Satellites : de Kepler au GPS

Satellites: de Kepler au GPS

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Michel Capderou

Satellites: de Kepler au GPS

~ Springer

Michel Capderou LMD

École Polytechnique 91128 Palaiseau

ISBN-13: 978-2-287-99049-6 Springer Paris Berlin Heidelberg New York © Springer-Verlag France, Paris, 2012 Imprimé en France

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LE PHOTOCOPILLAGE

Maquette de couverture: Nadia Ouddane

TUE LE LIVRE

, de nos jours, de pouvoir saluer la parution en de synthese synthèse s'adressant a à un public de niconsacrant plusieurs annees années a à l'ecriture l'écriture de ce ersion qui avait demande demandé le Ie meme même travail, Michel ne voie difficile, que bien peu de chercheurs ont dedéL'extraordinaire qualite qualité de ce document justifie fnnsentis et les lecteurs trouveront ici une richesse unique. Michel Capderou a realise réalisé au travers de étroite de son metier etroite métier de chercheur, au sein d'une "t pt analyser des missions d'observation spatiale de d'enseignant: d'enseignant : on sent clairement qu'une grande ii lée et affinee affinée par de nombreuses annees années face aux "lee

* Kepler au GPS » est a à l'image du livre: sobriete, sobriété, en se plaçant pla<;ant sous deux parrainages aussi fortedans le Ie temps. Michel Capderou a cons consacré acre dans aà l'histoire d'une science pluri centenaire. d'abord ete été celle de la revolution révolution des planetes planètes du ~cles qui ont suivi la Renaissance. Hors du monde ,de ide de notre histoire scientifique est sou souvent vent memétrès affadie, loin de l'audace et de la creativite tres créativité proposer une vision completement complètement differente différente de le Ie régissent. regissent. La mecanique mécanique des corps celestes célestes est ,cienne, icienne, mais pour etre être devenue classique, elle est

VI

Préface

souvent peu enseignée. La mécanique de Lagrange, par exemple, est absente de beaucoup de cursus, en classes préparatoires, dans les grandes écoles ou en université. Sur ce thème les étudiants trouveront ici un exposé unique par sa cohérence, classique et familier dans sa présentation initiale, abordant très vite des notions beaucoup plus complexes, sans jamais se départir de cette clarté et de cette maîtrise qui font la marque du livre.

* Mais les satellites auxquels Michel Capderou consacre l'essentiel de son ouvrage sont avant tout ceux que l'homme envoie dans l'espace, plateformes de mesures qui ont en quelques décennies révolutionné l'observation de notre planète. Le GPS est effectivement emblématique de cette explosion scientifique et technique, et à deux titres : parce que c'est une application directement accessible à des millions de particuliers, et parce que ce miracle d'information repose sur des méthodes qui sont très largement ignorées non seulement du grand public mais aussi de beaucoup de scientifiques. La trajectographie des satellites, le contrôle de leur altitude, la détermination de la fauchée des instruments embarqués, déterminent la qualité des mesures et sont essentiels pour la conception des missions spatiales, comme pour l'analyse de leurs résultats. Si l'histoire de ces satellites artificiels est très récente, elle n'est pas souvent écrite et Michel Capderou a choisi de la mêler de manière étroite à son exposé plus scientifique. L'ensemble est très richement illustré de diagrammes conçus par Michel Capderou lui-même (et dont certains sont disponibles grâce à un logiciel accessible sur internet).

* Le soin apporté à cet ouvrage, la précision de chaque élément, son imbrication avec une science qui continue de se développer, l'originalité d'une synthèse que Michel Capderou a développée au fil d'une longue démarche, en font un exemple rare, qui devrait donner un même plaisir aux étudiants comme aux chercheurs confirmés.

Hervé Le Treut

Membre de ['Institut de France, Académie des sciences.

matières v XVII 1 1 1

propriétés de l ' ellipse de la définition propriétés . . . et aplatissement . caractéristiques l'arc d'ellipse frilipse rHnrbure de l'ellipse

2

3 7 13 16 16 17 19 23

définitions de la latitude . . . . cartésiennes. Grande normale rHnrbure . . . . . . . . . . .

23 23 28 29 29

degré en longitude d'"xc de méridien . . . . . . à l'ellipsoïde l'altitude géodésique et du nadir à l'altitude géodésique . . . . . . de l'altitude géodésique et du nadir Li nnières . fi"ançaise ilynamique

30 32 34 34

35 35 41 41 42

47

VIn

3

4

Table des matières

Géopotentiel 3.1 Notions préliminaires . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Référentiels d'étude . . . . . . . . . 3.1.2 Rappels sur le travail et le potentiel 3.2 Champ et potentiel de gravitation 3.2.1 Gravitation . . . . . . 3.2.2 Théorème de Gauss . 3.2.3 Gravité et pesanteur . 3.3 Calcul du géopotentiel . . . . 3.3.1 Détermination du potentiel élémentaire 3.3.2 Obtention du potentiel par intégration. 3.3.3 Harmoniques sphériques. . . . . . . . . 3.3.4 Développement du potentiel au degré 2 3.3.5 Développement du potentiel à des degrés supérieurs 3.4 Champ et potentiel de pesanteur pour l'ellipsoïde. 3.4.1 Calcul du champ et du potentiel 3.4.2 Champ de pesanteur à la surface 3.4.3 Formule de Clairaut . . 3.4.4 Formule de Somigliana 3.5 Géoïde . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Anomalies de gravité 3.5.2 Satellites et géodésie. 3.5.3 Évolution des modèles de potentiel terrestre 3.5.4 Évaluation de la constante d'attraction géocentrique 3.6 Annexe: systèmes de référence terrestre 3.6.1 Référence céleste . . . . 3.6.2 Référence terrestre .. . 3.7 Annexe: fonctions de Legendre

49 49 49 50 52 52 53 55 57 57

Mouvement képlérien 4.1 Accélération centrale . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Accélération dans le cas général 4.1.2 Propriétés de l'accélération centrale 4.1.3 Mouvement à accélération centrale 4.2 Accélération newtonienne . . . . . . . . 4.2.1 Équation de la trajectoire . . . . . 4.2.2 Discussion du type de trajectoire. 4.3 Mouvement képlérien: trajectoire et période 4.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Trajectoires du mouvement périodique. 4.3.3 Période - Anomalie moyenne IvI . . . . 4.3.4 Loi horaire . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Temps en fonction de la position - les trois anomalies 4.4.1 Expression t = t( e) - Anomalie vraie v 4.4.2 Expression t = t(r) - Anomalie excentrique E 4.4.3 Relation entre les anomalies . . . . . . . . . . 4.5 Position en fonction du temps - le problème de Kepler 4.5.1 Méthodes de résolution du problème de Kepler 4.5.2 Méthode numérique de résolution par itération

87 87 87

58 60 61

64 65 65 67 69 71 72 72 73 76 79

82 82 82

84

88 89

90 90 91

93 93 94 97 98 99 99 100 102 105 105

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Table des matières

IX

4.5.3 Autres méthodes de résolution . . . . . . . . Représentation des anomalies . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Représentation des anomalies v(IvI) et E(IvI) 4.6.2 Équation du centre . . . . . . . 4.6.3 Récapitulation sur les anomalies Intégrales premières du mouvement 4.7.1 Lois de conservation . . . . . . . 4.7.2 Remarque sur l'énergie Note historique: astronomie et attraction universelle 4.8.1 Les lois de Kepler . . . . . . . . . 4.8.2 Newton et l'attraction universelle

111 112 112 112 117 125 125 127 130 130 133

5

Satellite en orbite képlérienne 5.1 Le Problème à deux corps .. 5.2 Paramètres orbitaux . . . . . . . . . . . 5.2.1 Repérer le satellite dans l'espace 5.2.2 Éléments képlériens . . . . . 5.2.3 Paramètres orbitaux adaptés .. 5.3 Période képlérienne. . . . . . . . . . . . 5.4 Annexe: rotation du solide - angles d'Euler et de Cardan

137 137 139 139 142 143 144 147

6

Satellite en orbite réelle (perturbée) 6.1 Forces perturbatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 De l'orbite idéale à l'orbite réelle . . . . . . . 6.1.2 Ordre de grandeur des forces perturbatrices. 6.1.3 Potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 Perturbations et altitude du satellite . . . . . 6.2 Méthode des perturbations: présentation . . . . . . 6.2.1 Propagation d'orbite: méthodes numérique et analytique 6.2.2 Principe de la méthode . . . . . . . . . 6.2.3 Mise en place des crochets de Lagrange 6.2.4 Propriétés des crochets de Lagrange 6.3 Méthode des perturbations: résolution. Calcul des coordonnées . . . . . 6.3.1 6.3.2 Calcul des crochets de Lagrange 6.3.3 Équations de Lagrange . . . . . 6.3.4 Éléments orbitaux métriques et angulaires 6.3.5 Cas des paramètres mal définis . . . . . . . 6.3.6 Éléments de Delaunay . . . . . . . . . . . . 6.4 Résultat du traitement des perturbations (terme en h) 6.4.1 Expression du potentiel perturbateur (terme en h) 6.4.2 Variation des éléments orbitaux . . . . . . . . 6.5 Résultat du traitement des perturbations (cas général) Cas du potentiel terrestre (terme en J n ) . . . . 6.5.1 6.5.2 Cas du potentiel terrestre complet . . . . . . . 6.5.3 Autres forces perturbatrices dérivant d'un potentiel 6.5.4 Forces perturbatrices ne dérivant pas d'un potentiel 6.5.5 Différentes définitions de la période . 6.6 Annexe: étude du frottement atmosphérique . . . . . . . .

151 151 151 152 152 153 159 159 163 164 166 167 167 170 171 173 175 176 177 177 180 183 183 189 190 190 191 193

4.6

4.7

4.8

x

Table des matières

6.7

6.8

6.9

6.10 6.11 6.12

6.13

7

6.6.1 Présentation de l'atmosphère terrestre 6.6.2 Densité atmosphérique . . . . . . . . 6.6.3 Modèles atmosphériques. . . . . . . . 6.6.4 Calcul du frottement atmosphérique. Notion de LlV 6.6.5 Influence du frottement sur l'orbite . . . . . . . . . 6.6.6 Calculs simplifiés pour une orbite excentrique. Aérofreinage Note historique: premières déterminations des harmoniques J n 6.7.1 Première détermination de J 2 par satellite 6.7.2 Première détermination de h par satellite 6.7.3 Premières déterminations des J n , jusqu'à J I4 Note historique: succès du calcul des perturbations 6.8.1 Le retard du retour de la comète de Halley 6.8.2 La découverte de Neptune par Le Verrier . . 6.8.3 L'avance au périhélie de Mercure. . . . . . . Note astronomique: perturbations et Système solaire 6.9.1 La question de la stabilité du Système solaire 6.9.2 Précession des équinoxes 6.9.3 La Terre vue comme un satellite Annexe: constantes astronomiques .. 6.10.1 Les systèmes d'unités . . . . . 6.10.2 Les constantes astronomiques. Annexe: sphère d'influence . . . . . . 6.11.1 Attractions terrestre et solaire 6.11.2 Détermination de la sphère d'influence. Annexe: points de Lagrange . . . . . . . . . . 6.12.1 Problème des trois corps restreint .. . 6.12.2 Étude simplifiée pour les points LI et L 2 6.12.3 Points de Lagrange et sphère d'influence 6.12.4 Les cinq points de Lagrange . . . . . . . 6.12.5 Points de Lagrange en astronomie . . . . 6.12.6 Satellites artificiels aux points de Lagrange Annexe: trigonométrie sphérique . . . . . . . . . . 6.13.1 Établissement des relations de Gauss 6.13.2 Les quinze relations pour le triangle sphérique

Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil 7.1 Mouvement de l'orbite . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Variations séculaires - cas simplifié 7.1.2 Variations séculaires - jusqu'au terme en J 4 7.1.3 Cas de « blocage» des mouvements de précession 7.1.4 Calcul effectif de la période et de l'altitude 7.2 Mouvements de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Mouvement de la Terre autour du Soleil . . . . . 7.2.2 Mouvement de la Terre autour de l'axe des pôles 7.2.3 Mouvement des pôles . . . 7.2.4 Mouvement orbite / Terre 7.3 Mouvement apparent du Soleil .. 7.3.1 Sphère céleste et coordonnées. 7.3.2 Angle horaire . . . . . . . . . .

193 194 195 195 198 198 201 201 202 202 203 203 204 205 208 208 210 211 214 214 215 217 217

219 220 220 221 223 223 224 225 228 228 228

233 233 233 238 241 243 246 246 247 249 250 251 251 253

Table des matières

7.4

7.5

8

7.3.3 Équation du temps 7.3.4 Temps solaire . . . . 7.3.5 Déclinaison . . . . . 7.3.6 Jour julien, date julienne Géosynchronisme . . . . . 7.4.1 Définition . . . . . . . . . 7.4.2 Calcul de l'orbite . . . . . 7.4.3 Satellites géostationnaires 7.4.4 Dérive de l'orbite géostationnaire. 7.4.5 Maintien à poste . . . . . . . . . . 7.4.6 Satellites géosynchrones en orbite très excentrée Héliosynchronisme . . . . . . . . . . . 7.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . 7.5.2 Constante d'héliosynchronisme . 7.5.3 Calcul de l'orbite - cas circulaire 7.5.4 Calcul de l'orbite - cas elliptique 7.5.5 Satellites héliosynchrones 7.5.6 Maintien sur orbite

Trace du satellite

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

Position du satellite sur son orbite 8.1.1 Étude du mouvement avec les angles d'Euler .. 8.1.2 Position du satellite en coordonnées cartésiennes 8.1.3 Position du satellite en coordonnées sphériques Trace du satellite . . . . . . . . . . 8.2.1 Équation de la trace . . . . . 8.2.2 Latitude maximale atteinte . Trace du satellite en orbite circulaire 8.3.1 Équation de la trace du satellite 8.3.2 Décalage équatorial . . . . . . . 8.3.3 Inclinaison apparente . . . . . . 8.3.4 Angle de la trace avec un méridien . 8.3.5 Vitesse du satellite et de sa trace. . 8.3.6 Équation de la trace avec élimination du temps. Annexe: Éléments orbitaux NORAD 8.4.1 Présentation de l'organisme NORAD 8.4.2 Les « Deux Lignes NORAD» (TLE) . 8.4.3 Décodage des lignes NORAD . 8.4.4 Conditions d'utilisation . . . . Annexe: Projections cartographiques 8.5.1 Définitions et propriétés . . . . 8.5.2 Classement des projections (type, aspect) 8.5.3 Description de trois projections . . . . . .

XI

253 257 259 261 262 262 263 264 265 268 274 275 275 276 277 280 282 284 285 285 285 288 288 289 289 290 291 291 292 295 298 299 303 305 305 305 306 310 311 311 312 313

XII

9

Table des matières

Orbite et mission 9.1 Classement par type d'orbite 9.2 Satellites classés par mission 9.2.1 Les premiers satellites 9.2.2 Satellites pour la géodésie. 9.2.3 Satellites pour l'environnement physique terrestre 9.2.4 Satellites pour la météorologie et l'étude du climat 9.2.5 Satellites pour la télédétection et la surveillance 9.2.6 Satellites pour l'océanographie . . 9.2.7 Satellites pour la navigation 9.2.8 Satellites pour les communications 9.2.9 Satellites pour l'astronomie, l'astrophysique. 9.2.10 Satellites pour la physique fondamentale 9.2.11 Satellites technologiques. . . . . . . . . . . . 9.2.12 Satellites à mission spécifiquement militaire. 9.2.13 Satellites avec présence humaine . . . . . . . 9.2.14 Satellites non scientifiques. . . . . . . . . . . 9.3 Annexe: le retard dans la programmation des missions spatiales

321 321 322 324 326 328 336 356 359 361 361 381 390 391 392 395 396 397

10 Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse 10.1 Cycle par rapport au Soleil 10.1.1 Heure de passage . . . . . . . . . . . . . 10.1.2 Calcul du cycle Cs . . . . . . . . . . . . 10.1.3 Cycle Cs et caractéristiques de l'orbite 10.1.4 Cycle et heure de passage au noeud ascendant 10.2 Passage pour un satellite héliosynchrone . . . . . . 10.2.1 Passage à une latitude donnée . . . . . . . 10.2.2 Choix de l'heure locale au noeud ascendant 10.2.3 Calcul de la dérive de l'heure locale . 10.3 Angle du plan orbital avec le Soleil (angle (3) 10.3.1 Position de la normale au plan orbital 10.3.2 Angle (3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Étude de l'éclipse pour les orbites circulaires 10.4.1 Durée de l'éclipse . . . . . . . . . . . 10.4.2 Orbite LEO héliosynchrone . . . . . . 10.4.3 Orbite LEO héliosynchrone crépusculaire 10.4.4 Orbite MEO . . . . . . . . . 10.4.5 Orbite CEO . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Conditions générales d'éclipse solaire . . . . . . . 10.5.1 Établissement général des conditions d'éclipse 10.5.2 Critère d'éclipse . . . . . . . . . . . . . . .

399 399 399 400 402 406 407 407 411 417 420 420 421 424 424 427 427 433 433 435 435 437

Il Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude Il.1 Contrainte de phasage . . . . . . . . .

439 439 439 440 442 443 443

11.1.1 Définition du phasage . . . . . 11.1.2 Calcul du cycle de phasage CT 11.1.3 Triplet de phasage . . . . . . . 11.2 Phasage pour les satellites LEO héliosynchrones 11.2.1 Méthode pour l'obtention du phasage ..

Table des matières

11.2.2 Module de phasage 11.2.3 Diagramme de phasage . . . . . . . . . 11.2.4 Phasage défini par le triplet de phasage 11.2.5 Phasage sur un jour . . . . . . . . . . . 11.3 Phasage pour les satellites LEO non héliosynchrones 11.3.1 Obtention du triplet de phasage . 11.3.2 Phasage, altitude et inclinaison .. 11.4 Phasage pour les satellites MEO et HEO 11.5 Grille de phasage . . . . . . . . . . . . . . 11.5.1 Construction de la grille de phasage 11.5.2 Intervalle de grille .. 11.5.3 Sous-cycle de phasage . . . 11.5.4 Grilles de référence 11.5.5 Points de grille de phasage 11.6 Maintien sur orbite du satellite phasé 11. 7 Indice de phasage. . . . . . . . . . . . 11. 7.1 Définition de l'indice de phasage 11.7.2 Phasage parfait ou imparfait .. 11.7.3 Exemples d'utilisation de l'indice de phasage 11.7.4 Indice de phasage et caractéristiques d'orbite 11.8 Variation de l'altitude . . . . . . . . . . . 11.8.1 Altitude et paramètres orbitaux . . . . . . . 11.8.2 Altitude au cours d'une révolution . . . . . . 11.8.3 Variation de l'altitude sur une longue période. 11.9 Orbite gelée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.9.1 Définition de l'orbite gelée . . . . . . . . . 11.9.2 Détermination des paramètres gelés . . . . 11.9.3 Altitude du satellite pour une orbite gelée. 11.10 Altitude et frottement atmosphérique . . . . . . . 12 Vue depuis le satellite 12.1 Fauchée des instruments. 12.1.1 Repère orbital local 12.1.2 Modes de balayage. 12.2 Géométrie de vue pour la fauchée. 12.2.1 Définition des angles . . . 12.2.2 Relations entre les angles . 12.2.3 Fauchée au sol . . . . . . . 12.2.4 Latitudes vues et recouvrement en latitude 12.3 Déformation des pixels . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Calcul des indices de déformation .. . 12.3.2 Déformation des pixels - satellites LEO 12.3.3 Déformation des pixels - satellites GEO 12.4 Trace des fauchées pour un satellite LEO 12.4.1 Fauchée orthogonale .. 12.4.2 Fauchée à lacet variable 12.4.3 Fauchée conique . . . . 12.4.4 Superposition de trace . 12.5 Vue depuis un satellite GEO .

XIII

443 444 445 455 455 455 461 462 462 462 463 467 470 472 478 482 482 483 484 486 488 488 490 494 495 495 495 498 500 503 503 503 504 506 506 508 509 510 512 512 513

517 517 517 524 526 531 531

XIV

Table des matières

12.5.1 Conditions géométriques simplifiées . . . . . . . . . . . .. 12.5.2 Correspondance entre pixels et coordonnées géographiques

532 538

13 Échantillonnage spatio-temporel et angulaire 13.1 Direction cible-satellite . . . . . . . . . . . . . 13.1.1 Étude de la direction de visée du satellite 13.1.2 Cas des satellites géostationnaires . 13.1.3 Vue locale . . . . . . . . . . . . . . 13.1.4 Durée de visibilité - satellites LEO . 13.1.5 Durée de visibilité - satellites HEO 13.2 Direction cible-Soleil . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Étude de la direction de visée du Soleil 13.2.2 Lever et coucher du Soleil, midi TSV . 13.3 Géométrie Soleil-cible-satellite . . . . . . . . . 13.3.1 Angles de la géométrie Soleil-cible-satellite 13.3.2 Réflexion spéculaire (Sun glint) 13.4 Étude illustrée de l'échantillonnage . . . . . . . 13.4.1 Tableaux mensuels d'échantillonnage .. 13.4.2 Étude du nombre quotidien de passages

547 548 549 551 553 555 560 563 563 565 567 567 568

14 Satellites pour la navigation (GPS) 14.1 Principe général du GPS ......... . 14.1.1 Principe du positionnement dans le cas idéal 14.1.2 Principe du positionnement dans le cas réel 14.1.3 Détermination de la vitesse de l'utilisateur . 14.1.4 Perturbations du signal et de la mesure . . . 14.1.5 Considérations géométriques et précision des mesures 14.1.6 Position sur la Terre: coordonnées géographiques 14.1.7 Principe du DGPS (GPS différentiel) 14.2 Système Navstar/GPS . . . . . . 14.2.1 Mise en place du système 14.2.2 Segment spatial .. 14.2.3 Segment de contrôle 14.2.4 Segment utilisateur 14.2.5 Vue locale 14.2.6 Le système Navstar/GPS et les autres 14.3 Système Glonass . . . . . . . . . . . . . 14.3.1 Les trois segments . . . . . . . . 14.3.2 Vue locale - tableau de visibilité 14.4 Système Galileo. . . . . . . . . 14.4.1 Une affaire européenne 14.4.2 Les trois segments 14.5 Système Compass 14.5.1 Les trois segments 14.5.2 Système expérimental Beidou-l . 14.6 Systèmes d'augmentation 14.7 Les systèmes régionaux . 14.7.1 Le système IRNSS 14.7.2 Le système QZSS

589 589 589 590 593 595 597 599 600 601 602 603 607 610 610 612 613 613 614 618 618 618 619 619 620 623 625 627 627

571 571 583

Table des matières

14.8 Utilisation du GPS hors localisation . . . . . . . . . . . . . 14.8.1 Radio-occultation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.8.2 Étude de la troposphère grâce aux stations de base 14.8.3 Autres applications . . . . . 14.9 Note historique: le premier système 14.9.1 Le système Transit. . . . . . 14.9.2 Le système soviétique . . . . 14.10 Annexe : G PS et plaques tectoniques . 15 Satellite de Mars 15.1 Présentation de la planète Mars. 15.1.1 Mars et l'exploration spatiale 15.1.2 Géographie de Mars . . . . . 15.2 Grandeurs géodésiques et astronomiques. 15.2.1 Données géodésiques. . . . . . . . 15.2.2 Données astronomiques . . . . . . 15.2.3 Longitude aréocentrique et jour martien. 15.2.4 Déclinaison . . . . . 15.2.5 Équation du temps 15.3 Satellite en orbite réelle . . 15.3.1 Satellite en orbite képlérienne. 15.3.2 Accélérations perturbatrices 15.3.3 Variations séculaires des éléments orbitaux 15.4 Orbites remarquables .. 15.4.1 Aréosynchronisme 15.4.2 Héliosynchronisme 15.5 Trace du satellite . . . . . 15.5.1 Représentation de la trace 15.5.2 Inclinaison apparente . . . 15.5.3 Vitesse du satellite et de sa trace en orbite circulaire. 15.6 Orbite par rapport au Soleil: passage, heure, éclipse . . . 15.6.1 Heure de passage pour un satellite héliosynchrone 15.6.2 Étude de l'éclipse . . . . . . . . . . . 15.7 Orbite par rapport à Mars: phasage, altitude 15.7.1 Phasage . . . . 15.7.2 Altitude . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.8 Vue depuis le satellite . . . . . . . . . . . . . 15.8.1 Géométrie de vue et déformation des pixels 15.8.2 Trace des fauchées pour un satellite LMO 15.8.3 Prise de vue et inclinaison apparente 15.8.4 Vue pour un satellite SMO . . . . . . 15.9 Échantillonnage spatio-temporel et angulaire 15.9.1 Étude illustrée de l'échantillonnage. 15.9.2 Réflexion spéculaire (Sun glint) 15.10 Satellites naturels 15.10.1 Phobos et Déimos . . . 15.10.2 Exploration spatiale .. 15.10.3 Vue et échantillonnage. 15.11 Note historique: Kepler et la planète Mars

XV

629 629 630 630 630 630 633 633 635 635 635 641 645 645 645 648 653 656 657 657 657 660 662 662 665 668 668 675 675 676 677 678 681 681 688 691 692 692 694 695 695 699 700 701 701 703 703 704

XVI

Table des matières

15.11.1 Calcul de la période de révolution . . . . . . . 15.11.2 Autres calculs à propos de Mars et de la Terre

704 707

16 Satellite d'autres corps célestes 16.1 Planètes du Système solaire . . . . . . . . 16.1.1 Présentation des planètes . . . . . 16.1.2 Exploration spatiale des planètes. 16.2 Grandeurs géodésiques et astronomiques (planètes) 16.2.1 Données géodésiques et astronomiques. 16.2.2 Satellite en orbite képlérienne. 16.2.3 Cartes géographiques . . . . 16.3 Satellite de planète en orbite réelle . 16.3.1 Accélérations perturbatrices 16.3.2 Classification des satellites 16.4 Trace du satellite d'une planète 16.4.1 Satellite de Mercure . . . . 16.4.2 Satellite de Vénus . . . . . 16.4.3 Satellite de l'astéroïde Eros 16.4.4 Satellite des astéroïdes Vesta et Cérès 16.4.5 Satellite de planète géante 16.5 Satellites naturels du Système solaire. . . . . 16.5.1 Présentation des satellites naturels. . 16.5.2 Exploration spatiale des satellites naturels 16.6 Grandeurs géodésiques et astronomiques (satellites naturels) 16.6.1 Données géodésiques et astronomiques. 16.6.2 Satellite en orbite képlérienne. . . . 16.6.3 Cartes géographiques . . . . . . . . 16.7 Satellite de satellite naturel en orbite réelle 16.7.1 Accélérations perturbatrices 16.7.2 Classification des satellites . . . 16.8 Trace du satellite d'un satellite naturel. 16.8.1 Satellite de la Lune . . . . . . . 16.8.2 Satellite d'Europe et de Ganymède. 16.8.3 Satellite de Titan . . . . . . . . . . 16.8.4 Satellite de Triton . . . . . . . . . . 16.9 Note historique: Kepler et le Système solaire

709 710 710 713 721 721 725 725 726 726 726 729 730 732 736 738 741 745 745 746 747 747 748 748 748 748 749 754 754 764 765 769 770

17 Planches couleur

773

Bibliographie

807

Index

813

os sciences et techniques actuelles, l'exploration le plus fortement ce contraste fondamental : t'lue repose sur des principes établis depuis longpratiquement immuables, éternels, pourraitdomaine spatial connaît une évolution technolo',xponentielle, qui brasse des enjeux commerciaux,

base immuable», nous savons que la notion de m des équations de Lagrange n'est pas chose fade l'enseignement aidant, que nous avons ]e manière claire et intéressante. Pour illustrer les fUS donnons de nombreux exemples.

* six grandes parties. dnpitres 1 à 3) est consacrée à la géodésie : nous s propriétés géométriques pour arriver au champ géoïde. ,hapitres 4 à 8) précise l'étude du mouvement du au cas réel (perturbé). l,pitres 9 à Il) nous plonge dans le monde opérasont leurs missions et comment on imagine les ;;;sions. Nous y développons des points originaux, 'iHiin3ynchronisme kh et, pour le phasage, la constante ion est abondante, toujours en relation avec des actuels ou futurs). rhapitres 12 et 13) s'intéresse, d'un point de vue à bord du satellite. Après avoir envisagé les rver la Terre depuis un satellite, nous étudions conditions (visée, fréquence de visite) un point ;rftellite.

XVIII

Avant-propos

Nous consacrons ensuite un chapitre entier (chapitre 14) au GPS : cette technique de navigation, entièrement basée sur les satellites, fait appel à presque toutes les branches de la physique moderne. Dans la dernière partie (chapitre 15 et 16), nous quittons la Terre pour appliquer toutes ces théories à Mars, puis aux autres planètes du Système solaire, et même aux satellites de planète autour desquels gravitent des satellites artificiels.

* Ixion, logiciel d'orbitographie et d'échantillonnage, sert d'ossature à tout ce livre. Nous l'avons développé dans un premier temps comme un outil d'aide à la compréhension de toutes les questions (paramètres orbitaux, géométrie satellite-pixel-Soleil, etc.) que nous nous posions, au LMD, dans le traitement des données spatiales. Dans un second temps, la précision d'Ixion ayant été vérifiée par sa confrontation avec les données réelles, nous l'avons étendu à tous les types d'orbite, puis nous lui avons ajouté un volet pédagogique. Le logiciel Ixion sert depuis à des études préliminaires, dites de stratégie orbitale, qui permettent d'adapter au mieux les paramètres orbitaux aux phénomènes physiques qu'on veut observer. Parmi les orbites étudiées dans ce cadre, nous citerons celle du satellite franco-indien Megha-Tropiques et celle du projet de mission martienne MEMO. Ixion/Web représente la partie d'Ixion maintenant accessible en ligne par Internet. Atlas, le logiciel de cartographie mathématique que nous avons créé, a été couplé à Ixion pour les représentations graphiques des orbites et des traces. Les cartes présentées, nous l'espérons, seront agréables et utiles au lecteur et le changeront de l'habituelle platitude et tristesse cartographique des projections utilisées dans ce domaine.

* Nous avons choisi de nombreux exemples dans les expériences qui nous sont familières (satellite Megha-Tropiques, instruments ScaRaB et CERES, etc.). Elles peuvent paraître un peu sur-représentées dans cet ouvrage - autant parler de sujets dont on connaît les détails!

* Parce qu'il est centré sur la mécanique spatiale et la géométrie d'observation (et ce qui en découle, comme l'échantillonnage spatio-temporel), ce livre n'aborde aucun aspect du satellite en tant qu'objet technologique: pas un mot sur les lanceurs, pas un mot sur les instruments à bord du satellite (sauf pour l'aspect géométrique de la fauchée, qui joue sur la mission).

Avant-propos

XIX

En se focalisant sur le thème des orbites, nous avons eu le souci de démontrer, ou d'expliquer, toutes les formules utilisées. Cela peut paraître un peu austère, et c'est pourquoi nous avons égayé le propos avec beaucoup d'exemples et d'illustrations. Les exemples font découvrir des formes d'orbite inattendues ... Certaines photographies montrent quel degré de précision est aujourd'hui atteint par les images prises par les instruments embarqués à bord des satellites. Pour rendre ce propos vivant, nous avons aussi insisté sur l'aspect historique, en présentant quelques pages des livres fondateurs de la mécanique céleste et en reprenant quelques-uns de leurs résultats qui nous laissent admiratifs. De Kepler au GPS ... Nous vous invitons à un voyage dans l'espace ... et dans le temps.

Michel Capderou Palaiseau, Paris, juillet 2011.

Ce travail a été mené dans le cadre du Laboratoire de météorologie dynamique (LMD) dont je remercie le directeur, Vincent Cassé. Le LMD est une unité mixte de recherche du Centre national de la recherche scientifique (CNRS), de l'École Polytechnique, de l'École normale supérieure (ENS) et de l'université Pierre et Marie Curie (UPMC, Paris). Il fait partie de l'Institut Pierre-Simon Laplace (IPSL), fédération de six laboratoires publics de recherche en sciences de l'environnement en Ile-de-France. Durant l'élaboration de ce livre, les remarques et les conseils avisés de Jacques Lefrère, François Forget et Florent Delefiie m'ont été très utiles et je les remercie chaleureusement. J'ai également une pensée très reconnaissante pour Rémy Roca, Olivier Chomette, Patrick Raberanto et toute l'équipe Megha-Tropiques (CEET / LMD), pour Karim Ramage, webmaster d'Ixion/Web, pour mes collègues de l'université et du CNRS, François Barlier, Christophe Boitel, Pierre Briole, Xavier Collilieux, Michel Desbois, Albert Hertzog, Robert Kandel, Richard Kerner, Julien Lenseigne, Richard Marchand, Jerôme Sirven, Aymeric Spiga. Le séjour que m'a offert la Fondation des Treilles restera, par la qualité de son accueil, un souvenir inoubliable lié à la rédaction de ce livre. J'ai été sensible à la confiance que m'ont témoignée les Éditions Springer. Merci à Nathalie Huilleret et Charles Ruelle.

XX

Avant-propos

N otes de présentation Figures

Lorsqu'une page comporte deux figures sous le même numéro, il est sousentendu que celle du haut correspond à (a), celle du bas à (b). Séparateur décimal

Nous avons suivi les règles typographiques classiques en français (en usage à l'Imprimerie nationale). Cependant, une exception a été faite pour le séparateur décimal: nous avons remplacé la virgule par le point. Cela permet d'avoir une notation homogène avec les sorties informatiques, qu'elles soient sous forme de graphe ou de texte.

Avertissement éditorial Nous avons publié, en 2003, Satellites: orbites et missions, chez le même éditeur. Ce livre est épuisé. Plutôt que de sortir une édition revue et corrigée nous avons opté pour un nouveau livre. Certes, les lois de Kepler sont démontrées à l'identique et le classement des missions n'a pas beaucoup changé ... Mais la présentation de nombreuses parties est souvent bien différente: des années d'enseignement supplémentaires amènent à des recentrages pédagogiques, à des évolutions de points de vue. Les questions, les remarques des étudiants et des collègues laissent des traces dans la nouvelle rédaction. En plus de tout cela, par rapport au livre de 2003, nous avons ajouté une partie en trois chapitres sur la géodésie et un chapitre entier sur le GPS. Sans compter la contribution de tous les satellites lancés entre 2003 et 2011. Nous avons aussi augmenté l'ouvrage d'une touche historique, en insistant particulièrement sur l'apport fondamental de Kepler à la naissance de la mécanique céleste.

Avant-propos

XXI

!ç(wv

IXION, figure de la mythologie grecque, n'est pas, à proprement parler, un personnage très recommandable. Roi des Lapithes, il fut particulièrement odieux le jour de son mariage: il fit tomber son futur beau-père, roi lui aussi, dans un piège enflammé pour éviter de payer la dot. Cet acte, crime suprême car bafouant les lois de l'hospitalité, lui valut la réprobation de tous les dieux, qui refusèrent de le purifier. Tous ... sauf Zeus: en matière de parjure et autres délits, c'était un connaisseur. Il accepta donc de purifier Ixion et éprouva même de la sympathie pour ce roi décidé. Il le convia à l'Olympe, lui offrit le gîte et le couvert. Et, signe exceptionnel d'amitié, lui fit boire l'ambroisie, qui rend immortel. Ixion, admirateur des frasques de Zeus, et rendu à l'aise par cette familiarité olympienne, laissa un jour trainer avec insistance son regard sur les cuisses d'Héra. Là, c'en était trop! Le roi des dieux se mit à hurler : «il faut respecter son bienfaiteur». Il attacha Ixion à une roue enflammée et le projeta pour qu'il tourne à jamais dans le ciel. Comme il était devenu immortel... le malheureux tourne encore. On peut donc considérer Ixion comme le premier de tous les satellites artificiels. Nous avons choisi son nom pour notre logiciel.

XXII

Avant-propos

De Kepler au GPS.

Chapitre 1

Géométrie de l'ellipse Les ellipses interviennent dans ce propos à deux titres différents : - l'orbite d'un satellite autour de la Terre (ou l'orbite d'une planète autour du Soleil) est une ellipse; - la section plane de la planète Terre selon l'axe des pôles est une ellipse. Certes, dans les deux cas, l'ellipse ne représente la réalité physique qu'en première approximation, mais une étude préliminaire de cette figure est utile avant d'entrer dans le vif du sujet. Dans le premier cas, l'ellipse sera vue comme une figure géométrique repérée par rapport à son foyer et définie à l'aide de l'excentricité e. Dans le second, elle apparaîtra plutôt comme un cercle aplati, repéré par son centre et caractérisée par l'aplatissement f. L'ellipse peut être définie d'une multitude de manières, comme nous allons l'évoquer. C'est une figure géométrique très riche.

1.1 1.1.1

Définition et propriétés Les coniques

L'intérêt pour cette courbe date de l'Antiquité grecque. Ménechme 1 et Apollonius de Perge 2 ont défini l'ellipse comme faisant partie de la famille 1 Ménechme (ou Menaechmus) MÉva~X[loç (-375 - -325), mathématicien grec, membre de l'Académie de Platon, est crédité par Ératosthène de la découverte des sections planes des cônes. Ces sections coniques sont envisagées dans le cadre du « problème de Délos », la duplication du cube (faire passer un cube de volume a 3 à un cube de volume 2a 3 ). Ménechme cherche deux nombres x et y tels que a/x = x/y = y/(2a), ce qui conduit à x 3 = 2a 3 , en résolvant des intersections faisant intervenir parabole (y = x 2 /a) et hyperbole (y = 2a 2 /x). 2 Apollonius (ou Apollonios) de Pergée (ou de Perga, cité de Pamphylie) 'AJ1:oÀÀwv~oç a IIEpya[oç (-262 - -180), géomètre et astronome grec, élève d'Euclide, est l'auteur de Sections coniques, en huit volumes (une partie transmise directement en grec, une autre par la traduction en arabe). Il étudie l'intersection d'un cône par un plan quelconque,

M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

2

des coniques 3 • Soit un cône de révolution C, de sommet S. Considérons un plan P ne passant pas par S et nommons P' le plan parallèle à P passant par S. Les trois cas suivants se présentent: - si P' est extérieur au cône, l'intersection de P et de C est une ellipse; - si P' est tangent au cône, l'intersection de P et de C est une parabole; - si P' est intérieur au cône, l'intersection de P et de C est une hyperbole. Les coniques étaient vues dans l'Antiquité comme une curiosité géométrique. Kepler, pour expliquer l'orbite de Mars autour du Soleil, fut le premier à retrouver cette notion d'ellipse définie par les géomètres grecs. Plus tard, en s'appuyant sur la théorie de Newton, les astronomes ont montré que les trajectoires des corps soumis à une force gravitationnelle pouvaient être non seulement des ellipses, mais aussi des paraboles ou des hyperboles. L'ellipse de Kepler se replaçait ainsi à nouveau dans la famille des coniques. Nous allons tout d'abord nous intéresser à la multitude de points de vue sous lesquels on peut appréhender les coniques.

1.1.2

Définition et propriétés de l'ellipse

Dans ce travail, nous nous intéresserons presque exclusivement aux ellipses, parmi les coniques, car les trajectoires périodiques sont elliptiques. L'ellipse possède de très nombreuses propriétés. On peut en choisir une pour définition, les autres s'en déduisent, par des démonstrations plus ou moins simples. Généralement, on prend pour définition la propriété que nous avons notée [1]. Les autres sont considérées comme des conséquences. Définition

[1] L'ellipse est le lieu des points JI.;[ du plan tel que la somme des distances NI F et JI.;[ F', à deux points fixes F et F', appelés foyers, est constanté. Propriétés principales

[2] L'ellipse est la transformée d'un cercle par affinité. [2'] La projection d'un cercle sur un plan est une ellipse. définit les trois types de coniques et leur donne le nom qu'elles ont encore. 3Le mot « conique» vient du grec kônikos, adjectif dérivé de kônos (0 XW\loç, ou), «la pomme de pin», fruit des conifères. 4L'application directe de cette définition donne une méthode de tracé de l'ellipse, dite « méthode du jardinier». On plante deux piquets dans le sol séparés d'une distance d. On y attache une ficelle inélastique de longueur R supérieure à d. Si on se déplace avec un bâton qui s'appuie sur la ficelle toujours tendue, le bâton laisse au sol la trace d'une ellipse dont les foyers sont les piquets. Le grand axe est égal à R et l'excentricité à dl R.

1.1. Définition et propriétés

3

[3] L'ellipse est le lieu des points !vI tel que le rapport !vIF/ d est égal à une constante q, q < 1, F étant un point fixe, le foyer, et d étant la distance de JI.;[ à une droite fixe, appelée directrice. [4] L'ellipse est obtenue par l'intersection d'un cône et d'un plan, dans les conditions vues plus haut. Autres propriétés

Voici quelques autres propriétés que nous ne démontrons pas ici. [5] L'ellipse est le lieu des centres des cercles passant par un point fixe, F, et tangents à un cercle fixe, le cercle directeur, de centre F'. [6] Un rayon passant par un foyer se réfléchit sur l'ellipse et passe par le second foyer 5 . [7] Si les extrémités d'un segment de longueur fixe parcourent deux droites perpendiculaires, un point quelconque du segment décrit une ellipse et l'enveloppe du segment est alors une astroïde

1.1.3

Applications de la définition

Ellipse, figure géométrique

D'après la définition [1], l'ellipse a un centré de symétrie, 0, que nous appellerons centre de l'ellipse. En prenant 0 comme origine du repère orthonormé cartésien (figure 1.1), on note les coordonnées des points suivants :

OF=

1

~

,. OF'=

I-c

,. OA

0

=

1

0a

., OB=

1

0 b

On utilise les appellations classiques :

a=OA

demi-grand axe de l'ellipse

b=OB

demi-petit axe de l'ellipse

c= OF = OF'

b~a

distance focale

Comme c est toujours strictement inférieur à a, on peut poser:

c=ea

avec 0

~

e<1

(1.1)

Le nombre réel e représente l'excentricité de l'ellipse. 5L'appellation de ce point découle de cette propriété (figure 1.1l). Un faisceau de rayons passant par un foyer converge sur l'autre foyer (et peut y allumer le feu). Le mot foyer vient du latin locarius, « du foyer», adjectif dérivé de locus, «foyer». Le mot «feu» vient directement de locus. 6Centre vient du latin centrum, i , «pointe du compas », «centre de cercle », «milieu d'un ensemble ». Le mot est emprunté du grec kentron, ,à xtv,pov, 01), «aiguillon », du verbe XEv,tw, «piquer ». C'est un exemple (assez rare) de mot technique et bucolique, puis scientifique, qui a pris plus tard un sens très général. Le mot latin s'est répandu à toutes les langues latines et à beaucoup de langues non latines.

4

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

Équation de l'ellipse en coordonnées cartésiennes centrées sur 0

On considère le repère cartésien orthonormé (0; x, y), centré sur O. L'axe Ox est la droite FI F, l'axe focal. Soit un point l'vI(x, y) appartenant à l'ellipse. On pose:

r.l = FIl'vI

T=FM La définition

[1], appliquée pour M en A donne: T + TI = 2a

(1.2)

et lorsque l'vI est en B, on obtient :

b2 = a 2 _ c2 On exprime

T

a 2(1 _ e 2)

=

(1.3)

et r.l en coordonnées cartésiennes, par leurs carrés:

+ y2

=

(x _ e a)2

+ c)2 + y2

=

(x

T2 = (x - C)2 T/2 = (x et par la différence : T /2 -

T2

+ y2

(1.4)

+ e a)2 + y2

(1.5)

= 4cx = 4eax

(1.6)

Avec (1.2), on obtient:

TI - T =

r.l 2 TI

_ T2

+T

= 2 ex

et finalement les expressions des longueurs T et r.l, dont on connaît la somme et la différence : (1.7) T=a-ex

TI = a

+e x

(1.8)

On remarque que ces expressions sont très simples et ne font pas apparaître de radicaux (racine carrée) dans les relations entre les distances T ou TI et les coordonnées cartésiennes. On écrit alors, avec (1.4) et (1.7) :

T2 = (x-ea)2+y2

=

(a-ex)2

x 2 + e 2a 2 + y2 = a 2 _ e2x2

x 2(1 _ e 2) + y2

=

a 2 _ e2a2

soit:

(1.9) ou si on préfère :

x2 a2

+

y2 b2 = 1

ce qui met bien en évidence le grand et petit demi-axe.

(1.10)

1.1. Définition et propriétés

5

y

y

B

o

e

=

H

X

0.65

FIG. 1.1 : Ellipse et cercle principal, avec notation des coordonnées cartésiennes

(axes Ox,Oy) et polaires (r

=

FM, angle e).

Équation de l'ellipse en coordonnées polaires de pôle F

Considérons tout d'abord le repère cartésien orthonormé (F; X, Y), centré sur F, d'axe F X confondu avec Ox et d'axe FY parallèle à Oy. On a donc la relation entre les abscisses :

X=x-ea Pour un point M(X, Y) de l'ellipse, la relation (1.7) devient:

r

=

a(1 - e2 )

-

eX

On pose:

(1.11)

Cette grandeur p est appelée paramètre de l'ellipse. Elle correspond à la distance entre le foyer F et le point d'intersection de l'ellipse avec l'axe FY (qui est la droite d'équation X = 0). Sur la figure 1.1, p = FC. On remarque que b est la moyenne géométrique de a et p : (1.12) L'équation de l'ellipse s'écrit encore ici de manière très simple:

r=p-eX

(1.13)

6

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

On considère les coordonnées polaires de pôle F, (figure 1.1). Les coordonnées r et 8 d'un point quelconque l'vI sont définies par

r

IIFMII

=

8

=

=

FM

(FX,FM)

(1.14) (1.15)

L'abscisse de NI en coordonnées cartésiennes est X r cos 8 et la relation (1.13) donne: p r= (1.16) 1 + e cos8 L'équation de l'ellipse en coordonnées polaires est donc

r (8)

a(1 - e 2 ) 1 + e cos8

(1.17)

Remarque sur les coniques

En définissant dans chaque cas le paramètre p comme la distance entre le foyer F et le point G, intersection de la conique et de la perpendiculaire à l'axe focal qui passe par F, la relation (1.16) permet de définir toutes les coniques 7 , l'excentricité étant la grandeur discriminante: 7 Appolonius a utilisé les trois termes suivants pour caractériser les coniques, inspiré du langage des Pythagoriciens : - ellipse (~ ÉÀÀElqHÇ, EWÇ) signifie « manque», « omission» ; - parabole (~ 11:()(P()(f3oÀ~, Tic), action de « lancer au loin », d'où« application », « comparaison» ; - hyperbole (~ \mEPf3oÀ~, Tic), action de «lancer au-dessus », d'où «excès ». Le premier terme est formé de EX, «dans» et du verbe ÀEl11:El\l, « laisser, négliger ». Les deux derniers sont formés sur le verbe f3aÀÀEl\l, « lancer ». Le terme parabole ne doit pas être associé à l'idée de «lancer au loin» si on fait référence au jet d'un projectile. Ce rapprochement entre parabole et lancer, décrit par Galilée, était inconnu des Grecs de l'Antiquité. Il est intéressant de noter que, pris dans cet ordre, ces trois termes «manque», «comparaison» et «excès », associés aux coniques, correspondent à la valeur de l'excentricité comparée à l'unité. En fait, Apollonius introduit la longueur p, le paramètre, et calcule des surfaces de carrés et de rectangles basées sur cette longueur. Avec les notations actuelles, en prenant l'axe focal comme axe Ox, l'axe Oy perpendiculaire et l'origine 0 sur un sommet de la conique, on obtient pour la parabole la relation suivante:

y2 = 2px

ce qui signifie que la surface d'un carré de côté y est égale à celle d'un rectangle de côtés 2p et x. Pour les deux autres coniques, on a : - pour l'ellipse: y2 = 2px - (p/a)x2 ; - pour l'hyperbole: y2 = 2px + (p/a)x2. Par comparaison avec la parabole, c'est donc la quantité [(p/a)x2] qui manque pour l'ellipse et qui est en excès pour l'hyperbole. Le nom des coniques fut introduit par Kepler, Desargues et Descartes, d'abord en latin, puis dans les langages européens modernes.

1.1. Définition et propriétés

O~e 1

7

pour l'ellipse pour la parabole pour l'hyperbole

On note que pour e = 0, l'ellipse est un cercle, et si e ? 1, la conique a des points à l'infini.

1.1.4

Déduction des propriétés

Nous donnons ici les démontrations des propriétés principales.

Définition [1]

Propriété [2]

On appelle affinité d'axe ,d, de direction 5 et de coefficient k (k -1- 0) la transformation ponctuelle qui, à tout point P du plan, fait correspondre le point P' par la construction suivante: la droite P P', parallèle à 5, rencontre ,d en H, avec:

HP'= k HP Soit un cercle de rayon a, de centre 0, décrit par l'équation: (1.18) L'affinité, d'axe Ox, de direction Oy, appliquée à ce cercle (dessin de Kepler, figure 1.2, et figure 1.3), transforme l'équation (1.18) en (1.10) si on applique le rapport d'affinité: (1.19) Le cercle de rayon a, défini par (1.18), est appelé cercle principal de l'ellipse de demi-grand axe a, définie par (1.10). L'aire A de l'ellipse se déduit de celle du cercle:

A=7Tab

(1.20)

FIG. 1.2 : À la fin d' Astronomia Nova, Kepler rédige le chapitre LIX Éléments de géométrie consacré aux propriétés de l'ellipse. Il explique, p. 286, la transformation du cercle en ellipse par affinité.

8

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

Propriété [2]

Propriété [2']

La propriété [2'] se déduit immédiatement de [2]. Soit un cercle de rayon a et de centre 0, dans un plan Pl. On le projette sur un plan P 2 , qui fait un angle dièdre Œ avec Pl, et qu'on fait passer par o. Appelons Ox l'axe sur la droite d'intersection et Oy l'axe perpendiculaire, dans P2. Pour les points du cercle de Pl projeté dans P2, les coordonnées x se projettent en vrai grandeur, les coordonnées y sont affectées du coefficient multiplicatif cos Œ. L'équation de la figure projetée dans P 2 est:

ce qui correspond à une tranformation par affinité de coefficient k = cos Œ. Cette figure est donc une ellipse.

Définition [1]

Propriété [3]

Si on écrit r, donné par (1.7), sous la forme:

r=a-ex=e(~-x)

(1.21)

on fait apparaître la grandeur [(ale) - xl qui est la distance du point M, d'abscisse x, à la droite parallèle à Oy, d'abscisse (ale). Ainsi, avec r = FM et [(ale) - xl = M] (figure 1.4), on montre que les points de l'ellipse sont tels que le rapport F NIl NI] est constant et que ce rapport est égal à e : FM M] =e Notons que si on appelle D l'intersection de la directrice avec Ox, on a la relation:

Définition [1]

Propriété [4]

C'est seulement au XIX€ siècle qu'a été montrée l'équivalence entre la définition d'une conique par foyer et directrice avec celle de la section de conique. Nous donnons ici, pour l'ellipse, la démonstration du théorème de Dandelin 8 . Soit un cône de révolution, de sommet S, d'axe Sx. Soit un plan P qui coupe le cône et tel que le plan parallèle à P passant par S est extérieur au cône. On considère le plan T perpendiculaire à P et contenant Sx. Dans ce plan T (dit plan du tableau ou plan de la feuille), la trace du cône est 8Théorème établi en 1822, dit aussi théorème de Dandelin et Quételet, du nom des deux mathématiciens belges, Germinal Dandelin (1794-1847) et Adolphe Quételet (1796-1841).

1.1. Définition et propriétés

9

y

k

~

0.661

/

/;/

//' /'

/'

---

f

~

0.339

\

~'"1\ r-~~

1--"""

V

~~

r--~

/,r

~~~

0

.........

x

V'l

VVr

, ---.

~ .........

N

H

~V vV

'---.

v

e

~ 0.750

1....) •./

FIG. 1.3 : Ellipse et cercle principal. L'ellipse est obtenue à partir du cercle principal par affinité d'axe Ox, de direction Oy et de coefficient k. y

e

~

0.75

FIG. 1.4 : Ellipse et directrices. L'ellipse est le lieu des points tels que la distance au foyer, notée F J'vI, et la distance à une droite, notée d = J'vI J, sont dans un rapport constant, e.

10

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

s

1.5 : Représentation plane, dans le plan T perpendiculaire au plan sécant P, de la section du cône d'axe Sx par le plan P, représenté ici par la droite AA'.

FIG.

constituée des deux génératrices SA' et SA, et la trace du plan P est la droite AA'. Considérons d'abord la figure plane dans T, figure 1.5. Parmi les cercles tangents aux 3 côtés du triangle SAA', on considère les deux cercles dont le centre est sur Sx. 0 est le centre du cercle inscrit, les points de contact du cercle et du triangle sont F avec AA', C et D avec respectivement SA' et SA. De même, 0' est le centre du cercle exinscrit, les points de contact du cercle et du triangle sont F' avec AA', C' et D'avec respectivement SA et SA'. Les segments CD et C' D' sont parallèles, chacun étant perpendiculaire à l'axe Sx. Faisons maintenant une rotation de la figure selon l'axe Sx, sauf la droite AA' : SA et SA' engendrent le cône, les cercles 0 et 0' engendrent deux sphères inscrites au cône. La droite AA' engendre, par translation, le plan P perpendiculaire à T (figure 1.6). Les sphères 0 et 0' sont tangentes au plan P en F et F', et elles sont tangentes au cône selon deux cercles parallèles, de diamètre CD et C' D', respectivement. Soit NI un point de la section de conique (intersection du cône considéré

1.1. Définition et propriétés

1l

+Q' 1

i i i ix 1.6 : Représentation dans l'espace du cône d'axe Sx et du plan P d'intersection. La trace d'intersection passe par les points A, AI et IvI.

FIG.

et du plan P). Sl'vi coupe les cercles CD et C' D'en J et J', et en ces points, la génératrice S l'vI est tangente aux sphères 0 et 0'. Comme l'vIF et l'vIF' sont tangentes aux mêmes sphères, respectivement, on a : - pour la sphère 0, l'vIF = l'vI J ; - pour la sphère 0', l'vIF' = l'vI J'. Or l'vI J + l'vI J' = J J', ce qui est une valeur constante, égale aussi à CC' ou DD'. Donc: l'vI F + l'vIF' = constante l'vI décrit une ellipse dont les foyers sont F et F'. Le plan P coupe les plans parallèles contenant les cercles CD et C' D' selon les droites perpendiculaires au plan T, passant par let l', respectivement. On peut montrer que ces deux droites, perpendiculaires à F F', sont les directrices de l'ellipse.

12

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

1.7: Ellipses de demi-grands axes constants. L'excentricité e de l'ellipse varie de 0.0 à 0.9, avec un pas constant de 0.1. Un des deux foyers et un sommet du demi-petit axe sont affectés de la valeur de l'excentricité e correspondante. On note que les foyers sont régulièrement espacés.

FIG.

1.8 : Ellipses de demi-grands axes constants. L'aplatissement f de l'ellipse varie de 0.0 à 0.9, avec un pas constant de 0.1. Un des deux foyers et un sommet du demi-petit axe sont affectés de la valeur de l'aplatissement f correspondant. On note que les extrémités des demi-petits axes sont régulièrement espacés.

FIG.

1.1. Définition et propriétés

1.1.5

13

Excentricité et aplatissement

À partir de (1.3), on peut exprimer l'excentricité e par:

(1.22) La relation entre a et b peut aussi être rendue par l'aplatissement défini :

a-b

f=-

a On note que le coefficient d'affinité, défini par (1.19), est k = 1 - f. La relation entre les deux grandeurs e et f est immédiate :

f,

ainsi (1.23)

(1.24) et elle conduit aux relations explicites suivantes:

f=l-~

(1.25)

J f(2 -

(1.26)

e=

1)

La figure 1.7 illustre la transformation d'une ellipse, de demi-grand axe a fixé, lorsqu'on augmente e avec un pas régulier de 0.1. Lorsque c'est f qui augmente avec le même pas de variation, le comportement de l'ellipse, est très différent, dans son mode de variation, comme le montre la figure 1.8. Gauss a introduit l'angle d'excentricité E, défini par: e

=

sin E

(1.27)

On peut ainsi écrire: b= a

COSE

c = a sinE

p

=

a cos 2 E

Nous verrons plus loin comment certaines formules gagnent en élégance avec l'usage de cette variable auxiliaire. Cas des excentricités faibles

On rencontre fréquemment les situations où l'ellipse est proche du cercle principal. Dans le cas e « 1, la relation (1.24) donne: (1.28) ce qui montre que l'aplatissement varie comme le carré de l'excentricité.

14

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

PAR

S

TER

T

1

A.

J49

Positions de Mars dans un référentiel héliocentrique. L'observation de Mars est faite à quatre dates différentes, séparées par des intervalles de temps multiples de la période sidérale de révolution (687 jours). Mars occupe donc la même position par rapport aux étoiles. Kepler calcule alors les positions de la Terre à ces dates et en déduit l'excentricité de l'orbite terrestre. Il peut ainsi reconstruire l'orbite de toutes les planètes. L'orbite de Mars apparaît comme quasi circulaire, mais fortement décentrée. Les orbites de Mercure, de Vénus et de la Terre (avec la Lune) sont également représentées. Elles apparaissent circulaires, mais le Soleil n'est pas exactement au centre. Petite remarque éditoriale: les imprimeurs de l'époque ne supportaient pas de voir du blanc dans les dessins, c'est pourquoi les parties vides des graphiques étaient systématiquement garnies de petites fleurs. J. Kepler, Astronomia Nova, chapitre XXVII, page 149.

FIG. 1.9 :

1.1. Définition et propriétés

15

Exemple 1.1 Excentricité et aplatissement pour l'orbite de la planète Mars. Les doutes de Kepler. ~ L'orbite elliptique de la planète Mars est caractérisée par a = 1.52366 ua (unité astronomique) et e = 0.093412. L'orbite apparaît comme pratiquement circulaire: bja = ~ = vlo.099564 = 0.99782 ===} f = 0.0022 la différence relative entre a et b étant de 0.22 %. Par contre, l'écart entre le centre de l'ellipse, quasi circulaire, et le foyer (le Soleil) est important: c = e a = 0.14233 ua ce qui fait varier la distance de Mars au Soleil entre 1.38133 ua (au périhélie) et 1.66599 ua (à l'aphélie). Kepler formula ainsi, en 1600, ce qui allait devenir sa première loi (en 1609) : l'orbite de Mars est circulaire et le Soleil n'est pas en son centre. Kepler utilise la notion d'ellipse à partir de 1603. Il écrira plus tard: « J'ai d'abord admis que l'orbite des planètes était un cercle parfait. Cette erreur m'a coûté d'autant plus de temps qu'elle était soutenue par l'autorité de tous les philosophes et était métaphysiquement tout à fait plausible. » La figure 1.9 est un dessin de Kepler, tiré de son Astronomia Nova où il représente les orbites (en partant du Soleil) de Mercure, Vénus, la Terre et Mars. Elles sont pratiquement circulaires 9 . Mais on voit à quel point l'orbite de Mars apparaît comme décentrée (de même que celle de Mercure). Voir aussi, à la fin du chapitre 15, la note historique Kepler et la planète Mars. ...

Exemple 1.2 Calcul des longueurs b et c d'une ellipse, définie par a et e, dans le cas de l'orbite quasi circulaire du satellite MetOp-A. ~ L'ellipse représentative de l'orbite du satellite MetOp-A est définie par son demigrand axe a = 7 195 606 m et son excentricité e = 0.0011655. Avec e = 1.1655 10- 3 , on obtient ~ = vil - 1.358410 6 = 1 - 0.6792 10- 6 et ainsi: a - b = f a = 4.9 m On a donc les valeurs suivantes pour a, b, c : a = 7 195 606 m b = 7 195 601 m c = e a = 8 386 m En conclusion, l'orbite est pratiquement circulaire, puisque la différence entre a et b est de 5 mètres sur 7 200 kilomètres. Par contre, la valeur de c, qui mesure la distance entre le centre de l'ellipse et le foyer, est de 8.4 kilomètres, ce qui aura de l'importance dans le calcul de l'altitude du satellite. ...

9pour illustrer cette propriéte, V. 1. Arnold conseille, dans un de ses ouvrages, la petite expérience suivante : « Laissez tomber une goutte de thé non loin du centre de la tasse. Les ondes se rassembleront au point symétrique. La raison est qu'en vertu de la définition focale de l'ellipse, les ondes issues d'un foyer de l'ellipse se rassemblent dans l'autre. »

16

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

1.2

Applications et autres caractéristiques

1.2.1

Longueur de l'arc d'ellipse

La transformation du cercle (0; a) par affinité (figure 1.10) d'axe Ox, de direction orthogonale et de rapport (b / a), donne l'ellipse (0; a, b). Les coordonnées de N, sur le cercle, et de NI, sur l'ellipse, s'expriment en fonction de l'angle 10 polaire u, centré sur 0 :

ON=I

acosu

OM=

asin u

1

ac.osu bsmu

(1.29)

Longueur d'arc

Pour obtenir la longueur d'un arc d'ellipse à partir d'une origine quelconque, on calcule d'abord l'élément ds d'abscisse curviligne à partir de dx et dy : ds 2 = (a 2 sin 2 u

+ b2 cos 2 u)

du 2 = a 2 (1 - e 2 cos 2 u) du 2

pour obtenir par intégration la longueur d'arc d'ellipse entre A (u = 0) et NI

(u

=

a) :

(1.30) La valeur de s(a) ne s'exprime pas avec des fonctions analytiques simples. Cette intégrale l l est une intégrale elliptique incomplète de seconde espèce dont le résultat s'exprime par une suite infinie de termes. Périmètre de l'ellipse

Le périmètre L de l'ellipse est obtenu par une intégrale elliptique complète de seconde espèce : L = 4a

1:r, V1- e cos u du 2

(1.31 )

2

qui n'a pas de représentation analytique simple. En effectuant un développement selon l'excentricité, on obtient (formule de Lambert) : L

=

2 7r a [ 1 _

(~) 2 2

2

e 1

(~) 2 é _ (~) 2 é ...1

_

2·4

3

2·4·6

5

(1.32)

lOCe paramètre angulaire u correspond à la latitude paramétrée u en géodésie ou à l'anomalie excentrée E, de Kepler, en astronomie, comme nous verrons dans les chapitres suivants. 11 On classe ces intégrales en trois espèces. Celles de seconde espèce sont du type:

E(cp, k)

=

101> VI -

k 2 sin 2 fJ dfJ

avec le paramètre k tel que 0 < k 2 < 1. Ces intégrales elliptiques sont dites incomplètes lorsque cp est quelconque. Lorsque cp = 7r /2, on parle d'intégrales elliptiques complètes.

1.2. Applications et autres caractéristiques

17

Il existe pour cette intégrale elliptique des formules approchées, plus ou moins simples, d'autant plus précises que l'excentricité e est faible. La plus simple des formules approchées est celle donnée par Euler

(1.33) ou la suivante:

L

~ [~(a + b) - Fab] Ir

(1.34)

Pour plus de précision, on utilise les formules données par Rananujan 12

L ~ Ir

[3 (a + b) -

J (a + 3b) (3a + b)]

ou bien

L~Ir(a+b)(l+ 10 + ~) 4 - 3h Au premier ordre en j, toutes ces formules sont équivalentes à :

(1.35) ce qui revient à considérer, pour le calcul du périmète, l'ellipse comme un cercle dont le rayon est la moyenne arithmétique des deux demi-axes de l'ellipse 13 .

1.2.2

Rayon de l'ellipse

On appelle rayon de l'ellipse la distance entre un point l'v! quelconque de l'ellipse et le centre 0 de celle-ci. Ce rayon, noté R1jJ, n'est pas constant et dépend de 1jJ. Les coordonnées polaires centrées sur 0 (figure 1.10), sont R1jJ =

IIOMII

.1jJ

= (Ox, OM)

12 Srinivâsa Aiyangâr Râmânujan (1887-1920) est un mathématicien indien, atypique, considéré comme un génie dans son domaine. Il apprend les mathématiques en autodidacte, à l'aide d'un recueil de 6 000 théorèmes, la plupart sans démonstration. Puis à partir de 17 ans, et particulièrement pendant son séjour en Angleterre entre 1913 et 1919, il établit des centaines de formules, qu'il note, sans démonstration, dans ses carnets, en s'appuyant sur une intuition et une mémoire extraordinaires. Ces équations concernent la théorie des nombres, les intégrales elliptiques, les nombres de Bernoulli, etc. Ramanujan a établi des valeurs de Ir et de e à l'aide de fractions continues, de séries ou bien par des formules extrèmement concises. 13« Toute circonférence elliptique est très près de la moyenne arithmétique entre le cercle de diamètre le plus long et le cercle de diamètre le plus court» écrit Kepler dans Astronomia Nova, chapitre LIX, p. 287. Il se limite aux orbites elliptiques des astres connus.

18

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

y

N

A

e

=

x

0.75

1.10 : Ellipse et cercle principal, avec indication des angles au centre ainsi que de l'arc d'ellipse ANI.

FIG.

1L

et

1/},

Les coordonnées cartésiennes de NI

oM =

1

x = R,p C?S 1jJ y = R,p sm·1jJ

(1.36)

donnent, avec (1.10)

puis, pour le rayon de l'ellipse R,p, en utilisant l'aplatissement a R,p = - - - ; = = = = = = sin 2 1jJ cos 2 1jJ + (1 _ 1)2

f : (1.37)

et en utilisant l'excentricité e :

R,p=

a~

VI - e

Dans le cas d'aplatissement faible (j ou

«

2

cos 2 1jJ

(1.38)

1), on utilise: (1.39)

1.2. Applications et autres caractéristiques

19

M

f

~

0.200

e

~

0.600

FIG. 1.11 : Rayon de courbure de l'ellipse. J'vI est un point de l'ellipse de foyers F et F'. IvI ' est le centre du cercle osculateur à l'ellipse, en IvI. Lorsque IvI décrit

l'ellipse, J'vi' décrit la développée. Ce dessin illustre une autre propriété de l'ellipse: J'vI J'vi' est la bissectrice de l'angle F J'vI F' : tout rayon lumineux passant par F passe par F' après réflexion sur l'ellipse.

1.2.3

Rayon de courbure de l'ellipse

Toute courbe peut être approchée autour d'un quelconque de ses points (sauf point de rebroussement), dans un intervalle infinitésimal, par un cercle appelé cercle osculateur. Son rayon p est le rayon de courbure. Le lieu des centres du cercle osculateur est appelé développée de la courbe. De manière équivalente, on peut définir la développée d'une courbe plane comme l'enveloppe des normales à cette courbe (figure 1.11). On démontre qu'en un point donné, le cercle osculateur est unique. On considère une ellipse définie avec le paramètre angulaire u. Soit l'v! un point de l'ellipse et l'v!' le point correspondant de la développée. Cela signifie donc que le cercle de centre l'v!' et de rayon p = IIM'MII est tangent à l'ellipse en l'v!. Le vecteur M'M est normal en l'v! à l'ellipse. La normale au point l'v!, de paramètre u, s'écrit, avec les coordonnées X et Y :

aX bY 2 - - - - - - c =0 (1.40) cosu sin u L'équation paramétrée de la développée s'obtient en déterminant les deux inconnues X et Y à l'aide de deux équations: l'équation de la normale, donnée

20

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

par (1.40), et l'équation dérivée par rapport à u. On écrit ces relations:

aX sin u - bY cos u = c2 sin u cos u aX cos u + bY sin u

=

c 2 (cos 2 U

-

sin 2 u)

et on obtient :

En résumé, les coordonnées de NI et NI' s'écrivent donc:

OM=

acosu

a 2 _ b2 ---cos3 u a a 2 - b2 --b-sin3u

OM'=

bsin u

(1.41)

La développée de l'ellipse, voir figure 1.12 (a), est la courbe A' B'C' D' qui présente 4 points de rebroussement. C'est la transformée par affinité, d'axe Ox, de direction orthogonale et de rapport (-b/a), de l'astroïde d'équation:

a 2 - b2 c2 avec A = - - - = - = a e 2

Acos3 u

Asin 3 u

1

a

a

Les coordonnées du vecteur MM' sont calculées à partir de (1.41)

b2

M'M=

cosu a sin u

(asin 2 u+ -cos 2 u)cosu a , a2 (bcos 2 u + b sin 2 u) sin u

b

On en déduit la valeur du rayon de courbure p =

IIM'M11

(1.42)

(1.43) On note les valeurs particulières pour les points A' et B' :

u=o

===?

OA=

a

OA'=

0

Ir

u=-===? 2

OB=

0

b

a 2 - b2 a

A'A=

0

0

OB'=

0

b2 -a 2 b

b2 a

B'B=

0

a2 b

1.2. Applications et autres caractéristiques

J

f

= 0.165 K

21

1

e = 0.550

L

f = 0.005 f = 0.046 f = 0.134

f = 0.286 f = 0.564

FIG. 1.12 : Relation entre l'ellipse et sa développée. (a) La droite reliant A' et B', centres de courbure pour A et B respectivement, passe par l et est perpendiculaire à la diagonale J L du rectangle l J K L, rectangle de côtés 2a et 2b, de centre 0, exinscrit à l'ellipse. (b) Même construction, pour diverses valeurs de l'excentricité, variant de e = 0.10 à e = 0.90 avec un pas de 0.20. Le demi-grand axe reste constant.

22

Chapitre 1. Géométrie de l'ellipse

Le rayon de courbure varie entre les deux valeurs extrêmes: maximale pour B et D, avec p = (a 2 lb), minimale pour A et C, avec p = (b 2 la). On appelle l J K L le rectangle de centre 0, de côtés 2a et 2b, dans lequel l'ellipse est inscrite (figure 1.12(a)). Avec les coordonnées des divers points, calculées ci-dessus, on obtient les relations suivantes:

BI BB'

b

a

OA' OB'

b

a

JL=

1

+2a -2b

qui montrent que: - la droite A' B' passe par I; - la diagonale du rectangle qui ne passe pas par l est perpendiculaire à A' B'. La figure 1.12 (b) illustre cette propriété pour diverses valeurs de l'excentricité.

Chapitre 2

Géodésie 2.1

Ellipsoïde terrestre

2.1.1

Différentes définitions de la latitude

Coordonnées sphériques

Considérons un repère cartésien orthonormé (0; x, y, z). Un point NI de l'espace peut être repéré par les trois coordonnées sphériques r, VJ, À, définies classiquement de la manière suivante. On privilégie un axe, Oz, et on projette l'vI en l'vI', sur le plan perpendiculaire à Oz passant par 0, xOy. On pose:

r=IIDMII

1jJ

=

(DM', DM)

À

= (Dx, DM')

avec pour domaines de variation :

r

E

[O,oo[

Les coordonnées cartésiennes du point l'vI sont, en fonction des coordonnées sphériques: x = r cos 1jJ . cos À DM = Y = r cos 1jJ . sin À (2.1) z = r sin VJ Considérons une sphère de rayon R, centrée en O. Si cette sphère est une représentation de la Terre (sphérique), les grandeurs géométriques définies ci-dessus portent des noms géographiques: - Oz est l'axe des pôles, xOy est le plan équatorial; - la distance r = R + h est souvent définie par l'altitude, h; - VJ est la latitude, À est la longitude. Latitude et longitude sont ici définies de manière générale, en coordonnées sphériques. Les cercles passant par les deux pôles sont les méridiens (lieu des points à longitude constante) ; les cercles parallèles au plan équatorial sont M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

24

Chapitre 2. Géodésie

les parallèles (lieu des points à latitude constante) et le parallèle dans le plan équatorial est l'équateur. Les méridiens sont des grands cercles, les parallèles, à l'exception de l'équateur, sont des petits cercles 1 . On applique les conventions suivantes : - l'axe des pôles est orienté du pôle Sud vers le pôle Nord; - le plan méridien xOz qui sert d'origine est appelé premier méridien, ou méridien origine ou international, ou méridien de Greenwich 2 ; - les longitudes sont comptées dans le sens trigonométrique direct, de 0° à 360° ou bien de -180° à +180° (ce qui donne des valeurs [+E/-W], c'est-àdire positives pour Est, négatives pour Ouest) ; -les latitudes sont comptées dans le sens trigonométrique direct, -90° à +90° (ce qui donne des valeurs [+N/-S], positives pour Nord, négatives pour Sud).

Coordonnées sur l'ellipsoïde

Assimilons à présent la Terre à un ellipsoïde de révolution, l'axe de révolution étant celui des pôles. Nous considérons le point NI à la surface de l'ellipsoïde (les notions d'altitude par rapport à l'ellipsoïde seront vues plus loin) . La section d'un plan méridien quelconque avec l'ellipsoïde est une ellipse, de centre O. On pose a = OA et b = OB (figure 2.1), A étant un point de l'équateur et B est le pôle Nord. Le plan xOz représente le plan méridien. Le demi-grand axe a représente le rayon équatorial Re et le demi-petit axe b, le rayon polaire Rp. Cette ellipse, et donc l'ellipsoïde terrestre, est ainsi déterminée par deux grandeurs. On choisit a et l'aplatissement f (tableau 2.1). De par la symétrie de révolution de la figure, on peut repérer le point l'vI par la longitude définie sur la sphère. Mais pour la latitude, il faut réexaminer la question ... En effet, historiquement la latitude a été obtenue par des mesures d'angles entre la direction d'étoiles bien choisies et le plan horizontal local (ou la 1 Lorsqu'ils sont sécants, une sphère et un plan se coupent selon un cercle. Si le plan passe par le centre de la sphère, le cercle ainsi défini est appelé grand cercle, dans le cas contraire, petit cercle. 2Lorsqu'il a été officiellement choisi comme méridien origine, lors de la Conférence du Méridien International, tenue à Washington, en 1884, le méridien qui passe à l'Observatoire Royal à Greenwich était déjà utilisé dans la plupart des cartes marines (le délégué britannique déclara alors que, si on se réfère au tonnage des bateaux, 72% du commerce maritime mondial utilise des cartes basées sur Greenwich). Pour les cartes terrestres, par contre, il y avait abondance de méridiens origines. La France utilisait bien entendu le méridien de Paris, celui de Cassini, qui passe par l'Observatoire. L'Italie se référait à celui de Rome, la Russie à celui de Pulkovo, etc. Le méridien de l'Île de Fer (Isla de el Hierro) , qui passe par l'île la plus occidentale des Canaries, et donc du monde connu par l'Europe avant la découverte de l'Amérique, avait l'avantage de ne donner, à cette époque, que des longitudes positives. Il avait été utilisé fréquemment, en Europe, aux XVIIe et XVIIIe siècles. On le trouvait jusqu'au XIX e siècle sur quelques cartes des pays d'Europe centrale.

2.1. Ellipsoïde terrestre

Ellipsoïde

Année

a

(m)

25

1/ f(s. d.)

Delambre Airy Everest Bessel Clarke 1 Clarke II Hayford Internat. Krassowsky

1810 1830 1830 1840 1866 1880 1924 1942

6375653 6376542 6377 206.4 6377397.16 6378206.4 6378249.2 6378388.2 6378245

334 299.3 300.8017 299.1528 294.9787 293.4660 297 293.3

AIG67 WGS72 GRS80 WGS84

1967 1972 1980 1984

6378160 6378135 6378137 6378137

298.2471 298.26 298.257222101 298.257223563

GEM-T2 EGM96 GRIM5 EIGEN

1990 1996 2000 2008

6378137 6378136.30 6378136.46 6378136.46

298.257 298.25765 298.25765 298.25765

2.1 : Ellipsoïdes de référence en géodésie (avec année d'application). Évolution de l'estimation des valeurs du demi-grand axe a et de l'aplatissement f. Les ellipsoïdes sont séparés en trois groupes chronologiques: (a) ellipsoïdes désormais historiques; (b) ellipsoïdes à l'ère des satellites; (c) ellipsoïdes liés aux modèles de géopotentiel. TABLEAU

direction du fil à plomb, qui lui est perpendiculaire). Sur la figure 2.1, la latitude du point l'v! correspond à l'angle entre la direction de visée vers le nord (disons l'étoile polaire; visée l'v! N, parallèle à l'axe des pôles OB) avec la tangente à l'ellipse en M. Cet angle est égal à cp = (DA, lM), angle de la normale à l'ellipse avec le rayon équatorial, appelé latitude géodésique 3 . La latitude géographique, dite aussi latitude astronomique, qui est mesurée « sur le terrain», prend pour référence le fil à plomb, perpendiculaire à la surface équipotentielle représentée par le géoïde local, et non la normale à un ellipsoïde de référence théorique. La différence entre latitude géodésique et géographique, appelée déviation de la verticale, est au maximum de 3 secondes d'arc, dans les régions où le géoïde est particulièrement « bosselé». On tient compte de cette différence dans le cadre de mesures précises qui n'entrent pas dans le cadre de cet ouvrage. La latitude géocentrique 1jJ du point l'v! est définie par rapport au centre de la Terre, VJ = (DA, DM). Cet angle sert en particulier pour repérer un 3Le nom «géodésie» vient du néo-latin geodesia, attesté au XYI e siècle, créé à partir du grec, du préfixe géo-, ~ y~, y~ç, «la terre, la contrée» et -désie, ~ oak, oan:ôç, « la part, le partage», dans le sens de parts égales distribuées dans un repas.

26

Chapitre 2. Géodésie

z B

x'

x

T

e

=

0.55

z' Latitude géocentrique géodésique géographique paramétrée FIG.

-

1/J

'P 1 'P

u

Direction de référence centre de la Terre normale à l'ellipsoïde normale au géoïde centre de la Terre

Angle

1/J

=

(DA, DM)

'P = (DA,IM) 'PI = (DA, [fil à plomb en Ml)

u = (DA, DN)

2.1 : Diverses définitions de la latitude du point IvI.

satellite. Ces différentes définitions de la latitude sont regroupées dans la figure 2.1. Pour établir la relation entre 1jJ et !.p, on introduit une autre latitude, qui n'a qu'un rôle géométrique, la latitude paramétrée, u (figure 2.1). Considérons le cercle principal de l'ellipse. La parallèle à Oz qui passe par l'vI coupe le cercle principal en N, point qui permet de définir la latitude paramétrée u = (DA, ON). Le point NI est obtenu à partir de N par transformation affine d'axe Ox, de direction Oz et de rapport (b / a). On a donc : b tan·1jJ = - tan u a

(2.2)

La transformation affine conserve le contact : elle transforme la tangente

2.1. Ellipsoïde terrestre

27

au cercle en N en la tangente à l'ellipse en NI. Ces tangentes coupent l'axe Ox en un même point T. L'angle (TO, TM) est le complémentaire de cp et l'angle (TO, TN) est le complémentaire de u. Cela donne: tan cp

a

b tan u

=

(2.3)

On déduit, de (2.2) et (2.3), la relation entre les deux latitudes, en utilisant fou e : tan 1jJ (2.4) tan cp = (1 _ 1)2 Ces trois latitudes ont toujours le même signe, pour un lieu donné. Les valeurs absolues sont classées dans cet ordre:

l'égalité n'intervenant qu'à l'équateur ou aux pôles. Dans le cas des faibles aplatissements (f « 1), la relation (2.4) donne: tan cp ':':' (1 On pose 5cp

=

+ 21) tan 1jJ

cp -1jJ. En développant tan(cp -1jJ), on obtient:

tan( cp -1jJ) ':':'

tan cp - tanljJ , 2 ':':' 2 f tan 1jJ . cos 2 1jJ = 1 + tan VJ

f sin 21jJ

Compte tenu des approximations sur les petits angles, on obtient pour l'écart angulaire: 5cp ':':' f sin 2cp (2.5) Sa valeur maximale 5cpo, atteinte pour cp = ±7f j 4, latitude 45° Nord ou Sud, est égale à :

f f

=

0.0035281

(en radian)

x (180j7f) = 0.19210

(en degré)

(2.6) (2.7)

Un développement plus poussé donne, pour la Terre (WGS84), avec 5cp en degré: 5cp = 0.19242 sin2cp - 0.000323 sin4cp (2.8) Exemple 2.1 Calcul, pour la planète Terre, de la différence entre les rayons équatorial et polaire, et de la différence maximale de latitude 5cpo. ~ Considérons les valeurs de l'ellipsoïde WGS84 (World Geodetic System 1984, révisé en 2004, avec actualisation par EGM96) données dans le tableau 2.1. Les valeurs recherchées sont Re = a, Rp = a(l - f), avec f = 0.00335281 : Re = 6 378 137.000 f i R p = 6 356 752.314 f i

28

Chapitre 2. Géodésie

On note la différence de rayons : (jR = Re - Rp = f Re = 21.285 km Pour la différence maximale de latitude : (j'Po = f = 3.35 mrad = 0.19° = 11' 32". ce qui représente sur le terrain un écart M: o : (jgo c::::: Re (j'PO c::::: f Re = 21.3 km. On note donc que, tant qu'on peut considérer f petit devant 1, les valeurs de (jR et de (jgo sont identiques, car égales à f Re . ....

2.1.2

Coordonnées cartésiennes. Grande normale

Dans un repère cartésien (O;x,z), il est aisé d'exprimer des coordonnées de M en fonction des latitudes u oul/J, voir les équations (1.29) ou (1.36). Mais l'intérêt pratique est d'utiliser la latitude géodésique cp. Avec (2.3), on exprime la relation entre u et 1jJ en faisant apparaître l'excentricité :

+

cos u

=

1 + tan 2 u = 1 + (1 - e2 ) tan 2 cp

1 1 = - - - e 2 tan 2 cp = - - ( 1 - e 2 sin 2 cp) 2 cos cp cos 2 cp

d'où:

1

a cosu=a coscp (1-e 2 sin 2 cp)-" De plus: sin u = tan u . cos u = (b / a) tan cp . cos cp d'où, avec b2 / a = a(l - e 2 )

(1 -

1

e 2 sin 2 cp) - "

:

b sin u = a(l - e 2 ) sin cp

(1 -

1

e 2 sin 2 cp)-"

L'équation (1.29) donne donc: cos cp

V(1- e

x=a,====== OM=

z=a

2

sin 2 cp)

(1 - e 2 ) sin cp

V(1 - e

2

(2.9)

sin 2 cp)

La normale à l'ellipse en NI coupe l'axe z'Oz en l. Traditionnellement, en géodésie, on appelle grande normale, notée N, la longueur INI (figure 2.1). Puisque x = lM cos cp, on déduit de (2.9) la valeur de N: (2.10)

2.1. Ellipsoïde terrestre

29

et on peut écrire les coordonnées planes cartésiennes de NI sous la forme: x = N cos cp = N (1 - e 2 ) sin cp

(2.11)

OM= l z

On obtient les coordonnées de l, avec 01 = z - N sin cp :

01=

0 1

(2.12)

-N e 2 sincp

Les coordonnées de NI (latitude géodésique cp, longitude À) sur l'ellipsoïde sont donc: x = N cos cp . cos À

oM

2.1.3

=

Y

z

= N cos cp . sin À N (1 - e 2 ) sin cp

(2.13)

=

Rayon de courbure

Le centre du rayon de courbure l'vI' est situé entre l et NI. On calcule p en fonction de cp à partir de (1.43). On écrit d'abord:

et on obtient p( cp) :

p=a

(1 - e 2 sin

(2.14)

2.~

cp)~

qu'on peut aussi écrire:

(2.15) Pour les faibles aplatissements, (2.14) devient:

(2.16) Dans ce cas, le rayon de courbure est égal au rayon équatorial, indépendamment de e, pour deux valeurs de la latitude, cp = ± arcsin

J273 :

p= a

2.1.4

{==}

cp ~ 54.7° N ou 54.7° S

(2.17)

Rayon de l'ellipse

La variable «naturelle» pour le rayon de l'ellipse, noté R1j;, est la latitude géocentrique VJ comme vu précédemment avec (1.38). Si on veut cependant

30

Chapitre 2. Géodésie

exprimer ce rayon en fonction de la latitude géodésique cp, le calcul amène à une formule plus lourde:

On note la relation obtenue avec la projection de 0]\;[ sur l'axe Ox :

R1jJ cos VJ

2.1.5

=

N cos cp

(2.18) (2.19)

Degré en latitude, degré en longitude

Variation selon un méridien, selon un parallèle

Revenons à l'ellipsoïde terrestre et évaluons la distance correspondant à un accroissement infinitésimal de latitude (respectivement de longitude) selon un méridien (resp. parallèle). Selon un méridien, une variation de latitude géodésique dcp va correspondre à un arc d'ellipse dL M , confondu en ce point avec l'arc de cercle osculateur, de rayon PM = l'vI' ]\;[, voir la figure 2.1 et les équations (2.14) ou (2.15) : (2.20) avec PM = P Selon un parallèle, une variation de longitude dÀ va correspondre à un arc de cercle dL p , dans un plan perpendiculaire à l'axe des pôles, de rayon Pp = JM, voir la figure 2.1 et l'équation (2.10) : dL p = Pp dÀ

avec Pp

=

N cos cp

(2.21)

Sur la figure 2.2, on a représenté les variations des divers rayons en fonction de la latitude, qu'ils soient liés aux rayons de courbure, comme P (pour PM) et N (pour PPI cos cp) ou au rayon de l'ellipse, comme R1jJ(cp). On rappelle les domaines de variations, pour la Terre, entre l'équateur et le pôle (variations toutes monotones dans [0; 7r 12]) : - P varie entre b2 1a et a 2 lb, soit entre 6 335.439 et 6 399.594 km; - N varie entre a et a 2 lb, soit entre 6378.137 et 6399.594 km; - R1jJ varie entre a et b, soit entre 6 378.137 et 6356.752 km. Variation d'un degré

Une approche plus «parlante» consiste à remplacer une variation infinitésimale d'angle par un angle d'un degré 4 , qui reste petit par rapport à la circonférence. Le tableau 2.2 donne la valeur i1L M de la longueur, sur le 4Dans la marine, le mille ou mille marin est défini comme la distance équivalente à l' d'arc de latitude, avec la relation 1 mille = 40 10 6 /(360 x 60) = 1 851.851 m

2.1. Ellipsoïde terrestre

31

6420 6410 6400 6390

Ê

:!S c 0

>, CIl

0::

6380 6370 6360 6350 6340 6330 6320

TERRE

10

0

20

30

40

50

Latitude [N/S]

Cl

60

70

80

90

FIG. 2.2 : Différents rayons relatifs à l'ellipsoïde terrestre : le rayon de courbure dans le plan méridien p, la grande normale N, le rayon de l'ellipsoïde R1j;.

f

~

0.200

e

~

0.600

FIG. 2.3 : Longueur du degré de latitude à la surface de l'ellipsoïde en fonction de la latitude. À des angles égaux correspondent des distances inégales d'autant plus grandes qu'on s'approche des pôles. Écart angulaire de latitude géodésique représenté sur cette figure : 5°.

32

Chapitre 2. Géodésie

Latit.

1 latitude

-----+

1 longitude

Arc

Historique

cp

11LM

11Lp/ cos cp

11Lp

L(cp)

Lh( cp)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

110.574 110.583 110.608 110.649 110.704 110.773 110.852 110.941 111.035 111.132 111.229 111.324 111.412 111.493 111.562 111.618 111.660 111.685 111.694

111.319 111.322 111.331 111.344 111.363 111.386 111.413 111.442 111.474 111.506 111.539 111.570 111.600 111.627 111.650 111.669 111.683 111.691 111.694

111.319 110.899 109.639 107.550 104.647 100.950 96.486 91.288 85.394 78.847 71.696 63.994 55.800 47.176 38.187 28.902 19.393 9.735 0.000

0.000 552.885 1105.855 1658.990 2212.366 2766.054 3320.114 3874.593 4429.529 4984.944 5540.847 6097.230 6654.073 7211.339 7768.981 8326.938 8885.140 9443.509 10001.966

0.000 553.074 1106.223 1659.520 2213.032 2766.823 3320.946 3875.444 4430.349 4985.683 5541.451 6097.648 6654.255 7211.241 7768.561 8326.162 8883.982 9441.951 10000.000

0

0

2.2: Degré en latitude et longitude en fonction de la latitude cp. Ellipsoïde de référence: WGS84. Longueur 11LM, en km, sur le méridien, pour 11cp = 1 degré de latitude; longueur 11Lp, en km, sur le parallèle, pour 11'>- = 1 degré de longitude,. longueur L de l'arc de méridien, en km, à partir de l'équateur. L'arc Lh est noté à titre historique: l'ellipsoïde de référence est celui de Delambre et Méchain ayant servi à l'établissement du mètre étalon. TABLEAU

méridien, d'un arc d'un degré autour d'une valeur centrale de latitude géodésique cp. De même, i1L p est la longueur, sur le parallèle cp, d'un arc d'un degré de longitude. Il est intéressant de comparer i1L p / cos cp avec i1L JI/[.

2.1.6

Longueur d'arc de méridien

Longueur d'arc d'ellipse

Dans le cas général, la longueur de l'arc d'ellipse, que nous désignons par

L( cp), se calcule par une intégrale elliptique incomplète de seconde espèce, voir La seconde d'arc est équivalente à : 1" = 1 mille / 60 = 30.864 m. Avec des nœuds tous les 15.432 mètres (équivalent à 0.5" d'arc) et une mesure du défilement des nœuds pendant 30 secondes de temps (soit 0.5 min), on obtient directement l'expression de la vitesse en milles par heure.

2.1. Ellipsoïde terrestre

33

(1.30). La résolution classique se fait à l'aide de développements utilisant les intégrales de Wallis. Dans le cas d'un aplatissement faible, Levallois remarque que l'intégration directe donne des résultats aussi précis et qui convergent plus vite. Considérons un élément d'arc de méridien dLi\1 :

qu'on développe ainsi (les termes en é et au-delà, négligés ici, contribuent pour moins d'un millimètre dans la longueur de l'arc du méridien terrestre) :

On linéarise les sinus avec la formule de Moivre: 8 sin 4 cp = 3 - 4 cos 2cp + cos 4cp

2 sin 2 cp = 1- cos2cp 32 sin 6 cp

10 - 15 cos 2cp + 6 cos 4cp - cos 6cp

=

On obtient ainsi une expression de dL M qu'on intègre terme à terme entre 0 et la latitude cp :

1:(cp)

Jor

=

(2.22)

dL M

L'arc de méridien 1:( cp) a pour expression: (2.23) avec:

A(cp)

=

3 8

15 4 35 6 A4 e sin4cp - - - A6 e sin6cp 256 3072

Ao cp - - A 2 e sin2cp + 2

et :

3 4

2

45 64

4

175 256

Ao=l+-e +-e + - e

+ -5 e 2 + -175

4

6

7

2

e A4 = 1 + 4: e 128 Le « quart de méridien terrestre», grandeur d'importance historique, représente la longueur d'arc entre l'équateur et le pôle:

A2

= 1

4

1:

("27r) ="27r a (1 -

2

e ) Ao

(2.24)

Avec un développement au second degré en e, on obtient le résultat: (2.25) déjé vu au chapitre 1, avec (1.35). On rappelle que, pour la Terre, e 2 1/150 ~ 6.7 10- 3 et é ~ 1/22500 ~ 4.4 10- 5 .

34

Chapitre 2. Géodésie

Longueur du méridien, longueur de l'équateur La longueur du méridien LM sur un tour complet du globe (de l'ellipsoïde) et celle de l'équateur LP/équat. sont évidemment: LM

=

2 7T a (1 - e 2 ) Ao

LP/équat. =

2 7T a

Les valeurs numériques sont données dans le tableau 2.3. Ellipsoïde

Longueur (m) du méridien

Longueur (m) de l'équateur

Delambre et Méchain (création du mètre)

40000000

40059944

WGS84 (et ellipsoïdes actuels)

40007864

40075016

2.3: Longueur du méridien et longueur de l'équateur. Valeurs historiques (de la définition du mètre) et valeurs actuellement retenues, en mètres.

TABLEAU

2.2 2.2.1

Altitude par rapport à l'ellipsoïde Définition de l'altitude géodésique et du nadir

On considère un point S à une distance T du point 0, centre de l'ellipsoïde, au-dessus de l'ellipsoïde (figure 2.4). Sa longitude est À. Si on repère S avec la latitude géocentrique, 1jJ = (Ox, 08), ses coordonnées cartésiennes sont, comme vu avec (2.1) :

08 =

cos VJ . cos À cos VJ . sin À = Tsin VJ

x = y= Z

T

T

(2.26)

Le point T est l'intersection de OS avec l'ellipsoïde. Si on repère S avec la latitude géodésique, cp = (Ox, IS), ses coordonnées cartésiennes sont, en adaptant (2.13) et en notant N = lS la grande normale:

08 =

x = (N + h) cos cp . cos À Y = (N + h) cos cp . sin À Z = [N (1 - e 2 ) + hl sincp

(2.27)

où h = SN représente l'altitude géodésique ou haute UT ellipsoïdale, c'est-àdire la distance entre le point S et le pied N de la normale à l'ellipsoïde.

2.2. Altitude par rapport à l'ellipsoïde

35

Avec le vocabulaire lié à la mécanique spatiale, S représente le satellite, 0 le centre attractif (centre de la Terre), T est la trace (ou trace géocentrique) et N le nadir 5 (ou trace géodésique, ou point subsatellite).

2.2.2

Latitude liée à l'altitude géodésique

Les angles utilisés dans la détermination de ces grandeurs sont notés dans la figure 2.4. Il faut remarquer que si .1jJ et !.p sont les latitudes relatives au point S, ces angles ne s'appliquent pas au même point à la surface de l'ellipsoïde. On considère le point S parfaitement déterminé dans l'espace par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z) ou, ce qui est équivalent, par ses coordonnées sphériques géocentriques (r,ljJ, À), voir (2.26). Pour ses coordonnées géodésiques (h,!.p, À), seule l'obtention de la longitude est évidente : À =

arctan 1!... x

avec Signe(À) = Signe(y) pour [+E/-W]

(2.28)

Les valeurs de h et !.p, qui, rappelons-le, sont liées, s'obtiennent moins immédiatement. Examinons d'abord la relation entre les latitudes géocentrique et géodésique de S. Les équations (2.26) et (2.27) donnent: r cosljJ = (N + h) cos!.p r sin VJ = [N (1 - e 2 ) + h] sin!.p d'où la relation:

tanljJ N 2 --=l----e tan!.p N +h

ou bien: tan!.p

=

(1 -1 e~ N ) +

/

-1

(2.29)

tan 1/J

(2.30)

Cette relation montre aussitôt les valeurs limites de !.p : - pour h = 0, tan!.p = (1 - e 2)-1 tan 1/J ===} !.p = !.pT - pour h ----) 00, tan!.p = tan VJ ===} !.p = VJ La valeur de la latitude géodésique de S est comprise entre la latitude géodésique de la trace T et sa latitude géocentrique.

2.2.3

Détermination de l'altitude géodésique et du nadir

On peut obtenir h et !.p par méthode itérative, par approximation, ou de manière directe. 5Le nadir est la direction donnée par la verticale, orientée vers le bas. La direction opposée est le zénith. Nadir vient de l'arabe niiçlir, de la racine du verbe « regarder, voir en face ».

36

Chapitre 2. Géodésie

z

s

x

o ~,.

1/

/

/

l'

Symbole

1/J

'PT 1/JN 'P

Latitude

Latitude

Angle

géocentrique de T géodésique de T géocentrique de N géodésique de N

géocentrique de S

1/J

-

géodésique de S

=

(Ox, OS)

'PT = (Ox, l'T) 'ljJN = (Ox, ON) 'P = (Ox,IS)

FIG. 2.4 : Représentation de la latitude géodésique 'P et de la latitude géocentrique 1/J du point S. On a noté le point de trace T et le point de nadir N, ainsi que l'altitude géodésique (ou hauteur ellipsoïdale) SN.

2.2. Altitude par rapport à l'ellipsoïde

Ellipsoïde: a = Re; e 2 = f(2 - 1)

000

o 1

0

020

030

080

o 9

0

37

.4.

.5. .6. .7.

Données: x, y, z ===? P = VX2 Initialisation : 'Pl = 1/) Début de la boucle i = 1, n Ni = a

(1 -

e 2 sin 'Pi) -

P h i = - - - Ni cos 'Pi

'Pi = arctan

Test sur 'Pi Fin de la boucle Résultats

[~

arctan(z/ P)

1

2"

(1 - 1+ ~:/NJ -1] 0

f-----+

+ y2 ; 1/) =

3

0

ou

0

8

0

TABLEAU 2.4: Méthode itérative pour l'obtention de l'altitude h et de la latitude 'P du nadir (point sub-satellite).

Méthode itérative

On désigne par P la projection de OS sur le plan équatorial:

P =

yi x 2 + y2

=

(N + h) cos ip

(2.31 )

d'où l'altitude géodésique h :

P cos ip

h=--N

(2.32)

La projection de OS sur l'axe des pôles Oz est z = P tanljJ, et avec (2.29) on a:

Pz = ( 1 - N N+ h e

2)

tan ip

et donc: (2.33) On procède alors comme indiqué dans le tableau 2.4. La convergence est très rapide : deux ou trois itérations donnent le résultat avec un bonne précision. Méthode par approximation

Dans le triangle ONS (figure 2.4), l'angle en a (égal àljJ-IjJN) et l'angle en 5 (égal à ip - 'ljJ) sont petits - toujours inférieurs à 0.19° pour l'ellipsoïde

38

Chapitre 2. Géodésie

terrestre. Cela permet des approximations trigonométriques qui conduisent aux formules approchées suivantes : cp =

h

(

)

f p vJ + - sin2VJ + -

-=7]-1+ ~

(1 - :Q.4)

f/f/2

sin41jJ

j' 1 - cos21jJ P (1 _ :Q.4) 1 - cos41jJ +4 2 7]

(2.34) (2.35)

en utilisant la distance relative 7] ainsi définie : r 7] = a

(2.36)

où r représente la distance OS et a le demi-grand axe de l'ellipsoïde 6 , ici a = Re.

Méthode directe L'algorithme de Borkowski permet d'obtenir directement les valeurs de cp et h. Il utilise le fait que ce problème se réduit à une équation du 48 degré. Sa résolution, assez difficile, est d'une complexité bien supérieure à celle des deux méthodes vues ci-dessus. Le gain de précision est imperceptible. L'accord entre les trois méthodes est de 10- 4 degré pour le calcul des angles.

Remarques sur l'altitude et la latitude Pour un point S donné, on définit l'écart de latitude 5cp par:

5cp = 5cp(h, VJ) = cp -1jJ

(2.37)

On définit aussi l'écart d'altitude:

5h

=

5h(h, 1jJ)

=

h' - h

(2.38)

où h' = ST est l'altitude géocentrique. La tangente à l'ellipse étant extérieure à l'ellipse, h' est toujours supérieur à h (h est la plus petite distance entre S et l'ellipsoïde). Avec r = OS = OT + TS = R7jJ + h', la distance relative 7] est égale à (R7jJ + h' )/ Re. On en déduit, avec (1.39) :

h'= 7 ] -R7jJ - = (7]-1 ) + f 1 - cos 2VJ +0 (f2) Re Re 2

6n faut

(2.39)

bien noter que TJ = 1 ne correspond à h = 0 que dans le plan équatorial, pour

'1/) = O. Si on applique TJ = 1 avec '1/) = (1T 12) dans (2.35), on obtient (hl Re) = f, soit h

=

Re - RI" L'altitude nulle, h

= 0, aux pôles, correspond à

TJ

= 1 - f.

2.2. Altitude par rapport à l'ellipsoïde

39

(minute d'arc) (km)

(mille marin)

15-,------------------------------------------------~

14

~

13

~

12

rr

g Q)

.Q)

~

1ii ...J

Altitude (km)

a

11

400 800 1250

19 18 17 16 15 14 13 12 11 10

10

Q)

::J

rr

ëil .Q) u 0

.Q) ~

ni

2500 5000

...J

10000

Q)

"c~

20000

.Q)

t:=

ëi

40000 80000 0 10

TERRE

1If ~ 298.257

20

30

40

50

Latitude (degré)

60

70

80

90

----

infini I~tr,)JJ

FIG. 2.5: Représentation graphique de la variation de 6'P = 'P -1/}, différence entre la latitude géodésique 'P et la latitude géocentrique 1j;, pour un point 5 (un satellite 5), en fonction de sa latitude. Chaque courbe correspond à une altitude de 5, notée à droite, en regard de son sommet. La valeur de 6'P est notée en minutes d'angle (ordonnées à gauche) et en kilomètres de distance sur le terrain (à droite). On rappelle: l' de latitude = 1 mille marin de distance. La variable en abscisses a été notée «latitude» car il est illusoire de distinguer les deux latitudes pour cette coordonnée. Pour chaque altitude, le maximum est obtenu pour la latitude de 45°.

En comparant (2.37) et (2.34), puis (2.39) et (2.35), on voit que Oi.p est une quantité petite, proportionnelle à f, alors que oh est une quantité petite, proportionnelle à p. Dans le triangle SNT (figure 2.4), l'arc NT est pratiquement proportionnel à l'ouverture de l'angle en S (égal à Oi.p), donc proportionnel à f, alors que la différence entre les côtés SN et ST dépend, en écrivant les distances, du carré de f. On a représenté (figure 2.5) les variations de l'écart de latitude, Oi.p = oh(h, 'ljJ) en fonction de la latitude (variant de 0° à 90°) et de l'altitude (variant de 0 à l'infini).

40

Chapitre 2. Géodésie

1/)

cpT

(0 )

cp

n

Ibcpl

n

h (km)

hl (km)

bh (km)

L

0.000 14.963 29.957 44.992 59.987 74.905 81.330 -0.022 -81.330

0.000 15.059 30.124 45.185 60.153 75.002 81.387 -0.022 -81.387

0.000 15.048 30.105 45.162 60.134 74.991 81.381 -0.022 -81.381

0.000 0.085 0.148 0.170 0.147 0.086 0.051 0.000 0.051

822.011 823.341 827.187 832.510 837.849 841.777 842.796 822.631 843.647

822.011 823.341 827.190 832.514 837.851 841. 778 842.796 822.631 843.647

0.000 0.000 0.003 0.004 0.002 0.001 0.000 0.000 0.000

M

0.000 14.965 29.874 44.981 55.284 -0.027 -55.284

0.000 15.061 30.040 45.174 55.464 -0.027 -55.464

0.000 14.988 29.914 45.027 55.327 -0.027 -55.327

0.000 0.023 0.040 0.046 0.043 0.000 0.043

20240.459 20235.031 20226.316 20211.941 20184.322 20124.195 20208.988

20240.459 20235.039 20226.338 20211.969 20184.346 20124.195 20209.010

0.000 0.008 0.022 0.027 0.023 0.000 0.023

S.

(0)

2.5 : Calcul de la latitude géodésique cp et de l'altitude géodésique h pour deux satellites (S.), l'un en orbite LEO (L), de type SPOT-5, l'autre en orbite MEO (M), de type Navstar/GPS. Comparaison avec les grandeurs géocentriques1/; et hl. Pour l'ensemble des notations, se reporter à la figure 2.4.

TABLEAU

Exemple 2.2 Calcul des écarts bcp et bh, définis ci-dessus, dans le cas de deux satellites, un en orbite basse (LEOJ et l'autre en orbite moyenne (MEOJ. ~ Pour l'orbite basse (LEO), on choisit le satellite SPOT-5 (altitude moyenne à l'équateur: 822.3 km; inclinaison: i = 98.670°). Les résultats sont donnés pour des latitudes de 15° en 15°, à partir de 0°, la latitude extrême étant 11/;1 = 180° - i = 81.330° . On note les trois angles, 1/; (latitude géocentrique du satellite S), CPT (latitude géodésique de sa trace T), cP (latitude géodésique du nadir N et donc du satellite S), ainsi que la différence Ibcpl. Pour l'altitude, on note h (altitude géodésique) et hl (altitude géocentrique). La quantité bh est au maximum de quelques mètres. On donne les résultats équivalents pour un satellite en orbite moyenne (MEO). On choisit un élément de la constellation N avstar / G PS, le satellite N avstar- 2RM -6 (altitude moyenne à l'équateur: 20182.3 km; inclinaison: i = 55.284°). La latitude extrême est dans ce cas 11/;1 = i = 55.284°. Les résultats sont reportés dans le tableau 2.5. Données techniques sur l'orbite des satellites. Calculs Ixion avec initialisation NORAD. SPOT-5, Révolution 34006, Date 2008-11-24. Navstar-2RM-6 [PRN 07], Révolution 510, Date 2008-11-22 .....

2.3. Aperçu historique

2.3

Aperçu historique

2.3.1

Avant les Lumières

41

Si on appliquait le principe de saint Thomas - je ne crois que ce que je vois - il aurait fallu attendre Gagarine pour entendre dire : «la Terre est ronde ». Heureusement pour l'esprit humain, la nouvelle était connue et vérifiée depuis longtemps, et ce ne sont pas les satellites qui ont permis cette découverte. Mais, comme nous verrons, c'est principalement par les satellites qu'on a pu affiner (avec un degré de précision très poussé) la forme réelle de la Terre (et celle d'autres planètes du Système solaire). La plus ancienne description du monde réel qui nous soit parvenue est celle que fait Homère dans l'Odyssée. L'aède y décrit le voyage retour d'Ulysse, dix ans d'errance en Méditerranée. On peut reconstituer tout ce périple et établir une carte géographique du monde tel qu'il était perçu dans l'Antiquité : un disque plat, entouré d'un fleuve-océan 7 . Plus tard, c'est de Grèce aussi que sont venues les premières théories affirmant la rotondité de la Terre. Des théories philosophiques, avec Aristote, qui comprenait bien que la disparition d'un bateau à l'horizon - d'abord la coque, ensuite la voile - ne peut s'expliquer que si la mer épouse une forme arrondie. Et des théories scientifiques, étayées par les mesures, avec Eratosthène et sa mesure comparée de la culmination solaire à Alexandrie et à Syène. La valeur de la circonférence terrestre, donnée par ce géomètremathématicien-astronome, était très bonne, pour autant qu'on puisse jongler avec les unités de longueur de l'époque. Du point de vue de la géographie, le Moyen Âge est une période obscure, très obscure. La mappemonde de Hereford montre comment, en 1300, la perception du monde n'avait pas beaucoup évolué depuis Homère - seul changement notable, Jérusalem avait remplacé Delphes comme centre du monde. Les cartes dites « TO », pour Termrum Orbis, représentent l'ensemble des terres en forme de T, entouré de l'océan O. Ces mappemondes ne sont le vrai reflet que de l'écrasant obscurantisme qui s'appuyait sur la religion et la servait. Puis la lumière revint. Copernic, d'abord, Kepler et Galilée ensuite. La Terre redevint ronde et perdit sa place au centre de l'Univers.

7 Au centre exact de ce monde circulaire se trouve Delphes et le sanctuaire d'Apollon. Le nom de Delphes, 01 6EÀqJO(, W'I est à rapprocher du mot ~ OEÀtpÛÇ, ûoç, «la matrice, l'utérus ».

42

2.3.2

Chapitre 2. Géodésie

U ne affaire française

À ses débuts, de 1666 (fondation de l'Académie des Sciences, par Colbert, sous Louis XIV) jusqu'aux environs de 1810, la géodésie a été une « affaire française », brillamment développée par la Sçavante Assemblée et son annexe, l'Observatoire de Paris. On peut distinguer trois étapes dans cette histoire féconde - la mesure du rayon terrestre; - la mesure de l'aplatissement terrestre; - la création du mètre. La mesure de la Terre par Picard

L'abbé Picard 8 réalise la première mesure, scientifiquement sérieuse, d'un degré de latitude afin de connaître la rayon de la Terre, qui est supposée être sphérique à l'époque. Il emploie, en utilisant des instruments de précision, la méthode de triangulation 9 inventée par le Hollandais Snellius. Picard mesure (1669-1671) un degré sur le méridien Paris-Amiens (dit méridienne de Paris). Plus précisément, il établit 13 triangles entre Malvoisine (au sud) et Sourdon (au nord), couvrant 1°22', avec pour base 10 Villejuif-Juvisy. Il trouve 57 060 toises pour 1° sur le méridein, ce qui équivaut à 6 372 km pour le rayon de la Terre. C'est d'une précision remarquable, à 0.1% de la valeur exacte. On l'explique par la qualité des mesures mais aussi, en partie, au fait que la région mesurée se situe aux alentours de 50°, latitude pour laquelle le rayon de courbure est pratiquement égal au rayon de la Terre, comme le montre la relation (2.17). 8 Abbé Jean Picard (1620-1683), astronome et géodésien français. Il inventa la lunette de visée avec réticule, qui lui permit de faire des nivellements de grande précision. Ayant déterminé le rayon de la Terre, comme expliqué ci-après (Mesure de la Terre, 1671), il communique aussitôt son résultat à Newton. Celui-ci put ainsi vérifier la relation entre les accélérations et les carrés des distances et affirmer définitivement la théorie de la gravitation uni verselle. Dans un autre domaine, Picard fut le premier à réaliser des mesures systématiques du diamètre du disque solaire, pour en établir les variations et chercher des relations avec les changements climatiques. Sa série de mesures, de 1666 à 1682, fut poursuivie par La Hire, de 1683 à 1718. 90n considère, sur le terrain, aux abords d'une distance rectiligne à mesurer, une chaîne de triangles adjacents. Ces triangles ont pour sommets des clochers, ou d'autres éléments visibles de loin. On mesure les angles de ces triangles, et en connaissant un seul côté, on obtient, par la trigonométrie, la mesure de tous les autre côtés. On a ainsi la distance cherchée. Le côté qui est effectivement mesuré s'appelle la base. 10« Le grand chemin pavé, depuis le moulin de Ville-Juive jusqu'au pavillon de Juvisy, en droite ligne sans aucune inégalité considérable, est propre à servir de base fondamentale à tout cet ouvrage ». La base fut mesurée dans les deux sens, avec grand soin, par arpentage (juxtaposition de toises). De nos jours, cette portion de 11 km de la route D7 (ancienne nationale N7), qui passe sous les pistes de l'aéroport d'Orly, est toujours bien rectiligne, mis à part quelques aménagements urbains ponctuels. Une stèle, dite pyramide, marque les abords de chacune de ses deux extrémités.

2.3. Aperçu historique

43

De la sphère à l'ellipsoïde

En 1672, l'astronome J. Richer est envoyé en Guyane l l . Il constate que l'horloge mécanique qu'il a amenée, et qui était réglée précisément pour « battre la seconde» à l'Observatoire de Paris, retarde de deux minutes par jour (l'expression « battre la seconde» signifie que la période est de 2 secondes). Il attribue ce dérèglement à une diminution de la pesanteur, qui, pour lui, ne peut avoir qu'une explication : l'équateur est plus éloigné du centre de la Terre que Paris. Il suggère donc que la Terre est aplatie. Peu après, Newton et Huygens, indépendamment (en 1687 et 1690), démontrent que si l'intérieur de la Terre est plus ou moins fluide, le mouvement de rotation diurne doit transformer la sphère en un ellipsoïde, aplati selon l'axe des pôles: f = 1/230 pour Newton qui considère un ellipsoïde homogène, f = 1/576 pour Huygens avec une Terre dont la masse est concentrée dans un noyau central. J. D. Cassini 12 avait observé, en 1668, ce phénomène pour Jupiter, qui a un fort aplatissement (j = 1/18) - et il le mesurera plus tard pour Saturne. Pour déterminer l'aplatissement terrestre, l'Académie décide, en 1683, llLe rayon de la Terre étant connu depuis l'année précédente, l'Académie envoie Jean Richer à Cayenne pour observer, de concert avec Picard resté à Paris, la parallaxe de Mars (l'angle sous lequel le diamètre terrestre est vu de Mars). Et de la mesure de cette distance, on peut déduire, par la troisième loi de Kepler, les dimensions des orbites planétaires. Toute l'échelle du Système solaire repose alors sur la base Villejuif-Juvisy! 12Le nom de Cassini apparaît à plusieurs reprises dans ce chapitre. Il s'agit de la célèbre lignée d'astronomes, appelée souvent «dynastie» et dont les membres sont numérotés en chiffres romains, telles des tètes couronnées. - Jean Dominique (né Gian Domenico) Cassini (1625-1712), dit Cassini l, est d'origine italienne (niçoise). Il devint rapidement célèbre pour ses travaux en géodésie et surtout en astronomie, avec son observation très précise des planètes (Mars et Jupiter). Il commença a établir les tables des satellites galiléens de Jupiter, ce qui était un élément primordial pour déterminer les longitudes (les éclipses de ces satellites sont des signaux instantanés pour un observateur terrestre). Ce fut alors le «transfert du siècle» : Louis XIV appela Cassini à Paris en 1669 pour lui confier l'établissement et la responsabilité de l'Observatoire de Paris. En 1679, l'Observatoire fit paraître La Connaissance des Temps, publication toujours vivante, qui fournit la position des corps célestes avec la plus grande précision possible. Cassini poursuivit son travail sur les satellites de Jupiter (ce qui permit à Olaüs Riimer de montrer que la vitesse de la lumière n'était pas infinie) et réalisa les meilleures observations de l'époque sur la Lune et sur Saturne. C'est le Cassini de la division de Cassini dans les anneaux de Saturne et de la sonde Cassini d'exploration de cette planète. - Jacques Cassini (1677-1756), dit Cassini II, fils du précédent. Il poursuivit les mesures géodésiques de son père et de Picard, mais la publication De la grandeur et de la figure de la Terre (1722), où il se trompe dans l'aplatissement de la Terre, lui enleva plus tard du crédit scientifique. C'est le Cassini des Cassiniens contre Newton. - César François Cassini de Thury (1714-1784), dit Cassini III, fils du précédent. Après avoir aidé son père dans les mesures géodésiques, il se consacra à la cartographie. Louis XV, en 1750, lui demanda de réaliser la carte complète du royaume. C'est le Cassini de la projection et de la carte de Cassini. - Jacques Dominique Cassini (1748-1845), dit Cassini IV, fils du précédent. Il acheva l'édition de la carte de France, en 1790. De 1669 à 1793, les Cassini dirigèrent (de fait ou de droit) l'Observatoire, le fils prenant la succession à la mort du père.

44

Chapitre 2. Géodésie

Raflskan Tlf!deakalem/On Qjlel'"110lls Lap/ssQ

SUOM I· FI

Nom du degré Laponie Paris Pérou Le Cap

LA D 1,60

Latit. cp (0 ')

i1L lvI (toises)

i1LlvI (km)

57438 57074 56746 57037

111.949 111.239 110.600 111.167

+ 66° + 49°

20' 29' - 01° 30' - 33° 18'

2.6: Résultat de la mesure du degré de latitude i1LlvI, entre 1736 et 1754, en fonction de la latitude moyenne cp, en degré {+N/-Sj. On donne la valeur de i1LlvI en toises et la valeur moderne équivalente en kilomètres. TABLEAU

de prolonger la méridienne de Picard, au nord jusqu'à Dunkerque, au sud jusqu'à Collioure - toute l'étendue de la France. Les travaux se déroulent de 1700 à 1718, sous la conduite de J. Cassini, Maraldi et La Hire. Les mesures conduisent à un degré de latitude plus grand au sud qu'au nord, ce qui indique un ellipsoïde allongé selon l'axe des pôles, avec f = -1/95 (f est négatif si b > a), comme le montre la figure 2.3 en contre-exemple. Commence alors, pour une vingtaine d'années, la bataille entre Cassiniens et Newtoniens! La Terre: pomme 13 ou citron? Entre le nord et le sud de la France, la variation de latitude n'est pas assez grande pour obtenir un résultat sûr. Sur l'avis de l'Académie des Sciences, le comte de Maurepas, ministre de la Marine, envoie deux expéditions aux deux extrémités géodésiques du monde, l'une polaire, l'autre équinoxiale: - P. 1. M. de Maupertuis 14 , A. C. Clairaut et A. Celsius mesurent le degré de Laponie (aux confins de la Suède et de la Finlande), en 1736 et 1737; - L. Godin, C. M. de la Condamine et L. Bouguer mesurent le degré du Pérou 13L'expression traditionnelle, quand on veut illustrer ce propos, est «La Terre: mandarine ou citron? ». Elle nous semble apocryphe, car le terme « mandarine» n'apparaît en français qu'en 1773. 14 Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759), physicien français, dirigea l'expédition de Laponie. Cela lui valut, à son retour, ces deux vers de la part de Voltaire: Vous allâtes vérifier en ces lieux pleins d'ennui Ce que Newton connut sans sortir de chez lui. Sans qu'il faille y chercher un rapport avec cette dédicace ironique, Maupertuis rédigea ensuite, en 1744, le célèbre Principe de moindre action.

2.3. Aperçu historique

45

(aujourd'hui cette région est en Équateur), dans des conditions très difficiles et éprouvantes, de 1736 à 1744. Pendant ce temps, en 1739 et 1740, Cassini de Thury et l'abbé La Caille reprennent la méridienne de Picard. Puis, de 1750 à 1754, La Caille réside au Cap de Bonne-Espérance et mesure un degré dans l'hémisphère Sud. Évaluons l'aplatissement à partir de ces résultats, notés dans le tableau 2.6. Le rapport de deux rayons de courbure, Pl en 'Pl et P2 en 'P2, donne avec la relation (2.14) : 3

Pl = [1 - e 2 sin 2 'P2] P2 1 - e 2 sin 2 'Pl

2"

Avec un développement au premier ordre en e 2 , on obtient: Pl 3 2 = 1 - - e (COS2'PI - COS2'P2) P2 4

-

Le rapport des rayons de courbure étant équivalent au rapport des mesures fJ.L M pour 10 et e 2 étant pratiquement égal à 2J, on a :

J=

~ 1 - (fJ.L1I/Il / fJ.L A12 ) 3 cos 2'PI - cos 2'P2

(2.40)

Calculons l'aplatissement à partir des mesures du Pérou (fJ.L MI , 'Pl) et de Paris (fJ.L M2 , 'P2) : fJ.L MI = 0.99425 fJ.L M2 ===}

cos 2'PI - cos 2'P2 = l.15506

. 2 5.476910- 3 -3 1 j ="3 l.15506 = 3.31696 10 = 301

La mesure de l'arc du Cap n'est pas conservée car sa valeur a été surévaluée, la verticale étant faussée par la présence de montagnes voisines. Le calcul de J avec le degré de Laponie donne des résultats trop différents (f = 1/123 et J = 1/207) pour être acceptés par la communauté scientifique, à tel point que l'Académie suédoise décide, en 1801, une nouvelle expédition en Laponie (qui donnera fJ.L M = 57 196 toises, soit 0.42% de moins que la première mesure). La méthode de calcul de J par (2.40) est extrêmement sensible à la précision des mesures. En supposant les latitudes 'Pl et 'P2 connues avec certitude et le degré à Paris fJ.L M2 mesuré exactement, une erreur relative de 0.1 % sur le degré du Pérou fJ.L MI (soit une erreur de 57 toises par degré) implique une erreur de 17.3% sur J. On obtient les résultats suivants: avec fJ.L MI = 56 803 toises, 1/ J = 364.6 et avec fJ.L ltH = 56 689 toises, 1/ J = 257.0. Grâce à cette activité de pointe en géodésie, la France fut le premier pays du monde à réaliser une carte l5 très précise de son territoire, dite carte de Cassini. 15Cette carte, déjà évoquée un peu plus haut, est à l'échelle de 1/86400 (une ligne pour

46

Chapitre 2. Géodésie

La création du mètre

« À tous les temps, à tous les peuples» : bien dans l'esprit d'universalité qui caractérise cette époque bouleversée, la Révolution française veut offrir à l'Humanité un système d'unités unique et cohérent.

La longueur du pendule qui bat la seconde n'étant pas indépendante de la latitude 16 , l'Assemblée décide, le 30 mars 1791, que l'unité de longueur sera la dix-millionnième partie du quart de méridien terrestre, sur proposition de la commision constituée de Borda, Lagrange, Laplace, Monge et Condorcet. Les astromones Delambre et Méchain sont chargés de la mesure précise de l'arc de méridien Dunkerque-Barcelone, villes distantes de « 9 degrés 2 tiers» sur le méridien de Paris, et toutes deux au bord de la mer. La triangulation s'opéra 17 de juin 1792 à fin 1798 18 , avec 115 triangles et deux bases, celle de Melun (de Lieusaint à Melun) et celle de Perpignan (de Salses à Vernet). 100 toises). Elle comporte 182 planches, pour couvrir tout le royaume. Cassini de Thury utilisa une projection originale, dite projection de Cassini, en traçant des perpendiculaires au méridien de Paris. Ces perpendiculaires ne sont pas des parallèles (lieu des points à latitude constante) mais des grands cercles (pour la Terre sphérique). La perpendiculaire passant par l'Observatoire de Paris va de Granville à Strasbourg. Cette projection est l'aspect transverse de la projection dite « plate-carrée». 16La période T du pendule de longueur l, dans un champ de pesanteur g, est donnée par la relation T = 2 ;r,jff9, en unités SI. Avec T = 2 secondes, on obtient numériquement: l = gj;r2. En fonction de la variation de 9 entre l'équateur et le pôle, l varie de 0.991 m à 0.996 m. On remarque que le mètre a été choisi proche de la longueur de ce pendule, alors qu'un mètre double aurait été proche de la toise. 17Les angles étaient mesurés avec une précision de 1" d'arc, par la méthode du cercle répétiteur de Borda (instruments de Lenoir). 18L'époque n'était pas propice à ce genre d'expédition. Amener des instruments bizarres et encombrants dans les clochers d'églises ou sur les tours de châteaux intriguait beaucoup les populations locales. Il y eut de très nombreux incidents (bris de matériel, arrestation des géomètres, etc.).

2.3. Aperçu historique

47

Le résultat est proclamé en juin 1799. Le quart de méridien, calculé d'après ces mesures, donne: f2

(~)

=

5 130740 toises

qui est donc égal, par définition de la nouvelle unité de mesure, à : f2

(~)

=

10000000 mètres

Le taux de conversion officiel est ainsi fixé à : 1 toise du Châtelet = 1.949 036 3 mètre La loi instaurant le mètre 19 est signée le 10 décembre 1799 (19 frimaire An VIII). En utilisant l'ellipsoïde de Delambre et Méchain (a = 6 375.738 m; 1/ f = 334) qui donne cette valeur de définition pour f2( 7r /2), nous avons noté, dans le tableau 2.2, dernière colonne, les valeurs de l'arc de méridien en fonction de la latitude. On peut ainsi comparer avec les valeurs actuellement retenues. L'erreur relative de Delambre et Méchain, qui est de 0.02%, montre la grande qualité de ces mesures 20 .

2.3.3

La géodésie dynamique

La géodésie moderne commence avec Clairaut. Avec Théorie de la figure de la Terre, tirée des principes de l'hydrostatique (1743), il pose les bases 19Devant le retard pris dans les mesures, un mètre provisoire avait été instauré le 1 er août 1793. Avec le mètre provisoire, on obtiendrait: L("Ir /2) = 5 130 430 toises. 20 Après avoir été déterminé par rapport à l'ellipsoïde terrestre, le mètre a été ensuite fixé par la Conférence Générale des Poids et Mesures (CGPM). En 1889 (Fe CGPM), le mètre a été défini par le prototype déposé aux Archives de France. En 1960 (lIe CGPM), il l'est d'après la longueur d'onde d'une radiation émise par le krypton 86. Depuis 1983 (17 e CGPM), le mètre est défini par rapport à la vitesse de la lumière (voir chapitre 6, annexe Constantes astronomiques).

48

Chapitre 2. Géodésie

de la géodésie dynamique: la mesure de la pesanteur doit servir, comme la mesure des degrés de latitude, à déterminer la forme de l'ellipsoïde. La forme de la Terre dépend de sa vitesse de rotation selon l'axe des pôles et de la répartition des masses intérieures. Lagrange invente la notion de potentiel et ne se satisfait plus de définir l'ellipsoïde terrestre par son aplatissement. Il développe, en 1810, le potentiel gravitationnel de la Terre en harmoniques sphériques et les coefficients de ce développement représentent au mieux les imperfections de forme de la sphère. La notion de «figure de la Terre» est alors remplacée par celle de « géoïde», qui représente la surface équipotentielle épousant le niveau moyen des océans. Le 4 octobre 1957, la mise en orbite de Spoutnik-1 marque le début de la géodésie spatiale.

Chapitre 3

Géopotentiel 3.1 3.1.1

Notions préliminaires Référentiels d'étude

Considérons un repère centré sur le Soleil et dont les axes visent des étoiles lointaines (fixes). Ce repère joue le rôle d'une référentiel de Copernic (ou référentiel copernicien), noté iRa. Tout référentiel iR 1 en translation linéaire et uniforme par rapport à iRa est un référentiel de Galilée (ou référentiel galiléen). Dans un tel référentiel, l'expérience montre que la loi fondamentale de la mécanique de Newton 1 est parfaitement vérifiée:

F

=

d(rnv) dt

(3.1)

où F représente la force appliquée au corps de masse rn et (d v/dt) son accélération. Considérons un référentieliR avec pour origine le centre de la Terre et dont les axes sont parallèles à ceux d'un référentiel iR 1 . Ce référentiel iR n'est pas stricto sensu galiléen, car le mouvement de révolution de la Terre autour du Soleil n'est ni linéaire ni uniforme. Cependant ce mouvement est lent (un tour 1 Isaac Newton (1643-1727), mathématicien, physicien et astronome anglais. Il énonça en 1687 dans Philosophœ Naturalis Principia Mathematica les trois lois de la mécanique: (1) le principe d'inertie, (2) le principe fondamental de la dynamique - dans un référentiel galiléen, la force est égale au produit de la masse (inerte) par l'accélération, (3) le principe de l'action et de la réaction. On peut montrer que (1) est un cas particulier de (2) et que (3) peut se déduire de (2). La relation fondamentale (2) n'est pas exprimée tout à fait de cette manière par Newton. Combinée à la loi des ellipses de Kepler, cette relation permet d'établir la loi de l'attraction universelle. L'œuvre de Newton domine le XVIIIe siècle, en mathématiques (analyse, résolution d'équations, ... ), en physique, en particulier en optique (publication de son ouvrage Opticks). Remarque biographique pour la date de naissance : le 25 décembre 1642 du calendrier julien, alors encore en vigueur en Angleterre, correspond au 4 janvier 1643 du calendrier grégorien.

M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

50

Chapitre 3. Géopotentiel

en un an) et surtout il est parfaitement connu: on peut calculer sans problème l'accélération d'entraînement induite. Ce référentiel 1R, pseudo-galiléen, sera par la suite considéré comme le référentiel galiléen lié à la Terre. Nous utiliserons principalement, dans ce travail, deux référentiels, les deux ayant pour origine le centre de la Terre : - 1R galiléen (pseudo-galiléen), lié au trièdre orthonormé (0 ; Xc, Ye, ze), Oze étant l'axe des pôles et Oxe pointant une direction fixe dans l'espace (une étoile lointaine) ; - 1RT terrestre (non galiléen), nécessaire au repérage des points sur Terre, lié au trièdre orthonormé (0 ; XT, YT, ZT), 0 ZT = Oze étant l'axe des pôles et OXT étant lié à la rotation terrestre en restant fixe dans le méridien origine (méridien de Greenwich).

3.1.2

Rappels sur le travail et le potentiel

Travail, champ de forces, potentiel

On appelle travail élémentaire d'une force, représentée par un vecteur F, appliquée à un point NI, la grandeur scalaire : dW = F· dl le vecteur dl représentant le déplacement élémentaire de l'vI à l'vI'. Dans un repère orthonormé, avec F(X, Y,Z) et dl(dx,dy,dz), le produit scalaire donne : dW = Xdx + Ydy + Zdz Le travail total, lorsque le point d'application de la force va de A à B est:

W=

lB

F·dl

On dit qu'un point NI est soumis à un champ de forces si, dans tout son domaine d'application, on peut associer une force F(X, Y, Z) à chaque position du point M(x, y, z). S'il existe une fonction V(x, y, z) telle que les composantes de la force F(X, Y, Z) soient:

X=

av

ax

Y=

av

ay

Z=

av

az

dans tout l'espace de définition, on dit que le champ dépend (ou dérive) d'un potentiel. Dans ce cas, la force est dite conservative. En utilisant l'opérateur vectoriel gradient, noté gr ad (défini par dV = grad V . dl), on peut écrire dans ce cas : F= grad V

3.1. Notions préliminaires

et dW devient:

dW

=

51

grad V . dl

ce qui représente la différentielle totale exacte de dV :

dW=dV En intégrant entre les points A et B :

lB

dW = W: = V(B) - V(A)

Cela montre que le travail effectué de A à B, noté W:, ne dépend que des valeurs de V prises aux points A et B (et pas des valeurs intermédiaires, celles du chemin suivi). La fonction V n'est définie qu'à une constante additive près. Surface équipotentielle

On appelle surface équipotentielle la surface définie par:

V(x, y, z)

=

constante

On note les propriétés suivantes : - le déplacement sur une surface équipotentielle produit un travail nul, ce qui montre que la composante de la force selon la surface est nulle; la surface équipotentielle est une surface d'équilibre; - pour la même raison (à savoir F· dl = 0) la force est normale à la surface équipotentielle; - deux surfaces équipotentielles n'ont pas de point commun (sinon on pourrait effectuer un travail sans jamais quitter une des surfaces équipotentielles). Énergie potentielle

La fonction énergie potentielle, notée U, est définie à partir du travail d'une force conservative, lors du déplacement d'un mobile ponctuel, par la relation:

lB

dW = W: = U(A) - U(B)

On a donc simplement U = - V et la relation avec Fest:

F= -gradU

(3.2)

Cette écriture de l'énergie potentielle permet de définir l'énergie mécanique E comme la somme de l'énergie potentielle U et de l'énergie cinétique T. En effet, en écrivant dW de deux manières différentes: dW

-dU

dW

F· dl = rn -dv . dl = d dt

(1 2) = - rnv 2

dT

52

Chapitre 3. Géopotentiel

on obtient dU + dT = O. Pour un système isolé soumis à une force cons ervat ive , on établit ainsi la conservation de l'énergie mécanique: [; =

T

+U

=

constante

(3.3)

On pose habituellement U( 00) = O. Lorsque [; n'est pas constant, l'énergie étant dissipée, on dit que la force est dissipative.

3.2 3.2.1

Champ et potentiel de gravitation Gravitation

La loi de la gravitation, ou de l'attraction universelle, établie par Newton, indique que deux corps ponctuels, A et B, de masses respectives NI et m, exercent l'un sur l'autre une attraction proportionnelle à leur masse et inversement proportionnelle au carré de leur distance : (3.4) en notant par fA--;B la force exercée par A sur B et avec AB = r = r er . La valeur de Q, constante de la gravitation universelle, n'est pas directement utilisée en mécanique spatiale. On utilise la constante d'attraction centrale, notée IL, qui est le produit de Q par la masse du corps attracteur :

(3.5)

tt=QM

La relation (3.4) est symétrique. Si on veut différencier le rôle de l'un des deux corps, on peut écrire que le corps A, par exemple, crée un champ gravitationnel auquel est soumis le corps B. Ce champ g est tel que :

soit, en utilisant IL :

(3.6) Il existe une fonction U telle que : F

=

-grad U

au ar

= --

er

qu'on obtient en intégrant selon r :

U = - /

F· dr= -m

~

On introduit la grandeur U = -Ulm.

avec U(oo) = 0

(3.7)

3.2. Champ et potentiel de gravitation

53

En résumé, U est l'énergie potentielle de la masse rn plongée dans ce champ de forces (champ gravitationnel); U est le potentiel gravitationnel créé par la masse NI à la distance r : (3.8) En astronomie et en géodésie, le potentiel U est ainsi défini afin que le terme principal du potentiel, (p,jr), soit positif - voir plus loin la relation (3.28).

3.2.2

Théorème de Gauss

Dans le paragraphe précédent, on a calculé le champ et le potentiel gravitationnel créé par un corps ponctuel, de masse NI, situé en A, agissant sur un point B, de masse rn. Pour une distribution continue de masse, il faudra effectuer une intégration pour obtenir la force exercée sur B. Pour une configuration à définir, le théorème de Gauss permet d'éviter l'intégration et fournit directement le résultat. Démonstration du théorème de Gauss

La démonstration du théorème de Gauss 2 peut se faire de diverses manières. Nous utilisons ici la méthode basée sur la notion d'angle solide. On considère une surface fermée S, délimitant un volume T. On peut donc définir un intérieur et un extérieur. On considère un élément de surface dS, et sa normale unitaire n orientée de l'intérieur vers l'extérieur. Le flux élémentaire d'un vecteur g quelconque est par définition d = g. dB

avec

dB = dS n

Le flux sortant à travers toute la surface S est

l'intégrale portant sur toute la surface fermée S. 2 Carl Fiedrich GaufJ (1777-1855), astronome, mathématicien et physicien allemand. Astronome précoce et surdoué, il imagine une méthode de calcul des éléments orbitaux des planètes (voir note Piazzi), puis développe de puissantes théories et outils pour la mécanique céleste, comme la théorie des moindres carrés, dans Theoria motus corporum coelestium (1809). En mathématiques, il invente les congruences (modulo), étudie les formes quadratiques, la théorie des erreurs (courbe en cloche, 1821), les polygones réguliers, les représentations conformes, la trigonométrie sphérique, la courbure des surfaces (1827). En géodésie, il révolutionne le domaine en inventant de nouvelles et puissantes méthodes. De plus, il se frotte à la réalité du terrain (établissement du cadastre de la région de Hanovre, 1817-1821). En physique, il effectue des travaux fondamentaux en magnétisme (Allgemeine Theorie des Erdgeomagnetismus, 1839), électricité (théorème de Gauss), optique (conditions de Gauss). Ses contemporains l'avaient nommé « prince des mathématiciens». Mais qui eût été le roi?

54

Chapitre 3. Géopotentiel

On considère une surface S entourant une distribution de masses : les divers points Ai sont affectés chacun d'une masse NIi . Le champ créé par chaque masse NIi en un point B est :

Le flux sortant de S est, en appelant P un point décrivant la surface S :

Or:

n . Ai P dS = dS cos ai = dE = d!?i

AiP3

Ai P2

AiP2

en notant ai l'angle entre la normale et AiP, dE la projection de dS sur le plan perpendiculaire à AiP, La quantité d!?i est alors l'angle solide élémentaire, représenté par le cône élémentaire, de sommet Ai et s'appuyant sur l'élément de surface dS (ou dE, ce qui revient au même). L'intégration de d!?i est indépendante de la surface S. Prenons alors une sphère de centre Ai, de rayon R. On obtient:

Par contre, une masse extérieure (Ai à l'extérieur de S) crée un champ dont le flux à travers S sera nul. En effet, un cône de sommet Ai s'appuyant sur une surface dS détermine deux flux élémentaires opposés, dont la contribution est nulle (dq) est une valeur algébrique dont le signe dépend du produit scalaire) . Finalement, en notant NIint = Lint NIi la somme des masses intérieures à la surface S considérée, le flux sortant de S est : q) = -47T QLMi int

et le théorème de Gauss s'écrit:

1 g. Ys

dB =

-47T

QMint

(3.9)

Avec une distribution continue de masses et en notant p la masse volumique en un point donné, ]vlint se calcule par : M int

=

JJj~ p(r) dT

l'intégrale triple étant étendue à tout le volule V.

3.2. Champ et potentiel de gravitation

55

Calcul de champ par le théorème de Gauss

Si la masse volumique ne dépend que de r (module de r), c'est-à-dire si la répartition de masse présente une symétrie sphérique, le champ créé sera à symétrie sphérique: r g(r) = Ilg(r) Il r Son flux est dans ce cas facile à calculer. On choisit comme surface Sune sphère de rayon r contenant toute la masse lvIint . D'après les propriétés de symétrie, le champ g est orthogonal en tout point de S. On obtient (r est constant sur toute la surface S) : c[J=

j

ls

g. dS=

j Ilg(r)11 '!:. ndS= Ilg(r)11 j

ls

r

ls

dS=47T

Ilg(r)11

r2

L'application du théorème de Gauss (3.9) donne:

d'où l'expression du champ gravitationnel g : (3.10)

On obtient donc le résultat très important suivant: le champ créé par une distribution de masse à symétrie sphérique est identique à celui qui serait créé par une masse ponctuelle de même valeur située au centre de la distribution sphérique. Cette propriété découle du fait que les forces en jeu sont centrales et en r- 2 . Champ de gravitation terrestre

Si on considère que la Terre est sphérique et que sa masse volumique est uniquement fonction de la distance au centre 0, pour un point à l'extérieur (ou à la surface) de la Terre, le champ créé en un point à distance r de 0 est: avec J.L = gM (3.11) où l'vI est la masse totale de la Terre. Dans ce cas, J.L est appelé constante d'attraction géocentrique.

3.2.3

Gravité et pesanteur

Si on considère donc que la Terre est à symétrie sphérique et que, de plus, elle est immobile (par rapport à un référentiel galiléen), alors les surfaces équipotentielles sont des sphères concentriques. Mais, comme disait Galilée, elle tourne! Un point soumis à la force de gravitation est également soumis à une force d'entraînement (par rapport

56

Chapitre 3. Géopotentiel

à un référentiel non galiléen, lié à la Terre). C'est ainsi qu'au cours de sa formation, la Terre s'est transformée, s'est aplatie. Son enveloppe extérieure est une surface équipotentielle: ses points y sont à l'équilibre. La surface des océans (en enlevant marées, courants, vents, etc.) est une bonne image de cette surface équipotentielle 3 , prise généralement comme origine des altitudes. Ce géoïde se prolonge naturellement sous les continents. La surface d'un lac au repos4 représente aussi une surface équipotentielle, à une autre altitude et le fil à plomb, qui définit la verticale en un lieu, est exactement perpendiculaire à cette surface. Sur cette surface, le potentiel U est constant. Mais, répétons-le, sur cette surface d'équilibre, le champ de gravitation ne l'est pas. Le champ gravitationnel est plus fort aux pôles qu'à l'équateur (puisque Rp < Re) et l'accélération d'entraînement est nulle aux pôles et maximale à l'équateur. Nous allons calculer le potentiel de gravitation créé par une planète aplatie, puis le potentiel de pesanteur, qui tient compte de la rotation de la planète. En intégrant ce potentiel, on obtiendra la valeur de la pesanteur en fonction de la latitude. Maupertuis est le premier à avoir fait une claire distinction de vocabulaire entre gravité et pesanteur 5 , distinction qui fut ensuite reprise par D' Alembert 6 et Clairaut 7 . La gravité est la somme des actions attractives qui agissent sur une masse, par le phénomène de gravitation universelle. La pesanteur est la résultante de la gravité et de l'action de l'accélération d'entraînement due à la rotation terrestre. En d'autres termes, la gravité est le champ mesuré dans le référentiel ~ et la pesanteur le champ mesuré dans le référentiel ~T. Tout corps sur Terre est soumis à la pesanteur, un satellite en orbite autour de la Terre est soumis à la gravité. 3Mac Laurin a montré, en 1742, que l'ellipsoïde de révolution, tournant selon son petitaxe, était la seule figure répondant à la question. Plus tard, Poincaré a montré que si la rotation est beaucoup plus rapide, il y a d'autres cas possibles - mais cela ne concerne pas les planètes. 4L'eau y est en équilibre: il n'y a aucune raison qu'elle s'écoule de droite à gauche ... ou de gauche à droite! 5La distinction entre les noms gravité et pesanteur est tout à fait conventionnelle et ne s'appuie pas sur l'étymologie. Gravité vient du latin gravis, «lourd, qui a du poids», pesanteur est relatif « à ce qui pèse, qui a du poids ». 6 Jean le Rond d'Alembert (1717-1783), mathématicien, physicien et philosophe français. Il publia Recherche sur la précession des équinoxes et sur la nutation de l'axe de la Terre dans le système newtonien, en 1749. Il avait, en 1743, énoncé le principe qui porte son nom, dans son Traité de dynamique. Il fut, avec Diderot, un des auteurs de l'Encyclopédie. 7« Je fais ici la même distinction que M. de Maupertuis (La Figure de la Terre déterminée, etc.) entre pesanteur et gravité; j'entends par pesanteur, la force naturelle avec laquelle tout corps tombe, et j'appelle gravité la force avec laquelle le corps tomberait, si la rotation de la Terre n'altérait pas son effet et sa direction. » Clairaut, dans l'introduction de Théorie de la Figure de la Terre.

3.3. Calcul du géopotentiel

57

~~--~------------------~y

x FIG. 3.1 : Schéma explicatif de l'obtention, par intégration, du potentiel gravitation-

nel au point S. Le volume élémentaire, de masse d~1, entourant le point T, décrit tout le volume de la Terre. Il crée le potentiel gravitationnel dU en S. Les notations des distances sont: r = OS, P = OT, D = TS.

3.3

Calcul du géopotentiel

3.3.1

Détermination du potentiel élémentaire

La variation dans le temps de la répartition des masses terrestres (due aux marées terrestres et océaniques, et à des phénomènes liés à la géophysique interne) et la variation de direction de l'axe de rotation de la Terre (mouvement des pôles) ne sont pas prises en compte ici. On considère la valeur moyenne de ces diverses grandeurs (sur une période donnée) et on calcule le potentiel terrestre statique, créé par une répartition fixe des masses terrestres (figure 3.1). Soit 0 le centre de la Terre et (0; x, y, z) un repère lié à la Terre, comme !RT , OZ étant l'axe des pôles et (xOy) le plan équatorial. Soit S un point à l'extérieur de la Terre (le satellite). Il est repéré par ses trois coordonnées sphériques T, À, 1jJ, voir (2.26). Les angles À et 1jJ représentent la longitude et la latitude géocentrique du point S. Soit T un point à l'intérieur de la Terre. Il est repéré de même par ses trois coordonnées sphériques p, a, {J, en notant p le module de OT, a la longitude et {J la latitude géocentrique. On a les relations classiques donnant les valeurs des composantes en coordonnées cartésiennes :

os T

On note

cos VJ· cos À cos VJ· sin À sin 1jJ

OT P

cos{J· cosa cos{J· sin a sin {J

e l'angle que font les deux rayons vecteurs: e = (OS, OT)

et qui permet d'exprimer la distance D entre les deux points S et T :

(3.12)

58

Chapitre 3. Géopotentiel 1

D = D(T, S) = r [1 _

2~ cos e + (~) 2] ']

Le produit scalaire OS· DT donne la relation: cos e = sin 1/! . sin,6 + cosljJ . cos,6 . cos (À - a) Le potentiel élémentaire dU, créé en S par la masse élémentaire d1Vl, situé en T à la distance D de S, est donné, à partir de (3.8), par: dU

3.3.2

dtt D

=

=

ç dM

(3.13)

D

Obtention du potentiel par intégration

Le potentiel cherché, noté U, est obtenu par sommation de tous les potentiels élémentaires produits par les masses élémentaires. La masse élémentaire dJ\lI est affectée au point T qui décrit toute la Terre : U

r

= U(S) =

JTerre

dU

=ç

r

JTETerre

dM(T) D(T, S)

(3.14)

L'expression de D intervenant dans le calcul du potentiel est, en fonction de

e, donnée par :

1

1

1

--r=============

D

r

V11 -

(P)2 2 -;: cos e + -;: p

(3.15)

Cette expression admet un développement en polynômes de Legendre (voir, en fin chapitre, l'annexe Rappels sur les fonctions de Legendre) qui converge si (p/r) < 1. Le calcul est donc valable si S reste strictement à l'extérieur de la sphère contenant toutes les masses. On peut donc écrire, les polynômes de Legendre étant notés Pl -

1

D

=

P L (-) r r 1

00

-

1

Pz(cose)

(3.16)

1=0

On remplace cos e par sa valeur en fonction des coordonnées sphériques, les angles À,IjJ, a,,6, ou plus précisémentljJ,,6, (À - a) et on utilise la formule d'addition de Legendre:

Pl(cose)

Pl (sin 1/!) . Pz (sin,6)

+2

L I

m=l

(l- m)! (

),Pzm(sin1jJ)' Plm (sin,6)· cosm(À - a) l+m.

où Pzm représentent les fonctions de Legendre. On obtient ainsi (1/ D) en fonction des six coordonnées sphériques. On porte cette expression dans (3.16)

3.3. Calcul du géopotentiel

puis dans (3.14). Le rayon équatorial de la Terre, Re obtient:

U(r, À, 1jJ)

=

Q { ({ dM(p, a, (3) J p JexJ(3 D(r,À,IjJ,p,a,(3)

=

Q -:;: Jp=o Jex=o

{R {2n (~

1

00

J(3=-~ ~ (~)

l{

=

59

a, est ici noté R. On

Pz (sin 1jJ) . Pz (sin (3)

~ (1 - m)!

+ 2 ~ (1 m=l

+ rn

),Pzm(sin1jJ). cosmÀ· Plm (sin(3)· cosma .

+2 ~ ~

(1- m)! } ( ),Pzm(sin1jJ). sinmÀ· Pzm(sin(3)· sin ma dM 1 + m . m=l

On obtient finalement l'expression de U à l'aide des fonctions de Legendre Pl m et des coefficients Cl m et Sim sous la forme:

U(r, À, 1jJ) = avec IL

=

~ ~ (~y {t~ [Cl m cosmÀ + Sim sin mÀ] Plm(SinljJ)} (3.17)

QivI, ivI étant la masse de la Terre,

C lm et Sim étant les coefficients harmoniques du potentiel terrestre de degré 1 et d'ordre m. Dans l'expression (3.17), les termes pour m = 0 sont relatifs au polynôme de Legendre Pl et la sommation de m = 1 à m = 1 est relative aux fonctions de Legendre Pzm. Les coefficients Cl m et Sim sont obtenus par identification des deux formules donnant U. On distingue deux cas, selon que m est nul ou pas: - coefficients harmoniques (pour m = 0), CiO et SiO 1

{R {2n

{~

CiO

M RI Jp=o } ex=O } (3=- ~ pl Pz (sin (3) dM(p, a, (3)

(3.18)

SiO

o

(3.19)

Les coefficients SiO sont toujours nuls. - coefficients harmoniques (pour m of. 0), C lm et Sim

{1

2 (1 - m)! {l ( ) MRI (l+m)! J p exJ(3pPzm sin(3 cosmadM

(3.20)

2 (1 - m)! (1 ), J'l/IR +m.

(3.21)

-,-1

j·l j. p

ex (3

1

••

,

p Pzm (S111 (3) S111 ma dM

60

Chapitre 3. Géopotentiel

La fonction U(r-, À,I/J), qui représente le potentiel gravitationnel de la Terre, est appelée géopotentiel.

3.3.3

Harmoniques sphériques

Le potentiel U apparaît comme une combinaison linéaire des fonctions sphériques Fl m et Gl m définies par: Flm(À,I/J)

cos rnÀ . Pzm (sin 1/J)

Glm (À,1/J)

sin rnÀ . Plm (sin 1/J)

qu'on peut considérer comme les parties réelle et imaginaire des fonctions Hlm, appelées har-moniques sphér-iques :

Ces fonctions possèdent de nombreuses propriétés mathématiques (comme l'orthogonalité) dont l'étude est très développée dans la littérature. Elles servent aussi, dans le cas qui nous intéresse, à représenter graphiquement la décomposition du potentiel terrestre. On peut se faire une idée des variations des fonctions sphériques en traçant sur la sphère le lieu où ces fonctions s'annulent. Pour cela, on distingue trois types d'harmoniques sphériques, les har-moniques zonaux, sector-iels et tessémux. (a) Har-moniques zonaux Ils sont obtenus pour rn = O. Dans ce cas: FlO = PlO (sin 1/J) =

Pz (sin 1/J)

G lO

= 0

HlO =

Pz (sin 1/J )

Donc H lO (À,1/J) = H lO (1/J) ne dépend que de la latitude. Les harmoniques zonaux ont une symétrie de révolution autour de l'axe des pôles. Ils rendent compte, en particulier, de l'aplatissement de la Terre. Ils découpent la Terre selon des parallèles géographiques. (b) H ar-moniques sector-iels Ils sont obtenus pour rn = l. Dans ce cas : Pl m (sin 1/J)

=

Pzl (sin 1/J)

=

(21)! 2 1 ----;:-1' (cos 1/J) '2 2 .

et cette fonction de 1/J ne s'annule pas (sauf aux pôles). Donc Hll ne s'annule que pour certaines valeurs de À. Les harmoniques sectoriels ne s'annulent que sur les méridiens géographiques (on donne généralement l'image de la sphère ressemblant à une orange découpée en quartiers se rejoignant aux pôles). (c) H ar-moniques tessémux Ils sont obtenus pour tous les autres cas. Les harmoniques s'annulent selon une sorte de damier sphérique dont les cases seraient délimitées par les méridiens et les parallèles.

3.3. Calcul du géopotentiel

61

Coefficients normalisés

Les modèles de géopotentiel donnent préférentiellement les résultats avec des coefficients Ctm dits coefficients normalisés, les coefficients C1m utilisés ci-dessus étant alors dits coefficients dénormalisés. La relation entre Ctm et Cl m est donnée par :

(l+rn) ! ~--~--~--~~----~ (l - rn) ! (2l + 1)(2 - bOm) Cl m

(3.22)

avec bOm, symbole de Kronecker, prenant les valeurs 1 (si rn = 0) ou 0 (si

rn

-=J

0).

3.3.4

Développement du potentiel au degré 2

Pour exploiter ces formules assez complexes, commençons par le cas le plus simple, celui de la Terre considérée comme un ellipsoïde de révolution. Cela revient à arrêter le développement au degré et à l'ordre 2. Calcul théorique des coefficients

Si on développe le potentiel U, donné par (3.17), jusqu'au degré 2, on obtient:

~ { CooPo(sin 1)!) +

(~)

+

(~) 2 [C20 P2(sin1jJ) + (C

[ClOPI (sin 1)!) + (C 11 cos À + 21

cosÀ +

S11

sin À)P11 (sinljJ)]

S21

+ (C22COS2À+S22sin2À)P22(sin1)!)]}

sin À)P21 (sin 1jJ) (3.23)

On rappelle les valeurs des premiers polynômes de Legendre et des premières fonctions de Legendre pour l'argument (sin;3) : P o (sin;3) = 1 P 11 (sin;3) = cos;3

Pl (sin;3) = sin;3 P 21 (sin;3) = 3sin;3· cos;3

P 2(sin;3) = (3sin 2 ;3 -1)/2 P 22 (sin;3) = 3 cos 2 ;3

On peut ainsi calculer les coefficients harmoniques C 1m et Sim par les quatre formules (3.18) à (3.21), avec les coordonnées sphériques du point intérieur T définies par (3.12). Les coordonnées du centre de gravité de la Terre sont notées (xo, Yo, zo) et les composantes du tenseur d'inertieS de la Terre sont nommées Ix, Ixy , etc. Les résultats sont notés dans le tableau 3.l. 80n rappelle la définition du moment d'inertie, Ix = fff(y2 + Z2) dM et celle du produit d'inertie, Ixy = fff xy dM. Dans la littérature, on trouve souvent, pour le moment d'inertie, A = Ix, B = Iy et C = Iz, de sorte que les équations (3.25) et (3.26) donnent: oh = (C - A)/(MR2 ).

Chapitre 3. Géopotentiel

62

Cao

;1 l 1 h dM(p,a,p) = 1

(1 (

_1_ p sinp dM(p, a, p) MRlp Œlf3 _1

NIR

C11

N:R 1 MR

S11

J"lu(J z dM =

11

Zo

R

h p cosp cosa dM(p,a,p)

JiJ (1 ( JiJ (1 (

xdM= Xo R

_1_ p cosp sina dM(p,a,p) MRlp Œlf3 - 1 NIR

ydM=Yo R

1 2 3 sin 2 p - 1 MR2 lp Œlf3P 2 dM(p,a,p)

2N:R2 2N:R2 1

JJJ [3z 2 -

JfJ

(x 2 + y2

[(x 2 + z2)

2M R2 (Ix

+ Iy

+ z2)]

dM

+ (y2 + z2) -

2(x 2 + y2)] dM

- 2Iz)

j' j' lf3( 3 p2 sin p cos p cos a dM (p, a, p)

_1_2 3MR p

Œ

M~2 JJJ xz dM = M~2Ixz

(1 (

_1_2 3MR lp

Œ

lf3

3p2 sinp cosp sina dM(p,a,p)

M~2 JJJ yz dM = M~2Iyz 12;1 R211 1

4MR2

jet;· r

3 p2 cos 2 P cos 2a dM (p, a, p)

(x 2 - y2) dM

12;1 R211 2N:R2

h

h

=

1

4MR2 (Ix - Iy)

3 p2 cos 2 p sin 2a dM (p, a, p)

JJJ xy dM

=

21V:R2 Ixy

TABLEAU 3.1 : Coefficients harmoniques G 1m et 1 et d'ordre m, jusqu'à 1 = 2, m = 2.

Sim

du potentiel terrestre de degré

3.3. Calcul du géopotentiel

63

Calcul dans le cas de l'ellipsoïde terrestre Dans le cas de la Terre solide, on prend l'origine du repère de décomposition du potentiel terrestre au centre de la Terre. On a donc: Xo = Yo = Zo = 0, ce qui entraîne: C lO

=

0

C 11

=

0

S11

=

0

Si on considère que l'axe Oz passe par le pôle d'inertie, on a : I xz ce qui entraîne:

=

Iyz

=

0

La plus grande inhomogénéité de répartition des masses terrestres est celle due à l'aplatissement aux pôles. On considère ici la Terre comme un ellipsoïde de révolution d'axe Oz. La symétrie de révolution implique Ixy = 0 et Ix = Iy, ce qui conduit à :

(3.24) L'aplatissement aux pôles se traduit par: Iz > Ix. On a donc:

(3.25) Lorsqu'on développe le potentiel terrestre jusqu'au degré 2 et avec les hypothèses vues ci-dessus, le seul terme non nul (en plus du terme principal C oo = 1) est donc le terme C 20 (et sa valeur est négative). On a l'habitude d'introduire les coefficients Jz en posant 9 :

Jz

=

-Czo

(3.26)

Le potentiel terrestre s'écrit alors:

IL[ 1U(r,À,1jJ)=U(r,1jJ)=-;:

(R)2 -:;:

21jJ J 2 3sin 2

-1]

(3.27)

avec:

h

=

1.0826 10- 3

Ce terme est sans dimension, comme tous les coefficients C Zm et SZm. Le coefficient J 2 a été déterminé depuis longtemps par des considérations géodésiques (voir plus loin, avec la formule de Clairaut), puis avec une grande précision par l'étude de la trajectoire des satellites artificiels. 9Un des pionniers de la géodésie spatiale, Desmond King-Hele, décida, en 1958, d'attribuer la lettre .J à ce coefficient, en hommage au géodésien britannique Sir Harold Jeffreys (1891-1989).

64

3.3.5

Chapitre 3. Géopotentiel

Développement du potentiel à des degrés supérieurs

Pour les degrés supérieurs à 2, le potentiel peut s'écrire, avec les notations vues ci-dessus :

(3.28) Dans la partie entre accolades, on distingue trois groupes de termes: le premier, constitué du seul nombre 1, représente le potentiel central; le deuxième, avec Ji et Pi, la contribution des harmoniques zonaux; le troisième, avec Gim, Sim et Am' la contribution des harmoniques sectoriels et tesséraux. Ces termes, Ji, Gim et Sim ne peuvent être connus (à part J 2 à la rigueur) que par comparaison entre l'ellipsoïde et la forme réelle de la Terre, appelée géoïde lO • Pour cela, on réalise des mesures de pesanteur in situ, mais surtout on utilise des observations précises du mouvement des satellites artificiels. Nous allons aborder ces points dans les paragraphes suivants. Pour la Terre réelle (et non plus pour l'approximation de l'ellipsoïde), les valeurs numériques Ji sont données dans le tableau 3.2. On se reportera aussi au tableau 3.3. Ces coefficients sont généralement appelés dans la littérature sous le nom de «termes J n ». Pour le géoïde donc, les coefficients G lO (ou JI), G 11 et S11 sont nuls, mais les coefficients G 21 et S21 (cv 10- 9), G22 et S22 (cv 10- 6 ) ne sont pas nuls. En ce qui concerne les ordres de grandeur, on voit que le terme h est environ 10 3 fois plus petit que le terme principal, mais 10 3 fois plus grand que les coefficients suivants. En résumé, en considérant le développement du potentiel donné par l'équation (3.28), on note que (figure 3.2) : - le terme de degré 0 est le terme principal (responsable du mouvement képlérien, comme nous verrons par la suite), la Terre étant considérée comme une sphère constituée de couches homogènes; - le terme de degré 1 correspondrait à un décentrage du centre de masse de la Terre; il est rendu nul par le choix de l'origine des coordonnées; - le terme de degré 2 correspond à l'aplatissement de la Terre, la Terre étant considérée comme un ellipsoïde de révolution; - le terme de degré 3 et les suivants rendent compte des écarts du géoïde à l'ellipsoïde terrestre. lOLorsque les géodésiens ont compris que la forme de la Terre ne pouvait pas être assimilée exactement à un ellipsoïde, ils ont choisi l'expression géoïde (Listing en 1873), qui est tautologique: la Terre a une forme de Terre! On rencontre parfois l'expression telluroïde, fruit dissonnant d'un hybride latin-grec, tout aussi tautologique.

3.4. Champ et potentiel de pesanteur pour l'ellipsoïde

Jn

=

-eno Jo

JI

J2 J3 J4

Ju

J6

h

Js Jg

JlQ

65

Valeur (s.d.) 1 0 + 1 082.626 220 70 -2.536 15069 -1.619 363 55 -0.223 101 38 +0.540 289 52 -0.360 260 16 -0.207 767 04 -0.11456739 -0.233 800 81

10- 6 10- 6 10- 6 10- 6 10- 6 10- 6 10- 6 10- 6 10- 6

3.2 : Coefficients harmoniques J n du potentiel terrestre, jusqu'à n = 10. Valeurs tirées du modèle GRIM5-Cl.

TABLEAU

J 3 •4 ....

3.2 : Évolution de la perception de la forme de la Terre en géodésie (de gauche à droite) (a) Sphère: Jo = 1 et JI = O. (b) De la sphère à l'ellipsoïde de révolution: terme h, lié à l'aplatissement. (c) De l'ellipsoïde au géoïde: termes J n avec n? 3.

FIG.

3.4 3.4.1

Champ et potentiel de pesanteur pour l'ellipsoïde Calcul du champ et du potentiel

Pour étudier le champ de pesanteur à la surface de la Terre, il faut considérer le champ de forces gravitationnelles dans un référentiel lié à la Terre, !RT et non plus dans le référentiel galiléen !R. Pour obtenir les relations dans !RT, on doit tenir compte, en plus de l'accélération calculée dans !R, de l'accélération d'entraînement a e due à la rotation terrestre:

66

Chapitre 3. Géopotentiel

z B

x'

x 1

e

= 0.60

z' 3.3 : Pour un point ]v! à la surface de la Terre (tp, latitude géodésique; 1jJ, latitude géocentrique), on représente la gravitation, dirigée vers 0, et la pesanteur, dirigée vers l, normale à l'ellipsoïde en J'vI.

FIG.

en notant par ru la vitesse de rotation terrestre l l et par J la projection sur l'axe des pôles de Jv[, qui est le point de latitude géodésique cp (et géocentrique 1jJ) à la surface de la Terre (figure 3.3). Le centre de la Terre est 0 et on pose T = 0 Jv[. On a donc : J Jv[ = T cos VJ. Le vecteur unitaire de la direction DM est noté er . Pour simplifier l'écriture, on pose: 9 = g/fR , gravité

y

= g/fR T

'

pesanteur

On écrit la règle de composition des accélérations: acc. absolue (g) = acc. relative (y) + acc. d'entraînement (a e ) On obtient: (3.29) y= g+ru 2 JM Le vecteur y représente la pesanteur, ce qui définit le poids d'un corps en 11 Cette notation 'CU n'est utilisée que dans ce chapitre. Dans les chapitres suivants, nous utiliserons pour cette grandeur une autre notation, et nous expliquerons pourquoi. La vitesse angulaire 'CU est égale à un tour par jour sidéral, soit 'CU = 7.292 115 10- 5 rad s-l.

nT

3.4. Champ et potentiel de pesanteur pour l'ellipsoïde

67

un lieu donné. La pesanteur est la somme vectorielle de la gravité et de l'accélération dite axifuge. Le vecteur g est porté par OM; le vecteur y fait avec g un angle très petit, égal à cp -1jJ (au maximum 0.19°). On peut donc écrire:

y

= - , eT

En projetant l'équation (3.29) sur OM, on a : (3.30) En exprimant les champs g et y à l'aide des potentiels respectifs U et UT, et en intégrant selon T la relation (3.30), on obtient:

En arrêtant le développement de U au second ordre (géoïde = ellipsoïde), donné par l'équation (3.27), on obtient: (3.31 ) La symétrie de révolution de la figure étudiée se manifeste par l'absence de la variable À (longitude) dans l'expression du potentiel UT.

3.4.2

Champ de pesanteur à la surface

On obtient le champ de pesanteur y en dérivant le potentiel UT selon la normale à l'ellipsoïde. Avec le même degré d'approximation que celui qui a fait confondre les directions des vecteurs g et y, on peut considérer que le champ est donné par (OUT/OT). Son module, est: (3.32) En remplaçant le terme T par sa valeur en fonction deljJ, à savoir T = Rw (1jJ) donné par (1.37), on obtient l'expression du module du champ de pesanteur ,(1jJ), à la surface de l'ellipsoïde, en fonction uniquement de la latitude. La variation de la pesanteur en fonction de la latitude est représentée en figure 3.4. On y a fait figurer également la variation de la gravité. La gravité 9 varie, exprimée en unités SI, de 9.814 (à l'équateur) à 9.832 (au pôle) à cause de l'aplatissement de la Terre, mais cette grandeur n'est pas directement mesurable (on ne peut pas arrêter la rotation terrestre !).

Chapitre 3. Géopotentiel

68 9.840

9.830

~ li?

.S-

9.820

c 0

2 'S; ~

9.810

0)

ID ~

9.800

2c

CIl

(J)

ID

0..

9.790

9.780

9.770

TERRE

-+---;---+----+---f---+----+---f---+------1 10 20 30 40 50 60 70 80 o 90 Latitude [N/S] (')

3.4 : Graphe de variation de la pesanteur (courbe du bas) en fonction de la latitude, à la surface de l'ellipsoïde. Au-dessus de cette courbe, graphe théorique (non directement mesurable) de variation de la gravité. La différence entre ces deux courbes représente la valeur de l'accélération axifuge.

FIG.

La pesanteur Î, mesurée expérimentalement 12 , varie de 9.780 (à l'équateur) à la même valeur 9.832 (au pôle), car à la variation de g s'ajoute algébriquement la variation provoquée par la rotation terrestre 13 (nulle au pôle). 12Le document de présentation du satellite GOCE, de l'ESA, donne un très intéressant exemple de notion de précision dans la mesure de la pesanteur en un lieu donné. pesanteur = 9.8 masse de la Terre sphérique 9.81 aplatissement terrestre et rotation 9.812 montagne et failles océaniques 9.8123 distribution des masses internes 9.81234 grands réservoirs fluviaux 9.812345 marées océaniques et terrestres 9.8123456 grands bâtiments dans le voisinage 13Faisons un peu de science-fiction! Imaginons une planète semblable à la Terre, mais qui tournerait plus vite, avec une vitesse de rotation roi. On calcule le champ de pesanteur à l'équateur, en supposant la planète sphérique (rayon R). Avec (3.32), on trouve: "Y --

IL

~

- w

12

R --

IL R2

(1

-

",,2 R 3 ) -IL-

IL R2

(1

-

ma )

en utilisant ma, défini un peu plus loin par (3.34). Ce terme représente la part d'accélération axifuge dans la pesanteur, lorsque la gravité est prise pour unité. Pour la Terre, ma = 1/288. Si ma = 1, la pesanteur est nulle et tous les corps à la surface de l'équateur sont en impesanteur. Pour une telle « Terre rapide», on a donc: (roi / ro)2 = 288 soit roi c::: 17 ro. Avec une telle vitesse de rotation, le jour dure 17 fois moins que chez nous, soit 84.5

3.4. Champ et potentiel de pesanteur pour l'ellipsoïde

69

Cette formule de variation du champ de pesanteur est suffisante dans de nombreux cas. Cependant, si on cherche une formule très précise, fonction de la latitude géodésique et sans approximation, on utilisera la formule de Somigliana, présentée un peu plus loin.

3.4.3

Formule de Clairaut

Le terme J 2 du développement du potentiel terrestre, qu'on peut relier à une différence de moments d'inertie de la Terre selon l'axe des pôles et selon un axe équatorial, comme expliqué par les relations (3.25) et (3.26) vues plus haut, n'est pas directement mesurable. Sans attendre les satellites, on pouvait le déterminer par des considérations géodésiques, en utilisant la propriété des surfaces équipotentielles. Relation entre

h et aplatissement

Dans l'hypothèse de Clairaut 14 , la Terre, dans son mouvement de rotation, est en équilibre hydrostatique. Alors, quel que soit le point à la surface terrestre (sur l'ellipsoïde), le potentiel est constant. Choisissons un point au pôle (r = Rp = b) et un point sur l'équateur (r = Re = a) Ir

UT(r = a,1jJ = 0) = UT(r = b, 1jJ = "2)

La relation (3.31) donne: -IL ( 1 +

a

1)

w a 2 = -IL ( I - ah) -h + 2 2

2

2

b

2

b

Les quantités f et J 2 sont petites devant 1. En négligeant les petites quantités du deuxième degré, on obtient pour le second membre: IL·

-(1 a

+ f)

[1 - h(1

+ 2f)]

~

IL -(1 a

+ f - h)

ce qui donne la relation (dite 1re équation de Clairaut)

2

1

3

3

h = - f - - ma

(3.33)

minutes. Et ce temps est égal à la période de révolution d'un satellite terrestre d'altitude nulle, comme on le calcule au chapitre 5, avec (5.9). 14 Alexis Claude Clairaut (1713-1765), astronome et mathématicien français. Il entre à l'Académie des Sciences à l'âge de dix-huit ans, après avoir ébloui son auditoire par un mémoire sur les courbes géométriques. Il se tourne ensuite vers la géodésie et la mécanique céleste. Il est l'auteur de la Théorie de la figure de la Terre tirée des principes de l'hydrostatique (1743), basée sur les différences d'accélération de la pesanteur entre les pôles et l'équateur. L'étude du problème des trois corps l'amena à écrire la Théorie de la Lune (1752). Il fut un précurseur dans l'étude des perturbations gravitationnelles - voir au chapitre 6, la note historique sur le retour de la comète de Halley.

70

Chapitre 3. Géopotentiel

en posant:

'[iJ2 a 3

(3.34)

rna = - -

IL

La quantité sans dimension ma se calcule facilement, ma = 3.461 10- 3 . Si on considère f connu, f = 1/298.3, on obtient la valeur de h au premier ordre:

h

1.0814 10- 3

=

ce qui est très proche 15 de la valeur de h donnée dans le tableau 3.2. Relation entre

h

et pesanteur

Historiquement, c'est la quantité f qu'on voulait calculer : connaître l'aplatissement sans avoir à mesurer le méridien terrestre. Il fallait donc trouver un moyen d'exprimer h, ce qu'on peut faire en mesurant l, l'accélération de la pesanteur, en divers points à la surface de la Terre. Avec la relation (3.32), on calcule 1 à l'équateur (re) et au pôle (rp)

le IP En négligeant les petites quantités du deuxième degré, la différence donne :

9)

IL(' 2j -

2h + '[iJ 2 a

IP - le = a 2

En remplaçant, dans les termes petits, le par (IL/ a 2 ), puisqu'en première approximation g = (/L/ R 2), on obtient: IP - le

-'-"------'-'- =

le

en posant:

9

2f - -2 J 2 '[iJ2 a

rng = - -

le

+ mg (3.35)

La valeur de mg est équivalente, avec les approximations faites, à celle de ma donnée par l'équation (3.34). On pose:

fJ

=

IP -le

le

15En effectuant les calculs avec les petites quantités du deuxième degré, on obtient: h = ~f - ~mb - ~f2 + 11fmb en posant mb = w 2a 2 bj/1 = ma(l- f)· Le résultat numérique donne h = 1.082634 10- 3 , ce qui conduit à une erreur relative de 8 10- 6 avec la valeur retenue pour h.

3.4. Champ et potentiel de pesanteur pour l'ellipsoïde

7l

quantité sans dimension qu'on peut appeler aplatissement de gravité et qu'on obtient avec précision en mesurant 1 à l'équateur et au pôle. On a ainsi une autre relation pour J 2 (dite 28 équation de Clairaut)

(3.36) Formule de Clairaut En rapprochant les deux équations (3.33) et (3.36) et en éliminant J 2 , on obtient la formule de Clairaut:

f

=

5

"2

ma - (3

(3.37)

Cette formule a permis de connaître f à partir de deux mesures de f. L'application numérique donne : le = 9.7804 m.s- 2 IP = 9.8322 m.s- 2 3 (3 = 5.296 10- ~ 1/189 ma = 3.467 10- 3 ~ 1/288 3 f = 3.373 10- ~ 1/297 Compte tenu des approximations faites, on peut considérer ce résultat comme très convenable. La formule 16 de Clairaut montre que l'aplatissement f est déterminé (w et a étant connus) par des mesures de pesanteur. Pour obtenir f, il n'y a donc pas à connaître la composition de matière à l'intérieur de l'ellipsoïde.

3.4.4

Formule de Somigliana

La formule (3.32) donnant le champ de pesanteur, ou les relations de Clairaut, sont des formules approchées, au premier ordre en f. Les géodésiens italiens Pizetti (1894) puis Somigliana (1922) ont repris le problème de manière globale. L'idée directrice est de définir un corps ayant une forme d'ellipsoïde de révolution tel que l'ellipsoïde soit une surface équipotentielle de son propre champ. Même si la formule finale paraît simple, tant elle est belle et équilibrée, le calcul qui y amène est long, difficile et dépasse largement le cadre de cet ouvrage. La formule de Somigliana donne le champ de pesanteur normale, à la surface de l'ellipsoïde, en fonction de la latitude géodésique cp :

(3.38) 16Clairaut a poursuivi l'idée de Newton et de Huygens que rotation de la Terre, pesanteur et aplatissement étaient liés. Il a mis en équation ce raisonnement, mais pas de la manière exposée ici. Il n'a pas utilisé le concept de potentiel, inventé plus tard par Lagrange et ne se servait pas du coefficient h sous cette forme.

72

Chapitre 3. Géopotentiel

où re et rp sont les valeurs de la pesanteur à l'équateur et au pôle, vues précédemment. On peut aussi l'écrire sous la forme suivante:

r(cp) avec:

=

re

1 + k sin 2 cp

JI - e

2

(3.39)

sin 2 cp

b rp k=-·--l a r8

(3.40)

où k est la constante de Somigliana. On donne aussi cette formule sous forme numérique. Les valeurs des divers termes varient légèrement d'un ellipsoïde de référence à l'autre (tableau 2.1). Avec GRS80, les éléments de base sont: a 6378137 m b 6 356 752.3141 m e2 0.006 694 380 022 90 k 0.001 931 851 353 9.832 1863685 m·s- 2 re 9.7803267715 m·s- 2 rp

r( cp)

=

9.780 327 (1

+ 5.3024 10- 3

sin 2 cp

+ 5.8

10- 6 sin 2 2cp)

(3.41)

Avec WGS84, on a : re = 9.7803253359 m·s- 2 k = 0.001931853 Lorsqu'on se trouve au-dessus de l'ellipsoïde, on obtient la pesanteur rh (cp), à l'altitude h, par une relation faisant intervenir r( cp) et r8 :

rh(CP)r~ r(cp) = -2~ [1 + 1 + ma + (-31 + ~ma) sin

2

cp]

+ 3 (~r (3.42)

3.5 3.5.1

Géoïde Anomalies de gravité

À l'aide de gravimètres, on mesure la pesanteur en de nombreux lieux terrestres et, avec de grandes précautions, en mer. De plus, comme nous allons l'étudier dans les chapitres suivants, l'orbite du satellite est sensible à la répartition des masses de la région survolée. L'écart entre la position théorique (selon un modèle donné) et la position réelle, mesurée avec précision, permet de remonter aux coefficients des harmoniques sphériques du géopotentiel. À cette méthode utilisée depuis cinquante ans, dès le début de l'ère spatiale, avec des modèles de plus en plus raffinés, il faut ajouter, depuis une vingtaine d'années, les mesures altimétriques par les satellites océaniques. Le traitement de toutes ces données, le passage entre pesanteur et géopotentiel étant effectué, on obtient une carte des anomalies, c'est-à-dire la

3.5. Géoïde

73

différence d'altitude (surface équipotentielle) entre le géoïde et l'ellipsoïde. Cette carte, attachée à un modèle de géopotentiel, fait apparaître des ondulations qui ne dépassent pas une centaine de mètres. La figure 17.1 est la carte issue du modèle amricain EGM96. Les creux principaux sont au sud de l'Inde (-105 m), au Tibet (-65 m), dans l'Antarctique au sud de la Nouvelle-Zélande (-55 m) et aux Caraïbes (-50 m). Les bosses principales sont en Nouvelle-Guinée (+75 m), en Islande (+70 m) et à mi-chemin entre Madagascar et l'Antarctique (+60 m). Il est important de noter que ces anomalies sont décorrélées du relief des terres émergées. On les explique comme des manifestations d'hétérogénéité de densité de matière dans le manteau terrestre. Les anomalies de grande longueur d'onde sont repérées par satellite, celles plus locales le sont avec les mesures au sol. En terme de gravité, ces anomalies sont appelées anomalies de gravité et sont mesurées en milligal 17 .

3.5.2

Satellites et géodésie

Le premier satellite artificiel, Spoutnik-l, lancé par l'URSS le 4 octobre 1957, n'émit de signal que pendant trois semaines 18 . Mais par l'étude de la trajectoire des satellites suivants 19 , lancés peu après, le coefficient zonal J 2 fut déterminé par le géodésien tchécoslovaque E. Buchar en 1958. Sa valeur était assez proche de celle prévue par le calcul d'après les mesures terrestres. Le satellite américain Vanguard-1, lancé le 17 mars 1958, permit pour la première fois d'évaluer les écarts entre l'ellipsoïde et le géoïde. Cet important harmonique de degré 3 correspond à une élévation du pôle Nord de 15 mètres au-dessus de l'ellipsoïde et un abaissement d'autant pour le pôle Sud 20 . Le terme J 4 et quelques suivants furent établis à partir de 1960. Les méthodes de détermination de ces coefficients J n sont développées au chapitre 6, sur la Note historique à ce propos. En 1961, W. Kaula présenta un modèle complet au degré 4 (c'est-à-dire avec tous les coefficients G1m et Sim) : un harmonique sectoriel, coefficient de la fonction de Legendre P22, rend compte d'un exhaussement du géoïde vers 165°E et 15°W et d'une dépression vers 75°E et 105°W (ces points découpent 17L'unité d'accélération dans le système CGS est le Gal (en hommage à Galilée). Donc 1 Gal = 1 cm S-2. Les géodésiens utilisent le milligal, 1 mGal = 10- 5 m S-2. 18Éléments orbitaux pour les premières révolutions: altitude du périgée hp = 228 km, altitude de l'apogée ha = 947 km, inclinaison i = 65.128°, période T = 96.17 min (iJ.T = 1.80 seconde/jour), périgée situé sur la latitude 41 oN. Fin d'émission du signal: 26 octobre 1958. Rentrée dans l'atmosphère :4 janvier 1958. 19Spoutnik-2, lancé le 4 novembre 1957. Éléments orbitaux pour les premières révolutions: hp = 225 km, ha = 1671 km, i = 65.310°, T = 103.75 min (iJ.T = 3.08 secondes/jour) , périgée situé à la latitude 40 o N. Rentrée dans l'atmosphère: 14 avril 1958. Spoutnik-3, lancé le 15 mai 1958. Éléments orbitaux pour les premières révolutions: hp = 226 km, ha = 1881 km, i = 65.188°, T = 105.95 min (iJ.T = 0.75 seconde/jour), périgée situé à la latitude 45°N. Rentrée dans l'atmosphère: 6 avril 1960. 2oD'où le scoop annoncé à l'époque: «a pear-shape », la Terre a une forme de poire. Ce qui, compte tenu des grandeurs en jeu (15 m par rapport à 6400 km), est un peu exagéré!

74

Chapitre 3. Géopotentiel

3.5 : Vue d'artiste des deux satellites GRACE-A et -E, avec visualisation de leur liaison micro-onde. Document: The University of Texas Center for Space Research.

FIG.

quatre secteurs égaux sur l'équateur puisqu'il s'agit de la fonction Fl m avec 1 = 2 et rn = 2)21. Ce point est développé au chapitre 7, à propos des satellites géostationnaires (figure 7.10). La connaissance du potentiel gravitationnel terrestre avance très vite à partir de cette époque. Les géodésiens mettent non seulement à profit de nombreux satellites lancés, mais envoient de plus dans l'espace des satellites spécifiques 22 . Une amélioration considérable est apparue avec l'avènement des radars altimétriques, placés à bord des satellites, qui permettent de décrire la surface océanique (le géoïde) par rapport à l'orbite. Les premiers étaient des satellites militaires américains: GEOS-3, Seasat, Geosat. 21 D. King-Hele synthétisa cela dans une chansonnette de son invention:

When you eut a slice Through the polar ice The Earth is like a pear. But sliced along the equator She looks like a potato A giant pomme de terre. 22Parmi ceux-ci, la série de satellites américains GEOS (Geodetie Earth Orbiting Satellite), GEOS-1 (Explorer-29), GEOS-2 (Explorer-36), PAGEOS, LAGEOS, avec repérage du satellite passif (PA) ou par laser (LA) qui succédèrent aux satellites Echo-1 et Echo-2 (satellites ballons), ANNA-lB (Army, Navy, Nasa, Air Force, premier satellite émettant des flashes), ADE-A (Atmospherie Density Explorer, Explorer-19), Beacon-Explorer-1 (BEB, Explorer-22 ou S-66a, premier satellite équipé de réflecteurs laser), Beacon-Explorer-2 (BE-C, Explorer-27). Après 1970, on note les satellites français Starlette et Stella, lancés en 1975 et 1993, le satellite japonais EGP, Experimental Geodetie Payload, dit aussi EGS-1 (Earth Geodetie Satellite ou Ajisai, « hortensia» en japonais), lancé en 1986, le satellite russe Fizeau (Meteor-2-21), lancé en 1993.

3.5. Géoïde

75

FIG. 3.6 : Vue d'artiste du satellite GOCE. Sa forme est étudiée pour offrir une résistance minimale au frottement atmosphérique. Sur l'image sont représentés les ions éjectés par le moteur de compensation de traînée. Document: ESA.

À partir des années 1980, le géopotentiel sur les océans est mieux connu que sur les continents. Par la suite, les satellites européens ERS-1 et -2, puis les satellites franco-américains TOPEX/Poseidon, Jason-1 et 2 ont affiné les mesures. Ces derniers mesurent la hauteur de la mer (dont la hauteur moyenne représente le géoïde) par rapport à l'ellipsoïde de référence avec une précision de 2 à 3 cm. Cela signifie que l'altitude du satellite est connue avec une précision encore meilleure. La qualité des altimètres utilisés est importante, mais la précision avec laquelle l'orbite du satellite est restituée est tout aussi fondamentale. Et cela est possible grâce à des modèles de potentiel qui vont jusqu'aux harmoniques sphériques de degré très élevé. Un changement radical s'opère à partir de l'an 2000. Jusque-là, les satellites étaient en orbite relativement élevée (5 900 km pour LAGEOS, 800 km pour Starlette 23 ) pour éviter tout frottement atmosphérique. À partir de cette date, le maintien en orbite des satellites par compensation de traînée autorise des orbites basses, plus sensibles aux faibles anomalies de gravité. Le satellite CHAMP (Challenging Microsatellite Payload for geophysical research and applications) détermine le géoïde avec une précision de 10 cm (et 0.5 mGal pour la gravité). L'amélioration d'un facteur 10 par rapport aux précédentes missions provient de son orbite basse (450 km), d'un suivi continu de l'orbite par GPS et d'un accéléromètre embarqué très sensible. La mission GRACE (Gravit y Recovery And Climate Experiment) est constituée de deux satellites jumeaux, -A et -E, qui se suivent continûment 24 23Ce joli nom de Starlette est aussi un bel exemple d'acronyme tarabiscoté: Satellite de Taille Adaptée avec Réflecteurs Laser pour les Etudes de la Terre. 24D'où le surnom de Tom et Jerry, donné par les promoteurs de la mission.

76

Chapitre 3. Géopotentiel

sur la même orbite, à la distance de 200 km. L'orbite basse (480 km) et la mesure de la distance entre GRACE-A et GRACE-B à quelques micromètres près, ont permis d'améliorer encore les résultats: géoïde connu à 1 cm près, à l'échelle spatiale de 200 km (figure 3.5). La précision est telle qu'on peut établir des cartes mensuelles du géoïde permettant de suivre l'évolution des masses d'eau (bassins versants des grands fleuves). Le satellite 25 GOCE (Gravit y field and steady state Ocean Circulation Experiment) améliore encore la connaissance du géoïde avec une orbite très basse (200 km) et son gradiomètre, constitué de 6 accéléromètres avec une précision de 10- 12 m S-2. Le satellite est équipé d'un moteur ionique qui équilibre, à chaque instant, les forces de frottement atmosphérique. Grâce à des poussées de quelques mN, le satellite, par cette compensation de traînée, est perpétuellement en chute libre. À un horizon plus lointain, le projet LICODY (Laser lnterferometry for Core and Ocean Dynamics) est basé sur la mesure par laser des distances entre plusieurs satellites en formation. La géodésie spatiale est maintenant devenue une science « dialectique» : les modèles de potentiel sont mieux connus par le repérage des satellites et par l'étude de leur trajectoire, et la position des satellites est mieux déterminée par l'amélioration des modèles de potentiel...

3.5.3

Évolution des modèles de potentiel terrestre

Principaux modèles Les premières données satellitaires furent intégrées aux modèles déjà existants et, à partir de 1970, certains modèles furent établis exclusivement avec des données spatiales (the «satellite-only» models). Le modèle SAO-SE (Smithsonian Astrophysical Observatory - Standard Earth), établi en 1966, utilisa, en 1972, les premières mesures par laser de distance aux satellites. Le modèle NWL (Naval Weapon Lab.) était basé principalement sur les satellites de la série Transit. Suivirent ensuite de nombreux modèles, dont on retiendra ici les modèles américains GEM, JGM, EGM et GGM, et les européens GRIM et EIGEN. Le modèle GEM (Goddard Earth Model) a été établi par le GSFC (Goddard Spa ce Flight Center) de la NASA, aux États-Unis, en réaction aux modèles militaires américains «classifiés ». Le premier modèle, GEM-l, fut publié en 1972, avec un développement du potentiel de degré 12. Le modèle GEM-T2, publié en 1990, est obtenu à partir des données de 31 satellites. Il donne un modèle avec tous les coefficients jusqu'au degré 36, et d'autres jusqu'au degré 50, ainsi qu'un développement de degré très élevé pour les marées. 25Sachez, cher lecteur, que la prononciation de rigueur dans le milieu spatial pour GOCE est « go - tché ».

3.5. Géoïde

77

FIG. 3.7 : Satellite LAGEOS-2, en phase de préparation. Le satellite (60 cm de diamètre) est muni de 426 réflecteurs (38.1 mm de diamètre, 27.8 mm de profondeur), composés d'un coin de cube (dont les angles de 90 degrés sont garantis avec une précison de 0.5 seconde d'arc). Document: ASI (Agenzia Spaziale Italiana).

Le modèle JGM (Joint Gravit y Model) est un modèle commun à la NASA et à l'Université du Texas. En 1994, JGM-2 reprend GEM-T3, successeur de GEM-T2, avec les premiers résultats de TOPEX/Poseidon. En 1996, JGM-3 intègre des données de satellites supplémentaires comme LAGEOS-2. Le modèle EGM (Earth Gravit y Model) est issu d'une collaboration GSFCNASA, NIMA (National Imagery and Mapping Agency), OSU (Ohio State University). En 1996 sont produits EGM96S, de degré et ordre 70 (données provenant uniquement de satellites) et EGM96, de degré et ordre 360 (par adjonction de données géophysiques). Ils utilisent les données de 40 satellites dont les mesures de satellite à satellite, avec les constellations GPS 26 et TDRSS. À partir de 2002, le modèle GGM (GRACE Gravit y Model) est développé par l'Université du Texas à partir des seules données provenant de GRACE: accéléromètre, attitude et distance entre les deux satellites (K-band rangerate ). En Europe, le G RGS (Groupe de Recherche en Géodésie Spatiale) en France et le DGFI (Deutsches Geodiitisches Forschungsinstitut) en Allemagne ont établi conjointement le modèle GRIM (GR pour GRGS et lM pour Institut de Munich). Le premier modèle est GRIM1, en 1975 (jusqu'au degré 10). En 2000, sont établis les modèles GRIM5-S1 et GRIM5-C1, le premier à base de données de satellites 27 uniquement, le second avec toutes données. 26Les satellites Navstar/GPS-35 et -36 (ou USA-96, -100), lancés en 1993 et 1994, sont équipés de réflecteurs laser. 27Les satellites utilisés étaient: Starlette, EGP (Ajisai), LAGEOS-l et -2, Geosat, SPOT2 et -3, ERS-l et -2, Stella, Westpac-l (WPLTN-l, West Pacifie Laser Tracking Network) , TOPEX/Poseidon, GFZ-l (GeoForschungsZentrum), Dl-C, Dl-D, GEOS-3, Meteor-3-07,

78

Chapitre 3. Géopotentiel

Ces derniers modèles sont remplacés par le modèle EIGEN (European Improved Gravit y model of the Earth by New techniques )28, établi par le GFZPostdam et le GRGS-Toulouse. En 2002, EIGEN-1S reprend GRIM5-S1, avec les données de CHAMP, complétées par LAGEOS-1 et -2, Starlette et Stella. D'autres modèles suivent, utilisant les données de la mission GRACE. En 2008, le modèle EIGEN-GL05C est un modèle complet de degré et d'ordre 360 (correspondant à une longueur d'onde de 1 0 , soit ),,/2 = 55 km). En 2011, le modèle EIGEN-6 intègre les données provenant de GOCE. L'évolution du modèle européen est résumée dans le tableau 3.4. Les modèles actuels tiennent bien évidemment compte des marées et de l'atmosphère. Ils prennent aussi en considération les variations dans le temps des premiers coefficients des harmoniques sphériques 29 qui sont dues à l'ajustement isostatique, appelé rebond post-glaciaire 3o . Comparaison des modèles de potentiel terrestre

Les modèles de potentiel terrestre ne peuvent pas être comparés terme à terme (au-delà du degré 5). Pour un résultat final très voisin, deux modèles peuvent avoir des termes assez différents: des pondérations différentes des harmoniques sphériques peuvent conduire à des résultats très voisins. Au-delà du degré 16, même les signes des coefficients peuvent changer d'un modèle à l'autre, ce qui n'empêche pas un bon accord pour la restitution du géoïde et le suivi des satellites. Cela met en évidence le problème des troncatures : les coefficients d'un modèle de degré 10 ne correspondent pas aux coefficients des dix premiers degrés d'un modèle de degré 20. On donne, à titre d'exemple, dans le tableau 3.3, les coefficients Ct 0 pour six modèles évoqués ci-dessus (coefficients d'ordre 0 et de degré l de 2 à 10; on rappelle que pour 1 = 0, le coefficient est égal à l'unité, et pour l = 1, il est nul; tous les coefficients du tableau sont en unité 10- 6 ). Dans le cas m = 0, la relation de normalisation (3.22) devient simplement:

Cz 0 = v2T+1 cto On obtient ainsi la correspondance entre les tableaux 3.3 et 3.2, comme par Nova-3, Etalon-1 et -2 (Kosmos-1989 et -2024), PEOLE. 28Ici aussi, c'est un acronyme «clin d'œil». Il veut rappeler Eigenwert, terme mathématique allemand créé par Hilbert et repris en anglais en eigenvalue. Ce mot se traduit par « valeur propre» en français. Le mot anglais correspondant à eigen est own (du vieil anglais iigen). 29 À titre d'exemple, voici les valeurs du modèle GGM02. Pour les variations dans le temps: dC::; o/dt = +1.16275510- 11 an- l soit dh/dt =.Ï2 = -2610- 12 an- l ; del ddt = -0.33710- 11 an- l et dB:l ddt = +1.60610- 11 an- l . La contribution des marées est de 4.17310- 9 pour C::; o' 30 Après la fonte des calottes polaires, le niveau du sol, que ce soit au Canada, en Scandinavie ou en Antarctique, remonte de quelques centimètres par an, depuis plusieurs milliers d'années.

3.5. Géoïde

79

exemple: J2

=

-J5c~ 0

=

J5 X

484.16511...10- 6

= 1082.62622 ... 10- 6

Ces coefficients Cl m sont associés à des valeurs de IL, R et chaque modèle (tableau 3.5).

3.5.4

f,

propres à

Évaluation de la constante d'attraction géocentrique

La constante d'attraction géocentrique, IL = QlvI, joue, comme on a pu s'en apercevoir, un rôle essentiel en mécanique spatiale. On peut l'obtenir avec une très grande précision, bien supérieure à celle qu'on peut espérer pour Q, constante de gravitation universelle 31 . Les premières valeurs de IL furent fournies par la troisième loi de Kepler appliquée à l'orbite lunaire. Des valeurs de plus en plus précises ont été obtenues avec les sondes spatiales (Ranger, Mariner, Venera), puis avec des satellites, de préférence en haute altitude, les satellites moins élevés subissant plus d'actions non gravitationnelles. Un saut dans la précision a été obtenu, dans les années 1980, grâce à la technique LLR (Lunar Laser Ranging), qui consiste à mesurer la distance Terre-Lune à l'aide d'un faisceau laser. Actuellement, les mesures les plus précises sont obtenues par les mesures de distance par laser sur les satellites LAGEOS 32 (figure 3.7). 31 Henry Cavendish (1731-1810), physicien et chimiste anglais. Il a été le premier à obtenir une valeur précise de 9, publiée en 1798 dans son célébre article Experiments to determine the density of the earth. Sa méthode était subtile: au lieu de jouer sur l'énormité des masses (comme ceux qui, à cette époque, voulaient mesurer la déviation du fil à plomb par une montagne), il utilisa une balance de torsion, avec un fil très fin, soutenant deux petites masses métalliques (50 grammes). En approchant (15 cm) deux grosses boules de plomb (30 kg), il mesura la torsion du fil, par la méthode du miroir, et déduisit 9 de la période (~ 2 heures) du mouvement. Il calcula ainsi la densité de la Terre et trouva d = 5.48 (valeur obtenue actuellement : 5.52). Cette densité étant très supérieure à celle des roches de l'écorce terrestre (~ 2.7), Cavendish montra ainsi que la Terre était formée d'une partie centrale très dense. La méthode fut affinée plus tard par Charles Boys (1895), avec un fil de quartz très fin (2 !Lm) et des masses encore plus petites (2.7 g, 7.5 kg à 15 cm), sur une période courte (3 minutes). Ce type d'expérience sert encore à mesurer 9. La précision relative ne dépasse pas S9/9 = 10- 4 . On cherche maintenant d'autres voies pour essayer d'améliorer la précision. Les recommandations actuelles (CODATA 1998) sont d'utiliser la valeur : 9 = (6.673 ± 0.010) 10- 11 m 3 S-2 kg- l . 32Les satellites LAGEOS-1 (NASA), lancé le 4 mai 1976, et LAGEOS-2 (NASA - ASI, Italie), lancé le 22 octobre 1992, sont des satellites pratiquement identiques: masse de 410 kg, diamètre de 60 cm, 426 réflecteurs circulaires (422 en silice fondue et 4 en germanium). Ils sont souvent référencés LAGEOS et LAGEOS-II respectivement. Caractéristiques des autres satellites similaires pour la géodésie. Le japonais Ajisai, lancé le 2 août 1986,685 kg, 2.15 m de diamètre, 1436 réflecteurs triangulaires, silice fondue. Les soviétiques Etalon-1 et -2, lancés le 10 janvier 1989 et le 31 mai 1989, identiques, 1415 kg, 1.29 m de diamètre, 2146 réflecteurs hexagonaux (2140 en silice fondue, 6 en germanium).

80

Chapitre 3. Géopotentiel

Coeff.

C*20

C 30 C 40 Gi ;

0

C 60 C 70

C*80 C90 C~o

0

C 200

C990

GEM-T2

JGM-3

GRIM5-C1

-484.1652998 0.9570331 0.5399078 0.0686883 - 0.1496092 0.0900847 0.0483835 0.0284403 0.0549673 0.0199685

-484.165368 0.957171 0.539777 0.068659 - 0.149672 0.090723 0.049118 0.027385 0.054130 0.018790

-484.16511551 0.95857491 0.53978784 0.06726760 - 0.14984936 0.09301877 0.05039091 0.02628356 0.05101952 0.02340848 - 0.00128836

Coeff.

C*20

C 30

C*40

Gi ;

0

C 60

C*70 C*80 C90 C~o C~l C~2 C~3 C~4 C~5

0 0 0 0 0 0

C 200

C990

C 22 S22 C 31 S:31 C 33 S:3 3

EGM96

GRIM5-S1 -484.16511551 0.95857492 0.53978784 0.06720440 - 0.14985240 0.09311367 0.05046451 0.02620763 0.05076191 0.02342817 - 0.00001554

EIGEN-CH03S

- 484.165371736 0.957254174 0.539873864 0.068532348 -0.149957995 0.090978937 0.049671167 0.027671430 0.052622249 -0.050961371 0.037725264 0.042298221 -0.024278650 0.001479101 0.022238461 0.001478118

-484.165562843 0.957477372 0.539923241 0.068584004 -0.149991332 0.090539419 0.049295631 0.028093014 0.053699211 -0.050765723 0.036209032 0.041543398 -0.022288877 0.002425544 0.021496270 -0.000779156

2.439143524 -1.400166837 2.029988822 0.248513159 0.721072657 1.414356270

2.439311853 -1.400342254 2.030480649 0.248170920 0.721306788 1.414370341

3.3 : Comparaison entre les différents modèles. Coefficients zonaux normalisés ct 0 et autres coefficients normalisés ct m et st m' Toutes ces valeurs sont à multiplier par 10- 6 .

TABLEAU

3.5. Géoïde

Année 1975 1991 1997 2000 2003 2007 2008 2011

Apport

Modèle GRIM1 GRIM4 - Cl GRIM4 - C4 GRIM5 - C2 EIGEN-1 EIGEN-4 EIGEN-5 EIGEN-6

CHAMP GRACE GOCE GOCE

D. max.

N. inc.

10 50 72 120 120 160 360 1440

120 2600 5328 14640 14640 25920 130320 2076480

81

3.4 : Étapes principales dans l'évolution du modèle européen, GRIM puis EIGEN, établi par le GRGS et le GFZ. On a indiqué le degré maximal L (noté D. max) et le nombre d'inconnues N (N. inc.) à traiter pour établir le modèle, N=Lx(L+2). TABLEAU

-

Ji

R

II!

Unité km 3 S-2 km (s. d.)

p. ent.

GEM

JGM

GRIM

EGM

EIGEN

398600 6378 298

.436 . 137 . 257

· 441 5 · 13630 · 257 65

.441 5 . 13646 . 25765

· 441 5 · 136 30 · 257 65

· 441 5 · 13646 · 257 65

3.5 : Comparaison entre les différents modèles, dans l'ordre: GEM-T2, JGM-3, GRIM5, EGM96, EIGEN-CHAMP03S. Valeurs de la constante d'attraction géocentrique Ji = 9 J'vI , du rayon équatorial R, de l'aplatissement (lI!),. la partie entière (p. ent.) est la même pour tous ces modèles, seule change la partie décimale. TABLEAU

Méthode utilisée Orbite lunaire Explorer-27 Ranger-6, -7, -8, -9 Mariner-9 Venera-8 ATS-61 GEOS-3 Laser 1 Lune Laser 1 LAGEOS Laser 1 LAGEOS

Année 1959 1965 1966 1971 1972 1979 1985 1992 2000

Ji (k m 3s -2)

Erreur

398620. 398602. 398 601.0 398 601.2 398 600.4 398 600.40 398 600.444 398 600.441 5 398 600.441 5

±6. ±4. ±0.7 ±2.5 ±1.0 ±0.1 ±0.ü10 ±O.OOO 8 ±O.OOO 2

3.6 : Valeur de la constante d'attraction géocentrique mesurée Ji = gJ'v1 et de l'erreur estimée. Évolution historique, avec notation de la méthode utilisée et de l'année.

TABLEAU

82

Chapitre 3. Géopotentiel

Nous avons noté, dans le tableau 3.6, les valeurs obtenues pour IL, ainsi que l'erreur estimée, par diverses méthodes (avec mention de l'année). La précision relative sur IL est actuellement de 10- 10 , ce qui est compatible avec une précison de l'ordre du centimètre sur le demi-grand axe de l'orbite de LAGEOS.

3.6 3.6.1

Annexe: systèmes de référence terrestre Référence céleste

Le Système International de Référence Céleste (ICRS en anglais) est un référentiel quasi inertiel, copernicien, centré sur le barycentre du Système solaire. Ses axes sont fixes, son échelle de temps est le Temps Coordonné Barycentrique (TCB), défini dans le cadre de la relativité générale. Le Repère International de Référence Céleste (ICRF, Frame pour Repère) est la réalisation de l'ICRS. Le repère est matérialisé par les positions de centaines de radiosources extragalactiques connues avec une grande précision (inférieure à 1 mas, milliarc seconde).

3.6.2

Référence terrestre

À la rotation de la Terre, très légèrement ralentie par l'effet des marées, s'ajoutent deux mouvements, sous l'effet du couple luni-solaire, celui de précession (selon un cône de demi-angle au sommet égal à l'obliquité E, cycle de 25 800 ans, figure 6.7), et celui de nutation (d'amplitude 17", cycle de 18.6 ans). Tous ces mouvements sont très bien compris et modélisés - voir la relation (8.50). Mais s'y ajoutent un mouvement imprédictible de l'axe des pôles (figure 7.5), et un mouvement du centre de masse de la Terre. De plus, la croûte terrestre a un mouvement par rapport au manteau moyen. Le Système International de Référence Terrestre (ITRS) a pour origine le centre de masse de la Terre, incluant océans et atmosphère. Son orientation est définie par l'IERS (International Earth Rotation Service), son échelle de temps est le Temps Coordonné Géocentrique (TCG). Le Repère International de Référence Terrestre (ITRF) est la réalisation de l'ITRS. Il est défini conjointement par les astronomes et les géodésiens. Pour ce système orthonormé cartésien 0 ; x, y, z on choisit: - l'origine 0 près du centre de masse de la Terre; - l'axe Oz proche de l'axe de rotation de la Terre; - le plan zOx est le plan méridien origine; - xOy est le plan équatorial terrestre. Le repère est matérialisé par des centaines de stations (ITRF2008 : 934 stations réparties sur 580 sites différents). Leurs coordonnées sont mesurées par une ou plusieurs des quatre techniques suivantes:

3.6. Annexe: systèmes de référence terrestre

83

- la télémétrie par laser sur satellite, dite SLR (Satellite Laser Ranging) , depuis 1975 ; - l'interférométrie à très longue base, dite VLBI (Very Large Baseline Interferometry) , depuis 1980; - la technique d'orbitographie DORIS (Détermination d'Orbite et Repositionnement Intégrés par Satellite), depuis 1990; - l'utilisation statique du GPS, voir chapitre 14, depuis 1990. Nous présentons très brièvement le principe de chacune de ces techniques. (a) SLR Depuis une station au sol, une station émet des impulsions laser qui visent un satellite muni de réflecteurs (figure 3.7). Une (très faible) partie du rayon émis revient sur le détecteur de la station au sol. La mesure du temps donne la distance (avec une précison de l'ordre du centimètre). Au début de la géodésie spatiale, seuls les satellites de ce domaine précis, comme LAGEOS1, étaient équipés de rétroréflecteurs (miroirs en forme de coin de cube). Mais rapidement, des satellites 33 des catégories les plus diverses ont été munis de réflecteurs : des satellites pour l'océanographie et l'environnement, pour la navigation type GPS, des satellites géostationnaires ... La même techniqué 4 s'applique avec 5 réflecteurs posés sur la Lune par 3 missions américaines (Apollo-11, -14 et -15) et 2 missions automatiques soviétiques (Luna-17 et -21). (b) VLBI L'interférométrie à très grande base est une technique astronomique développée à partir de 1980 (la première expérience date de 1967). Elle consiste à mesurer, avec deux antennes très éloignées, la différence de temps d'arrivée d'un même signal (longueur d'onde de l'ordre du centimètre) provenant d'une radio-source extra-galactique (quasar). La résolution est proportionnelle à la longueur de la base (distance entre les antennes) qui est donc limitée au diamètre terrestre (de l'ordre de quelques milliers de kilomètres). La base peut dépasser cette dimension grâce à l'utilisation de satellites en orbite haute. Le VLBI terrestre donne des résultats d'une grande précision (on atteint le milliarc seconde, 1 mas = 4.85 10- 9 rad.), tellement précis qu'on inverse maintenant la méthode: la connaissance de la position de centaines de sources 33Liste des principaux satellites utilisés. Satellites pour la géodésie: LAGEOS-l et -2, GFO, GFZ-l, Stella, Starlette, Wespac-l, Etalon-l et -2, Ajisai, GRACE-A et -B, GO CE. Satellites pour l'océanographie et l'environnement: TOPEX/Poseidon, Jason-l et -2, ERS1 et -2, Envisat, TerraSAR-X et TanDEM-X, CryoSat-2, Meteor-2-21 (Fizeau). Satellites de navigation: Navstar/GPS-35 et -36, pratiquement tous les satellites russes Glonass, GIOVE-A et -B, Compass-Ml et QZS-l. Quelques satellites en orbite encore plus haute, comme l'expérience METEOSAT-P2-LASSO (Laser Synchranization tram a Stationary Orbit) sur METEOSAT-3, ou le japonais H2A-LRE en orbite de transfert GTO. 34 Le rapport entre le nombre de photons reçus par le nombre de photons émis (appelé bilan de liaison) est en r- 4 , en notant la distance T. Dans le cas où la cible est la Lune, ce rapport est très faible: quelques photons recueillis par nuit! Seules deux stations ont fait des mesures sur une longue période: l'observatoire McDonald, Texas, États-Unis et l'OCA, Grasse, France.

84

Chapitre 3. Géopotentiel

extra-galactiques permet de définir avec une grande précision les axes de référence de la Terre. (c) DORIS Le système DORIS a été conçu et développé par le CNES en collaboration avec le GRGS et l'IGN. Des balises légères, autonomes en énergie, sont réparties de manière à couvrir de manière assez homogène la Terre (continents et océans). Elles émettent un signal qui est reçu et retransmis par le satellite, équipé à cette fin. La station pilote est située au CNES à Toulouse. La position du satellite est déterminée au centimètre près, grâce au réseau de stations utilisées comme points de référence au sol. Inversement, le système permet le rattachement précis de points donnés au Repère ITRF. Le système DORIS équipe une douzaine de satellites 35 en orbite LEO. (d) GPS Nous consacrons tout le chapitre 14 de ce livre au système de navigation par satellite (GNSS), dit communément GPS. Dans l'annexe GPS et plaques tectoniques, nous montrons comment la position des stations statiques de réception GPS peut être connue avec une précision millimétrique. Ces stations participent à l'établissement du Repère ITRF

3.7

Annexe : fonctions de Legendre

Polynômes de Legendre

La fonction génératrice des polynômes de Legendré 6 est :

(3.43) Ces polynômes, qui sont les coefficients de la série entière en t vue ci-dessus, sont définis pour tout n ~ 0 par: p (x) _ _1__ dn---,['-'..(x_2_-_1-,-r--,-l n - 2nn! dxn

(3.44)

35Le système a équipé ou équipe les satellites français SPOT-2, -3, -4 et -5, les satellites à coopération française TOPEX/Poseidon, Jason-1 et -2, les satellites européens Envisat et CryoSat-2. Il est prévu pour les français Pléiades-HR-1 et -2, le franco-indien Altika, le franco-chinois HY-2, le franco-américain Jason-3 et l'européen Sentinel-3-A. 36 Adrien Marie Legendre (1752-1833), mathématicien français. Dans Recherches sur la figure des planètes (1784), il introduisit les polynômes qui portent son nom. Chargé par la Convention de mesures géodésiques (distance entre les méridiens de Paris et de Greenwich), il développa la trigonométrie sphérique. Il obtint des résultats nouveaux sur les fonctions elliptiques, les fonctions bêta et gamma, les intégrales eulériennes. Ses Eléments de Géométrie furent réimprimés treize fois entre 1794 et 1827.

3.7. Annexe: fonctions de Legendre

85

Les premiers polynômes sont les suivants :

Fo(x)

=

1

3x 2 -1 2 35x 4 - 30x 2 + 3 8

Fs(x)

5x 3 - 3x 2 s 63x - 70x 3 + 15x 8

=

Fonctions de Legendre

Les fonctions de Legendre sont définies sur l'intervalle [-1; +1], pour tout 1 ? 0 et pour tout 0 :S; m :S; l, à partir des polynômes de Legendre par:

(3.45)

On a les relations :

Fzo(x)

=

(21)!

F/(x) 2 ~

-/-11 (1 - x )2 . et les premières fonctions de Legendre sont :

Fll(X)

Fll(x) =

V1- x 2

F 21 (X) =

3x~

F31(X) =

~

F33(X) =

15 (1 - X2)~

2

(5x 2 -1)

=

~

F22 (X) =

3 (1 - x 2)

F32(X) =

15 x (1 - x 2)

Chapitre 4

Mouvement képlérien 4.1 4.1.1

Accélération centrale Accélération dans le cas général

Vitesse et accélération

On considère un point matériel 5 dans l'espace, repéré par rapport à une origine 0 et trois directions fixes. On désigne le rayon vecteur, la vitesse et l'accélération du point 5 respectivement par les notations suivantes: r= 05

.

;

dr

r=-

dt

On considère le plan contenant le rayon vecteur et le vecteur vitesse. On définit dans ce plan un repère orthonormé (0 ; i, j) et une base de coordonnées polaires (en ee). On ajoute le vecteur unitaire porté par l'axe Oz pour définir un trièdre direct : k=i/\j=er/\ee

On note r le module du rayon vecteur, r = Ilrll et e l'angle mesuré à partir de l'axe origine, = (i, r). Les vecteurs unitaires e r et ee sont définis par: e r = r/r et (e r , ee) = 1r/2. On note la vitesse et l'accélération angulaires respectivement par et ë. Dans ce système de coordonnées planes, on obtient la vitesse et l'accélération du point 5 par dérivations successives de l'expression de OS:

e

e r

r

r er

(4.1)

(r: - r e ) e r + '2

en notant que (r 2

(4.2)

i'er+reee

ë + 2r r e)

=

d(r 2 e)/dt.

M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

d 2' -1 -d (r e) ee r t

(4.3)

88

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Moment cinétique

Le moment cinétique par unité de masse est défini par la relation:

G=r/\r

(4.4)

En dérivant par rapport au temps, on obtient: dG

..

..

..

-d =r/\r+r/\r=r/\r t

(4.5)

De plus, d'après sa définition et avec (4.1) et (4.2), on obtient pour G l'expression suivante: (4.6)

4.1.2

Propriétés de l'accélération centrale

On considère un point matériel S dans l'espace. Son mouvement est dit à accélération centrale s'il existe un point fixe 0 tel qu'à chaque instant le vecteur OS et le vecteur accélération soient colinéaires. Pour que le mouvement du point soit à accélération centrale, il faut et il suffit qu'on ait:

r/\r=O

(4.7)

Si on porte cette relation de définition dans (4.5), on obtient: dG -=0 dt

(4.8)

ce qui montre que, pour le type de mouvement étudié ici, le moment cinétique est constant au cours du temps :

G = r /\ r

=

constante

(4.9)

Si cette constante est nulle, le mouvement est rectiligne, r et r étant colinéaires. Si elle n'est pas nulle et nous nous placerons par la suite dans ce cas général, le mouvement du point est contenu dans un plan, qui est orthogonal au vecteur constant. Nous désignerons ce plan par P. La grandeur C, calculée par (4.6), est donc ici constante: avec On remarque que

G=Ck

ë ne change pas de signe au cours du mouvement.

(4.10)

4.1. Accélération centrale

4.1.3

89

Mouvement à accélération centrale

Expression de l'accélération

On pose:

r=Îe r

avec

Î=f(r)

(4.11)

puisque l'accélération est centrale, Î étant la valeur algébrique de cette accélération. Avec la valeur r calculée en (4.3), on obtient les deux relations suivantes, une pour chaque composante:

r-riP=Î

(4.12)

1 d 2' -;;: dt(r e) = 0

(4.13)

Avec cette dernière relation, on retrouve le fait que C est une constante. Loi des aires

On appelle A l'aire balayée (en valeur algébrique) par le vecteur T. L'aire élémentaire est donnée par la surface du triangle de base (r de) et de hauteur r. On a : dA = (r/2)rde et la vitesse aréolaire (aire balayée par unité de temps) est donc: dA = ~r2 ë = ~C (4.14) dt 2 2 Cette relation est appelée la loi des aires. Elle signifie que l'aire balayée est proportionnelle au temps ou, si l'on préfère, qu'en des intervalles de temps égaux, les aires balayées sont égales (figures 4.1 et 4.3). Formules de Binet

Les formules de Binet donnent la vitesse et l'accélération en fonction de l'angle e et de la variable auxiliaire u : 1

u= r

(4.15)

Pour les établir, on élimine le temps t en utilisant la relation (4.10) qui donne:

.

C

e= - =Cu r2 et on note de plus:

rë

=

2

Cu

Le calcul de dérivation fournit les relations : .

dr du

du de

de dt

ë du

r=-·-·-=---=u2

de

Cdu de

(4.16)

90

Chapitre 4. Mouvement képlérien

f

di"

= dt =

(di"). . d ( dU) de e = ede -c de

(4.17)

On obtient ainsi, avec (4.2) et (4.3), les valeurs de la vitesse et de l'accélération dans la base (en el!) : (4.18) (4.19) On pose:

V= 111'11 et on obtient les deux formules de Binet, à partir des deux équations précédentes, l'une relative à la vitesse (par son module V), l'autre à l'accélération (par sa valeur algébrique ,) : (4.20)

(4.21 )

4.2 4.2.1

Accélération newtonienne Équation de la trajectoire

On appelle accélération newtonienne une accélération centrale proportionnelle à (r- 2 ). La force correspondante est attractive l . L'expression de l'accélération vue en (4.11) s'écrit donc: (4.22) Avec la variable auxiliaire u, on a donc : (4.23) On voit l'intérêt de la formule de Binet relative à l'accélération (4.21) dans le cas d'une accélération newtonienne: le rapprochement de cette formule avec (4.23) montre une simplification par u 2 . Ce qui amène à l'équation suivante: (4.24) lOn réserve l'adjectif coulombien aux phénomènes liés à l'électrostatique (où les forces en jeu peuvent être attractives ou répulsives) et newtonien à ceux liés à la gravitation (où les forces en jeu sont uniquement attractives).

4.2. Accélération newtonienne

91

Cette équation différentielle linéaire du deuxième ordre, à coefficients constants, avec second membre constant, se résout facilement: la solution générale est la somme de la solution générale de l'équation sans second membre (introduisant deux constantes d'intégration) et d'une solution particulière (ici le second membre). On trouve:

u

=

Acos(B - Bo)

+ CIL2

(4.25)

A et Bo étant les deux constantes d'intégration. On obtient l'expression de r : p r = ------,-----:-

(4.26)

1 + e cos( B - Bo)

avec

C2

p=-

(4.27)

e = Ap

(4.28)

IL

ce qui représente l'équation d'une conique en coordonnés polaires dont l'origine 0 est un des foyers, p est le paramètre, e est l'excentricité, voir (1.16). Les grandeurs e et Bo seront déterminées par les conditions initiales. Pour étudier la relation entre ces grandeurs et ces conditions initiales, c'est-à-dire faire la discussion sur la nature de la trajectoire, nous allons utiliser la formule de Binet relative à la vitesse (4.20).

4.2.2

Discussion du type de trajectoire

Expression de l'excentricité

On revient à la variable u, qu'on écrit maintenant sous la forme:

u=

l+ecos(B-Bo)

(4.29)

----~-~

p

et qui donne par dérivation: du e = -- sin(B - Bo) dB p

-

(4.30)

En portant ces valeurs dans (4.20), on a : 2

v2

e +2ecos(B-Bo)+1=C2 P

2

(4.31 )

En tirant de (4.29) la relation ecos(B - Bo) = up - 1 et en exprimant p, on obtient:

92

Chapitre 4. Mouvement képlérien

et l'expression de l'excentricité en revenant à la variable

T

est ainsi: (4.32)

Puisque e, C et IL sont des constantes, cette équation montre que la quantité !C, définie ici, est constante: 1 2 IL !C = - V - - = constante

2

T

(4.33)

Nous verrons en fin de chapitre, avec la relation (4.106), que cette quantité correspond à l'énergie mécanique (par unité de masse). Dans le cas d'un mouvement à accélération newtonienne, T et V varient en vérifiant à chaque instant la relation (4.33). Étude des divers cas

Nous étudions les grandeurs T et e définies par les équations (4.26) et (4.32). On se reportera à la figure 4.11. Selon les valeurs que prend !C, l'excentricité e peut être supérieure ou inférieure à 1. On voit que la quantité (4.34) joue un rôle particulier dans cette discrimination. En effet : - si !C > 0, soit V > Vi, alors e > 1 : hyperbole de foyer O. Il s'agit de la branche qui tourne sa concavité vers l'origine 0, puisque la force est attractive; - si !C = 0, soit V = Vi, alors e = 1 : parabole de foyer 0 ; - si !C < 0, soit V < Vi, alors e < 1 : ellipse de foyer O. Dans ce dernier cas, il y a une condition pour l'équation (4.32) le deuxième membre ne doit pas être négatif. Il faut donc : 2

IL IL V 2 -2-:>--T y C2

soit la condition : avec:

Vs

=

V!!. - !!.P 2

T

(4.35)

où la vitesse Vs est appelée vitesse de satellisation à la distance T. Nous allons revenir sur ce cas un peu plus loin dans le cas particulier de l'ellipse d'excentricité nulle (cercle de centre 0).

4.3. Mouvement képlérien: trajectoire et période

93

Quant à la vitesse Vi définie ci-dessus, on comprend son sens: avec V ~ Vi, le point S, décrivant une parabole ou une branche d'hyperbole, peut aller à l'infini; par contre, avec V < Vi, le point S reste à distance finie de 0 et le mouvement est périodique. On donne donc à cette vitesse (qui est fonction de r-) le nom de vitesse de libémtion à la distance r-. On dit aussi vitesse d'évasion. La vitesse V doit donc répondre aux conditions :

(4.36) pour que le mouvement soit périodique. La vitesse V du corps doit être supérieure à Vs pour qu'il soit en orbite, mais inférieure à Vi pour qu'il reste soumis à l'attraction gravitationnelle centrale 2 . On note que la nature de la trajectoire ne dépend pas de l'orientation du vecteur vitesse, mais uniquement de son module V, en un point à la distance r- de l'origine.

4.3 4.3.1

Mouvement képlérien trajectoire et période Définition

Le mouvement képlér-ien est le mouvement d'une masse ponctuelle dans un champ central en 1/r-2, le centre du champ étant fixe. Ce champ est un champ gravitationnel, créé par une autre masse, supposée immobile. On ne considère que ces deux masses: il n'y a pas de perturbations provenant d'autres corps. Dans ce chapitre, nous allons étudier le mouvement de ce point matériel S et il suffit de considérer qu'il est soumis à une accélération newtonienne ou, en terme de forces, qu'il est soumis à une force centrale en 1/r-2 dans un référentiel galiléen. L'objet de ce travail étant l'étude des trajectoires de satellites, nous ne nous intéressons plus à partir d'ici, sauf exception, qu'aux trajectoires périodiques, c'est-à-dire elliptiques (JC < 0 ou e < 1). 2 Au début de l'ère spatiale, on rencontre, particulièrement dans la littérature scientifique soviétique, les expressions « première vitesse cosmique» pour Vs et «seconde vitesse cosmique» pour Vj. La « troisième vitesse cosmique» est celle qui permet de quitter le Système solaire.

94

4.3.2

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Trajectoires du mouvement périodique

Trajectoires elliptiques

Pour une trajectoire elliptique, à partir de la valeur de l'excentricité, donnée par (4.32), on peut écrire:

1- e 2

2 C2 ---K

=

avec

IL2

On sait également qu'une ellipse est définie par son demi-grand axe a et son excentricité e. Le paramètre p est défini par p = a(l - e2 ). On a donc, avec (4.27) :

C2

P

2

1-e = - = a ILa

(4.37)

On déduit de ces relations : 2K

=

V2

_

2ft

=

_~

a On obtient l'expression de la vitesse V en fonction de T

(4.38) T :

(4.39) On vérifie que le second membre de l'équation est toujours positif (dans une ellipse, T est toujours inférieur à 2a). En résumé, on peut écrire l'équation de la trajectoire elliptique en coordonnées polaires T( B) sous la forme: T

=

T (B)

C2

= -

1 ft l+ecos(B-Bo)

----:-::-----=---:-

(4.40)

avec: (4.41) ou bien: T

=

T

B = a(l - e 2 ) () l+ecos(B-Bo)

(4.42)

Avec le mouvement périodique du point S, la distance T passe par un minimum et un maximum, respectivement notés 3 Tp et Ta :

Tp Ta

=T(B=Bo) = T(B = Bo + 7T)

=a(l-e) =a(l+e)

(4.43)

3Les deux indices (p) et (a) font référence à périgée et apogée, noms utilisés pour désigner ces positions dans le cas de mouvement autour de la Terre (~ yYj, Yjç), ou à périhélie et aphélie, dans le cas de mouvement autour du Soleil (0 ~ÀlOÇ, ou). On peut dire aussi, de manière plus générale, sans spécifier le corps attractif, périastre et apoastre ou bien péricentre et apocentre. Les préfixes péri et apo viennent des adverbes 1tEP1, « au-dessus» et &'1tÔ, « au loin». Les noms périhélie et aphélie ont été créés par Kepler (1596) à partir des termes de Ptolémée, périgée et apogée.

4.3. Mouvement képlérien: trajectoire et période

95

dont la somme est évidemment r p + ra = 2a. On peut exprimer l'excentricité sous la forme: e

ra - rp ra+rp

=

=

ra _ 1 = 1 _ rp a a

(4.44)

En considérant l'équation (4.39), on voit que la vitesse V passe par un maximum Vp pour r = r p et par un minimum Va pour r = ra qui ont pour valeurs respectives :

v:p

=

+e fK~ a 1-e

~ -(1 + e) p

(4.45)

Va

=

ŒJ1l+e - e = yp f0.(1 - e) y-;;

(4.46)

-

-- =

On en déduit les relations entre les vitesses aux apsides 4

qui permettent de retrouver le moment cinétique C, puisque, pour ces deux points extrêmes sur l'ellipse, la vitesse et le rayon vecteur sont orthogonaux. On note aussi : l+e (4.4 7) 1-e rp En utilisant l'angle d'excentricité apsides s'écrivent:

v:p

=

E,

défini par (1.27), les vitesses aux

Œtan (~4 + .:.) y-;; 2

(4.48)

La vitesse peut s'exprimer en fonction de l'angle polaire. En partant de (4.31), on obtient:

IL 1+2ecos(e-eo)+e 2 a

(4.49)

Exemple 4.1 Calcul de l'excentricité de l'orbite d'un satellite artificiel de la Terre dont l'altitude au périgée est de 500 km et celle à l'apogée de 40 000 km (orbite type Molnya). On prendra R = 6400 km. 40 n appelle « ligne des apsides» la ligne qui relie le périgée à l'apogée. Ce segment représente le grand axe de l'ellipse. Périgée et apogée sont les deux apsides, dites respectivement apside inférieure et apside supérieure. Ce mot vient du grec ~ &tjJk, ~ôoç, «voûte », «voûte du ciel », avec perte de l'aspiration initiale. Le terme architectural « abside» (extrémité arrondie en hémicycle qui termine le chœur d'une église) a la même origine, mais après passage par le latin absida.

96

Chapitre 4. Mouvement képlérien

~ En notant hp et ha les altitudes respectives au périgée et à l'apogée, en utilisant les distances r p et ra définies par (4.43), on a : rp = R + hp ra = R + ha a = R + (ha + h p )/2 On obtient, avec (4.44), la valeur de l'excentricité:

(4.50) Dans le cas de l'orbite Molnya, on a : e = 39 500/(12 800 + 40500) é:::: 0.75. De plus, la relation (4.47) donne: Va/Vp = (1 - e)/(l + e) = 0.25/1.75 = 1/7. Ce type d'orbite permet d'obtenir pour le satellite une vitesse sept fois plus lente à l'apogée qu'au périgée. ....

Cas particulier des trajectoires circulaires

Un cercle est une ellipse d'excentricité e

= O. La relation (4.41) donne:

ce qui, porté dans (4.26), amène à la relation attendue pour un cercle:

Les vitesses remarquables Vi et ici:

Vi

=

Vs,

définies par (4.34) et (4.35), deviennent

r;ii

V2~

(4.51 )

De plus, la relation avec la constante J( donne ici: 2 J(

=V2 _

2/t

a

=_0.. a

ce qui entraîne : (4.52) Le module V de la vitesse est constant et égal à Vs. Le mouvement circulaire est uniforme. On peut aussi vérifier, en considérant la valeur de , donnée par (4.22), qu'on retrouve bien la valeur de l'accélération normale dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme : IL

V2

,=-=-2 a

a

4.3. Mouvement képlérien: trajectoire et période

4.3.3

97

Période - Anomalie moyenne M

Période

On appelle période le temps T mis par le point pour décrire entièrement l'ellipse. En intégrant sur la durée d'une période l'équation (4.14), on a : 1 2

A= -CT Dans ce cas, A représente l'aire de l'ellipse, soit A = 7rab, b étant le demi-petit axe de l'ellipse. On rappelle la relation: b2 = pa. Donc

On obtient ainsi la valeur de la période:

T

=

la} 27ry;;

(4.53)

Cette période est appelée durée de révolution 5 , ou période orbitale, ou période képlérienne 6 du mouvement. Il faut noter que, pour un corps attracteur IL donné, la période képlérienne ne dépend que du demi-grand axe a, l'excentricité e n'intervient pas. Moyen mouvement et anomalie moyenne

On définit la pulsation n correspondante, appelée le moyen mouvement: (4.54) Le moyen mouvement est la pulsation (unité SI : rad s-1, radian par seconde) du mouvement uniforme circulaire, de rayon a, d'un point fictif qui aurait la même période qu'un point en mouvement képlérien sur une orbite de demigrand axe a. 5Révolution vient du bas-latin revalutia, anis, «déroulement», «retour», du verbe latin valvere, « rouler» avec le préfixe re-. Dès le Moyen-Âge, le sens est celui de « retour périodique d'un astre à son point de départ». Copernic l'utilise pour le titre de son œuvre. Le passage au sens courant actuel est venu plus tard, pour signifier un changement de régime politique, économique ou culturel, important ou radical, comme « la Révolution française» ). Le sens scientifique a donc précédé le sens commun. Lorsque Kant (1787) parle de « révolution copernicienne», la boucle est bouclée! 6Lorsque le mouvement képlérien est perturbé, comme nous verrons plus loin, on définit plusieurs périodes, relatives au mouvement réel, comme la période nodale (ou draconitique) et la période anomalistique.

98

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Avec (4.53), on peut exprimer très simplement la constante des aires C en fonction de n et des dimensions de l'ellipse:

C

= n a

b

(4.55)

Par souci d'homogénéité avec ce qui va suivre, à savoir l'utilisation d'angles appelés anomalies 7 , on transforme, pour un mouvement périodique, le temps en angle: l'vI varie linéairement avec le temps, de NI = 0 pour t = t p , au passage au périgée, à NI = 27f pour le passage suivant, à t = t p + T. La définition de cet angle, appelé anomalie moyenne, est donc :

(4.56)

4.3.4

Loi horaire

Les relations que nous avons établies nous ont permis de connaître la trajectoire en coordonnées polaires, c'est-à-dire une relation entre r et B. Ces relations ont été obtenues sans faire intervenir le temps, puisque les relations de départ sont les formules de Binet, établies en éliminant le temps. Pour trouver l'expression du temps t en fonction d'une des coordonnées polaires, c'est-à-dire établir la loi horaire du mouvement qui permettra de prédire à tout moment la position du point 5, il nous faut revenir à la constante de la loi des aires du mouvement à accélération centrale, l'équation (4.10). Pour obtenir t, il faut donc intégrer:

(4.57) Par cette intégration, nous obtiendrons le temps t en fonction de la position du point, définie par r ou B. D'un point de vue pratique, c'est généralement la résolution inverse qui est demandée: connaître la position du point à un instant donné t. Elle n'a pas de solution analytique directe et fait l'objet d'un traitement particulier: c'est le problème de Kepler. Nous développons ci-dessous les deux questions: - déterminer le temps en fonction de la position; - déterminer la position en fonction du temps. 7Le terme a été créé par Kepler (anomalia, œ, en latin) pour désigner ces angles. Il est calqué sur le mot grec ~ &\lWllotÀ[ot, otç qui signifie « irrégularité» (préfixe &\1 privatif, adjectif OllotÀÔÇ, «semblable à lui-méme », «régulier»). Le terme veut rendre l'idée du comportement irrégulier de cet angle au cours du temps (puisque le mouvement n'apparaît pas comme circulaire et régulier). Kepler l'a créé pour repérer la position de Mars par rapport au Soleil et a défini plusieurs anomalies. Parmi elles, les trois que nous utilisons ci-après : l'anomalie vraie (anomalia coœquata vera), l'anomalie excentrique (anomalia eccentri) et l'anomalie moyenne (anomalia media). Dans Astronomia Nova, Kepler utilise, à côté de l'anomalie vraie, l'anomalie « artificielle» (anomalia coœquata jictitia) ainsi que quatre autres anomalies (anomalia circularis 8 elliptica, anomalia distantaria, anomalia scrupularia).

4.4. Temps en fonction de la position - les trois anomalies

4.4

99

Temps en fonction de la position - les trois anomalies

L'obtention de t se fait, avec (4.57), par intégration de r 2 dB. On envisage deux méthodes. Avec la première, on élimine r, en l'exprimant en fonction de B, sous la forme r = f(B). On obtient t par: t =

~

J

[f(B)]2 dB

Avec la seconde, on élimine B, en exprimant dB sous la forme dB On obtient t par:

=

g(r)dr.

Nous verrons aussi comme ce dernier résultat peut être obtenu par une méthode basée sur les propriétés géométriques de l'ellipse.

4.4.1

Expression t = t(e) - Anomalie vraie v

On part de l'équation (4.57) dans laquelle on remplace r par son expression en fonction de B, donnée par (4.40) : dt =

~

p2

C [1 + ecos(B - Bo)]

2

dB

La valeur minimale de r = rp est obtenue pour B = Bo, voir équation (4.43), et il est plus pratique de compter les angles à partir de cette origine. On fait donc le changement de variable :

v = B - Bo

(4.58)

l'angle v est appelé l'anomalie vraie. On calcule alors t = t( v) par: p2 t = C

J

dv (1 + ecosv)2

L'intégration de fonctions de ce type donne: I

=

j' (l+ecosv)2 dv

J__

= _

d_v__ = 1 + e cos v

dv (l-e1 Jl+ecosv arctan (J_l_-_e tan ~) JI - e2 1+ e 2

e sin v + (l-e 2)(I+ecosv) 2

2)

100

Chapitre 4. Mouvement képlérien

En utilisant (4.37), on obtient:

p2 1*3(1 -

-

C

=

2;;

e )2

-

IL

=

(1 - e n

2)~

-'------------'-

avec l'expression du moyen mouvement n, donnée par (4.54). En prenant pour origine du temps t = t p pour r = rp et v = 0, on obtient:

ce qui donne la loi horaire recherchée:

n(t - t p )

=

M

=

2 arctan

v)2 --e - tan(~ l+e

e~sinv

1 + ecosv

(4.59)

e ou, ce qui est équivalent,

On a ainsi exprimé t en fonction de l'angle polaire

NI en fonction de v.

À partir d'ici, nous écrirons (4.42) sous la forme suivante:

r

=

r( v)

a(l - e 2 ) + e cos v

(4.60)

= 1

qui donne la distance r en fonction de l'anomalie vraie.

4.4.2

Expression t

t( r) - Anomalie excentrique E

=

Obtention analytique de l'équation de Kepler

Au lieu d'exprimer de directement en fonction de r, on prend un chemin voisin, en partant de l'équation (4.32), liant V et r aux caractéristiques de l'ellipse, pour écrire: 2

2/L

fL2

2

V = --;:- - C2 (1 - e ) À partir de l'expression vectorielle de la vitesse (4.2), on a :

où

e a été éliminé par l'utilisation de la loi des aires (4.14). D'où la relation: .2

r

=

(dr) 2 IL2 2 dt = - C2 ( 1 - e )

qui amène à l'équation différentielle:

2/L

+ --;:- -

C2 r2

4.4. Temps en fonction de la position - les trois anomalies

101

On remplace C 2 par JLa(l - e2 ) pour obtenir les simplifications suivantes: JL2

2

2

JL

2

2

2

--(l-e)r +2W-C =--r +2W-'La(1-e) C2 a

et arriver à :

(4.61 ) Pour intégrer cette équation, il est commode d'introduire la variable angulaire auxiliaire E telle que a - r = ae cos E qu'on peut ainsi définir par: cos E

=

~ e

(1 -

.c) a

(4.62)

Cet angle est appelé anomalie excentriqué. Il est représenté sur la figure 4.1. Nous donnons ci-dessous sa signification géométrique dans l'ellipse. On remarque: E = 0 pour r = rp et E = 7r pour r = ra, voir (4.43). On fait donc le changement de variable:

r

= a(l -

ecosE)

(4.63)

et, en fonction de E, (4.61) devient, avec dr = a e sinE dE:

dt

=

If;,

a(l - e cos E) dE

On intègre en prenant pour origine du temps t = t p pour r = rp et E = 0 : t - tp =

V{;;3 ;; (E -

e sin E)

et en utilisant le moyen mouvement n, on obtient :

n(t - t p )

=

M

=

E - e sinE

Cette relation est appelée équation de Kepler. On a ainsi exprimé t en fonction de r ou, ce qui est équivalent, fonction de E.

(4.64)

JI.;[

en

8Excentrique : en dehors du centre. Le centre dont il est question ici n'est pas le centre du cercle ou de l'ellipse, mais le foyer de l'ellipse, le centre attractif. Dans le chapitre l, cet angle apparaît dans la relation (1.29).

102

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Obtention géométrique de l'équation de Kepler

On utilise la loi des aires et le fait que l'ellipse est la transformée du cercle principal par affinité, de rapport ~, d'axe Ox et de direction Oy. Si on intègre la loi des aires (4.14) entre t p et t, on obtient: t -

2

tp = - A C

la grandeur A étant l'aire balayée entre ces deux instants, c'est-à-dire, avec les notations de la figure 4.1, l'aire du triangle curviligne OPS. On note par AI l'aire du triangle curviligne OPT, T étant le point donnant S par transformation affine. On a donc:

A=~AI En remplaçant C par

J JLa(l -

e2 ), on a :

t-t p

=

2

--A

1

VJia

Le calcul de la surface AI donne :

AI

secteur CPT - triangle COT secteur {angle E} -

~a2E-~ 2

2

1

"2

CO . HT

(ae)·(a sinE) =

~a2(E-e 2

sinE)

Par cette méthode géométrique, on obtient ainsi très rapidement l'équation de Kepler, avec l'expression de AI et en introduisant le moyen mouvement:

n(t - t p )

4.4.3

=

M

=

E - e sin E

(4.65)

Relation entre les anomalies

Relation entre les anomalies v et E

Pour établir les relations entre v et E (figure 4.1), on munit l'ellipse d'un repère (Ox,Oy). On désigne par 0 le foyer principal, centre du champ newtonien, et C le centre de l'ellipse. Le grand axe est AP, P (périgée) étant le point de l'ellipse le plus près de 0, A (apogée) le plus éloigné. On prend l'axe Ox selon OP et l'axe Oy directement orthogonal en 0 à Ox. On appelle R l'intersection de Oy avec l'ellipse, Q l'intersection de la parallèle en C à Oy avec l'ellipse. On a les correspondances suivantes:

a

=

CP; b = CQ ; p

=

OR ; ae

=

CO ;

Tp

=

OP;

Ta

=

OA

4.4. Temps en fonction de la position - les trois anomalies

103

y

T

A

x

e

=

0.75

FIG. 4.1: Trajectoire elliptique. Ellipse et cercle principal, avec notation des points

et des angles utilisés pour l'établissement géométrique de l'équation de Kepler.

On trace le cercle tangent extérieurement à l'ellipse, de centre C, de rayon CP, appelé cercle principal. Soit S un point quelconque sur l'ellipse et H sa projection sur Ox. L'anomalie vraie se définit immédiatement comme l'angle polaire: v = (Ox, OS)

L'anomalie excentrique s'obtient géométriquement à partir de sa définition comme:

E = (Cx, CT) le point T étant l'intersection de la demi-droite H S avec le cercle principal déjà défini. En effet, d'après la relation (4.62), on a cos E = (a - r) / (ae). On transforme (a - r) de manière à faire apparaître v : a - r = a(l - e 2 ) - r + ae 2 = r(l + e cos v) - r + ae 2 = e(r cos v + ae) ce qui donne, avec les points notés sur la figure 4.1 : cos E = r cos v + a e = CH a CT L'angle E est bien l'angle C du triangle rectangle HCT.

104

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Pour obtenir la relation entre les angles v et E, on écrit les coordonnées du point S :

x

rcosv

=

y = rsin v

Jx 2 + y2 = r

a(cosE - e)

(4.66)

a~sinE

(4.67)

a(l-ecosE)

et on en déduit les relations entre les anomalies vraie et excentrique. On remarque que v et E changent ensemble de signe. Pour v en fonction de E :

cosE - e cos v = 1 _ e cos E

~1 - e 2 sinE sin v = ------=1 - ecosE

On calcule les quantités (1 + cos v) et (1 - cos v) : 1 + cosv =

(1 - e)(l + cosE) 1- ecosE

(1 + e)(l - cosE) 1 - ecosE pour arriver à la relation: 1 - cosv =

v tan2

=

===}

===}

cos 2 '!!.. 2

1-e E cos 2 1 - ecosE 2

sin 2 '!!.. 2

E l+e sin 2 1 - ecosE 2

Vê+e - - t a nE 1- e 2

(4.68)

Pour E en fonction de v : cosv + e cosE= - - - 1 + ecosv

sinE

tan -E = 2

~sinv 1 + ecosv

= -----

~-e v --tan-

(4.69) l+e 2 On peut aussi exprimer la différence (v - E) en fonction de v ou de E :

v- E tan - 2 avec:

=

{3 sin E 1 - {3 cos E e

{3-

{3 sin v 1 + {3 cos v

= -----,--

1 - ~1 - e 2 ----e

(4.71)

-1+~-

Avec l'angle d'excentricité

E,

(4.70)

défini par (1.27), on a : (4.72)

tan "2 = tan V

(7r"4 + "2E)

E

tan2

tan

E = "2

tan

(7r"4 - "2f)

v tan -

2

4.5. Position en fonction du temps - le problème de Kepler

105

Relations différentielles entre les anomalies Par définition même de l'vI, on a : dM -=n dt

(4.73)

La relation (4.64) donne:

n

=

et donc:

dM

-

dt

=

dv dM

dE (1 - e cos E)-

dt

1 1 - cosE

(4.74)

(4.75)

La relation entre d1\lI et dv se déduit de la loi des aires. L'équation (4.14) donne: de c

dt

r2

et, puisque de et dv sont équivalents, on a : dM r2 dv n=-= dt a 2 Vl - e 2 dt

(4.76)

On a ainsi la relation entre dv et d1\lI : (4.77)

4.5 4.5.1

Position en fonction du temps - le problème de Kepler Méthodes de résolution du problème de Kepler

Nous venons de voir comment on peut exprimer le temps à l'aide des trois anomalies, de manière analytique. Le problème inverse consiste à exprimer l'anomalie vraie en fonction du temps. On l'appelle problème de Kepler et il n'a pas de solution analytique. Pour un instant t donné, définissant une valeur 1\11 = l'vI(t) de l'anomalie moyenne, l'équation de Kepler s'écrit:

E - e sinE

=

M

On veut obtenir E en fonction de 1\11, pour ensuite obtenir v.

(4.78)

106

Chapitre 4. Mouvement képlérien y

x

FIG. 4.2:

Schéma explicatif de la méthode itérative de Newton-Raphson.

Depuis Kepler, des dizaines 9 de méthodes ont été proposées pour résoudre cette équation transcendante en E. Nous en présentons ici quelques-unes: - une méthode numérique itérative; - un aperçu de méthodes basées sur les développements en séries et une formule approchée pour les excentricités faibles. Nous n'insisterons que sur la première méthode qui est actuellement la plus utilisée. Elle est aussi précise qu'on le veut et ses calculs, autrefois fastidieux, demandent une fraction de microseconde de temps d'ordinateur.

4.5.2

Méthode numérique de résolution par itération

Méthode de Newton-Raphson Le principe de la résolution est basé sur la méthode de Newton-Raphson qui consiste à approcher une courbe au voisinage d'un point par sa tangente en ce point (développement de Taylor au premier ordre). On procède par itération. On transforme l'équation de la courbe de manière à la ramener à la forme f(x) = O. On s'assure qu'il y a une solution et qu'elle est unique. 9Le Bulletin Astronomique de l'Observatoire de Paris, en janvier 1900, donnait une bibliographie de 123 articles sur la résolution du problème de Kepler, que ce soit de manière analytique ou graphique. On y retrouve tous les grands noms de l'astronomie et des mathématiques : Kepler (1609), Newton (1687), Cassini (1719), Simpson (1740), Euler (1747), Lalande (Astronomie, 1764), Lagrange (Sur le problème de Kepler, 1769), Gauss (Theoria motus, 1809), Littrow (Anomaliœ verœ per mediam determinatio, 1814), Delambre (1817), Bessel (Über das Keplersche Problem, 1818), Laplace (Mémoire sur le développement de l'anomalie vraie, 1823), Wallace (Two elementary solutions of Kepler's problem, 1835), Encke (Aufiosung des Keplerschen Gleichung, 1850), Cauchy (1854), Lehmann (Ueber eine definitive Losung des Keplerschen Problems, 1855, suivi de beaucoup d'autres publications - définitives? - pendant plusieurs années), Le Verrier (1855), Radau (1882).

4.5. Position en fonction du temps - le problème de Kepler

107

En un point An de coordonnées [x = X n , y = f(xn)] sur la courbe, on trace la tangente (figure 4.2). Elle coupe l'axe des abscisses en un point Bn' [x = X n+l,y = 0]. À partir de Bn, on construit le point de la courbe qui a même abscisse que Bn, noté An+1' [x = X n+l, Y = f(x n+1)] et on opère de même jusqu'à obtenir une convergence. On exprime la pente de la droite qui relie les points An et Bn : Yn -

d'où la relation: X

n+l

= Xn

°

f(xn) - f'(xn)

(4.79)

Résolution par la méthode itérative

Considérons l'équation de Kepler, avec E qui joue le rôle de x, écrite sous la forme:

f (E)

=

E - e sin E - M

La solution cherchée sera telle que f(E) = O. La dérivée de f par rapport à E est:

j'(E)

=

1 - e cosE

°

On remarque que si JI.;[ est égal à ou K, la solution est E = JI.;[. On vérifie d'abord qu'il y a une solution et qu'elle est unique. On considère donc E et M l'intervalle ouvert ]0, K[ et on voit que f(O) = -M et f(K) = K - M. Il Y a donc au moins une solution, puisque pour cette fonction continue on a f(O) < et f(K) > O. La dérivée étant toujours positive, f'(E) > avec e < 1, la fonction est strictement croissante et la solution est unique. On fait le même raisonnement dans l'intervalle] - K, 0[. On applique alors la formule d'itération:

°

°

E n+l -- E n- En - e sin En 1 - e cosEn

JI.;[

(4.80)

On part d'une valeur initiale, Eo, à définir. Lorsqu'on considère que la solution est obtenue, selon la précision requise, on pose E = En+l' Avec la solution E trouvée, on obtient v par (4.68), soit:

v = 2 arctan

-+e - tan -El [~ 1- e 2

(4.81)

108

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Convergence de l'itération

La rapidité de convergence (le nombre d'itérations N nécessaires pour obtenir le résultat) dépend de e, NI et de la valeur initiale choisie, Eo. Elle dépend aussi de la précision recherchée. Nous notons cette précision par Qk, pour laquelle l'angle choisi est connu avec une erreur inférieure à lO-k degré ou, si l'on préfère, qui garantit, pour E exprimé en degré, k chiffres exacts après la virgule. Le nombre N peut s'écrire comme une fonction:

La question de rapidité de convergence n'est plus d'actualité aujourd'hui à cause de la vitesse du calcul informatique. En hommage aux astronomes qui, pendant quatre siècles, ont effectué des calculs sur ce problème, nous donnons quelques indications sur cette question. Classiquement, on pose:

Eo=M

pour l'initialisation de E. Dans ce cas, la convergence est assez rapide, sauf pour e > 0.9 lorsque les valeurs de l'anomalie moyenne sont faibles, I.!VII < 20°. On augmente notablement la rapidité de convergence en prenant comme initialisation :

Eo = M

+e

si M

ce qu'on peut écrire:

~

0

Eo = M

Eo = M - e

si M ::::; 0

+ e . u(M)

où u( M) représente la fonction Signe de M (+ 1 pour M > 0; -1 pour NI < 0). Les angles E et NI sont comptés en radians et dans l'intervalle

] - 7f, +7f].

La figure 17.2 illustre ces deux cas, pour lesquels on a tracé:

N = N(e,M;Eo = M, Q6)

N = N (e, M; Eo = M

+ e· u(M), Q6)

Exemple 4.2 Calcul de la position (coordonnées polaires), avec un pas de 1 heure, d'un satellite de la Terre, d'excentricité e = 0.74 et de période T = 12 heures. ~ Ce satellite a une orbite du type Molnya. Une heure de temps représente, pour l'anomalie moyenne, 360/T = 360/12 = 30 degrés. Nous résolvons en détail le problème de Kepler pour J'vI = 30°. Les angles sont convertis en radians et dans l'intervalle ]- 'if, +'if]. Utilisons (4.80). L'itération commence avec Eo = J'vI = ('if /6) On calcule ensuite El :

_ -'-'----''------,-----'---'---'-:-.,.......;'-'-----'('if/6) - 0.74 sin('if/6) - ('if/6) El -_ (~/6) " 1- 0.74 cos('if/6)

= 1. 55383

4.5. Position en fonction du temps - le problème de Kepler

109

et de méme E2, E3, etc. :

E 2 = 1.55383 _ 1.55383 - 0.74 sin(1.55383) - (7f/6) = 1.25980 1 - 0.74 cos(1.55383) E3

= 1.25980 _ 1.25980 - 0.74 sin(1.25980) - (7f/6) = 1.21882 1 - 0.74 cos(1.25980)

E4 = 1.21882 _ 1.21882 - 0.74 sin(1.21882) - (7f/6) = 1.21803 1 - 0.74 cos(1.21882) E5

= 1.21803 _ 1.21803 - 0.74 sin(1.21803) - (7f/6) = 1.21803 1 - 0.74 cos(1.21803)

On considère le résultat atteint au bout de 5 itérations, vu la précision cherchée (Q4 ici) : E = 1.21803 Avec l'initialisation modifiée, l'itération commence avec: Eo = Iv! + e = (7f/6) + 0.74 = 1.26360. On calcule ensuite : E 2 = 1.21803 El = 1.21897 E3 = 1.21803. La convergence est plus rapide. L'anomalie excentrique E étant déterminée, E = 1.21803 rad = 69.7880°, on obtient v par (4.81) : v = 2 arctan [ VI. 74/0.26 tan( 69.7880/2)] = 122.0062°. On note, figure 4.3(a), où les angles sont en degrés, les valeurs de v, obtenues après itération sur E, pour les valeurs de J'vI demandées. Par raison de symétrie dans le problème de Kepler, le calcul pour les angles J'vI compris entre -180° et 0° est inutile: on remplace IvI par son opposé et, dans les résultats, on remplace E et v par leurs opposés respectifs. Pour connaître la distance r, on calcule d'abord le demi-grand axe par (4.53), ce qui donne a = 26609 km. On calcule r = r(v) avec (4.60), et les résultats sont notés dans la figure 4.3(a). On a évidemment r(-v) = r(v) (angles en degrés). Notons de plus que si on veut savoir à quel instant le satellite a atteint une anomalie vraie donnée, disons 90°, on obtient directement le résultat, sans résolution du problème de Kepler. On utilise (4.59), en posant v = 7f/2 rad: Iv! = 2 arctan (VO.76/1.74) - (0.74V1- 0.74 2 ) = 0.73773 - 0.49773

soit Iv! = 0.23000 rad = 13.751° équivalent à 13.751/30 heure = 28 min. La valeur de r à cet instant correspond au paramètre p. On a ici : r = r( v = 7f /2) = a(l - e 2 ) = p = 12 037 km. En se référant à la figure 4.1, le satellite S met 28 minutes pour aller du point P, le périgée (v = 0°), au point R, d'anomalie vraie v = 90° et il met 5 h 32 min pour aller de R à l'apogée A (v = 180°). Remarque. Nous avons considéré ici un satellite de type Molnya, avec une période d'un demi-jour moyen (720 min). En réalité, la période d'un tel satellite est d'un demi-jour sidéral (718 min). La figure 4.3(b) illustre les résultats de cet exemple. ...

l10

Chapitre 4. Mouvement képlérien

t

M

0 1 2 3 4 5 6

0 30 60 90 120 150 180

Molnya

El

E2

E3

E4,E5

v

r

00.000 89.028 118.283 132.399 146.802 162.920 180.000

00.000 72.181 102.775 125.001 144.587 162.646 180.000

00.000 69.833 101.550 124.811 144.576 162.646 180.000

00.000 69.788 101.542 124.811 144.576 162.646 180.000

00.000 122.006 144.969 157.156 165.924 173.248 180.000

6918 19806 30548 37850 42655 45403 46299

11111

Orbite et corps attractif dans le plan orbital

Distances (km) a =26560.672 b =17864.891 c =19654.896

a =26560.672 km

Altit. équiv. = 20182.5 km

e = 0.740000

Inclin. CRITIQUE = 63.42 Arg. Périgée = +270.00 0 Période

=

0

718.03 min

Illustration graphique de la "Loi des Aires"

R = 6378.136

Intervalle de temps

entre deux marques: 59.8 min

Projection de l'équateur terrestre dans le plan de l'orbite du satellite nL(,)V

MC * LMD

4.3 : (a) Tableau et (b) Schéma. (a) Problème de Kepler: obtention de l'anomalie vraie par méthode itérative (avec initialisation Eo = NI). L'anomalie moyenne NI est proportionnelle au temps t, compté à partir du passage au périgée. Les diverses valeurs Ei obtenues par itération sont notées. Ici, convergence à partir de E4. On obtient finalement l'anomalie vraie v et la distance au foyer r. Le temps t est en heures, les angles NI, E et v en degrés, la distance r en km. (b) Trajectoire d'un satellite Molnya, en orbite elliptique d'excentricité e = 0.74. La période est de 718 minutes (pratiquement 12 heures). La position du satellite, à chaque heure, est notée par un trait reliant le satellite au centre attractif (centre de la Terre, foyer de l'ellipse trajectoire) de manière à illustrer la loi des aires, seconde loi de Kepler. FIG.

4.5. Position en fonction du temps - le problème de Kepler

4.5.3

111

Autres méthodes de résolution

Nous esquissons le principe de méthodes qui, de manière différente, transforment la quantité E - NI. Quand E est obtenu à partir de NI, on calcule

v = v(E).

Fonctions de Bessel

La fonction E - NI = e sin E est une fonction impaire périodique de l'vI. On la décompose en série de Fourier, utilisant les fonctions de Bessel de première espèce, Jk :

E - M

=

~ 1

2 L

. k Jk(ke)smkM

(4.82)

k=l

Développement en série de l'excentricité

En partant de E -NI = e sinE, Lagrange écrit E -NI sous forme d'une série entière de l'excentricité: 00

é

E-M= "" L k! k=l

d k - 1 sin k l'vI dMk-l

(4.83)

Laplace a démontré que le rayon de convergence était eo = 0.66274 ... Cette méthode ne convient donc pas pour les excentricités supérieures à cette valeur. Pour les excentricités faibles, un développement limité à l'ordre 3 de l'excentricité est donné par (4.89). Formule approchée pour excentricités faibles

On écrit cos l'vI et sin NI, à partir de (4.78), en s'arrêtant au premier ordre en e. Cela revient à écrire: cos(e sinE) c:::: 1

sin(e sinE) c:::: e sinE

On obtient: cos l'vI = cos(E - e sinE) c:::: cosE - e sin 2 E = e + (1 - e cosE) cosE sinM = sin(E - e sinE) c:::: (1 - e cosE) sinE ce qui donne :

sinM tan E c:::: -----::--:--cos NI - e

(4.84)

112

4.6 4.6.1

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Représentation des anomalies Représentation des anomalies v(M) et E(M)

Sur une période, l'anomalie moyenne NI représente donc, au facteur n près, le temps écoulé depuis le passage au point P. Nous pouvons tracer les graphes donnant l'évolution de v et de E en fonction du temps, c'est-à-dire les fonctions v(NI) et E(NI). Sur les graphes représentés ici, l'vI varie sur une période, de M = -K (8 en A) à M = +K (8 en A), en passant par M = 0 (8 en P) (figure 4.1). La figure 4.4(a) représente le graphe de la fonction v(M) pour diverses valeurs de l'excentricité: e = 0.0 à e = 0.9, avec un pas de 0.1. Il y a égalité entre les deux angles pour e = 0.0 (trajectoire circulaire) et l'écart augmente avec e. Lorsque 8 est au voisinage du périastre P (NI = 0, v = 0), à de petites variations de NI, c'est-à-dire du temps, correspondent de grandes variations de v, d'autant plus que e est grand. Par contre, lorsque 8 est au voisinage de l'apoastre A (INII = K, Ivl = K), à de grandes variations de l'vI correspondent de petites variations de v. C'est bien entendu l'illustration de la loi des aires. La figure 4.4(b) représente le graphe de la fonction E(M) pour diverses valeurs de l'excentricité: e = 0.0 à e = 0.9, avec un pas de 0.1. Comme pour la fonction précédente, il y a égalité entre les deux angles pour e = 0.0 et l'écart augmente avec e de manière moins marquée que pour v(NI). Pour toutes les figures intervenant dans cette partie Représentation des anomalies, nous avons fait figurer le cas e = 1.0. Il s'agit d'un cas limite, lorsque l'excentricité de l'ellipse tend vers 1 par valeurs inférieures 1o .

4.6.2

Équation du centre

Dans le mouvement képlérien, il est intéressant de comparer les anomalies vraie et moyenne. On définit, en astronomie, l'équation du centre, notée Ec, qui est la différence de ces deux anomalies. Cette grandeur l l est un angle:

Ec

=

v-M

(4.85)

Nous la retrouverons lors de l'étude du mouvement apparent du Soleil autour de la Terre ou autour de Mars. lOpour v(lvI), le graphe est discontinu: V(1T) = 1T X ulM) et v(o) = 0, en notant le signe de M par ulM). Pour E(M), la courbe représentative est le symétrique de M(E) = E - sinE par rapport à la première bissectrice . 11 Le terme d'algèbre «équation», au sens où nous le connaissons aujourd'hui, a été défini par Descartes, en 1637. Auparavant, ce mot, attesté vers 1250, était un terme d'astronomie, qui a été précisé et utilisé (œquatio, nis, en latin) par Kepler, comme «la quantité variable, mais déterminée par le calcul, qu'il faut ajouter ou ôter aux mouvements moyens pour obtenir les mouvements vrais» (Littré). C'est ainsi qu'il faut comprendre équation du centre et, plus loin, équation du temps.

4.6. Représentation des anomalies

113

v

+7T

M

-7T -7T

-7T/2

+7T/2

+7T

E

M

-7T

-7T/2

+7T/2

+7T

4.4: (a) Graphe v(M) : variation de l'anomalie vraie v en fonction de l'anomalie moyenne ]\;1, sur une période. Pour dix valeurs de l'excentricité, e = 0.0 à e = O. g avec un pas de e = 0.1; plus la valeur limite e = 1. Angles en radians. (b) Graphe E(l'v1) : variation de l'anomalie excentrique E, mêmes conditions que le graphe (a). FIG.

114

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Mm (r)

Vm (r)

Ecm (r)

Mm(O)

vm(O)

Ecm(O)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

1.5708 1.4457 1.3203 1.1940 1.0662 0.9364 0.8033 0.6650 0.5176 0.3503 0.0000

1.5708 1.6460 1.7221 1.8004 1.8822 1.9694 2.0647 2.1730 2.3037 2.4838 3.1416

0.0000 0.2002 0.4019 0.6065 0.8160 1.0330 1.2615 1.5080 1.7861 2.1335 3.1416

90.00 82.83 75.65 68.41 61.09 53.65 46.02 38.10 29.66 20.07 0.00

90.00 94.31 98.67 103.16 107.84 112.84 118.30 124.50 131.99 142.31 180.00

0.00 11.47 23.03 34.75 46.75 59.19 72.28 86.40 102.34 122.24 180.00

0.01671 0.09341

1.5499 1.4540

1.5833 1.6410

0.0334 0.1870

88.80 83.31

90.72 94.02

1.91 10.71

0.001144 0.740000

1.5694 0.6075

1.5717 2.2217

0.0023 1.6143

89.92 34.80

90.05 127.29

0.13 92.49

e

4.1 : Valeur de la position du maximum de l'équation du centre Ecm, en fonction de l'excentricité. On a noté les valeurs correspondantes des anomalies moyenne ]\;[m et vraie v m . Angles en radians (r) et en degrés (0). (a) Excentricités de 0.0 à 1.0, avec un pas de 0.1 (les valeurs 0.0 et 1.0 sont limites). (b) Excentricités de l'orbite héliocentrique de la Terre et de Mars. (c) Excentricités du satellite SPOT-5 (e = 0.001144) et Molnya (e = 0.74).

TABLEAU

Le graphe de la fonction (v - M)(M) est représenté sur la figure 4.5(a), qui est à rapprocher de la figure 4.4(a). Les valeurs de v correspondant au maximum et au minimum de (v - l'v!) sont symétriques par rapport au point origine (le périastre). Exemple 4.3 Calcul de la valeur et de la position de l'extremum de l'équation du centre Ec. ~

De par la symétrie de la figure, on considère ici Ec = v - J'vI pour ]\;[ variant de

o à 11".

Le maximum de Ec est donné par: dv = dJ'vI. Avec (4.77), on obtient la valeur r m pour laquelle Ec est maximum: r m = JOij. Avec (4.60), donnant r(o, e, v), on obtient: rm =

en notant ainsi:

Vm

0(1 - e 2 ) 1 + ecosv m

= 0

(1 -

e2 )

1

"4

la valeur de l'anomalie vraie correspondant au maximum de Ec et Vm

= arccos [ -;;-1 (1 - e 2 )"43 - 1]

(4.86)

4.6. Représentation des anomalies

115

(v-M)

,., .,

+7T

,.,

.'. e ~ 1.0

.,., .,.,

.,.,

+7T/2

.".,

.,.,

-7T/2

.,., .,.,

.,.,

.".".

M

,.,

.,

., .'.

e ~ 1.0·'·,

-7T -7T

180 150

-7T/2

Ec

,.,. , ,, .,., ,,-1-"'

,,

120

+7T

+7T/2

(v-M)

,.,

.,.,

.,., .,., ., , .,

90 60

30 ------~\-------

o

-- -

o

30

60

-

- --~- - - - - -

90

--

- --

120

150

M

180

4.5: Équation du centre. Graphe (v-M)(M) : variation de la différence entre l'anomalie vraie v et l'anomalie moyenne ]\;1, sur une période. (a) Pour dix valeurs de l'excentricité, de e = 0.0 à e = 0.9, avec un pas de e = 0.1. ; plus la valeur limite e = 1. Angles en radians. (b) Agrandissement de (a). Pour des valeurs de e variant de 0.00 à 1.00, avec un pas de 0.05. Le lieu du maximum de la fonction Ec, en fonction de e, est noté par une ligne tiret-pointillés. Angles en degrés. FIG.

116

Chapitre 4. Mouvement képlérien

L'angle V rn varie entre 'Ir/2 (pour e = 0) et 'Ir (pour e = 1). On calcule M(v m ) par (4.59), angle qui varie entre 'Ir/2 (pour e = 0) et 0 (pour e = 1). Le maximum de l'équation du centre Ecm :

( 4.87) varie entre 'Ir/2 (pour e = 0) et 'Ir (pour e = 1) (figure 4.5(b) et tableau 4.1). Pour les excentricités faibles, on a : COSV m "::'

3

'Ir

-4 e

3

v m =-+-e 2 4

Ecm = V rn - J'virn = 2 e sin J'vI "::' 2 e

M

===}

rn

'Ir

5

=---e 2 4

Le lieu des maxima est tracé sur la figure 4.5(b) .....

Cas des excentricités faibles À partir de (4.68), on peut écrire, dans le cas général, v comme un développement en série de E. Et par (4.83), on peut écrire, si e n'est pas trop grand, E comme un développement en série de l'vI. À l'ordre 3 en e, on obtient successivement:

+

v

E

E

M

( + -=1é) e

sin E

é

2

e + -=1 sin 2E + 12 sin 3E

3) sin M + "2e2sin 2M + -83 e3 sin 3M

+ (e -"8 e

(4.88) (4.89)

puis v en fonction de NI et finalement l'équation du centre: e3 ) v - M = Ec = ( 2 e - -=1 sin M

+ 45 e

2

sin 2M

13 e + ---:t2 sin 3M 3

(4.90)

À l'ordre 1 en e, on limite les développements ci-dessus ou bien on obtient directement le résultat en utilisant (4.70) pour (v - E), avec (3 = (e/2) issu de (4.71) et (4.64) pour (E - M). Les trois angles (anomalies) étant très proches, puisqu'ici e est petit, on peut écrire:

v-E

e sin E

~

e sin NI

(4.91 )

E-M

e sin E

~

e sin NI

(4.92)

Ec =v-M

2 e sinM

(4.93)

De la même manière, le développement de (r-ja) et celui de (air) sont calculés par Lagrange. À l'ordre 3, on obtient:

r a a r

2 1 + -e

2

1-

-

(3é) e- -

( -"8é) e

8

cos M

3e

2 cos l'vI - -e cos2l'vI - -

2

9é

+ e 2 cos 2M + 8

3

8

cos 3M

cos3l'vI (4.94) (4.95)

4.6. Représentation des anomalies

4.6.3

l17

Récapitulation sur les anomalies

Résumons les paragraphes précédents. Si on exprime le temps t, représenté par NI, en fonction des coordonnées polaires e et r, représentées respectivement par v et E, on obtient les relations analytiques M(v) et M(E) :

v

=

V f--+ M = M(v) E f--+ M = M(E) v(E) +------+ E = E(v)

équation (4.59) équation (4.64) équations (4.68), (4.69)

Si on exprime l'angle polaire e, représenté par v, en fonction du temps t, représenté par l'vI, il faut passer par l'intermédiaire de E et résoudre, par itération, le problème de Kepler:

M

f--+

E

E(M) E f--+ v = v[E(M)]

itération (4.80)

=

=

v(M)

équation (4.81)

Dans l'étude d'une trajectoire, on se donne généralement le temps t qui varie avec un certain pas et pour chaque instant t i , ti+I, ... , on résout le problème de Kepler pour obtenir l'anomalie vraie. Les trois anomalies v, E et l'vI n'ont pas des rôles similaires: - v(t) permet de repérer effectivement le corps en orbite et de connaître le rayon vecteur r par (4.26) ou (4.60) ; - NI(t) est en fait une autre manière de représenter le temps; - E(t) sert principalement à résoudre le problème de Kepler, elle intervient aussi dans les équations de Lagrange du mouvement perturbé, voir (6.34) et (6.35). Exemple 4.4 Calcul de l'anomalie vraie pour la planète Mars lorsque l'anomalie moyenne est l'vI = 98.67r? L'excentricité de l'orbite de Mars autour du Soleil est e = 0.09341. ~ Nous effectuons les calculs avec les diverses méthodes présentées ci-dessus, la méthode itérative et les méthodes approchées, bien adaptées aux cas des planétes (tant qu'on se limite en précision) car l'excentricité est faible. 1 - Méthode itérative. On note les angles en degrés (mais on n'oublie pas de les mettre en radians pour le calcul, ou bien on change e en [(180/7f) el pour garder les angles en degrés). On pose Eo = M. On obtient successivement, par l'itération (4.80) : Eo = 98.679 El = 103.896 E 2 = 103.875 E3 = 103.875. Pour la précision recherchée, deux itérations suffisent. On obtient v par (4.81) E = E3 = 103.875 ===} v = 109.020 2 - Formule approchée (4.84). On obtient tanE = -4.04648 ce qui correspond à un angle de -76.119°, d'où la

l18

Chapitre 4. Mouvement képlérien Méthode utilisée

Réf.

1 - par itération 2 - formule approchée 3.1 - dével. de E / ordre 1 3.2 - dével. de E / ordre 2 3.3 - dével. de E / ordre 3 4.1 - dével. de v / ordre 1 4.2 - dével. de v / ordre 2 4.3 - dével. de v / ordre 3

(4.80) (4.84) (4.89) (4.89) (4.89) (4.90) (4.90) (4.90)

E

v

v - va

103.875 103.881 103.969 103.895 103.873

109.020 109.027 109.112 109.039 109.019 109.259 109.073 109.016

0 +0.007 -0.008 +0.019 -0.001 +0.239 +0.053 -0.004

-

4.2 : Problème de Kepler: résultats selon la méthode employée. La valeur exacte, notée Va, est celle donnée par la méthode 1. Les angles E, v et v - Va sont en degrés. Cas étudié: excentricité de l'orbite e = 0.09341 (planète Mars), M = 98.679° .

TABLEAU

valeur de E : E = 180 - 76.119 = 103.881 ===? v = 109.027 3 - Développement en série de E = E(M), par (4.89). À l'ordre 1, E = 98.679 + (180/'if)0.0934 sin(98.679) = 103.969 d'où v = 109.112. À l'ordre 2, on obtient E = 103.895 d'où v = 109.039 et à l'ordre 3, E = 103.873 d'où v = 109.019. 4 - Développement en série de v = v(M), par (4.90). Dans ce cas, il ne s'agit plus d'une résolution du problème de Kepler, puisqu'on obtient directement v à partir de ]\;1. Bien entendu, ce n'est possible que parce qu'il s'agit d'une formule approchée. À l'ordre 1, v = 98.679 + 2 (180/'if) 0.0934 sin(98.679) = 109.259. À l'ordre 2, on obtient v = 109.073 et à l'ordre 3, on a v = 109.016. Tous ces résultats sont reportés dans le tableau 4.2. La valeur exacte de v est celle donnée par la méthode itérative, Va. On note l'écart (v - va), en degrés .....

Exemple 4.5 Calcul de la valeur moyenne du rayon vecteur r, sur une révolution, selon l'angle d'intégration utilisé. ~ Lorsqu'un point décrit l'ellipse dans une révolution, on peut calculer la valeur moyenne r Œ de sa distance r au foyer de l'ellipse, qui dépend de l'angle a décrivant le mouvement:

rŒ

=

1

rh

2'if Jo

r(a) da

Cet angle a peut être une des trois anomalies v, E ou ]\;1. 1. Anomalie vraie v. Le rayon vecteur r(v) est défini par (4.60). La primitive de (1 + ecosv)-l a été calculée lors de l'établissement de (4.59). On a donc: rv = a(l - e 2'if

2) r2~ Jo

dv 1 + ecosv

a~ [arctan ( 'if

~ tan ~ ) J:~

4.6. Représentation des anomalies

119

ria

2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7

e=O.O

0.6

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

o

30

60

90

120

150

180

v

VIVe

4.4 e = 0.9 4.2 4.0 3.8 3.6 e = 1.0 3.4 3.2 ,~0.~8~____________~________________~ 3.0 ,2.8 2.6 2.4 2.2 ,, ~0.~6==~____~~__~~____~________~ 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 e = 0.0 1.0 e=O.O 0.8

0.6

0.4 0.2 0.0

o

30

60

90

120

150

180

v

4.6 : (a) Distance relative TJ = r/a; (b) vitesse V/Ve . Grandeurs en fonction de l'anomalie vraie v, pour diverses excentricités, variant de e = o. a à e = 1. a avec un pas de 0.1. Angles en degrés. FIG.

120

Chapitre 4. Mouvement képlérien

ria

2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2

~----------------=-"'

~~~========::]

1.1 1e =0.0- - - - - - - = .. 1.0 e = 0.0 0.9 1------0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 ' - - - ' ' ' ' - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E o 30 60 90 120 150 180

VIVe

4.4 ~---\--------------4.2 4.0 1 - - \ - - - - - \ - - - - - - - - - - - - - - 3.8 3.6 3.4 3.2 3.0 ~"'-------\-____t_------------_ 2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 ~~----"~""'\-----------1.8 1.6 1.4 1.2 e = 0.0 1.0 e=O.O 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 '-----_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _-"'J- E o 30 60 90 120 150 180

4.7: (a) Distance relative TJ = ria; (b) vitesse VIVe. Grandeurs en fonction de l'anomalie excentrique E, pour diverses excentricités, variant de e = 0.0 à e = 1.0 avec un pas de 0.1. Angles en degrés.

FIG.

4.6. Représentation des anomalies

121

ria

2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2

_---ê~0.9

1.1 1.0 0.9 0.8 0.7

e=O.O

e

=

0.0

0.6

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

/

o

30

60

90

120

M

150

180

V/iVe

4.4 4.2 4.0 3.8 3.6 3.4 3.2 3.0 2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8

cf--'- - - - - - - - - - - - - - - - _

e

=

0.0

0.6

0.4 0.2 0.0

---

~--------------~~-

o

30

60

90

120

150

M

180

4.8 : (a) Distance relative TJ = r/a; (b) vitesse V/Ve . Grandeurs en fonction de l'anomalie vraie v, pour diverses excentricités, variant de e = O. a à e = 1. a avec un pas de 0.1. Angles en degrés. FIG.

122

Chapitre 4. Mouvement képlérien

En utilisant (4.69), on obtient:

rv

a~ [E]21r

"2

7r

=

a =

a~ =

b

2. Anomalie excentrique E. Avec r défini par (4.63), on écrit:

rE

5!:...-

=

27r

Jor

21r (1

- ecosE) dE = 5!:...-

27r

[El~71" =

a

3. Anomalie moyenne J'vI. Avec r défini par (4.63), on utilise la relation (4.75) entre dE et dM :

rM

=

~ 27r

rh r dM -!!r2 (1- ecosE)2 dE 27r Jo =

Jo

71"

On développe. L'intégrale des termes de période 7r ou 27r est nulle:

La valeur cherchée est :

rM =

a(1 + e;)

La moyenne de r, sur une période, par rapport au temps, n'est pas égale au demigrand axe. On retrouve la valeur de (rM/a) avec (4.94). 4. Récapitulation. En utilisant la distance relative ri = r / a, déjà définie, on note amSl les valeurs moyennes fja fjE = 1

fjM = 1

e2

+"2

Les variations de 77", = r(a)/a sont représentées, pour chaque anomalie repectivement, dans la partie (a) des figures 4.6, 4.7 et 4.8. On ne trace les graphes que sur une demi-révolution, compte tenu de la symétrie de l'ellipse par rapport à l'axe des apsides .....

Exemple 4.6 Représentation de la vitesse V en fonction de l'anomalie considérée (vraie, excentrique ou moyenne). ~ Exprimons la vitesse V(r) d'un satellite en orbite elliptique, donnée par (4.39), comparée avec la vitesse Vc d'un satellite en orbite circulaire de même demi-grand axe a, donnée par (4.52). En utilisant la distance relative 77, définie par (2.36), on écrit:

avec

(4.96)

En exprimant r en fonction de v, puis de E et de J'vI, on obtient, successivement, la variation de la vitesse en fonction des anomalies. La partie (b) des figures 4.6, 4.7

4.6. Représentation des anomalies

123

Angle (r,v)

90

e ~ 0.0 ,...;==----------------="'"

80

."."

70

."."

60 50

."."

.,., .,.,

40

,.,

,., .,., .,

30

.,., .,.,

.,

20

e

, ~

.,.,

60

90

Angle (r,V)

90

120

~

0.9

, ., ., ,

1.0·'.

10 30

e

150

e

~

0.0

e

~

0.9

e

~

1.0

.,.,

180 v

80 70 60 50 40 30 20 10 0

0

30

60

90

120

150

M 180

4.9 : Angle Ct entre la vitesse et le rayon vecteur (a) en fonction de l'anomalie vraie v; (b) en fonction de l'anomalie moyenne J'vI. Graphes tracés pour diverses excentricités, variant de e = 0.0 à e = 1.0 avec un pas de 0.1. Angles en degrés. FIG.

124

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Angle (r,v)

e

90

~

0.0

80

70 60

50

40

30 20 10 e

~

e

1.0

30

60

~

0.99

90

120

150

4.10 : Angle a entre la vitesse et le rayon vecteur en fonction de l'anomalie excentrique E. Graphes tracés pour diverses excentricités, variant de e = 0.0 à e = 1.0, avec un pas de 0.1 et de 0.90 à 1.00, avec un pas de 0.01. Angles en degrés.

FIG.

et 4.8 montre ces représentations sur une demi-révolution, avec origine au passage au périgée (pour l'autre demi-révolution, la figure est évidemment symétrique). Au périgée (anomalie = 0°; TJ = 1-e) et à l'apogée (anomalie = 180°; TJ = l+e), la valeur de la vitesse (respectivement Vp et Va) est identique pour les trois graphes: Vp Ve

=v +

1 e 1- e

l+e

1- e

Par exemple, pour e = 0.6, (1 + e)/(l - e) = 4 et donc Vp/Ve = 2.0, ValVe = 0.5, Va/Vp = 4. On note, avec Vp . Va = V c2 , que Ve est la moyenne géométrique entre les deux vitesses extrêmes, Vp et Va . ....

Exemple 4.7 Représentation de l'angle entre le vecteur vitesse V et le rayon vecteur en fonction de l'anomalie considérée (vraie, excentrique ou moyenne). ~ En écrivant la vitesse V sous la forme V = Vr eT + Ve ee, l'angle entre Vet noté a, est donné par tan a = Ve/VT • Avec les relations (4.18) et (4.30), on obtient a en fonction de l'angle polaire

T,

e,

4.7. Intégrales premières du mouvement

125

représenté ici par l'anomalie vraie v : a(v)=arctan

1 + e cos v e sinv

da e + cos v dv =-e 1+2e cosv+e2

(4.97)

On trace le graphe représentatif de a(v), figure 4.9(a). Le calcul de la dérivée (da/dv) montre que le minimum de chaque courbe s'obtient pour v = arccos( -e). Pour une trajectoire circulaire (e = 0), a est évidemment un angle droit. Pour une orbite qui se rapproche infiniment près de la parabole, e = 1, on a (da/dv) = -1/2. Le graphe a(E), figure 4.10, présente une symétrie axiale, résultant de la définition de E: da ~cosE -dE- = - e --:1---e"C:"2-c-o-s"""2-=E=-

~ a(E) = arctan ---:.----:::_ e smE

(4.98)

On trace le graphe a(M), figure 4.9(b). Il n'y a pas de formulation analytique de a(M) - voir le Problème de Kepler .....

4.7 4.7.1

Intégrales premières du mouvement Lois de conservation

En partant de l'expression de l'accélération newtonienne, nous avons obtenu l'équation du mouvement par deux intégrations (pour passer de T à T). Après cette résolution détaillée, nous présentons, très rapidement, une méthode beaucoup plus synthétique, qui a l'intérêt de faire apparaître des grandeurs qui restent constantes dans le mouvement. Ces valeurs sont obtenues avec une seule intégration (pour passer de T à r), c'est pourquoi on les appelle intégrales premières du mouvement. À partir de l'équation du mouvement dans le cas de l'accélération newtonienne: (4.99) on obtient la conservation de l'énergie, du moment cinétique et du vecteur de Laplace (qui donne l'équation de la trajectoire). (a) Conservation de l'énergie On multiplie scalairement chaque membre de l'équation (4.99) par le vecteur vitesse r :

L'équation (4.99) donne donc:

~ (~i.2 dt

2

- 0..) = r

0

(4.100)

126

Chapitre 4. Mouvement képlérien

et on a ainsi :

1. 2 J.L JC = -r - - = constante

(4.101)

r

2

ce qui correspond à la conservation de l'énergie. On retrouve la relation (4.33), avec V 2 = r2 . (b) Conservation du moment cinétique On multiplie vectoriellement chaque membre de (4.99) par le rayon vecteur r. On obtient: .. J.L r/\ r= -2 r/\ eT = 0 r Avec la relation de dérivation (4.5) appliquée à la définition (4.4), on obtient:

C

=

r /\ r

=

constante

(4.102)

ce qui correspond à la conservation du moment cinétique. Le mouvement est plan. On retrouve la relation (4.9). (c) Conservation du vecteur de Laplace et équation de la trajectoire On considère le produit vectoriel de l'accélération par le moment cinétique: .. J.L 2 . . de T r/\C=--2 eT/\r Bk=ILBee=ILdt r Or, puisque Cest constant, on a: d(r/\ C)/dt

=

r/\ C, ce qui amène à:

(4.103) À partir de cette relation, on définit le vecteur A, appelé vecteur de Laplace (ou vecteur de Laplace-Runge-Lenz), qui a donc la propriété d'être un vecteur constant:

A

r/\ C

= -- -

IL

eT = constante

(4.104)

Ce vecteur A est perpendiculaire à C, puisque A /\ C = O. Il est donc dans le plan du mouvement. Pour évaluer A, calculons r /\ C:

r /\ C =

(r eT + r ë ee) /\ C k =

C (r

ë eT -

ree)

Si on projette A sur eT' on a, en utilisant la valeur de C donnée par (4.6)

On obtient ainsi l'expression de r : (4.105)

4.7. Intégrales premières du mouvement

127

On note v l'angle entre le rayon vecteur et le vecteur fixe A. En posant A . eT = Il A Il cos v et p = C 2 / IL, on trouve que la trajectoire est une ellipse. Par identification, on voit que IIAII représente l'excentricité. La distance r passe par un minimum lorsque les vecteurs A et eT sont colinéaires (avec v = 0) : le vecteur A passe par le périastre et donc v représente l'anomalie vraie précédemment définie. La connaissance du vecteur de Laplace A donne à la fois l'excentricité et la direction du périastre. Remarque. La conservation de ces grandeurs est exprimée par le théorème de Noether 12 .

4.7.2

Remarque sur l'énergie

Dans l'étude du mouvement képlérien du satellite, la masse de ce corps n'intervient jamais 13 . C'est pourquoi nous avons parlé d'accélération et non de force. Tout ce que nous avons écrit jusqu'ici peut être repris: on parlera par exemple de force newtonienne appliquée au point matériel S, de masse m, ce qui introduit la définition classique de l'énergie. Dans le cas de l'attraction newtonienne, la force s'écrit: IL F= -m-2 eT

r

On en déduit l'énergie potentielle U (on rappelle que F = -grad U avec, pour convention, U nul pour r infini) : IL U=-mr

Le point S, animé d'une vitesse V, a pour énergie cinétique T :

T

=

1

-mV 2 2

L'énergie mécanique E est donc: 2 (V

2

_!!..) r

(4.106)

12 Emmy Noether (1882-1935), mathématicienne allemande, est considérée comme la fondatrice de l'algèbre moderne (création des anneaux, des idéaux). Le théorème de Noether (1918) exprime qu'une loi de conservation est la conséquence de l'invariance d'une loi physique dans une transformation continue à un paramètre (on le démontre en utilisant le formalisme lagrangien des équations de la mécanique classique). Pour ce qui nous intéresse ici: - conservation de la quantité de mouvement résultant de l'invariance des lois physiques dans une translation due à l'homogénéité de l'espace; - conservation du moment cinétique résultant de l'invariance des lois physiques dans une rotation due à l'isotropie de l'espace; - conservation de l'énergie résultant de l'invariance dans le temps due à l'uniformité de l'écoulement du temps. 13Dans l'étude du mouvement perturbé, elle intervient dans quelques cas particuliers, comme pour l'étude du frottement dans la haute atmosphère ou de la pression de radiation.

128

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Le moment cinétique L est par définition : L = rA

mr

(4.107)

On a donc l'équivalence entre les grandeurs vues plus haut et celles liées à l'énergie: m

m

L'équation (4.33), qui établit que J( est une constante, est donc l'équivalent de: [ = m J( = constante (4.108) qui traduit la conservation de l'énergie mécanique [. Dans le cas de mouvement périodique, l'équation (4.38) donne:

-~ m ~

(4.109) 2 a qui est une valeur négative (cela provient de la convention U(oo) = 0). On voit que a est relié à [/ m, ce qui montre que la période ne dépend que de l'énergie mécanique par unité de masse du point matériel considéré. [=

Exemple 4.8 Trajectoire de divers points, en orbite autour d'un centre attracteur ponctuel, avec une énergie différente et ayant la même distance au périastre (périgée). ~ On considère un point de masse m, en orbite circulaire de rayon T o . Son énergie est: 1 f1 [; = -[;0 avec [;0 = -m2 Ta Si on augmente l'énergie en obligeant le mobile à garder la même valeur de distance au périgée (distance périgée-foyer T p = ra), l'excentricité augmente:

rp

=

ra

a(l - e) = ra

a=--

1- e

p = a(l - e 2 ) = (1

+ e)ro

et l'énergie s'écrit: [; =

-~m~ (1 -

e)

= -[;0(1-

e)

2 To Les trajectoires sont représentées sur la figure 4.11 en augmentant l'excentricité avec un pas de 0.10. Pour e = 0, avec une énergie [; = -[;0, négative, la trajectoire est un cercle. Elle se transforme en ellipse de plus en plus excentrée à mesure que l'énergie augmente, tant qu'on a e < 1. Pour e = 1, avec une énergie [; = 0, la trajectoire est une parabole. Pour e > 1, avec une énergie [; > 0, la trajectoire est une hyperbole (branche concave). Lorsqu'on exprime la trajectoire en coordonnées polaires, avec les équations (1.17) ou (4.60), a est positif pour les ellipses, infini pour la parabole, négatif pour les hyperboles. L'utilisation du paramètre p dans l'équation générale des coniques, comme en (1.16), permet d'éviter ces conventions de signe. ...

4.7. Intégrales premières du mouvement

129

FIG. 4.11 : Trajectoires et énergie. La distance foyer-périastre est constante. L'éner-

gie minimale, notée -Eo, correspond à la vitesse de satellisation: la trajectoire est un cercle. On donne ensuite au mobile l'énergie E = -Eo (l-e) où e est l'excentricité,variant avec un pas de 0.1. Quand l'énergie augmente, la trajectoire elliptique est de plus en plus excentrée, jusqu'à devenir une parabole pour e = 1 (trait épais). Puis, pour e > 1, la trajectoire est une branche concave d'hyperbole.

130

4.8 4.8.1

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Note historique: astronomie et attraction universelle Les lois de Kepler

Depuis l'Antiquité, l'astronomie était régie par le système géocentrique de Ptolémée 14 . Au xv€ siècle, les insuffisances du système de Ptolémée apparaissaient plus ou moins clairement à plusieurs astronomes (comme ceux, par exemple, des universités de Bologne ou de Padoue), mais Copernic 15 fut le premier à rejeter le système géocentrique pour le système héliocentrique. Kepler, comme l'illustrent les figures 4.12 et 4.13, était partisan du nouveau système «révolutionnaire». En utilisant les observations de Tycho Brahé 16 , il expliqua le mouvement des planètes du Système solaire par les 14 Claudius Ptolemaios KÀOI.l)o[oç IhoÀE[l.OI.~Oç (vers 90 - v. 168, après JC), dit en français Claude Ptolémée, mathématicien, astronome et géographe grec d'Alexandrie (Claudius est un prénom romain, Plolemaios est le nom grec 6 11:l:0ÀE[l.0I.~OÇ, 01), « le belliqueux»). Il est l'auteur de nombreux ouvrages dont les plus célèbres sont la Géographie et l'Almageste. Dans la Géographie (littéralement : «dessin de la terre» ), il situe des centaines de lieux (villes, montagnes, ... ) avec des latitudes correctes et des longitudes dilatées. Dans l'Almageste (titre donné plus tard par les astronomes arabes, de Al, « le », l'article défini en arabe et mageste, de megistos, superlatif de mega, en grec, «très grand»), il expose le système planétaire géocentrique, dit système de Ptolémée. Pour obtenir une bonne concordance entre observations et modèle, il fait décrire à chaque planète (particulièrement Mars) un cercle, dit épicycle, dont le centre se déplace sur un cercle centré sur la Terre immobile, appelé déférent. Il affine ce modèle avec l'excentrique (déférent décalé) et le point équant ... L'œuvre de Ptolémée, dernier astronome de l'Antiquité, fut transmise en Europe par les Arabes. Elle est le fondement de l'astronomie du Moyen Âge et de la Renaissance. 15 Nicolaj Kopernik (1473-1543), en latin Nicolaus Copernicus Torinensis, dit en français Nicolas Copernic, astronome polonais. Après des études en Italie, Copernic revient en Pologne et met au point un système cosmologique qui remplace la Terre par le Soleil comme centre de l'Univers. C'est le système héliocentrique, ou système de Copernic, dans lequel l'orbite de chaque planète est une sphère centrée sur le Soleil. Il achève De Revolutionibus orbium cœlestium vers 1530. Mais, de peur des réactions, que ce soit de sa hiérarchie catholique ou du luthérianisme naissant, il en retarde la publication. Le livre sera finalement imprimé à Nurenberg, en 1543, l'année de sa mort, grâce à l'opiniâtreté de son élève Rheticus. Une préface a été exigée par l'éditeur Petreius. On ne sait pas si l'auteur avait donné son accord. Rédigée par le pasteur Osiander, elle avertit le lecteur que ce système n'est qu'une vue de l'esprit pour faciliter les calculs et qu'il ne remet pas en cause la Bible. Ce n'est d'ailleurs qu'en 1616 que De Revolutionibus sera mis à l'Index par le Saint-Office. Pendant des décennies, ce livre n'eut pas un accueil favorable auprès des astronomes. Son contenu était déroutant et, de plus, il ne fournissait pas de bons résultats: pour la planète Mars, les positions données par Copernic sont moins précises que celles données par Ptolémée avec les épicycles! 16 Tyge Brahe, dit Tycho Brahé, (1546-1601), astronome danois. Il fit pendant vingt ans, dans son observatoire d'Uraniborg (<< la cité du ciel»), au Danemark, des mesures astronomiques très précises et fut le premier à tenir compte de la réfraction de la lumière. La précision de ses observations était de l' (1 minute d'arc, soit 1/60 de degré), celle de ses contemporains astronomes était au mieux de 10'. Il mesura le mouvement de la planète Mars, en notant dix oppositions. Son modèle d'univers était un compromis entre le modèle géocentrique de Ptolémée et le modèle héliocentrique

4.8. Note historique: astronomie et attraction universelle

ASTRONOMIA NOVA A [ T 1 0 A 0 l' II T 0 2:,

PHYSICA COELESTIS. HaditJ çümmcnrariis

COMMENTARIORVM DE

MOTIBVS

STELLAO

MAR T PARS

PRIMA

5

DE

DE j\,-lOTIBVS STELLiE

COMPARATIONE

Ex obfi::rvarÎombus C. Y.

De differentÎa motus primi & {ecundorum flve propnorum. & in propriis inxqualitatis primx &: {ç;;cunda:.

MAR T 1 S, TTCHONIS

Juffl1

&

BRAHE·

131

H Y POT H E S 1 VM. C

A

i'

V

T

1.

fi.lmpnbm

R VDOLPHI II. ROMANORVM IMPERATORIS &c

Plurium annorum percinaci i1:udio daDorata PraKT ,

rOAN:-':E

KEPLERO.

4.12 : Astronomia Nova de Kepler. Édité à Prague en 1609 - MDCIX. (g.) Page de titre. (dr.) Première page.

FIG.

trois propositions suivantes, qui portent le nom des trois lois de K epler 17 . de Copernic. En 1597, il partit en Bohême, où il travailla avec Kepler à l'établissement des tables astronomiques dites Tabulae Rudolphinae. 17 Johannes Kepler (1571-1630), en latin Ioannes Keplerus, astronome allemand. Il a publié les deux premières lois en 1609, dans Astronomia Nova Al'rIOÀoY1J'rOç seu Physica Cœlestis et la troisième en 1619, dans Harmonices Mundi. Il ne faut cependant pas imaginer que ces lois apparaissent de manière claire, comme de nos jours, dans ces ouvrages. La terminologie mathématique est très lourde, les explications difficiles à saisir. Parfois des erreurs de raisonnement en compensent d'autres. Le premier de ces deux livres est presque exclusivement consacré à la description de l'orbite de Mars (d'où le sous-titre Tradita comentariis de motibus steUœ Martis ex observationibus G. V. Tychonis Brahe). La deuxième loi apparaît au début de cet ouvrage, la première loi à la fin et ne concerne, bien entendu, que la trajectoire elliptique de la planète Mars. Le mot grec accolé au titre Astronomia Nova est le substantif issu du verbe oth:lOÀOyÉûl, « rechercher les causes». Mais, même si ces œuvres sont difficiles à lire de nos jours, elles témoignent des découvertes exceptionnelles faites par Kepler. Pour mettre en évidence l'excentricité de l'orbite de Mars ou de la Terre, il fallait une grande confiance dans les observations de Tycho Brahé, réalisées à l'œil nu, et de grandes qualités de mathématicien. Il fallait aussi beaucoup d'autres qualités morales ... Du courage et de la confiance en soi, pour mener à bout une théorie révolutionnaire, seul contre tous, au milieu des guerres de religion et des drames familiaux. De la persévérance: dans Astronomia Nova, à la suite de quinze pages de calculs serrés, Kepler écrit : « Si cette méthode vous paraît possible et ennuyeuse, prenez donc pitié de moi qui ai fait ces calculs 70 fois et ne vous étonnez pas que j'aie passé cinq ans sur cette théorie de Mars. Il se trouvera quelques géomètres subtils, tels que Viète, qui écriront que

132

Chapitre 4. Mouvement képlérien

D E MOT 1 B.

STE L L.tE

MAR T 1 S

'I-'er;gat in quam7Ju huncgradum cap. xxv libere i17qllijituri [umus quaji incognitum. ét jit SOLIS

5 -:

CAP.

XXIV.

.!!li:

TERRA

_~:~!_.'~_ "'_ w: •,_

_

l':)

~+

(" J

~

T~~~~O~

A. MDXC

in !J,anno MDXCII inn,annoMDXCIIl ine,ttnnOMDxcv in (. Et anguls !J Œ n. nŒ e. Ht ( ' .equaleJ, quia Œ eH puné/um .equalitati!, f5 periodica ..J1Jt'arti! tempora pr.efupponuntur .equaNa. Sit'lr Tlaneta hi! quatuor -vicibus in x, ejus'lr lineaapjidum ŒÀ. EH ergo angulus !J Œ X fecundurll..> indicium anomali.e commutationi!

I~}J~

co.er;:i locum ..J1Jt'arti! at~. tinet,i!die IV ant' tecedente hora ji_ ~ J milifuit 1.4.1.2. Y. d/urnus ejus diei effit 44·· érgo adnoJlrum tempus 'Vifusfuit in 1.5. (; Y. qui eHjitus !inc.e !Jx. Sed Œxtenditin 15- 53. 45 'tf. Ergo !JxuH 1.;.4;7. 45, Rejiduus igitur Œ!J x ad duos reé/os eH ri:. ;7.14. Vt rgiturjinus Œ!Jxad Œx,quam dicemus effi partium 100000 :jic!J x Œ ad!JŒqu4itum. éHergo!J(/.. 00774-. OE:od fi reliqua: n Œ, e (/.., ((/..,ejusdem prodibunt longitudinis,falfumerit quod fufpicor: at fi diverfa:, omnino vicero. SEC V ND 0 igitur,anno MDX C Il ad nojirum momentum eH longitudo co.equata LIS' 55·1.3 :commutatio co.equata 8. 1.4.IÔ. 34. houH, nŒ x angulus eH 84. 1 Ô. 34· Vrfus eH die xXlIiJanuar. H. VII. M. xv in d. 34 Y correc1ione per paraUaxin adhibita. Et eH motus bidui :ius Ï.1.5. Ergo die X x 1 hora VII M. xv in 1;.9 Y eH 'Vifur. Rejidua ferupula hor.e a/:;icianL> dtmidiumminutum. Ergo angulurnx(/.. eH 35.46.LJ,& (/. n x 60. j. f, & Œn 074-07 jamlongiorquam (/..!J. Sanequia SOL've1Ù! perig.$umdeJcendit,f5

+

+

4.13 : Astronomia Nova de Kepler. Page 132. Exposé des trois systèmes: de Copernic (héliocentrique), de Ptolémée (géocentrique) et de Tycho Brahé (hybride).

FIG.

4.8. Note historique: astronomie et attraction universelle

133

(1) loi des ellipses - La trajectoire de chaque planète est dans un plan (a), c'est une ellipse dont un foyer est le Soleil (b). (2) loi des aires - Les aires balayées par le rayon vecteur sont proportionnelles aux temps mis à les balayer. (3) loi harmonique - Les carrés des durées de révolution sont proportionnels aux cubes des longueurs des grands axes. Ce qui correspond aux équations démontrées plus haut Loi (la)

{==}

équation (4.8)

Loi (lb)

{==}

équation (4.40)

Loi (2)

{==}

équation (4.14)

Loi (3)

{==}

équation (4.53)

Il faut remarquer que les lois (la) et (2) sont applicables dans le cas des accélérations centrales, les lois (lb) et (3) dans le cas des accélérations centrales en 1/r2, c'est-à-dire newtoniennes. À la fin du chapitre 15, dans la note historique Kepler et la planète Mars, nous choisissons dans Astronomia Nova quelques passages qui témoignent de la précison et de l'originalité mathématique de l'œuvre de Kepler. À la fin du chapitre 16, dans la note historique Kepler et le Système solaire, nous tirons de Harmonices Mundi les deux tableaux de valeurs qui ont permis d'établir la troisième loi de Kepler.

4.8.2

Newton et l'attraction universelle

Si Kepler donna le début de formalisation de la mécanique céleste, Galilée 18 donna celui de la mécanique terrestre, à la même époque. Le génie de la méthode n'est pas géométrique. Qu'il aille donc, et qu'il résolve le problème» (traduction de Delambre). Profondément persuadé que l'ordre cosmique, donc divin, était parfait, Kepler eut beaucoup de mal à abandonner la perfection du cercle des orbites pour l'imperfection de l'ellipse, entachée des erreurs du bas monde. Dans toute sa démarche scientifique, Kepler a été guidé par cette recherche de l'harmonie divine, qui aboutit, dans son dernier ouvrage, à l'harmonie de la musique des planètes et à l'harmonie des polyèdres réguliers (solides de Platon) emboîtant les orbites planétaires. Kepler écrivit à ce propos: « il existe six planètes parce qu'il existe cinq polyèdres réguliers ; je n'ai pas de mots assez forts pour dire mon émerveillement devant cette découverte ». 18 Galileo Galilei (1564-1642), dit en français Galilée, physicien et astronome italien. Fondateur de la dynamique et premier véritable expérimentateur, il étudia la chute des corps et le mouvement parabolique. Il énonça le principe d'inertie, qui correspond à la première loi de Newton. Aussitôt après l'invention de la lunette astronomique, il utilisa cet instrument pour scruter le ciel. Il découvrit (1610) que quatre lunes étaient en orbite autour de Jupiter et ce fait le persuada que la Terre et les autres planètes étaient en orbite autour du Soleil. La découverte du croissant de Vénus (de forme géométrique incompatible avec un système géocentrique), dont il fit part à Kepler, le confirma dans cette idée. Galilée consigna ses découvertes astronomiques dans Sidereus Nuncius (le Messager céleste). Propagateur convaincu du système de Copernic, Galilée fut condamné une première fois

134

Chapitre 4. Mouvement képlérien

PHILOSOPHIJE NATURALIS

P R IN C 1 P 1 A MA THE MA TICA 1

Aurore s, NEWToN, 7'rÎlt. Coll. CantJb. Soc. Mathefoos Profdfore Lucaftano, & Sodetatis Regalis Sodali.

IMPRIMATUR·

S.PEPYS)

J,dii

z

J('g. Soc. PR JE SES. ~.

1686.

LONDINI,

JuiTu SocictalÎ.s Rcgi&
de Newton. Édité à Londres en 1687 - MDCLXXXVII. (g.) Page de titre. (dr.) Page 50. Newton démontre géométriquement que si le point P, soumis à une force de centre 5, décrit une ellipse de foyer 5, cette force est inversement proportionnelle au carré de la distance 5P.

FIG. 4.14 : Principia

Newton fut, entre autres choses, de synthétiser ces deux aspects d'un même phénomène en une notion unique, l'attraction universelle. De nos jours, nous montrons comment une attraction en 1/r-2 entre Soleil et planètes amène à une trajectoire elliptique des planètes. Mais historiquement, Newton, mettant au point les premières méthodes de calcul infinitésimal (appelé calcul des fluxions), partit des trajectoires elliptiques découvertes par Kepler pour tirer comme conséquence que les forces en jeu sont en 1/r-2 et énoncer la loi de l'attraction universelle (figure 4.14). le 16 février 1616 par l'Inquisition, sous le pontificat de Paul V. Il publia en 1632 Dialoga sapra i due massimi sistemi dei manda, Talemaica et Capernicana (écrit, non pas en latin, mais en langue populaire, valgare, l'italien ou toscan - cela aussi était révolutionnaire) dans lequel il choisit clairement son camp. Il est condamné une seconde fois pour hérésie le 22 juin 1633, sous le pontificat d'Urbain VIII. « L'opinion que le Soleil est au centre du monde et immobile est absurde, fausse en philosophie et formellement hérétique, parce qu'elle est expressément contraire à la Sainte Écriture. » L'abjuration à genoux lui évite le bûcher mais pas la prison, à 70 ans. Il finit sa vie en résidence surveillée. À la fin du xx e siècle, une commission vaticane est convoquée, en 1981. Elle se prononce en faveur de la réhabilitation de Galilée, le 31 octobre 1992, Jean-Paul II étant pape.

4.8. Note historique: astronomie et attraction universelle

135

Pour faire, avec les notations mathématiques actuelles, la démonstration qui correspondrait à celle de Newton, on part, comme lui, du principe que les forces en jeu sont centrales. On considère un point matériel, dont la position est définie par le rayon vecteur T, décrivant une ellipse. On peut alors écrire: 1 u= r

=

1 + e cose a(1 - e 2 )

------~

d'où on tire: du de

esine a(1 - e2 )

ecose a(1 - e 2 )

En portant dans la formule de Binet (4.21), qui, rappelons-le, concerne les forces centrales, nous obtenons: 2 [ - C 2u - e cos

e + 1 + e cos e] a(1 - e 2 )

a(1 - e 2 )

2

1

2

-C u a(1 _ e2) e r

C2

er 1

= - a(1 _ e2) r 2 e r

Or C est donné par 1fab = CT /2 (c'est la loi des aires qui concerne, elle aussi, les forces centrales), soit : 21fa 2;-;---:)1 C -- V l - e~2

T

On en déduit donc:

..

T=

et on obtient:

41f 2 T2

3

1

----a - e r2

r

136

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Les observations de Tycho Brahé, interprétées par Kepler, montrent que cette grandeur IL reste constante pour toutes les planètes qui gravitent autour du Soleil. Newton considère alors qu'elle peut s'écrire sous la forme: IL

=

QMs

est la masse du Soleil et Q une constante universelle. Finalement, la force d'attraction qu'exerce un corps de masse JI.;[ sur un corps de masse m (et réciproquement) s'écrit:

où

JI.;[s

Mm F= mr= -Q--er r2

C'est l'expression de la loi d'attraction universelle entre deux corps de masses et m, où Q est la constante de gravitation ou la constante de l'attraction universelle.

JI.;[

Chapitre 5

Satellite en orbite képlérienne À partir d'ici, nous étudions principalement le mouvement périodique d'un corps, le satellite l artificiel, soumis à l'attraction gravitationnelle de la Terre.

5.1

Le Problème à deux corps

On considère deux corps Al et A2' de masses respectives ml et m2, en mouvement dans un référentiel galiléen, noté (0 0 ; x, y, z). Le système est isolé: chacun des deux corps est soumis uniquement à la force d'attraction de l'autre. 1 En latin, satelles, satellitis désigne un garde du corps, un soldat, un auxiliaire, un complice. C'est un mot d'origine obscure, sans mot apparenté; certains y voient une origine étrusque. Il est signalé en français (satelite, vers 1265) pour désigner un homme armé qui exécute les ordres d'un chef, puis (satellite, vers 1500) un homme dépendant d'un autre, qui accompagne. C'est Kepler qui a donné, en 1611, le sens moderne de « satellite» au latin satelles, à propos des quatre satellites de Jupiter, qui viennent d'être découverts à la lunette par Galilée. Il écrit: De quattuor Jovis satellibus erronibus, c'est-à-dire « Au sujet des quatre (corps) errants accompagnateurs de Jupiter». Le terme satellite artificiel est apparu vers 1950. Dans de nombreuses langues, «satellite» s'exprime par un mot provenant directement du terme latin modernisé par Kepler, comme dans les langues latines et les langues anglosaxonnes. Dans d'autres, c'est le terme « lune» qui est employé (comme en arabe, qamar ?ana 'i, « lune artificielle»). Mais certaines langues ont gardé l'idée première de satelles. En grec moderne, le satellite est toujours un garde du corps puisqu'il se dit doryphoros, a ùopu<jJôpoç, ou, « armé d'une lance», composé de ,à ùôpu, CHOÇ, «la lance» et du suffixe <jJopôç, « qui porte». En russe, sputnik, est le compagnon de voyage (put, « chemin»). En chinois, le satellite se dit wei xing, « astre gardien », mot qui s'écrit avec les deux idéogrammes wei, « garde» et xing, « astre ». On trouve la même écriture en japonais.

M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

138

Chapitre 5. Satellite en orbite képlérienne

Tel est l'énoncé du Problème à deux corps. On cherche à déterminer le mouvement des deux corps. En prenant une origine 0 quelconque, on écrit le principe fondamental de la dynamique sous la forme : ml

d2 0A l AIA2 dt 2 = -Q ml m2 II A IA2113

m2

A2 A l d2 0A2 dt 2 =-Qmlm21IA2AIil3

ce qui donne la relation : (5.1) Le barycentre C des deux points Al et A 2 est défini par:

On a donc:

OC= Vo t

+ Uo

les vecteurs Vo et ua étant constants. Cela montre, puisque C est en déplacement uniforme dans (0 0 ; x, y, z), que le référentiel (C ; x, y, z) est galiléen. Avec (5.1) et les valeurs des accélérations, on obtient : (5.2) Le barycentre C de ces deux points (appelé aussi centre de masse) étant pris pour origine, on a donc :

et par définition du barycentre:

La relation (5.2) donne l'équation du mouvement:

(5.3) qui est effectué dans un référentiel galiléen. Le mouvement des points Al et A 2 se déduit donc de celui de T12 grâce aux relations : m'2 Tl = T12 ml +m2

5.2. Paramètres orbitaux

T2 =

+

ml ml

+m2

139

Tl2

Par exemple, dans le cas du mouvement de la Lune (A 2 ) autour de la Terre (Al), on a ml = 81 m2 : l'étude du mouvement se fait autour du barycentre Terre-Lune. Dans le cas d'un satellite artificiel (A 2 ) autour de la Terre (Ad, m2 est négligeable devant ml et on a :

En résumé, le mouvement d'un satellite artificiel autour de la Terre sera: - dans un premier temps, considéré comme un problème à deux corps dont l'un (le satellite) est de masse négligeable devant l'autre. Son mouvement est donc képlérien et l'orbite qu'il décrit est dite orbite képlérienne; - dans un second temps, on considérera ce mouvement comme perturbé; son orbite réelle sera dite orbite perturbée.

5.2 5.2.1

Paramètres orbitaux Repérer le satellite dans l'espace

Référentiel utilisé

Les propriétés de l'espace et du temps sont les mêmes, les lois de la mécanique sont identiques dans tous les référentiels d'inertie: c'est le premier principe fondamental de la mécanique, dit principe de relativité de Galilée. On considère un satellite en mouvement périodique autour de la Terre. On définit le repère (0 ; x, y, z). Le centre 0 est le centre de la Terre qui est assimilée à une sphère E. L'axe Oz est l'axe des pôles (orienté du sud vers le nord). Le plan xOy est le plan équatorial terrestre, noté c, qui coupe la sphère terrestre selon l'équateur. L'axe Ox peut être fixé arbitrairement (il vise une étoile lointaine) ou être dirigé vers le point vernal. L'axe Oy se déduit des deux autres axes (repère orthonormé direct). Le référentiel associé à ce repère est considéré comme galiléen. Il sera noté ~ (figure 5.1). Le mouvement du satellite est képlérien: dans ~, la trajectoire est une conique (ici une ellipse) dont un des foyers est le centre attractif, 0, qui est situé dans un plan, noté P. La trajectoire du satellite est appelée orbite 2 . Le plan P est le plan orbital. Dans le cas du mouvement képlérien, on parle d'orbite képlérienne. Dans ce référentiel galiléen, le plan P de l'orbite est fixe. On note par OZ la droite perpendiculaire à P en O. L'intersection des plans P et c se fait selon une droite passant par 0, appelée ligne des nœuds. Les deux nœuds 20 rbite, attesté en 1314, est emprunté au latin orbita, œ, «trace d'une roue », puis «courbe fermée décrite par un astre ». Le mot est passé en astronomie au XVIIe siècle, puis en astronautique, vers 1950, pour les satellites artificiels.

140

Chapitre 5. Satellite en orbite képlérienne

sont les points d'intersection entre l'orbite et le plan équatorial terrestre E : N est le nœud ascendant (le satellite passe de l'hémisphère Sud à l'hémisphère Nord), NI est le nœud descendant (le satellite passe de l'hémisphère Nord à l'hémisphère Sud). Repérage d'un point de l'orbite Pour repérer un point en mouvement képlérien dans l'espace, on repère d'abord l'orbite, puis le point sur l'orbite. On définit donc successivement: - la situation du plan orbital dans ce repère; - les caractéristiques de l'ellipse; - la position de l'orbite elliptique dans ce plan; - la position du point mobile (ici le satellite) sur l'orbite. Nous allons voir que six paramètres sont nécessaires et suffisants pour déterminer la position du satellite dans ~. Détaillons chacun de ces points.

(a) Situation de l'orbite dans le repère Deux angles (angles du système de coordonnées sphériques) permettent de fixer P par rapport à E, sachant que P contient 0 : un angle d'azimut et un angle de hauteur. L'angle D, du plan E, qui repère la ligne des nœuds (direction du nœud ascendant) par rapport à l'axe origine, s'appelle ascension droite du nœud ascendant (ou, plus rarement, longitude du nœud ascendant) D

=

(Ox, ON)

L'angle i, angle dièdre du plan équatorial et du plan orbital, i = (E, P), est l'inclinaison, défini également par les normales aux plans: i = (Oz, OZ)

On décrit toutes les positions relatives de P par rapport à E en faisant varier D dans l'intervalle [0; 2 1f[ eti dans [0; 1f[. (b) Caractéristiques de l'ellipse On définit l'ellipse par son demi-grand axe a et son excentricité e, le foyer de l'ellipse étant en 0, centre du corps attractif. (c) Position de l'ellipse dans son plan orbital On fixe l'ellipse dans P en choisissant l'emplacement d'un point - on choisit traditionnellement le périgée P - par l'angle w, l'argument du périgée, qui est l'angle entre la ligne des apsides et la ligne des nœuds:

w = (ON, OP)

(d) Position du satellite sur l'orbite Un point S de l'ellipse est parfaitement déterminé par son angle polaire, centré sur 0 - c'est l'anomalie vraie, v, déjà définie: v = (OP, OS)

5.2. Paramètres orbitaux

141

z

y

FIG. 5.1 : Représentation de la trace de l'orbite dans un référentiel galiléen. Trace des points: 50 (trace du satellite 5), Po (trace du périgée P), No et N6 (traces des nœuds, ascendant N et descendant N'). Plan équatorial terrestre: (xOy, No, N6), normal à Oz, axe des pôles. Plan orbital: (0, Po, 50, No, N6), normal à OZ. Paramètres orbitaux: ascension droite du nœud ascendant ([2), inclinaison (i), argument du périgée (w), anomalie vraie (v). Définition de l'ellipse: demi-grand axe (a), excentricité (e), non représentés sur la figure. En haut, représentation de l'orbite dans un référentiel galiléen.

142

Chapitre 5. Satellite en orbite képlérienne

On préfère généralement utiliser l'vI, l'anomalie moyenne, à la place de v. On a vu au chapitre 4 la relation bijective entre ces deux variables, voir équation (4.59). On utilise aussi l'angle Œ, appelé position sur orbite (ou argument de latitude, ou élongation nodale) défini par :

(5.4) qui repère S par rapport au nœud ascendant.

5.2.2

Éléments képlériens

En résumé, les paramètres vus ci-dessus définissent l'orbite et la position du satellite sur l'orbite. Ce sont les six paramètres orbitaux, appelés aussi éléments de l'orbite ou éléments orbitaux. On dit aussi éléments képlériens. On les classe généralement dans l'ordre suivant:

a, e, i,

[2,

w, l'vI.

Le paramètre a a la dimension d'une longueur, les cinq autres (e et les quatre angles) sont sans dimension. Six paramètres (dont au moins une longueur) sont nécessaires et suffisants pour repérer un point dans son mouvement. On peut utiliser d'autres paramètres que ceux de Kepler. La position d'un point (3 coordonnées de position) et sa vitesse (3 coordonnées de vitesse) à un instant donné, susceptible de fournir les conditions initiales à l'intégration des équations du mouvement, définissent la position d'un point sur sa trajectoire (3 + 3 = 6 paramètres). On peut utiliser aussi les variables de Laplace, de Delaunay, de Hill, etc. Chacune est adaptée à différents besoins. Les six éléments de Kepler ont un grand intérêt pédagogique, lors de l'étude du mouvement perturbé, car on voit alors clairement ceux qui varient et ceux qui ne varient pas (tableau 5.1). Ces angles sont exprimables en angles d'Euler, voir l'annexe en fin de chapitre. -

n i w v

Angle

Angle

Asc. dr. du n. asc. Inclinaison Argument du pér. Anomalie vraie

(Ox,ONa) (Oz, OZ) (ONa,OPa) (OPa, OSa)

Dom. 0-360 0-180 0-360 0-360

Plan

Angle d'Euler

EE

Précession Nutation Rotation propre Rotation propre

(E, P)

EP EP

5.1 : Éléments de Kepler (Angles). Les angles se réfèrent à la figure 5.1. Le domaine de variation (Dom.) est en degrés.

TABLEAU

5.2. Paramètres orbitaux

143

Nous présentons, au chapitre 8, dans l'annexe Éléments orbitaux NORAD, les paramètres orbitaux qui permettent, dans la pratique, de localiser le satellite avec une grande précision. Nous établirons la relation entre ces éléments et les éléments képlériens vus ici.

5.2.3

Paramètres orbitaux adaptés

Dans certains cas, les éléments képlériens n'offrent pas un paramétrage assez précis. On les combine pour en faire des paramètres adaptés. Nous donnons ci-dessous la liste de ces combinaisons utilisées pour contourner les difficultés. Il ne s'agit que d'une simple présentation. Ces méthodes sont utilisées pour une description très fine du mouvement du satellite (repérage très précis, maintien en position), ce qui sort du cadre de cet ouvrage. Orbites quasi circulaires

Lorsque l'excentricité est proche de 0, l'orbite est dite quasi circulaire. Le périgée est alors très mal défini: de très faibles fluctuations de e entraînent d'importantes variations de w. De plus, dans ce cas, v et JI.;[ sont très proches. Pour repérer le satellite sur l'orbite, il est plus pratique de prendre l'origine au nœud ascendant, avec Œ = w + JI.;[, qu'au périgée, avec JI.;[. On remplace alors les paramètres képlériens par les paramètres adaptés suivants:

a, ex = ecosw, ey = esinw, i, fl, Œ = w + NI Orbites quasi équatoriales

Si l'orbite est presque équatoriale, le nœud ascendant est très mal défini. Il peut même y avoir des discontinuités pour fl lorsque le plan de l'orbite franchit le plan équatorial : le nœud ascendant devient nœud descendant. Dans ce cas, on préfère utiliser les paramètres suivants: .

z

a, e, W = w + fl, hx = 2 sin "2 . cos fl, hy = 2 sin

.

z

"2 . sin fl,

JI.;[

Orbites quasi circulaires quasi équatoriales

Si les deux conditions précédentes sont simultanément réunies (comme pour les satellites géostationnaires), ni la ligne des nœuds, ni la ligne des apsides ne sont clairement définies. On utilise les angles w = w+fl et ~ = w+M = w+fl+M. Les paramètres adaptés sont les suivants : a, e cosw, e sinw, 2 sin

7,

"2 . cos fl,

2 sin

z-

"2 . sin fl,

À

144

Chapitre 5. Satellite en orbite képlérienne

h (km)

aIR 7.0

35000

6.5 6.0

30000

25000

5.5 5.0 4.5

20000

15000

4.0 3.5 3.0

10000

5000

2.5 2.0 1.5

0

1.0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Période T (heu res)

5.2 : Période képlérienne du satellite en fonction du demi-grand axe a (et de l'altitude pour une orbite circulaire). Les abréviations xEO sont expliquées plus loin.

FIG.

5.3

Période képlérienne

La période képlérienne, quelle que soit l'excentricité de l'orbite elliptique, est donnée par (4.53). Nous la notons T o pour la distinguer des autres périodes qui seront définies pour le mouvement perturbé: (5.5) Il est pratique de définir la période d'un satellite (fictif), en orbite circulaire au niveau du sol de la Terre sphérique de rayon R, notée TO(h=O) TO(h=O)

= 27r

1f; -

3

Avec la distance relative du satellite au centre de la Terre, ri définie par (2.36), on exprime T o en fonction de a, ri ou h :

To(a)

TO(h=O) =

(a) ~

Ii

(5.6)

IL

al R,

déjà

(5.7)

5.3. Période képlérienne

To(rl) =

rl~

. TO(h=O)

145

(5.8)

Le calcul numérique de la période du satellite terrestre « au ras du sol» donne: TO(h=O) = 5 069.34 s = 84.4891 min (5.9) Le nombre maximal de révolutions par jour est donc, pour un satellite de la Terre: (5.10) l/O(h=O) = 17.044 Cette notion de fréquence orbitale quotidienne est développée au chapitre 7. La figure 5.2 permet d'évaluer rapidement la période en fonction de l'altitude. On a noté quelques noms d'orbite de satellite (LEO, MEO, GEO) dont on donnera la signification plus loin. Pour une orbite quasi circulaire, on définit la hauteur h par rapport à une Terre sphérique :

h=a-R

avec R = Re, rayon équatorial

La relation (5.8) devient:

(1 +~) '] . Cl

To(h) =

TO(h=O)

Dans le cas où h est petit devant R (cas des basses altitudes, satellites LEO), on a:

Mouvement circulaire

Avec le graphe (figure 5.3(a)), nous avons représenté, dans le plan de l'orbite circulaire d'un satellite, sa trajectoire pour diverses altitudes pendant une même durée, choisie ici égale à TO(h=O) , soit 84.5 minutes. Le référentiel est ~, galiléen. Le satellite tourne dans le sens direct. La trajectoire représentée commence sur l'axe vertical où sont notées les valeurs de ri = a/Ret se termine par un petit disque noir. Pour Tl = 1.0, la trajectoire fait un tour complet. Pour Tl = 1.6, elle fait un demi-tour et pour Tl = 2.5, un quart de tour (on note: 1.6- 3 / 2 ,,-, 1/2 et 2.5- 3 / 2 ,,-, 1/4). Considérons maintenant le cas (figure 5.3(b)), où ce plan est le plan équatorial terrestre. Sur ce graphe, qui est une extension du précédent, on a noté de plus, par une demi-droite tiretée, l'angle de la rotation faite par la Terre, en 84.5 minutes, dans ~. Pour Tl < 6.6, le satellite tourne plus vite que la Terre, moins vite dans le cas contraire. Pour Tl = 6.6, satellite équatorial et Terre tournent avec la même vitesse angulaire dans ~. Pour un référentiel ~T lié à la Terre, ce satellite paraît alors immobile: il est géostationnaire. Nous reviendrons en détail sur ce cas au chapitre 7.

146

Chapitre 5. Satellite en orbite képlérienne

5.3 : Représentation de la Terre sphérique et de la trajectoire circulaire de satellites en fonction de la distance relative T}. Plan orbital. Référentiel galiléen lR. Durée représentée : 84.5 min (période de révolution képlérienne d'un satellite fictif au niveau du sol). (a) Plan orbital quelconque. (b) Plan orbital confondu avec le plan équatorial terrestre. Vue d'un point situé sur l'axe de la Terre, au-dessus du pôle Nord. Le trait tireté indique l'angle de rotation de la Terre en 84.5 min dans le référentiel lR. FIG.

5.4. Annexe: rotation du solide - angles d'Euler et de Cardan

5.4

147

Annexe: rotation du solide - angles d'Euler et de Cardan

La rotation d'un solide indéformable peut se définir comme la transformation d'un repère cartésien donné en un autre. On montre que cette transformation peut se décomposer en trois rotations élémentaires autour des axes de coordonnées, dans un ordre bien défini. Les trois axes Ox, Oy et Oz sont affectés respectivement des indices 1, 2 et 3. La rotation R se décompose en trois rotations successives d'angles ŒI, Œ2 et Œ3 : - Ri(ŒI) : rotation d'angle ŒI autour de l'axe 'i, avec 'i = 1,2 ou 3; - Rj(Œ2) : rotation d'angle Œ2 autour de l'axe j, avec j = 1,2 ou 3; j of. 'i; - Rk(Œ3) : rotation d'angle Œ3 autour de l'axe k, avec k = 1,2 ou 3; k cl j. On a donc, en notant par

0

les compositions de transformations

(5.11) Il Y a donc 3 x 2 x 2 = 12 manières de faire cette décomposition. Dans la pratique, seuls deux systèmes de composition sont utilisés : le système d'Euler 3 et le système de Cardan 4 (tableau 5.2).

Angles d'Euler La séquence [3,1,3] caractérise le système d'Euler. Nous détaillons cette décomposition en se référant à la figure 5.1 : 3 Leonhard Euler (1707-1783), mathématicien suisse. Son œuvre très féconde englobe l'ensemble des mathématiques de l'époque. Il fut le premier à développer la notion de fonction de variable, f(x), et à l'appliquer aux fonctions exponentielles, logarithmiques et trigonométriques, dans Introductio in analysis infinitorum (1748). Il fit adopter les notations e, 1T et i, et obtint sa célèbre formule: é 'r +1=0 Il inventa la théorie des graphes (avec, pour première application, la résolution du problème des 7 ponts de Konigsberg) et, travaillant sur les polyèdres convexes, démontra que les solides de Platon étaient au nombre de 5. En mécanique, il appliqua, dans Mechanica sive motus scientia analytica exposita (1736), les résultats de l'analyse au mouvement du point matériel (angles d'Euler, variables eulériennes). Il révolutionna, par ses écrits très clairs, l'algèbre, la géométrie, la théorie des nombres. En astronomie, il étudia les perturbations mutuelles de Saturne et Jupiter, dans Theoria motuum planetarium et cometarum (1744), la précession des équinoxes (1749), le problème des trois corps restreint et le mouvement de la Lune (1772). 4 Gerolamo Cardano (1501-1576), dit en français Jér{Jme Cardan, mathématicien italien. Il donna une méthode de résolution des équations du troisième degré. Il est l'inventeur d'un dispositif d'articulation (le cardan) destiné à rendre la boussole insensible aux mouvements des navires. Le nom des angles de Cardan (tangage, roulis) est emprunté au vocabulaire de la marine. Médecin, astrologue, personnage assez fantasque, Cardan cessa de s'alimenter pour mourir le jour que lui avaient dicté les étoiles, par son horoscope.

148

Chapitre 5. Satellite en orbite képlérienne

Système

Axe i

Axe j

Axe k

Œl

Œ2

Œ3

Euler Cardan

3: Oz 1: Ox

1: Ox 2: Oy

3: Oz 3: Oz

Précession Roulis

Nutation Tangage

Rot. propre Lacet

5.2 : Axes de rotation et noms des angles utilisés pour la composition de rotations dans le système d'Euler et le système de Cardan (resp. angles d'Euler et de Cardan).

TABLEAU

- la première rotation Ri(ŒI}, avec i = 3, s'appuie sur l'axe Oz pour transformer Ox en ONo ; l'angle Œ1 est l'angle de précession, Œ1 = [2; - la seconde rotation R j (Œ2), avec j = 1, s'appuie sur l'axe Ox, maintenant représenté par ONo, pour transformer Oz en OZ; l'angle Œ2 est l'angle de nutation, l'angle i formé par les deux plans; -la troisième rotation Rk(Œ3), avec k = 3, s'appuie sur l'axe Oz, maintenant représenté par OZ, pour transformer ONo en OPo ; l'angle Œ3 est l'angle de rotation propre, Œ3 = W. Pour ce système, la rotation est définie de façon univoque avec:

En remplaçant Po par So et donc Œ3 = W par Œ3 = w+v, on voit que cette décomposition est bien adaptée à l'étude du mouvement orbital du satellite. La matrice de rotation correspondant à R s'obtiendra par le produit matriciel de trois matrices simples. Angles de Cardan

Lorsque le satellite n'est plus considéré comme ponctuel mais comme un objet technologique complexe, avec des instruments émetteurs et récepteurs, des panneaux solaires, etc., on désire contrôler son attitude, c'est-à-dire son orientation dans l'espace autour de son centre de gravité. Le système de Cardan est alors très bien adapté. Il correspond à la séquence [1,2,3].

5.4. Annexe: rotation du solide - angles d'Euler et de Cardan

149

La dénomination des trois angles de Cardan est : roulis, tangage et lacet. Elle est liée au choix des axes, dans la visée de la Terre par le satellite. Nous reviendrons sur ces angles dans le chapitre consacré à la vue depuis le satellite.

Remarque sur les dénominations Dans ce livre, nous parlons d'angles d'Euler Cardan (dans la littérature anglo-saxonne, les appelés angles de Tait-Bryan). Dans certains d'Euler tout ensemble de trois angles (notés ici un quelconque des systèmes de composition.

par opposition aux angles de angles d'Euler sont souvent ouvrages, on appelle angles al, a2, (3) intervenant dans

Il

)

orbite réelle

pertlubatrices idéale à l'orbite réelle !llsqu'ici le mouvement képlérien du satellite autour Donctuel, est soumis à l'attraction gravitationnelle orbite est fixe, dans un plan fixe, immuable, dans ;; ;·;.;;;dion terrestre se réduit à l'attraction d'une masse ;;onsidérer la Terre comme sphérique et avec une ;;?trie sphérique (conditions d'application du théoun satellite en mouvement, on remarque qu'il TlLOUVement képlérien. La différence, très petite sur ;/)gulièrement au cours du temps pour devenir plus bout de quelques jours. On peut dire que l'orbite \;·;nent déformée. \nouvement réel et le mouvement képlérien résulte l'avons déjà signalé: t'ment sphérique et la répartition de masses n'est sphérique; d'autres forces que celle due à l'attraction ter";dtraction dues aux autres astres et les forces de !H'd!lrbations que nous étudions dans ce chapitre. M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

152

6.1.2

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

Ordre de grandeur des forces perturbatrices

Les forces auxquelles est soumis un satellite en orbite géocentrique sont étudiées un peu plus loin en fonction de l'altitude du satellite et résumées figure 6.1. D'un point de vue physique, il est intéressant de séparer ces forces en deux catégories, selon qu'elles sont conservatives ou non. Les forces conservatives dérivent d'un potentiel: ce sont les forces gravitationnelles (attraction terrestre et attraction due aux autres corps célestes). Les forces non conservatives ne dérivent pas d'un potentiel: ce sont des forces dissipatives, qui «coûtent» de l'énergie. En plus du frottement atmosphérique (qui décroît très rapidement avec l'altitude), il s'agit des forces dues à la pression de radiation. Il est important de connaître les ordres de grandeur de ces diverses forces. Par exemple, pour un satellite à une altitude de 800 km en orbite quasi circulaire, l'attraction centrale étant prise égale à 1, on a pour les autres attractions des valeurs beaucoup plus faibles: 10- 3 pour la perturbation due à l'aplatissement de la Terre, 10- 6 pour celles dues aux autres irrégularités du géoïde, 10- 7 pour l'attraction de la Lune et 10- 8 pour celle du Soleil. Les autres forces (conservatives et non conservatives) ne dépassent généralement pas quelques 10- 8 . Il s'agit d'ordre de grandeur et nous reviendrons sur ces valeurs plus loin. Mais cela montre qu'on peut considérer toutes ces forces (sauf la principale) comme des perturbations : elles ne sont pas traitées, toutes à la fois, dans leur globalité, mais une à une, comme des quantités petites par rapport à la force principale qu'est la force d'attraction centrale. L'ensemble des forces vues ci-dessus peut s'écrire, en utilisant les accélérations, avec les indices donnés dans le tableau 6.1 :

Y= Yccc

+ YCCN + LYe; + LYD

j

(6.1)

j

Le terme principal est ,CCC. Tous les autres sont petits devant lui. On a bien entendu l'équivalence :

(6.2) le vecteur g(r) représentant le champ gravitationnel newtonien de la Terre, défini précédemment par l'équation (3.11).

6.1.3

Potentiel

En ne considérant que les termes dus aux forces conservatives, on peut utiliser la notion de potentiel. On sait que le potentiel U d'un champ vectoriel Y est donné par la relation:

Y= gradU

6.1. Forces perturbatrices

153

et en utilisant les propriétés de linéarité de l'opérateur gradient, on a : U = Uccc

+ UCCN + LUc;

(6.3)

Le potentiel de gravitation terrestre est Ucc : UCC = UCCC

+ UCCN

Il a été calculé au chapitre 3, où il est donné sous sa forme générale par (3.28) et par (3.27) si on s'arrête au degré 2. Le terme principal Uccc, noté par la suite Ua, correspond à l'attraction centrale « képlérienne» Uccc

6.1.4

IL r

QM r

= Ua = - = - -

(6.4)

Perturbations et altitude du satellite

Nous allons examiner l'ensemble des forces (accélérations) perturbatrices en fonction de r, distance du satellite S au centre 0 de la Terre (ou de h, son altitude, h = r - R, R étant le rayon équatorial de la Terre). Nous traçons, figure 6.1, la valeur de l'accélération 1 en fonction de la distance relative, TI = r / R. On utilise une échelle dite «log/log» (graphe doublement logarithmique) avec: - en abscisses, x = 10g(TI), avec pour valeur minimale x = 0, soit r = R ou h = 0, correspondant à la surface du sol; - en ordonnées, y = loghi), en notant li l'accélération considérée. Nous avons indiqué sur cette figure les altitudes caractéristiques de trois types de satellites (sur lesquels nous reviendrons par la suite) : h = 1 000 km pour les satellites en orbite basse (LEO), h = 20 000 km pour les satellites de positionnement (MEO), h = 36 000 km pour les satellites géostationnaires (GEO). Cette figure montre comment chaque type de satellite est plus ou moins sensible à telle ou telle force perturbatrice en fonction de son altitude. Les forces, classées en forces conservatives et forces non conservatives (ou dissipatives), sont récapitulées dans le tableau 6.1. Forces conservatives

Les forces gravitationnelles agissant sur le satellite proviennent des attractions suivantes. (a) A ttraction terrestre L'accélération centrale, notée ici ICcc, est donnée par (6.2) IL Iccc(r) = g(r) = 2

r

(6.5)

154

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

2 r/R

3

4

5

6 7 8

1

1

1

1

10 12 14 1

1 1 1 1 1 1

Distance r (1000 km)

5

7 8 910

20

30

40

50 60 7080 100

10

.. pente -1

10

-2

-2

10

-3

10

-4

10

j'IIIl.:.: +1 +1

-5

10

-6

10

-4

-7

10

o

Rad. sOlaire:

-8

10

-9

.... : ............

10

~.~.;.:~

..

+1

en

-2 -4 -3

c o

-6

,-...

N

1

E '-' :0:;

CIl .....

'(J)

:ci)

01000

20000

36000

-8

() ()

«

Altitude h (km)

6.1 : Représentation de l'accélération centrale et des accélérations perturbatrices en fonction de la distance r du satellite au centre de la Terre. Double échelle logarithmique. Dans le domaine de variation considéré, les courbes peuvent être assimilées à des droites dont la pente a été notée. On a aussi mentionné les altitudes de trois types d'orbites de satellite (dans l'ordre: LEO, MEO et GEO).

FIG.

6.1. Forces perturbatrices

Symbole

Type de force Force conservative

C CC CL CS CP CM CR

CCC CCN

• •

• • •

• • •

Attraction terrestre 0 Terme central f1 = ç IvI 0 Termes autres que CCC Attraction lunaire Attraction solaire Attraction planétaire Effet des marées (terr., océan.) Effet relativiste

Force dissipative

D DF DP DA TABLEAU

155

• •

•

Frottement atmosphérique Pression de radiation solaire Effet d'albédo

6.1 : Liste des forces auxquelles est soumis le satellite.

Sa représentation est donc une droite dans un graphe en échelle « log/log», de pente p = -2, puisqu'on a : y = log (IL/ R2) - 2x. La valeur à l'origine (x = 0, soit r = R ou h = 0) est: IL

iccc(R) = g(R) = go = R2

(6.6)

dont la valeur numérique moyenne est : go = 9.80 m·s- 2

Pour le terme relatif à h, le potentiel UCCN.J2, voir (3.27), est en (r- 3 ). L'accélération iCCN.J2 est donc en (r- 4 ) et il s'ensuit que la pente de la droite représentative est p = -4. Comme valeur à l'origine (h = 0), on a considéré la valeur : iCCN.J2(R) = go J 2 représentant une valeur approchée moyenne sur les latitudes parcourues par le satellite. L'accélération iCCN.JN relative aux autres termes J n , n > 2, présente une pente encore plus forte. Nous allons voir plus bas que seuls les termes J n avec n pair ont une influence à long terme (séculaire) sur le satellite. L'équation (3.28) montre que le potentiel est en r-(n+l), donc l'accélération en r-(n+2). La pente est p = -6 pour J4, p = -8 pour J 6, etc. À l'origine, les valeurs numériques sont : go h = 1.1 10- 2 m·s- 2

156

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

en considérant, bien entendu, les valeurs absolues des termes ln. (b) Attraction luni-solaire On considère un astre attracteur (Lune ou Soleil) et on calcule son action sur le satellite. La Terre subissant aussi une attraction de l'astre, il faut calculer l'attraction différentielle subie par le satellite dans un repère lié au centre de la Terre. L'attraction différentielle due au Soleil produit l'accélération notée ici ÎCs (calculée dans l'annexe Notion sur les sphères d'influence, en fin de chapitre). L'équation (6.149) donne: ÎCS

ILs

= 2-

a1

r

(6.7)

où ILs représente la constante d'attraction solaire et as la distance TerreSoleil (le demi-grand axe de l'orbite terrestre héliocentrique). Pour l'attraction différentielle due à la Lune, l'accélération notée ÎCL se calcule, en première approximation, par un raisonnement semblable : ÎCL

ILL

= 23 r aL

(6.8)

où ILL représente la constante d'attraction lunaire et aL la distance TerreLune (le demi-grand axe de l'orbite lunaire géocentrique). Dans le domaine des valeurs représentées ici, ÎCs et ÎCL sont proportionnels à r, donc leur variation est de pente p = +1. À l'origine (h = 0), les valeurs numériques sont : Îcs(R)

= 2

ÎCL(R) = 2

IL; R as

IL~ aL

= 0.5 10- 6 m·s- 2

R = 1.110- 6 m·s- 2

L'effet de la Lune est plus de deux fois supérieur à celui du SoleiP. lOn peut obtenir, de manière astucieuse, une relation entre les deux accélérations Ics(r) et ,cL(r). Le rapport des accélérations est égal à :

,cL(r) _ ML (as)3 Ics(r) - Ms

aL

Gràce aux éclipses de Soleil, on sait que, depuis la Terre, les diamètres apparents de la Lune et du Soleil sont égaux. On a donc la relation, en notant RL et Rs les rayons respectifs: RL

Rs

aL

aS

En exprimant les masses, à l'aide des masses volumiques moyennes, notées respectivement PL et Ps, on obtient: PL (RL)3 Ms = Ps Rs et ainsi, en appliquant les valeurs numériques, on détermine la valeur du rapport: ML

,cL(r)

PL

Ics(r)

Ps

--- = -

3.3437

= - - c:::::2.25

1.4808

6.1. Forces perturbatrices

157

(c) Attraction due aux autres planètes Cette attraction différentielle provoque sur le satellite une accélération très faible, ICP, également de pente p = + l. Pour chaque planète, l'ordre de grandeur est donné par : ICP =

ILp

2 3

ap

(6.9)

r

où ILp représente la constante d'attraction de la planète et ap la distance Terre-planète. Selon les configurations, les valeurs maximales des accélérations perturbatrices sont: ICP

rv

10- 10 m·s- 2

dû à Vénus

ICP

rv

10- 11 m·s- 2

dû à Jupiter

( d) Effet des marées Les marées océaniques sont provoquées par l'action perturbatrice de la Lune et du Soleil. L'explication en a été donnée par Newton puis Bernoulli, la théorie étant achevée par Laplace et Kelvin. Ce phénomène est familier et facilement observable. Ce qui est moins connu, c'est que cette action perturbatrice s'applique aussi à la croûte terrestre: l'enveloppe terrestre solide se soulève deux fois par jour, avec une amplitude de l'ordre du décimètre. Le phénomène des marées (océanique ou terrestre) provoque des frottements : ce n'est donc pas un phénomène conservatif (c'est ce phénomène qui explique le lent ralentissement de la vitesse de rotation terrestre). Mais l'effet de ces marées sur le satellite peut se résoudre en utilisant le fait que les forces de déformation qui entrent en jeu dérivent d'un potentiel. On montre que le potentiel d'interaction est en r- 3 , d'où une accélération perturbatrice en r- 4 . Pour r = R, on a ICM rv 5 10- 7 m·s- 2 . L'effet des marées océaniques est environ le dixième de celui des marées solides. ( e) Effet relativiste La vitesse V d'un satellite n'excède pas quelques kilomètres par seconde. Elle est très petite devant la vitesse c de la lumière : un traitement relativiste est généralement inutile. Cependant, depuis TOPEX/Poseidon, l'effet relativiste est pris en compte pour les satellites d'altimétrie et pour ceux de positionnement (type GPS). On montre que la correction revient à considérer une accélération dite relativiste, dont le terme principal est noté ici ICR : (6.10)

Pour une orbite circulaire, avec (4.52), on obtient: ICR =

3/L2 c2

.

1 r3

ce qui donne une pente p = -3. A l'origine (h = 0), on a : ICR(R)

= go

~IL

c R

=

l.6 10- 8 m·s- 2

(6.11)

158

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

La principale 2 manifestation de la considération de cette correction est l'effet séculaire sur l'argument du périgée: le périgée de l'orbite avance plus vite que ne l'indique le calcul classique. C'est ce qu'on appelle l'avance au périgée. Pour les planètes autour du Soleil, on parle d'avance au périhélie, phénomène expliqué par Einstein - voir la note historique en fin de chapitre. On calcule que cette précession apsidale donne une variation .dlw de l'argument du périgée w, à chaque révolution: (6.12) L'indice [1] note la valeur obtenue sur une révolution, l'indice [A] note celle obtenue sur une année. Cette valeur reste toujours faible (une fraction de minute d'angle sur une année), que l'orbite du satellite soit quasi circulaire ou excentrée : - SPOT-5 (a = 7.20 10 6 m), .dlw = 1.1610- 8 rad, .dAw = 12".4 - TOPEX/Poseidon (a = 7.7110 6 m), .d 1w = 1.0810- 8 rad, .dAw = 10".5 - Navstar/GPS (a = 26.56 106 m), .d 1w = 3.15 10- 9 rad, .dAw = 0".48 - Molnya (a = 26.5610 6 m,e = 0.74), .d 1w = 6.8910- 9 rad, .dAw = 1".04 La force entraînant l'avance du périgée doit être considérée comme cons ervat ive , car on peut obtenir le même effet en ajoutant un petit moment quadrupolaire en r- 3 à la force de gravitation, indépendant du temps, donc conservatif. Forces non conservatives

Les forces perturbatrices non gravitationnelles ne dépendent pas de la masse NIs du satellite. Les accélérations correspondantes sont donc en (1/ NIs). Aux types de forces présentées ci-dessous, il faut ajouter les forces communiquées au satellite (par des jets de gaz, généralement) lorsqu'on veut modifier sa trajectoire. Ce sont les forces non conservatives qui permettent de piloter le satellite. (a) Frottement atmosphérique Pour les satellites en orbite basse (h < 1 200 km), le frottement sur les molécules de gaz atmosphériques résiduels est important. Il dépend de la forme du satellite (en particulier celle des panneaux solaires) et de l'état de la haute atmosphère, qui est difficile à modéliser (divers facteurs interviennent, dont l'activité du Soleil). Nous développons le sujet dans l'annexe Frottement atmosphérique en fin de chapitre. L'effet de l'atmosphère devient très faible 2Selon la théorie de la relativité générale, le champ de gravité terrestre affecte l'espacetemps au voisinage du satellite dont la trajectoire va différer de celle calculée par la mécanique classique. Cette action peut être représentée par une « accélération relativiste». On montre qu'elle se décompose en trois termes: le terme de Schwarzschild, la précession géodésique et la précession de Lense-Thirring. Le premier, de loin le plus important, fournit l'accélération "ICR étudiée ici. Les deux autres sont explicités au chapitre 7, à propos du satellite GP-B.

6.2. Méthode des perturbations: présentation

159

à partir de h = 1 000 km et décroît très rapidement avec l'altitude (très peu important pour TOPEX/Poseidon à 1300 km d'altitude, inexistant pour LAGEOS à 6 000 km).

(b) Pression de radiation La pression de radiation solaire est en a"5 2 , donc indépendante de r (car r « as). Les effets de cette pression de radiation dépendent de la forme, du revêtement, de la configuration du satellite 3 . Ils s'annulent lorsque le satellite est caché du Soleil par la Terre. L'accélération perturbatrice correspondante est évaluée à : IDP(r) = IDP = constante

cv

10- 7 m·s- 2

( c) Effet d'albédo Les effets de la pression de radiation rediffusée (rayonnement visible ondes courtes - renvoyé par la Terre, dit effet d'albédo, et rayonnement infrarouge - ondes longues - émis par la Terre) dépendent de la région survolée et de l'altitude. On peut les considérer en r- 2 .

6.2 6.2.1

Méthode des perturbations

présentation

Propagation d'orbite: méthode numérique et méthode analytique

Nous venons d'énumérer les perturbations qui représentent la différence entre potentiel newtonien et potentiel réel. Nous allons maintenant voir comment cet écart de potentiel provoque un écart dans le mouvement du satellite. On appelle restitution d'orbite la méthode qui permet de connaître, à tout instant, la position du satellite à partir du moment où le champ de forces et la position initiale sont connus. On classe ces méthodes de restitution selon le type d'intégration, en numérique ou en analytique. La première méthode fournit des séries de nombres - efficace mais peu intuitive. La seconde permet d'exprimer les modifications du mouvement de manière claire et imagée (par exemple, on dira que l'excentricité augmente, ou que l'orbite glisse dans un mouvement de précession). Autre opposition : la méthode numérique est lourde mais très précise, la méthode analytique est plus rapide mais n'atteint pas la même précision. Dans le cas des rendez-vous orbitaux, ou lorsqu'on veut éviter les collisions entre satellites, c'est la première méthode qu'il faut employer. Dans les études plus classiques d'orbitographie, la méthode analytique est amplement suffisante. Le logiciel Ixion et toutes les applications présentées dans ce livre sont basés sur la méthode analytique. 3Cette action perturbatrice est relativement importante pour les premiers satellites de type ballon, comme Echo-l, lancé en 1960, Echo-2, en 1964, PAGEOS, en 1966. Ces satellites très légers (une enveloppe de mylar aluminisé de 13 {Lm d'épaisseur, gonflée après le lancement) avaient un diamètre de 30 à 40 mètres.

160

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

Nous examinons rapidement les principes des deux méthodes. Mais, par la suite, avec la méthode de Lagrange, c'est uniquement la méthode analytique qui sera développée. Lorsque le satellite est soumis à la somme de l'accélération centrale newtonienne et d'une accélération de perturbation, on considère que, puisque la perturbation est faible, la trajectoire restera assez proche de la trajectoire conique. L'équation du mouvement s'écrit alors:

r le terme cipal :

ÎP

gradUo

=

+ YP

avec

Uo = ~

r

(6.13)

étant le terme de perturbation. Il est petit devant le terme prinJ.L

2 r et on ne considère ici que les champs d'accélérations perturbatrices dérivant d'un potentiel. Dans ce cas: ÎP«

YP = gradR où R est le potentiel perturbateur. Le satellite est donc soumis au potentiel U : U = Uo +R

(6.14)

Méthode numérique

Le système d'équations s'écrit dans ce cas: {

..

r

r= -IL r 3

+ YP

r(t=O)=ra;

r(t=O)=ra

(6.15)

L'intégration est basée sur des méthodes de construction progressive des éléments orbitaux. La méthode dite « à k pas» permet de déterminer les éléments au temps t = tn+l à partir des k éléments précédemment déterminés. Dans le cas k = 1, par exemple, l'intégration entre les temps t = ta et t = tN se fait avec un pas h = (t N - ta) / N. Chaque coordonnée cartésienne y, au temps t n+1, est évaluée en fonction de y au temps tn :

Dans le cas de la méthode d'Euler, cP représente la dérivée y/(tn). Des méthodes mieux adaptées et plus élaborées sont utilisées: - méthodes purement mathématiques, comme l'intégration de Runge-Kutta (fin du XIX€ s.), pour laquelle la fonction cP revient, dans sa forme la plus classique, à un développement de Taylor à l'ordre 4; - méthodes développées par les astronomes pour déterminer le mouvement

6.2. Méthode des perturbations: présentation

161

des planètes et autres corps célestes, comme les méthodes d'Adams-Bashforth ou d'Adams-Moulton, dites à pas multiple; - méthodes développées spécifiquement pour les satellites artificiels, à partir de 1957, comme la méthode de Cowell. Méthode analytique

On a démontré précédemment que le mouvement képlérien du satellite est défini par six paramètres orbitaux, les éléments orbitaux képlériens. On montre qu'il existe une correspondance bijective B entre les six éléments et les six coordonnées cartésiennes (dans le référentiel galiléen ~) des vecteurs Tet T:

{x(t), y(t), z(t), x(t), y(t), i(t)}

{a(t), e(t),i(t), D(t), w(t), M(t)}

Dans le mouvement képlérien, les 5 paramètres fixant la position de l'orbite (a, e, i, D, w) restent constants et JI.;[ varie linéairement: JI.;[ = n(t - t p ), en notant par t p l'instant de passage au périgée. Dans le cas du mouvement perturbé, l'étude de la transformation B montre que l'équation (6.13) est équivalente aux 6 relations: {

à

fl

= =

gl

g4

ë = g2 W =g5

i

=

g3

!VI - no =

g6

(6.16)

avec no = j 11/ a~, ao étant, dans un premier temps, la valeur de a sans perturbation. Les termes gi sont petits. Une approche classique consiste à utiliser ensuite une méthode itérative. Les paramètres, variables dans le temps, sont appelés éléments orbitaux osculateurs. Ils représentent les paramètres de l'orbite képlérienne que suivrait le satellite si les perturbations cessaient à cet instant. Ces éléments osculateurs 4 permettent de mieux décrire les déformations de l'orbite que les valeurs de la position et de la vitesse. C'est la méthode analytique qui permet, pour prendre un exemple, de mettre clairement en évidence l'inclinaison critique de l'orbite que nous verrons plus loin. La méthode des perturbations consiste à résoudre les six équations cidessus, appelées équations de Lagmngé. Voir figure 6.2. 4Le terme osculateur n'a pas la même signification qu'en géométrie. En géométrie, deux courbes sont dites osculatrices si les deux centres de courbure sont confondus pour un même point de contact considéré. Ici, dans l'étude des trajectoires spatiales, l'ellipse osculatrice (définie par les éléments orbitaux osculateurs) est tangente à la trajectoire réelle (puisque le vecteur vitesse est le même) mais n'a pas exactement le même rayon de courbure (puisque les accélérations sont différentes). Le terme a été créé par les géomètres (1752) et légèrement détourné de l'acception géométrique par les astronomes. La preuve en est son origine étymologique. Le mot est en effet emprunté du latin osculatio, nom d'action du verbe osculare, «faire un baiser», dérivé de osculum, «petite bouche», diminutif affectueux de os, oris, terme classique pour « bouche ». Il faut donc voir dans ce terme

162

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

.,..,,,,,.,.,, AVERTISSEMENT. ON 'a déja plufieurs Traités de Méchanique, nlaù:

MÉCHA NIQUE DE LA GRANGE.

propofé de réduire la théorie de cette Science, & l'art de réfoudre les pr~blêmes qui s'y rapportent, il des formules générales, dom le {impie développement:

AN ALITIQUE; Par M

le plan de cdui-ci dl emiérement neuf. .le me fuis

donne toutes les équations néceŒlirc_i pour la folution

'de chaque problème. J\::fpere que la manierc dont

dt; l'Académie des Scienca de FiUls ~

de ct:lles de BerIill, d;:Piters~ourg~ de Turin, ue.

j'ai tâché de rcmp~ir cet objet, ne laiJJera rien à

defii'er. Get Ouvrage aura d'ailleurs une autre utilité; il réunira &. préfentcra fous. un même point de vue, les différens Pl'Încipes trouvés ju[qu'ici pour facilirer la [oludon des quei1ions de Méchanique, en mon.... trera la liaifon & la dépendance mutuelle, & mettra. à portée de juger de ~eur jufteffe & de leur étendue .. Je le divife en deux Parties; la Statique ou la. Thé9fie c!e l'Équilibre, & la Dynamique ou la Théorie

A Chez

J;.A

M.

PA RIS,

DESAINT, rue du Foin S. Jacques.

VEUVE

DCC.

Libraite~

AVE R TISSE ME NT.

vj

LXXXVIII.

.ArI.C ,APPIJ.OjjATlON ET PRIVnEGE

DU

Rot.

.du Mouvement; & chacune de ces Parties traitera {éparément des Corps Colides & des. fluides. On ne trouvera point de Figures dans cet Ouvrage.

6.2 : Mécanique analytique de Lagrange. Édité à Paris en 1788 MDCCLXXXVIII. (g) Page de titre. (dr.) Avertissement. L'auteur y explique sa démarche, très novatrice : sa Mécanique devient une branche de l'Analyse. Et, pour montrer son parti pris d'abstraction, il ajoute : «on ne trouvera point de figures dans cet ouvrage ».

FIG.

Les méthodes que j'y expofe ne demandent ni conf.. truélions, ni raifonnemens géométriques ou méchaniques, mais feulement des opérations algébriques, aJ1ùjetties

à une marçhe réguliere & uniforme. Ceux

qui aiment l'Analy[e, verront avec plaiur la Méchanique en devenir une nouvelle branche 1 & me fauront ~ré -Il'~n

avoir étendu ;ûnfi le domaine.

6.2. Méthode des perturbations: présentation

6.2.2

163

Principe de la méthode

Le mouvement réel s'obtient par le calcul de petites variations autour des intégrales premières du mouvement non perturbé. Pour un champ d'accélérations perturbatrices dérivant d'un potentiel, les équations (6.13) et (6.14) donnent l'équation du mouvement

T= gradU

U = Ua +R

avec

(6.17)

qu'on transcrit, pour chacune des coordonnées cartésiennes de

au

au oy

ox

T,

par:

au Oz

Nous écrivons les résultats pour x. La première des équations ci-dessus donne, en décomposant les calculs : i;

di;

-

dt

dx dt

(6.18)

ox

(6.19)

-

au

En faisant intervenir les 6 éléments orbitaux képlériens (ou 6 variables convenablement choisies), on obtient i; sous la forme d'une somme de 6 termes et donc x sous la forme d'une somme de 36 termes. La méthode des perturbations utilise une résolution d'équations différentielles par la méthode de la variation de la constante. Le choix de certaines variables, dites variables canoniques, permet d'obtenir les équations de Lagrange sous une forme très simple, la forme canonique, comme les relations (6.60). Plusieurs ensembles de 6 variables offrent une telle possibilité, comme les variables de Delaunay, les variables de Poincaré ou les variables de Whittaker (ou Hill). Un mot sera dit par la suite des variables de Delaunay, mais nous n'entrerons pas ici dans ces puissantes théories mathématiques, développées en particulier pour les calculs de l'orbite des planètes, auxquelles s'attachent les noms d'Euler, Lagrange, Laplace, Gauss et Poincaré. une idée de contact étendu et appuyé. 5 Joseph Louis de Lagrange (1736-1813), mathématicien français. Il appliqua ses théories analytiques à l'étude du mouvement de la Lune et à sa démonstration de la variation périodique des grands axes des planètes, Théorie de la libration de la Lune et autres phénomènes qui dépendent de la figure non sphérique de cette planète (1763) et inventa la notion de potentiel de gravitation (1772). Toutes ces notions furent synthétisées dans son œuvre majeure, Mécanique analytique (1788). Il a créé la théorie des perturbations pour l'étude du mouvement des corps célestes, avec Sur la théorie des variations des éléments des planètes (1808). Il poursuivit les travaux d'Euler pour mettre au point la méthode de variation des constantes, dont il donna une version finale dans Sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de mécanique (1810). Son nom reste attaché aux équations et outils mathématiques utilisés dans ces théories.

164

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

6.2.3

Mise en place des crochets de Lagrange

On note les coordonnées cartésiennes par Çi, avec i = 1,2,3 :

6 =x

ô =z

6 =y

L'équation (6.17), équation du mouvement, s'écrit: (6.20) On note les éléments orbitaux képlériens par Sj, avec j

=

1,2,3,4,5,6 :

L'élément S6 est l'anomalie moyenne initiale. Il est introduit ici à la place de !vI pour faire apparaître directement (!VI - n) dans la relation (6.16). On a

la relation très simple :

e=

l'v! - nt = -nt p

(6.21)

où t p est l'instant de passage au périgée. Les équations (6.18) et (6.19) deviennent alors : i=I,2,3 (6.22) (6.23) On multiplie les trois équations (6.22) par (-aèi/aSk), les trois équations (6.23) par (aÇi/aSk) et on ajoute l'ensemble. On obtient le système:

t t {[i=l j=l

k

aèi aÇi aSk aSj

+

=

1,2,3,4,5,6

aÇi aèi aSk aSj

1dS

j }

dt

=

t {_ i=l

aèi èi aSk

+

aÇi au} aSk aÇi

(6.24) Ce système est équivalent aux équations (6.13), système du problème à résoudre. Étudions les deux membres de cette égalité. Pour le membre de gauche, on utilise la notation suivante. On pose : (6.25) L'expression [Ski Sj] s'appelle un crochet de Lagrange. Il y a donc 36 crochets de Lagrange.

6.2. Méthode des perturbations: présentation

165

Le membre de droite est constitué de deux termes. Le premier peut s'écrire:

On voit apparaître l'expression de la quantité T, homogène à un potentiel et représentant l'énergie cinétique par unité de masse (on note V le module de la vitesse du point considéré) : (6.26) Ce premier terme est donc égal à : (6.27) Le deuxième terme se transforme ainsi : (6.28) Si on pose:

F=U-T

(6.29)

le système (6.24), donc (6.13), est équivalent à : k = 1,2,3,4,5,6 6

dSj

L[Sk;Sj]dt j=l

=

8F

(6.30)

8S. k

Cette grandeur F correspond à une énergie par unité de masse. On l'appelle parfois fonction force ou fonction hamiltonienne (car elle correspond à l'opposé de l'hamiltonien). On pourra se reporter, chapitre 4, au paragraphe consacré à l'énergie 6 . 6Si on compare les équations donnant l'énergie, (4.106) et (6.29), on remarque, avec les notations employées et m étant la masse du satellite: U = -mU

T = +mT ~

E= T

+U

= -m(U - T) = -mF

-E/m=F=U-T

Dans les études d'orbite et de trajectoires spatiales, on préfère utiliser les accélérations plutôt que les forces, le potentiel U plutôt que l'énergie potentielle -U, car la masse du satellite n'a aucune importance dans les calculs (sauf pour l'étude du frottement atmosphérique et des forces de pression de radiation). De plus, nous avons vu que l'énergie E est négative dans le cas du mouvement périodique. La convention utilisée pour F permet d'avoir des valeurs positives pour cette grandeur.

166

6.2.4

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

Propriétés des crochets de Lagrange

Antisymétrie des crochets

L'examen de la définition des crochets de Lagrange donnée par l'équation (6.25) montre facilement que:

On en déduit que sur les 36 crochets, 6 sont nuls et sur les 30 qui restent a priori non nuls, seuls 15 sont à calculer. Invariance des crochets avec le temps

Le crochet de Lagrange est défini, par (6.25), comme la somme de trois termes. Pour calculer la dérivée par rapport au temps d'un crochet de Lagrange, commençons par le faire pour un élément i de la somme. Cela donne: -d

1

çi -aèi- - -aèi- -aÇi[a --

aSkaSj aSk aSj aèi aèi+aÇi-aé~ aé~ aÇi - -aèi - aèi aSkaSj aSkaS-j -aSaS aS k j kaSj dt

aÇi aé~

aé~ aÇi

(6.31)

Pour établir une symétrie d'écriture dans les termes, qui permettra des simplifications, il est intéressant d'ajouter et de retrancher à (6.31) l'expression suivante: . a2 èi . a2 Ç, (6.32) Çi askas + ç, askas) j

On obtient alors:

la dernière égalité étant obtenue avec la relation fondamentale (6.20). Ensuite, on somme sur les trois valeurs de i, en intervertissant le signe « somme» (sur i) et les signes « dérivées partielles» (sur j et k). On utilise les relations (6.26) pour T, (6.28) pour la dérivation de T et (6.29) pour F.

6.3. Méthode des perturbations: résolution

On obtient:

167

:t -

a~k {t, [~i ~Z :t1} - a~j {t, [~i :1: -~z :~: 1} au } aSj

a {aT aSk aSj

a2 F

askasj

o

a2 F

a {aT aSj aSk

au } aSk

asjask

L'équation: (6.33)

montre finalement que l'expression [Ski Sj] ne dépend pas du temps. La valeur du crochet peut évidemment varier avec le temps si l'un ou plusieurs des paramètres orbitaux varient avec le temps. Mais au cours d'une révolution, on peut considérer les paramètres Si comme constants et [Ski Sj] reste donc constant. Cela signifie que pour évaluer sa valeur, il suffit de le faire en un seul point de l'orbite.

6.3 6.3.1

Méthode des perturbations

résolution

Calcul des coordonnées

Coordonnées dans le plan orbital

Pour calculer les facteurs du crochet de Lagrange, (a~daSk) et (aê,daSj), on exprime les coordonnées cartésiennes en fonction des paramètres. Pour cela, on écrit la position du satellite dans un repère orthonormé direct (0; X, Y, Z), lié au plan P de l'orbite, 0 est le centre attractif (centre de la Terre). Le plan P contient OX et OY, OX passe par le périgée P, OZ, perpendiculaire à P, est porté par le moment cinétique C du satellite. Dans ce repère, on peut écrire les composantes du rayon vecteur X, Y, Z, d'après les équations (4.66) et (4.67)

X

T

y

Tsinv = a ~ sinE

Z

0

cos V

=

a (cos E - e)

On rappelle que l'anomalie excentrique E qui intervient dans ces formules est reliée à l'anomalie moyenne JI.;[, utilisée comme paramètre orbital, par (4.64),

168

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

dite équation de Kepler. En lz dérivant par rapport au temps, on obtient: (1 - e cos E) -de = dt on obtient les vitesses

TI

=

~t a3

X, Y, Z : {IJ:

V-;;

[K o

sinE 1 - e cos E

t ~ cosE - VI - e~ a 1- ecosE

Coordonnées dans le plan équatorial

Pour passer de ce repère au repère confondu avec le référentiel 1R, à savoir le repère (O;x,y,z), lié au plan équatorial E, où Oz est porté par l'axe des pôles, il faut effectuer trois rotations, clairement définies avec les angles d'Euler (al = D ; a2 = i ; a3 = w) vus au chapitre 5. On pourra se reporter à la figure 5.1. Les coordonnées cherchées, x, y, z et X, y, i se déduisent de X, Y, Z et X, Y, Z par le produit de trois matrices de passage. Le calcul détaillé de ces trois matrices et de leur produit est fait plus loin, lors du calcul de la trace du satellite. La valeur de la matrice de passage, notée P, est donnée par l'équation (8.8). Avec les angles utilisés ici, on obtient la matrice carrée (3 x 3) :

P=

cos D· cosw - sin D . sin w . cos i

- cos D· sinw - sin D· cosw· cosi

sin D . sini

sin D· cosw + cos D . sin w . cos i

- sin D· sinw + cos D . cos w . cos i

- cos D· sin i

sin w . sin i

cosw . sin i

cosi

Les grandeurs X, Y, Z, X, Y, Z ne dépendent que de trois paramètres orbitaux, a, e et E (on remplacera ensuite E par NI) ; les éléments de la matrice P ne dépendent que des trois autres, D, i, w. Les grandeurs x, y, z, x, y, i dépendent des six éléments orbitaux: X(a,e,E) P(D,i,w) [ Y(a,e,E)

o

X(a,e,E) P(D,i,w) [ Y(a'oe,E)

1

(6.34)

1

(6.35)

6.3. Méthode des perturbations: résolution

En notant les coordonnées x, y, z par Çi, comme vu plus haut et X,

èi' on a, avec 'i = 1,2,3:

Çi

Pi1X

Çi

Pi1X

169

y, i

par

+ Pi2 Y + Pi2 Y

et en notant Pij l'élément de la ligne 'i, colonne j de la matrice P. Calcul des dérivées par rapport aux éléments orbitaux

La dérivation des trois valeurs de Çi, définies ci-dessus, par rapport aux éléments orbitaux donne: si Sk : D, 'i, w si Sk : a, e, E et on obtient des résultats analogues pour

aèi

èi : si Sk : D, 'i, w

aSk

aèi

si Sk : a, e, E

aSk

(a) On calcule les dérivées de X, Y, X, Y par rapport à Sk, puis on prend leur valeur en un point quelconque de l'orbite. On choisit évidemment le périgée (v = E = M = 0), le point qui amène le plus de simplifications. La relation entre dE et d1Vl, découlant de (4.75), a été déjà vue un peu plus haut. Le calcul de k donne:

aXjaS

ax aa ax ae ax aM

cosE - e

-a -asinE·

1 1 - cosE

et la valeur de ces grandeurs au périgée est :

ax

ax ae

-=-a

aa=l-e

ax aM =0

De même avec les autres coordonnées, on obtient après dérivation et calcul au périgée:

ay aa

-=0

ay ae

-=0

170

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

oX oa

oX oe

-=0

oX

-=0

01' oe

01' _ n~ oa - -"2 1- e

na e)2

(1 -

aM

01'

na

aM =0

(1 - e)~

(b) La dérivation de F ij par rapport à Sk se fait classiquement, sans simplification possible.

6.3.2

Calcul des crochets de Lagrange

Calcul du crochet [a;

Ml

Nous allons calculer le crochet [a; M]. D'après la définition (6.25), on écrit le crochet de Lagrange relatif aux deux éléments a et l'v! :

[a' M]

'

=

~ [ - O~i oa

~

i=l

OÇi aM

+ OÇi O~i 1 oa aM

-Fil2

1+ e i2 2] +-F

Avec les calculs précédents :

OÇi

oa

O~i

oa

OÇi aM

O~i aM

on obtient:

[a;M]

2:

na

3

= --

1-e

[

i=l

2

La matrice P est telle que, pour tout j, on a : 3

2:Fi~ i=l

= 1

ce qui donne finalement pour le crochet :

[a;M]

e] 2

na [-1 +-1+

= --

1- e

na 2

6.3. Méthode des perturbations: résolution

171

Valeur des crochets de Lagrange

On effectue de même les calculs de tous les crochets. Sur les 15 à évaluer, comme nous avons vu plus haut, les calculs montrent que 9 d'entre eux sont nuls. Les 6 crochets non nuls ont les valeurs suivantes :

[a; D]

= -

[D;a]

_na ~ cosi

(6.36)

[a;w]

= -

[w;a]

_na~

(6.37)

[a;M]

= -

2

na

[M;a]

[e;D]=-[D;e]

6.3.3

2

2

+na

2 2

(6.38) e

JI=e2

cosi

e

(6.39)

[e;w]

= -

[w; e]

+na ----===

(6.40)

li; D]

= -

[D;i]

+na 2 ~ sini

(6.41 )

JI=e2

Équations de Lagrange

Obtention des équations de Lagrange

On peut maintenant écrire l'équation (6.30) en explicitant les valeurs des dérivées partielles de F avec les valeurs non nulles des crochets. On obtient les valeurs de (aF / aSk ), k = 1, ... ,6.

aF aa aF ae aF ai aF aD aF aw aF aM

+ [a; D] D +

[a;w]w + [a;M]Ü

(6.42)

+ le; D] D +

[e;w]w

(6.43)

+[i;D]D

(6.44)

- [a; D] à - le; D] è - li; DH

(6.45)

-[a;w]à-[e;w]è

(6.46)

- [a;M]à

(6.4 7)

Le formalisme d'écriture des deux groupes d'équations ci-dessus montre tout l'intérêt de noter systématiquement les paramètres dans l'ordre choisi: a, e, i, D, w, lvI. On résout le système linéaire des 6 équations (6.42) à (6.47) et on exprime les crochets de Lagrange. On obtient ainsi une relation matricielle qui permet de connaître les dérivées des éléments orbitaux par rapport au temps en fonction des dérivées partielles de la fonction F par rapport aux éléments

172

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

orbitaux:

BF Ba BF

da dt de dt di

De BF

dt

Di

Lü

dn

dt

(6.48)

BF

Bn

dw

BF Bw BF

dt

dM dt

BN!

La matrice Lü est notée dans le tableau 6.2, sous le nom de L (nous allons voir ci-dessous que ces deux matrices sont identiques). On note deux propriétés importantes de Lü : - c'est une matrice antisymétrique; - elle ne dépend que des trois éléments a, e, i : Lü = Lü(a, e, i). On obtient les valeurs suivantes pour chacun des éléments orbitaux, en explicitant (tableau 6.2), les abréviations IJ", 7 et l'

da

1 (

-

na

dt de dt

na2

7(

_1_ na 2

IJ"1' ( _

1

di dt dD dt dw dt dM dt -

OF)

(6.49)

2 oM

1 --IJ"1'

na 2

oF

+ ol'vl

oF

+ cosi OF)

-1' ow

oD

OF)

(6.50)

ow

(OF) oi

(6.51) (6.52)

(7 oF _ IJ"cosi OF) oe oi _1_ (-2a oF _ 7OF) na 2 oa oe _1_ l' na 2

(6.53) (6.54)

Ce système d'équations constitue l'ensemble des équations de Lagrange en fonction de F. Introduction du potentiel perturbateur

Au lieu d'utiliser la fonction F, nous allons faire apparaître le potentiel perturbateur R, défini par (6.14). En exprimant U et T, l'équation (6.29) devient: F

2

IL V -+R--

r

..!!:....+R 2a

2

(6.55)

car on peut appliquer aux éléments osculateurs de l'orbite l'équation (4.38) vue pour une orbite périodique.

6.3. Méthode des perturbations: résolution

Le potentiel perturbateur vées partielles : - pour Sj = e, i, fl, w, NI

- pour Sj = a

aF aa

n remplace ainsi F

IL 2a

an aa

n2 a

173

dans l'expression des déri-

an aa

- = - -2+ - = - - + 2

Dans le système d'équations de Lagrange ci-dessus, il suffit donc de remplacer (aF / aSj ) par (an/ aSj ) pour les cinq premières équations. Pour la dernière, l'équation (6.54) devient: dM 2 an 1 1 - e 2 an --=n---------dt na aa na 2 e ae Équations de Lagrange en fonction du potentiel perturbateur

Nous écrivons finalement les équations en fonction du potentiel perturbateur n et en exprimant les éléments orbitaux. Le résultat est dans le tableau 6.2. Ce système d'équations constitue l'ensemble des équations de Lagrange, qui correspond, par équivalences successives, à l'équation (6.13) de départ, l'équation du mouvement. On l'écrit à l'aide de la matrice L, équivalente à Lü définie ci-dessus par (6.48). Cela correspond au système d'équation initial, (6.17) ou (6.20), dans lequel on a substitué M à B : M -nt

=

B

an

aM

an

aB

En conclusion de cette partie: on a montré que, lorsque le champ d'accélérations perturbatrices dérive d'un potentiel, le mouvement du satellite est défini par les équations de Lagrange. On vérifie que si n = 0, on retrouve la solution du problème à deux corps, la solution de Kepler: a, e, i, fl, w sont constants et l'anomalie moyenne est donnée par NI = n(t-t p ), correspondant à B constant. Dans le cas général (en cours d'itération), on considère que n est exprimé en fonction des nouvelles variables.

6.3.4

Éléments orbitaux métriques et angulaires

La matrice L fait apparaître clairement la séparation des paramètres orbitaux en deux groupes: a, e, i d'une part, fl, w, l'vI d'autre part. On voit en effet dans les équations de Lagrange que les dérivées par rapport au temps de a, e, i ne font intervenir que des dérivées partielles de n par rapport à

174

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

(2 :~)

1

da dt

na

de dt

na2 - e -

-

1 1 - e2

-

(

-

1

v:t=e2

1

di dt

-

na2~1

dD dt

- e 2 siwi 1

na 2v:t=e2· - e sm?,.

dw dt

1

-

na2~1

dM ---n dt

1

-

e2

oR oR ) ow + oM

( _ oR + cos i OR) oD ow

(~~)

(1 - e 2 oR e oe

cosi OR) sini oi

( _ 2a oR _ 1 - e 2 OR) oa e oe

na 2

Sous forme matricielle :

L

an an Be an Bi an an an aw an aM

0 0 0 +IJT -IJTcosi 0

0 0 -IJT 0 0 0

da dt de dt di

Ba

dt

dn

dt dw

dt

dM dt

L

1 na 2

avec:

0 0 0 0 0 -2a

-n

0 0 0 0 +TT -T

1 IJ = -.-. sm'{

1 - e2 T=--e

0 -TT +IJTCOS i 0 0 0

T=

+2a +T 0 0 0 0

1 ~l- e 2

6.2 : Équations de Lagrange pour les six éléments orbitaux, en fonction du potentiel perturbateur R.

TABLEAU

6.3. Méthode des perturbations: résolution

175

n, w, NI, et inversement. Cela peut s'écrire avec des notations globales: an an an) {da de di} il (a, e,i; an' aw , aM dt' dt' dt an an {dn dw dM} 12 (a, e,i; aa , ae , an) dt' dt' dt ai où il et 12 sont des fonctions de (a, e, i) et des dérivées partielles mentionnées. Les paramètres (a, e, i) sont appelés éléments orbitaux métriques 7 , ou plus brièvement éléments métriques, les paramètres (n, w, J'v!), les éléments angulaires. En notant Pi les éléments métriques et qi les éléments angulaires, on peut écrire les deux relations précédentes sous la forme : (6.56)

Remarque. La quantité na2~ apparaît trois fois au dénominateur des expressions dans le système d'équations noté dans le tableau 6.2. En reprenant les relations des orbites képlériennes pour les éléments osculateurs, l'équation (4.27) devient:

La quantité cherchée est donc le module du moment cinétique du satellite, noté C : C -_ na 2~_ V 1 - e~ - n a b (6.57)

6.3.5

Cas des paramètres mal définis

Deux cas, déjà abordés au chapitre 5 à propos des paramètres orbitaux, peuvent amener des difficultés dans la définition de certains paramètres. Il s'agit du cas e = 0 et du cas i = O. L'excentricité e apparaît au dénominateur des expressions de è, w et NI dans les équations de Lagrange (tableau 6.2). Si e est nul, ces quantités ne sont pas définies, ce qui est logique, puisque, comme nous avons vu, le périgée n'étant pas défini, w et ne peuvent l'être. L'inclinaison i apparaît au dénominateur dans i, fl et w. Si i est nul, ces quantités ne sont pas définies, ce qui est là aussi logique, puisque, le nœud ascendant n'étant pas défini, n et w ne le sont pas.

NI

7 Cette appellation permet de distinguer les deux groupes. Mais le terme « métrique» peut prêter à discussion. S'il fait référence à «longueur», seule la grandeur a est une longueur. S'il veut s'opposer à « angulaire », l'inclinaison i est un angle. Ici, « métrique» attribué à e et i, indique que ces deux éléments ont un comportement mathématique qui les fait se rapprocher de a. Les variables de Delaunay, présentées un peu plus loin, permettent d'éviter cette ambiguïté: les variables d'un même groupe ont même dimension.

176

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

Dans ces deux cas, une solution est d'abandonner les paramètres orbitaux

« classiques» pour les remplacer par d'autres, obtenus par des combinaisons

bien choisies de ces paramètres. Mais nous verrons un peu plus loin que, lorsque le potentiel perturbateur est limité au terme en J 2n du potentiel terrestre, la fonction R est telle que les indéterminations pour e = 0 et pour i = 0 sont levées. Par exemple, en ce qui concerne l'indétermination i = 0 pour D, on verra que R est une fonction de (sin 2 i). Sa dérivée par rapport à i donne un terme en (sin i . cos i) qui fait disparaître le terme en (sin i) du dénominateur de D. Dans ce cas, la valeur D est parfaitement définie pour i = O. Avec ce type de potentiel perturbateur, nous trouverons que toutes les vitesses angulaires D, w, ~1 sont bien définies pour e = 0 ou i = 0 (ou e = 0 et i = 0), même si l'origine des angles ne l'est pas.

6.3.6

Éléments de Delaunay

La forme de la matrice L, donnée dans le tableau 6.2, les symétries et similitudes dans les crochets de Lagrange, suggèrent d'opérer un changement de variables pour obtenir une formulation de résultats encore plus simple et pour avoir les éléments en deux groupes homogènes. Ces éléments sont appelés variables de Delaunay8 ou éléments de Delaunay. On les écrit ainsi, en séparant clairement les éléments L, G, H, qui ont la dimension d'un moment cinétique par unité de masse (variables d'action) et les éléments angulaires (l, g, h) associés, sans dimension (variables angulaires)

L=J7Ia { I=M

G

=

L ~1- e 2

g=w

H = G cosi h = fl

(6.58)

Les équations de Lagrange s'écrivent alors sous forme très simple: ce sont les équations de Delaunay. {

dL dt dl dt

=

aF

al

aF --

aL

dG dt dg dt

dH dt dh dt

aF

ah

aF

(6.59)

aH

Charles Delaunay (1816-1872), astronome français, est l'auteur de nombreux travaux dont une étude très détaillée du mouvement de la Lune. Il détecta de légers désaccords entre ses prévisions et les observations. Le Verrier déclara que l'erreur était dans les formules de Delaunay, lequel répondit que les désaccords venaient de causes inconnues, mais pas de ses équations. En 1865, Delaunay émit l'hypothèse que ces différences provenaient du léger ralentissement de la rotation de la Terre, dû aux frottements des marées. Cette théorie est reconnue aujourd'hui. La méthode de Delaunay n'est plus utilisée à présent pour étudier le mouvement de la Lune, mais elle l'est toujours pour les satellites d'autres planètes. Revenons quelques instants sur son œuvre majeure, Théorie du mouvement de la Lune (1867). La fonction R de perturbation est donnée sous la forme d'une équation de 1967 termes, qui occupe 21 pages. Comme l'écrit l'auteur, il ne reste plus ensuite qu'à intégrer R pour obtenir les coordonnées de la Lune en fonction du temps, à l'aide des variables de Delaunay. Cela prend les 860 pages suivantes. (Tant qu'on ne l'a pas vu, on ne peut pas le croire !). 8

6.4. Résultat du traitement des perturbations (terme en

avec:

hl

177

2

F=L+R

2L2

Les équations s'écrivent, plus simplement que dans (6.56), sous forme canonique:

.

aF

Pi=aqi

.

aF

qi=-api

(6.60)

où les variables Pi représentent les variables d'action et qi les variables angulaires associées. D'après l'équation (6.57), G est égal au moment cinétique Cet H à sa projection sur l'axe des pôles, Oz : H

=

Ccosi

=

Cz

(6.61)

Nous n'utiliserons pas, par la suite, les variables de Delaunay (sauf H un peu plus bas). Elles sont données comme exemple de notations homogènes, avec un sens physique, amenant à des équations canoniques. La méthode hamiltonienne, de Von Zeipel et Brouwer 9 , consiste à intégrer les équations de Lagrange en utilisant les variables de Delaunay.

6.4

Résultat du traitement des perturbations - potentiel terrestre jusqu'au terme en J 2

Pour obtenir ce que nous cherchons finalement, à savoir les dérivées par rapport au temps des six paramètres orbitaux, il nous faut appliquer les équations de Lagrange, et donc connaître la valeur du potentiel perturbateur R. Nous n'allons considérer ici que la perturbation due au potentiel terrestre. On n'envisage pas les autres perturbations gravitationnelles (comme celle due au potentiel d'attraction luni-solaire), considérées ici comme négligeables. Pour le potentiel terrestre, nous allons procéder progressivement en considérant d'abord (§ 6.4.1) le premier harmonique zonal, en h, puis (§ 6.5.1) tous les harmoniques zonaux, jusqu'en ln, et enfin (§ 6.5.2) le cas général, avec tous les harmoniques, zonaux, sectoriels et tesséraux.

6.4.1

Expression du potentiel perturbateur - jusqu'au terme en J 2

On considère le développement du potentiel jusqu'au degré 2. On utilise alors l'équation (3.27) et avec U = Ua + R, on écrit la valeur de R :

R = _ JLR2 1 2 3 sin 2 .1jJ - 1 r3 2

(6.62)

Pour étudier cette valeur sur une période, exprimons tout d'abord r et

VJ.

9Méthode développée par Von Zeipel pour les astéroïdes, en 1916, et reprise par Brouwer, en 1959, pour être appliquée aux satellites artificiels.

178

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

z

FIG. 6.3 : Représentation du point subsatellite Sa, repéré par la position sur orbite a et par la latitude géocentrique.

Expression de r et de 'IjJ

La distance r s'exprime en fonction de (a, e, v) comme nous l'avons vu. L'équation (4.60) donne: a(l - e 2 ) r = ----'----'-(6.63) 1 + ecosv L'angle VJ est la latitude du satellite (latitude géocentrique, bien entendu). Pour exprimer 1/;, nous considérons les points suivants (figure 6.3) : N, la trace du nœud ascendant, So, la trace du satellite et Q, le point de l'équateur sur le méridien de So (c'est-à-dire l'intersection du demi-plan SoOz avec le cercle équatorial). Dans le triangle sphérique NSoQ, rectangle en Q, l'angle N est l'angle dièdre ([, P), c'est-à-dire l'inclinaison i. Les côtés connus du triangle (arcs de grand cercle) sont : QSo =.1jJ

NSo =a

La règle des sinus (voir, en fin de chapitre, l'annexe Trigonométrie sphérique) donne ici, avec la relation (t.s.-VIII) 1

sina

(6.64)

6.4. Résultat du traitement des perturbations (terme en

ce qui conduit, avec relation:

Ct

= w

+v

(puisque

Ct

hl

179

est la position sur orbite), à la

+ v)

sin VJ = sin i . sin(w

(6.65)

Expression de R

n apparaît ainsi que R est fonction de grandeurs constantes (a, e, i, w sont considérés constants sur une révolution) et de v. Sa variation est donc périodique, et de même période (T = 27r / n) que le mouvement képlérien. On remarque que R ne dépend pas de n. C'est attendu dans la mesure où on considère comme seule perturbation celle provenant du remplacement de la sphère par un ellipsoïde de révolution. Dans ce cas, aucune longitude terrestre n'est distinguée. La position du nœud ascendant, donc la valeur de n, est indifférente et on a : (6.66) aR/an = 0 Intégration de R sur une période

On calcule (R), valeur moyenne de R sur une période T, en intégrant par rapport au temps, c'est-à-dire par rapport à l'anomalie moyenne NI : 1 (R) = T

j.T 0

1 Rdt = 27r

j.21f 0

RdM

On exprime d'abord dNI en fonction de dv. Cette relation est donnée par l'équation (4.77) obtenue par application de la loi des aires:

divI

=

r2 a2~1

- e2

dv

En utilisant les variables r, 1jJ et v, on obtient, les bornes d'intégration étant les mêmes pour v et l'vI :

ce qui donne, avec (6.63) et (6.65) 27r (R) avec:

I

=

Jo(21f

{3 sin 2 i - 2 - [1- cos2(v

+ w)]-l }

(1

+ ecosv)dv

180

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

En développant les termes de cette expression, on voit que l'intégration des termes périodiques en v sur l'intervalle [0,27T] donne un résultat nul, comme par exemple:

j .21f 0

cosv cos2(w

+ v)

1 dv = 6

j.21f 0

sin(3v

+ 2w) + 3

sin(v

+ 2w) dv =

0

La seule contribution non nulle est fournie par les termes constants, ne dépendant pas de v :

La valeur moyenne du potentiel est donc, jusqu'au degré 2 : (6.67) Variations périodiques et séculaires

L'intégration de R sur une période montre qu'on peut décomposer cette grandeur en deux parties, sous la forme: (6.68) où la partie Rs = (R), constante, représente la valeur moyenne, et où la partie Rp, périodique, a une valeur moyenne nulle sur une période. La seule partie du potentiel à créer des effets sur un temps long (supérieur à la période T) est donc Rs. Ces variations, lentes mais proportionnelles au temps, sont appelées séculaires 10 (par opposition à Rp qui provoque des effets périodiques) . On obtient les variations séculaires des paramètres en dérivant cette partie Rs du potentiel perturbateur R. L'équation (6.67) montre que Rs = (R) s'exprime uniquement en fonction des éléments métriques:

Rs

6.4.2

=

Rs(a, e, i)

Variation des éléments orbitaux

Calcul de la variation des éléments orbitaux

On peut appliquer les équations de Lagrange: on remplace, dans les six équations du tableau (6.2), le potentiel perturbateur R par sa partie séculaire

Rs.

lOSéculaire, du latin sœculum, « siècle». Qui a lieu tous les cent ans. Au XVleS., le terme est pris par l'astronomie: se dit de ce qui exige des siècles pour que l'effet s'en fasse sentir.

6.4. Résultat du traitement des perturbations (terme en

hl

181

Les dérivées relatives aux éléments métriques, (da/dt), (de/dt), (di/dt), obtenues par dérivation par rapport aux éléments angulaires, sont donc toutes nulles. Par conséquent, les paramètres a, e, i restent constants au cours du temps. Par contre, les dérivées relatives aux éléments angulaires, (dD /dt), (dw /dt), (d1Vl/ dt), obtenues par dérivation par rapport aux éléments métriques, ne sont pas nulles. Les dérivations partielles de Rs exprimé par (6.67) donnent:

aRs oa aRs oe aRs ai

3

-- Rs a

(6.69)

---2

(6.70)

3e Rs 1-e 6 sini cosi R 3 sin 2 i _ 2 s

(6.71)

On remplace IL par n 2 a 3 et obtient finalement les résultats suivants:

o o o

il

è

(6.72) (6.73) (6.74)

nh (~a ) 3 nh (R)2 --3-2)2 (R)2 ~

---,------3 2(1 - e 2)2

2)2 ( 41-e

JÙ - n

=

L1n

03

4(1 - e

2

a

n J2

a

cosz

(6.75)

(5cos 2 i-1)

(6.76)

(3cos 2 i -1)

(6.77)

Les paramètres orbitaux sont donc, en fonction du temps t, pris à partir de l'origine t = 0 :

a(t)

D(t)

ao

= =

Do

e(t)

+ Dt

M(t) = Mo

= eo

w(t)

i(t) = Wo

+ n t + (L1n)

= io

(6.78)

+ LÜ t

(6.79)

t

(6.80)

Ce système d'équations représente, en fonction des paramètres orbitaux, la solution à l'équation du mouvement, l'équation (6.13). Remarques sur les variations des éléments orbitaux

En résumé, si on compare la trajectoire réelle du satellite (trajectoire perturbée sous l'action du terme h du potentiel terrestre) à la trajectoire képlérienne, on note les points suivants pour chaque élément képlérien.

182

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

(1) Le demi-grand axe a de l'orbite reste constant.

(2) L'excentricité e de l'orbite reste constante.

(3) L'inclinaison i de l'orbite sur le plan équatorial est constante. (4) Le plan de l'orbite a une rotation uniforme autour de l'axe des pôles,

avec une vitesse angulaire constante fl; ce mouvement s'appelle le mouvement de précession de l'orbite ou précession nodale l l . Lorsqu'on parle de mouvement de précession, sans plus de précision, il s'agit généralement de ce mouvement. D'après (6.75), il se fait dans le sens direct ou rétrograde selon l'inclinaison du satellite. sens direct sens rétrograde

fl ~ fl::::;

0

~

cos i ::::; 0

0

~

cos i ~ 0

W) rf.V l W)

Domaine VI

=

E VI

[0.00,90.00]

(5) Le pengee (et donc toute l'orbite) a une rotation uniforme, dans son plan, avec une vitesse angulaire constante w; ce mouvement s'appelle le mouvement de précession apsidale. D'après (6.76), il se fait dans le sens direct ou rétrograde selon l'inclinaison du satellite. sens direct sens rétrograde

w~ 0 w::::;

0

4

~

sin 2 i ::::;

"5

~

sin 2 i ~

"5

4

Domaine V 2

~

W) rf.V 2

~

W)

=

E

V2

[63.43,116.57]

On définit l'inclinaison critique par: ic = arcsin

(~)

(6.81)

Pour les deux valeurs, l'angle ic et son supplémentaire, la vitesse de précession apsidale w s'annule. 7,

=

Zc

{

i = 180° - ic

63.43°

(6.82)

La valeur de l'inclinaison critique est indépendante de a et de e. Elle est recherchée pour l'orbite très elliptique de certains satellites car elle permet ainsi d'éviter la précession apsidale : la position de l'apogée reste fixe sur l'orbite, ce qui est un point fondamental, comme on le verra, pour les satellites de communication de type Molnya. I l Nodal signifie que le mouvement concerne la «ligne des nœuds », ligne qui relie le nœud ascendant au nœud descendant. Cette droite est l'intersection du plan équatorial et du plan orbital, comme nous l'avons vu précédemment au chapitre 5. Apsidal, qui intervient un peu plus loin, concerne la « ligne des apsides », définie au chapitre 4.

6.5. Résultat du traitement des perturbations (cas général)

183

Lorsque west calculé avec un développement au-delà de h, la valeur obtenue pour 'ic dépend très légèrement de a et e. Elle diffère de quelques centièmes de degré de celle obtenue par (6.81). Voir à ce propos l'exemple 7.1. (6) Le moyen mouvement (réel) du satellite est différent de celui qu'il aurait s'il n'y avait pas d'aplatissement. D'après (6.77), il peut être plus rapide ou plus lent selon l'inclinaison du satellite. On donne un peu plus loin les différentes définitions des périodes du mouvement. La quantité .dn est (parfois) appelée appoint au moyen mouvement. plus rapide plus lent

.dn? 0

{==}

.dn

{==}

~

0

2 sin 2 'i ~ 3 2 sin 2 'i? {==} W) E D3 3 Domaine D3 = [54.74,125.26]

Des exemples de calcul sont donnés dans les chapitres suivants. On trouvera (figures 7.1, 7.3 et 7.4) la représentation respective des grandeurs D, w et .dn en fonction de l'inclinaison. Remarque. On note que le signe des trois quantités relatives aux éléments angulaires, D, w et JÙ - n, ne dépend que de l'inclinaison 'i.

6.5 6.5.1

Résultat du traitement des perturbations - cas général Cas du potentiel terrestre jusqu'au terme en J n

Remarque sur les harmoniques zonaux

On peut noter un point intéressant lorsque, comme ci-dessous, on considère que la Terre possède une symétrie de révolution. Dans ce cas, le potentiel terrestre est limité aux harmoniques zonaux (c'est-à-dire le développement utilisant les termes J n et pas les harmoniques sectoriels ou tesséraux) dont la contribution au potentiel complet est, comme nous avons vu, de très loin la plus importante. L'accélération perturbatrice YP' définie à l'équation (6.15), est alors dans le plan contenant le satellite et l'axe des pôles. Elle peut donc se décomposer en :

(6.83)

le vecteur unitaire de OS étant noté par eT) celui de l'axe des pôles Oz étant noté par e z . Le moment cinétique G donne, avec l'équation (4.5), par dérivation par rapport au temps:

dG dt

r 1\ r

=

r 12 (e r

r er 1\

1\ [( -

ez )

~ + Il) er + 12 e z ]

184

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

ce qui est un vecteur perpendiculaire à e z . En notant par C z la projection de C sur l'axe des pôles, on a donc:

dG - . e =0 dt z On a vu plus haut, équation (6.61), que C z correspond à la variable de Delaunay H, ce qui donne ici: dH dCz dt - dt -

---~-o

On en déduit la propriété suivante: H

=

J pa(l -

e 2 ) cos'i

=

ViiP cos 'i =

constante

(6.84)

Cette relation est une caractéristique très générale des orbites perturbées par des termes zonaux de même axe. On note la formule suivante, obtenue par différentiation à partir de cette relation (6.84) : 1 e . . - da = - - de + tan't d,t (6.85) 2a 1 - e2 Comme H est l'élément métrique associé à l'élément angulaire h = D, on a dans ce cas, d'après (6.59) : (6.86) ce qui montre que la fonction F ne dépend pas de D. Cela permet de retrouver ce que nous avions vu un peu plus haut : si le potentiel terrestre ne fait pas intervenir la longitude, donc s'il n'utilise que les harmoniques zonaux, R (ou F) est indépendant de D, comme vu avec la relation (6.66). Calcul du potentiel perturbateur R

Nous considérons donc ici la Terre comme un corps à symétrie de révolution. Le potentiel U ne fait intervenir que les termes J n . La formule complète (3.28) se réduit à : (6.87) Le potentiel perturbateur R s'obtient par la différence de U et de Ua. Sa valeur remplace alors celle donnée par la relation (6.62). (a) Commençons le calcul de R par un développement jusqu'au degré 3, qui fait appel aux polynômes de Legendre P2(sinljJ) et P 3(sil1ljJ). Nous obtenons:

R=-~[h (~r

3Sin22VJ-1+J3

(~r

2 5Sin 2VJ-3 sin1/J]

(6.88)

6.5. Résultat du traitement des perturbations (cas général)

185

écrit sous forme simplifiée (Rn pour le degré n)

où R 2 correspond à la somme Rs + Rp, équation (6.68). Comme précédemment pour R = R2, on calcule la valeur moyenne (R 3 ) de R3 sur une période : 27T (R 3)

=

1

271"

a

R3 dM

= -

R3 J

3 1 2a 2 (1 - e 2 )2 ,IL

j.271" 5 sin 2 1jJ - 3

r2

a

sinI/J dv

en utilisant (4.77). De plus, avec (6.63) et (6.65), on obtient: 27T (R 3 ) = -

ILR3J

3

5

2a 4 (1 - e 2 )2

sil1i.:1

avec: {271"

.:1= Jo

[5sin 2 i sin 2(w+v)-3] (1+ecosv)2 sin(w+v)dv

Cette intégration est lourde à effectuer « manuellement». Avec une décomposition astucieuse, on peut utiliser des tables donnant les valeurs des intégrales définies (entre 0 et 2 7T). Ces tables, comme celles de F. Tisserand, évitent de refaire les calculs d'intégration. Elles ont été établies depuis des siècles par les astronomes. Le plus simple, à présent, est d'utiliser les logiciels de calcul formel. On obtient ainsi : 3e .:1 = 2 7T - (5 sin 2 i - 4) sin w 4 ce qui donne pour (R 3 )

~

(/~3)

= ~

IL R 3 e

8a4(1-e2)~ h

(

2

)

-5sin i+4 sini sinw

(6.89)

Ce terme R3(a, e, i, w) va créer des variations à longue période, car, en plus des éléments métriques, il dépend de l'élément angulaire w. On peut l'écrire sous la forme : Mais il ne va pas créer des variations séculaires, car si on intégre sa valeur sur un tour complet de périgée durant sa révolution apsidale, on a un résultat nul : {271"

Jo

(R 3)(a,e,i,w) dw {271"

(R/ 3)(a,e,i) Jo

sinw dw = 0

(6.90)

186

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

éléments métriques

éléments angulaires

e , i O,e.!

M-nt temps

a Représentation schématique de la variation dans le temps des éléments orbitaux. Les variations périodiques de courte période sont en traits pleins, celles de longue période en pointillé-tireté, les variations séculaires en tireté. Les amplitudes des variations périodiques sont très exagérées.

FIG. 6.4 :

En examinant les intégrations successives, on remarque que ((R3}) est égal à 0 parce que sin VJ est en facteur dans R3, et cela parce que x = sin VJ est en facteur dans le polynôme de Legendre P3(X). En se reportant à l'annexe Rappel sur les fonctions de Legendre, on voit que la variable x est en facteur dans l'expression de tous les polynômes de degré impair. On en déduit donc que les termes J n , avec n impair, n'ont aucune contribution dans la variation séculaire des éléments orbitaux:

((Rn})

=

0

si n impair

{==}

pas de variation séculaire

(6.91)

(b) Pour le degré 4, on utilise le polynôme de Legendre P4 (sin VJ) et on opère comme précédemment. On obtient: J.L R 4 e (R4/\ - -1 J4 ( -105sin4i - 64 a 5 (1 - e2)~

) + 120sin2 i - 24

(6.92)

Comme R2, ce terme R4 va entraîner des variations séculaires pour les trois éléments angulaires [2, w et (l'vI - nt). Ici, ces variations seront proportionnelles à J 4 . Lorsqu'on considère les variations séculaires au-delà du degré 2, on ne peut plus négliger le fait que le moyen mouvement n, qui intervient dans D, w et (NI - n), présente une variation séculaire, proportionnelle à h. Il apparaît ainsi un terme en fi en plus des termes en J 4 , J 6 , etc. On rappelle que, si J 2 est de l'ordre de 10- 3 , les termes J 4 , J 6 , .•. , sont de l'ordre de 10- 6 , comme l'est Ji. Voir les équations (7.15) à (7.17) et le tableau 7.1.

6.5. Résultat du traitement des perturbations (cas général)

187

Variations périodiques et séculaires À partir de (6.87), on obtient R en fonction de cinq paramètres orbitaux (puisque D n'intervient pas) :

R = R(a, e, i, w, J'vI) Le potentiel R se décompose en une somme de termes Rn, relatifs à chaque terme J n . On considère les équations de Lagrange (tableau 6.2). On montre que: (1) si un terme Rn ne dépend ni de NI ni de w, il provoque une variation de l'élément orbital concerné proportionnelle au temps, dite variation séculaire; (2) si un terme Rn dépend de w, mais pas de NI, il Y aura une variation dont la période sera de l'ordre de celle de la précession apsidale, dite variation périodique à longue période; (3) si un terme Rn dépend de w et de J'vI, il Y aura une variation dont la période sera de l'ordre de la période képlérienne, dite variation périodique à courte période. En résumé, les variations périodiques sont divisées en variations à courte période, correspondant à la période de NI, et variations à longue période, sur une durée de l'ordre de quelques dizaines de jours (rv 1 000 T), correspondant à la période apsidale de w. Ces dernières variations sont principalement dues à l'influence du terme h qui affecte surtout e et les éléments angulaires. Il n'y a pas de perturbation à longue période du demi-grand axe a. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de l'invariabilité des grands axes et est applicable à de nombreux types de mouvement en astronomie (voir Notes astronomiques un peu plus loin). Les variations séculaires sont des variations proportionnelles au temps. Ce sont bien entendu les variations de ce type qui écartent le satellite de son orbite képlérienne. Nous avons vu que le terme h provoque les écarts séculaires des trois éléments orbitaux angulaires, sans effet sur les éléments métriques. Les autres harmoniques zonaux, mais pairs uniquement, J4, J 6 , ... , h p , •.• , contribuent aussi aux écarts séculaires (tableau 7.1). La figure 6.4 donne la représentation schématique de l'ensemble des variations périodiques et séculaires pour les éléments orbitaux.

Exemple 6.1 Calcul du résultat des perturbations dans le cas du potentiel terrestre développé jusqu'au terme J 3 . Variations à longue période. ~ Le potentiel R est donné par (6.88). Nous venons de voir qu'on peut l'écrire sous la forme R = (Rs + R p ) + R3, si on arrête le développement au degré 3. Le terme Rs (a, e, i) est donné par la relation (6.67). Le terme Rp (a, e, i, w, NI) va créer des variations à courte période que nous ne détaillerons pas. Le terme R3 est donné par (6.89). Ce terme R 3(a,e,i,w) va créer des variations à longue période que nous allons calculer.

188

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

Puisque 8R3/8M = 0 et 8R3/8n = 0, les équations relatives aux éléments métriques, les trois premières équations de Lagrange (tableau 6.2), deviennent:

da = 0 dt

de dt

1

di dt

na 2

1 ~

cos z sini

On en déduit la relation:

. de 1 - e2 = ---tanz (6.93) di e qui est équivalente à (6.85) lorsque a est constant (ce qui est pratiquement toujours le cas dans les mouvements étudiés en astronomie). Pour calculer la variation provoquée sur i par R3, on part de (di/dt) ci-dessus, on dérive R3 par rapport à w et on remplace /-i par n 2 a 3 . On obtient:

-

(6.94) Pour connaître la variation à longue période sur i, due à l'harmonique zonal h, on exprime (di/dw), en utilisant pour w la valeur calculée par (6.76) : di = di ~ = dw dt dw

.!.. di

wdt

=

.!. __e_ J 3

2 1 - e2 J2

(!i) a

cosi cosw

La valeur cherchée est donc, l'indice [LP3] signifiant longue période due à l'harmonique zonal h : A • 1 e h LlLP3Z = - - - - cosz SlnW (6.95) 21 - e 2 h a

(R) ..

Pour obtenir la variation correspondante sur e, on utilise la relation(6.93) en prenant (LlLP3e/LlLP3i) pour (de/di) : (6.96) Inversement, la mesure de ces valeurs LlLP3 i et LlLP3 e permettent de mesurer la valeur de h (voir Note historique en fin de chapitre). Remarque importante. Pour les orbites quasi circulaires (e ~ 10- 3 ), on remarque avec (6.95) et (6.95), ou directement avec (6.93), que: (6.97)

À cause du facteur e, la variation de l'inclinaison LlLP:] i est négligeable devant celle de l'excentricité LlLP3e (sauf cas des orbites équatoriales) .....

Exemple 6.2 Calcul de la variation des paramètres orbitaux sur une révolution. ~ On rappelle que p est le paramètre de l'ellipse, avec p = a(1- e 2 ). Ces variations sont notées avec l'indice [1] pour bien marquer qu'il s'agit d'une valeur obtenue sur une révolution. Les variations (séculaires ou périodiques à longue période) sont suffisamment lentes pour qu'on puisse éviter l'intégration selon le temps t : il suffit de multiplier par T = (2 K/n), la dérivée par rapport à t de la grandeur considérée.

6.5. Résultat du traitement des perturbations (cas général)

189

Les variations périodiques sont négligeables devant les variations séculaires, pour les éléments angulaires. Par contre, ces variations périodiques sont « visibles» pour les éléments métriques, privés de variation séculaire. Éléments angulaires. On écrit Lhf? = nT et Lhw = wT, ces angles étant, bien entendu, en radians. Au premier ordre, on prend pour et wles valeurs données respectivement par les relations (6.75) et (6.76), en fonction d'un seul terme, J 2 , pour le développement du potentiel terrestre:

n

(6.98) (6.99)

Éléments métriques. Le cas de a est vite réglé puisqu'on peut considérer a comme nul (invariabilité des grands axes). Pour les expressions de é et i, on utilise (6.94) et (6.93). Nous ne considérons que le premier terme (en J 3 ) du développement. On obtient pour les variations sur une période: Lha

0

Lhe

-37f h

Lhi

+37f h

(6.100)

G~r (1 - 2 ( 1 - =15 G~r (1 =15 . 2-) e)

e

-

sm z

sin 2) i sin i cosw cosz. cosw

(6.101 ) (6.102)

L'inclinaison critique joue un rôle important pour Lhw, Lhe et Lhi . ...

6.5.2

Cas du potentiel terrestre complet

Lorsqu'on considère le potentiel terrestre U(r, À, 1jJ) donné par la formule (3.17), le calcul des effets du potentiel perturbateur R est extrêmement complexe. Nous signalerons simplement l'existence de phénomènes de résonance orbitale : certains coefficients tesséraux GZ m et SZm, définis par (3.20) et (3.21), ont, pour une orbite particulière, une influence qui dépasse de beaucoup celle des coefficients d'ordre et de degré inférieurs ou supérieurs. Pour ces valeurs, les perturbations périodiques ont une relativement grande amplitude. Un formalisme, développé par W. Kaula, permet de prévoir les résonances associées à ces orbites particulières. Ce phénomène de résonance est très sensible pour les satellites phasés sur un jour, c'est-à-dire dont le nombre v de tours par jour est entier. Les harmoniques tesséraux dont l'ordre est un multiple de v doivent être pris en compte dans les extrapolations d'orbite (détermination très précise de la position du satellite à un instant donné à partir de ses éléments osculateurs). Ce sont ceux d'ordre 2, 4, 6, ... pour les satellites en orbite moyenne, qui font exactement deux révolutions par jour (v = 2), que l'orbite soit circulaire, comme pour Navstar/GPS, ou fortement elliptique, comme Molnya 12 ; ce 12Pour Molnya, les coefficients harmoniques tesséraux à l'influence particulièrement importante sont : C22, C32, C52, C44, C54, C64, C66, C76, C86, C98 et Sim correspondants.

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

190

Source de perturbation Gravitation terrestre Atmosphère Gravitation luni-solaire

Var. séculaire grande petite ind.

il,w

-

Var. périodique modo petite e

i, il, w

-

a, e, i, il, w

-

a, e

i

il,w

-

-

-

-

il,w

6.3 : Résumé des sources de perturbation et de l'effet (variation séculaire ou périodique) induit sur les cinq éléments orbitaux a, e, i, il et w, pour un satellite en orbite basse. Abréviations: indirecte (ind.), modérée (mod.). D'après la théorie de King-Hele.

TABLEAU

sont les harmoniques d'ordre 1, 2, 3, ... pour les satellites géosynchrones1 3 . De manière plus générale, ce phénomène intervient pour tous les satellites phasés (v est rationnel: au bout d'un certain nombre de jours, le satellite repasse sur sa trace - question étudiée en détail plus loin). Par exemple, pour les satellites SPOT, v = 14 + 5/26, on note une résonance pour les termes tesséraux d'ordre 15 et 29.

6.5.3

Autres forces perturbatrices dérivant d'un potentiel

Le potentiel gravitationnel d'origine non terrestre est dû, pour sa presque totalité, au potentiel luni-solaire. Les éléments a et e ne sont pas affectés par des variations séculaires. Les divers éléments orbitaux subissent de légères variations de longue période. Pour certaines orbites, on note une très légère dérive séculaire de [2. Ces résultats sont résumés dans le tableau 6.3, pour un satellite en orbite basse.

6.5.4

Forces perturbatrices ne dérivant pas d'un potentiel

Le frottement atmosphérique affecte d'autant plus le satellite que l'orbite est basse. On montre que e tend à diminuer (le frottement, plus important au périgée qu'à l'apogée, amène l'orbite à se rapprocher de l'orbite circulaire) et que a décroît (on comprend que les frottements tendent à faire retomber le satellite sur la Terre). Les autres éléments ne sont pas notablement affectés de manière directe. Mais la variation de a et e, qu'on peut considérer comme proportionnelle au temps t (variation séculaire), induit une variation 13Pour un satellite géostationnaire, aux harmoniques tesséraux d'ordre 1 (C31, C41 et Sn correspondants) sont associées les périodes de résonance de 24 h et 48 h, à ceux d'ordre 2 (C22, C32, C42 et Sl2 correspondants), les périodes de 12 h, 24 h, 36 h, 48 h.

6.5. Résultat du traitement des perturbations (cas général)

191

des paramètres angulaires qui est rapidement prépondérante 14 par rapport aux variations périodiques car elle est proportionnelle à t 2 (pour les variations en t 2 , voir aussi, au chapitre 10, la dérive de l'heure locale et l'exemple 10.7). Les forces induites par la pression de radiation (solaire et terrestre) ont aussi des effets sur la variation des éléments orbitaux (tableau 6.3). L'effet du frottement atmosphérique sur l'évolution de a est traité dans l'annexe frottement atmosphérique un peu plus bas. Dans le cas où l'accélération perturbatrice YP ne dérive pas d'un potentiel, on peut utiliser un repère lié à l'orbite, sur lequel on décompose le vecteur. On aboutit alors à un système d'équations appelées équations de Gauss. Nous n'exposons pas cette méthode qui sort du cadre de cet ouvrage.

6.5.5

Différentes définitions de la période

Les trois angles associés au mouvement képlérien, les anomalies v, E et l'v!, augmentent de 21f lorsque le temps augmente de (21f ln), n étant le moyen mouvement. L'origine de ces angles, comme le montrent les équations (4.64) et (4.56), est prise à l'instant t = t p de passage au périgée. L'intervalle de temps entre deux passages successifs au périgée est appelé période anomalistique 15 . C'est donc la période anomalistique, notée Ta, qui est obtenue avec le moyen mouvement n, différente de la période T o obtenue avec le moyen mouvement képlérien no. On a la relation de définition:

n Ta Avec n = no

+ L1n,

=

no T o

(6.103)

calculé par (6.77), on obtient

Ta

=

(1 - ~n) o T

(6.104)

14Soumis au mouvement de précession de vitesse angulaire il, le nœud ascendant a pour longitude st :

st

=

+ il t

sto

=

sto

+ il(ao, eo, io) t.

On démontre que le frottement atmosphérique, lorsqu'il est faible, introduit une décroissance séculaire de a et e, l'inclinaison i restant pratiquement inchangée. On écrit la valeur de ces paramètres variables en fonction du temps t : a = ao - il t e = eo - e t i = io. La longitude du nœud ascendant est donc en fait st' :

st' = sto

+ il(a, e, io)

t.

Avec un développement limité au premier ordre, on écrit:

A( ao - a. t ,eo - e. t , ZO ') = Je A( ao, eo, to ') -

Je

ce qui donne :

st'

=

st -

(an oa il + an oe e)

(an. oa a t + an· oe e t)

t2

soit, en notant bD la quantité entre parenthèses dans la formule ci-dessus:

st' - st

=

-(bD) t 2 .

Pour l'argument du périgée, un raisonnement identique conduit à : w' - w = - ( bw) t 2 . 15L'adjectif anomalistique est dérivé de «anomalie », les trois anomalies étant nulles (modulo 27r) au périgée.

192

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

On veut aussi connaître l'intervalle de temps entre deux passages au nœud ascendant (ou au nœud descendant). Il représente la période nodale ou période dmconitique 16 , notée T d . La différence avec Ta provient du mouvement du périgée, la précession apsidale et cela, notons-le bien, même dans le cas d'une orbite circulaire, puisque w ne s'annule pas avec e. On a la relation: (6.105) où nd est le moyen mouvement compté avec le nœud ascendant pour origine. La composition des mouvements donne: (6.106) ce qui permet d'obtenir une période en fonction de l'autre: Td

1 - - - . Ta

+(1 +~)

1 Ta

(6.107)

W

n

Td

(6.108)

La période draconitique Td s'exprime en fonction de la période képlérienne Ta par: .dn 1-n Ta (6.109) Td = w 1+ n ou en première approximation : (6.110) Avec cette approximation et pour une orbite circulaire, avec e = 0 dans (6.76) et (6.77), on obtient: (6.111) Pour i = 60° et i = 120°, on remarque que la période draconitique Td est égale à la période képlérienne Ta. 16L'adjectif draconitique est, à l'origine, utilisé pour la période ou le mois draconitique, relatif au passage de la Lune à son nœud ascendant. Ce mot vient du grec a opaxw\I, OYWç, signifiant «dragon» (littéralement: «qui regarde fixement» ). Les éclipses ne se produisent que lorsque la Lune passe à un nœud de son orbite. Dans l'Antiquité, les Grecs pensaient que, lors d'une éclipse, la Lune était avalée par un dragon, caché au voisinage des nœuds de l'orbite lunaire.

6.6. Annexe: étude du frottement atmosphérique

193

En résumé, la période Ta intervient principalement pour calculer le demigrand axe de l'orbite. Pour tout ce qui est relatif au mouvement du satellite par rapport à un repère lié à la Terre, c'est la période draconitique T d qui intervient. Dans le cas du mouvement képlérien, il n'y a pas de raison d'opérer des distinctions entre ces périodes, qui sont toutes évidemment confondues.

6.6 6.6.1

Annexe: étude du frottement atmosphérique Présentation de l'atmosphère terrestre

L'atmosphère terrestre peut être partagée, selon des critères physiques, en zones liées à l'altitude, appelées sphères. En utilisant pour critère le gradient vertical de température, on distingue en partant du sol, la troposphère et la stratosphère qui concernent en gros les 50 premiers kilomètres, la mésosphère jusqu'à 100 km, puis la thermosphère et l'exosphère. La partie basse (moins de 200 km) n'intéresse les satellites que pour des questions de transmission de signal, ce que nous étudions au chapitre 14 à propos des satellites de navigation (GPS). Avec pour critère la proportion relative des constituants chimiques majoritaires, on distingue l'homosphère et l'hétérosphère, la séparation se situant vers 100 km d'altitude. Dans l'homosphère, par suite des mouvements de brassage, l'atmosphère reste homogène vis-à-vis de ses constituants chimiques (du moins ceux qui ne sont pas soumis à une photochimie) quelle que soit la pression. L'air que l'on respire au bord de la mer ou au sommet de l'Himalaya est toujours constitué de 78% d'azote N 2 , 21% d'oxygène O 2 et 1% d'argon Ar. Au-delà de 100 km d'altitude, à cause de la raréfaction de l'air et de la température élevée (agitation moléculaire très forte avec libre parcours moyen très grand pour les particules), la proportion entre les constituants change complètement et devient dépendante de leur masse. Entre 160 et 600 km, c'est l'oxygène monoatomique 0 qui est le gaz prédominant, au-delà, c'est le domaine des plus légers des atomes, hélium et hydrogène, He (majoritaire jusqu'à 2 000 km) et H. Dans le cadre de l'étude du mouvement des satellites, on s'intéresse au domaine 200 km - 1 200 km d'altitude. Avec des passages à moins de 200 km, la trajectoire du satellite est vite catastrophique. Avec une orbite au-delà de 1 200 km, les effets du frottement atmosphérique sont négligeables, même sur une longue période (d'autres phénomènes dissipatifs comme la pression de radiation solaire sont plus importants).

194

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

6.6.2

Densité atmosphérique

Pour l'étude du frottement atmosphérique, la grandeur fondamentale est la masse volumique de l'air. Généralement appelée densité atmosphérique, elle est notée P et mesurée en kg·m -3 (cette expression peut être considérée comme fautive, à strictement parler, car la densité n'est pas une masse volumique). La masse volumique en fonction de l'altitude se calcule facilement, dans une atmosphère au repos et isotherme, selon les lois de la thermodynamique et se présente sous forme d'une fonction exponentielle: p(h) = Po

(6.112)

e-(h/H)

où Po est la masse volumique à l'altitude de référence Zo et où h = z - Zo représente la différence d'altitude. La grandeur H, homogène à une longueur, est le facteur d'échelle, dont le calcul classique donne

H=p:'T

(6.113)

Mg

où 91 = 8.31 (u. SI) est la constante des gaz parfaits, T la température (K), IVI la masse molaire (kg) moyenne des constituants, g la valeur du champ de pesanteur (m·s- 2 ). Au niveau de la mer, à une température de 15° C et à la pression de 1 013 hPa, on a:

T

=

273 + 15

=

288 K

IVI

=

(4/5) 28

La valeur de p est donc: Po = (29/22.4) x (273/288) Le calcul du facteur d'échelle donne: H = (8.31 x 288)/(29 10- 3 x 9.81) = 8413 m

+ (1/5) 32 "-' 29 g =

1.23 kg.m- 3 . soit H "-' 8.4 km

À une altitude de 8 km environ, la masse volumique est divisée par le facteur e, nombre d'Euler, par rapport à celle au niveau de la mer et est donc égale à p = 0.44 kg.m- 3 . Bien que pour l'atmosphère réelle on s'éloigne plus ou moins des conditions requises pour l'établissement de l'équation (6.112), cette formule donnant p(h) peut être appliquée dans la plupart des cas, l'expérience ayant montré qu'elle restait satisfaisante. Dans le domaine d'altitude qui nous intéresse ici (200 -1200 km), pour une altitude donnée, la densité atmosphérique est très dépendante de l'activité solaire et sa variation est guidée par plusieurs cycles de périodes différentes: - un cycle de Il ans, connu depuis longtemps, mis en évidence par la mesure des taches solaires (depuis 1749); au décompte des taches, on préfère maintenant (depuis 1947) un critère plus objectif avec la mesure, dite FlO.7, de l'émission par le Soleil de l'onde radio de 10.7 cm de longueur d'onde; les

6.6. Annexe: étude du frottement atmosphérique

195

dernières années de maximum sont 1968, 1980, 1991, 2002; le prochain est en 2013; - un cycle annuel, lié aux saisons; - un cycle de 27 jours lié à la période synodique de rotation du Soleil sur lui-même; - un cycle journalier, avec un maximum pour p vers 15 heures locales (TTSM) et un minimum 12 heures après. De plus, la densité atmosphérique dépend de la latitude du point considéré.

6.6.3

Modèles atmosphériques

Devant une telle complexité, la démarche logique a été de créer des modèles d'atmosphère. Les premiers datent des années 1960 et 70, développés par Jacchia (J65, J71, ... ) aux États-Unis, Hedin et Barlier (DTM78) en Europe. Les modèles actuels (JB2006, DTM2007, MSIS-90 et NRLMSIS, ... ), héritiers en ligne droite des pionniers, reflètent évidemment le développement exponentiel du calcul informatique. Sans entrer dans les détails, ils permettent d'obtenir la densité atmosphérique comme une fonction de l'altitude h, de l'heure locale TTSM, du jour de l'année J, de la latitude .1jJ :

pi(h, TTSM, J,1jJ)

avec

i = 1,2, ... , n

(6.114)

l'indice i étant lié à l'activité solaire (i = 1 pour une année d'activité minimale, i = 2 maximale, i = 3 moyenne, etc.). On peut se faire une idée des valeurs de p avec le tableau 6.4.

6.6.4

Calcul du frottement atmosphérique. Notion de ..d V

Considérons un satellite en orbite terrestre. Sa vitesse dans le référentiel galiléen iR est notée V, sa vitesse par rapport à l'atmosphère est notée Vc, (si l'atmosphère est immobile, sans vent, Vc, est égal à V', vitesse par rapport au référentiel terrestre iRT ). Notons S la section (surface) du satellite perpendiculairement à son déplacement. Dans un temps dt, la masse dm d'air, de masse volumique p, rencontrée par le satellite est : dm = p S Va dt

(6.115)

La quantité de mouvement (impulsion) dp correspondante est: dp

=

Va dm

=

p S V; dt

et la force de frottement F est donc :

F

=

dp dt

=

p

S V2 a

(6.116)

196

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

p (kg m- 3 )

h (km)

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Activité minimale N J 10- 9 9.8 9.8 1.8 2.1 10- 10 1O- 11 0.5 1.1 12 100.5 1.6 13 100.4 2.0 1.0 3.9 10- 14 0.4 1.0 10- 14 2.4 4.3 10- 15 1.6 2.4 10- 15 9.6 17.0 10- 16

H (km)

Activité maximale N J

9.8 3.2 2.6 5.0 8.5 20. 5. 17. 7. 42.

9.8 3.7 4.7 12.0 31.0 100. 31. 110. 43. 200.

10- 9 10- 10 1O- 11 10- 12 10- 13 10- 14 10- 14 10- 15 10- 15 10- 16

A. min. N J

6 33 45 53 60 76 134 213 325 418

6 38 53 61 67 76 96 139 215 309

A. max. N J

6 43 57 70 75 82 93 114 153 217

6 49 68 80 89 96 105 116 134 165

TABLEAU 6.4 : Densité atmosphérique représentée par la masse volumique p, en fonction de l'altitude h, pour une activité solaire minimale et maximale, selon la nuit (N) ou le jour (J). On a noté aussi le facteur d'échelle H. Les valeurs sont moyennées sur les latitudes et les saisons. Modèle MSIS-90.

Pour tenir compte de la nature du choc des molécules d'air sur la surface du satellite, on multiple cette valeur de F par un coefficient 17 , noté ~ Cd. On obtient: (6.117) Ce coefficient de frottement Cd, sans dimension, varie entre 1.5 et 3.0, selon la forme du satellite. On démontre qu'il est égal à 2 pour une sphère. Cette force de frottement F, qu'on peut noter vectoriellement : (6.118) a pour effet de freiner le satellite de masse NIs. En appliquant le principe fondamental de la mécanique, on obtient: F

d V= Ms dt

1 S 2 dV = - - Cd pV 2 NIs ct

On pose:

B=Cd

S Ms

-

(6.119)

(6.120)

Ce coefficient B, appelé coefficient balistique, mesuré en m 2 . kg-l, caractérise 17I! est amusant de noter que le terme (1/2) qui affecte Cd n'a pas d'autre justification que de faire ressembler cette formule (6.117) aux autres formules de ce type, comme celle de l'énergie cinétique - pour laquelle le terme (1/2) est d'origine mathématique.

6.6. Annexe: étude du frottement atmosphérique

197

le satellite par rapport aux frottements 18 : plus B est grand, plus il y a de frottement. Par exemple, pour un satellite « standard», avec NIs = 500 kg, S = 10 m 2 , Cd = 2.3, on aB = 0.046 m 2 ·kg- l et (l/B) = 21.7 kg·m- 2 . On a l'habitude de noter .1 V, dit Delta V dans le milieu de la technologie spatiale, la variation de vitesse (souvent en valeur absolue), durant un temps fini T : P V~ dt 2 Si .1V est calculé sur une révolution, nous le noterons .1 1 V. .1V

=

~ B fT

Jo

(6.121)

Cas très simplifié

On calcule la valeur de .1 V ainsi que la variation, sur une révolution, du demi-grand axe a et de la période T dans le cas d'un satellite en orbite circulaire. On considère que la densité atmosphérique est constante sur une révolution et égale à Po. On confond Va avec V et on se place dans le cas képlérien. La Terre est sphérique. On a donc, puisque 2 Ir a = V T : (6.122)

.1 1 V = Ir B Po a V En différentiant V

=

VIL/a, on a da/a

=

-2IrBpoa, on obtient:

.1 1 a = -2Ir B Po a 2

(6.123)

De même pour la période, avec dT /T = (3/2)da/ a : 2 a2 .1 l T = -6Ir B Po V

(6.124)

Exemple 6.3 Calcul de la baisse d'altitude quotidienne, pour un satellite de type SPOT. ~ Pour un satellite de type SPOT, avec B = 0.046 et a = 7200 km, qui effectue environ 14 révolutions par jour, on trouve, en appliquant (6.123) : .1 J a = 14 .1 1 a = -2 1O- 14 p en notant .1 J la variation de a sur un jour. On peut donc estimer la baisse d'altitude par jour, à partir des valeurs de p à 800 km d'altitude:

Activité solaire

calme moyenne forte très forte

p p p p

3 10- 15 1 10- 14 = 5 10- 14 = 1.5 10- 13 = =

.1 J a .1 J a .1 J a .1 J a

= = = =

-0.6 m -2.0 m -10 m -30 m

Ces résultats donnent des ordres de grandeur pour fixer les idées .... 18pour minimiser ces effets, le satellite Starlette, passif (donc sans alimentation), est une sphère recouverte de 60 réflecteurs laser. Son cœur est en uranium (densité 18.7). Masse du satellite: 47 kg, diamètre: 48 cm. Avec Cd = 2, on a E = 7.70 10- 3 et (1/ E) = 130 kg.m- 2 .

198

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

Amélioration des modèles atmosphériques

Les satellites CHAMP, GRACE-A et -E, GOCE sont munis d'accéléromètres « 3 axes» très sensibles, qui mesurent l'accélération af et permettent ainsi de piloter les forces de compensation. D'après (6.117) et (6.118) : (6.125) On connaît af, B et Va; on obtient ainsi la valeur de p en continu. La sensibilité des accéléromètres est en progression pour les satellites cités : 10- 9 m·s- 2 pour CHAMP, 10- 10 pour GRACE, 10- 12 pour GOCE.

6.6.5

Influence du frottement sur l'orbite

Les modèles analytiques de propagation d'orbite utilisent des méthodes proches de celle qui est présentée ici. Avec le logiciel Ixion, les caractéristiques du satellite étant bien définies, nous calculons à chaque instant, avec un pas de quelques secondes qui peut être variable, la position du satellite, son altitude géodésique, sa vitesse par rapport à la Terre. Si le modèle atmosphérique fournit la vitesse du vent, on calcule le vecteur Va, sinon li. Avec p, lié à l'altitude, au lieu et à l'instant, on calcule la force de frottement F, par (6.117), pour chaque pas d'intégration. En reprenant les équations du mouvement avec cette force F, nous calculons analytiquement, par la théorie de King-Hele, il et ë, les dérivées temporelles du demi-grand axe a et de l'excentricité e. Le calcul des autres paramètres est complexe: la variation de i est extrêmement faible, les variations périodiques sur [2 et w sont masquées par leur variation séculaire. On en déduit la trajectoire modifiée, en continu. Ou bien, si la trajectoire est maintenue, on en déduit la quantité L1 V nécessaire à ce maintien.

6.6.6

Calculs simplifiés pour une orbite excentrique. Aérofreinage

La notion de L1 V est très importante en ingénierie spatiale, pour la gouvernance des missions. Si le frottement atmosphérique entraîne un certain L1 V, inversement, une quantité L1 V permet de compenser le frottement ou de réaliser des manœuvres de changement d'orbite. Pour les responsables techniques, la quantité L1 V cumulée sur l'ensemble de la mission est directement traduite en quantité de combustible. Alors que les calculs de L1 V (méthodes analytiques ou numériques) sont très lourds, la méthode suivante permet de calculer avec simplicité la quantité L1V, sur une période, dans le cas des orbites elliptiques. L'idée de base est que pratiquement tout le frottement se produit au voisinage du périgée, à cause de la décroissance exponentielle de p avec l'altitude, relation (6.112). Pendant ce temps, relativement bref, la vitesse V du satellite

6.6. Annexe: étude du frottement atmosphérique

199

peut être considérée comme constante, égale à Vp , vitesse au périgée 19 . On considère dans ce cas la planète sphérique et on néglige sa vitesse de rotation ainsi que la vitesse du vent par rapport à la vitesse du satellite (au voisinage du périgée). On a donc, avec (4.45) :

Va = V = Vp =

I +e Vfii.~ V1-e

On considère aussi, ce qui est très réaliste, que a et e ne varient pas sur une révolution. On désigne par Z l'altitude du satellite et zp, celle lors de son passage au périgée; la valeur de P au périgée est notée Pp et H est le facteur d'échelle à cette altitude. Sur la durée d'une période T, la valeur de .1 V, notée .1 1 V, est donnée par :

l

~

1 + e j+T/2 exp (_ Z - ZP) dt a 1- e -T/2 H (6.126) En utilisant l'anomalie excentrique E, on obtient les relations suivantes:

.1 1 V

= -1

2

B

T P V 2 dt =

0

r

=

2

B Pp

!!..

a(l - e cos E) zp

Z -

=

rp=a(l-e)

r - rp

=

a e(l - cosE)

L'intervalle de temps pendant lequel se passe le frottement est très court et centré autour du passage au périgée. Dans ce cas, les anomalies NI et E sont très petites devant 1. On peut donc écrire:

E2

!vI = E - e sin E "-' E (1 - e)

1- cosE ,,-,2

On obtient ainsi E en fonction de l'vI et donc

Z -

zp en fonction du temps:

E=l~e=~l~et Z-

zp = a e

E2

1

"""2 = "2 IL

e

a 2 (1 _ e)2 t

Z - zp 1 IL e 2 --=---t H 2 Hr~

(6.127) 2

(6.128) (6.129)

19Par exemple, avec un satellite de type Molnya, hp = 200 km, e = 0.75, a = 26 313 km, T = 708 min, avec un passage au périgée h = 200 km, ri = 1.031, à l'instant t = 0, le passage à l'altitude h = 600 km, TJ = 1.091, se fait à l'instant t = 346 s. Le satellite a donc passé 2 x 346 = 692 s = 11.5 min dans les couches d'atmosphère comprises entre 200 et 600 km, ce qui represente 11.5/708=0.016, soit 1.6% du temps durant une révolution. La différence relative de vitesse du satellite entre les deux points considérés est: -dV/V = (2 - TJ)-l (dr/r) ~ (1 + e)-l (dh/r) = 0.033 soit 3.3% et on peut donc considérer la vitesse comme constante. Le rapport des densités atmosphériques entre 600 et 200 km d'altitude est 10- 4 .

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

200

On rappelle la valeur de l'intégrale de la fonction gaussienne:

1

+00

-00

exp ( -0; x 2 ) dx =

fi

V~

Au cours d'une révolution de période T, comptée entre t = - T /2 et t = le frottement n'agit véritablement qu'au voisinage de t = O. Que l'intégration d'une quantité liée au frottement soit faite, pour une période, dans le domaine [-T/2 ; +T/2] ou dans le domaine]- 00 ; +oo[ ne change rien au résultat. On peut donc écrire:

+T /2,

1T/2 +

-T/2

exp

(Z - Zp) ---H

et finalement : L1 1 V =

dt =

1

+00

-00

exp

(1

e t - - -IL- 2 2Hr p

ln ~-2 B Pp vii l+e ye

Y

2) dt

~

H

(6.130)

(6.131)

Cette formule est remarquablement simple, car elle ne fait intervenir que la géométrie de l'ellipse (avec e), le facteur d'échelle H et la masse volumique Pp au périgée. Le demi-grand axe a, qui intervient indirectement dans la période T et l'altitude du périgée, qui intervient pour Pp, n'apparaissent pas explicitement. On peut l'appliquer tant que la durée de frottement « efficace» autour du passage au périgée est petite devant la durée de la période. Cette durée efficace L1t e ff est définie par :

Pp L1t e ff =

j

+T/2

-T/2

P dt

(6.132)

Avec les hypothèses retenues, le calcul donne: L1t e ff

_

----;y- -

/H 1 - e V~ ye

(6.133)

Si on pose la condition (L1teff/T) < 0.1, avec H = 50 km, a = 26500 km, on obtient la contrainte: e > 0.03

~

équation (6.131) applicable

L'intérêt majeur de cette formule apparaît lors de l'étude du freinage atmosphérique qui est une technique de circularisation de l'orbite, plus utilisée sur Mars que sur la Terre 20 . C'est d'ailleurs dans l'optique de missions sur Mars 20Pour les satellites en orbite terrestre, cette méthode est envisagée pour la transformation d'orbite GTO en orbite LEO, dans le cas de satellites passagers (donc sans beaucoup d'autonomie en combustible) d'une mission principale GEO.

6.7. Note historique: premières déterminations des harmoniques J n

201

que nous l'avons établie. Nous avons comparé les valeurs de .1 1 V ainsi obtenues avec celles fournies par les intégrations numériques pas à pas en utilisant un modèle atmosphérique (MCD-LMD). L'erreur ne dépasse pas 5%.

6.7

N ote historique : premières déterminations spatiales des harmoniques zonaux J n

C'est grâce au suivi (principalement visuel, à l'aide de télescopes spécialisés) des premiers satellites que les astromones, après avoir déterminé les orbites exactes, calculèrent les premiers coefficients des harmoniques sphériques zonaux. Nous en retraçons ici brièvement l'histoire. Pour les astromones américains, le télescope utilisé était la caméra BakerNun, du nom de ses deux inventeurs (figure 6.5).

6.7.1

Première détermination de J 2 par satellite

Les « bip-bip» de Spoutnik-1 surprirent la Terre entière. Le temps que les scientifiques concernés réagissent ... et 1957Œ (nom du satellite avec la classification de l'époque - abandonnée à partir du 1er janvier 1963) avait déjà brûlé dans l'atmosphère terrestre. Avec Spoutnik-2 (1957;3), les mesures purent commencer. En utilisant 33 observations visuelles, prises dans le ciel de Tchécoslovaquie entre le 7 décembre 1957 et le 21 mars 1958, l'astronome E. Buchar réussit à déterminer le mouvement du nœud ascendant de l'orbite:

il

=

-2.9007 ± 0.0046

degré par jour

Les éléments métriques du satellite étaient déterminés : aiR = 1.1127, e = 0.0731 eti = 65.29°. On connaît ainsi la période et le moyen mouvement: T = 99.2 min et n = 1.0556 10- 3 rad S-l. Avec la relation (6.75) on obtient la valeur de h : J 2 = 2.9007/2675.0 = l.0844 10- 3

On obtient l'aplatissement

f par (3.33), la première équation de Clairaut:

f

=

3

h + ma 2

(6.134)

avec ma défini par (3.34) et dont la valeur est connue. Buchar obtient ainsi: (1/1)

=

297.7 ± 0.3

En affinant les résultats de Spoutnik-2, D. King-Hele donne, peu après, le résultat: (1/1) = 298.1 ± 0.1

202

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

6.5 : Télescope caméra Baker-Nunn pour le suivi des satellites. Installation de la caméra du SAO (Smithsonian Astrophysical Observatory) sur la base de Woomera (Australie), en janvier 1958. Document: NASA, Woomera Space Centre.

FIG.

Les estimations de (1/1) n'ont ensuite pratiquement plus bougé, alors qu'avant 1958 (tableau 2.1), elles s'étalaient entre 293 et 300.

6.7.2

Première détermination de J 3 par satellite

Si la valeur du coefficient J 2 est déterminée à l'aide de la variation séculaire de D, celle de h, par contre, fait appel à la variation à longue période de e. La première détermination de h fut effectuée par J. A. O'Keefe à partir d'observation de l'orbite de Vanguard-1 (1958;32)' L'excentricité e variait de manière sinusoïdale, sur une période d'environ 80 jours, correspondant au cycle de la ligne des apsides, de durée 27r / lu, avec une amplitude .de : .de = (42 ± 3) 10- 5 . En début de mission, les caractéristiques orbitales étaient: hp = 654 km, ha = 3969 km, a = 8681 km, e = 0.1090 i = 34.25°, T = 134.2 min. On calcule le mouvement du périgée: lu = 4.40° par jour, soit un cycle de 82 jours. L'amplitude de la variation de e est 1.d LP3 el lorsqu'on prend w = 90° dans (6.96). On obtient, avec .dLPse = .de = 42 10- 5 : J 3 = -2 h

(!!...) R

~ sm'{

Cette valeur est proche de 3.2.

6.7.3

h

.dLP3 e = -4.8424 =

h

.dLP3 e

~

-2.2 10- 6

-2.54 10- 6 , valeur donnée dans le tableau

Premières déterminations des J n , jusqu'à J 14

En 1963, Y. Kozai, par l'observation de 9 satellites américains 21 lancés entre 1959 et 1962, détermine les 14 premiers coefficients des harmoniques 21 Les orbites de ces satellites avaient une large plage d'inclinaison, de 28° à 95°. Par ordre chronologique: 1959a (Vanguard-2), 1959r) (Vanguard-3), 1960L2 (fusée du lancement de Echo-1), 1961v (Explorer-12), 19610 (Transit-4A), 1961Œ<1I (Midas-4), 1962m (Discoverer34), 1962j3M (ANNA-lB), 1962j3v (Relay-1). Toutes ces orbites étaient déterminées par un suivi à l'aide des caméras Baker-Nunn.

6.8. Note historique: succès du calcul des perturbations

203

zonaux ln. Pour cela, il néglige les variations à courte période et considère que toutes les variations à longue période sont modulées par le mouvement du périgée (c'est-à-dire qu'elles varient comme w). Pour les éléments métriques, à partir de (6.78), il écrit: e

eo

'io

+ Ae sinw + Ai sinw

(6.135) (6.136)

où Ae et Ai représentent des coefficients uniquement fonction des éléments métriques a, e, 'i et des harmoniques zonaux ln et pouvant donc être considérés comme constants sur quelques révolutions. En se limitant à l'ordre 3, les valeurs de Ae sinw et Ai sinw sont données respectivement par les relations (6.96) et (6.95). Pour les éléments angulaires, partant de (6.79), il ajoute la variation périodique à la variation séculaire :

+ fl t + An cos w Wo + fl t + Aw cos w Do

w

(6.137) (6.138)

En connaissant la dépendance théorique des coefficients Ae, Ai, An et Aw avec les 14 premiers ln, les observations fournissent des dizaines d'équations qui sont résolues numériquement.

6.8

Note historique: succès du calcul des perturbations

Deux astronomes, Clairaut au XVIIIe siècle, Le Verrier au XIX e , connurent un grand succès avec leurs résultats obtenus en appliquant les calculs de perturbations. Au XX€ siècle, Einstein résolut le « mystère» de l'avance du périhélie de la planète Mercure.

6.8.1

Le retard du retour de la comète de Halley

En 1705, l'astronome Halley 22 décrit, dans Cometogmphia, les orbites de 24 comètes. En s'appuyant sur la nouvelle théorie de Newton, il calcule leurs éléments orbitaux. Il affirme que plusieurs comètes, aux éléments identiques, ne sont en fait qu'une seule et même comète, dont la période est de 76 ans. 22 Edmund Halley (1656-1742), astronome anglais. Resté célèbre pour la découverte de la périodicité d'une comète, Halley était un scientifique universel. Il séjourna à SainteHélène pour dresser la première carte du ciel austral. Au cours de ses voyages en bateau, il établit une carte détaillée de la déclinaison magnétique, mesura la période du pendule en fonction de la latitude, s'intéressa aux courants marins, étudia la répartition des vents pour obtenir un ancêtre des cartes météorologiques. Halley traduisit de l'arabe plusieurs livres de géométrie d'Apollonius de Pergé, dont la version originale en grec avait disparu.

204

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

Après un passage en 1682, il prédit un nouveau passage en 1758 pour cette comète qui portera plus tard le nom de Halley. À l'approche de ce retour prévu, le monde astronomique est en éveil. En 1757, le mathématicien astronome Clairaut suppose que Jupiter créera une perturbation importante sur la comète. Il veut en calculer les effets 23 avant la date annoncée. Il s'adjoint les services de deux jeunes astronomes, Jérôme Lalande 24 et Nicole-Reine Lepaute, connus pour leurs talents de calculateurs. Après un travail épuisant et « contre la montre», ils annoncent que, par suite de la perturbation gravitationnelle de Jupiter et de Saturne, la comète ne passera pas à son périhélie en novembre 1758, comme prévu par le défunt Halley, mais en avril 1759 (avec une incertitude d'un mois). En fait, elle y passera le 13 mars 1759. Ces calculs, exposés par Clairaut dans Théorie du mouvement des comètes (1760), confirmèrent avec force la théorie de Newton. Rappelons que la théorie des perturbations de Lagrange sera publiée 28 ans plus tard.

6.8.2

La découverte de Neptune par Le Verrier

La plus spectaculaire des applications de la théorie des perturbations fut la découverte d'une nouvelle planète, Neptune, par Le Verrier 25 • La planète Uranus est découverte en 1781 par Herschel. En 1844, Le Verrier étudie son orbite (sur un arc de 270 0 : la période est de 84 ans et la découverte ne date que de 63 ans 26 ) et relève un léger désaccord avec les calculs. Il suppose qu'à la perturbation due aux autres planètes s'ajoute l'effet 23« Même si Clairaut avait voulu supposer, à l'exemple de Halley, qu'il était permis de négliger l'action de Jupiter sur la comète dans les années où ces astres étaient à grandes distances l'un de l'autre, il n'aurait pas tardé à revenir sur cette persuasion. En effet, les premiers calculs lui firent voir que, même lorsque la comète est le plus éloigné de Jupiter, son orbite ne manque pas d'être encore troublée, surtout par l'action de Jupiter sur le Soleil; parce que Jupiter, déplaçant le Soleil d'une petite quantité, donne à l'orbite de la planète un foyer différent. Clairaut détermina de façon fort élégante toutes ces actions. » (Pierre Brunet, La vie et l'œuvre de Clairaut, 1952.) 24Joseph Jér{Jme Lefrançais de Lalande dit Jér{Jme Lalande (1732-1807), astronome français. Il se fit remarquer très tôt par la précision de ses observations, comme pour la mesure de la parallaxe de la Lune (1751), de la parallaxe solaire à l'occasion du transit de Vénus, en 1761 et 1769. Il étudia aussi la rotation du Soleil et la forme de la Terre. Il fut très célèbre en son temps (<< le premier astronome médiatique» !), reconnu pour son talent d'enseignant et de vulgarisateur scientifique. Reconnu aussi pour son athéisme affiché (<< On ne sait rien. On croit aux miracles, aux sorciers; on a peur du tonnerre, des araignées et à plus forte raison on croit en Dieu. »). 25 Urbain Le Verrier (1811-1877), astronome français, reste avant tout célèbre pour sa découverte mathématique de Neptune. Il se consacra ensuite à la théorie du Système solaire et à l'établissement des éphémérides. Voir aussi la note Delaunay. Un ouragan détruisit, le 14 novembre 1854, une partie de la flotte française et alliée, en conflit en Crimée. Le Verrier, comprenant que cette tempête avait traversé l'Europe d'ouest en est, mis sur pied le premier réseau de stations météorologiques, dès 1855. 26En fait, Le Verrier utilise aussi des observations plus anciennes, car les astronomes ont réalisé que la planète Uranus avait été déjà repérée dans le ciel, depuis 1690, mais en tant qu'étoile. Il utilise, pour ses calculs, 7 observations antérieures à 1781 et 26 postérieures.

6.8. Note historique: succès du calcul des perturbations

205

d'une planète inconnue, encore plus lointaine. Il se lance dans les calculs de perturbation en considérant les hypothèses suivantes sur la planète « troublante» : - elle est dans le plan de l'écliptique; - le demi-grand axe de son orbite est donné par la « loi» de Titus-Bode (avec n = 7, on a a = 38.8 ua). Les autres paramètres orbitaux et la masse sont traités comme des grandeurs inconnues. Leur valeur est obtenue par résolution d'un système de 33 équations, chacune correspondant à une observation. En août 1846, il annonce avoir localisé la planète (a = 36.15 ua, e = 0.108, distance au Soleil = 33.06 ua - pour la théorie de Titus-Bode et les paramètres orbitaux de Neptune, voir chapitre 16). Il donne les coordonnées précises et, le 23 septembre 1846, l'astronome Galle indique qu'il a repéré, avec son télescope de l'Observatoire de Berlin, une nouvelle planète, exactement à l'endroit indiqué 27 . Elle sera nommée peu après Neptune. Le succès 28 de Le Verrier rejaillit sur l'astronomie et toutes les sciences. Arago a cette phrase célèbre: «M. Le Verrier vit un nouvel astre au bout de sa plume ». Par la suite, Le Verrier fut moins heureux pour expliquer l'avance du périhélie de Mercure en utilisant la théorie des perturbations, comme nous voyons ci-dessous.

6.8.3

L'avance au périhélie de Mercure

En 1859, Le Verrier étudia l'effet des perturbations sur la planète Mercure, à partir d'observations faites depuis l'année 1697 (et principalement 397 observations méridiennes faites à l'observatoire de Paris entre 1801 et 1842). L'orbite de Mercure a une excentricité importante, e = 0.2056. La mécanique newtonienne, par le calcul de l'effet perturbateur des autres planètes, permet de calculer le mouvement de son périhélie (précession apsidale). Par le calcul de toutes les perturbations planétaires, Le Verrier arriva à un résultat de 531" par siècle. Or les mesures donnent 574", soit un écart de 43". L'astronome américain Simon Newcomb obtint, en 1882, les mêmes résultats. Pour se rendre compte de la précision des mesures de l'époque (tableau 6.5), il faut mettre en rapport ces 43" avec la valeur de la constante de la précession des équinoxes de la Terre, qui est de 5 026" par siècle tropique (car la valeur mesurée depuis la Terre est la somme de tous ces effets). En 1889, F. Tisserand termine son monumental Traité de Mécanique Céleste en écrivant que l'avance au périhélie de Mercure est la plus grande 27Et 60 182 jours après cette date, Neptune a effectué une révolution complète: le 2 juillet 2011, la planète est située exactement où Galle l'a observée pour la première fois. 28L'astronome J. C. Adams déclara avoir obtenu les mêmes résultats, à la même époque. Mais la confirmation n'en fut jamais clairement établie. Cet épisode semble appartenir à la rivalité entre scientifiques français et anglais.

206

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

Planète

Perturb.

Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Autres

277.8 90.0 2.5 153.6 7.3 0.2

Total

531.4

Catégorie

Perturb.

Planètes Équinoxes

531.4 5025.6

Total Observé

5557.0 5599.7

Différence

42.7

6.5 : Liste des causes de la précession du périhélie de Mercure et valeur des perturbations, en secondes d'arc par siècle.

TABLEAU

énigme astronomique de l'époque. Il réfute toutes les explications en cours: - Le Verrier avait tenté d'expliquer ce désaccord par la présence d'une planète hypothétique entre Mercure et le Soleil, dont le nom était déjà trouvé (Vulcain) ; - Newcomb y voyait pour cause l'éventuelle non-sphéricité du Soleil; - Hall allait jusqu'à remettre en cause la loi de la gravitation en proposant une force d'attraction gravitationnelle en T-2.000000151. On voit à quel point cette avance inexpliquée était une énigme pour les plus brillants astronomes. F. Tisserand conclut par: «On peut penser que les attractions des corps célestes ne peuvent se transmettre à distance que par l'intermédiaire d'un milieu. Mais on ne connaît rien encore sur ces modes de transmission. » C'est Einstein 29 , en 1916, qui donnera l'explication, en appliquant sa nouvelle théorie de la relativité générale. En écrivant l'équation du mouvement dans ce cadre (équation des géodésiques - trajectoires - planétaires à partir de la métrique de Schwarzschild), 29 Albert Einstein (1879-1955), physicien allemand (puis suisse, puis américain). Il entre avec éclat, l'année 1905, annus mirabilis, dans le monde académique de la physique, avec trois publications fondamentales (et révolutionnaires) : le mouvement brownien (taille des molécules), l'effet photoélectrique (nature corpusculaire de la lumière) et la relativité restreinte (modification de la mécanique newtonienne, équivalence matière-énergie). Les trois articles paraissent dans Annalen der Physik, dont le directeur est Max Planck. Il développe ensuite, à partir de 1915, la théorie de la gravitation et la relativité générale: les «équations du champ» sont des équations différentielles qui décrivent le comportement du champ gravitationnel (métrique de l'espace-temps) en fonction de son contenu en matière et énergie. L'espace d'Euclide doit être remplacé par l'espace de Riemann, espace « courbé» par les masses qui s'y trouvent. Les théories d'Einstein sont à la base de la physique moderne.

6.8. Note historique: succès du calcul des perturbations

207

on remplace l'équation classique (4.24) par: (6.139) où C est le moment cinétique par unité de masse et c la vitesse de la lumière. Cette équation (6.139) est une équation différentielle en u, variable de Binet, qui n'a pas de solution analytique. Comme le terme ajouté, lorsqu'on passe de (4.24) à (6.139), est très petit devant l'unité, on cherche une solution de la forme u = Uo + U1, où Uo est solution de l'équation classique (newtonienne) et U1 un terme correctif, faible, correspondant à la perturbation. On pose:

s«l Les calculs donnent r = l/u :

U1

et sa combinaison avec

r(8) =

a(l - e2 )

Uo

(6.140)

amène au résultat pour

1 + e cos [(1 - s)8 - 80 l

(6.141)

à comparer avec (4.42).

Avec (4.27), on écrit s = 3'L/(C2 p). Deux passages successifs au périhélie déterminent les angles polaires 81 et 82 . On a ainsi:

soit: (6.142) qui est noté .d1w dans la relation (6.12). Pour Mercure 3o , on obtient: .d 1w = 5.0344 10- 7 rad. La planète Mercure effectuant 414.2 révolutions par siècle, on a finalement: .dw = 414.2 .d1w = 2.0853 10- 7 rad =43" Les mesures actuelles donnent pour cet écart : .dw = 42.980 ± 0.002 secondes d'arc. 30Uavance au périhélie se rencontre aussi pour les autres planètes, mais elle est d'autant plus faible que la planète est éloignée du Soleil (elle va moins vite dans un référentiel copernicien) : 8".63 par siècle pour Vénus, 3".84 pour la Terre, 1".35 pour Mars. Pour la Lune, dans son mouvement par rapport à la Terre, elle est de 2" par siècle. Toutes ces valeurs peuvent se calculer avec la relation (6.12).

208

6.9 6.9.1

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

Note astronomique: perturbations et Système solaire La question de la stabilité du Système solaire

Invariabilité des deIlli-grands axes des orbites planétaires

En appliquant la loi de la gravitation universelle fraîchement établie, Newton notait, en 1687, que chaque planète, dont l'orbite est déterminée par l'attraction du Soleil, doit nécessairement attirer toute autre planète, même si cette interaction est très faible. Il écrivait : «à force de perturbation, le système nécessitera une reformation ». Pour cela, il comptait sur une intervention divine, le créateur devant remettre les choses en ordre le moment venu. En s'appuyant sur les observations des Chaldéens (du deuxième siècle av. JC), transmises par Ptolémée, Halley calcula que Jupiter se rapprochait du Soleil pendant que Saturne s'en éloignait. Euler, en 1752, et Lagrange, en 1774, s'attaquèrent à ce problème. Leurs résultats étaient contradictoires (et erronés tous les deux), mais ils marquèrent le début des calculs de perturbations. Laplace 31 reprend les calculs en 1776. Il démontre que le demi-grand axe de chaque orbite est constant: a n'a pas de terme séculaire, au moins au premier ordre du développement des perturbations. Il en déduit que le Système solaire est stable pour un million d'années. Il calcule que la quasi résonance 31 Pierre Simon de Laplace (1749-1827), mathématicien, astronome et physicien français. En remarquant que tous corps observables dans le Système solaire tournent dans le même sens (il comptait 29 révolutions ou rotations de planète et de satellite, en plus de la rotation du Soleil) et en s'inspirant des observations faites par Herschel sur les nébuleuses, il élabore un premier système cosmogonique, dans Exposition du système du Monde (1796 pour la première édition, 1824 pour la 5e ) : le Système solaire et les autres astres de l'univers proviendraient de la condensation d'une nébuleuse primitive (c'est l'hypothèse toujours retenue dans les théories actuelles). Une rotation de cette nébuleuse, en même temps que le refroidissement de l'ensemble, aurait engendré des anneaux successifs dans un même plan (écliptique), qui auraient donné naissance aux planètes et aux satellites, le noyau central devenant le Soleil. Dans Mécanique céleste (1798 pour la première édition, 1825 pour la 6 e ), il reprend toutes les théories élaborées depuis Newton. « M. Arago avait une anecdote favorite. Quand Laplace eut publié sa Mécanique céleste, disait-il, l'empereur Napoléon le fit venir. L'empereur était furieux. - Comment, s'écria-t-il en apercevant Laplace, vous faites tout le système du monde, vous donnez les lois de toute la création et dans tout votre livre vous ne parlez pas une seule fois de l'existence de Dieu! - Sire, répondit Laplace, je n'avais pas besoin de cette hypothèse. » (Victor Hugo, Choses vues, éd. en 1887) En deux siècles, de Kepler à Laplace, les relations entre les astronomes et le divin avaient beaucoup changé! Laplace établit aussi des résultats fondamentaux en mathématiques (fonctions harmoniques, équations différentielles, probabilités) et en physique (électromagnétisme, thermodynamique).

6.9. Note astronomique: perturbations et Système solaire

209

5:2 entre les moyens mouvements de Jupiter et Saturne entraîne une oscillation de la longitude de Saturne de 46'50", avec une période de 900 ans. Il retrouve ainsi les valeurs données par Halley. Pour Laplace, cette stabilité des grands axes est une affirmation définitive des lois de Newton. Poisson, en 1890, montre que a n'a pas, non plus, de terme séculaire au second ordre.

EXPOSITION TRAITÉ

DU

DE

SYSTÈME DU MONDE,

MÉCANIQUE CÉLESTE, PAR P. S. L APL ACE, Membre de l'Institut nationfll de France, et du Bureau des Longitudes.

TOME

PAR M. LAPLACE, Cl.ancdier du. Sénat-Con~rvateur. Grand-Officier de la L':gio'll d'HQlllleUr; Membre Je "Institut el tlLl Bureau des LOhgituJ~s {le France; des Sociétés roy~les de Londres et de Gotlingue; des Académies des Scien«s de Russie, de Dautm.lrcJ.. 1 de Suède. d'ILalie, etc,

PREMIER.

TROISIÈME ÉDITION,

DE L'IMPRIMERIE DB CRAPELET,

PARIS, Chez J. B. M. DUPRAT, Libraire pOl.1f

1.,

Mathematiques,

Chez

COVilC1EIl,

quai~Augu.til1'.

Imprimeur- I.wrai["l.'i pour les ~lathématlquc5 , q11ai des Augustins, n' 57.

1808,

FIG.

6.6 : Les deux ouvrages fondamentaux de Laplace en astronomie.

Stabilité du Système solaire

Le Verrier, en 1856, estime que, pour que les résultats de Laplace restent valables sur un temps très long, il faut considérer les développements d'ordre supérieur. Poincaré 32 comprend que la méthode suggérée par Le Verrier est incorrecte : il démontre, dès sa thèse passée en 1879, que les termes des développements en série utilisés dans la méthode des perturbations ne convergent pas dans l'intervalle de temps considéré. Pour un système dynamique à trois corps 32 Henri Poincaré (1854-1912), mathématicien français. Il étudia les changements de variables qui conservent la forme canonique des équations de la mécanique (avec la formulation de Jacobi). Il parvint ainsi à des résultats très nouveaux Sur le problème à trois corps et les équations de la dynamique (1889). Il développa ce travail dans son ouvrage

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste (1899).

210

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

et plus, il montre que la solution dépend fortement des conditions initiales elle est chaotique (théorie du chaos). Ensuite, vers 1960, le problème est étudié sous l'angle de la théorie KAM (Kolmogorov, Arnold, Moser). À partir de 1990, J. Laskar, de l'Observatoire de Paris, met en place des méthodes adaptées à la puissance montante du calcul informatique. Pour ses simulations numériques, il considère des conditions initiales 33 très légèrement différentes les unes des autres. Dans ses derniers résultats (2010), il montre que dans 99% des cas le Système solaire est stable sur 5 milliards d'années (5 Ga), c'est-à-dire sans collision. Dans 1% des cas, il y a instabilité: Mercure, par son excentricité accrue, entre en collision avec le Soleil ou Vénus et déstabilise l'orbite de toutes les planètes intérieures (jusqu'à Mars). Le Système solaire a connu une grande période d'instabilité peu après sa formation (premier milliard d'années), due certainement à une migration des planètes géantes. Ensuite, les 8 planètes principales étant en place, il est resté pratiquement stable.

6.9.2

Précession des équinoxes

Un modèle simplifié de l'ellipsoïde terrestre est donné par une sphère munie d'un « bourrelet» équatorial. La masse de ce bourrelet, uniformément répartie sur l'équateur, est telle que les moments d'inertie par rapport à un diamètre équatorial, Ix et par rapport à l'axe polaire, Iz, soient les mêmes que pour l'ellipsoïde. Cette méthode est utilisée classiquement pour calculer en première approximation la précession des équinoxes. Si la Terre était une sphère formée de couches concentriques homogènes, l'action gravitationnelle exercée par les astres du Système solaire (principalement la Lune et le Soleil) se réduirait à une force passant par son centre. Le mouvement de la Terre serait un mouvement uniforme autour d'un axe fixe. Le plan équatorial serait alors fixe par rapport au plan de l'écliptique. La droite d'intersection de ces deux plans, la ligne des nœuds (dite ici ligne des équinoxes), serait donc fixe par rapport à un référentiel copernicien. On considère le modèle de Terre à renflement. Comme le mouvement de précession cherché est très lent comparé à la révolution de la Lune ou à la révolution apparente du Soleil autour de la Terre, on peut remplacer la Lune et le Soleil par une distribution de masse équivalente le long de leur orbite considérée comme circulaire, dans le plan de l'écliptique (ce qui est une approximation pour la Lune), selon la méthode de Gauss 34. On montre (théorie 33Les conditions initiales sont les positions des corps du Système solaire à l'instant présent. J. Laskar a considéré 2500 conditions très voisines. Il a montré que l'erreur de position est multipliée par 10 tous les 10 millions d'années (10 Ma). Ainsi, une erreur de 15 mètres devient 1500 km après 50 Ma et 1 ua (unité astronomique) après 100 Ma. 34En 1818, Gauss expose, dans un mémoire sur les perturbations séculaires du mouvement d'une planète soumise à l'action d'une autre planète, la méthode qui consiste à remplacer le corps perturbateur par un tore obtenu en répartissant la matière de ce corps le long de sa trajectoire.

6.9. Note astronomique: perturbations et Système solaire

211

du mouvement de Lagrange et Poisson avec approximation gyroscopique) que le moment des forces gravitationnelles exercé par la distribution de masse de la Lune et du Soleil sur ce bourrelet équatorial entraîne un mouvement de l'axe de rotation de la Terre, l'angle entre le plan équatorial et de l'écliptique restant fixe. Cet angle, noté E, est l'obliquité. La ligne des nœuds varie dans le sens opposé au sens de rotation de la Terre (sens rétrograde). Ce mouvement, très lent à l'échelle humaine (un tour en 25800 ans, soit 50/1.29 par an, la Lune intervient pour 34/1 et le Soleil pour 16/1), est appelé précession des équinoxes. Le moment, donc la vitesse de précession, est proportionnel à la différence des moments d'inertie (Ix - Iz), liée au terme J 2 . La vitesse de précession est aussi proportionnelle à cos E. La précession des équinoxes est connue depuis l'Antiquité, grâce à Hipparque 35 . Précession de la ligne nodale du satellite Avec ce même type de raisonnement, on peut calculer de mamere approchée le mouvement de précession de l'orbite circulaire d'un satellite. On considère un satellite en orbite circulaire autour de la Terre munie de son bourrelet équatorial. On répartit la masse du satellite uniformément sur sa trajectoire (la vitesse de précession est en gros le dix millième de la vitesse angulaire de révolution du satellite) et on calcule le moment des forces d'origine gravitationnelle entre ces deux anneaux. On montre alors que le plan de l'orbite subit un mouvement de précession, l'angle entre les plans de l'orbite et de l'équateur terrestre (l'inclinaison i du satellite) restant constant. On calcule le moment des forces gravitationnelles, puis la vitesse de précession D, qui est proportionnelle à (Ix - Iz), donc à J 2 et à cosi.

6.9.3

La Terre vue comme un satellite

Éléments orbitaux de la Terre On peut faire un parallèle entre un satellite artificiel autour de la Terre et la Terre vue comme un satellite du Soleil. Il faut d'abord noter la différence fondamentale entre les deux problématiques: - le satellite artificiel est considéré comme ponctuel par rapport à la Terre et son mouvement képlérien est perturbé principalement par l'aplatissement 35 Hipparque de Nicée (Ile s. av. JC), a "Imw:pxoç, ou, astronome grec. Par ses observations réalisées à Rhodes, il fut le premier astronome à faire des mesures véritablement précises de la position des étoiles, qu'il repéra sur la sphère céleste avec les méridiens et les parallèles. Il introduisit en Grèce la pratique babylonienne de diviser le cercle en degrés, minutes, secondes. On peut le considérer comme le créateur de la trigonométrie. Il inventa la projection stéréographique. Il découvrit la précession des équinoxes en comparant ses mesures de localisation des étoiles avec celles faites par Timocharis un siècle et demi plus tôt et aussi avec celles de Babyloniens, bien avant. Les travaux d'Hipparque ne sont connus que de manière indirecte, mentionnés par le géographe Strabon et l'astronome Claude Ptolémée.

212

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

du corps attracteur (terme h de la Terre) ; - la Terre, satellite du Soleil, ne peut pas être supposée ponctuelle, mais doit être considérée comme un solide en rotation (son axe polaire de rotation définit le plan équatorial), dont la non-sphéricité (terme J 2 de la Terre) induit des perturbations. Le Soleil est sphérique 36 . À ces perturbations s'ajoute celle de la Lune. Examinons les éléments orbitaux képlériens de la Terre. - a est le demi-grand axe de l'orbite terrestre, as = 1 unité astronomique; - e est l'excentricité de l'orbite, e = 0.0167; - i est représenté ici par E, l'obliquité, entre le plan de l'écliptique (plan orbital de la Terre) et le plan équatorial de la Terre; - [2 est l'angle entre la ligne des nœuds (ligne des équinoxes, direction du point vernal) et une origine arbitraire, fixe par rapport aux étoiles; - west l'angle entre la direction du point vernal et le périhélie (actuellement, la Terre passe au point vernal le 21 mars et au périhélie le 3 janvier, dates du calendrier grégorien définies à un jour près) ; - l'effet sur l'v! - nt n'est pas abordé ici. Variation des éléments orbitaux

L'effet des perturbations se manifeste sur ces éléments de la manière schématisée en figure 6.4. On néglige les variations à courte période. (a) Éléments métriques Pour ces éléments, il n'y pas de variation séculaire: - invariabilité du demi-grand axe a (stabilité des grands axes, étudiée par Laplace, Poisson, Poincaré, voir ci-dessus) ; - variation à longue période pour e et E; e varie entre 0.005 et 0.050 avec une période de 100 000 ans; E varie entre 22° et 25° avec une période de 40 000 ans. (b) Éléments angulaires Pour ces éléments, il y a variation séculaire pour [2 et w; [2 a un cycle 37 rétrograde de 25 800 ans, soit D = -50".29 par an, appelé précession des équinoxes; w a un cycle direct de 110000 ans, soit LÜ = 11".6 par an. Ces variations sont schématisées (figure 6. 7( a» pour chaque élément orbital, avec les valeurs de période ou de cycle notées ci-dessus. Le temps est en abscisses, avec pour unité le kilo-année (1 ka = 10 3 an). L'origine du temps est prise arbitrairement à l'instant où la valeur de chaque élément est sa valeur moyenne. 36Les théories actuelles placent la valeur h du Soleil à 2 10- 7 environ. 37Nous appelons cycle la durée de temps au bout de laquelle le point de l'orbite considéré (le point vernal ou le périgée) se retrouve dans la même position par rapport à un référentiel copernicien. Le cycle est lié à une variation séculaire. Pour les mouvements à longue ou courte période, nous parlons de période.

6.9. Note astronomique: perturbations et Système solaire

213

a e

i

\ \; \ \; \ \, \ \, \ \ \ \, \ \ \ \, \ \, \ \ \ \ \. \ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ~-y '-Y' ~.

·

-Y'-Y'

· : : · : :

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1

1

1

1

(ka) o

1

50

100

150

200

1

250

1

300

1

350

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1

400

1

450

1

1

500

550

1

600

0.015

0.02

0.0

Inclinaison (anglais : Ti ll, notée T)

24.11

23.3

22.0 -0.07 -0.02

0.04

Composition des 3 signaux ETP

2.7 0.0

-2.7

o

i

100.

i

200.

,

300.

,

400.

l

Il00.

,

Il00.

i

700.

1

Il00.

Age (10 3 ans)

6.7 : Théorie des paléoclimats de Milankovitch. (a) Schéma de variation des éléments orbitaux de la Terre, en fonction du temps t (en kilo-année) : a (variation nulle), e et i (v. périodique), n et w (v. séculaire). (b) Valeurs obtenues par des calculs astronomiques précis. Variation des éléments métriques e et i. Variation de P, le paramètre climatique noté ici Précession. Document : T. J. Crowley et G. R. North, Paleoclimatology, Oxford Univ. Pr.,. C. Langlois et B. Urgelli, Planet-terre, ENS Lyon.

FIG.

214

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

Théorie de Milankovitch des paléoclimats C'est sur la combinaison de ces périodes (100 et 40 ka) et de ces cycles (26 et 110 ka) qu'est basée la théorie de Milankovitch (établie entre 1924 et 1940), qui explique la succession des périodes chaudes et froides (âges glaciaires) du climat passé de la Terre. Reprise par A. Berger à partir de 1980, cette théorie a eu une éclatante confirmation expérimentale avec l'analyse des bulles d'air piégées dans les glaces du Groenland et de l'Antarctique (sur une durée de 800 000 ans avec un forage de 3 260 mètres). Dans la théorie de Milankovitch, la variable principale est P, le paramètre climatique, défini par: (6.143) P = e sinwo où Wo représente la position du périgée par rapport à l'équinoxe de printemps (nœud ascendant ou point vernal) : Wo = w - D

(6.144)

Rappelons que les deux angles w et D sont définis dans des plans différents (qui font un angle i = c, obliquité). Leur différence, notée Wo et appelée précession climatique, est l'élément significatif dans le comportement du climat. La vitesse de précession climatique Wo fait donc intervenir les différences algébriques des deux vitesses de variation séculaire f2 et w :

Wo =

w - f2 =

11".6 + 50".29 = 1'1".35

par an

(6.145)

ce qui correspond à un cycle de 21 ka. La figure 6. 7(b) présente les variations de e, i et du paramètre P calculées avec précision.

6.10 6.10.1

Annexe: constantes astronomiques Les systèmes d'unités

Le système international (SI) Le système international d'unités (SI) est basé sur les unités de base liées aux sept grandeurs suivantes: longueur (mètre, m), masse (kilogramme, kg), temps (seconde, s), intensité de courant électrique (ampère, A), température thermodynamique (kelvin, K), quantité de matière (mole, mol), intensité lumineuse (candela, cd). Nous rappelons la définition (et l'année d'application) de l'unité de chacune des trois premières grandeurs (qui sont les seules qui interviennent en mécanique céleste) : - unité de longueur, le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299 792 458 seconde (1983) ; - unité de masse, le kilogramme est l'unité de masse égale à la masse du

6.10. Annexe: constantes astronomiques

215

prototype international du kilogramme en platine iridié conservé au Bureau International (1889, 1901) ; - unité de temps, la seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de césium 133 (1967). Le système d'unités astronomiques

Les unités de base du système astronomique sont les suivantes: - unité de longueur, unité astronomique (ua), demi-grand axe d'une orbite que décrirait autour du Soleil une planète de masse négligeable, non perturbée, dont le moyen mouvement est égal à k radians par jour, k étant la constante de Gauss, les unités de temps et de masse étant celles du système astronomique; - unité de masse, la masse du Soleil (Ms) ; - unité de temps, le jour (j). La correspondance de ces unités avec les unités SI s'établit ainsi: 1 ua

1.4959787061 10 11 m

IMs

1.9889 1030 kg

1j

86400 s

On note les unités auxiliaires pour le temps: l'année julienne (égale à 365.25 jours) et le siècle julien (égal à 36525 jours). La durée de l'année ou du siècle n'est pas liée au calendrier grégorien. La durée du jour n'est pas liée à la rotation de la Terre (qui n'est pas strictement uniforme).

6.10.2

Les constantes astronomiques

Les constantes astronomiques sont classée en trois catégories: constantes de définition, constantes primaires et constantes dérivées. Les valeurs numériques de ces constantes sont données dans le tableau 6.6. Ce sont les valeurs dites !ERS 1992, du système défini en 1992 par le Service international de rotation de la Terre (International Earth Rotation Service, !ERS), avec quelques apports IAU 1994. On n'a noté que les constantes utilisées dans cet ouvrage. Constantes de définition

Les deux constantes de définition sont la constante de Gauss et la vitesse de la lumière. (a) Constante de Gauss On considère un corps de masse rn en interaction gravitationnelle avec le Soleil, de masse lvIs, dans le cadre du problème des deux corps. On considère de plus que rn est négligeable devant ]I;[s. Le moyen mouvement du

216

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

constante Constante de Gauss Vitesse de la lumiére Temps de lumière pour l'unité de distance Année sidérale (réf. quasar) Rayon équatorial de la Terre Facteur d'ellipticité géopotentiel de la Terre Constante géocentrique de la gravitation Rapport des masses (m. Terre) / (m. Lune) Obliquité de l'écliptique pour J2000 (2000 01 01 12 : 00) Vitesse angulaire moyenne de rotation de la Terre Unité de distance unité astronomique 1 ua = c tA Constante héliocentrique de la gravitation Rapport des masses (m. Soleil) / (m. Jupiter) Rapport des masses (m. Soleil) / (m. Terre) Rapport des masses (m. Soleil) / (m. Terre+Lune) Aplatissement de la Terre

Valeur

Unité SI

(*)

k = 0.017 202 098 95

c

299 792 458

=

m

S-l

tA = 499.004 783 806

s

365.25636

j

R

m

=

h

=

6 378 136.3 0.001 082 6362

Ji = 3.986 004415 10 14 Ji/ JiL = 81.300 59 EO

=

ID =

C

23° 26' 21" .4119 7.292 115 10- 5

tA = 1.495 978 706 91 10 11

fiS = 1.327 124 400 18 10 20

(s.d.) m 3 s -2 (s.d.) o

l

"

rads- 1 m m 3 s -2

Jis/JiJ = 1047.3486

(s.d.)

fiS / Ji = 332 946.045

(s.d.)

JiS / (Ji + JiL) = 328 900.56

(s.d.)

f

(s.d.)

=

1/298.257

6.6 : Constantes astronomiques. Dans l'ordre: constantes de définition, primaires et dérivées. Valeurs fERS 1992 et fA U 1994. Pour l'unité de la constante de Gauss, notée (*), voir texte. Valeur des masses des autres planètes : voir chapitre 16.

TABLEAU

6.11. Annexe: sphère d'influence

217

mouvement képlérien, de demi-grand axe aS, est donné par : ILS

n = -

a~

avec ILs = ç; !vIs

En utilisant le système d'unités astronomiques, as

=

1 et l'vIs

=

1, on pose:

k=n et ainsi, k, constante de Gauss, mesure le moyen mouvement, en radians par jour. Sa valeur est, par définition:

k

=

0.017 202 098 95

En exprimant les angles en degrés, k = 0.985 607 668 425. La dimension de k 2 est la même que celle de ç; :

Avec les unités du système astronomique, ua, !vIs et j, la constante k s'exprime 1/2 donc en ua 3 / 2 j-1. La valeur de ILS en unité SI est obtenue en exprimant 1 ua et 1 j en unités SI dans la relation : ILs = k 2 (1 ua)3 (1 j)-2

Ms

(b) Vitesse de la lumière La mesure du temps est actuellement beaucoup plus précise que celle de la longueur. En 1983, on a décidé de définir l'unité de longueur à partir d'une mesure de temps. La vitesse de la lumière est donc maintenant donnée comme valeur définie, sans marge d'erreur. En astronomie, la vitesse de la lumière est donc passée du statut de constante primaire à celui de constante de définition (en 1992). Constantes primaires et dérivées

Les constantes primaires sont déterminées à partir des observations. Les constantes dérivées découlent de relations simples utilisant les deux premiers types de constantes. Remarque. On note pour certaines de ces constantes, liées à la géodésie, comme R, h ou IL, une très légère différence entre ces valeurs (IERS 1992 et IAU 1994) et celles utilisées dans les modèles de géopotentiel.

6.11

Annexe: sphère d'influence

6.11.1

Attractions terrestre et solaire

Pour un satellite en orbite à faible altitude, on comprend facilement que son mouvement par rapport à la Terre est dû principalement à l'attraction de

218

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

la Terre, celle du Soleil étant extrêmement faible. Mais si l'altitude augmente, jusqu'où peut-on ignorer l'influence de ce troisième corps? On va définir dans ce qui suit le rayon d'une sphère à l'extérieur de laquelle on pourra admettre qu'un satellite de la Terre s'évade pour devenir un satellite du Soleil. Cette notion de sphère d'influence a été développée par l'astronome F. Tisserand 38. Considérons trois points A (Soleil), B (Terre), C (Satellite). La constante d'attraction est ILS pour le Soleil, IL pour la Terre. On considère le cas particulier où C est entre A et B, les trois corps étant alignés. On pose:

r

C B,

distance satellite-Terre

as as - r

AB, C A,

distance Soleil-Terre distance satellite-Soleil

On considère les variables réduites k et x (sans dimension)

r x=as

(6.146)

On note les relations : k » 1 et x « 1. Pour les valeurs des grandeurs astronomiques, voir l'annexe Constantes astronomiques et le tableau 6.6. Satellite près de la Terre

L'accélération principale est l'accélération centrale due à la Terre (mouvement képlérien) : ÎTo =

ÎGGG,

IL

notée ici

ÎTcJ)

(6.147)

r2

L'accélération perturbatrice, pour le satellite, est l'attraction différentielle notée ici ÎTl l due au Soleil:

ÎGS,

ÎT,

ILs

ILs

(6.148)

= (as - r )2 - -a2 s

Dans l'expression de ÎT" le premier terme se rapporte au satellite, le second à la Terre (puisque le Soleil agit sur le satellite et sur la Terre). Comme r est petit devant as, on obtient:

-1] [(1+-=-)2 as

",,2 IL; r

as

(6.149)

38 Félix François Tisserand (1845-1896), astronome français, poursuivit les travaux de Delaunay sur le mouvement de la Lune et contribua à l'établissement du Catalogue photographique de la carte du ciel. Il publia ensuite le Traité de mécanique céleste, en quatre volumes (1889-1896), dans l'esprit des travaux de Laplace. Voir la note historique concernant l'avance du périhélie de Mercure.

6.11. Annexe: sphère d'influence

219

Le rapport de ces accélérations est : QT = ÎT, = 2 ILs ÎTo IL

(~) 3 = as

2 k x3

(6.150)

Remarque. En faisant apparaître l'expression des périodes, on obtient: QT = 2 ILs /

a~

IL/r 3

Ta

2

=

(Ta) Ts

(6.151)

2

où est la période képlérienne du satellite autour de la Terre et de révolution de la Terre autour du Soleil (Ts = 1 an).

Tsla période

Satellite loin de la Terre Si un satellite (une sonde spatiale) est loin de la Terre, l'attraction terrestre devient petite par rapport à celle du Soleil. L'accélération centrale due au Soleil s'écrit: (6.152) car même dans ce cas, r est petit devant as. L'accélération perturbatrice pour le satellite est l'attraction différentielle due à la Terre: IL IL IL (6.153) ÎS, = r2 - a2 "-' r 2 Le rapport de ces accélérations est :

Qs -

6.11.2

s

~ (a s )2

ÎS, _ ÎSo -

ILS

r

__ 1_

(6.154)

- k x2

Détermination de la sphère d'influence

Sphère d'influence (définition de Tisserand) La sphère d'influence E est la sphère centrée sur la Terre dont le rayon PE est défini par le point de la droite Terre-Soleil tel que QT = Q s. On obtient:

(6.155) soit 39

(6.156) 39Cette démonstration est schématique dans la mesure où on considère le cas des trois corps alignés. La démonstration complète, par Tisserand, montre que la surface cherchée est donnée par : PE = PE(()) =

1 [( MsM)2 VI + 3cos -

2 ()

Ji"

as

l'axe polaire étant la droite Terre-Soleil, avec origine au centre de la planète. Avec () = 0, on retrouve la relation (6.156). Cette surface de révolution autour de l'axe polaire diffère

220

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

Pour la Terre, on trouve: PE = 5.4 10- 3 as = 0.81 10 6 km

PE = 126

R

compte tenu des valeurs numériques des grandeurs astronomiques ILs, constante héliocentrique de gravitation, et as, unité astronomique. On pouvait donc considérer T comme petit devant as. En fin d'ouvrage, nous appliquerons cette notion à d'autres planètes ou corps célestes que la Terre. Pour les planètes du Système solaire, les valeurs de PE sont données dans le tableau 16.2(b).

Sphère d'influence (définition simplifiée) Une autre définition de la sphère d'influence, notée 170 , est de prendre la condition QT = 1, ce qui correspond à (6.157) On a alors: (6.158) et pour la Terre : PEu =

11.4 10- 3 as

=

1.71 10 6 km

PEo R

=

269

Si on utilise la relation (6.151), la condition QT = 1 impose la valeur limite pour la période T o : To = Ts/h = 258 j Si la période du satellite est supérieure à 258 jours, ce satellite quittera l'attraction terrestre. On remarque que PEu est environ le double de PE. Pour une discussion sur ces deux valeurs, voir annexe Points de Lagrange.

6.12 6.12.1

Annexe: points de Lagrange Problème des trois corps restreint

L'étude des points de Lagrange entre dans le cadre du problème des trois corps restreint: un des corps (ici, le satellite) a une masse négligeable devant peu d'une sphère, puisque le rayon polaire varie d'un facteur 1 à 0.87 (= 2- 1 / 5 ). Les calculs de Tisserand ont été faits pour l'étude de la trajectoire des comètes à l'approche de Jupiter. « Si nous écrivons la condition d'égalité des rapports d'attraction, nous avons l'équation d'une surface pour tous les points de laquelle il y aura un égal avantage à considérer le mouvement héliocentrique troublé par l'action de Jupiter, ou le mouvement jovicentrique troublé par l'action du Soleil ». (Tr. méc. cél., Tome IV). L'égalité des rapports dont il s'agit est QT = Qs. Ce procédé avait été indiqué par D'Alembert, Laplace, Le Verrier. Laplace utilise l'expression sphère d'activité.

6.12. Annexe: points de Lagrange

221

i 1

FIG. 6.8 : Position schématique des 5 points de Lagrange. Les 5 points sont dans le plan de l'orbite de B autour de A (on considère la masse de B petite devant celle de A).

celle des deux autres. Les deux corps « massifs », A et B, tournent autour de leur centre de masse 0 (problème des deux corps) avec une vitesse angulaire constante 8. Un troisième corps C, «léger », est soumis à l'attraction gravitationnelle de A et B. Lagrange a démontré qu'il existe cinq positions particulières de l'espace pour lesquelles le corps C tourne autour de 0 avec la même vitesse angulaire 8. Dans cette situation, le point C est ainsi stationnaire dans un repère SoleilTerre. Ces cinq points, notés traditionnellement LI à Ls, sont appelés les points de Lagrange ou points de libration 40 (figure 6.8).

6.12.2

Étude simplifiée pour les points LI et L 2

Une étude schématique des phénomènes permet de trouver la position des deux premiers points de Lagrange dans le cas où la masse de B est petite 40Le nom libration vient du latin lib ratio, de libra, « la balance». La libration de la Lune est un mouvement complexe de balancement, autour de sa position centrale, composé d'une libration physique et d'une libration géométrique (en longitude, en latitude). C'est grâce à ce mouvement que nous pouvons voir, de la Terre, 59% de la surface de la Lune (au lieu de la moitié). Ce terme, généralement utilisé pour la libration lunaire (étudiée aussi par Lagrange), s'emploie également à propos des cinq points de Lagrange.

222

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

devant celle de A (ce qui est le cas habituel). Ces points d'équilibre sont instables. On reprend les notations utilisées ci-dessus dans l'annexe Sphère d'influence. Le centre de masse est en A. Le corps B tourne autour de A selon une orbite circulaire avec la vitesse angulaire constante On a, d'après la troisième loi de Kepler appliquée au corps B :

e.

(6.159) On considère un satellite C au point Li, proche de B, sur la droite AB. Le point LI est entre A et B, le point L 2 à l'extérieur. La distance de C à A est donc (as + cr), avec c = -1 pour LI, c = +1 pour L 2 . On écrit, pour chacun des points LI et L2' que la résultante des accélérations d'attraction est égale à l'accélération radiale. Il faut bien noter que la vitesse angulairé l de LI et L 2 est On projette sur l'axe AB et avec la notation c, on obtient:

e.

( as

ILs IL = (as + cre ) '2 + c r ) 2 + c2" r

(6.160)

En divisant membre à membre les équations (6.160) et (6.159), et en utilisant les variables réduites vues plus haut, définies par (6.146), on trouve: (

On développe (1

+ c X)2

1

l+cx

)2

1

+C k x-2 =

(1

+ c x)

au premier ordre en x puisque x

(6.161)

«

1 et on arrive à :

1 3 c xc::: c k x 2

La simplification par c montre que x a la même valeur dans les deux cas. Il est solution de : (6.162) ce qui donne pour les distances notées

PLi

(6.163) Exemple 6.4 Calcul de la position des points de Lagrange LI et L 2 pour divers systèmes astronomiques.

= 3.329 105 , soit 3 k c::: 106 , on a donc: distance [ centre Terre - point L I ,2 1 : PLi = 10- 2 as c::::: 1.5 10 6 km.

~ Pour le système Soleil-Terre, avec k

41 Si les corps placés en LI et L2 étaient en orbite képlérienne, les vitesses angulaires seraient différentes, puisque les deux distances au corps attracteur A sont différentes. Ils ne sont pas dans ce type d'orbite puisqu'on n'est pas dans le cas d'un problème à 2 corps, mais dans le cas d'un problème à 3 corps (restreint).

6.12. Annexe: points de Lagrange

223

Pour le système Terre-Lune, avec k = 81.3 et en remplaçant as par aL, rayon moyen de l'orbite lunaire, on trouve: distance [c. Lune - pt L I ,2] : PL;. = (243.9)-~ aL = 0.16 aL"" 6.10 4 km. Pour le système de Mars et sa lune Phobos, avec k = 5.05 10 7 et aL = 9.38 10 3 km, on obtient: distance [ centre Phobos - point L I ,2 ] : PL; = 1.88 10- 3 aL "" 17.6 km. Comme le rayon équatorial sub-planète de Phobos est de 13.4 km, les points LI et L 2 ne sont donc qu'à 4.2 km de la surface du sol de Phobos. ...

6.12.3

Points de Lagrange et sphère d'influence

On compare le rayon des sphères d'influence, centrées sur la Terre, avec la distance de la Terre aux points de Lagrange LI ou L 2 . On utilise les distances réduites x, notées Xl et Xo pour les sphères d'influence (avec les définitions respectivement de Tisserand ou simplifiée) et XL pour les points de Lagrange. On rappelle les trois relations : 2 k x~

En exprimant Xo

Xl

= 1.14 XL

et

Xo

en fonction de Xl =

1.35

=

3k

1

xi =

1

XL

xi 6

pour la Terre:

Xl

= 0.54

XL

Le point de Lagrange ne peut pas être à l'intérieur de la sphère d'influence (partie de l'espace ou l'attraction terrestre prédomine). On peut donc considérer que la définition simplifiée, donnant PE(n est un peu trop simplifiée ... En voici une illustration. Nous avons tracé (figure 6.1) les diverses accélérations en fonction de la distance au centre de la Terre. Lorsque les droites représentant l'attraction centrale (notée gM) et l'attraction différentielle due au Soleil (notée Soleil) se coupent (hors graphe), on a égalité entre les grandeurs données par (6.5) et (6.7), ce qui revient à écrire la relation (6.157). Ce point d'intersection (pour T / R = 269) permet d'obtenir le rayon PEo' En fait, pour ces valeurs de T / R, l'approximation de ÎCS par une droite n'est plus valable. Le véritable point d'intersection entre les deux courbes correspond à la valeur calculée pour PE, avec la définition de Tisserand. Nous avons mentionné la méthode simplifiée car c'est elle qu'on retrouve généralement exposée dans la littérature.

6.12.4

Les cinq points de Lagrange

L'étude complète, pour trouver les cinq points et les conditions d'équilibre, est beaucoup plus complexe et sort du cadre de cet ouvrage. La méthode classique consiste à écrire les équations dans le référentiel tournant autour de O. On arrive à deux équations: une concerne les trois premiers points, l'autre les deux derniers. La position des points est schématisée dans la figure 6.8 (où 0 est confondu avec A).

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

224

(a) Points LI, L 2 et L3 Ils sont situés sur la droite AB. On note a la masse réduite et X la distance relative, ainsi définies: J.L 1 a - ------ ---- J.L + J.Ls - 1 + k

AL 2 X = ___ AB

(6.164)

On obtient les trois valeurs possibles de X. Les deux premières pour LI et L 2 sont, avec a c::: (l/k), celles calculées plus haut, X = [1 ± (a/3)1/3]. La troisième, pour L3 est X = - [1 + (5/12) a]. Ces trois points d'équilibre sont instables. (b) Points L4 et L5 On démontre que les points L4 et L5 sont dans le plan de l'orbite de B autour de A et que les triangles ABL4 et ABL5 sont équilatéraux. La position de L4 et L5 ne dépend pas de la valeur des masses des corps A et B. On démontre de plus que ces positions sont stables à condition que la masse de A soit assez importante devant celle de B, à savoir au moins 25 fois plus grandé 2 . On appelle L4 le point qui précède le corps B dans sa révolution, L5 le point qui suit. Les coordonnées des 5 points de Lagrange sont résumées dans le tableau 6.7. Nous indiquons (tableau 6.8) les positions des points de Lagrange pour les systèmes Soleil-Terre et Terre-Lune. On remarque, pour ce dernier système, que le calcul exact de x donne 0.15 et 0.17 pour BLi alors que le calcul approché, fait dans l'exemple 6.4, donnait 0.16 pour ces deux mêmes points.

6.12.5

Points de Lagrange en astronomie

La théorie de Lagrange a eu une confirmation éclatante, en astronomie planétaire, avec la découverte d'astéroïdes aux points stables L4 et L5 du système Soleil-Jupiter. Le premier a été découvert en 1906, 588-Achille, en L4. Les suivants furent 617-Patrocle en L5, 624-Hector et 659-Nestor en L4. On connaît maintenant plusieurs centaines d'astéroïdes aux deux points stables 43 de ce système (figure 6.9). Ceux de L4 ont été appelés astéroïdes Grecs, ceux de L5 astéroïdes Troyens. La tendance actuelle est d'appeler troyens 44 42Le calcul exact donne, pour ce rapport:

k>ko

avec

ko

=

5 [1+V1- C5)2] 2

22

=

24.96

La valeur numérique de ko est appelée valeur de Routh. Pour toutes les planètes du Système solaire, cette condition est largement respectée vis-à-vis du Soleil. Pour le système TerreLune, elle l'est aussi, puisque dans ce cas, k = 81. La seule exception connue dans le Système solaire est fournie par le couple Pluton-Charon. 43La libration de ces astéroïdes est de en moyenne. Elle ne peut excéder 30°. 44La dualité Grecs-Troyens illustrait bien cette course perpétuelle, immortalisant l'Iliade dans les cieux. Mais il y avait dans ces appellations une certaine méconnaissance d'Homère: Patrocle chez les Troyens et Hector chez les Grecs ... de quoi faire se retourner Achille sur son bûcher!

14°

6.12. Annexe: points de Lagrange

Li

L2 instable

Ll instable 1

Ux

Uy

1-

(~)3 0

L3 instable

(~) 3 1

1+

-[1+ 152

0

Ct]

0

225

L4 stable

L5 stable

-

1 2

-

V3

--

-

2

1 2

V3 2

6.7 : Coordonnées des 5 points de Lagrange du système A - B, dans un repère lié à la droite AB, avec l'origine en A: Ux sur l'axe AB, Uy sur la direction directement perpendiculaire. Distances réduites, unité AB = 1. Masse réduite: Ct avec Ct« 1.

TABLEAU

Système A - B

Ll

L2

L3

L4, Ls

Soleil - Terre X ALi BLi x ALi 10 6 km BLi 10 6 km BLi R

0.990 0.00997 148.10 1.49 234

1.010 0.010 151.10 1.50 236

0.999 1.999 149.4 299.0

1.000 1.000 149.6 149.6

Terre - Lune X ALi x BLi ALi 10 3 km R ALi BLi 10 3 km

0.85 0.15 326.7 51 57.7

1.17 0.17 449.7 71 65.3

0.99 1.99 380.6 60 765.0

1.00 1.00 384.4 60 384.4

6.8 : Distances du corps A ou B aux points de Lagrange Li (i de 1 à 5). Les distances sont exprimées en unités réduites X et x (s. d.), en km et en unités R (rayon terrestre).

TABLEAU

les astéroïdes des deux groupes et d'étendre cette dénomination aux autres systèmes. Le système Soleil-Mars offre aussi des exemples d'astéroïdes troyens (décou verts à partir de 1990). En 1980, on a observé des satellites de Saturne aux points de Lagrange du système Saturne-Dioné, d'autres à ceux du système Saturne-Thétys. Ces satellites, dits lagrangiens, sont en libration autour des positions stables L4 et Ls.

6.12.6

Satellites artificiels aux points de Lagrange

À partir de 1978, plusieurs satellites artificiels ont été placés au point LI du système Soleil-Terre (tableau 6.9). Lorsqu'il a atteint le voisinage du point

226

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

..--:----:--:---

_...:-----:--~-

i

i

-

~,

\

,/

.,

1

.

/

\\

1

\ \

i 1\

"

\

1

\

..J. 1

1",

'.1

..

\1

'. "

"

.'

\ .....

~------

i ,,

i

"

i"

"

-~-----

6.9: Représentation de 7722 astéroïdes (points) et des planètes (disques) par leur projection sur le plan de l'écliptique, le 1 janvier 2000. En partant du Soleil, au centre, orbites de Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter. La ceinture principale d'astéroïdes est comprise entre les orbites de Mars et Jupiter, mais on voit clairement l'accumulation d'astéroïdes troyens sur l'orbite de Jupiter, à proximité des points L4 et Ls du sytème Soleil-Jupiter. Document: SMCS, University of St Andrews.

FIG.

LI, à 1.5 million de kilomètres de la Terre, le satellite est mis en orbite autour de LI, car ce point est une position instable. Il décrit alors une orbite dite orbite en halo, notée aussi L1LO (LI Lissajous orbit, la trajectoire ressemblant à une courbe de Lissajous). Le premier satellite en orbite en halo autour du point LI a été ISEE-3 (Explorer-59), de 1978 à 1982. Il a été suivi par Wind, SOHO, ACE, Genesis, tous à but astronomique. Du point LI, on a évidemment une vue imprenable sur le Soleil (propriété utilisée par le satellite SOHO) et on y reçoit le vent solaire bien avant la Terre (satellite Wind). Mais ce point LI a un autre intérêt: si on observe la Terre, on la voit toujours de jour! Le satellite Triana voulait en être un surveillant, une vigie écologique sans repos, mais le projet a été abandonné. L'orbite L1LO est à peu près dans un plan incliné par rapport à l'écliptique, de forme elliptique. Ses dimensions sont de l'ordre de plusieurs cen-

6.12. Annexe: points de Lagrange

Date

LI

1978 1994 1995 1997 2001 2001 2009 2009

•

L2

• • • •

• 0

•

•

227

Sonde ISEE-3 Wind SOHO ACE WMAP Genesis Planck Herschel

6.9 : Liste des engins spatiaux envoyés aux points de Lagrange, avec date du lancement. (dr.) Sonde Genesis : schéma du voyage vers LI et retour sur Terre par passage en L2, trajectoire dite «loop-de-loop ». Document: Shane Ross, NASA-JPL. TABLEAU

taines de milliers de kilomètres et la période du mouvement du satellite autour du point le Lagrange est très grande: 211 jours pour Wind, 180 jours pour SOHO, 179 jours pour Genesis. L'axe Terre-satellite n'étant pas ainsi dans le plan de l'écliptique, les transmissions de données ne sont pas trop perturbées par les émissions électromagnétiques ou de particules du Soleil. Le point L 2 du système Soleil-Terre a été visité pour la première fois par WMAP, qui a été rejoint en 2009 par Planck et Herschel. De nombreuses missions ont prévu d'utiliser une orbite en halo autour de ce point (orbite L2LO), comme les successeurs de Hipparcos et Hubble, respectivement GAIA et JWST, et les missions en projet lointain, comme Eddington et Darwin. Pour les instruments refroidis à l'hélium liquide, pour l'observation du fond diffus cosmique (WMAP, Planck) ou des émissions infra-rouges (Herschel, JWST), la position au point L 2 garantit que l'observation dans la direction opposée au Soleil ne sera pas polluée par la vue de la Terre. Pour les points stables, une mission américaine d'observation « stéréographique» du Soleil devait occuper ces deux points avec les satellites STEREOAhead et STEREO-Behind, en L4 et Ls. En regardant la figure 6.8 et en se rappelant que le mouvement de la Terre autour du Soleil se fait dans le sens direct, on comprend les termes ahead/behind. Mais cette orbite a été abandonnée et les satellites, avec ces mêmes noms, ont pris une orbite héliocentrique en avant et en arrière de la position de la Terre. Un projet japonais, L5-Mission, est prévu en L5' Le point L3 du système Soleil-Terre ... on voit mal quel projet pourrait s'en inspirer, à part pour un film du genre la Planète X ...

228

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

6.13

Annexe: trigonométrie sphérique

6.13.1

Établissement des relations de Gauss

Un triangle sphérique est un triangle, sur une sphère de rayon unité, dont les côtés sont des arcs de grand cercle (ou angles au centre). Les angles du triangle sont définis, pour chaque sommet, sur le plan tangent à la sphère (ou angles dièdres). On note habituellement les angles par A, E, C et les côtés opposés par a, b, c, comme sur la figure 6.10. On démontre qu'un triangle sphérique est déterminé par la connaissance de trois éléments. On peut calculer un quatrième élément en fonction des trois connus. On aura ainsi (6 x 5)/2 = 15 relations. Ces relations trigonométriques peuvent s'obtenir facilement en considérant le changement de repère suivant. On considère trois points A, E, C sur une sphère, formant un triangle sphérique (non plat). On considère deux repères orthonormés ~1 et ~i tels que: ~1(0 ;i,j,k)

~'

1

(0 . i' J" k') '"

i= OA

i'= OB

et tels que k et k' soient confondus. On a alors: (i, i') = c. Le repère ~i se déduit donc du repère ~1 par rotation d'axe k et d'angle c. Dans chacun de ces deux repères ~1 et ~i, OC s'écrit, en coordonnées cartésiennes :

OC =

cosb sin b . cos A sin b· sin A

OC =

cosa - sin a . cos E sina· sinE

(6.165)

Avec la matrice de rotation d'axe k et d'angle c, on a donc:

1

sin COl cos C 0 001

co~ c

1

COS b sin b· cos A sinb· sin A (6.166) On obtient ainsi les trois relations, dites relations de Gauss: [

-

a :osE S111 a . S111 E COS

~ina.

6.13.2

[

-

S111 C

x

[

cosa

cos b . cos C + sin b . sin c . cos A

(6.167)

sina· cosE

cos b . sin c - sin b . cos c . cos A

(6.168)

sina· sinE

sin b· sin A

(6.169)

Les quinze relations pour le triangle sphérique

Ces trois équations permettent d'obtenir les 15 relations cherchées, que l'on classe généralement de la manière suivante. Les relations ont été numérotées, en chiffres romains, de l à XV, « t.S.» (trigonométrie sphérique).

6.13. Annexe: trigonométrie sphérique

229

1 f

1

FIG. 6.10 : Triangle sphérique ABC sur la sphère de centre 0, de rayon unité. Les angles A, B, C sont les angles dièdres. Les côtés correspondants, a, b, c sont les arcs de grand cercle définis par: a = BC; b = CA; c = AB.

(a) Formules fondamentales Déduites de (6.167) par permutation circulaire, ces trois formules relient trois côtés et un angle :

cosa

cos b . cos e + sin b . sin e . cos A

(t.s.-I)

cos a . cos b + sin a . sin b . cos e

(t.s.- III)

cos e . cos a + sin e . sin a . cos B

cosb cose

(t.s.- II)

et on obtient les formules corollaires qui relient trois angles et un côté: - cos B . cos e

(t.s.-IV)

cosB

- cos e . cos A

case

-

(t.s.-VI)

cosA

+ sin B . sin e . cos a + sin e . sin A . cos b cos A . cos B + sin A . sin B . cos e

(t.s.- V)

(b) Formules en sinus Déduites de (6.169), ces trois formules, dites règle des sinus, relient deux

230

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

angles et les côtés opposés : (t.s.-VII) sin b sinB

sina sin A

sin e sinC

(t.s.-VIII) (t.s.-IX)

(c) Formules en cotangente Déduites de (6.168), qui concerne cinq éléments et des deux autres relations de Gauss, ces formules relient quatre éléments consécutifs du triangle: cot a· sin b

cos b . cos C

cot b· sina

cos a . cos C

+ sin C . cot A + sin C . cot B

(t.s.-X) (t.s.-XI)

La seconde de ces deux formules se déduit de la première en fixant l'angle C et en permutant a et b, A et B. Par permutation circulaire, on obtient: cot b· sine cot e· sin b cot e· sina cot a· sine

+ sin A . cot B cos b . cos A + sin A . cot C cos a . cos B + sin B . cot C cos e . cos B + sin B . cot A cos e . cos A

(t.s.-XII) (t.s.-XIII) (t.s.-XIV) (t.s.-XV)

On obtient ainsi (6 + 3 + 6) = 15 relations. Dans le cas du triangle sphérique rectangle (un des trois angles est droit), les formules précédentes se réduisent à (5 x 4)/2 = 10 relations que l'on obtient immédiatement à partir des formules ci-dessus. Exemple 6.5 Calcul de la distance D entre deux points de la Terre, J'vf(À, cp) et NI' (À', cp'), définis par leur longitude et leur latitude. ~ Pour l'utilisation de la trigonométrie sphérique, on considère la Terre sphérique. La latitude cp représente donc ici aussi bien la latitude géographique, géodésique ou géocentrique. On considère le triangle sphérique N J'vI J'vI', le point N représentant le pôle Nord. En désignant N par A, J'vI par B et J'vI' par C, l'angle A et les côtés b et c s'écrivent en fonction des données géographiques:

A = >. - >.'

'Ir

b=--cp

,

2

La distance demandée est représentée par a, longueur de l'arc de grand cercle J'vI J'vI'. La première relation de Gauss, relation (6.167) ou (t.s.-I), donne le résultat: cos a = sin cp . sin cp'

+ cos cp . cos cp' . cos( >. - >.')

(6.170)

La distance cherchée est D = R . a en considérant la Terre sphérique, de rayon R (et en exprimant a en radians). Notons que dans ce cas de figure, on peut obtenir

6.13. Annexe: trigonométrie sphérique

231

le résultat en écrivant le produit scalaire DM· DM'. Application: calcul de la distance entre Paris et New York. Les coordonnées géographiques de Paris (48° 50'N ; 2° 20'E) et de New York (40° 42'N ; 74°00'W) donnent pour les points ]v! et M' : cp = +48.87 >. = +2.33 cp' = +40.70 >.' = -74.00 Le calcul donne : a = 0.91597 rad = 52.48° On obtient ainsi directement la distance en milles marins (1 mille équivaut à l' d'arc terrestre) : D = 52.48 x 60 = 3149 milles ou bien en kilomètres en introduisant le rayon terrestre: D = 0.91597 x R = 5842 km La courbe (arc de grand cercle) reliant deux points à la surface de la Terre s'appelle orthodromie. Remarque. Lorsque deux points sont très proches, il peut être plus pratique de transformer la relation donnant cos a en utilisant les demi-angles pour faire intervenir les différences de latitudes et de longitudes: . 2 a . 2 cp - cp' , . 2 >. - >.' SIn - = SIn - - - + cos cp . cos cp . sm - - 2 2 2

Cette formule est valable si a E [0,11"[. ....

(6.171)

Ilts llts relatifs (~rre ~~rre / Soleil ;ihapitre I:hapitre precedent, précédent, Ie le mouvement du plan de l'orlid 1ft a à un referentiel référentiel galileen galiléen (par la vitesse de prepréJiivement iiivement '1vement de l'orbite dans ce plan. Nous allons, en comment la Terre se deplace déplace par rapport a à un reréllllettra, en composant les mouvements, de reperer repérer Terre, ce qui est finalement Ie le but recherche. recherché. le mouvement apparent du Soleil par rapport a Ie à la suite, etudier étudier les « cycles» du satellite par nir, plus tard, la geometrie géométrie « satellite-cible-Soleil » III la Ja Terre et on determine détermine comment ce point est vu eclairement éclairement solaire). hous-chapitres, nous etudierons iluus-chapitres, étudierons deux types d'orbite IInux Illmx Jlmx grandeurs etudiees étudiées ici jouent un r61e rôle primorn et la vitesse de precession précession nodale fl. D. Ces granifilme Imme nous allons Ie le voir, des valeurs remarquables ulier pour Ie le satellite. La premiere première grandeur, n, dedéi"ilrones, la seconde, fl, Iwilrones, Iwhrones, D, les orbites heliosynchrones. héliosynchrones. '1

de l'orbite ':ieeulaires oeeulaires - cas simplifie simplifié i"quations iiquations donnant les variations seculaires liquations séculaires des eleélé['une orbite circulaire, pour un potentiel terrestre !'une liisqu'au lllsqu'au Jusqu'au degre degré 2). Le cas general général sera traite traité un peu

M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

234

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

Remarquons que, pour une orbite d'excentricité e, les valeurs des vitesses de précession D et w présentent un facteur multiplicatif [(1 - e 2 ) -2] par rapport aux valeurs de l'orbite circulaire. Pour les excentricités faibles, ce facteur, équivalent à (1 + 2 e 2 ), reste très proche de 1. Expression des variations séculaires des éléments orbitaux

En tenant compte uniquement du terme en J 2 dans la perturbation relative au potentiel terrestre, on a montré au chapitre 6 que les éléments métriques restaient constants et que les éléments angulaires subissaient une variation séculaire. On obtient, avec les équations (6.75) à (6.77), les valeurs de D, w et NI en fonction des éléments métriques et du moyen mouvement

n= jJL/a 3

:

D n

w

!VI -

n n

Lln

n

n

-~ J (~r 2

3

4 J2

r

(~r

~J ~ 2 (

COS?,

(7.1)

(5 cos 2 i - 1)

(7.2)

(3 cos 2 i - 1)

(7.3)

La variation séculaire de l'élément orbital [2 va jouer un rôle essentiel dans l'étude de la trajectoire du satellite et celle des éléments w et l'vI dans le calcul de la période du mouvement. Pour le paramètre w, la variation séculaire west parfaitement définie pour e = 0 avec l'équation (6.76). Mais la position du périgée, déterminée par w, n'est pas définie dans le cas d'une orbite parfaitement circulaire (e = 0), et mal définie dans le cas d'une orbite quasi circulaire. Avec le paramètre NI, dont la variation séculaire (NI - no) est parfaitement définie pour e = 0, avec l'équation (6.77), on rencontre les mêmes difficultés pour définir une origine, avec les orbites circulaires ou quasi circulaires. Dans ces cas, on choisit généralement le nœud ascendant comme origine (voir au chapitre 5, les paramètres orbitaux adaptés). Vitesse de précession nodale

La vitesse de précession nodale peut s'écrire, à partir de (7.1) et en exprimant le moyen mouvement (képlérien) : .

[2

=

-23 J 2V;;;:(R)~ Ji3 -;:

cosi

(7.4)

qu'on peut mettre sous la forme:

D(a,i)=-Ko

( Ra) ~

cosi

(7.5)

7.1. Mouvement de j'orbite

235

ou bien, avec la distance relative 'fi déjà définie: (7.6) avec: Ka = -3 J 2

2

&aL R3 -

(7.7)

On peut également écrire Ka sous la forme suivante, avec (5.5) et (5.6) :

Ka =

31f

Ta(h=a)

h

(7.8)

ou bien, en utilisant (3.5) et en notant par Po la masse volumique moyenne de la planète : (7.9) Pour la vitesse angulaire, en plus du radian par seconde (unité SI), on utilise aussi comme unité le degré par jour et le tour par an. On exprime Ka avec ces trois unités:

Ka

2.012788 10- 6 rad·s- 1 9.964014°r l

(7.11)

Ka

10.10949 tr·an- 1

(7.12)

Ka

(7.10)

On a tracé le graphe de variation de D(a, i) sous deux aspects: - sur la figure 7.1(a), D(a) en fonction du demi-grand axe a, pour diverses inclinaisons; - sur la figure 7.1(b), D(i) en fonction de l'inclinaison i, pour diverses valeurs du rapport (aiR). L'altitude varie donc de h = 0 pour (aiR) = 1 à h = R = Re = 6 378 km pour (aiR) = 2 avec un pas de 0.1 R = 637.8 km. La valeur de D est notée en degrés par jour. Une combinaison de ces deux graphes est réalisée, figure 7.2(a). On a tracé les courbes de même valeur de D (courbes d'« iso-précession nodale» ) en fonction de l'inclinaison i et de l'altitude h (ou de aiR). Sur ces graphes, il apparaît clairement que lorsque h augmente, pour une même inclinaison, D diminue: plus le satellite s'éloigne du centre de la Terre, moins les irrégularités du potentiel terrestre ont d'influence sur lui. On voit aussi que pour les orbites directes, D est négatif (précession dans le sens rétrograde), et pour les orbites rétrogrades, D est positif. Pour une orbite strictement polaire, D est toujours nul, quelle que soit l'altitude. La valeur maximale de IDI est obtenue pour i = 0° ou i = 180°, avec h = 0, et est égale à Ka = 9.96° .j-l, soit pratiquement 10 degrés par jour. La valeur de D, proche de 1, notée « HEL» sur les deux graphes de la figure 7.2 intervient pour les satellites dits héliosynchrones dont nous ferons l'étude en fin de chapitre (dans ce cas, D = 0.986 o .j-l).

236

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

10 8

'§' 0

E

6

--' 0

4

w

<{

0

2

Z

c 0

0

"in

'"alü

-2

.~

Cl. al "0 al

-4

'"

2'"

-6

:>

-8

-10

Rayon orbite / Rayon Terre (s.d.)

14 12 10

'C' :::J

8

0

E

w

6

<{

4

--' 0

0

Z

2

0

0

c

"in

'"2l

-2

.~

-4

Cl. al "0 al

-6

'" 2'"

:>

-8 -10 -12 -14 0

30

60

90

Angle d'inclinaison

Cl

120

150

180

7.1 : Représentation de la vitesse de précession nodale D( a, i) (en degrés/jour) pour une orbite circulaire ou quasi circulaire. (a) En fonction du rapport T/ = (aiR), pour diverses valeurs de l'inclinaison, de i = 0° à i = 180°, avec un pas de 10°. (b) En fonction de l'inclinaison i, pour diverses valeurs du rapport T/ = (aiR), de ri = 1. a à T/ = 2. 0, avec un pas de 0.1.

FIG.

7.1. Mouvement de j'orbite

237

aiR

h (km)

2.0 6000 5500

1.9

5000

1.8

4500

1.7

4000 3500 3000

1.6 1.5

2500

1.4

2000

1.3

1500 1000 500 0

1.2 1.1 1.0

30

0

60

90 Angle d'inclinaison

n

120

150

180

h (km) aiR 1.22 1400

1300

1.20

1200 1100 1000 900 800

1.18 1.16 1.14 1.12

700 600

110

500

1.08

400

1.06

10

20

30

40

50 60 70 Angle d'inclinaison

n

80

90

100

110

FIG. 7.2 : Courbes d'« iso-précession nodale» dans le graphe donnant l'altitude h en fonction de l'inclinaison i, pour une orbite circulaire ou quasi circulaire. La vitesse de précession nodale il est mesurée en degrés/jour. (a) Altitude h entre 0 et R, pour toutes les inclinaisons. (b) Domaine habituel des satellites LEO.

238

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

La figure 7.2(b) est un agrandissement concernant la partie utile pour les satellites habituellement placés en orbite basse, comme nous verrons par la suite. Par exemple, pour le satellite Meteor-3-07, avec h c::: 1200 km et i c::: 83°, on trouve sur le graphe la valeur = -0.71° -j -1.

n

Vitesse de précession apsidale La vitesse de précession apsidale, définie par (7.2), s'exprime aussi à l'aide de la constante Ka, déj à définie par la relation (7.7) :

w = "21 Ka

(R); -;:

,

(7.13)

(5 cos 2 i - 1)

Cette valeur s'annule pour l'inclinaison critique, définie au chapitre 6. Sur la figure 7.3, on a tracé le graphe de variation de w(a, i) en fonction de l'inclinaison i, pour diverses valeurs du rapport (aiR). La valeur de w est notée avec la même unité et la même échelle que On voit apparaître clairement sur le graphe les deux valeurs de l'inclinaison critique, 63.4° et 116.6°. Voir l'exemple 7.1 à propos de l'inclinaison critique.

n.

Variation du moyen mouvement

De même que les vitesses de précession, la variation du moyen mouvement (appoint au moyen mouvement), définie par (7.3), s'exprime avec Ka : (7.14) Sur la figure 7.4, on a tracé l'appoint au moyen mouvement Lln en fonction de l'inclinaison i, pour diverses valeurs du rapport 'fi = (aiR). On voit que pour i compris entre 57.7° et 125.3°, le mouvement réel est plus lent que le mouvement relatif à une Terre sphérique.

7.1.2

Variations séculaires - jusqu'au terme en J 4

En considérant une orbite elliptique et un développement du potentiel terrestre à un degré élevé, les expressions des variations des éléments orbitaux sont extrêmement complexes. Nous délaissons ici les variations périodiques, qui concernent tous les éléments orbitaux. Les variations séculaires concernent uniquement les éléments angulaires et nous avons montré que seuls les harmoniques zonaux pairs hn interviennent. Nous donnons, dans le tableau 7.1, les expressions de ces variations séculaires en fonction de a, e, i, jusqu'au degré 4 en (Rlp). En plus des termes de degré 2 pour J 2, il y a deux termes de degré 4, un pour J4 et un pour fi. Ces grandeurs sont données sous forme de leur quotient par n, moyen mouvement. On obtient ainsi dans chaque cas un rapport de vitesses angulaires, donc une grandeur sans dimension.

7.1. Mouvement de j'orbite

239

20 18 "2 :::J

0

E w

--l

16 14

<{

12

(f)

10

g

0.. <{

c 0 'u;

'" 0)

()

8 6

-0)

4

0)

2

0.

"0 0)

0

:>

-2

'" 2'"

-4 -6 0

30

60

90

Angle d'inclinaison

n

120

150

180

7.3 : Représentation de la vitesse de précession apsidale w( a, i) (en degrés/jour), pour une orbite circulaire ou quasi circulaire, en fonction de l'inclinaison i, pour diverses valeurs du rapport T} = (aiR), de T} = 1.0 à T} = 2.0, avec un pas de 0.1.

FIG.

'§' 0

E ë0)

E 0)

10 8 6

> :::J

4

E

2

0

c

0)

>0

E :::J CIl

0 -2

ë

-4

c. c.

-6

ë5 <{

0

30

60

90

Angle d'inclinaison

n

120

150

180

7.4 : Représentation de l'appoint au moyen mouvement .1n( a, i) (en degrés/jour), pour une orbite circulaire ou quasi circulaire, en fonction de l'inclinaison i, pour diverses valeurs du rapport T} = (aiR), de T} = 1.0 à T} = 2.0, avec un pas de 0.1.

FIG.

240

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

il

h

n

(0) [-~] (0r [(_45+~e2+~é)+(57 (0r C 2) ( 2) 2

cosi

+

J?

+

J4

cosi

8

cosi

W n

+

J2 2

-

5 4

-

(R)4 p

4

16

[(27 _ 15 e 2 2 16

+ J4

(

(1185 _ 675 64 128

R

P) 4

[(

!VI -

n

n

{1 +

J2

3

15

(:r

r

8

2]

(7.15)

16

.2

8

128

16

(0

64

e2 _ 135 é) 84]

2 165 + ( -15 -+8 h

32

~é)

64

-8 + 8

4

n

_

171 2 99 4) + ( -507 -+e +-e 31

_6g e2 _27 e4 )

8

1 + -3 e 2

105 8

16

+

32

el

~

2

8 105 16

105

4

64 8 )

-8

(

10 +

15

2

4) (1 +-e 3 2)]

(2 - 38 2 )

2

e

2

)

(7.16)

x

(7.17)

7.1 : Expression des variations séculaires des éléments orbitaux angulaires avec développement du potentiel gravitationnel jusqu'à l'ordre 4. On rappelle le paramètre p et le moyen mouvement n : p = a(l - e 2 ), n = 'Ii p/ a 3 . Abréviations: s = sin i ; e' = ~. Par rapport au tableau 6.2, on note: s = 1/CT; e' = 1/1'.

TABLEAU

7.1. Mouvement de l'orbite

241

Les expressions de t2 et de w, équations (7.15) et (7.16), sont obtenues d'après la théorie analytique du mouvement des satellites de J. Kovalevsky (in Levallois et Kovalevsky), celle de Lln, équation (7.17), d'après la théorie de P. E. Koskela et al. (in Koelle). On trouve aussi ces résultats, avec une présentation légèrement différente, dans d'autres ouvrages de mécanique spatiale (comme celui de Roy ou celui de Vallado).

7.1.3

Cas de « blocage» des mouvements de précession

Un choix judicieux des paramètres orbitaux peut permettre d'annuler les variations séculaires. On bloque ainsi un des mouvements de précession, ce qui peut avoir un intérêt pour certaines missions. Précession nodale bloquée

Quelques satellites ont une inclinaison de 90° (à quelques dixièmes de degré près). On dit qu'ils sont strictement polaires ou sur une orbite strictement polaire. L'équation (7.15) montre que la vitesse de précession nodale est nulle, le terme (cosi) étant en facteur de tous les termes ln. L'orbite du satellite reste alors fixe 1 dans ~, faisant un angle constant avec une direction fixe de l'espace (la direction du point vernal Î). Cette orbite est parfois appelée inertielle. Ces orbites strictement polaires ont été principalement utilisées par les satellites consacrés à l'étude de l'environnement lointain 2 de la Terre et par les satellites à but militaire et géodésique (système Transit, de l'US Navy, premier système opérationnel de navigation). Le satellite CoRoT, pour la détection des exoplanètes et l'astérosismologie, a une orbite inertielle 3 avec une inclinaison i = 89.92°. Le programme Gravit y Probe Relativity Mission teste la théorie de la relativité générale d'Einstein. La mission impose au satellite GP-B (Gravit y Probe B) d'avoir une inclinaison polairé. lOn constate, au cours des années, un léger mouvement de précession pour ces orbites, de moins d'un degré par an. Il est dû aux autres perturbations (attraction de la Lune, du Soleil, pression de radiation, etc.). 2 Pour l'étude de la magnétosphère, la NASA a lancé le 3 août 1981, par un seul tir, deux satellites Dynamics Explorer-l et -2 (Explorer-62 et -64, appelés aussi DE-A et DE-B), le premier sur une orbite haute (h p = 468 km, ha = 23322 km), le second sur une orbite basse (h p = 304 km, ha = 1 002 km). Afin qu'ils observent conjointement les mêmes phénomènes, il était impératif qu'ils soient dans le même plan orbital. Ce n'était possible qu'en choisissant un plan polaire, i = 90°, car sinon la précession nodale aurait été différente pour DE-A et DE-B. 3Cette orbite, sans mouvement de précession nodale, reste fixe dans un référentiel galiléen. La visée se fait selon la direction orthogonale au plan orbital. Le satellite vise continûment la même région du ciel pendant 180 jours, puis se retourne pour viser la région opposée, en évitant ainsi le Soleil. Les deux régions visées sont à l'intersection du plan galactique et de l'équateur céleste. 4Le satellite est muni de gyroscopes dont on mesure la déviation due à deux effets prévus par la théorie d'Einstein: l'effet géodésique (6 606 milliarcsecondes par an, soit 1.8 10- 3

242

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

Mis à part dans les cas évoqués ci-dessus, l'annulation de la vitesse de précession nodale est peu employée dans les missions spatiales. Par contre, le choix d'une valeur bien définie pour D, non nulle, est amplement utilisée pour les satellites héliosynchrones, comme nous allons voir un peu plus loin. Précession apsidale bloquée

Lorsqu'on annule la variation séculaire apsidale, l'argument du périgée w est constant. La position fixe du périgée sur une orbite, surtout fortement excentrée, peut être un critère décisif. La résolution de l'équation:

w(a, e,i; ln)

=

0

(7.18)

avec w défini par (7.16) est très simple si on s'en tient à l'ordre 2. Pour un développement de w arrêté à h, (7.18) se réduit à (5 cos 2 i = 1) et la solution est donnée par (6.81). L'inclinaison est égale à l'inclinaison critique. Cette valeur ic ne dépend d'aucun paramètre orbital, même pas de la planète considérée. À un ordre supérieur, la résolution est plus complexe, mais on obtient aisément le résultat par méthode numérique, sachant que la valeur de i cherchée est très proche de celle donnée par (6.81). La solution i dépend très légèrement de a et e, ainsi que des coefficients ln. Remarque. Dans cet ouvrage, lorsque nous mentionnons une inclinaison critique, sur les diverses représentations de trace de satellite, il s'agit toujours de l'inclinaison calculée jusqu'à l'ordre 4 pour w. Exemple 7.1 Calcul de l'inclinaison critique pour les satellites de type M olnya. ~ Les caractéristiques de Molnya-3-53, le 25 juin 2009, sont : a = 26 555.3 km, e = 0.697825, i = 64.816°, w = 265.2°. À l'ordre 2, la solution est donnée par (6.81), sachant que ce satellite a une orbite directe (i < 90°) : ic = 63.4349° = ic(h) Avec la relation (7.16), développement de w arrété à J4, les éléments a et e interviennent. On obtient: ic = 63.4252° = ic (J4 ) Cette valeur change trés peu si on continue le développement aprés J 4 . On note: ic(h) - iC(J4) = 0.009T "" 0.01 0. L'inclinaison de ce satellite, ici i = 64.816°, est éloignée de 1.5° de l'inclinaison critique ic. Cette différence n'a pas de conséquences importantes, car la valeur de

degré/ an) et l'effet de Lense- Thirring, ou effet d'entraînement du référentiel (39 mas/an, soit 1.1 10- 5 degré/an). Ces deux effets sont découplés au maximum lorsque l'axe de rotation du satellite sur son orbite est orthogonal à l'axe de rotation de la Terre, soit i = 90°.

7.1. Mouvement de j'orbite

243

w, si elle n'est pas nulle, reste très faible, ègale à -0.0122° par jour, soit environ 4° par an dans le sens rétrograde ....

Annulation de l'appoint au moyen mouvemement

Deux valeurs de l'inclinaison, 54.7° et 125.3°, provoquent l'annulation de l'appoint Lln, défini par (6.77), comme déjà vu au chapitre 6. À notre connaissance, cette contrainte n'est jamais exigée pour une mission spatiale. Il faut remarquer cependant que les satellites Navstar /GPS (Block II) ont une inclinaison 'i = 55° qui entraîne une valeur pratiquement nulle pour l'appoint Lln. Le moyen mouvement de ces satellites est le même que si la Terre était sphérique.

7.1.4

Calcul effectif de la période et de l'altitude

Nous donnons deux exemples de calcul relatifs à la liaison entre la période et l'altitude. Dans le premier, nous calculons la période d'un satellite dont on connaît l'altitude, dans le second, problème inverse (et plus difficile), nous calculons l'altitude d'un satellite dont on connaît la période. D'autres exemples de ce type seront donnés au chapitre 11 (lorsque la période sera définie par le phasage). Quand on parle dans ce cas d'altitude du satellite, il s'agit en fait de la différence entre le demi-grand axe a de l'orbite et le rayon équatorial R de la Terre, h = a - R. La grandeur h est généralement employée pour décrire le satellite, mais c'est la grandeur a qui est utilisée pour les calculs d'orbite.

Exemple 7.2 Calcul de la période du satellite TRMM en orbite quasi circulaire à une altitude de 402 km, avec une inclinaison de 35°. ~ Pour ce satellite, le 25 juin 2009, on donne: a = 6 780.348 km (soit h = 402.2 km), i = 34.9655°, e = 1.18 10- 4 . On peut considérer ici que son orbite est circulaire. On calcule d'abord le moyen mouvement képlérien pour la valeur de a : 1

n = [3.9860043610 14 ] a

(6.780348 10 6 )3

2"

= 1.130813 10- 3 rad.s- 1

qui donne la période képlérienne : Ta = 211" = 5556.34 s = 92.606 min no

On calcule l'écart relatif f1n/no. La variation relative s'écrit, en exprimant le facteur numérique: f1n

n

=8.11970110- 4

7/- 2

(3cos 2 i - l )

(7.19)

244

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

On obtient ici : L1n na

= 8.1197 10- 4 (6.378 137 106 ) 6.780 348 106

2

[3. (0.81950)2 _ 1] = 7.291 10- 4

et en utilisant la relation plus complexe (7.17), on obtient 7.299 10- 4 , ce qui donne, pour le moyen mouvement réel: n = na

+ L1n =

1.13356210- 3 rad·s- 1

Le mouvement réel est donc plus rapide que le mouvement képlérien (L1n puisque i < 57.7°). La période anomalistique 'l'a est obtenue par (6.104)

'l'a

=

> 0

92.606 = 92.538 min 1 + 7.299 10- 4

On calcule ensuite la précession apsidale w. Par la relation (7.2) ou (7.13), on a 1.694 10- 4 et par la relation plus complexe (7.16), win = 1.699 10- 4 . On obtient la période draconitique 'ld par (6.109) ou (6.110)

win =

Td = 92.381 min

On note que la précession apsidale west positive, puisque i importante, w = 9.51 ° par jour. On a finalement : Td < Ta < Ta

< 63.4° et qu'elle est

avec, comme différence de temps en secondes: Ta - Td

= 9.44 s

Ta - Ta = -4.05 s

Td - Ta = -13.49 s

Le satellite TRMM (Tropical Rainfall M easurement Mission), satellite japonais avec grande collaboration de la NASA, est faiblement incliné pour couvrir la ceinture intertropicale et est à basse altitude pour une meilleure efficacité de son instrument radar. De novembre 1997 (lancement) à août 2001, son altitude a été de 350 km. Ensuite, pour prolonger sa durée de vie (en diminuant les frottements atmosphériques), il a été amené à une altitude de 402 km .....

Exemple 7.3 Calcul de l'altitude du satellite Meteor-3-07, en orbite quasi circulaire, dont la période draconitique est 109.421 min et l'inclinaison de 82.56'" .

~ Le calcul de l'altitude à partir de la période est plus complexe que le calcul inverse que nous venons de voir dans l'exemple ci-dessus. On procède par itération. Les calculs des variations séculaires sont faits avec les relations allant jusqu'au degré 4. a) On calcule d'abord aa, la valeur de a correspondant au mouvement képlérien pour la période considérée. La valeur de Td est donnée par le bulletin d'orbite du satellite: 'ld = 109.421425 min. On pose donc, dans la première étape: 1'0 = 'ld = 6 565.285 6 secondes. Le calcul donne: 3 _ IL l' 2 _ 3.986004; 6 10 14 (6.565 285 6)2 106 aa - 471"2 0 471"

7.1. Mouvement de j'orbite

245

ao = 7578.129 km Avec cette valeur ao, l'inclinaison i et no

.1n = -5.469 10- 4 no

= 27r(10, on calcule .1n et w. On trouve:

~ no

=

-5.267 10- 4

Ici, le mouvement réel est plus lent que le mouvement képlérien (.1n < 0), donc 'l'a > 'la, et le périgée tourne dans le sens indirect (w < 0), donc 'l'a < 'ld. On aura donc: 'ld > 'l'a > 'la b) En considérant la formule approchée (6.110), on voit qu'à cette valeur ao du rayon de l'orbite correspond une période képlérienne T o et une période draconitique Td :

avec:

.11' = 'ld -'la

To no ce qui donne, compte tenu que les écarts relatifs sont petits devant 1 :

La valeur de 'ld étant connue, on obtient 'la par 'la = 'ld-.1T et à 'la correspond une orbite de rayon al, obtenu à partir de ao par al = ao + .1a. La relation différentielle entre a et Test : dT 3 da l' 2 a En passant aux accroissements finis, da correspond à al -aD = .1a et dT correspond à 'la - 'ld = -.11'. On obtient .1a : 2 w+.1n 2 -3 .1a = - - - - ao = --1.073510 ·7578.129 = -5.423 km 3 no 3

On trouve donc:

al = 7572.706 km

c) On continue ainsi les itérations, en utilisant (6.109) et on obtient la valeur cherchée (la convergence est très rapide) : a

= 7572.704 km

ce qui correspond à une altitude h = 1194.6 km. Pour les valeurs des périodes, on obtient:

'ld = 109.421 min

'l'a = 109.364 min

'la = 109.304 min

On voit qu'il est très important de bien distinguer les différentes périodes. Les écarts trouvés ici le montrent clairement: 'ld - 'l'a = 3.46 s et 'ld - 'la = 7.04 s. Avec ces valeurs obtenues, on peut calculer la vitesse de précession nodale:

ft

=

-1.429 10- 7 rad·s- l

=

qui n'intervient pas dans le calcul de la période ....

O.71 o

r

l

246

7.2

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

Mouvements de la Terre

Les mouvements de la Terre par rapport à un référentiel galiléen ~ lié au Soleil peuvent se décomposer en trois mouvements: -le mouvement de révolution de l'axe de la Terre autour du Soleil, de période annuelle; - le mouvement de rotation de la Terre par rapport à cet axe, de période quotidienne; - le mouvement des pôles qui est le petit mouvement que fait la Terre par rapport à son axe de rotation.

7.2.1

Mouvement de la Terre autour du Soleil

Mouvement de révolution

La vitesse angulaire du déplacement de l'axe de la Terre autour du Soleil est notée Ds (on utilise cette notation D par analogie avec la vitesse de précession de la longitude du nœud ascendant et on ajoute l'indice [sl pour Soleil). Sa valeur s'obtient à partir de la constante de Gauss:

Ds ce qui correspond à :

=

1.99099299 10- 7 rad·s- 1

(7.20) (7.21)

Définitions de l'année

La Terre met une année à parcourir son orbite elliptique autour du Soleil, ce qui représente la période de révolution. Les différentes définitions de l'année sont les suivantes. L'année sidérale est la durée de révolution terrestre rapportée à un repère fixe (copernicien). Sa durée est de 365 j 6 h 9 min 10 s. L'année tropique est la durée de révolution terrestre rapportée à un repère moyen mobile: c'est le temps séparant deux passages consécutifs du Soleil dans la direction du point vernal (équinoxe de printemps). Sa durée est de 365 j 5 h 48 min 45 s. L'année tropique détermine la récurrence des saisons 5 . 5L'année civile cherche à approcher au mieux l'année tropique. L'année (civile) julienne, entrée en vigueur à partir de 45 av. JC, sous l'action de Jules César, avec une année bissextile tous les 4 ans, a une durée moyenne: Nciv(j) = 365 + 1/4 = 365.25 jours. L'écart avec l'année tropique est donc de 0.78 jour par siècle. Le concile de Nicée, en 325, a défini le calcul de la date de Pâques à partir de la date de l'équinoxe de printemps qui, cette année-là, était le 21 mars. En 1582, l'écart de date était donc: 0.78(1582 - 325)/100 = 9.8 c::::: 10 jours et l'équinoxe tombait le 11 mars (Pâques était calculé à partir du 21 mars). Pour ramener l'équinoxe vernal au 21 mars et l'y maintenir, il fallait (a) enlever 10 jours au calendrier, (b) modifier légèrement la durée moyenne de l'année civile.

7.2. Mouvements de la Terre

247

L'année tropique est plus courte que l'année sidérale de 20 minutes. Cette différence est due au mouvement du point vernal dans le sens rétrograde, la précession des équinoxes, vue au chapitre 6. L'année anomalistique est la durée qui sépare deux passages au périhélie. Sa durée est de 365 j 6 h 13 min 53 s. Elle est utilisée pour tout calcul relatif au mouvement képlérien de la Terre autour du Solei1 6 . La durée de ces années, notées respectivement N sid , N tro et N ano , est, en jour décimal : N sid = 365.256360 (7.22)

7.2.2

N tro = 365.242190

(7.23)

N ano = 365.259641

(7.24)

Mouvement de la Terre autour de l'axe des pôles

Mouvement de rotation On note par DT la vitesse de rotation de la Terre sur elle-même (D puisqu'il s'agit d'une vitesse angulaire de la longitude du nœud ascendant fl, et on ajoute l'indice [Tl pour Terre). Sa valeur est:

DT = ce qui correspond à :

7.292 11467 10- 5 rad·s- 1

DT

=

360.985 559 o.j-l

(7.25) (7.26)

Définitions du jour Comme vu précédemment, la définition astronomique du jour est

1 j = 86400 s

C'est ce qu'ordonna le pape Grégoire XIII par la bulle Inter gravissimas (Inter gravissimas pastoralis officii nostri curas ... , «parmi les très nobles tâches de notre ministère pastoraI... »), qui a donné le calendrier grégorien :

(a) le lendemain du jeudi 4 octobre sera le vendredi 15 octobre 1582; (b) il sera supprimé 3 jours sur 400 ans (les années multiples de 100, mais pas de 400, ne seront pas bissextiles). Ainsi, l'année (civile) grégorienne a une durée moyenne de : Nciv(g) = 365 + 1/4 - 1/100 + 1/400 = 365.2425 jours. L'écart avec l'année tropique n'est plus que de 0.3 jour par millénaire. On a vu au chapitre 6, dans l'annexe Constantes astronomiques, la définition de l'année julienne, N jnl = Nciv(j). 6Si on compare ces définitions de l'année avec la définition des périodes du satellite vues au chapitre 6, l'année anomalistique correspond à la période anomalistique Ta, l'année tropique correspond à la période nodale, ou draconitique, T d . L'année draconitique est définie par rapport au mouvement de la Lune.

248

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

Le jour moyen, noté J M , est l'écart de temps, moyenné sur une année, entre deux passages d'un méridien dans la direction du Soleil (c'est-à-dire, entre deux midis 7 consécutifs). Pratiquement, on a lIl/I = 1 j. Le jour moyen lIl/I n'a plus servi à définir la seconde quand on a mis en évidence le ralentissement de la vitesse de rotation terrestre, qui se répercute dans la différence TAI-TU qu'on verra un peu plus loin. Le jour sidéral, noté Jsid, est l'intervalle de temps entre deux passages d'un méridien dans la direction du point verna1 8 : Jsid = lIl/I -

(7.27)

3 min 55.9 s

La vitesse de rotation de la Terre peut s'écrire:

DT

=

1.002 73790934

tour par jour sidéral

(7.28)

Pulsation des mouvements

La durée, en secondes, de l'année tropique peut s'écrire:

(7.29) en notant par N~n le nombre de jours dans l'année tropique, heI étant égal à 86400 secondes. On peut alors exprimer les pulsations en fonction de la durée de l'année tropique, en radians par seconde: .

fls =

27T

1

-J Nan M

.

27T N~n

flT = -

heI

+1

----="':--

N~n

(7.30)

On en déduit la relation entre les pulsations de ces deux mouvements de la Terre: . . 27T flT - fls = (7.31) soit en degrés par jour :

hI

7Méridien vient de l'adjectif latin meridianus, «de midi », dérivé de meridies, ei, « midi». Ce nom a été formé à partir de la forme locative *mediei die, «au milieu du jour ». La suite d - d s'est transformée en r - d par un procédé classique en linguistique, connu sous le nom de dissimilation. 8Le jour sidéral est l'intervalle de temps que met la Terre, dans sa révolution quotidienne, à se retrouver dans une direction donnée, qui n'est pas exactement fixe, parce qu'elle suit le mouvement de précession des équinoxes. La durée du jour sidéral est donc: hv! . (Ntro)/(Ntro + 1) = 86 164.0905 s soit 23 h 56 min 04.0905 s. On utilise parfois la notion de jour stellaire, défini par: hVI . (Nsid)/(Nsid + 1) = 86 164.0989 s soit 23 h 56 min 04.0989 s. On voit donc que le jour sidéral est lié à l'année tropique et que le jour stellaire est lié à l'année sidérale.

7.2. Mouvements de la Terre

249

7.5 : Déplacement du pôle moyen (trait plein) de 1900 à 2000. Détail de la polhodie (tireté) de 2001 à 2006. Unité: seconde d'arc (soit 31 mètres). Axe vertical : selon le méridien origine, orienté vers le bas, vers Greenwich. Axe horizontal : selon le méridien orthogonal au méridien origine, orienté vers la gauche, vers le point de l'équateur, 90° W. Document : fERS Earth Orientation Centre.

FIG.

o~

7.2.3

o.

o.•

O~

02

0.1

-0

00.1

Mouvement des pôles

La représentation, sur une carte, des positions successives du point virtuel où l'axe de rotation terrestre transperce la surface du sol s'appelle la polhodie 9 . Elle indique le pôle instantané et est la manifestation du mouvement de la croûte terrestre par rapport à l'axe de rotation. Ce mouvement était mis en évidence par des observations astronomiques, grâce particulièrement à l'interférométrie à très longue base, dite VLBI (Very Long Baseline lnterferometry). Les satellites spécifiques (comme LAGEOS et ceux, comme SPOT, munis de l'instrument DORIS) apportent maintenant leur contribution, comme nous avons vu au chapitre 3, lors de la présentation des systèmes de référence terrestre. Le mouvement des pôles se décompose en deux composantes principales: - une oscillation grossièrement circulaire avec une période de 14 mois (435 jours), mise en évidence par Chandler en 1885, dont le diamètre varie cycliquement; - une lente dérive de la position moyenne du pôle, imprévisible. Sur la figure 7.5, le premier mouvement, de 2001 à 2006, est représenté en pointillé par une spirale. Le second, en trait plein, montre la position moyenne du pôle, le pôle moyen, dans son déplacement erratique, entre l'an 1900 et l'an 2000. L'unité employée est la seconde d'arc qui mesure, à la surface de la Terre, 1852/60,,-, 31 mètres. Le diamètre de la polhodie, sur un cycle de Chandler, peut atteindre 0.5", soit environ 15 mètres. Avec l'avènement du GPS et la possibilitié de connaître les positions avec une précision inférieure au mètre, il est bien évident qu'il faut prendre en compte ce mouvement des pôles. Dans cet ouvrage, nous ne pousserons pas plus loin l'étude de ce mouvement. 9Mot formé en 1851 par le mécanicien L. Poinsot, à partir de 6 J1:ôÀoc, ou, « le pivot» et ~ 6ùôç, ou, « la voie». Un mot grec, comme hodos, ne garde en principe son aspiration initiale (esprit rude) que lorsqu'il se combine avec la lettre précédente pour former une lettre dite aspiré - comme on voit avec anode et cathode. On devrait écrire polodie.

250

7.2.4

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

Mouvement orbite / Terre

Par la suite, nous aurons fréquemment à comparer, avec les deux mouvements de la Terre (révolution et rotation) vus ci-dessus, le mouvement du satellite, caractérisé principalement par les deux vitesses angulaires n, moyen mouvement et D, vitesse de précession nodale. Fréquence quotidienne orbitale v

Nous désignons par v, la fréquence quotidienne orbitale du satellite. À strictement parler, ce n'est pas une fréquence mais un nombre (sans dimension) représentant le nombre de tours, compté à partir du nœud ascendant, qu'effectue le satellite en un jour. Cette grandeur est liée à la période draconitique (nodale) : V

Avec (7.31) et la définition de nd

lIl/l

(7.32) Td donnée par (6.105), on obtient la relation:

=

Vd

= -

(7.33) On note par P le nombre (sans dimension) qui représente la vitesse de précession nodale comptée en tours par an 10. On a la relation : (7.34) On obtient ainsi les relations suivantes, en fonction de P :

P)

. . 27T ( 1flT - fl = 1+ --

hi

N~n

. . 27T 1 - P fls-fl= - - -

hi

On sera amené, de plus, à comparer

N~n

DT - D avec nd.

(7.35) (7.36) On a la relation: (7.37)

Les deux expressions suivantes de la grandeur P sont particulièrement intéressantes : (7.38) lOCette grandeur est en fait plus « parlante» que il exprimé en radians par seconde. Pour éviter toute confusion avec les unités, nous avons désigné par P cette grandeur, les autres grandeurs étant exprimées en unités SI, sauf mention spéciale. Les grandeurs P et v, comme un peu plus loin Va et "", sont des rapports de pulsations, donc bien des nombres sans dimension.

7.3. Mouvement apparent du Soleil

D

P=-. Ds

251

(7.39)

Cette dernière relation est la transcription de la définition de P. On définit aussi la fréquence Va qui représente le nombre de révolutions, compté à partir du périgée, qu'effectue le satellite en un jour. Cette grandeur est liée à la période anomalistique: (7.40) C'est cette grandeur qui est fournie par les organismes spatiaux, comme le NORAD par exemple, pour calculer les éléments orbitaux. Fréquence quotidienne de phasage

K,

Nous appelons K, la fréquence quotidienne de phasage. Cette grandeur, sans dimension, qui va jouer un rôle primordial dans l'étude du phasage (chapitre 11), est définie par: (7.41 ) Elle est liée à la fréquence quotidienne orbitale v par: v

7.3

DT - D

1- P =1+-DT - Ds N~n .

.

(7.42)

Mouvement apparent du Soleil

L'étude du mouvement apparent du Soleil autour de la Terre permet de représenter la direction du Soleil et de comprendre les différentes notions de temps solaire (vrai et moyen).

7.3.1

Sphère céleste et coordonnées

Sur la sphère céleste l l , représentée sur la figure 7.6, l'équateur et l'écliptique (trajectoire du Soleil) se coupent en deux points. Celui qui correspond à la direction du Soleil lorsque sa déclinaison s'annule en croissant est le point vernal, noté traditionnellement f. Il correspond à l'équinoxe de printemps 12. L'angle dièdre de ces deux plans est égal à E = 23°26'21" = 23.44°, angle appelé obliquité. 110n a l'habitude de représenter les directions de l'espace au moyen des points d'une sphère de centre et de rayon quelconques, appelée sphère céleste. À toute direction, on associe le point d'intersection de la sphère céleste et de la demi-droite dont l'origine est le centre de la sphère et dont la direction et le sens sont ceux de la demi-droite. 12Vernal vient du latin vernalis, adjectif relatif à ver, veris, « printemps».

252

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

P

z

o

7.6 : Représentation de la sphère céleste, avec le point vernal h J, le Soleil (S J, le plan équatorial OiS', l'écliptique OiS, le pôle Nord céleste P, le méridien PSS'. Dans le triangle sphérique ISS', l'arc iS représente la longitude céleste l, l'arc iS' l'ascension droite Ct, l'arc SS' la déclinaison 0, l'angle i l'obliquité E et l'angle S' est droit.

FIG.

La direction du Soleil peut être définie, comme suit, dans deux systèmes de coordonnées, ayant pour origine le centre de la Terre. (a) Coordonnées écliptiques Le plan de référence est le plan de la trajectoire apparente du Soleil au cours de sa révolution annuelle, dit plan de l'écliptique, ou écliptique. L'origine des coordonnées est le point vernal. L'angle d'azimut mesure la longitude du Soleil l, dite longitude céleste ou longitude écliptique. L'angle de hauteur mesure la latitude b du Soleil, dite latitude céleste ou latitude écliptique. Par définition de l'écliptique, b = O. (b) Coordonnées célestes Le plan de référence est le plan équatorial terrestre. L'origine des coordonnées est le point vernal. L'angle d'azimut est l'ascension droite a, angle dièdre du méridien de la direction du Soleil avec celui du point vernal. L'angle de hauteur est la déclinaison 6, angle de la direction du Soleil avec le plan de référence. Par sa définition, l'ascension droite est reliée à l'angle horaire H et au temps solaire vrai définis un peu plus bas. Quant à la déclinaison, elle varie, au cours de l'année, de manière pratiquement sinusoïdale, entre les valeurs extrêmes 6 = é au solstice d'été et 6 = - é au solstice d'hiver, les

7.3. Mouvement apparent du Soleil

253

valeurs 5 = 0 étant atteintes aux équinoxes. Nous y revenons un peu plus bas (figure 7.8).

7.3.2

Angle horaire

On considère un point quelconque de la Terre (pôles exclus), défini par ses coordonnées géocentriques (À, 'ljJ) dans ~T. On appelle plan méridien du lieu, noté M, le demi-plan qui contient l'axe des pôles et ce point. À un instant donné, on définit le plan méridien de la direction du Soleil, noté 5, comme le demi-plan contenant l'axe des pôles et cette direction, de longitude Às. L'angle dièdre de ces deux demi-plans est appelé l'angle horaire, noté H :

H

=

angle dièdre (M,5)

= À -

Às

(7.43)

L'angle H est compté dans le sens rétrograde. Cette convention s'explique: on désire que la variation de H et celle du temps se fassent dans le même sens au cours de la journée; H est ainsi négatif le matin, nul à midi, positif le soir. L'angle horaire (qui est un angle d'azimut) peut être défini pour une direction quelconque. S'il est défini spécifiquement pour la direction du Soleil (comme c'est le cas ici), on l'appelle aussi temps solaire vrai. Angle horaire et temps solaire vrai sont des angles, mesurés généralement en degrés ou en heures (1 heure correspond à 15° puisque 24 heures correspondent à 360°).

7.3.3

Équation du temps

Le temps solaire vrai, défini par le mouvement apparent du Soleil, est une notion « naturelle» : c'est le temps indiqué par les cadrans solaires. Mais ce mouvement n'a pas la régularité requise pour fournir directement une échelle de temps. Il serait régulier, uniforme, si l'orbite de la Terre était circulaire et si son plan contenait le plan équatorial terrestre. Équation du centre

On considère la position du Soleil définie par les coordonnées écliptiques. La trajectoire du Soleil par rapport à la Terre n'est pas circulaire mais elliptique. La longitude céleste 1 ne varie pas uniformément, elle correspond à l'anomalie vraie v, avec une origine différente:

1= v -

Vi

(7.44)

l'origine de v étant prise au périgée, correspondant en moyenne au 3 janvier et celle de l l'étant au point vernal, correspondant en moyenne au 21 mars. L'anomalie vraie du point vernal est notée Vi' (7.45)

254

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

Le mouvement régulier est caractérisé par l'anomalie moyenne NI, proportionnelle au temps écoulé à partir du passage au périgée. L'écart, induit par l'excentricité non nulle, entre le mouvement elliptique et le mouvement uniforme est caractérisé par (1- J'v!) ou (v - J'v!), valeurs égales à une constante près. On pose : Ec =v-M (7.46) grandeur appelée équation du centre et que nous avons déjà vue au chapitre 4, définie par (4.85), lors de l'étude du mouvement képlérien. Lorsque e est petit, ce qui est le cas pour l'orbite terrestre (e = 0.0167), on a vu que cette grandeur est donnée par la relation (4.93) :

Ec "-' 2 e sin NI

(7.4 7)

Cette fonction Ec est sinusoïdale, de période annuelle et a pour valeur maximale EC m : EOm = 2e = 0.0334 rad Son graphe est représenté en tireté sur la figure 7.7. Elle s'annule deux fois par an : au périgée (3 janvier) et à l'apogée (5 juillet). Elle passe par un maximum (3 avril) et un minimum (5 octobre). Réduction à l'équateur

On considère la position du Soleil définie par les coordonnées équatoriales célestes. Le plan équatorial fait un angle c, défini ci-dessus, avec l'écliptique. Il en résulte que l'ascension droite a ne varie pas uniformément avec la longitude l. La sphère céleste est représentée (figure 7.6), où 0 est le centre de la Terre, P le pôle Nord céleste, Î le point vernal, S la position du Soleil, S' l'intersection du demi-plan méridien de S avec l'équateur céleste. Dans le triangle sphérique ÎSS', on a pour valeur des angles et des côtés (arcs) : angle Î = c angle S' = Ir /2

SS'= 5

ÎS'= a

On veut exprimer a en fonction de c et 1. Avec la relation (t.s.-XIII), on obtient: cot 1 . sin a

=

cos a . cos c

sin a . cos 1 = cos a . sin 1 . cos c

soit

ce qui donne, en exprimant cos c avec la tangente de l'angle moitié: sin a . cos 1 . et ainsi:

(1 + tan

2

~)

=

cos a . sin 1 .

sin(a -1) = - tan 2

c

(1 - tan

"2 . sin(a + 1)

2

~) (7.48)

7.3. Mouvement apparent du Soleil

De par la valeur de

E,

255

les angles a et 1 restent voisins et on peut écrire: 2 E

.

a c::: 1 - tan -. sm 21 2

(7.49)

On appelle réduction à l'équateur, notée ER, la quantité: (7.50) qui caractérise donc l'écart, introduit par l'obliquité, entre le mouvement réel et le mouvement uniforme. Dans l'argument du sinus, on peut poser 1 c::: NI - v" ce qui donne: ER c::: -tan

. "2' sm 2 (!vI - v,)

2 E

(7.51)

Cette fonction ER est sinusoïdale, de période bi-annuelle et a pour valeur maximale EH", : ERm

=

tan

"2

2 E

=

0.0431

rad

Elle s'annule quatre fois par an, aux deux équinoxes (21 mars, 23 septembre) et aux deux solstices (21 juin, 22 décembre). Son graphe est représentée en tireté-pointillé sur la figure 7.7. Équation du temps

Considérons le mouvement apparent du Soleil par rapport à la Terre: sa position est définie par l'ascension droite a. La position qu'il aurait dans un mouvement uniforme de même période est définie par l'anomalie moyenne l'vI. En prenant la même origine, le point vernal, il faut donc comparer a, qui caractérise le temps solaire vrai, avec (l'vI - v,), qui caractérise le temps solaire moyen. L'écart entre ces deux angles est appelé équation du temps, noté ET : ET

= a - (!vI - v,) = a -1 + 1 -!vI + v, = (a -1) + (v -!vI)

ce qui montre que l'équation du temps est la somme des deux grandeurs Ec et ER définies plus haut: (7.52) Sa valeur est donc : ET = 2e sin !vI - tan 2

E

"2' sin 2 (!vI - v,)

(7.53)

On rappelle : NI = n( t - t p ), avec n = 27r /T, T étant égal à une année (en toute rigueur, une année anomalistique). La moyenne de ET sur une année est, par définition, nulle. Avec la précision requise ici, il est commode de considérer la période égale à une année civile de 365 jours et de caractériser NI par le jour J de l'année,

256

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

JAN

20

FEV

MAR

AVR

MAI

JUN

JUL

AOU

SEP

OCT

NOV

DEC

15

enal

10

"5 c

len

5

E

0

Cl.

2

:::J

-c c 0

~

-5

:::J 0-

w

-10 -15 -20 0

30

60

90

120

150

180

210

240

Jour (dans l'année)

Jour J 45 107 135 166 207 244 305 359

Jour Mois 14 17 15 15 26 01 01 25

FEV AVR MAI JUN JUL SEP NOV DEC

270

300

330

365

ET (min)

+14.30 0 -3.60 0 +6.37 0 -16.43 0

7.7: Graphe de l'équation du temps en fonction du jour J de l'année. L'équation du temps ET est la somme de l'équation du centre Ec et de la réduction à l'équateur ER. Tous ces écarts sont exprimés en minutes. Valeurs remarquables (maxima, minima, valeurs nulles) de ET avec les dates correspondantes. Ces dates peuvent varier d'un ou deux jours, en plus ou en moins, selon les années.

FIG.

7.3. Mouvement apparent du Soleil

257

avec pour origine le début de l'année (J = 1 pour 1er janvier, J = 2 pour 2 janvier, ... , J = 365 pour 31 décembre). On a alors, avec le passage au périgée pour J = 3 (et en remarquant: 79 c::: 78 x 365/360) : 360 M = (J - 3) 365

(7.54)

M-v = 360(J_3)_78= 360[(J-3)-79] = 360 (J-82) Î 365 365 365

(7.55)

Pour exprimer ET en unités de temps, on convertit les radians en minutes de temps: sur un tour d'orbite, l'ascension droite a varié de 24 heures, donc 2 'if rad est équivalent à 1440 min. On obtient finalement pour ET, en exprimant les arguments des sinus en degrés: ET(J)(minutes) = 7.64 sin [ 3 3656 (J 0 - 3)] - 9.87 sin [720 365 (J - 82) ]

(7.56)

Avec cette formule simplifiée, amplement suffisante dans la majorité des cas, on constate que les deux effets sont découplés dans ET : l'excentricité joue pour Ec, l'obliquité pour ER. Cela est dû au fait que les quantités e et tan 2 (E/2) sont petites devant 1. On trouvera dans les ouvrages d'astronomie des relations très détaillées et très précises pour ET. Le graphe de variation de ET calculé par (7.56) est représenté à la figure 7.7. On a noté les valeurs remarquables de ET. On voit en particulier que l'équation du temps varie avec une amplitude d'un quart d'heure et s'annule quatre fois par an. Remarque. La convention de signe pour la définition de ET change parfois, selon les domaines ou les ouvrages, de même que la convention pour les longitudes géographiques. Il faut donc être très attentif au signe utilisé dans les calculs.

7.3.4

Temps solaire

Temps solaire vrai, temps solaire moyen

La convention de signe adoptée est telle que l'équation du temps est l'excès du temps solaire moyen sur le temps solaire vrai. Donc, si on ajoute ET au temps solaire vrai, on obtient le temps solaire moyen. équation du temps = temps solaire moyen -

temps solaire vrai

À ces inégalités de temps solaire vrai correspondent des variations de la durée du jour solaire vrai (intervalle de temps séparant deux midis solaires consécutifs). Cette durée est comprise entre 23 h 59 min 39 s et 24 h 00 min 30 s.

258

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

Temps civil, temps universel TU Avec les définitions vues ci-dessus, midi solaire (donc H = 0) correspond à 0 h pour le temps solaire vrai. On appelle temps civil d'un lieu, le temps solaire moyen de ce lieu augmenté de 12 heures. Le temps universel (TU) est le temps civil du méridien de Greenwich. Il est donc finalement basé sur la rotation de la Terre et en reflète les irrégularités. Le temps atomique international (TAI), qui est la mesure du temps la plus régulière qu'on sache réaliser, est obtenu en laboratoire par des techniques métrologiques de pointe. Cette mesure très précise du temps permet de tenir compte du ralentissement de la rotation terrestre. Le temps universel coordonné (TUC) est le TAI recalé par nombre entier de secondes sur le TU. Remarque sur les abréviations. Les abréviations officielles du temps universel et du temps universel coordonné sont respectivement UT (Universal Time, en anglais) 13 et UTC (Coordinated Universal Time). Nous maintenons dans cet ouvrage la pratique de l'abréviation française TU, qui est homogène avec les abréviations TSM et TSV que nous allons voir ci-dessous.

Temps solaires TSV et TSM Dans toute la suite de ce travail, les temps solaires que nous utilisons sont des temps civils: l'abréviation TSM sera réservée au temps solaire moyen augmenté de 12 heures, l'abréviation TSV au temps solaire vrai augmenté de 12 heures. On a la relation: ET = TSM - TSV (7.57) en notant bien la valeur à midi : H

=

0

~

TSV

=

12 h

TSM = 12 h +ET

Les temps TSM et TU sont reliés par l'angle horaire: TSM = TU

+

À

(À en 0; temps en heure)

15

(7.58)

avec la convention sur les longitudes (-W / +E) déjà vue. Par la suite, nous noterons par t l'instant en heure TU et par T, l'instant correspondant en heure TSM, pour un lieu de longitude À. On a la relation:

T(t, À)

=

T= t

À

+ 15

(7.59)

L'heure TSM est aussi appelée l' heure locale et l'heure TSV l' heure solaire. 13L'ancienne appellation GMT (Greenwich Mean Time) est considérée comme impropre par les astronomes et a été abandonnée depuis plusieurs décennies. Il faut éviter de l'utiliser, même si on la rencontre encore dans certains milieux professionnels.

7.3. Mouvement apparent du Soleil

259

Exemple 7.4 Le satellite russe Resurs-Ol-4 a été lancé le 10 juillet 1998, à 06:30 TU de la base de Baikonour (Kazakhstan). On calcule l'heure TSM et TSV à cet endroit, à cet instant. ~ Les coordonnées géographiques du centre spatial sont: 68°16' E; 45°38' N. On a donc pour la longitude: À = +68.27°. Ce qui donne le temps solaire moyen: TSM + 68.27/15 = TU + 4.551 = 06 h 30 min + 4 h 33 min = Il h 03 min. La date intervient pour l'équation du temps: ET(J = 191) = 5.2 min. On obtient ainsi le temps solaire vrai: TSV = TSM -ET = 11 h 03 min - 0 h 05 min = 10 h 58 min. En résumé: Baïkonour - 10 juillet 06:30 TU =? 11:03 TSM; 10:58 TSV ....

N ote historique sur les échelles de temps

Avant 1960, la définition de la seconde est basée sur la rotation de la Terre: un jour solaire moyen est égal à 86400 secondes. L'échelle de temps est le temps universel TU. Entre 1960 et 1967, pour s'affranchir des irrégularités de la rotation terrestre, on choisit le mouvement orbital de la Terre pour définir la seconde, qui devient une fraction de l'année tropique 1900. L'échelle des temps est le temps des éphémérides TE. L'année 1967 marque une limite historiquement importante: à partir de cette date, la définition du temps quitte pour la première fois le domaine de l'astronomie pour aller entre les mains des physiciens. La seconde est définie par la période d'une radiation émise par l'atome de césium 133. L'échelle de temps est le temps atomique international TAI. C'est actuellement 14 la définition légale de la seconde, unité du système SI. Dans cet ouvrage, où nous étudions par exemple l'heure de passage d'un satellite et la position du Soleil à ce moment-là, les temps utilisés seront uniquement TU, TSM, TSV. On comprend évidemment que pour déterminer avec précision la position d'un satellite, le recalage TAI-TUC ne peut être négligé: en une seconde (ajoutée tous les 12 ou 18 mois environ), le satellite a parcouru 7 km !

7.3.5

Déclinaison

La déclinaison solaire s'exprime très simplement en fonction de la longitude céleste du Soleill et de l'obliquité E. Dans le triangle sphérique rectangle défini à la figure 7.6 et avec les valeurs angulaires notées dans la légende de 14La précision atteinte aujourd'hui dans les observations et dans la mesure du temps amène les astronomes à considérer les effets relativistes et à définir des échelles de temps comme TCB et TCG, évoquées au chapitre 3, dans l'annexe Systèmes de référence terrestre. On va ainsi distinguer par exemple le temps donné par une horloge atomique terrestre et celui donné par une horloge au repos au barycentre du système solaire.

260

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

JAN

30

FEV

MAR

AVR

MAI

JUN

JUL

AOU

SEP

OCT

NOV

DEC

25 20 15 10 0

5

c 0 en ëii

0

.~

Ü

.Q)

0

-5 -10 -15 -20 -25 -30 0

Jour J 21 54 80 106 141 173 205 240 266 293 326 356

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

Jour (dans l'année)

Jour Mois 21 23 21 16 21 22 24 28 23 20 22 22

JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC

,5(0) -20.00 -10.00 0.00 +10.00 +20.00 +23.44 +20.00 +10.00 0.00 -10.00 -20.00 -23.44

0

Début des saisons

365

d. s. 89

0=0 0=

+E

0=0 0=

-E

Equinoxe de printemps Solstice d'été Equinoxe d'éutomne

93 93 90

Solstice d'hiver

7.8 : Graphe de la déclinaison solaire 0 en fonction du jour J. Valeurs remarquables de 0 et J correspondants. L'obliquité de la Terre est 23.44°. Abréviation: d. s. pour durée des saisons (exprimée en jours).

FIG.

E

7.3. Mouvement apparent du Soleil

261

la figure ou dans le paragraphe correspondant au calcul de la réduction à l'équateur, on utilise la règle des sinus de la trigonométrie sphérique, relation (t.s.-VIII) et on obtient: sin 5 = sin 1 . sin E (7.60) Évidemment, c'est en fonction de la date (avec pour intermédiaire l'anomalie moyenne l'vI) qu'on veut connaître la déclinaison 5. En utilisant l'équation du centre, on a, avec les relations (7.44), (7.45) et (7.47) : 1 = v - v-y = l'vI

+ 2esinl'vI -

v-y = (l'vI - v-y)

+ 2esinl'vI

(7.61)

On utilise le jour J de l'année (J = 1 à J = 365). On a vu, avec (7.54) et (7.55), la relation de l'vI et de (l'vI - v-y) avec J. Si on utilise les angles en degrés, comme habituellement, il faut multiplier la valeur de l'excentricité e par le coefficient de conversion des radians vers les degrés : e = 0.0167· 180/7f = 0.96° ce qui donne : sin5

=

360 sinE' sin [ ( J - 82) 365

+ 1.9

3 sin (6 J0 - 3)] 365

(7.62)

ou, en exprimant numériquement l'obliquité: _ 6(J)

=

arcsin { 0.39795 sin [360 - ( J - 82) 365

+ 1.9

3 sin (6 J0 - 3)] } 365

(7.63)

Rappelons que la valeur issue de (7.47) est approchée (mais avec une très bonne approximation ici) : la formule (7.63) donne la déclinaison avec une précision de 0.2°, ce qui est amplement suffisant pour l'étude des angles solaires, avec des dates définies en nombres entiers de jours (le diamètre apparent du Soleil est de 0.5° et la variation de 5 est de 0.4° par jour près des équinoxes). La variation de la déclinaison en fonction de la date est représentée sur la figure 7.8. On a noté les dates remarquables. On remarque que la durée des saisons (les saisons sont définies par des intervalles de longitude solaire de 90°) est inégale. Le passage au périgée (3 janvier) étant, à notre siècle, proche du solstice d'hiver (22 décembre), les saisons proches de ces dates (automne et hiver) sont plus courtes que les saisons proches du passage à l'apogée: c'est la manifestation de l'application de la deuxième loi de Kepler (loi des aires) .

7.3.6

Jour julien, date julienne

Pour faire intervenir dans les équations l'expression du ralentissement de la rotation terrestre, pour calculer un écart de temps entre deux dates

262

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

données, ou pour situer sans ambiguïté un jour dans l'histoire, on utilise le jour julien. Les jours sont comptés les uns derrière les autres, sans notation de mois ou d'année, sans rupture lors des changements de calendrier. L'origine est prise suffisamment loin pour englober tous les événements historiques 15 . La date julienne (DJ) correspond au jour julien augmenté de la fraction de jour, comptée à partir de 12 h. On a la correspondance, au 1er janvier 2000, entre la date du calendrier grégorien et la date julienne: 2000-01-01

12:00:00

~

DJ = 2451 545.0

(7.64)

Nous utiliserons cette notion de date julienne pour les paramètres orbitaux NORAD (chapitre 8) et pour les calculs relatifs à l'orbite de Mars (chapitre 16). On peut utiliser aussi le jour julien modifié (JJM) qui se déduit 16 de la date julienne par : JJM = DJ - 2400000.5 (7.65)

7.4 7.4.1

Géosynchronisme Définition

On considère la rotation du satellite S et la rotation de la Terre dans le référentiel galiléen ~. On dit qu'un satellite est géosynchrone si son mouvement autour de la Terre et le mouvement de rotation de la Terre autour de son axe s'effectuent avec la même pulsation, c'est-à-dire si le moyen mouvement n du 15 Joseph Juste Scaliger (1540-1609), savant français, proposa en 1583, dans De emendatione temporum (Sur la correction des temps), une nouvelle chronologie, par un classement continu des années qui englobe toutes les civilisations. Il nomma cette numérotation «julienne », par analogie avec le calendrier julien (instauré par Jules César). La numérotation julienne, citée par Kepler, a été utilisée par les astronomes à partir de 1860. Ils y ajoutèrent alors la notion de jour julien, de date julienne. Scaliger considère des cycles intervenant dans le calcul de la date de Pâques, grand souci des astronomes en pays chrétien : - le cycle solaire (ou cycle dominical) de 28 ans (7 fois 4: 7 jours de la semaine, une année bissextile tous les 4 ans), -le cycle lunaire (ou nombre d'or, ou cycle de Méton) de 19 ans (235 lunaisons en 19 ans), - le cycle d'indiction, de 15 ans (valeur historique, sans signification astronomique). À chaque année correspond un ensemble de trois nombres, un par cycle. Tous les 28 x 19 x 15 = 7980 ans, les années retrouvent les mêmes valeurs pour les trois cycles (28, 19 et 15 sont premiers entre eux). Scaliger a choisi pour origine l'année où les numéros des cycles sont tous les trois égaux à l. Cela correspond, dans un calendrier grégorien fictif, à la date du lundi 1 er janvier -4712, 12 h. Cette année (soit 4713 av. JC) est bissextile. 160n allège le jour julien de 2400000 jours (ce qui correspond à une origine le 17 novembre 1858) et on prend l'origine à minuit et non plus à midi.

7.4. Géosynchronisme

satellite est égal à

263

nT. Satellite géosynchrone

{==}

n

=

nT

(7.66)

Cette condition peut être réalisée par un satellite dont les paramètres orbitaux e et i ne sont pas nuls. Mais dans la pratique, ce qu'on cherche habituellement dans un mouvement géosynchrone, c'est que la trace So du satellite soit immobile sur la Terre (dans le repère 1RT ). On dit alors que le satellite est géostationnaire. Cette trace au sol, fixe, est appelée le point subsatellite du satellite géostationnaire. Pour cela, il faut que les vecteurs représentant la rotation de la Terre et du satellite soient égaux. En direction, ils doivent être colinéaires. Comme le vecteur rotation de la Terre est porté par Oz, l'axe des pôles, il faut qu'il en soit de même pour celui de S. Comme, de plus, l'orbite de S est plane et doit contenir le centre attractif 0, centre de la Terre, elle est obligatoirement dans le plan équatorial (donc i = 0). Les valeurs algébriques de ces vecteurs sont égales puisque le satellite est géosynchrone. La valeur étant constante, le mouvement de S doit être uniforme (la trace sera ainsi stationnaire) : l'orbite de S est donc obligatoirement circulaire (l'altitude est constante).

nT

Satellite géostationnaire

{==}

nT

n = { i = 0 h = constante

(7.67)

Un satellite géostationnaire est donc géosynchrone 17 , la réciproque n'est pas toujours vérifiée (orbite type Tundra par exemple). Sa position est déterminée par la longitude du point subsatellite, appelée longitude de stationnement du satellite géostationnaire.

7.4.2

Calcul de l'orbite

Pour calculer le rayon de l'orbite circulaire de S, on considère dans un premier temps la valeur du moyen mouvement képlérien. En posant no = on obtient: a~ = --f!.- = 7.4960128 10 22

nT,

rpT

ao

=

42 164.159 km

ho

=

35786 km

En utilisant la méthode itérative d'obtention de l'altitude à partir de la période, vue dans l'exemple 7.3, on obtient: al

= 42 164.199 km

hl = 35786 km

17Dans !R, le satellite est synchrone; dans !R T , il est stationnaire. La formation du mot géosynchrone, « synchronisé avec la Terre», à partir de racines grecques, est plus satisfaisante que celle de géostationnaire, hybride grec-latin.

264

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

À cette altitude, comme le montre la figure 6.1, la perturbation prédominante n'est plus celle du terme en h du potentiel terrestre, mais celle du potentiel luni-solaire. Les calculs d'itération, comme ceux vus précédemment, sont en fait inadaptés ici. L'étude des diverses perturbations (très faibles d'ailleurs par rapport au terme principal) donne la valeur exacte du rayon de l'orbite, que nous affecterons de l'indice [cs] pour géostationnaire:

acs

=

hcs

42 165.785 km

=

35 788 km

(7.68)

ou en fonction du rayon équatorial terrestre R :

acs

=

6.611 R

hcs

=

5.611 R

(7.69)

En utilisant la distance relative T), on a : T)cs =

7.4.3

acs R

=

6.611

(7.70)

Satellites géostationnaires

On comprend facilement l'intérêt d'un satellite géostationnaire: il « voit» toujours les mêmes régions, avec la même géométrie de vue (nous étudierons ces points au chapitre 14). Pour les satellites de communication et ceux d'observation de la Terre, ces points sont primordiaux. Cette position permet par exemple à un satellite météorologique de faire un «film », avec une image toutes les 15 minutes, en temps réel, de l'évolution des formations nuageuses. Les inconvénients apparaissent tout aussi clairement: un satellite géostationnaire ne voit pas toute la Terre, ni en longitude (c'est pour cela qu'il faut en placer plusieurs, écartés en longitude), ni en latitude (l'observation des régions situées au-delà de 55° n'est pas réellement exploitable) et, de plus, la voit de très loin. Note historique sur les satellites géostationnaires

L'orbite géosynchrone a été recherchée dès le début de l'ère spatiale, avec la série de satellites américains Syncom (Synchronous Communications Satellite), satellites 18 expérimentaux de communication (masse: 39 kg). Le premier, Syncom-1, i = 33.3°, fut perdu dès le lancement. Le suivant, Syncom-2, i = 32.8°, est le premier satellite géosynchrone. Il permit d'obtenir la première liaison téléphonique entre le Golfe du Bénin et les États-Unis, le 31 juillet 1963 (figure 9.11(a)). On peut considérer Syncom-3 comme le premier satellite géostationnaire, puisque son inclinaison était de i = 0.1°. Grâce à lui, les Jeux Olympiques de Tokyo, en 1964, ont été suivis en direct, par télévision, aux États-Unis. 18Dates de lancement - Syncom-1 : 14 février 1961; Syncom-2 : 26 juillet 1963; Syncom3 : 19 août 1964.

7.4. Géosynchronisme

265

Les satellites de la série suivante, ATS (Applications Technology Satellite), étaient déjà beaucoup plus gros (masse de 930 kg pour ATS-6)19. La série Intelsat (International Telecommunications Satellite Organisation) est la première famille de satellites de communications commerciales 2o . Les premières images provenant de géostationnaires furent celles de ATS-1 et ATS-3, mais les premiers satellites météorologiques sur cette orbite furent ceux de la série SMS (Synchronous Meteorological Satellite), lancés en 1974 et 1975, SMS-1, i = 15.5° et SMS-2, i = 12.0°. Ils furent suivis par ceux de la série GOES, de GOES-1 (SMS-3 opérationnel),i = 12.4° à GOES-7,i = 1.2°. Pour la série GOES-Next, à partir de GOES-8, les orbites sont équatoriales: i c::: 0.2°. Le premier satellite géostationnaire soviétique a été mis en orbite très tardivement, car ce type de satellite n'est pas véritablement intéressant pour un pays comme la Russie. C'était Kosmos-637, lancé le 26 mars 1974, i = 14.5°. Peu après, fut lancé le satellite de communication franco-allemand Symphonie-l, le 19 décembre 1974, i = 14.9°. Le premier satellite de l'organisme européen ESA fut METEOSAT-1, lancé en 1977, i = 11.9°. À partir de 1990, les satellites météorologiques sont sur une orbite quasi équatoriale (i < 1.5°), quasi circulaire (e rv 2 10- 4 ). Au 1er janvier 2010, on comptait plus de mille satellites sur une orbite géosynchrone quasi géostationnaire (exactement 1186 objets de dimension supérieure à 1 mètre) dont 381 en fonctionnement et, parmi eux, 239 pour les communications et 16 pour la météorologie. Pour la question de l'éclipse solaire, à laquelle est confronté le satellite géostationnaire, voir en fin de chapitre 10.

7.4.4

Dérive de l'orbite géostationnaire

Le satellite géostationnaire, soumis à l'influence des diverses perturbations, va « dériver» au cours du temps, c'est-à-dire que sa trace Sa ne va plus être exactement au point de référence assigné. On distingue deux types de dérive : en longitude et en latitude. Dérive en longitude

Pour les satellites météorologiques, le glissement de Sa en longitude peut être compensé, s'il est faible, par des corrections sur l'image transmise. Une 19 À part deux échecs, pour ATS-2 et -4, les satellites furent placés sur une orbite légèrement inclinée. Dates de lancement - ATS-1, 7 décembre 1966, i = 14.5° (resté 18 ans en service, jusqu'en avril 1985) ; ATS-3, 5 novembre 1967, i = 14.5° ; ATS-5, 12 août 1969, i = 14.5°; ATS-6, 30 mai 1974, i = 13.1°. 20Le premier de la série fut Intelsat-1 F-1, connu aussi sous le nom de Early Bird, lancé le 6 avril 1965, i = 14.7° (stationné sur l'Atlantique pour établir des liaisons téléphoniques « fixes» entre les États-Unis et l'Europe). Depuis, les satellites Intelsat ont été lancés régulièrement et placés au-dessus des océans Atlantique, Indien, Pacifique. Après le rachat de PanAmSat, Intelsat possédait, en 2009, 55 satellites en fonctionnement.

266

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

très légère variation de a provoque ce glissement: le satellite n'est plus alors exactement géosynchrone. Si a augmente, la période augmente, le moyen mouvement diminue: le satellite tourne moins vite que la Terre dans ~ et la trace 50 va vers l'ouest dans ~T. Si a diminue, 50 va vers l'est. Ce phénomène est schématisé sur la figure 7.9. On pourra aussi se reporter à la figure 5.3(b). Nous allons calculer le déplacement LlII de la trace, sur un jour, pour une variation Lla du rayon de l'orbite (ou de l'altitude). Dans ~, le point subsatellite d'un satellite géostationnaire se déplace, entre les instants ta et h, de la distance 1 :

Dans ~, le point subsatellite d'un satellite de moyen mouvement n se déplace, entre ces mêmes instants, de la distance l' : 1'=Rn(h-to) La différence mesure l'écart dans glissement cherché :

l' -1

=

~,

ou dans

~T,

où cet écart mesure le

R (n - ftr)(tl - ta)

Si le second satellite est proche de l'orbite géostationnaire, avec a = acs + Lla et n = DT + Lln, on a la relation:

dn

3 da 2 a

n

Lln

3 Lla

DT

2 acs

-~----

et, en posant Lll = l' - l, on a : Lll = RLln(tl - ta)

3 R· Lla DT (tl - ta) 2 acs

= --

La valeur T)cs = (acs/R) est déterminée, par (7.70), pour un satellite géostationnaire. Si on considère un intervalle de temps d'un jour exactement, (tl - ta) = hI, on exprime (DT' h,d par l'équation (7.30) et on obtient LlII (l'indice [1] signifie : sur 1 jour), le déplacement de la trace sur un jour : LlII

=

_~_1_21f366.25 Lla 2 6.611

LlII = -1.4295 Lla

365.25

(par jour)

(7.71)

Cette relation est valable algébriquement en appliquant pour Lll les conventions habituelles sur les longitudes (- w / +E). Voici deux exemples d'application : le premier pour calculer la dérive d'un satellite qui n'est pas exactement à l'altitude requise, le second pour montrer comment on peut, au contraire, profiter de cette dérive pour déplacer le satellite.

7.4. Géosynchronisme

267

FIG. 7.9 : Représentation schématique de l'orbite d'un satellite géostationnaire et de celles de deux autres satellites, à des altitudes plus haute et plus basse que celle requise pour le géosynchronisme. À l'instant t = ta, les trois satellites ont le même point subsatellite. À l'instant t = tl, le point subsatellite du satellite le plus bas a glissé vers l'est, celui du satellite le plus haut a glissé vers l'ouest, par rapport au point subsatellite du satellite géostationnaire. Le dessin représente la Terre vue d'un point situé très haut au-dessus du pôle Nord, dans le référentiel galiléen R.

Exemple 7.5 Calcul du glissement en longitude, sur une semaine, de la trace d'un satellite géostationnaire dont l'altitude a augmenté de 100 m. ~ Avec Lla = Llh = 100 m, la relation (7.71) donne: Lll = -143 mT l

.

La trace au sol (la position du point subsatellite) se déplace donc vers l'ouest de 1.0 km en une semaine ....

Exemple 7.6 Dans le cadre de l'expérience INDOEX (Indian Ocean Experiment), l'Organisation européenne de satellites météorologiques (EUMETSAT) a décidé de déplacer le satellite METEOSAT-5 de la position d'attente où il était (10 0 W) à sa nouvelle position au-dessus de l'océan Indien (63 0 E). La méthode utilisée pour ce déplacement a été de mettre le satellite sur une orbite plus basse. Ainsi, par sa dérive vers l'est, le satellite, parti de sa position géostationnaire initiale le 14 janvier 1998, est arrivé à sa nouvelle position géostationnaire le 19 mai 1998. On calcule de quelle longueur il a fallu changer le rayon de l'orbite pour effectuer un tel transfert.

268

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

~ Les dates de départ (J = 14) et d'arrivée (J = 139) sont séparées de 125 jours. Chaque passage d'une orbite à l'autre prenant 12 heures, on considère que le transfert se fait en 124 jours. La distance entre les deux positions est de 73°. Le satellite doit donc se déplacer de (73/124) = 0.589° par jour par rapport à la Terre, ce qui correspond à 65.53 km par jour pour la trace au sol. Le déplacement étant vers l'est, on a donc: i1l = 65.53 kmj-1. En appliquant (7.71), on trouve:

i1l i1a = - - - = -45.84 km 1.4295 Le satellite a donc été mis sur une orbite plus basse de 46 km. On remarque bien que seules les deux manœuvres de début et de fin consomment de l'énergie - le voyage ne coûte rien 21 ....

Dérive en latitude

La variation de So en latitude (S quitte légèrement le plan équatorial sous l'action des forces gravitationnelles de la Lune et du Soleil) se manifeste par une déformation de la trace. L'orbite est légèrement inclinée sur le plan équatorial (i of. 0). Au cours de la journée, le point subsatellite n'est pas fixe mais varie entre les latitudes 1jJ = +i et 1jJ = -i. Si l'orbite reste circulaire, l'intersection de la droite OS (joignant le centre 0 de la Terre au satellite S) avec le plan horizontal équatorial du nœud de l'orbite, dessine une courbe en forme de «8 », (ressemblant à une lemniscate de Bernoulli), comme en peut voir sur la figure 9.11(a).

7.4.5

Maintien à poste

Le maintien à poste des satellites géostationnaires a fait l'objet d'une importante production scientifique. D'une part, le problème demande des outils spéciaux, adaptés, car l'orbite géostationnaire est loin d'être banale, avec e = 0 et i = 0, les angles [2 et w sont indéterminés. D'autre part, les enjeux économiques sont importants: ces satellites coûtent très cher, peuvent rapporter gros, et il n'est donc pas question de les laisser se perdre par dérive sur l'orbite. Le maintien à poste consiste à remettre, au bout d'un certain temps, le satellite dans sa « fenêtre» (ordre de grandeur : IOde largeur pour la fenêtre est-ouest, de -0.1 0 à +0.1 0 pour la fenêtre nord-sud). Ces opérations de maintien, qui nécessitent des manœuvres et donc des mises à feu brûlant du carburant, limitent la durée de vie du satellite. Le contrôle nord-sud re21 La rapidité du transfert se paie: plus vite on veut aller, plus basse devra être l'altitude de l'orbite inférieure. Pour chaque manœuvre du transfert de METEOSAT-5 étudié ici (qui comporte deux mises à feu, une sur l'orbite de départ, une sur celle d'arrivée), l'organisation EUMETSAT indique qu'il a fallu brûler 300 grammes de carburant. Le satellite possédait 6 kg de carburant avant son déplacement.

7.4. Géosynchronisme

269

présente la plus grande partie de la consommation du carburant destiné au maintien à poste 22 . L'orbite du satellite géostationnaire évolue au cours du temps: - a, le demi-grand axe, par l'effet des termes tesséraux du potentiel terrestre; - e, l'excentricité (puisque l'orbite déformée n'est plus circulaire), sous l'effet de la pression de radiation solaire et de l'attraction luni-solaire; - 'i, l'inclinaison, sous l'action principale du Soleil et de la Lune, puisque le plan de l'écliptique, dans lequel se déplace le Soleil apparent, est incliné de 23° par rapport au plan de l'orbite (équatorial terrestre) et que le plan de l'orbite lunaire est, à 5° près, dans le plan de l'écliptique. Nous étudions de plus près l'évolution de a. Accélération longitudinale

En laissant évoluer le satellite géostationnaire, il va se diriger, selon sa position initiale, vers des points de longitude particulière sur l'équateur terrestre. Ce phénomène est dû principalement à la manifestation de l'harmonique tesséral P22 : les termes C 22 et 5 22 ne sont pas nuls, alors qu'ils sont pris égaux à 0 dans un modèle à symétrie de révolution - voir équation (3.24). Nous calculons cette dérive (par son accélération longitudinale), d'abord par un développement du géopotentiel jusqu'au 2e ordre, puis en le poursuivant jusqu'au 3e ordre. (a) Développement du géopotentiel à l'ordre 2 On reprend la relation (3.23) dans laquelle on pose C 11 = 0 et 5 11 = 0 (ce qui résulte, comme nous avons vu, du fait que l'origine des coordonnées soit choisie au centre de masse). En exprimant les polynômes et les fonctions de Legendre, on obtient :

U(r,À,VJ)

=!!.. r

{1 + (!i)2 [C20 r

2

3sin 1jJ

( C 21 cos À + 5 21 sin À) 3 sin 1jJ cos 1jJ

2

+

-1

+

(C22 cos 2À

+ 5 22 sin 2À)

3 cos 2 .1jJ] }

Pour un satellite en orbite équatoriale (1jJ = 0), le potentiel s'écrit, en notant h pour -C comme vu en (3.26) :

20 ,

U(r,

À,

0) =

~ {1 + (~) [~2 + 3 (C 2

22

cos2À + 5 22 sin2À)]}

(7.72)

22pour le satellite TDF-1, le contrôle nord-sud représente 95% de cette consommation. Lancé en 1988, ce satellite a été maintenu à poste pendant sa durée d'utilisation. Ensuite, il a été placé sur une orbite de «garage» (ou plus justement graveyard orbit, «orbite cimetière» comme on dit en anglais), où on le laisse dériver. Le 26 avril 1999, l'altitude du périgée était de 36088 km et d'apogée 36093 km (d'où a = 42469 km); l'inclinaison était i = 2.25°. La dérive est de -3.9° par jour, correspondant à Lla = 304 km, d'après la relation (7.71).

270

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

ce qu'on peut écrire sous la forme:

U(r-, À, 0) = Uo + R(r-, À, 0)

(7.73)

Avec U = Uo = /-L/r-, on obtient le rayon r- = ao de l'orbite géostationnaire képlérienne. En considérant :

on obtient la valeur al calculée précédemment, que nous notons ici a. C'est donc le potentiel perturbateur RI :

R/(a, À)

=

3

~ (~) 2 (C22 cos2À + 5 22 sin2À)

(7.74)

qui va créer la dérive en longitude. On pose:

(7.75) ce qui permet d'introduire la quantité

C 22 5 22

À 22

telle que:

h2

cos À 22

h2

sin À 22

et d'écrire ainsi le potentiel RI :

R/(a,À)=3~ (~)2

J 22 cos2(À-À 22 )

(7.76)

Cette longitude À 22 s'obtient donc simplement à partir de C 22 et 5 22 , coefficients qui rendent compte du fait que la ligne équipotentielle à l'équateur n'est pas un cercle mais une ellipse: 1

À 22 = -

2

5 22 arctan -

C 22

=

1

-

2

5* arctan ~

q2

(7.77)

Pour la Terre (modèle EIGEN), on a h2 = 1.8156 10- 6 et À 22 = -14.93°. Les équations de Lagrange (tableau 6.2) nous donnent la variation de a en fonction du temps, sous l'effet de la perturbation: da dt

=

1

na

(

2

aR)

aM

(7.78)

Dans un mouvement circulaire uniforme (ce qui est le cas, au premier ordre, pour un satellite géostationnaire) l'anomalie moyenne NI et la longitude À

7.4. Géosynchronisme

271

sont égales, à une constante additive près, et on a donc, en faisant intervenir le moyen mouvement n : dÀ dM = - - =n (7.79) dt dt D'après les valeurs de n et n' vues plus haut, on peut écrire: (7.80) Avec la troisième loi de Kepler, on obtient: dn 2 -

n

=

da -3-

a

et ainsi:

dn 3 n da -- - dt 2 a dt ce qui permet de calculer l'accélération longitudinale: d 2À = dt 2

soit, avec

_~ !.!:

da = 2 a dt

(/Lja 3 )

=

n 2

..

À

=

_~ an' a 2 aÀ

= 18

~ a3

(!i) a

2

h2 sin2(À - À 22 )

D'f et la distance relative T)GS

= 18

. (-DT. )2 h2 sm2(À T)GS

(7.81 )

:

(7.82)

À 22 )

Les valeurs numériques, pour la Terre, donnent: (7.83) avec: T)GS

A

=

18

DT ) 2 ( T)GS

7.292 10- 5 -.,----:-___- = 1.1030 10- 5 6.611 h2 = 18 x 1.2166 10- 10 x 1.8154 10- 6 = 3.9756

10- 15

(7.84)

rad·s- 2

et pour le coefficient A en (degrés /jour) par jour :

A = 3.975610- 15 x (180j7T)

X

(86400)2 = 1.700 10- 3

degré·j-2

(7.85)

(b) Développement du géopotentiel à l'ordre 3 Si on écrit le potentiel U(r, À, 'ljJ) à l'ordre 3, à partir de la relation (3.17), on ajoute les termes faisant intervenir les fonctions de Legendre P3m . Pour 1/;=0: P31

3

=--

2

272

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

GEOSTATIONNAIRE

a_GS

=42165.785 km

Inclinaison

Accélération longitudinale

=

0.00

Modèle gravit. : EIGEN·C3

0

Long. pt stable= 75.1 Long. pt stable=104.9

E

0

0

W

0.0025 0.0020

N

S

.~

0> ID

~ ID

~

'6

il

"g>

.Q

c

~° 'ID :ru e «

0.0015 0.0010 0.0005 0.0000 -0.0005 -0.0010 -0.0015 -0.0020 -0.0025 30 30.0 E

60 60.0 E

90 90.0 E

120 120.0 E

150 150.0 E

180 180.0.

210 150.0 VV

240 120.0 VV

270 90.0 VV

300 60.0 VV

330 30.0 VV

Longitude de stationnement (deg)

FIG. 7.10 : Accélération selon la longitude pour un satellite géostationnaire, en fonction de la longitude. L'accélération nulle détermine les points d'équilibre: À = 75.059° = 750 04' E et À = 255.089° = 104° 59' W pour les points stables, notés par un cercle; À = 162.0980 = 1620 06' E et À = 348.5Tt = 11° 25' W pour les points instables. Dans le cas présenté ici, le satellite géostationnaire est uniquement soumzs aux perturbations d'orbite dues au géopotentiel (modèle EIGEN-C3).

On définit comme précédemment : (7.86)

(7.87)

À 31

= arctan

C: S*

1

31

À33 =

1

-

3

S*

arctan ~

C33

(7.88)

Pour la Terre (modèle EIGEN), on a hl = 2.2095 10- 6 , h3 = 0.2214 10- 6 et pour les longitudes, À 31 = 6.98° et À33 = 20.99° Avec le calcul de (oR' /oÀ) et la même démarche que précédemment, on

7.4. Géosynchronisme

273

obtient: ,\ =

3

(nT) 2 { TIGS

I7~S

[-

6 J 22 sin 2(À - À22 )

~J

+ (7.89)

31

sin(À - À3d

+ 45 J 33

sin 3(À - À33 )] }

Pour la Terre, l'application numérique donne, pour ,\ : À =

B [1.087 sin2(À -

À

22 ) -

0.050 sin(À - À3d

+ 0.150

avec:

B = 3.650 10- 15 rad·s- 2

sin3(À - À 33 )] (7.90)

B = 1.561 10- 3 degré.j-2

Le graphe '\(À) (figure 7.10) donne la variation de l'accélération longitudinale ,\ en fonction de la longitude À. Les longitudes étant comptées positivement vers l'est, on a donc:

,\ > 0 =} déplacement vers l'est

,\ < 0 =} déplacement vers l'ouest

Les solutions de ,\ = 0 sont les 4 longitudes visibles sur le graphe, intersection de '\(À) avec l'axe horizontal. Les deux points stables sont sur les parties descendantes des courbes, les points instables sur les parties ascendantes. Les valeurs sont reportées sur la figure 7.10. Si on se reporte à la carte des anomalies du géoïde, on constate que le point stable À = 75°E correspond au creux de potentiel situé au sud de l'Inde. Les deux points instables correspondent aux bosses, l'une située sur la Papouasie Nouvelle-Guinée, À = 162°E, l'autre sur l'Islande, À = 11 °w. L'équation (7.90) montre que c'est l'harmonique de degré 2 qui a le plus grand poids. Les quatre longitudes obtenues uniquement à partir de À 22 À = À

22 + k 90°

k = 1,2,3,4

soit 75°,165°,255°,345° sont très proches des quatre longitudes obtenues par (7.90), soit 75°,162°,255°,349°, en allant jusqu'à l'ordre 3. La contribution des autres termes devient négligeable à partir de l'ordre 4, puisque pour chaque nouvel ordre intervient le coefficient multiplicatif supplémentaire (l/I7GS) soit 0.15. Exemple 7.7 Description de la dérive longitudinale d'un satellite géostationnaire situé sur le méridien de Greenwich. ~ Le satellite en stationnement à la longitude À = 0° subit une accélération 5-(0°) = 0.737 10- 3 degréjour- 2 . Cette valeur positive indique un déplacement vers l'est, et 5- augmente jusqu'à 5-(34°) = 1.885 10- 3 degréjour- 2 . Le satellite continue à dériver vers l'est jusqu'à À = 75.082°, longitude pour laquelle on a 5- = o. À partir de ce moment, s'il bouge légèrement vers l'est ou vers l'ouest, il sera ramené vers le point d'équilibre stable. ...

274

....... 0

'-"

.....

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

140.4

C

ID

E

ID

c

140.2

C

0

:;:;

10

140.0

ID "0 ID "0

139.8

..... !Il

.....::J

Cl C

0

...J

139.6 01-01 2001

01-07

01-01 2002

01-07

01-01 2003

7.11 : Longitude réelle de stationnement du satellite Beidou-1A, en fonction du temps, durant 33 mois, du 1"" octobre 2000 au 1"" août 2003. Document: CAST (China Academy of Space and Technology).

FIG.

Exemple 7.8 Maintien à poste du satellite géostationnaire de positionnement chinois Beidou-1A. ~ Le système chinois de géolocalisation par satellite Beidou-1 est basé sur l'utilisation de deux satellites géostationnaires, Beidou-1A et -lB. Leur position doit être connue avec une grande précision (voir chapitre 14). La longitude de stationnement effective Às de chacun doit rester très proche de la longitude nominale Àso avec une marge restreinte : Às = Às o ± 0.1° Pour le satellite Beidou-lA, les valeurs de Às en fonction du temps, durant deux ans et demi, sont notées sur la figure 7.11. Pour la valeur de référence Às o = 139.95°E, la figure 7.10 indique.:\ = -1.5 10- 3 0.j-2. L'accélération négative, d 2Vdt 2 < 0, indique que le satellite a donc tendance à aller vers l'ouest, vers le point stable 75°E. Lorqu'il approche de la longitude 139.85°, les moteurs sont allumés pour diminuer l'altitude du satellite, ce qui provoque un glissement vers l'est jusqu'à 140.05° ou 140.10°. Cette manœuvre a lieu tous les mois environ. Le satellite est ensuite rappelé vers l'ouest avec l'accélération .:\, ce qui donne une forme parabolique à la fonction Às(t) . ....

7.4.6

Satellites géosynchrones en orbite très excentrée

Des pays comme la Russie ou le Canada, de part leur position en latitude, n'ont pas grand intérêt à utiliser un satellite géostationnaire, qui est

7.5. Héliosynchronisme

275

équatorial. Le choix d'une orbite inclinée et elliptique (pour jouer sur la loi des aires), permet, comme nous verrons plus loin, de privilégier ces régions septentrionales. Pour annuler la précession apsidale, on choisit obligatoirement l'inclinaison critique, i = ic = 63.4°. On peut fixer la période à un jour (sidéral) et avoir ainsi des satellites géosynchrones. L'orbite, dite de type Tundra, a été étudiée par la Russie et le Canada. L'idée avait été reprise par l'agence européenne ESA pour le projet Archimède. Deux orbites différentes ont été envisagées, Tundra (ou Tundra 2) et Supertundra (ou Tundra 1), pour lesquelles on trouve a = 42163 km, valeur pratiquement indépendante de l'excentricité et très proche de acs donné par (7.68) . L'inclinaison et la période ayant des valeurs déterminées, on a : - pour Tundra : e = 0.2668, hp = 24536 km, ha = 47034 km; - pour Supertundra : e = 0.4230, hp = 17950 km, ha = 53620 km. Pour la première de ces orbites, le temps de visibilité (durée pendant laquelle le satellite est visible dans des conditions géométriques convenables pour les régions considérées; voir chapitre 13) est de 8 heures, pour la seconde de 12 h, la position de l'apogée ayant été correctement fixée. Il faut donc respectivement 3 et 2 satellites, décalés sur ces orbites, pour obtenir une couverture permanente. Dans ces conditions, on peut dire qu'on obtient l'équivalent d'un satellite géostationnaire pour des latitudes élevées. L'orbite Tundra est utilisée effectivement depuis 2000 par la constellation SD-Radio de satellites américains de communication 23 .

7.5 7.5.1

Héliosynchronisme Définition

Le plan P de l'orbite du satellite tourne dans ~, autour de l'axe des pôles, avec une vitesse D, ce qui caractérise la vitesse de rotation du vecteur ON dans le plan E, 0 étant le centre de la Terre, N le nœud ascendant, comme indiqué sur la figure 5.l. On cherche un type d'orbite tel que le passage au nœud ascendant se fasse toujours à la même heure solaire. Il faut donc que ON fasse un angle constant avec la direction du Soleil, puisque l'angle horaire (donc le temps solaire moyen) est l'angle dièdre que fait le plan méridien du point considéré (ici N) avec le plan contenant l'axe des pôles et le Soleil. Pour cela, la vitesse de précession nodale D doit être égale à la vitesse angulaire du mouvement 23Les trois satellites Sirius-l, -2 et -3 (dits aussi SD-Radio-l, -2 et -3), lancés depuis le Kazakhstan, les 30 juin, 5 septembre et 30 novembre 2000, sont sur une orbite géosynchrone : e = 0.2700, hp = 24400 km, ha = 47170 km. Ils sont opérationnels pour l'Amérique du Nord, entre les longitudes 60 0 W et l40 o W, et diffusent des programmes musicaux payants pour auto-radios. Cet opérateur privé mélomane a ensuite mis, entre 2001 à 2006, les quatre satellites Rock et Roll, puis Rythm et Blues, en orbite géostationnaire.

276

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

de la Terre autour du Soleil. Un tel satellite est dit héliosynchrone. Satellite héliosynchrone

{==}

D = Ds

(7.91 )

Un satellite avec une orbite elliptique peut être héliosynchrone. La vitesse de précession nodale s'exprime alors sous la forme D = D(a, e, i). Nous reviendrons un peu plus bas sur ce cas, avec le satellite Ellipso Borealis. Mais dans la plupart des cas, pour les satellites d'observation de la Terre 24 , on n'utilise que des orbites circulaires ou quasi circulaires, avec donc D = D(a, i). La trace d'un satellite héliosynchrone passe à une latitude donnée toujours à la même heure (en considérant le temps solaire moyen), qui n'est pas celle de passage au nœud ascendant et qui en est d'autant plus éloignée qu'on s'écarte de l'équateur. En exprimant la vitesse de précession nodale par P, en tours par an, la condition d'héliosynchronisme s'écrit, bien évidemment:

P= 1

7.5.2

(7.92)

Constante cl 'héliosynchronisme

La condition (7.91) et les valeurs des grandeurs Ko et (7.5) et (7.20) nous amènent à définir la grandeur k h par: kh

Ko

Ds

définies par

(7.93)

= -.-

Ds

ce qui donne comme expression : (7.94) Cette constante k h , que nous avons appelé constante d'héliosynchronisme, joue un rôle très important dans l'étude des satellites. Elle est sans dimension et dépend uniquement : - des caractéristiques de la planète considérée: masse (par IL), rayon (R), aplatissement (facteur d'ellipticité du géopotentiel h) ; - de son mouvement autour du Soleil: année sidérale (Tsid ). On peut l'écrire également en fonction de la période képlérienne du satellite à l'altitude 0 où elle apparaît clairement comme un rapport de périodes: k h -- -3

T sid

2 TO(h=o)

J2

(7.95)

24Les satellites pour l'étude de la magnétosphère ont souvent une orbite elliptique héliosynchrone, comme MagSat, 0rsted ou les deux satellites allemands Aeros-l et -2. Il faut mentionner aussi les satellites dont l'orbite, prévue circulaire, est devenue elliptique par suite d'erreur au lancement, comme par exemple Nimbus-l, évoqué ci-après.

7.5. Héliosynchronisme

277

ou bien, avec les notations de la relation (7.9) :

(7.96) Cette constante intervient dans l'étude des conditions d'héliosynchronisme, mais plus généralement dans toutes les questions concernant le mouvement de l'orbite du satellite par rapport à sa planète attractive et au Soleil. Pour la Terre, sa valeur est : k h = 10.10949

(7.97)

La valeur de la constante, kh ':':' 10.ll, signifie que pour un satellite d'altitude h = 0, d'inclinaison i = 0, la vitesse de précession nodale est 10.ll fois plus grande que la vitesse angulaire de l'axe de la Terre autour du Soleil (en valeur absolue).

7.5.3

Calcul de l'orbite - cas circulaire

Inclinaison héliosynchrone

Les relations (7.4) à (7.7), (7.91) et (7.93) donnent: [2. (a,

i)

. = [2s

{==}

(Ra); -_ k

1

--.

COS'{

h

(7.98)

En utilisant la distance relative 'fi = aiR, on obtient une écriture très simple pour la condition d'héliosynchronisme : 7

'f/2 = -k h cosi

(7.99)

ce qui donne la relation de ri en fonction de i : 'f/ =

2

(-k h cosi)"7

ou bien celle de i en fonction de 'f/ : z = arccos

(- r1k 7) 2

h

(7.100)

(7.101)

On voit donc que : - les grandeurs i et a sont liées: si on choisit l'une, l'autre est fixée; - la valeur de cos i doit être obligatoirement négative pour que l'égalité soit respectée, ce qui montre qu'un satellite héliosynchrone est obligatoirement rétrograde. Nous avons tracé (figure 7.12) la courbe donnant 'f/ (ou a, ou h) en fonction de i. Généralement, on choisit la grandeur a et on en déduit, par (7.101), la valeur de l'inclinaison i, dite alors inclinaison de l'orbite héliosynchrone et parfois elliptiquement inclinaison héliosynchrone. Dans ce cas, nous pourrons affecter i de l'indice [HS] pour héliosynchrone: iHS = iHs(a) = i(a).

278

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

h (km)

6000 5500

2.0 1.9

5000

1.8

4500

1.7

4000

aIR

1.6

3500 3000

1.5

2500

1.4

2000

1.3

1500 1000 500 0

1.2 1.1 1.0 90

95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 Angle d'inclinaison

n

FIG. 7.12 : Satellites héliosynchrones (orbite circulaire). Altitude du satellite h en fonction de l'angle d'inclinaison. Tout le domaine de variation possible est représenté.

Valeurs limites de i et h pour un satellite héliosynchrone

La valeur minimale de iHS, notée iHSmin ou i m , est obtenue pour h = 0, c'est-à-dire pour un satellite (fictif) tournant au ras du sol. Avec ri = 1, on a:

iHS =i min

m =

arccos (-

La valeur maximale de

h,

notée

:h)

=

arccos(-0.0989)

hHs max ,

=

95.7°

est obtenue pour i

=

(7.102)

180° (7.103)

aHSmax =

12 331 km

hHs max =

5 964 km

(7.104)

Il ne peut donc y avoir de satellites héliosynchrones (en orbite quasi circulaire) pour une inclinaison inférieure à 96° ou bien pour une altitude supérieure à 6000 km environ.

7.5. Héliosynchronisme

279

Calculs pour un satellite héliosynchrone classique

La plupart des satellites héliosynchrones actuellement en service ont une altitude autour de 800 km (entre 700 et 900 km pour la télédétection, plus bas pour les missions de surveillance). La figure 7.12 montre que pour ces altitudes, la relation entre iHs et h est pratiquement linéaire. Étudions la variation de i au voisinage de la valeur centrale de l'altitude, choisie ici, hl = 800 km. L'inclinaison correspondant à cette altitude hl est il = iHS l = 98.60°. La dérivation de l'expression (7.99) donne: 7 da 2 a

-- =

-tani di

En considérant i au voisinage de iHs l et a au voisinage de (R + hl), on a la relation suivante entre fJ.iHs (en degrés) et fJ.h ou fJ.a (en kilomètres) : fJ.iHs = 4.17 10- 3 fJ.h

(7.105)

Calcul de l'orbite avec les développements jusqu'au terme en J n

Jusqu'ici, les résultats ont été obtenus en utilisant, dans l'équation (7.98), relation fondamentale de l'héliosynchronisme, la valeur de D limitée au terme h. Cela correspond donc à la relation :

D=Ds

~=[J2A2]

avec

cosi

et

A2=(:r(-~)

(7.106)

Lorsqu'on utilise, pour D, un développement de degré 1 (1 est pair et on pose 1 = 2rn), cette relation devient :

D = Ds

avec

n

les coefficients q~fj et q;k font intervenir des termes numériques et des valeurs de e, l'excentricité. La résolution de l'équation (7.107) pour obtenir l'inclinaison iHs aboutit à une équation de degré (1 - 1) en cosi. Cette équation se résout en fait aisément car les termes Ji et Jz ne dépassent pas 10- 3 h. On calcule d'abord i dans le cas restreint à h, par (7.98) ou (7.106). Cette valeur, portée dans l'équation (7.107) donne, en quelques itérations, la valeur cherchée. La correction apportée est très faible. Pour = 800 km, on trouve i H 4 ) = 98.628° et iHS(h) = 98.603°, soit une différence de 0.025°.

h

s(J

280

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

Remarque. Sur les figures de ce livre représentant les traces des satellites héliosynchrones, on a noté la valeur de 'iHs, l'inclinaison héliosynchrone. Obtenue avec un développement à l'ordre J4, elle diffère de quelques centièmes de degré de la valeur obtenue directement par la formule (7.101). Exemple 7.9 Calcul de l'inclinaison des satellites Landsat. ~ Le programme américain Landsat est le premier programme civil (NASA) d'observation des ressources terrestres. Les satellites sont en orbite héliosynchrone, circulaire. Les trois premiers (Landsat-1 à -3) avaient une altitude de 908 km. Pour les suivants, Landsat-4 à -7, l'altitude a été abaissée à 700 km. a) Landsat-3 : a = 7285.799 km; TJ = aiR = 1.142308. cosi = _TJ7/2/kh = -1.593095/10.10949 = -0.15758 i = arccos( -0.15758) = 99.07°. Avec un développement du géopotentiel à l'ordre 4, on obtient i = 99.09°. b) Landsat-7: a = 7077.738 km; TJ = aiR = 1.109687. cosi = _TJ7/2/kh = -1.439469/10.10949 = -0.14245 i = arccos( -0.14245) = 99.19°. Avec un développement du géopotentiel à l'ordre 4, on obtient i = 98.21 0. Un écart d'altitude iJ.h = 908 - 700 = 208 km entraîne une variation d'angle iJ.iH S = 99.09 - 98.21 = 0.88°. On retrouve cette valeur avec (7.105) iJ.iH S = 4.17 10- 3 x 208 = 0.88° ....

7.5.4

Calcul de l'orbite - cas elliptique

Inclinaison héliosynchrone

Pour étudier le cas d'une orbite d'excentricité e, nous utilisons (6.75) ou (7.15) à l'ordre 2. On obtient la relation: (7.108) Généralement, a et e sont choisis et on obtient l'inclinaison i par: r(2

i = arccos [ - k h7

(1 -

, 2

e2 )

1

(7.109)

Il est très important de noter que toutes les valeurs de e ne sont pas possibles. Considérons par exemple une orbite circulaire, d'altitude h = 640 km, soit TI = 1.1. Si on augmente l'excentricité e de cette orbite, en gardant le même demi-grand axe a, on obtiendra une valeur maximale ha = 1 280 km pour l'altitude à l'apogée, correspondant à hp = 0 km pour l'altitude du périgée. On comprend facilement qu'on ne peut pas aller en dessous de cette valeur

7.5. Héliosynchronisme

281

aIR

e

2.6 2.5

0.60

2.4

.............:................. j 0.55

2.3

_------j

0.50

2.2

c:,,""'''~~~<

0.45

...·..-··..·_··..·l

_--..;---,0.40

2.1 2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 90

i m 100

110

ic

120

130

140

150

160

170

180

Angle d'inclinaison (0)

7.13 : Satellites héliosynchrones (orbite elliptique). Représentation de la distance relative T/ = aiR en fonction de l'inclinaison i, pour diverses valeurs de l'excentricité e, dans tout le domaine de variation possible. On a noté deux inclinaisons particulières : i rn et ic (voir texte). FIG.

pour hp! L'excentricité a donc une valeur maximale, notée el, qui dépend de a (et du rayon R de la planète). Dans cet exemple, el = 0.09. De manière générale, en écrivant hp = 0, on a :

soit:

1 rl1 = - - 1 - el

ou

el

1

= 1-TIl

(7.110)

en notant al et TIl = ad R les valeurs correspondantes à el. On montre (figure 7.13) la relation entre ri et i, pour diverses valeurs de e, dans le domaine de variation possible. Puisque f2 varie (pour les satellites hé .. liosynchrones) dans le même sens que e, l'angle i diminue lorsque e augmente, pour une même valeur de a. Valeurs limites de i, a et e pour un satellite héliosynchrone L'inclinaison i varie de

iHSmin =

95.7°, obtenu par (7.102) à 180°.

282

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

Pour une inclinaison donnée, '17 varie entre rio, donné par (7.108) avec

e = 0, à rll, donné par cette même équation lorsque e prend la valeur el. Comme el et '171 sont liés par (7.110), on obtient:

1

- - rI"3

(

1)2 =

2- -

kh17

cos i

(7.111)

et rll est solution de cette équation, à condition que le terme de gauche de cette équation soit inférieur ou égal à 1. Pour i = 180°, '17 varie entre '170 = 1.9367 pour e = 0 à '171 = 2.4988 pour el = 0.5998 (voir la figure 7.13, où cette dernière valeur a été notée 0.60). Satellites héliosynchrones en orbite très excentrée Dans la très grande majorité des cas, les orbites héliosynchrones sont quasi circulaires, car elles concernent les missions d'observation de la Terre, qui demandent une altitude la plus constante possible. Il existe des projets d'orbites elliptiques pour les communications. Pour une orbite très excentrée, la condition d'héliosynchronisme est aussi dépendante d'une autre contrainte. En effet, afin que le périgée ne dérive pas sur l'orbite, il faut choisir l'inclinaison à sa valeur critique, donnée par (6.81). Cette valeur doit être ici obligatoirement supérieure à 90°, soit i = 116.6°. L'orbite d'Ellipso Borealis en est un exemple. Exemple 7.10 Remarques sur l'orbite des satellites de la constellation Ellipso Borealis. ~ Le satellite Ellipso Borealis a une inclinaison i = 116.6° pour annuler la précession apsidale. L'inclinaison étant fixée, on choisit ensuite a et e pour une orbite héliosynchrone. Sur la figure 7.13, on a noté par ic l'inclinaison critique. La résolution des équations (7.108) pour 770 et (7.111) pour 771 donne les résultats: 770 = 1.5389 pour e = 0 ; 771 = 1.7169 pour e = el = 1-I/rtl = 0.4174. Le demi-grand axe est donc compris entre ao = 9 815.4 km et al = 10 951.1 km. Pour des raisons supplémentaires (liées à la période et au phasage), le demi-grand axe est pris égal à a = 10 559.2 km, correspondant à une excentricité de e = 0.3463 (tableau 11.8). Les altitudes au périgée et à l'apogée sont respectivement égales à hp = 524 km et ha = 7838 km. Cette configuration (inclinaison critique-héliosynchronisme-phasage) est particulièrement originale et intéressante d'un point de vue orbitographique ....

7.5.5

Satellites héliosynchrones

L'héliosynchronisme est basé sur le fait d'utiliser, de manière astucieuse, le mouvement de précession nodale de l'orbite du satellite. Le passage du

7.5. Héliosynchronisme

283

satellite, pour une latitude donnée, à une heure locale constante, donc éclairée avec un angle zénithal solaire variant annuellement dans un domaine angulaire bien défini (et assez restreint), est un atout fondamental dans les domaines de l'observation spatiale. N ote historique sur les satellites héliosynchrones

Le premier satellite héliosynchrone répertorié est SAMOS-2 (Satellite and Missile Observation System), lancé le 31 janvier 1961, avec hp = 474 km, ha = 557 km, i = 97.4°, satellite militaire américain de surveillance photogra-

phique. Le premier domaine civil intéressé par l'héliosynchronisme fut celui de la météorologie. Le satellite Nimbus-1 fut lancé le 28 août 1964. Par suite d'un lancement imparfaitement réussi, son orbite s'est trouvée excentrée, hp = 429 km, ha = 937 km, tout en étant héliosynchrone. Il fut suivi par TIROS9 et TIROS-10 (Television and Infra Red Observation Satellite), lancés en 1965, sur une orbite excentrée pour le premier, quasi circulaire, h,,-, 760 km, i = 98.8°, pour le second. Tous les satellites américains pour la météorologie, à partir de ce moment, sont héliosynchrones: satellites Nimbus, ESSA, NOAA pour les civils, DMSP pour les militaires. Par contre, les Soviétiques ont envoyé des dizaines de satellites météorologiques, à raison de trois ou quatre par an, pour le compte des séries Meteor-l, -2 et -3, avec une orbite quasi polaire directe non héliosynchrone. Seuls les quatre derniers de la série Meteor-1 étaient héliosynchrones, lancés de 1977 à 1981, avec h "-' 600 km, i = 97.7°. Mais ces satellites, de la série Meteor-P (Meteor-Priroda, priroda signifie « nature», en russe), adaptés des satellites météorologiques, étaient destinés plus généralement à l'étude de l'environnement et la télédétection. En effet, plus encore que la météorologie, la télédétection est intéressée par l'héliosynchronisme. Le premier programme dans ce domaine est américain, avec, à partir de 1972, le programme Landsat, dont tous les satellites sont héliosynchrones. Les programmes correspondants, français avec SPOT, européen avec ERS, indien avec IRS, russe avec Resurs-O, sont tous basés sur des satellites héliosynchrones, de même que les missions pour l'environnement (comme EOS, Envisat, ADEOS) ou les nombreux programmes qui ont vu le jour à partir de 2000 (comme Ikonos puis GeoEye, QuickBird puis WorldView) pour fournir, de manière commerciale, des images avec une résolution de l'ordre du mètre ou du demi-mètre. Dans cette dernière catégorie se classent les satellites militaires de reconnaissance : ils sont bien évidemment héliosynchrones (comme les satellites français Hélios) s'ils sont opérationnels sur une longue période. Au début de l'ère spatiale, pour la plupart des satellites soviétiques et pour quelques satellites américains, les missions d'espionnage étaient très brèves, de quelques jours à une semaine. Dans ce cas, l'héliosynchronisme n'a pas de sens : sur une telle durée, toute orbite est héliosynchrone dans

284

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

la mesure où la précession nodale n'a pas agit pas sensiblement. De plus, les orbites quasi polaires ne sont pas forcément pratiques pour survoler les régions « sensibles».

7.5.6

Maintien sur orbite

Comme pour tout satellite, l'orbite du satellite héliosynchrone va dériver dans le temps, entraînant une légère modification des paramètres orbitaux. Les deux principales actions perturbatrices sont dues à l'attraction luni-solaire et au frottement atmosphérique: la première action fait varier légèrement l'inclinaison du satellite; la seconde provoque un freinage, donc une baisse d'altitude, comme vu avec l'exemple 6.3. Dans le cas des satellites héliosynchrones, on est surtout attaché à maintenir constante l'heure de passage au nœud ascendant (heure locale ou heure TSM). Si, comme les satellites SPOT, Landsat, ERS, ADEOS, le satellite héliosynchrone est de plus phasé (sa trace doit repasser exactement au même endroit après un certain nombre de révolutions, comme nous allons voir plus loin, au chapitre 11), le maintien en orbite est encore plus important. Prenons l'exemple des satellites SPOT, pour lesquels le passage au nœud descendant est fixé à TND = 10:30 ± 0:10. Pour respecter la contrainte de phasage, c'est-à-dire un passage de la trace à l'équateur à 3 km près, on fait des rectifications d'altitude: ces manœuvres ont lieu toutes les deux à huit semaines selon la période d'activité solaire. Tous les dix-huit mois environ, on recale l'inclinaison. Ces fréquentes manœuvres font que le passage au nœud descendant est en fait TN D = 10:30 ± 0:02 (cet écart maximal de 2 minutes est bien inférieur à la variation de l'équation du temps). Certains satellites héliosynchrones ne sont plus maintenus en orbite (on ne peut pas ou on ne veut pas le faire), l'heure locale de passage au nœud ascendant dérive donc. À ce propos, on consultera la figure 10.7. Nous revenons sur ce point au chapitre 10, lors de l'étude de l'heure de passage des satellites héliosynchrones.

Chapitre 8

Trace du satellite 8.1

Position du satellite sur son orbite

On considère le référentiel galiléen 1R( 0; x, y, z) déjà défini. Le satellite S est en orbite elliptique autour du centre attractif O. Le plan orbital P fait un angle constant i par rapport au plan équatorial E. Mais ce plan P, considéré comme fixe par rapport à 1R dans un mouvement képlérien, est animé, pour un mouvement réel (perturbé), d'un mouvement de rotation autour de l'axe des pôles: c'est le mouvement de précession l qui s'effectue avec la vitesse angulaire D, calculée dans les deux chapitres précédents. On a donné une représentation schématique de ce mouvement avec la figure 8.1. Nous allons repérer la position de S dans 1R à l'aide des angles d'Euler.

8.1.1

Étude du mouvement avec les angles d'Euler

Nous avons utilisé ces trois angles, notés 2 al, a2 et a3, au chapitre 5 pour fixer l'orbite dans l'espace et repérer son périgée; voir l'annexe Rotation du solide. Ici, il s'agit de repérer S. On a déjà vu la correspondance entre les angles d'Euler et les paramètres orbitaux, (figure 5.1 et tableau 5.1)

(8.1) (8.2)

w+v

(8.3)

1 Le terme de précession, «action de précéder », a été cree par Copernic vers 1530 (prœcessio, nis en latin) pour parler de la «précession des équinoxes », le mouvement rétrograde des points équinoxiaux. Ce terme a ensuite été repris en mécanique pour désigner l'angle correspondant dans les angles d'Euler. Dans le mouvement du plan de l'orbite du satellite, il est évident que le terme de précession désigne un mouvement qui peut être aussi bien direct que rétrograde 2Traditionnellement, les trois angles d'Euler sont notés, dans l'ordre, 1jJ, e, 'P dans la littérature française, 'P, e, 1jJ dans la littérature anglo-saxonne. Pour éviter toute confusion avec les latitudes notées '1/) et 'P, nous avons opté pour les notations ai.

M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

286

Chapitre 8. Trace du satellite

z

y

x

8.1 : Représentation schématique du mouvement de précession de l'orbite dans le référentiel R. Le plan orbital tourne autour de l'axe des pôles, en gardant une inclinaison fixe par rapport au plan équatorial (xOy). Sa trace sur le plan équatorial permet de mesurer [2, longitude du nœud ascendant, dont la variation est donnée Si l'orbite du satellite est directe (comme ici, où on a noté le nœud ascendant par par un petit cercle noirci, le nœud descendant par un petit cercle évidé, la trace la plus récente par un trait pointillé), le mouvement de précession se fait dans le sens rétrograde (n < 0).

FIG.

n.

Alors qu'ils sont fixes pour l'orbite képlérienne, les angles [2, w et (!vI - nt) varient dans le temps, pour une orbite réelle. L'inclinaison i reste constante. La distance de S au centre attractif 0 est donnée par la relation (4.60) dans laquelle on exprime l'anomalie vraie v :

r

a(l - e 2 ) 1 + ecosv

= ---'----'--

(8.4)

Cette distance étant définie, la position de S est déterminée par la composition des trois rotations suivantes, schématisées sur la figure 8.2 et décrite ci-dessous. Le nœud ascendant est noté N. (1) Mouvement de précession dans E, qui amène la demi-droite Ox sur la demi-droite ON (= OXI) : ===} [PIl: Rotation d'axe Oz, d'angle (Ox,OxI) = ŒI (2) Basculement, selon la ligne des nœuds, de E sur P : ===} [P2l: Rotation d'axe OXI, d'angle (OZI, OZ2) = Œ2

8.1. Position du satellite sur son orbite

21

287

2

FIG. 8.2 : Représentation des trois rotations permettant d'amener un point sur une sphère sur un autre point quelconque, à l'aide des trois angles d'Euler. On a mentionné, par des disques noirs, les trois axes de rotation: Oz = OZI pour [Pl], OXI = OX2 pour [P 2 ], OZ2 = OZ pour [P 3 ].

(3) Mouvement de rotation, dans P, qui amène la demi-droite ON (= OXI = OX2) sur la demi-droite OS (ou OX) : ===} [P3]: Rotation d'axe OZ2 = OZ, d'angle (OX2, OX) = a3 Rappelons que, dans le cas des angles d'Euler, cette décomposition est univoque avec les domaines de variation suivants: al E [0,27T[ a2 E [0,7T] a3 E [0,27T[ Les axes et les angles de rotation sont résumés ici : (OX, Oy, Oz)

(OXI, 0YI, OZI = Oz)

(OXI, 0YI, OzI)

(OX2

(OX2, 0Y2, OZ2)

(OX, OY, OZ = OZ2)

=

OXI,OY2,OZ2)

On en déduit les trois matrices de rotation.

PI =

1 l

cos a l sinal 0

- sinal cos a l 0

0 0 1

l

J

(8.5)

Chapitre 8. Trace du satellite

288

P2

Pe

=

[

~

COSŒ3 [ sinŒ3 0

1 0 0

0 COSŒ2 sinŒ2

0 - sinŒ2 COSŒ2

- sinŒ3 COSŒ3 0

0 0 1

] ]

(8.6) (8.7)

Le produit matriciel de ces trois matrices donne la matrice P, calculée un peu plus bas.

8.1.2

Position du satellite en coordonnées cartésiennes

On considère - sans réduire la généralité du problème - que N est sur l'axe Ox à l'instant origine. Ses coordonnées sont donc (r, 0, 0). Les coordonnées de S(X, Y, Z) s'obtiennent à partir de celles de N(x, y, z) par P :

On voit que pour ce calcul, seule la première colonne de la matrice P sera utilisée. Dans ces conditions, nous calculons P = Pl . P 2 . P 3 et l'écrivons sous la forme : cos ŒI . cos Œ3 - sin ŒI . sin Œ3 . cos Œ2 sin ŒI . cos Œ3 + cos ŒI . sin Œ3 . cos Œ2 sin Œ3 . sin Œ2

(8.8)

ce qui donne : COSŒI' COSŒ3 - sinŒI . sinŒ3' COSŒ2] sin ŒI . cos Œ3 + cos ŒI . sin Œ3 . cos Œ2 sin Œ3 . sin Œ2

(8.9)

En utilisant les paramètres orbitaux, donnés par les relations (8.1) à (8.4), on obtient:

[~ ]

8.1.3

COS [2. cos(w + v) - sin [2. sin(w [ sin [2. cos(w + v) + cos [2. sin(w 1 + ecosv sin(w + v) . sin i

a(l - e 2 )

+ v) . cosi + v) . cosi

]

(8.10)

Position du satellite en coordonnées sphériques

On considère un système de coordonnées sphériques lié au référentiel galiléen iR. Le plan de référence est le plan équatorial terrestre xOy, l'axe Oz

8.2. Trace du satellite

289

est l'axe des pôles et la position de Ox est fixe dans l'espace. Le point 5 est repéré dans 1R par ses coordonnées sphériques : la distance T = 110511, la longitude À et la latitude géocentrique 1/;, les angles étant comptés avec la convention habituelle, découlant du choix du sens trigonométrique direct. La longitude de Ox (position de N à l'instant origine) est notée Ào. On a donc: =T

1 l

cos1/;' cos(À - À o) cos1/;· s~n(À - Ào) sm 1/;

lJ

(8.11)

On obtient ainsi la position de 5(À,IjJ) en fonction du temps et des autres paramètres orbitaux: ljJ

\

A

=

\

AO

+ arccos

= arcsin [sin(w + v) . sini]

[cos [2. cos(w

(À - Ào) du signe de

+ v)

- sin [2. sin(w + v) . COSi] ni,

COS '+'

(8.12) (8.13)

[sin [2. cos(w + v) + cos [2. sin(w + v) . cosi] (8.14) (À-À o)

E]-7T,+7T]

Si 11/;1 = (7T/2), À est indéterminé (sa détermination est sans objet). Ces équations (8.12), (8.13) et (8.14) peuvent s'écrire de manière plus concise si les coordonnées cartésiennes X, Y et Z sont déjà calculées: Z

1/; = arcsin -

T

À = Ào

8.2 8.2.1

X

+ arccos -TCOS',+, --.1,

(À - Ào) du signe de Y

(8.15) (8.16)

Trace du satellite Équation de la trace

Dans la plupart des cas pratiques, on cherche à connaître la position du satellite par rapport à la Terre. Il faut donc représenter 5 dans le repère 1RT , dont les axes, dans le plan équatorial, tournent avec la Terre. Le passage de ce repère au repère 1R, référentiel galiléen, s'obtient simplement par une rotation d'axe Oz, axe des pôles et de vitesse angulaire (-DT), puisque 1RT tourne dans 1R avec la vitesse DT. Nous rappelons que les calculs sont effectués dans le référentiel galiléen 1R, les résultats pouvant s'exprimer dans un repère au choix. Compte tenu de la définition de À o, vue ci-dessus, les équations donnant la position de 5 sont les mêmes dans 1RT que dans 1R, à condition de remplacer la valeur de QI dans la relation (8.1) par:

(8.17)

290

Chapitre 8. Trace du satellite

où l'origine du temps, instant de passage en N, nœud ascendant, est notée t

=

tNA.

La trace T du satellite est définie comme l'intersection du segment OS avec la surface terrestre. Nous avons vu cela précédemment, §2.2.1, lors de la discussion sur la trace géocentrique et le nadir. La position de T s'exprime en coordonnées sphériques: la longitude À et la latitude géocentrique VJ sont les mêmes que pour S dans ~T; la distance IIOTII étant R1j;, défini par (1.38). La trace géodésique (ou géographique) s'obtient en calculant la latitude géodésique CPT à partir de la latitude géocentrique 1/J par (2.4). Pour obtenir les positions successives du nadir, il faut calculer la latitude géodésique du nadir cP, ce qui demande de connaître l'altitude du satellite et d'utiliser une des méthodes exposée dans le paragraphe §2.2.1, déjà mentionné. C'est la trace géodésique de nadir qui correspond strictement au point subsatellite. Pour une position donnée du satellite, les valeurs 1/J, CPT et cP diffèrent très légèrement, comme montré dans l'exemple 2.2. Selon la précision recherchée, on établira les cartes de trace avec 1/J (le plus simple) ou avec cP (valeur rigoureusement exacte). Les traces fournies par Ixion sont des traces géodésiques de nadir.

8.2.2

Latitude maximale atteinte

L'intersection entre le plan orbital P, passant par le centre de la Terre et le plan équatorial E, considéré comme plan de symétrie de la planète, définit une latitude géocentrique maximale VJ m , symétrique, dans chaque hémisphère Nord et Sud. Le domaine de variation de la trace est:

Cet angle VJ m est égal à l'inclinaison i, angle dièdre entre P et E, lorsque i est aigu, à son supplémentaire si i est obtus. On écrit ainsi les relations: (sat. direct) (sat. retro grade )

=} =}

VJ m VJ m

= i =

180° - i

(8.18)

On vérifie, en exprimant Z par (8.10) et (8.11), que lorsque sin(w+v) atteint un extremum, on a la relation sin 1/Jm = ± sin i. À partir de VJ m , on calcule CPm, la latitude géodésique maximale du nadir. On remarque que CPm est toujours légèrement supérieur àljJm. Exemple 8.1 Calcul des latitudes maximales atteintes par les satellites Jason-2 et ICESat. ~ Le satellite de topographie océanographique Jason-2 a une orbite quasi circulaire à l'altitude h = 1 336 km, avec une inclinaison i = 66.040°. La latitude géocentrique

8.3. Trace du satellite en orbite circulaire

291

maximale de la trace est donc : 1j;m = i = 66.040° . Cette latitude correspond à la latitude géodésique 66.183°. Pour calculer la latitude du nadir, on utilise la relation (2.34) à l'ordre 1 en f : 6cp = cp -1j; = (j /TJ) sin21j; soit, avec f = 1/298.3 et ri = 1 + h/ Re = 1.2095 : 6cp = (298.3 X 1.2095)-1 sin(21j;m) = 2.0571 mrad = 0.118° cpm = 66.158° Le calcul d'itération, avec l'algorithme décrit dans le tableau 2.4, donne le même résultat. Cette différence 6cp entre les deux latitudes représente 13.1 km sur le terrain. Le satellite altimétrique ICESat est muni d'un laser pointant au nadir. Son orbite est quasi circulaire à l'altitude h = 592 km, avec une inclinaison i = 94.003°. La latitude géocentrique maximale de la trace est donc : 1j;m = 180° - i = 85.997°. Cette latitude correspond à la latitude géodésique 86.024°. Effectué comme précédemment, avec TJ = 1.0928, on obtient cpm = 86.021 0, soit un écart 6cp = 0.024°, représentant 2.7 km sur le terrain. Voir aussi l'exemple 2.2 ....

8.3

Trace du satellite en orbite circulaire

Le cas de l'orbite circulaire ou quasi circulaire est très fréquemment rencontré. On étudie des points développés spécifiquement pour ces orbites, comme le décalage équatorial ou l'inclinaison apparente.

8.3.1

Équation de la trace du satellite

Lorsque l'orbite est circulaire, le mouvement est uniforme, de pulsation n, moyen mouvement. Compte tenu des notations vues plus haut, la valeur de a3 dans la relation (8.3) peut être remplacée par:

(8.19) On obtient ainsi l'équation de la trace directement en fonction du temps t. Cas des satellites héliosynchrones

Dans le cas des satellites héliosynchrones, l'angle al prend une valeur particulière puisque D = Ds. Nous avons vu que les deux pulsations caractérisant les mouvements de la Terre (annuel et quotidien) sont liées par la relation (7.31). On a donc, d'après (8.17) : da1 . . - - = al = fls dt

-

.

flT

27T

= -lIl/l

(8.20)

292

Chapitre 8. Trace du satellite

En utilisant la fréquence quotidienne orbitale, donnée par (7.33), on obtient, dans le cas des satellites héliosynchrones, la relation très simple:

.

n

(8.21)

Œ1 = - V

Nous verrons les conséquences très importantes de cette relation, en particulier dans les chapitres suivants, pour l'étude de l'heure de passage du satellite et pour celle du phasage.

8.3.2

Décalage équatorial

L'écart de longitude entre deux nœuds ascendants consécutifs, À 1 et À2' séparés par une révolution, est appelé décalage équatorial et est noté LlÀ E : (8.22) Évaluation rapide

Une évaluation rapide du décalage équatorial, noté LloÀE dans ce cas, est parfois suffisante. On peut en effet dire, en première approximation, que lors d'une révolution de période T (on peut prendre la période képlérienne), l'orbite du satellite n'a pas bougé par rapport à ~ et la Terre a tourné d'un tour par jour, soit 15° par heure (ou 1° toutes les 4 minutes) par rapport à ce même référentiel. On ne tient compte, dans ce cas, ni de la précession de l'orbite, ni du mouvement de la Terre par rapport au Soleil pendant la durée d'une révolution. Cela revient à considérer les relations approchées Œ1 ':':' -DT et DT ':':' (27r / lM). On a la relation simplifiée: (8.23) le signe - indiquant un décalage vers l'ouest. Calcul exact

Lors d'une révolution de durée T = T d , le plan de l'orbite a tourné de l'angle Œ1 par rapport à ~T. La valeur exacte du décalage équatorial, donnée par la relation (8.17) avec (t - tNA) = T, est donc:

LlÀ E

=

.. 27r Œ1 T = -(nT - n) T = - ~

(8.24)

Nous notons les points suivants, résultant de la relation (8.24). - Le décalage équatorial est toujours négatif, puisque DT est supérieur à D. Le décalage a lieu vers l'ouest (pour un satellite en dessous de l'orbite géosynchrone) .

8.3. Trace du satellite en orbite circulaire

293

- Pour les satellites en orbite héliosynchrone, nous avons vu plus haut, avec (8.20), la valeur particulière de al. Sur la durée d'une période nodale T, on a: (8.25) En écrivant les angles en degrés et les temps en minutes, on obtient la relation (8.23). Pour un satellite héliosynchrone, la formule approchée est identique à la formule exacte: cela est dû au fait que, dans l'évaluation rapide, les deux approximations faites (précession et mouvement annuel de la Terre négligés) se compensent pour ce genre de satellite. - Pour les satellites en orbite géosynchrone, T = (27f / DT) et D est négligeable (de toutes manières, ce n'est pas le terme principal issu du traitement des perturbations pour ce type de satellite). Dans ce cas, on a donc: (8.26) en notant par [27f] l'opération de calcul modulo 27f. Il n'y a pas de décalage équatorial apparent pour un tel satellite: la trace de deux nœuds ascendants consécutifs ne bouge pas sur la Terre (même si, pour un satellite géostationnaire, il est délicat de parler véritablement de nœud ascendant). On note par DE le décalage équatorial exprimé en unités de longueur (généralement en km), R étant le rayon équatorial de la planète: (8.27) Le signe correspond à la convention sur les longitudes (orientation de l'ouest vers l'est). Exemple 8.2 Calcul du décalage équatorial pour le satellite Meteor-3-07. ~ Les caractéristiques de l'orbite de ce satellite ont été étudiées dans l'exemple 7.3 Pour l'évaluation rapide, on utilise l'équation (8.23), avec T = 109.4 min. LlOÀE = -109.4/4 = -27.35° et DE = -3045 km Pour le calcul exact, avec les valeurs déjà vues:

729.212 10- 7 rad.s- 1 - 1.429 10- 7 rad.s- 1 730.641 10- 7 rad.s- 1 on obtient, avec T = 6 565.28 secondes: LlÀ E = -0.4797 rad = -27.48° et DE = -3059.51 km Le décalage équatorial du satellite Meteor-3-07 est donc de 3059.5 km vers l'ouest. Voir aussi la figure 8.3 et le tableau 8.1) .....

294

Chapitre 8. Trace du satellite

Meteor-3-07 (MeTeop) Orbite par rapport à la Terre

Altitude = 1194.6 km

Phasage = [13; +7; 71]930

Période = 109.42 min • Tourslj = 13.16

»> Durée représentée:

109.4 min

=

a = 7572.704 km

Inclinaison = 82.56' Décalage à l'équateur = 3059.5 km ( 27.5 ')

0.08 jour

Projection: Orthographique

Centre Carte: 12.0' N ; 112.0' W

N. asc. : -133.95' [07:43 TUC]

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique

Latit. max. atteinte

Type: Azimutal

[-90.01 +78.01-158.0]

= 82.6

0

Altitude = 1194.6 km

Phasage = [13; +7; 71]930

Période = 109.42 min • Tourslj = 13.16

109.4 min

Inclinaison

0.0'

Centre Carte:

Propriété: (sans)

Aspect: Direct

Type: Cylindrique

[ +90.01 +0.01 -90.0]

LMD

=

82.56

a = 7572.704 km 0

Décalage à l'équateur = 3059.5 km ( 27.5 ')

0.08 jour

Projection: Plate-carrée

*

ATÀCX,

Meteor-3-07 (MeTeop) Trace de l'orbite »> Durée représentée:

nu,;V

MC

0.0 '

N. asc. : -133.95' [07:43 TUC] Incl in. app. = 86.93'

nlVJV

MC

*

LMD

ATÀCX,

8.3 : Orbite et trace du satellite Meteor-3-0l sur une révolution. La distance entre les deux nœuds ascendants successifs représente le décalage équatorial.

FIG.

8.3. Trace du satellite en orbite circulaire

8.3.3

295

Inclinaison apparente

Définition et calcul de l'inclinaison apparente

On appelle inclinaison apparente l'angle que fait la trace avec l'équateur. Cet angle, noté i', est différent de l'angle i représentant l'inclinaison du satellite, c'est-à-dire l'inclinaison du plan de l'orbite du satellite avec le plan équatorial. Cela provient du fait que i est mesuré dans ~ et i' dans ~T. Pour calculer i', on considère dans ~T le plan tangent à la Terre en No, point représentant la trace du nœud ascendant, avec les vecteurs unitaires orthogonaux e).. (porté par l'équateur) et e1jJ (porté par le méridien passant par No. On écrit, dans le référentiel galiléen ~, la vitesse Va (vitesse absolue, exprimée en vitesse angulaire) du satellite au moment où il coupe l'équateur et la vitesse d'entraînement V e du point No. Pour Va, il faut tenir compte de la vitesse de précession nodale du plan orbital. Quant à V e , c'est tout simplement la vitesse de rotation de la Terre:

Va

=

1

n n

c~s ~ + D

S111 Z

Par la règle de composition des vitesses, on obtient la vitesse angulaire V T du satellite dans le référentiel terrestre ~T (dite vitesse relative)

L'inclinaison apparente est ainsi donnée par: tani'

=

n sini n cosi - (DT - D)

(8.28)

--------~----~

En utilisant la fréquence quotidienne de phasage '" définie par (7.41), on écrit: 1 sin i tan i = ----;-----;---;-.,cosi - (1/",)

(8.29)

En développant tan(i' - i), on obtient: (h

=

i' - i

=

arctan

sin i '" -

.

COS?

(8.30)

On note qu'on a toujours: i' ~ i. Pour un satellite héliosynchrone, on peut remplacer", par v, puisque, d'après (7.42), ces deux fréquences quotidiennes sont égales. Pour un satellite en orbite elliptique (non circulaire), ce calcul est bien entendu possible, mais il faut remplacer n par la vitesse angulaire instantanée du satellite en No. Comme cette vitesse dépend de la position du périgée, de l'excentricité, il n'est pas possible d'exprimer i' sous forme générale et simple.

296

Chapitre 8. Trace du satellite

Exemple 8.3 Calcul de l'inclinaison apparente pour le satellite (LEO) Terra, pour un satellite (MEO) Navstar de la constellation GPS. ~ Le satellite Terra a une orbite quasi circulaire héliosynchrone. Son inclinaison est i = 98.21 0, sa période nodale Td = 98.884 min. On calcule (l/v) à partir de Td : l/v = Td/1440 = 0.06867 On applique ensuite directement (8.29) puisque, dans le cas d'héliosynchronisme,

'" = v:

tan i' =

sin 98.21 = _ 0.98975 = -4.68030 cos 98.21 - 0.06867 0.21147

i'

=

102.06°

i' - i

=

3.85°

Cette inclinaison i' peut se mesurer sur les images prises par Terra, comme on le voit avec la figure 17.16. Les caractéristiques de Navstar/GPS sont a = 26 560 km et i = 55.00°. La période est 'ld = 717.978 (un demi-jour sidéral). Le calcul de la vitesse de précession nodale permet de calculer '" : ft = -0.03878 degré par jour v = 2.0056 '" = 2.0000 tan i' =

sin 55.00 081915 = - - ' - - = 11.13335 cos 55.00 - 0.5000 0.07358

i'

=

84.87°

i' - i

=

29.87°

A l'équateur, la trace du satellite apparaît très proche (à 5° près) du méridien du nœud ascendant .... Exemple 8.4 Calcul de l'inclinaison apparente pour la trace des satellites

géosynchrones.

~ Pour un satellite géosynchrone, on a (ftT/n) = 1 et le terme ft est négligeable. La relation (8.28) devient: .1 sin i cos( i/2) tanz = cosi -1 = - sin(i/2) = tan

('i"2f + 2"i)

+i

i' - i = 90° 2 2 Lorsque i est très petit, par exemple i = 1°, on a i' = 90.5° : la trace n'est pas un point mais un petit segment pratiquement perpendiculaire à l'équateur, entre les latitudes ION et lOS, qui se transforme en un «8» (lemniscate) lorsque i augmente, d'autant plus large que i est grand. Le premier satellite géosynchrone opérationnel, Syncom-2, avait une inclinaison de 32.8°. Sa trace faisait avec l'équateur un angle de 106.4° ou, si l'on préfère, un angle de 16.4° avec le méridien du nœud, comme on le voit sur la figure 9.11(a) .... i'

=

90°

Calcul de l'inclinaison à partir de l'inclinaison apparente

Nous avons obtenu i' en fonction de i (et de a). Il peut être intéressant de faire le calcul inverse, obtenir i en fonction de i' (et de a).

8.3. Trace du satellite en orbite circulaire

297

En utilisant la relation (7.1), où on exprime (D/n) à l'aide J 2 et i, l'équation (8.28) peut se remplacer par l'équation suivante à résoudre:

A cos i - B avec: 3 A=I-"2 h

(R)2 ~

=

C sin i

B = DT

n

(8.31)

C=_I_ tan i'

(8.32)

Dans un premier temps, on prend n = no (képlérien) dans B pour que ce terme ne dépende pas de i. L'équation (8.31) se transforme en une équation du second degré en tan( i /2). La solution (unique, car l'angle i est dans l'intervalle [0,7f]) est donnée par: 1

tan - = 2

-C+VC2+A2_B2 A+B

------,----=----

(8.33)

Cette valeur de i permet de calculer n réel et de recommencer la résolution. La convergence est très rapide, car n dépend très peu de i. On note qu'on a : A ::::: 1, B ::::: l/v et donc B < A, sauf pour les satellites sur une orbite géosynchrone ou plus haute. Cette méthode permet de trouver l'inclinaison d'un satellite dont on connaît l'altitude en mesurant l'inclinaison apparente, sur une carte des traces par exemple. Elle permet aussi, comme nous allons le voir en suivant, de calculer l'inclinaison à partir des composantes du vecteur vitesse du satellite.

Calcul de l'inclinaison à partir de la vitesse du satellite La position et la vitesse du satellite sont connues soit par le bulletin d'orbite du satellite, soit par les télémesures concernant chaque instrument embarqué. Position et vitesse sont données par rapport à la Terre. Notons vx, Vy, Vz les composantes de la vitesse dans !RT , correspondant à r V r . Au nœud ascendant, l'angle que fait le vecteur vitesse, donc la trajectoire du satellite, avec le plan équatorial, représente l'inclinaison apparente. La relation entre i et la vitesse au nœud (si on ne distingue pas les nœuds, on utilise les valeurs absolues pour les vitesses) est: tan i' =

Vz

j:::::;;:==;;=

Jv~ +v~

À partir de la valeur de a et de celle de i' ainsi obtenue, on trouve (8.33).

(8.34) par

Exemple 8.5 Calcul de l'inclinaison du satellite Meteor-3-07 à partir des valeurs des composantes de la vitesse.

298

Chapitre 8. Trace du satellite

Temps 199402 24

nd

07:43:28 08:38:10 09:32:54

A D A

Latit. ?jJ

0.00 0.00 0.00

Longit. À

Altitude h

Vx

Vitesse (composantes) Vy

Vz

-133.95 32.33 -161.44

1211.658 1188.318 1211.657

0.280 -0.202 -0.128

-0.261 0.331 -0.361

7.182 -7.204 7.182

8.1 : Données (télémesures brutes de l'instrument ScaRaB) relatives à la première révolution opérationnelle de Meteor-3-07. On a noté l'altitude h (en km), les composantes de la vitesse, Vx, Vy, Vz (en km's- 1 ), la latitude ?jJ et la longitude À (en 0), ainsi que l'instant de passage (en heure TU) au nœud (nd) , ascendant (A) ou descendant (D).

TABLEAU

~ Les valeurs du tableau 8.1 sont obtenues par interpolation des valeurs TMB (télémesures brutes) données lors de la première révolution d'enregistrement de l'instrument ScaRaB, le 24 février 1994. Les nœuds (1) et (3) sont ascendants (vz > 0), le nœud (2) est descendant (vz < 0). On calcule i' par (8.34) :

tan i' =

~:~:~

=

18.763

tan i' =

~:~~:

=

18.578

n .1 = 7.182 = 18.751 ta z 0.383

On en déduit i dans chaque cas et on prend la valeur moyenne entre nœud ascendant et descendant : i' = 86.933° On calcule le demi-grand axe a par la période nodale, puisqu'on connaît le temps écoulé entre deux passages consécutifs au nœud ascendant (voir l'exemples 7.3). Avec T = 109 min 25 s, on obtient a = 7572.7 km. On constate que les altitudes données par le tableau 8.1 varient de 12 km de part et d'autre de la valeur moyenne h = 1200 km selon le type de nœud. Cela s'explique par le fait que l'orbite est légèrement excentrée et que l'argument du périgée n'est pas ±90°. Les valeurs de i' et a donnent avec (8.33) : A = 0.998 85, B = 7.619 10- 2 , C = 5.358 10- 2 ; cosi = 0.129 47; et finalement on obtient la valeur de i : i = 82.561° On trouve ainsi l'inclinaison i = 82.56° du satellite Meteor-3-07, ce qui est exactement la valeur communiquée par l'agence spatiale russe ....

8.3.4

Angle de la trace avec un méridien

On calcule l'angle que fait la trace du satellite avec un méridien, pour un point quelconque de la trace. Le calcul de l'angle entre la trace et un parallèle correspond à une généralisation de l'inclinaison apparente. Cependant, dans la pratique, on préfère évaluer l'angle de la trace avec la direction sud-nord. Dans le référentiel ~, l'orbite du satellite coupe le méridien selon un angle j. Si on se reporte à la figure 10.7, P est la trace du satellite (de latitude 1jJ),

8.3. Trace du satellite en orbite circulaire

299

N est la trace du nœud ascendant (l'angle dièdre N représente l'inclinaison

'i), PQ est le méridien de P, Q étant sur l'équateur. L'angle dièdre P, dans le triangle sphérique PQN, est l'angle j recherché. On obtient par la relation (t.s.-V) :

.. cos z sm] = - cos 1jJ

(8.35)

Pour calculer j', on considère dans 1RT le plan tangent à la sphère de rayon R au point considéré, de latitude 1jJ, avec les vecteurs unitaires orthogonaux

e).. et e1j;, déjà définis. Comme pour le calcul de l'inclinaison apparente, on écrit:

Va

=

1

n sin j + Dcos VJ n COS]

Vr

=

Va _ V e =

On en déduit:

1

n sinj. - (DT - D) COSVJ n COS]

., sin j - (1/ /i;) cos 1jJ tan] = . COS]

(8.36)

et en exprimant j avec (8.35) : (8.37) On obtient l'angle d'ajustement, noté r5j, comme une fonction de i et de VJ :

r5j

=

,

j - j

=

arctan

vicos 2 1jJ /i; -

cos 2 i . cos z

(8.38)

On rapprochera cette relation de (8.30) en posant VJ = o. L'angle d'ajustement r5j est maximal à l'équateur. Lorsque la latitude géocentrique maximale est atteinte, on vérifie que la trace est normale au méridien. Pour un satellite héliosynchrone, on peut remplacer /i; par v. L'exemple 12.7 fournit une application directe et une illustration concrète de l'application du calcul de la valeur r5j par (8.38).

8.3.5

Vitesse du satellite et de sa trace

Le calcul très précis de la vitesse du satellite peut être fait par les équations du mouvement vues précédemment. Nous allons calculer ici la vitesse du satellite et de sa trace, avec une bonne précision, en considérant le mouvement circulaire et képlérien. Cette partie aurait donc pu figurer dans le chapitre 5. Nous avons préféré la présenter ici, après avoir abordé la vitesse de rotation terrestre, défini la notion de trace et évoqué les divers types de satellites (en particulier géosynchrone).

300

Chapitre 8. Trace du satellite

h (km)

(km)

(tr /j)

v

Ta j h min

V

Va

WE

WE

0

90

180

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600

6378 6478 6578 6678 6778 6878 6978 7078 7178 7278 7378 7478 7578 7678 7778 7878 7978

17.04 16.65 16.27 15.91 15.56 15.22 14.89 14.58 14.28 13.98 13.70 13.42 13.16 12.90 12.66 12.42 12.18

1h24 1h26 1h28 1h31 1h33 1h35 1h37 1h39 1h41 1h43 1h45 1h47 1h49 1h52 1h54 1h56 1h58

7.91 7.84 7.78 7.73 7.67 7.61 7.56 7.50 7.45 7.40 7.35 7.30 7.25 7.21 7.16 7.11 7.07

7.91 7.72 7.55 7.38 7.22 7.06 6.91 6.76 6.62 6.49 6.35 6.23 6.10 5.99 5.87 5.76 5.65

7.44 7.26 7.08 6.91 6.75 6.60 6.44 6.30 6.16 6.02 5.89 5.76 5.64 5.52 5.41 5.29 5.19

7.92 7.74 7.56 7.39 7.23 7.07 6.92 6.78 6.64 6.50 6.37 6.24 6.12 6.00 5.89 5.78 5.67

8.37 8.19 8.01 7.84 7.68 7.52 7.37 7.23 7.09 6.95 6.82 6.69 6.57 6.45 6.33 6.22 6.11

2000 3000 4000 5000 6000

8378 9378 10378 11 378 12378

11.32 9.56 8.21 7.15 6.30

2h07 2h31 2h55 3h21 3h48

6.90 6.52 6.20 5.92 5.67

5.25 4.43 3.81 3.32 2.92

4.79 3.97 3.34 2.85 2.46

5.27 4.46 3.84 3.35 2.96

5.71 4.90 4.27 3.78 3.39

10390 20183 35786 110000

16768 26561 42164 116378

4.00 2.01 1.00 0.22

6hOO 11h58 23h56 4j13h45

4.88 3.87 3.07 1.85

1.85 0.93 0.47 0.10

1.39 0.47 0.00 -.36

1.91 1.04

376805

383 183

0.04

27j07h43

1.02

0.02

a

0.47

WE

T s E E N N

0 0 0 0 0 0 0 0

G G 1 P S V L

8.2 : Vitesse du satellite, de la trace et vitesse relative de la trace pour divers satellites, en orbite circulaire (orbite képlérienne). Pour chaque satellite, on a noté l'altitude h (en km) et la longueur du demi-grand axe a, ou distance au centre de la Terre (en km), la fréquence quotidienne v (en tours par jour), la période képlérienne Ta (en heures et minutes), les vitesses V, Va, WE (pour les trois valeurs de l'angle i, 0°, 90°, 180°), définies dans ce paragraphe (en km·s- 1 ). On a aussi noté par des abréviations le type T de satellite correspondant: s (niveau du sol), E (espionnage, surveillance), N (navette spatiale, vols habités et pour l'observation de la Terre), 0 (pour l'observation de la Terre - orbite LEO), G (pour la géodésie), l (pour les communications - orbite type ICO, entre LEO et MEO), P (pour le positionnement par GPS - orbite MEO), S (géostationnaire - orbite GEO), V (type Vela), L (Lune); absence de symbole pour orbite inusitée. TABLEAU

8.3. Trace du satellite en orbite circulaire

301

Définition des diverses vitesses étudiées La vitesse du satellite 5 et celle de sa trace 50, dans simplement en fonction du moyen mouvement n :

v=an=~

V= dOS

dt

V; _ dOSa

a

s'expriment

(8.39)

Vo=Rn=!!.V=!!.

dt

a-

~,

Œ

aY-;;

(8.40)

Dans le repère terrestre ~T, on considère un point de la surface de la Terre (50 par exemple) et le trièdre direct de vecteurs unitaires, associé aux coordonnées sphériques, (e r , e).., e7jJ). Dans un plan tangent à la Terre (plan horizontal local), le plan (e).., e7jJ), le vecteur e).. est porté par un parallèle, le vecteur e7jJ par un méridien. Dans ce repère, la vitesse de la trace, notée w, est égale à : W = Va - R nT cos1jJ e).. En notant eu le vecteur unitaire porté par Va, on obtient l'expression de w, qu'on peut appeler vitesse relative de la trace ou vitesse de la trace par rapport au sol: (8.41 ) Vitesse à l'équateur

Pour comparer les valeurs obtenues avec divers satellites, nous allons considérer la vitesse relative w au nœud ascendant (ou descendant), c'està-dire sur l'équateur, où elle sera notée WE : WE =

R

.

n eu - DT

e)..

On peut l'écrire en fonction de l'inclinaison 'i du satellite: WE R

=

(

n cos '(. -

A ) e)..

J CT

. .Z e7jJ + n S111

(8.42)

On note VJE la valeur algébrique de WE prise dans le sens de la vitesse. On obtient les résultats pour trois valeurs de l'inclinaison, respectivement 'i = 0°, 'i = 90° et 'i = 180° : VJE

-

R

.

=n- DT

VJE

If =

.

n+DT

(8.43)

Dans le tableau 8.2, on a noté, pour divers satellites, les vitesses du satellite et de sa trace, V et Va, dans ~, les vitesses relatives de la trace VJE, dans ~T pour ces trois valeurs de 'i. On a noté les satellites pour toutes les altitudes de 0 à 1600 km, avec un pas de 100 km, puis pour quelques altitudes caractéristiques de divers types de mission.

302

Chapitre 8. Trace du satellite

La vitesse maximale de la trace par rapport au sol est de 8.4 km·s- I , obtenue pour un satellite rétrograde au niveau du sol. De manière plus réaliste, la vitesse de la trace à l'équateur pour un satellite opérationnel héliosynchrone est de 6.6 km·s-l. Pour un satellite géosynchrone avec i = 0, donc géostationnaire, on vérifie bien: WE = wE(i = 0) = 0.00. Quant au dernier satellite du Tableau, il n'est pas artificiel... C'est un modèle simplifié de la Lune (orbite circulaire, képlérienne) : à une distance de 380000 km, la période est d'environ 27 jours. Notons que dans ~, la période sidérale est égale à 27.32 jours. Dans ~T, la période qui tient compte du mouvement de la Terre est égale à 29.53 jours, un mois 3 lunaire. Cette période, dite synodique, est expliquée ci-dessous. Période synodique

La notion de période synodiqué est souvent utilisée, qu'il s'agisse de satellite ou de planète. Considérons deux corps, dans un même référentiel galiléen, en mouvement uniforme de pulsation (moyen mouvement) n et nI respectivement. Le mouvement relatif du premier par rapport au second est un mouvement (relatif) de pulsation ni : ni = n - nI (8.44) En passant aux périodes, on a : 1

T'

1

1

T

Tl

(8.45)

---

où T' représente la période synodique. Une valeur négative de la période T' indique que le mouvement, de période IT'I, a lieu dans le sens contraire. Pour la Lune qui tourne autour de la Terre, qui tourne autour du Soleil (Tl = N sid ), on a : 1

T'

1 27.32

-- -

1 365.25

---

===}

T'

=

29.53 jours

Pour un satellite géostationnaire, pour lequel T = Tl = 1 Jsid (jour sidéral), la période synodique est considérée comme infinie. Pour un satellite GPS, T = 0.5 Jsid et Tl = 1 Jsid, on obtient T' = 1 Jsid, ce qui montre que le satellite ne coupe un méridien donné qu'une seule fois par jour. 3En anglais, on note la proximité, non fortuite, entre month, le mois et Moon, la Lune. Un tel rapprochement se note aussi en allemand et dans d'autres langues apparentées. La racine indo-européenne * men, * mes se rapporte à la Lune, à la lunaison (= mois), à la mesure (du temps). Beaucoup de langues de cette famille ont gardé cette proximité, ce qui n'est le cas ni du grec, ni du latin. Ces deux langues ont nommé la Lune par « la brillante» (~ aEÀ~vYJ, YJç; luna, œ). Voir aussi la note Chandrasekhar. 4Le nom ~ aûvoùoç, ou, «synode», est composé de aûv, « avec, ensemble» et de ~ 6ù6ç, ou, « chemin, voyage». Il avait déjà, en grec ancien, les deux sens de « réunion» et de « conjonction d'astres», sens illustrant chacun l'idée de « qui arrive en même temps».

8.3. Trace du satellite en orbite circulaire

303

a

FIG. 8.4 : Représentation de la trace de l'orbite (référentiel galiléen) pour l'étude

de la relation (géométrie sphérique) entre latitude et longitude pour un point S de la trace. Le nœud ascendant est en A. Dans le triangle sphérique ASS', l'arc AS' représente la longitude, l'arc S' S la latitude,. l'angle A est l'inclinaison et l'angle S'est droit. P représente le pôle.

8.3.6

Équation de la trace avec élimination du temps

Pour une orbite circulaire, nous allons exprimer la longitude À en fonction de la latitude géocentrique 1/;, avec l'aide de l'inclinaison i et de la fréquence K" mais sans faire intervenir le temps t (élimination du temps). À l'instant tN A, la trace géocentrique du satellite coupe l'équateur en A, trace du nœud ascendant, pris comme origine. À l'instant t, la trace est en S. Dans le référentiel galiléen 1R (défini par le plan équatorial terrestre et l'axe des pôles Oz, l'axe OA restant fixe), la longueur de l'arc AS (grand cercle) représente la position sur orbite Q :

(8.46) en notant nd le moyen mouvement lié à la période nodale Td. La longitude du satellite, notée ÀG dans ce même référentiel1R, est donnée par l'arc AS', S'étant à l'intersection du méridien PS avec l'équateur (figure 8.4) : ÀG =

AS'

304

Chapitre 8. Trace du satellite

Par rapport à un référentiel terrestre !RT , la longitude

D)

ÀT = À c - (DT -

ÀT

est égale à :

(t - tNA)

En utilisant la fréquence de phasage "', on obtient: ÀT = À c -

r1d (t - tNA)

'"

et ainsi on élimine le temps grâce à (8.46) : Œ

ÀT = Àc - -

'"

Dans le triangle sphérique AS S', on a pour valeur des angles et des côtés (arcs) : angle A =i angle S' = Ir /2

a

=

55'

=

s = AS' tan VJ

VJ

sin À c = - - . tan't On a ainsi l'expression de la longitude: (t.s.-X)

===}

s' = AS =

= Àc

. tan VJ arcsm - - . tan z En prenant comme origine des longitudes de A, on écrit : ÀT =

(t.s.-VIII)

===}

Œ

. sin 1/; smΠ= -.-. smz

1 . sin 1/; - arcsm -.-. (8.4 7) '" sm z le méridien de Greenwich, à la place

ÀT=À-ÀNA À

et ÀN A étant respectivement les longitudes de 5 et A. Finalement, on exprime la longitude À du satellite en orbite circulaire: À = À NA

tan 1/;

+ arcsin - - . tan't

1 sin 1/; - arcsin -.-. '" sm't

(8.48)

Angle de la trace avec le méridien

On peut obtenir l'expression de tan)', qui donne l'angle de la trace avec le méridien, par (8.36), de manière analytique. Avec l'expression (8.48), donnant la longitude À en fonction de la latitude 1/;, on effectue la dérivation (dÀ/dVJ) : Jtan 2

1 1 1 2 2 i - tan VJ . cos 1/; - ~ .

1

cos i - (1/ "')

cos 1/;

sin 2

J

cos 2

J

sin 2

1 i - sin 2 VJ . cos 1/;

1jJ

i - sin 21jJ

À un accroissement dY = Rd1/; selon le méridien correspond un accroissement dX = R cosljJdÀ selon le parallèle. On a ainsi :

dX

cosljJdÀ

dY

dVJ

cos i - (1/ "') cos 2 1jJ

J cos 2 1jJ -

cos 2 i

et cette grandeur correspond à tan)' = dX/dY donné par (8.37).

(8.49)

8.4. Annexe: Éléments orbitaux NORAD

8.4 8.4.1

305

Annexe: Éléments orbitaux NORAD Présentation de l'organisme NORAD

Le Commandement de la défense aérospatiale de l'Amérique du Nord, dit NORAD (North American Aerospace Defense Command) est une organisation conjointe, entre les États-Unis d'Amérique et le Canada, pour la surveillance de l'espace aérien nord-américain. Son quartier général est à la base aérienne Peterson (Colorado, États-Unis). Il a été créé en 1957, en pleine « guerre froide». Les Etats-Unis redoutaient une attaque par des missiles tirés depuis l'URSS (et qui seraient donc venus par le nord). Le NORAD gère des dizaines de radars et peut ainsi détecter tout objet de plus de 1 m dans l'espace (cette limite est de 10 cm jusqu'à 8 000 km d'altitude). Tous les satellites sont repérés par les radars et identifiés. Leur mouvement est calculé par des «modèles de propagation» (logiciels d'orbitographie) puis ajusté par de nouvelles mesures radar. Les paramètres orbitaux sont codés dans les TLE (Two-Line Elements, présentés plus bas). Pour les satellites « non classifiés», ces résultats sont diffusés plusieurs fois par jour (une à trois fois), qu'ils soient issus des mesures radar ou des calculs. Les satellites espions (ou plus généralement « sensibles») américains sont exclus de cette diffusion, mais les satellites militaires français Hélios et Essaim ne l'étaient pas ... Ainsi, à l'aide d'un logiciel d'orbitographie comme Ixion, on pouvait déterminer facilement lesquels de nos satellites étaient maintenus en orbite correcte et lesquels étaient à la dérive. Mécontent de cette attitude, le ministère français de la Défense a créé le système GRAVES (Grand réseau adapté à la veille spatiale), opérationnel depuis 2005, qui détecte tout satellite survolant la France. Près de trente satellites « classifiés NORAD » auraient ainsi été détectés. La perspicacité de GRAVES a permis à Paris de négocier avec Washington : «on reste discret sur certains de vos satellites si vous cessez de mettre en ligne les données de nos satellites sensibles ». Cela a fini par payer, car à partir du 8 décembre 2009 (peu avant le lancement d'Hélios-2B) les satellites Hélios et Essaim ont été retirés de la liste des TLE NORAD.

8.4.2

Les« Deux Lignes NORAD » (TLE)

L'organisme NORAD recense les objets en orbite et fournit, sous forme de deux lignes de 69 caractères (chiffre, lettre, signe, blanc), leurs éléments orbitaux. Ces données, nommées NORAD Two-Line Element Set Format (en abrégé TLE), constamment actualisées, sont accessibles par Internet. Pour chaque satellite, les données sont dans le format suivant: AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA 1 NNNNNU NNNNNAAA NNNNN.NNNNNNNN +.NNNNNNNN +NNNNN-N +NNNNN-N N NNNNN 2 NNNNN NNN.NNNN NNN.NNNN NNNNNNN NNN.NNNN NNN.NNNN NN.NNNNNNNNNNNNNN

306

Line 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Chapitre 8. Trace du satellite

Column

01

03-07 08 10-11 12-14 15-17 19-20 21-32 34-43 45-52 54-61 63 65-68 69 01

03-07 09-16 18-25 27-33 35-42 44-51 53-63 64-68 69

TABLEAU

Description Line N umber of Element Data Satellite Number Classification (U = U nclassified) International Designator (Last two digits of launch year) International Designator (Launch number of the year) International Designator (Piece of the launch) Epoch Year (Last two digits of year) Epoch (Day of the year and fractional portion of the day) First Time Derivative of the Mean Motion Second Time Deriv. of Mean Motion (decimal point assumed) Drag term (decimal point assumed), " B* " model Ephemeris type Element number Checksum (Modulo 10) Line N umber of Element Data Satellite Number Inclination (Degrees) il Right Ascension of the Ascending Node (Degrees) Eccentricity (decimal point assumed) e w Argument of Perigee (Degrees) M Mean Anomaly (Degrees) Mean Motion (Revolutions per day) n Revolution number at epoch Checksum (Modulo 10)

8.3 : Description des «Deux lignes NORAD ». Document NORAD.

La ligne 0 donne le nom du corps en orbite (satellite, élément de fusée), en 24 signes. Le standard TLE est constitué des lignes 1 et 2, dans un format utilisé par le NORAD et la NASA. La ligne 1 donne la date et divers renseignements sur le frottement atmosphérique. Les paramètres orbitaux sont dans la ligne 2. La description exacte du format d'écriture est notée dans le tableau 8.3.

8.4.3

Décodage des lignes NORAD

La correspondance entre les six éléments képlériens classiques vus au chapitre 5 et les six éléments NORAD se fait directement pour les éléments métriques i, e et les éléments angulaires D, w, NI. Le demi-grand axe a s'obtient à partir du moyen mouvement n. Pour une utilisation pratique de ces éléments orbitaux, deux d'entre eux demandent des calculs préliminaires. [ a 1 Comme nous le voyons, le demi-grand axe a n'apparaît pas direc-

8.4. Annexe: Éléments orbitaux NORAD

307

tement dans les éléments NORAD. Le nombre de révolutions par jour donne la période anomalistique Ta (car la période, dans cette étude orbitale, est définie comme deux passages successifs au périgée). Par une méthode d'itération, comme celle vue dans l'exemple 7.3, on obtient la valeur de a. [ [2 1 L'angle [2, ascension droite du nœud ascendant, est mesuré dans un référentiel galiléen par rapport à la direction du point vernal. Mais dans la pratique, on veut connaître >'0, la longitude du nœud ascendant de l'orbite, c'est-à-dire l'élongation angulaire de ce point dans un repère terrestre, comptée à partir du méridien de Greenwich. En utilisant les notations déjà vues, on peut dire que [2 est compté dans ~, >'0 l'est dans ~T. On calcule d'abord l'angle [2coo que fait le méridien de Greenwich avec la direction du point vernal, à 0 heure TU, le jour considéré. Cet angle correspond au temps sidéral moyen GMST (Greenwich Mean Sideral Time), à o h, noté qcoo, et mesuré en secondes. Il est obtenu par la relation 5

+ 8640184.812866 Tu + 9.3104 10- 2 T,; - 6.2 10- 6 T~

qcoo =24110.54841

(8.50)

avec Tu, qui mesure le temps en siècle julien, défini par Tu = du /36 525, où du représente le nombre de jours écoulés depuis le 1er janvier 2000 à 12 h (date origine choisie, appelée DJ2000, correspond à la date julienne DJ 2451545.0). Avec LJ.J, la fraction de jour écoulée depuis 0 h (en donnée en ligne 1 de TLE), on calcule le temps sidéral (GMST) à l'instant t (TU) considéré: qCt = qcoo

+ 86 400 DT

LJ.J [ mod 86 400 1

(8.51)

où DT représente la vitesse angulaire de rotation de la Terre, exprimée en tours/jour, donnée par (7.28). Avec l'équivalence entre les jours et les tours (1 jour - 360°), on obtient [2Ct en degrés à partir de qc en secondes : [2

_

Ct -

qCt

240

(8.52)

qui est l'angle que fait le méridien de Greenwich avec la direction du point vernal, à l'heure TU considérée. Les positions du nœud ascendant de l'orbite et du méridien de Greenwich, notées respectivement [2 et [2Ct, sont mesurées par rapport à la même origine, 5L'expression de qaGG est composée de 4 termes: (a) le premier donne la position du méridien de Greenwich à date origine choisie; (b) dans le deuxième, le coefficient de Tu est égal au nombre de secondes par jour (86400) multiplié par le nombre de jours par siècle julien (36 525), divisé par le nombre de jours dans l'année tropique (Ntro = 365.242 1897) ; (c) le troisième est relatif à la nutation; (d) le quatrième rend compte de la précession des équinoxes.

308

Chapitre 8. Trace du satellite

au même instant. On obtient donc la longitude À o du nœud ascendant de l'orbite dans un repère terrestre: Ào =

n - nCt

(8.53)

Avec w et v (obtenu à partir de l'vI et e), on calcule l'instant de passage du satellite au nœud ascendant ainsi que sa position ÀN A (en tenant compte de la précession de l'orbite dans cet intervalle de temps). La longitude et l'instant TU donnent ainsi l'instant TSM, temps solaire moyen du passage au nœud ascendant. Exemple 8.6 Calcul des éléments orbitaux à partir des éléments NORAD, pour le satellite ICESat. ~ Pendant ses trois premiers mois de mission, le satellite ICESat avait une orbite dite de calibration. Sa trace devait repasser sur elle-même tous les 8 jours (nous reviendrons au chapitre 11 sur cette notion de phasage). Les éléments NORAD, pour le jour choisi, durant cette époque de calibration, sont les suivants:

ICESAT

1 27642U 03002A 03175.25018279 .00000722 00000-0 75456-4 0 1631 2 27642 94.0031 263.4514 0002250 85.5696 274.5785 14.90462832 24163 On obtient la date avec 03175.25018279 : année = 03, jour = 175, heure = 0.25018279/24, ce qui donne 24 juin 2003, à 06:00:15.79 UTC. À titre d'information, il s'agit de la révolution 2416, l'origine de la numérotation étant au premier passage du satellite au périgée. On obtient immédiatement les éléments suivants: n = 14.90462832 revolutions/jour; e = 0.0002250; i = 94.0031° ; n = 263.4514° ; w = 85.5696° ; M = 274.5785°. Avec l'anomalie moyenne IvI, on peut calculer les anomalies excentrique et vraie, très voisines de J'vI car l'excentricité est très petite: E = 274.566° et v = 274.553°. Avec n, on obtient la période anomalistique: '1;'(min) = 1440/n, soit '1;' = 96.61428 min. On calcule la position sur orbite, Ct = w + v : Ct = 85.569 + 274.553 = 360.122 = 0.122 [mod 360] La position du satellite à l'instant initial n'est donc pas le noeud ascendant mais un point situé un peu au-dessus de l'équateur, dans l'hémisphère Nord. On calcule l'écart, en anomalie moyenne, puis en temps, entre l'instant initial et le passage au noeud ascendant. L1M = M - M(v = -w) = 274.579 - 274.457 = 0.122 L1t = 0.122/360 x Ta = 1.971 s. Dans un premier temps, on pose '1'0 = '1;' et, avec cette période képlérienne, on obtient la valeur du demi-grand axe de l'orbite képlérienne: ao = 6974.6 km. On calcule la variation séculaire liée au moyen mouvement, L1n/n = -0.6695 10- 3 et

00

(1)

'"

J;'"

[

Cf:)

~

.

;:J

(1)

~

(1)

""

(1)

J;

;:J

c;:J

Z-

(1)~

""

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àl o' r;.

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0-+."" ~ r::

ttl,

~

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;:J

~.

'\:1 o ;;,

...,

~Q,

'"

= [15; -1; 8]119

œT.:[lnt. ellipt.]- Grille

Projection: Guyou Propriété: Conforme

10·

2003062406:0014 TUC >>>

Phasage

Trace de l'orbite

"" .0 ICESat [cal]

Cf:)'rj

;:J

;;,

EGM96

[NORAD] 2003 06 24 0600:14 TUC

[NO RAD] Révolution : 2416

15.31 [·32.0/·90.0/+106.0] H

Noeud asc. : -98.59· [23:26 TSM]

Centre Project.: 32.0 • N ; 106.0 • W

Décalage à l'équateur = 2694.1 km (24.2·)

Aspect: Transverse,. zoom: 6.00

8.00 jours

e '" 0.000225

MC

a = 6971 .515 km

Période = 96.68 min • Révol./j.=14.89

Inclinaison '" 94.00·

Altitude = 593.4 km

LMD

nLGJV

ATÀCXÇ

*

w '-Cl

o

o ?:I > U

Z

ê>:

s:

o"1

rh

;!..

aro

m-

trJ.

::J ro >: ro

> ::J

~

00

310

Chapitre 8. Trace du satellite

on recalcule a. Après itérations, on obtient: a = 6971.515 km; soit une altitude h = a - R = 593 km. Avec les valeurs de a et i, on calcule les vitesses de précession et les périodes. On obtient: précession nodale ft = +0.5079° /jour ; précession apsidale w = -3.5508° /jour ; période anomalistique 'l'a = 96.61428 min (vérification) ; période draconitique Td = 96.67818 min. Pour le calcul de la longitude du plan orbital à l'instant initial, on détermine la date julienne de l'instant considéré, DJ 2 452 814.75018279, ce qui donne du = DJ - DJ2000 = 1 269.75018279 et 'l'" = du /36 525. Avec la relation (8.50), on calcule: qGOO = 65 217.588 [mod 86 400], puis avec IJ.J = 0.25018279 on obtient: qGt = qGOO + 86400 x 1.00273790934 x 0.250 182 79 qGt = qGOO + 21 674.993 = 86 892.581 = 492.581 [mod 86 400] qGt en secondes donne QGt en degrés: QGt = 492.581/240 = 2.052 On a donc, avec (8.53) : À o = 263.451 - 2.052 = 261.399 On calcule le déplacement IJ.À = À o - ÀN A du plan orbital, dans le référentiel terrestre, en prenant en compte la précession nodale durant IJ.t. La valeur de IJ.À est ici très faible, IJ.À = -0.008. On obtient ainsi ÀNA, la longitude du passage du satellite au noeud ascendant : ÀNA = À o -IJ.À = 261.399 + 0.008 = 261.407. Pour un passage au noeud ascendant à la longitude 261.407° (soit 98.593° W), l'instant 06:00:14 TU correspond à 23:25:52 TSM. Tous ces éléments nous permettent de représenter la trace du satellite ICESat pendant 8 jours. Durant cette période, le satellite devait passer à la verticale du site d'étalonnage, White Sands (Arizona, États-Unis). La figure 8.5 nous permet de vérifier que cette contrainte est respectée .....

8.4.4

Conditions d'utilisation

L'utilisation des données NORAD, sous forme des TLE, nécessite l'emploi d'un logiciel d'orbitographie pour le passage de n à a. Si on injecte ensuite les 6 paramètres orbitaux, relatifs à un jour J, dans le logiciel, on peut obtenir des résultats très précis sur la position du satellite (précision de l'ordre de 100 mètres), sur une durée d'une à deux semaines avant et après J. Dans le cas où on s'intéresse à des satellites « maintenus» sur une longue période (plusieurs mois) et si on ne dispose pas des données NORAD actualisées, il vaut mieux utiliser les paramètres orbitaux nominaux plutôt que les données TLE « périmées». En effet, les satellites phasés, héliosynchrones comme les SPOT ou ceux de l'A-train, non héliosynchrones comme les Jason, sont remis sur leur orbite de référence plusieurs fois par mois. Pour des opérations ultra-précises, comme des manœuvres de rendez-vous

8.5. Annexe: Projections cartographiques

311

orbital, les données TLE NORAD sont inadaptées.

8.5 8.5.1

Annexe: Projections cartographiques Définitions et propriétés

Une projection cartographique est une transformation qui fait correspondre de manière bijective un point de la sphère (ou d'un ellipsoïde), repéré par ses coordonnées sphériques À, cp (longitude, latitude) à un point du plan, repéré par ses coordonnées x, y sur la carte: projection cartographique

f

=

{h, 12}

{~

h(À,cp) 12 (À, cp)

Il existe une infinité de projections cartographiques. Le problème principal que doivent résoudre les projections cartographiques tient dans cette courte phrase : la sphère n'est pas développable. Cela signifie qu'on ne peut pas appliquer la surface d'une sphère sur un plan sans la déformer ou la déchirer 6 . L'étude théorique de cette question a été faite, de manière contemporaine, par Lambert1 (1772), Euler (1777) et Lagrange (1779). Elle a été résolue de manière définitive par Gauss (1822) qui étudia les conditions pour appliquer une surface quelconque sur une autre surface quelconque. Une projection cartographique peut avoir une ou l'autre (exclusivement) des deux propriétés suivantes: - les angles sont conservés, la projection est conforme; - les surfaces sont conservées, la projection est équivalente. Elle peut n'avoir aucune de ces propriétés 8 , mais en aucun cas les deux à la fois. On dit que la carte peut conserver les angles ou les surfaces d'une figure, mais pas les périmètres; aucune carte ne peut conserver les distances dans toutes les directions. En d'autres termes, aucune projection n'a une échelle constante dans tout le champ de projection. 6Un cylindre, à la différence de la sphère, est développable. Si le corps d'un félin peut être assimilé à un cylindre, on comprend que la peau de tigre se transforme tapis sans déformation. 7 Jean Henri Lambert (1728-1777), astronome, mathématicien et physicien suisse et allemand, d'ascendance française. En astronomie, il calcula la trajectoire des comètes et comprit que la Voie lactée n'était qu'une modeste galaxie dans l'univers. En physique, il énonça la loi fondamentale de la photométrie. Dans ses nombreux travaux mathématiques, parmi lesquels la démonstration de l'irrationalité de Ir (1766), il accorda une grande importance aux problèmes de perspective et de projections cartographiques. Il définit un grand nombre de projections, dont plusieurs portent son nom aujourd'hui. La plus connue est la projection conique conforme, utilisée en France pour la carte de France (à partir de 1922) et pour les plans cadastraux (depuis 1938). 80 n trouve dans la littérature ancienne les adjectifs suivants pour ces propriétés: autogonal, orthomorphe, pour conforme; autohalique, homéotère, pour équivalent; aphylactique, pour l'absence de l'une de ces propriétés. Ces appellations sont complètement démodées.

312

Chapitre 8. Trace du satellite

Avec une projection conforme, les parallèles et les méridiens sur la carte se coupent à angle droit (puisqu'il en est ainsi sur la sphère où ils forment deux faisceaux de courbes orthogonales). Avec une projection équivalente, un pays deux fois plus étendu qu'un autre est représenté sur la carte par une surface deux fois plus grande. Lorsqu'on représente la Terre entière, on peut la considérer sphérique, car la projection de la sphère ou de l'ellipsoïde terrestre sur le plan donnent des cartes aux différences imperceptibles, quelle que soit la projection (ce n'est pas vrai pour les cartes régionales précises).

8.5.2

Classement des projections (type, aspect)

On peut classer les projections par type ou par aspect. Le type indique comment la sphère semble projetée sur la carte: type cylindrique, conique, azimutal, autre. Nous disons «semble», car une projection cartographique n'est pas (à de très rares exceptions près) une projection au sens d'une intersection d'une droite et d'un plan. Par exemple, la projection de Mercator est dite cylindrique, mais elle n'est pas la « projection», à partir du centre de la sphère, de cette sphère sur un cylindre tangent à l'équateur (comme on le lit très souvent). L'aspect peut être direct (ou normal), transverse, oblique. Par exemple, pour une projection stéréographique (type azimutal) d'aspect direct (dit aussi, dans ce cas, polaire), le point de contact du plan de projection sur la sphère se fait au pôle et se fait sur un point de l'équateur pour une projection transverse (dite aussi, dans ce cas, équatoriale). Si le point de contact est quelconque, l'aspect de la projection est oblique. Le logiciel Atlas, que nous avons élaboré, est couplé à la partie orbitographie de notre logiciel Ixion. Toute trace de trajectoire de satellite peut être ainsi cartographiée avec la projection choisie. A chaque représentation, on s'efforce d'appliquer la projection cartographique la mieux adaptée. Sur toutes les cartes présentées ici, tracées par le logiciel Atlas, nous avons noté les caractéristiques de la projection: nom, propriété, type, aspect. Nous avons aussi fait figurer dans la légende les coordonnées (longitude, latitude) du centre de la carte ainsi que les trois angles d'Euler qui ont défini la rotation du globe, pour cette projection, à partir de la position initiale standard. Les projections présentées dans cet ouvrage peuvent être regroupées dans les thèmes suivants.

(a) Projections conformes Les angles sont conservés. En particulier, l'angle entre la trace (du satellite ou de sa fauchée) et le méridien considéré est conservé. Projections principalement utilisées : - la projection de Mercator ; - la projection stéréographique; - les projections de Guyou et d'Adams, basées sur les intégrales elliptiques.

8.5. Annexe: Projections cartographiques

313

(b) Projections équivalentes Projections utilisées lorsqu'on veut privilégier le respect des surfaces. Projections principalement utilisées dans cet ouvrage: - la projection de Behrmann (projection cylindrique équivalente de Lambert dilatée), la projection de Lorgna; - les projections de Mollweide, de Sanson; - les projections de Goode homolosine ou de Boggs Eumorphic, souvent sous la forme interrompue; - la projection de Hammer-Aitoff. ( c) Projections dites perspectives Sans avoir de propriétés particulières, ces projections sont très visuelles, car elles représentent la planète comme si on le regardait de l'espace, de plus ou moins loin. Projections principalement utilisées: - la projection vue perspective, avec un point de vue à distance (exprimée en rayon planétaire) finie; - la projection orthographique, qui correspond à un point de vue à l'infini; c'est la projection employée si on veut représenter non plus la trace, mais l'orbite du satellite, en 3D, de manière à faire apparaître l'altitude; - la projection Armadillo, de Raisz, qui représente, de manière imagée, une forme « éclatée» de la sphère. (cl) Projections spécifiques Le cartographe américain John P. Snyder (1926-1997) a inventé, en 1977, pour le satellite ERTS-1 (Landsat-1) et les suivants du programme Landsat, une projection spécifique pour la représentation de la trace des satellites. Cette Satellite- Tracking projection garde les méridiens régulièrement espacés et modifie l'espacement des parallèles de sorte que la trace du satellite soit une droite. Nous l'avons adaptée à tout type de satellite. Nous y revenons ci-dessous, plus en détail. ( e) Projection archaïque La projection dite plate-carrée est utilisée très souvent (si ce n'est exclusivement) dans les livres et documents donnant des représentations de trace de satellites. Elle consiste à représenter linéairement les longitudes selon l'axe des abscisses et les latitudes selon celui des ordonnées. Cette projection est un peu primaire (elle revient à : x = À, y = cp) et même assez primitive (elle était en vogue ... au Moyen Âge). Elle n'a aucune propriété (ni conforme, ni équivalente) et son seul intérêt mathématique est d'être très simple: ce n'est pas maintenant un argument avec l'informatique. Nous ne l'avons jamais utilisée, sauf pour la première carte de ce livre, la figure 8.3, en début de chapitre - nous n'avons pas voulu bousculer les habitudes dès le début!

8.5.3

Description de trois projections

Nous décrivons ici succinctement deux grands classiques des projections conformes, la projection stéréographique et la projection de Mercator. Nous présentons aussi la projection de Snyder, qui est une projection spécifique

Chapitre 8. Trace du satellite

314

Terra Trace de l'orbite Phasage

Altitude = 699.6 km

Période = 98.88 min • Révol.lj.=14.56

=[15; -7; 16]233

»> Durée représentée: 5760.0 min

=

Centre Project.: 0.00

Propriété: (sans)

Aspect: Direct

10 0

Décalage à l'équateur = 2751.9 km ( 24.7 0)

4.00 jours

proj. : Snyder-TraSatRecti/55° Ell T:Cylindrique - Grille

a = 7077.736 km

Incl. HELIOSYNCHRONE = 98.21 0

0.00

Noeud asc:

103.02 0 [22:30 TSM]

14.211 +0.0/ +00/ +00][-] EGM96

Jason-2 / OSTM Trace de l'orbite

Altitude = 1336.3 km

Phasage

Période = 112.43 min • Révol./j.=12.81

= [13; -3; 10]127

Proj. : Snyder-TraSatRecti/35°

Centre Project.: 0.00

Propriété: (sans)

Aspect: Direct

Ell T:Cylindrique - Grille

*

LMD

ATÀa,

a = 7714.434 km

Inclinaison = 66.04 0 Décalage à l'équateur = 3155.5 km ( 28.3 0)

»> Durée représentée: 4320.0 min = 3.00 jours

10 0

n~c.JV

MC

Inclin. app. = 102.06 0

0.00

14.211 +0.0/ +00/ +0.0][-] EGM96

Noeud asc: 99.92 0 [00:00 TSM] Inclin. app. = 70.29 0

n~c.JV

MC

*

LMD

ATÀa,

8.6 : Trace de l'orbite de deux satellites : (a) Terra (héliosynchrone, même orbite que Landsat-7); (b) Jason-2 (direct). Projection de Snyder, avec parallèles standard différents (a) 55° ; (b) 35°.

FIG.

8.5. Annexe: Projections cartographiques

TRMM [1] <~ffi ) Trace de l'orbite

Altitude = 350.1 km Inclinaison

>>> Durée représentée: 2880.0 min = 2.00 jours

=

34.99

315

a = 6728.216 km 0

Période = 91.31 min • Révol./j.=15.77 Décalage à l'équateur = 2596.2 km ( 23.3 ')

Projection: Snyder-TraSatRecti/5° Propriété: (sans)

Centre Project.: 0.0' Aspect: Di rect

EB T.:Cylindrique - Grille: 10'

15.3H +0.01 +001 +0.0][·1 EGM96

Megha-Tropiques Trace de l'orbite Phasage

Noeud ase.:

0.0 '

0.00

0

MC

Inclin. app. = 37.24'

Altitude = 865.5 km Inclinaison

=

20.00

nLc.JV

*

LMD

ATÀaç

a = 7243.678 km 0

Période = 101.93 min' Révol.lj.=14.13

= [14; -1; 71 97

»> Durée représentée: 4320.0 min

=

3.00 jours

Décalage à l'équateur = 2892.0 km ( 26.0 ')

Projeclion : Snyder·TraSalRectü 0'

CP: 0.0' , 0.0' ICZ: 8.0' N, 45.0' E

Noeud asc.:

Propriété: (sans) EB T.:Cylindrique - Grille: 5'

Aspect: Direct> zoom : 3.00 15.3H +90.01 +0.01-90.0][-1 EGM96

Inclin. app. = 21.52'

0.00'

I~Lc.JV

MC

*

LMD

ATÀaç

8.7 : Trace de l'orbite de deux satellites en orbite directe .- (a) TRMM,- (b) M egha- Tropiques. Projection de Snyder, avec parallèles standard différents .- (a) 5° ,- (b) if.

FIG.

316

Chapitre 8. Trace du satellite

aux satellites. Dans les trois cas, la Terre est considérée comme sphérique (de rayon R = 1) et la latitude est notée 1jJ, latitude géocentrique. Projection de Mercator

Une projection cylindrique, sous son aspect direct, s'écrit sous la forme:

{~

=À

= f(ljJ)

(8.54)

Les méridiens sont représentés par des lignes équidistantes, perpendiculaires à l'équateur. Les parallèles sont des droites parallèles à l'équateur (donc perpendiculaires aux méridiens) et dont la position sur la carte ne dépend que de la latitude.

Pour que de telles projections soient conformes, il faut calculer la fonction

f( VJ) afin qu'elle respecte cette propriété. Pour une projection cylindrique,

cette fonction est unique. On la note traditionnellement 1:(1jJ). L'espacement entre les parallèles est de plus en plus large au fur et à mesure qu'on s'éloigne de l'équateur. Si deux méridiens sont séparés d'un écart LlÀ en longitude, leur écart sur le globe est R LlÀ cos VJ à la latitude VJ, passant de R LlÀ sur l'équateur à 0 aux pôles. Puisque la projection cylindrique maintient des écarts constants entre les méridiens sur la carte, il faut écarter les parallèles proportionnellement à l'intégrale de (1/ COSVJ). L'inverse de COSVJ était autrefois noté sec1jJ, avec la

8.5. Annexe: Projections cartographiques

317

fonction trigonométrique sécante. La fonction L(IjJ) est obtenue par:

(8.55) Cette intégrale définit la projection cylindrique conforme, dite projection de Mercator :

{:

=À =

Intan

(

'l/J) "4Ir +"2

(8.56)

qui fait intervenir le logarithme népérien de la tangente. La fonction L(IjJ) est appelée fonction des cartes réduites, ou fonction des latitudes croissantes, ou variable de Mercator. Sous sa forme directe équatoriale, cette projection est rarement utilisée au-delà de 60°. Les pôles sont rejetés à l'infini 9 . Sous sa forme transverse, la projection de Mercator prend le nom de projection de Gauss ou UTM (Universal Transverse Mercator). La première carte cylindrique conforme directe fut la carte du monde établie en 1569 par Mercator 10 , à l'usage de la navigation (ad usum navigantium). Elle se montra très utile aux marins l l . Mercator n'a jamais expliqué sa méthode. On sait maintenant qu'il avait fait une intégration « à la main», en ajoutant les quantités avec un pas de l'ordre du degré. Il ne connaissait pas les logarithmes, dont la théorie fut établie plus tard, en 1614 par John Napier (ou Neper, d'où log. népériens). La projection de Mercator avait été formalisée mathématiquement en 1599 par Edward Wright. 9Certaines projections cylindriques, comme celle de Arden-Close ou Miller, sont censées « améliorer» Mercator en représentant les pôles, par des artifices de calcul. Mais elles perdent ainsi la propriété fondatrice de Mercator, la conformité. 10 Gerardus Mercator (1512-1594), mathématicien et géographe flamand. [La latinisation était de mise chez les universitaires à cette époque. Gerhard Kremer changea son nom en Gerardus Mercator, mercator signifiant «marchand» en latin, comme kremer en flamand.] Il réalisa des globes, des cartes et des instruments astronomiques pour Charles-Quint. Comprenant que les cartes précises et utiles à la navigation avaient un intérêt stratégique et commercial, il établit la première projection cylindrique conforme. Il est le fondateur de la cartographie mathématique moderne. Son œuvre principale est Atlas sive cosmographicœ meditationes de fabrica mundi et fabricati figura, gros recueil de cartes (qui ne sont pas toutes en projection de Mercator). L'Atlas fut augmenté et réédité de nombreuses fois. Après sa mort, son fils Rumold, puis le géographe Jocodus Rondius continuèrent ce travail de cartographie et d'édition. Pour son premier recueil de cartes (1583), Mercator a choisi le nom d'Atlas et a illustré le frontispice de l'ouvrage avec la divinité grecque Atlas, qui supporte le ciel et observe la Terre. Par la suite, « atlas» est devenu un nom commun pour ce genre d'ouvrage géographique. llOn détermine d'abord le chemin le plus court entre deux points (orthodromie). On le reporte sur la carte de Mercator et on l'approche par une succession de segments de droite (loxodromie). La carte de Mercator indique le cap à suivre et à maintenir, puisque la projection est conforme.

318

Chapitre 8. Trace du satellite

À la fin du xx e siècle, plusieurs auteurs (non cartographes) ont affirmé que la projection de Mercator était politiquement incorrecte 12 . C'est une propriété inattendue des logarithmes! ! ! Projection de Snyder

La projection de Snyder est une projection de type cylindrique : les longitudes sont régulièrement espacées, sur la carte. Pour que les traces soient représentées par des segments de droite, il faut donc que latitude et longitude, sur une révolution donnée, soient liées linéairement. En utilisant la relation (8.48), on obtient

{~

= =

À - ÀNA

. tan 1jJ 1 . sin 1jJ arCSln - - - - - arcsm-.-. sm'{ tan i ~

(8.57)

où x et y sont les coordonnées cartésiennes sur la carte et ÀN A représente la longitude du nœud ascendant initial. On a posé q = 1 dans (8.48). Les latitudes subissent ainsi une « dilatation» à mesure qu'on s'éloigne de l'équateur. La projection est présentée sur les figures 8.6 et 8.7, avec des dilatations différentes pour les latitutes. Cette projection ne s'applique qu'aux orbites circulaires et utilise obligatoirement les latitudes géocentriques. Projection stéréographique

La projection stéréographique 13 a fait l'objet d'une littérature très complète, l'étendue de ses propriétés géométriques étant immense. Nous expliquerons cette projection sur un exemple très simple tiré de la cartographie. Considérons une sphère (la Terre), son centre 0, son plan équatorial et ses deux pôles. Choisissons un point particulier A, appelé pôle de la projection, le pôle sud dans cette application. On trace la droite qui 12Nous donnons en exemple deux de ces écrits (extraits en transcription littérale). «Toute projection déforme inévitablement, aucune n'est innocente. La projection classique de nos vieux atlas scolaire est celle de Mercator, basée sur un quadrillage factice qui trace parallèlement non seulement les "parallèles" mais les méridiens. Les zones polaires sont démesurément distendues, les zones "tempérées" (= blanches) tiennent une place disproportionnée par rapport à leur superficie réelle. L'équateur est rejeté vers le bas de la carte ce qui donne une image tout à fait fausse du rapport terre/mer. » (Jean Chesneaux, L'état du Monde 1982. Annuaire économique et 9éoPoiitique mondial. François Maspero éd., Paris 1982.) « Au 16 e siècle, à une époque où l'Europe étendait ses empires coloniaux, on ne s'inquiétait pas des déformations de la carte de Mercator. Pourtant, aujourd'hui encore, et bien que le colonialisme appartienne largement au passé, la carte de Mercator garde toujours une grande partie de son influence. » (PNUD - Programme des Nations unies pour le développement. Le Courrier de l'UNESCO, juin 1991. Cartes et cartographes.) 13Cet adjectif vient du grec a'l:Epooç, «solide» et yp&.qmv, « graver, écrire». Ptolémée rapporte que la projection stéréographique a été établie par Hipparque de Nicée.

8.5. Annexe: Projections cartographiques

319

relie un point P de la sphère au pôle A. L'intersection de la droite avec le plan équatorial définit un point NI qui est l'image de P dans la projection stéréographique de pôle A. Cette transformation projette toute la sphère (sauf le pôle A) sur le plan équatorial. Tout l'hémisphère Nord est à l'intérieur du cercle équatorial, tout l'hémisphère Sud à l'extérieur. En cartographie, on préfère utiliser deux projections, chaque carte ayant pour cadre l'équateur, en changeant de pôle lorsqu'on change d'hémisphère. Il est bien évident qu'on peut prendre tout autre point de la sphère comme pôle. On montre que cette projection est conforme. Un cercle sur la sphère a pour image un cercle sur le plan (si le cercle passe par le pôle de la projection, c'est une droite). Un point P de la sphère est défini par sa longitude À et sa latitude géocentrique '!/J. Dans le cas vu ci-dessus, avec le point A au pôle sud, l'angle au centre (AO,OP) représente la colatitude du point P et il est le double de l'angle inscrit (A O,AP) :

(AO, OP) =

"2 Ir

'1/)

Ir

1jJ

(AO , AP) = -4 - 2

Sur le plan équatorial, le point P se projette en JI.;[ en conservant son angle d'azimut, ici À. Les coordonnées polaires (T, e) de NI sont: =À

= tan

(~-~)

En projetant sur les axes (x, y), on obtient l'équation de la projection stéréographique azimutale : = T cosÀ (8.58) = T sinÀ

{~

Chapitre 9

Orbite et 9.1

•

•

mISSIon

Classement par type d'orbite

Les orbites des satellites sont classées selon différents critères : l'inclinaison, l'altitude, l'excentricité ou diverses propriétés. Appellation selon l'inclinaison

On a vu que l'angle d'inclinaison 'i de l'orbite (angle de nutation Œ2 pour les angles d'Euler) est défini entre 0° et 180°. Si i est inférieur à 90°, l'orbite est dite directe (on rencontre parfois le terme prograde) , si i est supérieur à 90°, l'orbite est dite rétrograde. Dans le cas i = 90°, l'orbite est polaire. On peut ajouter strictement polaire, car lorsque i est compris entre 80° et 100°, on parle souvent d'orbite polaire alors que quasi polaire serait plus approprié. Si i = 0° (ou i = 180°, mais ce cas n'a jamais été rencontré), on parle d'orbite équatoriale, et pour i inférieur à 10°, d'orbite quasi équatoriale. Appellation selon l'altitude

Les satellites en orbite quasi circulaire sont classés par leur altitude moyenne. On parle d'orbite basse pour les satellites à une altitude inférieure à 1 500 km, d'orbite moyenne pour les satellites GPS à une altitude d'environ 20 000 km, d'orbite haute (appelée parfois orbite de Clarke) pour les satellites géostationnaires à une altitude de 36 000 km. En anglais, les appellations de ces orbites sont respectivement LEO (Low Earth Orbit), MEO (Medium Earth Orbit) et GEO (Geostationary Earth Orbit). Nous utiliserons fréquemment ces trois appellations, concises et cohérentes 1 . La presque totalité des 1 Lorsque c'est le satellite, et non l'orbite, qui est dit LEO, cela sous-entend Law Earth Orbiting. On peut trouver, très rarement toutefois, l'appellation GEO (Geasynchranaus Earth Orbit) pour les orbites géosynchrones opposée à GSO (GeaStatianary Orbit) pour

M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

322

Chapitre 9. Orbite et mission

satellites en orbite à faible excentricité est dans une de ces trois catégories (il est très rare, par exemple, qu'un satellite ait une altitude de 8 000 km). Pour les orbites très elliptiques 2 , comme les orbites Molnya ou Tundra, on utilise l'abréviation HEO (Highly Eccentric Orbit). L'orbite GTO (Geostationary Transfer Orbit) est généralement provisoire, car le satellite est placé sur cette orbite très excentrée lorsqu'il est en transfert vers l'orbite GEO. Quelques satellites s'y trouvent : certains par choix, les autres parce que l'impulsion d'apogée, qui permet de circulariser l'orbite, n'a pas bien fonctionné. Et pour finir, notons que si un satellite n'est pas correctement mis en orbite, il est parfois estampillé d'un pudique FTO (Failed Transfer Orbit) ! Les orbites notées L1LO et L2LO se réfèrent aux orbites en halo autour des points de Lagrange, dont nous avons parlé au chapitre 6, dans l'annexe consacrée à ce sujet. Appellation selon la propriété

Lorsqu'on veut opposer satellites géostationnaires et non géostationnaires, on parle pour ces derniers de satellites défilants. À un satellite héliosynchrone, on oppose un satellite à dérive de l'heure locale. Nous verrons plus loin d'autres propriétés, comme le phasage ou le gel d'orbite. Orbite et révolution

Toute démarche scientifique étant basée sur la précision du langage, il faut mentionner, pour la combattre, l'erreur très souvent rencontrée qui consiste à dire « orbite» à la place de « révolution» ou « tour» (erreur en français, anglais et d'autres langues sans doute). On lit très souvent, par exemple: le satellite Terra, lors de l'orbite 7778 ... Cette confusion est injustifiable et elle ne se rencontre d'ailleurs pas en astronomie (on ne dit jamais que la Lune fait une orbite tous les mois autour de la Terre).

9.2

Satellites classés par

mISSIon

Notre classement des satellites par mission, bien entendu arbitraire, est fait avec le souci de mettre en évidence les types d'orbite. Nous présentons d'abord les satellites pour la géophysique et l'observation de la Terre, la navigation et les communications, puis ceux pour l'astronomie et ceux pour l'avancement technologique, ainsi que quelques inclassables. Nous évoquons rapidement les satellites militaires, dans leurs missions spécifiques, et les satellites avec présence humaine. l'orbite géostationnaire et également, sans grande logique, rGSO (Inclined GeoSynchronous Orbit) pour les orbites inclinées, donc synchrones mais pas stationnaires. 2pour les orbites type Molnya, on rencontre parfois l'appellation THEO (Twelve Hour Eccentric Orbit). Pour les orbites très hautes, comme celle de Geotail, on utilise le terme VHO (Very High Orbit).

9.2. Satellites classés par mission

323

La mission d'un satellite recouvre assez souvent plusieurs domaines (par exemple, un satellite océanographique participe aussi à une mission géodésique ou d'avancement des techniques altimétriques), sans parler, surtout au début de l'ère spatiale, de la grande part idéologique de beaucoup de missions - nous en parlons un peu plus bas. Pour les satellites militaires (ou partiellement militaires), la nomenclature est souvent floue (et même confuse). À partir de 1984, les États-Unis ont nommé certains de ces satellites USA, suivis d'un numéro d'ordre. Auparavant, ces satellites étaient nommés OPS, suivi d'un nombre à 4 chiffres, sans ordre chronologique: de 1964 à 1984, plus de 400 satellites OPS ont été lancés 3 . L'URSS, puis la Russie, a entretenu la confusion avec les satellites Kosmos : cette appellation (mot russe KOCMOC tiré du grec, 6 xôo[loç, ou, «ordre », «bon arrangement », d'où «univers») regroupe une multitudé de satellites (pas toujours militaires), sur tout type d'orbite, pour tout type de mission ... La Chine populaire a fait de même avec l'appellation DFH (Dong Fang Hong: dong fang « Orient », hong « rouge») qui regroupe la plupart de ses satellites. Ces satellites, pour ne rien simplifier, sont aussi répertoriés par les organismes occidentaux sous l'appellation PRC (en anglais People 's Republic of China), avec une autre numérotation. La tradition japonaise est de donner deux noms pour un même satellite. Le premier, en anglais (nom ou acronyme), le second en japonais, si le lancement est réussi, comme par exemple pour le satellite GOSat qui devient Ibuki. Cette tradition (superstition ?) se retrouve d'une certaine manière avec l'organisme américain NOAA, qui attribue une lettre au satellite, qui deviendra un chiffre après le lancement. Le satellite NOAA-N est devenu NOAA-18, alors que NOAA-B, second de la série, n'apparaît pas dans la numérotation, car il n'a pas été mis sur une orbite correcte 5 . Les dates de lancement sont notées jusqu'au 1er juillet 2011. Les satellites mis en orbite à partir de la navette spatiale américaine sont notés: lancés par STS-(numéro). Un satellite non spécifié dans une série est noté par -n (par exemple, Molnya-n).

3Lancement de 418 satellites, de OPS/3367, le 19 janvier 1964, à OPS/8424, le 17 avril 1984. 4Dates de lancement - Kosmos-1 (ou Spoutnik-11) : 16 mars 1962; Kosmos-1001 : 4 avril 1978; Kosmos-2001 : 14 février 1989. On constate un ralentissement des lancements par la suite. On note ici le dernier Kosmos lancé dans l'année: Kosmos-2054 (pour l'année 1989), Kosmos-2120 (1990), Kosmos-2174 (1991), Kosmos-2229 (1992), Kosmos2267 (1993), Kosmos-2305 (1994), Kosmos-2325 (1995), Kosmos-2336 (1996), Kosmos2348 (1997), Kosmos-2364 (1998), Kosmos-2368 (1999), Kosmos-2376 (2000), Kosmos2386 (2001), Kosmos-2396 (2002), Kosmos-2404 (2003), Kosmos-2412 (2004), Kosmos2417 (2005), Kosmos-2424 (2006), Kosmos-2436 (2007), Kosmos-2448 (2008), Kosmos-2458 (2009), Kosmos-2469 (2010). À partir de l'année 2000, les satellites Glonass représentent la moitié des Kosmos. 5Notons que sur les 20 premiers NOAA lancés, 19 ont été lancés avec succès.

324

9.2.1

Chapitre 9. Orbite et mission

Les premiers satellites

Sûrs de leur suprématie spatiale, les États-Unis se livraient, à partir des années 50, à une compétition interne pour la mise en orbite du premier satellite artificiel: US Navy (projet Vanguard) contre US Army (projet Orbiter). La marine américaine, forte de son puissant NRL (Naval Research Laboratory), mène seule, à partir de 1955, la «course à l'espace» avec la préparation du lancement d'un satellite surnommé Pamplemousse en raison de sa petitesse (1.5 kg). Coup de tonnerre dans ce ciel serein: le 4 octobre 1957, l'URSS lance Spoutnik-l, satellite de 84 kg (figure 9.1).

9.1 : Technicien préparant le satellite Spoutnik-l. Le satellite est composé d'une sphère métallique et de quatre antennes. La sphère (diamètre : 58 cm) abrite un émetteur et une batterie. Masse totale: 84 kg. Document: Académie des Sciences de l'Union des Républiques Socialistes Soviétiques.

FIG.

Le gouvernement américain, qui prend un second uppercut le 3 novembre avec la mise en orbite de la demi-tonne de Spoutnik-2 (508 kg dont une chienne), réagit vite: l'US Army lance le programme Explorer, en collaboration avec le JPL / Caltech (Jet Propulsion Laboratory / Califomia Institute of Technology). Le 31 janvier 1958, le lancement d'Explorer-1 (14 kg) est réussi (figure 9.2). Après plusieurs lancements ratés, Vanguard-1 est mis en orbite le 17 mars 1958. Le gouvernement américain mit fin à cette dualité en créant la NASA (National Aeronautics and Space Administration), le 1er octobre 1958.

9.2. Satellites classés par mission

325

9.2 : Les trois responsables de la mission, W. H. Pickering, James Van Allen et Wernher von Braun (g. à dr.) soulèvent une maquette (échelle 1) du satellite Explorer-l, après son lancement réussi, le 31 janvier 1958. Le satellite pesait 14 kg. C'est le premier satellite américain en orbite. Grâce à ses appareils embarqués, il permettra de découvrir les ceintures de radiation entourant la Terre, dites depuis ceintures de Van Allen. Document: NASA. FIG.

Pour tout État, la mise en orbite de son premier satellite par sa fusée nationale est un signal, avec une forte empreinte idéologique. Il ne faut pas demander à un satellite inaugural autre chose que des «bip bip », même si, grâce à Explorer-l, Van Allen réussit à mettre en évidence la ceinture de radiation autour de la Terre qui porte maintenant son nom. Le signal symbolique était aussi militaire en période de « guerre froide» : si on peut lancer un satellite, on peut lancer une bombe nucléaire! Après les «Deux Grands », comme on disait à l'époque, c'est la France, en pleine époque gaullienne, qui a lancé son propre satellite, A-1 (dit Astérix), le 26 novembre 1965. Suivirent ensuite, en 1970, deux grandes nations asiatiques : le Japon avec Ohsumi, la Chine avec DFH-l. En 1971, le Royaume-Uni, avec X-3 (dit Prospero), montra qu'il savait faire aussi. Les trois autres « premières» ont toutes lieu dans un contexte géopolitique tendu: en 1980, l'Inde avec Rohini (ou RS-1), Israël avec Ofeq-l. Lorsque l'Iran, en 2009, a lancé Omid-1 (<< espoir» en farsi) avec une fusée iranienne, le but idéologique était clairement exprimé par un communiqué de la présidence 6 . 6Téhéran. 3 février 2009. Agence officielle IRNA (lslamie Republie News Ageney). Lancement du satellite Omid. «La présence spatiale de l'Iran, avec l'objectif d'étendre le monothéisme, la paix et la justice, est désormais officiellement attestée dans l'Histoire », s'est félicité le président Mahmoud Ahmadinejad.

326

9.2.2

Chapitre 9. Orbite et mission

Satellites pour la géodésie

Nous avons déjà évoqué ces satellites au chapitre 6, où nous avons donné la liste exhaustive des satellites utilisés pour les modèles de géopotentiel EGM96S et GRIM5-S1. On peut considérer le satellite Spoutnik-2 comme un satellite géodésique ... Au début de la géodésie spatiale, beaucoup de satellites étaient au-dessus de l'altitude dite LEO pour s'affranchir du frottement atmosphérique, comme PAGEOS, lancé en 1966, entre 3000 et 5 200 km, i = 84.4°, les deux LAGEOS (Laser Geodynamics Satellite), avec h = 5 900 km, d'inclinaison i = 109.8° pour LAGEOS-1, lancé en 1976 eti = 52.6° pour LAGEOS-2, lancé en 1992 par STS-52. La trace de LAGEOS-1 et celle de LAGEOS-2 sont représentées en figure 9.3( a) et (b). Les satellites SECOR-7, -8, -9 sont à 3 700 km d'altitude et les satellites soviétiques Etalon-1 et -2 (Kosmos-1989 et -2024), lancés en 1989 avec Glonass, sont sur une orbite circulaire MEO, h = 19130 km, i = 64.8°. D'autres sont à une altitude entre 1000 et 1500 km : les quinze satellites soviétiques Geo-1K, tel Kosmos-2226, le satellite français Starlette et le pionnier américain ANNA-lB, lancé en 1962, h = 1120 km, i = 50.1 0. On trouve aussi dans cette catégorie le satellite japonais EGP (Ajisai), dont la trace est représentée en figure 9.4 (a). Le satellite japonais LRE (Laser Ranging Experiment), lancé en 2001 sur une orbite excentrée, hp = 271 km, ha = 36 214 km, i = 28°, est muni de 126 réflecteurs laser. Il y a quelques satellites héliosynchrones entre 800 et 1 000 km, comme TOPO-1 et ceux lancés après 1993, Stella et Westpac-1 (héliosynchrones parce que micro-satellites lancés avec des satellites héliosynchrones). Depuis, les satellites géodésiques ont des orbites plus basses, comme GFZ-1 (Geo Forschungs Zentrum), lancé en 1995, h = 380 km, i = 51.6°. La connaissance du potentiel terrestre est devenue si précise qu'une nouvelle génération de satellites 7 géodésiques est mise en service à partir de 2000. Ils emportent des accéléromètres ultra-sensibles. Leur altitude doit être la plus faible possible pour détecter au mieux les anomalies de gravité et une poussée continue (compensation de traînée) leur permet d'équilibrer le frottement atmosphériqué, comme nous avons vu au chapitre 3, avec les satellites CHAMP, GRACE et GOCE (figures 3.5 et 3.6). Le satellite italien LARES (Laser Relativity Satellite, dit aussi LAGEOS3), h = 1 450 km, i = 71.5°, en synergie avec les deux LAGEOS et les deux GRACE, doit améliorer les modèles gravitationnels et la connaissance des effets liés à la relativité générale (effet de Lense-Thirring). 7Dates de lancement - CHAMP: 15 juin 2000; GRACE-A et -B : 17 mars 2002; GO CE : 17 mars 2009. 8 À cette altitude, et pour ce satellite de 800 kg, l'accélération due au frottement atmosphérique est de 1.5 10- 5 m·s- 2 , alors que celle due à la pression de radiation est de 6.1 10- 8 m·s- 2 . À titre de comparaison, ces valeurs sont respectivement de 6.0 10- 8 et 3.7 10- 8 pour flSCOPE, satellite de 120 kg prévu en orbite circulaire à une altitude de 700 km.

9.2. Satellites classés par mission

327

Exemple 9.1 Calcul de la position relative des deux satellites géodésiques GRACE-A et -B. ~ Nous utilisons les données NORAD pour deux passages voisins, le 31 décembre 2004, vers 17:09 TU.

GRACE-A 1 27391U 2 27391 GRACE-B 1 27392U 2 27392

02012A 04366.71456748 .00002198 00000-0 71465-4 0 8703 89.0239 219.2934 0015306 313.4780 46.5231 15.31315612155826 02012B 04366.71492843 .00002319 00000-0 75411-4 0 8597 89.0243 219.2966 0016587 315.5508 44.4470 15.31314968155825

On calcule la valeur du demi-grand axe a pour chaque orbite. On écrit les éléments orbitaux métriques: - GRACE-A: a = 6846.810 km, soit h = 468.7 km, e = 0.0015306, i = 89.0239° ; - GRACE-B : a = 6846.811 km, soit h = 468.7 km, e = 0.0016587, i = 89.0243°. Les instants NORAD déduits des TLE, respectivement notés tOA et tOB, sont: tOA = 17:08:58.630 TU pour GRACE-A; tOB = 17:09:29.816: TU pour GRACE-B. Avec w et v (déduit de J'vI et e), on calcule l'instant de passage du satellite au nœud ascendant (voir l'exemple 8.6), respectivement notés tA et tB tA = 17:08:56.620 TU pour GRACE-A; tB = 17:09:27.767 TU pour GRACE-B. Dans le référentiel galiléen, la différence de longitude du nœud ascendant s'obtient directement avec les TLE (la précession nodale durant 2 secondes, l'intervalle de temps entre tOA et tA est négligeable) : .1n = n B - nA = 219.2966° - 219.2934° = 0.0032° Les deux orbites sont donc pratiquement identiques (.1a = 1 mètre) et dans le même plan (.1n = 11 secondes d'arc). Les deux satellites se suivent sur cette orbite commune. La différence de temps est: .1t = tB - tA = 31.147 s Par contre, dans le référentiel terrestre, les traces sont distinctes et «parallèles». On trouve, après calcul, pour la longitude du nœud ascendant : ÀA = 221.5933° pour GRACE-A; ÀB = 221.4663° pour GRACE-B. La différence de longitude est donc: .1À = ÀB - ÀA = -0.1270° ce qui correspond à 14 km sur l'équateur. Cette différence de longitude correspond à un intervalle de temps pour la rotation de la Terre dans le référentiel galiléen : .1t,\ = -.1À/nT = 30.381 s Si on transforme en temps l'écart angulaire .1n, par la relation .1 w = -.1n/nT = 0.766 s on obtient finalement: .1t,\ +.1w = 30.381 + 0.766 = 31.147 s ce qui est la valeur de .1t trouvée plus haut. Pour connaître le passage en heure locale, on calcule l'instant de passage au nœud

328

Chapitre 9. Orbite et mission

ascendant en heure TSM : TA = 7.92195 et TB = 7.92214 C'est pratiquement la même heure pour les deux satellites, TA =07:55:19 et TB =07:55:20, l'écart étant représenté par L1w. À l'équateur, la vitesse des deux satellites est de 7.630 km/s et la vitesse de la trace de 7.108 km/s. L'écart entre les deux satellites GRACE est donc de 237.9 km dans l'espace et de 221.7 km pour les traces. La figure 9.5 illustre ces calculs .....

9.2.3

Satellites pour l'environnement physique terrestre

Champ magnétique terrestre et ses manifestations

Pour l'étude du champ magnétique terrestre, deux satellites ont été mis en orbite LEO héliosynchrone, mais elliptique: l'américain MagSat (Magnetic field Satellite, AEM-3, Explorer-61), lancé en 1979, hp = 352 km, ha 561 km, i = 96.8°, et le danois 0rsted, lancé en 1999, hp = 450 km, ha = 850 km, i = 96.5°. Pour l'étude des ceintures de radiations, le satellite chinois SJ-5 (Shi Jian5, DFH-47, shi jian signifie « réalisation»), lancé en 1999, en même temps que FY-1C (DFH-46), est en orbite héliosynchrone circulaire, h = 855 km. La finalité militaire de cette étude est confiée aux six satellites Shi Jian-6, lancés par paire, tous les deux ans (SJ-6A et -6B en 2004, SJ-6C et -6D en 2006, SJ-6E et -6F en 2008, appelés aussi respectivement DFH-60 et -61, -70 et -71, -80 et -81). Sur une orbite héliosynchrone, h = 600 km, l'un suit l'autre avec un écart d'une minute. En orbite LEO quasi polaire, entre 800 et 1000 km, on trouve les satellites OGO (Orbiting Geophysical Observatory) pairs, OGO-2, -4, -6, dits POGO (Polar OGO), lancés entre 1965 et 1969, les satellites suédois Astrid-1 et -2, lancés en 1995 et 1998, et strictement polaire, Polar BEAR (Beacon Experiments and A umml Research). Magnétosphère

Pour l'étude de la magnétosphère, c'est-à-dire de la zone d'interaction entre les particules excitées par le vent solaire et le champ magnétique terrestre, les orbites des satellites sont très hautes et très elliptiques. Le premier satellite américain en orbite, Explorer-l, hp = 347 km, ha = 1 859 km, i = 33.2°, avait déjà un peu ces caractéristiques; comme nous l'avons vu, il a permis de découvrir deux ceintures de radiations autour de la Terre, les ceintures de Van Allen. Ces radiations ont été étudiées par les Soviétiques avec le programme Elektron, dont les quatre satellites ont été lancés, par couple, en 1964 : Elektron-1 avec -2, Elektron-3 avec -4. Ils étaient tous sur une orbite excentrée, i c::: 61°, avec ha cv 6 500 km pour les impairs, ha cv 65 000 km pour les pairs. Les études sur la magnétosphère ont continué avec de nombreux satellites, lancés entre 1964 et 1968, comme les satellites OGO impairs, OGO-1, -3, -5,

9.2. Satellites classés par mission

LAGEOS-1 Trace de l'orbite

Altitude = 5891.9 km Inclinaison

»> Durée représentée: 1440.0 min

=

a =12270.012 km

= 109.81

0

Période = 225.49 min • Révol.lj.= 6.39

1.00jour

Décalage à l'équateur = 6286.6 km ( 56.5

Projection: Arden-Close

Centre Project.: 0.0

Propriété: (sans) E9 T.:Cylindrique - Grille: 10

Aspect: Di rect 0

0

0.0

Noeud asc: -180.00

0

Inclin. app. = 117.79

15.3H +0.0/ +00/ +0.011·]

0

[00:00 TSM]

=

52.64

Centre Project.: 0.0

E8 T.:Cylindrique - Grille:

10°

LMD

a =12162.067 km 0

Décalage à l'équateur = 6217.8 km ( 55.9

Aspect: Direct

*

Période = 222.42 min • Révol./j.= 6.47

1.00 jour

Projection: Arden-Close

nLWV

MC

ATÀO:Ç

Inclinaison

Propriété: (sans)

)

0

Altitude = 5783.9 km

=

0

EGM96

LAGEOS-2 Trace de l'orbite »> Durée représentée: 1440.0 min

329

0

0.0

0

15.31[ +0.0/ +0.0/ +0.011'] EGM96

Noeud asc: -180.00 Inclin. app. = 60.40

0

0

0

)

[00:00 TSM]

nLWV

MC

*

LMD

ATÀO:Ç

9.3 : Satellites LAGEOS. Trace de l'orbite (a) rétrograde pour LAGEOS-l, (b) directe pour LAGEOS-2. Sur une journée. L'altitude des satellites est la même.

FIG.

Chapitre 9. Orbite et mission

330

EGP

(;»t.:.~/,})

Altitude = 1488.5 km

Trace de l'orbite

Inclinaison

»> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

=

50.01

a = 7866.608 km 0

Période = 115.65 min • Révol./j.=12.45 Décalage à l'équateur = 3254.8 km ( 29.2 ')

Projection: Arden-Close

Centre Project.: 0.0'

Propriété: (sans)

Aspect: Direct

0.0 '

EIl T.:Cylindrique· Grille: 10'

15.311 +0.01 +001 +0011·] EGM96

GP-B

Noeud asc: -180.00' [00:00 TSM]

Inclinaison

»> Durée représentée: 1440.0 min

=

1.00 jour

*

LMD

ATÀCXÇ'

Altitude = 650.0 km

Trace de l'orbite

nL(,)V

MC

Inclin. app. = 53.77'

=

90.00

a = 7028.136 km 0

Période = 97.86 min • Révol./j.=14.72 Décalage à l'équateur = 2730.9 km ( 24.5 ')

Proj. : Stéréographique

Centre Pr.(dr.): 90.0 ' N; 0.0'

Propriété: Conforme

Aspect: Direct

EIl 1. :Azimutal - Grille : 10'

15.311

+0.01 +001 +0.011-] EGM96

Noeud asc: 0.00 ' Inclin. app. = 93.90'

nL(,)V

MC

*

LMD

ATÀCXÇ'

9.4 : Trace de l'orbite (a) du satellite géodésique EGP (Ajisai), (b) du satellite GP-B, en orbite strictement polaire. Sur une journée.

FIG.

9.2. Satellites classés par mission

GRACE-A Trace de l'orbite

Altitude = 468.7 km

Phasage

Période = 94.10 min' Révol./j.=15.30

Inclinaison

- [15;+38;149]2273

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i

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i

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:

Projection: Mercator Propriété: Conforme E9 T.:Cylindrique - Gnlle : 100

.......

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VI

: :

d~~j 1

a = 6846.809 km e = 0.001531

0

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:

Centre Project: 0.0 0 Aspect: Di rect

0.0 0

Noeud asc: .138.42 0 [07:55 TSM]

15.3H +0.0/ +00/ +0.011·1

EGM96

[NORAD] Révolution: 15582 [NORAD]20041231 17:08:59 TUC

: :

nLWV

MC

Altitude = 468.7 km

a = 6846.811 km

Inclinaison = 89.02 0

e = 0.001659

Phasage

Période = 94.10 min' Révol./j.=15.30

= [15;+38;149]2273 720.0 min = 0.50 jour

*

LMD

ATÀO:Ç

GRACE-B Trace de l'orbite 20041231 17:09:30 TUC »>

-

/'

: :

1

:

,'L

..

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:

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S:,- ·f;;,.: \i;t~~: "''':2>

~;Ii<

89.02

Décalage à l'équateur = 2627.0 km ( 23.6 0)

20041231 17:08:59 TUC »> 1440.0 min = 1.00 jour

'CIl'

=

331

Décalage à l'équateur = 2627.0 km ( 23.6 0)

Praj. : UTM / Zone 32

CP: O.D' , 9.0 'E /CZ: 46.0' N; 6.0' E

Noeud asc: .138.54 0 [07:55 TSM]

Propriété: Conforme E9 T.:Cylindrique - Gnlle : 50

Aspect: Direct> zoom: 15.00 15.3H +0.0/·90.0/ ·9.011+901 EGM96

[NORAD] Révolution: 15582 [NORAD]20041231 170930 TUC

nLWV

MC

*

LMD

ATÀO:Ç

FIG. 9.5 : Satellites GRACE. (a) Trace de l'orbite de GRACE·A sur une journée, (b) trace de l'orbite de GRACE-B (détail), sur un passage, avec superposition de la trace de GRACE-A, légèrement plus à l'est (.1À = À B - ÀA = - 0.1271°).

Chapitre 9. Orbite et mission

332

FAST Orbite par rapport à la Terre

Altit. équival. = 2054.5 km

Phasage

Période = 128.56 min' Révol./j.=11.20

Inclinaison

= [11 ;+11; 71]792

2004 11 1722:35:42 TUC »> 4320.0 min = 3.00 jours

=

82.97

a = 8432.587 km e = 0.202505

0

h_a = 3762 km ; h_p = 347 km ; arg. périgée: +95.00"

Projection: Orthographique

Centre Project.: 28.0 " N; 84.0" W

[NORAD] 2004 111722:35:42 TUC / R:33065

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique

Noeud asc:

ES T. :Azimutal - Grille : 10"

14.211-900/ +620/+174.011-]

EGM96

Akebono (EXOS-D) ( .t.> ~ ~J'O) ) Orbite par rapport à la Terre Phasage

Apogée

139.62" [07:54 TSM]

=

75.07

*

LMD

ATÀCX<;"

-85.13"

Altit. équival. = 2710.5 km

Inclinaison

n~c.JV

MC

a = 9088.656 km e = 0.269151

0

Période = 143.81 min • Révol./j.=10.01

= [10; -5;131]1305

2009110501:11:14 TUC »> 4320.0 min = 3.00jours

h_a = 5157 km; h_p = 264 km; arg. périgée: +149.24"

Projection: Orthographique

Centre Project.: 5.0" N ; 95.0"E

[NORAD] 2009 11 0501 :11 :14 TUC / R:60955

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique

Noeud asc:

ES T. :Azimutal - Grille : 10"

14.21 [ -900/ +850/ -5.0] [-]

EGM96

Apogée

98.26" [07:44 TSM] -85.48 "

n~c.JV

MC

*

LMD

ATÀcx <;"

9.6 : Trace de l'orbite elliptique (a) du satellite FAST, (b) du satellite Akebono (EXOS-D). Sur 3 jours.

FIG.

9.2. Satellites classés par mission

333

InterKosmos-24 (I1HTepKocMoC) Trace de l'orbite elliptique

Altit. équival. = 1447.3 km

a = 7825.471 km

Inclinaison = 82.59

e = 0.121592

»> Durée représentée:

Période = 114.94 min • Révol./j.=12.53

6.00 jours

0

h_a = 2399 km; h_p = 496 km; arg. périgée: +156.46

Projection: Orthographique

Centre Pr.(dr.): 0.0

Propriété: (sans)

Aspect: Equatorial

EIl T.:Azimutal - Grille : 10

0

0

;

55.0 E 0

14.21 [·90.01 +9001 +350] [-] EGM96

Longitude premier passage: Noeud asc: -180.00 Apogée -0.85 0

0

0

niWII

MC

*

LMD ATÀaç

FIG. 9.7 : Orbite et trace du satellite InterKosmos-24 sur 6 jours. La représentation de l'orbite renseigne clairement sur la position du périgée, ce que ne fait pas la représentation de la trace.

334

Chapitre 9. Orbite et mission

dits EOGO (Eccentric OGO), Explorer-34 (IMP-F ou IMP-5, Interplanetary Monitoring Platform) , lancé en 1967 avec hp = 242 km, ha = 214 400 km, i = 67.1 0, ou comme Explorer-50 (IMP-J ou IMP-8), lancé en 1973 sur une orbite très haute, à inclinaison variable entre 32° et 55° (après plus de trente ans, ce satellite était toujours opérationnel). La justification d'une orbite polaire pour Dynamics Explorer-1 et -2 a été donnée au chapitre 7. Pour l'expérience ISEE (International Sun-Earth Explorer), les deux satellites ISEE-1 et -2 ont d'abord été lancés en 1977, sur une orbite très excentrée: hp ~ 400 km, ha ~ 138000 km, i = 12.7° et 13.5°. En 1978, ISEE-3 a été le premier satellite placé sur une orbite en halo 9 autour du point LI de Lagrange, dite L1LO (voir au chapitre 6, annexe Points de Lagrange). Le satellite Wind, lancé en 1994, a été placé lui aussi en orbite L1LO autour du point LI, où il est resté de mai 1997 à avril 1998. Cette situation lui permettait d'observer le vent solaire avant qu'il ne soit perturbé par la magnétosphère terrestre. Il a ensuite été placé, de novembre 1998 à avril 1999, sur une orbite très complexe, dite orbite en pétale 10. Le satellite ACE (Advanced Composition Explorer, Explorer-71), lancé en 1997, est en orbite L1LO. Nous mentionnerons aussi les orbites plus ou moins excentrées des satellites suivants: InterKosmos-24, satellite soviétique lancé en 1989, hp = 511 km, ha = 2 950 km, i = 82.6°, avec Magion-2 (figure 9.7); Geotail (ou GTL, Geomagnetic Tail Lal.), satellite japonais lancé en 1992, hp = 41 360 km, ha = 508 500 km, i = 22.4° ; Polar, lancé en 1996, sur une orbite aux paramètres variables l l , a rv 60 000 km, e ~ 0.7, i rv 80°; FAST (Fast Auroral Snapshot Explorer, SMEX-2, Explorer-70), lancé en 1996, hp = 353 km, ha = 4 163 km, i = 83.0°, (figure 9.6(a)); Equator-S, lancé en 1997, hp = 496 km, ha = 67 230 km, i = 7.0° (orbite obtenue par transformation d'une orbite GTO) ; IMAGE (Imager for Magnetopause-to-Aurora Global Exploration, MIDEX-1, Explorer-78), lancé en 2000, sur une orbite polaire, avec hp ~ 1000 km et ha de l'ordre de 7 rayons terrestres. L'expérience russe Interball est basée sur Interball Tail (ou Interball-S29Sa mission accomplie, le satellite a été retiré en juin 1982 du point LI. En utilisant l'assistance gravitationnelle de la Lune, on l'a éjecté de l'attraction terrestre et mis en orbite héliocentrique pour la mission ICE (International Cometary Explorer), à la rencontre de comètes (périhélie: 0.93 unité astronomique, aphélie: 1.03 ua, inclinaison: 0.1 0, période: 355 jours). IOLe satellite a quitté le point LI pour revenir vers la Terre, en gros dans le plan de l'orbite lunaire, et se placer dans l'orbite en pétale : l'orbite du satellite passe alternativement derrière la Terre et la Lune. Dans ce plan et dans un repère lié à la Terre, la trajectoire dessine une marguerite dont le centre est la Terre et dont le bout des pétales représente les différentes positions de la Lune, tournant autour de la Terre (petai orbit). Période: 17.5 jours. Rayons de l'ellipse: T p ~ 6 à 10 R; Ta c::::: 80 R (on rappelle: distance Terre-Lune c::::: 60 R). 11 Ce satellite, Polar Plasma Laboratory, fait partie, avec Wind et Geotail, de la mission GGS (Global Geospace Science), qui est elle-même une composante du programme ISTP (International Solar Terrestrial Physics) , comprenant aussi des missions européennes (SOHO et Cluster) et russes (Interball).

9.2. Satellites classés par mission

335

X, Interbol-1, Prognoz-ll), lancé en 1995 sur une orbite très elliptique, de période T = 91 heures, et sur Interball Auroral (ou Interball-S2-A, Interbol2, Prognoz-12), lancé en 1996 sur une orbite Molnya. Dans chaque cas, les satellites tchèques Magion (M agnetosphere-Ionosphere) , Magion-4 puis Magion-5, ont été lancés conjointement avec un satellite Interball. L'orbite du prochain Interbol-3 est prévue avec ha = 400 000 km. Notons aussi le satellite chinois KF1-SJ-4 (Shi Jian-4, DFH-38), lancé en 1994, sur orbite GTO,i = 28.6°. Pour l'étude de la magnétosphère et des phénomènes d'aurore boréale, le Japon a envoyé quatre satellites EXOS (Exospheric Observations), entre 1978 et 1989, sur des orbites excentrées, alternativement basses et hautes, avec i = 69° pour EXOS-A (Kyokko «aurore»), i = 31° pour EXOS-B (Jikiken «magnétosphère») ,i = 75° pour EXOS-C (Ohzora « ciel») et EXOS-D (Akebono «aube»), (figure 9.6(b)). L'expérience européenne Cluster-2 est constituée de quatre satellites en formation l2 . Leur orbite est très haute: hp = 17200 km, ha = 120 600 km, i = 65°, T = 57 heures. Le programme Double Star est constitué de deux satellites chinois emportant des instruments européens semblables à ceux de Cluster, en orbite excentrée l3 , avec un périgée à 600 km d'altitude. Le premier DSP-1, ha = 79000 km, est en orbite équatoriale, le second, DSP-2, ha = 39 000 km, en orbite polaire. La Chine poursuit son effort dans ce domaine avec la mission Kua Fu : un satellite au point LI de Lagrange, Kua Fu-A, et deux satellites en orbite LEO polaire, Kua Fu-BI et -B2. Les cinq satellites de la mission I4 américaine THEMIS (Time History of Events and Macroscale Interactions during Substorms, MIDEX-5) ont été lancés ensemble le 17 février 2007. Le but est de « déterminer sans ambiguïté I5 la région de déclenchement des sous-orages et étudier les modes de reconfiguration de la queue magnétique ». La mission comporte cinq phases. (1) First Phase. Les cinq satellites sont sur la même orbite: hp = 470 km, ha = 87 333 km (soit 15.4 R, R étant le rayon équatorial terrestre), i = 16.0°. (2) Dawn Phase. L'apogée ha de chaque satellite est modifié : 30R pour THEMIS-1, 20 R pour THEMIS-2, 12 R pour THEMIS-3 et -4, 10 R pour THEMIS-5. À l'apogée, les satellites se trouvent au-dessus des lieux à l'aube 12Ces satellites, Rumba, Salsa, Samba et Tango, sont distants de quelques centaines de kilomètres. Ils ont été lancés en deux fois, 16 juin et 19 août 2000, pour éviter la catastrophe du lancement groupé de Cluster, le 4 juin 1996. 13DSP_l (dit aussi Tan Ce-l - Explor'er-l en chinois - ou TC-l), a = 46 148.1 km, e = 0.8494, i = 28.5°, lancé le 29 décembre 2003. DSP-2 (Tan Ce-2 ou TC-2), a = 26 228.1 km, e = 0.7301, i = 90°, lancé le 26 juillet 2004. 14La mission entre dans le cadre des missions Explorer. Les satellites sont également dénommés Explorer-85, -86, -87, -88 et -89. Dans le cadre de MIDEX-5, ils sont nommés MIDEX-5A à -5E. 15C'est cette idée de détermination claire et objective qui a présidé au choix du nom de la mission, Thémis, ~ 8É[HÇ, l1:0Ç. La déesse grecque de la justice assiste aux délibérations des dieux et des hommes et préserve, en toute occasion, l'équité des décisions qui y sont prises.

336

Chapitre 9. Orbite et mission

sur la Terre. (3) Tail Phase. Les orbites sont inchangées, mais par suite du mouvement de révolution de la Terre autour du Soleil, le passage à l'apogée se fait à minuit. (4) Dusk Phase. Le passage à l'apogée se fait au crépuscule. (5) Final Phase. L'apogée est dirigé vers le Soleil, avec passage à midi. Pour de tels satellites, les mouvements de précession sont très lents 16 , et chaque orbite reste donc pratiquement fixe par rapport à un référentiel galiléen. Au bout d'une année, la mission a été prolongée. Durant toute la mission, on garde hp = 470 km et i = 16.0°. Le projet américain MMS (Magnetospheric Multiscale) prévoit 4 satellites en formation, aux sommets d'un tétraèdre. L'inclinaison de l'orbite est i = 28.5° et le périgée reste constant, rp = 1.2R. L'apogée, ra = 12.83R (T = 1.09 j) dans la phase 1, passe ensuite à ra = 25.0R (T = 2.78 j) dans la phase 2. Le projet européen Cross-Scale prévoit une flottille de 7 satellites sur l'orbite r p = 10R, ra = 25R, i = 14° et w = 205°, ce qui donne une période T = 4.3 j. Ionosphère

Pour l'étude de l'ionosphère, on compte 17 les satellites américains UARS (Upper Atmosphere Research Satellite), h = 570 km,i = 56.9°, TIMED (Thermo- l ono- Mesosphere Energetics and Dynamics), h = 625 km, i = 74.0°. On note aussi le satellite taïwanais Rocsat-l (Republic of China Satellite), avec une orbite peu inclinée, h = 630 km, i = 35° (qui a aussi une mission océanographique) et de nombreux Interkosmos, comme Interkosmos-12, certains Kosmos, comme Kosmos-196, et les satellites chinois Atmosphere-l et -2 (DFH-31 et -32), héliosynchrones, avec h = 800 km et h = 610 km. Le satellite SAMPEX (Solar Anomalous and Magnetospheric Particle Explorer, SMEX-l, Explorer-68) est quasi polaire: hp = 506 km, ha = 670 km, i = 81.7°.

9.2.4

Satellites pour la météorologie et l'étude du climat

Météorologie, étude de l'atmosphère

L'observation depuis l'espace a très tôt intéressé les météorologistes: connaître l'état de l'atmosphère, de manière globale, à un instant donné, c'est le rêve! Pour cela, les orbites utilisées sont toujours (sauf pour les premiers satellites et les satellites Meteor) des orbites LEO héliosynchrones (figure 9.8), ou des orbites GEO (figure 9.9). 16pour les satellites en Phase 1, la vitesse de précession nodale est il = 0.10 tour/an, la vitesse de précession apsidale est w= 0.20 tour/an. 17Dates de lancement - UARS : 12 septembre 1991 (STS-48); TIMED : 7 décembre 2001 (avec Jason-l mais sur une orbite différente) ; Rocsat-l : 27 janvier 1999; Interkosmos-12 : 30 octobre 1974; Atmosphere-l et -2 (DFH-31 et -32) : 3 septembre 1990; SAMPEX : 3 juillet 1992.

9.2. Satellites classés par mission

337

(a) Satellites météorologiques LEO Pour le programme 18 Nimbus de la NASA, les sept satellites étaient, dès le premier, héliosynchrones: de Nimbus-1 à Nimbus-6, sur une orbite LEO assez haute, h = 1 100 km, i = 99.9°; Nimbus-7 est sur une orbite un peu plus basse, h = 950 km, i = 99.1 0. Le programme de ce qui est aujourd'hui la NOAA (National Oceanic and Atmospheric Administration), organisme météorologique des États-Unis, se décompose en cinq séries: TIROS (Television and Infra Red Observation Satellite), TOS (TIROS Operational System), ITOS (Improved TOS), TIROSN et ATN (Advanced TIROS-N). La première comprend douze satellites et a commencé le 1er avril 1960 avec le lancement du premier satellite météorologique 19 , TIROS-l. Jusqu'à TIROS-8, lancé en 1963, les orbites sont semblables, h ~ 680 km, i entre 48° et 58°. Ensuite, tous les satellites sont héliosynchrones: TIROS-9 et -10, lancés en 1964, ESSA-1 et 2 (Environmental Science Service Administration), lancés en 1966. La série TOS comprend sept satellites, de ESSA-3 à ESSA-9, lancés de 1966 à 1969, sur l'orbite h = 1 450 km, i = 102°. La série ITOS utilise exactement la même orbite pour six satellites, ITOS-1, NOAA-1, -2, -3, -4, -5, lancés de 1970 à 1976. Les deux dernières séries 20 adoptent une orbite plus basse: h = 800 km, i = iHs = 98.8° pour TIROS-N, avec les satellites TIROS-N et NOAA-6 et -7; h de 820 à 860 km, i = iHS pour ATN, avec les satellites NOAA-8 à -18. Le programme, dit POES (Polar-orbiting Operational Environmental Satellites), regroupe les deux dernières séries. Son successeur prévu était le programme NPOESS (National POES System), conjoint aux organismes américains NOAA, NASA et DoD (ministère de la Défense, qui gère la série DMSP), « Three Agencies, One Mission », la jonction étant opérée par le satellite NPP (NPOESS Preparating Project), h = 824 km. Les six satellites NPOESS, de NPOESS-1 à -6, étaient prévus pratiquement sur la même orbite que NPP, h = 828 km. En février 2010, le gouvernement américain a reconsidéré les diverses contributions de NOAA, NASA, DoD et a remplacé NPOESS par JPSS (Joint Polar Satellite System). Ce nouveau programme s'appuie sur une collaboration étroite avec l'organisme européen EUMETSAT et ses satellite MetOp. Mais en 2011, le DoD décide de réaliser son propre programme, DWSS (Defense Weather Satellite System). Affaire à suivre ... 18Dates de lancement - Nimbus-1 : 28 août 1964; Nimbus-2 : 15 mai 1966; Nimbus-3 : 14 avril 1969; Nimbus-4 : 8 avril 1970; Nimbus-5 : 11 décembre 1972; Nimbus-6 : 12 juin 1975; Nimbus-7 : 24 octobre 1978. 19Trois satellites américains avaient été lancés en 1959 et avaient fourni des données intéressant la météorologie: Vanguard-2, Explorer-6 (première photographie de la Terre) et Explorer- 7 (premières données sur le bilan radiatif de la Terre). Mais le premier consacré à la météorologie est TIROS-l. 20 Dates de lancement - TIROS-N : 13 octobre 1978; NOAA-6 : 27 juin 1979; NOAA7 : 23 juin 1981; NOAA-8 : 28 mars 1983; NOAA-9 : 12 décembre 1984; NOAA-lO : 17 décembre 1986; NOAA-11 : 24 septembre 1988; NOAA-12 : 14 mai 1991; NOAA-13 : 9 août 1993, n'a fonctionné que quelques jours; NOAA-14 : 30 décembre 1994; NOAA-15 : 13 mai 1998; NOAA-16 : 21 septembre 2000; NOAA-17 : 24 juin 2002; NOAA-18 : 20 mai 2005; NOAA-19 : 6 février 2009.

338

Chapitre 9. Orbite et mission

Voir l'annexe les retards de mission, en fin de chapitre. Les satellites militaires DMSP (Defense Meteorological Satellite Progmm) fournissent une partie des données aux civils. Ils sont tous héliosynchrones, sur des orbites souvent légèrement elliptiques: h de 750 à 850 km, i = iHs de 98.6° à 99.2°. On compte treize satellites lancés de 1965 à 1969 pour le premier «bloc» (dit Block 4), de DMSP-4A F-1 (OPS/6026) à DMSP-4A F-13 (nommé aussi DMSP-4B F-3, ou OPS/1127). Le second bloc (dit Block 5), commencé en 1970 avec DMSP-5A F-1 (OPS/0054), est en cours 21 avec l'extension Block 5D3. Les satellites soviétiques puis russes pour la météorologie 22 n'étaient pas héliosynchrones, jusqu'en 2001. Ils se répartissent en trois séries Meteor, d'orbite LEO quasi polaire. Les deux premières séries comptent 48 satellites : Meteor-l, de Meteor-1-0l en 1969 à Meteor-1-27 en 1977, avec h = 870 km, i = 81.2°; Meteor-2, de Meteor-2-0l en 1975 à Meteor-2-21 en 1993, avec h = 940 km, i = 82.5°. La troisième est constituée de 6 satellites en orbite un peu plus haute, h = 1 200 km, i = 82.6°. La nouvelle génération, dite Meteor-M, est héliosynchrone. Le premier de la série est Meteor-M-1, h = 816 km, i = iHS = 98.8°, TNA = 21:30. Les satellites chinois 23 des séries FY-impair (FY-1 et FY-3, avec FY pour Feng Yun; feng yun signifie «vent et nuage») sont héliosynchrones, h = 858 km pour FY-1, h = 808 km pour FY-3. Les satellites européens 24 MetOp (M eteorological Opemtional satellites) sont bien entendu héliosynchrones, à une altitude moyenne de h = 830 km. La mission Rocsat-3/COSMIC (Constellation Observing System for Meteorology, Ionosphere and Climate) , rebaptisée 25 FormoSat, résulte d'une collaboration entre Taïwan et les États-Unis. Elle consiste en une constellation de micro-satellites, h = 800 km, i = 72°, de 3 plans de 2 satellites chacun. 21 Dates de lancement - DMSP-5D2 F-8 (nommé aussi USA-26) : 20 juin 1987; DMSP5D2 F-9 (USA-29) : 3 février 1988; DMSP-5D2 F-10 (USA-68) : 1er décembre 1990; DMSP-5D2 F-ll (USA-73) : 28 novembre 1991; DMSP-5D2 F-12 (USA-106) : 29 août 1994; DMSP-5D2 F-13 (USA-109) : 24 mars 1995; DMSP-5D2 F-14 (USA-131) : 4 avril 1997; DMSP-5D3 F-15 (USA-147) : 12 décembre 1999; DMSP-5D3 F-16 (USA-l72) : 18 octobre 2003; DMSP-5D3 F-17 (USA-191) : 4 novembre 2006; DMSP-5D3 F-18 (USA210) : 18 octobre 2009. La série DMSP prévoit encore deux satellites, F-19 (pour 2012) et F-20 (pour 2016). Ensuite, commencera la série DWSS, avec F-1 (en 2018) et F-2 (en 2023). 22Dates de lancement - Meteor-3-01 : 24 octobre 1985; Meteor-3-03 : 26 juillet 1988; Meteor-3-04 : 25 octobre 1989; Meteor-3-05 : 24 avril 1991; Meteor-3-06 : 15 août 1991; Meteor-3-07 : 25 janvier 1994; Meteor-M-1 : 17 septembre 2009. 23Dates de lancement - FY-1A (DFH-24) : 6 septembre 1988; FY-1B (DFH-30) : 3 septembre 1990; FY-1C (DFH-46) : 10 mai 1999; FY-1D (DFH-53) : 15 mai 2002; FY3A : 27 mai 2008 ; FY-3B : 4 novembre 2010. 24Date de lancement - MetOp-A : 19 octobre 2006. MetOp-B puis MetOp-C prendront le relais. À partir de 2019, est prévue la série suivante, EPS-SG (European Polar Satellite - Second Generation), avec les satellites EPS-SG-A et -B. 25Les satellites Rocsat (Republic of China Satellites) ont changé de nom en 2005 pour prendre celui de FormoSat, d'après Formose, ou Ilha Formosa en portugais, ancien nom de l'île de Taïwan.

9.2. Satellites classés par mission

Feng Yun-3A ( JI~~ )

Trace de l'orbite

Altitude = 823.9 km

339

a = 7202.009 km

Incl. HELIOSYNCHRONE = 98.73"

»> Durée représentée: 1440.0 min

=

1.00jour

Période = 101.49 min' Révol.lj.=14.19 Décalage à l'équateur = 2824.6 km ( 25.4")

Projection: Orthographique Propnété : (sans)

œT.:Azimutal- Grille: FIG.

10"

Centre Pr.(dr.): 18.0" N ; 114.0 "E Aspect: Oblique

j4.2H -90.01 +72.0/·24.0]]·] EGM96

Noeud asc:

74.94" [22:10 TSM]

I~L(,JlJ

MC

*

LMD

ATÀaç

9.8 : Orbite et trace du satellite héliosynchrone FY-3A sur un Jour.

340

Chapitre 9. Orbite et mission

Lancés en 2006, les six satellites, de FormoSat-3A à FormoSat-3F, sondent la vapeur d'eau et d'autres constituants de l'atmosphère par radio-occultation du signal des GPS. (b) Satellites météorologiques GEO Le programme géostationnaire a été amplement développé pour la météorologie opérationnelle. Pour éviter les déformations trop fortes dans la prise de vue, les divers organismes météorologiques, sous l'égide de l'OMM (Organisation météorologique mondiale), ont essayé de répartir harmonieusement les satellites sur l'orbite géostationnaire. Aux États-Unis, ces satellites sont placés alternativement sur les longitudes des côtes Est et Ouest. Ce procédé avait commencé dès les satellites SMS (SMS-1 : À s = 75°W; SMS-2 : À s = 115°W) et a continué avec les séries 26 GOES (Geostationary Operational Environmental Satellite) et GOESNext, les satellites étant désignés par GOES-East et GOES-West selon le cas. Le satellite GIFTS (Geosynchronous lmaging Fourier Transform Spectrometer, ou EO-3 NMP, projet conjoint NASA, NOAA et US Navy) sera placé au-dessus de l'océan Indien. Pour l'Europe, le programme des géostationnaires est pris en charge par EUMETSAT avec les satellites METEOSAT. Les divers METEOSAT opérationnels 27 ont tous été placés à la longitude À s = 0°. Certains peuvent être mis en réserve, ou prêtés (comme METEOSAT-3 pour remplacer GOES-E de février 1993 à mai 1995), ou envoyés en mission (comme METEOSAT-5 pour l'expérience INDOEX, voir l'exemple 7.6). La Russie, qui préfère les orbites Molnya aux orbites équatoriales, a cependant lancé le programme GOMS (Geostationary Operational Meteorological Satellite) de satellites géostationnaires 28 . Pour l'Inde, la série INSAT (Indian Satellite) regroupe des satellites à 26Dates de lancement - SMS-1 : 17 mai 1974; SMS-2 : 6 février 1975; GOES-1 (SMS-3) : 16 octobre 1975; GOES-2 : 16 juin 1977; GOES-3 : 16 juin 1978; GOES-4 : 9 septembre 1980; GOES-5 : 22 mai 1981 ; GOES-6 : 28 avril 1983 ; GOES-7 : 26 février 1987; GOES-8 : 13 avril 1994; GOES-9 : 23 mai 1995; GOES-10 : 25 avril 1997; GOES-lI: 3 mai 2000; GOES-12 : 23 juillet 2001 ; GOES-13 : 24 mai 2006; GOES-14 : 27 juin 2009; GOES-15 : 4 mars 2010. 27Dates de lancement - METEOSAT-1 : 23 novembre 1977; METEOSAT-2 : 19 juin 1981; METEOSAT-3 : 15 juin 1988; METEOSAT-4 : 6 mars 1989; METEOSAT-5 : 2 mars 1991; METEOSAT-6 : 20 novembre 1993; METEOSAT-7 : 2 septembre 1997; METEOSAT-8 (MGS-1) : 28 août 2002; METEOSAT-9 (MGS-2) : 21 décembre 2005. Les satellites MSG (METEOSAT Second Generation) sont renommés METEOSAT lorsqu'ils sont opérationnels. MSG-3 et MSG-4 sont prévus pour 2012 et 2014. La nouvelle série, dite MTG (METEOSAT Third Generation), est la troisième génération du programme METEOSAT. Elle est prévue pour une période de 20 ans à partir de 2018. Elle marque une rupture avec les deux premières générations, car les satellites ne seront plus en rotation perpétuelle sur leur axe (100 tours par minute) mais «stabilisés 3 axes ». Cette disposition permet de réaliser des sondages atmosphériques. Le programme MTG comprend six satellites (de 3 tonnes chacun) : quatre MTG-I (imageurs) et deux MTG-S (sondeurs) . 28Date de lancement - GOMS-1 : 31 octobre 1994. Cette série est aussi désignée par Elektro et ce satellite est également nommé Elektro-1 ou GOMS-Elektro-l.

9.2. Satellites classés par mission

180

341

0

150 W

150 E

0

0

120 0 W

90 W·· 0

60 W 0

00

Position

Organisme

Satellite (série)

Satellite en orbite

EUMETSAT EUMETSAT EUMETSAT Inde Russie Chine Inde Chine Chine Corée du Sud Japon Japon E.-U./NOAA E.-U.jNOAA E.-U.jNOAA E.-U./NOAA E.-U.jNOAA

METEOSAT METEOSAT METEOSAT METSAT GOMS Feng Yun-2 INSAT Feng Yun-2 Feng Yun-2 COMS MTSAT MTSAT GOES-W GOES GOES GOES-E GOES

METEOSAT-9 METEOSAT-8 METEOSAT-7 Kalpana-1 Elektro-1 FY-2D INSAT-3A FY-2E FY-2C COMS-1 MTSAT-lR MTSAT-2 GOES-ll GOES-14 GOES-15 GOES-13 GOES-12

Às

0.0° 9.5° 57.5° 74.0° 76.0° 86.5° 93.5° 105.0° 123S 128.2° 140.0° 145.0° 135.0° 105.0° 89.0° 75.0° 60.0°

-

E E E E E E E E E E E W W W W W

Type Op.Pr. Rés. Op. Sc. Op.Pr. Op.Pr. Rés. Op.Pr. Op.Pr. Op.Pr. Op.Pr. Rés. Op.Pr. Op.Pr. Rés. Att. Op.Pr. Op. Sc.

FIG. 9.9 : Liste (avec position de stationnement) des satellites géostationnaires météorologiques, en date du rr juillet 2011. Statut du satellite: Op. Pro (Operationnel Principal), Op. Sc. (Operationnel Secondaire), Rés. (en réserve), Att. (en attente). L'orbite géostationnaire et la Terre sont à la même échelle. On a également tracé, toujours à la même échelle, les orbites des satellites héliosynchrones à l'altitude de 800 km. Le point de vue est situé très haut, sur l'axe des pôles, au-dessus du pôle Nord.

342

Chapitre 9. Orbite et mission

Terra Trace de l'orbite

Altitude = 699.6 km

Phasage = [15; ·7; 16]233

Période = 98.88 min • Tours/j = 14.56

»> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

Décalage à l'équateur = 2751.9 km ( 24.7 0)

Projection: Vue perspc. h=5.61 R Centre C. (dr.): 0.00 ; 105.0 °E Propriété: (sans)

Type: Azimutal

a = 7077.738 km

Inclinaison HELIOSYNCHRONE: 98.21 0

N. asc. : -64.60 0 [22:30 TSM[

nLGJV

Aspect: Equatorial [ -90.01 +90.01 -15.0]

TRMM Trace de l'orbite

MC

Inclinaison

=

1.00 jour

LMD

ATÀ<X,

a = 6728.217 km

Altitude = 350.1 km

»> Durée représentée: 1440.0 min

*

=

34.99

0

Période = 91.31 min • Tours/j = 15.77 Décalage à l'équateur = 2596.2 km ( 23.3 0)

Projection: Vue perspc. h=5.61 R Centre C. (dr,): 0.0 0 ; 105.0 °E Propriété: (sans)

Aspect: Equatorial

Type: Azimutal

[ -90.01 +90.01 -15.0]

N. asc.:

0.00 0

nLGJV

MC

*

LMD

ATÀ<X,

9.10 : Trace de l'orbite de Terra et de TRMM, sur une journée. Vue depuis un satellite géostationnaire (longitude de stationnement: 75° W à g., 105 E à dr.).

FIG.

0

9.2. Satellites classés par mission

Syncom-2 Trace de l'orbite

Altitude =35787.6 km

Phasage = [ 1; +0; 1] 1

Période = 1436.05 min • Tours/j = 1.00

»> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

Décalage à l'équateur =40075.9 km (360.0

Inclinaison = 32.80

Projection: Mercator Propriété: Conforme Type: Cylindnque

Centre Carte: 0.0 Aspect: Direct

0

;

50.0

0

W

343

a =42165.785 km

0

N. asc. : -50.00 Inclin. app. = 106.40

0

)

Il;iWJJ

0

[ +90.01 +0.01 -40.01

Orbite de transfert Trace de l'orbite elliptique »> Durée représentée: 1262.0 min

=

=

7.00

e = 0.7307

0

Période = 630.23 min • Tours/j = 2.28

0.88 jour

h_a = 35802 km; h_p = 185 km; arg. périgée: +180.00 J,

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j

•

Centre Carte: Aspect: Direct

Longitude premier passage: N. asc. : -110.00"

Type: Cylindnque

[ +90.01 +0.01 -40.01

Apogée : 70.00"

;

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.....

Propriété: Conforme

0

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Projection: Mercator

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oc

LMD

ATÀaç

a =24371.637 km

Altit. équival. = 17993.5 km Inclinaison

*

MC

0

50.0

0

W

Il;iWJJ

MC

*

LMD

ATÀaç

FIG, 9,11 : Trace de l'orbite (a) satellite géosynchrone Syncom-2; (b) orbite de

transfert avec le lanceur Ariane au départ de Kourou.

Chapitre 9. Orbite et mission

344

Canyon-7 Trace de l'orbite elliptique Phasage

Altit. équival. = 35789.1 km Inclinaison

»> Durée représentée: 1440.0 min

=

CP: 0.0" ;104.0 "E/CZ 15.0" N;104.0" E Aspect: Equatorial> zoom: 1.60

ES 1. :Azimutal - Grille : 10"

15.3][-9001 +9001-14.011-1

EGM96

Ofeq-7 Trace de l'orbite

a =42167.281 km e = 0.125600

Longitude premier passage:

Noeud asc: 118.35" 104.00" [01:00 TSM] Apogée

MC

n~c.JV

*

LMD

ATÀCX<;"

Altit. équival. = 508.4 km

a = 6886.555 km

Inclinaison = 141.75"

e = 0.006889

Période = 94.60 min • Révol./j.=15.22

= [15; +7; 16]247

2009121101:49:02 TUC >>> 4320.0 min = 3.00jours

CP: 0.0

Propriété: Conforme

Aspect: Direct> zoom: 2.55 15.3][ +90.01 +0.01-125.0][-1 EGM96

0

h_a =

,35.0"E ICZ: 32.0" N; 35.0" E

Projection: Mercator

ES 1.:Cylindrique - Grille: 10"

0

h_a = 41085 km ; h_p =30493 km ; arg. périgée: +270.00 "

1.00 jour

Propriété: (sans)

Phasage

9.50

Période = 1436.07 min • Révol./j.= 1.00

= [ 1; +0; 1]

proj. : Vue perspc. h=5.61 R

=

556 km ; h_p = 461 km ; arg. périgée: +135.66 "

Noeud asc: -24.71" [00:10 TSM] [NORAD] Révolution: 13934 [NORAD] 2009 12 11 01 :4902 TUC

n~c.JV

MC

*

LMD

ATÀCX<;"

9.12 : Satellites militaires. (a) Point subsatellite du satellite quasi CEO Canyon-J,- (b) Trace (détail) de l'orbite du satellite Ofeq-J, sur 3 jours.

FIG.

9.2. Satellites classés par mission

345

usage mixte, pour la météorologie 29 et les communications. La Chine lance les satellites 30 de la série FY-pair (Feng Yun-2 et, à partir de 2014, Feng Yun-4, à ne pas confondre avec la série FY-impair de satellites LEO déjà mentionnées, FY-1 et FY-3) depuis 1997. Le Japon envoie depuis 1977 les satellites géostationnaires 31 GMS (Geostationnary Meteorological Satellite), puis MTSAT (Multi-functional Transport Satellite). Ce programme japonais est aussi nommé Himawari (himawari signifie « tournesol» ). La Corée du Sud participe 32 également au programme météorologique mondial avec COMS-1 (Communication, Ocean, Meteorological Satellite). Sur la figure 9.9, on a représenté les positions (officielles) des satellites opérationnels à la date du 1er juillet 2011. Dans cette répartition, on remarque un « trou» important au-dessus du Pacifique, et des satellites très rapprochés aux longitudes asiatiques (la Chine et l'Inde préfèrent être chacune maîtresse de leurs données ... ). ( c ) Satellites pour l'étude de l'atmosphère Les satellites pour les recherches sur l'atmosphère sont en orbite bassé 3 , comme les deux satellites AEM (Application Explorer Mission), HCMM (Heat Capacity Mapping Mission ou AEM-1), h = 600 km,i = iHs et SAGE (Stratospheric Aerosols and Gas Experiment ou AEM-2), h = 600 km, i = 55°, comme AIM (Aeronomy of Ice in the Mesosphere), h = 580 km, i = iHS = 97.8° ou le satellite suédois (atmosphère et astrophysique) Odin, h = 622 km, i = iHs et le satellite canadien SciSat-1, h = 650 km, i = 73.9°. Les satellites pour l'étude de l'ozone sont héliosynchrones: TOMS-EP (Total Ozone Mapping Spectrometer - Earth Probe), h = 750 km, l'était, son successeur 34 QuikTOMS aurait dû l'être. Seront aussi héliosynchrones les 29Dates de lancement - INSAT-1A : 10 avril 1982; INSAT-1B : 30 août 1983 (lancé par STS-8) ; INSAT-1C : 21 juillet 1988; INSAT-1D : 12 juin 1990; INSAT-2A : 10 juillet 1992; INSAT-2B : 23 juillet 1993; INSAT-2E : 3 avril 1999; METSAT-1 (Kalpana-1) : 12 septembre 2002; INSAT-3A : 9 avril 2003; INSAT-3E : 27 septembre 2003. Les satellites METSAT sont nommés Kalpana en l'honneur de Kalpana Chawla, astronaute indienne disparue dans l'explosion de Columbia, STS-107, le 1er février 2003. Le mot kalpana signifie « imagination» en sanskrit et est un prénom féminin. 30 Dates de lancement - FY-2A (DFH-45) : 10 juin 1997; FY-2B (DFH-49) : 25 juin 2000; FY-2C : 19 octobre 2004; FY-2D : 8 décembre 2006; FY-2E : 23 décembre 2008. 31 Dates de lancement - GMS-1 : 14 juillet 1977; GMS-2 : 10 août 1981; GMS-3 : 2 août 1984; GMS-4 : 5 septembre 1989; GMS-5 : 18 mars 1995; MTSAT-1R (Himawari-6) : 26 février 2005 (pour remplacer MTSAT-1, détruit au cours de son lancement, le 15 novembre 1999) ; MTSAT-2 (Himawari-7) : 18 février 2006. 32Date de lancement - COMS-1 : 27 juin 2010. COMS-1 est également appelé Chollian (du coréen Chun-Li-An qui signifie «vue d'un millier de li », le li étant une unité de distance coréenne et chinoise. 33Dates de lancement - HCMM (AEM-1, Explorer-58) : 26 avril 1978; TOMS-EP : 2 juillet 1996; Odin: 20 février 2001 ; QuikTOMS : 21 septembre 2001, échec; SAGE (AEM2, Explorer-60) : 18 février 1979; SciSat-1 : 13 août 2003; AIM (SMEX-9,Explorer-90) : 25 avril 2007. 34Selon que quick soit écrit plus ou moins vite ... Les satellites de la NASA, QuikTOMS et QuikScat, sont orthographiés ainsi. Ceux de DigitalGlobe sont orthographiés QuickBird.

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Chapitre 9. Orbite et mission

9.13 : Satellite SMOS. Le satellite est constitué de trois bras qui ont été dépliés dans l'espace. Ils sont inscrits dans un cercle de 8 mètres de diamètre. Vue d'artiste. Document: CNES.

FIG.

satellites pour l'étude de la composition de l'atmosphère comme ACE-A et ACE-B (Aerosol-Cloud-Ecosystem) et GACM (Global Atmospheric Composition Mission). Satellites pour l'étude du cliIllat et du changeIllent cliIllatique Le changement climatique est très difficile à évaluer par des mesures in situ, forcément lacunaires, parfois imprécises ou biaisées. Seuls les modèles numériques peuvent nous renseigner sur l'évolution du climat, sur quelques dizaines d'années. Pour « faire tourner» les modèles de circulation générale (atmosphère et océan) qui simulent le climat, il faut connaître, le plus précisément possible, toute une série de paramètres climatiques. Parmi ceux-ci, citons le type de nuage et la quantité d'eau ou de glace contenue, la répartition des aérosols (poussières ou fines particules en suspension dans l'air), le bilan énergétique (rayonnement incident, réfléchi et émis, de l'ultraviolet à l'infrarouge lointain), la vitesse du vent et des courants marins, la rugosité du sol et l'évolution du couvert végétal, l'épaisseur des glaces, la quantité des gaz à effet de serre, la température du sol et de la surface de la mer. Seuls les satellites 35 permettent de déterminer ces paramètres qui vont ensuite être intégrés aux logiciels informatiques, pour « contraindre» le mo35Dates de lancement - ERBS : 5 octobre 1984 par STS-41-G (STS-13) ; TRMM : 28 novembre 1997, voir exemple 7.2; SMOS : 2 novembre 2009; GOSat (Ibuki) : 23 janvier 2009.

9.2. Satellites classés par mission

347

dèle. Ces «sentinelles de l'espace» jouent un rôle fondamental et déterminant pour les études sur le climat. Nous passons en revue les divers domaines étudiés. Dès le début de l'ère spatiale, plusieurs satellites ont été équipés d'instruments pour l'étude du bilan radiatif de la Terre. Mais le premier satellite uniquement consacré à cette mesure fut ERBS (Earth Radiation Budget Satellite), lancé par la navette spatiale, h = 600 km, i = 57°. Dans ce domaine, une avancée importante devrait être obtenue par la mission ESAJAXA, EarthCARE (Earth Glouds, Aerosols and Radiation Explorer) qui fusionne les projets européen ERM (Earth Radiation Mission) et japonais ATMOS-Bl. L'orbite de EathCARE est basse et héliosynchrone: h = 394 km, i = iHs = 97.0°. De même, pour la mesure de la pluie, divers instruments spécialisés ont volé à bord de satellites (comme les DMSP), mais la première mission entièrement focalisée sur cette étude fut celle du satellite américano-japonais TRMM (Tropical Rainfall M easurement Mission). Sa basse altitude, h = 350 km, est imposée par la présence à son bord d'un radar spécialisé dans la détection des gouttes. Son inclinaison, i = 35°, permet une couverture efficace de la zone tropicale (et du Japon) (figure 9.10(b)). Pour l'étude du cycle de l'eau dans les zones tropicales, le satellite francoindien Megha-Tropiques adopte naturellement cette orbite peu inclinée sur l'équateur, h = 866 km, i = 20°. Il en est de même pour le projet francobrésilien Boitata, h = 717 km, i = 26°. Le projet conjoint (États-Unis, Japon, Europe) GPM (Global Precipitation Measurement) continue, et amplifie, ces missions pour l'étude des précipitations. Il comprend un satellite «cœur» , GPM-core, h = 407 km, i = 65°, un satellite à inclinaison plus faible, GPM-LIO (GPM - Low Inclination Orbit), h = 637 km, i = 40°, et une constellation de 6 à 8 satellites héliosynchrones. Certains, comme EGPM (European GPM) , h = 666 km sont spécialisés dans ce domaine. D'autres, comme les trois MetOp, les deux GCOM et les deux JPSS, ont un domaine d'investigation plus large. Le satellite européen SMOS (Soil Moisture and Ocean Salinity) cartographie la salinité des mers et l'humidité des sols pour la totalité de la planète, par son orbite héliosynchrone: h = 757 km, i = iHS = 98.4°. Ce « satelliteinstrument» est constitué de trois bras, portant au total 69 petites antennes. Grâce à une technologie d'interferométrie, l'instrument capte le très faible signal micro-onde émis par la surface. Cette méthode d'observation a été mise au point par la radioastronomie. Elle a imposé la forme inhabituelle du satellite (figure 9.13), dont les trois bras sont inscrits dans un cercle de 8 mètres de diamètre. Le satellite américano-argentin Aquarius/SAC-D (ESSP-6), h = 651 km, i = iHs, doit mesurer également la salinité des mers. Plusieurs des satellites de l'ensemble nommé A-Train, dont nous parlons un peu plus bas, étudient les aérosols et les nuages (Parasol, Calispo, CloudSat), la chimie de l'atmosphère (Aura) ...

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Chapitre 9. Orbite et mission

9.14 : A-Train: ensemble de satellites sur la même orbite. Pour chaque satellite, il est mentionné l'heure de passage à l'équateur (voir chapitre 10). Le lancement de aGa a échoué. Document: NASA.

FIG.

Le satellite japonais GOSat (Greenhouse Gases Observing Satellite, renommé Ibuki, « soufRe» en japonais), h = 666 km, i = iHS, est le premier à détecter la concentration de CO 2 (dioxyde de carbone) dans l'atmosphère. Ressources terrestres, télédétection, environnement

Nous mettons dans cette catégorie des satellites emportant des appareils dont la résolution au sol est de 50 à 5 mètres. Ces satellites sont tous LEO et, à part ceux de la série Resurs-F et quelques cas particuliers, ils sont tous héliosynchrones. Pour ces satellites le phasage et le gel d'orbite sont recherchés. Le premier programme, Landsat, date de 1972, et ses trois premiers satellites avaient les mêmes caractéristiques d'orbite, h = 910 km, i = iHS = 99.1 0. À partir de Landsat-4, l'altitude a été baissée, h = 700 km, i = iHS = 98.2°, et cette orbite est depuis utilisée, non seulement pour tous les satellites 36 Landsat, mais par d'autres de la NASA, comme EO-1 (Earth Observing) et les satellites du programme EOS (Earth Observation Satellite). Le prochain Landsat, LDCM (Landsat Data Continuity Mission ou Landsat-8) est prévu 36Dates de lancement - ERTS-1 (Earth Resourees Technology Satellite) : 23 juillet 1972, rebaptisé Landsat-1 le 13 janvier 1975; Landsat-2 : 22 janvier 1975; Landsat-3 : 5 mars 1978; Landsat-4 : 16 juillet 1982; Landsat-5 : 1er mars 1985; Landsat-6 : 5 octobre 1993, échec du lancement; Landsat-7 : 15 avril 1999; Terra (EOS-AM-1) : 18 décembre 1999; MTI: 12 mars 2000; EO-1 et SAC-C : 21 novembre 2000; Aqua (EOS-PM-1) : 4 mai 2002; CloudSat et Calipso : 28 avril 2006; OCO : 24 février 2009, échec du lancement; Glory : 4 février 2011, échec du lancement.

9.2. Satellites classés par mission

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sur cette orbite. Ces satellites se répartissent en EOS Morning (EOS-AM, AM = ante meridiem) et EOS Afternoon (EOS-PM, PM = post meridiem) , selon leur heure de passage à l'équateur. Dans la première catégorie, on trouve le satellite Terra (EOS-AM-1) (figure 9.10(a) pour la trace de l'orbite; pour les images prises par les instruments embarqués, voir figure 9.15 pour MODIS et figure 17.16 pour MISR), dans la seconde, tous les satellites de A-Train (pour Afternoon Train, figure 9.14). Ce «train» de satellites offre une synergie très novatrice pour l'étude de l'atmosphère: une même scène peut être observée, simultanément ou avec quelques minutes d'écart, par des instruments très différents, comme spectromètre, radar ou lidar. Bien que lancés à des dates assez éloignées, jusqu'à 5 satellites ont volé « en formation» sur cette même orbite: Aqua (EOS-PM-1), CloudSat et Calipso 37, Parasol 38 , Aura (EOSChem-1). La mise en orbite de OCO (Orbiting Carbon Observatory, ESSP-5) a échoué, ainsi que celle de Glory, deux ans plus tard, qui devait s'insérer entre Parasol et Aura. Les écarts en temps ont été notés sur la figure 9.14. Le satellite EO-1 suit Landsat-7 avec un écart d'une minute (de temps). Par la suite, nous désignerons par orbite Terra cette orbite, d'abord utilisée par Landsat-4, et qu'on peut définir avec une grande précision grâce au phasage (figure 9.10(a)). Le satellite MTI (Multispectral Thermal Imager ou P97-3) est sur une orbite héliosynchrone plus basse, h = 585 km, pour l'observation nuit et jour, comme les deux satellites en projet, NEMO (Navy Earth Map Observation), h = 606 km, pour des observations en mode hyperspectral, et SMAP (Soil Moisture Active Passive), h = 670 km, qui prend la place de HYDROS (Hydrosphere State Mission, ESSP-7). Les dix ans qui arrivent doivent voir aboutir de très nombreuses missions américaines pour l'environnement, sur des orbites héliosynchrones, comme HypsIRI (Hyperspectral InfraRed Imager), h = 624 km, pour la végétation, ASCENDS (Active Sensing of CO 2 Emissions Over Nights, Days and Seasons), h = 450 km, pour le dioxyde de carbone, 3D-Winds (Three-Dimensional Tropospheric Winds) pour les vents, par « Doppler Lidar », h = 400 km. Les trois satellites CLARREO (Climate Absolute Radiance and Refractivity Observatory), h = 750 km, seront sur une 37 Ces deux satellites, qui sont aussi nommés respectivement ESSP-4 et ESSP-3, font partie du programme ESSP (Earth System Science Pathfinder) de la NASA, qui comprend aussi les deux satellites, -A et -B, de la mission GRACE (ESSP-2), pour la géodésie, et VCL (Vegetation Canopy Lidar, ESSP-1, remplacé par Glory) , pour l'étude de l'environnement. Les satellites ESSP-5, -6 et - 7 sont mentionnés aussi dans ce chapitre. Le satellite américain avec collaboration française ESSP-3 s'appelait à l'origine PicassoCena (Pathfinder Instruments for Cloud and Aerosol Spaceborne Observations - Climatologie étendue des nuages et des aérosols). Mais la famille du peintre s'est opposée à l'utilisation gratuite du nom. Il a été renommé Calipso (Cloud Aerosol Lidar Infrared Pathfinder Satellite Observation), et non pas Calypso, afin d'éviter certainement un procès avec les ayants droit d'Homère. 38Le microsatellite français Parasol (Polarization and Anisotropy of Refiectances for Atmospheric Science coupled with Observations from a Lidar) a été lancé en passager de Hélios-2A, 18 décembre 2004.

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Chapitre 9. Orbite et mission

orbite strictement polaire, i = 90.0 0 , à moins que le projet ne soit victime de restrictions budgétaires. Le programme français de télédétection commerciale est réalisé par la famille de satellites SPOT 39 (Satellites Pour l'Observation de la Terre), tous rigoureusement sur la même orbite (h = 822 km), de SPOT-1 à -5, comme les futurs SPOT -6 et -7. On peut donc ici aussi parler d'orbite SPOT. Les images de ces satellites sont aussi utilisées par les militaires 40 qui disposent de plus de satellites spécifiques, du type SPOT, avec les satellites Hélios. La résolution spatiale des satellites SPOT (5 m pour SPOT-4, 2.5 m pour SPOT-5) sera encore améliorée (1 m) avec la génération suivante des satellites Pléiades-HR (Pléiades-HR-1 et -2), à une altitude plus basse, h = 695 km. En liaison avec Pléiades-HR, l'Italie lance le projet COSMO-SkyMed (Constellation of Small Satellites for Meditermnean Bassin Observation), une constellation 41 de 4 satellites munis de radars, h = 620 km. La même orbite est prévue pour HypSEO (HyperSpectml Earth Observer). Pour une couverture très précise de la Terre, et sans cesse actualisée, on réfléchit actuellement à un système de constellation avec de très nombreux satellites, comme le projet e-Corce (e-Constellation d'observation récurrente cellulaire). Le satellite franco-israëlien en projet, VEN[lS (Vegetation and Environment monitoring a New Micro-Satellite) sera héliosynchrone, à l'altitude h = 720 km. Le programmé 2 allemand RapidEye consiste en une constellation de 5 satellites, RapidEye-1 à -5, h = 600 km, i = iHS, avec une résolution de 6.5 mètres. La mission 43 TerraSAR (ESA-Allemagne) comprend deux satellites munis de radars SAR (Synthetic Aperture Radar), TerraSAR-X (en bande X), h = 505 km, et Terra-SAR-L (en bande L), h = 620 km. Le satellite TanDEM39Dates de lancement - SPOT-l : 22 février 1986; SPOT-2 : 11 janvier 1990; SPOT-3 : 26 septembre 1993; SPOT-4 : 24 mars 1998; SPOT-5 : 4 mai 2002. Ces satellites, prévus pour 3 ans de fonctionnement, ont eu une durée de vie beaucoup plus longue. SPOT-2, par exemple, fonctionnait encore lorsqu'il a été désorbité après plus de 19 ans de service. 40En 1991, durant la Guerre du Golfe (opération Desert storm), l'armée américaine utilisa les images SPOT, plus pratiques, avec leur résolution de 5 mètres et des scènes de 60 km de large, que les images beaucoup plus précises, mais lourdes d'emploi, des satellites espions américains. 41 Dates de lancement - COSMO-SkyMed-l : 8 juin 2007; COSMO-SkyMed-2 : 9 décembre 2007; COSMO-SkyMed-3 : 25 octobre 2008; COSMO-SkyMed-4 : 5 novembre 2010. 42Lancement groupé RapidEye-l, -2, -3, -4 et -5 : 29 août 2008. Les satellites RapidEye, de -1 à -5, ont été renommés avec des noms grecs respectifs: Tachys (rapide), Mati (œil), Choma (terre, terrassement), Choros (espace), Trochia (orbite). À part mati, uniquement moderne, les autres mots sont anciens et toujours modernes. Pour l'évolution sémantique de trochia, de « trace de roue» à « orbite», voir la note orbita, à propos du mot orbite. 43Dates de lancement - TerraSAR-X : 15 juin 2007; TanDEM-X: 21 juin 2010. Les intervalles de fréquence d'émission v pour les radars sont traditionnellement désignés par des lettres, de la manière suivante: L (1 à 2 GHz), S (2 à 4 GHz), C (4 à 8 GHz), X (8 à 12 GHz), Ku (12 à 18 GHz), K (18 à 26.6 GHz), Ka (26.5 à 40 GHz). Les longueurs d'onde .\ = clv qui correspondent au centre de bande sont .\ = 20 cm pour la bande L et .\ = 3 cm pour la bande X. Le choix des bandes dépend du phénomène à observer, selon l'effet de l'atmosphère sur l'onde émise.

9.2. Satellites classés par mission

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x (TerraSAR-X add-on for Digital Elevation Measurement) est sur la même orbite que TerraSAR-X pour prendre des vues de la Terre en «tandem ». L'Argentine développe le programme SAOCOM (Satélite de Observation y Communicacion), avec les satellites SAOCOM-1A et -lB, assez proches de COSMO-SkyMed. Le programme soviétique puis russe a commencé en 1979 avec les séries Resurs-F1 puis -F2, composées de satellites de 6 tonnes, en orbite quasi polaire très basse, fonctionnant 14 jours, puis 30 pour les derniers. Des dizaines ont été lancés 44 , en orbite quasi polaire, i = 82.3°, avec une altitude h = 275 km pour Resurs-F1, h = 240 km pour Resurs-F2. Les satellites de la sérié 5 Resurs-O (resurs signifie « ressource» en russe) se rapprochent plus des autres satellites de télédétection : ils sont sur une orbite héliosynchrone, h = 600 km, i = 97.9°, pour Resurs-01-1 à -01-3; h = 820 km, i = 98.8°, pour Resurs-01-4. Le programme Resurs est la suite du programme MeteorPriroda. La nouvelle génération de satellites est représentée par Monitor-E (E pour Expérimental), h = 550 km, résolution de 8 mètres et Resurs-DK-1, hp = 356 km, ha = 585 km, i = 69.9°, résolution de 1 m, sur le modèle des satellites militaires Yantar. Les satellites pour l'étude générale de l'environnement sont de gros satellites 46 , munis de radars, à une altitude h "-' 780 km : pour le Canada, Radarsat-1 et -2; pour l'Europe, ERS-l, -2 (European Remote Sensing Satellite) et Envisat (Environmental Satellite). L'agence européenne a de nombreux projets 47 dans ce domaine. La tendance actuelle n'est plus de faire un très gros satellite comme Envisat (8.3 tonnes, 10 instruments) mais des missions plus légères. En février 2008, l'ESA et l'Union européenne ont signé l'accord qui officialise le programme Sentinelle (Sentinel en anglais), composante spatiale d'initiative GMES (Global Monitoring for Environment and Security). Les 44Les 39 premiers sont répertoriés Kosmos, de Kosmos-1l27 en 1979 à Kosmos-1990 en 1989. On en compte ensuite 20 sous le nom de Resurs-F, de Resurs-F-l (type FI) en 1989 à Resurs-F-20 (type F2) en 1995, suivis de ceux de type modifié, Resurs-FIM-l en 1997 et Resurs-FIM-2 en 1999 (type FIM). 45Dates de lancement - Resurs-Ol-l (Kosmos-1689) : 3 octobre 1985; Resurs-Ol-2 (Kosmos-1939) : 20 novembre 1988; Resurs-Ol-3 : 4 novembre 1994; Resurs-Ol-4 : 10 juillet 1998; Monitor-E : 26 août 2005; Resurs-DK-l : 15 juin 2006. Lettres accolées à Resurs : F pour Film, 0 pour Opérationnel, DK pour Dmitry Kozlov, père des satellites Yantar. 46Dates de lancement - Radarsat-l : 4 novembre 1995; Radarsat-2 : 14 décembre 2007; ERS-l : 17 juillet 1991; ERS-2 : 21 avril 1995; Envisat : 1er mars 2002. 47Le satellite ADM (Atmospheric Dynamics Mission), renommé Aeolus-ADM, embarque un lidar pour l'étude des vents. Dans un futur plus lointain, PESA a sélectionné trois missions: les satellites ACE+ (Atmosphere and Climate Explorer), héliosynchrone, pour l'étude du changement climatique, EGPM (European contribution to the Global Precipitation Monitoring mission), consacré à la pluie, et la constellation de 3 satellites SWARM pour une mesure dynamique du champ magnétique et son interaction avec les processus atmosphériques (orbite circulaire, i = 86.8° pour les 3, mais avec des altitudes différentes: h = 450 km pour SWARM-A et -B; h = 530 km pour SWARM-C).

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Chapitre 9. Orbite et mission

9.15 : Image de vortex obtenue par l'imageur MODIS (Moderate Resolution Imaging Spectroradiometer) à bord du satellite Terra, le décembre 2002. Ce vortex (sillage de turbulence) se forme lorsque les nuages sur l'océan sont perturbés par un vent de basse altitude qui est passé sur un obstacle, ici l'île de Madère, dans l'Atlantique. Document: Jeff Schmaltz, MODIS Rapid Response Team, Goddard SFC/NASA.

FIG.

rr

satellites sont groupés en 4 familles 48 , chacune comprenant plusieurs satellites. Les gros satellites pour la télédétection et l'étude de l'environnement, de plusieurs tonnes, nécessitent l'utilisation de lanceurs puissants qui peuvent offrir quelques places de « passagers» (en anglais, piggy-back) à des satel48Les familles de Sentinel sont ainsi classées: - Sentinel-l, destiné à développer une famille de satellites-radar pour le suivi des océans et des terres émergées, avec Sentinel-lA, -lB, -lC; - Sentinel-2, équipé d'une optique à haute résolution, en mode multi-spectral, avec Sentinel2A, -2B, -2C ; - Sentinel-3, équipé d'une optique à moyenne résolution (visible et IR) et d'un radar altimétrique, avec Sentinel-3A, -3B, -3C ; cette mission est l'héritière directe des missions ERS, Envisat, T IP et Jason; - Sentinel-4 et -5, destinés à l'analyse atmosphérique, en orbite GEO pour -4, avec Sentinel4A et -4B, et en orbite LEO pour -5.

9.2. Satellites classés par mission

353

lites très légers. Ces satellites, aux missions diverses (le plus souvent technologiques) sont aussi sur une orbite héliosynchrone, très proche de celle du satellite principal. Ces lancements groupés 49 peuvent être l'occasion, pour des pays peu développés dans le domaine spatial, de posséder un satellite en orbite. Les pays de grande étendue s'intéressent à la télédétection, avec des satellites LEO héliosynchrones. Pour l'Inde, avec le programmé O IRS (Indian Remate Sensing) , les premiers satellites, IRS-IA et -lB, sont sur une orbite assez haute, h = 910 km, les suivants, IRS-P2, -P3, -P6 (Resourcesat-l) et Resourcesat-2, sur une orbite plus basse, h = 817 km. La résolution du satellite Cartosat-l (IRS-P5), h = 617 km, de 2.5 mètres a été améliorée, jusqu'au mètre, pour les satellites Cartosat-2, -2A et -2B, h = 630 km. La génération Cartosat-3 aura une résolution « militaire». Le satellite expérimental TES (Technalagy Experiment Satellite) a été lancé sur une orbite encore plus basse : h = 565 km. L'Inde développe également un programme de satellites radar (SAR), avec RISat-l (Radar lmaging Satellite) et RISat-2, h = 608 km et h = 550 km La Chine développe plusieurs programmes 51 pour l'environnement, tous les satellites étant héliosynchrones: soit avec des petits satellites, comme Tan Suo-l, -2 et -3 (tan sua signifie « expérimental» en chinois), h = 608 km, 49Voici quelques exemples de lancement groupés lorsque le satellite principal est un gros satellite héliosynchrone de télédétection. Pour les troid premiers, ERS-l, SPOT-3 et Hélios-2A, lancés par Ariane, les satellites passagers sont dits ASAP (Ariane Structure for Auxiliary Payload). Avec ERS-1 (Europe) : UoSAT-5 (ou OSCAR-22) (Gr. Br.), OrbcommX (EU), Thbsat-A (All.), SARA (Fr.). Avec SPOT-3 (France) : Kitsat-2 (Corée du Sud), PoSAT-1 (Portugal), Stella (Fr.), HealthSat-2 (Gr. Br.), ItamSat (Italie), EyeSat-1 (EU). Avec Hélios-2A (France) : Parasol (Fr.), Nanosat (Espagne) et quatre satellites militaires français pour l'écoute électronique, Essaim-1 à 4. Avec Resurs-Ol-4 (Russie) : FaSat-1 (Chili), TMSat (Thaïlande), TechSat-lB (Israël), Westpac-1 (Australie), Safir-2 (All.). Avec Meteor-3M-1 (Russie) : Badr-B (Pakistan), Maroc-Tubsat (Maroc-All.), Kompass et Reflektor (Russie). Avec Cartosat-2A (Inde), un minisatellite de télédétection IMS-1 (Inde) et sept micro- ou nanosatellites: CanX-2 (ou NTS) (Canada), Delfi-C3 (Pays-Bas), Rubin8AIS et Compass-1/Cubesat (Allemagne), AAU/Cubesat (Danemark), Cutel.7+APD2 et SEEDS (Japon). 50 Dates de lancement - IRS-1A : 17 mars 1988; IRS-1B : 29 août 1991; IRS-1C : 28 décembre 1995; IRS-1D : 4 juin 1997; IRS-1E : 20 septembre 1993 (avant IRS-1C), échec; IRS-P2 : 15 octobre 1994; IRS-P3 : 21 mars 1996; TES: 22 octobre 2001 ; Resourcesat-1 (IRS-P6) : 17 octobre 2003; Cartosat-1 (IRS-P5) : 5 mai 2005; Cartosat-2 (IRS-P7) : 10 janvier 2007; Cartosat-2A : 28 avril 2008; Cartosat-2B : 12 juillet 2010; RISat-2 : 20 avril 2009; Resourcesat-2 : 20 avril 201l. 51 Dates de lancement - Tan Suo-1 (TS-1 ou ExperimentaISat-1) : 18 avril 2004 ; Tan Suo2 (TS-2 ou ExperimentaISat-2) : 18 novembre 2004; Tan Suo-3 (TS-3 ou ExperimentalSat3) : 5 novembre 2008; Huan Jing-lA et -lB (HJ-1A et -lB, appelés ausi DFH-78 et -79) : 6 septembre 2008; Chuang Xin-1-02 (CX-1-02 ou Innovation-1) : 5 novembre 2008; Yao Gan-1 (RSS-1 ou JB5-1) : 26 avril 2006; Yao Gan-2 (RSS-2 ou JB6-1) : 25 mai 2007; Yao Gan-3 (RSS-3 ou JB5-2) : 11 novembre 2007; Yao Gan-4 (RSS-4 ou JB6-2) : 1er décembre 2008; Yao Gan-5 (JB5-7) : 15 décembre 2008; Yao Gan-6 (JB8) : 22 avril 2009 ; Yao Gan-7 (JB6-3) : 9 décembre 2009; Yao Gan-8 : 15 décembre 2009; Yao Gan-9A, -9B et -9C : 5 mars 2010; Yao Gan-10 (JB5-3) : 9 août 2010; Yao Gan-11 (JB6-4) : 22 septembre 2010; Tian Hui-1 (TH-l, DFH-90) : 24 août 2010.

354

Chapitre 9. Orbite et mission

703 km et 581 km, respectivement, Huan Jing-lA et -lB (huan jing signifie « environnement»), h = 648 km, Chuang Xin-l-02 (<< innovation»), h = 793 km, soit avec de gros satellites munis de radar, à but environnemental et militaire, de la série Yao Gan (RSS, Remote Sensing Satellite, yao gan wei xing signifie « satellite de télédétection», de yao, «loin» et gan, « détection »). Ces satellites, Yao Gan-l, -2, -3 et -4 sont aux alentours de h = 640 km, puis Yao Gan-5 et -6 à une altitude plus basse, h = 480 km; Yao Gan-7 et -8 remontent à h = 660 km, comme Yao Gan-IO et -11. Les trois satellites Yao Gan-9A, -9B et -9C, sont sur une orbite non héliosynchrone, h = 1 100 km, i = 63.7° pour la surveillance électronique (ELINT). Le satellite Tian Hui-l, h = 500 km, héliosynchrone, prend des images stéréographiques avec une résolution de 5 mètres. La Chine et le Brésil coopèrent pour le programmé 2 CBERS (ChinaBrazil Earth Resources Satellite), dit aussi Zi Yuan ( «ressources» en chinois), avec les satellites CBERS-l et -2, h = 774 km et les suivants (série ZY-l). La Chine a lancé aussi, pour son compte, deux satellites ZY-2 et -2B (série ZY-2), sur une orbite plus basse, h = 495 km et h = 476 km. Taïwan a lancé Rocsat-2, rebaptisé FormoSat-2, sur une orbite héliosynchrone originale dont nous reparlerons au chapitre Il. L'Australie doit lancer le satellite ARIES-l (Australian Resource Information and Environment Satellite). La société privée américaine Resource2l (21 signifie xxr 8 siècle) doit lancer cinq satellites, RS2l-l à RS2l-5, h = 700 km, avec une résolution de 10 m, en se plaçant dans la continuité, 1'« héritage», de Landsat. Le projet semble à l'arrêt depuis 2003. Le Japon a toujours donné une grande importance à l'environnement dans ses projets spatiaux53 : d'abord JERS-l (Japan Earth Resource Satellite ou Fuyo-l, fuyo signifie « rose mauve» en japonais), h = 568 km, puis les trois gros (près de 4 tonnes) satellites, ADEOS-l et -2 (Advanced Earth Observing Satellite, désignés aussi par Midori et Midori-2, midori signifie « vert» ), h = 797 km et h = 803 km, et ALOS (Advanced Land Observation Satellite ou Daichi, « Terre») h = 692 km. Ce programme sera suivi de deux GCOM (Global Change Observing Mission), GCOM-C (Carbon cycle), h = 798 km et GCOM-W (Water), h = 700 km. Les domaines d'étude de l'environnement à l'aide des satellites sont maintenant très variés. Nous citerons par exemple la détection de feux de forêt, avec des appareils embarqués ayant une résolution au sol de 100 m environ, comme pour le satellite allemand BIRD (Bi-spectral InfraRed Detection), 52Dates de lancement - CBERS-1 (ZY-1A, Zi Yuan-lA) : 14 octobre 1999; CBERS-2 (ZY-1B, Zi Yuan-lB) : 21 octobre 2003; CBERS-2B : 18 septembre 2007. ZY-2 (Zi Yuan-2, DFH-50, Jian Bing-3, JB-3) : 1er septembre 2000; ZY-2B (Zi Yuan-2B, DFH-55, Jian Bing-3B, JB-3B) : 27 octobre 2002; ZY-2C (Zi Yuan-2C, Jian Bing-3C, JB3C) : 6 novembre 2004. Les satellites ZY-2 utilisent une plate-forme CBERS (référencée ZY-1 par la Chine). 53Dates de lancement - JERS-1 : 11 février 1992; ADEOS-1 : 27 août 1996; ADEOS-2 : 14 décembre 2002; ALOS: 24 janvier 2006.

9.2. Satellites classés par mission

355

h = 575 km, héliosynchrone. Le satellite espagnol FuegoSat, h = 700 km, = 47.5°, en projet, devrait être le précurseur d'une constellation de 12 satellites, FuegoFOC (Fire Observation Constellation). Pour la surveillance de la forêt amazonienne, le Brésil a un projet de deux satellites en orbite strictement équatoriale, h = 900 km, i = 0°, SSR-1 et -2 (Satellite de Sensoriamento Remoto).

'i

Pour l'étude des calottes glaciaires et la mesure précise des variations de leur épaisseur, une orbite originale (LEO quasi polaire non héliosynchrone) est choisie pour deux missions 54 , respectivement américaine et européenne : ICESat (Jce, Clouds, and Land Elevation, anciennement EOS-LAM), h = 600 km,i = 94° et CryoSat (Cryosphere Satellite), h = 720 km, i = 92°. Pour ces altitudes, les inclinaisons héliosynchrones seraient respectivement de 97.8° et 98.3°. Les États-Unis ont un programme ambitieux pour ce domaine préoccupant, avec ICESat-2 sur une orbite similaire à ICESat et deux autres missions sur des orbites héliosynchrones, DESDynI (Deformation, Ecosystem Structure and Dynamics of l ce) et SCLP (Snow and Cold Land Processes). Le projet britannique DMC (Dis aster Monitoring Constellation), en coopération internationale, est en cours de réalisation 55 . Il consiste en une constellation de micro-satellites, h = 686 km, héliosynchrones. Nous terminons cette catégorie de satellites d'observation de la Terre par Triana56 , pour mémoire, car ce projet américain, à l'orbite atypique pour ce genre de mission, a peu de chances d'aboutir. L'idée était de placer un satellite, après un voyage de 3.5 mois, en orbite en halo autour du point de Lagrange LI du système Terre-Soleil (orbite type L1LO, période de 6 mois). Ses instruments auraient eu une vue de la Terre toujours éclairée, mais fort lointaine (234 rayons terrestres, l'équivalent de quatre fois la distance TerreLune), avec une taille de pixel (résolution) de 8 km (1 seconde d'arc). Grâce aux grandes dimensions de l'orbite en halo, les pôles Nord et Sud terrestres seraient ainsi alternativement observés, pour l'étude de l'ozone stratosphérique en particulier. Le projet a été relancé 57 , sans succès, sous le nom de DSCO (Deep Space Climate Observatory) ou DSCOVR.

54Date de lancement - ICESat : 13 janvier 2003; CryoSat : 8 octobre 2005, échec; CryoSat-2 : 8 avril 2010. 55Dates de lancement - AISat-1 (Algérie) : 28 novembre 2002; BiiSat-1 (Turquie), NigeriaSat-1 (Nigéria) et BNSCSat (ou UK-DMC) (Gr. B.) : tir groupé le 27 septembre 2003; Beijing-1 (Chine) : 25 octobre 2005; UK-DMC2 (Gr. B.) et Deimos-1 (Espagne) : 25 juillet 2009. 56 Rodrigo Triana fut le premier à voir le Nouveau Monde, en 1492, parmi les marins à bord des caravelles de Christophe Colomb. 57Le projet était soutenu par Al Gore, lorsqu'il était vice-président de Bill Clinton, aux États-Unis. Avec George W. Bush, l'affaire a été enterrée. L'attribution du Prix Nobel de la Paix, en 2007, conjointement à Al Gore et au GIEC, ne semble pas avoir débloqué ce projet de satellite parfois surnommé GoreSat.

356

9.2.5

Chapitre 9. Orbite et mission

Satellites pour la télédétection et la surveillance

Télédétection commerciale

Les satellites de cette catégorie ont une résolution de l'ordre du mètre dans le domaine visible (et de quelques mètres dans le cas éventuel d'observation dans l'infrarouge), ce qui était réservé aux satellites militaires jusqu'en 1994. Créées en 1992, deux sociétés 58 américaines se partagent la plus grosse partie du marché: - GeoEye Inc., avec les satellites successifs OrbView (Orbimage), Ikonos, GeoEye; - DigitalGlobe, avec les satellites successifs EarlyBird/EarthWatch, QuickBird et WorldView. Ces satellites 59 sont héliosynchrones, avec passage au nœud descendant à 10:30. La résolution 60 de leurs images est de plus en plus fine. Les premiers clients de ces sociétés sont les agences américaines NASA et NIMA, ou Google pour Google Maps. On note les principaux satellites par ordre chronologique, avec résolution et altitude : - Ikonos 61 (résolution: 0.8 m / 3 m), h = 680 km; - OrbView-3 (1 m / 4 m), h = 451 km; - QuickBird-2 (0.6 m / 2.5 m), h = 443 km; - WorldView-l et -2 (0.5 m / 2 m), h = 494 km et h = 765 km; - GeoEye-l (0.4 m / 1.6 m), h = 679 km. D'autres pays développent ce domaine de cartographie précise par satellité 2 , comme la France avec Pléiades-HR (HR pour Haute Résolution), Israël avec EROS-Al (résolution: 1.9 m / 5 m) et EROS-B (0.7 m / 2.8 m), tous les deux à l'altitude h = 508 km. Avec une résolution de l'orde de 2 mètres, des pays émergents en spatial se lancent dans la course, comme la Thaïlande 58 Elles ont, l'une comme l'autre, quelques caractéristiques communes. Elles créent leur nom de marque en accolant deux mots, sans intervalle, et elles changent fréquemment de dénomination. Leurs appellations succesives se retrouvent dans le nom des satellites. La nouvelle entreprise européenne, créée conjointement par EADS et des capitaux privés, a suivi la même mode puisqu'elle se nomme InfoTerra. 59Dates de lancement - OrbView-1 (Microlab-1) : 3 avril 1995 (lancé avec OrbcommFM-1 et -2, non héliosynchrones) ; EarlyBirdjEarthWatch-1 : 24 décembre 1997; Ikonos-1 : 27 avril 1999, échec; Ikonos-2 : 24 septembre 1999; OrbView-4 (avant OrbView-3) : 21 septembre 2001, échec; QuickBird-1 : 20 novembre 2000, échec; QuickBird-2 : 18 octobre 2001 ; Orb View-3 : 26 juin 2003 ; WorldView-1 : 18 septembre 2007; GeoEye-1 : 6 septembre 2008; WorldView-2 : 8 octobre 2009. 60La résolution en mode panchromatique correspond aux images en noir et blanc, en mode multispectral, aux images en couleurs (composées généralement à partir du bleu, vert, rouge et proche infrarouge). On note la résolution par deux longueurs, en mètre: résol. N & B j résol. Coul. 61 Le satellite Ikonos-1, perdu lors de son lancement, a été vite remplacé par Ikonos-2, lancé cinq mois plus tard, et renommé Ikonos pour effacer l'échec du premier lancement. Le nom grec a dxwv,ovoç signifie « image» ; pourquoi avoir choisi le génitif, ikonos? 62Dates de lancement - EROS-Al: 5 décembre 2000; EROS-B : 25 avril 2006 ; THEOS : 1er octobre 2008; DubaiSat-1 : 29 juillet 2009.

9.2. Satellites classés par mission

357

avec THEOS (Thai Earth Observing System) (résolution: 2 m /15 m), sur une orbite SPOT, h = 822 km, les Émirats Arabes Unis, avec DubaiSat-1 (2.5 m / 5 m), h = 686 km. La Malaisié 3 avec RazakSat (2.5 m / 5 m), exploite une orbite quasi équatoriale rarement utilisée, h = 685 km, i = 9°, parfois appelée NEO (Near Equatorial Orbit). Télédétection et surveillance militaires

Dans le domaine militaire, la principale catégorie de satellites américains de surveillance (ou de satellites espions, selon le point de vue) porte le nom évocateur de KH (key hale, «trou de serrure» ). Elle se décompose en plusieurs séries 64 , de KH-1, en 1959 à KH-13, en cours. Pour les premières séries, jusqu'en 1986 avec KH-9, le principe est le même : une caméra prend des photos, le film est mis dans une capsule, et aussi incroyable que cela paraisse ... la capsule est lancée vers la Terre. Un parachute s'ouvre à 20 km du sol et, si tout se passe bien, un avion muni d'un filet intercepte le trésor en vol (il peut aussi être récupéré dans l'océan par un navire). Les résultats des premières séries ayant été « déclassifiés » comme disent les militaires, on s'aperçoit que le taux de réussite était très faible au début: deux succès, Discoverer-14 et Discoverer-18, pour les 27 satellites des séries KH-1 et -2 (satellites Discoverer-1 à -27). Les séries suivantes connurent plus de succès avec un bon taux de réussite. Pour les séries KH-l1 et -12, les résultats sont transmis via les satellites militaires SDS. Les images prises par les derniers satellites ont une résolution annoncée de 15 centimètres (on peut cependant se poser diverses questions : influence de la turbulence atmosphérique, accumulation des données, etc.). Les satellites de la série KH-13 sont des satellites KH-12 rendus indétectables aux radars et aux capteurs IR (stealthy satellites, «satellites furtifs» ), et ceux de la série 8X seraient d'énormes satellites-télescopes (dits Monstersats !), avec une résolution centimétrique 65 . Mais en fait, on sait peu de choses précises sur ces satellites. Pour les premières séries KH, les missions étaient très courtes (quelques jours). Elles s'allongèrent par la suite (19 jours pour KH-4B, 50 jours et deux capsules pour KH-8). Les orbites sont généralement basses, h entre 200 et 400 km, quasi polaires (comme Discoverer-35, h = 260 km, i = 82°) 63Le satellite MACSat (Medium-sized Aperture Camera Sat.), lancé le 4 juillet 2009, a été renommé Razaksat, d'après le nom du Premier ministre malais, Abdul Razak, Bapa Pembangunam Malaysia « père du développement de la Malaisie ». 64Les séries ont des noms de code, plus ou moins certifiés officiellement, et connus avec un certain délai: Corona (KH-1 à -4), Argon (KH-5), Lanyard (KH-6), Gambit (KH-7, -8), Hexagon et Big Bird (KH-9), Dorian (KH-10, annulé), Crystal Kennan (KH-11), Ikon et Improved Crystal (KH-12, appelé aussi KH-11B). Le nom de KH-13 serait Misty. 65Résolution annoncée par US Air Force, agence responsable du programme - Série KH1 (commencée en 1959) : 12 m; KH-2 (1960) : 9 m; KH-3 (1961) : 7.6 m; KH-4A (1963) : 2.7 m; KH-6 (1963) : 1.8 m; KH-8 (1966) : 0.5 m. Pour KH-11 (1976) et KH-12 (1992) : 0.15 m avec un télescope semblable à celui de Hubble. Pour KH-13 : 0.10 m, 8X : 0.05 m.

358

Chapitre 9. Orbite et mission

jusqu'à KH-3, puis moins inclinées (comme KH-4A-14, ou Orbis, OPS/3360, hp = 117 km, ha = 329 km, i = 70°) jusqu'à KH-6, et ensuite héliosynchrones ou très inclinées (comme KH-7-27, hp = 139 km, ha = 375 km, i = 117°) jusqu'à KH-11 où les missions deviennent beaucoup plus longues (ce qui peut justifier alors l'héliosynchronisme, comme nous avons vu). Les onze premières séries représentent l'envoi de 262 satellites. Pour KH-12, les satellites de 20 tonnes sont envoyés pour une longue période, sur une orbite héliosynchrone elliptique, hp c::: 150 km, ha c::: 950 km, i = iHS c::: 98°. Les lancements sont régulièrement espacés: KH-12-1 (USA86 en 1992), KH-12-2 (USA-116 en 1995), KH-12-3 (USA-129, NROL-2 en 1996), KH-12-4 (USA-161, NROL-14 en 2001), KH-12-5 (USA-186, NROL-20 en 2005), KH-12-6 (USA-224, NROL-49 en 2011). Pour KH-13, série dite Misty, il semble qu'il y ait deux satellites, sur une orbite quasi ciculaire, h cv 1 000 à 3 000 km,i c::: 63° : Misty-l (USA-53 ou AFP-731 lancé à partir de STS-36 en 1990) et Misty-2 (USA-144 ou EIS-l en 1999). L'observation militaire « tout temps» est le domaine des satellites radar Lacrosse, chacun d'une masse de 20 tonnes. Il sont sur des orbites circulaires, moyennement inclinées: Lacrosse-l (USA-34 ou Onyx-l1ancé par STS-27 en 1988), h = 440 km, i = 57° ; les quatre autres, Lacrosse-2 (USA-69 ou Onyx-2 en 1991), Lacrosse-3 (USA-133 ou Onyx-3 en 1997), Lacrosse-4 (USA-152 ou Onyx-4 en 2000), Lacrosse-5 (USA-182 ou Onyx-5 en 2005), h c::: 680 km avec alternativement les inclinaisons i = 68° et i = 57°. Le programme français 66 repose sur les satellites 67 Hélios, sur une orbite héliosynchrone, h = 680 km, et le programme allemand sur les 5 satellites 68 radar SAR-Lupe, h = 487 km,i = iHs (SAR : Synthetic Aperture Radar; lupe signifie « loupe» en allemand). La surveillance militaire soviétique s'est faite avec une multitude de Kosmos. Les premiers, dans la série Zenit, avaient une altitude très basse, h cv 150 km et les inclinaisons caractéristiques i = 63°,73°,82°. Les missions duraient quelques jours et le film était récupéré avec le satellite. La technique de récupération de capsule en vol est apparue avec des satellites de la série Yantar (<< ambre» en russe), en 1975. La série Arkon est équivalente à KH-12. L'observation radar est faite par 66Hélios, 6 "HÀwç, ou, « le Soleil», est un dieu (non olympien) de la mythologie grecque. Il parcourt le ciel, au cours de la journée, sur son char tiré par quatre chevaux. Par sa position en altitude et grâce à son regard perçant comme des rayons lumineux, il voit tout ce qui se passe sur Terre. C'est par référence à cette qualité que les militaires français ont choisi, de manière peu modeste, le nom de leur programme de reconnaissance. Très important à l'époque archaïque, le culte de l'astre solaire perdra de l'influence à l'époque classique et Hélios sera souvent assimilé à Apollon. 67Dates de lancement - Hélios-lA: 7 juillet 1995; Hélios-lB: 3 décembre 1999; Hélios2A : 18 décembre 2004; Hélios-2B : 18 décembre 2009. 68Dates de lancement - SAR-Lupe-l : 19 décembre 2006; SAR-Lupe-2 : 2 juillet 2007; SAR-Lupe-3 : 1er novembre 2007; SAR-Lupe-4 : 27 mars 2008; SAR-Lupe-5 : 22 juillet 2008.

9.2. Satellites classés par mission

359

les satellites de la série Almaz (almaz signifie « diamant» en russe, tiré de l'arabe al mas, même sens), engins de 19 tonnes sur une orbite basse circulaire h = 300 km, i = 72°, avec Kosmos-1870 (Almaz-T-2 ou Resurs-R-21ancé en 1987) et Almaz-1 (Almaz-T-3 ou Resurs-R-3 en 1991) et ceux de la série Oblik, équivalente de Lacrosse. Les satellites chinois de télédétection et de surveillance militaire sont ceux de la série FSW-2 (Fanhui Shi Weixing) , comme FSW-2-3, lancé en 1996, h = 125 km, i = 63°. Ils reviennent au sol au bout de deux semaines (comme leur nom l'indique: fan hui shi, «retour» et wei xing, « satellite» ). On peut ajouter les satellites Yao Gan-5 et -6 vus plus haut. Le Japon exploite ses satellites 69 IGS (Intelligence Gathering Satellite), en optique ou radar, sur une orbite basse héliosynchrone, h = 479 km, principalement pour se prémunir contre une attaque nord-coréenne. Parallèlement au programme EROS, Israël a développé le programme militaire Ofeq (<< horizon» en hébreu), avec des satellites 70 sur orbite elliptique très inclinée : hp = 370 km, ha = 750 km, i = 143.5° pour Ofeq5, hp = 339 km, ha = 575 km, i = 141.8° pour Ofeq-7 (figure 9.12(b)), hp = 343 km, ha = 588 km, i = 141.8° pour Ofeq-9. Avec une telle inclinaison, ces satellites couvrent ainsi les latitudes inférieures à 40°. Bien qu'on n'ait pas de renseignements précis sur ce programme, on peut voir deux motivations dans le choix d'une telle orbite rétrograde. Tout d'abord, une orbite rétrograde permet d'augmenter la fréquence synodique v' du satellite (avec la fréquence quotidienne v ~ 15, on a v' ~ 16 au lieu de v' ~ 14 pour une orbite directe) et donc la fréquence de prise de vue. De plus, un lancement vers l'ouest, depuis Israël, s'il est raté, se terminera dans la Méditerrannée plutôt que sur des pays voisins. C'est une précaution utile dans la région. Une orbite à peu près équivalente est utilisée par TecSAR (nommé aussi Polaris), satellite radar du programme militaire israëlien, hp = 405 km, ha = 580 km, i = 41.03°. Ce satellite, en orbite directe, a été lancé depuis l'Inde.

9.2.6

Satellites pour l'océanographie

Les premiers satellites océanographiques avaient une orbite à forte inclinaison : GEOS-3 (Geodynamics Experimental Ocean Satellite), h = 847 km, i = ll5.0° et SeaSat, h = 780 km, i = 108.1°. Cette dernière orbite a été reprise ensuite, à quelques kilomètres près, par Geosat et GFO-1 (Geosat Follow On). L'orbite de TOPEX/Poseidon est assez haute, h = 1330 km, pour éviter au maximum le frottement atmosphérique, assez inclinée, i = 66°, pour 69Dates de lancement - IGS-1A (IGS-Optical-1) et IGS-1B (IGS-Radar-1) : 28 mars 2003; IGS-3A (IGS-Optical-3) : 11 septembre 2006; IGS-4A (IGS-Optical-4V) et IGS-4B (IGS-Radar-3) : 24 février 2007; IGS-5A (IGS-Optical-4) : 28 novembre 2009. 70Dates de lancement - Ofeq-1 : 19 septembre 1988; Ofeq-2 : 3 avril 1990; Ofeq-3 : 5 avril 1995 ; Ofeq-5 : 28 mai 2002; Ofeq-7 : 10 juin 2007; Ofeq-9 : 22 juin 2010 ; TecSAR : 21 janvier 2008.

360

Chapitre 9. Orbite et mission

survoler pratiquement la totalité des océans 71. Afin d'éviter un biais dû à l'influence du Soleil sur les marées, il faut impérativement que l'orbite ne soit pas héliosynchrone. Le satellite Jason-l, puis Jason-2 (ou OSTM, Ocean Surface Topogmphy Mission), ont été placés exactement sur la même orbite 72 que TOPEXjPoseidon pour assurer la continuité de la mission franco-américaine, qui sera prolongée par Jason-3. Le futur satellite américain SWOT (Surface Water and Ocean Topogmphy), qui reprend le projet WatER-HM (Water Elevation Recovery and Hydrosphere Mapping) , sera sur une orbite plus basse, h = 971 km, avec une inclinaison un peu différente, i = 78°, car il s'intéresse également à l'eau des surfaces continentales. Ces satellites altimétriques, ainsi que les deux satellites européens ERS, héliosynchrones, ont effectué des mesures précises du niveau des mers et de leur évolution, avec de très bons résultats 73. Les satellites 74 de la série Okean, satellites soviétiques, puis russo-ukrainiens, puis russes (l'Ukraine ayant décidé la série Sich) sont destinés à l'étude de l'océan et des régions polaires. Les premiers satellites, Okean-Ol-l à -3, ainsi que Sich-l, ont une altitude h c::: 650 km et l'inclinaison i = 82.5°, typique de nombreux Meteor et de centaines de Kosmos. Les suivants, Okean-Ol-4 et Okean-O-l, ont la même altitude mais sur une orbite héliosynchrone. Lorsque leur mission principale n'est pas l'altimétrie, les satellites océanographiques 75 sont héliosynchrones: les satellites japonais MOS-l et MOS-IB (Marine Observation Satellite, dits aussi Momo et Momo-lB; momo signifie «fleur de pécher»), h = 908 km, les satellites chinois Hai Yang (hai yang signifie «océan»), HY-IA et HY-lB, h = 798 km, les satellites indiens Oceansat-l (IRS-P4) et Oceansat-2, h = 720 km, l'américain SeaStar (OrbView-2), h = 700 km, les satellites sud-coréens KOMPSat-l et -2 (Korea Multi-purpose Satellite, ou Arirang-l et -2), pour l'étude des océans et des terres. Le satellite argentin SAC-D (Satélite de Aplicaciones Cientificas) , 71 Dates de lancement - GEOS-3 : 9 avril 1975; Seasat : 28 juin 1978; Geosat : 13 mars 1985; GFO-1 : 10 février 1998; TOPEX/Poseidon : 10 août 1992; Jason-1 : 7 décembre 2001 ; Jason-2 : 20 juin 2008. 72En septembre 2002, Topex/Poseidon a été placé sur une nouvelle orbite, à mi-chemin entre ses anciennes traces (devenues celles de Jason-1). « Cette phase tandem illustre les potentialités scientifiques d'une constellation de satellites altimétriques optimisés» (Aviso, CLS / CNES). La mission s'est terminée officiellement en janvier 2006. Après le lancement de Jason-2, Jason-1 a glissé sur l'ancienne trace de T /P, Jason-2 prenant la place de Jason-1. 73Précision estimée des mesures (moyenne sur un mois) - GEOS-3 : 25 cm; Seasat : 5 cm; Geosat : 4 cm; ERS-1 et -2 : 3 cm; TOPEX/Poseidon : 2 cm; Jason-1 : 1 cm; Jason-2 : 1 cm. 74Dates de lancement - Okean-01-1 : 5 juillet 1988; Okean-Ol-2 : 28 février 1990; Okean-Ol-3 (généralement nommé Okean-3) : 4 juin 1991 ; Okean-Ol-4 : 11 octobre 1994; Sich-1 : 31 août 1995; Okean-O-1 (généralement nommé Okean-O) : 17 juillet 1999. 75Dates de lancement - MOS-1 : 19 février 1987; MOS-1B : 7 février 1990; SeaStar : 1er août 1997; Oceansat-1 : 26 mai 1999; HY-1A (Ocean-1 ou DFH-54) : 12 mai 2002 (avec FY-1D) ; HY-1B : 11 avril 2007; Oceansat-1 : 26 mai 1999; Oceansat-2 : 23 septembre 2009; KOMPSat-1 (avec ACRIMSAT) : 21 décembre 1999; KOMPSat-2 : 28 juillet 2006; QuikScat : 20 juin 1999; Coriolis: 6 janvier 2003; SAC-D : 10 juin 2011.

9.2. Satellites classés par mission

h

361

651 km, emporte l'instrument1 6 américain Aquarius. Sont aussi héliosynchrones les satellites munis d'un diffusiomètre pour l'étude des vents sur la mer, comme QuikScat (Quick Scaterrometer) , h 805 km et Coriolis 77 (dit aussi WindSat ou P98-2), h = 830 km. =

9.2.7

Satellites pour la navigation

Le premier système de navigation américain était constitué des satellites Transit en orbite LEO strictement polaire. Ils ont eu un rôle très important dans les débuts de la géodésie spatiale 78 . Plusieurs de ces satellites étaient équipés de générateurs nucléaires 79. Un système comparable, soviétique puis russe, a été réalisé avec les constellations Parus (militaire), Tsikada et Nadejda de satellites en orbite polaire, h c::: 1 000 km, i = 83°. Des résultats d'une précision étonnante (localisation à quelques mètres près) sont obtenus à présent avec les constellations de satellites MEO. Nous consacrons tout un chapitre, le chapitre 14, aux systèmes globaux de navigation par satellite - ce qu'on appelle plus couramment le GPS.

9.2.8

Satellites pour les communications

Le principe de la communication par relais est d'envoyer un signal (téléphone, télévision, télécommunications) d'un point donné de la Terre à un autre en passant par le relais d'un satellite qui capte, amplifie et renvoie le 76L'instrument Aquarius devait voler à bord du satellite américain de même nom. À la suite d'une coopération avec l'Argentine, le satellite est devenu Aquarius/SAC-D, puis SAC-D / Aquarius. 77 Gustave Gaspard Coriolis (1792-1843), mathématicien et ingénieur français. Dans son premier ouvrage, Du calcul de l'effet des machines (1829), il introduisit les termes de «travail» (produit de la force par le déplacement) et de «force vive» (énergie cinétique). Dans son mémoire Sur le principe des forces vives dans le mouvement relatif des machines (1831), il mit en évidence les différentes accélérations, absolue, relative, d'entraînement et complémentaire. Cette dernière reçut le nom d'accélération de Coriolis. Cette notion est fondamentale dans l'étude des fluides géophysiques en mouvement (courants marins et atmosphériques à la surface du globe). 78Dans la littérature des géodésiens, les satellites Transit-5B-1 et -5B-2 sont souvent désignés respectivement par la dénomination simplifiée de VBN-1 et VBN-2. 79En 1961, Transit-4A a été le premier satellite muni de générateur nucléaire pour l'alimentation électrique, dit SNAP (System for Nuclear Auxiliary Power). Ces générateurs sont maintenant désignés par RTG (Radioisotope thermoelectric generator). D'autres satellites de cette série étaient équipés de RTG : Transit-4B en 1961, Transit-5B-1, -5B-2 et -5B-3 en 1963, Triad-1 en 1972. Le combustible était du polonium 210 pour les Transit-4, du plutonium 238 pour les Transit-5. Dans les autres séries américaines, les satellites avec RTG (plutonium 238) ont été OPS/4682 (ou Snapshot, jeu de mot avec SNAP), Nimbus-B (échec au lancement) et Nimbus-3 en orbite LEO, et les deux satellites LES-8 et -9 en orbite GEO. Pour les satellites soviétiques munis de RTG, on sait qu'il y a eu des accidents avec Kosmos-954 et Kosmos-1402. Les sondes qui voyagent loin du Soleil sont équipées de générateurs nucléaires (Cassini emporte 35 kg de Plutonium-238 pour produire une puissance électrique de 750 W).

362

Chapitre 9. Orbite et mission

signal. Un satellite GEO fait bien entendu l'affaire s'il est « vu » par les deux points dans de bonnes conditions. Pour les latitudes élevées, un ensemble de satellites HEO permet la liaison. Avec les satellites LEO, la durée pendant laquelle le satellite est vu est assez courte et une constellation est nécessaire. On consultera, à ce propos, la partie Durée de visibilité, chapitre 12. Télécommunications G EO

L'orbite géostationnaire - qui n'est de fait qu'à une dimension - est occupée actuellement par près de trois centaines de satellites en activité, la plupart pour les communications 8o . Ces satellites ont une durée de vie moyenne de douze ans environ. Généralement, un pays, ou un groupe de pays, installe son satellite à la longitude d'un de ses méridiens 81 . On comprend bien que, pour un pays comme l'Indonésie, un satellite géostationnaire permet d'établir un réseau de télécommunications entre des centaines d'îles, beaucoup plus facilement que ne le ferait un réseau au niveau du sol. Pour beaucoup de pays, un satellite de communication géostationnaire a de plus une valeur symbolique importante 82 . 800n compte aussi une quinzaine de satellites météorologiques, dont certains sont mixtes « météo/comm» et les satellites chinois Beidou, pour le positionnement, voir chapitre 14. 810n donne ici, à titre d'exemple, le nom de quelques satellites opérationnels, avec leur position de stationnement, en 2011. Au début du XXI e siècle, la plupart des pays européens ont délaissé leurs satellites nationaux pour intégrer un organisme national. C'est ainsi que les satellites Telecom pour la France ou DFS-Kopernikus pour l'Allemagne se sont fondus dans Eutelsat. Seuls les pays scandinaves (la Norvège et la Suède, à cause de leur position « en marge» par rapport à un géostationnaire) et l'Espagne (qui arrose l'Amérique latine) ont conservé des satellites nationaux. Le premier satellite commercial de cette catégorie, Anik-l (Canada), a été lancé en 1972. On indique un satellite par pays ou par organisme, en parcourant l'orbite géostationnaire dans le sens direct. Sirius-4 [SES-Sirius-4] (Suède) 4.8°E; Eutelsat-W3A (Org. Eutelsat) 7.0 o E; Astra-IM (Org. Astra) 19.2°E; AfriStar (Org. World Space) 21.0 o E; Badr-4 (Org. Arabsat) 26.0 o E; PakSat-l (Pakistan) 38.0 o E; HeliasSat-2 (Grèce) 39.0 o E; Türksat-3A (Turquie) 41.8°E; NigComSat-l (Nigéria) 42.5°E; Yamal-202 (Russie) 49.0 o E; INSAT-3E (Inde) 55.0 o E; Intelsat-906 (Org. Intelsat) 64.1 °E; Thaicom-5 (Thaïlande) 78.5°E; Esafi-l (Tonga) 79.0 o E; ChinaStar-l (Macao/Chine) 87.5°E; ST-2 (Singapour-Taïwan) 88.0 o E; MeaSat-3 (Malaisie) 91.0 o E; ChinaSat-9 (Chine) [Zhong Xing-9 ou ZX-9] 99.2°E; AsiaSat-5 (Hong-Kong/Chine) 100.5°E; KazSat-l (Kazakhstan) 103.0 o E; KoreaSat-5 [Mugunghwa-5] (Corée du Sud) 113.0 o E; Garuda-l (Indonésie) 123.0 o E; JCSat-12 [JCSatRA] (Japon) 128.0 o E; Vinasat-l (Viet-Nam) 132.0 o E; Agila-2 [Mabuhay-l] (Philippines) 146.0 o E; Optus-Dl (Australie) 160.0 o E; Galaxy-15 (Org. PanAmSat) 133.0 o W; SatMex6 (Mexique) 113.0 o W; DirectTV-8 (Org. DirectTV) 100.8°W; BrazilSat-B4 (Brésil) 92.0 o W; Nimiq-4 (Canada) 82.0 o W; Venesat-l [Simon-Bolivar-l] (Vénézuéla) 78.0 o W; Nahuel-l (Argentine) 71.8°W; Hispasat-ID (Espagne) 30.0 o W; Nilesat-101 (Égypte) 7.0 o W; Amos-2 (Israël) 4.0 o W; Thor-3 (Norvège) 0.8°W. 82Le nom choisi pour le satellite en est une preuve. Un pays multi-ethnique et parfois déchiré, comme l'Indonésie, choisit le nom de Palapa, qui signifie «unité» en bahasa indonesia (langue officielle du pays). Des pays développés du Nouveau Monde vont chercher le nom de ces satellites dans les langues amérindiennes, peut-être pour y trouver des racines profondes. Le Canada nomme ses satellites Anik et Nimiq, ce qui signifie « frère (pour la sœur) » et « union (lien qui unit) » en inuktitut (langue inuit, esquimau). L'Argentine

9.2. Satellites classés par mission

363

FIG. 9.16 : Vue d'artiste. Liaison par laser entre le satellite japonais OICETS et le satellite européen A rtemis. Document: JAXA.

Ces satellites GEO de communications, toujours plus nombreux, plus gros, plus chers 83 , représentent actuellement la plus grande partie du marché commercial des activités spatiales. Les satellites GEO pour l'Internet haut-débit font leur apparition à partir de 2011, avec Ka-Sat (stationné à 9°E) et Via-Sat-l (115°W). L'orbite GEO est aussi abondamment utilisée pour les communications militaires par les satellites des séries américaines 84 LES, DSCS puis WGS, utilise un mot araucano (langue araucan, mapuche), Nahuel, «tigre ». 83Les deux satellites Westar-6 (américain, Western Union Communie. Sat.) et PalapaB2 (indonésien) ont été lancés par STS-10 (STS-41-B) le 3 février 1984 mais ils n'ont pas pu atteindre l'orbite géostationnaire. Les assureurs, nouveaux propriétaires, ont financé la récupération des satellites par la navette STS-14 (STS-51-A), le 16 novembre 1984 et leur retour au sol. La Chine a acheté Westar-6, pour en faire AsiaSat-1 et s'est chargée du lancement le 7 avril 1990. L'autre satellite, devenu Palapa-B2R, a été lancé le 13 avril 1990. Les aventures d'AsiaSat ne s'arrêtent pas là. Le satellite AsiaSat-3, lancé par une fusée russe le 24 décembre 1997, a été placé sur une mauvaise orbite, trop inclinée (orbite GTO, i = 56°). Après l'avoir racheté, le nouveau propriétaire (Hughes) a tenté une manœuvre très originale: le satellite a été envoyé pour deux révolutions autour de la Lune (ra = 488000 km, T = 15 jours; voir satellite Luna-3) ... et il a rejoint l'orbite géostationnaire, sous le nom de HGS-1 (Hughes Global Services), puis a été renommé PAS-22. Le remplaçant, AsiaSat-3S, a été placé le 21 mars 1999 sur une mauvaise orbite: hp c::::: 10 000 km, ha = hGs, i = 13°. Grâce à ses moteurs d'appoint, il s'est ensuite placé en orbite GEO. Voici un autre exemple de réparation, moins spectaculaire, car effectué à distance (le satellite reste en orbite GEO), mais réussie. Le satellite Palapa-C1, lancé en 1996, est tombé en panne en 1998. Le constructeur l'a racheté, réparé sous le nom de HGS-3 et revendu à la Turquie sous le nom de Anatolia-1 après l'avoir déplacé en longitude. En 2002, la Turquie l'a revendu au Pakistan. Il a pris le nom de PakSat-1 mais n'a pas changé de place. 84Satellites GEO militaires américains. - LES (Lincoln Experimental Satellite en orbite GEO de LES-5 (lancé en 1967) à LES-9 (en 1976). - DSCS (Defense Satellite Communications System) et WGS (Wideband Global Satcom). Lancés depuis 1971, leur longitude de stationnement est au miveau des Amériques. En 2003, lancements de DSCS-3A3 (USA-167) et DSCS-3B6 (USA-170) ; en 2007, WGS-SV1

364

Chapitre 9. Orbite et mission

le système TDRS, les séries Milstar puis AEHF. Bien évidemment, elle intéresse également les satellites des séries soviétiques Luch (avec Kosmos-2054 et Luch-1, luch signifie «rayon» en russe) et Raduga (jusqu'à Raduga-32, mduga signifie « arc-en-ciel» ), ainsi que les satellites chinois de la série STTW (avec China-26). La première transmission haut-débit de données par laser a été réalisée en novembre 2001 entre le satellite GEO européen Artemis, lancé peu avant à cet effet et le satellite LEO français SPOT -4. Elle préfigure les transmissions entre satellites LEO par l'intermédiaire d'un GEO. En décembre 2005, la première liaison bi-directionnelle a été réalisée entre Artemis et le satellite japonais OICETS (Optical Inter-orbit Communications Engineering Test Satellite, renommé Kirari, « éclat, scintillement»), lancé en août 2005, sur une orbite LEO, h = 605 km (figure 9.16). Télécommunications HEO

L'orbite HEO la plus employée est celle utilisée par les satellites SOVIetiques, puis russes, Molnya, «éclair »85, depuis Kosmos-41 en 1964. Le nombre de satellites lancés est impressionnant: 91 pour Molnya-1, de Molnya-1-01 en 1965 à Molnya-1-91 en 1998, 17 pour Molnya-2, de Molnya-2-01 en 1971 à Molnya-2-17 en 1977, 53, série en cours, pour Molnya-3, de Molnya-3-01 en 1974 à Molnya-3-53 en 2003. Les satellites de ces trois séries ont la même orbite, à quelques dizaines de kilomètres près 86 : hp c::: 500 km, ha c::: 40 000 km, i = 63° (inclinaison critique). La période est de 12 heures (un demi-jour sidéral) : T = 717.7 min, a = 26 553 km, e compris entre 0.72 et 0.75. L'argument du périgée est w = -90° : le périgée est donc situé dans l'hémisphère Sud, partie de la Terre que le satellite survole très vite. Par contre, à l'apogée, il est presque (USA-195) et en 2009, WGS-SV2 (USA-204) et WGS-SV3 (USA-211). - Les satellites TDRS (Tracking and Data ReZay Satellite) de la série TDRSS (TDRS System) sont lancés avec un intervalle variant de deux à cinq ans. Les premiers étaient lancés à partir de la navette spatiale américaine, comme TDRS-1 en 1983 (STS-6), ou TDRS-2, perdu dans l'explosion de Challenger en 1986, jusqu'à TDRS-7 en 1995 (STS70). En 2000, TDRS-8 a été lancé directement, ainsi qu'en 2002, TDRS-9 et -10. - Les satellites Milstar (MiZitary Strategie and TaetieaZ ReZay System), à partir de 1994, puis les satellites AEHF (Advanced Extreme High Frequeney Satellite), comme AEHF-1 (USA-214) lancé en 2010, sont spécialisés dans la transmission de données avec un débit de plus en plus haut. On sait qu'ils sont en orbite géostationnaire et, à part cela, on n'en sait pas grand chose. 85Éclair, moZnya en russe, car ce satellite est « rapide comme l'éclair» au périgée de son orbite. Cependant, la qualité recherchée pour ce type de satellite est essentiellement d'être très lent à l'apogée, lorsqu'il survole la Russie! Comment dit-on « escargot» en russe? 86 A titre d'exemple, voici les caractéristiques de quelques orbites Molnya (avec date de lancement du satellite) en notant [hp/ha/il (altitudes en km, angles en degrés) : Molnya-1-01 (23 avril 1965) [538/39300/65.5]; Molnya-2-01 (25 novembre 1971) [516/39553/65.0] ; Molnya-3-01 (21 mars 1974) [250/40095/64.1]; Molnya-3-50 (8 juillet 1999) [464/39889/62.8]; Molnya-3-51 (20 juillet 2001) [407/40831/62.9] ; Molnya-3-52 (25 octobre 2001) [615/40658/62.9] ; Molnya-3-53 (19 juin 2003) [637/39709/62.8].

9.2. Satellites classés par mission

365

Molnya (MOlIHHSI) Trace de l'orbite elliptique

Alti!. équival. = 20174.7 km

a =26552.863 km

Inclin. CRITIQUE = 63.42·

e = 0.750000

Phasage

Période = 717.72 min • Révol./j.= 2.01

= [2; +0; 1]

>>> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

h_a = 40089 km ; h_p = 260 km ; arg. périgée: +270.00 •

MARQUE DU TEMPS

** Marque temporelle: un point toutes les 60.0 minutes

Projection : Mercator Propriété : Conforme E9 T.:Cylindrique - Grille : 10·

CP: 0.0 ' ; 0.0 ' /Cl: 40.0 ' N; 40.0 ' W Aspec1 : Direct .. zoom : 1.45

15.JI[ '90.01 '0.01 ·90.0)[·) EGM96

Longitude premier passage : Noeud asc : 50.00· [00:00 TSM) Apogée 56.53 •

MC

!tU.)11

* LMD

ATÀaS"

FIG. 9.17 : Trace de l'orbite elliptique du satellite Molnya, sur 1 jour. Notation de l 'heure, de 00 à 24.

On marque 00 au premier nœud ascendant (ici: longitude 50° E). Les heures sont notées de 00 à 11 dans la première révolution, de 12 à 23 dans la seconde. On remarque que 24 apparaît un peu après 00 : en effet, la trace est représentée pendant 24 heures et le satellite, dont la période est un demi-jour sidéral, a effectué un peu plus de deux révolutions en un jour moyen. Le satellite est « efficace», pour les communications russes, entre les heures notées ici 01 et 1 0, soit pendant 9 heures.

Chapitre 9. Orbite et mission

366

Molnya (MonHFI5I) Orbite p. r. Etoiles [réf. galiléen]

Altit. équival. = 20174.7 km

a =26552.863 km

Inclin. CRITIQUE = 63.42"

e = 0.750000

»> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

Période = 717.72 min • Révol./j.= 2.01 h_a = 40089 km ; h_p = 260 km ; arg. périgée: +270.00 "

Projection: Orthographique Propriété: (sans)

EIl T. :Azimutal - Grille : 10"

Centre Project.: 25.0 " N ; 104.0 "E Aspect: Oblique

H

[-9001 +650/-14011-[

Longitude premier passage:

Noeud asc:

60.71"

nL(,)V

MC

EGM96

Altit. équival. = 20174.7 km

a =26552.863 km

Inclin. CRITIQUE = 63.42"

e = 0.750000

Phasage

Période = 717.72 min • Révol./j.= 2.01

»> Durée représentée: 1440.0 min

Projection: Orthographique

=

LMD

ATÀCXÇ"

Molnya (MonHFI5I) Orbite par rapport à la Terre = [2; +0; 11 2

*

h_a = 40089 km ; h_p = 260 km ; arg. périgée: +270.00 "

1.00 jour

Propriété: (sans)

Centre Project.: 25.0 " N ; 104.0 "E Aspect: Oblique

EIl T. :Azimutal - Grille : 10"

14.2][-9001 +650/-14.011-[

EGM96

Longitude premier passage:

Noeud asc: 60.71" Apogée 67.24 "

nL(,)V

MC

*

LMD

ATÀCXÇ"

FIG. 9.18 : Représentation de l'orbite (HEO) du satellite Molnya, sur 1 jour. (a)

dans un référentiel galiléen, (b) dans un référentiel terrestre.

9.2. Satellites classés par mission

367

Molnya (MOlIHHSI) Trace de l'orbite elliptique

Altit. équival. = 20174.7 km

a =26552.863 km

Inelin. CRITIQUE = 63.42

e = 0.750000

Phasage

Période = 717.72 min • Révol./j.= 2.01

= [2; +0; 1]

>>> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

Projection: Mercator Propriété: Conforme EB T.:Cylindrique - Gnlle : 10

Centre Projeet.: 0.0 Aspect: Di rect 0

0

h_a = 40089 km ; h_p = 260 km ; arg. périgée: +270.00

0

15.0 0 W

Longitude premier passage:

Noeud ase :

14.2H +900/ +00/-750][·1

Apogée

EGM96

55.00 61.53

nLc.JV

MC

0

0

Molnya (MOlIHHSI) Trace de l'orbite elliptique

Altit. équival. = 20174.7 km

a =26552.857 km

Inelin. CRITIQUE = 63.43

e = 0.750000

Phasage

Période = 717.72 min • Révol.lj.= 2.01

= [2; +0; 1]

»> Durée représentée: 1440.0 min

Projection: Mercator Propriété: Conforme EB T.:Cylindrique - Gnlle : 10

=

1.00jour

Centre Projeet.: 0.0 Aspect: Di rect 0

0

*

14.211 +900/ +00/-750] H

15.0 0 W

Longitude premier passage:

EGM96

Noeud ase : 55.00 Apogée 98.37

0

0

LMD

ATÀaç

h_a = 40089 km ; h_p = 260 km ; arg. périgée: +290.00

0

0

0

nLc.JV

MC

*

LMD

ATÀaç

FIG. 9.19 : Trace de l'orbite (HEO) d'un satellite Molnya, avec deux positions différentes du périgée. Sur une journée.

368

Chapitre 9. Orbite et mission

Tundra Trace de l'orbite elliptique

AIlit. équival. = 35785.2 km

a =42163.383 km

Incl in. CRITIQUE = 63.43

e = 0.266800

Phasage = [ 1; +0; 1] 1

Période = 1436.04 min • Révol./j.= 1.00

»> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

h_a = 47034 km ; h_p =24536 km ; arg. périgée: +270.00

Projection: Orthographique Propriété: (sans)

T.:Azimutal EB Grille: 10

0

Centre Carte: 15.0 0 N; 95.0 0 W Aspect: Oblique [·90.01 +75.0/-175.0]Mod.Gr GEM·T2

0

Longitude premier passage:

N. asc. : -69.80 0 Apogée: -100.00

MC

nLGJV

*

Supertundra Trace de l'orbite elliptique

AIlit. équival. = 35785.1 km

a =42163.191 km

Incl in. CRITIQUE = 63.43

e = 0.423000

Phasage = [ 1; +0; 1] 1

Période = 1436.03 min • Révol./j.= 1.00

»> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

h_a = 53620 km ; h_p =17950 km ; arg. périgée: +270.00

Projection: Orthographique Propriété: (sans)

T.:Azimutal EB Grille: 10

0

Centre Carte: 15.0 0 N ; 105.0 0 W Aspect: Oblique [·90.01 +75.01-165.0] Mod.Gr GEM·T2

Longitude premier passage:

N. asc. : -63.02 0 Apogée: -110.00

MC 0

LMD

ATÀ<X,

0

0

0

0

nLGJV

*

LMD

ATÀ<X,

9.20 : Trace de l'orbite (HE 0 ) de satellite en orbite de type Tundra et Supertundra. Sur une journée.

FIG.

9.2. Satellites classés par mission

369

VirtualGeo (VIRGO) Orbite par rapport à la Terre

Altit. équival. = 13882.1 km

a =20260.188 km

Inclin. CRITIQUE = 63.43

e = 0.660850

Phasage

Période = 478.36 min • Révol.lj.= 3.01

= [ 3; +0; 1] 3

»> Durée représentée: 1440.0 min

=

1.00jour

Projection: Orthographique

Centre Project.: 25.0

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique

E9 T.:Azimutal- Grille: 10

0

0

h_a = 27271 km ; h_p = 493 km ; arg. périgée: +270.00

0

N; 25.0 0 E

14.2H -900/ +65.0/ +65.011-1

EGM96

Longitude premier passage:

Noeud asc: 0.00 Apogée 36.78

nLWV

MC

0

Altit. équival. = 13882.1 km

a =20260.193 km

Inclin. CRITIQUE = 63.42

e = 0.660850

Phasage

Période = 478.36 min • Révol./j.= 3.01

>>> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

*

0

h_a = 27271 km ; h_p = 493 km ; arg. périgée: +270.00

Projection: Mercator

Centre Project.: 0.0

Propriété: Conforme E9 T.:Cylindrique - Grille: 100

Aspect: Di rect 14.2H +0.0/ +00/ +0.011'1 EGM96

0

0.0

0

Longitude premier passage: Noeud asc: -36.78 0

Apogée

0.00

0

LMD

ATÀO:Ç

0

VirtualGeo (VIRGO) Trace de l'orbite elliptique = [ 3; +0; 1] 3

0

0

nLWV

MC

*

LMD

ATÀO:Ç

FIG. 9.21 : Représentation de l'orbite (HE 0 ) et de la trace pour un satellite de la

constellation VIRGO. Sur une journée.

Chapitre 9. Orbite et mission

370

Loopus

Orbite par rapport à la Terre Phasage

Altit. équival. = 23613.3 km

a =29991.447 km

Inclin. CRITIQUE = 63.43"

e = 0.600000

Période = 861.53 min • Révol./j.= 1.67

= [2; -1; 3]

»> Durée représentée: 4320.0 min

=

h_a = 41608 km; h_p = 5618 km; arg. périgée; +270.00"

3.00 jours

Propriété: (sans)

Centre Project.: 25.0 " N; 25.0"E Aspect: Oblique

ES T. ;Azimutal - Grille ; 10"

14.2] [-9001 +6501 +650] [-1

Projection: Orthographique

EGM96

Loopus

Trace de l'orbite elliptique Phasage

Longitude premier passage:

n~c.JV

MC

Noeud asc: 0.00 " Apogée -2.61 "

*

LMD

ATÀCX,

Altit. équival. = 23613.3 km

a =29991.447 km

Inclin. CRITIQUE = 63.43"

e = 0.600000

Période = 861.53 min • Révol./j.= 1.67

= [2; -1; 3]

»> Durée représentée: 4320.0 min = 3.00 jours

h_a = 41608 km; h_p = 5618 km; arg. périgée: +270.00"

Projection: Mercator

Centre Praject.: 0.0"

Propriété: Conforme ES T.:Cylindrique - Grille: 10"

Aspect: Direct 14.211 +0.01 +001 +0.011-] EGM96

0.0 "

Longitude premier passage: Noeud ase:

Apogée

2.61

0

0.00" [0000 TSM]

n~c.JV

MC

*

LMD

ATÀCX,

9.22 : Représentation de l'orbite (HEO) et de la trace pour un satellite de la constellation Loopus. Sur trois journées.

FIG.

9.2. Satellites classés par mission

COBRA

2 orbites par rapport à la Terre Phasage

a =20260.855 km

Inclin. CRITIQUE = 63.43

e = 0.645900

=

1.00jour

h_a = 26969 km ; h_p = 796 km ; arg.pér.: +232.0 1+308.0 0

Projection: Orthographique

Centre Project.: 15.0 0 N; 88.0

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique 14.2H -9001 +75.0/+1780] [.[

E9 T.:Azimutal- Grille: 10

0

Période = 478.39 min • Révol.lj.= 3.01

»> Durée représentée: 1440.0 min

0

EGM96

COBRA

Trace de 2 orbites elliptiques Phasage

Altit. équival. = 13882.7 km

= [ 3; +0; 1] 3

0

371

= [ 3; +0; 1] 3

W

Longitude premier passage:

Noeud asc: 0.0 0 /40.0 0 Apogée 166.6 /133.4 0

nLWV

MC

*

LMD

ATÀO:Ç

0

Altit. équival. = 13882.7 km

a =20260.855 km

Inclin. CRITIQUE = 63.42

e = 0.645900

0

0

Période = 478.39 min • Révol./j.= 3.01

>>> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

h_a = 26969 km ; h_p = 796 km ; arg. pér: +232.0 0 1 +308.0 0

Projection: Mercator

Centre Project.: 0.0

Propriété: Conforme E9 T.:Cylindrique - Grille: 100

Aspect: Di rect 14.2H +0.0/ +00/ +0.0[[·[

0

0.0

0

Longitude premier passage: Noeud asc:

EGM96

Apogée

0.0 /40.0 0

nLWV

MC

0

166.6 /133.4 0

0

*

LMD

ATÀO:Ç

FIG. 9.23 : Représentation de l'orbite (HE 0 ) et de la trace pour deux satellites de la constellation COBRA. Sur une journée. Trait normal pour le premier satellite, trait gras pour le second.

372

Chapitre 9. Orbite et mission

WEST-JOCOS Orbite par rapport à la Terre

Altitude =13889.0 km

Phasage

Période = 478.63 min • Révol./j.= 3.01

Inclinaison

= [ 3; +0; 1]

»> Durée représentée: 1440.0 min

=

Centre Project.: 30.0

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique

ES T. ;Azimutal - Grille ; 10

75.00

a =20267.139 km

0

Décalage à l'équateur =13358.3 km (120.0

1.00 jour

Projection: Orthographique

=

0

N; 45.0 0 E

Noeud ase:

0.00

)

n~c.JV

0

MC

14.21 [-9001 +6001 +450] H EGM96

0

Altitude =13889.0 km

Phasage

Période = 478.63 min • Révol./j.= 3.01

Inclinaison = 75.00

= [ 3; +0; 1]

Projection: Behrrnann

Centre Project.: 0.0

Propriété: Equivalente

Aspect: Direct 0

14.211

0

0.0

0

+0.01 +001 +0.011-] EGM96

LMD

a =20267.139 km

0

Décalage à l'équateur =13358.3 km (120.0

»> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

*

ATÀCX<;"

WEST-JOCOS Trace de l'orbite

ES T.:Cylindrique - Grille: 10

0

Noeud asc: 0.00 Inclin. app. = 94.41

0

)

n~c.JV

0

0

MC

*

LMD

ATÀCX<;"

9.24 : Représentation de l'orbite (MEO) et de la trace pour un satellite de la constellation JO COS- WEST. Sur une journée.

FIG.

9.2. Satellites classés par mission

Vela-4 Orbite par rapport à la Terre

Altit. équival. = 103052 km

»> Durée représentée: 30.00 jours

Période = 6004.28 min • Révol.lj.= 0.24

Inclinaison

=

40.80

373

a = 109430.0 km e = 0.100000

0

h_a = 113995 km; h_p =92109 km ; arg. périgée: +255.00"

Projection: Orthographique Propriété: (sans)

E9 T.:Azimutal- Grille: 30"

Centre Project.: 15.0" N; 25.0"E Aspect: Oblique

14.2H -9001 +75.01 +65.011-]

EGM96

Longitude premier passage:

Noeud asc: 0.00 " Apogée -110.19"

nLWV

MC

Altit. équival. = 74409.4 km

a =80787.492 km

Inclinaison = 65.79"

e = 0.767080

Phasage

Période = 3808.75 min • Révol./j.= 0.38

2009090512:00:00 TUC »>

Projection: Orthographique Propriété: (sans)

E9 T.:Azimutal- Grille: 10"

23.00 jours

h_a = 136380 km; h_p =12439 km; arg. périgée: +275.57"

Centre Project.: 48.0 " N; 25.0"E Aspect: Oblique 14.2H -90.01 +42.01 +65.011-] EGM96

LMD

ATÀO:Ç

Chandra (XCO) Orbite par rapport à la Terre = [0;+23; 61] 23

*

[NORAD] 2009 09 0512:00:00 TUC 1R:00531 Noeud asc: -98.52" [05:26 TSM] MC

Apogée

-85.11 "

*

nLWV

LMD

ATÀO:Ç

FIG. 9.25 : Représentation de l'orbite sur une longue durée. (a) Satellite Vela-4 sur 30 jours,. (b) satellite Chandra sur 23 jours.

Chapitre 9. Orbite et mission

374

Integral Orbite p. r. Etoiles [réf. galiléen]

Altit. équival. = 81326.1 km

20040623 13:00:00 TUC »> 4320.0 min = 3.00 jours

Période = 4308.23 min • Révol./j.= 0.33

Inclinaison

=

67.68

a =87704.242 km e = 0.795766

0

h_a = 151118 km; h_p =11534 km; arg. périgée: +302.88"

Projection: Orthographique Propriété: (sans)

ES T. :Azimutal - Grille : 10"

Centre Project.: 15.0" N: 4.0"E Aspect: Oblique

1-1

[NORAD] 2004 06 23 13:00:00 TUC 1R: 90

Noeud asc: -33.63" [10:45 TSM]

n~c.JV

MC

[-9001 +7501 +860] H EGM96

Altit. équival. = 81326.1 km

a =87704.242 km

Inclinaison = 67.68"

e = 0.795766

Phasage

Période = 4308.23 min • Révol./j.= 0.33

20040623 13:00:00 TUC >>> 4320.0 min = 3.00 jours

Projection: Orthographique Propriété: (sans)

ES T. :Azimutal - Grille : 10"

LMD

ATÀCX<;"

Integral Orbite par rapport à la Terre = [0; +1; 3] 1

*

h_a = 151118 km: h_p =11534 km; arg. périgée: +302.88"

Centre Project.: 15.0" N: 4.0"E Aspect: Oblique 14.21 [-9001 +7501 +86.0] [-[ EGM96

[NORAD] 2004 06 23 13:00:00 TUC 1R: 90

Noeud asc: -33.63" [10:45 TSM] Apogée

-50.24 "

n~c.JV

MC

*

LMD

ATÀCX<;"

Représentation de l'orbite elliptique du satellite Integral, sur 3 jours (soit une révolution). (a) Dans un référentiel galiléen, (b) dans un référentiel terrestre.

FIG. 9.26 :

9.2. Satellites classés par mission

375

STRV-1 B Orbite par rapport à la Terre

Altit. équival. = 14233.5 km

a =20611.604 km

Inclinaison = 7.15'

e = 0.679397

Phasage

Période = 490.12 min • Révol./j.= 2.94

= [3;-12;161]471

2010052606:29: 17 TUC »>

5.00 jours

h_a = 28237 km ; h_p = 230 km; arg. périgée: +55.73'

Propriété: (sans)

Centre Project.: 35.0' N: 10.0 'E Aspect: Oblique

EB T.:Azimutal- Grille: 10'

[4.21 [·90.0/ +550/ +8001 [-1 EGM96

Projection: Orthographique

STRV-1C Orbite par rapport à la Terre Phasage

Inclinaison

=

6.02

Il;iWJJ

MC

*

LMD ATÀaç

a =26312.871 km e = 0.734470

0

Période = 707.12 min • Révol.lj.= 2.04 5.00 jours

h_a = 39261 km; h_p = 609 km; arg. périgée: +226.14'

Projection: Orthographique

Centre Project.: 35.0' N; 10.0' W

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique 14.21 [ ·90.0/ +550/+100.01 [-1 EGM96

EB T.:Azimutal- Grille: 10'

Noeud asc: -138.69' [21 :15 TSMI Apogée 155.21'

AIlit. équival. = 19934.7 km

= [2; +2; 691140

2010021508:33:45 TUC >>>

[NORAD12010 05 26 06:29:17 TUC / R:15170

[NORAD12010 02 15 08:33:45 TUC / R: 6877 Noeud asc: -70.41' [03:52 TSM] MC

Apogée

88.21'

1~ iWJJ

*

LMD ATÀaç

9.27 : Représentation de l'orbite (GTO), sur 5 jours, dans un référentiel terrestre, pour les satellites expérimentaux STRV. (a) STRV-1B, environ 3 révolutions par jour, (b) STRV-l C, environ 2 révolutions par jour. FIG.

Chapitre 9. Orbite et mission

376

EGE [1] Orbite par rapport à la Terre Phasage

AIlit. équival. = 20177.9 km

a =26556.070 km

Incl in. CRITIQUE = 63.40

e = 0.670000

= [ 2; +0; 1]

Période = 717.84 min • Révol./j.= 2.01

»> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

Projection: Orthographique Propriété: (sans)

EIl T.:Azimutal- Grille : 30

0

Centre Project.: 12.0 Aspect: Oblique

h_a = 37971 km ; h_p = 2385 km ; arg. périgée: +170.00

0

N; 95.0 0 E

MC

0

=

30.00

nLGJV

*

LMD

a =32180.295 km

Altit. équival. = 25802.2 km Inclinaison

0

ATÀ<X,

0

e = 0.720000

0

Période = 957.04 min • RévoLlj.= 1.50

= [2; -1; 2] 3

»> Durée représentée: 2880.0 min

=

h_a = 48972 km ; h_p = 2632 km ; arg. périgée: +270.00

2.00 jours

Projection: Orthographique

Centre Project.: 35.0

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique 14.21 [ -90.0/ +55.0/+120.0] [-] EGM96

EIl T.:Azimutal- Grille : 30 0

Longitude premier passage:

Noeud asc: 100.00 Apogée -66.11

14.21[-90.0/+78.0/·5011·] EGM96

EGE [2] Orbite par rapport à la Terre Phasage

0

0

N; 30.0 W 0

Longitude premier passage: Noeud asc: -10.25 Apogée -30.00 0 0

MC

0

nLGJV

*

LMD

ATÀ<X,

9.28 : Représentation de l'orbite elliptique, dans un référentiel terrestre, du satellite EGE, dans deux configurations envisagées. (a) Inclinaison critique, (b) Inclinaison i = 30°.

FIG.

9.2. Satellites classés par mission

Halca ( ~à:~"IJ» Orbite par rapport à la Terre

Altit. équival. = 10965.5 km

Phasage

Période = 378.51 min 'Révol.lj.= 3.80

Inclinaison

= [4;-41;193]731

»> Durée représentée:

5.00 jours

=

33.10

a =17343.641 km e = 0.600191

0

h_a = 21375 km; h_p = 556 km; arg. périgée: +90.00

Projection: Orthographique

Centre Praject.: 90.0

Propriété: (sans)

Aspect: Direct

Longitude premier passage: Noeud asc: -166.80

EIl T.:Azimutal - Grille : 10 0

[4.21 [ ·90.0/ +0.0/ +90.0] [-] EGM96

Apogée

0

N; 0.0

0

0

Astro-G

Orbite par rapport à la Terre

»> Durée représentée:

377

5.00 jours

143.89

nL(,))/

MC

*

Altit. équival. = 13000.0 km

a =19378.100 km

Inclinaison = 31.00

e = 0.619255

Période = 447.06 min 'Révol.lj.= 3.22 h_a = 25000 km; h_p = 1000 km ; arg. périgée: +90.00

Projection: Orthographique

Centre Praject.: 32.0

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique [4.21 [·90.0/+122.0/ +45.0] [-'] EGM96

EIl T.:Azimutal - Grille : 10

0

LMD

ATÀlX,

0

0

0

0

S ; 45.0 E 0

Longitude premier passage: Noeud ase: 0.00 Apogée -41.40

0

0

0

nL(,))/

MC

*

LMD

ATÀlX,

FIG. 9.29 : Représentation de l'orbite elliptique, dans un référentiel terrestre, des deux satellites japonais pour la technique du VLBI spatial. (a) Halca (Haruka), (b) Astro-G.

378

Chapitre 9. Orbite et mission

stationnaire pendant 9 heures, lorsqu'il est au-dessus de la Russie. Cette propriété fondamentale est illustrée avec les figures 9.17 et 4.3 et les exemples 4.1 et 4.2. L'orbite Molnya et sa trace sont représentées en figures 9.18 et 9.19. Cette orbite est à l'inclinaison critique, ce qui fixe la position du périgée (et de l'apogée). De plus elle est phasée sur un jour: la trace repasse tous les jours au même endroit. Avec trois satellites régulièrement espacés sur la même orbite, on a pratiquement l'équivalent d'un satellite géostationnaire pour les régions autour de la trace de l'apogée: chacun étant opérationnel pendant 8 heures, 3 x 8 = 24. C'est une méthode très astucieuse de résoudre le problème du géosynchronisme pour les latitudes élevées. Le choix d'une période semi-diurne implique qu'une révolution sur deux est inutilisable pour les communications (puisque l'apogée est, au cours de la journée, une fois au-dessus de la Russie, une fois au-dessus du Canada). Cela permet d'avoir un apogée plus bas que si la période était diurne (comme pour Tundra ou Supertundra). Les satellites 87 de communication russe (à forte composante militaire) Meridian sont une version modernisée des Molnya-3, sur l'orbite Molnya. Les satellites militaires américains SDS (Space Defense System), de SDS-1 en 1976 à SDS-7 (USA-21) en 1987, sont en orbite Molnya. Les orbites Tundra et Supertundra (figure 9.20), déjà vues au chapitre 7, sont beaucoup moins utilisées. La constellation SD-Radio, qui permet la transmission des stations de radio pour les automobilistes américains, est en orbite Tundra. Elle fournit, avec ses trois Sirius-l, -2 et -3, les seuls exemples opérationnels de satellites en orbite HEO non Molnya. Le périgée des deux orbites Tundra et Supertundra est élevé, bien au-dessus des ceintures de radiation de Van Allen. Ce n'est pas le cas de l'orbite Molnya, dont les satellites franchissent à chaque révolution cette ceinture, très éprouvante pour le matériel électronique. L'orbite prévue pour les satellites Sycomores (Système de Communications avec des Mobiles Reliés par Satellites) est aussi une orbite géosynchrone, a = 42 163.9 km, e = 0.346 (soit hp = 21 205 km et ha = 50 366 km). La liste de type d'orbites qui suit ne concerne que des projets, qui ont plus ou moins de chances d'aboutir. On donne les caractéristiques orbitales et de phasage au chapitre Il. L'orbite Loopus, a = 30 000 km, e = 0.6 (figure 9.22), est hors des ceintures de radiation. La période du satellite est de 3/5 de jour (T = 861.526 min). Le projet américain VIRGO (ou VirtualGeo, Virtual Geostationary) utilise des orbites HEO avec une période de 8 heures (précisément un tiers de jour sidéral), a = 20 261 km, e = 0.6458, i = 63.4 0 (figure 9.21). Comme dans le cas de Molnya, une constellation VIRGO joue effectivement le rôle 87Dates de lancement - Meridian-1 : 24 décembre 2006; Meridian-2 : 20 mai 2009, échec au lancement; Meridian-3 : 11 février 2010; Meridian-4 : 4 mai 2011.

9.2. Satellites classés par mission

379

d'un satellite géostationnaire. Le projet COBRA (Communications Orbiting Broadband Repeating Arrays) , de mêmes caractéristiques orbitales que VIRGO, joue de manière astucieuse sur l'argument du périgée, qui n'est pas pris égal à 270°. Avec deux orbites décalées de 40°, avec pour argument du périgée w = 270° ± 38°, on obtient une combinaison de trace en «goutte de larme» (teardrop) (figure 9.23). Le projet de constellation FLOWER utilise une orbite assez similaire aux précédentes, a = 22 883.8 km, e = 0.65583. L'orbite Ellipso Borealis est très originale, comme nous avons déjà vu : elle est à la fois héliosynchrone et à l'inclinaison critique. Ses paramètres sont: hp = 633 km, ha = 7605 km, i = 116.6°, w = -90°, pour une période de 3 heures (T = 1/8 Jsid) (figure 17.8). Le projet Ellipso comprend une constellation HEO, Borealis, de 10 satellites en 2 plans, complétée par une constellation, Concordia, de 4 (ou peut-être 7) satellites en orbite équatoriale, h = 8 050 km, i = 0.0° (T = 1/5 Jsid)' Le projet est gelé depuis 2003. Le projet FLOWER CITM (Constellation for Telemedecine) est dans le même esprit qu'Ellipso Borealis, avec pour paramètres hp = 3094 km, ha = 9709 km, i = 116.6° et une période de 4 heures. Télécommunications MEO

L'orbite JOCOS (Juggler Orbit Constellation, on a l'impression de «jongler» avec les satellites), dite aussi WEST, est une orbite circulaire, h = 13900 km, i = 75°, avec une période de 8 heures (un tiers de jour sidéral). Le projet de constellation WEST (Wideband European Satellite Telecommunication) comprend 9 satellites sur cette orbite MEO, complété de 2 satellites GEO (figure 9.24). Dans une plage d'altitude rarement occupée, entre MEO et LEO, voulaient se nicher Odyssey et ICO. Le projet Odyssey, abandonné en 2000, consistait en une constellation de 3 plans de 4 satellites, h = 10 354 km, i = 50°. La constellation ICO (Intermediate Circular Orbit), prévue avec 2 plans de 5 satellites, h = 10 390 km, i = 45°, a été remplacée par un géostationnaire, ICO-G 1 et un réseau au sol. Télécommunications LEO

Les communications par satellites LEO demandent obligatoirement une constellation. Pour les communications téléphoniques, l'avantage des constellations LEO est dû au temps de réponse très court: le temps de trajet d'une communication passant par un satellite GEO est de 250 ms et ce quart de seconde est souvent considéré comme gênant. Cependant, cela ne suffit pas à faire le succès commercial de ces entreprises. Les difficultés d'Iridium 88 et de 88Iridium, créé par Motorola, est un système de téléphonie et de transfert de données pour les zones non couvertes par la téléphonie mobile. Devant l'échec commercial, il a été

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Chapitre 9. Orbite et mission

G lobalStar le montrent bien. Les constellations de satellites en fonction (ou en faillite) sont notées ici : - Orbcomm, 35 satellites (3 plans de 8), h = 810 km, i = 45.0° ; - Iridium, 88 satellites (6 plans de 11), h = 780 km, i = 86.4°; - GlobalStar, 52 satellites (8 plans de 6), h = 1410 km,i = 52.0°; - GlobalStar NG, 52 satellites (8 plans de 6), h = 1 410 km, i = 52.0°. Dans le nombre global de satellites de chaque constellation 89 , on compte les satellites de réserve. Les projets 90 Teledesic et SkyBridge sont suspendus. Le système russe, Gonets-DI (gonets signifie « courrier» ), version commerciale du système militaire Strela-3 (strela signifie «flèche»), est compOSé 91 de 48 satellites (6 plans de 8), h = 1400 km, i = 82.5°. Communication passive

Nous terminons cette partie par un petit regard sur la « préhistoire» des télécommunications, avec les premières tentatives de transmission, en mode passif. Comme l'indique leur nom, les satellites Echo-l et -2 ont été lancés pour servir de relais passif aux télécommunications. Le rendement, on s'en doute, était très mauvais et ce système expérimental a été abandonné. Par contre, ces deux satellites ont été au départ de la géodésie spatiale. envisagé en 2000 de faire retomber tous ces satellites ... Le système a finalement été repris par le ministère de la défense américain et sert principalement aux clients institutionnels. À l'origine, la constellation devait être constituée de 77 satellites, d'où le nom Iridium, par référence au corps chimique (Ir) dont le numéro atomique est 77. 89Dates de lancement des premiers et derniers satellites de chaque constellation. - Constellation Orbcomm (Machine to Machine Communications) - Orbcomm-FM-1 et -FM-2 : 3 avril 1995, lancés avec Microlab-1, h = 740 km, i = 69.9° ; Orbcomm-FM-3 et -FM-4 : 10 février 1998, lancés avec GFO-1, h = 830 km, i = 108.0° ; les autres satellites Orbcomm sont lancés, avec i = 45.0°, par grappe de 8, (début) Orbcomm-FM-5 à -FM12 : 23 décembre 1997; (fin) Orbcomm-FM-30 à -FM-36 : 4 décembre 1999; (complément) Orbcomm-FM-37 à -FM-41 : 19 juin 2008. - Constellation Iridium - (début) Iridium-4 à -8: 5 mai 1997; (fin du programme initial) Iridium-83 à -86: 6 novembre 1998; (reprise) Iridium-90 à -96: 11 février 2002; Iridium-97 et -98 : 20 juin 2002. La constellation Iridium-Next est prévue sur la même orbite. - Constellation GlobalStar - (début) GlobalStar-MOO1 à -M004 : 14 février 1998; (fin) GlobalStar-M060 à -M064 : 8 février 2000; (complément) GlobalStar-M065 à -M072 : 29 mai et 20 octobre 2007, avec h = 666 km, i = 48.45°. - Constellation GlobalStar NG (New Generation) ou GlobalStar-2 - (début) GlobalStarM073 à -M078 : 19 octobre 2010. - Constellation Teledesic - (satellite de démonstration) Teledesic-1 : 26 février 1998. 90pour Teledesic, le projet initial, imaginé par Microsoft en 1994, prévoyait 840 satellites actifs (21 plans de 40), h = 700 km. En 1997, le projet a été réduit à 288 satellites (12 plans de 24), h = 1400 km, héliosynchrones, puis reporté sine die en 2002. Le projet SkyBridge, porté par Alcatel, avec 80 satellites, n'est plus d'actualité. 91 Dans un premier temps, entre 1992 et 2001, envoi de 12 satellites (6 plans de 2), Gonets-D1-1 à -12; dans un second temps, envoi de 36 satellites supplémentaires, mais un seul pour l'instant, Gonets-M-1, lancé en 2005.

9.2. Satellites classés par mission

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Nous mentionnons ici l'autre tentative de créer un système passif de communications spatiales. L'idée était de placer, autour de la Terre, un anneau pour réfléchir les ondes radios. C'est l'expérience militaire américaine 92 Westford Needles, qui a consisté à envoyer en orbite un paquet qui, une fois ouvert, a distribué le long de sa trajectoire 480 millions de petites aiguilles de cuivre (0.1 mm de diamètre et 18 mm de long, correspondant à la demi-longueur d'onde de la fréquence de 8 GHz utilisée pour la transmission). L'expérience avait été très fortement critiquée par les astronomes, qui y voyaient une source de pollution optique et radio. Finalement, les aiguilles n'ont fonctionné, ni comme réflecteur, ni comme pollueur.

9.2.9

Satellites pour l'astronomie, l'astrophysique

Astronomie et astrométrie Les missions astronomiques sont généralement des expériences uniques et les satellites ne se retrouvent pas systématiquement sur les mêmes orbites, comme pour la télédétection par exemple. Nous présentons quelques satellites pour chaque domaine du rayonnement électromagnétique étudié par l'astronomie. La plupart de ces satellites sont américains, les autres étant principalement européens. La NASA a lancé un programme de gros observatoires en orbite (Great Observatories Progmm) , chacun dans un domaine du rayonnement électromagnétique : - pour les rayons y, GRO (Gamma Ray Observer) renommé Compton 93 ; - pour les rayons X, AXAF (Advanced X-my Astrophysics Facility) renommé Chandra94 ; - dans le domaine visible, HST (Hubble Spa ce Telescope) appelé souvent Hubble 95 ; 92Premier lancement, expenence Westford-1, le 21 octobre 1961, à partir du satellite Midas-4 : échec car les aiguilles ne se sont pas dispersées. Second lancement, expérience Westford-2, le 9 mai 1963, à partir du satellite Midas-7 : les aiguilles, enrobées dans de la naphtaline, se sont régulièrement dispersées. Ces deux satellites étaient en orbite circulaire h = 3 600 km, quasi polaire. 93 Arthur Holly Compton (1892-1962), physicien américain. Par ses travaux sur les rayons X, il découvrit en 1923 l'effet qui porte son nom (interaction matière-rayons X). Il étudia également les rayons cosmiques. 94 Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995), astrophysicien américain d'origine indienne. Il est l'auteur de très nombreux travaux théoriques d'astrophysique sur la structure interne des étoiles. Il publia des livres souvent considérés comme « définitifs» sur les sujets qu'il traita: l'évolution stellaire et les naines blanches, le transfert de rayonnement dans les atmosphères stellaires (Radiative Transfer, 1950), l'hydrodynamique, les trous noirs (the Mathematical Theory of Black Holes, 1983). La racine chand signifie « Lune» ou « lumineux» en sanskrit. 95 Edwin Powell Hubble (1889-1953), astronome américain. Il fit une classification des nébuleuses extra-galactiques et établit la loi des déplacements spectraux, la loi de Hubble (1928), selon laquelle le décalage du spectre d'une galaxie (redshift, «glissement vers le rouge») est proportionnel à son éloignement, confirmant ainsi la théorie de l'expansion de l'univers. Cette constante de proportionnalité, la constante de Hubble, notée Ho,

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Chapitre 9. Orbite et mission

- dans le domaine infrarouge, SIRTF (Space InfraRed Telescope Facility) rebaptisé 96 après son lancement Spitzer ou SST (Spitzer Spa ce Telescope). Ces quatre missions ont été de grandes réussites technologiques et ont amené, chacune dans leur domaine, à de très grandes avancées scientifiques, voir la figure 17.23. Pour les missions plus modestes, le programme Explorer de la NASA se poursuit, avec trois formats de mission, selon le budget, MIDEX (Medium Explorer), SMEX (Small Explorer) et UNEX (University-class Explorer). Nous donnons ci-dessous un aperçu des missions d'astronomie et de leur grande diversité.

(a) Rayons cosmiques, rayons gamma Les débuts de l'astronomie gamma sont marqués par Explorer-lI (dit aussi S-15), hp = 480 km, ha = 1460 km, i = 29°, qui fit en 1961 la première détection de rayons gamma en provenance de l'espace, puis par OSO-3 et OSO-7, tous deux sur l'orbite h = 550 km, i = 33°, par Explorer-48 (SAS-2), h = 526 km, i = 10, sans oublier les satellites Vela dont on parle plus loin. Pour ce domaine d'étude, les orbites sont généralement basses et peu inclinées, comme avec les satellites HEAO (High Energy Astrophysical Observatory) , HEAO -1, -2 (renommé Einstein), -3 , h ':':' 500 km, i = 23°,23° et 44°, ou le satellite HETE-2 (High Energy Transient Experiment, Explorer79), h = 615 km,i = 2°. Le satellite Compton (CGRO), lancé le 5 avril 1991 par STS-37, h = 450 km, i = 28.5°, avait une masse de 15 tonnes, dont 7 tonnes d'instruments. Sa « désorbitation » volontaire le 3 juin 2000 a fait l'objet de grandes précautions ... Les satellites 97 américains Swift, h = 595 km, i = 20.6° et Fermi 98 h = 552 km, i = 25.6°, le satellite italien Agile, h = 538 km, i = 2.5° ont des orbites très similaires. Le satellite européen Integral (International Gamma-Ray Astrophysics Laboratory) , lancé le 17 octobre 2002, est sur une orbite HEO : a = 87699 km, e = 0.8204 (soit hp = 9 400 km, ha = 153 300 km), i = 57.1° a une période T = 71.8 heures = 3 Jsid' La figure 9.26 montre comment la n'est pas connue avec précision (et varie peut-être au cours du temps). Elle se mesure en km·s-1·(megaparsec)-1. Son inverse, homogène à un temps, donne un ordre de grandeur de l'âge de l'univers: 1/ Ho ~ 10 milliards d'années. 96 en l'honneur de Lyman Spitzer, Jr (1914-1957), astrophysicien américain qui fut le premier à proposer de placer un grand télescope dans l'espace. 97Dates de lancement - Swift (MIDEX-3 ou Explorer-84), pour la détection des sursauts gamma (Gamma Ray Bursts) : 20 novembre 2004; GLAST (Gamma-ray Large Area Space Telescope), renommé Fermi ou FGRST (Fermi Gamma-Ray Sp. Tel.) après le lancement: 11 juin 2008 ; Agile (A stro-rivelatore Gamma a lmmagini Leggero) : 23 avril 2007. 98 Enrico Fermi (1901-1954), physicien italien. En début de carrière, il développe la théorie statistique quantique qui explique les propriétés des électrons dans les métaux (statistique de Fermi-Dirac). En physique nucléaire, il met au point la théorie de l'interaction faible (rayonnement (3, neutrino). Émigré aux États-Unis en 1939, il réalise la première pile atomique et participe à la fabrication de la première bombe atomique. Il a aussi travaillé sur l'étude des galaxies, avec Chandrasekhar.

9.2. Satellites classés par mission

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repésentation de l'orbite passe d'une classique ellipse dans ~ à une élégante courbe fermée en forme de lasso dans ~T. (b) Rayons X Certaines orbites sont comme celles vues ci-dessus, basses, h ~ 550 km et peu inclinées: i = 53° pour ROSAT; i = 4° pour BeppoSAX (Satellite per Astronomia a raggi X) ; i = 23° pour XTE (X-ray Timing Explorer, Rossi ou RXTE, Explorer-69) ; i = 38° pour HESSI (High-Energy Solar Spectroscopie Imager, SMEX-6 ou Explorer-81), renommé RHESSI (Reuven Ramat y HESS!) ; i = 31.4° pour Suzaku (<< oiseau vermillon» en japonais, Astro-E2 avant le lancement) ; i = 25° pour le futur NuSTAR (Nuclear Spectroscopie Telescope Array, SMEX-11) et i = 28.5° pour le futur GEMS (Gravit y and Extreme Magnetism SMEX, SMEX-13). Pour d'autres, les orbites sont très hautes et très excentrées, comme celles des satellites soviétiques Astron et Granat, comme celle du satellite européen Exosat, lancé en 1983, a = 102 487 km, e = 0.9344, i = 72.5°. En 1999, les deux gros satellites, américain et européen, ont utilisé ce genre d'orbite: Chandra (noté aussi CXO, Chandra X-ray Observatory) , lancé le 23 juillet par STS-93 (figure 9.25(b)), hp = 10 157 km, ha = 138672 km, i = 29.0°, T = 63.5 heures et XMM (ESA 's X-ray Multi-Mirror Spa ce Observatory, renommé XMM-Newton), lancé le 10 décembre, hp = 7 417 km, ha = 113 678 km, i = 38.8°, T = 47.9 heures. (c) Ultraviolet (UV) Les satellites utilisent des orbites LEO peu inclinées. Les satellites OAO1, 2, -3 (Orbiting Astronomical Observatory) , lancés entre 1966 et 1972, étaient sur l'orbite h = 750 km, i = 35°; OAO-3 fut rebaptisé Copernicus pour le cinq centième anniversaire de naissance du célèbre astronome. Lancés en 1992, 1999 et 2003 respectivement, on note les satellites américains EUVE (Extreme UV Explorer, Explorer-67), h = 515 km, i = 28.4°; FUSE (Far UV Spectroscopie Explorer, MIDEX-O, Explorer-77), h = 760 km, i = 25.0° ; GALEX (Galaxy Evolution Experiment, SMEX-7, Explorer-83), h = 690 km, i = 28.0°. L'orbite du satellite espagnol Minisat-Ol, lancé en 1997, h = 570 km, est également inclinée d'une trentaine de degrés sur l'équateur, puisque i = 151° (ce qui constitue, à notre connaissance, la plus forte valeur rencontrée pour l'inclinaison). (cl) Visible Dans le visible, les deux grosses missions sont l'européenne Hipparcos et l'américaine (avec participation ESA) Hubble. Toutes les deux ont donné d'excellents résultats malgré un départ très difficile. Le satellite Hipparcos (High Precision Parallax Collecting Satellite, en hommage à l'astronome grec, voir note Hipparque) avait une mission d'astrométrie 99 (mesure précise de la position des étoiles). Lancé le 8 août 1989, 99Le satellite a permis de déterminer la position, la luminosité, la distance de 118 218 étoiles. La précis on des mesures (2 millisecondes d'arc) était 100 fois supérieure à celle des mesures faites du sol à la même époque.

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Chapitre 9. Orbite et mission

le satellite n'a pas atteint l'orbite géostationnaire prévue mais est resté sur l'orbite de transfert (GTO), très excentrée: hp = 542 km, ha = 35 840 km, i = 6.7°. Une refonte des logiciels et une nouvelle distribution des stations de réception au sol ont permis de s'adapter avec succès à cette situation. L'observatoire Hubble a été lancé correctement par STS-31 le 24 avril 1990. Les ennuis sont apparus dès la première image, qui montrait à l'évidence que le télescope était myope, par suite d'un impardonnable défaut dans le télescope lOo . Il était prévu d'entretenir Hubble à partir de la navette et cette possibilité fut utilisée en premier lieu pour corriger l'optique. Les résultats furent ensuite à hauteur des attentes et ont révolutionné l'astronomie. Le successeur de Hubble devra être irréprochable dès le lancement: NGST (New Generation Space Telescope), renommé 101 JWST (James Webb Space Telescope), doit être placé au point de Lagrange L 2 du système Soleil-Terre (voir, au chapitre 6, l'annexe Points de Lagrange) et on ne pourra pas aller l'y réparer! En plus du domaine visible, JWST observera le domaine infrarouge et sera pour cela muni d'un équipement cryogénique. Le successeur de Hipparcos, appelé GAIA (Global Astrometrie Interferometer for Astrophysics en référence à ~ fOtLIX, IXÇ, Gree ou Gaïa, la Terre personnifiée chez les anciens Grecs), s'y trouvera également 102 . Le grand intérêt de l'orbite en halo (L2LO) autour de L2' pour l'observation des étoiles, est que le Soleil, la Terre et la Lune se trouvent derrière la direction de visée du télescope. La totalité de la sphère céleste peut être observée au cours d'une année, sans « trou». Cette région est aussi très stable du point de vue de l'environnement thermique et du rayonnement. Le projet américain de mission d'astrométrie est SIM Lite (anciennement SIM, Space Interferometry Mission), sur une orbite héliocentrique qui s'éloigne progressivement de la Terre, jusqu'à se trouver éloigné de 95 millions de km en 5 ans.

(e) Infrarouge (IR)

La détection du rayonnement IR nécessite de refroidir l'optique et l'instrumentation du satellite. Le satellite cesse d'être opérationnel quand les réserves de fluide cryogénique sont épuisées. Beaucoup de ces satellites sont en orbite héliosynchrone, comme IRAS (IR All-sky Survey), h = 890 km, refroidi à l'hélium, lancé en 1983, WIRE (Wide lOOLa compagnie Perkin-Elmer était chargée de construire le miroir principal du télescope spatial Hubble. Ce n'est qu'après le lancement que l'on s'est aperçu que ce travail avait été mal réalisé et que l'optique de télescope fournissait des images floues. Le dysfonctionnement provenait d'un mauvais alignement de lentille: l'erreur était d'un millimètre, alors que la norme retenue était d'une fraction de longueur d'onde visible (une centaine de nanomètres). Aujourd'hui, Perkin-Elmer a une activité multinationale très diversifiée mais a fermé son département spécialisé en optique pour l'astronomie ... 101 en l'honneur de James E. Webb (1906-1992), second administrateur de la NASA, qui dirigea le programme Apollo et initia la première exploration interplanétaire. l02La mission de GAIA est d'observer et répertorier un milliard d'étoiles, avec une précision de 10 microsecondes d'arc. Pour les étoiles à moins de 500 années-lumière, la distance sera connue à quelques jours-lumière près.

9.2. Satellites classés par mission

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field IR Explorer, SMEX-5, Explorer-75), h = 560 km, à l'optique refroidie par 3 kg d'hydrogène solide, lancé en 1999, Akari (Astro-F), h = 630 km, avec 170 litres d'hydrogène liquide pour une optique à 6 K, lancé en 2006, WISE (Wide field IR Survey Explorer, Explorer-92, MIDEX-6, anciennement NGSS), h = 525 km, avec une réserve d'hydrogène solide pour 10 mois, lancé en 2009. Le satellite européen, avec participation américaine et japonaise, ISO (Infrared Spa ce Observatory) , muni d'un cryostat rempli d'hélium superfluide, a fonctionné de novembre 1995 à mai 1998, sur une orbite très excentrée, avec une période de révolution d'un jour 103 . Son successeur Herschel 104 (ou HSO, Herschel Space Observatory) , reprenant le projet FIRST (Far IR and Submillimeter Telescope), lancé le 14 mai 2009 (conjointement avec Planck), a été placé en orbite autour du point L 2 de Lagrange, pour une durée de trois ans. Le satellite américain Spitzer, lancé le 25 août 2003 (sous le nom de SIRTF), est sur une orbite différente. Il suit la Terre, à la distance de 0.1 ua (soit 15 millions de km). Cette orbite héliocentrique, dite ETHO (Earthtrailing heliocentric orbit), place le satellite dans un environnement très froid, permettant des innovations technologiques 105 . (f) Micro-onde Le satellite américain COBE (Cosmic Background Explorer, Explorer-66), lancé en 1989, sur une orbite héliosynchrone, h = 880 km, i = 99.0°, a exploré le rayonnement millimétrique pour étudier les fluctuations de température du fond diffus cosmologique par des mesures très précises (la température est de 2.7249 K à 2.7251 K selon la région observée), renseignant sur les fluctuations dans la densité de matière de l'univers primitif. Son successeur WMAP ( Wilkinson Microwave Anisotropy Probe, MID EX2, Explorer-80), avec une résolution angulaire de 0.2° contre 7° pour COBE, est placé 106 en orbite L2LO. 1030rbite : hp = 1110 km, ha = 70 504 km, i = 5.1°; a = 42 185 km, e = 0.822, Td = 1436 min = 1 jour sidéral. Cryostat : 2200 litres d'hélium superfluide. Températures des diverses parties - détecteur: 2 K, optique: 3 à 4 K, instruments: 8 K. 104 William Herschel (1738-1822), astronome anglais d'origine allemande, eut un itinéraire intellectuel montrant une très grande curiosité. Il fut conduit par la musique aux mathématiques et, de là, passa à l'astronomie. Il fabriqua lui-même les meilleurs télescopes de son époque, découvrit Uranus en 1781, puis, plus tard, deux de ses satellites et deux satellites de Saturne. Il mit en évidence le déplacement du système solaire et donna, en 1783, les coordonnées du point de convergence apparente (dit apex). En 1801, il découvrit le rayonnement infrarouge. 105 À la différence de IRAS et ISO, le satellite Spitzer a été conçu avec l'architecture « lancer chaud» (warm-launch) : il est lancé à la température ambiante et se refroidit passivement, par radiation, dans l'espace. Seul le plan focal des instruments est dans le cryostat (une enceinte sous vide contenant l'hélium liquide). Avec cette innovation, 360 litres d'hélium permettent 5 ans de mission, à comparer avec IRAS qui a utilisé 520 litres pour 10 mois de mission (6 litres par mois contre 52). 106Lancée le 30 juin 2001, la sonde MAP a fait quatre révolutions autour de la Terre sur une orbite de plus en plus excentrée, jusqu'à atteindre le voisinage de la Lune un mois plus tard. Utilisant l'assistance gravitationnelle lunaire, elle a mis deux mois de plus pour

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Chapitre 9. Orbite et mission

Le satellite européen Planck 107 , lancé avec Herschel, est placé lui aussi au point L 2 . La mission 108 Planck est consacrée à l'étude de l'origine de l'Univers. L'instrument doit réaliser une cartographie des anisotropies du fond de rayonnement cosmologique micro-onde, équivalent au rayonnement d'un corps noir à 2.725 K, couvrant l'intégralité de la voûte céleste avec une résolution angulaire de l'ordre de 5' d'arc (elle était de 7° pour COBE) et une sensibilité en température de l'ordre de 2 10- 6 . Pour l'étude des nuages moléculaires galactiques, SWAS (Submillimeter Wave Astronomy Satellite, SMEX-3, Explorer-74), lancé en 1998, est sur une orbite basse directe, h = 640 km, i = 69.9°. (g) Radio Les premiers satellites pour l'étude des sources dans le domaine radio ont été les deux RAE-A et -B (Radio Astronomy Explorer, Explorer-38 et -49), lancés en 1968 et 1973, sur une orbite circulaire h = 5850 km, très inclinée, i = 120.9°. L'observation des sources émettant dans le domaine « radio» (longueurs d'onde de l'ordre du mètre et au-delà) n'est pas véritablement gênée par l'atmosphère terrestre, et la mise en orbite des instruments n'apporte pas une grande amélioration. L'intérêt du satellite en orbite, pour l'étude de ce domaine de fréquence, est de constituer la base la plus longue possible pour les mesures interférométriques, dans la technique communément appelée aujourd'hui VLBI, vue au chapitre 3. Les Japonais sont très actifs dans ce domaine. Le satellite 109 Halca est le premier dans cette catégorie. Il est sur une orbite HEO, hp = 569 km, ha = 21 415 km, i = 3l.4° (figure 9.29(a)). Son successeur sera Astro-G (ou VSOP-2), hp = 1 000 km, ha = 25 000 km,i = 31° (figure 9.29(b)). Le satellite est constitué d'une antenne de 9 m de diamètre pour observer dans les trois bandes de fréquence de 8, 22 et 43 GHz. Les deux dernières, correspondant à des longueurs d'onde de 14 mm et 7 mm, demandent l'apport d'un système cryogénique. arriver au point L2 du système Soleil-Terre le 1 er octobre 2001 et se mettre en orbite en halo. MAP fut rebaptisé WMAP (ou Wilkinson MAP), en février 2003, en l'honneur de David T. Wilkinson, Princeton University, spécialiste renommé en cosmologie et membre de l'équipe MAP, décédé en septembre 2002. 107 Max Planck (1858-1947), physicien allemand. Il étudia le rayonnement du corps noir et trouva son expression en fonction de la température et de la fréquence. Ce problème avait arrêté de nombreux physiciens et Planck le résolut en introduisant (1900) la notion de quantum d'énergie. La théorie des quanta est devenu la base de la physique moderne. 108Deux projets assez similaires avaient été initialement proposés à l'Agence spatiale européenne, COBRAS (Cosmic Background Radiation Anisotropy Satellite) et SAMBA (Satellite for Measurement of Background Anisotropies). Ils ont été fondus en un seul, nommé COBRAS/SAMBA. Cette appellation, joliment exotique mais lourde et terriblement redondante, a été abandonnée pour le bref et lumineux nom de Planck. 109Date de lancement - Halca : 12 février 1997. Halca (Highly Advanced Laboratory for Communication and Astronomy), nommé également Muses-B ou VSOP (VLBI Space Observatory Programme) a été rebaptisé Haruka (haruka signifie « au loin») après le lancement, comme le veut la tradition japonaise.

9.2. Satellites classés par mission

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Le projet russe llO RadioAstron (ou Spektr-R) doit fournir une base encore plus grande, hp = 10 000 km, ha = 350 000 km, i = 51.6° (d'où une période de 222 heures, soit un peu plus de 9 jours). Astrophysique solaire

Le rayonnement solaire est étudié dans tous les domaines de longueur d'onde. Le Soleil a fait l'objet d'études dès le début de l'ère spatiale, de 1962 à 1976, avec des satellites LEO à une altitude comprise entre 500 et 600 km, comme les huit observatoires OSO-l à -8 (Orbiting Solar Observatory) , i = 33° et trois Explorer, IQSY (International Quiet Sun Year, Explorer-30), Solrad-9 et -10 (Solar Radiation ll1 , Explorer-37 et -44), i rv 55°, ou avec des orbites HEO peu inclinées, comme le programme EPE (Energetic Particules Explorer), avec EPE-A, -B, -C et -D (Explorer-12, -14, -15, -26). Les satellites allemands, Helios-1 et -2, sont en orbite héliocentrique (périhélie : 0.309, aphélie: 0.985 ua, i = 0°, plan de l'écliptique, T = 190 jours). Lancé en 1980, le satellite américain SMM (Solar Maximum Mission) fut le premier satellite à être réparé en vol par la navette STS-ll (STS-41-C), en 1984. Il fonctionna jusqu'en 1989, sur l'orbite h = 405 km, i = 26.5°. Les satellites LEO récents 1l2 sont en orbite héliosynchrone, comme les satellites américains TRACE (Transition Region and Coronal Explorer, SMEX4, Explorer-73), avec l'altitude h = 620 km, ACRIMSAT (Active Cavity Radiometer lrradiance Monitor Satellite), h = 700 km, ou le projet IRIS (Interface Region lmaging Spectrograph SMEX-12), h = 636 km, comme les satellites japonais Hinode (<< lever de soleil» , Solar-B), hp = 318 km, ha = 675 km, i = iHs = 98.3°, et français Picard (voir note Picard), h = 725 km. Les satellites russes sont en orbite directe quasi polaire, h = 520 km, i = 82.5°, avec 1l3 Koronas-I, Koronas-F (AUOS-SM-KI et -KF) et Koronas-Foton. Avec une inclinaison différente, on trouve le satellite japonais Solar-A (ou Yohkoh, «soleil»), lancé en 1991, hp = 526 km, ha = 795 km, i = 31.3° et le satellite américain SORCE (Solar Radiation and Climate Experiment), lancé en 2003 sur l'orbite h = 641 km, i = 40.0°. llOn remplace un projet russe, à participation européenne, trop ambitieux, KRT-25 (radiotélescope de 25 mètres) qui était prévu sur une orbite variable. Au cours de ses sept ans de vie, elle devait devenir de plus en plus excentrée : hp ~ 5000 km, ha de 20 000 à 150 000 km, i = 63° . lllLes premiers Solrad, de Solrad-l à -7B, de 1960 à 1965, étaient principalement des satellites espions (ELINT), comme on l'a su par la suite. Pour que ce programme Solrad ait un parfum encore plus scientifique, il était également désigné par GREB (Galactic Radiation Experimental Background) ou GRAB (Galactic Radiation And Background). ll2Dates de lancement - TRACE: 1er avril 1998; ACRIMSAT : 21 décembre 1999; Hinode : 20 septembre 2006 ; Picard: 15 juin 2010. ll3Dates de lancement - Koronas-I : 2 mars 1994; Koronas-F : 13 juillet 2001; KoronasFoton : 30 janvier 2009. Les lettres l et F représentent les initiales de IZMIRAN et FIRAS, noms des instituts concepteurs du projet. Koronas-Foton est aussi nommé CORONASPhoton (Complex Orbital Observations Near-Earth of Activity of the Sun), avec allusion à la couronne solaire.

388

Chapitre 9. Orbite et mission

Ce domaine a motivé une collaboration ESA/NASA pour deux gros projets: Ulysses et SOHO. La sonde Ulysses, lancée le 6 octobre 1990 à partir de STS-41, s'est d'abord dirigée vers Jupiter, afin d'utiliser l'assistance gravitationnelle de cette planète pour quitter le plan de l'écliptique. Le 1er novembre 1994 elle a survolé le pôle Sud du Soleil, le 1er octobre 1995, le pôle Nord. Le satellite SOHO (Solar and Heliospheric Observatory), lancé le 2 décembre 1995, a rejoint le point de Lagrange LI pour une orbite en halo. En plus de son apport dans la connaissance du Soleil, il a permis de découvrir un très grand nombre de comètes. Plusieurs missions devaient utiliser les points de Lagrange stables. Le Japon a prévu L5-Mission, qui doit observer le Soleil pour donner une sorte de bulletin « météorologique» de l'espace (space weather forecast en anglais) en vue de rendre plus sûres les activités spatiales. La mission américaine bien nommée STEREO (Solar-Terrestrial Relation Observatory) devait placer ses deux satellites aux points de Lagrange, STEREO-Ahead en L4, STEREOBehind en L5, pour faire une observation 3-D du Soleil. Finalement, cette option a été abandonnée et remplacée par un choix d'orbite héliocentrique, avec des périodes de (365 ± 20) jours. Avec un lancement le 26 octobre 2006, STEREO-A précède (Ahead) la Terre, avec une période de 345 jours, STEREO-B suit (Behind) la Terre, avec une période de 385 jours. Le satellite américain SDO (Solar Dynamics Observatory), lancé en 2010, est sur une orbite géosynchrone, avec une inclinaison i = 28.5° et avec le croisement de la trace à la longitude À s = 110° E. Deux missions en projet dans ce domaine, Solar Orbiter pour l'ESA, Solar Probe Plus pour la NASA, sont comme Ulysses en orbite héliocentrique. Solar Orbiter aura des apsides variables, rp =0.23 à 0.29 ua (unité astronomique), ra =0.75 à 1.20 ua, avec une inclinaison (par rapport à l'écliptique) i = 25° passant à i = 34° en fin de mission, aprés plusieurs passages près de Vénus. Solar Probe Plus (noté aussi Solar Probe +) après 7 survols de Vénus, entre 2015 et 2021, s'approchera très près du Soleil: de rp = 0.16 ua, soit 35 Rs (rayon solaire) à rp = 0.04 ua, soit 9.5 Rs. À ce moment-là, sa vitesse sera de 200 km/s (ou 725000 km/heure) et sa température de surface de 2000°C.

Sismologie stellaire et recherche d'exoplanètes Deux satellites 114 , emportant chacun un télescope de petite taille, ont été conçus pour étudier la sismologie des étoiles. Le satellite canadien MOST (Microvariability and Oscillations of Stars, surnommé avec humour Humble Spa ce Telescope par ses promoteurs), est sur une orbite héliosynchrone, h = 625 km, iHs = 98.7°. Le satellite français CoRoT (Convection, Rotation et Transits planétaires) recherche les planètes d'étoiles hors du système solaire par détection du transit (le passage de la planète devant l'étoile entraîne une 114Dates de lancement - MOST: 30 juin 2003; CoRoT: 27 décembre 2006.

9.2. Satellites classés par mission

389

diminution de la luminosité) et étudie la sismologie stellaire. Son orbite est circulaire, h = 897 km, strictement polaire (voir chapitre 7). Le projet européen Eddington 115 , pour l'étude de la structure interne des étoiles et la détection des planètes extra-solaires, devait être sur une orbite L2LO. En novembre 2003, l'ESA a repoussé la mission sine die. Un projet, ancêtre d'Eddington, abandonné depuis, prévoyait l'envoi d'un satellite, nommé STARS, au point de Lagrange Ls du système Terre-Lune. La mission européenne Darwin 116 , à une date encore très lointaine, sera consacrée à l'astrobiologie (on dit aussi exobiologie, pour éviter une connotation astro ... logique). La « flottille» 117 Darwin sera aussi sur une orbite L2LO. Le satellite amencain Kepler, lancé le 7 mars 2009, est sur une orbite héliocentrique, a = 1.013 19 ua, e = 0.031 88 avec une période T = 372.5 jours. En février 2011, la mission comptait déjà 1235 planètes « candidates» parmi lesquelles 16 avaient été confirmées comme exo-planètes. Pour une recherche encore plus précise des exoplanètes, la mission TPF (Terrestrial Planet Finder), composée d'une flotille de satellites, est à l'étude (quatre téléscopes en orbite, groupés à une distance d'environ un kilomètre d'un satellite central, réalisent ainsi un immense interféromètre). Exploration spatiale

Les sondes envoyées pour l'observation des autres planètes du système solaire (ou de leurs satellites) ou les comètes sont étudiées en fin d'ouvrage, chapitres 15 et 16, ainsi que les satellites mis en orbite autour de ces corps célestes. ll5 Arthur Stanley Eddington (1882-1944), astronome et physicien anglais. Il contribua à la diffusion de la théorie de la relativité (voir note Einstein), avec son ouvrage, toujours réédité, Space, Time and Gravitation (1920). Il jeta les bases d'une discipline nouvelle, la dynamique stellaire, avec The Internai Constitution of the Stars (1926), où il montra qu'une étoile est soumise à deux actions antagonistes: elle tend à se contracter sous l'effet de la gravitation et la libération d'énergie tend à la désintégrer. ll6 Charles Darwin (1809-1882), naturaliste anglais. De 1831 à 1836, il participa, à bord du HMS Beagle, à une expédition en Amérique du Sud (et particulièrement aux îles Galapagos) et en Océanie. En géologue et botaniste, il analysa ses notes et les collections ramenées et élabora sa théorie de l'évolution: la variabilité des espèces est due à l'action du milieu et de variations brusques. Ces variations ne sont retenues par la sélection naturelle que si elles donnent à l'organisme individuel un avantage dans sa lutte pour la vie (subsistance et reproduction). De l'origine des espèces au moyen de la sélection naturelle (1859). Le darwinisme, appuyé puis développé par de nombreux savants, a été attaqué (sans argument scientifique) par tous les milieux conservateurs et religieux. Encore un problème avec l'ordre divin! ll7 The Darwin fiotilla est constituée de six satellites en formation. Ils sont rigoureusement dans le même plan, munis chacun d'un télescope, pour réaliser ainsi un interféromètre IR. Un satellite « maître», un peu en retrait, s'assure de la position des satellites et réalise les liaisons avec la Terre. Le but est de détecter des planètes orbitant autour d'autres Soleils et de chercher une signature de vie possible au-delà de notre système solaire.

390

9.2.10

Chapitre 9. Orbite et mission

Satellites pour la physique fondamentale

Le satellite Gravit y Probe-B (GP-B), lancé 118 le 19 avril 2004, a une orbite LEO strictement polaire, déjà évoquée précédemment (figure 9.4). Le but de la mission est de mesurer, à l'aide de gyroscopes, comment l'espace et le temps sont déformés par la présence de la Terre, dans le cadre de la théorie de la relativité générale. La mission EGE (Einstein Gravit y Explorer), finalement non retenue par l'ESA, s'intéressait au décalage gravitationnel prévu par la théorie de la relativité générale. Des horloges ultra-précises étaient embarquées dans un satellite en orbite elliptique (variation du champ de pesanteur) et phasée (survol de stations spécialisées). Les orbites prévues, comme le montre la figure 9.28, étaient très originales. Deux missions sont prévues pour la vérification expérimentale du principe d'équivalence 119 . Le projet français [lSCOPE (Micro-Satellite à Compensation de traînée pour l'Observation du Principe d'Equivalence), ou Microscope, a pour ambition de vérifier l'universalité de la chute des corps. Le satellite aura une orbite LEO circulaire, h rv 700 km, héliosynchrone. La compensation de traînée du satellite au moyen de propulseurs électriques permettra d'obtenir, pour deux masses d'épreuve embarquées, des conditions de chute libre sur des milliers de kilomètres (au lieu de quelques dizaines de mètres et sans compensation de traînée, en utilisant la Tour de Pise !). Le satellite américain STEP (Satellite Test of the Equivalence Principle) sera beaucoup plus gros, avec instruments refroidis pour augmenter la précision des mesures 120 . Il sera aussi sur une orbite LEO circulaire, héliosynchrone, h = 550 km. Le projet européen GAUGE (General relativity and Unification of Gravit y Explorer) est prévu sur le même type d'orbite. Le projet LISA (Laser lnterferometer Spa ce Antenna), conjoint NASA 118Le départ de cette mission remonte aux débuts de l'ère spatiale. En 1959, des physiciens de l'Université de Stanford proposèrent cette expérience qui fut acceptée par la NASA dès 1961. Mais vérifier la relativité générale, ce n'était pas une urgence, ça pouvait attendre un peu, en pleine course à la Lune. Ensuite ce furent les missions planétaires, puis la navette spatiale qui furent prioritaires. L'expérience préliminaire GP-A eut lieu en juin 1976. Elle consistait en l'envoi d'une horloge (maser à hydrogène) dans l'espace, dans un vol suborbital, jusqu'à 10 000 km d'altitude. Elle permit de mesurer les différences d'horloge, en accord avec la théorie d'Einstein. Pendant ce temps, des dizaines de thèses se faisaient à Stanford sur le sujet, mais GP-B était toujours retardé! En 1995, la mission fut reprogrammée avec un calendrier plus sûr. Lancée en 2004, les premiers résultats certifiés arrivèrent en 2007, confirmant la théorie. 119Le principe d'équivalence, postulé par Einstein, est basé sur l'observation: tous les corps, indépendamment de leur masse, ont la même accélération dans un champ de gravitation (avec des conditions initiales identiques). C'est le principe d'universalité de la chute libre qui dit que la masse grave d'un corps (m = mg intervenant dans l'expression de la force gravitationnelle, utilisant Q) est égale à la masse inertielle (m = mi intervenant dans la loi fondamentale de la dynamique) : ; F = Q NI mg / r 2 F = mi a 120La relation mg/mi = 1 est vérifiée expérimentalement sur Terre avec une précision de 10- 12 . L'expérience flSCOPE espère 10- 14 et STEP vise 10- 17 . Les recherches sur les accéléromètres de STEP ont commencé dès 1971 à l'Université de Stanford.

9.2. Satellites classés par mission

391

et ESA, va tenter de détecter les ondes gravitationnelles, à l'aide de trois satellites en formation sur une orbite héliocentrique 121 .

9.2.11

Satellites technologiques

On met dans cette catégorie des satellites dont la mlSSlOn est de réaliser des mises au point dans divers domaines. Les tout premiers satellites peuvent entrer dans ce classement. Les satellites technologiques sont envoyés pour tester les instruments, les manœuvres orbitales, les techniques de communication, les techniques de retour au sol. Ils sont envoyés aussi pour la mise au point des moteurs à propulsion électrique ou ionique. Le satellite DODGE (Department Of Defense Gravit y Experiment), h = 33 400 km, i = 12°, a été envoyé en 1967 pour la mise au point des satellites géostationnaires, dont les premiers avaient déjà été lancés quelques années avant. À son bord, une caméra a pris les premières images en couleur du disque terrestre. Le satellite militaire ARGOS (Advanced Research Global Observation Satellite ou P91-1) a été lancé en 1999, sur une orbite LEO héliosynchrone, pour tester les systèmes de propulsion électrique et détecter les rayons X. Pour l'étude de la réponse du matériel aux radiations, plusieurs petits satellites technologiques sont en orbite très elliptique. C'est en fait l'orbite de transfert géostationnaire (G TO) du satellite principal avec lequel ils ont été lancés (figure 9.11(b)). Cette orbite GTO est très éprouvante à cause du franchissement, à chaque révolution, des ceintures de Van Allen. On trouve, avec cette mission, les microsatellites anglais STRV (Space Technology Research Vehicle) , STRV-1A et -lB lancés en 1994 comme passagers de Intelsat-702 et STRV-1C et -ID en 2000, passagers de PAS-IR (PanAmSat-1R), dont les paramètres orbitaux, initialement ceux de l'orbite GTO, hp = 300 km, ha = 36000 km,i = 7°, évoluent par la suite (figure 9.27(a) et (b)). Cette catégorie englobe les satellites pour l'étalonnage, comme Radcal, h c::: 800 km, i = 89.5°, pour la calibration des radars, Reflektor, lancé avec Meteor-3M-1, pour celle des lasers, ou les douze nano-satellites (quelques kg) lancés par STS-60 et -63, Oderacs-A à -F, et Oderacs-2A à -2F (Orbital Debris Radar Calibration Sphere), pour la calibration des débris d'engins spatiaux. Un type d'expérience, dit Tether experiment, consiste à relier, une fois en orbite, le satellite à un corps secondaire à l'aide d'un fil plus ou moins long. Ce câble est, selon l'expérience, conducteur ou non. Les premiers essais ont été réalisés avec les vols habités Gemini-ll et -12 (fil de 30 m). On peut citer, lancés entre 1993 et 1996, en orbite LEO, les satellites SEDS-1 puis -2 (Small Expendable Deployer System), avec un fil de 20 km et TiPS (Theter 121 Chacun des trois satellites est placé au sommet d'un triangle équilatéral de 5 millions de km de côté. Le centre du triangle est dans le plan de l'écliptique, sur la même orbite héliocentrique que la Terre, mais avec 20 jours de retard (soit 50 millions de kilomètres). Le plan du triangle est légèrement incliné sur le plan de l'écliptique. L'ensemble des trois satellites, en liaison laser infrarouge, constituera un immense interféromètre de Michelson.

392

Chapitre 9. Orbite et mission

Physics and Survivability) , fil de 4 km. L'orbite du satellite central TiPS a pour caractéristiques: h = 1 022 km, i = 63.4°, e = 0.000. Aux États-Unis, des universités réalisent des missions avec des petits satellites technologiques, comme SNOE (Student Nitric Oxide Explorer, STEDI-1, Explorer-72) ou TERRIERS (STEDI-2, Explorer-76). En Europe, cette politique est appliquée principalement en Grande-Bretagne, avec les UoSAT (University of Surrey Satellites), et en Allemagne, avec les Tubsat (Technische Universitiit Berlin Satellites). Ces satellites, qu'on peut mettre généralement sous la rubrique technologique, sont presque toujours mis en orbite héliosynchrone en tant que passager. Les satellites russes de télédétection, Kanopus-V-1 et -2, sont construits sur le modèle des UoSAT. Nous ajouterons aussi dans cette catégorie les satellites dont la mission concerne la biologie. Le satellite Spoutnik-2 avait à son bord la chienne Laïka. Des animaux sont envoyés dans les satellites russes Bion pour l'étude de l'effet des rayonnements, comme en 1996, deux singes partis dans Bion-lI, h = 300 km, i = 63°. Citons aussi le satellite LEO américain OFO-1 (Orbital Frog Otolith) , lancé en 1970, occupé par deux crapauds dont on étudie l'oreille interne, siège de l'équilibre. Le satellite chinois Shi Jian-8 (SJ-8, DFH-68), lancé en 2006, hp = 178 km, ha = 428 km, i = 63.0°, a été ensuite récupéré avec son chargement de plantes et de champignons.

9.2.12

Satellites à mission spécifiquement militaire

Militaires et civils ont développé beaucoup de programmes, soit conjointement, soit en parallèle, sur des sujets semblables, comme la télédétectionsurveillance ou les communications. Mais certains programmes sont spécifiquement militaires, comme la détection des explosions nucléaires. Nous les abordons ici succinctement. Alerte précoce

Ces satellites doivent détecter le plus vite possible le départ des missiles ennemis. Aux États-Unis, le premier programme est celui des satellites Midas (Missile Defense Alarm System), avec des satellites LEO, h rv 3000 km, quasi polaires, de Midas-3, en 1962, à Midas-12, en 1966. Les satellites du programme suivant, IMEWS (Integrated Missile Early Warning Satellites) prolongé par DSP (Defense Support Program), sont géostationnaires, i ~ 0°, de IMEWS-2 en 1971 aux actuels DSP. On sait seulement que ce sont de très lourds satellites, avec une multitude de capteurs, principalement dans l'infrarouge. Les derniers lancés sont DSP-F-21 (USA-159) en 2001, DSP-F22 (USA-176) en 2004, DSP-F-23 (USA-197) en 2007. Le projet NMD (National Missile Defense), qui est modifié fréquemment, repose sur les satellites SBIRS (Space Based IR System) : le départ des tirs est repéré par SBIRS-High (système 122 de 4 satellites GEO et de 2 satellites 122SBIRS-GEO : le premier, SBIRS-GEO-l (USA-230), lancé le 7 mai 2011.

9.2. Satellites classés par mission

393

REO), la poursuite des missiles est opérée par SBIRS-Low (constellation de 24 satellites en 6 plans orbitaux). Les deux premiers satellites SBIRS-Low ont été lancés conjointement, le 25 septembre 2009, sous les noms de STSS-1 et -2 (Space Tracking and Surveillance System, USA-208 et -209), sur une orbite circulaire h = 1 350 km, i = 58°. Le satellite NFIRE (Near Field Infrared Experiment) , lancé en 2007, est sur une orbite basse et peu inclinée, hp = 255 km, ha = 464 km,i = 48.2°. Le programme soviétique SPRN est équivalent à IMEWS, avec une flotte 123 de satellites de la série Oko (<< œil»), soit sur une orbite GEO pour Oko-USKMO, soit sur une orbite REO, type Molnya, pour Oko-US-K. Surveillance nucléaire

En août 1963, l'URSS, les États-Unis et la Grande-Bretagne ont signé,

à Moscou, un traité interdisant les essais nucléaires dans l'atmosphère. Pour

le contrôle de cette résolution, les diverses puissances ont lancé des satellites capables de détecter les explosions qui sont trahies par les émissions en rayonnement y qu'elles génèrent. Les satellites américains Vela avaient des orbites originales, circulaires, très élevées h ':':' 110 000 km, et des inclinaisons variant entre 34° et 61° (figure 9.25(a)). Ils étaient lancés par couple (diamétralement opposés par rapport au centre de la Terre), de Vela-1 et -2 en 1963 à Vela-lI et -12 en 1970, et ont été opérationnels jusqu'en 1984 (vela signifie «vigie» en espagnol; ces satellites étaient aussi appelés Watchdogs ou Vela Rotel). Ils ont rempli une mission scientifique qui n'était pas prévue au départ: de 1969 à 1979, les satellites Vela-9 et -10 (OPS/6909 et OPS/6911), Vela-lI et -12 (OPS/7033 et OPS/7044), ont cartographié des sources de rayonnement y provenant de l'espace. La première surprise passée (mais qui attaque qui ?), ils ont permis de découvrir ce qu'on appelle depuis sursauts gamma (GRB, Gamma Ray Bursts). Destruction de satellites, « guerre des étoiles»

Il n'est pas très intéressant d'insister dans cet ouvrage sur les programmes de destruction de satellites, genre ASAT (Air-Launched Anti-Satellite Missile), FOBS (Fractional Orbital Bombardment System), ou sur ce qui est appelé populairement la « guerre des étoiles» (aux États-Unis, programme SDI, Spa ce Defense Initiative, abandonné). Les essais (réussis) de destruction de satellites soulèvent les protestations de la plupart des nations spatiales en raison du très grand nombre de débris SBIRS-REO : voir ci-après, satellites Trumpet-FO. 1230rbite GEO : 11 satellites de Oko-US-KMO-1 (Kosmos-1960) en 1988 à Oko-US-KMO11 (Kosmos-2440) en 2008. Orbite REO (Molnya) : 83 satellites (86 lancés, 3 échecs) de Oko-US-K-1 (Kosmos-520) en 1972 à Oko- US-K-85 (Kosmos-2446) en 2008 et Oko- US-K-86 (Kosmos-2469) en 2010.

394

Chapitre 9. Orbite et mission

générés par l'expérience 124 . Renseignements

L'écoute par satellite de tout signal électronique est une grande motivation pour les militaires (en anglais, SIGINT, Signal Intelligence, regroupant ELINT, Electronic Int., la surveillance des communications, et IMINT, Image Int., la surveillance photographique). Le projet américano-britannique (et Commonwealth) Echelon utilise de nombreuses bases d'écoute au sol et de nombreux satellites en orbite. Les missions SIGINT américaines ont commencé avec les séries GREB (ou GRAB) et Ferret 125 (commencée en 1962 avec Ferret-2), sur orbite LEO. Par la suite, tous les types d'orbite ont été utilisés. Chaque programme dure environ une décennie. Actuellement, beaucoup de ces satellites sont lancés pour le compte de l'agence NRO (United States National Reconnaissance

Office).

On note les programmes suivants, de la deuxième génération (années 1970)

à la cinquième (années 2000) :

- LEO : SSF (Subsatellite Ferrets), NOSS (Navy Ocean Surveillance Satellite, dit aussi White Cloud) et NOSS-Sub-sats (satellites en formation) ; satellites du programme SBSS (Space-Based Spa ce Surveillance), héliosynchrones, h = 630 km, série 126 en cours et satellites 127 du NRO; - REO : Jumpseat (de 1971 à 1983), Trumpet 128 (de 1994 à 1997), Prowler 129 (ou Trumpet FO, en cours) ; - GEO : Canyon (de 1968 à 1977), Rhyolite/ Aquacade (de 1970 à 1978), Cha124Le 1l janvier 2007, la Chine a procédé a un test en détruisant, à partir d'un missile lancé du centre spatial de Xi chang (province du Sichuan), le satellite météorologique horsservice FY-1C, qui se trouvait à une altitude de 853 km. Les milliers de débris ainsi créés restent des mois ou des années (selon la taille) en orbite. Le 21 février 2008, les États-Unis annoncent le succès de l'interception de leur satellite USA-193, à 310 km d'altitude, avec un missile lancé à partir de USS Lake Erie, positionné près d'Hawaï. Vu la faible altitude du satellite, on considère que tous les débris ont brûlé dans l'atmosphère en 90 jours. 125Le mot ferret vient du français «furet », provenant du latin comme diminutif du mot fur, furis, « le voleur ». Le mot furtif se rattache à cette racine. C'est un choix judicieux pour un satellite espion. 126Premier lancement: SBSS-1 (USA-216), 21 septembre 2010. La devise de la mission SBSS, «Vidi - Scio - Patrocinor» (Ta See - Ta Knaw - Ta Protect) est explicite. Son but: détecter tout objet de plus d'un mètre en orbite. 127Dates de lancement - NROL-66 (USA-225), dit aussi RPP (Rapid Pathfinder Program) : 6 février 201l ; NROL-34 (USA-229) : 15 avril 2011. NROL signifie NRO Launch. 128Les trois satellites de la série Trumpet-1 (USA-103), Trumpet-2 (USA-l12) et Trumpet3 (USA-136) sont en orbite Molnya avec apogée sur la Russie. Le diamètre de leur antenne est de plusieurs dizaines de mètres, entre 100 et 150 m, semble-t-il, pour Trumpet-3. Les données sont recueillies par les satellites SDS, en orbite Molnya également. 129Dates de lancement de la série Trumpet Follow-On - Trumpet-FO-1 (USA-184, NROL22, SBIRS-HEO-1), 28 juin 2006; Trumpet-FO-2 (USA-200, NROL-28, SBIRS-HEO-2), 13 mars 2008.

9.2. Satellites classés par mission

395

let/Vortex (de 1978 à 1981), Magnum/Orion (de 1985 à 1989); Mercury130 (de 1994 à 1998), Mentor ou Advanced Orion (de 1995 à 2003) et Intruder 131 (en cours). Parmi les satellites GEO, il faut distinguer ceux qui sont sur une vraie orbite géostationnaire de ceux (Canyon et Chalet/Vortex) qui sont sur une orbite géosynchrone 132 , mais elliptique et inclinée à 8° environ, ce qui permet de mieux repérer les radars par triangulation (figure 9.12(a)). Chez les Soviétiques puis Russes, on trouve des programmes similaires, commencés en 1970 avec Kosmos-389. Le programme Tselina, en orbite LEO, est équivalent à NOSS, avec i = 82.6° pour la série Tselina-D, avec i = 7l.0° pour la série plus récente Tselina-2.

9.2.13

Satellites avec présence humaine

Nous citerons quelques dates pour l'historique des vols habités (satellites en orbite avec présence humaine) : Vostok-1 (<< orient» en russe), lancé le 12 avril 1961, avec le premier homme en orbite (une révolution) ; Apollo-lI, lancé le 16 juillet 1969, pour les premiers pas sur la Lune. Les stations orbitales ont commencé avec les premiers vaisseaux soviétiques Salyout (<< salut» ), de 1971 à 1986, puis la station Mir (mir signifie à la fois «monde» et «paix» en russe), de 1986 à 2000, sur une orbite quasi circulaire, h cv 300 km, i = 5l.6°. Les États-Unis ont utilisé Skylab, en 1973, sur une orbite équivalente, h cv 400 km, i = 50.0°. Ils ont ensuite développé ISS (International Spa ce Station), à partir de 1998, en collaboration avec la Russie et d'autres nations. L'orbite est circulaire, h de 355 à 400 km, i = 5l.6°. Le concept de navette spatiale est basé sur la multiple utilisation d'un engin spatial, satellite devenant avion dans la phase d'atterrissage. Les cinq navettes américaines (Space Shuttles) étaient Columbia (1981-2003), Challenger (1983-1986), Discovery (à partir de 1984), Atlantis (à partir 1985), Endeavour (à partir 1992). Ces vols sont notés 133 STS (Space Transportation System). Le programme I30Mercury-1 (USA-105 ou Jeroboam) et Mercury-2 (USA-118). On désigne parfois ce programme sous le nom de Mercury Advanced Vortex pour le distinguer du programme Mercury de vols habités. l3ITrois premiers satellites lancés: Mentor-1 (USA-110) en 1995, Mentor-2 (USA-139, NROL-6) en 1998, Mentor-3 (USA-l71, NROL-19 ou Homer) en 2003. Puis Mentor-4 (USA202, NROL-26), premier de la série Intruder, nommée aussi IOSA (Integrated Overhead SIGINT Architecture ou Intruder-1), lancé le 17 janvier 2009. D'après Aviation Week, c'est le satellite militaire américain le plus gros, le plus secret et le plus cher. Il aurait coûté (lancement compris) plus de deux milliards de dollars. Record vite battu par le suivant, Mentor-5 (USA-223, NROL-32), lancé le 11 novembre 2010. I320rbite géosynchrone hp = 30500 km, ha = 41 000 km, i = 7° à 9°, pour les 7 satellites Canyon, de Canyon-1 (OPSj2222) en 1968 à Canyon-7 (OPSj9751) en 1977 et les 6 Vortex, de Vortex-1 (OPSj9454 ou Chalet-1) à Vortex-6 (USA-37 ou Chalet-6). I33Depuis le premier vol de Columbia, le 12 avril 1981, STS-1, jusqu'à la fin 1983, avec STS-9, les vols sont numérotés séquentiellement. À partir de 1984, leur numéro fait inter-

396

Chapitre 9. Orbite et mission

STS s'est achevé 134 en 2011. Il a compté 135 vols de navette: 133 succès et 2 échecs avec Challenger STS-51-L (STS-25) et Columbia STS-107. La navette utilise deux configurations : une charge utile de 24.4 tonnes pour une orbite basse, h = 204 km, i = 28.5°, et une charge utile de 12.5 tonnes pour une orbite plus haute, h = 407 km, i = 51.6°. C'est cette dernière configuration qui est utilisée pour les rendez-vous avec la station ISS. Pour l'entretien de Hubble, la navette passe sur une orbite un peu plus haute. De très nombreux satellites ont été envoyés à l'aide de la navette. Une fois en orbite, le satellite sort de la soute de la navette et, en utilisant ses propres ressources, il atteint sa destination (qui peut être une orbite très proche, ou géostationnaire, ou héliocentrique).

9.2.14

Satellites non scientifiques

L'organisme américain Celestmk, qui recense et classe les satellites par catégorie, a créé dans la rubrique Miscellaneous Satellites la sous-rubrique Other (<< divers/autres»). Regardons de plus près ces objets inclassables ... Les satellites Celestis ont pour seule fin de mettre en orbite les cendres 135 de quelques terriens autour de la Terre. Remarquable aussi, le seul satellite turkmène, TMC, qui témoigne, par sa présence passive, de la grandeur du Turkménistan et de son président à vie 136 . D'autres initiatives, tout aussi passionnantes, ne manquent pas, mais généralement le financement privé tarde à venir. Nous citerons simplement deux projets, qui ne sont pas encore entièrement bouclés: KEO, qui restera des venir l'année fiscale, le lieu de lancement et une lettre pour l'ordre dans l'année: STS-lO est désigné par STS-41-B. Après la catastrophe de Challenger, STS-51-L, qui était le 25 e vol de navette (STS-25), la NASA a décidé de revenir à la numérotation dans l'ordre de programmation des vols (qui n'est pas nécessairement l'ordre des lancements). 134Derniers vols en 2011 : Discovery (STS-133), Endeavour (STS-134) et Atlantis (STS135). 135Dans d'autres classifications, ils sont notés burial satellites, « satellites sépultures». Sans vouloir faire de la publicité, on lit dans la note informative de la société Celestis : Celestis offers ta launch a symbolic portion of the cremated remains of the individuals into space. L'affaire marche bien puisque plusieurs satellites ont été mis en orbite depuis 1997, sans compter un impact sur la Lune avec Lunar-Ol (en fait, capsule emportée par Lunar Prospector), en 1998, dans le même esprit. Il est aussi prévu des envois dans l'espace très lointain (deep space out of our solar system). Les trois premiers satellites, Celestis-1 à -3, ont des orbites très variées, car ils sont lancés comme passagers de missions plus importantes. Les suivants, Celestis-4 et Celestis-7, ont brûlé dans l'espace à la suite de l'échec du lancement (groupé avec OrbView-4 et QuikTOMS pour le premier, avec Trailblazer pour le second) : ce sont bien les premiers exemples de satellites où la charge utile n'est pas détériorée par l'explosion! Notons que ces satellites ont été également désignés, entre 2000 et 2007, sous les noms respectifs de EarthView-Ol, -02, -03 et -04, ce qui peut provoquer quelques surprises dans une bibliographie en télédétection ... 136Lancé avec OICETS par une fusée russe, TMC (Turkmenistan Memorial Capsule) renferme le drapeau du pays ainsi que le livre intitulé « Rukhnama », ouvrage historique et philosophique de Saparmurat Niyazov, président à vie du Turkmenistan.

9.3. Annexe: le retard dans la programmation des missions spatiales

397

milliers d'années en orbite (car à l'altitude de 1800 km ou bien sur une orbite GTO) avec des souvenirs de l'Homme (sang, ADN, cartes du monde, messages divers ... ) et CiS (Cross in Space) , une capsule contenant une croix et la Bible en micro-fiche.

9.3

Annexe: le retard dans la programmation des missions spatiales

2017 2016 2015 2014 ::::l

,iD

FIG. 9.30 : Date de lancement prévue en regard de la date où la décision a été prise, pour les trois premiers satellites du nouveau programme météorologique américain JPSS (réalisé conjointement par les trois organismes NASA, NOAA et DoD) : NPP, JPSS-l (noté Cl), JPSS-2 (noté C2). D'après un document du Congrès des États- Unis (Gov. Accountabilit Y Off.).

2013 2012

2-c 2011

2010 2009 c ~ 2008 CD "0 2007 ~ ~

CD 'CD

2006

«

2005

c c

2004 2003 2002 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 Année de décision

Il est un point qu'on ne peut ignorer lorsqu'on s'intéresse aux missions spatiales: les glissements de programmation ou, en d'autres termes, les retards au lancement. Ce retard n'a généralement pas d'autre conséquence qu'un décalage temporeP37. Dans certains cas, cependant, il peut entraîner une modification d'orbite, comme on verra au chapitre 11 avec EarthCARE. Les raisons de ces retards sont variées (lanceurs, instruments, etc.) et justifiables, mais le résultat est là : une mission ne respecte jamais le calendrier initial! Les mis137pour les missions vers les autres planètes, les lois de Kepler imposent d'être très strict dans les dates de lancement. Aucun retard n'était permis pour les missions Voyager-l et -2, ... , Cassini, New Horizons. Pour Rosetta, un retard de plusieurs mois a obligé l'ESA à changer de comète cible.

398

Chapitre 9. Orbite et mission

sions spatiales sont une excellente illustration de la loi 138 de Hofstadter. Les agences spatiales maintiennent un flou artistique sur les plannings. Lorsqu'une mission engage plusieurs satellites sur un long terme, il arrive qu'un organisme national tranche dans le vif. C'est ce qui s'est passé, en mai 2010, lorsque le Congrès américain a décidé de modifier le programme NPOESS pour le transformer en JPSS. Le Congrès s'est appuyé sur un rapport du GAO (United States Government Accountability Office) qui montre l'évolution des coûts prévisionnels (de 7.00 en août 2002 à 14.95 en juin 2009, l'unité étant le milliard de dollars). Ce rapport donne clairement la date de lancement prévu en regard de la date à laquelle la prévision a été faite. Nous avons reporté ces dates sur la figure 9.30 pour les trois premiers satellites du programme: NPP, Cl et C2 (les noms des satellites NPOESS-1 et -2, devenus JPSS-1 et -2, sont notés Cl et C2 dans le rapport). Il est très rare de pouvoir établir de la sorte un calendrier aussi précis. Depuis le rapport GAO, les affaires sont devenues encore un peu plus compliquées! Les militaires ont décidé de faire cavalier seul, en quittant le JPSS pour créer le DWSS ...

138L'auteur de GodeZ, Escher, Bach a ainsi énoncé la loi qui porte son nom: «un projet programmé prend plus de temps que prévu, même en tenant compte de la loi d'Hofstadter».

rapport au Soleil sage, éclipse

• •

if un satellite quelconque, la position de l'orbite du Soleil, en insistant sur la notion de l'heure de "tifllite plus particulièrement aux satellites héliosynposition relative fournit la définition même de

par un aspect plus théorique, avec le calcul de Soleil et le plan de l'orbite, ce qui nous amène à d,tire (lorsque le satellite est à l'ombre de la Terre).

rapport au Soleil IlH.ssage est intéressant de connaître l'heure locale de la ISM, déduite simplement de TU dès qu'on connaît équation (7.58). On appelle heure de passage la mfiyen (TSM) pour la trace à cet instant donné. On lm heure locale. daire vraie, l'heure TSV, il faut spécifier le jour de l'équation du temps. Dans toutes les questions du Soleil (hauteur et azimut) par rapport à un (TSV) qu'il faudra utiliser. être représentée en notant l'heure de passage. de représenter l'heure TSM par des couleurs. f',ynchrones, comme QuickBird-2, on voit bien, avec ,le passage ne dépend que de la latitude. Pour un pôles), un passage se fait de jour, un autre de M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

400

Chapitre 10. Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse

c

®

10.1 : Position de la ligne des nœuds dans le référentiel ~ géocentrique (0 ; x, y, z), à deux instants to et tl ; C est le centre du Soleil; 0 est le centre

FIG.

de la Terre et Oxy dans le plan équatorial. Le nœud ascendant est noté N.

nuit. Pour l'orbite HEO du satellite Ellipso Borealis, la stabilité de l'heure de passage apparaît aussi nettement sur la figure 17.8. Pour les satellites non héliosynchrones, comme Jason-2, le décalage temporel se manifeste, sur la figure 17.7, par un glissement de l'heure d'une révolution à l'autre. Pour un satellite peu incliné, comme Megha-Tropiques, on note des configurations spécifiques. Si le passage au nœud ascendant a lieu à 06:00, comme sur la figure 17.5, l'hémisphère Nord est vu de jour, l'hémisphère Sud de nuit. Au bout de quelques jours, l'heure de passage à l'équateur change et cette situation évolue.

10.1.2

Calcul du cycle Cs

On considère l'orbite de la Terre par rapport au Soleil: on peut la considérer comme circulaire, car dans ce calcul de cycle, on confond TSV et TSM. Sur la figure 10.1, le centre du Soleil et de l'orbite terrestre est noté C, celui de la Terre est noté O. On désigne par N le nœud ascendant d'un satellite en orbite autour de la Terre. L'angle dièdre entre le plan méridien (terrestre) contenant N et celui contenant C représente H, l'angle horaire du nœud ascendant. Cet angle est représenté par H = (OC, ON). À l'instant t = to, l'angle horaire de N est H(to) = Ho. À un autre instant t = h, le plan de l'orbite du satellite a varié, par le phénomène de précession nodale, d'un angle fl, par rapport au référentieliR. L'angle horaire de N est alors donné par:

H(tI)

=

Hl

=

Ho

+ fl -

Ct

en notant par Ct l'angle dont a varié la direction Soleil-Terre dans le mouvement de la Terre sur son orbite autour du Soleil: Ct = [CO(to), CO(h)].

10.1. Cycle par rapport au Soleil

401

Cet angle ex est égal à la différence de longitude écliptique 1 du Soleil entre les deux instants considérés. On a : f1H

=

Hl - Ho

ex

= [2 -

ce qui représente le mouvement de la direction de la ligne des nœuds avec la direction du Soleil. On pose f1t = (tl - to) et on écrit les angles en fonction des vitesses angulaires : [2 = il f1t ex = ils f1t ce qui donne :

f1H = (il - ils) f1t

(10.1)

On appelle cycle par rapport au Soleil, l'intervalle de temps, f1ts, nécessaire pour que l'angle horaire du nœud ascendant ait varié de 24 heures, soit un tour. De sorte qu'on a : H(t

+ f1ts)

=

H(t)

ce qui donne : f1ts =.

27f

[2 -

[27f]

.

[2s

En utilisant la grandeur P, vitesse de précession nodale en tour par an définie par la relation (7.38) et l'équation (7.36), f1ts devient: A N~n Llts = - l M - 1- P

On a l'habitude d'exprimer le cycle par rapport au Soleil en jours et nous le notons alors Cs (C pour cycle et S en indice pour Soleil). Puisque f1t s est exprimé en unités SI (c'est-à-dire en secondes), on obtient Cs par la relation très simple: C _ N tro (10.2) S -

P-l

Les notations N~n et N tro sont expliquées au chapitre 7. On peut exprimer P en fonction de la constante kh définie par la relation (7.94). Cette vitesse P a pour valeur :

P = -kh

( -;:R)~

cosi

(10.3)

On vérifie que pour un satellite héliosynchrone, on a bien P = 1. On obtient ainsi la valeur du cycle par rapport au Soleil en fonction des caractéristiques de l'orbite (notez bien les signes) : Cs

=

Cs (a,i)

= -

N tro

--------,;----

kh (

~) ~ cosi + 1

(10.4)

402

300

Chapitre 10. Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse

Altitude: h = 800 km

Cs U)

P (tr/an)

250 200

8

150

6

100

4

50

2

0

o

-50

-2

-100

-4

-150

-6

-200

-8

-250 -300 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Angle d'inclinaison

110

Cl

120

130

140

150

160

170

180

10.2 : Variation du cycle Cs par rapport au Soleil, en fonction de l'inclinaison, pour un satellite à l'altitude h = 800 km. On a noté, sur l'axe des ordonnées, le cycle Cs en jours (axe de gauche), la vitesse de précession nodale P exprimée en tours/an (axe de droite).

FIG.

ou avec les valeurs numériques approchées (Cs en jours)

Cs

= -

365.25

--------~-------

R)~ cosi+1 10.11 ( -;:

(10.5)

Ce cycle par rapport au Soleil, Cs = Cs(a, i), est une caractéristique très importante de chaque satellite.

10.1.3

Cycle Cs et caractéristiques de l'orbite

Cycle Cs en fonction de l'altitude et l'inclinaison Le cycle Cs est fonction de a et i. On a représenté en figure 10.2 la variation Cs(i) pour une valeur fixée de l'altitude, h = 800 km. Le cycle Cs (i) est donné en jours, le signe indiquant le sens de la rotation. On a tracé également P(i), la précession nodale en tours/an, qui est une sinusoïde, puis (P -1) qui, par son intersection avec l'axe horizontal origine, détermine l'asymptote verticale de Cs(i). Cette valeur de i correspond à l'inclinaison de l'orbite circulaire héliosynchrone (pour cette altitude).

10.1. Cycle par rapport au Soleil

403

Pour l'altitude représentée ici, typique des satellites LEO, on voit que le cycle reste aux alentours de deux mois (Cs cv - 60 j) pour les inclinaisons inférieures à 45°. Lorsque i augmente, la durée du cycle augmente. Passée l'inclinaison héliosynchrone, le cycle diminue (mais très peu de satellites sont dans cette configuration). Valeurs particulières du cycle Cs

On note quelques valeurs particulières du cycle Cs selon l'orbite. (a) Satellites polaires La relation (10.4) ou (10.5) montre immédiatement que si le satellite est strictement polaire, Cs = -365.25 jours. Le cycle est annuel. Il faut un an pour retrouver la même configuration d'orbite par rapport au Soleil puisque le plan de l'orbite n'a pas tourné par rapport à ~. La valeur négative de Cs montre que la ligne des nœuds a varié dans le sens rétrograde par rapport à ~T. (b) Satellites héliosynchrones La relation (10.2) montre que si D Ds, le cycle est infini. Ce cas se produit pour les satellites héliosynchrones et on peut considérer en effet Cs comme infini, puisqu'au bout d'un très grand nombre de jours, l'angle H n'a pas varié. Pour les satellites héliosynchrones, l'angle horaire du nœud ascendant, donc l'heure 1 de passage du satellite au nœud ascendant, est constant. Pour une altitude donnée, le cycle Cs est négatif tant que i est inférieur à l'inclinaison héliosynchrone, donnée par la relation (7.101). Au-delà de cette valeur, Cs est positif. ( c) Cycle le plus court La valeur la plus courte du cycle est donnée par la valeur minimale de ICs(a, i)l. Elle est obtenue d'après (10.5) pour i = 0 et a = R. Sa valeur est: ICsl min

N tro

365.25 11.11

.

= - - = - - = 32.9 J kh

+1

(10.6)

Le cycle par rapport au Soleil Cs ne peut donc être inférieur à 33 jours. Précession nodale et cycle Cs

Pour visualiser la précession nodale et faire apparaître clairement le cycle

Cs, nous reprenons le graphe de la figure 10.1 et l'appliquons à quelques

satellites dans l'exemple 10.2, un peu plus bas.

1 L'heure qui est liée à l'angle horaire est l'heure TSV. Un satellite héliosynchrone passe au nœud ascendant à la même heure TSM. S'il n'y a pas ici de distinction entre les heures TSM et TSV, c'est parce qu'on a considéré un schéma simplifié pour l'orbite terrestre. Mais, pour le calcul du cycle Cs, il ne pourrait en être autrement: on veut savoir simplement au bout de combien de jours on retrouve l'heure de passage (à quelques minutes près), quel que soit le moment dans l'année (la prise en considération d'une orbite terrestre elliptique obligerait à spécifier le jour où on débute le cycle).

404

Chapitre 10. Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse

Exemple 10.1 Calcul du cycle par rapport au Soleil pour les satellites Meteor3-07, Jason-2, ICESat, ERBS et UARS, TRMM et Megha-Tropiques. ~ L'orbite de ces satellites est quasi circulaire. Pour Meteor-3-07, on a h = 1194 km et i = 82.56°. En utilisant (10.5), on obtient:

Cs = -

365.25

--------------~7-----------10.11 (6378/7572) 2" cos(82.56) + 1

365.25 10.11 . 0.5477 . 0.1295 + 1

365.25 = _ 365.25 = -212.73 0.7169+1 1.7169 ce qui donne un cycle de 213 jours (avance de l'heure de passage). Pour TOPEX/Poseidon, Jason-1 et -2, avec h = 1336 km et i = 66.04°, on obtient P = -2.107, ce qui donne un cycle Cs = -117.47 soit un cycle de 117 jours (avance de l'heure de passage). Le satellite ICESat est à basse altitude, h = 592 km. Son inclinaison, i = 94°, est entre l'inclinaison polaire pour laquelle le cycle est d'un an (Cs = -365.25) et l'inclinaison héliosynchrone (iHS = 97.8° à cette altitude) pour laquelle le cycle est infini. Le calcul donne P = 0.515, d'où Cs = -752.7, ce qui correspond à un cycle très long de plus de deux ans. Les satellites ERBS et VARS, lancés tous les deux par la navette spatiale, ont la même inclinaison et la même altitude à quelques kilomètres près. Le calcul donne, pour ERBS, P = -3.986, d'où Cs = -73.2, et pour VARS, P = -4.090, d'où Cs = -72.0. On lit souvent, pour ces satellites, que leur cycle par rapport au Soleil est de 36 jours. On voit qu'il y a dans ce cas confusion entre cycle et demi-cycle. Si, un jour donné, le passage au nœud ascendant a lieu à midi, 36 jours plus tard, c'est la passage au nœud descendant qui aura lieu à midi. Pour les satellites faiblement inclinés sur l'équateur, TRMM et Megha-Tropiques, le cycle est court car le facteur cos i est proche de 1. Pour TRMM, P = -6.894, Cs = -46.3 lorsque h = 350 km, P = -6.710, Cs = -47.4 lorsque h = 402 km. Pour Megha-Tropiques, P = -6.115, Cs = -51.3. Pour ces satellites, le passage au nœud ascendant avance d'une demi-heure chaque jour ....

Exemple 10.2 Visualisation du cycle Cs pour divers satellites à l'orbite directe, polaire, rétrograde ou héliosynchrone. ~ Sur la figure 10.3, nous représentons la position de la Terre sur son orbite autour du Soleil et la position des nœuds (ascendant en noir, descendant en blanc) de l'orbite du satellite. On ne distingue pas, sur ce graphe, les heures TSM et TSV. Pour les deux satellites héliosynchrones représentés, Radarsat-2 et SPOT-5, on voit clairement que le glissement du plan orbital compense le mouvement annuel de la Terre. Pour Radarsat-2, la normale à l'orbite est dans le plan méridien passant par le Soleil. Pour un satellite strictement polaire, le plan orbital est fixe dans lR. Pour le satellite CoRoT, qui a cette orbite inertielle, l'observation des étoiles est faite perpendiculairement à l'orbite, six mois dans une direction, six mois dans la direction opposée,

10.1. Cycle par rapport au Soleil

Terre représentée tous les 24 jours

Radarsat-2

Terre représentée tous les 26 jours

405

SPOT-5

22:30

Satellite héliosynchrone

Terre représentée tous les 15 jours

Cs: infini

CoRoT

Satellite héliosynchrone

Terre représentée tous les 15jours

TRMM

Cs = -365.2 jours

Terre représentée

Cs = -560.1 jours

Cs = 72.0 jours

10.3 : Représentation du cycle par rapport au Soleil pour divers satellites. L 'heure mentionnée est celle du passage au premier nœud ascendant.

FIG.

406

Chapitre 10. Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse

afin de ne jamais viser vers le Soleil. On donne ensuite l'exemple de cycles rétrogrades (négatifs), un très court, pour TRMM (orbite directe), un très long, pour LAGEOS-1 (orbite rétrograde, i = 110°, h = 5 892 km). Le satellite Ofeq-5 (orbite rétrograde, i = 143.5°, LEO elliptique) fournit un des rares cas de précession dans le sens direct ....

10.1.4

Cycle et heure de passage au nœud ascendant

L'initialisation étant connue, il est possible d'obtenir très simplement les heures de passage au nœud ascendant pour une date quelconque à condition de connaître le cycle par rapport au Soleil Cs. En effet, sachant qu'on augmente (algébriquement) l'heure de passage de 24 heures en Cs jours, il est facile de calculer l'augmentation par jour. Nous donnons ici un exemple de calcul.

Exemple 10.3 Calcul des dates, au cours de l'année 1999, pour lesquelles l'heure TSM de passage au nœud ascendant est la même pour les satellites TRMM et Resurs-Ol-4. ~ Dans le but d'étudier le bilan radiatif de la Terre, le satellite TRMM a été équipé de l'instrument CERES et le satellite Resurs-Ol-4 de l'instrument ScaRaB. Une campagne de mesures couplées a eu lieu en janvier et février 1999. Le but était de comparer les mesures obtenues sur une même région vue par les deux instruments à des heures voisines (avec une marge de ±15 min). Le satellite héliosynchrone Resurs-Ol-4 passe au nœud ascendant à 22:20 TSM. L'initialisation du satellite TRMM est donnée par un passage au nœud ascendant. On prend (tNA avec notation an mois jour h min s) : tNA = 1999 01 21 20:43:47 (TU), À = +5.157°. On calcule la valeur de TNA, instant de passage TSM : TNA = tNA + À/15 = 20:43:47 + 00:20:38 = 21:04:25. Dans l'exemple 10.1, on a trouvé P = -6.894, ce qui permet d'obtenir la valeur du cycle: Cs = -(365.25/7.894) = -46.29 jours. On calcule alors la dérive quotidienne: (1440/Cs) = -(1440/46.42) = -31.02 min. La différence entre TNA = 21:04, le 21 janvier 1999 (J = 21) et l'heure choisie, 22:20, est de 76 min. Le passage de TRMM à l'heure choisie se fait donc avec un décalage de (-76/31) = -2.45 jours, soit 2 jours plus tôt, c'est-à-dire le 19 janvier 1999 (J = 19). Le passage au nœud ascendant aux alentours de 22:20 se produit donc pour les jours J k donnés par: Jk = 19+k ICsl Ici, avec Jo = 19 et les valeurs k = 0,1,2, ... ,7, on obtient toutes les dates cherchées pour l'année 1999. Si on veut connaître les dates de passage de TRMM à 22:20 au nœud descendant, il suffit d'ajouter un demi-cycle au valeurs de J k , ce qui donne des dates décalées de 23 jours par rapport aux précédentes ....

10.2. Passage pour un satellite héliosynchrone

10.2

407

Heure de passage pour un satellite héliosynchrone

Cette partie est consacrée aux satellites héliosynchrones d'observation de la Terre, au sens large. Ils sont tous en orbite quasi circulaire.

10.2.1

Passage à une latitude donnée

L'heure TSM à laquelle le satellite héliosynchrone passe au nœud ascendant est constante au cours du temps (si le maintien sur orbite est effectué, bien entendu), car dans le référentiel ~, la précession nodale compense le mouvement de révolution de l'axe de la Terre autour du Soleil. C'est la caractéristique des orbites héliosynchrones. Pour s'en persuader, on peut le vérifier avec l'exemple suivant. Exemple 10.4 Calcul de l'heure de passage à deux nœuds ascendants consécutifs pour un satellite héliosynchrone. Considérons un premier passage, au nœud ascendant de longitude "\1, à l'instant to, en heure TU. On note l'instant TSM correspondant par Tl et donc, d'après (7.59) : Tl = to + (..\1/15) avec les temps en heures et les longitudes en degrés. Le passage suivant (période nodale T) aura lieu, à la longitude "\2, à l'instant t = to + T. L'instant TSM correspondant au deuxième passage, noté T2, est donc: T2 = to + T + (..\2/15) La longitude ..\2 est obtenue simplement en considérant le décalage équatorial, donné par (8.25) : ..\2 = ..\1 + .1..\E = ..\1 - 15 T On a donc: .' ..\1 - 15T ..\1 T2 = to + '1 + 15 = to + 15 = Tl ~

t

=

ce qui montre que l'instant TSM reste constant. Le moyen mouvement étant constant, le temps mis pour atteindre une latitude donnée, à partir de l'équateur, sera le même à chaque révolution. Cela permet de dire que, pour un satellite héliosynchrone: - l'heure de passage TSM à une latitude donnée est constante; - l'heure de passage TSM à un méridien donné ne dépend que de la latitude ....

Établissement de la relation entre 'ljJ et L1T

La relation entre T (heure de passage TSM au méridien) et VJ (latitude géocentrique) s'obtient en utilisant les équations de la trace et en calculant, pour chaque latitude, la longitude correspondante et donc le temps TSM. Mais on peut obtenir cette relation plus simplement, par des considérations géométriques.

408

Chapitre 10. Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse

z

10.4 : Représentation de l'intersection de la trace de l'orbite d'un satellite héliosynchrone (nœud ascendant N) avec un plan méridien donné, défini par le point Q de l'équateur.

FIG.

Considérons la Terre dans le référentiel iR (pseudo-galiléen géocentrique), représentée sur la figure 10.4. À un instant donné, on note A l'intersection du plan méridien de la direction du Soleil avec l'équateur terrestre. On considère le plan orbital d'un satellite héliosynchrone: sa trace coupe l'équateur en N, trace du nœud ascendant. Ce plan fait un angle i = iHS avec le plan équatorial (il s'agit bien ici de i puisqu'on est dans iR, et non de l'inclinaison apparente). L'angle HN A = (OA, ON) reste constant de par la condition l'héliosynchronisme, HNA mesurant l'angle horaire (donc l'heure TSM) du nœud ascendant. On considère un méridien, défini par un point à l'équateur, Q. La trace de l'orbite coupe ce méridien en P, point de latitude 1jJ. L'angle horaire de P et de Q est: H = (OA, OQ). On pose:

L1H

=

H - H NA

=

(ON, OQ)

Cet angle mesure donc la différence d'angle horaire entre N et P (ou Q). Dans le triangle sphérique PQN, rectangle en Q, on connaît le côté PQ, (OQ, OP) = 1jJ et l'angle N, représentant l'inclinaison du plan de l'orbite. On obtient L1H par la relation classique de trigonométrie sphérique, corres-

10.2. Passage pour un satellite héliosynchrone

409

90

60

30 ~

Q)

"0

.2

0

~

--'

-30

-60

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02

04

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10

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18

20

Instant de passage TSM (heure)

22

24

90 80 70 60 ~

Q)

50

"0

.2

10 --'

40 30 20 10 0 12

13

14

15

16

Instant de passage TSM (heure)

17

18

FIG. 10.5 : Graphe 1,/J(Lh) : relation entre la latitude du point considéré et l'écart de temps TSM entre le passage au nœud ascendant et le passage à cette latitude. Pour un satellite héliosynchrone. (a) Pour trois valeurs de l'altitude, h = 800 km et h = (800 ± 800) km. (b) Pour trois valeurs de l'altitude, h = 800 km et h = (800 ± 200) km. Cette figure est un détail de la figure (a).

410

Chapitre 10. Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse

pondant à la relation (t.s.-xn), si PQN est assimilé à CAB: tan 1jJ sin iJ.H = - - tan iHs

(10.7)

Cette formule est bien entendu valable que le satellite soit direct ou rétrograde. Dans le cas direct, tan N et sin iJ.H sont positifs. Dans le cas rétrograde, comme ici, tan N = tan( 7T - iHs) et iJ.H sont négatifs. En notant, par TN A, l'heure locale de passage au nœud ascendant et par T, celle de passage en P, on a : iJ.T

=

T - TN A =

1 K iJ.H

(10.8)

avec K, coefficient d'ajustement d'unités: si les temps sont en heures et les angles en degrés, K = 15 (puisque 1 heure correspond à 15 degrés). On a donc les relations entre la latitude .1jJ et l'écart de temps de passage iJ.T: iJ.T

ou bien: Cette fonction,

= -1 arcsin ( tan. 1jJ ) K

(10.9)

tanl.HS

1jJ = arctan (tani H S . sin K

(10.10)

iJ.T)

est représentée figure 10.5.

V)(iJ.t),

Heure de passage à une latitude quelconque

On note TNA et respectivement.

TND

l'heure de passage au nœud ascendant et descendant,

TNA

= 12 + TND

[modulo 24]

On prend pour iJ.T la valeur définie par (10.9), c'est-à-dire, entre -6 h et +6 h. On obtient ainsi les deux instants de passage quotidiens T(A) et T(D) (dans la partie ascendante ou descendante de la trace, respectivement) : {

T(A) T(D)

+

= TNA iJ.T = TND - iJ.T = TNA

+ 12 -

iJ.T

(10.11)

L'écart de temps, noté 5 (1jJ), entre deux passages (celui dans la partie ascendante et celui dans la partie descendante), à une latitude donnée, est donné par: (10.12) 5(V)) = T(A) - T(D) = 12 + 2 iJ.T On donne ci-dessous quelques exemples de calcul. Exemple 10.5 Calcul de l'heure de passage TSM, à la latitude 15° N, pour un satellite héliosynchrone, d'altitude h = 800 km, avec pour heure de passage au nœud ascendant 00:00 TSM.

10.2. Passage pour un satellite héliosynchrone ~ On a vu que, pour cette altitude, l'inclinaison du satellite est relation (10.9) donne:

,dT

=

On prend obtient:

~ K

arcsin ( tan 15 ) tan 98.6

,dT

T(A) T(D)

= 115 arcsin( -0.04052) =

= -9 min, et avec

TNA

-21~32 b

h

411

98.6°. La

= -9.3 min

= 00:00 porté dans l'équation (10.11), on

= TNA +,dT = 24 h 0 min - 9 min = 23:51 = TN A + 12 - ,dT = 12 h 0 min + 9 min = 12:09

Les deux passages à cette latitude ont donc lieu à 23:51 TSM et 12:09 TSM, ce qu'on vérifie sur la figure 10.5(a) ....

Exemple 10.6 Calcul de l'heure de passage TSM, à la latitude de 5(f', pour le satellite héliosynchrone SPOT-5, dont le passage au nœud ascendant a lieu à 22:30 TSM. ~ Pour ce satellite, pour une latitude de 50°, la relation (10.9) donne ,dT = -42 min. On aura donc, avec (10.11) et TNA = 22:30 : ?j; = 50 0 N ---t 21:48 et 11:12 ?j; = 50 0 S ---t 23:12 et 09:48 Le passage de jour a lieu, dans l'hémisphère Nord, bien après 10:30, assez près de midi avec de bonnes conditions d'éclairement solaire. Par contre, dans l'hémisphère Sud, le passage, assez tôt le matin, se fait avec des conditions d'éclairement défavorables. Le choix du type de nœud (descendant à 10:30 plutôt qu'ascendant) favorise l'observation des latitudes élevées d'un hémisphère par rapport à l'autre. Nous y revenons ci-dessous ....

10.2.2

Choix de l'heure locale au nœud ascendant

Contraintes pour le choix de l'heure de passage

L'heure locale de passage au nœud ascendant est déterminée par les besoins de la mission. Son choix résulte d'un compromis entre diverses contraintes, que nous avons numérotées ici de 1 à 5, avec un « C » pour « contrainte» : - (Cl) obtenir les meilleures conditions d'éclairement solaire pour les régions observées; - (C2) tenir compte des phénomènes météorologiques locaux (par exemple, telle région est souvent couverte de brumes matinales) ; - (C3) limiter les risques de réflexion spéculaire (cet « éblouissement» des instruments, dû à la réflexion du Soleil sur les surfaces aquatiques, est étudié au chapitre 13 - on utilise souvent le terme anglais de glint ou Sun-glint pour le désigner) ; - (C4) limiter la durée de l'éclipse solaire; - (C5) prendre en compte l'heure de passage d'un autre satellite héliosynchrone qui effectue le même type de mission.

412

Chapitre 10. Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse

Nous examinons ci-dessous les diverses heures choisies en fonction du type de mission. La figure 10.8 résume schématiquement les relations entre contraintes et missions. Choix divers en fonction des contraintes

(a) Satellites de télédétection des ressources terrestres Comme nous l'avons déjà noté, les satellites de ce type 2 sont tous héliosynchrones. Les contraintes (Cl) et (C3) sont prioritaires. Il faut que l'heure locale de passage au nœud soit proche de midi, pour (Cl), mais pas trop, à cause de (C3). De plus, un décalage par rapport à midi permet d'obtenir, compte tenu de la courbe 1/!(Lh), de bonnes conditions d'éclairement solaire pour les latitudes élevées. Les concepteurs de ces missions considèrent généralement que les plages horaires (heure locale) les plus favorables à la prise de vue durent une heure, centrée sur 11:00 ou sur 13:00 (ces limites ne sont pas strictes) . On peut donc envisager les cas suivants (les calculs sont faits pour un satellite d'altitude h = 800 km). - Passage à l'équateur à l'heure limite inférieure. Si le nœud ascendant est à 10:30 (TNA = 10:30), les latitudes vues entre 10:30 et 11:30 sont obtenues avec (10.10). Le calcul pour .dT = 1 donne, avec K = 15: .1jJ = arctan [(tan 98.6) . (tan 15)] = -61 ° ce qui correspond aux latitudes comprises entre 0° et 61°S. Si le nœud descendant est à 10:30 (TN A = 22:30), les latitudes vues durant cet intervalle de temps sont comprises entre 0° et 61°N. - Passage à l'équateur à l'heure limite supérieure. Si le nœud ascendant est à 13:30, les latitudes vues entre 12:30 et 13:30 sont comprises entre 0° et 61°N. Si le nœud descendant est à 13:30, les latitudes vues dans cet intervalle de temps sont comprises entre 0° et 61°S. - Choix de l'heure. Le passage au nœud à midi n'étant pas retenu pour éviter les réflexions spéculaires, le choix de l'heure de passage à l'équateur à 10:30 ou 13:30 est donc guidé par un souci: avantager un des deux hémisphères terrestres, le Nord ou le Sud. C'est évidemment l'hémisphère Nord qui est favorisé: il compte plus de terres émergées que l'autre hémisphère, mais surtout, abrite les nations qui financent l'envoi des satellites. On choisit donc, pour les satellites d'observation des ressources terrestres, l'une des deux heures de passage à l'équateur : 2Un satellite peut avoir à son bord des instruments qui appartiennent à différents types de mission. Par exemple, le satellite russe Resurs-Ol-4 abrite l'imageur russe MSU pour la télédétection et l'instrument français ScaRaB pour l'étude du bilan radiatif terrestre (qu'on peut mettre dans la catégorie météorologique). Mais c'est le coté télédétection qui a justifié le choix de l'heure de passage.

10.2. Passage pour un satellite héliosynchrone

413

90

60

30 ~

Q)

"0

.3

0

~

--'

-30

-60

-90 00

02

04

06

08

10

12

14

16

Instant de passage TSM (heure)

18

20

22

24

FIG. 10.6 : Complémentarité entre Terra et Aqua. Instant de passage TSM en fonction de la latitude, pour les satellites héliosynchrones EOS. Pour diverses valeurs de l'heure TSM du nœud ascendant: 10:30 et 22:30 pour EOS-AM-1, 01:30 et 13:30 pour EOS-PM-1. Le graphe des valeurs correspondant à l'instant de passage retenu dans le projet final sont en trait plein, soit 22:30 pour EOS-AM-1 et 13:30 pour EOS-PM-1 (respectivement Terra et Aqua).

22:30 ===} nœud descendant 10:30 13:30 ===} nœud ascendant 13:30 Le premier est dit de matinée, le second est dit d'après-midi. Les graphes de la figure 10.6 expliquent clairement ces choix pour les satellites de la NASA, pour l'observation de la Terre, en orbite complémentaire, un dans la matinée (AM), l'autre dans l'après-midi (PM). Ces satellites, respectivement Terra et Aqua, s'appellaient, en début de projet, EOS-AM-1 et EOS-PM-l. Entre les heures locales (TSM) 10:30 et 13:30, tranche horaire la plus favorable aux prises de vue, ces deux satellites survolent l'hémisphère Nord, jamais le Sud. Le choix entre les deux possibilités, TN A = 22:30 ou TN A = 13:30, est généralement fait comme réponse à la contrainte (C2). On évite ainsi la présence presque systématique de formations nuageuses à certaines heures de la journée, sur certaines régions bien définies. Le choix du nœud descendant en fin de matinée a été fait pour la plupart des satellites d'observation de la Terre. La liste suivante montre à quel point l'heure « reine» est 22:30 pour le nœud ascendant de ce type de satelTN A = TN A =

414

Chapitre 10. Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse

lite. Parions que si l'Australie envoie un satellite pour l'étude des ressources terrestres de son territoire ce sera avec un nœud ascendant à 10:30 ! - Nœud ascendant à 22:30 (parfois 21:30 ou 22:00) : les satellites américains Landsat, de -1 à -7, et les suivants EO-1 et Terra; les 5 satellites français SPOT, de -1 à -5; les européens ERS-1 et -2, Envisat; les japonais MOS-1 et -lB, JERS-1, ADEOS-1 et -2, ALOS; tous les satellites indiens IRS (sauf les océanographiques), IRS-1A, -lB, -lC, -ID, -P2, -P3, Resourcesat-1 et -2, Cartosat-1, -2 et -2A, IMS-1 (21:30) et TES; le russe Resurs-Ol-4, les sino-brésiliens CBERS, -1, -2 et -2B; le thaïlandais THEOS; le taïwanais FormoSat-2 (21:30) ; les chinois HJ-1A et -lB; l'argentin SAC-C; le belgoeuropéen PROBA; l'israëlien EROS-Al. n faut ajouter à cette liste tous les satellites américains commerciaux de cartographie, Ikonos-2 (22:31), QuickBird-2 (22:27), WorldView-2 (22:34), GeoEye-1 (22:27). La constellation allemande de satellites commerciaux RapidEye, de -1 à -5, passe à un horaire un peu différent (23:15). - Nœud ascendant à 13:30 : Aqua et les autres satellites de l'A-Train (figure 9.14), CloudSat et Calipso, Parasol, Aura; le satellite WorldView-1; les 4 satellites militaires français Hélios-lA, -lB, -2A et -2B (13:15). - Nœud ascendant à 10:30 : les satellites coréens Arirang-1 et -2 (KOMPSat) ; les britanniques UK-DMC et UK-DMC2. - Nœud ascendant à 01:30 : le satellite israëlien EROS-B. Nous avons groupé ces instants de passage à l'équateur par horaire, mais dans chaque groupe il y a une certaine dispersion. Par exemple, GeoEye-1 ne passe pas à 22:30 mais à 22:27, Aura ne passe pas à 13:30 mais à 13:46. Mais tant que le satellite est maintenu en orbite, et surtout s'il est phasé, il passe à l'heure nominale (22:27 pour GeoEye-1, 13:46 pour Aura) à une ou deux minutes près. (b) Satellites météorologiques Pour ces satellites qui observent les phénomènes météorologiques, l'heure de passage n'est pas critique et elle est même assez variée. De plus, dans la plupart des cas, ces satellites ne sont pas maintenus à poste: on laisse dériver l'heure de passage. Cette dérive est parabolique en fonction du temps, comme on va voir peu après, avec la relation (10.19). Pour les satellites NOAA, la dérive, qui peut être importante, apparaît sur la figure 10.7. La dérive des satellites DMSP est du même genre. Pour les satellites NOAA, à partir de TIROS-N et NOAA-6, la contrainte (C5) est prise en compte: sur une région donnée, et avec l'éclairement solaire, un satellite passe le matin et l'autre l'après-midi. Les organismes NOAA et EUMETSAT ont créé le programme IJPS (Initial Joint Polar System) pour mettre en commun les instruments et en accord les satellites. Le programme a commencé avec NOAA-18, MetOp-A et NOAA-19, et continuera avec les NOAA suivants et MetOp-B et -Co Le satellite européen opère en milieu de matinée, aux alentours de 10 h (TN A = 21:30), les satellites américains en début de matinée, vers 8 h (TNA = 19:30)

10.2. Passage pour un satellite héliosynchrone

415

24 23 22 ë

CIl "0 C

21

u

20

CIl "0 ::::> ID

19

ID (J)

0

c

::::> "0

18

~ 17

(J)

C. 16 ~

::::> ID

I

15 14 13 12 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

Année

FIG. 10.7: Heure de passage au nœud ascendant TNA en fonction du temps (année: de 1978 à 2011). Satellites héliosynchrones météorologiques du programme POES (TIR OS-N, NOAA-6 à -19) et MetOp-A (dans le cadre de IJPS). Les satellites du programme POES ne sont pas maintenus et subissent une dérive. L'instant TN A est noté pour la période de fonctionnement opérationnel de chaque satellite (d'après document NOAA). Pour NOAA-15, -16 et -17, on a noté TNA, en pointillé, lorsque ces satellites sont en réserve. Le satellite MetOp-A est maintenu en orbite, TNA = 21:30.

et en début d'après-midi, vers 14 h (TNA = 14:30). (c) Satellites océanographiques S'ils ne sont pas spécialisés dans l'altimétrie, les satellites océanographiques sont héliosynchrones. S'ils ne sont pas munis de diffusiomètres, on choisit souvent un passage à l'équateur aux environs de midi/minuit, pour répondre à la contrainte (Cl) : TNA = 00:00 pour Oceansat-1 et -2, TNA 00:20 pour SeaStar. (cl) Satellites ayant un grand besoin d'énergie Les satellites ayant à bord un radar ou un instrument avec un grand besoin d'énergie ne doivent pas subir de longues interruptions d'alimentation. Les panneaux solaires doivent être pratiquement toujours éclairés. Pour cela, l'orbite dont la normale est approximativement dans le plan méridien est la mieux adaptée, car elle occasionne les éclipses les plus courtes - voir plus bas dans ce chapitre. Cette orbite héliosynchrone est telle que TN A = 06:00 ou

416

Chapitre 10. Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse

18:00. On l'appelle orbite crépusculaire 3 . Cette orbite présente une distinction très particulière entre les hémisphères terrestres : - avec TN A = 06:00, l'hémisphère Nord est vu de nuit, l'hémisphère Sud est vu de jour (entre 06:00 et 18:00) ; - avec TN A = 18:00, c'est l'inverse. Les satellites Radarsat-1 et -2 sont dans ce cas, TNA = 18:00, comme on le voit sur la figure 10.3 : la contrainte (C4) est jugée prioritaire. Pour les 4 satellites italiens COSMO-SkyMed-1, -2, -3 et -4, en constellation, l'heure de passage est strictement identique, TN A = 06:03, pour le satellite allemand TerraSAR-X, TNA = 18:00 et pour l'indien RISat-2, TNA = 06:00. Il en est de même pour les satellites océanographiques utilisant un diffusiomètre (scatterometer) , instrument qui mesure la vitesse du vent sur la mer, comme QuikScat (TNA = 17:55), Coriolis (TNA = 18:00), HY-2A (TNA = 18:00). Cette orbite crépusculaire est prévue pour les projets européens AeolusADM (Atmospheric Dynamics Mission) et WALES, à basse altitude (h ':':' 400 km). (e) Satellites dont l'orbite demande une configuration particulière par rapport au Soleil Les satellites pour l'observation du Soleil, s'ils restent au voisinage de la Terre, doivent profiter au maximum de la vue sur l'astre du jour. L'orbite crépusculaire est la seule, en répondant à la contrainte (C4), à permettre une telle observation continue. Les satellite TRACE (TNA = 6:00) et Picard (TNA = 6:00) sont sur ce type d'orbite. (f) Satellites devant subir des variations thermiques limitées Pour les satellites réalisant des expériences de physique fondamentale, sur le principe d'équivalence, il est primordial que les variations thermiques soient les plus limitées possibles. L'orbite crépusculaire répond à la contrainte (C4). Ce sera l'orbite des satellites [lSCOPE et STEP. Le satellite GOCE est en orbite très basse (h rv 250 km) et doit subir le moins possible de variation thermique. Il est aussi en orbite crépusculaire (TNA = 18:00). (g) Choix pour d'autres types de mission L'heure de passage du satellite peut être déterminée par la nature physique des phénomènes à observer. Le satellite SMOS (figure 9.13), mesure l'humidité des sols. Cette mesure, très délicate, est d'autant meilleure que le gradient de température du sol est minimum, ce qui est le cas à 6h du matin. Si on ajoute qu'on veut avoir un éclairement à peu près constant pour les 3 Crépuscule vient du latin crepusculum, nom formé à partir de l'adjectif archaïque creper, mot d'origine obscure et incertaine signifiant «obscur, incertain ». En français moderne, comme en latin, il désigne la pénombre qui suit le coucher du soleil. En ancien français, il pouvait désigner aussi l'aube, «crépuscule du matin». En astronomie, l'adjectif crépusculaire s'adresse autant à l'aube qu'au crépuscule proprement dit. En anglais, dawn/dusk orbit.

10.2. Passage pour un satellite héliosynchrone

Eclairement des scènes

(a) TELEDET.

»>

22:30

(b) METEO

»>

divers

(c) OCEANO

»>

00/ 12

(d) RADAR

»>

06/ 18

(e) ET. SOLEIL

»>

06/ 18

(1) PHY. FOND.

»>

06/ 18

C1

Phénom,ènes

de météo locale C2 Eviter C3 le glint

"""'"

Limiter C4

"'"'"

i

~ /

Heure N. Asc. CS ® d'autres sato

417

13:30

10.8 : Choix de l 'heure de passage au nœud ascendant des satellites héliosynchrones (passage à l'équateur). Représentation schématique des contraintes amenant à ce choix pour les divers types de mission.

FIG.

panneaux solaires, c'est évidemment l'orbite crépusculaire qui a été choisie pour SMOS (TNA = 6:00). C'est aussi celle qui est prévue pour son pendant américain, SMAP. L'orbite crépusculaire a été choisie pour MagSat (Explorer-61, étude de la magnétosphère) car les perturbations créées par le Soleil sur le champ magnétique terrestre, qui varient avec l'heure, sont ainsi minimisées et rendues constantes.

10.2.3

Calcul de la dérive de l'heure locale

La dérive de l'heure locale de passage est due à la dérive de l'inclinaison 'i du plan de l'orbite. Les équations de Lagrange montrent que (d'i / dt) = 0 sous l'effet du potentiel terrestre. Mais d'autres perturbations gravitationnelles (du Soleil et de la Lune) on non gravitationnelles provoquent cette légère variation de 'i qui, très faible au début (quelques centièmes de degré par an), finit par prendre de l'importance. L'heure locale TN A du passage au nœud ascendant est directement liée à l'ascension droite [2 du nœud ascendant: TNA

= 12 +

[2 -

K

[2s

= 12 +

[2H

en notant par [2s la longitude de la direction du Soleil, et [2 et [2s en degrés (K = 15), avec [2H = [2 - [2s. La dérive de l'heure TN A est donnée par: dTNA _

dt

~

- K

ri

H

(10.13)

K

TN A

étant en heures

(10.14)

418

Chapitre 10. Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse

10.9 : Heure locale de passage au nœud ascendant pour des satellites héliosynchrones, en fonction du temps, noté en mois. L'origine du temps (t = 0) est prise à l'instant où l'orbite du satellite est exactement à l'inclinaison FIG.

TSM 22:42 22:4 0 ,--"yo .... 22:38 22:36 22:34 22:32 22:30

iHS.

13:42 13:40 13:38 13:36 13:34 13:32 13:30 mois-> -12 -9 -6 -3

0

3

6

9

12 15 18 21 24

(a) Satellite ADEOS-1, passage TN A vers 22:30. (b) Satellite Aqua, passage TNA vers 13:30. Ces courbes sont théonques : ADEOS-1 n'a fonctionné que 10 mois, entre les mois - 5 et + 5 notées sur le graphe; Aqua est repositionné sur son orbite nominale tous les mms envzron.

Pour un satellite héliosynchrone strictement maintenu, DH = 0 et TN A est constant. Si DH n'est pas nul, cela est dû à la variation de i. Avec (7.6), on écrit: dD• = -Ka Tl-Cf7 d(cosi) = Ka Tl-Cf7 sini (di) dt dt

(10.15)

La variation (di/dt) est une grandeur qui ne dépend que de la position du Soleil (et en moindre part de la Lune), donc de l'heure TNA. On peut la considérer comme constante tant que TN A ne varie pas de plus d'une demi-heure par rapport à l'heure nominale, Ta, obtenue pour i = iHS. Nous noterons:

(10.16) grandeur dont le signe peut être positif ou négatif. On note par Do la vitesse de précession pour l'inclinaison héliosynchrone nominale i = iHS. On obtient, en intégrant (10.15) :

(10.17) où t représente le temps écoulé depuis le début de la dérive (instant t = 0).

10.2. Passage pour un satellite héliosynchrone

En intégrant encore une fois par rapport au temps, avec Do

D

=

D0

+ 2Ko

ri _1.2

.. Slll't H S

DT t2

=

419

D(t

=

0) :

(10.18)

ce qui donne pour le temps local: TNA

=

TO

+i

(10.19)

t2

La grandeur i est généralement exprimée en minute·an -2. Sa valeur absolue dépend de l'écart de temps entre le midi local et l'heure locale de passage au nœud, de jour (qu'il soit ascendant ou descendant), notée TN j. Pour les satellites dont le passage de jour à l'équateur est avant midi, i est négatif; si ce passage est après midi, i est positif. On donne les valeurs de i pour l'orbite type Terra (Terra, SPOT, ADEOS, etc.) et l'orbite type Aqua (A-Train) : Type Terra Type Aqua

TNA

= 22:30

=?

TNj

= 10:30

TNA

=

=?

TNj

=

13:30

13:30

=? =?

i = -2.4 min·an- 2 i = +2.4 min·an- 2

Exemple 10.7 Dérive en heure locale pour les satellites ADEOS-l et Aqua. ~ Pour ces deux satellites héliosynchrones, on exploite les données fournies par les agences spatiales. (a) ADEOS-l L'agence spatiale japonaise NASDA (devenue par la suite JAXA) a fourni la valeur de l'heure de passage au noeud descendant, notée TND, fixée à TND = 10:30 ± 0:15, et de sa dérive prévue au cours du temps: TND = TO + a 15 + b 15 2 = 10.6872 + 4.4329 10- 6 15 - 5.843410- 10 15 2 , le temps TN D étant exprimé en heures décimales et 15 représentant le temps en heures écoulé depuis l'heure 00:00 du jour du lancement. Le maximum de cette fonction parabolique, comme on le voit sur la figure 10.9(a), est obtenu pour: 15 = a/(2b) = 3.793 10 3 h c::::: 158 jours. Le satellite a été lancé le 27 août 1996, avec TN D = 10:41. Cette valeur passe par un maximum TND = 10:42 au bout de 5 mois et revient à TND = 10:41 au bout de 10 mois. On note ensuite les valeurs suivantes: TN D = 10:40 pour 12 mois, TN D = 10:35 pour 24 mois, TND = 10:24 pour 36 mois. On arrive à TND = 10:15 après 42 mois. À ce moment, il faut modifier l'orbite car la variation de TN D devient très rapide (mais le satellite n'a fonctionné que 10 mois). Cette mission est poursuivie par ADEOS-2 avec le même choix pour l'heure locale de passage. (b) Aqua Les responsables de la NASA indiquent l'heure décimale de passage du satellite au noeud ascendant: TNA = 13.525 h (avec l'inclinaison nominale) et TNA = 13.565 h au bout de 365 jours. La courbe de variation a été reconstituée, figure 10.9(b). Dans la pratique, l'orbite du satellite Aqua, qui fait partie du A- Train, est maintenue très strictement .....

420

Chapitre 10. Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse

10.3

Angle du plan orbital avec le Soleil (angle (3)

L'angle que fait la direction du Soleil avec le plan de l'orbite du satellite joue un rôle important en astronautique (par exemple pour le positionnement des panneaux solaires). Dans la littérature spécialisée, cet angle est désigné par angle solaire (3. Le domaine de variation de l'angle (3 est l'intervalle [-90°; +90°] et (3 prend une valeur positive lorsque la face éclairée est celle qui contient la normale au plan orbital (définie par le mouvement du satellite dans le sens trigonométrique direct).

10.3.1

Position de la normale au plan orbital

On note 0 le centre de la Terre, C le centre du Soleil, P le plan orbital et [; le plan équatorial terrestre. On calcule d'abord (3/, angle de la normale n à P avec la direction OC et qui varie dans l'intervalle [0°; 180°], comme i. Un satellite coupe l'équateur à son nœud ascendant, à l'instant t = ta, à l 'heure locale TN A(ta) = Ta. Considérons le référentiel iR, centré sur 0 (figure 10.1). L'axe Oz est l'axe des pôles, xOy est dans [; et y/Oy est confondu avec la ligne des nœuds (orienté du nœud descendant vers le nœud ascendant). On rappelle que l'angle horaire, exprimé en degrés, s'obtient à partir de l'heure locale, exprimée en heures, par la relation:

Ho

=

15 (Ta - 12)

(10.20)

Pour un calcul rigoureux, il faut exprimer l'heure locale en TSV (et non plus en TSM), et faire ainsi intervenir l'équation du temps ET. À un autre instant, t = h, avec L1t = h - ta, le centre 0 de la Terre a tourné autour de C avec la vitesse angulaire ft s et la ligne des nœuds a tourné, à la vitesse ft, par rapport aux axes du référentieliR. La direction de la normale n à P est définie par : - angle zénithal (n = i, qui reste constant, égal à l'inclinaison de l'orbite; - angle azimutal Œn = ft L1t, puisque l'origine des azimuts est prise sur Ox à t = ta. La direction OC du Soleil est définie par: - angle zénithal (8 = 90° - 5, en notant 5 la déclinaison à l'instant considéré; - angle azimutal Œs = 90° - Ho + ft s L1t, puisque Ho correspond à l'angle horaire à t = ta. Les coordonnées cartésiennes du vecteur unitaire de la normale n et du vecteur unitaire s de la direction du Soleil OC sont donc:

n=

x = cos (ft L1t) . sin i y=sin(DL1t)·sini z = cosz

(10.21)

10.3. Angle du plan orbital avec le Soleil (angle (3)

s L'angle

x =

= sin (Ho y = cos (Ho z = sin15

nsi1t) .cos 6 nsi1t). cos15

421

(10.22)

p' est ainsi déterminé dans son intervalle de variation.

10.3.2 L'angle

Angle j3

p = p' - 90° est obtenu

sinp = sini· cos15· sin [Ho +

à partir du produit scalaire n· s :

(n - ns) i1t] + cosi· sin15

(10.23)

ce qui donne la valeur de p dans son intervalle de définition. Pour les satellites héliosynchrones, on a : = et (10.23) se simplifie:

n ns

sinp = sin'i· cos15· sin Ho + cos'i· sin15

(10.24)

Pour les satellites non héliosynchrones, l'angle horaire Ho prend toutes les valeurs possibles et sin Ho varie entre -1 et +1. Les valeurs extrêmes de sin p sont donc : sin p = ± sin i . cos 6 + cos i . sin 6 = sin (6 ± i)

(10.25)

La déclinaison 6 varie dans l'intervalle [-c; +c], avec l'obliquité c = 23.4°. L'angle p varie donc dans l'intervalle:

P E [-Ci + c); +(i + c)]

(10.26)

limité, bien entendu, à l'intervalle de définition de p. Ainsi, pour Megha-Tropiques, i = 20.0°, P E [-43.4°; +43.4°] ; pour 188, i = 51.6°, P E [-75.0°; + 75.0°] ; pour Jason-2, i = 66.0°, P E [-89.4°; +89.4°]. Exemple 10.8 Variation de l'angle solaire p, sur deux années, pour le satellite héliosynchrone Calipso et pour le non héliosynchrone Megha- Tropiques. ~ Pour chacun de ces satellites, on trace la variation de chaque angle déterminant la direction de la normale au plan orbital et de la direction du Soleil. Ces variations sont représentées graphiquement, figures 10.10 et 10.11. - Direction du Soleil. L'élévation (j = 90° - (s correspond à la déclinaison. L'azimut as a un cycle d'une année; sa varition en fonction du temps n'est pas exactement linéaire (l'écart représente l'équation du temps, ET). - Direction de la normale au plan orbital. L'angle zénithal (n reste constant, car l'inclinaison est constante. C'est pour l'angle azimutal an que se manifeste la grande différence entre satellites, selon qu'il soit héliosynchrone ou non. Pour l'héliosynchrone, an fait un tour en un an, par rapport

Chapitre 10. Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse

422

Calipso

Cycle 1 Soleil: infini (HELIOSYN.) 180

;"/

160 140 120 100 -

/"

o -20

§..?~111

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i

Il

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-

-100

-

-120

-

-140

-

-160

-

-180 (deg)

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i

i 30

60

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-80

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-40 -

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1/

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-60

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(j __ Angle solaire "Beta"

(direction du Soleil- plan de l'orbite)

i/ li ----/.----7--------------------~+"----/-/---------------------

80 -

40 -

1:::!..~.i!!1

§..~.!§.\(.

1/

./

./

60 -

20 -

N : normale à l'orbitel:::!~Eilll S : direction du Soleil

90

i

i

i

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i

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i

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1

/

li

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/

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/

/

1

/

/

120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720 750 780

DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN 20092010 2011 2012

f3

Calipso

Angle solaire "Beta" (direction du Soleil - plan de l'orbite)

Cycle / Soleil: infini (HELIOSYN.) 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26

25 24 23 22 21 20 19 18

(deg)

{J

3b

~o

Jo

1io

1~0

1éo 210

2~0

2+0 360 310 3éo 3éo

4~0 4~0

4éo 510

5~0

5+0 660 610 6éo 6éo

7~0 7~0

7éo

DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AGU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AGU SEP OCT NOV DEC JAN

20092010

2011

2012

10.10 : (a) Angles de la géométrie Direction du Soleil - Normale à l'orbite; (b) Angle (3. Satellite héliosynchrone Calipso. Passage au nœud ascendant à 13:46:37 le janvier 2010.

FIG.

rr

10.3. Angle du plan orbital avec le Soleil (angle (3)

Megha-Tropiques

Cycle 1 Soleil 180 160 140 120 100 80 60

\

= 51 jours

\

\

N.normaleàl·orbite

.t:!.
b!.§gjm

(Cs= -51.3) S: direction du Soleil

§..~.!§Y.

§.."~111

i i il i i{ i i 1 i i / i i / i :r i li i 1 \ \/ i

..

\

'

i i i i i i

\ /

i l-

(1 __ Angle solaire ''Beta''

(direction du Soleil - plan de l'orbite) /

/

\

i i i i i i i

/ /

.1

/

423

40 20

i i i i i i i / i .'

·20 -40

i i i i i i i i i i,

-60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 (deg)

fi

i

30

1

60

1

1

i i i i i i i i i V /i (

i i i i i i

/

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/ /

"

1

1

/\

i i i i i 1

i i i i i

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1

1

i

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1

1

1

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.\

/

/

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'\

;

\

1

1

; 1

1

1 1

1

1

1

120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720 750 780

SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT 2012 2013 2014

Megha-Tropiques

Cycle 1 Soleil 45

\ /

= 51 jours

(Cs= -51.3)

f3

Angle solaire "Beta" (direction du Soleil - plan de l'orbite)

40 35 30 25 20 15 10

5 -

-5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 (deg)

fi

3'0 6'0 9'0 1~O 1~O 1éo 2~O 2~O 2+0 360 3~O 3éo 3~O 4~O 4JO 4éo 5~O 5~O 5+0 660 6~O 6éa 6~O 7~O 7JO 7éo

SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT 2012 2013 2014

10.11 Angle entre la direction du Soleil et le plan de l'orbite. (a) Angles de la géométrie Direction du Soleil- Normale à l'orbite; (b) Angle f3. Satellite non héliosynchrone M egha- Tropiques. Passage au nœud ascendant à 18:00:00 le )"" septembre 2012.

FIG.

424

Chapitre 10. Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse

à R. Pour le non héliosynchrone à précession nodale rapide, le cycle est beaucoup plus court (et rétrograde). - Angle f3, entre la direction du Soleil et le plan de l'orbite. Pour Calipso, f3 varie entre 20° et 35°. L'allure générale du graphe de f3 en fonction du temps est fortement influencée par l'équation du temps. Pour Megha-Tropiques, l'amplitude est beaucoup plus large, l'angle variant entre -45° et +45 0 • Dans ce cas, on peut étre amené, à certains moments, à retourner le satellite de sorte que les panneaux solaires soient convenablement éclairés .....

10.4

Étude de l'éclipse pour les orbites circulaires

Le satellite subit une éclipse solaire lorsque le Soleil lui est caché par la Terre. Durant l'éclipsé, le satellite se refroidit et les panneaux solaires ne produisent plus d'électricité. Il est intéressant de connaître la durée de l'éclipse, de savoir pendant combien de temps, au cours d'une révolution, le satellite peut être privé de lumière solaire. Ce problème se pose principalement pour les satellites LEO en orbite quasi circulaire et pour les géostationnaires.

1004.1

Durée de l'éclipse

Si, à un moment donné, la direction du Soleil est dans le plan orbital P du satellite, c'est-à-dire fJ = 0 (pour le nœud ascendant, TN A = 00:00 ou 12:00), on peut calculer très facilement la proportion d'orbite dans l'ombre. On a représenté, en figure 10.12(g.), la Terre circulaire, de centre 0 de rayon R, et l'orbite du satellite, de rayon r, dans le plan P. On obtient l'angle ao (l'angle a pour fJ = 0) : sinao =

OA

OB

R

1

r

ri

qui permet de connaître la fraction d'orbite à l'ombre, a/,rr. Si la direction du Soleil n'est pas dans le plan orbital, f3 cf 0, on définit un repère orthonormé, (0 ; X, Y, Z), centré sur 0 et où DY représente la direction anti-solaire. L'ombre de la Terre définit un cylindre d'axe OY, de rayon R. L'ensemble de toutes les orbites possibles, semblables à l'orbite circulaire étudiée, est une sphère, de rayon r, centrée sur O. L'intersection de la sphère et du cylindre donne un cercle de rayon R, perpendiculaire à 4Ce nom vient du latin tardif eclipsis, tiré du grec ~ ÉXÀElqHÇ, EWÇ, «défection ». Le mot est formé du préfixe EX, « en dehors» et du verbe ÀEb1:ElV, « laisser», voir la note ellipse. Le mot écliptique, désignant le plan de l'orbite de la Terre autour du Soleil, est de formation plus récente. Pour qu'une éclipse se produise, la Lune doit traverser ce plan (condition nécessaire et non suffisante).

10.4. Étude de l'éclipse pour les orbites circulaires

425

,z

y

p ,

0

1

'X

X

FIG. 10.12 : Schéma de la géométrie orbite-Soleil pour la détermination de la durée de l'éclipse, dans le cas d'une orbite circulaire, 0 est le centre de la Terre, OA son rayon, OB le rayon de l'orbite. Pour le repère (0 ; X, Y, Z), l'axe OY est la

direction anti-solaire, OZ est dans le plan orbital.

DY (figure 10.12). Le passage du satellite sur ce cercle marque l'entrée et la sortie d'éclipse. L'angle a, mesurant la longueur de l'arc à l'ombre, est donné par:

OB'

OQ cosf3 = OB'

cosa = OB d'où l'expression:

cos a o cos

--f3-

cosa =

(10.27)

En notant T la période et les angles en radians, on obtient l'expression de L1t e , la durée d'éclipse, par le calcul de la quantité li :

li=

VI -

12 TI

cos f3

===}

{

~

L1t e

=

L1t e

= 0

'if

arccosli si li < 1 si li

~

(10.28)

1

La connaissance de f3 par (10.23) fournit donc la valeur de L1t e pour toute orbite circulaire. Nous donnons deux exemples, figure 10.13, pour deux satellites LEO non héliosynchrones.

Chapitre 10. Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse

426

TRMM [2]

Période = 92.39 min

Cycle 1 Soleil = 47 jours (Cs= -47.4)

Altitude = 402.6 km Inclinaison = 34.97

0

45

ECLIPSE: durée (minute) pour chaque révolution

40

35

30

25

o

20

~

...J

15

10

(min)

0

25

50

75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 550 575 600 625 650 675 700 725

JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN

2010

2011

Jason-2 1 OSTM

2012

Période = 112.43 min

Cycle/Soleil = 118jours (Cs=-117.6) 45

Altitude = 1336.3 km Inclinaison = 66.04

0

ECLIPSE: durée (minute) pour chaque révolution

40

35

30

25

o

20

~

...J

15

10

(min)

0

25

50

75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 550 575 600 625 650 675 700 725

JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN

2010

2011

2012

10.13 Durée de l'éclipse solaire, en minutes, pour chaque révolution, en fonction du jour de l'année, pour des satellites LEO non héliosynchrones. (a) TRMM. (b) J ason-2.

FIG.

10.4. Étude de l'éclipse pour les orbites circulaires

427

Nous examinons ci-dessous, plus en détail, le cas des satellites héliosynchrones.

10.4.2

Orbite LEO héliosynchrone

Pour un satellite héliosynchrone en orbite circulaire basse (i cv 100°), la valeur de sinp, dans (10.24), et donc de .dte , dépend essentiellement de Ho, représentant l'heure de passage fixe (TSM) au nœud ascendant, notée TN A. Les figures 10.14 et 10.15 donnent la durée de l'éclipse à chaque révolution, au cours de l'année, pour une orbite héliosynchrone «classique », h = 700 km. Pour cette orbite, on a envisagé toutes les heures TN A, de 00:00 à 24:00, avec un pas d'un quart d'heure. Pour TN A = 06:00 (orbite crépusculaire), on a .dt e = 0 toute l'année, sauf de mi-novembre à fin janvier, où .dt e passe par un maximum de 19 minutes au solstice d'hiver. Pour TNA = 12:00 (orbite midi-minuit), .dt e = 35 minutes de manière constante au cours de l'année. On voit apparaître une certaine dissymétrié dans les graphes. Elle est due à l'équation du temps ET, différence entre les temps TSM et TSV. Les heures de nœud ascendant notées sur les graphes sont en TSM, alors que la configuration d'éclipse dépend de TSV.

10.4.3

Orbite LEO héliosynchrone crépusculaire

Conditions d'éclipse Pour les orbites héliosynchrones crépusculaires, les éclipses sont des événements critiques. En utilisant la condition (10.28), appliquée à l'orbite crépusculaire, nous cherchons les cas où l'éclipse est évitée, quel que soit le jour de l'année. La contrainte la plus forte est obtenue à un des deux solstices, avec 151 = E = 23.44°. Dans ces conditions, lorsqu'on fait varier 'fi entre 1 et 1.9367, valeur maximale pour un satellite héliosynchrone, donnée par la relation (7.103), la condition sur T) et p est vérifiée lorsque T) est compris entre 5En exemple, prenons le cas le plus marqué. Le 11 février ou le 1er novembre, la déclinaison est la même, mais l'équation du temps est très différente, pas loin des valeurs extrêmes: 11 février: ET = +14 min { <5 = -14,3° 1er novembre: ET = -16 min Considérons la figure 10.15(a). Le 11 février, la courbe 16:00 indique une éclipse de durée

iJ.t e = 21 minutes, qui correspond à

TSV = TSM-ET = 16:00 - 0:14 = 15:46 Le 1er novembre, cette même valeur iJ.t e = 21 minutes s'obtient avec la courbe 15:30, ce qui correspond à TSV = TSM-ET = 15:30 + 0:16 = 15:46 Les deux dates, à des heures TSM différentes de 30 minutes, mais à des heures TSV identiques, procurent la même valeur de durée d'éclipse.

Chapitre 10. Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse

428

Orb. Hélios. / 700 km

Cycle 1 Soleil: infini (HELIOSYN.)

Altitude Période

= 700.0 km = 98.89 min

40 38

ECLIPSE: durée (minute) pour chaque révolution

00:00

36

34 32 30 28

26 24

22 20

18 16

14 12 10

,

(min)

0

25

50

1

75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 550 575 600 625 650 675 700 725

JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC

Orb. Hélios. / 700 km

Cycle 1 Soleil: infini (HELIOSYN.)

Altitude Période

= 700.0 km = 98.89 min

40 38

ECLIPSE: durée (minute) pour chaque révolution

12:00

36

:"--:-E:-~~:~:-;:~:-~~:~~-;:~=-;:'~:~--=-::'--:::~~::-:=---~-"-"--~-~-"-":"--:-.:::::~~:~-~~:-~=:-:~~-;=~=-~:~:-~:~-~:i~--:-:=-_s~:~~ ~=

34 32 30 28

26 24 22

20

18 16

14 12 10

(min)

0

25

50

75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 550 575 600 625 650 675 700 725

JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC

10.14: Durée de l'éclipse solaire, en minutes, pour chaque révolution, en fonction du jour de l'année, pour des satellites héliosynchrones (h = 700 km). Pour diverses heures (TSM) de passage au nœud ascendant, avec un pas d'un quart d'heure. (a) De 00:00 à 06:00. (b) De 06:00 à 12:00.

FIG.

429

10.4. Étude de l'éclipse pour les orbites circulaires

Orb. Hélios. / 700 km

Altitude

Cycle / Soleil: infini (HELIOSYN.)

Période

= 700.0 km = 98.89 min

40 38

ECLIPSE: durée (minute) pour chaque révolution

12:00

36

:~~~~~~~;~~i~;~~~~:~:~~~-::;~~~:~:~y;~~i~~~~~;~,=~~:

34 32 30 28

26 24 22

'.

20 18 ~"-~"'

16

"

\

16:00

...

'

.............. ,1

"

14 12 10

(min)

r'

0

,

25

\

, ,,

\

\

\

\

50

1 1

1 1 1

\

\

1 1 1 \

\

\

75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 550 575 600 625 650 675 700 725

JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC

Orb. Hélios. / 700 km

Altitude

Cycle / Soleil: infini (HELIOSYN.)

Période

= 700.0 km = 98.89 min

40 38

ECLIPSE: durée (minute) pour chaque révolution

24:00

36

34 32 30 28

26 24 22

20 18 16 14 12

r'

10

1

1

1

l

'

\

l

1

\

1 1

1

1

,-,

,

\

1

1 1

(min)

0

25

50

75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 550 575 600 625 650 675 700 725

JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC

10.15 : Durée de l'éclipse solaire, en minutes, pour chaque révolution, en fonction du jour de l'année, pour des satellites héliosynchrones (h = 700 km). Pour diverses heures (TSM) de passage au nœud ascendant, avec un pas d'un quart d'heure. (a) De 12:00 à 18:00. (b) De 18:00 à 24:00.

FIG.

430

Chapitre 10. Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse JAN

FEV

MAR

AVR

MAI

JUN

JUL

AOU

SEP

OCT

NOV

30-,-----c----~--~----c_--~----~----c_--_c----c_--~----

DEC

__~~

25

20

15

10

5

30

o

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

Jour de l'année

JAN

FEV

MAR

AVR

MAI

JUN

JUL

AOU

SEP

OCT

NOV

365

DEC

30-,----~----~--~----~------==~----~--~----~--------~--_,

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25

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90

120

150

180

210

Jour de l'année

240

270

300

330

365

10.16: Durée de l'éclipse solaire, en minutes, pour chaque révolution, en fonction du jour de l'année, pour des satellites héliosynchrones crépusculaires. Pour diverses altitudes, de h = 200 km à h = 1200 km. Heure (TSM) de passage au nœud ascendant: (a) 06:00, (b) 18:00.

FIG.

10.4. Étude de l'éclipse pour les orbites circulaires

431

1.2181 et 1.5221. En utilisant l'altitude, on obtient: absence d'éclipse

{==}

1 391 km < h < 3 330 km

Si l'altitude du satellite est inférieure à 1 391 km, il y a éclipse, car le satellite n'est pas assez haut pour sortir de l'ombre de la Terre (au moins au solstice). Si l'altitude est supérieure à 3 330 km, l'orbite est suffisamment proche du plan équatorial (i tend vers 180°), et de l'écliptique, pour que, malgré l'altitude élevée, le satellite passe dans l'ombre. Ces remarques sont surtout d'ordre théorique. Dans la pratique, la plupart des satellites en orbite crépusculaire sont des satellites munis de radar - avec la contrainte (C4) vue plus haut - pour lesquels une altitude inférieure à 800 km est conseillée. Le phénomène d'éclipse intervient donc obligatoirement au cours de l'année pour un satellite LEO. Calendrier d'éclipse

Lorsqu'il y a éclipse, nous calculons la durée de l'éclipse en fonction de la date. Les résultats sont donnés, figure 10.16, pour des altitudes variant de 200 km à 1 200 km. L'éclipse, d'autant plus importante que l'altitude est basse, atteint sa durée fJ.t e maximale au solstice (d'hiver boréal si TNA =06:00, d'été boréal si TNA =18:00). Pour les altitudes inférieures à 285 km, on trouve une deuxième période d'éclipse, plus petite, à l'autre solstice, voir exemple 10.9. Les graphes précédents sur les satellites héliosynchrones ont été établis de manière rigoureuse. Dans le but de fournir des relations analytiques simples et générales sur les satellites LEO héliosynchrones, nous établissons les relations suivantes en négligeant l'équation du temps ET. Nous pouvons alors écrire, en confondant TSM et TSV : 06:00 TSM

===}

sin Ho = -1

18:00 TSM

Dans (10.24), nous écrivons sinHo = (J" avec heures TSM considérées, ce qui donne : sin fJ = sin (b

+

(J"

(J"

===}

sin Ho =

+1

= ±1 selon l'une des deux

i)

Le satellite étant héliosynchrone (iHs > 90°), il est plus pratique, pour mieux appréhender les domaines de variation des angles, de considérer, à la place de i H s,l'angle j = i H S - 90°. La relation précédente devient : sinfJ = cos(b

+ j) (J"

La condition de non éclipse, issue de (10.28) :

432

Chapitre 10. Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse

devient

1

.

- < cos( 0 + () J) TI

(10.29)

On obtient la relation: absence d'éclipse

~

10 + () jl < arccos(l/rJ)

(10.30)

Nous donnons un exemple de calcul. Exemple 10.9 Calcul des dates d'éclipse pour les satellites SMOS et GOCE. ~ Les deux satellites européens SMOS et GOCE sont en orbite héliosynchrone crépusculaire. (a) SMOS Les caractéristiques orbitales du satellite SMOS sont a = 7 133.875 km (d'où h = 756 km), iHS = 98.44°, 'ld = 100.06 min, TNA = 06:00. On obtient ainsi: j = 8.44°, () = -1, (l/rJ) = 0.8942 et arccos(l/7]) = 26.63°. On utilise la condition d'éclipse, lb + () jl > arccos(l/rJ), en envisageant les deux cas, selon que la déclinaison soit positive ou négative. - si b > 0 : b - 8.44 > 26.63, ce qui n'est jamais possible; - si b < 0 : Ibl + 8.44> 26.63, soit Ibl > 18.19°. Ces valeurs de la déclinaison négative correspondent aux dates de l'intervalle d'éclipse suivant: [15 novembre - 28 janvier]. La durée maximale a lieu au solstice d'hiver, pour b = -E : cos Do = sin(26.63) / sin(31.88) = 0.8487 d'où Do = 31.93°. La durée d'éclipse par révolution est: L1te = 'ld(31.93/180) = 17.75 é:::: 18 min, ce qu'on vérifie sur la figure 10.14 avec h = 700 km au lieu de h = 756 km. (b) GOCE Les caractéristiques orbitales du satellite GOCE sont a = 6 632.488 km (d'où h = 254 km), iHS = 96.54°, 'ld = 89.72 min, TNA = 18:00. On obtient ainsi: j = 6.54°, () = + 1, (1/7]) = 0.9617 et arccos(l/rJ) = 15.92°. - si b > 0 : b + 6.54 > 15.92, soit b > 9.38, ce qui correpond à l'intervalle de date [15 avril - 29 août] ; - si b < 0 : Ibl - 6.54 > 15.92, soit Ibl > 22.46° ce qui correpond à l'intervalle de date [6 décembre - 7 janvier]. On peut parler de deux « saisons» d'éclipse, une longue en été et une courte en hiver, ce qui apparaît clairement en figure 10.16, h = 250 km (et h = 254 km pour GOCE). La durée maximale de l'éclipse d'été a lieu au solstice. cos Do = sin(15.92) /(sin(23.44 + 6.54) d'où Do = 56.T et L1te = 28.26 é:::: 28 min. La durée maximale de l'éclipse d'hiver a lieu au solstice. cos Do = sin(15.92) / (sin(23.44 - 6.54) d'où Do = 19.3° et L1te = 9.66 é:::: 10 min. On calcule l'altitude minimale pour laquelle on peut éviter la petite saison d'éclipse. Avec j = 6.54° d'après la valeur iHS de GOCE, la condition au solstice est:

10.4. Étude de l'éclipse pour les orbites circulaires

433

arccos(l/l]) = (23.44 - 6.54) = 16.90° soit TJ = 1.04514 d'où h = 288 km. En calculant maintenant la valeur iHS pour cette altitude, avec (7.101), on obtient i = 96.63° et donc: arccos(l/TJ) = (23.44 - 6.63) = 16.81° soit TJ = 1.04464 d'où h = 285 km. Une itération supplémentaire améne au méme résultat: si l'altitude de l'orbite est supérieure à 285 km, il n'y a qu'une saison d'éclipse ....

10.4.4

Orbite MEO

Les satellites MEO ont un cycle Cs long, proche de l'année, car leur vitesse de précession est très faible: 351 jours pour Navstar/GPS, 353 j pour Glonass, 356 j pour Galileo. Deux fois par cycle (une fois dans partie ascendante de l'orbite, une fois dans la partie descendante) le satellite est dans une situation d'éclipse. L'éclipse dure environ un mois, sa durée maximale est de 60 minutes environ. La date de l'éclipse dépend de l'heure de passage au nœud ascendant pris comme référence. Sur la figure 10.17(a), nous avons représenté la durée d'éclipse L1te, en fonction de la date, pour la constellation Galileo. On a noté 4 heures de passage au nœud ascendant le 1er janvier, espacées de 6 heures, à savoir TN A = 00:00, 06:00, 12:00 et 18:00.

10.4.5

Orbite GEO

Le cas des satellites GEO peut être traité de manière générale. On pose i = 0 dans (10.23) et on obtient f3 = 0, ce qui est la définition même de la déclinaison O. On applique ensuite la condition (10.28) avec TI = Tics défini par (7.70). On peut aussi voir les choses de manière plus spécifique. Pour un satellite géostationnaire, il n'y a pas d'ombre portée de la Terre sur l'orbite circulaire tant que la direction du Soleil a une inclinaison (déclinaison 0), sur le plan équatorial, supérieure à l'angle sous lequel le satellite voit la Terre. Notons fo cet angle, qui est le demi-angle au centre du cône d'observation de la Terre par le satellite, et sur lequel nous reviendrons au chapitre 12, voir relation (12.33). La relation sinfo = 1/r7cs donne fo = 8.7°. Il y a donc éclipse si : loi < fa. Cette situation se rencontre deux fois par an, autour des équinoxes: éclipse pour GEO

{==}

{

[27 février - 12 avril] [ 1er septembre - 16 octobre]

Durant ces périodes, de deux fois 45 jours (de J = 58 à J = 102 et de J = 244 à J = 289; les dates peuvent varier d'un jour selon les années), l'éclipse la plus longue apparaît bien évidemment le jour des équinoxes. Ce jour-là, sa

Chapitre 10. Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse

434

Galileo

65 60

NA:OO

_ 1\

NA:O~,NA:18

:\ \

50

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n,

1\

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35

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Il

40

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"

Période

NA:12

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45

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Il

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10

Il

Il l,

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1 1 1 1 1

!

"

15 -

= 844.69 min

A

" ,

25 -

(min)

(Cs=-355.9)

Il 1

i :\

55

30

ECLIPSE: durée (minute) pour chaque révolution

Altitude =23222.1 km

= 356 jours

Cycle 1 Soleil

:j

,'

!

,, ,, ,,, ,,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,,, ,,, ,, ,, ,, ,, ,, ,,

:: :

1 1

1

75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 550 575 600 625 650 675 700

JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC

METEOSAT

ECLIPSE: durée (minute) pour chaque révolution

Altitude =35787.6 km Période

SAT. GEOSTATIONNAIRE

80

= 1435.91

min

75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 (min)

15 JAN

30

45 FEV

60

75 MAR

90

105 AVR

120 135 150 165 MAI

JUN

180 195 210 225 240 255 270 285 300 JUL

AOU

SEP

OCT

315 330 345 360 NOV

DEC

10.17 Durée de l'éclipse solaire, en minutes, en fonction du jour de l'année. (a) Satellite MEO, avec 4 valeurs de l'heure de passage (TSM) au nœud ascendant, le jour initial de référence. (b) Satellite GEO, quelle que soit sa longitude de stationnement.

FIG.

10.5. Conditions générales d'éclipse solaire

435

durée est égale à : fJ.t e

=

Jo

-

7r

To =

8.7 J sid 180

-

=

. . 69.5 mm ':':' 1 h 10 mm

(10.31 )

La valeur de fJ.t e en fonction du jour de l'année est représentée en figure 10.17(b).

10.5

Conditions générales d'éclipse solaire

Nous avons calculé le calendrier d'éclipse et les durées, en fournissant des formules analytiques, dans le cas des orbites circulaires. Dans le cas général, avec des orbites d'excentricité quelconque, il n'est pas possible de présenter des formules simples, car le nombre de paramètres orbitaux à envisager est trop important. Cependant, on peut donner une méthode générale pour déterminer les période d'éclipse pour tout satellite.

10.5.1

Établissement général des conditions d'éclipse

Pour le calcul de l'angle (3, nous avons choisi une origine arbitraire pour les axes du référentiel ~. Pour le calcul des conditions générales d'éclipse, il est plus simple et logique de choisir la direction du point vernal comme origine, dans la mesure où ce genre de calcul pratique se fait à partir des éléments NORAD (où D est repéré par rapport à ce point ,). On considère donc un référentiel pseudo-galiléen géocentrique ~, où z'Oz est l'axe des pôles, Oxy est dans le plan équatorial terrestre E et Ox vise le point vernal.

Position du Soleil Le plan E fait avec le plan de l'écliptique l'angle E, l'obliquité (figure 7.6). En repérant la position du Soleil avec la longitude écliptique, notée l et définie par (7.44), on obtient les coordonnées du vecteur unitaire s de la direction du Soleil: x = cosl s = y = sin l . cos E (10.32) Z = sin l . sin E = sin 6" Avec la relation (7.60), on retrouve la même valeur z que dans (10.22). Pour ces calculs d'éclipse, la précision des angles à 0.1 0 est suffisante, car le diamètre apparent du Soleil est de 0.5 0 • On prend donc E = 23.4 0 • Pour la longitude solaire, la relation (7.62), reprise ici 360 360 l= 365(J-82)+1.9 sin 365 (J-3) est suffisante, avec J représentant le jour de l'année, J = 1, ... ,365.

(10.33)

436

Chapitre 10. Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse

10.18: Géométrie des conditions d'éclipse. La Terre crée un cylindre d'ombre, ayant pour axe la direction du Soleil, OQ. Lorsque l'orbite du satellite S passe à l'intérieur du cylindre, ici entre Sa et Sb, le satellite subit une éclipse solaire.

FIG.

Position du satellite Pour la position du satellite S, on reprend la définition du mouvement à l'aide des angles d'Euler, vue au chapitre 8, et on mesure !?, ascension droite du nœud ascendant, à partir du point vernal. On obtient ainsi, pour en vecteur unitaire porté par r = OS, les coordonnées données par (8.10)

er

= cos!?· cos(w + v) - sin!?· sin(w + v)· cosi y = sin!? . cos (w + v) + cos!? . sin (w + v) . cos i z = sin(w + v) . sin i

x =

(10.34)

On rappelle : avec

T

a(l - e 2 ) 1 + ecosv

= -----'--

Appelons X l'angle entre la direction du satellite et la direction anti-solaire, de vecteur unitaire (- s). On le détermine par le produit scalaire: cosx = -er · s

(10.35)

10.5. Conditions générales d'éclipse solaire

437

Cylindre d'ombre

On considère la Terre sphérique et le Soleil ponctuel. La planète crée un cylindre d'ombre, d'axe -s, de rayon R (rayon équatorial). L'orbite du satellite peut couper le cylindre d'ombre: il y a alors éclipse. Sur la figure 10.18, le satellite subit une éclipse entre les positions Sa et Sb. On note Q le pied de la perpendiculaire menée de Sa (ou Sb) à l'axe du cylindre. L'angle X, noté alors xo, représente dans ce cas l'angle entre le plan de l'orbite et la direction du Soleil: c'est l'angle solaire (3. La valeur de XO s'obtient par: . SaQ R 1 Slnxo = = - = (10.36) OSa r T) On a donc, dans ce cas, sin (3 = (1/T)), en entrée et sortie d'éclipse.

10.5.2

Critère d'éclipse

S'il y a éclipse (S entre Sa et Sb), l'angle X est inférieur à XO. Dans le cas contraire, il n'y a pas d'éclipse. Le satellite étant repéré par l'anomalie vraie v, calculée en fonction du temps, la méthode consiste à calculer, pour chaque instant, les vecteurs s, e r et la distance r. On compare ensuite X et XO. l

x=

arccos( -er . s)

Xo = arcsin(l/T))

{

X X

< >

Xo ~ éclipse Xo ~ pas d'éclipse

(10.37)

Cette méthode nécessite l'utilisation d'un logiciel de propagation, comme Ixion. On note qu'on n'a pas à calculer (3 de manière explicite. Un exemple de tracé d'orbite avec notation de l'éclipse est donné pour le satellites Aqua, figure 17.9.

rapport • • phasage, altitude la position de l'orbite du satellite relativement à 1>iiTties distinctes. On consacre la première à l'étude du satellite relativement à la Terre, la seconde à rapport à l'ellipsoïde terrestre.

de phasage u phasage llf)rvation avec des satellites LEO, on cherche sourépétitive de la Terre: le satellite repasse périotflf~mes points de la surface terrestre, ce qui garantit donné, avec cette périodicité, des conditions géolentiques. Cette contrainte de mission, imposant fiif ramètres d'orbite, est appelée phasage. au bout de laquelle la trace du satellite reprend rapport à la Terre est appelée cycle de phasage (ou ou cycle de répétitivité). Ce cycle correspond Terre, et sa valeur sera notée CT, avec l'indice à Cs qui est le cycle par rapport au Soleil, vu

li

réalisé, la trace du satellite forme une grille, fixe couvre le globe entre les latitudes maximales fille (on choisit généralement un nœud ascendant) plus bas cette grille de phasage. de phasage exposées ici restent valables si l'orbite Mais, dans la pratique, tous les satellites LEO

M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

440

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

phasés sont en orbite quasi circulaires. Le phasage ne concerne pas uniquement les satellites LEO, il est aussi utilisé pour les satellites MEO et les satellites REO de communications. Fréquence quotidienne de phasage

L'angle de précession, angle d'Euler QI, joue un rôle fondamental dans les notions de phasage. En utilisant les relations (7.35) et (8.17) on obtient:

al =

P)

. . 27T ( 1-(DT - D) = - - 1 + -,h,i Nan . nd QI = - -

'"

(11.1) (11.2)

avec les notations N~n, hi, P et '" définies au chapitre 7. La fréquence quotidienne de phasage, définie par (7.41), et dont nous rappelons la valeur : v (11.3) '" = ------:;-l-_-----c;Pc;1+-N~n

permet de comparer, par les vitesses angulaires, la rotation de la Terre, le mouvement du satellite et de sa précession nodale. Elle est proche de v, la fréquence quotidienne orbitale, mais en est distincte, sauf dans le cas des satellites héliosynchrones, et seulement dans ce cas. En effet, pour de tels satellites, '" = v puisque P = 1.

11.1.2

Calcul du cycle de phasage CT

L'intersection de la trace ascendante du satellite avec l'équateur définit ainsi un nœud ascendant de longitude Ào. Si le satellite est phasé, la trace va repasser sur ce point précis Ào de l'équateur, CT jours plus tard. Le satellite a effectué un nombre entier de tours entre ces deux passages. Ce nombre de tours (nombre de révolutions) est noté NT", alors que CT est un réel quelconque, a priori non entier. Dans tout ce qui suit dans ce chapitre, nous affecterons de l'indice [alles nombres entiers intervenant dans ces calculs. De ce qui précède, on obtient la relation suivante, qui donne la durée IL de l'intervalle de temps entre les deux passages au même nœud ascendant Ào : (11.4) Pendant la durée IL, le plan de l'orbite a fait un nombre entier de tours, noté ka, par rapport au repère !RT , puisque la trace se retrouve exactement sur une ancienne position. Cela donne : (11.5)

11.1. Contrainte de phasage

441

Avec les relations (11.4) et (7.41), on obtient:

ce qui donne (puisque T d = 27r /nd) : K,

NT" ka

=--

Cette relation montre que pour un satellite phasé, le paramètre quotidienne de phasage, est un rationnel: satellite phasé

~

K,

rationnel

K"

fréquence (11.6)

En utilisant la fréquence quotidienne orbitale v, on a : lIl/l CT lIl/l = NT "

V

ce qui donne pour la valeur du cycle CT : CT_- NT" -V

(11. 7)

L'entier ka, défini plus haut, qui représente un nombre entier de jours, sera noté C To . On a donc : C _ NT" (11.8) T" K,

Dans le cas général, on distinguera le cycle de phasage CT du cycle entier de phasage C To . Dans le cas particulier des satellites héliosynchrones (type de satellite qui regroupe, il faut le noter, la plupart des cas de phasage), CT et C To sont confondus, puisque dans ce cas K, = v. Cela signifie que, pour un satellite phasé : - s'il est héliosynchrone, il repasse sur un point de sa trace toujours à la même heure, donc au bout d'un nombre entier de jours et CT est entier; - s'il n'est pas héliosynchrone, il repasse sur un point de sa trace à des heures différentes, CT n'est pas entier. Relation avec le cycle par rapport au Soleil

Le cycle Cs par rapport au Soleil et le cycle CT par rapport à la Terre dépendent tous les deux des caractéristiques de l'orbite, mais n'ont pas de relation univoque: on peut faire varier les paramètres d'orbite d'un satellite de sorte que, par exemple, Cs reste constant pendant que CT prend toutes les valeurs désirées. Il y a cependant une relation intéressante à mettre en évidence entre la différence (CT - CTJ et le cycle Cs. Avec les définitions de Cs, CT, CT", P et K" on peut écrire: v 1 - =1-(11.9) K, Cs

442

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

CT - C To = 1 _ C To = 1 _ ~ = _1_ CT CT '" Cs On obtient ainsi CT, connaissant C To et Cs : CT =

C To

(11.10)

1

1-Cs

Pour un satellite héliosynchrone, CT = C To puisque Cs est infini.

11.1.3

Triplet de phasage

Le nombre rationnel "', fréquence quotidienne de phasage, peut donc s'écrire sous la forme: NT" (11.11) C To

"'=--

On peut l'exprimer sous la forme d'un entier et d'une partie fractionnaire (positive ou négative), inférieure ou égale, en valeur absolue, à (1/2) :

(11.12) Dans cette expression, Va représente le nombre entier le plus proche de '" et DTo l'entier relatif tel que:

(11.13) On a donc:

< lC 2 T

0

et C To premiers entre eux

Les trois nombres On le notera :

Vo ,

DTo et C To constituent le triplet de phasage du satellite. [ V 0,.

D T o .' CT o 1

Nous voyons que le phasage d'un satellite peut être défini de deux manières équivalentes : - par le triplet de phasage; - par le couple d'entiers N To ' C To . La valeur de "', ainsi obtenue par (11.11) ou par (11.12), permet d'obtenir V par (11.3) et donc la période ou le moyen mouvement, après un calcul d'itération sur P. La période, en minutes, s'exprime en fonction de NT", CT" et P par:

Td (min) = 1440

C

To (1 NT"

+ 1 -,

P)

Nan

(11.14)

Ce calcul d'itération consiste à faire une première évaluation de T, qui permet d'obtenir a, qui, avec la valeur de i, donne P. On obtient ainsi une nouvelle

11.2. Phasage pour les satellites LEO héliosynchrones

443

valeur de T et par une itération rapidement convergente, la valeur finale donnant la période. Nous donnons par la suite des exemples de calculs. Bien entendu, tous ces calculs sont plus simples pour un satellite héliosynchrone, puisque P = 1. C'est pour cela que nous allons séparer l'étude de l'obtention du phasage en deux cas, selon que le satellite soit héliosynchrone ou pas.

11.2 11.2.1

Phasage pour les satellites LEO héliosynchrones Méthode pour l'obtention du phasage

Nous avons vu que l'altitude d'un satellite héliosynchrone, en orbite quasi circulaire, est comprise entre les limites théoriques h = 0 et h = 5964 km, ce qui correspond à des valeurs de la fréquence quotidienne orbitale de v = 17.03 et v = 6.34, respectivement. Dans la pratique actuelle, avec h situé entre 400 et 1 000 km, v varie entre 15.5 et 13.8 tours par jour. Pour un satellite héliosynchrone, il est simple d'obtenir les conditions de phasage puisque v = K,. La fréquence quotidienne orbitale v = v(a), qui ne dépend ici que de a (puisque i et a sont liés) est un rationnel qui se met sous la forme:

v=va

Le satellite repasse sur sa trace tous les révolutions.

11.2.2

DTo

+C

To

C To

(11.15) jours, au bout de N To = v

CT"

Module de phasage

Présentation

Commençons avec un exemple simple. Nous considérons les satellites dont la fréquence v est comprise entre 14 et 15. Si le satellite est phasé sur 1 jour, on a v = 14 ou 15. S'il est phasé sur 2 jours, il effectue, durant ce cycle de 2 jours, N To = 28, 29 ou 30 révolutions. Mais si N To = 28 ou 30, le phasage a déjà été pris en compte par CT" = 1 jour. Il reste donc le phasage N To = 29, représenté par le triplet [14; 1 ; 2]. S'il est phasé sur 3 jours, il effectue, durant ce cycle de 3 jours, NT" = 42, 43, 44 ou 45 révolutions. Restent les phasages N To = 43 ou 44, d'où les triplets [14; +1 ; 3] et [15 ; -1 ; 3]. Et ainsi de suite. Établissement du module

Le module de phasage représente les phasages possibles pour un intervalle

[va; va+1]. Pour chaque valeur de CT", porté en abscisses, on note les phasages

444

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

possibles en regard de la valeur de v correspondante, en ordonnées. Si CT" est un nombre premier, toutes les valeurs possibles de DTo sont représentées. Dans le cas contraire, les seules valeurs de DTo représentées sont celles telles que les nombres CT" et DT" sont premiers entre eux (ils n'ont pas de multiplicateurs communs). Par sa relation avec les nombres premiers, ce diagramme est très proche du crible d'Ératosthène 1 . La figure 11.1 représente 2 un tel module pour CT" < 38. En « empilant» tous ces modules, pour divers valeurs successives de v o , on obtient le diagramme de phasage. On remplace l'échelle linéaire en v par une échellé linéaire en altitude. 1

11.2.3

1

Diagramme de phasage

L'établissement d'un diagramme de phasage permet de visualiser les altitudes conduisant aux différentes situations de phasage. Ce diagramme est un graphique dans lequel les altitudes (des plus basses aux plus hautes) sont placées selon les ordonnées, les cycles de phasage (en jours) selon les abscisses. Pour chaque valeur de v o , pour chaque cycle CT", on fait varier DT" dans son domaine, et on obtient v par (11.15) et par suite, le moyen mouvement n et la période draconitique T = Td. On obtient ainsi l'altitude et l'inclinaison, en calculant a et i, par une méthode itérative, comme dans l'exemple 7.3 ou comme dans les exemples 11.1 et 11.2 ci-dessous. On note la valeur obtenue sur le diagramme. Sur la figure 11.2, ces valeurs sont signalées par un petit carré. Lorsque la valeur DT" est absente, remplacée par un point, cela signifie qu'il n'y a pas de phasage à proprement parler. Sur les figure 11.3 et 11.4, on a noté explicitement la valeur de DT" dans chaque cas. 1 Ératosthène de Cyrène (284-192 av. JC), a 'EP0t1:0crc&ÉYf!Ç, ouç, astronome, mathématicien et géographe grec. Il découvrit une méthode systématique pour obtenir la suite des nombres premiers, jusqu'à la valeur désirée. On écrit la suite des entiers positifs, puis on barre les multiples de 2, de 3, de 5, etc. Cette méthode, qui « tamise» les entiers pour ne garder que les nombres premiers, est appelée le crible d'Eratosthène. Ses talents d'astronome et de géographe lui permirent de réaliser une mesure scientifique (et relativement précise) du rayon de la Terre, en mesurant l'ombre portée par une colonne à Alexandrie, à midi, le jour où il savait que les rayons du soleil plongeaient dans les puits à Syène (le jour du solstice d'été à Assouan, sous le tropique du cancer). Il détermina l'obliquité de l'écliptique et estima à 47°42' l'arc de méridien compris entre les deux tropiques. 20 n peut lire également un tel graphe en repérant les valeurs de DT". Prenons par exemple DTo = ±7. Cette valeur apparaît, pour toutes les valeurs de CT" supérieures à 2 X IDT" = 14, sauf pour CT" = 21, 28, 35, ... , c'est-à-dire les multiples de 7. 3Ce n'est que lorsqu'on passe de v à a ou h qu'intervient le type d'orbite (inclinaison, héliosynchrone ou non héliosynchrone). Le module de phasage s'établit sans référence à un type de satellite et est même indépendant de la notion de satellite! La seule condition est que le phénomène considéré soit uniforme dans le temps. 1

11.2. Phasage pour les satellites LEO héliosynchrones

445

0.00 - , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - . + 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1 +1+1+1+1+1+1+1 +2' +2' +2' +2' +2' +2 . +2' +2' +2' . +3+3' +3+3' +3 2' + 2 . + 2 + 3 . + 3+ 3' + 3+ 3 + 4' + 4' + 4 . + 4 . + 3 . +3 + 4' + 4 . 5+ 5' + 5+ 5 +2 . + 3+ +4 . +4 . + + 5' + 5+ 5+ . + 6 . + 6 + 3+ 3 +4 . + 5+ 5 5 . +6 . . + 7+ 7 +3 . +4 . + 5+ 5 . +6 + 7+ 7+ 7 +8 +3 +4 . + 5:.. ~, ....... ".t.. 6,,·..... t..7.+J~.~ ... +.. 8.:" ..: ..~,: .:1:-.9 +4 + 5+ 5 . +6 + 7+ 7+ + 8' + + 9 . + 9+ . +10 . +8' +5. +7+ 7 . +9 +10' . 1111 +4 +5 +6 +7 +8 +9+ 9 +10' +11 11 +12 +5 +6' +7' +8' 9+ 9 ' . +10' :+11+ 11 ' . +12;t13 +5 +7+ 7 +8 +9' + . +1°+11+11+1\12' :I-~3+13+11. +14

+1+1+1+1

+1 +1 +1

+2 +2

++

0.25

+ 1+ 1

+2

+3

+1

+4

+3

+2

+3

:7 . . .

+3

+4

+5

-4

-5

+5

+6

0.50 -3

-1

-2

_7

-6 -5

-3

-4

-5_5

12

-7

+7

+8

.

+8' . +9 . +1{11, +12' +13+13+14' : . +15 +9 . +1°+11+ 11 . 13+13+13+14' . +15+ 16 , :~~ + 9 +10 +11 +12' +13+ +14' +1l15+ 16 · +11 17+18

- 8 - 9·_1()-;;·:12·:1:Ï·~14:~i5_;5:16::ii-;;:i8 -9' -11_11'. -13_ 13 -14 . . _15-16. -17 -8 _9- 10 -11_11' _12-13-13_13-14 . . . :~~ -7_7_7- 8 -6

-4

10

+7

-7

0.75

1 2 3 4 5 6 7 8

+7

14

:: -7

_9_9-10-11:~~-1<~~-;1-13-13:~~-;3:~i

. -8 . - 9 9 . -10. . -11_11 . -12 -77 . -8 - . 9 -10. -11_11 - -7 . -8 . - -9 . . -10

16 18 20 22 24 26 28 30 32

34

36

FIG. 11.1 : Établissement du «module» de phasage. En ordonnées, la fréquence quotidienne (révolution/jour), comprise entre deux valeurs entières, va et va + 1. En abscisses, la valeur du cycle de phasage (jours).

Le diagramme permet d'avoir une VlSlOn globale du phasage. Pour les phasages courts, on voit que les possibilités sont limitées à quelques valeurs. Entre 450 et 1 000 km, il n'y a qu'une altitude possible pour un cycle de phasage de 2 jours (h = 720 km pour Oceansat-2) et seulement 3 pour un phasage de 3 jours. Par contre, pour les cycles longs, les occasions sont plus nombreuses, surtout si CT" est un nombre premier. Pour CT" = 31, on a environ 120 possibilités entre 0 et 1 200 km, soit en gros, une altitude de phasage tous les 10 kilomètres.

11.2.4

Phasage défini par le triplet de phasage

Les satellites héliosynchrones phasés sont définis par le triplet de phasage. Tous les satellites héliosynchrones qui ont le même triplet de phasage ont la même période, et donc les mêmes valeurs de a et i (ils ont de plus la même valeur de e, car l'orbite est gelée comme on verra à la fin du chapitre). Le triplet de phasage définit donc l'orbite. On peut parler d'orbite SPOT pour tous les satellites ayant le même triplet de phasage que SPOT-1. De manière exhaustive, nous avons noté dans le tableau 11.1, le triplet de

446

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

phasage de tous les satellites héliosynchrones phasés, à notre connaissance : - satellites dont la mission est terminée, comme Landsat-3 ; - satellites en activité, comme Terra; - satellites en projet, comme ceux des missions Sentinel; - satellites dont le projet est abandonné, comme ERM. Les nombres entre crochet, [1], [2], etc., indiquent que le phasage change en cours de mission; [0] indique que ce phasage a été prévu mais abandonné avant le lancement. Pour EarthCARE, tableau 11.3, nous avons noté tous les phasages envisagés. Ils ont évolué à mesure que la date de lancement était reculéé. Les figures 11.3 et 11.4 représentent le diagramme de phasage dans un intervalle restreint en altitude (h entre 320 et 920 km) et en cycle (CTo de 1 à 30 jours). Les possibilités de phasage sont notées, dans chaque cas, avec DT", CT" et va' qu'on déduit de v. Les valeurs « occupées» par les satellites des Tableaux 11.1 à 11.3 sont encadrées. On rappelle que la période draconitique, exprimée en minutes, est donnée par: C

Td (min) = 1440 ~ NT"

(11.16)

ce qui est l'adaptation de la relation (11.14) aux satellites héliosynchrones. Lorsque l'orbite du satellite héliosynchrone est définie par son cycle de phasage C To et par son altitude approchée, il faut déterminer le triplet de phasage, puis se ramener au cas précédent. L'altitude permet de calculer v, qui donne va. Le cycle CT" étant connu, on en déduit NT" par une méthode itérative, puis DT". Exemple 11.1 Calcul des caractéristiques de l'orbite SPOT. ~ Pour l'orbite des satellites SPOT, le triplet de phasage est [14; 5; 26]. On vérifie que 5 et 26 sont premiers entre eux et que 5 est inférieur à 13. Pour que le phasage soit rigoureux, la période draconitique est maintenue à sa valeur précise, donnée par: 'ld = 1440 (26/369) = 101.463 min Dans un premier temps, comme vu dans l'exemple 7.3, on pose T o = Td, ce qui donne les valeurs képlériennes correspondantes : ao = 7206.1 km io = iHs = 98.7° On calcule alors, avec ao et io, les valeurs relatives des variations séculaires: f1n/no = -0.593 10- 3 w/no = -0.564 10- 3 ce qui donne la nouvelle valeur al du demi-grand axe: f1a/ao = -(2/3) 1.15710- 3 f1a = -5.6 km

4La mission européenne ERM (Earth Radiation Mission) devait être opérationnelle aux alentours de 2006, lors d'un minimum d'activité solaire et ainsi permettre une orbite à très basse altitude. À la suite d'un accord entre ESA et JAXA, ERM a fusionné avec le projet japonais ATMOS-Bl pour donner EarthCARE. La date de lancement a été retardée et l'altitude a été relevée, en suivant la montée de l'activité solaire qui culmine vers 2012, dans le cycle de 11 ans. Lorsque la date de lancement est prévue après le maximum du cycle, l'altitude choisie diminue.

11.2. Phasage pour les satellites LEO héliosynchrones

a (km)

v

(rev/j)

Cycle de phasage [Satellites héliosynchrones] Gour)

7600 13.25

1200

......

...... ;, .. ...

...

'0

O"

7500 13.50

....

7400 13.75 7300

7200

7100

...... .........

..•.. !' ....

..... ,.

.. ....

.,

.. ....

14.25

..

..

••• II

.=..~.. 10

14.50

......

,

.. .... ~ .......

.,

.,

.....

15.75

6500

.....

..

'.

.... .. ~

................

• 0

6400

..

I~ ~CJ v

'0

. ..

· ......

•••• !II

"ON

..

·.··11

16.50

17.00

800

0

700

..

.0

.... ,; ..... ..... .... ;,

16.25

16.75

900

600

16.00 6600

.

. .... ~ ..

. ..

'"

15.25

6700

N ••

.•..

.0.

'0

15.00

15.50

1000

••••

14.75

6800

1100 " .. !' ..

.= ..~.. ~ . ... : ..~.. : . ........

14.00

7000

6900

447

....... ': .. .. :

':

~

..... ..... .... ;, . ... ,; .... ;, .

.......

.••• 1'

..

. .

· . ...•

.

.,

..

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~

..

.•..

.

. .~ ····c··

500

400

., .....

"ON

..

300 •

••

N ••

.: ..~

.; ..~.; ..

..

.=

..

•.•• !" .

·:··i··

...

200

100

.:.~.; .. ~

a 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38

FIG. 11.2 : Diagramme de phasage pour les satellites héliosynchrones. Pour les

altitudes comprises entre 0 et 1250 km, on note, par un petit carré, les valeurs de l'altitude h (km) et du demi-grand axe a (km) pour lesquelles le phasage est possible. On lit, en abscisses, la valeur du cycle de phasage (jours). La fréquence quotidienne 1/ (révolutions par jour) est notée en ordonnées.

448

a

(km)

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

v

Cycle de phasage [Satellites héliosynchrones] Uour)

(rev/j)

r--------~---1---------------r--3,rco-sm-o~-S-M-----4~----~---5------~---6---r-

.~

-2

- ~EMO _ A uar[O[

6970

-2

_2

-4

-1 -1 -1

-4

-3 -3

-1 _ RISat-1

01

-5 -5_5

-4

- 3 _3

-2

~ -1

-1

-4

-3

2

-2

.1":21. AIM

~

-1 -1 -1 -1 -1-1

-2

620

-5 -4

-

-3 -3

3

-2.

600

-3 -2 .

+1+1

SBLP1j 1 +1

+1

6870

15.25

560

+1+ 1 + 1 + 1

T-SAR-X

r:21'

EROS-A

B

B

+3

15.50.

a

E

+2E~1C[

L.:2l

+7

+5

+6

1b[

6770

G

-3

-6

-5

-3

-8

-9

-5

-3 -3

-2

2 3 4 5 6 7 8

10

-5

12

-5

14

18

+7

+9

+9 +10

+13 +13 +13

-12

-13

+13

-14

-12

380

-11 _9

-8

-10

-11 -11 -10

-9 -9

-8 -8

.:7.~T.:7 -6

24

360

-9

-8 ····-F·~··

- 5 _5 _5

22

400

-13_ 13

-11 -11

-7 -7

20

420

+14

-13

~

-7

460 440

+12

+12

.

-6

E~A

+11 +1

+11

-9

-5

+9 +10

+9 +11

-10

-7

480

+8

+8

Et~b[

_9

-4

16

-11

-5

-3

+7

+7 +8

+11

-10

500

+6

+11 +11

+11

-8

-4

+5+5+5

+9

+10

-6

-4

········,1····

-7

+7

+10

-8

-6

-4

-3

+9

-7 -5

+8

-9 -7

-4

-2

If~CJV

-7 -7

~ 15.75

+9

+7

520

+4

+6 ....... _... :.~.~:_.

+8

+9

+8

-5

ERM

+7

+8

+7

-5

-2

+6

B +7

+5

+5

+5

+6

+5

+7 +6 OB-2+ 7

+5

+5

+4

+5

B

+5

E-CARE[3a[

6720

OrbV-3, 5

+5

+5

+4

+4

540

+3+3

+3+3

+4

+4

+4

+2' +2'

+2 +3+3

3

+4

+4

E-CARE[2a[

+3 +

+3

+4

+3

+2

+2

+3

+3

+1

6820

+3

+3

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

+2

+2

~

+2 ....... _... -+-1·····

+1+1+1+1+1+1

LP2 [. +2 SB +2

+1

+1

580

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1-1

15.00 ... 0··-·· -...... --. -... - ..... -... - .. -

6920

h (km)

340

_6

26

28

30

11.3 : Diagramme de phasage pour les satellites héliosynchrones. Pour les altitudes comprises entre 320 et 620 km, on note, par la valeur DTu ' les phasages possibles. Les valeurs encadrées correspondent à des satellites notés dans les tableaux 11.1 et 11.3. Par exemple, pour OrbView-3, on retrouve le triplet [15; +5; 16J, soit Va = 15 (entier le plus proche de V, en ordonnées), DTo = +5 (noté sur le diagramme) et GTo = 16 (en abscisses).

FIG.

449

11.2. Phasage pour les satellites LEO héliosynchrones

a (km)

v

Cycle de phasage [Satellites héliosynchrones] Uour)

(rev/j)

·1

7270

14.00

FormoSat-2

El···

·1

·1

·2 ·1

+1

B

+2

+1 MetOp[O[

E

HY-1

+3

B B

Sent-2

+3

+4

+4

+3

+5

+4

+5

+5

+5

+5

+5

+2

14.50

+5

7070

G

-5 Sent-1

+7

-3 Ibuk;

...... E1

Cart-2[1[

Terra

G

+9

-8

-7

-7

-6

-4

-5

-5

+11

+11 -11

-10

~.

Sent-3

+11

+11

+11

+12

+13

-12

-13

+7

800

+8

780

+11

+11

+13

+13

+14

760

-13

740 720

-14 -13

-13

-9

700 680

-8 -7

+7

820

+12

+13

-11

[!]

+6

+10

-10

Res 01_3 9

-6 -5

5

+11

-7

-5

-3

+10

-9

-7

-4

B

+10

-9

-8

.'

+~+10

+9

+8

+8

81

-3

AGS -2

-6

SMOS.

+8

860

+ +5"

SRS-1D +8 . . +9 . BCBERS +9

+8

+9

-1konos

-4

G

-7

81

-2

14.75

+6

·El

SAC-C

7020

+7

Oceansat

-3

+7

+7

+4

B

+6

+ +7

+7

+5

+3

7120

+5

+4

+3

+G

880

840

+4

+4

Radarsal 7 +

+7

+6

900

+3 +3

+3 +3

ResurS-2

+5

+2'

······················B +6 +7

+6

+1

+2

+4 +4' SPOT

+4

+4

+2

+3+ 3

+3

+

+2

ADEOS-2

B[

7170

~

3'

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

+2

+2

+2

+3

920

. ................

+1+1+1+1+1+1

+2

NPP

+2

B

El

+1+ 1 + 1 + 1

+2

+1

14.25

·2

..................

Coriolis+ 1

7220

·3 .3

·2 .

·1 .1 -1MOS'[::Œ~r3 . ·2 . -2 . -2 . _ IRS-1B --1-1_1_8 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1-1

.................

+1 +1

h (km)

-10 -9

-8

-7

-7 EnMAP -7

......... [!].

-8 -7

660

-9 -8

-7

-7

-6

-2

-7

640 620

I~~CJl/

2 3 4 5 6 7 8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

FIG. 11.4 : Diagramme de phasage pour les satellites héliosynchrones. Pour les altitudes comprises entre 620 et 920 km, on note, par la valeur DTo , les phasages possibles. Les valeurs encadrées correspondent à des satellites notés dans les tableaux 11.1 et 11.3. Par exemple, pour Terra, on retrouve le triplet [15; -7; 16}, soit 1/0 = 15 (entier le plus proche de 1/, en ordonnées), DTo = -7 (noté sur le diagramme) et C To = 16 (en abscisses).

450

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

DTu

GTu

NTu

Td

a

h

iHS

14 15 15 15 15 14 15 15 15 15 14 14 15 15 15

-1 -7 +5 -5 +7 +1 -2 -1 -2 -1 +3 +3 -1 +1 +2

18 16 16 14 18 8 7 8 7 7 16 17 5 6 15

251 233 245 205 277 113 343 119 103 104 227 241 74 91 227

103.27 98.88 94.04 98.34 93.57 101.89 96.56 96.81 97.86 96.92 101.50 101.57 97.30 94.95 95.09

7285.799 7077.738 6844.207 7051.765 6821.490 7223.450 6966.149 6978.050 7028.876 6983.652 7202.173 7205.917 7001.653 6888.104 6898.237

908 700 466 674 443 845 588 600 651 606 824 828 624 510 520

99.09 98.21 97.30 98.11 97.21 98.82 97.76 97.81 98.01 97.83 98.73 98.75 97.90 97.46 97.50

SPOT-5 Hélios-2B Pléiades-HR-1 e-Corce Envisat ERS-1 [2] ERS-1 [3] MetOp-A MetOp [0] TerraSAR-X COSMO-SkyM EnMAP Sentinel-1 Sentinel-2 Sentinel-3 Z-Earth

14 15 15 15 14 14 14 14 14 15 15 15 15 14 14 15

+5 -10 -11 -11 +11 +1 +59 +6 +1 +2 -3 -6 -5 +3 +7 +39

26 27 26 104 35 3 168 29 5 11 16 23 12 10 27 274

369 395 379 1549 501 43 2411 412 71 167 237 339 175 143 385 4149

101.46 98.43 98.79 96.68 100.60 100.46 100.34 101.36 101.41 94.85 97.22 97.70 98.74 100.70 100.99 95.10

7200.546 7056.025 7073.059 6972.027 7159.496 7153.138 7147.192 7195.606 7197.940 6883.512 6997.705 7020.958 7070.980 7164.272 7177.940 6895.497

822 678 695 594 781 775 769 817 820 505 620 643 693 786 800 517

98.72 98.12 98.19 97.79 98.55 98.52 98.50 98.70 98.71 97.45 97.89 97.98 98.18 98.57 98.63 97.49

MOS-1B JERS-1 ADEOS-1 ADEOS-2 ALOS ALOS-2 GOSat (Ibuki)

14 15 14 14 15 15 15

-1 -1 +11 +1 -19 -3 -1

17 44 41 4 46 14 3

237 659 585 57 671 207 44

103.29 96.15 100.92 101.05 98.66 97.39 98.18

7286.941 6946.179 7174.906 7 181.058 7069.809 7006.172 7044.114

909 568 797 803 692 628 666

99.10 97.69 98.61 98.64 98.18 97.92 98.07

IRS-lB IRS-lD Resourcesat- 2 Oceansat-2 RISat-1 [1] RISat-1 [2] Cartosat-1 Cartosat-2 [1] Cartosat-2 [2]

14 14 14 14 15 15 15 15 15

-1 +8 +5 +1 -1 -18 -21 -1 -69

22 25 24 2 12 119 116 4 310

307 358 341 29 179 1767 1719 59 4581

103.19 100.56 101.35 99.31 96.54 96.98 97.17 97.63 97.45

7282.277 7157.585 7195.119 7098.105 6965.021 6986.291 6995.667 7017.502 7008.799

904 779 817 720 587 608 618 639 631

99.08 98.54 98.70 98.29 97.76 97.84 97.88 97.97 97.93

Sato hélios.

Va

Landsat-3 Terra OrbView-3 Ikonos-2 QuickBird-2 Coriolis AIM Aquarius [0] Aquar./SAC-D NEMO NPP JPSS-1 HypsIRI SCLP [1] SCLP [2]

11.2. Phasage pour les satellites LEO héliosynchrones

451

Sato hélios.

Va

DTu

CTo

NTo

Td

a

h

iHS

Resurs-O 1-3 Kanopus- V-1 Radarsat-2 SAC-C SAOCOM-1A Arirang-1 EROS-Al FormoSat-2 CBERS-2B HY-1 HY-2 [1] HY-2 [2] HJ-lB

15 15 14 15 15 15 15 14 14 14 14 14 15

-8 -11 +7 -4 -4 -11 +2 0 +9 +2 -3 -37 -9

21 35 24 9 17 28 7 1 26 7 14 168 31

307 514 343 131 251 409 107 14 373 100 193 2315 456

98.50 98.05 100.76 98.93 97.53 98.58 94.21 102.74 100.38 100.80 104.46 104.50 97.89

7059.437 7038.005 7167.064 7079.991 7012.831 7063.280 6852.218 7266.473 7148.868 7169.058 7341.734 7343.852 7030.346

681 659 789 702 635 685 474 888 771 790 964 966 652

98.14 98.05 98.58 98.22 97.95 98.15 97.33 99.00 98.50 98.59 99.34 99.35 98.02

11.1 : Caractéristiques d'orbite pour les satellites héliosynchrones obtenues à partir du triplet de phasage [Va; DTo ; C To J. Avec Va : nombre entier le plus proche du nombre de révolutions par jour; DTo : nombre entier égal à (NTu - V o . CTo ); CTo : cycle de phasage (nombre entier de jours); NTo : nombre de révolutions par cycle. Les valeurs du triplet donnent la période draconitique 'ld (min) et ainsi les caractéristiques d'orbite: demi-grand axe a (km), altitude h (km) obtenue par h = a - R, inclinaison héliosynchrone iHS t). Les satellites sont groupés par nationalité, dans l'ordre: États- Unis, France et Europe, Japon, Inde puis divers. À l'intérieur de chaque catégorie, ils sont classés par ordre chronologique.

TABLEAU

Type

Satellite sur le même type d'orbite

Landsat-3 Terra Terra (A-Train f-+) SPOT-5 Hélios-2B Envisat COSMO-SkyMed ADEOS-2 GOSat IRS-1B Resourcesat-2 Oceansat-2 CBERS-2B

Landsat-1, -2 Landsat-4, -5, -7, EO-1, LDCM Aqua, Aura, CloudSat, Calipso, Parasol SPOT-l, -2, -3, -4, THEOS Hélios-lA, -lB, -2A ERS-1 [1], ERS-2 HCMM, TerraSAR-L, HypSEO QuikScat EGPM IRS-1A IRS-1C, -P2, -P3, -P6 (Resourcesat-1) Oceansat-1, VENflS CBERS-1, -2

11.2 : Liste des satellites étant sur un même type d'orbite qu'un satellite du tableau 11.1.

TABLEAU

452

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

Sato hélios.

1/0

DTo

CTo

NTo

Td

a

h

iHS

ERM EarthC. EarthC. EarthC. EarthC. EarthC. EarthC. EarthC.

16 16 15 15 15 15 16 16

-1 -4 +1 +3 +4 +11 -4 -11

3 9 2 7 11 31 9 25

47 140 31 108 169 476 140 389

91.91 92.57 92.90 92.90 93.73 93.78 92.57 92.54

6740.439 6772.570 6788.779 6809.760 6828.978 6 831.592 6772.570 6771.276

362 394 411 432 451 453 394 393

96.92 97.03 97.09 97.17 97.24 97.25 97.03 97.03

[la] [lb] [le] [2a] [2b] [3a] [3b]

11.3 : Comme pour le tableau 11.1, mais pour le projet ERM puis EarthCARE. L'altitude augmente, puis diminue, en fonction de la date de lancement prévue (retardée à plusieurs reprises), en liaison avec les cycles d'activité solaire.

TABLEAU

al = ao + .::la = 7200.5 km Le calcul par itération (une seule supplémentaire suffit) permet d'obtenir le demigrand axe et l'inclinaison: a = 7200.546 km i = iHS = 98.723° Les valeurs données par la documentation du CNES à propos de SPOT sont a = 7200.547 km i = iHS = 98.723° soit une altitude h = a - R = 822 km. Si on fait le calcul des variations séculaires avec le développement arrêté au terme en J 2 , on obtient les valeurs suivantes, après itérations: al = 7200.537 km i = iHS = 98.70° On remarque donc, en comparant les diverses valeurs trouvées pour le demi-grand axe: - le terme ao = 7206.1 km est obtenu par le terme central de l'accélération newtonienne (degré 0 du potentiel); - la différence laI - aol = 5.6 km provient des termes de degré 2 (terme h) du potentiel terrestre; - la différence la - aIl = 10 m provient des termes de degré 4 (terme fi et J4) et d'ordre supérieur du potentiel terrestre. Pour les ordres de grandeur relatifs aux valeurs du demi-grand axe la - aol ~ 10- 3 ao la - aIl ~ 10- 3 la - aol on retrouve les valeurs vues au chapitre 6 dans la comparaison des ordres de grandeur entre h et 1, puis entre J 4 et J 2 . On compare ces valeurs théoriques avec les valeurs réelles, obtenues d'après les éléments NORAD. On choisit trois dates. Les deux premières, en 2003, sont distantes de 26 jours. La troisième est sept ans plus tard, en 2010.

SPOT 5 1 27421U 02021A 03040.18015505 .00000155 00000-0 93359-4 0 9661 2 27421 98.7244 116.8304 0000554 58.9354 301.1883 14.20029420 39902

SPOT 5

1 27421U 02021A 03066.18009415 .00000138 00000-0 85210-4 0 469 2 27421 98.7212 142.4627 0000619 93.4275 266.6981 14.20038040 43590

11.2. Phasage pour les satellites LEO héliosynchrones

SPOT 5

1 27421U 02021A 2 27421 98.7528

453

10005.18145090 .00000277 00000-0 15077-3 0 7284 81.1934 0001110 114.9171 272.2592 14.20012166397832

Les éléments orbitaux obtenus sont les suivants. - Date (1) : 9 février 2003, Révolution 3990 : a = 7200.542 km, e = 5.5410- 5 , i = 98.7244°, w = 58.9354°, ÀNA = 273.1277°, TNA = 22:31:54 - Date (2) : 7 mars 2003, Révolution 4359 : a = 7200.513 km, e = 6.1910- 5 , i = 98.7212°, w = 93.4275°, ÀNA = 273.1552°, TNA = 22:31:55 - Date (3) : 5 janvier 2010, Révolution 39 783 : a = 7200.603 km, e = 11.10 10- 5 , i = 98.7528°, w = 114.9171°, ÀN A = 273.1249°, TN A = 22:26:08 Date (1). Avec 3990 révolutions, le satellite a terminé 10 cycles de 26 jours. Il a été lancé depuis 281 jours. Les paramètres orbitaux sont « nominaux ». Dates (1) et (2). Ces dates sont séparées par un cycle de 369 révolutions, soit 26 jours. On note un écart pour ÀN A de 0.0275°, soit 3.0 km, inférieur au maximum toléré (5 km) pour le phasage. Les éléments a et i restent très proches des valeurs théoriques. Par contre e est beaucoup plus faible que la valeur nécessaire au gel d'orbite (voir en fin de chapitre). La conséquence en est la large variation de w autour de 90°. L'heure de passage TN A est garantie à 2 minutes près, ce qui est amplement en dessous des variations d'heure solaire dues à l'équation du temps. Dates (2) et (3). Entre ces deux dates, il y a eu 39 783 - 4 359 = 35424 = 96 x 369 révolutions, exactement 96 cycles de 26 jours, soit 2 496 jours .....

Exemple 11.2 Calcul des caractéristiques de l'orbite Terra. ~ Pour l'orbite des satellites de la « famille» Terra (voir tableau 11.2), le triplet de phasage est [15; -7; 16]. La période draconitique est maintenue à : 'ld = 1440 21363 = 98.884 (min)

Comme précédemment, on obtient: ao = 7083.4 km i = iHS = 98.2° On calcule alors les valeurs relatives des variations séculaires: i1n/no = -0.619 10- 3 w/no = -0.591 10- 3 ce qui donne la nouvelle valeur du demi-grand axe al = 7077.7 km et par itération: a = 7077.738 km i = iHS = 98.211° Nous avons vu que, si la valeur de a peut être déterminée avec précision, il n'en est pas de même de l'altitude, qui varie à cause de l'ellipticité de l'orbite et de la Terre (cette question sera abordée en fin de chapitre). Si on définit l'altitude h comme la différence entre a et le rayon équatorial R, la valeur de h est bien déterminée et dans le cas de Terra, on obtient h = 700 km. La documentation de la NASA donne, pour tous les satellites de l'orbite Terra, la valeur h = 705 km, l'altitude ayant été définie un peu différemment .....

Exemple 11.3 Calcul des caractéristiques d'orbite du satellite ERS-1 qui a connu trois cycles de phasage différents: 35 jours, 3 jours et 168 jours. ~ Le satellite ERS-l, de l'Agence spatiale européenne (ESA), a été lancé le 17 juillet 1991. Son altitude est d'environ 780 km et son orbite est héliosynchrone. Son

454

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

cycle de phasage était initialement de 35 jours. À partir du 20 décembre 1993, un léger changement d'orbite a amené à un cycle de 3 jours, mieux adapté, d'après les responsables de la mission, à l'étude des glaces pendant l'hiver arctique. Puis une autre manœuvre a amené à un cycle de 168 jours, à des fins d'études géodésiques. Le satellite ERS-2, lancé le 21 avril 1995, a effectué une mission en tandem, avec ERS-l, jusqu'au 10 mars 2000. On calcule les triplets pour chaque phasage. Phasage 1. Cycle de 35 jours sur 501 révolutions: Vl = (501/35) = 14 + (11/35) ===? triplet de phasage: [14; 11 ; 35] Phasage 2. Cycle de 3 jours sur 43 révolutions: V2 = (43/3) = 14 + (1/3) ===? triplet de phasage: [14; 1 ; 3] Phasage 3. Cycle de 168 jours sur 2411 révolutions: V3 = (2411/168) = 14+ (59/168) ===? triplet de phasage: [14; 59; 168] À partir de 'id, on calcule a et i par la méthode vue ci-dessus. Les résultats sont dans le tableau 11.1 : Envisat pour ERS-1-Phasage 1, ERS-l [2] et [3] pour ERSI-Phasage 2 et Phasage 3. Les changements de cycle se font en passant de Vl à V2 (ce qui est obtenu par une diminution d'altitude de 6.358 km) puis de V2 à V3 (diminution d'altitude de 5.948 km). De très petites variations d'altitude entraînent des phasages totalement différents, ce qu'on perçoit très clairement avec la figure 11.2. Ces variations d'altitude sont suffisamment petites pour qu'on puisse les calculer simplement (sans faire les calculs d'itération comme ci-dessus), par la relation des accroissements finis, déjà utilisée: iJ.v/v = (-3/2) iJ.a/a En posant aphl = 7 159.496 km, on obtient: iJ.v = V2 - Vl = (1/3) - (11/35) iJ.V/Vl = 2/(3 x 501) iJ.aphl~Ph2 = -6.358 km iJ.v = V3 - V2 = (59/168) - (1/3) iJ.v /V2 = 3/ (56 x 43) iJ.aph2~Ph3 = -5.946 km Il faut noter qu'un phasage sur une aussi longue durée que CT" = 168 jours est exceptionnel. Les valeurs de CT" ne dépassent généralement pas 45 jours. Ces trois phasages sont repris dans l'exemple 11.15 comme illustration de l'indice de phasage ....

Exemple Il.4 Analyse d'une image obtenue par le satellite Envisat, du point de vue du cycle de phasage. ~ L'image en couleur des îles Hawaï, figure 17.3, est constituée d'images prises à 3 dates différentes.

Jour JJM Écart

27 mars 2006 53821

<-> <->

385 11 x 35

16 avril 2007 54206

<- > <->

280 8 x 35

21 janvier 2008 54486

La trace du satellite repasse exactement au même endroit. L'écart entre ces prises de vue est un multiple de 35 jours, correspondant au cycle de phasage CT d'Envisat.

11.3.

Phasage pour les satellites

LEO

non héliosynchrones

455

La vérification est facilitée par la conversion des dates en JJM (jour julien modifié), voir relation (7.65) .....

11.2.5

Phasage sur un Jour

Pour les satellites LEO (au moins pour ceux qui observent la Terre), on évite le phasage sur un jour. En effet, si un tel satellite voit tous les jours exactement les mêmes régions, beaucoup d'autres endroits ne seront jamais vus ... (à moins que le champ de vue de l'instrument ne soit très grand). Les altitudes, entre 0 et 1250 km, donnant un phasage sur un jour apparaissent dans le diagramme de phasage, figure 11.2 et sont notées dans le tableau 11.6. Les triplets de phasage correspondants sont de la forme: [ va; 0; 1 J. Le seul cas de satellite héliosynchrone LEO phasé est le taïwanais FormoSat-2 (lancé sous le nom de Rocsat-2, Republic of China Satellite). Le phasage [14; 0; IJ induit une grille de phasage, astucieusement utilisée en regard de la position géographique de Taïwan. Nous y reviendrons un peu plus loin à propos des grilles de phasage.

11.3 11.3.1

Phasage pour les satellites LEO non héliosynchrones Obtention du triplet de phasage

Le phasage d'un satellite non héliosynchrone est défini par le cycle de phasage CT", en nombre entier de jours (différent ici du cycle CT)' Pour déterminer le triplet de phasage, il faut connaître aussi, avec un certain intervalle de variation possible, l'altitude et l'inclinaison. La fréquence quotidienne de phasage est donnée par la relation (11.3), où v = v(a, i) et P = P(a, i). On calcule le produit (~. CTJ, en faisant varier a et i, jusqu'à obtenir un entier, qui représente alors N To ' Avec cette valeur, on obtient va' entier le plus proche de ~ et par N To = voCTo + DT", on obtient DT". On a ainsi le triplet de phasage [va; DT,,; CT,,] et la valeur de CT. On rappelle que CT et CT" sont donnés par (11.7) et (11.8). Nous avons noté les satellites LEO non héliosynchrones phasés dans le tableau 11.4. Ce sont principalement des satellites océanographiques (aspect altimétrique) ou pour l'étude des glaces et des régions polaires. Dans cette dernière catégorie, on remarque certains phasages sur un nombre très long de jours, par exemple 183 jours pour ICESat. Ce satellite est muni d'un seul instrument, un altimètre laser. Le phasage garantit que le satellite ne repassera pas sur sa trace avant une demi-année. On a aussi noté, dans le tableau, des satellites futurs, comme SWOT, ou des projets abandonnés comme WatER-HM ou TRAQ.

456

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

Dans la culture indienne, le mot megha a une forte résonance, car il est rattaché à un poème très célèbre, Meghaduta, «le nuage messager». L'auteur Kalidasa, qui vivait vers le ye siècle dans le nord de l'Inde, est le plus renommé des auteurs classiques de la littérature sanskrite. Le héros du poème est exilé pour une année dans le centre de l'Inde. Après huit mois de ciel clair, il voit enfin un nuage, auquel il demande d'apporter un message à son épouse restée au pied de l'Himalaya. Il décrit au nuage toutes les splendeurs qu'il verra durant son voyage vers le nord. Déjà chargé de toute la symbolique qui s'attache au mot «nuage», ce nuage-là, le messager, est aussi l'annonciateur de la mousson.

Exemple 11.5 Choix de l'orbite pour le satellite Megha-Tropiques. ~ Pour l'étude des phénomènes météorologiques dans la bande intertropicale, un groupe de chercheurs, centré sur le LMD (Laboratoire de météorologie dynamique du CNRS), a imaginé en 1994 un satellite, nommé Tropiques, sur une orbite circulaire, à assez haute altitude (h ~ 1000 km) et à faible inclinaison (i c::::: 15°). Pour des raisons économico-politiques, une collaboration avec l'Inde a transformé ce projet français en une mission indo-française (ISRO-CNES), Megha-Tropiquesle mot sanskrit megha signifiant « nuage ». L'inclinaison de l'orbite a été amenée à 20°, afin que l'Himalaya soit correctement vue et l'altitude abaissée pour des raisons techniques liées aux nouveaux instruments à bord. L'altitude, alors fixée à 817 km, mettait le satellite à moins de 3 km de l'altitude pour un phasage sur un jour, voir tableau 11.6. Pour éviter cette situation, génante même pour un satellite météorologique, il a été décidé d'imposer un phasage sur 7 jours pour s'éloigner de cette zone d'altitude à éviter. La figure 11.5(b) présente clairement la situation. Il y avait alors deux possibilités : - le phasage [14, +1, 7], NT" = 99, avec h = 764 km; - le phasage [14, -1, 7], NT" = 97, avec h = 866 km. C'est l'altitude la plus haute qui a été choisie pour un meilleur échantillonnage. Avec le triplet [14, -1,7], le calcul donne a = 7243.700 km et CT = 6.87 jours (voir tableau 11.4) ....

Exemple 11.6 Calcul du triplet de phasage et de l'altitude précise, pour le satellite TOPEX/Poseidon, qui a un cycle de 10 jours et une inclinaison i 66.04°. Son altitude est aux alentours de 1 335 km. ~ Le satellite franco-américain TOPEX/Poseidon est composé de la plate-forme américaine TOPEX (Topography Experiment for Ocean Circulation) et de l'instrument français d'altimétrie Poseidon, muni du système DORIS (Détermination d'Orbite et Radiopositionnement Intégrés par Satellite). Poseidon a permis de calculer l'orbite avec une précision radiale de l'ordre de 2 cm, ce qui donne des mesures

11.3. Phasage pour les satellites LEO non héliosynchrones

457

d'altitude moyenne des océans avec la même précision. La continuité de l'expérience TOPEX/Poseidon est assurée par Jason-1 puis Jason-2, qui utilisent exactement la même orbite (le décalage de trace sera vu un peu plus bas). Pour obtenir les caractéristiques du phasage, l'inclinaison étant considérée comme fixe, i = io = 66.040°, on fait varier a entre 7 700 km et 7 720 km, voir tableau 11.5. Par interpolation, on obtient la valeur de a qui amène à la valeur entière K' C To = 127. Avec une nouvelle itération, on obtient le résultat. On a donc, pour ce satellite:

= 7714.433 km

a

i

= 66.040°

On calcule la période à partir de ces éléments :

T

=

1440·

~ 270

'ld

P)

(1

+

1Nan

=

112.4295 min

=

1440.

~ 270

(1

3.1069) = 112.4295 min

+ 365.25

'l'a = 112.4184 min

On écrit le triplet de phasage : K

=

127

10 =

13 +

-3

10

===}

[13; -3 ; 10]

Les valeurs de référence communiquées par l'équipe TOPEX/Poseidon sont: a

= 7 714.429 km

i = 66.040°

Toutes les 127 révolutions, le satellite repasse exactement sur sa trace. Mais l'intervalle de temps entre ces deux passages n'est pas exactement 10 jours, mais 9.92 jours. En effet: 127 =

~

= 9.9156 j = 9 j 21 h 58 min 27 s 12.8080 En 10 jours, le satellite prend donc une avance de 2 h 01 m 33 s = 2.043 h sur son heure locale de passage. En 117.45 jours, il prend une avance de 117.45 x 0.2043 = 24.00, soit un jour, comme vu dans l'exemple 10.1, où Cs = -117.45 correspond au cycle par rapport au Soleil. La relation entre C To et CT peut s'obtenir directement par la relation (11.10). Comparons ces valeurs théoriques à celles obtenues avec les données NORAD : CT =

1/

TOPEX/Poseidon 93190.75462958 0.00000008 00000+0 00000-4 0 2807 1 22076U 92052A 2 22076 66.0427 282.2676 0008056 266.3864 93.6223 12.80931157 42638 JASON-1 1 26997U 01055A 03288.89652066 -.00000061 00000-0 00000-0 0 1739 2 26997 66.0429 52.6556 0007659 261.4013 98.6134 12.80929092 86743 JASON-2 (OSTM) 1 33105U 08032A 09316.20586933 -.00000061 00000-0 00000+0 0 4723 2 33105 66.0398 123.4446 0007238 266.6980 93.3202 12.80930631 65303 Les valeurs correspondantes du demi-grand axe sont: = 7714.422 km, pour T /P, le 9 juillet 1993 à 18:06:38 TU, ÀN A = 82.9247; a = 7714.430 km, pour Jason-l, le 15 oct. 2003 à 21:30:57 TU, ÀNA = 65.9144; a = 7714.425 km, pour Jason-2, le 12 nov. 2009 à 04:56:25 TU, ÀNA = 357.8734. Avec ces résultats, on remarque la très grande précision avec laquelle les satellites de cette mission sont maintenus à poste ..... a

458

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

S. non h.

Td

a

h

i

358 244 127 286 41 301

100.85 100.62 112.42 105.08 104.71 104.60

7173.367 7162.520 7714.433 7371.535 7354.239 7348.756

795 784 1336 993 976 971

108.00 108.00 66.04 78.00 78.00 78.00

7.99 182.75 90.88 1.99 368.24

119 2723 1353 29 5344

96.68 96.65 96.72 99.10 99.25

6971.522 6970.030 6973.663 7087.810 7094.553

593 592 596 710 716

94.00 94.00 94.00 92.00 92.00

6.92 15.96 2.96 6.87

102 223 43 97

97.73 103.04 99.17 101.93

7026.467 7274.323 7098.043 7243.679

648 896 720 866

64.50 90.00 57.00 20.00

CT

1/0

DT"

W-HM SWOT[c] SWOT

14 14 13 14 14 14

+8 +6 -3 -8 -1 -7

25.07 17.05 9.92 20.87 2.98 21.86

ICESat[c] ICESat ICESat-2 CryoS[c] CryoSat-2

15 15 15 14 14

-1 -22 -12 +1 178

UoSAT-12 CoRoT TRAQ Megha-T.

15 14 14 14

-3 -1 +1 -1

Seasat

* Geosat * TIF

NT"

11.4 : Triplet de phasage [1/ 0 ; DT,,; CT,,] et nombre de révolutions NT" par cycle pour divers satellites non héliosynchrones, donnant la période draconitique 'ld (min) et les caractéristiques d'orbite : demi-grand axe a et altitude h (km), inclinaison i (0). Le cycle en jours est CT et CT" s'obtient avec la relation (11.13) (c'est généralement l'entier le plus proche de CT). * T IP : orbite commune à TOPEXIPoseidon, Jason-l et Jason-2. * Geosat : orbite commune à Geosat et GFO. W-HM : Water-HM. Le phasage pour l'orbite de calibration, précédant celle de mission pricipale, est noté par [c). Les satellites sont groupés par type de mission : océanographiquealtimétrique, étude des glaces, divers. À l'intérieur de chaque catégorie, ils sont classés par ordre chronologique. TABLEAU

a

P

1/

K,

7700.000 7710.000 7720.000

-2.1207 -2.1111 -2.1016

12.84404 12.81908 12.79419

12.73522 12.71080 12.68646

127.3522 127.1080 126.8646

7714.433

-2.1069

12.80803

12.70000

127.0000

K,

C To

11.5 : Recherche du phasage pour TOPEXIPoseidon. Détermination du demi-grand axe a, en km, en fonction des éléments de phasage, P, 1/, K, et CT", sans dimension.

TABLEAU

11.3. Phasage pour les satellites LEO non héliosynchrones

K-

16 15 14 13

i = 20 h

i = 65 h

i = 110 h

i h

176.4 478.6 814.4 1 191.1

214.9 511.6 842.5 1 214.5

294.6 583.1 906.1 1 270.6

268.1 561.0 888.3 1 257.1

459

= iHS iHS

96.6 97.7 99.0 100.7

11.6 : Caractéristiques d'orbite et de phasage pour les satellites phasés sur un jour. Satellites non héliosynchrones avec trois inclinaisons différentes et rappel pour les satellites héliosynchrones. Les altitudes h sont en km, les angles i en degrés. La fréquence orbitale K- (égale à Va ici) est en révolutions/jour. TABLEAU

Satellite MEO

a

h

i

T

Tr. ph.

Navstar/GPS WEST

26560.904 20 267.139

20183 13889

55.0 75.0

717.98 478.63

[2 ; 0; 1] [3 ; 0; 1]

N To 2 3

11.7 : Caractéristiques d'orbite et de phasage pour les satellites (MEO) de navigation Navstar/GPS et ceux de la constellation WEST sur orbite JOCOS. Distances a et h en km, angle i en degrés, période T en minutes. Tr. ph. : triplet de phasage. Pour les autres satellites de navigation, voir le tableau 14.1, chap. 14.

TABLEAU

Satellite REO

a

e

i

T

Supertundra Tundra Sycomores Glonass R. E.

42 163.2 42 163.4 42163.9 42163.3

0.4230 0.2668 0.3458 0.3700

ic ic ic ic

1436.03 1436.04 1436.07 1436.04

Molnya Molnya Molnya

26 552.9 26553.6 26554.3

0.7500 0.7360 0.7222

ic ic ic

Loopus EGE [1] FLOWER VirtualGeo COBRA FLOWER CITM Ellipso Borealis Ellipso Borealis Ellipso Borealis Ellipso Borealis

29 991.4 25 556.1 22883.8 20260.2 20260.9 12 779.4 10 559.3 10472.2 10496.9 10 556.8

0.6000 0.6700 0.6558 0.6609 0.6459 0.2588 0.3463 0.3266 0.3321 0.2357

ic ic ic ic ic iHS iHS iHS iHS iHS

Tr. ph.

NT"

1] 1] 1] 1]

1 1 1 1

717.72 717.75 717.77

[2 ; 0; 1] [2 ; 0; 1] [2 ; 0; 1]

2 2 2

861.53 717.84 574.22 478.36 478.39 239.64 180.00 177.78 178.41 179.94

[2; -1; 3] [2 ; 0; 1] [1; +1; 2] [3 ; 0; 1] [3 ; 0; 1] [6 ; 0; 1] [8 ; 0; 1] [8; +1; 10] [8; +1; 14] [8 ; 0; 1]

[1 [1 [1 [1

; ; ; ;

0; 0; 0; 0;

5 2 5 3 3 6 8 81 113 8

11.8 : Caractéristiques d'orbite et de phasage pour les satellites (HEO) Molnya et Tundra, ainsi que pour d'autres satellites en projet. Paramètres orbitaux: demi-grand axe a en km, excentricité e et inclinaison i. Tous ces satellites sont à l'inclinaison critique, soit directe, ic = 63.4°, soit héliosynchrone, iH S = 116. ~. Période T en minutes. Tr. ph. : triplet de phasage.

TABLEAU

460

1060 1040 1020 1000 980 960 940 Ê 6 920 ru TI 900 .a+' 880 860 840 820 800 780 760 740

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

cycle de phasage

Gours)

......... -'~==j-

5

b"-:::::::==+=~ ~~~~==1---17

t~~~~t=1:7

....•

~~--~

.--'--1--- 5

«

920 910 900 890 880 870 860 Ê 850 6 ru TI 840 .a+' 830 820 810 800 790 780 770 760

0

10

20

30

40

50

60

70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 Angle d'inclinaison (0)

cycle de phasage

Gours) 4

5 6 7

9 1

10 12 16

13

16 12 10

11

«

11 9

7 6

0

5

10

15

20 25 30 Angle d'inclinaison (0)

35

40

45

50

11.5 : Altitude en fonction de l'inclinaison pour un satellite maintenant le même phasage. (a) Triplets de phasage [14,. ±1,. CToJ, pour CT" variant de 5 à 17 (avec un pas de 2) et [14,. 0,. 1}. Les valeurs correspondant à DTo = -1 sont audessus de la ligne médiane, représentant [14,. 0,. lJ, celles correspondant à DT" = + 1 sont au-dessous. La ligne pointillée note l'inclinaison héliosynchrone en fonction de l'altitude. (b) Détail de (a), pour un domaine restreint d'inclinaison, C To variant de 4 à 17.

FIG.

11.3. Phasage pour les satellites LEO non héliosynchrones

461

11.6 : Schématisation de l'espace des phasages. Lieu des points où intervient le phasage. Grandeurs selon les axes : Ox pour l'inclinaison i, Oy pour le cycle de phasage CTo ' Oz pour l'altitude h. FIG.

11.3.2

Phasage, altitude et inclinaison

Pour un satellite non héliosynchrone, un phasage donné laisse une liberté de variation en altitude et en inclinaison. Considérons, pour fixer les idées, un satellite polaire, i = 90°, avec le phasage [14 ;-1 ; 17]. Le calcul donne son altitude, h = 894.9 km. Avec i = 80°, il faut descendre le satellite à l'altitude h = 880.9 km, pour obtenir le même phasage, et avec i = 100°, le remonter à l'altitude h = 910.2 km. On voit qu'aux alentours de 90°, la variation de chaque degré en inclinaison implique une variation de 1.5 km en altitude, pour maintenir le phasage. Pour chaque triplet, on peut calculer la valeur de h en fonction de z, l'inclinaison variant de 0° à 180°. Les graphes h(i) sont représentés, figure 11.5(a), pour l'ensemble des triplets [14; ±1; CTol, pour C To variant de 5 à 17, ainsi que pour le triplet [14; 0; 1]. Un domaine de variation plus restreint est aussi représenté, figure 11.5(b). Considérons un espace à trois dimensions, avec l'angle d'inclinaison i selon Ox, le cycle de phasage C To selon Oy, l'altitude h selon Oz. On trace le lieu des points pour lequel un phasage se produit. On obtient ainsi un graphe schématisé à la figure 11.6. Une vision dans l'espace de ce dessin nous montre que: - la projection des courbes sur le plan xOz donne la figure 11.5(a), - l'intersection de ces courbes avec le plan yOz, pour l'inclinaison héliosynchrone, donne la figure 11.2 (ou les figures 11.3 ou 11.4). De même que pour les satellites héliosynchrones, le phasage sur un jour est a priori écarté pour les satellites non héliosynchrones. Les altitudes « à éviter» pour diverses inclinaisons ont été notées dans le tableau 11.6.

462

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

Il.4

Phasage pour les satellites MEO et HEO

Les problèmes éventuels de phasage sur un jour pour les satellites LEO ne se posent absolument pas pour les satellites MEO et REO, pour lesquels, au contraire, ce type de phasage est recherché. Les satellites de navigation GPS sont phasés, nous le verrons au chapitre 14. Pour le système américain Navstar /GPS, le phasage est fait sur un jour (2 révolutions par jour). Pour les satellites de la constellation WEST, le phasage est sur un jour (3 révolutions par jour), voir tableau 11.7. On a également tout intérêt à ce que les satellites REO pour les communications, comme les satellites Molnya ou Sirius (orbite Tundra), soient phasés sur un jour, afin qu'ils passent sur les stations (d'émission et de réception), une ou deux fois par jour, avec la même géométrie de visée. Pour ces orbites, l'apogée est fixée, par suite du choix de l'inclinaison critique. Dans le tableau 11.8, on donne les caractéristiques d'orbite et de phasage de ces satellites REO. À cette liste de satellites existants, on a ajouté les satellites en projet (et même les projets abandonnés quand l'orbite était jugée intéressante et originale). L'orbite Glonass R. E. (Regional Extension) est prévue pour les satellites du système d'augmentation régional de Glonass (voir chapitre 14). Bien qu'associé à un type de mission totalement différent, on peut signaler le phasage du satellite Integral, i = 57.1 0 , qui est d'une révolution en trois jours. Cela donne le triplet de phasage inhabituel: [0; 1; 3], N To = 1.

11.5 11.5.1

Grille de phasage Construction de la grille de phasage

Décalage équatorial

Le décalage équatorial LlÀ E représente, nous l'avons vu au chapitre 8, la distance entre deux traces successives (de même nature, ascendante ou descendante) à l'équateur. Nous nous plaçons, pour ce qui suit, dans le cas de satellites en orbite basse (LEO) quasi circulaire, les seuls pour lesquels la grille de phasage présente un intérêt. Avec les grandeurs déjà vues, on a : (11.17) Le décalage équatorial est donc très simplement lié à la fréquence quotidienne de phasage K,. On considère une trace définissant un nœud ascendant origine, de longitude Ào. En notant par À 1 la longitude du nœud ascendant suivant, on a

1l.5. Grille de phasage

463

donc, par définition du décalage équatorial: (11.18) Au bout de Va révolutions (soit aux environs d'un jour), la trace coupe l'équateur au nœud ascendant de longitude Àvo telle que :

ce qui s'écrit, d'après (11.12), sous la forme À

~

-

Ào =

-27T

(1 - N

DT,,)

-27T + 27T DT"

=

NT"

To

Les longitudes étant définies à 27T près, on a donc: (11.19) Si DT" est positif, c'est-à-dire si Va < K" on a (À v" - À o ) > 0, soit Àv" à l'est de À o. En effet, si au bout de Va révolutions, il ne s'est pas écoulé un jour entier depuis le passage en Ào, la trace Àv o est bien à l'est de À o . Dans le cas contraire, si DTo est négatif, c'est-à-dire si Va > K" il s'est écoulé un peu plus d'un jour et la trace Àvo est à l'ouest de Ào, ce que montre bien la relation (Àv o - À o ) < O.

11.5.2

Intervalle de grille

Dans la suite de ce calcul, nous notons, pour la longitude du nœud ascendant, le jour de passage en indice supérieur, le numéro de passage dans ce jour en indice inférieur, sous la forme: Àjour passage

Le point origine est noté Àg. Nous nous plaçons dans le cas DT" positif pour fixer les notations. Le cas contraire demanderait, dans ce qui suit, d'utiliser (va + 1) à la place de (va) et de modifier certains signes. On a alors, avec ces notations: À~ - Àg = L1À E

Le dernier nœud ascendant du jour 0 est du jour 1, est noté ÀI. Cela donne:

°

ÀO _ À O

Ài - Àg VO

Va

(va

ÀZ

L1À E

"

et le suivant, qui est le premier

[27T]

+ 1) L1À E

[27T]

464

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

en notant par [21f] la congruence modulo (21f). On considère maintenant l'intervalle [À~, Àg], dit intervalle de base, orienté positivement vers l'est. On l'appelle aussi intertmce orbitale. On prend pour origine À~ et on pose:

6R

Àg-À~

Ài - À~

6J

où 6R est l'intervalle entre les nœuds ascendants pour deux révolutions consécutives (donc 6R = -.dÀ E ) et 6J l'intervalle entre les nœuds ascendants pour deux jours consécutifs. L'intervalle 6R est représenté sur la figure 11.7(a)(b), et l'intervalle 6J sur la figure l1.7(b)(c). En appelant 6 l'intervalle de grille à l'équateur, défini par: 6=

21f

(11.20)

NT"

on a les relations suivantes :

6R 6J

CTo ·6 DTo ·6

L'intervalle de grillé 6, en relation avec 6R et 6J, est noté sur la figure 11. 7( d). Dans l'intervalle de base, on a pour les différents jours: pour le jour 1 pour le jour 2 pour le jour J

Ài - À~ Ài - À~ Àf - À~

Pour le jour J, cette relation est vraie si le point À{ est dans l'intervalle de base. Sinon, on retire un nombre entier de valeurs de 6R, ce qu'on note par les relations de congruence : Àf - À~ Àf - À~ À{ - À~

6

J 6J J DT" 6 J DTo

[6R] [CT" 6]

[CTnl

On note bien que la quantité (À{ - À~)/6 est entière. Ainsi, pour un jour donné, on obtient la position du nœud ascendant À{ dans l'intervalle de base, donc dans la grille de phasage. 5Pour une évaluation rapide, on peut obtenir il par une relation approchée, pour les satellites phasés, d'altitude h = 900 ± 300 km. Pour ces satellites, la fréquence quotidienne orbitale v est comprise entre 13 et 15. On peut donc considérer v égal à 14 et prendre NT" égal à 14 CT". En exprimant il en degrés, on a donc: il ':::' 360/(14 CT,,) soit: il· CT" ':::' 25 On voit donc que le produit de l'intervalle de grille (en degrés) par le cycle de phasage (en jours) est grossièrement égal à 25.

1l.5. Grille de phasage

465

En notant u( J) la position de la trace du jour J dans l'intervalle de base, en unité 6, soit: u(J) =

À{ - Àî 6

(11.21)

on a la relation fondamentale pour la grille de phasage : u(J) = J DTo

(11.22)

le nombre entier u(J) pouvant prendre C To valeurs entre 0 et (CTo - 1). Lorsqu'on ne veut pas privilégier une borne de l'intervalle par rapport à l'autre, on considérera le nombre u* (J), ainsi défini: u*(J) = min {u(J) ; CT" - u(J)}

(11.23)

qui est un entier prenant ses valeurs entre 0 et C T j2. Utilisation de la grille de phasage

Nous donnons quelques exemples d'application de la détermination de la grille de phasage. Exemple 11.7 Calcul de l'ordre de passage dans l'intervalle de base pour les satellite TOPEX/Poseidon et Jason-l et -2. ~ Le triplet de phasage de ces satellites est [13; -3; 10], ce qui donne immédiatement NTo = 127. On a donc: 15 = 211"/127 = 0.049474 rad = 2.8346° = 315.551 km et pour le décalage équatorial, r5 R = 10 15, soit r5 R = 28.35°. En appliquant la relation (11.22), on obtient les valeurs u(J) pour chaque jour du cycle. On en déduit la grille dans l'intervalle de base, de u = 0 à u = 10, en notant pour chaque u la valeur de J : de u = 0 à u = 10 f---+ 0,3,6,9,2,5,8,1,4,7,10 = 0 On remarque: u* = 1 pour J = 3 et J = 7. On obtient très simplement ces valeurs à l'aide d'un graphique, comme celui représenté à la figure 11.8 ....

Exemple 11.8 Calcul de l'ordre de passage dans l'intervalle de base pour les satellites Landsat-3 et ADEOS-2. ~ Tous les satellites phasés avec DT" = ±1 ont des grilles de phasage séquentielles: dans l'intervalle de base, les traces consécutives sont dans l'ordre des jours. En effet, dans ce cas, la relation (11.22) donne la relation très simple: DTo = + 1 =? u( J) = J DTo =-l =? u(J)=CTo-J De nombreux satellites sont dans ce cas - voir tableau 11.1. On verra plus loin les conséquences importantes de ce fait pour la trace durant un cycle de phasage. Pour Landsat-3, avec DTo = -1 pour un cycle de 18 jours, les différentes traces, u = 0,1,2,3, ... , 17, 18, ont lieu pour les jours J = 18 (= 0),17,16,15, ... , 1, O. Pour ADEOS-2, avec DTo = + 1 pour un cycle de 4 jours, les différentes traces, u = 0, 1, 2, 3, 4 ont lieu pour les jours J = 0, 1, 2, 3, 4 ....

466

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

(a)

\

\ 0

(b)

\

\ OJ

(c)

\ OJ

(d)

R

1 1 1 1 1 1 ~ OR

~)\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

11.7 : Schéma de construction de la grille de phasage. (a) deux traces consécutives, du jour 0, déterminent l'intervalle de base (ou intertrace orbitale L1À E , noté ici i5 R ), traces dessinées ici avec un trait gras; (b) une trace du jour 1 passe dans l'intervalle de base; (c) les traces des jours suivants, 2, 3, ... , J passent dans l'intervalle de base; (d) toutes les traces, jusqu'au jour (CTo - 1), définissent l'intervalle de grille. Remarque: par « trace », on entend trace au nœud ascendant.

FIG.

Jour 0

//

/1 <5

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

L

L

Jour 1

/

/

/

/

Jour 2

/

/

/

/

Jour 3

/

/

/

/

/

/

/

/

Jour 4

/

/

/

/

/

/

/

/

L

L 3

L 6

L 9

L

L 5

L 8

L 1

Cycle

10=0

/3

72

2

/

/

1

/1

74 4

7

/0

L

0

11.8 : Schéma de construction de la grille de phasage pour TOPEX/Poseidon (puis Jason-1 et -2). Pour chaque jour du cycle (J = 0, 1, 2, 3, 4, .. .), on note la trace à l'équateur dans l'intervalle de base.

FIG.

1l.5. Grille de phasage

11.5.3

467

Sous-cycle de phasage

Définition du sous-cycle

On considère un jour origine J = O. On appelle sous-cycle, noté ETo ' le nombre de jours nécessaire à ce que la trace passe à un intervalle de grille cS du nœud ascendant origine. Ce qui s'écrit: U(ETJ = ±1 ou bien:

ETo • DTo

=

±1

(ll.24) (ll.25)

ou encore, en utilisant la distance u* : u*(ETJ = 1

(ll.26)

ce qui donne deux valeurs de ET". En notant par ETo la plus petite des deux, on a: On donne quelques valeurs des sous-cycles pour les satellites vus ci-dessus. Remarque importante. Notons bien qu'il ne faut pas confondre les deux grandeurs DTo et ETo ' Pour les satellites SPOT, souvent décrits dans la littérature, il se trouve que DT" = 5 et ETo = 5. Il ne faut pas en déduire que DT" représente le sous-cycle, comme on le lit souvent. On voit bien dans l'exemple 11.9, que pour ADEOS-1, ces deux grandeurs sont différentes: DTo = II et ETo = 15. Exemple 11.9 Valeur des sous-cycles de phasage pour divers satellites ayant

une mission pour l'environnement.

~ Nous calculons ET" pour divers satellites. - Pour SPOT-5, comme pour tous les SPOT, on obtient ETo = 5 : ETo • DT" = 5 x 5 = 25 = -1 [26] Cela signifie que, 5 jours avant (J = -5 [26] = 21) ou 5 jours après (J = 5) le jour origine, la trace passe à un intervalle de grille de la trace origine. - Pour Terra, comme pour tous les satellites de A-Train, on obtient ET" = 7 : ETo • DT" = -7 x 7 = -49 = -1 [16] Aux jours J = 7 et J = 16 - 7 = 9, le satellite est à un intervalle de grille de la trace origine. - Pour ADEOS-l, on a ET" = 15. ET" . DTo = 15 x 11 = 165 = +1 [41]. Aux jours J = 15 et J = 41 - 15 = 26, le satellite est à un intervalle de grille de la trace origine. - Pour TOPEX/Poseidon, ETo = 3, d'où ET" = 3 et 7. (figure 11.8). - Pour ICESat, ETo = 25 : ETo • DTo = 25 x (-22) = -550 = -1 [183]. Le cycle est très long afin d'obtenir un intervalle de grille très court: r5 = 14.7 km ....

468

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre

phasage, altitude

IRS-1A Trace de l'orbite

Altitude = 904.1 km

Phasage = [14; -1; 22] 307

Période = 103.19 min • Tours/j = 13.95

»> Durée représentée:

Décalage à l'équateur = 2871.8 km ( 25.8 0)

a = 7282.277 km

Inclinaison HELIOSYNCHRONE: 99.08 5.00 jours

Centre Carte: 0.0 0 Aspect: Direct [ +0.01 +0.01 +0.0]

Projection: Behrmann Propriété: Equivalente Type: Cylindrique

0.0

0

N. asc.: 0.00 Inclin. app. = 103.08

0

nLGJV

0

MC

0

Altitude = 817.0 km

Phasage = [14; +5; 24]341

Période = 101.35 min • Tours/j = 14.21

»> Durée représentée:

Décalage à l'équateur = 2820.5 km ( 25.3 0)

Propriété: Equivalente

Type: Cylindrique

a = 7195.119 km

Inclinaison HELIOSYNCHRONE: 98.70 5.00 jours

Centre Carte: 0.0 Aspect: Direct [ +0.01 +0.01 +0.0] 0

LMD

ATÀ<X,

IRS-P2 Trace de l'orbite

Projection: Behrmann

*

0.0

0

N. asc.: 0.00 0 Inclin. app. = 102.64

0

nLGJV

0

MC

*

LMD

ATÀ<X,

11.9 : Trace des satellites IRS-1A et IRS-P2, sur 5 jours, pour mettre en évidence la rapidité de parcours de l'intervalle de base.

FIG.

1l.5. Grille de phasage

IRS-1A

Altitude = 904.140 km

Cycle de Phasage

Décalage équat. = 2871.8 km

==> Cycle sur 307 tours

Période = 103.19 min

Indice max. = infini

V = 13.9545

te = 13.9545

Incl. HELlOS.= 99.08

[ 14 ; -1 ; 22

1 22.000

'" '" Vl

.c

Co

(])

"0

.~

"0

.!:

60 50 40 30 20 10 15

20

Vl

Co

(])

"0

40

45

50

55

60

65

70

75

80

a = 7195.119 km

Cycle de Phasage

Décalage équat. = 2820.5 km

==> Cycle sur 341 tours

Période = 101.35 min

Indice max. = infini

V = 14.2083

te = 14.2083

Incl. HELlOS.= 98.70

1 24.000

Cycle: 24.00 jours

0

"

'"

~

jours

60 50 40

(])

30 20

"

35

70

'5

.!:

30

Altitude = 816.982 km

80

'" '"

25

IRS-P2 [ 14 ; 5; 24

.c

::5

III

70

10

(]) 0)

a = 7282.277 km Cycle: 22.00 jours

0

:;

::1

80 (]) 0)

469

10 10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

FIG. 11.10 : Indice de phasage pour deux satellites IRS. Mise en évidence du changement de sous-cycle.

Rapidité de parcours de l'intervalle de base

L'intérêt de la notion de sous-cycle est principalement de montrer la rapidité avec laquelle est parcouru l'intervalle de base. Pour SPOT-5, la valeur du sous-cycle ETo = 5 indique qu'en cinq jours c'est pratiquement tout l'intervalle de base qui a été balayé. Par contre, pour un satellite avec ET = 1, on voit qu'au bout d'un jour la trace n'a pratiquement pas bougé da~s l'intervalle de base et il faudra tout le cycle C To (qui peut être de l'ordre du mois) pour parcourir l'intervalle en entier. Ce fait est généralement considéré comme un inconvénient, comme le montrent certains programmes par leur évolution. Les premiers satellites Landsat (-1, -2 et -3) avaient pour sous-cycle ET = 1. À partir de Landsat-4, l'orbite a été changée pour obtenir ET = 5. De même avec les satellites indiens du programme IRS : les premiers IRS (-lA et -lB) ont été remplacés, à partir de IRS-P2, avec un changement de sous-cycle (en gardant pratiquement le même cycle).

470

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

Satellites

Grille

NTo

,W)

b (km)

Landsat-1 à -3 Landsat-4 à -7, Terra SPOT-1 à-5 ERS-l, 2, Envisat MOS-1, -lB Oceansat-1

WRS-1 WRS-2 GRS ERS MWRS IRSP4G

251 233 369 501 235 29

1.4343 1.5451 0.9756 0.7186 1.5190 12.4138

159.7 182.0 108.6 80.0 169.1 1381.9

294.5200 295.4000 330.4000 0.1335 326.7500 328.1900

T IP, Jason-l, -2

TPG

127

2.8346

315.5

99.9242

À

origine (0)

TABLEAU 11.9 : Caractéristiques des grilles de références pour divers satellites. Avec N To : nombre de révolutions par cycle de phasage ; b : intervalle de grille; À : longitude origine. Signification des abréviations - WRS : Worldwide Reference System; GRS: Grille de Référence SPOT; ERS: ERS-SAR Reference System; MWRS : MOS-l World Reference System; IRSP4G : National Remote Sensing Agency (In dia) IRS-P4 Grid; TPG : T IP Grid.

Ce changement est très clairement illustré par la figure 11.9. On a noté les traces de deux satellites IRS sur 5 jours. Pour IRS-1A, pendant cette durée, (5/22) soit moins d'un quart de l'intervalle a été parcouru. Pour IRS-P2, tout a été parcouru. On voit, sur la trace de IRS-P2, au voisinage du point origine (À = 0; cp = 0), la fin de la trace du cinquième jour (puisqu'en 5 jours, ce satellite a fait 5 x 14.208 = 71.04 tours). La distance entre cette trace et celle qui passe par l'origine est égale à l'intervalle de trace 5, puisque pour ce satellite gTo = 5. Cette notion de sous-cycle est souvent utilisée pour les satellites phasés, car elle est assez parlante. Elle signifie donc, qu'au bout d'un certain nombre de jours représentant le sous-cycle, la trace repasse à peu près au même endroit (à peu près signifie: à un intervalle de grille 5). Mais elle ne représente qu'un cas particulier de la notion que nous avons développée, l'indice de phasage, et que nous exposons ci-dessous.

11.5.4

Grilles de référence

Pour un satellite phasé, un seul point de la trace fixe entièrement la trace sur le globe. Les satellites d'observation de la Terre sont maintenus sur leur orbite nominale afin que la position de la trace soit garantie à quelques kilomètres près (généralement ±5 km et ±1 km pour TOPEX/Poseidon et Jason, ±0.8 km pour ICESat). Tous les satellites SPOT, par exemple, utilisent la même grille, qui est fixée par une longitude du nœud ascendant. Nous donnons, dans le tableau 11.9, les principales grilles et leurs caractéristiques.

1l.5. Grille de phasage

Formosat-2 Trace de l'orbite Phasage

Altitude = 888.3 km

0

Période = 102.86 min • Révol./j.=14.00

= [14; +0; 1[ 14

Décalage à l'équateur = 2862.5 km ( 25.7

Centre Project.: 0.0

0.0

Proj. : Snyder-TraSatRecti/35° Propriété: (sans) [L.géoc]

Aspect: Direct

EB T.:Cylindrique - Golle : 10

[4.21 [ +001 +0.01 +0011-1 EGM96

0

0

Noeud asc:

0

Formosat-2 Trace de l'orbite

0

)

127.63 [21 :30 TSM]

Il;iWJJ

0

Inclin. app. = 103.00

MC

0

Altitude = 888.3 km

*

LMD ATÀaç

a = 7266.471 km

Incl. HELIOSYNCHRONE = 99.01

0

Période = 102.86 min • Révol.lj.=14.00

= [14; +0; 11 14

»> Durée représentée: 1440.0 min

=

1.00 jour

Décalage à l'équateur = 2862.5 km ( 25.7

Propriété: (sans)

CP: 23.5' N,121.2 'E ICZ: 23.5' N;110.0' E Aspect: Oblique> zoom: 3.00

EB T.:Azimutal- Grille: 10 0

15.31[ -90.01 +66.51-31.21[-1 EGM96

Projection: Airy

a = 7266.471 km

Incl. HELIOSYNCHRONE = 99.01

»> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

Phasage

471

Noeud asc:

0

)

127.63 0 [21 :30 TSM]

Il;iWJJ

MC

*

LMD ATÀaç

FIG. 11.11 : Trace du satellite taïwanais FormoSat-2, phasé sur un jour. (a) Grille de phasage. (b) Détail centré sur l'île de Taïwan expliquant le choix de la grille.

472

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

Exemple 11.10 Adaptation d'une grille de phasage à la géographie: le cas de FormoSat-2. ~ Le satellite FormoSat-2 pour l'étude des ressources terrestres et de la météorologie (alerte aux typhons), a été lancé le 20 mai 2004 (sous le nom de Rocsat-2). Son triplet de phasage est [14; 0; 1]. Cela signifie que chaque jour, après 14 tours, il repasse exactement sur sa trace (figure 11.11 (a)). L'étude de cette grille montre que les traces ascendantes et descendantes se coupent à la latitude de 26.550° (voir plus bas, dans ce chapitre, l'étude des points de grille). Or l'île de Taïwan, l'ancienne Formose, s'étend entre les latitudes de 22°N et 25°N. La grille peut donc ètre « fixée» de sorte que l'île soit traversée deux fois par jour par la trace (ascendante et descendante). Le décalage équatorial est OR = ILlÀEI = 360/14 = 25.71°. On comprend, par des considérations de symétrie, que la longitude du croisement des traces et la longitude du nœud ascendant doivent être séparées d'une distance égale au quart du décalage équatorial. La longitude centrale de Taïwan étant Àc = 121.20 0 E, il faut donc que le nœud ascendant soit à la longitude Ào telle que: Ào = Àc + oR/4 = 121.20 + 6.43 = 127.63°E. La figure 11.11 illustre cette situation qui est unique pour un satellite LEO .....

11.5.5

Points de grille de phasage

Lorsqu'un satellite est phasé, sa trace forme une grille fixe sur la Terre (la grille de référence, vue ci-dessus). On nomme point de grille l'endroit où deux traces se coupent (une dans la partie ascendante, l'autre dans la partie descendante) . Pour les satellites à fauchée large, ces points ne présentent pas d'intérêt particulier. Mais si la fauchée est très étroite, ou dans le cas de visée laser au nadir, il est généralement très utile de connaître leur position. Ces points sont disposés régulièrement en longitude, pour une latitude donnée. En latitude, ils sont de plus en plus resserrés à mesure qu'on s'éloigne de l'équateur. Nous avons choisi de calculer la position des points de grille par l'intermédiaire de la cartographie. Nous avons vu, au chapitre 8, dans l'annexe Projections cartographiques, qu'une projection du type Snyder permet de représenter la trace du satellite de manière linéaire. Considérons la projection cartographique, de coordonnées cartésiennes x, en abscisses, y en ordonnées, définie par la relation (8.57). Par souci de clarté, et cela ne nuit pas à la généralité du problème, nous ne considérons ici que le quart (x ? 0 ; y ? 0) de la carte, le reste se déduira par symétrie par rapport à l'équateur (pour y :'( 0) et par rapport au méridien origine (pour x :'( 0). De plus, on pose ÀN A = 0 et q = l. On a ainsi: (1l.27)

1l.5. Grille de phasage

avec:

'J(IjJ)

=

1

tan sin 1/J arcsin -1/J . - -1 arcsin -.-. tan z '" sm z

1

473

(11.28)

Avec cette projection cartographique, la trace du satellite est constituée de lignes brisées. La grille de phasage apparaît comme une trame de losanges égaux, comprise entre la latitude (géocentrique) extrême nord +VJm et la latitude (géocentrique) extrême sud -1/Jm. Calculons la valeur maximale Ym de y, lorsque 1/J = VJ m : - si i < 90°, 1/Jm = i ===} Ym = 90 (1 - ~) - si i > 90°, 1/Jm = 180° - i ===} Ym = 90 (1 + ~) ce qu'on peut écrire: (11.29) avec () = Signe( cos i). Remarque. Cette méthode ne s'applique pas si Signe( cos i) et Signe( cos i') ne sont pas égaux (i' étant l'inclinaison apparente). Cette situation ne se présente jamais avec les satellites LEO phasés existants. Exemple: pour Jason-2, Ym = 82.9134; pour Oceansat-2, Ym = 96.2069. Durant un cycle de NT" révolutions en C To jours, le satellite coupe un méridien donné JI.;[ fois : - pour une orbite directe, i < 90°, satellite et Terre tournent dans le même sens et donc, JI.;[ = N To - C To ; - pour une orbite rétrograde, i > 90°, satellite et Terre tournent en sens contraire, NI = N To + C To ' On peut donc écrire le nombre NI d'intersections trace-méridien: (11.30)

M = NT" - () CT"

Exemple: pour Jason-2, NI = 127 - 10 = 117; pour Oceansat-2, JI.;[ = 29 + 2 = 3l. La longueur Ly de la diagonale « verticale », selon l'axe y, d'un losange élémentaire est notée : Ly = 4u où u représente notre unité de mesure. Les M intersections créent (M/2) losanges (M pair ou impair), qui apparaissent nettement sur la figure 11.12(a). Selon l'axe y, les losanges couvrent une longueur totale L :

L

=

(M/2)Ly

= 2u

M

Cette distance L correspond à l'intervalle [-Ym; +Ym], de longueur 2Ym. La valeur de u est donc : Ym u=M

474

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

Oceansat-2

Altitude = 720.0 km

Trace de l'orbite Phasage

Incl. HELIOS. = 98.33

a = 7098.139 km e = 0.000453

0

Période = 99.31 min • Révol./j.=14.50

= [15; -1; 2[ 29

Décalage à l'équateur = 2763.8 km ( 24.8 0)

2010061402:32:07 TUC »> 2880.0 min = 2.00jours

proj. : Snyder-TraSatRecti/79°

Centre Project.: 0.0

Propriété: (sans) [L.géoc]

Aspect: Direct

EIl T.:Cylindrique - Grille: 10

0

0

0.0

0

15.31 [ +00/ +0.0/ +00][-1 EGM96

Noeud asc: -38.02

0

[00:00 TSM]

[NORAD] Révolution: 3825 [NORAD] 2010 061402:32:07 TUC

MC

31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5

90 80 70 ~

~

60

'al

50

c c 0

l:J L-

a

40 30 20 10 0

LMD

ATÀ<X,

Oceansat-2

100

>-al

nLGJV

*

3 1

0

1

10

20

1

30

40

1

50 Latitude (0)

60

70

80

1

90

11.12 : (a) Trace du satellites Oceansat-2, héliosynchrone, phasé sur 2 jours. Projection de Snyder adaptée. (b) Résolution graphique de l'équation (11.33) donnant les latitudes (géocentriques) des points de grille.

FIG.

1l.5. Grille de phasage

475

En considérant les expressions de NI et de Ym, vues ci-dessus, et la définition de K" on obtient:

d'où la valeur de l'unité u :

90

u=-NT"

(11.31)

Considérons maintenant les intersections de la trace avec l'équateur. Dans un cycle de N To révolutions, on compte 2 N To intersections. Puisqu'elles sont régulièrement réparties, il y a donc N To losanges formés selon l'axe x. En notant Lx la longueur «horizontale », selon l'axe x, d'un losange élémentaire et en posant Lx = 4 tl, on obient :

et on vérifie ainsi, avec: u=tl

que l'unité de longueur selon x ou y est la même. C'est la conséquence directe de la propriété de la projection choisie. Avec l'unité u ainsi définie, les ordonnées des points de grille sont les suivants:

{

M pair M impair

y/u = 0,2,4,6, ... , l'vI y/u = 1,3,5,7, ... , l'vI

(11.32)

En partant de l'équateur, on numérote les latitudes des points de grille: point de grille j

{==}

ordonnée Yj <--+ latitude VJj { yj = (j / M) Ym o : : ; j ::::;; M ; j a la parité de M

Puisque Yj = 'J( 'l/Jj), on obtient la latitude géocentrique VJj par la fonction inverse de 'J : (11.33) La fonction 'J est analytique, la fonction 'J-l s'établit par résolution numérique. On obtient ainsi, pour chaque point de grille j, la latitude géocentrique IjJj, notéeljJ dans ce qui suit. Elle correspond à la latitude géocentrique du satellite ou de sa trace géocentrique T. À partir de chaque valeur de VJ, on calcule la latitude géodésique du nadir, notée cp, par la méthode exposée au chapitre 2 (voir figure 2.4 et tableau 2.4). On a vu que cp dépend de l'altitude. Ces valeurs 'l/J, cp, ainsi que CPT, latitude géodésique de la trace, sont données pour chaque valeur de j pour deux satellites au phasage de cycle très court: FormoSat-2, tableau 11.10 et Oceansat-2, tableau 11.11.

476

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

j

1 3 5 7 9 11 13 15

M -

Latitude 'P 26.5500 70.8187 78.6800 80.8230

58.6947 76.0404 80.1032

81.0443 Lat. 1/) max. = 180 - Inclin. =

1/)

Lat. 'PT

26.4153 58.5449 70.7139 75.9614 78.6149 80.0460 80.7699 80.9924 80.9924 80.9924

26.5690 58.7160 70.8336 76.0517 78.6892 80.1113 80.8306 81.0517

Lat.

«< «<

11.10 : Latitude 'P des points de grille pour le satellite FormoSat-2, héliosynchrone, iHS = 99.0076", CT" = 1 jour, N To = 14, ]v! = 14 + 1 = 15. Le calcul des points de grille se fait à partir de la latitude géocentrique ?j; de la trace T, dont la latitude géodésique est notée 'PT. La latitude 'P est la latitude géodésique du nadir, qui dépend de l'altitude. La relation entre ces latitudes est: ?j; < 'P < 'PT. TABLEAU

j

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 M -

Latitude 'P 14.2803 54.4799 69.6657 75.8021 78.8068 80.4344 81.3157 81.7078

38.5481 63.9408 73.3289 77.5435 79.7402 80.9471 81.5642

81.7548 Lat. ?j; max. = 180 - Inclin. =

Lat. ?j;

Lat. 'PT

14.1979 38.3799 54.3166 63.8044 69.5530 73.2338 75.7198 77.4707 78.7410 79.6796 80.3777 80.8934 81.2640 81.5140 81.6585 81.7057 81.7057 81.7057

14.2897 38.5673 54.4987 63.9565 69.6787 73.3398 75.8116 77.5519 78.8144 79.7472 80.4409 80.9533 81.3216 81.5700 81.7135 81.7605

«< «<

11.11 : Latitude 'P des points de grille pour les satellites Oceansat-l et -2, héliosynchrones, iHS = 98.2943°, CT" = 2 jours, NT" = 29, J'vI = 29 + 2 = 31. Pour 'P, 1/) et 'PT, voir le tableau 11.10.

TABLEAU

1l.5. Grille de phasage

Jason-2 / OSTM

Altitude = 1336.3 km

Trace de l'orbite Phasage

Inclinaison = 66.04

Décalage à l'équateur = 3155.5 km ( 28.3

CP: 0.0 0

Propriété: Conforme EIl T.:Cylindrique - Golle:

Aspect: Direct> zoom: 25.00 [5.31 [+90.01 +0.01·90.0] [-] EGM96

j

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 ... 115 117 M -

9.8157 17.1842 23.8564 29.7373 34.8384 39.2286 42.9980 46.2372 ...

5.9389 13.5757 20.6163 26.8969 32.3819 37.1169 41.1851 44.6785 47.6840 ... 66.1497

66.1566 Lat. ?j; max. Inclin.

0

Noeud asc:

99.92

Incl in. app. = 70.29

0

0

0

)

[00:00 TSM]

MC

ntv.JlI LMD ATÀ.aç

*

Lat. ?j;

Latitude 'P 1.9881

;

0.0

ICZ 44.5 0 N; 59.5 0 E

Projection: Mercator 0

a = 7714.434 km 0

Période = 112.43 min • Révol./j.=12.81

= [13; -3; 10]127

»> Durée représentée: 10.00 jours

1

477

= =

1.9771 5.9062 9.7624 13.5033 17.0947 20.5118 23.7390 26.7689 29.6006 32.2383 34.6895 36.9641 39.0730 41.0277 42.8396 44.5197 46.0785 47.5258 ... 66.0321 66.0390 66.0390 66.0390

FIG. 11.13 : (a) Un point de grille noté A (correspondant à j = 31) est au milieu de la mer d'Aral. (b) Trace du satellite. Contour de la mer en 1960 et en 2008. Document Aviso/CLS/CNES.

478

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

Exemple Il.11 Calcul de la position d'un point de grille particulier pour la trace des satellites altimétriques TOPEX/Poseidon, Jason-l et -2. ~ L'URSS a décidé, à partir de 1960, une campagne de culture intensive du coton en Ouzbékistan et au Kazakhstan. Pour cela, d'énormes quantités d'eau ont été prélevées dans les deux fleuves qui alimentent la mer d'Aral, le Syr Daria au nord, l'Amou Daria au sud. Le niveau de cette mer fermée a commencé à baisser et sa superficie a grandement diminué à tel point qu'en 1989 on a assisté à la division en deux bassins, la Grande Aral et la Petite Aral (figure 11.13(b)). L'assèchement continue et la Grande Aral devrait bientôt se diviser en deux. La mesure du niveau de la mer d'Aral est une application intéressante pour le satellite altimétrique TOPEX/Poseidon et pour ses successeurs Jason-1 et -2. Nous calculons la position du point de grille situé au milieu de la mer d'Aral, noté A sur la figure 11.13 (a). - Latitude. La mer «historique» est située entre les latitudes 43.5°N et 47°N. Pour T /P, CT" = 10 jours, N To = 127, i = 66.0390°, donc M = 127 - 10 = 117. En résolvant (11.33), on obtient pour j = 31 : 1/) = 1/)j = 44.5197°. On calcule ensuite la latitude géodésique du nadir, on obtient: 'P = 44.6785°. - Longitude. Les longitudes de la zone considérée sont comprises entre 58°E et 62°E. Le nœud ascendant qui fixe la grille est À o = 99.9242°. L'unité de largeur du losange est tJ = 90/127 = 0.7087. Comme M est impair, la longitude des points de grille est de la forme : Àk = Ào + k tJ avec k impair, compris entre 0 et 4 NT" ; Àk = 99.9242 + (90/127) k avec k impair, compris entre 1 et 507. [360]. Avec k = 451, on obtient À = 99.9242 + 319.6063 = 59.5305 Les coordonnées du point de grille au centre de la mer d'Aral, noté A sur la carte, figure 11.13(a), sont donc: 44.6785°N et 59.5305°E. ...

11.6

Maintien sur orbite du satellite phasé

Pour garder son phasage, un satellite phasé doit être « maintenu sur orbite» (on dit aussi « maintenu à poste») avec précision : les paramètres orbitaux doivent être replacés, si nécessaire, à la valeur requise. L'inclinaison i et l'excentricité e varient très peu. C'est le demi-grand axe a qui demande la surveillance la plus active. Nous nous interéssons ici uniquement à la variation de a. L'altitude du satellite à tendance à baisser, principalement sous l'effet du frottement atmosphérique et de la pression de radiation solaire. La forme différentielle de la troisième loi de Kepler donne :

dT

3 T - da 2 a

= -

Notons .da la variation du demi-grand axe par rapport à la valeur nominale (avec .da « a). La période du satellite varie de .dT. Après une révolution,

11.6. Maintien sur orbite du satellite phasé

479

de période (T + fJ.T), la rotation de la Terre provoque un décalage fJ.€ de la trace du satellite à l'équateur, par rapport à la trace nominale. On note ce décalage fJ.€1 pour une révolution et fJ.€J pour un jour. Compte tenu de la précession nodale, on obtient, avec (8.17) :

fJ.€1 = -R

..

Uh -

fJ.a

3··

n) fJ.T = -- R (nT - n) Td 2 a

(11.34)

en notant R le rayon équatorial. Avec la relation (11.17), on obtient: (11.35) Notons que fJ.€1 et fJ.a sont de signe contraire: - si h / : fJ.a > 0 ===} fJ.€1 < 0 : décalage vers l'ouest; - si h "" : fJ.a < 0 ===} fJ.€1 > 0 : décalage vers l'est. En une journée, le décalage sera: (11.36) et avec (11.9) : fJ.€J = -37f R -li -fJ.a = -37f R -fJ.a ( 1 - - 1 ) "" a a Cs

(11.37)

Le décalage quotidien fJ.€J peut s'écrire sous la forme simplifiée suivante, en utilisant la distance relative ri et en négligeant le terme en (1 / Cs) devant 1 : avec Q

37f

=-

Tl

(11.38)

Le facteur Q, que nous pouvons appeler coefficient de dérive est donc un nombre (sans dimension) par lequel il faut multiplier la variation d'altitude pour obtenir le glissement quotidien de la trace à l'équateur, par rapport aux valeurs nominales. Pour les satellites LEO héliosynchrones habituels, avec Tlc:::1.11: Q = 8.5 Par exemple, si la manœuvre monte le satellite de 10 mètres, le décalage de trace augmentera de 85 mètres chaque jour, à condition que a ne varie pas après la manœuvre. Exemple 11.12 Étude du maintien sur orbite du satellite altimétrique TOPEX-Poseidon. ~ Nous comparons la position de la trace réelle avec celle de la trace théorique pour les satellites TOPEX/Poseidon, Jason-l et -2. (a) Manœuvres de maintien sur orbite

480

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

11.14 : Variations de .1t' (écart avec la trace nominale) au cours du temps, en liaison avec les variations de .1a (écart avec le demigrand axe nominal), durant les 7 premières années d'exploitation de TOPEXjPoseidon (années 1993 à 1999). Les manœuvres de maintien sont notées OMM-n à l'instant d'application. À chaque OMM, le demi-grand axe est brusquement augmenté d'une dizaine de mètres. Document: Lee-Lueng Fu (JPLjNASA), Anny Cazenave (LEGOSjCNES). (à g.) Vue d'artiste de TjP. Document: JPLjNASA.

FIG.

1

0) 0) 0)

OMM 1.11

'"'

1

OMM 10

(Xl 0) 0)

0) 0) 0)

'"'

(Xl 0) 0)

'"'

'"'

1'-

1'-

'"'

'"'

(0

(0

0) 0)

0) 0)

0) 0)

'"'

OMM 9 1

lt)

0) 0)

'"'

lt)

0) 0)

OMMSI

'"'

1 1

OMM 7

'
0) 0)

OMM 6

'"'

1 1

OMM 5

CV) 0) 0)

OMM 4

'"'

OMM 3 OMM 2

-1.0

-0.5 0 0.5 Trace au sol (km)

1 1

OMM 1

1.0

0) 0)

'"' '
0) 0)

'"'

CV) 0) 0)

'"'

7714.440 .435 .430 .425 Demi-grand axe (km)

11.6. Maintien sur orbite du satellite phasé

481

Afin que le décalage avec la trace nominale ne soit pas supérieur à 1 km à l'équateur, le satellite est soumis, environ 2 à 3 fois par an, à une manœuvre, dite OMM (Orbital M aintenace M aneuver) : en allumant les moteurs du satellite pendant 3 à 4 secondes, l'altitude est mise à une position légèrement supérieure, de 5 à 10 mètres environ au-dessus de l'altitude nominale. La figure 11.14 montre les variations de .1t' au cours du temps, en liaison avec les variations de .1a, durant les 7 premières années d'exploitation de TOPEX/Poseidon. La trace se déplace à l'est de la trace nominale quand le demi-grand axe a diminue. Pour calculer la dérive de la trace, prenons en exemple la troisième manœuvre, notée OMM3, le 30 mars 1993. Par cette manœuvre, a est passé de 7714.426 km à 7714.435 (soit +9 m). Ensuite, pendant 26 jours, a a diminué régulièrement jusqu'à 7714.430 (soit +4 m par rapport au début de manœuvre). On peut donc considérer une valeur moyenne de .1a = 6.5 m pendant cette période. Données numériques pour T /P, TJ = 1.2095, K, = 12.70, 1/ = 12.81, appliquées à la relation (11.37) : .1t'J = -7.86 .1a = 51.1 m En 26 jours, .1t' = 1.33 km, ce qu'on lit sur le graphe. (b) Grille de référence Dans l'exemple 11.6, nous avons calculé ÀNA, à une révolution donnée, pour chacun des 3 satellites. Nous avons vu, tableau 11.9, que la longitude origine de la grille TPG est Ào = 99.9242°. La différence entre la longitude nominale du nœud ascendant, notée ÀRe A et Ào est égale à un nombre entier d'intertrace de grille 15 : ÀReA - À o = k(360/127); avec k entier. L'écart entre la valeur réelle ÀN A et la valeur nominale À Re A donne le glissement de trace et on a .1t' = R(ÀNA - ÀReA)' T/P Rév.4263 1993070918:07 TU 82.9247 - 82.9163 = 0.0084 .1t' = 0.933 km ÀNA - ÀReA = Jason-1 Rév. 8676 2003 10 15 21:31 TU 65.9144 - 65.9085 = 0.0059 .1t' = 0.659 km ÀNA - ÀReA = Jason-2 Rév. 6530 2009 11 12 04:56 TU ÀNA - ÀReA = 357.8813 - 357.8770 = 0.0044 .1t' = 0.486 km (c) Mission en tandem Comme nous l'avons noté au chapitre 9, lorsque deux satellites sont sur des orbites aux caractéristiques identiques, on peut effectuer une mission dite en tandem. Lorsque Jason-1 a été opérationnel, T/P est devenu satellite secondaire, le 15 août 2002. En décalant T/P d'une longitude à l'équateur exactement égale à (15/2), on a réalisé une mission en tandem, qui revenait à travailler avec une grille deux fois plus fine. Lorsque Jason-2 a été opérationnel, c'est Jason-1 qui est devenu satellite secondaire pour une mission en tandem, le 20 février 2009, T /P ayant fini son service .....

482

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

Il.7

Indice de phasage

11. 7.1

Définition de l'indice de phasage

Considérons un jour origine J = 0 et son intervalle de base, représentant l'intertrace orbitale, défini par ),.~ et ),.g, distants de la valeur 6R, le décalage équatorial. Le passage, un jour J donné, de la trace ascendante dans cet intervalle, détermine un nœud ascendant de longitude ),.{, comme vu ci-dessus. La distance entre ),.{ et les bornes ),.~ et ),.g va être représentative du phasage. Si la distance à une des deux bornes est nulle, c'est bien que la trace repasse sur un même point : il y a phasage avec un cycle de J jours (ou bien J est un multiple du cycle). Si la distance est petite par rapport à la longueur de l'intervalle, on peut être dans le cas d'un sous-cycle. On pose:

(11.39) D'après (11.21), on a la relation:

v(J) = u(J) CTu

(11.40)

Ces deux définitions équivalentes montrent que v( J) est un réel compris entre 1, représentant une distance relative. Comme on avait défini u* (J) par (11.23), on définit de même v* (J) comme la plus petite des deux distances relatives v( J) de la trace à l'une et l'autre des bornes:

o et

*() . {),.~ - ),.{ v J = mm ),.0 _ ),.0

ou bien:

v*(J)

=

(11.41)

°

1

min {v(J) ; 1 - v(J) }

soit:

v*(J)

=

J~ 6R

JIDTu!

=

C To

=

u~(J) Tu

(11.42)

(11.43)

On appelle cette grandeur distance relative de phasage. Elle est comprise entre 0 et 0.5. On a donc: v* (J) = 0, pour un cycle de phasage sur J jours; v*(J) = (I/CTJ, pour un sous-cycle de phasage; v*(J) = (2/CTJ, pour une trace située à 26 d'une borne; et ainsi de suite. Pour obtenir une grandeur fonction de J qui soit d'autant plus élevée qu'on se trouve proche des conditions de phasage, nous avons défini la fonction

=

1

v*(J)

(11.44)

11.7. Indice de phasage

483

Nous avons appelé cette fonction indice de phasage. C'est une grandeur sans dimension. On a alors:

p( J) : (X) p(J) = CTo p(J) = CT j2 p(J) = C T j3

cycle de phasage sur J jours sous-cycle de phasage pour J trace à 26 d'une borne trace à 36 d'une borne

p(J) > 2

dans tous les cas

Cet indice permet de repérer très facilement les cycles, les sous-cycles, ou autres grandeurs liées au phasage, pour tout satellite, qu'il soit intentionnellement phasé ou non.

Il.7.2

Phasage parfait ou imparfait

Les méthodes que nous venons d'exposer concernent les satellites dont on connaît des éléments de phasage : elles permettent de trouver, à partir de ces éléments, les caractéristiques de l'orbite. Mais on peut être confronté à un autre type de problème: connaissant l'orbite d'un satellite, on veut trouver son cycle de phasage. Pour ce satellite, h et i sont connus, donc P et li sont déterminés, ainsi que K,. Le jour J correspondant au cycle de phasage C To sera celui pour lequel le produit (K,. J) se rapproche le plus d'un entier, donc celui qui définit l'indice de phasage p( J) le plus élevé, que nous notons Pm. En effet, en considérant l'expression (11.12) donnant K, en fonction du triplet de phasage, on a pour le produit (K, • J) : K, .

J = J

lia

+J

DTo CT"

et, puisque (J . lia) est entier, on a: { partie fractionnaire 1K, • JI} = v ( J) ce qui donne : { écart entre

1

K, •

JI et l'entier le plus proche} = v* (J)

Si Pm est infini, le satellite est phasé, c'est-à-dire parfaitement phasé (et en principe, volontairement phasé). Si Pm n'est pas infini, le phasage est imparfait. Lorsqu'on cherche les caractéristiques de phasage à partir des éléments orbitaux, le phasage peut être imparfait et, dans ce cas, les grandeurs u( J) et u* (J) ne sont pas entières.

484

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude a = 7200.546 km

SPOT-4

Altitude = 822.409 km

Cycle de Phasage

Décalage équat. = 2823.7 km

==> Cycle sur 369 tours

Période = 101.46 min

[14; 5; 26 1 26.000

v

Indice max. = infini

Terra

Altitude = 699.600 km

Cycle de Phasage

Décalage équat. = 2751.9 km

==> Cycle sur 233 tours

Période = 98.88 min

Indice max. = infini

Incl. HELlOS.= 98.72

Cycle: 26.00 jours

0

= 14.1923

Je = 14.1923

80 ID

'"

70

C1l

60

C1l

50

'"

.c

Cl. ID TI

.~

." TI

40 30 20 10

Incl. HELlOS.= 98.21

[ 15; -7 ; 16 1 16.000

ID

'"

60

C1l

50

Cl.

30

'6

20

"

:il

40

ID TI ID

."

Je = 14.5625

;1;

~

70

C1l

'"

.c

V = 14.5625

::!

;"

80

a = 7077.738 km Cycle: 16.00 jours

0

10 10

FIG.

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

11.15 : Indice de phasage pour les satellites des familles SPOT et Terra.

11. 7.3

Exemples d'utilisation de l'indice de phasage

Nous donnons ici quelques exemples d'utilisation de l'indice de phasage, où lJ>( J) est noté sur une durée de plusieurs mois. La légende des graphes comporte les caractéristiques d'orbite du satellite, les valeurs du cycle (avec l'indice maximal de phasage, permettant de voir si le phasage est parfait ou non) et les deux grandeurs fondamentales de cette étude, la fréquence quotidienne orbitale li et la fréquence quotidienne de phasage ~. Sur les graphes, on voit apparaître clairement les cycles et les sous-cycles plus ou moins prononcés. On fait également la différence, de manière très marquée, entre les satellites volontairement phasés et ceux pour lesquels un certain phasage existe de fait, mais n'est pas recherché. Exemple 11.13 Indice de phasage pour des satellites héliosynchrones ou non. ~

Sauf mention, les satellites sont héliosynchrones et leur phasage est recherché.

(a) Changement de sous-cycle provoquant une augmentation de rapidité de parcours

11.7. Indice de phasage

485

a = 7174.907 km

ADEOS-1

Altitude = 796.770 km

Cycle de Phasage

Décalage équat. = 2808.7 km

==> Cycle sur 585 tours

Période = 100.92 min

Indice max. = infini

[ 14; 11 ; 41 1 41.000

11 = 14.2683

te = 14.2683

TOPEX/Poseidon

Altitude = 1336.291 km

a = 7714.428 km

Inclinaison = 66.04

Cycle: 9.92 jours

Cycle de Phasage

Décalage équat. = 3155.5 km

==> Cycle sur 127 tours

Période = 112.43 min

Indice max. = infini

113; -3; 101

11 = 12.8080

Incl. HELlOS.= 98.61

Cycle: 41 .00 jours

0

80 (]) 0)

'" '" Vl

.c

Co

(])

"0

.~

"0

.!:

70 60 50 40 30 20 10

m

80 (]) 0)

'" .c '" Vl

Co

(])

"0

10

..l'V\..

(]) (])

"

'5 E

= 12.7000

~

~

~

10

lJv\ 15

20

..l'V\.. 25

lJv\

30

35

..l'V\..

40

45

lJv\

50

55

..l'V\..

60

65

lJv\

70

75

~

Altitude = 517.360 km

Cycle de Phasage

Décalage équat. = 2646.6 km

Ps.

Période = 95.10 min

Indice max. = infini

[ 15; 39; 274 1 274.000

11 = 15.1423

"

Incl. HELlOS.= 97.49

;!

..l'V\..

Jours

80

a = 6895.496 km

Z-Earth

80

"0

" ~

50

30

Vl

~

40

20

(]) 0)

-

~

60

(])

'" .c '" 0-

:;;

70

'5

" .!:

9.916

0

0

EGM96

Cycle: 274 j sur 4149 tours

c. : 7 j sur 106 tours

= 15.1423

N

70 60 50 40 30 20 10

80 (]) 0)

'" '" Vl

.c 0(])

"0 (])

"

'5 E

70 60 50 40 30 20 10

jours

MC. LMD

FIG. 11.16

Indice de phasage pour ADEOS-l, TOPEX/Poseidon, Z-Earth.

486

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

de l'intervalle de base Nous avons signalé comment, pour les satellites Landsat ou IRS, la modification du sous-cycle DTo a radicalement changé la manière de parcourir l'intervalle de base. Pour les satellites IRS-1A et IRS-P2, en complément de la figure 11.9, la représentation de l'indice de phasage, figure 11.10, illustre ce changement. Pour IRS-1A, la trace glisse régulièrement, en 22 jours, sur l'intervalle de trace. Pour IRS-P2, la trace s'approche de la trace initiale, à quatre occasions au cours du cycle de 24 jours, aux jours J = 5,10,14 et 19, soit en gros tous les 5 jours. (b) Indice de phasage pour les satellites des familles SPOT et Terra Ces deux familles de satellites de télédétection comprennent un grand nombre de satellites, dont l'indice de phasage est représenté sur la figure 11.15. Pour SPOT, l'indice montre 4 « pics» dans le cycle de 26 jours, pour les jours J = 5,10,16 et 21, soit un passage près de la trace initiale en gros tous les 5 jours. Pour Terra, on voit deux pics principaux dans le cycle de 16 jours, pour les jours J = 7 et 9. (c) Indice de phasage pour un satellite au cycle long Le satellite ADEOS-1 possède un cycle de phasage relativement long, CT" = 41 jours. L'indice de phasage présente des pics tous les 4 jours environ (figure 11.16(a)). On pourra se reporter à l'exemple 11.9, pour voir que les deux pics intermédiaires principaux, pour J = 15 et 26, correspondent à u* = 1, les suivants, pour J = 11 et 30, correspondent à u* = 2, etc. (d) Indice de phasage pour un satellite non héliosynchrone Le satellite TOPEX/Poseidon, non héliosynchrone, a un phasage court CT" = 10 jours, avec deux pics pour J = 3 et 7 jours (figure 11.16(b)). On remarque que K et 1/ ont des valeurs différentes: le cycle se fait sur CT = 9.916 jours. Pour ICESat, en dessous du sous-cycle J = 25, on trouve deux pics pour J = 8 et J = 15. L'intervalle de base est pratiquement balayé en 8 jours. (e) Indice de phasage pour un satellite au phasage très long Comme tous les satellites qui cartographient systématiquement une planète, le phasage est sur un cycle très long, car la fauchée de l'instrument principal est très étroite. Le satellite Z-Earth a un cycle de 274 jours, avec 4 149 révolutions. Il présente un sous-cycle de 7 jours sur 106 révolutions, qui apparaît clairement avec l'indice de phasage (figure 11.16(c)). Le graphe a son axe des abscisses limité à 180 jours et le maximum à 274 jours n'y figure donc pas. Cependant, la symétrie par rapport au point d'abscisse CT /2 = 137 j est très visible .....

11.7.4

Indice de phasage et caractéristiques d'orbite

Le phasage est très sensible aux variations d'inclinaison et surtout d'altitude. L'indice de phasage rend très bien compte de cette sensibilité. Les deux exemples suivants montrent comment un changement d'altitude de quelques centaines de mètres entraîne un bouleversement du phasage au bout de quelques semaines. Les satellites phasés avec précision sont replacés sur l'orbite nominale dès que l'altitude a varié d'une fraction de kilomètre. Cette manœuvre intervient entre une à quatre fois par mois.

e Il. 7. Ind ice de pha sag

487

2

-7

UDE (km l VARIATION EN AL TIT

JOURS

ITUDE (km) VARIATION EN ALT

J, LJ.h), en jon cti on ice de pha sag eini15( est notée 1000. FIG . Il. 17 : Ind e inf 15 La val eur

iat ion du jou r J et de la var

d'a ltit ude LJ.h. SP OT -5; (b) ER S-l . actéristiques de : (a) car les nt aya ite ell 15. Po ur un sat exe mp les 11. 14 et 11. Ex pli cat ion s dans les

488

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

Exemple 11.14 Indice de phasage et variation d'altitude pour SPOT-5. ~ On considère un satellite héliosynchrone du type SPOT -5, avec le triplet de phasage [14; 5; 26]. On trace l'indice de phasage pour diverses altitudes. La figure l1.17(a) représente la fonction p(J, iJ.h). Pour iJ.h = 0, c'est-à-dire pour la valeur de l'altitude donnant le phasage recherché, on voit que les pics principaux se retrouvent pour les valeurs de J multiples de GTo = 26 jours. Les pics secondaires, 5 jours avant et après le pic principal, correspondant au sous-cycle de phasage, apparaissent nettement. Ils deviennent des pics principaux pour des altitudes voisines. Le triplet de phasage [14; 5; 26], pour iJ.h = 0, devient: [14; 4; 21] pour iJ.h = +0.6 km et [14; 3; 16] pour iJ.h = + 1.6 km. En diminuant l'altitude, ce phasage initial devient: [14; 6; 31] pour iJ.h = -0.4 km, [14; 7; 36] pour iJ.h = -0.7 km, [14; 8; 41] pour iJ.h = -1.0 km, etc .....

Exemple 11.15 Indice de phasage et variation d'altitude pour ERS-l. ~ On revient sur le satellite héliosynchrone ERS-l, qui a connu trois cycles de phasage, étudiés dans l'exmple 11.3. On prend comme altitude de référence celle du Phasage 2, correspondant à un cycle de 3 jours. Sur la figure 11.17(b), ce cycle de 3 jours apparaît pour iJ.h = O. Si on augmente l'altitude, avec iJ.h = +6.358 km, on obtient le Phasage 1 et son cycle de 35 jours. Si on diminue l'altitude, avec iJ.h = -5.936 km, on obtient le Phasage 3 et son cycle de 168 jours .....

11.8

Variation de l'altitude

L'étude qui suit, sur l'altitude et le gel d'orbite, est valable pour tout type d'orbite, mais n'a d'intérêt que pour les orbites LEO quasi circulaires. Si l'orbite n'est pas proche du cercle, les variations d'altitude du satellite au cours de ses révolutions sont dues à l'excentricité de l'orbite, devant laquelle l'aplatissement de la Terre est négligeable. Pour les satellites MEO, l'altitude n'est pas la grandeur pertinente. Il en est de même pour les satellites GEO, où l'altitude est constante en fonction du temps, le satellite étant stationnaire.

11.8.1

Altitude et paramètres orbitaux

L'altitude, nous l'avons vu, n'est pas un moyen précis pour définir la position du satellite (ce n'est d'ailleurs pas un des six paramètres orbitaux) : l'orbite dite quasi circulaire, ou même circulaire, n'est jamais rigoureusement circulaire et la Terre n'est pas exactement sphérique. Dans les chapitres précédents, consacrés à la trace du satellite, l'altitude n'a pas été évoquée de manière fondamentale. Mais elle interviendra dans les

1l.8. Variation de J'altitude

489

chapitres suivants, lorsqu'on étudiera la manière dont les instruments embarqués observent la Terre, comment ils la « voient» d'une certaine hauteur. L'altitude du satellite est obtenue par la différence entre le rayon vecteur définissant la position du satellite r(a, e, v), donnée par les relations (4.40) et (4.58), et RT(1jJ), le rayon terrestre pour la latitude géocentrique 1jJ correspondante, la Terre étant considérée comme un ellipsoïde de révolution, d'aplatissement f. Cette valeur R T (1jJ) est donnée par la relation (1.37) dans laquelle R,p représente R T (1jJ) et où le demi-grand axe de l'ellipse a est pris égal à R, rayon équatorial. On remarque qu'avec cette définition, liée à l'ellipsoïde, l'altitude ne tient pas compte du relief terrestre. Lorsqu'on combine des grandeurs liées à la fois à la position du satellite et à la latitude terrestre, on mène les calculs en latitude géocentriqueljJ, puis on exprime les résultats avec la latitude géodésique cp, en utilisant (2.4). L'altitude étudiée ici est l'altitude définie comme géocentrique, au chapitre 2. Sa différence avec l'altitude géodésique au nadir est, pour les satellites LEO, négligeable. Elle est de 1 ou 2 mètres, voir relation (2.35). On écrit donc l'altitude h du satellite sous la forme:

h = r(a, e, v) - RTell))

(11.45)

La latitudeljJ est reliée à (i,w,v) par la relation (6.65) et on obtient h sous la forme:

h

h(a,e,i,w,v)

=

(11.46)

L'altitude s'écrit donc comme une fonction de cinq paramètres orbitaux. Le paramètre D n'intervient pas, puisque les longitudes terrestres sont ici indifférentes. On retrouve le cas déjà vu avec la relation (6.66). La variation de l'altitude est schématisée figure 11.18. Sur cette figure, l'axe Ox est dans le plan équatorial de la Terre, l'axe Oz est l'axe des pôles. La différence entre les deux demi-axes de l'ellipse représentant la Terre est de 21.3 km (voir exemple 2.1). La trajectoire représentée est celle d'un satellite en orbite basse, strictement polaire, avec périgée sur le pôle Nord (w = 90°). Pour une excentricité de l'ordre de 10- 3 , la distance FC, entre le foyer F de l'ellipse (foyer attractif, centre de la Terre) et le centre C de l'ellipse, égale à ae, est de l'ordre de 8 km. L'orbite est quasi circulaire. Pour une révolution donnée, on considère dans (11.46) les valeurs moyennes des paramètres orbitaux a, e, i et w. À la place de v, nous avons choisi ex pour déterminer la position du satellite sur l'orbite. On a vu que cet angle, ex = w + v, repère le satellite à partir du nœud ascendant. L'altitude h s'exprime donc en fonction de la position sur orbite ex sous la forme:

h(ex) r(ex)

=

=

r(ex) - RT(ex)

rra, e, v(w, ex)]

a(l - e 2 ) 1 + ecosv

= ----'-------'--

(11.47) (11.48)

490

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

z

x

11.18 : Représentation schématique de l'ellipsoïde terrestre, de centre 0, et de la trajectoire elliptique (orbite polaire) du satellite 5, de centre C et de foyer F confondu avec o. Les cercles principaux des ellipses ont été marqués. Les excentricités utilisées sur la figure sont grandement exagérées par rapport aux véritables excentricités.

FIG.

RT(a)

=

RT[R, f, 1jJ(i, a)]

R

= ----;====== 2

cos 1jJ

+

sin 2 VJ (1 _ 1)2

(11.49)

avec:

v=v(w,a) =a-w

11.8.2

1jJ = 1jJ(i, a) = arcsin(sin i· sina)

Altitude au cours d'une révolution

La fonction h( a) étant ainsi définie, on note les valeurs particulières de l'altitude: h(O) à l'équateur (nœud ascendant), h(w) au périgée, h('if) à l'équateur (nœud descendant), h(w + 'if) à l'apogée. La fonction r(a) a une période de 2'if , son amplitude étant égale à ae. La fonction RT(a) a une période de 'if, son amplitude variant entre 21.3 km

1l.8. Variation de J'altitude

491

pour les satellites polaires (valeur du produit Rf) et 0 pour les satellites équatoriaux, car dans ce cas, RT(Œ) = R pour tout Œ. Lorsqu'on donne la hauteur d'un satellite en fonction de la position sur orbite, il faut spécifier la révolution, ou tout au moins le jour, à cause du déplacement du périgée. Pour les satellites en orbite quasi circulaire étudiés ici, la différence entre les anomalies v et NI est très faible (voir les figures 4.4( a) et 4.5) et on pourra remplacer Œ par le temps t, avec la relation Œ = 27r(t/T). Exemple 11.16 Altitude, au cours d'une révolution, de quatre satellites d'ob-

servation de la Terre, WorldView-2, RazakSat, RapidEye-5 et Yao Gan-J.

~ Les valeurs des éléments orbitaux métriques sont pratiquement constantes sur la durée de plusieurs jours. Mais l'argument du périgée w peut varier rapidement (précession apsidale). C'est pourquoi le jour considéré et le numéro de la révolution doivent être spécifiés. On a utilisé les données NORAD pour la journée du 6 avril 2010. Les valeurs des paramètres orbitaux sont notées sur la figure correspondante. Pour chaque satellite, les graphes sont divisés en deux parties: - sur la partie du bas, on a tracé en trait tireté

1'(Œ) - 1'(0) et en trait plein

RT(Œ) - RT(O)

- sur la partie du haut, on a tracé l'altitude par rapport à l'altitude à l'équateur

h(Œ)-h(O) soit la différence entre les deux courbes précédentes. L'altitude à l'équateur s'obtient par:

h(O) = a(l - e2 )

_

R

1 + ecosw Pour mieux comparer les variations, tous ces graphes sont tracés avec la même échelle. WorldView-2 (figure 11.19(a)) Ce satellite héliosynchrone a une excentricité particulièrement faible. La courbe, en tireté, représentant la variation 1'(Œ) - 1'(0), est pratiquement plate. La variation d'altitude provient essentiellement de la variation du rayon de l'ellipoïde terrestre. RazakSat (figure 11.19(b)) Pour ce satellite quasi équatorial, la variation du rayon de l'ellipoïde terrestre est pratiquement nulle. Seule intervient, dans l'altitude, la variation 1'(Œ) - 1'(0) due à l'excentricité. RapidEye-5 (figure 11.20(a)) Pour ce satellite héliosynchrone, les variations de 1'(Œ) et de RT(Œ) sont du même ordre, d'une vingtaine de km. Au total, h(Œ) varie de 40 km. Yao Gan-7 (figure 11.20(b)) Les courbes pour ce satellite héliosynchrone sont similaires à celles du précédent, avec position différente du périgée ....

492

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre

WorldView-2

a

=7142.820 km

i = 98.549

20100406/ Revolution: 2576

phasage, altitude

e = 0.000180

w = 47.9

0

0

790

25

~ ""c:

785

20

780

15

775

10

770

.lB U) (5

765 760

-5 -10

10

Ê 6

""c: ûi '" (5

-5 -10 -15 -20 -25 30 Equateur

60

90

120

Position sur orbite

N.ASC.

150

n

180

210

Equateur N. DES.

RazakSat

a

=7061.292 km

i = 9.001

20100406/ Revolution: 3907

240

270

Position sur orbite

300

330

n

360 Equateur N.ASC.

e = 0.001324 w = 101.5

0

0

705

20

~

""c: ûi '" (5

15

700

10

695 690 685

-5

680

-10

675

-15

15

Ê

10

6

""c:

-5

(5

-10

~

-15 -20 30 Equateur N.ASC.

60

90

120

Position sur orbite

Cl

150

180 Equateur N. DES.

210

240

270

Position sur orbite

300

Cl

330

360 Equateur N.ASC.

Altitude du satellite en fonction de la position sur orbite, au cours d'une révolution. Pour une légende détaillée, voir la figure 11.22. (a) WorldView-2. (b) RazakSat.

FIG. 11.19

1l.8. Variation de J'altitude

RapidEye-5

a

=7004.812 km

i = 97.952

20100406/ Revolution: 8647

493

e =0.001969

w = 111.3

0

0

25

Ê

6

Q)

ü

655

20

650

15

645

10

640

<::

J!l

"'

(5

635 630

-5

625

·10

Altitude

(km)

10

Ê 6

Q)

ü

<::

-5

CIl

·10

(5

·15

1i)

·20 ·25 30 Equateur

60

90

120

Position sur orbite

N.ASC.

150

n

180

210

Equateur N. DES.

YaoGan-7

a

=7016.572 km

i = 97.853

201006041/ Revolution: 1736

240

270

Position sur orbite

300

330

n

360 Equateur N.ASC.

e =0.002527 w = 284.7"

0

675

40

Ê

6

25

<::

20

CIl

1i)

(5

665

30

Q)

ü

670

35

660 655 650

15

645

10

Altitude

(km)

20

Ê 6

15 10

Q)

ü

<::

1il

(5

-5 ·10 ·15 30 Equateur N.ASC.

FIG. 11.20

60

90

120

Position sur orbite

Cl

150

180 Equateur N. DES.

210

240

270

Position sur orbite

300

Cl

330

360 Equateur N.ASC.

Altitude du satellite en fonction de la position sur orbite, au cours d'une révolution. Pour une légende détaillée, voir la figure 11.22. (a) RapidEye-5. (b) Yao Gan-J.

494

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

Okean-3

Date: 1998, J = 200, 230, 260, 290

a = 7014.051 km

excentricité (J)

i = 82.522

arg. périgée (J)

Date (1998)

------_._._._._... .. .. .. ... ... ... _.

J J J J

__ __ __ _

= 200 =230 = 260 = 290

0

excentricité

arg. périgée

0.0024698 0.0022576 0.0020711 0.0022845

67.73 337.05 233.99 128.53

50

Ê 6

ID ()

c

en (5 CIl

45

675

40

670

35

665

30

660

25

655

20

650

15

645

10

640

5

635

0

630

-5

625

-10

620

-15

Ititude

(km)

0 Equateur

N. ASC.

30

60

90

120

Position sur orbite

Cl

150

180 Equateur

N. DES.

210

240

270

300

Position sur orbite

Cl

330

360 Equateur

N. ASC.

11.21 Représentation de l'altitude pour le satellite Okean-3, en fonction de la position sur orbite a, exprimée en degrés. Quatre révolutions sont représentées, avec un intervalle de 30 jours. À gauche, l'échelle des distances prend pour origine le passage à l'équateur pour le jour origine (J = 200). À droite, l'échelle indique les altitudes à partir de l'ellipsoïde de référence.

FIG.

11.8.3

Variation de l'altitude sur une longue période

Si on considère l'altitude sur une période de plusieurs mois, les éléments a et i restent pratiquement constants. L'excentricité e fluctue autour d'une valeur centrale et l'argument du périgée w suit une variation séculaire à laquelle s'ajoutent des variations secondaires périodiques. La forme de la variation de l'altitude h(a) sur une révolution dépend principalement de la valeur de w et légèrement de la variation de e, comme nous montrons dans l'exemple suivant. Exemple 11.17 Altitude en fonction de la position sur orbite h(a) pour le satellite Okean-3. Pour divers jours de l'année 1998. ~ Le satellite Okean-Ol-3, généralement nommé Okean-3, a été lancé le 4 juin 1991. Nous avons choisi de représenter, figure 11.21, l'altitude h(a) pour quatre jours de l'année 1998, distants chacun de 30 jours: J = 200 (19 juillet), J = 230 (18 août), J = 260 (17 septembre), J = 290 (17 octobre). Durant cette période de

1l.9. Orbite gelée

495

90 jours, a n'a pas changé de manière significative, a = 7014.051 km, i a varié entre 82.521 ° et 82.523°. L'excentricité e a fluctué entre 2.07 10- 3 et 2.47 10- 3 . Quant à l'argument du périgée, il a varié par intervalle de 30 jours de -90.68°, -103.06° et -105.46°. À la variation séculaire (proportionnelle au temps) de w, se superpose une petite variation à longue période (de l'ordre de quelques mois). En calculant la vitesse de précession apsidale moyenne, on trouve: W = -(360 + 67.73 - 128.53)/90 = -299.20/90 = -3.32° . 1 ce qui est conforme à la valeur calculée avec (7.16), qui donne w= -3.26° .j-l. Les variations périodiques de w se superposent à la variation séculaire. Les valeurs e( J) et w(J) sont notées sur la figure 11.21. Les graphes h( Ct) ont été tracés pour les quatre jours choisis. L'échelle de gauche a pour origine l'altitude au passage à l'équateur pour le jour J = 200. Celle de droite note l'altitude par rapport à l'ellipsoïde de référence ....

r

11.9 11.9.1

Orbite gelée Définition de l'orbite gelée

D'après l'expression de h donnée par (11.46), nous voyons que l'altitude du satellite, par rapport à son point subsatellite donné, varie avec le temps: très légèrement d'une révolution sur l'autre, mais de manière importante sur une durée de plusieurs jours, comme nous le montrons dans l'exemple 11.17. Lorsqu'on désire qu'un satellite soit phasé (cycle CT), c'est pour obtenir des conditions identiques de prise de vue tous les CT jours. Or, dans le cas du phasage, c'est la trace qui est fixée, pas nécessairement l'altitude. Cela peut présenter un inconvénient pour les satellites d'observation de la Terre, pour lesquels on souhaite généralement que l'altitude soit constante pour un point subsatellite donné, d'un passage à l'autre, afin de pouvoir comparer les images réalisées à des dates différentes. On désire donc que l'altitude ne dépende que de la latitude du point subsatellite, sans variation dans le temps. Si ces conditions sont réalisées, on dit que l'orbite est gelée 6 . Notons que le gel d'orbite est indépendant du phasage, mais que, dans la pratique, seuls les satellites phasés (héliosynchrones ou non) ont une orbite gelée.

11.9.2

Détermination des paramètres gelés

Considérons la relation (11.46) donnant l'altitude h du satellite au-dessus d'un point donné quelconque, défini par l'angle Ct de position sur orbite. Cette altitude, pour ce point de latitude géocentrique 1jJ, sera notée ha (t). Avec (11.46), on voit qu'elle varie dans le temps par l'intermédiaire des paramètres 6Les premières publications sur les orbites gelées datent de 1965. Elles concernaient des satellites en orbite basse autour de la Lune. Le terme «frozen orbit » a été utilisé pour la première fois, à propos de Seasat, en 1976.

496

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

orbitaux osculateurs, c'est-à-dire instantanés:

hŒ(t)

=

h [a(t), e(t), i(t), w(t)]

(11.50)

On ne tient compte ici que des variations à longue période ou séculaires. Les variations à courte période sont moyennées sur une révolution orbitale. Dans ces conditions, comme vu au chapitre 6 et schématisé par la figure 6.4, le demi-grand axe a ne subit pas de variation. La relation (6.97) montre que, tant que l'inclinaison n'est pas nulle, la variation de i est négligeable par rapport à celle de e, ce qui est illustré dans l'exemple 6.1. La relation (11.50), issue de (11.46), se simplifie donc en :

ho:(t)

h [e(t), w(t)]

=

(11.51)

Les deux paramètres qui nous intéressent donc ici, e et w, subissent une variation à longue période (due aux termes zonaux impairs, principalement J 3 ), et w subit de plus une variation séculaire (due aux termes zonaux pairs, principalement h). En écrivant les équations représentant e et w, valeurs issues du traitement complet des équations de Lagrange, il faut donc résoudre:

{~

o o

où ë = (de/dt) et w = (dw / dt) sont fonctions des inconnues e et w et en moindre part des autres paramètres orbitaux. L'établissement des conditions de gel d'orbite est très complexe dans le cas général. Nous allons l'établir en considérant un développement limité au degré 3. En utilisant, dans les équations de Lagrange, le potentiel perturbateur R = R 2 + R3 calculé au chapitre 6, on obtient :

ë n

w n

3

3 2(1 _ e2)2 J 3

~

(1 - e2)2

h

(R) - 2( a

(R) 3 (

1-

~

"45.sm

2.)z sm. . cos w

2) [1 + 2e(1 1-

1 - -5 sin i 4·

1

(R)

-J 3 -a

e2) J 2

(11.52)

sin i sinw] (11.53)

On vérifie que, si on néglige J 3 dans les relations (11.52) et (11.53), on retrouve respectivement ë = 0 et la relation (6.76). Inclinaison proche de l'inclinaison critique

Par définition même de l'inclinaison critique, donnée par la relation (6.81), le terme [1 - (5/4) sin 2 i] est nul. On a donc: w = 0 et ë = O. L'orbite est gelée, que l'excentricité soit petite ou grande.

1l.9. Orbite gelée

497

Pour des inclinaisons proches de l'inclinaison critique, de larges oscillations de w sont dues au terme en J 4 (et aux suivants) puisque la contribution de h et h est très petite. Les expressions (11.52) et (11.53) doivent être développées à des degrés supérieurs. On montre alors que pour i compris entre 53° et 74° environ (ou bien compris entre 106° et 127°), l'excentricité pour une orbite gelée varie entre 0 et 30 10- 3 . Inclinaison éloignée de l'inclinaison critique Pour des inclinaisons éloignées de l'inclinaison critique (à savoir, les domaines angulaires i < 53°; 74° < i < 106° ; i > 127°), ce qui est le cas des satellites héliosynchrones habituels, la relation (11.52) montre:

w = ±90°

è=0

===}

En portant cette valeur de w, notée Wc, dans (11.53), on obtient annulant l'expression entre crochets, soit:

ec

=

e(wc)

= -

1 J3 R -. - . -.

J2

2

a

...

sm'{· smwc

(11.54)

w=

0 en

(11.55)

en notant les valeurs gelées avec l'indice [c J. Ce calcul se rapportant aux orbites quasi circulaires, on a négligé e 2 devant 1 dans (11.53). On pourra se reporter à la relation (6.96). Le signe de sinwc dépend de celui de J 3 afin que l'expression de e soit évidemment positive. Pour la Terre, avec J 3 négatif, on prend: (11.56) R .. . sm 7, (11.57) a Le périgée des satellites LEO héliosynchrones, lorsque l'orbite est gelée, est donc pratiquement au-dessus du pôle Nord.

ec

= -

J3

-- . -

2

h

Valeur de l'excentricité gelée Pour les satellites SPOT, l'application de la formule (11.57) donne ec = 1.03 10- 3 . La valeur exacte de l'excentricité gelée est ec = 1.14 10- 3 . Pour les satellites LEO, la valeur ec est toujours petite (de l'ordre de 10- 3 ) et l'orbite est donc toujours quasi circulaire. Beaucoup de satellites phasés, héliosynchrones ou non, ont une orbite gelée. Pour certains satellites, il est fondamental que les paramètres e et w soient maintenus 7 aux valeurs de référencé, respectivement ec et wc. 7Par exemple, pour le satellite TOPEX/Poseidon, entre 1992 et 2002, on note les intervalles de variation suivants, très étroits, pour les éléments orbitaux. eG : de 0.73 10- 3 à 0.83 10- 3 ; WG : de 264° à 270° ; i : de 66.037° à 66.046° ; a : de 7714.422 à 7714.436 km. 8Les valeurs réelles, obtenues à partir des éléments NORAD, sont souvent assez différentes des valeurs nominales. Dans l'exemple 11.1, on constate que les valeurs de l'excentricité de SPOT-5 sont nettement inférieures aux valeurs nominales.

498

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

MetOp-A

a

=7195.606 km

i = 98.702

Orbite gelée

e = 0.001165

w = 90.0

0

0

30

~

845

25

840

20 15

835 830

10

825 820 815

-5

Altitude

(km)

10

Ê 6

""c ûi '" i5

-5 -10 -15 -20 -25 30 Equateur N.ASC.

60

90

120

Position sur orbite

n

150

180 Equateur N. DES.

210

240

270

Position sur orbite

300

330

n

360 Equateur N.ASC.

FIG. 11.22 Représentation de l'altitude pour le satellite MetOp-A, orbite gelée. L'altitude est donnée en fonction de la position sur orbite a, exprimée en degrés. Sur la partie du bas, on a représenté: en trait pointillé, la différence entre la distance r(a) du satellite au centre de la Terre et la distance r(O) lors de son passage au nœud ascendant; en trait plein, la différence entre le rayon terrestre RT (a) et le rayon équatorial R = RT (0). La courbe représentée sur la partie du haut est obtenue par la différence entre la première et la seconde des deux courbes du bas. À gauche, échelle pour les différences; à droite, échelle pour les altitudes par rapport à l'ellipsoïde de référence.

Signalons que certains satellites réclament une orbite non gelée. Afin que le périgée ne soit pas constamment au voisinage du pôle Nord et afin que le champ de gravité soit échantillonné à différentes altitudes, le satellite géodésique GOCE a une excentricité variable, entre 0 et 4.5 10- 3 . Ainsi, l'altitude varie entre 236 et 282 km.

11.9.3

Altitude du satellite pour une orbite gelée

Dans le cas de l'orbite gelée (l'ellipse représentant la trajectoire du satellite est fixée dans le plan orbital), on peut calculer l'altitude du satellite, en fonction d'une seule variable (par exemple a), sur une période T. La variation de l'altitude se reproduira ensuite identique à elle-même, avec la période T. Nous donnons ici un exemple de calcul d'altitude et de variation d'altitude en fonction de la position sur orbite.

1l.9. Orbite gelée

MetOp-A

a

=7195.606 km

i = 98.702

Orbite gelée

499

e = 0.001165

w = 90.0

0

0

848

30

846

28

844

26 24

842

22

840

C

20

838

ü

c

18

1i)

16

Ê Q)

CIl

(5

836 834

14

832

12

830

10

828 826 824 822 820 818

·2 L-~

+-__

__~__~__~__~~__~______

~~

__ __ __ __ __ ~

~

~

~

~~

__

816 ~

Altitude

PosJO

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Temps

-0.250 -2534

-0.222

-0.194

-0.167 -16.89

-0.139 -1408

-0.111

-0,083

-0,056 -5.63

-0,028 -2.82

0.000 000

0.028 282

0,056 5.63

0.083 8.45

0.111 1126

0.139 1408

0.167 1689

0.194

0.222

0.250 25.34

Lat. gc -81.298 -76.773 -68.260 -58.877 -49.220 -39.449 -29.620 -19.760 -9.884 Lat. gd -81.349 -76849 -68377 -59027 -49389 -39616 -29.766 -19868 -9941

0.000 0.000

9.884 9.941

19.760 29.620 39.449 49.220 58.877 68.260 76.773 81.298 19868 29766 39,616 49.389 59.027 68.377 76.849 81.349

-22.52

-19,71

-11.26

-845

19,71

22.52

(km) C) (T) (m)

C)

Cl

FIG. 11.23 : Représentation de l'altitude pour le satellite MetOp-A, orbite gelée. L'altitude est donnée en fonction de la position sur orbite Ct (Pos/O) exprimée en degrés. Le temps est noté en fractions de période et en minutes, avec origine au passage à l'équateur (nœud ascendant). La latitude géocentrique du satellite?j; (Lat gc) et la latitude géodésique du nadir lP (Lat gd) sont données pour chaque valeur de Ct notée. Détail de la figure 11.22.

Exemple 11.18 Calcul de l'altitude, en fonction de la position sur orbite, pour le satellite M etOp-A (orbite héliosynchrone, phasée et gelée). ~ Les caractéristiques de l'orbite du satellite MetOp-A, fournies par l'ESA, sont les suivantes: (1) orbite à l'inclinaison héliosynchrone; (2) phasage de 412 révolutions en 29 jours; (3) orbite gelée: excentricité e = ec = 0.001 1655 (avec W = Wc = 90.0°). Les satellites futurs MetOp-B et MetOp-C doivent avoir la même orbite. Par la méthode exposée dans l'exemple 11.1, on calcule les éléments orbitaux à partir du triplet de phasage, ici [14; 6; 29]. On obtient demi-grand axe a = 7 195.606 km; inclinaison héliosynchrone i = iHS = 98.702°. Connaissant a et e, on calcule b et c : b = a~ = 7195.601 km a - b = 0.005 km c = ae = 8.386 km Nous avons déjà noté que l'orbite d'un satellite de ce type est un cercle décalé de 8 km par rapport au centre de la Terre, voir exemple 1.2. La distance c est propor-

500

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

tionnelle à e, alors que la différence des demi-axes est fonction de e 2 : a et b sont égaux à 5 mètres près. Sur la figure 11.22, les distances sont exprimées en fonction de la position sur orbite a. Le graphe r(a) - r(O) montre une différence de 2ae = 16.772 km entre le rayon d'apogée ra = r(wG + 71") et le rayon de périgée rp = r(wG). En ce qui concerne l'ellipsoïde terrestre, la latitude extrême atteinte, pour a = WG, est 1j; = ±1j;rn, avec 1j;rn = 180 - i = 81.298°, ce qui donne, au périgée: RT[1j;(WG)] = RT(1/)rn) = Rrn = 6357.240 km ; R - Rrn = 20.897 km On calcule ici les valeurs de l'altitude pour des points particuliers de l'orbite (équateur, nœud ascendant et nœud descendant, périgée et apogée) : [Eq. A] [Périgée] { [Eq. D] [Apogée]

h(O) h( 71" /2) h(71") h(371" /2)

a(1 - e 2 ) a(1 - e) a(1 - e 2 ) a(1 + e) -

{ h( 71") h(371" /2)

R

Rrn

R

Rrn = =

7195.596 7187.223 7195.596 7203.989

-

6378.137 6357.240 6378.137 6357.240

817.459 829.983 817.459 846.749

h(O) h(71"/2)+2ae

L'altitude minimale est 816.623 km, atteinte pour a = 11.5° et a = 168.5°, correspondant à une latitude de 11.4° (1/) = 11.37°, cp = 11.43°). L'altitude maximale est atteinte à l'apogée. La position du périgée étant, pour ce satellite, symétrique par rapport aux deux nœuds, l'altitude ne dépend que de la latitude cp et on n'a pas à préciser le sens de parcours (ascendant ou descendant) de l'orbite. Sur la figure 11.23, on a noté, sur l'axe des abscisses, la latitude géocentrique, entre ses deux valeurs extrêmes, -1/)rn et +1j;rn, ainsi que la latitude géodésique du nadir (qui tient compte de l'altitude du satellite, comme vu au chapitre 2) .....

11.10

Altitude et frottement atmosphérique

Nous avons vu, au chapitre 6, lors de l'étude des perturbations non cons ervatives, que le frottement atmosphérique faisait diminuer l'altitude du satellite. Dans tous les exemples d'altitude de satellite donnés dans ce chapitre, l'influence du frottement n'a pas été signalée car elle était soit négligeable, soit fréquemment compensée (ce qui la rendait pratiquement imperceptible). Nous donnons deux exemples où la baisse d'altitude due au frottement est perceptible: dans l'exemple 11.19, on montre comment la station spatiale ISS est très souvent « remontée », dans l'exemple 11.20, on voit comment le frottement atmosphérique joue un rôle qui est fatal au vaisseau spatial. Exemple 11.19 Altitude de la station spatiale ISS en fonction du temps, durant 11 années. ~ Le satellite 1SS, en orbite LEO relativement basse, nécessite de fréquents apports d'énergie pour être à l'altitude convenable, comme le montre la figure 11.24. Dans ce graphe fourni par la NASA, choisissons la partie continue de la courbe du

1l.1O. Altitude et frottement atmosphérique

501

• •· • K•. • 1.......lt\~~\~\\~~.·L..J.• .• J• .• • i• •. • L.•.• •

410 ~----~----~--------------~----~----~---------------------,

. .. .

km

400 390

···········1······ .\ ....

380

..

)\~f\'l·········j···· t··!·······;··········!····. . ;. . . . . .

·t··j\~(t··It··j~Ç j··j··· .L + L +1, " \K\I~' \\L\/':..... ..

370 360 350

" l"

........... T"'" ...... !---

340

..... """""1" .......

"""'1""" ...... :........... ~ ....... "\: '\t ·· ,..\\t~

:

:

:

:

:

1999

2000

2001

2002

2003

:

l" :

:

!

:

2005

2006

2007

330+---~r----+----~----+---~-----+----;-----+----;-----+--~

1998

2009

2009 Date

11.24 : Altitude de la station spatiale internationale lSS en fonction de la date, durant un peu plus de 10 ans, de 1998 à 2009. La station, qui est à relativement basse altitude, doit être «remontée» assez fréquemment. Document: NASA.

FIG.

360

340

320

Ê

=-.,

"~

::l

300

< 280

260

240

L -_ _ _ _L -_ _ _ _

o

5

~

10

____

~

15

____

~

20

_ _ _ __ L_ _ _ __ L_ _ _ __ L_ _ _ _

25

30

35

~

_ _ _ _~_ _ _ _~

40

45

50

Temps (jour)

FIG. 11.25 : Altitude du satellite défini dans l'exemple 11.20 en fonction du temps. L'altitude diminue de plus en plus vite et le satellite finit par être brûlé dans les basses couches de l'atmosphère. Altitude en km, temps en jours.

502

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

début de l'année 1999. Cette partie linéaire indique que l'altitude est passée de h 400.0 km (jour J = 1) à h = 389.9 km (jour J = 150), soit une baisse régulière de 16.1 km en 149 jours, ou 108 m par jour. Avec T = 93 min, d'où v = 15.5, on obtient pour Lha, baisse d'altitude par révolution : Lha = 108/15.5 = 7.0 m D'après l'allure générale du graphe, on voit que cette valeur est représentative de l'ensemble. On utilise (6.123), avec a = 6770 km, pour obtenir: B p = 1.11/a 2 = 2.4210- 14 On évalue, avec (6.120), le coefficient balistique B en prenant Cd = 2.3, S = 600 m 2 , ]\;[5 = 250 tonnes (en 1999 -la masse de la station est passée à 417 tonnes en 2011) : Cd = 2.3 x 600/(2.50 10 5 ) = 5.5 10- 3 p = (2.42 10- 14 )/(5.5 10- 3 ) = 4.4 10- 12 On retrouve pour la densité atmosphérique une valeur moyenne à cette altitude (tableau 6.4) ..... =

Exemple 11.20 Chute d'un satellite en orbite basse, h

une période d'activité solaire maximale.

350 km, durant

~ Nous avons considéré un satellite en orbite LEO, h = 350 km, i = 60°, avec un coefficient balistique B = 0.0160 (comme celui de SPOT-4). On choisit le scénario d'activité solaire maximale dans le modèle atmosphérique MSIS-90 (tableau 6.4). Avec ces conditions, le logiciel Ixion calcule la modification d'orbite pas à pas. La décroissance de l'altitude (h = a - R) est représentée sur la figure 11.25. D'abord proportionnelle au temps (entre J = 0 et 25), la décroissance s'accélère à partir de J = 30 pour amener, à J = 45, le satellite à l'altitude de 250 km. À partir de là, la désintégration de l'engin est presque immédiate .....

le satellite ns avons étudié l'orbite du satellite, sa position, sa ile la position du satellite S vu du centre attractif \ous changeons maintenant la manière de voir les que «regarde» un instrument à bord de ce satellite. i:st donc celui du satellite S. Par conséquent, ce iculièrement les satellites d'observation.

li,

instruments local (,té considéré comme un point, ou du moins, c'est l'e de gravité qui a été étudié. Or le satellite, en de son centre d'inertie: si ces mouvements sont sur sa trajectoire, ils ont un très grand effet ruments. Si on veut obtenir une image de la Terre, r't inversement! ation angulaire du satellite s'appelle le contrôle tellite a tendance à varier sous l'action de couples, iation, frottement atmosphérique sur les panneaux mécanique du moteur des instruments). est nécessaire au bon positionnement du satellite local. ]rj1Ir tout point S de l'orbite, à partir des trois axes figure 12.1 : vers le centre de la Terre, dit aussi axe de nadir; tigé selon la normale au plan de l'orbite; plan de l'orbite, qui complète le trièdre rectangle rr' r1 r'ur vitesse lorsque l'excentricité est nulle. M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

504

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

So"

_ .. + ... _/l

,

!/

/

0-1"------- 1 1

FIG. 12.1 : Représentation du système d'axes de Cardan, centré sur le satellite S. La trace passe par 50, le point subsatellite. L'axe SZc pointe le centre de la Terre et l'axe SYe est perpendiculaire à l'orbite. Si l'orbite est circulaire, l'axe SX e est porté par le vecteur vitesse.

Les axes du repère orbitaP local, axes de Cardan, ont été notés avec l'indice [cl. Les angles obtenus par rotation par rapport à ces axes sont les angles de Cardan, définis au chapitre 5, dans l'annexe sur les angles d'Euler et de Cardan.

12.1.2

Modes de balayage

Il existe diverses manières de regarder la Terre, pour un instrument. Le détecteur peut être muni d'un objectif fixe par rapport au satellite, mais dans la plupart des cas, le détecteur est mobile (le senseur lui-même ou un miroir) selon un axe de rotation. On peut définir, dans un premier temps, les trois modes élémentaires de balayage, lorsque l'instrument effectue une rotation par rapport à un des trois axes de Cardan. Dans les deux premiers cas, l'axe de l'instrument et l'axe 1 Les axes sont parfois pris dans un ordre différent, avec une orientation différente (par exemple, SZe est orienté selon l'anti-nadir). Mais dans tous les cas, le trièdre est orthogonal direct et la direction du nadir est selon un des axes.

12.1. Fauchée des instruments

505

de rotation sont confondus. Dans le troisième, l'axe de l'instrument fait un angle constant avec l'axe de rotation. Ces trois modes de balayage sont les suivants: - avec une rotation selon SXc, le balayage, dit orthogonal, se fait perpendiculairement au déplacement; - avec une rotation selon SYe, le balayage se fait le long de la trace ; - avec une rotation selon SZe, le balayage, dit conique, est défini par le demi-angle au sommet du cône (angle des deux axes, de l'instrument et de la rotation). Au cours de l'observation, le plus petit élément détecté est appelé pixel, image élémentaire 2 . L'ensemble des éléments vus au sol dans un même balayage constitue la fauchée. Nous n'abordons pas dans cet ouvrage l'aspect technique des instruments d'optique ou détecteurs divers. Nous nous intéressons uniquement à l'aspect géométrique du balayage. Mode de balayage pour les satellites LEO

Un instrument à bord d'un satellite LEO peut utiliser un des trois modes élémentaires vus plus haut. Il peut aussi alterner les deux premiers, ou faire un balayage oblique par une rotation de l'instrument selon un axe contenu dans le plan SXcYc. Dans un balayage orthogonal, certains instruments « balaient» d'un bord à l'autre de la fauchéé, pixel après pixel. D'autres instruments enregistrent simultanément tous les pixels de la rangée, et certains même plusieurs rangées à la fois4. Mode de balayage pour les satellites G EO

En ce qui concerne la prise d'images (car il n'y a pas véritablement de fauchée), les satellites géostationnaires se divisent en deux grands types. Pour les satellites «stabilisés 3 axes », comme GOES (à partir de GOES8) ou GOMS, un axe est parallèle à l'axe des pôles, un axe pointe le centre de 2En anglais, pixel est créé (1969) par contraction à partir de picture element. L'usage est approuvé en français, voir le Journal Officiel de la République Française du 11 décembre 1980. 3Pour donner un ordre d'idée, l'instrument ScaRaB, sur les satellites à bord desquels il a volé, pour l'étude du bilan radiatif, fait un balayage toutes les 6 secondes. Le balayage effectif dure 3.18 s, et pendant 2.82 s l'instrument fait une visée d'étalonnage et se remet en position. 4Les barrettes CCD (Charge Coupled Deviee), ou «détecteur à transfert de charge », prennent à la fois une ligne de pixels (CCD-1D, à une dimension) ou plusieurs (CCD2D, à deux dimensions). Pour l'instrument HRVIR de SPOT-4, la prise de vue est dite « en râteau» (pushbroom mode), gràce à une barrette CCD-1D : l'instrument optique est basé sur un télescope dont le champ de vue est couvert instantanément par une ligne de 1728 détecteurs, chacun correspondant à un pixel. Dans le cas de l'instrument POLDER, opérationnel à bord de ADEOS-1, -2 et Parasol, l'utilisation de barrettes CCD-2D permet d'obtenir un ensemble de lignes, à la place d'une seule.

506

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

la Terre, un axe est porté par le vecteur vitesse. Le détecteur balaie le disque terrestre. Pour les satellites «tournants », comme les METEOSAT, GMS ou FY-2, l'axe de rotation est parallèle à l'axe des pôles. Dans le cas de METEOSAT (première et seconde génération), le satellite fait exactement 100 tours par minute. Un miroir permet de balayer le disque terrestre. Pour les satellites METEOSAT-1 à -7 (première génération), ce balayage (est-ouest) se fait du sud au nord, 2500 lignes en 25 minutes. À partir de METEOSAT -8 (MSG1, seconde génération), 3712 lignes sont balayées en 15 minutes. On note qu'avec cette méthode, qui donne d'ailleurs d'excellents résultats, la Terre n'est scrutée au mieux que sur 17.4 0 par tour: pendant 4.8% du temps, le détecteur regarde la Terre et pendant 95.2% du temps, il voit le noir de l'espace ... Quelle que soit la méthode employée, la « fauchée» d'un satellite géostationnaire sera traitée comme la fauchée orthogonale d'un satellite en orbite basse: pour un point P visé sur la Terre, on considère le plan SSoP (figure 12.2) et on y définit les angles de visée comme dans le cas d'une fauchée orthogonale LEO. On définit ainsi l'angle SoSP qui joue le rôle de l'angle de demi-fauchée f que nous voyons ci-dessous.

12.2 12.2.1

Géométrie de vue pour la fauchée Définition des angles

La portion de Terre balayée par la fauchée de l'instrument considéré (nous dirons habituellement : vue par le satellite) demande à être connue, généralement, avec une précision de l'ordre de quelques kilomètres. Nous considérerons donc, en ce qui concerne l'étude des fauchées, que la Terre est sphérique. On a représenté, sur la figure 12.2, les angles liés aux questions de vue et de fauchée. Le satellite S est en orbite autour de la Terre, à une distance OS = d du centre O. Le point subsatellite est noté So. On a OSo = R, rayon terrestre, et SSo = h, altitude du satellite. On utilise la distance relative:

d

h

17=-=1+-

R

R

(12.1)

c'est-à-dire la distance sa exprimée en rayon terrestre, notée '17, et déjà définie par (2.36). Dans le cas de l'orbite circulaire, a étant le rayon orbital, on a : d= a. À un instant donné, l'angle de visée depuis le satellite, par rapport au nadir 5 , est : (12.2) f = (880 , 8P) 5Le nadir est la direction donnée par la verticale, orientée vers le bas - le bas étant défini ici vers le centre de la Terre. La direction opposée est le zénith. Nadir vient de l'arabe niù/ir, de la racine du verbe « regarder, voir en face».

12.2. Géométrie de vue pour la fauchée

507

s

p

o

a

FIG. 12.2 : Représentation des angles relatifs à la fauchée d'un instrument à bord du satellite. On a noté le satellite S, le point subsatellite 50, le point visé P et le point visé au limbe Po. Le centre de la Terre sphérique est en O.

le point P étant le point visé. Cet angle est appelé angle de fauchée. Pour le point P, on définit l'angle de zénith 6 ou angle zénithal de vue par:

(= (OP,PS)

(12.3)

qui est l'angle sous lequel est vu le satellite, compté par rapport à la verticale du lieu. L'angle de hauteur, ou angle de site, ou élévation, est l'angle complémentaire de (. On utilise également l'angle a, angle au centre de la Terre, défini par: a = (OS, OP)

(12.4)

Ces trois angles sont reliés par la relation dans le triangle OS P : f+a=(

(12.5)

6En arabe, sernt er-ras signifie « le chemin de la tête». Il a donné zénith, le point du ciel juste au-dessus de la tête. Azimut vient de as-sernt, «le chemin», avec assimilation de l'article.

508

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

La valeur maximale de f est obtenue, lorsque le point visé P est au limbe de la Terre. Dans ce cas, on note ce point Po et les angles correspondants avec l'indice [0]. Avec le triangle OSPo, on obtient les relations: sin fa ao =

=

7r

"2 -

R d

-

R R+h

=-7r

(0 = 2

fa

ou en utilisant la distance relative T) : .

1

sm fa = cos a o = T)

(12.6)

Remarque de vocabulaire. L'angle de demi-fauchée f est clairement défini. Lorsqu'on parle de fauchée d'un instrument, il s'agit généralement de l'angle au sommet que balaie l'instrument, c'est-à-dire 2hvI, l'angle if,;! étant la valeur maximale que peut atteindre f lorsque l'instrument arrive en butée dans le balayage orthogonal. L'angle au sommet est appelé champ de vue. Si !AI est supérieur à fa, on prend évidemment fM = fa. Pour éviter les confusions, nous parlerons de demi-fauchée maximale possible pour désigner fa et de demi-fauchée maximale de l'instrument (ou en butée) pour désigner

hl.

12.2.2

Relations entre les angles

Nous établissons les relations donnant l'un des angles f, (, a en fonction d'un des deux autres et de l'altitude, par l'intermédiaire de T). On a donc six relations. (a) Relations entre f et ( Dans le triangle OSP, on a la relation entre les sinus: sin f R

sin ( d

ce qui donne : f = f((,T))

1 sinf = - sine = sin fa . sine

(12.7)

(= ((J,T))

sinf sin ( = T) sin f = - . - sm fa

(12.8)

ri

(b) Relations en fonction de a Pour obtenir f en fonction de a, on exprime, dans le triangle OSP, le segment PA' de deux manières différentes (A' étant la projection de P sur

OS) :

(d - R cos a) tan f = R sin a

12.2. Géométrie de vue pour la fauchée

509

Pour obtenir ( en fonction de a, on peut utiliser le triangle OPA, où A est l'intersection avec OS de la perpendiculaire en P à OP. Cela donne finalement :

f = f(a, Tl)

sina

tanf =

(= ((a,,,)

rl- cosa

tan( =

sina

1 cosa - -

cos ao . sin a 1 - cos ao . cos a

(12.9)

sina cosa - cosao

(12.10)

Tl

(c) Expressions de a On obtient immédiatement les valeurs de a avec (12.5) et les relations ci-dessus:

12.2.3

a

=

aU, ri)

a

=

a((, ri)

a

= -

f + arcsin (ri . sin 1)

a = ( - arcsin

(~ sin ( )

(12.11) (12.12)

Fauchée au sol

On appelle demi-fauchée au sol la distance F, sur la Terre, entre le point subsatellite et le point visé avec l'angle f. La fauchée au sol est évidemment 2F. La demi-fauchée maximale est notée Fo. Ces longueurs sont données par:

(12.13)

Fo

=

R ao

=

1

R arccosTl

(12.14)

Sur la figure 12.2, F correspond à l'arc SoP et Fo à l'arc SoPo. Exemple 12.1 Calcul de la fauchée au sol pour un instrument visant avec un angle f = 45°, à bord de satellites à différentes altitudes: h = 350 km, 700 km, 1050 km ... ~ Avec 350/ R = 5.487 10- 2 , on calcule TJ et les angles par les formules vues cidessus. Les résultats sont notés dans le tableau 12.1. Ils permettent de comparer les fauchées pour des satellites comme TRMM (h = 350 km) ou comme Terra (h = 700 km). Pour les satellites d'altitude inférieure à 1000 km, la rotondité de la Terre ne joue pas pour plus de 10% dans la valeur de la fauchée au sol. La visée au limbe, avec f = 45°, est obtenue pour h = 2642 km. En effet, d'après (12.6), on obtient V2 = TJ = (R+h)/R, et ainsi h = R(V2-1) = 2642 km. On vérifie, dans le tableau 12.1, que pour h = 2800 km, la fauchée f = fa est inférieure à 45° .....

510

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

h

0

350

700

1050

1400

2800

fa f

90.0 45.0 45.0 0.0

71.4 45.0 48.2 3.2

64.3 45.0 51.7 6.7

59.2 45.0 55.4 10.4

55.1 45.0 59.6 14.6

44.0 44.0 90.0 46.0

0 0 0

2066 360 720

2861 745 1491

3433 1 162 2324

3887 1623 3245

5118 5118 10236

( a

Fa F 2F TABLEAU

12.1 : Angles de vue pour une demi-fauchée f = 45°, pour un instrument

à bord d'un satellite à diverses altitudes h. Fauchée orthogonale. Les angles f, (, a

et fa, définis dans ce chapitre, sont en degrés. L'altitude h et les distances F et Fa sont en kilomètres.

12.2.4

Latitudes vues et recouvrement en latitude

Intervalle de latitude vue

Pour un satellite d'inclinaison i, nous avons défini, par la relation (8.18), la latitude maximale atteinte 1/Jm. La trace de l'orbite reste dans l'intervalle de latitude : Considérons le plan perpendiculaire à l'orbite passant par l'axe des pôles (figure 12.3). C'est un plan méridien. Avec un balayage orthogonal, c'est lorsque le satellite traverse ce plan qu'il voit les points de la Terre de latitude extrême. Pour un instrument de demi-fauchée maximale lM, la trace de la fauchée est dans l'intervalle :

l'angle 1/Jv étant la latitude maximale vue ainsi définie:

I/Jm + ŒM si 1/Jm + ŒM < 90°

90°

si

VJ m + ŒM

~

90°

(12.15)

avec ŒM = ŒM(fM, T)) calculé par (12.11). Recouvrement en latitude

Dans le cas où (1/Jm +ŒM) est supérieur à 90°, on dit qu'il y a recouvrement en latitude. Ce recouvrement concerne les latitudes dans les intervalles : { [+90°; 180° - (1/Jm + ŒM)] [-90°; (VJ m + ŒM) - 180°]

dans l'hémisphère Nord dans l'hémisphère Sud

(12.16)

12.2. Géométrie de vue pour la fauchée

511

s

12.3 : Représentation d'une fauchée orthogonale à la trace, depuis le satellite S, d'angle de demi-fauchée f. Le plan du dessin est le plan perpendiculaire à l'orbite (d'inclinaison i) passant par l'axe des pôles ON : c'est le plan méridien de Sa. Le satellite S est à sa latitude maximale.

FIG.

Pour un satellite d'orbite quasi circulaire, si un pôle est vu lors d'un passage par une fauchée orthogonale, les deux pôles sont vus à chaque révolution. On obtient ensuite la latitude géodésique !.pm à partir de VJ m par la relation classique (2.4). Exemple 12.2 Calcul de la latitude maximale vue et, s'il y a lieu, des la-

titudes de recouvrement, pour l'instrument ScaRaB (flv[= 48.91°) à bord de Meteor-3-07, de Resurs-Ol-4 et de Megha- Tropiques.

Pour Meteor-3-07, i = 82.56°, 1/Jrn = i, TJ = 1.187, on obtient: 1/Jrn + Ct = 82.56 + 14.55 = 97.11 0. Toutes les latitudes sont vues. De plus, pour chaque hémisphére, il y a recouvrement entre le pôle et la latitude géocentrique 11/J1 = 180 - 97.11 = 82.79° soit l'PI = 82.84° . Pour Resurs-Ol-4, i = 99.69°, 1/)rn = 180 - i = 81.31 0, TJ = 1.129, on obtient: 1/Jm + Ct = 81.31 + 9.40 = 90.71°. Toutes les latitudes sont vues. Le recouvrement est trés mince, entre le pôle et la latitude 11/J1 = 89.29°, soit l'PI = 89.30 0 pour chaque hémisphére. Pour Megha-Tropiques, i = 20.00°, 1/Jm = i, TJ = 1.136, on obtient: ~

512

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

1j;rn + Ct = 20.00 + 9.98 = 29.98°, soit lP = 30.15°. Les latitudes vues se trouvent dans la bande [30.2°8; 30.2°N], ce qui correspond à la bande intertropicale (d'où la dénomination du satellite) .....

12.3 12.3.1

Déformation des pixels Calcul des indices de déformation

Nous considérons le cas d'un instrument qui observe la Terre en balayant par fauchées orthogonales: l'axe de rotation de l'instrument est perpendiculaire au plan défini par la figure 12.2. Lors de la prise de vue, au cours de la fauchée, le pixel est déformé dans le sens de la fauchée et dans la direction perpendiculaire, pour des raisons purement géométriques. Nous étudions la déformation dans ces deux directions.

Indice K : déformation relative du pixel dans le sens de la fauchée

À chaque intervalle angulaire 5f d'angle de demi-fauchée correspond un intervalle de demi-fauchée au sol, 5F. On comprend que pour un intervalle donné, constant, 10 par exemple, la valeur 5F est plus petite au nadir (pour f = 0) que pour la visée au limbe (j = fa) : la distance satellite-point visé augmente et, de plus, la rotondité de la Terre intervient. Le pixel (qui dépend de la valeur de l'intervalle élémentaire 5f de l'instrument) est de dimension 5F dans le sens du balayage. Pour connaître sa déformation, nous calculons la variation du rapport (5F /51) en fonction de la position du point visé, ce qui revient à la variation du rapport (5a/51) en fonction de a. En différentiant la relation (12.9), on obtient:

(1

+ tan

2

T)

.

1) dj = (

cos a - 1 )2 da cosa

T)-

ce qui donne, en remplaçant (tan 1) par sa valeur en fonction de a : cos a + 1 TI cosa - 1

da df

T)2 -

2T)

(12.17)

En considérant les accroissements 5f et 5a suffisamment petits pour les confondre avec df et da, on obtient la valeur cherchée: 5a

k(a,l7) = 5f

Pour mesurer la déformation du pixel, que nous noterons K(a, TI), nous posons:

K(

a, TI

)

=

k(a, TI) k(O, 17 )

12.3. Déformation des pixels

513

exprimant ainsi k(a, '17) par rapport à sa valeur au nadir. Cette valeur est k(O, ri) = '17 - 1, ce qu'on peut vérifier en calculant, au nadir, 6F de deux manières (avec les petits angles), selon que le point de vue soit 5 ou 0 : 6F = h 6f = R 6a. Cet indice de déformation du pixel est donc:

K( a·rJ ) -_ -1- . rJ2 - 2rJ cos a + 1 , '17 - 1 ri cos a - 1

(12.18)

Cet indice de déformation de pixel mesure donc une déformation dans le sens de la fauchée, à pas 6f fixe (il ne concerne donc pas les balayages où 6f varie avec f). Indice L : déformation relative du pixel dans sa largeur

Le pixel est déterminé par l'intersection du cône de visée, très fin, et de la sphère terrestre. La déformation en largeur, c'est-à-dire dans le plan défini par la figure 12.2, dépend uniquement de la longueur 5P. L'indice L, de déformation relative correspondante, est donc: L

5P

=

5P 5H

5Pnadir

En utilisant la variable réduite rJ, on abtient :

L(a, rJ)

1

= --.

17- 1

VrJ 2 - 2 rJ cosa + 1

(12.19)

Indice 5 : déformation relative de la surface du pixel

Cette déformation relative ne dépend pas de la forme du pixel (losange, ellipse, etc.). L'indice 5 est le produit des deux indices K et L, considérés dans deux directions perpendiculaires.

5(a, 17)

=

K(a, ri) . L(a, ri)

=

(

1

rJ- 1

)2

(r1 2

-

2rl cos a

+ 1)~

rJ cos a - 1

(12.20)

La valeur maximale de l'angle a est obtenue par la visée au limbe et est donnée par ao = arccos(l/rJ). Lorsque a tend vers ao, l'indice K, et donc 5, tendent vers l'infini. Pour l'indice L, la valeur est finie: L(ao, 17) = V(17 + 1)/(17 - 1).

12.3.2

Déformation des pixels - satellites LEO

Le calcul des indices K, L et 5 est fait en fonction de a, mais les résultats s'expriment avec les variables ( ou f. La figure 12.4(a) représente l'indice de déformation K(f) pour les satellites LEO, en orbite quasi circulaire, pour des altitudes entre 200 et 1800 km,

514

li)

al >< "15.

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

5

(J)

Q)

"0 Q)

> ~ ~

4

c 0

~

E

.E -Q)

3

:3~ Q)

.\2 "0

E

2

o

20

10

30

40

Angle de demi-fauchée f

6

li)

al >< "15.

60

50

n

-,--~--~--~--~~--~--~--~--~--~--~--~--~---,--~---,

5

(J)

Q)

"0 Q)

> ~

4

~ c 0

~

E

.E -Q)

3

:3~ Q)

u

'0

E

2

o

10

20

30

40

Longitude ou latitude

50

Cl

60

70

FIG. 12.4 : Indice de déformation relative des pixels. Indice K, déformation en longueur. (a) Pour les satellites LED, d'altitude h = 200 km à h = 1800 km, avec un pas de 200 km, en fonction de l'angle de demi-fauchée f. (b) Pour tout satellite géostationnaire, en fonction de l'angle a, représentant la latitude ou la longitude à partir du point subsatellite.

12.3. Déformation des pixels

avec un pas de 200 km. Cet indice devient important (K atteint en gros les deux tiers de sa valeur maximale fa.

515

> 2) lorsque f

Exemple 12.3 Calcul de la dimension de pixel et de l'indice de déformation pour l'instrument ScaRaB à bord de Meteor-3-07 et de Resurs-Ol-4. ~ Deux instruments ScaRaB identiques ont été placés à bord des satellites russes Meteor-3-07 et Resurs-Ol-4. La fauchée est orthogonale. La demi-fauchée, jusqu'à la butée de l'instrument, est fM = 48.91 0 , d'où un champ de vue de 97.82°. La fauchée complète est composée de 51 pixels, correspondant à 50 intervalles (50 incréments), ce qui donne : bf = 2fM /50 = 1.956° = 33.146 milliradians pour la dimension du pixel (il s'agit du pixel effectif, le véritable pixel est plus grand afin de permettre un recouvrement). Cela correspond, au nadir, à : bF = 40.8 km pour ScaRaB sur Meteor-3-07 bF = 27.8 km pour ScaRaB sur Resurs-Ol-4 En butée, le pixel a pour longueur: K(hvI) = 4.0 ===? bF = 161 km pour ScaRaB sur Meteor-3-07 K(hvI) = 3.2 ===? bF = 86 km pour ScaRaB sur Resurs-Ol-4 La fauchée au sol est 2FM = 3254 km pour Meteor-3-07, ce qui est supérieur au décalage équatorial .1À E = 3059 km. Par contre, pour Resurs-Ol-4, la fauchée au sol 2FM = 2078 km est bien inférieure au décalage équatorial .1À E = 2819 km. L'instrument ScaRaB a été initialement conçu pour les satellites de type Meteor-3, à 1200 km d'altitude, avec le souci de balayer toute la Terre en un jour. Pour obtenir ce même résultat à bord des satellites du type Resurs-01, à 800 km d'altitude, il aurait fallu repousser la butée de l'instrument jusqu'à hvI = 55°, ce qui aurait amené à une déformation des pixels K = 5.3 (figure 12.7) ....

Exemple 12.4 Étude de la déformation des pixels de l'instrument ScaRaB à bord de M egha- Tropiques. ~ L'instrument ScaRaB, décrit dans l'exemple 12.3, est à bord du satellite francoindien Megha-Tropiques. La fauchée est orthogonale. Au nadir, avec un angle de 33.146 milliradians, la taille effective du pixel (ainsi que l'écart entre deux pixels) est de 29.56 km, l'altitude du satellite étant de 865.6 km. Le pixel réel, qui doit recouvrir les pixels voisins, a une taille plus grande. Il a, au nadir, la forme d'un losange de 41.60 km de côté. Les diagonales de ce losange ont une dimension de 58.82 km, une des diagonales (dite largeur) est selon le vecteur vitesse du satellite, l'autre (dite longueur), perpendiculaire, est le long de la direction de fauchée. Le pixel est progressivement déformé, avec l'angle f. En butée d'instrument (avec hvI = 48.91°), les diagonales ont pour dimension 99.43 km et 192.29 km. Les résultats sont donnés dans la figure 12.5. La figure 12.11 fournit une représentation des pixels in situ . ...

516

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

12-,-----------------------.-.,------------,

Megha-Tropiques

; ; ; ; ; ; ;

11

10

Wg Altitude = 865.5 km Inclinaison = 20.00 Période

=

..J

0

~

8

gc

6

i i i

101.93 min

Décalage équat

= 2892.0 km

1 = (champ de vue)/2 Demi-fauchée f maximale

= 61.7

0

i

i

~

:ffi '0

5

Q)

Indice K (déformation du pixel) ~ 4 Indice L (déformation du pixel en largeur) ~ Indice S (déformation du pixel en surface) E 3

_K_ _

h___

§.c!S:~_._

+--_. . . .

......

/ ",...

/

/

i

i

i

i

i

1

l

..",-

MC

10

* LMD

20

30

40

'

+. . . . . . . . . . . . . . . . . ..

..

~""~=:::: =.::::.::::..::.....................

n'GJV

/, / i

.................

50

60

Angle de demi-Iauchée 1

n

70

80

J

(

Ct

K

L

S

long.

largo

surf.

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0 50.0 55.0 60.0

0.0 5.7 11.4 17.1 22.9 28.7 34.6 40.6 46.9 53.4 60.5 68.5 79.6

0.0 0.7 1.4 2.1 2.9 3.7 4.6 5.6 6.9 8.4 10.5 13.5 19.6

1.000 1.009 1.038 1.088 1.165 1.277 1.436 1.667 2.012 2.562 3.542 5.719 15.795

1.000 1.004 1.018 1.040 1.074 1.120 1.182 1.264 1.375 1.527 1.746 2.098 2.853

1.000 1.014 1.056 1.132 1.252 1.430 1.698 2.107 2.766 3.911 6.184 11.996 45.070

58.82 59.37 61.05 64.02 68.55 75.10 84.47 98.03 118.33 150.69 208.32 336.40 929.09

58.82 59.08 59.85 61.19 63.17 65.89 69.53 74.37 80.87 89.80 102.71 123.38 167.83

1729.9 1753.6 1827.1 1958.9 2165.1 2474.3 2936.8 3645.3 4784.4 6765.9 10698.2 20752.6 77965.9

48.9 61.7

58.9 90.0

10.0 28.3

3.269

1.690 3.967

2.763

192.29

99.43 233.35

9559.4

infini

infini

infini

gO

infini

12.5 : Indices de déformation du pixel. Instrument ScaRaB à bord de Meghatropiques. Les trois indices de déformation des pixels sont notés K, L, S (sans dimension). Les angles J, (, Ct sont en degrés. Les dimensions du pixel de l'instrument ScaRaB (longueur et largeur) sont en km,. la surface du pixel (losange) est en km 2 . L'angle maximal de fauchée (butée de l'instrument) est J = 48.91°. L'angle maximal possible (visée au limbe) est Jo = 61.70°. Voir aussi la figure 12.11.

FIG.

12.4. Trace des fauchées pour un satellite LEO

12.3.3

517

Déformation des pixels - satellites GEO

Un satellite géostationnaire voit presque la moitié de la surface de la Terre, mais sur tout le bord du « disque» observé la déformation des pixels est très grande. Le graphe K(a) (figure 12.4(b)), montre que, pour un satellite géostationnaire, l'indice de déformation devient supérieur à 2 au-delà de 50°. On peut remplacer a par lÀ - Àsl, la longitude comptée le long de l'équateur à partir du point subsatellite, ou par 11/'1, la latitude comptée le long du méridien Às. Ces graphes sont évidemment identiques pour tous les satellites géostationnaires.

12.4

Trace des fauchées pour un satellite LEO

Pour les satellites LEO d'observation, les deux principaux modes de fauchée sont la fauchée orthogonale et la fauchée conique. Ils concernent deux types d'intruments totalement différents. Dans le cas des instruments à fauchée orthogonale, on utilise (même si c'est dans des occasions très rares) la possibilié d'orienter différemment l'appareil de sorte qu'il vise le long de la trace ou selon une autre direction. Nous examinons ici ces différents modes de balayage.

12.4.1

Fauchée orthogonale

Pour calculer les coordonnées des points vus et représenter la trace de la fauchée orthogonale, nous revenons aux angles d'Euler vus lors de la détermination de la trace du point subsatellite. On considère que le balayage d'angle instantané j, depuis le satellite S, est équivalent à un balayage d'angle instantané a, depuis le centre 0 de la Terre. Le balayage est dans le plan perpendiculaire à l'orbite, passant par S et O. Vu de 0, c'est donc un balayage d'angle a, d'axe OY (parallèle à SX, dans le plan de l'orbite), le trièdre OXYZ ayant été défini précédemment avec la figure 8.2. Cette rotation correspond à la matrice de rotation P 4 :

il co~a sina

o 1

o

-

s~na cosa

Jl

(12.21 )

En appelant (XI, yi, Z/) les coordonnées cartésiennes du point vu sur la Terre, par rapport au référentiel ~(Oxyz), on obtient ces nouvelles coordonnées par:

518

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

X'

12.6 : Représentation de la rotation d'angle Go correspondant à la fauchée f d'un instrument à bord du satellite. Cette figure complète la figure 8.2. On a mentionné, par des disques noirs, les quatre axes de rotation. L'axe de rotation de l'instrument est DY, dans le plan de l'orbite Dx 2 X, perpendiculaire à DX. La trace d'une demifauchée au sol est représentée en tireté. FIG.

les coordonnées (X, Y, Z) du point subsatellite ayant été obtenues par le produit des trois rotations défini par l'équation (8.8). La figure 12.6 complète la figure 8.2 avec la quatrième rotation. Les coordonnées cartésiennes (X', Y', Z') permettent de calculer, par les relations (8.12) à (8.14), les coordonnées polaires )..' etljJ' du point visé. Balayage et trace de la fauchée orthogonale

Lors d'une fauchée d'instrument, le balayage au niveau du sol est extrêmement rapide. Par exemple, l'instrument ScaRaB, à bord de Meteor-3-07, fait une fauchée complète en 3.18 secondes, soit une vitesse moyenne de la trace au sol de 3254/3.18 = 1024 km·s- 1 . Par rapport au déplacement de la trace du satellite, qui est de 6 km·s-l, la trace de la fauchée peut être considérée comme instantanée. Pour HRVIR à bord de SPOT-4, la prise de vue est effectivement instantanée. La trace de la fauchée orthogonale, perpendiculaire au plan de l'orbite, fait donc un angle de (90 0 - i) avec l'équateur. Par contre, comme nous

12.4. Trace des fauchées pour un satellite LEO

519

l'avons vu précédemment, la trace fait avec l'équateur un angle i', l'inclinaison apparente. Sur les représentations des traces, la normale à la trace de la fauchée fait donc un angle (i - i') avec la trace du satellite, à l'équateur, donné par (8.30). En d'autres termes, la trace de la fauchée orthogonale n'est pas exactement perpendiculaire à la trace du satellite. Remarque cartographique. Cet écart angulaire n'est conservé en vraie grandeur que sur les cartes tracées avec une projection conforme. Sur les deux cartes de la figure 12.7, tracées avec la projection de Mercator, on peut évaluer l'angle entre fauchée et trace, à l'équateur, et constater que cet angle n'est pas droit. Recouvrement équatorial

On considère la fauchée complète d'un instrument, jusqu'en butée. Sa largeur au sol est 2FM. On désigne par LE la portion d'équateur recouverte par la fauchée lors d'un passage du satellite. On a, en première approximation:

(12.22) En fait, en représentant rigoureusement la trace de l'orbite et de la fauchée par rapport à l'équateur (la trace est liée à l'inclinaison apparente i' et la fauchée à l'inclinaison i), on obtient :

2FM LE - ----------------~ - sin i + cosi . tan(i -i') En utilisant la valeur de

oi =

2FM sin i

1 tanoi 1+--. tan 7,

(12.23)

i' - i donnée par (8.30), on trouve:

COSi)

( 1--_ -2FM LE -sin i ~

(12.24)

Fraction de recouvrement équatorial

Il est intéressant de comparer cette distance LE avec le décalage équatorial DE, donné par (8.27). Ce sont deux longueurs comptées sur l'équateur, et leur rapport QE mesure donc la fraction d'équateur vue par le satellite dans une journée, lors du passage au nœud ascendant: QE

=

LE

DE

=

FM ~-cosi R sin i

7r

(12.25)

Avec l'angle au centre aM, en radians, correspondant à FM, on obtient:

QE_-

aM

-7r

~

- cosi sin i

(12.26)

520

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

Meteor-3-07 / ScaRaB (MeTeOp)

Trace de l'orbite

Inclinaison 250.0 min

=

Propriété: Conforme Type: Cylindrique

a = 7572.704 km 0

Demi-fauchée: 48.9" => 1622 km [ 1.0 min]

Centre Carte: 0.0" Aspect: Direct [ +0.0 1 +0.0 1 +0.0]

0.0"

Resurs-01-4/ ScaRaB (Pecypc)

Trace de l'orbite »> Durée représentée:

82.56

Décalage à l'équateur = 3059.5 km ( 27.5")

0.17 jour

Trace des fauchées orthogonales

Projection: Mercator

=

Période = 109.42 min • Tours/j = 13.16

Phasage = [13; +7; 71]930 »> Durée représentée:

Altitude = 1194.6 km

250.0 min

=

N. asc.: 0.00" Incl in. app. = 86.93" Recouvrement: 82.9" <--> 90.0"

Altitude = 814.2 km

nu,JV

MC

*

LMD

ATÀCX,

a = 7192.376 km

Inclinaison HELIOSYNCHRONE = 98.69" Période = 101.29 min • Tours/j = 14.22

0.17 jour

Décalage à l'équateur = 2818.9 km ( 25.3")

Trace des fauchées orthogonales

.. Demi-fauchée: 48.9" => 1034 km [ 1.0 min]

Projection: Mercator

Centre Carte:

Propriété: Conforme Type: Cylindrique

Aspect: Direct [ +0.0 1 +0.0 1 +0.0]

0.0"

0.0"

N. asc.: 0.00" Inclin. app. = 102.62" Recouvrement: 89.4" <--> 90.0"

niGJV

MC

*

LMD

ATÀCX,

12.7 : Trace de la fauchée orthogonale de l'instrument ScaRaB à bord de deux satellites LEO d'altitude différente, Meteor-3-07 et Resurs-Ol-4.

FIG.

12.4. Trace des fauchées pour un satellite LEO

Megha-Tropiques / ScaRaB

Orbite par rapport à la Terre Phasage

Inclinaison = 20.00

30.0 min

=

0.02 jour

Décalage à l'équateur = 2892.0 km ( 26.0

Projection: Orthographique

CC: 50.0' N; 50.0 'E ICZ: 29.0' N, 41.0' E

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique 0

0

)

.. Demi-fauchée: 48.9 0 => 1108 km [0.50 mini

Trace des fauchées orthogonales (mode XT)

EIl T.:Azimutal- Grille: 10

a = 7243.677 km 0

Période = 101.93 min • Révol./j.=14.13

= [14; -1; 7[ 97

»> Durée représentée:

Altitude = 865.5 km

521

Noeud asc.: 12.00 0 [12:00 TSM] Latit max. atteinte = 30.0 0

15.31 [-90.01 +4001 +400] [+8] GRIM5-C1

MC

*

If;iWII

LMD

ATÀaç

FIG. 12.8 : Trace de la fauchée orthogonale de l'instrument ScaRaB à bord d'un satellite LED à faible inclinaison, M egha- Tropiques.

Si QE est supérieur à 1, certains points de l'équateur sont vus plus d'une fois par jour lors du passage au nœud ascendant (il en est de même, bien évidemment, pour le passage au nœud descendant). Le nombre moyen de passages quotidiens, noté N(cp = 0, Jm), pour un point de l'équateur et pour une demi-fauchée JM, est ainsi:

N(O, hl) = 2 QE

(12.27)

Cette fonction N(cp, Jm) est utilisée lors de l'étude de l'échantillonnage, au chapitre 13. On peut aussi calculer la demi-fauchée JQ qui va donner une fraction de recouvrement équatorial déterminée, QE. On calcule d'abord l'angle au centre de la Terre ŒQ correspondant : sin i Q cos i E

ŒQ = Ir "" _

La valeur de

JQ

se déduit de

ŒQ

avec (12.9).

(12.28)

522

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

Exemple 12.5 Étude de la trace de la fauchée d'un même instrument à bord de trois satellites différents: l'instrument ScaRaB à bord de Meteor-3-07, Resurs- 01-4 et M egha- Tropiques. ~ L'instrument ScaraB a été initialement réalisé pour voler à bord de Meteor-3-07. Deux instruments aux caractéristiques géométriques identiques ont ensuite été mis à bord de Resurs-Ol-4 et de Megha-Tropiques. (a) Meteor-3-07 L'instrument a été conçu pour obtenir un recouvrement équatorial complet, quotidiennement. Pour cela, on applique la relation (12.28) avec Q E = 1. Pour ce satellite, i = 82.56°, T} = 1.1873, '" = 13.0986. On calcule al en degrés: al = 180(sin 82.56) / (13.0986 - cos 82.56) = 13.76° tanh = (sin 13.76)/(1.1873 - cos 13.76) = 1.1013 La valeur de l'angle de demi-fauchée est donc h = arctan(1.1013) = 47.76°. On choisit toujours un angle d'ouverture de fauchée très légèrement supérieur, ici fM = 48.91°. La valeur correspondante de FM = R aM est obtenue par: aM = - fM + arcsin( T} sin fM) = -48.910 + 63.488 = 14.578° = 0.2544 rad FM = 1622 km Voir la figure 12.7(a) pour la trace des fauchées. Par souci de clarté, les fauchées ont été tracées toutes les 60 secondes, alors que l'instrument ScaRaB fait un balayage toutes les 6 secondes. (b) Resurs-04-1 Le satellite Resurs-04-1 est héliosynchrone, sur une orbite plus basse: T} = 1.1277, i = 98.69°, '" = 1/ = 14.2165. Avec la demi-fauchée hvI = 48.91°, la fauchée au sol est: aM = 48.910 - 58.203 = 9.293° = 0.1622 rad; FM = 1 034 km. On calcule la fraction de recouvrement équatorial QE : QE = (0.1622/71") . (14.2165 - cos 98.69)/(sin 98.69) = 0.750 La valeur de QE est inférieure à 1, ce qui apparaît clairement sur la figure 12.7(b). Pour un point de l'équateur, le nombre moyen de passages quotidiens, donné par (12.27), est N = 1.50. ( c) M egha- Tropiques Le satellite Megha-Tropiques est en orbite peu inclinée: ri = 1.1357, i = 20.00°, '" = 97/7 = 13.8571. Avec fM = 48.91 0, on obtient: aM = 9.956° et FM = 1 108 km. On calcule QE = 2.08, ce qui indique que le nombre moyen de passages à l'équateur est N = 4.16. Voir la figure 12.8 ....

Fauchée et contrainte de mission La fauchée de l'instrument principal d'un satellite et les caractéristiques de l'orbite sont liées. Cette contrainte est particulièrement importante si le satellite est phasé. Nous donnons ci-dessous quelques exemples dans des cas

12.4. Trace des fauchées pour un satellite LEO

523

très différents de fauchée large, étroite et très fine. Exemple 12.6 Respect des exigences de mission: fauchée et phasage. Cas des satellites Oceansat-l, SPOT-l et ICESat. ~

Ces trois satellites sont en orbite quasi polaire.

(a) Oceansat-l

Le satellite indien Oceansat-1 (IRS-P4) est un satellite héliosynchrone (passage à l'équateur à midi et minuit) phasé, avec le triplet [14; 1; 2], correspondant à un cycle de 29 révolutions sur 2 jours. Le décalage équatorial est alors: .1À E = -360/14.5 = -24.83° DE = 2763.8 km. L'objectif de la mission est que l'équateur soit vu, de jour, tous les 2 jours. En première approximation (la fauchée orthogonale est pratiquement parallèle à l'équateur), il faut une fauchée au sol 2FM au moins égale à la moitié du décalage équatorial, soit: aM = 180/29 = 6.21 ° FM = DE/4 = 691 km. La relation (12.9) permet d'obtenir hvI = 42.3°. Le calcul précis, à l'aide de la relation (12.28) où on pose Q E = 0.5, donne avec i = 98.29°, ri = 1.1129, K = 29/2 = 14.50 : aM = 90(sin 98.29) /(14.50 - cos 98.29) = 6.0816° et ensuite fM = 41.79°. L'instrument OCM à bord de ce satellite a une fauchée totale de 1420 km, soit FM = 710 km, donc avec quelques kilomètres de plus que la fauchée strictement nécessaire. Le calcul donne: FM = 710 km ===} fM = 43.0° QE = 0.52. La fraction de recouvrement équatorial est ainsi légèrement supérieure à 1/2. (h) SPOT-l Lors de l'élaboration du projet SPOT, l'altitude du satellite était prévue entre 800 et 850 km (assez basse pour une bonne résolution, assez haute pour éviter le frottement atmosphérique). L'instrument HRV à bord de SPOT-1 a été conçu avec un champ de vue de 8.4°, soit fM = 4.2°. On désirait que l'intervalle de grille 15, défini par (11.20), soit légèrement inférieur à la fauchée au sol. On calcule l'intervalle, 15 é:::: 2 h tan fM é:::: 1.06°, ce qui donne le nombre de tours dans le cycle de phasage, N To = 360/1.06 é:::: 340. La valeur de v est comprise entre 14.26 pour h = 800 km et 14.11 pour h = 850. On a donc, pour le cycle GTo = (NT,)V), la valeur limite GTo = 24. On désirait de plus, lors de l'établissement de la mission, que le cycle soit inférieur au mois, ce qui amène à : 24":; G To ,,:; 30. Le triplet de phasage sera donc de la forme [14 ; DTo ; GTo ] avec 340 ,,:; N To ,,:; 427. Des considérations sur les sous-cycles ont ensuite déterminé le choix du triplet [14 ; +5 ; 26], 369 tours. (c) ICESat Le satellite ICESat est muni d'un laser pour l'altimétrie. Cet instrument, GLAS, vise au nadir avec un champ de vue pratiquement « ponctuel», puisque le pixel au sol a une taille de 66 mètres. Un phasage sur un cycle très long, 2723 tours en 183

524

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

jours, donnant un intervalle de grille, t5 = 15 km, permet de garantir que, pendant toute la durée du cycle, le satellite ne repassera pas sur sa trace .....

12.4.2

Fauchée à lacet variable

La fauchée orthogonale (accross-track swath ou XT-mode selon la terminologie de la NASA) correspond à un angle de lacet égal à 0° (l'angle de lacet se mesure dans un plan perpendiculaire à l'axe de lacet, dit de nadir, allant du satellite au centre de la Terre). Il existe des modes de fauchée le long de la trace (along-track swath ou AT-mode) correspondant à un angle de lacet égal à 90°. Dans ce cas, la fauchée ne recouvre pas rigoureusement la trace (pour les mêmes raisons que la fauchée orthogonale n'est pas rigoureusement perpendiculaire à la trace) voir au chapitre 8 la question d'inclinaison et d'inclinaison apparente (angles i et i', ou angles j et j'). Un ajustement de l'angle de lacet, fonction de la latitude survolée, permet d'obtenir un recouvrement de la trace par la fauchée - voir équation (8.38). Une application effective est donnée dans l'exemple 12.7. Un autre mode de fauchée consiste à faire varier de manière continue l'angle de lacet, comme on le montre dans l'exemple 12.8. Exemple 12.7 Différence entre la fauchée «le long de la trace» (AT-mode) et la fauchée avec «ajustement le long de la trace» (TAT-mode). ~ Pour l'étude du bilan radiatif de la Terre, la NASA a développé l'instrument CERES (Glouds and the Earth 's Radiant Energy System), qui a été placé à bord de plusieurs satellites 7 . Dans le cadre des études préliminaires pour le radiomètre BBR du satellite EartCARE, des séances de calibration/validation ont eu lieu, en août 2004, sur la station d'étalonnage VAS (Valencia Anchor Station), près de Valence, en Espagne. Le radiomètre utilisé était l'instrument CERES, à bord de Terra. Un fois par cycle de 16 jours, les traces (ascendante et descendante) du satellite se croisent le même jour très près de la station VAS: sur la figure 12.9(b), on remarque un point de grille très proche de VAS. En mode AT, la trace de la fauchée fait un angle de quelques degrés avec la trace du satellite. Les deux traces ne se recouvrent pas, comme on voit sur la figure 12.9(a). Nous avons demandé à la NASA de faire varier l'angle de lacet de CERES, pour le 19 août 2004, selon le mode PAP (Programmable Azimuth Plane scanning). La variation de lacet est liée à la latitude survolée par l'équation (8.38) qui fournit la valeur de t5j. Le résultat de cette modification apparaît clairement sur la figure 12.9(b) : la trace de la fauchée (AT/PAP-mode, noté aussi TAT-mode, True Along Track scanning) recouvre exactement la trace de l'orbite du satellite .....

7L'instrument a été fait en 6 exemplaires, PFM (Proto Fligh Madel) à bord de TRMM, FMI et FM2 sur Terra, FM3 et FM4 sur Aqua, FM5 sur NPP. Les instruments FM peuvent être en mode orthogonal ou à lacet variable, à la demande.

12.4. Trace des fauchées pour un satellite LEO

Terra / CERES Trace de l'orbite

Altitude = 699.5 km

Phasage

Période = 98.88 min • Révol./j.=14.56

Incl. HELIOS. = 98.19

= [15; -7; 16]233

2004082002:50:42 TUC »> 1440.0 min = 1.00 jour

l' . ..

525

a = 7077.675 km e = 0.000114

0

Décalage à l'équateur = 2751.9 km ( 24.7

0

)

.. Demi-fauchée: 61.8 0 => 1801 km [3.00 mini

Trace des fauchées (mode AT)

~

: ......

.......

% . . ..

:

,',

. ..... .

Il

\III

:

Il UII

" :

yf

Aspect: Direct> zoom: 2.50

EB T.:Cylindrique - Golle : 50

[4.21 [+90.0/ +0.0/-90.0][-1 EGM96

CP: 0.0' ; 0.0' /CZ 25.0' N; 35.0' E

Terra / CERES Trace de l'orbite Phasage

,:

,

Projection: Mercator Propriété: Conforme

: :

~\.II

WIll

~\

III: :

Il;iWJJ

0

Altitude = 699.5 km Incl. HELIOS. = 98.19

MC

*

LMD ATÀaç

a = 7077.677 km e = 0.000112

0

Période = 98.88 min • Révol./j.=14.56

= [15; -7; 16]233

2004081907:04:07 TUC »> 1440.0 min = 1.00 jour

Décalage à l'équateur = 2751.9 km ( 24.7 ')

Trace des fauchées (mode AT/PAP) avec lacet ajusté

.. Demi-fauchée: 61.8 0 => 1801 km [3.00 mini

Projection: Mercator Propriété: Conforme EB T.:Cylindrique - Golle : 5'

\\\

III

Noeud asc: -65.38 [22:29 TSM] [NORADI Révolution: 24855 [NORADI2004 08 20 02:50:42 TUC

CP: 0.0' ; 0.0' /CZ 25.0' N; 35.0' E

Aspect: Direct> zoom: 2.50 [4.211 +90.0/ +0.0/-90.0][-] EGM96

Noeud asc: -128.73 [22:29 TSM] [NORAD] Révolution: 24843 [NORAD] 2004 08 19 07:04:07 TUC

Il;iWJJ

0

MC

*

LMD ATÀaç

12.9 : Trace de la fauchée de l'instrument GERES à bord de Terra, avec deux modes de balayage (a) fauchée le long de la trace à lacet non ajusté (AT-mode) ; (b) fauchée à lacet variable ajusté (TAT-mode ou AT/PAP-mode), FIG.

526

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

Exemple 12.8 Trace de la fauchée à lacet variable (RAP mode) du radiomètre GERES à bord du satellite Terra. ~ Nous représentons, avec la figure 17.10, la trace de l'instrument CERES à bord de Terra, lorsque le satellite passe au-dessus de l'Amérique du Nord, le 9 février 2003, vers 18 heures TU, Révolution 16731. Le mode de balayage utilisé, RAPmode (Rotating Azimuth Plane), consiste à faire un demi-tour en 6 minutes, puis un demi-tour dans l'autre sens. La fauchée représentée ici, toutes les 6 secondes, correspond à f = 56.1 0 . . . . .

12.4.3

Fauchée conique

Les fauchées coniques sont utilisées en particulier pour les radiomètres micro-ondes. Dans ce cas, il faut, pour des raisons liées à la physique du phénomène, que les points vus le soient sous un angle constant. Il faut donc adapter la demi-fauchée maximale fM à la valeur de l'altitude du satellite et à celle de l'angle (M. La fauchée conique est définie par deux angles (figure 12.10), qui sont dans des plans orthogonaux: - l'angle de demi-fauchée fM (ou l'angle zénithal de vue (l'vd, dans un plan vertical; - l'angle de demi-ouverture ÇM, dans le plan horizontal (tangent à la sphère terrestre) . Géneralement, la fauchée conique Se fait vers l'avant, aveC ÇM de l'ordre de 60°. Avec ÇM = 90°, la fauchée conique dessine un demi-cercle; avec ÇM = 180°, un cercle. La position des points constituant la trace de la fauchée conique Se calcule par produit matriciel, aveC le même genre de calcul que celui vu plus haut pour la fauchée orthogonale. On caractérise la fauchée conique par le rayon du cercle de fauchée et par la fauchée effective au sol. Le cercle de fauchée, centré sur Sa, au nadir de S, est généré par le point P qui se déplace entre A et B, comme indiqué sur la figure. 12.10. La valeur de son rayon PF est donc : (12.29) PF = RaM où aM est obtenu à partir de fIv! ou de (M par (12.11) ou (12.12). La fauchée effective au sol est la largeur de la trace de la fauchée. En notant Flv! la demi-largeur de la trace au sol, 2Flv! est représenté par la distance AB, dont le milieu est noté C (ce point C n'est pas sur la trace de la fauchée). La distance Flvr est donnée par la valeur de l'arc CB, soit Flv! = Ra', en notant a' l'angle au centre de la Terre correspondant. On obtient a' à partir du triangle sphérique SoBC : -

'if

C=2

So =ÇM

BC=a'

12.4. Trace des fauchées pour un satellite LEO

527

s f

B

FIG. 12.10 : Représentation schématique d'une fauchée conique, depuis le satellite S, de nadir Sa, d'angle de demi-fauchée f et de demi-ouverture ç.

FIG. 12.11 : Représentation de la fauchée orthogonale (S caR aB) et de la fauchée conique (MADRAS) de deux instruments à bord de M egha- Tropiques, le satellite étant situé à la verticale du point de longitude 0°, latitude 0°. Chaque pixel est noté en taille réelle, avec son taux de recouvrement. Document : Nicolas Gif, LMD. Données orbitographiques Ixion.

528

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

La règle des sinus, relation (t.s.-VIII), donne: sin a' = sin aM . sin ÇM

(12.30)

d'où la demi-largeur effective de la fauchée conique:

p'

=

R arcsin(sin aM . sin ÇM)

(12.31 )

Dans cette formule, si ÇM > 90°, on prend ÇM = 90°, puisque la fauchée effective maximale est atteinte pour ç = 90°.

Exemple 12.9 Fauchées de divers instruments à bord du satellite MeghaTropiques. ~ Le satellite Megha-Tropiques, à l'altitude h = 866 km, est muni de trois instruments à balayage. Le radiomètre ScaRaB est à balayage orthogonal. Sa demi-fauchèe maximale est hvf = 48.91 0, ce qui correspond à un angle zénithal maximal (M = 58.78°. La trace au sol, dont la largeur est 2 FM = 2216 km, est représentée en figure 12.12(a). On n'a tracé qu'une fauchée sur deux par souci de claté (intervalle entre deux balayages :6 secondes; sur la figure: 12 secondes). Le sondeur SAPHIR est aussi à balayage orthogonal: fM = 42.96°, (M = 50.71°, 2 FM = 1726 km. L'imageur hyperfréquence MADRAS est à balayage conique, de sorte que les points vus le soient sous un angle ( = 53.50°. L'ouverture de la visée est de ÇM = 65° de part et d'autre de la trace. Cela détermine une fauchée de largeur effective de 1702 km, repréentée en figure 12.12(b), toutes les 6 secondes (la fréquence réelle est plus élevée). La figure 12.11 représente les traces réelles de fauchées des instruments ScaRaB (balayage orthogonal) et MADRAS (balayage conique), avec notation effective des pixels ....

Exemple 12.10 Trace de la fauchée conique du radiomètre SSM/I à bord du satellite DMSP-5D3 F-18. ~ L'instrument SSM/I (Special Sensor Microwave/lmager) est un radiomètre passif. Son axe fait un angle constant hvf avec l'axe de rotation, l'axe de nadir SZ, de sorte que l'angle zénithal de vue est constant, (M = 53.1°. Le calcul donne, pour ce satellite à l'altitude h = 848 km : fM = 44.9° et PF = R aM = 913 km. Le balayage ne se fait pas selon un cercle complet de rayon PF, mais sur un arc d'ouverture 2ÇM = 102.4°, de part et d'autre de l'axe SX porté par le vecteur vitesse. Pour ce satellite, le balayage se fait vers l'avant. La fauchée effective est donnée par (12.31) : Ff.vf = 1417 km Sur la figure 12.13(a), la représentation de la trace a été faite, pour plus de clarté,

529

12.4. Trace des fauchées pour un satellite LEO

Megha-Tropiques / ScaRaB Trace de l'orbite

Altitude = 865.5 km

Phasage

Période = 101.93 min • Révol./j.=14.13

= [14; -1; 7[ 97

»> Durée représentée:

=

100.0 min

Décalage à l'équateur = 2892.0 km ( 26.0 0)

0.07 jour

.. Demi-fauchée: 48.9 0 => 1108 km [0.20 mini

Trace des fauchées orthogonales (mode XT)

"~'"':,

f'

a = 7243.678 km

Inclinaison = 20.00 0

...........•..

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1

1

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!

!

Propriété: (sans)

EB T.:(divers) - Golle : 50

[5.31 [+90.01 +0.01-165011-] EGM96

.

!

:

CP: 0.0' ; 75.0 'E ICZ: 16.0' N; 69.0' E Aspect: Direct> zoom: 4.00

Projection: Raisz Armadillo

Noeud asc: _10.00 0 [00:00 TSM] Latit max. atteinte = 30.0 0

Megha-Tropiques / MADRAS Trace de l'orbite

Altitude = 865.5 km

Phasage

Période = 101.93 min • Révol./j.=14.13

= [14; -1; 7] 97

»> Durée représentée:

100.0 min

=

0.07 jour

Trace des fauchées coniques / AZV=53.5'

Inclinaison

=

20.00

[II

,;:~:, \

Il;iWJJ

MC

* LMD ATÀaç

a = 7243.678 km 0

Décalage à l'équateur = 2892.0 km ( 26.0 ') .. Demi-ouverture: 65.0 0 - Rayon sol: 940 km [ 0.20 min] .. O.-ouvert eff.: 42.6 0 => 851 km - Fauch. eff.: 1703 km

Propriété: (sans)

CP: 0.0' ; 75.0 'E ICZ: 16.0' N; 69.0' E Aspect: Direct> zoom: 4.00

EB T.:(divers) - Golle : 5'

[5.311 +90.01 +0.01-165011-] EGM96

Projection: Raisz Armadillo

III

,

.........

:

II

,

f/

-:;1)/

,

; J'

I

Noeud asc: _10.00 0 [00:00 TSM] Latit max. atteinte = 27.6 0

Il;iWJJ

MC

*

LMD ATÀaç

FIG. 12.12 : Trace de la fauchée de deux instruments à bord de Megha-Tropiques (a) fauchée orthogonale (ScaRaB),- (b) fauchée conique (MADRAS).

530

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

DMSP-5D3 F-18 / SSM/I

Altitude = 847.8 km

Trace de l'orbite Phasage

Incl. HELIOS. = 98.93

2009 11 0909:31: 12 TUC »>

720.0 min = 0.50 jour

Projection: Orthographique

Centre Pr.(dr.): 35.0 N ; 110.0 W Aspect: Oblique

EIl T.:Azimutal- Grille : 100

e = 0.001029

Période = 102.00 min • Révol./j.=14.12

= [14;+11; 93]1313

Propriété: (sans)

a = 7225.905 km 0

Décalage à l'équateur = 2838.5 km ( 25.5 0)

0

0

14.2H -90.0/ +55.0/-160.0] [-]

EGM96

Noeud asc: 155.84 0 [19:55 TSM] [NORAD] Révolution: 307 [NORAD] 2009 11 09093112 TUC

Itu,)V

MC

*

LMD ATÀaç-

FIG. 12.13 : (a) Trace du satellite DMSP F-18 et de la fauchée conique de l'instrument SSM/I, durant une demi-journée. (b) Fauchée de l'instrument SSM/I, à bord de DMSP Fau-dessus du 13, golfe du Mexique. L'instrument mesure la température de brillance qui permet de distinguer principalement nuages chauds et froids. Document GSFC - NASA.

12.5. Vue depuis un satellite GEO

531

avec un pas d'une minute, alors que le radiomètre fait 31.6 tours par minute. Pendant la durée d'un tour, soit 1.9 seconde, le point subsatellite s'est déplacé de 12.5 km. La représentation de la trace sur une demi-journée permet de constater qu'une grande partie de la Terre sera vue chaque jour. ...

12.4.4

Superposition de trace

Les raisons pour rechercher la superposition des traces de deux satellites sont variées, que ce soit pour une étude comparée de la géométrie angulaire cible-satellite, ou pour l'étalonnage d'un même type d'instrument à bord de deux satellites différents. À la superposition géométrique de la trace au sol, on ajoute une contrainte temporelle: l'écart entre le passage des deux satellites, sur un lieu commun donné, ne doit pas dépasser un certain temps, 5 minutes ou 15 minutes, par exemple.

Exemple 12.11 Superposition de la trace entre deux satellites héliosynchrones lors d'une campagne de calibration de l'instrument JAS!. ~ Peu après le lancement du satellite européen MetOp-A, on a voulu comparer les résultats obtenus par l'instrument IASI, à son bord, avec ceux d'un instrument à bord du satellite américain Aqua. On se trouve là dans le cas de deux satellites héliosynchrones dont les heures de passage au nœud ascendant sont très différentes, TNA = 21:30 pour MetOp-A, TNA = 13:30 pour Aqua. On calcule l'angle dièdre entre les deux plans orbitaux TNA(Aqua) - TND(MetOp-A) = 13:30 - 09:30 = 04:00 soit un angle de 4 x 15° = 60°. La figure 10.6 adaptée à ces deux satellites, montre que l'intersection des traces à un même instant (une même heure TSM en un lieu donné, donc une même heure TU) ne peut se faire que pour les latitudes très hautes, aux alentours de 80 N et 80 S. La figure 17.14 donne le résultat pour une durée de deux jours, avec un écart temporel de ±15 minutes. Pour chaque trace de fauchée commune, on note uniquement, par souci de clarté, le point central commun. Les superpositions, avec cette marge temporelle, ne peuvent pas avoir lieu entre les latitudes comprises entre 60 N et 60 S .... 0

0

0

0

12.5

Vue depuis un satellite G EO

Dans cette section, nous étudions d'abord, d'une manière générale, comment la Terre est vue par un satellite géostationnaire. Cette Terre est une sphère. Ensuite, nous examinons plus en détail la correspondance entre les coordonnées géographiques du point observé et le pixel correspondant. Dans ce cas, la Terre est considérée comme un ellipsoïde de révolution.

532

12.5.1

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

Conditions géométriques simplifiées

Pour connaître les conditions géométriques de vue de la Terre par un satellite GEO, la démarche suivante, considérant une Terre sphérique (où on confond les latitudes cp et 1jJ), est généralement suffisante. Lorsque le satellite géostationnaire voit la Terre, la fauchée maximale, au sens où nous avons défini Jo, est:

Jo

.

1

(12.32)

= arCSll1 - T)GS

la distance relative étant ici T)GS définie par la relation (7.70). Ce qui donne pour valeur numérique, avec T)GS = 6.611 :

Jo

=

8.700° = 0.1518 rad

(12.33)

L'angle au centre de la Terre correspondant est: ao = arccos - 1

rlGs

=

90 ° - 8.7 ° = 81.3 °

===}

2Fo = 18100 k m

(12.34 )

La portion de Terre vue par le satellite géostationnaire est appelée disque terrestre. Voir figures 12.14 et 12.19. En notant À s la longitude du satellite 5 (longitude de stationnement ou longitude du point subsatellite), les longitudes vues sur l'équateur par 5 sont dans l'intervalle: et selon le méridien À s , les latitudes sont vues sur le même intervalle de 81.3°, de part et d'autre de l'équateur. Pour un point P quelconque de la Terre, de coordonnées géographiques À et cp, on écrit la distance D au point subsatellite 50 (il s'agit, bien entendu, de la distance sur la sphère, selon un grand cercle, D = Ra), en utilisant le triangle sphérique SaP P' (Pl est l'intersection du méridien de P avec l'équateur) : cos 5 0 P= cos 5 0 PI . cos P p' cosa = cos(À -

À s )·

cos cp

(12.35)

Cette relation correspond à la relation (t.s.-I). Le lieu des points P vus à la distance D du point subsatellite est donc défini par la relation, avec les angles en degrés : D

=

R 1;0 arccos [ cos(À - Às) . cos cp ]

(12.36)

C'est le lieu des points vus sous le même angle depuis le satellite, et donc vus avec la même déformation de pixel.

12.5. Vue depuis un satellite GEO

533

La condition pour que le point P soit vu est, d'après les relations (12.6) et (12.35) : (12.37) Tics' COSip' cos(À - Às} ~ 1 La surface

8

de Terre vue est, pour un angle a donné:

La surface maximale vue est donc 8(ao}, ce qui représente la fraction de la surface totale :

8(ao}

41f R2

1( 1) =

="2

1-

TICS

0.424

(12.38)

soit 42 % environ. Exemple 12.12 Représentation, pour un satellite géostationnaire, du lieu des points de la Terre à égale distance du point subsatellite. ~ La distance D, entre un point de la Terre, vu par le satellite géostationnaire, et le point subsatellite de ce même satellite, est définie par la relation (12.36). On a représenté le lieu des points sur la Terre, à une même distance D, avec un pas de variation de 500 km pour D et de 200 km dans le cas des cartes agrandies. Nous notons ici ce lieu par !2(D). (a) METEOSAT Les satellites européens METEOSAT, durant leur phase opérationnelle, sont stationnés à la longitude Às = 0°. On a représenté, avec la figure 12.15(a), la Terre telle qu'elle est vue par le satellite (disque terrestre). Les courbes !2(D), pour D donné, sont des cercles, représentées par des cercles sur cette carte (projection dite perspective, non conforme, mais à symétrie axiale). La projection de Guyou, basée sur l'application des intégrales elliptiques, présente le globe dans un rectangle, tout en conservant les angles (projection conforme). Les courbes !2(D) sont représentées dans l'aspect direct sur la figure 12.15(b). (b) Feng Yun-2 Les satellites chinois, FY-2A puis FY-2B, occupent la position Às = 105°E. Nous avons représenté, en figure 12.16(a), le lieu des points vus sous le même angle, !2(D), dans une représentation orthographique centrée sur Pékin (à droite). (c) GOES Le satellite américain GOES-East est stationné à la longitude Às = 75°W. Cette position a été celle des satellites successifs SMS-I, SMS-2, GOES-5, GOES-7, GOES-8 (occupation partielle ou complète durant leur durée de fonctionnement). Le service météorologique argentin (Servicio Meteorolôgico Nacional) représente les données dans une projection stéréographique centrée sur le point (34.8°S; 68.6°W), situé au centre du pays. Nous avons utilisé cette projection pour représenter le lieu des points vus sous le même angle, en figure 12.16(b). Ce lieu !2(D) est donc, ici, représenté par des cercles (propriété de la projection stéréographique). On remarque que les satellites GOES-East et Feng Yun-2 sont diamétralement opposés par rapport au centre de la Terre.

534

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

MTSAT-1 R (V>~t> I:J )

Altitude =35787.6 km

a_GS = 42165.785 km

Satellite géostationnaire

Inclinaison = 0.00'

Long. station. =140.0' E

Eclipse solaire 2009 07 22 01 :30 TU

Période = 1435.91 min • Révol.lj.= 1.00

Proj. : Vue perspc. h=5.61 R

Décalage à l'équateur =40072.1 km

Propriété: (sans)

Centre Project.: 0.0' ; 140.0 'E Aspect: Equatorial

EIl T:Azimutal- Grille : 1D'

15.3H -90.0/ +900/-50.011-1

EGM96

Géostationnaire

n~(,)v

MC

*

LMD

ATÀCXÇ-

12.14 : (a) Vue de la Terre par MTSAT-1R (Himawari-6), 22 juillet 2009, 01 :30 TU. Eclipse totale du Soleil, centrée à ce moment-là (09:30 HL Taïwan) sur Taïwan. Document: IISERI, Univ. Tokyo. (b) Reconstitution de l'éclipse telle qu'elle est vue par MTSAT-1R.

FIG.

12.5. Vue depuis un satellite GEO

535

METEOSAT

Altitude =35787.6 km

a_GS = 42165.785 km

Lieu des points de la Terre

Inclinaison = 0.00'

Long. station. = 0.0'

équidistants

Période = 1435.91 min • Révol./j.= 1.00 Décalage à l'équateur =40072.1 km

du point subsatellite

.. Demi-fauchée: 8.7' - Au sol: 9050.2 km [ 500.0 km]

Proj. : Vue perspc. h=5.61 R

Centre Project.: 0.0'

Propriété: (sans)

Aspect: Equatorial

0.0'

EB T.:Azimutal- Grille: 10'

14.21 [·90.01 +9001 +900] [-] EGM96

Géostationnaire

Il;iWJJ

Latit. max. atteinte = 81.3 '

METEOSAT

Altitude =35787.6 km

Lieu des points de la Terre

Inclinaison

=

0.00

0

MC

*

LMD ATÀaç

a_GS = 42165.785 km Long. station.

=

0.0

0

Période = 1435.91 min • Révol./j.= 1.00

équidistants

Décalage à l'équateur =40072.1 km

du point subsatellite

.. Demi-fauchée: 8.7' - Au sol: 9050.2 km [ 500.0 km]

Projection: Guyou

Centre Project.: 0.0'

Propriété: Conforme

Aspect: Direct

0.0'

EB T.:[lnt. ellipt.] - Golle : 10'

14.2[[ +90.01 +0.01·90.0[[-] EGM96

Géostationnaire

Latit. max. atteinte = 81.3 '

Il;iWJJ

MC

*

LMD ATÀaç

FIG. 12.15 : Lieu des points équidistants du point subsatellite pour le satellite géostationnaire METEOSAT.

536

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

Feng Yun-2 ( JI.~~

)

Altitude =35787.6 km

a_GS = 42165.785 km

Lieu des points de la Terre

Inclinaison = 0.00'

Long. station. =105.0' E

équidistants

Période = 1435.91 min • Révol.lj.= 1.00 Décalage à l'équateur =40072.1 km

du point subsatellite

.. Demi-fauchée: 8.7' - Au sol: 9050.2 km 1 500.0 km]

Propriété: (sans)

Centre Pr.(dr.): 40.0' N ; 116.0 'E Aspect: Oblique

EIl T:Azimutal- Grille : 10'

14.21 [ -90.0/ +50.0/-26.0]1-]

Projection: Orthographique

Géostationnaire Latit. max. atteinte

= 81.3

niGJV

0

MC

EGM96

*

LMD

ATÀa,

GOES-E

Altitude =35787.6 km

a_GS = 42165.785 km

Lieu des points de la Terre

Inclinaison = 0.00'

Long. station. = 75.0 ' W

équidistants

Période = 1435.91 min • Révol.lj.= 1.00

du point subsatellite

Décalage à l'équateur =40072.1 km .. Demi-fauchée: 8.7' - Au sol: 9050.2 km 1 500.0 km]

Proj. : Stéréographique Propriété: Conforme

Centre Pr.(dr.): 34.8' S; 68.6' W Aspect: Oblique

EIl T:Azimutal- Grille : 10'

[4.21 [-90.0/+124.8/+1586][-] EGM96

Géostationnaire

Latit max. atteinte = 81.3 '

niGJV

MC

*

LMD

ATÀOS

FIG. 12.16 : Lieu des points équidistants du point subsatellite d'un satellite GEO.

>-'

("1l

R..

'"

~.

;:l

;:l

("1l, ("1l

'"

~

~.

'"

R.. ~.

R..

("1l

'"'"

;:l

l:t:J Cl

Ç)

("1l

~

'"~

2

("1l

00+-

00+-

'"0''"" '" ~

' - Cl

. a'

i:; '" ~.~

'"

-;:;1:

'" ;:lZ"

Cl

"'"

~~' Cl

;

4~ Cl

'"

r;;.

~

"("1l

'" t-<

~:-:

No

Période = 1435.91 min * Révol.lj.= 1.00

0

Centre Project 57.0

Aspect: Transverse> zoom: 1.40 l4.2! 1-5701-9001-36.0] [-1 EGM96

N; 36.0 E

Géostationnaire Latit. max. atteinte = 81.3

0

MC

E

tel

(J<

-1

LMD

eN

o

trl

ro C)

;+

ê:

~

rh

::J

>=

w'

>=

ro 'd

P.-

2 ro

0<

f-'

ATÀCX<;"

n~v.)j/

*

** Demi-fauchée: 8.r - Au sol: 9050.2 km [ 200.0 km]

Décalage à l'équateur =40072.1 km

Propriété: Conforme EB L[lnl. ellipl.]- Grille

0

Long. station. = 76.0 0

a_GS = 42165.785 km

Inclinaison = 0.00 0

Altitude =35787.6 km

Projection: Guyou

10

du point subsatellite

0

Lieu des points de la Terre

~ ~

équidistants

GOMS/Elektro (8rreKTpO)

~~

?\""' •

538

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

( d) Elektro-l Le satellite russe Elektro-1 (GOMS-1) est stationné à la longitude Às = 76°E. On a représenté L(D) dans une projection de Guyou transverse, centrée sur Moscou en figure 12.17. On voit clairement que les satellites géostationnaires ne sont pas véritablement intéressants pour la Russie ....

12.5.2

Correspondance précise entre pixels et coordonnées géographiques

On note par 0 le centre de la Terre et par R son rayon équatorial. On considère le repère orthonormé géocentrique suivant: l'axe Oz est l'axe des pôles, xOy est le plan équatorial et l'axe Ox passe par S, position du satellite GEO dont la longitude de stationnement est notée Às. Un point P à la surface de la Terre est repéré par ses coordonnées géographiques : longitude À et latitude géodésique !.p. Les coordonnées cartésiennes des points S et P sont donc :

08=

en notant

r 0

o

= rlGs

R

x =

OP =

Y z

= =

N cOS!.p· cos(À N cos!.p· sin(À N (1 - e 2 ) sin!.p

Às) Às)

(12.39)

N la grande normale dont on rappelle la valeur :

comme vu au chapitre 2, équations (2.13) et (2.10). Bien que cela soit superflu, rappelons cependant que l'excentricité e qui intervient ici, dans ces notations relatives à la géodésie, est l'excentricité de l'ellipsoïde terrestre. Lorsqu'on utilise N et !.p, les équations sont plus simples avec l'excentricité e qu'avec l'aplatissement f. On considère le plan parallèle à yOz passant par P. Ce plan, noté P, contient les points P, P' et pli (figure 12.18), où P' est la projection de P sur le plan équatorial xOy et pli est la projection de P' sur l'axe Ox. L'image de la Terre, vue depuis S, se fait dans un plan, noté I, appelé plan image, parallèle à P, et situé à une distance arbitraire de S. Dans l on définit un repère plan. Son centre est Oi, intersection de OS avec I. Les axes sont OiYi, intersection du plan équatorial avec I, et OiZi, intersection du plan méridien passant par S, xOz, avec I; OiYi est parallèle à Oy et OiZi est parallèle à Oz. Un pixel, noté Q, est l'image du point P de la Terre: il est à l'intersection de S P et du plan image I. Le point Q est repéré dans l par ses coordonnées C et L : - la coordonnée C (colonne) est mesurée selon 0 i Yi ; - la coordonnée L (ligne) est mesurée selon OiZi.

12.5. Vue depuis un satellite GEO

539

Sur la figure 12.18, Q" est en Oi, C est obtenu à partir de Q"Q', L à partir de Q'Q. Les coordonnées C et L sont mesurées en unité d'angle. Coordonnées du pixel en fonction des coordonnées géographiques [ (,\ 'P)

f-------+

(C, L)

1

On calcule ainsi facilement les valeurs de C et L en fonction de À et 'P par l'intermédiaire de x, y et z. Dans le triangle SP" P', dans le plan équatorial, rectangle en P" : Q"Q' P" P' tanC = Q"S = P"S Dans le triangle SPi P, perpendiculaire au plan équatorial, rectangle en P' :

Q'Q P'P tanL= - - = - Q'S PiS On obtient donc: tanC = -y-

tan L =

r-x

z J(r-x)2+y2

----;o====~====;';'

(12.40)

Conditions de visibilité

Appelons ( l'angle entre la normale à la Terre en P, la verticale du lieu, notée Pn, avec la direction PS. Le produit scalaire A donne les conditions de visibilité : (12.41 ) A = P S . Pn = Il P Sil· Il Pnll . cos ( Si A ? 0, l'angle zénithal de vue ( est compris entre 0° et 90° : le point P est vu par le satellite S. Dans le cas contraire, il n'est pas vu. Par définition, Pn est porté par la grande normale N. On en déduit donc ses coordonnées. On écrit également les coordonnées de PS : COS'P .

Pn = N

COS'P'

cos(À - Às) sin(À - À s )

sin 'P

PS=N

TlGsR/ N - COS'P . cos(À - Às) -cos'P·sin(À-Às) -(1 - e2 ) sin 'P

En effectuant le produit scalaire, la condition A ? 0 s'écrit: (12.42)

540

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

z

z

y

./

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

o

y

s x

x

FIG. 12.18 : Vue de la Terre depuis un satellite géostationnaire. Correspondance entre pixels et coordonnées géographiques. Le centre de la Terre est 0 et le satellite est en S. Le point (pixel) observé est P. L'axe des pôles est Oz, le plan équatorial xOy, l'axe Ox passe par S. Les points Q, Q' et Q" appartiennent au plan image I, parallèle au plan P, contenant P, p' et p", perpendiculaire au plan équatorial.

12.5. Vue depuis un satellite GEO

541

FIG. 12.19 : Image obtenue par traitement composite (utilisation de plusieurs canaux de l'imageur SEVIRI), le 29 juin 2011, à 12:00 TU. METEOSAT-9 (MSG-2), stationné à la longitude 0.00 • Document: SATMOS, Icare (Lille).

542

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

Dans ce cas:

0°

~

(

~

90°

P vu par S

~

En imposant la condition Terre sphérique (on pose e = 0) dans (12.42), on obtient (12.37). Coordonnées géographiques en fonction des coordonnées du pixel

[ (C, L)

f-------+ ()\,

cp)

1

On considère le plan image l à une distance arbitraire 10 de S. On note u 10 et v 10 les coordonnées du point Q, dans le plan I, avec les axes OiYi et OiZi définis ci-dessus:

Q"Q'

=

Q'Q = v 10

u 10

Dans un repère centré sur S, obtenu par translation du repère centré sur 0 selon l'axe Ox, les coordonnées de Q sont:

SQ

=

-1

u v

10

où u et v sont des grandeurs sans dimension. Avec les triangles vus précédemment, on obtient C et L en fonction de u et v : Q"Q u Q'Q v tanC= - - =tanL = - - = ----;=== Q"S 1 Q'S VI + u 2 La connaissance de L et C donne donc celle de u et v :

u = tanC

v = tanL

VI + tan 2 C

(12.43)

On déplace le plan I, parallèlement à lui-même, pour le faire coïncider avec le plan P, les axes OiYi et OiZi étant parallèles aux axes Oy et Oz. Pour cela, on multiplie le vecteur SQ par un scalaire positif k tel que k SQ = SP. En posant K = k 10 , cela revient à trouver la distance K telle que l'on ait:

K

x-r y

-1 u v

x=r-K y=uK z=vK

Z

Pour cela, on écrit que le point Q est confondu avec P, donc sur l'ellipsoïde terrestre: X

2

2

Z2

+y +--2 =R

2

1-e

En remplaçant les coordonnées cartésiennes par leur valeur, on obtient une équation du second degré en K :

(12.44)

12.5. Vue depuis un satellite GEO

en posant W =

v2 1-e

1+u 2 + - - 2

543

(12.45)

Pour les géostationnaires, on peut définir la grandeur auxiliaire sans dimension Q : 1 Q = 1 - - 2 - = 0.977 119 (12.46) rlcs

La condition de visibilité correspond à une valeur positive du discriminant de l'équation de second degré (12.44) :

wQ
(12.4 7)

Le lieu des points tels que W Q = 1 correspond à la limite du disque terrestre vu (discriminat nul). Si le point P est vu par 5, (12.44) donne deux solutions: la plus petite, que nous retenons, correspond au point P sur la face de la Terre vue par 5 ; la seconde, correspond au point P qui serait vu sur l'autre face si la Terre était transparente. La valeur de K cherchée est donc la distance :

K=

1-

~1- W 0 ~

W

r

(12.48)

On obtient ainsi x = r - K, Y = u K et z = v K qui donnent, en se reportant à (12.39), définition du vecteur OP avec les coordonnées géodésiques: tan(À - Às)

=

y x

-

En résumé, les coordonnées du pixel, L et C (ligne et colonne), permettent de calculer u et v, puis w, et d'obtenir K. Avec K, on calcule x, y, z et on obtient les coordonnées géodésiques À et !.p. Exemple 12.13 Conversion entre pixel et coordonnées géographiques pour

les satellites METE05AT.

~ On s'intéresse aux satellites METEOSAT en position opérationnelle, stationnés sur le méridien de Greenwich (Às = 0°). Leur image est caractérisée par N, le nombre de lignes et de colonnes, et P, le champ de vue (FOV). On distingue les satellites de la première génération (METEOSAT-1 à -7) de ceux de la seconde (MSG-1, -2, -3 et -4, correspondant à METEOSAT-8 et suivants), voir figures 12.19 et 12.20. Avec les coordonnées du pixel, Let C, exprimées en degrés, on obtient le numéro de ligne PL et le numéro de colonne Pc correspondant. Les colonnes sont numérotées de droite à gauche, les lignes de bas en haut. Le satellite étant positionné à la longitude 0°, l'Europe est vue sur le haut de l'image. L'acquisition des lignes se fait de bas en haut, c'est-à-dire du sud vers

544

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

Satellite

Lignes & Col. N

Champ de vue p

2500 3712

18.00° 18.00°

METEOSAT-1 à-7 MSG

3652

3651 3712

3652 3651

i i i i i i i i i

._____ ._____ b_. _____ .__ ._ 1

1857

i i i i i i i i i

62 61 3712

12.20 : Vue Le cadre complet vu. Les colonnes numérotées de 1

FIG.

de la Terre schématisée depuis un satellite géostationnaire MSG. représente le champ de vue, le disque représente le disque terrestre sont numérotées de 1 à 3712, de droite à gauche. Les lignes sont à 3712, de bas en haut.

le nord, afin que l'Europe profite des données d'observation les plus récentes (le balayage complet pour une image est de 25 minutes pour METEOSAT première génération, de 15 minutes pour MSG). [(C,L) f------+ (h,Pc) 1 On obtient les numéros de pixel en utilisant la fonction INT qui transforme un réel en sa partie entière : si C? 0 : Pc

=

si L ? 0 : PL =

~

si C

- INT ( C : )

~ + INT ( L

:)

+1

< 0:

si L

Pc =

~-

< 0 : PL =

INT

(C : )

~ + INT ( L

+1

:)

[(Pc,h) f------+ (C,L) 1 Lorsqu'on connaît Pc et PL, on obtient C et L qui permettent d'obtenir les co or-

12.5. Vue depuis un satellite GEO

données géographiques du point P :

Application Satellite METEOSAT-9 (MSG-2), avec N = 3 712, P = 18.00°.

[ (>-, y)

-

f----+

(Pc, h)

1

Lieu y = 30°, À = 30° f--+ Pc = 984 ;PL = 2854 ;( = 47.83°; Niamey: y = 13.53°, À = 2.08° f--+ Pc = 1783 ; PL = 2343 ; ( = 16.07° ; Paris: y = 48.87°, À = 2.33° f--+ Pc = 1803 ; PL = 3337 ; ( = 56.09° ; Moscou: y = 55.70°, À = 37.55° f--+ Pc = 1197 ; PL = 3422 ; ( = 71.69° ; Oslo: y = 59.93°, À = 10.75° f--+ Pc = 1676 ; PL = 3510 ; ( = 68.58°.

[(Pc,h) f----+ (À,y) 1 - Pc = 1000 ; PL = 1000 - Pc = 1000 ; PL = 2000 - Pc = 2000 ; h = 1000 - Pc = 2000 ; h = 2000 - Pc = 3000 ; PL = 3000

f--+ f--+ f--+ f--+ f--+

Y= Y= Y= Y= Y=

-25.19°, À = 27.77° ; ( = 42.67° ; 4.01 0, À = 24.53° ; ( = 29.05° ; -24.63°, À = -4.37° ; ( = 29.20° ; 3.94°, À = -3.92° ; ( = 6.54° ; 36.48°, À = -46.97° ; ( = 64.55° .....

545

11nage lrlporel et angulaire de point de vue! ) de la Terre, nous «regardons» maintenant le quel instant, et dans quelles conditions angulaires, roblème inverse de la détermination de la trace à établir l'échantillonnage du satellite, pour un (L'terminons aussi, pour ce point P, la direction du iU par le satellite.

mnage, notre méthode consiste à noter toutes les la fauchée avec un méridien donné, dit méridien à la base de la partie Échantillonnage du logiciel bire diverses comparaisons et statistiques selon la

cible et noté P, on détermine, d'après la position il est vu et la direction P S, dite direction de Cette droite est définie par les deux angles des :mgle de zénith (dit aussi angle zénithal de vue ou 'angle d'azimut: orthogonales, l'angle de zénith varie entre 0 0 et sa coniques, l'angle de zénith a une valeur fixée,

passage du satellite S pour le point P. On parle i((iisage, d'angle zénithal et d'azimut de passage. temporel lorsqu'on connaît les heures de pour un satellite et un instrument donnés, M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

548

Chapitre 13. Échantillonnage spatio-temporel et angulaire

N

l

1

1 1

1

s

1 1

13.1 : Représentation des directions relatives à la fauchée d'un instrument à bord du satellite. La Terre de centre 0 est représentée, ainsi que le pôle Nord N et l'équateur. Le satellite S, qui a pour point subsatellite So, vise le point P dans une fauchée SoP. Cette fauchée, représentée par un double trait, est dans le plan OSoSP, plan de fauchée F, orthogonal à la direction de déplacement du satellite S. La figure 12.2 représente les angles dans le plan F. FIG.

sur une certaine durée de temps (un mois par exemple). Dans la mesure où cet échantillonnage temporel est réalisé pour tout point de la Terre, on parle souvent d'échantillonnage spatio-temporel. L'échantillonnage angulaire se rapporte à la connaissance des angles de visée pour chaque passage. Lorsqu'on parle d'échantillonnage sans plus de précision, il s'agit généralement de l'ensemble des deux. On peut compléter l'échantillonnage en ajoutant les conditions d'éclairement solaire (angles déterminant la position du Soleil pour la cible P).

13.1

Direction cible-satellite

Dans les calculs d'angle de visée, la Terre n'est considérée comme ellipsoïde que dans un seul cas: lors de l'établissement de la correspondance entre pixel et coordonnées géographiques, au chapitre précédent, où on recherche une précision au pixel près.

13.1. Direction cible-satellite

549

Mais pour ce genre de calcul d'angle, où on descend rarement en dessous du degré de précision, on peut considérer la Terre sphérique et confondre les latitude cp et 1/;. Lors du calcul de l'angle zénithal de visée par exemple, cela revient à définir cet angle (figure 12.2) par ( = (OP, PS), relation (12.3) , alors que la définition rigoureuse est ( = (Pn, PS), relation (eqn:vuegeoconditpscal) où Pn est la normale à l'ellipsoïde en P, c'est-à-dire la verticale locale.

13.1.1

Étude de la direction de visée du satellite

Calcul des angles

Comme indiqué sur la figure 13.1, on appelle So le point subsatellite (intersection de OS avec la Terre de centre 0). Le plan de fauchée F est le plan OSoSP, orthogonal à la direction de déplacement du satellite S. Ce vecteur vitesse définit un sens trigonométrique direct dans F. À chaque instant, on connaît la position du satellite S. La position du point cible P est connue par les caractéristiques de fauchée. Par exemple, dans le cas de la fauchée orthogonale, f donne Ct qui permet, avec (12.21), d'écrire la matrice de rotation P4 . On note par Às et 1/;s, longitude et latitude, les coordonnées géocentriques de S ou So, et par À et VJ, les coordonnées géocentriques du pixel P. Les deux angles définissant la direction PS sont les angles de zénith et d'azimut, angles du système de coordonnées sphériques centré sur P, ayant le plan horizontal local comme plan de référence. Ce plan, noté H, perpendiculaire à OP, est le plan tangent à la sphère en P. (a) Angle zénithal L'angle zénithal ( est défini par:

(= (OP,PS)

(13.1)

compté dans le sens direct, avec la demi-droite OP (la verticale du lieu) pour origine, comme vu au chapitre précédent (figure 12.2). On obtient l'angle Ct par la trigonométrie sphérique, relation (6.167) (voir (6.170) dans l'exemple 6.5), ou simplement par le produit scalaire OP· OS: cos Ct = sin 1/;. sin 1/;s

+ cos VJ . cos VJs . cos(À -

Às)

(13.2)

L'angle zénithal ( se calcule 1 immédiatement à partir de l'angle Ct par la relation (12.10). On peut aussi calculer directement ( par le produit scalaire OP· PS ou, si on veut être plus rigoureux, par le produit scalaire Pn· PS, comme expliqué plus haut. 1 Le plan de fauchée :F étant orienté, on donne à ( une valeur algébrique: ( varie dans l'intervalle [-1T /2; +1T /2]. Dans la mesure où l'angle d'azimut X est défini, ci-dessous, dans tout le plan, il suffirait de définir ( dans l'intervalle [0; +1T /2]. Mais cette redondance permet de déterminer si le satellite est dans la partie ascendante ou descendante de l'orbite. On donne à f et oc le signe de (.

550

Chapitre 13. Échantillonnage spatio-temporel et angulaire

(b) Angle d'azimut L'angle d'azimut X est défini dans le plan horizontal local H. La verticale locale permet de définir un sens trigonométrique direct dans H. L'angle X est compté dans le sens direct avec pour origine la direction du nord. C'est l'angle dièdre entre le plan de fauchée F et le plan méridien de P, OPN, noté M : X = angle dièdre {M, F} (13.3) soit l'angle, dans H, de la trace de la fauchée avec le méridien de P. L'angle X est dit azimut de visée ou azimut de vue. Pour calculer l'angle X, nous considérons le triangle sphérique NP50 , représenté à la figure 13.1. Les trois éléments connus du triangle sont deux côtés (deux arcs) et un angle, l'angle dièdre des deux plans méridiens de P et 50 : 'if N = À - Às NP= --1jJ 2 On cherche l'angle X qui est l'angle P du triangle sphérique. En utilisant la relation (t.s.-X), on obtient: ~

cot N 50 . sin NP = cos Np· cos N

+ sin N

. cot P

soit dans notre cas: tanljJ s . cosljJ

sin 1jJ . cos (À

- À s)

sin(À - Às) + --'---------'tanx

et finalement : tanx=

sin(À - Às) . cosljJs cosljJ . sil1ljJ S - sinljJ . cosljJ s . cos( À - Às)

------------~----~------~----~

(13.4)

Par définition, le résultat de arctan est un angle dans l'intervalle [-'if /2; +'if /2]. Pour obtenir l'angle X de P50 avec le nord dans l'intervalle] - 'if; +'if], on remarque que X est du signe de (À - À s ). On en déduit: - si tanx est du signe de (À - Às), on a X = arctan(tanx); - dans le cas contraire, X = arctan(tan X) + 'if [2'if]. Remarque. On note que l'altitude du satellite n'intervient pas dans la relation donnant l'angle d'azimut X alors qu'elle intervient évidemment dans la détermination de l'angle zénithal de visée (. Exemple 13.1 Calcul de l'angle d'azimut dans le cas où le point cible et le satellite sont sur le même parallèle géographique. Dans le cas où ?/Js = ?/J, la relation (13.4) devient: cot X = sin?/J· tan[(.\ - .\s)/2] On prend les points suivants : P (45°N; 10 W) et 50 (45°N; 20 E). On obtient avec la relation ci-dessus : tan X = -5.278 d'où arctan( -5.278) = -79.3°. Avec ~

0

0

13.1. Direction cible-satellite

551

(>. - Às) < 0, on a X = -79.3". On remarque que la direction PSo ne fait pas un angle droit avec le nord: cette direction est prise sur l'arc de grand cercle qui passe par P et So. Le parallèle choisi étant situé dans l'hémisphère Nord, cet arc est au nord du parallèle, faisant en P un angle de 10.7" avec le parallèle. L'angle est négatif (So est à l'est de P). Si on échange P et So, l'angle X est positif. Si on choisit les points dans l'hémisphère Sud, P (45"S; 10"W) et So (45"S; 20"E), on obtient tan X = +5.278 d'où arctan( +5.278) = +79.3" et donc X = 79.3" - 180" = -100.T. C'est toujours la direction du nord qui est prise comme origine .... Conditions de vue du pôle

Pour une orbite circulaire, le pôle, s'il est atteint par la fauchée, voit le satellite avec toujours le même angle zénithal. Un satellite direct, orienté dans le sens de son déplacement, voit toujours le pôle Nord sur sa gauche, le pôle Sud sur sa droite. Inversement, un satellite rétrograde (et donc tout héliosynchrone) voit toujours le pôle Nord sur sa droite, le pôle Sud sur sa gauche. Avec les conventions de signe vues plus haut, ( est positif dans le cas du pôle Nord visant un satellite direct. Dans le cas de la visée du pôle, les angles a et i sont complémentaires (la somme algébrique des angles vaut un angle droit) comme on le voit sur la figure 12.3. Les équations (12.9) et (12.10) deviennent donc: tanf(PN) =

cosz 'fi -

..

S111 Z

COS?

tan((PN) = -------;------;---:sin i - (1/ ri )

(13.5)

où l'indice [(PN)] signifie que le point considéré est le pôle Nord. Le signe de ((P N) et de f(p N) est donné par celui de (cos i). Pour le pôle Sud, avec l'indice repS)], on a les valeurs opposées:

(13.6) Pour qu'un satellite en orbite circulaire voit le pôle lors d'une révolution (et donc les deux pôles à chaque révolution), il faut que la demi-fauchée f de son instrument soit supérieure à la valeur seuil fp : pôle vu

13.1.2

avec

f P = arctan ( cosi. ' ) 'TI -

S111 Z

(13.7)

Cas des satellites géostationnaires

Bien que le mode de fauchée soit différent, on peut traiter le cas des satellites géostationnaires en considérant les relations générales dans lesquelles on pose 'TI = 'TIGS = 6.611, VJs = 0 et où À s représente la longitude de stationnement. On a vu que, pour la précision recherchée dans la détermination de ces angles de visée, on peut considérer la Terre comme sphérique (et confondre cp et 'ljJ).

552

Chapitre 13. Échantillonnage spatio-temporel et angulaire

90

Angle zénithal de visée ,---~--~----~--~--~--------~--

__- - - ,

60 ID "0

50

.il

~

...J

40

30

20 10

o

o

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Différence de longitude

90

Angle azimutal de visée ,---~--~----~--~------------~--

__- - - ,

70

60 ID "0

.il ~

...J

50 40

30

20 10

o

o

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Différence de longitude

13.2 : Angles de visée de la direction cible-satellite dans le cas d'un satellite géostationnaire, en fonction de la latitude 11/)1 et de la différence de longitude IÀ-À31. Tous les angles sont en degrés. (a) 1(1; (b) Ixl.

FIG.

13.1. Direction cible-satellite

553

Pour l'angle zénithal, on calcule d'abord a par (12.35). On obtient ensuite ( par (12.10), qui devient ici: sina tan ( = ------,;-1cosa - - -

(13.8)

ries

Pour l'angle X, la relation (13.4) donne: tanx

= -

tan(À-À s ) . • /,

sm ''//

(13.9)

Les deux graphes de la figure 13.2 permettent d'obtenir les angles de visée ( et Ixl en fonction de la latitude l'!/JI et de la différence de longitude lÀ - Àsl. La figure 13.2(a) représentant les valeurs de ( est à rapprocher des figures 12.15(a) et (b) représentant les valeurs de a (lieu des points équidistants du point subsatellite pour le satellite géostationnaire) en fonction de la latitude et de la différence de longitude. Exemple 13.2 Calcul de la direction de vue (ou de visée) de METEOSAT-9 depuis Paris, de FY-2C depuis Sydney. a) Pour METEOSAT-9 (Às = 0°), vu de Paris (48°52'N; 2°20'E), avec Às = 0°, +2.33°, 'P = +48.87°, on obtient: Do = 48.91° (= 56.1° arctan(tanx) = -3.1° X = 176.9 La visée est donc faite avec un angle zénithal de 56° (ou un angle de hauteur de 34°) et un azimut de 177" avec le nord (soit 3° avec le sud, dirigé légèrement vers l'ouest). b) Pour FY-2C (Às = 105°E), vu de Sydney (33°55'S; 151°10'E), avec Às = +105°, À = +151.17°, 'P = -33.92°, on obtient: Do = 54.92° (= 62.6° arctan(tanx) = 61.8° X = 61.8 La visée est donc faite avec un angle zénithal de 63° (ou un angle de hauteur de 27°) et un azimut de 62° avec le nord. Avec l'PI = 34° et IÀ-Àsl = 46°, on retrouve sur les figures 13.2 les valeurs calculées de ( et X . .... ~

À =

13.1.3

Vue locale

Les diagrammes de vue locale représentent la position du satellite, et son mouvement au cours du temps, dans le « ciel» du lieu considéré. Par ciel, on entend la demi-sphère céleste centrée sur l'observateur, à cet endroit. Dans le référentiel terrestre ~T, centré sur le centre de la Terre 0, la position du satellite S est définie par le vecteur OS dont les coordonnées cartésiennes en fonction du temps sont données par la relation (8.10) dans laquelle fl est remplacé, comme expliqué au chapitre 8, par l'angle d'Euler al, défini par (8.17).

554

Chapitre 13. Échantillonnage spatio-temporel et angulaire

Dans ce même référentiel, le point P considéré comme lieu d'observation est défini par le vecteur OP. Les coordonnées géographiques de P, la latitude géodésique cp, la longitude À et l'altitude par rapport à l'ellipsoïde de référence, permettent d'obtenir les coordonnées cartésiennes avec la relation (2.27) . La vue locale consiste donc à représenter le vecteur PB. Pour obtenir une représentation sur une demi-sphère, on exprime la direction de PB par les deux angles de visée, l'angle zénithal ( et l'angle azimutal X, calculés ci-dessus. Les diagrammes de vue locale indiquent les trajectoires sur un canevas de coordonnées polaires. Ce canevas représente la projection de la demi-sphère céleste sur le plan horizontal local. Les manières de projeter sont diverses (projection orthogonale, linéaire, stéréographique, perspective, etc.). Dans le cas de la projection stéréographique, présentée ici, le canevas se présente sous forme de cercles concentriques et de rayons. À une direction donnée correspond un point sur le diagramme. L'azimut par rapport au nord est représenté en vraie grandeur. L'angle zénithal détermine la position sur cette direction: au centre pour ( = 0°, sur le bord du diagramme pour ( = 90°, les valeurs intermédiaires se distribuant selon les règles de la projection stéréographique. L'angle zénithal ( est parfois remplacé par son complément hv = 90° - (, appelé angle de hauteur, angle d'élévation ou hauteur de visée. Lorsqu'il n'y a pas de risque de confusion avec d'autres symboles, il est aussi noté h et appelé hauteur. Le cercle extérieur du diagramme correspond au cercle de visibilité: h = 0° (soit ( = 90°) si l'horizon est parfaitement dégagé, h = 5° ou 10°, ou 20°, etc., si on veut garantir des conditions particulières de réception. On peut aussi dessiner sur le diagramme, en projection adaptée, les obstacles (bâtiments, arbres ... ) qui masquent la visée directe du satellite depuis un lieu considéré. Exemple 13.3 Diagramme de vue locale, depuis la station de Bangalore, en Inde, pour le satellite Oceansat-2. ~ Les satellites océanographiques indiens Oceansat-1 et -2 sont héliosynchrones et phasés avec un cycle très court, GTu = 2 jours. L'établissement du diagramme de vue locale sur 2 jours garantit d'avoir un document qui reste valable, en trace et en heure, jusqu'à la fin de vie du satellite. On représente, sur la figure 13.3(a), la trace du satellite sur 2 jours, avec notation du cercle de visibilité (h = 5°) pour la station de réception de Bangalore, en Inde. Chaque trace à l'intérieur de ce cercle indique que le satellite passe, avec une hauteur de visée supérieure à 5°, dans le ciel de Bangalore. On note 6 traces pour 2 jours. La vue locale, représentée en figure 13.3(b), indique bien ces 6 passages, dont deux, notés 3 et 4, sont très près de la verticale du lieu d'observation. Les passages, avec les heures de début, centre et fin, sont notés dans le tableau 13.1. Après un cycle de 29 révolutions en 2 jours, le satellite repasse exactement sur sa

13.1. Direction cible-satellite

j

n

R

Début

1 1 1 2 2 2 3

1 2 3 4 5 6 7

3 4 11 18 25 26 32

06:07:25 07:45:38 18:38:04 06:55:40 17:50:03 19:28:06 06:07:25

Centre

Fin

06:12:30 07:50:22 18:43:55 07:01:31 17:55:02 19:32:56 06:12:30

06:17:35 07:55:08 18:49:47 07:07:22 18:00:02 19:37:49 06:17:35

555

Durée

(m

Xm

dm

00:10:10 00:09:30 00:11:43 00:11:42 00:09:59 00:09:43 00:10:10

66 71 4 9 67 70 66

-100 75 106 82 -75 100 -100

1215 1410 44 105 1264 1364 1215

13.1 : Passages du satellite Oceansat-2 pour la station de Bangalore: début, centre et fin de passage, en heure TUC (hh:mm:ss) et durée du passage. Angle minimal de hauteur de visée: h = 5°. Jour j, numéro de passage n au cours de la révolution R. Passage du satellite au plus près de la station au cours d'une révolution: valeurs correspondantes des angles (m et Xm, en degrés, et de la distance dm entre la station et la trace, en km. Bangalore (Karnataka), Inde: r.p = 13.034° N (1j; = 12.950°), À = 77.511° E. TABLEAU

trace, à la même heure: les conditions de passage lors de la révolution 32 (jour 3) sont rigoureusement identiques à celles de la révolution 3 (jour 1) ....

Exemple 13.4 Vue locale pour les satellites HEO de communication. ~ Nous présentons, avec les figures 13.4(a) et (b), les diagrammes de vue locale pour deux satellites de communication, Molnya et Sirius, dont les périodes de révolution sont respectivement un demi-jour et un jour sidéral. Ils sont sur des orbites REO, le premier de type Molnya, le second de type Tundra. Ils sont phasés, ce qui signifie que les diagrammes restent invariants au cours du temps (tant que les satellites sont maintenus à poste). Seule l'heure de visibilité avance de 3 min 56 s chaque jour, ce qui correspond à la différence entre jour moyen et jour sidéral, comme vu au chapitre 7, relation (7.27) ....

13.1.4

Durée de visibilité - satellites LEO

L'intervalle de temps pendant lequel un satellite S est visible d'un point donné P de la Terre est appelé durée de visibilité de S par P. Cette notion intervient lorsqu'on se préoccupe de la réception des données ou dans l'étude des constellations de satellites. Avec un logiciel d'orbitographie, la durée de visibilité s'obtient directement avec les diagrammes de vue locale, comme nous venons de le voir. Nous montrons ci-dessous comment, sans l'aide d'un tel outil, on peut calculer la durée de visibilité à l'aide de considérations géométriques, à condition de faire quelques approximations simplificatrices. Dans le cas des satellites LEO en orbite circulaire, la durée de visibilité est de l'ordre du quart d'heure et on peut confondre les référentiels ~ et ~T.

Chapitre 13. Échantillonnage spatio-temporel et angulaire

556

Oceansat-2

Altitude = 720.0 km

Trace de l'orbite Phasage

Période = 99.31 min • Révol./j.=14.50

= [14; +1; 2[ 29

Cercle de visibilHé pour h i i 5°

»> Durée représentée; 2880.0 min = 2.00 jours

Centre Project.: 13.0' N; 77.5 'E Aspect: Oblique,. zoom: 3.30

Proj. : Stéréographique

Propriété: Conforme EIl T.;Azimutal- Grille ; 10'

15.31 [-90.0/ +770/ +125][-[

Oceansat-2

Noeud asc:

-31.81' [00:00 TSM]

EGM96

a = 7098.103 km

Décalage à l'équateur = 2763.8 km ( 24.8 ')

30

VUE LOCALE

Début -- Fin Heure TUC h> 5 h max

30

pour la station:

Bangalore Longitude

77.5 E

LMD

ATÀ<X,

Période = 99.31 min • Révol.lj.=14.50

= [14; +1; 2] 29

13.0 N

*

Incl. HELIOSYNCHRONE = 98.29'

»> Durée représentée: 2880.0 min = 2.00 jours

Latitude

nLGJV

MC

Altitude = 720.0 km

Trace de l'orbite Phasage

a = 7098.103 km

Incl. HELIOSYNCHRONE = 98.29'

60

h=24 h~19

h=86 h~81

90

h=23

VISIBILITE DU SATELLITE

h=20

06:07:25 06:17:35

07:45:38 07:55:08

18:38:04 18:49:47 06:55:40 07:07:22 17:50:03

18:00:02 19:28:06 19:37:49

120

Projection (Mode) : stéréographique Cercle: Angle zénithal vue satellite [0' , +90'] Rayon : Azimut par rapport au Nord

150

Noeud asc:

-31.81' [00:00 TSM]

nLGJV

MC

*

LMD

13.3 : Trace du satellite Oceansat-2, pendant 2 jours (son cycle de phasage). (a) Carte de la trace et cercle de visibilité centré sur Bangalore,- (b) Diagramme de vue locale pour Bangalore.

FIG.

13.1. Direction cible-satellite

557

Molnya-3-51 (MonHH5I) Trace de l'orbite elliptique

Altit. équivaL = 20173.6 km

a=26551.711 km

Incl in. CRITIQUE = 64.11 °

e = 0.699680

Phasage

Période = 717.67 min • Révol.lj.= 2.01

= [ 2; +0; 1] 2

201006 13 10:24: 13 TUC »> 1440.0 min = 1.00 jour 30

VUE LOCALE pour la station:

h_a = 38768 km; h_p = 1613 km ; arg. périgée: +262.39 ° 30

h max

Début -- Fin Heure TUC h > 20 11:11:07 20:31:34

Moscou Latitude

55.8 N

Longitude

37.7 E

00:56:03 07:36:32

90

VISIBILITE DU SATELLITE

120

Projection (Mode) : stéréographique

120

150

Cercle: Angle zénithal vue satellite [0° , +90°] Rayon : Azimut par rapport au Nord

150

[NORAD] 201 0 06 13 10:24:13 TUC 1R: 6520 Noeud asc: 104.27 ° [17:21 TSM] Apogée -82.69 °

nL(,))/

MC

Sirius-3 Trace de l'orbite elliptique

Altit. équivaL = 35783.0 km

a =42161.105 km

Incl in. CRITIQUE = 63.84 °

e = 0.267764

Phasage

Période = 1435.92 min • RévoL/j.= 1.00

= [1; +0; 1] 1

201006 09 11 :00:00 TUC »> 1440.0 min = 1.00 jour 30

VUE LOCALE pour la station:

Longitude

LMD

h_a = 47089 km ; h_p =24511 km ; arg. périgée: +270.13 ° 30

h max

Début -- Fin Heure TUC h > 20 11:33:54

04:57:01

60

Denver Latitude

*

39.8 N 105.0 W

~o

90

90

VISIBILITE DU SATELLITE

120

Projection (Mode) : stéréographique

150

Cercle: Angle zénithal vue satellite [0° , +90°] Rayon : Azimut par rapport au Nord

150

[NORAD] 201 0 06 09 12:01 :08 TUC 1R: 3489 Noeud asc: -65.89 ° [07:38 TSM] Apogée -96.01 °

nL(,))/

MC

*

LMD

FIG. 13.4 : Diagramme de vue locale pour deux satellites HEO de communication, pendant 1 jour. (a) Satellite en orbite Molnya, Molnya-3-51, pour Moscou, Russie;

(b) Satellite en orbite Tundra, Sirius-3, pour Denver, États- Unis.

558

Chapitre 13. Échantillonnage spatio-temporel et angulaire

Le satellite passe à la verticale du lieu d'observation

Considérons le cas où le satellite 5 passe à la verticale de P, point à la surface de la Terre. L'orbite de 5, dont le plan contient P, est schématisée (figure 13.5(a)). Le satellite 5 est vu de P tant qu'il est au-dessus de l'horizon local de P, représenté par la droite 5 1 P5 2 , donc sur l'arc de cercle 5 1 A52 . L'angle ex = (OP, 05I) se calcule immédiatement (la distance relative est notée ri) :

R R 1 cos ex = - - = - = R+h a TI

(13.10)

La période du satellite est prise égale à T o, période képlérienne. La durée de visibilité, notée e, est donc: ex 7r

e= - T o

(13.11)

Pour tenir compte des conditions d'observation, on peut fixer un angle ( maximal de visée. L'angle au centre de la Terre ex s'exprime comme une fonction de ( et de la distance relative ri, voir relation (12.12), notée ici ex( () : ex( () = ( - arcsin

(~

sin ( )

(13.12)

On vérifie que ex(7r/2) = arccos(l/f)). Avec un angle limite noté (l, la durée de visiblité est donc:

e=

ex((z) T o 7r

(13.13)

Le satellite ne passe pas à la verticale du lieu d'observation

Lorsque 5 passe dans le ciel de P, l'angle zénithal de visée passe par un minimum, noté (v, qui était nul dans le cas ci-dessus. Sur le plan horizontal, tangent en P à la sphère terrestre de rayon R, la distance entre P et le point le plus proche de la trace est:

Le rayon du cercle de visibilité, compte tenu de (l, est donné par: dl = R tanex((l)

La durée de visibilité est proportionnelle à la longueur des traces à l'intérieur du cercle de visibilité (puisque la vitesse du satellite est uniforme), les traces étant considérées comme rectilignes sur cet intervalle.

13.1. Direction cible-satellite

559

EDœ s

12,

A'-

E._. ___ ._._._. ____ .___ .____ ._. __ ._____ .____

A

13.5 : Représentation schématique de la Terre et de la trajectoire de satellites. La Terre et les orbites représentées sont à la même échelle. (a) Orbite circulaire: exemple d'orbites (LEO, h = 800, 1400 et 2000 km) puis orbite (h = R) avec indication des points utilisés dans le texte. (b) Orbite HEO (période T é:::: 24 heures, e = 0.75) avec indication des points utilisés. FIG.

On note 8((1, (v) la durée 8 comme une fonction des deux variables (1 et (v par l'intermédiaire de al = a( (1) et av = a( (v). Avec les angles ((l, (v) notés dans cet ordre, on obtient: 8((1, (v) 8( (1,0)

Il est évident que nécessairement la condition (v < (1 est respectée. La durée de visibilité pour les satellites LEO circulaires est donc, de manière générale: (13.14) Exemple 13.5 Calcul de la durée de visibilité pour trois familles de satellites LEO, la constellation Transit, les satellites SPOT et les satellites Oceansat.

560 ~

Chapitre 13. Échantillonnage spatio-temporel et angulaire

Dans chaque exemple, nous avons considéré un angle limite de visibilité différent.

(a) Transit

Tous les satellites de la constellation Transit (premier système de géolocalisation par satellite) sont sur une orbite circulaire, strictement polaire, à une altitude d'environ h = 1 100 km, d'où on tire TJ = 1.1725, '1'0 = 107.4 min. En fixant une hauteur de visée supérieure à 10°, soit (1 = 80°, on obtient avec (13.12) puis (13.13) : a((l) = a(80) = 80 - arcsin(0.9848/1.1725) = 80 - 57.13 = 22.87° 8 = 8(80,0) = (22.87/180) 107.4 = 13.6 min. (b) SPOT Pour SPOT-5, et tous les satellites SPOT, on a: h = 822 km, TJ = 1.1289, '1'0 = 101.4 min. On en déduit, pour une visée jusqu'à l'horizon, (1 = 90° : a = arccos(1/1.1289) = 27.6° 8 = 8(90,0) = (27.6/180) 101.4 = 15.56 min soit 15:34. (c) Oceansat Pour Oceansat-1 et -2, on a: h = 720 km, TJ = 1.1129, T o = 99.3 min. On en déduit, pour une visée jusqu'à l'horizon: a = arccos(1/1.1129) = 26.03° 8(90,0) = (26.03/180) 99.3 = 14.36 min. Avec les satellites Oceansat, on se place dans les conditions décrites sur le diagramme, voir figure 13.3 et le tableau 13.1. L'angle zénithal de vue limite est (1 = 85° (noté h > 5° sur le diagramme). Donc: a((l) = 85.00 - 63.53 = 21.47° 8(85,0) = (21.47/180) 99.3 = 11.84 min Examinons les cas des traces notées 3 et 6 sur le diagramme. - Trace 3; h = 86° ou (v = 4°. Le satellite est presque à la verticale du point d'observation. a((l) = 0.406° En appliquant (13.14) avec cette valeur : 8(85,4) = VI - 0.018 2 8(85,0) = 0.9998 8(85,0) "::' 8(85,0) = 11.84 min soit 11:50 à comparer avec 11:43 pour la valeur exacte. - Trace 6; h = 20° ou (v = 70°. Le satellite est assez bas sur l'horizon. a( (1) = 12.396° 8(85,70) = Vc:;-1----o0:-:.5=58=9=2 8(85,0) = 0.8293 8(85,0) = 0.8293 x 11.84 = 9.83 min soit 9:49 à comparer avec 9:43 pour la valeur exacte. La formule approchée (13.14) donne des résultats très convenables .....

13.1.5

Durée de visibilité - satellites RED

Pour l'étude d'une orbite elliptique très excentrée, d'excentricité e, type HEO, on se place dans le cas le plus favorable: le point considéré P est le point subsatellite lorsque le satellite passe par l'apogée A, comme schématisé à la figure 13.5(b).

561

13.1. Direction cible-satellite

Molnya (MOlIHH5I) Trace de l'orbite elliptique

Altit équival. = 20175.5 km

a =26553.629 km

Incl in. CRITIQUE = 63.43

e = 0.7360

0

Période = 717.75 min • Tours/j = 2.01

Phasage = [2; +0; 1] 2 »> Durée représentée: 1440.0 min

=

h_a = 39719 km ; h_p = 632 km ; arg. périgée: +270.00

1.00 jour

0

** Marque temporelle: un point toutes les 60.0 minutes

Marque du temps

Projection: Stéréographique

Centre C. (dr.): 90.0

Propriété: Conforme

Aspect: Polaire

Longitude premier passage: N. asc.: 72.94

Type: Azimutal

[ +0.01 +0.01 +10.0]

Apogée

0

N; 0.0

0

0

80.00

niGJV

MC

*

Supertundra Trace de l'orbite elliptique

AIlit équival. = 35785.1 km

a =42163.191 km

Incl in. CRITIQUE = 63.43

e = 0.4230

Phasage = [ 1; +0; 1] 1

Période = 1436.03 min • Tours/j = 1.00

0

»> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

h_a = 53620 km ; h_p =17950 km ; arg. périgée: +270.00

Marque du temps

** Marque temporelle: un point toutes les 60.0 minutes

Projection: Stéréographique

Centre C. (dr.): 90.0

Propriété: Conforme Type: Azimutal

Aspect: Polaire

0

N; 0.0

[ +0.01 +0.01 +10.0]

0

Longitude premier passage:

N. asc. : -53.02 0 Apogée: -100.00

LMD

ATÀaç

0

niGJV

MC 0

0

*

LMD

ATÀaç

FIG. 13.6 : Trace pour deux satellites HEO de communication, pendant 1 jour. Notation sur la trace de la position du satellite toutes les heures. (a) Satellite en orbite Molnya (2 rev.jj.); (b) Satellite en orbite Tundra, comme Sirius (1 rev.jj.).

562

Chapitre 13. Échantillonnage spatio-temporel et angulaire

Le satellite S est vu par P tant qu'il est sur l'arc d'ellipse SIAS2 . Vu les approximations faites, on peut remplacer l'horizon local SlPS2 par la parallèle B I OB 2 qui passe par le centre de la Terre, O. On évalue ainsi la durée de visibilité par le temps que met le satellite S à parcourir l'arc d'ellipse BIAB2. À un instant donné, la position de S est repérée à partir du périgée A' par l'anomalie vraie, v = (OA', OS). L'anomalie moyenne JI.;[ du point BI se

calcule par (4.59) avec v =

Ir /2.

On obtient:

M(B I ) = 2 arctan

-e -- ~ l+e

~ ev 1 - e 2

(13.15)

On en déduit la durée de visibilité en fonction de la période : (13.16)

Exemple 13.6 Calcul de la durée de visibilité pour les orbites Molnya, Tundm et Supertundm. ~

On examine les trois principaux type d'orbite HEO.

(a) Molnya

Pour un satellite HEO de type Molnya, on a e = 0.736 et '1'0 = 718 min. On obtient, par (13.15) et (13.16) : M(B l ) = 0.7437 - 0.4983 = 0.2454 rad = 14.1° (1 - 14.1/180) = 0.92 Durant une révolution, le satellite passe donc 92% du temps pour aller de Bl à B 2 par A (et 8% pour aller de B 2 à Bl par AI), ce qui correspond à = 11 heures pour une période de 12 heures. Si on impose un angle de vue zénithal minimal ( ~ 70° et si P n'est pas exactement au point subsatellite de A, on obtient une durée de visibilité de 8 heures environ. Cette propriété est illustrée ici par la figure 13.6(a) et au chapitre 9 par la figure 9.17. (b) Supertundra Pour un satellite HEO de type Supertundra, on a e = 0.423 et '1'0 = 1436 min. On obtient: M(Bl) = 1.1340 - 0.3832 = 0.7508 rad = 43.0° (1 - 43.0/180) = 0.76 ce qui représente une durée de visibilité de 18 heures sur une période de 24 heures. En imposant les conditions restrictives vu ci-dessus, on dépasse cependant une durée de 12 heures. (c) Tundra Pour un satellite HEO de type Thndra, comme Sirius-1 à -3, on a e = 0.268 et, comme pour Supertundra, T o = 1436 min. On obtient: M(B l ) = 1.2995 - 0.2582 = 1.0413 rad = 59.7° (1 - 59.7/180) = 0.67 ce qui représente une durée de visibilité de 16 heures sur une période de 24 heures, comme le montre la figure 13.6(b) .....

e

13.2. Direction cible-Soleil

13.2 13.2.1

563

Direction cible-Soleil Étude de la direction de visée du Soleil

Pour un point quelconque P à la surface de la Terre, de coordonnées

1/;, nous avons déjà défini le plan horizontal local, H.

À

et

Dans cette partie, les grandeurs indicées par [s] se rapportent à la direction du Soleil. Nous calculons ici les coordonnées sphériques XS et (s de la direction PS s , Ss représentant la position du Soleil. Pour cela, nous considérons la sphère céleste de centre 0, relative au point considéré, représentée à la figure 13.7. La direction du zénith est OZ, normale au plan horizontal H représenté par le cercle d'horizon du lieu. La direction du pôle Nord céleste est ON, normale au plan équatorial E représenté par l'équateur céleste. Le demi-grand cercle passant par N et Z est le méridien géographique du lieu, M; c'est le plan de la figure 13.7. L'angle entre les deux demi-droites OZ et ON, ou l'angle dièdre (H, E), est égal à la colatitude du lieu (angle complémentaire de la latitude .1jJ) : 'if

(OZ, ON) ="2-1jJ

(13.17)

Considérons une direction quelconque 0]1;[. Le demi-grand cercle passant par Z et ]1;[ est le vertical de ]1;[. Le demi-grand cercle passant par N et ]1;[ est le méridien céleste de ]1;[. Pour l'étude de la direction du Soleil, on considère que ]1;[ représente l'intersection de OSs avec la sphère céleste. Cette direction ON! peut être repérée par rapport à E, en coordonnées équatoriales célestes, par l'ascension droite Ct (ou l'angle horaire H) et la déclinaison 5. Par rapport à H, en coordonnées horizontales locales, elle est repérée par l'azimut Xs et l'angle zénithal (s' Nous allons exprimer les coordonnées horizontales en fonction de l'heure (par H), de la date (par 5) et de la position géographique du point P (par VJ). Dans le triangle sphérique NZ]I;[ nous avons, pour les côtés: ~

'if

NZ=--1/; 2

~

N!vI

Z!vI =(s

=

'if

-

2

-

5

et pour les angles (l'angle N[, appelé angle à l'astre, n'est pas utilisé ici) Z =

'if -

Xs

!vI

Pour les angles d'azimut, l'origine est prise lorsque le point ]1;[ est dans le plan méridien M. L'azimut Xs, comme X, est compté par rapport à la direction du nord. On exprime les coordonnées horizontales en fonction des coordonnées équatoriales et de la latitude sous la forme (xs, (s) = f (H, 5; VJ) par les rela-

564

Chapitre 13. Échantillonnage spatio-temporel et angulaire

13.7 : Représentation de la sphère céleste relative au point considéré sur Terre. L'axe OZ est le vertical du lieu, normal au plan horizontallocalH; l'axe ON est l'axe polaire céleste, normal au plan équatorial céleste E. La demi-droite OIvI représente une direction quelconque issue du point considéré.

FIG.

tions : cos(s

sin (s . sin XS sin (s . cos Xs

sin·1jJ . sin 5 + cos 1jJ . cos 5 . cos H cos5 . sinH

- cosljJ . sin 5 + sinljJ . cos 5 . cos H

(13.18) (13.19) (13.20)

On peut se rapporter, en fin de chapitre 6, à l'annexe Trigonométrie sphérique, où le triangle ABC est ici le triangle N Z JI.;[. Les trois relations ci-dessus sont les relations fondamentales de trigonométrie sphérique, dite relations de Gauss. La relation (13.18) fournit (s, angle de l'intervalle [0,7f/2]. Sa valeur, reportée dans (13.19) ou (13.20), permet d'obtenir la valeur absolue de l'azimut Xs, dans [0,7f]. La valeur de Xs, dans ]-7f,7f] est déterminée d'après le signe de H : XS et H sont de même signe (négatif le matin, positif l'après-midi, la valeur H = 0 correspondant à midi). La relation (13.19) ou (13.20) permet d'obtenir (s dans l'intervalle complet [-7f /2, +7f /2] : on détermine ainsi s'il fait jour (Soleil soit au-dessus de l'horizon local, avec (s ~ 0) ou nuit (Soleil au-dessous avec (s ::::; 0).

13.2. Direction cible-Soleil

Cs'

565

Dans certains cas, on préfère utiliser la hauteur solaire, hs, à la place de Ces deux angles sont complémentaires.

Exemple 13.7 Calcul de la position du Soleil, le 10 juillet 1998, à 06:30 TU, à la base de Baikonour (Kazakhstan).

~ Nous avons calculé, dans l'exemple 7.4, que l'instant 06:30 TU correspondait, pour ce jour, avec 10:58 TSV. C'est bien entendu le temps solaire vrai qu'il faut utiliser ici. On a donc pour l'angle horaire: H = 10 h 58 min - 12 h 00 min = - 1 h 02 min, soit H = -62/4 = -15.5". Pour les autres grandeurs: o(J = 10 juillet) = 22.3°; cp = 45°38'N d'où 1/) = 45.5". La relation (13.18) donne: cos(s = 0.8947 d'où (s = 26.5", soit une hauteur solaire hs = 63.5". Pour l'azimut, avec (13.20), on obtient cos XS = 0.8329, et puisque H est négatif, XS = -33.6°. La demi-droite P Ss est donc orientée vers l'est (nous sommes avant midi TSV) ....

13.2.2

Lever et coucher du Soleil, midi TSV

Lever et coucher du Soleil La valeur de l'obliquité é permet de définir sur la Terre des cercles (petits cercles, dits parallèles) à des latitudes remarquables: les cercles polaires (arctique: .1jJ = 90° - é = 66°34'N ; antarctique: 1jJ = 66°34'S) et les tropiques (du Cancer :1jJ = é = 23°26'N ; du Capricorne: 1jJ = 23°26'S). Entre les tropiques, le Soleil passe au zénith à midi, pour les deux jours de l'année où la déclinaison est égale à la latitude. Avec 5 = 1jJ et H = 0, la relation (13.18) donne dans ce cas cos Cs = 1 d'où Cs = 0 ou hs = 90°. Au-delà des cercles polaires, on rencontre des jours où le Soleil ne se lève pas, d'autres où il ne se couche pas. Pour étudier le lever et coucher du Soleil dans le cas général, on écrit la relation (13.18) sous la forme: cos Cs avec:

=

sinhs

T

=

cos5· cosljJ· (cosH - T)

= -

(13.21 )

tan 5 . tan 1jJ

On traite immédiatement le cas des pôles, pour lesquels la relation (13.18) montre que, pour tout H, on a : hs = 5. Ce cas étant écarté, on voit que la résolution de (sin hs = 0) est équivalente à celle de (cos H = T). On considère deux cas, selon que ITI soit supérieur ou inférieur à l. (a) Cas ITI > 1 Si ITI > 1, soit IIjJI + 151 > 90°, la quantité (sin hs) ne peut être nulle, quel que soit H. On ne peut parler ni de lever ni de coucher dans ce cas. - si T est négatif: T < -1, soit 11/) + 51 > 90° sin hs > 0

~

hs

>0

566

Chapitre 13. Échantillonnage spatio-temporel et angulaire

Le Soleil est toute la journée au-dessus de l'horizon: jour polaire. - si T est positif: T> +1, soit l?/i - 51 < 90" sin hs < 0

hs

~

<0

Le Soleil est toute la journée au-dessous de l'horizon: nuit polaire. (b) Cas ITI ~ 1 Si ITI ~ 1, soit l?/il + 151 < 90", l'équation (13.21) a deux racines: sin hs = 0

cos H = T

~

qui sont deux valeurs opposées de H, notées HL pour le lever , He pour le coucher: = arccos( - tan 5 . tan ?/i) = -He On obtient, avec (s = 90" dans (13.20), les azimuts correspondants: =

arccos ( _

=

-XSG

:~l:~

)

On note les cas particuliers suivants: - à l'équateur (?/i = 0), on a pour toute l'année He = 90"

XSG

=

90" - 5

- aux équinoxes (5 = 0), on a pour toute la Terre He

=

90"

Xsc =

90"

On rappelle que la valeur He = 90" correspond à un lever de Soleil à 06:00 TSV et à un coucher à 18:00 TSV. Remarque. Pour les calculs, on n'a pas tenu compte de la réfraction atmosphérique. Pour les latitudes moyennes (I?/il < 55"), et en moyenne sur l'année, la réfraction avance le lever du Soleil d'environ 3 minutes et retarde le coucher d'autant.

Midi vrai Le midi vrai, ou midi TSV, ou 12:00 TSV, correspond à H = O. Dans tous les tableaux mensuels de passages présentés plus loin, où le temps (TSM) est porté en abscisses, on a donc : Midi TSM = Midi TSV

+ ET

avec l'équation du temps ET vue au chapitre 7, relations (7.56) et (7.57). Sur ces tableaux mensuels, figures 13.10 et 13.11, figures 13.14 à 13.17, on a tracé, en trait tireté, les heures (TSM) de lever, de coucher et de midi solaire vrai pour le lieu considéré, tout au long du mois.

13.3. Géométrie Soleil-cible-satellite

567

ZENITH

SATELLITE SOLEIL

*

Plan principal

i .'

...

FIG. 13.8 satellite.

13.3 13.3.1

<1>

Représentation des angles intervenant dans la géométrie Soleil-cible-

Géométrie Soleil-cible-satellite Angles de la géométrie Soleil-cible-satellite

Pour tout point P, les directions du satellite et du Soleil, à un instant donné, sont définies par les quatre angles X, (, Xs, (s' Dans le cadre de l'étude de certains phénomènes physiques (comme les phénomènes radiatifs ou ceux liés aux questions de télédétection), on montre qu'en fait trois angles sont suffisants pour caractériser la géométrie Soleil-ci ble-satellite : les deux angles zénithaux et l'azimut relatif. On pose, avec les relations traditionnelles dans ce domaine : {

~o cPA

(s

1(1 xs - X + 7T

[27T]

Ainsi défini, l'azimut relatif est nul lorsque les directions sont opposées et il est égal à 7T lorsque Soleil et satellite sont du même côté par rapport à la cible (figure 13.8). Dans leur très grande majorité, les phénomènes étudiés présentent une symétrie par rapport au plan principal (plan formé par la direction du Soleil et la verticale du point cible). On considère alors l'azimut relatif dans l'intervalle [0,7T]. Par souci de clarté, nous désignerons par cPA

568

Chapitre 13. Échantillonnage spatio-temporel et angulaire

l'azimut relatif défini dans [0,27T] et cPB celui défini dans [0,7T] avec

cP B

=

cP A si cP A

~

7T

cP B

=

27T - cP A si cP A > 7T

Dans les études liées au rayonnement, lorsqu'on parle d'azimut relatif sans plus de précision, il s'agit de cP B, noté cP. Angle de diffusion On appelle angle de diffusion l'angle formé par deux directions, ici PB et PB8 • Cet angle, noté " varie dans l'intervalle [0,7T]. On obtient sa valeur comme pour ex avec (13.2). Avec les notations vues ci-dessus: cos,

13.3.2

= cos 80 . cos 8 - sin 80 . sin 8 . cos cP

(13.22)

Réflexion spéculaire (Sun glint)

On parle de réflexion spéculaire 2 lorsque les rayons lumineux solaires, après réflexion sur une surface, aboutissent directement dans le détecteur à bord du satellite. Cette réflexion spéculaire, souvent désignée par son terme anglais sun glint, peut causer des dommages irréversibles aux instruments. Même si ce n'est pas le cas, l'absence de prise en compte de ce phénomène peut fausser grandement les mesures radiométriques. Le sun glint se produit lorsque la surface réfléchissante est une surface liquide, comme la mer, ou même un lac ou une zone humide. La « tache» du sun glint donne une idée de l'état de la surface: de mer calme (avec une tache étroite et une réflexion forte) à mer agitée (tache large, réflexion plus diffuse). On peut ainsi détecter, comme le montrent les figures 13.9 et 17.11, les zones polluées par des nappes de pétrole. Calcul des conditions de réflexion spéculaire La réflexion se produit strictement lorsque: - les directions PB et PB8 sont dans le même plan, de part et d'autre de la normale à P : X - Xs = 7T [27T] soit cP = 0; - les angles d'incidence sont égaux: 1(1 = (8 soit 8 = 80 . On appelle PB '8 le rayon solaire réfléchi. Sa direction est donnée par les angles, zénithal (s et azimutal XS + 7T. Notons par " l'angle entre PB's et PB. On l'obtient sa valeur par un calcul similaire à celui de , : cos,' = cos 80 . cos 8 + sin 80 . sin 8 . cos cP

(13.23)

2Cet adjectif vient du latin specularis, adjectif établi sur speculum, « le miroir». Ce mot est lui-même dérivé du verbe specere, «regarder» (spectacle), qui se rattache à la racine indoeuropéenne *spek, « observer».

13.3. Géométrie Soleil-cible-satellite

Aqua/ MODIS Trace de l'orbite - Réft. Spéc. [ Cone D.-ouv.: 8.0'] 20100711 21 :00:00 TUC »> 1440.0 min = 1.00 jour QI

02

Proj. : Snyder-TraSatRecti/30' Propriété: (sans) [L.géoc] EIl T.:Cylindrique - Golle : 10'

00

(W

as

D6

Altitude = 699.5 km

a = 7077.668 km

Incl. HELIOS. = 98.19 '

e = 0.000188

Période = 98.88 min • Révol./j.=14.56

Trace des fauchées orthogonales (mode XT) 00

569

.. Demi-fauchée: 55.2' [2.5]- Au sol: 1165.0 km [ 0.50 min] 07

08

09

1D

Il

12

CP: 0.0' ; 0.0' ICZ 24.0' N; 86.0' W Aspect: Direct> zoom : 5.00 15.3][ +90.01 +0.01·90.011-1 EGM96

13

1.-

15

16

17

18

19

20

21

22

23

2"

Noeud asc: 127.76' [13:36 TSM] [NORAD] Révolution: 43541 [NORAD] 2010 071105:05:24 TUC

MC

n

*

ir.J)/

LMD

ATÀa:Ç

FIG. 13.9 : Représentation de la réflexion spéculaire. (a) Image prise par l'instrument MODIS à bord du satellite Aqua, le 12 juillet 2010. Golfe du Mexique. La réflexion spéculaire du Soleil est modifiée par la présence de nappes de pétrole. Document : NASA/GSFC/MODIS. (b) Trace du satellite Aqua, avec simulation de la réflexion spéculaire, pour MODIS. Initialisation du logiciel Ixion avec les éléments NORAD actualisés. Voir aussi figure 17.11.

570

Chapitre 13. Échantillonnage spatio-temporel et angulaire

On fixe un angle ainsi la condition:

,'< ,b

,b

qui sera considéré comme la limite de l'effet. On a réflexion spéculaire possible

Les deux rayons PB et PB's se trouvent alors à l'intérieur d'un cône de demi-ouverture bb/2). Pour donner un ordre de grandeur, l'angle ,b prend généralement des valeurs comprises entre entre 12° et 20°, selon les cas. Exemple 13.8 Exemple de réflexion spéculaire détectée par l'instrument MODIS à bord du satellite Aqua. ~ L'instrument MODIS (Moderate Resolution Imaging Spectroradiometer) est un imageur multispectral, avec un pixel de l'ordre de 500 mètres au nadir. Il a une fauchée suffisamment large (jM = 55.2°, soit au sol 2FM = 2 330 km) pour observer tout point de la Terre tous les jours ou tous les deux jours (Q E = 0.847). Il a été placé par la NASA à bord de ses satellites EOS, Terra et Aqua, pour une surveillance de l'environnement. Le 20 avril 2010, l'explosion de la plateforme pétrolière Deepwater Horizon, dans le Golfe du Mexique, a entraîné pendant plusieurs mois une fuite d'hydrocarbures qui est à l'origine de la plus importante catastrophe pétrolière ayant touché les États-Unis. La figure 13.9(a) est une image de cette région, prise le 12 juillet 2010 par Aqua/MODIS. On distingue, en haut de l'image, le delta du Mississipi et, au centre, la baie de Mobile, puis à droite, la côte de Floride. Cette image est un bel exemple de sun glint. De plus, ici, le pétrole huileux rend la surface de l'eau plus lisse et renforce la réflexion spéculaire. La figure 13.9(b) représente la trace du satellite Aqua, centrée sur cette région, pour la même journée. On a noté les lieux de réflexion spéculaire potentielle (la réflexion ne peut avoir lieu que sur mer) qui montrent bien que le phénomène est très important sur le golfe du Mexique. La figure 17.11 est obtenue par la superposition des deux images. Intéressons-nous à l'aspect géométrique du phénomène. Le Tableau 13.2 donne tous les angles de la géométrie Soleil-cible-satellite du 10 au 12 juillet 2010, la cible étant située au centre du sun glint, pixel de coordonnées 30 0 N et 90 0 W (ce qui correspond à New Orleans, à l'embouchure du Mississipi). Le Tableau étant établi pour l'instrument CERES, on ne tiendra pas compte des fauchées f> 55.2° pour MODIS. Le 12 juillet, pour le passage n = 37, à 13:08 TSM, les angles zénitaux sont pratiquement égaux (( = 19° et (s = 16°) tandis que l'azimut relatif est petit (rPA = 14°). La relation (13.23) donne i' = 5°, ce qui implique qu'il y a réflexion spéculaire, la condition de limite angulaire étant ici i' < 16° (cône de demi-ouverture de 8°). Un peu plus loin, la figure 13.10 indique tous les cas de réflexion spéculaire dans le mois de juillet 2010, pour New Orleans, avec Aqua/MODIS, à savoir les 3, 12, 19 et 28 juillet, peu après 13 heures TSM. Avec Terra/MODIS, pour le même lieu, voir figure 13.11, le même phénomène se produit pareillement, les 2, 9, 18 et 25 juillet, autour de 11 heures TSM .....

13.4. Étude illustrée de l'échantillonnage

13.4 13.4.1

571

Étude illustrée de l'échantillonnage Tableaux mensuels d'échantillonnage

Les tableaux mensuels d'échantillonnage permettent de visualiser, pour un point quelconque de la Terre, toutes les occurrences de passage pour un satellite donné, muni d'un instrument à la fauchée définie. Ces tableaux sont d'un grand intérêt, tant pour la préparation des missions que lors de l'exploitation des données transmises par le satellite. Nous donnons ci-dessous quelques exemples. Exemple 13.9 Tableaux mensuels d'échantillonnage relatifs à un instrument à fauchée large, à bord des satellites Terra et Aqua, héliosynchrones, pour un point de latitude 30°N.

~ L'instrument CERES est à balayage orthogonal. Il a une demi-fauchée hvI = 61.8° telle que (M = 78.0°. La fraction de recouvrement est Q E = 1.35 lorsque l'instrument est à bord d'un satellite sur l'orbite de type Terra.

Ca) AquajCERES Pour le satellite Aqua, nous avons considéré l'initialisation suivante (document NORAD) : 2010 07 12 20:38:35.423 TU, ÀN A = 254.4648° (TN A = 13:36 TSM) Nous établissons l'échantillonnage pour le point P, de coordonnées 30.0 0 N et 90.0 0 W (New Orleans), afin de retrouver les conditions de sun glint vues ci-dessus. Le tableau mensuel est établi pour le mois de juillet, depuis J = 1 (correspondant à la date 2010 07 01) jusqu'à J = 31. On calcule, pour chaque passage, l'instant de passage (TU puis TSM) et les angles de la géométrie satellite-cible-Soleil. Les résultats pour quelques passages consécutifs sont notés dans le tableau 13.2. Les valeurs pour tout le mois (31 jours, quel que soit le mois) sont représentées, en figure 13.10, dans le «tableau mensuel d'échantillonnage ». Dans ce tableau, les heures TSM, de 0 à 24, sont notées en abscisses, les jours, de 1 à 31, sont notés en ordonnées. Chaque point (triangle avec pointe vers le haut ou le bas) correspond à un passage, les traits (long ou court) se rapportent à la direction cible-satellite, les petits cercles (blancs ou noirs) à la direction cible-Soleil. Une ligne (tiret pointillés) marque l'heure de lever et de coucher du Soleil, ainsi que le midi TSV. On note, pour cette latitude, qu'il y a pratiquement trois passages par jour (97 passages en 31 jours), dont un ou deux pendant le jour (entre 12 et 14 heures TSM) et deux ou un pendant la nuit (entre 1 et 3 heures), alternativement. On voit apparaître clairement le cycle de phasage CTo = 16 jours: on retrouve, pour les jours Jet J + 16, les mêmes valeurs de ( et X, et de plus, comme le satellite est héliosynchrone, les mêmes valeurs pour l'instant TSM. Le phénomène de réflexion spéculaire hl < 16°) apparaît le 3 et le 19 (= 3 + 16) ainsi que le 12 et le 28 (= 12 + 16). Le sun glint du 12 juillet est celui qui est décrit un peu plus haut, voir l'exemple 13.8 et figures 13.9 et 17.11.

572

Chapitre 13. Échantillonnage spatio-temporel et angulaire

n

J

TSM

f

(

X

29 30 31 32 33 34 35 36 37

10 10 10 11 11 11 11 12 12

00:42 02:21 13:20 01:26 03:03 12:25 14:03 02:08 13:08

-61.6 +39.2 -6.7 -44.8 +60.3 +56.0 -54.3 +23.4 +17.3

-77 +45 -8 -51 +75 +67 -64 +26 +19

-90 +77 +99 -96 +72 -74 +94 +79 -79

86 87

28 28

02:08 13:08

+23.4 +17.3

+26 +19

+79 -79

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-

-

-

-

74 37

60 92

-

-

-

14

35

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16 -

18

110 148 99 -

115 -

124

191

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42 185

-

-

23

36

5 -

7

13.2 : Angles de la géométrie satellite-cible-Soleil dans le cas d'une fauchée orthogonale. Lieu considéré: New Orleans, 30.0° N, 90.0° W. Satellite Aqua, Instrument GERES: fM = 61.8", (M = 78.0". Initialisation: Date 2010 071220:38:35 TU. Tableau pour le mois de juillet 2010. Numéro de passage dans le mois: n; jour du mois: J; instant de passage: TSM; angles f, (, X, (s, Xs, rPA'1 et l' définis dans le texte, en degrés. Gondition de «sun glint »: l' < 16". (condition réalisée pour J = 12 et J = 28 dans ce tableau). L'absence de valeur, notée (-), indique que le passage a lieu de nuit. Les valeurs de ce tableau se retrouvent sur la figure 13.10. Nombre total de passages dans le mois: 97. La comparaison des données du 12 et du 28 juillet met en évidence le cycle de phasage de 16 jours.

TABLEAU

(b) Terra/GERES Pour le satellite Terra, sur la même orbite que Aqua, nous avons utilisé une initialisation NORAD contemporaine. On calcule l'échantillonnage avec un instrument CERES identique à celui à bord de Aqua (balayage orthogonal). Le tableau mensuel, en figure 13.11, pour ce même point P, de coordonnées 30.0 o N et 90.0 o W, montre un échantillonnage qu'on peut qualifier de « symétrique» par rapport à celui de Aqua. On retrouve trois passages par jour, pendant le jour (entre 10 et 12 heures TSM) et la nuit (entre 21 et 23 heures), alternativement. (c) Nombre moyen de passages Pour un méridien donné, on trace, en figure 13.12, le nombre moyen N(1jJ,h'vI) de passages par jour, en fonction de la latitude 1jJ, du pôle Nord au pôle Sud, pour l'instrument CERES à bord de Aqua (ou Terra). Pour la demi-fauchée maximale de cet instrument, hvI = 61.8" (courbe en trait plein), le graphe N(1/) , fM) montre un minimum presque plat autour de l'équateur, puis croît vers les pôles. Au-delà de 1/) = 82", tout point est vu à chaque révolution du satellite. On a tracé, sur la même figure, les graphes N(1jJ, f), en tireté et pointillé, pour f = (3/4)fM, f = (1/2)fM et f = (1/4)fM. On vérifie, avec (12.27), que N(O, fm) = 2 QE = 2.71. ....

13.4. Étude illustrée de l'échantillonnage

573

Exemple 13.10 Mise en évidence de la dissymétrie entre les hémisphères Nord et Sud en ce qui concerne l'heure de passage d'un satellite héliosynchrone. ~ L'instrument Végétation, dit aussi VMI (Vegetation Monitoring Instrument), est un imageur à fauchée orthogonale, fM = 50S. Il est placé à bord du satellite SPOT4, héliosynchrone (TNA = 22:30) et phasé (CTo = 26 jours). Nous présentons, avec la figure 13.13, un tableau mensuel pour lequel les jours du mois sont en abscisses, les latitudes en ordonnées. On considère une tranche horaire, et on note, par des triangles, les instants de passage, et par des traits, les angles (. La tranche horaire choisie a une durée de 2.5 heures, de part et d'autre de midi. Elle représente la période la plus favorable à la prise d'image. On comprend clairement comment l'hémisphère Nord est privilégié par rapport à l'hémisphère Sud, ce qui résulte du choix de TN A (voir à ce propos la figure 10.6 et les explications sur les préférences pour TN A). Le cycle de phasage de 26 jours apparaît nettement, ainsi que le sous-cycle de 5 jours .....

Exemple 13.11 Tableaux mensuels d'échantillonnage relatifs à un instrument à fauchée intermédiaire à bord d'un satellite quasi polaire (MetOp-A), pour des lieux de diverses latitudes. ~ L'instrument IASI (Interféromètre atmosphérique de sondage infrarouge) est un interféromètre de Michelson mesurant la distribution spectrale des radiations atmosphériques. Sa fauchée orthogonale a une amplitude qu'on peut qualifier d'intermédiaire (entre large et étroite), avec fM = 48.3°, d'où (M = 57.4° et QE = 0.73. Il vole actuellement à bord de MetOp-A et est prévu à bord des deux MetOp suivants. Le satellite MetOp-A est héliosynchrone (TNA = 21:30) et phasé (CT" = 29 jours). On a considéré l'initialisation (document NORAD) ÀN A = 54.9266° à 17:48:23.217 TU (d'où TNA = 21:28 TSM). On établit les tableaux mensuels d'échantillonnage pour le méridien ÀN A. a) Sur l'équateur (figure 13.14), on compte, pour cet instrument, un passage et demi par jour (44 passages en 31 jours) : N(O,!J'vI) = 2QE = 1.46 Le passage du satellite au zénith, pour J = 1 (initialisation) se retrouve au jour J = 30, montrant bien le cycle de 29 jours. Le sous-cycle de phasage sur 5 jours apparaît clairement. b) Pour les latitudes élevées, comme 1/J = 70° (figure 13.15), on note un peu moins de 6 passages quotidiens (162 passages en 31 jours) en deux « paquets» de 3 passages consécutifs chacun .....

Exemple 13.12 Tableaux mensuels d'échantillonnage relatifs à un instrument à fauchée intermédiaire à bord d'un satellite à faible inclinaison (MeghaTropiques), pour deux mois consécutifs.

Cycle 1 Soleil: infini (HELIOSYN.)

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INITIALISATION

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18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

17

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

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0

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*

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Recouvrement' 82 00 <--> 90 0°

Latit. max, atteinte = 90,0

Fr. Recouvrement équat. = 1,336

O.-fauchée sol =1801.2 km

Ang,Zénithal maximal = 78,0

Demi-fauchée = 61.8

0

Moyen mvt = 14.56 tours!J

Période = 98 88 min

Décalage équat = 2751.9 km

Incl HELIOS = 98.21

BALAYAGE

(2)

(1)

a = 7077 736 km

Zén

Altitude = 6996 km

ORBITE

SOLEIL

honz local) p r. Nord

- Azimut (dans plan

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- Angle zénithal (dans

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6 ASC Sens trigonom. direct.

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_ Longitude : 90.0

- Latitude: 30.0

POUR LE POINT P

DU SATELLITE S

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PASSAGES

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Cycle 1 Soleil: infini (HELIOSYN.)

Cycle 1 Phasage = 16jours [15; -7; 16]233

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Latit. max, atteinte = 90,0

Fr. Recouvrement équat = 1 336

O.-fauchée sol =1801.2 km

Ang,Zénithal maximal = 78,0

Demi-fauchée = 61.8

0

Moyen mvt = 14.56 tours!J

Période = 98.88 min

Décalage équat. = 2751.9 km

Incl. HELlOS.= 98.21

BALAYAGE

(2)

(1)

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0

a = 7077.736 km

Zén

Altitude = 699.6 km

ORBITE

•

horiz. local) p,r. Nord.

- Azimut (dans plan SOLEIL

123.6 DIRECTION P-S ."\ ASC Sens trigonom. direct

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CHAMP DE VUE.

Pour P : TUC = TSM + 06h QOm

_ Longitude : 90.0

- Latitude: 30.0

POUR LE POINT P

DU SATELLITE S

( n = 98)

Réf!. Spéc. [Cone D.-ouv.: 8.0°]

PASSAGES

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TABLEAU MENSUEL

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20 0 N

30 0 N

40 0 N

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70 0 N

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16 jours [15, -7; 16]233

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Tableau pour

INITIALISATION

Cycle / Soleil infini (HELIOSYN.) * J=1 (An Mo Jr)* [T] 20100701

31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31

Aqua / CERES

4

~

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1 ~

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12

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13

61.S'

14

15

NOEUD ASCENDANT (NA): * Longitude NA - 105,54"W * Date - 20100712 * Instant - 20h 39min TUC

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1

123.6 °

a = 7077.736 km

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Nombre de Jours avec

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Recouvrement 82.0" <--> 90 0"

Latit. max, atteinte = 90,0 "

Fr. Recouvrement équat. = 1,336

O.-fauchée sol =1801.2 km

Ang zénithal maximal = 78.0 "

Demi-fauchée = 61.8"

BALAYAGE

Moyen mvt = 14.56 tours/j

Période = 98.88 min

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Incl HELlOS.= 9821 "

Altitude = 699.6 km

ORBITE

Jo

Moy.

Tot

SUR LES PASSAGES

STATISTIQUES

CHAMP DE VUE:

Pour P TUC = TSM + 06h OOm

EN FONCTION DE LA LATITUDE - Longitude 900 0 W

POUR LE POINT P

DU SATELLITE S

PASSAGES

-0

[T]: Trace

~

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CJ

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TABLEAU MENSUEL

Statistiques

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JOURS

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80°8

70°8

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40°8

30°8

20°8

10°8

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70 0 N

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SPOT-4 / VMI ;:: ~ ~;::;::

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Cycle 1 Phasage = 26 Jours [14; +5; 26]369 Cycle 1 Soleil infini (HELIOS.)

i'è

ASe

Moyen mvt = 14 19 tours!J

Période = 101.46 min

0

MC

*

n~(,)v

LMD

Recouvrement: 88.6" <--> 90.0°

Latlt max. atteinte = 90.0

Fr. Recouvrem. équat. =0.813

O.-fauchée sol =1123.1 km

Ang.Zénlthal maximal = 60.6

Demi-fauchée: 50.5" 0

Décalage équat = 28237 km

Incl. HELlOS.= 98.72"

BALAYAGE

(1)

a = 7200 546 km Altitude = 822.4 km

ORBITE

direct

Sens trigonométrique

à la trace .

dans le plan perpendiculaire

.. DES

DIRECTION PS

Angle zénithal de PS

(1)""

CHAMP DE VUE. 101.0

Pour P TUC = TSM - OOh 06m 0

EN FONCTION DE LA LATITUDE _ Longitude 140 E

POUR LE POINT P

DU SATELLITE S

PASSAGES

TABLEAU MENSUEL

10:45-13:15

Tranche horaire TSM

(J< ...., ....,

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28 29 30

25 26 27

22 23 24

18 19 20 21

14 15 16 17

11 12 13

8 9 10

6 7

2 3 4 5

1

......

......

2

3

4

INITIALISATION ---- --------- - -- •

5

• J=1 (An Mo Jrt [T[ -- 04 W [SI -- 04 01

Cycle 1 Soleil: infini (HELIOSYN.)

Cycle 1 Phasage = 29 jours [14; +6; 29]412

6

7

8

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9

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11

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•

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16

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* Longitude NA

MetOp-A / lAS 1 NOEUD ASCENDANT (NA)

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24

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* Instant

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0

0

E

[:, ASC

0

Azi

0

a

a

MC

*

nUJJV

LMD

Recouvrement· 896" <--> 90 0°

Latit. max. atteinte = 90.0

Fr. Recouvrement équat. = 0.733

O.-fauchée sol =1011.6 km

Ang.Zénithal maximal = 57.4

Demi-fauchée = 48.3

0

Moyen mvt = 14 21 tours!J

Période = 101.36 min

Décalage équat = 2820.8 km

Incl HELlOS.= 98.70

BALAYAGE

(2)

(1)

... DES

0

a = 7195.604 km

Zén

Altitude = 817.5 km

ORBITE

•

horiz. local) p L Nord

- Azimut (dans plan

pl. perpendic, à trace)

- Angle zénithal (dans

SOLEIL

96.6 DIRECTION P-S

Sens trigonom. direct.

(1\2~

CHAMP DE VUE:

Pour P : TUC = TSM - 03h 40m

_ Longitude : 54.9

_ Latitude:

POUR LE POINT P

[EGM96

( n = 44)

DU SATELLITE S

PASSAGES

[T] : Trace - [S1 : Soleil

TABLEAU MENSUEL

o

(1)

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29

27 28

25 26

23 24

21 22

19 20

18

17

16

13

14 15

12

11

10

9

8

~

4 5

3

2

* J=1 (An Mo Jr)* [T] -- 04 01* [S] -- 04 01

Cycle 1 Soleil: infini (HELIOSYN.)

Cycle 1 Phasage = 29 jours [14; +6; 29]412

7

8 10

11

13

. . . .

14

16

17

MetOp-A / lAS 1

19

20

22

23

24

AVR 0

N

0

ASC

0

Azi

a

a

a

MC

*

nLWV

LMD

Recouvrement. 89.6 a <--> 90.0"

Latit. max. atteinte = 90.0

Fr. Recouvrement équat = 0 733

O.-fauchée sol =1011.6 km

Ang.Zénithal maximal = 57.4

Demi-fauchée = 48 3

0

Moyen mvt = 14 21 tours!J

Période = 101.36 min

Décalage équat. = 2820.8 km

Incl. HELlOS.= 98.70

BALAYAGE

(2)

(1)

... DES

0

a = 7195.604 km

Zén

Altitude = 817.5 km

ORBITE

•

horiz. local) p.r. Nord.

- Azimut (dans plan

pl. perpendlc à trace)

- Angle zénithal (dans

SOLEIL

96.6 DIRECTION P-S

Sens trigonom. direct

(1)(29

CHAMP DE VUE.

Pour P : TUC = TSM - 03h 40m

- Latitude : 70.0 0 N _ Longitude : 54.9 E

POUR LE POINT P

[ EGM96

( n = 162 )

DU SATELLITE S

PASSAGES

[T] : Trace - [S] : Soleil

TABLEAU MENSUEL

70

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28 29 30

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14 15 16 17

11 12 13

8 9 10

6 7

2 3 4 5

1

2

4

5

il

• J=1 (An Mo Jrt [T[ 2013 06 W [SI 20130601

Cycle 1 Soleil = 51 jours (Cs= -51.3)

Cycle 1 Phasage =

7

8

il

10

11

1'2

NOEUD ASCENDANT (NA)

13

14

1'5

16

* Longitude NA = 0.00 0

JUN

17

1'8

19

20

2'1

22

23

24

* Date = 20130601 * Instant = 12h OOmin TSM 1 NA

Megha-Tropiques / ScaRaB

N

L.

ASC

0

Azi

0

a

MC

*

nUJJV

LMD

Latit. max. atteinte = 30.0

a

Fr. Recouvrement équat. = 2.089

O.-fauchée sol =1108.2 km

Ang.Zénithal maximal = 58.9

Demi-fauchée = 48.9

0

Moyen mvt= 1413tours/J

Période = 101.93 min

Décalage équat = 2892.0 km

Inclinaison = 2000

BALAYAGE

(2)

(1)

... DES

a = 7243.678 km

Zén

Altitude = 865.5 km

ORBITE

•

horiz. local) p r. Nord

- Azimut (dans plan

pl. perpendic. à trace)

- Angle zénithal (dans

SOLEIL

97.8 DIRECTION P-S

Sens trigonom. direct.

(1\2~

CHAMP DE VUE:

0

'"'

ro

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[Jq

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M, Pour P : TUC = TSM - 05h OOm

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CJ

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- Latitude : 12.0 0 N _ Longitude : 75.0 E 0

(J<

00

o

POUR LE POINT P

[EGM96

( n = 192 )

DU SATELLITE S

PASSAGES

[T] : Trace - [S] : Soleil

TABLEAU MENSUEL

12 0

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7jours[14;-1; 7]97

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2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

2

3

4

5

* J=1 (An Mo Jr)* [T] 20130701* [S] 20130701

Cycle 1 Soleil = 51 jours (Cs= -51.3)

Cycle 1 Phasage =

7

8

10

11

13

14

16

17

19

Megha-Tropiques / ScaRaB

20

22

23

24

JUL 0

N

0

ASC

o Azi

0

a

MC

*

nLWV

LMD

Latit. max. atteinte = 30.0

a

Fr. Recouvrement équat = 2 089

O.-fauchée sol =1108.2 km

Ang.Zénithal maximal = 58.9

Demi-fauchée = 48 9

0

Moyen mvt= 1413tours/J

Période = 101.93 min

Décalage équat. = 2892.0 km

Inclinaison = 20.00

BALAYAGE

(2)

(1)

... DES

0

a = 7243.678 km

Zén

Altitude = 865.5 km

ORBITE

•

horiz. local) p.r. Nord.

- Azimut (dans plan

pl. perpendlc à trace)

- Angle zénithal (dans

SOLEIL

97.8 DIRECTION P-S

Sens trigonom. direct

(1)(2~

CHAMP DE VUE.

Pour P : TUC = TSM - 05h OOm

- Latitude : 12.0 0 N _ Longitude : 75.0 E

POUR LE POINT P

[ EGM96

( n = 196 )

DU SATELLITE S

PASSAGES

[T] : Trace - [S] : Soleil

TABLEAU MENSUEL

12

f-'

(J<

00

~ro

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8.3

6 210

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8 257

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31

31

31

31

31

31

31

31 31

31

9 10 10

10 10 10 10 10 10 10 313 10.1

9

31

10 la 11 11

10 33010.6

11

11

31 31

13 13 13 13 13 13 13 406 13.1

12 35811.5

31

13 13 13 13 13 13 13 406 13.1

12 12 11 11

31

13 13 13 13 13 13 13 406 13.1

11

31

11

31

31

13 13 13 13 13 13 13 406 13.1

13 13 13 13 13 13 13 406 13.1

31

13 13 13 13 13 13 13 406 13.1

13 13 13 13 13 13 13 406 13.1

31

13 13 13 13 13 13 13 406 13.1

9 8 9 9 10 10

31 31

9 9

9 9 10 10

12 12 11 11 12 12 11 35511.5 13 13 13 13 13 13 13 406 13.1

9

8

31 31

256

31

31

31

31

la 10 10 10 10 10 10 310 10.0 la 10 11 11 10 10 11 329 10.6

7.8 8.3

7 241

7.3

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7 214

7 227

6.6

6.2

7 205

7 192

31 31

9

8

8

8

7

7

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9.0 9.5

8

8

8

8

6

6

6

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9

8

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7

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8

8

7

8

7

7

7

6

8

6

6

6

6

Tableau pour

INITIALISATION

Cycle / Phasage = 7 jours [14; -1, 7] 97 Cycle / Soleil = 51 jours (Cs= -51_3)

1 1 4

5

6

7

8

9

10

11

Nombre moyen de passages par jour

Megha-Tropiques / FOV max.

12

13

14

15

[EGM96

123.4 °

0

MC

*

n~(,)v

LMD

Latit. max. atteinte = 48.3

0

Fr. Recouvrement équat. = 5.933

D_-fauchée sol =3147.7 km

Ang zénithal maximal = 90_0

0

'"'

(1)

Demi-fauchée = 61.7

Moyen mvt = 14_13 tours/j

Période = 101.93 min

"§:

~

[Jq

~

'œ."'

o

-0

(1)

a

0+

9"

~

-0

en

~(1)

::J ::J

0"

~

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&

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(1)

'"'

BALAYAGE

1

~

~

CJ

::0-

""

Décalage équat = 2892_0 km

Inclinaison = 2000

0

a = 7243.678 km

au mOins 1 passage

Nombre de Jours avec

Passages/Jour

Total Passages

Altitude = 865.5 km

ORBITE

Jo 1

Moy.

Tot

SUR LES PASSAGES

STATISTIQUES

CHAMP DE VUE:

Pour P TUC = TSM - 05h OOm

EN FONCTION DE LA LATITUDE _ Longitude 75 0 0 E

POUR LE POINT P

DU SATELLITE S

PASSAGES

TABLEAU MENSUEL

Statistiques

(J<

00

13.4. Étude illustrée de l'échantillonnage

583

~ Le satellite Megha-Tropiques a une inclinaison de 20°. On a choisi comme initialisation ÀNA = 0°, avec TNA = 12:00 à la date 2013 06 01. L'instrument ScaRaB a une fauchée d'amplitude dite moyenne, avec hvf = 48.9°, d'où (M = 58.9° et Q E = 2.09. On étudie les passages pour le point P de coordonnées géographiques À = 75°, 1jJ = 12°N. Pour une telle latitude, avec cette configuration satellite/instrument, on a plus de 6 passages par jour, lors de révolutions consécutives. a) Avec les tableaux mensuels pour juin, puis juillet, figures 13.16 et 13.17, on voit se dessiner l'influence de la précession nodale sur les instants de passage (J = 31 de juin correspond à J = 1 de juillet). La valeur de ft calculée plus haut induit une valeur du cycle par rapport au Soleil égale à Cs = -51.3 jours. Cela signifie que l'heure de passage avance en moyenne de 28 minutes d'un jour à l'autre, soit de 14 heures par mois. Au bout de 51 jours, on retrouve les mêmes heures de passage. b) On a tracé, figure 13.18, le nombre moyen N(1jJ, fAd de passages par jour, en fonction de la latitude 1jJ et de la demi-fauchée hvf. Nous avons remplacé l'instrument ScaRaB, à bord de Megha-Tropiques, par un instrument qui viserait de limbe à limbe, et appelé ici FOV max (champ de vue maximal). Pour la demi-fauchée maximale, hvf = fa = 61.7" (courbe en trait plein), le graphe N(1/J, fa) montre un maximum plat autour de l'équateur. On est alors dans une situation qui peut être intéressante (et originale) : entre 8°N et 8 S, tout point est vu à chaque révolution, soit 13.1 fois par jour. On a tracé, sur la même figure, les graphes N(1/J, f), en tireté et pointillé, pour f = (3/4)fM (cette valeur correspond en gros à celle de l'instrument ScaRaB), f = (1/2)fM et f = (1/4)fAf. L'impression légèrement « tremblée» des graphes provient du fait que le cycle de phasage est court (7 jours). Remarque. La période nodale Td étant égale à 101.93 min, le nombre de tours par jour est v = 14.1. Comme le satellite tourne dans le sens direct, dans le même sens que la Terre, il ne coupe un méridien que (v-l) fois par jour. La fréquence moyenne quotidienne d'intersection du méridien est donc ici égale à 13.1 (si le satellite avait pour inclinaison i = 160°, il couperait 15.1 fois le méridien par jour). La période T' obtenue à partir de cette fréquence représente la période synodique du satellite et de la Terre ..... 0

13.4.2

Étude du nombre quotidien de passages

Nombre de passages en fonction de la latitude Pour un satellite donné, le nombre N de passages pour un point de la Terre dépend de sa latitude .1jJ et de la fauchée maximale fM de l'instrument; on l'écrit sous la forme N (1jJ, fIv! ), et ce nombre est toujours considéré comme une moyenne quotidienne (cette moyenne étant faite sur un mois). Généralement, la longitude est indifférente pour N : peu importe, pour la moyenne, le méridien de référence choisi. Cependant, dans le cas de satellites phasés avec un cycle court (quelques jours), la longitude peut intervenir.

584

Chapitre 13. Échantillonnage spatio-temporel et angulaire

15.0 14.0 CI)

(])

Cl

13.0

12.0 cu CI)

CI) cu 110

Cl. (])

10.0

"0

9.0

.Q!

8.0

::::l 0"

6.0

c

"0

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7.0

~

5.0

E

4.0

Z

3.0

.0

0

2.0 1.0 00

o

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85 90

55

60

65

70

75

80

85 90

Latitude [N / S]

15.0 14.0 CI)

(])

Cl

13.0

12.0 cu CI)

CI) cu 110

Cl. (])

10.0

"0

9.0

.Q!

8.0

::::l 0"

6.0

c

"0

:g

7.0

~

5.0

E

4.0

Z

3.0

.0

0

2.0 1.0 0.0

o

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Latitude [N / S]

13.19 : Nombre moyen de passages quotidiens en fonction de la latitude, pour diverses inclinaisons, entre 0° et 90° (pour les inclinaisons de satellites rétrogrades, voir texte). (a) Satellite h = 600 km, demi-fauchée: f = 44.8°; (b) Satellite h = 800 km, demi-fauchée : f = 60·4° .

FIG.

13.4. Étude illustrée de l'échantillonnage

585

15.0 14.0

en 13.0

Q)

Cl

CIl

12.0

0..

10.0

en en 11.0 CIl

Q)

-0

9.0

.91

8.0

c

-0

~

:::J 0-

7.0 6.0

~

5.0

E

4.0

..Q

0

Z

3.0 2.0 1.0 0.0

Latitude 0 sin(Lat) 1 0

5

10 1

0.10

15 1

0.20

20 1

0.30

25 1

040

30 1

0.50

35

40 1

0.60

45 1

0.70

50

55 60 65 70 90 1

0.80

1

0.90

1

1

FIG. 13.20 : Nombre moyen de passages quotidiens en fonction de la latitude, pour diverses inclinaisons, entre 0° et 90° (pour les inclinaisons de satellites rétrogrades, voir texte). Satellite h = 800 km, demi-fauchée: f = 60.4° . Échelle sinusoïdale pour la latitude, avec laquelle la surface comprise sous chaque courbe est constante (voir texte), pour chaque valeur de l'inclinaison.

Prenons un cas extrême : avec une fauchée étroite (Q E < 1) et un satellite phasé sur un jour, certains points de l'équateur peuvent être vus deux fois par jour, d'autres jamais. Un phasage court se répercute sur les graphes N(1jJ, il'lI) par un « tremblement». On a donné ci-dessus deux exemples de graphes N (VJ, !AI) : - pour Aqua/CERES (figure 13.12), avec !AI = 61.8°, le nombre moyen de passages quotidien N(IjJ,fM) est maximal au pôle, avec N(90°,fM) = 14.0 et minimal à l'équateur avec N(O°,fM) = 2 QE = 2.7; - pour MT /FOV max (figure 13.18), N(IjJ, fa) a un maximum plat entre les latitudes 8°N et 8 0 S. Passages en fonction de l'inclinaison de l'orbite - satellites LEO classiques

Nous considérons le cas de satellites LEO, en orbite circulaire. Cette orbite peut avoir toutes les inclinaisons possibles, de i = 0° à 180°. Considérons un instrument à fauchée orthogonale à bord d'un satellite sur une de ces

586

Chapitre 13. Échantillonnage spatio-temporel et angulaire

orbites (si la fauchée est conique, on la remplace par la fauchée équivalente orthogonale). À la demi-fauchée d'ouverture if,;! correspond l'angle au centre aM·

Notons Ni (VJ, iIv!) la fonction de N (VJ, iIv!) pour une inclinaison i donnée. L'an ure des graphes représentant Ni (1/;, f M) varie très fortement selon les valeurs de l'inclinaison. On peut noter deux points importants. Le premier concerne le maximum de la fonction, obtenu pour la latitude notée VJ1 : 1/;1 = i - aM (13.24) Le second, en reprenant la notion de latitude maximale atteinte 1/;m, voir (8.18), et de latitude maximale vue 1/;v, voir (12.15), montre que Ni(VJ,iIv!) est nul si VJ est supérieur à 1/;v, avec: (13.25) Ces deux relations, sur 1/;1 et 1/;v, demandent d'utiliser les conventions suivantes: - la latitude 1/; est la valeur absolue de la latitude (symétrie nord/sud) ; - pour les orbites rétrogrades, d'inclinaison i > 90°, on utilise l'angle supplémentaire, 180° - i. Les résultats doivent être interprétés comme suit : - si '1jJ1 < 0°, c'est qu'il n'y a pas de maximum ponctuel; - si 1/;v > 90°, le nombre de passage n'est jamais nul. Nous illustrons ces relations avec deux cas d'orbites différentes, dans l'exemple suivant. Exemple 13.13 Étude du nombre moyen de passages pour deux orbites circulaires LEO, d'altitude h = 600 km et h = 800 km. ~ Les instruments sont choisis différemment pour chaque satellite : fauchée moyenne pour le plus bas, fauchée large pour le plus haut. a) h = 600 km; angle zénithal de vue: (M = 50°. Pour ce satellite, LI = 14.87. Instrument: hvi = 44.8°, aM = 5.6°. Le graphe des valeurs de Ni (?j;, fAd, notée sur la figure 13.19(a), montre un maximum plat pour i = 0° et i = 90°. Pour les inclinaisons entre 10° et 80° , le maximum correspond à ?j;1. Les courbes pour les inclinaisons supérieures à 90° n'ont pas été notées par souci de clarté. Chacune d'elle est pratiquement identique à celle qui correspond à l'inclinaison d'angle supplémentaire, avec des valeurs de Ni très légèrement supérieures. Application pour i = 70°. On obtient 1/)1 = 70 - 5.6 "::' 64° et ?j;v = 70 + 5.6 "::' 76°, ce qu'on vérifie sur le graphe. b) h = 800 km; angle zénithal de vue: (M = 78°. Pour ce satellite, LI = 14.26. Instrument: hvi = 60.4°, aM = 17.6°. Le graphe des valeurs de Ni (?j;, !J'vI), notée sur la figure 13.19(b), est du même type que le précédent.

13.4. Étude illustrée de l'échantillonnage

587

Application pour i = 70°. On obtient 1f;1 = 70 - 17.6 c::::: 52° et 1f;v = 70+ 17.6 c::::: 88°. Application pour un satellite héliosynchrone, avec i = 100°. On remplace i par 180 - i dans les calculs de 1/)1 et 1f;v. On obtient 1/)1 = 80 - 17.6 c::::: 62° et 1/)v = 80 + 17.6 c::::: 98°. Puisque le calcul donne une valeur de 1f;v supérieure à 90°, N ne s'annule jamais et 1f;1 marque un maximum intermédiaire .....

Passages en fonction de l'inclinaison de l'orbite - étude théorique

Pour les satellites d'orbite circulaire et d'inclinaison variable définis cidessus, nous avons vu que la fauchée au sol est donnée par 2 FM = 2 R ŒM. Dans un premier temps, nous nous plaçons dans un référentiel galiléen (en d'autres termes, on considère le satellite en mouvement autour d'une Terre immobile). Pendant une journée, cette fauchée va balayer la Terre à la vitesse de la trace du satellite et ainsi couvrir une surface SM (qui tient compte des recouvrements). En notant v le nombre de révolutions par jour, la distance R parcourue par la trace est :

R=27rRv

et la surface SM cherchée est donc : (13.26)

On peut obtenir cette surface SM d'une autre mamere. Le nombre de passages Ni(l/J, fM) est indépendant de la longitude, il se réfère à un méridien donné, quelle que soit sa position sur le globe. En pondérant chaque bande de longitude, de latitude constante et de largueur d1/!, par Ni (1/!, if,;! ), on obtient la surface balayée par intégration sur toute la sphère:

On en déduit la valeur de l'intégrale I : (13.27)

et cette valeur est constante, quelle que soit l'inclinaison i. Dans un second temps, nous considérons le cas réel: la Terre fait un tour dans le sens direct pendant que le satellite fait v révolutions. Le satellite coupe, en moyenne, le méridien de référence (v - cos i) fois, valeur variant entre (v - 1) pour i = 0° et (v + 1) pour i = 180°.

588

Chapitre 13. Échantillonnage spatio-temporel et angulaire

La valeur exacte de l'intégrale est donc: (13.28) et cette valeur dépend légèrement de l'inclinaison. Exemple 13.14 Étude du nombre moyen de passages et de la surface totale balayée. ~ Considérons le satellite et l'instrument vus précédemment, dans l'exemple 13.13 : h = 800 km; angle zénithal de vue: CM = 78°. Nous traçons, figure 13.20, les graphes de Ni (1/), hvI) pour diverses inclinaisons, mais en remplaçant l'échelle linéaire des latitudes 7j;, en abscisses, par une échelle en sin 7j;. On pose X = sin 7j; et on intègre NidX :

[1

Jo

N i (7j;,

fAd

dX =

r/2

Jo

N i (7j;,!J'vI) cos7j; d7j; = l

Ainsi, la surface comprise entre la courbe Ni (7j;,!J'vI) et l'axe des abscisses en unités X représente l'intégrale l cherchée, qui a une valeur (pratiquement) constante, donnée par (13.28) .....

our la navigation

~énéral

'Z

;$

du GPS

par la méthode GPS (Global Positioning réalisation requiert en revanche un très haut degré Pratiquement tous les domaines de la physique cilisation de satellites demande : de la position des satellites; à bord de chaque satellite. n signal électromagnétique et l'utilisateur dispose horloge (de qualité moyenne, nous verrons que qu'un signal électromagnétique se déplace, dans lumière c et parcourt donc 30 centimètres en 1 0.3 m

+-----+

1 ns

positionnement dans le cas idéal <"s Si est connue à chaque instant. La position du l~xaminons d'abord le cas idéal. cTlyoie à l'instant t1 un signal qui est reçu en P à grâce à son horloge (qui mesure t~) et au message ("nvoi au temps t1) obtient le temps .dt1 = t~ - t1 r1 =

IIS1 P II :

(14.1) M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

590

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

Le point P se trouve donc sur la sphère L\ de rayon rI centrée sur SI. (2) De même, le satellite S2 envoie un signal qui, par mesure de l'intervalle de temps .dt2, permet de dire que P se trouve sur la sphère E 2 de rayon r2 centrée sur S2. Le point P est à l'intersection des sphères El et E2, donc sur un cercle. (3) Avec le satellite S3, on obtient une troisième sphère E3. Son intersection avec (El n E 2 ) donne deux points, que nous notons P' et Pli. Un de ces deux points correspond à P. L'ambiguïté entre P' et pli est facilement levée car un de ces deux points a une position aberrante (comme, par exemple, une altitude de 35 000 km, qui ne peut être celle du point P). Trois satellites, dans le cas idéal, permettent donc à P de se repérer. En fait, pour cela, il faudrait que l'horloge de P soit d'une qualité égale à celle des satellites, ce qui est impossible pour des raisons d'encombrement et surtout de prix. Un quatrième satellite est nécessaire pour compenser cette imprécision d'horloge.

14.1.2

Principe du positionnement dans le cas réel

Le cas réel présente deux différences principales avec le cas idéal: - l'horloge de P n'est pas parfaite, mais présente un défaut de synchronisation; - pour atteindre P, l'onde émise par le satellite traverse généralement l'atmosphère terrestre, ce qui ralentit le signal. Reprenons le raisonnement. Les coordonnées cartésiennes de P sont notées x, y et z, inconnues. Les coordonnées du satellite Si sont connues, Xi, Yi et Zi, l'indice 'i prenant les valeurs de 1 à n, puisqu'on considère n satellites. On note ei le vecteur unitaire de la direction SiP et on pose ri = Il SiPl1 Si P =

X - Xi Y - Yi Z - Zi

ei

=

ail = (X - Xi)/ri ai2 = (y - Yi)/ri ai3 = (z - Zi)/ri

(14.2)

La relation (14.1), relative au cas idéal, devient dans le cas réel: C

.dt i =

Il SiPl1 + c 5t + c

3

L Ok,i t

(14.3)

k=l

avec les notations suivantes: - le défaut de synchronisation de l'horloge 5t (valeur positive ou négative) est indépendant du satellite considéré et il implique une erreur de distance (en valeur algébrique) appelée biais de l'horloge b=c5t

(14.4)

-les augmentations de temps, notées Ok,i, sont liées à chaque satellite Si; on distingue les écarts suivants:

14.1. Principe général du GPS

591

- 51,it, dû à la traversée de l'ionosphère; - 52,it, dû à la traversée de la troposphère; - 53,it, résultant de l'application de la relativité restreinte et généralisée.

Nous verrons ensuite comment on peut mesurer 51 ,i, évaluer 52 ,i et calculer

53 ,i, le point faible de la correction étant 52 ,i. On considère pour l'instant ces

valeurs comme déterminées. Finalement, on écrit (14.3) en séparant les valeurs connues et les valeurs inconnues: 3

C

Llti -

C

L

5k,it = Ti

+b

(14.5)

k=1

Le terme de gauche de cette égalité, somme de valeurs connues (mesurées ou évaluées) est appelé pseudo-distance (pseudorange) et est noté Pi. On utilise le terme « pseudo» car Pi n'est pas égal à la distance effective Ti, que l'on cherche, mais à Ti augmenté, en valeur algébrique, du biais d'horloge. On a donc, pour le satellite Si : Pi

=

(14.6)

Ti + b = J(x - Xi)2 + (y - Yi)2 + (z - Zi)2 + b

Avec 4 satellites, on a 4 équations pour trouver les 4 inconnues, x, y, z et b. Résolution pour 4 satellites

Une méthode classique pour résoudre 4 équations non linéaires à 4 inconnues est de linéariser les équations. Pour cela, il faut connaître une position approchée de P, notée P, de coordonnées x, y et 2, ainsi qu'une valeur approchée du biais b. On a ainsi: y =

x=x+dx

y + dy

z

= 2

+ dz

ce qui donne Pi = Pi + dpi. On obtient dPi en différentiant Pi : dPi

Pour la distance :

=

aTi

dTi + db aTi

aTi

dTi = -a dx+ -a dy+ -a dz x y z cela donne, appliqué au point P : dTi

=

(x - xi)dx + (y - Yi)dy + (2 - zi)dz J(x - Xi)2

qu'on peut noter également:

+ (y -

Yi)2

+ (z

- Z;)2

b=

b + db

592

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

où les coefficients aij, j = 1,2,3 sont les cosinus directeurs de la direction considérée (du satellite Si vers le point P), voir (14.2). On considère les accroissements finis correspondants: les 4 pseudo-distances 5Pi représentent les grandeurs mesurées et 5x, 5y, 5z et 5b sont maintenant les 4 inconnues. Le système de 4 équations linéaires à 4 inconnues s'écrit, pour 'i = 1 à 4 :

qu'on met sous forme matricielle:

r 5PI 5P2 1

l

5P3 5P4

r J l

au a21 a31 a41

al2 a22 a32 a42

al3 a23 a33 a43

1 1 1 1

1x r ~~ 1 J l ~~ J

(14.7)

avec les cosinus directeurs écrits de la manière suivante: ail

x-

y - Yi ai2 = - - Pi - b

Xi

= ---

Pi - b

;2 -

Zi

ai3 = - - Pi - b

On note l'ensemble d'une manière compacte, équivalente: - vecteur 5 R pour les éléments 5Pi ; - vecteur 5X pour les éléments inconnus 5x, 5y, 5z, 5b; - matrice A, de dimension 4 x 4, composée par les éléments aij. On écrit: 5R = A 5X

(14.8)

Après avoir calculé la matrice inverse de A, on obtient ainsi le résultat cherché: (14.9) Dans la pratique, on choisit pour P la valeur de P précédente. À l'initialisation, on prend une valeur de P approximative et on affine le résultat par itérations successives, en faisant varier X, y, ;2 et b pour minimiser 115XII. Résolution pour n satellites

L'orbite des satellites est telle que, sauf cas particuliers, un point P voit une dizaine de satellites GPS en même temps. On dispose ainsi, pour la détermination des 4 inconnues du vecteur 5R, d'un système de n équations (avec n > 4). La relation matricielle (14.7) se transforme ainsi: 5PI 5P2

au a21

al2 a22

al3 a23

5pj

ajl

aj2

aj3

5pn

anl

an2

an3

1 1 1 1 1 1

x

[~n

(14.10)

14.1. Principe général du GPS

593

qu'on peut écrire, avec les notations précédentes:

5R

=

A 5X

Cependant, ici, on ne peut pas obtenir directement 5X car la matrice A n'est pas carrée (le système est surdéterminé: il y a plus d'équations que d'inconnues) . On utilise tA, matrice transposée de A, pour obtenir le résultat (14.11) La solution obtenue est la meilleure approximation, au sens des moindres carrés, de la résolution de (14.10). Avec cette méthode, on considère toutes les équations comme équivalentes. Une méthode plus fine, mieux adaptée, consiste à pondérer chaque équation, en privilégiant les satellites vus avec l'angle de hauteur maximal (le poids est en gros proportionnel au cosinus de l'angle de vue zénithal). La résolution la mieux adaptée à ce genre de problème se fait à l'aide d'algorithmes du type filtre de Kalman. Base de temps

La résolution de (14.10) par (14.11) donne les coordonnées du point P cherché mais aussi 5b, qui permet de connaître le biais d'horloge et de recaler l'horloge du récepteur sur les horloges atomiques des satellites de la constellation. L'utilisateur a ainsi en main une horloge de grande précision. On obtient de la sorte une excellente base de temps, commune à la Terre entière. Mesure de la phase

Sur l'onde porteuse du signal compare la phase du signal reçu par le satellite. Nous n'entrerons améliore grandement la précision

14.1.3

(longueur d'onde de l'ordre de 20 cm), on par le récepteur avec celle du signal émis pas dans les détails de cette technique qui du positionnement (tableau 14.2).

Détermination de la vitesse de l'utilisateur

La position de P étant connue à chaque instant (le signal GPS est envoyé toutes les millisecondes), on pourrait calculer la vitesse instantanée par sa formule de définition ... mais ce n'est pas la méthode retenue, car les incertitudes de position génèrent trop d'imprécision sur la vitesse. On préfère utiliser l'effet Doppler qui fournit des résultats beaucoup plus précis. La vitesse du satellite étant connue, la modification du signal reçu permet d'obtenir, avec précision, la vitesse du récepteur. Il est nécessaire que la position de P soit connue avant d'effectuer ce calcul de vitesse.

594

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

La vitesse du point P (utilisateur) est notée notée Vi : X U= y Vi = Z

U, celle du satellite Si est

Xi (14.12) Yi Zi Le satellite Si émet un signal de fréquence fOi qui est reçu par P avec la fréquence fRi. L'effet Doppler indique que la variation relative de fréquence est égale au rapport de la vitesse relative (projetée sur la ligne de propagation du signal) par la vitesse de propagation du signal, c'est-à-dire c, la vitesse de la lumière: fOi - fRi Vrel· ei (14.13) c fOi où Vrel = (Vi - U) représente la vitesse relative et ei le vecteur unitaire défini par (14.2). L'horloge du récepteur P subit a priori une dérive, inconnue, entraînant une dérive de la fréquence reçue fRi. On écrit: fRi

=

fi

(1 + ~)

(14.14)

où fi est la fréquence mesurée par le récepteur et (bjc), qui représente la dérivée d'un temps par rapport au temps, est une grandeur sans dimension. On a donc: fOi - fi(l + bjc) c = Vi·ei- U·ei fOi On écrit l'équation en séparant les grandeurs: - à gauche, celles qui sont connues, fi (par mesure), fOi et Vi (communiquées par le satellite Si) ; - à droite, les 4 inconnues, b et les 3 composantes de U. En posant
C(
+ Vi·

ei =

U· ei -
(14.15)

Pour alléger les notations, on introduit le terme Uii, qu'on peut qualifier de pseudo-vitesse :

Uii = ailxi

+ ai2Yi + ai3zi + c (
1)

(14.16)

et on écrit (14.15) sous la forme:

Uii = ailx

+ ai2Y + ai3z -


(14.17)

Le terme
14.1. Principe général du GPS

595

Considérons dans un premier temps que nous disposions de 4 satellites, ce qui est le minimum pour déterminer les vitesses. On obtient la relation matricielle : (14.19) La matrice de dimension 4 x 4 est identique à la matrice A vue en (14.7). La relation (14.19) s'obtient en effet en dérivant (14.7) par rapport au temps en « gelant» les cosinus directeurs. On note l'ensemble d'une manière compacte: - vecteur W pour les éléments VJi, pseudo-vitesses; - vecteur X pour les éléments inconnus X, y, i et b; on peut considérer que X correspond à d(5X)/dt; - matrice A, de dimension 4 x 4. On écrit: (14.20) W=AX La matrice inverse de A ayant déjà été calculée dans la détermination de la position, on obtient: (14.21 ) Avec plus de 4 satellites, comme pour le calcul de la position, on utilise tA ou la méthode du filtre de Kalman.

14.1.4

Perturbations du signal et de la mesure

Traversée de l'ionosphère

L'ionosphère est une région de l'atmosphère située environ entre 60 km et 800 km d'altitude. Les gaz y sont fortement ionisés sous l'action du rayonnement solaire. La pression varie de 2 Pa à 10- 6 Pa avec l'altitude. L'ionosphère est un milieu dispersif, ce qui signifie que la vitesse de propagation de l'onde électromagnétique dépend de la fréquence. Pour mesurer la perturbation sur le signal, due à l'ionosphère, on envoie depuis Si une onde bi-fréquence, avec deux fréquences différentes, l' et f". La différence de temps de parcours selon les deux fréquences permet de calculer 2 la contribution de l'ionosphère au retard du signal, noté 51,it. 2 On

note

p; et p;' les pseudo-distances mesurées respectivement sur les fréquences f'

f", et ri représente la distance géométrique entre le satellite Si et le récepteur P :

p; =

et

ri + br; + .dri ri + br;' + .dri où .dri représente la somme des retards dus à d'autres causes que l'ionosphère et où br; et br;' représentent les retards dus à la traversée de l'ionosphère, selon la fréquence (ces valeurs sont généralement comprises entre 1 et 40 mètres, selon l'heure, le jour, l'endroit et la géométrie de visée). On montre que ces écarts bri sont proportionnels à f-2. On a donc:

p;' =

596

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

Traversée de la troposphère

La troposphère est l'enveloppe d'atmosphère en contact avec la surface terrestre où se passent les phénomènes météorologiques (vent, nuages, pluie, etc.). Elle contient environ 80% de la masse de l'atmosphère. Sa limite supérieure est la tropopause (à partir de laquelle la variation de température s'inverse). L'altitude de la tropopause est d'environ 8 km aux pôles et 16 km à l'équateur, variable selon la saison. C'est un milieu non dispersif. Le signal est retardé par la traversée de la troposphère, dont la longueur de parcours dépend de la géométrie de visée (selon que le satellite soit bas ou haut sur l'horizon). L'écart de temps, que nous avons noté 62,it, est divisé en deux parties, une pour l'atmosphère sèche, l'autre pour la vapeur d'eau. La contribution de l'atmosphère sèche est assez fidèlement modélisée, mais celle de l'atmosphère humide est très complexe à évaluer, car elle dépend des phénomènes météorologiques locaux. Nous verrons un peu plus bas que c'est le GPS différentiel qui permet le mieux de s'affranchir de cette source d'erreur. Effets relativistes

Nous donnons ici la liste des effets relativistes dont on tient compte dans la localisation par GPS. Il est hors de propos, dans cet ouvrage, de faire le moindre calcul sur la question. Nous voulons simplement montrer à quel degré de « raffinement» on arrive actuellement dans ce domaine. Pour avoir une précision de position inférieure au mètre, avec des satellites à 20 000 km d'altitude, il faut explorer les domaines les plus subtils de la physique moderne. Les effets relativistes interviennent à plusieurs niveaux: - pour le satellite sur son orbite, la relativité restreinte montre qu'il faut tenir compte de la vitesse V du satellite, même si V cv 10- 5 c, voir (6.10); - pour la propagation du signal, la relativité générale montre que le champ gravitationnel (ici terrestre) courbe l'espace-temps et influe sur la propagation de l'onde électromagnétique; - pour l'horloge du satellite, pour un observateur au sol, au niveau de la mer, l'horloge du satellite Navstar/GPS semble avancer 3 de 38.6 ILs par jour; de plus une variation d'horloge est liée à l'excentricité de l'orbite du satellite; - pour l'horloge du récepteur, un effet est dû au déplacement du récepteur, entraîné par la rotation de la Terre; il est appelé effet Sagnac et dépend du

or;

= Ad f'2 ;

or;' = Ad 1"2 soit or;' =

(f' /1")2

or;

p; et p;', le rapport des fréquences étant connu, on détermine or; : p; - p;' = or; - or;' = or; [1 - (f' /1")2]

En mesurant

or; =

(p; - p;')/[l- (f' /1")2]

soit, avec nos notations, or; = COl,it 3La fréquence du signal émis est très légèrement modifiée. Afin que la fréquence finale soit exactement de 10.23 MHz pour le récepteur, les satellites Navstar/GPS émettent un signal de fréquence 10.229 999 995 43 MHz.

14.1. Principe général du GPS

597

sens du déplacement, vers l'est ou vers l'ouest. Même si les concepts théoriques qui expliquent ces effets sont d'un abord difficile et complexe, il sont parfaitement « maîtrisés» et les corrections inhérentes sont faites avec une grande précision. Il n'y a pratiquement pas d'incertitude sur le terme 63.it. Ces effets sont pris en compte dans le calcul de la position des satellites, dans les logiciels du récepteur et dans les paramètres d'horloge.

14.1.5

Considérations géométriques et précision des mesures

Des considérations géométriques élémentaires permettent de comprendre de manière simple les situations fondamentales de la localisation par satellites. Correction d'horloge

Comme vu plus haut, l'horloge de l'utilisateur est de qualité moyenne. Cela entraîne un biais d'horloge, voir relation (14.4), qui est entièrement déterminé avec le système d'équations (14.7) ou (14.10). Nous mentionnons ici une illustration, simple et très astucieuse, de la réduction du biais d'horloge. Considérons le cas simplifié où le récepteur P est sur la Terre sphérique. Trois satellites Si sont vus par P. Chacune des sphères de centre Si coupe la sphère terrestre selon un cercle. Examinons les trois cas possibles pour l'horloge, réprésentés sur la figure 14.1 : - si l'horloge du récepteur est parfaitement synchronisée avec celle du satellite, ces trois cercles se coupent en P; - si l'horloge retarde, elle sous-estime les distances Ti et les cercles forment autour de P un triangle concave; - si l'horloge avance, la surestimation des Ti crée autour de P un triangle convexe. Sachant que les trois cercles doivent concourir en P, on peut corriger le défaut d'horloge en faisant en sorte que la surface du «triangle d'erreur » soit minimale. Géométrie de visée et précision

Le principe du GPS est basé sur l'intersection de sphères. Une étude géométrique simplifiée donne un bon aperçu de la précision de la localisation horizontale et verticale. Considérons deux sphères centrées sur SI et S2, représentées ici par deux cercles, dont l'intersection détermine P, voir la figure 14.2. Chaque cercle est noté avec sa marge d'incertitude. Dans le cas (a), où l'intersection est obtenue par deux arcs presque orthogonaux, la marge d'erreur est réduite. Dans le

598

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

Içu;)v A '[ÀaS'

14.1 : Schéma représentant la localisation du récepteur P par intersection de cercles, dans les cas suivants, de haut en bas: (a) l 'horloge de P retarde par rapport à celle du satellite, (b) l 'horloge est parfaitement synchronisée, (c) l 'horloge avance.

FIG.

14.1. Principe général du GPS

599

FIG. 14.2 : Schéma de détermination du point P par l'intersection de deux cercles de gauche à droite: (a) avec une bonne précision; (b) avec une faible précision.

cas (b), où les deux arcs sont presque parallèles, la marge d'erreur est très grande. Lorsqu'on détermine un point à la surface de la Terre, dans le plan horizontallocal, on est généralement dans le cas (a), où SI, S2 et les sphères sont représentées projetées sur le plan horizontal local. Pour déterminer l'altitude d'un point, on est plutôt dans le cas (b), où les éléments de la figure sont représentés projetés dans un plan vertical local. La détermination de l'altitude est moins précise que celle de la position horizontale.

14.1.6

Position sur la Terre: coordonnées géographiques

La résolution du système (14.10) donne la position du point P en coordonnées cartésiennes. Pour passer aux coordonnées géographiques (longitude, latitude, altitude), la difficulté vient du fait que la Terre est un géoïde. Nous nous plaçons ici dans le cas où la Terre est considérée comme un ellipsoïde et nous calculons les coordonnées géodésiques. Le point P est à une altitude h par rapport à l'ellipsoïde de référence. La latitude géodésique de P est donnée par la direction PH (angle de PH avec le plan équatorial), H étant le pied de la normale menée de P à l'ellipsoïde. Avec les notations de la figure 14.3, la hauteur géodésique (ou altitude géodésique) de Pest h = HP. Elle s'obtient par l'intersection avec l'ellipsoïde, non pas de PO, mais de la grande normale N = PI. La méthode d'obtention de h et de la latitude !.p, par méthode itérative ou autre, a été étudiée en détail au chapitre 2 (figure 2.4, tableau 2.4). La longitude s'obtenant directement par (2.28), le point P est ainsi déterminé par ses trois coordonnées géodésiques locales (À, !.p, h).

600

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

z

x

z' 14.3 : Altitude (ou hauteur) géodésique du point P par rapport à l'ellipsoïde de référence, h = HP. La longueur l H représente M, la grande normale, z' z l'axe des pôles et xOy le plan équatorial.

FIG.

14.1.7

Principe du DGPS (GPS différentiel)

Le GPS différentiel, dit aussi DGPS (Differentiai GPS) s'appuie sur des stations de référence, dites stations de base. La figure 14.4 fournit le schéma du principe. Considérons le point A, la station de base, dont la position géographique, notée X o, est connue avec une très grande précision, par des moyens géodésiques classiques. On place en A un récepteur GPS dont la position de l'antenne est donc connue au millimètre près. On mesure alors la position de A par GPS, notée XGPs. La différence de position, notée symboliquement

boX =

XGPS -

Xo

(14.22)

n'est généralement pas nulle car le positionnement par GPS a une certaine imprécision. D'après ce que nous avons vu plus haut, c'est la modélisation incorrecte de la traversée de la troposphère qui est l'uniqué responsable de cette erreur boX. 4Lorsque le signal «civil» du GPS était dégradé, afin de limiter la précision de la localisation, le DGPS était un moyen de contourner ce brouillage. La précision passait alors de 100 m à 22 m.

14.2. Système Navstar/GPS

Sz

SI

)(

,,

\

/

/

.... .,i.

/

\

\

>,

/

',/ /

"

\

,

, ,, ,

\ 1 \

1

/

-----------

,, ,

,/

, ........ ~,

14.4 : Principe du GPS différentiel. La station de base A et le récepteur P reçoivent le signe GPS des satellites Si. La correction de position est envoyée de A vers P. Dans le cas des « systèmes d'augmentation », elle est envoyée vers le satellite géostationnaire Ci. FIG.

,, ,, ,, ,

);(

1

601

P

On considère que les conditions météorologiques sont à peu près les mêmes sur une zone d'une centaine de kilomètres de rayon. La station A envoie par radio la correction boX aux récepteurs P qui la prennent en compte pour affiner leur positionnement. La distance maximale AP est de l'ordre de quelques centaines de km. Cette méthode, appelée DGPS, améliore nettement la précision. Au début du DGPS, les stations de base étaient intallées dans les phares côtiers. Ensuite, elles furent placées dans les aéroports puis généralisées en d'autres lieux 5 . Un autre développement du DGPS est la réalisation de systèmes d'augmentation : les informations de correction sont transmises à un satellite géostationnaire qui les rediffuse sur des zones étendues. Nous parlerons de ces systèmes, du type WAAS, après avoir décrit les diverses constellations de satellites GPS.

14.2

Système Navstar/GPS

Le système Navstar /GPS (Navigation Satellite Time and Ranging / Global Positioning System) est une création du gouvernement américain, sous la direction de son ministère de la Défense (DoD, Depadment of Defense). L'idée de départ était de refaire un système de géolocalisation à partir de 5 Aux États-Unis, le système NDGPS (Nationwide DGPS) repose sur une centaine de stations et couvre pratiquement tout le territoire. Le prochain système HA-NDGPS (High Accuracy NDGPS) doit garantir une précision «submétrique», de l'ordre de quelques décimètres, pour la localisation. Le système RTK (Real Time Kinetic) demande l'installation d'une (coûteuse) station de base à proximité du lieu d'opération mais garantit une précision de l'ordre de 10 cm.

602

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

nouveaux principes, en rupture 6 avec le système Transit, dont on voyait les limites. On abandonnait la localisation par effet Doppler pour utiliser le système de triangulation spatiale, que nous venons d'exposer. Ce changement radical était rendu possible par les énormes progrès faits dans la réalisation des horloges ultra-précises.

14.2.1

Mise en place du système

Les dates importantes

Les premières études datent du milieu des années 1960, et le système est mis au point dans les années 1970, avec le lancement des premiers satellites expérimentaux 7 , lorsque le DoD reprend le système Timation de l'US Navy. À partir de 1978, le système GPS 8 commence à se mettre en place avec les satellites du Block I, satellites de recherche et de développement. Les satellites du Block II sont fonctionnels et opérationnels sur l'orbite caractéristique des satellites Navstar/GPS, à partir de 1989. Le 17 juillet 1995, la constellation des 24 satellites (uniquement du Block II) est complète, et le système est déclaré opérationnel (FOC: Full Operational Capability). Il s'est écoulé 21 ans depuis le lancement de NTS-l. Il aura fallu plus de 30 ans de recherche et d'ingéniosité pour passer de l'idée du GPS à son système opérationnel. Le 2 mai 2000 est une autre date importante: ce jour-là, le Président américain Clinton décide de supprimer la dégradation volontaire et stratégique 6Navstar est géré par l'armée de l'air (US Air Force), Transit était géré par la marine (US Navy). 7Les deux satellites expérimentaux Timation (Time Navigation) sont un essai de l'US Navy pour trouver une alternative au système Transit. Ces satellites sont sur une orbite spécifique, h = 900 km, i = 70.0° : Timation-1, lancé le 31 mai 1967, Timation-2, le 30 septembre 1969. Les deux satellites NTS (Navstar Technology Satellite), de l'US AF, sont sur des orbites MEO qui préfigurent l'orbite Navstar : NTS-1 (ou Timation-3, OPS/7518, P73-3), lancé le 14 juillet 1974, h = 13610 km, i = 125.2°, NTS-2 (P76-4), lancé le 23 juin 1977 sur une orbite voisine de celle qui sera adoptée pour les premières missions GPS, h = 20 186 km, i = 63.9°. 8Liste des satellites Navstar/GPS. - Les 11 satellites du Block l, sur l'orbite circulaire h = 20 020 km, i = 63.0°, de Navstar-1 (GPS-1, OPS/5111), lancé le 22 février 1978, à Navstar-11 (GPS-11, USA-10), le 9 octobre 1985. - Les 28 satellites du Block II et II-A, h = 20 020 km, i = 55.0°, de Navstar-2-1 (GPS-14, USA-35), lancé le 14 février 1989, à Navstar-2A-19 (GPS-38, USA-135), le 6 novembre 1997. - Les 21 satellites du Block II-R et II-RM, sur la même orbite, de Navstar-2R-2 (GPS-43, USA-132), lancé le 23 juillet 1997, à Navstar-2R-21 (GPS-50, USA-206, Navstar-2RM-8), le 17 août 2009. - Les 12 satellites du Block II-F, de Navstar-2F-1 (GPS-62, USA-213), lancé le 28 mai 2010, à Navstar-2F-12, prévu en 2014. - Les 8 satellites du Block III-A, toujours sur la même orbite, de Navstar-3A-1 à Navstar3A-8, à partir de 2014. Block II: A (advanced) , R (replenishment) , RM (R modernized), F (Jollow-on).

14.2. Système Navstar/GPS

603

du signal. La précision standard passe de 100 m à 22 m. La détermination de la position par GPS est sans cesse affinée, grâce à des améliorations technologiques (signaux plus puissants, meilleure correction des perturbations atmosphériques) et de traitement statistique du signal. Les secteurs du système

On décompose le système de positionnement en trois parties, appelées généralement segments : - le segment spatial, composé de la constellation de satellites; - le segment de contrôle, qui pilote l'ensemble, et qui est aux mains du propriétaire du système; - le segment utilisateur qui regroupe l'ensemble des utilisateurs militaires et civils.

14.2.2

Segment spatial

La constellation Navstar/GPS est constituée de 24 satellites, en 6 plans de 4 satellites chacun. Tout point de la Terre voit simultanément de 4 à 8 satellites (et jusqu'à Il dans certains cas), avec une hauteur de visée minimale de 15°. Chaque satellite du Block II possède des horloges atomiques 9 (précision relative de 10- 13 à 10- 14 ) et, bien entendu, ordinateurs, émetteur-récepteur et tous les équipements requis. La durée de vie nominale du satellite est de 10 ans. À partir de la fréquence fondamentale fa = 10.23 MHz, l'émetteur génère deux ondes dans la bande L, notées LI et L2, de fréquence : LI = 154 fa = 1 575.42 MHz (longueur d'onde: 19.03 cm) L2 = 120 fa = 1 227.60 MHz (longueur d'onde: 24.42 cm) Pour les satellites du Block IIF et suivants, une troisième fréquence est émise: L5 = 115 fa = 1176.45 MHz (longueur d'onde: 25.48 cm) Le message émis, en plus de l'heure, fournit les éphémérides du satellite (éléments képlériens du satellite et leurs dérivées en fonction du temps) ainsi que des données auxiliaires. Plusieurs codes pseudo-aléatoires, dits PRN (Pseudo Random Noise), sont envoyés. Les deux principaux sont le code CI A (Coarse/Aquisition code) et le code P (Precision code). Le code C/A est accessible à tout public, le code P, d'abord réservé aux utilisateurs autorisés (militaires) est devenu accessible après le déverrouillage de mai 2000. Les satellites Navstar/GPS portent un numéro d'ordre n, sous la forme GPS-n. Mais l'identification du satellite dans la constellation se fait par la numérotation PRN (de 1 à 32 pour le Block II). 9Les satellites du Block II et IIA sont équipés de 2 horloges au césium et 2 au rubidium, les satellites du Block IIR de 3 horloges au rubidium.

604

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

Navstar/GPS Orbite p. r. Etoiles [réf. galiléen]

Altitude =20182.8 km

»> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

Période = 717.98 min • Révol./j.= 2.01

Projection: Orthographique Propriété: (sans)

EIl T.:Azimutal- Grille : 10'

Centre Project.: 25.0' N ; 120.0' W Aspect: Oblique

H

a =26560.906 km

Inclinaison = 55.00'

Noeudasc: -94.87'[11:53TSM]

[-90.0/ +65.0/-150.011-] EGM96

Altitude =20182.8 km

Phasage

Période = 717.98 min • Révol.lj.= 2.01

= [ 2; +0; 1] 2

=

1.00 jour

*

LMD

ATÀ<X,

Navstar/GPS [PRN 05] Orbite par rapport à la Terre »> Durée représentée: 1440.0 min

nLGJV

MC

Inclinaison

=

55.00

a =26560.906 km

0

Décalage à l'équateur =20038.1 km

Projection: Orthographique

Centre Project.: 25.0' N; 10.0 'E

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique

EIl T.:Azimutal- Grille : 10'

14.21[ -90.0/ +65.0/ +80.01l+15[ EGM96

Noeud asc:

-94.87' [11 :53 TSM]

nLGJV

MC

*

LMD

ATÀ<X,

14.5 : Orbite d'un satellite Navstar/GPS. Satellite Navstar-2RM-8 [PRN 05} (Navstar-2R-21, GPS-50, USA-206), le )"" janvier 2011. (a) Référentiel lié aux étoiles (pseudo-galiléen). (b) Référentiel terrestre.

FIG.

14.2. Système Navstar/GPS

Navstar/GPS [PRN 09] [& 31]

Trace de l'orbite Phasage

2011 0201 00:00:00 TUC »> 1440.0 min = 1.00 jour

Projection: Mercator

Centre Project.: 0.0

Propriété: Conforme

Aspect: Direct

EB T.:Cylindrique - Golle : 10

0

A

(3) (4) (5) (6)

B

30

e = 0.016764

0

60

Décalage à l'équateur =20037.6 km

0.0

0

Noeud asc:

0

90

120

29 03 19 17 06

150

180

124.09 [16:15 TSM]

Il;iWJJ

0

[NORADI Révolution: 12885 [NORADI2011 01 3007:58:13 TUC

D

C

16 25 28 12 30 01

27

o

a =26560.354 km

Inclinaison = 56.31

[4.21 [ +001 +0.01 +0011-1 WGS84

09 31 08 07

(1 )

Altitude =20182.2 km

Période = 717.96 min • Révol./j.= 2.01

= [ 2; +0; 1] 2

(2)

605

E

02 11 21 04 24

210

240

*

LMD

ATÀaç

F

20 22 05 18 32 10

270

MC

300

14 15 13 23 26

330

(1 ) (2)

(3) (4) (5) (6)

360

Longitude du Noeud Ascendant (réf. ps.-gal., origine: Point vernal) FIG. 14.6 : (a) Trace de l'orbite du satellite Navstar-2A-21 [PRN 09J (en trait

épais). Superposition de celle du satellite Navstar-2RM-2 [PRN 31J (en trait plus fin). Durant un jour, le 1"" février 2011. (b) Position du nœud ascendant de chaque satellite Navstar/GPS, le 1"" février 2011, dans un référentiel lié aux étoiles et centré sur la Terre (référentiel pseudogaliléen), avec origine de la longitude au point vernal. Les 32 satellites du Block II sont identifiés par le numéro PRN, de 01 à 32. On a noté le plan, de A à F, et la position (dite slot), de (1) à (6). Les deux satellites, dont la trace est représentée en (a), sont en position 1 et 2 du plan A.

606

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

a

h

i

T

Tr. ph.

Navstar Glonass Galileo

26560.906 25507.602 29600.268

20183 19130 23222

55.0 64.8 56.0

717.98 675.73 844.69

[2; 0; 1] [2; +1; 8] [2; -3; 10]

2 17 17

Navstar (1) Galileo [0]

26 559.969 29993.691

20182 23616

63.0 56.0

717.97 861.58

[2; 0; 1] [2; -1; 3]

2 5

Satellite MEO

NT"

14.1: Caractéristiques d'orbite et de phasage pour les satellites (MEO) de navigation GPS. Distances a et h en km, angle i en degrés, période T en minutes. Tr. ph. et NT" : éléments du triplet de phasage.

TABLEAU

Orbite

Tous les satellites Navstar /GPS (Block II) sont sur une orbite MEO, quasi circulaire, inclinée à 55.0°, voir la figure 14.5. Le satellite est phasé sur un jour et fait exactement 2 révolutions par jour sidéral, voir le tableau 14.1. L'altitude est de 20 183 km. On note aussi: a = 26 560.906 km,f/ = 4.16437, n = 1.4585 10- 4 rad·s- 1 . Pour une telle orbite, voir la figure 6.1, le rapport entre la perturbation due à J 2 et l'accélération centrale est très faible car l'altitude est élevée. Il est inférieur à 10- 4 (il est de 10- 3 pour une orbite LEO). Les vitesses de précession ont pour valeur, en degrés par jour : - vitesse de précession nodale, f2 = -0.039 ; - vitesse de précession apsidale, w= +0.022, car de plus i est proche de ic ; - appoint au moyen mouvement, .dn = -4.4 10- 4 , car de plus i est très proche de 54.7°, inclinaison pour laquelle .dn est nul, voir (6.77). Le cycle de cette orbite par rapport au Soleil est Cs = -351.4j. Rappelons que, si f2 est nul, ce cycle est égal à une année (Cs = -365.2 j). Deux fois par an, le satellite subit une éclipse: voir au chapitre 10, les éclipses de satellites MEO (figure 10.17(a)). Constellation

Les 6 plans de satellites, notés A, B, C, D, E et P, sont régulièrement espacés dans un repère géocentrique pseudo-galiléen, avec un écart de 60° en longitude, à quelques degrés près, voir la figure 14.6(b) et l'exemple 14.1. Dans un plan donné, les 4 satellites ne sont pas régulièrement espacés (voir figure 14.7). Exemple 14.1 Trace au sol de l'orbite de deux satellites Navstar/GPS qui se suivent dans un même plan orbital. ~

Considérons les deux premiers satellites du plan A de la constellation GPS,

14.2. Système Navstar/GPS

607

Navstar-2A-21 [PRN 09] en position 1, dite slot (1), et Navstar-2RM-2 [PRN 31] en position 2, slot (2). Leurs éléments NORAD sont les suivants: GPS BIIA-21 [PRN 09] 1 22700U 93042A 11032.82501832 -.00000085 00000-0 10000-3 0 1300 2 22700 56.3096 12.7579 0167604 89.2355 272.6858 2.00562849128903 GPS BIIRM-2 [PRN 31] 1 29486U 06042A 11030.97501051 -.00000076 00000-0 10000-3 0 1422 2 29486 56.0928 14.5537 0080766 301.2847 57.9187 2.00575401 31902

Les éléments 12.7579 et 14.5537, donnant il (dans le référentiel pseudo-galiléen, avec origine au point vernal) respectivement pour [PRN 09] et [PRN 31], montrent que ces deux satellites sont pratiquement dans le même plan orbital (écart de 1.8°). Notons que les autorités du GPS ne cherchent pas à maintenir strictement les satellites dans un des 6 plans orbitaux définis. Ce qui importe pour elles, c'est que la position de chaque satellite soit déterminée avec la plus grande précision. Le calcul du noeud ascendant de chaque satellite donne: [PRN 09] Instant TU : 2011 02 01 19:48:01 ÀNA = 55.9°W [PRN 31] Instant TU : 2011 02 01 23:20:06 ÀNA = 106.3°W Le satellite [PRN 31] suit [PRN 09] avec un retard de 3 h 30 min environ, ce qui induit un décalage de la trace, vers l'ouest, de 50° environ (voir figure 14.6(a)) ....

14.2.3

Segment de contrôle

Le « cerveau» du GPS est à côté de Colorado Springs, Colorado, ÉtatsUnis, dans la base Schriever de l'US Air Force. Ce «centre maître» du contrôle 10 est connu sous le sigle MCS (Master Control Station at Schriever Air Force Base). Le secteur de contrôle est composé de stations l l au sol, les cinq Monitor IOLe sens du mot français contrôle recouvre celui de deux mots en anglais : monitor, « surveillance», l'idée de vérifier, de contrôler sans agir, et control, où on contrôle en agissant. Le mot français contrôle vient de «contre-rôle », au XIVe S., qui est un registre (rôle) tenu en double, ce qui manifeste une idée de vérification. Ce n'est qu'au xx e s., sous l'influence de l'anglais, que le mot a pris le sens de « maîtrise de quelque chose ». En anglais, control, qui vient du français «contre-rôle », a eu dès le xv e s. le sens d'« avoir le pouvoir sur quelque chose ». L'anglais monitor, comme le français moniteur, vient du latin monitor, « le conseiller », «celui qui fait penser» (de la racine indo-européenne *men, «avoir une activité mentale»). llColorado Springs regroupe le centre maître et une station de contrôle. Les quatre autres stations de contrôle sont situées sur des îles, réparties de manière plus ou moins équidistante, le long de l'équateur. Trois de ces stations, les stations de transmission, ne sont pas sur le territoire des États-Unis et le gouvernement américain a négocié des accords « en béton» pour garder la main sur ces installations très stratégiques. - Ascension, petite île volcanique au milieu de l'Atlantique, est un territoire britannique d'outre-mer (Saint Helena, Ascension and Tristan da Cunha). Les États-Unis y ont installé un aéroport et une importante base militaire. - Diego-Garcia, atoll dans l'archipel des Chagos, est aussi un territoire britannique. Il fait partie du BIOT (British lndian Ocean Territory). L'armée américaine a loué l'île en 1966, pour un bail de 50 ans prolongeable. La condition était que l'île fût vide d'habitant au

608

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

Système

Navstar/GPS

Glonass

Galileo

N : Nombre de plans M : N. satellites/plan

Écart entre satellites R : sato en réserve Total sato = N x M + R Période 'id (jour sidéral) Période 'id (h décim.) Période Td (h min s) Cycle/SoleillCsl

6 4 irrégulier 6 30 1/2 11.9663 11 57 59 351 j

3 8 360/8 = 45° 3 27 8/17 11.2622 11 15 44 353 j

3 9 360/9 = 40° 3 30 10/17 14.0781 14 04 41 356 j

Système géodésique Demi-grand axe a (m) (apl.)l/! = 298.257 ...

WGS84 6378137 ... 223563

PZ-90.02 6378136 ... 839303

GTRF 6378137 . .. 222101

Navstar/GPS

GLONASS

h = 20183 km i = 55.0°

h = 19130 km i = 64.8°

Numéro des satellites ("slot")

180

180EQ

120

120

60

60 OEQ

180

.

:e0

"ac

~

22

180EQ

120

120

60

60

0

OEQ

·60

·60

-60

·60

-120

-120

-120

-120

-180

-180EQ

-180

-180EQ

a.

Longitude du Noeud Ascendant

Longitude du Noeud Ascendant

(référentiel pseudo-galiléen, ongine arbitraire)

FIG. 14.7 : Constellation de satellites et représentation de leurs plans orbitaux. Sur chaque plan, on a noté le satellite, avec son angle de position sur orbite (arc de cercle compris entre le nœud ascendant et le satellite). BQ : équateur. Pour Glonass, on a noté le numéro officiel de chaque satellite, de 1 à 24, ainsi que celui des plans orbitaux.

(référentiel pseudo-galiléen, origine arbitraire)

Galileo

h = 23222 km i = 56.0°

180

180EQ

120

120

60

60

-60

-60

-120

-120

-180

-180EQ

OEQ

Longitude du Noeud Ascendant

(référentiel pseudo-galiléen, origine arbitraire)

14.2. Système Navstar/GPS

Navstar/GPS Trace de l'orbite Phasage

Altitude =20182.8 km Inclinaison = 55.00

= [ 2; +0; 1]

Période = 717.98 min • Révol./j.= 2.01

Centre Pr.(dr.): 90.0

Proj. : Stéréographique Propriété: Conforme

0

0

N; 90.0 0 E

Aspect: Direct 0

Noeud ase:

0.00

Incl in. app. = 84.87

Il;iWJJ

0

MC

0

[4.21 [·90.0/ +00/ +0.0[[·[ WGS84

Navstar/GPS [PRN 16] Trace de l'orbite Phasage

a =26560.906 km

0

Cercle de visibilHé pour h ii 15

»> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

EB T.:Azimutal - Grille : 10

609

Altitude =20182.8 km Inclinaison

=

55.00

*

LMD ATÀaç

a =26560.906 km

0

Période = 717.98 min • Révol.lj.= 2.01

= [ 2; +0; 1] 2

»> Durée représentée: 1440.0 min

=

Cercle de visibilité pour h ii 150

1.00 jour

Projection: Mercator

Centre Project.: 0.0

Propriété: Conforme

Aspect: Direct

EB T.:Cylindrique - Grille : 100

15.31[ +90.0/ +0.0/·90.0[[-1 WGS84

0

0.0

0

Noeud asc: -87.04 Incl in. app. = 84.87

0 0

[00:00 TSM]

Il;iWJJ

MC

*

LMD ATÀaç

14.8 : Trace d'un satellite Navstar/GPS. (a) Proj. polaire. Avec cercle de visibilité (h = 15°) pour les pôles. (b) Proj. équatoriale. Situation des 5 stations de contrôle du système Navstar/GPS, entourée de son cercle de visibilité (h > 15°). Superposition de la trace d'orbite de Navstar-2R-8 [PRN 16J (GPS-56, USA-166).

FIG.

610

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

Stations: Colorado Springs (MCS), Hawaï (HAW) et trois stations situées sur des îles minuscules en dehors du territoire américain, Ascension (ASC), Diego Garcia (DIG) et Kwajalein (KWJ), voir la figure 14.8. Chaque station peut suivre jusqu'à 11 satellites en même temps. Ces stations reçoivent les signaux GPS et envoient les données au centre principal, MCS. Dans ce centre, les éphémérides des satellites et les paramètres d'horloge sont calculés et envoyés aux trois stations de transmission, les trois Ground Antennas, Ascension, Diego Garcia et Kwajalein, qui transmettent ces données aux satellites N avstar.

14.2.4

Segment utilisateur

Ce secteur regroupe l'ensemble des utilisateurs. Le récepteur peut être sophistiqué ou, comme dans la plupart des cas, un appareil grand public, bon marché, dont le prix ne cesse de baisser. L'utilisation du GPS peut être dynamique (véhicule en mouvement) ou statique (établissement d'un réseau topographique). En géophysique, on place deux stations de réception GPS en deux points de la Terre, distants de milliers de kilomètres. Avec un matériel professionnel, une réception continue pendant des mois et des méthodes statistiques performantes de traitement du signal, on mesure les déplacements des plaques tectoniques de l'ordre de quelques millimètres par an - voir l'annexe GPS et tectonique des plaques, en fin de chapitre. Dans ce cas, on utilise un produit «orbites précises» (Precise ephemeris) : les orbites précises des satellites sont données avec une précision de 5 cm et de 0.1 ns. Ces données sont fournies avec deux semaines de retard. Précision

Le tableau 14.2 résume les domaines d'exactitude qu'on peut obtenir avec les diverses méthodes d'utilisation du GPS.

14.2.5

Vue locale

Les diagrammes de vue locale, vus au chapitre 13, donnent les passages du satellite dans le ciel d'un lieu donné. Nous traitons, dans l'exemple ci-dessous, le passage des satellites Navstar /GPS à Paris, à un instant donné. début de la location: le gouvernement britannique déporta donc les 1 600 Chagossiens à Maurice et aux Seychelles. - Kwajalein est un atoll qui fait partie, comme Bikini (île à connotation explosive), de la République des îles Marshall. Ce petit pays, formellement indépendant depuis 1986, est en « libre association» avec les États-Unis, qui se chargent de sa défense et de sa sécurité. - Hawaï (ou Hawaii) est la seule station en territoire américain, puisque cet ensemble d'îles est devenu le 50 e état des États-Unis d'Amérique en 1959.

14.2. Système Navstar/GPS

611

Navstar/GPS Trace de l'orbite

Altitude =20183 km

a =26560.906 km

Inclinaison = 55.0'

e = 0.004266

Phasage

Période = 717.98 min • Révol./j.= 2.01

= [ 2; +0; 1] 2

2011 0201 12:00:00 TUC »>

120.0 min = 0.08 jour

Numéro PRN pour chaque satellite Navstar Visibilité h>l 0

VUE LOCALE

pour la station:

N

Paris Latitude

04

10 11

13 14

48.8 N

Longitude

17

2.2 E

19

o 20

90

1 23

24

32

VISIBILITE DU SATELLITE

Projection (Mode) : orthogonale Cercle: Angle zénithal vue satellite [0' , +90'] Rayon : Azimut par rapport au Nord

Eléments NORAD pour chaque satellite

Navstar/GPS [20] & [17] [19] Trace de l'orbite

Altitude =20183.0 km

Phasage

Période = 717.98 min • Révol.lj.= 2.01

Inclinaison

= [ 2; +0; 1] 2

2011 0201 12:00:00 TUC >>>

Il;iWJJ

[NORAD] 2011 0201 12:00:00 -> 14:00:00 TUC MC

=

53.54

0

*

LMD

a =26561.141 km e = 0.004445

Cercle de visibilité pour h .. 10·

120.0 min = 0.08 jour

Projection: Mercator

Centre Project.: 0.0'

Propriété: Conforme

Aspect: Direct

0.0'

Noeud asc: 147.61' [08:01 TSM] [NORAD] Révolution: 7867

EIl T.:Cylindrique - Grille : 10'

[4.211 +90.01 +0.01·90.011-] WGS84

[NORAD] 2011 0201 221026 TUC

Il;iWJJ

MC

*

LMD

ATÀa,

FIG. 14.9 : (a) Vue locale des satellites Navstar/GPS pour Paris. La trace est notée pendant 2 heures à partir du février 2011, à 12:00 TU. (b) Trace du satellite GPS [PRN 20}, pour le même intervalle de temps. Superposition des traces de [PRN 17} et [PRN 19j.

rr

612

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

Type GPS GPS

Instantané Moyenné

DGPS DGPS

Instantané Moy.+ OP

Restriction

Mesure

Durée

Exactitude

(sans) (sans)

Pi (pi)

seconde heure

10 à 100 m 2 à 20 m

Pi (pi), phase

seconde jour

1à 5m 1mmà1cm

base

< 500 km (sans)

TABLEAU 14.2 : Exactitude de la localisation en fonction des méthodes utilisées. La mesure des pseudo-distances intantanées est notée pi, celle des valeurs moyennées (Pi). OP : Orbites précises.

Exemple 14.2 Vue locale, pour Paris, le 1er février 2011, à midi TU, (12:00 TU) de tous les satellites Navstar/GPS visibles avec une hauteur de visibilité supérieure à 10°. ~ Nous représentons, figure 14.9(a), tous les satellites GPS visibles à 12:00 TU, ainsi que leur trace pendant 2 heures. Il y a 8 satellites visibles : 2 d'entre eux disparaissent très rapidement, PRN 14 et 19; 6 vont rester visibles (au moins) pendant les 2 heures qui suivent, PRN 11, 17, 20, 23, 24 et 32. Le petit tableau dans la figure indique la présence des satellites chaque demi-heure. Nous représentons, figure 14.9(b), le cercle de visibilité h = 10° pour Paris (qui, avec la projection de Mercator, donne cette forme évasée) ainsi que la trace, sur 2 heures, de l'orbite du satellite Navstar-2R-4 [PRN 20] qui passe à peu près sur Paris. Nous avons mis en superposition les traces de Navstar-2RM-1 [PRN 17], à l'ouest, et celle de Navstar-2RM-11 [PRN 19], en limite sud de la visibilité (il en sort peu après 12:00) ....

14.2.6

Le système Navstar/GPS et les autres

Il serait malhonnête de présenter les quatre systèmes - Navstar/GPS, Glonass, Galileo et Compass - sur un pied d'égalité. Soyons clairs: le système GPS a été imaginé, développé, réalisé, amélioré, à l'initiative, et sous le contrôle du ministère de la Défense des États-Unis d'Amérique. Les autres systèmes, en cours ou en projet, ne font que reprendre l'idée. Les systèmes complets de positionnement, utilisant des dizaines de satellites, représentent un très lourd investissement et reposent sur une industrie technologiquement avancée. Après les États-Unis, la Russie a réalisé son système Glonass. L'Europe avec Galileo et la Chine avec Compass auront leur système propre, indépendant, même s'il est envisagé que plusieurs de ces quatre systèmes soient compatibles. Nous verrons que d'autres systèmes, en cours de réalisation ou en projet, comme QZSS pour le Japon, viennent en complément local du système GPS existant et ne peuvent être considérés comme des systèmes globaux au-

14.3. Système Glonass

613

tonomes. Beidou-l, pour la Chine, constitue un cas spécial et original sur lequel nous reviendrons. Cette profusion de systèmes, la plupart en développement, a provoqué un changement de vocabulaire : plutôt que GPS, on utilise maintenant le terme générique GNSS (Global Navigation Satellite System) pour désigner l'ensemble de ces systèmes de géolocalisation. Cependant, tant que le système américain Navstar /GPS sera le seul à être largement utilisé, nous continuerons à parler plus fréquemment de GPS que de GNSS.

14.3

Système G lonass

Le système Glonass (noté aussi GLONASS ou GloNaSS, acronyme russe de Global'naya Navigatsionnaya Sputnikovaya Sistema, Système planétaireglobal - de navigation assistée par satellite) a été développé par l'URSS à partir de 1976, dans un but militaire. Les premiers satellites Ouragan ont été lancés en 1982 et le système a été déclaré opérationnelle 24 septembre 1993. Après l'effondrement du bloc soviétique, le système de positionnement n'était pas le souci majeur de la Russie, et Glonass ne fonctionna plus correctement par manque de satellite (il restait de 6 à 8 satellites en état de marche dans la constellation). À partir de 2003, le gouvernement russe a donné une priorité à Glonass. Plusieurs satellites de la nouvelle génération ont été mis en orbite, et le système peut à nouveau fonctionner en opérationnel.

14.3.1

Les trois segments

Le segment spatial 12 est une constellation de 24 satellites (3 plans de 8 satellites régulièrement espacés). Chaque satellite est équipé d'horloges au césium (stabilité: 10- 13 ) et émet un signal avec deux fréquences, qui diffèrent légèrement d'un satellite à l'autre, centrées autour de G 1 = 1 609 MHz et G2 = 1 252 MHz. Les satellites de la nouvelle génération Glonass-K émettent une troisième fréquence, G3 = 1 205 MHz. L'orbite de Glonass est assez semblable à celle de Navstar/GPS (voir tableau 14.1). Elle est un peu plus basse, h = 19 130 km, avec une inclinaison plus forte, i = 64.8°, pour mieux desservir les hautes latitudes. Le phasage est de 17 révolutions en 8 jours (16 révolutions en 8 jours pour Navstar), ce qui amène à une période de 11 h 16 min (voir figure 14.11). 12Liste des satellites Glonass. - les 50 premiers satellites, expérimentaux puis de première génération, de Ouragan-1 (Kosmos-1413), lancé le 12 octobre 1982, à Ouragan-50 (Kosmos-2206), le 30 juillet 1992; -les 37 de la série Glonass, de Glonass-773 (Ouragan-51, Kosmos-2234), lancé le 17 février 1993, à Glonass-798 (Ouragan-87, Kosmos-2417), le 25 décembre 2005; - les satellites de la série Glonass-M, de Glonass-711 (Ouragan-Ml, Kosmos-2382), lancé le 1er décembre 2001, à Glonass-736 à -738 (Ouragan-M27 à -M29, Kosmos-2644 à -2466), lancés le 2 septembre 2010 ; - les satellites de la nouvelle série, Glonass-K, commencée avec Glonass-K1-11 (OuraganK1-1, Kosmos-2471).

614

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

Les vitesses de précession sont très faibles, pour les mêmes raisons que pour Navstar. Les valeurs sont, en degrés par jour : f2 = -0.034 W = -0.004 .dn = -0.018 Le système géodésique de référence utilisé est le système russe 13 PZ-90.02 (Pammetri Zemli, noté aussi PE-90, Pammeter of Earth). Le segment de contrôle est constitué d'une dizaine de stations. La station pilote, Krasnoznamensk, est située dans la banlieue ouest de Moscou. Actuellement, il y a une dizaine de stations de suivi, toutes situées sur le territoire de l'ancienne URSS (la plupart étant en Russie), mais le gouvernement russe envisage d'implanter des stations similaires à Cuba, en Amérique du Sud et en Australie. La précision obtenue par le système Glonass seul est moins bonne que celle obtenue avec Navstar, mais les autorités russes affirment que le système sera amélioré. Les deux systèmes sont compatibles.

14.3.2

Vue locale - tableau de visibilité

Choisissons un lieu P, quelconque sur la Terre, et définissons les conditions de visibilité des satellites (on impose généralement que la hauteur de visée soit supérieure à 10° ou 15°). Pour un jour donné, nous notons dans un tableau tous les intervalles de temps pendant lesquels P est vu par un satellite donné. On refait le calcul pour chaque satellite de la constellation pour obtenir un tableau de visibilité. Exemple 14.3 Tableau de visibilité de tous les satellites de la constellation Glonass, à Paris, le 11 janvier 2011. ~ Pour Paris (48.9° Net 2.2° E), on établit le tableau de visibilité pour toute la constellation Glonass, le 11 janvier 2011, de Oh à 24h TU (voir figure 14.10(a)). La hauteur limite de visibilité a été fixée à 15°. Les satellites sont numérotés de 1 à 24 (voir figure 14.7). Comme ils sont répartis régulièrement dans chaque plan, on remarque clairement la régularité des passages de visibilité, avec un décalage d'environ 2 heures d'un satellite au suivant. Dans le cas présenté ici, le lieu P est vu par 5 à 7 satellites en permanence. Pendant 22 h 45 min sur 24 h, P est vu par au moins 4 satellites, ce qui est le minimum acceptable. Durant deux intervalles de temps (de 19:30 à 20:15 et de 21:15 à 21:45), il n'est vu que par 3 satellites ou moins. On note que, ce jour-là, les satellites 3 et 4 étaient hors service. En figure 14.10(b), nous avons représenté la trace d'un satellite Glonass sur un cycle de phasage, avec cercle de visibilité centré sur le point P . ...

I3Le mot russe zemli signifie « la terre». Il vient de la racine indo-européenne *ghyom, *ghemo(n), même sens, qui a donné aussi le mot latin humus, i, «terre, sol ». Le latin homo, hominis est rattaché aussi à cette racine : « l'homme» est littéralement celui qui est né de la terre.

14.3. Système Glonass

615

Visibilité pour Paris (4goN ; 2°E) Hauteur de visée: h > 150 Date: 11 JAN 2011

GLONASS 1

2 3 4 5 6 7 8

9

10 11 12

13 14

15 16 17 18 19

20 21 22

23 24

o

1 2

3 4

5 6 7

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Heure TU

GLONASS (rnOHACC) Trace de l'orbite Phasage

Altitude =19129.5 km Inclinaison

Centre Project.: 49.0

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique> zoom: 2.90 10'

a =25507.602 km

0

Cercle de visibilité pour h .. 15·

8.00 jours

Projection: Postel

œT.:Azimutal- Grille:

64.80

Période = 675.73 min • Révol.lj.= 2.13

= [2; +1; 8] 17

»> Durée représentée:

=

0

N: 2.0 E 0

[4.2] [ -90.01 +41.01 +88.0] [-] EGM96

Noeud asc :

0.00 '

niGJV

MC

*

LMD

ATÀ<XÇ

FIG. 14.10 : (a) Tableau de visibilité des 24 satellites Glonass pour Paris, le 11 janvier 2011. Pour le numéro des satellites, de 1 à 24, voir la figure 14.7. (b) Trace d'un satellite Glonass pendant 8 jours, avec cercle de visibilité (h > 15°) centré sur Paris.

616

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

GLONASS (rnOHACC) Trace de l'orbite

Altitude =19129.5 km

Phasage

Période = 675.73 min • Révol.lj.= 2.13

Inclinaison

= [2; +1; 8] 17

»> Durée représentée:

=

64.80

a =25507.602 km

0

Décalage à l'équateur =18858.8 km (169.4 0)

8.00 jours

Centre Pr.(dr.): 90.0

Proj. : Stéréographique Propriété: Conforme

Aspect: Direct

EIl T:Azimutal- Grille : 100

14.21 [ -90.01 +0.01 +0.0] [-]

0

N; 90.0 E

Noeud asc : 0.00 Incl in. app. = 92.84

0

niGJV

0

MC

0

PZ-90

GLONASS (rnOHACC) Trace de l'orbite

Altitude =19129.5 km

Phasage

Période = 675.73 min • Révol.lj.= 2.13

= [2; +1; 8] 17

»> Durée représentée:

lX

~

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a =25507.602 km

0

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lX

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LMD

ATÀa,

Décalage à l'équateur =18858.8 km (169.4 0)

8.00 jours

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1

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Inclinaison

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Projection: Mercator

Centre Project.: 0.0

Propriété: Conforme

Aspect: Direct

EIl T:Cylindrique - Grille: 100

14,211 +0.01 +0.01 +0.011'] PZ,90

0

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Noeud asc :

0.00

Incl in. app. = 92.84

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MC

*

LMD

ATÀa,

14.11 : Trace d'un satellite Glonass sur un cycle de phasage (17 révolutions en 8 jours).

FIG.

14.3. Système Glonass

Galileo Trace de l'orbite

Altitude =23222.1 km

Phasage

Période = 844.69 min • Révol.lj.= 1.70

Inclinaison = 56.00

= [ 2; ·3; 10[ 17

»> Durée représentée: 10.00 jours

Centre Pr.(dr.): 90.0

Proj. : Stéréographique Propriété: Conforme

EB T.:Azimutal- Grille

10

a =29600.268 km

0

Décalage à l'équateur =23573.5 km

0

N; 90.0 0 E

Aspect: Direct 0

[4.21 [-90.0/ +00/ +0.0][-]

Noeud ase:

0.00 Inclin. app. = 92.01

Il;iWJJ

0

MC

0

EGM96

Galileo Trace de l'orbite

Altitude =23222.1 km

Phasage

Période = 844.69 min • Révol.lj.= 1.70

Inclinaison

= [ 2; -3; 10] 17

Centre Praject.: 0.0

Propriété: Conforme

Aspect: Direct

EB T.:Cylindrique - Grille

100

=

56.00

*

LMD ATÀaç

a =29600.268 km

0

Décalage à l'équateur =23573.5 km

»> Durée représentée: 10.00 jours

Projection: Mercator

617

0

0.0

0

14.21[ +00/ +0.0/ +0.0][-] EIGEN-C3

Noeud asc : 0.00 Incl in. app. = 92.01

Il;iWJJ

0 0

MC

*

LMD ATÀaç

FIG. 14.12 : Trace d'un satellite Galileo sur un cycle de phasage (17 révolutions en la jours).

618

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

14.4

Système Galileo

14.4.1

Une affaire européenne

À la différence des systèmes américain, russe et chinois, le système européen est entièrement aux mains des civils. Le système Galileo a été décidé en 1999, après de nombreuses hésitations (l'Allemagne et l'Italie y étaient très favorables, le Royaume-Uni pensait que c'était une dépense inutile, le GPS américain faisant fort bien l'affaire - et gratuitement !). On pensait, à l'époque, qu'il serait opérationnel en 2008 ... Le financement provient de l'Union européenne (UE) et de l'Agence spatiale européenne (ESA), elle-même financée par les pays de l'UE. Le programme a pris beaucoup de retard, en particulier à cause des tiraillements entre l'Allemagne et l'Italie. Sans entrer dans les détails, qui concernent plus un livre d'économie politique que d'orbitographie, disons que le seul consensus net et rapide fut pour le choix du nom : Galileo. Bel hommage à ce si grand savant, visionnaire et courageux. Le lancement de deux satellites 14 probatoires n'a pas beaucoup accéléré le mouvement.

14.4.2

Les trois segments

Le segment spatial consiste en une constellation de 27 satellites (3 plans de 9 satellites régulièrement espacés). Chaque satellite est muni d'une horloge au rubidium (dérive de 510- 13 s sur 100 secondes) doublée d'un maser à hydrogène (dérive de 10- 14 s sur 3 heures). Le signal comporte trois fréquences: El = 1 575.420 MHz, E6 = 1278.750 MHz, E5 = 1191.795 MHz. L'orbite 15 de Galileo est 3 000 km au-dessus de celle de Navstar, h = 23 222 km, avec pratiquement la même inclinaison, i = 56° (voir tableau 14.1). Le phasage est de 17 révolutions en 10 jours (20 révolutions en 10 jours pour Navstar), d'où une période de 14 h 05 min (voir figure 14.12). Les vitesses de précession sont très faibles et leurs valeurs sont, en degrés par jour : il = -0.026 w = +0.013 .dn = -0.001 14Dates de lancement - GIOVE-A : 28 décembre 2005; GIOVE-B : 27 avril 2008. Ces satellites, placés sur l'orbite Galileo, servent à tester les horloges et le signal émis - et permettent d'occuper administrativement les fréquences auprès des organismes internationaux. D'abord nommés GSTB-v2A et -v2B (Galileo System Test Bed Version 2), ils ont été renommés GIOVE (Galileo In-Orbit Validation Element). Jupiter se dit Giove en italien, et c'est donc une allusion affectueuse à Galilée, découvreur des quatre gros satellites de cette planète. 15Dans un premier temps, un phasage de 5 révolutions en 3 jours avait été choisi. Il correspond à l'orbite notée Galileo [0] dans le tableau 14.1. Cette orbite a été abandonnée car le phasage 5:3 crée des effets de résonance avec le champ de gravité terrestre. Ajoutés à cela, l'effet du Soleil et de la Lune créent des grandes instabilités dans la constellation Galileo.

14.5. Système Compass

619

Le système géodésique de référence est GTRF (Galileo Terrestrial Reference Frame), très proche de WGS84, car les deux systèmes sont accordés avec la référence ITRF (International TRF). Le segment de contrôle est constitué de nombreuses stations sur tout le globe (la présence française à La Réunion, Nouméa, Papeete et Kourou est ici très utile). Les deux stations de contrôle sont Oberpfaffenhofen, en Allemagne (en Bavière, 20 km à l'ouest de Munich) et Fucino, en Italie (dans les Abruzzes, 130 km à l'est de Rome). Pour le segment utilisateur, il est prévu deux régimes - un gratuit (comme le GPS actuel) et un payant. La précision promise pour le service gratuit est tellement remarquable qu'on se demande quelle sera la plus-value avec le service payant!

14.5

Système Compass

Le système chinois Compass (ou CNSS, Compass Navigation Satellite System) est, comme les trois systèmes précédemment exposés, basé sur une constellation de satellites MEO. D'abord connu sous le nom 16 de Beidou-2, il s'appuie sur l'héritage technologique de Beidou-1, première ébauche d'un système de positionnement, basé, lui, sur deux satellites géostationnaires (nous y revenons un peu plus bas).

14.5.1

Les trois segments

La partie MEO du segment spatial, Compass-M (avec M pour MEO), consiste en une constellation 17 de 24 satellites MEO (3 plans de 8 satellites régulièrement espacés). Chaque satellite est muni d'une horloge à rubidium. Le signal est émis selon 3 fréquences: BI (entre 1559 et 1592 MHz), B2 (entre 1166 et 1217 MHz), B3 (entre 1251 et 1286 MHz). 16 Bei Dou est le nom chinois de la constellation Ursa Major, la Grande Ourse. En fait, dans l'astronomie chinoise, les constellations sont au nombre de 28 et ne correspondent pas exactement avec les constellations de l'astronomie occidentale, beaucoup plus nombreuses. Bei signifie «nord» et Dou se dit pour un instrument de mesure de grains (un «boisseau» en français) qui ressemble à une grande louche - ce qui fait penser à l'expression française populaire « grande casserole», et l'expression américaine Big Dipper, « grande louche», pour désigner la Grande Ourse, d'après sa forme. Notons que les satellites Beidou sont aussi nommés satellites Big Dipper. Compass signifie «boussole» en anglais. Ce nom vient du vieux français (XIVe s.) compas, du verbe compasser, «mesurer avec le pas », du verbe latin formé de cum «avec» et passus «le pas». Au xv e s., le nom anglais a pris le sens de boussole, appelée aussi en français compas de mer. Une même idée réunit la Grande Ourse (qui permet de repérer facilement l'étoile Polaire dans Ursa Minor, la Petite Ourse) avec la boussole, instrument d'orientation ... avant le GPS. 17Date de lancement: Beidou-2-M1 (Compass-M1) : 13 avril 2007.

620

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

L'orbite est très semblable à celle de Navstar/GPS, avec une altitude h = 21 532 km et une inclinaison i = 55°. La période est de 12 h 58 min (voir figure 14.13(a)). Les vitesses de précession sont très faibles, pour les mêmes raisons que pour Navstar. Les valeurs sont, en degré par jour : il = -0.033 W = -0.018 L1n = -3.7 10- 4 La constellation MEO est complétée par deux systèmes 18 supplémentaires (voir la figure 14.13(b)) : - Compass-G: système de 5 satellites GEO, stationnés aux longitudes 58.75°E, 80.0°, 110.5°, 140.0° et 160.0° ; - Compass-I : système de 3 satellites sur une orbite dite IGSO (Inclinated Geosynchronous Satellite Orbit), géosynchrones en orbite circulaire avec une inclinaison i = 55°. Ils sont régulièrement espacés sur la même orbite dont le nœud ascendant est situé à la longitude 118°E. Le système de référence géodésique est CGS-2000 (China Geodetic System) qui est pratiquement identique à ITRF. Le système de contrôle est constitué d'une station centrale et de trois stations de suivi. Pour l'utilisateur, la précision annoncée est la même que celle obtenue avec N avstar.

14.5.2

Système expérimental Beidou-1

Le système de positionnement Beidou-1, également appelé BNTS (Beidou Navigation Test System), est un système expérimental. Dit aussi Double Star Positionning System (DSPS), il est basé sur l'utilisation de deux satellites géostationnaires et impose à l'utilisateur d'être muni d'un émetteur-récepteur. Il est opérationnel depuis 2003. Le principe en est le suivant. La station de contrôle C émet un signal avec signature temporelle vers l'utilisateur P via deux satellites Sl et S2, schématisé figure 14.14. Quand l'utilisateur reçoit un premier signal, disons de Sl, il le renvoie vers C, via les deux satellites. La station de contrôle mesure ainsi les deux intervalles de temps L1t1 et L1t2 qui correspondent aux deux parcours:

C C

---+ ---+

S1 S1

---+ ---+

P P

---+ ---+

S1 S2

---+ ---+

C C

===} ===}

CL1t1 = 2d 1 + 2r1 CL1t2 = dl + r1 + d2 + r2

18Dates de lancement - Compass-G : Beidou-2-G1 : 16 janvier 2010; Beidou-2-G2 : 14 avril 2009; Beidou-2-G3 : 2 juin 2010; Beidou-2-G4 : 31 octobre 2010. Dates de lancement - Compass-I : Beidou-2-Il : 31 juillet 2010; Beidou-2-12 : 17 décembre 2010; Beidou-2-I3 : 9 avril 2011. Ces satellites Beidou-2-In sont aussi notés Beidou-2IGSO-n.

621

14.5. Système Compass

Compass-M Trace de l'orbite »> Durée représentée:

Altitude =21532.0 km Inclinaison = 55.00

7.00 jours

a =27910.137 km

0

Période = 773.38 min • Révol./j.= 1.86 Décalage à l'équateur =21583.9 km

Proj. : Vue perspc. h=5.61 R Propriété: (sans)

EB T.:Azimutal - Grille : 10

0

CP: 55.0' N;118.0 'E/CZ: 50.0' N; 98.0' E Aspect: Oblique> zoom: 1.15 [5.31 [·90.0/ +35.0/-2801 [.]

-62.00

0

[00:00 TSM]

Il;iWJJ

MC

EGM96

Compass-I +G Trace de l'orbite Phasage

Noeud asc:

Altitude =35786.4 km Inclinaison

=

55.00

*

LMD ATÀaç

a =42164.496 km

0

Période = 1436.07 min • Révol./j.= 1.00

= [1; +0; 1]

»> Durée représentée: 1440.0 min

=

Décalage à l'équateur =40075.9 km

1.00 jour

Projection: Mercator

Centre Project.: 0.0

Propriété: Conforme

Aspect: Direct

EB T.:Cylindrique - Grille : 100

[4.211 +90.0/ +0.0/+152.011'[ EGM96

0

;

118.0 °E

Noeud asc: 118.00 0 [00:00 TSM] Incl in. app. = 117.50 0

Il;iWJJ

MC

*

LMD ATÀaç

14.13 : Système Compass. (a) Compass-M. Trace de l'orbite, sur 7 jours, vue du point le plus au nord de l'orbite de Compass-I. (b) Compass-I et Compass-G. Trace de l'orbite IGSO (géosynchrone) des trois satellites Compass-I et position des cinq satellites G EO (géostationnaires).

FIG.

622

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

SI

);(

,, ,, ,, ,, ,, ,

/1

/

./

/

.,,

's{~[f~

14.14 : Principe du système Beidou-l. L'utilisateur P capte un signal émis par la station centrale C. Il le renvoie vers C via les deux satellites géostationnaires Sl et S2. Les signaux sont analysés par C, la position de P est calculée et le résultat est envoyé à P. FIG.

Les deux distances di sont connues, de même que les temps de réponse des relais (transpondeurs), dont on ne tient pas compte dans ce schéma simplifié. Les valeurs cherchées sont Tl et T2 :

(C/2)Llt1 - dl (c/2)(2Llt2 - LltI) - d 2 Le point cherché est à l'intersection des deux sphères Ei' centrées sur le plan équatorial (centre Si, rayon Ti). Cette intersection se fait selon un cercle qui est dans un plan perpendiculaire à l'équateur. Ensuite, l'intersection de (L\ n E 2 ) avec l'ellipsoïde terrestre donne deux points, un dans chaque hémisphère, Nord et Sud. Celui de l'hémisphère Nord correspond à la position de l'utilisateur chinois. Une contrainte supplémentaire est donc que l'altitude du point P soit connue: - si P est sur le sol, la station centrale C connaît l'altitude de P car elle dispose d'un MNT (modèle numérique de terrain) très précis pour le territoire chinois, avec une grille d'une seconde d'arc de côté; - si P est dans l'air, l'utilisateur doit déterminer son altitude, à l'aide d'un instrument barométrique par exemple, et envoyer l'indication à C. La position de P étant ainsi déterminée, la station C transmet le résultat à P. Aux 4 trajets entre la Terre et un géostationnaire, pour la détermination de la position, s'ajoutent donc 2 autres trajets pour la transmission du résultat. Soit un total de 6 trajets, qui prennent 0.8 seconde. Le système géodésique de référence 19 de Beidou-l est Beijing-1954. 190n peut s'étonner de l'utilisation pour Beidou-1 d'un système de référence aussi ancien, et encore plus que son nom ne l'indique, puisqu'il est un calque du modèle soviétique Krasovsky-1940.

14.6. Systèmes d'augmentation

623

Le segment spatia1 20 comprend deux satellites géostationnaires, BeidoulA et -lB, stationnés à SO.ooE et l40.0°E. Un satellite de réserve est stationné à 1l0.5°E. Le segment de contrôle est constitué par la station centrale et par trois stations de suivi, toutes en Chine. Le segment utilisateur consiste en un émetteur-récepteur, un peu volumineux. La région couverte est limitée : latitude

1

longitude

La précision obtenue est d'environ 100 mètres. En utilisant le troisième satellite (méthode différentielle), on peut espérer atteindre 20 m. Cette précision s'envole lorsque le récepteur est en mouvement. Dès que la vitesse dépasse quelques mètres/seconde, le système est peu précis, voire inopérant. La capacité du système est limitée : 540 000 utilisateurs par heure, avec un maximum de 150 utilisateurs simultanés. Le principe de positionnement Beidou-l présente des avantages par rapport au système Navstar/GPS : - utilisation des 2 satellites au lieu d'une constellation d'au moins 24; - les horloges n'ont pas à être ultra-précises; il suffit qu'elles soient stables puisqu'elles mesurent une différence de temps. C'est donc un système qui peut être vite mis en place et ne coûte pas cher, relativement. Il présente aussi beaucoup de désavantages: - la couverture est régionale (ce qui peut être considéré comme suffisant par les utilisateurs chinois) ; - la précision est faible, puisqu'elle est de 100 m en mode normal; - le récepteur est relativement encombrant et cher; - le nombre d'utilisateurs est limité. Pour les autorités chinoises, les désavantages l'emportent sur les avantages puisque, bien qu'apparemment satisfaites de ce système expérimental Beidou1, elles ont décidé la mise en place de Beidou-2 (Compass) sur le principe Navstar, c'est-à-dire basé sur une constellation MEO de satellites.

14.6

Systèmes d'augmentation

Comme nous avons vu plus haut, le principe du GPS différentiel (DGPS) repose sur la transmission aux utilisateurs de la correction détectée par la station témoin. Plutôt que d'envoyer l'information par relais radio terrestre, on la transmet directement à un satellite géostationnaire qui va la rediffuser en direction de la Terre. Le satellite supplémentaire crée ainsi un système d'augmentation. 20 Dates de lancement - Beidou-1A (BNTS-1A, DFH-51) : 30 octobre 2000; Beidou-1B (BNTS-lB, DFH-52) : 20 décembre 2000; Beidou-1C (BNTS-1C, DFH-56) : 24 mai 2003.

624

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

Projection: Mercator

CP: 0.0' , 0.0' ICZ 30.0' N; 0.0'

Propriété: Conforme

Aspect: Direct

EIl T.:Cylindrique - Grille: 100

15.31 [+90.01 +0.01-90.0] [-]

MC

ATÀa,

Artemis

Altitude =35787.6 km

Lieu des points de la Terre

Inclinaison

équidistants

Période = 1435.91 min • Révol.lj.= 1.00

Proj. : Stéréographique

EIl T.:Azimutal- Grille : 1D'

=

0.00

a_GS = 42165.785 km Long. station. = 21.4

0

0

E

Décalage à l'équateur =40072.1 km

du point subsatellite

Propriété: Conforme

nu,; V * LMD

.. Demi-fauchée: 8.7' - Au sol: 9050.2 km [1000.0 km]

CP: 45.0 N, 0.0 ICZ: 35.0 N; 0.0 0

0

0

Aspect: Oblique> zoom: 2.00 15.31 [ -90.01 +45.01 +90.0] [-] EGM96

0

Géostationnaire Latit. max. atteinte

= 81.3

ni(,)V

0

MC

*

LMD ATÀa,

14.15 : Systèmes d'augmentation régionaux. (a) Délimitation des aires: WAAS (Amérique du Nord), EGNOS (Europe), GAGAN (Inde), MSAS (Japon), SNAS (Chine), SDCM (Russie). (b) Domaine européen EGNOS et représentation des distances à partir du point sub-satellite du satellite géostationnaire Artemis.

FIG.

14.7. Les systèmes régionaux

625

Ces systèmes, désignés souvent par leur nom en anglais, SBAS (SatelliteBased Augmentation System), apportent des améliorations importantes. (a) D'abord, par la diffusion des corrections, ils étendent à beaucoup plus d'utilisateurs la qualité DGPS. (b) Ensuite, ils sont munis d'horloges GPS et émettent un signal (du type LI), défini par son code PRN, qui ajoute des mesures de pseudo-distances à celles obtenues par les satellites MEO de la constellation GPS. (c) Enfin, ces systèmes, par l'analyse d'un ensemble de données, offrent un service dit d'intégrité. L'intégrité est la garantie que les signaux peuvent être traités en toute confiance: c'est la condition sine qua non à l'utilisation du GPS dans l'aviation civile. Les zones couvertes par les divers systèmes d'augmentation sont représentées sur la figure 14.15(a) et la liste des satellites participants est notée dans le tableau 14.3. Le système WAAS (Wide Area Augm. Syst.) a été développé par l'administration de l'aviation, aux États-Unis. Il est basé sur 3 ou 4 satellites GEO. La couverture s'étend sur toute l'Amérique du Nord (après absorption du canadien CWAAS) et Hawaï. Le système américain WAGE (Wide Area GPS Enhancement) géré par l'armée (US DoD) n'est accessible qu'aux militaires. La compagnie John Deere, leader mondial dans le marché des machines agricoles, a développé, pour sa clientèle, le système privé StarFire (précision: 10 cm) avec l'utilisation d'un satellite géostationnaire Inmarsat. Le système européen EGNOS (European Geostationary Navigation Overlay Service) est basé sur 3 satellites GEO. Il couvre l'Europe, l'Atlantique de l'Islande aux Açores et aux Canaries, ainsi que le nord du Maghreb, comme montré sur la figure 14.15(b). Le système indien GAGAN (GPS Aided GEO Augmented Navigation System)21 utilise 2 satellites GEO. Il couvre l'Inde continentale et ses deux archipels. Le système japonais MSAS (Multi-functional Satellite Augm. Syst.) est géré par l'agence météorologique et le ministère des transports japonais. Il utilise 2 satellites GEO. Le système est limité au Japon. La Chine, avec SNAS (Satellite Navigation Augm. Syst.) et la Russie avec SDCM (System for Differential Correction and Monitoring) doivent prochainement mettre en œuvre leur système d'augmentation.

14.7

Les systèmes régionaux

Nous présentons ici deux systèmes régionaux qui ne sont pas équivalents: l'indien IRNSS est un système autonome alors que le japonais QZSS ne sert 21 Dans

le genre acronyme clin d'œil, celui-ci est particulièrement réussi: gagan signifie

« ciel» en sanskrit.

626

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

IRNSS/GSO Traces des orbites Phasage

Altitude =35787.3 km

Période = 1436.02 min • Révol.lj.= 1.00

= [1; +0; 1]

»> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

Décalage à l'équateur =40075.0 km

Projection: Mercator Propriété: Conforme

CP: 0.0' , 0.0' /CZ 0.0' ,75.0' E Aspect: Direct> zoom: 2.40

EIl T:Cylindrique - Grille: 10'

15.31 [+90.0/ +0.0/-90.0] [-] EGM96

QZS-1 (~~O'~) Trace de l'orbite elliptique Phasage

Noeuds A : 55,0 '1[ Si. 11111.5 'S:: Inclin. app. = 104.50'

nLGJV

MC

*

LMD

ATÀ<X,

Altit équival. = 35785.8 km Inclinaison

=

40.91

a =42163.941 km e = 0.075053

0

Période = 1435.99 min • Révol.lj.= 1.00

= [1; +0; 1]

»> Durée représentée: 1440.0 min

=

1.00 jour

h_a = 38950 km ; h_p =32621 km ; arg. périgée: +270.00 '

Projection: Orthographique

Centre Project.: 26.0 ' N ; 134.0 'E

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique 14.21 [ -90.0/ +64.0/-44.01 [-1 EGM96

EIl T:Azimutal- Grille : 10'

a =42165.410 km

Inclinaison = 29.00'

Longitude premier passage: Noeud asc: 148.59' Apogée

140.00 '

nLGJV

MC

*

LMD

ATÀ<x,

14.16 : (a) IRNSS. Trace des deux orbites GSO (géosynchrones) des satellites IRNSS-GSO et position des trois satellites GEO (géostationnaires). (b) Trace de l'orbite géosynchrone des trois satellites QZSS.

FIG.

14.7. Les systèmes régionaux

Système

Satellite / SBAS

PRN

Long.

°

WAAS

Galaxy-15 Anik-F1R Inmarsat-3-F4/ Inmarsat-3-F2 / Artemis Inmarsat-3-F5 / Inmarsat-4-F1 / MTSAT-lR MTSAT-2 QZS-1

135 138 122 120 124 126 127 129 137 183

133.0 107.3 54.0 15.5 21.4 24.7 143.5 140.0 145.0 140.0

W W W W E E E E E E

-

EGNOS -

GAGAN MSAS -

AOR-W AOR-E IOR-W IOR

627

st. st. st. st. st. st. st. st. st. ap.

TABLEAU 14.3 : Satellites utilisés pour les systèmes d'augmentation, avec nombre PRN, longitude de stationnement (st.) pour les GEO ou d'apogée (ap.) pour QZSS. En date du rr juillet 2011. (AOR : Atlantic Ocean Region, IOR : Indian Oc. R.).

qu'à améliorer, dans les grandes villes du pays, le positionnement fourni par Navstar/GP8.

14.7.1

Le système IRNSS

L'Inde va développer un système de navigation basé sur les satellites GEO et G80, géostationnaires et géosynchrones avec inclinaison. Il sera donc régional, puisque sans satellite MEO, on ne peut espérer une couverture globale. Ce système IRN88 (India Regional Navigation Satellite System) est basé sur 7 satellites, 3 GEO et 4 G80, munis d'horloges au rubidium qui émettent un signal selon deux fréquences, L5 = 1 176.45 MHz et 8 = 2 492.08 MHz. Le système de référence géodésique adopté est WG884. Les trois satellites GEO sont répartis avec un écart de 50° environ en longitude: les longitudes de stationnement sont 34.0 0E, 83.0 0E et 131.5°E. Les quatre satellites G80 sont répartis sur deux orbites géosynchrones circulaires, avec une inclinaison i = 29°. La longitude du nœud ascendant est 55.0 0E pour l'un et 1l1.00E pour l'autre (voir figure 14.16(a)). La précison attendue est de 20 mètres, dans la zone principale, comprise entre 40 0N et 40°8 en latitude, 40 0E et 140 0E en longitude.

14.7.2

Le système QZSS

L'agence japonaise JAXA a imaginé une intéressante orbite, rappelant l'orbite Tundra, mais moins excentrée et avec une inclinaison plus basse que l'inclinaison critique 22 . C'est une orbite géosynchrone, avec i = 40°, qui a 22La précession apsidale est cependant très faible: 4° par an, ce qui est facilement compensable.

w=

-0.01025° /jour, soit moins de

628

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

14.17 : Dans les «canyons urbains», selon la belle expression des urbanistes, lorsqu'on est coincé entre deux gratte-ciels de Tokyo, la réception du signal GPS n'est pas très sûre: soit le signal ne passe pas, soit - et c'est pire - il effectue des trajets multiples sur les parois des immeubles et le calcul de position est ainsi erronné. Document: JAXA.

FIG.

Navstar/GPS & QZS-1

Visibilité pour TOKYO (35°N ; 140 E) Hauteur de visée: h > 60° Date: 01 MAR 2011 0

1

1

2 3 4 5

2 3 4 5 6 7

6 7 8 9

8 9 10 11 12 13

10 11

12 13

14 15

14 15

16

16

+'·-......-17

17

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

18 19 20

21

22

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

OZS =1~~~~±=LJ=l=±=L=c3=±=~LJ=±~~~~~~FOZS o

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 192021 222324 Heure TU

14.18: Tableau de visibilité des 32 satellites Navstar/GPS et du satellite QZS1, pour Tokyo, le rr mars 2011. Hauteur de visibilité: h > 60°. A vec une telle contrainte de visibilité, correspondant à la situation dans le centre des grandes villes japonaises, la constellation Navstar/GPS ne fournit pas une couverture suffisante. On voit, grâce à ce tableau, que la plupart du temps seuls 2 ou 3 satellites Navstar/GPS sont en vue, ce qui est en dessous du seuil minimal de 4. Les satellites QZSS (pour l'instant, uniquement QZS-1) sont d'un apport très important. FIG.

14.8. Utilisation du GPS hors localisation

629

son apogée sur Tokyo. Ainsi, non seulement le satellite reste longtemps sur le Japon, mais il est presque à la verticale, au zénith, des grandes villes japonaises (voir figure 14.17) - d'où le nom de QZSS (Quasi-Zenith Satellite System). Cette constellation doit se composer de trois satellites régulièrement espacés, QZS-1, -2 et -3. Le premier 23 , QZS-1, est déjà opérationnel. Sa trace est représentée en figure 14.16(b). Chaque satellite est visible pendant environ 11 heures par jour, avec des conditions de visibilité « difficiles », c'est-à-dire h > 60°. La figure 14.18 montre clairement comment la constellation N avstar /GPS est peu efficace dans ces conditions, puisqu'on a rarement plus de deux ou trois de ces satellites en vue. Les satellites de la constellation QZSS apportent le quatrième ou même cinquième satellite nécessaire à une géolocalisation correcte. Le système de référence géodésique est J GS (Japan Geodetic System), très proche de ITRF. Le segment sol comprend la station centrale de contrôle (MCS) à Tsukuba, située 60 km au nord de Tokyo, et neuf stations de suivi, au Japon et à l'étranger (les plus extrêmes sont Bangalore à l'ouest, Hawaï à l'est et Canberra au sud).

14.8 14.8.1

Utilisation du GPS hors localisation Radio-occultation

L'occultation des ondes radio par l'atmosphère, ou radio-occultation, a été expérimentée par le JPL avec les sondes américaines Mariner-4, en 1965, pour l'atmosphère de Mars, et Mariner-5, en 1967, pour l'atmosphère de Vénus. En 1994, on a commencé à utiliser le signal des GPS pour sonder l'atmosphère terrestre, en plaçant un récepteur sur des satellites en orbite basse. Le signal est émis par le satellite de navigation S et est reçu par le satellite LEO L. Le trajet SL (voir figure 14.19) s'effectue selon une ligne droite quand il est hors de l'atmosphère, mais est dévié lorsqu'il la traverse. Cette déviation ex (de quelques dixièmes de degré) dépend de l'indice de réfraction de l'air, qui est fonction principalement des grandeurs locales de température, pression, densité et contenu en vapeur d'eau. On mesure de la sorte une valeur intégrée sur toute la traversée, sur la distance ab du trajet SL. Après traitement par inversion (du type inversion d'Abel), on obtient des profils de température (précision de 0.1 K à 0.5 K), de pression et d'autres paramètres atmosphériques. Les oppositions (la Terre est entre les deux satellites) entre un satellite LEO (VI rv 14) et un satellite GPS (V2 = 2) se produisent en gros (VI - V2) = 12 fois par jour, et on peut donc en attendre 24 occultations. Avec 24 23Date de lancement - QZS-1 : 11 septembre 2010. QZS-1 est désigné aussi sous le nom japonais Michibiki qui signifie « le guide ».

630

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

satellites Navstar /GPS, on a environ 500 occultations par jour, ce qui mène à 15000 par mois par satellite LEO. Les premiers satellites LEO équipés ont été les trois satellites de géodésie, CHAMP, GRACE-A et -E, ainsi que 0rsted, SAC-C et MetOp-A. La constellation COSMIC, constituée de six satellites FormoSat-3, de -3A à -3F, est la première mission expressément dévolue aux radio-occultations (voir figure 14.20). La mission européenne, en projet, ACE+ (qui reprend les missions WATS et ACE) est du même type, avec 4 satellites LEO, i rv 90°, munis de récepteurs GPS. Tous ces satellites sont en orbite quasi polaire. Un récepteur doit équiper Megha-Tropiques pour le sondage de l'atmosphère dans les régions tropicales (voir figure 17.13).

14.8.2

Étude de la troposphère grâce aux stations de base

Une station de base permanente du système DGPS envoie la correction de position ... puis la jette! Les services météorologiques récupèrent cette correction, notée JoX dans (14.22). Ce « produit poubelle» (comme disent aimablement les techniciens du GPS) contient une information sur le contenu en vapeur d'eau intégré sur la traversée de la troposphère, au-dessus de la station, à un instant donné. Cette information, en continu et sans pratiquement de délai, est « assimilée» avec d'autres données physiques pour l'élaboration des modèles de prévision météorologique.

14.8.3

Autres applications

Le domaine d'application du GPS déborde du positionnement et s'étend maintenant à des applications inattendues. Voici un exemple dans le monde de la finance. Actuellement, une grande partie des transactions boursières se fait avec des prises de décision informatiques. Parmi les nouveaux services, celui des flash orders permet à certains clients (à leurs ordinateurs, en fait) de consulter les ordres sur certains titres une fraction de seconde avant les concurrents. Ce délit d'initié à la microseconde peut être démasqué par un « marquage de temps» du GPS lors de la transaction.

14.9 14.9.1

Note historique: le premier système Le système Transit

Le programme de navigation Transit a commencé avec une découverte de chercheurs américains (JHU / APL, Université Johns Hopkins), en 1957 :

14.9. Note historique: le premier système

631

14.19 : Schématisation du trajet du signal émis par le satellite GPS, noté S. Le signal reçu par le satellite LEO, noté L, est dévié par la traversée de l'atmosphère entre a et b. L'angle de déviation Œ est défini par Œ = (Sa, hL). FIG.

,,

1 1 1 1

1

,

/

/

L \

\

\

\

\

\

\

,,

",Jr:: tm .)

--------

FormoSat-3F/COSMIC

o km <->

Altitude = 791.7 km

75 km - Occultation Radio avec Navstar/GPS

»> Durée représentée:

Inclinaison = 72.02

7.00 jours

Nombre total d'occultations

Période = 100.78 min • Révol./j.=14.29 Décalage à l'équateur = 2828.2 km ( 25.4 0)

172

Projection: 8099S Eumorphic

Centre Project.: 0.0

Propriété: Equivalente

Aspect: Direct [interrompu]

œT.:Pseudo-cyl. - Golle

: 10

0

a = 7169.792 km 0

0

[4.211 +00/ +0.0/·20.011·]

:

20.0 0 E EGM96

Noeud asc: -13.00 Inclin. app. = 75.95

0

0

[00:00 TSM]

ntWV

MC .. LMD ATÀa:Ç

Lieux de radio-occultation entre le satellite FormoSat-3F et le satellite Navstar/GPS [PRN 16}, durant 7 jours.

FIG. 14.20 :

632

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

l'orbite du satellite Spoutnik-1 pouvait être déterminée avec une très grande précision par mesure de l'effet Doppler sur les radio-fréquences. Ils ont alors basé le principe de navigation sur le problème inverse: si on connaît avec précision la position du satellite, on peut en déduire, par l'effet Doppler, la position du récepteur. La marine américaine (US Navy) , qui mettait au point le programme Polaris (sous-marins lance-missiles), prit en main l'affaire pour créer le premier système de géolocalisation, nommé NNSS (US Navy Navigation Satellite System) ou Transit. Après l'envoi de satellites expérimentaux dès 1960, le système est devenu opérationnel à partir de 1964 (constellation dite NSS 30). La constellation 24 est formée de satellites en orbite polaire circulaire, à une altitude de 1 000 km. La position du récepteur est calculée à partir des mesures successives de l'effet Doppler-Fizeau sur le signal envoyé par le satellite Transit. Ce n'est possible que durant le temps de visibilité du satellite, qui est de 15 minutes au maximum par révolution, voir l'exemple 13.5. Avec 6 satellites, l'utilisateur voit un satellite toutes les 100 minutes, à l'équateur, mais toutes les 35 minutes à une latitude élevée. L'utilisateur doit connaître son altitude, qui n'est pas déterminée précisément par cette méthode, et il ne doit pas se déplacer trop vite. Dans ces conditions, la précision de la position est de 20 mètres. Pour un observateur immobile, avec des mesures sur plusieurs jours, on peut atteindre la précision de 5 mètres. Le système Transit a commencé en 1964 pour une utilisation militaire, puis a été ouvert au public à partir de 1967. Les récepteurs coûtaient environ 1 000 dollars américains et il y a eu jusqu'à 80 000 utilisateurs, principalement 240n peut classer les satellites Transit en 5 catégories. - Les 5 satellites expérimentaux, de Transit-lB, lancé le 13 avril 1960, à Transit-4A, lancé le 29 juin 1961, sur des orbites semblables, i = 66.7°, hp = 625 km, ha = 1080 km. - Les 10 satellites probatoires, en orbite strictement polaire, de Transit-5A-1, le 18 décembre 1962, à Transit-5C-1 (OPS/4412), le 4 juin 1964, i = 90.0°, h = 1 100 km. Transit5B-1, lancé le 28 septembre 1963, est le premier satellite effectivement utilisé par l'US Navy. - Les 24 satellites opérationnels, de la série Oscar (0 pour operation al, « opérationnel» ), de Transit-0-1 (ou NSS-300l0, OPS/5798), le 6 octobre 1964, à Transit-0-25 (NSS-30250, NIMS-25, SOOS-4A) et Transit-0-31 (NSS-30310, NIMS-31, SOOS-4B), lancés le 25 août 1988. Le satellite Transit-0-13 (NSS-30l30,OPS/7218) a fonctionné de septembre 1967 à janvier 1989. - Les 3 satellites Triad, du programme TIP (Transit Improvement Program). Ils ont démontré la faisabilité de la technique drag free (compensation de traînée), Triad-1 (ou TIP-1), lancé le 2 septembre 1972, Triad-2 (TIP-2), le 11 octobre 1975, Triad-3 (TIP-3), le 1er septembre 1976, toujours sur une orbite strictement polaire. - Les 3 satellites Nova, lancés dans cet ordre, Nova-1 (NSS-30480), le 15 mai 1981, Nova-3 (NSS-30500), le 12 octobre 1984, Nova-2 (NSS-30490), le 16 juin 1988, tous sur une orbite strictement polaire, i = 90.0°, h = 1 180 km. Même après la fin du programme Transit, certains satellites, du programme NIMS (Navy Ionospheric Monitoring System), ont continué à fonctionner pour fournir des données sur la transmission des signaux dans l'ionosphère, utilisables par le système Navstar/GPS.

14.10. Annexe: GPS et plaques tectoniques

633

dans le domaine maritime. Il a été officiellement arrêté le 31 décembre 1996, après 32 ans de service.

14.9.2

Le système soviétique

L'URSS avait un grand retard sur les États-Unis dans le domaine de la géolocalisation. À partir de 1974, l'Union soviétique développa un système 25 très semblable à Transit, le système Parus, suivi ensuite du système civil Tsikada, puis Nadejda. Ce système fut très utilisé, à partir de 1990, par la marine marchande russe, avec une précision de localisation des bâteaux à 100 mètres près. La Russie a mis fin au service opérationnel en mai 2007.

14.10

Annexe: GPS et plaques tectoniques

À l'intérieur de la Terre, la radioactivité de certaines roches produit de la chaleur par désintégration. Des zones supérieures du manteau remontent à la surface (phénomène convectif) et forment l'écorce terrestre. Sous l'effet du refroidissement, ce magma devient cassant et forme des plaques, de 10 à 100 km d'épaisseur. La surface du globe terrestre est formée de l'ensemble de ces grandes plaques (le modèle MORVEL, en 2011, est basé sur 25 plaques). Ces plaques se déplacent les unes par rapport aux autres, dans un mouvement appelé tectonique 26 des plaques. Les frottements des plaques amènent, à la longue, à la dérive des continents dont les manifestations les plus connues sont les séismes et le volcanisme. Le géophysicien allemand Alfred Wegener avait, en 1915, développé son idée de dérive des continents par des considérations géographiques, géologiques et paléontologiques. À partir des années 1970, on a pu appuyer la théorie de la tectonique des plaques sur des mesures géophysiques (bandes de plancher océanique présentant des changements dans l'orientation magnétique) et on a ainsi pu évaluer les vitesses de déplacement. Depuis 1992, on mesure directement ces déplacements avec le GPS. La technique de l'interférométrie radio à très longue base (VLBI) et les autres techniques, évoquées au chapitre 3 à propos de l'ITRF, permettent d'obtenir 25Le système soviétique peut être mis en trois familles de satellites. - Les 99 satellites militaires Parus (parus signifie « la voile»), ou Tsikada-M (M pour militaire), de Parus-1 (Kosmos-700), lancé le 26 décembre 1974 à Parus-99 (Kosmos 2463), le 27 avril 2010. - Environ 40 satellites Tsikada (<< cigale»), de Kosmos-883, lancé le 15 décembre 1976, à Kosmos-2315, le 5 juillet 1995 sur une orbite quasi polaire légèrement elliptique, i = 83°, hp = 960 km, ha = 1 020 km. - Les 8 satellites Nadejda (<< espoir»), de Kosmos-1383, le 29 juin 1982, puis Nadejda-1, le 4 juillet 1989 à Nadejda-7 (Nadejda-M-1), le 26 septembre 2002. 26Le mot tectonique a été créé en allemand (en 1850), à partir du grec tekton, 6 'dxl:wv, ovoç, «le charpentier» (ou « le menuisier»). On retrouve cette racine indo-européenne *tek, « produire», dans le grec techn~, ~ l:ÉXvYJ, YJç, « l'art manuel» (qui a donné technique) ou le latin textor, oris, « le tisserand».

634

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

-- ---.

FIG. 14.21 : Champ de vitesse des déplacements horizontaux des plaques tectoniques, publié dans le document de définition de ITRF2008. a) Représentation plane. L'échelle est indiquée sur la carte. b) Représentation orthographique centrée sur l'Atlantique. Ces valeurs sont obtenues principalement à partir des balises GPS fixes. Document fourni par les auteurs : Zuheir Altamimi (LAREG/IGN), Xavier Collilieux (LAREG/IGN), Laurent Métivier (IPGP), Paris.

des valeurs de déplacement avec une précision équivalente. Mais il est plus simple d'installer une balise GPS qu'une antenne de VLBI... Actuellement, des centaines de balises GPS sont réparties à la surface du globe (dont une grande proportion en Californie, pour une surveillance pointue de la faille de San Andreas, et au Japon). Au 1er janvier 2011, on comptait 6 000 balises. Leur position absolue est mesurée dans le mode le plus précis du GPS. Un traitement statistique adapté permet de connaître les déplacements de chaque balise en latitude, longitude et selon la verticale. On obtient ainsi la carte des déplacements des plaques voir la figure 14.21. Des satellites situés à plus de 20 000 km permettent de mesurer des déplacements absolus de quelques millimètres par an à la surface de la Terre: c'est une des plus extraordinaires réussites scientifiques du GPS.

Chapitre 15

Satellite de Mars 15.1 15.1.1

Présentation de la planète Mars Mars et l'exploration spatiale

Si on compare la Terre avec ses deux voisins, elle a un point commun avec Vénus, qui orbite en dessous, c'est la taille. Mais c'est avec le voisin du dessus, Mars, qu'elle a le plus d'affinités, car les deux paramètres fondamentaux que sont la durée du jour et l'obliquité ont des valeurs très proches pour ces deux planètes. Comme la Terre, Mars présente des phénomènes climatiques l avec hiver, été, tempêtes de sable et glace éternelle sur les pôles. Ces phénomènes de saison ont été observés depuis longtemps par les astronomes, comme le montrent les premiers dessins de Huygens, en 1672. L'atmosphère de Mars (sur laquelle nous revenons peu après) est en effet assez transparente dans le visible, ce qui n'est pas le cas de celle de Vénus. L'éloignement de Mars (environ 1.5 unité astronomique) en fait une planète plus froide que la Terre (avec effet de serre de l'atmosphère plus faible) et avec une année presque deux fois plus longue. L'observation de cette planète remonte à l'Antiquité. Très certainement à cause de sa couleur rouge, elle reçut le nom du dieu de la guerre 2 , Arès chez les Grecs (à "ApY]ç, EWÇ, d'où le préfixe aréo- pour ce qui se rapporte à cette planète), Mars chez les Romains. Plus tard, l'observation à la lunette permit de connaître sa surface et, pour certains, d'imaginer des martiens creusant des canaux. Au xx€ siècle, l'observation plus précise au télescope fut relayée, lSur Vénus, avec une atmosphère très dense et un effet de serre très fort, la fournaise est permanente, jour comme nuit, quelle que soit la saison ou la latitude. L'atmosphère est en déplacement, toujours dans le même sens (celui de la rotation de la planète), dans un mouvement dit de super-rotation. Les vents sont très forts en altitude, faibles en surface. 2 Arès signifie littéralement «le guerrier, le mâle», de la racine indo-européenne * ar, « prendre, détruire, faire périr».

M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

636

Chapitre 15. Satellite de Mars

dès le début de l'ère spatiale, par l'envoi de sondes. Exploration spatiale

L'URSS envoya en octobre 1960, donc seulement trois ans après le premier Spoutnik, deux sondes (parfois nommées Marsnik-1 et -2) pour un survol de Mars, mais elles explosèrent au lancement (on ne sait toujours pas avec certitude s'il s'agissait d'une ou de deux sondes). Les quatorze sondes suivantes connurent toutes l'échec, que ce soit au lancement ou, plus tard, par perte de contact: Spoutnik-29, Mars-1 (qui fut la première sonde à approcher Mars, mais muette) et Spoutnik-31 en 1962, Zond-2 et -3 en 1965, deux sondes sans nom clairement attribué (Mars-1969-A et -B) en 1969, Kosmos-419, Mars-2 et -3 en 1971, Mars-4, -5, -6 et -7 en 1973. Les tentatives reprirent quinze ans plus tard, avec Phobos-1 et -2, lancés en juillet 1988, avec pour mission d'observer le satellite naturel Phobos, après une mise en orbite autour de Mars. Seule la sonde Phobos-2 s'approcha très près de Phobos, puis cessa d'émettre. Mars, planète maudite pour les Soviétiques, le resta pour les Russes: la mission très ambitieuse Mars-96 se termina le 16 novembre 1996, le jour même de son lancement, dans le Pacifique. Au total, 18.5 échecs pour 19 tentatives. Les États-Unis lancèrent Mariner-3 et -4 en novembre 1964. La première sonde fut perdue, mais Mariner-4 survola Mars et envoya les premières photographies (21 au total), le 14 juillet 1965. Lancées en février et mars 1969, les sondes Mariner-6 et -7 survolèrent la planète rouge et donnèrent de nombreux clichés. Et, lancée en mai 1971 (comme Mariner-8, perdue au lancement), la sonde Mariner-9 fut la première à se mettre en orbite (h p = 1 650 km, ha = 17 100 km, T ~ 12 h) autour de Mars, le 14 novembre 1971. Jusqu'au 27 octobre 1972, elle envoya 7329 photographies qui changèrent totalement la vision que l'on avait de Mars auparavant. La mission des deux sondes Viking-1 et -2, lancées en août et septembre 1975 fut aussi une réussite (figure 15.1(a)) : pour chaque sonde, mise en orbite d'un module (orbiter) et atterrissage en douceur d'un autre (lander). Les modules au sol ont transmis des données sur l'atmosphère et la surface pendant plusieurs années martiennes. La sonde suivante, dix-sept ans après Viking, fut la première à ne pas être envoyée « en tandem» : Mars Observer, lancée le 25 septembre 1992, fut perdue lors de la mise en orbite autour de Mars. La sonde Mars Global Surveyor, lancée le 7 novembre 1996, reprit de nombreux instruments de la mission précédente. Elle fut mise en orbite autour de Mars après dix mois de voyage, à 14 minutes-lumière de la Terre (phase MOI, Mars Orbit Insertion). L'orbite de MGS fut rendue circulaire par aérofreinage 3 . Elle fut aussi la première orbite héliosynchrone martienne. 3La sonde, soumise principalement à l'attraction de la planète, se met sur une orbite elliptique très excentrée, dont un des foyers est le centre de la planète. Pour rendre cette orbite circulaire, on utilise le frottement de l'atmosphère planétaire sur l'engin. Le satellite perd de l'énergie principalement au périastre (c'est là qu'il va le plus vite et qu'il yale

15.1. Présentation de la planète Mars

637

L'instrument MOLA a doté Mars d'une topographie très précise (dont nous utilisons les résultats ici). La caméra MOC a fourni des photographies avec une résolution de quelques mètres au sol (voir figure 15.1(b)). Lancée le 4 décembre 1996, la sonde Mars Pathfinder se posa opportunément le 4 juillet 1997 et libéra le petit robot microrover Sojourner qui visita les alentours immédiats. Le programme Mars Surveyor-98 (orbiter et lander) connut un double échec. Pour la partie orbiter, la sonde Mars Climate Orbiter, lancée le 11 décembre 1998, fut perdue à la suite d'une mauvaise correction de trajectoire, le 23 septembre 1999, lors de son approche de Mars. Pour la partie lander, Mars Polar Lander (MPL), lancée le 3 janvier 1999, devint muette le 3 décembre 1999, à l'arrivée sur Mars. Le contact fut perdu avec la sonde et les deux « pénétrateurs » Deep Space-2. La sonde Mars Odyssey a été lancée le 7 avril 2001 et a atteint Mars le 24 octobre. L'orbite a été circularisée par aérofreinage et est devenue héliosynchrone et opérationnelle le 30 janvier 2002. Mars Odyssey (2001, l'odyssée de l'espace vers Mars ... ) a permis de cartographier la répartition des éléments chimiques et minéraux de la surface martienne. Elle a montré la présence de grandes quantités de glace d'eau à quelques centimètres de profondeur sous la surface martienne, dans les régions de hautes latitudes (supérieures à 55°N et 55°S). Le Japon n'a pas réussi à placer en orbite la sonde Nozomi (<< espoir »)4. Les trois missions parties en 2003 ont connu un grand succès. La sonde européenne Mars Express, lancée le 2 juin, s'est mise en orbite le 25 décembre 5 . Les sept instruments à bord ont rempli parfaitement leurs multiples missions, de photographie précise, d'étude des minéraux, de l'atmosphère, de l'interaction du vent solaire avec la planète (voir figure 17.17) Les deux sondes américaines Mars Exploration Rovers, MER-A et -E, parties le 10 juin et 8 juillet, sont arrivées les 4 et 25 janvier 2004, en larguant les deux véhicules robot (d'environ 180 kg chacun), nommés respectivement Spirit et Opportunity. Prévus pour quelques mois de fonctionnement, les deux plus d'atmosphère), et l'apoastre diminue ainsi à chaque révolution. Cette manœuvre est appelée aérofreinage. Elle a l'inconvénient d'être très lente (elle dure plusieurs mois) et un peu brutale pour les panneaux solaires et autres équipements. Mais elle a l'avantage d'être très économe en énergie. En ne faisant pas appel à des rétrofusées, elle dispense d'emporter du carburant (propergol). Et on sait qu'embarquer du carburant coûte très, très cher en carburant ... Cette technique a été utilisée pour les trois missions américaines en orbite héliosynchrone: MGS sur 850 révolutions (donc autant de passages au périastre), Mars Odyssey sur 300 révolutions, MRO sur 425 révolutions. La première utilisation de l'aérofreinage l'a été pour la mise en orbite de Magellan autour de Vénus, voir chapitre suivant. 4Lancée le 3 juillet 1998, la sonde Planet-B (Nozomi) devait atteindre Mars le 11 octobre 1999, avec une assistance gravitationnelle Lune-Terre-Lune. La manœuvre n'ayant pas parfaitement réussi, la sonde a été mise sur une orbite héliocentrique pour atteindre, en principe, Mars avec quatre ans de retard, en janvier 2004. Mais ce fut un nouvel échec. 5Échec cependant pour le lander Beagle-2, qui est resté muet. Pour le nom Beagle donné à ce laboratoire au sol, voir note Darwin.

638

Chapitre 15. Satellite de Mars

15.1. Présentation de la planète Mars

639

15.1 : Les images de ces deux pages montrent l'évolution de la précision des clichés de Mars. (a) [en face, en haut} Le volcan Olympus Mons. Image reconstruite numériquement à partir des images obtenues par l'orbiter Viking. Les altitudes sont multipliées par un facteur 10. Document: JPL/NASA. (b) [en face, en bas} Cratère (2.3 km de diamètre) dans le bassin Schiaparelli. Avec la lumière qui vient de la gauche, la couche centrale du cratère semble être au-dessus des autres. Le cratère pourrait bien avoir été rempli avec de l'eau dans le passé lointain de Mars. Mais, selon une autre hypothèse, ces couches pourraient aussi avoir été formées par dépôt du sable amené par le vent (dune stratifiée). Image du 3 juin 2003, prise par la caméra MOC à bord de MGS. Document: Malin Space Science Systems (MOC), MGS, JPL/NASA. (c) [ci-dessus} Cascades de sable. Il ne s'agit pas de peupliers plantés dans le Sahara ... Au printemps, près du pôle Nord de Mars, sous l'action des rayons de soleil, la fine couche de neige carbonique (C0 2 ) qui recouvre les dunes se sublime. Les rayons de soleil pénètrent dans la glace transparente et en chauffent la base. Le gaz carbonique sublimé provoque de véritables geysers qui entrainent le sable noir sous-jacent. Une fois retombés sur la glace aux alentours, le grains de sable relativement chauds sur la glace carbonique se retrouvent en lévitation (phénomène de caléfaction). Ils dévalent la moindre pente en cascade, en laissant ces traces parallèles sombres. Cette image a été photographiée par la caméra HiRISE, à bord du satellite MRO (25 cm/pixel, champ couvert : 1 km). Image d'avril 2008. Document: HiRISE, MRO, LPL (U. Arizona), NASA. FIG.

640

Chapitre 15. Satellite de Mars

véhicules ont dépassé largement leurs objectifs, explorant plaines, cratères et collines. Spirit a cessé de fonctionner le 30 mars 2008 après avoir parcuru 7 km. Opportunity, évitant ensablement dans les dunes et autres pièges, avait cheminé 21 km en 7 ans. En 2011, il continue sa route vers le cratère Endeavour. La sonde Mars Reconnaissance Orbiter (MRO), lancée le 12 août 2005 est arrivée le 11 mars 2006. Son orbite, circularisée par aérofreinage, a pris sa forme définitive, héliosynchrone, quasi circulaire, h rv 300 km. La caméra HiRISE a pris des photos extrêmement précises (voir figures 15.1(c) et 17.17(a)). La mission a permis aussi de mieux comprendre l'histoire de l'eau et du climat. En 2007, la mission Phoenix a fait renaître de ses cendres une partie des missions MPL et MSP'Ol. Lancée le 4 août 2007, la sonde s'est posée dans les hautes latitudes boréales de la planète, le 25 mai 2008, en installant un lander au point 68°N, 233°E. Phoenix est arrivé à la fin du printemps (Ls = 76°, voir un peu plus loin la signification de la longitude solaire L s) et a fonctionné jusqu'au 2 novembre 2008 (Ls = 151°), avant la fin de l'été boréal martien. Phoenix a notamment permis de confirmer la présence de glace d'eau dans le sol martien, à cet endroit, par l'analyse d'un échantillon prélevé par son bras perforateur. En 2010, la sonde MRO a pris une image du site de Phoenix: on a pu observer que la station, qui avait passé plusieurs mois sous la glace carbonique, avait perdu un panneau solaire et était recouverte de poussière. La mission Mars Science Laboratory (MSL) sera lancée fin 2011 pour poser sur Mars, en août 2012, un rover, consacré à la géologie et la climatologie. Ce véhicule d'exploration à 6 roues, nommé Curiosity, est de la taille d'une petite voiture et d'une masse de 890 kg. Il fonctionne à l'aide d'un générateur à radio-isotope (4.8 kg de dioxyde de plutonium) qui doit lui asurer une vie d'une année martienne 6 . Le site d'atterrissage a été déterminé d'après des images fournies par MRO. Toujours en 2011, les Russes veulent réussir où les Soviétiques avaient échoué. La sonde Phobos-Grunt (grunt signifie « sol» en russe) doit se mettre en orbite quasi circulaire équatoriale autour de Mars et approcher ainsi Phobos sur son orbite. Elle doit s'y poser, faire des observations, prélever des échantillons. Puis revenir sur Terre! Départ en novembre 2011, retour sur Terre en juillet 2014. La mission MAVEN (Mars Atmosphere and Volatile EvolutioN) est consacrée à l'histoire de l'eau sur Mars, de l'atmosphère et de son interaction avec le vent solaire. Le départ est prévu entre le 18 novembre et le 7 décembre 6L'énergie solaire au niveau de Mars a été jugée insuffisante pour cette expérience. On a = 1367 W.m- 2 pour la constante solaire au niveau de la Terre (hors atmosphère). En notant as = l.524 ua le demi-grand axe de l'orbite de Mars, on trouve, pour la constante solaire au niveau de Mars (hors atmosphère) cg:rars = c6'erre 2 = 592 W.m- 2 • En tenant compte de l'excentricité e = 0.0934 de l'orbite martienne, la constante martienne se situe donc entre un minimum à l'aphélie, cg:rars [as(1+e)]-2 et un maximum au périhélie, cg:rars[as(l- e)]-2, soit une variation entre 495 et 720 W.m- 2 .

c6'erre

as

15.1. Présentation de la planète Mars

641

2013 avec insertion en orbite le 16 septembre 2014. L'orbite finale, inclinée à 75°, elliptique (e = 0.46), a un périastre bas, hp = 150 km, avec cinq passages deep-dip prévus à 125 km. La NASA et l'ESA ont décidé de s'associer pour les futurs programmes d'exploration de Mars, à partir de 2016. La première mission commune sera ExoMars-TGO (ExoMars avait été envisagé par l'ESA et TGO, Trace Gas Orbiter, par la NASA). Départ prévu en janvier 2016, insertion en orbite le 19 octobre 2016. L'orbite sera circularisée par aérofreinage, h = 400 km, i = 74°. Le choix de l'inclinaison résulte d'un compromis: assez haute pour voir les pôles, assez basse pour permettre un échantillonnage rapide en heures locales 7 grâce à une forte vitesse de précession nodale (voir exemple 15.2). Dates de lancement

On aura remarqué que ces missions se succèdent à intervalle d'un peu plus de deux ans (26 mois). Les voyages Terre-Mars sont entrepris, bien entendu, lorsque les conditions sont requises pour le voyage le plus court possible (et le plus économe en carburant). Cela se passe quand les deux planètes sont en opposition (Soleil-Terre-Mars alignés). L'intervalle de temps entre deux oppositions représente la période synodique. Avec les valeurs des périodes données plus loin dans le tableau 15.1, T = 1 pour la Terre et Tl = 1.88 pour Mars (unité : année sidérale terrestre), on obtient la période synodique T' par la relation (8.45) : 1

T'

1

1

1

1.88

T'

=

0.88 1.88

1 1.88 T = =2.135 0.88

2.135 an = 780 j c::: 2 ans 2 mois

(15.1)

On se contente d'une valeur approchée car les orbites de la Terre et de Mars ne sont pas exactement circulaires. On calcule plus précisément que l'intervalle entre deux oppositions varie de 764 jours (oppositions proches de l'aphélie de Mars) à 810 jours (oppositions proches du périhélie de Mars) en raison de l'excentricité de l'orbite.

15.1.2

Géographie de Mars

Topographie de la planète

Dans le cas de la Terre, nous avons présenté des cartes de notre belle planète sans indication particulière. Pour Mars, les contours sont nettement moins familiers pour la grande majorité des terriens. De quels contours s'agitil d'ailleurs? Sur Mars, pas de séparation terre-mer, mais des zones apparaissant plus ou moins sombres au télescope selon l'albédo des terrains. Les cartes présentées ici sont des cartes topographiques (sans rapport avec l'albédo). 7 On augmente ainsi les occurrences de lever et coucher de soleil. Leur observation permet de sonder en détail la composition atmosphérique.

642

Chapitre 15. Satellite de Mars

15.2 : Carte topographique de la planète Mars, d'après les données de l'instrument MOLA à bord de MGS (traitement MOLA/NASA Team). Courbes de niveau: pas de 2.5 km. Altitude a en trait gras, altitudes négatives en tireté. Les données MOL A ont été utilisées ici en mode dégradé (grille de 2°) pour plus de clarté. Canevas de base : grille de 10°, en latitude et longitude. (a) Projection stéréographique polaire (pôle Nord à dr., Sud à g.). (b) Projection de Mercator équatoriale. Le point culminant est Olympus Mons (18°N, 225°E). Plus au sud-est, se trouve le dôme Tharsis, région élevée comprenant les trois volcans alignés, Ascraeus Mons (12 oN, 254°E), Pavonis Mons (0°, 24TE), Arsia Mons (goS, 239°E) et sur sa bordure est, Val/es Marineris (de 5 S, 265°E à 15°S, 310 E) Au nord de cette région, Alba Patera (42°N, 252°E). Les principaux bassins d'impact sont Hel/as (45°S, 70 E), Argyre (50 S, 320 E), Isidis (12 oN, 88°E), Utopia (45 oN, 110 E). Position des modules des missions réussies: Viking-1 (22.48 oN, 312.06°E), Viking2 (47.9TN, 134.29°E), Pathfinder (19.1TN, 326. 79 °E), MER-A/Spirit (14.5TS, 175.4TE), MER-B/Opportunity (1.95°S, 354.4TE), Phoenix (660 N, 2330 E).

FIG.

0

0

0

0

0

0

15.1. Présentation de la planète Mars

643

Les contours sont donc des courbes de niveau, tracées à partir des données obtenues par l'instrument MOLA, à bord de MGS, et traîtées par l'équipe scientifique MOLA/NASA. Le méridien origine est, comme sur Terre, arbitraire. Il passe par le petit cratèreS nommé Airy-O en hommage au « créateur» du méridien de Greenwich 9 . Le niveau 0 des altitudes était choisi, plus que sur Terre, de manière arbitraire. Aujourd'hui, il est défini comme la surface gravitationnelle équipotentielle dont la valeur moyenne à l'équateur est égale au rayon moyen déterminé par MOLA (ce qui fait une élévation de 2 km par rapport à l'ancienne origine). La carte topographique, figure 15.2, montre une différence très nette d'altitude entre les deux hémisphères, Nord et Sud. L'énorme bassin d'impact, nommé Hellas 10 , dans l'hémisphère Sud, fournit le point le plus bas de Mars (-7825 mètres). Près de l'équateur, Olympus Mons (21183 m) est la plus haute montagne du Système solaire l l , voir figure 15.1 (a). Au sud-est de ce mont Olympe, on trouve le dôome Tharsis, avec ses trois volcans alignés (sommets de 14 à 18 km), et un peu plus à l'est, la balafre de Valles Marineris 12 . 8L'astronome italien Schiaparelli, pour sa carte de Mars en 1877, avait compté les longitudes à partir d'un méridien passant par une région qu'il jugeait caractéristique et identifiable, appelée Sinus Meridiani par Camille Flammarion. Quand Mariner-9 a cartographié Mars, en 1972, avec une résolution de 1 km, il a fallu se décider pour un point plus précis dans cette région. Le choix a été fait, par le Mariner-9 Team, de ce petit cratère d'impact, de 500 m de diamètre, situé dans le cratère d'Airy. Les coordonnées d'Airy-O sont: 5.2'S, O.O'E. 9 George Biddell Airy (1801-1892), astronome anglais. Il étudia les anneaux de diffraction, en astronome, physicien et mathématicien. Il donna, en tant que septième directeur de l'Observatoire Royal (Greenwich), de 1835 à 1881, un poids considérable à cette institution : le méridien y fut matérialisé par une lunette de passage (1850) et il fit adopter à tout le pays le temps solaire moyen de Greenwich (GMT). En 1884, le méridien de Greenwich fut reconnu internationalement. la À la fin du XIX e siècle, des noms furent donnés d'après un « calque» terrestre : certaines zones sombres évoquaient la forme de la Méditerranée, et on y plaça la Grèce ou le Golfe de Syrte (évidemment, nord et sud sont inversés, vision au télescope ou à la lunette oblige ... ). L'astronome Giovanni Schiaparelli, par une observation intensive au télescope à partir de 1877, est le père de la nomenclature martienne actuelle. Il a puisé les noms dans l'histoire ancienne et la mythologie antique. L'Union astronomique internationale (UAI/IAU) a unifié les dénominations. Elles sont composées de deux noms, un nom générique en latin (comme mans pour «mont», planitia pour un bassin d'impact) et un nom propre déterminant (comme Olympus pour «Olympe»). On a ainsi: Olympus Mons, Mare Tyrrhenum, Hellas Planitia. Valles Marineris est la vallée découverte par Mariner-9. I I Ce volcan a une base circulaire de 650 km de diamètre. Sa caldeira est très marquée (40 km de large, 4 km de profondeur). Il présente un dénivelé de 23 km, car sa base est à l'altitude de -2000 m environ. Il est éteint, comme tous les volcans martiens, mais le petit nombre d'impact à sa surface montre qu'il a été actif jusqu'à un passé (géologiquement) récent. Le volume d'Olympus Mons est une centaine de fois celui du plus gros volcan terrestre. Les éruptions de lave fluide, pendant de très longues périodes géologiques, ont créé cet énorme volcan bouclier. Ce volcan, comme les trois autres de la région Tharsis, est resté fixe par rapport à la source magmatique. Cette grande stabilité tend à prouver une tectonique de plaque très faible, ou nulle, sur Mars. 12Les vallées de Mariner constituent un système de plusieurs canyons parallèles, de 5000 km de long. Le plus grand a une profondeur de 6 km sur une largeur d'environ

644

Chapitre 15. Satellite de Mars

Les pôles sont couverts de calottes glaciaires 13 . Géologiquement, on distingue l'hémisphère Sud, criblé de gros cratères, constitué de terrains anciens, au-dessus du niveau moyen; l'hémisphère Nord, avec ses larges plaines immergées de lave, plusieurs kilomètres au-dessous du niveau moyen. Dans la zone équatoriale, le dôme de Tharsis est un vaste plateau, très élevé. Dans la légende de la figure 15.2 ont été notées les positions des modules atterriseurs (missions réussies). Elles se trouvent dans des régions de basse altitude, offrant un maximum d'épaisseur atmosphérique pour augmenter l'efficacité du freinage par les parachutes. Note sur les latitudes Sur Terre, la détermination historique de la latitude en utilisant la verticale locale a conduit à différencier latitude géographique et latitude géocentrique. Sur Mars, la détermination précise de la latitude ne date que de l'ère spatiale et on ne considère a priori que la latitude déterminée à l'aide des satellites, la latitude géocentrique, disons ici planétocentrique. Cependant, dans ses (magnifiques) cartes de Mars, l'USGS (US Geological Survey) offre les deux quadrillages différents, selon qu'on utilise les latitudes aréocentriques (planétocentriques) ou les latitudes aréographiques (planétographiques). L'écart entre les deux est maximal pour 45°, N ou S, et est égal à bcp = 0.337°, ce qui représente 20.0 km au sol, voir relations (2.4) et (2.5). Dans ce chapitre, nous utiliserons toujours les latitudes aréocentriques pour Mars. Atmosphère martienne

Ce sont les missions spatiales qui ont permis de véritablement connaître l'atmosphère de Mars, d'abord par les radio-occultations de Mariner-4 et Mariner-9, puis par les atterrisseurs Viking-1 et -2. Les principaux constituants de l'atmosphère sont, en fraction molaire: dioxyde de carbone CO 2 (0.95), diazote N 2 (0.03), argon A (0.02), eau H 2 0 « 0.0005). La pression moyenne à la surface est 6 hPa. En raison de la condensation de gaz carbonique dans les calottes polaires, la pression atmosphérique varie de 30 % avec les saisons. Il y a donc des saisons sur Mars, une circulation atmosphérique qui ressemble à la circulation terrestre (avec en général une seule grosse cellule de Hadley), des dépressions et des anticyclones, des ouragans et des tornades ... 200 km. I3Les deux pôles sont recouverts d'un dépôt polaire de plusieurs centaines de km de rayon, fait certainement de sédiments et de glace d'eau. Le tout est recouvert par une calotte de givre d'eau pour le pôle Nord, de neige carbonique (C02) éternelle pour le pôle Sud. Par dessus tout cela, la neige carbonique se dépose de manière saisonnière, en hiver, pour se sublimer en été.

15.2. Grandeurs géodésiques et astronomiques

645

L'atmosphère est chargée de poussière. Les tempêtes sont fréquentes et certaines, dites globales, enveloppent toute la planète d'un voile orangé. Les missions martiennes affinent notre connaissance scientifique de cette atmosphère et permettent de développer des modèles de circulation générale (MGCM de la NASA, GCM du LMD pour l'Europe). Réciproquement, l'amélioration des modèles permet de mieux préparer les missions, particulièrement celles qui utilisent l'aérofreinage.

15.2 15.2.1

Grandeurs géodésiques et astronomiques Données géodésiques

Pour l'étude du mouvement réel (perturbé), interviennent les caractéristiques géodésiques de la planète (termes du développement du potentiel attractif). Pour la caractérisation des orbites particulières (stationnaires, héliosynchrones) et l'étude de l'échantillonnage interviennent les aspects astronomiques (périodes des mouvements planétaires, excentricité, obliquité). Nous donnons dans le tableau 15.1 les caractéristiques géodésiques 14 et astronomiques de Mars, et celle de la Terre pour comparaison. L'évolution de l'évaluation de la constante d'attraction IL est notée dans le tableau 15.2, depuis les premières valeurs historiques (obtenues après la découverte de Phobos et Déimos) jusqu'aux modèles GMM (Goddard Martian Madel) exploitant les observations de MGS. Le dernier modèle, GMM-3, dit aussi MGM1025, est de degré 80 et d'ordre 80, voir le tableau 15.3. Différents rayons de l'ellipsoïde

Sur la figure 15.3, nous avons représenté les valeurs des divers rayons en fonction de la latitude, comme nous l'avions fait au chapitre 2 pour l'ellipsoïde terrestre avec la figure 2.2. On note les domaines de variations, entre l'équateur et le pôle (variations toutes monotones dans [0; 7T /2]) - le rayon de courbure p varie entre 3353.143 et 3419.143 km; - la grande normale N varie entre 3397.000 et 3419.143 km; - le rayon de l'ellipse R,;; varie 3 397.000 et 3 375.000 km.

15.2.2

Données astronomiques

Pour l'étude concernant Mars, nous ne changeons en rien les notations utilisées pour la Terre. Par exemple, les vitesses de rotation de Mars autour 14Lorsque Mars remplace la Terre comme centre attractif, on remplace le préfixe «géo- » par « aréo- ». Dans les termes « géophysique», « géodésie», « géographie», « géologie», on garde généralement « géo- », pour toutes les planètes. Mais la règle n'est pas stricte.

646

Chapitre 15. Satellite de Mars 3430 3420 3410 3400

Ê

3390

:!S c 0

>, CIl

3380

0::

3370 3360 3350 3340

MARS

10

0

20

30

40 50 Latitude [N/S] (')

60

70

80

90

15.3 : Différents rayons relatifs à l'ellipsoïde martien: le rayon de courbure dans le plan méridien p, la grande normale N, le rayon de l'ellipsoïde R?j).

FIG.

h (km)

20000 18000

aIR

7.0 6.5 6.0

16000

5.5

14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000

o

o

1

2

MARS

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Période T (heures) FIG.

15.4 : Relation entre la période et l'altitude.

15.2. Grandeurs géodésiques et astronomiques

Grandeur

Symbole

Constante d'attraction gray.

IL=gM

Rayon équatorial Aplatissement Circonf. équatoriale Circonf. méridienne Pesanteur (équat.) Pesanteur (45°) Pesanteur (pôle) Potentiel gravitat. Potentiel gravitat. Potentiel gravitat. Rapport (orb. gelée) D.-gr. axe de l'orbite Période de révolution sidérale tropique anomalistique Vitesse de rotation Période de rotation sidérale

Mars

Terre

4.2828369 10 13

3.9860044

3397.000 154.409 15 21343.980 21 274.922 3.7052 3.7214 3.7376 1 955.4513 +31.4559 -15.3694 +16.0863

6378.137 298.25766 40075.012 40007.860 9.7803 9.8061 9.8321 1082.6267 -2.5327 -1.6196 -2.3394

1.523 66

1.000 00

(j) (j) (j) (rads- I ) (0 rI)

686.9800 686.9725 686.9951 7.088218 350.891983

365.2564 365.2422 365.2496 7.292115 360.985559

(h) (sec) (h) (s)

24.622962 88642.663 24.6598 88775.245

23.934471 86164.090 24.0000 86400.000

E

(0 ) (0 )

e

(s.d.)

1.8496 25.19 0.09340

23.44 0.01671

(m 3

R

S-2)

9 9 9

h x 106 h X 106 J4 X 106 hlJ2 x 103

(km) (s.d.) (km) (km) (m S-2) (m S-2) (m S-2) (s.d.) (s.d.) (s.d.) (s.d.)

a

(ua)

11f LP/équat.

LM

Nsid

N tro

N ano

nT x 10 nT

jour solaire moyen Inclinaison 1 écl. Obliquité Excentricité TABLEAU

(Unité)

647

5

Jsid

JM i

10 14

-

15.1 : Données géodésiques et astronomiques de Mars et de la Terre.

Méthode utilisée

Année

IL (km 3

S-2)

Erreur

Phobos, Déimos (Hall)

1878

42900

±70

Mariner-4 Mariner-6 Mariner-9 MGS 1 GMM-l MGS 1 GMM-2B MGS 1 GMM-3 [MGMI025]

1969 1970 1973 1993 2000 2001

42828.32 42828.22 42828.35 42828.3580 42 828.371901 42828.369774

±0.13 ±1.83 ±0.55 ±0.0512 ±0.000074 ±0.000060

15.2 : Valeur de la constante d'attraction aréocentrique mesurée IL = gJ'v1 et de l'erreur estimée. Évolution historique, avec notation de la méthode utilisée et de l'année.

TABLEAU

648

Coeff.

c*20 C~o

C40 Gi ; 0 C~o

Chapitre 15. Satellite de Mars

zonaux

Coeff.

C22

-874.504415509 -11.889205542 5.123138995 -1. 724618348 1.344241356

C~ 1 C~2 C~3

autres (C) -84.585751018 3.800729164 -15.933741664 35.023491712

Coeff.

S22 S~ 1 S~ 2 S~ 3

autres (8) 48.905551076 25.155150744 8.353919240 25.551471727

15.3 : Modèle GMM-3 (dit MGM1025). Coefficients zonaux normalisés et autres coefficients normalisés ct rn et st m. Toutes ces valeurs sont à multiplier par 10- 6 .

TABLEAU

ct 0

du Soleil et autour de l'axe des pôles seront respectivement notées En reprenant les relations (7.21) et (7.26), on obtient:

ns et nT.

0.5240384 "Tl

(15.2)

350.89198266 ".j-l

(15.3)

Lorsqu'on parlera de «jour», il s'agira de l'unité de temps, égale à 86 400 secondes. Comme le jour moyen sur Terre dure un jour. .. il est préférable de lui trouver un autre nom pour Mars : le jour solaire moyen sur Mars est appelé traditionnellement sol. On a la correspondance : he! = 1 sol = 1.027491 27 jour =

24 h 37 min 22.663 s

(15.4)

Il est intéressant d'exprimer l'année tropique en sols, puisqu'elle concerne la récurrence des saisons, ainsi que l'année sidérale:

15.2.3

668.5921 sol

(15.5)

668.5991 sol

(15.6)

Longitude aréocentrique et jour martien

Anomalie vraie et anomalie moyenne

Pour déterminer un jour donné sur Mars, c'est-à-dire repérer la planète sur son orbite héliocentrique, on n'utilisera pas le jour du mois, comme sur Terre, et encore moins un saint du calendrier. .. On considère la longitude écliptique l, définie avec les coordonnées écliptiques, au chapitre 7. Elle ne diffère de l'anomalie vraie v que par le choix de l'origine. L'origine de l est au point vernal (équinoxe de printemps)15 et on note traditionnellement, pour Mars, 15L'orbite de Mars est elle aussi soumise au mouvement de précession des équinoxes. Ce mouvement est plus lent que sur Terre: il est de 7" .51 par an terrestre, soit un tour

15.2. Grandeurs géodésiques et astronomiques

649

cet angle 1 par Ls, nommé longitude solaire aréocentrique ou plus brièvement longitude aréocentrique ou longitude solaire. On voit donc que sur Mars, la « date» Ls est repérée par l'anomalie vraie avec pour origine l'équinoxe de printemps, alors que sur Terre, elle est repérée par l'anomalie moyenne avec pour origine le premier janvier. L'anomalie vraie v a son origine au périhélie (périastre). La longitude solaire du périhélie, notée Lsp est:

Lsp

=

251.00°

(15.7)

L'anomalie moyenne!v[ a aussi son origine au périhélie, et nous la désignerons par !v[s lorsque l'origine est au point vernal. On note alors N[sp sa valeur au périhélie. On a les relations : v M

Ls - Lsp Ms-Msp

(15.8) (15.9)

On rappelle que l'anomalie moyenne NI s'obtient à partir de l'anomalie vraie v de manière analytique, mais qu'inversement, l'anomalie vraie v s'obtient à partir de l'anomalie moyenne N[ en résolvant le problème de Kepler: V

f------+!v[

NI

f------+

v

M = M(v) par relation (4.59) v = v(E) ; E = E(M) par itération (4.80)

Pour calculer !v[sp, on détermine d'abord l'anomalie vraie du point vernal, qu'on note v, (il ne s'agit pas, bien évidemment, du même point y que pour l'équinoxe de printemps terrestre) :

v, = Ls, - Lsp = 0 - Lsp = 360 - 251.00 = 109.00

[360]

(15.10)

en notant par Ls, la longitude aréocentrique du point vernal qui est nulle par définition de Ls. Par (4.59), on obtient analytiquement NI" l'anomalie moyenne du point vernal: (15.11) M, = M( v,) = M(109.00) = 98.66 [360] et ainsi, par changement d'origine, on détermine !v[sp :

Msp = Ms, - M(v,) = 0 - M(v,) = 360 - 98.66 = 261.34

[360] (15.12)

en 173 ka (kilo année). Pour Mars, seul le Soleil agit pour la précession; pour la Terre, cette action est plus grande, et il s'y ajoute, comme nous l'avons vu, l'action encore plus importante de la Lune. Le périhélie est lui aussi soumis à un mouvement de précession apsidale, dans le sens direct. La combinaison des deux mouvements définit la précession climatique, dont le cycle est d'environ 55 ka. La théorie des paléoclimats sur la Terre et sur Mars présente une différence fondamentale: si, pour la Terre, l'inclinaison reste dans un domaine étroit (obliquité entre 22° et 25°), sa variation pour Mars est très large, et chaotique, entre 0° et 60° (entre 15° et 45° durant les derniers dix millions d'années).

650

Chapitre 15. Satellite de Mars

LB

1 1 1 1 1

EP SE EA SR

EIP

Pér Apo

A1

.1.<;

90 180 270

109.0 199.0 289.0 19,0

98.7 202.8 298.9 15.8

371.8 514.6

251.0 71.0

0.0 180.0

0.0 180.0

485.3 151.0

193.3

15.5 : Orbite de Mars autour du Soleil, à l'échelle réelle. Position relative du périhélie (PER) et de l'équinoxe de printemps boréal (EP). Les deux droites des équinoxes (EP - EA) et des solstices (SE - SH) sont orthogonales. Abréviations Ls, v, J'vI, J s , voir texte.

FIG.

en notant par lvls , la valeur de lvis au point vernal, nulle par définition de Ms· Inversement, en partant de lvlsp = 98.66°, on obtient v = 109.00° en résolvant le problème de Kepler, voir l'exemple 4.4. Pour être plus précis, notons que le périhélie effectue un lent mouvement de précession par rapport au point vernal, appelé précession climatique, voir chapitre 6 et relation (6.143), dont le cycle est d'environ 55 ka (avec 1 ka = 1 000 ans). La longitude Ls du périhélie est donc légèrement variable dans le temps. En notant par A le numéro de l'année dans le calendrier grégorien, Ls p , en degrés, est donné par:

Lsp

=

251.000 + 0.00645 (A - 2000)

(15.13)

Le calcul de lvIsp amène à la relation:

Msp = 261.342

+ 0.00677 (A -

Par exemple, pour l'année 2012, Lsp

=

(15.14)

2000)

251.07° et lvIsp

=

261.42°.

Relation entre longitude et jour

(a) Jour obtenu à partir de la longitude aréocentrique Le jour J (origine au point vernal) est obtenu à partir de l'anomalie moyenne par : J

=

N tro lv1 360 s

(15.15)

On obtient le jour en jours (Jj) ou en sols (Js) selon qu'on exprime N tro en jours ou en sols. Par la suite, nous exprimerons les jours martiens en sols.

15.2. Grandeurs géodésiques et astronomiques

651

Avec les relations entre angles vues ci-dessus et la relation (4.59), on obtient ls à partir de Ls :

ls

=

lsp

+ _N_t r_o 360

[2 arctan

(J_l

_-_e tan _L_S_-_L_S-,--p) 1+ e 2

2 -180 - evl - e sin(Ls - Lsp) 'if 1 + e cos(Ls - Lsp)

avec: N tro = 1.85720

1[mod N

tro

1

(15.16)

N tro

(15.17) 360 Msp = 485.36 360 Les valeurs des angles et des jours 16 sont données dans le tableau 15.4. On a noté également dans ce tableau la distance relative (r / a), quotient de la distance au Soleil par le demi-grand axe de l'orbite, et l'anomalie excentrique E, qui sont liées par la relation (4.63), ainsi que la quantité

Ecs

lsp

=

=

(15.18)

Ls -Ms

qui est comparable à l'équation du centre, Ec = v - !v[, définie au chapitre 4 par (4.85). Ces deux écarts angulaires, Ecs et Ec, ne diffèrent que d'une constante: Ecs s'annule au point vernal et Ec au périhélie. La valeur de chaque extremum de Ecs est: - maximum Ecs = +0.35" (pour Ls = 94.01 + Lsp = 344.99") ; - minimum Ecs = -21.05" (pour Ls = 259.99 + Lsp - 360 = 156.97"). L'amplitude de la variation est (21.05 + 0.35)/2 = 10.70". Cette valeur, exprimée en radians, soit ('if/180)10.70 = 0.1868, correspond d'après (4.93) au double de l'excentricité de l'orbite de Mars, e = 0.0934. (b) Longitude aréocentrique obtenue à partir du lour Connaissant le jour ls, on calcule la différence avec le jour de passage au périhélie. Cet écart, ls - lsp, donne l'écart d'anomalie moyenne !v[s - !v[sp. Par itération (problème de Kepler), on obtient l'anomalie vraie v qui donne la longitude aréocentrique Ls = v + Lsp. Remarque. Relation avec la date terrestre. Pour connaître la longitude Ls à partir de la date exprimée sous la forme (D = An Mois Jour Heure), on commence, pour plus de commodité, à transformer la date D en date julienne, notée DJ. On calcule l'écart avec une date DJ o, connue comme étant l'instant de passage de Mars au point vernal. On pourra prendre : D = 2011 Septembre 13.6

DJ o = 2455818.1

===}

Ls = 0

Cet écart donne la valeur lj : lj = DJ - DJ o

[Ntrol

16Remarque pour le calcul de J s avec la relation (15.16) : le contenu du crochet doit être exprimé en degrés, puisqu'il est en facteur de N tro /360. Notons de plus que, puisque Ls = implique J s = 0, on peut calculer la valeur de J sp par (15.16) sans utiliser (15.17).

°

652

Chapitre 15. Satellite de Mars

l. aI. Ls

n

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 100.0 110.0 120.0 130.0 140.0 150.0 160.0 170.0 180.0 190.0 200.0 210.0 220.0 230.0 240.0 250.0 260.0 270.0 280.0 290.0 300.0 310.0 320.0 330.0 340.0 350.0 360.0

Ms

diff. Ecs

0.0 10.7 21.7 32.9 44.5 56.2 68.2 80.1 92.1 104.1 115.9 127.5 138.8 149.8 160.6 171.0 181.0 190.8 200.2 209.4 218.3 227.0 235.5 243.9 252.2 260.5 268.8 277.1 285.5 294.0 302.6 311.5 320.6 330.0 339.7 349.7 360.0

0.0 -0.7 -1.7 -2.9 -4.5 -6.2 -8.2 -10.1 -12.1 -14.1 -15.9 -17.5 -18.8 -19.8 -20.6 -21.0 -21.0 -20.8 -20.2 -19.4 -18.3 -17.0 -15.5 -13.9 -12.2 -10.5 -8.8 -7.1 -5.5 -4.0 -2.6 -1.5 -0.6 0.0 0.3 0.3 0.0

an.

ffi.

n

n

Jour

Sol

(jours) 0.0 20.4 41.3 62.9 84.9 107.3 130.1 152.9 175.8 198.6 221.1 243.2 264.9 285.9 306.4 326.3 345.5 364.1 382.1 399.6 416.6 433.2 449.5 465.5 481.4 497.1 512.9 528.7 544.7 560.9 577.5 594.4 611.8 629.7 648.2 667.3 687.0

(sols) 0.0 19.8 40.2 61.2 82.6 104.5 126.6 148.8 171.1 193.3 215.2 236.7 257.8 278.3 298.2 317.5 336.2 354.3 371.8 388.9 405.4 421.6 437.4 453.0 468.5 483.8 499.2 514.6 530.1 545.9 562.0 578.5 595.4 612.9 630.8 649.4 668.6

Jj

Js

an. v. v

an. e. E

109.0 119.0 129.0 139.0 149.0 159.0 169.0 179.0 189.0 199.0 209.0 219.0 229.0 239.0 249.0 259.0 269.0 279.0 289.0 299.0 309.0 319.0 329.0 339.0 349.0 359.0 9.0 19.0 29.0 39.0 49.0 59.0 69.0 79.0 89.0 99.0 109.0

103.9 114.2 124.7 135.4 146.1 157.0 167.9 178.9 189.9 200.8 211.7 222.5 233.2 243.7 254.1 264.3 274.4 284.3 294.0 303.6 313.1 322.4 331.7 340.9 350.0 359.1 8.2 17.3 26.5 35.8 45.1 54.5 64.1 73.8 83.7 93.7 103.9

n

n

an.

ffi.

M

n

98.7 109.3 120.3 131.6 143.2 154.9 166.8 178.8 190.8 202.8 214.5 226.1 237.5 248.5 259.3 269.7 279.7 289.5 298.9 308.1 317.0 325.7 334.2 342.6 350.9 359.2 7.5 15.8 24.1 32.6 41.3 50.2 59.3 68.7 78.3 88.3 98.7

dist. ria (s.d.) 1.0224 1.0383 1.0532 1.0665 1.0776 1.0860 1.0913 1.0934 1.0920 1.0873 1.0794 1.0688 1.0560 1.0413 1.0256 1.0092 0.9929 0.9770 0.9620 0.9483 0.9362 0.9260 0.9178 0.9118 0.9080 0.9066 0.9076 0.9108 0.9164 0.9242 0.9341 0.9458 0.9592 0.9740 0.9897 1.0060 1.0224

15.4 : Correspondance entre la longitude aréocentrique Ls et le jour (exprimé en jours ou en sols). Le passage au périhélie a lieu pour Ls = Lsp= 251.0°, à l'apoastre pour Ls = LSa = Lsp - 180 = 71.0° (respectivement minimum et maximum de la distance relative ria). La longitude aréocentrique Ls, l'anomalie moyenne J'vIs, et donc les jours J ont pour origine l'équinoxe vernal. Les anomalies v, E et !VI ont pour origine le passage au périhélie. La différence Ls - !VIs représente l'équation du centre Ec s . TABLEAU

15.2. Grandeurs géodésiques et astronomiques

653

Toutes ces grandeurs sont en jours « terrestres». On passe de lj à ls (en sols) par le coefficient donné par (15.4) et on obtient Ls comme indiqué ci-dessus. Exemple 15.1 Calcul de la longitude aréocentrique solaire pour la date du

20 décembre 2012, à 20:12.

~ La date D = 2012 12 20 20:12 donne DJ = 2 456 282.3. En prenant la valeur origine DJo vue ci-dessus, on obtient: J j = DJ - DJ o = 464.2 [686.97] On obtient Ms par (15.15) : Ms = 360 X (Jj/Ntro (j)) = 360 x (464.2/686.97) = 243.3 M = Ms - Msp = 243.3 - 261.4 = 341.8 [360] J'vi donne ensuite v par la résolution du problème de Kepler: v = 338.1. On obtient ensuite la longitude solaire Ls cherchée: Ls = v + Lsp = 338.1 + 251.1 = 229.2 [360] ....

Définition des saisons On appelle saison la durée de temps correspondant à des intervalles de longitude solaire de 90°, à partir du point vernal. On nomme les saisons comme sur Terre (printemps boréal/automne austral, lorsque Ls est compris entre 0° et 90°, etc.). Sur Mars, l'inégalité de la durée des saisons est plus marquée que sur Terre: 193 sols pour le printemps, 143 sols pour l'automne. La durée exacte des saisons est donnée dans le tableau joint à la figure 15.6. Il est parfois intéressant de définir pareillement le mois, par un intervalle de 30° de longitude solaire, à partir du point vernal (on ne donne pas de nom à ces mois, hormis les valeurs limites de Ls). Le tableau 15.4 permet de calculer la durée des mois. Le plus court (Ls : 240° - 270°) dure 46.1 sols, le plus long (Ls : 60° - 90°) dure 66.7 sols (soit 45 % de plus), correspondant chacun respectivement au passage au périhélie et à l'aphélie (deuxième loi de Kepler). Le passage au périhélie a lieu à la fin de l'automne boréal. L'équivalent exact, pour la Terre, de ce découpage en douze mois est le découpage de l'année en douze signes du zodiaque 17 . Cette remarque n'est, en aucun cas, une caution ou une publicité pour l'astrologie!

15.2.4

Déclinaison

Dans le cas du Soleil et de la Terre, nous avons déjà calculé la déclinaison, exprimée en fonction de la longitude solaire, au chapitre 7, voir figure 7.8 et relation (7.60). Avec les notations utilisées ici, on écrit: sin 6 = sin L s . sin é

(15.19)

17pour la Terre, le plus court de ces signes (1 : 270° - 300°) est celui qui contient le passage au périhélie (1 = 282°), il dure 29.45 jours. Le plus long (1 : 90° - 120°) dure 31.45 jours (soit 7% de plus).

654

Chapitre 15. Satellite de Mars

30 25 20 15

°

c 0

'" ëii

0

.~

Ü

'al

0

-5 -10 -15 -20 -25 -30 0

MARS

Longitude aréocentrique (0)

n

J (sol)

0.0 24.1 53.5 90.0 126.5 155.9 180.0 204.1 233.5 270.0 306.5 335.9 360.0

0.0 48.7 112.1 193.3 271.2 328.7 371.8 412.1 458.4 514.6 572.7 623.4 668.6

Ls

on

0.00 10.00 20.00 25.19 20.00 10.00 0.00 -10.00 -20.00 -25.19 -20.00 -10.00 0.00

0

Début des saisons

0=0

Equinoxe de printemps

O=E

Solstice d'été

0=0

Equinoxe d'automne

0= -E 0=0

Solstice d'hiver Equinoxe de printemps

d. s.

193.3 178.6 142.7 154.0

15.6 : Graphe de la déclinaison 0 en fonction de la longitude solaire aréocentrique Ls. Valeurs remarquables de 0, avec valeurs de Ls, en degrés, et de la date J, en sols, correspondantes. L'obliquité de Mars est: E = 25.19°. On note l'inégalité de la durée des saisons (en sols) notée d. s. Les saisons indiquées sont celles de l 'hémisphère boréal.

FIG.

15.2. Grandeurs géodésiques et astronomiques Printemps boréal

60

Eté boréal

Automne boréal

655

Hiver boréal

50 40 (j) Q)

30

"5

20

CI)

10

c

l

c. E

2

:::J

"0

c 0

0 -10

~ -20 :::J cr

w

-30 -40 -50 -60 0

30

60

90

120

MARS

150

180

210

Longitude aréocentrique

Ls

240

270

300

330

360

Cl

C)

J (sol)

ET (min)

0 2 28 57 110 173 191 207 238 257 275 296 328 360

0 4 57 120 237 360 391 417 465 495 522 556 609 669

+41.52 +40.00 +20.00 0.00 -20.00 -40.00 -42.43 -40.00 -20.00 0.00 +20.00 +40.00 +53.36 +41.52

FIG. 15.7: Graphe de l'équation du temps (ET), en fonction de la longitude solaire aréocentrique Ls, somme de l'équation du centre (Ec) et de la réduction à l'équateur (ER). Valeurs remarquables de ET, avec valeurs de Ls, en degrés, et de la date J, en sols, correspondantes. Les minutes (min) utilisées pour ET, Ec et ER, sont des minutes de 60 secondes (1 sol = 1479.6 min).

656

Chapitre 15. Satellite de Mars

La déclinaison s'obtient donc très simplement en fonction de Ls :

r5 = arcsin (0.42562 sinLs)

(15.20)

Le graphe de la fonction est tracé à la figure 15.6, avec notation des valeurs remarquables de la déclinaison. Les calculs de lever et de coucher du Soleil sont rigoureusement identiques à ceux faits pour la Terre (si on ne tient toujours pas compte de la réfraction atmosphérique). On définit aussi sur Mars des parallèles remarquables: cercles polaires (64"49' N et S) et tropiques (25"11' N et S), légèrement décalés par rapport aux équivalents terrestres.

15.2.5

Équation du temps

Nous avons vu, au chapitre 7, la définition de l'équation du temps ET, somme de l'équation du centre Ec et de la réduction à l'équateur ER. Pour l'expression de l'équation du centre, Ec = v - NI, reprenons les relations (4.91 et (4.92. En s'arrêtant au premier ordre, on peut remplacer ici E par v dans l'argument des sinus:

E "-' esinv E - l'vI "-' e sin v

(15.21 )

v - NI "-' 2 e sin v

(15.22)

Ec "-' 2 e sin(Ls - Lsp)

(15.23)

V -

{

ce qui donne : et avec (15.8) :

On obtient directement l'expression de la réduction à l'équateur, ER = a l, définie par (7.50), avec la relation (7.49), ce qui donne, en utilisant la longitude solaire aréocentrique :

ER

,,-,

2 é

.

-tan -. sm2L s 2

(15.24)

Finalement, l'équation du temps est:

ET

=

2 e sin(Ls - Lsp) - tan

"2. sin2Ls

2 é

(15.25)

Pour exprimer ET en minutes, on convertit les radians en minutes de temps: 27T rad est équivalent à un sol, soit 1479.6 minutes. On obtient finalement pour ET, en exprimant L s en degrés :

ET (minutes)

=

43.92sin(L s - 251) -11.74sin2Ls

(15.26)

Le graphe de la fonction ET est tracé à la figure 15.7, ainsi que ceux de Ec et ER. On a noté les valeurs remarquables de l'équation du temps.

15.3. Satellite en orbite réelle

657

Bien entendu, comme pour la Terre, Ec a une période annuelle et ER une période deux fois plus courte. Mais, pour Mars, l'amplitude de Ec est quatre fois celle de ER, et ET peut atteindre des valeurs importantes (le maximum est de 53 minutes). On rappelle: ET = TSM - TSV. Remarque sur les expressions de la déclinaison et de l'équation du temps. Pour conclure cette partie, on note que les expressions de la déclinaison et de l'équation du temps sont plus simples pour Mars que pour la Terre. Cela tient au fait que, pour Mars, on utilise comme variable Ls, ce qui revient à utiliser l'anomalie vraie, repérant directement la position du Soleil; pour la Terre, on utilise le jour, lié à l'anomalie moyenne, qui est liée à la position du Soleil de manière indirecte.

15.3 15.3.1

Satellite en orbite réelle Satellite en orbite képlérienne

Il n'est certes pas facile de mettre un satellite en orbite autour de Mars. Mais quand la sonde, lancée de la Terre, est «capturée» par l'attraction martienne, sans qu'elle ne s'écrase sur la planète, une fois donc que Mars est devenu le centre attractif de l'orbite du satellite, la détermination de ce mouvement est fondamentalement identique à celle du mouvement que nous avons étudié jusqu'ici, avec la Terre comme corps central attractif. Pour l'étude du mouvement képlérien d'un satellite donné (demi-grand axe a), il suffit de remplacer la valeur de la constante d'attraction géocentrique IL = Q]vITerre par celle de la constante d'attraction aréocentrique IL = Q]vIMars, donnée dans le tableau 15.1. Avec, de plus, la valeur du rayon de la planète, on définit, par (5.5) et (5.6), les périodes T o et TO(h=o). On calcule: TO(h=O) =

100.15 min

(15.27)

et on obtient T o en fonction de ri = aiR ou h = a - R par (5.8). Sur le graphe de cette fonction, figure 15.4, on a noté des orbites particulières (LMO et SMO) dont on donnera la signification un peu plus bas. Cette figure est à rapprocher de la figure 5.2.

15.3.2

Accélérations perturbatrices

Les calculs d'orbite képlérienne, pour un satellite de la Terre ou de Mars, ne diffèrent, nous l'avons vu, que par la valeur de IL. Pour l'orbite réelle, on tient compte des termes perturbateurs, qui sont du même genre pour Mars et pour la Terre. Nous avons représenté, sur la figure 15.8, les différentes accélérations intervenant dans le mouvement en fonction de la distance r du satellite au centre de la planète. C'est l'équivalent de la figure 6.1 pour la Terre. Les notations pour les accélérations sont reprises du tableau 6.1.

658

Chapitre 15. Satellite de Mars

1

2

3

4

5

6

7 8

10 12 14

r/R 1--------11---+-1--+1-+-1--+-1-I1f---+1--+1-111--+--1IHI-+-I Distance r (1000 km) 4

3

5

6

7 8 910

30

20

40

50

10

.. pente 10 10 10 10 10 10 10 10 10

-1

-2

-2 -3 -4 : 1

-5 -6 -7 -8 -9

Il .. ·:·1· Il: . . .:. Il

II· : 1

. +1

.

-4

o

.. -1- .......... .

.. ~:~~:'L<~~~~.,.~ ~.:~.

N

.

\

... --.

.. ; .~.el.~t~·.~:._ ,:'-.

1

en

E ........,

:

Frottem .. :

. ..,....

··1···········,····,···,····················· .. ········ ......... :::-:-... ;.-.;.~

0400

-2 -6 -3

17000

Altitude h (km)

MARS

15.8 : Représentation de l'accélération centrale et des accélérations perturbatrices en fonction de la distance r du satellite au centre de Mars. Double échelle logarithmique. Dans le domaine de variation considéré, les courbes peuvent être assimilées à des droites dont on a noté la pente. On a aussi noté les altitudes de deux types de satellite.

FIG.

15.3. Satellite en orbite réelle

659

Forces conservatives L'accélération centrale, iccc, a une pente p = -2 en double échelle logarithmique. De même, l'accélération due au terme en J 2 et celle due aux termes suivants, J 4 , J 6 , ... ont même allure que les homologues pour la Terre, avec des pentes p = -4 pour iCCN.J2, p = -6 pour iCCN.J4, etc. À l'origine (h = 0), les valeurs numériques sont: iccc(R) = g(R) = go = 3.73 m·s- 2 iCCN.J2(R)

=

7.4 10- 3 m·s- 2

iCCN.J4(R) = 1.2 10- 4 m·s- 2

L'attraction luni-solaire pour un satellite terrestre se réduit ici, bien entendu, à l'attraction solaire, plus faible que pour la Terre. On obtient sa valeur, comme pour la Terre, avec l'équation (6.149). La pente de la courbe est p = + 1 et sa valeur à l'origine : ics(R) = 2

IL; R = 8 10as

8

m·s- 2

en notant as le demi-grand axe de l'orbite héliocentrique de Mars. L'effet des marées sur le satellite provient des marées solides, provoquées par le Soleil, beaucoup moins fortes que sur Terre. L'effet relativiste, pour iCR, de pente p = -3, se calcule comme pour la Terre.

Forces dissipatives La pression de radiation solaire est deux fois plus faible pour Mars que pour la Terre (terme en a 2 ). L'effet d'albédo dépend des régions survolées. L'albédo de Mars est assez faible (valeur moyenne: 0.22). L'effet des frottements de l'atmosphère martienne est moins important que sur Terre pour la même altitude relative (densité plus faible, thermosphère moins chaude).

s

N ote sur le frottement atmosphérique On dispose pour Mars de modèles atmosphériques, comme MCD (Mars Climate Database) du LMD, donnant la densité atmosphérique sous la forme vue au chapitre 6, avec la relation (6.114) : pi(h,TTSM,J,'IjJ)

avec

i=1,2, ... ,n

(15.28)

l'indice i étant lié à une multitude de scénarios (année type, tempête globale, etc.). Les calculs de force de frottement, de L1V, de modification des paramètres orbitaux, se font comme pour la Terre. La relation simplifiée (6.131) donnant L1 V pour les orbites excentriques est particulièrement intéressante pour Mars

660

Chapitre 15. Satellite de Mars

où l'aérofreinage à été utilisé pour plusieurs missions et le sera encore. Elle s'applique tant que l'excentricité est supérieure à une valeur limite, calculée avec (6.133). Si on pose la condition (LJ.teff/T) < 0.1, avec H = 8 km, a = 4000 km, on obtient la contrainte: e > 0.03

15.3.3

~

équation (6.131) applicable

Variations séculaires des éléments orbitaux

La théorie des perturbations permet de connaître l'évolution des six éléments orbitaux du satellite. On a montré, au chapitre 6, que les trois éléments métriques a, e et 'i restaient constants (on ne considère pas les variations périodiques de courtes et longues périodes). La variation séculaire des éléments angulaires est donnée par les formules (7.1) ou (7.4) pour D, (7.2) ou (7.13) pour W, (7.3) pour ~1, en fonction de l'inclinaison i et du demi-grand axe a de l'orbite. On peut exprimer les variations périodiques à l'aide du coefficient Ko, défini par (7.7). Pour Mars, ce coefficient a les expressions suivantes, selon les unités employées:

Ko

3.0748410- 6 rad·s- 1

(15.29)

Ko

15.222°.jour- 1

(15.30)

Ko

15.640°·s01- 1

(15.31 )

Ko

29.047 tr·(an martien)-l

(15.32)

Pour des valeurs i et a données, les vitesses de précession sont plus fortes sur Mars que sur Terre, à cause de la valeur du terme J 2 , deux fois plus grand. L'unité de calcul est le radian par seconde, mais pour les graphes représentant ces grandeurs en fonction de l'inclinaison, nous avons pris comme unité le degré par sol. La vitesse de précession nodale D, figure 15.9(a), a une valeur maximale (pour a = Ret i = 0° ou 180°) de 15.6 o·SOl-l. Dans les mêmes conditions, la vitesse de précession apsidale w, figure 15.9(b), a une valeur maximale de 31.2 o.SOl-l. La valeur de l'inclinaison critique est indépendante de la planète attractrice. Exemple 15.2 Calcul de la vitesse de précession nodale pour le satellite ExoMars-TGO. ~ Le satellite ExoMars-TGO a une orbite circulaire, h = 400 km avec une inclinaison i = 74°. Voir figure 15.18(b). On calcule a = 3797 km, T/ = aiR = 1.11775. En appliquant (7.4), on obtient: ft = -5.6626 10- 7 rad·s- 1 En convertissant les unités, on trouve ft = -2.88° ·SOI-l. On obtient aussi le résultat avec la figure 15.9(a), où on lit directement la valeur cherchée. En appliquant

15.3. Satellite en orbite réelle

661

20 18 16 14 (5 12 ~ 10 W 8 --l « 6 0 0 4 z 2 c 0 0 'u; rJ) 0) -2 () -0) -4 0. -6 0) "0 -8 0) rJ) -10 rJ) 2 -12 :> -14 -16 -18 -20 0 MARS

30

60

90 Angle d'inclinaison

Cl

30

60

90 Angle d'inclinaison

Cl

120

150

180

120

150

180

30 28 26 24 (5 ~ 22 w 20 --l 18 « 0 16 Ui 14 0.. « 12 c 0 10 'u; rJ) 8 0) () 6 -0) 0. 4 0) 2 "0 0) 0 rJ) rJ) -2 2 :> -4 -6 -8 -10 0 MARS

15.9 : Représentation de la vitesse de précession (en degrés/sol), pour une orbite circulaire ou quasi circulaire, en fonction de l'inclinaison i, pour diverses valeurs de la distance relative, de (aiR) = 1.0 à (aiR) = 2.0, avec un pas de 0.1 : (a) précession nodale il ; (b) précession apsidale w (la valeur de l'inclinaison critique est indépendante du corps attractif).

FIG.

662

Chapitre 15. Satellite de Mars

(10.2), on obtient Cs = -105.3 pour le cycle par rapport au Soleil, ce qui signifie que tous les 105 sols, on retrouve la même heure locale de passage. Les 24 heures locales sont ainsi échantillonnées plus de 6 fois par année martienne ....

Exemple 15.3 Calcul de la vitesse de précession nodale et apsidale pour le satellite MA VEN. Les caractéristiques de l'orbite de MAVEN sont les suivantes: a = 6 578 km, e = 0.4608, i = 75°. C'est donc un satellite à orbite elliptique, avec un périastre assez bas, h p = 150 km (voir figure 15.18(a)). La précession nodale permettra de balayer toutes les heures locales. Les calculs de vitesses de précession se font avec les formules générales, (7.15) et (7.16). Pour la vitesse de précession nodale, on trouve fi = -0.825° /sol, ce qui donne un cycle (rétrograde) par rapport au Soleil de 306 sols. Pour la vitesse de précession apsidale, on trouve w= -0.639° /sol : le périastre fait un tour (sens rétrograde) en 436 sols, soit 1.5 tour par année martienne .... ~

15.4

Orbites remarquables

Les critères de classification sont les mêmes, que les satellites tournent autour de la Terre ou de Mars. L'orbite peut être directe ou rétrograde. Elle peut être héliosynchrone, phasée ou gelée, ou ne pas l'être. Relativement à l'altitude, on parle d'orbite haute pour les satellites aréostationnaires, ou orbite SMO (Stationary Mars Orbiting) , d'orbite basse pour une altitude inférieure à 800 km, ou orbite LMO (Low Mars Orbiting). Nous nous intéressons ici aux deux types d'orbites particulières étudiées au chapitre 7, l'orbite planétosynchrone et l'orbite héliosynchrone.

15.4.1

Aréosynchronisme

Satellite aréostationnaire On définit, par n = DT, un satellite aréosynchrone, et en ajoutant la condition i = 0, un satellite aréostationnaire. En considérant le moyen mouvement képlérien, on obtient :

a~ = ~2

DT

ao

=

=

8.524 274 10 21

20 427.694 km

ho

=

17031 km

En faisant intervenir le terme J 2 dans le calcul de la période, on obtient la valeur al, légèrement supérieure à ao. Dans le cas d'un satellite stationnaire pour Mars, l'accélération perturbatrice due au terme en h est 13 fois supérieure à celle due au Soleil, comme montré sur la figure 15.8. On rappelle

15.4. Orbites remarquables

663

que ce n'est pas le cas pour un satellite stationnaire terrestre, pour lequel la perturbation luni-solaire est supérieure à celle de J 2 . Nous considérerons finalement cette valeur al comme celle d'un satellite aréostationnaire, et nous la notons aGS aGS =

20 428.500 km T)GS =

aGS R

hGS

=

= 17031.5 km

6.014

(15.33) (15.34)

La valeur de T)GS pour la Terre, donnée par (7.70), est voisine de celle trouvée pour Mars car les périodes de rotation diurne de ces deux planètes et les densités moyennes le sont. La mise en orbite de satellites aréostationnaires est à l'étude, comme le satellite MARSat (Mars Areostationary Relay Satellite). Maintien à poste

L'orbite du satellite géostationnaire évolue au cours du temps: - a, le demi-grand axe, par l'effet des termes tesséraux du géopotentiel qui sont beaucoup plus importants que pour la Terre; - e, l'excentricité sous l'effet de la pression de radiation solaire, qui est moins forte que pour la Terre; - i, l'inclinaison, sous l'action principale du Soleil, puisque le plan de l'écliptique, dans lequel se déplace le Soleil apparent, est incliné de 25° par rapport au plan de l'orbite (équatorial martien). Les deux lunes de Mars, également dans le plan équatorial, sont trop petites pour perturber le mouvement du satellite. Accélération longitudinale

Nous étudions de plus près l'évolution de a. Nous avons vu, au chapitre 7, que ce phénomène est dû principalement à la manifestation de l'harmonique tesséral P22, et nous avons calculé cette dérive (par son accélération longitudinale), d'abord par un développement du géopotentiel jusqu'au 28 ordre, puis en le poursuivant jusqu'au 38 ordre. Les valeurs des coefficients tesséreaux C 22 , S22, C 3 1 et 5 3 1, beaucoup plus importantes que pour la Terre, montrent que la forme de l'équateur martien s'éloigne du cercle et que la planète a une certaine triaxialité, c'est-à-dire que l'ellipsoïde de révolution est un peu allongé selon un axe perpendiculaire à l'axe de rotation, (voir tableau 15.3). (a) Développement du géopotentiel à l'ordre 2 L'accélération longitudinale est donnée par (7.82). Avec le modèle martien MGM1025, on obtient: J 22 = 63.069110- 6 , À 22 = -15.02° et : (15.35)

664

Chapitre 15. Satellite de Mars

AREOSTATIONNAIRE

a_GS

=20430.990 km

Inclinaison

Accélération longitudinale

=

0.00

Modèle gravit. : MGM 1025

0

Long. pt stable= 74.6 Long. pt stable=1 04.4

E

0

0

W

0.0800 0.0700 0.0600

'Y

510,

!

ID

ê ~

"g>

0.0500 0.0400 0.0300 0.0200 0.0100 0.0000

.Q

-0.0100

~° 'ID

-0.0200

c

-0.0300

e -0.0400

:0;

«

-0.0500 -0.0600 -0.0700 -0.0800 30 30.0 E

60 60.0 E

90 90.0 E

120 120.0 E

150 150.0 E

180 180.0.

210 150.0 VV

240 120.0 VV

270 90.0 VV

300 60.0 VV

330 30.0 VV

Longitude de stationnement (deg)

15.10 : Accélération selon la longitude pour un satellite géostationnaire, en fonction de la longitude. L'accélération nulle détermine les points d'équilibre: À = 74.581' = 74° 35' E et À = 255.551' = 104 0 21 W pour les points stables, notés par un cercle; À = 162.0650 = 1620 31 E et À = 347.741° = 12° 15' W pour les points instables. Le satellite géostationnaire est uniquement soumis aux perturbations d'orbite dues au géopotentiel (modèle MGM1025). FIG.

avec:

7.08810- 5 ---- = 6.014

A

=

18

DT) ( rlcs

2

1.1786 10- 5

rad·s- 1

J 22 = 18 x 1.3891 10- 10 x 63.0691 10- 6

= 157.6965

10- 15

(15.36)

rad·s- 2

et pour le coefficient A en (degré j sol) par sol :

A = 157.6965 10- 15 x (180j7T)

X

(88642.7)2 = 70.99210- 3

(b) Développement du géopotentiel à l'ordre 3 Les valeurs cherchées sont : J 31 = 27.4791 10- 6 , J 33 pour les longitudes, À 31 = 81.41 ° et À33 = 12.04°.

degré.sol- 2 (15.37) 6.0455 10- 6 et

15.4. Orbites remarquables

665

L'accélération est donnée par (7.89). L'application numérique donne: .:\ =

B [37.841 sin2(À B

=

À 22 ) -

0.685 sin(À - À3d

4.16710- 15 rad·s- 2

B

=

+ 4.524

sin3(À - À 33 )] (15.38)

1.876 10- 3 deg.j-2

Le graphe .:\(À), figure 15.10, donne la variation de l'accélération longitudinale .:\ en fonction de la longitude À. Les longitudes étant comptées positivement vers l'est, on a donc: À

> 0 =? déplacement vers l'est

À

< 0 =? déplacement vers l'ouest

Les solutions de À = 0 sont les quatre longitudes visibles sur le graphe, intersection de .:\(À) avec l'axe horizontal. Les deux points stables sont sur les parties descendantes des courbes, les points instables sur les parties ascendantes. Les valeurs sont reportées sur la figure 15.10. Les quatre longitudes d'équilibre trouvées pour Mars sont incroyablement proches des valeurs terrestres. Cela est totalement fortuit, car le méridien d'origine pour chacune de ces planètes est arbitraire et n'a rien à voir avec les accidents de géopotentiel... L'équation (15.38) montre que c'est l'harmonique de degré 2 qui a le plus grand poids. Les quatre longitudes obtenues uniquement à partir de À 22 k = 1,2,3,4 soit 75°,165°,255°,345° sont très proches des quatre longitudes obtenues par (15.38), soit 75°,162°,256°,348°, en allant jusqu'à l'ordre 3. La contribution des autres termes devient négligeable à partir de l'ordre 4, puisque pour chaque nouvel ordre intervient le coefficient multiplicatif supplémentaire (liT/cs) soit 0.17.

15.4.2

Héliosynchronisme

Constante d'héliosynchronisrne

Pour les satellites héliosynchrones, on a vu qu'il faut réaliser la condition = Ds. On calcule tout d'abord la constante d'héliosynchronisme, par la relation (7.94), qui donne, pour Mars:

D(a, i)

k h = 29.0403

(15.39)

La valeur est trois fois plus grande que pour la Terre: h est plus grand pour la planète Mars, qui, de plus, tourne moins vite autour du Soleil.

Chapitre 15. Satellite de Mars

666 h (km)

aIR 2.7

5500

2.6

5000

2.5

4500

2.3

2.4 2.2

4000

2.1

3500

2.0 1.9

3000

1.8

2500

1.7 1.6

2000

1.5

1500

1.4 1.3

1000

1.2

500

1.1

0

1.0 90

MARS

Angle d'inclinaison

n

aIR

e

4.6 4.4 4.2

0.75

4.0 3.8

0.70

3.6

0.65

3.4

0.60

3.2

0.55 0.50 0.45 0.40 0.30

3.0 2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 90 i m

100

MARS

110

ic

120

130

140

Angle d'inclinaison (0)

150

160

170

180

15.11 Représentation de l'altitude du satellite en fonction de l'angle d'inclinaison pour les satellites héliosynchrones. Tout le domaine de variation possible est représenté. (a) Satellite en orbite circulaire. (b) Satellite en orbite d'excentricité e. Voir légende de la figure 7.13.

FIG.

15.4. Orbites remarquables

667

Satellite héliosynchrone - cas circulaire

On obtient ainsi, par (7.100) ou (7.101), la relation entre l'inclinaison et l'altitude 18 . On a tracé, en figure 15.11 (a), l'altitude en fonction de l'inclinaison pour un satellite héliosynchrone, qui est obligatoirement rétrograde. La valeur minimale de 'iHs, notée 'iHS min (ou 'i m ) est obtenue pour un satellite (fictif) tournant au ras du sol (TI = 1 ou h = 0) : 'iHSmin

=

'i m

= arccos

(-~) kh

= arccos( -0.0344) = 92.0°

La valeur maximale de h est obtenue pour i = 180° : T)HSmax aHSmax =

=

a

Ii = k h =

8 892 km

~

2.6182

hHSmax =

5 496 km

Il ne peut donc y avoir de satellites héliosynchrones (en orbite circulaire) au-delà d'une altitude de 5500 km (à peu près la même altitude limite que pour la Terre). Les satellites américains MGS, Mars Odyssey et MRO sont sur des orbites héliosynchrones. Satellite héliosynchrone - cas elliptique

Le cas de l'orbite héliosynchrone elliptique se calcule exactement comme dans le cas de la Terre, par la relation fondamentale (7.108), avec une excentricité limite el pour chaque valeur de TIl, voir (7.110). Sur Mars, le domaine possible pour l'excentricité est plus grand que pour la Terre (voir figure 15.11 (b ) ). Pour i = 180°, la distance relative (a / R) varie deT) = 2.6182 pour e = 0 àT) = Til = 4.4032 pour e = el = 0.7729. Lorsque l'orbite est excentrée, à la condition d'héliosynchronisme s'ajoute généralement la contrainte pour le périastre de ne pas dériver sur l'orbite. Il faut choisir l'inclinaison critique, donnée par (6.81), obligatoirement à la valeur 'i = 116.6°. Pour cette inclinaison, la distance relative varie entre TI = 2.069 pour e = 0 et TI = 2.847 pour l'excentricité maximale, el = 0.649 (voir exemple 15.9).

Pour tout ce chapitre, à partir d'ici, le plan de notre présentation pour les satellites martiens suit rigoureusement celui adopté pour les satellites terrestres : chaque paragraphe martien est le calque d'un chapitre terrestre. 18Comme pour la Terre, on trouve une légère différence dans la valeur de iHS selon le degré utilisé dans le développement du potentiel planétaire. Pour h = 400 km, iHS(J4) = 92.991° et iHS(h) = 92.914°, soit une différence de 0.077".

668

Chapitre 15. Satellite de Mars

15.5

Trace du satellite

~ Chapitre 8 »» La représentation de la trace donne des résultats fondamentalement similaires pour les satellites terrestres et martiens. Même la projection de Snyder (tracé rectiligne de la trace) est directement utilisable grâce à l'emploi de la fréquence K,. Seule différence avec la Terre: il n'y a pas encore de TLE (éléments orbitaux NORAD) disponibles pour Mars!

15.5.1

Représentation de la trace

La trace d'un satellite LMO a la même allure que celle d'un satellite LEO terrestre. Dans l'exemple 15.4, on insiste sur cette similitude. Pour les satellites en orbite circulaire, l'équation de la trace avec élimination du temps est donnée par (8.48) en utilisant la valeur de K, adaptée. Pour les satellites héliosynchrones opérationnels, voir le tableau 15.6, pour lesquels K, = v, on a: K, = 13 - 233/550 = 6717/550 = 12.212727 pour MGS ; K, = 12 + 15/32 = 399/32 = 12.468750 pour ODY (Mars Odyssey) ; K, = 13 + 65/349 = 4602/349 = 13.186246 pour MRO. Exemple 15.4 Comparaison entre la trace du satellite Mars Global Surveyor

(MGS) , en orbite héliosynchrone quasi circulaire autour de Mars à une altitude de 379 km, avec celle d'un satellite fictif terrestre ayant la même altitude relative, sur une orbite héliosynchrone. ~

La distance relative ri est la même pour les deux satellites.

(a) MGS

Lors de sa «phase topographique», le satellite MGS est sur l'orbite héliosynchrone, h = 379 km. On calcule la distance relative: 71 = a/ R = 3775.1/3196.2 = 1.1116 On obtient l'inclinaison du satellite héliosynchrone MGS avec la relation (7.101) iHS = arccos(-1.1116~ /29.0403) = 92.03° Avec un développement, pour la vitesse de précession nodale, au-delà du terme J 2 , on obtient: iHS = 92.93° La trace du satellite est donc comprise entre les latitudes géocentriques 87.0TN et 87.07°S. Elle est représentée sur la figure 15.12(a), sur une demi-journée martienne (un demi-sol). Avec 12.6 tours par sol, le décalage équatorial est de 29°. (b) Équivalent MGS Pour comparer les orbites et les traces sur Mars et sur Terre, on calcule les caractéristiques d'un satellite terrestre qui serait à la même altitude relative (même distance relative au centre attractif de la planète, donc même valeur pour 71). Nous désignerons par «équivalent» MGS (pour la Terre) ce satellite fictif. Avec ri = 1.1116, on obtient: a = ri x 6378 = 7090 km, soit h = 712 km. On en déduit l'inclinaison :

669

15.5. Trace du satellite

[MARS] Mars Global Surveyor Trace de l'orbite Phasage

Altitude = 378.1 km

0

Période = 117.64 min • Rév.lsol =12.58

= [13;-233;550[6917

»> Durée représentée:

a = 3775.088 km

Incl. HELIOSYNCHRONE = 92.90

739.8 min

=

Décalage à l'équateur = 1697.1 km ( 28.6

0.50 sol

Proj. : Plate-carrée

Centre Project.: 0.0

0.00

0

Propriété: (sans)

Aspect: Direct

Incl in. app. = 97.42

0

[3.51 [ +00/ +0.0/ +0011-] MGM1025

MOLA Topogr. /h/Z.5km/

<1' T.:Cylindrique - Golle : 10

0

0

0.0

"Equivalent" MGS Trace de l'orbite »> Durée représentée:

Noeud asc :

0

=

Centre Project.: 0.0

Propriété: (sans)

Aspect: Direct

EIl T.:Cylindrique - Golle : 10

0

1-1 [ +00/

*

LMD

ATÀlXÇ'

0

Période = 99.14 min • Révol./j.=14.53 Décalage à l'équateur = 2758.9 km ( 24.8

Proj. : Plate-carrée

MC

a = 7089.752 km

Incl. HELIOSYNCHRONE = 98.26 0.50 jour

)

n~(')!1

Altitude = 711.6 km

720.0 min

0

0

0.0

0

+0.0/ +00] [-] EGM96

Noeud ase:

0.00

0

)

n~(')!1

0

Inclin. app. = 102.12

0

MC

*

LMD

ATÀlXÇ'

FIG. 15.12 : (a) Trace de l'orbite du satellite héliosynchrone MGS, sur un demi-sol. (b) Trace du satellite héliosynchrone fictif « équivalent» MGS, avec la Terre pour corps attractif.

Chapitre 15. Satellite de Mars

670

[MARS] Mars Odyssey Trace de l'orbite Phasage

Altitude = 399.8 km

a = 3796.847 km

Incl. HELIOSYNCHRONE = 92.96' Période = 118.66 min' Rév.lsol =12.47

= [12;+15; 32[ 399

»> Durée représentée: 2959.1 min

=

Décalage à l'équateur = 1711.7 km ( 28.9 ')

2.00 sols

Centre Pr.(dr.): 25.0 ' S; 75.0 'E Aspect: Oblique

Noeud asc:

Propriété: (sans)

cl' T:Azimutal- Grille : 10'

13.5][ -90.0/+115.0/+15.011-] MGM1025

MOLA Topogr. /h/2.5km/

Projection: Orthographique

[MARS] Mars Odyssey Trace de l'orbite Phasage

Altitude = 399.8 km

MC

n.wv

*

LMD

ATÀlXÇ

a = 3796.847 km

Incl. HELIOSYNCHRONE = 92.96' Période = 118.66 min' Rév.lsol =12.47

= [12;+15; 32]399

»> Durée représentée: 4438.6 min

Proj. : Snyder-TraSatRecti/30' Propriété: (sans) [L.géoc] cl' T:Cylindrique - Grille: 10'

35.00' [04:00 TSM]

=

Décalage à l'équateur = 1711.7 km ( 28.9 ')

3.00 sols

Centre Project.: 0.0'

0.0 '

Aspect: Direct

Noeud asc: 35.00' [04:00 TSM] Inclin. app. = 97.52'

13.5] [ +00/ +0.0/ +0011-] MGM1025

MOLA Topogr. /h/2.5km/

MC

n·wv

*

LMD

ATÀlXÇ

15.13 : Trace de l'orbite du satellite héliosynchrone Mars Odyssey, (a) sur 2 sols,- (b) sur 3 sols (pour mettre en évidence le sous-cycle de 2 sols).

FIG.

15.5. Trace du satellite

671

15.14 : Fracture géologique à l'intérieur d'un cratère dont on perçoit la forme circulaire. Image prise par l'instrument VIS/THEMIS du satellite Mars Odyssey, instant D = 2004 12 13 05:20. Rév. 13300. Centre de l'image: latitude = 7.3388; longitude = 161.372. Résolution = 0.018258 km/pixel (taille du pixel: 18 mètres de côté). Largeur de la fauchée: 25 km. Voir exemple 15.14. Document: NA SA/JPL/ASu.

FIG.

Chapitre 15. Satellite de Mars

672

[MARS] Mars Express [G3-u] Orbite par rapport à Mars Phasage

= [3; +1; 4] 13

AIlit. équival. = 5906.7 km

a = 9303.744 km

Inclinaison = 86.35'

e = 0.606911

Période = 454.49 min • Rév.lsol = 3.26

»> Durée représentée: 5918.1 min

=

4.00 sols

h_a = 11553 km; h_p = 260 km; arg.périastre: +345.08'

Projection: Orthographique

Centre Project.: 25.0 ' N; 80.0 'E

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique 13.51 [-90.01 +6501 +100] [-]

d' T.:Azimutal- Grille : 10'

MGM1025

[MARS] Mars Express [G3-u]

Trace (H < 4000 km) [H Phasage

Noeud asc: -127.07' Apoastre: -2.52'

MOLA Topogr. /h/2.5km/

AIlit. équival. = 5906.7 km

: hauteur géodésique]

Inclinaison

= [3; +1; 4] 13

nLr.JV

=

86.35

0

MC

*

LMD

ATÀCXÇ

a = 9303.744 km e = 0.606911

Période = 454.49 min • Rév.lsol = 3.26

»> Durée représentée: 5918.1 min

=

4.00 sols

Projection: Behrmann

Centre Project.: 0.0'

Propriété: Equivalente d' T.:Cylindrique - Grille: 10'

Aspect: Direct

13.51 [+9001

h_a = 11553 km; h_p = 260 km; arg.périastre: +345.08'

0.0 '

+0.0/-90.0] [-] MGM1025

Noeud asc: -127.07' Apoastre: -2.52'

MOLA Topogr. /h/2.5km/

nLr.JV

MC

*

LMD

ATÀCXÇ

15.15 : (a) Orbite du satellite Mars Express (orbite G3-u), durant 4 sols, à partir du 9 janvier 2004 (Ls = 3300 ) . (b) Trace au sol de cette orbite, marquée uniquement dans le cas où l'altitude du satellite est inférieure à 4 000 km.

FIG.

15.5. Trace du satellite

673

15.16 : Représentation de l'orbite du satellite Mars Express lorsque son altitude est inférieure à 4 000 km, durant un cycle de 4 sols, à partir du 9 janvier 2004 (Ls = 330"). Type de l'orbite: 3Gu. Cette figure est une synthèse de la figure 15.15. FIG.

15.17: Vue oblique de Coprates Chasma, partie orientale de Valles Marineris. La profondeur du canyon est de 8 km. Image de la caméra HRSC (High Resolution Stereo Camera) à bord de Mars Express, prise le 28 mai 2005. Document: ESA/DLR/FU Berlin (G. Neukum).

FIG.

674

Chapitre 15. Satellite de Mars

[MARS] MAVEN Orbite par rapport à Mars

AIlit. équival. = 3181.0 km

a = 6578.000 km

Inclinaison = 75.00'

e = 0.460778

»> Durée représentée:

Période = 270.20 min • Rév.lsol = 5.48

7.00 sols

h_a = 6212 km ; h_p = 150 km ; arg.périastre: +270.00'

Propriété: (sans)

Centre Projec!.: 35.0 ' N; 71.0' W Aspect: Oblique

Noeud asc : 0.00 ' Apoastre: 64.24'

cl' T.:Azimutal- Grille : 10'

13.51 [-90.01 +550/+161.0[ [+221 MGM1025

MOLA Topogr. /h/2.5km/

Projection: Orthographique

[MARS] ExoMars-TGO Trace de l'orbite

Altitude = 400.0 km

MC

n·wv

*

LMD

ATÀlXÇ

a = 3797.000 km

Inclinaison = 74.00'

»> Durée représentée: 5918.1 min = 4.00 sols

Période = 118.59 min' Rév.lsol =12.48 Décalage à l'équateur = 1726.9 km ( 29.1 ')

Projection: Arden-Close

Centre Projec!.: 0.0'

Propriété: (sans)

Aspect: Direct

0.0 '

Noeud asc : 0.00 ' Incl in. app. = 78.55'

cl' T.:Cylindrique - Grille: 10'

13.51 [ +001 +0.01 +0011-1 MGM1025

MOLA Topogr. /h/2.5km/

MC

n·wv

*

LMD

ATÀlXÇ

15.18 : (a) Représentation de l'orbite du satellite MA VEN, sur 7 sols. (b) Trace de l'orbite du satellite ExoMars-TGO, sur 4 sols.

FIG.

15.5. Trace du satellite

675

iH S = 98.26°. La trace du satellite est donc comprise entre 81.74°N et 81.74°S. Elle est représentée sur la figure 15.12(b). Avec 14.5 tours par jour, le décalage équatorial est de 25°. On note les principales différences: - l'inclinaison du satellite héliosynchrone martien est plus polaire (k h plus grand pour Mars que pour la Terre) ; - le décalage équatorial est un peu plus fort pour le satellite martien, car sa période est plus longue, puisque la densité moyenne de la planète Mars est plus faible que celle de la planète Terre, voir relation (16.3) .....

Exemple 15.5 Orbite et trace du satellite Mars Express durant un cycle de

4 sols.

~ Le satellite Mars Express a une orbite très excentrée. Son inclinaison, quasi polaire, est éloignée de l'inclinaison critique. Cela entraîne une vitesse de précession apsidale de w= -0.557° par sol, correspondant à exactement un tour complet du péricentre en une année martienne. Les représentations que nous donnons ici concernent le type d'orbite 3G-u (voir tableau 15.7). La période représentée débute le 9 janvier 2004 (Ls = 330°) et dure un cycle de 4 sols. L'orbite (figure 15.15(a)) est tracée dans un référentiel lié à la planète. Sa trace (figure 15.15(b)) n'est tracée que si l'altitude du satellite est inférieure à 4 000 km. Au-delà de cette altitude, l'observation de la planète n'est pas assez précise. La figure 15.16 reprend, pour l'orbite, la représentation limitée à h < 4000 km, en une synthèse des deux figure 15.15(a) et (b) .....

15.5.2

Inclinaison apparente

L'inclinaison apparente est calculée par (8.29) ou (8.30). Exemple 15.6 Calcul de l'inclinaison apparente pour les satellites héliosynchrones opérationnels. ~ La valeur de l'inclinaison héliosynchrone ayant été déterminée, on utilise les valeurs de K, vues ci-dessus pour calculer bi avec (8.30). Pour MGS, iHS = 92.90°, bi = 4.52° =? il = 97.42° Pour ODY, iH S = 92.96°, bi = 4.56° =? il = 97.52° Pour MRO, iHS = 92.60°, bi = 4.32° =? il = 96.92° L'écart d'inclinaison bi, d'environ 4 degrés, est du même ordre que pour les satellites terrestres .....

15.5.3

Vitesse du satellite et de sa trace en orbite circulaire

On calcule, pour une orbite circulaire, la vitesse du satellite et de sa trace, par les équations (8.39) à (8.43). On rappelle que les vitesses V (satellite) et Va (trace) sont définies dans le référentiel galiléen ~, les vitesses VJ E dans le

676

Chapitre 15. Satellite de Mars

h

(km)

(km)

(tr /s)

mm

sol

Ta

V

Va

WE

WE

0

90

0 100 200 300 400 500 600 700

3396 3496 3596 3696 3796 3896 3996 4096

14.77 14.14 13.56 13.01 12.50 12.02 11.57 11.15

100.15 104.61 109.13 113.71 118.36 123.06 127.83 132.66

0.068 0.071 0.074 0.077 0.080 0.083 0.086 0.090

3.55 3.50 3.45 3.40 3.36 3.32 3.27 3.23

3.55 3.40 3.26 3.13 3.00 2.89 2.78 2.68

3.31 3.16 3.02 2.89 2.76 2.65 2.54 2.44

3.56 3.41 3.27 3.14 3.01 2.90 2.79 2.69

s 0 0 0 0 0 0 0

4450 5983 17031 20063

7846 9379 20427 23459

4.21 3.22 1.00 0.81

351.68 459.63 1477.38 1818.16

0.238 0.311 0.999 1.229

2.34 2.14 1.45 1.35

1.01 0.77 0.24 0.20

0.77 0.53 0.00 -.04

1.04

C

a

1/

Ta

T

P

S .1

15.5 : Vitesse du satellite, de la trace, et vitesse relative de la trace pour divers satellites, en orbite circulaire (orbite képlérienne). Pour chaque satellite, on a noté l'altitude h (en km) et la longueur du demi-grand axe a, ou distance au centre de Mars (en km), la fréquence quotidienne 1/ (en tours par sol), la période képlérienne Ta (en minutes et en sols), les vitesses V, Va, WE (pour les deux valeurs de l'angle i, 0°, 90°), déjà définies. Type T de satellite: s (niveau du sol), 0 (pour l'observation), C (pour les communications), S (aréostationnaire - orbite SMO). Satellites naturels: P (Phobos), .1 (Déimos).

TABLEAU

référentiel martien !J(T. Ces vitesses WE sont dites relatives, car elles représentent les vitesses de la trace par rapport à la planète. Les résultats sont notés dans le tableau 15.5. Si on compare un satellite terrestre et un satellite martien, à la même altitude relative, on voit que les périodes sont à peu près les mêmes, mais les vitesses sont deux fois plus faibles pour le satellite martien (ce qui est évident au vu des équations). Pour le satellite aréostationnaire, on vérifie bien que sa vitesse relative WE(O) est nulle. On note aussi que Ta = lSid, ce qui est légèrement différent de lM = 1 sol. Les deux lunes naturelles de Mars sont notées dans le tableau 15.5,

15.6

Orbite par rapport au Soleil passage, heure, éclipse

~ Chapitre 10 »» Pour l'étude de la trace relative au Soleil (étude de l'heure locale), on applique pour le satellite martien toute les méthodes vues pour le satellite terrestre. Il faut cependant faire les remarques importantes sui-

15.6. Orbite par rapport au Soleil: passage, heure, éclipse

677

90

80 70 60 ~ 50 Q)

"0

.3

1il --'

40

30

20 10

o 12

(midi)

13

14

15

16

Instant de passage TSM (unité: sol/24)

17

18

FIG. 15.19 : Graphe 1,/J(Lh) : relation entre la latitude du point considéré et l'écart de temps TSM entre le passage au nœud ascendant et le passage à cette latitude, pour un satellite héliosynchrone. Pour les altitudes h = 400 km et h = (400 ± 200) km (courbes pratiquement superposées). Voir les figures 10.5(a) et (b).

vantes: - la durée du jour moyen sur Mars est le sol; - la seconde reste l'unité de temps, où qu'on soit, et la minute vaut 60 secondes; - pour l'heure, attention! On a l'habitude de noter pour Mars l'heure de passage TSM comme pour la Terre, par exemple 22:30 TSM. Dans ce cas, il s'agit d'un passage qui a lieu 22.5 heures après minuit, l'heure étant ici la fraction (1/24) d'un sol. Pour prévenir les confusions, nous éviterons d'employer le mot « heure» pour Mars, mais plutôt « sol/24 ». La grandeur P, en tours par an (martien) permet de calculer le cycle Cs, en sols, avec les relations (10.2) à (10.4).

15.6.1

Heure de passage pour un satellite héliosynchrone

Pour les satellites héliosynchrones, l'instant de passage en fonction de la latitude s'obtient par la relation (10.9). La valeur du coefficient d'ajustement d'unités, reste la même que pour la Terre: si les temps sont en (sol/24) et les angles en degrés, K = 15 (puisque 1 sol correspond à 360 degrés).

678

Chapitre 15. Satellite de Mars

Le graphe de la courbe donnant la latitude·1jJ en fonction de.dT = T-TNA est donné à la figure 15.19. En comparant avec la figure 10.5(b), équivalente pour la Terre, on voit que, sur Mars, il n'y a pas de changement notable avec l'altitude pour un satellite en orbite basse: cela est dû à la forte valeur de la constante d'héliosynchronisme kh. Le choix des heures de passage des satellites héliosynchrones sur Mars 19 relève à peu près des mêmes soucis que sur Terre. Pour avoir un éclairage intéressant, on imposera au satellite un passage à l'équateur deux heures environ avant ou après midi; pour profiter d'un éclairement maximal des panneaux solaires, on utilisera une orbite crépusculaire.

15.6.2

Étude de l'éclipse

L'angle du plan orbital avec la direction du Soleil, dit angle (3, se calcule rigoureusement comme pour la Terre. Il permet de calculer la période d'éclipse et sa durée. L'éclipse solaire est un phénomène très critique pour un satellite martien. D'abord, parce que la constante solaire est deux fois plus faible pour Mars que pour la Terre. Ensuite, parce que les accumulateurs pour le stockage d'énergie électrique alourdissent la sonde qui sera mise en orbite. Orbite LMO crépusculaire

On considère un satellite en orbite basse héliosynchrone, crépusculaire 06:00 ou 18:00). La relation (7.99) est vérifiée lorsquef/ est compris entre 1.1354 et 2.2930, ce qui donne, en utilisant l'altitude: (TNA =

absence d'éclipse

{==}

460 km < h < 4 391 km

L'intervalle d'altitude sans éclipse est beaucoup plus large que sur Terre. Cela s'explique par le fait que l'orbite héliosynchrone martienne est plus polaire que l'orbite terrestre équivalente, pour une même altitude relative (ce qui est dû à la plus forte valeur de kh). Le satellite InterMarsNet, en orbite héliosynchrone crépusculaire, h = 612 km, aurait été exempt d'éclipse. Le satellite de communications MTO (Mars Telecomm Orbiter), à l'altitude h = 4450 km, héliosynchrone avec iHS = 130.2°, aurait subit une très faible éclipse en orbite crépusculaire 2o , 06:00 ou 18:00. Avec h = 4391 km, iHs = 128.9°, il n'y a pas d'éclipse pour ce type d'orbite. 19En début de mission, l'orbite est généralement crépusculaire. En effet, le transfert de Terre à Mars d'une sonde spatiale se fait selon une trajectoire tangente (en repère héliocentrique) à l'orbite de Mars, au moment de l'insertion, au moment où la sonde devient un satellite de Mars. L'orbite du satellite est alors perpendiculaire à la direction Soleil-Mars, et est donc crépusculaire. Le même raisonnement est valable pour un satellite de Vénus. 20 Avec la configuration prévue, l'éclipse a lieu 395 sols par année martienne, avec un maximum quotidien de 47 minutes.

15.6. Orbite par rapport au Soleil: passage, heure, éclipse

Altitude (km)

35 c

:s0 0

679

30

100

>

'2! Q)

c

150

25

:::J

200

':i (/)

ê

g

250

20

300

2!

'ro

0(/)

...

15

350

Q)

(/)

,

(j

~

400

10

Q)

"0 Q)

'2!

:::J

0

5

450

0 -25 -20 MARS

-15

-10

-5

0 Déclinaison

n

5

10

15

20

25

15.20 : Satellite héliosynchrone, orbite crépusculaire. Durée de l'éclipse solaire, en minutes, durant une révolution, pour l'altitude indiquée, en fonction de la déclinaison. Graphes établis pour TN A = 18:00 (pour TN A = 06:00, prendre la valeur opposée de la déclinaison).

FIG.

On a tracé les graphes représentatifs de la durée de l'éclipse solaire, sur une révolution, pour diverses altitudes basses, en fonction de la déclinaison (figure 15.20), ou en fonction de la longitude aréocentrique solaire (qu'on peut relier à la date) (figure 15.21(a)).

Orbite SMO Pour un satellite aréostationnaire, avec la valeur de fo obtenue, un peu plus loin, par (15.41), il Y a éclipse si : 151 < fa. Cette situation se rencontre deux fois par an, lorsque la longitude aréocentrique solaire est proche de celle des équinoxes, avec un écart de longitude 21 inférieur à iJ.L s = 23" : éclipse pour SMO

~

[Ls : 337 - 23 ] ; [ Ls : 157 - 203]

21 La valeur de cet écart limite, L1Ls, se calcule simplement. L'équation (15.19) relie <5 et Ls. La condition <5 = fa donne: sinL1Ls = (sinfo)/(sine). En exprimant fa avec la distance relative, on obtient: L1Ls = arcsin[l/(1JGS sine)] = arcsin(1/2.560) = 22.99" d'où la valeur L1Ls = 23".

680

Chapitre 15. Satellite de Mars

30~----~----~---L----~--~----~----~--~----~--~----~--~

25

20

15

10

5

o

30

60

90

120

MARS

150

180

210

240

270

300

330

360

Longitude aréocentrique

80~----~----~---L----~--~----~----~--~----~--~----~--~

ID -ID

70

E ::J

.Q.

60

~

'"

50

.~

40

.!!l <J) c

I

o

<J)

ID

.9-

u

30

~

ID "0 ID -ID

20

::;

o

10

o

MARS

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

360

Longitude aréocentrique

15.21 : Durée de l'éclipse solaire, en minutes, en fonction de la longitude solaire aréocentrique. (a) Satellite héliosynchrone, orbite crépusculaire. Durée de l'éclipse pendant une révolution, pour l'altitude indiquée. Graphes établis pour TN A = 18:00 (pour TNA = 06:00, prendre la valeur opposée de la déclinaison). (b) Satellite aréostationnaire. Durée de l'éclipse pendant un sol.

FIG.

15.7. Orbite par rapport à Mars: phasage, altitude

681

Le maximum d'éclipse se calcule avec la relation (10.31). On obtient: ~

teo

=

9.6 180

Jsid =

. 78.8 mm

(15.40)

On a tracé le graphe représentatif de la durée de l'éclipse solaire, sur un sol (figure 15.21 (b)).

15.7

Orbite par rapport à Mars phasage, altitude

~ Chapitre 11 »» On rencontre les mêmes avantages et contraintes que sur Terre en ce qui concerne le phasage des satellites sur Mars. Tout ce qui a été étudié au chapitre 11 s'applique sur Mars, à condition, évidemment, d'utiliser les sols à la place des jours.

15.7.1

Phasage

Phasage pour un satellite héliosynchrone

Nous venons de voir que l'altitude d'un satellite héliosynchrone martien est comprise entre les limites théoriques h = 0 et h = 5496 km, ce qui correspond à des valeurs de la fréquence quotidienne orbitale de v = 14.73 et v = 3.49, respectivement. Les altitudes retenues pour les satellites héliosynchrones (mission réalisées ou en projet) sont généralement inférieures à 600 km. Le diagramme de phasage (figure 15.22), permet de visualiser les altitudes conduisant aux différentes situations de phasage, sur Mars. Ce diagramme est le pendant du diagramme de phasage (figure 11.2) pour la Terre. Les satellites phasés sur Mars sont notés dans le tableau 15.6 et sur la figure 15.23. La connaissance du triplet de phasage (qui est en principe maintenu durant la mission) permet de déterminer avec précision des caractéristiques de l'orbite. Exemple 15.7 Calcul des caractéristiques d'orbite des trois satellites amé-

ricains opérationnels, Mars Global Surveyor, Mars Odyssey et Mars Reconnaissance Orbiter. ~

Ces trois satellites sont héliosynchrones.

(a) MGS

La sonde Mars Global Surveyor (MGS) a quitté son orbite de croisière héliocentrique le 12 septembre 1997 pour une orbite aréocentrique, très excentrée (h p = 258 km, ha = 54021 km, e = 0.88, T = 45 heures), dite MOI (Mars Orbit Insertion). La manœuvre d'aérofreinage, durant laquelle de nombreuses mesures scientifiques furent effectuées (sur le champ magnétique en particulier), a duré 16 mois. Un mauvais

682

Chapitre 15. Satellite de Mars

v Cycle de phasage [Satellites héliosynchrones] h (rev/sor-
)_ _ _ _ _ _ _ _~_.___;;(.:..,S;_Ol.,__S)':__:___:_---~~-..___.,_....,___,__.__ (km)

a

(km)

11.00

4100

700 11.25

11.50 4000

600 11.75

"III

",j"

12.00

3900

500

12.25

3800

.... ;.

12.50

400

12.75

"ÎI"

.: .. '

.",

',;'

13.00

3700

300

13.25

.... ;,

13.50

3600

.. .... ;,

.,

13.75

..

... !'

..

. . . . . . . . . 11···"11

200 ",;'

14.00 3500

100

14.25

......•

.. .. .....

14.50

l ~ ~ CJ V

3400

MARS

.. ...... c

.~

'--r-..."---.--.-r-+-"--T-'r-r-,,,,,;---,-.---T--t-,,-;-r-T-~'-T--i--T--t-r-+-+-r--;--;--;-+­

1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

15.22 Diagramme de phasage pour les satellites héliosynchrones. Pour altitudes comprzses entre 0 et 750 km, on note, par un petit carré, les valeurs l'altitude h (et du demi-grand axe a) pour lesquelles le phasage est possible. On en abscisse, la valeur du cycle de phasage, en sols. La fréquence quotidienne 1/ en tours par sol.

FIG.

o les de lit, est

15.7. Orbite par rapport à Mars: phasage, altitude

a

683

v Cycle de phasage [Satellites héliosynchrones] h (reV/s0r-I)_ _ _ _ _ _ _-:---:--__('-S_OI_S)'--_ _~.,,___------r_(~~6

(km)

·1

3900

12.00

·1 ·1 .1 .1

·2 . . 2 .

. 1.1.1.1.1.1

·2 . ·2 . . 2 .

.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1

500

.. ·8 .................. . + +1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 +1+1+1+1+11 +1+1+1

+3+ 3 ' +3+3 +3+ 3 ,+3+ 3 ' +4' +3+3' +4,+4.+ 4 '+5+ 5

+1+ 1

+1

12.25

+2

+3+ 3 .

+2 +2

+4

+4

+3 +3

+4

12.50 ...

.. 5···· .... ~

~'6"""'t

+7+ 7

+6 +7

+7

+7

+8 +8

+9

+9

...... "+ 8' ... .

+8' +8: +9+ 9 +9+ 9

+8 +9

+10

+10 +11+ 11

+7 +8 +7.

B.....

+11+ 11 +11.

+9

+11

+11 +11 +12

M.Obs[1]

G

3750

·3

.4

·5

·1

·3

·2 ·2 .1

·4 ·3

·3.3

.2.2 .1.1

1 .

13.00

·4

·3 ·3

.1.1

3700

.T 7

·6

.5

·? ......... :4. . . . . 5.5 ......... :.~ ·5 .5

12.75 .............1.......·.2 ........... ·2

400

·8

~ --.,-----e__--...,....

MGS»>.2

420

+12

.g ·10 ·11 .12 . . 13. 13 .14 . . 1S15 .ObS 2] .5. 6 ..g' ·11 MGS. .13 .14 ·4 ..7 . .10 . 1 & .13 . ·3 ·11 -"""'T3 . .·7..g. 11 ·12. ·13 ·g ·5 .7 .11.11·12. .8 7 ·3 ·4 .5 .6'.7 . 8 · g .g'lO .10· n11 .11 .7

440

+10'

+13+ 13 +3 +4 +10 +13 DY +5 +9 . +11 +13 +1 OOY»> ------~ ......7-.-...",-1 ...... --...:.....~3.-- +15 + 0 +11 +12 +13 +14 +1 +5

460

+6' +7+ 7 +7+ 7

7+7

+7+ 7 +6

+5

+2

3800

+5

+4

+5+5+5+5' +6 .

+5+ 5 ' +5+ 5 +6'

+5 +5 +5

+1 +3

+4' +4' +4

+3

+3

........ ,,.'1'

+2

480

+2,+2·+2'

+1

+1

3850

. +2" +2' +2' +2' +2' +2

·2

·8 .9.g·'1O. .7.8 ·8 .9.9 ·7 :7.: 7 ....... 08 .. .. ':6 .7' 7 .7.7

·5 .5 .4. 4

·6 .5.5.5.5. 6

.4.4 .3.3.3.3. 4 .2. ·3.3

·1 ·1.1.1.1.1.1 .1.1.

·5·5 .4 .3.3

380

360

340

320

.2'.2'.2'.2'.2. 1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1

.. ·8

300

+ +1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

+1

+1+ 1

+1

+1+ 1 + 1

+1+1+1+11

" +2

,+2" MRO

+2

2' +2" +2" " +2' +2" +2" + "+3+3" +3+3 "+3+3" "+4" "+ 3 + 3 " +4 ' + 4 5 "

+2' +3+3 +4' +5+5

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3650

'

+3'

+4'

+5+5'

+6'

280

+7

260

I~~wv~_._._r_r_r-r,-,+-2.-r-r-+r3-r,-,-~r-~~+~5,+_5.-r-r-ro_.-.-+T7~+r7_r_rMARS

1 2 3 4 5 6 7 8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

15.23 Diagramme de phasage pour les satellites héliosynchrones. Pour les altitudes comprises entre 250 et 630 km, on note, par la valeur DTo , les phasages possibles. Les valeurs encadrées correspondent au phasage exact noté dans le tableau 15.6 ou bien à des phasages approchés, mais plus courts, déterminés dans l'exemple 15.7. Par exemple, pour Mars Odyssey (ODY), on retrouve le triplet [12; +1; 2J, soit va = 12 (entier le plus proche de v, en ordonnées), DTo = +1 (noté sur le diagramme) et C To = 2 (en abscisses). FIG.

684

Chapitre 15. Satellite de Mars

déploiement des panneaux sur lesquels s'opère le freinage a prolongé cette période plus que prévu. En février 1999, l'orbite finale était quasi circulaire, héliosynchrone, phasée, gelée. Le satellite MGS est alors entré dans sa phase «topographique» (Mapping phase). L'instrument MOLA (Mars Orbiter Laser Altimeter) a entamé les mesures pour une topographie très précise de la planète. Le phasage étant maintenu à 6917 révolutions en 550 sols, la période draconitique est donnée par : Td = (550/6917) sol = 117.64 min. On pose dans un premier temps Ta = Td, on en déduit ainsi l'inclinaison et le rayon de l'orbite képlérienne, aa = 3 781 km. On calcule la vitesse de variation séculaire des éléments angulaires. On obtient la période anomalistique, 'l'a = 117.5090 min, puis la valeur du demi-grand axe et de l'inclinaison: a = 3775.088 km; i = iHS = 92.90°. (b) Mars Odyssey La sonde Mars Odyssey a atteint Mars le 24 octobre 2001, et s'est placée en orbite martienne, haute (T "" 18.6 h), très excentrée. L'effet de l'aérofreinage a abouti, le 30 janvier 2002, à une orbite circulaire proche de 400 km (T "" 2h), héliosynchrone (TNA = 04:30), telle que le satellite repasse tous les 2 jours sur sa trace. Le diagramme de phasage (figure 15.22) montre qu'à cette altitude, un phasage sur 2 sols correspond au triplet [12; 1 ; 2], LI = 12.5, phasage sur 25 révolutions. La période draconitique est donc: Td = (2/25) sol = 118.36 min Les divers intervalles (vus au chapitre 11) sont 15 = 360/25 = 14.4°; r5D = 15; r5R = 215 Par un calcul d'itération, on obtient le demi-grand axe et l'inclinaison: a = 3 790.496 km; i = iHS = 92.95°. En fait, durant la partie « science mission», tous les 2 sols, il y a un petit glissement de la trace de 53 km à l'équateur (voir figure 15.13). Ce décalage de 0.9°, que nous notons 15', peut être considéré comme l'intervalle de grille d'un cycle plus long. Au bout de (15'/15) = 0.9/14.4 = 16 cycles de 2 sols, la trace s'est donc décalée d'un intervalle 15, ce qui signifie qu'au bout de 16 cycles de 25 révolutions, le satellite, avec ce nouveau phasage, a effectué une révolution de moins, soit 399 révolutions en 32 sols. Le triplet de phasage est alors [12; 15; 32]. La période draconitique est: Td = (32/399) sol = 118.66 min et on retrouve l'intervalle de grille 15 = 360/399 = 0.9°. On obtient ensuite: a = 3 796.847 km; i = iHS = 92.96°. Il faut noter que le satellite Mars Odyssey n'est pas rigoureusement héliosynchrone, puisque son heure de passage TSM varie de manière continue, de 03:23 à 05:20, au cours des 917 jours (terrestres) que dure la science mission, puis de 05:20 à 06:50 pendant les 800 jours suivants. (c) MRO La sonde Mars Reconnaissance Orbiter (MRO) s'est placée sous l'attraction martienne le 11 mars 2006, sur une orbite polaire très elliptique, hp = 426 km, ha =

15.7. Orbite par rapport à Mars: phasage, altitude

685

44 500 km, W = 270°, avec une période T = 35 h. Aprés 5 mois d'aérofreinage (sur 445 révolutions), l'orbite de MRO était quasi circulaire. La NASA a donné les indications suivantes: h p = 255 km, ha = 320 km, orbite héliosynchrone, gelée et avec un phasage sur 349 sols, avec 4602 révolutions. On fait un calcul approché de iH S pour connaître la latitude des apsides et calculer R1j;, le rayon de la planète à cet endroit avec (1.37) ou (1.39). Avec i = 93°, on peut prendre R1j; = Rp = 3 630 km (rayon polaire). On en déduit: rp = R p + 255 = 3 630 km, ra = R p + 320 = 3 695 km =? a = 3 662.5 km. On obtient e = 8.87 10- 3 , ce qui correspond à l'excentricité gelée eGo La relation (11.55), avec WG = -90° et iHS = 92.7°, donne eG = 7.710- 3 . La période draconitique est : 'ld = (349/4602) sol = 120.20 min ce qui donne K, = 1/ = 13.1862. La valeur de eG et K, permettent de calculer les paramètres orbitaux: a = 3657.4 km, e = 0.00887, i = iH S = 92.60°, W = WG = 270°. Les responsables de la mission indiquent un phasage sur 16 sols. Avec ce sous-cycle, sur 211 révolutions, on observe un petit décalage de 30.6 km, à l'équateur, entre les traces à 16 sols d'intervalle .....

Exemple 15.8 Calcul des caractéristiques d'orbite pour InterMarsNet. ~ La mission InterMarsNet était un projet européen en collaboration avec les ÉtatsUnis. Ce projet, prévu pour 2003, a été abandonné en 1996 et plus ou moins remplacé par Mars Express, pour un lancement en 2003. Nous l'avons conservé en exemple car il présente une orbite très intéressante: héliosynchrone crépusculaire, phasée sur 2 sols, gelée, sans éclipse. Avec un phasage de 23 révolutions en 2 sols, on obtient: 'ld = (2/23) sol = 128.66 min. Après calcul, on obtient a = 4 007.867 km et l'inclinaison iH S = 93.61 0

.....

Exemple 15.9 Calcul des caractéristiques pour un satellite phasé sur un sol,

avec une inclinaison critique et héliosynchrone.

~ Lors des études orbitales préliminaires pour le satellite russe Mars-96, il avait été envisagé une orbite à la fois héliosynchrone et à l'inclinaison critique. Nous avons repris cette idée, en ajoutant une contrainte supplémentaire: le satellite est phasé sur un jour (ce qui peut être très intéressant pour des liaisons avec des bases au sol). Nous avons calculé les caractéristiques d'orbite suivantes, avec trois phasages différents, en considérant les excentricités e = 0.30, e = 0.45 et e = 0.60. e = 0.30, a = 6 993.892 km, i = 116.6, triplet de phasage [5; 0; 1]. h p = 1 499 km, ha = 5 695 km, T = 296.01 min (5 révolutions/jour). e = 0.45, a = 8 113.554 km, i = 116.6, triplet de phasage [4; 0; 1]. h p = 1 065 km, ha = 8 368 km, T = 369.86 min (4 révolutions/jour). e = 0.60, a = 9 827.020 km, i = 116.6, triplet de phasage [3; 0; 1]. hp = 533 km, ha = 12326 km, T = 493.01 min (3 révolutions/jour). Le satellite Ellipso Borealis a ce type d'orbite pour la Terre .....

686

Chapitre 15. Satellite de Mars

Sato hélios.

1/0

DTo

CTo

NTo

Td

a

h

iHS

MGS M. Odyssey MRO

13 12 13

-233 +15 +65

550 32 349

6917 399 4602

117.64 118.66 112.20

3775.088 3796.847 3657.386

379 401 260

92.90 92.96 92.60

Mars Obs. Mars Obs. Inter MarsN.

13 13 12

-1 -3 -1

3 7 2

38 88 23

116.80 117.69 128.65

3757.095 3776.107 4007.867

361 380 612

92.89 92.94 93.61

15.6 : Caractéristiques d'orbite pour les satellites héliosynchrones obtenues à partir du triplet de phasage [1/ DTo ; C To ]. Légende complète : voir tableau 11.1. Orbite de satellites en orbite: MGS, Mars Odyssey, MRO. Orbite prévue pour satellite ayant manqué l'insertion: Mars Observer (phasage sur 3 et 7 sols); pour projet abandonné: InterMarsNet.

TABLEAU

0 ;

a

e

T

9 318.9 8597.5 8703.2 8750.2

0.60691 0.56973 0.56974 0.57041

455.24 403.51 410.98 414.27

MEx 13:3 [G3-u] 11:4 [G3-b] 18:5 25:7

TI. ph.,NTo [3; [4; [4; [4;

+1; -1; -2; -3;

4] 3] 5] 7]

13 11 18 25

hp

ha

266 302 347 362

11 578 10099 10266 10344

15.7 : Caractéristiques d'orbite et de phasage pour Mars Express. Demigrand axe a, altitudes au périastre et apoastre, hp et ha en km, période T en minutes. Pour ces orbites, d'excentricité e, l'inclinaison est i = 86.35°. Tr. ph. : triplet de phasage, NT" : nombre de révolutions dans le cycle.

TABLEAU

K-

i = 20

h

14 13 12 11

48.6 237.0 449.0 690.5

i = 65

h

81.2 263.8 470.6 707.4

i = 110

h

146.0 321.0 520.6 750.7

i = iHs

h

iHS

117.6 296.2 499.2 732.6

92.3 92.7 93.3 94.0

15.8 : Caractéristiques d'orbite et de phasage pour les satellites phasés sur un sol, en orbite circulaire. Satellites non héliosynchrones avec trois inclinaisons différentes et rappel pour les satellites héliosynchrones. Les altitudes h sont en km, les angles i en degrés. La fréquence orbitale K- (ici égale à 1/0 est en révolutions/sol).

TABLEAU

15.7. Orbite par rapport à Mars: phasage, altitude

687

Phasage pour un satellite non héliosynchrone

Le satellite Mars Express est en orbite elliptique, non héliosynchrone, phasée (avec plusieurs phasages au cours de la mission). C'est, pour l'instant, le seul satellite martien dans ce cas. Exemple 15.10 Caractéristiques des diverses orbites de Mars Express, selon le phasage. ~ Le satellite européen Mars Express, lancé de Baïkonour le 2 juin 2003, est arrivé sur Mars le 25 décembre et a été placé en orbite d'insertion (dite MOI) quasi polaire, i = 86.35°, très excentrèe, qui a ètè rapidement transformèe en orbite elliptique phasèe, de 13 rèvolutions en 4 sols (dite orbite 3G-u), puis de 11 révolutions en 3 jours (dite orbite 3G-b). Il est resté sur 3G-u du début de janvier au 2 mai 2004 (révolutions 1 à 372) et est passé sur 3G-b où il s'est installé du 6 mai jusqu'à la fin de la mission principale, le 11 novembre 2007 (rév. 386 à 4955). Ensuite, avec une légère augmentation du demi-grand axe a, MEx est passé à un phasage de 18 révolutions en 5 sols (orbite dite 18:5), du 16 décembre 2007 au 11 janvier 2009 (rév. 5082 à 6458), puis à un phasage de 25 révolutions en 7 sols (orbite dite 25:7). L'objectif de ces changements est d'optimiser les observations scientifiques et notamment de maintenir autant que possible le périastre (d'où se font les observations à haute résolution) côté jour. Les caractéristiques des orbites sont données dans le tableau 15.7. Comme pour Mars Odyssey, les orbites ne sont pas rigoureusement phasées. Pour G3-u, avec 5 = 360/13 = 27.70", 5R = 45 = 110.77", la trace glisse de 5' = 1.09" après chaque cycle de 4 sols .....

Satellites phasés sur un jour

Comme sur Terre, les satellites en orbite basse LMO doivent éviter a priori le phasage sur un jour. Par exemple, un satellite héliosynchrone à une altitude h = 500 km se retrouverait dans une telle situation, comme on le voit clairement sur le diagramme de phasage. Tous les jours il repasserait sur sa trace, négligeant certainement l'observation des régions entre les traces. Nous avons donné dans le tableau 15.8 les valeurs des altitudes amenant à ce phasage, pour les satellites héliosynchrones ou non. Points de grille pour satellites phasés

Le calcul de la latitude des points de grille se fait par la fonction 'J(IjJ) , définie par l'équation (11.28). Aucune différence avec un satellite de la Terre, si ce n'est que, pour les satellites héliosynchrones, l'inclinaison iHS dépend de la planète 22 . 22pour le satellite Mars Odyssey, avec un phasage sur 2 sols, on obtient les résultats suivants, avec les notations utilisées dans le chapitre 11. Pour j = l, 3, 5, 7 ... MTo = 27,

688

Chapitre 15. Satellite de Mars

Indice de phasage

L'indice de phasage donne les indications de cycle et de sous-cycle. Pour des satellites au cycle de phasage très long, comme MGS ou MRO, l'utilisation de cet indice apporte beaucoup d'informations. Exemple 15.11 Indice de phasage pour les deux satellites héliosynchrones à long cycle, MGS et MRO. Ces deux satellites ont une orbite héliosynchrone quasi circulaire. (a) MGS Le cycle de phasage est très long, CT" = 550 sols (sur 6 917 révolutions, vOIr figure 15.24(a)). Ce graphe montre un pic secondaire pour 7 sols (sur 88 révolutions), ainsi que des pics importants pour 26 sols (sur 327 révolutions) ... pour 144 sols (sur 1 811 révolutions). La nomenclature MGS/JPL distingue trois cycles: Repeat Cycle (7 sols), Mapping Cycle (26 sols), Super Cycle (550 sols). L'instrument MOLA à bord de MGS est un laser 23 dont le faisceau, bien évidemment, a une faible ouverture. Un cycle très long entraîne donc un intervalle de trace très petit 24 , garantissant une couverture complète de la planète (sauf un petit disque centré sur les pôles, qui a été comblé par des changements d'orientation du satellite). (b) MRO Ce cycle de phasage est un peu moins long que le précédent, CT" = 349 sols (sur 4602 révolutions voir figure 15.24(b)). Ce graphe montre un pic important pour 102 sols (sur 1 345 révolutions) et des pics secondaires pour 5 sols (66 rév.), 11 sols (145 rév.), 16 sols (211 rév.). Ce dernier sous-cycle correspond au triplet de phasage [13; +3; 16] 211, (voir figure 15.23) ..... ~

15.7.2

Altitude

On rappelle qu'on définit l'altitude du satellite, voir chapitre 11, en fonction de l'angle a, angle de position sur orbite. Cette altitude h(a), relation (11.47), est obtenue par la différence entre la distance r(a) au centre de la planète (centre attractif) et le rayon RT (a) de l'ellipsoïde de référence (distance au centre de la planète de la trace du point subsatellite sur l'ellipsoïde). On considère ici l'altitude (hauteur) géocentrique. Les orbites gelées sont moins circulaires que sur Terre pour deux raisons: - l'aplatissement de Mars est plus grand; - la valeur de l'excentricité gelée ec, voir relation (11.57), est plus grande, les latitudes géocentriques sont: 1/J = 26.6, 62.9, 76.0, 80.9 ... 1/Jm = 87.1 = 180 - iH s (voir figure 15.13(b)). 23Sur Terre également, où les cycles CT" excèdent rarement 40 jours, les satellites d'altimétrie, munis d'instrument laser, comme ICESat, ont un cycle très long. 24L'angle d'ouverture du laser de l'instrument MOLA est 2f = 0.85 mrad (soit 3' d'arc), ce qui donne une tache au sol de largeur LI. = 2 f h = 320 mètres. Avec NT" = 6917, l'intervalle de trace <5 (exprimé en longueur) est: <5 = 21T R/6917 = 3.085 km. À l'équateur, on a donc: LI./5 c::::: 1/10.

15.7. Orbite par rapport à Mars Altitude

Mars Global Surveyor Cycle de Phasage [ 13; -61; 144

=

1 144.000

a

378.088 km

Incl. HELlOS.= 92.90

al

CU
50 40

al

30

'5

20

"

E

Décalage équat. = 1697.1 km

=>sur1811 tours

Période = 117.64 min

Indice max.

V = 12.5764

le = 12.5764

CU
15

20

25

50 40

al

30

"C

20

.'è E

30

35

40

45

50

55

60

65

70

145

150

155

160

75

80

!

~

70

al

0-

:g

60

CU .<:: "C

infini

10 10

al

=

:i:

80 Cl

MGM1025

60

al

"C

km

70

CU .<::

0-

= 3775.088

Cycle: 144.00 sols

0

80 Cl

689

phasage, altitude

10 0

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

=

140

a

165

= 3657.387

Mars Reconnaissance Orbiter

Altitude

Cycle de Phasage

Décalage équat. = 1618.6 km

=>

Période = 112.20 min

Indice max.

V = 13.1862

te = 13.1862

[ 13; 19; 102 1 102.000

260.387 km

n,,,,,,

Incl. HELlOS.= 92.60

170

MC. LMD

MGM1025

km

Cycle: 102.00 sols

0

sur 1345 tours

=

infini

80 al

Cl

CU
70 60

CU .<::

50

al

40

0-

"C

al

"

'5 E

30 20 10 10 80

al

Cl

CU
50 40

"C

al

30

"C

20

E

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

sols

~

70

al

.'è

20

60

CU .<::

0-

15

~

10

15.24 : Indice de phasage. Le phasage noté dans chaque légende correspond à un phasage inférieur à 200 sols. (a) Satellite MGS. (b) Satellite MRO.

FIG.

Chapitre 15. Satellite de Mars

690

Mars Global Surveyor

a

=3775.138 km

i =92.890

19990322/ Revolution: 1878

e = 0.008868

'" =263.2

0

0

430 425 420 415 410 405 400 395 390 385 380 375 370 365

45 35

Ê 6

25

~

15

c

CIl

1il

Ci

-5 -15

30

Ê 6

20 10

~

c

CIl

17.)

Ci

-10

-20 -30 30 Equateur

60

90

120

Position sur orbite

N.ASC.

150

n

180

210

Equateur

Mars Reconnaissance O.

a

270

Position sur orbite

N. DES.

Orbite nominale

240

=3657.386 km

300

330

n

360 Equateur N.ASC.

=0.008874 '" =270.0-

e

i =92.600-

315 310 305 300 295 290 285 280 275 270 265 260 255 250

50 40

Ê 6 ID

"c

1il Ci

30 20 10

-10

30 20 10

~

c

tl

Ci

-10

-20 -30 30 Equateur

N.ASC.

60

90

120

Position sur orbite

n

150

180 Equateur

N. DES.

210

240

270

Position sur orbite

300

Cl

330

360 Equateur

N.ASC.

15.25 Altitude pour les satellites MGS et MRO. Pour une légende détaillée, voir la figure 11.22.

FIG.

15.8. Vue depuis le satellite

691

car le rapport IJ3 1hl est égal à 18.363 10- 3 pour Mars alors qu'il n'est que de 2.339 10- 3 pour la Terre. On note aussi, puisque J 3 et sin Wc doivent être de signe contraire, que la position du périastre gelé est donnée par Wc = 270" pour les satellites héliosynchrones phasés. Le périastre de l'orbite héliosynchrone gelée est pratiquement sur le pôle Sud. Exemple 15.12 Altitude du satellite MGS durant la phase topographique et du satellite MRO durant la première phase scientifique. ~

Ces deux satellites ont une orbite gelée.

(a) MGS

La variation d'altitude du satellite MGS est donnée (figure 15.25(a» sur une période, en fonction de la position sur orbite a. Les valeurs des paramètres orbitaux, fournis par la NASA, sont ceux d'une révolution donnée (mentionnée sur la figure), lors de sa phase topographique (Topographical Phase). L'orbite étant maintenue et gelée, on peut considérer que la variation h( a) ne change pas d'une révolution à l'autre. On note que la position Wc du périastre gelé est à 7" de sa position idéale. Le calcul de l'excentricité gelée, par la relation (11.57), avec les éléments orbitaux notés dans le tableau 15.6, donne ec = 8.25 10- 3 . Ce résultat est proche de la valeur réelle pour la révolution considérée, ec = 8.87 10- 3 . (h) MRO La variation d'altitude du satellite MRO est donnée (figure 15.25(b» sur une période, en fonction de la position sur orbite a, pendant la première année martienne (Primary Science Phase) après la mise en orbite. L'altitude ne dépend que de la latitude, elle n'est pas sensible au fait que l'orbite soit dans sa partie ascendante ou descendante. Dans la légende de la figure 15.28 et dans l'exemple 15.16, nous indiquons l'altitude communiquée par JPL/NASA, h = 297.5 km. En utilisant la relation (6.64), avec 1/J = 44.2° et i = 92.6°, nous obtenons: sin a = sin 44.2/ sin 92.6 d'où a = 44.3° et on retrouve bien cette valeur sur le graphe. Pour MRO et MGS, les allures du profil d'altitude sont très semblables (valeurs de ec et de Wc pratiquement identiques) ....

15.8

Vue depuis le satellite

~ Chapitre 12 »» Toutes les notions vues au chapitre 12 s'appliquent à un satellite martien. Cette adaptation est d'autant plus simple que nous avons utilisé la variable TI qui représente la distance relative (aiR).

692

!il Qi

x 'Ci

Chapitre 15. Satellite de Mars

5

IJ)

ID "0 ID

>

~ ~

4

c 0

~

E

.Q

3

-ID

~ ~ ID U

'0

.E:

2

o MARS

10

20

30

40

Angle de demi-fauchée f

50

Cl

60

15.26 : Indice de déformation relative des pixels pour les satellites LMO, d'altitude h = 100 km à h = 1100 km, avec un pas de 100 km, en fonction de l'angle de demi-fauchée f.

FIG.

15.8.1

Géométrie de vue et déformation des pixels

Pour un satellite en orbite basse, LMO, circulaire, l'indice K de déformation des pixels est présenté, (figure 15.26) pour diverses altitudes. Pour un satellite en orbite haute, SMO, stationnaire, la courbe K(a) est pratiquement identique à celle concernant un satellite GEO terrestre, représentée à la figure 12.4(b). On obtient K = 2 pour a = 49", K = 3 pour a = 59" (au lieu de a = 50", a = 61" respectivement, pour le satellite terrestre). Cette ressemblance des courbes K(a) est due à la proximité des valeurs de TIGS.

15.8.2

Trace des fauchées pour un satellite LMO

Les modes de fauchée sont les mêmes, que les instruments soient à bord de satellite terrestre ou martien. On donne, ci-dessous, un exemple de trace de fauchée orthogonale. Exemple 15.13 Trace de la fauchée de Mambo à bord de Premier. ~ L'instrument Mambo (Mars Atmosphere Microwave Brightness Observer), proposé à bord du satellite Premier MO-07, vise au limbe de sa fauchée orthogonale,

15.8. Vue depuis le satellite

[MARS] PREMIER 1 MAMBO Trace de l'orbite

Altitude = 350.0 km

»> Durée représentée: 295.9 min = 0.20 sol

Période = 116.30 min • Trslsol = 12.72

Trace des fauchées orthogonales

693

a = 3746.200 km

Inclinaison HELIOSYNCHRONE = 92.86' Décalage à l'équateur = 1677A km ( 28.3 ') •• Demi-fauchée: 65.0' => 1479 km [ 1.0 min]

Projection: Orthographique Propriété: (sans)

Type: Azimutal

Centre C. (dr.): 28.0' S: 44.0 'E Aspect: Oblique [ -90.01 +118.0 1 +46.0]

N. asc.: 30.00' Recouvrement: 67.9' <--> 90.0'

MOLA Topogr. /h/Z.5km/

MC

n~Wl/

*

LMD

ATÀaç'

[MARS] Aréostationnaire

Altitude =17034.0 km

a_GS = 20430.990 km

Lieu des points de Mars

Inclinaison = 0.00'

Long. station. = 62.5 ' W

équidistants

Période = 1477.11 min' Rév.lsol = 1.00 Décalage à l'équateur =21341.8 km

du point subsatellite

•• Demi-fauchée: 9.6' - Au sol: 4768.5 km [ 250.0 km]

Projection: Guyou

Centre Project.: 0.0' : 62.5' W

Aréostationnaire

Propriété: Conforme ci' T.:[lnt ellipt] - Golle : 10'

Aspect: Direct

Latit max. atteinte = 80A '

13.5][ +90.01 +0.01-27.5][-] MGM1025

MOLA Topogr. /h/Z.5km/

MC

n~Wl/

*

LMD

ATÀaç'

FIG. 15.27 : (a) Trace de l'orbite du satellite Premier et de la fauchée de l'instrument Mambo. (b) Lieu des points équidistants du point subsatellite pour un satellite aréostationnaire (SM 0 ).

694

Chapitre 15. Satellite de Mars

alternativement à droite et à gauche, chaque minute. Sur la représentation de la trace (figure 15.27(a)), un petit point noir marque l'endroit visé au limbe et un petit point évidé le nadir du satellite (le point subsatellite). La mission française Premier (Programme de Retour d'Échantillons Martiens et Installation d'Expériences en Réseau) a été annulée en 2003. Elle devait préparer la très ambitieuse mission américano-française de retour d'échantillons martiens, Mars Sample Return (MSR), toujours programmée, mais à un horizon très lointain, non défini ....

15.8.3

Prise de vue et inclinaison apparente

La prise de vue depuis un satellite LMO, avec une fauchée (orthogonale) étroite, illustre bien la différence entre inclinaison et inclinaison apparente. Exemple 15.14 Commentaires sur l'orientation des images prises par les instruments VIS à bord de Mars Odyssey et HiRISE à bord de MRO. ~ Parmi les nombreux instruments qu'ils ont à bord, les satellites martiens ont tous une caméra haute définition, dans le domaine visible: MOC pour MGS, THEMIS/VIS pour Mars Odyssey, HiRISE pour MRO, HRSC pour Mars Express. Ces caméras, de plus en plus performantes, décèlent des détails de quelques décimètres qui transforment la compréhension de la géomorphologie et de la géologie de la planète rouge. Nous nous intéressons ici à la prise de vue d'un point de vue orbitographique. Nous choisissons deux images. La direction du nord est vers le haut de l'image. (a) Mars Odyssey Figure 15.14. Instrument THEMIS/VIS (Mars Odyssey), TNA = 04:00. Le systeme THEMIS (Mars Odyssey Thermal Emission Imaging System) possède plusieurs instruments dont une caméra dans le visible, THEMIS/VIS. L'image est prise de jour, sur la partie descendante de l'orbite (rétrograde puisque héliosynchrone). La prise de vue se fait par « bloc», dessinant des dents de scie sur l'image. Chaque bloc est pris instantanément, donc perpendiculairement au plan de l'orbite. Le bord de chaque bloc a une inclinaison i. La ligne générale de la bordure suit la trace du satellite. Elle a par conséquent une inclinaison il, l'inclinaison apparente. Si on mesure ces angles sur l'image, on trouve: i = 93.0° il = 97.5° ce qui est conforme aux valeurs calculées dans l'exemple 15.6. (b) Mars Reconnaissance Orbiter / / Figure 15.28. Instrument HiRISE (MRO), TNA = 15:30. L'instrument HiRISE (High Resolution Imaging Science Experiment) est une caméro à haute résolution à bord de MRO. L'image est prise de jour, à 15:21 TSM, dans la partie ascendante de l'orbite (rétrograde puisque héliosynchrone). Les images sont construites ligne à ligne, en continu, et les bords de l'image suivent la trace du satellite. Ils font donc un angle il avec le bord du cadre. On mesure:

15.9. Échantillonnage spatio-temporel et angulaire

695

i' = 97.5°. Voir la valeur calculée dans l'exemple 15.6 ....

15.8.4

Vue pour un satellite SMO

Lorsque le satellite aréostationnaire (SMO) voit Mars, la fauchée maximale, au sens où nous avons défini Jo, est donnée par la relation (12.32). Avec la valeur de rlcs définie par la relation (15.34), on obtient:

Jo

=

arcsin

6.~16

=

9.569°

=

0.1670 rad

(15.41 )

L'angle au centre de Mars correspondant est: ŒO =

90° - 9.6°

=

80.4°

====}

2Fo

=

9 535 km

(15.42)

En notant À s la longitude du satellite S (longitude de stationnement ou longitude du point subsatellite), les longitudes vues sur l'équateur par S sont dans l'intervalle: [À s - 80.4° ; À s + 80.4°] et selon le méridien À s , les latitudes sont vues sur le même intervalle de 80.4°, de part et d'autre de l'équateur. La fraction de surface de la planète vue par le satellite aréostationnaire, calculée par la relation (12.38), donne ici la valeur 0.417 (soit 42 % environ, comme pour la Terre). Exemple 15.15 Représentation, pour un satellite aréostationnaire, du lieu

des points de Mars à égale distance du point subsatellite.

~ Comme dans l'exemple 12.12, on trace le lieu L(D). La distance D, définie par la relation (12.36), représente ici, figure 15.27(b), la distance (selon un grand cercle) entre un point de Mars, vu par le satellite aréostationnaire, et le point subsatellite de ce même satellite. Le pas de variation pour D est de 250 km. Le point subsatellite choisi dans cet exemple correspond à la position qui avait été envisagée pour le N etLander équatorial de la mission Premier ....

15.9

Échantillonnage spatio-temporel et angulaire

~ Chapitre 13 »» Toutes les notions exposées au chapitre 13 sont adaptables à un satellite martien. Mentionnons cependant un point que nous n'aborderons pas ici. Dans la mise en place des missions martiennes, il faut prendre en compte la géométrie Soleil-cible-satellite-Terre. En effet, si les yeux du satellite sont tournés vers Mars, ses oreilles doivent être orientées vers la Terre (d'où viennent les ordres), ainsi que sa bouche (pour transmettre les données).

696

Chapitre 15. Satellite de Mars

15.28 : Ravinements. Image prise par l'instrument HiRISE à bord de MRO, le 12 novembre 2006. Centre de l'image: 42.2° N, 312.0° E (= 48.0° W). Le nord est en haut de l'image. Heure locale: 15:21 TSM, hauteur solaire: 41° (Ba = 49°). Longitude aréocentrique solaire Ls = 134.4° (été boréal). Voir figure 15.29 et exemple 15.16. Taille du pixel: 29.8 cm. Altitude du satellite: h = 297.5 km. Voir exemple 15.14. Document: IPL, Univ. of Arizona, NASA. FIG.

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2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

* J=1* [S1 J=1 : 200611 12 - Sol 287

Cycle 1 Soleil: infini (HELIOSYN.)

Cycle 1 Phasage = 349 sols [13;+65;349]4602

MRO/ MARCI

24

J=1 : Ls=134 0

N

0

."\ ASC

ORBITE

o Azi

a

Demi-fauchée = 68.2

a

a

MC

*

nLWV

LMD

Recouvrement, 70,8 a <--> 90,0"

Latit. max, atteinte = 90,0

Fr. Recouvrement équat = 1 601

O.-fauchée sol =1289.6 km

Ang,Zénithal maximal = 90,0

0

Moyen mvt = 13.19 tr8/so1

Période = 112.20 min

Décalage équat. = 1618.6 km

Incl. HELlOS.= 92.60

BALAYAGE

(2)

(1)

... DES

0

a = 3657.387 km

Zén

Altitude = 260.4 km

•

horiz. local) p,r. Nord.

- Azimut (dans plan

pl perpendlc à trace)

- Angle zénithal (dans

SOLEIL

136.5 DIRECTION P-S

Sens trigonom. direct

~~~ ~

CHAMP DE VUE.

Pour P : TUC = TSM + 03h 12m

- Latitude: 42.0 0 N _ Longitude : 48.0 W

POUR LE POINT P

[MGM1025

( n = 138 )

DU SATELLITE S

PASSAGES

[S1: Soleil

TABLEAU 31 SOLS

42

1

trJ.

m

CD -.J

(1)

"1

"§:

[Jq

~

~

~

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S

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90 S

0

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70 0 S

SOl

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0

60 S

50 0 S

400S

0

30 S

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20 0 S

100S

Cl

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0°

100N

20 0 N

0

30 N

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40 N

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0

50 0 N

600N

70 0 N

SooN

900N

Angle zén. vue:

INITIALISATION

D'

Cycie/Phasage= 349 sols [13,+65,349]4602 Cycle 1 Soleil infini (HELIOSYN.) *J=1*[8]J=1: 20061112-801287

S. '" SOl 'l

~. en

'"~,ê'"

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~

'"

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;:l

O·

~

;;:s:

;. a 0

Angle zénithal solaire [0° , 90°]

3D'

NOEUD ASCENDANT (NA)

J=1 : Ls=134

45'

60'

+

90'

* Longitude NA = 42.44 aw * Instant = 15h 30min TSM 1 NA

MRO/MARCI

136.5 °

0

0

MC

*

n~(A)1/

LMD

Recouvrement· 70.8° <--> 90.0°

Latit. max. atteinte = 90.0

Fr. Recouvrement équat. = 1.601

O.-fauchée sol =1289.6 km

Ang zénithal maximal = 90.0 °

Demi-fauchée = 68.2

BALAYAGE

Moyen mvt = 13.19 trs/sol

Période = 112.20 min

Décalage équat = 16186 km

0

a = 3657.386 km Incl HELlOS.= 9260

Altitude = 260.4 km

ORBITE

Angle zénithal solaire

TheO·

DE JOUR

SUR LES PASSAGES

STATISTIQUES

CHAMP DE VUE:

Pour P: TUC = T8M + 03h 12m

EN FONCTION DE LA LATITUDE _ Longitude 48 0 0 W

[MGM1025 ]

DE JOUR

POUR LE POINT P

DU SATELLITE S

PASSAGES

[S]: Soleil

TABLEAU 31 SOLS

Stat. Angles

~ rh

,..,~

~ (1)

(1)

;+

ê:

~

[fJ

f-' Ül

(1)

~ ,..,

~

CJ

::0"

m

CD 00

15.9. Échantillonnage spatio-temporel et angulaire

15.9.1

699

Étude illustrée de l'échantillonnage

Nous présentons ci-dessous, dans le cadre de l'étude de la géométrie Soleilcible-satellite, un exemple d'échantillonnage temporel et angulaire. Exemple 15.16 Tableau d'échantillonnage et tableau statistique pour l'ins-

trument à grand champ MARC! à bord de MRO.

~ On considère le point central de l'image représentée à la figure 15.28, dont les coordonnées sont 42.2°N et 312.0°E. La prise de vue, par HiRISE à bord de MRO, a été faite le 12 novembre 2006, à 15:21 (TSM). Altitude du satellite: h = 297.5 km. Les caratéristiques du nœud ascendant correspondant sont: ÀN A = -42.436°, TN A = 15:30. La longitude aréocentrique solaire pour cette date (D = 2006 11 12) est Ls = 134.4° ce qui correspond au sol 287. Sur Mars, on est au milieu de l'été boréal. (a) Tableau sur 31 sols, dit tableau «mensuel» À bord de MRO, MARCI (Mars Color Imager) est un instrument à fauchée large: son champ de vue est de 180° (ce qui correspond à un champ effectif de 136.5° vis-à-vis du sol). Il opère un suivi de la météorologie martienne: tempêtes, nuages, calottes polaires. Dans le tableau (figure 15.29) on a placé: - en abscisses, les «heures» TSM, qui sont en fait, comme vu plus haut, des (1/24) de sol; - en ordonnées, les sols, de J = 1 pour Sol 287 (Ls = 134') à J = 31 pour Sol 318 (Ls = 150'). Cet intervalle de temps va, en date terrestre, du 12 novembre au 14 décembre 2006. Le lever et le coucher du Soleil, ainsi que midi TSV, sont notés par des lignes (tiret points). On remarque l'écart important entre midi TSM et midi TSV, représentant l'équation du temps25. Chaque passage du satellite (dans les conditions de visée requises) est noté par un triangle (voir explications, exemple 13.10). On voit qu'une moitié des passages a lieu de jour (l'après-midi) et l'autre de nuit (ou très tôt le matin). Le passage sur le point considéré se fait au sol J = 1, à 15:21 ; le trait vertical montre que le satellite passe exactement à la verticale du point considéré. On retrouve pratiquement cette même configuration pour J = 17, après un sous-cycle de 16 sols (exemple 15.11). (b) Statistiques sur 31 sols On considère les points de différentes latitudes sur le méridien passant par le point considéré. Il s'agit ici du méridien À = 312.0°, soit À = 48°W. On établit la figure suivante, 15.30, en notant

25pour Ls compris entre 134' et 150', on lit, en figure 15.7, la valeur de l'équation du temps, ET c::: -30 minutes, qu'on peut noter -0:30. Donc, en appliquant la correspondance TSM = TSV + ET, on a, pour midi solaire vrai, TSM = 12:00 - 0:30 = 11:30. Dans le tableau d'échantillonnage, la ligne marquant midi TSV passe bien à 12:50 TSM (plus précisément, de 12:00 - 0:28 = 11:32 TSM pour J = 1 à 12:00 - 0:33 = 11:27 TSM pour J = 31).

700

Chapitre 15. Satellite de Mars

15.31 : Réflexion spéculaire sur Mars. Le Soleil, le satellite MGS et le centre de Mars sont alignés. Image obtenue le 18 février 1998 par la caméra MOC (mode: résolution basse) à bord de MGS (révolution 136). Point P, centre de l'image: 21.00 S, 4.1°W. D : 1998 02 18 Ls = 2Tf déclinaison <5 = -24° ; latitude de P :?j; = -21°. La région sombre au-dessus du centre de l'image est Sinus M eridiani. L'image est prise avec un grand champ de vue, sur une moitié de révolution, de pôle à pôle. Elle est ensuite reprojetée selon la latitude et la longitude de chaque point observé, ce qui explique l'aspect ovale du corps représenté. Document: MSSS (MOC), MGS, JPL/NASA.

FIG.

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'*

- en abscisses, l'angle zénithal solaire, de 0" (zénith) à 90" (lever ou coucher) ; - en ordonnées, les latitudes de +90" (pôle Nord) à -90" (pôle Sud). On calcule les passages, à ces différentes latitudes, pour les points du méridien choisi. Ces passages sont notés avec diverses marques (rond, carré ... ) selon la valeur de l'angle zénithal de vue. Les lieux survolés ne sont jamais vus avec un soleil au zénith ((8 est toujours supérieur à 32°) car l'heure de passage de ce satellite héliosynchrone est en milieu d'après-midi. Remarque. Pour les dates considérées ici, la déclinaison varie de +1T à +12". Les très nombreux passages de jour, marqués sur ce graphe, pour les latitudes proches du pôle Nord, sont dus au jour polaire particulièrement long. Inversement, pour les lieux situés au-delà de la latitude 88°S, c'est la nuit polaire ....

15.9.2

Réflexion spéculaire (Sun glint)

Traiter du Sun glint sur Mars! Le lecteur peut penser que nous poussons un peu trop loin notre désir de faire un parallèle, pour toute chose, entre Mars et la Terre. Où sont les océans, les lacs, qui offrent une réflexion spéculaire? Le phénomène est certes beaucoup plus rare que sur Terre, mais on peut le rencontrer. .. L'image prise depuis MGS (figure 15.31), en offre un exemple. À la mi-février 1998, MGS a été, durant sa phase d'aérofreinage, dans

15.10. Satellites naturels

701

une situation telle qu'à chaque révolution, à un moment donné, le Soleil, le satellite et le centre de Mars étaient alignés. Cette configuration géométrique correspond à une situation de réflexion spéculaire. En portant Bo c::: 0, B c::: 0 et cP indifférent dans (13.23), on obtient bien " = o. Sur Mars, la réflexion spéculaire dépend fortement des propriétés physiques des surfaces (pierre, sable, poussière) et de l'atmosphère (aérosols).

15.10

Satellites naturels

15.10.1

Phobos et Déimos

La planète Mars possède deux satellites naturels, découverts en août 1877 par A. Hall 26 . Leur orbite est circulaire et équatoriale (i de l'ordre de 1"). Leur taille faible (dimensions de l'ordre de la dizaine de kilomètres) et leur forme bosselée les font ressembler à de gros cailloux. Comme la Lune ou les autres satellites naturels, ils présentent toujours la même face à la planète. Le plus gros, Phobos (a = 9379 km, i = LOT, T = 0.3189 jour), avec TI = 2.76, est très nettement sous l'orbite aréostationnaire 27 ; le second, Déimos (a = 23 459 km, i = 1.79", T = 1.2624 jour), avec TI = 6.91, est légèrement au-dessus. Une conséquence des effets de marée est que la distance entre la planète et le satellite naturel varie légèrement au cours du temps. Si le satellite est au-delà de l'orbite synchrone, il s'éloigne. S'il est à l'intérieur, il se rapproche jusqu'à se briser sous l'effet de marée, dès qu'il atteint une limite dite limite de Roche 28 . 26 ... et nommés par lui du nom des deux enfants mâles nés de l'union d'Arès et d'Aphrodite (ils avaient tous les défauts de leur père) : Phobos, 6 ô[3oç, ou, «la crainte », Déimos, 6 .6.ELllOÇ, OU, « l'effroi». Les sources de A. Hall sont deux vers de l'Iliade: wç (jlét:w, xo([ p • Yl1:J1:0Uç xÉÀEl:O .6.d[lôV l:E ô[3ov l:E SEUYVÛ[lEV, ()(lll:àç 5 • EVl:E • 1:5ûGEl:o J1:()([l(jl()(VÔWVl:()(. 'OJ1rjpoç, 'JÀuzùa, 0 (119-120) Traduction de Leconte de Lisle (Homère, Iliade, chant XV) : Il [Arès] parla ainsi, et il ordonna â la Crainte et à la Fuite d'atteler ses chevaux, et il se couvrit de ses armes splendides. 27Phobos est un des rares exemples connus de satellite naturel ayant une vitesse de révolution orbitale plus grande que la vitesse de rotation de la planète sur elle-méme : il se trouve en dessous de l'orbite planétostationnaire. Jusqu'aux découvertes faites par Voyager-1 et 2, il était le seul satellite naturel dans ce cas. Pour un observateur martien, Phobos se lève à l'ouest et se couche à l'est. Vu de Phobos, Mars couvre à peu près la moitié du ciel. La planète est en effet vue selon un cône d'angle au sommet 2 Jo = 2 arcsin(l/1J) = 42". 28 Edouard Roche (1820-1883), astronome français. Il établit une théorie cosmogonique du Système solaire et étudia la structure interne de la Terre. Cette double compétence d'astronome et de géophysicien l'amena, en 1849, à établir l'expression des forces de marées exercées par un corps central sur un satellite naturel. Il calcula que le satellite en orbite est détruit si le rayon de l'orbite descend en dessous d'une certaine distance seuil, appelée

702

Chapitre 15. Satellite de Mars

15.32 : Phobos. (a) Image prise le 3 mars 2010, par l'instrument HRSC (High Resolution Stereo Camera) à bord de Mars Express, lors d'un passage à 67 km de Phobos. Le point N marque le pôle Nord. Document: ESA/DLR/FU Berlin (G. Neukum). (b) Carte (photographique) de Phobos, en projection plate-carrée, obtenue à partir des images Mars Express, complétée par des images d'autres missions. Document ESA.

FIG.

15.10. Satellites naturels

703

Les points de Lagrange LI et L 2 du système Mars-Phobos ont été calculés dans l'exemple 6.4.

15.10.2

Exploration spatiale

La sonde soviétique Phobos-2 avait tenté une approche très originale du satellite Phobos. En orbite équatoriale pendant deux mois à partir du 29 janvier 1989, la sonde s'était approchée progressivement de Phobos. Alors qu'elle n'était plus qu'à 50 mètres de la surface de Phobos, le 27 mars, elle cessa d'émettre, au moment de lancer ses modules atterrisseurs. La nouvelle sonde russe Phobos-Grunt doit adopter la même stratégie. Après son insertion en orbite martienne en septembre 2012, elle doit se mettre en orbite quasi circulaire (h p = 5 800 km et ha = 6 000 km). Cette orbite « phobosynchrone» doit permettre au satellite de se poser sur Phobos en douceur, en avril 2013, et d'y rester jusqu'en août. L'étape suivante sera de revenir sur Terre, avec un morceau de Phobos en poche (200 grammes d'échantillon). Mars Express, en parcourant sa trajectoire elliptique et quasi polaire, est passé plusieurs fois à proximité de Phobos pour prendre des images et aider à la sélection d'un site d'atterrissage (figure 15.32).

15.10.3

Vue et échantillonnage

Pour Phobos, seuls les points de Mars à une latitude inférieure à 11/'1 = 69.8° peuvent voir le satellite. En effet, on a d'après la relation (12.15) : 1/;v = i + arccos(l/7]) = 1.07 + 68.77 = 69.84°. L'« échantillonnage» d'un satellite naturel est représenté par sa période synodique. Cette période T' s'obtient avec la relation (8.45) : l/T' = (1/1.027) - (1/0.319) = -2.161 en jour- I ce qui donne T' = -0.463 jour = -0.451 sol. Le signe négatif de la période synodique montre que le mouvement relatif se fait dans le sens rétrograde. Pour Déimos, assez proche de l'orbite aréostationnaire, seuls les points près des pôles ne voient pas Déimos. En effet, ici: I/'v =i + arccos(l/f)) = 1.79 + 81.68 = 83.47". Le calcul de la période synodique donne : l/T' = (1/1.027) - (1/1.262) = +0.1811 en jour- I soit T' = +5.52 jours = +5.37 sols.

1/;v

=

depuis limite de Roche. Les forces de marées sont alors plus importantes que les forces de cohésion gravitationnelles. Cette limite dépend des densités relatives du satellite et du corps central. En juillet 1994, la comète P /Shoemaker-Levy-9 est passée très près de Jupiter, en deçà de la limite de Roche. Elle a éclaté en une vingtaine de fragments qui se sont écrasés sur la planète. Voir aussi Saturne/anneaux.

704

15.11

Chapitre 15. Satellite de Mars

Note historique Kepler et la planète Mars

o

T 1 B.

S

LL~

MA:

!S

15.33 : Astronomia Nova, page 4. Trajectoire de Mars dans un repère géocentrique, pour faire apparaître la rétrogradation d'orbite. Observations de Tycho Brahé, de 1580 à 1596. Le début et la fin des observations sont notées.

FIG.

15.11.1

Calcul de la période de révolution

Nous avons vu au chapitre 4, figure 4.12, que le sous-titre de Astronomia Nova était « au sujet des mouvements de Mars, d'après les observations de Tycho Brahé », voir figure 15.33. La qualité des mesures de Tycho Brahé (à l'œil nu, répétons-le) est bien connue, de même que la justesse des interprétions par Kepler. Mais le lecteur moderne se rend-il vraiment compte de l'étonnante précision du travail de Kepler? La page 131 de Astronomia Nova, reproduite figure 15.34, nous en fournit une illustration.

15.11. Note historique: Kepler et la planète Mars

705

Kepler choisit une position de Mars sur son orbite et note l'instant d'observation. Ensuite, à chaque révolution, il note l'instant de passage à ce même point, ad idem fixarum punctum (ligne 13 de la page 131) pour en déduire la durée de l'année martienne. Le premier passage noté 29 est (lignes 10 et 11 de la page 131) : anno MDXC D. V Martii vesperi H. VII M. X c'est-à-dire: en l'an 1590, au jour (D. = die) 5 du mois de mars (Martii), au soir (vesperi) , à l'heure (H. = hom) 7, à la minute (M. = minuta) 10. Trois autres passages sont notés par la suite. Nous avons repris les dates, en transcription moderne, dans le tableau 15.9. En transformant ces instants 30 en date julienne (DJ), nous pouvons calculer facilement l'intervalle les séparant et obtenir ainsi la période de révolution, qui représente la durée de l'année sidérale martienne 31 . Date 1590 1592 1593 1595

MAR JAN DEC OCT

5 21 8 26

Heure

Date juliennne DJ

19:10 18:41 18:12 17:44

2 301 859.26319 2302546.24306 2 303 233.22292 2303920.20347

Écart (j)

Ls (0)

686.97987 686.97986 686.98055

316.252 316.359 316.357 316.364

=?

TABLEAU 15.9 : Transcription de la page 131 de Astronomia Nova, avec calculs à partir des données. Indication de la longitude solaire Ls.

29Le lecteur attentif remarquera que nous nous sommes permis de corriger une faute de frappe de Kepler: à la place de MDXCX (qui ne signifie rien en notation romaine), il faut lire MDXC pour 1590. 30 Nous avons considéré qu'il s'agissait de l'heure TSM à Uraniborg, l'observatoire de Tycho Brahé. Il est situé dans l'île de Ven, qui appartient aujourd'hui à la Suède, 55° 55'N et 12°45'E. On en déduit: TU = TSM (Ven) - 51 minutes. Une autre question qu'on peut se poser est: Kepler utilisait-il le calendrier grégorien ou julien? Défini en 1582, le calendrier grégorien a été appliqué dès 1583 par les États allemands catholiques, mais pas avant 1700 par le Danemark et les États allemands protestants. La réponse est donnée par Kepler lui-même - il précise, une seule fois, une date d'observation avec le jour de la semaine: le samedi 8 novembre 1597. Dans le calendrier « nouveau style», ce jour est un samedi, dans le « vieux style», c'est un mercredi. Kepler utilise donc le calendrier grégorien. Notons que ces questions d'heure locale et de calendrier n'ont aucune importance pour le calcul de la période, basé sur des différences de dates. Elles n'interviennent que pour le calcul de Ls. 31Sur le dessin noté Copernici, page 131 d'Astronomia Nova, Kepler trace en trait plein le cercle J" de centre 00, qui représente la trajectoire circulaire de la Terre définie par Copernic. Il trace en pointillé la trajectoire de la Terre qu'il a calculée: le Soleil {3 n'est pas exactement au centre, ce qui dénote l'excentricité de l'orbite terrestre. La position de la Terre notée e est celle de l'observation de 1590, YI pour 1592, c pour 1593 et ( pour 1594. Sur l'orbite de Mars, la position X de la planète est fixe pour ces quatre dates.

706

Chapitre 15. Satellite de Mars

PAR

S

TERTIA.

'3 '

J am pofl:qllam remd hl1jllS rci pcriclllum fccin1lls,audacia lubvedi p01TO liberiorcs eJl~ in hoc campo incipiemus. Nam conquiram tria vel CAP. XXIV, q!lOrcunqllc loca vila MAR T IS, PlanetalCmper eodCl11 ecccnrrici loco vcrrante: & ex iis lcge triangulorLun inquiram totidCl11 pllndonrm epicyeli vcl orbIS an Il Lll difl:anuas a pundo 't:L1ualttatis motus. Ac CUl11 ex tribus puntbs circulus defcribatur, ex trlnis igituf hujusmodi obfcrvationibus {ituJ11circuli, ej usq LIe augiuJ11, quod prius ex pra:ruppofiro llfurpaveram, & ccccr::triciratem a pUlldo xqualitatis lllquiraJ11. ~od lîquartaoblèrv.ltio accedet, ca ent 10co probationi,. l'RIMVM rempus cHo anl10 MD XCX D. v Manii ve[peri H. VII M. x co qllod tunc ci" latirudil1e pene cJ.ruir,l1c quis impertlnenti liIlpicioneob hujus implieationemin pcrcipicnda dcmonltrationc impediamr. Re/pondent J110mellta ha::c, quibus ci" ad idem fixarum puné1:111IL redir: A. MDXCII D. XXI Jan. H. VI M.XLI: A.M D XCIIID. VI II Dcc. H. VI. M. XII: A. MDXCV D. XXVI Oél:ob. H. V M.XLIV. El1:q; longitudo M lnis primo tem porc ex TYCHONIS rell:irmiol1eo I. 4.38.50: fequcmibus temparib. tories per 1. 36 :l.UC11Or. Hicenim ell:matUl prxce/Iionls cangruCil) tempori periadico unim refbturionisMA R TH Cumqi TYCHO apogxHm panar in 1.3 -;'Q, xq uaria ejus crit! 1. If· 5 proprcrea 16gimdo coxquaraannOMDXC 1.15-53.45' Eodem vero tcmporeo & commutatio i~u dilfcrentia medii motus 50 LIS ~. medio Marris colligirur 1 d. 18.19.5 6:co
..J

5:

PRI~IVM hxcinforma COPER N ICAN A ut fîmpliciori ad fènilun proponelnus. Sil Cl. punélttm (l!l}ua-· litatif cmmtur lerr,€, qut j'utet!4r c(Se nrc!4!u", J'y ex Cl.

rlcfriprl1f'

ut /it

Sot in

partM 0) ut rJ.(~ Ùl1Cdtlp(),g,a

15.34: Astronomia Nova, page 131. Détermination de la période de révolution de Mars (année martienne).

FIG.

15.11. Note historique: Kepler et la planète Mars

Grandeur

Formule

Terre

Mars

Aphélie Périhélie Total Différence Demi-grand axe Distance focale Excentricité

a (1 + e) a (1 - e) 2a 2ae a ae

101 796 98204 200000 3592 100000 1796 0.01796

166 510 138 173 304683 28337 152342 14169 0.09301

e

707

15.10 : Résultats des calculs de Kepler. L'unité de distance choisie par Kepler est 100000 pour le demi-grand axe a de l'orbite terrestre.

TABLEAU

Planète

Grandeur

Kepler

V. act.

Err. r.

Mars Mars Mars Terre

Inclinaison / écl. (0) Demi-grand axe (ua) Excentricité (s.d.) Excentricité (s.d.)

1.8420 1.52342 0.09301 0.01796

1.8496 1.52366 0.09341 0.01671

0.4 % 0.016 % 0.4 % 7.5 %

15.11 : Résultats des calculs de Kepler. Comparaison avec les valeurs actuelles retenues (V. act.), et notation de l'erreur relative (Err. r.) en %.

TABLEAU

La moyenne des trois valeurs permet de faire la comparaison: Calculs de Kepler: Année sidérale:

686.9801 686.9800

soit 686 j 23 h 31 m 20 s soit 686 j 23 h 31 m 12 s

Le « point fixe» sur l'orbite de Mars est déterminé, en degrés, avec une précision remarquable:

Ls

=

316.358 ± 0.006

L'erreur de Kepler pour l'année sidérale est de 8 secondes sur 687 jours, soit une erreur relative de 10- 7 . De toutes façons, Kepler ne pouvait pas mieux faire car sa mesure minimale du temps était la minute. Les horloges mécaniques datent du XIVe S., mais les mesures véritablement précises du temps commencent avec Huygens, en 1673. Quant à l'observation avec des instruments optiques, nous avons vu que le précurseur en fut Galilée, en 1610.

15.11.2

Autres calculs à propos de Mars et de la Terre

L'apport de Kepler aux mesures de Tycho Brahé est primordial : tout d'abord, il les a placées dans un contexte copernicien, ensuite il les a soumises à son expertise mathématique. Il en a aussi amélioré la précision en tenant

708

Chapitre 15. Satellite de Mars

compte rigoureusement de la précession des équinoxes (Ast. N., p. 131) et la réfraction atmosphérique (Ast. N., p. 73). Nous terminons cette note historique par quelques autres résultats remarquables de Kepler publiés dans Astronomia Nova. (a) Inclinaison Pour le calcul de l'inclinaison de Mars sur le plan de l'écliptique (Ast. N., p. 79), Kepler note que le calcul est très délicat. Il obtient la valeur qu'il transcrit ainsi: i = 1° 50 ~ min soit, en degrés décimaux i = 1.842° (b) Excentricité et demi-grand axe Kepler calcule l'excentricité de la Terre (Ast. N., p. 136) et de Mars (Ast. N., p. 265) ainsi que le demi-grand axe de l'orbite de Mars. Il attribue 100 000 (ce sont donc des unités arbitraires) au demi-grand axe de l'orbite terrestre. Les résultats obtenus sont notés dans le tableau 15.10. Ils sont confrontés, tableau 15.11, avec les valeurs actuellement retenues.

()rps célestes Les princes se sont retirés les premiers. Les verrous sont vérifiés. Les chaînes sont mises. Les hommes qui faisaient tant de bruit sont silencieux. Les portes tout à l'heure grand ouvertes sont closes. Les dieux et les déesses du pays sont rentrés se coucher dans les cieux. Ils ne rendent plus de sentence, ils ne décident plus d'affaire. La nuit a mis son voile. Le palais est immobile, les aires à blé silencieuses. Le voyageur invoque un dieu; celui qui attend son procès cherche en vain le sommeil. Le juge équitable, Shamash [le Soleil], est entré dans ses appartements. Brillantes étoiles, divinités de la grande nuit, soyez présentes à mes côtés. Hymne à la nuit. Babylone, vers 2000 ans av. JC. Tablette d'argile. [AO 6769 - Musée du Louvre] Traduction: Antoine Cavaigneaux.

!l{'Iceau de l'écriture. Égypte, les nuits étaient douces, à regarder les constellations, d'autres en mouvement par rapVénus ... ité consignés dans l'argile ou sur le papyrus, dans i!ojjique, lié à la superstition ou la religion. Loin de Mais c'était un début, la science commence avec

M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

710

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

Plusieurs siècles après, les astronomes de Grèce - encore le ciel clair et l'écriture - influencés par les Babyloniens, sont les premiers à formaliser clairement la distinction entre les étoiles et les planètes l .

* Nous étudions ici, plus succinctement que lorsqu'il concernait la Terre ou Mars, le mouvement d'un satellite autour d'un autre corps céleste. Le chapitre est divisé en deux parties, chacune étant rédigée avec pratiquement le même plan. Nous les avons clairement séparées, en partie A pour les satellites de planètes, en partie B pour les satellites de satellites. Dans cette partie B, pour éviter les confusions, un satellite de planète, une lune, sera appelé satellite naturel, un satellite technologique, artificiel, sera appelé satellite.

A 16.1 16.1.1

Satellite de planète

Planètes du Système solaire Présentation des planètes

Autour de l'étoile centrale, le Soleil, gravitent les planètes du Système solaire. On les divise en deux catégories: les planètes telluriques et les planètes géantes 2 . Les planètes telluriques 3 sont les quatre plus proches du Soleil : Mercure, Vénus, Terre, Mars. Elles sont assez semblables entre elles par leur taille et leur composition (roches silicatées et fer). Les planètes géantes sont plus lointaines: Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune. Elles sont beaucoup plus 1 Le mot «planète» vient du latin planeta, repris du grec 1tÀŒ\I"I]1:EÇ, pluriel du mot 0 1tÀŒVYJÇ, YJ1:0ç qui signifie «voyageur, vagabond». Ce mot est issu de la racine signifiant « errer, s'écarter du chemin ». Les astronomes grecs différenciaient en effet les astres en mouvement (les planètes, ÛŒVYJ1:EÇ &CHÉPEÇ) des astres fixes (les étoiles, &CHÉPEÇ). La racine indoeuropéenne *ster, «étoile» se retrouve en grec, 0 &cr1:~P, 1:Époç) et dans plusieurs rameaux, germanique (star, Stern, ster, stjerne, starna ... ), celtique, indo-aryen (sitara en hindi, sétaré en persan). La variante *stel a formé stella en latin qui a donné le mot dans les langues latines (stella, estrella, estrela, stea, étoile ... ) 20 n dit aussi planètes terrestres et joviennes (jovien: qui se rapport à Jupiter, du latin Jupiter, Jovis). Jusqu'au Moyen Âge, du temps de l'astronomie géocentrique (où les rôles de la Terre et du Soleil étaient inversés), on appelait planètes inférieures celles entre la Terre et le Soleil (Lune, Mercure, Vénus) et planètes supérieures celles considérées comme au-delà du Soleil (Mars, Jupiter, Saturne). 3En latin, Terra, œ (f.) signifie «la Terre », mais Tellus, uris (f.) représente poétiquement la divinité Terre, la nourrice universelle, «la mère féconde des moissons et du bétail» (Horace).

16.1. Planètes du Système solaire

711

grosses que les planètes telluriques et de composition totalement différente (principalement hydrogène et hélium). Pour ces planètes géantes, le rayon est déterminé comme celui d'une surface isobare (on prend: 1 bar) et on ne peut pas définir un sol ou obtenir une représentation géographique de la planète. Entre ces deux groupes gravite la ceinture d'astéroïdes, dont le premier, Cérès, fut découvert au début du XIX€ s. par G. Piazzi 4 . Elle est composée de milliers de corps rocheux 5 aux formes parfois surprenantes. Au-delà des planètes géantes, on trouve la petite Pluton et les astéroïdes de la ceinture de Kuiper 6 , puis encore plus loin, le nuage d'Oore, domaine mystérieux des comètes 8 . Depuis 2006, Pluton est classé 9 avec les planétoïdes 4Père Giuseppe Piazzi (1746-1826). Astronome italien. Il réalisa un catalogue très précis de plus de sept mille étoiles. À cette occasion, il découvrit, le 1er janvier 1801, le premier astéroïde, qu'il nomma Cérès (patronne de la Sicile). Après avoir repéré la position de cette nouvelle planète, il dut cesser, pendant plusieurs jours, les observations qu'il menait de son observatoire de Palerme, pour raison de mauvais temps. Quand il repris les observations, il ne put retrouver « sa» Cérès ... C'est le jeune Gauss qui, par les méthodes qu'il venait de mettre au point, permit de retrouver la position de Cérès, à partir des éléments fournis par Piazzi. En sept ans, trois autres astéroïdes furent découverts par H. Olbers. C'est Gauss qui montra, par la détermination des éléments orbitaux, qu'ils appartenaient à une méme ceinture. 5La plupart des astéroïdes sont dans la ceinture principale, entre Mars et Jupiter, mais certains sont sur l'orbite de Jupiter (astéroïdes troyens évoqués dans l'annexe Points de Lagrange, chapitre 6) et d'autres croisent la trajectoire de Mars et même, pour certains, celle de la Terre (astéroïdes proches). Les astéroïdes sont numérotés dans l'ordre de leur découverte, à partir de l-Cérès, qui est d'ailleurs le plus gros. On en était à 7722 au 1er janvier 2000 (figure 6.9). Depuis cette date, un système automatique nommé Linear (Lincoln Near Earth Asteroid Research) a été créé au Lincoln Laboratory du MIT. Des milliers d'astéroïdes sont découverts chaque année. On en compte environ 300 000 en 2011. 6 Gerard Kuiper (1905-1973), astronome américain d'origine hollandaise. Il découvrit l'atmosphère de Titan (1945) et montra qu'elle est constituée de méthane. Il montra aussi que celle de Mars était principalement constituée de gaz carbonique (1947). Il émit l'hypothèse que le Système solaire était entouré d'une ceinture d'astéroïdes, dont Pluton était un représentant. Depuis 1992, des centaines de corps « trans-neptuniens » ont été découverts, dont certains ont un diamètre de quelques centaines de kilomètres. Ils forment ce qu'on appelle maintenant la ceinture de Kuiper (ou ceinture d'Edgeworth-Kuiper). 7 Jan Hendrik Oort (1900-1992), astronome hollandais. Par l'étude de nombreuses comètes à très longue période, et dont l'orbite était très en dehors du plan de l'écliptique, il déduisit (1950) qu'on devait trouver, au-delà de l'orbite de Neptune et de la ceinture de Kuiper (qui sont, en gros, dans l'écliptique), un « nuage» (en forme de boule et non pas d'anneau), composé de petits corps célestes, véritable «réservoir à comètes ». Le diamètre de ce nuage d'Oort est estimé à 10 5 unités astronomiques (soit une année-lumière). Des perturbations gravitationnelles, des impulsions très faibles, entraîneraient ces comètes soit vers le centre du Système solaire, soit vers d'autres soleils. 8Le mot «comète» vient du latin, emprunté directement au grec, comUès, XOfJ.~l:YJç, « qui porte une longue chevelure », de ~ XOfJ.YJ, YJç, « la chevelure ». 9 À partir des années 1990, on a découvert, dans la ceinture de Kuiper, de nombreuses planètes de la taille de Pluton. Il devenait donc urgent de réagir : maintenir Pluton au rang de planète engageait à en accepter des centaines d'autres. Dans sa 26 e assemblée générale, à Prague, l'Union astronomique internationale (UAI/IUA) a décidé, le 24 août 2006, d'établir une définition stricte de planète. Est donc planète un corps céleste qui répond aux trois critères suivants:

712

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

de Kuiper dans la catégorie des objets trans-neptuniens. Les deux planètes telluriques les moins proches du Soleil possèdent des satellites: la Terre en a un, imposant, la Lune; Mars en a deux minuscules. Les planètes géantes ont toutes une série de satellites, dont certains sont plus gros que Mercure ou Pluton. Les planètes Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne sont connues depuis l'Antiquité 10 (la Terre, en tant que planète, n'est pas connue depuis si longtemps) et ont hérité, en français et dans les langues européennes, du nom des principales divinités du panthéon l l romain. La coutume s'est appliquée aux planètes découvertes plus tard: Uranus par W. Herschel en 1781, Neptune par J. G. Galle le 23 septembre 1846 d'après les célèbres calculs de Le Verrier (voir chapitre 6), Pluton par C. W. Tombaugh le 18 février 1930. Dès qu'ils ont eu une vision héliocentrique du Système solaire, les astronomes ont été frappés par la régularité, l'harmonie disait Kepler, de ce système. Les orbites 12 des huit planètes sont, à quelques degrés près, dans un (1) être en orbite autour du Soleil; (2) avoir une forme pratiquement sphérique (la gravité propre du corps a dominé les forces de cohésion interne - équilibre hydrostatique) ; (3) avoir « nettoyé» son orbite (élimination de tout corps susceptible de se déplacer au voisinage de son orbite). Le Soleil a ainsi 8 planètes. Les corps qui ne répondent qu'aux critères (1) et (2) sont dénommés planètes naines, comme Pluton ou Cérès. lOEn ajoutant la Lune à ces cinq planètes, en remplaçant le nom du Soleil par celui du Seigneur et celui de Saturne par le sabbat, on obtient le nom des jours de la semaine dans la plupart des langues latines. Dans les premiers temps du christianisme, les autorités religieuses ont voulu gommer ces références aux dieux olympiens. Mais cela n'a abouti qu'en portugais et en grec, où le lundi s'appelle « second jour», etc. Dans les autres langues, lundi reste étymologiquement le jour de la Lune. Dans les langues germaniques, le calque est encore plus net, pour toute la semaine, car les remplacements notés ci-dessus n'ont pas été faits (en anglais, Monday pour lundi ... , et Saturday et Sunday pour le week-end). I l La planète à la plus courte période est associée à Mercure (Hermès en grec) : toujours en mouvement, apparaissant et disparaissant par bonds rapides au cours des saisons, elle est bien représentée par le messager des Dieux. La suivante, la plus brillante, la plus belle: Vénus (Aphrodite), déesse de l'amour. Puis, rouge de sang, son belliqueux compagnon, Mars (Arès), dieu de la guerre. La plénitude faite planète, la bienveillance même: voici Jupiter (Zeus), maître de l'Olympe. Au-delà de lui, avec sa marche très lente, blafard, son père, Saturne. Ce vieillard nous renvoie l'idée de «temps », par un jeu de mot grec entre son nom (Kronos, 0 Kpô\loç, ou, du verbe xpo((\lW, «accomplir, réaliser», racine indo-européenne * kra, cf. le latin creare, « créer») et celui du temps (chronos, 0 XPÔ\lOç, ou). 12Comme exemple de régularité cherchée (à tout prix ?), il faut citer la loi de Bode ou loi de Titius-Bode. C'est une relation empirique découverte en 1766 par l'astronome allemand J. D. Tietz, (nom latinisé en Titius), mise en forme et établie en loi par son collègue Bode, en 1778. On peut la formuler sous la forme suivante. On note as le demi-grand axe de l'orbite de la planète, exprimé en unités astronomiques. La relation donne as pour les six planètes connues à l'époque: as = 0.4 + 0.3 2n avec n = -00 pour Mercure, n = 0 pour Vénus, n = 1 pour la Terre, n = 2 pour Mars, n = 4 pour Jupiter, n = 5 pour Saturne. On pourra comparer avec les valeurs as notées dans le tableau 16.2(b) et voir que le résultat n'est pas mauvais ... mais il n'a pas la précision des mesures sur lesquelles s'est bâtie l'as-

16.1. Planètes du Système solaire

713

même plan, appelé écliptique. Les révolutions, sur des orbites pratiquement circulaires, se font toutes dans le même sens (sens trigonométrique direct en se plaçant au-dessus du pôle Nord du Soleil), qui est aussi, dans la plupart des cas, celui de la rotation des planètes sur elles-mêmes et celui des satellites autour des planètes. De plus, le fait que ce sens soit aussi celui de la rotation du Soleil sur lui-même a suggéré depuis longtemps des théories sur la formation du Système solaire, comme celle décrite par Laplace dans Exposition du système du monde, en 1796. Atmosphère des corps telluriques

En plus de notre Terre, deux planètes telluriques ont une atmosphère: - Vénus et ses gaz surchauffés par l'effet de serre [pression et température moyennes au sol: 90 bars, 750 K; composition: gaz carbonique CO 2 (96%), azote N 2 (3%)]; - Mars et ses gaz raréfiés [pression et température moyennes au sol: moins de 10- 2 bar, environ 250 K; composition: gaz carbonique CO 2 (95%), azote N 2 (3%)]. Deux satellites de planète ont aussi une atmosphère: - le plus gros satellite de Saturne, Titan [pression et température moyennes au sol: 1.5 bar, 90 K; composition: azote N 2 (98%), méthane CH 4 (2%)]; -le plus gros satellite de Neptune, Triton [pression et température moyennes au sol: environ 10- 5 bar (1.5 Pa), 40 K; composition: azote N 2 (99%)]. L'atmosphère de Pluton a été détectée en 1985 par occultation stellaire [pression et température moyennes au sol: environ quelques JLbar (,:,-:, 0.5 Pa), 43 K; composition: azote N 2 (99%)].

16.1.2

Exploration spatiale des planètes

Une des principales motivations actuelles pour l'exploration spatiale est la recherche de traces de vie, qu'on associe généralement à la présence d'eau liquide. Cela explique en partie les projets pour Mars ou pour Europe, dont on parle plus loin. Une autre motivation peut être l'étude de l'atmosphère des planètes, telluriques ou géantes. tronomie! Cette loi, qui n'en est pas une au sens scientifique du terme, a suscité beaucoup de polémiques. Est-elle due au hasard? Refiète-t-elle l'action de forces physiques durant la formation du Système solaire? Manifeste-t-elle l'action d'un phénomène gravitationnel après la formation des planètes? Les astronomes actuels penchent pour la première de ces hypothèses, mais il faut reconnaître au moins un point fort à cette «loi» : elle a eu une grande importance historique. C'est en cherchant la planète n = 6, très peu de temps après la formulation de Bode, qu'Herschel a trouvé Uranus, et c'est en supposant le corps perturbateur d'Uranus sur l'orbite n = 7 que Le Verrier a calculé la position de Neptune (ses écrits le montrent sans équivoque, et Adams a fait le même raisonnement - le plus surprenant est que le moins bon accord entre la « loi» et les mesures, c'est justement pour Neptune !). Beaucoup d'astronomes avaient cherché à « combler» le trou n = 3, jusqu'à ce que Piazzi découvre un premier astéroïde dans l'espace entre Mars et Jupiter.

714

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

Au début de l'exploration spatiale extra-terrestre, les buts étaient différents : il y avait le désir de connaissance, sans trop d'a priori, des différents corps du Système solaire, fortement dynamisé par le souci d'affirmation technologique et idéologique des deux «super-grands» de l'époque, comme le montre la rapide chronologie ci-dessous. Les grandes dates de cette exploration sont résumées dans le tableau 16.1. On a noté l'année marquant le début de divers types de mission. La Lune et les planètes proches

Durant l'année 1959, la sonde Luna-1 réussit le premier survol lunaire en janvier, Luna-2 toucha la Lune en septembre et Luna-3, par un survol en octobre, permit à l'URSS d'offrir au monde, deux ans après Spoutnik-l, les premiers clichés de la face cachée de la Lune (voir figure 16.18). En 1966, Luna-9 fit le premier atterrissage en douceur, en janvier, et Luna-10 fut le premier satellite lunaire, en mars. Les États-Unis prendront leur revanche avec les astronautes d'Apollo-11, le 20 juillet 1969. Après la Lune, la cible fut Vénus: pour les États-Unis, survols réussis pour Mariner-2 en décembre 1962, Mariner-5 en novembre 1967 et les deux sondes Pioneer Venus-1 (ou Pioneer Venus Orbiter, ou Pioneer 12) et Pioneer Venus-2 (ou Pioneer Venus Probe Bus, ou Pioneer-13) en décembre 1978; pour l'URSS, succès des missions Venera-4 en octobre 1967, Venera-5 et -6 en mai 1969 avec les capsules atmosphériques, premier atterrissage en douceur pour Venera-71e 15 décembre 1970, réussite des missions successives Venera-8 à -16 (ça change de Mars !), puis de Vega-1 et -2 en juin 1985, avec lancer de ballons et de module atterrisseur. L'atmosphère de Venus étant très opaque, la cartographie a été faite par radar, de 1990 à 1994, par la sonde américaine Magellan, lancée le 4 mai 1989 par la navette Atlantis (STS-30) et mise en orbite le 10 août 1990 autour de la planète. Avant elle, trois sondes avaient effectué des mesures en orbite: Pioneer Venus-1 de 1979 à 1992 et Venera-15 et -16 de 1983 à 1986. La sonde Mariner-10 réussit la première mission bi-planètaire : lancée le 3 novembre 1973, elle survola Venus le 5 février 1974 pour aller trois fois13 à la rencontre de Mercure le 29 mars 1974, le 21 septembre 1974 et le 16 mars 1975. Le passage sur Vénus permit d'utiliser, pour la première fois, l'assistance gmvitationnelle 14 . 13Ces passages sont espacés de 176 jours. La sonde avait été placée sur une orbite héliocentrique excentrée, de période Tl exactement double de celle de Mercure, T = 88 jours. Dans ce cas, la période synodique est: T' = 2T = Tl =176 jours. 14Pour schématiser le trajet d'une sonde de la Terre à Vénus, par exemple, on utilise le principe des coniques juxtaposées : tant que la sonde est dans la sphère d'influence de la Terre ou de Vénus, son mouvement est décrit par une conique dont la planète est le foyer (en mouvement par rapport au Soleil). Entre les deux, le mouvement est héliocentrique, décrit par une conique dont le foyer est fixe (le Soleil). On juxtapose ainsi trois coniques. Mais pour aller de la Terre à une planète non voisine (autre que Vénus ou Mars) on peut utiliser le passage proche d'une planète intermédiaire. Pour schématiser le trajet de la Terre

16.1. Planètes du Système solaire

715

La ceinture d'astéroïdes

Après Mars, étudié au chapitre précédent, on rencontre ensuite la ceinture d'astéroïdes. La sonde Galileo, en route pour Jupiter, fit en traversant la ceinture principale les premiers survols d'astéroïdes: 951-Gaspra et 243-Ida (dimensions R rv 20 km). On découvrit même à cette occasion un satellite naturel de 243-Ida, nommé Dactyl (à peu près sphérique, R,:,:, 0.7 km). La sonde NEAR (Near Earth Asteroid Rendezvous) a été lancée le 17 février 1996, a observé 253-Mathilde le 27 juin 1997 et est partie flirter avec Eros à la St Valentin 2000. Nous étudions plus bas son orbite. De même, nous reviendrons sur les diverses orbites de Dawn, sonde de la NASA lancée en 2007 pour rendre visite à partir de 2011 au plus brillant, puis au plus gros des astéroïdes, respectivement 4-Vesta et 1-Cérès. La sonde 15 japonaise Muses-C, rebaptisée Hayabusa (<< faucon»), lancée en 2003 vers 25143-Itokawa, a réussi a ramener sur Terre quelques poussières d'échantillon de l'astéroïde 16 , malgré un voyage parsemé d'incidents. Les planètes géantes

(a) Jupiter Jupiter fut survolé le 1er décembre 1973 par Pioneer-10, lancé le 3 mars 1972, et le 1er décembre 1974 par Pioneer-lI, lancé le 6 avril 1973, qui continua sur Saturne, survolé le 1er septembre 1979. La connaissance des planètes lointaines fut révolutionnée par les sondes Voyager, qui utilisèrent à merveille les assistances gravitationnelles. La NASA avait su profiter d'un exceptionnel alignement des planètes, de Jupiter à Neptune, au début des années 1980, pour réaliser, avec ces deux sondes, The à Mercure dans ces conditions, on juxtapose cinq coniques: la troisième correspond au passage au voisinage de Vénus (branche d'hyperbole, généralement). La vitesse par rapport à Vénus a le même module à l'entrée et à la sortie de la sphère d'influence, mais la direction est fortement changée. On parle de déflexion gravitationnelle. Ainsi la vitesse (vectorielle) par rapport au Soleil peut être grandement modifiée sans dépense d'énergie. Pour atteindre Mercure, il faut diminuer la vitesse. Pour atteindre Jupiter ou les planètes plus lointaines, on augmente de cette manière la vitesse. On nomme alors cette assistance de manière imagée par fronde gravitationnelle. Cette méthode est maintenant systématiquement utilisée pour les voyages lointains. La sonde Ulysses, lancée le 6 octobre 1990 pour l'étude du Soleil, a ainsi atteint la vitesse de 125 km/s (ou 450000 km/hl. Utilisant l'assistance gravitationnelle de Jupiter, elle a quitté le plan de l'écliptique pour faire un survol du pôle Sud (1994), puis du pôle Nord du Soleil (1995). D'autres exemples sont donnés plus bas avec les sondes Galileo et Cassini. 15Lacée le 9 mai 2003, la sonde est arrivée au voisinage d'Itokawa le 12 septembre 2005 et a volé à proximité de l'astéroïde pendant deux ans, en s'en approchant plus ou moins pour collecter des échantillons. Le 18 octobre 2007, elle est repartie vers la Terre, pour arriver le 13 juin 2010. Avant d'être brûlée dans l'atmosphère, la sonde a largué une capsule qui a été récupérée dans le désert d'Australie. Le 16 novembre 2010, l'agence spatiale japonaise JAXA a annoncé que les échantillons récupérés étaient d'origine extraterrestre. 16Itokawa est un astéroïde de la famille Apollo (qui croise l'orbite de Mars), découvert par Linear le 26 septembre 1998. Il ressemble à un cylindre coudé, de 200 mètres de diamètre et 500 m de long.

716

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

16.1 : Images prises par la sonde New Horizons en route vers Pluton. (a) Europe apparaît au-dessus de Jupiter. L'image est centrée sur le point d'Europe de coordonnées géographiques 5° S, 6" W et elle a été retournée (le sud est en haut). Instrument LORRI. Image prise à la distance de 3 millions de km d'Europe et de 2.3 millions de km de Jupiter, le 28 février 2007, 11 :48 TU, au moment du passage le plus proche de Jupiter. (b) On reconnaît la «grande tache rouge» de Jupiter (découverte par Galilée). La lune voisine de la planète géante est 10. Image prise à la distance de 81 millions de kilomètres, le 8 janvier 2007. Document: NASA, Johns Hopkins University/Applied Physics Laboratory, Southwest Research Institute.

FIG.

16.1. Planètes du Système solaire

717

FIG. 16.2 : Images prises par la sonde Cassini. (a) La sonde est dans le plan équatorial de Saturne. Titan est au milieu de l'image. Les anneaux ont une épaisseur d'un kilomètre environ, leur ombre est projetée, avec des zones plus ou moins sombres, sur le globe de Saturne. À droite de l'image, juste en dessous des anneaux, on distingue un petit point, Encelade. Janvier 2011. (b) Vue des anneaux A et F de Saturne et du satellite Épiméthée. En arrière plan, Titan entouré d'atmosphère. Distance approximative: 667000 km d'Épiméthée (4 km/pixel), 1800000 km de Titan (l1 km/pixel). 28 avril 2006. Documents: Cassini Imaging Team, SSI, JPL, ESA, NASA.

718

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

Grand Tour. Une telle configuration ne se produit que tous les 180 ans environ. La sonde Voyager-l, lancée le 5 septembre 1977, survola Jupiter le 5 mars 1979 et Saturne le 12 novembre 1980, puis fit une visite rapprochée de Titan. Pour Voyager-2, ce fut une partie de billard gravitationnel: lancée le 20 août 1977, elle survola Jupiter le 9 juillet 1979, Saturne le 26 août 1981, Uranus le 24 janvier 1986 et Neptune le 24 août 1989, en transmettant des clichés de grande qualité. Ces quatre sondes (Pioneer-10 et -11, Voyager-1 et 2) sont à présent sur la voie de sortie du Système solaire. La sonde Galileo, lancée 17 en 1989, a été mise en orbite autour de Jupiter, en décembre 1995, pour étudier la planète géante et ses quatre gros satellites dits galiléens 18 . Prévue pour deux ans, la mission de l'orbiteur Galileo a duré huit ans. Cette mission a permis de découvrir les orages et les tempêtes sur Jupiter, le volcanisme sur 10, la possibilité d'un océan sous la surface d'Europe et celle de Callisto, le champ magnétique propre de Ganymède. Lorsque les réserves de carburant (hydrazine) ont été presque épuisée, la sonde a été jetée sur Jupiter pour ne pas risquer une collision, et la pollution par des éléments de vie terrestre, avec Europe. Sur le chemin Terre-Jupiter, Galileo avait photographié plusieurs astéroïdes. Et sur le chemin Terre-Pluton, la sonde New Horizons, dont nous parlons plus loin, a testé ses instruments en photographiant Jupiter et ses lunes, voir figures 16.1(a) et (b). (b) Saturne La sonde américaine Cassini 19 a été lancée le 15 octobre 1997 pour étudier 17Trajectoire VEEGA (Venus Earth Earth Gravit y Assist) : assistance gravitationnelle Vénus-Terre-Terre. On donne la date (an mois jour) pour chaque planète survolée. Lancement: 1989 10 18, par la navette Atlantis, STS-34. Vénus: 1990 02 10. Terre/1 : 1990 1208. Terre/2 : 1992 12 08. Jupiter: 1995 12 07 (JOI, insertion en orbite). 18Ces quatre satellites ont été découverts en 1610 par Galilée, ce qui eut d'importantes conséquences scientifiques et philosophiques. Il les désigna d'abord sous le nom latin de Medicea sidera, qu'on a traduit par « étoiles médicées » ou « astres médicéens », rendant ainsi hommage à la famille de Médicis, lignée des Grands Ducs de Toscane. Précurseur dans beaucoup de domaines, Galilée le fut ici encore dans la recherche du sponsoring! Finalement, l'expression sera abandonnée. Les quatre satellites seront nommés un peu plus tard, par d'autres astronomes, du nom de quatre belles conquêtes de Zeus, 10, Europe, Ganymède et Callisto. Cherchez le garçon. 19E1le est ainsi nommée en l'honneur de Jean-Dominique Cassini, voir note Cassini I. Cassini découvrit quatre satellites de Saturne, entre 1671 et 1684, et la séparation entre les anneaux A et B, qui porte le nom de division de Cassini. À propos de ces anneaux, notons que Galilée avait observé, en 1610, que Saturne possédait «deux oreilles», qu'il pensait être des satellites. Mais quelques années après, il ne les vit plus. Huygens comprit qu'il s'agissait d'un anneau visible sous diverses inclinaisons, et c'est Cassini qui y vit deux anneaux concentriques, A et B. D'autres anneaux ont été découverts depuis, ils sont actuellement désignés jusqu'à la lettre G. Cassini émit l'idée, confirmée depuis, que les anneaux étaient formés d'une multitude de petits corps gravitant sur des orbites très proches. La théorie actuelle des anneaux de Saturne admet deux possibilités. Soit ils sont le résultat d'une impossibilité d'accrétion de particules glacées en orbite autour de Saturne (parce qu'en deçà de la limite de Roche), soit ils proviennent de la rupture d'un satellite dont l'évolution orbitale l'a amené à franchir la limite de Roche.

16.1. Planètes du Système solaire

719

le système saturnien. Avec quatre assistances gravitationnelles 2o , elle s'est mise en orbite autour de Saturne le 1er juillet 2004. Le 25 décembre 2004, le module européen Huygens 21 s'est séparé de Cassini, et trois semaines après, le 14 janvier 2005, il a effectué une descente de deux heures en parachute sur Titan. Dans un premier temps, la mission de la sonde Cassini a consisté en 74 révolutions autour de Saturne en 4 ans, avec 52 passages proches des divers satellites de Saturne et 45 survols de Titan (figure 16.2). Devant le succès de la mission, la NASA a prolongé son exploitation jusqu'en 2017. Les objets transneptuniens et les comètes

Pour explorer Pluton et la ceinture de Kuiper, la sonde américaine 22 New Horizons a été lancée en janvier 2006 pour un survol de Pluton en juillet 2015. La comète de Halley, la plus célèbre des comètes, a été approchée en mars 1986 par six sondes : ISEE-3 rebaptisé ICE pour l'occasion, Vega-1 et -2 (sondes soviétiques, Ve pour Venera, Ga pour Galleia, «Vénus» et « Halley» en russe), Giotto (sonde européenne 23 , qui est passée à 600 km du noyau de la comète), Sakigake et Suisei (sondes japonaises, respectivement « éclaireur» et « comète» en japonais). La sonde CONTOUR (Cornet Nucleus Tour), lancée le 3 juillet 2002, a cessé de fonctionner peu après. Elle devait s'intéresser aux comètes à période courte, comme P jEncke, dont l'orbite ne dépasse pas celle de Jupiter. La mission Rosetta 24 est une «pierre angulaire» de l'ESA. La sonde, 20 Trajectoire VVEJGA : assistance gravitationnelle Vénus-Vénus-Terre-Jupiter. On donne, pour chaque planète survolée, la date (an mois jour), les vitesses en km/s, sous la forme [avant - après]. Les vitesses sont exprimées dans un référentiel héliocentrique. Lancement: 1997 10 15. Vénus: 19980426 [37.2-40.9]. Vénus: 199906 24 [39.2-42.3]. Terre: 1999 08 18 [35.0-39.1]. Jupiter: 2000 12 30 [11.6-13.7]. Saturne: 2004 07 01 (SOI, insertion en orbite). 21 Christiaan Huygens (1629-1695). Physicien, mathématicien et astronome hollandais. En plus de ses grands traités de probabilités, de dynamique, comme Horologium oscillatorium (1673), d'optique, comme Traité de la lumière (1690), il écrivit des ouvrages fondamentaux en astronomie. En éliminant l'aberration chromatique, il améliora les lunettes (oculaire d'Huygens) et, grâce â ce perfectionnement, fit des découvertes astronomiques fondamentales, parmi lesquelles la découverte du satellite Titan et de l'anneau de Saturne, la découverte de la rotation de la planète Mars. 22Pour ne pas trop trainer en route, avec un chemin si long, la sonde a eu un départ très rapide: 9 heures après le lancement, le 19 janvier 2006, elle avait atteint l'orbite de la Lune. La planète Jupiter a été survolée le 28 février 2007, à peine plus d'un an après le départ. La trajectoire est du type JGA (Jovian Gravit y Assist, assistance gravitationnelle de Jupiter). Le survol de Pluton est prévu le 14 juillet 2015, à 11:47 TU, à une altitude de 13 695 km, à la vitesse de 13.78 km/s, et celui de Charon à 12:01 TU. Ensuite, New Horizons doit explorer au moins un planétoïde de la ceinture de Kuiper. Cette mission remplace Pluto-Kuiper Express, abandonnée en 2000. 23Dans son tableau L'adoration des mages, peint en 1304, le peintre italien Giotto représente une énorme comète. Ce pourrait-être la comète de Halley, passée en 1301. 24Sur la pierre de Rosette est gravée l'inscription bilingue, en trois écritures, qui a permis à Champollion de déchiffrer (1822) les hiéroglyphes de l'ancienne Egypte. Rosette (ou Rosetta en anglais) est l'appellation de Rachid, nom arabe du village du delta du Nil

720

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

16.3 : Ces «ondes de densité» sont provoquées par la présence de petites lunes, à proximité des anneaux. Image prise fin juin 2004 par la sonde Cassini. La scène fait environ 220 km. (g.) Le satellite «berger», Daphnis, dans la division de Keeler (anneau A) crée des ondes, bien mises en évidence avec la lumière rasante, en décembre 2010. Documents: Cassini Imaging Team, SSI, JPL, ESA, NASA.

FIG.

16.2. Grandeurs géodésiques et astronomiques (planètes)

721

lancée le 2 mars 2004, doit après un parcours complexe 25 se mettre en orbite autour de la comète 26 67P jChuryumov-Gerasimenko en mai 2014. En novembre 2014, le module Philae doit se poser sur le noyau de la comète et l'accompagner ainsi jusqu'au passage à son périhélie, en décembre 2015. Les missions Stardust et Genesis de la NASA consistent en une exploration in situ suivie d'un retour d'échantillon 27 . La mission Deep Impact, de la NASA, a été lancée le 12 janvier 2005 vers la comète 9P jTempel. Arrivée à destination le 4 juillet 2005, la sonde a lâché un boulet pour créer un cratère dans la comète et en faire jaillir les éléments profonds. L'impact a été observé par la sonde elle-même et par des observatoires terrestres. Rebaptisée Epoxi, la sonde a été redirigée vers la comète 103P jHartley 2, qu'elle a survolée le 4 novembre 2010.

16.2 16.2.1

Grandeurs géodésiques et astronomiques (planètes) Données géodésiques et astronomiques

Dans le tableau 16.2(a) ont été reportées les deux grandeurs fondamentales de la planète, sa constante d'attraction centrale IL et son rayon équatorial R, qui permettent de calculer les grandeurs suivantes: - l'accélération de la pesanteur au niveau de la planète, go, par (6.6) ; - la vitesse de libération, Vi, par (4.34) ; - la période d'un satellite en orbite circulaire képlérienne d'altitude nulle, TO(h=O), par (5.6), sur laquelle nous revenons un peu plus bas; - la densité, d, masse volumique du corps par rapport à celle de l'eau (eau: p = 10 3 kg·m- 3 , densité d = 1). où a été trouvée la pierre. En choisissant ce nom pour sa pierre angulaire, l'ESA montre qu'elle attend de cette mission des résultats qui permettront d'élucider les mystères de la formation du Système solaire. 25Plusieurs assistances gravitationnelles sont utilisées: Terre (mars 2005), Mars (mars 2007), Terre (novembre 2007), Terre (novembre 2009). 26 Avec un lancement initialement prévu en janvier 2003, Rosetta avait rendez-vous, dix ans plus tard, avec la comère 46P jWirtanen. 27Stardust, lancé le 7 février 1999 : collecte de poussières interstellaires en 2002, collecte de particules de la comète Wild-2 le 2 janvier 2004, retour de la capsule dans le désert de l'Utah le 15 janvier 2006. L'orbite héliocentrique de Stardust a un passage au-delà de l'orbite de Mars. Genesis : collecte des particules de vent solaire. La sonde Genesis, lancée le 8 août 2001, est arrivée en LOI (Lissajous Orbit Insertion) le 16 novembre 2001 et est restée plus de deux ans au point LI de Lagrange (orbite en halo). Du 3 décembre 2001 au 1er avril 2004, elle a exposé ses collecteurs au vent solaire pour y capter les particules provenant du Soleil. Elle prit ensuite le chemin du retour avec l'étonnante trajectoire dite loop-de-loop et arriva, comme prévu, le 10 septembre 2004 au-dessus du désert de l'Utah, aux États-Unis. Tout se passa « nominalement» jusqu'à quelques secondes de l'arrivée au sol : les parachutes étaient montés à l'envers et la capsule s'écrasa dans le sable. Toutefois, une partie des échantillons ont été récupérés sans contamination. Son orbite, très originale, est décrite au chapitre 6, à propos des points de Lagrange (voir tableau 6.9).

722

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

Corps

Obs. T.

Survol

Atter.

M. orb.

Ret. é.

n

Lune

A

1959

1959

1966

1969

64

Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune

A A A A A 1781 1842

1974 1962 1957 1965 1973 1973 1986 1989

Astéroïdes Pluton Comètes

1801 1930 A

1991 2015 1985

--

1966 1961 1971

2011 1975 1957 1971 1995 2004

2 24 --

N

(202x)

32 7 4 1 1 9 1 14

2000

2000

2010

(2014)

(2014)

2006

TABLEAU 16.1 : Exploration du Système solaire. Dates (année grégorienne ou bien A, depuis l'Antiquité) marquant le début des événements suivants : observation depuis la Terre (Obs. T.), survol du corps céleste (Ssurvol), atterrissage (Atter.), mise en orbite (M. orb.), retour d'échantillon (Ret. é.). Les dates entre parenthèses concernent l'année d'aboutissement de projets plus ou moins confirmés (x représente un chiffre de 0 à 9). Le nombre n indique le nombre de missions, réussies ou non, lancées avant 2012. (Une mission peut survoler plusieurs corps. Par exemple, Galileo compte pour Jupiter, astéroïde, comète). Pour la Terre, N représente des milliers de missions.

Tableaux ci-contre

16.2 : Les huit planètes du Système solaire. La planète naine Pluton est ajoutée à titre de comparaison. (a) Caractéristiques géodésiques. Données géodésiques: constante d'attraction planétocentrique /-i, rayon équatorial de la planète R. Grandeurs déduites: accélération centrale au niveau du sol 90, vitesse de libération Vz, période d'un satellite en orbite képlérienne au niveau du sol TO(h~o), densité moyenne d. (b) Caractéristiques astronomiques. Données relatives à l'orbite planétaire: demigrand axe as, période de révolution sidérale N sid , excentricité e, inclinaison i sur le plan de l'écliptique. Données relatives à la rotation de la planète : obliquité é. Sphère d'influence PE· (c) Planétosynchronisme. Données astronomiques: période de rotation J sid . Grandeurs déduites: distance relative T/as pour orbite d'un satellite stationnaire (d'où aas et has). La distance rias est à comparer avec PE/R. (d) Héliosynchronisme. Données astronomiques: période de révolution N sid . Données géodésiques: termes J 2 , h et J4 du développement du potentiel gravitationnel, dont les valeurs, marquées *, sont à multiplier par 10- 6 . Grandeurs déduites: constante d'héliosynchronisme k h , valeur maximale de la distance relative rlHsmax, notée ici T/m, pour un satellite héliosynchrone. TABLEAU

16.2. Grandeurs géodésiques et astronomiques (planètes)

Planète Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune Pluton Planète Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune Pluton Planète

R

f1=Ç}M

(m 3.S- 2 )

(km)

10 13 10 14 10 14 10 13 10 17 10 16 10 15 10 15 10 11

2.203208 3.248586 3.986004 4.282837 1.266865 3.794063 5.794549 6.836540 8.261000

VI

go (m.s- 2 )

(km.S-1)

3.70 8.87 9.80 3.71 24.79 10.45 8.87 11.15 0.58

4.25 10.36 11.18 5.02 59.53 35.48 21.29 23.50 1.18

2439.7 6 051.8 6378.1 3397.0 71 492.0 60268.0 25 559.0 24764.0 1 195.0

(ua)

as

N sid (an)

e (s.d.)

Cl

Cl

0.387 0.723 1.000 1.524 5.201 9.538 19.183 30.055 39.440

0.241 0.615 1.000 1.881 11.862 29.456 84.019 164.767 247.689

0.20563 0.00677 0.01671 0.09341 0.04839 0.05415 0.04717 0.00859 0.24881

7.00 3.39 0.00 1.85 1.31 2.49 0.77 1.78 17.14

2.0 177.4 23.4 25.2 3.1 26.7 97.9 28.8 122.

(h)

1407.510 5832.444 23.934 24.623 9.925 10.659 17.240 16.110 153.294

Planète

Nsid

Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune Pluton

87.969 224.701 365.256 686.980 4332.59 10759.2 30688.5 60182.3 90469.7

(j)

(s.d.)

J4

60 6 1083 1955 14736 16298 3339 3410 0

0 1 -3 31 1 0 0 0

0 0 -2 -15 -587 -915 -32 -35

*

*

-

-

5.44 5.27 5.52 3.94 1.34 0.69 1.29 1.64 1.73

PE/R (s.d.)

240446 1530499 35786 17031 88517 52003 57130 58750 17345

0.13 0.03 10.11 29.04 775.46 1 505.78 1 245.12 2840.11 0.00

40 89 126 148 587 788 1763 3045 2244

Planétosynchr.

hGS

(s.d.)

*

85.02 86.50 84.49 100.15 177.85 251.54 177.76 156.08 150.51

9.79 104 5.37 105 8.05 105 5.03 105 4.20 10 7 4.7510 7 4.50 10 7 7.54 10 7 2.68 106

kh

h

d (s.d.)

(km)

242885 1 536 551 42164 20428 160009 112271 82689 83514 18540

h

(min)

(km)

(km)

99.555 253.900 6.611 6.015 2.238 1.863 3.235 3.372 15.515

TO(h~O)

PE

E

aGS

T}GS

Jsid

Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune Pluton

i

723

T}m

(s.d.)

<1 <1

1.94 2.62 6.69 8.09 7.66 9.70 -

impossible impossible réalisé envisagé possible possible possible possible -

Héliosynchr. impossible impossible réalisé réalisé polaire polaire polaire polaire -

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

724

aIR

7.0 6.5 6.0 5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Rapport de Périodes [ TI T(h=O)

11

1

12

13

14

15

16.4 : Période képlérienne en fonction de l'altitude. Pour ce graphe, on utilise la période relative (quotient de la période du satellite par la période d'un satellite d'altitude nulle) et la distance relative TJ = aiR (quotient du demi-grand axe de l'orbite par le rayon de la planète).

FIG.

Dans le tableau 16.2(b), nous avons noté des grandeurs astronomiques fondamentales de l'orbite de la planète autour du Soleil, le demi-grand axe as et la période sidérale N sid . La troisième loi de Kepler s'écrit de manière très simple: [Nsid (an)

]2 =

[as (ua) ]3

(16.1)

avec les unités choisies. On a calculé aussi le rayon de la sphère d'influence PE et on a noté des caractéristiques de l'orbite planétaire, e, 'i et E, grandeurs qui n'interviennent pas directement dans ce travail, mais qui permettent de comparer les orbites des différentes planètes. On voit par exemple que l'orbite de Pluton est la plus excentrée, que la rotation de Vénus est rétrograde (E > 90°), etc. Pour l'étude du mouvement réel et la caractérisation des orbites remarquables, interviennent les grandeurs géodésiques et astronomiques notées dans les tableaux 16.2(c) et (d).

16.2. Grandeurs géodésiques et astronomiques (planètes)

16.2.2

725

Satellite en orbite képlérienne

Comme nous l'avons déjà vu, lorsqu'un satellite est en orbite (demi-grand axe a) autour d'une planète, la période T o de son mouvement képlérien est donnée par l'équation (5.5). On peut aussi calculer la période TO(h=O) du satellite fictif d'altitude O. En considérant la masse volumique moyenne p de la planète, on écrit: IL = pVQ, le volume de la planète supposée sphérique étant V. Avec l'équation (5.6), on obtient: (37r 1 5 _l (16.2) TO(h=O) = vp = 3.758410 P 2

Vç .

Cette relation montre que la période képlérienne TO(h=O) peut s'exprimer uniquement en fonction de la masse volumique moyenne du corps attracteur. La Terre étant la planète la plus dense du Système solaire, la période TO(h=O) est la plus courte. Inversement, la période la plus longue est pour un satellite orbitant autour de Saturne. En utilisant la densité moyenne d par rapport à l'eau et en exprimant la période en minutes, on obtient: TO(h=O)

(min) ,,-,198

1

(16.3)

d-2

La période képlérienne pour un demi-grand axe a peut alors s'écrire, avec la distance relative 'fi = aiR: (16.4) La figure 16.4 représente les graphes de variation de de TI = aiR.

16.2.3

ToITo(h=o)

en fonction

Cartes géographiques

Parmi les planètes, seules les telluriques sont cartographiables, au sens où on définit une carte géographique. La surface cartographiable (calculée sur l'ellipsoïde), exprimée en millions de km 2 , prend la valeur suivante, pour chaque planète: 75 pour Mercure, 460 pour Vénus, 510 pour la Terre (140 pour les terres émergées et 370 pour les fonds marins), 143 pour Mars. Ce qui fait un total, pour ces quatre planètes, de 1 188. On peut noter aussi 18 pour Pluton et 2.6 pour le plus gros des astéroïdes (et 0.001125 pour 433-Eros). Nous parlerons des cartes de satellites naturels un peu plus bas. La géographie de Mars (volcans, bassins d'impact, etc.) a été décrite, dans ses grandes lignes, au chapitre précédent. Nous n'insisterons pas ici sur la géographie de Vénus ou des autres planètes telluriques. Nous utilisons dans ce chapitre, comme fond de carte des représentations de trace ou d'orbite, les cartes suivantes:

726

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

- pour Vénus, la carte topographique réalisée à partir des données de l'instrument SAR (Synthetic Aperture Radar) à bord de Magellan; - pour Eros, la carte topographique réalisée à partir des données de l'altimètre à bord de NEAR. Dans les deux cas, les courbes de niveau sont tracées avec un pas de 2 km, celles de niveau 0 (altitude origine) sont en trait gras, celles d'altitude positive, en trait continu, celles d'altitude négative, en traits tiretés. Dans le cas des planètes, le méridien origine est pris de manière arbitraire (voir note A iry pour la Terre et Mars).

16.3 16.3.1

Satellite de planète en orbite réelle Accélérations perturbatrices

La notion de sphère d'influence, développée dans l'annexe à la fin du chapitre 6, permet de connaître la distance au-delà de laquelle on ne peut plus négliger la perturbation due au Soleil. L'application de l'équation (6.156) donne les valeurs du rayon PE pour toutes les planètes. Les résultats sont donnés dans le tableau 16.2(b) où ils sont utiles pour la comparaison avec les valeurs du tableau 16.2(c). La variation de l'accélération centrale et des accélérations perturbatrices a déjà été tracée pour la Terre (figure 6.1), et pour Mars (figure 15.8). Pour compléter la liste des planètes telluriques, nous avons tracé ces mêmes graphes pour Mercure et Vénus, dans la figure 16.5(a) et (b), avec les mêmes notations, reprises du tableau 6.1 (dans lequel, évidemment, on remplace l'accélération terrestre par l'accélération de la planète considérée). Pour ces deux planètes, il n'y a pas d'accélération perturbatrice due aux termes J n , n ~ 3, puisque ces termes sont pratiquement tous nuls. L'accélération ÎCCN.J2, due au terme en h, très faible, est vite supplantée (pour h cv R), par l'accélération perturbatrice ÎCS de l'attraction solaire. Pour Mercure, l'accélération perturbatrice ÎDP due à la pression de radiation solaire est encore mal connue. Pour Vénus, le frottement atmosphérique engendre une accélération ÎDF qui peut être très importante, dépendant fortement de l'altitude et de la forme du satellite. La pression de radiation solaire, provoquant l'accélération perturbatrice notée ÎDP, arrive sur le satellite, directement et indirectement, par effet d'albédo (l'albédo moyen de Vénus est très élevé: 0.76).

16.3.2

Classification des satellites

Mouvement de rotation des planètes

Les valeurs notées dans les tableaux 16.2(a) à 16.2(d) montrent que les deux planètes les plus proches du Soleil ont une période de rotation Jsid

16.3. Satellite de planète en orbite réelle

727

très longue: 58.646 jours pour Mercure 28 (exactement 2/3 de la période de révolution sidérale) et 243.018 jours pour Vénus 29 . Pour ces deux planètes, le jour est plus long que l'année. Cela est dû à la proximité du Soleil. Pour les suivantes, Terre et Mars, cette période Jsid est d'un jour environ et pour les planètes géantes, de Jupiter à Neptune, elle est de l'ordre de la dizaine d'heures. Satellite planétosynchrone

Pour les satellites stationnaires par rapport à la planète, nous avons calculé, avec la relation (7.67), la valeur de l'altitude relative f/GS pour une orbite képlérienne (pour la Terre et Mars, les valeurs calculées aux chapitres 7 et 15 concernent l'orbite képlérienne puis réelle), liée à J sid . Elles sont notées dans le tableau 16.2( c). Ces résultats appellent les commentaires suivants: - pour Mercure et Vénus, les valeurs de 'T)GS sont si grandes que cette orbite est impossible à obtenir, car l'attraction perturbatrice solaire devient très forte pour ces altitudes; ces orbites sortent très nettement de la sphère d'influence de la planète; - pour la Terre et Mars, f/GS vaut environ 6 ; - pour les planètes géantes, f/GS est aux environs de 2 ou 3 ; - pour Pluton 30 , la position du satellite stationnaire est plus complexe à étudier (il n'y a pas d'urgence pour un tel projet !). Satellite héliosynchrone

Pour obtenir la condition d'héliosynchronisme (7.91), il faut un terme J 2 important si la planète est proche du Soleil (puisque sa période de révolution sidérale est courte) et, inversement, un terme h faible si la planète est lointaine. 28D'après les astronomes, la proximité du Soleil aurait dû entraîner pour Mercure un phénomène de résonance 1:1 (Mercure présentant alors toujours la même face au Soleil, comme les satellites naturels avec leur planète). C'est d'ailleurs ce qu'on pensait jusqu'en 1965, date à laquelle les mesures par radar (depuis la Terre) ont montré une période de rotation plus courte, de 59 jours. L'astrophysicien italien Guiseppe Colombo montra qu'il s'agissait d'un cas (très rare) de résonance 3:2 (c'est-à-dire 3 rotations en 2 révolutions), dû à la forte excentricité de l'orbite de Mercure. 29La planète Vénus est l'astre le plus brillant vu de la Terre (après le Soleil et la Lune). Elle est entourée d'une couche de nuage très épaisse - et ceci explique cela. La vitesse de rotation de la planète solide n'a été mesurée qu'à partir de 1962, avec l'utilisation des radars. Les nuages sont animés d'un mouvement de rotation beaucoup plus rapide (dit de « super-rotation»). En altitude (70 km), l'atmosphère fait un tour en 4 jours (ce qui correspond à des vents de 100 mis), dans le sens de rotation de la planète. 30La planète naine Pluton est accompagnée de Charon, découvert le 2 juillet 1978, par J. W. Christy. Ce satellite a une masse relative si importante (1/6 de la masse de Pluton) qu'on peut considérer l'ensemble Pluton-Charon comme une planète double. Le demigrand axe de l'orbite circulaire de Charon est ap = 19460 km et il est intéressant de noter que cette valeur est très proche de celle de l'orbite planétostationnaire. On a le rapport : ap/acs = 1.05.

728

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

r/R

2

3

4

5

6

7

8

10

1

1

1

1

1

1

1

1

12 14 161820 1

1 1 1 1 11111

Distance r 1000 km) 1

5 10

pente

N

o

-2

10.3

.s5 c 10

+1

o

:;::;

~

-<J..)

:ai 10

o

-7

~

i

l< -.-

o

-4

1000

-3

10000

MERCURE

Altitude h (km)

r/R

5

7

8

9 10

2

3

4

5

6

7

8

10

1

1

1

1

1

1

1

1

Distance r (1000 km) 20 30

40

50

60

12 1

14

1 1 1 1

70 80

100

10

pente -2

C

o

10

-5

+1

-7

o

:;::;

~

-<J..)

:ai 10

~

-4

-3

o

1000

10000

Altitude h (km)

VENUS

16.5 : Représentation des accélérations en fonction de la distance r du satellite au centre de la planète. Double échelle logarithmique. (a) Mercure; (b) Vénus.

FIG.

16.4. Trace du satellite d'une planète

729

Or, comme nous avons vu, si la planète est proche du Soleil (Mercure, Vénus), elle est bloquée dans sa rotation sur elle-même et l'aplatissement planétaire est très faible: h est donc très faible, quasiment nul. L'héliosynchronisme est donc impossible. Si elle est éloignée du Soleil (planètes géantes), sa rotation rapide a créé un aplatissement important : J 2 est grand. Pour contrebalancer son effet, l'orbite doit présenter une valeur (cos i) très faible, qui est de fait une valeur pratiquement nulle. L'orbite est donc polaire (à quelques centièmes de degré près). Mais que signifie vraiment l'héliosynchronisme pour un satellite autour de Jupiter, planète qui met 12 ans à faire le tour du Soleil, ou autour de Neptune, qui en met 165! Pour les deux planètes intermédiaires, Terre et Mars, on peut obtenir cette condition. Les résultats des calculs de kh, constante d'héliosynchronisme, obtenus par la relation (7.94), sont donnés dans le tableau 16.2(d), où on a noté également, par 'f/m, la valeur de la distance relative maximale rlHSmax, obtenue pour i = 180 0

•

Orbite gelée

Nous avons vu au chapitre 11 que le principe du gel de l'orbite du satellite est de jouer sur la compensation entre les diverses variations de la position du périastre du satellite (variation séculaire et variation à longue période). Dans le calcul de l'excentricité gelée intervient le rapport J 3 / h. Pour qu'une orbite gelée soit intéressante, il faut que l'excentricité gelée eG, qui est de l'ordre de (1/2) J 3 / h, soit inférieure à 0.01, car au-delà les différences d'altitude sont trop importantes. Le terme J 3 est un terme zonal (symétrie axiale) rendant compte de la dissymétrie entre les hémisphères Nord et Sud. Pour Mercure et Vénus, pratiquement sphériques, h est nul ou extrêmement faible. Pour les planètes géantes, h est nul car la plasticité de ces planètes n'engendre que des coefficients zonaux pairs, notés hn (symétrie par rapport au plan équatorial, dite symétrie nord-sud). Les deux seules planètes qui peuvent avoir un satellite en orbite gelée sont donc la Terre et Mars. Pour les orbites héliosynchrones gelées, on rappelle que l'argument du périastre, lié au signe de h, est WG = 90 pour la Terre, WG = 270 pour Mars. 0

0

16.4

Trace du satellite d'une planète

La trace du satellite sur plusieurs révolutions se caractérise par le décalage équatorial, qui dépend essentiellement de la vitesse de rotation de la planète. Pour la Terre ou Mars, le décalage équatorial est de l'ordre de 25 pour un satellite en orbite basse. Pour les planètes géantes, il est deux à trois fois 0

730

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

16.6 : Carte de Mercure obtenue par des images prises lors des 3 passages de Messenger (pro). Plate-carrée). Résolution: 0.5 km/pixel. Document: NASA, JHU/ APL, US Geological Survey.

FIG.

plus grand. Mais pour Mercure et Vénus, qui tournent très lentement sur elles-mémes, le décalage équatorial est très faible. Nous présentons ici la trace de satellites en orbite autour de Mercure, autour de Vénus et autour des astéroïdes Eros, Vesta et Cérès.

16.4.1

Satellite de Mercure

La planète Mercure n'a été visitée que par deux sondes, Mariner-10 et Messenger. Il existe de plus le projet BepiColombo. La sonde américaine Messenger (Mercury Surface, Spa ce Environment, Geochemistry and Ranging) - on remarquera la référence mythologique à la fonction principale du dieu Mercure ou Hermès - avec lancement en 2004 et six assistances gravitationnelles 31 s'est placée en 2011 sur une orbite très excentrée (h p = 200 km, ha = 15193 km, i = 80°, T = 720 min), voir figure 16. 7( a). Le périastre est positionné à la latitude de 60 N, afin d'étudier de plus près le bassin d'impact Caloris. La mission en orbite doit durer 12 mois, c'est-à-dire 2 jours solaires mercuriens 32 , voir la figure 16. 7( a). La carte de Mercure (figure 16.6), avec une définition de 500 mètres par 0

31 Lancé 2004 07 30, Terre - survol (altitude: 2295 km) 2005 07 29, Vénus - survol 1 (ait. : 3000 km) 2006 1023, Vénus - survol 2 (ait. : 300 km) 2006 10 23, Mercure - survol 1 (ait. : 200 km) 2008 01 14, Mercure - s. 2 (ait. : 200 km) 2008 1006, Mercure - s. 3 (ait. : 200 km) 2009 09 29, Mercure - orbite d'insertion 2011 03 18. 32 Pour un point de Mercure, le jour dure 176 jours terrestres: à 88 jours de nuit succèdent 88 jours de lumière. Cette durée de 176 jours correspond à deux révolutions autour du Soleil. Un jour herméen (mercurien) est exactement égal à deux années herméennes (résonance 3:2).

16.4. Trace du satellite d'une planète

731

[MERCURE] Messenger Orbite par rapport à Mercure

Altit équival. = 7696.5 km

a =10136.200 km

Inclinaison = 80.00

e = 0.739577

»> Durée représentée: 4320.0 min = 3.00 jours

Période = 719.98 min • Révol.lj.= 2.00

0

h_a = 15193 km; h_p = 200 km; arg.périastre: +61.57

Projection: Orthographique Propriété: (sans) ~

T.:Azimutal - Grille : 10

0

Centre Project.: 15.0 N; 90.0 E Aspect: Oblique 0

H

[-90.0/+750/ +0.0[[-1

0

Longitude premier passage: N.a.: 160.75 0 _ Apo.: 0.00 0

IAU91

If;iWII

MC

[MERCURE] MMO BepiColombo Orbite par rapport à Mercure

Altit équival. = 6200.3 km

a = 8640.000 km

Inclinaison = 90.00

e = 0.671320

»> Durée représentée: 4320.0 min = 3.00 jours

Période = 566.61 min • Révol.lj.= 2.54

0

*

Propriété: (sans) ~

T.:Azimutal - Grille : 10

0

Centre Project.: 15.0 0 N; 0.0 Aspect: Oblique

H

[-90.0/ +75.0/ +90.0[[-1

IAU91

0

Longitude premier passage:

N.a.: 90.00

0

_

Apo.: -91.21

0

LMD

ATÀaç

h_a = 12001 km; h_p = 400 km; arg.périastre: +0.00

Projection: Orthographique

0

0

If;iWII

MC

*

LMD

ATÀaç

FIG. 16.7 : Orbite de satellite dans un référentiel lié à la planète Mercure, sur 3 jours. (a) Messenger; (b) BepiColombo MMO.

732

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

pixel, est une mosaïque d'images prises lors des trois survols de la planète par Messenger, en 2008 et 2009. Elle est complétée par quelques données de Mariner-10, de 1974 et 1975. La sonde BepiColombo, mission conjointe 33 entre l'Europe et le Japon, doit être lancée en août 2014 pour arriver à destination en décembre 2020, après cinq assistances gravitationnelles (Terre, deux fois Vénus, deux fois Mercure). La sonde est constituée de deux orbiteurs MPO (Mercury Planetary Orbiter, responsabilité ESA) et MMO (Mercury Magnetospheric Orbiter, responsabilité JAXA), prévus sur une orbite excentrée, polaire (i = 90°), avec périgée à l'altitude hp = 400 km. L'altitude de l'apogée sera ha = 1 500 km pour MPO et ha = 12000 km pour MMO, de telle sorte que la période du second, T = 560 min, soit un multiple de celle du premier, T = 140 min, voir la figure 16. 7(b).

16.4.2

Satellite de Vénus

La sonde Magellan (dont le nom rend hommage au navigateur portugais du XVIe siècle), en orbite autour de Vénus, de 1990 à 1994, a parfaitement rempli ses missions, dont la principale était de cartographier la planète (ce qui a été fait à 98%). Cette mission (Radar Mapping) était composée de trois cycles, chacun de 243 jours, pour lesquels le satellite Magellan avait une orbite excentrée polaire (figure 16.9(a)), avec les caractéristiques: hp = 289.57 km, ha = 8458.5 km, i = 85.5", w = 170°, a = 10 425.8 km, e = 0.39176, Ta = 195.59 min soit 3.26 heures. On a représenté la trace de cette orbite sur un jour (= 24 h) (figure 16.10(a)), puis sur 4 jours (figure 16.10(b)). La cartographie radar n'était faite que pendant 37.2 min à chaque révolution, peu avant et peu après le passage au périgée. La durée du cycle de 243 jours correspond à J sid , un jour sidéral vénusien, qui est le temps que met la planète, dans un référentiel galiléen, a faire un tour complet par rapport à l'orbite du satellite, qui reste fixe dans ce référentiel. En effet, la sphéricité presque parfaite de Vénus (12 = 4.4098 10- 6, valeur très faible) et l'orbite quasi polaire du satellite impliquent des mouvements de précession pratiquement nuls. Pour l'orbite définie ci-dessus, on obtient, en degrés par jour: D = -6 10- 4 et LÜ = -4 10- 3 . Les trois images de la même zone(figure 16.8) sont prises avec un intervalle de 8 mois, correspondant à la durée d'un cycle (d'une journée vénusienne), en mars 1991, novembre 1991 et juillet 1992. Après ces cycles cartographiques, le satellite a été mis, par aérofreinage, sur une orbite circulaire, h = 250 km, pour des études géodésiques, puis 33n y avait, à l'origine, deux projets distincts : la sonde japonaise Mercury Orbiter et la sonde européenne BepiColombo Mercury Orbiter, ainsi nommée en l'honneur du mathématicien italien Guiseppe "Bepi" Colombo (1920-1984), évoqué plus haut. Le projet européen prévoyait un atterriseur, jugé ensuite trop coûteux.

16.4. Trace du satellite d'une planète

733

16.8 : Zone de Vénus vue par le radar de Magellan lors de 3 cycles consécutifs. Taille: 400 km sur 100 km, centrée sur 47.5° S, 226.0° E. Document: NASA/JPL

FIG.

sacrifié dans un dernier windmill experiment d'un mois et demi (les panneaux solaires déployés transforment le satellite en une sorte de « moulin à vent» qui transmet les paramètres de l'atmosphère dans laquelle il finit par se consumer). Le modèle de potentiel gravitationnel de degré et ordre 21, JPL-VGM1B (JPL Venus Gravit y Madel), obtenu avec les données (Doppler radio tracking data) de Pioneer Venus Orbiter est passé au degré et ordre 90 grâce aux données de Magellan, avec le modèle MGNP90 (Magellan + PVO, 90th degree and arder) 34. La sonde européenne Venus Express (avec le même type d'instrument que Mars Express) a été lancée le 9 novembre 2005. Après 153 jours de voyage direct, elle est arrivée le 11 avril 2006 et s'est insérée en orbite pour être opérationnelle le 18 mai. Venus Express est en orbite polaire, très excentrée, 34Constante d'attraction planétocentrique /1, en km 3 S-2 : /1 = 324 858.60 ±0.05 pour JPL-VGMlB (1990); /1 = 324858.601 ±0.014 pour MGNP90 (1997).

734

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

[ VENUS] Magellan Orbite par rapport à Vénus

AIlit. équival. = 4374.0 km

a =10425.836 km

Inclinaison = 85.50'

e = 0.3918

»> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

Période = 195.59 min • Tours/j = 7.36 h_a = 8459 km : h_p = 290 km : arg. périastre:+170.00 '

Projection: Orthographique Propriété: (sans)

Type: Azimutal

Centre Carte: 15.0' N: 4.0' W Aspect: Oblique [ -90.01 +75.01 +94.01

Longitude premier passage:

N.a.: -90.00 '- Apo.: 89.20'

MageUan Topogr. /h/2km/

MC

n·wv

*

LMD

ATÀlX<;'

[VENUS] Venus Express Orbite par rapport à Vénus

AIlit. équival. = 33125.0 km

a =39176.801 km

Inclinaison = 90.00'

e = 0.839145

»> Durée représentée: 4320.0 min = 3.00 jours

Période = 1424.71 min • Révol.lj.= 1.01 h_a = 66000 km: h_p = 250 km: arg.périastre: +70.00'

Projection: Orthographique Propriété: (sans) ~

T.:Azimutal- Grille : 30'

Centre Project.: 15.0' N: 90.0 'E Aspect: Oblique

N.a.:-179.28 '-Apo.: 0.00'

13.91 [-90.01 +7501 +0011-1 MGNP60

MageUan Topogr. /h/2km/

Longitude premier passage:

MC

n·wv

*

LMD

ATÀlX<;'

16.9 : Orbite de satellite dans un référentiel lié à la planète Vénus. (a) Magellan,- (b) Venus Express.

FIG.

16.4. Trace du satellite d'une planète

735

[VENUS] Magellan Trace de l'orbite elliptique

Altit équival. = 4374.0 km

a =10425.835 km

Inclinaison = 85.70

e = 0.391764

»> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

Période = 195.59 min • Révol.lj.= 7.36

0

h_a = 8458 km; h_p = 290 km; arg.périastre: +170.00

Projection: Orthographique ~

T.:Azimutal - Grille

10

Centre Pr.(dr.): 44.0 N; 8.0 W Aspect: Oblique

Longitude premier passage: N.a.: -16.00 0_ Apo.: 163.23 0

13.91 [-90.01 +4601 +980] [-] MGNP60

Magellan Topogr. /h/2km/

0

0

Propriété: (sans) 0

n~(')!1

MC

*

LMD

ATÀlXÇ'

[VENUS] Magellan Trace de l'orbite elliptique

Altit équival. = 4374.0 km

a =10425.835 km

Inclinaison = 85.70

e = 0.391764

»> Durée représentée: 5760.0 min = 4.00 jours

Période = 195.59 min • Révol.lj.= 7.36

0

0

h_a = 8458 km; h_p = 290 km; arg.périastre: +170.00

0

·r"\;,.

. ;. .,-

,l'·

," \ Projection: Mercator Propriété: Conforme ~ T.:Cylindrique - Golle

Centre Project.: 64.0 N; 4.0 E Aspect: Oblique,. zoom : 1.75

Longitude premier passage: N.a.: -90.00 Apo.: 89.23

13.91 [+90.01 +640/-940] [-] MGNP60

Magellan Topogr. /h/2km/

0

10

0

0

0_

0

n~(')!1

MC

*

LMD

ATÀlXÇ'

FIG. 16.10: Trace de l'orbite du satellite Magellan: (a) sur un jour (terrestre); (b) sur 4 jours, la projection cartographique (Mercator oblique) est centrée sur Maxwell Montes.

736

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

a = 39 176 km, e = 0.839 (h p = 250 km, ha = 66000 km, T = 1 425 minutes), avec périastre à la latitude 70"N (figure 16.9(b)). Cette orbite, pratiquement fixe par rapport à la planète (comme toutes celles des satellites vénusiens), permet d'étudier l'atmosphère qui, elle, tourne en 4 jours environ. La sonde japonaise Planet-C (Venus Climate Orbiter ou VCO), rebaptisée Akatsuki (<< aube») a été lancée le 21 mai 2010. Un défaut de moteur, lors de l'approche de Vénus le 7 décembre 2010, l'a empêchée de se mettre correctement en orbite. L'agence JAXA espère, sans beaucoup d'illusion, pouvoir rattraper l'erreur. L'orbite prévue était très excentrée, presque équatoriale: a = 45 500 km, e = 0.8604, i = 172°, avec donc hp = 300 km, ha = 78 600 km.

Exemple 16.1 Trace de ['orbite du satellite Magellan. ~ La trace de l'orbite sur un jour (terrestre), figure 16.10(a), ne montre pas de dissymétrie apparente, comme c'est le cas pour les orbites excentrées terrestres. Cela est dû au fait que la planète est presque immobile (par rapport à la vitesse du satellite, même à l'apoastre) dans un référentiel galiléen. La rotation très lente de la planète sur elle-même donne un décalage équatorial très faible, de 0.20", soit un écart de 21 km entre deux traces consécutives, comme on le constate, avec la figure 16.10(b), sur une durée de 4 jours. Pour cette dernière carte, la projection de Mercator a été centrée sur Maxwell Montes. Ce grand massif montagneux, le plus élevé de Vénus, dans Ishtar Terra, est 11 km au-dessus du niveau moyen de la planète ....

16.4.3

Satellite de l'astéroïde Eros

L'astéroïde 433-Eros, formé de roches silicatées, est d'allure plutôt cylindriqué 5 . À partir du 14 février 2000, la sonde NEAR, renommée NEARShoemaker, s'est mise en orbite pour devenir un satellite d'Eros. Sur une orbite d'abord excentrée (ellipse de demi-axes a = 365 km, b = 204 km, i = 36"), le satellite s'est progressivement rapproché d'Eros, par des manœuvres faisant alterner des orbites en forme d'ellipse et de cercle. L'orbite quasi circulaire (a = 200 km) quasi polaire est ainsi devenue plus basse (a = 100 km) quasi équatoriale. Le 28 janvier 2001, le satellite, qui était sur une orbite d'approche (a = 35 km, i = 180"), s'est posé sur l'astéroïde, transmettant les images jusqu'au choc final. Ses caractéristiques sont notées dans le tableau 16.3 (voir aussi figures 16.11 et 16.12). Les données géodésiques proviennent du modèle NLR190 (NEAR Laser Rangefinder) , qui est un modèle en harmoniques sphériques de degré et d'ordre 24, basé sur 5 millions de mesures de rayon collectées 35Rayon moyen équatorial : 9.236 km (R equ. max. = 17.452 km, R equ. min. = 3.501 km); Rayon pôle Nord: 5.338 km; Rayon pôle Sud: 5.993 km. Le rayon R noté dans le tableau 16.3 est le rayon moyen.

16.4. Trace du satellite d'une planète

737

FIG. 16.11 : Vue du pôle Nord de l'astéroïde Eros, prise par la sonde NEAR-Shoemaker, le 31 mars 2000, à une altitude de 207 km. Avec superposition d'une grille, avec un canevas de 30°. Latitude comptée à partir de l'équateur, longitude comptée vers l'ouest, à partir du méridien origine. Document: NASA, JH U/A PL.

O,270W

O,lBOW

FIG. 16.12 : Diverses vue d'Eros. Canevas de grille: 6 0. Document: NASA, Johns Hopkins University/Applied Physics Laboratory.

le jour 190, an 2000. Les termes J 2 , comparaison avec d'autres planètes 36 •

h, J 4 sont notés pour permettre la

ExeIllple 16.2 Trace de ['orbite du satellite NEAR. ~ Nous avons représenté la trace de l'orbite de la sonde NEAR devenue satellite de 433-Eros. On a considéré deux types d'orbite, appelées OCM-2 et OCM-6 (les

36Les valeurs des coefficients normalisés sont: = -0.05210, C~2 = 0.04890, S~2 = 0.13170, C3'o = -0.00180. On rappelle que le passage aux coefficients J n se fait avec (3.22). Le modèle NRL190 utilise les harmoniques sphériques. Mais lorsque le corps à étudier est aussi éloigné de la sphère, on peut aussi choisir de décomposer le potentiel gravitationnel à l'aide d'harmoniques ellipsoïdaux, où les fonctions de Legendre sont remplacées par les fonctions de Lamé. C~o

738

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

orbites successives de NEAR sont numérotées OCM-n, Orbital Correction Maneuver). Dans le premier cas, figure 16.13(a), le satellite est très haut par rapport au corps attractif, l'astéroïde, puisqu'il met 10 jours à en faire le tour. La trace met donc 2.5 jours pour passer de l'équateur à la latitude maximale. Dans le deuxième cas, figure 16.13(b), le satellite est sur une orbite plus basse, mais cependant au-dessus de l'orbite planétosynchrone. Pour cette dernière figure, nous avons utilisé la projection cartographique choisie par l'équipe scientifique NEAR pour la représentation des traces d'orbite (projection de Hammer-Aitoff) .....

16.4.4

Satellite des astéroïdes Vesta et Cérès

La mision Dawn de la NASA doit faire mieux comprendre 1'« aube» du Système solaire en explorant les deux plus gros astéroïdes. Les caractéristiques géodésiques et astronomiques de 1-Cérès et 4-Vesta sont données dans le tableau 16.4. Dawn a été lancé le 27 septembre 2007, a survolé Mars le 17 février 2009, pour arriver à Vesta le 21 juillet 2011. Pendant un an, jusqu'au 25 juillet 2012, Dawn utilisera autour de Vesta trois orbites successives, SO, HAMO et LAMO (respectivement Survey Orbit, High Altitude Mapping Orbit, Low Altitude Mapping Orbit). Elle continuera ensuite sa mission vers Cérès, qu'elle atteindra le 1er février 2015. Elle se mettra sur trois orbites SO, High et Low jusqu'à la fin de mission, en juillet 2015. Les caractéristiques d'orbites sont notées dans le tableau 16.5. Exemple 16.3 Étude de deux orbites de Dawn, une autour de Vesta, l'autre de Cérès. ~

Les orbites considérées sont circulaires.

(a) Vesta

Après l'orbite SO, très haute, Dawn se place en orbite HAMO, avec a = 867.287 km (soit a - Re = 591 km). Dans ce cas, la période nodale est Td = 641.04 min, ce qui correspond exactement au double du jour sidéral de Vesta, Jsid = 320.52 min. Notons que pour les satellites en orbite autour d'un corps aussi peu sphérique que Vesta, avec un terme h aussi important, la vitesse de précession apsidale est très élevée. Pour Dawn/HAMO, W = -4.7° par jour et la différence entre 'id et Ta = 637.36 min est très importante. (b) Cérès En fin de mission, Dawn se place en orbite polaire dite L, à une altitude de 700 km. La période 'id = 535.68 min est légèrement inférieure à la durée du jour sidéral de Cérès (8.928 h à comparer avec 9.075 h). La trace de Dawn montre ainsi un léger décalage d'une révolution à l'autre (figure 16.14) .....

16.4. Trace du satellite d'une planète

[433-EROS] NEAR/OCM-2

Altitude = 196.1 km

Trace de l'orbite

Inclinaison = 37.00

»> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

739

a = 204.500 km 0

Période =14488.18 min • Tours/j = 0.10 Décalage à l'équateur = 2424.8 km

0.0

100.0 0 W

N. asc.:

0.00

Projection: Mercator

Centre Carte:

Propriété: Conforme

Aspect: Direct

Inclin. app. = 179.23

Type: Cylindnque

[ +90.0 1 +0.0 1 +10.0 1

NEAR Altim. /h/2km/

0

:

[433-EROS] NEAR/OCM-6

0

Inclinaison = 90.00

7.00 jours

MC

n~Wl/

*

LMD

ATÀlXÇ'

a = 50.000 km

Altitude = 41.6 km

Trace de l'orbite »> Durée représentée:

0

0

Période = 1761.08 min • Tours/j = 0.82 Décalage à l'équateur = 294.7 km

0.0

0.0

N. asc. : -126.00

Projection: Hammer-Aitoff

Centre Carte:

Propriété: Equivalente

Aspect: Direct

Inclin. app. = 169.82

Type: Azimutal modifié

[ +0.0 1 +0.0 1 +0.0 1

NEAR Altim. /h/2km/

0

0

0

0

MC

n~Wl/

*

LMD

ATÀlXÇ'

FIG. 16.13 : Trace de l'orbite du satellite NEAR : (a) sur un jour (terrestre); (b) sur 7 jours.

740

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

/-i=Ç}Jv[

R Dl

D2, D3 go

Vz

TO(h=O) d PE PE/R

(m 3 .s- 2 ) (km) (km) (km) (mm.s- 2 ) (m.s- l ) (min) (s.d.) (km) (s.d.)

4.463 10 5 7.311 34.4 11.2; 11.2 2.1 +--> 5.5 3.1 +--> 17.2 121.18 2.67 308 37

as Nsid Nsid

e i

(ua)

(an) (j) (s.d.) 0

Jsid TjGS

h h

(h) (s.d.)

* * *

J4

1.458 1.76 643 0.233 10.8 5.27025 1.895 116.5 4.8 -37.5

16.3 : Caractéristiques géodésiques et astronomiques de l'astéroïde 433Eros. (résultats de la mission NEAR). Pour la signification des grandeurs, voir le tableau 16.2. Les dimensions de l'astéroïde sont appelées Di. La valeur des termes h, h, J4, marqués *, sont à multiplier par 10- 3 . On notera les unités inhabituelles utilisées ici pour go, Vz et les très fortes valeurs des termes J n .

TABLEAU

Astér. Cérès Vesta

/-i=Ç}Jv[

(m 3 .s- 2 ) 6.326004 1. 781691

1010 1010

R (km)

go (m.s- 2 )

Di (km)

To (m)

d (s.d.)

480/454 276/227

0.26/0.29 0.23/0.23

960/960/908 560/544/454

138 114

2.08 3.42

Astér.

as (ua)

Nsid (an)

e (s.d.)

(0)

Cérès Vesta

2.76636 2.36158

4.603 3.630

0.07934 0.08890

10.586 7.134

i

é

(0) ~4 ~

29

Jsid (h)

(s.d.)

TjGS

PE/R (s.d.)

9.075 5.342

2.491 1.995

2.744 2.454

16.4 : Caractéristiques géodésiques et astronomiques des deux astéroïdes 1- Cérès et 4- Vesta. Signification des grandeurs: voir les tableaux 16.2 et 16.3. Pour R et go, valeurs à l'équateur et au pôle. Période T o = TO(h=o).

TABLEAU

Orbite

h (km)

a

(km)

in

'id (h)

Rév./j

Rév./Jsid

Vesta 80 Vesta HAMO Vesta LAMO

2450 591 180

2726 867 456

90 90 90

58.92 10.68 4.20

0.408 2.259 5.714

0.09 0.50 1.27

Cérès 80 Cérès H Cérès L

5900 1300 700

6380 1780 1180

90 90 90

111.83 16.50 8.93

0.215 1.455 2.693

0.08 0.55 1.02

16.5 : Différentes orbites circulaires successives de la mission Dawn. Caractéristiques de l'orbite: h, a, i, Td. On a noté de plus le nombre de révolutions par jour moyen (=24 h) et par jour sidéral de l'astéroïde concerné.

TABLEAU

16.4. Trace du satellite d'une planète

[1-CERES] Dawn 1 L Trace de l'orbite

Altitude = 700.0 km

»> Durée représentée:

Période = 535.68 min • Révol.lj.= 2.69

Inclinaison

5.00 jours

=

90.00

741

a = 1180.000 km 0

Décalage à l'équateur = 2967.1 km

Projection: Aitoff

Centre Project.: 0.0'

Propriété: (sans)

Aspect: Direct

* T.:Azimutal modo - Grille

: la'

H [ +0.01

+0.01 +0.01 [-1

0.0'

Noeud ase: 0.00 Inclin. app. = 134.53'

IAU91

0

MC

nu,;v

*

LMD

ATÀa:Ç

16.14 : Trace du satellite Dawn, pendant 5 jours, en orbite DawnjL autour de l'astéroïde l-Cérès.

FIG.

16.4.5

Satellite de planète géante

Les sondes en orbite autour de Jupiter ou Saturne ne sont pas véritablement classées dans la catégorie orbiteur. Alors qu'un satellite de la Terre, Mars ou d'une autre planète tellurique, effectue pendant des mois et des mois des révolutions sur son orbite quasiment inchangée, une sonde autour de Jupiter ou de Saturne change d'orbite à chaque révolution. Pour survoler telle ou telle lune, la sonde passe d'une orbite très excentrée à une plus circulaire, en faisant un usage fréquent des moteurs. Jupiter Galileo, en huit ans de mission, a parcouru 34 orbites autour de Jupiter, chacune ayant une période de plusieurs semaines 37 . 37Voici en exemple des premières orbites et leur appellation: G 1 - 1996 06 27, survol de Ganymède; G2 - 1996 09 06, Ganymède; C3 - 1996 11 04, Callisto; E4 - 1996 12 19, Europe. Puis (l pour lo et J pour Jupiter) : J5, E6, G7, G8, C9, CIO, E11-19, C20-23, l24-25, G28-29, C30, l31-33, J34.

742

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

16.15 : Deux des plus étonnants satellites de Saturne, photographiés par la sonde Cassini. (a) Hypérion, avec une strucure de «ruche », de densité très faible. Sa rotation est chaotique (il n'est pas bloqué en résonance 1:1 avec Saturne). (b) J apet, avec une partie très foncée et une autre très claire, présente sur son équateur une barrière montagneuse de 18 km d'altitude. Documents: Cassini 1maging Team, SSl, JPL, ESA, NASA.

FIG.

16.4. Trace du satellite d'une planète

743

FIG. 16.16 : Deux satellites de Saturne, photographiés par la sonde Cassini. (a) Mimas. Des cratères d'impacts météoritiques recouvrent totalement sa surface. Le plus grand cratère a un diamètre de 130 km (à comparer avec le rayon de Mimas, de 200 km), avec une profondeur de 10 km et un pic central qui s'élève de 6 km. (b) Encelade. Une partie de la surface est cratérisée, une autre est recouverte de glace très propre, certainement renouvelée par cryovolcanisme. Cette dernière partie est striée de crevasses (comme des griffures de tigre) d'où sortent parfois des geysers de vapeur d'eau. L'albédo d'Encelade est proche de 1. Documents: Cassini 1maging Team, SS1, JPL, ESA, NASA.

744

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

La mission 38 Juno sera consacrée à l'étude de l'origine et de l'évolution de Jupiter. Après son insertion en orbité 9 , la sonde doit effectuer 32 révolutions, pendant une année. Nous revenons plus loin, dans le cadre de l'exploration des satellites, sur la mission EJSM-Laplace, en direction de Jupiter. Saturne

La mission Cassini se découpe, dans le temps, en trois grandes parties. La partie initialement programmée (Prime Mission), du 17 mai 2004 au 1er juin 2008, comporte 74 révolutions. Venant de la Terre, la sonde a survolé Phoebé le Il juin, avant son insertion en orbite (SOI), le 1er juillet. Après trois survols de Titan, le module Huygens est largué le 14 janvier 2005. La mission est ensuite plus particulièrement consacrée à la dynamique de l'atmosphère saturnienne, à l'occultation par les anneaux, aux satellites glacés. La mission étendue (Extended Mission), jusqu'au 11 octobre 2010, révolution 139, et la suivante - et finale - (Extended-Extended Mission), jusqu'au 18 septembre 2017, révolution 292, poursuivent les survols de Titan et de tous les autres satellites. Les dates de ces deux missions sont déterminées par la déclinaison de Saturne. La première (Ext. M., dite aussi Equinox Mission) est centrée autour de l'équinoxe (11 août 2009, 5 = 0°), la seconde (Ext. Ext. M.) se termine peu après le solstice (25 mai 2017, 5 = 26.7°). Dès son arrivée près de Saturne, la sonde Cassini a mis en évidence un mouvement vertical dans les anneaux, comme agités par des vagues, visibles sur la figure 16.3. Peu après, d'autres clichés ont permis de repérer des petits satellites 40 (jusque là inconnus), dans les anneaux, qui créent ces « ondes de densité» . Les découvertes 41 dues à la mission Cassini sont innombrables et nous en présentons ici quelques illustrations, figure 16.15 et 16.16 : - la structure en forme de ruche d'Hypérion (corps de forme grossièrement cylindrique, d'environ 370 km de long et 220 km de large) ; 38 Junon, en anglais (et en latin) Juno, est l'épouse de Jupiter. Le nom de cette mission est bien choisi: Juno ne s'intéressera qu'à Jupiter et ne jettera pas un seul regard sur la sublime Io, la royale Europe, la très belle Callisto et le jeune pâtre, Ganymède. 39Lancement : 2011 08 05; Assist. grav. Terre: 2013 10 09; Jupiter (JOI) : 2016 08 03. 40La petite lune Daphnis, découverte en mai 2005 grâce à la sonde, a un diamètre de 7 km. Elle se trouve dans la divison de Keeler, large de 42 km, à l'intérieur de l'anneau A. Sur la petite photo, figure 16.3(g.), on distingue les ondes créées, que ce soit dans le plan des anneaux ou perpendiculairement. Le mouvement dans la direction verticale est particulièrement bien mis en évidence par la lumière rasante, à une date proche de l'équinoxe de Saturne. 41 Les satellites dont il est question sont découverts depuis bien longtemps : Hypérion (noté aussi Saturne VII, ou S VII), par C. et G. Bond et W. Lassel, en 1848; Japet (S VIII), par J. D. Cassini en 1671 ; Mimas (S I) et Encelade (S II), par W. Herschel en 1789. L'apport de la sonde Cassini est de donner une image très précise de chacun de ces satellites et de montrer à quel point ils sont tous aussi différents.

16.5. Satellites naturels du Système solaire

745

- l'étrange bourrelet (une montagne qui court tout le long de l'équateur 42 ) de Japet (rayon R = 747 km) ; - le cratère disproportionné à la surface de Mimas (R = 199 km) ; -les «griffures de tigre» à la surface d'Encelade (R = 252 km), d'où sortent des geysers 43 de vapeur. Nous reparlons plus bas de Titan. Pour effectuer tous ces survols, la sonde Cassini a une orbite différente à chaque révolution 44 . L'excentricité change d'une orbite à l'autre, l'inclinaison varie de 'i = 0° à 'i = 75°. Les périodes de la sonde autour de Saturne sont de l'ordre d'une à trois semaines. La prochaine mission sur Saturne, TSSM en projet, sera plus particulièrement consacrée aus satellites de Saturne, comme nous le verrons un peu plus bas, à propos de Titan.

B 16.5 16.5.1

Satellite de satellite naturel

Satellites naturels du Système solaire Présentation des satellites naturels

Nous avons précédemment évoqué les satellites naturels des planètes telluriques. Pour les planètes géantes, le nombre de satellites connus a explosé après 1980, avec l'apport des missions Voyager et les progrès de l'optique adaptative pour les télescopes terrestres. Avant cette date, on comptait 13 satellites pour Jupiter, 11 pour Saturne, 5 pour Uranus et 2 pour Neptune. Le nombre actuel devient très important. On classe les satellites en réguliers et irréguliers. On appelle régulier un satellite qui se déplace dans le 42Cette montagne suit strictement la ligne équatoriale. Sa section normale est triangulaire, avec une base de 200 km et une hauteur de 18 km. 43 Ayant photographié ces geysers, la sonde Cassini a été programmée pour effectuer des passages plus fréquents sur Encelade. On a ainsi mis en évidence que l'eau des geysers était mélangée à des particules de glace et des composés organiques. La température de surface d'Encelade est de 75 K environ, mais plus élevée au niveau des crevasses. 44Voici quelques exemples d'orbites de Cassini. On note l'apoastre et le périastre en distance relative, respectivement Y/a = Ta/Ret fl p = Tp / R, en notant R le rayon de Saturne. Rév. 5 : i = 0.2° ; fla = 44.390, rl p = 3.498; T = 20.5 j; survol de Titan (2005 03 31). Rév. 6 : i = 7.4° ; Y/a = 37.956, y/p = 2.594; T = 16.0 j; Titan (2005 14 16). R. 49 : i = 0.5° ; Y/a = 69.031, y/p = 5.351; T = 39.7 j; Titan (20070831), Japet(09 10). Rév. 80 : i = 74.4 0 ; Y/a = 20.302, y/p = 3.941; T = 7.4 j ; Encelade (2008 08 11). Rév. 248 : i = 57.8° ; fla = 23.230, fl p = 5.578; T = 9.6 j ; Titan (2016 11 14). Rév. 292 : i = 61.6° ; fla = 21.165, fl p = 10.28; T = 6.5 j; Titan (201709 11).

746

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

même sens que la rotation de la planète, sur une orbite quasi circulaire, dans le plan équatorial planétaire; on appelle irrégulier 45 les autres. En 2011, on dénombrait 63 satellites (dont 8 réguliers) pour Jupiter, 54 (dont 21 rég.) pour Saturne, 27 (dont 18 rég.) pour Uranus, 13 (dont 6 rég.) pour Neptune. Quant à Pluton, il gravite en couple avec Charon qui fait 1/6 de sa masse. Il est évident que les satellites nouvellement découverts sont beaucoup plus petits. Certains n'ont que quelques dizaines de kilomètres de côté. En règle générale, si un satellite a un diamètre de plus de 400 km, il a une forme sphérique. Dans le cas contraire, sa forme s'éloigne d'autant plus de la sphère qu'il est petit. Pour tous les satellites naturels, l'inclinaison est définie par rapport au plan équatorial de la planète. Un seule exception, et de taille: la Lune. Notre lune ne gravite pas dans le plan équatorial de la Terré 6 . En ce sens, elle doit être classée dans les satellites irréguliers. Ces satellites naturels ont une caractéristique très importante : ils sont tous 47 en rotation synchrone, ou résonance 1:1 (une rotation pendant une révolution autour de la planète). Ils sont pratiquement fixes par rapport à un axe passant par leur centre de gravité et le centre de la planète. Comme la Lune pour la Terre, ils présentent toujours la même face à leur planète. Cet effet est dû au phénomène de maréé 8 .

16.5.2

Exploration spatiale des satellites naturels

Si on exclut la conquête lunaire (présentée en début de chapitre dans le cadre plus général de l'exploration de l'espace), il n'y avait pas de mission spécifique pour les satellites naturels, au début de l'ère spatiale. Si on leur rendait visite, c'était à l'occasion d'un voyage auprès de la planète. Cette situation a changé à partir de la mission Galileo, qui a permis des 450n pense que les satellites réguliers ont été formés en même temps que la planète. Les irréguliers auraient une histoire différente. Un satellite comme Néréide, en orbite très excentrée autour de Neptune (e = 0.75, i = 7°), donne à penser que certains satellites irréguliers sont probablement d'anciens astéroïdes, ou objets trans-neptuniens, capturés par l'attraction gravitationnelle de la planète. 46Le mouvement de la Lune est très complexe à étudier: c'est un mouvement à trois corps Lune-Terre-Soleil (/L/ /LN = 81.30059). L'orbite excentrée de la Lune fait un angle de 5.2° avec l'écliptique. L'inclinaison de l'orbite lunaire sur l'équateur terrestre varie donc entre 18.3° et 28.6°. Voir note Delaunay. 47Seules exceptions: deux satellites de Saturne, au-delà de Titan. Le plus lointain, Phœbé, a une orbite rétrograde et une rotation non synchrone. L'autre, Hypérion, coincé entre les orbites de Titan et Japet, a une rotation chaotique. 48La planète exerce une force de marée sur le satellite naturel (beaucoup plus forte que celle exercée par le satellite sur la planète). Les frottements visqueux à l'intérieur du satellite, la dissipation d'énergie, ont à la longue entraîné un ralentissement de la rotation du satellite naturel. Lorsque la rotation est devenue synchrone, le satellite s'est déformé en une figure allongée dans la direction de la planète (la déformation de la Lune en direction de la Terre est faible, celle de Phobos en direction de Mars est énorme, relativement à la taille du satellite). À partir du moment où il est dans cette résonance 1:1, le satellite naturel reste bloqué dans cette situation par le couple de rappel exercé par la planète.

16.6. Grandeurs géodésiques et astronomiques (satellites naturels)

747

découvertes fondamentales sur les satellites galiléens de Jupiter. Et la mission Cassini-Huygens passe plus de temps à observer les satellites de Saturne que la planète elle-même. Les prochaines missions, en projet, vont dans ce sens, que ce soit vers Jupiter, avec EJSM-Laplace, ou vers Saturne, avec TSSM.

16.6 16.6.1

Grandeurs géodésiques et astronomiques (satellites naturels) Données géodésiques et astronomiques

Nous étudions ici, plus en détail, quelques satellites naturels: - la Lune, parce que c'est la Lune et qu'elle a été maintes fois heurtée et visitée par diverses sondes spatiales; - Europe, à cause de la présomption de présence d'eau liquide, et les trois autres satellites galiléens de Jupiter; - Titan, entouré d'atmosphère, et un autre satellite de Saturne, Encelade; - Triton, satellite de Neptune, qui possède une fine atmosphère et des geysers énigmatiques. On a noté, dans le tableau 16.6, les données géodésiques et astronomiques de ces corps, ainsi que les grandeurs déduites. Même si elle ne date pas de leur formation, la situation de blocage des satellites naturels est très ancienne. Elle a conduit à une déformation plus ou moins grande du satellite. D'ellipsoïde de révolution, son volume est passé à un ellipsoïde triaxial, pour lequel on peut définir, à partir de son centre 0, un rayon équatorial Rx (selon l'axe qui vise la planète), un rayon équatorial Ry orthogonal et un rayon polaire Rz. Pour rendre compte de cette déformation de volume et de répartition des masses, on utilise les coefficients harmoniques C 20 et C 22 , qui font intervenir les moments d'inertie Ix, Iy et Iz, vus au chapitre 3. On rappelle ces deux éléments du tableau 3.1 : (16.5) où NI est la masse totale et R = Rx. Pour une planète, on a vu que C 20 (avec la notation J 2 = -C20 ) rend compte de l'aplatissement et que C 22 est nul, ou pratiquement nul. Pour un satellite naturel, C 22 est inférieur à C 20 mais est du même ordre de grandeur. Pour un corps en équilibre hydrostatique, on démontre l'égalité: 10 3

(16.6)

Les modifications de trajectoire et de vitesse des sondes pendant le survol des satellites permettent de déterminer ces coefficients.

748

16.6.2

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

Satellite en orbite képlérienne

À condition de ne pas être à une altitude trop élevée (à définir plus loin), tout se passe, pour le satellite en orbite (demi-grand axe a) autour d'un satellite naturel, comme s'il ne subissait que l'attraction de ce corps. On note fLN la constante d'attraction de ce satellite naturel, fL restant la notation de la constante d'attraction de la planète correspondante. On peut appliquer toutes les relations vues pour l'orbite képlérienne en remplaçant fL par fLN, comme dans (5.5). La valeur de la période du satellite à altitude 0 est donnée par (5.6) ou (16.3). Par exemple, pour la Lune, avec d = 3.34, on obtient pour cette période: TO(h=O) = 198/J3.34 = 108 min. Les valeurs de TO(h=O) pour divers satellites naturels sont notées dans le tableau 16.6(a). La figure 16.4 représente les graphes de variation de To/To(h=O) en fonction de a/ R, R étant bien entendu le rayon du satellite naturel.

16.6.3

Cartes géographiques

Les satellites naturels des planètes sont cartographiables. La surface, exprimée en millions de km 2 , est notée dans le tableau 16.6( c). La surface totale des satellites naturels est 425, dont 232 pour l'ensemble des quatre satellites galiléens de Jupiter. Nous utilisons dans ce chapitre, comme fond de carte des représentations de trace ou d'orbite, les cartes suivantes: - pour la Lune, la carte topographique réalisée à partir de l'altimètre laser à bord de Clementine; les courbes de niveau sont tracées avec un pas de 2 km (avec la même convention pour les traits que pour les cartes de planète) ; - pour Europe, il ne s'agit pas d'une carte (dont la lecture aurait été difficile) mais de quelques images prises par Galileo, montrant la structure très particulière du sol. Nous n'insisterons pas sur la géographie de ces corps célestes. La géographie (depuis les premières observations de montagnes par Galilée) et la géologie de la Lune ont fait l'objet d'études très poussées. Dans le cas des satellites naturels, le méridien origine n'est pas choisi arbitrairement : on prend comme origine des longitudes le méridien exactement au centre de la face tournée vers la planète.

16.7 16.7.1

Satellite de satellite naturel en orbite réelle Accélérations perturbatrices

Pour un satellite en orbite autour d'un satellite naturel, la sphère d'influence évalue la région où l'accélération due à la planète « mère» est négli-

16.7. Satellite de satellite naturel en orbite réelle

749

geable par rapport à l'accélération centrale. Pour cela, on reprend les formules vues dans l'annexe Notion sur la sphère d'influence, où on remplace ILs par IL et IL par ILN (puisque pour le satellite, la relation planète/Soleil est ici remplacée par la relation satellite naturel/planète). On a noté dans le tableau 16.6 les rapports IL/ ILN et les résultats du calcul de Pz;. On remarque que, pour Europe, Pz; est très faible car sa masse est 40000 fois plus petite que celle de Jupiter. La variation de l'accélération centrale et des accélérations perturbatrices en fonction de l'altitude du satellite est représentée pour un satellite autour de la Lune, figure 16.17(a), pour un satellite autour d'Europe, figure 16.17(b). Les notations pour les accélérations sont adaptées du tableau 6.1. Pour l'accélération centrale, on a d'après (6.6), Iccc(R) = g(R) qui donne 1.62 m·s- 2 pour la Lune et 1.31 m·s- 2 pour Europe.

=

go,

La grande différence avec les cas, vus jusqu'ici, de satellites autour de planètes est évidemment la présence (et l'importance) du terme noté ICC1, accélération perturbatrice due à la planète centrale. Pour un satellite de la Lune, près du niveau du sol, ICCN.J2 est plus grand que ICC1 : IccN.J2(R) = 32.8 10- 5 m·s- 2 ICC1 (R) = 2.5 10- 5 m·s-2. Mais à partir de h rv 1000 km, ICC1 dépasse rapidement ICCN.J2. Pour un satellite d'Europe, ICC1 est toujours plus grand que ICCN.J2 : IccN.J2(R) = 0.8 10- 3 m·s- 2 Icc1(R) = 1.3 10- 3 m·s- 2. De plus, ce terme ICC1 augmente avec l'altitude (pente p = 1 en échelle log-log) et lorsque le satellite est à l'altitude d'environ 10 000 km, cette accélération, due à Jupiter, est supérieure à l'accélération centrale ICCC due à Europe. Dans ce cas, ICC1 ne peut plus être considéré comme une perturbation et le satellite n'est plus un satellite d'Europe!

16.7.2

Classification des satellites

Mouvement des satellites naturels Les satellites naturels étudiés, comme les autres, ont une rotation synchrone: J sid = N sid

le premier terme notant la période de rotation sidérale du satellite sur luimême, le second la période de révolution sidérale du satellite autour de la planète centrale. Cette période, pour les satellites notés ici, va de 27 jours pour la Lune à moins de 4 jours pour Europe et un peu plus d'un jour pour Encelade. Il faut noter que la révolution (et donc la rotation) de Triton se fait dans le sens rétrograde autour de Neptune.

750

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

Satellite Lune 10

Europe Ganymède Callisto Encelade Titan Triton Satellite Lune

/-lN =

(m 3

gMN

R (km)

S-2)

4.9028 5.9599 3.2027 9.8878 7.1793 7.2095 8.9782 1.4279

10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 9 10 12 10 12

(Satellite) Planète

0

Satellite

N sid = J sid

(j)

e (s.d.)

Lune

27.321661 1. 769138 3.551810 7.154553 16.689018 1.370218 15.945446 - 5.878850

0.0555 0.0410 0.0090 0.0015 0.0070 0.0045 0.0291 0.0000

Europe Ganymède Callisto Encelade Titan Triton

l l II III

IV II

VI l

(km S-l)

1.62 1.80 1.31 1.43 1.24 0.11 1.35 0.78

2.38 2.56 2.02 2.74 2.44 0.24 2.64 1.45

'lO(h=O)

383398 421671 670090 1070339 1 882 580 238040 1 221 803 354759 i

(")

(s.d.)

108.31 105.46 114.23 142.14 146.25 159.75 144.41 137.86

3.34 3.53 2.99 1.94 1.83 1.61 1.88 2.06

(s.d.)

(km)

81.3 2.1256 104 3.9556 104 1.2812 104 1.7646 104 5.2626 10 6 0.4226 104 0.4788 104

57433 6820 8466 21196 32801 424 37709 10415

h

C 22

203 1860 436 128 33 2500 32 ?

22 559 132 38 10 2500 11 ?

*

ECL EQU EQU EQU EQU EQU EQU EQU

d

(min)

PE

/-l//-lN

(km)

5.16 0.04 0.47 0.20 0.28 0.02 0.30 156.83

Vi

S-2)

ap

n

Europe Ganymède Callisto Encelade Titan Triton

10

go

1737.4 1821.6 1565.0 2631.2 2410.3 252.1 2575.0 1352.6

Terre Jupiter Jupiter Jupiter Jupiter Saturne Saturne Neptune

10

(m

*

PE/R (s.d.)

33.1 3.7 5.4 8.1 3.6 1.7 14.6 7.7

Surface (10 6 km 2 ) 37.9 41.7 30.8 87.0 73.0 0.8 83.3 23.0

16.6 : Satellites naturels de planètes du Système solaire. Grandeurs géodésiques et astronomiques. Les données et les grandeurs déduites sont les mêmes que celles du tableau 16.2. Grandeurs spécifiques à ce tableau: constante d'attraction gravitationnelle du satellite naturel /-lN, demi-grand axe ap (planète-satellite naturel). L'inclinaison i est considérée sur le plan de l'écliptique (BeL) ou sur le plan équatorial de la planète (BQ U). La rotation du satellite est synchrone: Jstd = Nsid. Pour Triton, révolution rétrograde (signe -).

TABLEAU

16.7. Satellite de satellite naturel en orbite réelle

r/R

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

1

1

1

1

12 1

16

20

751 24 28

1 1 1 1 111111111111111

la pente

-2 +1

N 10.3

o

55 c la o ~ ,Ci)

:w

~

la

+1

-7

a -4

0200

1000

5000

Altitude h (km)

r/R

LUNE

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

1

1

1

1

12

16

20

24 28

1 1 1 111111111111111

la pente +1 -2

C

la

-5

:w

la

-7

o

""~ '0)

~

+1

a

-4

a 200

1000

5000

Altitude h (km)

EUROPE

16.17: Représentation des accélérations en fonction de la distance r du satellite au centre du satellite naturel. Double échelle logarithmique. (a) Lune; (b) Europe.

FIG.

752

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

Satellite stationnaire

On montre, dans l'exemple ci-dessous, qu'il est impossible de placer un satellite stationnaire autour d'un satellite naturel. Exemple 16.4 Étude de la possibilité de placer un satellite en orbite synchrone par rapport à un satellite naturel, et plus particulièrement en orbite stationnaire. ~ Considérons un satellite naturel N en orbite (demi-grand axe ap) autour d'une planète P. La planète ayant une constante d'attraction 11, le satellite naturel parcourt l'orbite képlérienne avec le moyen mouvement nN

Sa vitesse de rotation sur lui-même, par rapport à un référentiel galiléen, notée est donc:

nT,

puisque la rotation est synchrone. Considérons un satellite en orbite (demi-grand axe a) autour du satellite naturel N. Le satellite naturel ayant une constante d'attraction I1N, le satellite parcourt l'orbite képlérienne avec le moyen mouvement no :

Pour que le mouvement du satellite soit synchrone avec celui du satellite naturel N, corps attractif, il faut obtenir la condition:

ce qui donne :

aas

=

a=

(16.7)

en notant aas le demi-grand axe de l'orbite stationnaire. Comparons maintenant cette valeur à PE, rayon de la sphère d'influence. En adaptant (6.156) au cas présent, on obtient: (16.8) Le satellite doit se trouver à l'intérieur de la sphère d'influence et donc vérifier l'inégalité: (16.9) aas < PE soit, avec les valeurs obtenues par (16.7) et (16.8)

16.7. Satellite de satellite naturel en orbite réelle

753

et finalement :

(16.10)

/-iN> 8/-i

Cette condition est évidemment absurde: la masse d'un satellite naturel ne peut pas être plus grande que celle de la planète centrale. Il est donc impossible d'obtenir, au sens où nous l'avons défini ici, une orbite stationnaire pour un satellite de satellite naturel 49 .....

Satellite héliosynchrone

Nous étudions le cas d'un satellite en orbite héliosynchrone autour d'un satellite naturel. On peut calculer la constante d'héliosynchronisme par la relation (7.94). On peut aussi établir une relation entre khN et khP, constantes d'héliosynchronisme pour un satellite en orbite, respectivement, autour du satellite naturel N et autour de la planète centrale P. Avec les indices correspondants, on peut écrire : k hN = 3

Tsid

2 TO(h=o)N

J 2N

k hP

=

3

Tsid

2 TO(h=o)P

J 2P

Il est fondamental de noter que Tsid , période de révolution sidérale, est la même dans les deux cas: le satellite naturel N met le même temps que la planète P à effectuer une révolution autour du Soleil. On obtient alors: TO(h=O)P TO(h=o)N

(16.11 )

et en utilisant la relation (16.2) ou (16.3) avec les densités moyennes: (16.12) Revenons aux satellites naturels étudiés ici. Pour la Lune et Europe, on se reporte aux figures 16.17( a) et (b) indiquant les différentes accélérations. Pour la Lune, le calcul par (16.12) de la constante d'héliosynchronisme, kh = khN, donne : k h = 1.4725 49D'une certaine manière, les points de Lagrange offrent une possibilité de position stationnaire. Si un satellite est stationnaire par rapport à un satellite naturel, il est aussi stationnaire par rapport à la planète (à cause de la rotation synchrone du satellite naturel). Cela se produit lorsqu'il occupe la position d'un des cinq points de Lagrange. Il reste alors fixe par rapport au système satellite naturel-planète. Seules les positions L4 et L5 sont stables. Lorsqu'il se trouve au point L4 ou Lu, le satellite forme avec la planète et le satellite naturel un triangle équilatéral. Dans le cas de la Terre et de la Lune, le satellite se trouve donc à 380 000 km du satellite naturel. Pour un satellite d'observation, cette solution n'est pas intéressante. La mission STARS (abandonnée depuis sous cette forme) avait été envisagée au point Lu du système Terre-Lune, mais ce n'était pas pour observer la Lune ...

754

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

ce qui implique une inclinaison minimale : iHSmin =

133"

Pour un satellite en orbite basse autour de la Lune (LLO, Lunar Law Orbiting) , l'accélération perturbatrice de la Terre ÎCC1 est inférieure à celle due à l'aplatissement ÎCCN.J2. Si le satellite LLO est en orbite héliosynchrone, l'effet de la Terre, qui est plus du dixième de l'effet dû au terme J 2 de la Lune, aura vite fait (quelques jours) de sortir le satellite de cette orbite héliosynchrone. Pour Europe, la situation est plus radicale. Le terme ÎCC1 est toujours supérieur à ÎCCN.J2, même pour une altitude nulle: la perturbation due à l'effet gravitationnel de Jupiter est plus importante, quelle que soit l'altitude du satellite, que celle due à l'aplatissement d'Europe. On ne peut donc envisager une orbite héliosynchrone pour un satellite autour d'Europe.

Orbite gelée Par manque de données géodésiques très précises sur les satellites naturels, on ne peut étudier le cas des satellites en orbite gelée, sauf dans le cas de la Lune. Dans le cas de notre satellite naturel, les coefficients des harmoniques sphériques du potentiel gravitationnel sont bien connus (voir tableau 16.7). Pour un satellite en orbite basse quasi polaire (avec périgée gelé Wc = 270" puisque h > 0), l'excentricité gelée ec se calcule approximativement avec la relation (11.57), qui donne ec ~ 0.02, ce qui est relativement élevé pour une excentricité gelée. Pour d'autres inclinaisons, on peut avoir ec compris entre 0.01 et 0.001. Ces calculs sont en fait compliqués par la présence du terme h, dont la valeur est ici très importante.

16.8 16.8.1

Trace du satellite d'un satellite naturel Satellite de la Lune

Après la conquête lunaire (1959-1972), évoquée en début de chapitre dans le cadre plus général de l'exploration spatiale, puis trois Luna soviétiques (1974-1976), l'envoi de sonde et d'orbiteur s'arrêta pendant presque deux décennies. La sonde DSPSE (Deep Space Probe Science Experiment) , appelée Clementine, lancée le 25 janvier 1994, en orbite lunaire pendant 70 jours, a dressé une carte topographique très précise de la Lune. Son orbite était très excentrée (h p = 412 km pour le péricentre, ou périsélène; ha = 2 940 km pour l'apocentre, ou aposélène). Elle échoua ensuite dans sa rencontre avec l'astéroïde 1620-Geographos. La sonde Lunar Prospector, lancée le 7 janvier 1998, s'est mise en orbite quasi circulaire quasi polaire (h = 100 km, puis h = 40 et h = 30 km).

16.8. Trace du satellite d'un satellite naturel

755

16.18 : Images de la face cachée de la Lune. En haut. (g.) Photographie historique, prise par Luna-3, le 7 octobre 1959, lors d'un survol à 66000 km d'altitude. Document: Académie des Sciences de l'URSS. (dr.) Représentation (reconstitution Ixion/Atlas) de la Lune vue par Luna-3 lors de la prise d'image. Le méridien en trait plein sépare la face visible (à l'ouest, à gauche) de la face cachée (à l'est, à droite). En bas. (g.) Vue correspondante à la photographie historique, mais à partir d'images obtenues par les missions américaines. Document: NASA. FIG.

756

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

203.236626 8.475906 -9.591929

0.715409 -13.577715 -21.774733

-9.674866 15.496033 4.267023

16.7: Valeur des coefficients (Jn x 106 ) du potentiel de gravitation de la Lune, modèle LPLGM.

TABLEAU

Méthode utilisée Laser, LO-4 GLGM-1 GLGM-2 LPLGM

Année 1980 1993 1997 1999

Ji (km 3

S-2)

4902.799 4902.8026 4902.8029 4902.80106

Erreur ±0.003 ±0.0001 ±0.0002 ±0.00008

16.8 : Valeur de la constante d'attraction sélénocentrique mesurée Ji = yJvI et de l'erreur estimée. Évolution historique, avec notation de la méthode utilisée et de l'année.

TABLEAU

Elle s'est ensuite jetée volontairement sur le pôle Sud pour détecter, dans un puissant jaillissement, la présence éventuelle d'eau. Pas d'eau détectée. Les modèles de potentiel gravitationnel lunaire ont d'abord utilisé les mesures laser (LLR : Lunar Laser Range) effectuées grâce à des réflecteurs posés sur la Lune, puis les satellites Lunar Orbiter-1 à -5, Apollo-15 et -16, Clementine, pour les modèles GLGM-1 et 2 (Goddard Lunar Gmvity Model). Le modèle LPLGM (Lunar Prospector Lunar Gmvity Model) utilise en plus Lunar Prospector (voir tableau 16.8). La sonde européenne SMART-l, lancée le 27 septembre 2003, est restée pendant plus d'un an, jusqu'au 2 novembre 2004, en orbite autour de la Terre. Ensuite, à partir du 15 novembre 2004, elle a tourné autour de la Lune, jusqu'à ce qu'elle s'écrase volontairement, le 3 septembre 2006. Plus que d'étudier la Lune, le but de cette mission était de vérifier le fonctionnement de la propulsion à moteur ionique. En 2007 et 2008, trois pays asiatiques s'attaquent avec succès à la Lune. La mission japonaise Selene (Selenological and Engineering Explorer), renommée Kaguya après le lancement, le 14 septembre 2007, est composée d'un satellite principal (h = 100 km) et de deux satellites auxiliaires, Okina (Rstar ou Relay Sat, hp = 100 km, ha = 2400 km) et Ouna (Vstar ou V RAD Sat, hp = 100 km, ha = 800 km). Le satellite principal a été mis ensuite en orbite très basse (hp = 20 km, ha = 50 km), puis a été projeté sur le sol lunaire, le 10 juin 2009. Toutes ces orbites sont polaires, i = 90°. Le Japon avait déja lancé le satellite Hiten (Muses-A) en 1990. Les missions chinoises Chang'E (du nom d'une divinité lunaire) ont pour but principal de cartographier la Lune et de préparer des missions habitées:

16.8. Trace du satellite d'un satellite naturel

757

Chang'E-1, lancé le 14 octobre 2007, en orbite polaire circulaire (h = 200 km) jusqu'à l'écrasement le 1er mars 2009; Chang'E-2, lancé le 1er octobre 2010, en orbite polaire circulaire (h = 100 km) puis elliptique (h p = 15 km, ha = 100 km). Le satellite indien Chandrayaan-1 (de chandra, «la Lune» et yaan, «le vaisseau»), lancé le 22 octobre 2008 s'est mis en orbite polaire circulaire (h = 100 km) le 12 novembre 2008. Les États-Unis ont réactivé leur attrait pour la Lune dans le cadre du programme Constellation 5o . Dans ce vaste cadre, figure le programme LPR (Lunar Precursor Robotic) qui a amené au lancement de la mission double LRO-LCROSS, le 18 juin 2009. Depuis le 23 juin, le satellite LRO (Lunar Reconnaissance Orbiter) est en orbite polaire circulaire (h = 50 km), dans un but de cartographie et d'enrichissement du modèle géodésique (voir figures 16.19, 16.23 et 17.22(a)). L'autre satellite, LCROSS (Lunar Crater Observation and Sensing Satellite) a réalisé un impact 51 sur la Lune (voir figure 17.22(b)), le 9 octobre 2009, en un lieu qui avait été déterminé par LRO. L'analyse des particules soulevées par le choc ont révélé la présence de glace d'eau. La mission GRAIL (Gravit y Recovery and Interior Laboratory) est l'équivalent, pour la Lune, de GRACE pour la Terre, avec deux satellites qui se suivent. Leur orbite est polaire circulaire (h = 50 km) et la distance entre GRAIL-A et -B est de 175 à 225 km. Dans les exemples qui suivent, nous représentons quelques révolutions de la trace de Clementine et de LRO. En souvenir de la glorieuse exploration lunaire, nous avons ci-dessous une pensée pour Luna-3 et Apollo-15. Sur toutes les cartes de la Lune, nous avons fait figurer, par un trait continu épais, les méridiens 90 E et 90 W qui délimitent symboliquement la face visible et la face cachée. 0

0

Exemple 16.5 Découverte de la face cachée de la Lune. ~ Le cliché historique est reproduit, figure 16.18. À côté, nous avons représenté la Lune vue dans les mêmes conditions, à la distance de 38 rayons lunaires. Sur la partie gauche de la photographie et de la carte (face visible) on reconnaît la tache sombre de Mare Crisium (centrée sur 17.0 o N, 59.1°E). La face cachée, incomplètement photographiée par Luna-3, fut ensuite mieux connue grâce à Zond-3, puis complètement cartographiée par les orbiteurs américains (Orbiter-3, -4, Explorer-35, Orbiter-5), préparant en 1967 les zones d'atterrissages pour 50Ce programme, lancé en 2004 sous G. W. Bush, se veut aussi ambitieux que le programme Apollo voulu par J. F. Kennedy: se donner les moyens pour aller sur la Lune puis sur Mars. Il a été révisé sous la présidence de B. H. Obama. Il est possible que l'étape Lune soit sautée et remplacée par une visite habitée à un astéroïde. À suivre ... 51 Le satellite LCROSS, qui était resté solidaire du dernier étage de la fusée Centaur, s'est mis en orbite géocentrique très excentrée, survolant la Lune (T = 36 jours). Au bout de 3 révolutions, la fusée s'est détachée et a percuté la Lune. L'impact a été photographié et analysé par LCROSS qui suivait et qui s'est ensuite jeté à son tour, cinq minutes plus tard, près du pôle Sud.

758

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

La sonde soviétique Luna-3 fut lancée le 4 octobre 1959 et fit un survol de la face cachée de la Lune le 7 octobre. À la différence de ses successeurs, en orbite héliocentrique, Luna-3 était en fait un satellite de la Terre, sur une orbite très excentrée, de rayon d'apogée ra = 469 000 km, avec une période de 16.2 jours (il figure cependant aussi dans l'index à la rubrique sonde spatiale). Il a d'ailleurs brûlé en avril 1960 dans l'atmosphère terrestre.

le programme Apollo. On découvrit ainsi que les deux faces avaient un aspect très différent - ce qu'on voit bien sur la carte de la figure 16.20(b). Cette dissymétrie provient de ce que la croûte lunaire est plus épaisse sur la face cachée que sur la face visible (conséquence certainement de l'effet de marée). Les grands bassins de la face cachée n'ont pas été remplis d'épanchements basaltiques, comme ceux de la face visible, qui présente à la Terre ces grandes taches sombres, appelées « mers» depuis l'Antiquité ....

Exemple 16.6 Trace de l'orbite de l'orbiteur lunaire Apollo-15, durant sa mission de cartographie géochimique. ~ Pour les missions Apollo d'exploration humaine du sol lunaire, la capsule restait en orbite lunaire avec un astronaute (voir figure 16.20(a)). Les deux autres astronautes, dans le module lunaire (LM), quittaient la capsule pour se poser sur la Lune. Après un séjour d'un ou deux jours (et six pour Apollo-16), ils regagnaient la capsule qui se désorbitait de la Lune pour revenir sur Terre. Durant la mission Apollo-15, le module de commande resté en orbite a réalisé une expérience de cartographie géochimique (mesure du rayonnement gamma de la surface, résultant de la radioactivité naturelle de la croûte). La trace de l'orbite est représentée durant l'expérience, sur quatre jours, du 1 au 4 août 1971 (voir figure 16.20(b)). Le site d'atterrissage de cette mission était situé 26.10"N, 3.65"E, à la limite de la latitude maximale atteinte. On a tracé le cercle de visibilité de ce point pour le satellite (dès que la trace du satellite entre dans ce cercle, il est vu par le point. Les astronautes débarqués n'étaient pas longtemps en liaison avec le satellite en orbite !). On voit à quel point la surface balayée pendant quatre jours est peu importante dans le cas d'une orbite lunaire. Remarque cartographique. La Lune a été représentée, figure 16.20(b), en projection de Mollweide interrompue, dans laquelle le disque central représente la face visible. Les altitudes y sont plus basses que sur la face cachée ....

16.8. Trace du satellite d'un satellite naturel

759

16.19 : Image de la face visible de la Lune, obtenue par assemblage de 1 300 images de l'instrument WAC (Wide Angle Camera), à bord de LRO, durant 2 semaines à la mi-décembre 2010. (g.) Détail obtenu avec la même caméra. Gouffre de 80 mètres de diamètre, de profondeur (estimée grâce à l'ombre) de 100 m, situé dans Mare Tranquillitatis. Document: NASA/GSFC, Arizona St. Univ. FIG.

760

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

[LUNE] Apollo-15 (Orbiter) Orbite par rapport à Lune »> Durée représentée: 1440.0 min

=

1.00 jour

Altitude = 113.3 km Inclinaison

= 154.00

a = 1851.300 km 0

Période = 119.06 min' Révol.lj.=12.10 Décalage à l'équateur = 30.2 km ( 1.0')

Projection: Orthographique

CP: 26.0' N, 24.0' W/CZ: 35.0' N; 30.0' W

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique 13.511-90.0/ +64.0/+114.011 +5] LPLGM

r[ T:Azimutal- Grille : 10'

[LUNE] Apollo-15 (Orbiter) Trace de l'orbite »> Durée représentée: 5443.2 min = 3.78 jours

Noeud asc:

90.50'

I~L(')v

Clementine Topogr. /h/2km/

Altitude = 113.3 km

MC

*

LMD

ATÀCXÇ"

a = 1851.300 km

Inclinaison = 154.00' Période = 119.06 min' Révol./j.=12.10

Cercle de visibilHé pour h ii 10'

Projection: Mollweide Propriété: Equivalente 1[ T:Pseudo-cyl. - Grille: 10'

Centre Project.: 0.0' 0.0 ' Aspect: Direct [interrompu] 13.51 [+900/ +0.0/-900] [-] LPLGM

Noeud asc:

90.50'

Inclin. app. = 154.07'

Clementine Topogr. /h/2km/

nL(,)V

MC

*

LMD

ATÀCXÇ"

16.20 : (a) Orbite du satellite lunaire Apollo-15 (Orbiter), sur un jour. (b) Trace de l'orbite, sur quatre jours (mission de cartographie géochimique). Avec cercle de vue pour le module au sol, noté A 15.

FIG.

16.8. Trace du satellite d'un satellite naturel

761

[ LUNE] Clementine Orbite par rapport à Lune

Altit. équival. = 1675.9 km

a = 3413.300 km

Inclinaison = 91.00

e = 0.3703

»> Durée représentée:

Période = 298.27 min • Tours/j = 4.83

7.00 jours

0

h_a = 2940 km; h_p = 412 km; arg. périastre: -12.00

Projection: Orthographique Propriété: (sans)

Type: Azimutal

Centre Carte: 70.0 0 N; 18.0 0 E Aspect: Oblique [ -85.01 +20.01 +72.0 [

Longitude premier passage:

N.a.: 179.80

0 -

Apo.: 178.69

0

Clementine Topogr. /h/2km/

MC

Altit. équival. = 1675.9 km

a = 3413.300 km

Inclinaison = 91.00

e = 0.3703

»> Durée représentée: 2880.0 min = 2.00 jours

Période = 298.27 min • Tours/j = 4.83 h_a = 2940 km; h_p = 412 km; arg. périastre: -12.00

Projection: Orthographique

Centre C. (dr.): 50.0 0 S; 180.0 0 W

Longitude premier passage:

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique

N.a.: 179.80

Type: Azimutal

[ -90.01 +140.0 1 -90.0 1

0 -

Apo.: 178.69

0

Clementine Topogr. /h/2km/

n~Wl/

*

LMD

ATÀlXÇ"

[ LUNE] Clementine Trace de l'orbite elliptique

0

0

MC

0

n~Wl/

*

LMD

ATÀlXÇ"

FIG. 16.21 : Satellite Clementine. (a) Représentation de l'orbite sur 7 jours (un quart de mois). (b) Trace de l'orbite sur 2 jours.

762

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

[LUNE] Clementine

»> Durée représentée:

a = 3413.300 km

Altit équival. = 1675.3 km

Trace (h < 640 km) [ h ; altitude]

Inclinaison

=

91.00

e = 0.370300

0

Période = 298.27 min • Révol.lj.= 4.83

7.00 jours

h_a = 2939 km; h_p = 411 km; arg.périastre; -12.00"

Projection: Mercator

Centre ProjecL 0.0"

Propriété: Conforme r[ T.;Cylindrique - Grille; 10"

Aspect: Direct 13.511 +0.01 +0.01 +0.011-] LPLGM

0.0 "

[LUNE] LRO Trace de l'orbite

Longitude premier passage; N.a.; 0.00 "-Apo.; -1.11"

Clementine Topogr. /h/2km/

Altitude = 50.0 km

*

LMD

ATÀCX,

a = 1788.000 km

Inclinaison = 90.00"

»> Durée représentée; 2880.0 min = 2.00 jours

Période = 113.10 min' Révol./j.=12.73 Décalage à l'équateur = 31.4 km

Proj. : Stéréographique Propriété: Conforme r[ T.;Azimutal - Grille 10"

I~L(')v

MC

Centre Pr.(dr.); 90.0" N; 0.0" Aspect: Direct

13.51 [ +0.01

+0.01 +0.011-] LPLGM

Noeud ase:

0.00

1.0 ")

nL(,)V

0

Inclin. app. = 90.16"

Clementine Topogr. /h/2km/

MC

*

LMD

ATÀCX,

16.22 : Trace d'un satellite de la Lune. (a) Clementine, trace sur 7 jours (un quart de mois), pour les altitudes inférieures à 640 km (contrainte du laser altimétrique). (b) LRO, trace sur 2 jours.

FIG.

16.8. Trace du satellite d'un satellite naturel

763

FIG. 16.23 : Image du piton central du cratère Tycho, prise au lever de soleil, le 10 juin 2011, par le satellite LRO, avec une résolution de 1.5 mètre par pixel. Le cratère Tycho, dans 1'hémisphère Sud, avec ses éjectas rayonnants, est l'un des endroits les plus repérables de la Lune. Le cratère a un diamètre de 85 km, le piton a une largeur de 15 km pour 2 km de haut par rapport au plancher du cratère. Document: NASAjGSFC, Arizona State Univ., LRO Team.

Exemple 16.7 Trace de l'orbite du satellite Clementine. ~ La sonde Clementine, dans sa mission lunaire de cartographie, était sur une orbite polaire très excentrée (voir figure 16.21(a)), avec le péricentre (périsélène) à la latitude de 28"S le premier mois, 29"N le second. Chaque cycle de mesure durait en effet un mois: c'est le temps qu'il faut au satellite pour observer toute la Lune (puisque c'est en gros le temps qu'elle met à tourner sur elle-même dans un référentiel galiléen). La trace de l'orbite a été représentée, figure 16.21(b), sur deux jours, soit 9.5 révolutions (1' = 5 heures). Ces révolutions correspondent aux révolutions 103 à 112, les 13 et 14 mars 1994, cycle 1. Remarque. La topographie très précise établie par Clementine a permis de mettre en évidence un gigantesque bassin d'impact, nommé Bassin Aitken-pôle Sud, de forme circulaire, de 2 500 km de diamètre. Il est centré sur le point 50"S, 180"E. Une des extrémités du diamètre est située près du cratère Aitken, 16.8"S, 173.4"E et l'autre près du pôle Sud. Ce bassin apparaît très clairement, figure 16.21(b)(dr.),

764

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

avec une projection orthographique centrée sur le centre du bassin. Parmi les instruments embarqués, Clementine possédait un laser altimétrique, du type LIDAR (Clementine Laser Image Detection And Ranging). Il ne fonctionnait que pour les altitudes inférieures à 640 km. La trace du LIDAR a été notée pendant 7 jours, figure 16.22(a) ....

16.8.2

Satellite d'Europe et de Ganymède

Après Juno, essentiellement consacrée à Jupiter, la prochaine mission vers la planète géante est EJSM-Laplace qui se tournera vers les quatre lunes galiléennes. Les quatre gros satellites naturels de Jupiter, les satellites galiléens, ont chacun entre la moitié et le double de la masse de la Lune. Ce sont, en partant de Jupiter, 10, Europe, Ganymède et Callisto, dont les mouvements sont liés par plusieurs résonances 52 . Les images de Voyager-1 et -2, affinées par celles de Galileo, ont permis d'avoir une bonne connaissance de ces satellites. 10 est parsemé de plus de 400 volcans, avec de fréquentes éruptions. Cette activité volcanique ne provient pas d'une tectonique de plaque, mais de la libération de la chaleur résultant des frottements énormes dus aux forces de marée créées par Jupiter. Europe apparaît comme couverte de glace d'eau (température: 110 K à l'équateur et 50 K aux pôles). Comme il semble qu'elle ait une source de chaleur interne (due aux phénomènes de marée), cela donne la possibilité d'un océan d'eau liquide sous la surface gelée. Eau liquide? Vif intérêt des planétologues ! Ganymède est le plus gros satellite du Système solaire. Il présente deux types de surface très bien différenciés : un terrain sombre très cratérisée et une croûte glacée, cisaillée de rayures. C'est le seul satellite qui possède une magnétosphère. On pense qu'un vaste océan (eau salée liquide) est situé à 150 km de profondeur. Callisto présente une surface régulière, sans montagne, couverte de cratères dans sa totalité. Il est possible que ce satellite recèle lui aussi un océan sous sa surface. Actuellement, ce sont Europe et Ganymède qui suscitent le plus d'intérêt pour des missions spatiales. (voir figures 16.24 et 16.25(a)). La mission EJSM-Laplace est une mission conjointe NASA-ESA (EJSM signifie Europa Jupiter System Mission et Laplace rend hommage à l'astronome), construite à partir de projets de mission américainé 3 et européenne séparés. Cette mission est constituée de deux satellites: JEO (Jupiter Europa 52Les trois premiers satellites galiléens, i = 1 à 3, sont liés par des relations entre les moyens mouvements, ni (ce qui constitue la résonance de Laplace) : nI - 2 n2 = n2 - 2 n3 = 0.7396 /jour. 53La NASA avait mené assez loin les études pour JIMO (Jupiter Icy Moons Orbiter), qui devait envoyer une sonde orbiter pendant 2 mois autour d'Europe, 4 mois autour de Ganymède et 4 autres autour de Callisto. Le projet a été abandonné en 2005. 0

16.8. Trace du satellite d'un satellite naturel

765

Orbiter) est préparé par la NASA et JGO (Jupiter Ganymede Orbiter) par l'ESA. Après presque 6 années de voyage du type VEEGA, JEO effectue, après son insertion en orbite jovienne (J01), une visite des 4 satellites galiléens, pendant 30 mois : 4 passages sur 10, 6 sur Europe, 6 sur Ganymède et 9 sur Callisto. Ensuite, après l'inserton en orbite (E01), JEO cartographie Europe pendant 8 mois, en orbite circulaire quasi polaire, h = 200 km, i = 85° ou 95°. Pour JGO, le voyage est aussi du type VEEGA. Il se place ensuite en orbite d'insertion (J01) autour de Jupiter (r p = 13 RJ, ra = 245 RJ, en notant RJ le rayon de Jupiter). Après plusieurs assistances gravitationnelles de Ganymède et Callisto, JGO survole 19 fois Callisto à 200 km, en utilisant une résonance 1:1 puis 2:3 avec elle. Ensuite, c'est l'insertion en orbite autour de Ganymède (GO!) en orbite elliptique (h p = 200 km, ha = 10000 km, i = 86°, w = 170°), puis 80 jours en orbite elliptique et une manœuvre pour circulariser l'orbite (h = 200 km, i = 88°) pour 180 jours d'observation. Exemple 16.8 Trace de l'orbite de JEO (EJSM-Laplace). ~ Un satellite en orbite basse fait environ 10 tours par jour (terrestre) et le décalage équatorial est de l'ordre de 10°. Pour Jupiter Europa Orbiter, les caractéristiques de l'orbite pour la mission scientifique seront: h = 200 km, i = 85°. Nous avons représenté, figure 16.24, la trace de cette orbite et de la fauchée (f = 35°), sur une demi-journée, la trace de l'orbite sur un jour .....

16.8.3

Satellite de Titan

Le satellite naturel Titan est en orbite équatoriale, avec une excentricité relativement grande, autour de Saturne. Il a été découvert par Huygens en 1655, qui l'avait nommé Luna Saturni. Par sa taille et sa masse, c'est le deuxième satellite naturel du Système solaire, juste après Ganymède. L'atmosphère de Titan est 4.5 fois plus dense que l'atmosphère terrestre (au sol, 1.5 bar avec une température absolue trois fois plus petite que sur Terre). U ne photochimie riche (due au rayonnement ultraviolet solaire) aboutit à la synthèse d'une couche d'aérosols qui masque la surface dans le visible. Les images prises par Voyager-1 ne montraient pas le sol, mais uniquement une couverture nuageuse. La mission Cassini-Huygens a donné une vision beaucoup plus précise ... Le module Huygens, largué par Cassini, a effectué le 14 janvier 2005 sa plongée dans l'atmosphère de Titan, protégé par ses boucliers thermiques. L'atterrissage s'est fait en douceur grâce au déploiement correct de ses deux parachutes. Pendant cette descente de deux heures, des informations et des images de très grande qualité ont été envoyées, comme par exemple cette image, figure 16.26, obtenue avec l'intrument DISR (Descent Imager Spectral Radiometer) .

766

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

[ EUROPE] JEO (EJSM/Laplace) Trace de l'orbite

Altitude = 200.0 km

»> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

Période = 136.87 min • Tourslj = 10.52

a = 1760.700 km

Inclinaison = 85.00' Décalage à l'équateur = 263.1 km ( 9.7 ')

Centre C. (dr,): 36.0' N ; 122.0' W Aspect: Oblique

N. asc. : -135.00'

Propriété: (sans)

Type: Azimutal

[ -90.01 +54.01-148.0 [

Galileo Images

Projection: Orthographique

[ EUROPE] JEO (EJSM/Laplace) Trace de l'orbite »> Durée représentée: 720.0 min = 0.50 jour Trace des fauchées orthogonales

Altitude = 200.0 km

MC

n·wv

*

LMD

ATÀlXÇ

a = 1760.700 km

Inclinaison = 85.00' Période = 136.87 min • Tourslj = 10.52 Décalage à l'équateur = 263.1 km ( 9.7 ') .. Demi-fauchée: 35.0' => 144 km [ 1.0 min]

Propriété: (sans)

Centre Carte: 12.0' N; 83.0' W Aspect: Oblique,. zoom: 2.00

Type: Azimutal

[-86.51 +78.01+173.0]

Projection: Orthographique

N. asc. : -34.00' Recouvrement: 89.7' <--> 90.0'

Galileo Images

MC

n·wv

*

LMD

ATÀlXÇ

FIG. 16.24: Satellite d'Europe, JEO de la mission EJSM-Laplace. (a) Trace sur un jour. (b) Trace sur une demi-journée, avec trace de la fauchée orthogonale.

767

16.8. Trace du satellite d'un satellite naturel

[GANYMEDE] JGO (EJSM/Laplace)

Altitude = 200.0 km

Trace de l'orbite

Inclinaison = 88.00

»> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

a = 2831.200 km 0

Période = 158.67 min • Révol./j.= 9.08 Décalage à l'équateur = 254.7 km ( 5.5

Projection: Orthographique Propriété: (sans) <[ T.:Azimutal - Grille : 10

0

Centre Pr.(dr.): 36.0 Aspect: Oblique

H

0

N; 6.0 W 0

Noeud asc :

0.00

If;iWII

MC

[·90.01 +5401 +96011-1 Schub&a

Altitude = 200.0 km

»> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

Période = 169.58 min • Révol./j.= 8.49

Inclinaison = 85.00

Projection: Orthographique

Centre Pr.(dr.): 36.0

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique

H

0

N; 6.0 0 W

[·90.01 +54.01 +96.011-1 Rubincam

*

LMD

ATÀaç

a = 1552.600 km 0

Décalage à l'équateur = -170.1 km ( _7.2

0

)

0

[TRITON] Triton Orbiter Trace de l'orbite

<[ T.:Azimutal - Grille : 10

0

Noeud asc:

0.00

0

)

If;iWII

0

MC

*

LMD

ATÀaç

FIG. 16.25 : Trace de l'orbite durant 1 jour. (a) Satellite de Ganymède, JGO de la

mission EJSM-Laplace. (b) Satellite de Triton.

768

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

16.26: Mosaïque de trois images prises par l'instrument DISR lors de la descente du module Huygens sur Titan, le 14 janvier 2005, à 30 km d'altitude environ. «On distingue clairement un complexe de chenaux de drainage étroits allant d'une zone claire de plateaux vers des zones de plus basse altitude, plus lisses et plus sombres. Ces chenaux se rejoignent pour former des systèmes fluviaux qui se dirigent vers des lacs asséchés dans lesquels on peut déceler des formes rappelant étrangement les îles et les hauts-fonds de notre planète. » (Communiqué de l'ESA, le 21 janvier 2005). Document : NASA, JPL, ESA, u. of Arizona.

FIG.

16.27 : Première image de réflexion spéculaire (Sun glint) confirmant la présence de surface liquide sur Titan. Image prise par la Caméra VIMS de la sonde Cassini, le 8 juillet 2009, lors du 5g e survol de Titan, à environ 200 000 km. Résolution : 100 km/pixel. Document: u. of Arizona, Tucson.

FIG.

La « géographie» de Titan (érosion, systèmes fluviaux, lacs asséchés, paysages côtiers, traces de précipitations ... ) ressemble à celle de la Terre, mais l'eau y a été remplacée par le méthane (CH 4 ), qui peut exister sous forme liquide ou gazeuse à la surface de Titan. Quand il y pleut, il tombe du méthane mêlé de traces d'hydrocarbures. L'atmosphère de Titan, comme indiqué en début de chapitre, est constituée principalement d'azote N 2 et contient 2% de méthane. Les images radar obtenues par la sonde Cassini au cours de ses nombreux survols ont montré la présence de lacs de méthane ou d'éthane, de très grande taille (comme Ontario Lacus, 72°S, 183° W; longueur: 235 km ; température: 85 K ; composition: CH 4 et C 2 H 6 , hydrocarbures légers et N 2, azote liquide). Nous avions déjà montré un exemple de réflexion spéculaire sur Terre et un autre, plus étonnant, sur Mars. En voici un, figure 16.27, sur Titan, saisi par Cassini, et qui est une preuve de présence de surface liquide sur Titan. La mission Cassini-Huygens a ouvert tellement de perspective pour l'étude de Titan que l'Europe et les États-Unis avaient prévu chacun leur mission: - mission TandEM (Titan and Enceladus Mission) de l'ESA, avec un orbiteur de Saturne qui fait des survols d'Encelade, puis se met en orbite autour de Titan, avec lâcher d'une mongolfière sur Titan; - mission Titan Explorer de la NASA, avec mise en orbite de l'orbiteur par

16.8. Trace du satellite d'un satellite naturel

769

16.28 : Triton a été photographié le 25 août 1989 par Voyager-2, lorsque la sonde venait de quitter Neptune. Cette image de l 'hémisphère Sud est une mosaïque de 12 vues, prises à la distance de 530000 km (coté d'un pixel: 10 km). La partie nord est dans la nuit. La surface de Triton est extrêmement froide (37 K le jour) et très brillante, principalement constituée de glace d'azote. Document: JPL/NASA.

FIG.

aérofrein age . En 2009, les deux agences ont décide de fusionner les missions en TSSM (Titan Saturn System Mission). L'orbiteur sera en orbite pendant 2 ans autour de Saturne, avec survols de Titan et Encelade, puis en orbite autour de Titan. Il enverra alors deux modules : une montgolfière qui devrait rester pendant six mois à 10 kilomètres d'altitude (étude de l'atmosphère, photographies précises de la surface) et un atterrisseur pour se poser dans un lac de méthane. Les données transmises par les deux modules seront envoyées sur Terre via l'orbiteur.

16.8.4

Satellite de Triton

Le satellite naturel Triton est en orbite équatoriale circulaire (excentricité e = 1.57 10- 5 ) autour de Neptune. Il a été découvert par W. Lassel, le 10 octobre 1846, deux semaines après la découverte de Neptune. Comme nous l'avons déjà dit, la rotation de Triton est synchrone avec sa révolution qui

770

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

s'effectue dans le sens rétrograde : c'est le seul gros satellite qui tourne à contresens. La majeure partie des connaissances sur Triton provient des images transmises par Voyager-2. Elles montrent, pour la partie observée, une surface craquelée, ressemblant à la peau d'un melon (cantaloupe terrain en anglais) (voir figure 16.28). On y distingue des geysers d'azote liquide, avec des aérosols d'azote solide, dont le panache monte jusqu'à 8 km (phénomène de cryovolcanisme). L'inclinaison de Triton sur l'écliptique crée, comme pour la Terre ou Mars, un rythme saisonnier. Une mission sur Triton est une entreprise difficile (le voyage vers Neptune est bien long) et ce n'est pas encore qu'on verra un satellite en orbite autour de ce corps glacé. Nous donnons cependant, dans l'exemple qui suit, la trace d'un hypothétique Triton Orbiter. .. Exemple 16.9 Trace de l'orbite d'un satellite autour de Triton. ~ Nous avons considéré que ce satellite aurait une orbite du même type que les satellites autour d'Europe ou de Ganymède : quasi polaire avec une altitude de 200 km. La trace de l'orbite a été tracée sur un jour, figure 16.25(b). Le point original, évidemment, est que le décalage se fait vers l'est ... Avant de clore ce livre, il fallait bien donner un exemple avec un corps céleste du Système solaire qui tourne « à l'envers» ! ...

16.9

Note historique : Kepler et le Système solaire

Même si son esprit était préoccupé par l'harmonie des sphères, la musique des planètes et la beauté géométrique établie par l'éminent Créateur, Kepler, dans Harmonices Mundi, reste un génie de l'astronomie, inflexible dans la précision des calculs. Au chapitre IV de l'ouvrage, intitulé «Dans quelles choses concernant le mouvement des planètes les proportions harmoniques auraient-elles été imitées par le Créateur, et comment? », des pages 192 à 196, Kepler donne deux tableaux de données numériques. Dans le premier, p. 193, il donne «le temps périodique des planètes », en jour et soixantième de jour. Converti en jour décimal, le résultat mérite d'être comparé avec la colonne N sid (j) du tableau 16.2 que nous avons reportée. L'erreur est inférieure au centième de jour (soit un quart d'heure), sauf pour Jupiter (où elle est de 43 minutes, à mettre en regard avec la période de 12 années). Dans le second, p. 195, il indique le périhélie et l'aphélie de chaque planète, avec 1 000 unités pour le demi-grand axe de l'orbite terrestre. Dans le tableau 16.10, nous avons ajouté as, en ua, et e. Ici encore, la comparaison avec les

16.9. Note historique: Kepler et le Système solaire

Planète

Période (j sx) Kepler

Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne

87 224 365 686 4332 10759

j j j j j j

58 42 15 59 37 12

sx sx sx sx sx sx

771

Période (j déc.) Kepler

Période (j déc.) Val. act.

87.97 224.70 365.25 686.98 4332.62 10 759.20

87.97 224.70 365.26 686.98 4332.59 10 759.20

16.9 : Période de révolution des planètes du Système solaire connues par Kepler, en jour et soixantième de jour (j sx), transcrite en jour décimal (j déc.). Valeurs publiées dans Harmonices Mundi, p. 193. Comparaison avec les valeurs actuelles retenues (Val. act.).

TABLEAU

Planète Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne

Périhélie Kepler

Aphélie Kepler

as (ua) Kepler

e (s.d.) Kepler

as (ua) V. a.

e (s.d.) V. a.

307 719 982 1382 4949 8968

470 729 1018 1665 5451 10052

0.388 0.724 1.000 1.524 5.200 9.510

0.2098 0.0069 0.0180 0.0929 0.0483 0.0570

0.387 0.723 1.000 1.524 5.201 9.538

0.2056 0.0068 0.0167 0.0934 0.0484 0.0542

TABLEAU 16.10 : Distance au Soleil du périhélie par Kepler, correspondant au millième d'unité grand axe a et excentricité e. Valeurs publiées Comparaison avec les valeurs actuelles retenues

et de l'aphélie (avec l'unité utilisée astronomique), longueur du demidans Harmonices Mundi, p. 195. (V. a.).

colonnes as et e du tableau 16.2, reportées aussi, montre que Kepler est bien le créateur de la mécanique céleste moderne. Kepler termine le chapitre en écrivant : «ces intervalles ont été recherchés, au moyen des observations très soignées de Tycho Brahé, par la métode rapportée dans Astronomia Nova - Commentaires de Mars, par une étude très opiniâtre de dix-sept années». La confrontation de ces deux tableaux conduit à la troisième loi de Kepler.

oule ur !?HUH.?H."

en couleur

des anomalies du géoïde, modèle EGM96. représente les anomalies (en mètres) du de référence, à partir du modèle américain (-105 m) est au sud de l'Inde et la bosse maxiy " , ? i L Guinée. On note que relief des terres émergées et ;auf près de la cordillère des Andes. ,SFC and NIMA Joint Geopotential Model. NASA,

"tion du Problème de Kepler. l'anomalie moyenne NI et de l'excentricité e, on lier par la méthode de Newton-Raphson. Lorsque une précision de 10- 6 degré, on note le nombre n{.i'l'ssaire et on le représente sur le graphe par une notée sur l'axe des abcisses, l'anomalie moyenne ordonnées.

+ e . oflv!),

en notant u(M) le signe de M.

mage radar de Hawaï prise par Envisat. (b) Trois satellite Envisat. nord, montre six des huit îles volcaniques princiiii!nst sont ainsi visibles: la grande île d'Hawaï, KaM. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

774

Chapitre 17. Planches couleur

hoolawe, Maui, Lanai, Molokai et Oahu. Formé au-dessus d'un point chaud du magma au cœur de la plaque Pacifique, l'archipel d'Hawaï comporte quelquesuns des plus grands volcans inactifs et actifs au monde. Dans la grande île, on voit le Mauna Kea (4205 m), point culminant, et plus au sud, le Mauna Loa (4 170 m), volcan turbulent sous surveillance. Les radars en orbite, comme l'instrument ASAR (Advanced Synthetic Aperture Radar) à bord d'Envisat, permettent de suivre les petites modifications dans les mouvements de terrain. L'interférométrie radar combine mathématiquement différentes images radar, acquises le plus près possible d'un même point dans l'espace à des moments différents pour créer des modèles numériques d'élévation du terrain. Le Kilauea, situé sur la partie sud-est de l'île, autour des zones apparaissant en rouge et rose, est un autre des volcans les plus actifs de la Terre. Cette image a été créée en combinant trois images acquises au-dessus de la même zone par le radar ASAR d'Envisat les 27 mars 2006, 16 avril 2007 et 21 janvier 2008 et associées chacune à un code de couleur. Les couleurs apparaissant sur l'image résultent des variations intervenues entres les prises de vues. L'écart entre les dates de prises de vue est un nombre de jours multiple de 35 (cycle de phasage du satellite), comme expliqué dans l'exemple 11.4. Document : ESA. (b) Trois images prises par le satellite ERS-2. Ces images sont orientées vers le nord. Le satellite ERS-2, lancé en 1995 pour une mission de 3 ans, fonctionne encore 16 ans après. (à gauche) Image du détroit de Gibraltar, prise avec le capteur AMI (Active Microwave Instrument). Cet instrument comporte deux systèmes radar différents : un SAR et un diffusiomètre (scatterometer) pour mesurer le vent (le radar mesure la vitesse et la direction des vents à la surface des mers). Bande spectrale: bande C (5.3 GHz). Résolution: environ 20 m. (au centre) Image du delta du Nil (température de l'eau) prise avec le capteur ATSR (Along Track Scanning Radiometer). Ce capteur optique travaillant dans l'infrarouge mesure la température de surface des mers ainsi que celle du sommet des nuages. Parallèlement, un autre instrument radar, MWR (Microwave Radiometer), travaillant en 2 bandes K (23.8 et 36.5 GHz) mesure la teneur en vapeur d'eau de l'atmosphère, ce qui affine la mesure de la température. (à droite) Embouchure du Gange prise avec le capteur ATSR. Document : CLRC /NERC /BNSC /ESA. •

Figure 17.4. Orbite du Satellite Megha-Tropiques, durant 7 jours.

L'orbite du satellite Megha-Tropiques est incliné à 20°. Elle est représentée durant 7 jours (un cycle de phasage). •

Figure 17.5. Trace de l'orbite du satellite Megha-Tropiques avec no-

Chapitre 17. Planches couleur

775

tation de l'heure solaire locale (TSM), durant 2 jours. Le satellite Megha-Tropiques a une orbite peu inclinée sur l'équateur (i = 20°). Avec un passage au nœud ascendant à 06:00 TSM environ, l'hémisphère Nord est vu de jour, l'hémisphère Sud de nuit. Cette situation évolue et après 26 jours (26 = C s /2, en notant Cs le cycle par rapport au Soleil), avec un passage au nœud ascendant à 18:00, c'est l'hémisphère Sud qui est vu de jour et l'hémisphère Nord de nuit. Figure 17.6. Trace de satellite héliosynchrone avec indication de • l'heure solaire locale (TSM). Le satellite QuickBird-2 est en orbite héliosynchrone. Sa trace est représentée 12 h par jour (de 22:30 à 10:30 TU), pendant 7 jours. L'heure de passage ne dépend que de la latitude. Pour ce satellite d'observation de la Terre, on a choisi une projection de Mollweide interrompue, dite « déchirée» sur les mers. Figure 17.7. Trace de satellite non héliosynchrone avec indication de • l'heure solaire locale (TSM). Le satellite Jason-2 est n'est pas en orbite héliosynchrone. Sa trace est représentée 12 h par jour (12:00 à 24:00 TU), pendant 10 jours (soit un cycle de phasage CT)' Pour un point quelconque de la Terre (à condition qu'il soit entre les latitudes extrêmes de passage) toutes les heures (TSM) sont échantillonnées au cours d'un cycle Cs. Pour Jason-2, Cs = 117 jours, comme vu dans les exemples 10.1 et 11.6. Pour ce satellite océanographique, on a choisi une projection de Mollweide « déchirée» sur les terres. • Figure 17.8. Orbite du satellite Ellipso Borealis, à l'inclinaison critique et héliosynchrone. Le satellite Ellipso Borealis a une orbite qui cumule les propriétés: elliptique à l'inclinaison critique, héliosynchrone, phasé. Le phasage prévu est de 8 révolutions en 1 jour ou 81 révolutions en 10 jours (voir tableau 11.8). On a représenté l'orbite (phasage 81:10) durant 3 jours, avec notation de l'heure TSM. Avec un passage au nœud ascendant à 18:00, on peut réaliser une condition de passage permanent de jour sur l'hémisphère Nord, de nuit sur l'hémisphère Sud. • Figure 17.9. Orbite du satellite héliosynchrone Aqua avec notation de l'éclipse solaire. Pour un satellite LEO héliosynchrone, une condition nécessaire pour éviter au mieux l'éclipse solaire est d'avoir une orbite crépusculaire (TN A = 06:00 ou 18:00). Avec TNA = 13:38 comme Aqua, le satellite passe presque la moitié

776

Chapitre 17. Planches couleur

du temps à l'ombre de la Terre. Figure 17.10. Trace de la fauchée en mode tournant (instrument • CERES à bord de Terra). On a représenté la trace de la fauchée de CERES à bord de Terra lorsqu'il est en RAP mode, décrit dans l'exemple 12.8. • Figure 17.11. Réflexion spéculaire dans le Golfe du Mexique, vue par le satellite Aqua, le 12 julllet 2010. L'instrument MODIS du satellite Aqua a pris, le 12 juillet 2010, l'image de la nappe d'hydrocarbures qui s'est répandue accidentellement dans le Golfe du Mexique. Nous avons superposé à cette image le graphe obtenu par Ixion, représentant la trace de l'orbite d'Aqua et des fauchées de MODIS. Sur ces fauchées, nous avons noté la réfléxion spéculaire calculée. L'orbite établie par Ixion est initialisée avec les éléments orbitaux NORAD du jour. Cette superposition des figures 13.9( a) et (b) est expliqué dans l'exemple 13.8. Document (image Aqua/MODIS) : NASA/GSFC, MODIS Rapid Response. •

Figure 17.12. Détection de la réflexion spéculaire

On calcule, dans le cas d'une fauchée conique de l'instrument MADRAS à bord de Megha-Tropiques, les conditions géométriques de réflexion spéculaire, pour chaque pixel observé. S'il n'y a pas de réflexion spéculaire, le pixel vu est noté sur la carte par un petit point noir. Dans le cas contraire, le pixel est représenté par un point coloré (selon l'heure TSM) dont la taille est d'autant plus grande que l'effet de Sun glint est fort (l'effet augmente quand l'angle " tend vers 0). Si la surface observée est une mer plus ou moins calme, et si les conditions géométriques de réflexion spéculaire sont remplies, il y aura Sun glint. • Figure 17.13. Lieux de radio-occultation entre le satellite LEO MeghaTropiques et le GPS Navstar-GPS [PRN 16]. Le satellite Megha-Tropiques (MT), en orbite basse, est équipé d'un récepteur du signal émis par les satellites GPS. On a noté, pendant 7 jours, le endroits où le signal reçu par MT traverse l'atmosphère (entre 0 et 200 km), ce qui correspond à une radio-occultation. En 7 jours, il y a environ 170 radiooccultations entre le satellite MT et chaque satellite GPS. • Figure 17.14. Superposition de traces des satellites héliosynchrones MetOp-A et Aqua. On note les traces communes par une couleur qui illustre la différence entre

Chapitre 17. Planches couleur

777

les temps de passage. On a choisi une différence maximale de 15 minutes (avant ou après), voir exemple 12.11. • Figure 17.15. Cyclone Katrina vu par les satellites Satellites TRMM et GOES-12. L'image du cyclone Katrina, sur le golfe du Mexique, est reconstituée (dite image composite) à partir d'images prises par TRMM et GOES-12. La vue en perspective provient du satellite géostationnaire GOES-12. La section droite du cyclone est obtenue à partir des données du radar PR (Precipitation Radar) de TRMM. Le taux horaire de précipitation est noté par la couleur : moins de 6 mm (bleu), entre 6 et 12 mm (vert), entre 12 et 25 mm (jaune), jusqu'à 50 mm (rouge). Date : 28 août 2005, à 17:30 TSM (heure locale). Document: NASA, TRMM. • Figure 17.16. Images prises par l'imageur MISR à bord de Terra. (a) Bretagne. (b) Le Nil en Égypte. Parmi les nombreux instruments qui équipent le satellite Terra, l'instrument MISR (Multi-angle lmaging SpectroRadiometer) est spécialisé dans l'étude du climat et de l'environnement. Il prend des images sous 9 angles différents, simultanément, et dans 4 bandes spectrales. Les images sont calibrées d'un point de vue géométrique et radiométrique. La résolution spatiale est de 275 et 1100 mètres selon les canaux. Les images sont prises durant la partie descendante de l'orbite, vers 10:30 TSM (puisque TNA = 22:30), donc du nord au sud. L'inclinaison du bord de l'image donne l'inclinaison apparente (exemple 8.4). (a) Bretagne, Cornouailles, Manche et Mer d'Iroise. Au large de la Bretagne, les zones turquoise montrent l'intense efflorescence du phytoplancton (coccolithophores), dont la coque, qui a une taille de l'ordre du !Lm, diffuse la lumière solaire. Ce phénomène ne peut être observé que depuis un satellite. En haut de l'image, la bande de cirrus est rayée de traces d'avion. Date: 4 juin 2001, révolution 7778. (b) Vallée du Nil. Le Nil, et sa bande de culture, traversent le désert égyptien. Au milieu de l'image, rive gauche du Nil, on remarque la dépression de Fayoum. Au nord, à partir du Caire, s'ouvre le delta du Nil. Entre la Méditerrannée et la mer Rouge, on distingue le canal de Suez, et de l'autre côté de la mer Rouge, le désert du Sinaï. Date: 30 janvier 2001, révolution 5956. Document: NASAjGSFCjLaRCjJPL, MISR Team. • Figure 17.17. (a) «Tatouages» sur Mars. (b) Cratère et étude chromatique. (a) Cette image, qui a été prise par la caméra HiRISE à bord de MRO, est à rapprocher de la figure 15.1. Ces dessins foncés sur du sable clair sont créés par des petits tourbillons de poussière (appelés dust devils), comme on peut

778

Chapitre 17. Planches couleur

en rencontrer sur Terre dans la plupart des zones arides (en Arizona par exemple). Ces tourbillons soulèvent les poussières qui composent la fine pellicule de couleur rouge qui recouvre les dunes. Le sable de couleur sombre qui est en-dessous, de grain plus gros, n'est pas soulevé. Sur Mars, les tourbillons de poussière peuvent atteindre une hauteur de 8 kilomètres. Document: HiRISE, MRO, LPL (U. Arizona), NASA. (b) Image d'un cratère des plaines Vastitas Borealis (centre: 70° 12' N,103° 25'E), observé à la fois par la caméra HRSC (cratère en entier) et l'instrument OMEGA (trois bandes colorées), les deux à bord de Mars Express, lors de la révolution 1343. L'image HRSC a été obtenue avec une résolution de 15 m par pixel. Le cratère fait 35 km de large et 2 km de profondeur. L'analyse chromatique (canaux bleu, vert, rouge) permet de confirmer que la couleur du centre du cratère est bien bleutée. Il contient un dépôt de glace d'eau surprenant et esthétique, qui présente une très forte signature dans le bleu, en raison de propriétés diffusives de la glace d'eau. Document: ESA/DLR/FU Berlin (G. Neukum). Légende et document (analyse chromatique) : Aymeric Spiga, LMD. • Figure 17.18. Carte topographique ombrée de Mars d'après les données de l'instrument MOLA. Le satellite Mars Global Surveyor (MGS) était équipé d'un laser altimétrique, l'instrument MOLA (Mars Orbiter Laser Altimeter) , qui a permis de connaître l'altidude de Mars avec une précision de 30 cm (ce qui fait que le relief de Mars est mieux connu que celui de la Terre). Sur cette carte topographique, la couleur représente l'altitude. On reconnaît le grand canyon de Valles Marineris, le volcan Olympus Mons et le dôme Tharsis avec ses trois volcans et, pratiquement aux antipodes de Tharsis, le bassin d'impact Hellas. Document: NASA/JPL, MOLA Team. • Figure 17.19. Trace de l'orbite martienne du satellite MRO, héliosynchrone, avec notation de l'heure TSM Le satellite Mars Reconnaissance Orbiter (MRO) a une orbite héliosynchrone : l'heure de passage (ici TN A = 15:30 TSM) ne dépend que de la latitude. Sa trace est représentée durant 3 sols. La projection utilisée (orthographique oblique) est la même que celle utilisée pour la topographie de Mars, figure 17.18. •

Figure 17.20. Carte topographique de Vénus.

Cette carte est obtenue à partir des images radar l'instrument SAR à bord de Magellan (1990-1994). Pour les quelques zones manquantes, elle a été complétée par les données altimétriques des orbiteurs Venera-15, -16 et Pioneer Venus, ainsi que par les observations radar faites depuis la Terre, à la station

Chapitre 17. Planches couleur

779

d'Arecibo. Projection orthographique équatoriale, centrée sur les longitudes de 0° (haut) et 180° (bas). On reconnaît Maxwell Montes, dans l'ensemble Ishtar Terra, centré sur 64°N, 4°E. Document: NASA/JPL/MIT/USGS, Magellan Team. •

Figure 17.21. Ombre de Mimas sur les anneaux de Saturne.

© NASA. Les anneaux de Saturne sont traditionnellement nommés D, C, B et A, dans cet ordre en partant de la planète. Le satellite Mimas est près du bord extérieur de A. (a) L'ombre de Mimas apparaît sur les anneaux, à cheval sur la division de Cassini. Cette scène n'est possible que quelques mois avant et après l'équinoxe, qui n'arrive que tous les 15 ans. La date de prise de vue, le 8 avril 2009, est proche de l'équinoxe (19 août 2009). L'image est prise par la caméra grand angle de la sonde Cassini (Cassini Wide-Angle Camera), en utilisant trois filtres (rouge, vert, bleu) pour recréer des couleurs naturelles. La distance est de 1.1 million de km, la résolution de 64 km par pixel. (b) Le satellite Mimas n'est pas exactement dans le plan des anneaux (i = 1.6°), ce qui explique l'ombre portée sur ceux-ci. L'image (Cassini NarrowAngle Camera), qui recrée aussi les couleurs naturelles, a été prise à 3.151 millions de km, la résolution est de 19 km par pixel. Document: NASA/JPL/Space Science Institute. • Figure 17.22. Carte des températures du pôle Sud de la Lune établie par le satellite LRO. Le satellite LRO (Lunar Reconnaissance Orbiter) est en orbite lunaire quasi polaire, équipé de sept instruments. Parmi ceux-ci, le radiomètre DLRE (Diviner Lunar Radiometer Experiment) mesure la température de surface. Il cherche à identifier des lieux précis (comme des cratères), au pôle Sud, qui n'auraient pas vu les rayons du Soleil depuis des milliards d'années - autant d'endroits susceptibles d'avoir piégé de la glace d'eau. (a) La carte des températures de surface de la région su pôle Sud témoigne de l'orbite quasi polaire de LRO. Les données ont été acquises de septembre

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Chapitre 17. Planches couleur

à octobre 2009, lorsque les températures de cette région sont maximales. Le cratère choisi pour recevoir l'impact de LCROSS (Lunar Crater Observation and Sensing Satellite) est marqué d'un cercle blanc. C'est l'un des endroits le plus froid de la Lune (environ 40 K, soit -230°C). (b) Carte 3D du pôle Sud, avec notation de la température et localisation du point d'impact. L'impact a eu lieu le 9 octobre 2009 et a montré la présence de glace d'eau. Document: NASA, JPL, UCLA.

Figure 17.23. Vues composées à partir d'images de plusieurs satellites • du programme « Grands observatoires» de la NASA. Le programme Great Observatories de la NASA comprend quatre missions, chacune dans un domaine de longueur d'onde du rayonnement électromagnétique: rayons gamma (avec Compton), rayons X (Chandra), visible (Hubble) et infrarouge (Spitzer). (a) Vue composée à partir de deux images, l'une provenant de Chandra et l'autre de Spitzer. La photographie plein format, noir et blanc, est obtenue par le téléscope spatial Spitzer, qui opère dans le domaine infrarouge. Elle est complétée, en son centre, par une photographie (fausses couleurs) du télescope spatial Chandra, qui observe dans le domaine du rayonnement X. Au centre, on voit l'amas Westerlund 2, entouré de nuages de poussière formant une « pouponnière» d'étoiles, dénomée RCW 49 (à 20 000 annéeslumière, constellation du Centaure, hémisphère austral). Westerlund 2 est seulement âgée de 2 millions d'années et contient des étoiles très lumineuses et très massives. Des signatures en infrarouge de disques proto-planétaires sont identifiées dans cette région de formation d'étoiles. À cause de l'opacité de ces nuages de poussière, ces étoiles ne peuvent pas être observées par des télescopes optiques. La longueur des côtés du carré délimitant le champ de Chandra est de 50 années-lumière. Document: Université de Liège, CXC, NASA (pour Chandra) et University of Wisconsin, JPL, Caltech, NASA (pour Spitzer). (b) La galaxie du Sombrero (M104) est située dans l'amas de la Vierge, à 28 millions d'années-lumière de la Terre. Son diamètre est de 50000 années-l. L'image de gauche est composée à partir des trois images de droite: - Chandra, l'image en rayons X montre un nuage de gaz chaud, provenant d'explosions de supernovas au centre du disque (en bleu) ; , l'image en lumière visible montre une galaxie spirale vue par la tranche, avec un bord de poussières qui arrête la lumière (en vert) ; - Spitzer, ce même bord apparaît brillant en rayonnement IR (en rouge). Notes techniques. Coté de l'image: 8.4 arcminutes. Coordonnées (J2000) asc. dr. 12 h 39 min 59.4 S; décI. -11° 37' 23". Constellation: Virgo. Orbservation : 31 mai 200l. Document: (X) NASAjUMass-Q.D.Wang et al.; (Vis) NASAjSTScI-AURAHubble Heritage; (IR) N ASAj JPL-Caltech.

Chapitre 17. Planches couleur

•

781

Figure 17.24. Capture d'écran. Ixion/Web, le logiciel Ixion en ligne.

Ixion est le logiciel d'orbitographie et d'échantillonnage qui est à la base de ce livre. Il a été développé par l'auteur, au Laboratoire de météorologie dynamique (LMD). Cet outil informatique permet de connaître la position précise d'un satellite sur son orbite, en donnant les résultats sous forme numérique et graphique. Depuis 2010, une grande partie des fonctionnalités du logiciel ont été mises en ligne sur Internet en collaboration avec Karim Ramage, de l'Institut PierreSimon Laplace (IPSL). Ce logiciel Ixion/Web peut être utilisé de manière opérationnelle. Les paramètres orbitaux des satellites sont actualisés quotidiennement (données NORAD), et la trajectoire du satellite est ainsi calculée sur des bases très précises. La trace au sol du satellite, ainsi que les fauchées des instruments, sont notées sur Google Map ce qui offre beaucoup de détails et un grand confort de lecture. On peut aussi obtenir les sorties graphiques sur des fonds de carte classiques (avec un choix de plus de cent projections cartographiques). Une autre option offerte est la visualisation de l'orbite en 3D, avec Google Earth. L'utilisation des tableaux d'échantillonnage permet de savoir, pour un lieu donné, pour un mois entier, quand passe le satellite (jour et heure) et dans quelles conditions (angles de visée, géométrie solaire). Des tableaux statistiques fournissent des données globales, pour la Terre entière. Ixion/Web donne aussi l'orbitographie et l'échantillonnage pour les satellites de la planète Mars. La trace des satellites s'affiche sur Google Map Mars (ou sur fond de carte classique). On peut également représenter les traces de satellites d'autres planètes (Vénus, Mercure, ... ) ou de la Lune. En plus de son aspect opérationnel, Ixion/Web offre un intérêt pédagogique qui permet de comprendre (dans un référentiel galiléen, dans un référentiel terrestre) le mouvement du satellite. Nous présentons, figure 17.24, trois exemples de sortie graphique: un représentation en 3D de l'orbite du satellite LAGEOS-1, une trace « zoomée» de l'orbite de Jason-2 et une trace de l'orbite de Molnya-3-53. Adresse: http://climserv.ipsl.polytechnique.fr/ixion.html

Chapitre 17. Planches couleur

Carte des anomalies du géoïde, modèle EGM96. The NASA GSFC and NIMA JGM. NASA, NIMA, OSU.

FIG. 17.1:

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Chapitre 17. Planches couleur

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6

Résolution du Problème de Kepler.

7

8

Chapitre 17. Planches couleur

FIG. 17.3: (a) Image radar de Hawaï prise par Envisat. (b)Images prises par ERS-2. © ESA. ©CLRC/NERC/BNSC/ESA.

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Noeud asc. : -180.00

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[00:00 TSM]

Décalage à l'équateur = 2892.0 km ( 26.0 0)

CP: 20.0 ' N; 45.0 'E ICZ 30.0' N; 60.0 ' E Aspect: Oblique

0

0

MC

a = 7243.678 km

Période= 101.93min *RévolJj.=14.13

Inclinaison = 20.00

Altitude = 865.5 km

Projection: Orthographique Propriété: (sans)

>>> Durée représentée: 7.00 jours

Phasage

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Décalage à l'équateur = 2892.0 km ( 26.0 0) 12

heures

a = 7243.678 km

Période = 101.93 min * Révol.lj.=14.13

Inclinaison = 20.00

Altitude = 865.5 km

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: 10 0

!4.211 +9001 +0.01-145.0)[-J EGM96

C.P.: 0.0 0 ; 55.0 °E 130.7 ° N; 55.0 °E Aspect: Direct

Proj. : Raisz 1 22 .00·

Propriété: (sans)

0.00 Inclin. app. = 21.52

Noeud asc :

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>>> Durée représentée : 2880.0 min = 2.00 jours

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Centre Projec!.: 0.0 0

05

Aspect : Direct [interrompu)

04

Projection : Mollweide

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Propriété : Equivalente : 100

01 13

14

15

17

18

Inciin. app.

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Noeud asc :

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0

24

[22:30 TSM]

22

23

Décalage à l'équateur = 2604.2 km ( 23.4 0)

00

Période = 93 .57 min • Révol.fj.=15.39 7.00 jours (720 min par jour)

22:30 TU -> 10: 30 TU

0

>>> Durée représentée:

MC

a = 6821.488 km

Incl. HELIOSYNCHRONE = 97.21

Altitude = 443.4 km

Trace (TSM) : 7 jours

QuickBird-2

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19

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Noeud asc :

16

23

24

0)

[12:00 TSM]

22

Décalage à l'équateur = 3155.5 km ( 28.3 12

!4.211 +0.01 +0.01+160.0][-] EGM96

05

lB T.:Pseudo-cyl. - Grille : 10·

04

Centre Project.: 0.0 ·

03

Aspect: Direct [interrompu]

02

Propriété: Equivalente

01

Projection : Mollweide

TSM (local)

00

>>> Durée représentée: 10.00 jours (720 min par jour)

Période = 112.43 min * Révol.lj.=12.81

MC

heures

a = 7714.434 km

12:00 TU -> 2400 TU

0

Inclinaison = 66.04

Altitude = 1336.3 km

Trace (TSM) : 10 jours

Jason-2 / OSTM

ATÀCXÇ

LMD

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Projection : Orthographique Propriété : (sans) €a T.:Azimutal - Grille 10'

02

03

05

06

07

08

09

10

11

12

13

Centre Project.: 26.0 • N ; 32 .0 · W Aspect : Oblique 14.2! [ -90.01+64.01+122.0J [ -1 2J EGM96

04

14

15

17

18

19

20

21

22

23

24

Longitude premier passage : Noeud asc : -180.00 ' [18:00 TSM) Apogée : 74.31 ·

16

MC

heures

nLWV

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= 674 km ; arg . périgée : +270.00 '

CD

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TSM (local)

h_a = 7514 km ; h_p

Période = 177.78 min * Révol.lj.= 8.10

= [8; +1 ; 10) 81

Phasage

»> Durée représentée: 4320.0 min = 3.00 jours

e = 0.326603

a =10472.196 km

Incl. HEL.-CRITQ = 116.58 •

Alti!. équival. = 4094.1 km

Ellipso Borealis Orbite par rapport à la Terre

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Projection: Orthographique Propriété: (sans) EB T.:Azimutal - Grille : 10 0

Eclipse et h. Sol.C)

nuit

nuit

15

45

60

0

0

90

)

[13:38 TSM]

75

[NORAD] Révolution: 41440 [NORAD] 2010 021622:31:18 TUC

Noeud asc: -133.40

30

Décalage à l'équateur = 2751.9 km ( 24.7

Centre Projecl.: 35.0 0 N; 85.0 0 W Aspect: Oblique j4.2H -90.0/ +55.0/+175.0] [-] EGM96

ECLIPSE

o

MC

Période = 98.88 min * Révol./j.=14.56 400.0 min = 0.28 jour

Phasage

2010 02 16 22:00:00 TUC >>>

= [15; -7; 16]233

a = 7077.715 km e = 0.000168

Incl. HELIOS. = 98.21 0

Altitude = 699.6 km

Aqua Orbite par rapport à la Terre

ATÀCXÇ

LMD

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Projection : Guyou Propriété : Conforme EB T.[ln!. ellipt] - Grille 5°

0

0

0

0

[22:30 TSM] Bal. 1 Lacet tournant ail.

Noeud asc: -11 1.51

LMD

1~LVJV

*

ATÀ.O:Ç

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.* Demi-fauchée: 56.1 0 => 1222 km [ 0.10 min]

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CJ

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Décalage à l'équateur = 2751 .9 km ( 24.7 0 )

MC

a = 7077.736 km

Période = 98.88 min • Révol.fJ.=14.56

Incl. HELIOSYNCHRONE = 98.21

Altitude = 699.6 km

Centre Project : 45.0 N ; 110.0 W Aspect: Transverse,. zoom : 3.50 15.311 -45.01 -90.0/+110.0] H EGM96

Tr.fauch. Lacet tournant (mode RAP) alterné [+12.00 min]

99.0 min = 0.07 jour

= [15; -7; 16] 233

>>> Durée représentée:

Phasage

Trace de l'orbite

Terra / GERES

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Aqua/MODIS

-30

-15

EB T.: Cyl indrique - Grille: 5'

15.31[+90.01 +M/ -90.01

Altitude = 699.5 km

[-901 EGM%

e = 0.000188

a = 7077.668 km

AJ'

••

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[NO RAD] 201007 11 05:05:24 TUC

[NO RAO] Révolution: 43541

Noeud asc: 127.76 · [13:36 TSM]

ItLWl/

ATÀc<Ç'

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*. Demi-fauchée: 55.2" [ 2.0] - Au 501: 1165.0 km [ 0.50 min] a 15 30 45 60 75 90 12JUL

Période = 98.88 min * Révol.lj.= 14.56

Incl. HELIOS. = 98.19 ·

~ê( Aspect: Direct> zoom : 8.00

-45

CP: 0.0' ; 0.0 ' /CZ: 25.0 • N; 88.0 ' W

-60

Projection: Mercator

-75

xn

Propriété : Conforme

-90

Trace des fauchées orthogonales (mode

201007 11 21:00:00TUC > >> 1440.0min = 1.00 jour

Trace de l'orbite - Réfl. Spéc. [Cone D.-ouv.: 8.0"]

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00

Projection: Guyou Propriété: Conforme El) T.:[lnt. ellipt.] - Grille

TSM (local)

10

01

0

02

03

05

0

06

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09

11

12

13

15

16

17

18

19

-

20

0

0

Aspect: Oblique> zoom: 4.60 j5.3! [+90.0/ +20.0/ -25.0] [-] EGM96

0

Noeud asc: -180.00

21

0

23

24

[00:00 TSM]

22

MC

heures

LMD ATÀCXÇ

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*

20 JUL

Rayon sol: 940 km [ 0.40 min]

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14

** Demi-ouverture: 65.0 0

....

10

0

a = 7243.678 km

Période = 101.93 min * Révol./j.=14.13

Inclinaison = 20.00

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08

]

Altitude = 865.5 km

CP: 20.0 N; 65.0 W/CZ: 12.0 N; 70.0 W

04

07

102.0 min = 0.07 jour

Trace des fauchées coniques / AZV=53S

»> Durée représentée:

Trace de l'orbite - Réfl. Spéc. [Cane D.-ouv.: 9.0 0

Megha-Tropiques / MADRAS

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01

Projection: Orthographique Propriété: (sans) EB T.:Azimutal - Grille : 10°

TSM (local)

00

02

Nombre total d'occultations 03

05

06

07

08

09

10

11

13

Aspect: Oblique j5.3( [ -90.01 +6501 +18.0] [+12] EGM96

14

15

17

18

19

20

21

22

23

24

Noeud asc: -11.11 ° [00:00 TSM]

16

Décalage à l'équateur = 2892.0 km ( 26.0 0) 12

MC

heures

a = 7243.678 km

Période = 101.93 min * Révol./j.=14.13

Inclinaison = 20.00 °

Altitude = 865.5 km

CP: 25.0 ° N; 72.0 °E ICZ: 18.0 ° N; 61.0 ° E

04

170

»> Durée représentée: 7.00 jours

-.:

<-> 200 km - Occultation Radio avec Navstar/GPS

Megha-Tropiques

o km

ATÀ.O:Ç

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[21 :30 TSM)

ffi T.:Azimulal - Grille : 10°

MC

ntWV LMD ATÀCXÇ

*

1 = 0 <-> METOP-A

[NORAD) 2008 03 06 04:01 :29 TUC

0

15.0

14.2! [ -90.01+3501+55.0) [-] GEM-T2

10.0

Noeud asc. : -97.96

5.0

[NORAD) Révolution : 7152

0.0

Centre Pr.(dr.): 55.0 ° N ; 35.0 °E

-5.0

*** [+/- 800 km] Aqua

Aspect : Oblique

-10.0

_ . [+1- 800 km] MeIOp-A

Propriété : (sans)

-15.0

e '" 0.000106

0

Incl. HELIOS. '" 98.67 Période'" 101 .36 min * RévoLlj ."'14.21

a'" 7195.547 km

Altitude'" 817.4 km

Projection : Orthographique

Différence de Temps (min)

2008 03 07 0000:00 TUC >>> 2880.0 min'" 2.00 jours

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'" [14; +6; 29]412

Phasage

ô

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MetOp-A okm <-> 1600 km - Superposition (pt interm.) avec Aqua ••• •

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m

-.J CD

Chapitre 17. Planches couleur

FIG. 17.15: Cyclone Katrina vu par les satellites TRMM et GOES-12. © NASA, TRMM.

797

798

Chapitre 17. Planches couleur

17.16: Images prises par l'imageur MISR à bord de Terra. (a) Bretagne. (b) Le Nil en Égypte. (§) NA SA/GSFC/LaR C/JPL, MISR Team.

FIG.

Chapitre 17. Planches couleur

799

FIG. 17.17: (a)« Tatouages» sur Mars. (b) Cratère et étude chromatique. (§) HiRISE, MRO, LPL (U. Arizona), NASA. (§) ESA/DLR/FU Berlin (G. Neukum). (§) A. Spiga, LMD.

800

FIG.

Chapitre 17. Planches couleur

17.18: Carte topographique ombrée de Mars d'après les données de MaLA.

(§) NASA/JPL, MaLA Team.

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= [13 ;+65;349] 4602

01

cl' T. :Azim utal - G rille : 10'

Propriété : (sans)

Projection: Orthograp hique

TSM (local)

00

02

03

05

06

07

08

09

la

11

13.5!! -90.01+112.51 +0.0] [-]

Aspect : Ob lique

= 260.4 km a 0

MGM1025

13

14

15

17

18

19

20

23

24

[ 15:30 TSM]

22

MOLA Topogr. /h/2.5km/

0

21

Noeud asc : -42 .30

16

Décalage à l'équateur = 1618 .6 km ( 27.3 12

0 )

MC

ATÀlXÇ'

LMD

I~L(')v

*

1 h " 1 sol/24

= 3657.387 km

Période = 112.20 min * Rév.lso l = 13. 19

Incl. HELIOSYNCHRONE = 92.60

Altitude

Centre Pr. (d r.): 22.5 0 S ; 90.0 °E

04

»> Durée représentée : 4438 .6 m in = 3.00 sols

Phasage

Trace de l'orbite

[MARS] MRO

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00

o

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o

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802

FIG.

Chapitre 17. Planches couleur

17.20 : Carte topographique de Vénus. Magellan Team.

© NASA/JPL/MIT/USGS,

Chapitre 17. Planches couleur

FIG. 17.21: Ombre de Mimas sur les anneaux de Saturne. (§) NASA/JPL/Space Science Institute.

803

804

FIG.

Chapitre 17. Planches couleur

17.22: Carte des températures du pôle Sud de la Lune établie par LRO. IPL, UCLA.

© NASA,

Chapitre 17. Planches couleur

805

FIG. 17.23 : Vues composées par des images de plusieurs satellites. NASA Great Observatories. (§) U. Liège, CXC, NASA. (§) U. Wisconsin, JPL, Caltech, NASA. (§) NASAjUMass-Q.D. Wang et al. (§) NASAjSTScI-A URA-Hubble Heritage. (§) NASAjJPL-Caltech.

806

Chapitre 17. Planches couleur

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© 2011 Google © 2011 Tele Atlas JASOHo 2 (OSTM)

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http://climserv.ipsl.polytechnique.fr /ixion. html FIG.

17.24 : Captures d'écran. Ixion/Web, le logiciel Ixion en ligne.

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812

INDEX

TERMINORVM

IN

MARGINE

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Index de Astronomia Nova.

~5

/7+. 111

les -

........ 643 .......... 1 ....... 147 ......... 43 ......... 43 ......... 43 ......... 43 ........ 79 ........ 381 ........ 69 ....... 381 ........ 130 ........ 361 ......... 56 ....... 389 ....... 176 ....... 389 ....... 206 ....... .444 ....... 147 ........ 382 ........ 133 ......... 53 ....... 203 ........ 385 ....... 211 ....... 382 ........ 719 ........ 131 4, 131, 132, ........ 771 ........ 711 ....... 161 ........ 162 ........ 204 ........ 311 ........ 208

monde 209

....... 209 ........ 204 ......... 84

Ménechme .............................. 1 Maupertuis ............................ 44 Mercator ............................. 317 Newton ................................ 49 Principia Mathematica .......... 134 Noether ............................... 127 Oort .................................. 711 Piazzi ................................. 711 Picard ................................. 42 Planck ................................ 386 Poincaré .............................. 209 Ptolémée ............................. 130 Ramanujan ............................ 17 Roche ................................ 701 Scaliger ............................... 262 Tisserand ............................. 218 Tycho Brahé .......................... 130

A-

A-Train ....... 347-349, 414, 419, 451, 467 accélération centrale ........................... 88 formule de Binet .................. 90 newtonienne ...................... 90 de la pesanteur ............ 67, 70, 71 aérofreinage ................. 198, 637, 681 affinité (transformation) .............. 102 âge de l'univers ....................... 382 albédo (effet) .................... 159, 659 altitude ............ 243, 321, 453, 488, 688 frottement atmosphérique ....... 500 géocentrique ................. 39, 489 géodésique ............ 34, 36, 40, 489 hauteur ellipsoïdale ............... 34 sur orbite gelée .................. 498 variation .................... 488-500 angle d'ajustement ............... 299, 524 â l'astre ......................... 563 d'azimut ......................... 550 relatif ......................... 567 azimutal de visée .................. 549, 554

814

Index

de Cardan ............. 148, 149, 504 lacet ..................... 148, 504 roulis ............... 148, 149, 504 tangage ............. 148, 149, 504 de diffusion ...................... 568 d'élévation .................. 507, 554 d'Euler .. 142,147,148,286,312,517 nutation ............ 142, 148, 286 précession ...... 142, 148, 286, 440 rotation propre ...... 142, 148, 286 d'excentricité ..................... 13 de fauchée ....................... 507 de hauteur .................. 507,554 de hauteur solaire ............... 565 horaire ..................... 253, 565 de site ........................... 507 solaire f3 ............... 400, 420-424 Mars ......................... 678 de Tait-Bryan ................... 149 de visée ..................... 549, 554 zénithal solaire ........................ 567 de visée ............. 549, 554, 567 de vue .............. 507, 549, 567 année anomalistique .......... 247, 255, 647 civile ....................... 247, 257 calendrier grégorien ........... 247 calendrier julien ............... 247 draconitique ..................... 247 julienne ..................... 215, 247 sidérale ..................... 246, 647 tropique .................... 246, 647 anomalie ....... 97-125, 191, 255, 491, 652 anomalia, œ ...................... 99 excentrique ............ 101, 120, 651 moyenne .98, 114, 121, 142, 255, 491, 649 initiale ........................ 164 vraie.99, 114, 119, 142, 253, 491, 649 anomalies de gravité ...... 73, 75, 773, 783 aphélie .................. 94, 254, 653, 771 aplatissement de gravité ........................ 71 Mars ............................ 647 planétaire ....................... 729 Terre ................ 63, 81, 216, 495 apoastre ............................... 94 apocentre .............................. 94 apogée ....................... 94, 254, 560 aposélène ............................. 754 appoint au moyen mouvement ... 183, 238, 243 apside ............................. 95, 182 aréostationnaire accélération longitudinale ........ 663

maintien à poste ................. 663 argument de latitude ...................... 142 du périgée 140, 142, 158, 205, 378, 494 gelé ........................... 497 ascension droite ....................... 252 du nœud ascendant ......... 140, 142 assistance gravitationnelle .. 334, 714, 718, 719 astéroïdes données astronomiques .......... 740 données géodésiques ............. 740 exploration spatiale ......... 736, 738 Linear ........................... 711 proches .......................... 711 satellite naturel ............. 715, 736 troyens ..................... 225, 711 astroïde (enveloppe) ................... 20 atlas .................................. 317 atmosphère voir frottement atmosphérique ... 198 densité atmosphérique ........... 194 facteur d'échelle ................. 194 de Mars ......................... 644 modèle .......................... 195 planétaire ....................... 713 de la Terre ........ 193-201, 500-502 de Titan ............... 711, 717, 765 de Triton ........................ 770 de Vénus ........................ 727 attitude .......................... 149, 503 contrôle ......................... 503 attraction centrale ..................... 153, 190 différentielle ................ 156, 218 héliocentrique ............... 219, 714 luni-solaire ................. 156, 190 planétaire ....................... 157 planétocentrique ............ 714, 750 terrestre .................... 153, 714 avance au périgée ....................... 158 au périhélie ................. 158, 205 azimut ................................ 506 relatif ........................... 567 solaire ........................... 563 de visée ......................... 550 de vue ........................... 550

B-

balayage conique .......................... 505 disque terrestre .................. 506 de géostationnaire ............... 506 le long de la trace ............... 505 mode

Index

AT ....................... 524, 525 P AP ..................... 524, 525 RAP ........... 524, 526, 776, 792 TAT ..................... 524, 525 XT ... 517, 520, 524, 527, 529, 530 modes élémentaires .............. 504 orthogonal ....................... 505 pixel ............................ 512 barycentre ............................ 138 base de temps ........................ 593 biais de l'horloge (GPS) ............... 590 blocage (résonance 1:1) ........... 746, 747 bourrelet équatorial ................... 210 butée de l'instrument ................. 508

-c-

calendrier grégorien .............. 215, 247, 705 julien ....................... 247, 705 caméra Baker- N unn ................... 202 ceinture de Kuiper .................... 711 ceintures de Van Allen ........... 325, 328 centre centrum, i ......................... 3 attractif ......................... 101 cercle osculateur .................. 19 de courbure ....................... 19 ellipse ............................. 3 centre de masse ....................... 138 cercle de visibilité ..................... 554 cercle polaire ..................... 565, 656 Cérès données astronomiques .......... 740 données géodésiques ............. 740 exploration spatiale .............. 738 champ de forces ........................ 50 champ de vue ......................... 508 cible .................................. 547 code PRN (GPS) ..................... 603 coefficient balistique .............. 196, 500 coefficient de dérive ................... 479 coefficients harmoniques ................ 59 degré ............................. 59 ordre ............................. 59 tesséraux ........................ 189 zonaux ........................ 59, 78 dénormalisés ................... 61 normalisés .................. 61,78 colatitude géographique ............... 563 colonialisme ........................... 318 comète ...................... 388, 711, 719 Churyumov-Gerasimenko ........ 721 de Halley ................... 203, 719 Wirtanen ........................ 721 compensation de traînée .. 75, 76, 326, 390 conique ................................ 91

815

et énergie ........................ 129 excentricité ........................ 6 historique ....................... 2, 6 section ............................. 2 coniques juxtaposées .................. 714 conservation de l'énergie ...................... 125 du moment cinétique ............ 126 de la quantité de mouvement .... 126 constante astronomique ............... 215-217 de définition .................. 215 dérivée ........................ 217 primaire ...................... 217 attraction centrale ........................ 52 géocentrique .. 55, 79, 81, 216, 657 héliocentrique ............ 216, 220 planétocentrique .... 723, 725, 750 universelle ................ 52, 136 de Gauss ........................ 217 gravitation universelle .... 52, 79, 136 d'héliosynchronisme ... 276, 665, 729, 753 de Hubble ....................... 382 de Somigliana .................... 72 constellation de satellites ACE (ESA) ..................... 630 ACE+ ...................... 351, 630 Beidou-2 ........................ 619 Big Dipper ...................... 619 CLARREO ...................... ~o COBRA ......................... 379 Compass ........................ 619 COSMO-SkyMed ................ 350 DMC ............................ ~5 Ellipso Borealis ........ 282, 379, 459 Ellipso Concordia ................ 379 FLOWER ....................... 3rn FLOWER CfTM ................ 379 FormoSat-3jCOSMIC ...... 340, 630 Th~oFOC ...................... ~5 Galileo .......................... 618 éclipse ........................ 433 plans orbitaux ................ 608 GlobalStar ...................... 380 GlobalStar-2 ..................... 380 Glonass ......................... 613 éclipse ........................ 433 plans orbitaux ................ 608 Gonets-D1 ....................... 380 GPM ............................ 347 ICO ............................. 379 Iridium .......................... 380 Iridium-Next .................... 380 Loopus .......................... 378

816

Index

Mercury ......................... 395 Molnya .......................... 364 Nadejda ......................... 361 NavstarjGPS ........... 77, 601, 602 éclipse ........................ 433 plans orbitaux ........... 605, 608 NOSS ........................... 395 NSS 30 .......................... 632 Odyssey ......................... 379 Orbcomm ....................... 380 Parus ....................... 361, 633 QZSS ........................... 629 RapidEye ........................ 350 Rocsat-3jCOSMIC .............. 340 SB-WASS ....................... 395 SBIRS-GEO ..................... 393 SBIRS-HEO ..................... 393 SBIRS-High ..................... 393 SBIRS-Low ...................... 393 SD-Radio ........................ 275 SkyBridge ....................... 380 Strela-3 ......................... 380 SWARM ........................ 351 Teledesic ........................ 380 Transit ..................... 361, 632 nump~ ........................ ~5 Tselina .......................... 395 Tsikada ..................... 361, 633 VIRGO ......................... 379 WATS ........................... 630 WEST .......................... 379 contrôle d'attitude .................... 503 coordonnées écliptiques ....................... 252 équatoriales célestes ........ 252, 563 horizontales ..................... 563 coucher du Soleil ...................... 565 crochet de Lagrange .................. 164 cryostat ............................... 385 cryovolcanisme ................... 743, 770 cycle p. r. Soleil .................. 399-406 demi-cycle .................... 404 p. r. Terre ......... 439-462, 577, 578 phasage ......................... 439 répétitivité ...................... 439

date

D-

julienne ................ 262, 307, 651 modifiée ...................... 262 décalage vers le rouge ................. 382 décalage équatorial ..... 292,463, 472, 519 déclinaison .... 252, 259, 420, 421, 435, 653 déflexion gravitationnelle .............. 714 Delta V .......................... 197, 659

demi-fauchée de l'instrument .................. 508 au sol ........................... 509 demi-grand axe .................... 94, 140 ellipse ............................. 3 invariabilité ..................... 209 densité atmosphérique ................ 194 dérive en latitude ...................... 268 en longitude ................ 266, 268 en heure locale ......... 414, 415, 417 développée de courbe .................. 19 DGPS voirGPS ........................ 600 diagramme de phasage Mars ............................ 681 Terre ....................... 444-446 disque terrestre .................. 532, 543 distance par laser Lune ............................. 81 satellite ................ 74, 76, 77, 81 distance relative .............. 38, 144, 506 fonction de l'anomalie ....... 118-121 DOmS ................................ M durée de révolution ................ 97, 192 de visibilité ................. 555-562

-E-

échantillonnage .................. 547, 699 angulaire ........................ 547 tableaux mensuels ...... 571-583, 699 temporel ........................ 547 éclipse solaire .411, 424-437, 534, 775, 791 eclipsis .......................... 424 angle solaire (3 ................... 420 orbite aréostationnaire ........... 679 orbite crépusculaire .............. 427 orbite géostationnaire ........... .433 écliptique ................... 252, 424, 713 effet d'albédo .................... 159, 659 de marée ................... 701, 746 relativiste 157, 158, 259, 326, 597, 659 éléments orbitaux ...... 142, 161, 175, 181 angulaires .................. 175, 186 de Delaunay ..................... 176 képlériens ................... 142, 161 métriques ................... 175, 186 NORAD .143, 251, 305-311, 435, 453 osculateurs ............. 161, 189, 496 TLE voir NORAD ................. 305 ellipse affinité ...................... 7, 9, 13 angle d'excentricité ....... 13, 95, 104

Index

aplatissement ................. 12, 13 apside ............................ 95 centre ............................. 3 cercle osculateur .................. 19 définition .......................... 2 demi-grand axe .................... 3 demi-petit axe ..................... 3 développée .................... 19, 21 directrice .................... 3, 9, 11 distance focale ..................... 3 excentricité ................. 3, 12, 13 foyer ........................... 3, 19 grande normale ............... 28-34 historique ....................... 2, 6 intégrale elliptique ................ 16 longueur d'arc .................... 16 périmètre ......................... 16 paramètre ......................... 5 propriétés .......................... 2 réflexion .......................... 19 rayon de courbure ........ 19, 31, 646 rayon de l'ellipse .................. 17 section conique .................... 2 théorème de Dandelin ............ Il trajectoire ....................... 129 ellipsoïde Mars ............................ 645 Terre .... 23-40, 63, 64, 179, 489, 490 élongation nodale ..................... 142 énergie cinétique ........................ 127 consommée ...................... 268 mécanique ....................... 127 potentielle ....................... 127 équateur ............................... 24 céleste ........................... 563 équation œquatio, nis ..................... 112 du centre 112, 254, 255, 261, 651, 656 extremum ..................... 114 du temps 255, 284, 399, 420, 421, 427, 566, 656, 699 équation( s) de Delaunay ..................... 176 de Gauss ........................ 191 de Kepler ................... 101, 102 de Lagrange ..................... 161 équinoxe .................... 253, 260, 433 Mars ....................... 649, 654 Saturne ................ 744, 779, 803 Eros données astronomiques .......... 740 données géodésiques ............. 740 exploration spatiale .............. 737 excentricité ......... 91, 140, 723, 740, 750 angle d'- ........................ 13

817

coniques ........................... 6 ellipse ............................. 3 gelée ............................ 497 exoplanète recherche d'- ................... 389 expansion de l'univers ................. 382 extrapolation d'orbite ................. 189

-F-

fauchée ............................... 505 angle ............................ 506 conique ............ 526-530, 776, 794 effective ...................... 528 de l'instrument .................. 506 à lacet variable ......... 524-526, 792 le long de la trace ........... 505, 524 maximale de l'instrument ............... 508 possible ....................... 508 orthogonale .. 505, 515, 517, 520, 527, 529, 530, 776, 793 et phasage ....................... 523 finance et GPS ........................ 630 fonction des cartes réduites ............... 317 des latitudes croissantes ......... 317 fonctions de Legendre .............. 58, 85 degré ............................. 59 ordre ............................. 59 force conservative ...................... 50 dissipative ........................ 52 formule(s) de Binet .......................... 89 de Clairaut .................. 71, 201 de Somigliana .................... 71 foyers de l'ellipse ...................... 489 fréquence quotidienne d'intersection du méridien ....... 583 orbitale ...... 250, 292, 440, 442, 484 de phasage .. 251, 295, 299, 440, 442, 463, 484 synodique .................. 302, 359 fronde gravitationnelle ................ 714 frottement atmosphérique .... 76, 158, 190, 191, 193-201, 326, 659, 726 aérofreinage ..................... 198 altitude décroissante ............. 500 coefficient balistique ........ 196, 500 Delta V ..................... 197, 659

-G-

gel d'orbite ........................... 495 générateur nucléaire .................. 361 géoïde terrestre ........... 64, 79, 179, 489 géolocalisation par satellite

818

Index

voir GPS ........................ 589 géopotentiel ........................ 57-64 géostationnaire ....................... 263 accélération longitudinale ........ 269 dérive E-W ............ 266, 267, 269 dérive N-S .................. 268, 269 longitude de stationnement ............. 263 Mars voir aréostationnaire .......... 662 géosynchronisme ................. 262-274 GNSS voir GPS ........................ 613 voir système de navigation ...... 613 GPS base de temps ................... 593 code PRN ....................... 603 correction d'horloge ............. 597 différentiel (DGPS) .... 600-601, 612 HA-NDGPS .................. 601 RTK .......................... 601 système d'augmentation ...... 601 horloge satellite .................. 589, 603 utilisateur .................... 593 hors localisation ................. 629 perturbation du signal ........... 595 phase du signal .................. 593 plaques tectoniques .............. 633 positionnement par - ............ 84 principe général ................. 589 segment de contrôle .................... 607 spatial ........................ 603 utilisateur .................... 610 station de contrôle ............... 610 utilisateur position ....................... 592 vitesse ........................ 595 grand cercle ............................ 24 GRAVES ............................. 305 gravitation ......................... 66, 68 universelle ................... 52, 208 gravité et pesanteur .................. 56, 68 Terre .................. 56, 67, 68, 71 grille de phasage ............ .439, 462-478 référence ........................ 470 ERS .......................... 470 GRS .......................... 4ro IRSP4G ...................... 470 MWRS ....................... 470 TPG ......................... .470 WRS ......................... 470

-H-

hamiltonien ........................... 165 harmoniques sphériques ................ 60 sectoriels ......................... 60 tesséraux .................... 60, 189 zonaux .................. 60, 183-189 hauteur ellipsoïdale (altitude) ........ 34, 600 solaire ........................... 565 de visée ......................... 554 héliosynchronisme .. 275-284, 665, 729, 753 hérésie ................................ 133 heure locale ....................... 258, 284 dérive ........................ .417 de passage .................. 399, 411 après-midi .................... 413 choix ......................... 411 matin ......................... 413 solaire ........................... 258 TSM ......... 258, 284, 399, 420, 427 TSV .............. 258, 399, 420, 427 TU .............................. 258 hyperbole historique .......................... 6 section conique .................... 2 trajectoire ....................... 129

-1-

inclinaison .............. 140, 142, 295, 321 apparente .............. 295-298, 694 critique .. 182, 238, 242, 378, 459, 496 héliosynchrone .............. 277, 665 orbite circulaire .......... 277, 666 orbite excentrée .......... 282, 666 héliosynchr. & critique 282, 379, 459, 667, 685 strictement polaire .............. 241 indice de déformation de pixel .......... 512 de phasage ............. 482-488, 688 instrument butée ............................ 508 champ de vue ................... 508 fauchée, demi-fauchée ............ 505 intégrale elliptique ..................... 16 interférométrie radio voir VLBI ........................ 83 intertrace orbitale ..................... 464 intervalle de base .......................... 464 de grille ......................... 464 ionosphère ............................ 591 Iç[wv ................................. XXI

Index

jour

-J-

julien ....................... 262, 307 julien modifié .................... 262 moyen ................. 248, 365, 555 moyen (sol) ...................... 648 sidéral ................. 248, 365, 555 solaire vrai ...................... 257 stellaire ......................... 248 unité ............................ 247 unité astronomique .............. 215 jour et polaire ........................ 566 Jupiter données astronomiques .......... 723 données géodésiques ........ 216, 723 exploration spatiale .............. 718 grande tache rouge .............. 716 satellites naturels ................ 746

-L-

lacet (angle) ..................... 148, 504 latitude aréocentrique .................... 644 aréographique ................... 644 astronomique ..................... 25 céleste ........................... 252 croissante (~ercator) ............ 317 écliptique ........................ 252 géocentrique 26, 36, 37, 39, 40, 57, 66, 644 géodésique .25, 26, 31, 32, 36, 37, 39, 40, 66, 644 géographique ... 25, 26, 231, 532, 563, 644, 695 maximale atteinte .290-291, 500, 510 maximale vue ................... 510 paramétrée ....................... 26 planète ~ars .................... 644 planétocentrique ................. 644 planétographique ................ 644 du satellite ................... 57, 178 du Soleil ......................... 252 sphérique ......................... 23 lever du Soleil ........................ 565 libration ......................... 221, 225 ligne des apsides ....................... 95 des nœuds ....................... 139 limbe ................................. 508 limite de Roche .................. 701, 718 Linear ........................... 711, 715 LLR ............................... 79,83 logarithme politiquement incorrect! ......... 318 projection de ~ercator .......... 317 Wright et Napier ................ 317

819

logiciel

loi(s)

Atlas ................ XVIII, 312, 755 Ixion .. . XVIII, 40, 159, 198, 290, 305, 312, 399, 437, 502, 527, 547, 569, 755, 776 Ixion/Web .................. 781, 806

des aires .89, 106, 110, 133, 261, 653, 656 de conservation .................. 125 des ellipses ...................... 133 harmonique ..................... 133 de Kepler ......... 130, 134, 723, 771 de la mécanique ............. .49, 133 de Newton ................... 49, 133 loi (empirique) de Titius-Bode .................. 712 longitude aréocentrique ............... 649, 652 céleste ...................... 252, 649 écliptique ................... 252, 400 géographique ...... 179, 231, 532, 695 du nœud ascendant .............. 140 du point subsatellite ... 532, 543, 695 du satellite ............. 532, 543, 695 du Soleil .................... 252, 259 sphérique ......................... 23 de stationnement .. 263, 532, 543, 695 instable .................. 272, 664 stable .................... 272, 664 Lune .................... 81, 192, 222, 334 luna, œ .......................... 302 accélérations perturbatrices ...... 751 données astronomiques ...... 216, 750 données géodésiques ............. 750 exploration spatiale .............. 714 héliosynchronisme ............... 754 libration ......................... 221 mers ............................ 758 mois ............................. 302 points de Lagrange .............. 225 résonance (1:1) blocage .......... 746 vitesse ........................... 302

-M-

maintien sur orbite .............. 284, 478-481 dérive ........................ .479 manœuvre .................... 481 à poste ..................... 268, 663 manœuvre maintien à poste ................. 274 maintien sur orbite .............. 481 marée ............................ 701, 746 océanique ....................... 157 terrestre ......................... 157

820

Mars

Index

accélérations perturbatrices .657, 658 altitude origine .................. 643 angle solaire {3 ................... 678 atmosphère ............ 635, 644, 713 carte ....................... 778, 800 constante solaire ................. 640 données astronomiques ...... 647, 723 historiques .......... 705, 707, 771 données géodésiques ........ 647, 723 ellipsoïde ........................ 645 excentricité de l'orbite ........ 14, 15 exploration spatiale .............. 636 dates de lancement ........... 641 géographie ....................... 641 insertion en orbite ............... 637 voir MOI (orbite) ............. 637 voir aérofreinage .............. 637 latitude ......................... 644 longitude solaire ................. 649 méridien origine ................. 643 périhélie ......................... 652 et point vernal ................ 650 retour d'échantillon ......... 640, 694 satellites naturels ........... 223, 701 topographie ..................... 641 Mercure accélérations perturbatrices . 726, 728 données astronomiques .......... 723 données géodésiques ............. 723 exploration spatiale ......... 714, 730 périhélie .................... 158, 205 méridien .......................... 24, 248 meridies, ei ..................... 248 angle avec la trace ............... 298 céleste ........................... 563 géographique .................... 563 grand cercle ...................... 24 de Greenwich ........... 24, 258, 307 Île de Fer ......................... 24 du lieu .......................... 550 origine ................. 643, 726, 748 de référence ..................... 547 méthode analytique de Kaula ........................ 189 de King-Hele .................... 190 de Koskela ...................... 241 de Kovalevsky ................... 241 méthode des perturbations présentation ................ 159-167 résolution (Lagrange) ....... 167-176 méthode de résolution de Newton-Raphson ............. 106 mètre création .......................... 46 définition .................... 47, 217

mille marin ....................... 30, 231 mission en tandem ............... 360, 481 modèle de potentiel 433-Eros NLRl00 ...................... D7 Lune GLGM ....................... 756 GLGM-l ...................... 756 GLGM-2 ...................... 756 LPLGM ...................... 756 Mars GMM-l ....................... 647 GMM-2 ....................... 647 GMM-3 .................. 647, 648 MGMI025 ............... 645, 648 Vénus JPL-VGMlB ................. 733 MGNP90 ..................... 733 modèle de potentiel terrestre EGM ............................. 77 EGM96 ............. 80, 81, 773, 783 EIGEN .................... 78, 80, 81 GEM ...................... 76, 80, 81 GGM ............................. 77 GRIM ..................... 77, 80, 81 JGM ...................... 76, 80, 81 NWL ............................. 76 SAO-SE .......................... 76 module atterrisseur Curiosity ........................ 640 Huygens ......................... 765 LM/ Apollo-15 .............. 758, 760 Mars Pathfinder ................. 637 MER-A et -B .................... 637 MSL ............................ 640 NEAR ........................... 736 Opportunity ................ 637, 642 Pathfinder ....................... 642 Philae ........................... 721 Phobos-Grunt ................... 640 Phoenix .................... 640, 642 Spirit ....................... 637, 642 TandEM ........................ 769 TSSM ........................... 769 Viking-l et -2 ............... 636, 642 module de phasage ............... 443, 445 mois définition ........................ 653 durée ............................ 653 moment cinétique ................. 88, 127 monothéisme ......................... 325 mouvement intégrales premières ............. 125 képlérien ...... 93, 139, 191, 657, 725 de Lagrange et Poisson .......... 211 orbital plan ....................... 88

Index

mouvement apparent du Soleil coordonnées écliptiques .................... 251 équatoriales célestes ........... 251 équation du centre ............... 253 réduction à l'équateur ........... 254 sphère céleste ............... 251, 252 mouvement de la Terre autour de l'axe des pôles ......... 247 autour du Soleil ................. 246 mouvement des pôles ............ 249 moyen mouvement ..................... 97 appoint ................ 183, 238, 243 constante de Gauss .............. 217 képlérien ......................... 97 réel .............................. 183 résonance ........................ 764 variation relative ............ 238-240

-N-

nadir ..................... 35-37, 290, 506 navette spatiale ....................... 396 Neptune découverte ....................... 204 données astronomiques .......... 723 données géodésiques ............. 723 exploration spatiale .............. 718 satellites naturels ........... 713, 746 noeud ascendant ....................... 140 ascension droite ............... 140 longitude ..................... 140 descendant ...................... 140 de l'orbite .................. 140, 182 NORAD .............................. W5 nuage d'Oort ......................... 711 nuit et jour polaire .................... 566 nutation (angle) .................. 142, 148

-0-

objets trans-neptuniens ............... 712 obliquité 211, 251, 259, 260, 421, 435, 565, 723, 740 occultation radio voir radio-occultation ........... 629 opposition de planètes ................ 641 orbite orbita, œ ........................ 139 pour révolution .................. 322 aréocentrique .................... 681 aréostationnaire ............ 662, 723 basse ............................ 321 cimetière ........................ 269 circulaire .............. 233, 299, 555 de Clarke ........................ 321 crépusculaire ............... 416, 678

821

directe .......................... 321 équatoriale ................. 265, 321 à forte excentricité ............... 560 de garage ........................ 269 gelée ......... 495-500, 688, 729, 754 géostationnaire .... 145, 190, 263, 723 géosynchrone ............... 190, 262 en halo ............ 226, 334, 355, 384 haute ............................ 321 héliocentrique ............... 334, 681 héliosynchrone 275, 662, 665, 723, 727 excentricité limite ............. 282 inclinaison ............... 277, 282 inertielle ......................... 241 képlérienne ...................... 139 moyenne ......................... 321 non gelée ........................ 498 en pétale ........................ 334 planétostationnaire ......... 723, 727 planétosynchrone ........... 723, 727 polaire ................. 241, 321, 403 prograde ........................ 321 quasi circulaire ......... 143, 233, 321 quasi équatoriale ....... 143, 265, 321 quasi équ. & quasi circ ........... 143 quasi polaire ..................... 321 rétrograde ......... 277, 321, 359, 667 strictement polaire .......... 241, 321 de transfert ................. 322, 343 type COBRA ................. 371, 379 Ellipso Borealis .......... 379, 459 FLOWER ................ 379,459 FLOWER CfTM ......... 379, 459 GPS ..................... 459, 606 JOCOS ............. 372, 379, 459 Loopus .............. 370, 378, 459 Molnya 96, 108-110, 114, 190, 364, 366, 459, 555, 557, 561, 562 QZS .......................... 629 SPOT ............... 190, 350, 560 Supertundra .... 275, 378, 459, 562 Sycomores ............... 378, 459 Terra .................... 349, 453 Tundra ... 275, 378, 459, 555, 557, 561, 562 VmGO ....................... 369 VirtualGeo .......... 369, 379, 459 WEST ................... 372, 379 xpO (planètes) LMO ......................... ~2 SMO ..................... 662,693 xsO (satellite naturel) LLO .......................... 754 xyO ETHO ........................ ~5

822

Index

FTO .......................... 322 GEO ......................... 321 GSO ..................... 321, 627 GTO ......................... 322 HEO ....... 322, 364-379, 459, 560 IGSO .................... 321, 620 L1LO ...... 226, 227, 322, 334, 355 L2LO .......... 227, 322, 384, 386 LEO .......................... ~1 MEO .................... 321, 602 NEO ......................... ~7 THEO ........................ ~2 VHO ......................... 322 yOI (insertion) EOI .......................... 765 GOI .......................... re5 JOI ................. 718, 741, 765 LOI .......................... 721 MOI .. 636, 637, 640, 641, 681, 687 SOI ...................... 719, 744 ordre divin .................. 131, 208, 389 orthodromie .......................... 231

-p-

paléoclimats Mars ............................ 648 Terre ....................... 213, 214 parabole historique .......................... 6 section conique .................... 2 trajectoire ....................... 129 parallèle ............................... 24 petit cercle ....................... 24 parallèle (géographique) cercle polaire ............... 565, 656 du lieu .......................... 550 tropique .................... 565, 656 paramètre (conique) ............ 5, 91, 188 paramètre climatique ................. 214 paramètres orbitaux .............. 181, 489 adaptés .......................... 143 képlériens ....................... 142 passage .......................... 399, 547 échantillonnage ... 576, 577, 582, 583 fonction de l'inclinaison ..... 585, 587 fonction de la latitude .. 576, 582, 583 par tranche horaire .............. 577 statistiques ............ 576, 582, 583 périastre .......................... 94, 649 gelé ............................. 691 péricentre .............................. 94 périgée ............. 94, 158, 253, 254, 497 gelé ............................. 497 périhélie .. 94, 158, 205, 254, 649, 653, 771 période ............................ 97, 192 anomalistique ................... 191

draconitique ................ 192, 440 képlérienne ......... 97, 144-145, 657 nodale ........................... 192 orbitale ...................... 97, 192 d'orbite en halo .................. 226 synodique ......... 302, 583, 703, 714 période (planète) révolution ....................... 723 rotation ......................... 723 période (satellite naturel) révolution ....................... 749 rotation ......................... 749 période (Terre) révolution ....................... 246 rotation ......................... 247 synodique ....................... 641 périsélène ............................. 754 perturbations (méthode de Lagrange) .159 pesanteur ....................... 56, 66, 68 et gravité ..................... 56, 68 terrestre .......................... 67 équateur ....................... 71 anomalies ......... 73, 75, 773, 783 pôle ............................ 71 petit cercle ............................. 24 phasage ............ 190, 439, 522, 681-688 contrainte de - ................. 439 cycle ................... 439-462, 577 diagramme ............. 444-446, 681 distance relative ................. 482 à éviter ..................... 455, 687 et fauchée ....................... 523 grille ........................ 462-478 imparfait ........................ 483 indice ....................... 482-488 module ..................... 443, 445 nombres premiers ................ 444 parfait ........................... 483 sous-cycle .................. .467, 577 sur un jour ........ 189, 455, 461, 462 sur un sol ....................... 687 tri plet ........................... 442 volontaire ....................... 483 pixel .................................. 505 barrette CCD ................... 505 déformation ..................... 512 largeur ........................ 513 longueur ...................... 512 surface ........................ 513 géostationnaire .... 538, 539, 542-544 indice de déformation ............ 512 résolution ................... 348-357 plan équatorial .................. 140, 141 orbital ...................... 140, 141 angle {3 ....................... 420

Index

planète planeta, œ ....................... 710 géante ...................... 710, 745 naine ............................ 712 tellurique ................... 710, 745 Pluton atmosphère ...................... 713 données astronomiques .......... 723 données géodésiques ............. 723 exploration spatiale .............. 719 satellite naturel ........ 719, 727, 746 point subsatellite ... 35, 290, 495, 506, 533, 695 point vernal ................. 139, 252, 435 Mars ....................... 649, 653 points de grille .............. 472-478, 687 points de Lagrange .220-227, 388, 389, 753 pôle géométrie de vue ................ 551 instantané ....................... 249 mouvement ...................... 249 moyen ........................... 249 polhodie .............................. 249 polyèdre régulier ................. 131, 147 polynômes de Legendre ............. 58, 84 position sur orbite (angle) .. 142,179,489, 688 constellation GPS ............... 608 positionnement par satellite voir GPS ........................ 589 potentiel ............................... 50 géopotentiel ...................... 60 pesanteur ......................... 66 terrestre .......................... 67 voir potentiel gravitationnel .... 57 potentiel gravitationnel ................ 53 terme en Gl m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 terme en h .. 63, 64, 69, 70, 74, 154, 188, 211, 216, 234, 496, 658, 723, 726, 729, 750, 753, 754 terme en h (historique) ......... 201 terme en h ... 73, 187-188, 496, 497, 688, 723, 729, 754 terme en h (historique) ......... 202 terme en J4 ......... 64, 73, 238-241 terme en J 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 terme en J n 64, 73, 154, 496, 658, 723 terme en J n (historique) ......... 202 terme en h2 ................ 270, 663 terme en hn ........... 187, 238, 729 terme en hl ................ 272, 664 terme en h3 ................ 272, 664 terme en SIm ..................... 64 précession prœcessio, nis ................... 285 angle .................. 142, 148, 285

823

apsidale ...... 158, 182, 202, 205, 494 climatique ....................... 214 cycle ............................ 401 des équinoxes .210-212,247,285,649 mouvement ................. 182, 285 nodale ................. 182, 201, 276 vitesse ........................... 285 pression de radiation ........ 159, 191, 659 principe d'équivalence .................... 390 fondamental de la dynamique 49, 134, 139, 390 de relativité de Galilée ........... 139 d'universalité de la chute libre ... 390 PRN (code) ........................... 603 GPS ........................ 603, 605 SBAS ........................... 627 problème à 2 corps ........................ 137 des 3 corps restreint ...................... 220 de Kepler .......... 98, 105, 773, 784 programme météorologique DWSS ........................... ~8 IJPS ....................... .414, 415 JPSS ............................ 338 NPOESS ........................ 338 POES ...................... 338, 415 projection cartographique ........ 311-319 Adams .......................... 312 Arden-Close ........... 317, 329, 330 Armadillo ....................... 313 aspect ........................... 312 avec interruption ................ 313 Behrmann ....................... 313 Boggs Eumorphic ................ 313 interrompue .................. 631 déchirée ......................... 775 Gauss ........................... 317 Guyou ............ 309, 312, 535, 537 loxodromie ...................... 317 Mercator 312, 316-318, 331, 343, 612 transverse .................... 317 Miller ........................... 317 Mollweide ....................... 313 interrompue ......... 775, 788, 789 orthodromie ..................... 317 orthographique ... 313, 332, 333, 339, 536 perspective ...................... 535 plate-carrée ...................... 313 propriété conforme ..................... 311 équivalente ................... 311 Raisz ............................ 313 Snyder ............ 313-315, 318, 670

824

Index stéréographique ... 312, 318-319, 330, 536 type ............................. 312 UTM ....................... 317, 331 vue perspective ............. 313, 342

radar

-R-

bande d'émission ........... 351, 774 missions ........... 350-359, 773, 785 radio-occultation .. 340, 629, 631, 644, 776, 795 rayon de l'ellipse ....................... 17 latitude géodésique ............... 29 rayon terrestre ........................ 506 équatorial .......... 81, 216, 489, 490 fonction de la latitude ...... 489, 490 rayon vecteur ................. 87, 11 7-125 valeur moyenne .................. 118 rebond post-glaciaire ................... 78 recouvrement équatorial ....................... 519 fraction ....................... 519 en latitude ...................... 511 récupération de capsule (film) ............ 357, 358 de satellite .................. 363, 387 réduction à l'équateur ............ 255, 656 référentiel copernicien ....................... 49 galiléen ................. 49, 289, 732 lié à la planète .............. 675, 732 pseudo-galiléen ................... 50 terrestre .......................... 50 réflecteur laser ..................... 74, 77 réflexion spéculaire 411, 568, 569, 776, 793, 794 Mars ....................... 700, 701 Titan ............................ 768 réfraction atmosphérique .............. 566 relations de Gauss ............... 228, 564 relativité effet relativiste ......... 157, 259, 659 générale ......................... 206 effet Lense- Thirring ...... 158, 326 effet Sagnac ................... 597 repère orbital local ..................... 503 terrestre ......................... 289 résolution ........................ 348-357 résonance .......... 727, 730, 746, 747, 764 (1:1) blocage ................ 746,747 de Laplace ....................... 764 orbitale .......................... 189 restitution d'orbite méthode analytique .............. 159

méthode numérique .............. 159 révolution revalutia, anis .................... 97 durée ............................. 97 période ...................... 97, 189 rotation bloquée .......................... 729 chaotique ........................ 746 synchrone ................... 746,749 rotation propre (angle) ........... 142, 148 roulis (angle) ..................... 148, 504

s-

saisons ........................... 261, 656 début ........................... 260 définition ........................ 653 durée ............. 260, 261, 653, 656 satellite satelles, itis ..................... 137 aréostationnaire ............ 662, 693 accélération longitudinale ..... 663 déformation des pixels ........ 692 disque vu ..................... 695 maintien à poste .............. 663 aréosynchrone ................... 662 défilant .......................... 322 à dérive de l'heure locale ........ 322 furtif ............................ 357 géostationnaire ... 145, 190, 263-274, 302, 362-364, 551 accélération longitudinale ..... 269 déformation des pixels ... 514, 517 dérive E-W .............. 266, 269 dérive N-S .................... 269 disque terrestre ........... 531-545 éclipse ................... 433-435 maintien à poste .............. 269 mode de balayage ............. 506 géosynchrone ...... 190, 262-274, 296 héliosynchrone .... 275-284, 407-417, 443-455, 665-667, 681-685 éclipse ............... 427-433, 678 indétectable ..................... 357 moulin à vent ................... 733 pa~ag~ ......................... 3~ phasé ......... 190, 439-488, 681-688 sur un jour ..... 189, 455, 459, 461 sur un sol ..................... 686 polaire ...................... 241,403 récupéré ......................... 363 sépulture ........................ 396 strictement polaire .............. 241 satellite <nom de satellite>-n ............ 323 1957a ........................... 201 1957~ ........................... 201

Index

1958(32 .......................... 202 195900 ........................... 202 1959ry ........................... 202 1960i2 ........................... 202 19610001 ......................... 202 1961v ........................... 202 19610 ............................ 202 1962m .......................... 202 1962(3tL .......................... 202 1962(3v .......................... 202 A-1 .............................. 325 AAU jCubesat ................... 353 ACE ................... 226,227,334 ACE+ ........................... ~l ACE+-n ........................ 630 ACE-A .......................... 346 ACE-B .......................... 346 ACRIMSAT ................ 360, 387 ADE-A ........................... 74 ADEOS-1 ... 354, 414, 419, 450, 467, 485, 486, 505 ADEOS-2 354, 414, 449-451, 465, 505 ADM ............................ 351 AEHF-1 ......................... 364 AEM-1 et -2 ..................... 345 AEM-3 .......................... 328 Aeolus-ADM ................ 351,416 Aeros-1 et -2 .................... 276 AFP-731 ........................ 358 AfriStar ......................... 362 Agila-2 .......................... 362 Agile ............................ 382 AIM ................... 345, 448, 450 Ajisai ............. 74, 77, 79, 83, 330 Akari ............................ 385 Akebono .................... 332, 335 Almaz-1 ......................... 359 Almaz-T-2 et -T-3 ............... 359 ALOS ................. 354, 414, 450 ALO~2 ......................... ~O AISat-1 .......................... 355 Altika ............................ 84 Amos-2 .......................... 362 Anatolia-1 ....................... 363 Anik-1 .......................... 362 Anik-F1R ....................... 627 ANNA-lB .............. 74,202, 326 AOR-E .......................... 627 AOR-W ......................... 627 Apollo-lI .................... 83, 395 Apollo-14 ......................... 83 Apollo-15 ......................... 83 Aqua ... 348, 349, 413, 414, 419, 451, 531, 569, 571-572, 574, 576, 775, 776, 791, 793, 796 Aquarius ................... 448, 449

825

AquariusjSAC-D ........... 347, 360 ARGOS ......................... 391 ARIES-1 ........................ 354 Arirang-1 ......... 360, 414, 449, 451 Arirang-2 ................... 360, 414 Artemis ................ 364, 624, 627 ASCENDS ...................... 350 AsiaSat-1 ........................ 363 AsiaSat-3 ........................ 363 AsiaSat-3S ...................... 363 AsiaSat-5 ........................ 362 Astérix .......................... 325 Astra-1M ........................ 362 Astrid-1 et -2 .................... 328 Astro-E2 ........................ 383 Astro-F ......................... 385 Astro-G .................... 377, 386 Astron .......................... 383 Atlantis ................ 395, 714, 718 ATMOS-Bl ..................... 347 Atmosphere-1 et -2 .............. 336 ATS-1 à-5 ....................... 265 ATS-6 ....................... 81, 265 AUOS-SM-KF ................... 387 AUOS-SM-KI ................... 387 Aura .............. 347-349, 414, 451 AXAF ........................... 382 B~~4 .......................... ~2 B~~B .......................... ~3 BE-B et -C ....................... 74 Beacon-Explorer-1 et -2 ........... 74 Beidou-1A .................. 274, 623 Beidou-1B ....................... 623 Beidou-1 C ....................... 623 Beidou-2-G1 à -2-G4 ............ 620 Beidou-2-Il et -2-I2 .............. 620 Beidou-2-M1 .................... 619 Beijing-1 ........................ 355 BeppoSAX ...................... 383 BilSat-1 ......................... 355 Bion-lI ......................... 392 BIRD ........................... 355 Blues ............................ 275 BNSCSat ........................ 355 BNTS-1A à -lC ................. 623 Boitata .......................... 347 BrazilSat-B4 .................... 362 Cl (JPSS) .................. 397,398 C2 (JPSS) .................. 397,398 Calipso .. 347-349, 414, 421, 422, 451 CanX-2 .......................... 353 Canyon-1 ........................ 395 Canyon- 7 ................... 344, 395 Cartosat-1 ............. 353, 414, 450 Cartosat-2 ........ 353, 414, 449, 450 Cartosat-2A ................ 353, 414

826

Index Cartosat-2B ..................... 353 Cartosat-3 ....................... 353 CBERS-l .............. 354, 414, 451 CBERS-2 .............. 354, 414, 451 CBERS-2B ............ 354, 414, 451 CBERS-n ....................... 449 Celestis-l à -4 ................... 396 Celestis-7 ........................ 396 CGRO .......................... 382 Chalet-l ......................... 395 Challenger ....................... 395 CHAMP .... 75, 78, 81, 198, 326, 630 Chandra ..... 373, 382, 383, 780, 805 China-26 ........................ 364 ChinaSat-9 ...................... 362 ChinaStar-l ..................... 362 Chollian ......................... 345 Choma .......................... 350 Choros .......................... 350 Chuang Xin-l-02 ................ 354 CiS .............................. 397 CLARREO ...................... ~O CloudSat .......... 347-349, 414, 451 Cluster .......................... 335 Cluster-2 ........................ 335 COBE ........................... ~5 COBRA-n ............. 371, 379, 459 COBRAS/SAMBA .............. 386 Columbia ........................ 395 Compass-l/Cubesat ............. 353 Compass-G-n .................... 621 Compass-G 1 à -G4 .............. 620 Compass-I-n .................... 621 Compass-Il et -12 ............... 620 Compass-M-n ................... 621 Compass-Ml ................. 83, 619 Compton ........................ 382 COMS-l .................... 341,345 Copernicus ...................... 383 Coriolis ........... 361, 416, 449, 450 CORONAS-Photon .............. 387 CoRoT ....... 241, 389, 404, 405, 458 COSMIC-FormoSat-3-n ......... 340 COSMO-SkyMed-l à -4 .... 350,416, 448, 450, 451 Cross-Scale ...................... 336 CryoSat ......................... 355 CryoSat-2 ........... 83, 84, 355, 458 Cute1.7+APD2 .................. 353 CX-I-02 ......................... 354 CXO ............................ 383 D~C ............................. n D~D ............................. n Daichi ........................... 354 Darwin ..................... 227, 389 DE-A et -B ...................... 241

Deimos-l ........................ 355 Delfi-C3 ......................... 353 DESDynI ........................ 355 DFH-l .......................... 325 DFH-24 ......................... 338 DFH-30 ......................... 338 DFH-31 et -32 ................... 336 DFH-38 ......................... 335 DFH-46 .................... 328, 338 DFH-47 ......................... 328 DFH-50 ......................... 354 DFH-51 et -52 ................... 623 DFH-53 ......................... 338 DFH-54 ......................... 360 DFH-55 ......................... 354 DFH-56 ......................... 623 DFH-60 ......................... 328 DFH-61 ......................... 328 DFH-68 ......................... 392 DFH-70 ......................... 328 DFH-71 ......................... 328 DFH-78 et -79 ................... 354 DFH-80 ......................... 328 DFH-81 ......................... 328 DFH-90 ......................... 354 DirectTV-8 ...................... 362 Discoverer-l ..................... 357 Discoverer-14 .................... 357 Discoverer-18 .................... 357 Discoverer-27 .................... 357 Discoverer-34 .................... 202 Discoverer-35 .................... 358 Discovery ........................ 395 DMSP-4A F-l ................... 338 DMSP-4A F-13 .................. 338 DMSP-4B F-3 ................... 338 DMSP-5A F-l ................... 338 DMSP-5D2 F-8 à F-17 .......... 338 DMSP-5D3 F-18 ....... 338, 528, 530 DMSP-5D3 F-19 et F-20 ......... 338 DMSP-n ........................ 414 DODGE ......................... 391 DSCO ........................... 355 DSCOVR ....................... 355 DSCS-3A3 ....................... 364 DSC~3B6 ....................... 3M DSP-l et -2 ..................... 335 DSP-F-21 à -F-23 ............... 392 DubaiSat-l ...................... 356 DWSS F-l et DWSS F-2 ........ 338 Dynamics Explorer-l et -2 .. 241, 334 Early Bird (Intelsat-l) ........... 265 EarlyBird-l ..................... 356 EarthCARE .. 347,446,448,452,524 EarthView-Ol à -04 .............. 396 EarthWatch-l ................... 356

Index

Echo-1 ............. 74, 159, 202, 380 Echo-2 .................. 74, 159, 380 e-Corce ..................... 350, 450 Eddington .................. 227, 389 EGE ................... 376,390,459 EGP ..................... M,n,~O EGPM ................. 347, 351, 451 EGS-1 ............................ 74 Einstein ......................... 382 EIS-1 ............................ 358 Elektro-1 .......... 340, 341, 537, 538 Elektron-1 à -4 .................. 328 Ellipso Borealis ........ 282, 775, 790 Ellipso Borealis-n .276, 379, 459, 685 Ellipso Concordia-n ............. 379 Endeavour ....................... 395 EnMAP .................... 449, 450 Envisat ... 83, 84, 351, 414, 450, 451, 454,470, 773, 785 EO-1 .............. 348, 349, 414, 451 EO-3 ............................ 340 EOS-AM-1 ................. 349,413 EOS-Aqua ....................... 570 EOS-Chem-1 .................... 349 EO~LAM ....................... ~5 EOS-PM-1 .................. 349,413 EOS-Terra ...................... 570 EPE-A à -D ..................... 387 EPS-SG-Aet-B ................. 338 Equator-S ....................... 334 ERBS ...................... 347,404 ERM ............. 347, 446, 448, 452 EROS-Al ......... 356, 414, 448, 451 EROS-B .................... 356, 414 ERS-1 .75, 77, 83, 351, 353, 360, 414, 449-451, 453, 470, 487, 488 ERS-2 .75, 77, 83, 351, 360, 414, 451, 470, 773, 785 ERTS-1 ..................... 313, 348 Esafi-1 .......................... 362 ESSA-1 à -3 ..................... 337 ESSA-9 ......................... 337 Essaim-1 à 4 .................... 353 ESSP-1 .......................... 349 ESSP-2 .......................... 349 ESSP-3 .......................... 349 ESSP-4 .......................... 349 ESSP-5 .......................... 349 ESSP-6 .......................... 347 ESSP-7 .......................... 349 Etalon-1 .............. n, 79, 83, 326 Etalon-2 .............. n, 79, 83, 326 Eutelsat-W3A ................... 362 EUVE ........................... ~3 EXOS-A et -B ................... 335 EXOS-C ......................... 335

827

EXOS-D .................... 332,335 Exosat .......................... 383 ExperimentalSat-1 à -3 .......... 354 Explorer-1 ............. 324, 325, 334 Explorer-6 ....................... 337 Explorer-7 ....................... 337 Explorer-11 ...................... 382 Explorer-12 ................. 202, 387 Explorer-14 ...................... 387 Explorer-15 ...................... 387 Explorer-19 ....................... 74 Explorer-22 ....................... 74 Explorer-26 ...................... 387 Explorer-27 ................... 74, 81 Explorer-29 ....................... 74 Explorer-30 ...................... 387 Explorer-34 ...................... 334 Explorer-36 ....................... 74 Explorer-37 ...................... 387 Explorer-38 ...................... 386 Explorer-44 ...................... 387 Explorer-48 ...................... 382 Explorer-49 ...................... 386 Explorer-50 ...................... 334 Explorer-58 ...................... 345 Explorer-59 ...................... 226 Explorer-60 ...................... 345 Explorer-61 ................. 328, 417 Explorer-62 et -63 ............... 241 Explorer-66 ...................... 385 Explorer-67 ...................... 383 Explorer-68 ...................... 336 Explorer-69 ...................... 383 Explorer- 70 ...................... 334 Explorer- 71 ...................... 334 Explorer- 72 ...................... 392 Explorer- 73 ...................... 387 Explorer- 74 ...................... 386 Explorer- 75 ...................... 385 Explorer- 76 ...................... 392 Explorer- 77 ...................... 383 Explorer- 78 ...................... 334 Explorer- 79 ...................... 382 Explorer-80 ...................... 385 Explorer-81 ...................... 383 Explorer-83 ...................... 383 Explorer-84 ...................... 382 Explorer-85 ...................... 336 Explorer-86 ...................... 336 Explorer-87 ...................... 336 Explorer-88 ...................... 336 Explorer-89 ...................... 336 Explorer-90 ...................... 345 Explorer-92 ...................... 385 EyeSat-1 ........................ 353 FaSat-1 .......................... 353

828

Index

FAST ....................... 332, 334 Fermi ........................... 382 Ferret-2 ......................... 395 FGRST ......................... 382 FIRST .......................... 385 Fizeau ........................ 74, 83 FLOWER CITM-n ......... 379, 459 FLOWER-n ................ 379, 459 FormoSat-2 .. 354, 414, 449, 451, 455, 471, 472, 476 FormoSat-3A ............... 340, 630 FormoSat-3F ........... 340, 630, 631 FSW-2-3 ........................ 359 FuegoSat ........................ 355 FUSE ........................... 383 Fuyo-1 .......................... 354 FY-1A .......................... 338 FY-lB .......................... 338 FY-1C ...................... 328,338 FY-lD ...................... 338, 360 FY-2-n .......................... 536 FY-2A ...................... 345, 533 FY-2B ...................... 345, 533 FY-2C ................. 341, 345, 553 FY-2D ...................... 341, 345 FY-2E ...................... 341, 345 FY-3A ................. 333, 338, 339 FY-3B .......................... 338 GACM .......................... 346 GAIA ...................... 227, 384 Galaxy-15 .................. 362, 627 GALEX ......................... 383 Galileo-n ................... 606, 617 Garuda-1 ........................ 362 GAUGE ......................... ~O GCOM-C ....................... 354 GCOM-W ....................... 354 GEMS .......................... 383 Genesis ................ 226, 227, 721 GeoEye-1 ................... 356, 414 GEOS-1 .......................... 74 GEO~2 .......................... U GEOS-3 .............. 74, 77, 81, 360 Geosat .............. 74, 77, 360, 458 Geotail .......................... 334 GFO ......................... 83,458 GFO-1 ...................... 360, 380 GF~l ................... 77,~,~6 GIFTS .......................... 340 GIOVE-A et -B .............. 83, 618 GLAST ......................... ~2 GlobalStar-M001 ................ 380 GlobalStar-M004 ................ 380 GlobalStar-M060 ................ 380 GlobalStar-M064 ................ 380 GlobalStar-M065 ................ 380

GlobalStar-M072 ................ 380 GlobalStar-M073 ................ 380 GlobalStar-M078 ................ 380 Glonass Reg. Ext. . .............. 459 Glonass-711 ..................... 613 Glonass-736 à 738 ............... 613 Glonass-773 ..................... 613 Glonass-798 ..................... 613 Glonass-n ..... 83, 462, 606, 615, 616 Glonass-K1-11 ................... 613 Glory ............. 348, 349, 414, 451 GMS-1 à -5 ...................... 345 GO CE .. 75, 76, 78, 81, 198, 326, 416, 432,498 GOES-1 .................... 265, 340 GOES-2 ......................... 340 GOES-3 ......................... 340 GOES-4 ......................... 340 GOES-5 .................... 340, 533 GOES-6 ......................... 340 GOES-7 ............... 265, 340, 533 GOES-8 ........... 265, 340, 505, 533 GOES-9 ......................... 340 GOES-10 ................... 340, 341 GOES-11 ................... 340, 341 GOES-12 ......... 340, 341, 777, 797 GOES-13 ................... 340, 341 GOES-14 ........................ 340 GOES-15 ........................ 340 GOES-n .................... 533, 536 GOMS-1 ............... 340, 537, 538 Gonets-D1-1 à -Dl-12 ........... 380 Gonets-M-1 ..................... 380 GoreSat ......................... 355 GOSat ................. 348, 450, 451 GP-A ........................... 390 GP-B .................. 241, 330, 390 GPM-core ....................... 347 GPM-LIO ....................... 347 GPS-n voir Navstar/GPS-n ..... 601 GRACE .......................... 81 GRACE-A ... 74, 76-78, 83, 198, 326, 327, 331, 349, 630 GRACE-B ... 74, 76-78, 83, 198, 326, 327, 331, 349, 630 Granat .......................... 383 GRO ............................ 382 GSTB-v2A et -v2B .............. 618 GTL ............................ 334 H2A-LRE ........................ 83 Halca ....................... 377, 386 Haruka ..................... 377, 386 HCMM ..................... 345, 451 HealthSat- 2 ..................... 353 HEAO-1 à -3 .................... 382 Helios-1 et -2 (hélioc.) ........... 387

Index

Hélios-1A .............. 358, 414, 451 Hélios-lB .............. 358, 414, 451 Hélios-2A .... 349, 353, 358, 414, 451 Hélios-2B .... 305, 358, 414, 450, 451 Hélios-n .................... 305, 449 HeliasSat- 2 ...................... 362 Herschel .................... 227, 385 HESSI ........................... 383 HETE-2 ......................... 382 HG~1 ........................... ~3 HG~3 ........................... ~3 Himawari-6 ................. 345, 534 Himawari-7 ...................... 345 Hinode .......................... 387 Hipparcos .................. 227, 383 Hispasat-1D ..................... 362 HJ-1A ...................... 354,414 HJ-1B ................. 354, 414, 451 Homer ........................... 395 HSO ............................ 385 HST ............................. 382 Huan Jing-lA et -lB ............ 354 Hubble .. 227, 357, 382, 383, 396, 780 HY-1 ....................... 449,451 HY-1A .......................... 360 HY-lB .......................... 360 HY-2 ........................ 84, 451 HY-2A .......................... 416 HYDROS ....................... 349 HypSEO .................... 350,451 HypsIRI ............... 350, 449, 450 Ibuki .................. 348, 449, 450 ICE ............................. 719 ICESat . 290, 308, 309, 355, 404, 458, 467, 470, 486, 523, 688 ICESat-2 ................... 355, 458 ICO-G1 ......................... 379 IGS-1A et -lB ................... 359 IGS-3A et -3B ................... 359 IGS-4A .......................... 359 IGS-5A .......................... 359 IGS-Optical-1 ................... 359 IGS-Optical-3 ................... 359 IGS-Optical-4 ................... 359 IGS-Optical-4V .................. 359 IGS-Radar-1 ..................... 359 IGS- Radar-3 ..................... 359 Ikonos-1 ......................... 356 Ikonos-2 .......... 356, 414, 449, 450 IMAGE ......................... 334 IMEWS-2 ....................... 392 IMP-5 ........................... 334 IMP-8 ........................... 334 IMP-F .......................... 334 IMP-J ........................... 334 IMS-1 ...................... 353, 414

829

Inmarsat-3-F2 ................... 627 Inmarsat-3-F4 ................... 627 Inmarsat-3-F5 ................... 627 Inmarsat-4-F1 ................... 627 Innovation-1 ..................... 354 INSAT-1A à -lD ................ 345 INSAT-2A et -2B ................ 345 INSAT-2E ....................... 345 INSAT-3A .................. 341, 345 INSAT-3E .................. 345, 362 Integral ................ 374, 383, 462 Intelsat-1 F -1 .................... 265 Intelsat-702 ...................... 391 Intelsat-906 ...................... 362 Interball Aurora ................. 335 Interball Tail .................... 335 Interball-S2-A ................... 335 Interball-S2-X ................... 335 Interbol-1 et -2 .................. 335 Interbol-3 ....................... 335 Interkosmos-12 .................. 336 InterI(osmos-24 .................. 334 Intruder-1 ....................... 395 IOR ............................. 627 IOR-W .......................... 627 IQSY ............................ 387 IRAS ............................ 385 Iridium-4 ........................ 380 Iridium-8 ........................ 380 Iridium-83 ....................... 380 Iridium-86 ....................... 380 Iridium-90 ....................... 380 Iridium-96 ....................... 380 Iridium-97 ....................... 380 Iridium-98 ....................... 380 IillS ............................. ~7 IRNSS-GEO-n .................. 626 IRNSS-GSO-n ................... 626 IRS-1A .. 353,414,451,468,469,484 IRS-lB ....... 353, 414, 449-451, 469 IRS-1C ................ 353, 414, 451 IRS-lD ........... 353,414, 450, 451 IRS-lE .......................... 353 IRS-P2 .. 353,414, 451, 468, 469, 484 IRS-P3 ................ 353, 414, 451 IRS-P4 ..................... 353, 360 IRS-P5 .......................... 353 IRS-P6 ................ 353, 449, 451 IRS-P7 .......................... 353 ISEE-1 .......................... 334 ISEE-2 .......................... 334 ISEE-3 ............ 226,227,334,719

œo ............................. ~5

ISS .................... 395, 421, 501 ItamSat ......................... 353 ITOS-1 .......................... 337

830

Index

Jason-1 75, 83, 84, 336, 360, 404, 457, 458, 465, 466, 470, 477-481 Jason-2 75, 83, 84, 290, 314, 360, 404, 421, 426, 457, 458, 465, 466, 470, 477-481, 775, 781, 789, 806 J ason-3 ...................... 84, 360 JB-3 ............................ 354 JB-3B et 3C ..................... 354 JB5-1 à -3 ....................... 354 JB6-1 à -4 ....................... 354 JB7 ............................. 354 JB8 ............................. 354 JCSat-12 ........................ 362 JCSat-RA ....................... 362 Jeroboam ....................... 395 JERS-1 ................ 354, 414, 450 Jian Bing-3 ...................... 354 Jian Bing-3B et -3C ............. 354 Jikiken .......................... 335 JPSS-1 ................ 398, 449, 450 JPSS-2 .......................... 398 JWST ...................... 227, 384 K~S~ .......................... ~3 Kalpana-1 .................. 341, 345 Kanopus-V-1 ............... 392, 451 Kanopus-V-2 .................... 392 KazSat-1 ........................ 362 KEO ............................ ~7 Kepler ........................... 389 KF1-SJ-4 ........................ 335 KH-12-1 à -5 .................... 358 KH-4A-14 ....................... 358 KH-7-27 ......................... 358 Kirari ........................... 364 Kitsat-2 ......................... 353 Kompass ........................ 353 KOMPSat-1 et -2 ................ 360 KoreaSat-5 ...................... 362 Koronas-F ....................... 387 Koronas-Foton ................... 387 Koronas-I ....................... 387 Kosmos-1 ........................ 323 Kosmos-196 ..................... 336 Kosmos-389 ..................... 395 Kosmos-520 ..................... 393 Kosmos-637 ..................... 265 Kosmos- 700 ..................... 633 Kosmos-883 ..................... 633 Kosmos-954 ..................... 361 Kosmos-100l .................... 323 Kosmos-1127 .................... 351 Kosmos-1383 .................... 633 Kosmos-1402 .................... 361 Kosmos-1413 .................... 613 Kosmos-1689 .................... 351 Kosmos-1870 .................... 359

Kosmos-1939 .................... 351 Kosmos-1960 .................... 393 Kosmos-1989 ................. 77, 326 Kosmos-1990 .................... 351 Kosmos-2001 .................... 323 Kosmos-2024 ................. 77, 326 Kosmos-2054 ............... 323, 364 Kosmos-2120 .................... 323 Kosmos-2174 .................... 323 Kosmos-2206 .................... 613 Kosmos-2226 .................... 326 Kosmos-2229 .................... 323 Kosmos-2234 .................... 613 Kosmos-2267 .................... 323 Kosmos-2305 .................... 323 Kosmos-2315 .................... 633 Kosmos-2325 .................... 323 Kosmos-2336 .................... 323 Kosmos-2348 .................... 323 Kosmos-2364 .................... 323 Kosmos-2368 .................... 323 Kosmos-2376 .................... 323 Kosmos-2382 .................... 613 Kosmos-2386 .................... 323 Kosmos-2396 .................... 323 Kosmos-2404 .................... 323 Kosmos-2412 .................... 323 Kosmos-2417 ............... 323, 613 Kosmos-2424 .................... 323 Kosmos-2436 .................... 323 Kosmos-2440 .................... 393 Kosmos-2446 .................... 393 Kosmos-2448 .................... 323 Kosmos-2458 .................... 323 Kosmos-2463 .................... 633 Kosmos-2464 .................... 613 Kosmos-2465 .................... 613 Kosmos-2466 .................... 613 Kosmos-2469 ............... 323, 393 Kosmos-2471 .................... 613 KRT-25 ......................... 387 Kua Fu-A ....................... 335 Kua Fu-BI et -B2 ............... 335 Kyokko .......................... 335 L5-Mission .................. 227, 388 Lacrosse-1 à -5 .................. 358 LAGEOS-1 74, 75, 77-79, 81, 83, 159, 326, 329, 405, 406, 781, 806 LAGEOS-2 ... 77-79, 81, 83, 326, 329 LAGEOS-3 ...................... 326 Landsat-1 .... 313, 348, 414, 451, 469 Landsat-2 ......... 348, 414, 451, 469 Landsat-3 ........ 280, 348, 414, 446, 449-451, 465, 469 Landsat-4 .... 348,414, 451, 469, 470 Landsat-5 .............. 348, 414, 451

Index Landsat-6 ....................... 348 Landsat-7 280,314,348,414,451,470 Landsat-8 ....................... 349 Landsat-n ....................... 280 LARES .......................... ~6 LCROSS ........................ 757 LDCM ..................... 349, 451 Œ~5 ........................... ~4 LE~8 ........................... ~1 LES-9 ...................... 361, 364 LICODY ......................... 76 LISA ............................ 390 Loopus-n ................... 370, 459 LRE ............................. 326 Luch-1 .......................... 364 Luna-3 ..................... 363, 758 Mabuhay-1 ...................... 362 MACSat ......................... 357 Magion-2 ........................ 334 Magion-4 ........................ 335 Magion-5 ........................ 335 MagSat ................ 276, 328, 417 MAP ............................ ~5 Maroc-Tubsat ................... 353 Mati ............................ 350 MeaSat-3 ........................ 362 Megha-Tropiques ...... 315,347,404, 421, 423, 456, 458, 511, 515, 516, 521, 522, 527-530, 580-584, 630, 774-776, 786, 787, 794, 795 Mentor-l à -5 .................... 395 Me~ur~1 ....................... 395 Me~ur~2 ....................... 395 Meridian-l à -4 .................. 378 Meteor-l-Ol ..................... 338 Meteor-I-27 ..................... 338 Meteor-2-01 ..................... 338 Meteor-2-21 .............. 74, 83, 338 Meteor-3-0 1 ..................... 338 Meteor-3-03 à -3-06 .............. 338 Meteor-3-07 ... 77, 244, 293, 294, 298, 404, 511, 515, 518, 520, 522 Meteor-3M-l ............... 353, 391 Meteor-M-l ..................... 338 METEOSAT-l .... 265, 340, 506, 543 METEOSAT-2 .................. 340 METEOSAT-3 ............... 83,340 METEOSAT-4 .................. 340 METEOSAT-5 ............. 268, 340 METEOSAT-6 ............. 340, 341 METEOSAT-7 .... 340, 341, 506, 543 METEOSAT-8 .... 340, 341, 506, 543 METEOSAT-9 .... 340, 341, 541, 553 METEOSAT-n ........ 533, 535, 543 MetOp-n ................... 449, 573

831

MetOp-A 15, 338, 347, 414, 415, 449, 450, 499, 497-500, 531, 573, 578, 579, 630, 776, 796 MetOp-B et -C ........ 338, 414, 499 METSAT-l ...................... 345 Michibiki .............. 626, 628, 629 Microlab-l .................. 356, 380 Microscope ...................... 390 llSCOPE ............... 326, 390, 416 Midas-3 ......................... 392 Midas-4 .................... 202, 381 Midas- 7 ......................... 381 Midas-12 ........................ 392 MIDEX-O ....................... 383 MIDEX-1 ....................... 334 MIDEX-2 ....................... 385 MIDEX-3 ....................... 382 MIDEX-5-n ..................... 336 MIDEX-6 ....................... 385 Midori ........................... 354 Midori-2 ......................... 354 Minisat-Ol ....................... 383 Mir .............................. 395 Misty-l et -2 .................... 358 MMS ............................ 336 Molnya-n .............. 109, 110, 114 Molnya-1-0l ..................... 364 Molnya-I-91 ..................... 364 Molnya-2-0l ..................... 364 Molnya-2-17 ..................... 364 Molnya-3-0l ..................... 364 Molnya-3-50 ..................... 364 Molnya-3-51 ........... 364, 557, 561 Molnya-3-52 ..................... 364 Molnya-3-53 .. 242, 267, 364, 781, 806 Molnya-n ......... 158, 190, 242, 267, 364-367, 378, 459, 560, 562 Morno ........................... 360 Morno-1B ....................... 360 Monitor-E ....................... 351 MOS-1 ..................... 360,414 MOS-lB .......... 360,414, 449, 450 MOST .......................... 388 MSG-l ..................... 340, 543 MSG-2 ................. 340, 541, 543 MSG-3 et -4 ................ 340, 543 MSG-n ..................... 543-545 MTI ........................ 348, 349 MTSAT-1 ....................... 345 MTSAT-IR ....... 341, 345, 534, 627 MTSAT-2 .............. 341,345,627 Mugunghwa-5 ................... 362 M uses- B ......................... 386 Nadejda-l ....................... 633 N adejda-7 ....................... 633 Nadejda-M-l .................... 633

832

Index N ahuel-1 ........................ 362 N anosat ......................... 353 N avstar-1 ....................... 602 Navstar-ll ...................... 602 Navstar-2-1 ...................... 602 Navstar-2A-19 ................... 602 Navstar-2A-21 .............. 605, 606 Navstar-2F-1 .................... 602 Navstar-2F-12 ................... 602 Navstar-2R-2 .................... 602 Navstar-2R-4 .................... 612 Navstar-2R-8 .................... 609 Navstar-2R-21 .............. 602, 604 Navstar-2RM-1 .................. 612 Navstar-2RM-2 ............. 605, 606 Navstar-2RM-6 ................... 40 Navstar-2RM-8 .................. 604 Navstar-2RM-ll ................. 612 Navstar-3A-1 .................... 602 Navstar-3A-8 .................... 602 NavstarjGPS-1 .................. 602 NavstarjGPS-ll ................. 602 NavstarjGPS-14 ................. 602 NavstarjGPS-35 .............. 77, 83 NavstarjGPS-36 .............. 77, 83 N avstar j G PS-38 ................. 602 N avstar j G PS-43 ................. 602 NavstarjGPS-50 ............ 602,604 N avstar j G PS-56 ................. 609 N avstar j G PS-62 ................. 602 NavstarjGPS-n .. 158, 190, 243, 296, 459, 462, 602, 606, 609, 628, 776, 795 NavstarjGPS-PRN-n .. 604, 605, 612 NEMO ................ 349, 448, 450 Newton .......................... 383 NFIRE .......................... 393 NGSS ........................... 385 NGST ........................... 384 NigComSat-1 .................... 362 NigeriaSat-1 ..................... 355 Nilesat-10l ...................... 362 Nimbus-1 .............. 276, 283, 337 Nimbus-2 ........................ 337 Nimbus-3 ................... 337, 361 Nimbus-4 à -7 ................... 337 Nimbus-B ....................... 361 Nimiq-4 ......................... 362 NIMS-25 ........................ 632 NIMS-31 ........................ 632 NOAA-1 à -5 .................... 337 NOAA-6 ............... 337, 414, 415 NOAA-7à-17 .............. 337,415 NOAA-18 et -19 ....... 337, 414, 415 Nova-1 et -2 ..................... 632 Nova-3 ....................... 77, 632

NPOESS-1 ................. 338, 398 NPOESS-2 ...................... 398 NPOESS-6 ...................... 338 NPP ......... 338, 397, 398, 449, 450 NROL-2 ......................... 358 NROL-6 ......................... 395 NROL-14 ........................ 358 NROL-19 ........................ 395 NROL-20 ........................ 358 NROL-22 ........................ 395 NROL-26 ........................ 395 NROL-28 ........................ 395 NROL-32 ........................ 395 NROL-34 ........................ 395 NROL-49 ........................ 358 NROL-66 ........................ 395 NSS-300l0 ...................... 632 NSS-30l30 ...................... 632 NSS-30250 ...................... 632 NSS-30310 ...................... 632 NSS-30480 ...................... 632 NSS-30490 ...................... 632 NSS-30500 ...................... 632 NTS ............................. 3~ NT~1 ........................... 6~ NT~2 ........................... 6~ NuSTAR ........................ 383 OAO-1 à -3 ...................... 383 Ocean-1 ......................... 360 Oceansat-1 .. 360, 415, 449, 451, 470, 476, 523, 560 Oceansat-2 ... 360, 415, 445, 449-451, 474,476, 556, 560 OCO ....................... 348, 349 Oderacs-2A à -2F ................ 391 Oderacs-A à -F .................. 391 Odin ............................ 345 Ofeq-1 ...................... 325, 359 Ofeq-2 ........................... 359 Ofeq-3 ........................... 359 Ofeq-5 ................. 359, 405, 406 Ofeq-7 ...................... 344, 359 Ofeq-9 ........................... 359 OFO-1 .......................... 392 OGO-1 .......................... 334 OGO-2 .......................... 328 OGO-3 .......................... 334 OGO-4 .......................... 328 OGO-5 .......................... 334 OGO-6 .......................... 328 Ohsumi ......................... 325 Ohzora .......................... 335 OICETS ............... 363, 364, 396 Okean-3 .................... 360, 494 Okean-O ........................ 360 Okean-O-1 ...................... 360

Index Okean-01-1 ..................... 360 Okean-01-2 ..................... 360 Okean-01-3 ................ 360, 494 Okean-01-4 ..................... 360 Oko-US-K-1 ..................... 393 Oko-US-KMO-1 ................. 393 Oko-US-KMO-ll ................ 393 Oko-US-KMO-85 ................ 393 Oko-US-KMO-86 ................ 393 Omid ............................ 325 Onyx-1 à -5 ..................... 358 OPS/0054 ....................... 338 OPS/1127 ....................... 338 OPS/2222 ....................... 395 OPS/3360 ....................... 358 OPS/3367 ....................... 323 OPS/4412 ....................... 632 OPS/4682 ....................... 361 OPS/5111 ....................... 602 OPS/5798 ....................... 632 OPS/6026 ....................... 338 OPS/6909 ....................... 393 OPS/6911 ....................... 393 OPS/7033 ....................... 393 OPS/7044 ....................... 393 OPS/7218 ....................... 632 OPS/7518 ....................... 602 OPS/8424 ....................... 323 OPS/9454 ....................... 395 OPS/9751 ....................... 395 Optus-D1 ....................... 362 Orbcomm-FM-1 ............ 356, 380 Orbcomm-FM-2 ............ 356, 380 Orbcomm-FM-3 à -FM-5 ........ 380 Orbcomm-FM-12 ................ 380 Orbcomm-FM-30 ................ 380 Orbcomm-FM-36 ................ 380 Orbcomm-FM-37 ................ 380 Orbcomm-FM-41 ................ 380 Orbcomm-)( ..................... 353 Orbis ............................ 358 Orb View-1 ...................... 356 OrbView-2 ...................... 360 Orb View-3 ............. 356, 448, 450 Orb View-4 ...................... 356 0rsted ................. 276, 328, 630 OSCAR-22 (Radio) .............. 353 OSO-l .......................... 387 OSO-3 .......................... 382 OSO-7 .......................... 382 OSO-8 .......................... 387 OSTM .......................... 360 Ouragan-1 ....................... 613 Ouragan-50 et -51 ............... 613 Ouragan-87 ...................... 613 Ouragan-K1-1 ................... 613

833

Ouragan-Ml ..................... 613 Ouragan-M29 ................... 613 P73-3 ........................... 602 P76-4 ........................... 602 P91-1 ........................... 391 P97-3 ........................... 349 P98-2 ........................... 361 PAGEOS .................... 74, 159 PakSat-1 ................... 362, 363 Palapa-B2 ....................... 363 Palapa-B2R ..................... 363 Palapa-C1 ....................... 363 P=AmSa~lR ................... ~l Parasol .. 347-349, 353, 414, 451, 505 Parus-1 .......................... 633 Parus-99 ........................ 633 PAS-1R ......................... 391 PAS-22 .......................... 363 PEOLE .......................... 77 Picard ...................... 387, 416 Picasso-Cena .................... 349 Planck ...................... 227,386 Pléiades- HR-1 ...... 84, 350, 449, 450 Pléiades-HR-2 ............... 84, 350 Polar ............................ 334 Polar BEAR ..................... 328 Polaris (TecSAR) ................ 359 PoSAT-1 ........................ 353 PROBA ......................... 414 Prognoz-ll et -12 ................ 335 Prospero ........................ 325 QuickBird-1 ..................... 356 QuickBird-2 .356, 414, 448, 450, 775, 788 QuikScat .............. 361, 416, 451 QuikTOMS ...................... 345 QZS-1 ................... 83, 626-629 QZS-2 et -3 ...................... 629 QZSS-n ......................... 626 Radarsat-1 ............. 351, 416, 449 Radarsat-2 .. 351, 404, 405, 416, 449, 451 Radcal .......................... 391 RadioAstron ..................... 387 Raduga-32 ....................... 364 RAE-A et -B .................... 386 RapidEye-1 à -4 ............ 350,414 RapidEye-5 ....... 350, 414, 491, 493 RazakSat .............. 357, 491, 492 Reflektor ................... 353, 391 Relay-1 .......................... 202 Resource21-0l à -05 ............. 354 Resourcesat-1 ............... 353,414 Resourcesat-2 ............... 353, 414 Resurs-DK-1 .................... 351 Resurs-F-1 ...................... 351

834

Index Resurs-F-20 ..................... 351 Resurs-F1M-1 et -F1M-2 ........ 351 Resurs-01-1 ..................... 351 Resurs-Ol-2 ..................... 351 Resurs-Ol-3 ........... 351, 449, 451 Resurs-Ol-4 .259, 351, 353, 406, 412, 414, 486, 511, 515, 520, 522 Resurs-R-2 et -R-3 .............. 359 RHESSI ......................... 383 RISat-1 ................ 353, 448, 450 RISat-2 ..................... 353, 416 Rock ............................ 275 Rocsat-1 ........................ 336 Rocsat-2 ............... 354, 455, 472 Rocsat-3-n ...................... 340 Rohini ........................... 325 Roll ............................. 275 ROSAT ......................... 383 Rossi ............................ 383 RPP ............................ 395 R~l ............................ ~5 RSS-1 à -4 ....................... 354 Rubin8-AIS ..................... 353 Rumba .......................... 335 RXTE ........................... 383 Rythm .......................... 275 S-15 ............................. 382 ~6~ ............................. M SAC-C ....... 348, 414, 449, 451, 630 SAC-D / Aquarius ........... 360, 450 Safir-2 ........................... 353 SAGE ........................... 345 Salsa ............................ 335 Salyout .......................... 395 Samba ........................... 335 SAMOS-2 ....................... 283 SAMPEX ....................... 336 SAOCOM-1A .......... 351, 449, 451 SAOCOM-lB .................... 351 SAR-Lupe-1 à -5 ................ 358 SARA ........................... 353 SAS-2 ........................... 382 SatMex-6 ........................ 362 SAX ............................ 383 SBIRS-GEO-1 ................... 393 SBIRS-HEO-1 et -2 .............. 395 SBSS-1 .......................... 395 SciSat-1 ......................... 345 SCLP .................. 355, 448, 450 SD-Radio-1 à -3 ................. 275 SDO ............................ 388 SDS-1 ........................... 378 SDS-7 ........................... 378 Seasat .............. 74, 360, 458, 495 SeaStar ..................... 360, 415 SeatStar ......................... 451

SECOR-7 à -9 ................... 326 SEDS-1 ......................... 392 SEDS-2 ......................... 392 SEEDS .......................... 353 Sentinel-1-n ................ 449, 450 Sentinel-1A à -lC ............... 352 Sentinel-2-n ................ 449, 450 Sentinel-2A à -2C ............... 352 Sentinel-3-n ................ 449, 450 Sentinel-3-A ...................... 84 Sentinel-3A ...................... 352 Sentinel-3B et -3C ............... 352 Sentinel-4A et -4B ............... 352 Sentinel-5 ....................... 352 SES-Sirius-4 ..................... 362 Shi Jian-4 ....................... 335 Shi Jian-5 ....................... 328 Shi Jian-6 ....................... 328 Shi Jian-8 ....................... 392 Sich-1 ........................... 360 SIM Lite ........................ 384 Simon-Bolivar-1 ................. 362 Sirius-1 ..................... 275, 378 Sirius-2 ..................... 275, 378 Sirius-3 ........... 275, 378, 557, 561 Sirius-4 (SES) ................... 362 Sirius-n .................... .462, 562 SIRTF ...................... 382, 385 SJ-4 ............................. 335 SJ-5 ............................. 328 SJ-6A à -6F ..................... 328 SJ-8 ............................. 392 Skylab .......................... 395 SMAP ...................... 349, 417 SMEX-1 ......................... 336 SMEX-11 ........................ 383 SMEX-12 ........................ 387 SMEX-13 ........................ 383 SME~2 ......................... 3M SMEX-3 ......................... 386 SMEX-4 ......................... 387 SMEX-5 ......................... 385 SMEX-6 ......................... 383 SMEX-7 ......................... 383 SMEX-9 ......................... 345 SMM ............................ 387 SMOS ............ 346,347,417,432 SMS-1 ................. 265, 340, 533 SMS-2 ................. 265, 340, 533 SMS-3 ...................... 265, 340 Snapshot ........................ 361 SNOE ........................... 392 SOHO ................. 226, 227, 388 Solar Dynamics Observatory ..... 388 Solar-A .......................... 387 Solar-B .......................... 387

Index Solrad-1 ......................... 387 Solrad-7B ....................... 387 Solrad-9 et -10 ................... 387 SOOS-4A ........................ 632 SOOS-4B ........................ 632 SORCE ......................... ~7 Spektr-R ........................ 387 Spitzer ............ 382, 385, 780, 805 SPOT-1 ...... 350,414,451,470,523 SPOT-2 ........ 77, 84, 350, 414, 451 SPOT-3 ... 77, 84, 350, 353, 414, 451 SPOT-4 .. 84,350,364,414,451,505, 573, 577 SPOT-5 .. .40, 84, 114, 158, 350, 404, 405, 411, 414, 446, 450, 451, 467, 470, 484, 486-488, 560 SPOT-6 ......................... 350 SPOT-7 ......................... 350 SPOT-n 197, 284, 419, 446, 449, 467, 487, 497 Spoutnik-1 .48, 73, 201, 324, 326, 632 Spoutnik-2 ......... 73, 201, 324, 392 Spoutnik-3 ....................... 73 Spoutnik-Il ..................... 323 SSR-1 ........................... 355 SSR-2 ........................... 355 SST ............................. 382 S~2 ............................ ~2 Stardust ......................... 721 Starlette .74, 75, 77, 78, 83, 197, 326 STARS ..................... 389, 753 STEDI-1 et -2 ................... 392 Stella ........ 74, 77, 78, 83, 326, 353 STEP ...................... 390, 416 STEREO-Ahead ............ 227, 388 STEREO-Behind ........... 227, 388 STR\T-1A ........................ 391 STR\T-lB ................... 375,391 STR\T-1C ................... 375,391 STR\T-1Il ........................ 391 STS-1 ........................... 396 STS-6 ........................... 364 STS-8 ........................... 345 STS-9 ........................... 396 STS-10 ..................... 363, 396 STS-13 ..................... 347, 387 STS-14 .......................... 363 STS-25 .......................... 396 STS-27 .......................... 358 STS-30 .......................... 714 STS-31 .......................... 383 STS-33 .......................... 396 STS-34 .......................... 718 STS-36 .......................... 358 STS-37 .......................... 382 STS-41 .......................... 388

835

STS-41- B ................... 363, 396 STS-41-C ........................ 387 STS-41-G ....................... 347 STS-48 .......................... 336 STS-51-A ........................ 363 STS-51-L ........................ 396 STS-52 .......................... 326 STS-60 .......................... 391 STS-63 .......................... 391 STS-70 .......................... 364 STS-93 .......................... 383 STS-107 .................... 345, 396 STS-133 ......................... 396 STS-134 ......................... 396 STS-135 ......................... 396 STSS-1 et -2 ..................... 393 Supertundra-n .............. 368, 459 Suzaku .......................... 383 SWARM-A à -C ................. 351 SWAS ........................... 386 Swift ............................ 382 SWOT ..................... 360, 458 Sycomores ....................... 378 Symphonie-1 .................... 265 Syncom-1 ........................ 264 Syncom-2 .............. 264, 296, 343 Syncom-3 ........................ 264 Türksat-3A ...................... 362 Tachys .......................... 350 Tan Suo-1 à -3 .................. 354 TanIlEM-X .................. 83, 351 Tango ........................... 335 TC-1 et -2 ....................... 335 TIlF-1 .......................... 269 TIlRS-1 et -2 .................... 364 TIlRS-7 à -10 ................... 364 TechSat-1B ...................... 353 TecSAR ......................... 359 Teledesic-1 ...................... 380 Ten Ce-1 et -2 ................... 335 Terra ... 296, 314, 342, 348, 349, 352, 413, 414, 419, 446, 449-451, 453, 467, 470, 484, 486, 509, 524-526, 571-572, 575, 776, 777, 792, 798 TerraSAR-L ................ 351, 451 TerraSAR-X ... 83, 351, 416, 448, 450 TERRIERS ..................... 392 TES ........................ 353, 414 TH-1 ............................ 354 Thaicom-5 ....................... 362 THEMIS-1 à -5 .................. 336 THEOS .................... 3~,~1 Thor-3 .......................... 362 3Il-Winds ....................... 350 Tian Hui-1 ...................... 354 Timation-1 à 3 .................. 602

836

Index

TIMED ......................... 336 TIP-1 à -3 ....................... 632 TiPS ............................ 392 TIROS-1 ........................ 337 TIROS-8 ........................ 337 TIROS-9 ................... 283, 337 TIROS-10 .................. 283, 337 TIROS-N .............. 337, 414, 415 TMC ............................ ~6 TMS~ .......................... ~3 TOMS-EP ....................... 345 TOPEX/Poseidon ........ 75, 77, 83, 84, 157-159, 360, 404, 456, 458, 465-467, 470, 477-481, 485, 486, 497 TPF ............................ 389 TRACE .................... 387, 416 Transit-lB ....................... 632 Transit-4A ............. 202, 361, 632 Transit-4B ....................... 361 Transit-5A-1 ..................... 632 Transit-5B-1 ................ 361, 632 Transit-5B-2 ..................... 361 Transit-5B-3 ..................... 361 Transit-5C-1 ..................... 632 Transit-n ................... 241, 560 Transit-O-1 ...................... 632 Transit-O-l3 .................... 632 Transit-O-25 .................... 632 Transit-O-31 .................... 632 TRAQ .......................... ~8 Triad-1 ..................... 361, 632 Triad-2 et -3 ..................... 632 Triana ...................... 226, 355 TRMM .243, 315, 342, 347, 404-406, 426, 509, 777, 797 Trochia .......................... 350 Tropiques ....................... 456 Trumpet-1 à -3 .................. 395 Trumpet-FO-1 et -FO-2 ......... 395 TS-1 à -3 ........................ 354 Tubsat-A ........................ 353 Tundra-n ................... 368, 459 UARS ...................... 336,404 UK-DMC ................... 355,414 UK-DMC2 .................. 355,414 UoSAT-12 ....................... 458 UoSAT-5 ........................ 353 USA-10 ......................... 602 USA-21 ......................... 378 USA-26 ......................... 338 USA-29 ......................... 338 USA-34 ......................... 358 USA-35 ......................... 602 USA-37 ......................... 395 USA-53 ......................... 358

USA-68 ......................... 338 USA-69 ......................... 358 USA-73 ......................... 338 USA-86 ......................... 358 USA-94 ........................... 77 USA-100 ......................... 77 USA-103 ........................ 395 USA-105 ........................ 395 USA-106 ........................ 338 USA-109 ........................ 338 USA-110 ........................ 395 USA-ll2 ........................ 395 USA-ll6 ........................ 358 USA-ll8 ........................ 395 USA-129 ........................ 358 USA-l31 ........................ 338 USA-132 ........................ 602 USA-133 ........................ 358 USA-135 ........................ 602 USA-136 ........................ 395 USA-139 ........................ 395 USA-144 ........................ 358 USA-147 ........................ 338 USA-l52 ........................ 358 USA-159 ........................ 392 USA-161 ........................ 358 USA-166 ........................ 609 USA-167 ........................ 364 USA-l70 ........................ 364 USA-l71 ........................ 395 USA-l72 ........................ 338 USA-176 ........................ 392 USA-182 ........................ 358 USA-184 ........................ 395 USA-186 ........................ 358 USA-191 ........................ 338 USA-195 ........................ 364 USA-197 ........................ 392 USA-200 ........................ 395 USA-202 ........................ 395 USA-204 ........................ 364 USA-206 .................... 602, 604 USA-208 et -209 ................. 393 USA-210 ........................ 338 USA-2ll ........................ 364 USA-213 ........................ 602 USA-214 ........................ 364 USA-216 ........................ 395 USA-223 ........................ 395 USA-224 ........................ 358 USA-225 ........................ 395 USA-229 ........................ 395 USA-230 ........................ 393 Vanguard-1 ............. 73, 202, 324 Vanguard-2 ................. 202, 337 Vanguard-3 ...................... 202

Index VBN-1 et -2 ..................... 361 VCL ............................ 349 Vela-1 et -2 ...................... 393 Vela-4 ........................... 373 Vela-9 et -10 ..................... 393 Vela-11 et -12 ................... 393 Venesat-1 ........................ 362 VENllS ..................... 350,451 Via-Sat-1 ........................ 363 Vinasat-1 ........................ 362 VIRGO-n .............. 369,379,459 Vortex-1 ......................... 395 Vortex-6 ......................... 395 Vostok-1 ......................... 395 VSOP ........................... 386 VSOP-2 ......................... 386 WALES ......................... 416 WatER-HM ................ 360, 458 Wespac-1 ......................... 83 WEST-n .......... 372, 379, 459, 462 Westar-6 ........................ 363 Westford-1 ...................... 381 Westford-2 ...................... 381 Westpac-1 .............. 77, 326, 353 WGS-SV1 à -SV3 ............... 364 Wilkinson ....................... 385 Wind .................. 226, 227, 334 WindSat ........................ 361 WIRE ........................... 385 WISE ........................... 385 WMAP ..................... 227,385 WorldView-1 ............... 356, 414 WorldView-2 ...... 356, 414, 491, 492 WPLTN-1 ........................ 77 X-3 .............................. 325 XMM ........................... ~3 XTE ............................ 383 Yamal-202 ....................... 362 Yao Gan-1 à -4 .................. 354 Yao Gan-5 .................. 354, 359 Yao Gan-6 .................. 354, 359 Yao Gan-7 ............. 354, 491, 493 Yao Gan-8 ....................... 354 Yao Gan-9A à -9C ............... 354 Yao Gan-10 à -11 ................ 354 Thh~h .......................... ~7 Z-Earth .................... .450, 485 Zhong Xing-9 .................... 362 Zi Yuan-lA et -lB ............... 354 Zi Yuan-2 ....................... 354 Zi Yuan-2B ...................... 354 Zi Yuan-2C ...................... 354 ZX-9 ............................ 362 ZY-1A et -lB .................... 354 ZY-2 ............................ 354 ZY-2B ........................... 354

837

ZY-2C ........................... 354 satellite fictif altitude 0 ......... 144, 277, 725, 750 équivalent MGS ............ 668, 669 Triton Orbiter .............. 767, 769 satellite de planète astéroïde 1-Cérès Dawn ............... 715, 738, 740 astéroïde 4-Vesta Dawn ............... 715, 738, 740 astéroïde 433- Eros NEAR ..... 726, 736, 737, 739, 740 NEAR-Shoemaker ............ 736 Jupiter Galileo .............. 718, 741, 748 JIMO ......................... 764 Juno .......................... 744 Mars ExoMars ...................... 641 ExoMars-TGO ...... 641,660,674 InterMarsNet ... 678,683,685,686 Mariner-9 ........... 636, 643, 647 Mars Express .. 637, 672, 673, 675, 686, 687, 777, 799 Mars Global Surv. voir MGS . 637 Mars Observer ........... 683, 686 Mars Odyssey . 637, 667, 670, 675, 683, 684, 686, 694 Mars Reconn. Orb. voir MRO 640 Mars-96 ...................... 685 MARSat ...................... 663 MAVEN ............ 641, 662, 674 MGS .637, 642, 643, 647, 667-669, 675, 681, 683, 686, 688-691, 700, 701, 778, 800 MRO 637, 640, 667, 668, 675, 683, 684, 686, 688-691, 694, 697-699, 777, 778, 799, 801 MTO ......................... 678 ODY voir Mars Odyssey ...... 668 Phobos-2 ..................... 703 Phobos-Grunt ................ 640 Premier .................. 692-694 Trace Gas Orbiter ............ 641 Viking-1 et -2 ............ 636, 644 Mercure BepiColombo ................. 732 Mercury Orbiter .............. 732 Messenger ................ 730-733 MMO .................... 731, 732 MPO ......................... 732 Saturne Cassini .... 717,719,720,742,743, 745, 803 EJSM-Laplace ................ 765 JEO .......................... 765

838

Index

JGO .......................... ro5 Vénus Akatsuki ...................... 736 Magellan ...... 637, 714, 726, 732, 733-736, 778, 802 Pioneer Venus Orb . . 714, 733, 778 Planet-C ...................... 736 VCO ......................... 736 Venera-15 ................ 714, 778 Venera-16 ................ 714, 778 Venus Climate Orb ............ 736 Venus Express ........... 734, 736 satellite de satellite naturel Callisto JIMO ......................... 764 Europe JEO ..................... 765, 766 JIMO ......................... 764 Ganymède JGO ..................... 765, 767 JIMO ......................... 764 Lune Apollo-lI ..................... 714 Apollo-15 ........... 756, 758, 760 Apollo-16 ................ 756, 758 Chandrayaan-1 ............... 757 Chang'E-1 .................... 757 Chang'E-2 .................... 757 Clementine 748, 754, 761, 762, 763 DSPSE ....................... 754 Explorer-35 ................... 758 GRAIL-A ..................... 757 GRAIL-B ..................... 757 Hiten ......................... 756 Kaguya ....................... 756 LCROSS ............ 757, 779, 804 LRO .. 757, 759, 762, 763, 779, 804 Luna-10 ...................... 714 Lunar Orbiter-1 ............... 756 Lunar Orbiter-4 ............... 756 Lunar Orbiter-5 ............... 756 Lunar Prospector ............. 756 Muses-A ...................... 756 Ohlna ........................ ~6 Orbiter-3 à -5 ................. 758 Ouna ......................... 756 Rstar ......................... 756 Selene ........................ 756 SMART-1 .................... 756 Vstar ......................... 756 Zond-3 ........................ 758 Titan TandEM ...................... 769 Titan Explorer ................ 769 TSSM ........................ 769 satellites (programme)

8X .............................. 357 ACE (ESA) ..................... 630 ACE+ ........................... 6W ADEOS .................... 283, 354 Advanced Orion ................. 395 Advanced Vortex ................ 395 AEHF ........................... 364 AEM ............................ 345 Almaz ........................... 359 Apollo ........................... 758 Aquacade ........................ 395 Archimède ....................... 275 Argon ........................... 357 Arkon ........................... 358 AsiaSat .......................... 363 ATN ............................ 337 ATS ............................. 265 Beidou-1 ........................ 620 Beidou-2 ........................ 619 Big Bird ......................... 357 Bion ............................. 392 BNTS ........................... 6W Canyon .......................... 395 CBERS ......................... 354 Celestis .......................... 396 Cha~t ........................... 395 Cluster .......................... 335 CNSS ........................... 619 COBRA ......................... 379 Compass ........................ 619 COMS .......................... 345 Constellation .................... 757 Corona .......................... 357 COSMIC ................... 340, 630 COSMO-SkyMed ................ 350 Crystal Kennan ................. 357 DFH ............................ 323 DigitalGlobe .................... 356 Discoverer ....................... 357 DMC ............................ 355 DMSP ........................... 338 Dong Fang Hong ................ 323 Dorian .......................... 357 Double Star ..................... 620 DSCS ........................... 364 DSP ............................. 392 DSP (Tan Ce) ................... 335 DSPS ........................... 620 DWSS ........................... 3~ EarthView ....................... 396 EarthWatch ..................... 356 Echelon ......................... 394 Echo ............................ 380 Elektro .......................... 340 Elektron ......................... 328 Ellipso ...................... 379,459

Index

Envisat .......................... 283 EOGO .......................... 334 EOS ........................ 283, 349 EPE ............................. 387 EPS-SG ......................... 338 EROS ........................... ~6 ERS ........................ 283, 351 ESSA ........................... 337 Essaim .......................... 305 ESSP ............................ 349 EXOS ........................... 335 Explorer .......... 324, 334, 336, 382 Feng Yun ........................ 338 Ferret ........................... 395 FLOWER ....................... 3rn FLOWER CITM ................ 379 FSW ............................ 359 Th~oFOC ...................... ~5 FY-1 & -3 ....................... 338 FY-2 & -4 ....................... 345 Galileo .......................... 618 Gambit .......................... 357 GCOM .......................... 354 Geo-1K .......................... 326 GeoEye ..................... 283, 356 GEOS ............................ 74 GGS ............................ 334 GlobalStar ...................... 380 GlobalStar-2 ..................... 380 Glonass ......................... 613 GMS ............................ 345 GOES ........................... 340 GOMS .......................... 340 Gonets- Dl ....................... 380 GPM ............................ 347 GRAB .......................... 387 GRACE ......................... 327 Gravit y Probe ................... 241 Great Observatories ............. 382 GREB ........................... ~7 Haiyang ......................... 360 HEAO ........................... ~2 Helios (hélioc.) .................. 387 Hélios .................. 283, 305, 358 Hexagon ......................... 357 Himawari ........................ 345 HY .............................. 360 IGS ............................. 359 Ikon ............................. 357 Ikonos ...................... 283, 356 IMEWS ......................... 392 Improved Crystal ................ 357 INSAT .......................... 345 Intelsat .......................... 265 Interball ......................... 335 Intruder ......................... 395

839

roSA ............................ 395 Iridium .......................... 380 Iridium-Next .................... 380 IRS ......................... 283, 353 ISEE ............................ 334 ISTP ............................ 334 ITOS ............................ 337 Jason ............................ 360 JPSS ............................ 398 Jumpseat ........................ 395 Kanopus-V ...................... 392 KH (Key Hole) .................. 357 Koronas ......................... 387 Kosmos .......................... 323 Kua Fu .......................... 335 Lacrosse ......................... 358 Landsat .................... 283, 348 Lanyard ......................... 357 LES ............................. 364 Luch ............................ 364 Magion .......................... 335 Magnum ........................ 395 Mentor .......................... 395 Me~ury ......................... 395 Meteor .......................... 338 METEOSAT ............... 340, 543 MclOp .......................... ~8 Midas ........................... 392 MID EX ......................... 382 Milstar .......................... 364 Misty ............................ 357 Molnya .......................... 364 MOS ............................ 360 MSG ....................... 340, 543 MTG ............................ 340 MTSAT ......................... 345 Nadejda .................... 361, 633 Navette ......................... 395 Navstar/GPS ............... 601, 602 B~dI ....................... 002 Block II .................. 243, 602 Block III ...................... 602 Nimbus .......................... 337 NIMS ........................... 632 NOAA .......................... ~7 NOSS ........................... 395 Nova ............................ 632 NPOESS ................... 338, 398 NSS 30 .......................... 632 NTS ............................. 002 Oblik ............................ 359 Oderacs ......................... 391 Ofeq ............................ 359 OGO ............................ ~8 Okean ........................... 360 Oko ............................. 393

840

Index

Onyx ............................ 358 OPS ............................. 323 Orbcomm ....................... 380 Orbimage ....................... 356 Orbiter .......................... 324 OrbView ........................ 356 Orion ........................... 395 Oscar (Transit) .................. 632 osa ............................ 387 Palapa .......................... 363 Parus ....................... 361, 633 Pléiades-HR ................ 350, 356 POES ........................... 338 PO GO .......................... ~8 PRC ............................ 323 Priroda .......................... 283 Prognoz ......................... 335 Prowler ......................... 395 QuickBird .................. 283, 356 QZSS ........................... 629 Raduga .......................... 364 RapidEye ........................ 350 Resource21 ...................... 354 Resurs ........................... 283 Resurs-F ........................ 351 Resurs-O ........................ 351 Rhyolite ......................... 395 SAMOS ......................... 283 SAR-Lupe ....................... 358 SBIRS ........................... 393 SBSS ............................ 395 SD-Radio ........................ 275 SDS ............................. 378 Sentinel ......................... 351 Sich ............................. 360 SkyBridge ....................... 380 SMEX ........................... ~2 SMS ............................. 265 Solrad ........................... 387 Space Shuttle .................... 395 SPOT ...................... 283, 350 Spoutnik ........................ 324 SPRN ........................... ~3 SSF ............................. 395 SSR ............................. 355 STEREO ........................ ~8 Strela-3 ......................... 380 STRV ........................... 391 STTW .......................... 364 Syncom ......................... 264 Tan Ce .......................... 335 TDRSS .......................... 364 Teledesic ........................ 380 TerraSAR ....................... 351 THEMIS ........................ 336 Timation ........................ 602

TIROS .......................... 337 TIROS-N ........................ 337 TOS ............................ 337 Transit .................. 76, 241, 632 Triad ............................ 632 Trumpet ........................ 395 Tselina .......................... 395 Tsikada ..................... 361, 633 Tsikada-M ....................... 633 Tubsat .......................... 392 UNEX ........................... 3~ UoSAT .......................... 392 US-K ............................ 393 US-KMO ........................ 393 USA ............................ 323 Vanguard ........................ 324 Vela ............................. 393 Vela Hotel ....................... 393 VIRGO ......................... 379 Vortex ........................... 395 Watchdog ....................... 393 WATS ........................... 630 WEST .......................... 379 Westford Needles ................ 381 WGS ............................ 3M White Cloud .................... 395 WorldView ................. 283, 356 Yantar .......................... 358 Zenit ............................ 358 Zi yuan ......................... 354 Saturne anneaux .......... 717, 718, 779, 803 onde de densité .......... 720, 744 satellite berger ........... 720, 744 données astronomiques .......... 723 données géodésiques ............. 723 équinoxe ............... 744, 779, 803 exploration spatiale ......... 718, 719 satellites lagrangiens ............. 225 satellites naturels . 225, 713, 746, 779 solstice .......................... 744 satellite naturel (adjectif) galiléen ..................... 718, 764 irrégulier ........................ 746 régulier .......................... 746 satellite naturel satelles, itis ..................... 137 Callisto ..................... 750, 764 données astronomiques ........ 750 données géodésiques .......... 750 Charon ................ 719, 727, 746 Déimos .......................... 701 Dioné ........................... 225 Encelade 717,720,743,745,750,765 données astronomiques ........ 750 données géodésiques .......... 750

Index

Europe ............ 716, 750, 754, 764 accélérations perturbatrices ... 751 données astronomiques ........ 750 données géodésiques .......... 750 Ganymède .................. 750, 764 données astronomiques ........ 750 données géodésiques .......... 750 Hypérion .............. 742, 745, 746 Io ...................... 716, 750, 764 données astronomiques ........ 750 données géodésiques .......... 750 Japet .................. 742, 745, 746 Lune voir Lune .................. 750 Mimas ................. 743, 745, 803 Néréide .......................... 746 Phobos ..................... 223, 701 Pheebé .......................... 746 Téthys .......................... 225 Titan .... 713, 717, 720, 750, 753, 765 atmosphère ................... 768 données astronomiques ........ 750 données géodésiques .......... 750 Triton ........ 713, 750, 753, 769, 770 atmosphère ................... 770 données astronomiques ........ 750 données géodésiques .......... 750 SBAS voir système d'augmentation .... 625 siècle julien ....................... 215, 307 signe du zodiaque ..................... 653 SLR ................................... 83 sol (jour/Mars) ....................... 648 Soleil constante d'attraction ...... 216, 220 points de Lagrange .............. 225 terme en oh ..................... 212 solides de Platon ................. 131, 147 solstice ........................... 260, 431 Mars ............................ 654 Saturne ......................... 744 sonde spatiale Akatsuki ........................ 736 Apollo-ll .................... 83, 714 Apollo-14 ......................... 83 Apollo-15 ......................... 83 BepiColombo .................... 732 Cassini .......................... 361 Cassini-Huygens ............ 719, 765 Clementine ...................... 763 CONTOUR ..................... 719 Dawn ....................... 715, 738 Deep Impact .................... 721 EJSM-Laplace ................... 765 Epoxi ........................... 721 ExoMars-TGO .................. 641

841

Galileo ............ 715, 718, 736, 764 Genesis ..................... 227, 721 Giotto ........................... 719 Hayabusa ........................ 715

mE .............................

~4

JIMO ........................... 765 Juno ............................ 744 Kosmos-419 ..................... 636 Luna-1 et -2 ..................... 714 Luna-3 ................. 714, 755, 758 Luna-9 .......................... 714 Luna-10 ......................... 714 Luna-17 .......................... 83 Luna-21 .......................... 83 Magellan ................... 714, 732 Mariner-2 ....................... 714 Mariner-3 ....................... 636 Mariner-4 .............. 636, 644, 647 Mariner-5 ....................... 714 Mariner-6 ................... 636, 647 Mariner- 7 ....................... 636 Mariner-8 ....................... 636 Mariner-9 .......... 81, 636, 644, 647 Mariner-10 ........ 714, 730, 732, 733 Mars Climate Orbiter ........... 637 Mars Exploration Rovers ........ 637 Mars Express .................... 637 Mars Global Surveyor ....... 637, 681 Mars Observer ................... 636 Mars Odyssey .............. 637, 684 Mars Pathfinder ................. 637 Mars Polar Lander .............. 637 Mars Reconnaissance Orb. ..640, 684 Mars Sample Return ............ 694 Mars Science Laboratory ........ 640 Mars Surveyor-1998 ............. 637 Mars Surveyor-2001 ............. 637 Mars-1 à -7 ...................... 636 Mars-96 ......................... 636 MAVEN ......................... 641 Mercury Orbiter ................. 732 Messenger ....................... 730 MSL ............................ 640 MSR ............................ 694 Muses-C ......................... 715 NEAR ...................... 715, 736 New Horizons ............... 716, 719 Nozomi .......................... 637 Phobos-1 ........................ 636 Phobos-2 ................... 636, 703 Phobos-Grunt ................... 640 Pioneer Venus Orbiter ........... 714 Pioneer Venus Probe Bus ........ 714 Pioneer Venus-1 ................. 714 Pioneer Venus-2 ................. 714 Pioneer-10 ....................... 715

842

Index

Pioneer-1l ....................... 715 Pioneer-12 ....................... 714 Pioneer-13 ....................... 714 Planet-B ........................ 637 Planet-C ........................ 736 Pluto-Kuiper Express ............ 719 Premier ......................... 694 Ranger-6 à -9 ..................... 81 Rosetta ..................... 397, 719 Sakigake ......................... 719 Solar Orbiter .................... 388 Solar Probe Plus ................ 388 Spoutnik-29 ..................... 636 Spoutnik-31 ..................... 636 Stardust ......................... 721 Suisei ........................... 719 TandEM ........................ 769 Titan Explorer .................. 769 TSSM ........................... 769 Ulysses ..................... 388, 714 Vega-1 ...................... 714, 719 Vega-2 ...................... 714, 719 Venera-4 à 7 ..................... 714 Venera-8 ..................... 81, 714 Venera-16 ....................... 714 Venus Express ................... 736 Viking-1 et -2 ................... 636 Voyager-1 ......... 701, 718, 764, 765 Voyager-2 ......... 701, 718, 764, 770 Zond-2 et -3 ..................... 636 sphère d'activité ........................ 219 céleste ............ 251, 252, 563, 564 développement .................. 31l grand cercle .................. 24, 228 d'influence ... 217-220, 223, 714, 723, 726, 748, 750 petit cercle ....................... 24 trigonométrie .................... 228 sponsoring ............................ 718 stabilité du Système solaire ....... 208-210 station de réception Galileo .......................... 619 Glonass ......................... 614 Navstar/GPS ............... 607, 609 référence DGPS ................. 600 station spatiale ....................... 395 Sun glint voir réflexion spéculaire ......... 568 superposition de trace ............ 531, 796 surface équipotentielle .................. 51 sursauts gamma ...................... 393 synode ................................ 302 système d'augmentation .............. 623 CWAAS ......................... 625 EGNOS ................ 624, 625, 627

GAGAN .................... 625, 627 MSAS ...................... 625, 627 SDCM .......................... 6~ SNAS ........................... 625 StarFire ......................... 625 WAAS ...................... 625,627 WAGE .......................... 625 système de référence céleste ............................ 82 terrestre .......................... 82 système géodésique Beijing-1954 ..................... 622 GRS-80 ........................... 72 GTRF ........................... 619 ITRF ............................ 619 Krasovsky-1940 .................. 622 PE-90 ........................... 614 PZ-90.02 ........................ 614 WGS84 ...................... 72, 619 système de navigation voir GPS ........................ 589 augmentation voir système d'augmentation .. 623 Beidou-1 ........................ 620 Beidou-2 ........................ 619 Compass ........................ 619 Galileo .......................... 618 Glonass ......................... 613 IRNSS .......................... 627 Nadejda ......................... 633 Navstar/GPS .................... 601 NNSS ........................... 630 QZSS ........................... 627 régional ......................... 625 Transit .......................... 630 Tsikada .......................... 633 Système solaire .............. 710-713, 745 données historiques .............. 771 stabilité ..................... 208-210 système d'unités SI ............................... 214 u. astronomiques ................ 215

-T-

télémétrie par laser voir LLR ......................... 79 voir SLR ......................... 83 tangage (angle) .................. 148, 504 technique de positionnement ........... 82 DOmS ........................... M GPS .............................. M LLR .............................. 83 ~R .............................. ~ VLBI ............................. 83 tectonique des plaques ................ 633 temps

Index atomique international ........... 258 ci~

.............................

~8

seconde (définition) .............. 259 solaire moyen ..... 257, 258, 399, 427, 699 vrai ... 253, 257, 258, 399, 427, 699 universel ........................ 258 coordonné .................... 258 temps (abréviation) GMT ....................... 258, 643 TAI ........................ 258, 259 TCB, TCG .................. 82, 259 TDB ............................ ~9 TE .............................. 259 TSM .............. 258, 399, 427, 699 TSV .............. 258, 399, 427, 699 TU ......................... 2~,~9 TUC ............................ ~8 UT, UTC ....................... 258 Terre Tellus, uris ...................... 710 Terra, œ ........................ 710 accélérations perturbatrices . 152-154 aplatissement ................. 25, 44 déviation de la verticale .......... 25 degré de latitude .............. 32, 44 données astronomiques 216, 246, 647, 723 données géodésiques 64,216, 647, 723 ellipsoïde de référence ......... 23-40 longueur d'arc méridien ........... 32 longueur de l'équateur ............ 34 longueur du méridien ............. 34 rayon équatorial .................. 25 rayon polaire ..................... 27 satellite naturel voir Lune ....... 746 théorème de Gauss ......................... 54 des grands axes ............. 187, 189 de Noether ...................... 127 théorie du chaos ......................... 210 KAM ............................ 210 de Milankovitch ............ 213, 214 de la relativité .... 158, 206, 241, 390 TLE voir éléments orb. NORAD ...... 305 trace ......................... 35, 290, 303 angle avec méridien .............. 298 angle d'ajustement .......... 299, 524 géocentrique ................. 35, 290 géodésique ................... 35, 290 de géostationnaire ............... 263 de géosynchrone ................. 263 lemniscate ............... 268, 296 inclinaison apparente ....... 295, 798

843

nadir ..................... 35-37, 290 de l'orbite .................. 303, 668 équation ...................... 289 vitesse ................... 299, 675 vitesse relative ........... 301, 675 point subsatellite ......... 35-37, 290 superposition ............... 531, 796 train de satellites voir A-Train .................... 349 trajectoire loop-de-loop ................ 227, 721 transit ................................ 389 travail ................................. 50 trigonométrie sphérique .......... 228-231 tri plet de phasage ..................... 442 tropique ......................... 565, 656 tropopause ............................ 596 troposphère ...................... 591, 596

-u-

unité astronomique ............... 216, 220 Uranus données astronomiques .......... 723 données géodésiques ............. 723 exploration spatiale .............. 718 satellites naturels ................ 746

-v-

valeur de Routh ....................... 224 variable(s) canoniques ...................... 163 de Delaunay ..................... 176 de Mercator ..................... 317 variation des éléments orbitaux périodique ....................... 190 courte .................... 186, 187 longue ............... 186-189,496 séculaire .180, 184-190, 234, 238-241, 496, 660 vecteur de Laplace .................... 126 Vénus accélérations perturbatrices . 726, 728 atmosphère ................. 713, 733 super-rotation ................ 727 carte ....................... 778, 802 données astronomiques .......... 723 données géodésiques ............. 723 exploration spatiale ......... 714, 732 vertical coord. céléstes ................... 563 verticale du lieu ................. 549 Vesta données astronomiques .......... 740 données géodésiques ............. 740 exploration spatiale .............. 738 visée

844

Index

angle ............................ 506 direction ........................ 547 au limbe .................... 508, 512 au nadir ......................... 506 p~ ............................. ~1 visibilité géostationnaire .................. 539 vitesse ................................. 94 aux apsides ....................... 95 aréolaire .......................... 89 cosmique ......................... 93 d'évasion ......................... 93 fonction de l'anomalie ... 95, 119-124 fonction du rayon vecteur ......... 94 formule de Binet .................. 90 de libération ...................... 93 de la lumière .................... 217 mouvement circulaire ............. 96 de précession apsidale .... 191, 238-240, 242, 494 nod~e 191, 233-238, 240, 241, 285 de satellisation .................... 92 du satellite ................. 299, 675 de la trace .................. 299, 675 VLBI ............................. 83, 386 Voie lactée ............................ 311 vue locale définition ........................ 553 diagramme .................. 553-555

-w-

WAAS voir système d'augmentation .... 601

-z-

zénith ............................ 506, 563 passage .......................... 565