'Analyse. Et, pour montrer son parti pris d'abstraction, il ajoute : «on ne trouvera point de figures dans cet ouvrage ».

FIG.

Les méthodes que j'y expofe ne demandent ni conf.. truélions, ni raifonnemens géométriques ou méchaniques, mais feulement des opérations algébriques, aJ1ùjetties

à une marçhe réguliere & uniforme. Ceux

qui aiment l'Analy[e, verront avec plaiur la Méchanique en devenir une nouvelle branche 1 & me fauront ~ré -Il'~n

avoir étendu ;ûnfi le domaine.

6.2. Méthode des perturbations: présentation

6.2.2

163

Principe de la méthode

Le mouvement réel s'obtient par le calcul de petites variations autour des intégrales premières du mouvement non perturbé. Pour un champ d'accélérations perturbatrices dérivant d'un potentiel, les équations (6.13) et (6.14) donnent l'équation du mouvement

T= gradU

U = Ua +R

avec

(6.17)

qu'on transcrit, pour chacune des coordonnées cartésiennes de

au

au oy

ox

T,

par:

au Oz

Nous écrivons les résultats pour x. La première des équations ci-dessus donne, en décomposant les calculs : i;

di;

-

dt

dx dt

(6.18)

ox

(6.19)

-

au

En faisant intervenir les 6 éléments orbitaux képlériens (ou 6 variables convenablement choisies), on obtient i; sous la forme d'une somme de 6 termes et donc x sous la forme d'une somme de 36 termes. La méthode des perturbations utilise une résolution d'équations différentielles par la méthode de la variation de la constante. Le choix de certaines variables, dites variables canoniques, permet d'obtenir les équations de Lagrange sous une forme très simple, la forme canonique, comme les relations (6.60). Plusieurs ensembles de 6 variables offrent une telle possibilité, comme les variables de Delaunay, les variables de Poincaré ou les variables de Whittaker (ou Hill). Un mot sera dit par la suite des variables de Delaunay, mais nous n'entrerons pas ici dans ces puissantes théories mathématiques, développées en particulier pour les calculs de l'orbite des planètes, auxquelles s'attachent les noms d'Euler, Lagrange, Laplace, Gauss et Poincaré. une idée de contact étendu et appuyé. 5 Joseph Louis de Lagrange (1736-1813), mathématicien français. Il appliqua ses théories analytiques à l'étude du mouvement de la Lune et à sa démonstration de la variation périodique des grands axes des planètes, Théorie de la libration de la Lune et autres phénomènes qui dépendent de la figure non sphérique de cette planète (1763) et inventa la notion de potentiel de gravitation (1772). Toutes ces notions furent synthétisées dans son œuvre majeure, Mécanique analytique (1788). Il a créé la théorie des perturbations pour l'étude du mouvement des corps célestes, avec Sur la théorie des variations des éléments des planètes (1808). Il poursuivit les travaux d'Euler pour mettre au point la méthode de variation des constantes, dont il donna une version finale dans Sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de mécanique (1810). Son nom reste attaché aux équations et outils mathématiques utilisés dans ces théories.

164

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

6.2.3

Mise en place des crochets de Lagrange

On note les coordonnées cartésiennes par Çi, avec i = 1,2,3 :

6 =x

ô =z

6 =y

L'équation (6.17), équation du mouvement, s'écrit: (6.20) On note les éléments orbitaux képlériens par Sj, avec j

=

1,2,3,4,5,6 :

L'élément S6 est l'anomalie moyenne initiale. Il est introduit ici à la place de !vI pour faire apparaître directement (!VI - n) dans la relation (6.16). On a

la relation très simple :

e=

l'v! - nt = -nt p

(6.21)

où t p est l'instant de passage au périgée. Les équations (6.18) et (6.19) deviennent alors : i=I,2,3 (6.22) (6.23) On multiplie les trois équations (6.22) par (-aèi/aSk), les trois équations (6.23) par (aÇi/aSk) et on ajoute l'ensemble. On obtient le système:

t t {[i=l j=l

k

aèi aÇi aSk aSj

+

=

1,2,3,4,5,6

aÇi aèi aSk aSj

1dS

j }

dt

=

t {_ i=l

aèi èi aSk

+

aÇi au} aSk aÇi

(6.24) Ce système est équivalent aux équations (6.13), système du problème à résoudre. Étudions les deux membres de cette égalité. Pour le membre de gauche, on utilise la notation suivante. On pose : (6.25) L'expression [Ski Sj] s'appelle un crochet de Lagrange. Il y a donc 36 crochets de Lagrange.

6.2. Méthode des perturbations: présentation

165

Le membre de droite est constitué de deux termes. Le premier peut s'écrire:

On voit apparaître l'expression de la quantité T, homogène à un potentiel et représentant l'énergie cinétique par unité de masse (on note V le module de la vitesse du point considéré) : (6.26) Ce premier terme est donc égal à : (6.27) Le deuxième terme se transforme ainsi : (6.28) Si on pose:

F=U-T

(6.29)

le système (6.24), donc (6.13), est équivalent à : k = 1,2,3,4,5,6 6

dSj

L[Sk;Sj]dt j=l

=

8F

(6.30)

8S. k

Cette grandeur F correspond à une énergie par unité de masse. On l'appelle parfois fonction force ou fonction hamiltonienne (car elle correspond à l'opposé de l'hamiltonien). On pourra se reporter, chapitre 4, au paragraphe consacré à l'énergie 6 . 6Si on compare les équations donnant l'énergie, (4.106) et (6.29), on remarque, avec les notations employées et m étant la masse du satellite: U = -mU

T = +mT ~

E= T

+U

= -m(U - T) = -mF

-E/m=F=U-T

Dans les études d'orbite et de trajectoires spatiales, on préfère utiliser les accélérations plutôt que les forces, le potentiel U plutôt que l'énergie potentielle -U, car la masse du satellite n'a aucune importance dans les calculs (sauf pour l'étude du frottement atmosphérique et des forces de pression de radiation). De plus, nous avons vu que l'énergie E est négative dans le cas du mouvement périodique. La convention utilisée pour F permet d'avoir des valeurs positives pour cette grandeur.

166

6.2.4

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

Propriétés des crochets de Lagrange

Antisymétrie des crochets

L'examen de la définition des crochets de Lagrange donnée par l'équation (6.25) montre facilement que:

On en déduit que sur les 36 crochets, 6 sont nuls et sur les 30 qui restent a priori non nuls, seuls 15 sont à calculer. Invariance des crochets avec le temps

Le crochet de Lagrange est défini, par (6.25), comme la somme de trois termes. Pour calculer la dérivée par rapport au temps d'un crochet de Lagrange, commençons par le faire pour un élément i de la somme. Cela donne: -d

1

çi -aèi- - -aèi- -aÇi[a --

aSkaSj aSk aSj aèi aèi+aÇi-aé~ aé~ aÇi - -aèi - aèi aSkaSj aSkaS-j -aSaS aS k j kaSj dt

aÇi aé~

aé~ aÇi

(6.31)

Pour établir une symétrie d'écriture dans les termes, qui permettra des simplifications, il est intéressant d'ajouter et de retrancher à (6.31) l'expression suivante: . a2 èi . a2 Ç, (6.32) Çi askas + ç, askas) j

On obtient alors:

la dernière égalité étant obtenue avec la relation fondamentale (6.20). Ensuite, on somme sur les trois valeurs de i, en intervertissant le signe « somme» (sur i) et les signes « dérivées partielles» (sur j et k). On utilise les relations (6.26) pour T, (6.28) pour la dérivation de T et (6.29) pour F.

6.3. Méthode des perturbations: résolution

On obtient:

167

:t -

a~k {t, [~i ~Z :t1} - a~j {t, [~i :1: -~z :~: 1} au } aSj

a {aT aSk aSj

a2 F

askasj

o

a2 F

a {aT aSj aSk

au } aSk

asjask

L'équation: (6.33)

montre finalement que l'expression [Ski Sj] ne dépend pas du temps. La valeur du crochet peut évidemment varier avec le temps si l'un ou plusieurs des paramètres orbitaux varient avec le temps. Mais au cours d'une révolution, on peut considérer les paramètres Si comme constants et [Ski Sj] reste donc constant. Cela signifie que pour évaluer sa valeur, il suffit de le faire en un seul point de l'orbite.

6.3 6.3.1

Méthode des perturbations

résolution

Calcul des coordonnées

Coordonnées dans le plan orbital

Pour calculer les facteurs du crochet de Lagrange, (a~daSk) et (aê,daSj), on exprime les coordonnées cartésiennes en fonction des paramètres. Pour cela, on écrit la position du satellite dans un repère orthonormé direct (0; X, Y, Z), lié au plan P de l'orbite, 0 est le centre attractif (centre de la Terre). Le plan P contient OX et OY, OX passe par le périgée P, OZ, perpendiculaire à P, est porté par le moment cinétique C du satellite. Dans ce repère, on peut écrire les composantes du rayon vecteur X, Y, Z, d'après les équations (4.66) et (4.67)

X

T

y

Tsinv = a ~ sinE

Z

0

cos V

=

a (cos E - e)

On rappelle que l'anomalie excentrique E qui intervient dans ces formules est reliée à l'anomalie moyenne JI.;[, utilisée comme paramètre orbital, par (4.64),

168

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

dite équation de Kepler. En lz dérivant par rapport au temps, on obtient: (1 - e cos E) -de = dt on obtient les vitesses

TI

=

~t a3

X, Y, Z : {IJ:

V-;;

[K o

sinE 1 - e cos E

t ~ cosE - VI - e~ a 1- ecosE

Coordonnées dans le plan équatorial

Pour passer de ce repère au repère confondu avec le référentiel 1R, à savoir le repère (O;x,y,z), lié au plan équatorial E, où Oz est porté par l'axe des pôles, il faut effectuer trois rotations, clairement définies avec les angles d'Euler (al = D ; a2 = i ; a3 = w) vus au chapitre 5. On pourra se reporter à la figure 5.1. Les coordonnées cherchées, x, y, z et X, y, i se déduisent de X, Y, Z et X, Y, Z par le produit de trois matrices de passage. Le calcul détaillé de ces trois matrices et de leur produit est fait plus loin, lors du calcul de la trace du satellite. La valeur de la matrice de passage, notée P, est donnée par l'équation (8.8). Avec les angles utilisés ici, on obtient la matrice carrée (3 x 3) :

P=

cos D· cosw - sin D . sin w . cos i

- cos D· sinw - sin D· cosw· cosi

sin D . sini

sin D· cosw + cos D . sin w . cos i

- sin D· sinw + cos D . cos w . cos i

- cos D· sin i

sin w . sin i

cosw . sin i

cosi

Les grandeurs X, Y, Z, X, Y, Z ne dépendent que de trois paramètres orbitaux, a, e et E (on remplacera ensuite E par NI) ; les éléments de la matrice P ne dépendent que des trois autres, D, i, w. Les grandeurs x, y, z, x, y, i dépendent des six éléments orbitaux: X(a,e,E) P(D,i,w) [ Y(a,e,E)

o

X(a,e,E) P(D,i,w) [ Y(a'oe,E)

1

(6.34)

1

(6.35)

6.3. Méthode des perturbations: résolution

En notant les coordonnées x, y, z par Çi, comme vu plus haut et X,

èi' on a, avec 'i = 1,2,3:

Çi

Pi1X

Çi

Pi1X

169

y, i

par

+ Pi2 Y + Pi2 Y

et en notant Pij l'élément de la ligne 'i, colonne j de la matrice P. Calcul des dérivées par rapport aux éléments orbitaux

La dérivation des trois valeurs de Çi, définies ci-dessus, par rapport aux éléments orbitaux donne: si Sk : D, 'i, w si Sk : a, e, E et on obtient des résultats analogues pour

aèi

èi : si Sk : D, 'i, w

aSk

aèi

si Sk : a, e, E

aSk

(a) On calcule les dérivées de X, Y, X, Y par rapport à Sk, puis on prend leur valeur en un point quelconque de l'orbite. On choisit évidemment le périgée (v = E = M = 0), le point qui amène le plus de simplifications. La relation entre dE et d1Vl, découlant de (4.75), a été déjà vue un peu plus haut. Le calcul de k donne:

aXjaS

ax aa ax ae ax aM

cosE - e

-a -asinE·

1 1 - cosE

et la valeur de ces grandeurs au périgée est :

ax

ax ae

-=-a

aa=l-e

ax aM =0

De même avec les autres coordonnées, on obtient après dérivation et calcul au périgée:

ay aa

-=0

ay ae

-=0

170

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

oX oa

oX oe

-=0

oX

-=0

01' oe

01' _ n~ oa - -"2 1- e

na e)2

(1 -

aM

01'

na

aM =0

(1 - e)~

(b) La dérivation de F ij par rapport à Sk se fait classiquement, sans simplification possible.

6.3.2

Calcul des crochets de Lagrange

Calcul du crochet [a;

Ml

Nous allons calculer le crochet [a; M]. D'après la définition (6.25), on écrit le crochet de Lagrange relatif aux deux éléments a et l'v! :

[a' M]

'

=

~ [ - O~i oa

~

i=l

OÇi aM

+ OÇi O~i 1 oa aM

-Fil2

1+ e i2 2] +-F

Avec les calculs précédents :

OÇi

oa

O~i

oa

OÇi aM

O~i aM

on obtient:

[a;M]

2:

na

3

= --

1-e

[

i=l

2

La matrice P est telle que, pour tout j, on a : 3

2:Fi~ i=l

= 1

ce qui donne finalement pour le crochet :

[a;M]

e] 2

na [-1 +-1+

= --

1- e

na 2

6.3. Méthode des perturbations: résolution

171

Valeur des crochets de Lagrange

On effectue de même les calculs de tous les crochets. Sur les 15 à évaluer, comme nous avons vu plus haut, les calculs montrent que 9 d'entre eux sont nuls. Les 6 crochets non nuls ont les valeurs suivantes :

[a; D]

= -

[D;a]

_na ~ cosi

(6.36)

[a;w]

= -

[w;a]

_na~

(6.37)

[a;M]

= -

2

na

[M;a]

[e;D]=-[D;e]

6.3.3

2

2

+na

2 2

(6.38) e

JI=e2

cosi

e

(6.39)

[e;w]

= -

[w; e]

+na ----===

(6.40)

li; D]

= -

[D;i]

+na 2 ~ sini

(6.41 )

JI=e2

Équations de Lagrange

Obtention des équations de Lagrange

On peut maintenant écrire l'équation (6.30) en explicitant les valeurs des dérivées partielles de F avec les valeurs non nulles des crochets. On obtient les valeurs de (aF / aSk ), k = 1, ... ,6.

aF aa aF ae aF ai aF aD aF aw aF aM

+ [a; D] D +

[a;w]w + [a;M]Ü

(6.42)

+ le; D] D +

[e;w]w

(6.43)

+[i;D]D

(6.44)

- [a; D] à - le; D] è - li; DH

(6.45)

-[a;w]à-[e;w]è

(6.46)

- [a;M]à

(6.4 7)

Le formalisme d'écriture des deux groupes d'équations ci-dessus montre tout l'intérêt de noter systématiquement les paramètres dans l'ordre choisi: a, e, i, D, w, lvI. On résout le système linéaire des 6 équations (6.42) à (6.47) et on exprime les crochets de Lagrange. On obtient ainsi une relation matricielle qui permet de connaître les dérivées des éléments orbitaux par rapport au temps en fonction des dérivées partielles de la fonction F par rapport aux éléments

172

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

orbitaux:

BF Ba BF

da dt de dt di

De BF

dt

Di

Lü

dn

dt

(6.48)

BF

Bn

dw

BF Bw BF

dt

dM dt

BN!

La matrice Lü est notée dans le tableau 6.2, sous le nom de L (nous allons voir ci-dessous que ces deux matrices sont identiques). On note deux propriétés importantes de Lü : - c'est une matrice antisymétrique; - elle ne dépend que des trois éléments a, e, i : Lü = Lü(a, e, i). On obtient les valeurs suivantes pour chacun des éléments orbitaux, en explicitant (tableau 6.2), les abréviations IJ", 7 et l'

da

1 (

-

na

dt de dt

na2

7(

_1_ na 2

IJ"1' ( _

1

di dt dD dt dw dt dM dt -

OF)

(6.49)

2 oM

1 --IJ"1'

na 2

oF

+ ol'vl

oF

+ cosi OF)

-1' ow

oD

OF)

(6.50)

ow

(OF) oi

(6.51) (6.52)

(7 oF _ IJ"cosi OF) oe oi _1_ (-2a oF _ 7OF) na 2 oa oe _1_ l' na 2

(6.53) (6.54)

Ce système d'équations constitue l'ensemble des équations de Lagrange en fonction de F. Introduction du potentiel perturbateur

Au lieu d'utiliser la fonction F, nous allons faire apparaître le potentiel perturbateur R, défini par (6.14). En exprimant U et T, l'équation (6.29) devient: F

2

IL V -+R--

r

..!!:....+R 2a

2

(6.55)

car on peut appliquer aux éléments osculateurs de l'orbite l'équation (4.38) vue pour une orbite périodique.

6.3. Méthode des perturbations: résolution

Le potentiel perturbateur vées partielles : - pour Sj = e, i, fl, w, NI

- pour Sj = a

aF aa

n remplace ainsi F

IL 2a

an aa

n2 a

173

dans l'expression des déri-

an aa

- = - -2+ - = - - + 2

Dans le système d'équations de Lagrange ci-dessus, il suffit donc de remplacer (aF / aSj ) par (an/ aSj ) pour les cinq premières équations. Pour la dernière, l'équation (6.54) devient: dM 2 an 1 1 - e 2 an --=n---------dt na aa na 2 e ae Équations de Lagrange en fonction du potentiel perturbateur

Nous écrivons finalement les équations en fonction du potentiel perturbateur n et en exprimant les éléments orbitaux. Le résultat est dans le tableau 6.2. Ce système d'équations constitue l'ensemble des équations de Lagrange, qui correspond, par équivalences successives, à l'équation (6.13) de départ, l'équation du mouvement. On l'écrit à l'aide de la matrice L, équivalente à Lü définie ci-dessus par (6.48). Cela correspond au système d'équation initial, (6.17) ou (6.20), dans lequel on a substitué M à B : M -nt

=

B

an

aM

an

aB

En conclusion de cette partie: on a montré que, lorsque le champ d'accélérations perturbatrices dérive d'un potentiel, le mouvement du satellite est défini par les équations de Lagrange. On vérifie que si n = 0, on retrouve la solution du problème à deux corps, la solution de Kepler: a, e, i, fl, w sont constants et l'anomalie moyenne est donnée par NI = n(t-t p ), correspondant à B constant. Dans le cas général (en cours d'itération), on considère que n est exprimé en fonction des nouvelles variables.

6.3.4

Éléments orbitaux métriques et angulaires

La matrice L fait apparaître clairement la séparation des paramètres orbitaux en deux groupes: a, e, i d'une part, fl, w, l'vI d'autre part. On voit en effet dans les équations de Lagrange que les dérivées par rapport au temps de a, e, i ne font intervenir que des dérivées partielles de n par rapport à

174

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

(2 :~)

1

da dt

na

de dt

na2 - e -

-

1 1 - e2

-

(

-

1

v:t=e2

1

di dt

-

na2~1

dD dt

- e 2 siwi 1

na 2v:t=e2· - e sm?,.

dw dt

1

-

na2~1

dM ---n dt

1

-

e2

oR oR ) ow + oM

( _ oR + cos i OR) oD ow

(~~)

(1 - e 2 oR e oe

cosi OR) sini oi

( _ 2a oR _ 1 - e 2 OR) oa e oe

na 2

Sous forme matricielle :

L

an an Be an Bi an an an aw an aM

0 0 0 +IJT -IJTcosi 0

0 0 -IJT 0 0 0

da dt de dt di

Ba

dt

dn

dt dw

dt

dM dt

L

1 na 2

avec:

0 0 0 0 0 -2a

-n

0 0 0 0 +TT -T

1 IJ = -.-. sm'{

1 - e2 T=--e

0 -TT +IJTCOS i 0 0 0

T=

+2a +T 0 0 0 0

1 ~l- e 2

6.2 : Équations de Lagrange pour les six éléments orbitaux, en fonction du potentiel perturbateur R.

TABLEAU

6.3. Méthode des perturbations: résolution

175

n, w, NI, et inversement. Cela peut s'écrire avec des notations globales: an an an) {da de di} il (a, e,i; an' aw , aM dt' dt' dt an an {dn dw dM} 12 (a, e,i; aa , ae , an) dt' dt' dt ai où il et 12 sont des fonctions de (a, e, i) et des dérivées partielles mentionnées. Les paramètres (a, e, i) sont appelés éléments orbitaux métriques 7 , ou plus brièvement éléments métriques, les paramètres (n, w, J'v!), les éléments angulaires. En notant Pi les éléments métriques et qi les éléments angulaires, on peut écrire les deux relations précédentes sous la forme : (6.56)

Remarque. La quantité na2~ apparaît trois fois au dénominateur des expressions dans le système d'équations noté dans le tableau 6.2. En reprenant les relations des orbites képlériennes pour les éléments osculateurs, l'équation (4.27) devient:

La quantité cherchée est donc le module du moment cinétique du satellite, noté C : C -_ na 2~_ V 1 - e~ - n a b (6.57)

6.3.5

Cas des paramètres mal définis

Deux cas, déjà abordés au chapitre 5 à propos des paramètres orbitaux, peuvent amener des difficultés dans la définition de certains paramètres. Il s'agit du cas e = 0 et du cas i = O. L'excentricité e apparaît au dénominateur des expressions de è, w et NI dans les équations de Lagrange (tableau 6.2). Si e est nul, ces quantités ne sont pas définies, ce qui est logique, puisque, comme nous avons vu, le périgée n'étant pas défini, w et ne peuvent l'être. L'inclinaison i apparaît au dénominateur dans i, fl et w. Si i est nul, ces quantités ne sont pas définies, ce qui est là aussi logique, puisque, le nœud ascendant n'étant pas défini, n et w ne le sont pas.

NI

7 Cette appellation permet de distinguer les deux groupes. Mais le terme « métrique» peut prêter à discussion. S'il fait référence à «longueur», seule la grandeur a est une longueur. S'il veut s'opposer à « angulaire », l'inclinaison i est un angle. Ici, « métrique» attribué à e et i, indique que ces deux éléments ont un comportement mathématique qui les fait se rapprocher de a. Les variables de Delaunay, présentées un peu plus loin, permettent d'éviter cette ambiguïté: les variables d'un même groupe ont même dimension.

176

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

Dans ces deux cas, une solution est d'abandonner les paramètres orbitaux

« classiques» pour les remplacer par d'autres, obtenus par des combinaisons

bien choisies de ces paramètres. Mais nous verrons un peu plus loin que, lorsque le potentiel perturbateur est limité au terme en J 2n du potentiel terrestre, la fonction R est telle que les indéterminations pour e = 0 et pour i = 0 sont levées. Par exemple, en ce qui concerne l'indétermination i = 0 pour D, on verra que R est une fonction de (sin 2 i). Sa dérivée par rapport à i donne un terme en (sin i . cos i) qui fait disparaître le terme en (sin i) du dénominateur de D. Dans ce cas, la valeur D est parfaitement définie pour i = O. Avec ce type de potentiel perturbateur, nous trouverons que toutes les vitesses angulaires D, w, ~1 sont bien définies pour e = 0 ou i = 0 (ou e = 0 et i = 0), même si l'origine des angles ne l'est pas.

6.3.6

Éléments de Delaunay

La forme de la matrice L, donnée dans le tableau 6.2, les symétries et similitudes dans les crochets de Lagrange, suggèrent d'opérer un changement de variables pour obtenir une formulation de résultats encore plus simple et pour avoir les éléments en deux groupes homogènes. Ces éléments sont appelés variables de Delaunay8 ou éléments de Delaunay. On les écrit ainsi, en séparant clairement les éléments L, G, H, qui ont la dimension d'un moment cinétique par unité de masse (variables d'action) et les éléments angulaires (l, g, h) associés, sans dimension (variables angulaires)

L=J7Ia { I=M

G

=

L ~1- e 2

g=w

H = G cosi h = fl

(6.58)

Les équations de Lagrange s'écrivent alors sous forme très simple: ce sont les équations de Delaunay. {

dL dt dl dt

=

aF

al

aF --

aL

dG dt dg dt

dH dt dh dt

aF

ah

aF

(6.59)

aH

Charles Delaunay (1816-1872), astronome français, est l'auteur de nombreux travaux dont une étude très détaillée du mouvement de la Lune. Il détecta de légers désaccords entre ses prévisions et les observations. Le Verrier déclara que l'erreur était dans les formules de Delaunay, lequel répondit que les désaccords venaient de causes inconnues, mais pas de ses équations. En 1865, Delaunay émit l'hypothèse que ces différences provenaient du léger ralentissement de la rotation de la Terre, dû aux frottements des marées. Cette théorie est reconnue aujourd'hui. La méthode de Delaunay n'est plus utilisée à présent pour étudier le mouvement de la Lune, mais elle l'est toujours pour les satellites d'autres planètes. Revenons quelques instants sur son œuvre majeure, Théorie du mouvement de la Lune (1867). La fonction R de perturbation est donnée sous la forme d'une équation de 1967 termes, qui occupe 21 pages. Comme l'écrit l'auteur, il ne reste plus ensuite qu'à intégrer R pour obtenir les coordonnées de la Lune en fonction du temps, à l'aide des variables de Delaunay. Cela prend les 860 pages suivantes. (Tant qu'on ne l'a pas vu, on ne peut pas le croire !). 8

6.4. Résultat du traitement des perturbations (terme en

avec:

hl

177

2

F=L+R

2L2

Les équations s'écrivent, plus simplement que dans (6.56), sous forme canonique:

.

aF

Pi=aqi

.

aF

qi=-api

(6.60)

où les variables Pi représentent les variables d'action et qi les variables angulaires associées. D'après l'équation (6.57), G est égal au moment cinétique Cet H à sa projection sur l'axe des pôles, Oz : H

=

Ccosi

=

Cz

(6.61)

Nous n'utiliserons pas, par la suite, les variables de Delaunay (sauf H un peu plus bas). Elles sont données comme exemple de notations homogènes, avec un sens physique, amenant à des équations canoniques. La méthode hamiltonienne, de Von Zeipel et Brouwer 9 , consiste à intégrer les équations de Lagrange en utilisant les variables de Delaunay.

6.4

Résultat du traitement des perturbations - potentiel terrestre jusqu'au terme en J 2

Pour obtenir ce que nous cherchons finalement, à savoir les dérivées par rapport au temps des six paramètres orbitaux, il nous faut appliquer les équations de Lagrange, et donc connaître la valeur du potentiel perturbateur R. Nous n'allons considérer ici que la perturbation due au potentiel terrestre. On n'envisage pas les autres perturbations gravitationnelles (comme celle due au potentiel d'attraction luni-solaire), considérées ici comme négligeables. Pour le potentiel terrestre, nous allons procéder progressivement en considérant d'abord (§ 6.4.1) le premier harmonique zonal, en h, puis (§ 6.5.1) tous les harmoniques zonaux, jusqu'en ln, et enfin (§ 6.5.2) le cas général, avec tous les harmoniques, zonaux, sectoriels et tesséraux.

6.4.1

Expression du potentiel perturbateur - jusqu'au terme en J 2

On considère le développement du potentiel jusqu'au degré 2. On utilise alors l'équation (3.27) et avec U = Ua + R, on écrit la valeur de R :

R = _ JLR2 1 2 3 sin 2 .1jJ - 1 r3 2

(6.62)

Pour étudier cette valeur sur une période, exprimons tout d'abord r et

VJ.

9Méthode développée par Von Zeipel pour les astéroïdes, en 1916, et reprise par Brouwer, en 1959, pour être appliquée aux satellites artificiels.

178

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

z

FIG. 6.3 : Représentation du point subsatellite Sa, repéré par la position sur orbite a et par la latitude géocentrique.

Expression de r et de 'IjJ

La distance r s'exprime en fonction de (a, e, v) comme nous l'avons vu. L'équation (4.60) donne: a(l - e 2 ) r = ----'----'-(6.63) 1 + ecosv L'angle VJ est la latitude du satellite (latitude géocentrique, bien entendu). Pour exprimer 1/;, nous considérons les points suivants (figure 6.3) : N, la trace du nœud ascendant, So, la trace du satellite et Q, le point de l'équateur sur le méridien de So (c'est-à-dire l'intersection du demi-plan SoOz avec le cercle équatorial). Dans le triangle sphérique NSoQ, rectangle en Q, l'angle N est l'angle dièdre ([, P), c'est-à-dire l'inclinaison i. Les côtés connus du triangle (arcs de grand cercle) sont : QSo =.1jJ

NSo =a

La règle des sinus (voir, en fin de chapitre, l'annexe Trigonométrie sphérique) donne ici, avec la relation (t.s.-VIII) 1

sina

(6.64)

6.4. Résultat du traitement des perturbations (terme en

ce qui conduit, avec relation:

Ct

= w

+v

(puisque

Ct

hl

179

est la position sur orbite), à la

+ v)

sin VJ = sin i . sin(w

(6.65)

Expression de R

n apparaît ainsi que R est fonction de grandeurs constantes (a, e, i, w sont considérés constants sur une révolution) et de v. Sa variation est donc périodique, et de même période (T = 27r / n) que le mouvement képlérien. On remarque que R ne dépend pas de n. C'est attendu dans la mesure où on considère comme seule perturbation celle provenant du remplacement de la sphère par un ellipsoïde de révolution. Dans ce cas, aucune longitude terrestre n'est distinguée. La position du nœud ascendant, donc la valeur de n, est indifférente et on a : (6.66) aR/an = 0 Intégration de R sur une période

On calcule (R), valeur moyenne de R sur une période T, en intégrant par rapport au temps, c'est-à-dire par rapport à l'anomalie moyenne NI : 1 (R) = T

j.T 0

1 Rdt = 27r

j.21f 0

RdM

On exprime d'abord dNI en fonction de dv. Cette relation est donnée par l'équation (4.77) obtenue par application de la loi des aires:

divI

=

r2 a2~1

- e2

dv

En utilisant les variables r, 1jJ et v, on obtient, les bornes d'intégration étant les mêmes pour v et l'vI :

ce qui donne, avec (6.63) et (6.65) 27r (R) avec:

I

=

Jo(21f

{3 sin 2 i - 2 - [1- cos2(v

+ w)]-l }

(1

+ ecosv)dv

180

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

En développant les termes de cette expression, on voit que l'intégration des termes périodiques en v sur l'intervalle [0,27T] donne un résultat nul, comme par exemple:

j .21f 0

cosv cos2(w

+ v)

1 dv = 6

j.21f 0

sin(3v

+ 2w) + 3

sin(v

+ 2w) dv =

0

La seule contribution non nulle est fournie par les termes constants, ne dépendant pas de v :

La valeur moyenne du potentiel est donc, jusqu'au degré 2 : (6.67) Variations périodiques et séculaires

L'intégration de R sur une période montre qu'on peut décomposer cette grandeur en deux parties, sous la forme: (6.68) où la partie Rs = (R), constante, représente la valeur moyenne, et où la partie Rp, périodique, a une valeur moyenne nulle sur une période. La seule partie du potentiel à créer des effets sur un temps long (supérieur à la période T) est donc Rs. Ces variations, lentes mais proportionnelles au temps, sont appelées séculaires 10 (par opposition à Rp qui provoque des effets périodiques) . On obtient les variations séculaires des paramètres en dérivant cette partie Rs du potentiel perturbateur R. L'équation (6.67) montre que Rs = (R) s'exprime uniquement en fonction des éléments métriques:

Rs

6.4.2

=

Rs(a, e, i)

Variation des éléments orbitaux

Calcul de la variation des éléments orbitaux

On peut appliquer les équations de Lagrange: on remplace, dans les six équations du tableau (6.2), le potentiel perturbateur R par sa partie séculaire

Rs.

lOSéculaire, du latin sœculum, « siècle». Qui a lieu tous les cent ans. Au XVleS., le terme est pris par l'astronomie: se dit de ce qui exige des siècles pour que l'effet s'en fasse sentir.

6.4. Résultat du traitement des perturbations (terme en

hl

181

Les dérivées relatives aux éléments métriques, (da/dt), (de/dt), (di/dt), obtenues par dérivation par rapport aux éléments angulaires, sont donc toutes nulles. Par conséquent, les paramètres a, e, i restent constants au cours du temps. Par contre, les dérivées relatives aux éléments angulaires, (dD /dt), (dw /dt), (d1Vl/ dt), obtenues par dérivation par rapport aux éléments métriques, ne sont pas nulles. Les dérivations partielles de Rs exprimé par (6.67) donnent:

aRs oa aRs oe aRs ai

3

-- Rs a

(6.69)

---2

(6.70)

3e Rs 1-e 6 sini cosi R 3 sin 2 i _ 2 s

(6.71)

On remplace IL par n 2 a 3 et obtient finalement les résultats suivants:

o o o

il

è

(6.72) (6.73) (6.74)

nh (~a ) 3 nh (R)2 --3-2)2 (R)2 ~

---,------3 2(1 - e 2)2

2)2 ( 41-e

JÙ - n

=

L1n

03

4(1 - e

2

a

n J2

a

cosz

(6.75)

(5cos 2 i-1)

(6.76)

(3cos 2 i -1)

(6.77)

Les paramètres orbitaux sont donc, en fonction du temps t, pris à partir de l'origine t = 0 :

a(t)

D(t)

ao

= =

Do

e(t)

+ Dt

M(t) = Mo

= eo

w(t)

i(t) = Wo

+ n t + (L1n)

= io

(6.78)

+ LÜ t

(6.79)

t

(6.80)

Ce système d'équations représente, en fonction des paramètres orbitaux, la solution à l'équation du mouvement, l'équation (6.13). Remarques sur les variations des éléments orbitaux

En résumé, si on compare la trajectoire réelle du satellite (trajectoire perturbée sous l'action du terme h du potentiel terrestre) à la trajectoire képlérienne, on note les points suivants pour chaque élément képlérien.

182

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

(1) Le demi-grand axe a de l'orbite reste constant.

(2) L'excentricité e de l'orbite reste constante.

(3) L'inclinaison i de l'orbite sur le plan équatorial est constante. (4) Le plan de l'orbite a une rotation uniforme autour de l'axe des pôles,

avec une vitesse angulaire constante fl; ce mouvement s'appelle le mouvement de précession de l'orbite ou précession nodale l l . Lorsqu'on parle de mouvement de précession, sans plus de précision, il s'agit généralement de ce mouvement. D'après (6.75), il se fait dans le sens direct ou rétrograde selon l'inclinaison du satellite. sens direct sens rétrograde

fl ~ fl::::;

0

~

cos i ::::; 0

0

~

cos i ~ 0

W) rf.V l W)

Domaine VI

=

E VI

[0.00,90.00]

(5) Le pengee (et donc toute l'orbite) a une rotation uniforme, dans son plan, avec une vitesse angulaire constante w; ce mouvement s'appelle le mouvement de précession apsidale. D'après (6.76), il se fait dans le sens direct ou rétrograde selon l'inclinaison du satellite. sens direct sens rétrograde

w~ 0 w::::;

0

4

~

sin 2 i ::::;

"5

~

sin 2 i ~

"5

4

Domaine V 2

~

W) rf.V 2

~

W)

=

E

V2

[63.43,116.57]

On définit l'inclinaison critique par: ic = arcsin

(~)

(6.81)

Pour les deux valeurs, l'angle ic et son supplémentaire, la vitesse de précession apsidale w s'annule. 7,

=

Zc

{

i = 180° - ic

63.43°

(6.82)

La valeur de l'inclinaison critique est indépendante de a et de e. Elle est recherchée pour l'orbite très elliptique de certains satellites car elle permet ainsi d'éviter la précession apsidale : la position de l'apogée reste fixe sur l'orbite, ce qui est un point fondamental, comme on le verra, pour les satellites de communication de type Molnya. I l Nodal signifie que le mouvement concerne la «ligne des nœuds », ligne qui relie le nœud ascendant au nœud descendant. Cette droite est l'intersection du plan équatorial et du plan orbital, comme nous l'avons vu précédemment au chapitre 5. Apsidal, qui intervient un peu plus loin, concerne la « ligne des apsides », définie au chapitre 4.

6.5. Résultat du traitement des perturbations (cas général)

183

Lorsque west calculé avec un développement au-delà de h, la valeur obtenue pour 'ic dépend très légèrement de a et e. Elle diffère de quelques centièmes de degré de celle obtenue par (6.81). Voir à ce propos l'exemple 7.1. (6) Le moyen mouvement (réel) du satellite est différent de celui qu'il aurait s'il n'y avait pas d'aplatissement. D'après (6.77), il peut être plus rapide ou plus lent selon l'inclinaison du satellite. On donne un peu plus loin les différentes définitions des périodes du mouvement. La quantité .dn est (parfois) appelée appoint au moyen mouvement. plus rapide plus lent

.dn? 0

{==}

.dn

{==}

~

0

2 sin 2 'i ~ 3 2 sin 2 'i? {==} W) E D3 3 Domaine D3 = [54.74,125.26]

Des exemples de calcul sont donnés dans les chapitres suivants. On trouvera (figures 7.1, 7.3 et 7.4) la représentation respective des grandeurs D, w et .dn en fonction de l'inclinaison. Remarque. On note que le signe des trois quantités relatives aux éléments angulaires, D, w et JÙ - n, ne dépend que de l'inclinaison 'i.

6.5 6.5.1

Résultat du traitement des perturbations - cas général Cas du potentiel terrestre jusqu'au terme en J n

Remarque sur les harmoniques zonaux

On peut noter un point intéressant lorsque, comme ci-dessous, on considère que la Terre possède une symétrie de révolution. Dans ce cas, le potentiel terrestre est limité aux harmoniques zonaux (c'est-à-dire le développement utilisant les termes J n et pas les harmoniques sectoriels ou tesséraux) dont la contribution au potentiel complet est, comme nous avons vu, de très loin la plus importante. L'accélération perturbatrice YP' définie à l'équation (6.15), est alors dans le plan contenant le satellite et l'axe des pôles. Elle peut donc se décomposer en :

(6.83)

le vecteur unitaire de OS étant noté par eT) celui de l'axe des pôles Oz étant noté par e z . Le moment cinétique G donne, avec l'équation (4.5), par dérivation par rapport au temps:

dG dt

r 1\ r

=

r 12 (e r

r er 1\

1\ [( -

ez )

~ + Il) er + 12 e z ]

184

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

ce qui est un vecteur perpendiculaire à e z . En notant par C z la projection de C sur l'axe des pôles, on a donc:

dG - . e =0 dt z On a vu plus haut, équation (6.61), que C z correspond à la variable de Delaunay H, ce qui donne ici: dH dCz dt - dt -

---~-o

On en déduit la propriété suivante: H

=

J pa(l -

e 2 ) cos'i

=

ViiP cos 'i =

constante

(6.84)

Cette relation est une caractéristique très générale des orbites perturbées par des termes zonaux de même axe. On note la formule suivante, obtenue par différentiation à partir de cette relation (6.84) : 1 e . . - da = - - de + tan't d,t (6.85) 2a 1 - e2 Comme H est l'élément métrique associé à l'élément angulaire h = D, on a dans ce cas, d'après (6.59) : (6.86) ce qui montre que la fonction F ne dépend pas de D. Cela permet de retrouver ce que nous avions vu un peu plus haut : si le potentiel terrestre ne fait pas intervenir la longitude, donc s'il n'utilise que les harmoniques zonaux, R (ou F) est indépendant de D, comme vu avec la relation (6.66). Calcul du potentiel perturbateur R

Nous considérons donc ici la Terre comme un corps à symétrie de révolution. Le potentiel U ne fait intervenir que les termes J n . La formule complète (3.28) se réduit à : (6.87) Le potentiel perturbateur R s'obtient par la différence de U et de Ua. Sa valeur remplace alors celle donnée par la relation (6.62). (a) Commençons le calcul de R par un développement jusqu'au degré 3, qui fait appel aux polynômes de Legendre P2(sinljJ) et P 3(sil1ljJ). Nous obtenons:

R=-~[h (~r

3Sin22VJ-1+J3

(~r

2 5Sin 2VJ-3 sin1/J]

(6.88)

6.5. Résultat du traitement des perturbations (cas général)

185

écrit sous forme simplifiée (Rn pour le degré n)

où R 2 correspond à la somme Rs + Rp, équation (6.68). Comme précédemment pour R = R2, on calcule la valeur moyenne (R 3 ) de R3 sur une période : 27T (R 3)

=

1

271"

a

R3 dM

= -

R3 J

3 1 2a 2 (1 - e 2 )2 ,IL

j.271" 5 sin 2 1jJ - 3

r2

a

sinI/J dv

en utilisant (4.77). De plus, avec (6.63) et (6.65), on obtient: 27T (R 3 ) = -

ILR3J

3

5

2a 4 (1 - e 2 )2

sil1i.:1

avec: {271"

.:1= Jo

[5sin 2 i sin 2(w+v)-3] (1+ecosv)2 sin(w+v)dv

Cette intégration est lourde à effectuer « manuellement». Avec une décomposition astucieuse, on peut utiliser des tables donnant les valeurs des intégrales définies (entre 0 et 2 7T). Ces tables, comme celles de F. Tisserand, évitent de refaire les calculs d'intégration. Elles ont été établies depuis des siècles par les astronomes. Le plus simple, à présent, est d'utiliser les logiciels de calcul formel. On obtient ainsi : 3e .:1 = 2 7T - (5 sin 2 i - 4) sin w 4 ce qui donne pour (R 3 )

~

(/~3)

= ~

IL R 3 e

8a4(1-e2)~ h

(

2

)

-5sin i+4 sini sinw

(6.89)

Ce terme R3(a, e, i, w) va créer des variations à longue période, car, en plus des éléments métriques, il dépend de l'élément angulaire w. On peut l'écrire sous la forme : Mais il ne va pas créer des variations séculaires, car si on intégre sa valeur sur un tour complet de périgée durant sa révolution apsidale, on a un résultat nul : {271"

Jo

(R 3)(a,e,i,w) dw {271"

(R/ 3)(a,e,i) Jo

sinw dw = 0

(6.90)

186

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

éléments métriques

éléments angulaires

e , i O,e.!

M-nt temps

a Représentation schématique de la variation dans le temps des éléments orbitaux. Les variations périodiques de courte période sont en traits pleins, celles de longue période en pointillé-tireté, les variations séculaires en tireté. Les amplitudes des variations périodiques sont très exagérées.

FIG. 6.4 :

En examinant les intégrations successives, on remarque que ((R3}) est égal à 0 parce que sin VJ est en facteur dans R3, et cela parce que x = sin VJ est en facteur dans le polynôme de Legendre P3(X). En se reportant à l'annexe Rappel sur les fonctions de Legendre, on voit que la variable x est en facteur dans l'expression de tous les polynômes de degré impair. On en déduit donc que les termes J n , avec n impair, n'ont aucune contribution dans la variation séculaire des éléments orbitaux:

((Rn})

=

0

si n impair

{==}

pas de variation séculaire

(6.91)

(b) Pour le degré 4, on utilise le polynôme de Legendre P4 (sin VJ) et on opère comme précédemment. On obtient: J.L R 4 e (R4/\ - -1 J4 ( -105sin4i - 64 a 5 (1 - e2)~

) + 120sin2 i - 24

(6.92)

Comme R2, ce terme R4 va entraîner des variations séculaires pour les trois éléments angulaires [2, w et (l'vI - nt). Ici, ces variations seront proportionnelles à J 4 . Lorsqu'on considère les variations séculaires au-delà du degré 2, on ne peut plus négliger le fait que le moyen mouvement n, qui intervient dans D, w et (NI - n), présente une variation séculaire, proportionnelle à h. Il apparaît ainsi un terme en fi en plus des termes en J 4 , J 6 , etc. On rappelle que, si J 2 est de l'ordre de 10- 3 , les termes J 4 , J 6 , .•. , sont de l'ordre de 10- 6 , comme l'est Ji. Voir les équations (7.15) à (7.17) et le tableau 7.1.

6.5. Résultat du traitement des perturbations (cas général)

187

Variations périodiques et séculaires À partir de (6.87), on obtient R en fonction de cinq paramètres orbitaux (puisque D n'intervient pas) :

R = R(a, e, i, w, J'vI) Le potentiel R se décompose en une somme de termes Rn, relatifs à chaque terme J n . On considère les équations de Lagrange (tableau 6.2). On montre que: (1) si un terme Rn ne dépend ni de NI ni de w, il provoque une variation de l'élément orbital concerné proportionnelle au temps, dite variation séculaire; (2) si un terme Rn dépend de w, mais pas de NI, il Y aura une variation dont la période sera de l'ordre de celle de la précession apsidale, dite variation périodique à longue période; (3) si un terme Rn dépend de w et de J'vI, il Y aura une variation dont la période sera de l'ordre de la période képlérienne, dite variation périodique à courte période. En résumé, les variations périodiques sont divisées en variations à courte période, correspondant à la période de NI, et variations à longue période, sur une durée de l'ordre de quelques dizaines de jours (rv 1 000 T), correspondant à la période apsidale de w. Ces dernières variations sont principalement dues à l'influence du terme h qui affecte surtout e et les éléments angulaires. Il n'y a pas de perturbation à longue période du demi-grand axe a. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de l'invariabilité des grands axes et est applicable à de nombreux types de mouvement en astronomie (voir Notes astronomiques un peu plus loin). Les variations séculaires sont des variations proportionnelles au temps. Ce sont bien entendu les variations de ce type qui écartent le satellite de son orbite képlérienne. Nous avons vu que le terme h provoque les écarts séculaires des trois éléments orbitaux angulaires, sans effet sur les éléments métriques. Les autres harmoniques zonaux, mais pairs uniquement, J4, J 6 , ... , h p , •.• , contribuent aussi aux écarts séculaires (tableau 7.1). La figure 6.4 donne la représentation schématique de l'ensemble des variations périodiques et séculaires pour les éléments orbitaux.

Exemple 6.1 Calcul du résultat des perturbations dans le cas du potentiel terrestre développé jusqu'au terme J 3 . Variations à longue période. ~ Le potentiel R est donné par (6.88). Nous venons de voir qu'on peut l'écrire sous la forme R = (Rs + R p ) + R3, si on arrête le développement au degré 3. Le terme Rs (a, e, i) est donné par la relation (6.67). Le terme Rp (a, e, i, w, NI) va créer des variations à courte période que nous ne détaillerons pas. Le terme R3 est donné par (6.89). Ce terme R 3(a,e,i,w) va créer des variations à longue période que nous allons calculer.

188

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

Puisque 8R3/8M = 0 et 8R3/8n = 0, les équations relatives aux éléments métriques, les trois premières équations de Lagrange (tableau 6.2), deviennent:

da = 0 dt

de dt

1

di dt

na 2

1 ~

cos z sini

On en déduit la relation:

. de 1 - e2 = ---tanz (6.93) di e qui est équivalente à (6.85) lorsque a est constant (ce qui est pratiquement toujours le cas dans les mouvements étudiés en astronomie). Pour calculer la variation provoquée sur i par R3, on part de (di/dt) ci-dessus, on dérive R3 par rapport à w et on remplace /-i par n 2 a 3 . On obtient:

-

(6.94) Pour connaître la variation à longue période sur i, due à l'harmonique zonal h, on exprime (di/dw), en utilisant pour w la valeur calculée par (6.76) : di = di ~ = dw dt dw

.!.. di

wdt

=

.!. __e_ J 3

2 1 - e2 J2

(!i) a

cosi cosw

La valeur cherchée est donc, l'indice [LP3] signifiant longue période due à l'harmonique zonal h : A • 1 e h LlLP3Z = - - - - cosz SlnW (6.95) 21 - e 2 h a

(R) ..

Pour obtenir la variation correspondante sur e, on utilise la relation(6.93) en prenant (LlLP3e/LlLP3i) pour (de/di) : (6.96) Inversement, la mesure de ces valeurs LlLP3 i et LlLP3 e permettent de mesurer la valeur de h (voir Note historique en fin de chapitre). Remarque importante. Pour les orbites quasi circulaires (e ~ 10- 3 ), on remarque avec (6.95) et (6.95), ou directement avec (6.93), que: (6.97)

À cause du facteur e, la variation de l'inclinaison LlLP:] i est négligeable devant celle de l'excentricité LlLP3e (sauf cas des orbites équatoriales) .....

Exemple 6.2 Calcul de la variation des paramètres orbitaux sur une révolution. ~ On rappelle que p est le paramètre de l'ellipse, avec p = a(1- e 2 ). Ces variations sont notées avec l'indice [1] pour bien marquer qu'il s'agit d'une valeur obtenue sur une révolution. Les variations (séculaires ou périodiques à longue période) sont suffisamment lentes pour qu'on puisse éviter l'intégration selon le temps t : il suffit de multiplier par T = (2 K/n), la dérivée par rapport à t de la grandeur considérée.

6.5. Résultat du traitement des perturbations (cas général)

189

Les variations périodiques sont négligeables devant les variations séculaires, pour les éléments angulaires. Par contre, ces variations périodiques sont « visibles» pour les éléments métriques, privés de variation séculaire. Éléments angulaires. On écrit Lhf? = nT et Lhw = wT, ces angles étant, bien entendu, en radians. Au premier ordre, on prend pour et wles valeurs données respectivement par les relations (6.75) et (6.76), en fonction d'un seul terme, J 2 , pour le développement du potentiel terrestre:

n

(6.98) (6.99)

Éléments métriques. Le cas de a est vite réglé puisqu'on peut considérer a comme nul (invariabilité des grands axes). Pour les expressions de é et i, on utilise (6.94) et (6.93). Nous ne considérons que le premier terme (en J 3 ) du développement. On obtient pour les variations sur une période: Lha

0

Lhe

-37f h

Lhi

+37f h

(6.100)

G~r (1 - 2 ( 1 - =15 G~r (1 =15 . 2-) e)

e

-

sm z

sin 2) i sin i cosw cosz. cosw

(6.101 ) (6.102)

L'inclinaison critique joue un rôle important pour Lhw, Lhe et Lhi . ...

6.5.2

Cas du potentiel terrestre complet

Lorsqu'on considère le potentiel terrestre U(r, À, 1jJ) donné par la formule (3.17), le calcul des effets du potentiel perturbateur R est extrêmement complexe. Nous signalerons simplement l'existence de phénomènes de résonance orbitale : certains coefficients tesséraux GZ m et SZm, définis par (3.20) et (3.21), ont, pour une orbite particulière, une influence qui dépasse de beaucoup celle des coefficients d'ordre et de degré inférieurs ou supérieurs. Pour ces valeurs, les perturbations périodiques ont une relativement grande amplitude. Un formalisme, développé par W. Kaula, permet de prévoir les résonances associées à ces orbites particulières. Ce phénomène de résonance est très sensible pour les satellites phasés sur un jour, c'est-à-dire dont le nombre v de tours par jour est entier. Les harmoniques tesséraux dont l'ordre est un multiple de v doivent être pris en compte dans les extrapolations d'orbite (détermination très précise de la position du satellite à un instant donné à partir de ses éléments osculateurs). Ce sont ceux d'ordre 2, 4, 6, ... pour les satellites en orbite moyenne, qui font exactement deux révolutions par jour (v = 2), que l'orbite soit circulaire, comme pour Navstar/GPS, ou fortement elliptique, comme Molnya 12 ; ce 12Pour Molnya, les coefficients harmoniques tesséraux à l'influence particulièrement importante sont : C22, C32, C52, C44, C54, C64, C66, C76, C86, C98 et Sim correspondants.

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

190

Source de perturbation Gravitation terrestre Atmosphère Gravitation luni-solaire

Var. séculaire grande petite ind.

il,w

-

Var. périodique modo petite e

i, il, w

-

a, e, i, il, w

-

a, e

i

il,w

-

-

-

-

il,w

6.3 : Résumé des sources de perturbation et de l'effet (variation séculaire ou périodique) induit sur les cinq éléments orbitaux a, e, i, il et w, pour un satellite en orbite basse. Abréviations: indirecte (ind.), modérée (mod.). D'après la théorie de King-Hele.

TABLEAU

sont les harmoniques d'ordre 1, 2, 3, ... pour les satellites géosynchrones1 3 . De manière plus générale, ce phénomène intervient pour tous les satellites phasés (v est rationnel: au bout d'un certain nombre de jours, le satellite repasse sur sa trace - question étudiée en détail plus loin). Par exemple, pour les satellites SPOT, v = 14 + 5/26, on note une résonance pour les termes tesséraux d'ordre 15 et 29.

6.5.3

Autres forces perturbatrices dérivant d'un potentiel

Le potentiel gravitationnel d'origine non terrestre est dû, pour sa presque totalité, au potentiel luni-solaire. Les éléments a et e ne sont pas affectés par des variations séculaires. Les divers éléments orbitaux subissent de légères variations de longue période. Pour certaines orbites, on note une très légère dérive séculaire de [2. Ces résultats sont résumés dans le tableau 6.3, pour un satellite en orbite basse.

6.5.4

Forces perturbatrices ne dérivant pas d'un potentiel

Le frottement atmosphérique affecte d'autant plus le satellite que l'orbite est basse. On montre que e tend à diminuer (le frottement, plus important au périgée qu'à l'apogée, amène l'orbite à se rapprocher de l'orbite circulaire) et que a décroît (on comprend que les frottements tendent à faire retomber le satellite sur la Terre). Les autres éléments ne sont pas notablement affectés de manière directe. Mais la variation de a et e, qu'on peut considérer comme proportionnelle au temps t (variation séculaire), induit une variation 13Pour un satellite géostationnaire, aux harmoniques tesséraux d'ordre 1 (C31, C41 et Sn correspondants) sont associées les périodes de résonance de 24 h et 48 h, à ceux d'ordre 2 (C22, C32, C42 et Sl2 correspondants), les périodes de 12 h, 24 h, 36 h, 48 h.

6.5. Résultat du traitement des perturbations (cas général)

191

des paramètres angulaires qui est rapidement prépondérante 14 par rapport aux variations périodiques car elle est proportionnelle à t 2 (pour les variations en t 2 , voir aussi, au chapitre 10, la dérive de l'heure locale et l'exemple 10.7). Les forces induites par la pression de radiation (solaire et terrestre) ont aussi des effets sur la variation des éléments orbitaux (tableau 6.3). L'effet du frottement atmosphérique sur l'évolution de a est traité dans l'annexe frottement atmosphérique un peu plus bas. Dans le cas où l'accélération perturbatrice YP ne dérive pas d'un potentiel, on peut utiliser un repère lié à l'orbite, sur lequel on décompose le vecteur. On aboutit alors à un système d'équations appelées équations de Gauss. Nous n'exposons pas cette méthode qui sort du cadre de cet ouvrage.

6.5.5

Différentes définitions de la période

Les trois angles associés au mouvement képlérien, les anomalies v, E et l'v!, augmentent de 21f lorsque le temps augmente de (21f ln), n étant le moyen mouvement. L'origine de ces angles, comme le montrent les équations (4.64) et (4.56), est prise à l'instant t = t p de passage au périgée. L'intervalle de temps entre deux passages successifs au périgée est appelé période anomalistique 15 . C'est donc la période anomalistique, notée Ta, qui est obtenue avec le moyen mouvement n, différente de la période T o obtenue avec le moyen mouvement képlérien no. On a la relation de définition:

n Ta Avec n = no

+ L1n,

=

no T o

(6.103)

calculé par (6.77), on obtient

Ta

=

(1 - ~n) o T

(6.104)

14Soumis au mouvement de précession de vitesse angulaire il, le nœud ascendant a pour longitude st :

st

=

+ il t

sto

=

sto

+ il(ao, eo, io) t.

On démontre que le frottement atmosphérique, lorsqu'il est faible, introduit une décroissance séculaire de a et e, l'inclinaison i restant pratiquement inchangée. On écrit la valeur de ces paramètres variables en fonction du temps t : a = ao - il t e = eo - e t i = io. La longitude du nœud ascendant est donc en fait st' :

st' = sto

+ il(a, e, io)

t.

Avec un développement limité au premier ordre, on écrit:

A( ao - a. t ,eo - e. t , ZO ') = Je A( ao, eo, to ') -

Je

ce qui donne :

st'

=

st -

(an oa il + an oe e)

(an. oa a t + an· oe e t)

t2

soit, en notant bD la quantité entre parenthèses dans la formule ci-dessus:

st' - st

=

-(bD) t 2 .

Pour l'argument du périgée, un raisonnement identique conduit à : w' - w = - ( bw) t 2 . 15L'adjectif anomalistique est dérivé de «anomalie », les trois anomalies étant nulles (modulo 27r) au périgée.

192

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

On veut aussi connaître l'intervalle de temps entre deux passages au nœud ascendant (ou au nœud descendant). Il représente la période nodale ou période dmconitique 16 , notée T d . La différence avec Ta provient du mouvement du périgée, la précession apsidale et cela, notons-le bien, même dans le cas d'une orbite circulaire, puisque w ne s'annule pas avec e. On a la relation: (6.105) où nd est le moyen mouvement compté avec le nœud ascendant pour origine. La composition des mouvements donne: (6.106) ce qui permet d'obtenir une période en fonction de l'autre: Td

1 - - - . Ta

+(1 +~)

1 Ta

(6.107)

W

n

Td

(6.108)

La période draconitique Td s'exprime en fonction de la période képlérienne Ta par: .dn 1-n Ta (6.109) Td = w 1+ n ou en première approximation : (6.110) Avec cette approximation et pour une orbite circulaire, avec e = 0 dans (6.76) et (6.77), on obtient: (6.111) Pour i = 60° et i = 120°, on remarque que la période draconitique Td est égale à la période képlérienne Ta. 16L'adjectif draconitique est, à l'origine, utilisé pour la période ou le mois draconitique, relatif au passage de la Lune à son nœud ascendant. Ce mot vient du grec a opaxw\I, OYWç, signifiant «dragon» (littéralement: «qui regarde fixement» ). Les éclipses ne se produisent que lorsque la Lune passe à un nœud de son orbite. Dans l'Antiquité, les Grecs pensaient que, lors d'une éclipse, la Lune était avalée par un dragon, caché au voisinage des nœuds de l'orbite lunaire.

6.6. Annexe: étude du frottement atmosphérique

193

En résumé, la période Ta intervient principalement pour calculer le demigrand axe de l'orbite. Pour tout ce qui est relatif au mouvement du satellite par rapport à un repère lié à la Terre, c'est la période draconitique T d qui intervient. Dans le cas du mouvement képlérien, il n'y a pas de raison d'opérer des distinctions entre ces périodes, qui sont toutes évidemment confondues.

6.6 6.6.1

Annexe: étude du frottement atmosphérique Présentation de l'atmosphère terrestre

L'atmosphère terrestre peut être partagée, selon des critères physiques, en zones liées à l'altitude, appelées sphères. En utilisant pour critère le gradient vertical de température, on distingue en partant du sol, la troposphère et la stratosphère qui concernent en gros les 50 premiers kilomètres, la mésosphère jusqu'à 100 km, puis la thermosphère et l'exosphère. La partie basse (moins de 200 km) n'intéresse les satellites que pour des questions de transmission de signal, ce que nous étudions au chapitre 14 à propos des satellites de navigation (GPS). Avec pour critère la proportion relative des constituants chimiques majoritaires, on distingue l'homosphère et l'hétérosphère, la séparation se situant vers 100 km d'altitude. Dans l'homosphère, par suite des mouvements de brassage, l'atmosphère reste homogène vis-à-vis de ses constituants chimiques (du moins ceux qui ne sont pas soumis à une photochimie) quelle que soit la pression. L'air que l'on respire au bord de la mer ou au sommet de l'Himalaya est toujours constitué de 78% d'azote N 2 , 21% d'oxygène O 2 et 1% d'argon Ar. Au-delà de 100 km d'altitude, à cause de la raréfaction de l'air et de la température élevée (agitation moléculaire très forte avec libre parcours moyen très grand pour les particules), la proportion entre les constituants change complètement et devient dépendante de leur masse. Entre 160 et 600 km, c'est l'oxygène monoatomique 0 qui est le gaz prédominant, au-delà, c'est le domaine des plus légers des atomes, hélium et hydrogène, He (majoritaire jusqu'à 2 000 km) et H. Dans le cadre de l'étude du mouvement des satellites, on s'intéresse au domaine 200 km - 1 200 km d'altitude. Avec des passages à moins de 200 km, la trajectoire du satellite est vite catastrophique. Avec une orbite au-delà de 1 200 km, les effets du frottement atmosphérique sont négligeables, même sur une longue période (d'autres phénomènes dissipatifs comme la pression de radiation solaire sont plus importants).

194

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

6.6.2

Densité atmosphérique

Pour l'étude du frottement atmosphérique, la grandeur fondamentale est la masse volumique de l'air. Généralement appelée densité atmosphérique, elle est notée P et mesurée en kg·m -3 (cette expression peut être considérée comme fautive, à strictement parler, car la densité n'est pas une masse volumique). La masse volumique en fonction de l'altitude se calcule facilement, dans une atmosphère au repos et isotherme, selon les lois de la thermodynamique et se présente sous forme d'une fonction exponentielle: p(h) = Po

(6.112)

e-(h/H)

où Po est la masse volumique à l'altitude de référence Zo et où h = z - Zo représente la différence d'altitude. La grandeur H, homogène à une longueur, est le facteur d'échelle, dont le calcul classique donne

H=p:'T

(6.113)

Mg

où 91 = 8.31 (u. SI) est la constante des gaz parfaits, T la température (K), IVI la masse molaire (kg) moyenne des constituants, g la valeur du champ de pesanteur (m·s- 2 ). Au niveau de la mer, à une température de 15° C et à la pression de 1 013 hPa, on a:

T

=

273 + 15

=

288 K

IVI

=

(4/5) 28

La valeur de p est donc: Po = (29/22.4) x (273/288) Le calcul du facteur d'échelle donne: H = (8.31 x 288)/(29 10- 3 x 9.81) = 8413 m

+ (1/5) 32 "-' 29 g =

1.23 kg.m- 3 . soit H "-' 8.4 km

À une altitude de 8 km environ, la masse volumique est divisée par le facteur e, nombre d'Euler, par rapport à celle au niveau de la mer et est donc égale à p = 0.44 kg.m- 3 . Bien que pour l'atmosphère réelle on s'éloigne plus ou moins des conditions requises pour l'établissement de l'équation (6.112), cette formule donnant p(h) peut être appliquée dans la plupart des cas, l'expérience ayant montré qu'elle restait satisfaisante. Dans le domaine d'altitude qui nous intéresse ici (200 -1200 km), pour une altitude donnée, la densité atmosphérique est très dépendante de l'activité solaire et sa variation est guidée par plusieurs cycles de périodes différentes: - un cycle de Il ans, connu depuis longtemps, mis en évidence par la mesure des taches solaires (depuis 1749); au décompte des taches, on préfère maintenant (depuis 1947) un critère plus objectif avec la mesure, dite FlO.7, de l'émission par le Soleil de l'onde radio de 10.7 cm de longueur d'onde; les

6.6. Annexe: étude du frottement atmosphérique

195

dernières années de maximum sont 1968, 1980, 1991, 2002; le prochain est en 2013; - un cycle annuel, lié aux saisons; - un cycle de 27 jours lié à la période synodique de rotation du Soleil sur lui-même; - un cycle journalier, avec un maximum pour p vers 15 heures locales (TTSM) et un minimum 12 heures après. De plus, la densité atmosphérique dépend de la latitude du point considéré.

6.6.3

Modèles atmosphériques

Devant une telle complexité, la démarche logique a été de créer des modèles d'atmosphère. Les premiers datent des années 1960 et 70, développés par Jacchia (J65, J71, ... ) aux États-Unis, Hedin et Barlier (DTM78) en Europe. Les modèles actuels (JB2006, DTM2007, MSIS-90 et NRLMSIS, ... ), héritiers en ligne droite des pionniers, reflètent évidemment le développement exponentiel du calcul informatique. Sans entrer dans les détails, ils permettent d'obtenir la densité atmosphérique comme une fonction de l'altitude h, de l'heure locale TTSM, du jour de l'année J, de la latitude .1jJ :

pi(h, TTSM, J,1jJ)

avec

i = 1,2, ... , n

(6.114)

l'indice i étant lié à l'activité solaire (i = 1 pour une année d'activité minimale, i = 2 maximale, i = 3 moyenne, etc.). On peut se faire une idée des valeurs de p avec le tableau 6.4.

6.6.4

Calcul du frottement atmosphérique. Notion de ..d V

Considérons un satellite en orbite terrestre. Sa vitesse dans le référentiel galiléen iR est notée V, sa vitesse par rapport à l'atmosphère est notée Vc, (si l'atmosphère est immobile, sans vent, Vc, est égal à V', vitesse par rapport au référentiel terrestre iRT ). Notons S la section (surface) du satellite perpendiculairement à son déplacement. Dans un temps dt, la masse dm d'air, de masse volumique p, rencontrée par le satellite est : dm = p S Va dt

(6.115)

La quantité de mouvement (impulsion) dp correspondante est: dp

=

Va dm

=

p S V; dt

et la force de frottement F est donc :

F

=

dp dt

=

p

S V2 a

(6.116)

196

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

p (kg m- 3 )

h (km)

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Activité minimale N J 10- 9 9.8 9.8 1.8 2.1 10- 10 1O- 11 0.5 1.1 12 100.5 1.6 13 100.4 2.0 1.0 3.9 10- 14 0.4 1.0 10- 14 2.4 4.3 10- 15 1.6 2.4 10- 15 9.6 17.0 10- 16

H (km)

Activité maximale N J

9.8 3.2 2.6 5.0 8.5 20. 5. 17. 7. 42.

9.8 3.7 4.7 12.0 31.0 100. 31. 110. 43. 200.

10- 9 10- 10 1O- 11 10- 12 10- 13 10- 14 10- 14 10- 15 10- 15 10- 16

A. min. N J

6 33 45 53 60 76 134 213 325 418

6 38 53 61 67 76 96 139 215 309

A. max. N J

6 43 57 70 75 82 93 114 153 217

6 49 68 80 89 96 105 116 134 165

TABLEAU 6.4 : Densité atmosphérique représentée par la masse volumique p, en fonction de l'altitude h, pour une activité solaire minimale et maximale, selon la nuit (N) ou le jour (J). On a noté aussi le facteur d'échelle H. Les valeurs sont moyennées sur les latitudes et les saisons. Modèle MSIS-90.

Pour tenir compte de la nature du choc des molécules d'air sur la surface du satellite, on multiple cette valeur de F par un coefficient 17 , noté ~ Cd. On obtient: (6.117) Ce coefficient de frottement Cd, sans dimension, varie entre 1.5 et 3.0, selon la forme du satellite. On démontre qu'il est égal à 2 pour une sphère. Cette force de frottement F, qu'on peut noter vectoriellement : (6.118) a pour effet de freiner le satellite de masse NIs. En appliquant le principe fondamental de la mécanique, on obtient: F

d V= Ms dt

1 S 2 dV = - - Cd pV 2 NIs ct

On pose:

B=Cd

S Ms

-

(6.119)

(6.120)

Ce coefficient B, appelé coefficient balistique, mesuré en m 2 . kg-l, caractérise 17I! est amusant de noter que le terme (1/2) qui affecte Cd n'a pas d'autre justification que de faire ressembler cette formule (6.117) aux autres formules de ce type, comme celle de l'énergie cinétique - pour laquelle le terme (1/2) est d'origine mathématique.

6.6. Annexe: étude du frottement atmosphérique

197

le satellite par rapport aux frottements 18 : plus B est grand, plus il y a de frottement. Par exemple, pour un satellite « standard», avec NIs = 500 kg, S = 10 m 2 , Cd = 2.3, on aB = 0.046 m 2 ·kg- l et (l/B) = 21.7 kg·m- 2 . On a l'habitude de noter .1 V, dit Delta V dans le milieu de la technologie spatiale, la variation de vitesse (souvent en valeur absolue), durant un temps fini T : P V~ dt 2 Si .1V est calculé sur une révolution, nous le noterons .1 1 V. .1V

=

~ B fT

Jo

(6.121)

Cas très simplifié

On calcule la valeur de .1 V ainsi que la variation, sur une révolution, du demi-grand axe a et de la période T dans le cas d'un satellite en orbite circulaire. On considère que la densité atmosphérique est constante sur une révolution et égale à Po. On confond Va avec V et on se place dans le cas képlérien. La Terre est sphérique. On a donc, puisque 2 Ir a = V T : (6.122)

.1 1 V = Ir B Po a V En différentiant V

=

VIL/a, on a da/a

=

-2IrBpoa, on obtient:

.1 1 a = -2Ir B Po a 2

(6.123)

De même pour la période, avec dT /T = (3/2)da/ a : 2 a2 .1 l T = -6Ir B Po V

(6.124)

Exemple 6.3 Calcul de la baisse d'altitude quotidienne, pour un satellite de type SPOT. ~ Pour un satellite de type SPOT, avec B = 0.046 et a = 7200 km, qui effectue environ 14 révolutions par jour, on trouve, en appliquant (6.123) : .1 J a = 14 .1 1 a = -2 1O- 14 p en notant .1 J la variation de a sur un jour. On peut donc estimer la baisse d'altitude par jour, à partir des valeurs de p à 800 km d'altitude:

Activité solaire

calme moyenne forte très forte

p p p p

3 10- 15 1 10- 14 = 5 10- 14 = 1.5 10- 13 = =

.1 J a .1 J a .1 J a .1 J a

= = = =

-0.6 m -2.0 m -10 m -30 m

Ces résultats donnent des ordres de grandeur pour fixer les idées .... 18pour minimiser ces effets, le satellite Starlette, passif (donc sans alimentation), est une sphère recouverte de 60 réflecteurs laser. Son cœur est en uranium (densité 18.7). Masse du satellite: 47 kg, diamètre: 48 cm. Avec Cd = 2, on a E = 7.70 10- 3 et (1/ E) = 130 kg.m- 2 .

198

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

Amélioration des modèles atmosphériques

Les satellites CHAMP, GRACE-A et -E, GOCE sont munis d'accéléromètres « 3 axes» très sensibles, qui mesurent l'accélération af et permettent ainsi de piloter les forces de compensation. D'après (6.117) et (6.118) : (6.125) On connaît af, B et Va; on obtient ainsi la valeur de p en continu. La sensibilité des accéléromètres est en progression pour les satellites cités : 10- 9 m·s- 2 pour CHAMP, 10- 10 pour GRACE, 10- 12 pour GOCE.

6.6.5

Influence du frottement sur l'orbite

Les modèles analytiques de propagation d'orbite utilisent des méthodes proches de celle qui est présentée ici. Avec le logiciel Ixion, les caractéristiques du satellite étant bien définies, nous calculons à chaque instant, avec un pas de quelques secondes qui peut être variable, la position du satellite, son altitude géodésique, sa vitesse par rapport à la Terre. Si le modèle atmosphérique fournit la vitesse du vent, on calcule le vecteur Va, sinon li. Avec p, lié à l'altitude, au lieu et à l'instant, on calcule la force de frottement F, par (6.117), pour chaque pas d'intégration. En reprenant les équations du mouvement avec cette force F, nous calculons analytiquement, par la théorie de King-Hele, il et ë, les dérivées temporelles du demi-grand axe a et de l'excentricité e. Le calcul des autres paramètres est complexe: la variation de i est extrêmement faible, les variations périodiques sur [2 et w sont masquées par leur variation séculaire. On en déduit la trajectoire modifiée, en continu. Ou bien, si la trajectoire est maintenue, on en déduit la quantité L1 V nécessaire à ce maintien.

6.6.6

Calculs simplifiés pour une orbite excentrique. Aérofreinage

La notion de L1 V est très importante en ingénierie spatiale, pour la gouvernance des missions. Si le frottement atmosphérique entraîne un certain L1 V, inversement, une quantité L1 V permet de compenser le frottement ou de réaliser des manœuvres de changement d'orbite. Pour les responsables techniques, la quantité L1 V cumulée sur l'ensemble de la mission est directement traduite en quantité de combustible. Alors que les calculs de L1 V (méthodes analytiques ou numériques) sont très lourds, la méthode suivante permet de calculer avec simplicité la quantité L1V, sur une période, dans le cas des orbites elliptiques. L'idée de base est que pratiquement tout le frottement se produit au voisinage du périgée, à cause de la décroissance exponentielle de p avec l'altitude, relation (6.112). Pendant ce temps, relativement bref, la vitesse V du satellite

6.6. Annexe: étude du frottement atmosphérique

199

peut être considérée comme constante, égale à Vp , vitesse au périgée 19 . On considère dans ce cas la planète sphérique et on néglige sa vitesse de rotation ainsi que la vitesse du vent par rapport à la vitesse du satellite (au voisinage du périgée). On a donc, avec (4.45) :

Va = V = Vp =

I +e Vfii.~ V1-e

On considère aussi, ce qui est très réaliste, que a et e ne varient pas sur une révolution. On désigne par Z l'altitude du satellite et zp, celle lors de son passage au périgée; la valeur de P au périgée est notée Pp et H est le facteur d'échelle à cette altitude. Sur la durée d'une période T, la valeur de .1 V, notée .1 1 V, est donnée par :

l

~

1 + e j+T/2 exp (_ Z - ZP) dt a 1- e -T/2 H (6.126) En utilisant l'anomalie excentrique E, on obtient les relations suivantes:

.1 1 V

= -1

2

B

T P V 2 dt =

0

r

=

2

B Pp

!!..

a(l - e cos E) zp

Z -

=

rp=a(l-e)

r - rp

=

a e(l - cosE)

L'intervalle de temps pendant lequel se passe le frottement est très court et centré autour du passage au périgée. Dans ce cas, les anomalies NI et E sont très petites devant 1. On peut donc écrire:

E2

!vI = E - e sin E "-' E (1 - e)

1- cosE ,,-,2

On obtient ainsi E en fonction de l'vI et donc

Z -

zp en fonction du temps:

E=l~e=~l~et Z-

zp = a e

E2

1

"""2 = "2 IL

e

a 2 (1 _ e)2 t

Z - zp 1 IL e 2 --=---t H 2 Hr~

(6.127) 2

(6.128) (6.129)

19Par exemple, avec un satellite de type Molnya, hp = 200 km, e = 0.75, a = 26 313 km, T = 708 min, avec un passage au périgée h = 200 km, ri = 1.031, à l'instant t = 0, le passage à l'altitude h = 600 km, TJ = 1.091, se fait à l'instant t = 346 s. Le satellite a donc passé 2 x 346 = 692 s = 11.5 min dans les couches d'atmosphère comprises entre 200 et 600 km, ce qui represente 11.5/708=0.016, soit 1.6% du temps durant une révolution. La différence relative de vitesse du satellite entre les deux points considérés est: -dV/V = (2 - TJ)-l (dr/r) ~ (1 + e)-l (dh/r) = 0.033 soit 3.3% et on peut donc considérer la vitesse comme constante. Le rapport des densités atmosphériques entre 600 et 200 km d'altitude est 10- 4 .

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

200

On rappelle la valeur de l'intégrale de la fonction gaussienne:

1

+00

-00

exp ( -0; x 2 ) dx =

fi

V~

Au cours d'une révolution de période T, comptée entre t = - T /2 et t = le frottement n'agit véritablement qu'au voisinage de t = O. Que l'intégration d'une quantité liée au frottement soit faite, pour une période, dans le domaine [-T/2 ; +T/2] ou dans le domaine]- 00 ; +oo[ ne change rien au résultat. On peut donc écrire:

+T /2,

1T/2 +

-T/2

exp

(Z - Zp) ---H

et finalement : L1 1 V =

dt =

1

+00

-00

exp

(1

e t - - -IL- 2 2Hr p

ln ~-2 B Pp vii l+e ye

Y

2) dt

~

H

(6.130)

(6.131)

Cette formule est remarquablement simple, car elle ne fait intervenir que la géométrie de l'ellipse (avec e), le facteur d'échelle H et la masse volumique Pp au périgée. Le demi-grand axe a, qui intervient indirectement dans la période T et l'altitude du périgée, qui intervient pour Pp, n'apparaissent pas explicitement. On peut l'appliquer tant que la durée de frottement « efficace» autour du passage au périgée est petite devant la durée de la période. Cette durée efficace L1t e ff est définie par :

Pp L1t e ff =

j

+T/2

-T/2

P dt

(6.132)

Avec les hypothèses retenues, le calcul donne: L1t e ff

_

----;y- -

/H 1 - e V~ ye

(6.133)

Si on pose la condition (L1teff/T) < 0.1, avec H = 50 km, a = 26500 km, on obtient la contrainte: e > 0.03

~

équation (6.131) applicable

L'intérêt majeur de cette formule apparaît lors de l'étude du freinage atmosphérique qui est une technique de circularisation de l'orbite, plus utilisée sur Mars que sur la Terre 20 . C'est d'ailleurs dans l'optique de missions sur Mars 20Pour les satellites en orbite terrestre, cette méthode est envisagée pour la transformation d'orbite GTO en orbite LEO, dans le cas de satellites passagers (donc sans beaucoup d'autonomie en combustible) d'une mission principale GEO.

6.7. Note historique: premières déterminations des harmoniques J n

201

que nous l'avons établie. Nous avons comparé les valeurs de .1 1 V ainsi obtenues avec celles fournies par les intégrations numériques pas à pas en utilisant un modèle atmosphérique (MCD-LMD). L'erreur ne dépasse pas 5%.

6.7

N ote historique : premières déterminations spatiales des harmoniques zonaux J n

C'est grâce au suivi (principalement visuel, à l'aide de télescopes spécialisés) des premiers satellites que les astromones, après avoir déterminé les orbites exactes, calculèrent les premiers coefficients des harmoniques sphériques zonaux. Nous en retraçons ici brièvement l'histoire. Pour les astromones américains, le télescope utilisé était la caméra BakerNun, du nom de ses deux inventeurs (figure 6.5).

6.7.1

Première détermination de J 2 par satellite

Les « bip-bip» de Spoutnik-1 surprirent la Terre entière. Le temps que les scientifiques concernés réagissent ... et 1957Œ (nom du satellite avec la classification de l'époque - abandonnée à partir du 1er janvier 1963) avait déjà brûlé dans l'atmosphère terrestre. Avec Spoutnik-2 (1957;3), les mesures purent commencer. En utilisant 33 observations visuelles, prises dans le ciel de Tchécoslovaquie entre le 7 décembre 1957 et le 21 mars 1958, l'astronome E. Buchar réussit à déterminer le mouvement du nœud ascendant de l'orbite:

il

=

-2.9007 ± 0.0046

degré par jour

Les éléments métriques du satellite étaient déterminés : aiR = 1.1127, e = 0.0731 eti = 65.29°. On connaît ainsi la période et le moyen mouvement: T = 99.2 min et n = 1.0556 10- 3 rad S-l. Avec la relation (6.75) on obtient la valeur de h : J 2 = 2.9007/2675.0 = l.0844 10- 3

On obtient l'aplatissement

f par (3.33), la première équation de Clairaut:

f

=

3

h + ma 2

(6.134)

avec ma défini par (3.34) et dont la valeur est connue. Buchar obtient ainsi: (1/1)

=

297.7 ± 0.3

En affinant les résultats de Spoutnik-2, D. King-Hele donne, peu après, le résultat: (1/1) = 298.1 ± 0.1

202

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

6.5 : Télescope caméra Baker-Nunn pour le suivi des satellites. Installation de la caméra du SAO (Smithsonian Astrophysical Observatory) sur la base de Woomera (Australie), en janvier 1958. Document: NASA, Woomera Space Centre.

FIG.

Les estimations de (1/1) n'ont ensuite pratiquement plus bougé, alors qu'avant 1958 (tableau 2.1), elles s'étalaient entre 293 et 300.

6.7.2

Première détermination de J 3 par satellite

Si la valeur du coefficient J 2 est déterminée à l'aide de la variation séculaire de D, celle de h, par contre, fait appel à la variation à longue période de e. La première détermination de h fut effectuée par J. A. O'Keefe à partir d'observation de l'orbite de Vanguard-1 (1958;32)' L'excentricité e variait de manière sinusoïdale, sur une période d'environ 80 jours, correspondant au cycle de la ligne des apsides, de durée 27r / lu, avec une amplitude .de : .de = (42 ± 3) 10- 5 . En début de mission, les caractéristiques orbitales étaient: hp = 654 km, ha = 3969 km, a = 8681 km, e = 0.1090 i = 34.25°, T = 134.2 min. On calcule le mouvement du périgée: lu = 4.40° par jour, soit un cycle de 82 jours. L'amplitude de la variation de e est 1.d LP3 el lorsqu'on prend w = 90° dans (6.96). On obtient, avec .dLPse = .de = 42 10- 5 : J 3 = -2 h

(!!...) R

~ sm'{

Cette valeur est proche de 3.2.

6.7.3

h

.dLP3 e = -4.8424 =

h

.dLP3 e

~

-2.2 10- 6

-2.54 10- 6 , valeur donnée dans le tableau

Premières déterminations des J n , jusqu'à J 14

En 1963, Y. Kozai, par l'observation de 9 satellites américains 21 lancés entre 1959 et 1962, détermine les 14 premiers coefficients des harmoniques 21 Les orbites de ces satellites avaient une large plage d'inclinaison, de 28° à 95°. Par ordre chronologique: 1959a (Vanguard-2), 1959r) (Vanguard-3), 1960L2 (fusée du lancement de Echo-1), 1961v (Explorer-12), 19610 (Transit-4A), 1961Œ<1I (Midas-4), 1962m (Discoverer34), 1962j3M (ANNA-lB), 1962j3v (Relay-1). Toutes ces orbites étaient déterminées par un suivi à l'aide des caméras Baker-Nunn.

6.8. Note historique: succès du calcul des perturbations

203

zonaux ln. Pour cela, il néglige les variations à courte période et considère que toutes les variations à longue période sont modulées par le mouvement du périgée (c'est-à-dire qu'elles varient comme w). Pour les éléments métriques, à partir de (6.78), il écrit: e

eo

'io

+ Ae sinw + Ai sinw

(6.135) (6.136)

où Ae et Ai représentent des coefficients uniquement fonction des éléments métriques a, e, 'i et des harmoniques zonaux ln et pouvant donc être considérés comme constants sur quelques révolutions. En se limitant à l'ordre 3, les valeurs de Ae sinw et Ai sinw sont données respectivement par les relations (6.96) et (6.95). Pour les éléments angulaires, partant de (6.79), il ajoute la variation périodique à la variation séculaire :

+ fl t + An cos w Wo + fl t + Aw cos w Do

w

(6.137) (6.138)

En connaissant la dépendance théorique des coefficients Ae, Ai, An et Aw avec les 14 premiers ln, les observations fournissent des dizaines d'équations qui sont résolues numériquement.

6.8

Note historique: succès du calcul des perturbations

Deux astronomes, Clairaut au XVIIIe siècle, Le Verrier au XIX e , connurent un grand succès avec leurs résultats obtenus en appliquant les calculs de perturbations. Au XX€ siècle, Einstein résolut le « mystère» de l'avance du périhélie de la planète Mercure.

6.8.1

Le retard du retour de la comète de Halley

En 1705, l'astronome Halley 22 décrit, dans Cometogmphia, les orbites de 24 comètes. En s'appuyant sur la nouvelle théorie de Newton, il calcule leurs éléments orbitaux. Il affirme que plusieurs comètes, aux éléments identiques, ne sont en fait qu'une seule et même comète, dont la période est de 76 ans. 22 Edmund Halley (1656-1742), astronome anglais. Resté célèbre pour la découverte de la périodicité d'une comète, Halley était un scientifique universel. Il séjourna à SainteHélène pour dresser la première carte du ciel austral. Au cours de ses voyages en bateau, il établit une carte détaillée de la déclinaison magnétique, mesura la période du pendule en fonction de la latitude, s'intéressa aux courants marins, étudia la répartition des vents pour obtenir un ancêtre des cartes météorologiques. Halley traduisit de l'arabe plusieurs livres de géométrie d'Apollonius de Pergé, dont la version originale en grec avait disparu.

204

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

Après un passage en 1682, il prédit un nouveau passage en 1758 pour cette comète qui portera plus tard le nom de Halley. À l'approche de ce retour prévu, le monde astronomique est en éveil. En 1757, le mathématicien astronome Clairaut suppose que Jupiter créera une perturbation importante sur la comète. Il veut en calculer les effets 23 avant la date annoncée. Il s'adjoint les services de deux jeunes astronomes, Jérôme Lalande 24 et Nicole-Reine Lepaute, connus pour leurs talents de calculateurs. Après un travail épuisant et « contre la montre», ils annoncent que, par suite de la perturbation gravitationnelle de Jupiter et de Saturne, la comète ne passera pas à son périhélie en novembre 1758, comme prévu par le défunt Halley, mais en avril 1759 (avec une incertitude d'un mois). En fait, elle y passera le 13 mars 1759. Ces calculs, exposés par Clairaut dans Théorie du mouvement des comètes (1760), confirmèrent avec force la théorie de Newton. Rappelons que la théorie des perturbations de Lagrange sera publiée 28 ans plus tard.

6.8.2

La découverte de Neptune par Le Verrier

La plus spectaculaire des applications de la théorie des perturbations fut la découverte d'une nouvelle planète, Neptune, par Le Verrier 25 • La planète Uranus est découverte en 1781 par Herschel. En 1844, Le Verrier étudie son orbite (sur un arc de 270 0 : la période est de 84 ans et la découverte ne date que de 63 ans 26 ) et relève un léger désaccord avec les calculs. Il suppose qu'à la perturbation due aux autres planètes s'ajoute l'effet 23« Même si Clairaut avait voulu supposer, à l'exemple de Halley, qu'il était permis de négliger l'action de Jupiter sur la comète dans les années où ces astres étaient à grandes distances l'un de l'autre, il n'aurait pas tardé à revenir sur cette persuasion. En effet, les premiers calculs lui firent voir que, même lorsque la comète est le plus éloigné de Jupiter, son orbite ne manque pas d'être encore troublée, surtout par l'action de Jupiter sur le Soleil; parce que Jupiter, déplaçant le Soleil d'une petite quantité, donne à l'orbite de la planète un foyer différent. Clairaut détermina de façon fort élégante toutes ces actions. » (Pierre Brunet, La vie et l'œuvre de Clairaut, 1952.) 24Joseph Jér{Jme Lefrançais de Lalande dit Jér{Jme Lalande (1732-1807), astronome français. Il se fit remarquer très tôt par la précision de ses observations, comme pour la mesure de la parallaxe de la Lune (1751), de la parallaxe solaire à l'occasion du transit de Vénus, en 1761 et 1769. Il étudia aussi la rotation du Soleil et la forme de la Terre. Il fut très célèbre en son temps (<< le premier astronome médiatique» !), reconnu pour son talent d'enseignant et de vulgarisateur scientifique. Reconnu aussi pour son athéisme affiché (<< On ne sait rien. On croit aux miracles, aux sorciers; on a peur du tonnerre, des araignées et à plus forte raison on croit en Dieu. »). 25 Urbain Le Verrier (1811-1877), astronome français, reste avant tout célèbre pour sa découverte mathématique de Neptune. Il se consacra ensuite à la théorie du Système solaire et à l'établissement des éphémérides. Voir aussi la note Delaunay. Un ouragan détruisit, le 14 novembre 1854, une partie de la flotte française et alliée, en conflit en Crimée. Le Verrier, comprenant que cette tempête avait traversé l'Europe d'ouest en est, mis sur pied le premier réseau de stations météorologiques, dès 1855. 26En fait, Le Verrier utilise aussi des observations plus anciennes, car les astronomes ont réalisé que la planète Uranus avait été déjà repérée dans le ciel, depuis 1690, mais en tant qu'étoile. Il utilise, pour ses calculs, 7 observations antérieures à 1781 et 26 postérieures.

6.8. Note historique: succès du calcul des perturbations

205

d'une planète inconnue, encore plus lointaine. Il se lance dans les calculs de perturbation en considérant les hypothèses suivantes sur la planète « troublante» : - elle est dans le plan de l'écliptique; - le demi-grand axe de son orbite est donné par la « loi» de Titus-Bode (avec n = 7, on a a = 38.8 ua). Les autres paramètres orbitaux et la masse sont traités comme des grandeurs inconnues. Leur valeur est obtenue par résolution d'un système de 33 équations, chacune correspondant à une observation. En août 1846, il annonce avoir localisé la planète (a = 36.15 ua, e = 0.108, distance au Soleil = 33.06 ua - pour la théorie de Titus-Bode et les paramètres orbitaux de Neptune, voir chapitre 16). Il donne les coordonnées précises et, le 23 septembre 1846, l'astronome Galle indique qu'il a repéré, avec son télescope de l'Observatoire de Berlin, une nouvelle planète, exactement à l'endroit indiqué 27 . Elle sera nommée peu après Neptune. Le succès 28 de Le Verrier rejaillit sur l'astronomie et toutes les sciences. Arago a cette phrase célèbre: «M. Le Verrier vit un nouvel astre au bout de sa plume ». Par la suite, Le Verrier fut moins heureux pour expliquer l'avance du périhélie de Mercure en utilisant la théorie des perturbations, comme nous voyons ci-dessous.

6.8.3

L'avance au périhélie de Mercure

En 1859, Le Verrier étudia l'effet des perturbations sur la planète Mercure, à partir d'observations faites depuis l'année 1697 (et principalement 397 observations méridiennes faites à l'observatoire de Paris entre 1801 et 1842). L'orbite de Mercure a une excentricité importante, e = 0.2056. La mécanique newtonienne, par le calcul de l'effet perturbateur des autres planètes, permet de calculer le mouvement de son périhélie (précession apsidale). Par le calcul de toutes les perturbations planétaires, Le Verrier arriva à un résultat de 531" par siècle. Or les mesures donnent 574", soit un écart de 43". L'astronome américain Simon Newcomb obtint, en 1882, les mêmes résultats. Pour se rendre compte de la précision des mesures de l'époque (tableau 6.5), il faut mettre en rapport ces 43" avec la valeur de la constante de la précession des équinoxes de la Terre, qui est de 5 026" par siècle tropique (car la valeur mesurée depuis la Terre est la somme de tous ces effets). En 1889, F. Tisserand termine son monumental Traité de Mécanique Céleste en écrivant que l'avance au périhélie de Mercure est la plus grande 27Et 60 182 jours après cette date, Neptune a effectué une révolution complète: le 2 juillet 2011, la planète est située exactement où Galle l'a observée pour la première fois. 28L'astronome J. C. Adams déclara avoir obtenu les mêmes résultats, à la même époque. Mais la confirmation n'en fut jamais clairement établie. Cet épisode semble appartenir à la rivalité entre scientifiques français et anglais.

206

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

Planète

Perturb.

Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Autres

277.8 90.0 2.5 153.6 7.3 0.2

Total

531.4

Catégorie

Perturb.

Planètes Équinoxes

531.4 5025.6

Total Observé

5557.0 5599.7

Différence

42.7

6.5 : Liste des causes de la précession du périhélie de Mercure et valeur des perturbations, en secondes d'arc par siècle.

TABLEAU

énigme astronomique de l'époque. Il réfute toutes les explications en cours: - Le Verrier avait tenté d'expliquer ce désaccord par la présence d'une planète hypothétique entre Mercure et le Soleil, dont le nom était déjà trouvé (Vulcain) ; - Newcomb y voyait pour cause l'éventuelle non-sphéricité du Soleil; - Hall allait jusqu'à remettre en cause la loi de la gravitation en proposant une force d'attraction gravitationnelle en T-2.000000151. On voit à quel point cette avance inexpliquée était une énigme pour les plus brillants astronomes. F. Tisserand conclut par: «On peut penser que les attractions des corps célestes ne peuvent se transmettre à distance que par l'intermédiaire d'un milieu. Mais on ne connaît rien encore sur ces modes de transmission. » C'est Einstein 29 , en 1916, qui donnera l'explication, en appliquant sa nouvelle théorie de la relativité générale. En écrivant l'équation du mouvement dans ce cadre (équation des géodésiques - trajectoires - planétaires à partir de la métrique de Schwarzschild), 29 Albert Einstein (1879-1955), physicien allemand (puis suisse, puis américain). Il entre avec éclat, l'année 1905, annus mirabilis, dans le monde académique de la physique, avec trois publications fondamentales (et révolutionnaires) : le mouvement brownien (taille des molécules), l'effet photoélectrique (nature corpusculaire de la lumière) et la relativité restreinte (modification de la mécanique newtonienne, équivalence matière-énergie). Les trois articles paraissent dans Annalen der Physik, dont le directeur est Max Planck. Il développe ensuite, à partir de 1915, la théorie de la gravitation et la relativité générale: les «équations du champ» sont des équations différentielles qui décrivent le comportement du champ gravitationnel (métrique de l'espace-temps) en fonction de son contenu en matière et énergie. L'espace d'Euclide doit être remplacé par l'espace de Riemann, espace « courbé» par les masses qui s'y trouvent. Les théories d'Einstein sont à la base de la physique moderne.

6.8. Note historique: succès du calcul des perturbations

207

on remplace l'équation classique (4.24) par: (6.139) où C est le moment cinétique par unité de masse et c la vitesse de la lumière. Cette équation (6.139) est une équation différentielle en u, variable de Binet, qui n'a pas de solution analytique. Comme le terme ajouté, lorsqu'on passe de (4.24) à (6.139), est très petit devant l'unité, on cherche une solution de la forme u = Uo + U1, où Uo est solution de l'équation classique (newtonienne) et U1 un terme correctif, faible, correspondant à la perturbation. On pose:

s«l Les calculs donnent r = l/u :

U1

et sa combinaison avec

r(8) =

a(l - e2 )

Uo

(6.140)

amène au résultat pour

1 + e cos [(1 - s)8 - 80 l

(6.141)

à comparer avec (4.42).

Avec (4.27), on écrit s = 3'L/(C2 p). Deux passages successifs au périhélie déterminent les angles polaires 81 et 82 . On a ainsi:

soit: (6.142) qui est noté .d1w dans la relation (6.12). Pour Mercure 3o , on obtient: .d 1w = 5.0344 10- 7 rad. La planète Mercure effectuant 414.2 révolutions par siècle, on a finalement: .dw = 414.2 .d1w = 2.0853 10- 7 rad =43" Les mesures actuelles donnent pour cet écart : .dw = 42.980 ± 0.002 secondes d'arc. 30Uavance au périhélie se rencontre aussi pour les autres planètes, mais elle est d'autant plus faible que la planète est éloignée du Soleil (elle va moins vite dans un référentiel copernicien) : 8".63 par siècle pour Vénus, 3".84 pour la Terre, 1".35 pour Mars. Pour la Lune, dans son mouvement par rapport à la Terre, elle est de 2" par siècle. Toutes ces valeurs peuvent se calculer avec la relation (6.12).

208

6.9 6.9.1

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

Note astronomique: perturbations et Système solaire La question de la stabilité du Système solaire

Invariabilité des deIlli-grands axes des orbites planétaires

En appliquant la loi de la gravitation universelle fraîchement établie, Newton notait, en 1687, que chaque planète, dont l'orbite est déterminée par l'attraction du Soleil, doit nécessairement attirer toute autre planète, même si cette interaction est très faible. Il écrivait : «à force de perturbation, le système nécessitera une reformation ». Pour cela, il comptait sur une intervention divine, le créateur devant remettre les choses en ordre le moment venu. En s'appuyant sur les observations des Chaldéens (du deuxième siècle av. JC), transmises par Ptolémée, Halley calcula que Jupiter se rapprochait du Soleil pendant que Saturne s'en éloignait. Euler, en 1752, et Lagrange, en 1774, s'attaquèrent à ce problème. Leurs résultats étaient contradictoires (et erronés tous les deux), mais ils marquèrent le début des calculs de perturbations. Laplace 31 reprend les calculs en 1776. Il démontre que le demi-grand axe de chaque orbite est constant: a n'a pas de terme séculaire, au moins au premier ordre du développement des perturbations. Il en déduit que le Système solaire est stable pour un million d'années. Il calcule que la quasi résonance 31 Pierre Simon de Laplace (1749-1827), mathématicien, astronome et physicien français. En remarquant que tous corps observables dans le Système solaire tournent dans le même sens (il comptait 29 révolutions ou rotations de planète et de satellite, en plus de la rotation du Soleil) et en s'inspirant des observations faites par Herschel sur les nébuleuses, il élabore un premier système cosmogonique, dans Exposition du système du Monde (1796 pour la première édition, 1824 pour la 5e ) : le Système solaire et les autres astres de l'univers proviendraient de la condensation d'une nébuleuse primitive (c'est l'hypothèse toujours retenue dans les théories actuelles). Une rotation de cette nébuleuse, en même temps que le refroidissement de l'ensemble, aurait engendré des anneaux successifs dans un même plan (écliptique), qui auraient donné naissance aux planètes et aux satellites, le noyau central devenant le Soleil. Dans Mécanique céleste (1798 pour la première édition, 1825 pour la 6 e ), il reprend toutes les théories élaborées depuis Newton. « M. Arago avait une anecdote favorite. Quand Laplace eut publié sa Mécanique céleste, disait-il, l'empereur Napoléon le fit venir. L'empereur était furieux. - Comment, s'écria-t-il en apercevant Laplace, vous faites tout le système du monde, vous donnez les lois de toute la création et dans tout votre livre vous ne parlez pas une seule fois de l'existence de Dieu! - Sire, répondit Laplace, je n'avais pas besoin de cette hypothèse. » (Victor Hugo, Choses vues, éd. en 1887) En deux siècles, de Kepler à Laplace, les relations entre les astronomes et le divin avaient beaucoup changé! Laplace établit aussi des résultats fondamentaux en mathématiques (fonctions harmoniques, équations différentielles, probabilités) et en physique (électromagnétisme, thermodynamique).

6.9. Note astronomique: perturbations et Système solaire

209

5:2 entre les moyens mouvements de Jupiter et Saturne entraîne une oscillation de la longitude de Saturne de 46'50", avec une période de 900 ans. Il retrouve ainsi les valeurs données par Halley. Pour Laplace, cette stabilité des grands axes est une affirmation définitive des lois de Newton. Poisson, en 1890, montre que a n'a pas, non plus, de terme séculaire au second ordre.

EXPOSITION TRAITÉ

DU

DE

SYSTÈME DU MONDE,

MÉCANIQUE CÉLESTE, PAR P. S. L APL ACE, Membre de l'Institut nationfll de France, et du Bureau des Longitudes.

TOME

PAR M. LAPLACE, Cl.ancdier du. Sénat-Con~rvateur. Grand-Officier de la L':gio'll d'HQlllleUr; Membre Je "Institut el tlLl Bureau des LOhgituJ~s {le France; des Sociétés roy~les de Londres et de Gotlingue; des Académies des Scien«s de Russie, de Dautm.lrcJ.. 1 de Suède. d'ILalie, etc,

PREMIER.

TROISIÈME ÉDITION,

DE L'IMPRIMERIE DB CRAPELET,

PARIS, Chez J. B. M. DUPRAT, Libraire pOl.1f

1.,

Mathematiques,

Chez

COVilC1EIl,

quai~Augu.til1'.

Imprimeur- I.wrai["l.'i pour les ~lathématlquc5 , q11ai des Augustins, n' 57.

1808,

FIG.

6.6 : Les deux ouvrages fondamentaux de Laplace en astronomie.

Stabilité du Système solaire

Le Verrier, en 1856, estime que, pour que les résultats de Laplace restent valables sur un temps très long, il faut considérer les développements d'ordre supérieur. Poincaré 32 comprend que la méthode suggérée par Le Verrier est incorrecte : il démontre, dès sa thèse passée en 1879, que les termes des développements en série utilisés dans la méthode des perturbations ne convergent pas dans l'intervalle de temps considéré. Pour un système dynamique à trois corps 32 Henri Poincaré (1854-1912), mathématicien français. Il étudia les changements de variables qui conservent la forme canonique des équations de la mécanique (avec la formulation de Jacobi). Il parvint ainsi à des résultats très nouveaux Sur le problème à trois corps et les équations de la dynamique (1889). Il développa ce travail dans son ouvrage

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste (1899).

210

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

et plus, il montre que la solution dépend fortement des conditions initiales elle est chaotique (théorie du chaos). Ensuite, vers 1960, le problème est étudié sous l'angle de la théorie KAM (Kolmogorov, Arnold, Moser). À partir de 1990, J. Laskar, de l'Observatoire de Paris, met en place des méthodes adaptées à la puissance montante du calcul informatique. Pour ses simulations numériques, il considère des conditions initiales 33 très légèrement différentes les unes des autres. Dans ses derniers résultats (2010), il montre que dans 99% des cas le Système solaire est stable sur 5 milliards d'années (5 Ga), c'est-à-dire sans collision. Dans 1% des cas, il y a instabilité: Mercure, par son excentricité accrue, entre en collision avec le Soleil ou Vénus et déstabilise l'orbite de toutes les planètes intérieures (jusqu'à Mars). Le Système solaire a connu une grande période d'instabilité peu après sa formation (premier milliard d'années), due certainement à une migration des planètes géantes. Ensuite, les 8 planètes principales étant en place, il est resté pratiquement stable.

6.9.2

Précession des équinoxes

Un modèle simplifié de l'ellipsoïde terrestre est donné par une sphère munie d'un « bourrelet» équatorial. La masse de ce bourrelet, uniformément répartie sur l'équateur, est telle que les moments d'inertie par rapport à un diamètre équatorial, Ix et par rapport à l'axe polaire, Iz, soient les mêmes que pour l'ellipsoïde. Cette méthode est utilisée classiquement pour calculer en première approximation la précession des équinoxes. Si la Terre était une sphère formée de couches concentriques homogènes, l'action gravitationnelle exercée par les astres du Système solaire (principalement la Lune et le Soleil) se réduirait à une force passant par son centre. Le mouvement de la Terre serait un mouvement uniforme autour d'un axe fixe. Le plan équatorial serait alors fixe par rapport au plan de l'écliptique. La droite d'intersection de ces deux plans, la ligne des nœuds (dite ici ligne des équinoxes), serait donc fixe par rapport à un référentiel copernicien. On considère le modèle de Terre à renflement. Comme le mouvement de précession cherché est très lent comparé à la révolution de la Lune ou à la révolution apparente du Soleil autour de la Terre, on peut remplacer la Lune et le Soleil par une distribution de masse équivalente le long de leur orbite considérée comme circulaire, dans le plan de l'écliptique (ce qui est une approximation pour la Lune), selon la méthode de Gauss 34. On montre (théorie 33Les conditions initiales sont les positions des corps du Système solaire à l'instant présent. J. Laskar a considéré 2500 conditions très voisines. Il a montré que l'erreur de position est multipliée par 10 tous les 10 millions d'années (10 Ma). Ainsi, une erreur de 15 mètres devient 1500 km après 50 Ma et 1 ua (unité astronomique) après 100 Ma. 34En 1818, Gauss expose, dans un mémoire sur les perturbations séculaires du mouvement d'une planète soumise à l'action d'une autre planète, la méthode qui consiste à remplacer le corps perturbateur par un tore obtenu en répartissant la matière de ce corps le long de sa trajectoire.

6.9. Note astronomique: perturbations et Système solaire

211

du mouvement de Lagrange et Poisson avec approximation gyroscopique) que le moment des forces gravitationnelles exercé par la distribution de masse de la Lune et du Soleil sur ce bourrelet équatorial entraîne un mouvement de l'axe de rotation de la Terre, l'angle entre le plan équatorial et de l'écliptique restant fixe. Cet angle, noté E, est l'obliquité. La ligne des nœuds varie dans le sens opposé au sens de rotation de la Terre (sens rétrograde). Ce mouvement, très lent à l'échelle humaine (un tour en 25800 ans, soit 50/1.29 par an, la Lune intervient pour 34/1 et le Soleil pour 16/1), est appelé précession des équinoxes. Le moment, donc la vitesse de précession, est proportionnel à la différence des moments d'inertie (Ix - Iz), liée au terme J 2 . La vitesse de précession est aussi proportionnelle à cos E. La précession des équinoxes est connue depuis l'Antiquité, grâce à Hipparque 35 . Précession de la ligne nodale du satellite Avec ce même type de raisonnement, on peut calculer de mamere approchée le mouvement de précession de l'orbite circulaire d'un satellite. On considère un satellite en orbite circulaire autour de la Terre munie de son bourrelet équatorial. On répartit la masse du satellite uniformément sur sa trajectoire (la vitesse de précession est en gros le dix millième de la vitesse angulaire de révolution du satellite) et on calcule le moment des forces d'origine gravitationnelle entre ces deux anneaux. On montre alors que le plan de l'orbite subit un mouvement de précession, l'angle entre les plans de l'orbite et de l'équateur terrestre (l'inclinaison i du satellite) restant constant. On calcule le moment des forces gravitationnelles, puis la vitesse de précession D, qui est proportionnelle à (Ix - Iz), donc à J 2 et à cosi.

6.9.3

La Terre vue comme un satellite

Éléments orbitaux de la Terre On peut faire un parallèle entre un satellite artificiel autour de la Terre et la Terre vue comme un satellite du Soleil. Il faut d'abord noter la différence fondamentale entre les deux problématiques: - le satellite artificiel est considéré comme ponctuel par rapport à la Terre et son mouvement képlérien est perturbé principalement par l'aplatissement 35 Hipparque de Nicée (Ile s. av. JC), a "Imw:pxoç, ou, astronome grec. Par ses observations réalisées à Rhodes, il fut le premier astronome à faire des mesures véritablement précises de la position des étoiles, qu'il repéra sur la sphère céleste avec les méridiens et les parallèles. Il introduisit en Grèce la pratique babylonienne de diviser le cercle en degrés, minutes, secondes. On peut le considérer comme le créateur de la trigonométrie. Il inventa la projection stéréographique. Il découvrit la précession des équinoxes en comparant ses mesures de localisation des étoiles avec celles faites par Timocharis un siècle et demi plus tôt et aussi avec celles de Babyloniens, bien avant. Les travaux d'Hipparque ne sont connus que de manière indirecte, mentionnés par le géographe Strabon et l'astronome Claude Ptolémée.

212

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

du corps attracteur (terme h de la Terre) ; - la Terre, satellite du Soleil, ne peut pas être supposée ponctuelle, mais doit être considérée comme un solide en rotation (son axe polaire de rotation définit le plan équatorial), dont la non-sphéricité (terme J 2 de la Terre) induit des perturbations. Le Soleil est sphérique 36 . À ces perturbations s'ajoute celle de la Lune. Examinons les éléments orbitaux képlériens de la Terre. - a est le demi-grand axe de l'orbite terrestre, as = 1 unité astronomique; - e est l'excentricité de l'orbite, e = 0.0167; - i est représenté ici par E, l'obliquité, entre le plan de l'écliptique (plan orbital de la Terre) et le plan équatorial de la Terre; - [2 est l'angle entre la ligne des nœuds (ligne des équinoxes, direction du point vernal) et une origine arbitraire, fixe par rapport aux étoiles; - west l'angle entre la direction du point vernal et le périhélie (actuellement, la Terre passe au point vernal le 21 mars et au périhélie le 3 janvier, dates du calendrier grégorien définies à un jour près) ; - l'effet sur l'v! - nt n'est pas abordé ici. Variation des éléments orbitaux

L'effet des perturbations se manifeste sur ces éléments de la manière schématisée en figure 6.4. On néglige les variations à courte période. (a) Éléments métriques Pour ces éléments, il n'y pas de variation séculaire: - invariabilité du demi-grand axe a (stabilité des grands axes, étudiée par Laplace, Poisson, Poincaré, voir ci-dessus) ; - variation à longue période pour e et E; e varie entre 0.005 et 0.050 avec une période de 100 000 ans; E varie entre 22° et 25° avec une période de 40 000 ans. (b) Éléments angulaires Pour ces éléments, il y a variation séculaire pour [2 et w; [2 a un cycle 37 rétrograde de 25 800 ans, soit D = -50".29 par an, appelé précession des équinoxes; w a un cycle direct de 110000 ans, soit LÜ = 11".6 par an. Ces