Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II)

Springer-Lehrbuch

Franz Schwabl

Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II) Fünfte, erweiterte und aktualisierte Auflage Mit 79 Abbildungen, 4 Tabellen und 104 Aufgaben

123

Professor Dr. Franz Schwabl Physik-Department Technische Universität München James-Franck-Str. 2 85748 Garching, Deutschland [email protected]

ISBN 978-3-540-85075-5

e-ISBN 978-3-540-85076-2

DOI 10.1007/978-3-540-85076-2 Springer-Lehrbuch ISSN 0937-7433 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. c 2008, 2005, 2004, 2000, 1997 Springer-Verlag Berlin Heidelberg  Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz und Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig Einbandgestaltung: WMXDesign, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.de

Die wahre Physik ist jene, der es eines Tages gelingen wird, den Menschen in seiner Gesamtheit in ein zusammenh¨ angendes Weltbild einzugliedern. Pierre Teilhard de Chardin

Meiner Tochter Birgitta

Vorwort zur fu ¨nften Auflage

Auch die neueste Auflage wurde gr¨ undlich u ¨ berarbeitet. An vielen Stellen wurden Erg¨ anzungen und zus¨ atzliche Erl¨ auterungen eingef¨ ugt und Querverbindungen zwischen den verschiedenen Abschnitten hervorgehoben. Der Großteil der Abbildungen wurde u ¨berarbeitet, graphisch neu gestaltet und vereinheitlicht, mit dem Ziel ihre didaktische Aussagekraft zu erh¨ohen. Bei al¨ len Anderungen habe ich darauf geachtet, den kompakten Charakter des Buches beizubehalten. Ich bin bei dieser umfangreichen Bearbeitung einer Reihe von Kollegen und Mitarbeitern zu Dank verpflichtet. Herrn Uwe T¨auber und Herrn Roger Hilton danke ich wiederum f¨ ur wiederholte Ratschl¨age. In Zusammenhang mit der Bearbeitung der Bilddateien danke ich Herrn Dr. Herbert M¨ uller f¨ ur seine bereitwillige Hilfe bei allen Computerproblemen, Herrn Wenzel Sch¨ urmann f¨ ur essentielle Unterst¨ utzung und Frau Christina Di Stefano, die das graphische Design der Diagramme u ¨ bernommen hat. Dem Springer-Verlag, namentlich Herrn Dr. Thorsten Schneider und Frau Birgit M¨ unch danke ich f¨ ur die exzellente Zusammenarbeit, sowie dem Satz-Team der Firma le-tex f¨ ur die sorgf¨ altige Ausf¨ uhrung der Korrekturen. Schließlich danke ich allen Kollegen und Studenten, die u ¨ ber die Jahre Verbesserungsvorschl¨ age gemacht haben. M¨ unchen, im Juni 2008

F. Schwabl

Vorwort

Das vorliegende Lehrbuch behandelt fortgeschrittene Themen der Quantenmechanik, wie sie u ¨ blicherweise in einem zweiten Vorlesungskurs u ¨ ber Quantenmechanik dargestellt werden. Es ist in drei Teile gegliedert: I Vielteilchensysteme, II Relativistische Wellengleichungen und III Relativistische Felder, die sich in insgesamt 15 Kapitel teilen. Im Text wird Wert auf eine gestraffte Darstellung gelegt, die dennoch außer Kenntnis der Quantenmechanik keine weiteren Hilfsmittel erfordert. Die Verst¨andlichkeit wird gew¨ahrleistet durch Angabe aller mathematischen Schritte und ausf¨ uhrliche und vollst¨andige Durchf¨ uhrung der Zwischenrechnungen. Am Ende jedes Kapitels sind ei¨ ne Reihe von Ubungsaufgaben angegeben. Teilabschnitte, die bei der ersten Lekt¨ ure u onnen, sind mit einem Stern gekennzeichnet. ¨ bergangen werden k¨ Nebenrechnungen und Bemerkungen, die f¨ ur das Verst¨andnis nicht entscheidend sind, werden in Kleindruck dargestellt. F¨ ur die Teile II und III ist die vorhergehende Lekt¨ ure von Teil I nicht erforderlich. Wo es hilfreich erscheint, werden Zitate angegeben, die auch dort keineswegs vollst¨andig sind, aber zur weiteren Lekt¨ ure anregen sollen. Am Ende jedes der drei Teile befindet sich eine Liste von Lehrb¨ uchern. Das Buch grenzt sich gegen das Lehrbuch Quantenmechanik thematisch dadurch ab, daß relativistische Ph¨ anomene und klassische wie auch relativistische Quantenfelder behandelt werden. In Teil I wird der Formalismus der zweiten Quantisierung eingef¨ uhrt und auf die wichtigsten, mit einfachen Methoden darstellbaren Probleme, wie schwach wechselwirkendes Elektronengas, Anregungen in schwach wechselwirkenden Bose-Gasen, angewandt und es werden die grundlegenden Eigenschaften von Korrelations- und Responsefunktionen von Vielteilchensystemen behandelt. Der zweite Teil besch¨ aftigt sich mit der Klein-Gordon-Gleichung und der Dirac-Gleichung. Neben den wichtigsten Problemen, wie der Bewegung im Coulomb-Potential, wird besonderes Augenmerk den Symmetrieeigenschaften gewidmet. Im dritten Teil wird das Noethersche Theorem, die Quantisierung von Klein-Gordon-, Dirac- und Strahlungsfeld dargestellt, sowie das Spin-Statistik-Theorem. Das letzte Kapitel behandelt wechselwirkende Felder am Beispiel der Quantenelektrodynamik: S-Matrix-Theorie, Wick-Theorem, Feyn-

X

Vorwort

man Regeln und einige einfache Prozesse wie Mott-Streuung und ElektronElektron-Streuung. Das Buch wird Studenten der Physik und verwandter Fachgebiete ab dem 5. oder 6. Semester empfohlen und Teile daraus k¨onnen m¨oglicherweise auch von Lehrenden nutzbringend verwendet werden. Dieses Buch ist aus Vorlesungen, die der Autor wiederholt an der Technischen Universit¨ at M¨ unchen gehalten hat, entstanden. Am Schreiben des Manuskripts, am Lesen der Korrekturen haben viele Mitarbeiter mitgewirkt: Frau I. Wefers, Frau E. J¨ org-M¨ uller, Frau C. Schwierz, die Herren A. Vilfan, S. Clar, K. Schenk, M. Hummel, E. Wefers, B. Kaufmann, M. Bulenda, J. Wilhelm, K. Kroy, P. Maier, C. Feuchter, A. Wonhas. Herr E. Frey und ¨ Herr W. Gasser waren an der Ausarbeitung der Ubungsbeispiele beteiligt. Herr W. Gasser hat das gesamte Manuskript gelesen und zu vielen Kapiteln des Buches wertvolle Anregungen gegeben. Ihnen und allen anderen Mitarbeitern, deren Hilfe wichtig war, sowie stellvertretend f¨ ur den Springer-Verlag Herrn Dr. H.J. K¨ olsch sei an dieser Stelle herzlichst gedankt. M¨ unchen, Juni 1997

F. Schwabl

Inhaltsverzeichnis

Teil I. Nichtrelativistische Vielteilchen-Systeme 1.

2.

Zweite Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Identische Teilchen, Mehrteilchenzust¨ande und Permutationssymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Zust¨ ande und Observable von identischen Teilchen . . . . 1.1.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Vollkommen symmetrische und antisymmetrische Zust¨ande . . 1.3 Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Zust¨ ande, Fock-Raum, Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Teilchenzahloperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Allgemeine Einteilchen- und Mehrteilchenoperatoren . 1.4 Fermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Zust¨ ande, Fock-Raum und Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Ein- und Mehrteilchenoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Feldoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Transformationen zwischen verschiedenen Basissystemen 1.5.2 Feldoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Impulsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Impulseigenfunktionen, Hamilton-Operator . . . . . . . . . . 1.6.2 Fouriertransformation der Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Ber¨ ucksichtigung des Spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spin-1/2 Fermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Nichtwechselwirkende Fermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Fermi-Kugel, Anregungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Einteilchenkorrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Paarverteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 2.1.4 Paarverteilungsfunktion, Dichtekorrelationsfunktionen und Strukturfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 3 6 8 10 10 13 14 17 17 20 21 21 21 23 25 25 27 28 29 33 33 33 35 36 39

XII

Inhaltsverzeichnis

2.2 Grundzustandsenergie und elementare Theorie des Elektronengases . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Hamilton-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Grundzustandsenergie in Hartree-Fock-N¨aherung . . . . . ¨ 2.2.3 Anderung der elektronischen Energieniveaus durch die Coulomb-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Hartree-Fock Gleichungen f¨ ur Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.

4.

Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Freie Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Paarverteilungsfunktion f¨ ur freie Bosonen . . . . . . . . . . . ∗ 3.1.2 Zweiteilchenzust¨ ande von Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Schwach wechselwirkendes, verd¨ unntes Bose-Gas . . . . . . . . . . . 3.2.1 Quantenfl¨ ussigkeiten und Bose-Einstein-Kondensation . 3.2.2 Bogoliubov-Theorie des schwach wechselwirkenden Bose-Gases . . . . . . . . . . . ∗ 3.2.3 Suprafluidit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Korrelationsfunktionen, Streuung und Response . . . . . . . . . . 4.1 Streuung und Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Dichtematrix, Korrelationsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Dynamische Suszeptibilit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Dispersionsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Spektraldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Fluktuations–Dissipations–Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 4.8 Symmetrieeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Allgemeine Symmetrierelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2 Symmetrieeigenschaften der Responsefunktion f¨ ur hermitesche Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Summenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1 Allgemeine Struktur von Summenregeln . . . . . . . . . . . . . 4.9.2 Anwendung auf die Anregungen in He II . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 43 46 49 52 55 55 55 57 60 60 62 69 72 75 75 82 85 89 90 91 92 99 99 102 106 106 108 109

Literatur zu Teil I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Inhaltsverzeichnis

XIII

Teil II. Relativistische Wellengleichungen 5.

6.

Aufstellung von relativistischen Wellengleichungen . . . . . . . 5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Aufstellung mittels des Korrespondenzprinzips . . . . . . . 5.2.2 Kontinuit¨ atsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Freie L¨ osungen der Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . 5.3 Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Aufstellung der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Kontinuit¨ atsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Eigenschaften der Dirac-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Die Dirac-Gleichung in kovarianter Form . . . . . . . . . . . . 5.3.5 Nichtrelativistischer Grenzfall und Kopplung an das elektromagnetische Feld . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lorentz-Transformationen und Kovarianz der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Lorentz-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Lorentz-Kovarianz der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Die Lorentz-Kovarianz und Transformation von Spinoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Bestimmung der Darstellung S(Λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Weitere Eigenschaften der S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Transformation von Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5 Eigenschaften der γ-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 L¨ osungen der Dirac-Gleichung f¨ ur freie Teilchen . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Spinoren mit endlichem Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Orthogonalit¨ atsrelationen und Dichte . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Projektionsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115 115 116 116 119 120 121 121 122 123 124 125 131 133 133 137 137 138 144 146 147 148 148 151 153 154

7.

Drehimpuls – Bahndrehimpuls und Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Passive und aktive Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Drehungen und Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157 157 158 161

8.

Bewegung im Coulomb-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Klein-Gordon-Gleichung mit elektromagnetischem Feld . . . . . . 8.1.1 Ankopplung an das elektromagnetische Feld . . . . . . . . . 8.1.2 Klein-Gordon-Gleichung im Coulomb-Feld . . . . . . . . . . . 8.2 Dirac-Gleichung f¨ ur das Coulomb-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163 163 163 164 170 182

XIV

9.

Inhaltsverzeichnis

Foldy-Wouthuysen-Transformation und Relativistische Korrekturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Die Foldy-Wouthuysen-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Transformation f¨ ur freie Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3 Wechselwirkung mit elektromagnetischem Feld . . . . . . . 9.2 Relativistische Korrekturen und Lamb–Verschiebung . . . . . . . . 9.2.1 Relativistische Korrekturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Absch¨ atzung der Lamb–Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Physikalische Interpretation der L¨ osungen der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Wellenpakete und Zitterbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Superposition von Zust¨ anden positiver Energie . . . . . . . 10.1.2 Allgemeines Wellenpaket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 10.1.3 Allgemeine L¨ osung der freien Dirac-Gleichung im Heisenberg-Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 10.1.4 Klein-Paradoxon, Potentialschwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 L¨ ocher–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 11.1 Aktive und passive Transformationen, Transformation von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Invarianz und Erhaltungss¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Allgemeine Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Translationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.4 Raumspiegelung (Parit¨ atstransformation) . . . . . . . . . . . 11.3 Ladungskonjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Zeitumkehr (Bewegungsumkehr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.1 Bewegungsumkehr in der klassischen Physik . . . . . . . . . 11.4.2 Zeitumkehr in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.3 Zeitumkehrinvarianz der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . ∗ 11.4.4 Racah-Zeitspiegelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 11.5 Helizit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 11.6 Fermionen mit Masse Null (Neutrinos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

183 183 183 184 185 190 190 191 196 197 197 198 199 203 204 207 210 211 211 214 214 215 215 216 216 220 220 224 232 238 240 242 247

Literatur zu Teil II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Inhaltsverzeichnis

XV

Teil III. Relativistische Felder 12. Quantisierung von relativistischen Feldern . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1 Gekoppelte Oszillatoren, lineare Kette, Gitterschwingungen . . 12.1.1 Lineare Kette von gekoppelten Oszillatoren . . . . . . . . . . 12.1.2 Kontinuumsgrenzfall, schwingende Saite . . . . . . . . . . . . . 12.1.3 Verallgemeinerung auf drei Dimensionen, Zusammenhang mit dem Klein–Gordon–Feld . . . . . . . . . 12.2 Klassische Feldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Lagrange–Funktion und Euler–Lagrange Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . 12.3 Kanonische Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Symmetrien und Erhaltungss¨ atze, Noether Theorem . . . . . . . . 12.4.1 Energie–Impuls–Tensor, Kontinuit¨atsgleichungen und Erhaltungss¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.2 Herleitung der Erhaltungss¨ atze f¨ ur Viererimpuls, Drehimpuls und Ladung aus dem Noetherschen Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

253 253 253 259

13. Freie Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1 Das reelle Klein–Gordon–Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.1 Lagrange–Dichte, Vertauschungsrelationen, Hamilton–Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.2 Propagatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Das komplexe Klein-Gordon-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Quantisierung des Dirac-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.1 Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.2 Erhaltungsgr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.3 Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.4 Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 13.3.5 Grenzfall unendlichen Volumens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Spin–Statistik–Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1 Propagatoren und Spin–Statistik–Theorem . . . . . . . . . . 13.4.2 Erg¨ anzungen zum Antikommutator und Propagator des Dirac–Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

281 281

14. Quantisierung des Strahlungsfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1 Klassische Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.1 Maxwell–Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.2 Eichtransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Coulomb–Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Lagrange–Dichte f¨ ur das elektromagnetische Feld . . . . . . . . . . .

311 311 311 313 313 315

262 265 265 270 271 271

273 280

281 285 289 292 292 293 294 298 299 300 300 306 307

XVI

Inhaltsverzeichnis

14.4 Freies elektromagnetisches Feld und dessen Quantisierung . . . 316 14.5 Berechnung des Photon–Propagators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik . . . . . . . . . 15.1 Lagrange-Funktionen, wechselwirkende Felder . . . . . . . . . . . . . . 15.1.1 Nichtlineare Lagrange-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.2 Fermionen in einem ¨ außeren Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.3 Wechselwirkung von Elektronen mit dem Strahlungsfeld: Quantenelektrodynamik (QED) . . . . . . 15.2 Wechselwirkungsdarstellung, St¨ orungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.1 Wechselwirkungsdarstellung (auch Dirac–Darstellung) . 15.2.2 St¨ orungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 S –Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.1 Allgemeine Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 15.3.2 Einfache Uberg¨ ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ 15.4 Wicksches Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5 Einfache Streuprozesse, Feynman–Diagramme . . . . . . . . . . . . . . 15.5.1 Der Term erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.2 Mott–Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.3 Prozesse zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.4 Feynman-Regeln der Quantenelektrodynamik . . . . . . . . ∗ 15.6 Strahlungskorrekturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6.1 Selbstenergie des Elektrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6.2 Selbstenergie des Photons, Vakuumpolarisation . . . . . . 15.6.3 Vertexkorrekturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6.4 Ward-Identit¨ at und Ladungsrenormierung . . . . . . . . . . . 15.6.5 Anomales magnetisches Moment des Elektrons . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

325 325 325 326 327 328 328 331 333 333 337 340 344 345 346 352 361 364 364 370 372 373 376 379

Literatur zu Teil III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Alternative Herleitung der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . B Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1 Standarddarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Chirale Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3 Majorana-Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C Projektionsoperatoren f¨ ur den Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2 Ruhsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.3 Bedeutung des Projektionsoperators P (n) im allgemeinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D Wegintegraldarstellung der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . .

383 383 385 385 385 386 386 386 386 387 391

Inhaltsverzeichnis

E

F

XVII

Kovariante Quantisierung des elektromagnetischen Feldes, Gupta–Bleuler–Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.1 Quantisierung und Feynman-Propagator . . . . . . . . . . . . E.2 Die physikalische Bedeutung von longitudinalen und skalaren Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E.3 Der Feynman-Photonen-Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . E.4 Erhaltungsgr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Ankopplung von geladenen skalaren Mesonen an das elektromagnetische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

393 393 395 398 400 400

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

Teil I

Nichtrelativistische Vielteilchen-Systeme

1. Zweite Quantisierung

Wir werden in diesem Kapitel nichtrelativistische Systeme, die aus sehr vielen identischen Teilchen bestehen, behandeln, und dazu einen effizienten Formalismus – die Methode der zweiten Quantisierung – einf¨ uhren. Es gibt in der Natur zwei Sorten von Teilchen, Bosonen und Fermionen. Deren Zust¨ande sind vollkommen symmetrisch bzw. vollkommen antisymmetrisch. Fermionen besitzen halbzahligen, Bosonen ganzzahligen Spin. Dieser Zusammenhang zwischen Spin und Symmetrie (Statistik) wird in der relativistischen Quantenfeldtheorie bewiesen (Spin-Statistik-Theorem). Eine wichtige Konsequenz in der Vielteilchenphysik sind Fermi-Dirac-Statistik und Bose-EinsteinStatistik. Wir stellen in Abschn. 1.1 zun¨ achst einige Vorbemerkungen voran, upfen. In den folgenden Abdie an die Quantenmechanik, Kapitel 131 ankn¨ schnitten dieses Kapitels wird der Formalismus der zweiten Quantisierung, d.i. die quantenfeldtheoretische Darstellung von Vielteilchensystemen entwickelt.

1.1 Identische Teilchen, Mehrteilchenzust¨ ande und Permutationssymmetrie 1.1.1 Zust¨ ande und Observable von identischen Teilchen Wir betrachten N identische Teilchen (z.B. Elektronen, π-Mesonen). Der Hamilton-Operator H = H(1, 2, . . . , N )

(1.1.1)

ist symmetrisch in den Variablen 1, 2, . . . , N . Hier bezeichnet 1 ≡ x1 , σ1 Orts- und Spinfreiheitsgrad f¨ ur Teilchen 1 und entsprechend f¨ ur die u ¨ brigen Teilchen. Ebenso schreiben wir eine Wellenfunktion in der Form ψ = ψ(1, 2, . . . , N ).

(1.1.2)

Der Permutationsoperator Pij , welcher i ↔ j vertauscht, hat auf eine beliebige N -Teilchen-Wellenfunktion die Wirkung 1

F. Schwabl, Quantenmechanik, 7. Aufl., Springer, Berlin Heidelberg, 2007. In sp¨ ateren Zitaten wird dieses Buch mit QM I abgek¨ urzt.

4

1. Zweite Quantisierung

Pij ψ(. . . , i, . . . , j, . . . ) = ψ(. . . , j, . . . , i, . . . ).

(1.1.3)

Wir erinnern an einige bekannte Eigenschaften. Da Pij2 = 1 hat Pij die Eigenwerte ±1. Wegen der Symmetrie des Hamilton-Operators gilt f¨ ur jedes Element P der Permutationsgruppe P H = HP.

(1.1.4)

Die Permutationsgruppe SN , bestehend aus allen Permutationen von N Objekten, hat N ! Elemente. Jede Permutation P kann als Produkt von Transpositionen Pij dargestellt werden. Ein Element heißt gerade (ungerade), wenn die Zahl der Pij gerade (ungerade) ist.2 Einige Eigenschaften: (i)

Sei ψ(1, . . . , N ) eine Eigenfunktion von H mit Eigenwert E, dann gilt dies auch f¨ ur P ψ(1, . . . , N ). Beweis. Hψ = Eψ ⇒ HP ψ = P Hψ = EP ψ . (ii) F¨ ur jede Permutation gilt ϕ|ψ = P ϕ|P ψ ,

(1.1.5)

wie durch Umbenennung der Integrationsvariablen folgt. (iii) Der adjungierte Permutationsoperator P † ist wie u ¨ blich durch   † ϕ|P ψ = P ϕ|ψ definiert. Daraus folgt     ϕ|P ψ = P −1 ϕ|P −1 P ψ = P −1 ϕ|ψ ⇒ P † = P −1 und somit ist P unit¨ ar P †P = P P † = 1 .

(1.1.6)

(iv) F¨ ur jeden symmetrischen Operator S(1, . . . , N ) gilt [P, S] = 0

(1.1.7)

und P ψi | S |P ψj  = ψi | P † SP |ψj  = ψi | P † P S |ψj  = ψi | S |ψj  . (1.1.8) Somit wurde gezeigt, daß symmetrische Operatoren in den Zust¨anden ψi und in den permutierten Zust¨ anden P ψi gleiche Matrixelemente haben. 2

Bekanntlich l¨ aßt sich jede Permutation als Produkt von elementfremden Zyklen darstellen, z.B. (124)(35). Jeder Zyklus l¨ aßt sich als Produkt von Transpositionen darstellen, z.B. (12) P124 ≡ (124) = (14)(12)

ungerade gerade .

Jeder Zyklus wird von links nach rechts durchgegangen (1 → 2, 2 → 4, 4 → 1), w¨ ahrend die Produkte von Zyklen von rechts nach links angewandt werden.

1.1 Identische Teilchen, Mehrteilchenzust¨ ande und Permutationssymmetrie

5

(v) Es gilt auch die Umkehrung von (iv). Die Forderung, daß eine Vertauschung von identischen Teilchen keinerlei beobachtbare Konsequenzen haben darf, impliziert, daß alle Observablen O symmetrisch, d.h. permutationsinvariant, sein m¨ ussen. ur beliebiges ψ Beweis. ψ| O |ψ = P ψ| O |P ψ = ψ| P † OP |ψ gilt f¨ und deshalb P † OP = O und folglich P O = OP . Da identische Teilchen durch jeden physikalischen Prozeß gleichartig beeinflußt werden, m¨ ussen alle physikalischen Operatoren symmetrisch sein. Die Zust¨ ande ψ und P ψ sind deshalb experimentell ununterscheidbar. Es erhebt sich die Frage, ob in der Natur alle diese N ! Zust¨ande realisiert sind. Tats¨ achlich nehmen die vollkommen symmetrischen und die vollkommen antisymmetrischen Zust¨ ande ψs und ψa eine ausgezeichnete Position ein. Diese sind definiert durch Pij ψ as (. . . , i, . . . , j, . . . ) = ±ψ as (. . . , i, . . . , j, . . . )

(1.1.9)

f¨ ur alle Pij . Es erweist sich experimentell, daß es zwei Sorten von Teilchen gibt, Bosonen und Fermionen, deren Zust¨ ande vollkommen symmetrisch und vollkommen antisymmetrisch sind. Wie schon eingangs erw¨ahnt, haben Bosonen ganzzahligen und Fermionen halbzahligen Spin. Bemerkungen: (i) Der Symmetriecharakter eines Zustandes ¨ andert sich im Zeitverlauf nicht: ψ(t) = T e

− i

Rt 0

dt H(t )

ψ(0) ⇒ P ψ(t) = T e

− i

Rt 0

dt H(t )

P ψ(0) , (1.1.10)

wobei T der Zeitordnungsoperator ist.3 (ii) F¨ ur beliebige Permutationen P gilt f¨ ur die in (1.1.9) eingef¨ uhrten Zust¨ ande P ψs = ψs P ψa = (−1)P ψa , mit (−1)P =



(1.1.11) 1 f¨ ur gerade Permutationen. −1 f¨ ur ungerade

Also bilden die Zust¨ ande ψs und ψa die Basis von zwei eindimensionalen ur ψs ist jedem P die Zahl Darstellungen der Permutationsgruppe SN . F¨ 1, f¨ ur ψa jedem geraden (ungeraden) Element die Zahl 1 (−1) zugeordnet. Da im Falle von drei oder mehr Teilchen die Pij nicht alle untereinander ur die nicht alle kommutieren, gibt es neben ψs und ψa auch Zust¨ande , f¨ Pij diagonal sind. Wegen der Nichtkommutativit¨at kann es n¨amlich kein vollst¨ andiges System von gemeinsamen Eigenfunktionen aller Pij geben. 3

QM I, Kap. 16.

6

1. Zweite Quantisierung

Diese Zust¨ ande sind Basisfunktionen zu h¨oherdimensionalen Darstellungen der Permutationsgruppe. In der Natur sind diese Zust¨ande nicht realisiert und werden mit dem Ausdruck parasymmetrische Zust¨ande bezeichnet4 . Im Zusammenhang mit dadurch beschriebenen fiktiven Teilchen spricht man von Parateilchen und Parastatistik. 1.1.2 Beispiele (i) Zwei Teilchen Sei ψ(1, 2) eine beliebige Wellenfunktion. Die Permutation P12 f¨ uhrt auf P12 ψ(1, 2) = ψ(2, 1). Aus diesen beiden Wellenfunktionen bildet man ψs = ψ(1, 2) + ψ(2, 1) symmetrisch ψa = ψ(1, 2) − ψ(2, 1) antisymmetrisch

(1.1.12)

ur zwei Teilchen sind die m¨ oglichen Zust¨ ande durch unter der Operation P12 . F¨ symmetrische und antisymmetrische ersch¨ opft. (ii) Drei Teilchen Betrachten wir z.B. eine nur von den Orten abh¨ angige Wellenfunktion ψ(1, 2, 3) = ψ(x1 , x2 , x3 ). Die Anwendung der Permutation P123 ergibt P123 ψ(x1 , x2 , x3 ) = ψ(x2 , x3 , x1 ), d.h. Teilchen 1 wird durch Teilchen 2 ersetzt, Teilchen 2 wird durch Teilchen 3 2 2 2 2 ersetzt, Teilchen 3 wird durch Teilchen 1 ersetzt, z.B.: ψ(1, 2, 3) = e−x1 (x2 −x3 ) , 2 2 2 2 2 2 2 2 P12 ψ(1, 2, 3) = e−x2 (x1 −x3 ) , P123 ψ(1, 2, 3) = e−x2 (x3 −x1 ) . Wir betrachten P13 P12 ψ(1, 2, 3) = P13 ψ(2, 1, 3) = ψ(2, 3, 1) = P123 ψ(1, 2, 3) P12 P13 ψ(1, 2, 3) = P12 ψ(3, 2, 1) = ψ(3, 1, 2) = P132 ψ(1, 2, 3) (P123 )2 ψ(1, 2, 3) = P123 ψ(2, 3, 1) = ψ(3, 1, 2) = P132 ψ(1, 2, 3). Offensichtlich ist P13 P12 = P12 P13 . S3 , die Permutationsgruppe von drei Objekten, besteht aus den folgenden 3! = 6 Elementen S3 = {1, P12 , P23 , P31 , P123 , P132 = (P123 )2 }.

(1.1.13)

Wir diskutieren nun die Wirkung der Permutationen P auf einen Ket-Vektor. Bisher hatten wir P immer nur auf Ortswellenfunktionen oder innerhalb von Skalarprodukten, die auf Integrale u uhren, wirken ¨ ber Produkte von Ortswellenfunktionen f¨ lassen. Gegeben sei der Zustand

|ψ =

X

direktes Produkt }| { z |x1 1 |x2 2 |x3 3 ψ(x1 , x2 , x3 )

(1.1.14)

x1 ,x2 ,x3 4

A.M.L. Messiah and O.W. Greenberg, Phys. Rev. 136, B 248 (1964), 138, B 1155 (1965)

1.1 Identische Teilchen, Mehrteilchenzust¨ ande und Permutationssymmetrie

7

mit ψ(x1 , x2 , x3 ) = x1 |1 x2 |2 x3 |3 |ψ. In |xi j gibt j die Teilchennummer an und xi den Wert der Ortskoordinate. Die Wirkung von P123 ist beispielsweise folgendermaßen definiert: X P123 |ψ = |x1 2 |x2 3 |x3 1 ψ(x1 , x2 , x3 ) ; x1 ,x2 ,x3

=

X

|x3 1 |x1 2 |x2 3 ψ(x1 , x2 , x3 )

x1 ,x2 ,x3

In der zweiten Zeile wurden die Basisvektoren der drei Teilchen im direkten Produkt wieder in der u onnen wir die ¨ blichen Reihenfolge 1, 2, 3 aufgeschrieben. Nun k¨ Summationsvariablen entsprechend (x1 , x2 , x3 ) → P123 (x1 , x2 , x3 ) = (x2 , x3 , x1 ) umbenennen. Daraus folgt X |x1 1 |x2 2 |x3 3 ψ(x2 , x3 , x1 ) . P123 |ψ = x1 ,x2 ,x3

Hat der Zustand |ψ die Wellenfunktion ψ(x1 , x2 , x3 ), dann hat P |ψ die Wellenfunktion P ψ(x1 , x2 , x3 ). Die Teilchen werden bei der Permutation ausgetauscht. Zum Abschluß diskutieren wir noch die Basisvektoren f¨ ur drei Teilchen: Ausgehend von dem Zustand |α |β |γ erhalten wir durch Anwendung der Elemente der Gruppe S3 die sechs Zust¨ ande |α |β |γ P12 |α |β |γ = |β |α |γ , P23 |α |β |γ = |α |γ |β , P31 |α |β |γ = |γ |β |α , P123 |α1 |β2 |γ3 = |α2 |β3 |γ1 = |γ |α |β , P132 |α |β |γ = |β |γ |α .

(1.1.15)

Hier wurden bis auf die vierte Zeile die Indizes f¨ ur die Teilchennummern nicht ausgeschrieben, sondern durch die Position im Produkt festgelegt (Teilchen 1 – erster Faktor, etc.). Die Teilchen werden permutiert, nicht die Argumente in den Zust¨ anden. Falls wir voraussetzen, daß α, β, γ alle verschieden sind, dann sind auch die in Gl. (1.1.15) angegebenen 6 Zust¨ ande alle verschieden. Diese kann man folgendermaßen zu invarianten Unterr¨ aumen5 kombinieren und gruppieren: Invariante Unterr¨ aume: Basis 1 (symmetrische Basis): 1 √ (|α |β |γ + |β |α |γ + |α |γ |β + |γ |β |α + |γ |α |β + |β |γ |α) 6 (1.1.16a) Basis 2 (antisymmetrische Basis): 1 √ (|α |β |γ − |β |α |γ − |α |γ |β − |γ |β |α + |γ |α |β + |β |γ |α) 6 (1.1.16b) 5

Unter einem invarianten Unterraum versteht man einen Teilraum von Zust¨ anden, der sich bei Anwendung der Gruppenelemente in sich transformiert.

8

1. Zweite Quantisierung

Basis 3: 8 1 < √12 (2 |α |β |γ + 2 |β |α |γ − |α |γ |β − |γ |β |α − |γ |α |β − |β |γ |α) :1 (0 + 0 − |α |γ |β + |γ |β |α + |γ |α |β − |β |γ |α) 2 Basis 4: 81 < 2 (0 + 0 − |α |γ |β + |γ |β |α − |γ |α |β + |β |γ |α) √1 (2 |α |β |γ − 2 |β |α |γ + |α |γ |β + |γ |β |α : 12 − |γ |α |β − |β |γ |α) .

(1.1.16c)

(1.1.16d)

In der Basis 3 und 4 ist jeweils die erste der beiden Funktionen gerade unter P12 und die zweite der beiden Funktionen ungerade unter P12 (im unmittelbar folgenden nennen wir die beiden Funktionen |ψ1  und |ψ2 ). Bei anderen Operationen entsteht eine Linearkombination der beiden Funktionen: P12 |ψ1  = |ψ1  , P12 |ψ2  = − |ψ2  ,

(1.1.17a)

P13 |ψ1  = α11 |ψ1  + α12 |ψ2  , P13 |ψ2  = α21 |ψ1  + α22 |ψ2  ,

(1.1.17b)

mit Koeffizienten αij . In Matrixform l¨ aßt sich (1.1.17b) folgendermaßen schreiben « „ « „ «„ α11 α12 |ψ1  |ψ1  P13 = . (1.1.17c) |ψ2  |ψ2  α21 α22 Den Elementen P12 und P13 entsprechen also 2 × 2 Matrizen « „ « „ 1 0 α11 α12 . P12 = , P13 = α21 α22 0 −1

(1.1.18)

Dieser Sachverhalt bedeutet, daß die Basisvektoren |ψ1  und |ψ2  eine zweidimensionale Darstellung der Permutationsgruppe S3 aufspannen. Die explizite Berechnung wird in Aufgabe 1.2 durchgef¨ uhrt.

1.2 Vollkommen symmetrische und antisymmetrische Zust¨ ande Wir gehen von den Einteilchenzust¨ anden |i: |1, |2, . . . aus. Die Einteilchenzust¨ ande von den Teilchen 1, 2, . . . , α, . . . , N werden mit |i1 , |i2 , . . . , |iα , . . . , |iN bezeichnet. Daraus finden wir die Basis-Zust¨ande des N Teilchensystems |i1 , . . . , iα , . . . , iN  = |i1 1 . . . |iα α . . . |iN N ,

(1.2.1)

hier ist das Teilchen 1 im Zustand |i1 1 , das Teilchen α im Zustand |iα α usw. (Der Index außerhalb des Kets gibt die Teilchennummer an, der Index innerhalb den Zustand dieses Teilchens.)

1.2 Vollkommen symmetrische und antisymmetrische Zust¨ ande

9

Unter der Voraussetzung, daß {|i} ein vollst¨ andiges Orthonormalsystem ist, bilden auch die oben definierten Produktzust¨ ande ein vollst¨andiges Orthonormalsystem im Raum der N -Teilchen-Zust¨ ande. Die symmetrisierten und antisymmetrisierten Basis-Zust¨ande sind dann durch 1  (±1)P P |i1 , i2 , . . . , iN  S± |i1 , i2 , . . . , iN  ≡ √ N! P

(1.2.2)

definiert. D.h. wir wenden alle N ! Elemente der Permutationsgruppe SN von N Elementen an und multiplizieren bei Fermionen mit (−1), wenn P eine ungerade Permutation ist. Die beiden in (1.2.2) definierten Sorten von Zust¨ anden sind vollkommen symmetrisch oder vollkommen antisymmetrisch. Anmerkungen zu Eigenschaften von S± ≡

√1 N!



P P (±1) P :

(i) Sei SN die Permutationsgruppe (auch symmetrische Gruppe) von N Gr¨ oßen. Behauptung. F¨ ur jedes Element P ∈ SN gilt P SN = SN . Beweis. Die Menge P SN enth¨ alt ebensoviele Elemente wie SN und diese sind wegen der Gruppeneigenschaft alle in SN enthalten. Außerdem sind die Elemente von P SN alle verschieden, denn w¨ are P P1 = P P2 , dann w¨ urde nach Multiplikation mit P −1 folgen P1 = P2 .

Deshalb ist P SN = SN P = SN .

(1.2.3)

(ii) Daraus folgt P S+ = S+ P = S+

(1.2.4a)

P S− = S− P = (−1)P S− .

(1.2.4b)

und

Wenn P gerade ist, dann bleiben gerade Elemente gerade und ungerade ungerade. Wenn P ungerade ist, dann werden durch die Multiplikation mit P gerade Elemente zu ungeraden und ungerade zu geraden. P S+ |i1 , . . . , iN  = S+ |i1 , . . . , iN  P S− |i1 , . . . , iN  = (−1)P S− |i1 , . . . , iN  Spezialfall Pij S− |i1 , . . . , iN  = −S− |i1 , . . . , iN  . ande mehrfach auftreten, ist (iii) Falls in |i1 , . . . , iN  Einteilchenzust¨ S+ |i1 , . . . , iN  nicht auf 1 normiert. Nehmen wir an, der erste Zustand tritt n1 mal auf, der zweite n2 mal usw. Da S+ |i1 , . . . , iN  insgesamt N ! Terme N! enth¨ alt und dabei n1 !n verschiedene Terme, kommt jeder dieser Terme mit 2 !... der Vielfachheit n1 !n2 ! . . . vor.

10

1. Zweite Quantisierung † i1 , . . . , iN | S+ S+ |i1 , . . . , iN  =

N! 1 (n1 !n2 ! . . . )2 = n1 !n2 ! . . . N! n1 !n2 ! . . .

D.h. die normierten Bose-Basisfunktionen sind  1 1 = √ P |i1 , . . . , iN  . S+ |i1 , . . . , iN  √ n1 !n2 ! . . . N !n1 !n2 ! . . . P (iv) Es gilt √ 2 S± = N !S± ,

(1.2.5)

(1.2.6a)

√   2 da S± = √1N ! P (±1)P P S± = √1N ! P S± = N !S± . Nun betrachten wir einen beliebigen N -Teilchen-Zustand und entwickeln ihn nach der Basis |i1  . . . |iN   |i1  . . . |iN  i1 , . . . , iN |z . |z =  

i1 ,... ,iN

ci1 ,... ,iN

Die Anwendung von S± ergibt  S± |i1  . . . |iN  ci1 ,... ,iN = S± |z = i1 ,... ,iN

und nochmalige Anwendung von



|i1  . . . |iN  S± ci1 ,... ,iN

i1 ,... ,iN √1 S± N!

ergibt nach der Identit¨at (1.2.6a)

 1 S± |i1  . . . |iN  (S± ci1 ,... ,iN ). S± |z = √ N ! i1 ,... ,iN

(1.2.6b)

(1.2.6b) besagt, daß jeder symmetrisierte Zustand nach den symmetrisierten Basiszust¨ anden (1.2.2) entwickelt werden kann.

1.3 Bosonen 1.3.1 Zust¨ ande, Fock-Raum, Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren Der Zustand (1.2.5) ist vollkommen charakterisiert durch Angabe der Besetzungszahlen |n1 , n2 , . . . = S+ |i1 , i2 , . . . , iN  √

1 ; n1 !n2 ! . . .

(1.3.1)

n1 gibt die Anzahl an, mit der der Zustand 1 vorkommt, n2 gibt die Anzahl an, mit der der Zustand 2 vorkommt, . . . oder: n1 ist die Zahl der Teilchen

1.3 Bosonen

11

im Zustand 1, n2 ist die Zahl der Teilchen im Zustand 2, . . . . Die Summe aller Besetzungszahlen ni muß gleich der Gesamt-Teilchenzahl sein: ∞ 

ni = N.

(1.3.2)

i=1

Abgesehen davon k¨ onnen die ni beliebige Zahlenwerte 0, 1, 2, . . . annehmen. −1/2 Der Faktor (n !n ! bewirkt zusammen mit dem in S+ enthaltenen √ 1 2 ...) Faktor 1/ N !, daß |n1 , n2 , . . . auf 1 normiert ist. (Siehe Punkt (iii).) Diese Zust¨ ande bilden ein vollst¨ andiges System von vollkommen symmetrischen N Teilchen-Zust¨ anden. Aus diesen kann man durch lineare Superposition jeden beliebigen symmetrischen N -Teilchen-Zustand aufbauen. Wir fassen nun die Zust¨ ande f¨ ur N = 0, 1, 2, . . . zusammen und erhalten ein vollst¨ andiges Orthonormalsystem von Zust¨anden f¨ ur beliebige Teilchenzahl, die folgende Orthogonalit¨ ats-6 n1 , n2 , . . . |n1  , n2  , . . . = δn1 ,n1  δn2 ,n2  . . . und Vollst¨ andigkeitsrelation  |n1 , n2 , . . . n1 , n2 , . . .| = 11

(1.3.3a)

(1.3.3b)

n1 ,n2 ,...

erf¨ ullen. Dieser erweiterte Raum ist die direkte Summe aus dem Raum ohne Teilchen (Vakuumzustand |0), dem Raum mit einem Teilchen, dem Raum mit zwei Teilchen usw.; er heißt Fock-Raum. Unsere bisherigen Operatoren wirken nur innerhalb eines Unterraums fester Teilchenzahl. Durch Anwendung von p, x etc. erhalten wir aus einem N -Teilchenzustand wieder einen N -Teilchenzustand. Wir definieren nun Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, die vom Zustandsraum von N Teilchen in den Zustandsraum von N ± 1 Teilchen f¨ uhren √ (1.3.4) a†i |. . . , ni , . . . = ni + 1 |. . . , ni + 1, . . . . Daraus folgt durch Adjungieren und der Umbenennung ni → ni   . . . , ni  , . . .| ai = ni  + 1 . . . , ni  + 1, . . .| .

(1.3.5)

Multipliziert man die letzte Gleichung mit |. . . , ni , . . ., ergibt sich . . . , ni  , . . .| ai |. . . , ni , . . . =

√ ni δni  +1,ni .

D.h. der Operator ai erniedrigt die Besetzungszahl um 1. 6

In den Zust¨ anden |n1 , n2 , . . . sind n1 , n2 usw. beliebige nat¨ urliche Zahlen, deren Summe nicht eingeschr¨ ankt ist. Das (verschwindende) Skalarprodukt zwischen Zust¨ anden unterschiedlicher Teilchenzahl wird durch (1.3.3a) definiert.

12

1. Zweite Quantisierung

Behauptung: ai |. . . , ni , . . . =

√ ni |. . . , ni − 1, . . . f¨ ur ni ≥ 1

(1.3.6)

und ai |. . . , ni = 0, . . . = 0 . Beweis: ai |. . . , ni , . . . = =

∞  ni  =0 ∞ 

|. . . , ni  , . . . . . . , ni  , . . .| ai |. . . , ni , . . . |. . . , ni  , . . .

√ ni δni  +1,ni

ni  =0

√ ni |. . . , ni − 1, . . . f¨ ur ni ≥ 1 = . 0 f¨ ur ni = 0 oht die Besetzungszahl des Zustandes |i um 1, der Der Operator a†i erh¨ Operator ai erniedrigt sie um 1. Die Operatoren a†i und ai heißen deshalb Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Aus den obigen Relationen und der Vollst¨ andigkeit der Zust¨ ande folgen die Bose-Vertauschungsrelationen [ai , aj ] = 0,

[a†i , a†j ] = 0,

[ai , a†j ] = δij .

(1.3.7a,b,c)

Beweis. Offensichtlich gilt (1.3.7a) f¨ ur i = j, da ai mit sich selbst kommutiert. F¨ ur i = j folgt aus (1.3.6) √ √ ai aj |. . . , ni , . . . , nj , . . . = ni nj |. . . , ni − 1, . . . , nj − 1, . . . = aj ai |. . . , ni , . . . , nj , . . . womit (1.3.7a) und durch Bildung der hermitesch konjugierten Relation auch (1.3.7b) gezeigt ist. F¨ ur j = i ist √ p ai a†j |. . . , ni , . . . , nj , . . . = ni nj + 1 |. . . , ni − 1, . . . , nj + 1, . . . = a†j ai |. . . , ni , . . . , nj , . . . und

“

” ai a†i − a†i ai |. . . , ni , . . . , nj , . . . = √ `√ √ √ ´ ni + 1 ni + 1 − ni ni |. . . , ni , . . . , nj , . . .

womit auch (1.3.7c) gezeigt ist.

Ausgehend vom Grundzustand ≡ Vakuumzustand |0 ≡ |0, 0, . . . ,

(1.3.8)

1.3 Bosonen

13

in welchem keine Teilchen vorhanden sind, k¨ onnen wir alle Zust¨ande aufbauen: Einteilchenzust¨ ande a†i |0 , . . . , Zweiteilchenzust¨ ande

2 1 √ a†i |0 , a†i a†j |0 , . . . 2! und den allgemeinen Mehrteilchenzustand n1 n2 1 a†2 a†1 . . . |0 . |n1 , n2 , . . . = √ n1 !n2 ! . . .

(1.3.9)

Normierung: a† |n − 1 =

√ n |n

(1.3.10)

 √  † a |n − 1 = n 1 |n = √ a† |n − 1 . n 1.3.2 Teilchenzahloperator Der Teilchenzahloperator (Besetzungszahloperator f¨ ur den Zustand |i) ist durch n ˆ i = a†i ai

(1.3.11)

definiert. Die oben eingef¨ uhrten Zust¨ ande sind Eigenfunktionen von n ˆi: n ˆ i |. . . , ni , . . . = ni |. . . , ni , . . . , wobei der Eigenwert von n ˆ i die Teilchenzahl im Zustand i ist. Der Operator der Gesamt-Teilchenzahl ist durch  ˆ = N n ˆi

(1.3.12)

(1.3.13)

i

gegeben. Dessen Anwendung auf die Zust¨ ande |. . . , n ˆ i , . . . ergibt    ˆ |n1 , n2 , . . . = N ni |n1 , n2 , . . . . i

(1.3.14)

14

1. Zweite Quantisierung

Unter der Voraussetzung, daß die Teilchen nicht miteinander wechselwirken und die Zust¨ ande |i die Eigenzust¨ ande des Einteilchen-Hamiltonoperators ur den gesamten Hamilton-Operator mit Energieeigenwert i sind, gilt f¨  H0 = n ˆ i i (1.3.15a) i



H0 |n1 , . . . =



 ni i

|n1 , . . . .

(1.3.15b)

i

Die Vertauschungsrelationen und die Eigenschaften der Besetzungszahloperatoren sind analog zu harmonischen Oszillatoren. 1.3.3 Allgemeine Einteilchen- und Mehrteilchenoperatoren Der Operator des N -Teilchensystems sei eine Summe von Einteilchenoperatoren  tα , (1.3.16) T = t1 + t2 + . . . + tN ≡ α

z.B. f¨ ur die kinetische Energie tα = p2α /2m, oder das Potential V (xα ). F¨ ur ein Teilchen ist der Einteilchenoperator der Operator t. Dessen Matrixelemente in der Basis |i sind tij = i| t |j ,

(1.3.17)

deshalb gilt  t= tij |i j|

(1.3.18)

i,j

und f¨ ur das gesamte N -Teilchensystem T =

 i,j

tij

N 

|iα j|α .

(1.3.19)

α=1

Unser Ziel ist es, diesen Operator durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren darzustellen. Dazu greifen wir in (1.3.19) ein Paar i, j von Zust¨anden heraus und berechnen die Wirkung auf einen beliebigen Zustand (1.3.1). Zun¨ achst sei j = i  |iα j|α |. . . , ni , . . . , nj , . . . α



1 |iα j|α S+ |i1 , i2 , . . . , iN  √ n !n 1 2! . . . α  1 = S+ . |iα j|α |i1 , i2 , . . . , iN  √ n1 !n2 ! . . . α

≡

(1.3.20)

1.3 Bosonen

15

Nach dem zweiten Gleichheitszeichen konnte S+ vorgezogen werden, da es mit jedem symmetrischen Operator kommutiert. Falls der Zustand j nj -fach besetzt ist, ergeben sich nj Terme, in denen |j durch |i ersetzt wird. Die Wirkung von S+ f¨ uhrt dann auf nj Zust¨ ande |. . . , ni + 1, . . . , nj − 1, . . ., ¨ wobei die Anderung der Normierung zu beachten ist. Gl. (1.3.20) f¨ uhrt also weiter zu √ 1 = nj ni + 1 √ |. . . , ni + 1, . . . , nj − 1, . . . nj √ √ = nj ni + 1 |. . . , ni + 1, . . . , nj − 1, . . .

(1.3.20 )

= a†i aj |. . . , ni , . . . , nj , . . . . F¨ ur j = i wird ni -mal i wieder durch i ersetzt, d.h. es entsteht ni |. . . , ni , . . . = a†i ai |. . . , ni , . . . . Also gilt f¨ ur beliebiges N N 

|iα j|α = a†i aj .

α=1

Daraus folgt f¨ ur beliebige Einteilchenoperatoren  T = tij a†i aj ,

(1.3.21)

i,j

wo tij = i| t |j .

(1.3.22)

Der Spezialfall tij = i δij f¨ uhrt auf  † H0 =

i ai ai , i

d.h. Gleichung (1.3.15a). ¨ Ahnlich zeigt man, daß Zweiteilchenoperatoren F =

1  (2) f (xα , xβ ) 2

(1.3.23)

α=β

in der Form F =

1  i, j| f (2) |k, m a†i a†j am ak 2 i,j,k,m

geschrieben werden k¨ onnen, wo

(1.3.24)

16

1. Zweite Quantisierung

 i, j| f (2) |k, m =

 dx

dyϕ∗i (x)ϕ∗j (y)f (2) (x, y)ϕk (x)ϕm (y)

(1.3.25)

ist. In (1.3.23) ist α = β, da sonst nur ein Einteilchenoperator vorl¨age. Der Faktor 12 in (1.3.23) tritt auf, da jede Wechselwirkung nur einmal auftreten darf und f¨ ur identische Teilchen aus Symmetriegr¨ unden f (2) (xα , xβ ) = (2) f (xβ , xα ) ist. Beweis von (1.3.24). Zun¨ achst kann man F in der Form

F =

1  i, j| f (2) |k, m |iα |jβ k|α m|β 2 α=β i,j,k,m

darstellen. Wir untersuchen nun die Wirkung eines Summanden in F:  |iα |jβ k|α m|β |. . . , ni , . . . , nj , . . . , nk , . . . , nm , . . . α=β

 √ 1 = nk nm √ √ ni + 1 nj + 1 nk nm |. . . , ni + 1, . . . , nj + 1, . . . , nk − 1, . . . , nm − 1, . . . =

a†i a†j ak am

|. . . , ni , . . . , nj , . . . , nk , . . . , nm , . . . .

Hier haben wir vorausgesetzt, daß die Zust¨ ande verschieden sind. F¨ ur gleiche Zust¨ ande muß die Ableitung in a hnlicher Weise wie bei den Einteilchenope¨ ratoren erg¨ anzt werden. Eine k¨ urzere Herleitung, die auch den Fall von Fermionen mit beinhaltet, l¨auft folgendermaßen. Dabei wird der Kommutator und Antikommutator f¨ ur Bosonen bzw. Fermionen in der Form [ak , aj ]∓ = δkj zusammengefaßt.   |iα |jβ k|α m|β = |iα k|α |jβ m|β α=β

α=β

=

 α,β

=

|iα k|α |jβ m|β − k|j  

a†i ak a†j am

δkj

−

a†i

[ak , a†j ]∓

 



|iα m|α

α

am

ak a†j ∓a†j ak

= ±a†i a†j ak am = a†i a†j am ak , (1.3.26) f¨ ur

Bosonen . Damit ist die G¨ ultigkeit der Darstellung (1.3.24) bewiesen. Fermionen

1.4 Fermionen

17

1.4 Fermionen 1.4.1 Zust¨ ande, Fock-Raum und Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren F¨ ur Fermionen muß man die in (1.2.2) definierten Zust¨ande S− |i1 , i2 , . . . , iN  betrachten, die auch in Form einer Determinante dargestellt werden k¨onnen    |i1  |i1  · · · |i1   1 2 N   1   .. . . .. (1.4.1) S− |i1 , i2 , . . . , iN  = √  ...  . . . .   N!  |iN  |iN  · · · |iN   1

2

N

Man nennt diese Determinante von Einteilchenzust¨anden Slater-Determinante. Wenn in (1.4.1) gleiche Einteilchenzust¨ ande vorkommen, ergibt sich Null. Pauli-Prinzip oder -Verbot: Zwei identische Fermionen d¨ urfen sich nicht im gleichen Zustand befinden. Wenn alle iα verschieden voneinander sind, ist dieser antisymmetrisierte Zustand auf 1 normiert. Es gilt S− |i2 , i1 , . . . = −S− |i1 , i2 , . . . .

(1.4.2)

Diese Abh¨ angigkeit von der Reihenfolge ist eine allgemeine Eigenschaft von Determinanten. Wir charakterisieren die Zust¨ ande auch hier wieder durch Angabe der Besetzungszahlen, die nun nur die Werte 0 und 1 annehmen k¨onnen: Der Zustand mit n1 Teilchen im Zustand 1 und n2 Teilchen im Zustand 2 usw. ist |n1 , n2 , . . . . Der Zustand, in dem kein Teilchen vorhanden ist, der Vakuumzustand, wird mit |0 = |0, 0, . . . bezeichnet. Dieser Zustand ist nicht zu verwechseln mit dem Nullvektor! Wir fassen diese Zust¨ ande (Vakuumzustand, Einteilchenzust¨ande, Zweiteilchenzust¨ ande, . . . ) in einem Zustandsraum zusammen. D.h. wir bilden die direkte Summe der Zustandsr¨ aume zu fester Teilchenzahl; auch f¨ ur Fermionen nennt man diesen Raum Fock-Raum. In diesem Zustandsraum ist ein Skalarprodukt folgendermaßen definiert n1 , n2 , . . . |n1  , n2  , . . . = δn1 ,n1  δn2 ,n2  . . . .

(1.4.3a)

d.h. f¨ ur Zust¨ ande gleicher Teilchenzahl (aus einem Teilraum) ist es identisch mit dem bisherigen Skalarprodukt und f¨ ur Zust¨ande aus verschiedenen Teilr¨ aumen verschwindet es immer. Außerdem gilt die Vollst¨andigkeitsrelation

18

1. Zweite Quantisierung 1 1  

. . . |n1 , n2 , . . . n1 , n2 , . . .| = 11 .

(1.4.3b)

n1 =0 n2 =0

Wir wollen nun wieder Erzeugungsoperatoren a†i einf¨ uhren. Diese m¨ ussen so definiert sein, daß deren zweimalige Anwendung Null ergibt. Außerdem muß die Reihenfolge der Anwendung eine Rolle spielen. Wir definieren deshalb die Erzeugungsoperatoren a†i durch S− |i1 , i2 , . . . , iN  = a†i1 a†i2 . . . a†iN |0

(1.4.4)

S− |i2 , i1 , . . . , iN  = a†i2 a†i1 . . . a†iN |0 . Da diese Zust¨ ande negativ gleich sind, folgt f¨ ur den Antikommutator {a†i , a†j } = 0,

(1.4.5a)

was auch die Unm¨ oglichkeit der Doppelbesetzung beinhaltet 2 a†i = 0.

(1.4.5b)

In (1.4.5a) tritt der Antikommutator auf, dieser und der Kommutator zweier Operatoren A und B sind durch {A, B} ≡ [A, B]+ ≡ AB + BA [A, B] ≡ [A, B]− ≡ AB − BA

(1.4.6)

definiert. ¨ Nach diesen Uberlegungen k¨ onnen wir uns der pr¨azisen Formulierung zuwenden. Wenn man die Zust¨ ande durch Besetzungszahlen charakterisiert, muß man sich auf eine bestimmte (willk¨ urlich w¨ ahlbare, aber dann beizubehaltende) Anordnung der Zust¨ ande festlegen: n1 n2 a†2 |n1 , n2 , . . . = a†1 . . . |0 , ni = 0, 1. (1.4.7) Die Wirkung des Operators a†i hat dann folgendermaßen zu erfolgen P

a†i |. . . , ni , . . . = (1 − ni )(−1)

j
nj

|. . . , ni + 1, . . . .

(1.4.8)

Die Teilchenzahl wird um 1 erh¨ oht, bei schon besetztem Zustand ergibt sich wegen (1 − ni ) Null. Der Phasenfaktor ist entsprechend der Zahl der notwendigen Antikommutationen, die a†i an die Position i bringen. Die adjungierte Relation lautet P

. . . , ni , . . .| ai = (1 − ni )(−1)

j
nj

. . . , ni + 1, . . .| .

(1.4.9)

1.4 Fermionen

19

Daraus ergibt sich das Matrixelement P

. . . , ni , . . .| ai |. . . , ni  , . . . = (1 − ni )(−1) Wir berechnen nun ai |. . . , ni  , . . . =



=

nj

δni +1,ni  .

(1.4.10)

|ni  ni | ai |ni  

ni



j
P

|ni  (1 − ni )(−1)

ni

P

= (2 − ni  )(−1)

j
nj

j
nj

δni +1,ni 

(1.4.11)

|. . . , ni  − 1, . . . ni  .

Wir haben hier den Faktor ni  eingef¨ ugt, weil f¨ ur ni  = 0 das Kronecker-Delta δni +1,ni  = 0 sicher Null ergibt. Der Faktor ni  gew¨ahrleistet auch, daß auf der rechten Seite nicht der Zustand |. . . , ni  − 1, . . . = |. . . , −1, . . . auftritt. Zusammenfassend ist die Wirkung der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren P

a†i |. . . , ni , . . . = (1 − ni )(−1) P

ai |. . . , ni , . . . = ni (−1)

j
j
nj

|. . . , ni + 1, . . .

|. . . , ni − 1, . . . .

Daraus folgt

P

ai a†i |. . . , ni , . . . = (1 − ni )(−1)2 j
(1.4.12)

P

|. . . , ni , . . . = ni (−1) (1 − ni + 1) |. . . , ni , . . . = ni |. . . , ni , . . . , 2

j
(1.4.13a)

nj

P

(1.4.13b)

da f¨ ur ni ∈ {0, 1} n2i = ni und (−1) = 1. Wegen der Eigenschaft † (1.4.13b) hat ai ai die Bedeutung des Besetzungszahloperators f¨ ur den Zustand |i. Durch Bildung der Summe von (1.4.13a,b) erh¨alt man den Antikommutator 2

j
[ai , a†i ]+ = 1. Im Antikommutator [ai , a†j ]+ mit i = j ist der Phasenfaktor in den beiden Summanden unterschiedlich: [ai , a†j ]+ ∝ (1 − nj )ni (1 − 1) = 0 . [ai , aj ]+ hat f¨ ur i = j ebenfalls in den beiden Summanden einen unterschiedlichen Phasenfaktor, und da ai ai |. . . , ni , . . . ∝ ni (ni − 1) = 0, folgen die Antikommutationsregeln f¨ ur Fermionen [ai , aj ]+ = 0, [a†i , a†j ]+ = 0, [ai , a†j ]+ = δij .

(1.4.14)

20

1. Zweite Quantisierung

1.4.2 Ein- und Mehrteilchenoperatoren Man kann auch f¨ ur Fermionen die Operatoren durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ausdr¨ ucken. Die Gestalt ist genauso wie bei Bosonen, (1.3.21) und (1.3.24). Hier ist aber besonders auf die Reihenfolge von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren untereinander zu achten. Die wichtige Darstellung X |iα j|α = a†i aj ,

(1.4.15)

α

aus der man nach (1.3.26) auch Zwei- (und Mehr-) teilchenoperatoren erh¨ alt, beweist man wie folgt. Gegeben sei der Zustand S− |i1 , i2 , . . . , iN , o.B.d.A. sei die Anordnung in der Reihenfolge i1 < i2 < . . . < iN . Die Wirkung der linken Seite von (1.4.15) ergibt X X |iα j|α S− |i1 , i2 , . . . , iN  = S− |iα j|α |i1 , i2 , . . . , iN  α

α

˛ = nj (1 − ni )S− |i1 , i2 , . . . , iN  ˛j→i .

Das Symbol |j→i bedeutet, daß der Zustand P |j durch P |i ersetzt wird. Um i in die richtige Position zu bringen, muß man k<j nk + k j. Das ergibt denselben Phasenfaktor wie von der rechten Seite von (1.4.15) a†i aj |. . . , ni , . . . , nj , . . . = nj (−1) = ni (1 − ni )(−1)

P

k
nk +

P

k<j

P

k<j

nk −δi>j

nk

a†i |. . . , ni , . . . , nj − 1, . . .

|. . . , ni + 1, . . . , nj − 1, . . . .

Zusammenfassend gilt f¨ ur Einteilchen- und Zweiteilchenoperatoren von Bosonen und Fermionen  T = tij a†i aj (1.4.16a) i,j

1  F = i, j| f (2) |k, m a†i a†j am ak , 2

(1.4.16b)

i,j,k,m

wobei die Operatoren ai f¨ ur Bosonen die Vertauschungsrelationen (1.3.7) und f¨ ur Fermionen die Antikommutationsrelationen (1.4.14) erf¨ ullen. Der Hamilton-Operator eines Vielteilchensystems mit kinetischer Energie T , potentieller Energie U und einer Zweiteilchenwechselwirkung f (2) hat die Gestalt  1  (tij + Uij )a†i aj + i, j| f (2) |k, m a†i a†j am ak , (1.4.16c) H= 2 i,j i,j,k,m

wobei die Matrixelemente in (1.3.21,1.3.22,1.3.25) definiert sind, und f¨ ur Fermionen besonders auf die Reihenfolge der beiden Vernichtungsoperatoren im Zweiteilchenoperator zu achten ist. Im weiteren k¨ onnen wir die Theorie f¨ ur Bosonen und Fermionen gemeinsam weiterentwickeln.

1.5 Feldoperatoren

21

1.5 Feldoperatoren 1.5.1 Transformationen zwischen verschiedenen Basissystemen Zwei Basis-Systeme {|i} und {|λ} seien gegeben. Wie h¨angen die Operatoren ai und aλ zusammen? Der Zustand |λ kann nach dem Basissystem {|i} entwickelt werden  |λ = |i i|λ . (1.5.1) i

 Der Operator a†i erzeugt Teilchen im Zustand|i. Die Superposition i i|λ a†i ergibt deshalb ein Teilchen im Zustand |λ. Daraus folgt der Zusammenhang  a†λ = i|λ a†i (1.5.2a) i

und aus der adjungierten Relation  aλ = λ|i ai .

(1.5.2b)

i

Einen wichtigen Spezialfall stellen die Ortseigenzust¨ande |x dar x|i = ϕi (x),

(1.5.3)

ur die wo ϕi (x) die Einteilchen-Wellenfunktion in der Ortsdarstellung ist. F¨ Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, die den Ortseigenzust¨anden entsprechen, f¨ uhren wir eine eigene Bezeichnung ein, die sog. Feldoperatoren. 1.5.2 Feldoperatoren Definition der Feldoperatoren:  ψ(x) = ϕi (x)ai

(1.5.4a)

i

ψ † (x) =



ϕ∗i (x)a†i .

(1.5.4b)

i

Der Operator ψ † (x) (ψ(x)) erzeugt (vernichtet) ein Teilchen im Ortseigenzustand |x, d.h. an der Stelle x. Die Feldoperatoren erf¨ ullen die folgenden Kommutationsrelationen [ψ(x), ψ(x )]± = 0 , †

†

(1.5.5a)



[ψ (x), ψ (x )]± = 0 ,  [ψ(x), ψ † (x )]± = ϕi (x)ϕ∗j (x )[ai , a†j ]±

(1.5.5b) (1.5.5c)

i,j

=



ϕi (x)ϕ∗j (x )δij = δ (3) (x − x ) ,

i,j

wobei sich der obere Index auf Fermionen und der untere auf Bosonen bezieht.

22

1. Zweite Quantisierung

Wir werden nun einige wichtige Operatoren durch die Feldoperatoren ausdr¨ ucken. Kinetische Energie 7    †  2 2 † ∗ 3 ∇ ϕj (x)aj ai Tij aj = d x ai ϕi (x) − 2m i,j i,j  2 d3 x ∇ψ † (x)∇ψ(x) = 2m

(1.5.6a)

Ein-Teilchen-Potential   † ai Uij aj = d3 x a†i ϕ∗i (x)U (x)ϕj (x)aj i,j

i,j

 =

d3 x U (x)ψ † (x)ψ(x)

(1.5.6b)

Zwei-Teilchen-Wechselwirkung oder beliebiger Zweiteilchenoperator  1  d3 xd3 x ϕ∗i (x)ϕ∗j (x )V (x, x )ϕk (x)ϕm (x )a†i a†j am ak 2 i,j,k,m  1 = (1.5.6c) d3 xd3 x V (x, x )ψ † (x)ψ † (x )ψ(x )ψ(x) 2 Hamilton-Operator  2    H = d3 x ∇ψ † (x)∇ψ(x) + U (x)ψ † (x)ψ(x) + 2m  1 d3 xd3 x ψ † (x)ψ † (x )V (x, x )ψ(x )ψ(x) 2 Teilchendichte (Teilchenzahldichte) Der Operator der Teilchendichte ist durch  n(x) = δ (3) (x − xα )

(1.5.6d)

(1.5.7)

α

gegeben. Daraus folgt die Darstellung durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren  †  n(x) = ai aj d3 y ϕ∗i (y)δ (3) (x − y)ϕj (y) i,j

=



a†i aj ϕ∗i (x)ϕj (x).

(1.5.8)

i,j

7

Die zweite Zeile in (1.5.6a) trifft zu, wenn die Wellenfunktionen, auf die der Operator angewandt wird, im Unendlichen gen¨ ugend stark abfallen, so daß der Oberfl¨ achenbeitrag in der partiellen Integration weggelassen werden kann.

1.5 Feldoperatoren

23

Diese Darstellung gilt in jeder beliebigen Basis und kann auch durch die Feldoperatoren ausgedr¨ uckt werden n(x) = ψ † (x)ψ(x). Gesamtteilchenzahl-Operator   ˆ = d3 x n(x) = d3 x ψ † (x)ψ(x) . N

(1.5.9)

(1.5.10)

Der Teilchendichteoperator (1.5.9) des Vielteilchensystems sieht formal so aus wie die Wahrscheinlichkeitsdichte eines Teilchens im Zustand ψ(x). Diese Analogie ist nur formaler Natur, da dieser ein Operator, aber jene eine komplexe Funktion ist. Diese formale Korrespondenz hat zu dem Namen Zweite Quantisierung gef¨ uhrt, da man die Operatoren im Erzeugungs- und Vernichtungsoperatorformalismus erhalten kann, indem man in den Einteilchendichten die Wellenfunktion ψ(x) durch den Operator ψ(x) ersetzt. Dies erlaubt z.B. sofort den Operator der Stromdichte j(x) =

 [ψ † (x)∇ψ(x) − (∇ψ † (x))ψ(x)] 2im

(1.5.11)

anzugeben (siehe Aufgabe 1.6). Die kinetische Energie (1.5.12) hat formal die gleiche Gestalt wie der Erwartungswert der kinetischen Energie eines Teilchens, wobei die Wellenfunktion durch den Feldoperator ersetzt ist.

Anmerkung. Man kann die oben gefundenen Darstellungen der Operatoren durch die Feldoperatoren auch direkt erhalten. Zum Beispiel f¨ ur die Teilchenzahldichte Z ˛ ¸ d3 ξd3 ξ  ψ † (ξ) ξ| δ (3) (x − b ξ) ˛ξ  ψ(ξ  ) = ψ † (x)ψ(x), (1.5.12) wo b ξ der Ortsoperator eines Teilchens ist und verwendet wurde, daß das Matrixelement unter dem Integral gleich δ (3) (x − ξ)δ (3) (ξ − ξ  ) ist. Allgemein f¨ ur einen k-Teilchen-Operator Vk : Z d3 ξ1 . . . d3 ξk d3 ξ1  . . . d3 ξk  ψ † (ξ 1 ) . . . ψ † (ξ k ) ˛ ¸ ξ 1 ξ 2 . . . ξ k | Vk ˛ξ 1 ξ 2 . . . ξ k ψ(ξ k ) . . . ψ(ξ 1 ). (1.5.13)

1.5.3 Feldgleichungen Die Bewegungsgleichungen der Feldoperatoren ψ(x, t) in der Heisenberg-Darstellung ψ(x, t) = eiHt/ ψ(x, 0) e−iHt/ lauten f¨ ur den Hamilton-Operator (1.5.6d)

(1.5.14)

24

1. Zweite Quantisierung

∂ i ψ(x, t) = ∂t

  2 2 − ∇ + U (x) ψ(x, t) + 2m  + d3 x ψ † (x , t)V (x, x )ψ(x , t)ψ(x, t).

(1.5.15)

Die Struktur ist die einer nichtlinearen Schr¨ odinger-Gleichung, auch dies ist Anlaß f¨ ur den Namen Zweite Quantisierung. Beweis. Man geht von der Heisenberg-Bewegungsgleichung i

∂ ψ(x, t) = −[H, ψ(x, t)] = −eiHt/ [H, ψ(x, 0)] e−iHt/ ∂t

(1.5.16)

aus. Unter Ben¨ utzung von [AB, C]− = A[B, C]± ∓ [A, C]± B

Fermi Bose

(1.5.17)

ergibt sich f¨ ur die Kommutatoren mit der kinetischen Energie  2  †   [∇ ψ (x )∇ ψ(x ), ψ(x)] d3 x 2m  2 2 2 (−∇ δ (3) (x − x) · ∇ ψ(x )) = ∇ ψ(x) , = d3 x 2m 2m der potentiellen Energie  d3 x U (x )[ψ † (x )ψ(x ), ψ(x)]  = d3 x U (x )(−δ (3) (x − x)ψ(x )) = − U (x)ψ(x) und der Wechselwirkung   1 d3 x d3 x ψ † (x )ψ † (x )V (x , x )ψ(x )ψ(x ), ψ(x) 2   1 = d3 x d3 x [ψ † (x )ψ † (x ), ψ(x)]V (x , x )ψ(x )ψ(x ) 2     1 3  = d x d3 x ±δ (3) (x − x)ψ † (x ) − ψ † (x )δ (3) (x − x) 2 × V (x , x )ψ(x )ψ(x )  = − d3 x ψ † (x )V (x, x )ψ(x )ψ(x). Dabei wurde nach der zweiten Zeile (1.5.17) und (1.5.5c) verwendet und nach der dritten neben ψ(x )ψ(x ) = ∓ψ(x )ψ(x ) die Symmetrie V (x, x ) = V (x , x) ausgen¨ utzt. Dies gibt zusammen die Bewegungsgleichung (1.5.15) des Feldoperators, die man auch als Feldgleichung bezeichnet.

1.6 Impulsdarstellung

Die Bewegungsgleichung f¨ ur den adjungierten Feldoperator lautet   2 2 ∇ + U (x) ψ † (x, t) iψ˙ † (x, t) = − − 2m  − d3 x ψ † (x, t)ψ † (x , t)V (x, x )ψ(x , t),

25

(1.5.18)

wobei V (x, x )∗ = V (x, x ) vorausgesetzt wurde. Multipliziert man (1.5.15) von links mit ψ † (x, t) und (1.5.18) von rechts mit ψ(x, t), so erh¨ alt man die Bewegungsgleichung f¨ ur den Dichte-Operator  

2     † 2 1  n(x, ˙ t) = ψ † ψ˙ + ψ˙ † ψ = − ψ ∇ ψ − ∇2 ψ † ψ , i 2m also n(x) ˙ = −∇j(x),

(1.5.19)

wobei der in (1.5.11) definierte Operator der Teilchenstromdichte j(x) eingeht. Gl. (1.5.19) ist die Kontinuit¨ atsgleichung der Teilchenzahldichte.

1.6 Impulsdarstellung 1.6.1 Impulseigenfunktionen, Hamilton-Operator In translationsinvarianten Systemen ist die Impulsdarstellung besonders n¨ utzlich. Wir legen ein quaderf¨ ormiges Normierungsvolumen mit den Abmessungen Lx , Ly und Lz zugrunde. Die auf 1 normierten Impulseigenfunktionen, die statt ϕi (x) einzusetzen sind, lauten dann √ (1.6.1) ϕk (x) = eik·x/ V mit dem Volumen V = Lx Ly Lz . Indem wir periodische Randbedingungen eik(x+Lx ) = eikx , etc.

(1.6.2a)

voraussetzen, werden die m¨ oglichen Werte des Wellenzahlvektors k auf   nx ny nz , , , nx = 0, ±1, . . . , ny = 0, ±1, . . . , nz = 0, ±1, . . . k = 2π Lx Ly Lz (1.6.2b) eingeschr¨ ankt. Die Eigenfunktionen (1.6.1) erf¨ ullen folgende Orthonormalit¨ atsrelation  (1.6.3) d3 xϕ∗k (x)ϕk (x) = δk,k .

26

1. Zweite Quantisierung

Zur Darstellung des Hamilton-Operators in Form der zweiten Quantisierung ben¨ otigen wir die Matrixelemente der darin auftretenden Operatoren. Die kinetische Energie ist proportional zu    (1.6.4a) ϕ∗k −∇2 ϕk d3 x = δk,k k2 und das Matrixelement des Einteilchenpotentials ist durch dessen Fouriertransformierte gegeben:  1 (1.6.4b) ϕ∗k (x)U (x)ϕk (x)d3 x = Uk −k . V F¨ ur Zweiteilchenpotentiale V (x−x ), die nur von den Relativkoordinaten der beiden Teilchen abh¨ angen, ist es zweckm¨ aßig, deren Fouriertransformierte  (1.6.5a) Vq = d3 xe−iq·x V (x) einzuf¨ uhren und auch die Umkehrrelation 1  Vq eiq·x V (x) = V q

(1.6.5b)

zu verwenden. Dann findet man f¨ ur das Zweiteilchenmatrixelement p , k | V (x − x ) |p, k      1 = 2 d3 xd3 x e−ip ·x e−ik ·x V (x − x )eik·x eip·x V        1  = 3 Vq d3 x d3 x e−ip ·x−ik ·x +iq·(x−x )+ik·x +ip·x V q 1  = 3 Vq V δ−p +q+p,0 V δ−k −q+k,0 . V q (1.6.5c) Setzt man (1.6.5a,b,c) in die allgemeine Darstellung (1.4.16c) des HamiltonOperators ein, so ergibt sich H=

 (k)2 k

2m

a†k ak +

1  1  Uk −k a†k ak + Vq a†p+q a†k−q ak ap . V  2V k ,k

q,p,k

(1.6.6) Hier werden die Erzeugungsoperatoren eines Teilchens mit der Wellenzahl k (also im Zustand ϕk ) mit a†k bezeichnet und die Vernichtungsoperatoren mit ak . Deren Vertauschungsrelationen sind [ak , ak ]± = 0, [a†k , a†k ]± = 0 und [ak , a†k ]± = δkk .

(1.6.7)

1.6 Impulsdarstellung

27

Der Wechselwirkungsterm erlaubt eine anschauliche Interpretation. Durch diesen wird ein Teilchen mit Wellenzahl k und eines mit Wellenzahl p vernichtet und daf¨ ur zwei Teilchen mit den Impulsen k−q und p+q erzeugt. Dies ist bildlich in Abb. 1.1a dargestellt. Die festen Linien stellen die Teilchen dar, ur die gestrichelten Linien das Wechselwirkungspotential Vq . Die Amplitude f¨ ¨ diesen Ubergang ist proportional zu Vq . Diese graphische Darstellung ist f¨ ur die u asentation der St¨ orungstheorie zweckm¨aßig. Die zwei¨bersichtliche Repr¨ fache Streuung zweier Teilchen kann graphisch wie in Abb. 1.1 b) dargestellt werden, wobei u ande zu summieren ist. ¨ber alle Zwischenzust¨

k − q1 − q2 k−q

p+q

Vq 2

Vq k

p + q 1 + q2

p + q1

k − q1 p

Vq 1 k

a)

p

b)

Abb. 1.1. a) Graphische Darstellung des Wechselwirkungsterms im HamiltonOperator (1.6.6) b) Die graphische Darstellung der zweifachen Streuung von zwei Teilchen

1.6.2 Fouriertransformation der Dichte Auch die u ¨ brigen, in den vorhergehenden Abschnitten betrachteten Operatoren kann man in der Impulsdarstellung anschreiben. Als wichtiges Beispiel betrachten wir den Dichteoperator. Die Fourier-Transformierte des Dichteoperators8 ist definiert durch   n ˆ q = d3 xn(x)e−iq·x = d3 xψ † (x)ψ(x)e−iq·x . (1.6.8) Setzt man darin nach Gl. (1.5.4a,b) 1  ip·x 1  −ip·x † ψ(x) = √ e ap , ψ † (x) = √ e ap V p V p

(1.6.9)

ein, 8

Nur wenn Verwechslungsm¨ oglichkeiten auftreten wie hier bei n ˆ q oder fr¨ uher beim Besetzungszahloperator wird der Operator mit einem Dach gekennzeichnet.

28

1. Zweite Quantisierung

 d3 x

n ˆq =

1   −ip·x † ik·x e ap e ak e−iq·x , V p k

so erh¨ alt man mit Gl. (1.6.3) schließlich  n ˆq = a†p ap+q .

(1.6.10)

p

Damit ist die Fourier-Transformation des Dichteoperators in der Impulsdarstellung gefunden. Der Besetzungszahloperator f¨ ur den Impulseigenzustand |p wird ebenfalls mit n ˆ p ≡ a†p ap bezeichnet. Es wird immer aus dem Zusammenhang klar sein, welche der beiden Bedeutungen gemeint ist. Der Operator der Gesamtteilchenzahl (1.3.13) in der Impulsdarstellung lautet  ˆ = N a†p ap . (1.6.11) p

1.6.3 Ber¨ ucksichtigung des Spins Bislang wurde der Spin nicht explizit angef¨ uhrt. Man kann sich diesen in den fr¨ uheren Formeln in den Ortsfreiheitsgrad x eingeschlossen denken. Bei expliziter Angabe des Spins hat man die Ersetzungen ψ(x) → ψσ (x) und ap → apσ durchzuf¨ uhren und zus¨ atzlich eine Summation u ¨ ber die z-Komponente des Spins σ auszuf¨ uhren. Zum Beispiel hat dann die Teilchenzahldichte die Form  ψσ† (x)ψσ (x) n(x) = σ

n ˆq =

 p,σ

a†pσ ap+qσ .

(1.6.12)

Der Hamilton-Operator f¨ ur den Fall spinunabh¨angiger Wechselwirkung lautet 2   H= d3 x( ∇ψσ† ∇ψσ + U (x)ψσ† (x)ψσ (x)) 2m σ  1 + (1.6.13) d3 xd3 x ψσ† (x)ψσ†  (x )V (x, x )ψσ (x )ψσ (x) 2  σ,σ

und entsprechend in der Impuls-Darstellung. F¨ ur Spin- 12 -Fermionen sind die beiden Spinquantenzahlen der z-Komponente von S, ± 2 . Der Spindichteoperator S(x) =

N 

δ(x − xα )Sα

α=1

ist in diesem Fall

(1.6.14a)

Aufgaben zu Kapitel 1

S(x) =

 † ψ (x)σ σσ ψσ (x), 2  σ

29

(1.6.14b)

σ,σ

wo σ σσ die Matrixelemente der Pauli-Matrizen sind. Die Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren und der Operatoren in der Impulsdarstellung lauten [ψσ (x), ψσ (x )]± = 0 ,

[ψσ† (x), ψσ†  (x )]± = 0

[ψσ (x), ψσ†  (x )]± = δσσ δ(x − x )

(1.6.15)

[akσ , ak σ ]± = 0, [a†kσ , a†k σ ]± = 0, [akσ , a†k σ ]± = δkk δσσ .

(1.6.16)

und

Die Bewegungsgleichungen sind durch   ∂ 2 2 ∇ + U (x) ψσ (x, t) i ψσ (x, t) = − ∂t 2m  d3 x ψσ†  (x , t)V (x, x )ψσ (x , t)ψσ (x, t) +

(1.6.17)

σ

und ia˙ kσ (t) =

(k)2 1  akσ (t) + Uk−k ak σ (t) 2m V  k 1  + Vq a†p+qσ (t)apσ (t)ak+qσ (t) V 

(1.6.18)

p,q,σ

gegeben.

Aufgaben zu Kapitel 1 1.1 Zeigen Sie, daß die vollkommen symmetrisierten (antisymmetrisierten) Basisfunktionen S± ϕi1 (x1 )ϕi2 (x2 ) ... ϕiN (xN ) im Raum der symmetrischen andig sind. ψs/a (x1 , x2 , ... , xN ) vollst¨

(antisymmetrischen)

Wellenfunktionen

Anleitung: Gehen Sie davon aus, daß die aus den Einteilchen–Wellenfunktionen ϕi (x) bestehenden Produktzust¨ ande ϕi1 (x1 ) ... ϕiN (xN ) eine vollst¨ andige Basis bilden, und schreiben Sie ψs/a in dieser Basis auf. Zeigen Sie, daß die Entwicklungskos/a s/a s/a effizienten ci1 ,...,iN die Symmetrieeigenschaft √1N! S± ci1 ,...,iN = ci1 ,...,iN besitzen. Die Behauptung folgt dann unmittelbar unter Verwendung der im Haupttext gezeigten Identit¨ at √1N! S± ψs/a = ψs/a .

30

1. Zweite Quantisierung

1.2 Gegeben sei der Dreiteilchen–Zustand |α|β|γ, wobei die Teilchennummer durch die Position im Produkt festgelegt ist. a) Wenden Sie die Elemente der Permutationsgruppe S3 an. Man findet so 6 verschiedene Zust¨ ande, die sich zu vier invarianten Unterr¨ aumen kombinieren lassen. b) Gehen Sie von der folgenden, in (1.1.16c) angegebenen, Basis eines dieser Unterr¨ aume bestehend aus den zwei Zust¨ anden 1 2 |α|β|γ +2 |β|α|γ −|α|γ|β −|γ|β|α |ψ1  = √ 12 ! −|γ|α|β −|β|γ|α , ! 1 |ψ2  = 0+0 −|α|γ|β +|γ|β|α +|γ|α|β −|β|γ|α 2 aus und finden Sie die zugeh¨ orige zweidimensionale Darstellung von S3 . 1.3 Weisen Sie f¨ ur einen einzigen harmonischen Oszillator (bzw. ¨ aquivalent BoseOperator), [a, a† ] = 1 , die folgenden Relationen nach: †

†

[a, eαa ] = αeαa , −αa†

e

βa

e

αa†

e

βα βa

=e

e

,

†

e−αa a eαa αa† a

e

†

−αa† a

ae

= a + α, = e−α a ,

wobei α und β komplexe Zahlen sind. Anleitung: a) Zeigen Sie zun¨ achst die G¨ ultigkeit der folgenden Relationen h i h i ∂ ∂ † † a, f (a† ) = f (a ) , a , f (a) = − f (a) . ∂a† ∂a b) In einigen Aufgabenteilen ist es n¨ utzlich die linke Seite der Identit¨ at als eine Funktion von α zu betrachten, eine Differentialgleichung f¨ ur diese Funktion abzuleiten, und dann das entsprechende Anfangswertproblem zu l¨ osen. c) Die Baker-Hausdorff Identit¨ at 1 [A, [A, B]] + ... 2! kann ebenfalls zum Beweis einiger Identit¨ aten verwendet werden. eA Be−A = B + [A, B] +

1.4 Bestimmen Sie f¨ ur unabh¨ angige harmonische Oszillatoren (bzw. nicht wechselwirkende Bosonen), die durch den Hamilton–Operator X † H=

i ai ai i

beschrieben werden, die Bewegungsgleichung f¨ ur die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in der Heisenberg–Darstellung, ai (t) = eiHt/ ai e−iHt/ . Geben Sie auch die L¨ osung der Bewegungsgleichung an, indem sie (i) das entsprechende Anfangswertproblem l¨ osen und (ii) durch explizites Ausf¨ uhren der Kommutatoroperationen im Ausdruck ai (t) = eiHt/ ai e−iHt/ .

Aufgaben zu Kapitel 1

31

1.5 Berechnen Sie f¨ ur ein 2–Teilchen–Potential V (x , x ), welches symmetrisch in   x und x ist, den Kommutator, – »Z Z 1 d3 x d3 x ψ † (x )ψ † (x )V (x , x )ψ(x )ψ(x ), ψ(x) , 2 f¨ ur fermionische und bosonische Feldoperatoren ψ(x). 1.6 a) Verifizieren Sie f¨ ur ein N -Teilchen-System die Gestalt des Stromdichteoperators, j(x) =

N o 1 X n pα , δ(x − xα ) 2 α=1 m

in der zweiten Quantisierung, wobei Sie als Basis ebene Wellen verwenden. Geben Sie ebenfalls die Form des Operators in der Impulsdarstellung an, R j(q) = d3 xe−iq·x j(x). b) Bestimmen Sie f¨ ur Teilchen mit Spin 12 die Gestalt des Spindichteoperators, S(x) =

N X

δ(x − xα )Sα ,

α=1

in der Impulsdarstellung der zweiten Quantisierung, wobei Sie ebenfalls als Basis ebene Wellen verwenden. 1.7 Betrachten Sie Elektronen auf einem Gitter, wobei die am Gitterplatz Ri lokalisierte 1-Teilchen-Wellenfunktion durch ϕiσ (x) = χσ ϕi (x) mit ϕi (x) = φ(x − Ri ) gegeben ist. Ein Hamiltonoperator, H P = T + V , bestehend aus einem spinN unabh¨ angigen 1-Teilchen-Operator T = α=1 tα und 2-Teilchen-Operator V = P (2) 1 (xα , xβ ) l¨ aßt sich in der Basis {ϕiσ } darstellen durch α=β V 2 XX 1 X X H= tij a†iσ ajσ + Vijkl a†iσ a†jσ  alσ  akσ , 2  i,j σ i,j,k,l σ,σ

wobei die Matrixelemente durch tij = i | t | j und Vijkl = ij | V (2) | kl be¨ stimmt sind. Nimmt man an, daß die Uberlappung der Wellenfunktionen ϕi (x) an verschiedenen Gitterpl¨ atzen nur sehr klein ist, so lassen sich die folgenden N¨ aherungen durchf¨ uhren: 8 > ur i = j , <w f¨ tij = t f¨ ur i und j n¨ achste Nachbarpl¨ atze , > :0 sonst Z Z Vijkl = Vij δil δjk ; mit Vij = d3 x d3 y | ϕi (x) |2 V (2) (x, y) | ϕj (y) |2 . ur eine Kontaktwechselwirkung a) Bestimmen Sie die Matrixelemente Vij f¨ λX V = δ(xα − xβ ) 2 α=β zwischen den Elektronen f¨ ur die folgenden F¨ alle: (i) “on-site” Wechselwirkung i = j, und (ii) n¨ achste Nachbarwechselwirkung, d.h. i und j benachbarte Gitterpunkte.

32

1. Zweite Quantisierung

Nehmen Sie dazu an, daß ein quadratisches Gitter mit Gitterkonstante a vorliegt und die Wellenfunktionen durch Gauß-Funktionen ϕ(x) = Δ3/21π3/4 exp{−x2 /2Δ2 } gegeben sind. b) Im Limes Δ a ist die “on-site” Wechselwirkung U = Vii der dominante Beitrag. Bestimmen Sie in diesem Grenzfall die Form des Hamilton-Operators in zweiter Quantisierung. Das so erhaltene Modell heißt Hubbard-Modell. ˆ = 1.8 Sie, daß f¨ ur Bosonen und Fermionen der Teilchenzahloperator N P Zeigen † i ai ai mit dem Hamilton-Operator X † 1X † † H= ai i| T |j aj + ai aj ij| V |kl al ak 2 ij ijkl vertauscht. 1.9 Bestimmen Sie f¨ ur Fermionen und Bosonen den thermischen Erwartungswert ur den Zustand |i im großkanonischen Ensemble, des Besetzungszahloperators n ˆ i f¨ dessen Dichtematrix durch ˆ 1 −β(H−μN) ρG = e ZG ” “ ˆ mit ZG = Sp e−β(H−μN) gegeben ist. 1.10 a) Zeigen Sie, daß der Zustand |φ = ψ † (x ) |0 (|0 = Vakuumzustand) ein Teilchen mit der Position x beschreibt, indem Sie die Relation n(x) |φ = δ(x − x ) |φ verifizieren. b) Der Operator f¨ ur die Gesamtteilchenzahl lautet Z ˆ = d3 x n(x) . N Zeigen Sie, daß f¨ ur spinlose Teilchen ˆ ] = ψ(x) [ψ(x), N gilt.

2. Spin-1/2 Fermionen

In diesem Kapitel wird der Formalismus der zweiten Quantisierung auf eine Reihe von einfachen Problemen angewandt. Zun¨achst betrachten wir ein Gas nicht wechselwirkender Spin- 12 -Fermionen um Korrelationsfunktionen und schließlich einige Eigenschaften des Elektronengases unter Ber¨ ucksichtigung der Coulomb-Wechselwirkung darzustellen. Zum Abschluß wird eine kompakte Herleitung der Hartree-Fock-Gleichungen f¨ ur Atome pr¨asentiert.

2.1 Nichtwechselwirkende Fermionen 2.1.1 Fermi-Kugel, Anregungen Im Grundzustand von N freien Fermionen, |φ0 , sind alle Einteilchen-Zust¨ ande innerhalb der Fermi-Kugel (Abb. 2.1), d.h. bis kF (Fermi-Wellenzahl) besetzt:   |φ0  = a†pσ |0 . (2.1.1) p |p|
σ

kF

Abb. 2.1. Fermi-Kugel

Der Erwartungswert des Teichenzahloperators im Impulsraum ist  1 |p| ≤ kF np,σ = φ0 | a†pσ apσ |φ0  = . (2.1.2) 0 |p| > kF   † F¨ ur |p| > kF ist apσ |φ0  = ap σ apσ |0 = 0. Nach (2.1.2) h¨angt p

|p |
σ

die gesamte Teilchenzahl mit dem Fermi-Impuls folgendermaßen zusammen1 1

P k

f (k) =

P k

Δ

(

2π 3 L

f (k) =

`

´ L 3 2π

R

) ` ´3 , vgl. Gl. (1.6.2b). Punkt ist Δ = 2π L

d3 kf (k). Das Volumen im k-Raum pro

34

2. Spin-1/2 Fermionen

N=



npσ = 2

p,σ





kF

1 = 2V

|p|≤kF

0

d3 p V kF3 = , (2π)3 3π 2

(2.1.3)

woraus kF3 =

3π 2 N = 3π 2 n. V

(2.1.4)

folgt. Hier ist kF die Fermi-Wellenzahl, pF = kF der Fermi-Impuls2 , und n = N 2 V die mittlere Teilchendichte. Die Fermi-Energie ist durch F = (kF ) /(2m) definiert. F¨ ur den Erwartungswert der Teilchendichte als Funktion des Ortes erh¨alt man  φ0 | ψσ† (x)ψσ (x) |φ0  n(x) = σ

  e−ip·x eip ·x φ0 | a†pσ ap σ |φ0  = V  σ p,p

=

  e−i(p−p )·x δpp npσ V  σ p,p

1  = npσ = n. V p,σ

Die Dichte ist nat¨ urlich homogen. Die einfachste Anregung eines entarteten Elektronengases erh¨alt man, indem ein Elektron aus der Fermi-Kugel herausgenommen wird und in einen Zustand außerhalb der Fermi-Kugel gebracht wird (siehe Abb 2.2). Man sagt auch es wird ein Teilchen-Loch-Paar erzeugt; dessen Zustand lautet |φ = a†k2 σ2 ak1 σ1 |φ0  .

(2.1.5)

k2 σ2

k1 σ1

Abb. 2.2. Angeregter Zustand eines entarteten Elektronengases, Teilchen-Loch-Paar.

Das im Zustand |k1 , σ1  fehlende Elektron wirkt sich wie ein positiv geladenes Teilchen (Loch) aus. Falls man bkσ ≡ a†−k,−σ und b†kσ ≡ a−k,−σ definiert, gen¨ ugen die Loch-Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren b und b† ebenfalls Antikommutationsrelationen. 2

Wellenzahlvektoren bezeichnen wir mit p, q, k etc. Lediglich pF hat die Dimension Impuls“. ”

2.1 Nichtwechselwirkende Fermionen

35

2.1.2 Einteilchenkorrelationsfunktion Die Korrelationsfunktion der Feldoperatoren im Grundzustand Gσ (x − x ) = φ0 | ψσ† (x)ψσ (x ) |φ0 

(2.1.6)

hat die Bedeutung der Wahrscheinlichkeitsamplitude daf¨ ur, daß die Vernichtung eines Teilchens bei x und die Erzeugung bei x wieder den Ausgangszustand ergibt. Gσ (x − x ) beschreibt auch die Wahrscheinlichkeitsamplitude ¨ f¨ ur den Ubergang des Zustands ψσ (x ) |φ0  (in dem ein Teilchen bei x entfernt wurde) in den Zustand ψσ (x) |φ0  (in dem ein Teilchen bei x entfernt wurde).  1   e−ip·x+ip ·x a†pσ ap σ |φ0  V p,p  d3 p −ip·(x−x ) 1  −ip·(x−x ) e np,σ = e Θ(kF − p) = V p (2π)3  kF  1  1 2 = dp p dηeip|x−x |η , (2π)2 0 −1 (2.1.7)

Gσ (x − x ) = φ0 |

wo Polarkoordinaten und die Abk¨ urzung η = cos θ eingef¨ uhrt wurden. Die ipr −ipr  mit r = |x − x |. Somit ist Integration u ¨ ber η ergibt e −e ipr  kF 1 1 Gσ (x − x ) = dp p sin pr = (sin kF r − kF r cos kF r) 2 2π r 0 2π 2 r3 3n sin kF r − kF r cos kF r = . (2.1.8) 2 (kF r)3 

Die Einteilchenkorrelationsfunktion f¨ allt oszillierend mit der charakteristischen Periode 1/kF nach Null ab. Die Werte bei r = 0 und r → ∞ sind Gσ (r = 0) = n2 , limr→∞ Gσ (r) = 0; die Nullstellen sind bestimmt durch tg x = x, d.h. f¨ ur große x also durch nπ 2 . G σ (x − x ) n 2

kF r

π

2π

3π

4π

Abb. 2.3. Korrelationsfunktion Gσ (x − x ) als Funktion von kF r.

36

2. Spin-1/2 Fermionen

Bemerkung. Zu der eingangs erw¨ ahnten Interpretation von Gσ (x) muß man beachten, daß der Zustand ψσ (x ) |φ0  nicht normiert ist φ0 | ψσ† (x )ψσ (x ) |φ0  =

n . 2

(2.1.9)

Die Wahrscheinlichkeitsamplitude erh¨ alt man der Einteilchenkorrelationsfunk` ´aus −1 . tion durch Multiplikation mit dem Faktor n2 Gσ (x − x ) = φ0 | ψσ† (x)ψσ (x ) |φ0  =

n φ0 | ψσ† (x) ψσ (x ) |φ0  p · p 2 n/2 n/2

Die Amplitude daf¨ ur, daß der (normierte) Zustand Zustand

ψσ (x)|φ0 

√

n/2

ψσ (x )|φ0 

√

n/2

in den (normierten)

¨ u der beiden Zust¨ ande. ¨ bergeht, ist gleich dem Uberlapp

2.1.3 Paarverteilungsfunktion Wegen des Pauli-Prinzips sind auch nicht wechselwirkende Fermionen mit demselben Spin untereinander korreliert. Das Pauli-Prinzip bewirkt, daß zwei Fermionen gleichen Spins nicht die gleiche Ortswellenfunktion besitzen k¨ onnen. Fermionen haben also die Tendenz einander auszuweichen, die Wahrscheinlichkeitsamplitude, daß sie sich nahe kommen, ist gering. Die CoulombAbstoßung verst¨arkt diese Tendenz. Im folgenden werden aber nur freie Fermionen betrachtet. Ein Maß f¨ ur die hier erw¨ ahnten Korrelationen ist die Paarverteilungsfunktion, die folgendermaßen eingef¨ uhrt werden kann. Es werde an der Stelle x ein Teilchen aus dem Zustand |φ0  entfernt, dabei entsteht der (N − 1)Teilchenzustand |φ (x, σ) = ψσ (x) |φ0  .

(2.1.10)

Die Dichteverteilung f¨ ur diesen Zustand ist φ (x, σ)| ψσ†  (x )ψσ (x ) |φ (x, σ) = φ0 | ψσ† (x)ψσ†  (x )ψσ (x )ψσ (x) |φ0  n 2 gσσ (x − x ) . (2.1.11) ≡ 2 Durch diesen Ausdruck wird die Paarverteilungsfunktion gσσ (x − x ) definiert. Anmerkung: “ n ”2 gσσ  (x − x ) = φ0 | ψσ† (x)ψσ (x)ψσ†  (x )ψσ  (x ) |φ0  2 −δσσ  δ(x − x ) φ0 | ψσ† (x)ψσ  (x ) |φ0  = φ0 | n(x)n(x ) |φ0  − δσσ  δ(x − x ) φ0 | n(x) |φ0  .

Die Berechnung der Paarverteilungsfunktion erfolgt zweckm¨aßigerweise im Fourier-Raum

2.1 Nichtwechselwirkende Fermionen

n 2 2

gσσ (x − x ) =

1   −i(k−k )·x−i(q−q )·x e V2   k,k q,q

×

φ0 | a†kσ a†qσ aq σ ak σ

37

(2.1.12)

|φ0  ,

wobei wir zwei F¨ alle unterscheiden: (i) σ = σ  : F¨ ur σ = σ  muß k = k und q = q sein, sonst entstehen zueinander orthogonale Zust¨ ande n 2 1  1  gσσ (x − x ) = 2 φ0 | n ˆ kσ n ˆ qσ |φ0  = 2 nkσ nqσ 2 V V k,q k,q n 2 1 1 N N · = = 2 Nσ Nσ  = 2 . V V 2 2 2 D.h. f¨ ur σ = σ  ist gσσ (x − x ) = 1

(2.1.13)

unabh¨ angig vom Abstand. Teilchen mit entgegengesetztem Spin sind vom Pauli-Prinzip nicht betroffen. (ii) σ = σ  : F¨ ur σ = σ  muß entweder k = k , q = q oder k = q , q = k sein: φ0 | a†kσ a†qσ aq σ ak σ |φ0  = δkk δqq φ0 | a†kσ a†qσ aqσ akσ |φ0  + δkq δqk φ0 | a†kσ a†qσ akσ aqσ |φ0  = (δkk δqq − δkq δqk ) φ0 | a†kσ akσ a†qσ aqσ |φ0  = (δkk δqq − δkq δqk )nkσ nqσ . (2.1.14) Wegen (akσ )2 = 0 muß k = q sein und deshalb erh¨alt man durch Antikommutieren, Gl. (1.6.16), den Ausdruck (2.1.14):

n 2  1  1 − e−i(k−q)·(x−x ) nkσ nqσ gσσ (x − x ) = 2 2 V k,q n 2 2 = − (Gσ (x − x )) . (2.1.15) 2 Daraus folgt mit der Einteilchenkorrelationsfunktion Gσ (x − x ) aus (2.1.8) gσσ (x − x ) = 1 − mit x = kF |x − x |.

9 (sin x − x cos x)2 x6

(2.1.16)

38

2. Spin-1/2 Fermionen gσσ (x − x )

1.0

1.00

0.5 0.99

0.98 0.0

π

π 2π

2π

3π 3π

4π 4π

k F |x − x |



Abb. 2.4. Die Paarverteilungsfunktion gσσ (x − x ), man erkennt das Korrelationsloch und schwache Oszillationen mit der Wellenzahl kF .

Die Ortsabh¨angigkeit der in Abb. 2.4 dargestellten Paarverteilungsfunktion (2.1.16) kann folgendermaßen interpretiert werden. Falls an der Stelle x ein Fermion entfernt wird, ist die Teilchendichte in der Umgebung dieser Stelle stark reduziert. D.h. die Wahrscheinlichkeit zwei Fermionen gleichen Spins innerhalb von Abst¨ anden  kF−1 zu finden ist gering. Man bezeichnet die Reduktion von gσσ (x − x ) bei diesen Abst¨anden als Austauschloch oder Korrelationsloch. Es soll nochmals betont werden, daß diese effektive Abstoßung nur von der Antisymmetrie des Zustands und nicht von einer Wechselwirkung der Teilchen herr¨ uhrt. F¨ ur das wechselwirkungsfreie Elektronengas bei T = 0 ist 1 gσσ (x) = 2−1 (1 + gσσ (x)) (2.1.17a) 4  σ,σ

 σ,σ

φ0 | ψσ† (x)ψσ†  (0)ψσ (0)ψσ (x) |φ0  =

n2  n2 (1 + gσσ (x)) gσσ (x) = 4 2  σ,σ

ur x → ∞ (2.1.17b) → n2 f¨ 2 n f¨ ur x → 0. → 2 Im n¨ achsten Abschnitt werden die Definitionen der Paarverteilungsfunktion und anderer Korrelationsfunktionen zusammengestellt. Danach ist die spinabh¨ angige Paarverteilungsfunktion  2 2 gσσ (x) = φ0 | ψσ† (x)ψσ†  (0)ψσ (0)ψσ (x) |φ0  n

2.1 Nichtwechselwirkende Fermionen

39

proportional zur Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen mit Spin σ an der Stelle x zu finden, wenn mit Sicherheit ein Teilchen mit Spin σ  an der Stelle 0 ist, oder auch gleich der Wahrscheinlichkeit, zwei Teilchen mit Spin σ und σ  im Abstand x zu finden. ∗ 2.1.4 Paarverteilungsfunktion, Dichtekorrelationsfunktionen und Strukturfaktor

Die hier dargestellten Relationen gelten f¨ ur beliebige Vielteilchensysteme, Fermionen wie auch Bosonen.3 Die Standarddefinition der Paarverteilungsfunktion (engl. pair distribution function) von N Teilchen lautet  N  V g(x) = δ(x − xα + xβ ) . (2.1.18) N (N − 1) α=β=1

g(x) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte daf¨ ur, daß ein Paar von Teilchen den Abstand x hat, oder anders ausgedr¨ uckt, die Wahrscheinlichkeitsdichte daf¨ ur, ein Teilchen an der Stelle x zu finden, wenn mit Sicherheit eines an der Stelle 0 ist. Als Wahrscheinlichkeitsdichte ist g(x) auf 1 normiert.  3 d x g(x) = 1. (2.1.19) V Die Dichte-Korrelationsfunktion G(x) ist f¨ ur translationsinvariante Systeme G(x) = n(x)n(0) = n(x + x )n(x )  δ(x + x − xα )δ(x − xβ ). =

(2.1.20)

α,β

Wegen der Translationsinvarianz ist dies !unabh¨angig von x und wir k¨onnen auch u ¨ber x integrieren, woraus (mit V1 d3 x = 1) G(x) =

1  δ(x − xα + xβ ) V α,β

folgt. Daraus folgt der Zusammenhang   1  N (N − 1) g(x) G(x) = δ(x) + V V α N (N − 1) = nδ(x) + g(x) . V2 3

(2.1.21)

Die Klammern bedeuten einen allgemeinen Erwartungswert, z.B. den quantenmechanischen Erwartungswert in einem bestimmten Zustand, wie z.B. dem Grundzustand, oder den thermischen Erwartungswert.

40

2. Spin-1/2 Fermionen

F¨ ur Wechselwirkungen endlicher Reichweite werden die Dichten bei großen Abst¨ anden voneinander unabh¨ angig: lim G(x) = n(x)n(0) = n2 .

x→∞

Daraus folgt f¨ ur große N V2 n2 = 1 . N (N − 1)

lim g(x) =

x→∞

Der statische Strukturfaktor S(q) ist durch  1  −iq·(xα−xβ ) S(q) = e − N δq0 N

(2.1.22)

α,β

definiert. Man kann auch 1  " −iq·(xα −xβ ) # S(q) = e + 1 − N δq0 N α=β

oder S(q) =

1 ˆ nq n ˆ −q  − N δq0 N

schreiben, wo   e−iq·xα n ˆ q = d3 xe−iq·x n(x) = α

ist. Da N (N − 1) → N 2 f¨ ur große N , folgt     V 3 −iq·x 3 −iq·x g(x) = 2 δ(x − xα + xβ ) d xe d xe N α=β   V = 2 e−iq·(xα−xβ ) N α=β

und S(q) =

N V

N δq0 =

N V

Mit

erh¨ alt man





d3 xe−iq·x g(x) + 1 − N δq0 .

d3 xe−iq·x

(2.1.23)

2.2 Grundzustandsenergie und elementare Theorie des Elektronengases

 S(q) − 1 = n

d3 xe−iq·x (g(x) − 1)

41

(2.1.24a)

und die Umkehrung  1 d3 q iq·x g(x) − 1 = (S(q) − 1) . 3e n (2π)

(2.1.24b)

Im klassischen Fall ist lim S(q) = nkT κT ,

(2.1.25)

q→0

wo κT die isotherme Kompressibilit¨ at ist. Aus den obigen Definitionen folgen die Darstellungen der Dichte-DichteKorrelationsfunktion und der Paarverteilungsfunktion in zweiter Quantisierung:   G(x − x ) = ψ † (x)ψ(x)ψ † (x )ψ(x ) (2.1.26a) 2  V (2.1.26b) g(x) = 2 ψ † (x)ψ † (0)ψ(0)ψ(x) . N Die erste Formel, (2.1.26a), ist offensichtlich, die zweite folgt aus dieser und (2.1.21) nach Vertauschung der Feldoperatoren. Beweis der letzten Formel ausgehend von der Definition (2.1.18) und (1.5.6c): Z

X

δ(x − xα + xβ ) →

d3 x d3 x ψ † (x )ψ † (x )δ(x − x + x )ψ(x )ψ(x )

α=β

Z =

*

X

+ δ(x − xα + xβ )

d3 x ψ † (x )ψ † (x − x)ψ(x − x)ψ(x )

D E = V ψ † (x )ψ † (x − x)ψ(x − x)ψ(x ) .

α=β

2.2 Grundzustandsenergie und elementare Theorie des Elektronengases 2.2.1 Hamilton-Operator Der Hamilton-Operator einschließlich der Coulomb-Abstoßung der Elektronen lautet H=

 2 k 2 k,σ

2m

a†kσ akσ +

e2 2V

 k,k ,q,σ,σ q=0

4π † a a†  (2.2.1)  ak σ  akσ . q 2 k+q,σ k −q,σ

42

2. Spin-1/2 Fermionen

Hier ist der q = 0 Beitrag, der wegen der Langreichweitigkeit der CoulombWechselwirkung sogar divergieren w¨ urde, ausgeschlossen, da er sich gegen die Wechselwirkung der Elektronen mit dem positiven Hintergrund der Ionen und dieser untereinander kompensiert, wie aus dem Folgenden hervorgeht. Die Wechselwirkung des Ionenhintergrunds ist  n(x)n(x ) −μ|x−x | 1 e . (2.2.2a) HIon = e2 d3 xd3 x 2 |x − x | Hier ist n(x) = N ange μ−1 eingef¨ uhrt. Am V und es wurde eine Abschneidel¨ Ende der Rechnung wird μ → 0 betrachtet HIon =

1 2 e 2



N V

2

∞ V 4π

dr r e−μr =

1 2 N 2 4π e . 2 V μ2

(2.2.2a )

0

Die Wechselwirkung des Hintergrundes mit den Elektronen lautet HIon, El = −e

2

 N  N i=1

V

d3 x

N 2 4π e−μ|x−xi | = −e2 . |x − xi | V μ2

(2.2.2b)

Zuletzt betrachten wir den q = 0 Beitrag der Elektron-Elektron-Wechselwir2 4πe2 kung, wobei 4πe q2 → q2 +μ2 . e2 4π 2V μ2

 k,k ,σ,σ 2

=

e 4π 2V μ2 2

e 4π = 2V μ2 =

a†kσ a†k σ ak σ akσ



k,k ,σ,σ



$

% a†kσ akσ a†k σ ak σ − δkk δσσ (2.2.2c) n ˆ kσ (ˆ nk σ − δkk δσσ )

k,k ,σ,σ

2 e2 4π ˆ 2 ˆ ) = e 4π (N 2 − N ). ( N − N 2V μ2 2V μ2

Die f¨ uhrenden Terme, proportional zu N 2 , in den drei berechneten Energiee2 4π beitr¨ agen heben sich weg. Das Glied − 2V μ2 N ergibt als Beitrag zur EnerE 1 N gie pro Teilchen N ∝ N V und ist im thermodynamischen Limes Null. Der Grenzwert erfolgt in der Reihenfolge N, V → ∞ und dann μ → 0.

2.2 Grundzustandsenergie und elementare Theorie des Elektronengases

43

2.2.2 Grundzustandsenergie in Hartree-Fock-N¨ aherung Die st¨ orungstheoretische Berechnung der Grundzustandsenergie geht aus vom Grundzustand |φ0 , in welchem alle Einteilchenzust¨ande bis kF besetzt sind:  k  k F F     † † † |φ0  = (2.2.3) apσ |0 ≡ ap↑ ap↓ |0 . p≤kF σ

p=0

p=0

Die kinetische Energie ist in diesem Zustand diagonal 2  2 E (0) = φ0 | HKin |φ0  = k Θ(kF − k) 2m k,σ  2 V = 2 d3 kk 2 Θ(kF − k) 2m (2π)3

E (0)

 2/3 2 V 3 1 5 32 kF2 e2 1 3 9π = N = F N = 4π k = N m (2π)3 5 F 10m 5 2a0 rs2 5 4 e2 2.21 = N. (2.2.4) 2a0 rs2

Dabei wurde nach Gl. (2.1.4) n=

kF3 3 3 = = 3π 2 4πr03 4πa30 rs3

(2.2.5)

verwendet und r0 , der Radius einer Kugel, deren Volumen gleich dem Volu2 men pro Teilchen ist, eingef¨ uhrt. Hier ist a0 = me 2 der Bohrsche Radius und rs = ar00 . Die potentielle Energie in erster Ordnung St¨ orungstheorie lautet4 e2  4π E (1) = φ0 | a†k+q,σ a†k −q,σ ak σ akσ |φ0  . (2.2.6) 2V  q2  k,k ,q,σ,σ

Durch den Strich an der Summe ist der Term q = 0 ausgeschlossen. Der einzige Beitrag, bei dem jeder Vernichtungsoperator durch einen Erzeugungsoperator kompensiert wird, ist proportional zu δσσ δk ,k+q a†k+qσ a†kσ ak+qσ akσ , also: e2   4π E (1) = − nk+q,σ nk,σ (2.2.6 ) 2V q2 k,q,σ

e   4π Θ(kF − |q + k|)Θ(kF − k) 2V σ q2 k,q   1 4πe2 V 3  d k Θ(kF − k) d3 k  =− 2 Θ(kF − k ) . 6 (2π) |k − k |

=−

4

2

Die erste Ordnung St¨ orungstheorie kann auch als Hartree-Fock-Theorie mit dem Variationszustand (2.2.3) betrachtet werden. (Siehe auch Aufg. 2.3)

44

2. Spin-1/2 Fermionen

Abb. 2.5. Integrationsgebiet zu E (1) u ¨ ber den gemeinsamen Bereich zweier um q verschobener FermiKugeln in Gl. (2.2.6 )

Zun¨ achst findet man    k 1 2e2 4πe2 3   k k Θ(k − k ) = − F d , − F F 2 3 (2π) π kF |k − k | wo F (x) =

  1 + x 1 1 − x2  , + log  2 4x 1 − x

und E (1) = −

e2 kF V π

 k
    kF + k  kF2 − k 2 d3 k   log 1 +  kF − k  (2π)3 2kkF

2

3 e kF 4 π  1/3 9π e2 0.916 e2 3N N. =− =− 2a0 rs 4 2π 2a0 rs

= −N

(2.2.6 )

E (0) und E (1) ergeben zusammen   e2 2.21 0.916 E = − + ... . N 2a0 rs2 rs (rs 1)

(2.2.7)

(2.2.8)

Der erste Term ist die kinetische Energie, der zweite der Austauschterm. Der Druck und der Kompressionsmodul sind durch     ∂E N e2 rs 4.42 0.916 dE drs P =− = =− − 2 ∂V N drs dV 2a0 3V rs3 rs und 1 B = = −V κ



∂P ∂V



  N e2 11.05 1.832 − = 9V a0 rs2 rs

(2.2.9)

gegeben. F¨ ur rs = 4.83 hat die Energie ein Minimum. Die zugeh¨orige Energie E = −1.29 eV. Das ist von der gleichen Gr¨oßenordnung wie in einfachen ist N   E Metallen z.B. Na rs = 3.96, N = −1.13eV . Allerdings ist in diesem Bereich rs außerhalb des G¨ ultigkeitsbereiches dieser Theorie.

2.2 Grundzustandsenergie und elementare Theorie des Elektronengases

45

H¨ ohere Korrekturen zur Energie erh¨ alt man in RPA: ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ 2.21 0.916 E = − + 0.062 ln r − 0.096 + Ar + Br ln r + . . . s s s s 2  

⎪ N Ry ⎪ rs ⎩ rs ⎭ Korrelationsenergie (2.2.10) 2

4

e wo das Rydberg 1 Ry = 2a = e2m 2 = 13.6 eV eingesetzt wurde. Die RPA 0 (random phase approximation) beinhaltet u ¨ ber die Hartree-Fock-Energie hinaus die Aufsummation einer unendlichen Reihe aus einer St¨orungstheorie. Es ergeben sich dabei die logarithmischen Beitr¨ age. Daß die St¨orungstheorie zu uhrt, kann man aus der Reskalierung in Gl. (2.2.23) erkeneiner Reihe in rs f¨ nen.

Bemerkungen: F¨ ur rs → ∞ erwartet man, daß die Elektronen einen Wigner-Kristall 5 bilden, d. h. kristallisieren. F¨ ur große rs findet man die Entwicklung6   e2 E 1.79 2.64 = lim + 3/2 + . . . , (2.2.11) − rs →∞ N 2a0 rs rs ¨ welche f¨ ur rs  10 quantitativ zuverl¨ assig ist (siehe Ubungsaufgabe 2.7). Der Wigner-Kristall hat niedrigere Energie als die Fl¨ ussigkeit. Korrekturen auf Grund von Korrelationseffekten werden in Ref. 7 diskutiert7 . Die Wigner-Kristallisation5 wurde bisher in drei Dimensionen noch nicht experimentell beobachtet. M¨ oglicherweise wird das Gitter durch Quantenfluktuationen zerst¨ ort (geschmolzen)6 . Aufgrund eines Lindemann-Kriteriums 8 findet man Stabilit¨ at des Wigner-Kristallgitters f¨ ur rs > rsc = 0.41 δ −4 , wo δ (0.15 < δ < 0.5) der Lindemann-Parameter ist. Schon f¨ ur δ = 0.5 ist der Wert oßer als der Wert des Minimums von (2.2.11) rs = 4.88. In von rsc = 6.49 gr¨ zwei Dimensionen wird theoretisch eine Dreiecksstruktur vorhergesagt9 und f¨ ur Elektronen auf einer Heliumoberfl¨ ache10 beobachtet und die Schmelzkurve bestimmt. In Abb. 2.6 wird die Hartree-Fock-Energie (2.2.8) dargestellt und mit der Energie des Wigner-Kristalls verglichen (2.2.11). Das Minimum der Hartree-Fock-Energie als Funktion von rs liegt bei rs = 4.83 und hat den Wert E/N = −0.095e2/2a0 . 5 6 7

8 9 10

E.P. Wigner, Phys. Rev. 46, 1002 (1934) , Trans. Faraday Soc. 34, 678 (1938) R.A. Coldwell-Horsfall and A.A. Maradudin, J. Math. Phys. 1, 395 (1960) G.D. Mahan, Many Particle Physics, Plenum Press, New York, 1990, 2nd edition, Kap. 5.2 Siehe z.B. J. M. Ziman, Principles of the Theory of Solids, 2nd ed, Cambridge University Press, Cambridge, 1972, p.65. G. Meissner, H. Namaizawa, and M. Voss, Phys. Rev. B13, 1360 (1976); L. Bonsall, and A.A. Maradudin, Phys. Rev. B15, 1959 (1977) C.C. Grimes, and G. Adams, Phys. Rev. Lett. 42 795 (1979)

46

2. Spin-1/2 Fermionen

Grundzustandsenergie E0 / (NRy)

0.10

0.05

0.00

−0.05

Elektronengas (HF)

−0.10

Wigner−Kristall −0.15 0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

rs

Abb. 2.6. Energie des Elektronengases in Hartree-Fock-N¨ aherung und Energie des WignerKristalls als Funktion von rs

Zusammenfassend ist der G¨ ultigkeitsbereich der RPA, Gleichung (2.2.10), ankt, w¨ ahrend (2.2.11) f¨ ur den Wigner Kristall f¨ ur rs  10 auf rs  1 beschr¨ gilt; reale Metalle liegen dazwischen: 1.8 ≤ rs ≤ 5.6. ¨ 2.2.3 Anderung der elektronischen Energieniveaus durch die Coulomb-Wechselwirkung

H = H0 + HCoul , H0 =

 (k)2 k,σ

HCoul =

1 2V

 q=0,p,k σσ

2m

a†kσ akσ

4πe2 † a a†   ak σ  apσ . q 2 p+q σ k −q σ

Die Coulomb-Wechselwirkung wird die elektronischen Energieniveaus 0 (k) = (k)2 andern. Zur n¨ aherungsweisen Berechnung betrachten wir die Bewe2m ¨ achst ohne die Coulomb-Wechselgungsgleichung des Operators akσ (t), zun¨ wirkung: ⎡ ⎤ i ⎣ a˙ kσ (t) =

0 (k )a†k σ ak σ , akσ ⎦    k ,σ % $ i  =−

0 (k ) a†k σ , akσ ak σ    + k ,σ  

+δkk δσσ

i a˙ kσ (t) = − 0 (k)akσ (t) . 

(2.2.12)

2.2 Grundzustandsenergie und elementare Theorie des Elektronengases

47

Nun definieren wir die Korrelationsfunktion Gkσ (t) = φ0 | akσ (t)a†kσ (0) |φ0  .

(2.2.13)

Multipliziert man die Bewegungsgleichung mit a†kσ (0), erh¨alt man eine Bewegungsgleichung f¨ ur Gkσ (t). d i Gkσ (t) = − 0 (k)Gkσ (t). dt 

(2.2.14)

Deren L¨ osung ist i

Gkσ (t) = e−  0 (k)t (−nkσ + 1),

(2.2.15)

da φ0 | akσ (0)a†kσ (0) |φ0  = −nkσ + 1. Unter Einbeziehung der Coulomb-Abstoßung lautet die Bewegungsgleichung f¨ ur den Vernichtungsoperator akσ ⎞ ⎛ 2  4πe † i ⎜ 1 ⎟ (2.2.16) a˙ kσ = − ⎝ 0 (k)akσ − a  ak+q σ apσ  ⎠ ,  V p,q=0 q 2 p+q σ σ

wie man aus der Feldgleichung ablesen kann. Daraus folgt ⎛ d i ⎜ Gkσ (t) = − ⎝ 0 (k)Gkσ (t) dt  ⎞ # 2"  4πe 1 ⎟ a†p+q σ (t)ak+q σ (t)apσ (t)a†kσ (0) ⎠ . − V p,q=0 q 2 σ

(2.2.17) Nun tritt auf der rechten Seite nicht nur Gkσ (t), sondern auch eine h¨ohere Korrelationsfunktion auf. Bei der systematischen Behandlung k¨onnten wir f¨ ur diese wieder eine Bewegungsgleichung herleiten. Wir f¨ uhren die folgende Faktorisierungsn¨ aherung f¨ ur den Erwartungswert ein11 " # a†p+q σ (t)ak+q σ (t)apσ (t)a†kσ (0) #" # " (2.2.18) = a†p+q σ (t)ak+q σ (t) apσ (t)a†kσ (0) " #" # = δσσ δpk a†p+q σ (t)ap+q σ (t) akσ (t)a†kσ (0) . 11

D ED E Die zweite m¨ ogliche Faktorisierung a†p+q σ  (t)apσ  (t) ak+q σ (t)a†kσ (0) ist nur f¨ ur q = 0 verschieden von Null und tr¨ agt deshalb in (2.2.17) nicht bei.

48

2. Spin-1/2 Fermionen

Somit lautet die Bewegungsgleichung ⎞ ⎛ i ⎝ 1  4πe2 d nk+q σ ⎠ Gkσ (t) . Gkσ (t) = −

0 (k) − dt  V q2

(2.2.19)

q=0

Daraus l¨ aßt sich (k) ablesen zu 2 k 2 1  4πe2 − nk  σ . 2m V  |k − k |2 k

(k) =

(2.2.20)

¨ Der zweite Term f¨ uhrt auf die Anderung von (k)  3  2 d k 4πe Δ (k) = − Θ(kF − k  ) 3 (2π) |k − k |2 kF 1 e2 1  2 =− dk k dη 2 2  π k + k − 2kk  η −1

0 kF

   k + k    dk k log  k − k  0    1 + x 2e2 kF 1 1 − x2   =− + log  π 2 4x 1 − x  

e2 =− πk

 

x=

k . kF

(2.2.21)

F (x)

Hier tritt wieder die Funktion F (x) aus Gl. (2.2.6 ) auf. Die Hartree-Fock Energieniveaus sind gegen¨ uber den freien abgesenkt. Diese Absenkung ist jedoch gegen¨ uber der Realit¨ at u atzt. In Abb. 2.7 ist F (x) und (k) im ¨ bersch¨ 2 2 k Vergleich zu 0 (k) = 2m f¨ ur rs = 4 dargestellt. F

2

F(x) 1

1 0.8

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

k/p F

0.6 -1

0.4

Bandbreite 0.2

-2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Abb. 2.7. (a) Die Funktionen F (x), Gl. (2.2.6 ), und (b) die Hartree-FockEnergie-Niveaus (k) in Abh¨ angigkeit von der Wellenzahl f¨ ur rs = 4 verglichen mit der Energie des freien Elektronengases 0 (k) (gestrichelt).

2.3 Hartree-Fock Gleichungen f¨ ur Atome

49

Anmerkungen: (i) Die Energie in Hartree-Fock-N¨ aherung kann noch k¨ urzer erhalten werden, wenn man im Hamilton-Operator die folgende N¨ aherung einf¨ uhrt 1 X 4πe2 † a a†   ak σ  akσ → 2V q 2 k+q σ k −q σ  k,k ,q σ,σ

1 2V =

X k,k ,q=0 σ,σ

E D E” 4πe2 “D † † † †  σ a   σ a  a a a + a a a kσ kσ   k k k+q σ k+q σ k −q σ k −q σ q2

E 2 X 4πe2 D † a a†kσ akσ . a k+q σ k+q σ 2V k,q q 2 σ

Dann ergibt sich X H=

(k)a†kσ akσ k,σ

mit

(k) =

2 k2 1 X 4πe2 Θ(kF − |k + q|) . − 2m V q q2

(ii) Die st¨ orungstheoretische Entwicklung nach der Coulomb-Wechselwirkung f¨ uhrt auf eine Potenzreihe (mit logarithmischen Korrekturen) in rs . Diese Struktur kann man aus der folgenden Skalierung des Hamilton-Operators H=

X p2i 1 X e2 + 2m 2 i=j rij i

(2.2.22)

erkennen. Dazu f¨ uhren wir eine kanonische Transformation r  = r/r0 p = p r0 durch. Die charakteristische L¨ ange r0 ist durch 4π r 3 N = V definiert, d.h. 3 0 «1/3 „ 3V . r0 = 4πN In den neuen Variablen lautet der Hamilton-Operator 0 1 2 1 X e2 A 1 @X pi + r0 . H= 2  r0 2m 2 i=j rij i

(2.2.23)

Die Coulomb-Wechselwirkung wird im Vergleich zur kinetischen Energie umso unwichtiger, je kleiner r0 bzw. rs ist, d.h. je dichter das Gas ist.

2.3 Hartree-Fock Gleichungen fu ¨r Atome In diesem Abschnitt betrachten wir (m¨ oglicherweise ionisierte) Atome mit N Elektronen und der Kernladungszahl Z. Der Kern wird als fest angenommen, dann ist der Hamilton-Operator in zweiter Quantisierung

50

2. Spin-1/2 Fermionen

H=



a†i i| T |j aj +

i,j



a†i i| U |j aj

i,j

1  + i, j| V |k, m a†i a†j am ak , 2

(2.3.1)

i,j,k,m

wo p2 2m Ze2 U =− , r = |x| r T =

(2.3.2a) (2.3.2b)

und V =

e2 |x − x |

(2.3.2c)

die kinetische Energie eines Elektrons, das auf ein Elektron wirkende Kernpotential und die Coulomb-Abstoßung zweier Elektronen darstellen. Die Hartree-N¨ aherung und die Hartree-Fock-N¨ aherung wurden zwar schon in Kap. 13.312 diskutiert. Es soll hier dennoch die Ableitung der Hartree-FockGleichungen dargestellt werden, die im Formalismus der zweiten Quantisierung u ¨bersichtlicher als mit Slater-Determinanten ist. F¨ ur den Zustand der N Elektronen machen wir den folgenden Ansatz: |ψ = a†1 . . . a†N |0 .

(2.3.3)

Hier ist |0 der Vakuumzustand ohne Elektronen und a†i ist Erzeugungsoperator f¨ ur den Zustand |i ≡ |ϕi , msi  , msi = ± 12 . Dabei seien die Zust¨ande |i aufeinander orthogonal und die ϕi (x) noch zu bestimmende Einteilchenwellenfunktionen. Zun¨ achst berechnen wir den Mittelwert ohne spezielle Bezugnahme auf das Atom f¨ ur den allgemeinen Hamilton-Operator (2.3.1) ψ| H |ψ. F¨ ur die Einteilchenbeitr¨ age findet man sofort 

i| T |j ψ| a†i aj |ψ =

i,j



N 

i| T |i

(2.3.4a)

i| U |i ,

(2.3.4b)

i=1

i| U |j ψ| a†i aj |ψ =

i,j

N  i=1

w¨ahrend sich f¨ ur den Zweiteilchenbeitrag ψ| a†i a†j am ak |ψ = ψ| (δim δjk a†m a†k + δik δjm a†k a†m )am ak |ψ = (δik δjm − δim δjk ) Θ(m, k ∈ 1, . . . , N )

(2.3.4c)

ergibt. Der erste Faktor besagt, daß der Erwartungswert verschwindet, falls sich die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren nicht kompensieren. Der 12

QM I op. cit.

2.3 Hartree-Fock Gleichungen f¨ ur Atome

51

zweite Faktor besagt, daß die beiden Operatoren am und ak in der Menge der ussen, sonst w¨ urde im Zustand (2.3.3) auftretenden a1 . . . aN vorkommen m¨ ihre Wirkung nach rechts auf den Vakuumzustand |0 Null ergeben. Somit lautet der gesamte Erwartungswert von H: N  N   2  ψ| H |ψ = d3 x|∇ϕi |2 + d3 xU (x)|ϕi (x)|2 2m i=1 i=1 N    1 2 2 + (2.3.5) d3 xd3 x V (x − x ) |ϕi (x)| |ϕj (x )| 2 i,j=1  − δmsi msj ϕ∗i (x)ϕ∗j (x )ϕi (x )ϕj (x) . Im Sinne des Ritzschen Variationsprinzips werden nun die Einteilchenwellenwird. funktionen ϕi (x) so bestimmt, daß der Erwartungswert von H minimal ! 2 Dabei sind als Nebenbedingungen die Normierungsbedingungen |ϕi | d3 x = ! 2 1 zu ber¨ ucksichtigen, was zu den Zusatztermen − i ( d3 x|ϕi (x)| − 1) mit Lagrange-Parametern uhrt. Insgesamt ! i f¨

ist also die Variationsableitung von  2 3

x|ϕ (x)| − 1 nach ϕi (x) bzw. ϕ∗i (x) zu bilden und ψ| H |ψ − N d i i=1 i Nullzusetzen unter Beachtung von δϕi (x ) = δij δ(x − x ) . δϕj (x)

(2.3.6)

Die folgenden Gleichungen schreiben wir wieder f¨ ur das Atom, d.h. unter Ber¨ ucksichtigung der Gl.(2.3.2a-c), auf. Die Variationsableitung nach ϕ∗i ergibt   N   e2 2 2 Ze2 2 ∇ − |ϕ (x )| ϕi (x) d3 x ϕi (x) + − | j 2m r |x − x j=1 −

N 

 δ ms i ms j

j=1

= i ϕi (x) .

d3 x

e2 ϕ∗ (x )ϕi (x ) · ϕj (x) |x − x | j (2.3.7)

Dies sind die Hartree-Fock Gleichungen. Darin tritt gegen¨ uber den Hartreeatzlich der Term Gleichungen12 zus¨  e2 2 |ϕi (x )| ϕi (x) d3 x |x − x |   e2 − ϕ∗ (x )ϕi (x )ϕj (x) δ ms i ms j d3 x | j |x − x j   e2 ϕ∗ (x )ϕi (x )ϕj (x) δ ms i ms j (2.3.8) d3 x =− |x − x | j j=i

52

2. Spin-1/2 Fermionen

auf. Den zweiten Term der Wechselwirkung, auf der linken Seite nennt man Austauschintegral, da er von der Antisymmetrie des Fermionzustandes herr¨ uhrt. Der Wechselwirkungsterm kann auch in der Form  % $  e2 ∗    ϕ (x ) ϕ (x )ϕ (x) − ϕ (x)ϕ (x )δ d3 x j i j i ms i ms j |x − x | j j geschrieben werden. Der Austauschterm ist ein nichtlokaler Term, der nur f¨ ur msi = msj auftritt. Der Faktor in der eckigen Klammer ist gleich der Ampliur die weitere Diskustude daf¨ ur, daß i und j an den Orten x und x sind. F¨ sion der Hartree-Fock-Gleichungen und ihrer physikalischen Konsequenzen verweisen wir auf Abschnitt 13.3.213.

Aufgaben zu Kapitel 2 2.1 Berechnen Sie die statische Strukturfunktion f¨ ur wechselwirkungsfreie Fermionen 1 S 0 (q) ≡ φ0 | n ˆqn ˆ −q | φ0  , N P † wobei n ˆq = k, σ ak σ ak+q σ der Teilchendichteoperator in der ImpulsdarstelP uhren Sie den Kontinuumlimes lung, und |φ0  der Grundzustand ist. F¨ k ,σ = R 3 2V d k/(2π)3 durch und berechnen Sie S 0 (q) explizit. Anleitung: Betrachten Sie die F¨ alle q = 0 und q = 0 getrennt.

2.2 Zeigen Sie die G¨ ultigkeit der folgenden Relationen, die zur Berechnung der Energieverschiebung Δ (k) des Elektronengases, Gl. (2.2.21), ben¨ otigt werden. Z 3  2 2e d k 1 kF F (k/kF ) , a) − 4πe2 Θ(kF − k ) = − (2π)3 | k − k |2 π mit F (x) =

b)

E

˛ ˛ 1 − x2 ˛˛ 1 + x ˛˛ 1 + ln ˛ . 2 4x 1 − x˛

(1)

˛ ˛– » d3 k kF2 − k2 ˛˛ kF + k ˛˛ ln ˛ 1+ Θ(kF − k) (2π)3 2kkF kF − k ˛ „ « 1/3 e2 3N 3 e 2 kF 9π N =− , =− 4 π 2a0 rs 4 2π e 2 kF =− V π

Z

wobei rs eine dimensionslose Zahl ist, die dem mittleren Teilchenabstand in Einheiten des Bohrschen Radius a0 = 2 /me2 , entspricht. Es gilt kF3 = 3π 2 n = 1/(αa0 rs )3 mit α = (4/9π)1/3 .

13

QM I op. cit.

Aufgaben zu Kapitel 2

53

2.3 Wenden Sie die atomaren Hartree–Fock Gleichungen auf ein Elektronengas an. a) Zeigen Sie, daß die Hartree–Fock Gleichungen durch ebene Wellen gel¨ ost werden. b) Ersetzen Sie die Kerne durch einen positiven homogenen Hintergrund gleicher Gesamtladung, und zeigen Sie, daß sich der Hartree–Term gegen die Coulomb– Anziehung durch den positiven Hintergrund kompensiert. Die elektronischen Energie–Niveaus ergeben sind dann zu

(k) =

(k)2 1 X 4πe2 − Θ(kF − q) . 2m V q | k − q |2

Nach Aufgabe 2.2 l¨ aßt sich dies auch schreiben als (k) =

(k)2 2m

−

2e2 kF F (k/kF ). π

2.4 Zeigen Sie, daß die aus (2.3.7) folgenden Hartree–Fock Zust¨ ande |i ≡ |ϕi , msi  orthogonal sind, und daß die i reell sind. 2.5 Zeigen Sie, daß f¨ ur wechselwirkungsfreie Fermionen Z +∞ 1 S 0 (q, ω) ≡ dt eiωt φ0 |ˆ nq (t)ˆ n−q (0)|φ0  N −∞ Z V d3 k Θ(kF − k) Θ(|k + q| − kF ) = 2π 2 N „ « 2 2 × δ ω − (q + 2k · q) 2m ist. Weisen Sie ferner die Beziehung ( Z +∞ N dω 0 P S (q, ω) = 1 − N1 −∞ 2π k, σ nk σ nk+q σ

f¨ ur q = 0 , f¨ ur q =  0

nach, wobei n ˆ k σ = a†k σ ak σ ist. 2.6 Zeigen Sie f¨ ur Fermi-Operatoren folgende Relationen: a) †

†

e−αa aeαa = a − α2 a† + α(aa† − a† a) e−αa a† eαa = a† − α2 a − α(aa† − a† a) b) †

eαa a ae−αa †

eαa a a† e−αa

† †

a

= e−α a

a

= e−α a† .

2.7 Nach einer Vorhersage von Wigner14 soll ein Elektronengas bei tiefen Temperaturen und hinreichend niedrigen Dichten einen Phasen¨ ubergang in eine kristalline 14

E.P. Wigner, Phys. Rev. 46, 1002 (1934)

54

2. Spin-1/2 Fermionen

Struktur (bcc) durchf¨ uhren. Betrachten Sie zu einer qualitativen Analyse15 die Energie eines Gitters von Elektronen in einem homogenen Hintergrund positiver Ladung. Nehmen Sie an, daß das Potential, in dem sich ein jedes Elektron bewegt, durch das Potential einer das Elektron umgebenden, homogenen, positiv geladenen Kugel mit Radius r0 = rs a0 angen¨ ahert werden kann. Dabei ist r0 der mittlere Teilchenabstand im Wigner-Kristall mit der Elektronendichte n, d.h. 4π r 3 = 1/n. 3 0 Dies f¨ uhrt auf ein Modell unabh¨ angiger Elektronen (Einstein–N¨ aherung) in einem Oszillator–Potential H=

3e2 p2 e2 . + 3 r2 − 2m 2r0 2r0

Bestimmen Sie die Nullpunktsenergie E0 dieses dreidimensionalen harmonischen Oszillators und vergleichen Sie das so erhaltene Resultat mit dem aus der Literatur bekannten Resultat16 j ff e2 2.638 1.792 E0 = + 3/2 − . 2a0 rs rs Bestimmen Sie durch Minimierung der Nullpunktsenergie den mittleren Abstand der Elektronen.

15 16

E.P. Wigner, Trans. Faraday Soc. 34, 678 (1938) R.A. Coldwell–Horsfall, and A.A. Maradudin, J. Math. Phys. 1, 395 (1960)

3. Bosonen

In diesem Kapitel betrachten wir charakteristische Eigenschaften bosonischer Vielteilchensysteme. Zun¨ achst wird die Paarverteilungsfunktion nicht wechselwirkender Bosonen berechnet, um Korrelationseffekte zu studieren. Anschließend bestimmen wir die Anregungen eines schwach wechselwirkenden Bose-Gases und Eigenschaften des suprafluiden Zustandes.

3.1 Freie Bosonen 3.1.1 Paarverteilungsfunktion f¨ ur freie Bosonen Wir nehmen an, daß die Bosonen nicht wechselwirken, den Spin Null und somit als einzige Quantenzahl den Impuls besitzen. Gegeben sei der Zustand eines N -Teilchensystems |φ = |np0 , np1 , . . . ,

(3.1.1)

wo die Besetzungszahlen die Werte 0, 1, 2, . . . usw. annehmen k¨onnen. Der Erwartungswert der Teilchendichte ist 1  −ik·x+ik ·x φ| ψ † (x)ψ(x) |φ = e φ| a†k ak |φ V  k,k (3.1.2) 1  N = =n. nk = V V k

Die Dichte im Zustand (3.1.1) ist ortsunabh¨ angig. Die Paarverteilungsfunktion ist durch n2 g(x − x ) = φ| ψ † (x)ψ † (x )ψ(x )ψ(x) |φ      1 e−ik·x−iq·x +iq ·x +ik ·x φ| a†k a†q aq ak |φ = 2 V   k,k ,q,q

(3.1.3) gegeben. Der Erwartungswert φ| a†k a†q aq ak |φ ist nur dann verschieden von Null, wenn entweder k = k und q = q oder k = q und q = k ist. Dabei m¨ ussen wir den Fall k = q, der im Unterschied zu Fermionen hier bei Bosonen m¨ oglich ist, gesondert betrachten. Somit folgt:

56

3. Bosonen

φ| a†k a†q aq ak |φ

= (1 − δkq ) δkk δqq φ| a†k a†q aq ak |φ + δkq δqk φ| a†k a†q ak aq |φ + δkq δkk δqq φ| a†k a†k ak ak |φ = (1 − δkq )(δkk δqq + δkq δqk )nk nq + δkq δkk δqq nk (nk − 1)

(3.1.4)

und †   φ| ψ † (x)ψ ⎧ (x )ψ(x )ψ(x) |φ = ⎫ ⎨ ⎬    1 (1 − δkq )(1 + e−i(k−q)·(x−x ) )nk nq + nk (nk − 1) = 2 ⎭ V ⎩ k,q k ⎧  2     1 ⎨   2 −ik·(x−x ) nk nq − nk +  e nk  − n2k = 2   V ⎩ k,q k k k 7   + n2k − nk k

k

2   1  1    2 −ik·(x−x ) = n + e nk  − 2 nk (nk + 1) .  V V k

(3.1.5)

k

Im Vergleich zu Fermionen ist der zweite Term positiv wegen der Symmetrie der Wellenfunktion bei Vertauschung. Der letzte Term war bei Fermionen nicht vorhanden, weil im Gegensatz zu Bosonen Zust¨ande nicht mehrfach besetzt sein durften. Wir betrachten nun zwei Beispiele. Wenn alle Bosonen im gleichen Zustand p0 sind, dann ergibt sich aus (3.1.5) 1 N (N − 1) N (N + 1) = . (3.1.6) V2 V2 In diesem Fall ist die Paarverteilungsfunktion unabh¨angig vom Ort; es liegen keine Korrelationen vor. Die rechte Seite bedeutet, daß die Wahrscheinlichkeit, das erste Teilchen zu detektieren, N/V und das zweite (N − 1)/V ist. Wenn andererseits sich die Teilchen u ¨ ber viele Impulswerte verteilen und z. B. die Impulsverteilung durch eine Gauß-Funktion, n2 g(x − x ) = n2 + n2 −

(2π)3 n −(k−k0 )2 /Δ2 nk = √ e ( πΔ)3 mit der Normierung  d3 p np = n (2π)3 gegeben ist, dann folgt  2 d3 k −ik·(x−x ) − Δ4 (x−x )2 −ik0 ·(x−x ) e n = ne e k (2π)3

(3.1.7)

3.1 Freie Bosonen

57

und 1 V



2   d3 k 2 d3 k −2(k−k0 )2 /Δ2 1 (2π)3 n n2 √ n = e ∼ . k 3 3 3 (2π) V ( πΔ) (2π) V Δ3

F¨ ur festgehaltene Dichte und festgehaltene Impulsbreite Δ verschwindet deshalb im Grenzfall großer V der dritte Term in (3.1.5). Die Paarverteilungsfunktion ist dann durch

 2 Δ2 (3.1.8) n2 g(x − x ) = n2 1 + e− 2 (x−x ) gegeben. Wie aus Abb. 3.1 ersichtlich ist, ist f¨ ur Bosonen bei kleinen Abst¨anden, d.h. r < Δ−1 , die Wahrscheinlichkeit, zwei Teilchen zu finden, erh¨oht. Bosonen haben wegen der Symmetrie der Wellenfunktion die Tendenz, sich zusammenzuballen. Aus Abb. 3.1 ist ersichtlich, daß die Wahrscheinlichkeit, zwei Bosonen genau an der selben Stelle zu finden, zweimal so groß ist als bei einem großen Abstand. g(x − x ) 2

1

0 0

∗

1

2

3

4

Δ |x − x |

Abb. 3.1. Paarverteilungsfunktion f¨ ur Bosonen

3.1.2 Zweiteilchenzust¨ ande von Bosonen

Um die Folgerungen der Bose-Einstein Statistik weiter zu untersuchen, betrachten wir Interferenz- und Fluktuationsvorg¨ange von Bosonen. Derartige Interferenzen treten schon in Zweiteilchenzust¨anden auf. Der allgemeinste Zweiteilchenzustand ist  (3.1.9) |2 = d3 x1 d3 x2 ϕ(x1 , x2 )ψ † (x1 )ψ † (x2 ) |0 , und die Normierungsbedingung 2|2 = 1 f¨ uhrt auf  2|2 = d3 x1 d3 x2 ϕ∗ (x1 , x2 )(ϕ(x1 , x2 ) + ϕ(x2 , x1 )) = 1 .

(3.1.10)

58

3. Bosonen

Wir h¨ atten uns auch von vornherein auf symmetrische ϕ(x1 , x2 ) beschr¨anken k¨onnen, da wegen [ψ † (x1 ), ψ † (x2 )] = 0 ein ungerader Teil von ϕ(x1 , x2 ) nicht beitr¨ agt. Im weiteren werden Funktionen ϕ(x1 , x2 ) der Gestalt ϕ(x1 , x2 ) ∝ ϕ1 (x1 )ϕ2 (x2 )

(3.1.11)

betrachtet. W¨ aren die Teilchen unterscheidbar, dann w¨aren sie f¨ ur eine derartige Wellenfunktion v¨ ollig unabh¨ angig. Es sei außerdem  2 d3 x|ϕi (x)| = 1 , (3.1.12) dann folgt aus der Normierungsbedingung (3.1.10) ϕ1 (x1 )ϕ2 (x2 ) (3.1.13) (1 + |(ϕ1 , ϕ2 )|2 )1/2 ! mit (ϕi , ϕj ) ≡ d3 xϕ∗i (x)ϕj (x). F¨ ur den Zweiteilchenzustand (3.1.9) mit (3.1.13)1 ist der Erwartungswert der Dichte  2| n(x) |2 = d3 x1 d3 x2 d3 x1 d3 x2 ϕ∗1 (x1 )ϕ∗2 (x2 )ϕ1 (x1 )ϕ2 (x2 ) ϕ(x1 , x2 ) =

−1

× [1 + |(ϕ1 , ϕ2 )|2 ]

0| ψ(x2 )ψ(x1 )ψ † (x)ψ(x)ψ † (x1 )ψ † (x2 ) |0

= [|ϕ1 (x)| + |ϕ2 (x)| + (ϕ1 , ϕ2 )ϕ∗2 (x)ϕ1 (x) + c.c.] 2

2

2 −1

× [1 + |(ϕ1 , ϕ2 )| ]

. (3.1.14) 2

2

In (3.1.14) tritt zus¨ atzlich zu |ϕ1 (x)| +|ϕ2 (x)| ein Interferenzterm auf. Wenn die beiden Einteilchenwellenfunktionen orthogonal sind, d.h. (ϕ1 , ϕ2 ) = 0, dann ist die Dichte 2| n(x) |2 = |ϕ1 (x)|2 + |ϕ2 (x)|2

(3.1.15)

gleich der Summe der Einteilchendichten so wie f¨ ur unabh¨angige Teilchen. F¨ ur zwei u ¨ berlappende Gauß-Funktionen im Abstand 2a kann der ClusterEffekt (die Tendenz zur Zusammenballung) von Bosonen leicht berechnet werden. Es sei 2 2 1 1 1 1 (3.1.16) ϕ1 (x) = 1/4 e− 2 (x−a) , ϕ2 (x) = 1/4 e− 2 (x+a) , π π ! 2 2 2 mit den Eigenschaften (ϕi , ϕi ) = 1 und (ϕ1 , ϕ2 ) = √1π dxe−x −a = e−a ; daf¨ ur folgt aus (3.1.14) f¨ ur den Erwartungswert der Dichte 1

Die dem Zustand (3.1.9) mit (3.1.13) entsprechende Schr¨ odingersche Zwei)ϕ2 (x2 )+ϕ2 (x1 )ϕ1 (x2 ) teilchenwellenfunktion in der Ortsdarstellung lautet ϕ1 (x√12(1+|(ϕ . ,ϕ )|2 )1/2 1

2

3.1 Freie Bosonen

59

0.8

|φ1 |2 + |φ2 |2 2|n(x )|2

0.6

0.4

0.2

0.0

-6

-4

-2

0

2

4

x

6

Abb. 3.2. Dichte f¨ ur einen Zwei-Boson-Zustand. Durchgezogen ist der Fall a = 3: ¨ |ϕ1 |2 + |ϕ2 |2 und n(x) sind wegen der fehlenden Uberlappung nicht voneinander zu unterscheiden. Kurz und lang gestrichelt ist der Fall a = 1: hier ist 2| n(x) |2 f¨ ur kleine Abst¨ ande gegen¨ uber |ϕ1 |2 + |ϕ2 |2 erh¨ oht

  2 2 2 2 1 e−(x−a) + e−(x+a) + 2e−2a e−x . 2| n(x) |2 = √ 2 −2a π(1 + e ) (3.1.17) Das Integral der Dichte,  d3 x 2| n(x) |2 = 2 , ist gleich der Zahl der Teilchen. In Abb. 3.2 ist 2| n(x) |2 f¨ ur die Abst¨ande a = 3 und 1 dargestellt. F¨ ur den kleineren Abstand u ¨ berlappen sich die Wellenfunktionen und die Teilchendichte ist gegen¨ uber unabh¨angigen Teilchen f¨ ur kleine x erh¨ oht. Photonen-Korrelation Photonen sind das ideale Beispiel von untereinander nicht wechselwirkenden Teilchen. Tats¨ achlich wurde in Photonenkorrelationsexperimenten die Tendenz von Bosonen, sich nahe zu kommen, beobachtet.2 Diese Korrelationseffekte lassen sich aufgrund von Paarkorrelationen der Form (3.1.8) theoretisch verstehen.3 Da klassische elektromagnetische Wellen, wie sie aus der klassischen Maxwell-Theorie folgen, koh¨ arente Zust¨ ande aus Photonen sind, ist es nicht verwunderlich, daß diese Korrelationseffekte auch aus der Klassischen Elektrodynamik folgen.4 2 3 4

R. Hanbury Brown and R.G. Twiss, Nature 177, 27 (1956), 178, 1447 (1956) E.M. Purcell, Nature 178, 1449 (1956) Einige Diskussionen der Hanbury-Brown und Twiss-Experimente finden sich in C. Kittel, Elementary Statistical Physics, S. 123, J. Wiley, New York 1958 und G. Baym, Lectures on Quantum Mechanics, S. 431, W.A. Benjamin, London, 1973

60

3. Bosonen

3.2 Schwach wechselwirkendes, verdu ¨nntes Bose-Gas 3.2.1 Quantenfl¨ ussigkeiten und Bose-Einstein-Kondensation Die wichtigste Bose-Fl¨ ussigkeit ist He4 mit Spin S = 0. Ein weiterer Repr¨ asentant ist spin-polarisierter atomarer Wasserstoff, der aber bisher nicht f¨ ur gen¨ ugend lange Zeit in ausreichender Dichte herstellbar ist. Alle anderen atomaren Bosonen kristallisieren wegen ihrer gr¨oßeren Masse und st¨arkeren Wechselwirkung schon bei Temperaturen weit oberhalb eines m¨oglichen su¨ ohnlichen Dr¨ ucken bis T = 0 fl¨ ussig prafluiden Ubergangs. He4 bleibt bei gew¨ und geht bei der Lambda-Temperatur Tλ = 2.18 K in den suprafluiden Zustand u ussige und die suprafl¨ ussige Phase bezeich¨ ber (Abb. 3.3). Die normalfl¨ net man auch als He I und He II. Damit He4 kristallisiert, muß es einem Druck von mindestens 25 bar ausgesetzt werden. Obwohl im Gegensatz zu Fermiussigkeiten Fl¨ ussigkeiten, die in He3 und jedem Metall realisiert sind, Bose-Fl¨ selten sind, lohnt sich deren eingehendes Studium wegen ihrer faszinierenden Eigenschaften. Der Suprafluidit¨ at entsprechende supraleitende Zust¨ande treten auch in Fermion-Systemen (He3 , Elektronen in Metallen und in einer Reihe von oxidischen HTC Perowskiten) durch Paarbildung auf, wobei dann die Fermionenpaare der Bose-Statistik gen¨ ugen. Reales Helium zeigt neben den Schwierigkeiten einer dichten Fl¨ ussigkeit außerdem noch Quanteneffekte. In einem idealen (d.h. nicht wechselwirkendem) Bose-Gas findet unterhalb von 2π2 /m Tc (v) = [v·2.61] ur die Masse und Dichte von He4 ergibt sich 3.14K) Bose2/3 (f¨ Einstein-Kondensation statt5 . Der Einteilchen-Grundzustand wird makrosko40 hcp

P [bar]

30

bcc

20 He II

He I

supraflüssig

normalflüssig

10

0 0

gasförmig

1

2

3 T [K]

5

4

5

6

Abb. 3.3. Das Phasendiagramm von He4 . Die festen Phasen sind: hcp (hexagonal dicht gepackt) und bcc (kubisch60g raumzentriert). Der fl¨ ussige Bereich teilt sich in eine normale (He I) und eine suprafluide (He II) Phase

Siehe z.B. F. Schwabl, Statistische Mechanik, 3. Aufl., Springer, Berlin Heidelberg, 2006, Abschn. 4.4. In sp¨ ateren Zitaten wird dieses Buch mit SM abgek¨ urzt.

3.2 Schwach wechselwirkendes, verd¨ unntes Bose-Gas

61

pisch besetzt, verbunden mit dem Verschwinden des chemischen Potentials μ → 0. Das tats¨ achliche Potential von He4 -Atomen ist n¨aherungsweise ein Lennard-Jones-Potential   σ 12 σ 6 V (r) = 4

− (3.2.1) r r

= 1.411 × 10−15 erg σ = 2.556˚ A. Es besteht aus einem abstoßenden (hard-core) Anteil und einem anziehendem Teil. Das Potential (3.2.1) ist bei kleinen Abst¨anden ¨aquivalent einem Potential fast idealer harter Kugeln mit Durchmesser von 2 ˚ A. Dem w¨ urde ein Molvolumen bei fcc dichtester Kugelpackung von 12 cm3 entsprechen. Das tats¨ achliche Molvolumen bei P = 30 bar ist 26 cm3 . Der Grund f¨ ur das große Molvolumen liegt in den großen Amplituden der quantenmechanischen Nullpunktsschwankungen. In der fl¨ ussigen Phase ist VM = 27 cm3 . 4 3 Man bezeichnet He und He in ihren jeweiligen Phasen auch als Quantenfl¨ ussigkeiten oder Quantenkristalle. Anmerkung: Bose-Einstein-Kondensation wurde 70 Jahre nach ihrer Vorhersage von Einstein6 aufgrund statistischer Betrachtungen Boses, in einem Gas aus etwa 2000 spinpolarisierten 87Rb-Atomen, die in einer Quadrupol-Falle eingeschlossen waren, be¨ obachtet.7 8 Die Ubergangstemperatur liegt bei 170 × 10−9 K. Zun¨ achst w¨ urde man einwenden, daß Alkaliatome f¨ ur niedere Temperaturen einen Festk¨ orper bilden sollten; es kann jedoch selbst bei Temperaturen im Nanokelvinbereich ein metastabiler gasf¨ ormiger Zustand aufrechterhalten werden. Ein a ¨hnliches Experiment wurde mit einem Gas aus 2 × 105 spinpolarisierten 7Li-Atomen durchgef¨ uhrt.9 In diesem Fall liegt die Kondensationstemperatur bei Tc ≈ 400 × 10−9 K. In 87Rb ist die s-Wellen-Streul¨ ange positiv, w¨ ahrend sie in 7Li negativ ist. Dennoch kommt es in 7Li nicht zu einem Kollaps der Gasphase in die fl¨ ussige oder feste Phase, jedenfalls nicht in der r¨ aumlich inhomogenen Falle.9 Auch in Natrium wurde in einer Probe von 5 × 105 Atomen bei einer Dichte von 1014 cm−3 Bose-Einstein-Kondensation unterhalb 2μK beobachtet.10 Schließlich konnte auch in atomarem Wasserstoff ein Kondensat von mehr als 108 Atomen mit ¨ einer Ubergangstemperatur von ungef¨ ahr 50μK f¨ ur bis zu 5 sec aufrecht erhalten werden.11 6

7 8 9 10 11

A. Einstein, Sitzber. Kgl. Preuss. Akad. Wiss. 1924, 261 (1924), ibid. 1925, 3 (1925) S. Bose, Z. Phys. 26, 178 (1924) M.H. Andersen, J.R. Enscher, M.R. Matthews, C.E. Wieman, and E.A. Cornell, Science 269, 198 (1995) Siehe auch G.P. Collins, Physics Today, August 1995, 17 C.C. Bradley, C.A. Sackett, J.J. Tollett, and R.G. Hulet, Phys. Rev. Lett. 75, 1687 (1995) K.B. Davis, M.-O. Mewes, M.R. Andrews, N.J. van Druten, D.S. Durfee, D.M. Kurn, and W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 75, 2969 (1995) D. Kleppner, Th. Greytak et al., Phys. Rev. Lett. 81, 3811 (1998)

62

3. Bosonen

Diese experimentellen Entdeckungen haben eie Lawine neuer Physik ausgel¨ ost. Siehe Literatur u ¨ ber Bose-Einstein-Kondensation am Ende von Teil I.

3.2.2 Bogoliubov-Theorie des schwach wechselwirkenden Bose-Gases Der Hamilton-Operator lautet in der Impulsdarstellung  k2 † 1  ak ak + Vq a†k+q a†p−q ap ak , H= 2m 2V k

(3.2.2)

k,p,q

dabei ist  = 1 gesetzt. Dieser Hamilton-Operator ist noch ganz allgemein, im folgenden werden aber N¨ aherungen gemacht, die die G¨ ultigkeit der Theorie auf verd¨ unnte, schwach wechselwirkende Bose-Gase einschr¨anken. ullen die BoseDie Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren a†k und ak erf¨ Vertauschungsrelationen und Vq ist die Fourier-Transformierte der Zweiteilchenwechselwirkung  Vq = d3 x e−iq·x V (x) . (3.2.3) Bei tiefen Temperaturen wird eine Bose-Einstein-Kondensation in die (k = 0)-Mode stattfinden, d.h. es wird in Analogie zum idealen Bose-Gas angenommen, daß im Grundzustand12 |0 der Einteilchenzustand mit k = 0 makroskopisch besetzt ist, N0 = 0| a†0 a0 |0  N ,

(3.2.4a)

und somit auch die Zahl der angeregten Teilchen N − N0  N0  N

(3.2.4b)

ist. Wir k¨ onnen deshalb die Wechselwirkung der angeregten Teilchen untereinander vernachl¨ assigen und uns auf die Wechselwirkung der angeregten Teilchen mit den kondensierten Teilchen beschr¨anken  k2 † 1 1  ak ak + V0 a†0 a†0 a0 a0 + H= (V0 + Vk )a†0 a0 a†k ak 2m 2V V k k 1  † † † † + Vk (ak a−k a0 a0 + a0 a0 ak a−k ) + O(a3k ) . (3.2.5) 2V k

Der Strich an der Summe schließt den Wert k = 0 aus. Drei Operatoren a0 bzw. a†0 zusammen mit ak=0 kommen wegen Impulserhaltung nicht vor. Die Wirkung von a0 und a†0 auf den Zustand mit N0 Teilchen im Kondensat ist  a0 |N0 , . . . = N0 |N0 − 1, . . .  (3.2.6) a†0 |N0 , . . . = N0 + 1 |N0 + 1, . . . . 12

Mit |0 ist der Grundzustand der N Bosonen gemeint und nicht der Vakuumzustand bez¨ uglich der ak , in dem kein Boson vorhanden w¨ are. Es wird sich zeigen, daß |0 der Vakuumzustand f¨ ur noch einzuf¨ uhrende Operatoren αk ist.

3.2 Schwach wechselwirkendes, verd¨ unntes Bose-Gas

63

23 Wegen √ der enormen Zahl N0 ∝ 10 entspricht beides der Multiplikation mit N0 . Außerdem ist physikalisch klar, daß die Herausnahme oder das Hinzuf¨ ugen eines Teilchens zum Kondensat die physikalischen Eigenschaften des Systems in keiner Weise ¨ andert. Im Vergleich dazu ist die Wirkung des Kommutators

a0 a†0 − a†0 a0 = 1 vernachl¨ assigbar, d.h. die Operatoren  a0 = a†0 = N0

(3.2.7)

werden durch eine c-Zahl gen¨ ahert. Dann wird aus dem Hamilton-Operator  k 2 † 1 2 a ak + N V0 H= 2m k 2V 0 k (3.2.8) N 0  1 + [(V0 + Vk )a†k ak + Vk (a†k a†−k + ak a−k )] + . . . . V 2 k

artigen Stadium noch unbekannt, er stellt Der Wert von N0 ist im gegenw¨ sich entsprechend der Dichte (Teilchenzahl bei vorgegebenem Volumen) und der Wechselwirkung ein. Wir dr¨ ucken N0 durch die gesamte Teilchenzahl N und die Zahl der Teilchen in angeregten Zust¨ anden aus  † ak ak . (3.2.9) N = N0 + k

Dann wird z.B. der Term V0 2 V0 2 N V0  † V0  † N0 = N − ak ak + ak ak a†k ak . 2V 2V V 2V  k

(3.2.10)

k,k

Daraus folgt der Hamilton-Operator  k 2 † N  N2 H= ak ak + V0 Vk a†k ak + 2m V 2V k k

N  † † + Vk ak a−k + ak a−k + H  . 2V

(3.2.11)

k



alt Terme mit vier Erzeugungs- oder VernichtungsopeDer Operator H enth¨ 0 die Dichte ratoren und diese sind von der Gr¨ oßenordnung n 2 , wo n = N −N V der Teilchen außerhalb des Kondensats ist. Die Bogoliubov-N¨aherung, die darin besteht, diese anharmonischen Terme zu vernachl¨assigen, ist dann gut, ateren Berechnung von n wird sich zeigen, daß wenn n  n. Aus der sp¨ diese Bedingung gerade f¨ ur das verd¨ unnte, schwach wechselwirkende BoseGas erf¨ ullt ist. assigt wird, haben wir eine quadratische Form, die noch Wenn H  vernachl¨ diagonalisiert werden muß. Die Transformation erfolgt analog zur Theorie

64

3. Bosonen

antiferromagnetischer Magnonen. Es wird der Ansatz13 ak = uk αk + vk α†−k a†k = uk α†k + vk α−k

(3.2.12)

mit reellen symmetrischen Koeffizienten eingef¨ uhrt, mit der Forderung, daß die Operatoren α ebenfalls Bose-Vertauschungsrelationen besitzen [αk , αk ] = [α†k , α†k ] = 0, [αk , α†k ] = δkk .

(3.2.13)

Diese sind erf¨ ullt, wenn u2k − vk2 = 1.

(3.2.14)

Beweis: [ak , ak ] = uk vk δk,−k + vk uk (−δk,−k ) = 0 % $ ak , a†k = uk uk δkk + vk vk (−δkk ) = (u2k − vk2 )δkk . Die Umkehrung der Transformation (3.2.12) lautet (siehe Aufgabe 3.3) αk = uk ak − vk a†−k α†k = uk a†k − vk a−k .

(3.2.15)

Mit der Nebenrechnung a†k ak = u2k α†k αk + vk2 α−k α†−k + uk vk (α†k α†−k + αk α−k ) a†k a†−k = u2k α†k α†−k + vk2 αk α−k + uk vk (α†k αk + α−k α†−k ) ak a−k = u2k αk α−k + vk2 α†k α†−k + uk vk (α†−k α−k + αk α†k ) ergibt sich f¨ ur den Hamilton-Operator 1 2 H= N V0 + 2V  $ %  k 2 + + nVk u2k α†k αk + vk2 αk α†k + uk vk (α†k α†−k + αk α−k ) 2m k

% N  $ 2 Vk (uk + vk2 ) α†k α†−k + αk α−k + 2uk vk (α†k αk + αk α†k ) . + 2V k

(3.2.16) Damit die nichtdiagonalen Terme verschwinden, muß  2  k n + nVk uk vk + Vk (u2k + vk2 ) = 0 2m 2

13

(3.2.17)

Man nennt diese Transformation Bogoliubov-Transformation. Diese Diagonalisierungsmethode wurde urspr¨ unglich von T. Holstein und H. Primakoff (Phys. Rev. 58, 1098 (1940)) f¨ ur komplizierte Spinwellen-Hamilton-Operatoren eingef¨ uhrt und von N.N. Bogoliubov (J. Phys. (U.S.S.R.) 11, 23 (1947)) wiederentdeckt.

3.2 Schwach wechselwirkendes, verd¨ unntes Bose-Gas

65

sein. Zusammen mit u2k −vk2 = 1 aus Gl. (3.2.14) hat man nun ein Gleichungssystem, das die Berechnung von u2k und vk2 erlaubt. Es ist zweckm¨aßig, die Definition 91/2 8 91/2 8 2 2 k2 k2 nk 2 Vk 2 ωk ≡ + nVk − (nVk ) = + (3.2.18) 2m 2m m einzuf¨ uhren. Man findet (Aufgabe 3.4) aus Gl. (3.2.14) und (3.2.17) f¨ ur u2k und vk2

2 k + nVk ωk + 2m u2k = , 2ωk

2 (3.2.19) k −ωk + 2m + nVk , vk2 = 2ωk uk vk = −

nVk , 2ωk

2

vk2 =

(nVk ) . k2 2ωk (ωk + 2m + nVk )

Setzt man (3.2.19) in den Hamilton-Operator ein, so ergibt sich  1  k 2 N2 V0 − + nVk − ωk ) + ( ωk α†k αk . H= (3.2.20) 2V 2 2m k k  

 

Grundzustandsenergie E0 Summe von Oszillatoren ∼Quasiteilchen Der Hamilton-Operator besteht aus der Grundzustandsenergie und einer Summe von Oszillatoren der Energie ωk . Die Anregungen, die durch die α†k erzeugt werden, nennt man Quasiteilchen. Der Grundzustand |0 des Systems ist durch die Forderung festgelegt, daß keine Quasiteilchen angeregt sind ur alle k. αk |0 = 0 f¨

(3.2.21)

Nun k¨ onnen wir die Zahl der Teilchen (nicht Quasiteilchen) außerhalb des Kondensats berechnen  †   N  = 0| ak ak |0 = 0| vk2 αk α†k |0 = vk2 . (3.2.22) k

k

k

F¨ ur ein Kontakt-Potential V (x) = λδ(x) folgt mit Gl. (3.2.18) und (3.2.19) m3/2 N 3/2 = (λn) . (3.2.23) V 3π 2 Der Entwicklungsparameter ist λn, d.h. gleich der St¨arke des Potentials mal der Dichte. Ist dieser Entwicklungsparameter klein, ergibt sich in konsistenter Weise eine geringe Dichte von Teilchen außerhalb des Kondensats. Die Abh¨ angigkeit von λn ist nichtanalytisch, kann nicht um λn = 0 entwickelt n ≡

66

3. Bosonen

werden. Diese Ergebnisse f¨ ur kondensierte Bose-Systeme k¨onnen nicht durch simple St¨ orungstheorie f¨ ur den Ausgangs-Hamilton-Operator (3.2.2) erhalten werden. Die Zahl der Teilchen im Kondensat ist N0 = N − n V . Ihre Temperaturabh¨ angigkeit N0 (T ) wird in Aufgabe 3.5 berechnet. Die Grundzustandsenergie (3.2.20) setzt sich zusammen aus einem Term, der die Wechselwirkungsenergie w¨ are, falls alle Teilchen im Kondensat w¨aren und einem negativen Term. Durch die Besetzung von k = 0 Boson-Zust¨anden im Grundzustand (siehe (3.2.22)) erh¨ oht sich zwar die kinetische Energie, aber die potentielle Energie verringert sich. Angeregte Zust¨ ande des Systems erh¨ alt man durch Anwendung von α†k auf den Grundzustand |0. Deren Energie ist ωk . F¨ ur kleine k findet man aus (3.2.18) : nV0 . (3.2.24) ωk = ck mit c = m Also sind die langwelligen Anregungen Phononen mit linearer Dispersion. Dieser Wert der Schallgeschwindigkeit folgt auch aus der Kompressibilit¨at κ = − V1 ∂V ∂P : ; 1 c= √ = ρκ

∂P ∂ρ

(3.2.25)

Hier ist ρ = mn die Massendichte und der Druck ist bei Temperatur Null durch P =−

∂E0 ∂V

(3.2.26)

gegeben. F¨ ur große k erh¨ alt man aus Gl. (3.2.18) ωk =

k2 + nVk . 2m

(3.2.27)

Dies entspricht der Dispersionsrelation von freien Teilchen, deren Energie durch ein mittleres Potential nVk verschoben ist (siehe Abb. 3.4). Ein Vergleich mit dem experimentellen Anregungsspektrum von He4 w¨are wegen der Beschr¨ ankung auf schwache Wechselwirkung und kleine Dichte ungerechtfertigt, insbesondere der Versuch, das Rotonenminimum (Abschn. 3.2.3) aus der k-Abh¨ angigkeit des Potentials zu erkl¨ aren, da dies Potentialst¨arken außerhalb des G¨ ultigkeitsbereichs der Theorie erfordern w¨ urde (siehe Aufgabe 3.6). Wenn α†k auf einen Zustand angewandt wird, sagt man, ein Quasiteilchen mit dem Wellenvektor k wird erzeugt. Wir zeigen noch, daß die Anregung eines Quasiteilchens f¨ ur kleine k einer Dichtewelle entspricht. Dazu betrachten wir den Operator der Teilchenzahldichte

3.2 Schwach wechselwirkendes, verd¨ unntes Bose-Gas

67

ωk ωk 2

k

2m

k

n ˆk =

 p

a†p ap+k ≈

Abb. 3.4. Anregungen des schwach wechselwirkenden Bose-Gases

 N0 (a†−k + ak )

(3.2.28)

unter der Annahme makroskopischer Besetzung des Zustandes mit Wellenzahl Null. Aus Gl. (3.2.12) folgt ak + a†−k = (uk + vk )(αk + α†−k ) und somit



n ˆ k = Ak αk + α†−k .

(3.2.29)

Die Amplitude Ak hat aufgrund von Gl. (3.2.19) die Gestalt :  N0 Ak ≡ N0 (uk + vk ) = k . 2mωk F¨ ur den Dichteoperator erh¨ alt man aus (3.2.29) n(x) = ρ˜(x) + ρ˜† (x)  mit ρ˜(x) = k Ak eik·x αk . Daraus folgt

  ρ˜(x) α†k |0 = eik ·x Ak αk α†k |0 = eik·xAk |0 .

(3.2.30a)

(3.2.30b)

k

F¨ ur einen koh¨arenten Zustand von Quasiteilchenanregungen mit der Wellenzahl k

n ∞ ck α†k  2 |0 (3.2.31a) |ck  = e−|ck | /2 n! n=0 erh¨ alt man ρ˜(x) |ck  = Ak ck eik·x |ck  . Daraus folgt f¨ ur den Erwartungswert der Dichte (ck = |ck | e−iδk ) ck | n(x) |ck  = 2Ak |ck | cos(kx − δk ) , also stellt ein derartiger koh¨ arenter Zustand eine Dichtewelle dar.

(3.2.31b)

68

3. Bosonen

Anmerkungen: (i) Phasen¨ uberg¨ ange zweiter Ordnung sind verbunden mit einer gebrochenen Symmetrie. In dem gel¨ aufigen Fall eines Heisenberg-Ferromagneten ist es die Invarianz des Hamilton-Operators gegen¨ uber der Rotation aller Spins. In der ferromagnetischen Phase, in der eine endliche Magnetisierung vorliegt, z.B. in z-Richtung orientiert, ist die Rotationsinvarianz gebrochen. Im Fall der Bose-Einstein-Kondensation ist die Eichinvarianz gebrochen, d. h. die Invarianz des Hamilton-Operators gegen¨ uber der Transformation des Feldoperators ψ(x) → ψ  (x) = ψ(x)eiα

(3.2.32)

mit einer Phase α. Im Grundzustand |0 ist 0| ψ(x) |0 = 0 und die Phase (willk¨ urlich) auf α = 0 fixiert. (ii) F¨ ur Potentiale mit endlicher Reichweite, wie z.B. das Kastenpotential aus Aufgabe 3.6, f¨ allt dessen Fourier-Transformierte mit ansteigender Wellenzahl k ab, sodaß die Grundzustandsenergie E0 aus Gl. (3.2.20) endlich ist. F¨ ur das δ-Potential ist die Fourier-Transformierte konstant, was zu einer Divergenz an der oberen Integrationsgrenze f¨ uhrt. Um zu erreichen, daß die ur das effektive Kontaktpotential endlich ist, Grundzustandsenergie E0 auch f¨ muß dessen St¨ arke λ durch die (endliche) Streul¨ange a ersetzt werden. Die Streul¨ ange ist durch λ in zweiter Ordnung Bornscher N¨aherung durch < 7 λ  m m 2 λ 1− + O(λ ) a= 4π2 V k2 k

oder umgekehrt < 7 4π2 a 4π2 a  1 2 λ= 1+ + O(a ) m V k2

(3.2.33)

k

gegeben (Aufgabe 3.8). Setzt man dies in (3.2.16) ein, so sind in dieser und allen weiteren Formeln V0 und Vk < 7 4π2 a  1 4π2 a 1+ V0 → (3.2.34a) m V k2 k

und 4π2 a (3.2.34b) m ersetzt. Bei der Wechselwirkung der angeregten Teilchen gen¨ ugt es, nur den Zusammenhang in erster Ordnung in a mitzunehmen. Der Wert der Grundzustandsenergie ist dann <  3 1/2 7 a N 128 2π2 aN 2 1+ √ . (3.2.35) E0 = m V V 15 π Vk →

3.2 Schwach wechselwirkendes, verd¨ unntes Bose-Gas ∗

69

3.2.3 Suprafluidit¨ at

Suprafluidit¨ at bedeutet die Eigenschaft einer Fl¨ ussigkeit, K¨orper umstr¨omen zu k¨ onnen, ohne diese mitzuziehen oder auch, daß sich K¨orper durch die Fl¨ ussigkeit bewegen, ohne abgebremst zu werden. Dabei darf eine bestimmte kritische Geschwindigkeit, welche wir nun mit dem Quasiteilchen-Spektrum in Verbindung bringen, nicht u ¨berschritten werden.

Anregungsenergie

p

[K]

20

15

10

5

0

0

1

2

3

Wellenzahl p/ [A˚

4 −1

]

Abb. 3.5. Die Quasiteilchenanregungen in suprafluidem He4 . Phononen und Rotonen nach Henshaw und Woods14 .

Reales Helium hat die in Abb. 3.5 angegebenen, mittels Neutronenstreuung bestimmten Anregungen. Das Anregungsspektrum zeigt folgende Charakteristika. F¨ ur kleine p variiert die Anregungsenergie linear mit dem Impuls

p = cp .

(3.2.36a)

In diesem Bereich heißen die Anregungen Phononen; deren Schallgeschwindigkeit ist c = 238 m/sec. Als zweites Charakteristikum hat das Anregungsspektrum ein Minimum bei p0 = 1.91 ˚ A−1 . In diesem Bereich heißen die Anregungen Rotonen und k¨ onnen durch

p = Δ +

(|p| − p0 )2 2μ

(3.2.36b)

dargestellt werden, mit der effektiven Masse μ = 0.16 mHe und der L¨ ucke Δ/k = 8.6 K. Die Kondensation von Helium und die daraus folgende Quasiteilchen-Dispersionsrelation ((3.2.36a,b), Abb. 3.5) hat entscheidende Konsequenzen f¨ ur das 14

D.G. Henshaw and A.D. Woods, Phys. Rev. 121, 1266 (1961)

70

3. Bosonen

System K

-v

He

(Labor)

v System K0

He

(He-Ruhsystem)

Abb. 3.6. Suprafluides Helium im Ruhesystem der R¨ ohre K und im Ruhesystem der Fl¨ ussigkeit K0 .

dynamische Verhalten von He4 in der He II-Phase. Es folgt hieraus die Suprafluidit¨ at und das Zwei-Fl¨ ussigkeitsmodell. Um dies einzusehen, betrachten wir die Str¨ omung von Helium in einer R¨ ohre in zwei verschiedenen Inertialsystemen. Im System K ist die R¨ ohre in Ruhe und die Fl¨ ussigkeit str¨omt mit der Geschwindigkeit −v. Im System K0 sei das Helium in Ruhe, w¨ahrend die R¨ ohre die Geschwindigkeit v besitzt (Siehe Abb. 3.6). Die Gesamt-Energien (E, E0 ) und die Gesamt-Impulse (P, P0 ) in den beiden Systemen (K,K0 ) h¨ angen durch eine Galilei-Transformation P = P0 − M v

(3.2.37a)

M v2 E = E0 − P0 · v + 2 zusammen. Dabei bedeuten   pi = P , pi0 = P0 , i

i

(3.2.37b) 

m=M .

i

Man zeigt (3.2.37a,b), indem man die Galilei-Transformation f¨ ur die einzelnen Teilchen xi = xi0 − vt pi = pi0 − mv anwendet. X X (pi0 − mv) = P0 − M v . P= pi = Die Energie transformiert sich folgendermaßen X 1 2 X V (xi − xj ) E= pi + 2m i i,j ”2 X X m “ pi0 V (xi0 − xj0 ) = −v + 2 m i i,j

X p2i0 M 2 X = V (xi0 − xj0 ) − P0 · v + v + 2m 2 i i,j

M 2 v . = E0 − P0 · v + 2

3.2 Schwach wechselwirkendes, verd¨ unntes Bose-Gas

71

In einer gew¨ ohnlichen Fl¨ ussigkeit wird jede anf¨anglich vorhandene Str¨omung durch Reibungsverluste abgebremst. Vom System K0 aus betrachtet bedeutet dies, daß in der Fl¨ ussigkeit Anregungen auftreten, die sich mit der Wand mitbewegen, so daß nach und nach mehr und mehr der Fl¨ ussigkeit mit der bewegten R¨ ohre mitgezogen wird. Von K aus betrachtet bedeutet dieser Vorgang, daß die Str¨ omung der Fl¨ ussigkeit abgebremst wird. Damit derartige Anregungen u onnen, muß sich die Energie der ¨berhaupt auftreten k¨ Fl¨ ussigkeit dabei vermindern. Wir m¨ ussen nun untersuchen, ob f¨ ur das spezielle Anregungsspektrum von He II, Abb. 3.5, die str¨omende Fl¨ ussigkeit durch Bildung von Anregungen ihre Energie vermindern kann. Ist es energetisch g¨ unstig, Quasiteilchen anzuregen? Wir betrachten zuerst Helium bei der Temperatur T = 0, also im Grundzustand. Im Grundzustand sind Energie und Impuls im System K0 durch E0g

und P0 = 0

(3.2.38a)

gegeben. Daraus folgt f¨ ur diese Gr¨ oßen im System K E g = E0g +

M v2 2

und P = −M v .

(3.2.38b)

Wenn ein Quasiteilchen mit Impuls p = k und Energie (p) = ωk angeregt ist, haben die Energie und der Impuls im System K0 die Werte E0 = E0g + (p)

und P0 = p ,

(3.2.38c)

woraus nach Gl. (3.2.37a,b) f¨ ur die Energie im System K E = E0g + (p) − p · v +

M v2 2

und

P = p − Mv

(3.2.38d)

folgt. Die Anregungsenergie im System K (im Ruhesystem der R¨ohre) ist deshalb ΔE = (p) − p · v .

(3.2.39)

ΔE ist die Energie¨ anderung der Fl¨ ussigkeit durch das Auftreten einer Anregung in K. Nur wenn ΔE < 0 ist, verliert die str¨omende Fl¨ ussigkeit Energie. Da − pv am kleinsten ist, wenn pv ist, muß die Ungleichung v>

p

(3.2.40a)

erf¨ ullt sein, damit eine Anregung auftritt. Aus (3.2.40a) und dem experimentellen Anregungsspektrum ergibt sich die kritische Geschwindigkeit (Abb. 3.7)  

vc = ≈ 60 m/sec . (3.2.40b) p min

72

3. Bosonen

Wenn die Str¨ omungsgeschwindigkeit kleiner als vc ist, werden keine Quasiteilchen angeregt, und die Fl¨ ussigkeit str¨ omt ungebremst durch die R¨ohre. Dieses Ph¨ anomen nennt man Suprafluidit¨ at. Das Auftreten einer endlichen kritischen Geschwindigkeit ist eng mit der Form des Anregungsspektrums verkn¨ upft, das bei p = 0 endliche Gruppengeschwindigkeit besitzt und u ¨ berall gr¨ oßer als Null ist (Abb. 3.7). 

˜ vc =(  /p )min

˜p

p

=

˜ /˜p

Abb. 3.7. Quasiteilchen und kritische Geschwindigkeit.

Der Wert (3.2.40b) der kritischen Geschwindigkeit wird bei der Bewegung von Ionen in He II beobachtet. Die kritische Geschwindigkeit f¨ ur die Str¨omungen in Kapillaren ist viel kleiner als vc , da schon bei geringerer Geschwindigkeit Wirbel entstehen; diese Anregungen haben wir hier nicht betrachtet.

Aufgaben zu Kapitel 3 3.1 Gegeben sei der bosonische 2-Teilchen Zustand Z Z |2 = d3 x1 d3 x2 ϕ(x1 , x2 )ψ † (x1 )ψ † (x2 ) |0 . a) Best¨ atigen Sie die Normierungsbedingung (3.1.10). b) Verifizieren Sie das Resultat (3.1.14) f¨ ur den Erwartungswert 2| n(x) |2 unter der Voraussetzung ϕ(x1 , x2 ) ∝ ϕ1 (x1 )ϕ2 (x2 ). 3.2 Das Heisenberg-Modell eines Ferromagneten wird durch den folgenden Hamilton-Operator definiert 1X J(|l − l |)Sl · Sl , H=− 2  l,l



wobei l und l n¨ achste Nachbarn in einem kubischen Gitter sind. Durch die HolsteinPrimakoff-Transformation √ ni )ai , Si+ = 2Sϕ(ˆ √ − † Si = 2Sai ϕ(ˆ ni ) , ˆi , Siz = S − n p ni ) = 1−n ˆ i /2S , n ˆ i = a†i ai und [ai , a†j ] = δij , sowie mit Si± = Six ± Siy , ϕ(ˆ [ai , aj ] = 0 wird der Hamilton-Operator auf Bose-Operatoren ai transformiert.

Aufgaben zu Kapitel 3

73

a) Zeigen Sie, daß die Vertauschungsrelationen f¨ ur die Spinoperatoren erf¨ ullt sind. b) Stellen Sie den Hamilton-Operator bis in 2.ter Ordnung (harmonischer N¨ aherung) durch die Boseoperatoren ai dar, indem Sie die Wurzeln in den obigen Transformationen als Abk¨ urzungen f¨ ur die Reihenentwicklung auffassen. c) Diagonalisieren Sie H (durch eine Fourier-Transformation) und bestimmen Sie die Dispersionsrelation der Spinwellen (= Magnonen). 3.3 Best¨ atigen Sie die Umkehrtransformation (3.2.15) der Bogoliubov-Transformation. 3.4 Mittels der Bogoliubov-Transformation l¨ aßt sich der Hamilton-Operator des schwach wechselwirkenden Bose-Gases auf Diagonalgestalt bringen. Dabei findet man die Bedingung (3.2.17). « „ 2 ´ n ` k + nVk uk vk + Vk u2k + vk2 = 0 . 2m 2 Best¨ atigen Sie die Resultate (3.2.18) und (3.2.19). an3.5 Berechnen Sie f¨ ur eine Kontaktwechselwirkung, Vk = λ, die Temperaturabh¨ gigkeit der Teilchendichte N0 (T ) des Kondensats. a) Gehen Sie dazu so vor, daß sie zun¨ achst den thermodynamischen Mittelwert ˆ = P a† ak durch Umschreiben auf die Quasiteilchendes Teilchenzahloperators N k k R d3 k P ) Operatoren αk berechnen. Man findet (im Kontinuumlimes: V1 k → (2π)3 « „ 3/2 (mnλ) 1 N = N0 (T ) + 2 + U1 (γ) , π2 6 k2

0 , k02 = 4mnλ, β = 1/kT , k die Boltzmannkonstante, und wobei γ = β 2m Z ∞ p xn , mit y = x x2 + 1 ist. Un (γ) = dy γy e −1 0

b) Zeigen Sie, daß im Limes tiefer Temperaturen die Verarmung des Kondensats quadratisch mit der Temperatur zunimmt N0 (0) m N0 (T ) = − (kT )2 , V V 12c q wobei c = nλ . Diskutieren Sie auch den Grenzfall hoher Temperaturen und verm gleichen Sie das so erhaltene Resultat mit den Ergebnissen aus der Theorie der ¨ Bose-Einstein Kondensation wechselwirkungsfreier Bosonen unterhalb der Ubergangstemperatur. Lit.: R.A. Ferrell, N. Menyh´ ard, H. Schmidt, F. Schwabl and P. Sz´epfalusy, Ann. Phys. (N.Y.) 47, 565 (1968); Phys. Rev. Lett. 18, 891 (1967); Phys. Letters 24A, 493 (1967); K. Kehr, Z. Phys. 221, 291 (1969). 3.6 a) Bestimmen Sie das Anregungsspektrum ωk des schwach wechselwirkenden Bose-Gases f¨ ur ein sph¨ arisches Kastenpotential V (x) = λ Θ(R − |x|). Analysieren Sie den Grenzfall R → 0 und vergleichen Sie das Resultat mit dem Anregungsspektrum f¨ ur eine Kontaktwechselwirkung, Vk = λ. Der Vergleich ergibt λ = 4π λ R 3 . 3

74

3. Bosonen

b) Bestimmen Sie den Parameterbereich von k0 R, wobei k02 = 4mnλ, in dem im Anregungsspektrum ein Rotonen-Minimum“ auftritt. Diskutieren Sie, inwie” fern dieser Parameterbereich innerhalb oder außerhalb des G¨ ultigkeitsbereiches der Bogoliubov-Theorie schwach wechselwirkender Bosonen liegt. Anleitung: Schreiben Sie das Spektrum auf dimensionslose Gr¨ oßen x = k/k0 und y = k0 R um und diskutieren Sie die Ableitung des Spektrums nach x. Die Bedingung f¨ ur das Verschwinden der Ableitung soll graphisch diskutiert werden. 3.7 Zeigen Sie, daß aus (3.2.11) der Hamilton-Operator (3.2.16) und daraus (3.2.20) folgt. 3.8 Grundzustandsenergie f¨ ur Bosonen mit Kontakt-Wechselwirkung Gegeben sei ein System von N identischen Bosonen der Masse m, die u ¨ ber ein Zweiteilchen-Kontaktpotential miteinander wechselwirken, H=

N X X p2i δ(xi − xj ) . +λ 2m α=1 i<j

Mittels der Bogoliubov-Transformation l¨ aßt sich der Hamilton-Operator im Limes schwacher Wechselwirkung auf die folgende Form bringen, „ « X  1 X k 2 N2 ωk α†k αk . λ− + nλ − ωk + H= 2V 2 2m k

k

Die Grundzustandsenergie „ « N 2 λ X k 2 − + nλ − ωk E0 = 2V 2m k divergiert an der oberen Integrationsgrenze (UV-Divergenz). Ursache daf¨ ur ist die unphysikalische Form der Kontaktwechselwirkung. Die Divergenz wird durch Einf¨ uhrung der physikalischen Streul¨ ange a beseitigt [L.D. Landau und E.M. Lifschitz, Lehrbuch der Theoretischen Physik, Band IX, E.M. Lifschitz und L.P. Pitajewski, Statistische Physik, Teil 2 (Akademie-Verlag, Berlin, 1984) §6], die die s-Wellen-Streuung an einem kurzreichweitigen Potential beschreibt. Zeigen Sie, daß die Streuamplitude f von Teilchen im Kondensat in erster Ordnung St¨ orungstheorie gegeben ist durch ( ) m λ X m 2 a := −f (k1 = k2 = k3 = k4 = 0) = λ 1− + O(λ ) . 4π2 V k2 k

Eliminieren Sie λ aus dem Ausdruck f¨ ur die Grundzustandsenergie zugunsten von a. Zeigen Sie, daß die Grundzustandsenergie f¨ ur kleine Werte von a/r0 , wobei r0 = (N/V )−1/3 der mittlere Teilchenabstand ist, durch ( „ «3/2 ) a 2π2 an 128 E0 = N 1+ √ m 15 π r0 gegeben ist. Berechnen Sie daraus das chemische Potential μ = geschwindigkeit c s ∂P ∂E0 c= , ρ = mn , P = − . ∂ρ ∂V

∂E0 ∂N

und die Schall-

4. Korrelationsfunktionen, Streuung und Response

Im folgenden untersuchen wir die dynamischen Eigenschaften von Vielteilchensystemen auf mikroskopischer, quantenmechanischer Basis. Zun¨achst werden wir experimentell relevante Gr¨ oßen wie den Streuquerschnitt f¨ ur inelastische Streuung und die dynamische Suszeptibilit¨at, die die Reaktion des Systems auf zeitlich ver¨ anderliche Felder angibt, durch mikroskopische Ausdr¨ ucke – dynamische Korrelationsfunktionen – darstellen. Dazu wird der Zeitentwicklungsoperator in der Wechselwirkungsdarstellung st¨orungstheoretisch berechnet. Dann werden wir die allgemeinen Eigenschaften dieser Korrelationsfunktionen und Zusammenh¨ ange unter ihnen herleiten, die aus der Symmetrie des Systems, aus der Kausalit¨ at und den spezifischen Definitionen durch Gleichgewichtserwartungswerte folgen. Schließlich werden wir Korrelationsfunktionen f¨ ur einige physikalisch relevante Modelle berechnen.

4.1 Streuung und Response Zun¨ achst schicken wir einige Bemerkungen u ¨ ber die physikalischen Motivationen zu diesem Kapitel voraus. Legt man an ein Vielteilchen-System (Festk¨orper, Fl¨ ussigkeit, Gas) ein zeitabh¨ angiges Feld Eei(k·x−ωt) an, so wird dadurch eine Polarisation“ (Abb. 4.1) ” P (k, ω)ei(k·x−ωt) + P (2k, 2ω)e2i(k·x−ωt) + . . . (4.1.1) induziert. Der erste Term hat dieselbe Periodizit¨at wie das erregende Feld, dar¨ uber hinaus treten wegen nichtlinearer Effekte auch harmonische Oberschwingungen auf. Die lineare Suszeptibilit¨ at ist definiert durch

E(x,t)

P(x,t)

¨ Abb. 4.1. Außeres Feld E(x, t) induziert Polarisation P (x, t).

76

4. Korrelationsfunktionen, Streuung und Response

P (k, ω) ; (4.1.2) E sie ist eine Eigenschaft der ungest¨ orten Probe und muß allein durch Gr¨oßen, die das Vielteilchensystem charakterisieren, darstellbar sein. In diesem Kapitel werden wir allgemeine mikroskopische Ausdr¨ ucke f¨ ur derartige Suszeptibilit¨ aten herleiten. Eine andere M¨ oglichkeit um Informationen u ¨ber ein Vielteilchensystem zu erhalten, sind Streuexperimente mit Teilchen. Die Wellenl¨ange dieser Teilchen muß vergleichbar mit den Strukturen sein, die man aufl¨osen will, und deren Energie muß von derselben Gr¨ oßenordnung sein wie die Anregungsenergien der Quasiteilchen, die man messen will. Ein wichtiges Mittel ist die Neutronenstreuung, denn thermische Neutronen, wie man sie aus Kernreaktoren gewinnt, erf¨ ullen gerade diese Bedingungen f¨ ur Experimente an Festk¨ orpern.1 Da Neutronen neutral sind, ist ihre Wechselwirkung mit den Kernen kurzreichweitig, sie dringen im Unterschied zu Elektronen tief in das Innere des Festk¨ orpers ein. Dar¨ uber hinaus erm¨oglicht das magnetische Moment der Neutronen u ber die Dipolwechselwirkung mit den Momenten des ¨ Festk¨ orpers die Untersuchung magnetischer Eigenschaften. Wir betrachten zun¨ achst einen ganz allgemeinen Streuvorgang und werden dann sp¨ ater auf Neutronenstreuung spezialisieren. Die Berechnung des inelastischen Streuquerschnitts erfolgt folgendermaßen. Gegeben sei ein Vielteilchensystem wie z.B. ein Festk¨ orper oder eine Fl¨ ussigkeit, die durch den Hamilton-Operator H0 beschrieben werde. Die Teilchen der Substanz werden durch xα dargestellt, wobei diese Koordinaten xα auch f¨ ur andere Freiheitsgrade als die Ortskoordinaten stehen m¨ ogen. An dieser Substanz werden Teilchen, z.B. Neutronen oder Elektronen gestreut, deren Masse sei m, die Ortskoordinate x und der Spin ms . Der gesamte Hamilton-Operator lautet dann χ(k, ω) = lim

E→0

p2 + W ({xα }, x) . (4.1.3) 2m Er setzt sich aus dem Hamilton-Operator der Substanz H0 , der kinetischen Energie des streuenden Teilchens und der Wechselwirkung von Substanz mit Teilchen W ({xα }, x) zusammen. In zweiter Quantisierung bez¨ uglich des Streuteilchens lautet der Hamilton-Operator  p2 + H = H0 + a†k σ ak σ 2m k k σ σ      1 × d3 x e−i(k −k )·x W σ σ ({xα }, x) V    p2 σ + = H0 + a†k σ ak σ Wkσ −k (4.1.4)  ({xα }) , 2m     H = H0 +

kk σ σ

1

Die Wellenl¨ ange von Neutronen h¨ angt mit der Energie u ¨ ber λ(nm) = √0.0286 zusammen, deshalb ist λ = 0.18nm f¨ ur E = 25meV = b 290K.

E(eV)

4.1 Streuung und Response

77

wo a†k σ (ak σ ) ein Streuteilchen erzeugt (vernichtet). Die Eigenzust¨ande von H0 seien |n, d.h. H0 |n = En |n .

(4.1.5)

In der in Abb. 4.2 skizzierten Streusituation f¨ allt ein Teilchen mit Wellenzahl k1 und Spin ms1 ein und die Substanz ist im Zustand |n1 . Das heißt der Anfangszustand des Gesamtsystems ist |k1 , ms1 , n1 . Entsprechend ist der Endzustand |k2 , ms2 , n2 . Durch die Wechselwirkung des Teilchens mit der Substanz wird es abgelenkt, d.h. die Richtung des Impulses ge¨andert und bei inelastischer Streuung auch der Wert der Wellenzahl (des Impulses) ge¨andert. Wenn die Wechselwirkung vom Spin abh¨ angt, kann auch die Spinquantenzahl ge¨andert werden.

d k2

k2

dΩ

k1

Abb. 4.2. Inelastische Streuung, Impuls¨ ubertrag k = k1 − k2 , Energie¨ ubertrag 2 ω = 2m (k12 − k22 )

¨ Die Ubergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit ergibt sich aus der goldenen Regel2 Γ (k1 , ms1 , n1 → k2 , ms2 , n2 ) 2π 2 |k2 , ms2 , n2 | W |k1 , ms1 , n1 | δ(En1 − En2 + ω) . = 

(4.1.6)

Hier ist ω =

2 2 (k − k22 ) 2m 1

(4.1.7a)

und k = k1 − k2

(4.1.7b)

der Energie- und Impuls¨ ubertrag des Teilchens an das System, und

= 2

2 k22 2m

Siehe z.B. QM I, Gl. (16.40)

(4.1.7c)

78

4. Korrelationsfunktionen, Streuung und Response

ist die Endenergie des Teilchens. Das Matrixelement in der goldenen Regel wird 



σ k2 , ms2 , n2 | W |k1 , ms1 , n1  = Wkσ2 −k ({xα }) . (4.1.8) 1  Die Verteilung der Anfangszust¨ ande sei p(n1 ) mit n p(n1 ) = 1 und die Ver1 teilung der Spinzust¨ ande des Neutrons ps (ms1 ) mit ms1 ps (ms1 ) = 1. Falls nur k2 gemessen und der Spin nicht analysiert wird, ist die interessierende ¨ Ubergangswahrscheinlichkeit

Γ (k1 → k2 ) =





p(n1 )ps (ms1 )Γ (k1 , ms1 , n1 → k2 , ms2 , n2 ) .

n2 n1 ms1 ms2

(4.1.9) Der doppelt differentielle Streuquerschnitt (Wirkungsquerschnitt) pro Atom ist durch ¨ d2 σ Wahrscheinlichkeit f¨ ur Ubergang in dΩd /s dΩd = dΩd

Anzahl der Streuer × Fluß der einfallenden Teilchen (4.1.10) Hier ist dΩ das Raumwinkelelement, in das gestreut wird, und der Fluß der einfallenden Teilchen ist gleich dem Betrag der Stromdichte der einfallenden Teilchen. Die Anzahl der Streuer ist N , das Normierungsvolumen ist L3 . Die Zust¨ ande der einfallenden Teilchen sind ψk1 (x) =

1 ik1 ·x e . L3/2

(4.1.11)

Daraus folgt f¨ ur die Stromdichte j(x) =

−i ∗ k1 (ψ ∇ψ − (∇ψ ∗ )ψ) = , 2m mL3

(4.1.12)

und f¨ ur den doppelt differentiellen Streuquerschnitt 1 mL3 d2 σ Γ (k1 → k2 ) dΩd = dΩd

N k1



L 2π

3 d3 k2 ,

(4.1.13)

denn die Zahl der Endzust¨ ande, d.h. der Werte von k2 im Intervall d3 k2 ist  L 3 3 2 k22 d k2 . Mit = 2m folgt d = 2 k2 dk2 /m und d3 k2 = m2 k2 d dΩ. 2π

4.1 Streuung und Response

79

Deshalb folgt m 2 k L6 d2 σ 2 = (4.1.14) dΩd

2π2 k1 N  2 p(n1 )ps (ms1 ) |k1 , ms1 , n1 | W |k2 , ms2 , n2 | δ(En1 − En2 + ω) . × n1 ,n2 ms1 ,ms2

Wir betrachten nun den Spezialfall der Neutronenstreuung und untersuchen die Streuung von Neutronen an Kernen. Die Reichweite der Kernkr¨afte ist ur thermische Neutronen k1 R ≈ 10−4  1, so R ≈ 10−12 cm und deshalb ist f¨ daß nur s-Wellenstreuung auftritt. In diesem Fall kann die Wechselwirkung durch ein effektives Pseudopotential W ({xα }, x) =

N 2π2  aα δ(xα − x) m α=1

(4.1.15)

mit den Streul¨ angen aα der Kerne dargestellt werden, das in Bornscher N¨aherung zu verwenden ist. Dann ergibt sich  N 2   k2 1  d2 σ   = p(n1 )  aα n1 | e−ik·xα |n2  δ(En1 − En2 + ω) .   dΩd

k1 N n n 1

α=1

2

(4.1.16) Hier wurde 2π2 k1 | W |k2  = mL3 =



d3 xe−ik1 ·x



aα δ(x − xα )eik2 ·x

α

2π2  aα e−i(k1 −k2 )·xα mL3 α

(4.1.17)

und die Unabh¨ angigkeit der Wechselwirkung vom Spin ben¨ utzt. Der Ausdruck (4.1.16) ist explizit ausgeschrieben von der Struktur     aα aβ . . . e−ik·xα . . . . . . eik·xβ . . . δ(En1 − En2 + ω) (4.1.16 ) αβ

und muß noch u ¨ ber die Isotope mit verschiedener Streul¨ange gemittelt werden. Dabei wird angenommen, daß diese statistisch unabh¨angig von der Lage verteilt sind: N N 1  1  2 aα , a2 = a N α=1 N α=1 α  2 a f¨ ur α = β = a2 + δαβ (a2 − a2 ) aα aβ = a2 f¨ ur α = β

a=

(4.1.18)

80

4. Korrelationsfunktionen, Streuung und Response

Daraus ergibt sich die Zerlegung des Streuquerschnitts in einen koh¨arenten und einen inkoh¨arenten Teil3 d2 σ = Akoh Skoh (k, ω) + Aink Sink (k, ω) . dΩd

Darin bedeuten k2 k2 , Aink = (a2 − a2 ) Akoh = a2 k1 k1 und 1  p(n1 ) n1 | e−ik·xα |n2  n2 | eik·xβ |n1  Skoh (k, ω) = N n n αβ

1

(4.1.19b)

2

× δ(En1 − En2 + ω) ,  2 1  Sink (k, ω) = p(n1 ) n1 | e−ik·xα |n2  N α nn 1

(4.1.19a)

(4.1.20)

2

× δ(En1 − En2 + ω) ; die Indizes stehen f¨ ur koh¨ arent und inkoh¨ arent. Im koh¨ arenten Anteil werden die Amplituden, die von verschiedenen Atomen herr¨ uhren, superponiert. Es treten hier Interferenzterme auf und es ist darin Information u ¨ ber die Korrelation von verschiedenen Atomen enthalten. Im inkoh¨ arenten Streuquerschnitt werden die von verschiedenen Atomen herr¨ uhrenden Intensit¨ aten superponiert. Es treten hier keine Interferenzterme auf, man erh¨ alt daraus Information u ¨ ber die Autokorrelation, d.h. der Korrelation eines Teilchens mit sich selbst. F¨ ur das weitere bemerken wir zun¨ achst, daß f¨ ur Systeme im Gleichgewicht e−βEn1 Z entsprechend der Dichtematrix im kanonischen Ensemble4 p(n1 ) =

(4.1.21a)

ρ = e−βH0 /Z , Z = Sp e−βH0

(4.1.21b)

gilt. Zur weiteren Auswertung wird die Darstellung der Deltafunktion  dt iωt δ(ω) = e (4.1.22) 2π verwendet. Der koh¨ arente Streuquerschnitt enth¨alt den Faktor  1 dt i(En −En +ω)t/ 1 2 e n1 | e−ik·xα |n2   2π  1 (4.1.23) = dteiωt n1 | eiH0 t/ e−ik·xα e−iH0 t/ |n2  2π  1 dteiωt n1 | e−ik·xα (t) |n2  . (4.1.24) = 2π 3 4

z.B. L. van Hove, Phys. Rev. 95, 249 (1954) Zum Beispiel SM, Abschn. 2.6; β = 1/kT mit der Boltzmannkonstanten k und der Temperatur T .

4.1 Streuung und Response

Dann folgt unter Verwendung der Vollst¨ andigkeitsrelation  Skoh (k, ω) = ink

 n2

  1 dt iωt 1  " −ik·xα (t) ik·xβ (0) # e e e . δαβ 2π N

81

|n2  n2 | = 1 (4.1.25)

αβ

Die Korrelationsfunktionen in (4.1.25) werden mit der Dichtematrix des Vielteilchensystems (4.1.21) berechnet und der thermische Mittelwert eines Operators O ist O =

 e−βH0 Z

n

n| O |n = Sp(ρO) .

(4.1.26)

Man bezeichnet Skoh(ink) (k, ω) als koh¨ arente (inkoh¨arente) dynamische Strukturfunktion. Beide enthalten einen elastischen (ω = 0) und einen inelastischen (ω = 0) Anteil. Unter Verwendung des Dichteoperators ρ(x, t) =

N 

δ(x − xα (t))

(4.1.27)

α=1

und dessen Fourier-Transformierter 1 ρk (t) = √ V



N 1  −ik·xα(t) e d3 xe−ik·x ρ(x, t) = √ V α=1

(4.1.28)

folgt aus (4.1.25)  Skoh (k, ω) =

dt iωt V e ρk (t)ρ−k (0) . 2π N

(4.1.29)

Der koh¨ arente Streuquerschnitt ist also durch die Fourier-Transformierte der Dichte-Dichte Korrelationsfunktion darstellbar, wo k der Impuls¨ ubertrag und ω der Energie¨ ubertrag des Neutrons an das System sind. Eine wichtige Anwendung ist die Streuung an Festk¨ orpern zur Bestimmung der Gitterdynamik. Die Ein-Phonon-Streuung ergibt als Funktion der Frequenz ω Resonanzen an den Stellen ±ωt1 (k), ±ωt2 (k) und ±ωl (k), der Frequenzen der beiden transversalen und des longitudinalen Phonons. Die Breite der Resonanzen ist durch die Lebensdauer der Phononen bestimmt. Der Hintergrund r¨ uhrt von der Mehrphononenstreuung her (siehe Abschn. 4.7(i) und Aufgabe 4.5). Die Intensit¨ at der einzelnen Phonon-Linien h¨angt u ¨ber das Skalarprodukt von k und den Polarisationsvektoren der Phononen und dem sog. Debye-Waller Faktor auch von der Streugeometrie ab. Als schematisches ur festes k Beispiel f¨ ur die Gestalt des Streuquerschnitts ist in Abb. 4.3 Skoh f¨ als Funktion der Frequenz ω dargestellt. Die Resonanzen bei endlichen Frequenzen r¨ uhren von einem der beiden transversalen und dem longitudinalen akustischen Phonon her, außerdem sieht man einen quasielastischen Peak bei

82

4. Korrelationsfunktionen, Streuung und Response

S koh (k, ω)

0

− ωl

ωt

− ωt

ωl

ω

Abb. 4.3. Koh¨ arenter Streuquerschnitt als Funktion von ω f¨ ur festen Impuls¨ ubertrag k. Resonanzen (Peaks) an den Stellen der transversalen (±ωt (k)) und longitudinalen (±ωl (k)) Phononfrequenzen und bei ω = 0.

ω = 0. Quasielastische Peaks k¨ onnen von Unordnung und von Relaxationsund Diffusionsvorg¨ angen (Abschn. 4.7(ii)) herr¨ uhren. Aus dem koh¨ arenten Streuquerschnitt k¨ onnen direkt Informationen u ¨ber Dichteanregungen, wie Phononen in Festk¨ orpern und Fl¨ ussigkeiten, gewonnen werden. Der inkoh¨ arente Anteil ist eine Summe von Streuintensit¨aten der einzelnen Streuer. Aus diesem k¨ onnen Informationen u ¨ ber die Autokorrelationen gewonnen werden. F¨ ur andere Streuexperimente (mit Photonen, Elektronen oder Atomen) gelten entsprechende Darstellungen des Streuquerschnitts durch Korrelationsfunktionen des Vielteilchensystems. Wir wollen uns hier nicht weiter mit den detaillierten Eigenschaften des differentiellen Streuquerschnitts besch¨aftigen. Diese Vorbemerkungen sollen prim¨ ar als zus¨atzliche Motivation f¨ ur die folgenden Abschnitte dienen. Wir werden im folgenden sehen, daß die Korrelationsfunktionen und die Suszeptibilit¨ aten miteinander zusammenh¨angen. Aufgrund der Kausalit¨ at werden wir Dispersionsrelationen, aus Zeitumkehrinvarianz und Translationsinvarianz Symmetriebeziehungen und aus dem statischen Limes und den Vertauschungsrelationen Summenregeln herleiten.

4.2 Dichtematrix, Korrelationsfunktionen Den Hamilton-Operator des Vielteilchen-Systems bezeichnen wir mit H0 und setzen diesen als zeitunabh¨ angig voraus. Die formale L¨osung der Schr¨odinger– Gleichung i

∂ |ψ, t = H0 |ψ, t ∂t

(4.2.1)

ist dann |ψ, t = U0 (t, t0 ) |ψ, t0 

.

(4.2.2)

4.2 Dichtematrix, Korrelationsfunktionen

83

Wegen der Zeitunabh¨ angigkeit von H0 ist der unit¨are Operator U0 (t, t0 ) (mit U0 (t0 , t0 ) = 1) durch U0 (t, t0 ) = e−iH0 (t−t0 )/

(4.2.3)

gegeben. Der Heisenberg-Zustand |ψH  = U0† (t, t0 ) |ψ, t = |ψ, t0 

(4.2.4)

ist zeitunabh¨ angig und die zu den Schr¨ odinger-Operatoren A, B, .. geh¨origen Heisenberg–Operatoren A(t) = U0† (t, t0 )AU0 (t, t0 ) = eiH0 (t−t0 )/ Ae−iH0 (t−t0 )/

(4.2.5)

gen¨ ugen der Bewegungsgleichung (Heisenberg Bewegungsgleichung) d i A(t) = [H0 , A(t)] . dt 

(4.2.6)

Die Dichtematrix des kanonischen Ensembles ist ρ=

e−βH0 Z

mit der kanonischen Zustandssumme Z = Sp e−βH0 ,

(4.2.7)

und die des großkanonischen Ensembles ρ=

e−β(H0 −μN ) ZG

(4.2.8)

mit der großkanonischen Zustandssumme ZG = Sp e−β(H0 −μN ) 8 9   = e−β(Em (N )−μN ) ≡ e−β(En −Nn μ) N

m

.

n

Da H0 eine Bewegungskonstante ist, sind diese Dichtematrizen zeitunabh¨angig, wie es f¨ ur Gleichgewichtsdichtematrizen sein muß. Die Mittelwerte in diesen Ensembles sind durch O = Sp(ρO)

(4.2.9)

definiert. Insbesondere wollen wir nun Korrelationsfunktionen untersuchen C(t, t ) = A(t)B(t ) 



= Sp(ρ eiH0 t/ Ae−iH0 t/ eiH0 t / Be−iH0 t / ) 



= Sp(ρ eiH0 (t−t )/ Ae−iH0 (t−t )/ B) = C(t − t , 0) .

(4.2.10)

84

4. Korrelationsfunktionen, Streuung und Response

Ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit haben wir t0 = 0 gesetzt, und die utzt. Die Korrelationsfunkzyklische Invarianz der Spur und [ρ, H0 ] = 0 ben¨ tionen h¨ angen nur von der Zeitdifferenz ab; Gleichung (4.2.10) dr¨ uckt die zeitliche Translationsinvarianz aus. Die folgenden Definitionen erweisen sich als zweckm¨aßig: G> AB (t) = A(t)B(0)

,

(4.2.11a)

G< AB (t) = B(0)A(t)

.

(4.2.11b)

Deren Fourier–Transformation ist durch  > > G< (ω) = dt eiωt G< AB AB (t)

(4.2.12)

definiert. Indem wir (4.2.5) in (4.2.12) einsetzen, als Basis Energieeigen zust¨ ande verwenden und mit 11 = m |m m| Zwischenzust¨ande einschieben, >

erhalten wir die folgenden Spektraldarstellungen f¨ ur G< AB (ω)  2π G> e−β(En −μNn ) n| A |m m| B |n AB (ω) = Z n,m   En − Em +ω ×δ  2π  −β(En −μNn ) G< e n| B |m m| A |n AB (ω) = Z n,m   Em − En +ω . ×δ 

(4.2.13a)

(4.2.13b)

Hieraus lesen wir die beiden Relationen < G> AB (−ω) = GBA (ω)

(4.2.14a)

> −βω G< AB (ω) = GAB (ω)e

(4.2.14b)

ab. Zur Herleitung der ersten Relation vergleicht man G> AB (−ω) mit (4.2.13a). Zur Herleitung der zweiten Relation vertauscht man in (4.2.13b) n mit m und verwendet die δ–Funktion. Die letzte Relation gilt immer im kanonischen Ensemble und im großkanonischen dann, wenn die Operatoren A und B die Teilchenzahl nicht ¨andern. Erh¨ oht hingegen B die Teilchenzahl um ΔnB , dann ist Nm − Nn = ΔnB und (4.2.14b) ist durch > −β(ω−μΔnB ) G< AB (ω) = GAB (ω)e

zu ersetzen.

(4.2.14b )

4.3 Dynamische Suszeptibilit¨ at

85

Indem man in (4.2.14a,b) A = ρk und B = ρ−k einsetzt, folgt f¨ ur die Dichte-Dichte-Korrelationsfunktion die Beziehung Skoh (k, −ω) = e−βω Skoh (−k, ω) .

(4.2.15)

F¨ ur spiegelungsinvariante Systeme gilt S(k, ω) = S(−k, ω), so daß schließlich Skoh (k, −ω) = e−βω Skoh (k, ω)

(4.2.16)

folgt. Diese Beziehung besagt, daß abgesehen vom Faktor kk21 in (4.1.19) die Anti-Stokes-Linien (Energieabgabe des Streuobjekts) um e−βω schw¨acher als die Stokes-Linien (Energieaufnahme) sind5 . Im Grenzfall T → 0 geht Skoh (k, ω < 0) → 0, denn dann ist das System im Grundzustand und kann keine Energie an das Streuteilchen abgeben. Die obige Beziehung dr¨ uckt das sogenannte detaillierte Gleichgewicht aus (Abb. 4.4): Wn→n Pne = Wn →n Pne Wn→n = Wn →n e

oder

−β(En −En )

.

(4.2.17)

E

En

En Wn → n

Wn

Pne

→n

Abb. 4.4. Zum detaillierten Gleichgewicht

¨ Hier bedeuten Wn→n und Wn →n die Ubergangswahrscheinlichkeiten von  e Niveau n in n und umgekehrt und Pn und Pne sind die Gleichgewichtsbesetzungswahrscheinlichkeiten. Detailliertes Gleichgewicht besagt, daß diese Gr¨oßen so verkn¨ upft sind, daß sich die Besetzungswahrscheinlichkeiten auf¨ grund der Ubergangsprozesse nicht ¨ andern.

4.3 Dynamische Suszeptibilit¨ at Nun wollen wir einen mikroskopischen Ausdruck f¨ ur die dynamische Suszeptibilit¨ at herleiten. Dazu lassen wir auf unser System eine ¨außere Kraft F (t) einwirken, die an den Operator B koppelt.6 Der Hamilton-Operator hat dann 5 6

Durch Messung des Verh¨ altnisses von Stokes- und Anti-Stokes-Linien bei der Raman Streuung kann die Temperatur eines Systems bestimmt werden. Physikalische Kr¨ afte sind reell und Observable, wie z.B. die Dichte ρ(x), werden durch hermitesche Operatoren dargestellt. Dennoch betrachten wir die Korrelationfunktionen auch f¨ ur nichthermitesche Operatoren, wie z .B. ρk (ρ†k = ρ−k ), da man auch an den Eigenschaften einzelner Fourierkomponenten interessiert ist. F (t) ist eine c-Zahl.

86

4. Korrelationsfunktionen, Streuung und Response

die Gestalt H = H0 + H  (t) H  (t) = −F (t)B

(4.3.1a) .

(4.3.1b)

F¨ ur t ≤ t0 sei die Kraft F (t) = 0, und das System befinde sich im Gleichgewicht. Es interessiert uns die Antwort auf die St¨orung (4.3.1b). Der Mittelwert von A zur Zeit t ist durch A(t) = Sp(ρS (t)A) = Sp(U (t, t0 ) ρS (t0 ) U † (t, t0 ) A)

(4.3.2)

†

= Sp(ρS (t0 ) U (t, t0 ) A U (t, t0 )) e−βH0 † U (t, t0 ) A U (t, t0 )) Z gegeben, wobei die Notation A(t) als Mittelwert des Heisenberg-Operators ur (4.2.5) zu verstehen ist. Hier wurde der Zeitentwicklungsoperator U (t, t0 ) f¨ den gesamten Hamilton-Operator H eingef¨ uhrt, die L¨osung = Sp(

ρS (t) = U (t, t0 )ρS (t0 )U † (t, t0 ) der von-Neumann-Gleichung i ρ˙ S = − [H, ρS ]  eingesetzt und ausgehend von der Schr¨ odinger-Darstellung wurde unter Verwendung der zyklischen Invarianz der Spur zur Heisenberg-Darstellung u ¨ bergegangen. Im letzten Glied der Gleichungskette (4.3.2) tritt die HeisenbergDarstellung des Operators A auf. Außerdem haben wir vorausgesetzt, daß zur Zeit t0 eine kanonische Gleichgewichtsdichtematrix vorliegt. Der Zeitentwicklungsoperator U (t, t0 ) l¨ aßt sich st¨orungstheoretisch in der Wechselwirkungsdarstellung berechnen. Dazu ben¨otigen wir die Bewegungsgleichung f¨ ur U (t, t0 ). Aus i

d |ψ, t = H |ψ, t dt

folgt i also

d U (t, t0 ) |ψ0  = HU (t, t0 ) |ψ0  dt

  d i U (t, t0 ) − HU (t, t0 ) |ψ0  = 0 dt

f¨ ur jedes |ψ0 , woraus sich die Bewegungsgleichung i

d U (t, t0 ) = HU (t, t0 ) dt

(4.3.3)

4.3 Dynamische Suszeptibilit¨ at

87

ergibt. Darin setzen wir den Ansatz U (t, t0 ) = e−iH0 (t−t0 )/ U  (t, t0 )

(4.3.4)

ein. Das ergibt i

d  U = eiH0 (t−t0 )/ (−H0 + H)U , dt

i

d  U (t, t0 ) = HI (t)U  (t, t0 ) dt

also ,

(4.3.5)

wo die Wechselwirkungsdarstellung von H  HI (t) = eiH0 (t−t0 )/ H  (t)e−iH0 (t−t0 )/

(4.3.6)

eingef¨ uhrt wurde. Die Integration von (4.3.5) liefert f¨ ur den Zeitentwicklungsoperator in der Wechselwirkungsdarstellung U  (t, t0 ) die Integralgleichung  1 t      U  (t, t0 ) = 1 + dt HI (t )U (t , t0 ) (4.3.7) i t0 und deren Iteration U  (t, t0 ) = 1 +

1 i



t

dt HI (t )

t0

 t  t 1  + dt dt HI (t )HI (t ) + . . . (i)2 t0 t0    i t    = T exp − dt HI (t ) .  t0

(4.3.8)

Hier bedeutet T den Zeitordnungsoperator. Die zweite Darstellung von (4.3.8) wird im Augenblick nicht ben¨ otigt und wird im Teil III n¨aher besprochen. F¨ ur die lineare Antwort ben¨ otigen wir nur die ersten beiden Terme in (4.3.8). Setzen wir diese in (4.3.2) ein, ergibt sich in erster Ordnung in F (t)  1 t  "$ iH0 (t−t0 )/ −iH0 (t−t0 )/   %# A(t) = A0 + dt e Ae , HI (t ) i t0 0  t 1 = A0 − dt [A(t), B(t )]0 F (t ) . (4.3.9) i t0 Der Index 0 weist darauf hin, daß der Erwartungswert mit der Dichtematrix orten Systems berechnet wird. Im ersten Term wurde die e−βH0 /Z des ungest¨ zyklische Invarianz der Spur  −βH0  e −iH0 (t−t0 )/ iH0 (t−t0 )/ e Ae = A0 A(t)0 = Sp Z

88

4. Korrelationsfunktionen, Streuung und Response

ben¨ utzt. Wir verlegen nun den Ausgangszeitpunkt, zu dem sich das System im uckGleichgewicht mit der Dichtematrix e−βH0 /Z befindet, auf einen weit zur¨ liegenden Zeitpunkt. Wir f¨ uhren also den Limes t0 → −∞ durch, was uns allerdings nicht hindert F (t ) erst zu einem sp¨ateren Zeitpunkt einzuschalten, ¨ und erhalten f¨ ur die Anderung des Erwartungswertes durch die St¨orung  ∞ dt χAB (t − t )F (t ) . (4.3.10) ΔA(t) = A(t) − A0 = −∞

Hier wurde die dynamische Suszeptibilit¨at, oder lineare Responsefunktion χAB (t − t ) =

i Θ(t − t )[A(t), B(t )]0 

(4.3.11)

eingef¨ uhrt, die durch den Erwartungswert des Kommutators der beiden uglich des Hamilton-Operators Heisenberg-Operatoren A(t) und B(t ) (bez¨ H0 ) gegeben ist. Die Stufenfunktion kommt von der oberen Integrationsgrenze in (4.3.9) und dr¨ uckt die Kausalit¨ at aus. Innerhalb des Gleichgewichtserwartungswertes k¨ onnen wir A(t) → eiH0 t/ Ae−iH0 t/ und B(t) → eiH0 t/ Be−iH0 t/ ersetzen. Gl. (4.3.10) bestimmt die Auswirkung einer an B koppelnden Kraft auf die Observable A in erster Ordnung in der Kraft. Wir definieren noch die Fourier-Transformation der dynamischen Suszeptibilit¨at  ∞ χAB (z) = dt eizt χAB (t) , (4.3.12) −∞

wo z komplex sein kann (siehe Abschnitt 4.4). Um deren physikalische Bedeutung zu finden, betrachten wir eine langsam eingeschaltete ( → 0, > 0), periodische St¨ orung

   H  = − BFω e−iωt + B † Fω∗ eiωt e t . (4.3.13) F¨ ur diese folgt aus (4.3.10) und (4.3.12)  ∞

   ΔA(t) = dt χAB (t − t )Fω e−iωt + χAB † (t − t )Fω∗ )eiωt e t −∞

= χAB (ω)Fω e−iωt + χAB † (−ω)Fω∗ eiωt

.

(4.3.14)

Der im Zwischenschritt auftretende Faktor e t kann wegen → 0 als 1 gesetzt werden. Die Wirkung der periodischen St¨orung (4.3.13) auf ΔA(t) ist somit proportional zur Kraft samt ihrer Periodizit¨at und zur Fouriertransformierten Suszeptibilit¨ at. Resonanzen in der Suszeptibilit¨at a¨ußern sich in einer starken Reaktion auf die Kraft bei der entsprechenden Frequenz.

4.4 Dispersionsrelationen

89

4.4 Dispersionsrelationen Die Kausalit¨at bedingt, daß eine Antwort des Systems nur durch eine zeitlich vorhergehende St¨ orung hervorgerufen wird. Dies ¨außert sich in der Sprungfunktion von Gl. (4.3.11), d.h. χAB (t) = 0

f¨ ur t < 0 .

(4.4.1)

Daraus folgt der Satz: χAB (z) ist analytisch in der oberen Halbebene. Beweis. χAB ist nur f¨ ur t > 0 verschieden von Null und dort endlich. Deshalb garantiert der Faktor e−Im zt die Konvergenz des Fourierintegrals (4.3.12). F¨ ur z in der oberen Halbebene k¨ onnen wir χAB (z) wegen der Analytizit¨at mittels des Cauchy–Integralsatzes in der Form schreiben  χAB (z  ) 1 χAB (z) = . (4.4.2) dz   2πi C z −z Hier ist C eine geschlossene Kurve im Analytizit¨atsgebiet. Wir w¨ahlen f¨ ur C den in Abb. 4.5 dargestellten Weg, l¨ angs der reellen Achse und einem Halbkreis in der oberen Halbebene, beides ausgedehnt ins Unendliche. Im z

z Re z

Abb. 4.5. Integrationsweg C zur Herleitung der Dispersionsrelation

C

Wir setzen nun voraus, daß χAB (z) im Unendlichen stark genug abf¨allt, so daß der Halbkreis nichts beitr¨ agt, dann ist  ∞ χAB (x ) 1 χAB (z) = . (4.4.3) dx  2πi −∞ x −z F¨ ur reelles z folgt aus (4.4.3)

 dx χAB (x ) χAB (x) = lim χAB (x + i ) = lim →0 →0 2πi x − x − i

    dx 1 + iπδ(x − x) χAB (x ) , = P  2πi x −x

d.h. 1 χAB (x) = P πi



dx

χAB (x ) x − x

.

(4.4.4)

90

4. Korrelationsfunktionen, Streuung und Response

Hier tritt der Cauchysche Hauptwert  x−    ∞ f (x ) f (x ) P dx  ≡ lim dx + dx x − x →0 −∞ x − x x+ auf. Daraus folgen die sogenannten Dispersions-Relationen (auch Kramers– Kronig–Relationen genannt)  Im χAB (ω  ) 1 (4.4.5a) Re χAB (ω) = P dω  π ω − ω und 1 Im χAB (ω) = − P π



dω 

Re χAB (ω  ) ω − ω

.

(4.4.5b)

Diese Zusammenh¨ ange zwischen dem Realteil und dem Imagin¨arteil der Suszeptibilit¨ at sind eine Folge der Kausalit¨ at.

4.5 Spektraldarstellung Wir definieren7 die dissipative Antwort χAB (t) = und χAB (ω) =

1 [A(t), B(0)] 2 

∞

−∞

dt eiωt χAB (t)

(4.5.1a)

.

(4.5.1b)

Mit der Fourier-Darstellung der Sprungfunktion  ∞ dω −iωt i e Θ(t) = lim+ ω + i

→0 −∞ 2π finden wir

(4.5.2)



dt eiωt Θ(t) 2i χAB (t)  1 ∞ χ (ω  ) dω   AB = π −∞ ω − ω − i

 χ (ω  ) 1 + iχAB (ω) = P dω  AB π ω − ω

χAB (ω) =

7

,

(4.5.3)

Hier und im folgenden lassen wir den Index 0 am Erwartungswert wieder weg. Mit   ist der Erwartungswert bez¨ uglich des Gesamt–System–Hamilton–Operators H0 , ohne ¨ außere St¨ orung gemeint.

4.6 Fluktuations–Dissipations–Theorem

91

wobei in Ausdr¨ ucken wie nach dem zweiten Gleichheitszeichen immer der Grenzwert → 0+ gemeint ist. Damit ist die folgende Zerlegung von χAB (ω), χAB (ω) = χAB (ω) + iχAB (ω) ,

(4.5.4)

mit χAB (ω) =

1 P π



dω 

χAB (ω  ) ω − ω

(4.5.5)

gewonnen. Wenn χAB (ω) reell ist, dann ist nach (4.5.5) auch χAB (ω) reell, und (4.5.4) stellt die Zerlegung in Real- und Imagin¨arteil dar. Die Beziehung (4.5.5) ist dann identisch mit der Dispersionsrelation (4.4.5a). Die Frage der Reellit¨ at von χAB (ω) wird im Abschnitt 4.8.2 gekl¨art.

4.6 Fluktuations–Dissipations–Theorem Mit den Definitionen (4.5.1b) und (4.2.11) finden wir χAB (ω) =

 1  > GAB (ω) − G< AB (ω) 2

,

(4.6.1a)

woraus sich mit Gleichung (4.2.14b) χAB (ω) =

  1 > GAB (ω) 1 − e−βω 2

(4.6.1b)

ergibt. Diese Relation von G> und χ nennt man Fluktuations–Dissipations– Theorem. Zusammen mit der Relation (4.5.3) ergibt sich f¨ ur die dynamische Suszeptibilit¨ at 1 χAB (ω) = 2π



∞

−∞

>  −βω  )  GAB (ω )(1 − e dω  ω − ω − i

.

(4.6.2)

Klassischer Grenzfall βω  1 : Unter dem klassischen Grenzfall versteht man denjenigen Frequenz- und Temperaturbereich, f¨ ur den die Bedingung βω  1 erf¨ ullt ist. Dann vereinfacht sich das Fluktuations-DissipationsTheorem (4.6.1) zu χAB (ω) =

βω > G (ω) . 2 AB

(4.6.3)

  0 nur Aus Gl. (4.6.2) erh¨ alt man im klassischen Grenzfall (d.h. G> AB (ω ) =  f¨ ur β|ω |  1)  dω  > G (ω  ) = βG> χAB (0) = β (4.6.4) AB (t = 0) . 2π AB

92

4. Korrelationsfunktionen, Streuung und Response

Die statische Suszeptibilit¨ at (ω = 0) ist im klassischen Grenzfall gegeben durch die gleichzeitige Korrelationsfunktion von A und B dividiert durch kT . Der Name Fluktuations–Dissipations–Theorem f¨ ur (4.6.1) liegt nahe, weil ur die Korrelation von Fluktuationen von A und B ist, GAB (ω) ein Maß f¨ w¨ ahrend χAB die Dissipation beschreibt. Daß χ mit Dissipation zu tun hat, sieht man wie folgt. F¨ ur eine St¨orung der Form   , (4.6.5) H  = Θ(t) A† F e−iωt + AF ∗ eiωt ¨ wo F eine c-Zahl ist, ist nach der goldenen Regel die Ubergangsrate pro Zeiteinheit vom Zustand n in den Zustand m Γn→m =

2π  δ(Em − En − ω)| m| A† F |n |2   +δ(Em − En + ω)| m| AF ∗ |n |2 .

(4.6.6)

Die Leistung der ¨ außeren Kraft ( = die pro Zeiteinheit absorbierte Energie) ist dann unter Verwendung von (4.6.1a) und (4.2.13a) W =

 e−βEn n,m

Z

Γn→m (Em − En )

 1  > 2π 2 ω GAA† (ω) − G< † (ω) |F | AA  2π = 2ωχAA† (ω)|F |2 , =

(4.6.7)

wobei f¨ ur die Anfangszust¨ ande eine kanonische Verteilung angenommen wurde. Damit ist gezeigt, daß χAA† (ω) die Energieabsorption und damit die St¨ arke der Dissipation bestimmt. Bei Frequenzen, f¨ ur die χAA† (ω) groß ist, also in der N¨ ahe von Resonanzen, ist die Absorption pro Zeiteinheit ebenfalls groß. Anmerkung: Falls die Erwartungswerte der Operatoren A und B endlich sind, kann es in manchen Relationen vorteilhaft sein, statt dessen die Operatoren ˆ ˆ A(t) ≡ A(t) − A und B(t) = B(t) − B zu verwenden, um Beitr¨ age proportional zu δ(ω) zu vermeiden; z.B.: ρ(x, t) oder ρk=0 (t). Da sich der Kommutator nicht ¨ andert, gilt χAB (t) = χAˆBˆ (t), χAB (t) = χAˆBˆ (t), usw.

4.7 Anwendungsbeispiele Um konkrete Formen von Response- und Korrelations–Funktionen vor Augen zu haben, geben wir diese f¨ ur drei typische Beispiele, n¨amlich f¨ ur einen harmonischen Kristall, f¨ ur Diffusionsdynamik und f¨ ur einen ged¨ampften harmonischen Oszillator an.

4.7 Anwendungsbeispiele

93

(i) Harmonischer Kristall. Als erstes, quantenmechanisches Beispiel berechnen wir die Suszeptibilit¨ at f¨ ur die Auslenkungen eines harmonischen Kristalls. Der Einfachheit halber betrachten wir ein Bravais-Gitter, in dem also pro Elementarzelle ein Atom vorliegt. Wir schicken hier zun¨achst einige Angaben aus der in der Festk¨ orperphysik8 behandelten Gitterdynamik voraus. Die Atome und Gitterpunkte werden durch Vektoren n = (n1 , n2 , n3 ) aus nat¨ urlichen Zahlen ni = 1, . . . , Ni durchnumeriert, wobei die Zahl der Gitterpunkte N = N1 N2 N3 ist. Die kartesischen Koordinaten werden durch den Index i = 1, 2, 3 charakterisiert. Die Gleichgewichtslagen der Gitterpunkte seien an und der Ortsvektor des Atoms n sei xn = an + un , wo un die Auslenkungen von den Gleichgewichtslagen bedeuten. Letztere kann man durch Normalkoordinaten Qk,λ darstellen uin (t) = √

1  ik·an i e

(k, λ)Qk,λ (t) , N M k,λ

(4.7.1)

wo N die Zahl der Atome, M deren Masse, k die Wellenzahl und i (k, λ) die Komponenten der drei Polarisationsvektoren bedeuten, λ = 1, 2, 3. Die Normalkoordinaten kann man durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatour Phononen mit der Wellenzahl k und Polarisation λ ren a†k,λ und ak,λ f¨ ausdr¨ ucken ;

 ak,λ (t) + a†−k,λ (t) (4.7.2) Qk,λ (t) = 2ωk,λ mit den drei akustischen Phononenfrequenzen ωk,λ . Hier wird die HeisenbergDarstellung ak,λ (t) = e−iωk,λ t ak,λ (0)

(4.7.3)

verwendet. Der Hamilton-Operator nimmt nach dieser Transformation die Form  1 (4.7.4) ωk,λ (a†k,λ ak,λ + ) H= 2 k,λ

(ak,λ ≡ ak,λ (0)) an. Aus den Vertauschungsrelationen der xn und ihrer adjungierten Impulse erh¨ alt man f¨ ur die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren die u ¨ blichen Kommutatoren: % $ ak,λ , a†k ,λ = δλλ δkk % $ (4.7.5) [ak,λ , ak ,λ ] = a†k,λ , a†k ,λ = 0 . 8

Siehe z.B. Ch. Kittel, Quantum Theory of Solids, 2nd rev. print, J. Wiley, New York, 1987

94

4. Korrelationsfunktionen, Streuung und Response

Die dynamische Suszeptibilit¨ at f¨ ur die Auslenkungen ist durch "$ %# i χij (n − n , t) = Θ(t) uin (t), ujn (0) 

(4.7.6)

definiert und l¨ aßt sich durch %# 1 "$ i χij (n − n , t) = un (t), ujn (0) 2

(4.7.7)

ausdr¨ ucken χij (n − n , t) = 2iΘ(t)χij (n − n , t) .

(4.7.8)

Unter der Phonon-Korrelationsfunktion verstehen wir " # Dij (n − n , t) = uin (t)ujn (0) .

(4.7.9)

In diesen Gr¨ oßen wurde Translationsinvarianz vorausgesetzt, d. h. man betrachtet entweder einen unendlich großen Kristall oder einen endlichen mit periodischen Randbedingungen. F¨ ur die interessierenden physikalischen Gr¨ oßen ist diese Idealisierung ohne Belang. Die Translationsinvarianz hat zur Folge, daß (4.7.6) und (4.7.7) nur von der Differenz n − n abh¨angen. Die Berechnung von χij (n − n , t) f¨ uhrt unter Verwendung von (4.7.1), (4.7.2), (4.7.3) und (4.7.5) auf χij (n − n , t) =

1 1  ik·an +ik ·an i e

(k, λ) j (k , λ ) 2 N M k,λ "$

k ,λ



%#  × ak,λ e−iωk,λ t + a†−k,λ eiωk,λ t , ak ,λ + a†−k ,λ 4ωk,λ ωk ,λ  −iω t  1  ik·(an −an ) i 1 = e k,λ − eiωk,λ t . e

(k, λ) ∗j (k, λ) 4N M ω k,λ k,λ

(4.7.10) Im weiteren verwenden wir, daß f¨ ur Bravais-Gitter die Polarisationsvektoren ur (4.7.6) reell sind.9 Daraus ergibt sich f¨ χij (n − n , t) =

1  ik·(an −an ) i (k, λ) j (k, λ) e sin ωk,λ t Θ(t) NM ωk,λ k,λ

(4.7.11) und f¨ ur die zeitliche Fourier-Transformierte 9

In Nicht–Bravais–Gittern enth¨ alt die Einheitszelle r ≥ 2 Atome (Ionen). Die Zahl der Phononenzweige ist 3r, d.h. λ = 1, . . . , 3r. Außerdem sind die Polarisationsvektoren (k, λ) i.a. komplex, und in den Ergebnissen (4.7.11) bis (4.7.18) ist der zweite Faktor j (. . . , λ) durch j∗ (. . . , λ) zu ersetzen.

4.7 Anwendungsbeispiele

95

 1  ik·(an−an ) i (k, λ) j (k, λ) χ (n − n , ω) = e dt eiωt sin ωk,λ t . NM ωk,λ ∞



ij

k,λ

0

(4.7.12) Unter Verwendung von (QM I, Gleichungen (A-22), (A-23), (A-24))    ∞ 1 1 isz dse = 2πδ+ (z) = πδ(z) + iP = i lim →0 z + i

z 0

∞

dse−isz

0



  1 1 = 2πδ− (z) = πδ(z) − iP = −i lim →0 z − i

z

(4.7.13)

folgt f¨ ur reelle z 1  ik·(an−an ) i (k, λ) j (k, λ) e →0 2N M ωk,λ k,λ   1 1 − × ω + ωk,λ + i ω − ωk,λ + i

χij (n − n , ω) = lim

und f¨ ur die r¨ aumliche Fourier-Transformation  1  i (q, λ) j (q, λ) e−iq·an χij (n, ω) = χij (q, ω) = 2M ωq,λ n λ   1 1 − × . ω + ωq,λ + i ω − ωq,λ + i

(4.7.14a)

(4.7.14b)

F¨ ur die Zerlegungen χij (n − n , ω) = χij (n − n , ω) + iχij (n − n , ω)

(4.7.15a)

χij (q, ω) = χij (q, ω) + iχij (q, ω)

(4.7.15b)

und

folgt hieraus 1  ik·(an −an ) i (k, λ) j (k, λ) e 2N M ωk,λ k,λ      1 1 × P −P ω + ωk,λ ω − ωk,λ  ij −iq·an ij χ (q, ω) = e χ (n, ω)

χij (n − n , ω) =

(4.7.16a)

n

1  i (q, λ) j (q, λ) 2M ωq,λ λ      1 1 × P −P ω + ωq,λ ω − ωq,λ =

(4.7.16b)

96

4. Korrelationsfunktionen, Streuung und Response

χij (n − n , ω) =

π  ik·(an −an ) i (k, λ) j (k, λ) e 2N M ωk,λ k,λ

× [δ(ω − ωk,λ ) − δ(ω + ωk,λ )]  ij e−iq·an χij (n, ω) χ (q, ω) =

(4.7.17a)

n

=

π  i (q, λ) j (q, λ) 2M ωq,λ λ

× [δ(ω − ωq,λ ) − δ(ω + ωq,λ )] .

(4.7.17b)

Die Phonon-Korrelationsfunktion (Gl.(4.7.9)) kann man entweder direkt berechnen oder mittels des Fluktuations-Dissipationstheorems aus χij (n − n , ω) bestimmen: eβω χij (n − n , ω) eβω − 1 = 2 [1 + n(ω)] χij (n − n , ω) π  ik·(an −an ) i (k, λ) j (k, λ) e = NM ωk,λ

Dij (n − n , ω) = 2

(4.7.18a)

k,λ

× {(1 + nk,λ )δ(ω − ωk,λ ) − nk,λ δ(ω + ωk,λ )} , analog folgt Dij (q, ω) = 2 [1 + n(ω)] χij (q, ω) π  i (q, λ) j (q, λ) = M ωq,λ

(4.7.18b)

λ

× {(1 + nq,λ )δ(ω − ωq,λ ) − nq,λ δ(ω + ωq,λ )} . Hier bedeutet # " nq,λ = a†q,λ aq,λ =

1 eβωq,λ − 1

(4.7.19)

die mittlere thermische Besetzungszahl f¨ ur Phononen mit der Wellenzahl q und Polarisation λ. Die Phonon-Resonanzen in Dij (q, ω) sind scharfe δ-artige Spitzen, f¨ ur ein bestimmtes q an den Stellen ±ωq,λ . Die Entwicklung der Dichte-Dichte-Korrelationsfunktion, welche den inelastischen Neutronenstreuquerschnitt bestimmt, enth¨ alt als einen Beitrag die PhononKorrelationsfunktion (4.7.18b). Die Anregungen des Vielteilchensystems (hier die Phononen) ¨ außern sich als Resonanzen im Streuquerschnitt. In der Realit¨ at wechselwirken die Phononen miteinander und auch mit anderen Anregungen des Systems wie z.B. mit den Elektronen in einem Metall. Dies f¨ uhrt zur D¨ ampfung der Phononen. Dann ist im wesentlichen die Gr¨oße

durch eine endliche D¨ ampfungskonstante γ(q, λ) ersetzt. Die Phononresonanzen in (4.7.18) bekommen dann eine endliche Breite. Siehe Abb. 4.3 und Aufgabe 4.5.

4.7 Anwendungsbeispiele

97

(ii) Diffusion. Die Diffusionsgleichung f¨ ur M (x, t) lautet M˙ (x, t) = D∇2 M (x, t)

,

(4.7.20)

wobei D die Diffusionskonstante ist, und M (x, t) zum Beispiel die Magnetisierungsdichte eines Paramagneten darstellen kann. Aus (4.7.20) findet man leicht10,11 iDq 2 ω + iDq 2 (Dq 2 )2 χ (q, ω) = χ(q) 2 ω + (Dq 2 )2 χ(q, ω) = χ(q)

χ (q, ω) = χ(q) G> (q, ω) = χ(q)

ω2

Dq 2 ω + (Dq 2 )2

(4.7.21)

2ω Dq 2 1 − e−βω ω 2 + (Dq 2 )2

.

1.0

0.6

0.8

χ (q,ω) χ(q)

0.3

0.6

χ (q,ω) χ(q)

0.0

0.4 -0.3

0.2 0.0

-4

-2

0

ω/Dq 2

2

-0.6

4

(a)

-4

-2

-4

-2

0

2

4

0

2

4

ω/Dq 2

(b) 10 1.0

8

G> (q,ω) 2χ(q)

6

G> (q,ω) 0.6 2χ(q)

4 2 0

(c)

0.2

-4

-2

0

ω/Dq 2

2

4

ω/Dq 2

(d)

Abb. 4.6. Diffusionsdynamik: (a) Realteil, (b) Imagin¨ arteil der dynamischen Suszeptibilit¨ at (4.7.21). In (c) und (d) ist G> dividiert durch die statische Suszeptibiω lit¨ at als Funktion von Dq ur βDq 2 = 0.1 und (d) f¨ ur βDq 2 = 1. 2 dargestellt; (c) f¨ 10

11

M (x, t) ist eine makroskopische Gr¨ oße, aus der Kenntnis ihrer Dynamik kann auf die Suszeptibilit¨ at zur¨ uckgeschlossen werden (Beispiel 4.1). Entsprechendes gilt f¨ ur den Oszillator Q (siehe Beispiel 4.2). Hier wurde auch χ = Re χ, χ = Im χ ben¨ utzt, was nach Abschnitt 4.8 f¨ ur Q† = Q und M−q = Mq† gilt.

98

4. Korrelationsfunktionen, Streuung und Response

In Abb. 4.6 sind χ (q, ω), χ (q, ω) und G> (q, ω) dargestellt. Man erkennt, daß χ (q, ω) eine symmetrische und χ (q, ω) eine antisymmetrische Funktion von ω ist. In G> (q, ω) geht auch der Wert von βDq 2 ein, dieser ist in Abb. 4.6c als βDq 2 = 0.1 genommen. Um das unterschiedliche Gewicht des Stokes- und Anti-Stokes-Anteils hervorzuheben, ist in Abb. 4.6d der Wert ur Diffusionsdynamik βDq 2 = 1 genommen. Dabei ist zu betonen, daß dies f¨ unrealistisch ist, denn im hydrodynamischen Bereich sind die Frequenzen immer kleiner als kT . (iii) Ged¨ ampfter Oszillator. Als n¨ achstes betrachten wir einen ged¨ampften harmonischer Oszillator  2  d d 2 + ω + γ m (4.7.22) 0 Q =0 dt2 dt ampfungskonstanten γ. mit der Masse m, der Frequenz ω0 und der D¨ Wenn man in der Bewegungsgleichung (4.7.22) auf der rechten Seite eine Q außere Kraft K hinzuf¨ ugt, erh¨ alt man im statischen Grenzfall K = 1/mω02 . ¨ Da dieses Verh¨ altnis die statische Suszeptibilit¨at definiert, h¨angt die Eigenfrequenz des Oszillators mit seiner Masse m und der statischen Suszeptibilit¨at 1 . Man findet aus der Bewegungsgleiχ folgendermaßen zusammen ω02 = mχ chung (4.7.22) mit einer periodischen frequenzabh¨angigen ¨außeren Kraft f¨ ur die dynamische Suszeptibilit¨ at10,11 χ(ω) und f¨ ur G> (ω) 1/m −ω 2 + ω02 − iωγ −ω 2 + ω02 1 χ (ω) = 2 m (−ω + ω02 )2 + ω 2 γ 2 ωγ 1 χ (ω) = 2 m (−ω + ω02 )2 + ω 2 γ 2 γ 2ω G> (ω) = m(1 − e−βω ) (−ω 2 + ω02 )2 + ω 2 γ 2 χ(ω) =

(4.7.23)

.

Diese Gr¨ oßen sind, jeweils dividiert durch χ = 1/mω02 , in Abb. 4.7 als Funktion von ω/ω0 dargestellt, wobei f¨ ur das Verh¨ altnis von D¨ampfungskonstante und Oszillationsfrequenz γ/ω0 = 0.4 angenommen wurde. Man sieht, daß χ und χ symmetrisch bzw. antisymmetrisch sind. In Abb. 4.7c ist G> (ω) bei βω0 = 0.1 und in Abb. 4.7d bei βω0 = 1 aufgetragen. Wie in Abb. 4.6c,d wird die Asymmetrie bei Erniedrigung der Temperatur deutlich. Den Unterschied zwischen den Intensit¨ aten der Stokes– und der Anti-Stokes-Linie kann man verwenden um z.B. bei Raman–Streuung die Temperatur einer Probe zu bestimmen.

∗

4.8 Symmetrieeigenschaften

99

2.0

2 1.0

χ (ω) χ

χ (ω) χ

0

0.0

-2 -1.0 -2

0

-2

2

0

2

ω/ω0

ω/ω0 (a)

(b)

30

4

3

20

G> (ω) 2χ

G> (ω) 2χ

2

10

1

0

-2

0

2

0

ω/ω0 (c) 

-2

0

Abb. 4.7. χ (ω), χ (ω) und G> (ω) f¨ ur den harmonischen Oszillator (c) ist βω0 = 0.1 und in (d) βω0 = 1.0 . ∗

2

ω/ω0 (d) γ ω0

= 0.4. In

4.8 Symmetrieeigenschaften

4.8.1 Allgemeine Symmetrierelationen Man sieht aus den beiden Abbildungen, daß χ (ω) symmetrisch ist, χ (ω) antisymmetrisch und daß in G> (ω) die Stokes-Linien st¨arker ausgepr¨agt sind als die Anti-Stokes-Linien. Wir wollen nun allgemein untersuchen, unter welchen Voraussetzungen diese Symmetrieeigenschaften gelten. Die hier zu besprechenden Symmetrieeigenschaften sind entweder rein formaler Natur und eine unmittelbare Folge der Definitionen, der u ¨ blichen Eigenschaften von Kommutatoren zusammen mit den Dispersionsrelationen und den Beziehungen (4.2.14a,b) oder sie sind physikalischer Natur und folgen aus den Symmetrieeigenschaften des Hamilton-Operators wie Translationsinvarianz, Rotationsinvarianz, Spiegelungssymmetrie und Invarianz gegen Zeitumkehr. Aus (4.6.1b) und (4.2.14b) folgt χAB (−ω) =

> > = = 1 −βω > 1 > GAB (−ω) 1 − eβω = e GBA (ω) 1 − eβω 2 2 (4.8.1a)

100

4. Korrelationsfunktionen, Streuung und Response

und nochmaliger Vergleich mit (4.6.1b) ergibt χAB (−ω) = −χBA (ω) .

(4.8.1b)

Diese Relation folgt auch aus der Antisymmetrie des Kommutators, siehe Gl. (4.8.12b). >

Wenn B = A† , dann sind die Korrelationsfunktionen G< (ω) reell. AA† Beweis: ⎡ ∞ ⎤∗  ∞     > ∗ iωt † GAA† (ω) = ⎣ A(t)A (0) ⎦ = dt e dt e−iωt A(0)A† (t) −∞

∞ =

−∞ ∞

  dt e−iωt A(−t)A† (0) =

−∞

  dt eiωt A(t)A† (0)

−∞

= G> AA† (ω) . (4.8.2) F¨ ur B = A† sind auch χAA† (ω) und χAA† (ω) reell und ergeben die Zerlegung von χAA† in Real- und Imagin¨ arteil Im χAA† = χAA†

Re χAA† = χAA†

,

.

(4.8.3)

Diese Eigenschaften werden von der Dichte–Dichte–Korrelationsfunktion erf¨ ullt. Die Definitionen von Dichte-Korrelations- und -Responsefunktion lauten: 

∞ dt e

S(k, ω) =

iωt

S(k, t) =

dt d3 x e−i(k·x−ωt) S(x, t) ,

(4.8.4a)

−∞

wobei S(x, t) = ρ(x, t)ρ(0, 0)

(4.8.4b)

die Korrelation des Dichteoperators (4.1.27) bezeichnet. Mit (4.1.28) folgt S(k, t) = ρk (t)ρ−k (0) .

(4.8.4c)

Entsprechend ist die Suszeptibilit¨ at durch χ(k, ω) bzw. 

∞ dt eiωt

χ (k, ω) = −∞

1 [ρk (t), ρ−k (0)] , 2

(4.8.5)

definiert. Der Zusammenhang der Dichte–Korrelationsfunktion mit Skoh (k, ω) lautet

∗

S(k, ω) =

4.8 Symmetrieeigenschaften

N 2πSkoh (k, ω) . V

101

(4.8.6)

Weitere Symmetrieeigenschaften ergeben sich, wenn r¨aumliche Spiegelungs– Symmetrie vorliegt. Da dann χ (−k, ω) = χ (k, ω) gilt, folgt aus (4.8.1b) χ (k, −ω) = −χ (k, ω) .

(4.8.7a)

Also ist χ ungerade in ω und wegen (4.8.3) reell. Dementsprechend ist χ (k, ω) gerade: χ (k, −ω) = χ (k, ω)

.

(4.8.7b)

Dies sieht man unter Verwendung der Dispersionsrelation, da ∞ ∞ dω  χ (k, ω  ) dω  χ (k, −ω  ) = −P χ (k, −ω) = P  π ω +ω π ω + ω −∞ ∞

=P −∞

−∞

dω  χ (k, ω  ) = χ (k, ω) . π ω − ω

(4.8.8)

F¨ ur spiegelungsinvariante Systeme kann die Dichte-Suszeptibilit¨at nach (4.6.1a) und (4.2.14a) in der Form χ (k, ω) =

1 (S(k, ω) − S(k, −ω)) 2

(4.8.9)

dargestellt werden. Setzt man dies in die Dispersionsrelation ein, findet man χ (k, ω) =

1 P 2π

∞

dω  S(k, ω  )

−∞

1 = P π

∞

−∞



1 1 − ω  − ω −ω  − ω

S(k, ω  ) dω 2 . ω − ω2 ω



 (4.8.10)

Daraus folgt das asymptotische Verhalten 1 P lim χ (k, ω) = ω→0 π 

∞

dω 

−∞

1 lim ω χ (k, ω) = − ω→∞ π 2 

∞ −∞

S(k, ω  ) ω

(4.8.11a)

dω  ω  S(k, ω  ) .

(4.8.11b)

102

4. Korrelationsfunktionen, Streuung und Response

4.8.2 Symmetrieeigenschaften der Responsefunktion f¨ ur hermitesche Operatoren 4.8.2.1 Hermitesche Operatoren Beispiele f¨ ur hermitesche Operatoren sind die Dichte ρ(x, t) und die Impulsdichte P(x, t). F¨ ur allgemeine und insbesondere auch f¨ ur hermitesche Operatoren A und B gelten die folgenden Symmetrierelationen χAB (t − t ) = −χBA (t − t) χAB (ω) = −χBA (−ω) .

(4.8.12a) (4.8.12b)

Dies folgt aus der Antisymmetrie des Kommutators. Die Fourier–transformierte Relation ist identisch mit der ersten Relation dieses Abschnitts. Ebenfalls liest man unmittelbar aus der Definition (4.5.1a) χAB (t − t )∗ = −χAB (t − t )

(4.8.13a)

ar (der Kommutator zweier hermitescher Opeab, d.h. χAB (t − t ) ist imagin¨ ratoren ist antihermitesch) und χAB (ω)∗ = −χAB (−ω) .

(4.8.13b)

Zusammengesetzt ergeben (4.8.12) und (4.8.13) χAB (t − t )∗ = +χBA (t − t)

(4.8.14a)

χAB (ω)∗ = χBA (ω) .

(4.8.14b)

und

Zwischenbemerkung: Sowohl bei der Korrelationsfunktion als auch bei der Suszeptibilit¨ at bedingt die Translationsinvarianz ≷

≷

GA(x)B(x ) = GAB (x − x , . . . )

(4.8.15a)

und die Rotationsinvarianz ≷

≷

GA(x)B(x ) = GAB (|x − x |, . . . ) .

(4.8.15b)

Deshalb folgt aus (4.8.14b) f¨ ur r¨ aumlich translations– und rotationsinvariante Systeme, daß χA(x)A(x ) (ω) = χAA (|x − x |, ω)

(4.8.16)

reell und antisymmetrisch in ω ist. F¨ ur unterschiedliche Operatoren bestimmt das Verhalten unter der Zeitumkehrtransformation, ob χ reell ist oder nicht.

∗

4.8 Symmetrieeigenschaften

103

4.8.2.2 Zeitumkehr, r¨ aumliche und zeitliche Translationen Zeitumkehrinvarianz Ein Operator A(x, t) transformiert sich unter der Zeitumkehroperation (Abschn. 11.4.2.3) folgendermaßen A(x, t) → A (x, t) = T A(x, t)T −1 = A A(x, −t) .

(4.8.17)

A heißt Signatur und nimmt folgende Werte an:

A =

1 (z.B. f¨ ur Ort und elektrisches Feld)

ur Geschwindigkeit, Drehimpuls und Magnetfeld).

A = −1 (z.B. f¨ F¨ ur den Erwartungswert eines Operators B findet man   α| B |α = T Bα|T α = T BT −1 T α|T α = T α| (T BT −1 )† |T α .

(4.8.18a)

Unter Verwendung von (4.8.17) ergibt sich (T [A(x, t), B(x , t )]T −1 )† = A B [A(x, −t), B(x , −t )]† = − A B [A(x, −t), B(x , −t )] .

(4.8.18b)

Daraus erh¨ alt man f¨ ur zeitumkehrinvariante Hamilton-Operatoren χAB (t − t ) = − A B χAB (t − t)

(4.8.19a)

χAB (ω) = − A B χAB (−ω) = A B χBA (ω) .

(4.8.19b)

und

Wenn A = B ist, dann ist χAB (ω) symmetrisch bei Vertauschung von A und B, ungerade in ω und reell. Wenn A = − B ist, dann ist χAB (ω) antisymmetrisch unter Vertauschung von A und B, gerade in ω und imagin¨ar. Wenn ein Magnetfeld vorhanden ist, muß bei einer Zeitumkehrtransformation dessen Richtung umgekehrt werden χAB (ω; B) = A B χBA (ω; −B) = − A B χAB (−ω; −B).

(4.8.20)

Schließlich bemerken wir noch, daß aus (4.8.13b) und (4.5.3) χ∗AB (ω) = χAB (−ω) folgt. Diese Relation garantiert, daß der Response (4.3.14) reell ist.

(4.8.21)

104

4. Korrelationsfunktionen, Streuung und Response

Translationsinvarianz von Korrelationsfunktion f (x, t; x , t ) ≡ A(x, t)B(x , t )   = Ta−1 Ta A(x, t)Ta−1 Ta B(x , t )Ta−1 Ta   = Ta−1 A(x + a, t)B(x + a, t )Ta Wenn die Dichtematrix ρ mit Ta kommutiert, [Ta , ρ] = 0, dann folgt wegen der zyklischen Invarianz der Spur A(x, t)B(x , t ) = A(x + a, t)B(x + a, t ) = f (x − x , t; 0, t ) ,

(4.8.22)

wo im letzten Schritt a = −x gesetzt wurde. Also ergibt r¨aumliche und zeitliche Translationsinvarianz zusammen f (x, t; x , t ) = f (x − x , t − t ) .

(4.8.23)

Rotationsinvarianz Ein System kann translationsinvariant sein, ohne rotationsinvariant zu sein. Wenn Rotationsinvarianz vorliegt, dann ist (mit einer beliebigen Drehmatrix D) f (x − x , t − t ) = f (D(x − x ), t − t ) = f (|x − x |, t − t )

(4.8.24)

unabh¨ angig von der Richtung. Fourier–Transformation f¨ ur translationsinvariante Systeme ergibt    f˜(k, t; k , t ) = d3 x d3 x e−ik·x−ik ·x f (x, t; x , t )    = d3 x d3 x e−ik·x−ik ·x f (x − x , t − t ) Mit der Substitution y = x − x folgt      = d3 x d3 ye−ik·(y+x )−ik ·x f (y, t − t ) = (2π)3 δ (3) (k + k )f˜(k, t − t )

.

Falls Rotationsinvarianz vorliegt, ist f˜(k, t − t ) = f˜(|k|, t − t ) .

(4.8.25)

4.8.2.3 Klassischer Grenzfall Wir hatten im klassischen Grenzfall(Gl. (4.6.3),(4.6.4)) gefunden (ω  kT ): βω > G (ω) und 2 AB χAB (0) = βG> AB (t = 0) .

χAB (ω) =

(4.8.26a) (4.8.26b)

∗

4.8 Symmetrieeigenschaften

105

Aus der Zeitumkehrrelation (4.8.19b) f¨ ur χAB (ω) folgt > G> AB (−ω) = A B GAB (ω) .

(4.8.27)

Wenn A = B ist, dann ist G> AB (ω) symmetrisch in ω , reell und symmetrisch bei Vertauschung von A und B. (Letzteres folgt aus dem Fluktuations– Dissipations–Theorem und der Symmetrie von χAB (ω)). Wenn A = − B ist, dann ist G> AB ungerade in ω, antisymmetrisch bei Vertauschung von A und B und imagin¨ ar. aquivalent zu F¨ ur A = B ist (4.8.26a) ¨ Im χAB (ω) =

βω > G (ω) . 2 AB

(4.8.28)

Die halbseitige Fourier-Transformierte (Laplace-Transformation) von G> AB (t) erf¨ ullt  ∞ H dt eiωt G> GAB (ω) ≡ AB (t) 0  ∞  ∞ dω  −iω t > e dt eiωt GAB (ω  ) = 2π 0 −∞   ∞  ∞    dω ie−iω t ∞ dω  −iω t > iωt e dt e GAB (ω ) =  2π ω + i

2π −∞ −∞ −∞  ∞ >  G (ω ) i dω   AB =− 2π −∞ ω − ω − i

 ∞ χ (ω  ) i 2 =− dω   AB 2π β −∞ ω (ω − ω − i )    ∞ 1 1 1 i    dω χAB (ω ) −  =−  πβ −∞ ω ω − ω − i −ω − i

i = (χAB (0) − χAB (ω)) . (4.8.29) βω 4.8.2.4 Kubo-Relaxationsfunktion F¨ ur die Darstellung des Abklingens der Auslenkung ΔA(t) nach dem Abschalten der ¨ außeren Kraft ist die Kubo-Relaxationsfunktion n¨ utzlich; siehe SM Anhang H. Die Kubo-Relaxationsfunktion zweier Operatoren A und B ist durch   i ∞  dt [A(t ), B(0)] e− t (4.8.30) φAB (t) =  t definiert, und ihre halbseitige Fourier-Transformation ist durch  ∞ φAB (ω) = dt eiωt φAB (t) 0

(4.8.31)

106

4. Korrelationsfunktionen, Streuung und Response

gegeben. Sie h¨ angt mit der dynamischen Suszeptibilit¨at u ¨ ber φAB (t = 0) = χAB (ω = 0)

(4.8.32a)

und φAB (ω) =

1 (χAB (ω) − χAB (0)) iω

(4.8.32b)

zusammen. Die erste Relation folgt durch Vergleich von (4.3.12) mit (4.8.31) und die zweite durch kurze Rechnung (Beispiel 4.6). Gl. (4.8.29) besagt somit, daß im klassischen Grenzfall φAB (ω) = βGH AB (ω)

(4.8.33)

gilt.

4.9 Summenregeln 4.9.1 Allgemeine Struktur von Summenregeln Wir gehen aus von der Definition (4.5.1a,b)  dω −iωt  1 [A(t), B(0)] = e χAB (ω)  π

(4.9.1)

und leiten n-mal nach der Zeit ab @  ? n dω 1 d (−iω)n e−iωt χAB (ω) . A(t), B(0) =  dtn π Setzen wir wiederholt die Heisenberg–Gleichung ein, so ergibt sich f¨ ur t = 0 @ ?   in dω n  dn A(t)t=0 , B(0) ω χAB (ω) = π  dtn (4.9.2) > > 1 == . . . [A, H0 ] , . . . , H0 , B . = n+1  Die rechte Seite beinhaltet einen n-fachen Kommutator von A mit H0 . Wenn diese Kommutatoren auf einfache Ausdr¨ ucke f¨ uhren, hat man durch (4.9.2) Aussagen u ber Momente des dissipativen Teils der Suszeptibilit¨at. Man nennt ¨ derartige Relationen Summenregeln. f-Summenregel: Ein wichtiges Beispiel ist die f-Summenregel f¨ ur die Dichte– Dichte–Suszeptibilit¨ at, die unter Verwendung von (4.8.9) als Summenregel f¨ ur die Korrelationsfunktion dargestellt werden kann   i dω dω  ωχ (k, ω) = ωS(k, ω) = [ρ˙ k (t), ρ−k (t)] . 2π 2π 2

4.9 Summenregeln

107

Der Kommutator auf der rechten Seite kann mit ρ˙ k = ik·jk berechnet werden, woraus sich f¨ ur nur koordinatenabh¨ angige Potentiale die Standardform der f-Summenregel  k2 dω ω S(k, ω) = n (4.9.3) 2π  2m ergibt, wo n = N V die Teilchenzahldichte bedeutet. Es gibt auch noch Summenregeln, die sich ergeben, weil in vielen F¨allen12 im Grenzfall k → 0 und ω → 0 die dynamische Suszeptibilit¨at in die aus der Gleichgewichtsstatistik berechnete u ¨ bergehen muß. Kompressibilit¨atssummenregel: Als Beispiel geben wir unter Ben¨ utzung von (4.8.11a) die Kompressibilit¨ atssummenregel f¨ ur die Dichte–Responsefunktion an:    ∂n dω 1 S(k, ω) =n = n2 κT . (4.9.4) lim P k→0 π  ω ∂P T uhrende Dabei haben wir die aus (4.8.26b) und der Thermodynamik13 herr¨ Beziehung     1 ∂N N 2 ∂V =− 3 χ (0, 0) = V ∂μ T,V V ∂P T,N  1   ∂n ∂n = −n3 =n ∂P T,N ∂P T,N verwendet. Der statische Formfaktor ist durch S(k) = ρk ρ−k 

(4.9.5)

definiert. Dieser bestimmt die elastische Streuung und h¨angt mit S(k, ω) u ¨ ber  dω S(k, ω) = S(k) (4.9.6) 2π zusammen. Der statische Formfaktor S(k) kann durch R¨ontgenstreuung bestimmt werden. Mit (4.9.3), (4.9.4) und (4.9.6) haben wir drei Summenregeln f¨ ur die Dichte-Korrelationsfunktion. Die Summenregeln geben exakte Zusammenh¨ange zwischen S(k, ω) und statischen Gr¨ oßen. Wenn diese statischen Gr¨oßen theoretisch oder aus Experimenten bekannt sind und Vorstellungen u ¨ ber die Form von S(k, ω) vorhanden sind, so kann man die darin auftretenden Parameter aus solchen Summenregeln bestimmen. Wir erl¨autern dies am Beispiel der Anregungen in suprafluidem Helium, die in Abschn. 3.2.3 besprochen wurden. 12 13

P.C. Kwok, T.D. Schultz, J. Phys. C2, 1196 (1969) Siehe z.B. L.D. Landau, E.M. Lifschitz, Lehrbuch der Theoretischen Physik V, Statistische Physik, Akademie-Verlag, Berlin, 1966; F. Schwabl, Statistische Mechanik, 3. Aufl. Springer Verlag, Berlin, 2006, Gl. (3.2.10)

108

4. Korrelationsfunktionen, Streuung und Response

4.9.2 Anwendung auf die Anregungen in He II Nun kehren wir zu den Anregungen von suprafluidem Helium von Abschn. 3.2.3 zur¨ uck. Wir n¨ ahern S(q, ω) durch eine unendlich scharfe Dichte– Resonanz (Phonon, Roton) und setzen T = 0 voraus, so daß nur der StokesTeil vorhanden ist S(q, ω) = Zq δ(ω − q /) .

(4.9.7)

Einsetzen in die f-Summenregel (4.9.3) und den Formfaktor (4.9.6) ergibt

q =

2 nq 2 2mS(q)

.

(4.9.8)

Die f-Summenregel (4.9.3) und Kompressibilit¨atssummenregel (4.9.4) geben im Grenzfall q → 0 ;   1 ∂P πnq nq

q = sT q =  q , Zq = , S(q) = , (4.9.9) m ∂n T msT 2msT A  ∂P wo die isotherme Schallgeschwindigkeit sT = uhrt wurde. ∂n T /m eingef¨ Der Zusammenhang (4.9.8) zwischen der Energie der Anregungen und dem statischen Formfaktor stammt urspr¨ unglich von Feynman14 . In Abb. 4.8 sind experimentelle Ergebnisse f¨ ur diese beiden Gr¨oßen dargestellt. Bei kleinen q steigt S(q) linear mit q an, so daß sich die lineare Dispersionsrelation im −1 uhrt zum Phononen–Bereich ergibt. Das Maximum von S(q) bei q ≈ 2˚ A f¨ Rotonen-Minimum.

q

[ K] 15

S (q) 1.5

i

10

ii

1.0 0.5

5

0

1

2

q[A° − 1 ] (a)

0

2

4

q[A° − 1 ]

(b)

Abb. 4.8. (a) Die Anregungen von He II bei tiefen Temperaturen: (i) unter Dampfdruck, (ii) bei 25, 3 atm. (b) Der statische Formfaktor 15

14 15

R. Feynman, Phys. Rev. B 94, 262 (1954) D.G. Henshaw, Phys. Rev. 119, 9 (1960); D.G. Henshaw and A.D.B. Woods, Phys. Rev. 121, 1266 (1961)

Aufgaben zu Kapitel 4

109

Aufgaben zu Kapitel 4 4.1 Best¨ atigen Sie Gl (4.7.21), indem Sie zu der Diffusionsgleichung (4.7.20) ein a ugen. ¨ußeres Magnetfeld H(x, t) hinzuf¨ 4.2 Bestimmen Sie f¨ ur den klassischen, ged¨ ampften, harmonischen Oszillator, « „ 2 d d + γ + ω02 Q(t) = K(t)/m . dt2 dt folgende Funktionen: χ(ω), χ (ω) χ (ω) und G> (ω). Anleitung: L¨ osen Sie die Bewegungsgleichung im Fourier-Raum und bestimmen Sie dQ(ω) die dynamische Suszeptibilit¨ at aus χ(ω) = dK(ω) . 4.3 Beweisen Sie die f–Summenregel, Z Z dω dω k2 ωχ (k, ω) = ωS(k, ω) = n 2π 2π 2m f¨ ur die Dichte-Dichte-Korrelationsfunktion. i [ρ˙ k , ρ−k ]. Anleitung: Berechnen Sie 2 <   ur B = A† reell sind. 4.4 Zeigen Sie, daß G> AB (ω), GAB (ω), χAB (ω) und χAB (ω) f¨

4.5 Zeigen Sie, daß der koh¨ arente Neutronenstreuquerschnitt f¨ ur harmonische Phononen Gl. (4.1.9) und (4.7.1) ff. durch Skoh (k, ω) = e−2W

Z 1 X −i(an −am )·k ∞ dt iωt k·un (t)k·um (0) e e e N n,m −∞ 2π

(4.9.10)

geschrieben werden kann, mit dem Debye-Waller-Faktor 2 e−2W = e−(k·un (0))  .

(4.9.11)

Entwickeln Sie die letzte Exponentialfunktion in Skoh (k, ω) in eine Taylor-Reihe. Der Term nullter Ordnung f¨ uhrt zu elastischer Streuung, der Term erster Ordnung zur Einphononenstreuung und die Terme h¨ oherer Ordnung zu Multiphononenstreuung. 4.6 Zeigen Sie die Relation (4.8.32b) durch geeignete partielle Integration, und indem Sie vorraussetzen, daß φAB (t = ∞) = 0 ist.

Teil II

Relativistische Wellengleichungen

5. Aufstellung von relativistischen Wellengleichungen

In diesem Kapitel werden relativistische Wellengleichungen f¨ ur Teilchen ohne Spin und f¨ ur Spin 1/2 mittels des Korrespondezprinzips und allgemeiner ¨ Uberlegungen aufgestellt.

5.1 Einleitung Die Quantentheorie basiert auf den folgenden Axiomen1 : 1. Der Zustand eines Systems wird beschrieben durch einen Zustandsvektor |ψ in einem linearen Raum. 2. Die Observablen werden durch hermitesche Operatoren A... dargestellt, wobei Funktionen von Observablen durch die entsprechenden Funktionen der Operatoren dargestellt werden. 3. Der Mittelwert einer Observablen im Zustand |ψ ist durch A = ψ| A |ψ gegeben. 4. Die Zeitentwicklung wird durch die Schr¨odinger-Gleichung mit dem Hamilton-Operator H bestimmt ∂ |ψ = H |ψ . (5.1.1) i ∂t 5. Bei einer Messung von A geht der urspr¨ ungliche Zustand, wenn der Eigenwert an gemessen wurde, in den Eigenzustand |n von A u ¨ ber. Betrachten wir die Schr¨ odinger-Gleichung f¨ ur ein freies Teilchen in Ortsdarstellung 2 2 ∂ψ =− ∇ ψ, (5.1.2) ∂t 2m so ist wegen der unterschiedlichen Ordnungen der zeitlichen und r¨aumlichen Ableitungen offensichtlich, daß diese Gleichung nicht Lorentz-kovariant ist, ¨ d.h. daß sie ihre Struktur bei Ubergang von einem Inertialsystem zu einem anderen ¨ andert. In dem Bem¨ uhen, eine relativistische Quantenmechanik zu formulieren, hat man zun¨ achst versucht, mittels des Korrespondenzprinzips eine relativistische Wellengleichung aufzustellen, die die Schr¨odinger-Gleichung ersetzen sollte. Die erste derartige Gleichung war die von Schr¨odinger (1926)2 , i

1 2

Siehe QM I, Abschn. 8.3. E. Schr¨ odinger, Ann. Physik 81, 109 (1926)

116

5. Aufstellung von relativistischen Wellengleichungen

Gordon (1926)3 und Klein (1927)4 aufgestellte skalare Wellengleichung zweiter Ordnung, die nun den Namen Klein-Gordon-Gleichung tr¨agt. Diese Gleichung wurde verworfen, weil negative Wahrscheinlichkeitsdichten auftraten. Von Dirac wurde 1928 die nach ihm benannte Dirac-Gleichung aufgestellt5 , die Teilchen mit Spin 1/2 beschreibt. Mittels dieser Gleichung k¨onnen viele Einteilcheneigenschaften von Fermionen beschrieben werden. Die DiracGleichung besitzt ebenso wie die Klein-Gordon-Gleichung L¨osungen mit negativer Energie, die im Rahmen einer Wellenmechanik zu Schwierigkeiten ¨ f¨ uhren (siehe unten). Um Uberg¨ ange eines Elektrons in beliebig tief liegende Zust¨ ande negativer Energie zu verhindern, hat Dirac (1930)6 postuliert, daß die Zust¨ ande mit negativer Energie alle besetzt sind. L¨ocher in diesen besetzten Zust¨ anden stellen Teilchen mit entgegengesetzter Ladung (Antiteilchen) dar. Dies f¨ uhrt notgedrungen auf eine Vielteilchentheorie oder quantisierte Feldtheorie. Durch die Uminterpretation der Klein-Gordon-Gleichung von Pauli und Weisskopf7 als Grundlage einer Feldtheorie beschreibt diese Mesonen mit Spin Null, z.B. π-Mesonen. Die auf der Dirac-Gleichung und Klein-Gordon-Gleichung beruhenden Feldtheorien entsprechen den MaxwellGleichungen f¨ ur das Strahlungsfeld bzw. der d’Alembert-Gleichung f¨ ur das Viererpotential. Die Schr¨ odinger-Gleichung, sowie die u ¨ brigen Axiome der Quantentheorie, bleiben unge¨ andert. Nur der Hamilton-Operator ist ge¨andert und stellt eine quantisierte Feldtheorie dar. Die elementaren Teilchen sind Anregungen der Felder (Mesonen, Elektronen, Photonen, etc.). Aus didaktischen Gr¨ unden werden wir der historischen Entwicklung folgen und nicht sofort von der Quantenfeldtheorie ausgehen. Zum einen scheint es begrifflich einfacher, die Eigenschaften der Dirac-Gleichung mit der Interpretation als Einteilchen-Wellengleichung zu untersuchen. Zum anderen ben¨otigt man genau diese Einteilchen-L¨ osungen als Basiszust¨ande bei der Entwicklung der Feldoperatoren. F¨ ur niedrige Energien kann von Zerfallsprozessen abgesehen werden, deshalb ergibt dann die quantisierte Feldtheorie die gleichen physikalischen Vorhersagen wie die elementare Einteilchentheorie.

5.2 Klein-Gordon-Gleichung 5.2.1 Aufstellung mittels des Korrespondenzprinzips Zur Aufstellung relativistischer Wellengleichungen erinnern wir an das Korrespondenzprinzip8 . Durch die Ersetzung von klassischen Gr¨oßen durch Ope3 4 5 6 7 8

W. Gordon, Z. Physik 40, 117 (1926) O. Klein, Z. Physik 41, 407 (1927) P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. (London) A117, 610 (1928); ibid. A118, 351 (1928) P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. (London) A126, 360 (1930) W. Pauli u. V. Weisskopf, Helv. Phys. Acta 7, 709 (1934) Siehe z.B. QM I, Seite 26, Abschn. 2.5.1

5.2 Klein-Gordon-Gleichung

117

ratoren Energie

E −→ i

∂ ∂t

und Impuls

p −→

 ∇ i

(5.2.1)

erhielten wir aus der nichtrelativistischen Energie eines freien Teilchens, E=

p2 , 2m

(5.2.2)

die freie, zeitabh¨ angige Schr¨odinger-Gleichung i

∂ 2 ∇2 ψ=− ψ. ∂t 2m

(5.2.3)

Diese Gleichung ist offensichtlich nicht Lorentz-kovariant wegen der unterschiedlichen Potenzen der zeitlichen und r¨ aumlichen Ableitungen. Wir erinnern zun¨ achst an einige Fakten der speziellen Relativit¨atstheorie.9,10 Wir verwenden dabei folgende Konventionen: Die Komponenten der Raum-Zeit Vierervektoren werden durch griechische Indizes gekennzeichnet, die Komponenten von r¨ aumlichen Dreiervektoren durch lateinische Indizes oder durch die kartesischen Koordinaten x, y, z. Außerdem verwenden wir die Einsteinsche Summenkonvention: u ¨ber doppelt auftretende griechische Indizes, einem kontravarianten und einem kovarianten, wird summiert, desgleichen bei lateinischen Indizes. Ausgehend von xμ (s) = (ct, x), der kontravarianten Vierervektor-Darstellung der Weltlinie als Funktion der Eigenzeit s, ergibt sich die x˙ μ (s). Das Differential der Eigenzeit  Vierergeschwindigkeit 0 0 2 ist durch ds = 1 − (v/c) dx mit dx verkn¨ upft, wo v = c (dx/dx0 )

(5.2.4a)

die Geschwindigkeit ist. Daraus ergibt sich f¨ ur den Viererimpuls     mc E/c 1 pμ = mcx˙ μ (s) =  = Viererimpuls = . p 1 − (v/c)2 mv (5.2.4b) Nach dem letzten Gleichheitszeichen wurde verwendet, daß nach der relativis tischen Dynamik p0 = mc/ 1 − (v/c)2 die kinetische Energie des Teilchens 9

10

Eine umfassende, moderne Darstellung der speziellen Relativit¨ atstheorie, welche die selbe Bezeichnungsweise verwendet, findet sich in R.U. Sexl und H.K. Urbantke, Relativit¨ at, Gruppen, Teilchen, 3. Aufl., Springer, Wien, 1992. Die wichtigsten Eigenschaften der Lorentz-Gruppe werden in Abschn. 6.1 zusammengestellt.

118

5. Aufstellung von relativistischen Wellengleichungen

bedeutet. Folglich transformieren sich nach der speziellen Relativit¨atstheorie die Energie E und die Impulse px , py , pz als Komponenten eines kontravarianten Vierervektors    0 1 2 3 E μ p = p ,p ,p ,p = , px , py , pz . (5.2.5a) c Mit dem metrischen Tensor ⎛ ⎞ 1 0 0 0 ⎜ 0 −1 0 0 ⎟ ⎟ gμν = ⎜ ⎝ 0 0 −1 0 ⎠ 0 0 0 −1 ergeben sich die kovarianten Komponenten   E , −p . pμ = gμν pν = c

(5.2.6)

(5.2.5b)

Das invariante Skalarprodukt des Viererimpulses ist nach Gl. (5.2.4b) durch pμ pμ =

E2 − p2 = m2 c2 c2

gegeben, mit der Ruhemasse m und der Lichtgeschwindigkeit c. Aus der aus (5.2.7) folgenden Energie-Impuls-Beziehung  E = p2 c2 + m2 c4

(5.2.7)

(5.2.8)

k¨ame man nach demKorrespondenzprinzip (5.2.1) zun¨achst auf folgende Wellengleichung i

 ∂ ψ = −2 c2 ∇2 + m2 c4 ψ . ∂t

(5.2.9)

Eine offensichtliche Schwierigkeit dieser Gleichung besteht in der Wurzel aus der r¨ aumlichen Ableitung; deren Entwicklung f¨ uhrt auf unendlich hohe Ableitungen. Die Zeit und der Ort treten unsymmetrisch auf. Deshalb gehen wir stattdessen von der quadrierten Relation E 2 = p2 c2 + m2 c4

(5.2.10)

aus und erhalten −2

∂2 ψ = (−2 c2 ∇2 + m2 c4 )ψ . ∂t2

(5.2.11)

Diese Gleichung kann noch in kompakterer und offensichtlich Lorentz-kovarianter Form

5.2 Klein-Gordon-Gleichung

 mc 2  ∂μ ∂ μ + ψ=0 

119

(5.2.11 )

geschrieben werden. Dabei ist xμ der raum-zeitliche Ortsvektor xμ = (x0 = ct, x) und der kovariante Vektor ∂ ∂μ = ∂xμ ist die vierdimensionale Verallgemeinerung des Gradientenvektors. Der d’Alembert-Operator 2 ≡ ∂μ ∂ μ ist, wie aus der Elektrodynamik bekannt ist, invariant gegen¨ uber Lorentz-Transformationen. Außerdem tritt hier die Compton-Wellenl¨ ange /mc des Teilchens mit Masse m auf. Man nennt (5.2.11 ) Klein-Gordon-Gleichung. Sie wurde von Schr¨odinger und von Gordon und Klein aufgestellt und untersucht. Wir wollen nun die wichtigsten Eigenschaften der Klein-Gordon-Gleichung untersuchen. 5.2.2 Kontinuit¨ atsgleichung Zur Herleitung einer Kontinuit¨ atsgleichung multipliziert man (5.2.11) mit ∗ ψ  mc 2  ψ ∗ ∂μ ∂ μ + ψ=0  und zieht davon die komplex konjugierte Gleichung  mc 2  μ ψ ∂μ ∂ + ψ∗ = 0  ab. Das ergibt ψ ∗ ∂μ ∂ μ ψ − ψ∂μ ∂ μ ψ ∗ = 0 ∂μ (ψ ∗ ∂ μ ψ − ψ∂ μ ψ ∗ ) = 0 .  Multipliziert man noch mit 2mi , damit die Stromdichte gleich der nichtrelativistischen ist, so erh¨ alt man    i ∂ψ ∗ ∂  ∗ ∂ψ − ψ [ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ] = 0 . ψ +∇· 2 ∂t 2mc ∂t ∂t 2mi (5.2.12)

Dies hat die Form einer Kontinuit¨atsgleichung ρ˙ + div j = 0 ,

(5.2.12 )

120

5. Aufstellung von relativistischen Wellengleichungen

mit der Dichte   i ∂ψ ∗ ∗ ∂ψ ρ= −ψ ψ 2mc2 ∂t ∂t

(5.2.13a)

und der Stromdichte j=

 (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) . 2mi

(5.2.13b)

ρ ist nicht positiv definit und kann deshalb nicht die Bedeutung einer Wahrscheinlichkeitsdichte haben, sondern eventuell der Ladungsdichte e ρ(x, t). Die Klein-Gordon-Gleichung ist eine Differentialgleichung zweiter angig Ordnung in t, deshalb k¨ onnen die Anfangswerte von ψ und ∂ψ ∂t unabh¨ vorgegeben werden, so daß ρ als Funktion von x sowohl positiv wie auch negativ sein kann. 5.2.3 Freie L¨ osungen der Klein-Gordon-Gleichung Man nennt (5.2.11) freie Klein-Gordon-Gleichung zur Unterscheidung von Verallgemeinerungen, die auch a ¨ußere Potentiale oder elektromagnetische Felder (siehe Abschnitt 5.3.5) enthalten. Es gibt zwei freie L¨osungen in Form von ebenen Wellen ψ(x, t) = ei(Et−p·x)/ E=±

 p2 c2 + m2 c4 .

(5.2.14)

Es treten hier positive und negative Energien auf, die Energie ist nach unten nicht beschr¨ ankt. Diese skalare Theorie enth¨alt den Spin nicht und k¨onnte nur Teilchen mit Spin 0 beschreiben. Die Klein-Gordon-Gleichung wurde deshalb zun¨achst wieder verworfen, weil das prim¨ are Ziel war, eine Theorie f¨ ur das Elektron zu entwickeln. Dirac5 hatte statt dessen eine Differentialgleichung erster Ordnung mit positiver Dichte aufgestellt, wie schon in der Einleitung erw¨ahnt wurde. Es wird sich sp¨ ater herausstellen, daß auch diese L¨osungen mit negativer Energie hat. Die nicht besetzten Zust¨ ande negativer Energie beschreiben Antiteilchen. Als quantisierte Feldtheorie beschreibt die Klein-Gordon-Gleichung Mesonen7 . Das hermitesche skalare Klein-Gordon-Feld beschreibt neutrale Mesonen mit Spin 0. Das nichthermitesche pseudoskalare Klein-Gordon-Feld beschreibt geladene Mesonen und ihre Antiteilchen mit Spin 0. Wir werden deshalb zun¨ achst eine Wellengleichung f¨ ur Spin-1/2-Fermionen aufstellen und die Klein-Gordon-Gleichung erst wieder im Zusammenhang mit der Bewegung im Coulomb-Potential (π − -Mesonen) aufgreifen.

5.3 Dirac-Gleichung

121

5.3 Dirac-Gleichung 5.3.1 Aufstellung der Dirac-Gleichung Es soll nun versucht werden, eine Wellengleichung der Form   c k ∂ψ 2 = α ∂k + βmc ψ ≡ Hψ i ∂t i

(5.3.1)

zu finden. R¨ aumliche Komponenten werden durch lateinische Indizes gekennzeichnet, wobei u ¨ ber doppelt vorkommende Indizes summiert wird. Die ∂2 uhrte zu einer Dichte zweite Ableitung ∂t 2 in der Klein-Gordon-Gleichung f¨  ∂  ρ = ψ ∗ ∂t ψ − c.c. . Damit die Dichte positiv wird, gehen wir nun von einer Dgl. 1. Ordnung aus. Die Forderung der relativistischen Kovarianz bedingt, daß dann auch die r¨ aumlichen Ableitungen nur von 1. Ordnung sind. Der Dirac-Hamilton-Operator H ist linear im Impulsoperator und in der Ruhenergie. Die Koeffizienten in (5.3.1) k¨ onnen nicht einfach Zahlen sein, da sonst die Gleichung nicht einmal forminvariant (mit den gleichen Koeffizienussen hermitesche ten) gegen¨ uber r¨aumlichen Drehungen w¨ are. αk und β m¨ Matrizen sein, damit H hermitesch ist und eine positive, erhaltene Wahrscheinlichkeitsdichte existiert. D.h. αk , β sind N × N Matrizen und ⎛ ⎞ ψ1 ⎜ ⎟ ψ = ⎝ ... ⎠ ein N −komponentiger Spaltenvektor . ψN Wir stellen an die Gleichung (5.3.1) die folgenden Forderungen: (i) Die Komponenten von ψ m¨ ussen die Klein-Gordon-Gleichung erf¨ ullen, so daß ebene Wellen die relativistische Beziehung E 2 = p2 c2 +m2 c4 erf¨ ullen. (ii) Es existiert ein erhaltener Viererstrom, dessen nullte Komponente eine positive Dichte ist. (iii) Die Gleichung muß Lorentz-kovariant sein. Das bedeutet, daß die Gleichung in Bezugssystemen, die durch eine Poincar´e-Transformation verbunden sind, die gleiche Form hat. Die so resultierende Gleichung (5.3.1) wird nach ihrem Entdecker DiracGleichung genannt. Wir m¨ ussen nun sehen, welche Konsequenzen sich aus den Bedingungen (i) - (iii) ergeben. Zun¨ achst wird die Bedingung (i) betrachtet. Die zweifache Anwendung von H ergibt 1  ∂2 αi αj + αj αi ∂i ∂j ψ −2 2 ψ = −2 c2 ∂t 2 ij +

3  mc3   i α β + βαi ∂i ψ + β 2 m2 c4 ψ . i i=1

(5.3.2)

122

5. Aufstellung von relativistischen Wellengleichungen

Hier haben wir den ersten Term auf der rechten Seite wegen ∂i ∂j = ∂j ∂i symmetrisiert. Der Vergleich mit der Klein-Gordon-Gleichung (5.2.11 ) f¨ uhrt auf die drei Bedingungen αi αj + αj αi = 2δ ij 11 ,

(5.3.3a)

αi β + βαi = 0 ,

(5.3.3b)

αi

(5.3.3c)

2

= β 2 = 11 .

5.3.2 Kontinuit¨ atsgleichung Wir definieren den zu ψ adjungierten Zeilenvektor ∗ ). ψ † = (ψ1∗ , . . . , ψN

Nun multiplizieren wir die Dirac-Gleichung von links mit ψ † und erhalten iψ †

c ∂ψ = ψ † αi ∂i ψ + mc2 ψ † βψ . ∂t i

(5.3.4a)

Die dazu komplex konjugierte Relation lautet −i

 c  ∂ψ † ψ=− ∂i ψ † αi† ψ + mc2 ψ † β † ψ . ∂t i

(5.3.4b)

Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt   imc2  † †   ∂  †  ψ ψ = −c ∂i ψ † αi† ψ + ψ † αi ∂i ψ + ψ β ψ − ψ † βψ . ∂t  (5.3.5) Damit dies die Form einer Kontinuit¨ atsgleichung annimmt, m¨ ussen die Matrizen α und β hermitesch sein, d.h. αi† = αi ,

β† = β .

(5.3.6)

Dann erf¨ ullen die Dichte ρ ≡ ψ†ψ =

N 

ψα∗ ψα

(5.3.7a)

α=1

und die Stromdichte j k ≡ cψ † αk ψ

(5.3.7b)

5.3 Dirac-Gleichung

123

die Kontinuit¨atsgleichung ∂ ρ + div j = 0 . ∂t

(5.3.8)

Mit der nullten Komponente von j μ , j 0 ≡ cρ ,

(5.3.9)

k¨ onnen wir die Viererstromdichte j μ ≡ (j 0 , j k )

(5.3.9 )

definieren und die Kontinuit¨ atsgleichung in der Gestalt ∂μ j μ =

1 ∂ 0 ∂ j + k jk = 0 c ∂t ∂x

(5.3.10)

schreiben. Die in (5.3.7a) definierte Dichte ist positiv definit und kann vorl¨ aufig im Rahmen der Einteilchentheorie als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden. 5.3.3 Eigenschaften der Dirac-Matrizen Die Matrizen αk , β antikommutieren und ihr Quadrat ist 1 (Gl. (5.3.3a-c)). Aus (αk )2 = β 2 = 11 folgt, daß die Matrizen αk und β nur die Eigenwerte ±1 besitzen. Wir k¨ onnen nun (5.3.3b) in der Form αk = −βαk β schreiben. Ben¨ utzt man die zyklische Invarianz der Spur, so erh¨alt man Sp αk = −Sp βαk β = −Sp αk β 2 = −Sp αk . Hieraus und aus einer ¨ aquivalenten Rechnung f¨ ur β erh¨alt man Sp αk = Sp β = 0 .

(5.3.11)

Die Anzahl der positiven und negativen Eigenwerte muß deshalb gleich sein, also ist N gerade. N = 2 gen¨ ugt nicht, denn die 2 × 2 Matrizen 11, σx , σy , σz enthalten nur 3 antikommutierende Matrizen. N = 4 ist die kleinstm¨ogliche Dimension, in der die algebraische Struktur (5.3.3a,b,c) realisierbar ist. Eine spezielle Darstellung der Matrizen ist     0 σi 11 0 αi = , β = , (5.3.12) σi 0 0 −11

124

5. Aufstellung von relativistischen Wellengleichungen

wobei die 4 × 4 Matrizen aus den Pauli-Matrizen       01 0 −i 1 0 1 2 3 σ = , σ = , σ = 10 i 0 0 −1

(5.3.13)

und der zweidimensionalen Einheitsmatrix aufgebaut sind. Es ist leicht einzusehen, daß (5.3.12) die Beziehungen (5.3.3a-c) erf¨ ullen:     0 −σ i 0 σi z.B. αi β + βαi = + =0. i σ 0 −σ i 0 Die Dirac-Gleichung (5.3.1) in Verbindung mit den Matrizen (5.3.12) wird Standarddarstellung der Dirac-Gleichung genannt. Man bezeichnet ψ als Viererspinor oder kurz Spinor (manchmal auch Bispinor, insbesondere dann, wenn ψ durch zwei Zweierspinoren dargestellt wird). ψ † heißt hermitesch adjungierter Spinor. Im Abschnitt 6.2.1 wird gezeigt, daß Spinoren spezifische Transformationseigenschaften unter Lorentz-Transformationen besitzen. 5.3.4 Die Dirac-Gleichung in kovarianter Form Um zu erreichen, daß zeitliche und r¨ aumliche Ableitungen mit Matrizen mit ahnlichen algebraischen Eigenschaften multipliziert sind, multiplizieren wir ¨ die Dirac-Gleichung (5.3.1) mit β/c und erhalten −iβ∂0 ψ − iβαi ∂i ψ + mcψ = 0 .

(5.3.14)

Nun definieren wir neue Dirac-Matrizen γ0 ≡ β (5.3.15) γ i ≡ βαi . Diese besitzen die folgenden Eigenschaften γ 0 ist hermitesch und (γ 0 )2 = 11. Dagegen ist γ k antihermitesch. (γ k )† = −γ k und (γ k )2 = −11. Beweis:  k † γ = αk β = −βαk = −γ k ,  k 2 = βαk βαk = −11 . γ Diese Relationen f¨ uhren zusammen mit γ 0 γ k + γ k γ 0 = ββαk + βαk β = 0 γ k γ l + γ l γ k = βαk βαl + βαl βαk = 0

und fu ¨r k = l

5.3 Dirac-Gleichung

125

auf die grundlegende algebraische Struktur der Dirac-Matrizen γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2g μν 11 . Die Dirac-Gleichung (5.3.14) nimmt nun die Gestalt mc −iγ μ ∂μ + ψ=0 

(5.3.16)

(5.3.17)

an. Es ist zweckm¨ aßig, die von Feynman eingef¨ uhrte, verk¨ urzte Schreibweise zu verwenden: v/ ≡ γ · v ≡ γ μ vμ = γμ v μ = γ 0 v 0 − γv .

(5.3.18)

Hier steht v μ f¨ ur einen beliebigen Vektor. Der Schr¨agstrich (Englisch “slash”) bedeutet die skalare Multiplikation mit γμ . Nach dem dritten Gleichheitszeichen haben wir noch die kovarianten Komponenten der γ-Matrizen eingef¨ uhrt γμ = gμν γ ν .

(5.3.19)

Die Dirac-Gleichung nimmt in dieser Notation die kompakte Form mc ψ=0 (5.3.20) −i∂/ +  an. Schließlich geben wir noch die γ-Matrizen in der speziellen Darstellung (5.3.12) an. Aus (5.3.12) und (5.3.15) folgt     0 σi 11 0 , γi = . (5.3.21) γ0 = 0 −11 −σ i 0 Bemerkung. Eine zu (5.3.21) ¨ aquivalente Darstellung der γ-Matrizen, die ebenfalls die algebraischen Relationen (5.3.16) erf¨ ullt, erh¨ alt man durch γ → M γM −1 , wo M eine beliebige nichtsingul¨ are Matrix ist. Andere gebr¨ auchliche Darstellungen sind die Majorana-Darstellung und die chirale Darstellung (siehe Abschnitt 11.3, Bemerkung (ii) und Gl. (11.6.12a-c).

5.3.5 Nichtrelativistischer Grenzfall und Kopplung an das elektromagnetische Feld 5.3.5.1 Ruhende Teilchen F¨ ur die Betrachtung dieses Grenzfalls ist als Ausgangspunkt die Form (5.3.1) besonders geeignet. Wir betrachten zuerst ein freies, ruhendes Teilchen, dessen Wellenzahl also k = 0 ist. Dann fallen die r¨aumlichen Ableitungen in der Dirac-Gleichung weg und diese vereinfacht sich zu

126

5. Aufstellung von relativistischen Wellengleichungen

i

∂ψ = βmc2 ψ . ∂t

(5.3.17 )

Diese Gleichung besitzt die folgenden vier L¨ osungen ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 2 ⎜ ⎟ imc2 ⎜ 1 ⎟ 0 (+) (+) − imc t − t ⎜ ⎟ , ⎟  ψ1 = e  ⎜ ⎝ 0 ⎠ , ψ2 = e ⎝0⎠ 0 0

(−)

ψ1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 0 imc2 ⎜ 0 ⎟ imc2 ⎜ 0 ⎟ (−) ⎟ ⎟  t ⎜ = e  t⎜ ⎝ 1 ⎠ , ψ2 = e ⎝0⎠ . 0 1 (+)

(5.3.22)

(+)

Die L¨ osungen ψ1 und ψ2 haben positive Energie, w¨ahrend die L¨osungen (−) (−) ψ1 und ψ2 negative Energie haben. Die Interpretation der L¨osungen negativer Energie m¨ ussen wir auf sp¨ ater verschieben. Wir betrachten zun¨achst die L¨ osungen mit positiver Energie. 5.3.5.2 Kopplung an das elektromagnetische Feld Wir wollen nun gleich einen Schritt weitergehen und die Kopplung an das elektromagnetische Feld betrachten, um dann die Pauli-Gleichung herzuleiten. Analog zur nichtrelativistischen Theorie wird der kanonische Impuls p   durch den kinetischen Impuls p − ec A ersetzt, und es tritt das skalare elektrische Potential als eΦ zur Ruhenergie im Dirac-Hamilton-Operator hinzu i



e ∂ψ = cα · p − A + βmc2 + eΦ ψ . ∂t c

(5.3.23)

ur das Elektron. Am Ende Hier ist e die Ladung des Teilchens, d.h. e = −e0 f¨ dieses Abschnitts werden wir (5.3.23) auch ausgehend von (5.3.17) aufstellen. 5.3.5.3 Nichtrelativistischer Grenzfall, Pauli-Gleichung Zur Betrachtung des nichtrelativistischen Grenzfalls verwenden wir die explizite Darstellung (5.3.12) der Dirac-Matrizen und zerlegen den Vierer-Spinor in zwei zweikomponentige Spaltenvektoren ϕ˜ und χ ˜   ϕ˜ ψ≡ . (5.3.24) χ ˜

i

        ϕ˜ σ·πχ ˜ ϕ˜ ∂ ϕ˜ , =c + eΦ + mc2 −χ ˜ ∂t χ ˜ σ · π ϕ˜ χ ˜

(5.3.25)

5.3 Dirac-Gleichung

127

wo e π =p− A c

(5.3.26)

der Operator des kinetischen Impulses ist. Im nichtrelativistischen Grenzfall ist die Ruheenergie mc2 die gr¨oßte Energie im Problem. Deshalb zerlegen wir zur Auffindung der L¨osungen mit der positiven Energie     2 ϕ˜ − imc t ϕ  , (5.3.27) =e χ χ ˜   wo ϕ χ zeitlich nur langsam variieren und exakt der Gleichung i

        0 σ·πχ ϕ ∂ ϕ =c + eΦ − 2mc2 χ ∂t χ σ·πϕ χ

(5.3.25 )

gen¨ ugen. In der zweiten Gleichung k¨ onnen wir χ˙ und eΦχ gegen¨ uber 2mc2 χ vernachl¨ assigen und diese durch χ=

σ·π ϕ 2mc

(5.3.28)

n¨ aherungsweise l¨ osen. Daraus sieht man, daß im nichtrelativistischen Grenzfall χ gegen¨ uber ϕ um einen Faktor von der Gr¨oßenordnung ∼ v/c kleiner ist. Man bezeichnet deshalb ϕ als große und χ als kleine Komponenten des Spinors. Setzen wir (5.3.28) in die erste Gleichung von (5.3.25 ) ein, so ergibt sich   ∂ϕ 1 i = (σ · π)(σ · π) + eΦ ϕ . (5.3.29) ∂t 2m Zur weiteren Auswertung ben¨ utzen folgende Gleichung

11

wir die aus

12

σ i σ j = δij + i ijk σ k

σ · a σ · b = a · b + iσ · (a × b) , woraus sich σ · π σ · π = π2 + iσ · π × π = π 2 −

e σ·B c

11

Hier ist εijk der vollst¨ andig antisymmetrische Tensor dritter Stufe 8 < 1 f¨ ur gerade Permutationen von (123) ur ungerade Permutationen von (123) εijk = −1 f¨ : 0 sonst .

12

QM I, Gl.(9.18a)

128

5. Aufstellung von relativistischen Wellengleichungen

ergibt. Dabei wurde13    −e ijk  (π × π)i ϕ = −i ∂j Ak − Ak ∂j ϕ ε c  e e ijk  ∂j Ak ϕ = i B i ϕ =i ε c c mit B i = εijk ∂j Ak verwendet. Diese Umformung kann auch sehr leicht in der Form ∇ × Aϕ + A × ∇ϕ = ∇ × A ϕ − ∇ϕ × A = (∇ × A) ϕ durchgef¨ uhrt werden. Somit ergibt sich schließlich

  1 e 2 e ∂ϕ = p− A − σ · B + eΦ ϕ . i ∂t 2m c 2mc

(5.3.29 )

Dieses Ergebnis ist identisch mit der aus der nichtrelativistischen Quantenmechanik bekannten14 Pauli-Gleichung f¨ ur den Pauli-Spinor ϕ. Die beiden Komponenten von ϕ beschreiben den Spin des Elektrons. Außerdem kommt automatisch das richtige gyromagnetische Verh¨altnis g = 2 f¨ ur das Elektron heraus. Um dies zu sehen, brauchen wir nur die aus der nichtrelativistischen Wellenmechanik bekannten Schritte zu wiederholen. Gegeben sei ein homogenes Magnetfeld B und dessen Darstellung durch das Vektorpotential A: B = rot A ,

A=

1 B×x. 2

(5.3.30a)

F¨ uhrt man den Bahndrehimpuls L und den Spin S u ¨ ber L=x×p, ein, so folgt i

∂ϕ = ∂t

15,16



S=

1 σ 2

(5.3.30b)

f¨ ur (5.3.30a)

 p2 e e2 2 − (L + 2S) · B + A + eΦ ϕ. 2m 2mc 2mc2

(5.3.31)

Die Eigenwerte der Projektion des Spinoperators, Sˆ e auf einen beliebigen ˆ sind ±/2. Die Wechselwirkung mit dem elektromagnetiEinheitsvektor e schen Feld ist nach (5.3.31) von der Form 13

14 15 16

Vektoren wie E, B und ¨ außere Produkte, die nur als Dreiervektoren definiert sind, schreiben wir in Komponentenform immer mit oberen Indizes, ebenso den ¨ ε-Tensor. Uber doppelt vorkommende Indizes wird hier ebenfalls summiert. Siehe z.B. QM I, Kap. 9 Siehe z.B. QM I, Kap. 9 Man findet −p · A − A · p = −2A · p = −2 12 (B × x) · p = − (x × p) · B = −L · B, da (p · A) = i (∇ · A) = 0 ist.

5.3 Dirac-Gleichung

Hint = −μ · B +

e2 A2 + eΦ , 2mc2

129

(5.3.32)

wobei sich das magnetische Moment μ = μBahn + μSpin =

e (L + 2S) 2mc

(5.3.33)

aus dem Bahn- und dem Spinanteil zusammensetzt. Das Spin-Moment ist von der Gr¨ oße e μSpin = g S (5.3.34) 2mc mit dem gyromagnetischen Faktor (auch Land´e-Faktor) g=2.

(5.3.35)

e F¨ ur das Elektron kann 2mc = − μB durch das Bohrsche Magneton μB = e0  −20 erg/G ausgedr¨ uckt werden. 2mc = 0.927 × 10 Wir sind nun in der Lage, die N¨ aherungen dieses Abschnitts zu rechtfertigen. Die L¨ osung ϕ von (5.3.31) hat ein Zeitverhalten, charakterisiert −Ze2 durch die Larmor-Frequenz oder f¨ ur eΦ = r 0 durch die Rydberg-Energie (Ry ∝ mc2 α2 , mit der Feinstrukturkonstanten α = e20 /c). F¨ ur das Wasserstoffatom und andere nichtrelativistische Atome (kleine Ladungszahl Z) ist oßer als diese beiden Energien und die vorhin eingef¨ uhrten mc2 sehr viel gr¨ N¨ aherungen in der Bewegungsgleichung f¨ ur χ sind f¨ ur solche Atome gerechtfertigt.

5.3.5.4 Erg¨ anzung zur Ankopplung an das elektromagnetische Feld Wir wollen nun die Dirac-Gleichung in einem ¨außeren Feld noch in anderer Weise aufstellen, und leiten diesen Abschnitt mit einigen Bemerkungen zur relativistischen Notation ein. Der Impulsoperator in kovarianter und kontravarianter Form lautet pμ = i∂μ Dabei ist ∂μ = Komponenten

pμ = i∂ μ .

und ∂ ∂xμ

p0 = p0 = i

und ∂ μ =

∂ , ∂ct

∂ ∂xμ .

(5.3.36) Das bedeutet f¨ ur zeitliche und r¨aumliche

p1 = −p1 = i

∂  ∂ = . ∂x1 i ∂x1

(5.3.37)

Die Kopplung an das elektromagnetische Feld wird durch die Ersetzung e pμ → pμ − Aμ c

(5.3.38)

130

5. Aufstellung von relativistischen Wellengleichungen

bewirkt, wobei Aμ = (Φ, A) das Viererpotential ist. Man nennt die dabei entstehende – in der Elektrodynamik wohlbekannte – Struktur seit dem Studium anderer Eichtheorien minimale Kopplung. Dies bedeutet i

∂ ∂ e → i μ − Aμ ∂xμ ∂x c

(5.3.39)

oder in Komponenten ⎧ ∂ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ i ∂t → i ∂t − eΦ ⎪ ⎪  ∂  ∂ e  ∂ e ⎪ ⎩ → + Ai = − Ai . i ∂xi i ∂xi c i ∂xi c

(5.3.39 )

F¨ ur die r¨ aumlichen Komponenten ist dies identisch mit der Ersetzung i ∇ →  e e i ∇ − c A bzw. p → p − c A. In der nicht kovarianten Darstellung der DiracGleichung f¨ uhrt die Substitution (5.3.39 ) sofort wieder auf die Gleichung (5.3.23). F¨ uhrt man (5.3.39) in die Dirac-Gleichung (5.3.17) ein, erh¨alt man

e (5.3.40) −γ μ i∂μ − Aμ + mc ψ = 0 , c die Dirac-Gleichung in relativistisch kovarianter Form in Gegenwart eines elektromagnetischen Feldes. Bemerkungen: (i) Gleichung (5.3.23) folgt unmittelbar indem man (5.3.40), d.h. “ “ e ” e ” γ 0 i∂0 − A0 ψ = −γ i i∂i − Ai ψ + mcψ c c mit γ 0 multipliziert: “ e e ” i∂0 ψ = αi −i∂i − Ai ψ + A0 ψ + mcβψ c c “ ∂ e ” i ψ = c α · p − A ψ + eΦψ + mc2 βψ . ∂t c (ii) Die minimale Kopplung, d.h. die Ersetzung von Ableitungen durch Ableitungen minus Viererpotential hat die Invarianz der Dirac-Gleichung (5.3.40) gegen¨ uber Eichtransformationen (erster Art) zur Folge: e

ψ(x) → e−i c α(x) ψ(x) ,

Aμ (x) → Aμ (x) + ∂μ α(x) .

(iii) F¨ ur Elektronen ist m = me , und die charakteristische L¨ ange in der DiracGleichung ist gleich der Compton-Wellenl¨ ange des Elektrons λc = ¯

 = 3.8 × 10−11 cm . me c

Aufgaben zu Kapitel 5

131

Aufgaben zu Kapitel 5 5.1 Zeigen Sie, daß die Matrizen (5.3.12) die algebraischen Relationen (5.3.3a-c) erf¨ ullen. 5.2 Zeigen Sie, daß aus (5.3.12) die Darstellung (5.3.21) folgt. 5.3 Teilchen im homogenen Magnetfeld. Bestimmen Sie die aus der Dirac-Gleichung folgenden Energieniveaus f¨ ur ein (relativistisches) Teilchen der Masse m und Ladung e in einem homogenen Magnetfeld B. W¨ ahlen Sie die Eichung A0 = A1 = A3 = 0, A2 = Bx.

6. Lorentz-Transformationen und Kovarianz der Dirac-Gleichung

In diesem Kapitel werden die Transformationseigenschaften der Spinoren unter Lorentz-Transformationen untersucht, welche aus der Lorentz-Kovarianz der Dirac-Gleichung folgen. Zun¨ achst werden einige als bekannt vorausgesetzte Eigenschaften der Lorentz-Transformation zusammengestellt. Der an der L¨ osung konkreter Probleme interessierte Leser kann die folgenden Abschnitte u ¨bergehen und sich sofort Abschn. 6.3 und den folgenden Kapiteln zuwenden.

6.1 Lorentz-Transformationen Die kontravarianten und kovarianten Komponenten des Ortsvektors lauten xμ xμ

: :

x0 = ct , x0 = ct ,

x1 = x , x2 = y , x3 = z x1 = −x , x2 = −y , x3 = −z

kontravariant kovariant . (6.1.1)

Der metrische Tensor ist durch ⎛ ⎞ 1 0 0 0 ⎜ 0 −1 0 0 ⎟ ⎟ g = (gμν ) = (g μν ) = ⎜ ⎝ 0 0 −1 0 ⎠ 0 0 0 −1

(6.1.2a)

definiert und verkn¨ upft ko- und kontravariante Komponenten xμ = gμν xν ,

xμ = g μν xν .

(6.1.3)

Wir bemerken auch g μν = g μσ gσν ≡ δ μν d.h.

⎛

100 ⎜ 010 (g μν ) = (δ μν ) = ⎜ ⎝0 0 1 000

(6.1.2b) ⎞ 0 0⎟ ⎟ . 0⎠ 1

134

6. Lorentz-Transformationen und Kovarianz der Dirac-Gleichung

Die Definition des d’Alembert-Operators lautet  ∂2 1 ∂2 − = ∂μ ∂ μ = gμν ∂ μ ∂ ν . c2 ∂t2 i=1 ∂xi 2 3

2=

(6.1.4)

Inertialsysteme sind Bezugssysteme, in denen sich kr¨aftefreie Teilchen gleichf¨ormig bewegen. Die Lorentz-Transformationen geben an, wie sich die Koordinaten zweier Inertialsysteme ineinander transformieren. Die Koordinaten zweier gleichf¨ ormig bewegter Bezugssysteme m¨ ussen durch eine lineare Transformation zusammenh¨angen. Deshalb besitzen die inhomogenen Lorentz-Transformationen (auch Poincar´e-Transformationen) die Gestalt xμ = Λμν xν + aμ ,

(6.1.5)

mit reellen Λμν und aμ . Bemerkungen: (i) Zur Linearit¨at der Lorentz-Transformation: Seien x und x die Koordinaten eines Ereignisses in den Inertialsystemen achst k¨ onnte man f¨ ur die Transformation I  und I. Zun¨ x = f (x) ansetzen. Kr¨ aftefreie Teilchen bewegen sich in I und I  gleichf¨ormig, d.h. ihre Weltlinien sind Geraden (dies ist die Definition von Inertialsystemen). Die Transformationen, die Geraden in Geraden u uhren, sind ¨ berf¨ Affinit¨ aten, also von der Form (6.1.5). Die Geradengleichung in Parameterdarstellung xμ = eμ s+dμ wird durch eine solche affine Transformation wieder in eine Geradengleichung u uhrt. ¨bergef¨ (ii) Relativit¨atsprinzip: Die Naturgesetze sind in allen Inertialsystemen gleich. (Es gibt kein ausgezeichnetes, “absolutes”Bezugssystem.) Aus der Forderung der Invarianz des d’Alembert-Operators (6.1.4) ergibt sich Λλμ g μν Λρ ν = g λρ ,

(6.1.6a)

oder kurz, in Matrixform, ΛgΛT = g . Beweis: ∂μ ≡

(6.1.6b)

∂ ∂xλ ∂ = = Λλμ ∂λ ∂xμ ∂xμ ∂xλ

∂μ g μν ∂ν = Λλμ ∂λ g μν Λρ ν ∂ρ = ∂λ g λρ ∂ρ !

⇒ Λλμ g μν Λρ ν = g λρ .

6.1 Lorentz-Transformationen

135

Die Beziehungen (6.1.6a,b) definieren die Lorentz-Transformationen. Definition: Poincar´e-Gruppe ≡ {inhomogene Lorentz-Transformation, aμ = 0} Die Gruppe der homogenen Lorentz-Transformationen enth¨alt alle Elemente mit aμ = 0. Eine inhomogene Lorentz-Transformation kann man kurz durch (Λ, a) charakterisieren, z.B. : Translationsgruppe Drehgruppe

(1, a) (D, 0) .

Aus der Definitionsgleichung (6.1.6a,b) folgen zwei wichtige Charakteristika der Lorentz-Transformationen: (i) Aus der Definitionsgleichung (6.1.6a) folgt (det Λ)2 = 1, also det Λ = ±1 .

(6.1.7)

(ii) Nun betrachten wir das Matrixelement λ = 0, ρ = 0 der Definitionsgleichung (6.1.6a)  Λ0 μ g μν Λ0 ν = 1 = (Λ0 0 )2 − (Λ0 k )2 = 1 . k

Daraus folgt Λ0 0 ≥ 1

oder

Λ0 0 ≤ −1 .

(6.1.8)

Das Vorzeichen der Determinante von Λ und das Vorzeichen von Λ0 0 k¨onnen zur Klassifizierung der Elemente der Lorentz-Gruppe verwendet werden (Tabelle 6.1). Die Lorentz-Transformationen k¨onnen folgendermaßen zur Lorentz-Gruppe L, deren Untergruppen oder Untermengen zusammengefaßt Tabelle 6.1. Klassifikation der Elemente der Lorentz-Gruppe eigentlich orthochron uneigentlich orthochron∗ Zeitspiegelungsartig∗∗ Raum-Zeit-spiegelungsartig∗∗∗ ∗

Raumspiegelung 0

1

1 0 0 0 B 0 −1 0 0 C P =@ 0 0 −1 0 A 0 0 0 −1

∗∗

sgn Λ0 0 1 1 −1 −1

L↑+ L↑− L↓− L↓+

Zeitspiegelung 0

−1 B 0 T =@ 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1

0 0C 0A 1

∗∗∗

det Λ 1 −1 −1 1 Raum-Zeit-Spiegelung

1 −1 0 0 0 B 0 −1 0 0 C PT = @ 0 0 −1 0 A 0 0 0 −1 0

(6.1.9)

136

6. Lorentz-Transformationen und Kovarianz der Dirac-Gleichung

werden (z.B. bedeutet L↓+ die Menge aller Elemente L↓+ ): L

Lorentz-Gruppe (L.G.)

L↑+ ↑

eingeschr¨ ankte L.G. (ist Untergruppe und Normalteiler)

L = L↑+ ∪ L↑− L+ = L↑+ ∪ L↓+ L0 = L↑+ ∪ L↓−

orthochrone L.G. eigentliche Lorentz-Gruppe orthochrone L.G.

L↑− = P · L↑+

L↓− = T · L↑+

L↓+ = P · T · L↑+ Die letzten drei Untermengen von L bilden keine Untergruppen. L = L↑ ∪ T L↑ = L↑+ ∪ P L↑+ ∪ T L↑+ ∪ P T L↑+

(6.1.10)

L↑ ist Untergruppe und Normalteiler von L; T L↑ ist Nebenklasse zu L↑ . L↑+ ist Untergruppe und Normalteiler von L; P L↑+ , T L↑+ , P T L↑+ sind Nebenklassen zu L↑+ . Auch L↑ , L+ und L0 sind Normalteiler in L mit den Faktorgruppen (E, P ), (E, P, T, P T ) und (E, T ). Eine beliebige Lorentz-Transformation ist entweder eigentlich und orthochron oder kann als Produkt eines Elements der eigentlich-orthochronen LorentzGruppe mit einer der diskreten Transformationen P , T oder P T geschrieben werden. L↑+ Die eingeschr¨ankte Lorentz-Gruppe = die eigentliche orthochrone L.G. besteht aus allen Elementen mit det Λ = 1 und Λ0 0 ≥ 1, dazu geh¨oren: (a) Drehungen (b) Lorentz-Transformationen im engeren Sinn (= Transformationen, bei denen Raum und Zeit transformiert werden). Der Prototyp ist ⎛

L0 0 ⎜ L1 0 L1 (η) = ⎜ ⎝ 0 0 ⎛ =

L0 1 L1 1 0 0

√

1 2 ⎜ 1−β ⎜ −√ β ⎜ 1−β 2 ⎜

⎝

0 0

⎞ ⎛ 00 cosh η − sinh η ⎜ 0 0⎟ ⎟ = ⎜ − sinh η cosh η 1 0⎠ ⎝ 0 0 01 0 0 −√ β √

1−β 2

1 1−β 2

0 0

00

⎞ 00 0 0⎟ ⎟ 1 0⎠ 01

⎞

⎟ 0 0⎟ ⎟ , ⎟ 1 0⎠ 01

(6.1.11)

mit tanh η = β. Bei dieser Lorentz-Transformation bewegt sich das Inertiuber I mit der Geschwindigkeit v = cβ in x1 -Richtung. alsystem I  gegen¨

6.2 Lorentz-Kovarianz der Dirac-Gleichung

137

6.2 Lorentz-Kovarianz der Dirac-Gleichung 6.2.1 Die Lorentz-Kovarianz und Transformation von Spinoren Das Relativit¨atsprinzip besagt: Die Naturgesetze sind in allen Inertialsystemen gleich. Wir betrachten zwei Inertialsysteme I und I  mit den Raum-Zeit-Koordinaten x und x . Die Wellenfunktion eines Teilchens sei in diesen beiden Systemen durch ψ und ψ  gegeben. Die Poincar´e-Transformation zwischen I und I  sei x = Λx + a .

(6.2.1)

Die Wellenfunktion ψ  muß aus ψ rekonstruierbar sein. Das bedeutet, daß zwischen ψ  und ψ ein lokaler Zusammenhang gelten muß ψ  (x ) = F (ψ(x)) = F (ψ(Λ−1 (x − a)) .

(6.2.2)

Das Relativit¨ atsprinzip zusammen mit dem funktionalen Zusammenhang (6.2.2) bedingt die Forderung der Lorentz-Kovarianz : Die Dirac-Gleichung in I wird durch (6.2.1) und (6.2.2) in eine Dirac-Gleichung in I  transformiert. (Die Dirac-Gleichung ist forminvariant gegen¨ uber Poincar´e-Transformatiougen nen.) Damit sowohl ψ wie auch ψ  der linearen Dirac-Gleichung gen¨ k¨ onnen, muß der funktionale Zusammenhang linear sein, d.h. ψ  (x ) = S(Λ)ψ(x) = S(Λ)ψ(Λ−1 (x − a)) .

(6.2.3)

S(Λ) ist eine 4 × 4 Matrix, mit der der Spinor ψ zu multiplizieren ist. Wir werden S(Λ) im folgenden bestimmen. In Komponenten lautet die Transformation ψα (x ) =

4 

Sαβ (Λ)ψβ (Λ−1 (x − a)) .

(6.2.3 )

β=1

Die Lorentz-Kovarianz der Dirac-Gleichung bedeutet, daß ψ  der Gleichung (−iγ μ ∂μ + m)ψ  (x ) = 0

(c = 1,  = 1)

(6.2.4)

gen¨ ugt, wobei ∂μ =

∂ . ∂xμ

Die γ-Matrizen ¨ andern sich bei der Lorentz-Transformation nicht. Um S zu bestimmen, m¨ ussen wir die Dirac-Gleichungen im gestrichenen und ungestrichenen Koordinatensystem ineinander u uhren. Die Dirac-Gleichung im ¨ berf¨ ungestrichenen Koordinatensystem

138

6. Lorentz-Transformationen und Kovarianz der Dirac-Gleichung

(−iγ μ ∂μ + m)ψ(x) = 0

(6.2.5)

kann mittels ∂ ∂xν ∂ = = Λν μ ∂ν ∂xμ ∂xμ ∂xν und S −1 ψ  (x ) = ψ(x) in die Form (−iγ μ Λν μ ∂ν + m)S −1 (Λ)ψ  (x ) = 0

(6.2.6)

gebracht werden. Nach Multiplikation von links mit S erh¨alt man1 −iSΛν μ γ μ S −1 ∂ν ψ  (x ) + mψ  (x ) = 0 .

(6.2.6 )

Aus dem Vergleich von (6.2.6 ) mit (6.2.4) folgt, daß die Dirac-Gleichung forminvariant unter Lorentz-Transformationen ist, wenn S(Λ) die folgende Bedingungsgleichung erf¨ ullt S(Λ)−1 γ ν S(Λ) = Λν μ γ μ .

(6.2.7)

Man kann zeigen (siehe folgender Abschnitt), daß diese Gleichung nichtsingul¨ are L¨ osungen f¨ ur S(Λ) hat.2 Eine Wellenfunktion, die sich bei einer Lorentz-Transformation nach ψ  = Sψ transformiert, heißt vierkomponentiger Lorentz-Spinor . 6.2.2 Bestimmung der Darstellung S(Λ) 6.2.2.1 Infinitesimale Lorentztransformationen Wir betrachten zun¨ achst infinitesimale (eigentliche, orthochrone) Lorentz– Transformationen Λν μ = g ν μ + Δω ν μ

(6.2.8a)

mit infinitesimalen und antisymmetrischen Δω νμ Δω νμ = −Δω μν . Diese Gleichung besagt, daß Δω Elemente haben kann. 1 2

(6.2.8b) νμ

nur 6 unabh¨angige, nicht verschwindende

Es sei daran erinnert, daß es sich bei Λν μ um Matrixelemente handelt, die nat¨ urlich mit den γ-Matrizen vertauschen. Die Existenz eines solchen S(Λ) folgt aus der Tatsache, daß die Λμν γ ν wegen Gl. (6.1.6a) ebenfalls die Antikommutationsregeln (5.3.16) der γ-Matrizen erf¨ ullen und dem Paulischen Fundamentaltheorem (Eigenschaft 7 auf Seite 148). Wir werden diese Transformationen unten explizit bestimmen.

6.2 Lorentz-Kovarianz der Dirac-Gleichung

139

Diese Transformationen erf¨ ullen die Definitionsrelation f¨ ur Lorentz-Transformationen Λλμ g μν Λρ ν = g λρ ,

(6.1.6a)

wie man durch Einsetzen von (6.2.8) in diese Gleichung sieht:   g λμ g μν g ρ ν + Δω λρ + Δω ρλ + O (Δω)2 = g λρ .

(6.2.9)

Jedes der 6 unabh¨ angigen Elemente von Δω μν erzeugt eine infinitesimale Lorentz-Transformation. Wir betrachten typische Spezialf¨alle: Δω 01 = −Δω 01 = −Δβ : Transformation auf ein Koordinatensystem, das sich mit Geschwindigkeit cΔβ in x-Richtung bewegt 1 12 Δω 2 = −Δω = Δϕ : Transformation auf ein Koordinatensystem, das um den Winkel Δϕ um die z-Achse gedreht ist. (Siehe Abb. 6.1)

(6.2.10)

(6.2.11)

Die r¨ aumlichen Komponenten werden bei dieser passiven Transformation folgendermaßen transformiert ˛ ˛ 0 1 ˛ e1 e2 e3 ˛ x1 = x1 + Δϕx2 0 ˛ ˛ x2 = −Δϕx1 + x2 bzw. x = x + @ 0 A × x = x + ˛˛ 0 0 −Δϕ ˛˛ ˛ x1 x2 x3 ˛ −Δϕ x3 = x3 (6.2.12)

x

2

x2

x x Δφ

1

x1

Abb. 6.1. Infinitesimale Drehung, passive Transformation

S muß in eine Potenzreihe in Δω νμ entwickelbar sein. Wir schreiben S = 11 + τ ,

S −1 = 11 − τ ,

wo τ ebenfalls infinitesimal, also von Ordnung O(Δω die Gleichung f¨ ur S ein, S −1 γ μ S = Λμν γ ν , und erhalten

(6.2.13) νμ

) ist. Wir setzen in

(11 − τ )γ μ (11 + τ ) = γ μ + γ μ τ − τ γ μ = γ μ + Δω μν γ ν ,

(6.2.14)

140

6. Lorentz-Transformationen und Kovarianz der Dirac-Gleichung

woraus die Bestimmungsgleichung f¨ ur τ (6.2.14 )

γ μ τ − τ γ μ = Δω μν γ ν

folgt. τ ist daraus bis auf ein additives Vielfaches von 11 eindeutig bestimmt. Betrachten wir zwei L¨ osungen von (6.2.14), so kommutiert die Differenz der beiden L¨ osungen mit allen γ μ , muß also proportional zu 11 sein (siehe Abschn. 6.2.5, Eigenschaft 6). Diese Mehrdeutigkeit wird durch die Normierungsbedingung det S = 1 beseitigt. Aufgrund derer gilt in erster Ordnung in Δω μν det S = det(11 + τ ) = det 11 + Sp τ = 1 + Sp τ = 1 .

(6.2.15)

Daraus folgt Sp τ = 0 .

(6.2.16)

Gleichung (6.2.14 ) und (6.2.16) haben die L¨ osung τ=

i 1 Δω μν (γμ γν − γν γμ ) = − Δω μν σμν , 8 4

(6.2.17)

wobei die Definition σμν =

i [γμ , γν ] 2

(6.2.18)

eingef¨ uhrt wurde. Man zeigt (6.2.17) indem man den Kommutator von τ mit γ μ berechnet; das Verschwinden der Spur ist durch die allgemeinen Eigenschaften der γ-Matrizen garantiert (Eigenschaft 3, Abschn. 6.2.5). 6.2.2.2 Drehung um die z-Achse Wir betrachten zun¨ achst die in Gl. (6.2.11) dargestellte Drehung R3 um die z-Achse. Nach (6.2.11) und (6.2.17) ist τ (R3 ) =

i Δϕσ12 2

,

und mit σ 12 = σ12 =

i [γ1 , γ2 ] = iγ1 γ2 = i 2



0 σ1 −σ 1 0



0 σ2 −σ 2 0



 =

σ3 0 0 σ3



(6.2.19)

6.2 Lorentz-Kovarianz der Dirac-Gleichung

141

folgt i i S = 1 + Δϕσ 12 = 1 + Δϕ 2 2



σ3 0 0 σ3

 .

(6.2.20)

Aus der infinitesimalen Drehung k¨ onnen wir durch Zusammensetzen die Transformationsmatrix S f¨ ur eine endliche Drehung um den Winkel ϑ bestimmen, indem wir die endliche Drehung in N Teilschritte ϑ/N zerlegen  N i   12 ϑσ ψ(x) ψ (x ) = Sψ(x) = lim 1 + N →∞ 2N i

12

= e 2 ϑσ ψ   ϑ ϑ 12 = cos + iσ sin ψ(x) . 2 2

(6.2.21)

F¨ ur die Koordinaten und andere Vierervektoren bedeutet diese zusammengesetzte Transformation ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 0 000   0 000   ⎜ ⎟ ⎟ ϑ ⎜ ⎜ 0 0 1 0 ⎟ · · · 11 + ϑ ⎜ 0 0 1 0 ⎟ x x = lim 11 + ⎝ ⎝ ⎠ N →∞ N 0 −1 0 0 N 0 −1 0 0 ⎠ 0 000 0 000 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 000 7 1 0 0 0 < ⎜0 0 1 0⎟ ⎜ 0 cos ϑ sin ϑ 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ = exp ϑ ⎜ (6.2.22) ⎝ 0 −1 0 0 ⎠ x = ⎝ 0 − sin ϑ cos ϑ 0 ⎠ x , 0 000 0 0 0 1 also tats¨ achlich die u ¨ bliche Drehmatrix mit Winkel ϑ. Die Transformation S f¨ ur Drehungen (Gl. (6.2.21)) ist unit¨ar (S −1 = S † ). Aus (6.2.21) sieht man S(2π) = −11 S(4π) = 11 .

(6.2.23a) (6.2.23b)

Die Tatsache, daß Spinoren nicht bei einer Drehung um 2π sondern erst bei einer Drehung um 4π wieder ihren Ausgangswert einnehmen, wird in Neutroneninterferenzexperimenten beobachtet 3 . Wir weisen auf die Analogie zur Transformation von Pauli-Spinoren unter Drehungen i

ϕ (x ) = e 2 ω·σ ϕ(x)

(6.2.24)

hin.

3

H. Rauch et al, Phys. Lett. 54A, 425 (1975); S.A. Werner et al, Phys. Rev. Lett. 35, 1053 (1975); beschrieben auch in J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, S.162, Addison-Wesley, Red Wood City (1985).

142

6. Lorentz-Transformationen und Kovarianz der Dirac-Gleichung

6.2.2.3 Lorentz-Transformation l¨ angs der x1 -Richtung Nach Gl. (6.2.10) Δω 01 = Δβ

(6.2.25)

und (6.2.17) ist τ (L1 ) =

1 1 Δβγ0 γ1 = Δβα1 . 2 2

(6.2.26)

Nun k¨ onnen wir daraus S f¨ ur eine endliche Lorentz-Transformation l¨angs der x1 -Achse bestimmen. F¨ ur die Geschwindigkeit vc ist tanh η = vc . η Die Zerlegung von η in N Teilschritte N f¨ uhrt auf folgende Transformation der Koordinaten und anderer Vierervektoren η μ η ν1 η νN −1 ν g+ I xμ = lim g + I ··· g + I x N →∞ N N N ν2 ν ν1 g μν = δ μν , ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 −1 0 0 1000 ⎜ −1 0 0 0 ⎟ ⎜0 1 0 0⎟ 2 3 ⎟ ⎜ ⎟ I νμ = ⎜ ⎝ 0 0 0 0⎠ , I = ⎝0 0 0 0⎠ , I = I 0 0 00 0000   1 1 1 x = eηI x = 1 + ηI + η 2 I 2 + η 3 I + I 2 . . . x 2! 3! 4!  μ ν μ 2 2 x = 1 − I + I cosh η + I sinh η ν x ⎛ ⎞⎛ 0⎞ cosh η − sinh η 0 0 x ⎜ − sinh η cosh η 0 0 ⎟ ⎜ x1 ⎟ ⎟⎜ ⎟ . =⎜ (6.2.27) ⎝ 0 0 1 0 ⎠ ⎝ x2 ⎠ x3 0 0 01 Die N -fache Anwendung der infinitesimalen Lorentz-Transformation η η = 11 + I L1 N N f¨ uhrt im Limes großer N somit auf die Lorentz-Transformation (6.1.11) ⎛ ⎞ cosh η − sinh η 0 0 ⎜ − sinh η cosh η 0 0 ⎟ ⎟ . (6.2.27 ) L1 (η) = eηI = ⎜ ⎝ 0 0 1 0⎠ 0 0 01 η Wir bemerken, daß sich die N infinitesimalen Schritte um N zu η addieren und nicht etwa einfach die infinitesimalen Geschwindigkeiten. Dies entspricht der Tatsache, daß bei Zusammensetzung zweier Lorentztransformationen sich die beiden η und nicht die Geschwindigkeiten addieren.

6.2 Lorentz-Kovarianz der Dirac-Gleichung

Wir berechnen nun die zugeh¨ orige Spinor-Transformation  N η 1 η S(L1 ) = lim 1 + α1 = e 2 α1 N →∞ 2N η η . = 11 cosh + α1 sinh 2 2

143

(6.2.28)

F¨ ur Lorentz-Transformationen im engeren Sinne ist S hermitesch (S(L1 )† = S(L1 )). F¨ ur allgemeine infinitesimale Transformationen, charakterisiert durch infinitesimale antisymmetrische Δω μν gilt nach (6.2.17) i S(Λ) = 11 − σμν Δω μν . 4 Daraus folgt die endliche Transformation i

S(Λ) = e− 4 σμν ω

μν

(6.2.29a)

(6.2.29b)

mit ω μν = −ω νμ und die Lorentz-Transformation lautet Λ = eω , wobei die Matrixelemente von ω gleich ω μν sind. Beispielsweise kann eine Drehung um ˆ durch den Winkel ϑ um eine beliebige Drehachse n i

S = e 2 ϑˆn·Σ

(6.2.29c)

dargestellt werden, wo   σ 0 Σ= 0 σ

(6.2.29d)

ist. 6.2.2.4 Raumspiegelung, Parit¨ at Die Lorentz-Transformation, die einer Raumspiegelung entspricht, wird durch ⎛ ⎞ 1 0 0 0 ⎜ 0 −1 0 0 ⎟ ⎟ Λμν = ⎜ (6.2.30) ⎝ 0 0 −1 0 ⎠ 0 0 0 −1 dargestellt. Das zugeh¨ orige S wird nach Gl. (6.2.7) aus S −1 γ μ S = Λμν γ ν =

4 

g μν γ ν = g μμ γ μ ,

(6.2.31)

ν=1

bestimmt, wo u ¨ ber μ nicht summiert wird. Man sieht sofort, daß die L¨osung von (6.2.31), die wir in diesem Fall mit P bezeichnen, durch S = P ≡ eiϕ γ 0 .

(6.2.32)

gegeben ist. Hier ist eiϕ ein unbeobachtbarer Phasenfaktor. F¨ ur diesen wird konventionell einer der vier Werte ±1, ±i gesetzt; dann geben vier Spiegelun-

144

6. Lorentz-Transformationen und Kovarianz der Dirac-Gleichung

gen die Einheit 11. Die Spinoren transformieren sich unter einer Raumspiegelung gem¨ aß ψ  (x ) ≡ ψ  (x , t) = ψ  (−x, t) = eiϕ γ 0 ψ(x) = eiϕ γ 0 ψ(−x , t) .

(6.2.33)

Die gesamte Raumspiegelungs(Parit¨ ats)transformation f¨ ur Spinoren wird mit (6.2.33 )

P = eiϕ γ 0 P (0)

bezeichnet, wobei P (0) die Raumspiegelung x → −x bewirkt. Aus γ 0 ≡   11 0 β= ist ersichtlich, daß die Ruhezust¨ande positiver und negativer 0 −11 Energie (Gl. (5.3.22)) Eigenzust¨ ande von P sind - mit entgegengesetzten Eigenwerten, d.h. entgegengesetzten Parit¨ aten. Das bedeutet, daß die inneren Parit¨aten f¨ ur Teilchen und Antiteilchen entgegengesetzt sind. 6.2.3 Weitere Eigenschaften der S F¨ ur die Berechnung der Transformation von Bilinearformen wie j μ (x) ben¨otigen wir einen Zusammenhang zwischen der adjungierten Transformation S † und S −1 . Behauptung: S † γ 0 = bγ 0 S −1

,

wobei b = ±1 f¨ ur

(6.2.34a) 

Λ

00

≥ +1 . ≤ −1

(6.2.34b)

Beweis. Wir gehen aus von Gl. (6.2.7) S −1 γ μ S = Λμν γ ν ,

Λμν reell,

(6.2.35)

und schreiben die adjungierte Relation auf (Λμν γ ν )† = S † γ μ† S †−1 .

(6.2.36)

Die hermitesch adjungierte Matrix kann am k¨ urzesten durch γ μ† = γ 0 γ μ γ 0

(6.2.37)

ausgedr¨ uckt werden. Dies beinhaltet unter Verwendung der Antikommutationsrelationen γ 0† = γ 0 , γ k† = −γ k . Wir setzen diese Relation auf der linken und der rechten Seite von Gl. (6.2.36) ein und multiplizieren mit γ 0 von links und rechts γ 0 Λμν γ 0 γ ν γ 0 γ 0 = γ 0 S † γ 0 γ μ γ 0 S †−1 γ 0 Λμν γ ν = S −1 γ μ S = γ 0 S † γ 0 γ μ (γ 0 S † γ 0 )−1 ,

6.2 Lorentz-Kovarianz der Dirac-Gleichung

145

−1

da (γ 0 ) = γ 0 . Außerdem wurde auf der linken Seite Λμν γ ν = S −1 γ μ S ersetzt. Nun multiplizieren wir mit S und S −1 γ μ = Sγ 0 S † γ 0 γ μ (γ 0 S † γ 0 )−1 S −1 ≡ (Sγ 0 S † γ 0 )γ μ (Sγ 0 S † γ 0 )−1 Also kommutiert Sγ 0 S † γ 0 mit allen γ μ und ist deshalb ein Vielfaches der Einheitsmatrix Sγ 0 S † γ 0 = b 11

,

(6.2.38)

woraus auch Sγ 0 S † = bγ 0

(6.2.39)

und die gesuchte Relation4 S † γ 0 = b(Sγ 0 )−1 = bγ 0 S −1

(6.2.34a)

folgt. Da (γ 0 )† = γ 0 und Sγ 0 S † hermitesch sind, erh¨alt man durch Adjungieren von (6.2.39) Sγ 0 S † = b∗ γ 0 , woraus b∗ = b

(6.2.40)

folgt, also ist b reell. Verwendet man, daß die Normierung von S durch det S = 1 festgelegt wurde, erh¨ alt man durch Berechnung der Determinante von Gl. (6.2.39) b4 = 1. Daraus folgt zusammen mit (6.2.40) b = ±1 .

(6.2.41)

Die Bedeutung des Vorzeichens in (6.2.41) erkennt man, wenn S † S = S † γ 0 γ 0 S = bγ 0 S −1 γ 0 S = bγ 0 Λ0 ν γ ν = bΛ0 0 11 +

3  k=1

bΛ0 k γ 0 γ k  

(6.2.42)

αk

betrachtet wird. S † S hat positiv definite Eigenwerte, wie man aus dem Folgenden erkennt. Zun¨ achst ist det S † S = 1 gleich dem Produkt aller Eigenwerte, und diese m¨ ussen deshalb alle verschieden von Null sein. Weiters ist ur seine Eigenfunktionen gilt S † Sψa = aψa , woraus S † S hermitesch und f¨ aψa† ψa = ψa† S † Sψa = (Sψa )† Sψa > 0 folgt und somit a > 0. Da die Spur von S † S gleich der Summe aller Eigenwerte ist, folgt daraus und aus Gl. (6.2.42) unter Verwendung von Sp αk = 0 4

Anmerkung: F¨ ur die Lorentz-Transformation L↑+ (L.T. im engeren Sinn und Drehungen) und f¨ ur Raumspiegelungen kann diese Relation mit b = 1 aus den expliziten Darstellungen abgeleitet werden.

146

6. Lorentz-Transformationen und Kovarianz der Dirac-Gleichung

0 < Sp (S † S) = 4bΛ0 0 . Also ist bΛ0 0 > 0. Folglich gilt der Zusammenhang zwischen den Vorzeichen von Λ00 und b: Λ00 ≥ Λ

00

1

f¨ ur

≤ −1 f¨ ur

b=1 b = −1 .

(6.2.34b)

F¨ ur Lorentz-Transformationen, die den Zeitsinn nicht ¨andern, ist b = 1, f¨ ur solche, die ihn ¨ andern ist b = −1. 6.2.4 Transformation von Bilinearformen Der adjungierte Spinor ist durch ψ¯ = ψ † γ 0

(6.2.43)

definiert. Es sei daran erinnert, daß man ψ † als hermitesch adjungierten Spinor bezeichnet. Die zus¨ atzliche Einf¨ uhrung von ψ¯ ist zweckm¨aßig, weil sich darin Gr¨ oßen wie z.B. die Stromdichte kompakt schreiben lassen. Daraus ergibt sich das folgende Transformationsverhalten unter einer LorentzTransformation. ψ  = Sψ =⇒ ψ † = ψ † S † =⇒ ψ¯ = ψ † S † γ 0 = b ψ † γ 0 S −1 , also ¯ −1 . ψ¯ = b ψS

(6.2.44)

Die Stromdichte (5.3.7) lautet mit obiger Definition ¯ μψ j μ = c ψ † γ 0 γ μ ψ = c ψγ

(6.2.45)

und transformiert sich deshalb wie ¯ −1 γ μ Sψ = Λμ c b ψγ ¯ ν ψ = bΛμ j ν . j μ = c b ψS ν ν

(6.2.46)

ur Lorentz-Transformationen ohne Also transformiert sich j μ wie ein Vektor f¨ Zeitspiegelung. Desgleichen sieht man sofort aus (6.2.3) und (6.2.44), daß sich ¯ ψ(x)ψ(x) wie ein Skalar transformiert: ¯  )S −1 Sψ(x ) ψ¯ (x )ψ  (x ) = bψ(x ¯ = b ψ(x)ψ(x) .

(6.2.47a)

Wir stellen hier das Transformationsverhalten der wichtigsten bilinearen Gr¨ oßen unter orthochronen Lorentz-Transformationen , also solchen, die den Zeitsinn nicht ¨andern, zusammen:

6.2 Lorentz-Kovarianz der Dirac-Gleichung

¯ ψ¯ (x )ψ  (x ) = ψ(x)ψ(x)   μ   ν ¯ ¯ ψ(x) ψ (x )γ ψ (x ) = Λμν ψ(x)γ   μν   μ ν ¯ ¯ ψ (x )σ ψ (x ) = Λ Λ ψ(x)σ ρσ ψ(x) ρ

σ

Skalar Vektor

147

(6.2.47a) (6.2.47b)

antisymmetrischer

Tensor   μ   μ ¯ ν ¯ ψ (x )γ5 γ ψ (x ) = (det Λ)Λ ν ψ(x)γ5 γ ψ(x) Pseudovektor ¯ ψ¯ (x )γ5 ψ  (x ) = (det Λ)ψ(x)γ Pseudoskalar, 5 ψ(x)

(6.2.47c) (6.2.47d) (6.2.47e)

wo γ5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 ist. Wir erinnern daran, daß det Λ = ±1 ist; f¨ ur Raumspiegelungen ist das Vorzeichen −1. 6.2.5 Eigenschaften der γ-Matrizen Wir erinnern an die Definition von γ 5 im letzten Abschnitt: γ5 ≡ γ 5 ≡ iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3

(6.2.48)

und weisen darauf hin, daß diese Definition in der Literatur nicht einheitlich ist. In der Standarddarstellung (5.3.21) der Dirac-Matrizen hat γ 5 die Form   0 11 5 γ = . (6.2.48 ) 11 0 Die Matrix γ 5 erf¨ ullt die Relationen  5 μ γ ,γ = 0

(6.2.49a)

und (γ 5 )2 = 11 .

(6.2.49b)

Durch Bildung von Produkten aus den γ μ kann man 16 linear unabh¨angige 4 × 4 Matrizen konstruieren. Diese sind Γ S = 11 ΓμV = γμ T = σμν = Γμν

ΓμA = γ5 γμ Γ

P

= γ5 .

(6.2.50a) (6.2.50b) i [γμ , γν ] 2

(6.2.50c) (6.2.50d) (6.2.50e)

Die oberen Indizes weisen auf Skalar, Vektor, Tensor, Axialvektor (= Pseudovektor) und Pseudoskalar hin.

148

6. Lorentz-Transformationen und Kovarianz der Dirac-Gleichung

Diese Matrizen haben die folgenden Eigenschaften 5 : 2

1. (Γ a ) = ±11

(6.2.51a)

2. F¨ ur jedes Γ a außer Γ S ≡ 11 existiert ein Γ b , so daß Γ a Γ b = −Γ b Γ a . 3. F¨ ur a = S gilt Sp Γ a = 0.

(6.2.51b) (6.2.51c)

Beweis: Sp Γ a (Γ b )2 = −Sp Γ b Γ a Γ b = −Sp Γ a (Γ b )2 Da (Γ b )2 = ±1 folgt Sp Γ a = −Sp Γ a und somit die Behauptung. 4. Zu jedem Paar Γ a , Γ b a = b gibt es ein Γ c = 11, so daß Γa Γb = βΓc ,

β = ±1, ±i. Beweis durch Betrachtung der Γ . angig. 5. Die Matrizen P Γ a sind linear unabh¨

xa Γ a = 0 mit komplexen Koeffizienten xa . Zun¨ achst erh¨ alt

Angenommen

a

man aus 3. X xa Γ a = xS = 0 . Sp a

Multiplikation mit Γa und Verwendung der Eigenschaften 1. und 4. zeigt, daß nachfolgende Spurbildung auf xa = 0 f¨ uhrt. 6. Falls eine 4 × 4 Matrix X mit jedem γ μ kommutiert, dann ist X ∝ 11.

7. Gegeben sind zwei S¨ atze von γ-Matrizen, γ und γ  , die beide {γ μ , γ ν } = 2g μν erf¨ ullen. Dann existiert ein nichtsingul¨ ares M γ μ = M γ μ M −1 ,

(6.2.51d)

und M ist eindeutig bis auf einen konstanten Faktor (Paulis Fundamentaltheorem).

6.3 L¨ osungen der Dirac-Gleichung fu ¨ r freie Teilchen 6.3.1 Spinoren mit endlichem Impuls Wir suchen nun die L¨ osungen der freien Dirac-Gleichung Gl. (5.3.1) oder (5.3.17) (−i∂/ + m)ψ(x) = 0 .

(6.3.1)

Hier und im folgenden wird  = c = 1 gesetzt. 5

Nur ein Teil dieser Eigenschaften wird hier bewiesen, die restlichen Ableitungen ¨ sind den Ubungsaufgaben vorbehalten.

6.3 L¨ osungen der Dirac-Gleichung f¨ ur freie Teilchen

149

F¨ ur ruhende Teilchen lauten diese L¨ osungen nach Gl. (5.3.22) ψ (+) (x) = ur (m, 0) e−imt ψ

(−)

(x) = vr (m, 0) e

r = 1, 2

imt

jeweils f¨ ur positive und negative Energie mit ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎟ u1 (m, 0) = ⎜ ⎝ 0 ⎠ , u2 (m, 0) = ⎝ 0 ⎠ , 0 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 0 ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎟ v1 (m, 0) = ⎜ ⎝ 1 ⎠ , v2 (m, 0) = ⎝ 0 ⎠ , 0 1

(6.3.2)

(6.3.3)

wobei die Normierung auf 1 festgelegt wurde. Diese L¨osungen der DiracGleichung sind Eigenfunktionen des Dirac-Hamilton-Operators H mit Eigenwerten ±m und auch des Operators (der schon in Gl. (6.2.19) eingef¨ uhrten Matrix)  3  i σ 0 (6.3.4) σ 12 = [γ 1 , γ 2 ] = 0 σ3 2 mit Eigenwerten +1 (f¨ ur r = 1) und −1 (f¨ ur r = 2). Sp¨ater wird gezeigt, daß angt. σ 12 mit dem Spin zusammenh¨ Nun suchen wir die L¨ osungen der Dirac-Gleichung f¨ ur endlichen Impuls und machen f¨ ur diese L¨ osungen den Ansatz6 ψ (+) (x) = ur (k) e−ik·x ψ

(−)

(x) = vr (k) e

ik·x

positive Energie

(6.3.5a)

negative Energie

(6.3.5b)

ullen m¨ ussen, mit k 0 > 0. Da (6.3.5a,b) auch die Klein-Gordon-Gleichung erf¨ wissen wir aus (5.2.14), daß kμ k μ = m2 ,

(6.3.6)

oder  1/2 E ≡ k 0 = k2 + m2 ,

(6.3.7)

wobei wir f¨ ur k 0 auch E schreiben; d.h. k ist der Viererimpuls eines Teilchens mit Masse m. onnten wir durch eine Lorentz-TransformaDie Spinoren ur (k) und vr (k) k¨ tion aus den Spinoren (6.3.3) f¨ ur ruhende Teilchen gewinnen. Transformieren 6

Wir schreiben f¨ ur den Viererimpuls k und die Viererkoordinaten x und deren Skalarprodukt k · x.

150

6. Lorentz-Transformationen und Kovarianz der Dirac-Gleichung

wir n¨ amlich auf ein Koordinatensystem, das sich gegen¨ uber dem Ruhesystem mit der Geschwindigkeit −v bewegt, so erhalten wir aus den Ruhel¨osungen die freien Wellenfunktionen von Elektronen mit Geschwindigkeit v. Es ist jedoch naheliegender, die L¨ osungen direkt aus der Dirac-Gleichung zu bestimmen. Einsetzen von (6.3.5a,b) in die Dirac-Gleichung (6.3.1) ergibt (k/ − m)ur (k) = 0

und (k/ + m)vr (k) = 0 .

(6.3.8)

Weiters gilt 1 k/k/ = kμ γ μ kν γ ν = kμ kν {γ μ , γ ν } = kμ kν g μν . 2

(6.3.9)

Deshalb folgt nach Gl.(6.3.6) (k/ − m)(k/ + m) = k 2 − m2 = 0 .

(6.3.10)

Also braucht man nur (k/ + m) auf die ur (m, 0) und (k/ − m) auf die vr (m, 0) anzuwenden, um dadurch L¨ osungen ur (k) und vr (k) von (6.3.8) zu erhalten. Offen ist noch die Normierung; diese muß so gew¨ahlt werden, daß sie im Ein¯ wie ein Skalar transformiert klang mit der L¨ osung (6.3.3) ist, und daß sich ψψ (Gl. (6.2.47a). Wie wir unten best¨ a tigen werden, wird dies durch den Faktor  1/ 2m(m + E) erreicht: ⎞ ⎛ 1/2  E+m χr ⎟ ⎜ 2m ⎟ ⎜ k/ + m ⎟ ⎜ ur (k) =  ur (m, 0) = ⎜ (6.3.11a) ⎟ 2m(m + E) ⎠ ⎝ σ·k χr (2m(m + E))1/2 ⎞ ⎛ σ·k χ ⎜ (2m(m + E))1/2 r ⎟ ⎟ ⎜ −k/ + m ⎟ . (6.3.11b) vr (m, 0) = ⎜ vr (k) =  ⎟ ⎜  1/2 2m(m + E) ⎠ ⎝ E+m χr 2m χr  0  Dabei ist ur (m, 0) = 0 und vr (m, 0) = χr dargestellt mit χ1 = 10 und  χ2 = 01 . Bei der Berechnung wurde ! » „ ! «– « „ χr χr 11 0 0 σi 0 i −k k/ = k 0 −11 −σ i 0 0 0 ! ! ! Eχr k 0 χr 0 = und = + 0 k i σ i χr k · σχr ! 0 −k/ χr verwendet.

! =

0 k 0 χr

+

k i σ i χr 0

! , r = 1, 2 ,

6.3 L¨ osungen der Dirac-Gleichung f¨ ur freie Teilchen

151

Aus (6.3.11a,b) folgt f¨ ur die adjungierten Spinoren nach Definition (6.2.43) k/ + m u ¯r (k) = u ¯r (m, 0)  2m(m + E) −k/ + m . v¯r (k) = v¯r (m, 0)  2m(m + E) Beweis:

(6.3.12a) (6.3.12b) μ†

(γ u ¯r (k) = u†r (k)γ 0 = u†r (m, 0) √

kμ +m)γ 0

2m(m+E)

γ 0 (γ μ kμ +m)

= u†r (m, 0) √

2m(m+E)

,

da γ μ† = γ 0 γ μ γ 0 und (γ 0 )2 = 11

Außerdem gen¨ ugen die adjungierten Spinoren den Gleichungen u ¯r (k) (k/ − m) = 0

(6.3.13a)

v¯r (k) (k/ + m) = 0 ,

(6.3.13b)

und

wie man aus (6.3.10) und (6.3.12a,b) oder (6.3.8) sieht. 6.3.2 Orthogonalit¨ atsrelationen und Dichte F¨ ur sp¨ atere Anwendungen werden eine Reihe von formalen Eigenschaften der vorhin gefundenen L¨ osungen ben¨ otigt. Aus Gl. (6.3.11) und (6.2.37) folgt u ¯r (k)us (k) = u ¯r (m, 0)

(k/ + m)2 us (m, 0) . 2m(m + E)

(6.3.14a)

Mit ¯r (m, 0)(k/2 + 2mk/ + m2 )us (m, 0) u ¯r (m, 0)(k/ + m)2 us (m, 0) = u =u ¯r (m, 0)(2m2 + 2mk/)us (m, 0) =u ¯r (m, 0)(2m2 + 2mk0 γ 0 )us (m, 0) = 2m(m + E)¯ ur (m, 0)us (m, 0) = 2m(m + E)δrs , k/2 − m2 vs (m, 0) 2m(m + E) =u ¯r (m, 0) 0 vs (m, 0) = 0

u ¯r (k)vs (k) = u ¯r (m, 0)

(6.3.14b)

(6.3.14c)

und einer ¨ ahnlichen Rechnung f¨ ur vr (k) folgen aus (6.3.14a-b) die

Orthogonalit¨ atsrelationen u ¯r (k) us (k) = δrs v¯r (k) vs (k) = −δrs

u ¯r (k) vs (k) = 0 v¯r (k) us (k) = 0.

(6.3.15)

152

6. Lorentz-Transformationen und Kovarianz der Dirac-Gleichung

Bemerkungen: (i) Diese Normierung bleibt invariant gegen¨ uber orthochronen Lorentz– Transformationen: u ¯r us = u†r S † γ 0 S us = u†r γ 0 S −1 S us = u¯r us = δrs .

(6.3.16)

¯ (ii) F¨ ur diese Spinoren ist ψ(x)ψ(x) ein Skalar: ψ¯(+) (x)ψ (+) (x) = eik·x u¯r (k)ur (k)e−ikx = 1 ,

(6.3.17)

ist unabh¨ angig von k und deshalb unabh¨ angig vom Bezugssystem. Allgemein gilt f¨ ur eine Superposition aus L¨osungen mit positiver Energie: ψ (+) (x) =

2 

cr ur , mit

r=1

2 

|cr |2 = 1

(6.3.18a)

r=1

die Relation ψ¯(+) (x)ψ (+) (x) =

 r,s

u ¯r (k)us (k)c∗r cs =

2 

|cr |2 = 1 .

(6.3.18b)

r=1

Analoge Beziehungen gelten f¨ ur die ψ (−) . (iii) Bestimmt man ur (k) durch Lorentz-Transformation um −v, ergeben sich genau die vorhergehenden Spinoren. Als aktive Transformation betrachtet hat man ur (m, 0) auf die Geschwindigkeit v transformiert. Man bezeichnet eine solche Transformation als “boost” (Aufschwung). ¯ 0 ψ . Dies ist Die Dichte f¨ ur eine ebene Welle (c = 1) ist ρ = j 0 = ψγ keine Lorentz-Invariante, da sie Nullkomponente eines Vierervektors ist: ψ¯r(+) (x)γ 0 ψs(+) (x) = u ¯r (k)γ 0 us (k) {k/, γ 0 } E us (k) = δrs =u ¯r (k) (6.3.19a) 2m m ψ¯r(−) (x)γ 0 ψs(−) (x) = v¯r (k)γ 0 vs (k) {k/, γ 0 } E vs (k) = δrs . = −¯ vr (k) (6.3.19b) 2m m ¯s (k) = u ¯s (k)(k//m) In den Zwischenschritten wurde us (k) = (k//m)us (k), u (Gl. (6.3.8) und (6.3.13)) etc. verwendet. Anmerkung. Die Spinoren sind so normiert, daß die Dichte im Ruhesystem eins ist. Bei einer Lorentz-Transformation muß die p Dichte mal dem Volumen konstant 1 − β 2 verkleinert, deshalb muß sich bleiben. Das Volumen wird um den Faktor 1 E die Dichte um den Faktor √ = m vergr¨ oßern. 2 1−β

6.3 L¨ osungen der Dirac-Gleichung f¨ ur freie Teilchen

153

Nun setzen wir die Gleichungskette (6.3.19) fort. F¨ ur

ψr(+) (x) = e−i(k

und ψs(−) (x) = ei(k

0

0

x0 −k·x)

0

x +k·x)

ur (k)

(6.3.20)

˜ vs (k)

mit dem Viererimpuls k˜ = (k 0 , −k) erh¨ alt man 0 0 ˜ 0 us (k) ψ¯r(−) (x)γ 0 ψs(+) (x) = e−2ik x v¯r (k)γ   1 −2ik0 x0 ˜ / k˜/ 0 0 k us (k) = e v¯r (k) − γ + γ 2 m m

(6.3.19c)

=0,

  da sich die Nullsummanden kompensieren und ki γ i , γ 0 = 0 ist. In diesem Sinne sind Zust¨ ande mit positiver und negativer Energie orthogonal f¨ ur entgegengesetzte Energien und gleiche Impulse. 6.3.3 Projektionsoperatoren Die Operatoren Λ± (k) =

±k/ + m 2m

(6.3.21)

projizieren auf die Spinoren positiver bzw. negativer Energie: Λ+ ur (k) = ur (k) Λ+ vr (k) = 0

Λ− vr (k) = vr (k) Λ− ur (k) = 0 .

(6.3.22)

Deshalb k¨ onnen die Projektionsoperatoren Λ± (k) auch in der Form  ur (k) ⊗ u ¯r (k) Λ+ (k) = r=1,2

Λ− (k) = −



vr (k) ⊗ v¯r (k)

(6.3.23)

r=1,2

dargestellt werden. Das Tensorprodukt ⊗ ist durch (a ⊗ ¯b)αβ = aα¯bβ

(6.3.24)

definiert. In Matrixform lautet das Tensorprodukt eines Spinors a und eines adjungierten Spinors ¯b 1 0 0 1 a1¯b1 a1¯b2 a1¯b3 a1¯b4 a1 a2¯b1 a2¯b2 a2¯b3 a2¯b4 C B a2 C `¯ ¯ ¯ ¯ ´ B C @ a A b1 , b2 , b3 , b4 = B @ a3¯b1 a3¯b2 a3¯b3 a3¯b4 A . 3 a4 a4¯b1 a4¯b2 a4¯b3 a4¯b4

154

6. Lorentz-Transformationen und Kovarianz der Dirac-Gleichung

Die Projektionsoperatoren haben die folgenden Eigenschaften: Λ2± (k) = Λ± (k) Sp Λ± (k) = 2 Λ+ (k) + Λ− (k) = 1 .

(6.3.25a) (6.3.25b) (6.3.25c)

Beweis: (±k/ + m)2 k/2 ± 2k/m + m2 m2 ± 2k/m + m2 = = 2 2 4m 4m 4m2 2m(±k/ + m) = = Λ± (k) 4m2

Λ± (k)2 =

4m =2 2m ande positiver und negativer Energie projizieDie Behauptung, daß Λ± auf die Zust¨ ren, sieht man in beiden Darstellungen (6.3.21) und (6.3.22), durch Anwendung auf die Zust¨ ande ur (k) und vr (k). Ein weiterer wichtiger Projektionsoperator, P (n), der im Ruhsystem auf die Spinorientierung n projiziert, wird in Aufgabe 6.15 besprochen. SpΛ± (k) =

Aufgaben zu Kapitel 6 6.1 Beweisen Sie die Gruppeneigenschaften der Poincar´e-Gruppe. 6.2 Zeigen Sie, daß sich ∂ μ ≡ ∂/∂xμ (∂μ ≡ ∂/∂xμ ) wie ein kontravarianter (kovarianter) Vektor transformiert, indem Sie die Transformationseigenschaften von xμ benutzen. 6.3 Zeigen Sie, daß die N -fache Anwendung der infinitesimalen Drehung im Minkowski-Raum (Gl. (6.2.22)) 1 0 0 000 ϑ B0 0 1 0C Λ =1+ A @ N 0 −1 0 0 0 000 im Limes N → ∞ auf eine Drehung um die z-Achse mit Drehwinkel ϑ f¨ uhrt (letzter Schritt in Gl. (6.2.22). 6.4 Leiten Sie die quadratische Form der Dirac-Gleichung »“ – e ”2 ie i∂ − A − (αE + iΣB) − m2 c2 ψ = 0 c c f¨ ur den Fall ¨ außerer elektromagnetischer Felder ab. Geben Sie das Ergebnis unter Verwendung des Feldst¨ arke-Tensors Fμν = Aμ,ν − Aν,μ und auch in expliziter Abh¨ angigkeit von E und B an.

Aufgaben zu Kapitel 6

155

` ´ Anleitung: Multiplizieren Sie die Dirac–Gleichung von links mit γ ν i∂ν − ec Aν + mc und bringen Sie den so erhaltenen Ausdruck unter Verwendung der Vertauschungsrelationen f¨ ur die γ–Matrizen auf die quadratische Form in der Feldst¨ arkeformulierung »“ – e ”2 e μν i∂ − A − σ Fμν − m2 c2 ψ = 0 . c 2c Die Behauptung ergibt sich durch Auswertung des Ausdrucks σ μν Fμν unter Verwendung der expliziten Gestalt des Feldst¨ arketensors als Funktion der Felder E und B. 6.5 Betrachten Sie die quadratische Form der Dirac-Gleichung aus Aufgabe 6.4 mit den Feldern E = E0 (1, 0, 0) und B = B (0, 0, 1), wobei E0 /Bc ≤ 1 sein soll. W¨ ahlen Sie die Eichung A = B (0, x, 0) und l¨ osen Sie die Gleichung mit dem Ansatz ψ(x) = e−iEt/ ei(ky y+kz z) ϕ(x)Φ , wobei Φ ein zeit- und koordinatenunabh¨ angiger Viererspinor ist. Berechnen Sie die Energieeigenwerte f¨ ur ein Elektron. Zeigen Sie, daß die L¨ osung mit der aus Aufgabe 5.3 u ¨ bereinstimmt, wenn Sie den nichtrelativistischen Grenzfall bzw. E0 /Bc 1 betrachten. Hinweis: Mit dem obigen Ansatz f¨ ur ψ erh¨ alt man f¨ ur die quadratische DiracGleichung die Gestalt [K(x, ∂x )11 + M ] ϕ(x)Φ = 0 , wobei K(x, ∂x ) ein Operator ist, der konstante Beitr¨ age, ∂x und x enth¨ alt. Die Matrix M ist unabh¨ angig von ∂x und x; sie hat die Eigenschaft M 2 ∝ 11. Dies legt f¨ ur den Bispinor Φ den Ansatz Φ = (11 + λM )Φ0 nahe. Bestimmen Sie λ und die Eigenwerte von M . Mit diesen Eigenwerten geht die Matrix-Differentialgleichung in eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung vom Oszillator-Typ u ¨ ber. 6.6 Zeigen Sie, daß mit τ=

1 Δω μν (γμ γν − γν γμ ) 8

die Gleichung (6.2.14 ) [γ μ , τ ] = Δω μν γν erf¨ ullt ist. 6.7 Zeigen Sie die G¨ ultigkeit von γ μ† = γ 0 γ μ γ 0 . 6.8 Zeigen Sie, daß die Relation S † γ 0 = bγ 0 S −1 f¨ ur die im Text angegebenen expliziten Darstellungen der Elemente der Poincar´eGruppe (Drehung, Lorentz-Transformation im engeren Sinn, Raumspiegelung) mit b = 1 erf¨ ullt ist.

156

6. Lorentz-Transformationen und Kovarianz der Dirac-Gleichung

μ ¯ ¯ 6.9 Zeigen Sie, daß ψ(x)γ 5 ψ(x) ein Pseudoskalar, ψ(x)γ5 γ ψ(x) ein Pseudovektor μν ¯ und ψ(x)σ ψ(x) ein Tensor ist.

6.10 Eigenschaften der Matrizen Γ a . Ausgehend von den Definitionen (6.2.50a-e) sind folgende Eigenschaften dieser Matrizen zu beweisen: (i) Zu jedem Γ a (außer Γ S ) gibt es ein Γ b , so daß Γ a Γ b = −Γ b Γ a gilt. (ii) Zu jedem Paar Γ a , Γ b , (a = b) gibt es ein Γ c = 11, so daß Γ a Γ b = βΓ c mit β = ±1, ±i ist. 6.11 Zeigen Sie: falls eine 4 × 4-Matrix X mit allen γ μ kommutiert, dann ist diese Matrix X proportional zur Einheitsmatrix. Anleitung: Jede 4 × 4 Matrix kann nach Aufgabe 1 als Linearkombination der 16 Matrizen Γ a (Basis!) dargestellt werden. 6.12 Beweisen Sie den Fundamentalsatz f¨ ur Dirac-Matrizen: Zu zwei 4-dimensionalen Darstellungen γμ und γμ der Dirac-Algebra, die beide die Relation {γμ , γν } = 2gμν erf¨ ullen, existiert eine nicht singul¨ are Transformation M , so daß γμ = M γμ M −1 gilt. M ist eindeutig bis auf einen konstanten Vorfaktor bestimmt. 6.13 Bestimmen Sie aus der L¨ osung der feldfreien Dirac-Gleichung im Ruhesystem die vier Spinoren ψ ± (x) eines sich mit der Geschwindigkeit v bewegenden Teilchens, indem Sie eine Lorentz-Transformation (in ein mit der Geschwindigkeit −v bewegtes Koordinatensystem) auf die L¨ osungen im Ruhesystem anwenden. 6.14 Beweisen Sie die Richtigkeit der in Gl. (6.3.22) angegebenen Darstellungen f¨ ur Λ± (k), indem Sie von X X ur (k) ⊗ u ¯r (k) , Λ− (k) = − vr (k) ⊗ v¯r (k) Λ+ (k) = r=1,2

r=1,2

ausgehen. 6.15 (i) Mit der Definition P (n) = n2 = −1 und nμ kμ = 0 zu zeigen, daß

1 2

(1 + γ5 n /) ist unter den Voraussetzungen

(a) (b) (c)

[Λ± (k), P (n)] = 0 , Λ+ (k)P (n) + Λ− (k)P (n) + Λ+ (k)P (−n) + Λ− (k)P (−n) = 1 Sp [Λ± (k)P (±n)] = 1 ,

(d)

P (n)2 = P (n) „

erf¨ ullt ist. (ii) Betrachten Sie den Spezialfall n = (0, eˆz ) mit P (n) =

1 2

,

« 0 1 + σ3 . 0 1 − σ3

7. Drehimpuls – Bahndrehimpuls und Spin

In der nichtrelativistischen Quantenmechanik hat sich erwiesen, daß der Drehimpuls-Operator Erzeugende von Drehungen ist, mit dem Hamiltonur die L¨osung Operator drehinvarianter Systeme kommutiert1 und deshalb f¨ derartiger Probleme eine besondere Rolle spielt. Deshalb schicken wir dem n¨ achsten Kapitel – Bewegung im Coulomb-Potential – eine eingehende Untersuchung des Drehimpulses in der relativistischen Quantenmechanik voraus.

7.1 Passive und aktive Transformationen Im nichtrelativistischen Grenzfall hatten wir f¨ ur die Zust¨ande mit positiver Energie die Pauli-Gleichung mit dem Land´e-Faktor g = 2 hergeleitet (Abschnitt 5.3.5). Daraus hatten wir geschlossen, daß die Dirac-Gleichung Teilchen mit Spin S = 1/2 beschreibt. Wir wollen jetzt den Drehimpuls, ankn¨ upfend an das Transformationsverhalten von Spinoren unter Drehungen, allgemein untersuchen. Wir f¨ ugen zun¨ achst eine Zwischenbemerkung u ¨ber aktive und passive Transformationen ein. Es sei ein Zustand Z gegeben, der im System I durch den Spinor ψ(x) beschrieben wird. Vom System I  aus betrachtet, das durch die Lorentz-Transformation x = Λx

(7.1.1)

aus I hervorgeht, ist der Spinor ψ  (x ) = Sψ(Λ−1 x )

passiv mit Λ

(7.1.2a)

Man bezeichnet eine derartige Transformation als passive Transformation. Ein und derselbe Zustand wird von zwei verschiedenen Koordinatensystemen aus betrachtet, was wir in Abb. 7.1 durch ψ(x) = ˆ ψ  (x ) andeuten. Man kann andererseits auch den Zustand transformieren, und den dabei unglichen Zustand Z von ein und entstehenden Zustand Z  wie den urspr¨ demselben Koordinatensystem aus betrachten. Man spricht dann von einer aktiven Transformation. F¨ ur Vektoren und Skalare ist anschaulich klar, was 1

Siehe QM I, Abschn. 5.1.

158

7. Drehimpuls – Bahndrehimpuls und Spin

unter ihrer aktiven Transformation (Rotation, Lorentz-Transformation) zu verstehen ist. Die aktive Transformation eines Vektors mit der Transformation Λ entspricht der passiven Transformation des Koordinatensystems mit ur Spinoren wird die aktive Transformation genau in dieser Weise Λ−1 . F¨ definiert (Siehe Abb. 7.1).

ψ (x ) Λ Z

ψ (x ) = ˆ ψ (x )

−1 Z Λ Z

ψ (x ) I

Λ I

Abb. 7.1. Schematische Darstellung der passiven und aktiven Transformation eines Spinors; die umrandete Region soll den Bereich charakterisieren, in dem der Spinor endlich ist.

Der Zustand Z  , der durch die Transformation Λ−1 entsteht, sieht in I genauso aus wie Z von I  aus betrachtet, d.h. ψ  (x) = Sψ(Λ−1 x)

aktiv mit Λ−1 .

(7.1.2b)

Der Zustand Z  , der aus Z durch die aktive Transformation Λ entsteht, sieht definitionsgem¨ aß in I  so aus wie Z in I, d.h. hat die Form ψ(x ). Da I aus I  durch die Lorentztransformation Λ−1 entsteht, hat der Spinor Z  in I die Gestalt ψ  (x) = S −1 ψ(Λx)

aktiv mit Λ .

(7.1.2c)

7.2 Drehungen und Drehimpuls Unter der infinitesimalen Lorentz-Transformation Λμν = g μν + Δω μν ,

(Λ−1 )μν = g μν − Δω μν

(7.2.1)

transformiert sich ein Spinor ψ(x) wie ψ  (x ) = Sψ(Λ−1 x )

passiv um Λ

(7.2.2a)

7.2 Drehungen und Drehimpuls

159

oder ψ  (x) = Sψ(Λ−1 x)

aktiv um Λ−1 .

(7.2.2b)

Wir setzen unsere Ergebnisse aus Abschnitt 6.2.2.1 (Gl. (6.2.8) und (6.2.13)) ein ψ  (x) = (11 −

i Δω μν σμν )ψ(xρ − Δω ρν xν ) . 4

(7.2.3)

Die Taylor-Entwicklung des Spinors ergibt (1 − Δω μν xν ∂μ ) ψ(x) , so daß i ψ  (x) = (11 + Δω μν (− σμν + xμ ∂ν )) ψ(x) 4

(7.2.3 )

ist. Nun betrachten wir den Spezialfall von Drehungen um Δϕ, die durch Δω ij = − ijk Δϕk

(7.2.4)

dargestellt werden (die Richtung von Δϕ legt die Drehachse und |Δϕ| den Drehwinkel fest). Ben¨ utzt man außerdem (siehe Gl. (6.2.19))  k  σ 0 σ ij = σij = ijk Σ k , Σ k = , (7.2.5) 0 σk so ergibt sich f¨ ur (7.2.3 )    i ψ  (x) = 1 + Δω ij − ijk Σ k + xi ∂j ψ(x) 4    i ¯ ¯ ψ(x) = 1 − ij k Δϕk − ijk Σ k − xi ∂j 4    i ¯ ¯ = 1 − Δϕk − 2δkk¯ Σ k − ij k xi ∂j ψ(x) 4    1 k 1 Σ + kij xi ∂j ψ(x) = 1 + iΔϕk 2 i   ≡ 1 + iΔϕk J k ψ(x) .

(7.2.6)

Hier wurde der Gesamtdrehimpuls 1 1 J k = kij xi ∂j + Σ k i 2

(7.2.7)

definiert. Mit  hinzugef¨ ugt lautet dieser Operator J=x×

  ∇11 + Σ , i 2

und ist also die Summe aus Bahndrehimpuls L = x × p und Spin

(7.2.7 )  2

Σ.

160

7. Drehimpuls – Bahndrehimpuls und Spin

Der Gesamtdrehimpuls (= Bahndrehimpuls + Spin) ist Erzeugende von Drehungen: f¨ ur einen endlichen Winkel ϕk erh¨alt man durch Zusammensetzen aus infinitesimalen Drehungen ψ  (x) = eiϕ

k

Jk

ψ(x) .

(7.2.8)

Der Operator J k kommutiert mit dem Hamilton-Operator der Dirac-Gleichung mit einem drehinvarianten Potential Φ(x) = Φ(|x|) [H, J i ] = 0 .

(7.2.9)

Dieses Ergebnis kann man leicht durch explizite Berechnung des Kommuta¨ tors (siehe Ubungsbeispiel 7.1) verifizieren. Wir betrachten hier allgemeine Folgerungen aus dem Drehverhalten f¨ ur die Struktur von Vertauschungsrelationen des Drehimpulses mit anderen Operatoren, aus der sich (7.2.9) als Spezialfall ergibt. Wir gehen aus von einem Operator A, dessen Wirkung auf ψ1 der Spinor ψ2 sein m¨oge Aψ1 (x) = ψ2 (x) , daraus folgt eiϕ

k

Jk

A e−iϕ

k

Jk

k

Jk

A e−iϕ

k

Jk

k k

k k

eiϕ J ψ1 (x) = eiϕ J ψ2 (x)

bzw. eiϕ

ψ1 (x) = ψ2 (x) .

Also ist der Operator im gedrehten Bezugssystem A = eiϕ

k

Jk

A e−iϕ

k

Jk

.

(7.2.10)

Entwickeln f¨ ur infinitesimale Drehungen (ϕk → Δϕk ) ergibt A = A − iΔϕk [A, J k ] .

(7.2.11)

Die folgenden Spezialf¨ alle sind von besonderem Interesse: (i) A sei ein skalarer (drehinvarianter) Operator. Dann ist A = A, und es folgt aus (7.2.11) [A, J k ] = 0 .

(7.2.12)

Der Hamilton-Operator eines rotationsinvarianten Systems (inklusive eines rotationsinvarianten Φ(x) = Φ(|x|)) ist ein Skalar; daraus folgt (7.2.9). In rotationsinvarianten Problemen gibt es also einen erhaltenen Drehimpuls.

Aufgaben zu Kapitel 7

161

(ii) F¨ ur den Operator A werden die Komponenten des Dreiervektors v eingesetzt. Als Vektor transformiert sich v gem¨aß v i = v i + ijk Δϕj v k . Komponentenweises Gleichsetzen mit (7.2.11) v i + ijk Δϕj v k = v i + = j i> i j zeigt  Δϕ J , v [J i , v j ] = i ijk v k

(7.2.13)

Die Vertauschungsrelation (7.2.13) impliziert unter anderem = i j> (7.2.14a) J , J = i ijk J k = i j> (7.2.14b) J , L = i ijk Lk .  k  σ 0 Von der expliziten Darstellung Σ k = ist klar, daß die Eigenwerte 0 σk der 4×4 Matrizen Σ k zweifach entartet sind und die Werte ±1 annehmen. Der Drehimpuls J ist die Summe aus dem Bahndrehimpuls L und einem inneren Drehimpuls, dem Spin S, mit den Eigenwerten der Komponenten ± 21 . Also besitzen Teilchen, die der Dirac-Gleichung gehorchen, den Spin S = 1/2. 2  2 Der Operator 2 Σ = 34 2 11 hat als Eigenwerte 34 . Die Eigenwerte von L2 und L3 sind 2 l(l + 1) und ml , wo l = 0, 1, 2, . . . und ml die Werte −l, −l+1, . . . , l−1, l annimmt. Folglich sind die Eigenwerte von J2 2 j(j +1), wo j = l ± 12 f¨ ur l = 0 und j = 12 f¨ ur l = 0 ist. Die Eigenwerte von J 3 sind mj , wo mj in ganzzahligen Schritten zwischen −j und j liegt. Die onnen gleichzeitig diagonalisiert werden. Die Operatoren J2 , L2 , Σ 2 und J 3 k¨ Bahndrehimpulsoperatoren Li und die Spinoperatoren Σ i erf¨ ullen f¨ ur sich die Drehimpulsvertauschungsrelationen. Anmerkung: Man k¨ onnte sich fragen, wieso der Dirac-Hamilton-Operator, eine 4 × 4-Matrix, ein Skalar sein kann. Um dies einzusehen, muß man nur zur Transformation (6.2.6 ) zur¨ uckkehren. Der transformierte Hamilton-Operator inklusive eines Zentralpotentials Φ(|x|) (−iγ ν ∂ν + m + eΦ(|x |)) = S(−iγ ν ∂ν + m + eΦ(|x|))S −1 hat f¨ ur Drehungen in beiden Systemen die gleiche Gestalt. Die Eigenschaft “Skalar” beinhaltet die Invarianz gegen Drehungen, und ist nicht notwendigerweise auf einkomponentige drehinvariante Funktionen beschr¨ ankt.

Aufgaben zu Kapitel 7 7.1 Zeigen Sie durch explizite Berechnung des Kommutators, daß der Gesamtdrehimpuls  Σ 2 mit dem Dirac-Hamilton-Operator f¨ ur ein Zentralpotential ! 3 X k k α p + βmc + eΦ(|x|) H=c J = x × p 11 +

k=1

kommutiert.

8. Bewegung im Coulomb-Potential

In diesem Kapitel bestimmen wir die Energie-Eigenzust¨ande im CoulombPotential. Zun¨ achst wird der einfachere Fall, die Klein-Gordon-Gleichung studiert. Im zweiten Teil wird der noch wichtigere Fall (Wasserstoffatom), die Dirac-Gleichung exakt gel¨ ost.

8.1 Klein-Gordon-Gleichung mit elektromagnetischem Feld 8.1.1 Ankopplung an das elektromagnetische Feld Die Ankopplung des elektromagnetischen Feldes in der Klein-Gordon-Gleichung ∂2ψ = −2 c2 ∇2 ψ + m2 c4 ψ , ∂t2 d.h. die Substitution ∂ ∂   e i −→ i − eΦ , ∇ −→ ∇ − A , ∂t ∂t i i c f¨ uhrt auf die Klein-Gordon-Gleichung im elektromagnetischen Feld −2

2 2    e ∂ 2 ∇ − A ψ + m2 c4 ψ. i − eΦ ψ = c ∂t i c

(8.1.1)

Wir bemerken, daß nun die erhaltene Viererstromdichte jν =

ie ∗ e2 (ψ ∂ν ψ − ψ∂ν ψ ∗ ) − Aν ψ ∗ ψ 2m mc

(8.1.2)

lautet, mit der Kontinuit¨ atsgleichung ∂ν j ν = 0 . Somit tritt z.B. in j 0 das skalare Potential A0 = cΦ auf.

(8.1.3)

164

8. Bewegung im Coulomb-Potential

8.1.2 Klein-Gordon-Gleichung im Coulomb-Feld Wir setzen voraus, daß A und Φ zeitunabh¨ angig sind und suchen nun station¨are L¨osungen mit positiver Energie ψ(x, t) = e−iEt/ ψ(x)

mit

E > 0.

(8.1.4)

Dann ergibt sich aus (8.1.1) die zeitunabh¨ angige Klein-Gordon-Gleichung 2  e  ∇ − A ψ + m 2 c4 ψ . (8.1.5) (E − eΦ)2 ψ = c2 i c F¨ ur ein sph¨arisch symmetrisches Potential Φ(x) −→ Φ(r) (r = |x|) und A = 0 folgt   2 2 2 (8.1.6) − c ∇ + m2 c4 ψ(x) = (E − eΦ(r))2 ψ(x). Der Separationsansatz in sph¨ arischen Polarkoordinaten ψ(r, ϑ, ϕ) = R(r)Ym (ϑ, ϕ) ,

(8.1.7)

wobei die Ym (ϑ, ϕ) die aus der nichtrelativistischen Quantenmechanik1 bekannte Kugelfunktionen sind, f¨ uhrt analog zur nichtrelativistischen Theorie auf die Differentialgleichung   ( + 1) 1 d d (E − eΦ(r))2 − m2 c4 r+ − R= R. (8.1.8) 2 r dr dr r  2 c2 Zun¨ achst betrachten wir den nichtrelativistischen Grenzfall. Wenn wir E = mc2 + E  setzen und annehmen, daß E  − eΦ gegen¨ uber mc2 vernachl¨assigbar ist, ergibt sich aus (8.1.8) die nichtrelativistische, radiale Schr¨odingerGleichung, denn dann wird die rechte Seite von (8.1.8)  1  (mc2 )2 + 2mc2 (E  − eΦ(r)) + (E  − eΦ(r))2 − m2 c4 R(r)

 2 c2 ≈

(8.1.9)

2m  (E − eΦ(r))R(r) . 2

F¨ ur ein π − -Meson im Coulomb-Feld eines Z-fach geladenen Kerns ist eΦ(r) = −

Ze20 . r

(8.1.10a) e2

Mit der Feinstrukturkonstanten α = c0 folgt aus (8.1.8)   ( + 1) − Z 2 α2 E 2 − m 2 c4 2ZαE 1 d d r+ − − R=0. − r dr dr r2 cr  2 c2 (8.1.10b) 1

QM I, Kap. 5

8.1 Klein-Gordon-Gleichung mit elektromagnetischem Feld

165

Anmerkung: Die Masse des Pi-Mesons ist mπ− = 273me und die Lebensdauer τπ− = 2.55 × 10−8 sec. Da die mit der Unsch¨ arferelation absch¨ atzbare klassische Umlaufszeit1 ungef¨ ahr T ≈

aπ − Δv

≈

mπ − a2 − π  −

=

m2 a2 e mπ − 

≈ 10−21 sec ist, kann man trotz der endlichen

aren Energieeigenzust¨ anden spreLebensdauer des π von wohldefinierten station¨ chen. Selbst die Lebenszeit eines angeregten Zustands (siehe QM I, Abschn. 16.4.3) urzer als τπ− . ΔT ≈ T α−3 ≈ 10−15 ist noch sehr viel k¨

Die Substitutionen σ2 =

4(m2 c4 − E 2 ) 2Eγ , ρ = σr , γ = Zα , λ = 2 2  c cσ

f¨ uhren in Gl. (8.1.10b) auf   d2 ( + 1) − γ 2 2λ − 1 − + ρR(ρ) = 0 . d(ρ/2)2 ρ/2 (ρ/2)2

(8.1.11a-d)

(8.1.12)

Diese Gleichung hat genau die Gestalt der nichtrelativistischen Schr¨odingerGleichung f¨ ur die Funktion u = ρR, nur ist in letzterer ρ0 −→ 2λ ( + 1) −→ ( + 1) − γ 2 ≡  ( + 1)

(8.1.13a) (8.1.13b)

zu ersetzen. Dabei ist i.a.  nicht ganzzahlig. Anmerkung: Eine derartige Ab¨ anderung des Zentrifugalterms findet man auch in der klassischen, relativistischen Mechanik. Dies f¨ uhrt dort dazu, daß die Kepler-Bahnen nicht mehr geschlossen sind. Statt der Ellipsen hat man Rosettenbahnen.

Die radiale Schr¨ odinger-Gleichung (8.1.12) kann man nun in bekannter Weise wie im nichtrelativistischen Fall l¨ osen: Aus (8.1.12) findet man f¨ ur  R(ρ) in den Grenzf¨ allen ρ → 0 und ρ → ∞ das Verhalten ρ bzw. e−ρ/2 . Das f¨ uhrt auf den Ansatz ρR(ρ) =

ρ  +1 2

e−ρ/2 w(ρ/2).

(8.1.14)

Die neue Differentialgleichung f¨ ur w(ρ) (Gl. (6.19) aus QM I) wird durch einen Potenzreihenansatz gel¨ ost. Die aus der Differentialgleichung folgende Rekursionsrelation ist so beschaffen, daß sie auf eine Funktion ∼ eρ f¨ uhrt. Zusammen mit (8.1.14) w¨ are die Funktion R(ρ) nicht normierbar, es sei denn, die Potenzreihe bricht ab. Die Bedingung, daß die Potenzreihe f¨ ur w(ρ) abbricht, liefert2 2

Vergl. QM I, Gl. (6.23).

166

8. Bewegung im Coulomb-Potential

ρ0 = 2(N +  + 1) d.h. λ = N +  + 1 ,

(8.1.15)

wo N die radiale Quantenzahl N = 0, 1, 2, ... bedeutet. Um daraus die Energieeigenwerte bestimmen zu k¨ onnen, muß man zuerst mittels der Gleichungen (8.1.11a und d) die Hilfsgr¨ oße σ eliminieren 4E 2 γ 2 4(m2 c4 − E 2 ) = , 2 c2 λ2  2 c2 woraus sich f¨ ur die Energieniveaus  − 12 γ2 E = mc 1 + 2 λ 2

(8.1.16)

ergibt. Es ist hier die positive Wurzel zu nehmen, da der Reskalierungsfaktor σ > 0 ist, und wegen λ > 0 aus (8.1.11c) E > 0 folgt. Damit geht die Energie dieser L¨ osungen f¨ ur verschwindende Anziehung (γ → 0) gegen die Ruheenergie E = mc2 . F¨ ur die weitere Diskussion m¨ ussen wir  aus der quadratischen Definitionsgleichung (8.1.13b) berechnen ; 2 1 1   = − (±) − γ2 . (8.1.17) + 2 2 Wir werden uns unten davon u ¨berzeugen, daß nur das + Zeichen zul¨assig ist, d.h. ; 2 1 1 λ=N+ + − γ2 + 2 2 und E= ; 1+

mc2 »

N + 12 +

q

.

γ2 2

(+ 12 )

−γ 2

(8.1.18)

–2

Zum Angleich an die nichtrelativistische Notation f¨ uhren wir die Hauptquantenzahl n=N ++1 ein, womit (8.1.18) zu E= ; 1+

mc2 »

n−(+ 12 )+

γ2 q

(+ 12 )

. 2

−γ 2

–2

(8.1.18 )

8.1 Klein-Gordon-Gleichung mit elektromagnetischem Feld

167

wird. Die Hauptquantenzahl durchl¨ auft die Werte n = 1, 2, ... ; zu vorgegebenem n sind die Bahndrehimpulsquantenzahlen  = 0, 1, ...n − 1 m¨oglich. Die in der nichtrelativistischen Theorie vorhandene Entartung bez¨ uglich des Drehimpulses ist hier aufgehoben. Die Entwicklung von (8.1.18 ) in eine Potenzreihe in γ 2 liefert:    n γ4 3 γ2 E = mc2 1 − 2 − 4 − + O(γ 6 ) 2n 2n 4  + 12   1 Ry Ryγ 2 3 = mc2 − 2 − − (8.1.19) + O(Ryγ 4 ) , n n3 4n  + 12 mit Ry =

mZ 2 e4 mc2 (Zα)2 = . 2 22

Der erste Term ist die Ruheenergie, der zweite Term die nichtrelativistische Rydberg-Formel und der dritte Term ist die relativistische Korrektur. Sie ist identisch mit der st¨ orungstheoretischen Korrektur durch die relativistische ki2 (p2 ) uhrt (siehe netische Energie, die zum St¨ or-Hamilton-Operator H1 = − 8m3 c2 f¨ QM I, Gl. (12.5))3 . Durch diese Korrektur wird die Entartung in  aufgehoben: E=0 − E=n−1 = −

4Ryγ 2 n − 1 . n3 2n − 1

(8.1.20)

Die Bindungsenergie Eb erh¨ alt man aus (8.1.18) bzw. (8.1.19) indem man die Ruheenergie abzieht Eb = E − mc2 . Erg¨anzungen: (i) Nun m¨ ussen wir noch begr¨ unden, warum die L¨osungen  mit negativem Vorzeichen der Wurzel in Gl. (8.1.17) auszuschließen sind. Zun¨achst erwarten wir, daß die L¨ osungen stetig in die nichtrelativistischen u ¨ bergehen sollten, und daß es deshalb zu jedem  nur einen Eigenwert gibt. F¨ ur den Moment werden die beiden sich aus (8.1.17) ergebenden Werte f¨ ur  mit ± bezeichnet. Es gibt mehrere Argumente zum Ausschluß der negativer Wurzel. Die L¨ osung zu − kann man ausschließen wegen der Forderung, daß die kinetische Energie endlich ist (es geht hier nur um die untere Grenze, da der Faktor e−ρ/2 die Konvergenz an der oberen garantiert):  2   2 ∂R 2∂ R 2 T ∼ − dr r 2 · R ∼ dr r ∂ r ∂r   2   ∼ dr r2 r −1 ∼ dr r2 . 3

Siehe auch Bemerkung (ii) in Abschnitt 10.1.2

168

8. Bewegung im Coulomb-Potential

Daf¨ ur muß  > − 21 sein und deshalb ist nur + zul¨assig. Man kann auch statt der kinetischen Energie die Stromdichte betrachten. G¨abe es die L¨osungen zu aren auch lineare Superpositionen der Art ψ = ψ+ + iψ− + und − , dann w¨ m¨ oglich. Die radiale Stromdichte f¨ ur diese Wellenfunktion ist     ∂ ∗ ∂  jr = ψ ψ ψ∗ ψ − 2mi ∂r ∂r     ∂ ∂ 1  2i ψ+ ψ− − ψ− ψ+ ∼ r+ +− −1 = 2 . = 2mi ∂r ∂r r Die Stromdichte divergierte wie r12 f¨ ur r → 0. Der Strom durch! die Oberfl¨ ache einer beliebig kleinen Kugel um den Ursprung w¨are dann dΩr2 jr = konstant, unabh¨ angig von r. Es m¨ ußte eine Quelle oder Senke f¨ ur die Teilchenstromdichte am Ursprung geben. Die L¨ osung + muß auf jeden Fall bleiben, weil diese in die nichtrelativistische u ¨ bergeht, und die L¨osung zu − scheidet aus. Man kann diese Folgerung best¨ atigen, indem man das Problem f¨ ur einen endlich ausgedehnten Kern, f¨ ur den das elektrostatische Potential bei r = 0 endlich ist, l¨ ost. Diejenige L¨ osung, die bei r = 0 endlich ist, geht in diejenige L¨ osung des 1r -Problems u ¨ber, die zum Vorzeichen + geh¨ort. (ii) Damit  und die Energieeigenwerte reell sind, muß nach Gl. (8.1.17) +

1 > Zα 2

(8.1.21a)

sein (Siehe Abb. 8.1). Diese Bedingung ist am einschr¨ankensten f¨ ur sZust¨ ande,  = 0 : Z< F¨ ur γ >

137 1 = = 68.5 . 2α 2 1 2

w¨ are  = − 21 + is , s =

(8.1.21b) A γ2 −

1 4

komplex. Dies h¨atte komple1



xe Energieeigenwerte zur Folge und es w¨ are R(r) ∼ r− 2 e±is log r , d.h. die L¨osung w¨ urde f¨ ur r → 0 unendlich oft oszillieren und das Matrixelement der kinetischen Energie w¨ are divergent. Die Ab¨ anderung des Zentrifugalterms in (( + 1) − (Zα)2 ) r12 kommt von der relativistischen Massenerh¨ ohung. Qualitativ nimmt die Geschwindigkeit bei Ann¨ aherung an das Zentrum nicht so stark zu wie nichtrelativistisch   und deshalb wird die Zentrifugalabstoßung verringert. F¨ ur das anziehende − r12 Potential spiralen dieTeilchen nach der klassischen Mechanik in das Zentrum. Wenn Zα > + 21 > ( + 1) ist, dann wird das quantenmechanische System e2

instabil. Die Bedingung Zα < 12 kann auch in der Form Z /m0 − c < 12 mπ− c2 π geschrieben werden, d.h. die Coulomb-Energie beim Abstand einer ComptonWellenl¨ ange m − c = 1.4 × 10−13 cm vom Ursprung sollte kleiner als 12 mπ− c2 π sein.

8.1 Klein-Gordon-Gleichung mit elektromagnetischem Feld



Die L¨ osungen zum −

2

Ze0 r

169

-Potential werden f¨ ur Z > 68 unsinnig. Nun gibt

es Kerne mit h¨ oherer Ladungszahl und die Bewegung eines π − -Mesons m¨ ußte durch die Klein-Gordon-Gleichung beschreibbar sein. Man muß jedoch beachten, daß reale Kerne einen endlichen Radius haben, und f¨ ur solche existieren Bindungszust¨ ande auch f¨ ur große Z. 2 −11 cm, wo Der Bohrsche Radius f¨ ur π − ist aπ− = Zm − e2 = mme− Za ≈ 2×10 Z π

0

π

a = 0.5 × 10−8 cm, der Bohrsche Radius des Elektrons und mπ− = 270me eingesetzt wurde. Der Vergleich mit dem Kernradius RK = 1.5 × 10−13 A1/3 cm zeigt, daß die Ausdehnung des Kerns nicht zu vernachl¨assigen ist4 .

1

E1s

E1p

E mc 2

0

100 Z

200

Abb. 8.1. Punktf¨ ormiger Atomkern, E1s und E1p nach Gl. (8.1.18) als Funktion von Z. Die Kurven enden bei dem durch (8.1.21a) gegebenen Z. F¨ ur gr¨ oßere Z w¨ aren die Energien komplex.

Beim quantitativen Vergleich der Theorie mit dem Experiment an π-mesonischen Atomen muß noch den folgenden Korrekturen Rechnung getragen werden: M (α) Die Masse mπ ist durch die reduzierte Masse zu ersetzen μ = mmππ+M . (β) Wie schon vorhin betont, muß die Endlichkeit des Kernradius ber¨ ucksichtigt werden. (γ) Es muß die Vakuumpolarisation ber¨ ucksichtigt werden. Hierunter versteht man, daß das zwischen Kern und π-Meson ausgetauschte Photon virtuell in ein Elektron-Positron-Paar zerf¨ allt, das sich schließlich wieder in ein Photon vereinigt. (Siehe Abb. 8.2) (δ) Da der Bohrsche Radius f¨ ur das π − , wie oben abgesch¨ atzt, etwa um einen Faktor 1/300 kleiner als der des Elektrons ist, und somit die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Pionwellenfunktion im Kernbereich betr¨ achtlich ist, muß man auch eine Korrektur f¨ ur die starke Wechselwirkung zwischen Kern und π − ber¨ ucksichtigen. 4

¨ Die im R¨ ontgenbereich liegenden Ubergangsenergien f¨ ur π-mesonische Atome wurden in D.A. Jenkins u. R. Kunselman, Phys. Rev. Lett. 17, 1148 (1966) bestimmt und mit dem Ergebnis aus der Klein-Gordon-Gleichung verglichen.

170

8. Bewegung im Coulomb-Potential

γ

γ

e+

γ

+ e−

π−

(a)

K

K

(b)

π−

Abb. 8.2. Die elektromagnetische Wechselwirkung kommt durch Austausch eines Photons (γ) zwischen Kern (K) und π-Meson (π − ) zustande. (a) direkter Austausch, (b) mit Vakuumpolarisation, bei der ein virtuelles Elektron (e− ) – Positron (e+ ) – Paar entsteht.

8.2 Dirac-Gleichung fu ¨r das Coulomb-Potential Im vorliegenden Abschnitt werden wir die Dirac-Gleichung f¨ ur ein Elektron im Coulomb-Potential V (r) = −

Ze20 r

(8.2.1)

exakt l¨ osen. Aus i



∂ψ(x, t) e = cα · p − A + βmc2 + eΦ ψ(x, t) ∂t c

folgt f¨ ur A = 0 und eΦ ≡ −

Ze20 r

(8.2.2)

≡ V (r) der Dirac-Hamilton-Operator

H = c α · p + βmc2 + V (r)

(8.2.3)

und mit ψ(x, t) = e−iEt/ ψ(x) die zeitunabh¨ angige Dirac-Gleichung (cα · p + βmc2 + V (r))ψ(x) = Eψ(x) .

(8.2.4)

Es wird sich auch hier als zweckm¨ aßig erweisen, H in sph¨arischen Polarkoordinaten darzustellen. Dazu wollen wir zun¨ achst alle Symmetrieeigenschaften von H ausn¨ utzen. Der Gesamtdrehimpuls J aus Gl. (7.2.7 ) J = L11 +

 Σ 2

(8.2.5)

kommutiert mit H. Folglich gibt es gemeinsame Eigenzust¨ande von H, J2 und Jz . Anmerkungen: 2 Die Operatoren L  z , Σz und L kommutieren nicht mit H.    2 2 σ 0 (ii) F¨ ur Σ = folgt, daß 2 Σ = 34 11 = 12 1 + 12 2 11 diagonal 0 σ ist. (iii) L2 , Σ 2 und L·Σ sind ebenso wie H Skalare und kommutieren also mit J.

(i)

8.2 Dirac-Gleichung f¨ ur das Coulomb-Potential

171

Als notwendige Vorbereitung f¨ ur die exakte L¨osung der Dirac-Gleichung besprechen wir zun¨ achst die zweikomponentigen Pauli-Spinoren. Die PauliSpinoren, die man aus der nichtrelativistischen Quantenmechanik5 kennt, sind gemeinsame Eigenzust¨ ande von J2 , Jz und L2 mit den zugeh¨origen Quantenzahlen j, m und , wobei nun J = L + 2 σ der Gesamtdrehimpulsoperator im Raum der zweidimensionalen Spinoren ist. Aus den Produktzust¨anden  Y,mj + 12 01 |, mj + 1/2 | ↓   (8.2.6) bzw. Y,mj − 12 10 |, mj − 1/2 | ↑ (im Diracschen Ketraum bzw. in der Ortsdarstellung) bildet man Linearkombinationen, die Eigenzust¨ ande von J2 , Jz und L2 sind. Ausgehend von einem bestimmten  erh¨alt man ⎞ ⎛A +mj +1/2 Y ,m −1/2 j 2+1 ⎟ ⎜ (+) ⎟ zu j =  + 1 und ϕjmj = ⎜ 2 ⎠ ⎝A ⎛ A

−mj +1/2 2+1

Y,mj +1/2

−mj +1/2 2+1

Y,mj −1/2

⎞

⎟ ⎜ (−) ⎟ zu j =  − ϕjmj = ⎜ ⎠ ⎝ A +mj +1/2 − Y ,m +1/2 j 2+1

1 2

.

(8.2.7)

Die dabei auftretenden Koeffizienten sind die Clebsch-Gordan-Koeffizienten. (−) Gegen¨ uber QM I enthalten die Spinoren ϕjmj einen Faktor −1.  durchl¨auft die Werte  = 0, 1, 2, . . . , w¨ ahrend j und mj halbzahlig sind. Zu  = 0 gibt es (+) (+) (−) ande ϕjmj existieren nur f¨ ur  > 0, nur die Zust¨ ande ϕjmj ≡ ϕ 1 m . Die Zust¨ j 2 da l = 0 ein negatives j erg¨ abe. Die Kugelfunktionen erf¨ ullen ∗ Y,m = (−1)m Y,−m .

(8.2.8)

(±)

Die von ϕjmj erf¨ ullten Eigenwertgleichungen sind (von nun an  = 1): (±)

,

j=

(±)

(±)

,

mit  = j ∓

L2 ϕjmj = ( + 1)ϕjmj (±)

(±)

Jz ϕjmj = mj ϕjmj 5

1 3 , ,... 2 2

(±)

J2 ϕjmj = j(j + 1)ϕjmj

,

1 2

mj = −j, . . . , j .

QM I, Kapitel 10, Addition von Drehimpulsen

(8.2.9)

172

8. Bewegung im Coulomb-Potential

Außerdem gilt (±)

  3 (±) J2 − L2 − ϕjmj 4   3 (±) = j(j + 1) − ( + 1) − ϕjmj 4    (±) = ϕjmj − − 1   1 −1 + (j + 1/2) (±) = ϕjmj f u ¨r j =  ± . −1 − (j + 1/2) 2

L · σϕjmj =

(8.2.10)

Die folgende Definition erweist sich als zweckm¨aßig K = (1 + L · σ)

(8.2.11)

wobei nach Gl. (8.2.10) die Eigenwertgleichung   1 (±) (±) (±) Kϕjmj = ± j + ϕjmj ≡ kϕjmj 2

(8.2.12)

gilt. Die Parit¨ at von Ym ist aus Ym (−x) = (−1) Ym (x)

(8.2.13)

  absehbar. Zu jedem der Werte von j 12 , 32 , . . . gibt es zwei Pauli-Spinoren (+) (−) ϕjmj und ϕjmj , deren Bahndrehimpulse  sich um 1 unterscheiden und die deshalb entgegengesetzte Parit¨ at haben. Wir f¨ uhren die Notation ⎧ (+) ⎪  = j − 12 ⎨ ϕjmj (8.2.14) ϕjmj = ⎪ ⎩ ϕ(−) 1  = j + jmj 2 ein. Statt des Index (±) gibt man das  an, aus dem durch Addition (Subtraktion) von 12 die Quantenzahl j entsteht. Nach Gl. (8.2.13) hat ϕjmj die Parit¨ at (−1) , d.h. ϕjmj (−x) = (−1) ϕjmj (x) .

(8.2.15)

Bemerkung: Es gilt der folgende Zusammenhang (+)

ϕjmj =

σ · x (−) ϕjmj . r

(8.2.16) (+)

(−)

Begr¨ undung: Der Operator, der ϕjmj aus ϕjmj erzeugt, muß ein skalarer Operator ungerader Parit¨ at sein. Außerdem ist wegen des Unterschieds Δ = 1 die Ortsabh¨ angigkeit von der Form Y1,m (ϑ, ϕ) also proportional zu x . Es muß daher x mit einem Pseudovektor multipliziert werden. Der einzige

8.2 Dirac-Gleichung f¨ ur das Coulomb-Potential

173

ortsunabh¨ angige Pseudovektor ist σ . Der formale Beweis von (8.2.16) wird ¨ der Ubungsaufgabe 8.2 u ¨ berlassen. Der Dirac–Hamilton–Operator f¨ ur das Coulomb–Potential ist auch invariant gegen Raumspiegelungen, also gegen¨ uber der gesamten Operation (Gl. (6.2.33 )) P = β P (0) wo P (0) eine Raumspiegelung x → −x bewirkt6 . Man u ¨berzeugt sich davon direkt, indem man βP (0) H ausrechnet und dabei βα = −αβ verwendet:   1 Zα βP (0) α · ∇ + βm − ψ(x) i r   Zα 1 (8.2.17) ψ(−x) = β α(−∇) + βm − i r   1 Zα α · ∇ + βm − = βP (0) ψ(x) . i r Folglich kommutiert βP (0) mit H (8.2.17 )

[βP (0) , H] = 0 .

Da (βP (0) )2 = 1 ist, besitzt βP (0) die Eigenwerte ±1. Man kann deshalb gerade und ungerade Eigenzust¨ ande von βP (0) und H konstruieren (±)

(±)

(±)

βP (0) ψjmj (x) = βψjmj (−x) = ±ψjmj (x) .

(8.2.18)

Es sei bemerkt, daß der Pseudovektor J mit βP (0) kommutiert. Zur L¨ osung von (8.2.4) versuchen wir, die Viererspinoren aus PauliSpinoren zusammenzusetzen. Wenn in den beiden oberen Komponenten ϕjmj steht, muß man in den unteren Komponenten wegen β das andere zu j geh¨oriˆ ϕjmj . Das ergibt als L¨osungsansatz ge  nehmen, deshalb nach (8.2.16) σ · x die Vierer-Spinoren7   iG j (r)  ϕjmj  r ψjmj = F j (r) . (8.2.19) ˆ )ϕjmj r (σ · x Diese Spinoren haben die Parit¨ at (−1) , weil   . . . (−1) ϕjmj   βP ψjm (x) = βψ (−x) = β jmj j ˆ ϕjmj . . . (−1)+1 σ · x

(8.2.20)

 = (−1) ψjm (x) . j 6 7

Es kann dies auch aus der Kovarianz der Dirac–Gleichung und der Invarianz von 1 unter Raumspiegelungen gefolgert werden (Abschn. 6.2.2.4). r m   Da [J, σ · x] = 0, ist klar, daß JJz2 ψjm = j(j+1) ψjm gilt. j j

174

8. Bewegung im Coulomb-Potential

Die Faktoren 1r und i werden sich sp¨ ater als zweckm¨aßig erweisen. Der Dirac-Hamilton-Operator lautet in Matrixschreibweise   σ·p m − Zα r . H= σ · p −m − Zα r

(8.2.21)

 F¨ ur die Berechnung von Hψjm ben¨ otigen wir folgende Gr¨oßen8 :

ˆ σ· x ˆ σ·p f (r) ϕjmj σ·p f (r) ϕjmj = σ· x ˆ σ· x (x·p + iσ·L) f (r) ϕjmj r      ˆ 1 σ· x ∂f (r) + 1∓ j+ = −i r f (r) ϕjmj r ∂r 2 fu ¨r j =  ± 1/2 (8.2.22a) =

und ˆ ) f (r) ϕjmj (σ·p)(σ· x

   i ∂ 1 =− r +1± j+ f (r) ϕjmj r ∂r 2

(8.2.22b)

fu ¨r j =  ± 1/2 . Durch (8.2.22a,b) ist der winkelabh¨ angige Teil des Impulsoperators eliminiert, analog der kinetischen Energie in der nichtrelativistischen Quantenmechanik. Setzt man nun (8.2.19), (8.2.21) und (8.2.22) in die zeitunabh¨angige Dirac-Gleichung (8.2.4) ein, erh¨ alt man f¨ ur die Radialanteile     1 Fj (r) dFj (r) Zα ∓ j+ Gj (r) = − E −m+ r dr 2 r fu ¨r j =  ± 1/2     1 Gj (r) dGj (r) Zα ∓ j+ E +m+ Fj (r) = r dr 2 r

(8.2.23)

fu ¨r j =  ± 1/2 . Zur L¨ osung dieses Gleichungssystems f¨ uhrt man die Substitutionen α1 = m + E ρ = rσ

8

, ,

α2 = m − E  k = ± j + 12

, ,

√ √ σ = m2 − E 2 = α1 α2 γ = Zα (8.2.24)

ˆσ·x ˆ=1 σ · a σ · b = a · b + `iσ · a × b , ´⇒ σ · x p · xr = 1i ∇ · xr = 1i 3r − x · rx3 = − 2i r

8.2 Dirac-Gleichung f¨ ur das Coulomb-Potential

175

ein, wobei E < m f¨ ur die Bindungszust¨ ande vorausgesetzt wird und erh¨alt     d k α2 γ + − F− G=0 dρ ρ σ ρ     (8.2.25) k α1 γ d − + G− F =0. dρ ρ σ ρ Aus diesen Gleichungen sieht man, indem man die erste Gleichung differenziert und in die zweite einsetzt, daß sich f¨ ur große ρ normierbare L¨osungen F und G wie e−ρ verhalten. Deshalb wird der Ansatz F (ρ) = f (ρ)e−ρ , G(ρ) = g(ρ)e−ρ in (8.2.25) eingef¨ uhrt, welcher auf   α2 γ kf  f −f + − − g=0 ρ σ ρ   kg α1 γ − + f =0. g − g − ρ σ ρ

(8.2.26)

(8.2.27)

f¨ uhrt. Zur L¨ osung des Gleichungssystems (8.2.27) macht man den folgenden Potenzreihenansatz: g = ρs (a0 + a1 ρ + . . . ) , a0 = 0  0. f = ρs (b0 + b1 ρ + . . . ) , b0 =

(8.2.28)

Es ist hier f¨ ur g und f die gleiche Potenz angesetzt. Unterschiedliche Potenzen w¨ urden verschwindende a0 und b0 ergeben, wie man durch Einsetzen in (8.2.27) im Grenzfall ρ → 0 sieht. Damit die L¨osung bei ρ = 0 endlich ist, m¨ ußte s gr¨ oßer oder gleich 1 sein. Nach der Erfahrung mit der Klein-GordonGleichung sind wir darauf vorbereitet, s etwas kleiner als 1 zuzulassen. Einsetzen des Potenzreihenansatzes in (8.2.27) und Vergleich der Koeffizienur ν > 0: ten von ρs+ν−1 ergibt f¨ α2 aν−1 = 0 (8.2.29a) (s + ν + k)bν − bν−1 + γaν − σ α1 bν−1 = 0 . (8.2.29b) (s + ν − k)aν − aν−1 − γbν − σ F¨ ur ν = 0 ergibt sich (s + k)b0 + γa0 = 0 (s − k)a0 − γb0 = 0 .

(8.2.30)

Wir haben hier ein System von Rekursionsrelationen vorliegen. Die Koeffizienten a0 und b0 sind verschieden von Null, wenn die Determinante ihrer Koeffizienten in (8.2.30) verschwindet, also

176

8. Bewegung im Coulomb-Potential

 1/2 s = (±) k 2 − γ 2 .

(8.2.31)

Wegen des Verhaltens der Wellenfunktion am Ursprung nehmen wir das PlusZeichen. s h¨ angt nur von k 2 ab, also nur von j. Deshalb werden letztlich die beiden zu j geh¨ origen Zust¨ ande mit entgegengesetzter Parit¨at den gleichen Energiewert haben. Man erh¨ alt eine Beziehung zwischen aν und bν , indem man die erste Rekursionsrelation mit σ, die zweite mit α2 multipliziert und subtrahiert bν [σ(s + ν + k) + α2 γ] = aν [α2 (s + ν − k) − σγ] ,

(8.2.32)

wobei α1 α2 = σ 2 benutzt wurde. Wir u ¨ berzeugen uns im folgenden davon, daß die Potenzreihen ohne Abbruch zu divergierenden L¨ osungen f¨ uhren. Dazu untersuchen wir das asymptotische Verhalten der L¨ osung. F¨ ur große ν (und dies ist auch f¨ ur das Verhalten bei großen r maßgeblich) folgt aus (8.2.32) σνbν = α2 νaν , also α2 aν bν = σ und aus der ersten Rekursionsrelation (8.2.29a) νbν − bν−1 + γaν −

α2 aν−1 = 0 , σ

woraus schließlich bν =

2 2 bν−1 , aν = aν−1 ν ν

und f¨ ur die Reihe    (2ρ)ν aν ρν ∼ b ν ρν ∼ ∼ e2ρ ν! ν ν ν folgt. Die beiden Reihen w¨ urden sich asymptotisch wie e2ρ verhalten. Damit die L¨ osung (8.2.26) f¨ ur große ρ beschr¨ ankt ist, m¨ ussen die Reihen abbrechen. Wegen des Zusammenhangs (8.2.32) ist mit aν = 0 auch bν = 0 und nach den Rekursionsrelationen (8.2.29) sind auch alle weiteren Koeffizienten Null, da die Determinante dieses Gleichungssystems f¨ ur ν > 0 nicht verschwindet. Wir wollen annehmen, daß die beiden ersten verschwindenden Koeffizienten aN +1 = bN +1 = 0 seien. Dann ergeben beide Rekursionsrelationen (8.2.29a,b) die Abbruchbedingung α2 aN = −σbN , N = 0, 1, 2, . . . .

(8.2.33)

Man nennt N die radiale Quantenzahl“. Nun setzen wir in Gl. (8.2.32) ν = N ” und setzen die Abbruchbedingung (8.2.33) ein   σ2 bN σ(s + N + k) + α2 γ + σ(s + N − k) − γ =0 α2

8.2 Dirac-Gleichung f¨ ur das Coulomb-Potential

177

d.h. mit Gl. (8.2.24) 2σ(s + N ) = γ(α1 − α2 ) = 2Eγ .

(8.2.34)

Daraus erhalten wir E und sehen auch, daß E > 0 ist. Auch die Gr¨oße σ enth¨ alt nach Gl. (8.2.24) die Energie E. Wir f¨ ugen im folgenden wieder  und c ein und erhalten aus (8.2.34) 2(m2 c4 − E 2 )1/2 (s + N ) = 2Eγ . Wenn man diese Gleichung nach E aufl¨ ost, erh¨alt man sofort f¨ ur die Energieniveaus:  − 12 γ2 2 . (8.2.35) E = mc 1 + (s + N )2 Wir m¨ ussen nun noch die zur Hauptquantenzahl N zul¨assigen (nach Gl. (8.2.12) ganzzahligen) Werte von k bestimmen. F¨ ur N = 0 ergibt sich aus der Rekursionsrelation (8.2.30) b0 γ =− a0 s+k und aus der Abbruchbedingung (8.2.33) b0 α2 <0. =− a0 σ Da nach Gl. (8.2.31) s < |k| ist, folgt aus der ersten Beziehung  b0 < 0 fu ¨r k > 0 , > 0 fu ¨r k < 0 a0 ur k < 0 ergibt w¨ahrend aus der zweiten Bedingung immer ab00 < 0 folgt, d.h. f¨ sich ein Widerspruch. F¨ ur N = 0 kann k deshalb nur positiv ganzzahlig sein. F¨ ur N > 0 sind alle positiv und negativ ganzzahligen Werte von k zul¨assig. Mit der Definition der Hauptquantenzahl n = N + |k| = N + j + und dem Wert s = die Energieniveaus ⎡

(8.2.36)

 k 2 − γ 2 , aus Gl. (8.2.31), erh¨alt man aus (8.2.35) f¨ ur 

En,j = mc2 ⎣1 + ⎡

1 2

Zα  n − |k| + k 2 − (Zα)2

2 ⎤− 12 ⎦

⎛

⎢ = mc2 ⎣1 + ⎝

Zα A  2  j + 12 − (Zα)2 n − j + 12 +

⎞2 ⎤− 12 ⎠ ⎥ ⎦ .

(8.2.37)

178

8. Bewegung im Coulomb-Potential

Bevor wir das allgemeine Ergebnis diskutieren, geben wir den nichtrelativistischen Grenzfall mit den f¨ uhrenden Korrekturen an, welcher aus (8.2.37) durch Entwicklung nach Zα folgt:     1 (Zα)4 3 Z 2 α2 6 − − ) . En,j = mc2 1 − + O((Zα) 2n2 2n3 4n j + 12 (8.2.38) Der letzte Ausdruck stimmt mit der st¨ orungstheoretischen Berechnung der relativistischen Korrekturen u ¨berein (QM I, Gl. (12.5)). Wir besprechen nun das aus (8.2.37) folgende Termschema und die darin enthaltenen Entartungen. Zur Klassifizierung der Niveaus   bemerken wir: Die in Gl. (8.2.12) eingef¨ uhrte Quantenzahl k = ± j + 12 geh¨ort zu den =j∓ 1

(±)

Pauli-Spinoren ϕjmj = ϕjmj 2 . Anstatt k verwendet man traditionell die Quantenzahl . Positivem k ist folglich das kleinere der beiden Werte von  zugeordnet, die zu dem betrachteten j geh¨ oren. Die Quantenzahl k durchl¨auft die Werte k = ±1, ±2, . . . , und die Hauptquantenzahl n durchl¨auft die Werte n = 1, 2, . . . . Wir erinnern daran, daß zu N = 0 die Quantenzahl k positiv sein muß, also nach Gl. (8.2.36) k = n und folglich  = n − 1, sowie j = n − 12 . In der Tabelle 8.1 sind die Werte der Quantenzahlen k, j, j + 12 und  f¨ ur eine vorgegebene Hauptquantenzahl n zusammengefaßt. k

±1

±2

±(n − 1)

j

1/2

3/2

n − 1/2

j + 1/2

1

2

n



0 1

1 2

...

n−2 n−1

n

N

|k|

k

j



1

0

1

1

1/2

0

1S1/2

2

1 1

1 1

+1 −1

1/2 1/2

0 1

2S1/2 2P1/2

0

2

2

3/2

1

2P3/2

2 2

1 1

1 −1

1/2 1/2

0 1

3S1/2 3P1/2

1 1

2 2

2 −2

3/2 3/2

1 2

3P3/2 3D3/2

0

3

3

5/2

2

3D5/2

3

n

Tabelle 8.1. Werte der Quantenzahlen k, j, j + 12 und  f¨ ur vorgegebene Hauptquantenzahl n

n−1

Tabelle 8.2. Die Werte der Quantenzahlen; Hauptquantenzahl n, radiale Quantenzahl N , k, Drehimpuls j und 

8.2 Dirac-Gleichung f¨ ur das Coulomb-Potential

179

In Tabelle 8.2 sind die Quantenzahlen f¨ ur n = 1, 2 und 3 und die Energieniveaus in der spektroskopischen Notation n Lj angegeben. Es sei betont, daß der Bahndrehimpuls L nicht erhalten ist, und die Quantenzahl  eigentlich nur als Ersatz von k bzw. zur Charakterisierung der Parit¨at eingef¨ uhrt wurde. 8 > > > > > < n=3

> > > > > :

k=3 k=2 k=1

k = −1

S1/2

8 > < n=2

> : j

n=1

k=2 k=1

k=1

k = −1

S1/2

P3/2

k = −2

D5/2 D3/2

P1/2 P3/2 P1/2

S1/2

Abb. 8.3. Das Termschema von Wasserstoff nach der Dirac-Gleichung f¨ ur die Werte der Hauptquantenzahl n = 1, 2 und 3.

In Abb. 8.3 ist das Termschema des relativistischen Wasserstoffatoms nach Gl. (8.2.37) f¨ ur die Werte der Hauptquantenzahl n = 1, 2 und 3 dargestellt. Die Niveaus 2S1/2 und 2P1/2 , sowie 3S1/2 und 3P1/2 , sowie 3P3/2 und 3D3/2 usw. sind entartet. Diese Paare entarteter Niveaus geh¨oren zu entgegengesetzten Eigenwerten des Operators K = 1 + L·σ, z.B. hat 2P3/2 den Wert k = 2, w¨ahrend 2D3/2 den Wert k = −2 besitzt. Die einzigen nicht entarteten Niveaus sind 1S1/2 , 2P3/2 , 3D5/2 usw. Dies sind gerade die niedrigsten Niveaus zu festem j oder die Niveaus mit radialer Quantenzahl N = 0, f¨ ur die in dem Gl. (8.2.35) folgenden Absatz gezeigt wurde, daß das zugeh¨orige k nur positiv sein kann. Die niedrigsten Energieniveaus sind in Tabelle 8.3 angegeben. Die

n



1 S1/2

1

0

1 2

2 S1/2

2

0

1 2

En,j /mc2

j

p

1 − (Zα)2

q 1+

q 2 P1/2

2

1

1 2

2 P3/2

2

1

3 2

1+

1 2

√ √

1−(Zα)2 2 1−(Zα)2 2

p 4 − (Zα)2

Tabelle 8.3. Energieniveaus

Die

niedrigsten

180

8. Bewegung im Coulomb-Potential

n=2, l=0,1 Feinstruktur + Lamb-Verschiebg. + Hyperfeinstruktur 2

P3/2

23.6 2

S1/2

10950 2

177

S1/2 2P1/2

2

P1/2

1057 59

Abb. 8.4. Aufspaltung der Energieniveaus des Wasserstoffatoms in MHz auf Grund der relativistischen Terme (Feinstruktur, (Abb. 8.3)), der Lamb-Verschiebung und der Hyperfeinstruktur.

Energieeigenwerte f¨ ur N = 0 sind nach Gl. (8.2.37) und (8.2.36)  E = mc

2

γ2 1+ 2 k − γ2

− 12

 = mc

2

γ2 1+ 2 n − γ2

− 12

= mc2

 1 − γ 2 /n2 . (8.2.39)

In Abb. 8.4 ist das Niveau n = 2, l = 1 nach der Schr¨odinger-Gleichung und die Aufspaltung nach der Dirac-Theorie (Gl. (8.2.37)) –als Feinstruktur bezeichnet– dargestellt. Dar¨ uber hinaus sind weitere kleinere Aufspaltungen aufgrund der Lamb-Verschiebung und der Hyperfeinstruktur9 gezeichnet. Es sei noch bemerkt, daß alle Niveaus noch eine (2j + 1)-fache Entartung wegen der Unabh¨ angigkeit von der Quantenzahl mj besitzen. Diese Entartung ist eine allgemeine Folge der Rotationsinvarianz des Hamilton¨ Operators (siehe die analoge Uberlegung in QM I, Abschn. 6.3). Die Feinstrukturaufspaltung zwischen dem 2P3/2 und den 2P1/2 und 2S1/2 Niveaus betr¨ agt 10950 MHz − D 0.45 × 10−4 eV. Wie schon bemerkt, ist es zur Klassifizierung der Niveaus u ¨ blich, die nichtrelativistische Bezeichnungsweise zu verwenden. Man gibt n, j und  an, wo  der Index des Pauli-Spinors ist, der hier eigentlich nur ein Charakteristikum der Parit¨ at ist. ande sind entartet, so wie in erster Ordnung Die 2 S1/2 und 2 P1/2 -Zust¨ St¨ orungstheorie. Dies ist nicht u ¨ berraschend, da sie die beiden Eigenzust¨ande entgegengesetzter Parit¨ at zum selben N und j sind. Der 2 P3/2 -Zustand hat eine h¨ ohere Energie als der 2 P1/2 -Zustand. Die Energiedifferenz r¨ uhrt von der Feinstrukturaufspaltung durch die Spin-Bahn-Wechselwirkung her. Generell liegen bei festem n die Zust¨ ande mit gr¨ oßerem j energetisch h¨oher. Die Grundzustandsenergie    (Zα)4 (Zα)2 − ··· (8.2.40) E1 = mc2 1 − (Zα)2 = mc2 1 − 2 8 9

Abschn. 9.2.2 und QM I, Kap. 12

8.2 Dirac-Gleichung f¨ ur das Coulomb-Potential

181

ist zweifach entartet, mit den beiden normierten Spinoren ; 1 + γ¯ (2mZα)3/2 √ (2mZαr)γ¯ −1 ψn=1,j= 12 ,mj = 12 (r, ϑ, ϕ) = 2Γ (1 + 2¯ γ) 4π ⎛ ⎞ 1 ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ × e−mZαr ⎜ i(1−¯γ ) cos ϑ ⎟ (8.2.41a) ⎝ ⎠ Zα i(1−¯ γ) sin ϑ eiϕ ; Zα 1 + γ¯ (2mZα)3/2 √ (2mZαr)γ¯ −1 ψn=1,j= 12 ,mj =− 12 (r, ϑ, ϕ) = 2Γ (1 + 2¯ γ) 4π ⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ × e−mZαr ⎜ i(1−¯γ ) sin ϑ e−iϕ ⎟ (8.2.41b) ⎠ ⎝ Zα −i(1−¯ γ) cos ϑ Zα √ mit γ¯ = 1 − Z 2 α2 und der Gammafunktion Γ (x). Die Normierung ist auf ! 3 † d xψn=1,j= 1 ,m =± 1 (ϑ, ϕ)ψn=1,j= 12 ,mj =± 12 (ϑ, ϕ) = 1 fixiert. Die beiden Spij 2 2 noren besitzen die Quantenzahlen mj = +1/2 und mj = −1/2. Sie sind aufgebaut aus Bahndrehimpulseigenfunktionen Y00 in den beiden Komponenten 1 und 2 und Y1,m=0,±1 in den Komponenten 3 und 4. Im nichtrelativistischen γ Grenzfall α → 0, γ¯ → 1, 1−¯ osungen auf die Zα −→ 0 reduzieren sich diese L¨ Schr¨ odinger-Wellenfunktionen multipliziert mit Pauli-Spinoren in den beiden oberen Komponenten. √ 2 2 Die L¨ osung (8.2.41) weist eine schwache Singularit¨at rγ¯ −1 = r 1−Z α −1 2 2 ≈ r−Z α /2 auf. Diese macht sich allerdings nur in einer winzigen Region bemerkbar r<

2 1 10−16300/Z e − Z 2 α2 = 2mZα 2mZα

2

.

Außerdem tritt in realen Kernen bei Ber¨ ucksichtigung des endlichen Kernradius diese Singularit¨ at nicht auf. F¨ ur Zα > 1 wird γ¯ imagin¨ar, dann werden die L¨ osungen oszillierend, aber alle realen Kerne erf¨ ullen Zα < 1 und dar¨ uberhinaus verschiebt sich diese Schranke f¨ ur ausgedehnte Kerne.

182

8. Bewegung im Coulomb-Potential

Aufgaben zu Kapitel 8 8.1 Weisen Sie nach, daß die Relation » «– „ ∂ i 1 ˆ )f (r)ϕjmj = − r f (r)ϕjmj +1± j + (σ · p)(σ · x r ∂r 2 gilt. 8.2 Zeigen Sie die Richtigkeit der im Zusammenhang mit der L¨ osung der DiracGleichung f¨ ur das Wasserstoffatom angegebenen Beziehung, Gl. (8.2.16), (+)

ϕjmj =

σ · x (−) ϕjmj . r (−)

Hinweis: Verwenden Sie, daß ϕjmj Eigenfunktion von σ · L ist, und berechnen Sie ˆ ´ ˜ ` den Kommutator σ · L, σ·x (Ergebnis: 2r r 2 σ · ∇ − (σ · x)(x · ∇) − σ · x ) oder r den Antikommutator. 8.3 Leiten Sie die Rekursionsrelationen (8.2.29a,b) f¨ ur die Koeffizienten aν und bν her. 8.4 Berechnen Sie die Grundzustands-Spinoren des Wasserstoffatoms aus der DiracGleichung. 8.5 Ein geladenes Teilchen bewegt sich in einem homogenen elektromagnetischen ahlen Sie die Eichung A = (0, Bx, 0) Feld B = (0, 0, B) und E = (E0 , 0, 0). W¨ und geben Sie die Energie-Niveaus an, indem Sie von der Klein-Gordon-Gleichung ausgehen.

9. Foldy-Wouthuysen-Transformation und Relativistische Korrekturen

In diesem Kapitel wird die Foldy-Wouthuysen-Transformation dargestellt, die es erlaubt relativistische Korrekturen auch f¨ ur Potenziale, die komplizierter als das 1/r-Potenzial sind, zu berechnen. Im Anschluß an deren Berechnung werden Korrekturen h¨ oherer Ordnung besprochen und dazu eine einfache Absch¨ atzung der Lamb-Verschiebung gegeben.

9.1 Die Foldy-Wouthuysen-Transformation 9.1.1 Problemstellung Es ist auch f¨ ur andere elektrostatische Potentiale als das Coulomb-Potential wichtig, die relativistischen Korrekturen berechnen zu k¨onnen. Gerade f¨ ur Kerne mit hoher Ladungszahl, bei denen die relativistischen Korrekturen wichtig werden, ist deren Ausdehnung nicht vernachl¨assigbar, und man hat deshalb Abweichungen vom 1/r Potential. Durch die kanonische Transformation von Foldy und Wouthuysen1 wird die Dirac-Gleichung in zwei entkoppelte zweikomponentige Gleichungen u uhrt. Die Gleichung f¨ ur die ¨ bergef¨ Komponenten 1 und 2 geht dabei im nichtrelativistischen Grenzfall in die Pauli-Gleichung u alt dar¨ uber hinaus Zusatzterme, die relati¨ ber und enth¨ vistische Korrekturen beinhalten. Die Energien f¨ ur diese Komponenten sind positiv. Die Gleichung f¨ ur die Komponenten 3 und 4 beschreibt die Zust¨ande negativer Energie. Aus den expliziten L¨ osungen der fr¨ uheren Abschnitte ist ersichtlich, daß f¨ ur positive Energie die Spinorkomponenten 1 und 2 groß und die Komponenten 3 und 4 klein sind. Wir suchen eine Transformation, die die kleinen und großen Komponenten der Spinoren voneinander entkoppelt. In der Behandlung des nichtrelativistischen Grenzfalls (Abschnitt 5.3.5) hatten wir diese Entkopplung durch Elimination der kleinen Komponenten erreicht. Jetzt wollen wir diesen Grenzfall systematisch untersuchen und dabei die relativistischen Korrekturen herleiten. Der Dirac–Hamilton–Operator enth¨alt nach einer in der Literatur u ¨ blichen Klassifikation zwei Arten von Termen: Unge” rade“ Operatoren sind Operatoren, die große und kleine Komponenten kopi i peln (α , γ , γ5 ); Gerade“ Operatoren sind Operatoren, die große und kleine ” Komponenten nicht koppeln (11, β, Σ). 1

L.L. Foldy und S.A. Wouthuysen, Phys. Rev. 78, 29 (1950)

184

9. Foldy-Wouthuysen-Transformation und Relativistische Korrekturen

Die kanonische (unit¨ are) Transformation, die die gew¨ unschte Entkopplung leisten soll, wird in der Form ψ = e−iS ψ 

(9.1.1)

angesetzt, wobei im allgemeinen Fall S zeitabh¨angig sein kann. Dann folgt aus der Dirac–Gleichung   i∂t ψ = i∂t e−iS ψ  = ie−iS ∂t ψ  + i ∂t e−iS ψ  = Hψ = He−iS ψ  (9.1.2a) und somit die Bewegungsgleichung f¨ ur ψ    i∂t ψ  = eiS (H − i∂t )e−iS ψ  ≡ H  ψ 

(9.1.2b)

mit dem Hamilton–Operator nach der Foldy–Wouthuysen–Transformation H  = eiS (H − i∂t )e−iS .

(9.1.2c)

Die Zeitableitung auf der rechten Seite der letzten Gleichung wirkt nur auf e−iS . Man versucht S so zu konstruieren, daß H  keine ungeraden Operatoren enth¨ alt. F¨ ur freie Teilchen kann man eine exakte Transformation 1 angewiefinden, w¨ ahrend man sonst auf eine Reihenentwicklung nach m sen ist, und in sukzessiven Transformationen diese Bedingung Ordnung f¨ ur 1 1 Ordnung in m erf¨ ullt. Jeder Potenz in m entspricht tats¨achlich ein Fakp ∼ vc ; das ist im atomaren Bereich ungef¨ahr gleich der Sommerfeldtor mc schen Feinstrukturkonstante α, da nach der Heisenbergschen Unsch¨arferela  tion vc ≈ cmΔx ≈ cma = α ist. 9.1.2 Transformation f¨ ur freie Teilchen F¨ ur freie Teilchen vereinfacht sich der Dirac–Hamilton–Operator zu H = α · p + βm

(9.1.3)

mit dem Impulsoperator p = −i∇. Da {α, β} = 0 ist, ist das Problem analog dazu, eine unit¨ are Transformation zu finden, die den Pauli–Hamilton– Operator H = σx Bx + σz Bz

(9.1.4a)

auf Diagonalform bringt, so daß im transformierten H nur 11 und σz vorkommen. Dies erreicht man durch die Drehung um einen durch (Bx , By , 0) bestimmten Winkel ϑ0 um die y-Achse i

1

e 2 σy ϑ0 = e 2 σz σx ϑ0 .

(9.1.4b)

Diese Gleichung legt den Ansatz e±iS = e±β

α·p ϑ(p) |p|

= cos ϑ ±

βα·p sin ϑ |p|

(9.1.5)

nahe, wobei S hier zeitunabh¨ angig ist. Die letzte Relation ergibt sich aus der Taylor-Entwicklung der e-Potenz und aus

9.1 Die Foldy-Wouthuysen-Transformation

1 i j i j {α , α } p p = δ ij pi pj = p2 2 (β α · p)2 = β α · p β α · p = −β 2 (α · p)2 = −p2 . (α · p)2 = αi αj pi pj =

185

(9.1.6a) (9.1.6b)



Setzt man (9.1.5) in (9.1.2c) ein, so erh¨ alt man f¨ ur H :   βα·p β α·p ϑ  |p| H =e sin ϑ (α · p + βm) cos ϑ − |p|

« βα·p sin ϑ (α · p + βm) |p| « „ α·p βα·p 2β |p| ϑ sin 2ϑ (α · p + βm) =e (α · p + βm) = cos 2ϑ + |p| α·p

„

= eβ |p| ϑ cos ϑ +

    |p| m sin 2ϑ + βm cos 2ϑ + sin 2ϑ . = α · p cos 2ϑ − |p| m

(9.1.7)

Die Forderung, daß die ungeraden Terme verschwinden, liefert die Bedingung tg 2ϑ = |p| m , woraus sin 2ϑ =

p tg 2ϑ = , 2 2 1/2 (m + p2 )1/2 (1 + tg 2ϑ)

cos 2ϑ =

m (m2 + p2 )1/2

folgt. Setzt man dies in Gl. (9.1.7) ein, erh¨ alt man schließlich m p · p  + = β p2 + m2 . H  = βm E mE

(9.1.8)

Die Diagonalkomponenten sind nichtDamit ist H  in Diagonalform gebracht.  lokale2 Hamilton-Operatoren ± p2 + m2 . Beim ersten Versuch (Abschn. 5.2.1) eine nichtrelativistische Theorie zu konstruieren, bei der die Zeitableitung von ersterOrdnung ist, stießen wir auf den Operator p2 + m2 . Die Ersetzung von p2 + m2 durch lineare Operatoren f¨ uhrt zwingend auf eine vierkomponentige Theorie und neben positiven zu negativen Energien. alt noch den Charakter der vierkomponentigen Theorie u Auch H  enth¨ ¨ ber die Abh¨ angigkeit von der Matrix β, welche f¨ ur die oberen und unteren beiden Komponenten unterschiedlich ist. Diese Transformation ist nur f¨ ur freie Teilchen exakt m¨oglich. 9.1.3 Wechselwirkung mit elektromagnetischem Feld Interessant ist nat¨ urlich vor allem der Fall von endlichen elektromagnetischen Feldern. Wir nehmen an, daß die Potentiale A und Φ vorgegeben seien, dann lautet der Dirac–Hamilton–Operator H = α · (p − eA) + βm + eΦ = βm + E + O . 2

(9.1.9a) (9.1.9b)

Nichtlokal, weil Ableitungen beliebig hoher Ordnung auftreten. In einer diskretisierten Theorie bedeutet n-te Ableitung eine Wechselwirkung zwischen Gitterpl¨ atzen, die n Einheiten voneinander entfernt sind.

186

9. Foldy-Wouthuysen-Transformation und Relativistische Korrekturen

Hier haben wir die Zerlegung in einen Term proportional zu β, einen geraden (even) Term E und einen ungeraden (odd) Term O eingef¨ uhrt: E = eΦ und O = α(p − eA) .

(9.1.10)

Diese haben unterschiedliche Vertauschungseigenschaften mit β: βE = Eβ ,

βO = −Oβ .

(9.1.11)

Aus der Struktur der L¨ osung im feldfreien Fall (9.1.5) ist bekannt, daß dort f¨ ur kleine ϑ, also im nichtrelativistischen Grenzfall, iS = β

p α·p ϑ ∼ βα |p| 2m

ist. Wir erwarten deshalb, daß sukzessive Transformationen dieser Art auf 1 f¨ uhren werden. Zur Berechnung von H  verwenden eine Entwicklung in m wir die Baker–Hausdorff–Identit¨ at3 i3 i2 [S, [S, H]] + [S, [S, [S, H]]] + 2 6 2 i4 i ˙ − i [S, [S, S]] ˙ , + [S, [S, [S, [S, H]]]] − S˙ − [S, S] 24 2 6

H  = H + i[S, H] +

(9.1.12)

die nur bis zur ben¨ otigten Ordnung aufgeschrieben wurde. Die ungeraden Terme werden bis zur Ordnung m−2 eliminiert, w¨ahrend die geraden bis zur Ordnung m−3 berechnet werden. In Analogie zur Vorgangsweise bei freien Teilchen wird nach der Bemerkung im vorigen Absatz f¨ ur S angesetzt: S = −iβO/2m .

(9.1.13)

F¨ ur den zweiten Term in (9.1.12) ergibt sich i[S, H] = −O +

1 β [O, E] + βO2 , 2m m

(9.1.14)

wobei die einfachen Zwischenrechnungen [βO, β] = βOβ − ββO = −2O [βO, E] = β[O, E]

(9.1.15)

[βO, O] = βO − OβO = 2βO 2

2

verwendet wurden. Bevor wir die h¨ oheren Kommutatoren berechnen, sei an dieser Stelle schon festgehalten, daß durch den ersten Term in (9.1.14) der Term O in H kompensiert wird. Das Ziel, den ungeraden Operator O wegzutransformieren, ist 3

eA Be−A = B + [A, B] + . . . +

1 n!

[A, [A, . . . , [A, B] . . . ]] + . . .

9.1 Die Foldy-Wouthuysen-Transformation

187

damit erreicht; es treten zwar neue ungerade Terme auf, wie z.B. der zweite Term in (9.1.14), aber diese haben einen zus¨atzlichen Faktor m−1 . Wir kommen nun zu den weiteren Termen in (9.1.12). Der zus¨ atzliche Kommutator mit iS kann mittels (9.1.14), (9.1.15) und (9.1.11) sofort angeschrieben werden βO2 1 i2 1 [S, [S, H]] = − − [O, [O, E]] − O3 , 2 2 2m 8m 2m2 ebenso i3 O3 1 β [S, [S, [S, H]]] = − βO4 − [O, [O, [O, E]]] . 3! 6m2 6m3 48m3 Bei den ungeraden Operatoren gen¨ ugt es, bis m−2 zu gehen, deshalb kann hier der dritte Term auf der rechten Seite weggelassen werden. Die n¨achsten Beitr¨ age zu (9.1.12) schreiben wir nur bis zur ben¨otigten Ordnung in 1/m an: βO4 i4 [S, [S, [S, [S, H]]]] = 4! 24m3 −S˙ =

iβ O˙ 2m

i ˙ = − i [O, O] ˙ . − [S, S] 2 8m2 Insgesamt erh¨ alt man f¨ ur H  :  2  O O4 i 1  ˙ H = βm + β − [O, [O, E]] − [O, O] +E − 2m 8m3 8m2 8m2 O3 iβ O˙ β [O, E] − ≡ βm + E  + O . + (9.1.16) + 2 2m 3m 2m Hier werden E und alle geraden Potenzen von O zu einem neuen geraden Term E  und die ungeraden Potenzen zu einem neuen ungeraden Term O zusammengefaßt. Die ungeraden Terme treten nur mehr in Ordnung von 1 mindestens m auf. Um sie weiter zu reduzieren, wenden wir eine weitere Foldy-Wouthuysen-Transformation an   β O3 −iβ  −iβ iβ O˙  O = [O, E] − . (9.1.17) + S = 2m 2m 2m 3m2 2m Diese Transformation ergibt 



H  = eiS (H  − i∂t )e−iS = βm + E  + ≡ βm + E  + O .

β iβ O˙  [O , E  ] + 2m 2m

(9.1.18)

188

9. Foldy-Wouthuysen-Transformation und Relativistische Korrekturen

Da O von der Ordnung 1/m ist, treten in O nur mehr Terme von der Ordnung 1/m2 auf. Durch diese Transformation entstehen auch weitere gerade 2 Terme, die aber alle von h¨ oherer Ordnung sind. Zum Beispiel βO /2m = βe2 E2 /8m3 ∼ βe4 /m3 r4 ∼ Ry α4 . Durch die Transformation S  =

−iβO 2m

(9.1.19)

eliminiert man auch den ungeraden Term O ∼ O Operator 



1 m2

 . Das Ergebnis ist der



H  = eiS (H  − i∂t )e−iS = βm + E    % O4 O2 1 $ ˙ , O, [O, E] + i O − =β m+ + E − 2m 8m3 8m2

(9.1.20)

der nur mehr aus geraden Termen besteht. ultige Form zu bringen, Um den Hamilton–Operator H  in seine endg¨ m¨ ussen wir (9.1.10) einsetzen und f¨ ur die einzelnen Terme folgende Umformungen durchf¨ uhren: 2. Term von H  : 1 1 e O2 = (α · (p − eA))2 = (p − eA)2 − Σ ·B, 2m 2m 2m 2m

(9.1.21a)

da αi αj = αi β 2 αj = −γ i γ j = −

 1 i j {γ , γ } + [γ i , γ j ] = −g ij + iεijk Σ k 2

= δ ij + iεijk Σ k und der gemischte Term mit εijk −e (pi Aj + Ai pj ) iεijk Σ k = −ie ((pi Aj ) + Aj pi + Ai pj ) εijk Σ k = −e (∂i Aj ) εijk Σ k = −e B · Σ ergibt. 5. Term von H  : Zun¨ achst ergibt die Berechnung des zweiten Arguments des Kommutators

= > [O, E] + iO˙ = αi (pi − eAi ), eΦ − ieαi A˙ i

= −ieαi ∂i Φ + A˙ i = ieαi E i . Es bleibt somit die Berechnung von [O, α · E] = αi αj (pi − eAi )E j − αj E j αi (pi − eAi ) = (pi − eAi )E i − E i (pi − eAi ) +iεijk Σ k (pi − eAi )E j − iεjik Σ k E j (pi − eAi ) = (pi E i ) + Σ · ∇ × E − 2iΣ · E × (p − eA) .

9.1 Die Foldy-Wouthuysen-Transformation

189

Somit lautet der 5. Term in H  −

ie e ie [O, α · E] = − div E − Σ ·∇×E 8m2 8m2 8m2 e Σ · E × (p − eA) . − 4m2

(9.1.21b)

Setzt man (9.1.10) und (9.1.21a,b) in (9.1.20) ein, so erh¨alt man den endg¨ ultigen Ausdruck f¨ ur H    1 (p − eA)2 2 2 − H  = β m + [(p − eA) − eΣ · B] + eΦ 2m 8m3 ie e (9.1.22) βΣ · B − Σ · rot E − 2m 8m2 e e Σ · E × (p − eA) − div E . − 4m2 8m2 Der Hamilton-Operator H  enth¨ alt keine ungeraden Operatoren mehr, folglich werden die Komponenten 1 und 2 nicht mit den Komponenten 3 und onnen durch zweikomponentige 4 gekoppelt. Die Eigenfunktionen von H  k¨ Spinoren in den oberen und unteren Komponenten von ψ  dargestellt werden,   die positiven und negativen Energien entsprechen. F¨ ur ψ  = ϕ0 nimmt die Dirac-Gleichung in Foldy-Wouthuysen-Darstellung die Form  1 p4 ∂ϕ e = m + eΦ + (p − eA)2 − σ·B− i ∂t 2m 2m 8m3  (9.1.23) e e − σ · E × (p − eA) − div E ϕ 4m2 8m2 an. Hier ist ϕ ein zweikomponentiger Spinor, und die Gleichung ist identisch mit der Pauli-Gleichung zuz¨ uglich der relativistischen Korrekturen. Die ersten vier Terme auf der rechten Seite von (9.1.23) sind: Ruheenergie, Potential, kinetische Energie und Kopplung des magnetischen Moments e e μ = 2m σ = 2 2m S an das Magnetfeld B. Wie im Abschnitt 5.3.5.2 ausf¨ uhrlich besprochen ergibt sich der gyromagnetische Faktor (Land´e–Faktor) aus der Dirac–Gleichung zu g = 2. Die drei folgenden Terme sind die relativistischen Korrekturen, die wir im folgenden Abschnitt diskutieren werden. Bemerkung. In Gl. (9.1.23) ist nur der f¨ uhrende Term, der aus O4 folgt und in 4 (9.1.22) noch enthalten ist, n¨ amlich p angegeben. Der Gesamtausdruck ist −

β β β O4 = − ((p − eA)2 − eΣB)2 = − [(p − eA)4 + e2 B2 + 8m3 8m3 8m3 +eΣ · B − 2eΣ · B(p − eA)2 − 2ieσj ∇Bj (p − eA)] .

¨ Auch wurde beim Ubergang von (9.1.22) nach (9.1.23) rot E = 0 vorausgesetzt.

190

9. Foldy-Wouthuysen-Transformation und Relativistische Korrekturen

9.2 Relativistische Korrekturen und Lamb–Verschiebung 9.2.1 Relativistische Korrekturen Wir besprechen nun die relativistischen Korrekturen, die sich aus (9.1.22) bzw. (9.1.23) ergeben. Sei E = −∇Φ(r) = − r1 ∂Φ ∂r x und A = 0, dann ist rot E = 0 und Σ·E×p=−

1 ∂Φ 1 ∂Φ Σ·x×p=− Σ ·L . r ∂r r ∂r

(9.2.1)

Es treten in Gl. (9.1.23) drei Korrekturterme auf (p2 )2 relativistische Massenkorrektur 8m3 e 1 ∂Φ σ·L Spin-Bahn-Kopplung H2 = 4m2 r ∂r e e H3 = − div E = ∇2 Φ(x) Darwin-Term. 8m2 8m2 H1 = −

(9.2.2a) (9.2.2b) (9.2.2c)

Zusammen (V = eΦ) f¨ uhren diese auf den St¨or–Hamilton–Operator H1 + H 2 + H 3 = −

2 (p2 )2 1 1 ∂V σ · L + + ∇2 V (x) . 8m3 c2 4m2 c2 r ∂r 8m2 c2 (9.2.2d)

Die Gr¨ oßenordnung all dieser Korrekturen erh¨alt man mittels der Heisenbergschen Unsch¨ arferelation v 2 p 2 = Ry = Ry α2 = mc2 α4 , Ry × mc c wobei α = e20 (= e20 /c) die Feinstrukturkonstante ist. Der Hamilton– Operator (9.2.2d) bewirkt die Feinstruktur der Atomniveaus. Die st¨orungstheoretische Berechnung der Energieverschiebung f¨ ur wasserstoffartige Atome mit Z-fach geladenem Kern wurde in QM I, Kap. 12 dargestellt; das Ergebnis in erster Ordnung St¨ orungstheorie ist   n Ry Z 2 (Zα)2 3 − ΔEn,j=± 12 , = . (9.2.3) n2 n2 4 j + 12 Die Energieeigenwerte h¨ angen neben n nur von j ab. Demnach sind die (n = 2)–Niveaus 2 S1/2 und 2 P1/2 entartet. Diese Entartung ist auch in der exakten L¨ osung der Dirac-Gleichung vorhanden (siehe (8.2.37) und Abb. 8.3). Mit der Bestimmung der relativistischen St¨ orterme H1 , H2 und H3 aus der Dirac–Theorie ist somit die st¨ orungstheoretische Berechnung der Feinstrukturkorrekturen O(α2 ) auf eine einheitliche Basis gestellt.

9.2 Relativistische Korrekturen und Lamb–Verschiebung

191

Bemerkungen: (i) Die heuristische Interpretation der relativistischen Korrekturen wurde in QM I, Kap. 12 besprochen. p Der Term H1 folgt aus der Entwicklung der relativistischen kinetischen Energie p2 + m2 . Den Term H2 kann man sich verst¨ andlich machen, indem man in das Ruhesystem des Elektrons transformiert. Dessen Spin sp¨ urt das Magnetfeld, das von dem dann um das Elektron kreisenden Kern erzeugt wird. Den Term H3 kann man durch die Zitterbewegung des Elektrons mit einer Amplitude δx = c/m interpretieren. (ii) Das Auftreten der zus¨ atzlichen Wechselwirkungsterme in der Foldy-Wouthuysen-Darstellung kann man folgendermaßen verstehen. Die Analyse der Transformation von der Dirac-Darstellung ψ auf ψ  zeigt, daß der Zusammenhang nicht lokal ist4 Z ψ  (x) = d3 x K(x, x )ψ(x ) , wobei der Kern in dem Integral K(x, x ) so beschaffen ist, daß ψ  (x) an der Stelle x sich aus Beitr¨ agen zusammensetzt, die von ψ aus einer Umgebung der Ausdehnung von der Gr¨ oßenordnung der Compton-Wellenl¨ ange des Teilchens ¯ λc um den Punkt x stammen. Somit geht ein in der urspr¨ unglichen Darstellung scharf lokalisierter Spinor in der Foldy-Wouthuysen-Darstellung in einen Spinor u ¨ber, welcher einem u ¨ ber eine endliche Region ausgedehnten Teilchen zu entsprechen scheint. Dies gilt auch umgekehrt. Das effektive Potential, das auf einen Spinor in der Foldy-WouthuysenDarstellung an der Stelle x wirkt, setzt sich zusammen aus Beitr¨ agen des urspr¨ unglichen Potentials A(x), Φ(x) gemittelt u ¨ ber eine Umgebung um x. Das gesamte Potential hat deshalb die Form einer Multipolentwicklung des urspr¨ unglichen Potentials. Aus dieser Sicht sind die Wechselwirkung des magnetischen Moments, die Spin-Bahn-Wechselwirkung und der Darwin-Term verst¨ andlich. (iii) Da die Foldy-Wouthuysen-Transformation im allgemeinen zeitabh¨ angig ist, ist im allgemeinen der Erwartungswert von H  verschieden vom Erwartungswert von H. Falls A(x) und Φ(x) zeitunabh¨ angig sind, d.h. zeitunabh¨ angige elektromagnetische Felder, dann ist auch S zeitunabh¨ angig, und dann sind die Matrixelemente des Dirac-Hamilton-Operators und insbesondere dessen Erwartungswert in den beiden Darstellungen gleich. (iv) Eine alternative Methode5 zur Herleitung der relativistischen Korrekturen geht 1 aus von der Resolvente R = H−mc 2 −z des Dirac-Hamilton-Operators H. Diese ist 1 analytisch in c um c = ∞ und kann nach 1c entwickelt werden. In nullter Ordnung erh¨ alt man den Pauli–Hamilton–Operator und in O( c12 ) die relativistischen Korrekturen.

9.2.2 Absch¨ atzung der Lamb–Verschiebung Es gibt noch zwei weitere Effekte, die zu Verschiebungen und Aufspaltungen von Energieniveaus in Atomen f¨ uhren. Das sind die vom Magnetfeld des Kerns herr¨ uhrende Hyperfeinwechselwirkung (siehe QM I, Kap. 12), und die

4 5

Foldy, Wouthuysen, op. cit., S. 183 F. Gesztesy, B. Thaller u. H. Grosse, Phys. Rev. Lett. 50, 625 (1983)

192

9. Foldy-Wouthuysen-Transformation und Relativistische Korrekturen

Lamb–Verschiebung, die im folgenden in einer vereinfachten Theorie dargestellt wird.6 Die Nullpunktschwankungen des quantisierten Strahlungsfeldes koppeln an das im Atom gebundene Elektron, so daß der Ort des Elektrons schwankt, und es das Coulomb-Potential des Kerns etwas verschmiert sieht. Dieser Effekt ist qualitativ ¨ ahnlich dem Darwin-Term, nur ist das Schwankungsqua¨ drat des Elektronenortes kleiner: Wir betrachten die Anderung des Potentials durch eine kleine Verschiebung δx 1 V (x + δx) = V (x) + δx ∇V (x) + δxi δxj ∇i ∇j V (x) + . . . 2

.

(9.2.4)

Unter der Voraussetzung, daß die Mittelung u ¨ber diese Schwankungen δx = 0 ist, erhalten wir ein Zusatzpotential  1 ΔHLamb = V (x + δx) − V (x) = (δx)2 ∇2 V (x) 6  1 2 (3) (δx) 4π Zαc δ (x) . (9.2.5) = 6 Der Mittelwert   ist als quantenmechanischer Mittelwert im Vakuumzustand des Strahlungsfeldes zu verstehen. In erster Ordnung St¨orungstheorie werden durch (9.2.5) nur s-Wellen beeinflußt, die eine Energieverschiebung der Gr¨oße  2πZαc  2 ΔELamb = (δx)2 |ψn,=0 (0)| 3  (2mcZα)3 Zαc  = (9.2.6) (δx)2 δ,0 2 3 12 n  3/2 erfahren, wobei ψn,=0 (0) = √1π mαcZ eingesetzt wurde. Die Verschien bung der p, d, . . . Elektronen ist wegen des Verschwindens von ψ(0) selbst bei Ber¨ ucksichtigung des endlichen Radius des Kerns gegen¨ uber den s-Wellen erheblich kleiner. Genaugenommen ist der Kern ausgedehnt, und es sind auch nicht alle Effekte, die zur Lamb-Verschiebung beitragen, von der Form ΔV , wie in dieser vereinfachten Theorie.  atzen, d.h. δx mit den Schwankungen des Wir m¨ ussen nun (δx)2 absch¨ Strahlungsfeldes in Verbindung bringen. Dazu gehen wir von der nichtrelativistischen Heisenberg-Gleichung f¨ ur das Elektron aus: m δ¨ x = eE . Die Fouriertransformation ∞ dω −iωt δx(t) = e δxω 2π

(9.2.7)

(9.2.8)

−∞

ergibt 6

Die hier dargestellte einfache Absch¨ atzung der Lamb–Verschiebung folgt T.A. Welton, Phys. Rev. 74, 1157 (1948).

9.2 Relativistische Korrekturen und Lamb–Verschiebung

  (δx(t))2 =

∞ −∞

dω 2π

∞ −∞

dω  δxω δxω  . 2π

193

(9.2.9)

Wegen der zeitlichen Translationsinvarianz ist dieses Schwankungsquadrat unabh¨ angig von der Zeit und kann deshalb bei t = 0 berechnet werden. Aus Gl. (9.2.7) folgt e Eω . (9.2.10) m ω2 F¨ ur das Strahlungsfeld verwenden wir die Coulomb Eichung, auch transversale Eichung, div A = 0. Dann gilt wegen der Abwesenheit von Quellen 1 ˙ E(t) = − A(0, t) . (9.2.11) c Das Vektorpotential des Strahlungsfeldes kann durch Erzeugungs– (Vernichtungs–)operatoren a†k,λ (ak,λ ) f¨ ur Photonen mit dem Wellenzahlvektor k, der Polarisation λ und dem Polarisationsvektor εk,λ (λ = 1, 2) dargestellt werden7 δxω = −

A(x, t) =

 k,λ

:

 2πc ak,λ εk,λ ei(kx−ckt) + a†k,λ ε∗k,λ e−i(kx−ckt) . (9.2.12) Vk

Die Polarisationsvektoren sind orthogonal zu k und zueinander. Aus (9.2.12) folgt f¨ ur die Zeitableitung und das Fourier–transformierte elektrische Feld :

1 ˙ 1   2πc − A(0, t) = ick ak,λ εk,λ e−ickt − a†k,λ ε∗k,λ eickt c c Vk k,λ

und ∞ dt eiωt E(t)

Eω = −∞

=i

 k,λ

:

(2π)3 kc ak,λ εk,λ δ(ω − ck) − a†k,λ ε∗k,λ δ(ω + ck) V

(9.2.13)

Nun kann unter Verwendung von (9.2.9), (9.2.10) und (9.2.13) das Schwankungsquadrat des Ortes des Elektrons berechnet werden    dω dω  e2 1 Eω Eω  (δx(t))2 = 2 2 2 2 (2π)  m ω ω

 2π ck e2   ak,λ εk,λ − a†k,λ ε∗k,λ =− 2 2  2 m V (ck) (ck ) k,λ k ,λ

× ak ,λ εk ,λ − a†k ,λ ε∗k ,λ . 7

QM I, Abschnitt 16.4.2

194

9. Foldy-Wouthuysen-Transformation und Relativistische Korrekturen

Der Erwartungswert ist nur dann endlich, wenn das gleiche Photon, das vernichtet wird, auch erzeugt wird. Wir setzen außerdem voraus, daß sich das Strahlungsfeld im Grundzustand, d.h. im Vakuumzustand |0 befindet, dann folgt mit ak,λ a†k,λ = 1 + a†k,λ ak,λ und ak,λ |0 = 0 ? @ d3 k   † † a + a a a k,λ k,λ k,λ k,λ (2π)2 (ck)3 λ=1,2  2  2 e2 dk  = , π c mc k

  e2 (δx(t))2 = 2 m



(9.2.14)

! d3 k !∞  wo auch V1 k → (2π) dk k1 ist ultraviolett– 3 ersetzt wurde. Das Integral 0 (k → ∞) und infrarot– (k → 0) divergent. Tats¨ achlich gibt es physikalische Gr¨ unde, die Integration bei einer unteren und einer oberen Grenze (cutoff) abzuschneiden. Die obere Grenze ist in Wirklichkeit endlich, wenn man auf relativistische Effekte Bedacht nimmt. Die Divergenz an der unteren Grenze wird automatisch vermieden, wenn man das Elektron statt mit der freien Bewegungsgleichung (9.2.7) quantenmechanisch unter Bedachtnahme auf die diskrete Atomstruktur behandelt. Die qualitative Absch¨ atzung der beiden Grenzen, beginnend mit der oberen, l¨auft folgendermaßen. Wegen der Zitterbewegung des Elektrons ist dessen Schwerpunkt u oße der Compton-Wellenl¨ange aus¨ ber ein Gebiet von der Gr¨ gedehnt. Licht, dessen Wellenl¨ ange kleiner ist als die Compton-Wellenl¨ange, f¨ uhrt im Mittel zu keiner Verschiebung des Elektrons, weil innerhalb einer Compton-Wellenl¨ ange genausoviele Wellenberge wie Wellent¨aler liegen. Des1 , halb ist die obere Abschneidewellenzahl durch die Compton-Wellenl¨ange m beziehungsweise die zugeh¨ orige Energie m gegeben. F¨ ur die untere Grenze liegt es nahe, den Bohrschen Radius anzunehmen (Zαm)−1 , bzw. die zugeh¨ orige Wellenzahl Zαm. Das gebundene Elektron wird durch Wellenl¨angen, die gr¨ oßer als a = (Zαm)−1 sind, nicht beeinflußt. Die Mindestfrequenz f¨ ur induzierte Oszillationen ist Zαm. Eine andere plausible M¨oglichkeit w¨are orige L¨ange (Z 2 α2 m)−1 , die tydie Rydberg-Energie Z 2 α2 m und die zugeh¨ ¨ pische Wellenl¨ ange des bei einem optischen Ubergang ausgesandten Lichts. Lichtschwankungen mit gr¨ oßerer Wellenl¨ ange werden keinen Einfluß auf das gebundene Elektron haben. Die komplette quantenelektrodynamische Theorie ist nat¨ urlich frei von derartigen heuristischen Argumentationen. Nimmt man die erste Absch¨atzung der unteren Abschneidefrequenz, folgt ωmax

1 dω = ω

ωmin

m dω

1 1 = log , ω Zα

Zαm

und damit aus Gl. (9.2.6) und (9.2.14)

9.2 Relativistische Korrekturen und Lamb–Verschiebung



195

2

 (2mc Zα)3 Zαc 2 e2 1 δ,0 log 2 3 12 n π c mc Zα 8Z 4 α3 1 1 2 2 α mc δ,0 . = log 3 3πn Zα 2

ΔELamb =

(9.2.15)

Das entspricht einer Frequenzverschiebung8 ΔνLamb = 667 MHz f u ¨r

n = 2, Z = 1,  = 0 .

Die experimentell beobachtete Verschiebung9 ist 1057.862 ± 0.020 MHz. Die komplette quantenelektrodynamische Theorie der strahlungstheoretischen Korrekturen ergibt 1057.864 ± 0.014 MHz.10 Gegen¨ uber dem DarwinTerm sind die Strahlungskorrekturen um einen Faktor α log α1 kleiner. Die vollst¨ andigen Strahlungskorrekturen enthalten auch α(Zα)4 -Terme, die numerisch etwas kleiner sind. Auch Niveaus mit  = 0 werden – allerdings weniger – verschoben als die s-Niveaus. Die Quantenelektrodynamik berechnet die strahlungstheoretischen Korrekturen mit einer eindrucksvollen Genauigkeit10,11 . Auch dort treten in der Theorie zun¨ achst Divergenzen auf. Und zwar gibt die Ankopplung an das quantisierte Strahlungsfeld eine Energieverschiebung des Elektrons, die (im nichtrelativistischen Grenzfall) proportional zu p2 ist, d.h. das Strahlungsfeld erh¨ oht die Masse des Elektrons. Meßbar ist jedoch nicht die nackte Masse, sondern nur die diesen Kopplungseffekt enthaltende physikalische (renormierte) Masse. Derartige Massenverschiebungen gibt es f¨ ur das freie und f¨ ur das gebundene Elektron, beide sind divergent. Man muß nun die Theorie dergestalt umformulieren, daß nur mehr die renormierte Masse auftritt. Dann findet man f¨ ur das gebundene Elektron noch eine endliche Energieverschiebung, die Lamb-Verschiebung11. Bei dieser Rechnung von Bethe, die nichtrelativistisch ist und nur den oben beschriebenen Selbstenergie-Effekt des Elektrons enth¨ alt, ergibt sich ein unterer cutoff von 16.6 Ry und eine Lamb–Verschiebung von 1040 MHz. Als Kuriosit¨at erinnern wir an die beiden vor Gl.(9.2.15) gegebenen Absch¨ atzungen der unteren Abschneidewellenzahl; wenn man das geometrische Mittel dieser beiden nimmt, erh¨alt man 2 f¨ ur Z = 1 als logarithmischen Faktor in (9.2.15) log 16.55 α2 , was wiederum ΔE = 1040 MHz ergibt. 8 9

10

11

T.A. Welton, Phys. Rev. 74, 1157 (1948) Die erste experimentelle Beobachtung stammt von W.E. Lamb, Jr. and R.C. Retherford, Phys. Rev. 72, 241 (1947), verfeinert in S. Triebwasser, E.S. Dayhoff und W.E. Lamb, Phys. Rev. 89, 98 (1953) N.M. Kroll and W.E. Lamb, Phys. Rev. 75, 388 (1949); J.B. French and V.F. Weisskopf, Phys. Rev. 75, 1240 (1949); G.W. Erickson, Phys. Rev. Lett. 27, 780 (1972); P.J. Mohr, Phys. Rev. Lett. 34, 1050 (1975); siehe auch Itzykson and Zuber, op. cit p. 358 Die erste theoretische (nichtrelativistische) Berechnung der Lamb–Verschiebung stammt von H.A. Bethe, Phys. Rev. 72, 339 (1947). Siehe auch S.S. Schweber, An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory, Harper & Row, New York 1961, p. 524.; V.F. Weisskopf, Rev. Mod. Phys. 21, 305 (1949)

196

9. Foldy-Wouthuysen-Transformation und Relativistische Korrekturen

Abschließend kann man sagen, daß die pr¨ azise theoretische Erkl¨arung der Lamb–Verschiebung einen Triumph der Quantenfeldtheorie darstellt.

Aufgaben zu Kapitel 9 9.1 Verifizieren Sie die im Text angegebenen Ausdr¨ ucke f¨ ur i i3 1 [S, [S, H]] , [S, [S, [S, H]]] , [S, [S, [S, [S, H]]]] 2 6 24

(9.2.16)

i βO, wobei O ≡ α(p − eA). mit H = α(p − eA) + βm + eΦ und S = − 2m

9.2 In dieser Aufgabe wird f¨ ur die Klein–Gordon Gl. eine zur Foldy-Wouthuysen analoge Transformation ausgef¨ uhrt, die auf die relativistischen Korrekturen f¨ uhrt. (a) Zeigen Sie, daß sich die Klein-Gordon-Gleichung ∂2ϕ = (∇2 − m2 )ϕ ∂t2 mit Hilfe der Substitutionen „ « i ∂ϕ 1 ϕ+ und θ= 2 m ∂t

χ=

1 2

„ « i ∂ϕ ϕ− m ∂t

in eine Matrixgleichung i

∂Φ = H0 Φ ∂t

« „ « 1 1 ∇2 1 0 + m ist. u uhren l¨ aßt, wobei Φ = χ und H0 = − ¨berf¨ −1 −1 2m 0 −1 (b) Unter Verwendung der minimalen Kopplung (p → π = p − eA) ergibt sich die Klein-Gordon-Gleichung in Zweikomponenten-Formulierung f¨ ur Teilchen im elektromagnetischen Feld j „ « „ « ff ∂Φ 1 1 π2 1 0 i = − + m + eV (x) Φ(x) . −1 −1 2m 0 −1 ∂t `θ ´

„

(c) Diskutieren Sie den nicht-relativistischen Grenzfall dieser Gleichung und vergleichen Sie mit den entsprechenden Resultaten f¨ ur die Dirac-Gleichung. Hinweis: Der Hamilton-Operator der Klein-Gordon-Gleichung unter „ Punkt « 1 0 (b) l¨ aßt sich auf die Form H = O + E + ηm bringen mit η = , 0 −1 „ « 0 1 π2 π2 π2 O = ρ 2m = , und E = eV + η 2m . Zeigen Sie in Analogie zur −1 0 2m Vorgehensweise bei der Dirac-Gleichung, daß sich im Fall statischer ¨ außerer Felder u aherte Schr¨ odinger¨ber eine Foldy-Wouthuysen-Transformation Φ = eiS Φ die gen¨    = H Φ mit Gleichung i ∂Φ ∂t „ « π2 1 π4 H = η m + + . . . + eV + [π 2 , [π 2 , eV ]] + . . . − 2m 8m3 32m4 ergibt. Der dritte und f¨ unfte Term ergeben die f¨ uhrenden relativistischen Korrekturen. Zur Gr¨ oße siehe Gl. (8.1.19) und Bemerkung (ii) in Abschn. 10.1.2.

10. Physikalische Interpretation der Lo ¨sungen der Dirac-Gleichung

Die Dirac-Gleichung in der bisherigen Interpretation als Wellengleichung enth¨ alt einige grunds¨ atzlich unannehmbare Z¨ uge. Die Gleichung besitzt L¨osungen mit negativer Energie und f¨ ur ruhende Teilchen L¨osungen mit negativer Ruhemasse. Die kinetische Energie in diesen Zust¨anden ist negativ; das Teilchen bewegt sich entgegengesetzt zur Bewegung in den u ¨ blichen Zust¨ anden positiver Energie. So wird ein Teilchen mit der Ladung eines Elektrons durch das Feld eines Protons abgestoßen (Die Matrix β mit den negativen Matrixelementen β33 und β44 multipliziert m und die kinetische Energie, nicht jedoch den Potentialterm eΦ in Gl. (9.1.9).). Diese Zust¨ande sind in dieser Form in der Natur nicht realisiert. Das Hauptproblem ist nat¨ urlich deren negative Energie, die unterhalb der tats¨achlichen niedrigsten Energie der Zust¨ ande mit positiver Ruheenergie liegt. Deshalb sollte es Strahlungs¨ uberg¨ ange, begleitet von der Emission von Lichtquanten, von den Zust¨ anden positiver Energie zu negativer Energie geben. Die Zust¨ande positiver Energie w¨ aren instabil, weil es unendlich viele Zust¨ande negativer Energie gibt, in die sie unter Lichtemission u ¨ bergehen k¨onnten – es sei denn, diese Zust¨ ande w¨ aren alle besetzt. Man kann diese Zust¨ ande nicht einfach mit dem Argument, sie seien in der Natur nicht realisiert, ausschließen. Die positiven Zust¨ande f¨ ur sich bilden keinen vollst¨andigen Satz von L¨ osungen. Dies hat folgende physikalische Konsequenz: Wenn bei einer ¨ außeren Einwirkung wie etwa bei einer Messung das Elektron in einen beliebigen Zustand gebracht wird, wird dieser in aller Regel eine Kombination von positiven und negativen Energien sein. Insbesondere dann, wenn ein Elektron in eine Region lokalisiert wird, die kleiner als seine Compton-Wellenl¨ ange ist, werden die Zust¨ande negativer Energie stark beitragen.

10.1 Wellenpakete und Zitterbewegung In den vorhergehenden Abschnitten haben wir vornehmlich Eigenzust¨ande des Dirac-Hamilton-Operators untersucht, d.h. station¨are Zust¨ande. Nun wollen wir allgemeine L¨ osungen der zeitabh¨ angigen Dirac-Gleichung studieren. Dazu gehen wir analog zur nichtrelativistischen Theorie vor und betrachten Superpositionen von station¨ aren Zust¨ anden f¨ ur freie Teilchen. Es wird sich

198

10. Physikalische Interpretation der L¨ osungen der Dirac-Gleichung

dabei zeigen, daß derartige Wellenpakete Eigenschaften besitzen, die im Vergleich zur nichtrelativistischen Theorie ungew¨ohnlich erscheinen (siehe Abschn. 10.1.2). 10.1.1 Superposition von Zust¨ anden positiver Energie Zuerst werden wir nur Zust¨ ande mit positiver Energie superponieren  d3 p m  ψ (+) (x) = b(p, r)ur (p)e−ipx (10.1.1) (2π)3 E r=1,2 und die Eigenschaften derartiger Wellenpakete untersuchen. Hier sind ur (p) die freien Spinoren positiver Energie und b(p, r) sind komplexe Amplituden. m Der Faktor (2π) 3 E ist im Hinblick auf eine einfache Normierungsbedingung eingesetzt. 3

Wir bemerken am Rande, daß dEp ein Lorentz-invariantes Maß ist, wobei wie p immer E = p2 + m2 bedeutet. Dazu f¨ uhren wir die Umformung Z

1 = d p E

Z

3

Z∞ 3

d p

Z

0

Z =

δ(p0 − E) = dp0 E

dp0 δ(p20 − E 2 ) =

dp0 2δ(p20 − E 2 )

d p Z

Z∞ d3 p

Z∞ 3

0

(10.1.2)

d4 p δ(p2 − m2 )

−∞

durch. Sowohl d4 p wie auch die δ-Funktion sind Lorentz-kovariant. Es transformiert d4 p = det Λ d4 p = ± d4 p wie ein Pseudoskalar, wo die Jacobi-Determinante det Λ f¨ ur eigentliche Lorentz-Transformationen 1 ist.

Die zu (10.1.1) geh¨ orige Dichte ist durch j (+)0 (t, x) = ψ (+)† (t, x)ψ (+) (t, x)

(10.1.3a)

gegeben. Die u ¨ ber den gesamten Raum integrierte Dichte    3 3  d p d p m2  ∗ d3 x j (+)0 (t, x) = d3 x b (p, r) b(p , r ) (2π)6 EE   r,r

  × u†r (p)ur (p )ei(E−E )t−i(p−p )x   d3 p m |b(p, r)|2 = 1 = 3 E (2π) r

(10.1.3b)

wird Sinne einer Wahrscheinlichkeitsdichte auf den Wert 1 normiert, wobei ! 3 imi(p−p  )x = (2π)3 δ (3) (p−p ) und die Orthogonalit¨atsrelation (6.3.19a)1 d xe 1

u†r (p) ur (p) = u ¯r (p)γ 0 ur (p) =

E m

δrr

10.1 Wellenpakete und Zitterbewegung

199

ben¨ utzt wurden, und die Zeitabh¨ angigkeit wegf¨allt. Die totale Dichte ist zeitunabh¨ angig. Aus dieser Gleichung ist die Normierung der Amplituden b(p, r) festgelegt. Als n¨ achstes berechnen wir den Gesamtstrom, der durch   (+) 3 (+) = d x j (t, x) = d3 x ψ (+)† (t, x)α ψ (+) (t, x) (10.1.4) J definiert ist. Analog zur Nullkomponente erh¨ alt man   2  d3 x 3 3  m J(+) = p d p b∗ (p, r)b(p , r ) d (2π)6 EE   r,r

  × u†r (p)α ur (p )ei(E−E )t−i(p−p )x  d3 p  m2 ∗ = b (p, r)b(p, r )u†r (p)α ur (p) (2π)3  E 2 r,r

(10.1.4 ) .

F¨ ur die weitere Auswertung ben¨ otigen wir die Gordon-Identit¨at (siehe Aufgabe 10.1) u ¯r (p)γ μ ur (q) =

1 u ¯r (p) [(p + q)μ + iσ μν (p − q)ν ] ur (q) . 2m

(10.1.5)

Zusammen mit den Orthonormalit¨ atsgleichungen der ur , u ¯r (k)us (k) = δrs , Gl. (6.3.15) folgt aus (10.1.4 ) "p#   d3 p m 2 p J(+) = |b(p, r)| = . (10.1.6) (2π)3 E E E r Das bedeutet, daß der totale Strom gleich dem Mittelwert der Gruppengeschwindigkeit  ∂ p2 + m2 p ∂E vG = = = (10.1.7) ∂p ∂p E ist. Soweit gibt es keine gegen¨ uber der nichtrelativistischen Quantenmechanik ungew¨ ohnlichen Z¨ uge. 10.1.2 Allgemeines Wellenpaket Wenn wir allerdings von einem allgemeinen Wellenpaket ausgehen und dieses nach dem vollst¨ andigen System von L¨ osungen der freien Dirac-Gleichung entwickeln, dann treten auch Zust¨ ande negativer Energie auf. Der Anfangsspinor sei die Gauß-Funktion ψ(0, x) =

2 2 1 eixp0 −x /4d w , (2πd2 )3/4

(10.1.8)

200

10. Physikalische Interpretation der L¨ osungen der Dirac-Gleichung

  wobei beispielsweise w = ϕ0 , also zum Zeitpunkt Null nur Anteile mit positiver Energie vorkommen und d die lineare Ausdehnung des Pakets charakterisiert. Der allgemeinste Spinor kann durch die folgende Superposition dargestellt werden   d3 p m   b(p, r)ur (p)e−ipx + d∗ (p, r)vr (p)eipx . ψ(t, x) = 3 (2π) E r (10.1.9) Wir ben¨ otigen noch die Fourier-Transformation der im Anfangsspinor (10.1.8) auftretenden Gauß-Funktion  2 2 2 2 (10.1.10) d3 x eixp0 −x /4d −ip·x = (4πd2 )3/2 e−(p−p0 ) d . Zur Bestimmung der Entwicklungkoeffizienten b(p, r) und d(p, r) bilden wir die Fourier-Transformation zur Zeit t = 0 von ψ(0, x) und setzen dabei (10.1.8) und (10.1.10) auf der linken Seite (10.1.9) ein 2 2 m (b(p, r)ur (p) + d∗ (˜ p, r)vr (˜ p)) , (10.1.11) (8πd2 )3/4 e−(p−p0 ) d w = E r wo p˜ = (p0 , −p). Die Orthogonalit¨ atsrelationen (6.3.19a-c) u¯r (k)γ 0 us (k) =

E δrs = u†r (k) us (k) m

v¯r (k)γ 0 vs (k) =

E δrs = vr† (k) vs (k) m

˜ 0 us (k) = v¯r (k)γ

0

˜ us (k) = vr† (k)

p) die Fourierliefern nach Multiplikation von (10.1.11) mit u†r (p) und vr† (˜ Amplituden b(p, r) = (8πd2 )3/4 e−(p−p0 )

2 2

d

d∗ (˜ p, r) = (8πd2 )3/4 e−(p−p0 )

u†r (p)w

2 2

d

vr† (˜ p)w ,

(10.1.12)

die beide endlich sind. Damit ist die eingangs gemachte Feststellung gezeigt, daß ein allgemeines Wellenpaket Komponenten positiver und negativer Energie enth¨alt; wir wollen nun die physikalischen Konsequenzen derartiger Wellenpakete studieren. Zun¨ achst betrachten wir der Einfachheit halber ein nicht laufendes Wellen¨ die sich aus p0 = 0 ergeben, paket, also p0 = 0. Einige der Anderungen, werden nach Gl. (10.1.14b) besprochen.  ur Da w = ϕ0 vorausgesetzt wurde, folgt aus der Darstellung (6.3.11a,b) f¨ |p| ∗ die Spinoren freier Teilchen ur und vr das Verh¨altnis d (p, r)/b(p, r) ∼ m+E .

10.1 Wellenpakete und Zitterbewegung

201

1 Wenn die Ausdehnung des Pakets groß ist, d  m , dann ist |p|  d−1  m ∗ und deshalb d (p)  b(p). In diesem Fall sind Negativ-Energiekomponenten unwesentlich. Falls wir jedoch das Teilchen st¨ arker als die Compton-Wellenl¨ange lokalisie1 , dann spielen die L¨ osungen mit negativer Energie eine ren wollen, d  m wichtige Rolle:

|p| ∼ d−1  m , d.h. d∗/b ∼ 1. Die Normierung   d3 x ψ † (t, x)ψ(t, x) =

 d3 p m   |b(p, r)|2 + |d(p, r)|2 = 1 3 (2π) E r

ist aufgrund der Kontinuit¨ atsgleichung unabh¨ angig von der Zeit. Der Gesamtstrom f¨ ur den Spinor (10.1.9) lautet   > d3 p m pi  = |b(p, r)|2 + |d(p, r)|2 J i (t) = 3 (2π) E E r $ b∗ (˜ p, r)d∗ (p, r )e2iEt u ¯r (˜ p)σ i0 vr (p) +i r,r  

− b(˜ p, r)d(p, r )e

−2iEt

(10.1.13)

% v¯ (p)σ ur (˜ p) . r

i0

Der erste Term ist ein zeitunabh¨ angiger Beitrag zum Strom. Der zweite Term 2 = 2 × 1021 sec−1 enth¨ alt Oszillationen mit Frequenzen, die gr¨ oßer als 2mc  sind. Man bezeichnet diese oszillierende Bewegung als Zitterbewegung. Bei der Herleitung wurde neben der Gordon Identit¨ at (10.1.5) auch p)γ μ vr (q) = u ¯r (˜

1 u ¯r (˜ p) [(˜ p − q)μ + iσ μν (˜ p + q)ν ] vr (q) 2m

(10.1.14a)

verwendet, woraus p)αi vr (p) = u ¯r (˜ p)γ i vr (p) u†r (˜ i 1 h i (˜ p − pi )¯ = ur (˜ p)vr (p) + u ¯r (˜ p) σ iν (˜ p + p)ν vr (p) 2m

(10.1.14b)

folgt. ` ´ agt der erste Term von F¨ ur den Anfangsspinor (10.1.8) mit w = ϕ0 und p0 = 0 tr¨ i (10.1.14b) nicht zu J (t) in (10.1.13) bei. Falls der Spinor w auch Komponenten 3 und 4 enth¨ alt, oder p0 = 0 ist, kommt es auch zu Zitterbewegungsanteilen vom ¨ ersten Term aus (10.1.14b) Es ergibt sich ein Zusatzterm (siehe Ubungsaufgabe 10.2) zu (10.1.13)

202

10. Physikalische Interpretation der L¨ osungen der Dirac-Gleichung Z 2 2 d3 p m 1 (p2 − mpγ)γ0 w . ΔJ i (t) = (8πd2 )3/2 e−2(p−p0 ) d e2iEt pi w† (2π)3 E 2m2 (10.1.13 )

Die Amplitude der Zitterbewegung erh¨ alt man aus dem Mittelwert von x  x = d3 x ψ † (t, x) x ψ(t, x)  (10.1.15a) = d3 x ψ † (0, x)eiHt x e−iHt ψ(0, x) . ¨ Zur Berechnung von x bestimmen wir zun¨ achst die zeitliche Anderung von x, denn diese l¨ aßt sich mit dem schon berechneten Strom in Verbindung bringen  d d x = d3 x ψ † (0, x)eiHt x e−iHt ψ(0, x) dt dt  (10.1.15b) = d3 x ψ † (t, x) i [H, x] ψ(t, x)  = d3 x ψ † (t, x) α ψ(t, x) ≡ J(t) . Bei der Berechnung des Kommutators wurde H = α · 1i ∇ + βm eingesetzt. Die Integration dieser Relation u ¨ber die Zeit zwischen 0 und t ergibt ohne (10.1.13 )   i  i > d3 p mpi  = x = x t=0 + |b(p, r)|2 + |d(p, r)|2 t 3 2 (2π) E r   d3 p m $ + b∗ (˜ p, r)d∗ (p, r )e2iEt u ¯r (˜ p)σ i0 vr (p) (10.1.16) (2π)3 2E 2  r,r % + b(˜ p, r)d(p, r )e−2iEt v¯r (p)σ i0 ur (˜ p) . 1 Der Mittelwert von xi enth¨ alt Oszillationen mit der Amplitude ∼ E1 ∼ m ∼  −11 = 3.9 × 10 cm. Die Zitterbewegung kommt von der Interferenz von mc Komponenten mit positiver und negativer Energie.

Bemerkungen: (i) Falls ein Spinor neben Zust¨ anden mit positiver Energie auch Zust¨ande mit negativer Energie enth¨ alt, kommt es zur Zitterbewegung. Wenn man Bindungszust¨ ande nach freien L¨ osungen entwickelt, enthalten diese auch Anteile negativer Energie. Beispiel: Grundzustand des Wasserstoffatoms (Gl. 8.2.41)

10.1 Wellenpakete und Zitterbewegung

203

(ii) Eine Zitterbewegung gibt es auch in der Klein-Gordon-Gleichung. Auch dort erh¨ alt man f¨ ur Wellenpakete, die enger als die Compton-Wellenl¨ange age von L¨osungen mit negativer Enerλc π− = mc− lokalisiert sind, Beitr¨ π gie, die u ¨ ber eine Ausdehnung λc π− schwanken. Die Energieverschiebung in einem Coulomb-Potential (Darwin-Term) ist jedoch im Vergleich zu ¨ 9.2)2 . Spin 12 Teilchen um einen Faktor α kleiner. (Siehe Ubungsbeispiel ∗

10.1.3 Allgemeine L¨ osung der freien Dirac-Gleichung im Heisenberg-Bild Das Auftreten der Zitterbewegung kann man auch sehen, indem man die Dirac-Gleichung im Heisenberg-Bild l¨ ost. Heisenberg-Operatoren sind u ¨ber O(t) = eiHt/ Oe−iHt/

(10.1.17)

definiert, woraus die Bewegungsgleichung dO(t) 1 = [O(t), H] dt i

(10.1.18)

folgt. Wir setzen voraus, daß das Teilchen frei sein m¨oge, d.h. A = 0, Φ = 0. Der Impuls kommutiert in diesem Fall mit H = c α · p + βmc2

(10.1.19)

dp(t) =0, dt

(10.1.20)

woraus p(t) = p = const folgt. Weiters sieht man v(t) =

1 dx(t) = [x(t), H] = c α(t) dt i

(10.1.21a)

und dα 1 2 = [α(t), H] = (cp − Hα(t)) . dt i i

(10.1.21b)

Da H = const (zeitunabh¨ angig) ist, folgt die L¨osung der letzten Gleichung  2iHt  (10.1.22) v(t) = c α(t) = cH −1 p + e  α(0) − cH −1 p . Die Integration von (10.1.22) ergibt x(t) = x(0) + 2

c p c2 p c 2iHt t+ e  − 1 α(0) − . H 2iH H

(10.1.23)

Eine didaktische Diskussion dieser Ph¨ anomene findet man in H. Feshbach and F. Villars, Rev. Mod. Phys. 30, 24 (1958).

204

10. Physikalische Interpretation der L¨ osungen der Dirac-Gleichung

F¨ ur freie Teilchen gilt αH + Hα = 2cp , woraus cp cp α− H +H α− =0 H H

(10.1.24)

folgt. Die L¨ osung (10.1.23) enth¨ alt neben dem Anfangswert x(0), einen Term linear in t, der der Bewegung mit der Gruppengeschwindigkeit entspricht und einem oszillierenden Term, der die Zitterbewegung darstellt. Bei der Berech! nung des Mittelwerts ψ † (0, x)x(t)ψ(0, x)d3 x kommt es auf die Matrixelemente des Operators α(0) − cp H an. Dieser Operator besitzt nur zwischen Zust¨ anden mit gleichem Impuls nichtverschwindende Matrixelemente. Das Verschwinden des Antikommutators (10.1.24) bedingt dar¨ uber hinaus, daß die Energien entgegengesetzt sein m¨ ussen. Daraus folgt, daß die Zitterbewegung von der Interferenz von Zust¨ anden positiver und negativer Energie herr¨ uhrt. ∗

10.1.4 Klein-Paradoxon, Potentialschwelle

Eines der einfachsten exakt l¨ osbaren Probleme in der nichtrelativistischen Quantenmechanik ist die Bewegung in Gegenwart einer Potentialschwelle (Abb. 10.1). Wenn die Energie E der von links einlaufenden ebenen Welle kleiner als die H¨ ohe V0 der Potentialschwelle ist, also E < V0 , dann wird die Welle reflektiert und dringt in den klassisch unzug¨anglichen Bereich nur 3 exponentiell wie e−κx ein, mit κ = 2m(V0 − E) ; also umso weniger je gr¨ oßer die Energiedifferenz V0 − E ist. Auch die L¨osung der Dirac-Gleichung ¨ ist leicht zu finden, enth¨ alt jedoch einige Uberraschungen. Wir nehmen an, daß von links eine ebene Welle mit positiver Energie einfalle. Die L¨ osung im Gebiet I setzt sich nach Abseparation der gemeinsamen Zeitabh¨ angigkeit e−iEt aus der einfallenden L¨osung V(x 3 ) V0 E

x3 I

II

Abb. 10.1. Stufenpotential der H¨ ohe V0

10.1 Wellenpakete und Zitterbewegung

⎛ ψein (x3 ) = eikx

3

⎜ ⎜ ⎝

205

⎞

1 0 ⎟ ⎟ k ⎠ E+m 0

und der reflektierten L¨ osung ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 1 0 ⎜ ⎟ 3 ⎜ 0 ⎟ −ikx3 ⎜ 1 ⎟ ⎟ ψrefl (x3 ) = a e−ikx ⎜ ⎝ −k ⎠ + b e ⎝ 0 ⎠ E+m k 0 E+m

(10.1.25)

(10.1.26)

zusammen, ψI (x3 ) = ψein (x3 ) + ψrefl (x3 ). Der zweite Term stellt eine reflektierte ebene Welle mit entgegengesetztem Spin dar, der sich als Null erweisen wird. Entsprechend machen wir im Gebiet II f¨ ur die durchgehende (transmittierte) Welle den Ansatz ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 0 1 ⎜ ⎟ ⎟ 3 ⎜ 1 0 ⎟ . ⎟ + d eiqx3 ⎜ ψII (x3 ) ≡ ψtrans (x3 ) = c eiqx ⎜ q ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ 0 E−V0 +m −q 0 E−V0 +m (10.1.27) Dabei ist dort die Wellenzahl (der Impuls) A 2 q = (E − V0 ) − m2

(10.1.28)

und die Koeffizienten a, b, c, d sind aus der Stetigkeit von ψ an der Schwelle zu bestimmen. Die L¨ osung muß nat¨ urlich stetig sein, anderenfalls erg¨abe sich bei Einsetzen in die Dirac-Gleichung ein Beitrag proportional zu δ(x3 ). Aus der Stetigkeitsbedingung ψI (0) = ψII (0) folgt 1+a=c, 1 − a = rc ,

(10.1.29a)

mit

r≡

q E+m , k E − V0 + m

(10.1.29b)

und b=d=0.

(10.1.29c)

Die letzte, von den Komponenten 2 und 4 folgende Relation, besagt, daß der Spin nicht umgeklappt wird. Solange |E − V0 | < m, d.h. −m + V0 < E < m + V0 , ist, ist die Wellenzahl rechts der Schwelle, q, imagin¨ ar, und die L¨ osung f¨allt dort exponentiell ab. 3 3 osung ψtrans ∼ e−|q|x ∼ e−mx Insbesondere, wenn E, V0  m sind, ist die L¨ innerhalb einiger Compton-Wellenl¨ angen lokalisiert.

206

10. Physikalische Interpretation der L¨ osungen der Dirac-Gleichung

Wenn jedoch V0 , die H¨ ohe der Schwelle, vergr¨oßert wird, so daß schließlich V0 ≥ E + m ist, dann wird nach Gl. (10.1.28) q reell und man erh¨alt eine oszillierende durchgehende ebene Welle. Dies ist ein Beispiel f¨ ur das Kleinsche Paradoxon. Den Ursprung dieses zun¨ achst u ¨berraschenden Ergebnisses kann man sich folgendermaßen klar machen. Im Bereich I liegen die L¨osungen mit positiver Energie im Intervall E > m, die L¨ osungen mit negativer Energie im Intervall E < −m. Im Bereich II liegen die L¨ osungen mit positiver Energie im Intervall E > m + V0 und die mit negativer Energie im Intervall E < −m + V0 . Das bedeutet, daß f¨ ur V0 > m die L¨ osungen zu negativer“ Energie ebenfalls ” positive Energie besitzen. Und wenn schließlich V0 so groß ist, daß V0 > 2m wird (siehe Abb. 10.2), dann ist die Energie der L¨osungen mit negativer“ ” Energie des Gebietes II schließlich gr¨ oßer als m, liegt also im Energiebereich der L¨ osungen mit positiver Energie des Raumgebietes I. Die im Anschluß an Gl. (10.1.29c) gefundene Bedingung f¨ ur das Auftreten der oszillierenden ullt. Dies L¨osungen war V0 ≥ E +m, wobei die Energie im Bereich I E > m erf¨ ¨ f¨ allt mit obigen Uberlegungen zusammen. Statt der vollst¨andigen Reflexion und des exponentiellen Eindringens in eine klassisch nicht zug¨angliche Region ¨ hat man f¨ ur E > 2m einen Ubergang in Zust¨ ande negativer Energie. F¨ ur die durchgehende und die reflektierte Stromdichte erh¨alt man 4r jtrans = , jein (1 + r)2

jrefl = jein



1−r 1+r

2 =1−

jtrans . jein

(10.1.30)

Nun ist nach Gl. (10.1.29b) r < 0 f¨ ur positives q und folglich ist der reflektierte Fluß gr¨ oßer als der einfallende. V(x 1 ) E E

V0 + m V0 V0 − m

E m x1

−m I

II

Abb. 10.2. Stufenpotential und Energiebereiche f¨ ur V0 > 2m. Stufenpotential (dick) und Energiebereiche mit positiver und negativer Energie (nach rechts und nach links geneigt schraffiert). Die Energien E und E  liegen links der Schwelle im Bereich positiver Energie. Rechts der Schwelle liegt E  im verbotenen Gebiet, also ist die L¨ osung exponentiell abfallend. E liegt im Gebiet der L¨ osungen mit negativer Energie. Die Energie E  liegt sowohl links wie rechts im Gebiet positiver Energie.

10.2 L¨ ocher–Theorie

207

W¨ ahlt man f¨ ur q in (10.1.28) die positive Wurzel, ist nach Gl. (10.1.29b) r < 0, und folglich der nach links auslaufende Fluß gr¨oßer als der (von links) einfallende. Dies r¨ uhrt daher, daß f¨ ur V0 > E die Gruppengeschwindigkeit v0 =

1 q E − V0

entgegengesetzt zu q ist. D.h. Wellenpakete derartiger L¨osungen enthalten auch ein von rechts auf die Schwelle einfallendes Wellenpaket. W¨ ahlt man f¨ ur q in (10.1.28) die negative Wurzel, dann ist r > 0, und man erh¨ alt echtes Reflexionsverhalten3.

10.2 L¨ ocher–Theorie Wir wollen nun eine vorl¨ aufige Interpretation der Zust¨ande negativer Energie aufstellen. Positive Energiezust¨ ande stimmen exzellent mit dem Experiment u onnen wir Zust¨ ande negativer Energie ignorieren? Die Antwort ¨berein. K¨ lautet: nein. Denn ein beliebiges Wellenpaket enth¨alt auch Anteile negativer Energie vr . Selbst wenn wir von Spinoren mit positiver Energie, ur , ausgehen, ¨ dann kann es wegen der Wechselwirkung mit dem Strahlungsfeld Uberg¨ ange in Zust¨ ande negativer Energie geben (siehe Abb. 10.3). Atome und damit die uns umgebende Materie w¨ aren nicht stabil. E Photon mc 2 -mc2

k Abb. 10.3. Energieeigenwerte der Dirac¨ Gleichung und denkbare Uberg¨ ange

Von Dirac wurde 1930 folgender Ausweg vorgeschlagen. Alle Zust¨ande negativer Energie sind besetzt. Dann k¨ onnen Teilchen mit positiver Energie wegen des Pauli-Verbots, das die Mehrfachbesetzung untersagt, nicht in die Zust¨ ande negativer Energie u ¨ bergehen. Der Vakuum-Zustand besteht in diesem Bild aus einem unendlichen See von Teilchen, die sich in Zust¨anden negativer Energie befinden (Abb. 10.4). 3

H.G. Dosch, J.H.D. Jensen and V.L. M¨ uller, Physica Norvegica 5, 151 (1971); B. Thaller, The Dirac Equation, Springer, Berlin, 1992, S. 120,307; W. Greiner, Theoretische Physik, Bd. 6, Relativistische Quantenmechanik Wellengleichungen, Harry Deutsch, Frankfurt, 1987.

208

10. Physikalische Interpretation der L¨ osungen der Dirac-Gleichung

a)

Abb. 10.4. Aufgef¨ ullte Zust¨ ande negativer Energie (fett gezeichnete Linie) a) Vakuumzustand b) angeregter Zustand

b)

Einen angeregten Zustand dieses Vakuums erh¨alt man folgendermaßen: ein Elektron negativer Energie geht in einen positiven Energiezustand u ¨ber und hinterl¨ aßt ein Loch mit der Ladung −(−e0 ) = e0 ! (Abb. 10.4 b)). Dies hat sofort eine interessante Konsequenz. Nehmen wir an, daß wir ein Teilchen negativer Energie aus dem Vakuum-Zustand entfernen. Dann bleibt ein Loch u ¨ber. Im Vergleich zum Vakuum hat dieser Zustand positive Ladung und positive Energie. Die Abwesenheit eines Zustandes negativer Energie stellt ein Antiteilchen dar. F¨ ur das Elektron ist dies das Positron. Betrachten wir etwa den Spinor mit negativer Energie 



vr=1 (p )eip x = v1 (p )ei(Ep t−p x) . Dies ist ein Eigenzustand mit Energieeigenwert −Ep , Impuls −p und Spin im Ruhesystem 12 Σ 3 1/2. Wenn dieser Zustand nicht besetzt ist, ist ein Positron mit der Energie Ep und dem Impuls p und dem Spin 12 Σ 3 −1/2 vorhanden. Siehe die analoge Situation bei den Anregungen eines entarteten idealen Elektronengases am Ende von Abschnitt 2.1.1. Man kann sich diesen Sachverhalt auch durch die Anregung eines ElektronZustandes durch ein Photon klar machen: Durch das γ-Quant mit Energie ω und dem Impuls k wird ein Elektron negativer Energie in einen Zustand positiver Energie gebracht (Abb. 10.5). Tats¨ achlich ist dieser Prozeß der Paarerzeugung aus Gr¨ unden der Energie- und Impulserhaltung nur in Gegenwart eines Potentials m¨ oglich. Wir betrachten die Energie- und Impuls-Bilanz dieses Prozesses.

p

γ

p'

Abb. 10.5. Das Photon γ regt ein Elektron aus einem Zustand negativer Energie in einen Zustand positiver Energie an, d.h. γ → e+ + e− .

10.2 L¨ ocher–Theorie

209

Energie-Bilanz des Paarerzeugungsprozesses: ω = EEl. pos. Energie − EEl. neg. Energie (10.2.1) = Ep − (−Ep ) = EEl. + EPos.  = p2 c2 + m2 c4 und die Energie des Die Energie des Elektrons ist E El.  2 2  2 4 Positrons EPos. = p c + m c . Die Impuls-Bilanz betr¨agt k − p = p

oder

k = p + p ,

(10.2.2)

d.h. Impuls des Photons = (Impuls des Elektrons) + (Impuls des Positrons). Diese vorl¨ aufige Interpretation der Dirac-Theorie birgt jedoch eine Reihe von Problemen: Der Grundzustand (Vakuumzustand) hat unendlich hohe (negative) Energie. Man muß sich fragen, welche Rolle die Wechselwirkung der Teilchen in den besetzten Zust¨ anden negativer Energie spielt. Auch liegt in der bisherigen Behandlung eine Asymmetrie zwischen Elektron und Positron vor. W¨ urde man von der Dirac-Gleichung des Positrons ausgehen, m¨ ußte man dessen negativ-Energie-Zust¨ ande besetzen und die Elektronen w¨aren L¨ocher in dem Positronen-See. Auf jeden Fall liegt unvermeidbar ein Vielteilchenaquate Beschreibung wird erst durch die Quantisierung system vor.4 Eine ad¨ des Dirac-Feldes m¨ oglich. Die urspr¨ ungliche Intention war, die Dirac-Gleichung als Verallgemeinerung der Schr¨ odinger-Gleichung zu sehen und den Spinor ψ als eine Art Wellenfunktion zu interpretieren. Dies f¨ uhrt jedoch zu un¨ uberwindbaren Schwierigkeiten. Schon das Konzept einer Wahrscheinlichkeitsverteilung f¨ ur die Lokalisierung eines Teilchens an einem bestimmten Raumpunkt ist in der relativistischen Theorie unbrauchbar. Damit verbunden ist auch das Faktum, daß sich die st¨ orenden Z¨ uge der Dirac-Einteilchentheorie gerade dann manifestieren, wenn man das Teilchen in einen ganz kleinen (Compton-Wellenl¨ange) Raumbereich lokalisiert. Man kann diese Schwierigkeiten sehr leicht mit Hilfe der Unsch¨ arferelation plausibel machen. Wenn man ein Teilchen auf ein Gebiet mit der Ausdehnung Δx einschr¨ ankt, hat es nach der Heisenbergschen  Unsch¨ arfe-Relation eine Impulsunsch¨ arfe Δp > Δx−1 . Falls nun Δx < mc ist, so wird seine Impuls- und damit auch Energieunsch¨arfe ΔE ≈ cΔp > mc2 . Die Energie des einen Teilchens reicht in dieser Situation aus, um mehrere Teilchen zu erzeugen. Auch dies ist ein Hinweis, daß die Einteilchentheorie durch eine Vielteilchentheorie, also eine Quantenfeldtheorie ersetzt werden muß. Bevor wir uns der endg¨ ultigen Darstellung durch eine quantisierte Feldtheorie zuwenden, werden wir zun¨ achst noch Symmetrieeigenschaften der 4

Das einfache Bild der L¨ ochertheorie darf nur mit Vorsicht verwendet werden. Siehe z.B. den Artikel von Gary Taubes, Science 275, 148 (1997) u ¨ ber spontane Positronemission.

210

10. Physikalische Interpretation der L¨ osungen der Dirac-Gleichung

Dirac-Gleichung untersuchen unter Bedachtnahme auf den Zusammenhang zwischen L¨ osungen positiver und negativer Energie mit Teilchen und Antiteilchen.

Aufgaben zu Kapitel 10 10.1 Beweisen Sie die Gordon-Identit¨ at (10.1.5), die besagt, daß f¨ ur zwei L¨ osungen der freien Dirac-Gleichung zu positiver Energie, ur (p) und ur (p) gilt u ¯r (p) γ μ ur (q) =

1 u ¯r (p)[(p + q)μ + iσ μν (p − q)ν ]ur (q) . 2m

10.2 Leiten Sie Gl. (10.1.13) und den Zusatzterm (10.1.13 ) ab. 10.3 Verifizieren Sie die L¨ osung f¨ ur das Stufenpotential zum Kleinschen Paradoxon. Diskutieren Sie die Art der L¨ osungen f¨ ur die in Abb. 10.2 eingezeichneten Energiewerte E  und E  . Zeichnen Sie ein der Abb. 10.2 entsprechendes Diagramm f¨ ur eine Potentialh¨ ohe 0 < V0 < m.

11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

Beginnend mit Invarianz und Erhaltungss¨ atzen werden in diesem Kapitel weitere Symmetrien der Dirac-Gleichung dargestellt: die Ladungskonjugation und die Zeitumkehr. Zum Abschluß wird die masselose Dirac-Gleichung untersucht. ∗

11.1 Aktive und passive Transformationen, Transformation von Vektoren In diesem und den folgenden Abschnitten sollen die Symmetrieeigenschaften der Dirac-Gleichung in Anwesenheit eines elektromagnetischen Potentials untersucht werden. Dazu erinnern wir zun¨ achst an das in Abschnitt 7.1 dargestellte Transformationsverhalten von Spinoren bei passiven und aktiven Transformationen. Anschließend wenden wir uns der Transformation des Viererpotentials zu und untersuchen die Transformation des Dirac-HamiltonOperators. Gegeben sei eine Lorentz-Transformation x = Λx + a

(11.1.1) 

vom Koordinatensystem I in das Koordinatensystem I . Nach Gl. (7.1.2a) transformiert sich ein Spinor ψ(x) bei einer passiven Transformation wie ψ  (x ) = Sψ(Λ−1 x ) ,

(11.1.2a)

dabei haben wir nur die homogene Transformation aufgeschrieben. Bei einer aktiven Transformation mit Λ−1 entsteht der Spinor (Gl. (7.1.2b)) ψ  (x) = Sψ(Λ−1 x) .

(11.1.2b)

Der Zustand Z  , der aus Z durch die aktive Transformation Λ entsteht, sieht definitionsgem¨ aß in I  so aus wie der Zustand Z in I, d.h. ψ(x ). Da I aus I  durch die Lorentz-Transformation Λ−1 entsteht, ist (Gl. (7.1.2c)) ψ  (x) = S −1 ψ(Λx) .

(11.1.2c)

212

11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

Bei einer passiven Transformation um Λ transformiert sich der Spinor nach (11.1.2a), bei einer aktiven Transformation um Λ transformiert sich der Zustand nach (11.1.2c)1 . Wir betrachten nun die Transformation von Vektorfeldern, wie z.B. das Viererpotential des elektromagnetischen Feldes: Die passive Transformation der Komponenten eines Vektors Aμ (x) bei einer μ Lorentz-Transformation x = Λμν xν hat die Gestalt A (x ) = Λμν Aν (x) ≡ Λμν Aν (Λ−1 x ) . μ

(11.1.3a)

Die Umkehrung der Lorentz-Transformation findet man folgendermaßen: Λλμ g μν Λρν = g λρ =⇒ Λλν Λρν = δ λρ =⇒ Λλν Λρν = δλρ . Da die rechtsinverse Matrix gleich der linksinversen ist, folgt hieraus und aus Gl. (11.1.1) Λμν Λμσ = δ σν =⇒ Λμσ x = Λμσ Λμν xν = xσ , μ

also schließlich die Umkehrung der Lorentz-Transformation xσ = Λμσ x . μ

(11.1.4)

Bei einer aktiven Transformation wird der gesamte Raum samt den Vektorfeldern transformiert und von dem urspr¨ unglichen Koordinatensystem I aus betrachtet. Bei einer Transformation mit Λ ist das dabei entstehende Vektorfeld von I  aus betrachtet von der Form Aμ (x ) (Siehe Abb. 11.1). Das aktiv um Λ transformierte Feld, das wir mit Aμ (x) bezeichnen, hat deshalb die Gestalt μ

A (x) = Λ−1 ν Aν (Λx) = Λνμ Aν (Λx) μ

in I .

(11.1.3c)

A (x )

Λ A(x ) x I

1

Abb. 11.1. Aktive Transformation eines Vektors mit der Lorentz-Transformation Λ

Bei inhomogenen Transformationen (Λ, a) ist (Λ, a)−1 = (Λ−1 , −Λ−1 a) und in den Argumenten von Gl. (11.1.2a-c) Λx → Λx + a und Λ−1 x → Λ−1 (x − a) zu ersetzen.

∗

11.1 Aktive und passive Transformationen, Transformation von Vektoren

213

Der Vollst¨ andigkeit halber geben wir auch die aktive Transformation mit der Lorentz-Transformation Λ−1 an, welche auf A (x) = Λμν Aν (x) μ

(11.1.3b)

f¨ uhrt. Wir untersuchen nun die Transformation der Dirac-Gleichung in Anwesenheit eines elektromagnetischen Feldes Aμ unter einer passiven LorentzTransformation: Ausgehend von der Dirac-Gleichung im System I  μ  γ (i∂μ − eAμ (x)) − m ψ(x) = 0 (11.1.5a) erh¨ alt man die transformierte Gleichung im System I   μ   γ (i∂μ − eAμ (x )) − m ψ  (x ) = 0 .

(11.1.5b)

Man zeigt (11.1.5b), indem man in (11.1.5a) die Transformationen ∂ = Λνμ ∂ν ; Aμ (x) = Λνμ A ν (x ) und ∂xμ einsetzt, so erh¨ alt man   μ ν γ Λ μ (i∂ν − eAν (x )) − m S −1 ψ  (x ) = 0 . ∂μ ≡

ψ(x) = S −1 ψ  (x )

Multiplikation mit S  μ ν −1   Sγ Λ μ S (i∂ν − eAν (x )) − m ψ  (x ) = 0 und Verwendung von γ μ Λνμ = S −1 γ ν S ergibt schließlich die Behauptung   ν  γ (i∂ν − eAν (x )) − m ψ  (x ) = 0 . Transformation der Dirac-Gleichung unter einer aktiven Lorentz-Transformation ψ  (x) = S −1 ψ(Λx)

(11.1.2c)

A (x) = Λνμ Aν (Λx) :

(11.1.3c)

μ

Ausgehend von   μ γ (i∂μ − eAμ (x)) − m ψ(x) = 0

(11.1.5a)

nehmen wir diese Gleichung an der Stelle x = Λx unter Beachtung von ∂ ∂xν ∂ ν ∂xμ = ∂xμ ∂xν = Λμ ∂ν   μ γ (iΛμν ∂ν − eAμ (Λx)) − m ψ(Λx) = 0 . Multiplizieren mit S −1 (Λ)   −1 μ S γ S(iΛμν ∂ν − eAμ (Λx)) − m S −1 ψ(Λx) = 0 ,

214

11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

und Ben¨ utzung von S −1 γ μ SΛμν = Λμσ γ σ Λμν = γ σ δσν und Gl. (11.1.4) ergibt   ν (11.1.6) γ (i∂ν − eAν (x)) − m ψ  (x) = 0 . Wenn ψ(x) die Dirac-Gleichung im Potential Aμ (x) erf¨ ullt, dann erf¨ ullt der transformierte Spinor ψ  (x) die Dirac-Gleichung im transformierten Potential Aμ (x). Im allgemeinen ist die transformierte Gleichung von der Ausgangsgleichung verschieden. Die beiden sind nur dann gleich, wenn Aμ (x) = Aμ (x). Dann gen¨ ugen ψ(x) und ψ  (x) derselben Bewegungsgleichung. Die Bewegungsgleichung bleibt invariant unter jeder Lorentz-Transformation L, die das ¨ außere Potential unge¨ andert l¨ aßt. Zum Beispiel bleibt ein radialsymmetrisches Potential invariant gegen¨ uber Drehungen.

11.2 Invarianz und Erhaltungss¨ atze 11.2.1 Allgemeine Transformation Wir schreiben die Transformation ψ  (x) = S −1 ψ(Λx) in der Form ψ  = T ψ ,

(11.2.1)

wo der Operator T sowohl die Wirkung der Matrix S wie auch die Transformation der Koordinaten beinhaltet. Die Aussage, daß die Dirac-Gleichung sich unter einer aktiven Lorentz-Transformation wie oben (Gl. (11.1.6)) transformiert, besagt, daß f¨ ur den Operator D(A) ≡ γ μ (i∂μ − eAμ ) ,

(11.2.2)

T D(A)T −1 = D(A )

(11.2.3)

gilt, weil (D(A) − m)ψ = 0 =⇒ T (D(A) − m)ψ = T (D(A) − m)T −1 T ψ = (D(A ) − m)T ψ = 0 ist. Da der transformierte Spinor T ψ der Dirac-Gleichung (D(A ) − m)T ψ = 0 gen¨ ugt und dieser Zusammenhang f¨ ur jeden beliebigen Spinor gilt, folgt (11.2.3). Falls A bei der betrachteten Lorentz-Transformation unge¨andert bleibt, A = A , folgt aus (11.2.3), daß T mit D(A) kommutiert: [T, D(A)] = 0 .

(11.2.4)

Den Operator T kann man f¨ ur die einzelnen Transformationen konstruieren.

11.2 Invarianz und Erhaltungss¨ atze

215

11.2.2 Drehungen F¨ ur Drehungen haben wir bereits in Kap. 7 gefunden2 , daß k

k

T = e−iϕ J   J= Σ+x× ∇. 2 i

(11.2.5)

Der Gesamtdrehimpuls J ist die Erzeugende von Drehungen. Nimmt man ein infinitesimales ϕk , dann folgt nach Entwicklung der Exponentialfunktion aus (11.2.2) und (11.2.4), daß f¨ ur rotationsinvariantes Potential A [D(A), J] = 0 .

(11.2.6)

Da [iγ 0 ∂t , γ i γ k ] = 0 und [iγ 0 ∂t , x × ∇] = 0 sind, folgt aus (11.2.6) [J, H] = 0 ,

(11.2.7)

wo H der Dirac-Hamilton-Operator ist. 11.2.3 Translationen Bei Translationen ist S = 11 und μ

ψ  (x) = ψ(x + a) = ea

∂μ

ψ(x) ,

(11.2.8)

also ist der Translationsoperator μ

T ≡ e−ia

i∂μ

μ

= e−ia

pμ

,

(11.2.9)

wo pμ = i∂μ der Impulsoperator ist. Der Impuls ist die Erzeugende von Translationen. Die Translationsinvarianz eines Problems bedingt [D(A), pμ ] = 0

(11.2.10)

und wegen [iγ 0 ∂t , pμ ] = 0 ist [pμ , H] = 0 .

2

(11.2.11)

Der Vorzeichenunterschied gegen¨ uber Kap. 7 ergibt sich, weil dort die aktive Transformation Λ−1 betrachtet wurde.

216

11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

11.2.4 Raumspiegelung (Parit¨ atstransformation) Wir besprechen noch die Parit¨atstransformation. Die Parit¨atsoperation P , dargestellt durch den Parit¨ atsoperator P ist mit einer r¨aumlichen Inversion verbunden. Wir bezeichnen mit P (0) den Bahn-Parit¨atsoperator, der eine r¨ aumliche Inversion bewirkt P (0) ψ(t, x) = ψ(t, −x) .

(11.2.12)

F¨ ur den gesamten Parit¨ atsoperator fanden wir in Abschn. 6.2.2.4 wir bis auf einen willk¨ urlichen Phasenfaktor P = γ 0 P (0) .

(11.2.13)

Es ist P † = P und P 2 = 1. uber Inversion ist, folgt f¨ ur den Dirac-HamilWenn Aμ (x) invariant gegen¨ ton-Operator H [P, H] = 0 .

(11.2.14)

Es gibt noch zwei weitere diskrete Symmetrien der Dirac-Gleichung, die Ladungskonjugation und die Zeitumkehrinvarianz.

11.3 Ladungskonjugation Die L¨ ochertheorie legt nahe, daß es zum Elektron ein Antiteilchen gibt, das Positron, das 1933 von C.D. Anderson experimentell entdeckt wurde. Das Positron ist ebenfalls ein Fermion mit Spin 1/2 und sollte f¨ ur sich der DiracGleichung mit e → −e gen¨ ugen. Es muß deshalb ein Zusammenhang zwischen den L¨ osungen negativer Energie zu negativer Ladung und den L¨osungen positiver Energie zu positiver Ladung bestehen. Diese weitere Symmetrietransformation der Dirac-Gleichung heißt Ladungskonjugation C. Die Dirac-Gleichung des Elektrons lautet (i∂/ − eA / − m)ψ = 0 ,

e = −e0 , e0 = 4.8 × 10−10 esu

(11.3.1)

und die Dirac-Gleichung f¨ ur entgegengesetzt geladene Teilchen (i∂/ + eA / − m)ψc = 0 .

(11.3.2)

uhrt. Zun¨achst f¨ uhren wir Wir suchen eine Transformation, die ψ in ψc u ¨ berf¨ eine komplexe Konjugation durch; welche sich auf die beiden ersten Terme in (11.3.1) wie (i∂μ )∗ = −i∂μ (Aμ )∗ = Aμ

(11.3.3a) (11.3.3b)

11.3 Ladungskonjugation

217

auswirkt, da das elektromagnetische Feld reell ist. Es wird sich vor allem im n¨ achsten Abschnitt als zweckm¨ aßig erweisen, einen Operator K0 zu definieren, der die komplexe Konjugation der ihm folgenden Operatoren und Spinoren bewirkt. In dieser Notation lauten (11.3.3a,b) K0 i∂μ = −i∂μ K0

(11.3.3 )

und K0 Aμ = Aμ K0 .

Wenn man das komplex konjugierte der Dirac-Gleichung nimmt, erh¨alt man deshalb (−(i∂μ + eAμ )γ μ ∗ − m) ψ ∗ (x) = 0 .

(11.3.4)

Damit ist im Vergleich zu Gl. (11.3.1) das Vorzeichen der Ladung ge¨andert, aber auch das Vorzeichen des Massenterms. Wir suchen eine nichtsingul¨are Matrix Cγ 0 mit der Eigenschaft Cγ 0 γ μ ∗ (Cγ 0 )−1 = −γ μ .

(11.3.5)

Mit Hilfe dieser Matrix folgt aus (11.3.4) Cγ 0 (−(i∂μ + eAμ )γ μ∗ − m) (Cγ 0 )−1 Cγ 0 ψ ∗

(11.3.6)

= (i∂/ + eA / − m)(Cγ 0 ψ ∗ ) = 0 . Der Vergleich mit (11.3.2) zeigt, daß ψc = Cγ 0 ψ ∗ = C ψ¯T

(11.3.7)

ist, da T T ψ¯T = (ψ † γ 0 )T = γ 0 ψ † = γ 0 ψ ∗ .

(11.3.8)

Die Gleichung (11.3.5) kann auch umgeformt werden in T

C −1 γ μ C = −γ μ .

(11.3.5 ) T

T

T

In der Standard-Darstellung ist γ 0 = γ 0 , γ 2 = γ 2 , γ 1 = −γ 1 , T γ 3 = −γ 3 , also kommutiert C mit γ 1 und γ 3 und antikommutiert mit γ 0 und γ 2 . Daraus folgt C = iγ 2 γ 0 = −C −1 = −C † = −C T ,

(11.3.9)

sodaß auch ψc = iγ 2 ψ ∗

(11.3.7 )

gilt. Die gesamte Operation der Ladungskonjugation C = Cγ0 K0 = iγ 2 K0

(11.3.7 )

besteht aus der komplexen Konjugation K0 und der Multiplikation mit Cγ0 .

218

11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

Wenn ψ(x) die Bewegung eines Dirac-Teilchens mit der Ladung e im Potential Aμ (x) beschreibt, dann beschreibt ψc die Bewegung eines Teilchens mit Ladung −e im selben Potential Aμ (x). Beispiel: freies Teilchen, Aμ = 0 ⎛ ⎞ 0 ⎜ 0 ⎟ imt 1 (−) ⎜ ⎟e ψ1 = (11.3.10) (2π)3/2 ⎝ 1 ⎠ 0



(−)

ψ1

c



∗

∗ (−) (−) = Cγ 0 ψ1 = iγ 2 ψ1 =

1 (2π)3/2

⎛ ⎞ 0 ⎜ 1 ⎟ −imt (+) ⎜ ⎟e = ψ2 ⎝0⎠ 0 (11.3.10)

Der ladungskonjugierte Zustand hat entgegengesetzten Spin. Wir betrachten nun einen allgemeineren Zustand mit Impuls k und Poullt hinsichtlich der Projektionsoperatoren die larisation l¨ angs n 3 . Dieser erf¨ Eigenschaft ψ=

/ εk/ + m 1 + γ5 n ψ, 2m 2

k0 > 0

(11.3.11)

mit ε = ±1 f¨ ur das Vorzeichen der Energie. Wenn man darauf die Ladungskonjugation anwendet, ergibt sich  ∗  ∗ εk/ + m 1 + γ5 n / T 0 ¯ ψc = C ψ = Cγ ψ∗ (11.3.11) 2m 2  ∗    εk/ + m 1 + γ5 n /∗ −1 = Cγ0 (Cγ0 ) Cγ0 (Cγ0 )−1 Cγ0 ψ ∗ 2m 2    −εk/ + m 1 + γ5 n / = ψc , 2m 2 wo γ5∗ = γ5 und {Cγ0 , γ5 } = 0 ben¨ utzt wurde. ψc ist durch die gleichen Vierervektoren k und n charakterisiert wie ψ, aber das Vorzeichen der Ener/) auf Spin ± 21 gie hat sich umgekehrt. Da der Projektionsoperator 12 (1 + γ5 n l¨angs n ˇ projiziert, je nach Vorzeichen der Energie, wird bei der Ladungskonjugation der Spin umgekehrt. Bez¨ uglich des Impulses sei noch bemerkt, daß die komplexe Konjugation f¨ ur freie Spinoren e−ikx → eikx ergibt, d.h. 3

n / = γ μ nμ , nμ raumartiger Einheitsvektor n2 = nμ nμ = −1 und nμ kμ = 0 . P (n) = 12 (1 + γ5 n /) projiziert auf positiv-Energie-Spinor u(k, n) , der im Ruhesystem l¨ angs n ˇ polarisiert ist und auf negativ-Energie-Spinor v(k, n), der l¨ angs −ˇ n polarisiert ist. ˇ , n = Λˇ ˇ = (m, 0, 0, 0) , n k = Λk n, k ˇ = (0, n) (Siehe Anhang C). Die Projektionsoperatoren Λ± (k) ≡ (±k/ + m)/2m wurden in Gl. (6.3.21) eingef¨ uhrt.

11.3 Ladungskonjugation

219

der Impuls k wird in −k transformiert. Soweit haben wir die Transformation der Spinoren besprochen. Im Bild der L¨ ochertheorie, die in der Quantenfeldtheorie ihre mathematische Darstellung findet, entspricht der Nichtbesetzung eines Spinors negativer Energie ein Antiteilchen positiver Energie mit genau entgegengesetzten Quantenzahlen dieses Spinors (Abschn. 10.2). Folglich werden bei der Ladungskonjugation der Quanten die Teilchen und Antiteilchen ineinander transformiert, mit der gleichen Energie, dem gleichen Spin und entgegengesetzter Ladung. Bemerkungen: (i) Offensichtlich ist die Dirac-Gleichung invariant unter gleichzeitiger Transformation von ψ und A ψ −→ ψc = ηc C ψ¯T Aμ −→ Acμ = −Aμ . Die Viererstromdichte jμ transformiert sich unter Ladungskonjugation wie ¯ μ ψ −→ jμc = ψ¯c γμ ψc = ψ¯∗ C † γ0 γμ C ψ¯T jμ = ψγ = ψ T γ 0 (−C)γ 0 γμ C ψ¯T = ψ T Cγμ C ψ¯T = ψ T γμT ψ¯T 0 0 ¯ μψ = ψα (γμ )βα γβρ ψρ∗ = ψρ∗ γρβ (γμ )βα ψα = ψγ

Man erh¨ alt also f¨ ur das C-Zahl Dirac-Feld jμc = jμ . In der quantisierten Form ¯ werden ψ und ψ antikommutierende Felder, was zu einem extra Minus f¨ uhrt jμc = −jμ .

(11.3.12)

Dann bleibt bei der kombinierten Ladungskonjugation ej · A invariant. Die Form der Ladungskonjugationstransformation h¨ angt von der Darstellung ab, wie wir am Beispiel der Majorana-Darstellung explizit sehen werden. (ii) Unter einer Majorana-Darstellung versteht man eine Darstellung der γ-Matrizen mit den Eigenschaften, daß γ 0 imagin¨ ar und antisymmetrisch ist und die γ k imagin¨ ar und symmetrisch sind. In einer Majorana-Darstellung ist die DiracGleichung (iγ μ ∂μ − m)ψ = 0 eine reelle Gleichung. Wenn ψ eine L¨ osung ist, dann ist auch ψc = ψ ∗

(11.3.13)

eine L¨ osung. In der Majorana-Darstellung ist die zu ψ ladungskonjugierte L¨ osung bis auf einen willk¨ urlichen Phasenfaktor durch (11.3.13) gegeben, denn aus der Dirac-Gleichung mit Feld (γ μ (i∂μ − eAμ ) − m)ψ = 0

(11.3.14)

folgt (γ μ (i∂μ + eAμ ) − m)ψc = 0 .

(11.3.14 )

Der Spinor ψ ist L¨ osung mit Feld zu Ladung e und der Spinor ψc ist L¨ osung zur Ladung −e. Ein Spinor, der reell ist, d.h.

220

11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung ψ∗ = ψ ,

heißt Majorana-Spinor. Ein Dirac-Spinor besteht aus zwei Majorana-Spinoren. Ein Beispiel einer Majorana-Darstellung ist der Satz von Matrizen « « „ „ 0 σ2 0 σ1 γ0 = , γ , = i 1 σ2 0 σ1 0 (11.3.15) „ „ « « 11 0 0 σ3 γ2 = i . , γ3 = i 3 0 −11 σ 0 Ein anderes Beispiel ist in Aufgabe 11.2 dargestellt.

11.4 Zeitumkehr (Bewegungsumkehr) Man sollte diese diskrete Symmetrietransformation besser Bewegungsumkehrtransformation nennen, es hat sich jedoch der Ausdruck Zeitumkehrtransformation eingeb¨ urgt, so daß wir ihn hier auch verwenden. Es sei betont, daß die Zeitumkehrtransformation kein Zur¨ ucklaufen in negative Zeitrichtung be¨ wirkt, obwohl diese Transformation unter anderem die Anderung des Zeitarguments eines Zustands t → −t beinhaltet. Man ben¨otigt keine in der Zeit zur¨ ucklaufenden Uhren, um Zeitumkehr und die Invarianz einer Theorie unter dieser Transformation zu untersuchen; tats¨ achlich handelt es sich um Bewegungsumkehr. In der Quantenmechanik kommt eine formale Schwierigkeit hinzu, man ben¨ otigt zur Beschreibung der Zeitumkehr antiunit¨are Operatoren. In diesem Abschnitt wird die Zeitumkehrtransformation zun¨achst f¨ ur die klassische Mechanik und die nichtrelativistische Quantenmechanik und dann f¨ ur die Dirac-Gleichung untersucht. 11.4.1 Bewegungsumkehr in der klassischen Physik Wir betrachten ein klassisches, zeitlich translationsinvariantes System, welches durch verallgemeinerte Koordinaten q und Impulse p beschrieben werde, die zeitunabh¨ angige Hamilton-Funktion sei H(q, p). Dann sind die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ∂H(q, p) ∂p ∂H(q, p) . p˙ = − ∂q q˙ =

(11.4.1)

Wir setzen voraus, daß zum Anfangszeitpunkt t = 0 die Werte der generalisierten Koordinaten und Impulse (q0 , p0 ) seien. Die L¨osung q(t), p(t) der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen muß also die Anfangsbedingungen

11.4 Zeitumkehr (Bewegungsumkehr)

q(0) = q0 p(0) = p0

221

(11.4.2)

oge die L¨osung die Werte erf¨ ullen. Zu der sp¨ ateren Zeit t = t1 > 0 m¨ q(t1 ) = q1 ,

p(t1 ) = p1

(11.4.3a)

annehmen. Der zur Zeit t1 bewegungsumgekehrte Zustand ist durch q  (t1 ) = q1 ,

p (t1 ) = −p1

(11.4.3b)

definiert. Falls das System nach dieser Bewegungsumkehr seinen Weg wieder zur¨ uckl¨ auft und schließlich nach der weiteren Zeit t1 den bewegungsumgekehrten Anfangszustand erreicht, nennt man es zeitumkehrinvariant oder ¨ bewegungsumkehrinvariant (Siehe Abb. 11.2). Die Uberpr¨ ufung der Zeitumkehrinvarianz erfordert kein Zur¨ ucklaufen in der Zeit. Es kommen in der Definition nur Bewegungen in positiver Zeitrichtung vor. Ob Zeitumkehrinvarianz vorliegt, kann deshalb experimentell u uft werden. ¨ berpr¨ t1

q2

t1

0 2t 1 q1

Abb. 11.2. Bewegungsumkehr: Versetzt gezeichnete Trajektorien im Ortsraum: (0, t1 ) vor Bewegungsumkehr, (t1 , 2t1 ) nach Bewegungsumkehr

Wir wollen nun die Bedingung f¨ ur Zeitumkehrinvarianz untersuchen und die L¨ osung f¨ ur den bewegungsumgekehrten Anfangszustand finden. Wir definieren die Funktionen q  (t) = q(2t1 − t) p (t) = −p(2t1 − t) .

(11.4.4)

Offensichtlich erf¨ ullen diese Funktionen die Anfangsbedingungen q  (t1 ) = q(t1 ) = q1

(11.4.5)

p (t1 ) = −p(t1 ) = −p1 .

(11.4.6)

und

222

11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

Zur Zeit 2t1 werden die Werte q  (2t1 ) = q(0) = q0

(11.4.7)

p (2t1 ) = −p(0) = −p0

angenommen, also die bewegungsumgekehrten Anfangswerte. Schließlich erf¨ ullen sie die Bewegungsgleichungen4 ∂H(q(2t1 − t), p(2t1 − t)) ∂p(2t1 − t)   ∂H(q (t), −p (t)) = ∂p (t) ∂H(q(2t1 − t), p(2t1 − t)) p˙  (t) = p(2t ˙ 1 − t) = − ∂q(2t1 − t) ∂H(q  (t), −p (t)) =− . ∂q  (t) q˙ (t) = −q(2t ˙ 1 − t) = −

(11.4.8a)

(11.4.8b)

Die Bewegungsgleichungen der Funktionen q  (t), p (t) werden nach Gl. ¯ beschrieben, welche aus der ur(11.4.8a,b) durch eine Hamilton-Funktion H spr¨ unglichen durch Ersetzung von p → −p hervorgeht: ¯ = H(q, −p) . H

(11.4.9)

Die meisten Hamilton-Funktionen sind quadratisch in p (z.B. von Teilchen in einem ¨ außeren Potential, die u ¨ ber Potentiale wechselwirken) und sind des¯ = H(q, p), und halb invariant gegen¨ uber Bewegungsumkehr. F¨ ur diese ist H   ugen den urspr¨ unglichen Bewegungsgleichungen und entwickeln q (t), p (t) gen¨ sich vom bewegungsumgekehrten Ausgangswert (q1 , −p1 ) in den bewegungsunglichen L¨osung (q(t), p(t)). umgekehrten Anfangswert (q0 , −p0 ) der urspr¨ Das bedeutet, daß derartige klassische Systeme zeitumkehrinvariant sind. 2t 1

t1 0 x

4

B

Abb. 11.3. Bewegungsumkehr in Gegenwart eines senkrecht zur Zeichenebene orientierten Magnetfeldes B. In dieser Zeichnung wird die Bewegungsumkehr zu dem Zeitpunkt durchgef¨ uhrt, bei dem sich das Teilchen genau in x-Richtung bewegt.

Der Punkt bedeutet die Ableitung nach dem gesamten Argument, z.B. 1 −t) . q(2t ˙ 1 − t) ≡ ∂q(2t ∂(2t1 −t)

11.4 Zeitumkehr (Bewegungsumkehr)

223

Die Bewegungsumkehrinvarianz trifft in dieser einfachen Form nicht zu f¨ ur die Bewegung von Teilchen im Magnetfeld und auch bei anderen Kr¨aften, die linear in der Geschwindigkeit sind. Man kann sich dies leicht anhand der Abb. 11.3 klarmachen: Geladene Teilchen laufen in einem homogenen Magnetfeld auf Kreisen, in einem dem Vorzeichen der Ladung entsprechenden Bewegungssinn. Bei Bewegungsumkehr l¨ auft deshalb das Teilchen nicht auf dem urspr¨ unglichen Kreis zur¨ uck, sondern setzt seine Bahn auf dem oberen Kreisabschnitt fort. In Gegenwart eines Magnetfeldes muß man, um Bewegungsumkehrinvarianz zu erhalten, auch die Richtung des ¨außeren Magnetfeldes umkehren: B → −B ,

(11.4.10)

wie man anhand der Skizze oder der folgenden Rechnung sieht. Die HamiltonFunktion ohne Feld sei H = H(x, p) in kartesischen Koordinaten, und sie sei invariant gegen¨ uber Zeitumkehr. Dann ist die Hamilton-Funktion im elektromagnetischen Feld e H = H(x, p − A(x)) + eΦ(x) , c

(11.4.11)

wo A das Vektorpotential und Φ das skalare Potential sind. Diese HamiltonFunktion ist nicht invariant unter der Transformation (11.4.4). Die HamiltonFunktion (11.4.11) ist jedoch gegen¨ uber der allgemeinen Transformation x (t) = x(2t1 − t) p (t) = −p(2t1 − t)

(11.4.12a) (11.4.12b)

A (x, t) = −A(x, 2t1 − t) Φ (x, t) = Φ(x, 2t1 − t)

(11.4.12c) (11.4.12d)

invariant. Die Gleichungen (11.4.12c) und (11.4.12d) implizieren eine Vorzeichen¨ anderung des Magnetfeldes, aber nicht des elektrischen Feldes, wie man aus B = rot A → rot A = −B 1 ∂  1 ∂ A(x, t) → − ∇Φ + A (x, t) E = −∇Φ + c ∂t c ∂t ∂ 1 A(x, 2t1 − t) = E = −∇Φ + c ∂(2t1 − t) (11.4.13a) sieht. Wir bemerken noch am Rande, daß bei Zutreffen der Lorentz-Bedingung 1 ∂ Φ + ∇A = 0 , c ∂t diese auch f¨ ur die bewegungsumgekehrten Potentiale gilt.

(11.4.13b)

224

11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

Bemerkung. In der vorhergehenden Darstellung gingen wir von der Bewegung im Zeitintervall [0, t1 ] aus und ließen den bewegungsumgekehrten Vorgang daran anschließend im Zeitintervall [t1 , 2t1 ] ablaufen. Genausogut k¨onnen wir die urspr¨ ungliche Bewegung im Zeitintervall [−t1 , t1 ] betrachten und als Gegenst¨ uck den bewegungsumgekehrten Zeitablauf ebenfalls zwischen −t1 und t1 : q  (t) = q(−t) p (t) = −p(−t)

(11.4.14)

mit den Anfangsbedingungen q  (−t1 ) = q(t1 ) , p (−t1 ) = −p(t1 )

(11.4.15)

und den Endwerten q  (t1 ) = q(−t1 ) , p (t1 ) = −p(−t1 ) .

(11.4.16)

(q  (t), p (t)) unterscheidet sich von (q  (t), p (t) aus Gl. (11.4.4) nur um eine Zeittranslation um 2t1 ; der Zeitablauf ist ebenfalls in positiver Zeitrichtung, von −t1 nach t1 . 11.4.2 Zeitumkehr in der Quantenmechanik 11.4.2.1 Zeitumkehr in der Ortsdarstellung Nach diesen Vorbereitungen bez¨ uglich der klassischen Mechanik wenden wir uns der nichtrelativistischen Quantenmechanik (in der Ortsdarstellung) zu, beschrieben durch die Wellenfunktion ψ(x, t), die der Schr¨odinger-Gleichung i

∂ψ(x, t) = Hψ(x, t) ∂t

(11.4.17)

gen¨ ugt. Wir nehmen an, daß die Anfangsbedingung f¨ ur ψ(x, t) zur Zeit 0 durch ψ0 (x) gegeben sei, d.h. ψ(x, 0) = ψ0 (x) .

(11.4.18)

Diese Anfangsbedingung bestimmt ψ(x, t) zu jeder sp¨ateren Zeit t. Es ist zwar m¨ oglich, aus der Schr¨ odinger-Gleichung auch ψ(x, t) zu fr¨ uheren Zeiten zu berechnen, aber dies ist im allgemeinen nicht von Interesse. Denn die Aussage, daß zur Zeit 0 die Wellenfunktion ψ0 (x) vorliegt, impliziert, daß eine Messung vorgenommen wurde, welche in aller Regel den vorher vorliegenden Zustand oge sich die Wellenfunktion ver¨ andert hat. Zur Zeit t1 > 0 m¨

11.4 Zeitumkehr (Bewegungsumkehr)

ψ(x, t1 ) ≡ ψ1 (x)

225

(11.4.19)

ergeben. Wie sieht das bewegungsumgekehrte System aus, so daß sich ein Anfangszustand ψ1 (x) nach der Zeit t1 in ψ0 (x) entwickelt? Die Funktion ψ(x, 2t1 − t) gen¨ ugt wegen der Zeitableitung erster Ordnung nicht der Schr¨ odinger-Gleichung. Wenn wir jedoch noch zus¨atzlich das komplex konjugierte der Wellenfunktion bilden ψ  (x, t) = ψ ∗ (x, 2t1 − t) ≡ K0 ψ(x, 2t1 − t) ,

(11.4.20)

erf¨ ullt diese die Differentialgleichung i

∂ψ  (x, t) = H ∗ ψ  (x, t) ∂t

(11.4.21)

und die Randbedingungen ψ  (x, t1 ) = ψ1∗ (x) ψ  (x, 2t1 ) = ψ0∗ (x) .

(11.4.22a) (11.4.22b)

Beweis. Unter Weglassung des Ortsarguments5 i

∂ψ  (t) ∂ψ(2t1 − t) ∂ψ(2t1 − t) ∂ψ ∗ (2t1 − t) =i = −K0 i = K0 i ∂t ∂t ∂t ∂(−t) = K0 Hψ(2t1 − t) = H ∗ ψ ∗ (2t1 − t) = H ∗ ψ  (t) .

Hier ist H ∗ der komplex konjugierte Hamilton-Operator, was nicht notwendigerweise identisch mit H † ist, z.B. gilt f¨ ur den Impuls-Operator 

†  ∗     ∇ = ∇ , aber ∇ =− ∇. i i i i

(11.4.23)

Wenn der Hamilton-Operator quadratisch in p ist, ist H ∗ = H und somit ist dann das System zeitumkehrinvariant. Wir berechnen nun die Erwartungswerte von Impuls, Ort und Drehimpuls (der obere Index gibt die Zeit an, der untere Index die Wellenfunktion):   t (11.4.24a) pψ = (ψ, pψ) = d3 x ψ ∗ ∇ψ i  xtψ = (ψ, xψ) = d3 x ψ ∗ (x, t)xψ(x, t) (11.4.24b)   ptψ = (ψ ∗ , pψ ∗ ) = d3 x ψ ∇ψ ∗ i ∗   2t −t =− d3 x ψ ∗ ∇ψ = −pψ 1 (11.4.24c) i 1 −t xtψ = x2t ψ

5

Der Operator K0 bewirkt die komplexe Konjugation.

(11.4.24d)

226

11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung



t

 d3 x ψ x × ∇ψ ∗ i ∗   2t −t =− d3 x ψ ∗ x × ∇ψ = −Lψ 1 . i

Lψ =

(11.4.24e)

Diese Ergebnisse entsprechen genau den klassischen. Der Ortsmittelwert des bewegungsinvertierten Zustandes l¨ auft die Bahn zur¨ uck, der Impulsmittelwert hat das entgegengesetzte Vorzeichen. Auch hier k¨ onnen wir ψ(x, t) im Intervall [−t1 , t1 ] nehmen und ψ  (x, t) = K0 ψ(x, −t)

(11.4.25)

ebenfalls im Intervall [−t1 , t1 ], entsprechend der klassischen Darstellung (11.4.14). Im weiteren werden wir die Zeitumkehrtransformation in dieser kompakteren Weise darstellen. Der Zeitsinn ist immer positiv. Da K02 = 1 ist, gilt K0−1 = K0 . Wegen der Eigenschaft (11.4.23), und weil die Ortskoordinaten reell sind, gilt f¨ ur x, p und L das folgende Transformationsverhalten K0 xK0−1 = x

(11.4.25c)

K0 pK0−1 = −p K0 LK0−1 = −L .

(11.4.25d) (11.4.25e)

11.4.2.2 Antilineare und Antiunit¨ are Operatoren Die Transformation ψ → ψ  (t) = K0 ψ(−t) ist nicht unit¨ar. Definition: Ein Operator A heißt antilinear, wenn A(α1 ψ1 + α2 ψ2 ) = α∗1 Aψ1 + α∗2 Aψ2 .

(11.4.26)

Definition: Ein Operator A heißt antiunit¨ar, wenn er antilinear ist und wenn (Aψ, Aϕ) = (ϕ, ψ)

(11.4.27)

ist. K0 ist offensichtlich antilinear K0 (α1 ψ1 + α2 ψ2 ) = α∗1 K0 ψ1 + α∗2 K0 ψ2 , außerdem gilt (K0 ψ, K0 ϕ) = (ψ ∗ , ϕ∗ ) = also ist K0 antiunit¨ ar.



d3 x ψϕ∗ = (ϕ, ψ) ,

(11.4.28)

11.4 Zeitumkehr (Bewegungsumkehr)

227

Wenn U unit¨ ar ist, U U † = U † U = 1, dann ist U K0 antiunit¨ar, wie man folgendermaßen sieht: U K0 (α1 ψ1 + α2 ψ2 ) = U (α∗1 K0 ψ1 + α∗2 K0 ψ2 ) = α∗1 U K0 ψ1 + α∗2 U K0 ψ2 (U K0 ψ, U K0 ϕ) = (K0 ψ, U † U K0 ϕ) = (K0 ψ, K0 ϕ) = (ϕ, ψ) . Es gilt auch die Umkehrung: Jeder antiunit¨ are Operator kann in der Form A = U K0 dargestellt werden. Beweis: Es gilt K02 = 1. Gegeben sei ein antiunit¨arer Operator A; wir definieren U = AK0 . Der Operator U erf¨ ullt U (α1 ψ1 + α2 ψ2 ) = AK0 (α1 ψ1 + α2 ψ2 ) = A(α∗1 K0 ψ1 + α∗2 K0 ψ2 ) = (α1 AK0 ψ1 + α2 AK0 ψ2 ) = (α1 U ψ1 + α2 U ψ2 ) , also ist U linear. Außerdem gilt (U ϕ, U ψ) = (AK0 ϕ, AK0 ψ) = (Aϕ∗ , Aψ ∗ ) = (ψ ∗ , ϕ∗ ) =



d3 x ψϕ∗

= (ϕ, ψ) , also ist U unit¨ ar. Aus U = AK0 folgt A = U K0 , womit die Behauptung bewiesen ist. Anmerkungen: (i) Bei antilinearen Operatoren wie z.B. K0 ist es empfehlenswert in der Ortsdarstellung zu arbeiten. Wenn man die Diracsche Bra-Ket-Notation verwendet, angt. Sei |a = R 3 muß man beachten, daß die Wirkung von der Basis abh¨ d ξ |ξ ξ|a, dann folgt in der Ortsdarstellung unter der Festsetzung K0 |ξ = |ξ Z Z (11.4.29) K0 |a = d3 ξ (K0 |ξ) ξ|a∗ = d3 ξ |ξ ξ|a∗ Daraus folgt f¨ ur die Impulseigenzust¨ ande Z K0 |p = d3 ξ |ξ ξ|p∗ = |−p , ahlt, da ξ|p = eipξ und ξ|p∗ = e−ipξ ist. Wenn man eine andere Basis w¨ z.B. |n und in dieser K0 |n = |n postuliert, dann ist K0 |a verschieden von dem in der Basis der Ortseigenfunktionen gefundenen. Sofern wir u ¨ berhaupt in diesem Zusammenhang der Zeitumkehr die Dirac-Notation verwenden, so legen wir die Ortsbasisfunktionen zugrunde. (ii) Weiters ist die Wirkung von antiunit¨ aren Operatoren nur auf die Ket-Vektoren definiert. Es gilt hier nicht wie bei linearen Operatoren a| (L |b) = (a| L) |b = a| L |b . Dies r¨ uhrt daher, daß ein Bra-Vektor als lineares Funktional auf den KetVektoren definiert ist.6 6

Siehe z.B. QM I, Abschn. 8.2, Fußnote 2.

228

11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

11.4.2.3 Zeitumkehroperator T im linearen Zustandsraum A. Allgemeine Eigenschaften, Spin 0 In diesem und dem n¨ achsten Abschnitt stellen wir die Zeitumkehrtransformation im linearen Zustandsraum der Ket- und Bra-Vektoren dar, da diese h¨ aufig in der Quantenstatistik Verwendung findet. Es wird dabei die Bedingung der Zeitumkehr allgemein analysiert und auch Teilchen mit Spin betrachtet. Es wird sich erneut erweisen, daß es keine unit¨are Transformation geben kann, die Zeitumkehr (Bewegungsumkehr) bewirkt. Wir bezeichnen den Zeitumkehroperator mit T . Die Forderung der Zeitumkehrinvarianz besagt e−iHt T |ψ(t) = T |ψ(0)

(11.4.30)

d.h. e−iHt T e−iHt |ψ(0) = T |ψ(0) , d.h. f¨ uhrt man eine Bewegungsumkehr zur Zeit t durch und l¨aßt das System dann noch ein weiteres Zeitintervall t laufen, dann ist der resultierende Zustand identisch mit dem zur Zeit 0 bewegungsumgekehrten Zustand. Da Gl. (11.4.30) f¨ ur jedes beliebige |ψ(0) gilt, folgt e−iHt T e−iHt = T und daraus e−iHt T = T eiHt .

(11.4.31)

Differenziert man (11.4.31) nach der Zeit und setzt t = 0, so erh¨alt man T iH = −iHT .

(11.4.32)

Man kann zun¨ achst fragen, ob es auch einen unit¨aren Operator T geben kann, der (11.4.32) erf¨ ullt. W¨ are T unit¨ ar und damit auch linear, so k¨onnte man auf der linken Seite i vor T ziehen und erhielte T H + HT = 0 . Dann w¨ are f¨ ur jede Energieeigenfunktion ψE mit HψE = EψE auch HT ψE = −ET ψE erf¨ ullt. Es g¨ abe dann zu jedem positiven E eine L¨osung T ψE mit Eigenwert (−E). Die Energie w¨ are nicht nach unten beschr¨ankt, denn es gibt auf jeden Fall Zust¨ ande beliebig hoher positiver Energie. Die M¨oglichkeit, daß es einen unit¨ aren Operator T gibt, der (11.4.31) erf¨ ullt, scheidet aus. Da nach einem Theorem von Wigner7 Symmetrietransformationen entweder unit¨ar oder an7

E.P. Wigner, Group Theory and its Applications to Quantum Mechanics, Academic Press, p. 233; V. Bargmann, J. of Math. Phys. 5, 862 (1964)

11.4 Zeitumkehr (Bewegungsumkehr)

229

tiunit¨ ar sind, folgt daß T nur antiunit¨ ar sein kann, dann ist T iH = −iT H und T H − HT = 0 .

(11.4.33)

Wir betrachten nun ein Matrixelement eines linearen Operators B:     α| B |β = B † α|β = T β|T B † α   = T β|T B † T −1 T α = T β| T B † T −1 |T α oder   = α|Bβ = T Bβ|T α = T BT −1 T β|T α = T β| T BT −1 |T α

(11.4.34)

Wenn wir annehmen, daß B hermitesch ist, und T BT −1 = εB B ,

wo εB ±1 ist,

(11.4.35)

was durch die Resultate (11.4.24a-e) aus der Wellenmechanik nahegelegt wird, so folgt α| B |β = εB T β| B |T α . Man nennt εB die Signatur des Operators B. Nehmen wir das Diagonalelement α| B |α = εB T α| B |T α . Vergleich mit (11.4.24c-e) und (11.4.25c-e) gibt die Transformation der Operatoren T x T −1 = x T p T −1 = −p

(11.4.36a) (11.4.36b)

T L T −1 = −L ,

(11.4.36c)

d.h. εx = 1, εp = −1 und εL = −1. Die letzte Beziehung folgt auch aus den ersten beiden. Bemerkung. Stellt man die Beziehungen (11.4.36) als Forderung an den Operator T voran, so erh¨ alt man durch Transformation des Kommutators [x, p] = i T iT −1 = T [x, p] T −1 = [x, −p] = −i . Daraus folgt T i T −1 = −i , was bedeutet, daß T antilinear ist.

230

11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

Wir untersuchen nun die Wirkung von T auf die Ortseigenzust¨ande |ξ, die durch x |ξ = ξ |ξ definiert sind, wobei ξ reell ist. Wendet man auf diese Gleichung T an und ben¨ utzt (11.4.36a), so erh¨ alt man xT |ξ = ξT |ξ . Folglich ist bei gleicher Normierung T |ξ gleich |ξ bis auf einen Phasenfaktor. Diesen fixieren wir auf 1: T |ξ = |ξ .

(11.4.37)

Dann gilt f¨ ur einen beliebigen Zustand |ψ wegen der Antiunitarit¨at   3 T |ψ = T d ξψ(ξ) |ξ = d3 ξψ ∗ (ξ)T |ξ  (11.4.38) = d3 ξψ ∗ (ξ) |ξ . Folglich ist der Operator T ¨ aquivalent zu K0 (vergl. Gl. (11.4.29)): T = K0 . Aus (11.4.38) folgt f¨ ur die Impulseigenzust¨ ande  |p = d3 ξ eipξ |ξ  T |p = d3 ξ e−ipξ |ξ = |−p .

(11.4.39)

(11.4.40)

B. Nichtrelativistische Spin- 21 -Teilchen Soweit haben wir nur spinlose Teilchen betrachtet. Nun erweitern wir die ur den Spinoperator Theorie auf Spin- 12 -Teilchen. Wir fordern f¨ T ST −1 = −S

(11.4.41)

in Analogie zum Bahndrehimpuls. Dann transformiert sich auch der Gesamtdrehimpuls J=L+S

(11.4.42)

entsprechend T JT −1 = −J .

(11.4.43)

11.4 Zeitumkehr (Bewegungsumkehr)

231

Wir behaupten, daß f¨ ur Spin- 12 der Operator T durch T = e−iπSy / K0

π π = e−iπσy /2 K0 = cos − i sin σy K0 2 2 2Sy K0 = −i 

(11.4.44)

gegeben ist. Die Richtigkeit der Behauptung erweist sich dadurch, daß Gl. (11.4.41) in der Form T S = −ST erf¨ ullt wird: f¨ ur die x und z Komponente −iσy K0 σx,z = −iσy σx,z K0 = +iσx,z σy K0 = −σx,z (−iσy K0 ) und die y-Komponente −iσy K0 σy = +iσy σy K0 = −σy (−iσy K0 ) .

F¨ ur die zweifache Anwendung von T folgt aus (11.4.44) T 2 = −iσy K0 (−iσy K0 ) = −iσy i(−σy )K02 = +i2 σy2 = −1 .

(11.4.45)

F¨ ur spinlose Teilchen ist T 2 = K02 = 1. F¨ ur N Teilchen ist die Zeitumkehrtransformation durch das direkte Produkt (1)

T = e−iπSy

/

(N )

. . . e−iπSy

/

K0

(11.4.46)

(n)

gegeben, wo Sy die y-Komponente des Spinoperators des n-ten Teilchens ist. Das Quadrat von T ist durch T 2 = (−1)N

(11.4.45 )

gegeben. In diesem Zusammenhang ist das Theorem von Kramers 8 erw¨ahnenswert, welches besagt: Die Energieniveaus eines Systems mit einer ungeraden Zahl von Elektronen sind mindestens zweifach entartet, wenn Zeitumkehrinvarianz vorliegt, also kein magnetisches Feld vorhanden ist. Beweis: Aus (T ψ, T ϕ) = (ϕ, ψ) folgt (T ψ, ψ) = (T ψ, T 2 ψ) = −(T ψ, ψ) . Also ist (T ψ, ψ) = 0, d.h. T ψ und ψ sind aufeinander orthogonal. Außerdem folgt aus Hψ = Eψ 8

H.A. Kramers, Koninkl. Ned. Wetenschap. Proc. 33, 959 (1930)

232

11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

und (11.4.33) H(T ψ) = E(T ψ) . Die Zust¨ ande ψ und T ψ geh¨ oren zur gleichen Energie. Diese beiden Zust¨ande 2 sind auch verschieden, denn w¨ are T ψ = αψ folgte T 2 ψ = α∗ T ψ = |α| ψ im 2 Widerspruch zu der Tatsache T = −1. Wie kompliziert die auf die Elektronen wirkenden elektrischen Felder auch sein m¨ogen, f¨ ur ungerade Zahl von Elektronen bleibt mindestens diese Entartung, die man als KramersEntartung bezeichnet. F¨ ur eine gerade Zahl von Elektronen ist T 2 = 1 und diese Entartung ist nicht vorhanden, Entartungen k¨onnen nur aufgrund von r¨ aumlicher Symmetrie entstehen. 11.4.3 Zeitumkehrinvarianz der Dirac-Gleichung Wir wenden uns jetzt unserem eigentlichen Thema, der Zeitumkehrinvarianz der Dirac-Gleichung, zu. Durch die Zeitumkehrtransformation T = Tˆ T (0) , wo T (0) die Operation t → −t und Tˆ eine noch zu bestimmende Transformation bedeuten, wird dem Spinor ψ(x, t) ein Spinor ψ  (x, t) = Tˆ T (0) ψ(x, t) = Tˆψ(x, −t)

(11.4.47)

zugeordnet, der ebenfalls der Dirac-Gleichung gen¨ ugt. Falls der Spinor zur Zeit −t1 von der Form ψ(x, −t1 ) ist und sich aufgrund der Dirac-Gleichung zur Zeit t1 zu ψ(x, t1 ) entwickelt, dann geht der Spinor ψ  (x, −t1 ) = Tˆψ(x, t1 ) zur Zeit −t1 in den Spinor ψ  (x, t1 ) = Tˆψ(x, −t1 ) zur Zeit t1 u ¨ber (Siehe Abb. 11.4). Aus der Dirac-Gleichung i

 ∂ψ(x, t)  = α · (−i∇ − eA(x, t)) + βm + eA0 (x, t) ψ(x, t) ∂t

(11.4.48)

folgt durch Anwendung von T (0) , d.h. t → −t, ψ (t 1 )

t1 ˆ ψ(−t 1 ) ψ (t 1 ) = T

ψ (−t 1 )

ˆ ψ(t 1 ) ψ (−t 1 ) = T

−t 1 Abb. 11.4. Illustration zur Zeitumkehr, Spinoren ψ und ψ  unter Weglassen des Ortsarguments

11.4 Zeitumkehr (Bewegungsumkehr)

i

233

 ∂ψ(x, −t)  = α · (−i∇ − eA(x, −t)) + βm + eA0 (x, −t) ψ(x, −t) . ∂(−t) (11.4.49)

Da in der Wellenmechanik die Zeitumkehrtransformation durch eine Komplex-Konjugation bewirkt wurde, setzen wir Tˆ = Tˆ0 K0 mit noch zu bestimmendem Tˆ0 . Nun wenden wir Tˆ auf Gleichung (11.4.3) an, dabei bewirkt K0 die Ersetzung von i in −i, und man erh¨alt i

  ∂ψ  (x, t) = Tˆ α · (−i∇ − eA(x, −t)) + βm + eA0 (x, −t) Tˆ −1 ψ  (x, t) . ∂t (11.4.49 )

Das in dieser Gleichung auftretende, bewegungsumgekehrte Vektorpotential wird durch Stromdichten erzeugt, die gegen¨ uber den urspr¨ unglichen ungestrichenen Stromdichten ihre Richtung ge¨ andert haben. Das bedeutet, daß das Vektorpotential sein Vorzeichen ¨ andert, w¨ ahrend die Nullkomponente sich bei Bewegungsumkehr nicht ¨ andert A (x, t) = −A(x, −t) ,

A0 (x, t) = A0 (x, −t) .

(11.4.50)

Man erh¨ alt deshalb die Dirac-Gleichung f¨ ur ψ  (x, t) i

 ∂ψ  (x, t)  = α · (−i∇ − eA (x, t)) + βm + eA0 (x, t) ψ  (x, t) (11.4.51) ∂t

genau dann, wenn Tˆ die Bedingungsgleichungen Tˆ αTˆ −1 = −α und Tˆβ Tˆ−1 = β

(11.4.52)

erf¨ ullt. Dabei ist die Wirkung von K0 auf i im Impulsoperator ber¨ ucksichtigt. Mit Tˆ = Tˆ0 K0 folgt aus der letzten Gleichung Tˆ0 α∗ Tˆ0−1 = −α und Tˆ0 β Tˆ0−1 = β ,

(11.4.52 )

wobei wir die Standarddarstellung f¨ ur die Dirac-Matrizen zugrunde legen, in der β reell ist. Da α1 , α3 reell und α2 imagin¨ ar sind, gilt Tˆ0 α1 Tˆ0−1 = −α1 Tˆ0 α2 Tˆ0−1 = α2 Tˆ0 α3 Tˆ −1 = −α3 0

Tˆ0 β Tˆ0−1 = β , was auch in der Form

(11.4.52 )

234

11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

{Tˆ0 , α1 } = {Tˆ0 , α3 } = 0 $ % $ % Tˆ0 , α2 = Tˆ0 , β = 0

(11.4.52 )

geschrieben werden kann. Aus (11.4.52 ) findet man die Darstellung Tˆ0 = −iα1 α3

(11.4.53)

und damit Tˆ = −iα1 α3 K0 = iγ 1 γ 3 K0 .

(11.4.53)

urlich. Der Faktor i in (11.4.53) und (11.4.53) ist willk¨ Beweis: Tˆ0 erf¨ ullt (11.4.52 ), da z.B. {Tˆ0 , α1 } = α1 α3 α1 + α1 α1 α3 = 0.

Die gesamte Zeitumkehrtransformation, T = Tˆ 0 K0 T (0) , kann somit in der Form ψ  (x, t) = iγ 1 γ 3 K0 ψ(x, −t) = iγ 1 γ 3 ψ ∗ (x, −t) = iγ 1 γ 3 γ 0 ψ¯T (x, −t) (11.4.47) = iγ 2 γ 5 ψ¯T (x, −t) ugt, wie gew¨ unscht, der Dirac-Gleichung geschrieben werden und ψ  (x, t) gen¨ i

 ∂ψ  (x, t)  = α · (−i∇ − eA (x, t)) + βm + eA0 (x, t) ψ  (x, t) . ∂t

(11.4.51)

ur die Transformation der Stromdichte unter ZeitAus (11.4.47 ) folgt f¨ umkehr ¯ −t)γμ ψ(x, −t) . j μ = ψ¯ (x, t)γ μ ψ  (x, t) = ψ(x,

(11.4.54)

Die r¨ aumlichen Komponenten der Stromdichte ¨andern das Vorzeichen. Gl. (11.4.54) und (11.4.50) zeigen, daß die d’Alembert-Gleichung f¨ ur das elektromagnetische Potential ∂ ν ∂ν Aμ = jμ unter Zeitumkehr invariant ist. Um zu sehen, welche physikalischen Eigenschaften ein zeitumgekehrter Spinor besitzt, betrachten wir einen freien Spinor   

p /+m 11 + γ5 n / ψ= ψ (11.4.55) 2m 2 mit Impuls p und Spinorientierung n (im Ruhesystem). Die Anwendung der Zeitumkehroperation ergibt

11.4 Zeitumkehr (Bewegungsumkehr)





235



p /+m 11 + γ5 n / ψ 2m 2  ∗  

p / +m 11 + γ5 n /∗ ψ ∗ (x, −t) = Tˆ0 2m 2    ˜/ ˜+m 11 + γ5 n

p / Tψ, = 2m 2

Tψ=T

(11.4.56)

˜ = (n0 , −n) ist. Hier wurde (11.4.52) ben¨ utzt. wobei p˜ = (p0 , −p) und n Der Spinor T ψ hat entgegengesetzt gerichteten r¨aumlichen Impuls −p und entgegengesetzt orientierten Spin −n. Es sind somit alle diskreten Symmetrietransformationen der Dirac-Gleichung besprochen. Wir wollen nun die gemeinsame Wirkung von der Parit¨atstransformation P, der Ladungskonjugation C und der Zeitumkehr T untersuchen. Die sukzessive Anwendung dieser Operationen auf einen Spinor ψ(x) ergibt ψPCT (x ) = PCγ0 K0 Tˆ0 K0 ψ(x , −t ) = γ 0 iγ 2 γ 0 γ 0 K0 iγ 1 γ 3 K0 ψ(−x ) 5

(11.4.57)



= iγ ψ(−x ) Wenn man sich die Struktur von γ 5 vergegenw¨artigt (Gl. (6.2.48 )) ist klar, daß als Konsequenz des Transformationsteils C ein Negativ-EnergieElektronspinor in einen Positiv-Energie-Positronspinor transformiert wird. Dies wird verdeutlicht, indem man von einem Spinor mit negativer Energie und einer bestimmten Spinorientierung (−n) ausgeht, der somit die Projektionsrelation    −p /+m 11 + γ5 n / ψ(x) = ψ(x) (11.4.58) 2m 2 erf¨ ullt. Da {γ 5 , γ μ } = 0 ist, folgt aus (11.4.57) und (11.4.58)    /+m p 11 − γ5 n /  5  ψPCT (x ) = iγ ψ(−x ) = i γ5 ψPCT (−x ) 2m 2    (11.4.59) /+m p 11 − γ5 n /  = ψPCT (x ) 2m 2 Wenn ψ(x) ein Elektronspinor mit negativer Energie ist, dann ist ψPCT (x) ein Positronspinor positiver Energie. Die Spinorientierung bleibt unge¨andert.9 9

Um daraus ein Transformationsverhalten der Quanten zu erhalten, muß man beachten, daß im Sinne der L¨ ochertheorie Positronen unbesetzte Elektronenzust¨ ande mit negativer Energie sind. Somit transformieren sich unter CP T Elektronen in Positronen mit unge¨ andertem Impuls und entgegengesetztem Spin.

236

11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

Im Hinblick auf die erste Zeile von Gl. (11.4.59) kann man einen Positronspinor mit positiver Energie als einen Elektronspinor mit negativer Energie, uckw¨arts bewegt, der mit iγ5 multipliziert ist und sich in Raum und Zeit r¨ ¨ auffassen. Dies hat ein Aquivalent in der Diagrammatik der St¨orungstheorie (Siehe Abb. 11.5).

Elektron

Abb. 11.5. Feynman-Propagatoren f¨ ur Elektronen (Pfeil in positiver Zeitrichtung (nach oben)) und Positronen (Pfeil in negativer Zeitrichtung)

Positron

P

e−

C

e− e+

e+

a)

e−

e+

e+ e−

b) T

e−

e+

c)

e− e+

Abb. 11.6. Die Wirkung der a) Parit¨ atstransformation P , b) Ladungskonjugation C und c) Zeitumkehrtransformation T auf einen Elektron- und Positronzustand. Die langen Pfeile geben die Impulse an, die kurzen die Spinorientierungen. Es ist hier nicht die Transformation der Spinoren dargestellt, sondern der Teilchen und Antiteilchen im Sinne der L¨ ochertheorie bzw. der Quantenfeldtheorie.

In Abb. 11.6,a-c ist die Wirkungsweise der diskreten Transformationen P , C und T auf ein Elektron und ein Positron dargestellt. Nach der DiracTheorie besitzen Elektron und Positron entgegengesetzte Parit¨at. Die Wirkung einer Parit¨ atstransformation auf einen Zustand aus freien Elektronen ¨ und Positronen besteht in der Umkehr aller Impulse, keiner Anderung des

11.4 Zeitumkehr (Bewegungsumkehr)

237

Spins und der Multiplikation mit (−1) f¨ ur jedes Positron (Abb. 11.6a). Bis zum Jahre 1956 war man der Meinung, daß eine Raumspiegelung auf fundamentaler mikroskopischer Ebene, die also rechtsh¨andige Koordinatensysteme in linksh¨ andige transformiert, zur gleichen physikalischen Welt mit den gleichen physikalischen Gesetzen f¨ uhren w¨ urde. Im Jahre 1956 haben Lee unde f¨ ur die Verletzung der Parit¨atserhaltung und Yang10 u ¨ berzeugende Gr¨ in Kernzerf¨ allen durch die schwache Wechselwirkung aufgedeckt. Durch die von ihnen vorgeschlagenen Experimente11 zeigte sich eindeutig, daß beim βZerfall von Kernen und dem Zerfall des π-Mesons die Parit¨at nicht erhalten ist. Der Hamilton-Operator der schwachen Wechselwirkung muß daher neben den u ¨blichen skalaren Termen auch pseudoskalare Terme enthalten, welche das Vorzeichen bei der Inversion aller Koordinaten ¨andern. In Abb. 11.7 ist das am β-Zerfalls-Experiment von radioaktiven 60Co-Kernen in 60Ni von Wu et al. illustriert. Bei diesem Prozeß zerf¨ allt ein Neutron innerhalb des Kerns in ein Proton, ein Elektron und ein Neutrino. Nur das Elektron (β-Teilchen) ist leicht zu beobachten. Die Kerne besitzen einen endlichen Spin und ein magnetisches Moment, welches durch ein Magnetfeld orientiert werden kann. Es zeigt sich, daß die Elektronen vorzugsweise entgegengesetzt zum Spin des Kerns emittiert werden. Das grundlegende experimentelle Faktum ist: Die Richtung der Geschwindigkeit der β-Teilchen vβ (ein polarer Vektor) wird durch die Richtung des die Kerne polarisierenden Magnetfeldes B (ein axialer Vektor) bestimmt. Da die Raumspiegelung P das Magnetfeld B nicht andert, w¨ ahrend sie vβ umdreht, ist diese Tatsache mit einer universellen In¨ versionssymmetrie unvereinbar. Durch die schwache Wechselwirkung ist die Parit¨ at nicht erhalten. Bei allen Vorg¨ angen, die nur die starke und die elektromagnetische Wechselwirkung beinhalten, ist die Parit¨at erhalten.12 Bei der Ladungskonjugation werden Elektronen und Positronen vertauscht, die Impulse und Spins bleiben dabei unge¨andert (Abb. 11.6b). Dies kommt dadurch zustande, daß bei der Ladungskonjugation nach Gl. (11.3.7 ,11.3.11) der Spinor in einen mit entgegengesetztem Impuls und Spin transformiert wird. Da das Antiteilchen (Loch) nach Abschn. 10.2 der Nichtbesetzung eines derartigen Zustands entspricht, hat es nochmals entgegengesetzte Werte, also insgesamt den Impuls und Spin des urspr¨ unglichen Teilchens. Auch die in der freien Dirac-Theorie vorhandene Ladungskonjugationsinvarianz ist in der Natur nicht streng g¨ ultig, sondern wird durch die schwache Wechselwirkung verletzt.12

10 11

12

T.D. Lee und C.N. Yang Phys. Rev. 104, 254 (1956) C.S. Wu, E. Ambler, R.W. Hayward, D.D. Hoppes und R.P. Hudson, Phys. Rev. 105, 1413 (1957); R.L. Garwin, L.M. Ledermann und M. Weinrich, Phys. Rev. 105, 1415 (1957) Experimente zur Invarianz der elektromagnetischen und starken Wechselwirkung unter C, P und CP und deren Verletzung durch die schwache Wechselwirkung werden in D.H. Perkins, Introduction to High Energy Physics, 2nd ed., AddisonWesley, London, 1982 eingehend diskutiert.

238

11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung B

e−

µ Co

(a)

B

P

vβ

vβ µ Co

e−

(b )

Abb. 11.7. Schematische Darstellung des β-Zerfalls-Experiments von Wu et al. zur Parit¨ atsverletzung. Die Figur zeigt den in einer Ringspule zirkulierenden Strom, der das Magnetfeld B erzeugt, welches das magnetische Moment μ des Kobalt-Kerns und den damit verbundenen Drehimpuls I orientiert sowie die Geschwindigkeit vβ des β-Teilchens (Elektrons). Die β-Teilchen werden vorzugsweise entgegengesetzt zur Richtung von μ emittiert. D.h. die Konfiguration (a) entspricht der experimentellen Beobachtung. Die gespiegelte Konfiguration (b) wird nicht beobachtet.

Die Zeitumkehr-Transformation dreht Impulse und Spins um (Abb. 11.6c). Die freie Dirac-Theorie ist invariant gegen diese Transformation. In der Natur gilt die Zeitumkehrinvarianz bei nahezu allen Reaktionen, wobei zu beachten ist, daß durch Zeitumkehr der Anfangs- und Endzustand vertauscht werden. In den Zerf¨ allen von neutralen K-Mesonen wurden die T -Invarianz verletzenden Effekte erstmalig experimentell entdeckt. Die Invarianzen C, P und T sind in der Natur alle einzeln verletzt.12 In einer relativistischen Feldtheorie mit beliebiger Wechselwirkung muß jedoch das Produkt Θ = CP T eine Invarianz-Transformation sein. Dieses Theorem, das sog. PCT-Theorem13,14 , kann aus den allgemeinen Axiomen der Quantenfeldtheorie hergeleitet15 werden. Das PCT-Theorem impliziert, daß Teilchen und Antiteilchen die gleiche Masse haben und instabile Teilchen gleiche Lebensdauer haben, wobei die Zerfallsraten f¨ ur bestimmte Zerfallskan¨ale f¨ ur Teilchen und Antiteilchen nicht unbedingt gleich groß sein m¨ ussen. ∗

11.4.4 Racah-Zeitspiegelung

Wir suchen nun die Spinortransformation, die der reinen Zeitspiegelung entspricht, die nach Gl. (6.1.9) durch die Lorentztransformation

13

14

15

G. L¨ uders, Dan. Mat. Fys. Medd. 28, 5 (1954); Ann. Phys. (N.Y.) 2, 1 (1957); W. Pauli, in Niels Bohr and the development of physics“, Hrsg. W. Pauli, L. ” Rosenfeld und V. Weisskopf, McGraw Hill, New York, 1955 Die Lagrange-Dichte einer Quantenfeldtheorie mit den in Abschn. 12.2 genannten Eigenschaften transformiert sich unter Θ wie L(x) → L(−x), sodaß die Wirkung S invariant ist. R.F. Streater und A.S. Wightman PCT, Spin Statistics and all that, W.A. Benjamin, New York, 1964; siehe auch Itzykson, Zuber, op. cit., S. 158.

11.4 Zeitumkehr (Bewegungsumkehr)

⎛

Λμν

−1 0 ⎜ 01 =⎜ ⎝ 00 00

239

⎞

00 0 0⎟ ⎟ 1 0⎠ 01

(11.4.60)

beschrieben wird. Man sieht leicht, daß die Bedingung f¨ ur die Spinortransformation (6.2.7) γ μ SR = Λμν SR γ ν durch SR = γ1 γ2 γ3

(11.4.61)

ur den Spinor und seinen Adjungierten erf¨ ullt wird.16 Die Transformation f¨ hat deshalb die Form ψ  = SR ψ † 0 −1 ¯ −1 , ψ¯ = ψ † SR γ = −ψ † γ 0 SR = −ψS R

(11.4.62)

¨ in Ubereinstimmung mit dem allgemeinen Ergebnis, Gl. (6.2.34b), b = −1 −1 f¨ ur Zeitspiegelung, wobei SR = −γ3 γ2 γ1 ist. F¨ ur die Stromdichte findet man deshalb das Transformationsverhalten ¯ νψ . ¯ μ ψ) = −Λμ ψγ (ψγ ν

(11.4.63)

Also transformiert sich j μ wie ein Pseudovektor unter der Racah-Zeitspiegelung. Hingegen transformiert sich das Vektorpotential Aμ (x) wie Aμ (x ) = Λμν Aν (Λ−1 x) .

(11.4.64)

Deshalb ist die Feldgleichung f¨ ur das Strahlungsfeld ∂ν ∂ ν Aμ = 4πej μ

(11.4.65)

nicht invariant unter dieser Zeitspiegelung. Man kann die Racah-Transformation mit der Ladungskonjugation kombinieren: ψ  (x, t) = SR ψc (x, −t) = S(T )ψ¯T (x, −t) .

(11.4.66)

upft Dabei ist die Transformationsmatrix S(T ) mit SR und C ≡ iγ 2 γ 0 verkn¨ S(T ) = SR C = γ1 γ2 γ3 iγ 2 γ 0 = iγ 2 γ5 . Dies ist die Bewegunsgsumkehrtransformation (=Zeitumkehrtransformation), Gl. (11.4.47). Die Dirac-Gleichung ist invariant gegen¨ uber dieser Transformation. 16

Man nennt SR den Racah-Zeitspiegelungsoperator, siehe J.M. Jauch und F. Rohrlich, The Theory of Photons and Electrons, S. 88, Springer, New York, 1980.

240 ∗

11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

11.5 Helizit¨ at

Der Helizit¨atsoperator ist durch ˆ = Σ·k ˆ h(k)

(11.5.1)

ˆ = k/|k| der Einheitsvektor in Richtung des r¨aumlichen Imdefiniert, wo k pulses des Spinors ist. ˆ kommutiert mit dem Dirac-Hamilton-Operator, deshalb gibt es geΣ·k ˆ und H. Der Helizit¨atsoperator h(k) ˆ meinsame Eigenzust¨ ande17 von Σ · k 2 ˆ hat die Eigenschaft h (k) = 1 und besitzt deshalb die Eigenwerte ±1. Die Eigenzust¨ ande der Helizit¨ at mit Eigenwert +1 (Spin parallel zu k) nennt man rechtsh¨ andig (rechtsschraubend), die mit −1 (Spin antiparallel zu k) linksh¨ andig (linksschraubend). Man kann sich Zust¨ande mit positiver und negativer Helizit¨ at anschaulich als rechtsschraubende und linksschraubende Systeme vorstellen. Die Wirkung des Helizit¨ atsoperators auf den freien Spinor ur (k) aus Gl. (6.3.11a) ist ⎞ ⎛ 1 E+m 2 ⎜ ϕr ⎟ ⎟ 2m ˆ ur (k) = Σ · k ˆ⎜ Σ·k ⎟ ⎜ σ·k ⎠ ⎝ ϕ r 1 2 [2m(m + E)] ⎛ ⎞ (11.5.2) 1 E+m 2 ˆ ϕr ⎟ ⎜ σ·k ⎜ ⎟ 2m =⎜ ⎟ σ·k ⎝ ˆ ⎠ 1 σ · k ϕr [2m(m + E)] 2    mit ϕ1 = 10 und ϕ2 = 01 und einem analogen Ausdruck f¨ ur die Spinoren ande von σz , deshalb sind die vr (k). Die Pauli-Spinoren ϕr sind Eigenzust¨ ur (k) und vr (k) im Ruhesystem Eigenzust¨ ande von Σz (siehe Gl. (6.3.4)). Als einfachen Spezialfall betrachten wir nun freie Spinoren mit Wellenzahlvektor l¨ angs der z-Achse. Dann ist k = (0, 0, k) und der Helizit¨atsoperator wird ˆ = Σz Σ·k

ˆ = σz . und σ · k

(11.5.3)

Weiters sieht man aus Gl. (11.5.2), daß die Spinoren ur (k) und vr (k) Eigenzust¨ ande des Helizit¨ atsoperators sind. Nach √ Gl. (6.3.11a) und (6.3.11b) lauten die Spinoren f¨ ur k = (0, 0, k), d.h. k  = ( k 2 + m2 , 0, 0, k) (Zur Unterscheidung von der z-Komponente wird der Vierervektor hier mit k  bezeichnet): 17

Im Gegensatz zur nichtrelativistischen Pauli-Gleichung ist es jedoch nicht m¨ oglich, freie L¨ osungen der Dirac-Gleichung zu finden, die Eigenfunktionen von ˆ mit einem beliebig orientierten Einheitsvektor n ˆ sind, da Σ · n ˆ außer f¨ Σ ·n ur ˆ nicht mit dem freien Dirac-Hamilton-Operator kommutiert. ˆ = ±k n

∗

⎛

11.5 Helizit¨ at

⎛

⎞

241

⎞

1 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 0 ⎟ , u(L) (k  ) = u2 (k  ) = N ⎜ 1 ⎟ , u(R) (k  ) = u1 (k  ) = N ⎜ k ⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎠ E+m −k 0 E+m ⎛ −k ⎞ ⎛ ⎞ 0 E+m ⎜ 0 ⎟ (L)  ⎜ k ⎟ ⎟ , v (k ) = v2 (k  ) = N ⎜ E+m ⎟ , v (R) (k  ) = v1 (k  ) = N ⎜ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ 1 0 (11.5.4) mit N =

 E+m 1/2

, und sie erf¨ ullen < 1   Σz ur (k ) = ±ur (k ) f¨ ur r = 2 < 1 ur r = Σz vr (k  ) = ±vr (k  ) f¨ 2 2m

R L (11.5.5) R . L

Die Buchstaben R und L weisen auf R rechtsh¨andig polarisiert (= positive Helizit¨ at) und L linksh¨ andig polarisiert (=negative Helizit¨at) hin. F¨ ur k in beliebiger Richtung erh¨ alt man die Eigenzust¨ande u(R) , u(L) mit Eigenwert +1, −1 durch Drehung der Spinoren (11.5.4). Die Drehung erfolgt kz um den Winkel ϑ = arccos |k| um die durch den Vektor (−ky , kx , 0) festgelegte Drehachse. Eine derartige Drehung dreht die z-Achse in Richtung von k. Die zugeh¨ orige Spinortransformation lautet nach (6.2.21) und (6.2.29c)   A ϑ S = exp −i (−ky Σx + kx Σy )/ kx2 + ky2 2 (11.5.6) ky Σx − kx Σy ϑ ϑ = 11 cos + i A sin . 2 2 k2 + k2 x

y

Folglich lauten die Helizit¨atseigenzust¨ande positiver Energie f¨ ur Wellenzahl k ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ cos ϑ2 kˆz + 1 ⎟ ⎜ (k x +iky ) ϑ ⎟ ⎜ ⎜ √k2 −k2 sin 2 ⎟ kˆx + ikˆy N ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ z A u(R) (k) = N ⎜ = ⎜ ⎟ |k| |k| ˆz + 1) ⎟ ( k cos ϑ2 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ E+m E+m 2(kˆz + 1) ⎠ ⎝ |k| kx +iky |k| ˆ ϑ ˆ √ ( k + i k ) sin 2 y E+m x E+m 2 2 k −kz

(11.5.7)

242

11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

und

⎛

−kx +iky

√

sin ϑ2

⎞

k2 −kz2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ cos ϑ2 ⎟ ⎜ (L) u (k) = N ⎜ ⎟ |k| −kx +iky √ 2 2 sin ϑ2 ⎟ ⎜ − E+m ⎠ ⎝ k −kz |k| ϑ − E+m cos 2 ⎛ ⎞ −kˆx + ikˆy ⎜ ⎟ kˆz + 1 N ⎜ ⎟ =A ⎜ ⎟ . |k| ˆ ˆ − (− k + i k ) ⎝ ⎠ x y E+m 2(kˆz + 1) |k| ˆ (kz + 1) − E+m

Entsprechende Ausdr¨ ucke erh¨ alt man f¨ ur die Spinoren mit negativer Energie (Beispiel 11.4). ∗

11.6 Fermionen mit Masse Null (Neutrinos)

Neutrinos sind Spin- 12 -Teilchen und wurden u ¨ ber lange Zeit als masselos angesehen. Es existiert nun zunehmende experimentelle Evidenz, daß sie eine sehr kleine endliche Masse besitzen. Unter Vernachl¨assigung dieser Masse, was f¨ ur gen¨ ugend große Impulse zul¨ assig ist, stellen wir hier die Standardbeschreibung durch die masselose Dirac-Gleichung /ψ = 0 p

(11.6.1)

dar, wo pμ = i∂μ der Impulsoperator ist. Zwar w¨are es m¨oglich, die L¨osungen als Grenzfall m → 0 aus den ebenen Wellen (6.3.11a,b) oder den Helizit¨atseigenzust¨ a√ nden der massiven Dirac-Gleichung zu erhalten. Es muß nur der Faktor 1/ m abgespaltet werden und eine von (6.3.19a) und (6.3.19b) unterschiedliche Normierung, z.B. u ¯r (k)γ 0 us (k) = 2Eδrs v¯r (k)γ 0 vs (k) = 2Eδrs

(11.6.2)

eingef¨ uhrt werden. Es ist allerdings von Interesse, die masselose DiracGleichung direkt zu l¨ osen und deren spezielle Eigenschaften zu studieren. Wir k¨ onnen schon jetzt bemerken, daß in der Darstellung durch die Matrizen α und β (5.3.1) im masselosen Fall β u ¨berhaupt nicht auftritt. Drei antikommutierende Matrizen k¨ onnte man aber auch durch die zweidimensionale Darstellung der Pauli-Matrizen realisieren, eine Tatsache, die sich auch in der Struktur von (11.6.1) wiederspiegelt. Zur L¨ osung von (11.6.1) multiplizieren wir die Dirac-Gleichung mit γ 5 γ 0 = −iγ 1 γ 2 γ 3 .

∗

11.6 Fermionen mit Masse Null (Neutrinos)

243

Mit der Nebenrechnung γ 5 γ 0 γ 1 = −iγ 1 γ 2 γ 3 γ 1 = −iγ 1 γ 1 γ 2 γ 3 = +iγ 2 γ 3 = σ 23 = Σ 1 , γ 5 γ 0 γ 3 = −iγ 1 γ 2 γ 3 γ 3 = iγ 1 γ 2 = σ 12 = Σ 3 , γ 5 γ 0 γ 0 = γ 5 , (−pi Σ i + p0 γ 5 )ψ = 0

erh¨ alt man Σ · p ψ = p0 γ 5 ψ .

(11.6.3)

Wenn man in (11.6.3) ebene Wellen mit positiver (negativer) Energie ψ(x) = e∓ikx ψ(k) = e∓i(k

0

x0 −k·x)

ψ(k)

(11.6.4)

einsetzt, ergibt sich Σ · kψ(k) = k 0 γ 5 ψ(k) .

(11.6.5)

Aus (11.6.1) folgt p /2 ψ(x) = 0 und daraus k 2 = 0 oder k 0 = E = |k| f¨ ur ˆ L¨ osungen positiver (negativer) Energie. Mit dem Einheitsvektor k = k/|k| nimmt (11.6.5) die Gestalt ˆ Σ · kψ(k) = ±γ 5 ψ(k)

(11.6.6)

an. Die mit allen γ μ antikommutierende Matrix γ 5 kommutiert mit Σ und ˆ hat deshalb gemeinsame Eigenfunktionen mit dem Helizit¨atsoperator Σ · k. 5 5 2 5 Man nennt γ auch Chiralit¨atsoperator. Da (γ ) = 1 hat γ die Eigenwerte ±1, und da Sp γ 5 = 0 ist, sind sie zweifach entartet. Die L¨osungen von Gl. (11.6.6) k¨ onnen deshalb in der Form  −ikx e u± (k) mit k 2 = 0, k 0 = |k| > 0 ψ(x) = (11.6.7) eikx v± (k) geschrieben werden, wo die u± (v± ) Eigenzust¨ande des Chiralit¨atsoperators sind γ 5 u± (k) = ±u± (k)

und γ 5 v± (k) = ±v± (k) .

(11.6.8)

Man sagt, die Spinoren u+ und v+ haben positive Chiralit¨at (sind rechtsh¨andig), die Spinoren u− und v− haben negative at (sind linksh¨andig).  Chiralit¨  0 11 Wenn man die Standarddarstellung γ5 = zugrunde legt, folgt aus 11 0 (11.6.8)     a± (k) b± (k) 1 1 √ √ u± (k) = , v± (k) = . (11.6.9) 2 ±a± (k) 2 ±b± (k)

244

11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

Setzt man (11.6.9) in die Dirac-Gleichung (11.6.6) ein, erh¨alt man Bestimmungsgleichungen f¨ ur a± (k) ˆ ± (k) . a± (k) = ±σ · ka

(11.6.10)

¨ Deren L¨ osungen sind (Ubungsaufgabe 11.7)   cos ϑ2 a+ (k) = sin ϑ2 eiϕ   − sin ϑ2 e−iϕ a− (k) = . cos ϑ2

(11.6.11a)

(11.6.11b)

ˆ sind. Diese L¨osungen sind im Einklang wo ϑ und ϕ die Polarwinkel von k mit dem m → 0 Grenzfall der in (11.5.7) gefundenen Helizit¨atseigenzust¨ande. Die L¨ osungen zu negativer Energie v± (k) kann man aus den u± (k) durch Ladungskonjugation gewinnen (Gl. (11.3.7) und (11.3.8)) ¯T− (k) = iγ 2 u∗− (k) = −u+ (k) v+ (k) = C u v− (k) =

Cu ¯T+ (k)

=

iγ 2 u∗+ (k)

= −u− (k)

(11.6.11c) (11.6.11d)

d.h. in (11.6.9) b± (k) = −a± (k). Es ist in diesem Zusammenhang von Interesse, von der Standarddarstellung der Dirac-Matrizen zur chiralen Darstellung u ¨berzugehen, die man durch die Transformation ψ ch = U † ψ μch

† μ

=U γ U 1 U = √ (1 + γ 5 ) 2 ¨ erh¨ alt (Ubungsaufgabe 11.8):   0 −11 ch γ 0 ≡ β ch = −γ 5 = −11 0   k ch 0 σ γk = γk = −σ k 0   ch 11 0 γ5 = γ0 = 0 −11   k ch 0 σ αk = σk 0   i = ch ch > 1 σ i 0 ch = σ0i γ0 , γi = 2 i 0 −σ i  k  i = ch ch > σ 0 ch γi , γj = ijk = σij 0 σk 2 γ

(11.6.12a) (11.6.12b) (11.6.12c)

(11.6.13a) (11.6.13b) (11.6.13c) (11.6.13d) (11.6.13e) (11.6.13f)

∗

11.6 Fermionen mit Masse Null (Neutrinos)

245

In der chiralen Darstellung sind (11.6.13e und f) im Raum der Bispinoren diagonal, d.h. die oberen Komponenten (1,2) und die unteren Komponenten (3,4) eines Spinors transformieren sich unabh¨ angig unter Lorentztransformationen im engeren Sinn und unter Drehungen (siehe (6.2.29b)). Das bedeutet, daß die vierdimensionale Darstellung der eingeschr¨ankten Lorentz-Gruppe L↑+ in zwei zweidimensionale Darstellungen reduzibel ist. Genauer, die Darstellung18 der Gruppe SL(2,C) ist in die beiden nicht¨aquivalenten Darstellun1 1 gen D( 2 ,0) und D(0, 2 ) reduzierbar. Wenn die Parit¨atstransformation P , die ch durch P = eiϕ γ 0 P 0 gegeben ist (siehe (6.2.32)), als Symmetrieelement vorhanden ist, dann ist die vierdimensionale Darstellung nicht mehr reduzibel, d.h. irreduzibel. In der chiralen Darstellung nimmt die Dirac-Gleichung die Gestalt (−i∂0 + iσ k ∂k )ψ2ch − mψ1ch = 0 (−i∂0 − iσ k ∂k )ψ1ch − mψ2ch = 0

(11.6.14)

 ch  1 an, wo ψ ch = ψ gesetzt wurde. Die Gl. (11.6.14) sind identisch mit den ψ2ch auf anderem Weg erhaltenen Gl. (A.7). F¨ ur m = 0 entkoppeln die beiden Gleichungen und man erh¨ alt (i∂0 − iσ k ∂k )ψ2ch ≡ (p0 + σ · p)ψ2ch = 0

(11.6.15a)

(i∂0 + iσ k ∂k )ψ1ch = 0 .

(11.6.15b)

und

Dies sind die beiden Weyl-Gleichungen. Wenn man diese mit (5.3.1) vergleicht, sieht man, daß in (11.6.15) eine zweidimensionale Darstellung der α-Matrizen vorliegt. Wie schon am Anfang des Abschnitts erw¨ahnt wurde, kann bei fehlendem β die Algebra der Dirac-α-Matrizen {αi , αj } = 2δij durch die drei Paulischen σ i -Matrizen realisiert werden. Die beiden Gleichungen (11.6.15a,b) sind einzeln nicht parit¨ atsinvariant und wurden in der historischen Entwicklung zun¨ achst nicht weiter betrachtet. Tats¨achlich weiß man seit den Experimenten von Wu et al.19 , daß in der schwachen Wechselwirkung die Parit¨ at nicht erhalten ist. Da der Chiralit¨atsoperator in der chiralen 18

19

Die Gruppe SL(2,C) ist homomorph zur Gruppe L↑+ entsprechend der Zweiwertigkeit der Spinordarstellungen. Als gruppentheoretische Literatur sei R.U. Sexl und H.K. Urbantke, Relativit¨ at, Gruppen, Teilchen, 3. Aufl., Springer, Wien (1992), V. Heine, Group Theory in Quantum Mechanics, Pergamon Press, Oxford (1960) und R.F. Streater and A.S. Wightman, PCT, Spin Statistics and all that, Benjamin, Reading (1964) empfohlen. Siehe Referenzen auf Seite 237.

246

11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

  11 0 Darstellung von der Form χch = ist, haben Spinoren der Gestalt 5 0 −11    ch  ψ = ψ01 positive und Spinoren der Form ψ = ψ0ch negative Chiralit¨at. 2 Experimentell zeigt sich, daß in der Natur nur Neutrinos mit negativer Chiralit¨ at existieren. Das bedeutet, daß die erste der beiden Gleichungen (11.6.15) f¨ ur die Realit¨ at relevant ist. Die L¨ osungen dieser Gleichung sind von ch(+) ch(−) −ik·x der Form ψ2 (x) = e u(k) und ψ2 (x) = eik·x v(k) mit k0 > 0, wo nun u und v zweikomponentige Spinoren sind. Der erste Zustand hat positive Energie und, wie direkt aus (11.6.15a) ersichtlich ist, negative Helizit¨at, da der Spin antiparallel zu k ist. Wir nennen diesen Zustand Neutrino-Zustand und stellen ihn bildlich durch eine Linksschraube dar (Abb. 11.8a). Von den L¨ osungen (11.6.9) ist dies die L¨ osung u− (k). Der Impuls wird durch den geraden Pfeil dargestellt.

E = k 0 = |k|

a)

E = −k 0 = −|k|

b)

E = k 0 = |k|

c)

Abb. 11.8. (a) Neutrinozustand mit negativer Helizit¨ at, (b) Neutrinozustand mit negativer Energie und positiver Helizit¨ at, (c) Antineutrino mit positiver Helizit¨ at ch(−)

Die L¨ osung mit negativer Energie ψ2 hat Impuls −k, also positive Helizit¨ at, wir stellen sie durch die Rechtsschraube (Abb. 11.8b) dar. Dieser L¨ osung entspricht v− (k) aus Gl. (11.6.9). In einer l¨ochertheoretischen Interpretation ist das Antineutrino durch einen unbesetzten Zustand v− (k) dargestellt, es hat deshalb entgegengesetzten Impuls (+k) und entgegengesetzten Spin, die Helizit¨ at bleibt also positiv (Abb. 11.8c). Neutrinos haben negative Helizit¨at und ihre Antiteilchen, die Antineutrinos, positive Helizit¨at. Bei Elektronen und anderen massiven Teilchen w¨are es nicht m¨oglich, daß sie nur in einer bestimmten Helizit¨ at vorl¨ agen. Selbst wenn zun¨achst eine bestimmte Helizit¨at vorliegt, kann man im Ruhesystem des Elektrons den Spin umdrehen, oder bei gleichbleibendem Spin das Elektron in entgegengesetzte Richtung beschleunigen, also die entgegengesetzte Helizit¨at erzeugen. Da sich masselose Teilchen mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, haben sie kein Ruhesystem, f¨ ur diese ist der Impuls k eine ausgezeichnete Richtung. In Abb. 11.9 ist die Wirkung einer Parit¨ atsoperation auf einen Neutrinozustand illustriert. Da bei der Parit¨ atsoperation der Impuls umgekehrt wird,

Aufgaben zu Kapitel 11

P

247

Abb. 11.9. Die Wirkung einer Parit¨ atstransformation auf einen Neutrinozustand.

der Spin aber gleich bleibt, entsteht ein Zustand positiver Energie mit positiver Helizit¨ at; diese existieren, wie betont, in der Natur nicht. Die Ladungskonjugation C verbindet die Zust¨ande mit positiver und negativer Chiralit¨ at und ¨ andert das Vorzeichen der Energie. (Obwohl Neutrinos nat¨ urlich keine Ladung haben, gibt es diese Operation.) Da in der Natur nur linksh¨ andige, aber keine rechtsh¨ andigen Neutrinos existieren, liegt keine Invarianz gegen¨ uber C vor. Da aber auch die Parit¨atsoperation P die zwei Arten von L¨ osungen verbindet, ψ ch (t, x) → γ 0 ψ ch (t, −x) , (in der chiralen Darstellung ist γ 0 nichtdiagonal), bleibt die Weyl-Gleichung gegen¨ uber CP invariant. In der chiralen Darstellung lautet die Matrix C ⎛ ⎞ −1 0 0 0   ⎜ 0 1 0 0⎟ −iσ2 0 ⎟ C= =⎜ ⎝ 0 0 1 0⎠ . 0 iσ2 0 0 0 −1 Deshalb ist die Wirkung von CP ψ ch

CP

∗

∗

(t, x) = ηCψ ch (t, −x) = ∓iησ2 ψ ch (t, −x)

f¨ ur Chiralit¨ at γ 5 = ±1.

Aufgaben zu Kapitel 11 11.1 Zeigen Sie, daß aus (11.3.5) die Bestimmungsgleichung (11.3.5 ) folgt. 11.2 In Majorana-Darstellungen der Dirac-Gleichung sind die γ-Matrizen – hier durch Index M f¨ ur Majorana gekennzeichnet – rein imagin¨ ar μ ∗ μ = −γM , μ = 0, 1, 2, 3. γM

Eine spezielle Majorana-Darstellung ergibt sich durch die unit¨ are Transformation μ = U γμU † γM

mit U = U † = U −1 =

√1 γ 0 2

` ´ 11 + γ 2 .

248

11. Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung

(a) Zeigen Sie „ 0 γM

0 2

=γ γ = „

2 γM = −γ 2 =

0 σ2 σ2 0

«

0 −σ 2 σ2 0

1 γM

« 3 γM

« „ 3 iσ 0 =γ γ = 0 iσ 3 „ « −iσ 1 0 = γ2γ3 = . 1 0 −iσ 2 1

(b) In Gl. (11.3.14 ) wurde gezeigt, daß in Majorana-Darstellungen die Ladungskonjugationstransformation (abgesehen von einem willk¨ urlichen Phasenfaktor) die C  = ψM hat. Zeigen Sie, daß aus (Gl. (11.3.7 )) Form ψM ψ C = iγ 2 ψ durch Anwendung der Transformation U C ψM = −iψM

folgt. 11.3 Zeigen Sie, daß f¨ ur die Vierer-Stromdichte j μ in der Dirac-Theorie unter einer Zeitumkehroperation T gilt j  μ (x, t) = jμ (x, −t) .

11.4 Bestimmen Sie die Helizit¨ atseigenzust¨ ande mit negativer Energie, (a) indem Sie wie in (11.5.7) eine Lorentztransformation auf (11.5.4) anwenden. ˆ l¨ (b) indem Sie die Eigenwertgleichung zum Helizit¨ atsoperator Σ · k osen und entsprechende Linearkombinationen der Energieeigenzust¨ ande (6.3.11b) bilden. ˆ mit (γ μ kμ ± m) kommutiert. 11.5 Zeigen Sie, daß Σ · k 11.6 Zeigen Sie die Richtigkeit von Gl. (11.5.7). 11.7 Zeigen Sie, daß (11.6.11) die Gleichung (11.6.10) erf¨ ullt. 11.8 Zeigen Sie die Richtigkeit von (11.6.13).

Teil III

Relativistische Felder

12. Quantisierung von relativistischen Feldern

Dieses Kapitel ist den relativistischen Quantenfeldern gewidmet. Dazu untersuchen wir zuerst ein System von gekoppelten Oszillatoren, f¨ ur welche die Quantisierungseigenschaften bekannt sind. Im Kontinuumsgrenzfall dieses Oszillatorsystems resultiert die Bewegungsgleichung einer schwingenden Saite in einem harmonischen Potential, welche in ihrer Form identisch mit der Klein–Gordon–Gleichung ist. Mit der quantisierten Bewegungsgleichung der Saite und deren Verallgemeinerung auf drei Dimensionen liegt ein Beispiel einer quantisierten Feldtheorie vor. Die dabei auftretende Quantisierungsvorschrift l¨ aßt sich auch auf nichtmaterielle Felder u ¨bertragen. Die Felder und die hierzu konjugierten Impulsfelder werden kanonischen Vertauschungsrelationen unterworfen. Man spricht deshalb von kanonischer Quantisierung. Zur Verallgemeinerung auf beliebige Felder werden dann die Eigenschaften allgemeiner klassischer relativistischer Felder untersucht, insbesondere werden die aus den Symmetrieeigenschaften folgenden Erhaltungss¨atze abgeleitet (Noether–Theorem).

12.1 Gekoppelte Oszillatoren, lineare Kette, Gitterschwingungen 12.1.1 Lineare Kette von gekoppelten Oszillatoren 12.1.1.1 Diagonalisierung des Hamilton–Operators Wir betrachten N Teilchen mit der Masse m, deren Gleichgewichtslagen sich auf einem periodischen linearen Gitter mit Gitterabstand (Gitterkonstante) a befinden m¨ ogen. Die Auslenkungen in Kettenrichtung aus den Gleichgewichtslagen an werden mit q1 , . . . , qN (Abb.12.1a) und die Impulse mit oge sich in einem harmonischen p1 , . . . , pN bezeichnet. Jedes der Teilchen m¨ Potential befinden, und auch untereinander seien n¨achste Nachbarn harmonisch gekoppelt (Abb.12.1b). Dann lautet der Hamilton-Operator H=

N  1 2 mΩ 2 mΩ02 2 pn + (qn − qn−1 )2 + qn . 2m 2 2 n=1

(12.1.1)

254

12. Quantisierung von relativistischen Feldern

q1

q2

q3

q4

n

n−1

(a)

n+1

(b)

Abb. 12.1. Lineare Kette a) Auslenkung der Massenpunkte (große Punkte) von den Gleichgewichtslagen (kleine Punkte) b) Potentiale und Wechselwirkungen (schematisch durch Federn dargestellt)

Hier charakterisiert Ω 2 die St¨ arke der harmonischen Kopplung zwischen n¨ achsten Nachbarn und Ω02 das harmonische Potential der einzelnen Teilchen (siehe Abb.12.1b). Da wir letztlich am Grenzfall eines unendlich ausgedehnten Systems interessiert sein werden, in welchem die Randbedingungen keine Rolle spielen, nehmen wir deshalb die einfachsten, n¨amlich periodische Randbedingungen an, d.h. q0 = qN . Die x-Koordinaten xn sind dargestellt durch xn = an + qn = na+ qn und aus den Vertauschungsrelationen [xn , pm ] = iδnm etc. ( = 1) folgen die kanonischen Vertauschungsrelationen (12.1.2) f¨ ur die qn und pn [qn , pm ] = iδnm ,

[qn , qm ] = 0 ,

[pn , pm ] = 0 .

(12.1.2)

In der Heisenberg-Darstellung, qn (t) = eiHt qn e−iHt , pn (t) = eiHt pn e−iHt ,

(12.1.3a) (12.1.3b)

ergeben sich die beiden Bewegungsgleichungen q˙n (t) =

1 pn (t) m

(12.1.4a)

und p˙ n (t) = m¨ qn (t)

(12.1.4b)

= mΩ (qn+1 (t) + qn−1 (t) − 2qn (t)) − 2

mΩ02 qn (t)

.

Wegen der periodischen Randbedingungen liegt ein translationsinvariantes Problem (invariant gegen Translation um a) vor. Der Hamilton–Operator kann deshalb durch die Transformation (Fourier–Summe)  1 eikan Qk (12.1.5a) qn = (mN )1/2 k m 1/2  pn = e−ikan Pk (12.1.5b) N k

diagonalisiert werden. Man nennt Qk und Pk Normalkoordinaten und Normalimpulse. Wir m¨ ussen nun die m¨ oglichen Werte von k bestimmen. Dazu

12.1 Gekoppelte Oszillatoren, lineare Kette, Gitterschwingungen

255

verwenden wir periodische Randbedingungen, welche q0 = qN verlangen, d.h. 1 = eikaN ; deshalb ist kaN = 2π , also k=

2π Na

(12.1.6)

) 2π mit ganzzahligem . Dabei sind die Werte k = 2π(±N aquivalent = 2π Na Na ± a ¨ 2π ikan zu k = N a , da f¨ ur diese k-Werte die Phasenfaktoren e und damit qn und pn gleich sind; deshalb reduzieren sich die m¨ oglichen k-Werte wie folgt:

f¨ ur gerades N

:

f¨ ur ungerades N

:

N N <≤ , 2 2

 = 0, ±1, . . . , ±

N −2 N , 2 2

N −1 N −1 ≤≤ , 2 2

 = 0, ±1, . . . , ±

N −1 . 2

− −

In der Festk¨ orperphysik nennt man das so eingeschr¨ankte Intervall von k auch erste Brillouin–Zone. Die Fourier–Koeffizienten in (12.1.5) erf¨ ullen Orthogonalit¨ ats- und Vollst¨ andigkeitsrelationen. Orthogonalit¨atsrelation: N 1  ikan −ik an e e = Δ(k − k  ) N n=1 < 2π 1 f¨ ur k − k  = h, h ganzzahlig = a 0 sonst.

(12.1.7a)

In dieser Form gilt die Orthogonalit¨ atsrelation f¨ ur beliebiges k = 2π N a . Bei Beschr¨ ankung der k-Werte auf die erste Brillouin-Zone wird das verallgemeinerte Kronecker–Delta Δ(k − k  ) = δkk . Vollst¨andigkeitsrelation: 1  −ikan ikan e e = δnn . (12.1.7b) N k

Hier ist die Summationsvariable k auf die erste Brillouin–Zone beschr¨ankt. ¨ (Beweise in Ubungsaufgabe 12.1). Die Umkehrung von (12.1.5) lautet: : m  −ikan e qn (12.1.8a) Qk = N n 1  ikan Pk = √ e pn . (12.1.8b) mN n Da die Operatoren qn und pn hermitesch sind, folgt Q†k = Q−k ,

Pk† = P−k .

(12.1.9)

256

12. Quantisierung von relativistischen Feldern

Bemerkung. F¨ ur gerades N sind  = N2 und − N2 ¨ aquivalent, es trat deshalb nur † N 2π N π auf. F¨ u r k = · = ist Q = Q , also hermitesch und ebenso Pk , da k k 2π Na 2 a ei a an = eiπn = (−1)n .

Die Vertauschungsrelationen der Normalkoordinaten und -impulse erh¨alt man aus (12.1.2) mit dem Ergebnis [Qk , Pk ] = iδkk ,

[Qk , Qk ] = 0 ,

[Pk , Pk ] = 0 .

(12.1.10)

Einsetzen der Transformation auf Normalkoordinaten (12.1.5a,b) in (12.1.1) ergibt f¨ ur den Hamilton-Operator H=

1  Pk Pk† + ωk2 Qk Q†k 2

(12.1.11)

k

mit dem Quadrat der Schwingungsfrequenz  2 ka ωk2 = Ω 2 2 sin + Ω02 2

(12.1.12) 2

¨ (Ubungsaufgabe 12.3). Man nennt (Ωa) Steifigkeitskonstante. ωk Ω0 = 0

Ω0 = 0

− πa

π a

k

Abb. 12.2. Die Phononfrequenzen f¨ ur Ω0 = 0 und Ω0 = 0.

Im Fourier-Raum  ergeben sich also ungekoppelte Oszillatoren mit der Frequenz ωk = ωk2 , allerdings sind die Terme in (12.1.11) von der Gestalt Qk Q−k etc., es sind also noch die Oszillatoren zur Wellenzahl k und −k miteinander verkn¨ upft. Die Frequenz als Funktion von k (Dispersionrelation) ist in Abb. 12.2 dargestellt. In der Sprache der Gitterschwingungen hat ur endliches Ω0 optische Phonoman f¨ ur Ω0 = 0 akustische Phononen und f¨ nen. Zur Diagonalisierung von H, Gl.(12.1.11), f¨ uhrt man Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren

12.1 Gekoppelte Oszillatoren, lineare Kette, Gitterschwingungen



257

1 ak = √ ωk Qk + iPk† 2ωk

1 a†k = √ ωk Q†k − iPk 2ωk

(12.1.13a) (12.1.13b)

ein. Die Umkehrung dieser Transformation ist durch Qk = und

ak + a†−k √ 2ωk

(12.1.14a)

:

ωk a−k − a†k Pk = −i 2

(12.1.14b)

gegeben. Aus den Vertauschungsrelationen f¨ ur die Normalkoordinaten (12.1.10) folgt (Aufgabe 12.5) [ak , a†k ] = δk,k ,

[ak , ak ] = [a†k , a†k ] = 0 .

(12.1.15)

Indem man (12.1.14a,b) in (12.1.11) einsetzt, erh¨alt man

H=

 k

  1 † ω k ak ak + , 2

(12.1.16)

einen Hamilton–Operator von N nicht gekoppelten Oszillatoren, die Summation erstreckt sich u ¨ ber alle N Wellenzahlen in der ersten Brillouin–Zone, da 1 X ωk ω2 (a−k − a†k )(a†−k − ak ) + k (ak + a†−k )(a†k + a−k ) 2 k 2 2ωk X 1 = ωk (a−k a†−k + a†k ak + ak a†k + a†−k a−k 4

H =

k

−a−k ak − a†k a†−k + ak a−k + a†−k a†k ) « X „ † 1 1X ωk (a†k ak + ak a†k ) = ωk a k a k + = . 2 k 2 k

(12.1.17)

Die Energieeigenzust¨ ande und Eigenwerte f¨ ur jeden einzelnen dieser Oszillatoren sind bekannt. Die Grundzustandsenergie des Oszillators mit der Wellenzahl k ist 12 ωk . Den n-ten angeregten Zustand des Oszillators mit der Wellenzahl k erh¨ alt man durch n-fache Anwendung des Operators a†k , und die Energie ist (nk + 12 ) ωk . Der Umstand, daß die Eigenwerte des Hamilton-Operators ganzzahlige Vielfache der Eigenfrequenzen sind, f¨ uhrt ganz nat¨ urlich auf eine Teilchen-Interpretation, obwohl es sich nicht um materielle Teilchen, sondern nur um Anregungszust¨ ande (Quasiteilchen) handelt. Wir nennen diese Quanten im Fall der hier vorliegenden elastischen Kette Phononen. Die Besetzungszahlen sind 0, 1, 2, . . . , also sind die Quanten Bosonen. Der Operator

258

12. Quantisierung von relativistischen Feldern

a†k erzeugt ein Phonon mit Wellenzahl k und Frequenz (Energie) ωk , w¨ahrend ak ein Phonon mit Wellenzahl k und Frequenz (Energie) ωk vernichtet. Die Eigenzust¨ ande des Hamilton–Operators (12.1.17) sind folglich von der folgenden Form. Im Grundzustand |0 , der durch die Bestimmungsgleichung ak |0 = 0, f¨ ur alle k ,

(12.1.18a)

festgelegt ist, sind keine Phononen vorhanden, und seine Energie ist E0 =

1 k

2

ωk ,

(12.1.18b)

die Nullpunktsenergie. Ein allgemeiner Multiphononenzustand hat die Gestalt 1 |nk1 , nk2 , . . . , nkN  =  nk1 !nk2 ! . . . nkN ! nk1 nk2

nkN × a†k1 a†k2 . . . a†kN |0 (12.1.19a) und die Energie  E= nk ωk + E0 .

(12.1.19b)

k

Die Besetzungszahlen nehmen die Werte nk = 0, 1, 2, . . . an und k l¨auft u ¨ber die N Werte aus der ersten Brillouinschen Zone; die nk sind nach oben unbeschr¨ ankt. Der Operator n ˆ k = a†k ak ist der Besetzungszahloperator f¨ ur Phononen mit der Wellenzahl k. Aus [ˆ nk , ak ] = −ak

und

[ˆ nk , a†k ] = a†k

(12.1.19c)

folgt √ nki |. . . , nki − 1, . . . ,  † aki |. . . , nki , . . . = nki + 1 |. . . , nki + 1, . . . . aki |. . . , nki , . . . =

(12.1.19d)

Bemerkung. Es sei betont, daß die Vertauschungsrelationen (12.1.2) und (12.1.15) auch in Gegenwart von nichtlinearen Termen im Hamilton-Operator g¨ ultig sind, da sie eine Folge der allgemeinen kanonischen Vertauschungsrelationen von Orts- und Impulskoordinaten sind. 12.1.1.2 Dynamik Mit Gl.(12.1.16) wurde der Hamilton-Operator der linearen Kette diagonalisiert. Tats¨ achlich ist H zeitunabh¨ angig, so daß die diversen Darstellungen von H Gl.(12.1.1), (12.1.11) und (12.1.16) zu jedem Zeitpunkt gelten. Wir k¨onnen

12.1 Gekoppelte Oszillatoren, lineare Kette, Gitterschwingungen

259

nun die wesentlichen Aspekte der Dynamik am einfachsten im HeisenbergBild beschreiben. Ausgehend von 1  ikan 1  1 √ e Qk = √ eikan (ak + a†−k ) qn = √ 2ωk mN k mN k

 1 √ = eikan ak + e−ikan a†k 2ωk mN k

(12.1.20)

definiert man den Heisenberg–Operator qn (t) = eiHt qn (0) e−iHt = eiHt qn e−iHt .

(12.1.21)

Indem man die Bewegungsgleichung l¨ ost oder 1 [iHt, [iHt, ak ]] + . . . 2! 1 = ak + [iωk t a†k ak , ak ] + [iHt, [iHt, ak ]] + . . . 2! 1 = ak − iωk tak + [iωk ta†k ak , −iωk tak ] + . . . 2!   1 = ak 1 − iωk t + (−iωk t)2 + . . . 2!

eiHt ak e−iHt = ak + [iHt, ak ] +

(12.1.22)

= ak e−iωk t benutzt, erh¨ alt man f¨ ur die Zeitabh¨ angigkeit der Auslenkungen

 1 √ qn (t) = ei(kan−ωk t) ak + e−i(kan−ωk t) a†k . 2ωk mN k

(12.1.23)

In ihrer Struktur ist diese L¨ osung identisch mit der klassischen, die Amplituden sind hier jedoch die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren. Wir werden die Bedeutung der L¨ osung erst im Kontinuumsgrenzfall diskutieren, den wir nun einf¨ uhren werden. 12.1.2 Kontinuumsgrenzfall, schwingende Saite Wir betrachten nun den Kontinuumsgrenzfall der schwingenden Kette. In diesem Grenzfall gehen der Gitterabstand a → 0 und die Zahl der Oszillatoren N → ∞ , wobei die L¨ ange der Saite L = aN endlich bleibt (Abb. 12.3). und die Steifigkeitskonstante v 2 = (Ωa)2 m¨ ussen ebenDie Dichte ρ = m a falls konstant bleiben. Die Positionen der Gitterpunkte x = na sind dann kontinuierlich verteilt. Außerdem f¨ uhren wir die Definitionen m 1/2 (12.1.24a) q(x) = qn a (12.1.24b) p(x) = pn (ma)−1/2

260

12. Quantisierung von relativistischen Feldern

m

}

Abb. 12.3. Zum Kontinuumsgrenzfall der linearen Kette

a

ein. Aus der Bewegungsgleichung (12.1.4b) q¨n = Ω 2 (qn+1 + qn−1 − 2qn ) − Ω02 qn wird (q(x + a, t) − q(x, t)) − (q(x, t) − q(x − a, t)) a2 2 − Ω0 q(x, t)

q¨(x, t) = Ω 2 a2

(12.1.25)

und im Limes a → 0 folgt q¨(x, t) − v 2

∂2 q(x, t) + Ω02 q(x, t) = 0 . ∂x2

(12.1.26)

Diese Gleichung ist in ihrer Form identisch mit der eindimensionalen Klein– Gordon–Gleichung. F¨ ur Ω0 = 0, also ohne dem harmonischen Potential, ist Gl.(12.1.26) die aus der klassischen Mechanik bekannte Schwingungsgleichung einer Saite. Der Hamilton–Operator (12.1.1) nimmt im Kontinuumsgrenzfall die Gestalt   1 mΩ 2 mΩ02 2 2 2 p + (qn − qn−1 ) + q H= lim a→0,N →∞ 2m n 2 2 n n    2  1 2 mΩ 2 2 qn − qn−1 mΩ02 2 p + a q a + = lim a→0,N →∞ 2ma n 2a a 2a n n 8 9  2 L ∂q 1 2 2 2 2 p(x) + v + Ω0 q(x) (12.1.27) = dx 2 ∂x 0

an, wobei

 n

a... →

!L

dx . . . u ¨ bergeht. Die Kommutatoren der Auslenkun-

0

gen und Impulse erh¨ alt man aus (12.1.2) und (12.1.24a,b): [q(x), p(x )] =

m 1/2

(ma)−1/2 [qn , pn ] a δnn = iδ(x − x ) = lim i a→0,N →∞ a lim

a→0,N →∞

(12.1.28a)

und [q(x), q(x )] = [p(x), p(x )] = 0 .

(12.1.28b)

12.1 Gekoppelte Oszillatoren, lineare Kette, Gitterschwingungen

261

Als n¨ achstes leiten wir die Normalkoordinatendarstellung her. Aus (12.1.6) folgt k=

2π , L

wo  ganzzahlig ist mit − ∞ ≤  ≤ ∞ .

(12.1.29)

Der Fourier–Raum bleibt im Kontinuumsgrenzfall bei endlicher L¨ange der Saite diskret, die Zahl der Wellenzahlen und damit der Normalkoordinaten ist unendlich. Aus Gl. (12.1.5a,b) folgt 1  ikx e Qk (12.1.30a) q(x) = 1/2 L k 1  −ikx p(x) = 1/2 e Pk (12.1.30b) L k und aus (12.1.11)

1 Pk Pk† + ωk2 Qk Q†k , H= 2

(12.1.31)

k

wobei sich (12.1.12) im Grenzfall a → 0 auf ωk2 = v 2 k 2 + Ω02

(12.1.32)

reduziert. Die Vertauschungsrelationen der Normalkoordinaten (12.1.10) bleiben unver¨ andert [Qk , Pk ] = iδkk ,

[Qk , Qk ] = 0 ,

[Pk , Pk ] = 0 .

(12.1.33)

Entsprechend ist die Transformation auf Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (12.1.14a,b), sowie der Hamilton–Operator in diesen Gr¨oßen (12.1.16) unver¨ andert. Die Darstellung des Auslenkungsfeldes durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren nimmt nun die Gestalt q(x) = =

1 L1/2 1 L1/2



e

k

ikx

ak + a†−k √ 2ωk

1  eikx ak + e−ikx a†k √ 2ωk k

an, und aus (12.1.23) folgt f¨ ur dessen Zeitabh¨ angigkeit

1 1  i(kx−ωk t) e ak + e−i(kx−ωk t) a†k √ . q(x, t) = 1/2 L 2ωk

(12.1.34)

(12.1.35)

k

Schließlich lautet der Hamilton–Operator    † 1 H= ω k ak ak + , 2 k

(12.1.36)

262

12. Quantisierung von relativistischen Feldern

welcher positiv definit ist. Die in (12.1.35) auftretenden Funktionen ei(kx−ωk t) und e−i(kx−ωk t) sind die L¨ osungen der freien Feldgleichungen (12.1.26), die wir im Zusammenhang mit der Klein–Gordon–Gleichung als L¨osungen mit positiver und negativer Energie interpretiert hatten. In der quantisierten Theorie treten diese L¨ osungen als Entwicklungsfunktionen der Feldoperatoren zu den Vernichtungsoperatoren und den Erzeugungsoperatoren auf. Das Vorzeichen der Frequenzabh¨ angigkeit hat keine Bedeutung f¨ ur den Wert der Energie. Diese wird durch den Hamilton-Operator (12.1.36) bestimmt, welcher positiv definit ist, es gibt keine Zust¨ ande mit negativer Energie. Die direkte Analogie zur schwingenden Saite bezieht sich auf das reelle KleinGordon Feld, das komplexe wird in Gl. (12.1.46a,b) und in Abschnitt (13.2) behandelt. 12.1.3 Verallgemeinerung auf drei Dimensionen, Zusammenhang mit dem Klein–Gordon–Feld 12.1.3.1 Verallgemeinerung auf drei Dimensionen Es ist nun einfach, die bisherigen Ergebnisse auf drei Dimensionen zu verallgemeinern. Wir betrachten ein diskretes, dreidimensionales, kubisches Gitter. Wir legen dabei kein elastisches Gitter zugrunde, welches dreidimensionale Auslenkungsvektoren h¨ atte, sondern nehmen an, daß die Auslenkungen nur eindimensional (skalar) seien. Dann ist im Kontinuumsgrenzfall die eindimensionale Koordinate x durch den dreidimensionalen Ortsvektor x zu ersetzen x→x, und die Feldgleichung f¨ ur die Auslenkung q(x, t) lautet q¨(x, t) − v 2 Δq(x, t) + Ω02 q(x, t) = 0 .

(12.1.37)

Wenn wir hierin die Substitutionen v→c,

Ω02 → m2 , v2

(x, t) ≡ x ,

und q(x, t) → φ(x)

(12.1.38)

einf¨ uhren, erhalten wir ∂μ ∂ μ φ(x) + m2 φ(x) = 0

(12.1.39)

also genau die Klein–Gordon–Gleichung (5.2.11 ). Die Darstellung der L¨osung der Klein–Gordon–Gleichung durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (12.1.35), die Vertauschungsrelationen (12.1.15), (12.1.28) und der Hamilton–Operator (12.1.36) lassen sich unmittelbar auf drei Dimensionen u ¨bertragen:

1  1 i(kx−ωk t) √ e (12.1.40) ak + e−i(kx−ωk t) a†k φ(x, t) = 3/2 L 2ωk k ≡ φ+ (x) + φ− (x) ,

12.1 Gekoppelte Oszillatoren, lineare Kette, Gitterschwingungen

[ak , a†k ] = δk,k ,

[ak , ak ] = [a†k , a†k ] = 0,

˙  , t)] = iδ (3) (x − x ), [φ(x, t), φ(x ˙ ˙  , t)] = 0, [φ(x, t), φ(x , t)] = [φ(x, t), φ(x und H=

 k

  1 † ω k ak ak + . 2

263

(12.1.41a)

(12.1.41b)

(12.1.42)

Inspiriert durch diese mechanische Analogie kommen wir zu einer v¨olligen Neuinterpretation der Klein–Gordon–Gleichung. W¨ahrend in Abschnitt 5.2 versucht wurde, die Klein–Gordon–Gleichung als relativistischen Ersatz f¨ ur die Schr¨ odinger–Gleichung einzuf¨ uhren, und deren L¨osungen als Wahrscheinlichkeitsamplituden entsprechend der Schr¨ odingerschen Wellenfunktion im Ortsraum zu interpretieren, ist nun φ(x, t) keine Wellenfunktion sondern ein Operator im Fock-Raum. Dieser Feldoperator wird dargestellt als Superposition der Einteilchenl¨ osungen der Klein-Gordon-Gleichung mit Amplituden, die selbst Operatoren sind, und die die Bedeutung von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der durch das Feld beschriebenen Quanten (Elementarteilchen) haben. Unter Fock-Raum versteht man den aus den Multi-BosonZust¨ anden nk1 nk2 a†k2 . . . |0 (12.1.43a) a†k1 aufgebauten Zustandsraum, wobei |0 der Grundzustand (≡ Vakuumzustand) des Feldes ist. Die Energie dieses Zustandes ist    1 ωk nk + . (12.1.43b) E= 2 k

In Gleichung (12.1.40) wurde der Feldoperator in Teile positiver (negativer) Frequenz φ+ (x)(φ− (x)) zerlegt. Diese Bezeichnungsweise lehnt sich noch an die L¨ osungen positiver (negativer) Energie an. Wegen der Hermitezit¨at des † Feldoperators φ(x) ist φ+ = φ− und es tritt in der Entwicklung (12.1.40) die † Summe von ak und ak auf. Dieses hermitesche (reelle) Klein–Gordon–Feld beschreibt ungeladene Mesonen, wie die weitere Untersuchung zeigen wird.

12.1.3.2 Grenzfall unendlichen Volumens Bislang haben wir ein endliches Volumen mit der linearen Abmessung L zu Grunde gelegt. Bei der Formulierung relativistisch invarianter Theorien ist es notwendig die Theorie im gesamten Raum zu betrachten. Wir f¨ uhren deshalb den Grenz¨ ubergang L → ∞ durch. In diesem Grenzfall r¨ ucken die bisher

264

12. Quantisierung von relativistischen Feldern

diskreten Werte von k beliebig nahe zusammen und es wird dann auch k eine kontinuierliche Variable. Die bisherigen Summen u ¨ ber k werden gem¨aß   2π 3 L

k

 ... →

d3 k (2π)3

...

durch Integrale ersetzt. Mit der Definition   32 L ak a(k) = 2π erh¨ alt man aus (12.1.39) f¨ ur den Feldoperator ∞ φ(x, t) = −∞

d3 k 1 i(kx−ωk t) √ e a(k) + e−i(kx−ωk t) a† (k) , 3/2 (2π) 2ωk (12.1.44)

wobei sich die k-Integration in allen drei Raumrichtungen von −∞ bin +∞ erstreckt. Die Vertauschungsrelationen der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren lauten nun  3 = > L a(k), a† (k ) = δkk = δ(k − k ), 2π = > [a(k), a(k )] = 0 , a† (k), a† (k ) = 0 . Beweis: 1=

X

δkk =

k

Z =

X „ 2π «3 k

3 

d k

„

L 2π

„

L !

«3 δkk

L 2π Z

=

(12.1.45)

!

«3 δkk

d3 k δ(k − k ) .

Das komplexe Klein-Gordon-Feld ist nicht hermitesch, deshalb sind die Entwicklungskoeffizienten (Operatoren) der L¨osungen mit positiver und negativer Frequenz voneinander unabh¨ angig

 1 1 √ e−ik·x ak + eik·x b†k . (12.1.46a) φ(x, t) = 3/2 L 2ωk k Hier bedeutet k · x = ωk t − k · x das Viererskalarprodukt. Die Operatoren ak und bk haben folgende Bedeutung: ak (a†k ) bk (b†k )

vernichtet (erzeugt) ein Teilchen mit Impuls k und vernichtet (erzeugt) ein Antiteilchen mit Impuls k und entgegengesetzter Ladung,

12.2 Klassische Feldtheorie

265

wie in sp¨ ateren Abschnitten genauer ausgef¨ uhrt werden wird. Aus (12.1.46a) erh¨ alt man f¨ ur den hermitesch konjugierten Feldoperator

1  1 −ik·x √ e (12.1.46b) bk + eik·x a†k . φ† (x, t) = 3/2 L 2ωk k

12.2 Klassische Feldtheorie 12.2.1 Lagrange–Funktion und Euler–Lagrange Bewegungsgleichungen 12.2.1.1 Definitionen In diesem Abschnitt werden allgemeine, grundlegende Eigenschaften klassischer (meist relativistischer) Feldtheorien untersucht. Gegeben sei ein System, das durch Felder φr (x) beschrieben werde, wobei der Index r die betrachteten Felder durchnumeriert. Dabei kann es sich um die Komponenten eines einzigen Feldes, wie z.B. des Strahlungsfeldes Aμ (x) oder eines Viererspinors ψ(x) aber auch um unterschiedliche Felder handeln. Es folgen nun einige Definitionen und Begriffe. Wir nehmen an, daß eine Lagrange-Dichte existiert (englisch Lagrangian density), die von den Feldern φr und deren Ableitungen φr,μ ≡ ∂μ φr ≡ ∂x∂ μ φr abh¨ angt. Die Lagrange–Dichte wird mit L = L(φr , φr,μ )

(12.2.1)

bezeichnet. Ausgehend von (12.2.1) definiert man die Lagrange-Funktion  L(x0 ) = d3 x L(φr , φr,μ ) . (12.2.2) Die Bedeutung der Lagrange–Funktion in der Feldtheorie ist ganz analog derjenigen in der Punktmechanik. Welche Form die Lagrange–Dichte f¨ ur bestimmte Felder besitzt, wird in den folgenden Abschnitten dargelegt werden. Wir definieren noch die Wirkung (=action)   4 S(Ω) = d x L(φr , φr,μ ) = dx0 L(x0 ) , (12.2.3) Ω

wobei d4 x = dx0 d3 x ≡ dx0 dx1 dx2 dx3 ist. Die Integration erstreckt sich u ¨ber ein Gebiet Ω im vierdimensionalen Raum-Zeit Kontinuum, welches meistens unendlich sein wird. Die Notation ist wie im Teil Relativistische Wellengleichungen, wobei die Lichtgeschwindigkeit c = 1 gesetzt wird, und deshalb ist x0 = t.

266

12. Quantisierung von relativistischen Feldern

12.2.1.2 Hamiltonsches Prinzip der Punktmechanik Wie schon bemerkt wurde, sind die Definitionen und die Vorgangsweise analog zur Punktmechanik mit n Freiheitsgraden, an die wir kurz erinnern 1,2 . Die Lagrangefunktion eines Teilchensystems aus n Freiheitsgraden mit generalisierten Koordinaten qi , i = 1, . . . , n hat die Gestalt: L(t) =

n  1 i=1

2

mi q˙i2 − V (qi ) .

(12.2.4)

Der erste Term ist die kinetische Energie und der zweite die negative potentielle Energie aufgrund der Wechselwirkung der Teilchen untereinander und afte. Die Wirkungsfunktion ist durch ¨außerer konservativer Kr¨  t2 S= dt L(t) (12.2.5) t1

definiert. Die Bewegungsgleichungen eines solchen klassischen Systems folgen aus dem Hamiltonschen Prinzip (= Prinzip der kleinsten Wirkung), welches besagt, daß die Wirkung (12.2.5) f¨ ur die tats¨ achliche Bahn qi (t) extremal ist, d.h. δS = 0 ,

(12.2.6)

wobei als Vergleichsbahnen qi (t) + δqi (t) zwischen dem Anfangszeitpunkt t1 und dem Endzeitpunkt t2 nur solche mit δqi (t1 ) = δqi (t2 ) = 0,

i = 1, . . . , n

(12.2.7)

betrachtet werden (Siehe Abb. 12.4).

q(t) + δq(t) q(t) t1

t2

Abb. 12.4. Variation der L¨ osung im Zeitintervall zwischen t1 und t2 . Hier steht q(t) f¨ ur {qi (t)}.

Die Bedingung, daß f¨ ur die tats¨ achliche Bahn die Wirkung extremal ist, besagt 1 2

H. Goldstein, Klassische Mechanik, Aula Verlag Wiesbaden, 1989 L.D. Landau und E.M. Lifschitz, Lehrbuch der Theoretischen Physik Bd.1, Akademie Verlag Berlin, 1979

12.2 Klassische Feldtheorie



t2 δS =

dt

267

 ∂L ∂L δqi (t) + δ q˙i (t) ∂qi (t) ∂ q˙i (t)

t1



t2 =

dt t1



t2 dt

= t1

∂L d ∂L − ∂qi (t) dt ∂ q˙i (t) ∂L d ∂L − ∂qi (t) dt ∂ q˙i (t)

 δqi (t) + 

d dt



 ∂L δqi (t) ∂ q˙i (t)

(12.2.8)

   t2  ∂L δqi (t)  = 0 . δqi (t) + ∂ q˙i (t) t1

Der letzte Term verschwindet, da nach (12.2.7) δq(t) an den R¨andern als Null vorausgesetzt wurde. Damit δS f¨ ur beliebige δqi (t) verschwindet, muß ∂L d ∂L − =0, ∂qi (t) dt ∂ q˙i (t)

i = 1, . . . , n ,

(12.2.9)

sein. Dies sind die Euler–Lagrange–Bewegungsgleichungen, die den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen a ¨quivalent sind. Wir wollen nun diese Begriffe auf Felder u bertragen. ¨ 12.2.1.3 Prinzip der kleinsten Wirkung in der Feldtheorie In der Feldtheorie ist der Index i durch die kontinuierliche Variable x ersetzt. Die Bewegungsgleichungen (= Feldgleichungen) erh¨alt man wieder aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung δS = 0 .

(12.2.10)

Dazu betrachten wir Variationen der Felder φr (x) → φr (x) + δφr (x) ,

(12.2.11)

so daß die Variationen auf der Oberfl¨ ache Γ (Ω) des Raum-Zeit-Gebiets Ω verschwinden, d.h. δφr (x) = 0 auf Γ (Ω) .

(12.2.12)

¨ Wir berechnen nun in Analogie zu (12.2.9) die Anderung der Wirkung (12.2.3)    ∂L ∂L 4 δS = d x δφr + δφr,μ ∂φr ∂φr,μ Ω       ∂L ∂L ∂ ∂L ∂ 4 4 = d x − μ δφr . δφr + d x μ ∂φr ∂x ∂φr,μ ∂x ∂φr,μ Ω

Ω

(12.2.13)

268

12. Quantisierung von relativistischen Feldern

In diesen Gleichungen ist die Summation u ¨ ber doppelt auftretende Indizes r utzt3 . Der letzte Term in und μ impliziert und es wurde δφr,μ = ∂x∂ μ δφr ben¨ Gl.(12.2.13) kann mit dem Gaußschen Integralsatz in das Oberfl¨achenintegral  ∂L dσμ δφr = 0 (12.2.14) ∂φr,μ Γ (Ω)

umgeschrieben werden, wobei dσμ gleich der μ-Komponente des Oberfl¨achenelements ist. Die Bedingung, daß δS aus Gl.(12.1.13) f¨ ur beliebige Ω und δφr verschwindet, ergibt die Euler-Lagrange-Gleichungen der Feldtheorie ∂L ∂ ∂L − μ =0, ∂φr ∂x ∂φr,μ

r = 1, 2, . . . .

(12.2.15)

Bemerkung. Wir haben hier zun¨ achst reelle Felder betrachtet. Den Fall komplexer Felder kann man darauf zur¨ uckf¨ uhren, indem man zwei reelle Felder f¨ ur den Realteil und den Imagin¨ arteil einf¨ uhrt. Man kann leicht sehen, daß dazu ¨ aquivalent ist, φ(x) und φ∗ (x) als unabh¨angige Felder zu behandeln. In diesem Sinne gelten das Variationsprinzip und die Euler–Lagrange– Gleichungen auch f¨ ur komplexe Felder. Wir f¨ uhren nun noch zwei weitere Definitionen ein, die analog zur Teilchenmechanik sind. Das zum Feld φr (x) konjugierte Impuls-Feld wird durch πr (x) =

∂L δL = ˙ ˙ δ φr (x) ∂ φr (x)

(12.2.16)

definiert. Die Definition der Hamilton-Funktion lautet 

H = d3 x πr (x)φ˙ r (x) − L(φr , φr,μ ) = H(φr , πr ) ,

(12.2.17)

wobei die φ˙r durch die πr ausgedr¨ uckt werden m¨ ussen. Die Hamilton-Dichte ist durch H(x) = πr (x)φ˙ r (x) − L(φr , φr,μ )

(12.2.18)

definiert. Die Hamilton–Funktion kann folgendermaßen durch die Hamilton– Dichte ausgedr¨ uckt werden  H = d3 x H(x) . (12.2.19) Das Integral erstreckt sich u ¨ ber den ganzen Raum. H ist zeitunabh¨angig, da L nicht explizit von der Zeit abh¨ angt. 3

δφr (x) = φr (x) − φr (x) und deshalb

∂ δφr (x) ∂xμ

= φr,μ (x) − φr,μ (x) = δφr,μ (x) .

12.2 Klassische Feldtheorie

269

12.2.1.4 Beispiel: Skalares, reelles Feld Zur Illustration der hier eingef¨ uhrten Begriffe betrachten wir als Beispiel ein skalares, reelles Feld φ(x). F¨ ur die Lagrange–Dichte nehmen wir die niedrigsten Potenzen des Feldes und seiner Ableitungen, die invariant gegen¨ uber Lorentz-Transformationen sind L=

 1 φ,μ φ,μ − m2 φ2 , 2

(12.2.20)

wo m eine Konstante ist. Die Ableitungen von L nach φ und nach φ,μ sind ∂L = −m2 φ , ∂φ

∂L = φ,μ ∂φ,μ

und daraus folgt f¨ ur die Euler–Lagrange–Gleichung (12.2.15) φ,μ μ + m2 φ = 0 ,

(12.2.21)

oder in der bisher verwendeten Form (∂ μ ∂μ + m2 )φ = 0 .

(12.2.21 )

Also ist Formel (12.2.20) die Lagrange–Dichte zur Klein–Gordon–Gleichung. Der konjugierte Impuls f¨ ur diese Feldtheorie ist nach Gl.(12.2.16) ˙ π(x) = φ(x) ,

(12.2.22)

und die Hamilton-Dichte laut nach (12.2.18) H(x) =

> 1= 2 π (x) + (∇φ)2 + m2 φ2 (x) . 2

(12.2.23)

Wenn wir in (12.2.20) h¨ ohere Potenzen von φ2 aufgenommen h¨atten, z.B. φ4 , so w¨ urde die Bewegungsgleichung (12.2.21) zus¨atzlich nichtlineare Terme enthalten. Anmerkungen u ¨ber die Struktur der Lagrange-Dichte (i) Die Lagrange–Dichte darf nur von φr (x) und φr,μ (x) abh¨angen, h¨ohere Ableitungen w¨ urden auf Differentialgleichungen h¨oherer als zweiter Ordnung f¨ uhren. Die Lagrange–Dichte darf außer der Abh¨angigkeit von x u ¨ber die Felder keine explizite x-Abh¨ angigkeit enthalten, da sonst die relativistische Invarianz verletzt w¨ are. (ii) Die Theorie muß lokal sein, d.h. L(x) ist bestimmt durch φr (x) und urden nichtlokale Terme bedeuten φr,μ (x) an der Stelle x. Integrale in L(x) w¨ und k¨ onnten zu akausalem Verhalten f¨ uhren.

270

12. Quantisierung von relativistischen Feldern

(iii) Die Lagrange–Dichte L ist durch die Wirkung oder auch die Bewegungsgleichungen nicht eindeutig bestimmt. Lagrange-Dichten, die sich um eine Vierer-Divergenz unterscheiden sind physikalisch ¨aquivalent L (x) = L(x) + ∂ν F ν (x) .

(12.2.24)

Dieser Zusatzterm f¨ uhrt in der Wirkung zu einem Oberfl¨achen-Integral u ¨ber die dreidimensionale Begrenzung des vierdimensionalen Integrationsbereichs. Da die Variationen des Feldes auf der Oberfl¨ache verschwinden, kommt es dadurch zu keinem Beitrag in den Bewegungsgleichungen. (iv) L soll reell (in der Quantenmechanik hermitesch) oder unter Bedachtname auf Anmerkung (iii) ¨ aquivalent zu einem reellen L sein, damit die durch reelle Felder ausgedr¨ uckten Bewegungsgleichungen und die Hamilton– Funktion reell sind. L muß relativistisch invariant sein, d.h. unter einer Poincar´e-Transformation x → x = Λx + a φr (x) → φr (x )

(12.2.25)

muß sich L wie ein Skalar verhalten: L(φr (x ), φr,μ (x )) = L(φr (x), φr,μ (x)) .

(12.2.26)

Da d4 x = dx0 dx1 dx2 dx3 ebenfalls invariant ist, a¨ndert sich die Wirkung unter Lorentz–Transformation (12.2.25) nicht, und die Bewegungsgleichungen haben in beiden Koordinatensystemen die gleiche Gestalt, sind also kovariant.

12.3 Kanonische Quantisierung Unsere n¨ achste Aufgabe ist, die im vorhergehenden Abschnitt eingef¨ uhrte Feldtheorie zu quantisieren. Dabei l¨ aßt man sich von den Ergebnissen des mechanischen elastischen Kontinuumsmodells (Abschn. 12.1.3) leiten und postuliert f¨ ur die Felder φr und Impulsfelder πr die folgenden Vertauschungsrelationen [φr (x, t), πs (x , t)] = iδrs δ(x − x ) , [φr (x, t), φs (x , t)] = [πr (x, t), πs (x , t)] = 0 .

(12.3.1)

Man nennt diese Vertausschungsrelationen kanonische Vertauschungsrelationen und spricht von kanonischer Quantisierung. F¨ ur das reelle Klein-Gordon˙ Feld, wo nach Gl.(12.2.22) π(x) = φ(x) ist, bedeutet das auch ˙  , t)] = iδ(x − x ) , [φ(x, t), φ(x ˙ ˙  , t)] = 0 . [φ(x, t), φ(x , t)] = [φ(x, t), φ(x

(12.3.2)

Entsprechend der allgemeinen G¨ ultigkeit von (12.1.28) und (12.1.41b) werden die kanonischen Vertauschungsrelationen ebenfalls f¨ ur wechselwirkende Felder postuliert.

12.4 Symmetrien und Erhaltungss¨ atze, Noether Theorem

271

12.4 Symmetrien und Erhaltungss¨ atze, Noether Theorem 12.4.1 Energie–Impuls–Tensor, Kontinuit¨ atsgleichungen und Erhaltungss¨ atze Die Invarianz eines Systems unter kontinuierlichen Symmetrietransformationen f¨ uhrt auf Kontinuit¨ atsgleichungen und Erhaltungss¨atze. Die Herleitung dieser Erhaltungss¨ atze aus der Invarianz der Lagrange-Dichte ist als Noethersches Theorem bekannt (siehe unten). Man kann Kontinuit¨ atsgleichungen auch elementar aus den Bewegungsgleichungen ableiten. Dies wird am Energie-Impuls-Tensor , der durch T μν =

∂L φ ,ν − Lg μν ∂φr,μ r

(12.4.1)

definiert wird, illustriert. Der Energie–Impuls–Tensor erf¨ ullt die Kontinuit¨atsgleichung 4 T μν,μ = 0 . Beweis. Die Ableitung von T μν ergibt   ∂ ∂L ∂L μν T ,μ = φ ,ν − ∂ ν L φr,ν + ∂xμ ∂φr,μ ∂φr,μ r μ ∂L ∂L ,ν φ + φ ,ν − ∂ ν L = 0 , = ∂φr r ∂φr,μ r μ

(12.4.2)

(12.4.3)

wobei im zweiten Schritt die Euler–Lagrange Gleichung (12.2.15) und ∂L ν ∂ ν L = ∂φ ∂ φr + ∂φ∂L ∂ ν φr,μ verwendet wurden. r r,μ Falls ein Vierervektor g μ eine Kontinuit¨ atsgleichung g μ,μ = 0

(12.4.4)

erf¨ ullt, so folgt unter der Annahme, daß die Felder, von denen g μ abh¨angt, gen¨ ugend rasch im Unendlichen verschwinden die Erhaltung des Raumintegrals u ¨ber seine Nullkomponente  G0 (t) = d3 x g 0 (x, t) . (12.4.5) Beweis: Aus der Kontinuit¨ atsgleichung folgt mit dem verallgemeinerten Gaußschen Satz 4

Diese Kontinuit¨ atsgleichung wird im n¨ achsten Abschnitt aus der raum–zeitlichen Translationsinvarianz hergleitet, woraus sich in Analogie zur klassischen Mechanik der Name Energie–Impuls–Tensor rechtfertigt.

272

12. Quantisierung von relativistischen Feldern

 d4 x

∂ μ g =0= ∂xμ

 dσμ g μ .

(12.4.6)

σ

Ω

Dies gilt f¨ ur jedes vierdimensionale Gebiet Ω mit Oberfl¨ache σ. Nun w¨ahlt man ein Integrationsgebiet, das sich in den r¨ aumlichen Richtungen bis nach Unendlich erstreckt. In der Zeitrichtung sei es durch zwei dreidimensionale Oberfl¨ achen σ1 (x0 = t1 ) und σ2 (x0 = t2 ) begrenzt (Abb. 12.5). Im Unendlichen der raumartigen Richtungen seien φr und φr,μ Null.

x0

σ2

σ1



 d3 x g 0 −

0= σ1

Abb. 12.5. Zur Herleitung des Erhaltungssatzes

 d3 x g 0 =

 d3 x g 0 (x, t1 ) −

d3 x g 0 (x, t2 )

σ2

d.h. G0 (t1 ) = G0 (t2 )

(12.4.7a)

oder auch dG0 =0. dt

(12.4.7b)

Wendet man dieses Ergebnis auf die Kontinuit¨atsgleichung f¨ ur den EnergieImpuls-Tensor (12.4.1) an, so folgt die Erhaltung des Energie-Impuls-Vierervektors  P ν = d3 x T 0ν (x, t) . (12.4.8) Die Komponenten des Energie–Impuls–Vektors sind  P 0 = d3 x {πr (x)φ˙ r (x) − L(φr , φr,μ )}  = d3 x H = H

(12.4.9)

12.4 Symmetrien und Erhaltungss¨ atze, Noether Theorem

und

 Pj =

d3 x πr (x)

∂φr ∂xj

j = 1, 2, 3 .

273

(12.4.10)

Die nullte Komponente ist gleich der Hamilton–Funktion bzw. dem -Operator, die r¨ aumlichen Komponenten stellen den Impuls–Operator des Feldes dar. 12.4.2 Herleitung der Erhaltungss¨ atze f¨ ur Viererimpuls, Drehimpuls und Ladung aus dem Noetherschen Theorem 12.4.2.1 Noethersches Theorem Das Theorem besagt, daß aus jeder kontinuierlichen Transformation, die die Wirkung unge¨ andert l¨ aßt, ein Erhaltungssatz folgt. So folgt die Erhaltung des Viererimpulses und des Drehimpulses aus der Invarianz der Lagrange-Dichte L gegen¨ uber Translationen und Rotationen. Diese bilden kontinuierliche Symmetriegruppen und es reicht, infinitesimale Transformationen zu betrachten. Wir betrachten deshalb die infinitesimale Lorentz–Transformation xμ → xμ = xμ + δxμ = xμ + Δωμν xν + δμ (12.4.11a) 1 μν φr (x) → φr (x ) = φr (x) + Δωμν Srs φs (x) . (12.4.11b) 2 Hier stellen x und x denselben Raum-Zeit Punkt in den beiden Koordinatensystemen dar und φr und φr die Komponenten des Feldes bezogen auf die beiden Koordinatensysteme. Die in Gleichung (12.4.11a,b) auftretenden Gr¨ oßen haben die folgende Bedeutung: Die konstante Gr¨oße δμ bewirkt eine infinitesimale Verschiebung. Der homogene Teil der Lorentz–Transformation ist durch den infinitesimalen antisymmetrischen Tensor Δωμν = −Δωνμ geμν im Transformationsgesetz der Felder (12.4.11b) geben. Die Koeffizienten Srs sind antisymmetrisch in μ und ν und sind durch die Transformationseigenschaften der Felder bestimmt. Zum Beispiel gilt f¨ ur Spinoren (Gl.(6.2.13) u. (6.2.17)) i 1 μν μν Δωμν Srs φs = − Δωμν σrs φs , 2 4

(12.4.12a)

d.h. i μν σ , (12.4.12b) 2 rs wobei r und s(= 1, . . . , 4) die vier Komponenten des Spinorfeldes indizieren. Vektorfelder transformieren sich unter Lorentztransformationen nach Gl. (11.1.3a) und daraus folgt μν Srs =−

μν Srs = g μr g νs − g μs g νr ,

(12.4.12c)

wobei die Indizes r, s die Werte 0, 1, 2, 3 annehmen. In Gleichung (12.4.12a,b) wird u ¨ ber doppelt vorkommende Indizes μ, ν und s summiert.

274

12. Quantisierung von relativistischen Feldern

Wie schon fr¨ uher betont wurde, bedeutet die Invarianz unter der Transformation (12.4.11a,b), daß die Lagrange Dichte in den neuen Feldern und Koordinaten die gleiche Gestalt besitzt wie in den alten: L(φr (x ), φr,μ (x )) = L(φr (x), φr,μ (x)) .

(12.4.13)

Daraus folgt die Kovarianz der Bewegungsgleichungen. andertem Argument wird durch Die Variation von φr (x) bei unge¨ δφr (x) = φr (x) − φr (x) ,

(12.4.14)

definiert. Außerdem definieren wir die totale Variation Δφr (x) = φr (x ) − φr (x) ,

(12.4.15)

¨ die die Anderung auf Grund der Form und des Arguments der Funktion beinhaltet. Zwischen diesen beiden Gr¨ oßen findet man folgenden Zusammenhang Δφr (x) = (φr (x ) − φr (x )) + (φr (x ) − φr (x)) ∂φr δxν + O(δ 2 ) = δφr (x ) + ∂xν ∂φr = δφr (x) + δxν + O(δ 2 ) , ∂xν

(12.4.16)

wobei mit O(δ 2 ) Terme zweiter Ordnung gemeint sind, welche vernachl¨assigt werden. Entsprechend zu Gl.(12.4.16) kann man die nach Gl.(12.4.13) verschwindende Differenz der Lagrange–Dichten in den Koordinatensystemen I und I  , also die totale Variation der Lagrange–Dichte, umformen 0 = L(φr (x ), φr,μ (x )) − L(φr (x), φr,μ (x)) = L(φr (x ), . . . ) − L(φr (x ), . . . ) + (L(φr (x ), . . . ) − L(φr (x), . . . )) ∂L = δL + μ δxμ + O(δ 2 ) . (12.4.17) ∂x F¨ ur den ersten Term auf der rechten Seite von (12.4.17) erh¨alt man ∂L ∂L δL = δφr + δφr,μ ∂φr ∂φr,μ     ∂ ∂L ∂L ∂L ∂ = δφr − + δφ δφ r r ∂φr ∂xμ ∂φr,μ ∂xμ ∂φr,μ    ∂L ∂ ∂φr = δxν Δφr − , ∂xμ ∂φr,μ ∂xν wo nach dem zweiten Gleichheitszeichen die Euler–Lagrange–Gleichung eingesetzt und im letzten Schritt Gl.(12.4.16) verwendet wurde. Zusammen mit ∂L μ ∂ ∂ δx = (Lδxμ ) = (Lg μν δxν ) folgt aus (12.4.17) die Kontinuit¨ats∂xμ ∂xμ ∂xμ gleichung g μ,μ = 0

(12.4.18a)

12.4 Symmetrien und Erhaltungss¨ atze, Noether Theorem

275

f¨ ur den Vierervektor gμ ≡

∂L Δφr − T μν δxν . ∂φr,μ

(12.4.18b)

Hier h¨ angt g μ von den Variationen Δφr und δxν ab, und je nach Wahl ergeben sich verschiedene Erhaltungss¨ atze. Die Gleichungen (12.4.18a) und (12.4.18b), die unter anderem zu den Erhaltungsgr¨ oßen (12.4.5) f¨ uhren, stellen die allgemeine Aussage des Noetherschen Theorems dar. 12.4.2.2 Anwendung auf Translations-, Dreh- und Eichinvarianz Wir analysieren nun drei wichtige Spezialf¨ alle des Ergebnisses des vorhergehenden Abschnitts. (i) Reine Translationen: F¨ ur Translationen ist Δωμν = 0 δxν = δν

(12.4.19a)

dann folgt aus (12.4.11b) φr (x ) = φr (x), also Δφr = 0 .

(12.4.19b)

Die Aussage des Noetherschen Theorems vereinfacht sich dann zu g μ = −T μν δν , und da die vier Verschiebungen δν voneinander unabh¨angig sind, folgen die vier Kontinuit¨ atsgleichungen T μν,μ = 0

(12.2.31)

ur f¨ ur den in (12.4.3) definierten Energie–Impuls–Tensor T μν , ν = 0, 1, 2, 3 . F¨ ν ≡ 0 ergibt sich die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur die Viererimpulsdichte P μ = T 0μ und f¨ ur ν = i die Gr¨ oßen T iμ . Die Erhaltungss¨atze T iμ ,μ = 0 enthalten als Nullkomponenten die r¨ aumlichen Impulsdichten P i und als Stromdichten die Komponenten des sog. Spannungstensors T ij . (Siehe auch die Diskussion nach Gl.(12.4.7b).) (ii) F¨ ur Drehungen ist nach Gl.(12.4.11a,b) δμ = 0 , δxν = Δωνσ xσ

(12.4.20a)

und Δφr =

1 νσ Δωνσ Srs φs . 2

(12.4.20b)

276

12. Quantisierung von relativistischen Feldern

Dann folgt aus (12.4.18b) gμ ≡

1 ∂L νσ Δωνσ Srs φs − T μν Δωνσ xσ . 2 ∂φr,μ

Mit der Definition ∂L νσ M μνσ = S φs (x) + (xν T μσ − xσ T μν ) ∂φr,μ rs

(12.4.21)

(12.4.22)

l¨ aßt sich (12.4.21) folgendermaßen umformen 1 ∂L νσ 1 1 S φs Δωνσ − T μν Δωνσ xσ − T μσ Δωσν xν 2 ∂φr,μ rs 2 2   ∂L νσ 1 = S φs + xν T μσ − xσ T μν Δωνσ (12.4.20) 2 ∂φr,μ rs 1 = M μνσ Δωνσ . 2 Da die 6 nichtverschwindenden Elemente der antisymmetrischen Matrix angig sind, folgt, daß die Gr¨oßen M μνσ die sechs Δωνσ voneinander unabh¨ Kontinuit¨ atsgleichungen gμ =

∂μ M μνσ = 0 erf¨ ullen. Daraus folgen die 6 Gr¨ oßen  M νσ = d3 x M 0νσ    νσ = d3 x πr (x)Srs φs (x) + xν T 0σ − xσ T 0ν .

(12.4.23)

(12.4.24)

F¨ ur die r¨ aumlichen Komponenten erh¨ alt man den Drehimpuls-Operator    ij M ij = d3 x πr Srs φs + xi T 0j − xj T 0i . (12.4.25) Dabei ist der Drehimpulsvektor (I 1 , I 2 , I 3 ) ≡ (M 23 , M 31 , M 12 ) erhalten. Die Summe aus zweitem und drittem Term stellt das a¨ußere Produkt des Ortsvektors mit der r¨ aumlichen Impulsdichte dar, kann also als Bahndrehimpuls des Feldes aufgefaßt werden. Der erste Term wird als innerer Drehimpuls oder Spin interpretiert (siehe sp¨ ater (13.3.13) und (E.31c)). Die raumzeitlichen Komponenten (0i)  M 0i = d3 x M 00i k¨ onnen zum dreikomponentigen boost-Vektor K = (M 01 , M 02 , M 03 )

(12.4.26)

zusammengefaßt werden, welcher Erzeugender der Lorentz-Transformationen ist.

12.4 Symmetrien und Erhaltungss¨ atze, Noether Theorem

277

(iii) Eichtransformationen (Eichtransformation erster Art) Als letzte Anwendung des Noetherschen Theorems betrachten wir die Folgerung aus der Eichinvarianz . Angenommen, die Lagrange-Dichte enth¨ alt eine Teilmenge von Feldern φr und φ†r nur in Kombinationen der Art φ†r (x)φr (x) und φ†r,μ (x)φr,μ (x) dann ist die Lagrange-Dichte invariant gegen die Eichtransformation erster Art, die definiert ist durch φr (x) → φr (x) = eiε φr (x) ≈ (1 + iε)φr (x) 

φ†r (x) → φ†r (x) = e−iε φ†r (x) ≈ (1 − iε)φ†r (x)

(12.4.27)

mit beliebigem reellem . Die Koordinaten werden nicht transformiert, so daß nach Gl.(12.4.14) δφr (x) = iε φr (x)

(12.4.28)

δφ†r (x) = −iε φ†r (x) und (12.4.16) Δφr (x) = δφr (x) ,

Δφ†r (x) = δφ†r (x)

(12.4.29)

gilt. Aus dem Noether–Theorem (12.4.18b) folgt die Viererstromdichte gμ ∝

∂L ∂L iε φr + (−iε)φ†r , ∂φr,μ ∂φ†r,μ

d.h.

 μ

g (x) = i

∂L ∂L † φr − φr ∂φr,μ ∂φ†r,μ



  g 0 (x) = i πr (x)φr (x) − πr† (x)φ†r (x) gen¨ ugt einer Kontinuit¨ atsgleichung. Daraus folgt, daß    Q = −iq d3 x πr (x)φr (x) − πr† (x)φ†r (x)

(12.4.30)

(12.4.31)

erhalten ist; d.h. in quantisierter Form: dQ = 0, [Q, H] = 0 . dt

(12.4.32)

q wird sich als Ladung erweisen. Um dies schon im gegenw¨artigen Stadium einzusehen, berechnen wir den Kommutator von Q und φr mit den Vertauschungsrelationen (12.3.1):  (12.4.33) [Q, φr (x)] = −iq d3 x [πs (x ), φr (x)] φs (x ) = −qφr (x) .  

−iδsr δ(x − x)

278

12. Quantisierung von relativistischen Feldern

Falls |Q  ein Eigenzustand von Q ist, Q |Q  = Q |Q  , dann ist



(12.4.34) 

φr (x) |Q  φ†r (x) |Q 

Eigenzustand zum Eigenwert Q − q und Eigenzustand zum Eigenwert Q + q, wie aus (12.4.33) folgt:

(Qφr (x) − φr (x)Q) |Q  = −qφr (x) |Q  Qφr (x) |Q  − φr (x)Q |Q  = −qφr (x) |Q  



(12.4.35)



Qφr (x) |Q  = (Q − q)φr (x) |Q  . Mit komplexen, d.h. mit nichthermiteschen Feldern kann man geladene Teilchen darstellen. Die Erhaltung der Ladung folgt aus der Invarianz gegen¨ uber Eichtransformationen erster Art (d.h. die Phase ist unabh¨angig von x). In Theorien, in denen das Feld an ein Eichfeld koppelt, gibt es auch Eichtransformationen zweiter Art ψ → ψ  = ψeiα(x) , Aμ → A μ = Aμ + 1e ∂ μ α(x) . 12.4.2.3 Erzeugende der Symmetrietransformationen in der Quantenmechanik Wir setzen voraus, daß der Hamilton–Operator H zeitunabh¨angig ist und betrachten Bewegungskonstante A(t), die nicht explizit von der Zeit abh¨angen. Die Heisenberg-Bewegungsgleichungen dA(t) = i[H, A(t)] dt

(12.4.36)

implizieren, daß derartige Konstante der Bewegung mit H kommutieren [H, A] = 0 .

(12.4.37)

Symmetrietransformationen k¨ onnen allgemein durch unit¨are oder im Fall der Zeitumkehr durch antiunit¨ are Transformationen dargestellt werden1 . Im Fall der kontinuierlichen Transformationen, die stetig mit der Einheit zusammenh¨ angen, wie zum Beispiel die Drehungen, sind die Transformationen unit¨ ar. D.h. die Zust¨ ande und Operatoren transformieren sich wie |ψ → |ψ   = U |ψ

(12.4.38a)

A → A = U AU † .

(12.4.38b)

und ¨ Die Unitarit¨ at garantiert, daß Ubergangsamplituden und Matrixelemente von Operatoren invariant bleiben, und daß Operator-Gleichungen kovariant sind, 1

E.P. Wigner, Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra, Academic Press, New York, 1959, Appendix to Chapt. 20, p. 233; V. Bargmann, J. Math. Phys. 5, 862 (1964)

12.4 Symmetrien und Erhaltungss¨ atze, Noether Theorem

279

d.h. in den urspr¨ unglichen und in den transformierten Operatoren haben die Bewegungsgleichungen und Vertauschungsrelationen die gleiche Gestalt. F¨ ur eine kontinuierliche Transformation k¨ onnen wir den unit¨aren Operator in der Form U = eiαT

(12.4.39)

mit T † = T und einem reellen stetigen Parameter α darstellen. Der hermitsche Operator T heißt Erzeugende der Transformation. F¨ ur α = 0 ist U (α = 0) = 1 . F¨ ur eine infinitesimale Transformation (α → δα) kann U entwickelt werden U = 1 + i δα T + O(δα2 ) ,

(12.4.39 )

und das Transformationsgesetz f¨ ur einen Operator A hat die Gestalt A = A + δA = (1 + i δα T )A(1 − i δα T ) + O(δα2 ) also δA = i δα [T, A] .

(12.4.37b )

Wenn das physikalische System unter der betrachteten Transformtion invariant ist, dann muß der Hamilton-Operator invariant bleiben, δH = 0, und aus (12.4.37b ) folgt [T, H] = 0 .

(12.4.40)

Da T mit H kommutiert, ist die Erzeugende der Symmetrietransformation eine Bewegungskonstante. Umgekehrt wird durch jede der Erhaltungsgr¨ oßen G0 u ¨ ber den unit¨aren Operator U = eiαG

0

(12.4.41)

eine Symmetrietransformation erzeugt, da G0 wegen [H, G0 ] = 1i G˙ 0 = 0 mit H kommutiert und deshalb U HU † = H, also H invariant ist. Daß dies genau diejenige Transformation ist, aus der man die zugeh¨orige, einer Kontinuit¨ atsgleichung gen¨ ugende, erhaltene Viererstromdichte hergeleitet hat, ist uft werden. F¨ ur naheliegend und kann explizit f¨ ur P μ , Q und M μν nachgepr¨ Translationen siehe Aufgabe 13.2(b) f¨ ur das Klein–Gordon Feld und 13.10 f¨ ur das Dirac Feld. Siehe auch die Aufgaben 13.5 und 13.12 zum Operator der Ladungskonjugation. Der boost-Vektor (12.4.26), K i ≡ M 0i , Z “ ” 0i φs (x) K i = tP i − d3 x xi T 00 (x, t) − πr (x) Srs

(12.4.42)

ist zwar konstant, h¨ angt aber explizit von der Zeit ab. Aus der Heisenberg-

280

12. Quantisierung von relativistischen Feldern

˙ = 0 = i[H, K] + P folgt, daß K nicht mit H kommutiert Bewegungsgleichung K [H, K] = iP .

(12.4.43)

F¨ ur das Dirac Feld ist „ « Z i ¯ i ψ(x) . K i = tP i − d3 x xi H(x) − ψ(x)γ 2

(12.4.44)

Aufgaben zu Kapitel 12 12.1 Beweisen Sie die Vollst¨ andigkeitsrelation (12.1.7b) und Orthogonalit¨ atsrelation (12.1.7b). 12.2 Zeigen Sie die Richtigkeit der Vertauschungsrelation (12.1.10). 12.3 Zeigen Sie, daß der Hamilton–Operator (12.1.1) f¨ ur die gekoppelten Oszillatoren in (12.1.11) umgeformt werden kann und die Dispersionsrelation (12.1.12) ergibt. 12.4 Beweisen Sie die Umkehrrelation (12.1.14a,b). 12.5 Beweisen Sie die Vertauschungsrelationen der Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren (12.1.15). 0

unter Verwendung 12.6 Zeigen Sie den Erhaltungssatz (12.4.7b), indem Sie dG dt des dreidimensionalen Gaußschen Integralsatzes berechnen und in der Definition von G0 u ¨ ber den ganzen Raum integrieren. 12.7 Die koh¨ arenten Zust¨ ande f¨ ur die lineare Kette sind als Eigenzust¨ ande f¨ ur die Vernichtungsoperatoren ak definiert. Berechnen Sie den Mittelwert des Operators h i X 1 √ ei(kna−ωk t) ak (0) + e−i(kna−ωk t) a†k (0) qn (t) = 2N mωk k f¨ ur koh¨ arente Zust¨ ande. 12.8 Zeigen Sie, daß f¨ ur Vektorfelder As (x) (s = 0, 1, 2, 3) Gleichung (12.4.12c) gilt.

13. Freie Felder

In diesem und n¨ achsten Kapitel werden die Ergebnisse des vorhergehenden Kapitels auf das freie reelle und komplexe Klein–Gordon–Feld, auf das Dirac– Feld und das Strahlungsfeld angewandt und die grundlegenden Eigenschaften dieser freien Feldtheorien abgeleitet. Außerdem wird das Spin–Statistik– Theorem bewiesen.

13.1 Das reelle Klein–Gordon–Feld Da das Klein–Gordon–Feld als Kontinuumsgrenzfall von gekoppelten Oszillatoren gefunden wurde, sind die wichtigsten Eigenschaften dieser quantisierten Feldtheorie aus Abschnitt 12.1, 12.2.1.4 bekannt. Wir stellen dennoch die wichtigsten Relationen nochmals in geschlossener, deduktiver Weise zusammen. 13.1.1 Lagrange–Dichte, Vertauschungsrelationen, Hamilton–Operator Die Lagrange–Dichte des freien, reellen Klein–Gordon–Feldes ist von der Form L=

1 (φ,μ φ,μ − m2 φ2 ) . 2

(13.1.1)

Die Bewegungsgleichung (12.2.21) lautet (∂μ ∂ μ + m2 ) φ = 0 .

(13.1.2)

Aus (13.1.1) folgt f¨ ur das konjugierte Impulsfeld π(x) =

∂L ˙ = φ(x) . ∂ φ˙

(13.1.3)

Das quantisierte reelle Klein–Gordon–Feld wird durch hermitsche Operatoren φ† (x) = φ(x)

und

π † (x) = π(x)

282

13. Freie Felder

dargestellt. Die kanonische Quantisierungsvorschrift (12.3.1) ergibt f¨ ur das Klein–Gordon–Feld $ % ˙  , t) = i δ(x − x ) φ(x, t), φ(x $ % $ % ˙ ˙  , t) = 0 . φ(x, t), φ(x , t) = φ(x, t), φ(x (13.1.4) Bemerkungen: (i)

Da sich φ(x) unter Lorentz-Transformationen wie ein Skalar transformiert und keine inneren Freiheitsgrade besitzt, sind die Koeffizienten μν in (12.4.11b) und (12.4.25) Null. Der Spin des Klein–Gordon–Feldes Srs ist also Null. (ii) Da φ hermitsch ist, besitzt L aus Gl.(13.1.1) keine Eichinvarianz; die durch φ beschriebenen Teilchen haben deshalb Ladung Null. (iii) Nicht alle elektrisch neutralen Mesonen mit Spin 0 werden durch ein reelles Klein–Gordon–Feld beschrieben. So hat zum Beispiel das K0 -Meson eine weitere Eigenschaft, die man als Hyperladung Y bezeichnet. Es wird sich am Ende des n¨ achsten Abschnitts zeigen, daß das K0 zusammen mit ¯ 0 durch ein komplexes Klein–Gordon–Feld beseinem Anti–Teilchen K schrieben werden kann. (iv) Auch im Falle der quantisierten Felder ist es u ¨ blich weiterhin von reellen und komplexen Feldern zu sprechen. Die Entwicklung von φ(x) nach einem vollst¨andigen Satz von L¨osungen der Klein–Gordon–Gleichung ist von der Gestalt φ(x) = φ+ (x) + φ− (x)

 1 √ e−ikx ak + eikx a†k = 2V ωk k

(13.1.5)

k 0 = ωk = (m2 + k2 )1/2 ,

(13.1.6)

mit wobei die φ+ und φ− die Beitr¨ age positiver Frequenz (e−ikx ) und negativer ikx Frequenz (e ) zusammenfassen. Die Umkehrung von (13.1.5) lautet : 

1 ˙ ak = 0) d3 x eikx ωk φ(x, 0) + iφ(x, 2V ωk : 

1 ˙ 0) . (13.1.5 ) d3 x e−ikx ωk φ(x, 0) − iφ(x, a†k = 2V ωk Aus den kanonischen Vertauschungsrelationen der Felder (13.1.4) erh¨alt man die Vertauschungsrelationen der ak und a†k $ % % $ % $ ak , a†k = δkk , (13.1.7) ak , ak = a†k , a†k = 0 .

13.1 Das reelle Klein–Gordon–Feld

283

Dies sind die typischen Vertauschungsrelationen f¨ ur ungekoppelte Oszillatoren bzw. Bosonen. Die Operatoren n ˆ k = a†k ak

(13.1.8)

haben als Eigenwerte nk = 0, 1, 2, . . . und k¨ onnen deshalb als Besetzungszahl oder Teilchenzahloperatoren interpretiert werden. Die Operatoren ak (a†k ) vernichten (erzeugen) Teilchen mit Impuls k. Aus dem Energie–Impuls–Vierervektor (12.4.8) folgt f¨ ur das skalare Feld der Hamilton-Operator  % 1 $ ˙2 φ (x) + (∇φ(x))2 + m2 φ2 (x) (13.1.9) H = d3 x 2  % 1$ 2 = d3 x π 2 (x) + (∇φ(x)) + m2 φ2 (x) 2 und der Impulsoperator des Klein–Gordon–Feldes  ˙ ∇φ(x) . P = − d3 x φ(x)

(13.1.10)

Bemerkung. Die quantenmechanischen Feldgleichungen folgen auch aus den Heisenberg–Gleichungen und den Vertauschungsrelationen (13.1.4) bzw. (12.3.1) ˙ φ(x) = i[H, φ(x)] = π(x)

(13.1.11)

π(x) ˙ = i[H, π(x)] = (∇2 − m2 )φ(x) ,

(13.1.12)

woraus ¨ φ(x) = (∇2 − m2 )φ(x) ,

(13.1.13)

also (13.1.2) folgt. Nach Substitution der Entwicklung (13.1.5) ergibt sich f¨ ur H und P  

 1 1 ωk a†k ak + ak a†k = ωk a†k ak + H= (13.1.14) 2 2 k

k

und



  1 † 1 † † k ak ak + ak ak = k ak ak + P= . 2 2 k

(13.1.15)

k

Der Zustand niedrigster Energie, d.i. der Grundzustand oder Vakuumzustand |0, ist dadurch charakterisiert, daß keine Teilchen vorhanden sind, d.h. nk = 0, oder

284

13. Freie Felder

ak |0 = 0 f¨ ur alle k

(13.1.16a)

bzw. φ+ (x) |0 = 0 f¨ ur alle x. Die Energie des Vakuumzustandes 1 ωk , E0 = 2

(13.1.16b)

(13.1.17)

k

die Nullpunktsenergie, ist divergent. Dies ist weiter kein Problem, da nur Energiedifferenzen meßbar sind, und diese sind endlich; man kann die Nullpunktsenergie von vornherein eliminieren, indem man durch eine Neudefinition normal geordnete Produkte einf¨ uhrt. In einem normal geordneten Produkt werden alle Vernichtungsoperatoren rechts von allen Erzeugungsoperatoren angeordnet. F¨ ur Bosonen wird die Definition der Normalordnung, symbolisiert durch zwei Doppelpunkte : . . . : , durch die folgenden Beispiele illustriert: (i) (ii) :

: ak1 ak2 a†k3 : = a†k3 ak1 ak2 a†k ak

+

ak a†k

:=

2a†k ak

(13.1.18a) (13.1.18b)

und (iii) : φ(x)φ(y) : = : (φ+ (x) + φ− (x))(φ+ (y) + φ− (y)) : = : φ+ (x)φ+ (y) : + : φ+ (x)φ− (y) : + : φ− (x)φ+ (y) : + : φ− (x)φ− (y) : = φ+ (x)φ+ (y) + φ− (y)φ+ (x) +φ− (x)φ+ (y) + φ− (x)φ− (y) .

(13.1.18c)

Man behandelt die Bose-Operatoren in einem normalgeordneten Produkt so, als w¨ urden ihre Kommutatoren verschwinden. Die Anordnung der Erzeugungs- (Vernichtungs-) Operatoren untereinander ist willk¨ urlich, da deren Kommutatoren verschwinden. Die positiv-Frequenz-Teile stehen rechts von den negativ-Frequenz-Teilen. Der Vakuumerwartungswert eines normalgeordneten Produktes verschwindet. Wir f¨ uhren nun eine Neudefinition der Lagrange-Dichte und der Observablen, Energie-Impuls-Vektor, Drehimpuls etc. als Normalprodukte : : ein. Das bedeutet, daß beispielsweise der Impulsoperator (13.1.10) durch  ˙ : (13.1.9’) P = − d3 x : φ(x)∇φ(x) ersetzt wird. Es folgt hieraus, daß der Energie–Impuls–Vektor statt (13.1.14) und (13.1.15) die Gestalt  k μ a†k ak (13.1.19) Pμ = k

13.1 Das reelle Klein–Gordon–Feld

285

hat. Die Nullpunktsterme sind nicht mehr vorhanden. Wir betrachten im Detail den Hamilton–Operator H. In der zu (13.1.14) f¨ uhrenden Rechnung wurde im ersten Schritt keinerlei Vertauschung von Operatoren durchgef¨ uhrt. Wenn man nun das urspr¨ ungliche  H durch : H : ersetzt, folgt mit Beispiel (ii) f¨ ur die Normalordnung H = k ωk a†k ak also die Nullkomponente von (13.1.19). Die normierten Teilchenzust¨ ande mit ihren Energieeigenwerten sind: Vakuum

|0

E0 = 0

Einteilchenzust¨ ande

a†k |0

Ek = ωk

Zweiteilchenzust¨ ande

a†k1 a†k2 |0 f¨ ur k1 = k2 beliebig

Ek1 ,k2 = ωk1 + ωk2

1 † 2 √ ak |0 f¨ ur k beliebig 2

Ek,k = 2ωk

Einen allgemeinen Zweiteilchenzustand erh¨ alt man durch lineare Superposition dieser Zust¨ ande. Wegen (13.1.7) gilt a†k1 a†k2 |0 = a†k2 a†k1 |0 . Die Teilchen, die durch das Klein-Gordon Feld beschrieben werden, sind Bosonen; jede der Besetzungszahlen nimmt die Werte nk = 0, 1, 2, . . . an. Der Operaur Teilchen mit der Wellenzahl tor n ˆ k = a†k ak ist der Teilchenzahloperator f¨ k, seine Eigenwerte sind die Besetzungszahlen nk . Wir besprechen nun noch den Drehimpuls des skalaren Feldes. Dieses einkomponentige Feld besitzt keine inneren Freiheitsgrade und die Koeffizienten Srs in Gl. (12.4.25) verschwinden, Srs = 0. Der Drehimpulsoperator (12.4.25) enth¨ alt deshalb keinen Spinanteil sondern nur den Bahndrehimpuls  J = d3 x x × P(x) (13.1.20)  1 ˙ ∇φ(x) : . =: d3 x x × φ(x) i Der Spin der Teilchen ist folglich Null. Da die Lagrange–Dichte (13.1.1) und der Hamilton–Operator (13.1.9) nicht eichinvariant sind, gibt es keinen Ladungsoperator. Das reelle Klein–Gordon–Feld kann nur ungeladene Teilchen beschreiben. Ein Beispiel eines neutralen Mesons mit Spin=0 ist das π 0 . 13.1.2 Propagatoren F¨ ur die St¨ orungstheorie und auch f¨ ur das sp¨ater zu besprechende Spin– Statistik–Theorem ben¨ otigt man die Vakuumerwartungswerte von bilinearen Kombinationen der Feldoperatoren. Zu deren Berechnung betrachten wir zun¨ achst die Kommutatoren

286

13. Freie Felder

=

> = > φ+ (x), φ+ (y) = φ− (x), φ− (y) = 0 $ % = + >  1 1  † φ (x), φ− (y) = a e−ikx+ik y , a  k k 1/2  2V (ω ω ) k k k k  3 −ik(x−y) 1 d k e = , k0 = ωk . 2 (2π)3 ωk Mit den Definitionen  i d3 k e∓ikx ± Δ (x) = ∓ , k0 = ωk 2 (2π)3 ωk   1 d3 k 1  −ikx − eikx Δ(x) = e , 3 2i (2π) ωk

(13.1.21)

(13.1.22a) k0 = ωk

k¨ onnen die Kommutatoren folgendermaßen dargestellt werden > = + φ (x), φ− (y) = i Δ+ (x − y) > = − φ (x), φ+ (y) = i Δ− (x − y) = −i Δ+ (y − x) > = > = [φ(x), φ(y)] = φ+ (x), φ− (y) + φ− (x), φ+ (y)

(13.1.22b)

(13.1.23a) (13.1.23b) (13.1.23c)

= i Δ(x − y) . Es gelten die offensichtlichen Zusammenh¨ ange Δ(x − y) = Δ+ (x − y) + Δ− (x − y)) Δ− (x) = −Δ+ (−x) .

(13.1.24a) (13.1.24b)

Um die relativistische Kovarianz der Kommutatoren des Feldes zum Ausdruck zu bringen, ist es zweckm¨ aßig, die folgenden vierdimensionalen Integraldarstellungen einzuf¨ uhren  d4 k e−ikx ± Δ (x) = − (13.1.25a) (2π)4 k 2 − m2 C±  d4 k e−ikx Δ(x) = − (13.1.25b) 4 k 2 − m2 , (2π) C

wobei die Integrationswege in der komplexen k0 -Ebene in Abb. 13.1 dargestellt sind. Man verifiziert die Ausdr¨ ucke (13.1.25a,b), indem man die Wegintegrale in der komplexen k0 -Ebene mittels des Residuensatzes auswertet. Die Inte−1 granden sind proportional zu [(k0 − ωk )(k0 + ωk )] und haben Pole an den Stellen ±ωk , die je nach der Form des Weges Beitr¨age zu den Integralen liefern. Offensichtlich sind die rechten Seiten von (13.1.25a,b) Lorentz-kovariant. F¨ ur das Volumenelement wurde das in Gl. (10.1.2) gezeigt, und f¨ ur den Integranden ist es offensichtlich. Wir kommen nun zu der Berechnung von Vakuumerwartungswerten und Propagatoren. Indem man den Vakuumserwartungswert von (13.1.23a) bildet und φ |0 = 0 verwendet, erh¨ alt man

13.1 Das reelle Klein–Gordon–Feld

287

Im k 0

C C

-

C+

k 0 = - ωk

Re k 0

k 0= ωk

Abb. 13.1. Integrationswege C ± und C in der komplexen k0 –Ebene zu den Propagatoren Δ± (x) und Δ(x) .

i Δ+ (x − x ) = 0| [φ+ (x), φ− (x )] |0 = 0| φ+ (x)φ− (x ) |0 = 0| φ(x)φ(x ) |0 .

(13.1.26)

In der St¨ orungstheorie (Abschnitt 15.2) werden zeitgeordnete Produkte des St¨ or–Hamilton–Operators auftreten. Zu deren Auswertung werden wir Vakuumerwartungswerte von zeitgeordneten Produkten ben¨otigen. Das zeitgeordnete Produkt T ist f¨ ur Bosonen folgendermaßen definiert  φ(x)φ(x ) t > t (13.1.27) T φ(x)φ(x ) =  φ(x )φ(x) t < t = Θ(t − t )φ(x)φ(x ) + Θ(t − t)φ(x )φ(x) . Der Feynman-Propagator ist durch den Erwartungswert des zeitgeordneten Produktes definiert: i ΔF (x − x ) ≡ 0| T (φ(x)φ(x )) |0 

(13.1.28) 



−



= i (Θ(t − t )Δ (x − x ) − Θ(t − t)Δ (x − x )) . +

Dieser h¨ angt mit Δ± (x) u ¨ ber ΔF (x) = ±Δ± (x)

f¨ ur t ≷ 0

(13.1.29)

Im k 0

- ωk

CF

ωk

Re k 0

Abb. 13.2. Integrationsweg in der komplexen k0 –Ebene f¨ ur den FeynmanPropagator ΔF (x) .

288

13. Freie Felder

zusammen und besitzt die Integraldarstellung  d4 k e−ikx ΔF (x) = , 4 2 (2π) k − m2

(13.1.30)

CF

wie man durch Erg¨ anzung des Integrationsweges durch unendliche Halbkreise in der oberen oder unteren k0 -Halbebene und Vergleich mit Gl.(13.1.25a) sieht. Die Integration l¨ angs des in Abb. 13.2 definierten Weges CF , ist identisch mit der Integration l¨ angs der Re k0 -Achse, wobei durch die infinitesimalen Zusatzterme η und ε in den Integranden die Pole k0 = ±(ωk − iη) = √ ±( k2 + m2 − iη) von der reellen Achse weggeschoben werden:  e−ikx d4 k (13.1.31) ΔF (x) = lim+ 2 4 (2π) k0 − (ωk − iη)2 η→0  e−ikx d4 k . = lim+ 4 2 (2π) k − m2 + iε ε→0 Es ist illustrativ, die Vorg¨ ange, die durch die Propagatoren beschrieben werden, im Vorgriff zur st¨ orungstheoretischen Darstellung durch Feynman– Diagramme bildlich zu illustrieren. Wenn man die Zeitachse nach rechts auftr¨ agt, x

x

x

x

Zeit

Zeit

a)

b)

Abb. 13.3. Propagation eines Teilchens (a) von x nach x und (b) von x nach x .

dann bedeutet in Abb. 13.3 Diagramm (a), daß ein Meson bei x erzeugt wird und bei x wieder vernichtet wird, also den durch 0| φ(x)φ(x ) |0 = iΔ+ (x − x ) beschriebenen Vorgang. Das Diagramm (b) stellt die Erzeugung eines Teilchens bei x und seine Vernichtung bei x also 0| φ(x )φ(x) |0 = −iΔ− (x − x ) dar. Beide Prozesse werden durch den Feynman–Propagator f¨ ur die Mesonen des Klein–Gordon–Feldes zusammengefaßt, den man deshalb auch kurz als Meson–Propagator bezeichnet. Als Beispiel betrachten wir die Streuung zweier Nukleonen, in Abb. 13.4 als durchgezogene Linien gezeichnet. Die Streuung kommt durch den Austausch von Mesonen zustande. Beide Prozesse werden unabh¨angig von ihrer zeitlichen Reihenfolge durch den Feynman–Propagator zusammengefaßt.

13.2 Das komplexe Klein-Gordon-Feld x

x

x

+ x

289

=

ΔF x

x

Abb. 13.4. Graphische Darstellung des Meson-Propagators ΔF (x − x ) . Im ersten Diagramm wird ein Meson bei x erzeugt und bei x vernichtet. Im zweiten Diagramm wird ein Meson bei x erzeugt und bei x vernichtet. Durchgezogene Linien: Nukleonen, punktierte Linien: Mesonen.

13.2 Das komplexe Klein-Gordon-Feld Das komplexe Klein-Gordon-Feld ist sehr a ¨hnlich dem reellen Klein-GordonFeld, nur haben die durch das Feld erzeugten und vernichteten Teilchen eine Ladung. Der Ausgangspunkt ist die Lagrange–Dichte L = : φ†,μ (x)φ,μ (x) − m2 φ† (x)φ(x) : .

(13.2.1)

Entsprechend der Bemerkung nach Gl.(12.2.24) werden φ(x) und φ† (x) als = φ,μ (x), und es unabh¨ angige Felder behandelt, deshalb gilt z.B. ∂L † ∂φ,μ (x)

folgen aus (12.2.15) die Bewegungsgleichungen (∂ μ ∂μ + m2 )φ(x) = 0

und

(∂ μ ∂μ + m2 )φ† (x) = 0 .

(13.2.2)

Die zu φ(x) und φ† (x) konjugierten Felder sind nach Gl.(12.2.16) π(x) = φ˙ † (x)

˙ und π † (x) = φ(x) .

(13.2.3)

Da sich auch das komplexe Klein–Gordon–Feld wie ein Skalar unter Lorentz– Transformationen verh¨ alt, hat es den Spin 0. Wegen der Eichinvarianz von L besitzt dieses Feld als zus¨ atzliche Erhaltungsgr¨ oße eine Ladung Q. Die gleichzeitigen Kommutatoren der Felder und ihrer Adjungierten sind nach der kanonischen Quantisierung (12.3.1) $ % φ(x, t), φ˙ † (x , t) = i δ(x − x ) $ % (13.2.4) ˙  , t) = i δ(x − x ) φ† (x, t), φ(x und

$

% $ % φ(x, t), φ(x , t) = φ(x, t), φ† (x , t) % $ % $ ˙ ˙ ˙  , t) = φ(x, = φ(x, t), φ˙ † (x , t) = 0 . t), φ(x

Die L¨ osungen der Feldgleichungen (13.2.2) sind auch f¨ ur das komplexe Klein– Gordon–Feld von der Form e±ikx , so daß die Entwicklung des Feldoperators die Form

290

13. Freie Felder

φ(x) = φ+ (x) + φ− (x) =

 k



1 † ikx −ikx e + b e a k (2V ωk )1/2 k

(13.2.5a)

annimmt, wobei im Unterschied zum reellen Klein–Gordon–Feld die Ampliangig sind. Aus (13.2.5a) folgt tuden b†k und ak unabh¨ −

+

φ† (x) = φ† (x) + φ† (x) =

 k



1 bk e−ikx + a†k eikx . 1/2 (2V ωk ) (13.2.5b)

In den Gleichungen (13.2.5a,b) sind die Operatoren φ(x) und φ† (x) in ihre Anteile positiver (e−ikx ) und negativer (eikx ) Frequenz zerlegt. Durch Umkehrung der Fourier–Reihen (13.2.5a,b) findet man aus (13.2.4) die Vertauschungsrelationen $ % $ % ak , a†k = bk , b†k = δkk $ % $ % $ % $ % (13.2.6) ak , ak = bk , bk = ak , bk = ak , b†k = 0 . Man hat nun zwei Besetzungszahloperatoren, f¨ ur Teilchen a und f¨ ur Teilchen b n ˆ ak = a†k ak

und

n ˆ bk = b†k bk .

(13.2.7)

Die Operatoren a†k , ak erzeugen, vernichten Teilchen der Sorte a, die Operatoren b†k , bk erzeugen, vernichten Teilchen der Sorte b mit der Wellenzahl k. Der Vakuumzustand |0 ist durch ak |0 = bk |0 = 0

f¨ ur alle k ,

(13.2.8a)

definiert oder ¨ aquivalent +

φ+ (x) |0 = φ† (x) |0 = 0

f¨ ur alle x .

F¨ ur den Vierer-Impuls erh¨ alt man  Pμ = k μ (ˆ nak + n ˆ bk ) ,

(13.2.8b)

(13.2.9)

k

dessen nullte Komponente mit k 0 = ωk den Hamilton–Operator darstellt. Wegen der Invarianz der Lagrange-Dichte unter Eichtransformationen 1. Art ist die Ladung  † ˙ (x) : (13.2.10) Q = −iq d3 x : φ˙ † (x)φ(x) − φ(x)φ erhalten. Die zugeh¨ orige Vierer–Stromdichte ist von der Form

13.2 Das komplexe Klein-Gordon-Feld

  ∂φ† ∂φ † μ j (x) = −iq : φ− φ : ∂xμ ∂xμ

291

(13.2.11)

und erf¨ ullt die Kontinuit¨ atsgleichung j μ,μ = 0 . Setzt man in Q die Entwicklungen (13.2.5a,b) ein, so erh¨alt man  Q=q (ˆ nak − n ˆ bk ) .

(13.2.12)

(13.2.13)

k

Der Ladungsoperator kommutiert mit dem Hamilton-Operator. Die a-Teilchen haben Ladung q, die b-Teilchen Ladung −q. Abgesehen von der Ladung haben diese Teilchen identische Eigenschaften. Die Vertauschung von a ↔ b andert nur das Vorzeichen von Q. In der relativistischen Quantenfeldtheorie ¨ tritt mit einem geladenen Teilchen automatisch das entgegengesetzt geladene Antiteilchen auf. (Diese allgemeine Folgerung aus der Feldtheorie gilt auch bei Teilchen mit anderen Spin-Werten und ist im Einklang mit dem experimentellen Befund.) Ein Beispiel eines Teilchen-Antiteilchen Paares sind geladene Pi-Mesonen: π + und π − haben elektrische Ladung +e0 und −e0 . Die Ladung muß aber nicht unbedingt die elektrische Ladung sein. Das elektrisch neutrale K 0 -Meson hat ¯ 0 , welches ebenfalls elektrisch neutral ist. Die beiden Teilein Antiteilchen K chen haben entgegensetzte Hyperladung Y , wobei die Werte Y = 1 f¨ ur das ¯ 0 sind, und werden durch ein komplexes Kleinur das K K 0 und Y = −1 f¨ Gordon Feld beschrieben. Die Hyperladung1 ist ein ladungsartiger innerer Freiheitsgrad, der mit anderen inneren Quantenzahlen, n¨amlich der elektrischen Ladung Q, dem Isospin Iz , der Strangeness (Seltsamkeit) S und der Baryonenzahl N u ¨ ber Y = 2(Q − Iz ) und S =Y −N zusammenh¨ angt. Die Hyperladung ist bei der starken Wechselwirkung erhalten aber nicht bei der schwachen Wechselwirkung. Da die schwache Wechselwirkung um 10−12 kleiner ist, ist die Hyperladung nahezu erhalten. Die elektrische Ladung ist immer exakt erhalten! Welche physikalische Bedeutung die Ladung eines freien Feldes besitzt, wird erst klar in der Wechselwirkung mit anderen Feldern, worin das Vorzeichen und der Wert der Ladung eine Rolle spielen.

1

Siehe z.B. E. Segr`e, Nuclei and Particles, 2nd ed., Benjamin/Cummins, London (1977), O.Nachtmann, Elementary Particle Physics, Springer, Heidelberg, (1990)

292

13. Freie Felder

13.3 Quantisierung des Dirac-Feldes 13.3.1 Feldgleichungen Durch die Quantisierung der Klein–Gordon–Gleichung konnten Mesonen beschrieben werden. Damit wurden zugleich Schwierigkeiten u ¨ berwunden, die bei der Interpretation der Klein–Gordon–Gleichung als quantenmechanische Wellengleichung entsprechend der Schr¨ odingergleichung auftraten. Es wird nun ein ¨ ahnlicher Weg f¨ ur die Dirac-Gleichung beschritten, indem diese zun¨ achst als klassische Feldgleichung studiert wird und anschließend quantisiert wird. Demnach betrachten wir die Dirac-Gleichung (5.3.20) zuerst als klassische Feldgleichung ¯ ← + m) = 0 . (13.3.1) (iγ∂ − m)ψ = 0 und ψ(iγ∂ Der Pfeil u ¨ ber ∂ in der zweiten Gleichung bedeutet, daß die Ableitung nach links auf ψ¯ wirkt. Man erh¨ alt die zweite Gleichung durch Adjungieren der ersten und Verwendung von ψ¯ = ψ † γ 0 und γ 0 γμ† γ0 = γμ . Eine m¨ogliche Lagrange-Dichte zu diesen Bewegungsgleichungen ist μ ¯ L = ψ(x)(iγ ∂μ − m)ψ(x) , (13.3.2) was man durch ∂L ∂L μ − ∂μ ¯ ¯ = (iγ ∂μ − m)ψ = 0 ∂ψ ∂(∂μ ψ) ∂L ∂L − ∂μ = −mψ¯ − ∂μ ψ¯ iγ μ = 0 ∂ψ ∂(∂μ ψ)

(13.3.3)

verifiziert. Die Lagrange-Dichte L (13.3.2) ist nicht reell, sie unterscheidet sich von einer reellen jedoch nur durch eine vollst¨andige Ableitung: > i =¯ μ ¯ + i ∂μ (ψγ ¯ μ ψ) ¯ μ ψ − mψψ ψγ ∂μ ψ − (∂μ ψ)γ L= 2 $ 2 % i L∗ = − (∂μ ψ † )γ02 γ μ † γ0 ψ − ψ † γ02 γ μ † ∂μ γ 0 ψ 2 ¯ + ( i ∂μ (ψγ ¯ μ ψ))† −mψψ 2 > i= ¯ μ ∂μ ψ − mψψ ¯ − ( i ∂μ (ψγ ¯ μ ψ)) . ¯ μ ψ − ψγ = − (∂μ ψ)γ (13.3.4) 2 2 Die ersten drei Terme in (13.3.4) zusammen sind reell und k¨onnten auch als Lagrange–Dichte verwendet werden, da der letzte, nichtreelle Term eine vollst¨ andige Ableitung ist und keinen Beitrag zu den Euler–Lagrange–Bewegungsgleichungen liefert. Aus (13.3.2) folgen die konjugierten Felder ∂L = iψα† ∂ ψ˙ α ∂L π ¯α (x) = = 0. ∂ ψ¯˙ πα (x) =

α

(13.3.5)

13.3 Quantisierung des Dirac-Feldes

293

Hier deutet sich schon an, daß die bisherige kanonische Quantisierung f¨ ur die Dirac-Gleichung nicht funktioniert, denn = > ψ¯α (x), π ¯α (x ) = ψ¯α · 0 − 0 · ψ¯α = 0 = δ(x − x ) . Außerdem sind (S = 12 )–Teilchen Fermionen und nicht Bosonen, und diese wurden im nichtrelativistischen Grenzfall durch Antikommutationsrelationen quantisiert. Die Hamilton-Dichte ergibt sich aus (13.3.2) zu ¯ μ ∂μ − m)ψ H = πα ψ˙ α − L = iψα† ψ˙ α − ψ(iγ j ¯ ¯ ∂j ψ + mψψ = −iψγ und die Hamilton-Funktion lautet    ¯ −iγ j ∂j + m ψ(x) . H = d3 x ψ(x)

(13.3.6)

(13.3.7)

13.3.2 Erhaltungsgr¨ oßen F¨ ur den Energie–Impuls–Tensor (12.4.1) erh¨ alt man aus (13.3.2) ∂L ∂L ν μν ¯ + ∂(∂μ ψ) ∂ ψ − g L ∂(∂μ ψ) ¯ − m)ψ = 0 + ψ¯ iγ μ ∂ ν ψ − g μν ψ(iγ∂ μ ν ¯ = iψγ ∂ ψ .

¯ T μν = (∂ ν ψ)

(13.3.8)

Da die Lagrange–Dichte die Ableitung ∂μ ψ¯ nicht enth¨alt, verschwindet der erste Term in (13.3.8). Die Lagrange-Dichte verschwindet f¨ ur jede L¨osung der Dirac-Gleichung, was nach dem dritten Gleichheitszeichen verwendet wurde. Die Anordnung der Faktoren in (13.3.8) ist willk¨ urlich. Solange wir nur eine klassische Feldtheorie betrachten, macht die Reihenfolge keinen Unterschied. Sp¨ater wird die Normalordnung eingef¨ uhrt. Nach Gl. (12.4.8) ergibt sich aus (13.3.8) die Impuls-Dichte P μ = T 0μ

(13.3.9)

und der Impuls   0 μ ¯ ∂ ψ(x) . P μ = d3 x T 0μ = i d3 x ψ(x)γ

(13.3.10)

Insbesondere erh¨ alt man f¨ ur die Nullkomponente   0 ¯ P 0 = i d3 x ψ(x)γ ∂0 ψ = i d3 x ψ † ∂0 ψ = H .

(13.3.11)

Dieses Ergebnis ist identisch mit der Hamilton–Funktion H in Gl. (13.3.7), wie man unter Verwendung der Dirac-Gleichung sieht.

294

13. Freie Felder

Schließlich betrachten wir noch den in Gl. (12.4.24) bestimmten Drehimpuls: Setzt man in    νσ M νσ = d3 x πr (x) Srs φs + xν T 0σ − xσ T 0ν ur πr (13.3.5) und f¨ ur S Gl. (12.4.12b) ein, so erh¨alt f¨ ur φs das Spinorfeld, f¨ man      i νσ 3 † νσ ν † σ σ † ν M = d x iψα − σαβ ψβ + x iψ ∂ ψ − x iψ ∂ ψ 2    1 νσ 3 † ν σ σ ν = d xψ ix ∂ − ix ∂ + σ ψ. 2 (13.3.12) Daraus findet man f¨ ur die r¨ aumlichen Komponenten  1 ∂ 1 ij j 1 ∂ ψ, σ − x + M ij = d3 x ψ † xi j i ∂xi 2 

 i ∂x  Bahndrehimpuls

(13.3.13)

Spin

die man zum Drehimpulsvektor   M = M 23 , M 31 , M 12    1 1 3 † = d x ψ (x) x × ∇ + Σ ψ(x) i 2

(13.3.13)

zusammenfassen kann. Der erste Term stellt den Bahndrehimpuls dar, der zweite Term den Spin, wobei Σ in (6.2.29d) durch die Pauli–Spinmatrizen ausgedr¨ uckt ist. 13.3.3 Quantisierung Es erweist sich als zweckm¨ aßig, die Definition der Spinoren zu ¨andern. Statt der Spinoren vr (k) , r = 1, 2 verwenden wir im folgenden die Bezeichnungsweise  v2 (k) f u ¨r r = 1 wr (k) = (13.3.14) −v1 (k) f u ¨r r = 2 , wobei die vr (k) in Gleichung (6.3.11b) gegeben sind, also   1  E+m 2 χr ur (k) = σ·k 2m m+E χr   1  σ·k 2  E + m 2 m+E iσ χr , wr (k) = − iσ 2 χr 2m

(13.3.15a) (13.3.15b)

13.3 Quantisierung des Dirac-Feldes



295



    01 1 0 ¨ mit iσ 2 ≡ und χ1 = , χ2 = . Mit dieser auf die Uber−1 0 0 1 legungen zur L¨ ochertheorie (Abschnitt 10.2) Bedacht nehmenden Definition werden die den Spin betreffenden Relationen f¨ ur Elektronen und Positronen die gleiche Form haben. Ein Elektron mit Spinor u 1 (m, 0) und ein Positron 2 mit Spinor w 1 (m, 0) haben beide Spin ± 12 , d.h. sie haben zum Operator 12 Σ 3 2 die Eigenwerte ± 21 , und die Wirkung von 12 Σ auf Elektronen– und Positronenzust¨ ande ist von der gleichen Form. Mit dieser Definition transformieren sich unter der Ladungskonjugationsoperation C die Spinoren ur (k) in wr (k) und umgekehrt ∗

Cur (k) = iγ 2 ur (k) = wr (k), ∗

Cwr (k) = iγ wr (k) = ur (k), 2

r = 1, 2 r = 1, 2 .

(13.3.15c)

Die Orthogonalit¨ atsrelationen (6.3.15) und (6.3.19a-c) haben in den neuen Bezeichnungen die Gestalt u ¯r (k)us (k) = δrs

u ¯r (k)ws (k) = 0

w ¯r (k)ws (k) = −δrs

w ¯r (k)us (k) = 0

(13.3.16)

und E ˜ 0 ws (k) = 0 δrs u ¯r (k)γ m (13.3.17) E 0 0 0 ˜ ˜ w ¯r (k)γ ws (k) = δrs w ¯r (k)γ us (k) = 0 , k = (k , −k) . m Relationen, die vr (k) bilinear enthalten, wie z.B. die Projektionen (6.3.23), haben in den wr (k) die gleiche Gestalt. Wir kommen nun zur Darstellung des Feldes durch Superposition von freien L¨osungen in einem endlichen Volumen V :

  m 1/2 brk ur (k) e−ikx + d†rk wr (k) eikx (13.3.18a) ψ(x) = V Ek u ¯r (k)γ 0 us (k) =

k,r

≡ ψ + (x) + ψ − (x) , mit Ek = (k2 + m2 )1/2 ,

(13.3.19)

wobei in der letzten Zeile wieder in Anteile mit positiven und negativen Frequenzen zerlegt wurde. In der klassischen Feldtheorie sind die Amplituden brk und drk so wie in Gl. (10.1.9) komplexe Zahlen, und die hermitesche Konjugation bewirkt nur eine komplexe Konjugation, d.h. d†rk = d∗rk . Wei¯ ter unten werden wir die Felder ψ(x) und ψ(x) quantisieren, dann werden die Amplituden brk und drk ebenfalls durch Operatoren ersetzt. Die Relationen (13.3.18a,b) sind so geschrieben, daß sie auch als Operatorentwicklung bestehen bleiben. F¨ ur das adjungierte Feld (den adjungierten Feldoperator) ¯ ψ(x) = ψ † (x)γ 0 ergibt sich aus (13.3.18a)

296

13. Freie Felder

¯ ψ(x) =

  m 1/2 drk w ¯r (k) e−ikx + b†rk u¯r (k) eikx V Ek

(13.3.18b)

k,r

Wenn man (13.3.18a,b) in (13.3.10) einsetzt, erh¨alt man f¨ ur den Impuls

 † (13.3.20) Pμ = k μ brk brk − drk d†rk , k,r

wie die folgende Nebenrechnung ergibt X X „ m « 12 „ m « 12 V Ek V Ek k,r k ,r  i h   × b†r k u ¯r (k )eik x + dr k w ¯r (k )e−ik x h i ×γ 0 ∂ μ brk ur (k)e−ikx + d†rk wr (k)eikx “ X X „ m m « 12 n δkk − ikμ b†r k brk u =i ¯r (k )γ 0 ur (k)  E E k k k,r k ,r  ” ¯r (k )γ 0 wr (k) +ikμ dr k d†rk w “  ¯r (k )γ 0 wr (k) +δk,−k ikμ ei(k0 +k0 )x0 b†r k d†rk u ”o  ¯r (k )γ 0 ur (k) . −ikμ e−i(k0 +k0 )x0 dr k brk w Z

Pμ = i

Z

¯ 0∂μψ = i d3 x ψγ

d3 x

(13.3.21) Im ersten Term nach dem letzten Gleichheitszeichen wurde wegen δkk (und damit √  k0 = k + m2 = k0 ) sofort e±i(k0 −k0 )x0 = 1 gesetzt. Die Orthogonalit¨ atsrelationen (6.3.24a-c) der u und w ergeben die Behauptung (13.3.20).

In der quantisierten Feldtheorie sind brk und drk Operatoren. Welche algebraischen Eigenschaften besitzen sie? Dazu betrachten wir das Ergebnis (13.3.20) f¨ ur die (den) Hamilton–Funktion (–Operator)

 † k0 brk brk − drk d†rk . (13.3.22) H = P0 = k,r

Falls, wie in der Klein–Gordon–Theorie, Kommutationsregeln gelten w¨ urden, % $ drk , d†rk = δkk , w¨are die Energie nicht nach unten beschr¨ ankt. (Es w¨ urde auch nichts n¨ utzen, wenn wir in der Entwicklung des Feldes statt d†r einen Vernichtungsoperator atten, auch dann w¨ are H unweigerlich nicht positiv definit.) er geschrieben h¨ Das durch den Hamilton-Operator beschriebene System w¨are nicht stabil; die Anregung von

13.3 Quantisierung des Dirac-Feldes

297

Teilchen durch den Operator d†rk w¨ urde die Energie vermindern! Die L¨osung dieses Dilemmas ist, Antikommutationsregeln zu fordern:   brk , b†r k = δrr δkk   drk , d†r k = δrr δkk (13.3.23)         brk , br k = drk , dr k = drk , br k = brk , d†r k = 0 . Daß f¨ ur Fermionen Antikommutationsregeln gelten, u ¨ berrascht angesichts der nichtrelativistischen Vielteilchentheorie (Teil I) nicht. Dann wird der zweite Term in (13.3.22) −drk d†rk = d†rk drk − 1, also bringt die Erzeugung eines d-Teilchens einen positiven Energiebeitrag. Die Antikommutationsrelationen (13.3.23) beinhalten, daß jeder Zustand h¨ ochstens einfach besetzt ist, d.h. die (b) (d) ˆ rk = d†rk drk haben die EigenBesetzungszahloperatoren n ˆ rk = b†rk brk und n (b,d) werte (Besetzungszahlen) nrk = 0, 1. Zur Vermeidung von Nullpunktstermen f¨ uhren wir auch f¨ ur das Dirac–Feld normalgeordnete Produkte ein. Die Definition der Normalordnung f¨ ur Fermionen lautet: Alle Vernichtungsoperatoren werden rechts von allen Erzeugsoperatoren geschrieben, wobei jede Vertauschung der Reihenfolge einen Faktor (−1) bringt. Diese Definition soll durch das folgende Beispiel illustriert werden

  : ψα ψβ : = : ψα+ + ψα− ψβ+ + ψβ− : (13.3.24) = ψα+ ψβ+ − ψβ− ψα+ + ψα− ψβ+ + ψα− ψβ− . Alle Observablen, wie z.B. (13.3.10), (13.3.22) werden als normalgeordnete Produkte definiert, d.h. der endg¨ ultige Hamilton–Operator ist durch H = : Hbisher : und P = : Pbisher : definiert, wobei mit Hbisher und Pbisher die Ausdr¨ ucke in Gl. (13.3.22) und (13.3.10) gemeint sind. Somit gilt

 Ek b†rk brk + d†rk drk (13.3.25) H= k,r

 † k brk brk + d†rk drk . P= k,r

(13.3.26)

Die Operatoren b†rk (brk ) erzeugen (vernichten) ein Elektron mit Spinor ur (k)e−ikx und die Operatoren d†rk (drk ) erzeugen (vernichten) ein Positron im Zustand wr (k)eikx . Aus (13.3.25) und (13.3.26) und der entsprechenden Darstellung des Drehimpulsoperators ist klar, daß die d-Teilchen - hier schon Positronen genannt - die gleichen Energie-, Impuls- und Spinfreiheitsgrade besitzen wie die Elektronen. Um sie vollends zu charakterisieren, m¨ ussen wir noch die Ladung betrachten.

298

13. Freie Felder

13.3.4 Ladung Wir kn¨ upfen hier an die allgemeine Formel (12.4.31) an, aus der f¨ ur die Ladung   ¯π ) = −i q d3 xiψ † ψα Q = −i q d3 x(πψ − ψ¯ α  (13.3.27a) ¯ 0ψ = q d3 x ψγ folgt. Die zugeh¨orige Viererstromdichte ist von der Form μ ¯ ψ(x) : j μ (x) = q : ψ(x)γ

(13.3.27b)

und erf¨ ullt die Kontinuit¨ atsgleichung μ j,μ =0.

(13.3.27c)

ur die normalgeordSetzen wir f¨ ur das Elektron q = −e0 , dann erhalten wir f¨ nete Definition von Q aus (13.3.27a)   0 ¯ Q = −e0 d3 x : ψ(x)γ ψ(x) : ≡ d3 xj 0 (x)

  † (13.3.28) brk brk − d†rk drk . = −e0 k r=1,2

Nach dem letzten Gleichheitszeichen wurden die Entwicklungen (13.3.18a) und (13.3.18b) eingesetzt, und wie in Gl.(13.3.21) ausgewertet. Der Vorzeichenunterschied von (13.3.28) gegen¨ uber dem Hamilton–Operator (13.3.25) r¨ uhrt daher, daß in (13.3.21) die Ableitungsoperatoren ∂ μ auf Anteile positiver und negativer Frequenz ein unterschiedliches Vorzeichen bewirken, das bei der Antikommutation wieder kompensiert wird. Es ist schon aus (13.3.28) ersichtlich, daß die d-Teilchen, also die Positronen zu den Elektronen entge¨ gengesetzte Ladung besitzen. Dies wird noch durch die folgende Uberlegung vertieft: % $ Q, b†rk = −e0 b†rk $ % (13.3.29) Q, d†rk = e0 d†rk . Wir betrachten einen Zustand |Ψ , der Eigenzustand des Ladungsoperators mit dem Eigenwert q sein m¨ oge, d.h. Q |Ψ  = q |Ψ  .

(13.3.30)

13.3 Quantisierung des Dirac-Feldes

299

Dann folgt aus (13.3.29) Qb†rk |Ψ  = (q − e0 )b†rk |Ψ  Qd†rk |Ψ  = (q + e0 )d†rk |Ψ  .

(13.3.31)

Der Zustand b†rk |Ψ  hat die Ladung (q − e0 ) und der Zustand d†rk |Ψ  die Ladung (q + e0 ). Daraus sehen wir unter Verwendung von (13.3.18b) auch ¯ |Ψ  = (q − e0 )ψ(x) ¯ |Ψ  . Qψ(x)

(13.3.32)

Durch die Erzeugung eines Elektrons oder die Vernichtung eines Positrons wird die Ladung um e0 verringert. Der Vakuumzustand |0 hat die Ladung Null. Der Ladungsoperator vertauscht als Erhaltungsgr¨oße mit dem Hamilton– Operator und ist zeitunabh¨ angig. Wie man aus den Darstellungen (13.3.28) und (13.3.26) unmittelbar sieht, vertauscht er auch mit dem Impulsvektor P, so daß man zusammenfassend schreiben kann [Q, P μ ] = 0 ,

(13.3.33)

offensichtlich gibt es gemeinsame Eigenfunktionen des Ladungs- und Impulsoperators. Im Rahmen des Versuches, in Teil II eine relativistische Wellengleichung aufzustellen, und ψ in Analogie zur Schr¨odingerschen Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsamplitude zu interpretieren, wurde j 0 = ψ † ψ als positive Dichte interpretiert, aber H war dort indefinit. In der quantenfeldtheoretischen Form ist Q indefinit, was f¨ ur die Ladung zul¨assig ist und der Hamilton-Operator ist positiv definit. Es ergibt sich somit ein physikalisch sinnvolles Bild: ψ(x) ist nicht der Zustand sondern ein Feldoperator der Teilchen erzeugt und vernichtet. Die Zust¨ ande sind durch die Zust¨ande im Fock–Raum gegeben, also |0 , b†rk |0 , b†r1 k1 d†r2 k2 |0 , b†r1 k1 b†r2 k2 d†r3 k3 |0 etc. Der Operaror b†rk=0 mit r = 1(r = 2) erzeugt ein ruhendes Elektron mit Spin in z-Richtung sz = 12 (sz = − 12 ). Genauso erzeugt d†rk=0 ein ruhendes Positron mit sz = 12 (sz = − 21 ). Entsprechend erzeugt b†rk (d†rk ) ein Elektron (Positron) mit Impuls k, welches in seinem Ruhsystem den Spin 12 f¨ ur r = 1 und − 12 f¨ ur r = 2 besitzt. (siehe Aufgabe 13.11) ∗

13.3.5 Grenzfall unendlichen Volumens

Wir werden die Dirac–Feldoperatoren immer f¨ ur ein endliches Volumen verwenden, d.h. in deren Entwicklung nach Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren treten Summen statt Integrale u ¨ ber den Impuls auf. Den Grenzwert zu unendlichen Volumina werden wir erst in den Ergebnissen, wie z.B. im Streuquerschnitt durchf¨ uhren. Es kann auch zweckm¨aßig sein von vornherein ein unendliches Volumen zu betrachten. Dann geht (13.3.18a) in

300

13. Freie Felder

 ψ(x) =

√    m br (k)ur (k)e−ikx + d†r (k)wr (k)eikx (13.3.34) 3 k 0 r=1,2 (2π) d3 k

u ¨ber2 . Die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren h¨angen mit den bisherigen folgendermaßen zusammen   br (k) = k0 V brk , dr (k) = k0 V drk . (13.3.35) Diese Operatoren erf¨ ullen deshalb die Antikommutationsrelationen   br (k), b†r (k ) = (2π)3 k0 δrr δ (3) (k − k )   (13.3.36) 3 dr (k), d†r (k ) = (2π) k0 δrr δ (3) (k − k ) , und alle u ¨ brigen Antikommutatoren verschwinden. Der Impulsoperator hat die Gestalt  d3 k k μ  † Pμ = br (k)br (k) + d†r (k)dr (k) . (13.3.37) 3 (2π) k0 r=1,2 Es gilt  μ †  P , br (k) = k μ b†r (k) ,  μ †  P , dr (k) = k μ d†r (k) ,

{P μ , br (k)} = −k μ br (k) , {P μ , dr (k)} = −k μ d†r (k) .

(13.3.38)

Aus (13.3.38) sieht man unmittelbar, daß der Elektron(Positron)-Zustand b†r (k) |0 (d†r (k) |0) den Impuls k μ besitzt.

13.4 Spin–Statistik–Theorem 13.4.1 Propagatoren und Spin–Statistik–Theorem Wir sind nun in der Lage das Spin–Statistik–Theorem zu beweisen, welches einen Zusammenhang zwischen den Werten des Spins und der Statistik (den Kommutationseigenschaften und damit den m¨oglichen Besetzungszahlen) liefert. Wir berechnen als Vorbereitung den Antikommutator der Dirac– Feldoperatoren, wobei α und β Spinorindizes 1, . . . , 4 sind. Unter Benutzung der Antivertauschungsrelationen (13.3.23), der Projektoren (6.3.23) und (6.3.21) folgt

2

√ Der Faktor ahlt, damit sich der entsprechende √ m ist so wie in (13.3.18a) gew¨ Faktor 1/ m in den Spinoren kompensiert, und somit auch der Grenzfall m → 0 existiert.

13.4 Spin–Statistik–Theorem

301

 1/2     mm 1  ψα (x), ψ¯α (x ) = δrr δkk V Ek Ek r r k k

    × urα (k)¯ ur α (k  )e−ikx eik x + wrα (k)w ¯r α (k  )eikx e−ik x    1  m = e−ik(x−x ) urα (k)¯ urα (k) V Ek r k   ik(x−x ) +e wrα (k)w¯rα (k) r

   /+m d k m −ik(x−x ) k = (13.4.1) e 3 2m αα (2π) Ek    /−m ik(x−x ) k +e 2m αα 

3 1 d k 1 −ik(x−x ) ik(x−x ) e − e = (i∂/ + m)αα 3 2 (2π) Ek  = (i∂/ + m)αα iΔ(x − x ) , 

3

wobei die Funktion (13.1.22b) 

1 d3 k 1 −ik(x−x )  ik(x−x ) e , k0 = Ek Δ(x − x ) = − e 3 2i (2π) Ek

(13.4.2)

schon in (13.1.23c) als Kommutator freier Bosonen auftrat, n¨amlich [φ(x), φ(x )] = iΔ(x − x ) . Der Antikommutator der freien Feldoperatoren hat also die Gestalt   ψα (x), ψ¯α (x ) = (i∂/ + m)αα iΔ(x − x ) . (13.4.1 ) F¨ ur die weitere Analyse ben¨ otigen wir noch einige Eigenschaften von Δ(x), die wir hier zusammenstellen. Eigenschaften von Δ(x) (i) Es gilt folgende Darstellung von Δ(x)  1 d4 k Δ(x) = δ(k 2 − m2 ) (k 0 )e−ikx i (2π)3

(13.4.3a)

mit

(k 0 ) = Θ(k 0 ) − Θ(−k 0 ) . Siehe Aufgabe 13.16.

(ii) Δ(−x) = −Δ(x) Dies sieht man unmittelbar aus Gl.(13.4.3a).

(13.4.3b)

302

13. Freie Felder

(iii) (2 + m2 )Δ(x) = 0

(13.4.3c)

Die Funktionen Δ(x), Δ+ (x), Δ− (x) sind L¨ osungen der freien Klein–Gordon–Gleichung, da sie lineare Superpositionen von deren L¨ osungen sind. Der Propagator ΔF (x), sowie die retardierten und avancierten Green–Funktionen3 ΔR (x), ΔA (x) erf¨ ullen die inhomogene Klein–Gordon–Gleichung mit einer Quelle δ (4) (x) : (2 + m2 )ΔF (x) = −δ (4) (x). Siehe Aufgabe 13.17.

(iv) ∂0 Δ(x)| x0 =0 = −δ (3) (x)

(13.4.3d)

Dies folgt durch Ableitung von (13.4.2).

(v) Δ(x) ist Lorentz–invariant. Dazu betrachtet man eine Lorentz–Transformation Λ Z d4 k 1 δ(k2 − m2 ) (k0 )e−ik·Λx . Δ(Λx) = i (2π)3 Unter Verwendung von k · Λx = Λ−1 k · x und der Substitution k = Λ−1 k ist 2 d4 k = d4 k und k = k2 . Außerdem verschwindet f¨ ur raumartige Vektoren k, d.h. 2 k < 0 die δ-Funktion in (13.4.3a). Da f¨ ur zeitartige k und orthochrone Lorentz–  Transformationen (k0 ) = (k0 ) ist, folgt Δ(Λx) = Δ(x) .

(13.4.3e)

Dagegen ist Δ(Λx) = −Δ(x) f¨ u r Λ ∈ L↓ .

x0

x1

3

Abb. 13.5. Minkowski–Diagramm: Lichtkegel, Vergangenheitsbereich und Zukunftsbereich des Nullpunkts, raumartiger Vektor (außerhalb des Lichtkegels)

Die retardierten und avancierten Green–Funktionen sind durch ΔR (x) ≡ Θ(x0 )Δ(x) und ΔA (x) ≡ −Θ(−x0 ) Δ(x) definiert.

13.4 Spin–Statistik–Theorem

303

(vi) F¨ ur raumartige Vektoren gilt Δ(−x) = Δ(x) .

(13.4.3f)

Beweis. Raumartige Vektoren lassen sich durch eine orthochrone Lorentz–Transformation auf rein raumartige Vektoren transformieren (Abb. 13.5), und f¨ ur diese folgt aus der Darstellung (13.4.3a) mit der Substitution x → −x und k → −k die Behauptung.

(vii) Somit folgt durch Kombination von (13.4.3b) und (13.4.3f) f¨ ur raumartige Vektoren Δ(x) = 0 f¨ ur

x2 < 0 .

(13.4.3g)

Dies sieht man auch direkt f¨ ur rein raumartige Vektoren aus der Definitionsgleichung (13.4.2) f¨ ur Δ(x). Nun kommen wir zum Beweis des Spin–Statistik–Theorems und zeigen ¯ zun¨ achst, daß zwei lokale Observable der Art ψ(x)ψ(x) etc. bei raumartigen Abst¨ anden kommutieren, z.B.: > = ¯ ¯  )ψ(x ) ψ(x)ψ(x) , ψ(x = > = > ¯  )ψ(x ) + ψ¯α (x), ψ(x ¯  )ψ(x ) ψα (x) = ψ¯α (x) ψα (x), ψ(x    = ψ¯α (x) ψα (x), ψ¯β (x ) ψβ (x ) − ψ¯β (x ) {ψα (x), ψβ (x )}     + ψ¯α (x), ψ¯β (x ) ψβ (x ) − ψ¯β (x ) ψ¯α (x), ψβ (x ) ψα (x)

= ψ¯α (x) (i∂/ + m)αβ iΔ(x − x ) ψβ (x )

(13.4.4) + ψ¯β (x ) (−i∂/ + m)βα iΔ(x − x ) ψα (x) . Wegen (13.4.3g) verschwindet dieser Kommutator bei raumartigen Abst¨anden. Die Eigenschaft der Kausalit¨ at ist also erf¨ ullt, denn man kann kein Signal 2 zwischen x und x austauschen, wenn (x − x ) < 0 ist.4 Was w¨ are, wenn wir Kommutatoren statt Antikommutatoren zur Quantisierung verwendet h¨ atten? Abgesehen von der Unbeschr¨anktheit der Energie nach unten entst¨ unde ein Widerspruch zur Kausalit¨at. Es w¨are dann > = (13.4.5a) ψα (x), ψ¯α (x ) = (i∂/ + m)αα iΔ1 (x − x ) , wo 1 Δ1 (x − x ) = 2i 

4



 d3 k 1 −ik(x−x ) e + eik(x−x ) . 3 k (2π) 0

(13.4.5b)

K¨ onnte man Raum–Zeit–Punkte mit raumartigen Abst¨ anden durch Signale ver¨ binden, k¨ onnte dies nur mit Uberlichtgeschwindigkeit vonstatten gehen. Dies entspr¨ ache in einem anderen Koordinatensystem die Bewegung in die Vergangenheit hinein, also akausales Verhalten.

304

13. Freie Felder

Die Funktion Δ1 (x) = Δ+ (x) − Δ− (x) ist eine gerade L¨osung der homoge2 nen Klein–Gordon–Gleichung, welche f¨ ur raumartige Abst¨ande (x − x ) < 0 nicht verschwindet, und desgleichen ist (i∂/ + m)iΔ1 (x − x ) = 0 f¨ ur raumartige Abst¨ ande. Bei dieser Art der Quantisierung w¨ urden lokale Operatoren an verschiedenen Raumpunkten und zur gleichen Zeit nicht kommutieren. Es w¨are dann die Lokalit¨ at oder Mikrokausalit¨at verletzt. Wir k¨onnen aus diesen ¨ Uberlegungen das Spin–Statistik–Theorem folgendermaßen formulieren: Spin-Statistik-Theorem: Teilchen mit Spin 12 , allgemeiner Teilchen mit halbzahligem Spin sind Fermionen, deren Feldoperatoren werden durch Antikommutatoren quantisiert. Teilchen mit ganzzahligem Spin sind Bosonen, deren Feldoperatoren werden durch Kommutatoren quantisiert. Bemerkungen (i)

Mikrokausalit¨at : Zwei physikalische Observable an Stellen, die voneinander raumartig entfernt sind, m¨ ussen gleichzeitig meßbar sein; die Messungen d¨ urfen nicht interferieren. Man bezeichnet diese Eigenschaft als Mikrokausalit¨ at, denn im gegenteiligen Fall m¨ ußte sich f¨ ur raumartige Abst¨ ande ein Signal im Widerspruch zur speziellen Relativit¨atstheorie schneller als mit Lichtgeschwindigkeit fortpflanzen, um die Observablen gegenseitig beeinflussen zu k¨ onnen. Dies tr¨afe auch f¨ ur beliebig kleine Abst¨ ande zu, deshalb der Ausdruck Mikrokausalit¨at. Man verwendet statt Mikrokausalit¨ at auch den Ausdruck Lokalit¨at . Wir erinnern an die allgemeine Tatsache, daß zwei Observable dann und nur dann nicht interferieren (gleichzeitig diagonalisierbar sind), wenn sie kommutieren. (ii) Die Aussage des Spin–Statistik–Theorems f¨ ur freie Teilchen mit Spin S = 0 kann man analog zu (13.4.4) leicht zeigen: Kommutationsreullen die Felder die geln f¨ uhren auf [φ(x), φ(x )] = iΔ(x − x ). Also erf¨ Mikrokausalit¨ at und durch Berechnung von Kommutatoren von Pro2 dukten zeigt man, daß auch die Observablen φ(x) etc. die Mikrokausalit¨ at erf¨ ullen. W¨ urde man andererseits das Klein–Gordon–Feld mit Fermi-Vertauschungsrelationen quantisieren, dann w¨ urde, wie man leicht sehen kann, weder [φ(x), φ(x )]+ noch [φ(x), φ(x )]− die Mikrokau2 salit¨ atseigenschaft [φ(x), φ(x )]± = 0 f¨ ur (x − x ) < 0 erf¨ ullen. Deshalb w¨ urden auch zusammengesetzte Operatoren die Forderung nach Mikrokausalit¨at verletzen. (iii) Auf Basis der St¨ orungstheorie ist zu erwarten, daß sich die Mikrokausalit¨ atseigenschaft vom freien Propagator auf den der wechselwirkenden ur das wechselwirkende Klein–Gordon-Feld l¨aßt Theorie u agt5 . F¨ ¨ bertr¨ sich f¨ ur den Vakuumerwartungswert des Kommutators die Spektraldarstellung 5

Einen allgemeinen Beweis f¨ ur wechselwirkende Felder findet man in R.F. Streater, A.S. Wightman, PCT, Spin & Statistics and all that, W.A. Benjamin, New York, 1964 auf der Basis der axiomatischen Feldtheorie, p. 146 f.

13.4 Spin–Statistik–Theorem 

∞

0|[φ(x), φ(x )]|0 =

dσ 2 ρ(σ 2 )Δ(x − x , σ)

305

(13.4.6)

0

ableiten.6 Dabei ist Δ(x − x , σ) der freie Kommutator aus Gl. (13.4.2) mit expliziter Angabe der Masse, u ¨ ber die in Gl. (13.4.6) integriert wird. Die Mikrokausalit¨ at ist also auch f¨ ur wechselwirkende Felder erf¨ ullt. Wenn andererseits das Klein–Gordon-Feld durch Fermi-Vertauschungsrelationen quantisiert wird, ergibt sich stattdessen 

∞

0|{φ(x), φ(x )}|0 =

dσ 2 ρ(σ 2 )Δ1 (x − x , σ)

(13.4.7)

0

und Δ1 (x − x , σ) aus Gl. (13.4.5b) verschwindet bei raumartigen Abst¨ anden nicht. Die Mikrokausalit¨ at ist nicht erf¨ ullt. Analog erh¨alt man f¨ ur Fermionen bei Quantisierung mit Kommutatoren eine Spektraldarstellung, die die Δ1 -Funktion enth¨alt, also wieder einen Widerspruch zur Mikrokausalit¨ at.6 ¯ (iv) Der Grund, daß Observable f¨ ur das Dirac–Feld nur bilineare Gr¨oßen ψψ und auch Potenzen und Ableitungen davon sein k¨onnen ist folgender. Das Feld ψ(x) selbst ist nicht meßbar, denn es ¨andert sich bei einer Eichtransformation erster Art ψ(x) → ψ  (x) = eiα ψ(x) und nur eichinvariante Gr¨ oßen k¨ onnen Observable sein. Meßgr¨oßen m¨ ussen so wie die Lagrange–Dichte bei einer Eichtransformation unge¨andert bleiben. Es gibt auch keine anderen Felder, die an ψ(x) alleine ankoppeln, z.B. koppelt das elektromagnetische Vektorpotential Aμ an eine bilineare Kombination von ψ. Ein weiterer Grund f¨ ur die Unbeobachtbarkeit von ψ(x) folgt aus dem Transformationsverhalten eines Spinors unter einer Drehung um 2π, Gl. (6.2.23a). Da bei einer Drehung um 2π das experimentelle Erscheinungsbild der Welt unver¨ andert bleibt, sich ein Spinor ψ aber in −ψ ¨andert, muß man schließen, daß ein Spinor f¨ ur sich allein nicht direkt beobachtbar ist. Dies ist nicht im Widerspruch dazu, daß man die Phasen¨anderung des Spinors bei Drehung in einem r¨ aumlichen Teilbereich gegen¨ uber einem Referenzstrahl mittels eines Interferenzexperiments beobachten kann, da dieses von einer bilinearen Gr¨ oße bestimmt ist (Siehe Bermerkungen und Referenzen nach Gl.(6.2.23a)).

6

J.D. Bjorken und S.D. Drell, Relativistische Quantenfeldtheorie, B.I. Hochschultaschenb¨ ucher, Mannheim, 1967, S. 146.

306

13. Freie Felder

13.4.2 Erg¨ anzungen zum Antikommutator und Propagator des Dirac–Feldes F¨ ur den sp¨ ateren Gebrauch stellen wir hier noch einige weitere Eigenschaften von Antikommutatoren und Propagatoren des Dirac–Feldes zusammen. Der gleichzeitige Antikommutator des Dirac–Feldes ist nach Gl.(13.4.1) und den Eigenschaften (13.4.3d) und (13.4.3g) von Δ(x)   0 0 0 ψα (t, x), ψ¯α (t, y) = −γαα  ∂0 Δ(x − y , x − y)| y0 =x0 0 3 = γαα  δ (x − y) .

Daraus erh¨ alt man durch Multiplikation mit γα0  β und Summation u ¨ ber α   ψα (t, x), ψβ† (t, y) = δαβ δ 3 (x − y) .

(13.4.8)

Man nennt deshalb iψ † auch den antikommutierend konjugierten Operator zu ψ(x). Fermion-Propagatoren Analog zu (13.1.23a-c) definiert man f¨ ur das Dirac–Feld > = ± ψ (x), ψ¯∓ (x ) + = iS ± (x − x ) = > ¯  ) = iS(x − x ) . ψ(x), ψ(x +

(13.4.9a) (13.4.9b)

Der Antikommutator (13.4.9b) wurde bereits in (13.4.1) berechnet. Aus dieser Rechnung sieht man, daß iS + (x−x ) (iS − (x−x )) durch den ersten (zweiten) Term in der vorletzten Zeile von (13.4.1) gegeben sind, so daß also wegen (13.1.10a-c) S ± (x) = (i∂/ + m)Δ± (x)

(13.4.10a)

−

+

S(x) = S (x) + S (x) = (i∂/ + m)Δ(x)

(13.4.10b)

gilt. Ausgehend von den Integraldarstellungen (13.1.25a,b) f¨ ur Δ± und Δ erh¨ alt man aus (13.4.9a,b) S ± (x) =



d4 p C±

(2π)

−ipx 4e

p+m / = p 2 − m2

 C±

d4 p e−ipx 4 /−m , (2π) p

(13.4.11a)

und  S(x) = C

d4 p e−ipx , /−m (2π)4 p

(13.4.11b)

utzt wurde. Die Wege C ± und C sind wo (p / ± m)(p / ∓ m) = p2 − m2 ben¨ genauso wie in Abb. 13.1 definiert. Auch f¨ ur Fermi–Operatoren f¨ uhrt man

Aufgaben zu Kapitel 13

307

ein zeitgeordnetes Produkt ein. Die Definition des zeitgeordneten Produktes f¨ ur Fermion–Felder lautet  ¯ ) fu   ψ(x)ψ(x ¨ r t > t  ¯ T ψ(x)ψ(x ) ≡  ¯ )ψ(x) f u −ψ(x ¨ r t < t ¯  ) − Θ(t − t)ψ(x ¯  )ψ(x) . ≡ Θ(t − t )ψ(x)ψ(x (13.4.12) F¨ ur die sp¨ ater zu entwickelnde St¨ orungstheorie f¨ uhren wir auch folgende Definition des Feynman Fermionpropagators ein ¯  )) |0 ≡ iSF (x − x ) . 0| T (ψ(x)ψ(x

(13.4.13)

Zu dessen Berechnung bemerken wir = > ¯  ) |0 = 0| ψ + (x)ψ¯− (x ) |0 = 0| ψ + (x), ψ¯− (x ) |0 0| ψ(x)ψ(x + = iS + (x − x ) (13.4.14a) und ebenso ¯  )ψ(x) |0 = iS − (x − x ) . 0| ψ(x

(13.4.14b)

Daraus folgt f¨ ur den Feynman Fermionpropagator (Siehe Aufgabe 13.18) SF (x) = Θ(t)S + (x) − Θ(−t)S − (x) = (iγ μ ∂μ + m)ΔF (x) .

(13.4.15)

Unter Verwendung von (13.1.31) kann man den Feynman–Fermionpropagator auch in der Form  /+m p d4 p −ipx (13.4.16) SF (x) = 4e 2 p − m2 + i

(2π) darstellen.

Aufgaben zu Kapitel 13 13.1 Best¨ atigen Sie die Formeln (13.1.5 ). 13.2 (a) Zeigen Sie f¨ ur das skalare Feld, daß der Viererimpulsoperator Z d3 x {πφ,μ − δ0μ L} : P μ =: in der Form (13.1.19) X μ † k ak ak Pμ = k

geschrieben werden kann.

308

13. Freie Felder

(b) Zeigen Sie, daß der Viererimpuls–Operator Erzeugender des Translationsoperators ist: μ

μ

eiaμ P F (φ(x))e−iaμP = F (φ(x + a)) .

13.3 Best¨ atigen Sie Formel (13.1.25a) f¨ ur Δ± (x). 13.4 Best¨ atigen Sie Formel (13.1.31) f¨ ur ΔF (x) unter Beachtung der Abbildung 13.2. 13.5 Verifizieren Sie die Vertauschungsrelationen (13.2.6). 13.6 Die Operation der Ladungskonjugation ist f¨ ur das quantisierte, komplexe Klein–Gordon–Feld durch φ (x) = Cφ(x)C† = ηC φ† (x) definiert, wobei der Ladungskonjugationsoperator C unit¨ ar ist und den Vakuumzustand invariant l¨ aßt C |0 = |0. (a) Zeigen Sie f¨ ur die Vernichtungsoperatoren Cak C† = ηC bk , Cbk C† = ηC∗ ak und f¨ ur die Einteilchenzust¨ ande |a, k ≡ a†k |0 , |b, k ≡ b†k |0 das Transformationsverhalten C |a, k = ηC∗ |b, k , C |b, k = ηC |a, k . (b) Zeigen Sie auch, daß die Lagrange-Dichte (13.2.1) unter der Ladungskonjugationstransformation invariant ist, und daß die Stromdichte (13.2.11) das Vorzeichen a ¨ndert. Cj(x)C† = −j(x). Es werden also Teilchen und Antiteilchen bei gleichbleibendem Viererimpuls ausgetauscht. (c) Finden Sie eine Darstellung f¨ ur den Operator C. 13.7 Zeigen Sie f¨ ur das Klein–Gordon-Feld [P μ , φ(x)] = −i∂ μ φ(x) [P, φ(x)] = i∇φ(x) . 13.8 Leiten Sie die Bewegungsgleichungen f¨ ur den Dirac–Feldoperator ψ(x) her, indem Sie von den Heisenberg–Bewegungsgleichungen mit dem Hamilton–Operator (13.3.7) ausgehen.

Aufgaben zu Kapitel 13

309

13.9 Berechnen Sie den Erwartungswert der quantenmechanischen Form des Drehimpuls–Operators (13.3.13) in einem Zustand mit einem ruhenden Positron. 13.10 Zeigen Sie, daß sich die Spinoren ur (k) und wr (k) bei einer Ladungskonjugation ineinander transformieren. 13.11 Betrachten Sie ein ruhendes Elektron und ein ruhendes Positron ( † ˛ ∓ ¸ ˛e , k = 0, s = bsk=0 |0 . d†sk=0 |0 Zeigen Sie X ˛ ∓ ˛ ¸ ¸ ˛e , k = 0, r 1 (σ) J ˛e∓ , k = 0, s = rs 2 r=1,2 und ˛ ¸ ¸ 1˛ J 3 ˛e∓ , k = 0, s = ± ˛e∓ , k = 0, s , 2 wobei (σ)rs die Matrixelemente der Pauli–Matrizen in den Pauli–Spinoren χr und χs sind. 13.12 Weisen Sie nach, daß der Impulsoperator des Dirac–Feldes (Gl. (13.3.26)) i X μh † k brk brk + d†rk drk Pμ = k,r

Erzeugender des Translationsoperators ist: μ

μ

eiaμ P ψ(x)e−iaμ P = ψ(x + a) .

13.13 Leiten Sie f¨ ur das Dirac–Feld aus der Eichinvarianz der Lagrange–Dichte den Ausdruck (13.3.27b) f¨ ur den Stromdichteoperator ab. 13.14 Zeigen Sie, daß der Operator der Ladungskonjugationstransformation C = C1 C2 2

3 X m † † C1 = exp 4−i λ(bkr bkr − dkr dkr )5 V Ek k,r 2 3 X m iπ † † (b − dkr )(bkr − dkr )5 C2 = exp 4 2 k,r V Ek kr die Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren des Dirac–Feldes und den Feldoperator folgendermaßen transformiert

310

13. Freie Felder Cbkr C† = ηC dkr , Cd†kr C† = ηC∗ b†kr , Cψ(x)C† = ηC C ψ¯T (x),

wo sich die Transposition nur auf die Spinorindizes bezieht, und C = iγ 2 γ 0 ist. Der Faktor C1 ergibt den Phasenfaktor ηC = eiλ . Die Transformation C vertauscht Teilchen und Antiteilchen mit dem gleichen Impuls, Energie und Helizit¨ at. Zeigen Sie auch, daß das Vakuum gegen¨ uber dieser Transformation invariant ist ¯ μ ψ : ihr Vorzeichen wechselt. und daß die Stromdichte j μ = e : ψγ 13.15 (a) Zeigen Sie f¨ ur das Spinorfeld, daß (Gl. (13.3.28)) ” XX“ † brk brk − d†rk drk Q = −e0 k

r

ist, indem Sie von Z 0 ¯ ψ(x) : Q = −e0 d3 x : ψ(x)γ ausgehen. (b) Zeigen Sie weiterhin, daß (Gl.(13.3.29)) i i h h Q, d†rk = e0 d†rk Q, b†rk = −e0 b†rk und gilt. 13.16 Zeigen Sie, daß (13.4.2) auch in der Gestalt (13.4.3a) geschrieben werden kann. Anleitung: Verwenden Sie ” “ ””. p p p ` ´ “ “ δ k 2 − m2 = δ k 0 − m2 − k2 + δ k 0 + m2 + k2 k2 + m2 .

13.17 Zeigen Sie, daß ΔF (x), ΔR (x), ΔA (x) die inhomogene Klein–Gordon–Gleichung (∂μ ∂ μ + m2 )ΔF (x) = −δ (4) (x) etc. erf¨ ullen. 13.18 Zeigen Sie die G¨ ultigkeit von Gl.(13.4.15). 13.19 Zeigen Sie f¨ ur das Dirac-Feld [P μ , ψ(x)] = −i∂ μ ψ(x) [P, ψ(x)] = i∇ψ(x) .

14. Quantisierung des Strahlungsfeldes

In diesem Kapitel wird die Quantisierung des freien Strahlungsfeldes dargestellt. Da f¨ ur gewisse Aspekte auch die Ankopplung an ¨außere Stromdichten mitbetrachtet werden muß, ist diesem Problemkreis ein eigenes Kapitel gewidmet. Ausgehend von den klassischen Maxwell–Gleichungen und der Diskussion der Eichtransformationen wird die Quantisierung in der Coulomb– Eichung durchgef¨ uhrt. Das Hauptziel dieses Kapitels ist die Berechnung des Propagators f¨ ur das Strahlungsfeld. In der Coulomb–Eichung erh¨alt man zun¨ achst einen Propagator der nicht Lorentz–kovariant ist. Wenn man jedoch den Effekt der instantanen Coulomb–Wechselwirkung in den Propagator miteinbezieht und beachtet, daß Terme im Propagator, die proportional zum Wellenzahlvektor sind, keinen Beitrag in der St¨orungstheorie liefern, so sieht man, daß der Propagator ¨ aquivalent zu einem kovarianten ist. Die Schwierigkeit, das Strahlungsfeld zu quantisieren, kommt von der Masselosigkeit der Photonen und der Eichinvarianz. Deshalb hat das Vektorpotential Aμ (x) effektiv nur zwei dynamische Freiheitsgrade und die instantane Coulomb– Wechselwirkung.

14.1 Klassische Elektrodynamik 14.1.1 Maxwell–Gleichungen Wir rufen zun¨ achst die klassische Elektrodynamik f¨ ur das elektrische und magnetische Feld E und B in Erinnerung. Die Maxwell–Gleichungen in Anwesenheit einer Ladungsdichte ρ(x, t) und einer Stromdichte j(x, t) lauten1

1

Wir verwenden hier und im folgenden rationalisierte, auch Heaviside-Lorentz e ˆ2 1 0 = 137 , Einheiten. In diesen Einheiten ist die Feinstrukturkonstante α = 4πc √ e2 0 w¨ ahrend sie in Gaußschen Einheiten durch α = c gegeben ist, d.h. eˆ0 = e0 4π. √ √ Entsprechend ist E = EGauß / 4π und B = BGauß / 4π, und das Coulombgesetz 2 e V (x) = 4π|x−x  | . Außerdem wird im folgenden  = c = 1 gesetzt.

312

14. Quantisierung des Strahlungsfeldes

∇·E = ρ ∇×E = −

(14.1.1a) ∂B ∂t

∇·B = 0 ∂E ∇×B = +j. ∂t F¨ uhrt man den antisymmetrischen Feldtensor ⎛ ⎞ 0 Ex Ey Ez ⎜ −Ex 0 Bz −By ⎟ ⎟ F μν = ⎜ ⎝ −Ey −Bz 0 Bx ⎠ −Ez By −Bx 0

(14.1.1b) (14.1.1c) (14.1.1d)

(14.1.2)

ein, dessen Komponenten auch in der Form E i = F 0i 1 B i = ijk Fjk 2

(14.1.3)

dargestellt werden k¨ onnen, nehmen die Maxwell–Gleichungen die Gestalt ∂ν F μν = j μ

(14.1.4a)

∂ λ F μν + ∂ μ F νλ + ∂ ν F λμ = 0

(14.1.4b)

und

an, wobei die Viererstromdichte j μ = (ρ, j)

(14.1.5)

ist, welche die Kontinuit¨ atsgleichung j μ,μ = 0

(14.1.6)

erf¨ ullt. Die homogenen Gleichungen (14.1.1b,c) oder (14.1.4b) kann man automatisch erf¨ ullen, indem man F μν durch das Viererpotential Aμ darstellt: F μν = Aμ,ν − Aν,μ .

(14.1.7)

Aus den inhomogenen Gleichungen (14.1.1a,d) oder (14.1.4a) folgt 2Aμ − ∂ μ ∂ν Aν = j μ .

(14.1.8) μ

Im Unterschied zu Teil 2 u ¨ ber relativistische Wellengleichungen, wo j (x) die Teilchenstromdichte bedeutete, ist es in der Quantenfeldtheorie, insbesondere in der Quantenelektrodynamik, u ¨ blich, mit j μ (x) die elektrische Stromdichte zu bezeichnen. Im folgenden bedeutet beispielsweise f¨ ur das Dirac-Feld μ ¯ ψ(x), wo e die Ladung des Teilchens ist, also f¨ ur das Elekj μ (x) = eψ(x)γ tron e = −ˆ e0 .

14.2 Coulomb–Eichung

313

14.1.2 Eichtransformationen Das Viererpotential wird durch (14.1.8) nicht eindeutig bestimmt, denn f¨ ur eine beliebige Funktion λ(x) l¨ aßt die Transformation Aμ → A = Aμ + ∂ μ λ μ

(14.1.9)

den elektromagnetischen Feldst¨ arketensor F μν und damit die Felder E und B sowie auch Gl. (14.1.8) invariant. Man nennt (14.1.9) Eichtransformation zweiter Art. Offensichtlich sind nicht alle Komponenten von Aμ voneinander unabh¨ angige dynamische Variable und man kann durch geeignete Wahl der Funktion λ(x) den Komponenten Aμ gewisse Bedingungen auferlegen, oder wie man auch sagt, zu bestimmten Eichungen u ¨ bergehen. Zwei besonders wichtige Eichungen sind die Lorentz–Eichung, bei welcher Aμ,μ = 0

(14.1.10)

verlangt wird, und die Coulomb–Eichung, bei welcher ∇·A =0

(14.1.11)

festgelegt wird. Weitere Eichungen sind die zeitliche Eichung A0 = 0 und die axiale Eichung A3 = 0. Der Vorteil der Coulomb–Eichung ist, daß nur zwei transversale Photonen auftreten oder nach einer geeigneten Transformation zwei Photonen mit Helizit¨ at ±1. Der Vorteil der Lorentz–Eichung besteht in der offensichtlichen Lorentz–Invarianz; allerdings treten in dieser Eichung neben den beiden transversalen Photonen auch ein longitudinales und ein skalares Photon auf, welche in den physikalischen Ergebnissen der Theorie, abgesehen davon, daß sie die Coulomb–Wechselwirkung vermitteln, keine Rolle spielen d¨ urfen.2

14.2 Coulomb–Eichung Wir werden haupts¨ achlich die Coulomb–Eichung, auch transversale Eichung, verwenden. Es ist immer m¨ oglich zu der Coulomb–Eichung u ¨berzugehen. ullen w¨ urde, dann wird sie durch Falls Aμ die Coulomb–Eichung nicht erf¨ das eichtransformierte Feld Aμ + ∂ μ λ erf¨ ullt, wobei λ aus ∇2 λ = −∇ · A zu bestimmen ist. Mit der Coulomb–Eichbedingung (14.1.11) vereinfacht sich Gl. (14.1.8) f¨ ur die Nullkomponente (μ = 0) zu (∂02 − ∇2 )A0 − ∂0 (∂0 A0 − ∇ · A) = j0 ,

2

Die wichtigsten Aspekte der kovarianten Quantisierung mittels der Gupta– Bleuler–Methode sind in Anhang E zusammengestellt.

314

14. Quantisierung des Strahlungsfeldes

also wegen (14.1.11) ∇2 A0 = −j0 .

(14.2.1)

Dies ist die Poisson–Gleichung, die aus der Elektrostatik wohlbekannt ist, und die L¨ osung  j0 (x , t) (14.2.2) A0 (x, t) = d3 x 4π|x − x | besitzt. Da die Ladungsdichte j 0 (x) nur von den Materiefeldern und deren konjugierten Feldern abh¨ angt, stellt Gl. (14.2.2) eine explizite L¨osung f¨ ur die Nullkomponente des Vektorpotentials dar. Folglich ist in der Coulomb– Eichung das skalare Potential durch das Coulomb–Feld der Ladungsdichte bestimmt und ist deshalb keine unabh¨ angige dynamische Variable. Die verbleibenden, r¨ aumlichen Komponenten Ai sind der Eichbedingung (14.1.11) unterworfen, so daß es nur zwei unabh¨ angige Feldkomponenten gibt. Wir wenden uns nun den r¨ aumlichen Komponenten der Wellengleichung (14.1.8) unter Ber¨ ucksichtigung von (14.1.11) zu 2Aj − ∂j ∂0 A0 = jj .

(14.2.3)

Aus (14.2.2) folgt unter Verwendung der Kontinuit¨atsgleichung (14.1.6) und partieller Integration  3   3   d x ∂0 j0 (x ) d x ∂k jk (x ) = −∂ ∂j ∂0 A0 (x) = ∂j j 4π|x − x | 4π|x − x | (14.2.4)  3   ∂j ∂k d x jk (x ) = = −∂j ∂k jk (x) , 4π|x − x | ∇2 ur das Integral u wobei − ∇12 eine Kurzschreibweise f¨ ¨ ber die Coulomb–Green– Funktion bedeutet3 . Setzen wir (14.2.4) in (14.2.3) ein ergibt sich   ∂j ∂k (14.2.5) jk . 2Aj = jjtrans ≡ δjk − ∇2 In der Wellengleichung f¨ ur Aj (14.2.5) tritt der transversale Teil der Stromdichte jjtrans auf. Die Bedeutung der Transversalit¨at wird im Fourier–Raum sp¨ ater noch deutlicher erkennbar werden. 3

So wird die L¨ osung der Poisson–Gleichung Z 3  1 d x ρ(x , t) ∇ 2 Φ = −ρ durch Φ = − 2 ρ ≡ 4π|x − x | ∇ dargestellt. Speziell f¨ ur ρ(x, t) = −δ 3 (x) gilt ∇ 2 Φ = δ 3 (x)

also

Φ=

1 3 δ (x) = − ∇2

Z

1 d3 x δ 3 (x ) =− . 4π|x − x | 4π|x|

14.3 Lagrange–Dichte f¨ ur das elektromagnetische Feld

315

14.3 Lagrange–Dichte fu ¨r das elektromagnetische Feld Die Lagrange–Dichte f¨ ur das elektromagnetische Feld ist nicht eindeutig. Man kann die Maxwell–Gleichungen aus 1 L = − Fμν F μν − jμ Aμ 4 mit Fμν = Aμ,ν − Aν,μ ableiten. Denn aus   1 ∂L ∂ν = ∂ν − (F μν − F νμ ) × 2 = −∂ν F μν ∂Aμ,ν 4

(14.3.1)

(14.3.2)

und ∂L = −j μ ∂Aμ folgt f¨ ur die Euler–Lagrange–Gleichungen ∂ν F μν = j μ ,

(14.3.3)

d.h. (14.1.4a). Wie schon vor (14.1.7) bemerkt wurde, ist die Gleichung (14.1.4b) automatisch erf¨ ullt. Aus (14.3.1) findet man f¨ ur den zu Aμ konjugierten Impuls Πμ =

∂L = −F μ0 , ∂ A˙ μ

(14.3.4)

das bedeutet, daß der zu A0 konjugierte Impuls verschwindet Π0 = 0 und Π j = −F j0 = E j

(14.3.5)

ist. Das Verschwinden der Impulskomponente Π 0 zeigt, daß man das kanonische Quantisierungsverfahren nicht ohne Modifikationen auf alle vier Komponenten des Strahlungsfeldes anwenden kann. Eine andere Lagrange–Dichte f¨ ur das Viererpotential Aμ (x), die auf die Wellengleichung in Lorentz–Eichung f¨ uhrt, ist 1 LL = − Aμ,ν Aμ,ν − jμ Aμ . (14.3.6) 2 Hier ist LL = −Aμ,0 = −A˙ μ , (14.3.7) ΠLμ = ∂ A˙ μ und die Bewegungsgleichung lautet 2Aμ = j μ .

(14.3.8)

Diese Bewegungsgleichung ist nur dann mit (14.1.8) identisch, wenn das Potential Aμ die Lorentz–Bedingung

316

14. Quantisierung des Strahlungsfeldes

∂μ Aμ = 0

(14.3.9)

erf¨ ullt. Die Lagrange–Dichte LL von Gleichung (14.3.6) unterscheidet sich von der Lagrange–Dichte L aus Gl. (14.3.1) durch das Auftreten eines die 2 Eichung festlegenden Terms, n¨ amlich − 21 (∂λ Aλ ) : 1 1 2 LL = − Fμν F μν − (∂λ Aλ ) − jμ Aμ . 4 2 Man erkennt dies leicht durch die folgende Umformung

(14.3.6 )

1 1 LL = − (Aμ,ν − Aν,μ )(Aμ,ν − Aν,μ ) − ∂λ Aλ ∂σ Aσ − jμ Aμ 4 2 1 1 1 = − Aμ,ν Aμ,ν + Aμ,ν Aν,μ − ∂λ Aλ ∂σ Aσ − jμ Aμ 2 2 2 1 = − Aμ,ν Aμ,ν − jμ Aμ , 2 wobei in der letzten Zeile eine vollst¨ andige Ableitung, die in der Lagrange– Funktion durch partielle Integration wegf¨ allt, weggelassen wurde. Wenn man 2 ugt, muß man die Eichung den Term − 12 (∂λ Aλ ) zur Lagrange–Dichte hinzuf¨ auf die Lorentz–Eichung festlegen, damit die Bewegungsgleichungen mit der Elektrodynamik u ¨ bereinstimmen 2Aμ = j μ . Bemerkungen (i) Im Unterschied zum Differentialoperator in Gl. (14.1.8) tritt in Gl. (14.3.8) der d’Alembert–Operator auf, der invertiert werden kann. (ii) Mit und ohne eichfixierenden Term erf¨ ullt der longitudinale Anteil des Vektorpotentials ∂λ Aλ die d’Alembert-Gleichung ” “ 2 ∂λ Aλ = 0 . Dies gilt auch in Anwesenheit einer Stromdichte j μ (x).

14.4 Freies elektromagnetisches Feld und dessen Quantisierung Ohne ¨ außere Quellen, j μ = 0, ist die im Unendlichen verschwindende L¨osung der Poisson–Gleichung A0 = 0, und die elektromagnetischen Felder lauten ˙ , E = −A

B=∇×A.

(14.4.1)

Aus der Lagrange–Dichte des freien Strahlungsfeldes 1 1 L = − F μν Fμν = (E2 − B2 ) , (14.4.2) 4 2 wo nach dem zweiten Gleichheitszeichen (14.1.2) verwendet wurde, folgt die Hamilton–Dichte des Strahlungsfeldes

14.4 Freies elektromagnetisches Feld und dessen Quantisierung

1 Hγ = Π j A˙ j − L = E2 − (E2 − B2 ) 2 1 2 2 = (E + B ) . 2

317

(14.4.3)

Da die Nullkomponente von Aμ verschwindet, und die r¨aumlichen Komponenten der freien d’Alembert–Gleichung gen¨ ugen und ∇ · A = 0 erf¨ ullen, folgt f¨ ur die allgemeine freie L¨ osung μ

A (x) =

1 ∗  e−ikx μk,λ akλ + eikx μk,λ a†kλ , 2|k|V λ=1

2  k

(14.4.4)

wobei k0 = |k| und die beiden Polarisationsvektoren die Eigenschaften k · k,λ = 0

,

0k,λ = 0

k,λ · k,λ = δλλ

(14.4.5)

haben. In der klassischen Theorie sind die Amplituden akλ komplexe Zahlen. Wir haben in (14.4.4) die Notation so gew¨ ahlt, daß diese Entwicklung auch dann ihre G¨ ultigkeit beibeh¨ alt, wenn in der quantisierten Theorie die akλ durch Operatoren akλ ersetzt werden. Die Form von (14.4.4) garantiert, daß das Vektorpotential reell ist. Bemerkungen (i) Der unterschiedliche Faktor in QM I Gl. (16.49) r¨ uhrt davon her, daß dort Gaußsche Einheiten verwendet wurden, und deshalb z.B. die Ener1 (E2 + B2 ) ist. giedichte H = 8π (ii) Statt der beiden transversal zu k polarisierten Photonen kann man auch Helizit¨ atseigenzust¨ ande verwenden; deren Polarisationsvektoren haben die Gestalt ⎞ ⎛ 0√ ⎜ 1/ 2 ⎟ √ ⎟ p) ⎜

μp,±1 = D(ˆ (14.4.6) ⎝ ±i/ 2 ⎠ , 0 wo D(ˆ p) eine Drehung ist, die die z-Achse in die Richtung von p dreht. (iii) Der erste Versuch zur Quantisierung k¨ onnte auf % $ Ai (x, t), A˙ j (x , t) = iδij δ(x − x ) d.h. =

(14.4.7) > Ai (x, t), E j (x , t) = −iδij δ(x − x )

f¨ uhren. Diese Relation ist im Widerspruch zur Bedingung der Coulomb– Eichung ∂i Ai = 0 und zur Maxwell–Gleichung ∂i E i = 0.

318

14. Quantisierung des Strahlungsfeldes

Wir werden die Quantisierung der Theorie in folgender Weise durchf¨ uhren. Zun¨ achst ist klar, daß die Quanten des Strahlungsfeldes – die Photonen – Bosonen sind. Dies ist einerseits aus den statistischen Eigenschaften (die strikte G¨ ultigkeit des Planckschen Strahlungsgesetzes) zu folgern wie auch aus der Tatsache, daß der innere Drehimpuls (Spin) den Wert S = 1 besitzt, woraus in Verein mit dem Spin–Statistik–Theorem folgt, daß es sich um ein Bose–Feld handelt. Deshalb werden die Amplituden des Feldes, die akλ , mit Bose–Vertauschungsrelationen quantisiert. Zun¨ achst dr¨ ucken wir die Hamilton–Funktion (Operator) (14.4.3) durch die Entwicklung (14.4.4) aus; unter Ben¨ utzung des Umstandes, daß die drei Vektoren k, k1 , k2 ein orthogonales Dreibein bilden, ergibt sich

 |k| † (14.4.8) akλ akλ + akλ a†kλ . H= 2 k,λ

Wir postulieren die Bose–Vertauschungsrelationen $ % akλ , a†k λ = δλλ δkk $ % $ % akλ , ak λ = a†kλ , a†k λ = 0 . Dann folgt f¨ ur den Hamilton–Operator (14.4.8)    † 1 H= |k| akλ akλ + . 2

(14.4.9)

(14.4.8 )

k,λ

Die hier auftretende divergente Nullpunktsenergie wird sp¨ater durch Neudefinition des Hamilton–Operators durch Normalordnung eliminiert werden. Zun¨ achst berechnen wir die Kommutatoren der Feldoperatoren. Mit der Definition Λμν ≡

2 

μk,λ νk,λ

(14.4.10)

λ=1

folgt wegen (14.4.5) Λ00 = 0 ,

Λ0j = 0

(14.4.11)

und Λij =

2  λ=1

ik,λ jk,λ = δ ij −

kikj k2

2 (k, k,λ , λ = 1, 2 bilden ein orthogonales Dreibein, d.h. kˆ i kˆj + λ=1 ik,λ jk,λ = δ ij ).

14.4 Freies elektromagnetisches Feld und dessen Quantisierung

319

Nun ergibt sich f¨ ur den Kommutator n i XX h   1 ∗ √ e−ikx eik x ik,λ jk ,λ (ik0 )δλλ δkk Ai (x, t), A˙ j (x , t) =  2V kk kλ k λ o   ∗ −eikx e−ik x ik,λ jk ,λ (−ik0 )δλλ δkk ”  i X “ i j ∗ ik(x−x ) ∗

k,λ k,λ e = + ik,λ jk ,λ e−ik(x−x ) 2 kλ „ « ”  i X ij ki kj “ ik(x−x ) e + e−ik(x−x ) = δ − 2 2 k k « „ ∂ i ∂ j X ik(x−x ) e = i δ ij − ∇2 k « „ ∂i∂j δ(x − x ) . = i δ ij − ∇2

Der Kommutator der kanonischen Variablen lautet somit   $ % ∂ i∂ j Ai (x, t), A˙ j (x , t) = i δ ij − δ(x − x ) ∇2

(14.4.12a)

oder wegen (14.4.1)

  > = i ∂ i∂ j δ(x − x ) A (x, t), E j (x , t) = −i δ ij − ∇2

(14.4.12b)

und ist in Einklang mit den Transversalit¨ atsbedingungen, die von A und E erf¨ ullt werden m¨ ussen. F¨ ur die beiden u ¨ brigen Kommutatoren finden wir = i > A (x, t), Aj (x , t) = 0 (14.4.12c) $ % i j  A˙ (x, t), A˙ (x , t) = 0 . (14.4.12d) Diese Quantisierungseigenschaften h¨ angen von der Eichung ab. Die daraus folgenden Kommutatoren f¨ ur die Felder E und B sind unabh¨angig von der ˙ und B = rot A gew¨ ahlten Eichung. Es ergibt sich wegen E = −A = i > = > E (x, t), E j (x , t) = B i (x, t), B j (x , t) = 0 (14.4.12e)   > = i ∂ Am (x , t) E (x, t), B j (x , t) = E i (x, t), jkm ∂x k     ∂ i∂ m jkm ∂ im =

(−i) δ − δ(x − x ) 2 ∂x k ∇ ∂ δ(x − x ) ∂x k ∂ = i ijk k δ(x − x ) . ∂x = −i jki

(14.4.12f)

W¨ ahrend im Kommutator (14.4.12b) der nichtlokale Term ∇−2 auftritt, sind die Kommutatoren (14.4.12e,f) der Felder E und B lokal.

320

14. Quantisierung des Strahlungsfeldes

Um im Hamilton–Operator die divergente Nullpunktsenergie zu eliminieren, f¨ uhren wir folgende Neudefinition ein   1 d3 x (E2 + B2 ) : = k0 a†kλ akλ (14.4.13) H =: 2 k,λ

mit k0 = |k|. Ebenso f¨ ur den Impulsoperator des Strahlungsfeldes   † P = : d3 x E × B : = k akλ akλ . (14.4.14) k,λ

Das normalgeordnete Produkt ist f¨ ur die Komponenten des Strahlungsfeldes genauso definiert wie f¨ ur Klein–Gordon–Felder.

14.5 Berechnung des Photon–Propagators Der Photonpropagator ist durch iDFμν (x − x ) = 0| T (Aμ (x)Aν (x )) |0

(14.5.1)

definiert. Die allgemeinste Gestalt dieses Tensors zweiter Stufe ist von der Form DFμν (x) = g μν D(x2 ) − ∂ μ ∂ ν D(l) (x2 ) ,

(14.5.2)

wobei D(x2 ) und D(l) (x2 ) Funktionen der Lorentz–Invarianten x2 sind. Im Impulsraum erh¨alt man aus (14.5.2) DFμν (k) = g μν D(k 2 ) + k μ k ν D(l) (k 2 ) .

(14.5.3)

In der St¨ orungstheorie tritt der Photon–Propagator immer in der Kombination jμ DFμν (k)jν auf, wo jμ und jν Elektron–Positron–Stromdichten sind. Da wegen der Stromerhaltung, ∂μ j μ = 0, im Fourier–Raum kμ j μ = 0

(14.5.4)

ist, ¨ andern sich die physikalischen Ergebnisse nicht, wenn man DFμν (k)

−→

DFμν (k)

μ

ν

ν

+ χ (k)k + χ (k)k

μ

DFμν (k)

durch

(14.5.5)

ersetzt, wo χμ (k) beliebige Funktionen von k sind. Bei der Fixierung auf bestimmte Eichungen, wie z.B. der Coulomb– Eichung, ist das resultierende DFμν (k) nicht von der Lorentz–invarianten Form (14.5.3), aber die physikalischen Ergebnisse sind die gleichen. Man kann die Umeichung (14.5.5) nach Gesichtspunkten der Bequemlichkeit durchf¨ uhren. Wir werden nun den Propagator in der Coulomb–Eichung berechnen und dann daraus andere a ¨quivalente Darstellungen ableiten. Es ist klar, daß die Gestalt von D(k 2 ) in (14.5.3) von der Form D(k 2 ) ∝

1 k2

14.5 Berechnung des Photon–Propagators

321

ist, da DFμν (k) der inhomogenen d’Alembert–Gleichung mit einer vierdimensionalen δ-Quelle gen¨ ugen muß. Die Relationen k¨onnen von den Klein– Gordon–Propagatoren u ussen die Polarisations¨ bernommen werden, nur m¨ vektoren des Photonenfeldes eingef¨ uhrt werden. F¨ uhrt man neben (14.5.1) auch μν (x − x ) = 0| Aμ (x)Aν (x ) |0 iD+

(14.5.6a)

ein, so erh¨ alt man aus (13.1.25a) und (13.1.31) 

2 d4 k e−ikx  μ ν

k,λ k,λ 4 k2 C ± (2π) λ=1  i d3 k 1  μ ν ∓ikx =∓

k,λ k,λ e 3 2 (2π) |k|

μν D± (x) =

(14.5.6b)

λ

und μν μν DFμν (x − x ) = Θ(t − t )D+ (x − x ) − Θ(t − t)D− (x − x )  2  d3 k 1  μ ν 0

k,λ k,λ Θ(x0 − x )e−ik(x−x ) = −i 3 2|k| (2π) λ=1

0 0 ik(x−x ) , +Θ(x − x )e

d.h. DFμν (x





− x ) = lim

→0



e−ik(x−x ) . 4 Λ (k) k 2 + i

(2π) d4 k

(14.5.6c)

μν

(14.5.6d)

Dabei ist Λμν (k) =

2 

μ ν

k,λ

k,λ

(14.5.7)

λ=1

mit den Komponenten Λ00 = 0

,

Λ0k = Λk0 = 0 ,

Λlk = δ lk −

kl kk . k2

Unter Verwendung des Vierbeins

μ0 (k) = nμ ≡ (1, 0, 0, 0)

μ1 (k) = (0, k,1 ) ,

μ2 (k) = (0, k,2 ) k μ − (nk)nμ

μ3 (k) = (0, k/|k|) =

1/2 2 (kn) − k 2

kann Λμν auch in der Form

(14.5.8)

322

14. Quantisierung des Strahlungsfeldes

Λμν (k) = −g μν − = −g

μν

−

(k μ − (kn)nμ ) (k ν − (kn)nν ) (kn)2 − k 2 k μ k ν − (kn) (nμ k ν + k μ nν ) 2

(kn) − k 2

+ nμ nν

−

k 2 nμ nν

(14.5.9)

2

(kn) − k 2

geschrieben werden. Wie in Zusammenhang mit Gl.(14.5.5) bemerkt wurde, gibt der mittlere Term der zweiten Zeile von (14.5.9) keinen Beitrag zur St¨ orungstheorie und kann deshalb weggelassen werden. Der dritte Term in (14.5.9) f¨ uhrt im Feynman–Propagator iDF (x − x ) aus (14.5.6d) zu einem Beitrag  k2 μ ν d4 k −ik(x−x ) i − lim e n n 4 →0 k 2 + i k2 (2π)   d3 k eik(x−x ) 0 = −inμ nν δ(x0 − x ) 3 k2 (2π) nμ nν 0 . (14.5.10) = −iδ(x0 − x ) 4π|x − x | Dieser Term hebt sich in der St¨ orungstheorie gegen die Coulomb–Wechselwirkung weg, die in der Darstellung mit der Coulomb–Eichung explizit auftritt. Um dieses genauer zu sehen, m¨ ussen wir noch den Hamilton–Operator betrachten. Die Lagrange–Dichte L (14.3.1) 1 L = − Fμν F μν − jμ Aμ 4 kann auch in der Form 1 L = (E2 − B2 ) − jμ Aμ 2 geschrieben werden, wo E = Etr + El

(14.3.1)

(14.5.11)

(14.5.12a)

ist, mit den transversalen und longitudinalen Anteilen ˙ Etr = −A

(14.5.12b)

El = −∇A0 .

(14.5.12c)

und

In der Lagrange–Funktion verschwindet der gemischte Term   ˙ · ∇A0 , d3 x Etr · El = d3 x A wie man durch partielle Integration und Verwendung von ∇A = 0 sieht. Somit ist die Lagrange–Dichte (14.5.11) ¨ aquivalent zu

1 ˙ tr )2 + (El )2 − (∇ × A)2 − jμ Aμ . L= (A (14.5.13) 2

14.5 Berechnung des Photon–Propagators

323

Daraus ergibt sich f¨ ur den konjugierten Impuls des elektromagnetischen Potentials A ∂L ˙ . = −A (14.5.14) Π tr ≡ ˙ ∂A Daraus folgt f¨ ur die Hamilton–Dichte H = Hγ + Hint 1 1 1 2 2 2 = (Π tr ) + (∇ × A) − (El ) + jμ Aμ , 2 2 2

(14.5.15)

wobei die zwei ersten Terme die Hamilton–Dichte des Strahlungsfeldes Gl. (14.4.3) sind, und 1 2 Hint = − (El ) + jμ Aμ 2 der Wechselwirkungsterm ist. Es ist zweckm¨ aßig, vom Wechselwirkungsterm Hint einen Teil, der der Coulomb–Wechselwirkung der Ladungsdichte entspricht, abzuseparieren 1 2 (14.5.16) HCoul = − (El ) + j0 A0 . 2 Das r¨ aumliche Integral dieser Gr¨ oße ist     1 HCoul = d3 x HCoul = d3 x − (∇A0 )2 + j0 A0 2     1 1 (14.5.17) A0 ∇2 A0 + j0 A0 = d3 x j0 A0 = d3 x 2 2  j0 (x, t)j0 (x , t) 1 d3 x d3 x , = 2 4π|x − x | also genau die Coulomb–Wechselwirkung zwischen den Ladungsdichten j0 (x, t), so daß die gesamte Wechselwirkung die Form  (14.5.18) Hint = HCoul − d3 x j(x, t)A(x, t) annimmt. Der Propagator der transversalen Photonen (14.5.6d) zusammen mit der Coulomb–Wechselwirkung ist also ¨ aquivalent zu dem folgenden kovarianten Propagator  d4 k e−ikx μν μν . (14.5.19) DF (x) = −g lim 4 →0 (2π) k 2 + i

Wie schon zu Anfang dieses Kapitels betont, bestehen die folgenden M¨oglichkeiten das quantisierte Strahlungsfeld zu behandeln. In der Coulomb–Eichung hat man als dynamische Freiheitsgrade zu jedem Wellenzahlvektor die beiden transversalen Photonen und dar¨ uber hinaus die instantane Coulomb– Wechselwirkung. Diese beiden f¨ ur sich nicht kovarianten Beschreibungen

324

14. Quantisierung des Strahlungsfeldes

k¨ onnen zu einem kovarianten Propagator Gl. (14.5.19) zusammengefaßt werden. In der Lorentz–Eichung hat man vier Photonen, die automatisch zu dem kovarianten Propagator (14.5.19) bzw. (E.10b) f¨ uhren. Da wegen der Lorentz–Bedingung die longitudinalen und skalaren Photonen nur so angeregt werden k¨ onnen, daß f¨ ur jeden Zustand (E.20a) erf¨ ullt ist, liefern sie keinen Beitrag zu physikalisch beobachtbaren Observablen, bis auf die Coulomb– Wechselwirkung, die durch diese Quanten vermittelt wird.

Aufgaben zu Kapitel 14 14.1 Leiten Sie die Vertauschungsrelationen (E.11) aus (E.8) ab. 14.2 Berechnen Sie den Energie–Impuls–Tensor f¨ ur das Strahlungsfeld. Zeigen Sie, daß der normalgeordnete Impulsoperator die Form Z P=: d3 x E × B : X k a†kλ akλ = k,λ

hat. 14.3 Leiten Sie unter Benutzung der Resultate des Noether–Theorems die Form des Drehimpulstensors des elektromagnetischen Feldes ab, indem Sie von der Lagrange– Dichte 1 L = − F μν Fμν 4 ausgehen. (a) Geben Sie die Bahndrehimpulsdichte an. (b) Geben Sie die Spindichte an. (c) Begr¨ unden Sie, daß S = 1 ist, die Spinprojektion auf die Richtung von k jedoch nur Werte ±1 hat.

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

In diesem Kapitel werden Lagrange-Funktionen f¨ ur wechselwirkende Felder aufgestellt und wichtige Konzepte wie die Wechselwirkungsdarstellung, St¨orungstheorie, S-Matrix, das Wicksche Theorem und Feynman Diagramme besprochen. Einige wichtige Streuprozesse und grundlegende physikalische Ph¨ anomene der Quantenelektrodynamik werden behandelt.

15.1 Lagrange-Funktionen, wechselwirkende Felder 15.1.1 Nichtlineare Lagrange-Funktionen Wir kommen nun zur Behandlung wechselwirkender Felder. Durch nichtli¨ neare Terme in der Lagrange-Dichte bzw. im Hamilton-Operator sind Ubergangsprozesse zwischen Teilchen m¨ oglich. Das einfachste Modell-Beispiel ist ein neutrales skalares Feld mit Selbstwechselwirkung, L=

m2 2 g 1 (∂μ φ) (∂ μ φ) − φ − φ4 . 2 2 4!

(15.1.1)

Diese sogenannte φ4 − Theorie hat als theoretisches Modell, in dem sich die wesentlichsten Ph¨ anomene einer nichtlinearen Feldtheorie in ihrer u ¨ bersichtlichsten Form studieren lassen, besondere Bedeutung. Die Zerlegung von φ in Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren zeigt, daß der φ4 −Term zu ei¨ ner Reihe von Ubergangsprozessen f¨ uhrt. Zum Beispiel k¨onnen zwei Teilchen mit den Impulsvektoren k1 und k2 einlaufen, aneinander streuen und zwei Teilchen mit den Impulsen k3 und k4 auslaufen, wobei der gesamte Impuls erhalten ist. Als weiteres Beispiel betrachten wir die Lagrange-Dichte f¨ ur die Wechselwirkung von geladenen Fermionen, beschrieben durch das Dirac-Feld ψ, mit dem Strahlungsfeld Aμ 1 μ ν ¯ μ ψAμ . (∂ A ) (∂μ Aν ) − eψγ (15.1.2) 2 Der Wechselwirkungsterm ist der niedrigste nichtlineare Term in Aμ und ψ, der bilinear in ψ (siehe Bemerkung (iv) in Abschn. 13.4.1) und Lorentzinvariant ist. Wir werden diese Form in Abschn. 15.1.2 noch physikalisch, aus der von Gl. (5.3.40) bekannten Wechselwirkung mit dem elektromagnetischen Feld, begr¨ unden. ¯ μ ∂μ − m)ψ − L = ψ(iγ

326

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

Die Quantenelektrodynamik (QED), die auf der Lagrange-Dichte (15.1.2) beruht, hat die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen Elektronen, Positronen und Photonen zum Gegenstand. Diese Theorie dient als hervorragendes Beispiel einer wechselwirkenden Feldtheorie aus den folgenden Gr¨ unden: (i)

(ii) (iii) (iv) (v)

Es liegt ein kleiner Entwicklungsparameter vor, die Sommerfeldsche 1 Feinstrukturkonstante α ≈ 137 , so daß die St¨orungstheorie erfolgreich angewendet werden kann. Die Quantenelektrodynamik erkl¨ art z.B. die Lamb-Verschiebung, das anomale magnetische Moment des Elektrons, etc. Die Theorie ist renormierbar. Die Quantenelektrodynamik ist eine einfache (abelsche) Eichtheorie. Es k¨ onnen hier alle wesentlichen Begriffsbildungen der Quantenfeldtheorie (St¨ orungstheorie, S-Matrix, Wick–Theorem, etc) beschrieben werden.

15.1.2 Fermionen in einem ¨ außeren Feld Als einfachsten Fall betrachten wir zun¨ achst die Wechselwirkung des Elektronenfeldes mit einem vorgegebenen raum- und zeitabh¨angigen elektromagnetischen Feld Aeμ . Die Dirac–Gleichung lautet in diesem Fall (iγ μ ∂μ − m)ψ = eγ μ Aeμ ψ

(15.1.3)

und hat die Lagrange–Dichte ¯ μ (i∂μ − eAeμ ) − m)ψ L = ψ(γ

(15.1.4)

≡ L0 + L1 , wo L0 die freie Lagrange–Dichte und L1 die Wechselwirkung mit dem Feld Aeμ darstellen ¯ μ ∂μ − m)ψ L0 = ψ(iγ ¯ μ ψAeμ ≡ −ej μ Aeμ . L1 = −eψγ Der zu ψα adjungierte Impuls ist πα = Hamilton–Dichte durch H = H0 + H1 j ¯ ¯ μ ψAeμ = ψ(−iγ ∂j + m)ψ + eψγ

(15.1.5) ∂L ∂ ψ˙ α

= iψα† , wie in (13.3.5), so daß die

(15.1.6)

außeres Feld. Im n¨achsten Abschnitt begegeben ist. Soweit ist Aeμ nur ein ¨ trachten wir die Kopplung an das Strahlungsfeld, das selbst ein quantisiertes Feld ist.

15.1 Lagrange-Funktionen, wechselwirkende Felder

327

15.1.3 Wechselwirkung von Elektronen mit dem Strahlungsfeld: Quantenelektrodynamik (QED) 15.1.3.1 Lagrange- und Hamilton-Dichte Die Hamilton- bzw. Lagrange–Dichte des wechselwirkenden Dirac– und Strahlungsfeldes erh¨ alt man, indem man in (15.1.5) Aeμ durch das quantisierte Strahlungsfeld ersetzt und die Lagrange-Dichte des freien Strahlungsfeldes addiert ¯ / − m)ψ − 1 (∂ν Aμ ) (∂ ν Aμ ) − eψA ¯ /ψ . L = ψ(i∂ (15.1.7) 2 Dies ist identisch mit der in (15.1.2) aus formalen Gr¨ unden postulierten Form. Daraus folgen die adjungierten Impulse f¨ ur das Dirac– und Strahlungsfeld ∂L ∂L πα = = iψα† , Πμ = = −A˙ μ , (15.1.8) ˙ ∂ A˙ μ ∂ ψα und der Operator der Hamilton–Dichte H = H0Dirac + H0Photon + H1 , H0Dirac

(15.1.9)

H0Photon

wo und die Hamilton–Dichten des freien Dirac– und Strahlungsfeldes (Gl. (13.3.7) und (E.14)) sind und H1 die Wechselwirkung zwischen diesen Feldern darstellt ¯ /ψ . (15.1.10) H1 = eψA

15.1.3.2 Bewegungsgleichungen von wechselwirkendem Dirac– und Strahlungsfeld F¨ ur die Lagrange-Dichte (15.1.7) lauten die Bewegungsgleichungen der Feldoperatoren im Heisenberg–Bild (i∂/ − m)ψ = eA /ψ μ ¯ 2A = eψγ μ ψ .

(15.1.11a) (15.1.11b)

Dies sind nichtlineare Feldgleichungen, welche im allgemeinen nicht exakt gel¨ ost werden k¨ onnen. Eine Ausnahme stellt die Vereinfachung auf eine Raum– und eine Zeitdimension dar; einige solche (1 + 1)-dimensionale Feldtheorien k¨ onnen exakt gel¨ ost werden. Ein interessantes Beispiel ist das Thirring–Modell ¯ μ ψγμ ψ . (15.1.12) (i∂/ − m)ψ = g ψγ Dieses kann man auch als Grenzfall von Gl. (15.1.11a) mit einem massiven Strahlungsfeld, d.h. ¯ μψ , (2 + M )Aμ = eψγ (15.1.13) im Limes M gegen Unendlich erhalten. Im allgemeinen ist man jedoch auf st¨ orungstheoretische Methoden angewiesen, die in den n¨achsten Abschnitten entwickelt werden.

328

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

15.2 Wechselwirkungsdarstellung, St¨ orungstheorie Experimentell ist man prim¨ ar an Streuvorg¨angen interessiert. In diesem Abschnitt wird der f¨ ur die theoretische Beschreibung notwendige Formalismus, die S–Matrix–Theorie, entwickelt. Wir wiederholen zun¨achst einige aus der Quantenmechanik1 bekannte Tatsachen u ¨ ber die Wechselwirkungsdarstellung, welche den begrifflich einfachsten Zugang zur st¨orungstheoretischen Behandlung von Streuvorg¨ angen bietet. 15.2.1 Wechselwirkungsdarstellung (auch Dirac–Darstellung) Die Lagrange–Dichte und der Hamilton–Operator werden in einen freien Teil und einen Wechselwirkungsteil zerlegt, dabei ist H0 zeitunabh¨angig: L = L0 + L1 H = H0 + H1 .

(15.2.1) (15.2.2)

Wenn die Wechselwirkung L1 keine Ableitungen enth¨alt, ist die zum Wechsel! wirkungs-Hamilton-Operator H1 = d3 xH1 geh¨orige Dichte durch H1 = −L1

(15.2.3)

gegeben. Wir gehen aus von der Schr¨odinger–Darstellung. In dieser sind die Zust¨ ande |ψ, t zeitabh¨ angig und gen¨ ugen der Schr¨odinger–Gleichung ∂ |ψ, t = H |ψ, t . (15.2.4) ∂t Die Operatoren werden in den folgenden Gleichungen mit A bezeichnet. Die grundlegenden Operatoren wie z.B. der Impuls, auch Feldoperatoren wie ψ(x) sind in der Schr¨ odinger-Darstellung zeitunabh¨angig. (Man beachte, daß die Feldgleichungen (13.1.13), (13.3.1) etc. Bewegungsgleichungen in der Heisenberg–Darstellung waren.) Falls ¨außere Kr¨afte vorliegen, dann k¨ onnen, wie z.B. im Abschnitt u ¨ber lineare Responsetheorie, auch explizite Zeitabh¨ angigkeiten von Schr¨ odinger–Operatoren auftreten. Die Definition der Wechselwirkungsdarstellung lautet i

|ψ, tI = eiH0 t |ψ, t , AI (t) = eiH0 t Ae−iH0 t .

(15.2.5)

Die Zust¨ ande und die Operatoren in der Wechselwirkungsdarstellung gen¨ ugen aufgrund von (15.2.4) den Bewegungsgleichungen ∂ |ψ, tI = H1I (t) |ψ, tI (15.2.6a) ∂t ∂ d AI (t) = i [H0 , AI (t)] + AI (t) . (15.2.6b) dt ∂t Der letzte Term in (15.2.6b) tritt dann auf, wenn der Schr¨odinger–Operator A explizit von der Zeit abh¨ angt. Im folgenden werden wir die verk¨ urzte Notation i

1

Siehe z.B. QM I, Abschnitte 8.5.3 und 16.3.1.

15.2 Wechselwirkungsdarstellung, St¨ orungstheorie

329

|ψ(t) ≡ |ψ, tI

(15.2.7a)

HI (t) ≡ H1I (t)

(15.2.7b)

und verwenden. Die Bewegungsgleichung f¨ ur |ψ(t) hat die Gestalt einer Schr¨odinger–Gleichung mit zeitabh¨ angigem Hamilton–Operator HI (t). Wenn die Wechselwirkung abgeschaltet wird, d.h. HI (t) = 0, ist der Zustandsvektor im Wechselwirkungsbild zeitunabh¨ angig. Die Feldoperatoren gen¨ ugen in der Wechselwirkungsdarstellung den Bewegungsgleichungen dφrI (x, t) = i [H0 , φrI (x, t)] (15.2.8) dt also den freien Bewegungsgleichungen. Die Feldoperatoren in der Wechselwirkungsdarstellung sind deshalb identisch mit den Heisenberg–Operatoren von freien Feldern. Da L1 keine Ableitungen enth¨alt, haben die kanonisch konjugierten Felder die gleiche Form wie f¨ ur die freien Felder z.B. ∂L0 ∂L = ˙ ∂ ψα ∂ ψ˙ α in der Quantenelektrodynamik. D.h. die gleichzeitigen Vertauschungsrelationen der wechselwirkenden Felder sind gleich wie f¨ ur die freien. Da die Wechselwirkungsdarstellung aus der Schr¨odinger-Darstellung und somit auch aus der Heisenberg–Darstellung durch eine unit¨are Transformation hervorgeht, gehorchen die wechselwirkenden Felder in der Wechselwirkungsdarstellung den gleichen Vertauschungsrelationen wie die freien Felder. Da die Bewegungsgleichungen im Wechselwirkungsbild identisch mit den freien Bewegungsgleichungen sind, haben die Operatoren die gleiche einfache Form, Zeitabh¨ angigkeit und Darstellung durch Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren wie die freien Operatoren. Die ebenen Wellen, (Spinorl¨ osungen, freie Photonen und freie Mesonen) sind nach wie vor L¨ osungen der Bewegungsgleichungen und f¨ uhren auf die gleiche Entwicklung der Feldoperatoren wie im freien Fall. Die Feynman–Propagatoren sind uglich der Operatoren wieder iΔF (x − x ) etc., wobei hier das Vakuum bez¨ ¨ ark , brk , dλk definiert ist. Die zeitliche Anderung der Zust¨ande erfolgt aufgrund des Wechselwirkungs–Hamilton–Operators. Wir betonen hier nochmals die Unterschiede in den Darstellungen der Quantenmechanik. In der Schr¨ odinger–Darstellung sind die Zust¨ande zeitabh¨ angig. In der Heisenberg–Darstellung ist der Zustandsvektor zeitunabh¨angig daf¨ ur sind die Operatoren zeitabh¨ angig und gen¨ ugen der Heisenberg–Bewegungsgleichung. In der Wechselwirkungsdarstellung ist die Zeitabh¨angigkeit auf Operatoren und Zust¨ ande aufgeteilt. Der freie Teil des Hamilton–Operators bestimmt die Zeitabh¨ angigkeit der Operatoren. Die Zust¨ande bewegen sich aufgrund der Wechselwirkung. Die Feldoperatoren einer wechselwirkenden nichtlinearen Feldtheorie gen¨ ugen deshalb in der Wechselwirkungsdarstellung den freien Feldgleichungen, das sind f¨ ur das reelle Klein-Gordon-Feld

330

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

(13.1.2), das komplexe Klein–Gordon–Feld (13.2.2), das Dirac–Feld (13.3.1) und das Strahlungsfeld (14.1.8). F¨ ur die Zeitabh¨angigkeit dieser Felder gelten demnach die Entwicklungen nach ebenen Wellen (13.1.5), (13.2.5), (13.3.18), (14.4.4) bzw. (E.5) (siehe auch (15.3.12a–c)). Wir erinnern an den Zusammenhang zwischen Schr¨ odinger- und Heisenberg-Operatoren in der wechselwirkenden Theorie ψHeisenb. (x, t) = eiHt ψSchr¨od. (x)e−iHt AHeisenb. (x, t) = eiHt ASchr¨od. (x)e−iHt .

(15.2.9)

In der Wechselwirkungsdarstellung erh¨ alt man ψI (x) ≡ eiH0 t ψSchr¨od. (x)e−iH0 t = ψ(x) AμI (x) ≡ eiH0 t AμSchr¨od. (x)e−iH0 t = Aμ (x) ,

(15.2.10)

wo ψ(x) (Aμ (x)) das freie Dirac-Feld (Strahlungsfeld) in der Heisenberg– Darstellung ist, x ≡ (x, t). Da der Wechselwirkungs–Hamilton–Operator ein Polynom aus den Feldern ist, z.B. in der Quantenelektrodynamik im Schr¨ odinger-Bild  ¯ μ ψAμ , H1 = e d3 xψγ folgt in der Wechselwirkungsdarstellung HI (t) ≡ H1I (t) ≡ eiH0 t H1 e−iH0 t  μ ¯ = e d3 xψ(x)γ ψ(x)Aμ (x) ,

(15.2.11)

x ≡ (x, t), wobei die Feldoperatoren identisch mit den Heisenberg–Operatoren der freien Feldtheorien sind, wie sie in den Gleichungen (13.3.18), (14.4.4) bzw. (E.5) angegeben sind. Den Zeitentwicklungsoperator im Wechselwirkungsbild finden wir, indem wir von der formalen L¨ osung der Schr¨ odinger–Gleichung (15.2.4) ausgehen |ψ, t = e−iH(t−t0 ) |ψ, t0 , woraus in der Wechselwirkungsdarstellung |ψ(t) = eiH0 t e−iH(t−t0 ) |ψ, t0  = eiH0 t e−iH(t−t0 ) e−iH0 t0 |ψ(t0 )

(15.2.12)



≡ U (t, t0 ) |ψ(t0 ) folgt, mit dem Zeitentwicklungsoperator im Wechselwirkungsbild U  (t, t0 ) = eiH0 t e−iH(t−t0 ) e−iH0 t0 .

(15.2.13)

Aus dieser Relation erkennt man sofort die Gruppeneigenschaft U  (t1 , t2 )U  (t2 , t0 ) = U  (t1 , t0 )

(15.2.14a)

und die Unitarit¨at †

U  (t, t0 ) = U  (t0 , t) = U 

−1

(t, t0 )

(15.2.14b)

15.2 Wechselwirkungsdarstellung, St¨ orungstheorie

331

des Zeitentwicklungsoperators. In die Unitarit¨ at geht die Hermitizit¨at von ur diesen Zeitentwicklungsoperator H und H0 ein. Die Bewegungsgleichung f¨ erh¨ alt man aus ∂ i U  (t, t0 ) = eiH0 t (−H0 + H)e−iH(t−t0 ) e−iH0 t0 ∂t = eiH0 t H1 e−iH0 t eiH0 t e−iH(t−t0 ) e−iH0 t0 (oder auch aus der Bewegungsgleichung (15.2.6a) f¨ ur |ψ(t)): ∂  U (t, t0 ) = HI (t)U  (t, t0 ) . (15.2.15) ∂t Bemerkung. Diese Bewegungsgleichung gilt auch f¨ ur den Fall, daß H und angen; dann ist in Gl. (15.2.12) bis damit H1 explizit von der Zeit abh¨ (15.2.15) e−iH(t−t0 ) durch den allgemeinen Schr¨odinger–Zeitentwicklungsope∂ U (t, t0 ) = HU (t, t0 ) rator U (t, t0 ) zu ersetzen, der der Bewegungsgleichung i ∂t gen¨ ugt. i

15.2.2 St¨ orungstheorie Die Bewegungsgleichung (15.2.15) f¨ ur den Zeitentwicklungsoperator im Wechselwirkungsbild kann mit der Anfangsbedingung U  (t0 , t0 ) = 1

(15.2.16)

formal gel¨ ost werden  t  U (t, t0 ) = 1 − i dt1 HI (t1 )U  (t1 , t0 ) ,

(15.2.17)

t0

d.h. durch eine Integralgleichung ersetzt werden. Die Iteration von (15.2.17) liefert  t  t  t1 2 U  (t, t0 ) = 1 + (−i) dt1 HI (t1 ) + (−i) dt1 dt2 HI (t1 )HI (t2 ) t0

 3



t

+ (−i)

dt1

U  (t, t0 ) =

∞  n=0

×

 (−i)n 

t0



t

t0

dt3 HI (t1 )HI (t2 )HI (t3 ) + . . . , t0

t1

dt1 t0

t0 t2

dt2

t0

d.h.



t1

dt2 . . .

(15.2.18)

t0

tn−1

dtn HI (t1 )HI (t2 ) . . . HI (tn ) . t0

Diese unendliche Reihe kann unter Verwendung des Zeitordnungsoperators T in der Form

332

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

U  (t, t0 ) =

 t ∞ n  t  (−i) dt1 dt2 . . . n! t0 t0 n=0  t × dtn T (HI (t1 )HI (t2 ) . . . HI (tn ))

(15.2.19)

t0

geschrieben werden, oder noch kompakter   t  dt HI (t ) . U  (t, t0 ) = T exp −i

(15.2.19)

t0

Von der Gleichheit der beiden Ausdr¨ ucke (15.2.18) und (15.2.19) kann man sich f¨ ur den Term n-ter Ordnung folgendermaßen leicht u ¨ berzeugen. In (15.2.19) erf¨ ullen die Zeiten entweder die Ungleichungskette t1 ≥ t2 ≥ . . . ≥ tn oder eine Permutation dieser Ungleichungskette. Im ersteren Fall ist der Beitrag zu (15.2.19) n

(−i) n!





t

t0



t1

dt1

tn−1

dt2 . . . t0

dtn (HI (t1 ) . . . HI (tn )) . t0

Den zweiten Fall, wenn also eine Permutation der Ungleichungskette vorliegt, kann man durch Umbenennung der Integrationsvariablen auf den Fall t1 ≥ uckf¨ uhren. Man erh¨ alt also n! mal den gleichen Beitrag, womit t2 ≥ . . . tn zur¨ die Gleichheit von (15.2.18) und (15.2.19) gezeigt ist. Den Beitrag zu (15.2.19) mit n Faktoren HI bezeichnet man als Term n-ter Ordnung. Der Zeitordnungsoperator in Gl. (15.2.19) bzw. (15.2.19), den man auch als Dysonschen Zeitordnungsoperator oder chronologischen Operator bezeichnet, bedeutet zun¨ achst die Zeitordnung der aus mehreren Feldoperatoren zusammengesetzten Operatoren HI (t). Wenn der Hamilton–Operator, wie in der Quantenelektrodynamik, Fermi–Operatoren nur in geraden Potenzen enth¨ alt, kann man diesen durch den sogenannten Wickschen Zeitordnungsoperator ersetzen, der die Feldoperatoren zeitordnet, und in diesem Sinne werden wir T im folgenden immer verstehen. Das zeitgeordnete Produkt T (. . . ) ordnet die Faktoren so, daß sp¨ atere Zeiten links von fr¨ uheren Zeiten stehen, und alle Bose–Operatoren werden so behandelt, als w¨ urden sie kommutieren und alle Fermi–Operatoren als w¨ urden sie antikommutieren. Wir schließen mit einer Bemerkung u ¨ber die Bedeutung des Zeitentwicklungsoperators U  (t, t0 ), der nach Gl. (15.2.12) den Zustand |ψ(t) in der Wechselwirkungsdarstellung bei vorgegebenen Zustand |ψ(t0 ) gibt. Falls das System zur Zeit t0 im Zustand |i ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, das System zu einer sp¨ ateren Zeit t im Zustand |f  zu finden, durch | f | U  (t, t0 ) |i |

2

(15.2.20)

¨ gegeben. Daraus erh¨ alt man f¨ ur die Ubergangsrate, das ist die Wahrschein¨ lichkeit pro Zeiteinheit f¨ ur den Ubergang vom Zustand |i in einen von |i verschiedenen (i|f  = 0) Zustand |f ,

15.3 S –Matrix

wi→f =

1 2 | f | U  (t, t0 ) |i | . t − t0

333

(15.2.21)

15.3 S –Matrix 15.3.1 Allgemeine Formulierung Wir wenden uns nun der Beschreibung von Streuvorg¨angen zu. Die typische Situation bei einem Streuexperiment ist die folgende. Zur Anfangszeit (idealisiert t = −∞) liegen weit separierte und deshalb untereinander nicht wechselwirkende Teilchen vor. Die sich aufeinanderzu bewegenden Teilchen wechselwirken schließlich w¨ ahrend eines kurzen, der Reichweite der Kr¨afte entsprechenden, Zeitintervalls, und die nach dieser Wechselwirkung verbleibenden und m¨ oglicherweise neu entstehenden Teilchen fliegen auseinander, wechselwirken nicht mehr miteinander und werden zu einer sehr viel sp¨ateren Zeit (idealisiert t = ∞) beobachtet. Schematisch ist der Streuvorgang in Abb. 15.1 dargestellt. Die Zeit, w¨ ahrend der die Teilchen wechselwirken, ist sehr viel k¨ urzer als die Zeit, die die Teilchen von der Quelle bis zur Beobachtung durch Z¨ ahler etc. ben¨ otigen; deshalb kann man die Anfangs– und Endzeit genauso gut durch t = ±∞ idealisieren.

...

...

Abb. 15.1. Schematische Darstellung eines allgemeinen Streuprozesses. Eine Reihe von Teilchen laufen ein, wechselwirken und abgelenkte Teilchen laufen aus, deren Zahl gegen¨ uber den einlaufenden erh¨ oht oder erniedrigt sein kann.

Bei einer Streuung liegt zur Anfangszeit ti = −∞ ein Anfangszustand |i von freien, nicht wechselwirkenden Teilchen vor |ψ(−∞) = |i . Nach der Streuung sind die dann vorhandenen Teilchen wieder weit voneinander entfernt |ψ(∞) = U  (∞, −∞) |i .

(15.3.1)

¨ Die Ubergangsamplitude in einen bestimmten Endzustand |f  ist durch f |ψ(∞) = f | U  (∞, −∞) |i = f | S |i = Sf i

(15.3.2)

334

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

gegeben. |i , |f  sind Eigenzust¨ ande von H0 . Man stellt sich vor, die Wechselwirkung ist am Anfang und am Ende ausgeschaltet. Hier wurde die Streumatrix, kurz S-Matrix durch S = U (∞, −∞) eingef¨ uhrt   ∞ n ∞ ∞  (−i) dt1 dt2 . . . (15.3.3) S= n! −∞ −∞ n=0  ∞ × dtn T (HI (t1 )HI (t2 ) . . . HI (tn )) . −∞

Falls man den Hamilton–Operator durch die Hamilton–Dichte ausdr¨ uckt, erh¨ alt man  ∞ n   (−i) S= . . . d4 x1 . . . d4 xn T (HI (x1 ) . . . HI (xn )) n! n=0 (15.3.4)     4 . = T exp −i d x(HI (x)) Da der Wechselwirkungsoperator Lorentz–invariant ist, und sich die Zeitordnung unter orthochronen Lorentz-Transformationen nicht ¨andert, ist die Streumatrix invariant gegen¨ uber Lorentz-Transformationen, d.h. eine relativistische Invariante. In der Quantenelektrodynamik ist die in (15.3.4) auftretende Wechselwirkungs–Hamilton–Dichte μ ¯ ψ(x)Aμ (x) : . HI = e : ψ(x)γ

(15.3.5)

Aus der Unitarit¨ at von U (t, t0 ), Gl. (15.2.14b), folgt f¨ ur die Unitarit¨at der S–Matrix SS † = 1 S †S = 1

(15.3.6a) (15.3.6b)

oder ¨ aquivalent  ∗ Sf n Sin = δf i

(15.3.7a)

n



∗ Snf Sni = δf i .

(15.3.7b)

n

Zum Verst¨ andnis der Bedeutung der Unitarit¨ at entwickeln wir den aus dem Anfangszustand |i folgenden asymptotischen Zustand |ψ(∞) = S |i

(15.3.8)

nach einem vollst¨ andigen Satz von Endzust¨ anden {|f }:   |f  f |ψ(∞) = |f  Sf i . |ψ(∞) = f

f

(15.3.9)

15.3 S –Matrix

Nun bilden wir ψ(∞)|ψ(∞) =



Sf∗i Sf i =

f



|Sf i |2 = 1 ,

335

(15.3.10)

f

wo (15.3.7b) ben¨ utzt wurde. Die Unitarit¨ at der S–Matrix dr¨ uckt die Erhaltung der Wahrscheinlichkeit aus. Falls der Anfangszustand |i ist, ist die Wahrscheinlichkeit, den Endzustand |f  im Experiment zu finden, durch 2 at der S–Matrix garantiert, daß die Summe die|Sf i | gegeben. Die Unitarit¨ ser Wahrscheinlichkeiten u oglichen Endzust¨ande Eins ergibt. Da ¨ ber alle m¨ Teilchen erzeugt und vernichtet werden, k¨ onnen die m¨oglichen Endzust¨ande andere Teilchen enthalten als die Ausgangszust¨ande. Die Zust¨ ande |i und |f  wurden als Eigenzust¨ande des ungest¨orten Hamilton–Operators H0 angenommen, d.h. die Wechselwirkung wird als ausgeschaltet betrachtet. Tats¨ achlich sind die physikalischen Zust¨ande von realen Teilchen verschieden von diesen freien Zust¨ anden. Die Wechselwirkung macht aus den nackten“ Zust¨ anden angezogene“ Zust¨ande. So ist ein Elektron von ” ” einer Wolke virtueller Photonen umgeben, welche emittiert und reabsorbiert werden, wie z.B. in Abb. 15.2 dargestellt.2

...

Abb. 15.2. Die Propagation eines physikalischen Elektrons setzt sich zusammen aus der freien Propagation und der Propagation mit der zus¨ atzlichen Emission und Reabsorption von virtuellen Photonen. Die Bedeutung der Linien ist in Abb. 15.3 erl¨ autert.

¨ Man kann die Berechnung von Ubergangselementen zwischen nackten Zust¨anden |i und |f  durch die Adiabatenhypothese rechtfertigen. Der Wechselwirkungs–Hamilton–Operator HI (t) wird durch HI (t)ζ(t) ersetzt , wo lim ζ(t) = 0 und t→±∞

2

ζ(t) = 1

f¨ ur

−T
Damit das Energiespektrum der nackten (freien) Teilchen identisch mit dem der physikalischen Teilchen ist, wird die Lagrange-Dichte des Dirac-Feldes umparameterisiert: ¯ /ψ + δmψψ ¯ , ¯ / − mR )ψ − eψA L = ψ(i∂ mit der renomierten (physikalischen) Masse mR = m + δm. Es tritt dann in ¯ auf. Dieser spielt bei den der Hamilton-Dichte ein weiterer St¨ orterm −δmψψ Prozessen niedrigster Ordnung der folgenden Abschnitte keine Rolle und wird erst bei den Strahlungskorrekturen in Abschn. 15.6.1.2 analysiert.

336

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

d.h. zur Zeit −∞ hat man freie Teilchen. Im Zeitintervall −∞ < t < T macht die Wechselwirkung aus den freien Teilchen physikalische Teilchen. Im Zeitintervall [−T, T ] sind reale Teilchen vorhanden, die die gesamte Wechuren. Da die Teilchen bei einer Streuung zun¨achst weit selwirkung HI (t) sp¨ entfernt sind, wechselwirken sie nur in einem Zeitintervall [−τ, τ ], das durch die Reichweite der Wechselwirkung und die Geschwindigkeit bestimmt wird. Die Zeit T muß nat¨ urlich sehr viel gr¨ oßer als τ sein: T  τ . Die Annahme der Adiabatenhypothese ist, daß die Streuung nicht davon abh¨angen kann, wie die Beschreibung lange vor oder nach der Wechselwirkung war. Am Ende der Rechnung wird der Limes T → ∞ genommen. Falls ein Prozeß nur in der niedrigsten st¨ orungstheoretischen Ordnung, in der er auftritt, berechnet ¨ wird, dann wird die gesamte Wechselwirkung f¨ ur den Ubergang verwendet, und nicht um den nackten Zustand in einen physikalischen zu konvertieren. In diesem Fall kann man von Anfang an den Grenzwert T → ∞ nehmen und im gesamten Zeitintervall den kompletten Wechselwirkungs–Hamilton–Operator verwenden. ¨ Die Art der Ubergangsprozesse wird durch die Gestalt des Wechselwirkungs–Hamilton–Operators festgelegt. Wenn der Anfangszustand eine bestimmte Zahl von Teilchen enth¨ alt, so ist die Wirkung des Terms n-ter Ordnung in S (Gl. (15.3.4)) die folgende. Durch die Anwendung von HI (xn ) werden einige der urspr¨ unglich vorhandenen Teilchen vernichtet, daf¨ ur aber uhrt wieder zu neuen neue Teilchen erzeugt. Der n¨ achste Faktor HI (xn−1 ) f¨ Vernichtungs- und Erzeugungsprozessen u.s.w.. Dabei muß u ¨ber die raum– zeitliche Position dieser Vorg¨ ange integriert werden. Wir wollen dies an einigen Beispielen f¨ ur den Fall der Quantenelektrodynamik erl¨autern. Hier ist die Dichte des Wechselwirkungs–Hamilton–Operators ¯ /(x)ψ(x) : HI (x) = e : ψ(x)A

(15.3.11)

und die darin auftretenden Feldoperatoren   m 1/2   ψ(x) = brp ur (p) e−ipx + d†rp wr (p) eipx V E p p,r=1,2  1/2   †  m ¯ ¯r (p) eipx + drp w ¯r (p) e−ipx ψ(x) = brp u V Ep p,r=1,2 Aμ (x) =

3   k λ=0

1 2V |k|

1/2

(15.3.12a)

(15.3.12b)



μλ (k) aλ (k)e−ikx + a†λ (k)eikx . (15.3.12c)

Dabei wollen wir, wie schon in fr¨ uheren Kapiteln, eine graphische Darstellung der Vorg¨ ange verwenden, siehe Abb. 15.3. Ein Photon wird durch eine Wellenlinie, ein Elektron durch eine durchgezogene Linie mit Pfeil in positiver Zeitrichtung und ein Positron durch eine durchgezogene Linie mit Pfeil in entgegengesetzter Zeitrichtung dargestellt. Sofern die Teilchen mit einem

15.3 S –Matrix

Photon

Elektron

Positron

337

außeres Feld ¨

Abb. 15.3. Die Linien in den Feynman-Diagrammen, Zeitrichtung nach oben.

außeren elektromagnetischen Feld wechselwirken, so wird dieses ¨ahnlich einer ¨ Photonenlinie mit einem Kreuz dargestellt3 . ¨ 15.3.2 Einfache Uberg¨ ange Wir diskutieren zun¨ achst die Grundprozesse, die ein einziger Faktor HI (x) onnen in Anteile positiver und bewirkt. Die drei Feldoperatoren in HI (x) k¨ negativer Frequenz zerlegt werden, so daß es insgesamt acht Terme gibt. Z.B. wird durch ψ + ein Elektron vernichtet und durch ψ − ein Positron erzeugt. Der Term eψ¯− (x)A+ (x)ψ + (x) vernichtet an der Stelle x ein zun¨achst vorhandenes Photon und ein Elektron und erzeugt wieder ein Elektron. Dieser Prozeß ist als erster Term in Abb. 15.4 dargestellt. Man kann auch sagen, daß hier ein Elektron ein Photon absorbiert. Nimmt man aus dem Photo¨ alt man einen Ubergang, bei dem ein nenfeld den Summanden A− , dann erh¨ Photon an der Stelle x erzeugt wird, das heißt einen Vorgang, bei dem ein Elektron an der Stelle x ein Photon emittiert (erster Prozeß in der zweiten Reihe). Auch die u ¨brigen sechs elementaren Prozesse sind in Abb. 15.4 dargestellt. Wir wollen diese nicht alle im Detail durchbesprechen und nur noch einen herausgreifen. Der dritte Term in der unteren Reihe der Diagramme r¨ uhrt von eψ¯+ A− ψ + her und stellt die Vernichtung eines Elektron–Positron– ¨ Paares dar, also den Ubergang eines Elektrons und eines Positrons in ein Photon. Welche Prozesse m¨ oglich sind, wird durch die Form von HI (x) und seinen Potenzen bestimmt. Man nennt die Stellen an denen Teilchen ein- und auslaufen (vernichtet und erzeugt werden) auch Vertizes. In Abb. 15.5 werden Prozesse verschiedener Ordnung dargestellt, die von einem Ausgangszustand mit einem einfallenden Elektron und einem einfallenden Positron aus m¨ oglich sind. Abb. 15.5a zeigt die von der nullten Ordnung herr¨ uhrende wechselwirkungsfreie Bewegung. Abb. 15.5b enth¨alt die Wechselwirkung in zweiter Ordnung, hier emittiert das Elektron ein Photon, welches von dem Positron absorbiert wird, genauso ist in diesem Vorgang enthalten, die Emission eines Photons durch das Positron und die Absorption durch das Elektron. Der Vorgang f¨ uhrt zu einem Endzustand, in dem wieder 3

Wie schon an anderer Stelle betont wurde, haben diese graphischen Darstellungen nicht nur illustrativen Charakter, sondern erweisen sich als FeynmanDiagramme als eineindeutige Abbildung der st¨ orungstheoretischen, analytischen Ausdr¨ ucke.

338

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

Die Grundprozesse des QED-Vertex /+ + A /− )( ψ + + ψ − ) : HI (x) = e : ( ψ¯+ + ψ¯− )( A |{z} |{z} |{z} |{z} |{z} |{z} vern e+

erz e−

vern γ

e−

erz γ

vern e−

erz e+

e+

e−

e+

Photonabsorption

γ

e−

e−

γ

γ

e+

e−

γ

e+

γ

e+

γ γ

Photonemission

e+ e− e− an Photon gestreut

e+ e+ an Photon gestreut

e−

γ

e−

e+

PaarVernichtung

PaarErzeugung

Abb. 15.4. Die elementaren Prozesse des QED-Vertex; die Zeitachse verl¨ auft von unten nach oben.

ein Elektron und ein Positron vorhanden sind, es hat also eine Streuung des Elektron–Positron–Paares stattgefunden. Es liegt ein Diagramm zweiter Ordnung mit zwei Vertizes vor. In h¨ oherer Ordnung der St¨orungstheorie k¨onnten das Elektron und das Positron auch noch miteinander wechselwirken und den in Abb. 15.5c dargestellten Streuprozeß vierter Ordnung durchf¨ uhren. In Abb. 15.5d l¨auft das Positron v¨ ollig ungest¨ort weiter, das Elektron emittiert zun¨ achst ein Photon und erf¨ ahrt anschließend eine Ablenkung durch ein ¨ außeres Potential, der Endzustand besteht aus einem Elektron, einem Positron und einem Photon. Man spricht hier von Bremsstrahlung des Elektrons in Gegenwart des ¨ außeren Feldes. In Abb. 15.5e wirkt ein ¨außeres Feld und dieses f¨ uhrt zur Vernichtung des Elektron–Positron–Paares. Damit dieser Prozeß tats¨ achlich m¨ oglich ist, muß die Frequenz des ¨außeren Feldes so hoch sein, daß sie gleich der Energie des Elektron–Positron–Paares ist. Das Diagramm 15.5f stellt die Paarvernichtung dar, hier sind im Endzustand zwei Photonen vorhanden.

15.3 S –Matrix

339

Anfangszustand e− + e+ Streuung:

e−

e+

e−

e+

e−

e+

a)

b)

Bremsstrahlung: e−

e−

e+

e−

e+

c) Paarvernichtung:

γ

e−

e+

d)

e−

e+ e)

γ

γ

e−

e+ f)

Abb. 15.5. Beispiele f¨ ur Reaktionen mit dem Anfangszustand Elektron plus Positron: a) wechselwirkungsfreie Bewegung von Elektron und Positron, b) Streuung von Elektron und Positron, c) Streuung in vierter Ordnung, Austausch von zwei Photonen, d) Bremsstrahlung des Elektrons in Gegenwart eines a ¨ußeren Feldes; das Positron bewegt sich hier v¨ ollig wechselwirkungsfrei, e) Paarvernichtung in Anwesenheit eines a angigen Feldes, dessen Frequenz gleich der Energie des ¨ußeren zeitabh¨ e+ e− Paares ist, f) Paarvernichtung mit zwei Photonen im Endzustand

¨ Was ist nun die Ubergangswahrscheinlichkeit f¨ ur diese Prozesse? Zur Be¨ stimmung der Energie-, Impuls-, Winkelabh¨ angigkeit der einzelnen Uberg¨ ange muß man die Matrixelemente berechnen. Die Vorgehensweise ist ¨ahnlich wie bei der Berechnung von Korrelationsfunktionen in der nichtrelativistischen Vielteilchenphysik. Man muß die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren unter Verwendung der Vertauschungs- und Antivertauschungsrelationen so umordnen, daß alle Vernichtungs–Operatoren rechts stehen und alle Erzeugungsoperatoren links. Die Wirkung eines Vernichtungs–Operators auf den Vakuumzustand nach rechts gibt Null, desgleichen die Wirkung ei¨ nes Erzeugungsoperators nach links. Beim Ubergang eines Zustandes |i in einen Zustand |f  tragen nur diejenigen Summanden von Produkten aus T (H(x1 ) . . . H(xn )) bei, bei denen sich die Erzeugungs– und Vernichtungs-

340

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

operatoren gerade kompensieren4 . Dann liefert das Kommutieren der Vernichtungsoperatoren nach rechts endliche Beitr¨age von Kommutatoren bzw. Antikommutatoren, die, wie sich zeigen wird, durch Propagatoren ausge¨ dr¨ uckt werden k¨ onnen. Somit ist die Struktur des Ergebnisses f¨ ur die Ubergangsamplitude die folgende. Wenn das Diagramm aus Vertizes an den Stellen außeren einlaufenden und auslaufenden Teilchen besteht, x1 , . . . , xn und aus ¨ dann ist das Ergebnis ein Produkt aus Propagatoren und dieses Produkt wird noch u ¨ ber alle Positionen der Vertizes x1 , . . . , xn integriert. F¨ ur einfache Prozesse kann man die hier skizzierte Vorgehensweise leicht Schritt f¨ ur Schritt durchf¨ uhren. Dabei ergeben sich Regeln, die jedem Diagramm einen analytischen Ausdruck zuordnen, die sog. Feynman–Regeln. Bei der systematischen Herleitung der Feynman–Regeln ben¨otigt man das Wicksche Theorem, welches ein beliebiges zeitgeordnetes Produkt durch eine Summe von normalgeordneten Produkten darstellt. Man bezeichnet die Linien in den Feynman-Diagrammen, die den einfallenden und auslaufenden Teilchen entsprechen, ¨ außere Linien, die anderen, innere Linien. Die Teilchen zu den inneren Linien bezeichnet man als virtuelle Teilchen. In Diagramm 15.5f kann man die innere Linie sowohl als Bewegung eines virtuellen Elektrons vom linken Vertex zum rechten Vertex ansehen, als auch ¨ als Ubergang eines Positrons vom rechten Vertex zum linken. F¨ ur die gesam¨ te Ubergangswahrscheinlichkeit ist u ¨ber alle Raum–Zeit–Positionen der beiden Vertizes zu integrieren, und beide Prozesse werden durch den Feynman– Propagator, der diese innere Linie analytisch repr¨asentiert, beschrieben (siehe auch die Diskussion am Ende von Abschn. 13.1).

∗

15.4 Wicksches Theorem

¨ Zur Berechnung der Ubergangsamplitude vom Zustand |i in den Zustand |f  muß man das Matrixelement f | S |i bestimmen. Wenn man dabei eine bestimmte Ordnung in der St¨ orungstheorie herausgreift, ist das Matrixelement eines zeitgeordneten Produkts von Wechselwirkungs–Hamilton–Operatoren zu berechnen. Von der Vielzahl der Terme in der St¨orungsentwicklung tragen nur diejenigen bei, deren Anwendung auf |i den Zustand |f  ergibt. Es 4

Falls der Anfangszustand |i beispielsweise ein Elektron mit Quantenzahlen (p, r) und ein Photon mit (k, λ) enth¨ alt, ist er von der Form |i = b†rp a†λ (k) |0 , w¨ ahrend der Endzustand |f  mit Teilchen (p , r  ) und (k , λ ) in bra-Form die Gestalt f | = 0| aλ (k )br p besitzt.

∗

15.4 Wicksches Theorem

341

m¨ ussen also (abgesehen von der M¨ oglichkeit einzelner sich wechselwirkungsfrei bewegender Teilchen) in dem entsprechenden st¨orungstheoretischen Beitrag zur S-Matrix diejenigen Vernichtungsoperatoren auftreten, welche die in |i enthaltenen Teilchen vernichten und diejenigen Erzeugungsoperatoren, welche die in |f  enthaltenen Teilchen erzeugen. Dar¨ uber hinaus enth¨alt ein allgemeiner Term in S auch noch weitere Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren, durch die virtuelle Teilchen erzeugt und dann wieder vernichtet werden. Diese Teilchen heißen virtuell, weil sie nicht im Anfangs- und Endzustand auftreten, sondern nur in Zwischenprozessen emittiert und reabsorbiert werden, wie z.B. das Photon in Abb. 15.5b. Die virtuellen Teilchen erf¨ ullen nicht den Zusammenhang von Energie und Impuls realer Teilchen, d.h. p2 = m2 , sie liegen nicht auf der Massenschale“. Wie schon im vorherge” henden Abschnitt erw¨ ahnt wurde, kann man den Wert solcher Matrixelemente von S dadurch berechnen, indem man die Vernichtungsoperatoren unter Verwendung der Vertauschungsrelation nach rechts kommutiert. Statt diese Rechnung in jedem Einzelfall durchzuf¨ uhren, ist es zweckm¨aßig, von vornherein die zeitgeordneten Produkte so umzuschreiben, daß sie normalgeordnet sind, also alle Vernichtungsoperatoren rechts von allen Erzeugungsoperatoren stehen. Das Wicksche Theorem gibt an, wie man ein beliebiges zeitgeordnetes Produkt durch eine Summe von normalgeordneten Produkten darstellen kann. Das Wicksche Theorem ist die allgemeine Basis f¨ ur die systematische Berechnung der st¨ orungstheoretischen Beitr¨ age und deren Darstellung durch Feynman–Diagramme. Da die Hamilton–Dichte ein normalgeordnetes Produkt ¯ H(x) = e : ψ(x)A /(x)ψ(x) : (15.4.1) ist, hat der Terme n-ter Ordnung von S die Gestalt n  (−ie) (n) d4 x1 . . . d4 xn = S n!   ¯ 1 )A ¯ n )A × T : ψ(x /(x1 )ψ(x1 ) : . . . : ψ(x /(xn )ψ(xn ) : ; (15.4.2) man nennt ein derartiges zeitgeordnetes Produkt von teilweise normalgeordneten Faktoren ein gemischtes zeitgeordnetes Produkt. Zur Formulierung des Wickschen Theorems stellen wir hier einige Eigenschaften von zeitgeordneten und normalgeordneten Produkten zusammen, die in Gl. (13.1.28) und (13.4.12) eingef¨ uhrt wurden. Gegeben seien Feldoperatoren A1 , A2 , A3 , . . . , dann gilt (siehe Gl. (13.1.18c)) das distributive Gesetz : (A1 + A2 )A3 A4 : = : A1 A3 A4 + A2 A3 A4 : = : A1 A3 A4 : + : A2 A3 A4 : .

(15.4.3)

Die Kontraktion zweier Feldoperatoren A und B, wie z.B. ψ(x1 ), ψ † (x2 ), Aμ (x3 ), . . . , ist durch

342

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

AB ≡ T (AB)− : AB :

(15.4.4)

definiert. Wir k¨onnen uns leicht davon u ¨berzeugen, daß derartige Kontraktionen c-Zahlen sind. Denn nach den allgemeinen Definitionen ordnet T (AB) die beiden Operatoren A und B in chronologischer Ordnung an, mit einem Faktor (−1), falls es sich um zwei Fermi–Operatoren handelt. Da der Kommutator oder der Antikommutator von freien Feldern eine c-Zahl ist, ist T (AB) − AB eine c-Zahl und das gleiche gilt f¨ ur : AB : −AB und die Differenz (15.4.4). Da der Vakuumserwartungswert eines normalgeordneten Produktes verschwindet, folgt aus (15.4.4) AB = 0| T (AB) |0 .

(15.4.5)

Damit sind die wichtigsten Kontraktionen durch die Feynman–Propagatoren (13.1.31), (13.4.16) und (14.5.19) bereits bekannt. Es gilt der Reihe nach f¨ ur das reelle und komplexe Klein–Gordon–Feld, f¨ ur das Dirac–Feld und das Strahlungsfeld φ(x1 )φ(x2 ) = iΔF (x1 − x2 ) φ(x1 )φ† (x2 ) = φ† (x2 )φ(x1 ) = iΔF (x1 − x2 ) ψα (x1 )ψ¯ (x2 ) = −ψ¯β (x2 )ψ α (x1 ) = iSF αβ (x1 − x2 )

(15.4.6)

β ν

Aμ (x1 )A (x2 ) = iDFμν (x1 − x2 ) . Dar¨ uber hinaus gilt ¯ 2) = 0 ¯ 1 )ψ(x ψ(x1 )ψ(x2 ) = ψ(x ψ(x1 )φ(x2 ) = 0 , ψ(x1 )Aμ (x2 ) = 0 ±

±

φ (x1 )φ (x2 ) = 0 , ¯ 2) = 0 , φ(x1 )ψ(x

±

±

ψ (x1 )ψ (x2 ) = 0 ,

etc. ¯±

¯±

ψ (x1 )ψ (x2 ) = 0 (15.4.7)

da alle diese Operatorenpaare entweder miteinander kommutieren oder antikommutieren. Wir erinnern daran, daß in der Wechselwirkungsdarstellung die Felder in H(x) freie Heisenberg–Felder sind. Das zeitgeordnete Produkt von zwei Feldoperatoren l¨ aßt sich nach Gl. (15.4.4) folgendermaßen in normalgeordneter Form darstellen T (AB) = : AB : + AB .

(15.4.8)

Nun definieren wir noch das sogenannte verallgemeinerte Normalprodukt (Normalprodukt mit Kontraktionen) der Feldoperatoren A = A(x1 ), B = B(x2 ), . . . , welches in seinem Inneren auch noch Kontraktionen dieser Operatoren enth¨ alt: : ABC D EF . . . KL . . . : = (−1)P AC DL EF . . . : BK . . . : ,

(15.4.9)

wobei P die Zahl der schrittweisen Vertauschungen von Fermi–Operatoren ist, die erforderlich ist, um die Reihenfolge ACDLEF . . . BK . . . zu erhalten. Z.B. gilt

∗

15.4 Wicksches Theorem

: ψ¯α (x1 )Aμ (x2 )ψβ (x3 )ψγ (x4 )Aν (x5 )ψ¯δ (x6 ) : = (−1)ψβ (x3 )ψ¯δ (x6 ) : ψ¯α (x1 )Aμ (x2 )ψγ (x4 )Aν (x5 ) : .

343

(15.4.10)

Wir k¨ onnen nun das Wicksche Theorem f¨ ur reine zeitgeordnete Produkte und f¨ ur gemischte zeitgeordnete Produkte formulieren. 1.Theorem: Das zeitgeordnete Produkt der Feldoperatoren ist gleich der Summe ihrer Normalprodukte, in denen die Operatoren durch s¨amtliche m¨oglichen Kontraktionen verkn¨ upft sind: T (A1 A2 A3 . . . An ) =: A1 A2 A3 . . . An : + : A1 A2 A3 . . . An : + : A1 A2 A3 . . . An : + . . . + : A1 A2 . . . An−1 An : + : A1 A2 A3 A4 . . . An : + . . . + : A1 A2 . . . An−3 An−2 An−1 An : + ... . (15.4.11) In der ersten Zeile treten keine, in der zweiten eine, in der dritten zwei Kontraktionen u.s.w. auf. 2.Theorem: Ein gemischtes T -Produkt von Feldoperatoren ist gleich der Summe ihrer Normalprodukte der Form (15.4.11), jedoch gehen in diese Summe die Kontraktionen zwischen Operatoren, die innerhalb ein- und desselben Normalproduktfaktors stehen, nicht ein. Zum Beispiel gilt T (ψ1 : ψ2 ψ3 ψ4 :) = : ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 : + : ψ1 ψ 2 ψ3 ψ4 : + : ψ1 ψ2 ψ 3 ψ4 : + : ψ1 ψ2 ψ3 ψ 4 : . (15.4.12) F¨ ur die Anwendung des Wickschen Theorems ist die Kenntnis des Beweises nicht erforderlich. Der folgende, einfache Beweis kann deshalb auch u ¨berschlagen werden. Zun¨ achst beweisen wir das 1.Theorem, Gl. (15.4.11), unter der Voraussetzung, daß die Operatoren des Produkts A1 A2 . . . An von vornherein zeitgeordnet sind. Den allgemeinen Fall werden wir darauf zur¨ uckf¨ uhren. Nun dr¨ ucken wir die Feldoperatoren durch ihre Teile mit positiver und negativer Frequenz aus und zerlegen dieses schon von vornherein in zeitgeordneter Form vorliegende Produkt in eine Summe von Produkten aus positiven und negativen Frequenzteilen. Wir betrachten nun einen beliebigen derartigen Term - dieser ist zeitgeordnet aber i.A. nicht normalgeordnet - und ordnen dessen Faktoren in der folgenden Weise um. Der am weitesten links stehende, sich nicht in Normalordnung befindliche Erzeugungsoperator wird nach links sukzessive mit allen links von ihm stehenden Vernichtungsoperatoren vertauscht, indem man die Kommutations– bzw. Antikommutationsrelationen verwendet. Anschließend wird dieser Vorgang mit den n¨ achsten noch nicht in Normalordnung stehenden Erzeugungsoperatoren wiederholt, solange bis schließlich alle Operatoren in Normalordnung stehen. Bei jeder dieser Vertauschungen ergibt sich mit Gl. (15.4.8) und der Definition des normalgeordneten Produkts

344

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik − + − + − + − A+ i Ak = T (Ai Ak ) =: Ai Ak : +Ai Ak + + − = ±A− k Ai + Ai Ak ,

(15.4.13)

wobei das untere Vorzeichen gilt, wenn die beiden Operatoren Fermi–Operatoren sind. Im Endergebnis ist jeder der Summanden in normalgeordneter Form mit Vorzeichenfaktoren, die durch die Zahl der paarweisen Vertauschungen von Fermi–Operatoren bestimmt sind. Diese Vorzeichenfaktoren kann man dadurch kompensieren, indem man jeden Summanden in der zeitgeordneten (urspr¨ unglichen) Reihenfolge schreibt und der Normalordnungs+ + − operation : . . . : unterwirft (siehe z.B. Gl. (15.4.13), wo ±A− k Ai =: Ai Ak : geschrieben werden kann). Das Ergebnis ist nun schon sehr nahe dem Ausdruck (15.4.11), allerdings treten nicht alle Kontraktionen auf, sondern nur die zwischen den falsch“ (nicht normalgeordneten) stehenden Operatoren. ” Da aber die Kontraktion zweier Operatoren, die sowohl zeitgeordnet als auch normalgeordnet sind, verschwindet, kann man derartige Kontraktionen noch hinzuf¨ ugen und erh¨ alt somit nach Verwendung des distributiven Gesetzes die Summe aus normalgeordneten Produkten mit allen Kontraktionen. Damit ist Gl. (15.4.11) f¨ ur die zeitliche Reihenfolge t1 > . . . > tn gezeigt. Nun betrachten wir die Operatoren A1 A2 . . . An und eine beliebige Permutation P (A1 A2 . . . An ) dieser Operatoren. Aufgrund der Definition der Zeitordnungs- und Normalordnungsoperationen gelten P

T (P (A1 A2 . . . An )) = (−1) T (A1 A2 . . . An )

(15.4.14a)

und P

: P (A1 A2 . . . An ) : = (−1) : A1 A2 . . . An :

(15.4.14b)

mit dem gleichen Exponenten P . Somit folgt das Theorem 1, Gl. (15.4.11), f¨ ur beliebige zeitliche Ordnung der Operatoren A1 , . . . , An . Theorem 2 ergibt sich aus dem Beweis zu Theorem 1 folgendermaßen. Die Teilfaktoren des gemischten zeitgeordneten Produktes : AB . . . : sind auf jeden Fall schon normalgeordnet. In der vorhin geschilderten konstruktiven Herstellung der Normalordnung kommt es zu keinen Vertauschungen und damit Kontraktionen dieser gleichzeitigen Operatoren. Die Kontraktionen dieser schon normalgeordneten, gleichzeitigen Operatoren — die nicht verschwinden w¨ urden — treten nicht auf. Damit ist auch Theorem 2 bewiesen.

15.5 Einfache Streuprozesse, Feynman–Diagramme Wir untersuchen nun einige einfache Streuprozesse und werden daf¨ ur die Matrixelemente der S-Matrix berechnen. Dabei werden sich die wichtigsten Elemente der schon mehrfach erw¨ ahnten Feynmanschen Regeln ergeben. Mit aufsteigendem Schwierigkeitsgrad studieren wir als Prozesse erster Ordnung

15.5 Einfache Streuprozesse, Feynman–Diagramme

345

die Emission eines Photons durch ein Elektron und die Streuung eines Elektrons an einem ¨ außeren Potential (Mott–Streuung) und dann als Beispiel f¨ ur Prozesse zweiter Ordnung die Streuung zweier Elektronen (Møller–Streuung) und die Streuung eines Photons an einem Elektron (Compton–Streuung). 15.5.1 Der Term erster Ordnung Als allereinfachstes Beispiel betrachten wir den Beitrag erster Ordnung zur S-Matrix, Gl. (15.4.14)  (1) ¯ S = −ie d4 x : ψ(x)A /(x)ψ(x) : . (15.5.1) mit den Feldoperatoren aus Gl. (15.3.12). Die daraus folgenden m¨oglichen elementaren Prozesse wurden schon in Abschn. 15.3.2 diskutiert und sind in ¨ Abb. 15.4 dargestellt. Wir betrachten hier als einen der acht Uberg¨ ange die ¨ Emission eines γ-Quants durch ein Elektron (Abb. 15.6), also den Ubergang eines Elektrons in ein Elektron und ein Photon e− → e− + γ .

e−

γ

e−

Abb. 15.6. Die Emission eines γ-Quants von einem e− . Dieser Prozeß ist nur virtuell, das heißt innerhalb eines Diagramms h¨ oherer Ordnung m¨ oglich.

Der Anfangszustand mit einem Elektron mit Impuls p   |i = e− p = b†rp |0

(15.5.2a)

geht u ¨ber in den Endzustand mit einem Elektron mit Impuls p und einem Photon mit Impuls k   |f  = e− p , γk = b†r p a†λ (k ) |0 . (15.5.2b) Den Spinorindex r und den Polarisationsindex λ geben wir nur in den Erzeugungsoperatoren an, der K¨ urze halber aber nicht in den Zust¨anden. Der Beitrag erster Ordnung zur Streuamplitude ist durch das Matrixelement von (15.5.1) gegeben. Dabei tr¨ agt zu f | S (1) |i von ψ(x) nur der Term mit brp , † ¯ von ψ(x) nur der Term br p und von A(x) nur aλ (k ) bei

346

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

8

 f | S

(1)

|i = −ie

4

d x

8

m V Ep

 12

9 

u ¯r (p )e

9  12 1  ik x

λμ (k )e ×γ 2V |k | 9 8  12 m −ipx ur (p)e . × V Ep μ

ip x

(15.5.3)

Die Integration u uhrt auf die Erhaltung des Viererimpulses und damit ¨ ber x f¨ auf das Matrixelement   12   12   12 m m 1 4 f | S (1) |i = −(2π) δ (4) (p + k  − p) V Ep V Ep 2V |k | ×ie¯ ur (p )γ μ λμ (k = p − p )ur (p) . (15.5.4) Die vierdimensionale δ-Funktion verlangt die Impulserhaltung p = p − k und die Energieerhaltung Ep−k + |k | = Ep . Die uhrt  letzte Bedingung f¨ f¨ ur Elektronen und Photonen auf k · p/|k ||p| = 1 + m2 /p2 , ist i.a. nicht erf¨ ullbar, da die beiden Endprodukte zusammen immer eine kleinere Energie als das einfallende Elektron h¨ atten. Die Energie–Impuls–Erhaltung ist f¨ ur reale Elektronen und Photonen nicht erf¨ ullbar. Dieser Prozeß kann nur als Teilelement in Diagrammen h¨ oherer Ordnung auftreten. Der vorl¨aufige Vergleich von Abb. 15.6 mit Gl. (15.5.3) zeigt, daß den Elementen des Feynman– Diagramms folgende analytische Ausdr¨ ucke zugeordnet sind: Dem einlaufen den Elektron ur (p)e−ipx dem auslaufenden Elektron u¯r (p )eip x , dem Vertexμ  ik x Punkt −ieγ , dem auslaufenden Photon λμ (k )e , und außerdem ist u ¨ber die Lage des Wechselwirkungspunktes x zu integrieren, d.h. mit dem Vertex! uhrt man nun diese Integration Punkt ist die Integration d4 x verbunden. F¨ u alt man von den Exponentialfunktionen die Viererimpulser¨ber x aus, so erh¨ 4 haltung (2π) δ (4) (p +k  −p), sodaß sich schließlich im Impulsraum die folgenden Regeln ergeben: Dem einlaufenden Elektron ist ur (p), dem auslaufenden  Elektron u¯r (p ), dem auslaufenden Photon α λ (k ) und dem Vertex-Punkt ist 4 −ieγ α (2π) δ (4) (p + k  − p) zugeordnet. 15.5.2 Mott–Streuung Unter der Mott–Streuung versteht man die Streuung eines Elektrons an einem ¨außeren Potential, das in der Praxis meistens das Coulomb–Potential eines Kerns ist. Das ¨ außere Vektorpotential hat dann die Form Aμe = (V (x), 0, 0, 0)) .

(15.5.5)

Der Anfangszustand |i = b†rp |0

(15.5.6a)

15.5 Einfache Streuprozesse, Feynman–Diagramme

347

und der Endzustand |f  = b†r p |0

(15.5.6b)

enthalten jeweils ein einziges Elektron. Diagrammatisch ist dieser Streuprozeß in Abb. 15.7 dargestellt. e−

Abb. 15.7. Mott-Streuung: e− wird an einem ¨ außeren Potential gestreut.

e−

Das aus S (1) von Gl. (15.5.1) folgende S-Matrixelement hat die Gestalt 

 12  m u ¯r (p )eip x γ 0 V Ep   12 m × V (x) ur (p)e−ipx V Ep   12   12 m m = −ieV˜ (p − p ) V Ep V Ep 

f | S (1) |i = −ie

d4 x

(15.5.7)

× M2πδ(p0 − p0 ) . Hier tritt das Spinormatrixelement M=u ¯r (p )γ 0 ur (p)

(15.5.8)

2 ¨ auf. Bei der Berechnung der Ubergangswahrscheinlichkeit | f | S (1) |i | tritt formal das Quadrat der δ-Funktion auf. Um dieser Gr¨oße einen Sinn zu geben, muß man sich daran erinnern, daß das Streuexperiment zwar w¨ahrend eines großen aber dennoch endlichen Zeitintervalls T durchgef¨ uhrt wird und 2πδ(E) durch  T /2 dt eiEt (15.5.9) 2πδ(E) → −T /2

zu ersetzen ist. Das Quadrat dieser Funktion tritt auch bei der Herleitung der Goldenen Regel auf 2    2 2  T /2 2 sin ET /2 ET iEt sin dt e = = 2πT = 2πT δ(E) . E 2 πE 2 T /2 −T /2 (15.5.10)

348

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

Dabei wurde ben¨ utzt, daß, wie in QM I, Gl. (16.34)-(16.35) ausf¨ uhrlich dargelegt ist, der in Klammern gesetzte Ausdruck eine Darstellung der δ-Funktion  2  sin ET /2 lim δT (E) = lim = δ(E) T →∞ T →∞ πE 2 T /2 ist. Etwas verk¨ urzt kann man diese Begr¨ undung folgendermaßen darstellen  T /2  T /2 lim dt eiEt dt eiEt = 2πT δ(E) , (15.5.10) T →∞

−T /2

−T /2

wobei der Limes des ersten Faktors als 2πδ(E) geschrieben wurde, was dann ! T /2 f¨ ur das zweite Integral −T /2 dt e0 = T ergibt. p

d 3p dΩ

ϑ p

Abb. 15.8. Streuung eines Elektrons mit Impuls p an einem Potential, Impuls des gestreuten Elektrons p , Ablenkungswinkel ϑ, Raumwinkelelement dΩ

¨ Die Ubergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit Γif erh¨alt man, indem man 2 (1) | f | S |i | durch T dividiert(Gl. (15.5.7)) m 2 2 |M|2 e2 |V˜ (p − p )| . Γif = 2πδ(E − E  ) VE

(15.5.11)

Der differentielle Streuquerschnitt ist durch dN (Ω) dσ = dΩ Nein dΩ

(15.5.12)

definiert, wo dN (Ω) die Zahl der Teilchen, die in das Raumwinkelelement dΩ gestreut werden, und Nein die Zahl der auf die Fl¨acheneinheit einfallenden Teilchen bedeuten (siehe Abb. 15.8). Der differentielle Streuquerschnitt (15.5.12) ist auch gleich dem Verh¨ altnis aus der Zahl der Teilchen, die pro Zeiteinheit in dΩ gestreut werden, dividiert durch die einfallende Stromdichte jein und durch dΩ: dσ dN (Ω)/dt = . dΩ jein dΩ

(15.5.12)

¨ Abgesehen von der schon gefundenen Ubergangsrate Γif ben¨otigen wir noch den einfallenden Fluß und die Zahl der Endzust¨ande im Raumwinkelelement

15.5 Einfache Streuprozesse, Feynman–Diagramme

349

|p| dΩ. Zun¨ achst zeigen wir, daß der einfallende Elektronenfluß durch EV gegeben ist. Dazu m¨ ussen wir den Erwartungswert der Stromdichte μ ¯ ψ(x) : (15.5.13) j μ (x) = : ψ(x)γ

im Anfangszustand   |i = e− , p = b†rp |0 berechnen    −  μ e , p j (x) e− , p =

m pμ u ¯r (p)γ μ ur (p) = , V Ep V Ep

(15.5.14)

wo die Gordon–Identit¨ at (Gl. (10.1.5)) 1 μ u ¯r (p) [(p + q) + iσ μν (p − q)ν ] ur (q) 2m

u ¯r (p)γ μ ur (q) =

verwendet wurde. Der pro Fl¨ acheneinheit einfallende Fluß jein ist also gleich jein =

|p| , V Ep

(15.5.15)

mit der anschaulichen Bedeutung als dem Produkt aus Teilchenzahldichte V1 |p| und relativistischer Geschwindigkeit E . Zur Bestimmung von dN (Ω) pro p Zeiteinheit ben¨ otigen wir die Zahl der Endzust¨ ande im Intervall d3 p um p . 3 Da das Volumen pro Impulswert im Impulsraum (2π) /V ist, ist die Zahl der 3  Impulspunkte im Intervall d p d3 p 3

(2π) /V wobei E =

V |p | d|p |dΩ 2

=

(2π)

A p 2 + m2

3

=

V |p |E  dE  dΩ (2π)

3

,

|p |d|p | |p |d|p | und dE  =  2 = E p + m2

(15.5.16a)

(15.5.16b)

verwendet wurde. Setzt man Gl. (15.5.11), (15.5.15) und (15.5.16a) in den differentiellen Streuquerschnitt (15.5.12) ein 5 , so erh¨alt man den Querschnitt pro Raumwinkelelement dΩ, indem man dΩ festh¨alt und u ¨ ber die verbleibende Variable E  integriert  m 2    2 1 V |p |E dE dσ 2 = 2πδ(E − E  ) |M| e2 |V˜ (p − p )| |p| 3 dΩ VE (2π) EV em 2  2 2 = |M| |V˜ (p − p )| |p |=|p| , 2π (15.5.17) 5 dN(Ω) dt

=

P f ∈dΩ

Γif =

V (2π)3

R p ∈dΩ

d3 p Γif

350

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

wobei die durch δ(E − E  ) ausgedr¨ uckte Energieerhaltung die Bedingung ur den Impuls des gestreuten Teilchens ergibt. Die Fourier–Trans|p | = |p| f¨ formation des Coulomb–Potentials eines Z-fach geladenen Kerns in Heaviside– Lorentz Einheiten6 Ze V (x) = 4π|x| lautet V˜ (p − p ) =

Ze 2

|p − p |

.

(15.5.18)

Wir setzen nun vereinfachend voraus, daß der einfallende Elektronenstrahl unpolarisiert sei, das bedeutet eine Summation ¨ ber die beiden Polarisa u tionsrichtungen mit dem Gewicht 12 , also 12 r=1,2  ; außerdem wird bei der Analyse nicht nach der Polarisation aufgel¨ ost, r , also u ¨ ber beide Polarisationsrichtungen des Endzustandes summiert. Unter dieser Voraussetzung ergibt sich nach Einsetzen von (15.5.8) und (15.5.18) in (15.5.17) f¨ ur den Streuquerschnitt  em 2 1   (Ze)2  dσ 2  0 = |¯ ur (p )γ ur (p)| . (15.5.19) 4 dΩ 2π 2  r |p − p | |p |=|p| r Das f¨ uhrt auf die Berechnung von  2 |¯ ur (p )γ 0 ur (p)| r

=

r

 r

=

γα0  α

0  u¯r α (p )γα0  α urα (p)¯ urβ (p)γββ  ur  β  (p )

r



/+m p 2m



 0 γββ  αβ



/ +m p 2m



(15.5.20)

β  α

1 = Sp γ 0 (p / + m)γ 0 (p / + m) , 4m2 wobei die Darstellungen (6.3.21) und (6.3.23) des Projektionsoperators Λ+ verwendet wurden, was auf die Spur des Produkts von γ-Matrizen f¨ uhrt. Unter Verwendung der zyklischen Invarianz der Spur, Spγ ν = 0, {γ μ , γ ν } = 2g μν 11 und Sp γ 0 γ μ γ 0 γ ν = 0 f¨ ur μ = ν erh¨ alt man Sp γ 0 (p / + m)γ 0 (p / + m) = Sp γ 0 p /γ 0 p / + m Sp γ 0 p /γ 0 + m Sp γ 0 p / γ 0 + m2 Sp 1 /γ 0 p / + 4m2 = pμ pν Sp γ 0 γ μ γ 0 γ ν + 4m2 = Sp γ 0 p = p0 p0 Sp 1 + pk pk Sp γ 0 γ k γ 0 γ k + 4m2 = 4(p20 + pp + m2 ) = 4(Ep2 + pp + m2 ) . 6

Fußnote 1 in Kap. 14

(15.5.21)

15.5 Einfache Streuprozesse, Feynman–Diagramme

351

Mit dem Ausdruck f¨ ur die Geschwindigkeit7 v= und

p ∂E p = p = 2 2 ∂p E p +m

(15.5.22a)

|p| = Ev , pp = |p|2 cos ϑ (f u ¨ r |p | = |p|)

folgen |p − p | = 2p2 (1 − cos ϑ) = 4p2 sin2 2

ϑ 2

(15.5.22b)

und ϑ E 2 + p · p + m2 = 2E 2 − p2 (1 − cos ϑ) = 2E 2 − 2p2 sin2 2 „ « 2 2 2ϑ . = 2E 1 − v sin 2

(15.5.22c)

Setzt man (15.5.20), (15.5.21) und (15.5.22a-c) in (15.5.19) ein, erh¨alt man schließlich f¨ ur den differentiellen Streuquerschnitt f¨ ur Mott–Streuung 2

(αZ) (1 − v 2 sin2 ϑ2 ) dσ = dΩ 4E 2 v 4 sin4 ϑ2

(15.5.23) eˆ2

mit der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstanten6 α = 4π0 . Im nichtrelativistischen Grenzfall erh¨ alt man aus (15.5.23) die Rutherford–Streuformel, vergl. QM I, Gl. (18.37), 2

(Zα) dσ = 2 dΩ 4m v 4 sin4

ϑ 2

.

(15.5.24)

F¨ ur die Streuung von Klein–Gordon–Teilchen ergibt sich statt Gl. (15.5.23) dσ (αZ)2 = dΩ 4E 2 v 4 sin4

ϑ 2

,

¨ siehe Ubungsaufgabe 15.2. Neben den schon im vorgehenden Teilabschnitt diskutierten Elementen der Feynman–Diagramme tritt hier ein statisches ¨außeres Feld Aμe (x) auf, dargestellt als Wellenlinie mit einem Kreuz und diesem ist nach Gl. (15.5.7) ¨ in der Ubergangsamplitude der Faktor Aμe (x) bzw. im Impulsraum  Aμe (q) = d3 xe−iq·x Aμe (x) (15.5.25) zugeordnet.

7

E und Ep werden austauschsweise verwendet.

352

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

15.5.3 Prozesse zweiter Ordnung 15.5.3.1 Elektron–Elektron–Streuung Als n¨ achstes betrachten wir die Streuung zweier Elektronen, auch bekannt als Møller–Streuung. Das entsprechende Feynman–Diagramm ist in Abb. 15.9 dargestellt. Es handelt sich hier um einen Prozeß zweiter Ordnung mit dem zugeh¨ origen Term in der S-Matrix 2  (−i) (2) S = d4 x1 d4 x2 T (HI (x1 )HI (x2 )) 2! 2  (ie) = (15.5.26) d4 x1 d4 x2 2!   ¯ 2 )A ¯ 1 )A /(x1 )ψ(x1 ) : : ψ(x /(x2 )ψ(x2 ) : . × T : ψ(x Die Anwendung des Wickschen Theorems f¨ uhrt auf einen Term ohne Kontraktion, drei Termen mit jeweils einer Kontraktion, zu drei Termen mit jeweils zwei Kontraktionen und schließlich einem Term mit drei Kontraktionen. Der Term, der zwei a ¨ußere einlaufende und auslaufende Fermionen enth¨alt, ist  e2 ¯ 1 )A ¯ 2 )A d4 x1 d4 x2 : ψ(x /(x1 )ψ(x1 )ψ(x /(x2 )ψ(x2 ) : − 2  e2 ¯ 1 )γ μ ψ(x1 )ψ(x ¯ 2 )γ ν ψ(x2 )iDF μν (x1 − x2 ) : , =− d4 x1 d4 x2 : ψ(x 2 (15.5.27) wo DF μν (x1 − x2 ) der Photonenpropagator (14.5.19) ist. Je nach Anfangszustand f¨ uhrt dieser Term zur Streuung zweier Elektronen, zur Streuung zweier Positronen oder zur Streuung eines Elektrons und eines Positrons. Wir betrachten die Streuung zweier Elektronen e− + e− → e− + e− , aus dem Anfangszustand   |i = e− (p1 r1 ), e− (p2 r2 ) = b†r1 p1 b†r2 p2 |0

(15.5.28a)

in den Endzustand   |f  = e− (p1 r1 ), e− (p2 r2 ) = b†r p b†r p |0 .

(15.5.28b)

1

1

2

2

Es gibt hier offensichtlich zwei Beitr¨ age zum Matrixelement von S (2) . Den ¯ 1 )γ μ ψ(x1 ) das mit 1 indidirekten Streubeitrag, bei dem der Operator ψ(x zierte Teilchen mit Spinor ur1 (p1 ) an der Stelle x1 vernichtet und das Teilchen ¯ 2 )γ ν ψ(x2 ) mit Spinor ur1 (p1 ) erzeugt. Das Gleiche bewirkt der Operator ψ(x auf das durch den Index 2 charakterisierte Teilchen. Die Austauschstreuung

15.5 Einfache Streuprozesse, Feynman–Diagramme 





p1 r1





p2 r2

x1

x2

p1 r1

a)





p1 r1



p2 r2

x1

p2 r2

353

x2

p1 r1

b)

Abb. 15.9. Elektron–Elektron–Streuung a) direkte Streuung, b) Austauschstreuung

p2 r2

erh¨ alt man, indem die Wirkung der Vernichtungsoperatoren, so wie gerade ¯ 1 )γ μ ψ(x1 ) das Teilchen im beschrieben wurde, bleibt, jedoch der Operator ψ(x   Endzustand ur2 (p2 ) erzeugt und der zweite Operator das Teilchen im Zustand ur1 (p1 ). Diagrammatisch sind diese beiden Beitr¨age in Abb. 15.9 dargestellt. Genau die gleichen Beitr¨ age treten auf, wenn man stattdessen die Orte der beiden Wechselwirkungsoperatoren x1 und x2 vertauscht. Da u ¨ber x1 und x2 integriert wird, erh¨ alt man den zweifachen Beitrag der beiden Diagramme in Abb. 15.9. Der Faktor 2 der von der Permutation der beiden Vertexorte 1 in S (2) gek¨ urzt werden. Dies ist eine allherr¨ uhrt, kann gegen den Faktor 2! 1 gemeine Eigenschaft von Feynman-Diagrammen. Man kann den Faktor n! in (n) S weglassen, wenn man nur u ¨ ber topologisch unterschiedliche Diagramme summiert. Das S-Matrixelement f¨ ur die direkte Streuung von Abb. 15.9a ist 

 f | S

(2)

|ia = −e

2

4

4

d x1 d x2 

m4 V 4 Ep1 Ep2 Ep1 Ep2

 12



× e−ip1 x1 +ip1 x1 −ip2 x2 +ip2 x2 × (¯ ur1 (p1 )γ μ ur1 (p1 ))(¯ ur2 (p2 )γ ν ur2 (p2 ))iDF μν (x1 − x2 ) . (15.5.29) Den ur die Austauschstreuung b) erh¨alt man, indem man in  Beitrag  f¨ − f |S (2) |i a die Wellenfunktionen der Endzust¨ande vertauscht, so daß der Wellenfunktionsanteil die Form 



ur2 (p2 )γ μ ur1 (p1 ))(¯ ur1 (p1 )γ ν ur2 (p2 )) e−ip1 x1 +ip1 x2 −ip2 x2 +ip2 x1 (¯

(15.5.30)

hat. Das erw¨ ahnte Minuszeichen r¨ uhrt daher, daß im Austauschterm eine ungerade Zahl von Antivertauschungen notwendig ist, um die Erzeugungsund Vernichtungsoperatoren in dieselbe Reihenfolge wie im direkten Term zu ! −g e−ik(x1 −x2 ) ein, bringen. Setzt man in (15.5.29) iDF μν (x1 − x2 ) = i d4 k μν k2 +i so erh¨ alt man nach Ausf¨ uhrung der Integrationen insgesamt f | S (2) |i = (2π)4 δ (4) (p1 + p2 − p1 − p2 )   12 m4 (Ma + Mb ) , × V 4 Ep1 Ep1 Ep2 Ep2

(15.5.31)

354

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

wobei die Matrixelemente des Graphen 15.9a durch Ma = −e2 u ¯(p1 )γ μ u(p1 )iDF μν (p2 − p2 )¯ u(p2 )γ ν u(p2 )

(15.5.32a)

und 15.9b durch Mb = e2 u¯(p2 )γ μ u(p1 )iDF μν (p2 − p1 )¯ u(p1 )γ ν u(p2 )

(15.5.32b)

gegeben sind. Die δ-Funktion in (15.5.31) dr¨ uckt die Erhaltung des gesamten Viererimpulses der beiden Teilchen aus. Da z.B. im Matrixelement Ma f¨ ur die direkte Streuung der Photonpropagator das Argument k ≡ p2 − p2 = p1 − p1 hat, ist der Viererimpuls der Teilchen an jedem Vertex erhalten. Wir legen dabei die Orientierung des Photonimpulses der inneren Linie von rechts nach links fest. Es ist zwar die Orientierung des Photonimpulses wegen DF μν (k) = DF μν (−k) willk¨ urlich, trotzdem muß man sich auf eine Wahl festlegen zur durchgehenden Beachtung der Impulserhaltungss¨atze an den Vertizes. Die Feynman-Diagramme im Impulsraum sind in Abbildung 15.10 dargestellt. 





p1 r1



p2 r2



k = p2 − p2 p1 r1

p2 r2 a)







p1 r1



p2 r2



k = p2 − p1 p1 r1

p2 r2 b)

Abb. 15.10. Feynman-Diagramme im Impulsraum f¨ ur die Elektron-Elektron-Streuung a) direkte Streuung, b) Austauschstreuung

Die Aufstellung der Feynman-Regeln kann nun durch ein weiteres Element erg¨ anzt werden. Jeder inneren Photonlinie mit Impulsargument k, die −gμν an Vertizes γ μ und γ ν ansetzt, ist der Propagator iDF μν (k) = i k2 +i zugeordnet. Wir kommen nun zur Auswertung des Matrixelements (15.5.32a), welche langwieriger als f¨ ur die Mott-Streuung ist. Wir werden diese hier nicht im ¨ Detail durchf¨ uhren, sondern auf die Ubungsaufgaben und die Erg¨anzung am Ende des Abschnitts verweisen und das Endergebnis diskutieren. Der Zusammenhang zwischen dem differentiellen Streuquerschnitt und dem Matrixelement M ist nach Gl. (15.5.59) im Schwerpunktsystem f¨ ur zwei Fermionen mit den Massen m1 und m2  1 m1 m2 dσ  = |M|2 , (15.5.33) dΩ SP (4π)2 Etot wo Etot die Gesamtenergie ist. Wenn man die Ergebnisse (15.5.37)-(15.5.43) in (15.5.33) einsetzt, erh¨ alt man f¨ ur den Streuquerschnitt im Schwerpunktsystem (Abb. 15.11) die Møller-Formel (1932)

15.5 Einfache Streuprozesse, Feynman–Diagramme

355

p1 = (E, p )

ϑ p1 = (E, p) p2 = (E, −p )

p2 = (E, −p)

Abb. 15.11. Kinematik der Streuung zweier gleicher Teilchen im Schwerpunktsystem

α2 (2E 2 − m2 )2 dσ = dΩ 4E 2 (E 2 − m2 )2    4 4 3 (E 2 − m2 )2 × 1 + − + . sin4 ϑ sin2 ϑ (2E 2 − m2 )2 sin4 ϑ

(15.5.34)

Im nichtrelativistischen Grenzfall, E 2 ≈ m2 , v 2 = (E 2 −m2 )/E 2 , folgt hieraus    α 2 1 dσ  1 1 1 = + − , (15.5.35) dΩ nr m 4v 4 sin4 ϑ2 cos4 ϑ2 sin2 ϑ2 cos2 ϑ2 eine Formel, die urspr¨ unglich von Mott (1930) hergeleitet wurde. Es ist instruktiv, dieses Ergebnis (15.5.35) mit der klassischen Rutherford-Streuformel < 7 dσ α2 m2 1 1 = + (15.5.36) dΩ 16|p|4 sin4 ϑ2 cos4 ϑ2 zu vergleichen. In dieser klassischen Formel tritt neben dem gel¨aufigen sin−4 ϑ2 auch noch der Term cos−4 ϑ2 auf, da es sich um zwei (identische) Elektronen handelt. Falls man die Streuung bei einem bestimmten Winkel ϑ beobachtet, dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß das von links einfallende Elektron auftrifft, proportional zu sin−4 ϑ2 . Die Wahrscheinlichkeit, daß das von rechts einfallende Elektron in diesen Winkel gestreut wird, ist aus Symmetriegr¨ unden proportional zu   π−ϑ ϑ −4 sin = cos−4 . 2 2 Klassisch werden diese Wahrscheinlichkeiten einfach addiert, was zu (15.5.36) f¨ uhrt. Im quantenmechanischen Ergebnis (15.5.35) tritt noch ein zus¨atzlicher Term auf, der von der Interferenz der beiden Elektronen herr¨ uhrt. In der Quantenmechanik werden die beiden Amplituden, die den FeynmanDiagrammen 15.9a und 15.9b entsprechen, addiert, und davon ist zur Berechnung des Streuquerschnittes das Absolutbetragsquadrat zu nehmen. Das Minuszeichen im Interferenzterm kommt von der Fermi-Statistik, f¨ ur Bosonen ergibt sich ein Pluszeichen.

356

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik E Im extrem relativistischen Grenzfall, m → ∞, folgt aus (15.5.34)    α2 dσ  4 2 1 = − + dΩ er E 2 sin4 ϑ sin2 ϑ 4   1 1 α2 (15.5.37) + +1 = 4E 2 sin4 ϑ2 cos4 ϑ2

=

α2 (3 + cos2 ϑ)2 . 4E 2 sin4 ϑ

Erg¨ anzung: Berechnung des differentiellen Streuquerschnitts der Elektron-Elektron-Streuung. F¨ ur den Streuquerschnitt ben¨ otigt man |M|2 = |Ma |2 + |Mb |2 + 2ReMa M∗b

(15.5.38)

−ig

μν aus (15.5.32a,b) mit iDF μν (k) = k2 +ie . Wir setzen einen unpolarisierten Elektronenstrahl voraus und auch, daß die Elektronen, an denen gestreut wird, unpolarisiert sind, und daß nicht nach der Polarisation  der  gestreuten   Elektronen aufgel¨ ost wird; das bedeutet die Summation 14 r1 r2 r r 1 2  ≡ 14 ri ,r . F¨ ur den ersten Term in (15.5.38) ergibt sich i

|Ma |2 =

e2  u¯r1 (p1 )γ μ ur1 (p1 )¯ ur2 (p2 )γμ ur2 (p2 ) 4  ri ,ri

× u ¯r1 (p1 )γ ν ur1 (p1 )¯ ur2 (p2 )γν ur2 (p2 ) =

1 [(p1

− p1 )2 ]2

e4  u¯r1 (p1 )γ ν ur1 (p1 )¯ ur1 (p1 )γ μ ur1 (p1 ) 4  ri ,ri

×

ur2 (p2 )γμ ur2 (p2 ) u ¯r2 (p2 )γν ur2 (p2 )¯

(15.5.39)

1

[(p1 − p1 )2 ]   4  / +m p p /1 + m e γμ = Sp γν 1 4 2m 2m    1 / p + m / p + m ν 2 μ 2 γ × Sp γ . 2  2m 2m [(p1 − p1 )2 ]

2

Den zweiten Term von (15.5.38) erh¨ alt man, indem man in |Ma |2 die Impulse   p1 und p2 vertauscht |Mb |2 = |Ma |2 (p1 ↔ p2 ) ,

(15.5.40)

15.5 Einfache Streuprozesse, Feynman–Diagramme

357

und der dritte ist 1 e2   − p )2 (p − p )2 4 (p 2 1 1 2 ri ,ri  × Re u ¯r1 (p1 )γμ ur1 (p1 )¯ ur2 (p2 )γ μ ur2 (p2 )  ν   × u¯r1 (p1 )γ ur1 (p1 )¯ ur2 (p2 )γν ur2 (p2 )

Re(Ma M∗b ) =

e4 1  2 4 (p1 − p2 ) (p2 − p1 )2   /1 + m p p /1 + m ν p /2 + m μ p /2 + m γμ γ γ × Sp γν . 2m 2m 2m 2m (15.5.41)

=−

Im letzten Ausdruck konnte Re weggelassen werden, da dieser schon reell ist. Es bleiben noch die Berechnungen der Spuren: F¨ ur die Gl. (15.5.39) ben¨otigt man /1 + m)γμ (p /1 + m)) = 4(gμν m2 + p1μ p1ν + p1ν p1μ − gμν p1 · p1 ) . Sp (γν (p (15.5.42) In Gl. (15.5.41) tritt γν (p /1 + m)γμ (p /1 + m)γ ν = −2p /1 γμ p /1 + 4m(p1μ + p1μ ) − 2m2 γμ (15.5.43) und Sp (γν (p /1 + m)γμ (p /1 + m)γ ν (p /2 + m)γ μ (p /2 + m))     = Sp (−2p /1 γμ p /1 + 4m(p1 + p1 )μ − 2m2 γμ )(p /2 + m)γ μ (p /2 + m)  /1 )(p /2 + m) + 4m(p /2 + m)(p /1 + p /1 )(p /2 + m) = Sp − 2p /1 (4p1 · p2 − 2mp  − 2m2 (−2p /2 + 4m)(p /2 + m) = 16(−2p1 ·p2 p1 ·p2 +m2 p1 ·p1 +m2 (p1 +p1 )·(p2 +p2 )+m2 p2 ·p2 −2m4 ) . (15.5.44) ¨ auf. Die Formeln (15.5.38) – (15.5.44) wurden beim Ubergang von (15.5.31) zu (15.5.34) verwendet. ∗

15.5.3.2 Streuquerschnitt und S -Matrixelement

F¨ ur viele Anwendungen ist es wichtig, einen allgemeinen Zusammenhang des Streuquerschnitts mit dem betreffenden S-Matrixelement zu haben.

358

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

Wir betrachten die Streuung zweier Teilchen mit den Viererimpulsen pi = (Ei , pi ), i = 1, 2 durch deren Reaktion im Endzustand n Teilchen mit den ucken hier der Impulsen pf = (Ef , pf ), f = 1, . . . , n entstehen. Wir unterdr¨ K¨ urze halber die Angabe des Polarisationszustandes. Das S-Matrixelement ¨ f¨ ur den Ubergang des Anfangszustandes |i in den Endzustand |f  hat die Form   pf − pi ) f | S |i = δf i + (2π)4 δ (4) (     1/2  1/2   1 1 × (2m)1/2 M . (15.5.45)  2V E 2V E i f i f

außere ¨ Fermionen

E uhrt vom Normierungsfaktor in Das letzte Produkt ¨außere Fermionen(2m)1/2 r¨ ur jedes ¨außere Fermion, (15.3.12a,b) her und liefert einen Faktor (2m)1/2 f¨ wobei die Massen unterschiedlich sein k¨ o nnen. Der Amplitudenfaktor M = ∞ (n) M ist die Summe u ber alle Ordnungen der St¨orungstheorie, wobei ¨ n=1 M(n) vom Term S (n) herr¨ uhrt. Die vierdimensionale δ-Funktion erh¨alt man f¨ ur ein unendliches Zeitintervall und ein unendliches Normierungsvolumen. Wie in der Mott-Streuung ist es zweckm¨ aßig, ein endliches Zeitintervall T und ein endliches Volumen zu betrachten, dann wird   pf − pi ) (2π)4 δ (4) (  T /2  (15.5.46) P  P dt d3 x eix( pf − pi ) → lim T →∞,V →∞

und





−T /2



T /2

d3 x eix(

dt

lim

T →∞,V →∞

V

−T /2 4 (4)

= T V (2π) δ

V

P

  ( pf − pi ).

P pf − pi )

2 (15.5.47)

¨ ¨ Daraus folgt f¨ ur die Ubergangsrate, d.i. die Ubergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit |Sf i |2 wf i = T ⎞  ⎛    1  1 ⎠ ⎝ = V (2π)4 δ (4) ( pf − pi )  2V E 2V E i f i f  2 × (2m) |M| . (15.5.48) außere ¨ Fermionen

¨ ¨ wf i ist die Ubergangsrate in einen bestimmtenEEndzustand f . Die Ubergangs3  rate in ein Volumenelement im Impulsraum l d pl erh¨alt man, indem man (15.5.48) mit der Zahl der Zust¨ ande in diesem Element multipliziert

15.5 Einfache Streuprozesse, Feynman–Diagramme

|Sf i |2  d3 pf V T (2π)3

.

359

(15.5.49)

f

¨ Der Streuquerschnitt ist das Verh¨ altnis aus Ubergangsrate und einfallendem Fluß. Das bedeutet in differentieller Form |Sf i |2 V  d3 pf V T vrel (2π)3

dσ =

f

  = (2π)4 δ (4) ( pf − pi ) ×



(2m)

außere ¨ Fermionen

≡

1 4E1 E2 vrel

 d3 pf f



1 4E1 E2 vrel

(2π)3 Ef

|M|2

(15.5.50)

(2m) |M|2 dΦn .

außere ¨ Fermionen

Wegen der verwendeten Normierung befindet sich ein Teilchen in V und der einfallende Fluß ist vrel /V , mit der Relativgeschwindigkeit vrel . Im Schwerpunktsystem (p2 = −p1 ) ist die Relativgeschwindigkeit der beiden einfallenden Teilchen vrel =

|p1 | |p2 | E1 + E2 + = |p1 | . E1 E2 E1 E2

(15.5.51)

Im Laborsystem, in dem wir das Teilchen 2 als ruhend, also als Streuer annehmen, ist p2 = 0, und die Relativgeschwindigkeit ist vrel =

|p1 | . E1

(15.5.52)

Bei der Berechnung von Streuquerschnitten treten Phasenraumfaktoren der auslaufenden Teilchen auf   pf − p1 − p2 ) dΦn ≡ (2π)4 δ (4) ( f

d3 pf . (2π)3 2Ef

(15.5.53)

¨ Wenn man sich f¨ ur den Querschnitt des Ubergangs in einem Teilbereich des Phasenraums interessiert, muß man u ¨ ber die u ¨brigen Variablen integrieren. Da der gesamte Viererimpuls erhalten ist, sind die Impulse p 1 , . . . p n nicht alle unabh¨ angige Variable. Als ein wichtiges Beispiel betrachten wir den Spezialfall von zwei auslaufenden Teilchen dΦ2 = (2π)4 δ (4) (p1 + p2 − p1 − p2 )

d3 p1 d3 p2 .  3 (2π) 2E1 (2π)3 2E2

(15.5.54)

360

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

Die Integration u ¨ ber p 2 ergibt8 1 d3 p δ(E1 + E2 − E1 − E2 )  1  2 (2π) 4E1 E2   2  δ(E1 + E2 − E1 − E2 )p1 dp1 dΩ1 = , 16π 2 E1 E2

dΦ2 =

(15.5.55)

wobei in dieser Gleichung E2 ≡ Ep2 =p1 +p2 −p1 zu setzen ist. Die weitere Integration u ¨ ber p1 ≡ |p 1 | ergibt9 dΦ2 =

|p1 |2 16π 2 E1 E2

∂(E1 +E2 ) ∂|p1 |

dΩ1 .

(15.5.56)

Im Schwerpunktsystem ist p 2 = −p 1 . Aus 2 Ef2 = m2 f + pf , f = 1, 2

(15.5.57)

folgt ∂(E1 + E2 ) = |p1 | ∂|p1 |



1 1 +  E1 E2



= |p1 |

E1 + E2 . E1 E2

(15.5.58)

Setzt man dies in (15.5.56), (15.5.58) und (15.5.52) in (15.5.50) ein, erh¨alt man f¨ ur den differentiellen Streuquerschnitt im Schwerpunktsystem  1 |p1 |  dσ  1 = (2mFermi)|M|2 . (15.5.59)  2 2 dΩ SP 4 (4π) (E1 + E2 ) |p1 | außere ¨ Fermionen

Das ist der gesuchte allgemeine Zusammenhang zwischen dem differentiellen Streuquerschnitt und der Amplitude M. Der Spezialfall von ElektronElektron-Streuung wurde in Abschn. 15.5.3.1 ausgewertet. 15.5.3.3 Compton–Streuung Unter der Compton-Streuung versteht man die Streuung eines Photons an einem freien Elektron. In der Praxis sind die Elektronen zwar oft gebunden, aber wegen der hohen Energie der Photonen k¨onnen sie dennoch als frei angesehen werden10 . Bei diesem Streuvorgang 8

9

10

¨ Die Gr¨ oße des Phasenraums a von (15.5.54) zu ¨ndert sich beim Ubergang (15.5.56), da schließlich der Querschnitt pro Raumwinkelement dΩ1 berechnet wird, unabh¨ angig von |p1 | und p2 . Wir a ¨ndern dabei die Bezeichnungsweise dΦ nicht. P 1 δ(f (x)) = ¨ ber alle (einfachen) x0 |f  (x0 )| δ(x − x0 ), wo sich die Summation u Nullstellen von f (x) erstreckt. Die große historische Bedeutung des Compton-Effekts f¨ ur die Entwicklung des quantenmechanischen Weltbildes wurde in QM I, Abschnitt 1.2.1.3 dargestellt.

15.5 Einfache Streuprozesse, Feynman–Diagramme

361

e− + γ −→ e− + γ enth¨ alt der Anfangszustand ein Elektron und ein Photon und desgleichen der Endzustand. In der zweiten Ordnung der St¨ orungstheorie ergibt das Wicksche Theorem zwei Beitr¨ age mit jeweils einer Kontraktion zweier Fermion-Operatoren ψ ¯ Die beiden Feynman-Diagramme sind in Abb. 15.12 dargestellt. Daund ψ. raus l¨ aßt sich eine weitere Feynman-Regel ablesen. Jeder inneren Fermionlinie i . Die beiden Diagramme b) und c) entspricht ein Propagator iSF (p) = p/−m+i sind topologisch ¨aquivalent, man muß nur eines der beiden ber¨ ucksichtigen. e−

γ

γ

e−

e−

γ

e+ ∧

= e−

a)

γ

e− b)

γ

γ

e− c)

Abb. 15.12. Compton-Streuung a) Ein Photon wird absorbiert und danach ein Photon emittiert. b) Das Photon erzeugt zun¨ achst ein e+ e− -Paar. Dieses Diagramm ist topologisch ¨ aquivalent zu c), wo zuerst ein Photon emittiert wird und erst danach das einfallende Photon von dem Elektron absorbiert wird. Bemerkung. Im Zusammenhang mit der Berechnung des Photon-Propagators in der Coulomb-Eichung (Abschnitt 14.5) wurde behauptet, daß der PhotonPropagator nur in der Kombination jμ DFμν jν auftritt. Wir erl¨ autern dies in der zweiten Ordnung der St¨ orungstheorie, f¨ ur die der Beitrag zur S-Matrix Z Z ` ´ (−i)2 d4 x d4 x T j μ (x)Aμ (x)j ν (x )Aν (x ) S (2) = 2! Z Z ` ´ ` ´ (−i)2 d4 x d4 x T j μ (x)j ν (x ) T Aμ (x)Aν (x ) = 2! lautet, da die Elektronen- und Photonoperatoren miteinander vertauschen. Die Kontraktion der beiden Photonenfelder ergibt Z Z ` μ ´ 4 4  ν   d x d x T j (x)j (x ) DF μν (x − x ) = d4 k T (j μ (k)j ν (k)) DF μν (k) , und wegen der Kontinuit¨ atsgleichung j μ (k)kμ = 0 verschwinden die Betr¨ age des in (E.26c) als redundant bezeichneten Anteils von DF μν (k).

15.5.4 Feynman-Regeln der Quantenelektrodynamik Durch die Analyse der Streuprozesse in den Abschnitten 15.5.2 und 15.5.3 unter Verwendung des Wickschen Theorems konnten wir die wichtigsten Elemente der Feynman-Regeln ableiten, die die Zuordnung der analytischen

362

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

Ausdr¨ ucke zu den Feynman-Diagrammen angeben. Wir fassen diese in der folgenden Aufstellung und in Abb. 15.13 zusammen. F¨ ur vorgegebene Anfangs- und Endzust¨ande |i und |f  hat das SMatrixelement die Gestalt f | S |i

⎡

⎛

⎢ ⎜  4 = δf i + ⎣(2π) δ (4) (Pf − Pi ) ⎝

:

auß. ¨ Fermion

⎞⎛ m ⎟⎜  ⎠⎝ VE

;

auß. ¨ Photon

⎞⎤ 1 ⎟⎥ ⎠⎦ M , 2V |k|

wobei Pi und Pf die Gesamtimpulse des Anfangs- und Endzustandes sind. Zur Bestimmung von M zeichnet man alle topologisch verschiedenen Diagramme bis zu der gew¨ unschten Ordnung in der Wechselwirkung, und summiert u ¨ber die Amplituden dieser Diagramme. Die Amplitude, die einem bestimmten Feynman-Diagramm zukommt, bestimmt man folgendermaßen. 1. 2. 3. 4.

5.

6. 7. 8. 9.

Jedem Vertexpunkt ist ein Faktor −ieγ μ zugeordnet. μν F¨ ur jede innere Photonlinie schreibt man einen Faktor iDF μν (k) = i k−g 2 +i . 1 F¨ ur jede innere Fermionlinie setzt man iSF (p) = i p/−m+i . Den ¨ außeren Linien sind die folgenden freien Spinoren und Polarisationsvektoren zugeordnet: Einlaufendes Elektron: ur (p) Auslaufendes Elektron: u ¯r (p) Einlaufendes Positron: w ¯r (p) Auslaufendes Positron: wr (p) Einlaufendes Photon: λμ (k) Auslaufendes Photon: λμ (k) Die Spinorfaktoren (γ-Matrizen, SF -Propagatoren, Viererspinoren) sind f¨ ur jede Fermionlinie so geordnet, daß man von rechts nach links lesend den Pfeilen entlang der Fermionlinie folgt. F¨ ur jede in sich geschlossene Fermionlinie ist ein Faktor (−1) zu setzen und erfolgt Spurbildung in den Spinorindizes. An jedem Vertex erf¨ ullen die Viererimpulse der drei dort zusammentreffenden Linien die Energie- und Impulserhaltung. ¨ Uber alle freien (durch die Viererimpulserhaltung nicht festgelegten) in! d4 q neren Impulse ist zu integrieren: (2π) 4. Man multipliziere mit einem Phasenfaktor δp = 1(−1), falls eine gerade (ungerade) Anzahl von Transpositionen notwendig ist, um die FermionOperatoren auf Normalordnung zu bringen.

Ein Beispiel f¨ ur ein Diagramm mit einer in sich geschlossenen Fermionenschleife ist das Selbstenergiediagramm des Photons in Abb. 15.21, ein zweites Beispiel ist das Vakuumdiagramm von Abb. 15.14. Vakuumdiagramme sind Diagramme ohne ¨ außere Linien. Das Minuszeichen f¨ ur eine geschlos-

15.5 Einfache Streuprozesse, Feynman–Diagramme

363

Feynman-Regeln der Quantenelektrodynamik im Impulsraum ¨ Außere Linien:

u ¯r (p)

ur (p) einfallendes Elektron

auslaufendes Elektron

w ¯r (p)

wr (p)

einfallendes Positron

auslaufendes Positron

λμ (k)

λμ (k) einfallendes Photon

auslaufendes Photon Aeμ (k) außeres Feld ¨

Innere Linien: k

1 iSF (p) = i p/−m+i

p innere Elektronlinie

μ

μν

iDFμν (k) = i k−g 2 +i

ν innere Photonlinie



p

−ieγ μ k

k

p Vertex Abb. 15.13. Die Feynman-Regeln der Quantenelektrodynamik. Bemerkung: Bei den ¨ außeren Linien und den Propagatoren wurden deren Ansatzpunkte an einen Vertex durch einen kleinen Punkt markiert.

Abb. 15.14. Das Vakuumdiagramm niedrigster Ordnung

364

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

sene Fermion-Schleife hat den folgenden Ursprung. Ausgehend von dem T ¯ 1 )A /(x1 )ψ(x1 ) Produkt-Teil, welcher die geschlossene Schleife ergibt, T (. . . ψ(x ¯ f )A ¯ 1 ) mit ¯ 2 )A /(x2 )ψ(x2 ) . . . ψ(x /(xf )ψ(xf ) . . . ) muß man den Operator ψ(x ψ(x einer ungeraden Zahl von Fermi-Feldern permutieren und erh¨alt so die Folge ¯ 2 ) . . . ψ(xf )ψ(x ¯ 1 ) mit einem Minuszeichen. von Propagatoren ψ(x1 )ψ(x ∗

15.6 Strahlungskorrekturen

Wir besprechen hier noch einige weitere typische Elemente von Feynman– Diagrammen, die bei Streuprozessen zu h¨ oheren Korrekturen in der Ladung f¨ uhren. Man nennt diese Korrekturen generell Strahlungskorrekturen. Wenn man z.B. zur Elektron-Elektron-Streuung h¨ ohere Feynman-Diagramme hinzunimmt, erh¨ alt man Korrekturen in Potenzen der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstanten α. Ein Teil dieser Diagramme hat eine ganz neue Gestalt, andere wiederum lassen sich auf eine Ab¨ anderung des Elektron-Propagators oder des Photon-Propagators oder des Elektron-Elektron-Photon-Vertex zur¨ uckf¨ uhren. Mit diesen letzten Elementen von Feynman-Diagrammen wollen wir uns in diesem Abschnitt besch¨ aftigen. Dem Leser soll ein grober qualitativer Eindruck von der Berechnung h¨ oherer Korrekturen, der Regularisierung und Renormierung vermittelt werden. Auf detaillierte Rechnungen muß verzichtet werden.11 15.6.1 Selbstenergie des Elektrons 15.6.1.1 Selbstenergie und Dyson–Gleichung Wie schon fr¨ uher bemerkt wurde, wechselwirkt ein Elektron mit seinem eigenen Strahlungsfeld. Es kann Photonen emittieren und diese wieder reabsorbieren. Diese Ph¨ anomene, die durch st¨ orungstheoretische Beitr¨age h¨oherer Ordnung beschrieben werden, beeinflussen die Propagationseigenschaften des Elektrons. Wird z.B. eine Fermionlinie in einem Diagramm durch den in Abb. 15.15 dargestellten Diagrammteil ersetzt, so f¨ uhrt das analytisch f¨ ur den Propagator insgesamt (a+b) zu der Ersetzung SF (p) → SF (p) = SF (p) + SF (p)Σ(p)SF (p) .

(15.6.1)

Den aus einer Photon- und einer Fermionlinie bestehenden, blasenf¨ormigen Teil in Abb. 15.15 nennt man Selbstenergie Σ(p). Der zugeh¨orige analytische Ausdruck wird in Gl. (15.6.4) angegeben. Summiert man Prozesse dieser Art auf, SF (p) = SF (p) + SF (p)Σ(p)SF (p) + SF (p)Σ(p)SF (p)Σ(p)SF (p) + . . .   = SF (p) + SF (p)Σ(p) SF (p) + SF (p)Σ(p)SF (p) + . . . , (15.6.2a) 11

Siehe z.B. J.M. Jauch and F. Rohrlich, op. cit., S. 178ff, J.D. Bjorken und S.D. Drell, Relativistische Quantenmechanik, S. 166ff

∗

15.6 Strahlungskorrekturen

365

Abb. 15.15. Ersetzung eines Fermionpropagators (a) durch zwei Propagatoren mit einem Selbstenergieeinsatz (b)

so erh¨ alt man die Dyson-Gleichung SF (p) = SF (p) + SF (p)Σ(p)SF (p) ,

(15.6.2b)

mit der L¨ osung SF (p) =

1 (SF (p))

−1

− Σ(p)

.

(15.6.3)

Somit gibt die Selbstenergie Σ(p) bzw. das zugeh¨orige Selbstenergie–Diagramm unter anderem eine Korrektur zur Masse und eine Ab¨anderung der Energie der Teilchen, woraus sich der Name erkl¨ art. Die diagrammatische Darstellung von (15.6.2a) und (15.6.2b) findet sich in Abb. 15.16. Im Unterschied zum freien (oder auch nackten) Propagator SF (p) nennt man SF (p) den wechselwirkenden Propagator. Diagrammatisch stellen wir SF (p) durch die Doppellinie dar.

Abb. 15.16. Diagrammatische Darstellung der Dyson-Gleichung (15.6.2a,b). Der Propagator SF (p) wird durch den Doppelstrich dargestellt.

Einige Selbstenergiediagramme h¨ oherer Ordnung wurden bereits in Abb. 15.2 angegeben. Generell bezeichnet man einen Diagrammteil als Selbstenergiebeitrag, wenn er zum Rest des Diagramms nur durch zwei SF (p)Propagatoren verbunden ist. Ein Selbstenergiediagramm heißt eigentlich (auch Einteilchen-irreduzibel), wenn es nicht durch Durchschneiden einer einzigen SF (p)-Linie in zwei Teile zerlegt werden kann, anderenfalls heißt es uneigentlich. Die Selbstenergiediagramme in Abb. 15.2 sind alle eigentlich. Der zweite Summand in der ersten Zeile von Abb. 15.16 enth¨alt einen eigentlichen Selbstenergieanteil, die weiteren uneigentliche. Man kann die DysonGleichung (15.6.2b) auf beliebige h¨ ohere Ordnung erweitern; dann besteht Σ(p) in (15.6.2b) und (15.6.3) aus der Summe aller eigentlichen Selbstenergiediagramme.

366

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik k

Abb. 15.17. Niedrigstes (irreduzibles) Selbstenergiediagramm des Elektrons

p−k

Der analytische Ausdruck zu dem Selbstenergie-Diagramm niedrigster Ordnung Abb. 15.17, welcher als Teil in Abb. 15.15 enthalten ist, lautet nach den Feynman-Regeln  (−ie)2 −iΣ(p) = d4 kiDF μν (k)γ μ iSF (p − k)γ ν (2π)4  2p / − 2k/ − 4m e2 1 . (15.6.4) = d4 k 2 (2π)4 k + i (p − k)2 − m2 + i

Das Integral ist ultraviolettdivergent, und zwar divergiert es an der oberen Grenze logarithmisch. i Der nackte (freie) Propagator p/−m+i hat einen Pol bei der nackten Masse /+m) i 2 2 = p2i(p /p = m, d.h. p/−m+i −m2 +i hat einen Pol bei p = m . Entsprechend wird der wechselwirkende aus (15.6.3) folgende Propagator

iSF (p) =

i / − m − Σ(p) + i

p

.

(15.6.5)

einen Pol bei einer davon verschiedenen, physikalischen oder renormierten Masse mR = m + δm

(15.6.6)

besitzen. Durch die Emission und Reabsorption von virtuellen Photonen a ¨ndert sich die Masse des Elektrons (siehe z.B. auch die Diagramme von Abb. 15.2).Wir schreiben (15.6.5) mit (15.6.6) um, iSF (p) =

i / − mR − Σ(p) + δm + i

p

.

(15.6.7)

15.6.1.2 Physikalische und nackte Masse, Massenrenormierung Es ist zweckm¨ aßig, den Fermionteil der Lagrange-Dichte und entsprechend des Hamilton-Operators folgendermaßen umzudefinieren ¯ / − m)ψ − eψA ¯ /ψ L ≡ ψ(i∂ ¯ / − mR )ψ − eψA ¯ /ψ + δm ψψ ¯ , = ψ(i∂

(15.6.8)

∗

15.6 Strahlungskorrekturen

367

−δm Abb. 15.18. Feynman-Diagramm f¨ ur die Massenkorrektur (Massengegenterm) ¯ −δm ψψ

so daß die freie Lagrange–Dichte die physikalische Masse enth¨alt. Dabei ist ber¨ ucksichtigt, daß durch die nichtlineare Wechselwirkung in L1 die nackte Masse m abge¨ andert wird, und daß die dadurch entstehende physikalische, im Experiment beobachtbare Masse mR sich von m nach (15.6.6) unterscheidet. Einzelne Teilchen, die weit voneinander entfernt sind, und nicht miteinander wechselwirken, wie es bei der Streuung von Teilchen vor und nach dem Streuprozeß der Fall ist, besitzen diese physikalische Masse mR . Es tritt ¯ /ψ ein weiterer St¨orterm, nach Gl. (15.6.8) in der Hamilton–Dichte neben eψA ¯ n¨ amlich −δm ψψ auf. Das δm ist so zu bestimmen, daß die Effekte der beiden Terme im modifizierten Wechselwirkungsteil, ¯ /ψ − δm ψψ ¯ , HI = eψA

(15.6.9)

¨ zusammen keine Anderung der physikalischen Elektronenmasse ergeben. Der ¯ wird diagrammatisch in Abb. 15.18 dargestellt. Er hat die St¨ orterm −δm ψψ Form eines Vertex mit zwei Linien. Durch die Subtraktion des Massengliedes, ¯ erreicht man, daß die nackten“ Teilchen dieser so umdefinierten −δm ψψ, ” Lagrange-Dichte die gleiche Masse und damit das gleiche Energiespektrum wie die physikalischen Teilchen haben, n¨ amlich mR . Zusammen mit jedem Selbstenergieeinsatz der Form 15.19a) tritt der Massengegenterm b) auf, der den k-unabh¨ angigen Beitrag von a) kompensiert. In h¨oherer Ordnung in e kommen weitere eigentliche Selbstenergiediagramme hinzu, und δm enth¨alt h¨ ohere Korrekturen in e. Auch f¨ ur die umdefinierte Lagrange–Dichte (15.6.8) bzw. die Wechselwirkungs–Hamilton–Dichte (15.6.9) hat der Propagator die k

+ p

p−k

a)

p

p

p

b)

Abb. 15.19. Die niedrigsten Selbstenergiebeitr¨ age nach der Lagrange–Dichte (15.6.8) bzw. (15.6.9) a) Selbstenergie wie in Gl. (15.6.4) mit m → mR , b) Massengegenterm aufgrund der Massenkorrektur in (15.6.9).

368

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

Form (15.6.7), wobei die Selbstenergie Σ(p)  −i i d4 k γν γν −iΣ(p) = −e2 (2π)4 k 2 + i p / − k/ − mR + i

(15.6.10)

sich von (15.6.4) nur durch das Auftreten der Masse mR unterscheidet. Die Massenverschiebung δm ergibt sich aus der Bedingung, daß der dritte und ¨ vierte Term im Nenner von (15.6.7) zusammen zu keiner Anderung der (phy/ = mR hat: sikalischen) Masse f¨ uhren, daß also iSF (p) einen Pol bei p Σ(p)|p/=mR = δm

.

(15.6.11)

15.6.1.3 Regularisierung und Ladungsrenormierung Da der Integrand in (15.6.10) nur wie k −3 abf¨ allt, ist das Integral ultraviolettdivergent. Zur Bestimmung der in Σ(p) enthaltenen physikalischen Effekte ist deshalb notwendig eine Regularisierung vorzunehmen, durch die das Integral endlich wird. Eine M¨ oglichkeit besteht darin, den Photonpropagator durch k2

1 1 1 −→ 2 − 2 2 + i

k − λ + i k − Λ2 + i

(15.6.12)

zu ersetzen. Hier ist Λ eine große Abschneidewellenzahl: f¨ ur k  Λ bleibt der Propagator unge¨ andert und f¨ ur k  Λ f¨ allt er wie k −4 ab, so daß Σ(p) endlich wird. Im Grenzfall Λ → ∞ ergibt sich die urspr¨ ungliche QED. Außerdem ist λ eine artifizielle Photonmasse, die eingef¨ uhrt wird, um Infrarotdivergenzen zu vermeiden, und die letztlich Null gesetzt wird. Mit der Regularisierung (15.6.12) wird Σ(p) endlich. Es ist zweckm¨ assig, Σ(p) nach Potenzen von (p / − mR ) zu entwickeln, Σ(p) = A − (p / − mR )B + (p / − mR )2 Σf (p) .

(15.6.13)

Man sieht aus (15.6.10), daß die p-unabh¨ angigen Koeffizienten A und B logarithmisch in Λ divergieren, w¨ ahrend Σf (p) endlich und unabh¨angig von Λ ist. Wenn man Σ(p) von links und rechts mit Spinoren zur Masse mR mul∂Σ(p) tipliziert, bleibt nur die Konstante A u ¨ brig. Falls man ∂pμ betrachtet, und von links und rechts mit Spinoren multipliziert, bleibt nur −γ μ B u ¨ brig. Dies wird sp¨ ater im Zusammenhang mit der Ward-Identit¨at ben¨otigt. Das Ergebnis der expliziten Rechnung ist11 : Nach Gl. (15.6.11) erh¨alt man f¨ ur die Massenverschiebung δm δm = A =

Λ 3mR α log , 2π mR

eine logarithmische Divergenz. Der Koeffizient B ist

(15.6.14)

∗

B=

15.6 Strahlungskorrekturen

Λ2 m2 α α log 2 − log 2R . 4π mR 2π λ

369

(15.6.15)

Die explizite Form der endlichen Funktion Σf (p) werden wir im folgenden nicht ben¨ otigen. Folglich ergibt sich aus (15.6.5) und (15.6.13) i (p / − mR ) [1 + B − (p / − mR )Σf (p)] i = (p / − mR ) (1 + B) (1 − (p / − mR )Σf (p)) + O(α2 ) iZ2 = (p / − mR ) (1 − (p / − mR )Σf (p)) + O(α2 )

iSF (p) =

(15.6.16)

mit Z2−1 ≡ 1 + B = 1 +

α 4π

  m2 Λ2 log 2 − 2 log 2R mR λ

.

(15.6.17)

Z2 ist die sog. Wellenfunktion-Renormierungskonstante. Nun l¨ auft ein Propagator zwischen zwei Vertizes, die beide einen Faktor √ e mit sich bringen. Den Faktor Z2 kann man deshalb in zwei Faktoren Z2 zerlegen und den Wert der Ladung unter Bedachtnahme auf die zwei in jedem Vertex eingehenden Fermionen umdefinieren eR = Z2 e ≡ (1 − B)e .

(15.6.18)

aufige renormierte Ladung. Wir werden anschließend noch Hier ist eR die vorl¨ zwei weitere Renormierungen vornehmen. Der nach der Renormierung verbleibende Elektronpropagator hat die Form iS˜F (p) = Z2−1 iSF (p) =

i (p / − mR ) (1 − (p / − mR )Σf (p)) + O(α2 )

(15.6.19)

und ist endlich. 15.6.1.4 Renormierung von ¨ außeren Elektronenlinien Das Diagramm 15.20a enth¨ alt einen Selbstenergieeinsatz in einer ¨außeren Elektronenlinie. Dieses f¨ uhrt zusammen mit dem Massengegenterm von Abb. ¨ 15.20b zu der folgenden Anderung des Spinors des einfallenden Elektrons   i ur (p) → ur (p) + / − mR )2 Σf (p) ur i(p / − mR )B − i(p / − mR + i

p   i (p / − mR )B ur (p) , → 1− (15.6.20) / − mR + i

p

370

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

a)

b)

Abb. 15.20. a) Ein Diagramm mit einem Selbstenergieeinsatz in einer ¨ außeren Fermionlinie. b) Massenkorrekturterm

da der letzte Term in der ersten Zeile wegen (p / − mR )ur (p) = 0 verschwindet. Der Ausdruck in der zweiten Zeile ist unbestimmt, wie man sieht, wenn man einmal die beiden Operatoren gegeneinander k¨ urzt oder andererseits (p / −mR ) auf ur (p) anwendet. Mit Hilfe des adiabatischen Ein- und Ausschaltens der Wechselwirkung ¯ μ ψAμ − ζ(t)2 δm ψψ, ¯ HI = ζ(t)e ψγ

(15.6.21)

wobei limt→±∞ ζ(t) = 0, und ζ(0) = 1 ist, wird (15.6.20) durch einen wohldefinierten mathematischen Ausdruck ersetzt, mit dem Ergebnis √ (15.6.22) ur (p) → ur (p) 1 − B . Das bedeutet, daß auch die a ¨ußeren Linien in der √ Renormierung der Ladung ur genauso wie die inneren Linien einen Faktor 1 − B liefern, d.h. auch f¨ Vertizes mit a ußeren Linien gilt Gl. (15.6.18) ¨ e → eR = (1 − B)e . 1/2

Abgesehen vom Faktor Z2 , der in der Ladungsrenormierung aufgeht, kommt es in den ¨ außeren Elektronenlinien zu keinen Strahlungskorrekturen. Das Ergebnis (15.6.22) ist anschaulich aus folgenden Gr¨ unden zu erwarten. (i) Auch ein ¨ außeres Elektron ist irgendwo emittiert worden und somit ein inneres Elektron in einem oßeren Prozeßablauf. Es liefert deshalb an jedem Vertex √ gr¨ ¨ vom Fermionpropagator SF zu S˜F einen Faktor 1 − B. (ii) Den Ubergang in Gl. (15.6.19) kann man als Ersetzung des Feldes ψ durch ein renormiertes −1/2 1/2 Feld ψR = Z2 ψ + . . . ansehen, oder Z2 ψR = ψ + . . . . Hieraus erkennt man auch, daß Z2 die Bedeutung der Wahrscheinlichkeit hat, in einem physikalischen Elektron lediglich ein nacktes Elektron zu finden. 15.6.2 Selbstenergie des Photons, Vakuumpolarisation Der niedrigste Beitrag zur Photon-Selbstenergie ist in Abb. 15.21 dargestellt. Dieses Diagramm gibt einen Beitrag zum Photonpropagator. Das Photon erzeugt ein virtuelles Elektron-Positron-Paar, welches anschließend durch Selbstvernichtung wieder in ein Photon u ¨bergeht. Man spricht hier mit Hinweis auf das fluktuierende Dipolmoment des virtuellen Elektron–Positron– Paars, das durch ein elektrisches Feld auch polarisiert werden kann, von der Vakuumpolarisation.

∗

15.6 Strahlungskorrekturen

371

q k

k Abb. 15.21. Vakuumpolarisation, ein Photon zerf¨ allt in ein Elektron-Positron-Paar, welches wieder zu einem Photon rekombiniert

q+k

Der analytische Ausdruck zu Abb. 15.21 ist nach den Feynman-Regeln  d4 q (−1) Πμν (k, mR ) = (2π)4   i i × Sp (−ieγμ ) (−ieγν ) . (15.6.23) /q + k/ − mR + i

/q − mR + i

Zun¨ achst scheint es, als ob dieser Ausdruck quadratisch an der oberen Grenze divergiert. Wegen der Eichinvarianz sind die Ultraviolettbeitr¨age jedoch nur logarithmisch divergent. Eine Regularisierung durch Abschneiden des Integrals bei einer Wellenzahl Λ w¨ urde die Eichinvarianz verletzen. Man regularisiert (15.6.23) deshalb nach der R Pauli-Villars-Methode11 , indem man Πμν (k, mR ) durch Πμν (k, mR ) ≡ Πμν (k, mR ) P atzliche, fiktive Fermionmassen − i Ci Πμν (k, Mi ) ersetzt, wo die Mi große, zus¨ P P 2 2 sind, und die Koeffizienten ullen. Im Endergebnis i Ci = 1, i Ci Mi = mR erf¨ 2 P Mi M2 geht nur log m2 ≡ i Ci log m2 ein. R

R

Letztlich nimmt der Photonpropagator aufgrund der Vakuumspolarisations–Selbstenergiebeitr¨ age f¨ ur kleine k die Form    2  1 1 k igμν α  Z3 1 − − iDμν (k) = − 2 (15.6.24) k + i

πm2R 15 40 m2R an, wo Z3 ≡ 1 − C = 1 −

M2 α log 2 3π mR

(15.6.25)

die Renormierungskonstante des Photon-Feldes ist. Auch dieser Faktor f¨ uhrt zu einer Renormierung der Ladung   M2 α 2 e2 log ≡ Z e ≈ 1 − (15.6.26) e2 . 3 R 3π m2R Der nach der Ladungsrenormierung verbleibende Photonpropagator hat f¨ ur kleine k die Form ˜  (k) = Z −1 iD (k) iD F μν F μν 3    2  1 1 k −igμν αk 2 − = 2 . 1− k + i

πm2R 15 40 m2R

(15.6.27)

372

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

15.6.3 Vertexkorrekturen Wir kommen nun zur Diskussion der Vertexkorrekturen. Die dabei auftretenden Divergenzen k¨ onnen ebenfalls durch Renormierung beseitigt werden. 

p



p −k





p



p−p

k p−k

p−p p

p a)

b)

Abb. 15.22. a) Vertexkorrektur, b) Vertex

Ein Diagramm von der Art der Abb. 15.22a enth¨alt zwei Fermionbeine und ¯ μ Aμ ψ in ein Photonbein, hat also die gleiche Struktur wie der Vertex ψγ Abb. 15.22b, man spricht deshalb bei Diagrammen dieser Art von Vertexkorrekturen. Das Diagramm 15.22a stellt die niedrigste (niedrigste Potenz in e) Vertexkorrektur dar. Dieses Diagramm ergibt auch den f¨ uhrenden Beitrag zum anomalen magnetischen Moment des Elektrons. Die Amplitude f¨ ur das Diagramm ohne die ¨ außeren Linien ist durch  −i d4 k Λμ (p , p) = (−ie)2 (2π)4 k 2 + i

(15.6.28) i i γμ γν × γν  / − k/ − mR + i p p / − k/ − mR + i

gegeben. Λμ (p , p) ist logarithmisch divergent und wird im folgenden durch die Ersetzung des Photonpropagators nach Gl. (15.6.12) regularisiert. Man kann Λμ (p , p) in einen Anteil, der im Grenzfall Λ → ∞ divergiert und in einen endlichen Teil zerlegen. Wir betrachten zun¨achst Λμ von links und rechts mit zwei Spinoren zur Masse mR multipliziert, u¯r (P )Λμ (P, P )ur (P ). Die Impulse derartiger, zu reellen Teilchen geh¨origer Spinoren bezeichnen wir hier und im folgenden mit P . Aus Gr¨ unden der Lorentz–Invarianz kann dieser Ausdruck nur proportional zu γμ und Pμ sein. Mit Hilfe der Gordonangigkeit durch γ μ ersetzen, so Identit¨ at, Gl. (10.1.5), kann man eine P μ -Abh¨ daß u ¯r (P )Λμ (P, P )ur (P ) = L¯ ur (P )γμ ur (P )

(15.6.29)

gilt, mit einer noch zu bestimmenden Konstanten L. F¨ ur allgemeine Vierervektoren p, p zerlegen wir Λμ (p , p) in der Form Λμ (p , p) = Lγμ + Λfμ (p , p) .

(15.6.30)

∗

15.6 Strahlungskorrekturen

373

W¨ ahrend L im Grenzfall Λ → ∞ divergiert, ist Λfμ (p , p) endlich. Um dies einzusehen, entwickeln wir den Fermion-Anteil in (15.6.28) nach der Abweichung der Impulsvektoren p und p von dem in (15.6.29) angenommenen Impulsvektor P von freien physikalischen Teilchen:   1 1 1 − (p / − P/) + ··· P/ − k/ − mR + i P/ − k/ − mR + i

P/ − k/ − mR + i

 1 × γμ P/ − k/ − mR + i

 1 1 (p / − P/) + ··· . − P/ − k/ − mR + i

P/ − k/ − mR + i

(15.6.31) Die Divergenz in (15.6.28) r¨ uhrt vom f¨ uhrenden Term (dem Produkt der ersten Terme in den Klammern in (15.6.31)) her, dieser ergibt Lγ μ , w¨ahrend die restlichen Terme endlich sind. Der erste Term in (15.6.30) f¨ uhrt zusammen mit γμ zur Ersetzung von γμ → γμ (1 + L) und ergibt eine weitere Renormierung der Ladung eR = (1 + L)eR ≡ Z1−1 eR .

(15.6.32)

Wir brauchen die Konstante L nicht weiter zu berechnen, da wir allgemein zeigen werden, daß sie mit der in (15.6.13) und (15.6.15) eingef¨ uhrten Konstanten B zusammenh¨ angt und sich mit dieser in der Ladungsrenormierung kompensiert. 15.6.4 Ward-Identit¨ at und Ladungsrenormierung Die Renormierungsfaktoren f¨ ur die Ladung ergeben insgesamt √ e → eR = 1 − C (1 − B)(1 + L)e .

(15.6.33)

√ Hier kommt 1 − C von der Vakuumpolarisation Abb. 15.21, 1 − B von der Wellenfunktionrenormierung des Elektrons Abb. 15.15 und 1 + L von der Vertexrenormierung. Es stellt sich jedoch heraus, daß in der Quantenelektrodynamik die Koeffizienten B und L gleich sind. Um diese Gleichheit zu zeigen, schreiben wir die Selbstenergie des Elektrons Gl. (15.6.10) in der Form  d4 k 2 ν (15.6.34) Σ(p) = ie 4 DF (k)γν SF (p − k)γ , (2π) und die Vertexfunktion, Gl. (15.6.28),  d4 k  Λμ (p , p) = e2 4 DF (k)γν SF (p − k)γμ SF (p − k)γν . (2π)

(15.6.35)

374

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

Nun gilt die Beziehung ∂SF (p) = −SF (p)γμ SF (p), ∂pμ

(15.6.36)

welche man durch Ableitung von SF (p)SF−1 (p) = 1

(15.6.37)

nach pμ erh¨ alt ∂SF (p) −1 ∂ SF (p) + SF (p) μ (p / − mR ) = 0 , ∂pμ ∂p

(15.6.38)

und nachfolgender Multiplikation mit SF (p) von rechts. Gl. (15.6.36) besagt, daß die Einf¨ ugung eines Vertex γμ in eine innere Elektronen-Linie, ohne daß ein Energie¨ ubertrag stattfindet, der Ableitung des Elektronenpropagaaquivalent ist (Abb. 15.23). Mit Hilfe dieser Identit¨at l¨aßt sich tors nach pμ ¨ k

p

p−k

k

p

p

p−k

p−k

p

q=0 a)

b)

Abb. 15.23. Diagrammatische Darstellung zur Ward-Identit¨ at: a) Selbstenergie Diagramm, b) Durch die Ableitung wird ein Vertex f¨ ur ein Photon mit Impuls null in die Fermionlinie eingesetzt.

die Vertexfunktion (15.6.35) im Grenzfall gleicher Impulse als     Lγμ = lim Λ (p , p) μ    p →p p / =mR , p /=mR  4 k ∂SF (p − k) ν d = −ie2 μ γ 4 DF (k)γν ∂(p − k) (2π)  ∂SF (p − k) ν d4 k γ = −ie2 4 DF (k)γν ∂pμ (2π)

(15.6.39)

∗

15.6 Strahlungskorrekturen

375

schreiben. Andererseits erh¨ alt man aus der Definition von B in Gl. (15.6.13)   −∂Σ(p) u ¯r (p)Bγμ ur (p) = u ¯r (p) ur (p) ∂pμ    ∂SF (p − k) ν d4 k 2 ur (p) γ =u ¯r (p) e 4 DF (k)γν ∂pμ (2π) =u ¯r (p)Lγμ ur (p) ,

(15.6.40)

woraus die Gleichung B=L

(15.6.41)

folgt. Diese Relation impliziert (1 − B)(1 + L) = 1 + O(α2 ) , so daß sich die Ladungsrenormierung zu √ 1/2 e → eR = 1 − Ce ≡ Z3 e

(15.6.42)

(15.6.43)

vereinfacht. Die renormierte Ladung eR ist gleich der experimentell gemes4π . Die nackte Ladung, e2 ist nach (15.6.26) gr¨oßer als senen Ladung e2R ≡ 137 2 eR . Die Renormierungsfaktoren aus der Renormierung des Vertex und der Wellenfunktion des Fermions kompensieren sich. Aus diesem Ergebnis folgt, daß die Ladungsrenormierung unabh¨ angig von der Art der Fermionen ist. Insbesondere ist sie f¨ ur Elektronen und Myonen gleich. Folglich sind f¨ ur gleiche nackte Ladungen auch die renormierten Ladungen dieser Teilchen gleich, wie z.B. bei Elektronen und Myonen. Da die Renormierungsfaktoren (Z−Faktoren) von den Massen abh¨ angen, w¨ are das ohne die erw¨ahnte Kompensation nicht der Fall. Die Aussage, daß die Ladungsrenormierung nur von der Feldrenormierung des Photons herr¨ uhrt, gilt in jeder Ordnung St¨orungstheorie. Die Relation (15.6.36) und ihre Verallgemeinerung auf h¨ohere Ordnungen, sowie ihre Konsequenz, Gl. (15.6.41), heißt Ward-Identit¨at. Sie ist eine allgemeine Folge der Eichinvarianz. Ausgedr¨ uckt durch die Z−Faktoren at (15.6.41) Z1 , Z2 , Z3 lautet die Ward-Identit¨ Z1 = Z2 . Bemerkungen (i) Wir f¨ ugen hier noch eine Bemerkung u ¨ ber die Form die Strahlungskorrekturen ein, und zwar f¨ ur die in f¨ uhrender Ordnung in Abschn. 15.5.3.1 und 15.5.3.2 behandelte Elektron–Elektron–Streuung, wobei wir nur die direkte Streuung diskutieren. Das f¨ uhrende Diagramm ist in Abb. 15.24a

376

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

a)

b)

d)

e)

g)

c)

f)

Abb. 15.24. Strahlungskorrekturen zur direkten ElektronElektron-Streuung in vierter Ordnung in e. a) Zweite Ordnung, b) Korrektur durch die Vakuumpolarisation , c) Vertexkorrektur, d) Selbstenergieeinsatz in einer ¨ außeren Linie, e) Massengegenterm in einer ¨ außeren Linie, f) und g) zwei weitere Diagramme

dargestellt. Davon ausgehend erh¨ alt man Diagramme, die Selbstenergieeins¨ atze in inneren Linien b) und ¨ außeren Linien d) und Vertexkorrekturen c) enthalten. Diese werden durch die Ladungsrenormierung und ˜  und γμ → (γμ + Λfμ ) ber¨ ucksichtigt, durch die Ersetzung von D → D wie vorhin kurz skizziert wurde. Das Diagramm e) r¨ uhrt vom Massen¯ her. Uber ¨ gegenterm −δmψψ diese Diagramme hinaus gibt es in zweiter Ordnung noch zwei weitere f) und g), welche endliche Beitr¨age liefern. (ii) Die Quantenelektrodynamik in vier Raum–Zeit–Dimensionen ist renormierbar, da in jeder Ordnung der St¨ orungstheorie alle Divergenzen durch eine endliche Zahl von Umparametrisierungen (Renormierungskonstanten δm, Z1 , Z2 und Z3 ) beseitigt werden k¨onnen.

15.6.5 Anomales magnetisches Moment des Elektrons Eine interessante Konsequenz der Strahlungskorrekturen ist deren Auswirkung auf das magnetische Moment des Elektrons. Dazu betrachten wir die Streuung an einem ¨ außeren elektromagnetischen Potential Aμe . In der Wechselwirkung (15.6.9) wird also der Feldoperator Aμ durch Aμ + Aμe ersetzt. Der Prozeß erster Ordnung ist in Abb. 15.25a dargestellt. Der zugeh¨orige analytische Ausdruck ist durch

∗

15.6 Strahlungskorrekturen

377

p

a)

p

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Abb. 15.25. Strahlungskorrekturen zweiter Ordnung zum QED-Vertex mit zwei Fermionen und einem ¨ außeren Potential Aμ e.

− ieR u¯r (p )A /e (p − p)ur (p) > = (15.6.44) ieR μ u ¯r (p ) (p + p) + iσ μν (p − p)ν ur (p)Aeμ (p − p) =− 2mR gegeben, wo die Gordon–Identit¨ at, Gl. (10.1.5), verwendet wurde. Hier wurde unter Vorwegnahme der Ladungsrenormierung (siehe unten) schon die renormierte Ladung eingesetzt. Der zweite Term in den eckigen Klammern ist ¨ die Ubergangsamplitude f¨ ur die Streuung eines Spin– 12 –Teilchens mit dem eR eˆ0 magnetischen Moment 2mR = − 2m , wo eˆ0 die Elementarladung12 ist; d.h. R das gyromagnetische Verh¨ altnis ist g = 2. Die Prozesse h¨oherer Ordnung sind in Abb. 15.25 b) - g) dargestellt. Die Selbstenergieeins¨atze b) c) und der Teilbeitrag C zur Vakuumpolarisation und L zur Vertexkorrektur in Abb. d) und g) f¨ uhren zur Ladungsrenormierung, d.h. in (15.6.44) tritt statt e uber hinaus liefern d) und g) endliche die physikalische Ladung eR auf. Dar¨ Korrekturen. F¨ ur die spinabh¨ angige Streuung ist nur die Vertexkorrektur ur (15.6.30)11 Λfμ (p , p) von Bedeutung. Die Rechnung ergibt f¨   3 α q2 mR α − Λfμ (p , p) = γμ [q/ , γμ ] (15.6.45) log + 3π m2R λ 8 8πmR 12

siehe Fußnote 1 in Kap. 14

378

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

mit q = p − p. Wenn man den letzten Term dieser Gleichung zu (15.6.44) addiert, erh¨ alt man iα σμν q ν ¯r (p )(γμ + )ur (p)Aμe (q) −ieR u 2π 2mR   (p + p )μ α iσμν q ν   = −ieR u ) ¯r (p ) + (1 + ur (p)Aμe (q) . 2mR 2π 2mR

(15.6.46)

Der Term iσμν q ν Aμe hat im Ortsraum die Form −σμν ∂ ν Aμe (x) = − 21 σμν F μν . Um das Ergebnis (15.6.46) physikalisch interpretieren zu k¨onnen, betrachten wir einen effektiven Wechselwirkungs-Hamilton-Operator, der in erster st¨ orungstheoretischer Ordnung gerade (15.6.46) liefert:    α 1 ¯ eff 3 μ ν μ ¯ ψ(x)σμν ψ(x)∂ Ae (x) H ≡ eR d x ψ(x)γμ ψ(x)Ae (x) + 2π 2mR      i ¯ ¯ = eR d3 x ψ(x) (∂μ ψ(x)) − ∂μ ψ(x) ψ(x) Aμe (x) 2mR  α 1 ¯ μν + 1+ ψ(x)σμν ψFe (x) . 2π 4mR (15.6.47) Hier wurde wieder die Gordon-Identit¨ at ben¨ utzt. Der erste Term nach dem zweiten Gleichheitszeichen stellt einen konvektiven Strom dar. Der zweite Term kann f¨ ur ein konstantes Magnetfeld als magnetische Dipolenergie interpretiert werden. Denn dieser kann mit F 12 = B 3 , F 23 = B 1 , F 31 = B 2 , σ12 = Σ3 usw. auf die Form    eR α ¯ Σ ψ(x) ≡ −Bμ 1+ 2 d3 xψ(x) (15.6.48) −B 2mR 2π 2 gebracht werden. F¨ ur langsame Elektronen sind die oberen Komponenten der Spinoren wesentlich gr¨ oßer als die unteren. In diesem nichtrelativistischen Grenzfall ist nach (15.6.48) das magnetische Moment eines einzelnen Elektrons effektiv durch α σ eR (15.6.49) 1+ 2 2mR 2π 2 gegeben, wo σ die 2 × 2 Pauli-Matrizen sind. Den zur Feinstrukturkonstanten proportionalen Beitrag zu (15.6.49) bezeichnet man als das anomale magnetische Moment des Elektrons. Es sei betont, daß (15.6.47) keine fundamentale Wechselwirkung darstellt, sondern nur dazu dient, in erster Ordnung St¨ orungstheorie die Strahlungskorrektur zweiter Ordnung darzustellen. Aus (15.6.49) folgt eine Verschiebung des g-Faktors α g−2 = = 0.00116 . 2 2π

Aufgaben zu Kapitel 15

379

Inklusive der Korrekturen von der Gr¨ oßenordnung α2 und α3 , die von Diagrammen h¨ oherer Ordnung herr¨ uhren, ergibt sich g−2 = 0.0011596524(±4), 2 ¨ was in beeindruckender Ubereinstimmung mit dem experimentellen Wert 0.00115965241(±20) ist. Man kann die Zunahme des magnetischen Momentes folgendermaßen qualitativ verstehen. Das Elektron emittiert und reabsorbiert laufend Photonen, ist also von einer Wolke von Photonen umgeben. Dabei wird ein Teil der Energie und damit der Masse von den Photonen getragen. Deshalb ist effektiv das Verh¨ altnis von Ladung zu Masse f¨ ur das Elektron erh¨oht, und dieser erh¨ ohte Wert kommt bei einer Messung des magnetischen Moments in einem Magnetfeld zum Tragen. Im Diagramm 15.25g) hat das Elektron ein Photon vor seiner Wechselwirkung mit dem a ¨ußeren Magnetfeld emittiert. Die Korrektur ist proportional zur Emissionswahrscheinlichkeit, also proportional zur Feinstrukturkonstanten α.

Aufgaben zu Kapitel 15 15.1 Best¨ atigen Sie den Ausdruck (15.2.17) f¨ ur den Propagator φ(x1 )φ(x2 ), indem Sie, statt von (15.2.16) auszugehen, direkt (15.2.15) berechnen. 15.2 Die Wechselwirkung des komplexen Klein–Gordon Feldes mit dem Strahlungsfeld lautet nach Gl. (F.7) in erster Ordnung in Aμ (x) HI (x) = j μ (x)Aμ (x) , †

∂φ ∂φ φ − ∂x φ† : ist die Ladungsstromdichte. j μ = −ie : ∂x μ μ Berechnen Sie den differentiellen Streuquerschnitt f¨ ur die Streuung an einem Z-fach geladenen Kern. Ergebnis:

(αZ)2 dσ = . dΩ 4E 2 v 4 sin4 ϑ2 15.3 Zeigen Sie, daß f¨ ur Fermionen ˛ − ¸ ˙ − ˛ μ pμ e , p˛ j (x) ˛e , p = V Ep

˛ ¸ gilt, wobei j μ (x) der Operator der Stromdichte, ˛e− , p = b†p,r |0 und Ep = p p2 + m2 ist. 15.4 Verifizieren Sie Gl. (15.5.39).

380

15. Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik

15.5 Verifizieren Sie Gl. (15.5.42) und Gl. (15.5.43). 15.6 a) Geben Sie mit Hilfe der Feynman–Regeln den analytischen Ausdruck f¨ ur ¨ die Ubergangsamplitude zu den Feynman–Diagrammen der Compton–Streuung Abb. 15.12a,b an. b) Leiten Sie diese Ausdr¨ ucke unter Verwendung des Wickschen Theorems her.

Anhang

A Alternative Herleitung der Dirac-Gleichung Wir besprechen hier eine alternative Herleitung der Dirac-Gleichung. Im Zuge ¨ dieser Uberlegungen wird sich auch eine Ableitung der Pauli-Gleichung ergeben und eine Zerlegung der Dirac-Gleichung, die an die Weyl-Gleichungen upft. f¨ ur masselose Spin- 12 -Teilchen ankn¨ Der Ausgangspunkt ist zun¨ achst die nichtrelativistische kinetische Energie 2  1  p2 → ∇ (A.1) H= 2m 2m i Solange kein ¨ außeres Magnetfeld vorhanden ist, kann statt dieses HamiltonOperators auch der folgende, v¨ ollig ¨ aquivalente H=

1 (σ · p)(σ · p) 2m

(A.2)

verwendet werden, wie man aus der Identit¨ at (σ · a)(σ · b) = a · b + iσ · (a × b) erkennt. Wenn man die Ankopplung an das Magnetfeld von (A.1) ausgehend durchf¨ uhrt, muß die Kopplung des Elektronspins an das Magnetfeld noch zus¨ atzlich per Hand“ eingef¨ ugt werden. Alternativ kann man von (A.2) aus” gehen und f¨ ur den Hamilton-Operator mit Magnetfeld schreiben e e 1 σ· p− A σ· p− A H= 2m c c $ e 2 e e % i 1 p− A + σ· p− A × p− A (A.3) = 2m c 2m c c

2 1 e e = p− A − σ·B. 2m c 2mc Hier wurden die von (5.3.29) auf (5.3.29 ) f¨ uhrenden Umformungen verwendet. Auf diese Weise erh¨ alt man die Pauli-Gleichung mit dem richtigen Land´eFaktor g = 2. Nun wollen wir die relativistische Verallgemeinerung dieser Gleichung aufstellen. Dazu gehen wir von der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung aus

384

Anhang

E2 − p2 = (mc)2 c2 und schreiben diese als    E E −σ·p + σ · p = (mc)2 . c c

(A.4)

(A.5)

∂ , p → −i∇) quantenmechaDie nach dem Korrespondenzprinzip (E → i ∂t nische Relation lautet    ∂ ∂ + σi∇ i − σi∇ φ = (mc)2 φ , (A.6) i ∂t c ∂t c

wobei φ eine zweikomponentige Wellenfunktion (Spinor) ist. Diese Gleichung wurde von van der Waerden aufgestellt. Um Differentialgleichungen von erster Ordnung in der Zeit zu erhalten, f¨ uhren wir zwei zweikomponentige Spinoren   1 ∂ φ(L) = −φ und φ(R) = − − iσ · ∇ φ(L) i mc ∂x0 ein. Diese Definitionsgleichung f¨ ur φ(R) ergibt zusammen mit der aus (A.6) verbleibenden Differentialgleichung   ∂ − iσ · ∇ φ(L) = −mcφ(R) i ∂x0   (A.7) ∂ + iσ · ∇ φ(R) = −mcφ(L) . i ∂x0 Die Bezeichnungsweise φ(L) und φ(R) weist darauf hin, daß im Grenzfall m → 0 diese Funktionen links- und rechtsh¨ andig polarisierte Zust¨ande (d.i. Spin antiparallel und parallel zum Impuls p) darstellen. Um den Zusammenhang mit der Dirac-Gleichung herzustellen, schreiben wir σ∇ ≡ σ i ∂i und bilden die Differenz und Summe der beiden Gleichungen (A.7)



∂ (R) φ − φ(L) + iσ i ∂i φ(R) + φ(L) ∂x0

− mc φ(R) − φ(L) = 0



∂ (R) − i φ + φ(L) − iσ i ∂i φ(R) − φ(L) ∂x0

− mc φ(R) + φ(L) = 0 .

i

Faßt man die zweikomponentigen Spinoren zum Bispinor  (R)  φ − φ(L) ψ= φ(R) + φ(L)

(A.8)

(A.9a)

B Formeln

zusammen, so ergibt sich   0 ∂ i + iγ ∂i − mc ψ = 0 , iγ ∂x0 mit

 γ0 =

11

0 0 −11



 γi =

,

0 σi −σ i 0

(A.9b)  .

(A.9c)

Wir erhalten also die Standard-Darstellung der Dirac-Gleichung.

B Formeln B.1 Standarddarstellung  γ0 =  β=

11

0 0 −11 11

0 0 −11





0 σi −σ i 0   0 σi αi = σi 0 γi =

,  ,



 γ5 =

,

Chiralit¨ atsoperator : γ 5 (γ 5 )2 = 11 {γ 5 , γ μ } = 0 / ≡ γμ aμ a //b = a · b − iaμ bν σμν , a i σμν = [γμ , γν ] 2 σμν = −σνμ γ μ γμ = 4 , γ μ γ ν γμ = −2γ ν γ μ γ ν γ ρ γμ = 4g νρ , γ μ γ ν γ ρ γ σ γμ = −2γ σ γ ρ γ ν B.2 Chirale Darstellung 





0

0 −11 −11 0

σ0i

i 1 = [γ0 , γi ] = −iαi = 2 i

γ =β=

σij =

, α= 

σ 0 0 −σ

σi 0 0 −σ i

i i [γi , γj ] = − [αi , αj ] = ijk 2 2

385



 , γ=





σk 0 0 σk



0 σ −σ 0

 ,

0 11 11 0



386

Anhang

B.3 Majorana-Darstellungen  0

γ =

0 σ2 σ2 0



 1

,γ =i

σ3 0 0 σ3



 2

,γ =

0 −σ 2 σ2 0



 , γ = −i 3

σ1 0 0 σ1



oder  γ0 =

0 σ2 σ2 0



 , γ1 = i

0 σ1 σ1 0



 , γ2 = i

11

0 0 −11



 , γ3 = i

0 σ3 σ3 0



C Projektionsoperatoren fu ¨r den Spin C.1 Definition In diesem Abschnitt werden der Spin-Projektionsoperator definiert und seine Eigenschaften zusammengestellt. Da dieser Projektionsoperator die DiracMatrix γ 5 enth¨alt, geben wir eine in manchen F¨allen n¨ utzliche Darstellung von γ 5 (Gl. 6.2.48) an: γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = −

i μνρσ i

γμ γν γρ γσ = − μνρσ γ μ γ ν γ ρ γ σ 4! 4!

.

(C.1)

Hier ist μνρσ der vollkommen antisymmetrische Tensor vierter Stufe: ⎧ ur gerade Permutationen von 0123 ⎨ 1 f¨ ur ungerade Permutationen von 0123 (C.2)

μνρσ = −1 f¨ ⎩ 0 sonst . Die Definition des Spin-Projektionsoperators lautet P (n) =

1 (11 + γ5 n /) 2

.

(C.3)

Hier ist n / = γ μ nμ und nμ ein raumartiger Einheitsvektor, der n2 = nμ nμ = −1 und nμ k μ = 0 erf¨ ullt. Im Ruhsystem werden diese beiden Vektoren mit ˇ ) und kˇ = (m, 0). ˇ = (0, n n ˇ μ und kˇμ bezeichnet und haben die Gestalt n C.2 Ruhsystem F¨ ur den Spezialfall, daß n ≡ n(3) ≡ (0, 0, 0, 1) ein Einheitsvektor in positiver z-Richtung ist, erh¨ alt man   1 1 11 + σ 3 0 , (C.4) P (n(3) ) = (11 + γ5 γ3 ) = 0 11 − σ 3 2 2

C Projektionsoperatoren f¨ ur den Spin





 3



387



0 11 0σ σ3 0 = ist. Die Wirkung des 3 11 0 −σ 0 0 −σ 3 Projektionsoperators P (n(3) ) auf die Spinoren von ruhenden Teilchen (Gl. (6.3.3) oder (6.3.11a,b) f¨ ur k = 0) ist deshalb durch   u1 (m, 0) u1 (m, 0) = P (n(3) ) u2 (m, 0) 0   (C.5) v1 (m, 0) 0 P (n(3) ) = v2 (m, 0) v2 (m, 0) da γ5 (−γ 3 ) = −

gegeben. Gl. (C.5) besagt, daß im Ruhsystem P (n) auf Eigenzust¨ande von 1 1 ur positive Energie-Zust¨ande 2 Σ · n projiziert, und zwar mit Eigenwert + 2 f¨ 1 und mit dem Eigenwert − 2 f¨ ur negative Energie-Zust¨ande. In Aufgabe 6.15 wurden bereits die folgenden Eigenschaften von P (n) und den Projektionsoperatoren Λ± (k) auf Spinoren positiver und negativer Energie gezeigt: [Λ± (k), P (n)] = 0 Λ+ (k)P (n) + Λ− (k)P (n) + Λ+ (k)P (−n) + Λ− (k)P (−n) = 11

(C.6)

Sp Λ± (k)P (±n) = 1 . C.3 Bedeutung des Projektionsoperators P (n) im allgemeinen Wir wollen nun die Wirkung von P (n) f¨ ur einen allgemeinen raumartigen Einheitsvektor n, der also n2 = −1 und n · k = 0 erf¨ ullt, untersuchen. Dazu betrachten wir als Hilfsgr¨ oße den Vektor 1 Wμ = − γ5 γμ k/ 2

(C.7a)

und das Skalarprodukt 1 W · n = − μνρσ nμ k ν σ ρσ . 4

(C.7b)

Dieses kann auch als 1 /k/ W · n = − γ5 n 2

(C.7c)

geschrieben werden. Die Gleichheit dieser beiden Ausdr¨ ucke sieht man am leichtesten, indem man in ein Bezugssystem transformiert, in dem k rein zeitartig (k = (k 0 , 0, 0, 0)) ist und n dann, wegen n · k = 0, rein raumartig ist (n = (0, n1 , 0, 0)). In diesem Ruhsystem ergibt sich f¨ ur die rechte Seite von (C.7b)

388

Anhang

1 1 − 10ρσ n1 k 0 σ ρσ = − 10ρσ n1 k 0 iγ ρ γ σ 4 4 1 = − ( 1023 n1 k 0 iγ 2 γ 3 + 1032 n1 k 0 iγ 3 γ 2 ) 4 i = − n1 k 0 γ 2 γ 3 2 und f¨ ur die rechte Seite von (C.7c) 1 i i − γ5 n /k/ = − γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 (−n1 γ 1 )k0 γ 0 = − n1 k 0 γ 2 γ 3 , 2 2 2 womit die Gleichheit gezeigt ist. Der Vektor (C.7a) hat im Ruhsystem als Raumkomponenten 1 m 1 W = − γ5 γγ 0 k 0 = + γ5 γ 0 γm = Σ , 2 2 2

(C.8)

wobei k 0 = m eingesetzt wurde. Falls n l¨ angs der z-Achse angenommen wird, d.h. n = n(3) ≡ (0, 0, 0, 1) ist, folgt aus (C.8) W ·n=

m 3 Σ . 2

(C.9)

Die ebenen Wellen im Ruhsystem sind Eigenvektoren von − 1 1 3 Σ u1 (m, k = 0) = u1 (m, k = 0) 2 2 1 3 1 Σ u2 (m, k = 0) = − u2 (m, k = 0) 2 2 1 3 1 Σ v1 (m, k = 0) = v1 (m, k = 0) 2 2 1 3 1 Σ v2 (m, k = 0) = − v2 (m, k = 0) . 2 2

W ·n(3) m

= 12 Σ 3 .

(C.10)

Nach Ausf¨ uhrung einer Lorentz-Transformation von (m, k = 0) auf (k 0 , k) gilt 1 W ·n = γ5 n /k/ , m 2m wo n die Transformierte von n(3) ist. Dann transformieren sich die Gleichungen (C.10) in Eigenwertgleichungen f¨ ur ur (k) und vr (k) −

W ·n ur (k) = m 1 = ± ur (k) 2 W ·n − vr (k) = m 1 = ± vr (k) 2 −

1 1 γ5 n γ5 n /k/ur (k) = /ur (k) 2m 2  1 f¨ ur r = 2 1 1 γ5 n /k/vr (k) = − γ5 n /vr (k) 2m 2  1 f¨ ur r = , 2

(C.11)

C Projektionsoperatoren f¨ ur den Spin

389

wobei nach dem ersten Gleichheitszeichen (C.7c) und nach dem zweiten Gleichheitszeichen k/ur (k) = mur (k) und k/vr (k) = −mvr (k) eingesetzt wurde. Nach dem dritten Gleichheitszeichen steht schließlich die rechte Seite von (C.10). Aus (C.11) ist die Wirkung von γ5 n / auf die ur (k) und vr (k) ablesbar und ersichtlich, daß P (n) =

1 (11 + γ5 n /) 2

(C.12a)

Projektionsoperator auf u1 (k) und v2 (k) ist, und P (−n) =

1 (11 − γ5 n /) 2

(C.12b)

Projektionsoperator auf u2 (k) und v1 (k) ist. Sei n ein beliebiger raumartiger Vektor, mit n·k = 0 und n ˇ der zugeh¨orige Vektor im Ruhsystem. Dann projiziert P (n) auf diejenigen Spinoren u(k, n), die im Ruhsystem l¨ angs +ˇ n polarisiert sind und auf die v(k, n), die im Ruhsystem l¨ angs −ˇ n polarisiert sind. Es gelten die Eigenwertgleichungen ˇ n ˇ n Σ·n ˇ u(k, ˇ ) = u(k, ˇ) ˇ n ˇ n Σ·n ˇ v(k, ˇ ) = −v(k, ˇ) .

(C.13)

Die Vektoren k und n h¨ angen mit ihren Darstellungen im Ruhsystem kˇ und n ˇ u ber eine Lorentz-Transformation Λ zusammen: k μ = Λμν kˇν mit kˇν = ¨ (m, 0, 0, 0) und nμ = Λμν n ˇ ν mit n ˇ ν = (0, n). Die Umkehrung lautet n ˇν = Λμν nμ . Wir haben hier die in diesem Zusammenhang gebr¨auchliche Bezeichnungsweise u(k, n) und v(k, n) f¨ ur die Spinoren verwendet. Ihr Zusammenhang mit den uher ist mit n = Λn(3) , n(3) = (0, 0, 0, 1) ur (k) und vr (k) von fr¨ u1 (k) = u(k, n), u2 (k) = u(k, −n) v1 (k) = v(k, −n), v2 (k) = v(k, n) .

(C.14)

Wir betrachten nun einen Einheitsvektor nk , dessen r¨aumlicher Teil parallel zu k ist:   |k| k 0 k , nk = . (C.15) m m |k| Dieser erf¨ ullt trivialerweise n2k =

k2 k02 − = −1 m2 m2

und nk · k =

k0 k2 |k|k0 − =0. m m |k|

Wir zeigen nun, daß die gemeinsame Wirkung des Projektionsoperators P (nk ) und der Projektionsoperatoren Λ± (k) auf Spinoren mit positiver und negativer Energie durch

390

Anhang

 11 ±

P (nk )Λ± (k) =

Σ ·k |k|

 Λ± (k)

(C.16)

dargestellt werden kann. Zum Beweis dieses Zusammenhangs geht man von den Definitionen P (nk )Λ± (k) =

1 ±k/ + m (11 + γ5 n /k ) 2 2m

aus und f¨ uhrt die Umformung γ5 n /k

±k/ + m ±k/ + m ±k/ + m = γ5 n = /k 2m 2m 2m



1 k/ γ5 n /k ± γ5 n /k 2 2m



±k/ + m 2m

durch. Daraus folgt 1 ±k/ + m k/ ±k/ + m γ5 n = ±γ5 n /k /k 2 2m 2m 2m und damit zun¨ achst P (nk )Λ± (k) =

k/ ±k/ + m 1 (11 ± γ5 n . /k ) 2 m 2m

(C.17)

Nun ist γ5 n /k k/ = γ5 (nk · k −inμk σμν k ν )  

=0

= −iγ5 (n0k σ0j k j + njk σj0 k 0 ) = iγ5 σ0j ( = iγ5

|k| j k 0 k j 0 k − k ) m m |k|

m m σ0j k j = γ5 γ 0 γ j k j . |k| |k|

Dabei wurde nk · k = 0 ben¨ utzt, und daß die rein r¨aumlichen Komponenten wegen der Antisymmetrie von σ ij nichts beitragen. Betrachten wir nun beispielsweise von γ5 γ 0 γ j die Komponente j = 3 : γ5 γ 0 γ 3 = −iγ 1 γ 2 (γ 3 )2 = iγ 1 γ 2 = σ 12 = Σ 3 , ist die Behauptung (C.16) gezeigt. Aus (C.16) ist die folgende Eigenschaft des Projektionsoperators P (nk ) ersichtlich. P (nk ) projiziert Zust¨ande mit positiver Energie auf Zust¨ ande mit positiver Helizit¨at, und Zust¨ande mit negativer Energie auf Zust¨ ande mit negativer Helizit¨at. Analog gilt P (−nk )Λ± (k) =

1 k (11 ∓ Σ · )Λ± , 2 |k|

also projiziert P (−nk ) Spinoren mit positiver Energie auf Spinoren mit negativer Helizit¨ at und Spinoren mit negativer Energie auf Spinoren mit positiver Helizit¨ at.

D Wegintegraldarstellung der Quantenmechanik

391

D Wegintegraldarstellung der Quantenmechanik Wir gehen aus von der Schr¨ odinger-Gleichung i

∂ |ψ, t = H |ψ, t ∂t

(D.1)

mit dem Hamilton-Operator H=

1 2 p + V. 2m

(D.2)

Die Eigenzust¨ ande von H seien |n. Mit der Voraussetzung limx→±∞ V (x) = ∞ folgt, daß die Eigenwerte von H diskret sind. In der Ortsdarstellung sind die Eigenzust¨ ande von H die Wellenfunktionen ψn (x) = x|n, wo |x der Ortseigenzustand mit Position x ist. Wir f¨ uhren die folgende Diskussion in der Schr¨ odinger-Darstellung durch. Falls das Teilchen zur Zeit 0 im Ortszustand |y ist, ist es zur Zeit t im Zustand e−iHt/ |y. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude daf¨ ur, daß das Teilchen zur Zeit t an der Stelle x ist, ist durch G(y, 0|x, t) = x| e−itH/ |y

(D.3)

gegeben. Wir nennen G(y, 0|x, t) Greensche Funktion. Sie erf¨ ullt dieAnfangsbedingung G(y, 0|x, 0) = δ(y − x). Man kann nun in (D.3) 11 = n |n n| einschieben  G(y, 0|x, t) = x|n n| e−itH/ |m m|y n,m

und erh¨ alt die Ortsdarstellung der Greenschen Funktion  G(y, 0|x, t) = e−itEn / ψn (x)ψn∗ (y).

(D.4)

n

Die Zerlegung des Zeitintervalls [0, t] in N Teile (Abb. D.1), wobei die mit wachsendem N immer kleiner werdende Zeitdifferenz Δt = Nt eingef¨ uhrt wird, erlaubt uns, die Greensche Funktion folgendermaßen darzustellen G(y, 0|x, t) = x| e−iHΔt/ . . . e−iHΔt/ |y   = dz1 . . . dzN −1 zN | e−iHΔt/ |zN −1  . . . z1 | e−iHΔt/ |z0  , (D.5)

y = z0

z1

zN − 1 zN = x

Abb. D.1. Diskretisierung des Zeitintervalls [0, t], mit den zi der in (D.5) eingef¨ uhrten Einheitsoperatoren (z0 = y, zN = x).

392

Anhang

! wo wir die Einheitsoperatoren 11 = dzi |zi  zi | eingef¨ uhrt haben. Es gilt e−iHΔt/ = e−i

Δt V (x)  2

Nun bestimmen wir die  p2 Δt −i 2m   ξ| e |ξ  =  =  =

Δtp2

e−i 2m e−

iΔt V (x)  2

+ O((Δt))2 .

(D.6)

erforderlichen Matrixelemente

(k)2 Δt dk ξ|k e−i 2m  k|ξ   2π dk ik(ξ−ξ ) −i (k)2 Δt e e 2m  2π “ ”2 ξ−ξ  m dk − iΔt +i(ξ−ξ  )2 2Δt k− 2Δt/2m e 2m 2π  1/2  2 im −im = e 2Δt (ξ−ξ ) . 2πΔt

(D.7)

Im ersten Schritt wurde zweimal die Vollst¨ andigkeitsrelation f¨ ur die Impulseigenfunktionen eingeschoben. Aus (D.6) und (D.7) folgt ξ| e−iHΔt/ |ξ       1 −im 2 Δt V (ξ) + V (ξ  ) m(ξ − ξ  )2 = exp −i −  2 2(Δt)2 2πΔt

(D.8)

und schließlich f¨ ur die Greensche Funktion   G(y, 0|x, t) = dz1 . . . dzN −1 8  N  iΔt  m(zn − zn−1 )2 V (zn ) + V (zn−1 ) × exp −  n=1 2(Δt)2 2 9 −im N . + log 2 2πΔt Im Grenzfall N → ∞ erh¨ alt man hieraus die Feynmansche Wegintegraldarstellung 1     i t  mz(t ˙  )2 − V (z(t )) , G(y, 0|x, t) = D[z] exp dt (D.9)  0 2 wo  D[z] = lim

N →∞

1

−im 2πΔt

 N2 N −1

dzn

(D.10)

n=1

R.P. Feynman and A.R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, New York, 1965; G. Parisi, Statistical Field Theory, AddisonWesley, 1988, p.234

E Kovariante Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

und

 zn = z

nt N

393

 .

¨ Die Wahrscheinlichkeitsamplitude f¨ ur den Ubergang von y nach x nach Ablauf der Zeit t ergibt sich als Summe von Amplituden !aller m¨oglichen Trat ˙ z) besitzen jektorien von y nach x, wobei diese das Gewicht exp i 0 dt L(z, und L(z, ˙ z) =

mz(t) ˙ 2 − V (z(t)) 2

die klassische Lagrange-Funktion ist. Die Phase der Wahrscheinlichkeitsamplitude ist gerade die klassische Wirkung. Im Grenzfall  → 0 kommt das Hauptgewicht zum Funktionalintegral aus der Umgebung derjenigen Bahn, f¨ ur die die Phase station¨ ar ist. Das ist gerade die klassische Bahn.

E Kovariante Quantisierung des elektromagnetischen Feldes, Gupta–Bleuler–Methode E.1 Quantisierung und Feynman-Propagator Im Hauptteil des Textes haben wir das Strahlungsfeld in der Coulomb– Eichung behandelt, was den Vorteil hat, daß nur die beiden transversalen Photonen auftreten. Bei der Bestimmung des Propagators muß man allerdings die Photonbeitr¨ age mit der Coulomb–Wechselwirkung kombinieren um den endg¨ ultigen kovarianten Ausdruck zu erhalten. Wir stellen in diesem Anhang eine alternative, offensichtlich kovariante Quantisierung des Strahlungsfeldes mittels der Gupta–Bleuler–Methode dar2 . In der kovarianten Theorie geht man von 1 LL = − (∂ν Aμ )(∂ ν Aμ ) − jμ Aμ 2

(E.1)

aus. Die zu Aμ konjugierten Impuls–Komponenten sind ΠLμ =

2

∂LL = −A˙ μ . ∂ A˙ μ

(E.2)

Ausf¨ uhrliche Darstellungen der Gupta–Bleuler–Methode finden sich in S.N. Gupta, Quantum Electrodynamics Gordon and Breach, New York, 1977; Itzykson and Zuber, op.cit.; F. Mandl u. G. Shaw, Quantum Field Theory; J. Wiley, Chichester 1984; J.M. Jauch u. F. Rohrlich, The Theory of Photons and Electrons, 2nd ed., Springer New York 1976, Kap.6.3.

394

Anhang

Aus der Lagrange–Dichte (E.1) folgen die Feldgleichungen 2Aμ (x) = j μ (x) .

(E.3)

Diese sind nur dann ¨ aquivalent zu den Maxwell–Gleichungen, wenn das Viererpotential Aμ (x) die Eichbedingung ∂μ Aμ (x) = 0

(E.4)

erf¨ ullt. Die allgemeinste L¨ osung der freien Feldgleichungen (j μ = 0) erh¨alt man durch die lineare Superposition3 Aμ (x) = Aμ + (x) + Aμ − (x)   1 1/2   =

μr (k)ar (k)e−ikx + μr (k)a†r (k)eikx . 2V |k|

(E.5)

k,r

Die vier Polarisationsvektoren erf¨ ullen die Orthogonalit¨ats- und Vollst¨andigkeitsrelationen 

r (k) s (k) ≡ rμ (k) μs (k) = −ζr δrs , ζr μr (k) νr (k)

= −g

μν

r, s = 0, 1, 2, 3

,

(E.6a) (E.6b)

r

wobei ζ0 = −1 ,

ζ1 = ζ2 = ζ3 = 1 .

(E.6c)

Manchmal ist die Verwendung der folgenden speziellen Polarisationsvektoren zweckm¨ aßig

μ0 (k) = nμ ≡ (1, 0, 0, 0) r = 1, 2, 3 ,

μr (k) = (0, k,r )

(E.7a) (E.7b)

wo k,1 und k,2 aufeinander und auf k orthogonale Einheitsvektoren sind, und k,3 = k/|k| .

(E.7c)

Das bedeutet n · k,r = 0 , k,r k,s = δrs , 3

r = 1, 2 r, s = 1, 2, 3 .

(E.7d) (E.7e)

Zur Unterscheidung gegen¨ uber den Polarisationsvektoren k,λ und Erzeugungsund Vernichtungsoperatoren a†kλ und akλ (λ = 1, 2) im Hauptteil des Textes, wo die Coulomb-Eichung verwendet wird, bezeichnen wir die Polarisationsvektoren in der kovarianten Darstellung mit μ r (k) und die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren mit a†r (k) und ar (k).

E Kovariante Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

395

Der longitudinale Vektor kann auch in der Form k μ − (kn)nμ

μ3 (k) =

1/2 (kn)2 − k 2

(E.7f)

dargestellt werden. Die vier Vektoren beschreiben

μ1 , μ2

μ3

transversale longitudinale

Polarisation Polarisation

μ0 skalare oder zeitartige Polarisation . Die kovarianten gleichzeitigen kanonischen Vertauschungsrelationen f¨ ur das Strahlungsfeld lauten $ % A˙ μ (x, t), A˙ ν (x , t) = 0 [Aμ (x, t), Aν (x , t)] = 0, $ % (E.8) Aμ (x, t), A˙ ν (x , t) = −ig μν δ(x − x ) . Die Vertauschungsrelationen sind so wie f¨ ur das masselose Klein–Gordon– Feld mit dem zus¨atzlichen Faktor −g μν . Die nullte Komponente hat gegenu aumlichen ein anderes Vorzeichen. ¨ber den r¨ Man kann deshalb die Propagatoren sofort aus denen f¨ ur die Klein– Gordon–Gl. u ¨ bernehmen: [Aμ (x), Aν (x )] = iDμν (x − x )  d4 k μν  μν 2 −ikx D (x − x ) = ig 3 δ(k ) (k0 )e (2π) 0| T (Aμ (x)Aν (x )) |0 = iDFμν (x − x )  4 −ikx d ke DFμν (x − x ) = −g μν . k 2 + i

(E.9a) (E.9b) (E.10a) (E.10b)

Durch Umkehrung von (E.5) erh¨ alt man aus (E.8) die Vertauschungsrelationen f¨ ur die Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren = > ar (k), a†s (k ) = ζr δrs δkk , ζ0 = −1 , ζ1 = ζ2 = ζ3 = 1 , (E.11) = > [ar (k), as (k )] = a†r (k), a†s (k ) = 0 . E.2 Die physikalische Bedeutung von longitudinalen und skalaren Photonen F¨ ur die Komponenten 1, 2, 3 (also die beiden transversalen und das longitudinale Photon) hat man nach Gl. (E.11) die u ¨ blichen Vertauschungsrelationen, w¨ ahrend f¨ ur das skalare Photon (r = 0) die Rolle von Erzeugungs– und Vernichtungsoperator vertauscht zu sein scheinen. Der Vakuumzustand |0 ist durch

396

Anhang

ar (k) |0 = 0

fu ¨r alle k und r = 0, 1, 2, 3 ,

(E.12)

d.h. Aμ + (x) |0 = 0 f¨ ur beliebige x definiert. Ein–Photon–Zust¨ ande haben die Gestalt |qs = a†s (q) |0 .

(E.13)

Der Hamilton–Operator ergibt sich aus (E.1) 

H = d3 x : Π μ (x)A˙ μ (x) − L(x) : .

(E.14)

Setzt man darin (E.2) und die Entwicklung (E.5) ein, erh¨alt man  H= |k| ζr a†r (k)ar (k) .

(E.15)

L

r,k

Man k¨ onnte bef¨ urchten, daß die Energie wegen ζ0 = −1 nicht positiv definit sein k¨ onnte. Tats¨ achlich ist die Energie wegen der Vertauschungsrelation (E.11) doch positiv definit,  |k| ζr a†r (k)ar (k)a†s (q) |0 H |q, s = r,k (E.16) † = |q| as (q) |0 , s = 0, 1, 2, 3 . Dementsprechend definiert man als Besetzungszahloperator n ˆ rk = ζr a†r (k)ar (k) .

(E.17)

F¨ ur die Norm der Zust¨ ande ergibt sich qs|qs = 0| as (q)a†s (q) |0 = ζs 0|0 = ζs .

(E.18)

In der Gupta Bleuler Theorie ist die Norm f¨ ur einen Zustand mit einem skalaren Photon negativ; allgemeiner, jeder Zustand mit einer ungeraden Zahl von skalaren Photonen hat negative Norm. Die skalaren Photonen werden jedoch im wesentlichen durch die Lorentz–Bedingung aus allen physikalischen Effekten eliminiert. Zusammen mit den longitudinalen Photonen f¨ uhren sie lediglich zur Coulomb–Wechselwirkung zwischen geladenen Teilchen. Wir m¨ ussen nun noch die Lorentz–Bedingung (E.4) erf¨ ullen, damit die Theorie wirklich den Maxwell–Gleichungen a ¨quivalent ist. In der quantisierten Theorie ist es jedoch nicht m¨ oglich, die Lorentz–Bedingung als Operatoridentit¨ at aufzuerlegen; denn daraus w¨ urde aus (E.9a) folgen, daß [∂μ Aμ (x), Aν (x )] = i∂μ Dμν (x − x )

(E.19)

E Kovariante Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

397

verschwinden m¨ ußte, was jedoch unter Beachtung von (E.10b) nicht der Fall ist. Gupta und Bleuler haben die Lorentz–Bedingung durch die Bedingung4 f¨ ur die Zust¨ ande ∂μ Aμ+ (x) |Ψ  = 0

(E.20a)

ersetzt. Daraus folgt auch Ψ | ∂μ Aμ − (x) = 0

(E.20b)

und folglich Ψ | ∂μ Aμ (x) |Ψ  = 0 .

(E.21)

Damit ist immer garantiert, daß die Maxwell–Gleichungen im klassischen Grenzfall erf¨ ullt sind. Die Nebenbedingung (E.20a) hat nur Auswirkungen auf die longitudinalen und skalaren photonische Zust¨ ande, da die Polarisationsvektoren der transversalen Photonen auf k orthogonal sind. Aus (E.20a), (E.5) und (E.6) folgt f¨ ur alle k (a3 (k) − a0 (k)) |Ψ  = 0 .

(E.22)

Gl. (E.22) bedeutet eine Einschr¨ ankung auf die zul¨assigen kombinierten Anregungen von skalaren und longitudinalen Photonen. Falls |Ψ  die Bedingung (E.22) erf¨ ullt, ist der Erwartungswert des Terms mit der entsprechenden Wellenzahl im Hamilton–Operator Ψ | a†3 (k)a3 (k) − a†0 (k)a0 (k) |Ψ  = Ψ | a†3 (k)a3 (k) − a†0 (k)a0 (k) − a†0 (k)(a3 (k) − a0 (k)) |Ψ  =

4

Ψ | (a†3 (k)

−

a†0 (k))a3 (k) |Ψ 

(E.23)

=0.

Wie schon vor Gl.(E.19) festgestellt wurde, kann die Lorentz–Bedingung nicht als Operatorbedingung auferlegt werden, man kann sie nicht einmal als Bedingung an die Zust¨ ande der Form ∂μ Aμ (x) |Ψ  = 0

(E.20c)

fordern. F¨ ur den Vakuumzustand g¨ abe Gl.(E.20c) ∂μ Aμ (x) |Ψ0  = ∂μ Aμ− (x) |Ψ0  = 0 . Multiplikation des mittleren Teils dieser Gleichungskette mit ν − − ∂ A+ (y) ergibt A+ = (A+ = μ (y)∂ Aν (x) |Ψ0  μ (y)Aν (x)) |Ψ0  ∂x ν ´ ` + − − + + ∂ ∂ (y), A (x)] + A (x)A (y) |Ψ  = ig D (y − x) |Ψ  =  0 , [A 0 μν 0 μ ν ν μ ∂xν ∂xν was einen Widerspruch darstellt. Die Lorentz–Bedingung kann also nur in der schw¨ acheren Form (E.20a) auferlegt werden.

398

Anhang

Also gilt mit (E.15) Ψ | H |Ψ  = Ψ |

 

|k| a†r (k)ar (k) |Ψ  ,

(E.24)

k r=1,2

so daß zum Erwartungswert des Hamilton–Operators nur die beiden transversalen Photonen beitragen. Aus der Struktur der u ¨ brigen Observablen P, J etc. sieht man, daß dies auch f¨ ur die Erwartungswerte der anderen Observablen der Fall ist. Somit treten bei freien Feldern in den beobachtbaren Gr¨ oßen nur transversale Photonen auf, so wie es bei der Coulomb–Eichung der Fall ist. Die Anregung von skalaren und longitudinalen Photonen unter Beachtung der Nebenbedingung (E.20a) f¨ uhrt im ladungsfreien Raum zu keinen beobachtbaren Konsequenzen. Man kann zeigen, daß die Anregung von derartigen Photonen nur zu einer weiteren, die Lorentz–Bedingung ebenfalls erf¨ ullenden Umeichung f¨ uhrt. Als Vakuumzustand verwendet man deshalb am einfachsten den Zustand ohne jegliche Photonen. In der Gegenwart von Ladungen liefern die longitudinalen und skalaren Photonen die Coulomb–Wechselwirkung zwischen den Ladungen und treten so als virtuelle Teilchen in den Zwischenzust¨ anden auf. In den Anfangs– und Endzust¨ anden treten aber auch dann noch lediglich transversale Photonen auf. E.3 Der Feynman-Photonen-Propagator Im weiteren wollen wir die physikalische Bedeutung des Photonpropagators n¨ aher analysieren. Dazu benutzen wir Gl. (E.6b)  ζr μr (k) νr (k) (E.6b) g μν = − r

und setzen die explizite, spezielle Wahl f¨ ur das Vierbein der Polarisationsvektoren (E.7a-c) in die Fourier-Transformierte von (E.10b) ein: <  1 μν

μ (k) νr (k) DF (k) = 2 k + i r=1,2 r (E.25) 7 (k μ − (k · n)nμ ) (k ν − (k · n)nν ) μ ν −n n . + 2 (kn) − k 2 Der erste Term auf der rechten Seite stellt den Austausch von transversalen Photonen dar  1 μν DF,trans (k) = 2

μ (k) νr (k) . (E.26a) k + i r=1,2 r

E Kovariante Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

399

Den zweiten und dritten Term zerlegen wir in zwei Teile: < 7 2 (kn) nμ nν 1 μν μ ν −n n DF,Coul (k) = 2 k + i (kn)2 − k 2 k2 nμ nν nμ nν = 2 2 + i (kn) − k 2 (kn) − k 2 nμ nν = k2 =

und μν (k) DF,red

(E.26b)

k2

8 9 k μ k ν − (kn)(k μ nν + nμ k ν ) 1 = 2 . 2 k + i

(kn) − k 2

μν Im Ortsraum lautet DF,Coul  3 d kdk 0 −ikx 1 μν DF,Coul (x) = nμ nν e (2π)4 |k|2  3 ikx  0 0 d ke = g μ0 g ν0 dk 0 eik x 2 |k| 1 δ(x0 ) . = g μ0 g ν0 4π|x|

(E.26c)

(E.26b )

Dieser Teil des Propagators stellt die instantane Coulomb–Wechselwirkung dar. Die longitudinalen und skalaren Photonen ergeben also die instantane Coulomb–Wechselwirkung zwischen geladenen Teilchen. In der Coulomb– Eichung traten nur transversale Photonen auf. Das skalare Potential war kein dynamischer Freiheitsgrad und wurde durch Gl. (14.2.2) durch die Ladungsdichte der Teilchen (durch die Ladungsdichte des Dirac–Feldes) bestimmt. Bei der kovarianten Quantisierung hat man auch die longitudinale und die skalare (zeitartige) Komponente quantisiert. Die Coulomb–Wechselwirkung tritt nicht explizit in der Theorie auf, ist aber als Austausch von skalaren und ¨ longitudinalen Photonen im Propagator der Theorie enthalten (Beim Ubergang von (E.25) nach (E.26b) tr¨ agt nicht nur der dritte Term von (E.25) μν sondern auch ein Teil des zweiten Terms bei.) Der verbleibende Term DF,red liefert keinen physikalischen Beitrag, ist also redundant, wie man aus der Struktur der St¨ orungstheorie sieht (siehe Bemerkung in Abschnitt 15.5.3.3)   d4 x d4 x j1μ (x)DFμν (x − x )j2ν (x )  (E.27) = d4 k j1μ (k)DFμν (k)j2ν (k) . Da die Stromdichte erhalten ist, ∂μ j μ = 0 also jμ k μ = 0 ,

(E.28)

400

Anhang

μν tr¨ agt der Term DF,red , in dem alle Terme proportional zu k μ oder k ν sind, nicht bei.

E.4 Erhaltungsgr¨ oßen Aus der freien Lagrange–Dichte, entsprechend (E.1) 1 1 LL = − (∂ ν Aμ ) (∂ν Aμ ) = − Aμ,ν Aμ,ν 2 2

(E.29)

erh¨ alt man nach (12.4.1) f¨ ur den Energie–Impuls–Tensor T μν = −Aσ,μ Aσ,ν − g μν LL ,

(E.30a)

und demnach die Energie– und Impulsdichte 1 T 00 = − (A˙ ν A˙ ν + ∂k Aν ∂k Aν ) 2 T 0k = −A˙ ν ∂ k Aν .

(E.30b) (E.30c)

Weiters erh¨ alt man aus (12.4.21) den Drehimpulstensor M μνσ = −Aν,μ Aσ + Aσ,μ Aν + xν T μσ − xσ T μν

(E.31a)

und daraus mit dem Spinanteil S μνσ = −Aσ Aν,μ + Aν Aσ,μ

(E.31b)

schließlich den Dreier-Spinvektor ˙ S = A(x) × A(x) .

(E.31c)

Das ¨ außere Produkt der Polarisationsvektoren der transversalen Photonen 1 (k) × 2 (k) ist k/|k|, und folglich ist der Wert des Spins 1 mit nur zwei Einstellm¨ oglichkeiten, parallel und antiparallel zum Wellenzahlvektor. Es ist in diesem Zusammenhang instruktiv, von den beiden Erzeugungs– bzw. Vernichtungsoperatoren a†1 (k) und a†2 (k) (bzw. a1 (k) und a2 (k)) zu Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren f¨ ur Helizit¨ atseigenzust¨ande u ¨ berzugehen.

F Die Ankopplung von geladenen skalaren Mesonen an das elektromagnetische Feld Die Lagrange–Dichte f¨ ur das komplexe Klein–Gordon–Feld ist nach Gl. (13.2.1)   LKG = ∂μ φ† (∂ μ φ) − m2 φ† φ . (F.1a)

F Die Ankopplung von geladenen skalaren Mesonen

401

Um die Ankopplung an das Strahlungsfeld zu erhalten, muß man ∂ μ → ∂ μ + ieAμ ersetzen. Die dabei resultierende kovariante Lagrange–Dichte inklusive der Lagrange-Dichte des elektromagnetischen Feldes 1 LStr = − (∂ ν Aμ ) (∂ν Aμ ) 2 lautet 1 L = − (∂ ν Aμ ) (∂ν Aμ ) − 2

(F.1b) 

∂φ† − ieAμ φ† ∂xμ



 ∂φ + ieAμ φ − m2 φ† φ . ∂xμ (F.2)

Die Bewegungsgleichungen f¨ ur das Vektorpotential ergeben sich aus −

∂ ∂L ∂L . μ = 2Aμ = − ν ∂x ∂A ,ν ∂Aμ

(F.3)

Aus der Ableitung nach φ† erh¨ alt man die Klein-Gordon-Gleichung in Gegenwart des elektromagnetischen Feldes. Definiert man die elektromagnetische Stromdichte ∂L (F.4) jμ = − μ , ∂A erh¨ alt man  †    ∂φ ∂φ † † jμ = −ie − ieAμ φ φ − φ + ieAμ φ , (F.5) ∂xμ ∂xμ welche aufgrund der Bewegungsgleichungen erhalten ist. Die Lagrange–Dichte (F.6) kann man in die Lagrange–Dichte des Klein–Gordon–Feldes, LKG des freien Strahlungsfeldes LStr und in Wechselwirkungsanteil L1 zerlegen   1 L = ∂μ φ† (∂ μ φ) − m2 φ† φ − (∂ ν Aμ ) (∂ν Aμ ) + L1 , 2 wo  †  ∂φ † ∂φ φ−φ L1 = ie Aμ + e2 Aμ Aμ φ† φ . ∂xμ ∂xμ

freien einen (F.6)

(F.7)

ur das Klein– Das Auftreten des Terms e2 Aμ Aμ φ† φ ist charakteristisch f¨ Gordon–Feld und entspricht im nichtrelativistischen Grenzfall dem A2 –Term in der Schr¨ odinger–Gleichung. Aus Gl. (F.7) erh¨alt man f¨ ur die Wechselwirkungs–Hamilton–Dichte, die f¨ ur geladene Teilchen in die S-Matrix (15.3.4) eingeht5 ;   ∂φ ∂φ† † HI (x) = −ie φ (x) μ − μ φ(x) Aμ (x) − e2 φ† (x)φ(x)Aμ (x)Aμ (x) . ∂x ∂x (F.8) 5

P.T. Matthews, Phys. Rev. 76, 684L (1949); 76, 1489 (1949); S. Schweber, op.cit p.482; C. Itzykson a. J.-B. Zuber, op.cit p.285

Sachverzeichnis

Adiabatenhypothese 335, 336, 370 Adjungierter Feldoperator 295 außere Linien 362 ¨ akausales Verhalten 269 aktive Transformation 152, 157–158, 211–214 Analytizit¨ at von χAB (z) 89 Anomales magnetisches Moment des Elektrons 376–379 Anregungsenergie 76 Anti-Stokes-Linie 85, 98 Antikommutationsregeln f¨ ur Fermionen 19, 297 Antikommutationsrelationen 293, 300 Antikommutator 18, 306–307 Antineutrino 246 antisymmetrisierter Zustand 17 Antiteilchen 208, 219, 291 Austausch von Mesonen 288 Austauschintegral 52 Austauschloch 38 Austauschterm 44 Autokorrelation 80 Axialvektor 147 Axiome der Quantenmechanik 115 Bahndrehimpuls des Feldes 276, 285, 294 Bahndrehimpulsdichte 324 Bahndrehimpulsquantenzahl 167 Baker-Hausdorff-Identit¨ at 30, 186 Baryonenzahl 291 Besetzungszahl 10, 17 Besetzungszahloperator 13, 14, 19, 28, 258, 283 Bewegungsgleichung f¨ ur den DichteOperator 25 Bewegungsgleichungen – f¨ ur Feldoperatoren 23 Bewegungskonstante 279 bewegungsumgekehrter Zustand 221

Bewegungsumkehr siehe Zeitumkehr, 220–239 Bilinearform 144 Bindungsenergie 167 Bispinor 124 Bogoliubov-N¨ aherung 63 Bogoliubov-Theorie 62 Bogoliubov-Transformation 64, 73, 74 Bohrscher Radius 43, 194 Bohrsches Magneton 129 boost 152, 276, 279 Bose-Einstein-Kondensation 60–62, 68 Bose-Feld 55–74, 318 Bose-Fl¨ ussigkeit 60 Bose-Gas 60 Bose-Operatoren 14, 284, 332 Bose-Vertauschungsrelationen 12, 318 Bosonen 5, 10, 21, 55–74, 284, 304, 318 Bravais-Gitter 93 Bremsstrahlung 338 Brillouin-Zone 255 Cauchyscher Hauptwert 90 chirale Darstellung der Dirac-Matrizen 125, 385 Chiralit¨ atsoperator 243, 385 Clebsch-Gordan-Koeffizienten 171 Cluster-Effekt 58 Compton-Streuung 345, 360–361 Compton-Wellenl¨ ange 119, 130, 168, 191, 194 Coulomb-Abstoßung 41, 50 Coulomb-Potential 46–49, 163–181 – Streuung am siehe Mott-Streuung Coulomb-Wechselwirkung 33, 46, 323 d’Alembert-Gleichung 234, 317 – inhomogene 321 d’Alembert-Operator 119, 316 – Definition 134 D¨ ampfung der Phononen 96

404

Sachverzeichnis

Darstellungen der Permutationsgruppe 5 Darwin-Term 190 Debye-Waller-Faktor 109 δ-Potential 68 detailliertes Gleichgewicht 85 Dichte der L¨ osungen der freien Dirac-Gleichung 152 Dichte-Dichte-Korrelationsfunktion 39, 81, 85, 96, 100 Dichte-Dichte-Suszeptibilit¨ at 106 Dichte-Responsefunktion 100, 107 Dichtematrix 80 Dichteoperator 27 Dichtewelle 66 Diffusion 97 Diffusionsdynamik 98 Diffusionsgleichung 97 Dirac-Darstellung 328–333 Dirac-Feld 309, 325, 327, 342 – quantisiertes 292–300 Dirac-Feldoperatoren 299, 308 Dirac-Gleichung 121–130, 292, 326, 383–385 – im Coulomb-Potential 170–181 – in chiraler Darstellung 245 – in kovarianter Form 124–125 – Kontinuit¨ atsgleichung 122–123 – L¨ osungen der freien 126, 148 – Lorentz-Kovarianz 137 – masselose 242 – mit elektromagnetischem Feld 170–181 – nichtrelativistischer Grenzfall 126–129 – quadratische Form 154–155 – zeitabh¨ angige 197 Dirac-Hamilton-Operator 121, 160, 161, 203 Dirac-L¨ ochertheorie siehe L¨ ochertheorie Dirac-Matrizen – chirale Darstellung 244, 385 – Eigenschaften 123–124, 147–148 – Form 147–148 – Fundamentalsatz 148, 156 – Majorana-Darstellung 219, 247, 386 – Standarddarstellung 124, 125, 385 Dispersionsrelation 90, 101, 256 Dissipation 92 dissipative Antwort 90 divergente Nullpunktsenergie 320 Drehimpuls 158–161, 276, 284

– des Dirac-Feldes 294 – des skalaren Feldes 285 – des Strahlungsfeldes 400 Drehimpuls-Operator 276, 309 Drehimpulstensor – des elektromagnetischen Feldes 324, 400 Drehmatrix 141 Drehung 140, 154, 158–161, 215, 275 – infinitesimale 160 Druck 44, 66 dynamische Suszeptibilit¨ at 85, 91, 94, 98, 106 Dyson-Gleichung 365 ebene Welle 204 effektive Masse 69 Eichinvarianz 68, 277, 289 – der Lagrange-Dichte 309 Eichtheorie, abelsche 326 Eichtransformationen – erster Art 277, 290, 305 – zweiter Art 278, 313 Eichung 320 – axiale 313 – Coulomb- 193, 313–314 – Lorentz- 313 – transversale 193, 313 – zeitliche 313 Eigenzeit 117 Eigenzustand 115 Ein-Teilchen-Potential 22 Einphononenstreuung 109 Einstein-N¨ aherung 54 Einteilchenkorrelationsfunktion 37 Einteilchenoperator 14, 20 Einteilchenzustand 285, 308 elastische Streuung 81, 107 Elektrodynamik – klassische 311–316 elektromagnetische Wechselwirkung 326 elektromagnetisches Feld 311–324 – Dirac-Gleichung 126–130, 170–181, 185–189 – Klein-Gordon-Gleichung 163–169 elektromagnetisches Vektorpotential 305 Elektron – anomales magnetisches Moment 376–379 – Ladung 126, 375 – magnetisches Moment 129, 376–379

Sachverzeichnis – nackte Masse 366 – renormierte Masse 368 Elektron-Elektron-Streuung siehe Møller-Streuung Elektron-Elektron-Wechselwirkung 42 Elektron-Positron-Paar 337 – virtuelles 370 Elektron-Positron-Stromdichten 320 Elektronengas 41–49 – Grundzustandsenergie 44 Emission – des γ-Quants 345 Energie – negative 216 Energie-Impuls-Erhaltung 346 Energie-Impuls-Tensor 271, 293 – f¨ ur das Dirac-Feld 293 – f¨ ur das Strahlungsfeld 324 Energie-Impuls-Vektor 284 Energie-Impuls-Vierervektor 272 Energieabsorption 92 Energieniveaus 166 – der Dirac-Gleichung im CoulombPotential 177 – der Klein-Gordon-Gleichung im Coulomb-Potential 166 Energieunsch¨ arfe 209 entartetes Elektronengas 34 Entartung 167, 180, 232 Entwicklung des Feldoperators 289 Erhaltungsgr¨ oßen 279, 293–294, 400 Erhaltungss¨ atze 214–216, 271 Erzeugende 278–280 – der Lorentz-Transformation 276 – von Drehungen 160, 215 – von Symmetrietransformationen 279 – von Translationen 308, 309 Erzeugungsoperator 11, 14, 17, 26, 256, 341, 343 Euler-Lagrange-Gleichungen 267, 292, 315 – der Feldtheorie 268 f -Summenregel 106–108 Faktorisierungsn¨ aherung 47 Feinstruktur 180, 190 Feinstrukturkonstante, Sommerfeldsche 164, 311, 326 Felder – elektromagnetische 126–130, 163–181, 185–189, 311–324 – freie 281–307

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– freie, elektromagnetische 316–324 – konjugierte 292 – relativistische 253–280 – wechselwirkende 325–379 Feldgleichungen 23, 289, 292–293 – freie 329 – klassische 292 – nichtlineare 327 – quantenmechanische 283 Feldoperator 21, 262, 263, 299, 328, 329, 336, 337 – adjungierter 295 Feldst¨ arketensor, elektromagnetischer 313 Feldtheorie – freie 281 – klassische 265–270 – nichtlineare 325, 329 Fermi-Energie 34 Fermi-Kugel 33 Fermi-Operatoren 20, 332 Fermi-Wellenzahl 33 Fermion-Propagatoren 306 Fermionen 5, 17, 21, 293, 304 Fermionlinie 362 Feynman-Diagramme 27, 288, 341, 353 – ¨ außere Linien 362 Feynman-Propagator 287, 288, 322, 329 – Fermionen 307 – Mesonen 289 – Photonen 324, 398 Feynman-Regeln 344, 354, 361–364 Feynman-Slash 125 Feynmansche Wegintegraldarstellung 392 Fluktuationen 57 Fluktuations-Dissipations-Theorem 91, 96 Fock-Raum 11, 17, 263, 299 Foldy-Wouthuysen-Transformation 183–189, 191, 196 freie Bosonen 55 g-Faktor 128, 129, 189, 378, 383 Galilei-Transformation 70 γ-Matrizen siehe Dirac-Matrizen gebrochene Symmetrie 68 ged¨ ampfter harmonischer Oszillator 98 Gesamtdrehimpuls 159 Gesamtstrom 199

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Sachverzeichnis

Gesamtteilchenzahl 13 Gesamtteilchenzahl-Operator 23 Gitterdynamik 81, 93 Gitterschwingungen 253–265 goldene Regel 77, 92 Gordon-Identit¨ at 199, 210, 372, 377 Graphen siehe Feynman–Diagramme Green-Funktion 391 – avancierte 302 – Coulomb 314 – retardierte 302 großkanonische Zustandssumme 83 großkanonisches Ensemble 83 Grundzustand 12, 283 – der linearen Kette 258 – des Bose-Gases 62 – des Dirac-Teilchens im CoulombPotential 180 – des Feldes 263 – des Fermi-Gases 33 – von Suprafluidem Helium 71 Grundzustandsenergie 41 Gruppengeschwindigkeit 199, 204 Gupta-Bleuler-Methode 393–400 gyromagnetischer Faktor siehe g-Faktor Hamilton-Dichte 268, 323, 326–327 – des freien Dirac-Feldes 293 – des freien Strahlungsfeldes 316 Hamilton-Funktion 293 Hamilton-Operator 22, 115, 281–285, 325 – der Dirac-Gleichung 121 – des skalaren Feldes 283 – eines Vielteilchensystems 20 – mit Zentralpotential 161 – nichlokaler 185 – rotationsinvarianter 160 Hamiltonsches Prinzip 266 hard-core Potential 61 harmonische N¨ aherung 73 harmonischer Kristall 92–96 harmonischer Oszillator 30 Hartree 50 – Gleichungen 50 Hartree-Fock Energieniveaus 48 Hartree-Fock Gleichungen 49–53 Hartree-Fock-N¨ aherung 43 Hartree-Gleichungen 51 Hauptquantenzahl 166, 177 He II-Phase 70, 108 He4 60

Heaviside-Lorentz Einheiten 311, 350 Heisenberg-Bewegungsgleichung 24, 83 Heisenberg-Darstellung 23, 254, 329, 330 Heisenberg-Ferromagnet 68 Heisenberg-Modell 72 Heisenberg-Operator 83, 330 Heisenberg-Zustand 83 Helium – Anregungen 69 – Phasendiagramm 60 – Suprafluidit¨ at 69, 107 Helizit¨ at 240–242, 310, 390 Helizit¨ atseigenzust¨ ande 241, 317, 400 Holstein-Primakoff-Transformation 72 Hubbard-Modell 32 Hyperfeinstruktur 180 Hyperfeinwechselwirkung 180, 191 Hyperladung 282, 291 identische Teilchen 3 Impuls 293, 296, 326 – konjugierter 315 Impuls¨ ubertrag 77 Impuls-Dichte 293 Impuls-Feld 268 Impulsdarstellung 25 Impulseigenfunktionen 25 Impulsoperator 129, 284, 300 – des Dirac-Feldes 309 – des Klein-Gordon-Feldes 283 – des Strahlungsfeldes 320, 393 – normalgeordneter 324 inelastische Streuung 76, 77 inelastischer Streuquerschnitt 76, 96 Inertialsystem 134 Infrarotdivergenz 194 inkoh¨ arenter Streuquerschnitt 80 innerer Drehimpuls 276 Interferenz 57, 202 Interferenzterme 80 invariante Unterr¨ aume 7 Invarianz 214–216 – relativistische 269 Inversion, r¨ aumliche 216 irreduzible Darstellung 245 Isospin 291 isotherme Kompressibilit¨ at 41 isotherme Schallgeschwindigkeit 108

Sachverzeichnis K 0 -Meson 282, 291 kanonische Quantisierung 270, 282 kanonische Vertauschungsrelationen 270 kanonisches Ensemble 83 kanonisches Quantisierungsverfahren 315 Kastenpotential 68 Kausalit¨ at 88 Kernradius, endlicher 168, 169, 181 Kinetische Energie 22 Klassische Elektrodynamik 311–316 klassischer Grenzfall 91, 104 Klein-Gordon-Feld 262–265, 342 – komplexes 264, 282, 289–291, 308, 400 – reelles 281–288 Klein-Gordon-Gleichung 116–120 – eindimensionale 260 – freie L¨ osungen 120 – im Coulomb-Potential 164–169 – im elektromagnetischen Feld 163–169 – Kontinuit¨ atsgleichung 119 Klein-Gordon-Propagator 321 Klein-Paradoxon 204–206 koh¨ arente (inkoh¨ arente) dynamische Strukturfunktion 81 koh¨ arente Zust¨ ande 67, 280 koh¨ arenter Streuquerschnitt 80 koh¨ arenter Zustand von Quasiteilchenanregungen 67 Kommutationsrelationen 21 Kommutator 18, siehe Vertauschungsrelation – freier Bosonen 301 Kompressibilit¨ at 66 Kompressibilit¨ atssummenregel 107, 108 Kompressionsmodul 44 Kondensat 62 konjugierte Felder 289, 292 Kontakt-Potential 65 Kontaktwechselwirkung 31 Kontinuit¨ atsgleichung 25, 201, 271, 291, 298, 312 – der Dirac-Gleichung 122–123 – der Klein-Gordon-Gleichung 119 Kontinuumsgrenzfall 259–262 Kontraktion 341 kontravariante Indizes 117, 133 Korrektur, relativistische 167 Korrelationsfunktion 47, 83, 92, 339

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– klassischen Grenzfall 104 – Symmetrieeigenschaften 99–106 Korrespondenzprinzip 116, 384 kovariante Indizes 117, 133 Kovariante Quantisierung 393 Kovarianz 270 – relativistische 286 Kramers-Entartung 232 Kramers-Kronig-Relationen 90 kritische Geschwindigkeit 71 Kubo-Relaxationsfunktion 105 L¨ ochertheorie 207–210, 216, 219, 295 Ladung 289–291, 298–300 – nackte 375 – renormierte 368–373 Ladungsdichte 314, 323 Ladungskonjugation 216–220, 235, 308, 309 Ladungskonjugationsoperation 295, 308, 309 Ladungsoperator 285, 298, 299 Ladungsrenormierung 368, 373–377 Lagrange-Dichte 265, 281–285, 289, 322, 325–327, 400 – der φ4 -Theorie 325 – der Quantenelektrodynamik 325, 327 – des Dirac-Feldes 292 – des freien, reellen Klein-GordonFeldes 281 – des Strahlungsfeldes 315–316, 393 – von Strahlungsfeld und geladenen skalaren Mesonen 401 Lagrange-Funktion 265, 322, 325–327 – nichtlineare 325–326 Lamb-Verschiebung 180, 191–196, 326 Land´e-Faktor siehe g-Faktor Lennard-Jones-Potential 61 Lichtkegel 302 Lindemann-Kriterium 45 lineare Antwort 87 lineare Kette 253–259 lineare Responsefunktion 88 lineare Suszeptibilit¨ at 75 linksh¨ andige Zust¨ ande 240 Loch 34 Lokalit¨ at 269, 304 Lorentz-Bedingung 223 Lorentz-Gruppe 135 Lorentz-Kovarianz 286 – der Dirac-Gleichung 137 Lorentz-Spinor, vierkomponentiger 138

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Sachverzeichnis

Lorentz-Transformation 133–136, 302 – Drehung 140 – eigentliche 135 – Erzeugende der 276 – infinitesimale 138–143, 158 – l¨ angs der x1 -Richtung 142 – Linearit¨ at 134 – orthochrone 135, 146, 302, 303 – Raumspiegelung 143–144 – Zeitspiegelungsartige 135 magnetisches Moment – des Elektrons 379 Magnetisierung 68 Magneton – Bohrsches 129 Magnonen 73 Majorana-Darstellung der DiracMatrizen 125, 219, 247, 386 Masse – nackte 195, 366–368 – physikalische 195, 366–368 – renormierte siehe Masse, physikalische Masselose Fermionen siehe Neutrinos Massendichte 66 Massenerh¨ ohung – relativistische 168 Massenverschiebung 368 Matrixelement 339 Maxwell-Gleichungen 311–312 Mehrteilchenoperator 14, 20 Mehrteilchenzustand 3, 13 Meson-Propagator 288, 289 Mesonen 164, 169, 289 – elektrisch neutrale 263, 282 – freie 329 – skalare 400 Messung 115 metrischer Tensor 133 Mikrokausalit¨ at 304 minimale Kopplung 130 Minkowski-Diagramm 302 Mittelwert einer Observablen 115 Møller-Formel 354 Møller-Streuung 345, 352–357 Mott-Streuung 345–351 Multiphononenzustand 258 N -Teilchen-Zustand 9 Neutrino 242–247 Neutronen – Streuquerschnitt 80

– Streuung 76, 79 – Wellenl¨ ange 76 Nichtlokalit¨ at 269 nichtrelativistische Vielteilchentheorie 3–74 nichtrelativistischer Grenzfall 178, 183 Noether-Theorem 273–275, 324 normal geordnetes Produkt 284 Normalimpulse 254 Normalkoordinaten 93, 254 Normalordnung 284, 318, 320 – f¨ ur Fermionen 297 Normalordnungsoperator 344 Normalprodukt – verallgemeinertes 342 Nukleon 289 Nullpunktsenergie 258, 284 – divergente 318 Nullpunktsterme 297 Observable 115 Operator – antilinearer 226 – antiunit¨ arer 220, 226 – chronologischer 332 – d’Alembert- 316 – gerader 183 – ungerader 183 Orthogonalit¨ atsrelation 11, 255, 295 – der L¨ osungen der freien DiracGleichung 151, 200 Orthonormalit¨ atsrelation der Impulseigenfunktionen 25 Ortsdarstellung 21 Ortseigenzustand 21 Oszillatoren, gekoppelte 253–265 Paarerzeugung 208 Paarkorrelationen 59 Paarvernichtung 338 Paarverteilungsfunktion 36, 39, 55 parasymmetrische Zust¨ ande 6 Parateilchen 6 Parit¨ at 143–144, 216 – innere 144 Parit¨ atstransformation 216, 235 Parit¨ atsverletzung 237 passive Transformation 139, 157–158, 211–214 Pauli-Gleichung 128, 189, 240 Pauli-Matrizen 124, 294, 309 Pauli-Prinzip 36, 207

Sachverzeichnis Pauli-Spinor 128, 171, 309 Pauli-Villars-Methode 371 Paulis Fundamentaltheorem siehe Dirac-Matrizen, Fundamentalsatz PCT-Theorem 238 periodische Randbedingungen 25, 254 Permutationen 4, 127, 353 Permutationsgruppe 4 Permutationsoperator 3 Phasen¨ uberg¨ ange zweiter Ordnung 68 φ4 -Theorie 325 Phonon-Korrelationsfunktion 94 Phonon-Resonanzen 96 Phonon-Streuung 81 Phononen 66, 69, 93–96, 108, 257 – akustische 256 – optische 256 Phononendispersionsrelation 108 Phononenerzeugungsoperator 257 Phononenfrequenz 93 Phononenvernichtungsoperator 258 Photon-Propagator 320–324 Photon-Selbstenergie 370 Photonen 318 – freie 329 – longitudinale 395 – transversale 395 Photonen-Korrelation 59 Photonenfeld siehe Strahlungsfeld Photonlinie 362 Photonpropagator 398 Pi-Mesonen 291 π 0 -Meson 285 π − -Meson 164, 169 Plancksches Strahlungsgesetz 318 Poincar´e-Gruppe 135, 154 Poincar´e-Transformation 134, 270 Poisson-Gleichung 314, 316 Polarisationsvektor 193, 317 – des Photonenfeldes 321 Positron 208, 295, 309 Potential – elektromagnetisches 323 – rotationsinvariantes 215 – sph¨ arisch symmetrisches 164 Potentialschwelle 204 Prinzip der kleinsten Wirkung 266, 267 Projektionsoperatoren 153, 218 – f¨ ur den Spin 386 Propagator 285–291, 306–307 – freier 365 – kovarianter 323

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– und Spin-Statistik-Theorem 300–305 – wechselwirkender 365 Pseudopotential 79 Pseudoskalar 147, 156 Pseudovektor 147, 156 Punktmechanik 266 QED siehe Quantenelektrodynamik Quanten – des Strahlungsfeldes 318 Quantenelektrodynamik 195, 325–379 Quantenfelder – relativistische 253–280 Quantenfeldtheorie 196, 209, 219 – relativistische 291 Quantenfl¨ ussigkeit 60, 61 Quantenfluktuationen 45 Quantenkristalle 61 Quantenzahl – radiale 166, 176 Quantisierung 294–297 – des Dirac-Feldes 209, 292–300 – des Strahlungsfeldes 311–324 – kanonische 270, 289 Quantisierungsvorschrift – kanonische 282 Quasiteilchen 65, 257 Racah-Zeitspiegelung 238–239 Raman-Streuung 98 Randbedingungen – periodische 25, 254 raumartige Vektoren 302, 303 Raumspiegelung 143–144, 216 rechtsh¨ andige Zust¨ ande 240 Regularisierung 368, 371 rein raumartige Vektoren 303 relativistische Korrekturen 178, 183, 189–191 relativistische Massenkorrektur 190 Relativit¨ atsprinzip 134, 137 renormierbare Theorie 326 Renormierung 366, 368, 373 Renormierungsfaktoren 373 Renormierungskonstante siehe WellenfunktionRenormierungskonstante Resolvente 191 Response 75 Retardierung 302 Ritzsches Variationsprinzip 51 Rotationsinvarianz 102, 104

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Sachverzeichnis

Rotonen 69 Rotonen-Minimum 66, 74, 108 RPA 45 Ruhel¨ osungen der Dirac-Gleichung 150 Ruhemasse 118 Rutherford-Streuformel 351 Rydberg-Energie 129 Rydberg-Formel – nichtrelativistische 167 S-Matrix 326, 333–337, 341, 344 S-Matrixelement 340, 357, 362 – f¨ ur γ-Emission 346 – f¨ ur Mott-Streuung 347 – f¨ ur Møller-Streuung 353 Saite, schwingende 259–262 Schallgeschwindigkeit 66 Schr¨ odinger-Bild siehe Schr¨ odingerDarstellung Schr¨ odinger-Darstellung 328–330 Schr¨ odinger-Gleichung 82, 115, 328 Schr¨ odinger-Operator 83, 328, 330 schwach wechselwirkendes Bose-Gas 62–68 – Anregungen 66 – Grundzustandsenergie 68, 74 – Kondensat 62 schwache Wechselwirkung 237 Selbstenergie 364 – des Elektrons 364 – des Photons 370 Selbstenergie-Diagramm 365 Selbstenergieeins¨ atze 377 Signatur eines Operators 103, 229 Skalar 147 Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante 164, 311, 326 Spannungstensor T ij 275 Spektraldarstellungen 84, 90 Spezielle Relativit¨ atstheorie 117 sph¨ arisches Kastenpotential 73 Spiegelungs-Symmetrie 101 Spin 28, 276 – des Klein-Gordon-Feldes 282 Spin- 21 -Fermionen 28, 33, 304 Spin-Bahn-Kopplung 180, 190 Spin-Projektionsoperator 386 Spin-Statistik-Theorem 285, 300–307 spinabh¨ angige Paarverteilungsfunktion 38 Spindichte 28, 324 Spindichteoperator 28

Spinor 124, 294, 384, 389 – adjungierter 146 – freier 198 – hermitesch adjungierter 124 Spinorfeld 294, 310 Spinorindex 345 Spinorl¨ osungen 329 Standarddarstellung der DiracMatrizen 124, 385 station¨ are L¨ osungen 164 statische Suszeptibilit¨ at 92, 98 statischer Formfaktor 107, 108 statischer Strukturfaktor 40 Steifigkeitskonstante 256, 259 Stokes-Linie 85, 98 St¨ or-Hamilton-Operator 287 St¨ orungsentwicklung 340 St¨ orungstheorie 190, 285, 287, 326, 331–333 Strahlungs¨ uberg¨ ange 197 Strahlungsfeld 311–325, 327, 337, 393 – quantisiertes 195, 311–324 Strahlungskorrekturen 195, 364–379 Strangeness 291 Streuamplitude 345 Streuexperimente 76 Streul¨ ange 68, 74 Streumatrix siehe S-Matrix Streuquerschnitt 359 – differentieller 78, 348, 349 – – Møller-Streuung 354 – – f¨ ur Mott-Streuung 351 – – im Schwerpunktsystem 360 – Zusammenhang mit dem SMatrixelement 357 Streuung 75, 333, 338, 344 – zweier Nukleonen 288 Stromdichte 23, 308, 310, 314, 348 – elektrische 312 – unter Zeitumkehr 234 Stromdichteoperator 290, 309 Stufenpotential 204, 206 Summenkonvention, Einsteinsche 117 Summenregeln 106–108 suprafluider Zustand 60 Suprafluidit¨ at 69 Suszeptibilit¨ at 100 – dynamische 85–88 Symmetrie 211–247 – diskrete 216 Symmetriebrechung 68 Symmetrieeigenschaft 99 Symmetrierelationen 99

Sachverzeichnis Symmetrietransformation 216, 278 symmetrischer Operator 4 Teilchen-Interpretation 257 Teilchen-Loch-Paar 34 Teilchendichte 22 Teilchenzahldichte 28 Teilchenzahloperator 13, 283, 285 Tensor 156 – antisymmetrischer 147 Termschema des relativistischen Wasserstoffatoms 179 Theorem von Kramers 231 thermischer Mittelwert 81 Thirring-Modell 327 Transformation – aktive 152, 157–158, 211–214 – antiunit¨ are 278 – der Dirac-Gleichung 213 – infinitesimale 154, 273 – kontinuierliche 278 – passive 139, 157–158, 211–214 – unit¨ are 278, 329 – von Vektorfeldern 212 Translation 215, 275 Translationsinvarianz 94, 102, 193, 215 – der Korrelationsfunktion 104 Translationsoperator 308 Transpositionen 4 ¨ Uberg¨ ange – einfache 337–345 ¨ Ubergangsamplitude 333 ¨ Ubergangsprozesse 325 ¨ Ubergangsrate 332 ¨ Ubergangswahrscheinlichkeit 78, 339 Ultraviolettdivergenz 74, 194, 366 Unsch¨ arferelation 209 Vakuum 285 Vakuumerwartungswert 286 Vakuumpolarisation 370, 377 Vakuumserwartungswert 342 Vakuumzustand 12, 17, 283, 308, 395 Variation 267, 274 Variationsableitung 51 Vektorpotential – elektromagnetisches 305 Vergangenheitsbereich 302 Verletzung der Parit¨ atserhaltung 237 Vernichtungsoperator 11, 14, 17, 26, 256, 308, 341, 343 Vertauschungsrelationen 281–285, 308

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– der Dirac-Feldoperatoren 300 – der Feldoperatoren 29 – kanonische 270 Vertex 337, 340 Vertexkorrekturen 372 Vertexpunkt 362 Vielteilchentheorie – nichtrelativistische 3–74 Vierdimensionales Raum-Zeit Kontinuum 265 Vierergeschwindigkeit 117 Viererimpuls 117 Viererimpulsoperator 307 Viererspinor 124 Viererstromdichte 163, 290, 298, 312 virtuelle Teilchen 341 vollkommen antisymmetrische Zust¨ ande 5, 8 vollkommen symmetrische Zust¨ ande 5, 8, 11 Vollst¨ andigkeitsrelation 11, 17, 81, 255 von-Neumann-Gleichung 86 Wahrscheinlichkeitsamplitude 393 Wahrscheinlichkeitsverteilung 209 Ward-Identit¨ at 368, 373–376 Wechselwirkende Felder 325–379 Wechselwirkungs-Hamilton-Dichte 334 Wechselwirkungs-Hamilton-Operator 329, 336 Wechselwirkungsdarstellung 86, 328–333 wechselwirkungsfreies Elektronengas 38 Wechselwirkungsterm 323, 325 Wegintegraldarstellung 391 – Feynmansche 392 WellenfunktionRenormierungskonstante 369 Wellenpaket 198, 200 Weltlinie 117 Weyl-Gleichungen 245, 383 Wick-Theorem 326, 340–344, 361 Wigner-Kristall 45, 54 Wirkung 265 Wirkungsfunktion 266 Wirkungsquerschnitt 78 – siehe auch Streuquerschnitt Wu-Experiment 237 Z-Faktoren 375 zeitartige Vektoren

302

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Sachverzeichnis

Zeitentwicklungsoperator 86 – im Wechselwirkungsbild 86, 330 – Schr¨ odinger- 331 zeitgeordnetes Produkt 287, 341, 343 – f¨ ur das Klein–Gordon–Feld 287 – f¨ ur Fermi-Operatoren 307 zeitliche Translationsinvarianz 84 Zeitordnungsoperator 5 – Dysonscher 331 – Wickscher 332 Zeitumkehr 220–239 Zeitumkehrinvarianz 103, 221, 222 – der Dirac-Gleichung 232–238 – in der klassischen Mechanik 220 – in der nichtrelativistischen Quantenmechanik 224

Zeitumkehroperation 103 Zeitumkehroperator – im linearen Zustandsraum 228–232 Zeitumkehrtransformation 102, 236 Zitterbewegung 191, 201–204 – Amplitude der 202 Zust¨ ande – angezogene 335 – koh¨ arente 280 – nackte 335, 336 Zustandsvektor 115 Zwei-Fl¨ ussigkeitsmodell 70 Zwei-Teilchen-Wechselwirkung 22 Zweite Quantisierung 23, 24 Zweiteilchenoperator 15, 20 Zweiteilchenzust¨ ande 285