Quadratische Formen (Springer-Lehrbuch Masterclass)

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Author: Martin Kneser

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Kneser Quadratische Formen

Springer Berlin Heidelberg New York Barcelona Hongkong London Mailand Paris Tokio

Martin Kneser

Quadratische Formen Neu bearbeitet und herausgegeben in Zusammenarbeit mit Rudolf Scharlau

Springer

Professor Dr. Martin Kneser Guldenhagen 5 37085 Gottingen, Deutschland

Professor Dr. Rudolf Scharlau Universitat Dortmund Fachbereich Mathematik 44221 Dortmund, Deutschland e-mail : [email protected]

Die Deutsch e Bibliothek - CIP-Einh eitsaufn ahm e Kneser,Martin:

Quadratische Formen I Martin Kneser, Neu bearb. und hrsg . in Zusammenarbeit mit Rudolf Scharlau.· Berlin ; Heidelberg ; New York; Barcelona ; Hongkong; London; Mailand; Paris; Toki o: Springer. 20 02 ISBN3-540-64650'7

Mathematics Subject Classification (2000): 11-02, 11E04,l1E81 ,l1E88.11E08, 11E12, 11E57, 11E41. 11H55

ISBN 3-540-64650-7 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschutzt. Die dadur ch begrilndeten Rechte, insbeso nde re die der Ubersetzung , des Nachdrucks, de s Vor tra gs. der Entnahme von Abbildung en und Tabellen, der Funksendung. der Mikroverfilmung oder der Ver vielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben , auch bei nur auszugsweiser Verwertung. vorbehalten. Eine Vervielfaltigung dieses Werkes od ervon Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965in der jeweils geltend en Fassung zulassig. Sie ist grundsatzlich vergiltungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Stratb estimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Sprin ger. Verlag Berlin Heidelberg NewYork ein Unternehmen der BertelsmannSpringer Science+Business Media GmbH http://www .springer.de CO Springer. Verlag Berlin Heidelberg 2002 Print ed in Germany Die Wiedergabe von Geb rauchsna men, Hand elsnarnen , Warenbezeichnungen usw.in diesem Werk b erechtigt auch ohne besondere Kenn zeichnung nicht zu der Annahme, daB solche Namen im Sinne der Warenz eich en· und Markens chutz -Geselzgebung als frei zu betrachten waren und dah er von jede rmann benut zt werden durften . Einbandgestaltung: design e-produaion, Heidelberg Satz: Datenerstellung durch R.Scharl au unter Verwendung von ~1EX Gedruc kt auf saurefreiern Papier SPIN 10683216

44/3142ck-5 4 3 2 1 0

Einleitung Zu den altesten und wichtigsten Problemen der Zahlentheorie gehort die Losung diophantischer Gleichungen, also algebraischer Gleichungen in ganz en (oder rationalen) Zahl en. Nach relativ einfach zu behandelnden linear en Gleichungen (oder allgemeiner Systemen) liegt es nahe, quadrat ische Gleichungen zu betracht en, insbesondere Gleichun gen der Gestalt

wo f( X l , . . . ,xn )

=

L

a ij Xi X j

l ::;i ,j ::;n

eine quadratische Form mit ganzen Koeffizient en a ij ist . Mit solchen Problemen wollen wir uns in dieser Vorlesung beschaftigen , Die erste n wesentlichen Er gebnisse hierzu stammen von Ferm at (1601 - 1665), iiberwiegend allerdings ohne Beweise, die erst gut 100 J ahre spater von Eul er und Lagrange geliefert wur den, darunter z.B. die Darstellung natiirlicher Zahlen als Summen von zwei bzw. vier ganz en Quadraten. Weitere Er gebnisse stammen von Gauss (Summen von drei Quadraten) und J acobi (Anzahl der Dar stellungen als Summen von vier Quadraten). Wichti ge For tschritte auf dem Gebiet der quadratischen P robleme verda nken wir dann Hermann Minkowski. Im Jahr 1881 hatte die Pariser Akademie als Preisth ema das Problem der Zerlegung ganzer Zahlen in eine Summ e von funf Quad raten gest ellt, ohne zu bemerken, daB der angesehene englische Mathematiker Henr y J .S. Smith bereits 1868 in den P roceedings of the Royal Society of London einen wesentlichen Beitrag zur Losung des Problems veroffent licht hatte. Minkowski geht in seiner (als siebzehnjahriger Student geschriebenen!) Preisarbeit weit tiber das gestellte Thema hinaus und erhalt - wie auch Smith- den vollen Preis zuerkannt, obwohl seine Arb eit aus Zeitnot nicht wie verlangt in franz osischer Sprache abgefasst war. Mit der Preisarbeit und der bald danach in Konigsberg vorgelegten Inaugur aldissertation hat Minkowski die T heorie der ganzzahligen quadratischen Formen in beliebig vielen Variablen begriindet . Doch zurii ck zu unserer Gleichung (*). Notwendig fiir ihre Losbark eit ist es offenbar , daf die entsprechende Kongruenz

fiir jeden Modul m eine Losung besit zt , und daB t das richtige Vorzeichen hat , falls f definit ist . Man che der erwahnten klassischen Resultat e besagen gerade, daf diese Bedingungen in den behand elten Fallen auch hinreichend sind . Das ist ab er durchau s nicht immer so. Hier war es Helmut Hasse, der

VI

Einleitung

1921 in seiner Dissertati on bemerkte, daf man zweckma lligerweise die Henselschen p-adischen Zahlen Qp heranzieht und zunachst auf Ganzzahligkeit verzichtet . Er beweist dann den "Sat z von Minkowski und Hasse", wonach die Gleichun g (*) genau dann in rationalen Zahlen Q losbar ist , wenn sie es flir jede Primzahl p in Qp und auBerdem in den reellen Zahlen lR ist. Die entsprechende Aussage mit Forderung der Gan zzahligkeit , also mit Z statt Q und den ganzen p-adischen Zahlen Z p st at t Qp , ist , wie schon gesagt, nicht allgemein richtig , da die Losbarkeit der Kongruenz (**) fur alle Moduln m gleichbedeutend ist mit der Losbarkeit der Gleichung (*) in Zp fur alle Primzahl en p. An die Stelle dieser Aussage tri tt der schwierigere aber fund am entale "Satz von Minkowski und Siegel" aus dem J ah r 1935, fur dessen Formuli erun g hier auf Kapitel X verwiesen sei. Sein Beweis (mit Hilfe von Adelen und Haarschem MaB) ist eines der Haup tziele dieser Ausarbeit ung, die grob gespro chen aus zwei Teilen besteht : Einem algebraischen (Ka p. I - V) , in dem der Grundring allgemein oder nur durch st rukt urelle Vorgaben eingeschrankt ist , und einem arit hmet ischen (Kap. VI - X) mit Grundring Z bzw. Q. Wahrend wir in diesem zweiten Teil darauf verzichten, allgemeinere Grundringe, etwa algebraische Zahlkorper zu betracht en, hab en wir im erst en Teil dar auf geachte t, die Voraussetzungen so allgemein zu halte n, wie dies ohne Komplikationen moglich ist. Insbesondere hab en wir ste ts versucht , den Fall der Char akteristik 2 mit einzubeziehen , was sich gelegentlich, z.B. bei dyadischen Rechnung en auszahlt . SchlieBlich verwenden wir wie Ernst Wit t in seiner Habilitationsschrift von 1936 die geomet rische Sprache und betrachten quad ratische Formen als Funk tionen auf Moduln, die zwar mit symmetrischen Bilinearformen eng zusammenha ngen, in Char akteristik 2 aber durchaus von ihnen verschieden sind (§§ 1, 2). Aus dem hier skizzierten Gebiet der Arit hmetik quadratischer Formen hab e ich mehrfach Vorlesungen gehalt en. Ein e von diesen wurd e 1973/74 ausgearbeitet, spar er durch Anmerkungen historis cher oder sachlich-erga nzender Art erweite rt un d im einzelnen ilberarb eitet . GroBer Verdi enst am Zustandekommen der jetzt vorliegenden Neufassung gebilhrt Herrn Rud olf Scharl au , der mich tatkraftig unterstutzt hat und dem ich herzlich daftir danke. Mein Dank gilt dem Springer-Verlag nicht nur fiir seine gewohnt hervorr agende Arbeit, sondern auch fur die erwiesene groBe Geduld. SchlieBlich ein personl iches Wort. Es ist ziemlich gena u 50 J ahre her , daf ich als junger Assistent nach Munster kam, bald an Eichlers Seminar teilna hm, wo gerade die neuest en Ergebnisse aus seinem Buch Quadratische Form en un d orthogonale Gruppen besprochen wurd en. Da ich im Institut mein Arbeits zimmer mit Eichler teilte, hat te ich die besten Moglichkeiten, von einer Seminarsitzung zur nachsten die offen gebliebenen Fragen zu klaren und so die quadrat ischen Formen an der Quelle zu st udieren. Got tlngen , im Dezember 2001 Martin Kneser

Inhaltsverzeichnis

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

I.

Bilineare und quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Symm etrische Bilinearformen 1 2 Quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Die orthogonale Gruppe und der Satz von Wit t 11 4 Lokale Ringe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

II.

Clifford-Algebren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Konstruktion und wichtige Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Raum e kleiner Dimension 7 Zentren von Clifford-Algebr en 8 Spin gruppe und Spinornorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

21 21 27 32 36

III.

Witt-Gruppe und Invarianten quadratischer Formen. . . . 9 Die Wit t sche Gruppe 10 Diskriminante und Arf-Invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Die Invarianten von Minkowski, Hasse und Witt. . . . . . . . ..

41 41 42 44

IV.

Quadratische Formen tiber endlichen Korpern . . . .. . . ... 51 12 Klassifikation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 13 Anzahlb estimmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

V.

Quadratische Formen tiber Bewertungsringen . . . . . . .. . .. 14 Hauptidealringe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15 Bewertungsringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Lokale Korp er , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 57 62 66

VI.

Quadratische Formen tiber Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Die Witt-Gruppe von Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18 Das quad ratis che Reziprozitatsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19 Der Satz von Minkowski und Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 71 74 78

VIII

Inhaltsverz eichnis

VII.

Quadratische Formen tiber Z 20 Reduktionst heorie.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21 Klassen und Geschlechter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Darstellungen tiber Z

83 83 86 88

VIII. Approximat.ionssatze und indefinit e Formen . .. . . . . . . . .. 23 Schwache Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Starke Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Spinorgeschlechter 26 Unimodulare Gitter

93 93 97 103 106

IX.

Nachbargitter und definite Formen 27 Unzerlegbare Git ter 28 Bestimmung von Klassen in einem Geschlecht . . . . . . . . . . . . 29 Dars tellungen durch eine einzelne Form

111 111 113 119

X.

Der 30 31 32 33 34 35

125 125 130 136 140 146 154

Satz von Minkowski und Siegel Klassen und Geschlechter von Darstellungen Adele und Haarsches Maf Darstellungsanzahlen in einem Geschlecht Der Satz von Minkowski und Siegel Schluf des Beweises Ein ige Beispiele und Anwendungen

Literatur

161

Index

163

I. Bilineare und quadratische Formen

In diesem Kapitel wird die grundlegende Theorie der symmetrischen Bilinearformen und quadratischen Formen tiber beliebigen kommutativen Ringen in geometrischer Sprechweise entwickelt. Naturgemaf ben6tigen Resultate wie der Wittsche Kurzungssatz oder die Erzeugung orthogonaler Gruppen durch Spiegelungen weitere Voraussetzungen insbesondere an den Grundring: dieser muf ein Korper oder ein lokaler Ring sein. 1st die Charakteristik ungleich 2 (oder besitzt allgemeiner 1 + 1 = 2 im Grundring ein Inverses ~) , so ent sprechen sich symmetrische Bilinearformen und quadratische Formen umkehrbar eindeutig. Andererseits gibt es in Charakteristik 2 Situationen, wo sich quadratische Formen besser verhalten als symm etrische Bilinearformen, so daf eine sorgfiiltige Unterscheidung angebracht erscheint. AIle in dieser Vorlesung vorkommenden Ringe sollen ein Einselement 1 haben, aIle Ringhomomorphismen Eins in Eins ilberfuhren, und fiir A-Moduln E gelte stets 1 · x = x fur aIle x E E. In diesem ersten Kapitel sind zudem aIle Ringe kommutativ.

1 Symmetrische Bilinearformen 1m folgenden ist A ein kommutativer Ring, E ein A-Modul und b : Ex E -+ A eine symmetrische Bilinearform auf E, also b(x,y) linear in x (bzw. y) bei festem y (bzw. x) und b(x ,y) = b(y,x).

(1.1) Definition a) Zwei Elemente z und y von E stehen senkrecht aufeinander oder sind orthogonal (bezuglich b), falls b(x,y) = 0 ist. b) Fur eine Teilmenge F von E nenn en wir FJ... = {y EEl b(F, y) = O} den zu F orthogonalen Untermodul. c) E heiBt orthogonale Summe der Untermoduln E l , .. . ,En, in Formeln E = E l .L . . . .L En = .Ll=l E i ,

wenn E direkte Summe der E, ist und b(E i , E j ) = 0 ftir i

=I j.

Fur einen A-Modul E bezeichne E* = Hom(E , A) den dualen Modul der Linearformen auf E . Fur den Wert einer Linearform u an der Stelle x schreiben wir auch u(x) = (x, u). M. Kneser, Quadratische Formen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

2

I. Bilin ear e und quadratische Formen

r».

Wenn E = F ..1 F' ist , so gilt offensichtl ich F' ~ Umgekehr t fragen wir un s bei gegebenem Untermodul F , wann E = F ..1 F .l.. ist . Hierzu fiihr en wir den folgend en Modulhomomorphi smus bF ein:

(1.2)

bF : E --+ F *, (x , bF(Y») = b(x , y) , x E F , Y E E .

Man beachte, daB F .l.. genau der Kern von br ist. Unmitte lbar aus der Definiti on von bF ergibt sich folgendes Kriterium. (1.3) Fur einen Unt ermodul F von E gilt E = F ..1 F .l.. gena u dann , wenn br eine Bijektion von F auf bF(E) induzi ert , wenn also bF(E ) = bF(F) und F n F.l.. = {O} ist.

In der Tat driicken die angegebenen Bedingungen aus, daB es bei gegebenem Y E E gena u ein z E F mit bF(Z) = bF(Y), d.h . mit Y - Z E F .l.. gibt . Im Fall , daB F = Ae frei mit einem erzeugenden Element e ist, hat man eine einfache geometrische Deutung des vorangegangenen Satz es. Der Ansat z Y - ae E e.l.. fiihrt zu b(y, e) - ab(e, e) = 0, und das ist nach a aufl osb ar, wenn bF bijektiv, b(e, e) also invertierb ar ist. Die Komponente von Y in Ae : b(y, e) (1.4) pr e(y) = b(e, e) e bedeutet geometrisch die orthogonale Projekti on von y auf die Gerade Ae. (1.5) Definition Ein Modul mit symmetrischer Bilinearform (E, b) (oder auch einfach E oder b) heiBt nicht ausgeartet, falls be injektiv ist , wenn also E.l.. = {O} ist ; (E, b) heiBt regular, falls bE bijekt iv und E endlich erzeugt pr ojekti v ist.

Dab ei heiBt ein endlich erzeugte r Modul projekti v, wenn er direkter Summand in einem endlich erzeugten freien Modul ist. Im weiteren Verlauf werd en wir es fast ausschlieBlich mit freien Moduln zu t un hab en. Wenn (E, b) ein Modul mit symmet rischer Bilinearform ist und F ~ E ein Unt erm odul , so versehen wir F mit der Einschrankung b! FxF von b und konn en so z.B. davon sprechen, daf F regular oder nicht ausgeartet sei. Die zur Einschr ankung gehorige Abbildung bF : F --+ F* ist gleich der Einschrankung der obigen Abbildung br : E --+ F *. Hierdurch ist gerechtfertigt , daB in unserer Bezeichnun g br der Definitionsbereich E der Form b nicht vorkommt. Wenn speziell F regular bezuglich b ist , so gilt in der lnklusionsket te bF(F ) ~ bF(E ) ~ F * notwendig iiberall Gleichheit , und aus (1.3) folgt (1.6) Satz Jeder requliire Unte rm adul eines Maduls mit symmetrischer Bilinear/arm spaltet als arthaganaler Sum mand abo

Als nachstes betrachten wir das Verh alten der Eigenschaften 'nicht ausgeartet' und 'regular ' bei orthogonalen Summen. Man hat eine kanonische Iso-

1 Symmetrische Bilinearformen

morphie E *

n

= EB E;

fur jede direkte Summe E

i= l

n

= EB E,

3

von A-Moduln. Die

i= l

Orthogonalit at einer solchen direkten Summ e bezuglich einer symmt rischen Bilinearform b druckt sich durch die Gleichung be , IEj = 0 fur i :I j aus. Also ist bE : E -+ E* genau dann injektiv (surjektiv) , wenn aIle be. : E i -+ E; es sind. Weit er gehort wie eben be, IE; zur Einschrankung der Bilinearform auf E i . Wir hab en folgenden Satz bewiesen.

(1.7) Satz E in e orthogonale Summe von M oduln m it B ilin earform ist genau dann nicht ausgeart et bzw. regular, wenn dieses fu r j eden Summanden gilt.

Wir kommen schlieBlich zur Beschreibung von Bilinarformen auf freien Moduln und ihrer Eigenschaft en durch Matrizen. Die Transponierte einer Matrix T bezeichnen wir mit t». Speziell wird fur einen Zeilenvektor x = (Xl, . .. ,xn ) mit x t der zugeh6ri ge Spaltenvektor bezeichnet. Fur el, . . . , en E E betrachte die symmet rische Matrix B = (b(ei , ej» i,j= l, ...,n. Wenn X = L Xiei und Y = L Yj ej , dabei Xi, Yj E A , zwei Linearkombination en der e, sind, so gilt

(1.8)

b(x ,y)

= xByt .

Wenn aIle Vektoren eines weiteren Systems ej , j = 1, ... , m sich linear aus den ei kombini eren lassen, ej = L t jiei, so gilt fiir die ents prechende Matrix B' = (b(ei , ej » und die Uberga ngsmatrix T = (t ji ) die Formel

B'

(1.9)

= TBT t .

Wir bezeichnen mit d( el, .. . , en) die Determin ante der obigen Matrix B. Ist speziell m = n, also T eine quadratische Matrix, so ergibt sich d(e~ , oo . , e~ ) =d(el ,oo . , e n ) det (T )2.

(1.10)

Zerfallt das System {ei . {el, ... , em } und {em+I, (1.11)

, en } in zwei zueinand er orthogonale Teilsyst eme , en }, also bie«, ej) = 0 fur i ::; m

< j, so hat man

d(el ," " en ) = d(el " ' " em )d(em H, " " en )'

(1.12) Ist d( el , .. . , en ) kein Nullt eiler, so sind el, ... , en linear unabh angig. Denn aus L aie ; i

ai d(e l, . . . ,en ) =

=

0 folgt L ai b(ei, ej )

O.

i

=

0 ftir j

=

1'00" n , also weiter

(1.13) Ist E ein freier Modul mit Basis el , ... ,en, so heiBt die obige Matrix B die Gramsche M atrix oder Gram-Matrix I von b oder (E, b) bezilglich der Basis el , .. . , en' Ihre Determinante d( el , . .. , en) andert sich bei Basiswechsel urn ein Quadrat aus der multiplikativen Gruppe A x der Einh eiten von A . Ihr e 1

Nach J.P. Gr am , 1850-1916

4

1. Bilinear e und quadrati sche Formen

Klasse modulo A x2 nennen wir daher die Determinante von (E , b), oder kur z von E , und schreiben daftir d( el , . .. ,en )A x2 = det(E, b) = det E.

(1.14) Einen freien Modul mit Gram-Matrix B = (bij) bezeichnen wir mit (bij ), speziell fur eine Diagonalmatrix mit Diagonalelement en b1 , . .. , bn auch mit (b1 , ... ,bn ) . Sei ei, . .. , e~ die durch i=j i=fij

beschriebene duale Basis von E *. Definieren wir Koeffizienten bE( ej) = L:b~j ek ' so gilt :

b~j

durch

k

bij

= b(ei, ej) = (ei,bE(ej)) = L>~j(ei , ek) = b~j ' k

d. h. die Gram-Matrix B ist die Matrix der linearen Abbildung be : E -+ E* beziiglich der Basen el, . . . , en und ei, . .. , e~. Aus bekannten Satzen der linear en Algebra- folgt , daf bE : E -+ E * genau dann injektiv (bijektiv) ist , wenn d(el , ' .. ,en) kein Nullt eiler (invertierb ar ) ist. Dieses beweist den folgenden Satz.

(1.15) Satz Ein e symmetrische Bilin earfarm b auf eine m fr eien Madul m it Ba sis el, " " en ist genau dann nicht ausgeartet (bzw. regular) , wenn db(el ' . . . , en) kein Nullteiler (bzw. in vertierbar) ist. Aus diesem Satz erhalt man per Induktion iiber den Rang n die folgende, im Grunde schon auf C.G.J. J acobi" (1804-1851) zurii ckgehende Diagonalisierung filr gewisse freie Moduln.

(1.16) Es sei E ein freier Modul mit Basis el, ' .. ,en derart , daf aile Element e di := d(el, ' . . , e.), i = 1, ... ,n Einh eiten in A sind. Dann gilt d -z " "'-d-)'

d2 d3

E~ (d1'-d1

2

n

n- l

Beweis: Nach (1.6) ist j

j- l

i =l

i=l

:E Aei = :E Aei 1. (Cj) 2

3

Wegen der fiir die Inj ektivitat benotigt en Aussage, daB ein linear es homogenes Gleichungssystem, dessen Det erminant e Nullteiler ist, eine nichttriviale Losung hat, vgl. man z.B, N. Bourbaki, Algebra, Chap. III, §8, prop. 14, oder Oeljeklaus/Remmert, Lineare Algebra I, Kap. V, Satz 6. Gesammelt e Werke, vol. 3, p. 590

1 Symmetrische Bilinearformen

5

und d j = dj_l ej nach (1.11). Als Anwendung ergibt sich das bekannte Positivitatskriterium fur reelle quadratische Formen.

(1.17) Sei (E, b) regular und el , . . . , en eine Basis von E. Definiere e1 durch ei = be (e1) · Die Basis et,· . . ,e'ff heiBt die zu el, .. . ,en bezilglich b duale Basis. Die definierenden Gleichungen b(ei , e1)

= bij

und die Symmetrie von b zeigen, daf die Rollen der e, und der e1 in der Tat symmetrisch sind, also die e1 die dual e Basis zu den e, bilden . Ist F der von el , . . . ,em erzeugte Untermodul, so hat Fl. ersichtlich die Basis e~+ l ' ... ,e'ff. Fur Unt ermoduln F mit einer Basis , die sich zu einer Basis von E erganzen laBt, gilt folglich r-» = F . Fur Vektorraume tiber einem Korper ist das natiirlich stets der Fall. Im allgemeinen gilt dagegen nur (1.18)

Fl.l. ;2 F,

wie man z.B. daran sieht , daf (aE)l.l. = E ist, falls a kein Nullteiler ist. Wir setzen nun voraus, daB der Grundring ein Korp er ist und noti eren einige Spezialisierungen bzw. Verscharfungen bisherig er Resultat e.

(1.19) Satz Ein endli chdim ensionaler Vektorraum iiber einem Kiirper ist genau dann regular, wenn er nicht ausgeartet ist. Fur jeden Unterraum F eines regularen Vektorraums E gilt dim F

+ dim Fl. = dim E

und

Fl.l.

=F .

Die zweite Aussage ist ein Spezialfall der tiblichen Dimensionsformel fiir Iineare Abbildungen, denn bF ist surj ektiv und hat Fl. als Kern.

(1.20) Satz Ist A ein Kerp er und E endlich-dimensional, so gibt es eine Zerlegung E = E l 1. . . . 1. E; 1. F in regulare Teilriiume E, der Dim ension 1 oder 2 und einen Raum F mit b(F, F) = O. E ist genau dann regular, wenn F = {O} ist. Ist die Charakteristik von A nicht 2, so braucht man nur Riiume E, der Dimension 1 und kann Erzeugende el, ... , e r von E l , . . . , E; durch Hinzunahme einer Basis von F zu einer Basis von E aus paarweise orthogonalen Vektoren erganzen. Beweis: Durch Induktion nach der Dimension von Emit Induktionsanfang E = {O} . Ist b(E , E) = 0, so sind wir mit r = 0, F = E fertig. Ander enfalls bestehen zwei Moglichkeiten:

a) Es gibt einen Vektor e E Emit b(e, e) i= O. Dann kann man A e nach (1.15) abspalten und auf A el. die Induktionsannahme anwenden.

6

I. Bilineare und quadratische Formen

b) Es ist b(e, e) = 0 fiir alle e E E aber es gibt zwei Vektoren e und f in E mit b(e,f) =I O. Dann ist d(e, f) = -b(e,f)2 =I 0, und man kann Ae+Af nach (1.6) und (1.15) abspalten. Der Fall b) kann wegen 2b(e, f) = b(e + f) - b(e) - b(f) nicht vorkommen, wenn 2 =I 0 ist. (1.21) Beispiele . Wir legen den Ring Z der ganzen rationalen Zahlen zugru nde und definieren dr ei Serien von freien Moduln mit symmet rischer Bilinearform, die wir, der Literatur folgend , mit I n , An, D n bezeichnen. Dab ei ist der Ind ex n gleich dem Rang des Modu ls. a) Sei In

=

z n mit dem St and ardskalarprodukt (x, y)

n

= L: XiYi,

wobei

i=l

x = (Xl , , Xn ), Y = (Y1, , Yn ), Xi, Yj E Z . Eine Basis bilden die Vektoren e , , en mit ei = (0, , 0, 1, 0, . . . , 0). Die Gram-Matrix beziiglich dieser Basis ist die Einh eitsmatrix. Die Determinante von In ist eins, I n ist regular. I n ist zeriegbar als orthogonale Summ e I n = ..l ~ l Z ei mit

z-, ~ 11 •

b) Sei A n = {L: Xiei E In +! I L: Xi = O} . Ein e Basis von A n bilden z.B. die Elemente e1 - e2 ,e2 - es ,· · · ,e n - e n +1. Die zugehorige Gram-Matrix ist 2 -1 2 -1 -1 2 -1 det A., = n + 1

0

0

2

-1

-1 2

Die Determinante berechnet man aus der angegebenen Gram-Matrix durch Entwicklung nach der ersten Zeile und Induktion. c) Sei o; = {L: Xiei E I n I L: Xi E 2Z}. Ein e Basis von o; bilden z.B. die Elemente e1 -e2, e2 -es ,. · . , e n-1 - e n , e n-l +e n . Die zugehorige GramMatrix ist 2 -1 2 -1 -1 2 -1

0

0

2

-1 -1

-1

-1

2 0

0 2

Die Determinante berechnet man ahnlich wie bei A n .

2 Quadrati sche Form en

7

2 Quadratische Formen (2.1) Definition a) Ein e quadratische Form auf einem A-Modul E ist eine Abbildung q : E -+ A mit den Eigenschaft en q(ax) = a2 q(x ) q(x + y) = q(x)

fur a E A, x E E, + q(y) + b(x ,y)

mit einer symmetrischen Bilinearform b. Ein solches P aar (E , q) (oder auch einfach E) heiBt quadratischer A -Modul. b) Ein e isometrische Abbildung oder kurz Isom etric zwischen zwei quadratischen Moduln (E, q) und (E' , q') ist ein injekt iver Modulhomomorphismus f : E -+ E' mit q'(J(x)) = q(x) fur alle x E E . c) Zwei quadratische Moduln (E, q) und (E' , q') heiBen isometrisch, in Zeichen (E , q) ~ (E' ,q' ) oder kurz E ~ E' , wenn eine bijektive Isomet rie zwischen ihnen existiert. Mit a = 2, x = y erhalt man

(2.2)

2q(x) = b(x , x )

Das zeigt, daf q durch b bis auf einen Summ and en bestimmt ist , der von 2 annulliert wird . Insbesondere ist q durch b eindeutig bestimmt , wenn 2 kein Nullt eiler ist. Darilber hinaus kann man in diesem Fall zu gegebener symmet rischer Bilinearform b durch (2.2) eine quad ratische Form q definieren , falls alle Werte b(x , x ) in 2A liegen. Ist 2 sogar invertierbar, so kann man natii rlich einfach q(x) = ~b(x , x) schreiben. Im allgemeinen kann man immerhin noch versuchen, eine (nicht notwendig symmet rische) Bilinearform a zu finden, so daf

(2.3)

q(x ) = a(x,x )

wird . Fur beliebiges a wird durch (2.3) eine quadratische Form definiert, deren zugehorige symmet rische Bilinearform

(2.4)

b(x , y) = a(x , y) + a(y ,x)

ist . Zu einer gegebenen quadratischen Form auf einem freien Modul kann man ste ts ein solches a finden. Man hat nur aus (2.1) und (2.2) durch Induktion die Form el

(2.5)

q(L Xiei) = L q(ei)x; + L bie«, ej )xiXj i<j

abzuleite n und dann , wenn el , .. . , en eine Basis ist , aCE Xiei, '£ yj ej ) '£ aij XiYj zu setze n mit aii = q(ei) und aij = b(ei , ej ) fur i < j (oder i$.j

8

1. Bilineare und quadratische Formen

allgemeiner aij

+ aj i

= bi j fur i

I- j

fur eine La. nicht-symmetri sche Matrix

(a ij ).

Ein en solchen freien Modul E bezeichnen wir abkiirzend mit

(2.6)

bzw. E = [aI , a2, .. . , an ], wenn q(L: i Xiei ) = L:i ai Xr ist, oder, falls 2 nicht Nullteiler und bi j = b(ei , ej) = bj i ist , auch mit

(2.1)

= [1] = (2) fur den Modul E = A mit q( x) = x 2 und ~] = \ ~ ~) fiir die sogena nnte hyperbolische Eb ene H = A 2

So schreiben wir z.B. E H

= [0

mit q(Xl , X2) = XIX2· Die Darst ellung (2.3) hat man au ch noch fur projekti ve Moduln E . Ist namli ch E ED F frei, so setze man q auf E ED F fort dur ch q( x + y) = q(x ) fur x E E , y E F, schreibe die Fortsetzung in der Form (2.3) und schranke dann alles auf E ein. Die in §1 fur symmet rische Bilinearformen eingefuhrten Bezeichnun gen konn en wir natilrlich auch auf die einer quadrati schen Form zugehorige Bilinearform anwenden. So sprechen wir z.B. von nicht ausgeartet en oder regularen quadratischen Moduln, oder von einem Modu l E = ..1 E i als orthogonaler Summe von Unte rmoduln E i . Das bedeutet insbesondere, wenn wir die Einschrankung von q auf E i mit q, bezeichnen,

(2.8) Sind umgekehr t quadratische Moduln (E i , qi) gegeben, so kann man auf der direkten Summe E der Moduln E; durch (2.8) eine quad rati sche Form q definieren. Auch in dieser Situ ati on schreiben wir E = ..1 E i • Der n-dimensional e euklidische Raum ~n mit dem gewohnlichen Skalarprodukt L: Xi Yi als Bilinearform und ~ L: als quadratischer Form war e demnach mit ..1i=1 (1) zu bezeichnen.

xr

Ist 2 nicht invertierb ar , so zeigt (2.2), daf auch b(x , x) fur kein x invertierbar ist. Es gibt also keinen regular en freien quadratischen Modul vom Rang 1. Aber auch ein freier Modul von hoherem ungerad em Ran g n kann dann nicht regular sein. Das sieht man , wenn man die Determinante

2 Quadratische Formen

9

(2.9)

ausrechnet. Unt er den n! Summ anden kommen zwei Arten vor. Diejenigen , die bei Spiegelung an der Hauptdiagonalen in sich iibergehen , ent halten wegen der ungeraden Reihenzahl minde stens einen Faktor 2ai aus der Hauptdiagonalen ; zu jedem and eren kommt ab er auch der an der Hauptdiagonalen gespiegelte Summand vor , der wegen der Symmetrie der Matrix den gleichen Beitrag liefert. Die Det erminante (2.9) hat also den Wert 2Pn(a i,b ij) , wo Pn ein Polynom mit ganzrationalen Koeffizient en ist. Hierin kann man fur ai, bij Elemente eines beliebigen Ringes einsetzen. Mit

(2.10)

d'( el , ... , en) =Pn(q(ei) ,b(ei, ej))

wird dann

(2.11) Der Form el (1.10) entspricht bei ungeraden n n

(2.12)

d'(e~ , .. . ,e~ ) =d'(el , ... ,en ) det( tij )2 fur e; = L tij ej . j= l

Das folgt unmi ttelbar aus (1.10) und (2.11), falls 2 nicht Nullteiler ist , insbesondere dann, wenn die GraBen ai = q(ei) , bij = b(ei' ej ) und tij Unbestimmte tiber Z sind . (2.12) ist dann eine Identitat , die erhalten bleibt, wenn man fur die Unbestimmten Werte aus einem Ring einsetzt. (2.13) Definition Ein freier quadratischer Modul mit Basis el, .. . , en (n ungerade) heiBt halbreguliir, wenn d' (el ' ... , en ) invertierbar ist. Die Definition hangt wegen (2.12) nicht von der Wahl der Basis abo Ist 2 invertierb ar, so ist jeder halbregulare Modul regular. Hat 2 dagegen kein Inverses, so gibt es keine regularen Moduln von ungeradem Rang n , wohl aber halbregular e, z.B. fur n = 2m + 1 den Modul

i~l [0 ~]

1- [1],

wie man z.B. mit Hilfe der (1.11) ents prechenden Formel (2.14)

d' (el , . . . , en ) = di e« , ... , e2m)d' (e2m+l, . .. , en) falls n ungerade, b(ei' ej) = 0 fur i :S 2m < j

feststellt . Die Zerlegun g E = E 1 1- . .. 1- E; 1- F aus (1.20) gilt naturlich auch fiir quadratische Vektorraume tiber einem Korp er A. Ist die Charakteristik

10

1. Bilineare und quadrati sche Formen

cha r A =f. 2, so folgt aus b(F, F ) = 0 wegen (2.2) auch q(F ) = 0, und es ergi bt sich nichts Neues . Fur cha r A = 2 dagegen hab en einerseits aile E, die Dimension 2, da es keine regular en eindimensionalen Raume gibt, andererseits folgt nicht mehr qU ) = 0, sondern nur noch q(x+y ) = q(x )+q(y) fur x, y E F . Dar au s und aus (2.1) ent nimmt ma n, daB G = {x E F I q(x ) = O} ein Unterra um von Fund q(F ) ein Unte rraum von A , aufgefaBt als Vekt orra um tiber dem Unterkorper A 2 = {a2 I a E A } ist. 1st It,... .I , eine Basis von F modulo G, F, = Ali, so folgt: (2.15) Satz Ein endlichdimensionaler quadratischer Vektorraum E tiber einem K iirper A der Charakt eristik 2 laj1t sich orth ogonal zerlegen als E = E 1 L . . . L e, l- F 1 .L .. . .L r, .t. G m it s, zweidime nsion al regular, e, eindime nsion al halbrequliir, s ::; [A : A 2 ] und q(G ) = O. E ist genau dann regular, wenn s = 0, G = {O}, genau dann luilbrequliir, wenn s = 1, G = {O} ist. (2 .16 ) Ein Element x E E bzw . ein Unte rmodul F ~ E heiBt singular, wenn q(x) = 0 bzw. q(F) = 0 ist . 1st A ein Korp er , E regular und F ~ E singul ar , so kann man zu einer Basis el , . .. , em von F nach (1.17) Element e et , . .. , etf, in E finden mit b(ei, e1) = 8ij . Wegen b(ei, ej) = 0 ist d(el ," . , em, et, . .. , etf,) = (_ l)m =f. 0 und I: A ei+ I: Aef dah er ein regular er Unte rraum der dopp elten Dimension , der F ent halt . Diese Konstrukt ion kann man auch tiber einem beliebigen Rin g A durchflihren , wenn F ein freier Unt erm odul mit Basis el , . .. ,em ist und es E E gibt mit bE(ef ) = ei · Da un s diese Forderun g noch afte r begegnen wird, ftihr en wir dafiir einen Namen ein. Es ist vern tinftig, dab ei wie in (1.5) allgemeiner auch pr ojekti ve Moduln zu berticksichtigen, obwohl wir in dieser Vorlesu ng fast ausschlieBlich freie Moduln betracht en werde n.

ef

(2.17) Definit ion Ein Unterm odul F eines A-Moduls E heiBt prim itiv, wenn er ein dir ekter Summand von E ist ; t ra gt E eine symmetrische Bilinearform b, so heiBt F scharf primitiv (beztiglich b), wenn er endlich erzeugt proj ektiv und bF(E ) = F * ist. Ein regular er Unt ermodul Fist imm er scharf primitiv , da dann schon bF(F) = F * ist. Weit er tiberlegt man sich leicht , daf jeder scharf primitiv e Untermodul primitiv ist . Wenn E regular und F primitiv ist , so ist F scharf primit iv. Denn fiir E = F ffiG kann manj ede Linearform auf F durch 0 auf G zu einer Linearform auf E forts etz en, diese in der Form bE(e) schreiben und dann auf F einschranken, Wir kehren zu un serem singularen Unt erm odul F zuriick und set zen G = I: Aef · Durch b stehen Fund G in Dualit at , so daB wir F mit G* identifiziere n konn en. Dami t wird F + G isomorph zu einem Mod ul H (G), den wir zu einem beliebigen end lich erzeugten projektiven quadrati schen Modul G folgend ermaBen bild en konn en, Wir konstruieren

3 Die ort hogonale Gruppe und der Satz von Witt

11

H(G ,q) = G ffiG*,

(2.18)

set zen die quadratische Form q auf ganz H(G) fort durch (2.19)

q(x + z") = q(x) + (x , x* ), x E G, z" E G*,

und erhalte n dar aus (2.20)

b(x

+ z", y + y*) = b(x, y ) + (x , y*) + (y, x* ).

H (G, q) ist regular , da bH(e ,q)(G*) gerade die samt lichen Linearformen auf H (G, q) liefert, die auf G* verschwinden, wahr end be . (G) = G = G** ist . Der quadratische Modul H (G, q) hangt bis auf Isomorphie in Wirklichkeit gar nicht von q sondern nur von G ab. Ist namlich q in der Form (2.3) dar gestellt , also q(x) = (x, ae (x )) mit ae : G -+ G*, so ist die Abbildung x + x* -+ x + (ae(x) + x *) (x E G, x* E G*) ein Isomorphi smus von H (G, q) auf H (G, 0). (2.21) Der eben konstruierte quadratische Modul H(G) = H (G,O) heiBt hyperbolischer Modul zu G. Fur G = A erhalt ma n die schon oben eingefiihrte hyperb olische Ebene H(A)

= [0 ~] .

Mit dieser Bezeichnun g konn en wir unsere Uberlegungen zusa mmenfassen. (2.22) Satz Jedet: scharf primitiv e singulare Untermodul F von E ist in einem zum hyperbolischen Modul H(F) isomorphen Untermodul H enthalten. Isi F frei mit Basis II ,·.. ,f m, so lajlt sich diese durch gl , . .. ,gm zu einer Basis von H erqtinze n, fur die b(/i, gj ) = 8ij , q(I: Agd = 0 ist. Wir wollen noch den zu G in H (G, q) orthogonalen Modul bestimmen. Nach (2.20) ist y + y* E a- gleichbedeutend mit b(x , y) + (x , y*) = 0 d.h. mit y* = - be (Y). Die Abbildung y -+ y - be(Y) ist also ein Moduli somor phismus von G auf Gl., und es gilt q(y - be(Y)) = q(y) - (y , be(Y)) = q(y) - b(y, y ) = -q(y ). (2.23) Ist E ein A- Modul mit quadratischer Form q und a E A , so sei "E der quadratische Modul , der als Modul mit E Iibereinstimmt , aber die quadratische Form aq t ragt . Fassen wir einen Vektor x E E als Element aus aE auf, so bezeichnen wir ihn mit ax. Ist a ein etwas komplizierter Ausdruck, so schreiben wir auch (a)E und (a)x . (2.24) Satz Jeder endlich erzeugte projektive quadratische Modul G liijlt sich in den zugehOrigen hyperbolischen Modul H(G) so einbetten, dajl c- ~ -lQ wird. 1st speziell G regular, so gilt G..L - IG ~ G..LGl. = H(G) .

3 Die orthogonale Gruppe und der Satz von Witt Die Automorphismengruppe eines quadratischen Moduls (E , q), also die Gruppe der bijektiven linear en Abbildungen t : E -+ Emit q(tx) = q(x) ,

12

1. Bilin ear e und qu adrat ische Form en

heiBt die orthogonale Gruppe von E und wird mit O(E ) oder O(E , q) oder o(q) bezeichnet. Ftir das folgende grundlegend ist der K ilrzungssa tz von Witt.

(3.1) Satz (Witt) S ei A ein Kiirper der Charakteristik =j:. 2, F ,G I ,G2

quadrat ische R iium e iibet: A , F regular un d F ..1 G I GI ~ G2 •

~

F ..1 G 2 • D ann ist

A.quivalent dazu ist die Aussage (3.2) Sei A ein Korp er der Charakteristik =j:. 2, E ein quad ratischer Raum tiber A , F I und F 2 regulate Unte rra ume und t : F I -+ F 2 ein Isomorphismus . Dann gibt es einen Aut omorphismus von E , der t fortsetzt , also ein u E O(E) mit UIFI = t. Zunachst der Beweis der A.quivalenz. Gilt (3.1) und liegt die Situation von (3.2) vor , so ist E = F I ..1 F/- = F2 ..1 Fl ~ F I ..1 Fl. Nach (3.1) gibt es einen Isomorphismus t' : F/- -+ Fl , und u = t ..1 t' ist eine Fortsetzung von t. Gilt umgekehrt (3.2) und ist t' : F ..1 G I -+ F ..1 G 2 ein Isomorphismus , so ist die Ein schrankung t von t' auf F ein Isomorphismus von F = F I auf t' F = F2 , der sich zu einem Automorphi smus u von F ..1 G 2 = t'( F ..1 G I ) = t' F ..1 t' G I fortsetzen laBt . Dan n ist

In der zweite n Fassun g wollen wir den Satz durch Induktion nach dim F I = dim F 2 beweisen. Dazu benutzen wir spezielle Auto morphismen, die Spiegelungen, die wir in quadratischen Moduln tiber beliebigen Ringen, auch der Chara kte ristik 2, definieren konnen. Ist e E E und q(e) in A invertierbar , so setzen wir se(X) = X - b(x , e) q(e) - l e und rechnen leicht nach, daB q(sex ) = q(x) und s~ die Identit at ist . s, ist also ein Automorphismus; er laBt jeden zu e ort hogonalen Vekt or fest und fiihrt e in - e tiber. Ist 2 invertierb ar , so besteht die ort hogonale Zerlegung E = A e ..1 A eJ. , so daf s, durch die angegebenen Eigenschaften eindeut ig bestimmt ist und geometrisch die Spiegelung an der zu e ort hogonalen Hyperebene bedeutet. Nun zum Beweis von (3.2) durch Induktion tiber die Dimension von Fi, Sei zunachst dim F; = 1, F i = A ], mit 12 = th , also q(h ) = q(Jd =j:. 0 (da F I regular sein solI). Weil q(h - h ) + q(h

+ h)

= 2q(Jd

+ 2q(h ) = 4q(Jd

=j:. 0

ist, hab en wir wenigstens eine der beiden Spiegelungen sit - h oder sit +h zur Verfiigung. Im ersten Fall berechnet man sofort sit - h (J d = 12 (wie es sich im Fall eines reellen Skalarproduktes auch anscha ulich sofort aus der

3 Die orthogona le Gruppe und der Satz von W it t

13

Langengleichheit von II und 12 ergibt) . Im zweite n Fall erhalt man entsprechend sh+h U d = - 12 und weiter sh( - h ) = h· Im Falle dim F 1 = m > 1, F = Ael ..L . . . ..L A e m gibt es nach Induktionsvoraussetzung ein v E O(E) mit vei = te, ftir i = 1, ... , m - 1. Die lsometrie v- I t laBt el , ' '' ' em-l fest und ftihr t den dazu orthogo nalen Vekt or em in einen ebe nsolchen I,« tiber. Nach dem Indukti onsanfan g gilt w e m = L« mit w = S em - /m ode r w = Sl mSem + /m ' W laBt ej , .. . ,em -l fest , so daB u = vw das verlan gt e leistet . (3.3) Der Wi t t sche Sat z ist in mehrfacher Hinsieht verallgemeinert word en : Erstens auf hermit esche Formen an stelle von qu adratischen; davon wollen wir hier nicht sprechen. Zweitens auf Korp er der Cha rakterist ik 2; das Ergebnis (3.4) wollen wir hier formulieren , den Beweis abe r auf den nachst en Paragraphen versc hiebe n, wo wir eine noch allgemeinere Situation betrachte n werden . (3.4) Satz S ei E ein quadratischer Raum ilber eine m Kii rper A, F 1 , F z scharf primitive Unierriiume von E und t : F 1 -+ Fz ein Isomorphismus. D an n lliflt sich t zu einem A utom orph ismus von E for ts etzen. Man beacht e, daB Formulierung und Beweis einheit lich fur alle Werte (2 oder i- 2) der Ch arakteristik gelten, der analoge Satz fur symmetrische Bilinearform en in Ch ar akteristik 2 aber falsch ist , wie folgend es Beispiel zeigt :

A = lFz der P rimkorper mit zwei Elementen , = A3 mit Bilinearform b(x , y) = XIYI + x zyz + X3Y3, F 1 = A(l , 0, 0), Fz = A (l, 1, 1), Fl- ~ F,f , also ist t nicht zu einem Aut omorphi smu s auf E fort set zbar.

E

SchlieBlich wollen wir dri t t ens die Forderung, daf F 1 in (3.2) regular sein soll, abschwac hen, DaB man nieht ohne jede Vorau sset zun g tiber F 1 und F z auskommt , zeigt das Beispiel E = Ael ..L Aez ..L Ae3 q(el ) = 1, q(ez) = -1 , q(e3) F 1 = A(el + ez), F z = A e3.

=0

Hier ist qi e ; + ez) = q(e3) = 0, e3 liegt in EJ.., el + ez aber nieht , so daB sich die Abbildung t : el + ez -+ e3 sieher nieht zu einem Automorphismus von E for t setz en laBt. (3.5) Satz Isi E ein requliirer oder halbrequliirer quadratischer Raum iiber eine m Kiirper A, so lliflt sich j eder Autom orphism us u E O( E) als P rodukt von Spiegelungen schreiben, aufler wenn A der P rimkorper lFz der Charakteristik

2und E = E

1

..L E z m it E 1

~ Ez ~

[1

i]

ist.

Der Beweis fiir Kor per der Charakte rist ik i- 2 ergibt sich unmit t elbar , ind em man den Beweis von (3.2) fur den Fall F 1 = F z = E durchgeht. Die Aussage

14

I. Bilinear e und quadratische Form en

(3.2) ist in diesem Fall zwar trivial, der Beweis liefert aber eine Darstellung von u = t als Produkt von Spiegelungen. In dem gena nnte n Ausnahmefall gilt q(x ) = 1 ftir jeden Vektor x ¥- O aus E I oder E 2 • Dar aus folgt , daf jeder nichtsingular e Vektor e aus E = E I .L E 2 entweder in E I oder in E 2 liegt , jede Spiegelung S e also E I und E 2 jeweils in sich tiberfiihr t , wahrend es natiirlich Aut omorphismen gibt, die E I und E 2 vertauschen. Wir wollen noch einige Folgerungen aus dem Satz (3.4) ziehen. Dab ei sei also A stets ein Korp er , E ein quadratischer Raum tiber A . Unmittelba r folgt (3.6) Sind F I , F 2 singulare scharf primiti ve Unte rraume der gleichen Dimension, so gibt es einen Automor phismus u E O(E ) mit uF I = F2 • (3 .7) Sind F I , F 2 maxim ale singulare scha rf primitive Unterr aum e, so ist dim Fj = dimF2 . Beweis: 1st etwa dim F2 ::::; dim F I , so wahle man F{ ~ F I mit dim F{ = dim F2 • F{ ist scha rf primi tiv in E , also existiert u E O(E ) mit uF{ = F2 • Dann ist uFI ~ F2 , also uFI = F2 wegen der Maximalitat von F2 , und damit dimFI = dim F 2 •

(3.8) 1st A ein Korp er , E ein endlich-dimensionaler quadrat ischer Raum tiber A , so heiBt die Dimension der maximal en singularen scharf prim itiven Unterraume der Witt-Index oder einfach Ind ex ind(E) von E. Nach (2.23) kann man einen maxim alen singularen scharf primiti ven Unterraum in einen hyperbolischen Raum H vom Rang 2 ind(E ) einbetten und dann nach (1.6) (3.9)

E

=F

1. H mit ind (F)

= 0, H

hyperbolisch

schreiben. Nach (3.7) und (3.1) ist diese Zerlegung bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt; man nennt sie die Witt-Zerlegung von E.

(3 .10) E hat genau dann einen zu F isomorp hen scha rf primitiven Unte rraum, wenn ind (E 1. - IF ) ~ dim Fist . Beweis: 1st t : F --+ tF ~ E ein Isomorphi smus von F auf einen scharf primiti ven Unte rraum tF von E , und bezeichnen wir mit -I X das x E F ents prechende Element aus -IF , so ist s : x --+ tx+ -IX eine bijektive linear e Abbildung von F auf einen Unt err aum sF von E 1. - IF. Wegen q(sx) = q(tx ) + q(- IX) = q(x ) - q(x ) = 0 ist sF singular. sF ist auch scharf primiti v: Da namli ch t : F --+ tF und s : F --+ sF beide bijektiv sind, ents prechen sich die Linearformen w auf tF und v auf sF vermittels (tx , w) = (sx , v ). Da tF scharf primitiv in E ist , kann man zu w ein z E E finden mit (tx , w) = b(tx , z) . Dann ist aber au ch (sx , v) = (tx ,w) = b(tx , z ) = b(tx + - IX, Z) = b(sx , z) . AuBerd em ist dim sF = dim Fund damit ind(E 1. - IF) ~ dim F .

Enthalt umgekehrt E1. -IF einen hyperboli schen Raum H I der Dimension 2 dim F , so bett en wir - 1 F nach (2.24) in einen hyperb olischen Raum H 2

4 Lokale Ringe

15

der Dimension 2 dim F ein , in dem das ort hogonale Komplement G von -1 F scharf primitiv und isomorph zu Fist . Wir hab en dann HI ~ EJ.. - IF ~ E J.. H 2 . Wegen HI ~ H 2 gibt es einen Automorphismus u E O(E J.. H 2 ) mit u H I = H 2 . Da HI orthogonal zu Gist , liegt uG im orthogonalen Komplement Evon H 2 und ist zu F isomorph. AuBerd em ist G scharf primitiv in H 2 also in E J.. H 2 , demnach uG scharf primit iv in E J.. H 2 , also wegen b(uG, H 2 ) = 0 auch in E .

(3.11) Ist E = L:Aei mit q(L: xi ei) = L:aij XiXj regular und F = Af mit q(f ) = a "I 0, so besagt (3.10) gerade, daf L: aijXiXj = a genau dann losbar ist, wenn L: aijXiX j - aX6 = 0 eine niehttriviale Losung hat. Der Beweis hierfiir ist in der einen Richtung selbstverstandlich, in der anderen imm er noch einfacher als der fiir (3.10). Beim Beweis der allgemeineren Aussage sieht man aber deutlich den Zusammenh ang mit dem Wit tschen Satz.

4 Lokale Ringe In diesem Kapit el wurden bish er auBer den fur beliebige Rin ge A giilti gen Grundtatsachen einige Ergebnisse fur den Fall bewiesen, daf A ein Korper ist . Diese lassen sieh meist mit unwesentlich abgeanderte n Beweisen auf 10kale Rin ge ub ertragen. Urn mit moglichst geringen Vorkenntnissen auszukommen, wurde in der Vorlesun g darauf verzichtet. Hier solI es nachgeholt werden . Die benotig t en einfachen Eigenschaft en lokaler Ring e findet man z.B. in N. Bourbaki , Algebre commutat ive, cha p. 2, oder in anderen Biichern tiber Kommut ative Algebra. Die fur un sere Bedurfnisse wicht igste n lokalen Ringe - eigent lich die einzigen , die wir wirkli ch br auch en - sind die diskret en Bewertungsringe, die wir in §15 noch gena uer untersuchen werden . Fu r das weit ere sei also A ein lokaler Ring, d.h. ein Rin g mit einem einzigen maximalen Ideal 1. Der Satz (1.20) iibert ragt sieh in der Form

(4.1) Satz Ist E endlich erzeugter A-Modul mit symm etris cher Bilinearform b, so gibt es eine Zerlegung E = E I J.. . . . J.. E; J.. F in requliire Teilmoduln E, der Dimension 1 oder 2 und einen Modul F mit b(F, F ) ~ 1. E ist genau dann regular, wenn F = {O} ist. Der Beweis verlauft wie bei (1.20) induktiv; man hat nur zu beacht en, daf die Anzahl r der abg espaltenen eindimensionalen Teile durch die Anzahl der Erzeugenden von E beschrankt ist.

In den Ub erlegun gen , die zu Sat z (2.15) fiihr ten , hatten wir die Falle char A "I 2 und = 2 unt erschieden. Dem erst en ents prieht bei lokalen Rin gen der Fall , daf 2 invertierb ar , also 2 rJ. 1 ist. Wie dam als ergibt sieh dann auch hier gegeniiber (1.20) nichts Neues. Dagegen laBt sieh der Satz (2.15) nieht in nah eliegender Weise auf lokale Ringe mit 2 E 1 zu iiber tragen. Urn das zu sehen , tiberlege man sieh, da f der Raum E

=

[1

~]

fur a E 1 die

16

1. Bilinear e und quadratische Forme n

Eigenschaften b(E , E ) ~ I , q(E ) S?; I hat , sich aber nicht als Summe eind imension aler Untermoduln schreiben laBt , falls a nicht in 2A liegt. Immerhin hat man noch den (4.2) Satz Uber einem lokalen R ing, in dem 2 nicht invertierbar ist , liip t sich j eder reguliire quadratische Modul als orth ogonale Summe zweidimensionaler Untermoduln schreiben, j eder halbreguliire als orthogonale Summe eines reguliiren un d eines ein dimensionalen Untermoduls. Hauptergebnis des §3 war der Satz von Witt in der Form (3.4), den wir bisher erst fiir Korper der Ch ar akt eristik ¥- 2 bewiesen hab en. Der folgend e Sat z ftillt diese Lucke und laBt dariiber hin au s stat t eines Grundkorpers allgemeiner einen lokalen Ring zu,

(4.3) Satz E sei quadratischer Modul ilber einem lokalen R ing, F , C , H Unt ermoduln; F, C seien frei von endlichem Rang, und es gelte

bF(H) = F *, ba(H) = C*.

(1)

Wei ter sei t : F --* C ein Isomorphismus mit

tx == x mod H

(2)

fur alle x aus F . Dann liipt sich t zu einem Automorphismus von E fortsetzen, welcher (2) fu r alle x aus E erfu llt un d jeden Vektor aus H 1. fest liip t. Der Spezialfall H

=E

dieses Satzes liefert die Folgerung

(4.4) Folgerung Sind F , C scharf pri mit ive freie Untermoduln des quadratischen A-Mo duls E und t : F --* C ein Isom orphismus, so gibt es ein u E O(E ) mit ulF = t. Damit ist a uch der noch ausstehende Beweis fur Satz (3.4) erbracht . Wir wollen die Fortsetzung von t soweit moglich als P rodukt von Spiegelungen S h mit h E H konstruieren. Dab ei bleib en alle Vektoren aus H 1. fest , und es gilt (2) , so daB wir uns urn diese Bedingungen nicht weit er zu kiimmern brau chen . Allerdings werden wir zunachst einige zusatzliche Vorau ssetzungen machen , urn die Existenz hinreichend vieler Spiegelun gen S h sicherzuste llen. Dazu sei A = AI I der Restkl assenkorper und II = HI I H ; mit x bezeichnen wir die Restklasse modIH eines Vekto rs x E H , mit it bzw. b die Wert e modI von q bzw . b. Das orthogonale Kompl ement 6 1. einer Teilmenge 6 von II ist innerhalb II bzgl. b zu bilden. SchlieBlich sei JF2 der Primkorper mit zwei Element en. (4.5) Die For t setzung von t kann als Produkt von Spiegelun gen Sh mit h E H gewahlt werden, falls eine der folgenden Bedingungen erfiillt ist:

4 Lokale Ringe

17

(3) oder

(4) Wir setzen zunachst (3) oder (4) vora us und beweisen (4.3) und (4.4) durch Induktion nach dem gemeinsamen Rang r von Fund G; dan ach fiihren wir die allgemeine Behauptung (4.3) auf den Spezialfall zuriick. Fiir r = 1 sei F = Aj , G = Ag mit 9 = tj = j + h. 1st q(h) invertierbar, so fuhrt S h den Vektor j in 9 tiber und ist daher die gewiinschte Fortsetzung . Anderenfalls hab en wir

q(h) = -b(f, h) = beg, h) E I.

(5)

J etzt suchen wir eine Spiegelung s, derart, daB sich se(f ) durch eine weitere Spiegelung in 9 iiberfiihren laBt. Wir definieren d durch 9 = se(f) + d, also

d qed)

b(j, e)q(e)-I e+h

=

b(f, e)b(g, e)q(e)- I + q(h).

1st auBer q(e) au ch qed) invertierb ar , so gilt sdse(f) = g, und wir hab en in SdSe die gewiinschte Fortsetzung von t. Wegen (5) brauch en wir also einen Vektor e E H mit

q(e) ~ I , b(f, e) ~ I , beg, e) ~ I . Wir bezeichnen mit fh bzw. fh die Unte rraume derjenigen Vektoren x E H fur die b(f, x ) == 0 bzw. b(g, x) == 0 mod list. Wegen (1) sind beides Hyp erebenen in H. Da man zu jedem Vektor e E H einen Vertreter e E H finden kann , haben wir nur zu zeigen, daB ij auf dem Komplement H " (HI U H 2 ) nicht identisch verschwindet. Nehmen wir einmal an , das sei doch der Fall. Fiir beliebige

t E A, x E HI n H 2 , liegt dann fx

+ fi nicht ij(fx

ist. Hat nun

fi E H " (HI U H 2 )

in H I U H 2 , so daB

+ fi) = Pij(x) + lb(x , fi) + ij(fi) = 0

A mindestens

drei Element e, so folgt daraus

ij (x )

= b(x, fi) = ij (fi ) = o.

(6)

Wegen (5) konnen wir speziell x = h set zen und erhalten b(h, H " (H I UH 2 ) ), also, da das Komplement zweier Hyperebenen den ganzen Raum erzeugt, sogar b(h, H ) = O. Wegen 9 = j + h folgt daraus HI = H 2 , und jeder Vektor

18

1. Bilin ear e und qu adr atische Form en

a us tt liegt entwe der in fII n fI 2 = fI I oder in it : ( fI I U fI 2 ) = fI " fI I • Dann besagt (6) ab er q(fI) = 0 im Widerspruch zur Voraus set zun g (3). Ist dagegen A e:! lF2 , so konnen wir (6) jedenfalls noch dann ableite n, wenn wir zusatzli ch verlangen, daB x,ii in fI .L liegen. Aus der Definiti on von fI l , fI 2 folgt aber unmit t elbar fII n fI.L = fI 2 n fI .L, so daB jeder Vekt or aus fI.L entweder in fI I nfI 2 oder in tt -; ( fI I ufI 2) liegt . Aus (6) folgt dann q(fI.L) = 0 im Widerspruch zur Voraussetzung (4) . Nun sei r > 1 und h, . .. , fr eine Basis von F. Nach Voraus set zun g (1) gibt es Vekt oren hI,"" h; in H mit b(Ji , hj) = Oij . H ist dann dir ekt e Summe von r

L:: A h i und F .Ln H = D , un d die hi bilden eine Basis von H

i= l

wenden die Induktionsannahme auf

r -l

L:: A fi

i =l

ein Produkt von Spiegelungen

S h,

das auf

modulo D. Wir

anste lle von F an und bekomm en

r- l

L:: A], mit t ilbereinstimmt. Ind em

i= l

wir t von links mit dem inversen Produkt multiplizieren , redu zieren wir un sere Aufgabe auf den SpezialfaIl, daf tJi = Ji ist fur i = 1, . .. , r - 1. Fur diese i und x E F ist dann aber b(t x - x , Ji )

= b(t x , t fi ) -

also tx == x mod A h r

b(x , Ji )

= 0,

+D.

Wenn wir den Induktionsanfan g auf A ]; st att Fund A h r + D statt H anwend en konnen , so sind wir fert ig, da bei dem so erhalte nen Automor phismus u von E die zu A h; + D orthogonalen Vekt oren h ,..., fr fest bleiben. Wir miissen die (1) bis (4) entsprechenden Vorausset zun gen fur A ]; und Ah r + D anstelle von F und H priifen. (1) bleibt offenbar erhalte n, und fur (2) hab en wir es eben gesehen . Wir zeigen nun, daB bei geeigneter Wahl der Basis h ,.. . , f r auch (3) bzw. (4) fur A h r + D anstelle von H gilt . Nach Vora usset zung gibt es jedenfalls einen Vektor h mit q( h) =p 0 in fI bzw. fI.L. Wir wahlen h r E fI <, [ ) so, daf h in A h r + [) liegt , und erganzen h r zu einer Basis hI , . . . , h r von fI mod [) . Reprasentant en hI , , h; der h i in H bild en , f r von F hat dann aIle eine Basis von H mod D, und die duale Basis h, gewunschten Eigenschaft en . Zum Abschluf hab en wir noch zu zeigen , daB der Satz auch ohne die Bedingungen (3), (4) gilt . In diesem Fall betracht en wir eine hyp erb olische Eb ene Ae + A f mit q(x e + yl) = xy und bilden die orthogonale Summe E' = E ..1 (A e + AI). Wegen q(e + I) = 1 konn en wir den schon bewiesenen Teil des Satzes auf E ', F ' = F ..1 A e, G' = G ..1 A e, H' = H ..1 A(e + I), t' = t ..1 idAe anstelle von E , F , G, H , t anwenden. Wir erhalte n eine Fortset zung u' von t' die auBer e wegen b(H' , e - I) = 0 auch e - f fest laBt. Also

4 Lokale Ringe

19

laBt sich u' = u 1- idA e+Af schreiben, und u ist die gewiinscht e Fortsetzung von t. (4.6) Satz Ist E ein reguliirer quadratischer Modul tiber eine m lokalen Ring A und ist nicht gleichzeitig der R estkla ssenkorper A ~ JF2 und dim E :::; 4, so liiflt sich j eder Automorphismus u E O(E) als Produkt von Spiegelung en schreiben. Ist A ~ JF2 , so folgt dies unmi ttelbar aus (4.5) mit F = G = H = E. Im Fall A ~ JF2 kann man et wa folgendermaBen vorgehen. Gibt es einen Vektor e E Emit q(e) ~ I, der unter u fest bleibt, so erhalt man die Behauptung, indem man E als direkte (nicht notwendig orthogonale) Summ e E = A e + F schreibt und (4.5) auf t = ulF , G = tF, H = eol anwendet; wegen e E fIol ist namlich (4) erfiillt, und die Fortsetzung, die man erhalt, laBt e E Hol fest , ist also gerad e u. Im allgemeinen Fall wahle man irgendeinen Vektor e E E mit q(e) ~ I , suche ein Produkt v von Spiegelungen mit ve = ue und wend e die obige Uberlegung auf V - I U an. Ein solches v bekommt man wiederum aus (4.4) , ang ewand t auf F = A e, G = Aue, sobald man einen Untermodul H ~ E hat mit tt ~ eol, fI ~ (u e) ol , b(e ,H) = b(u e,H) = A , u e- e E H und q(fIol) =I- {O}. wunu man H = hol + IE mit q(h) ~ I , so ist wegen h E fIol die let zte Bedingung erfiillt , und die anderen lauten h E (u e - e)ol, h =I- e, h =I- ue. Nun hat E nach Voraussetzung mindestens die Dimension 6, und man iiberlegt sich leicht , daB dann jede Hyp erebene wie z.B. (u e - e)ol mehr als zwei Vektoren h mit q(h) =I- 0 ent halt, so daf diese Bedin gungen erfiillt werd en konnen. Urn jetz t auch den Satz (3.5) vollst an dig zu beweisen, hat man noch die regularen Raum e der Dimension 2 und 4 iiber JF2 und die halbr egular en zu behandeln . Von der erste n Sorte gibt es, wie wir in Kapitel IV sehen werd en, nur vier nicht isomorphe. Man kann diese einzeln durchdisku tieren oder , elegant er, die obigen allgemeinen Uberlegungen noch etwas weiterfiihren, und sieht so, daB es nur den in (3.5) angegebenen Ausnahmefall gibt. Einen halbregular en Raum E iiber einem Korp er der Charakteristik 2 schreibt man nach (2.15) als orthogonale Summe E = F 1- A e mit regularem Fund wendet (4.4) auf t = ulF, G = t f, H = E an. Man erhalt ein Produkt v von Spiegelungen , welches auf F mit u iibereinstimmt. Dann ist V -I U auf F die Identi tat und fiihrt e in ae mit a 2 = 1, also a = 1 iiber, und dar aus folgt u= v . Die weiteren in §3 enthalt enen Folgerun gen aus dem Wittschen Satz sind so formuliert, daB sie sich samt ihren Beweisen ohne wesentliche Anderungen auf lokale Ringe iibertragen lassen.

20

I. Bilinear e un d qua drat ische Form en

Anmerkungen zu Kapitel I Die systematische Verwendung der geomet rischen Sprache und geometrischer Argument e zur Unt ersuchung quadratischer Formen, deren au ch wir uns befleiBigen, geht auf E. Witt zurlick. Der Satz (3.1) findet sich in seiner Habilit ationsschrift [W]. Das Analogon fur Kerper der Char akteristik 2 ste ht in C. Arf [A]. Uber die in §3 erwahnten Verall gemeinerungen findet man Angaben z.B. bei J. Dieud onne [D] , W . Scharl au [Sch], fiir lokale Ringe in M. Knebu sch, Isom etri en iiber semilokalen R ingen, Math. Z. 108 (1969), 255268, M. Kn eser, Witt s Satz fur quadratische Formen iiber lokalen Ringen, Nachr. Akad. Wiss. G6ttingen, Math. Phys. Klasse, Heft 9, 1972. Unseren Beweis des Satzes (4.3) hab en wir im wesentli chen der letztgenann ten Arb eit ent nommen.

II. Clifford-Algebren

Die Clifford-Algebra eines quadratischen Moduls E ist eine nicht-kommutative Algebra B , die E ent halt und in der die quadratische Form durch das Quadri eren in B gegeben wird: q(x) ·lB = x 2. Clifford-Algebr en sind ein wesentliches Hilfsmittel der modernen Th eorie der quadratischen Formen, sowohl im Hinblick auf die Klassifikation quadratischer Formen tiber einen gegebenen Korper zur Definition von Invarianten, als au ch zur Unt ersu chung der ort hogonalen Gruppe sowie zur Konstruktion ihrer zweiblat tri gen Uberlagerung, der sog. Spingruppe. Fur die Konstruktion von Invar ianten ist die Clifford-Algebra deshalb geeignet, weil sie im wesentlichen eine halb einfache Algebr a ist, womit eine unmi t telbar e Verbindung zur Brau ergruppe eines Korp ers hergestellt wird. Fur spatere arit hmet ische Unte rsuchungen tiber Zahlkorpern hat die Spingruppe einen wesentlichen Vorteil gegentib er der orthogonalen Gruppe dadurch, daf sie einfach zusamm enh angend im Sinne der Theorie der algebr aischen Gruppen ist. Die Theorie der Clifford-Algebr en wird hier soweit wie moglich tiber beliebigen Ringen entwickelt, wobei wieder die eigenstandige Definition quadratischer Formen (im Unte rschied zu symmet rischen Bilinearformen) wicht ig ist.

5 Konstruktion und wichtige Eigenschaften Zu einem quadratischen A-Modul (E, q) suchen wir eine A-Algebra B (mit 1, aber nicht notwendig kommu tativ) und einen A-Modulhomomorphismus f : E --+ B fur den

f( X) 2 = q(x) . 1B

(5.1)

gelte n soIl. Aus (5.1) folgt sofort weiter

f( x )f(y)

(5.2)

+ f(y)f( x)

=

f( x

+ y)2 - f( x )2 - f(y) 2

=

(q(x

+ y) - q(x ) - q(y)) . 1 = b(x , y) . 1.

M. Kneser, Quadratische Formen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

22

II. Clifford-Algebren

Sind (E , q) ein quadratischer A-Modul, B , C A-Algebren, 9 : E --+ C ein Modulhomomorphismus mit g(X)2 = q(x) . I e , h : C --+ B ein A- Algebrenhomom orphismus, dann gilt auch

(h 0 g(X))2 = h(g(X)2) = h(q(x ) . I e ) = q(x ) · lB. Die Clifford-Algebr a C eines quadr atischen Moduls definieren wir jetzt so, daB jeder Homom orphismus mit (5.1) durch C faktorisiert: (5 .3) Definition Ein e Clifford-Algebra zu (E , q) ist eine A-Algebr a C (E) = C mit einem Modulhomomorphismus 9 : E --+ C , der g(x) 2 = q(x ) ·le erftillt, so daB es fur jeden Modulhomomorphismus f : E --+ B mit f (X)2 = q(x ) ·l B einen eindeut ig bestimmten Algebrenhomomorphismus h : C --+ B gibt mit f = ho g.

(5.4) Satz Zu einem gegebenen quadratischen Modul (E , q) gibt es eine und bis auf Isomorphi e auch nur eine Clifford-Algebra (C,g) . Hat man narnlich zwei Clifford-Algebr en C 1 und C2 mit den zugehOrigen Homomorphismen gl und g2, dann gibt es nach Definition Algebr enhomomorphismen hI : C1 --+ C2 und h 2 : C2 --+ C1 mit gl = h 2 0 g2, g2 = hI 0 gl . Dann ist gl = h 2 0 hI 0 gl. Nach Definition gibt es gena u einen Algebr enHomomorphismus f : C 1 --+ C 1 mit f 0 gl = gl. Da die Identitat diese Eigenschaft hat , folgt h 2 0 hI = ide!. Ebenso ist b, 0 h 2 = ide 2' Also ist hI : C 1 --+ C2 ein Isomorphismus. Nun zum Nachweis der Existenz: Sei {eihEs ein Erzeugendensystem von E und D der freie A-Modul mit den Basiselementen [ei! , . . . , eir ], r = 0, 1, .... Durch lei! , . .. , ei r ] • [ej! , . .. , ej.J = [ei! , .. . ,eir , eit , ... , ej. ] und linear e Fortsetz ung dieser Multiplikation wird D zu einer Algebr a mit 1D = []. Es sei I das zweiseitige Ideal in D , welches erzeugt wird von

[ei]2 - q(ei)[], lei, ej ] + [ej, ei] - bie«, ej) [ ]. Setz t man C := D / I , g(L: aiei) =

g(L aiei)2

=

L: ai le;] + I , so ist

L a;[ei]2

+

L aiaj([ei, ej ] + [ej , ei]) {i,j} i,pj

+I

L a;q (ei)[ ] + L aiajb(ei , ej)[ ] + I {i,j} i,pj

Es bleibt noch zu zeigen, daB es (mit den Bezeichnun gen aus (5.3)) zu vorgegebenem f ein passend es h gibt , so daB f = hog ist. Zunachst gibt es

5 Kon struktion und wichtige Eigenschaften

23

hochstens ein h, da h 0 g(ei) = f( ei), also h([ei] + I) = f( ei) ist und die eckigen Klammern mit einem Element ein Erzeugendensystem von D als Algebra bild en. Durch k([ei]) = f(ei) wird ein Algebrenhomomorphismus k : D -t B definiert, und es gilt k(I) = 0:

k(L ai[ei]) = L ai!(ei) = f(L aiei) = f(O) = 0 k([ei]2 - q(ei)[ ]) = f( ei)2 - q(ei) . 1B = 0 k([ei,ej]

+ lei, ei] - b(ei,ej)[])

= f(ei)f( ej)

+ f(ej)f( ei) - b(ei, ej)

= k(x) einen

Also liefert die Festsetzung h(x+I) B.

· l B = O.

Homomorphismus h: C-t

(5.5) 1st S angeordnet, dann wird C als A-Modul erz eugt von den Produkten g(eil) ... g(eiJ, r = 0,1, . . . mit i l < ... < ir. Das ist klar, da man ein Produkt g(eil) .. . g(eir ) , in dem die Indizes nicht monoton wachs en , mit Hilfe der Formeln (5.1) und (5.2) umformen kann.

(5.6) D kann man in zwei Untermoduln zerleg en:

Dann ist D = Do tfJ D I , und es gilt DiD j ~ DHj , wenn man mit den Indizes modulo 2 rechnet. Insbesondere ist Do eine Unteralgebra von D. Setzt man l, := InDi, so ist I = Io tfJ!t und C = (DotfJ Dd / (IotfJ !t ) e:! Do/Io tfJDl/!t . Mit C, = DdIi gilt also C e:! Co tfJ C I , CiCj ~ CH j (i,j mod 2), d.h. die Algebra C ist graduiert mod2.

(5.7) Zu u E O(E) betrachte man f

= go u und folgend es Diagramm:

g

"<.

u

E

;O(U)

g. C

Wegen f(x)2 = g(ux)2 = q(ux) . I e = q(x) . I e exist iert genau ein Algebrenhomomorphismus C(u) : C -t C mit C(u) 0 g = f = go u. Es ist C(uv) = C(u)C(v) , C(idE) = ide, C(u- l) = C(U)-l und damit C(u) ein Isomorphismus. Speziell ist

id

C(- id) =

{ -id

auf

Co

24

II. Clifford-Algebren

(5.8) c op sei C mit der vorha ndenen Addition und der neuen Mult iplikation x * Y = yx . Im Diagramm

I

C sei I definiert durch I( x) = g(x) . Dann ist l(x)2 = I( x) * I( x) = l (x )l(x) = q(x) . 1. Also gibt es eine lineare Abbildung £ : C -+ c op mit £(xy) = Ley) . LeX) und £(g(x)) = g(x)j wegen £2 = ide ist t: bijektiv, also ein Anti-Automorphismus von C. (5.9) Wir wollen jetzt untersuchen, wie sich im FaIle einer ort hogonalen Zerlegung E = E 1 1.. E 2 die Clifford-Algebra C(E) aus C(Et} und C(E2) zusammensetzt. Hierzu betrachten wir die von den Einschrankungon glE i induzi erten Algebrenhomomorphismen hi:

Weiter definieren wir einen Modulhomomorphismus h : C (E t} @ C( E 2) -+ C (E ) durch h(UI @U2) = b, (ut} · h2(U2). Dieses h soll ein Algebr enhomomorphismus werden. Der Versu ch, C( Et} @ C (E 2) durch die iibliche Definition (UI @ U2) . (VI @ V2) = (UI Vt} @ (U2V2 ) zu einer Algebra und h zu einem Algebr enh omomorphismus zu machen, scheitert: Aus

folgt li, (uI)h l (vt}h 2(U 2)h2(V2) = hI (ut}h 2(U 2)h l (vt}h 2(V2)'

Ist jetzt U2 = g2(X2) , VI = gl(YI), dann ist h2(U 2)h l( VI) = g(X2)g(yt} - h l (VI )h2(U2) nach der Vertauschungsregel in C und wegen b(YI, X2) = o. Allgemeiner ist h2(U2)hl( vt} = (- 1)ij h l (vt} h2(U2), falls U2 E Ci(E2), VI E Cj(Et}. Im letzteren Fall hat man also

h(UI @u2)h(VI @V2) =

=

(- 1)ij hl(Ut}hl(Vt} h2(U2)h2(V2) h«-l)ij (UIVt} @ (U2V2))

Diese Beobachtung legt folgende Definition nahe: C( Et} ®C( E 2) bezeichne den Modul C( Ed @ C( E 2) mit der Multiplikation (UI @ U2)(V I @ V2) =

5 Konstruktion und wichtige Eigenschaft en

25

(-I )ij (U1 Vd Q9 (U2V2), falls U2 E Ci(E2), V1 E Cj (Ed . (Es ist klar , wie man das Produkt beliebiger Element e aus C( E 1) Q9 C (E 2) berechnet.) Fur h : C(E 1)0C(E2) --+ C (E ) gilt offenbar

h(gl (x d Q9 1) = g(x d , h(1 Q9 g2 (X2 )) = g(X2)' Ist

f in dem Diagramm f

C( E) gegeben durch f( X1 Eigenschaft (5.1):

f( X)2 = f( X1

+ X2) = gl( X1)

+ X2 )2

Q9 1 + 1 Q9 g2(X2), so hat f die schone

q(x d(1 Q9 1) + q(x2)(1 Q9 1) + (gl (xd Q9 1)(1 Q9 g2(X2)) + (l Q9 g2(X2 ))(gl(xd Q9 1)

=

q(x) ·1.

Dann gibt es ein k : C( E ) --+ C(E1)0 C(E2) mit k 0 9 = L, also k(g(xd) = gl (Xl) Q9 1 und k(g( X2)) = 1 Q9 g2(X2). k und h sind dah er zueinand er invers, d.h. sogar Isomorphismen, und wir hab en

(5.10)

(5.11) Ist E frei mit einem erzeugenden Element e, E = Ae, so wird das Ideal 1 von [e] 2 - q(e) . 1 erzeugt ; mit X = [e] ist also

C( E ) = A[X]/A[X](X 2 - q(e))

= A · 1 + Ag(e).

C (E ) ist also als A-Modul frei mit der Basis 1, g(e). Wir wollen jetzt allgemeiner zeigen , daf fiir einen freien Modul E mit Basis e1, . .. ,em die in (5.5) angegebenen Erzeugenden fur C(E) eine Basis bilden. (5.12) Satz. l si E freier A -Modul mit m Basiselementen e1, . . . , em, so ist C(E ) ein freier A -Modul mit 2m Basiselementen g(eit) . .. g(eiJ (0 ~ r ~ m, i 1 < i 2 < .. . < i r ) . Gilt der Satz fur E 1 und E 2, so folgt er nach (5.10) au ch fur E 1 ..1 E 2, also wegen (5.11) fur jeden Modul mit einer Orthogonalbasis, speziell fur quadratische Raume tiber Korp ern der Char akt eristik -; 2. (5.12) gilt auch noch, wenn A ein Integritat sring der Char akteristik -; 2 ist . Man bet te namlich

26

II. Clifford-Algebren

A in seinen Quoti ent enkorper B ein, E in den freien B-Modul mit gleicher Basis wie E und betrachte das Diagr amm

C(E) -

C (F)

Eine linear e Abhiingigkeit der Erz eugenden von C(E) tiber A hatte dann die ents prechende Abhangigkeit der Erz eugenden von C (F) tiber B zur Folge im Wid erspruch zu dem oben Gesagt en. Urn den Satz (5.12) fiir einen beliebigen Ring A zu beweisen, schreibe man A ~ AII mit einem Int egritatsring A der Charakteristik 0, z.B. einem Polynomring tiber Z mit so vielen Unbestimmten wie A Erzeugende (als Ring) hat, und I dem Kern des Homomorphismus A -+ A , welcher die Unbestimmten auf die Erz eugenden abbildet .

E sei der freie A-Modul mit Basis {ed der Lange m , also E ~ EIIE. Die quadratische Form ij auf E wahlen wir so, daB

wird. Dann ist C(E)II·C(E) ein freier A-Modul mit der Basis {g(eil) ... g(eiJ+ I C(E)} wobei 9 := YE' Wir definieren f : E -+ C(E)I I . C(E) durch fCL, Xiei) = L, xi(g(ei) + I . C(E)). Dann hat fdie Eigenschaft (5.1):

f(L Xi ei)2

= (L xi(g(ei) + I . C(E)))2 = L X;(ij(ei) + I· C(E)) . 1 + L xixj(b(ei , ej ) + I · C(E)) . 1 = ij(L Xi ei) . 1 + I . C(E) = q(L Xiei) . 1.

Es gibt also einen Algebren-Homomorphismus h : C(E ) -+ C(E )I I ·C(E) so, daB h(g(ei)) = g(e~)+I.C(E) , also f(g( eil) . .. g(eir)) = g(eil) . .. g(eir)+IC. Da letztere tiber AI I = A linear unabhangig sind , sind es au ch die erste n. Da wir tiberwiegend freie Moduln betrachten werd en, identifizieren wir in Zukunft A mit dem Unt erring A . 1 von C(E) und Emit dem Unt ermodul g(E) , schreiben also a statt a· 1 und x statt g(x). Zur spate ren Verwendung leiten wir noch zwei Beziehun gen zwischen Co(E) , Co( aE) und C (F ) ab (mit den Bezeichnun gen "E ; "x aus (2.23)) . (5.13) Sei E ein quadratischer A-Modul , a E A x . Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Algebren-Homomorphismus

h = he,e : Co(aE) -+ Co(E) mit h( ax "y) = ax y fur x , y E E.

6 Raume kleiner Dimension

27

h ist ein Isomorphismus, und somit Co( aE ) ~ Co(E) . Beweis: Betrachte F = E ..1 Ae mit q(e) = -a. Die Abbildung x ~ xe von E in Co(F) laBt sich wegen (xe)2 = _x 2e2 = aq(x) zu einem Homomorphismus C (aE) ~ Co (F ) fortsetzen, welcher die Erzeuge nden ax'1J (x, Y E E) von Co(aE) in xeye = axy E Co(E) iiberfiihrt und so den gesuchte n Homomorphismus h liefert. Umkehrfunktion zu ha,E ist be.o mit b = a- 1, D = "E ,

(5. 14) Mit den Bezeichnungen und unter den Voraussetzungen von (5.13) kann man den dort konstruierten Isomorphismus h : Co( aE) ~ Co(E) zu einer Isomorphie C( aE ) = Co( aE) ffi C 1 ( aE) ~ Co (E ) ffi Co (E )e = Co(F) fortsetzen, indem man Zo E Co( aE) auf h(zo) und Z l E C 1 (aE) auf h(Zl ae)e- 1 = a-1h(zl ae)e abbildet.

6 Raume kleiner Dimension In diesem Absch nitt werde n uns A-Algebren B begegnen, welche einen AntiAutomorphismus x ~ x mit

(6.1 )

x

+ x = s(x ) = sEA , xx = n(x) = n E A

besitzen. Es folgt

(6.2)

X =(s- x) =s -x =x.

Ein en solchen Anti- Automorphismus nennen wir Standa rd- Invo lution auf B. Da x = s - x mit x vertauschbar ist , geniigt x der quad ratischen Gleichung (6.3) x 2 - sx + n = O. Sind 1 und x iiber A linear unabhangig , so ist dies die einzige derartige Gleichung und x = s- x dadurch eindeutig bestimmt. Wird B von Element en mit dieser Eigenschaft erzeugt , z.B. wenn B freier Modul ist mit einer Basis, die das Einse lement ent halt , so ist also die Standardinvolution schon durch die Algebr en-Struktur von B festgelegt (natiirlich gibt es langst nicht auf jeder Algebra eine Standard-Involut ion; eine notwendige Bedingung dafiir ist , daB jedes Element einer quadratischen Gleichung (6.3) geniigt) . Urn festzustellen, ob ein gegebener Anti-Automorphismus Stand ard-Involution ist , geniigt es, die Bedingung x + x E A ftir ein Erzeugendensystem des AModu ls B und die Bedingung xx E A ftir Erzeugende der Algebra B nachzupriifen. Das folgt aus den Formeln

(6.4 )

(6.5)

n(xy) n(x + y)

= xy (xy) = x yyx = xn( y)x = n (x)n(y)

= xx + xy + yx + yy = n(x) + n(y) + s(xy).

28

II. Clifford-Algebren

Beispiele fiir Algebren mit Standardinvolution sind: (6.6) Der Restklassenring A[XJI(X Z - aX + b) mit der Involu tion, welche die Restklasse x von X in a - x iiberfuhrt. (6.7) Der Ring Mz(A) der zweireihigen Matriz en mit der Involution a ( c

b)

d

1--7 (

d -b).

-c

a

Hier ist s die Spur und n die Det ermin ante. Die Form el (6.5) zeigt , daf n eine quadratische Form auf B mit zugehori ger Bilinearform sexy) ist. 1m Beispiel (6.6) erhalt man mit der Basis {I , x} die quadratische Form

die genau dann regular ist , wenn die Diskriminante a Z -4b des Polynoms X Z _ aX + b invertierb ar ist . Fiir den Matri zenring (6.7) ergibt sich ents prechend die quadratis che Form n (x) = det (xii ) = XUXZZ -X1ZXZ1 , also die orthogonale Summe zweier hyp erbolis cher Ebenen (2.21.). Wir wollen jetzt sehen, unter welchen Umstanden die Clifford-Algebra G(E) eine Standard-Involution besitzt. Fiir x E E ~ G(E) gilt XZ = q(x) , also miiBte nach (6.3) x = - x , also mit den Bezeichnungen (5.7) und (5.8) (6.8)

x =xC(- id),

sein. Fiir x, y E E folgt x y + xy = xy + yx = b(x ,y) E A ; dagegen liegt im allgemeinen xyz + xyz = x yz - z yx nicht mehr in A . Nach (5.5) ergibt sich (6.9) Wird der quadratische Modul Evon m Element en erzeugt, so ist (6.8) St andardinvolution auf G(E) , falls m :::; 2, auf Ga(E) , falls m :::; 3. Wir bet rachten jetzt freie quadratische Moduln vom Ran g m und diskuti eren die Falle von kleinem m einzeln. Der t riviale Fall m = 1 wur de schon in (5.11) erledigt . Der Fall m = 2. Hier hat Gl(E) = E eine Basis e l,eZ und Ga(E) dann die Basis 1, z = e l eZ mit z + Z = b(el , eZ)' z z = q(el)q( eZ)' Mit a = q(et} , b = b(el ' ez), c = q(ez) ist also

(6.10)

(6.11)

Ga(E) ~ A[XJI(X z - bX

+ ac),

6 Raume kleiner Dimension

29

(6.12) Nach (1.15) sind (E ,q) und (Co, n ) entwe der beide regular (bzw. nicht ausgea rtet) oder beide nicht. Die Form el xz = zx wird fur x E C 1 (E ) = E , z E Co(E) wegen x = - x , xz = - xz zu

(6.13)

xz = zx

und darau s folgt n( x (6.14)

fur

x E CI (E), z E Co(E ),

+ z ) = xx + z z + xz + zii = -q(x) + n( z) , also (C, n ) ~ (E , -q ) 1. (Co, n) .

Von jet zt ab setzen wir vorau s, daf q(E) invertierbar e Elemente ent halt, was z.B . zutrifft, wenn A ein Kerper und E regular (od er auch nur q(E ) "I 0) ist. Sei etwa q(e) = a E A x , der mul tiplikativ en Gruppe der invertierb ar en Elemente von A ; dann hat e in C (E) das Inverse e- l = a - Ie, und die Abbildung z -+ ze liefert einen Modul-Isomorphismus Co -+ CI , also wegen q(ze) = -n(ze) = an( z) die Isomorphie

(6.15)

(E,q)~(Co ,an) ,

aEq(E )nA x .

Aus (3.8-9) , (6.10-11) und (6.15) ergibt sich (6.16) Ist A ein Ke rp er , so ist ind(E) = 1 genau da nn, wenn Co(E ) A [X ]/(X 2 - X) .

~

Die Struktur von C (E ) ist durch die von Co(E ), die St andard-Involu t ion auf Co(E ) und den Wert a bes t immt. J edes Element au s C( E ) laBt sich ja in eindeut iger Weise als x + ye mit x , y E Co (E) schreiben, die Produkt e x . y und x· ye sind durch die Struktur von Co(E ) bestimmt , und ye· x sowie ye·xe

lassen sich mit t els (6.13) und der Relation e2 = a dar auf zuriickftihr en. Ist spe ziell A ein Korper der Charakteristik "I 2, E regular mit Or thogonalbasis el,e2, q(ei) = ai, und set zen wir ele2 = e3, so hat C( E) die Basis 1, el, e2, e3 mit der Mul tiplikationst ab elle

e~ = a I, e~ = a2, e~ = - al a2.

Speziell fur A = lR, al = a2 = -1 erha lt man die gewohnlichen (Ha milto nschen) Quaternion en. Aus diesem Grund nennen wir die Clifford-Algebren regularer quadratischer Moduln vom Ran g 2 auch (ver allgemeinerte) Qua-

ternionenalgebren. (6.11) Ist E regular und 1 E q(E ), so ist C(E) isomorph zum zweireihigen Matrizenring M 2(A ). Ist A ein Korp er , so folgt um gekehrt aus C( E ) ~ M 2(A ), daf E regular und 1 E q(E) ist. Beweis. Nach (6.15) konnen wir E als Algebr a mit St andardinvolu tion und q als Normform annehme n. Den Matrizenring M 2 (A) identifi zieren wir mit

30

II. Clifford- Algebren

dem Endomorphismenring End(E) des A-Modul s E. In End(E) hab en wir die Abbildung C : x -+ x und fiir jedes tEE die Multiplikation f t : x -+ tx mit t. Die lineare Abb ildung t -+ f tC von E in End (E) UiBt sich wegen

zu einem Algebr en-Homomorphismus h : G(E ) -+ End (E) fortsetzen. J edes Element aus G(E) = Go + G1 Hifit sich - ausnahmsweise mit der urspriinglichen Schreibweise aus (5.3) - in der Gestalt g(s)g(l) + get) schreiben und geht bei h in f s + f tC tiber. Legen wir fiir die Algebra E als Basis 1, z wie in (6.12) zugrunde, so ist also h genau dann bijekti v (bzw. injekti v), wenn das Gleichun gssystem s· l+t· l = u s ·z+t ·z =v fur beliebig vorgegebene u , v aus E gena u (bzw. hochstens) eine Losung s , t in E hat , d.h. wenn die Determinante

I ~ ; I = z - z inverti erb ar (bzw.

nicht Nullte iler) ist. Nach (6.12) und (1.15) ist das genau da nn der Fall, wenn E regular (bzw. nicht ausgeartet) ist . Ist umgekehr t G = G( E ) ~ M 2( A), so ist (G,n) nach (6.7) hyperb olisch, also E nach (6.14) und (1.15) regular. Aus (6.14) und (2.23) folgt dann (E, - q) 1- (Go,n ) ~ (G, n) ~ (E , -q) 1- (E, q)

und dam it nach dem Wittschen Satz (Go, n) .

falls A ein Korper ist -

(E , q)

~

Der Fall i l l = 3. Es sei e1,e2,e3 eine Basis von E . Wie in (6.9) festgest ellt , ist Go(E) eine A-Algebra mit Standard-Involuti on (6.8), G (E) dagegen nicht mehr , da im allgemeinen das Element

nicht mehr in A liegt . Imm erhin gilt noch

(6.18) d.h. t liegt im Zentrum von G( E) , und weiter (6.19)

t (e1, e2, e3) 2 = - d'(e1 , e2, e3) .

Beide Formeln kann man mit Hilfe der Relationen (5.1) und (5.2) nachrechnen , was aber etwas rniihsam ist. Mit weniger Rechnung kommt man auf folgend em Weg aus. Fur paarweise orthogonale Vektoren e1, e2, e3 ist t (e1 , e2, e3) = 2e1e2e3, und beide Formeln sind ersichtlich richtig. Nun hangt die Klasse von e1 e2e3 in G1 (E) / E und damit wegen x + x = a fur x E E

6 Riiume kleiner Dimension

31

auch t(e1,e2,e3) trilinear un d alte rn ierend von e1,e2,e3 ab o Wegen (2.12) gelten die Formeln also auch dann, wenn e1, e2, e3 Linearkomb inationen von drei paarweise orthogonalen Vektoren sind, also allgemein tibe r Korp ern der Ch ar akteris tik 0 und damit auch tiber Integri t atsringen der Char akteristik O. Den allgemeinen Fall erhalt man dar au s, ind em man den Grundring A wie beim Beweis von Satz (5.12) als homomorphes Bild eines Integrit at sringes der Ch arakteristik 0 schreibt. Ist nun E halbregul ar , also d' und damit wegen (6.19) auch t invertierb ar, so wird durch z -+ zt ein Modul-Isomorphismu s Co -+ C 1 gegeben. Was ist da bei das Urbild von E C C1? x = L: Ciei + XOe 1e2e3 liegt genau dann in E , wenn xo = 0 ist, und das ist gleichbedeutend mit x + x = xot = O. zt liegt also genau dann in E , wenn zt + zt = (z + z)t = 0, d .h. z + z = 0 ist . Nach (6.5) ist das genau dann der Fall , wenn z beztlglich der Normform von Co(E ) zu 1 orthogonal ist . Nun ist q(zt) = - (zt) zt = d'n( z) und damit (6.20) Fur halbregular es E ist (E , q) isomorph zum orthogonalen Kompl ement von 1 in (Co(E) ,d'n) . (6 .21) Es sei A ein Kerp er , und E sei halbregular. Aus ind(E) = 1 folgt ~ M 2 (A ) und um gekehrt.

Co(E)

Zum Beweis schre iben wir E = F 1. Ae, F hyp erb olische Eb ene, q(e) = -d' E A x. Nach (5.14) ist Co(E) ~ C( d'F), und die Behauptung folgt wegen d'F ~ F aus (6.17 ). Ist um gekehrt Co(E) ~ M 2(A), so enthalt das orthogo nale Komplement von 1 in (M 2( A ), d'n ) die Matrizen

(~ ~ ); diese bilden eine

hyp erbolische Eb ene, und die Behauptung folgt aus (6.20) . Als Abschlu B dieses P ar agraphen noch ein paar Wort e zum Fall m = 4. Hier hat nicht einmal mehr Co(E) eine St andard-Involution tiber A , da im allgemeinen

nicht mehr in A liegt . Immerhin gilt noch analog zu (6.18) (6.22) und man kann zeigen, daf fur regular es E das Zent rum Z von Co(E ) freier A-Modul mit Basis 1, t ist ; fur den Fall , daf A ein Korper ist , werden wir das im nachst en Abs chnitt beweisen . Da rau s erg ibt sich dann, wenn wir Co(E) als Z - Algebra mit St andard-Involution auffassen: (6.23) Ist e E E, q(e) = a E A x, so wird durch h(x ) = xe ein injektiv er Modulhomomorphismu s h : E -+ Co(E) definiert mit n( h(x) ) = aq(x ). Ist E regular , so bilden h(e1), h(e2), h(e3), h(e4) eine Basis von Co (E) tib er Z =

A+ At.

32

II. Clifford- Algebr en

Der erste Teil ist analog zu (6.15); man beachte, daf xe = ex ist. Fur den zweit en beacht e man d(h( el) ' h( e2), h( e3), h (e4)) = a4d( el , e2, e3, e4)' Nach (1.20) sind die h (ei ) tiber Z linear unabhan gig und erzeugen nach (1.15) einen bezuglich n regularen Z- Untermodul von Co(E), der sich orthogonal abs palte n laBt: Co(E ) = I: Z h (ei ) .1 F. Nun ist I: Zh(ei) frei tiber Z vom Ran g 4, also frei tiber A vom Ran g 8, gena u wie Co(E) ; dar aus folgt F = {O}.

7 Zentren von Clifford-Algebren Wir wollen in diesem Abschnit t die Zent ren der Clifford schen Algebren C( E) und Co(E ) bestimmen. Urn einen Uberblick zu erhalten, betrachten wir zunachst den Fall, daf A ein Kerper der Char akteristik =I 2 und E =.1r A ei regular ist. Wir verwenden die am Schluf von §4 get roffenen Vereinbarungen und set zen e j = ei l . . . e., fiir eine Menge J von Zahlen i 1 < ... < i r zwischen 1 und n . Aus (5.2) folgt eiejeJ(eie j) - l = ±eJ , wobei das Pluszeichen gilt, wenn entweder i und j beide zu J gehoren oder beide nicht , das Minuszeichen dann, wenn eine der Zahl en i , j zu J gehort, die andere nicht . Dar aus folgt , da f e0 = 1 und el = el . . . en mit jedem Produkt eiej vertauschbar sind, daf es aber zu jedem von 0 un d I = {1, .. . , n } verschiedenen J ein Paar {i, j } gibt mit eieje J (ei ej )- l = - eJ . Bezeichnen wir fiir irgendeine Teilmenge B einer Algebr a C mit

(7.1)

C B = {X EC lxy =yx

fiir alle

Y EB}

den Zent ralisator von B in C, so erhalten wir, da Co (E) von den Produkten ei ej erzeugt wird , das Resultat

CGo = A

(7.2)

+ A el

... en '

Davon ausgehend konnen wir jetz t sowohl das Zentrum von C als auch das von Co bestimmen. Es ist eielei 1 = (_1)n-l el , daher gilt

(7.3)

CG

A -

{

A

n =:O

+ Ael

falls

mod2 .

n =: 1

Umgekehrt sieht es beim Zentrum von Co aus: (7.4)

cfo= Co n CGo = {

A+ A el

A

mod2 .

falls n =: 1

Wir bernerken , daB unter den vorliegenden Bedingungen fiir x E E ~ C 1 , Z E CGo, gilt xz = zCt . x, wenn wir mit Q den Automorphismus a + bel --+ a + (- 1)n - l be I von CGo bezeichnen, und daf da nn CG = {z E CGo I zCt = z } ist. Diese Feststellung laBt sich auf beliebige Grundringe verallgemeinern ; sie

7 Zentren von Clifford-Algebren

33

gilt schon dann, wenn nur das von q(E) erzeugte A-Ideal A . q(E) = A ist . (Das t rifft z.B, zu, wenn E frei und regular ist , da dann d( el ,'" en) E A ·q(E ) eine Einheit ist , ahnlich fur halbregular es E). Unte r dieser Voraussetz ung gilt folgend e Behaup tung:

(1.5) Es gibt einen eindeut ig bestimmten Automorphismus a von CGo mit x · Z = zQ · x fur x E E , Z E C Go, und a 2 = id. Mit diesem a gilt

= { z E CGo I zQ = z }.

CG

Beweis. Sei a gegeben und

L: aiq(ei ) = 1. Dann

ist

i

L

a.e.ze,

i

=L

ai z Qe;

i

= z"

. L ai q(ei )

= z".

i

a ist also eindeutig bestimmt, und wir weisen nach, daf die durch die letzt e Gleichun gskett e definierte Abbildung die gewunschte n Eigenschaften hat .

ZQ2 = L

ajej( L

ai eizei)ej

=L

aiajeje;ejz

i,j Q2 zQ liegt wieder in CGo, da zQx y = xzy = xz Y j

= z.

i

= x yzQ.

a ist multiplikativ:

zrz~

=

Laieiz l ei' Laj ej Z2e j i

=

L

j

ai a j e; ej Zl Z2e j = L

iJ

aj ej Zl Z2ej = (ZlZ2)Q

j

und offensicht lich addit iv. 1st z E C G , dann hat man

Umgekehrt ist fiir z z E CG .

= zQ

nach Definition xz

= zQx = zx fur

x E E , dah er

Fur Raume niedri ger Dimension sieht das so aus: Wird Evon einem Element erzeugt: E = Ae, C = A + Ae, Co = A , so ist C kommut ativ, CGo = C G = C und a die Identi t at. 1st E frei mit Basis el,e2 , so besagen die Formeln (6.8) und (6.13), daf a die Einschra nkung von C( - 1)£ auf C Go, also Standardinvolution ist . Co(E ) = A + A el e2 ist kommutativ. Urn CGo zu bestimmen, mussen wir

34

II. Clifford-Algebren

also noch feststellen, welche x E C l (E) = Emit e l e2 vertaus chbar sind . Die Bedin gungen xe le2 = ele2X werden nach Addition von el xe2 gleichbedeutend mit b(x , ed e2 = el b(e2,x ), also da e l,e2 Basiselemente sind mit x E e». Falls E nicht ausgeartet ist , was von jetzt an gelten soll, so haben wir also

(7.6)

CCo = Co.

Welche Elemente a + bel e 2 liegen im Zentrum CC von C? Ist bel e2 mit allen x E E vertauschbar, so folgt ahnlich wie oben bx E also

e-,

(7.7) Die Struktur von CCo

CC =A.

= Co wird durch (6.11) beschrieben.

Urn die Zentren der Clifford-Algebr en von Raurnen hoherer Dimensionen zu beschr eiben , werden wir diese in kleinere Raum e zerlegen und dann die folgende Aussage anwenden. (7.8) Ist E = E , ..1 E 2, sind a,al,a2 die Auto morp hismen ents prechend (7.5) fiir E , E l , E 2, und sind E, und C (E i)Co(Ei) freie A-Moduln, so gilt

und a ist die gemeinsa me Eins chrankung von al C!9 C (-1) und C (-1) C!9 a2. Ist C( Ei) Co(E;) ~ A [Xl! (X 2 - X + Ci) in CO(Ei ) ent halten und ai Stand ardinvolution, so ist C (E )Co(E) ~ A [Xl!(X 2 - X + c) mit C = Cl + C2 - 4ClC2 , und a ist Standardinvoluti on. Beweis. Nach (5.10) ist C (E) ~ C( E d ®C( E 2). Co(E ) wird dab ei von Co(E d ®l, 1®Co(E2) und den Produkten Xl ®X2 mit Xi E E, erzeugt . Ist {Vi} eine Basis von C(E2), so ist die Vertauschbark eit von Z = L: Ui C!9 Vi und Co(E d ®l gleichbedeute nd mit Ui E C (Ed Co(Etl. Schreibt man jetz t Z in der obigen Form mit einer Basis {Ui} von C( Ed Co(Etl, so besagt die Vertauschbarkeit mit 1®Co(E 2), daf Vi in C(E2)Co(E2 ), also Z in C( E l) Co(E') ®C(E2)Co(E2) liegt. SchlieBlich bedeutet die Vertauschbarkeit mit Xl®X2 dann z Q10C( - l) = ZC( - l) 0 Q2 , und es gilt (x l ®l)z = z Q10C (- l ) (X l® 1 ) und (1®x2)z = zC(-l) 0 Q 2(1®x2).

1st nun C( Ei)co(E,) = A+Azi mit Z; - Zi+ Ci = 0 und a i Standardinvoluti on, also Zi + z f ' = 1, so bilden Zi, zf' eine Basis. Liegt Zi in CO( E i) und ist dah er " unte r C( - 1 ) invariant , so liiegt aUZl C!9 z2+ al2zl C!9 z2Q2 +a2lzlQl C!9 z2+ a22zlQl C!9 Z~2 genau dann in C( E)Co(E), wenn au = a22, al2 = a2l ist. Z = Zl C!9 Z2 + Zf ' C!9 Z~2 und zQ = Zl C!9 Z~2 + Zf ' C!9 Z2 bilden also eine Basis, und man erhalt

7 Zentren von Clifford-Algebr en

zz "

=

zlz f l Q9 ( z~ + z~a2 ) + (zi + zi a1) Q9 Z2Z~2 Cl Q9 (Z2 + Z~2)2 - 2Cl Q9 Z2 Z~2 + (Zl + Zf l)2

Q9

35

C2 - 2z 1 zfl Q9 C2

Cl + C2 - 4CIC2 Der folgende Satz klart tiber K6rpern (ebe nso auch lokalen Ringen ) die Strukt ur von C(E) Go(E) in beliebig er Dimension . Wi r formulieren ihn fiir freie Moduln tibe r eine m beliebigen Ring, mtissen dann abe r die Exi st en z eine r Zerlegung in Komponenten vom Ran g ho chst ens 2 vorau ssetzen , um (7.8) anwende n zu k6nnen .

(7 .9) Satz a) Es sei E regular und frei von geradem Rang 2m , ferner E = Ae2i-l + Ae2i' b(e2i- l , e2i) = 1. Dann ist

r

=

.1 E i mit E i

C (E )GO(E) = A

+ Az ~ A [X ]j(X 2 -

X

+ c)

mit z E Co(E) , z -l-z? = 1, zza = C, (za _ z)2 = 1-4c = (- l)md(el, " " e2m). b) Es sei F halbregular und frei von ungeradem Rang 2m + 1, dabei F = E.l Ae2m+l mit E wie in a) und q(e2m+t} = a :j:. O. Dann ist

C( F )GO(F) = A

+ At ~ A [x ]j (X 2 -

b)

mit t E C1 (F), b = (- l)m d' (el " . . , e2m+l ), und Q ist die Identitat. Beweis . a ) Bis auf die let zt e Gleichun g folgt alles aus (6.11 ) und (7.8) durch Induktion nach m , diese ab er - mit den Bezeichnungen von (7.8) - aus (6.12) und (za - Z)2 = 1 - 4c = (1 - 4ct}( 1 - 4C2) ' b) Na ch (7.8) liegt U+ ve2m+l (U ,V E C( E)) genau dann in C(F) Go(F) , wenn u und v in C (E)Go (E) liegen und u a = U, va = - v ist . Eine Basis fur C(F )Go(F) ist also 1, t = (z a - z )e2m+l mit z aus (7.9). Es folgt t 2 =

(za - z)2 e~m+ l

= (-l )md(el , "

" e2m)q(e2m+t}

= (-l )md'(el "

' " e2m+l )'

Aus (7.9) folgt unmit t elbar als Verallgemein erung von (7.3) un d (7.4) die Bestimmung der Zentren .

(7 .10 ) Ftir regulate bzw. halbr egu lare Raum e der Dimen sion n werden die Zentren von C(E ) und Co(E ) gegebe n durch

ce=r r eo

n= O

falls

C Go

C oGo --

mod2 ,

n=1 n= O

falls

A

mod2 .

n=l

(7. 11) Unter den Vor ausset zungen von (7.9b) ist Co (F ) C(F) ~ Co(F ) Q9 C( F )Go(F) .

C><

C(-aE ) und

36

II. Clifford-Algebren

Beweis. Der erste Isomorphismus st eht schon in (5.14) . Der zweit e wird dureh u 0 1 + v 0 t --+ u + vt (u ,v E Co) gegeb en. Ist E = E, .1 E 2, E, regul ar von der Dim ension 2m , so wollen wir C(E ), ahnlich wie in (5.10), als Tensorprodukt von C (E l ) und einem anderen Fakto r sehreiben, anders als dor t jedo eh mit der ilblichen komponent enweisen Multiplikation ohne zusatzli che Vorzeiehen:

Den Platz des Fragezeichens muf3 ein Faktor einnehmen, dessen Elemente in

C( E) mit denen aus C(El ) vertausehbar sind. Nun liegt ein Element W aus C( E)Co(Etl ~ C (E d Co(Etl 0 C (E 2) genau dann in C (E )C(Ed , wenn es mit x 0 l fiir aile x E E, vert ausehbar ist , wenn also W Q10 C ( - 1) = w ist . Fur w = Zl 0 WI + Z?' 0 W2 (mit den Bezeichnungen aus (7.8)) bedeutet das wf (-1 ) = W2, Wf (- l) = WI , also C(E) C(Etl ~ 1 0 CO(E2) + (Z?' - zd 0 C l (E 2) ~ C( E d 0 C (E 2), und daraus folgt unmittelbar C( E) ~ C (E d 0 C(E) C(Ed mit dem dureh u 0 v --+ uv gegebenen Isomorphismu s,

Urn nun die Struktur von C(E )C(Etl genau er zu best imm en , betraeht en wir die Abbildung x --+ (Z?' - Zl)X von E 2 in C(E)C(Ed . Wegen «Z?' - zd X) 2 = (-I )md(el "'" e2m)q(X) ergibt sieh, ahnlich wie in (7.11) , die Isomorphie C(E) C(Ed ~ C( d1E2) mit dl = (-l) md(el , . .. ,e 2m), also (7.12)

C(EI .1 E 2) ~ C(Ed 0 C(d1 E 2),

falls E l regular von ger adem Ran g ist. Ist dagegen E l halbregular von u ngeradem Ran g mit Basis {ei , ... ,e2m+d , so erha lt man mit Hilfe von (5.14) und (7.12) die Isomorphie

(7 .13)

CO(EI .1 E 2) ~ Co (Ed 0 C( OE2)

mit 8 = (-I )m+ld' (el "' " e2m+d (vgl. (2.10), (2.14)) . Zerlegt man einen regular en Raum gerader Dim ension in zweidimensionale Teilr aum e und wendet wiederholt (7.12) an, so ergibt dies zusamme n mit (5.14) die Folgerung

(7.14) Fur regular e Raume gerader Dimension ist C(E) , fur halbregulare Raume un gerader Dimension Co(E) ein Tensorprodukt verallgemeinerter Qu aternionenalgebren.

8 Spingruppe und Spinornorm Sei E ein regularer quadratiseher A-Modul mit Basis el, ... , en' Fur eine ort hogonale Transformation T E O(E) folgt dann au s (1.10) (detT)2 = 1. Ist A ein Korper, so hat man also

8 Spingruppe und Spinornorm

det T = ±1

fur

37

T E O(E).

Fur einen Korper A der Charakteristik =j:. 2 treffen wir die provisoris che Definition

(8.1)

SO(E)

= {t E O(E) I det t = 1}

SO(E) ist ein Normalteiler von O(E) und heiBt die spezielle ort hogonale Gruppe. Im Falle der Charakteristik 2 liefert diese Definition wegen 1 = -1

nichts Neues. Da wir nach (3.5) wissen , daf in Charakteristik =j:. 2 die orthogonale Gruppe eines regularen Raumes von Spiegelungen erzeugt wird, liegt die Frage nah e, wie man SO(E) mit Hilfe der Spiegelungen charakte risieren kann . Zu einer Spiegelung Se :

x --+ x -

b(x, e)

~e

wahlen wir eine Basis e = el , e2, . . . , en. Die Wirkung von ist el --+ - el, e, --+ ei + Aiel fur i > 1.

Se

auf der Basis

Folglich ist die s, zugeordnet e Matrix eine Dreiecksmatrix mit Diagonalelementen -1 ,1 , .. . ,1 , also Det erminante -1. Ist A ein Korper der Ch arakteristik =j:. 2, so laBt sich also SO(E) als diejenige Untergruppe von O(E) beschreib en , deren Elemente Produkt einer geraden Anzahl von Spiegelungen sind.

(8.2)

SO(E)

= {t E O (E)

It

= sft

·· . Shm }

Benutzen wir (8.2) als Definiti on von SO(E) tiber Korpern beliebiger Charakteri stik, so erhalte n wir etwas anderes als in (8.1). Dazu das Beispiel (8.3) Sei A ein Korper , E hyp erbolische Eb ene,

Die singularen Vektoren sind die Vielfachen der Basisvektoren , daher gibt es fur ort hogonale Tr an sformationen (die singulars Vektoren in singular e tibe rfuhren) nur zwei Moglichkeit en:

oder el --+ ae2,

e2 --+ a -l eI.

Fur eine Spiegelung Sx darf x nicht singular sein, auBerdem ist dah er ist jede Spiegelung von der Form

Sx

=

S>'.x ;

38

II. Clifford-Algebren

Die Komposit ion einer geraden Anzahl von Spiegelungen ist dann eine Abbildung

Die Definition (8.2) liefert also unabhan gig von cha r A eine echte Untergruppe SO(E ) von O(E) . Das folgende Beispiel zeigt jedoch, daf fur halb regular e Raume die Verhalt nisse wieder etwas anders liegen. (8.4) Ist A Kerper mit cha r A = 2, E = F 1. Ae halbregular mit regular em Ant eil F , q(e) =I 0, so ist e E E.l.. und daher s, = idE. In diesem Fall kann man jedes Produkt von Spiegelungen mit s, multiplizieren, was die Faktorenzahl beliebig andert. (8.5) Urn zu einer endgiiltigen Definition von SO(E ) zu kommen, benutze n wir die Clifford-Algebra C( E). Wir wissen nach (5.7), da B es zu t E O(E ) einen Automorphismus C (t ) von C (E ) gibt, der das folgende Diagramm kommutativ macht :

, C(E)

E

j

j

G(t)

t

E

' C( E )

Die Abbildung t -+ C(t) ist ein Homomorphismus von O(E) in die Gruppe derjenigen Aut omorphismen von C( E ), welche E in sich t ra nsformieren. Ist umgekehrt u ein solcher Automorphismus , so gilt fiir x E E die Gleichung q(u(x)) = u(x)2 = u(x 2) = u( q(x)) = q(x ). Die Einschrankun g von u auf E gehort also zu O(E ), und wir hab en

O(E)

~

{u E Aut C(E) I uE = E}.

Fur ein invertierb ar es Element p E C(E )X bezeichnen wir mit i p den inneren Automorphismus ip(x) = pXp-l von C (E ). Ist speziell e E E ~ C (E ), q(E ) E A X, e- 1 = q(e)- l e, so gilt fiir x E E

ie(x)

= exe- 1 = (b(x , e) -

xe)e - 1

= b(x , e)q(e)-le -

x

= - se(x ),

also i e = C( -1)C(se). Da die Einschrankung von i e auf CGo der Automorphismus a: aus (7.5) ist , sieht man mit Hilfe der Ergebnisse (7.9) und (7.10), daB fur regular e Raume tiber Korp ern , bei denen die ort hogonale Gruppe

8 Spingruppe und Spinornorm

39

durch Spiegelun gen erzeugt wird, die folgende Definition mit (8.2) iibereinstimmt. (8.6) Definition. Fiir regulare oder halbregular e Moduln E tiber einem beliebigen Ring A heiBt die Gruppe derjenigen ort hogonalen Tr ansformationen, welche auf C(E) Co(E) die Identitat induzi eren, die spezielle orthogonale Gruppe und wird mit SO (E) bezeichnet . Nun sei A wieder ein Kerper, E regular , t E SO (E) und t = sit . . . S 12m' also C(t) = C( sf,) '. ' C( sh,J = ilt . . . ihm = i p mit p = It ... 12m E Co(E ) x . Durch die Gleichung C (t) = i p ist P E Co(E) x bis auf einen Faktor aus Co n CC = A eindeutig bestimmt . Setzen wir G = {p E I pEp-l = E} , so liefert p -+ i p einen Homomorphismus G -+ SO , der surje ktiv ist (auch in dem Ausnahmefall aus (3.5), was wir hier nicht nachpriifen wollen - man sieht es z.B. mit dem Satz von Skolem-Noether). Es folgt SO(E) ~ G/A x . Diese Isomorphie beniitzen wir, urn die sogenannte Spinornorm zu definieren. Ist namlich x, y E E , pEG und pXp- l = y, so folgt durch Anwendung des Antiautom orphismus L aus (5.8) auch p- ' xp' = y. Also liegt pp' in A x und andert sich bei Multiplikation von p mit einem Faktor aus A x urn das Quadrat dieses Faktors. Wir definieren daher die Spinornorm S N(t) einer ort hogona len Transform ation t E SO(E) durch

o;

(8.7)

SN (t ) = pp" mod A x 2

Ist speziell t

= sit . . . S 12m' so kann man p = It . . . h m nehmen und erhalt

falls

C(t ) = i p , p E G.

(8.8) Dem Kern der Spinornorm SN : SO(E) -+ A x / A x2 ent spricht die Untergru ppe der Element e p aus G mit pp' = 1, die fur reguare oder halbr egular e Moduln iiber beliebigem Grundring A definiert werden kann und die Spingruppe von E heiBt: (8.9)

Spin (E)

= {p E Co(E )X I pE p- l = E ,

pp'

= I}.

Die Zuordnung p -+ i p I E liefert einen Homomorphismus Spin(E) -+ SO(E) , der bei Grundkorpern der Char akterist ik i- 2 den Kern {± I} hat. Fur A = lR ist Spin(E) eine zweiblattrige Uberlagerun g von SO(E). Zum Abschluf dieses Abschnitts wollen wir noch in einigen Beispielen SO , Spin und die Spinornorm ausrechnen. Fiir die hyperb olische Eb ene hab en wir in (8.3) gesehen, daf SO(E) aus den Transformati onen

best eht. Aus den dortigen Rechnung en ergibt sich weiter t a also

(8.10)

= S el - e2se l -ae2'

40

II. Clifford-Algebren

Ist E frei vom Rang 2 und das von q(E) erzeugte A-Ideal Aq(E) = A , etwa L: aiq(ei) = 1, und t E SO(E) , x E E , so bleibt eiX E Co(E) ~ CGo unter C (t ) fest , und es folgt t( x) = (L: aieieix) G(t) = L: ait(ei)eix . Die Transform ation t ist also Linksmultiplikation mit u = L: ait (ei)ei E Co(E). DaB t orthogonal ist , ist nach (7.5) gleichbedeute nd mit uu" = n (u ) = 1. Ist weite r C( t) = iv, also tx = vxv- 1 = vv-"'x, so folgt S N (t) = uu" = vv'" = n( v) mod A x2.

(8.11)

(8.12)

SO(E)

~

{u E Co(E) I n(u) = I},

S N (t ) = n (v ) mod A X2

(8.13)

falls

t (x ) = vv -"'x,

Spin(E) ~ {v E Co(E) I n( v)

= I} .

Letzteres folgt unmi ttelbar aus der Definition (8.9). Der Homomorphismus Spin (E) ---t SO(E) wird durch v ---t vv -'" = v 2 = u gegeben. Ist E frei vom Rang 3 und halbregular , so hat ten wir beim Beweis von (6.20) gesehen, daB E = {x E C1(E) I x + x = O} = {x E C1(E) I x · = x } ist . Ftir u E Co(E) X, uu' = a E A X gilt dann (8.14)

Spin(E) = {u E Co(E) I uu: = I}.

Auch fur regular e Moduln vom Ran g 4 gilt noch die Gleichung (8.14), da man au ch hier mit (6.25) und den Ergebnissen aus §7 die Char akterisierung

beweisen kann .

Anmerkungen zu Kapitel II Clifford-Algebren tragen ihren Namen nach W.K. Clifford (1845-1879) , der sie, wie au ch R. Lipschitz (1832-1903), tiber dem Grundkorp er lR betrachtet . Siehe dazu den amtisanten "Brief aus dem Hades" R. Lipschitz , Correspondence, Ann. of Math. 69 (1959), 247-251 = A. Weil, Oeuvres Sci. , vol. II, Appendice II. Fiir den Satz (5.12) ste ht bei Bourbaki , A lqebre, Chap. 9, §9 ein anderer Beweis, der auch dann noch eine Aussage tiber die Modul struktur von C (E ) liefert, wenn E nicht frei ist.

III. Witt-Gruppe und Invarianten quadratischer Formen

Wegen des Wit tschen Kiirzungssatzes bett et sich die Halbgruppe der Isometrieklassen quadratischer Raum e mit der orthogonalen Summ e als Verkniipfung in eine Gruppe ein, die sogenannte Witt-Gruppe des Korpers. Genau er gesagt erhalt man die Witt-Gruppe, indem man aus der genannte n Gruppe noch die hyp erbolis chen quad ratischen Raume herausfaktorisiert. Die klassischen Invarianten quadratischer Formen, namlich die Diskriminante, die Invari ante von Arf und die Invari ant en von Minkowski, Hasse und Wit t , ebenso auch die Signaturen fiir Anordnungen des zugrundeliegende Korp ers, konnen aile als Homomorphi smen auf der Wit t-Gruppe oder geeignete n Untergruppen aufgefaBt werden . Dieses wird im folgenden Kapi tel ausgefiihrt bis hin zu konk reten Formeln fur die Invar ianten niedrig-dimensionaler sowie orthogonal zerlegter quadratischer Ra ume.

9 Die Wittsche Gruppe (9.1) Fiir quadratische Modu ln iiber einem Ring A definieren wir eine A.quivalenzrelation, indem wir genau dann E 1 ,..., E 2 setzen, wenn es hyperbolische A-Moduln H 1 ,H2 gibt mit E 1 .L H I ~ E 2 .t. H 2 • Die Klasse zu E aquivalenter Modu ln sei mit [E ] bezeichnet . Ist A Korper, E i = F i .L G, mit ind (Fi ) = a und G i hyp erb olisch, i = 1,2 , dann ist E 1 ,..., E 2 gleichbedeutend mit F 1 ~ F 2 . Aus F 1 ~ F 2 folgt namlich E 1 .l G 2 ~ E 2 .l G 1 und daher E 1 ,..., E 2 . Gibt es andererseits hyperb olische Moduln H i mit E 1 .L H I ~ E 2 .L H 2 , so ist F 1 .l (G 1 .l Ht} ~ F 2 .L (G 2 .l H 2 ) , also F 1 ~ F 2 nach (3.9). (9.2) Definition W(A) sei die Menge der A.quivalenzklassen regularer quadratischer A-Moduln. Dur ch [E] + [F] = [E .L F] wird W( A) zu einer kommutativen Gruppe, deren neutrales Element die Klasse der hyperb olischen Moduln ist , und in der wegen (2.24) [-1 E] invers zu [E] ist . W(A) heiBt die Witt -Gruppe von A .

(9.3) Ist jeder pro jektive A-Modul frei, z.B. wenn A ein Kerp er ist, so bilden die Klassen von Moduln von geradem Rang eine Unt ergrup pe WI (A) von W(A) . Da es im Faile 2 t/:. A X keine regular en Modu ln ungerader Dimension gibt, induziert die Zuordnung [E] ---t rang E mod 2 = e(E ) Isomorp hien M. Kneser, Quadratische Formen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

42

III. Wit t-Gruppe un d Invariant en quadrat ischer Formen

W/Wl ~

{

Z /2Z 0

falls

(9.4) A sei ein algebraisch abgeschlossener Korper . Dann hat jeder regulate Raum einer Dimension 2:: 2 positi ven Ind ex. Sind namlich e und f Basisvektoren , so ist fiir q(e) = 0 die Behauptung klar. Andernfalls hat die Gleichung q(xe + J) = x 2 . q(e) + x . b(e, J) + q(J) = 0 eine Losun g, Also gibt es einen von 0 verschiedenen singularen Vekto r. Damit ist klar , daf W i = {O} und

falls cha r A

=2 ist . (9.5) 1st A = lR, E = 1.~(1) 1. 1. ~(-1) , so kann man H = (1) 1. (-1) so oft als hyperb olischen Modul abspalte n, daf E ,...., 1. ~- s (1) wird, falls r 2:: s, und E,...., 1. ~- r(-1), falls r ~ s ist. Nach (3.9) hangt die Zahl a (E ) = r - s nur von E, nicht von der gewahl ten Zerlegun g abo Sie heiBt die Signatur von E und definiert einen Isomorphismus a:

W (lR)

[E]

--t --t

Z a(E)

Diese Beobachtung gilt allgemeiner fur angeordnete Korp er , in denen jedes positive Element ein Quadrat ist . (9 .6) Gelegentli ch wird auch das Paar (r, s) als Signatur von E bezeichnet , was keinen Anlass zu Verwechslun gen geben diirfte.

10 Diskriminante und Arf-Invariante In diesem und dem folgend en Par agraphen wollen wir Invariant en quadratischer Formen aufste llen, die zur Klassifikation nut zlich sein konn en , Dab ei wollen wir es nach Moglichkeit so einrichte n, daf im Sinne von (9.1) aquivalente Formen gleiche Invar ianten erhalte n, daf wir also die Invari anten auch fiir die Elemente der Witt-Gruppe W(A) definieren konn en. 1st E ein freier A- Modul mit Basis {el , .'" en}, so hatten wir bereits in (1.13) die Invariante det E = d(el, . .. ,en) mod A x2 eingefUhrt. Da d(el, e2) = -1 ist fur eine hyp erb olische Ebene H = Ael + Ae2' erftillt sie noch nicht die oben geste llte Forderung. Wir definieren daher (10.1) Definition 1st E ein freier A-Modul mit Basis {el , . .. ,en }, n oder 2m + 1, so heiBt die Klasse

= 2m

10 Diskriminante und Arf-Invari ant e

43

die Diskrim inante von E. Wenn n ungerade ist , so nennen wir

die Halbdiskriminante von E. 1m Sinne von (9.1) aquivalente Moduln haben die gleiche Diskriminante bzw. Halbdiskriminante; in ungerader Dimension gilt d(E ) = 2d'(E ). Die EinfUhru ng des Vorzeichenfakto rs (_ l)m hat neben dem erwa hnten Vorteil den Nacht eil, daB die volle Multiplikativitat (1.11) und (2.14) veriorengeht . Immerhin gilt noch (10.2) falls der Ran g von E I gerade ist . (10.3) Die Vorzeichen (_ 1)m t raten auch bei der Best immung der Zent ralisatoren in (7.9) auf. Set zen wir einmal prov isorisch d" (E ) = C(E)CoCE) , so ent nimmt man diesen Er gebnissen, daf d(E) bzw. d'(E ) durch d" (E) eindeutig bestimmt sind. Umgekehr t gilt nach (7.9b) in leicht verstandlicher Schreibweise d" (E ) ~ A [J d'( E )] und nach (7.9a) fur regular e Raum e gerader Dimension d" (E) ~ A[Jd(E )] fur Korp er A der Cha ra kterist ik f 2, da dann mit z , ZCl auch 1 = z + ZCl, Z - ZCl eine Basis von d" (E ) ist . Fur Korper der Ch ar akteristik 2 ent ha lt d(E) aber weniger Inform ati on als d"(E ), da fiir regulare Raume dann ste t s d(E) = 1 ist , aber nicht alle vorkomm end en Algebren d" (E) isomorph sind. Wir versuchen dah er , d"(E) zu einer Invariante zu machen , mit der sich moglichst eben so gut wie mit d(E) rechnen laBt. (10.4) Wir betrachte n quadratische Algebr en B = A [X] j (X Z - aX + b) = A + A z , z die Restkl asse von X , mit Standardin volution I : z -t Z = a - z. Wenn a Z - 4b in A x liegt , so nenn en wir B sepa rab el und definieren das Produkt zweier solcher Algebren B I ,Bz durch B I oB z = {x E B I 0Bz I X"Yl l8i l = x l l8i "Y2 } . Man kann leicht zeigen, daf die Isomorphieklassen sepa rabler quad ra tischer Algebren mit dieser Multiplikation eine Gruppe Q(A) bilden, in der jedes Element sich selbst invers ist (siehe z.B. [B], Chap . II oder [K], Cha p. III, §4). Wir wollen das hier nur fur solche Algebren nachpriifen , bei denen der Koeffizient a des linearen Gliedes 1 ist. 1st also B, = A [X ]j(X Z - X + bi) , so zeigt die im Beweis von (7.8) durchgefUhrte Rechnun g, daf B I 0 B z ~ A[XJI(X Z - X + b) mit b = b: + b: - 4bI bz, 1- 4b = (1- 4bl)( 1 - 4bz) E A x ist . Neutrales Element ist also B o = A[X]j(X Z - X) ~ A x A mit kornponentenweiser Verkniipfung. Let zteres gilt, weil das Element (1,0) mit 1 zusammen eine Basis von A x A bildet und der Gleichung X Z - X = 0 genugt , Eb enso bildet (1 - c, c) mit 1 eine Basis, falls 1 - 2c E A x, und es folgt B o ~ A [X JI(X Z - X + c - CZ) . 1st nun B = A[XJI (X Z - X + b) mit 1- 4b E A x, so folgt BoB = A [X ]j (X Z - X + 2b - 4bZ ) = B o wie behau ptet .

44

III. Wi t t-Gruppe und Invari ant en quadrat ischer Form en

(10.5) Definition Es sei A ein lokaler Ring. Fiir einen regular en quadratischen A-Modul E bezeichnen wir mit dl/(E ) die Klasse in Q(A ) des Zentralisators C (E )Co(E) und nennen sie die Diskrim inantenalgebra von E. Ist A ein Korp er der Char akteristik "# 2, so bestimmen sich dl/(E ) und d(E ) nach (10.3) umkehrbar eindeutig. Die Aussage (10.2) ents pricht wegen (7.8) und (7.9). (10.6)

dl/(E I .1 E z ) = dl/(Ed dl/(E z )

falls der Rang von E I gerade ist . Da ftir eine hyperboli sche Eb ene dl/(H) = B o ist , hangt dl/(E) nur von der Klasse von E in W(A) ab, und wir hab en einen Homomorphi smus dl/ : WI (A) -+ Q(A) . Der Kern heiBe W z(A). Da dl/ ersichtlich surj ektiv ist , gilt WI(A)/Wz(A) 2:: Q(A) . Wir wollen noch versuchen, auch fur Korper K der Char akteristik 2 die Algebra d" (V ) durch eine einfachere Invari ante zu beschreiben. Dazu st ellen wir fest , wie gena u b in diesem Fall durch B bestimmt ist. Ersetzen wir z durch UZ +V, u,v E K , so geht z +z = 1 iiber in u(z +z) + 2v = 1, wegen 2 = 0 also u = 1. b = zz wird da her ersetzt durch (z + v)(z + v) = b + VZ + v = b + pv mit pv = VZ + v . Die Gruppe der Algebren ist also isomorph zur additiven Gruppe K / pK, und wir identifizieren gelegentlich die beiden Gruppen, so z.B. in (10.7) Definition. Die Arf-Invariante d/l/ (V) eines regularen Raumes V iiber einem Korper K der Char akteristik 2 ist das Bild von dl/(V) unter der Abbildung K[X ]/(X z - X + b) -+ b mod pK. Ist zum Beispiel V = .lVi , Vi = K eZi-1 d/l/ (E i ) = q(ezi-dq(eZi) nach (6.11), also (10.8)

dl/I(V)

+ K eZi,

b(eZi-l , eZi)

= 2: q(e2i-I)q(eZi) mod

= 1, so wird

pK.

Dies ist die klassische Arf-Invari ante, wie sie in [A] definiert ist.

11 Die Invarianten von Minkowski, Hasse und Witt In diesem Abschnitt wollen wir mit Hilfe der Clifford- Algebr a eines regular en quadr atischen Raumes eine Invari ante auf der Wit t-Grupp e definieren, die sogenannte Wit t-Invariante. Dab ei wird als Grundring ein beliebiger Kerper K

11 Die Invarianten von Minkowski, Has se und Witt

45

zug ru ndegelegt . Die Witt-Invariante nimmt ihre Werte in der Brauer-Gruppe von K an, die aus Aquivalenzklassen gewisser Algebren besteht. Auf der Unt ergruppe der Formen gerade Dimension und Diskriminante 1 ist die WittInvariante ein Gruppenhomomorphismus. Wir stellen zunachst die wichtigsten Tatsachen tiber zentrale einfache AIgebren und die Brauer-Gruppe eines Korpers zusammen. Details findet man z.B. in [Sch] oder [K] , Chap. III, §4. Eine K-Algebra B heiBt einfach wenn {O} und B die einzigen zweiseitigen Ideale in B sind . Sie heiBt zentml, wenn ihr Zentrum gleich Kist. Man weiB, daf das Tensorprodukt von zwei zentralen einfachen K-Algebren wieder einfach ist . Zwei zentrale einfache Algebren B und C heissen Bmuer-iiquivalent , wenn volle Matrixalgebren Mr(K) und Ms(K) exist ieren mit B 0 Mr(K) ~ C 0 Ms(K). Die Brauer-Aquivalenzklassen von zentralen einfachen Algebren bilden mit der vom Tensorprodukt induzierten Verknupfung eine Gruppe, die Bmuer-Gruppe von K . Vorbereit end zur Definition der Witt-Invariante behandeln wir zunachst die Struktur der Clifford-Algebra eines zweidimensionalen quadratischen Raumes.

(11.1) Satz 1st V zweidime nsionaler reguliirer quadmtischer Raum iiber ein em Kerper K , so ist C(V) zentm l und einfach. Beweis. Sei 1# {O} ein zweiseitiges Ideal in C. Ein Element x E I, x # 0, schr eib e man als x = Xo + X l , Xo E Co , X l E C I . Ohne Einschrankung konnen wir X l # 0 annehmen; ist das nicht der Fall , so konnen wir es durch Multiplikation mit einem invertierbaren Element aus C l (V) = V erreichen . Mit den tiblich en Bezeichnungen gibt es ein Z E Co mit (zQ: - z )2 # O. Dann ist I :3 xz - zx = X1Z - ZXl = (z" - Z)XI' Weiter ist (zQ: - Z)2 Xl E I , also auch Xl E I. Da V regular ist , findet man y E V mit I :3 X1Y + yXl = b(Xl' y) # O. Also ist 1 E lund daher I = C. Aus (11.1) und (7.14) folgt, daf C(V) einfach ist , falls V regular und dim V gerade ist , denn das Tensorprodukt von zentralen einfachen Algebren ist einfach . Ist Heine hyp erbolische Eb ene, so ist d(H) = 1, daher C(Vl ..L H) = C(Vd 0 C(H) = C(Vt} 0 M 2(K) na ch (7.12) und (6.17) . Die Klasse von C(V) in der Brauer-Gruppe Br(K) hangt also nur von der Klasse von V in W(K) abo Ist V halbregular von ungerad er Dim ension, V = W ..L K e, mit regularem W und q(e) = a E K X, so ist Co(V) = C(- aw) nach (5.14) . In diesem Fall bezeichnen wir mit c(V ) die Klasse von Co(V) in Br(K). Wieder hangt diese nur von der Klasse von V in W(K) ab o

(11.2) Definition Filr regulates V von gerader Dim ension heiBt die Klasse c(V ) von C(V) in Br(K) , fiir halbregulares V von ung erader Dimension die Klasse c(V ) von Co(V) in Br(K) die Witt-lnvariante von V. (11.3) Ist dim V ungerade oder dim V gerade und dll(V) c(V ) fur jedes a E K X • •

= 1, so gilt c(av ) =

46

III. Witt-Gruppe und Invarianten quadratischer Form en

Beweis. Fur ungerad e Dimension folgt dies unmi t telbar aus (5.13) . Fur gerad e Dimension und d" (V ) = 1, also C (V )Co(V) ~ A(X)/(X2 - X ) gibt es mit a aus §6 ein y E C (V )Co(V) mit y ay = a . Die Abbildung x --+ xy von V in C(V) liefert dann wegen (xy )2 = x yxy = x 2ya y = aq(x) nach §5 einen Homom orphismus C(av) --+ C (V ), der wegen der Einfachheit der Clifforda lgebren ein Isomorphismus sein muB. (11.4) 1st dim V1 gerade und entweder dim V2 gerade, d(V1) ungerade, d" (V1) = 1, so gilt C(V1 .L V2 ) = c(vdc(V2 ) .

= 1, oder dim V2

Beweis. Ist auch dim V2 gerad e, so folgt die Behaup tung wegen d(V1) = 1 aus (7.12). Ist dagegen dim V2 ungerad e, V2 = W .L K e mit q(e) = a, so folgt mit Hilfe von (5.14) und (11.4) C(V1 .l V2 )

= c(- aV1 .l

-a w )

= c(-aVd c(- aw) = c(vdc (V2 ) .

(11.5) Zusammengefasst hab en wir in diesem Kapi tel die folgenden dr ei Homomorphismen kennen gelernt.

e : W (K) --+ Z / 2Z

mit Kern

W1 (K)

(§9),

d" : W1( K) --+ Q(K )

mit Kern

W2( K)

(§1O),

c : W2 (K ) --+ Br (K ),

dessen Kern wir

W3( K)

nennen.

Dab ei kann man bei Korp ern der Charakteristik 2 (bzw. -:j; 2) d" durch dill (bzw. d) ersetzen. (11.6) Zur Dur chfuhrung konkr eter Rechnun gen ist es niitzlich, die Zerlegung (7.14) explizit zur Hand zu hab en. Sei also ein regular er Raum gerader Dimension in eine orthogonale Summ e zweidimensionaler Raume zerlegt : E = E 1 .L E 2 .L . . . .L Em , dim E, = 2. Dann ist m

c(E ) =

II c(b E i

i= l

i)

mit bi =

II d(E

j) .

j
Fur m = 2 folgt dies unmittelbar aus (7.12), allgemein durch Induktion nach m unter Verwendung von (7.12) und (10.2). Setzt man diese Formel in (5.14) ein, so ergibt sich eine ents prechende fiir halbregulare Raume ungerader Dimension . (11.7) Urn die Form el (11.6) weiter auszuwerten, erinnern wir an die in §6 angestellte Diskussion zweidimensionaler regularer quadratischer Raume, Ein solcher Raum E hat nach (6.15) die Form E ~ "B , wo B = Co(E) die gerade Clifford-Algebra von E , also eine separable quadratische Algebra (vgl. (10.4)) mit der Norm als quadratischer Form , und a ein beliebiges invertierbares Element aus q(E ) ist. Wir behaup ten:

11 Die Invar iant en von Minkowski, Hasse und W itt

47

(11.8) Fu r a, c E K X , B eine separable quadratische K-Algebra mit Norm n als qu adr atischer Form, gilt in der Brauer-G ruppe c( aB )c( CB ) = c( aCB) .

Insbesond ere ist c( aB )2 = c( a B ) = c(B ) = 1 in Br(K) nach (6.17). 2

Beweis. Wir hab en C( aB) = Co( aB) ffi C I (aB) S:! B ffiBa mit a E c 1( aB ) = = a, xa = ax fur x E B und entsprechend C( CB) S:! B ffi B"/ mit "/ E "B , "/2 = c, y,,/ = ,,/y fiir y E B. In der P roduktalgebr a C( aB) iZl C( CB) S:! (B iZl B ) ffi (Ba iZl B ) ffi (B iZl B ,,/) ffi (Ba iZl B ,,/) finden wir die Unteralgebra (B iZl 1) ffi (Ba iZl ,,/), die wegen (zo iZl "/)2 = xaxa iZl "/2 = acn(x ) fur x E B mittels der Abbildun g x -t zo iZl "/ isomorph zur Clifford-Algebr a C( aCB) wird. Mit B iZl 1 element weise vertauschba r ist B iZl C( cB) = (B iZl B) ffi (B iZl B )(l iZl ,,/) . Dartiber hinau s mit a iZl "/ vert au schbar ist z E B iZl B wenn (a iZl 1)z (a iZl 1)- 1 = (1 iZl ,,/)z( l iZl ,,/) - 1 gilt . Mit den Bezeichnungen aus (10.4) bedeutet das z E BoB = B o. Wegen (z( l iZl "/))2 = z (l iZl ,,/)z( l iZl ,,/) = zz( l iZl "/)2 = cn(z) fur z E B o erhalten wir mit tels der Abbildung z -t z( l iZl,,/) einen Algebrenhomomorphismus von C( CB o) und durch Zusammensetzung C(acB) iZl C( cB o) -t C( aB) iZl C( CB). Da die vorkom menden Clifford-Algebren und ihr e Tensorp rodukte zentral und einfach sind, ist dieser Homomorphismus injektiv, und da beide Seiten gleiche Dimensionen hab en , auch surje kt iv. Nun ist cBo hyp erb olische Eb ene, also c( CB ) = 1 in der Brau er-Gruppe, und so folgt unse re Behau ptung (11.8).

"B, a 2

(11.9) Mit Hilfe der Form el (11.8) konnen wir den Ausdruck (11.6) weit er umform en. Dazu schreiben wir E = .If,;1 E i , E, S:! aiBi, B, = CO(Ei) die gerade Clifford-Algebra von E, mit der Norm als quadrati scher Form und ai ein beliebiges invertierbares Element aus q(Ed. Wir erhalten

c(E)

mit b,

i- I

= I1 dj,

dj

j=1

m

m

m

i=1

i= 1

i=1

= II c( bia'B i) = II c( biB i) II c( a'B i )

= d(E j ) = d(B j ), also c(E)

m

m i- I

i=1

i=1j=1

= II c(aiB i) II II c(d;B i) .

Hier hangt das zweite (auflere) P rodukt scheinba r von der Reihenfolge der Summan den E, in der ort hogona len Zerlegung von E abo In Wahrheit ist das nicht der Fall. Nach (7.12) ist namlich

ciB , .1 B j ) = c(B i)c( diB j) = c(B j )c( d; B i ) und nach (6.17) C(B i) = c(B j)

= 1,

also c( diBj ) = c( d;B i) symmet risch in i und j.

48

III. Witt-Gruppe und Invarianten qu adratischer Form en

(11.10) Bisher waren unsere Uberlegungen so eingerichtet , daf sie auch tiber Korp ern der Char akteristik 2 Gtiltigkeit behielten. Ist jedoch die Charakteristik von 2 verschieden, so konnen wir alle Raurn e ort hogonal in eindimensionale zerlegen und damit den Ausdruck (11.9) in eine symmet rischere Gest alt bringen. Dazu definieren wir fur a, bE K * das Quaternionen-Symbol (a, b) auch (7l- ) wenn der Grundkorp er K hervorgehoben werden soll - als BrauerKlasse der Clifford-Algebra des Raumes [a, b], also

(a, b) = c([a, b]) . Wir ben6tigen die folgenden Rechenr egeln:

(a, b) = (b, a), (au 2,bv 2 ) = (a,b), (a, -ab) = (a, b), insbesondere (a, a) = (a, -1) = (-1, a), (ab, c) = (a, c)(b, c), (a, bc) = (a, b)(a, c), (1, a) = (a, 1) = 1, wobei die letzte 1 - wie auch spate r in ahnllchen Fallen - das neutrale Element der Brau er-Gruppe bezeichnet. Die erste Zeile folgt unmittelbar aus der Definiti on. Fur die zweite bet rachte n wir die beiden bina ren Raum e

[a,b] = K e.l Kf und [a, - ab] = K e.l Kg mit q(e) = a, q(f ) = b, q(g) = -ab und die dur ch xe + yg -+ xe + yef gegebene Abbildung von [a , - ab] in C ([a, b), die sich wegen (xe + uei? = ax 2 - aby 2 = q(xe + yg) zu einem Algebr en-Homomorphismus C([a, - ab]) -+ C([a, b] fortsetzen laBt. Da die beiden Clifford-Algebr en einfach sind und gleiche Dimension hab en, ist dies ein Isomorphismus. Urn schlieBlich die erste Formel der dritten Zeile zu beweisen, set zen wir B = [1 , -c], und hab en dann (a, c) = (a, - ac) = c( aB ). Entspr echend wird (b, c) = c( bB ), (ab, c) = c(abB ), und die Behaup tung folgt nach (11.8). (11.11) Von jetzt ab setzen wir cha r K i' 2 voraus und denken uns alle Raum e aus (11.9) als ort hogonale Summ e eindimensionaler geschrieben, etwa E = .ly,;IEi , E, = [ai, cd, B , = [I, aici], dj = d(B j) = - ajCj , c(aiB i ) = (ai, Ci), c( diB i ) = (dj, - djdi ) = (dj ,di) = (ajcj , aici )(-I ,ajaicjci)(-I ,-I). Damit wird m

c(E ) =

II i= l

m

(ai, ci)·

i- I

II II i= l j=l

m

(ajCj ,aici)·

i- I

II II (-I ,ajaicjci) ·(-I ,-I)

m(m - l) 2 •

i =l j = l

Urn die Unsymmetri e zwischen den aj und Ci zu beseitigen, set zen wir Ci = = 1, . .. , m und losen die vorkommenden Quaternionen-Symb ole in einzelne Faktoren (aj , ai) bzw. (-I , ai) auf. Die ersten beiden Produkte liefern dann wegen der Symmetrie (ai, aj ) = (aj, ai ) als Beitrag gerade alle Faktoren (aj , ai) mit 1 ::; j < i ::; 2m. Das dritte Produkt liefert jeden Faktor (-1 , ai) mit 1 ::; i ::; 2m genau (m - I)-mal, und wir erhalte n a i+m fiir i

Anmerkungen zu Kapit el III

49

c([al,a2, .. . ,an ]) = ll (aj , ai)' (- I ,l l air · (-I ,-ly j
(11.12)

. n -- 2m , r -- m - 1,s -mit

Ist ande rerse its n = 2m

m(m - l) 2

•

+ 1 ungerad e, so wird

c([al' a2, . . . ,a2m, a2m+r] )

= =

c(-a 2 m + 1 [al, . .. ,a2m]) c([-a2m+lal, " " - a2m+la2m]) nach (5.14).

Rechnet man dies nach (11.12) aus, so erhalt man die (11.12) ents prechende Form el, jetzt abe r mit n = 2m + 1, r = m, S = m(~+l). (11.13) Wir wollen noch die Wit t-Invariante c(V) fiir Raum e V tiber ~ berechnen. Schon in (11.2) haben wir uns tiberlegt , daf c(V) nur von der Wit t-Klasse von V, also von der Signatur u(V) abha ngt , Tatsachlich kommt es nur auf deren Wert modulo 8 an. Schreiben wir namlich In = ..If(I) , so wird c(IO ) = C(± l Ir ) = 1, da C(Io ) = CO(±l Ir ) ~ ~, c(h) = 1, C(-l h ) = (-1 , -1) i= 1 nach (6.17), mit dem oben eingefiihrten Quatern ionen-Symbol (a,b) = (aJRb) ; weiter c(I4) = c(I2..lh ) = c(h )C(- l I 2) = (- 1,- 1) un d C(±l Is) = C(± l I 4..l±114 ) = c(±114 ) 2 = 1, beides nach (7.12); schlieBlich c(±lIsn..lI m) = c(±l Is)nc( I m) = c(Im) nach (11.4). Es folgt

c(V ) = 1, falls u(V) == -1 ,0 ,1 oder 2 mod 8,

= I 4..lV , u( W) = 4 + u(V),c(W) = (- I , - I)c(V), c(W ) = (-1 , -1) i= 1, falls u (W ) == -3, -2 , 3 oder 4 mod 8.

und mit W

Anmerkungen zu Kapitel III Die Wittsche Gruppe erscheint erst mals in [W]. Sie hat sich als wichtiges Hilfsmit tel zur Untersuchung quadratischer Formen erwiesen. Arf [A] definiert seine Invari ante durch die Formel (10.8), hat dann abe r nachzuweisen, daf der definierende Ausdruck von der Wahl der Basis unabhangig ist. Zu dieser Frage gibt es im Band 198 des J ournal fiir die reine und angewandte Mathematik drei kleine Noten. Die Definition der Wit t-Invari anten hat eine etwas kompliziertere Geschichte. Sie beginnt mit einem Brief von Minkowski an Hurwitz, Uber die B edingung en, unt er welchen zwei quadratische Form en mit rationalen K oefjizienten ineinander rational transformiert werden kiinnen, J . reine angew. Math. 106 (1890), 5- 26 = Ges. Abh. I, 219-239, in dem er jeder rationalen quadratischen Form ein System von Invarianten Cp = ±1 zuordnet (fiir jede Primzahl eine). Mehr als dreiBig J ahre spater hat Hasse [H] mitte ls Hilbertscher Normrestsymbole (¥) der rationalen quadratischen Form

50

III. Witt-Gruppe und Invari anten quadratischer Formen

f = [al, a2, . . . ,am ] die Einheit en cp = cp(f) =

11 (aj,a

j~i

p

i

)

zugeo rdnet und

gezeigt, daf die C p un d cp sich gegenseit ig eindeutig bestimmen . Man beachte die form ale Ubereinstimmung des Ausdru cks cp mit der rechten Seit e von (11.12), wenn man dort (a , b) als Normsymb ol interpreti ert un d r = 1, S = 0 setzt . Diese Bem erkung veranl asste Artin in einer Vorlesung die Produkte 11 (aj,ai) mit Quaternionen-Symb olen (aj,ai ) heranzuziehen. Auf Witt j~i

[W] schliel3lich geht die Verwendung der Clifford-Algebr en zuriick. Die hier geschilderte Entwicklung hat zur Folge, daB verschiedene Au toren ahnliche Invarian t en definier en , die form al wie (11.12) aussehen, sich aber in der Definiti on der Syrnb ole (a, b) und der Exp onent en r , s unterscheiden , und diese dann mit unt er schiedlichen Kombinationen der Namen Minkowski , Hasse, Wi t t , Clifford belegen.

IV. Quadratische Formen fiber endlichen Korpern

Die Theorie quadratischer Formen iiber endlichen Korp ern ist dadurch besonders einfach, daf ein endlicher Kerp er K der Cha rakteristik ungleich 2 lediglich zwei Quad ratklassen ent halt und dementspr echend ein quadratischer Raum vom Witt-Index 0 iiber K hochstens die Dimension 2 hat. Let zteres gilt auch fur Korp er der Char aktersitik 2. Die Bestimmung der Witt-Gru ppe von K im ersten Abschnitt dieses Kapitels ist eine unmittelbar e Folgeru ng. Im zweiten Abschnitt werd en einige Anzahlb estimmungen durchgefiihrt. Erste ns werd en Darstellungsanz ahlen bestimmt, also die Anzahl der Vektoren mit fest em Formwert, und zweitens die Ordnung der orthogonalen Gruppe eines quadratischen Raum es iiber einen endlichen Korp er. Letztere ergibt sich mittels des Forsetzungssatzes von Wit t per Indukti on aus den Darstellungsanza hlen. In diesem Kapi tel sei K ein endlicher Ker per der Charakte ristik p mit q = pn Elementen, also Zerfallun gskorp er von X" - X iiber Z jpZ.

12 Klassifikation (12 .1) Sei Vein quadratischer Raum iiber K , dim V = 1, mit der quadrat ischen Form q(x) = ax 2 , a E K X • Die Isomorphieklasse von q ist durch die Klasse von a mod K x 2 bestimmt. Es ist p=2

falls denn der durch x -+ x 2 gegebene Homomorphismus hat den Kern {±1}. Uber endlichen Korp ern gibt es also nur einen oder zwei halbr eguliire eindimensionale Raume. (12.2) A.hnlich einfach ist die Klassifizierung der reguliiren zweidimensionalen Riiume. Sei Vein regular er Raum , dim V = 2. Ist ind(V) = 1, so ist V hyperbolische Ebene. Fiir ind(V ) = 0 hat q(x ) = 0 nur die Losung x = O. Wegen der Isomorphie (E , q) ~ (Co, a·n), (6.15), hat dann auch n( x ) = 0 nur die t riviale Losung. Also ist fur ein von Null verschiedenes x E Co auch xx ¥- O. M. Kneser, Quadratische Formen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

52

IV . Quadratische Form en tiber endlichen Korp ern

Da xx in K liegt, ist jedes von Null verschiedene Element in Co inver tierbar. Co ist also ein Korper. Da Co auch zweidimensionaler Vektorraum tiber K ist , ist Co = B der Korp er mit q2 Element en. a ist bis auf Multiplikat ion mit der Norm eines Element es aus B bestimmt. Nun ist jedoch n( B X ) = K X • Da x = x q ist , best eht namli ch der Kern der Norm-Abbildung

n

: BX x

--+ --+

K

X

xx

= x q +1

aus den Losungen von x q +1 = 1. Der Kern hat also hochst ens q+ 1 Elemente, das Bild dah er mindest ens 9:'+11 = q - 1. Wegen n( B X) ~ K X gilt iiberall Gleichh eit . Man kann dah er a = 1 wahl en und sieht , daB auch in diesem Fall V bis auf Isomorphie eindeut ig bestimmt ist. (12.3) Jeder Raum einer Dimension g 3 ent halt einen von Null verschiedenen singularen Vektor. Beweis. Man schr eib e V als orthogonale Summe von ein- oder zweidimension alen Unterraumen Vi, V = VI ..1 V2 ..1 . . .. Verschwind et q auf keinem der Summanden , so sei V = W ..1 W' , W zweidimensional und regular oder falls char A = 2 ist , au ch eindimensional. Zu y' E F' , y' ¥ 0, gibt es dann nach den vorhergehenden Ub erlegungen ein y E F mit q(y) = -q(y' ). Dann ist y + y' ¥ 0, aber q(y + y') = q(y ) + q(y') = O.

(12.4) Satz Jeder Raum V laflt sich schreiben als V = VI ..1 V2 ..1 V3 mit Witt-In dex ind (Vd = 0 und Dim ension dim VI ::; 2, VI regular oder halbregular, V2 (eve ntuell leere) orthogonale Summe von hyperbolischen Ebenen,

q(V3) = O.

Beweis. Fur char K ¥ 2 ergibt sich das unmitt elbar aus (1.20), (3.9) un d (12.3), ftir char K = 2 aus (2.15), (3.9) und (12.3) . Ftir den Res t des Kapitels wird V3

= {O} sein, d.h. V regular oder halbregular,

(12.5) Mit Hilfe von (12.4) lassen sich die Invari ant en von quadratis chen Formen tiber endlichen Korpern leicht berechnen. Ist VI = {O}, V = V2 = H ..1 . . . ..1 H , dim V = 2m , so ist d"( V ) = 1, also die Diskriminante d = 1, bzw . die Arf-Invariante dill = O. Ftir dim VI = 2, V = VI ..1 H ..1 ... ..1 H ist dann d" (V) ¥ 1 nach (6.16), also die Diskriminan t e d ¥ 1 bzw. die ArfInvariante d'" ¥ O. Genauer ist in diesem Fall entweder char K ¥ 2 und VI

~

(1) ..1 (a), -a kein Quadrat oder char K

= 2 und

VI

~

[1

~]

mit

x I x E K}. Vollst andig bestimmen laBt sich auch die Witt-Gruppe eines endlichen Korp ers. Mit den Bezeichnungen aus §9 ist WI (K) ~ 7L, /2 7L" da die Raume gerader Dim ension in die Klassen mit dim VI = 0 und dim VI = 2 zerfallen . AuBerdem gilt a¢:.{ x 2 -

W(K) /WI(K)

~{

0 7L, /2 7L,

fiir char K

=2

13 Anzahlbestimmungen

53

Zur endgiilt igen Klarung der Struktur von W (K ) bestimmen wir die Ordnung von (1) in W (K ). Als Moglichkeit en fur die Ordnung komm en nur 2 ode r 4 in Frage. Die Ordnung ist genau dan n 2, wenn (1) ..1 (1) hyp erb olisch, also (1) ..1 (1) ~ (1) ..1 (-1) ist. Das ist gleichbede ute nd mit (1) ~ (-1) , also -1 E K X2. Nun ist K x 2 eine Gruppe mit ~ Elementen und ( -1) ~ = 1 genau dann, wenn q == 1(4). Als Resultat ergibt sich

W (K ) ~

Z / 2Z (Z/2Z)2 { Z /4Z

falls

q q q

== 0(2) == 1(4) == 3(4)

13 Anzahlbestimmungen (13.1) Fur einen regular en oder halbregular en quadr atischen K -Vektorraum V und t E K t reffen wir folgend e Definiti onen: a(V, t) a*(V, t) = s (V )

=

#{ x E V I q(x ) = t} #{ xE Vlq (x )=t , x~E.i }

#{ x E V I q(x ) = t , x scharf primit iv} a*(V, O)

s(V ) bezeichn et also die Anzahl der singularen scharf pr imitiven Vekt oren in V . 1st dim V = n, so wollen wir versuchen , fiir Seine Rekursionsform el zu gewinnen, ind em wir die Zerlegung au s Satz (12.4) ausnut zen. Den Vektor x ' E V ' = V ..1 H , H = Ah 1 + A h 2 die hyp erb olische Ebene, schreiben wir in der Form x' = y +z, Y E V, Z = zl h 1 + Z2h2 E H ; dann ist q(x' ) = q(y)+ Zl Z2. Dar au s folgt die Formel S(V ..1 H)

= 2(q -

1) + s(V )(2q - 1) + (qn - s(V) - l )(q - 1).

Der erste Summand ergibt sich fur y = 0, da dann ein beliebges Z l = 0 und Z2 entweder von Null verschiedenes Element aus K sein kann, entsprechend ftir Z2 = O. Der zweite Summ and erledigt den Fall y =j:. 0, aber q(y) = O. Fu r y hat man nach Definition von S genau s(V) Moglichkeite n, in Z muf mindstens eine Komponent e 0 sein, also 2q - 1 Moglichkeit en fur z . F ur aIle tibrigen y , also q(y ) =j:. 0, gibt es zu gegebenem Z l =j:. 0 genau ein Z2 mit Zl Z2 = - q(y ). Dah er der letz t e Summand. Also ist

S (V ..1 H)

= q . s(V) + (qn + l)(q -

1).

Schr eibt man inn erhalb einer Klasse von Raumen, die sich nur urn hyp erbolische Ebenen unterscheiden , s(V) = an, so erhalt man die Rekursionsform el

an+2 - qn+l

+1=

q(a n - qn- l

+ 1).

54

IV. Quadratische Formen tib er endlichen Korp ern

Ftihr t man die Rekursion so weit wie moglich durch (bis V kein H mehr abspalte t), so folgt an - qn-I + 1 = C . qn/ 2 mit einer Konstanten c. Zur Bestimmung von c unterscheiden wir dr ei Falle: 1)

dim V = n = 2m ,

V hyperb olisch, V ~ H 1.

2)

dim V = n = 2m ,

.. . 1.H

V nicht hyperboli sch, V~W1.H 1.

3)

dim V = n = 2m

+ 1,

V

~

[a] 1. H 1.

1.H 1. H .

Im Falle 3) ist al = 0, weil es dann keine scharf primitiven singularen Vektoren gibt. Daraus folgt sofort c = 0 und s(V) = qn-I - 1 = q2m - 1. Fur den Fall 1) ist ao = Dann ist c = ~ ) und s(V) = q2m- l_l +qm _qm-I =

O.

(1 -

Bleibt 2). Hier ist a2 = 0 und dah er c = (~ ergibt sich s( V ) = q2m-1 - 1 - qm + qm-I = (qm + I )(qm-I - 1). (qm _ 1)(qm-1

+ 1).

-

1) . Es

(13.2) Die anderen Darstellungsan zahlen berechnen sich jetzt wie folgt : Es ist a (V , 0) = s (V) + 1, weil nur der Nullvektor hinzukommt. Gilt tE ~ V mit t -:j:. 0, dann ist a(E , t ) = a(E , 1). Mit Hilfe der Klassifizierung im vorigen P aragraphen sieht man leicht , da f die Vorau ssetzung in den Fallen 1) und 2) immer , im Fall 3) fur cha r K = 2 erftillt ist. Wegen der Gleichverteilung der Dars tellun gen ist dann natiirlich a(V, t ) = qn - a(V , 0) . q-I

Weiter ist a*(V, t) = a (V, t ), falls V regular ist , a* = a - I, falls V halbregular , cha r K = 2; letzteres, weil der Vektor aus dem halbregular en Ant eil, der t dar st ellt , in V.l liegt . Der Rest des Falles 3) wird am En de des P ar agraphen erledigt werd en . (13.3) Nachst es Ziel soll die Bestimmung der Ordnung der ort hogonalen Gruppe sein. Bezeichnet weit er n die Dimension von V , so wollen wir wieder eine Rekursionsforme l herleiten. Zunachst ist V 1. H = V 1. (Ah l + Ah 2 ) , q(h i ) = 0, b(h l , h 2) = 1. Dann gilt IO(V 1. H)I = s(v 1. H) . #{u E O(V 1. H)luh l = hd : Man zerlege O(V 1. H) nach der Untergru ppe, die hI festlaflt . Da man als Bild von h I nach dem Wittschen Satz (3.4) einen beliebigen scharf primiti ven singularen Vektor vorgeben kann , ergibt sich obige Gleichheit . Nun ist weiter #{ u E O(E 1. H ) I uli , = hd = #{h~ E E 1. H I q (h~ )

= 0, b(h l , h~) = I} · I0 (V )I

In diesem Schrit t hat man die Fix gruppe von h I nach O(V ) zerlegt. Es ergebe n sich fiir das Bild h~ von ha die notwendi gen Bedin gun gen q( h~) = 0,

13 Anzahlbestirnrnungen

55

b(h i , h~) = 1; wiederurn nach Witt kann man h~ mit diesen Beschrankun gen vorgeben und ein u E O(v ..L H) finden mit uli, = h i , uh 2 = h~. Daher die Gleichheit. Welche Moglichkeiten hat man fiir h~ ? Sei h~ = e + ali, + bh 2. Dann folgt 1 = b(h i , h~) = b und weiter 0 = q (h~) = q(e) + ab = q(e ) + a. Fur e hat man qn Moglichkeiten, a ist dann fest gelegt. Also ist IO(V ..L H)I = s(v ..L H) . q" . IO(V)I. J etzt kann man aIle drei Falle dur chgehen:

1) IO(V)1 q (n-i )+ (n- 2)+ .. ·+l

=

(I _ q-m)(1 + q-(m-i ))(I _ q-(m-i )) . . . (1-

2 . q n(n2-1) (1 - q- m)

II (1 _ q- 2i ).

q-i).

2

2i
Das folgt durch Eins etzen und geeignetes Zusammenfassen. 2)

Zunachst ergibt sich

IO(v)1

= q(n- i )+...+2(1 + q- m)(I _ q- (m-i )) . .. (1 + q- 2)( I_ q-i) ' IO( W) I.

Nun ist W zweidimensional mit der Normform. Nach (8.11) ist dann ISO(W)I gleich der Anzahl der Element e der Norm 1 in der quadrati schen Erweiterung von K , also gleich q:~ii = q + 1. Dann ist IO(W) 1= 2· (q + 1). Als Ergebnis finden wir IO(V)1 = 2 . q n(n2- 1 ) (1 + q- m) (1 _ q-2i )

II

2i
3)

Analog zu Fall 2) ist

IO(V)1

=

q (n- i )+ .. ·+l

=

2. q n(n2-

l)

(1 _ q-2m)(I_ q-2(m-i)) . . . (1 - q-2) . {

II (1 _ q- 1),

i

char K:j:. 2 sonst

2'

2i
wobei der Faktor 2 nur im FaIle char K :j:. 2 ste ht . Urn die Unterscheidung nach der Char akteristik des Orun dkorp ers zu vermeiden, formulieren wir das Ergebnis wie folgt :

(13 .4)

ISO(V)I

=q

n(n2-1) •

II (1 -

q- 2i) . C

2i
mit c = (1 - q-m ) bzw. (1 + q- m ) falls V regular , dim V = n = 2m und V hyperbolisch bzw. nicht hyperb olisch ist , und c = 1 fur halbr egular es V der Dimension n = 2m + 1.

(13.5) Es fehlt noch die Betracht ung der Darstellungsanz ahlen von t :j:. 0 im FaIle char K :j:. 2, dim V = n = 2m + 1. Schreiben wir

56

IV. Quadrat ische Formen tiber endlichen Korpern

E ~ [aJ 1.. H 1.. .. . 1.. H ~ [aJ 1.. tt.;

so unterscheiden wir die Faile

a)

t

E K X2a :

Dann ist nach einem schon friiher angewandte n Schluf IO(V) 1= #{x E V

I q(x) = a } · IO(Hm)l.

Also ist

b)

t

~ K X2a :

Dann ist V ~ [tJ 1.. Z , wobei Z vom Typ 2) ist . Nach dem Witt schen Satz kann Z namli ch nicht hyp erb olisch sein. Ist dim V ~ 3 (and ernfall s ist die Darstellungsan zahl von t ohnehin 0), so ist

= e: _q'" ,

1 _ «": j O(V )1 a( E t) = _ _ = qn- l ' IO(Z)I 1+

«»

Die Ergebnisse tiber Darstellungsanzahlen fassen wir zusammen : (13.6) Fur V =

+

~]

[0

= q2m- l + qm _

qm- l

a(V, t) = q2m-l - qm-l

fiir

a(V,O)

Fur regulares V =

+[0 1]

m- l

0

1..

[a

b

= q2m-l _

a(V, t)

= q2m-l + qm- l

~

+

a(V, O)

= q2m

a(V, t)

= q2m

a(V, t) = q2m

[0

~]

qm

= q2m -

qm

:;'

m [

+ qm- l fur

t =I- O.

1.. [aJ ist

fur char K

+ qm

t =I- O.

1] + 0

a(V,O)

Fur halbr egular es V

a(V, t)

ist

=2

fur char K =I- 2, t E K X2a ftir char K =I- 2, t E K X <, K X2 a .

V. Quadratische Form en tiber Bewertungsringen

Ziel dieses Kapitels sind Strukturaussagen fiir quadratis che Formen tiber vollst andi gen diskr et bewerteten Korp ern K und ihren Bewert ungsringen R , wie z.B. den p-ad ischen Zahl en Qp und Zp. Irn Abschnitt 14 behand eln wir einige Aussagen, die tiber beliebigen Hauptidealringen gelten und z.T . spat er tiber Z gebraucht werd en. Im §15 fuhren wir die Losung quadratisc her Gleichungen in R au f die ents prechenden Kongruenzen zurtick - im gtinstigsten Fall auf Gleichungen im Restk lassenkorp er R von R. Diese Uber legungen erlauben in §16 die Klassifizierung quadratischer K -Raume bei endlichem Restklassenkorper ,

14 Hauptidealringe Im diesem Abschnit t ist immer R ein Integritatsbereich, also ein kommu tativer, nullte ilerfreier Ring mit Einselement , und K sein Quotientenkorp er. Weitergehend e Voraussetzungen an R werd en bei den jeweiligen Aussagen genan nt . (1 4.1 ) Definition Es sei Vein endlichdimensionaler K -Vektorr aum mit Basis II,..., fn . Ein R-Gitter in V ist ein R-Untermod ul E von V, zu dem n

n

1

1

es Elemente a, b -=I 0 aus K gibt mit a L: Rf; ~ E ~ b L: R k Die Definition ist un ab hangig von der gewah lten Basis, wie man unter Verwendung eines gemeinsamen Nenners in R fur die Elemente der Mat rix eines Basiswechsels leicht erkennt. Wenn E ein Gitter in einem quad ratischen Raum V ist und q(E) ~ R , dann ist E auch ein quadratischer R-Modul. (1 4.2) a) Es seien E und F Gitter in V. Dann sind auch E + Fund En F Git ter. b) Auf V sei eine nicht ausgeartete symmet rische Bilinearform b geben; E sei ein Git ter in V . Dann ist auch E# := {x E V I b(x , y) E R fiir alle Y E E} ein Git ter. E # heiBt das zu E duale Gitt er (bzgl. b). B ewei s. a) Es sei L = L: R], der freie Modul zur fixierten Basis und a, b, a', b' E K X nach Voraussetzung so gewahlt , daf M. Kneser, Quadratische Formen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

58

V. Quadratische Formen tiber Bewertungsringen

aL ~ E ~ bL , a'L ~ F ~

ut. .

F ur den Durchschnitt mil ssen wir ein c E K X finden mit cL ~ En F . Indem wir a = r / s mit r, s E R schreiben und n6tigenfal s a durch r ersetzen, konnen wir a E R annehmen; ebenso a' E R . Dann leist et c := aa' offenbar das gewiinschte . Fur die Summe mti ssen wir ein d E K finden mit E + F ~ dL . Ahnlich wie ebe n konnen wir b = l/r , b' = l/r' mit r, r' E R annehmen. Dann gilt r E ~ L , r' F ~ L , ftlr s := rr' also sE + sF ~ L , und d := l/ s leist et das gewtinschte . b) Wenn wie ebe n L ein freies Gitter mit Basis 11 ,..., In ist und I f ,.. .,Iff die zu den Ii du ale (Vektorraum-)Basis bezeichnet , so rechnet man sofort nach, daf L# = Rl f + ...+ RIft , also frei vom Ran g n ist . Weiter hat die Dualisierungsop eration die offensichtliche Eigenschaft, daf aus E ~ F folgt F# ~ E#. Schliefilich gilt offenb ar (aL)# = ~L# fur a E K X • Aus aL ~ E ~ bL wie oben folgt also !L# ~ E# ~ ~ L# mit einem L# , das von einer Vektorraumbasis erz eugt wird. Somi t ist au ch E# ein Gitter .

Wenn R ein Hauptidealring ist , so ergeben sich wesentliche Vereinfachungen fur den Begriff eines Git t ers. Bekanntli ch ist narnlich tiber einem Hauptidealrin g jeder Untermodul E eines end lich erzeugten freien Moduls L wieder frei, und es gilt rang E ::; ran g L . Da ein Git t er in einem n -dimensionalen Vektorraum definitionsgernaf zwischen zwei freien Moduln vom gleichen Rang n eingeschachtelt werden kann , ist es also selbst frei vom Ran g n. Umgekehrt sind die Vekt oren einer Modulbasis eines freien R-Modul s E ~ V vom Rang n offenb ar auch tiber K linear un abhangig und bilden som it eine Vektorraumbasis, d .h. E erftillt die Definition eines Gitt ers mit a = b = l. Auch tiber die Frage, wann ein Untermodul F ~ E primitiv, also ein direkter Summand von E ist, weif man im Fall eines Hauptid ealrings genau Bescheid . Zunachst einmal ist es eine offensicht lich tiber jedem Int egritat sbereich notwendige Bedingun g, daf der Quo tient E / F to rsionsfrei sein muB. Ub er einem Hauptidealring ist dieses aber auch hinreichend . Der Elementarte ilersatz besagt namli ch, daf eine Basis el , . . . ,en von E exist iert sowie Elemente d l , . . . , d k E R, so daf d l Cl , . . . , dk Ck eine Basis von F bilden. Wenn nun E / F t orsionsfrei ist , so milssen offenbar aIle di Einheit en sein, und die Vektoren e k+ l , . . . en erzeugen ein Komplement von F in E . Weit er lasst sich in diesem Fall F = E n W schreibe n mit einem Unt ervektorraum W von V, namlich dem Erzeugnis der ei, i = 1, . . . k, Umgekehrt impliziert die Existenz eines solchen W offensichtlich, daf E / F torsionsfrei ist . W ir fassen diese Diskussion zusa mmen .

(14.3) Sa t z Es sei R ein Haupt idealring und Vein n -dimensionaler KVekt orraum. a) Ein R- Untermodul E von V ist ein R-Gitt er genau dann , wenn E ein freier R-Modul vom R ang n ist.

14 Hauptidealringe

59

b) Es sei E ein Gitt er in V und F ein R -Untermadul von E . Dann ist F prim itiv in E (siehe (2.17)) genau dann, wenn E / F tarsiansfrei ist, genau dann, wenn ein Unterraum W von V existiert mi t F = E n W . (14.4) Folgerung Ein Untermodul der Gest alt X 1., ftir eine beliebige Teilmenge X ~ E ist immer primitiv. (14.5) Sa t z Es sei R ein Haupt idealring und E ein endlich erzeugter freier R -Madul mit nicht ausgearteter symme trischer Bilin earfarm b. Es sei F ~ E ein prim itiver Untermadul. Dann gilt det(F1.) I detEdetF . Genau er gilt sagar det E det F

= c2 det(F1.)

fur ein c E R mit c]det E .

B eweis. Betrachte E J.. - IF und berechne die Determinante hiervon auf zwei Weisen. Ein erseits ist mit k = rang F

det(EJ.. -IF)

= (_l)k det E det F .

Andererseits existiert nach (14.4) ein Untermodul G ~ Emit E = G EEl Flo. Der Modul EJ.. -IF ent halt den singularen Unte rmodul F ' := {(x , -IX) I x E F} , und es gilt EJ.. -IF = E EEl F ' = G EEl F lo EEl F ' . Die Gram-Matrix einer Basis , die aus Basen der drei Summ and en zusammengeset zt ist , hat wegen b(F ', F ') = 0 und b(F 1.,F ' ) = 0 die Gestalt

(: ; Ct

0

~) 0

wo B die Gram-Matrix von Flo und C die Matrix der Skalarprodukte der Basisvekt oren aus G mit denen aus F ' ist . Hieraus ergibt sich Es bleibt noch die behauptete Teilbarkeit c I det E zu zeigen. Hierzu wahlen wir die Basisvektoren von F ' von der Form (Ii, - 1/;), wobei die /; eine Basis von F durchlaufen . Dann ist C die Matrix der Skalarprodukte der Basisvektoren von G mit den j;. Nun wahlen wir ein Komp lement H von F in E sowie eine Basis davon und betrachten die beiden Zerlegungen E

= G EEl F lo = F EEl H .

Die zugeh6rige "gemischte Gr am-Mat rix" , das sei die Matrix der Skalarprodukte der Basisvektoren der ersten Zerlegung mit den Basisvekt oren

60

V. Quadratische Formen tiber Bewertun gsringen

der zweiten Zerlegung, hat die Gest alt (~D)' Die Determinan te det C det D = c det D dieser Matrix ist bis auf eine Einheit gleich det E , also gilt wie gewtinscht c I det E .

(14.6) Folgerung Es sei R ein Hauptidealring und (E , b) ein Modul mit reg ulare r sy mmetrischer Bilinearform tiber R . Dann st immen fur jeden primitiven Untermo dul F die Det ermin an t en det (FJ.. ) und det F bis auf eine Einheit , namlich det E , tiberein . Als Beispiel ergibt sich eine neue Berechnung der Determin ant e des ZGit t ers An ~ I n+ 1 aus (1.21). In der Tat ist An definit ionsgernaf der ort hogo nale Untermodul zu dem offensichtlich primiti ven Unt ermodul Z u mit u = (1, .. . , 1) E z n+l und det (Zu) = b(u , u) = n + 1. In Teil a) des folgend en Satzes wird ftir die beiden Gitter F ~ E die zusatzliche t echnische Voraussetzung gemacht, daf der Faktormodul E / F zyklisch sei. Dieses ist nicht wesentlich, da E / F als endlich erzeugte r (Torsions)modul tiber einem Hauptidealring in jedem Fall dir ekt e Summe von zyklischen Moduln ist ; siehe auch den folgend en Beweis. Wir wollte n lediglich dar auf verzichten , die ent sprechende Invari an t e von F in E bzw. E / F form al zu definieren. Im Fall R = Z reduziert sich diese Invar iant e auf den Index bzw. die Ordnung.

(14.7) Satz Es sei R ein Hauptidealring un d F ~ E zwei Gitt er in einem K - Vekto rraum mit nic ht ausgearteter B ilin earform. a) E s sei zusiitzlich vorausgesetzt, daft E / F ~ R/R d fur ein d E R ist. D ann ist det E = d 2 det F . b) Es sei R = Z . Mit [E : F] werde der Ind ex von F in E (als abelsche Gruppe) bezeichn et. D ann gilt

det F

= [E: F]2 det E

.

Beweis. W ahle nach dem Element arteilersatz eine Basis el, . . . en von E und Elemente d1, ... d n E R mit d 1Id2 1 . . . d n, so daf d1el , . . . , dnen eine Basis von Fist. Wenn E / F ~ R/ Rd zyklisch ist , so zeigt eine Betrachtung des Annulator s in R von E / F sofort, daf d bis auf eine Einheit gleich dn ist, und daB weit er die anderen d i Einheit en sein miissen, Die Det erminante der (diago nalen) Ub ergangsm atrix zwischen den beiden Basen ist also d, und die Behaup tung folgt aus (1.10). Im allgemeinen Fall gilt das gleiche, wenn d da s Produkt der d, bezeic hnet. Fur R = Z ist dieses aber offenba r gleich der Ordnung der Fak t orgruppe E / F. Zum Beispi el ergibt sich aus dem letzten Sat z un mittelbar det D n denn D n (aus (1.21)) ist offensicht lich vom Index 2 in I n.

= 4,

14 Hauptidealringe

61

(14.8) Folgerung Wenn zwei Z-Gitte r ein gemeinsames Untergitter vom gleichen Ind ex ent halte n, so hab en sie die gleiche Determinante. (14.9) Beispiele. a) Das Z-Gitter ii; := D n + Z (~ ,!, . .. , ! ) im QVektorraum mit Orthonormalbasis el, ' . . , en hat fiir n == 0 mod 2 die Determinante 1. Fur n == 0 mod 4 nimmt die Bilinearform , fur n == 0 mod 8 sogar die quadratische Form auf Dn ganzzahlige Werte an. Fur n = 8 schreiben wir au ch D s = E s . b) Das Gitter E 7 := {x E E s I X7 = xg} ha t die Determinante 2. Das Git ter E 6 := {x E E s I X6 = X7 = xg} hat die Determ inant e 3. Die erste Behaup tung aus Teil a) folgt unmittelbar aus (14.8), denn I n und D n haben offenbar in En beide den Ind ex 2 (hier wird verwendet , da B n gerade ist). Teil b) ist eine weitere Anwendung von 14.6, denn E 7 ist in E g das ort hogonale Kompl ement des Vektors v = e7 - eg mit b(v, v) = 2, und E 6 das ort hogona le Komplement des zu A 2 isometrischen Git t ers Z (e6 - e7) + Z (e7eg). E 6 , E 7 und E g sind aus der Literatur wohlbekannte sog. Wurzelgitter, die Bezeichnung E n, n = 6,7, 8 ist eine St andardbezeichnun g aus der Th eorie der Wurz elsyst eme. Wir werden in §28 zeigen, daB die Aut omorphismengruppe von E g t ransitiv auf den Vekt oren v der Quadr atl ange 2 und den zu A 2 isometri schen Unt ergittern operiert ; hieraus folgt , daB E 7 und E 6 innerh alb von E g koordinatenun abh iingig definiert sind. (14.10) Definition Sei R ein Integritiitsring mit Quotientenkorp er K und I ein Ideal in R. Ein R-Gitter E in einem K - Vekto rraum V heiBt I -maxim al, wenn q(E) ~ list , und wenn E = E ' ist fur jedes R-Gi t ter E' mit E ~ E' ~ V und q(E') ~ I. 1st 1= R , so heiBt E ma ximal. (14.11) Satz Es sei R ein Haup tid ealrin g und V ein reguliirer oder halbreguliirer quadratischer Vekto rraum uber seinem Quotientenko rper K. Dann ist j edes Gitter E auf V m it q(E) ~ R in eine m ma ximalen Gitter enthalten . Beweis. 1st Enoch nicht maximal , so gibt es E' :J Emit q(E' ) ~ R. Aus E = 2: R ei , E ' = 2: R ej gewinnt man eine Darstellung der e, als e, = 2:tji ej . Weil d(el , .. . , e n ) = det (tj i) 2d( e~ , .. . ,e~) ist und det (t ji) keij

ne Einh eit , ist det E' ein echter Teiler von det E . Da bei Wiederholung des Verfahrens, solange Enoch nicht maximal ist, die aufsteigende Kette der von den Determinanten erzeugte n Ideale stationar werd en muB, bricht das Verfahren nach endlich vielen Schritten abo 1m halbreguliiren Fall nimmt man d' stat t d. (14.12) Satz Ist R Hauptid ealring un d E ein ma ximales Gitt er in einem quadrat ischen K - Vekto rrau m V von positivem Witt-Index, so spaltet auch E eine hyp erbolis che Eben e abo Beweis. Wegen ind( V) > 0 gibt es in V einen scha rf primi ti ven singularen Vektor e, der also q(e) = 0, b(V, e) = Kb(E , e) ¥- 0 erfiillt . Da R Haup tidealring ist, wird der R-Untermodul En K e von einem Element ce erzeugt.

62

V. Qu adratische Form en tiber Bewertungsringen

Wir ersetzen e durch ce, nehmen also ohne Einschrankung E n K e = R e an. Dann ist beE , e) ein Ideal in R , also ein Haup tid eal beE , e) = R d mit d =I- 0 aus R. Das R-G it ter E ' = E + R ~ e umfasst E und erftillt q(E' ) ~ q(E ) + beE , ~e) + q(R~ e) ~ R. Da E maximal ist , folgt E ' = E , also ~ e E En Ke = R e. Somit ist d in R invertierb ar , b(E , e) = R , d.h. R e in E scha rf primiti v, und unsere Behauptung folgt nach (2.22). (14.13) Folgerung Ist V ~ V ' ..1 HK ..1 . .. ..1 H K mit hyperbolischen Ebenen H K , so liijlt sich j edes ma ximal e Gitter E in der Form E ~ E ' ..1 H R ..1 ... ..1 H R schreiben, wobei E ' ma xim al in V ' ist . Beweis durch Induktion tiber die Anzahl der hyperb olischen Eb enen : Ist V ~ V' ..1 HK , so folgt aus (14.12) E = E" ..1 HR. Multiplikation mit K liefert KE = V = V" ..1 HK. Dab ei ist E" maximal in V " und nach Witt V" ~ V' .

15 Bewertungsringe K sei ein Korp er mit nichtar chimedischer Bewertung ip : K ---+ Il4. Fur x,y E K solI also gelten cp(x · y ) = cp(x)cp(y ), cp(x + y ) :::; m ax (cp(x ), cp(y )), cp(O) = 0, cp( l) = 1. Das Standardbeispiel fiir einen nichtarchimedisch bewerteten Korper ist Q mit der p-adischen Bewertung cpp . Fu r eine Primzahl p schreibe man % E Q in der Form % = pV . If, mit a', b' E Z und (P, a') = (p, b') = 1 und setze CPP (%) = c" mit einer festen reellen Zahl c, 0 < c < 1. Als weiteres Beispiel ergibt sich die Komplet tierung Qp von Q bezuglich der von CPP indu zierten Topologie. Kann man umgekehrt eine nichtarchimed ische Bewertung ip von K schreiben als cp(x) = cv(x) mit einem festen c un d einer surjekt iven Abbildung v : K <, {O} ---+ Z , v(O) = 00, so hat man die Regeln vex . y) = vex ) + v (y) , vex + y) ~ min (v (x ), v(y)), v( O) = 00, v( l) = O. Man nennt dann au ch veine diskrete nichtarchim edische Bewertung. Allgemein tiblich sind in dieser Situation folgend e Definitionen: R = {x E K I v ex) ~ O} heiBt der B ewertungsring, p = {x E K I v ex) > O} das B ewertungsideal, R = RIp der R esiklass enkiirper. Es sei 7r ein Element aus K mit v(7r) = 1. J edes Element aus K X schreibt sich dann in der Form a = 7r v (a)e mit vee) = 0, also e eine Einh eit in R. J edes Ideal I in R hat dann die Form I = Rb mit v (b) = min{v( x) I x E I}. Also ist I = R7r v (b) = p V(b). Daraus folgt: R ist Hauptid ealrin g; jedes Ideal ist eine Pot enz des maximalen Ideals p. Da fiir ein Element x =I- 0 aus K gilt x E R oder x - I E R , ist K der Quotient enkorp er von R.

(15.1) Satz Sei R ein diskreter B ewertungsring mit Quotientenkorper K , V ein K - Vekto rraum mit symme trischer Bilinearform b. Jedes R-Gitter E C V ist orthogonale Summ e von eindimensi onalen Unterm oduln, falls cha r R =I- 2 (d.h . 2 E R X ) ist, von ein- un d zweidimensionalen Untermo duln sonst. Die

15 Bewertungsringe

63

auftretenden zweidimensionalen Teilgitter sin d von der Gestalt a(R el m it a E K X , b(ei , e.) E p, b(el , e2) E R X •

+ R e2)

Beweis. (Vergl. dazu auch (4.1) .) a) b(E, E ) = 0: Fiir eine beliebige Basis el, . .. , en ist E = J..Rei. b) b(E ,E) f=. 0: Dur ch Multiplikat ion der Bilinearform mit einer geeigneten Potenz von 11" sei b(E, E) ~ R , b(E , E ) ~ p.

bd

Es gebe ein el E Emit b(el , ed t/:. p. Das ist immer der Fall, wenn

2 E R X ; dann gibt es namlich x , y E Emit b(x , y ) E R " p. Wegen b(x , y ) = ~( b (x + y, x + y) - b(x , x ) - b(y , y )) liegt minde stens ein Summ and der rechten

Summe nicht in p. Also ist b(el, ed E R X , dah er nach (1.6) E = R eI J.. E'. Ind uktion tiber rang E liefert die Behaup tung. b 2) Sei b(x, x) E p fiir alle x E E , aber b(el , e2) t/:. p. Dann ist d( el , e2)=

I

b(el, ei ) b( e2,el )

Also ist d(el , e2) E R X , E die Behauptung.

b(el, e2) b( ) e2,e2

1- (

2 =- b el, e2) ~Omodp.

= (ReI + R e2) J.. E' und

Induktion liefert wieder

Ftir spatere Zwecke vermerken wir noch: (15.2) 1st E Gitter in einem quadratischen K- Raum V mit q(V ) ent halt die orthogonale Gruppe O (E ) Spiegelungen.

f=. {O}, so

Beweis. Durch Multiplikat ion mit einem geeignete n Faktor konnen wir q(E) ~ R , q(E ) ~ P erreichen . Fur a E Emit q(a) E R " P = R X gehort dann die Spiegelung Sa : x -t b(x , a)q(a) -I a - X zu O (E ). (15.3) Weiterhin sei R ein diskreter Bewertungsring mit Qu ot ient enkorper K un d E ein R-Git t er in einem quadratischen K - Vektorraum. In einem weiteren quadratischen K-Raum W sei G ein endlich erzeugter R-Unterm odul (z.B. ein R-Gitter) , und es sei u : E -t W eine R-linear e Abbildung. Fur festes yEW ist x -t b(u x ,y) eine linear e Abbildung von E in K , die wir ahnli ch wie in (1.2) mit bu(Y) bezeichnen (x , bu(Y))

= b(ux, y) .

Satz. Mit den eben eingefuhrte n B ezeichnungen sei

und q(u x )

=

q(x ) mod pk.

Dann gibt es eine lineare Abbildung u' : E u'x q(u' x )

-t

W mit

ux mod pkG q(x) mod pH i.

64

V. Quadratische Formen tiber Bewertungsring en

Beweis. Wir set zen u' in der Form u' x = ux + 7r kVX an mit einem Homomorphismus v : E -t G. Es gilt dann , v so zu bestimmen, daf q(u' x ) == q(x) mod pk+ 1 wird. Schreibt man q(ux) - q(x) = 7r ka(x , x ) mit einer (nicht notwendi g symmet rischen) Bilinearform a : E x E -t K, so ist

q(u' x) =

q(ux ) + 7r kb(ux , vx) + 7r 2kq(VX) q(x) + 7r k (a(x , x ) + (x , bu(vx))) mod pk+l ,

und wir wollen v so bestimmen, daf

(x , bu(vy)) == -a(x, y) mod p wird . Nach Vorauss etzung ist es fur jedes einzelne y moglich, vy so zu wahl en. Man mache das ftlr eine Basis von E und setze dann v linear fort. (15.4) Zusatz. Wenn R endlich ist , IRI = q, dimE 1 es filr v mod p G genau s": * i ) Moglichkeiten.

= e, dimG = g , so gibt

Beweis. Es gibt qeg Abbildungen v : E -t G mod pG, da v mod pG durch eine (e x g)-M atrix mit Koeffizienten aus R gegeben ist . Jedes dieser v be1 stimmt mittels b(ux , vx ) mod p auf E eine der q «
7r

u(n)x == u(n- l )x mod pn- 1G q(u(n)x) == q(x) mod pk+n . Die durch fix Verlangt e.

= nlim u(n)x definierte Abbildung fi : E ~ W ---+oo

leistet dann das

Besond ers wichtig ist der folgende Spezialfall: (15.6) Satz Sei R uollstiindiq, G regular; u : E ~ G induziere eine Isom etric u: E = E/pE ~ G/pG = G tiber R = R/p (mit den modulo p reduzierten quadratischen Formen). Dann gibt es eine Isom etri c it : E -t G mit fix == ux mod pG. Isi speziell E ~ G tiber R , so folgt E ~ G . Beweis. Als Isometri e ist u injektiv , also E * ~ (uE)*. Da man jede RLinearform von uE auf ganz G forts etzen kann und G regular ist , ergibt sich (uE) * = buFJ(G) ~ bu(G). Damit sind die Voraussetzungen von (15.3) mit k = 1 erfiillt und wir konn en (15.5) anwenden.

15 Bewertungsringe

65

Ist U eine Isomorphie, so hab en E und G, also auch E und G gleiche Dimension. Ist el , . . . , en eine Basis von E, so ist iie l, . .. , iie n nach (1.10) eine Basis von G. Wir geben einige Anwendungen. Dab ei sei Rimmer ein vollstandiger diskreter Bewertungsring .

(15.7) Satz 1st R en dlich, G ein requuirer quadratischer R-Modul vom Rang

2:

2 und t E R

X

,

so gibt es ein x E G mit q(x ) = t.

Beweis. Setz e E = R e mit q(e) = t. In G gibt es nach (12.2) ein iJ mit ij(iJ) = l( ::f 0). Wegen iJ ::f 0 ist Y ic p G, und es gibt ein z E G mit b(y , z) = 1. Setzen wir ue = y , so sind die Voraussetzungen von (15.3) mit k = 1 erfiillt .

(15.8) Satz 1st R endlich, G regular oiler halbregular vom Ra ng 2: 3, so spaltet G ein e hyperbolisch e Ebene abo Beweis. Nach (12.4) ist ind(G) > O. Also kann man fur eine hyp erboli sche Eb ene E ein u finden, welches die Voraussetzungen von (15.3) erftillt, und dann (15.5) anwenden.

=

(15.9) Ein e Einheit c in R ist genau dann ein Quadrat in R , wenn t 2 c mod 4p in R losbar ist, fur cha r R ::f 2 also genau dann , wenn if ein Quadrat in R ist , fur R = Z2 genau dann, wenn e 1 mod 8 ist.

=

Beweis, Die Notwendigkeit der angegebenen Bedingung ist unmittelbar eine mod 4p, E = R e mit q(e) = ~ (der Fall, daf R die sicht ig. Sei also t 2 Char akteristik 2 hat , ist t rivial), G = Rg mit q(g) = ~ und u : E -+ G durch ue = tg gegeben und k so gewahlt, daf 2p = pk gilt. Dann sind die Voraussetzungen von (15.3) erfiillt, und wir konn en (15.5) anwenden.

=

(15 .10) Die Gleichung xi + x~ = t ist fiir gegebenes t ::f 0 in R genau dann losbar , wenn sich t = 1r 2v U schreiben laBt derart , daf Yf +Y~ = u eine Losung besitz t , bei der Yl und Y2 zu R ab er nicht beide zu p gehoren. Fur R = Zp ist letzt eres gena u dann der Fall, wenn a) b) c)

= =

p 1 mod 4, oder p 3 mod 4 und p f u , oder p = 2 und u 1,2,5 mod 8 ist.

=

Beweis. Aus einer Losung von xi + x~ = t erhalt man dur ch Herausziehen der hochsten in Xl und X2 aufgehenden Potenz 1r V eine Losung von Yf + Y~ = u, und umgekehrt kann man Xi = 1r v Y i setzen. Im Fall a) ist E = [1,1] nach (12.5) und (15.6) hyp erb olisch, und wir sind fertig. Bei b) ist E regular aber nicht hyperboli sch, p f u also notwendig; daf die Bedingung hinr eicht , folgt 0 oder 4 mod 8, aus (15.7) . In Z2 schliefilich ist jedes gerade Quadr at jedes ungerade 1 mod 8, so daf sich notwendig u 1,2 , 5 mod 8 ergibt . Umgekehr t kann man fur jedes derartige u ein X2 mit u -x~ 1 mod 8 finden und dann Xl mit t els (15.9) bestimmen.

=

=

= =

66

V. Quadratis che Form en tiber Bewertungsrin gen

Der Zusammenhang zwischen beliebigen Losun gen (Xl, X2) und solchen in te ilerfremden (yI, Y2) - sogenannte n primiti ven Losun gen - gilt natiirlich nicht nur fur Summen von zwei Quadraten , sondern ents prechend fur andere quadratische Form en in beliebig vielen Unbestimmten. In den folgend en Beispielen beschranken wir uns daher auf die Bestimmung der primitiven Losungen. (15.11) Die Gleichun g xi + x~ + x~ = that gena u dann in Zp eine Losung, bei der nicht alle Xi durch p teilbar sind, wenn a) b)

p ungerade, oder p = 2 und t == 1,2,3 ,5 ,6mod 8 ist .

Beweis. Fur ungerad es p hat E = [1,1 ,1] nach (15.8) positiven Index und ent halt daher eine hyp erbolische Eb ene. In Z 2 folgt die Notwendigkeit wieder aus == 0,1,4 mod 8. Umgekehrt setze man X 3 = 0 fur t == 1,2,5 mod 8, X3 = 1 fur t == 3,6 mod 8 und schreibe dann t - x~ nach (15.10) als Summe von zwei Quadraten.

x;

Ganz analog zu (15.11) beweist man schlieBlich noch (15.12) Die Gleichung xi + x~ + x~ + x~ = t hat in Z2 gena u dann eine Losung, bei der nicht alle Xi gerade sind, wenn t t= 0 mod 8 ist . (15.13) Die Gleichun g xi + x~ + x~ + x~ + x~ = t hat fur jedes t E Z2 eine Xi E Z2, die nicht alle gerade sind.

Losung in Zahlen

16 Lokale Korper Wie bisher sei R ein vollstandiger diskr eter Bewertungsring, K sein Quotiente nkor per. Wir set zen ab (16.3) den Restkl assenkorp er Ii. = R/R1r als endlich voraus und wollen die qu adratischen Raume tiber K klassifizieren. (16.1) Satz S ei R ein vollst iindiger diskreter B ewert ungsring, V requliirer oder halbreguliirer quadratischer Raum tiber K , ind (V) = 0, E, = {x E V I q(x) E pi}. Dann ist E, ein R -Modul, also das einzige pi-maximale Gitter in

V. Beweis. Zu zeigen ist nur , daf fur q(x) ,q(y) E pi auch q(x + y) in pi liegt. Allgemein folgt aus q(x) E pi-I , q(y) E pi bereits b(x ,y) E pi. War e b(x ,y) = I j f.1r j mit j < i, so erset ze man q dur ch C 1r- q, also E, durch a E; mit a = I j C 1r - . Dann wird b(x ,y) = 1, q(x ) E R , q(y ) E p. Nach (15.6) ent hielte "E, dann eine hyp erbolische Eb ene im Widerspruch zu ind (V) = O. (16.2) Folgerung Sind F I , F2 maximale Gitter in eine m reguliiren oder halbreguliiren Ra um V iiber K , dann ist F I ~ F2 • Beweis. Man zerlege V = V ' ..1 H ..1 ... ..1 H mit ind(V ') = 0 und wende auf V ' (14.13) und (16.1) mit i = 0 an.

16 Lokale Korper

(16.3) Satz Isi R vollstiindiger diskreter B ewertungsring, gular oder halbregular, ind(V) = 0, so ist dim V ::; 4.

R en dlich,

67

V re-

Beweis. Mit den Bezeichnungen von (16.1) betraeht e man Eo, E l , E 2 = 7f Eo. E o/ E l ist ein R-Vektorraum mit q(x+Ed = q(x)+p . Diese Definition ist naeh (16.1) sinnvoll. Aus x E E o/ E l, q(x) = folgt x = 0, also dimfl E o/ E l ::; 2. Eb enso folgt dimj, Ed E 2 ::; 2 dureh Betraehten von 7f- l q st at t q auf E l. Dann ist dimK V = dimfl E O/7f Eo = dim fl E o/ E 2 = dimfl Ed E 2 + dimj, E o/ e, ::; 4.

°

(16.4) Zusatz . 1st dim V = 4, so ist V bis aufIsomorphie eindeut ig bestimmt und wird hier mit U bezeiehnet. Die Diskriminantenalgebra d" (U) ist das neutrale Element aus Q(K) , d.h. d(U) = 1 bzw. dll/(U) = 0, je naehdem ob die Charakteristik von K un gleich oder gleich 2 ist , die Witt-Invariante c(U) f:. 1.

Beweis. Sei (G,q) der naeh §12 bis aufIsomorphie eind eutig bestimmte quadratisehe Raum der Dim ension 2 tiber R mit Witt-Index ind(G) = 0, (G , q) ein R-Modul vom Rang 2, der en Reduktion mod p isometriseh zu (G , q) ist . Naeh (15.6) ist aueh dieser bis auf Isomorphie eindeut ig bestimmt. Wir wollen zeigen, daB V ~ KG ..1 K1rG = U ist , und hab en dann V = U bis auf Isomorphie eindeutig besehrieben. Sei nun dim V = 4, mit den Bezeichnungen aus (16.1) also (E o/ E l , q) und (Ed E 2 , 7f-lq) beide zweidim ensional mit Witt-Index 0, und somit isomorph zu (G ,q) . Wir wahl en zweidim ensionale Unt ermoduln G, von E; der art, daB E; = Gi + E H I wird . Wir haben dann G i ~ E i / E iH ~ G, also Go

~

G, G,

~

1rG, Eo = Go EEl G l

°

~

G EEl 1rG.

Hier braueht allerdings noeh nieht b(Go, Gd = zu sein . Urn aueh dies noeh zu erreichen, ersetzen wir Go dureh Gh = (id +t)Go = {x + tx I x EGo} mit einer linearen Abbildung t : Go -+ Gs , die so besehaffen sein soIl, daf b(x+tx ,y) = ist fiir x EGo , y E G l . Sind {el , e2} bzw. {/I,!2} Basen von Go bzw . G l , und te, = L.,j tij!i , so soIl also bie, + l; tij!i ,!k) = b(ei,!k) +

°

L., tijb(Ji,!k)

=

j

°

J

sein . Dieses Gleiehungssyst em hat Koeffizienten b(ei,!k)

und b(jj,!k) in b(Eo ,Ed ~ R7f und ist wegen det(7f- l b(!i , f k)) E R X in R nach t ij auflosbar . So ergibt sieh , wie gewuns cht V = KGh ..1 KG l ~ KG ..1

K1rG = U. Die Invariant en d"(U) bzw . c(U ) ergeben sieh folgendermaBen : d"( U)

= =

c(U ) f:.

d" (KG)d" (K 1rG) d"(KG)2

wegen d"(K1rG)

1

naeh (10.4)

c(KG) . c(K dG'1rG)

naeh (7.12)

1

naeh (10.6)

= d" (K G) na eh (5.13)

da c(K G) = 1 f:. c(K dG' 1rG) nach (6.17)

68

V. Quadratische Formen tiber Bewertungsringen

(16.5) Wir erinnern daran , daf nach wie vor R ein vollstandiger diskr eter Bewertungsrin g mit endlichem Restkl assenkorp er ist und wollen jetz t die regular en und halbregular en Raume vom Witt-Ind ex a fiber seinem Quotiente nkorper K klassifizieren. Das ergibt dann auch eine Ubers icht fiber die Elemente der Witt-Gruppe W( K) . (16.6) Satz Uber K gibt es f olgend e reguliire oder halbreguliire R iium e V vom Witt-Index ind (V) = 0: a)In gerader Dim ension zu gegebenem d" E Q (K) genau zwei R iium e mi t d" V = d" ; un d zwar fur d" = 1 den R aum der Dim ension a und den vierdim ens ionalen Raum U aus (16.4), fur d" f- 1 zwei Riiume der Dim ension

2.

b) In ung erader Dim ension zu gegebenem d' E K X/ K X2 genau zwei Riiume mit d'V = d' ; und zwar j e eine n der Dimension 1 und 3.

Beweis: a) Hat V gerade Dimension und ind(V) = 0, so folgt dim V = 0,2 oder 4 aus (16.3). Ist d"(V) = 1, so scheidet dim V = 2 nach (6.16) aus, und die Behauptung folgt aus (16.4). Andererseits gibt es zu jedem d" f- 1 aus Q (K) einen zweidimensionalen Raum VI mit d" (VI) = d" und ind( VI) = 0, namlich die d" E Q (K ) darstellende quadratische Algebr a mit ihrer Normform, und es ist c(VI) = 1 nach (6.17). Wenn es noch einen anderen regular en Raum V2 der Dimension 2 gibt mit d" (V2 ) = d" = d" (Vd , so ist d" (- IV1.l V2 ) = 1 nach (10.6), und aus V2 ~ VI folgt - IV1.lV2 ~ -I VI.lVI. Nach dem zu Beginn des Beweises gesagten bleibt dann nur die Moglichkeit -IV1.lV2 ~ U , also in der Wit t-Gruppe V2 '" V1 .lU mit c(V2) = c(U) f- 1. Durch diese Witt-Aquivalenz und die Angab e der Dimension 2 ist V2 bis auf Isomorphie eindeutig beschrieben, und umgekehr t kann man bei gegebenem d" f- 1 dadurch V2 definieren und so a) beweisen. b) Fur halbregulare Raume V ungerad er Dimension mit ind (V) = a kommt nach (16.3) nur dim V = 1 oder 3 in Frage. In Dimension 1 gibt es offenbar zu gegebenem d' gena u den einen Raum [d']. In Dimension 3 ist nach (6.20) und dem Satz von Witt V eindeutig bestimmt , wenn man d' und die Normform auf Co(V ) kennt. Co(V) ist nach (5.14) eine verallgemeinerte Quaternionenalgebr a, fur deren Normform nach (6.14) und (6.15) d" = 1 gilt. Sie ist also nach a) entweder vom Index 2 oder isomorph zu U. Der erste Fall entspricht ind(V) = 1 f- a scheidet hier also aus, der zweite jedoch liefert ind(V) = O. Als Folgerung aus unserer Klassifizierung (16.6) merken wir an (16.7) Nach §11 besteht namlich W2 (K ) aus den Wit t-Kl assen [V] regular er Raum e = 1. Nach (16.6 a)) sind das die Klassen [0] und [U]. V gerader Dimension mit d" (V )

16 Lokale Kerp er

69

(16.8) Als Werte der Witt-Invariante c(V) regularer oder halbregular er KRau me V kommen nur zwei Elemente der Brauer-Gruppe Br (K ) vor: c(O) = 1 und c(U)( :fi 1). Beweis. c(V) hang t nur von der Witt-Klasse [V] von V ab (11.4), es genugt also, die Raum e aus (16.6) zu betrachte n. Fur gerade Dimension ste ht dies im Beweisteil a); bei Dimension 1 ist c(V ) = 1; ist dim V = 3, so schreibe man V = V1 ..LV2 mit dim Vi = i , und hat da nn nach (7.13) c(V ) = c(V 1 )c(<5 V2 ) mit c(Vd = 1, also den dreidimensionalen Fall auf den zweidimensionalen zuriickgefiihrt.

(16.9) Wir identifizieren jetz t die Unte rgruppe {I , c(U)} von Br (K ) mit der multi plikat iven Gruppe {±1} , hab en dann also jedem regular en oder halbregularen Raum V eine Zahl c(V ) = ±1 zugeordnet . Unserer Klassifizierung (16.6) ent nimmt man , daB V durch seine Dimension und die Invari anten d" bzw. d' und c bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist. Zum AbschluB dieses P ar agraphen beweisen wir noch (16.10) Satz E s sei K der Quotientenko rper ein es vollsttmdiqen diskret en B ewert ungsri nges R m it en dlichem R estklassenko rper und V ein quadrat ischer K - Vektorraum. Wenn V ein R-Gitt er L besitzt, das als quad ratischer R-Modul regular oder halbregular ist , so gilt c(V) = 1. Beweis. Wir schreiben L = M ..LH ..L .. . ..LH mit moglichst vielen hyperbolischen Eb enen H als Summ an den. Nach (11.4) ist c(V) = c(K L ) = c(K M ) und der Rang r von Mist hochstens 2 nach (15.8). Fur r = 0 oder 1 ist offenbar c(K M) = 1; filr r = 2 haben wir aber 1 E q(K M) nach (15.7) und daher C(KM) ~ M 2( K), also c(V ) = c(KM) = 1.

VI. Quadratische Formen tiber Q

In diesem Kapi tel werd en einige grundlegende Aussagen tiber quadrat ische Formen tiber dem Korp er der rationalen Zahlen bewiesen. Fundamental ist dab ei die Methode der Lokalisierung, bei der einem quadratischen Raum V tiber Q seine samtlich en Komplet tierungen Vp , also die durch Skalar erweiteru ng ents te henden Raum e tiber den komplet tierten Korpern Qp, ftir alle Primzahl en p , sowie tiber IR zugeordnet werd en. Urn eine einheit liche Sprechweise zu hab en, verstehen wir im folgenden unter einer St elle von Q eine Primzahl oder das Symbol 00. Fiir jede Stelle p hab en wir eine Bewertung l ip von Q sowie den komplettierten Korp er Qp , wobei Qoo = IR ist. (In der Tat ent prechen die Stellen eineindeutig den A.quivalenzklassen von nicht-trivialen Bewertungen von Q.) Aus den Erg ebnissen von §16 ist schnell abgeleitet, daf die quadratischen Raume tiber einem Qp und ents prechend die Witt-Gruppen W(Qp) eine einfache Struktur hab en. Insofern liefern die Komplettierungen Vp ein handliches Invari antensyst em. In diesem Kapitel werd en hieriib er genau ere Aussagen formuliert und gezeigt , daf rational e quadratische Formen durch ihre lokalen Invari anten vollst andi g bestimmt sind , und daf fern er auch die weitergehend e Frag e nach der Darstellung von Zahlen durch Formen lokal beant wortet werd en kann .

17 Die Witt-Gruppe von Q Die Wit t-Gruppe W (Q) von Q besteht nach (9.2) aus A.quivalenzklassen regular er quadratischer Q-Raume, wobei zwei Raum e V, W aquivalent sind, falls es hyp erb olische Raum e V ' , WI gibt mit V ..L VI ~ W ..L WI . Wir werd en oft in W (Q) eine Klasse einfach durch einen Vertreter bezeichnen. Wegen der Existenz von Orthogonalbas en in jedem quadratischen Raum tiber einem Korper der Charakteristik :j:. 2 wird W( Q) von den Klassen der Raum e (a), a E Z quadratfrei, erzeugt. W k sei die Untergruppe von W(Q), die erzeugt wird von den Klassen (a), bei denen a keinen Primteiler > k ent halt . Wir untersu chen die Struktur von W (Q) durch Betrachtung der Faktorgruppen W k jW k-l. Falls k keine Primzahl ist , so ist naturlich Wk = Wk-I.

(17.1) Es gilt W I = {u(l) ..L v(- l ), u ,v E N} u(l) ..L v(- l ) ~ u - v.

Soo :

M. Kneser, Quadratische Formen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

~

Z mittels der Abbildung

72

VI. Quadrati sche Form en tiber Q

Es ist also 800 der aus "Komplettierun g bei 00" und Signatur zusammengeset zte Homomorphismus W(Q) --+ W(lR) --+ Z. (17.2) Sei der Homomorphismus 82 : W(Q) --+ Z / 2Z durch 82 ([V)) = r mod 2 definiert , wobei r der Exp onent der in d(V ) aufgehenden Potenz von 2 ist . Dieses 82 induziert einen Isomorphismus W 2/ W I ~ Z /2Z. Beweis: Trivialerweise verschwindet 82 auf WI , aber nicht auf W 2. Es bleibt

zu zeigen , daf W 2/W I von der Klasse von (±2) erzeugt wird und die Ordnung 2 hat. In der Tat gilt (±2, ±2) ~ (±1 , ±1) , wie man den Zerlegungen Qel .L Qe2 = Q(el + e2) .L Q(el - e2) ent nimmt . Die Raum e (±2, =,:2) und (±1 , =,:1) sind beides hyperb olische Eb enen. In der Haup tsache bleibt jetzt zu klaren, wie WP/ W P-I fur eine ungerad e Primzahl p aussieht . Dazu sei Vein Raum tiber Q und E ein maxim ales Zp-Git te r in Vp = QpV. Man schreib e E nach (15.1) als ort hogonale Summe E = .L Zpei' Es sei Eo bzw. PEl die Summ e der Z pei mit q(ei) E Z; bzw. t q(ei) E pZ ;' Weitere Zpek' mit q(ek) E p2Z ; , komm en nicht vor , da sonst

E' = E + Zpp- Iek echt grof3er als Emit q(E' ) ~ z, war e. Wir haben jetzt also eine orthogonale Zerlegung E = Eo .L PE l mit regular em Eo und E I . Reduziere nun das Gitter E I modulo p zu EI und ordne V die Klasse von EI in W(Fp) zu. Dur ch die Zusamm ensetzung 8p : W(Q) --+ W(Qp) --+ W(Fp) erhalte n wir eine Abbildung W P/WP -I --+ W(Fp) . (17.3) Hilfssatz 8p liefert einen Isomorphismus

Der Beweis dieser Aussage erfordert einige Vorbereitungen. (17.4) EI ist un abhan gig von der Auswahl von E , da maximale Git ter nach (16.2) isomorph sind. Es ist auch unabh angig von der Zerlegung von E , denn aus den Isomorphien E # = Eo .L p- l PE l ~ Eo .L <'e, (komponente nweise) und E = Eo .L PEl ~ Eo .L P-l(pE I ) folgt pE# / PE ~ ( PEo .L E I ) / ( PEo .L pEt} ~ Ed pEl

= EI ,

d.h ., EI hangt nur von E abo Der folgende Hilfssatz zeigt , daf wir ohne Zuhilfenahme eines maxim alen Gitters erhalten konnen,

EI auch

(17.5) Hilfssatz 1st E' ein Zp-Git ter im regular en quadratischen Qp-Ra um V, weiter E' = Eb .L PE~, mit Ei regular , so gilt E~ '" EI in W (Fp), wobei E = Eo.L PE l wie oben ein maximales Git t er ist . Beweis. Ist E' maximal, so ist die Behauptung klar. Andernfalls existiert e E V , e f/. E' , mit q(E' +Zpe) ~ Z p. Wegen der Ganzh eit des Skalarprodukts mit allen Vektoren aus E' liegt e in E' # = Eb .L p- l PE~ . Nach einer event uellen

17 Die Witt-Gruppe von Q

73

Abanderung von e urn ein Element aus Eb, die die Anforderungen an e gtiltig laBt , konn en wir e E p-l PE~, e ~ PE~ annehmen. Dah er ist e nicht das pfache eines Elementes aus p-l PE~, und es gibt ein f E PE~ mit bee, f) = 1. Dann ist (Z ppe + Z pf)

=

PH mit fI

PE~

= \ ~ :), und

= (Zppe + Zp f)

1.. PE~' .

Set zt man E" = Eo 1.. (Zpe + Zp f) 1.. PE~', so ist Eo 1.. (Zpe + Zp f) regular und E~ ~ fI 1.. E~' mit einer hyperb olischen Ebe ne fI , also E~ rv E~' in W(lFp ) . Das Git ter E" umfaBt E' echt, und wir konnen den Prozef solange fortsetzen , bis wir bei einem maximalen Gitter ankommen. Als Nebene rgebnis finden wir, daf E' maximal ist dann und nur dann, wenn -+ W(Qp) -+ W (lFp) ein Homomorphismus ist (mit Sp(Wp - l) = 0). Mit na heliegenden Bezeichnun gen ist namli ch sp(V 1.. V ') = E I 1.. E f, ohne daf (Eo 1.. PEd 1.. (Eb 1.. PED unb edin gt ein max imales Git ter in V 1.. V ist. indE~ = O. AuBerdem folgt , daf sp : W(Q)

(17.6) Hilfssatz Fu r 0 < lail, lal < p mit al a2 . . . a- == a mod p gilt (pal . . . ar ) == (pa) mod W p-l . Beweis durch Induktion nach r : Der Fall r = 1 ist im Fall r = 2 mit a2 = 1 ent halte n. Fur r = 2 suche man ein b, so daf al a2 = a + pb. Dann ist Ibl :S (P- I)~+P-I = P - 1 < p. Es gilt (a,pb) ~ (al a2,pabal a2) (ein bekanntes Zerlegun gsverfahren fur zweidimensionale Raume tiber Korp ern der Cha rakte rist ik i- 2): Man schreibe an die erste Stelle ein Element , das dargestellt wird , und an die zweite Stelle ein Element, das die Diskriminante passe nd macht . Multipliziert man die quadratische Form mit p , so ergibt sich (pa) 1.. (P2b) ~ (pala2) 1.. (p2abal a2)' also nach Unterdriickung quadratischer Faktoren (pa) == (pal a2) mod Wp- l . Fur r > 2 wahle man ein emit al .. . ar- l == C mod p und 0 < [c] < p und erhalt nach zweima liger Anwendung des obigen Falles (pal . . . ar ) == (pcar) == (pa) mod Wp -l. (17.7) Hilfssatz J edes Element aus W P ist modulo W p- l kongruent zu einem Raum 1.. (pai) , (ai) E Wp -l mit ind( 1.. (ai )) = O. Beweis. Ein beliebiger Raum l..(Ci) aus W P laBt sich schreiben als ( CI ,"

" Cn )

= (bl , ... , bt ) 1.. (pal , ... ,par) == (pal , . . . ,par ) mod Wp- l ,

wobei die ai und b, nicht durch p teilbar sind. Wahlt man die rechte Seite so, daf r minima l wird, so hat man den gewtinschten Raum . War e namlich der Ind ex von l..(ai) positiv, so gabe es eine nichttriviale Losung der Kongruenz r

L:: aix; I

== 0 mod p. Nach Umnum erierun g kann man erreichen

S

L:: aix; I

==

o mod p, Xi ~ 0 mod p, sogar 0 < Ixd < p. Man wahle auch s minimal. Ohn e Einschrankung ist 0 < lail < p, da wir nur mo dp rechnen. Er setzung von

74

VI. Quadratische Form en tiber Q

ai durch b, == aix; modp, 0 < Ibil < p nach (17.6), ergibt Z= bi == Omod p. Bleibt man bei den alten Bezeichnungen ai , so kann man sogar - p < al < 0 < a2 < p erreichen. Ist al + a2 = 0, so ist (pal , pa2) die hyperb olische Eb ene im Wid erspruch zur Minimalitat von r , Ist al + a2 f:. 0, so ist 0 < lal +a21 < p, (pal ,pa2) ~ (p(al + a2)) ..1 (pal a2(al + a2)) und somit

im Wid erspruch zur Minimalitat von s.

< ai < P nach (17.5) gilt

Beweis von (17.3) sp ist surjekt iv, da fur 0

Zum Beweis der Injektivitat benutzt man (17.7): Ist sp(..l (pai)) = 0 mit ind (..l(a i) ) = 0, so ist ..l(ai) = 0, denn der Nullraum ist der einzige hyp erb olische Raum mit In dex O. Es folgt ..l(pai) = O. (17.8) Satz Die auf der Witt-Gruppe von Q defini erten Invarianten soo, S2, Sp, (p f:. 2) liefern einen Isomorphismus

'" s : W(Q) ~ Z EB Z / 2Z EB

EB W(lFp). p¢2

Beweis. Genauer gilt ftir k 2: 2

W k ~ Z EB Z / 2Z EB

EB

W(lFp)

2
Der Fall k = 2 ist klar , sei also k = p > 2: Mittels Ind uktion folgt da nn die Surj ektivit at , da zu gegebenem (woo, W2 . .. , w p) ein w E WP mit spw = w p exist iert, daher (woo,W2, . .. , wp) - sw = (w:x" w~, . . . , 0) E S(WP-l) ist . 1st w E W P mit sw = 0, so ist speziell spw = 0, d.h. w E Wp - l und daher na ch Induktionsannahme w = 0, woraus die Injektivitat folgt .

18 Das quadratische Reziproaitatsgesetz In diesem Abschnit t beweisen wir eine P roduktformel fur die lokalen Wit tInvarianten c(Vp ) eines quadratischen Raumes V tiber Q. Dieses Ergebnis leite n wir mit tels einer gewissen Invar iante modul o 8 ab, die wir aus der kanon ischen Abbildung W(Q) -* W(Q2) gewinnen. Durch Spezialisierung au f geeignete vierdimensionale Raume beweisen wir zum Schluf des Abschnitts aus der P roduktformel das quadratische Reziprozitatsgesetz und seine Er ganzungssatz e.

18 Das quadratische Rezipro zit litsgesetz

75

Als erstes wollen wir die Struktur von W «((h) bestimmen. Dazu benutzen wir Bezeichnungen und Ergebnisse aus den Kapi teln III und V. Es ist W (((h) /WI (((h) ~ Z /2Z mit tels der Parit at der Dimension, WI/W2 = Qi /Qi 2 ~ (Z/2Z)3 mittels der Diskriminante und W 2 ~ Z/2Z mittels der Witt-Invariante. W«((h) hat also die Ordnung 25 und jedes einzelne Element hochst ens die Ordnung 8. Da der Raum (1,1,1 ,1) den Ind ex 0 hat, in W«((h) also nicht verschwindet , erzeugt er die Untergruppe W 2 ; (1) hat die Ordnung 8 und erzeugt W modulo WI' Erz eugende fur WI/W2 ~ Qi /Qi 2 erhalt man , indem man zu (1,1) ,..., 2 x (1) (mit Diskriminant e -1) noch zwei Riiume gerad er Dimension mit Diskriminant en 2 bzw. - 3 hinzunimmt. Hab en diese in W die Ordnung 2, so erhalt man eine direkt e Zerlegung (18.1)

W«((h) ~ Z / 8Z ffi Z / 2Z ffi Z / 2Z .

Fur die anschlieBenden Uberlegungen nennen wir explizit als mogliche Erzeugende fur die beiden letzten Komp onent en die Klassen von (1, -2) bzw. (1,1,1, -3) . DaB diese in W die Ordnung 2 hab en rechnet man etwa so nach: Es gilt (1,1) ,..., (2,2) ,..., (-3, -3) , da alle drei Formen die Diskriminante -1 hab en und die Zahl 1 darstellen. Daher wird 2 x (1, -2) ,..., (1,1, -2, -2) ,..., (2,2, -2 , - 2) ,..., 0 und 2 x (1,1 ,1 , -3) ,..., 3 x (1,1) + (-3, -3) ,..., 4 x (1,1) ,..., O. Fur das weite re bezeichnen wir mit t den aus Kompletti erun g und Projektion auf den ersten Faktor zusamm engesetzten Homomorphi smus W(Q) -+ W «((h) -+ Z /8Z und schreiben ts- I (u(XJ' U2, up), dab ei s wie in Satz (17.8), als Summe 2:: tp(u p) mit Homomorphismen t(XJ : Z -+ Z /8Z, t2 : Z / 2Z -+ Z / 8Z p,(XJ

und t p : W(lFp ) -+ Z/8Z. Die explizite Gest alt der so definierten Homomorphismen t(XJ ' ta, tp klar t der folgende Satz : (18.2) Satz Fur U E W(Q) gilt tu =

2:: tpspu mit

p ,(XJ

t(XJ n = n mod 8, t2 = 0, und tp(l) = P - 1 mod 8, tpvp = 4 mod 8 fur p > 2, wobei v p die Klasse des bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten zweidimensionalen lFp -Raumes vom Index 0 sei. Beweis. Wir betrachten zunachst u = (1). Dann ist S(XJ U = 1 (Signatur), S2U = 0 (Potenz von 2 in der Diskrim inante), spu = 0 (Konstruktion mit tels Zerlegung eines Gitters E = Eo .1 PEr). Wegen tu = 1 mod 8 folgt sofort t(XJ1 = 1 mod 8. Unt ersucht man ebenso den Raum u = (1, -2) , ergibt sich S(XJU = 0, S2U = 1, spu = 0 und tu = 0, weil u unter t in den Summ and en Z / 2Z ffi Z / 2Z geht. Also ist t2(1) = O. u = (-l ,p) liefert das nachste Er gebnis . Man hat S(XJU = 0, S2U = 0, spu = (I) , SqU = 0 fur q =I- p. tu = t(-l) + t(p) = - 1 + P mod 8, da t(±l) = ±t(l) = ±1 , t(3) = t(3) + t(l , 1, 1, -3) = t(l , 1, 1) = 3 und t (- 3) = -t(3) = -3 mod 8 ist. Damit ist tp(l ) = p - 1 mod 8.

76

VI. Quadratische Formen tiber Q

°

Von tpvp weiB man , daB es ein Element der Ordnung 2 oder 1 ist , also t pvp = oder 4 mod 8. Es reicht also, zu zeigen, daB es ftir alle ungeraden P rimz ahlen p einen zweidimensionalen Raum iiber lFp gibt, dessen Bild unter t p nicht trivial ist . Fiir p == 3(4) ist t p(I , I) = 2 · (p - 1) = 4 mod 8. 1m Falle p == 5(8) wahle man U = (-p ,2p). Dann gilt soou = 0, S2U = 1, spu = (-1,2), Sq U = fiir q =I p. Zur Berechnun g von tu benutz e man (1, -3) = (-2,6) und t(2) = t (l ), also t(2p) = t( -6) = -t(6) = -t(l , 2, -3) = -t(l , 1, -3) = -t(l, 1, -3, 1, -1) = t(l) = 1 mod 8. Dah er ist tu = t(-p) + t(2p) = 3 + 1 = 4 mod 8, also tpspu = tp(- I, 2) = 4 mod 8. SchlieBlich bleibt der Fall p == 1 mod 8. Hier wahlen wir eine andere P rimzahl q und set zen U = (1, -p, -q,pq). Dann gelten die Gleichungen soou = 0, S2U = 0, spu = (-I , q) , S qU = (-I,m und SrU = fiir die iibrigen Primzahlen r. AuBerd em ist tu = 0, weil U schon iiber ({h hyp erb olisch ist wegen p E ~ . Die daraus folgend e Gleichung t p ( - I, q) + t q ( - I, p) = mod 8 liefert uns den Schliissel zur Losung mittels Induktion. Finden wir namlich ein q < p , so daf p in lFq kein Quadrat ist, so ist nach Induktionsvoraus setzung t q ( - I, p) = 4 mod 8, also auch t p ( - I, q) = 4 mod 8. Die Existenz eines solchen q sichert der folgende

°

°

°

(18.3) Hilfssatz Z u j eder P rimzahl p == 1 mod 8 gibt es eine P rimzahl q < p , p in lFq kein Quadra t ist .

so dafJ

Beweis. Der Beweis wird ergeben, daf sich sagar q

< VfJ erreichen laBt. m sei

die ungerade Zahl mit m < VfJ < m + 2. Setz t man N = so gilt nach Einsetzen und einfachem Umformen

N

<

(m+2+1)(m+2- 1) . (m+2+3)(m+2- 3) 4

= 1·2 . .. m;tl

4

. m;t3 . ..

(m

·· ·

p-:t . P-,t ... p-4m

2 ,

(m+2+m )(m+2-m) 4

+ 1) = (m + 1)!

War e p Quadrat in lFq fur jede Primzahl q < VfJ, so werden wir gleich sehen, daf dann q in N mindestens in der gleichen Potenz aufginge wie in (m + 1)!; damit ware (m+ 1)! ein Teiler von N im Widerspruch zu obiger Ungleichung . Sei q ein Primteiler von (m + 1)!, also q ~ m + 1, da m + 1 gerade, q ~ m < VfJ. Bezeichnet man den ganzen Teil einer Zahl durch eckige Klammern , so geht q mind estens s- mal auf in [~tl] Fakt oren, insgesamt also (L:i[mqt 1])-mal in (m + 1)1. 1st nun a 2 == p mod q losbar , so ist fiir ein beliebiges fest es S auch a2 == p mod 4qs losbar , d.h . es gibt ein a mit qS I P 7 2 . a kann man abandern um Vielfache von 2q s , ohne die Kongruenz zu verlet zen, ebenso kann man a ersetzen durch Zq" - a. So erhalt man Losungen der Kongruenz in den Intervallen (0, qS), is' , 2qS), . .. , (3qS, 4qS ) der Lange q" , Dann sind mindestens 2 [~tl] Faktoren p durch q" teilbar , d.h. ebenso viele wie in (m + 1)! = 1 ·2· . . . . (m + 1), womit der Wid erspruch hergeleitet ist.

;a

1m folgend en identifizieren wir die lokalen Invari anten c(Vp ) wie in (16.9) mit den Werten c(Vp ) = ±1 und hab en dann

18 Das quadr atische Reziprozit iitsgeset z

77

(18.4) Hilfssatz Ist V regulare r Q-Raum, dim V = 4, dV = 1, so gilt fiir ungerades p un d p = 00 gena u dann c(Vp) = + 1 bzw. - 1, wenn tpsp(Vp) == 0 bzw. 4 mod 8, fur p = 2 genau da nn c(V2) = +1 bzw. -1 , wenn t(V) == 0 bzw. 4 mod 8 ist. Beweis. c(Vp) = 1 bedeutet , daf Vp hyperboli sch, also auch tpsp(Vp) = 0 ist. Die Falle, in denen c(Vp) = -1 ist , muf man dur chgehen:

c(Vp) = -1 liefert ind Vp = 0, also gibt es ein maximales Gitter mit einer Zerlegun g e, = Eo .l PE l, so daf El zweidimensional vom p Ind ex 0 ist. Dann ist spVp = v p (aus (18.2» und daher tpspVp == 4 mod 8.

p ungerade:

e, C V

p = 00: c(VCXJ ) = -1 liefert VCXJ =±l (1,1 ,1 , I). Dann ist SCXJ VCXJ = ± 4 und

weiter tCXJsCXJ VCXJ == 4 mod 8.

= 2: C(V2) = -lliefert V2 ~ (1,1 ,1 , I) , also t (V2) == 4 mod 8. Damit folgt die in der Behauptung ausgesprochene A.quivalenz.

p

(18.5) Satz (P rodukt formel). Fur j eden reguliiren Q-Raum V gilt

II c(V

p)

= 1.

p

Beweis. Fu r vierdimensionale Rau me der Diskriminante 1 folgt dieses unmit telbar aus (18.4). Fur einen zweidimensionalen Raum U sei Ul der zweidimensionale Raum mit der gleichen Diskriminante und 1 E q(U1 ) ; nach (6.17) ist c(Ur) = 1. Weiter sei V = U .1 -1 Us , so daf U und V .1 Ui zur gleichen Klasse in der Wit t-Gruppe gehOren. Nach (11.5) folgt c(U) = c(V ), also IT c(Up) = IT c(Vp) = 1. Fur Rau me beliebiger Dimension folgt die Behaup p

p

tung daraus mittels (7.14).

(18.6) Wir leiten nun aus der P roduktformel durch geeignete Wahl von V das Quadr atische Reziprozitat sgesetz mit den Erganzungssatzen her. 1) V = (1,1 , - p, - p) , p ungerade P rimzahl. Es gelte n die Gleichungen

c(VCXJ ) c(Vp) = {

1 -1

= 1,

da V tiber lR hyperb olisch ist, falls - I in lFp

Quadrat ist , kein Quadrat

unter Verwendung des Legendre-Symbols also c(Vp) = ( ~l ) p==1

falls

mod 4, p==3

,

78

VI. Quadratische Formen tiber Q

was man mittels Kongruenzen nachprtifen kann . Als Resultat ergibt sich der erste Erganzungssatz

(P-1)

= (-1 ) E=! 2.

2) V = (I , -2, -p, 2p) Ahnlich wie in 1) folgen die Gleichungen

p==

falls

±1

mod8 .

p== ±3

Der zweite Ergiinzungssatz lautet dann

(P2)

=(-1) £=! 8

3) V = (I , - p, -q ,pq)

Hier gilt

c(Voo ) = 1 c(Vp )

c(if. ) = 2

= (~) , c(Vq ) = (~)

{-I

1

falls p == q == 3 mod 4 sonst

Dar aus folgt das Quadratische Reziprozitiitsgesetz

(~) (~) = (-1) ~· ~ . 19 Der Satz von Minkowski und Hasse Den Satz von Minkowski und Hasse gibt es in zwei verschieden starken Versionen, von denen wir die schwachere mit Hilfe friiherer Ergebnisse jetzt sehr schnell beweisen konn en, (19.1) Satz (schwache Form). Sind V, W requliire quadratische
19 Der Satz von Minkowski und Hasse

79

"V ~ W" (bzw. "Vp ~ W p") ist gleichbedeutend mit "V 1.. -1 W hyp erbolisch" (bzw. "Vp 1.. - lWp hyper bolisch") . Also ist das folgende nur eine Umformulierung von (19.1). (19.2) Ein regularer quadratis cher Q-Vektorraum V ist genau dann hyp erbolisch, wenn Vp hyp erb olisch ist fur alle p (inklusive 00). Beweis von (19.2). 1st Vp hyperbolisch, also [Vp] = 0 in W(Qp) fur alle p, so folgt sp([V]) = 0 fur alle p mit den Begriffen aus §17, somit s([V]) = 0 und damit [V] = 0 in W(Qp) nach Satz (17.8). Also ist V hyperbolisch wie beha uptet. (19.3) Satz (starke Form, Minkowski, Hasse). Ist V requliirer quadratischer Q- Vektorraum, ind Vp > 0 fur alle p (inklusive 00), dann folgt ind v » o. Bevor wir zum Beweis dieses Satzes kommen, ziehen wir eine leichte Folgerun g. (19.4) Mit den Voraussetzungen von (19.3) ist ind V = min ind Vp • p

Beweis: Man schreibe V in der Form V = W 1.. H mit H hyperbolisch der Dimension 2h un d ind W = O. Dann ist ind V = h, ind Vp ~ h , nach (19.3) aber gilt ind Wp = 0, also ind Vp = h fur mindeste ns ein p. Beweis des Satzes (19.3): Wir behan deln nacheinand er die Falle dim V = 2,3,4, ~ 5. Fur dim V = 2 ist ind Vp = 1, also Vp hyperb olisch, und die Behauptung folgt aus (19.2). Fur dim V = 3 betrachte man W = V 1.. (-d(V ». Aus ind Vp > 0 folgt ind W p > 0 und wegen d(W ) = 1 sogar ind W p = 2. Nach (19.2) ist dann auch ind W = 2. Aus der Isomorphie W 1.. (d(V » ~ V 1.. H , H hyperbolisch, folgt dann ind V = l. Der Fall dim V = 4 erfordert eine weiterge hende Konstru ktion. Gesucht wird ein zweidimensionaler Raum W mit V ~ W 1.. H , H hyp erb olisch. Wegen ind Vp > 0 konn en wir Vp = Up1..Hp schreiben mit zweidimensionalen Raum en Up tiber Qp und hyperboli schen H p. Da wir die schwache Form des Satzes bereits haben, genugt es, einen zweidimensionalen Raum W tiber Q zu finden mit W p ~ Up fur alle p. Wir wahlen ein Z- Git ter L in V . Mit d = d(L) = d(V) = d(Up) gilt Up = a p(1, -d) , und wir schre iben a p = pOp . bp mit bp E Z;. Dab ei ist Q p = 0 fiir p t 2d(L ), also fur fast alle p. Wir machen den Ansatz W = a(1, -d) mit a = b IT pOp, wobei b gewissen p

Bedingungen genugen soll . Fur pI2d(L) soll a == ap mod 4pOp+1. Zp sein, d.h . b == IT r - O r • bp mod 4p · Zp. Dann folgt namlich a/ap E Q; 2 nach (15.9). r #oo ,p

b kann so gewahlt werde n, daB es diesem System simultaner Kongruenzen genugt. AuBerd em soll ±b = q Primzahl sein, was nach dem Satz von Dirichlet

80

VI. Quadratische Formen tiber Q

moglich ist ; dabei ist das Vorzeichen so zu wahlen, daB Woo ~ Uoo wird. Das so gewonnen e a erftillt dann fast aile Bedingungen: Fur pI2d(L ) ist a(l, -d) ~ a p (l , -d) . Fur p f 2d(L), p f:. q ist P fa , p f ap, also folgt die Isomorphie a(l, - d) ~ ap (l, - d) tiber Qp aus der Isomorphie der reduzierten Raum e tiber lFp . Fur p f:. q haben wir also W p ~ Up und damit insbesondere cW p = cUp = cVp. Wegen IT cWp = 1 = IT cVp folgt dann aber auch cWq = cVq = cUq , und p

p

da auch dWq = d = dUq ist , W q ~ Uq nach (16.9). Als letzter Fall bleibt dim V 2:: 5. Wir suchen einen vierdim ensionalen Unt erraum W von V , der ind W p > erftillt fur aile p , so daf wir das eben Bewiesene anwenden konn en und ind V 2:: ind W > erhalte n. Wir beginnen mit einem dreidimensionalen Unterraum U von V, der ind U00 > erfiillt . Fur irgend ein Z-Git ter L in U ist nach (15.8) ind Up > fur aile p, die dL nicht teilen. Fur die endlich vielen p mit ind Up = gibt es wegen ind Vp > Vektor en x p E Up , YP E Uf , nicht beide 0, mit q(xp +yp) = q(xp) +q(yp) = 0. 1st auch ind Uf = 0, so hat man

°

° ° °

°

°

Ist dagegen ind Uf > 0, so wahlen wir x p E Up beliebig mit q(x p) f:. 0. Da Uf eine hyperb olische Eb ene H p umfaBt, gibt es dazu ein YP E H p ~ Uf, welches (*) erfiillt . Wenn wir jetzt noch ein y E U.l.. finden konnen, fur das q(y )/q(yp) in Qp ein Quadrat ist ftir die endlich vielen p mit ind Up = 0, so setzen wir W = U J..Q; und hab en dann ind W p = ind(UpJ..QpY) = ind (UpJ..Qpyp) > 0. Die Existenz von y ergibt sich nach (15.9), indem man die Koordin aten von YP (bezilglich irgend einer Basis von U.l..) durch rational e Zahlen approximiert . Der folgend e fundamentale Satz tiber die Dar stellung von Zahlen durch eine ration ale quadratische Form ist nun eine leichte Folgerun g.

(19.5) Satz Sei V regular ilber Q, t E QX. Genau dann ist t E q(V ), wenn t E q(Vp ) gilt fur aile p . B ew eis: Aus t E q(Vp) folgt ind (V J..[-t]) p nach (3.11) t E q(V ).

> 0, also ind( V J.. [- t)) >

°

und

Aus Satz (16.2) der lokalen Th eorie wissen wir, daf jeder regular e quadratisch e Raum der Dimension mindestens 5 ub er den p-adi schen Zahlen Qp positiv en Index hat. Hieraus und aus dem starken Satz von Minkowski und Hasse folgt unm ittelbar das folgend e, vielzitierte klassische Resultat.

(19.6) Satz (Meyer "] Jeder indefinite regulare Q-Raum del' Dim ension mindestens 5 hat positiven Ind ex. Regular e quadratis che Raum e tiber einem Kerper der Char akteristik f:. 2, die positiven Index hab en, also die Null in nicht-trivialer Weise darstellen, werd en oft auch als isotrop bezeichnet. 1

Arno ld Meyer, 1844-1 896

Anmerkungen zu Kapitel VI

81

Anmerkungen zu Kapitel VI Der in §18 gegebene Beweis des Quadr atischen Reziprozitat sgesetzes geht auf Tat e zuruck (siehe z.B. §11 in J . Milnor , Int roduction to Algebraic K - Theory, Annals of Mathematics Studies No. 72, Princeton 1971). Er ist dem ersten Beweis aus Gau ss' Disqui sitione s Arithmeticae [G] verwandt; insb esond ere st eht dort in Art . 129 schon der obige entscheidende Hilfssatz (18.3) . Man vergleiche au ch W. Scharl au , Quadratic R eciprocity Laws, J ournal of Number Theory 4 (1972) , 78-97, oder die Darstellung in [Sch], Chap . 5. Die Ergebnisse aus §19 beinhalten die Giilt igkeit des sogena nnte n LokalGlobal-Prinzips fur Darstellungen durch quadratische Formen. Dieses Prinzip besagt fiir ein dioph antisches Problem, daf es dann (und naturlich auch nur dann) in Q losbar ist, wenn es das in Qp ist fur jedes p (einschlieBlich p = 00). Zur Geschicht e des Prinzips lese man das Geleitwort zu Hasses Mathematischen Abh andlungen.

VII. Quadratische Formen tiber Z

In diesem Kapitel werden einige gru ndlegende Tatsachen tiber Gitter in quadr atischen Raumen tiber den rati onalen Zahl en behandelt , und zwar unabhangig von der Sign atur der quadratischen Form. In §20 wird un ter Benu tzung von klassischer Reduktionstheorie gezeigt, daf fiir fest e Dim ension und Det erminante nur endlich viele Isom etrieklassen ganzzahliger Gitt er existiere n. In §21 werden Z -Gitter E durch ihre Komplettierungen E p = Z pE beschri eben un d der Begriff eines Geschlecht s von Git t ern einge fUhrt . In §22 wird eine in gewiss em Sinne vorl aufige, schwache Form des Lokal-GlobalP rinzips aus Satz (19.5) (Minkowski-H asse) fiir Git t er an gegeb en , die abe r ausreicht, kla ssische E rgebnisse von Fermat , Euler , Lagrange und Gauss abzul eit en .

20 Reduktionstheorie Wir erinnern an die Definiti on der Det erminan te einer symmetrischen Bilinearform a uf einem freien Modul, allgemeiner eines freien Gitters E in einem Vektorraum V mit symmetrischer Bilin earfo rm , tiber einem Rin g R als Klasse modulo Einheit enquadraten in R. Im jetzt vorliegenden Fall R = Z ist also det E einfach eine ga nze bzw. rationale Zahl. Geom etrisch ist sie zu int erpretier en als das Quadrat des Volumens einer Fundam ent alm asche von E in V.

(20.1) Satz (Hermite) Es sei E ein Z -Gitte rin einem requliiren quadratischen Q- Vektorraum der Dimension n . Fur sein Minimum m(E) := min{lb(x , x) 11 x E E , x -::j; O}

gilt die Abschiitzung n -l

m(E) ::;

(~) --r . \ det E11 / n

Beweis durch Induktion nach n. Schr eib e kurz m := m (E) , d := I det E] . Der Induktionsanfang n = 1 ist klar. Fur n > 1 wahl e man e l E E so, daB M. Kneser, Quadratische Formen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

84

VII. Quadr atische Form en tiber Z

Ib(er, edl = m . Ist m = 0, so sind wir fertig. Andernfalls bezeichne pr die P rojektion auf die zu er orthogonale Hyperebene, also

Dann ist E' := pr( E) =

n

L

i=2

Z pre, ein (n - 1)-dimensionales Gitt er. Seine

Invari anten seien d' , m' anstelle von d, m . Es ist

Zu jedem x' E E' gibt es ein x E E mit x = x' + te, und ItI ::; ~ . Man wahle speziell x' so, daB m' = jb(x',x') I. Dann ist b(x , x ) = b(x' , x') + t 2 . b(er, er) , also m::; Ib(x , x)1 ::; m' + tm oder m::; ~ m'. Aus der Induktionsann ahm e m' ::;

(~) n2 d' n~l 2

folgt

und weiter

schlieBlich

4) (

m ::; 3"

n21

1

s«.

(20 .2) Satz Zu gegebenem n und d gibt es bis auf Isomorphie nur endlich viele Gitt er E auf requliireti rationalen quadratischen Vekiorriiume n mit rangE = n, Idet E j ::; d und b(E ,E) ~ Z . Beweis durch Induktion tiber n. Fur n = 1 ist die Behaup tung klar. Sei nun

n> 1. Falls m := m(E) # 0 ist , so wahl e man er E Emit Ib(er , ed l = m und

set ze F = Zero Falls m = 0 ist, so definiere man einen Unt erm odul F von E wie folgt. Sei er E E ein primitiver singularer Vekt or. Es ist b(er, E) = Z a mit a2 II detEI ::; d. Wahle e2 so, daB b(er , e2) = a ist , und setze F = Ze r + Ze2. Andert man e2 urn ein geeignetes Vielfaches von er ab , so kann man wegen q(e2 + ted = q(e2) + tb(er,e2) erreichen, da B Ib(e2,e2) 1 ::; a ist. In beiden Fallen erkennt man (im ersten Fall mittels Satz (20.1», daB fiir F bis auf Isomorphie nur endlich viele Moglichkeiten bestehen. Das gilt da nn auch fur G = E n r - , denn nach (14.5) haben wir Idet GI ::; Idet Ej . Idet Fl . Wegen

F ..1 G ~ E ~ E # ~ F# ..1 G#

20 Reduktionstheorie

85

gibt es dann auch fiir E nur endlich viele Moglichkeiten.

(20.3) Als Beispiel seien einige Werte fur d und n angeg eben, bei denen wir Gitter E aus (20.2) ohne Milhe hinschreiben konn en, Dazu nehm en wir an, n -l

es sei m :::; 1. Nach (20.1) trifft das sicher dann zu , wenn (~) also d :::; 2,3,2, 1 fur n = 2,3 ,4,5.

2-

d~

< 2 ist,

(20.4) Ist m = 1, so spaltet E einen eindimensionalen Teil (±1) orthogonal abo Auf den komplementaren Teil kann man das Verfahren wiederholt anwend en und erhalt so

= 1, n :::; 5 die positiv (bzw. negativ) definiten Gitter In = n X (1) = (1, .. . ,1) (bzw. -lIn = n X (-1)); die indefiniten Gitter Ir ,s = I; ..1 - lI s mit r,s > 0 haben m = 0; - fur d = 2, n :::; 4 die positiv (bzw. negativ) definiten Gitter I n - l ..l(2) (bzw . -lIn _1..l( -2)) .

- fur d

= 0, so zeigt der Beweis von (20.2), daf E ein 2dimensionales Untergitter F ~ \ ~ ~) mit a2 1 d und Ibl :::; a ent halt . Wenn (20.5) Ist andererseits m

d :::; 3 ist , so folgt a

\

= 1, b = 0 oder 1, also F isomorph zu \ ~ ~) = H oder

~ ~) ~ (1) ..1 (-1) , und

E spaltet (1) oder (-1) oder \

~ ~)

= H

ab , bis (im Fall d = 1) der Nullraum, bzw. (im Fall d = 2) ein eindimensionaler Teil (±2) ilbrig bleibt.

(20.6) Wir haben jetzt eine Zerlegung E = r

mit r

+ s + 2t

X

(1) ..1 s x (-1) ..1 t x H = : Ir ,s,t

:::; 5 fur d = 1, bzw. E = Ir ,s,t ..1 (±2)

mit r + s + 2t :::; 3 fiir d

= 2.

Die dr eidim ensionalen Gitter (±1) ..1 H die zweidimensionalen \

~

= (±1)

..1 \

~ ~)

enthalten

11) ' liefern also durch Vergleich der Determi-

nanten die Isomorphismen (±1) ..1 H

~

(±1) ..1 \

~

11)

~

(1, ±1 , -1),

die man, wenn r + s und t beide positiv sind, dazu verwenden kann, das Tripel (r, s , t) durch (r + 1, s + 1, t - 1) zu ersetzen und so zu erre ichen, daf entweder r = s = 0 oder t = 0 wird .

(20.7) Wir fassen zusammen und erganzen: J edes Gitter E aus (20.2) mit n = rang E :::; 5 und det E = ±1 ist zu genau einem Gitter Ir ,s,t mit r = s = 0,

86

VII. Quadratische Form en tiber Z

t ::; 2 oder mit t = 0, 1 ::; r + s ::; 5 isomorph. Es ist namlich r = s = 0 gena u dann , wenn b(x , x) = 0 mod 2 ist fiir aUe x E E, und r, s , t sind durch Signatur bestimmt . J edes Git ter E mit ran g F ::; 4, det E = ±2 ist zu einem Git ter [ roBot ..1 (±2) isomorph; man bestimme, welche von diesen isomorp h sind.

21 Klassen und Geschlechter (21.1) V sei ein n-dimensionaler Vektorraum tiber Q mit der nicht ausgearteten quadratischen Form q und der zugeh6rigen Bilinearform b und E ein Z- Gitter in V. Mit Qp bezeichnen wir die p-adischen Zahlen, also die Kompl ettierung von Q unter der p-adischen Bewertung, mit Zp die ganzen p-adischen Zahlen, d.h. die abgeschlossene Hillle von Z in Qp, und fur IR schreiben wir auch Qoo . Hat V die Basis {Ii} , so ist Vp := Qp 0 1Qi V ein Q-Vekto rraum mit der Basis {I o Ii} . Identifiziert man 1 0 x mit x , so ist Vp = QpV, ebenso Voo = Qoo V . Es ist s; := ZpE ein Zp-Gitter in Vp. Weiter set zen wir E oo = V00 = Qoo E.

e

(21.2) Definition Zwei Z- Gitter E ~ V , ~ V ' zah len zum selben Geschlecht, wenn E p ~ E~ fur aUe p einschlieBlich 00 gilt . J edes Geschlecht besteht aus vollen (Isomet rie-)Klassen , denn aus E ~ E' folgt E p ~ E~ . Wenn zwei Git ter im selben Geschlecht liegen, so sind nach dem Satz von Minkowski und Hasse die unterliegenden quadr atischen Vekto rraurne V und V ' zueinander isomor ph. (21.3) Satz Jedes Geschlecht von Gitt ern enthiilt nUT end lich viele Klassen. Beweis: Aus den Gleichungen d(E p) = d(E) . Z;2 und d(E oo ) = d(E) . IR x2 lafit sich d(E) E QXj Z x2 bestimmen, wenn alle d(Ep) bekannt sind . Die erste Gleichun g gibt fur jedes p die in d(E) aufgehende Potenz von p , die letz te Gleichung bestimmt das Vorzeichen. Also haben alle Git ter eines Geschlechts dieselbe Diskriminante. Wegen Zp ·b(E, E ) = Zp·b(ZpE, ZpE) = Zp ·b(Ep, E p) ist auch Z ·b(E, E ) durch das Geschlecht bestimmt . Dur ch Multipli kation von q mit einem geeignete n Faktor lafit sich also b(E , E ) ~ Z erreichen. Dami t sind alle Voraussetzungen von Satz (20.2) gegeben und (21.3 ) ist bewiesen. (21.4) Beispiele fur Geschlechter mit nur einer Klasse liefern nach (20.4) die positiv definiten Git ter mit Diskriminante 1 und Dimension x, 5 sowie mit Diskriminante 2 und Dimension ::; 4. Ein Beispiel fur ein Geschlecht , in dem mehr ere Klassen liegen, ist das von E =

(~ ~ ) .

(~

11 bzw. E' 2)

=

Zunachst ist E ~ E ': E ste Ut nam lich offensichtlich die 1 dar , wah rend 3x 2 + xy + 2y2 = 1 in Z unlosbar ist , wie man an der Zerlegun g 2 sofort erkennt. Andererseits ist 3x 2 + xy + 2y2 = ~(x + y)2 + ~X2 +

h

21 Klassen und Geschlechter

87

q' (~ , - ~) = 1, so daf E p und E~ ftir p f: 2 einen Vekt or mit q = 1 bzw. q' = 1 ent halte n. Also ist e; ~ (2) ..1 (ap), E~ ~ (2) ..1 (a~). Wegen d(E) = d( E ') ist d(E p) = d( E~), d.h. es gilt 2apZ ; 2 = 2 a~ Z ; 2 . Da 2 Einheit ist , gilt weiter (a p) ~ ( a~) und schlieBlich e, ~ E~. Fur p = 2 sind E 2 un d E~ regular

und es ist

E2 ~

[1

~] ~ E~ ,

nach (15.6) folgt E 2

~ E~.

Es gibt also

nichtisomorphe Gitter mit isomorphen Kompl et tierungen. (21.5) Satz Lsi V ein endlich- dime nsionaler Q- Vektorraum, E ein f estes Z - Gitt er in V , so sind die Abbildungen

E ' -+ {Z pE'} un d

{E~} -+ n (V n E~ ) p

zuei nander inverse B ijektionen zwischen der M enge aller Z - Gitter E' in V un d der M enge aller Folgen {E~} von Zp-Gittern E~ in QpV mit E~ = Zp E fur f ast aile p .

Beweis: Die Folge {Z pE'} erfiillt die Bedin gun g Zp E = Zp E ' ftir fast alle p . 1st namlich E L: ~=l Zei, E' L: ~=l Ze~, so gibt es aij, bij E Q mit e, = L: j aij ej , e~ = L: j bij ej . Bezeichnet man mit Pi, 1 ::; i ::; r, die P rim zahl en , die in den Nenne rn der aij und bij aufta uchen, so ist aij , bij E Zp fur p f: PI, ... , PrJ also E p = E~ fur fast alle p. Weit er ist n (V n E~ ) ein Z - Gitter

=

=

p

in V: Nach Vor au sset zun g ist narnli ch E~ = ZpE fur fast alle p . Fu r die rest lichen Primzahl en p gilt papZp E ~ E~ ~ pbpZp E . Mittels IIp apE = n(Vnp apZpE) ~ n(Vn E~) ~ n(Vn p bpZ pE ) = II p bpE p p p p p

hab en wir den Durchschnitt n (V n p

E~)

zwischen zwei Z - Gitter eingefan-

gen, dieser ist also selbst Z - Gitter. Es bleibt noch zu zeigen , daf die beiden moglichen Hint ereinanderschaltungen der Abbildungen jeweils die Identit at erge ben. Leicht ist die Gleichheit E' = n (V n Zp E ') . 1st namlich {ea eine p

Basis von E' , so ist L: aie~ E V n Zp E' genau dann , wenn ai E Q n Zp also L: aiei E n(V n Z pE') genau dann , wenn ai E Z . Als letz t es bleibt zu zeigen p

Zq · n (VnE~) = E~ . Weillinks j a q vorkommt, gilt Zq·n (Vn E~ ) ~ E~. Bep

zeichnet man

p

n (VnE~ ) p

mit E', so ist E' Gitter , hat also eine Basis {eD tibe r

Z . Da die {eD auch eine Q-Bas is von V bilden und da E~ ~ Qq V gilt, laBt sich ein Element aus E~ schreiben als L: aie~ mit ai E Qq . Zerlegt man die ai in a; = a~ + a~' mit a~ = ~, b, E Z fur ein geeignetes m , a~' E Z q, so ist jedenfalls L: a~' e~ E Z qE' . Weit er ist L: a~e ~ E E~ , da L: a~e~ = L: ai e~ - L: a~' e~ und

88

VII . Quadratische Formen tiber Z

L ai e~ E E~ , L a~' e~ E Z qE ' ~ E~. Da a~ E Q ist , ist sogar L a~ e~ E V n E~. Ab er auch fur p"# q ist La~ e~ E (Q nZp)E' ~ Vn E~ . Also ist La~ e~ E E' . Dann jedoch ist L ai e~ E E' + ZqE ' = Z qE ', was die Behauptung beweist. (21.6) Folger ung Mit obig en Bezeichnungen ist E' maximal in V genau dann , wenn ZpE ' maximal in Qp V ist fur alle p. 1st V regular, so ist ftir fast alle p auch E p regular. B e w eis . 1st E' C E" mit q(E" ) ~ Z, so gibt es nach (21.5) ein p mit Z pE' C ZpE " und q(E~) ~ z; 1st umg ekehrt E~ C E~ fur ein p, q(E~ ) ~ z., so ist E' C (V n E~) n n (V n Z qE ' ) = E" und q(E") ~ n (Q n Z q) = Z. q#p q Die Behauptung tiber die Regularit at liest man an der Det erminante ab o

22 Darstellungen tiber Z Das Lokal-Global-Prinzip fur Darstellungen von Zahl en durch quadratische Raume (Minkowski und Hass e, Satz 19.5) ist ub er Ringen wie Z im allgeme inen falsch . Es iibertragt sich jedo ch, wenn man ein einzelnes Gitter durch ein ganzes Geschlecht ersetzt .

(22.1) Sa t z Sei E ein Z - Gitter in einem reguliiren quadratischen Q- R aum V , t E QX, t E q(Eoo ), t E q(E p) fur alle p. Dann gibt es ein Gitt er E' im Geschlecht von Emit t E q(E') . Klar ist dann die

(22 .2) F olgerung Wenn das Geschlecht von E nur eine Klasse ent halt , so folgt t E q(E ). B ew eis des Satz es: Aus t E q(Ep) ~ q(Vp) folgt nach dem Satz von Minkow ski-Hasse t E q(V) . Es gibt also ein x E V mit q(x) = t . Fur fast alle p ist dann auch x E E p (fur alle p , die nicht in den Nenn ern der Koordinaten von x auftauchen) . Die Menge der no ch problematischen p werde mit S bezeichnet . S ist endlich. Fur pES sei dann x p E E p, q(x p) = t. Aus dem Wittschen Satz (3.2) folgt , daB es ein up E O(Vp) gibt mit x = upx p, Jetzt wend e man das Konstruktionsverfahren aus Satz (21.5) an . Fur E' = n (E p n V) n n (upEp n V) gilt E~ = falls p (j. S , p~S

E~

pE S

e;

= upE p, falls pES. Dah er liegt E' im Geschlecht von E, und es ist

x E E'

= n ( E~ n V). p

Beispiele fur die Anwendungen dieses Satz es sind die folgend en Kri tierien fur die Darstellung ganzer Zahl en als Summe von Quadrat en.

(2 2. 3) Sa t z (Euler 1749) Ein e Zahl t E Z" {O} ist genau dann Summe von zwei Quadrat en aus Z , wenn t > 0 ist und t kein e Primzahl p == 3 mod 4 in ungerader Potenz enthiilt.

22 Darstellungen tiber Z

89

Der Beweis folgt aus Satz (15.10) (wobei die Bedingungen fiir p = 2 automatisch erfiillt sind) und der Tatsache, daf das Geschlecht von (1,1) nur eine Klasse ent halt (20.3) . (22.4) Satz (Gauss 1801) Eine Zahl t E Z " {O} ist genau dann Summe von drei Quadraten aus Z , wenn t > 0 und ni cht von der Form 4a(8b + 7) ist . Beweis. Die Bedingungen von (15.11) sind erfiillt, da fiir t nach Abspalten der maximalen 4-Potenz t == 1,2,3,5,6 mod 8 wird, wie sich durch Probieren aller Moglichkeit en ergibt. AuBerdem enthalt das Geschlecht von (1,1 ,1) nur eine Klasse (20.3). (22.5) Satz (Lagrange 1770) Jedes positiv e t E Z ist Summe von vier Quadraten in Z . Der Beweis folgt aus (15.12) und (20.3). Als weitere Anwendung unserer Satz e wollen wir untersuch en, fur welche t E Z die Gleichung

n

LX;

i=O

= 2t mit der Nebenbedingung

n

L Xi

= 0 in Z

i =O

losbar ist . Mit anderen Wort en, wir untersuch en Darstellungen durch das in (1.21) eingefUhrte Gitter An der Determinante n + 1. (22 .6) Satz Ein e positive ganze Zahl wird von A 2 dargest ellt genau dann , wenn kein e Primzahl p == -1 mod 3 in einer ung eraden Potenz in t au/geht. Eine positive ganze Zahl wird von A 3 dargest ellt genau dann , wenn t nicht von der Form 22a + 1 (8b + 7) ist . Fur n ~ 4 st ellt das Gitter An jede positiv e ganz e Zahl dar. (22.7) Hilfssatz Die Geschlechter von A 2 , A 3 und A 4 bestehen aus je einer Klass e. Beweis. Fur n = 2 folgt die Behauptung aus (20.3) a) . Wir geben hier einen weiteren Beweis, der auch fiir n = 3 und 4 anwendbar ist. Sei E' aus dem Geschlecht von E = A 2 • Dann ist E 1.. (3) C F = h mit Ind ex 3. Weiter ist (E 1.. (3)p ~ Fp mit Gleichheit fiir p f:. 3. Gesucht wird ein Gitter F' in Q(E' l.. (3) mit (E' 1.. (3)p = F~ ftlr p f:. 3. Nach Voraussetzung ist E~ ~ E 3, also gibt es eine orthogonale Transformation U 3 mit E~ = U3E3' Dann verlangen wir noch, daf F~ = (U 3 1.. id)F3 ist. Ein Gitter F' , dessen Komplettierungen die gegebenen Bedin gungen erfullen, gibt es nach Satz (21.5). Dieses F' liegt im Geschlecht von F, ist also nach (20.3) zu F isomorph. Dann ist E' ~ F' orthogonal zu einem Vektor x E F' mit b(x, x) = 3. Unt er der Isomorphie F' ~ (1,1,1) geht x tiber in (±1, ±1 , ±1), und man kann durch Dahinterschalten eines Automorphismus von (1,1,1) err eichen, daf x in (1,1 ,1) ilbergeht. Damit erhalt man eine Abbildung der orthogonalen Komplemente E' --+ E , die wegen Id(E)1 = Id(E')1 surjektiv ist. Der Beweis verlauft genau so fur n = 3 bzw. n = 4, wenn man wegen IdA 3 = 4 bzw. IdA 4 1 = 5 als Sonderfall die 2-adische bzw. 5-adische Komplettierung 1

90

VII. Quadratische Formen tiber Z

betracht et. E 1 wird damit isomorph zum orth ogonalen Komplement in F eines Vektors y E F mit b(y , y ) = 4 bzw. = 5. Als y kommen nur die Vekt oren mit Koordinat en ±1 in Frage, da z.B. fur y = (2, 0, 0, 0) oder y = (2, 1, 0, 0, 0) das orth ogonale Kompl ement Vektoren z mit ungerad em Wert b(z, z) ent halt, also tiber Z2 nicht zu E~ isomorph ist und damit auch nicht im Geschlecht von E~ liegt. Beweis von (22.6). Es sei zunachst n = 2. Nach Satz (22.2) und (22.7) ist t E q(A 2) genau dann , wenn t E q(Z pA2) ist fur aIle p. Wegen dA 2 = -3 ist Z pA2 regular fur p f: 3. Nach (15.7) ist Z; ~ q(Z pA 2) fiir diese p. Fur eine Einh eit u E Zp ist up2a+l E q(Z pA 2) genau dann , wenn der Ind ex von Z pA2 positiv ist , d.h. genau dann , wenn die Diskriminante ein Quadrat mod p ist (15.9). Fur diese p ist dann q(Z pA 2) = Z p. Es ergibt sich also q(Z pA2) = Zp fiir

(~3) = 1, q(Z pA2) =

YZ; . p2a fiir (~3) = -1. Der zweite Fall liegt

au ch fiir p = 2 vor , da Z2A2 = [1

-

i]

nicht isomorph zur hyp erbolischen

Ebene ist. x 2 - x y + y 2 ste llt tiber lF2 die Null nur tri vial dar. Damit ergeben sich als notwendige Bedingungen t > 0, keine Primzahl p == -1 mod 3 geht in einer ungeraden Potenz in t auf. Diese Bedingungen sind hinreichend , da dann auch t E q(Z 3A2) ist . Schreibt man namlich t = 3au mit u == 1 mod 3 und Z 3A2

i -~ )

=( _

als (2, 6), so wird t durch den ersten Summ and en

da rgestellt , falls a gerade ist , durch den zweiten, falls a ungerade ist. Fur n = 3 ist d(A 3) = - 4, also ZpA3 regular fur p f: 2. Nach (15.8) ist dann q(Z pA3) = Zp. Im FaIle p = 2 ist Z2A3 = Z 2A2 .L (12), und man erhalt durch P robieren aller moglichen Kombin ationen

Also sind die Bedingungen t > 0 und t nicht von der Form 22a +l (8b + 7). Fur n = 4 hab en wir q(Z pA 4) ;2 q(Z pA3) = Zp fiir p f: 2 und q(Z 2A4) = Z2, da Z2A4 wegen dA 4 = 5 regular ist. Es folgt q(A 4) = {t E Zi t > O}.

Anmerkungen zu Kapitel VII Satz (20.1) stammt aus einem Brief von Ch. Hermite an J acobi, Extraits de

a

Lettres de Mr. Ch. Hermit e Mr . C.G.J Ja cobi su r differents objets de La th eorie des nombres, J. reine angew. Math. 40 (1850), 261- 315 = Oeuvres I,

100-163. Die Satze (22.5), (22.3) und (22.4) tiber Quadratsummen gehoren zum klassischen Bestand der elementaren Zahlenth eorie und wurd en bereits von Fermat (1601 - 1665) formuliert - der Satz (22.4) fiir den Spezialfall t == 3 mod 8 als die Aussage, daf jede positive ganze Zahl sich als Summe von

Anmerkungen zu Kapitel VII

91

hochstens drei "Dreieckszahlen" (von der Form n( n2+ 1) ) schreiben HiBt. Allerdings hat Fermat keine Beweise seiner Satz e hinterlassen, und es dau erte tiber hundert Jahre, ehe Euler in einem Brief an Goldb ach seinen Beweis des Zwei-Quadrate-Satzes mitteilte. Auch urn dem Vier-Qu adrate-Satz hat sich Eul er bemtiht, bis Lagr ange einen Beweis gab, den Euler alsba ld wesentlich vereinfachen konnte. Zum Drei-Qu adrate-Satz schlieBlich gibt es Ansatze in Legendres Essa i sur La Th eorie des Nombres VOn 179S, die jedoch keinen vollgiilti gen Beweis ergeben. Man vergleiche dazu Gau ss' Kritik in den "Adclitam ent a" am SchluB seiner Disquisit iones A rithmeticae [G]. Eine ausfiihrliche Dar st ellung cler Entwicklung der Zahlentheorie dieser Zeit gibt A. Weil, Number Th eory: an Approa ch through History; from Hammurapi to Legendre, Birkhauser Boston 19S4.

VIII. A p proximationssatze und indefinite Formen

Dieses Kapitel kniipft an die Technik der Lokalisierung quadratischer Formen tiber Q und den Satz von Minkowski und Hasse (Kapi tel VI) an und untersucht die analoge Fragest ellung tiber Z sowie allgemeiner tiber Teilringen von Q, die aus Z durch Inverti erun g endlich vieler Primzahlen entstehen. In den Abschnit t en 23 und 24 werd en sogena nnte Approximationssatze bewiesen, die Aussagen dartiber machen, wann ein System von Git tern oder Darst ellungen tiber den Lokalisierungen Zp durch ein Git ter bzw. eine Darstellung tiber Z angenahert werd en kann. In §25 wird gezeigt , daf diese Approx imationssatze eine weitgehende Klassifikation indefiniter Z-Gitter zur Folge hab en, wobei te chnisch der Begriff des Spinorgeschlechtes eine groBe Rolle spielt . Der wicht ige Fall regularer , allgemeiner sogena nnter unimodular er Git ter wird im abschlieBenden §26 behand elt.

23 Schwache Approximation Es sei S eine endliche Menge von Stellen des Korp ers Q (also von Primzahlen oder dem Symb ol 00; siehe §17). Wir bet ten Q verrnoge x -t (x , . .. , x) in das Produkt I1PES Qp von Komplettierungen ein. Ein allgemeiner Satz der Bewertungstheorie besagt , daB das Bild dieser Einbettung dicht liegt , wobei Q durch einen beliebigen Korp er K und S durch eine beliebige endliche Menge nicht-aquivalenter Bewertungen von K ersetzt werden kann . Dieses ist der sogena nnte "schwache Approximationssatz" fiir Zahlen. Wir formuli eren und beweisen diese Tatsache fur K = Q in verscharft er Form . Hierb ei bezeichnen wir mit Z (T ), fur eine endliche Menge T von Primzahlen, den Ring aller rationalen Zah len, deren Nenner ihre Primteiler in T hab en: Z(T) := Z

[~ I PET]

.

Diese Notation wird durch die Festsetzung Z(S) := Z(S ",- {oo}) auf beliebige endliche Mengen von Stellen ausgedehnt . Eine aquivalente Beschreibun g ist Z(S) = {x E Q I x E Zp fur alle P ~ S} ,

wobei Z oo = lR gesetzt ist . Der sogenannte "starke Approximati onssatz" besagt, daB st att Q bereits ein geeignetes Z (T) dicht in I1PE s Qp liegt . M. Kneser, Quadratische Formen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

94

VIII. Approximationssatze und indefinite Formen

(23.1) Sa t z Es sei 8 eine en dliehe Menge von Stellen von Q und p' eine beliebige Primzahl m it p' (j: 8 . Fur 00 (j: 8 is t Z (8) dieht in ITpEs Qp. Fur 00

E 8 ist Z(8 U {p'} ) dieht in ITpEs Qp.

Beweis: Z ist dieht in IT Z p, da es zu gegebenen a p E Zp und r p E N ein a

E Z gibt mit

IT ( pES

pES

a

== a p mod prp fur p E 8 . Fur jede natiirl iche Zahl mist somit

p~ ) Z dieht in pES IT p~ Zp. Dar aus folgt sofort die erste Behauptung.

Fur die zweite Behauptung seien a p E Qp, fiir p E 8 und e > 0 gegeben. Nach dem ersten Teil findet man ein b E Z(8) mit Ib - a p lp < c ftir p E T := 8" [ co}, Der Ansatz a = b + eq-n IT pm mit e E Z fur das gesucht e a pET

ftihrt zum Zie!' Zunachst wahle man m so groB, daf IpmIp < e ftir aile pET ist . Wegen der scharfen Dreiecksungleichung folgt la - ap lp :::; max(lb - ap lp, leq- n IT pmlp ) < e fiir pET. Wahlt man dann n so groB, daf Iq- n IT pml oo < e wird und e E Z , so daf la - aoo loo = Ib - a oo + eq-n IT v" 100 < c ist, so ist a wie geford ert. Die beiden Fail e des Satzes (23.1) lassen sich wie folgt auf einen Nenner bringen: T sei die Menge 8 U {oo} bzw. 8 U {p', 00 }. Dann besagt die Behaup tung, daf Z(T) <-.+ Qp

II

pET , {l}

dicht ist , wenn e ent weder die P rimstelle 00 oder aber die zu 8 hinzugenommene Primzahl p' , also eine beliebige Bewertung aus T bedeutet . Hierb ei ist T eine ansonsten beliebige endliche Menge von Stellen, die 00 ent halt .

(23.2) Sei Vein regular er quadratischer Q-Vekt orraum. Mit Vp bezeichnen wir wie frtiher den Raum Vp = QpV . Die Produkt topologie auf Vp beztiglich einer Basis ist unabhan gig von der Wahl der Basis. Es sei 8 eine endliche Menge von St ellen. Aus dem schwachen Appr oximationssatz fur Zahlen folgt durch komp onentenweise Approximation, daf V durch die Diagonaleinb ettung dieht in IT Vp liegt. Wenn L ein Gitter auf V ist, T eine endliche pES

Menge von Ste llen mit 00 E T sowie e E T , so ist ent sprechend dem starken Approximationssatz (23.1) das Bild der Diagonaleinbet t ung Z (T )L <-.+

II

Vp

pET ,{l}

dicht . Nach diesen vorb ereitenden Ausftlhrungen zur starken und schwachen Approximation in Korpern und endlich-dimensionalen Vekt orr aum en kommen wir nun zum eigentlichen Thema dieses Abschnit ts, namlich zur schwachen

23 Schwache Approximation

95

Approximation in der Menge aller Vektoren einer fest en Lange in einem quadr atisehen Raum, sowie zu der ents preehenden Frage fiir ort hogonale Abbildungen und filr Spingruppen. Fur einen quadratischen Vekt orra um (V, q) und t E iQ setzen wir V (t) = { x E V I q(x ) = t }. Die ents preehenden p-adi sehen Mengen Vp(t) C Vp wie aueh die orthogonal en Gruppen O(Vp) C End (Vp) und die Spingruppen Spin(Vp) C Co(Vp) sind in natiirlicher Weise t opologisehe Raume. Wir wollen im folgenden zwei Fragen beantwort en: a) 1st V (t) dieht in

n n

Vp(t )? pES b)lst SO (V ) dieht in SO (Vp)? pES Die Frage b) fur die volle ort hogonale Gruppe anstelle der speziellen ist sieher zu verneinen, da zwei orthogonal e Tran sformationen mit versehiedenen Det erm inanten nieht dureh eine einzige approximiert werden konn en, Die Antwort auf b) gibt der folgend e

(23 .3) Satz Lsi V ein reguliirer quadratischer iQ- Vektorraum, so liegt SO(V) dicht in SO(Vp). pES

n

Beweis: Sei Up E SO(Vp). Man sehreibe up als Produkt von Spiegelun gen Sp,i . Wegen det up = 1 ist die Anzahl der Fak t oren gerade. Man kann die Anzahl der Spiegelun gen un abhan gig von p annehmen, ind em ma n dureh Dah int erschalt en von Qu adraten von Spiegelungen aIle Produkte auf gleiehe Lange bringt. Also ist u p = Sp,l . . . Sp,2r fur geeignet es r , aIle pES und geeignete Sp,i' Nun ist Sp,i = sap,; mit einem Vektor ap,i E Vp. Wir erinnern uns an die Formel sa(x ) = x - b(x, a)q(a)-la. 1st a~n) E V eine Folge mit plim a~n) = ap,i (eine solche Folge gibt es naeh (23.2» , so ist q(a~n) f. 0 fur n-too

groBes n, d.h. die Definition s~n) := S

(n)

ai

ist sinnvoll. Dann ist p- lim s~n) n ~oo

=

Sp,i in O(Vp), da Sa eine stetige Funktion von a ist , wovon man sich anhand der Formel tiberzeugt. Also ist p - lim sin) . .. s~~) = Sp,l ... Sp ,2r = Up in O(Vp) fiir aIle pES .

n-too

(23.4) Folgerung Es seien E und F zwei Gitter im gleiehen Gesehlecht in einem regular en Q-Raum V und Seine endliehe Menge von Primzahl en. Dann gibt es eine Isom etrie u E SO (V ) so, daB E p = (uF )p fur aIle p E S gilt . Beweis: Naeh Definition des Gesehleeht s gibt es up E O(Vp) mit E p = u pFp. Liegt u p noch nieht in SO(Vp), so konn en wir dies wegen (15.2) dureh Einsehalte n einer Spiegelun g aus O(Fp) erreiehen und dann mit (23.3) die up fur p E S dureh ein u aus SO( V) so gut app roximieren, daf (uF )p = u pFp wird.

Der folgende Satz bean twortet die Frage a).

96

VIII. Approximationssatze und ind efinit e Formen

(23.5) Satz Sei V ein reguliirer quadratischer Q- Vektorraum der Dimension dim V ~ 2 und t E QX. Falls V(t) f:. 0 ist, liegt V(t) dicht in IT Vp(t).

pES

Beweis: Sei X p E Vp(t) gegeben, weite r x E V(t) ~ Vp(t) . Nach dem W it tschen Sat z gibt es ein Up E O(Vp) mit x p = upx . Indem man gegebenenfalls up durch ups a mit a ..1 x ersetzt (deswegen ist dim V ~ 2 vorausgese tzt ), erreicht man up E SO(Vp). Approximiert man die Transformationen up durch ein U E SO(V) nach (23.3), so approximiert ux die Vekt oren upx = x p. Wir beschlieBen diesen Paragraphen mit zwei Aussagen tiber Spin gruppen , die im nachst en Abschnitt Verwendung finden , aber auch hier schon an sich int eressieren . Wir erinnern an die Definition (8.9) der Spingruppen Spin(V) = {u E Co(V )X I uV u- 1 = V, uu ' = I} . Dabei kann u (von einem Sond erfall (3.5) abges ehen, der uns ab er hier nicht betrifft) als Produkt u = II ...12m einer gerad en Anzahl 2m von nichtsingularen Vektoren II, ...,12m aus V geschri eb en werden mit uu:

2m

= IT q(Ji) = 1. 1

(23.6) Satz (Schwache Approxim ati on fur Spin gruppen). 1st Vein reguliirer quadratischer Q-Vektorraum der Dimension dim V ~ 3, so liegt Spin (V) dicht

in

IT

pES

Spin (Vp).

Beweis: Vergrofierung von S bedeutet Versch arfung der Aussage. Wir konnen und wollen dah er mit (21.6 ) und (15.8) annehm en , daB Vp positi ven Wi t tIndex hat , falls p nicht zu S gehort. Sei nun (Up)P ES ein durch u E Spin (V) zu approximierendes Element aus IT Spin(Vp ) . Wir schreiben up = ! p,1 . .. ! p,2m mit

pES

! p,I, .. . ,!p,2m au s Vp,

(1)

2m

IT q(Ji ) = 1

(2)

i= 1

Dab ei konnen wir durch etwaiges AnfUgen t rivialer Faktoren

! . ! -1 = ! .

q(f)-I! erre ichen , daB die Anzahl 2m filr aIle pES die gleiche ist . Fur u E Spin( V) machen wir den Ans at z u = II ...12m mit

II,...,12maus V,

(3)

2m

IT q(Ji) = 1

(4)

i= 1

und hab en dab ei Approxim ationsb edin gungen!::, beztiglich der Top ologie von Qp zu erftillen :

24 Starke Approximation

fi !/:, I p,i ftir pES .

97

(5)

Gegeben sind also Vektoren (1) mit (2), gesucht Vektoren (3) mit (4) und (5). Die Vektoren h ,.. ., 12m konstruieren wir schrittweise und skizzieren die einzelnen Schrit te. Erstens: Erftille (3) und (5) fur i = 1, .. . , 2m - 1 nach (23.2). Zweitens: Lose die Gleichung 2m- l

IT

q(fi)' q(x)

=1

(6)

i= 1

mit x E Vp , x !/:, I p ,2m fur pES. Das geht , wenn die Appr oximation (5) fur 1 :s; i :s; 2m - 1 gut genug ist. Drittens: Die Gleichung (6) ist losbar in Vp auch fiir die (unendlich vielen) pE S , wegen ind Vp > a also auch in V nach Minkowski-Hasse. Viertens: Fur (6) hab en wir jetz t einerseits eine Losung x E V , andererseits fur pES Losun gen x p !/:, I p ,2m in Vp . Zusammen liefert (23.5) einen Vektor 12m , der alle noch ausstehend en Ford erun gen (4) und (5) erftillt. (23.7) Sei Vein regularer Raum tiber einem Korp er K , mit positivem Wit tInd ex, und es liege nicht der Ausnahm efall von (3.5) vor. Dann wird die Spin gruppe Spin(V) von den Produkten e] mit e, I E V , q(e)q(f ) = 1 erzeugt. Beweis: Die gena nnte n P rodukte e] erzeugen eine Untergruppe N von = eto:' , Spin (V ) C C (V ) X, die wegen seis:' = e' ]'; e' = geg - \ q(e' )q(f' ) = 1 von allen nichtsingular en 9 aus V normalisiert wird: gNg-1 = N . Nach Vorausset zung spaltet V eine hyperb olische Eb ene H ab: V = H..l W . Ist nun u = i, .. . hm E Spin( V), so gibt es hi E H mit q(h i ) = q(fi ) = ti · Setzen wir gi = hi 1 = t i 1h i , so wird q(fi)q (gi ) = 1, also figi E N , so daf modul o N die Kongruenz u = h .. . 12m == hI ... h 2m gilt , und damit n E SpinH C N nach §8.

t

24 Starke Approximation In diesem Abschnitt betrachten wir Z-Git ter auf quadratischen Q- Vekt orr aumen V und kntipfen an die unter (23.2) festgestellte st arke Approximation in IT Vp durch Vektoren aus Z(T )L an. Der folgende Satz besagt , daf sich pET ,{l}

98

VIII. Approxim ationssatz e und indefinite Form en

unter gewissen Voraussetzungen diese Aussage auf die Vekto ren eines fest gegebenen Formwertes t E QX, d.h . die Menge

L (T , t) := V(t)

n Z( T)L =

{x E Z( T) L I q(x ) = t }

ilbertragt. Die scharfste Fassung dieses starken Approximationssatzes lau tet: (24.1) Satz Es sei Vein reguliirer quadratischer Q- Vektorraum der Dimension dim V ~ 4, t E QX mit V( t) :j:. 0, T eine endliche Menge von Stellen von Q mit 00 E T und f E T so, daft ind Vi > O. Weiter sei L ein Z -Gitter auf V mi t Lp(t) = Vp(t ) n t., :j:. 0 fur alle p (j. T. Dann ist L(T, t ) Y II Vp(t) pET <, {l}

dicht. Wir wollen diesen Satz allerdings nicht in voller Allgemeinheit beweisen, sondern nur zeigen, daf

(24.2) L(T, t) y

II

Vp(t) dicht ist .

pET -, { l ,oo}

Diese schwachere Aussage reicht fur unsere spateren Anwendungen aus. Zunachst br au chen wir zwei Hilfssat ze, (24.3) Hilfssatz Zu jedem Git ter M in einem regular en Raum V tiber Q und jeder endlichen Menge S von Primzahlen gibt es eine ganze Zahl W :j:. 0 so, daf W keine Primteiler in S hat und aus 8 E q(Mp) und 8 E Z pw2 q(M) fiir aIle p (inklusive p = 00 mit Moo = V, Zoo = R) folgt 8 E q(M ). Dieses W hat die gleiche Eigenschaft fur eM (e E Q, e :j:. 0). Beweis: Es seien M, Vert reter der Klassen aus dem Geschlecht von M , die nach dem Satz von Minkowski und Hasse aIle in einem festen Vektorra um V angenommen werd en konnen, Wir nehmen zu S noch aIle Primzahlen p hinzu , fur die M p nicht regula r ist . Nach (23.5) konnen wir jedes M, durch ein isometri sches Gitter ersetzen so, daf Mi,p = Mp ist fur aIle pES. Fur jedes i gibt es ein Wi E Z, ui, :j:. 0 mit uuM, ~ M ; dab ei ki:innen wir annehmen, daf Wi nicht durch die Primzahlen p mit Mi,p = M p, insbesondere nicht durch die pES teilbar ist. Sei W das kleinst e gemeinsame Vielfache der Wi. Fur 8 wie im Hilfssat z zeigen wir nun , daf 81w2 E q(Mp) ist fur aIle p. Dann ist 81w2 E q(Mi) fur mind est ens ein i (22.1) und somit 8 E q(wMi) ~ q(M) , wie gewilnscht. Gilt PYw , so ist w E Z; und damit 81w2 E q(Mp). Fu r plw ist M p regular nach Konstruktion von W. Dann ist 81w2 E q(Vp), weil 8 E q(Mp) gilt , und wegen 8 E Z pw 2q (M ) ist auch 81w2 E Zp. Also ist 81w2 E q(Vp) n Zp, d.h . es gibt ein x E Vp mit q(x) = 81w2 E Zp. Dieses x liegt in einem maximalen Zp-Gitter Np; Mp ist maximal, also ist Mp ~ Np und daher 81w2 E q(N p) = q(Mp). (24.4) 1st L p = L~ 1.. L~ ein Zp-Gitter in einem regulare n Qp-Ra um , q(x' + x") = t, 0 :j:. z ' E L~ , z " E L~ :j:. {O} , so gibt es y' E L~ , y" E L~ mit

24 Starke Approximation

q(y' + y") = t, q(y') =I 0, q(y") =I ist in
o.

99

q(x' ) + q (L~) und damit erst recht q(L p)

B ewei s: Wir andern x" p-adisch geringfiigig ab zu y" E L~ , so daf q(y") =I 0, t wird . War schon q(x ') =I 0, so ist u 2q(x' ) + q(y") = t losbar, falls u" nahe genug bei z " liegt, und wir konnen y' = ux' setzen. Ist dagegen q(x') = 0, so gibt es z' E L~ mit b(x' , z' ) =I 0, q(z') = OJ dann ist ub(x' , z' ) + q(y") = t losbar fiir geeignet es y" , und wir konnen y' = z ' + uz' setzen. Die letz t e Behaupt ung folgt daraus, daf q(Z py") eine Umgebung von q(y" ) ist. (2 4.5 ) B e weis von (24.2). Vergroflerung von T verscharft die Behauptung. Wir konnen daher ohne Einschrankung annehmen , daf 2 in T liegt , daf t E Z; und L p regular ist fiir p f/. T. Die vorgegeb enen , simultan zu ap proximierenden Vektoren xp E Vp(t ), pET " {£, oo}, konnen nach dem schwachen Approximationssatz (23.4) zunachst durch ein y E Vet) p-ad isch approximiert un d die urspriinglichen Approximationsforderungen x ~ x p fur

pET" {£, oo} durch x ~ y ers etzt werden. Liegt zufallig y in L , so konnen wir x = y set zen und sind fertig. Im allgemeinen ist jedenfalls L n QIj = Z ay mit 0 =I a E Z und L ;2 Zay + M mit M = L n Q1j.L . Wir machen daher den Ansatz x = cy + z, c E
= q(y ) = t ist

dann gleichbedeutend mit

q(z) = (1 - c2 )t ,

(1)

und wir haben x E L(T, t) = Z(T)Ln V et ), falls zud em fur aIle p tJ. T

(2) (3) ist . Die Approximationsforderungen sind sieher dann erftillt, wenn fiir aIle pET " {£, oo} c == 1 mod pOiZ p

(4)

z E rJ M p

(5)

gilt mit hinreiehend hoh en Exponent en durch die scharfere Forderung

z E PM mit P

und p. Hier konn en wir (3) und (5)

0:

=(

IT

pET'-.{ l ,oo}

rJ )

100

VIII. Approxim ati onssiitz e und ind efinite Form en

ersetzen. Es kommt also dar auf an, c so zu wahlen, da B (2) und (4) gelten und in q(P M) liegt . In dieser Situ ation wend en wir den Hilfsatz (24.3) an, mit P M statt M . Danach gibt es eine ganze Zahl w i- 0, deren Primfaktoren nicht zu T gehoren und a nicht te ilen, mit der Eigenschaft , daB s zu q(P M) gehort, sobald fiir aIle p inklu sive und fur aIle p

i- 00

S E q(P M p)

00 : :

S

2

E Z pw q(PMp)

(6) (7)

ist. Wir suchen also C E Q mit (2), (4), (6) und (7), Bedingungen, die wir ftir die jeweils ang egebenen p nachweisen wollen. Wir beginnen mit den Primzahlen pET " {e, oo}. Der Hilfssatz (24.4) mit L~ = Zpy , L~ = r Mp, x ' = y, x" = a liefert un s Elemente y' = cpy mit cp E Zp und y" E rJ3 Mp mit q(y" ) idaf t = q(cpy + y" ) + c;t + q(y" )

a so,

wird. GemaB (24.4) kann hierbei q(y" ) p-adisch beliebig klein, also c~ und da mit auch cp beliebig nah e bei 1 gewahlt werden. Insbesondere konnen wir cp == 1 mod paZ p erreichen. 1st auBerdem noch c == cp mod p'Y Z p

(8)

mit hinreichend groBem 'Y , so wird

also S

E

q(Z py") ~ q(r Mp) = q(PMp),

somit (4), (6), und wegen p t w auch (7). Als nachste behand eln wir die nicht zu T gehorigen Primteiler p von a. Sie teilen nicht w , und P L p = L p ist regular vom Rang ~ 4. Wir werde n gleich sehen, daB P Mp = M p = Lpn QpY.l ein mindestens zweidimensionales regula res Untergit ter N p ent ha lt, welches nach (15.7) jede p-adi sche Einheit da rstellt. Verlangen wir jetzt

24 Starke Approximation

c == 0 mod Zpa,

101

(9)

so wird s Einheit in Zp , und wir hab en s E q(Np )

~

q(P M p ) ,

somit (2), (6), und wegen p f w auch (7). Das Unte rgitter N p erhalten wir, indem wir y = ue mit in L p primit ivem e und u E Zp schreiben, seine Restkl asse e = e mod pLp E t; = L p/pL p durch die Restklasse 1 E L, eines Vektors f E t., so erganzen, daB b(e, 1) 'f 0, also Z pe + Zp f regular wird , und dann N p = (Zp e + Zp f) .l.. set zen. SchlieBlich behand eln wir die Primzahlen p , die nicht in T liegen und a nicht teilen. Nach unseren Annahm en tiber T ist L p regular vom Rang ~ 4; wegen 2 E Z; und t E Z; ist PMp = M p = L pn QpY.l.. regular vom Rang ~ 3 und spa lte t nach (15.8) eine hyp erbolische Eb ene ab , so daB q(PMp) = Zp ist. Dami t gilt (6), und wenn (10) ist, auch (7). Wir merken noch an , da B die Bedingung (10) fur fast aIle p (na mlich die nicht in w aufgehenden) mit c E Zp gleichbedeutend ist . Es bleiben die Bedingun gen (6) und (7) filr p E {e, oo}. Ist e = 00, so entfallt (7), und wir hab en ind Voo = ind Vi > 0, also -t E q(PMoo ) nach (3.10). Wir erftillen nun die Kongru enzbedingungen (8), (9) und (10) und konnen dabei auch noch Icloo > 1 erreichen. Dann wird 1 - c- 2 in Qoo = ~ ein Quadra t und wir hab en d.h. (6) mit p = 00, und der Fall e = 00 ist erledigt. Ist andererseits e 'f 00 , so folgt (7) fiir p = e aus (6), da e kein Teiler von wist. Die Bedingungen (8), (9) , (10) bilden hier ein System linearer Kongruenzen , dessen Losungsmenge eine Teilmenge Z [I/e]a + b mit a,b E Z, a'f 0 ent halt (tatsachlich selbst von dieser Form ist) . Die Bedingung (6) fiir p = 00 kann dann, je nachdem welches Vorzeichen that, durch 1 - c2 > 0 oder < 0 d.h. z.B. durch 0 < c < 1 bzw. c > 1 erflillt werd en. Ftir p = e schlieBlich haben wir ind Vi > 0, also - t E q(QeM) nach (3.10), etwa -t = q(z ). Ist weiter C EQ mit Icll > 11/211, so wird 1- c- 2 nach (15.9) in Z; ein Quadrat Fund s = (1 - c2 )t = q(cfz) , damit (6) fur p = e mit einem e- 6 M statt M . Den noch ausstehenden Nachweis, da B diese Bedingungen simultan durch ein c E Z [I/e]a + b erfiillt werden konnen, iiberlassen wir dem Leser. Wie wir im vorigen P ar agraph en beim Beweis des schwachen Approximationssatzes fiir orthogonale Transform ationen die Einschrankun g beziiglich der

102

VIII. Approxim ati onssatze und ind efinite Formen

Determinante auf un s nehmen muBten, so brau chen wir jetzt eine Bedingung an die Spinornorm. Dazu t reffen wir folgende Definition en: Es sei O' (V ) = {u E SO (V) I S N u = I}

der Kern der Spinornorm und fur ein Z-Gitter L im Q-Raum V O (L , T ) = {u E O (V ) I «i; = t.; fiir p It T } O'(L, T ) = O (L , T ) n O' (V ) Spin (L, T ) = {u E Spin (V ) I u E Co(L p ) fur p It T} .

Der starke Approximationssatz fur Spingruppen bzw. ort hogonale Transformation en lau tet nun: (24.6) Satz S ei Ve in reguliirer Raum iiber Q m it dim V = n ~ 3, sei T eine endliche Menge von Stellen von Q mit 00 E T , und sei e E T so, daft ind Vi > O. Dann sind fu r j edes Z -Gitter LeV die Einb ettungen Spin (L ,T) y

II

Spin (Vp) und O' (L ,T) Y

pET , {l}

II

O' (V )p) dicht.

pET , {l}

Zum Beweis verwenden wir den Approximati onssatz (24.2), den wir oben nur in der schwacheren Form (24.3) gezeigt hab en. Wie schon dort vermerkt, reicht die ents prechende Form von (24.6) fur spatere Zwecke aus . Beweis von (24.6). Wie im Beweis von (24.3) wird die Behauptung durch Vergrofierung von T verscharft . Wir konnen also annehmen, daf L p fur p It T regular ist, also Vp nach (15.8) positiven Wit t-Index hat .

Wir behand eln zunachst die Spingruppen. 1m Fall der Dimension n = 3 ist Spin (V) = {x E Co(V ) I xx' = I} nach (8.14), dab ei V ' = Co(V ) vierdimensionale Q-Algebra mit Stand ard-Involution t und zugehoriger quadratischer Normform q' : x -+ xx' . Auf V ', q' und t = 1 wollen wir den Satz (24.2) anwenden. Mit (6.20) wird ind(Vj) > O. Weiter sei L' ein Git ter in V ' mit L~ = Co(L p) fiir P It T . Dann ist Spin (Vp) = V;( l), Spin(L, T ) = L' (T, 1), und die Behauptung folgt nach (24.2). Als nachst es kommt der Fall n ~ 4 an die Reihe. Die durch Spin(L, T) apIT Spin(Vp) = : G bilden eine (in der proximierbaren Element e (u p) aus pET , {l}

Produkt-Topologie) abgeschlossene Untergru ppe F , von der wir nachweisen wollen, daf sie mit G iibereinstimmt . Zu F gehoren jedenfalls diejenigen Elemente (up) aus G , deren p-Komp onenten up = 1 sind, mit einer einzigen Ausnahm e p = Po, fur die u po = e f ist mit e, f aus Vpo und q(e)q(f ) = 1. Urn das zu zeigen nehmen wir ohne Einschrankung an, daf e und f in V liegen , t = q(e) = q(f)-l also in Q. Wir erweitern T zu einer umfassenderen endliche n Menge T' derar t , daf tin Z; liegt fur aIle p It T ' und set zen

25 Spinorgeschlechter

ep = e, fp = f fur P = Po eo = e, f p = e- 1 = t-1 e ftir pET'

<,

103

{Po , £} .

Auf (ep) bzw . Up) wend en wir jetzt (24.2) an, mit T' st att T, und erhalten Vektoren e' E L(T', t) , f' E L(T', t- 1 ) , deren Produkt (in C(V) X) p-adische Approximationsbedingungen erftillt :

'I'

e

p

~

{

ef fiir P = Po e . e- 1 = 1 fur pET'

<,

{Po , e} .

Wenn die Approximation fur pET' <, T gut genug ist , so impliziert dies e' f' E Spin(L,T <, {£}), also (up) E F(T <, {e}) wie behauptet. Hat nun speziell Vpo positiven Witt-Index , so erzeugen die obigen Elemente e f nach (23.7) die ganze Gruppe Spin (Vpo ) und durch Zusammensetzen fur verschiedene Po sieht man, daf F alle Elem ent e (up) aus G ent halt, deren p-Komponenten u p = 1 sind fiir alle pET <, {£} mit ind Vp = O. Sei jetzt ein beliebiges (up) E G gegeben ; gesucht ist u E Spin(L, T) mit Ap-

!:, up fiir pET -, {£}. Wir wenden den schwachen Approximationssatz (23.6) an und erhalten ein u' E Spin(V) mit u' !:, up fur

proximationsforderungen u

pET <, {e}. Liegt u' in Spin(L, T) , so sind wir fertig; wenn nicht , so hab en wir jedenfalls u' E Spin(L, T') mit einem geeignet en T' :J T. Wir machen nun den Ansatz u = u' u" mit u" E Spin(L, T') und ford ern u" !:, 1 fur pET <, {z}, u'u" !:, 1 fiir pET' <, T , was nach dem Vor angegangenen erftillbar ist , da wir ind Vp > 0 fur p f/. T vorausgesetzt hatten . AuBerdem folgt u E Spin(L, T), wenn die Approximation filr die pET' <, T gut genug ist. Damit ist die Aussage tiber die Spingruppen bewiesen . Diejenig e tiber die Gruppen 0' folgt daraus, weil die Abbildung

II

Spin(Vp ) -7

pET , {l}

II

O'(Vp )

pET , {l}

surjektiv und stet ig ist .

25 Spinorgeschlechter Zwei Z - Gitter Le V , MeW in regul ar en Q-Raumen gehoren bekanntlich zur gleichen Klasse, falls es einen Isomorphismus u : V -7 W gib t mit uL = M , zum gleichen Geschlecht , falls es ftir jede Primst elle p einen Isomorphismus up : Vp -7 W p gibt mit upL p = Mp- Eine St ellung zwischen Klasse und Geschlecht nehmen die von Eichler eingefUhrte n Spinorgeschlechter ein .

104

VIII. Approxim ationssat ze und ind efinite Form en

(25.1) Definition Lund M gehoren zum gleichen Spinorgeschlecht , wenn es einen Isomorphismu s u : V -+ W und Aut omorphismen v p E O' (Vp), 0' wie in §24, gibt mit M p = uVpL p fUr alle p inklu sive 00. Diese Definition liefert eine Aquivalenzrelation. Die Reflexivit at ist klar , die u- 1 . uvpu- 1M p mit uVpu- 1 E Symm etrie folgt aus L p = V;lU- 1 M p O' (W p) und die Tran siti vit at aus N p = u'v~Mp = u'v~uvp Lp = u'u.: u-lv~uvpLp mit U - lV~ uvp E O' (V p). Die Satze dieses Paragr aphen liefern zwei Situ ationen, in denen Spinorgeschlechter und Klassen bzw. Geschlechter und Spinorgeschlecht er zusammenfallen , (25.2) Satz S ei Ve in reguliirer Q- R aum, dim V ~ 3, ind Veo enthiilt j edes Sp inorg eschlecht von Gittern in V nur eine Kl asse.

> O. Dann

Beweis: Seien Lund M Gitter in V, die zum gleichen Spin orgeschlecht gehoren, u E O(V) die zugehorige orthogonale Tr ansform ation. Dann ist (u- 1 M) p = vpL p fur alle p , fiir fast alle p sogar (u- 1 M) p = L p. Die endlich vielen ande ren p fasse man zu T zusa mmen. Dann approximiere man fiir p E T ,- {oo} die vp durch v E O' (L ,T ) so gut, daB v L p = vpL p ftir pET <, {oo} ist und v L p = L p fur p rt T. Dann ist (vL)p = vpL p = (u- 1 M)p fiir alle p, also uvL = M.

e

(25.3) Erganz'ung. Sei V regular er Q-Raum, dim V ~ 3 und eine Primzahl mit ind Vi > O. Dann ent halt jede Klass e im Spin orgeschlecht eines Gitters Le V ein Gitt er M eV mit M p = L p fiir alle p =f.

e.

Beweis: Der Beweis verlauft wie der zu (25.2) nur mit der App roximat ion fur p ET <, {e,oo }. (25.4) Satz S ei V reguliirer Q- Raum , dim V ~ 3, L Gitter in V, un d fur j edes p =f. 00 sei (*) S N(SO(Lp)) ;2 Z;Q;2 . Dann best eht das Geschlecht von L aus nur einem Sp inorg eschlecht. Die B edingung (*) gilt insbesondere, wenn L p eine n m ind est ens zweidimensionalen orthogonalen Summanden cpM p m it reguliirem M p enthiilt.

Beweis: Sei M aus dem Geschlecht von L. Nach (15.2) gibt es Element e up E SO(Vp) mit M p = upLp- Fur die einzelnen p schr eibe man SNu p = pO: p.bpQ; 2 mit bp E Z;. Fur fast alle p ist natiirlich M p L p, also konn en wir u p 1, Q p = a wahl en, Nach dem folgend en Hilfssatz (25.5) gibt es ein u E SOW) mit SNu = IlpO: p. Damit ist M p = u · u- 1upL p und S N(u -1u p) = bp . Q; 2. Nach Vorau ssetzung gibt es w p E SO (L p) mit SNw p = b; l Q; 2, also M p = u · u-1 upwp L p mit S N (u - 1u pw p) = Q;2, was die erste Behau ptung erweist . Die zweit e Behauptung folgt aus der ersten, wie wir unt er (25.6) zeigen werde n.

=

=

25 Spin orgeschlecht er

105

(25.5) Hilfssatz: Sei V regular er Q-Ra um, dim V 2: 3, a E QX mit a > 0 falls ind Voo = O. Dann exist iert ein u E SO(V ) mit Spinornorm S N u = a .QX2. Beweis: Ist dim V 2: 4, so ist q(Vp) = Qp . Fur dim V = 3 ist ind Vp > 0 fur fast alle p und dah er aueh q(Vp) = Qp. Wenn dim V = 3 und ind Vp = 0 ist , so ist c ;j:. 0 genau da nn nieht aus q(Vp), wenn ind(Vp ..1 (- c}) = 0 ist. Darau s folgt , da Vp ..1 (- c) vierdim ension al ist , d(Vp) . c = Q; 2 und weit er c E dVp . Q; 2. Wir suehen jet zt Vektoren xp, YP E Vp mit q(x p)q(yp) = a fur alle Primst ellen p. Fur die p mit q(Vp ) = Qp und fur p = 00 gibt es offenbar solche Vektoren . Fur die restli chen p wahl e man bp E mit bp f/. Q; . dVp U Q; 2 a . dVp. Da es mindest ens vier Quadratklassen gibt, exist iert ein solches bp. Naeh Wahl von bp gibt es dann x p mit q(x p) = bp und yp mit q(yp) = ab; l . J etzt approximiere man x p fur die endlieh vielen Ausn ahme-p und p = 00 so gut dureh ein x E V, daf q(x)jq(x p) E Q;2 ist . Dann exist iert ein y E V mit q(y) = aj q(x) naeh dem Sat z von Minkowski- Hasse . Denn fur die p mit q(Vp) = Qp ist die Gleiehung q(y) = ajq(x ) losbar , und fiir die restliehen p ist ajq(x) = q(x p)jq(x) . q(yp). Da q(x p)jq(x) ein Quadrat ist , liefert ein geeignet es Vielfaehes von Y P eine Losung, Also ist w = SxSy eine Losung der geforderte n Art.

Q;

(25.6) Es lohnt sich noeh zu untersuehen , wann die Vorau ssetzungen (*) erftillt sind . Dab ei set zen wir q(L ) ~ Z vorau s. Im Falle p ;j:. 2 ist L p or thogonale Summe eindimensionaler Summanden , L p = ..l(aipC>·} , a, E Kommen unt er den Exp onent en (};i zwei gleiehe vor: (};i = (};j, i ;j:. i , so spalte t L p einen ort hogonalen Summanden C M ab mit zweidime nsionalem regular en M, c = t/", un d wir hab en q(M) 2 naeh (15.7), also

Z;.

z;

S N(SO(L p)) 2 S N(SO (CM ) = S N( SO( M )) 2 Z;Q;2 . Unter den (};i kommen sieher dann zwei gleiche vor, wenn L:~ (};i < L:~-l i = n( n - 1) , d.h . dL nicht dureh p n (n-l) / 2 t eilbar ist . 2 Fur p = 2 ist £ 2 lau t (15.1) orthogonale Summe ein- oder zweidimensionaler Gitter ; dabei zeigt der Fall b2 ) im Beweis von (15.1), daf die zweidimensionalen Summan den von der Form C M mit regular em M sind. Wenn ein solcher Summand vorkommt, so gewinnt man die Aussage (*) wie im Fall p ;j:. 2. Ist andere rse it s L 2 = ..l(ai2C>i}, ai E so betraeht en wir zuerst den Fall , daf mindest ens dr ei der Exponenten (};i = (};j = (};k, i ;j:. j ;j:. k ;j:. i gleich sind . Dann b esitz t L 2 einen dr eidim ensionalen Summanden , C M , c = 2C>i, M = Z2ei ..lZ2ej..lZ2ek, der orthogonal spaltet: M = Z2(ei + ej + ek) ..lN mit zweidimensionalem regularen N , so daB wir wie im Fall p ;j:. 2 weit er sehlieBen konnen.

Zi,

Die Voraussetzung (*) ist fur p = 2 auch da nn erfiillt, wenn un t er den Exponenten (};i zwar keine drei gleiehe vorkommen , aber dr ei, die sieh urn

106

VIII. Approximationssatze und indefinite Formen

hochst ens 1 unterscheiden . Unt er diesen kommen dann zwei gleiche vor, etwa Qk = Qj , auch zwei ungleiche, etwa Qm = QI + 1. Schreiben wir £ 2 = ..l(a i 2Qi ) = ..lZ2ei mit b(ei , ei ) = ai2Qi, ai E Z;, so ent halt 0 (£2) die vier Spiegelungen Sa mit a = ej, ej +2ek, ei und ei +e m . Modulo Q;2 ent halt SN(SO(£2» , dann die Quotienten q(ej +2ek)/q(ej ) = 1 +4ak/aj == 5 mod 8 und q(el + em)/ q(et} = 1 + 2a m/al == 3 mod 4 und damit ganz Z;Q;2 . Ordnen wir jetzt die Qi, die wegen q(£) und ist dabei

~

Z aIle

~

1 sind , der GroBe nach ,

n

L Qi < 1 + 1 + 3 + 3 + 5 + . ..

(n Summanden )

I

so ist mindestens einmal Q2jH < 2j + l, und unter den Zahlen QI, Q2,.. . ,Q2jH gibt es mindestens drei aufeinand er folgende, die sich urn hochstens 1 unterscheiden . Wir erhalten (25. 7) Satz S ei V reguliirer Q-Raum, n = dim V ~ 3, L C V ein Gitter mit 2 q(£) ~ Z . Di e Determ inante det£ sei nicht durch 2[(n +1)/2] und fur kein e ung erade Primzahl p durch pn(n-I )/2 teilbar. Dann best eht das Geschlecht von L nur aus eine m Sp inorgeschlecht.

26 U nimodulare Gitter Mit den bisherigen Ergebnissen dieses Kapitels stehen uns kraftige Hilfsmittel zur Untersuchung insb esondere indefiniter quadratis cher Formen zur Verftigung. AuBerdem hab en wir in den Abschnitten 20 und 21 gezeigt, daB es zu gegebener Variablenzah l n und Determinante d, bzw. zu gegebenem Geschlecht nur end lich viele Isomorphieklassen gibt und in (20.7) einige kleine Werte n und d behandelt. Wir wollen dies auf etwas grofiere n ausdehnen und betrachten dazu neben den regularen allgemeiner die sogenannten unimodularen Gitter.

(26.1) Sei Rein Hauptidealring mit Quoti entenkorper K, dessen Charakteristik nicht 2 ist, Vein regularer quadratischer K - Vektorraum mit qua dratischer Form q und zugehoriger Bilinearform b. Ein R-Gitter L in V heiBt -

ganzzahlig, wenn b(£ , £) ~ R , gerade, wenn b(x , x ) E 2R ist ftir aIle x E L, also q(£) ~ R, ung erade, wenn L ganzzahlig, aber nicht gerad e, un imodular, wenn L ganzzahlig und det L ~ R X / R x2 ist .

Urn die unimodularen Z-Git ter zu klassifizieren, betrachten wir vorweg die ents prechenden Q-Raume und Zp-Gitter , insbesondere die tiber Z2, und beweisen zuerst den

26 Unimodulare Gitter

107

(26.2) Hilfssatz Lund L' seien zwei unim odul ar e Z -Gitte r mit der gleichen Signatur (r , s) (im Sinne von (9.6)) . Dann ist Zp L ~ Zp L' fiir aIle ungerad en Primzahlen p und QL ~ QL' . Beweis: Beide Gitter hab en die gleiche Determinante d = (-1 Y, werden daher fiir p i 2 tiber Zp / pZp isomorph (12.5), und diesen Isomorphismus kann man nach Zp heben (15.6). Weit er folgt QpL ~ Qp L' fiir pi 2, und dies impli ziert die Gleichheit der Witt-Invarianten c(QpL ) = c(Qp L'), zuerst fiir p i 2 und 00 , dann fiir p = 00 wegen der Ubereinstimmung der Signaturen , und schlieBlich fiir p = 2 wegen der Produktform el (18.5). Nach (16.9) ist Qp L ~ QpL' fiir aIle p, also QL ~ QL ' nach Minkowski-Hasse (19.1) . (26 .3) Hilfssatz J edes ungerad e unim odulare Z2-Gitter besit zt eine Orthogonalbas is. Beweis: Wir fiihren den Beweis durch Induktion tiber die Dimension n des Gitters L. Sei el E L zuna chst beliebig mit ungeradem b(el , el ) =: al . Dann ist al E Z;, und weil L unimodul ar ist , spaltet el ab: L = Z2el ..L M mit unimodular em M . Wenn M ungerade ist , konnen wir unmittelbar die Indukti onsannahme anwenden. Anderenfalls andern wir el wie folgt aboWir wahlen e2, e3 EMmit b(e2, e3) = 1 und ersetzen el durch e~ := el + e2. Dann ist b (e~ , e~) = al + b(e2, e2) immer noch ungerad e. Fern er gilt e; := el - ale3 E e~..l = M ', und b(e; , e; ) = al + aib(e3, e3) ist ungerad e. Wir sind also mit e~ in der Situation des ersten Falls. (26.4) Zusatz. Die Orthogonalb asis {el , .. . , en } in (26.3) kann so gewahlt werd en , daB ai = bie«, e.) E {±1} ist fiir i = 1, .. . , n - 1. Ist namli ch ai == ±1 mod 8, so kann man e~ = te, ansetze n und t so bestimmen , daB b (e~ , eD = t 2ai = ±1 wird. Ist dagegen ai == ±3 mod 8, und i < n , so ersetze man zunachst ei durch e~' = ei + 2e n mit b(e~' , = ai + 4a n == ai + 4 == ± 1 mod 8, erganze e~' zu einer Orthogonalbasis von Z 2ei..LZ 2en und ist dann in der Situation des ersten Falles. Sukzessive .Anderung der ei fiir i = 1, .. . , n - 1 ergibt die Behauptung.

en

(26.5) Folgerung Hat L die Determinante det L == 1 mod Z;2, ist also n

TI b(ei , ei ) == ±1 mod Z;2, so kann man

i=l fiir aIle i gilt . Dann wird L

~

en so aba ndern, daB b(ei, ei ) = ±1

Z2 Ir,s, wo I r,s wie friiher das Z-Git ter

I r,s = r x (1)..L s x (-1) = I r..L - lIs

und r bzw. s die Anzahl der Ind ices i mit b(ei , ei) gleich 1 bzw. -1 ist. (26.6) Wir wenden uns jetz t den unim odul aren Z-Gittern und ihrer Einteilung in Geschlecht er zu. Geschlechtsinvari anten sind die D et erminante det L , die Signatur (r, s) und die P aritiit, d.h. die Unterscheidung gerade-un gerad e. (26.7) Satz a) Zu j edem Pa ar (r , s) naiiirlicher Zahl en (r = 0, s = 0 zugelass en) existie rt gen au ein Geschlecht ungerader uni m odularer Z- Gitter der S ign atu r (r , s ). Es wird durch das Gitter Ir ,s reptiisentier t.

108

VIII. Approximationssatz e und indefinite Form en

b) Gerade unimodulare Gitt er der Signatur (r, s) existi eren genau dann, wenn r - s == 0 mod 8 ist. Sie qehiiret: alle einem Geschlecht an, das repriisentiert wird durch (s x H ) ..1 (t x E s), falls r ~ s , r = s durch (r x H ) ..1 (t x -IE s ), f alls r :S s , s = r

+ 8t , + 8t ist,

mit H hyperbolische Ebene, e, aus (14.9 ). Speziell gibt es genau dann ein n -dime nsi onales positiv definit es gerades uni m odulares Z -Gitter, wenn n == 0 mod 8 ist. c) Sind r > 0 und s > 0, die Geschlechter aus a) bzw. b) also indefini t, so best ehen diese aus j eweils einer Klass e. Beweis: a) Ir,s hat die gewilnsehte Signatur (r, s) . Ist umgekehrt L ein ungerades unimodulares Z-Git ter der Signatur (r, s), so hab en Lund Ir,s beide die Determinante ±1. Wir konn en also (26.5) auf die Z2-Gitter Z2L und L' = Z2Ir,s anwenden. Zusammen mit (26.2) zeigt das , daf Lund Ir,s im gleichen Gesehleeht liegen. b) Die unter b) genann ten Repr asentanten sind gerade, da H und E s es sind, und hab en die Signatur (r, s), da H bzw. E s die Signaturen (1 ,1 ) bzw. (8, 0) haben. DaB die geraden unim odul ar en Z-Gitter L mit vorgegebener Signatur (r, s) aIle einem Gesehleeht angehoren liegt naeh (16.2) dar an , daB fur jedes p (einsehlieBlieh p = 2) die Lokalisierungen Zp L als quadratisehe Zp-Moduln regular , also in dem naeh (26.2) bis auf Isomorphie eindeut igen Raum QpL maxim al ist. Es bleibt zu zeigen , daf die Bedingung r - s == 0 mod 8 aueh not wendig fur die Existenz eines geraden unimodul ar en Git ters L der Signatur (r , s) ist. Ein solches Git ter ha t notwendig gerade Dimension n = 2m , und wir konnen

eib en sehrrei

'71 1LJ 2

L = '" ..lm . geeignete . i = l \/ 2ai 1 2b1 )mit n ai, bi E i

'71 1LJ2 ·

F"ur diie

m

= detL gilt d = IT(4aibi -1) == (_ l)m mod 4. Andererseits I Es folgt m == s mod 2 und weiter r - s = (n - s) - s =

Determintante d

ist d = (_ l )s. 2(m - s) == 0 mod 4. Den Fall r - s == 4 mod 8 sehlieBen wir nun mittels der Witt-Invariante aus . Da Lund somit jedes Z pL eine regular e quadratisehe Form tragt , ist naeh Satz (16.10) c(QpL ) = 1 fur aIle Primzahlen p, naeh der Produktformel also aueh c(Qoo L ) = 1 und somit r - s ~ 4 mod 8, also == 0 mod 8 naeh (11.13). e) Sind nun unsere Git ter indefinit und fur den Augenbliek die Dimension n mindestens gleieh 3, so besteht naeh (25.4) das Gesehleeht von Ir,s bzw. t X E s ..1 s x H aus nur einem Spinorgesehleeht , und dieses naeh (25.2) aus nur einer Klasse, was sich naeh (20.7) aueh noeh fur n = 2 als riehtig erweist .

Anmerkungen zu Kapi t el VII I

109

Anmerkungen zu Kapitel VIII Der hier behandelte Fragenkr eis der Appr oximation zeigt verschiedene Facetten. Da sind einmal die Unte rschiede zwischen schwacher und starker Approximati on . Wahrend z.B , der schwache Satz (23.5) verhaltnismaflig einfach zu beweisen war , ist dies fur den st arken Satz (24.2) nicht mehr der Fall. Entspr echendes gilt fiir (23.3) (schwach) und (24.16) (st ark) . Allerdings ist (24.16) nicht fur die spezielle orthogonale Gruppe SO formuliert, sond ern fur die Spingruppe bzw. den Kern 0' der Spinornorm . Tatsachlich ist die ents prechende Aussage fiir SO nicht richtig, wovon man sich anha nd von Beispielen ilberzeugen kann . Der tiefere Grund hierfiir ist in der Tatsache zu sehen, daB SO als linea re algebraische Gruppe die Spingruppe als zweiblattrige Uberlageru ng besitzt , wahrend diese keine echte Uberlagerun g zulaBt, also "einfach zusammenhangend" ist. Fur diese Sicht der Dinge vergleiche man M. Kn eser, Starke Approximation in algebraischen Gruppen I, J. reine angew. Math. 218 (1965) , 190 - 203, und Strong Appro ximation, in: Algebraic groups and discontinuous subgroups (Proc. Symp. Pure Math. IX) , Boulder 1965, 187 196 , oder das Han dbu ch V.P. Pl atonov, A.S. Rapin chuk, Algebraic Groups and Numb er Th eory, Acad emic Press 1993. Der Sat z (24.2) mit £ = 00 ste ht bei G.L. Watson , R epresentation of integers by in definite quadrati c forms, Mathematika 2 (1955), 32 - 38. Von M. Eichler stammen die Begriffe Spinornorm und Spinorgeschlecht und deren wichtigste Eigenschaften sowie in diesem Zusamm enhang die erst en Ergbnisse in Richtung auf Approximationsaussagen. Fur all dies vergleiche man das einfluBreiche Werk [E]. Zum Inh alt von §26 siehe auch Chap. V in J.-P. Serr e, Cours d'A rithmetique, Presses Univers. de France, P aris 1970 = A Course in A rithmetic, SpringerVerlag 1973.

IX. N achbargitter und definite Formen

In §27 zeigen wir, daf sich ein positiv definites Git ter eindeut ig in eine ort hogonale Summe von ort hogonal nicht weiter zerlegbaren Git tern zerlegen Hil3t. In §28 wird die Methode der benachbarten Git ter eingefUhrt, mit der man un ter relativ schwachen Bedin gun gen samt liche Gitter eines Spinorgeschlechtes konstruieren kann. In §29 befassen wir uns mit Darstellungen einer nattirlichen Zahl durch ein positi v definites Git ter. Es wird ein ganzzahliges Analogon des Satz es von Minkowski und Hasse bewiesen , namli ch daf eine iiberall lokal darstellbar e Zahl, die allerdings geniigend grof sein muB, auch globa l dar gestellt wird.

27 U nzerlegbare Gitter Wir zeigen in diesem Abschnit t , daB sich ein positiv definites Z- Gitter in eine orthogona le Summe von orthogona l unzerlegbaren Git tern zerlegen laBt , und daf diese Zerlegung sogar eindeutig ist (nicht nur eindeutig bis auf Isomorphie). Hierdurch wird insbesondere das Klassifikationsproblem fiir positiv definite Git ter auf die Klassifizieru ng der unzerlegbaren Gitter zuriickgefUhrt. (21.1) Definition Ein Git ter heiBt unzerlegbar, falls es keine orthogonale Summe von zwei echten Teilgit tern ist . Ein Vekto r x in einem Git ter L heiBt unzerlegbar, falls er sich nicht in der Form x = y + z mit y, z E L , y "I 0, z "I 0, b(y , z) = dar stellen lasst,

°

(21.2) Satz J edes Gitter L in eine m posit iv defin it en Q- Raum besit zt eine Zerlegung L = .LLi in unzerlegbare Teilgitter Li, Diese sind dur ch L bis auf die R eih enfolge ein deutig best immt.

Beweis. Sei L = .LL~ irgend eine ort hogonale Zerlegung. Sind dann in x = I: Xi mindeste ns zwei der Xi "I 0, so ist x zerlegba r. Dementspr ehend liegt jeder unzerlegbar e Vektor in einem der L~ , und zwei unzerlegbar e Vekt oren, die nicht orthogona l zueina nder sind, liegen in demselben L~ . Wir wollen zwei unzerlegbar e Vekto ren y, z "verbunden" nennen , wenn es unzerlegbar e Vekto ren Xo = y , Xl ,··· , Xr = Z gibt mit b(Xi-l,Xi) "I 0. Zwei verb undene unzerlegbar e Vekto ren liegen also in demselben L~ . "Verbunden" ist .Aquivalenzrelation . Bezeichnet man mit K; die .Aquivalenzklassen und mit L , die M. Kneser, Quadratische Formen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

112

IX. Nachbargitter und definite Form en

von den K, erzeugten Unte rgitter, so liefern die L , die gewiinschten Summa nden . Es ist namli ch b(Li ,Lj ) = 0 fiir i f:. i , da b(Ki ,Kj ) = O. Fern er ist L = L: L i, da man jeden Vekt or x f:. 0 als Summe un zerlegbarer Vekt oren schreiben kann: Ist x nicht schon selbst unzerlegbar, so ist x = Y + z mit 0< q(y), q(z) < q(x ). Fortset zen dieses Verfahrens liefert nach end lich vielen Schri t t en eine Zerlegung in unzerlegbar e Vekt oren. Insgesamt ist L = .1.L i . Ist nun L = .1.Lj eine beliebige Zerlegun g, so liegt jedes L, ganz in einem Lj. Die L, sind nach Konstruktion unzerlegbar . Sind es auch die Lj , so ist

L i = Lj . (27.3) Bemerkung. a) Zur pr aktis chen Durchfiihrung dieses Verfahrens reicht es, ein Erzeugend ensyst em in unzerlegbar e Vekt oren zu zerlegen und die hierauf induzierten Aquivalenzkl assen zu betracht en. b) Wenn ein Gitter eine Menge von unzerlegbar en Vektoren ent halt, die in einer Aquivalenzklasse liegen und ein Teilgit t er von endlichem Ind ex erzeugen, so ist das Gitt er unzerlegbar. (27.4) Beispiele (vergl. (1.21) und (14.9» a) Fiir I n = .1. ~1 (1) sind die Z ei die orthogonal unzerlegbaren Summanden . b) An = {L: X i ei E I n+ 1 I L: Xi = O} ist unzerlegba r. Beweis: Nichverschwind end e Gitt ervektoren kiirzest er Lan ge sind unzerlegbar. In diesem Fall sind das die Vektoren e, - ej , i f:. i , und diese erzeugen ganz An . Fiir j f:. i f:. kist b(e i - ej , e, - ek ) f:. 0, also liegen alle kiirzest en Vekt oren in einer Aquivalenzklasse . c) o; = {L: Xi ei E In I L: X i == 0(2)} ist flir n ~ 3 unzerlegbar. Beweis: Die kiirzest en Vektoren sind von der Form ±ei ± ej , i f:. j. Fiir n ~ 3 liegen wieder alle diese Vekt oren in einer Aqui valenzklasse; fiir n = 2 ist D 2 = Z(e l + e2) .1. Z(el - e2) die Zerlegun g in Unzerlegbare. d) ii; = D n + Z ~ (el + ... + en ), dab ei n == 0 mod 4, ist flir n > 4 un zerlegbar , wie man mit t els (27.3.b), an gewend et auf die kiirzest en Vektoren e ; ± ej , erkennt. Fiir n = 4 ist D4 ~ 14 , denn in D4 hab en wir die ort hogonalen Einheits1_( 2' 1111) 1_(1111) 1_(111 1) vekt oren e 1 2 ' 2' 2 ' e2 2' 2 ' - 2' - 2 ' e 3 2' - 2' 2' - 2 '

1_(1111)

e 4 - 2 ' - 2 ' -2 ' 2 . Dieses Resultat war nach den Ergebniss en der Reduktionstheorie (20.4) zu erwarte n; es gibt nur eine Klasse 4-dim ensional er ganz zahlig er Gitter der Det erminante 1. e) Unter einer Partition einer natiirlichen Zahl n versteht man eine Zerlegung n = nl + n 2+· · .+n r in ganze, positive Summanden nl~ n2 n r . J eder solchen P ar tition ordne man das Z-Git te r .1.r=l D Sn i zu. Nach d) und (27.2) ents prechen so verschiedenen Par t iti onen nicht isomorphe Git t er , und die Anzahl der Klassen gera der unimodularer posit iver Git t er der Dimension 8n ist mindestens so grof wie die der P ar ti tionen von n. Insbesond ere st rebt sie mit n gegen 00 .

:s ... :s

28 Best immung von Klassen in einem Geschlecht

113

f) E 6 , E 7 und E s sind un zerlegbar. Das folgt aus (27.3.b) mit den Minimalvektoren ! (el + ... + es) und e, + ej , (i , j ::; 5 resp. 6,7). Die folgend e Kiirzungsregel ist eine unmi ttelbare Folgerung aus (27.2) (27.5) Satz Sin d L , M , N positiv definit e Z -Gitter mit L ..L M so ist M ~ N .

~

L ..L N ,

Beweis. Man zerlege L , M und N in orthogonal unzerlegbare Komponent en, L = ..L L i , M = ..L M j , N = ..L N k • Dann kommt jeder unzerlegbare Summ and bis aufIsomorphie ebensooft unter den {L i' M j } vor wie unt er den {Li' N d. Das gilt dann auch fur die Familien { M j } und {Nd , also ist M ~ N . (27.6) Die Behauptung (27.5) ist fur indefinite Gitter falsch. Addiert man namlich zu zwei nicht isomorphen Gittern M , N aus einem Geschlecht die hyperbolische Eb ene H , so liegen H ..L N und H ..L M in einem Geschlecht. Sie liegen nach (25.4) in einem Spinorgeschlecht, denn jede Komplettierung spaltet einen zweidimensionalen regular en Summ and en aboWeil im indefiniten Fall jedes Spinorgeschlecht nur eine Klasse ent halt (25.2), liegen sie sogar in einer Klasse.

28 Bestimmung von Klassen in einem Geschlecht Die klassische Reduk tion stheorie gestattet es im Prinzip, wie wir in §20 gesehen hab en , aIle Z-Git ter einer festen Dimension und Det ermin ante aufzuliste n, da sie die Koeffizient en einer geeigneten Gram-Matri x, d.h. die Lan gen der Vektor en einer sogena nnten "reduzierten" Basis einschrankt . Allerdings ist dieses Verfahren schon fur recht kleine Dimensionen (etwa ab 5) mit erheblichem Rechenaufwan d verbunden. Ind efinite Formen haben wir im vorigen Kapitel mit Hilfe von Approximationssat zen untersucht, hab en dab ei gezeigt, daf Spinorgeschlechter und Isomorphieklassen zusa mmenfallen (25.2), und sind haufig einklassigen Geschlechtern begegnet (26.7c). Gan z anders liegen die Verh altnisse bei definiten Formen. In den Beispielen (27.4e) wachst die Klassenzahl unb eschrankt mit der Dimension n , wahr end die Determinante beschrankt bleibt (namlich gleich 1). Diese Beispiele lassen groBere Klassenzahlen erwarte n, zu deren Bewaltigung wir jetzt ein Verfahr en zur Konstruktion von Gittern vorstellen, das der benachbart en Gitt er. Es ist recht effizient und hat zudem den Vorteil, daf es unter geeignete n Voraussetzungen gezielt die Git ter eines bestimmten Geschlechts , und diese vollst andi g, produz iert. Diese Methode beruht letztlich auf dem st ark en Approximati onssatz sowie der Tatsache, daf lokale Raum e ab der Dimension 5 immer positiven WittInd ex hab en. (28.1) Sei L ein Z-Gitte r in einem positiv-definiten quadratischen Q-Vektorraum V . Wir wollen die Gitter M aus dem Spinorgeschlecht von M bis

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IX. Nachbargitter und definit e Formen

auf Isomorphie klassifizieren . Ausgangspunkt dazu so11 die ApproximationsAussage (25.3) sein. Wir wahlen daher eine Primzahl p mit ind Vp > 0, was nach (16.6) aut oma tisch zutrifft, wenn etwa dim V = n ~ 5 ist , und halten diese im folgend en fest. J ede Klasse im Spinorgeschlecht ent halt da nn ein Git ter M eV mit Ml = L l ftir a11e Primzahlen ef= p , und wir haben M =

n(V n l

M l) S;;

n(V n

l#p

L l ) = Z[~]L

nach (21.5), also Z[~ ]M = Z [~ ] L. Es gilt also prL S;; M S;; p- rL fiir genugend groBe r. Sind M S;; N zwei derartige Git ter und prL S;; M S;; N S;; p-r L , so ist der Gruppenindex [N : M] ein Teiler von [p-r L : pr L] = p2nr, also eine Potenz von p. (28.2) Dem Begriff des Nachbargitters liegt die Idee zugrunde, daf zwei Gitter L, M in Z[~]L = Z[~]M gewisse Gemeinsamkeiten aufweisen, wenn sie einen groBen Durchschnitt L n M , also kleine Indi ces [L : L n M] und [M : L n M] haben. Die Rechnung det (L n M) = [L : L n M]2 det L = [M : L n M ]2 det M (nach (14.7)) zeigt , daf diese Indices den gleichen Wert hab en, etwa [L : Ln n M] =: p", falls det L = det Mist. Unt er dieser Voraussetzung nenn en wir den Exponenten s den p-Abstand von Lund M . Wenn s = 1 ist , so sagen wir , Lund M seien bena chbart , M ein Na chbar von L. M] = [M : L

(28.3) Wir werden allerdings nicht ganz beliebige (ganzzahlige) Z-Gitter M in Z [~] L betrac hte n, sondern nur solche, die eine vorgegebene Determinante d = det L = det M hab en und nicht in einem echt groferen ganzzahligen Gitter ent halten sind. Diese Bedingung , die wir von jetzt ab fur den ganz en Rest des Abschnit ts 28 voraussetzen, ist z.B, erftillt, wenn det M nicht durch p2 te ilbar ist , oder auch dann (und bei p f= 2 nur dann), wenn ZpM maxima l in Qp L ist (14.10). Urn nun , ausgehend von einem gegebenen Git ter L , weitere Git ter in Z[~] L zu erhalte n, formulieren wir den (28.4) Satz Sind L f= M zwei Gitter in Z[~]L = Z[~]M mit der Eigenschaft (28.3) und gleich er D et erminante, so gibt es eine K ette L = L o, L 1 , • • . , L ; =

M von ebensolchen Gittem , bei der L i - 1 und L , bena chbart sind fu r i = 1, ... , r . Wenn p = 2 is t un d L un d M gerade sin d, so kiinnen auch alle L i gerade gewiihlt werden.

Dan ach zeigen wir in (28.7), wie man alle Nachbarn eines Gitters bestimmen kann. Das daraus sich ergebende Klassifizieru ngsverfahren, von einem Git ter a11e Nachbarn zu bilden, von diesen wieder alle Nachbarn, und so fortzufahren, demonstrieren wir dann am Beispiel der definiten unimodul ar en Git ter.

28 Bestimmung von Klassen in einem Geschlecht

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Der folgend e Hilfsatz ent halt einen wesentli chen Teil des Beweises von (28.4). (28.5) Hilfssatz Die Voraussetzungen seien wie in (28.3). Wenn y E L <, pL ist mit b(y, y) E p27l , so ist

L( y) := Ly + 7l~y mit L y := {x ELI b(x ,y) E p7l} ein ganzzahliger p-Nachbar von L. J eder ganzzahlige p-Nachbar ist von dieser Form. Beweis: Das Gitter L(y) ist nach Konstruktion gan zzahlig. Die Abbildung L -+ (Q, x I-t b(x, y) nimmt wegen y E L ihre Werte in 7l an; ihr Bild ist nicht in p7l ent halten , denn sonst war e L y = Lund somit L(y) ein ganzzahliges echtes Ob ergitter. Sie induzi ert also eine Surjektion L -+ 7ll p7l, deren Kern definitionsgernaf gleich L y ist . Also ist [L : L y] = p. Offensichtlich ist piy = y ELy , wegen iy fI List also [L(y) : L y] = p und weiter L n L (y) = L y, also L(y) und L Nachbarn. Zu zeigen ist noch , daB L(y) wieder der Bedingung (28.3) gentigt, d.h . maxim al unter den ganzzahligen Gittern ist . Nehmen wir also an , es gabe ein ganzzahliges echtes Obergitt er K :J L(y) . O.B.d.A . sei K = L(y) + 7l~ z mit z E L (y) <, pL(y) Wir wollen mit Hilfe dieses Vektors z ein ganzzahliges echtes Obergit ter von L konstruieren und so zu einem Wid erspruch kommen. Schreibe L = L y + tlx mit x E L <, Ly und somit b(x , y) =t 0 mod p. Nach Definition ist iy E L( y) ; wir konnen also z durch z' := z +c y, c E 7l ersetzten und hab en immer noch K = L(y) + 7l ~z' . Es ist b(z , x) = b(~ z ,px) E 7l, weil lp z und px beide in K liegen. Fur geeignete Wahl von c E 7l ist also b(z' , x ) = b(z , x ) + cb(y, x ) == 0 mod p. Wir ersetze n z durch z ' und nehmen somit im folgend en b(z , x) E p7l an. Wir betrachten zunachst den Fall ~ z E L. Wegen ~z fI L y (dan n ware K = L ) ist dann L = Ly + 7l~ z , und weiter ist K' := L + 7l~y = L y + 7l ~ y + ein echtes Obergitter von L. Weil ly und lp z beide in K liegen, ist 7llz p p b(ly , lp z) E 7l und somit K' ganzzahlig, was in diesem Fall den gewunschten p Wid erspruch liefert. Wir betrachten nun den Fall ~ z fI L . Das Git ter L' := L+ iz ist dann ein echtes Ob ergit ter von L . Es ist L' = Ly+ 7l x+~ z , und wegen b(x , ~ z ) E 7l ist L' gan zzahlig, was auch in diesem Fall den gewtinschten Wid erspruch liefert. Wir kommen nun zum Beweis des letzten Teils des Hilfssatz es. Sei M ein ganzzahliger Nachbar von L. Wahle irgendein y E pM <, pL. Dann ist b(L , y) ~ p7l, denn sonst war e L y = Lund weiter L(y) ein echtes ganzzahliges Obergitter von L . Offensichtli ch ist L n M ~ Ly. Insgesamt hab en wir also die Inklusionsket te L n M ~ c; ~ L mit [L : L n M] = p, also notwendig L n M = L y und weiter M = L y + 7l ~y = L(y).

(28.6) Beweis von (28.4). Wir fiihren den Beweis durch Induktion tiber den Abst and s von M zu L. Im Fall s = 1 ist nichts zu zeigen. Sei nun

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IX . Nachbargit te r und definit e Formen

s ~ 2. Wahl e in M / L n M ein Element der Ordnung p und hierftir einen Vert reter 11 E M . Dann gilt fur y := pY, daf y E L <, pL und b(y ,y) E p 2 71 (bzw. 871 im Fall p = 2, M gerade). Wir konnen also den ganzzahligen (bzw. gerad en Nachbarn L(y) von L bilden. Wir behaupten, daB L(y ) einen echt kleineren Abstand zu M als L hat , was den Beweis durch Indukti on beendet . Genau er ilberlegen wir uns, daB L(y) n M ~ L n Mist. Fur x E L n Mi st b(x , y ) = pb(x , 11) E p71 , also x EL y. Es folgt L n M = L y n M und somit Ln M ~ L( y )nM. Andererseit s ist 11 E L (y ) nM <, LnM, somit die Inklusion echt, wie behauptet . Fur die pr aktische Dur chfiihrung der Nachbarmet hode wird der folgende einfache Hilfssatz standig benutz t . (28.7) Hilfssatz Die Vorauss etzungen seien wie in (28.3) a) Die Nachbarn L(y) und L(y') mit y' = y + z stimmen iiberein, wenn z E pL und b(y , z ) E p71 ist (also z E pLy ist). b) J edes u E O(L) induziert eine Isometrie des Nachbarn L(y) auf den Nachbarn L (uy ). Beweis: a) Fur z = y' - Y E pL gilt offensicht lich L y = L y' und weiter L(y') = L y' + 7li Y' = L y + 7li (y + z ) = L y + 7li Y, falls z E pLy. b) ist offensicht lich.

Wir kehren nun zu den in §26 behand elten unim odul aren Git tern zuriick und illustrieren die Durchftihrung der Nachbarm eth ode in einigen Dimensionen. (28.8) Satz a) Di e Klass enzahl der positiv defin it en un geraden uni mo dularen Gitter der Dimension n ist fu r n ::; 8 gleich 1 mit Vertret er In fu r n = 9,10,11 gleich 2 m it Vert ret ern In, E s .1 I n- s fur n ~ 12 m indst ens gleich 3 mit Vert ret ern In, E s .1 I n- s , D 12 .1 I n - 12 . b) Die Kla ssenzahl der posit iv definit en geraden unimodularen Gitter der Dim ension n ist fur n = 8 gleich 1 m it Vertret er E s _ fur n = 16 gleich 2 m it Vertret ern E s .1 E s und D 16 fur n = 24 gleich 24 . Wir bemerken zunachst , daB die im Sat z (auBer fur n = 24) angegebenen Gitter offenbar die gewilnschte n Eigenschaften (ganzzahlig, unim odular, ungerade bzw. gerade) hab en und wegen der Eind eutigkeit der Zerlegung in Unzerlegbare (27.2 ) paarweise nicht isometrisch sind. Die Klassenzahlen sind also offenbar mind estens so groB, wie im Satz angegeben. Den Beweis des Satzes gemaf (28.1) und (28.4), also die Bestimmung aller (iterierten) Nachbarn , fuhren wir fur n ::; 11 in den folgenden drei Abschnit ten durch. Fur gerade Git ter der Dimension n = 16 ist die vollstandige Durchfuhrung der Nachbarmethode bereits recht miihsam. Wir verzichten an

28 Bestimmung von Klassen in einem Geschlecht

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dieser St elle dar auf und werden in Kapit el X einen Beweis mit einer ganzlich ander en Methode gebe n. Fur n :::; 7 ergibt sich der Beweis von (28.8) unmittelbar aus folgender Uberlegun g. (28.9) Die ganzzahligen 2-Nachbarn von In sind bis auf Isom etrie genau die Gitter ii; ..1 I n - m mit m == 0 mod 4, 0 :::; m :::; n , m i- 4 (vergl. (14.9. a), (27.4.d)). Zum Beweis betracht en wir einen beliebigen Nachb arn In (y) mit y = L, Yiei , Yi E Z, nicht aIle Yi E Z, und schranken die Vektoren y gemaB (28.7) ein. Falls ein Yi E 2Z ist, so erse t ze man y durch s' = y - Yiei. Man kann also Yi = 0 erreichen . Ist Yj = 4z j ± 1, so erset ze man y durch y' = y - 4Zj ei . Man kann also Yj = ±1 erreichen. Nach (28.7.b) kann man noch die ej mit ±1 mul tiplizieren und dadurch Yj = 1 erreichen. Nach Permutation der e; bleibt fur y = Ym nur noch die M6glichkeit Yi = 1 fiir i = 1, ... ,m, Yi = 0 fur i = m + 1, . . . ,n. Es ist b(y , y) = m ; da dieser Wert in 4Z liegen solI, muf m == 0 mod 4 sein . Den Nach barn D4 ..1 I n- 4 fiihr en wir nicht auf, da er isometrisch zu In ist. Fur n = 8 erhalte n wir als Nachbarn Is und Ds = E s . Es bleibt zu zeigen, daB die einzigen Nachbarn von E s bis auf Isornet rie E s selbst und Is sind . Hierzu st ellen wir zun achst eine Vortibe rlegung an. Wir bemerken, daf q(x) = ~ b (x,x ) eine regular e qu adratische Form auf E s ist , also eine regular e quadratische Form ij au f dem ~-Vektorraum E s / 2E s induziert . Wir zeigen nun: (28.10) Die ort hogonale Gruppe O(Es ) op eriert jeweils transi tiv auf den Restklassen v E E s/2Es mit ij (v ) = 0 bzw. = 1, auf den Vekt oren v E E s mit q(v) = 1 und den zu A 2 isometrischen Unt ergit t ern von E s . Beweis: Wir zeigen, daf der Reduktionshomomorphismus O(Es) -t O(Es/2Es) surje kt iv ist. Da nach dem Wittschen Fortset zun gssatz (3.4) die Gruppe O(E s/ 2Es ) tran sitiv auf den genannte n Mengen op erier t, folgt unmit t elbar die Behauptung tiber die Restkl assen , ent sprechend auch die Tr ansitivitat auf den zu A 2/2A 2 isomorphen Unt er aumen von E s/2Es . O(E s/2Es ) ist nach Satz(3.5) von Spiegelun gen bzgl. nicht- singular er Vekt ore n v , also ij (v ) = 1, erzeugt. And ererseits liefert jeder Vekt or v E E s mit q(v) = 1 ein e Spiegelung B v : x - b(x , v)v, die E s invari ant laBt. Es reicht also einzusehen, daf jed e nicht singular e Restklasse v ein v E E s mit q(v ) = 1 ent halt , was dann auch die gewtinschte Tr an sitivitat auf diesen Vektoren mit liefert . Dieses ergibt sich aber durch einfaches Abzahlen: E s ent halt 240 Veks toren v mit b(v , v) = L, = 2, namli ch die 112 Vektoren ±ei ± ej E D« i ==l

v;

sowie die 27 Vektoren (± ~, ± ~, . . . , ± ~) mit einer geraden Anzahl von Minu sZeichen . Weit er liegen zwei Vekt oren v und w mit q(v) = q(w ) = 1 nur dann in derselben Klasse mod 2Es, wenn v = ±w ist. Denn sons t war e b(v , w) = 0

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IX. Nachbargit te r und definit e Formen

oder b(v , w ) = ±I , fiir x := v =r w wiirde also q(x ) = 2 bzw. q(x ) = 1 und x E 2E s gelten , was offensichtli ch unmogli ch ist. Die 240 Vektoren v E E s mit q(v) = 1 tr effen also 120 Restklassen v E E s /2Es . Nach der Anzahlformel unter (13.6) in Kapitel IV sind dieses aber alle nichtsingularen Restkl assen von E s/2E8 ~ 4 x H. Die Tr ansitivitat auf den zu A z isometrischen Unte rgittern folgt nun leicht aus der ents prechenden in E s / 2E s, zusammen mit der Tatsache, daf diese Untergitter von Vektoren mit q(v ) = 1 erzeugt werd en. (28.11) Bei der Bestimmung der Nachbarn Es(y ) sind nur Vektoren y mit b(y , y ) == 0 mod 4, also q(y) = 0 zu beriicksichtigen. Nach (28.7.b) und (28.10) brauchen wir fiir die Klasse y = y + 2E s nur eine Moglichkeit zu betracht en; wir wahlen als Repr asentanten 2el = (2, 0, ... , 0). Damit liegt das bei der Nachbarbildung verwendete Teilgitter Es,y bereits fest ; es ist Es,y = E s n Z S = D«. Der Nachbar Es(Y) han gt na ch (28.7.a) nun nur noch von der Klasse y + 2D s abo Da D s in E s den Ind ex 2 hat, gibt es hierfiir genau zwei Moglichkeiten. Als Reprasentanten wahlen wir YI = 2el und y z = -2el +2(~, 00 . , ~) = (-1 ,1 ' 00 . ,1) . Der erste Nachbar E s (y d ent hal t den Vekt or e l mit b(el , e d = 1), der also orthogonal abspaltet. Das ort hogonale Komplement ist ein Git ter der Dimension 7 und Det erminan te 1, nach dem bereit s bewiesenen Teil des Satzes (28.8) also isometrisch zu h. Somit ist Es(y d ~ Is. Fur den zweiten Nachbarn gilt Es(Yz) = Ds + Z~ Yz = uE s, wobei u die dur ch U(XI, ... ,xs) = (-Xl , Xz, · .. ,Xs) gegebene Isometri e von V = Q'! ist. (28.12) Wir wollen nun zeigen, daf jeder Nachbar von L = E s .L Ik, k = 1,2,3 isomorph zu L oder zu I S +k ist . Es reicht zu zeigen, daf jeder solche Nachbar einen Vektor der Lange 1, v , d.h. b(v , v ) = 1 ent halt; damit reduzieren wir namli ch die Behaup tung auf den bereits bekannte n Fall n = 8. Nach (28.9) und (28.11) reicht es fern er aus, Nachbarn L (y) von L = E s .L h , y = YI + Yz, YI E Es,yz E h mit YI -:t 0 -:t y z mod 2 zu betrachte n. Wegen (y, y ) == 0 mod 4 muf (yz ,yz) == 0 mod 2 sein. Das scheidet zunachst einmal den Fall k = 1 aus; weiter konnen wir durch Aband erung modulo 2h erreichen y z = eg + elO , wobei wir mit eg usw. die kanonischen Basisvektoren des zweiten Summanden Ik von L bezeichnen. Weiter ergibt sich nun (YI, YI) == 2 mod 4, und nach (28.11) konnen wir annehmen YI = el + ez· Zu der nunmehr eindeutig festgelegten Klasse Y + 2L gehoren nach (28.7.a) zwei Nachbarn, namli ch L(y) und L(y'), wobei y' == y mod 2L , aber s' -:t y mod 2Ly ist, d.h. s' = y + 2x mit b(x, y) == 1 mod 2. Wir nehmen x = -eg, dann ist y' = e l + ez - eg + elO und somit L(y) ~ L(y'). Dieses Git ter enthalt wie behau ptet einen Vektor der Lange 1, namlich ~y. (28.13) Zum Abschluss dieses Par agraph en untersuchen wir als weitere Beispiele positi v definite gerade Z-Git ter der Determin ante 3. Vorb ereitend tiberlegen wir uns, daf die Dimension solcher Git ter kongruent zu 2 modulo 4 ist , und daf es in fester Dimension nur ein Geschlecht gibt . Dann zeigen wir, daf

29 Darstellungen durch eine einzelne Form

119

es in den Dim ensionen 6 und 10 jeweils nur ein Gitter gibt, namli ch E 6 bzw. E s ..1 A 2 • Wir benutz en hierzu nicht dir ekt die Nachbarmethode, sond ern filhr en das Problem durch Einbettung auf die Klassifikation unimodularer Gitter der Dim ension 8 bzw. 11 zuruck, Sei also M ein positiv definit es gerade Z-Gitter der Dimension n und Det erminante 3. Nach (4.2) gibt es eine Zerlegung Z 2M = M 1 ..1 . . . ..1 M m in bin are Z2-Gitter M, mit Det erminant e det M, == -1 mod Z;2. Also ist n = 2m gerade, und weit er folgt 3 = det M = det M, == (-1 ) m mod Z; 2, also m ung erad e, n == 2 mod 4, denn 3 ist kein Quadrat in Z2. Von den Invari anten (19.1) des quadratis chen Q-Raumes V = QM haug en die Dim ension dim V = n , die Signatur u(V) = n und die Det erminan te d = 3 t rivialerweise nur von n ab; das gilt auch fiir die Wit t-Invari an t en c(Vp ) = 1 fiir p =I 3,00 (inklusive p = 2) nach (16.3) sowie fiir c(Voo ) nach (11.13) ; es ist c(Voo ) = 1 bzw. - 1 fur n == 2 bzw. 6 mod 8. Nach der Produktformel (18.5) ist C(V3 ) = c(Voo), hangt also ebenfalls nur von n ab. Nach dem Satz von Minkowski und Hasse ist also V durch n bis auf Isomorphie eindeut ig bestimmt , und da det M = 3 quadratfrei, die Gitter ZpM also maxim al sind, gehoren bei festem n aIle betrachtet en Git t er zum gleichen Geschlecht, nach (16.2). Sei nun n = 6 und M ein gerades Git ter der Det erminan t e 3, also im Geschlecht von E 6 • Das Git t er M ..1 A 2 mit Det erminante 32 kann nach Definition von E 6 ub erall lokal in E s eingebettet werd en, insbesondere ist Z3(M ..1 A 2 ) nicht maximal. Ein umfassend es maximales Z 3-Gi tter auf «:fu (M ..1 A 2 ) liefert gema f (21.5) ein gerad es unimodular es Gitter auf Q(M ..1 A 2 ) . Dieses ist nach (28.8b) isomorph zu E s , und dementsprechend M isomorph zum orthogonalen Komplement A.l in E s eines zweidimensionalen Git t ers A der Determinan t e 3. Es ist A ~ A 2 , wie sofort au s (20.1) folgt. Da O(Es ) t ra nsitiv auf den zu A 2 isometri schen Unte rgittern von E s operiert (28.10) , folgt die gewtinschte Isomorphie A.l ~ E 6 • Sei nun n = 10 und M ein gerades Git t er der Det erminan t e 3, also im Geschlecht von E s ..1 A 2 . Da E s ..1 A 2 ..1 (3) ein Unt ergitt er von Index 3 in E s ..1 Is ist , ist M ..1 (3) ein Unt ergitter vom Index 3 eines Git ters N aus dem Geschlecht von E s ..1 Is. Nach (28.8) ist dann N ~ E s ..1 (1,1 ,1) = E s ..1 L: ~=l z-, oder N ~ Ill ' Unser gesuchtes Mist dann ent ha lten im orthogonalen Komplement eines Vektors x E N mit b(x, x) = 3. AuBer im Fall N ~ E s ..1 L:~ z-, x = L:~ ±ei enthalt das orthogonale Kompl ement von x einen Vekt or y mit b(y,y) = 1, was wegen q(M) ~ Z nicht geht . Es bleibt also als einzige Moglichkeit M ~ E s ..1 A 2 •

n

29 Darstellungen durch eine einzelne Form Es sei L ein Z -Git te r in einem positiv definite n quadrati schen Q-Vektorraum V. Mit q(L) wollen wir die Menge aller lokal tiberhaupt moglichen Werte der quadratischen Form q auf L bezeichn en:

120

IX . Nachbarg it te r und definit e Form en

q(L) := {t E Q I t

~ 0,

t E q(ZpL) fiir aIle p}.

Im Fall des gesamten Vektorraumes st att eines Git ters wissen wir nach Minkowski-Hass e, daB die Element e der ent sprechenden Menge, d.h. die in V iiberall lokal darst ellbaren Zahl en , tatsachlich in q(V ) liegen , mit anderen Wor t en , global darst ellbar sind . In diesem Abschnitt werden wir zeigen, daf die ent sprechende Aussag e ftir Gitter imm erhin noch fiir aIle t bis auf endlich viele gilt, sofern die Dim ension mindest ens 5 ist. (29.1) Satz Es sei L ein Z -Gitter in einem positiv definiten quadratischen Q- Vektorraum der Dimension ~ 5. Dann ist die Menge q(L ) <, q(L ) endlich. Ausgangspunkt ftir diesen Sa tz ist , wenn man so will, die Aussage (22.1), gemaf derer jede Zahl in q(L) durch ein Gitter im Geschlecht von L dargeste llt wird. Der eigent liche Beweis ben6tigt abe r noch einige weit ere Ideen und ist relativ lang und t echnisch. Er schlieBt eng an den starken Approximationssatz und seinen Beweis an und ben6ti gt dariiber hin au s genaue Kenntnisse iiber lokale Gitter. Wi r b eweisen zunachst eine Teilaussage: (29.2) Es sei L von der Gest alt L = L' ..L (a) , wobei das Geschlecht von L' nur ein Spinorg eschlecht enthalte, weit er sei f eine Primzahl der ar t , daB QeL' positiven Index hat. Dann exist iert ein Exponent s derart, daB q(fSL' ..L (a)) bis auf endlich viele Ausnahmen in q(L) liegt. Wir werd en sparer die in Frage st ehend e Menge q(L) des ur spriinglichen Git t ers durch endlich viele Mengen der Bau art q(fSL' ..L (a)) iiberd ecken und so den vollen Sa tz (29.1 ) auf die Teilau ssage (29.2) zuriickfUhren. Zum Beweis von (29.2) ben6 t igen wir folgend en einfachen Hilfssatz. (29.3) Unter den Voraus setzungen von (29.2) exist iert ein Exponent s mit ~ q(L').

qW L')

Beweis: Da QeL' positiven Index hat , gibt es nach (25.3) filr jede Klasse im Spinorgeschlecht , also vor au ssetzungsgemaf im Geschlecht von L' , einen Vertreter M, der in V liegt und ZpM = ZpL' fiir aIle p =J f erfiillt. Es mu B also lediglich s so gro B gewa hlt werden, daB fSM ~ L' ist fur aIle diese M . (29.4) Beweis von (29.2): Es sei s wie in (29.3). Betracht e

S

= {p I fS L~ + (a)p nicht regular} ,

wobei wir wieder die Kurzschr eibweise L~ := ZpL' usw benu t zen. Dieses ist eine endliche Menge von Primzahl en. Das Produkt der Wert emengen

w

=

II q(f SL~ ..L (a)p) ~ II Qp pES

p ES

ist kompak t , weil jedes Git ter kompakt ist. Nach (24.4 ) liegt jedes t E q(fSL~ ..L (a)p) in einer Menge q(fSL~ ) + au 2 , U E Zp " {O} , und diese Menge

29 Darstellungen durch eine einzelne Form

121

ist eine Umgebung von t. Mittels starker Approximation in Q kann man die obige Produktmenge W durch endlich viele Mengen

II

(q(esL~) pES

+ au ;),

i = 1, ... ,N, Ui E Q, Ui E Zp fur p ~ 5

iiberdecken . Sei nun t E q(esL' ..1 (a)) und t 2: au;, i = 1, ... , N , wodurch nur endlich viele t aus genommen werden. Dann ist (t, . .. ,t) E W, also t E q(£SL~) + au ; ftir ein i und aIle p E 5 . Es folgt t' := t - au ; E q(£SL~) fur p E 5 und L' E Z p = q(£SL~) fiir p ~ 5. Wegen t' 2: 0 ist zusammengefaBt t' E q(£SL~ ) fur aIle Stellen p einschlieBlich unendli ch, also t' E q(L') nach (29.3 ). Also ist t E q(L' ..1 (a)) , wie gewtmscht,

(29.5) Beweis von (29.1): Es sei 5 die folgend e endliche Menge von Primzahlen : 5 = {p I t; nicht regular} U {2, £} , wobei £ vollig beliebig ist mit Le regular , £ i 2. Die Wer temenge einer quadrati schen Form auf einem lokalen Gitt er ist eine endliche Vereinigung von Qua dratklasse n; wir konnen also schreiben

q(L p) =

Np

n;

i= l

i= l

Uq(Z pUi,p) = UZ~q(Ui,P ) ,

wob ei in der Qu adratklasse Q; 2q(Ui,p) die p-Potenz von q(Ui,p) minimal in q(L p) sei. Wir nehmen nun der einfachen Schreibweise halber an, daB q(L) ~

Z ist , was keine Beschrankung der Allgemeinheit ist . Zu jeder Kombination dieser Ui,p, p E 5 , gegeben et wa durch Indi ces (ip)PES, wahl e ein t = t(i ) E Z mit t (i) E Z;2q(Ui,p) fur aIle p E 5 t(i) = totl, to prim, to ~ 5 , wobei tl nur Primteiler in 5 hat. Hierzu setze ma n

ti

=

IT

pEP

pap, wob ei

[tp

die p-adis che Bewer tung von q(Uip,p) ist ; dann muB to zum Erreichen der richti gen Qu adratklasse von t (i) mod Z;2 simult an en Kongruenzen modulo den p E 5 bzw. modulo 4 fur p = 2 genugen muB. Ein solches to exist iert nach dem Dirichlet 'schen Satz tiber Primzahlen in einer arit hmetischen Progression. Sei r eine Primzahl , die nicht in 5 liegt und un gleich to ist. Mit dem starken Approxim ati onssatz finden wir ein U E V mit U E L p ftir aIle p i r so, daB q(u) = t (i) ist . Sei e minimal mit reu E L. Wir konstruieren nun ein Teilgitter L' der Codimension 1 von L mit L' ..1 Z reu ~ L , das den Voraussetz ungen von (29.2) gentigen wird. Dieses geschieht durch geeignete Vorgab e der Lokalisierungen L~ . Fur p ~ 5 sei L~ = ul. n L p das volle zu U orthogonale Untergit t er von L p Fur p E 5 wahle ein maxim ales Gitter M auf QpV n ul. und dann den Exponenten j so, daf ~ M ~ L p ist ; setze L~ = ~ M . Nach

122

IX. Nachbargit te r und definite Form en

den bekannt en Strukturaussagen tiber maxima le Gitter hat Meine min deste ns zweidimensionale regul are Komp onente, nach (25.4) hat also das durch die Lokalisierungen L~ definierte Git ter L' nur ein Spinorgeschlecht im Geschlecht. Nach (29.2) exist iert ein s so, daf ij(L , (i)) mit L (i) = £s L' + Zreu, u = u( i) bis auf endlich viele Ausna hmen in q(L ) liegt. Wenn nun t E ij(L ) beliebig vorgegeben ist , so wa hle die Kombination i = (ip) der Ui,p so, daB E E q(ZpUip,p) fur alle pE S ist , es ist t E Zp fur p fJ. S . Wir wollen zeigen, daB t E ij(L (i)) fiir dieses i ist , d.h. t E q(£SL~ ..l Zpreu) fiir das zugehori ge u = u(i) und ftir alle p. Fur pES folgt das unmi ttelbar aus der gesamten Konstruktion: Es ist ;2 q(Z preu) = Z~t (i)

Fur p fJ. S , p =j:. r , p =j:. to ist q(L(i)) ;2 q(£SL~) = q(L~) = Zp, wei! L~ regular von der Dimension 2': 3 ist. Fur p = r oder p = to benutzen wir, daB L p regular und iQr V vom Ind ex mind estens 2 ist , also nach (15.8) L p = H 1 ..l H 2 ..l M mit hyperb olischen Eb enen H 1 und H 2 • Der Vektor reu ist nach Voraussetzung primi tiv in L p, fern er ent halt H 1 einen primi tiven Vektor v mit q(v) = q(reu ). Die beiden Vektoren v und reu konn en also nach (4.4) durch eine Isometrie ineina nder ilberftlhrt werd en. Deshalb konnen wir ann ehmen, daf L~ die hyperbolische Eb ene H 2 ent halt, und es folgt q(£SL~ ) = q (L~ ) ;2 q(H 2 ) = Zp(29.6) Fur dim V = 4 ist die Aussage von Satz (29.1) nicht richtig, wie folgendes Beispiel zeigt . Die Form xi + x~ + 2 5 (x~ + x~) ste llt lokal alle nat urlichen Zahlen dar. Fur p =j:. 5 ist das klar, da dann 25 Quadrat einer Einheit von Zp ist . In Z5 ist xi + x~ ,..., YI - Y~, da - 1 ein Quadrat ist , also ste llen schon die beiden ersten Summ an den alle Zahlen dar. Uber Z dagegen stellt diese Form Zahlen der Gestal t 3 . 2'" nicht dar. Fur Q: ::; 3 ist notwendig X3 = X4 = 0 und xi + x~ = 3 . 2'" ist unm oglich. Ist Q: 2': 3, so ist xi + ... + x~ == 0 mod 8, nach (15.12) sind alle Xi gerade. Daher kann es keine Losung fiir groBe Q: geben, aus ihr wtirde man durch Division der Koordinat en durch 2 eine Losung fiir Q: - 2 erhalten. (29.7) Das vorige Beispiel fiihrt auf die folgende Definition. Fur eine naturliche Zahl Q: setze

{tEij(L) I p'" ij",(L) n q(L).

ft

fur alle p mit indiQpL =O}

Diese Definition betrifft fur dim V 2': 4 nur endlich viele P rimzahlen. Weiter ist ij",(L) = ij(L ), falls dim V 2': 5, wei! dann indiQp L > 0 ist fur alle p. Mit dieser Definition gilt folgende Erweiterun g von Satz (29.1) (29.8) Satz Fur ein Z -Gitter in einem positiv definiten iQ-Raum der Dim ension mindes tens 4 ist die Menge ij", (L ) " q",( L) endlich, fur jedes Q: E N.

Anmerkungen zu Kapi t el IX

123

Die Anpassung des obigen Beweises erfordert viele eher schreibtechnische, aber kaum inhaltliche Anderungen. Lediglich am Schluf von (29.6) muf die P rimzahl p = to gesondert behandelt werden, da L p in diesem Fall unter Umstanden nur eine hyperb olische Ebene abs paltet. Man kommt dann auf den Fall der orthogon alen Summe eines regular en Git ters mit einer mit p skalierten hyp erb olischen Eb ene. Ein solches Git ter steIlt ebenfaIls aIle Elemente aus Zp dar .

Anmerkungen zu Kapitel IX Die Er gebnisse des §28 finden sich in M. Kneser , Kl assenzahlen definit er quadratischer Form en, Archiv d. Math. 8 (1957), 241-250. Die Aussage in (28.8) zu n = 16 stammt von Witt, Eine Identitiit zwischen Modulform en zuieiten Gerades, Abh . Math. Sem. Univ. Hamburg 14 (1941), 323-337 = ColI. P ap ers, Ges. Abh . 313-328, die zu n = 24 von H.-V. Niemeier , Definit e quadratische Form en der Diskriminant e 1 un d Dim ension 24, J . Numbe r Theory 5 (1973), 142-178. Vgl. dazu auch Chap. 16,17,18 in [CS] mit umfan greichen Tab eIlen. Satz (29.1) wird klassisch mit analyt ischen Meth oden bewiesen: siehe V. Tartakovskii, Die Gesamtheit der Zahlen, die durch ein e quadratische Form F( Xl , .. . ,xs ) (s 2: 4) darst ellbar sind , Izv. Akad. Nauk SSSR 1929 ,111-122 , 165-196. Fur die Dimension 4 gibt es verschiedene kleine Vari anten; der entsprechende Satz fur primitive DarsteIlungen findet sich mit einem ahnlichen Beweis wie dem obigen als Theorem 1.6 in Cha pte r 11 von [C]. Vgl. dazu auch J.S . Hsia, Y. Kitaoka, M. Kneser , R epresentat ions of positive definit e quadratich form s, J . reine angew. Mat h. 301 (1978), 132-1 41.

X. Der Satz von Minkowski und Siegel

Wir wissen aus fruheren Abschnitt en, daB im positiv definiten Fall ein LokalGlobal-Prinzip fur Darstellungen durch ganzzahlige quadratische Formen (bzw. Gitter) im st rikte n Sinne nieht gilt . Wir hab enjedoch einige schwachere Resultate kenn engelernt, die unter der Voraussetzung gelten, daB ein Git ter L iiberall lokal durch ein Git ter M dar gestellt wird : es wird L durch ein Gitter M' im Geschlecht dar gestellt , und durch M selbst, falls das Minimum von L gentigend groB ist. In diesem Kapitel lern en wir eine weitere, weitgehend e Var iante dieses Themenkr eises kennen: betrachtet werd en gewiehte te Mittelwerte der Dars tellungsanz ahlen a(L, M i ) von L durch M i , die tiber alle Gitter M, des Geschlechts von M gebildet werd en. Es zeigt sieh, daf solche Mittelwerte allein von den lokalen Darstellungen von L p durch M p fur alle Primzahl en p abha ngen. Der Satz von Minkowski und Siegel besagt genauer , daf die in Frage ste hende Darstellungsan zahl dur ch ein unendliches Produkt tiber sogennante lokale Darstellungsdi chten gegeben wird. Der Beweis benutzt die adelische orthogonale Gruppe von M . Dieses ist eine Unte rgruppe des dir ektes Produktes der lokalen orthogonalen Gruppen O(QpM) .

30 Klassen und Geschlechter von Darstellungen Fur ein Gitter M in einem regular en Q-Vektorra um W mit q(M )

~

Z und fur

t E Z wollen wir uns mit der Frage nach der Anzahl der x EMmit q(x)

=t

beschaftigen . Stat tdessen konnen wir auch nach der Anzahl der Isometrien u : [aJ -t M fragen. (30.1) Definition Eine Isometrie u : L -t M von Git tern heiBt auch eine Darst ellung von L durch M . Zwei Darstellungen U i : L -t M i , i = 1,2 gehoren zur selben Klasse (zum selben Geschlecht), wenn es einen Isomorphismus

v : M 1 -t M 2 (bzw. fur alle p Isomorphismen vp : ZpM 1 -t Z pM 2 ) gibt, so daf U 2 = v 0 Ul ist (bzw. U 2 = v p 0 U l , wobei die U i kanonis ch auf die p-a dischen Komplet tierungen fortgesetzt werd en). Die Darstellung u heiBt primit iv, falls uL primitiv in Mist (d.h. M / u L torsionsfrei). Wenn zwei Dar stellungen in M 1 bzw. M 2 zur selben Klasse (zum selben Geschlecht) geh6ren, so geh6ren definitionsgemaf M 1 und M 2 zur selben Klasse (zum selben Geschlecht). M. Kneser, Quadratische Formen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

126

X. Der Satz von Minkowski und Siegel

(30.2) Satz Lsi L nicht ausgeart et, so gibt es zu gegebenen n, d =f. 0 nur en dlich viele Kla ssen von Darstellung en u : L -+ M durch Gitter M der Dim ension n und Diskriminante d. Beweis: Sei u : L -+ Meine Dar stellung, N := (u L).l.. in M. Dann ist

Wir wissen aus (14.5), daB dN I dM . dL gilt. Dah er kommen fiir N bis auf Isomorphie nur endlich viele N, in Frage. Fur jedes i betrachte man die endlich vielen M i j mit

Es sei U ij : L -+ M i j die Einschrankung der Inklu sion L .1. N, y M ij. Diese U ij vertreten aIle Klassen. Fur eine beliebige Darstellung u : L -+ M mit det M = d betracht e man namli ch wie oben N := (uL) .l.. in M. Fur passend es i gibt es einen Isomorphismus v : N -+ N, zwischen N und einem der oben gewahlte n Git ter Ni , also auch einen Isomorphismus w := u-1.lv : u L .1. N -+ L .1. N i

,

der sich zu einem Isomorphismus

fortsetzt. Das Bild wM ist gleich einem der oben eingefuhrten M i j , das Diagramm

L

/

M

w

ist nach Konstruktion kommu tativ , also geh6ren u und

Uij

zur selben Klasse.

(30.3) Bemerkung. Satz (30.2) ist falsch, wenn dL = 0 ist. Betrachte namli ch als darst ellend es Git ter M die hyperbolische Eb ene

30 Klassen und Geschlecht er von Darst ellungen

127

Da H nur vier primiti ve singulare Vektoren ent halt, narnlich ±e, ±f, ist die orthogo nale Gruppe von H endlich, genauer zyklisch von der Ordnung 4. Andererseits gibt es un endlich viele singular e Vektoren (alle Vielfachen von e und J), also auch un endlich Darst ellungen des eindimensionalen ausgearteten Gitters L = (0) = Zg durch H. Wegen der Endlichkeit von O(H) mu ssen sich diese Dar st ellungen auf un endlich viele Klassen verteilen. In der Tat sieht man sofort , daB durch 9 f-+ ne, n EZ, n > 0 ein Repr asent antenayst em gegeben ist. Der Sat z bleibt jedoch richtig fur primiti ve Dar st ellungen , ebenso filr ein fest es Geschlecht von Dar st ellungen. (30 .4) Satz Seien L f. {O} , M nicht ausgeartete Gitter, QM dejinit oder QM eine hyperbolische Ebene. Dann gibt es nur endlich viele Darstellungen von L durch M. In jedem anderen Fall enthiilt jede Kl asse von Darstellungen L ---+ M un endlich viele. Wir werden zunacht einen Hilfssatz herleit en , der auch von eigenstandigem Inter esse ist . (30.5) Hilfssatz Sind M I , M 2 Z-Git t er in demselb en Q-Vekt orraum , so sind ihr e orthogonalen Gruppen O( M 1 ) und O(M 2 ) komm ensurab el, d .h .

Das gleiche gilt fur Zp-Git ter in einem Qp- Vektorraum. Insb esondere sind O(M1 ) und O(M 2 ) entweder beide end lich oder beide un endlich. Beweis: Aus Symmetriegriinden reicht es zu zeigen , daB O(M1 ) n O(M2 ) endlichen Index in O (MI ) hat . W ahl e c E Z " {O} , d E Q " {O} mit cdM 1 ~ M 2 ~ dM 1 • Es sei G sei die Untergruppe der u aus O( Mr) , welche auf MI/cMI die Id entit at induzieren. Es ist [O(M1 ) : G] < 00, weil M I/cM1 endlich ist. Ein u E G induzier t auf dM1 / cdM 1 die Identit at, bildet also insb esonder e die Untergruppe M 2/ cdM1 ~ dMI/ cdM1 in sich ab, d .h. es gilt auch u M 2 ~ M 2 • Somit ist G ~ O(M2 ) und weit er G ~ O(Mr) n O(M2 ) . Mit Ghat a uch die grofiere Unte rgruppe O (Mr) n O (M2 ) endlichen Index in O (Mr). Der Beweis verlauft ebe nso fur Zp-Gitter. (30 .6) Beweis von (30.4) Set ze W := QM. Ist M definit , so gibt es zu gegeb enem t nur endlich viele x EMmit q(x) = t. Es kommen also nur endlich viele x E M als Bild er der Vektoren einer fest en Basis von L in Frage. Im Fall W ~ QH, H die hyp erbolische Eb ene, sei ohne Einschrankung M maximal , da es in einem kleineren Git t er hochst ens ebe nso viele Dar stellungen von L wie in M gibt . Dann ist M ~ H , und die Behauptung ergibt sich dar aus , daB die Gleichung x y = t nur endlich viele Losungen x , y E Z hat.

128

X. Der Sat z von Minkowski und Siegel

Sei nun W ind efinit , W rp H un d dim W = 2. Wahl e eine Orth ogonalb asis {el ' e2}i es sei q(x l el + X2e2) = al xi -a2x~, ai > 0, ai E Z . Wir wollen zeigen , daf es eine Zahl t :I 0 gibt, so daB alxi - a2x~ = t un endlich viele Losun gen Xl, X2 E Z hat. Statt dessen zeigen wir, daf es eine Schranke gibt, so daf al xi - a2x~ fur un endli ch viele P aa re Xl, X2 unterhalb dieser Schranke liegt . Dann wird eine Zahl un end lich oft dar gest ellt. Sei al (Xl - AX2)(XI - /1X2), A, /1 E lR die Faktorzerlegun g von alxi - a2 x~ und N E N beliebig. Man bet rac hte AX2 - [AX2] fiir X2 = 1,2,3, . .. und erhalt reelle Zahlen zwischen o und 1. Teilt man das Einh eit sintervall auf, 0 < < NiV I < 1, so gibt es nach dem Schubfachprinzip X2' x~ E N mit 0 ~ X2' x~ ~ N , so daf I Ax~ - [AX~] - AX2 + [AX2 ]1 < wird. Ma n setze X2 := x~ - X2 ' Als Xl nehme man [AX~] - [A X2] ' Dan n ist IAX2 - XII < IX21 ~ N . Weite r ist IXI - /1x21 ~ IX I - AX21 + I Ax 2 - /1x21 ~ + IA - /11 . N ~ C· N mit einer Konst an t en C und schlieBlich lal xi - a2 x~ I ~ C . al . Es ergibt sich so eine Konstruktion von un endli ch vielen P aar en (Xl, X2 ) mit q(XI' X2 ) = t . Wegen der Endlichkeit der Klassenzahl gibt es folglich eine Klasse von Darst ellungen (t) ~ M mit unendli ch vielen Element en. Dann ist OeM ) un endlich und wegen des end lichen In dex auch SO(M ). Das gilt dann nach (30.5) fiir beliebige Gitt er in W. Dann sind aIle Klassen von Dar st ellun gen u : L ~ M unendlich, da fur verschiedene Vi E SO(M) auch die ViU verschieden sind . Es bleibt der Fall W ind efinit , dim W > 2. Sei U : L ~ M eine Darstellun g. Dann ist zu zeigen, daf es unendli ch viele V E OeM ) gibt, so da f die vu aIle verschieden sind. Dazu nehm e man X E u( L), X :I 0, q(x) :I 0, und suche y E Qz;l. mit q(x )q(y ) < 0 un d -q(x )q(y ) kein Quadrat. Das ist moglich, da W indefinit ist und da Qz;l. = (aI , a2) mindest ens 2 Quad ratkl assen darstellt. Zx ..l Z y ist nicht hyp erb olisch, daher ist nach obigen Fall SO (Z x..l Z y) unendlich. Nach (30.5) ist [SO(Z x..l Z y ) : SO( Z x..l Z y ) n OeM)] < 00, also ist auch SO (Z x ..1 Zy) n OeM) un endli ch. Wie im vorigen Fall sind filr verschiedene v E SO (Z x ..1 Z y) n OeM ) die vu verschieden, also gibt es un endli ch viele Darst ellungen.

tt .. .

tt

tt

tt,

Wir wenden un s nun den Dar st ellun gen von L nicht dur ch einzelnes Git t er M, sondern durc h aIle Git t er im Geschlecht von M zu. Urn zu unt ersuchen , wie diese Dar stellungen in Geschlecht er von Dar st ellungen und weit er in Klassen von Dar st ellungen zerfallen, ist es naheliegend und zweckmafiig , sich auf den Fall zurtickzuziehen, daB die dar st ellend en Git t er aIle in demselben Vekt orraum liegen. Vorbereitend beweisen wir noch eine lokale Aussage. (30.7) Hilfssatz Seien L p, M p quad ratische Zp-Moduln, L p regular. Dann liegen aIle Dar st ellun gen von L p durch M p in einer Klasse. Beweis: Sind u~, u p : L p ~ M p Dar st ellun gen , so laBt sich U~U;1 nach (4.4) zu einem Automorp hismus v p von M p fortset zen

u~ Lp

:

upL p ~

30 Klassen und Geschlecht er von Darstellun gen

129

(30.8) Hilfssatz Seien L C M nicht-ausgear tete Git ter. Dann gibt es zu jeder Dar steIlung u : L ~ M ' durch Git ter M ' aus dem Geschlecht von M ein Git ter Mil in ijM , Mil ;2 L , so daf u aquivalent zur Inklusion L Y M il ist . Beweis: Nach dem Satz von Minkowski und Hasse sind die quadratischen Vektorraume ijM und ijM' zueina nder isomorph. Nach Abanderung von u durch eine ents prechende Isometri e k6nnen wir also ijM = ijM' annehmen. Sei dann U eine Fortsetzung von u : ijL ~ ijM zu einem Automorphismus von ijM. Dann ist Mil := u- l M ' das gesuchte Gitter. (30.9) Satz S eien L, M nicht ausgearte te Z -G itter, es gebe wenigste ns eine Da rst ellung v : L ~ M . Fu r j edes p sei c(L p , M p ) die Anzahl der Kla ssen von D arst ellungen von L p durch M p , D ann ist die A nzahl der Geschlecht er von D arstellungen von L durch Gitt er aus dem Geschlecht von M gleich TI c( L p , M p ) . p

Bevor wir den Satz beweisen, zwei Bemerkungen. Das Produkt tiber alle Primzahlen ist sinnvoIl definiert, weil nach dem vora ngegangenem Hilfssatz fast alle Faktoren gleich 1 sind. Ein e andere Moglichkeit , den Satz zu formulieren, besteht darin , die Voraussetz ung tiber die Existenz einer DarsteIlung wegzulassen und dafur im Produkt p = 00 hinzuzun ehmen. Beweis: Indem wir L durch ein isomorphes Git ter, namlich vL, ersetzen, konn en wir annehmen, daf L ein Teilgitter L C Mist . Fern er wahlen wir nach (30.8) Reprasent anten fiir die zu betrachtenden DarsteIlungen als Inklu sionen i M' : L ~ M' fur Git ter M' auf ijM, die im Geschlecht von M liegen. Ein em solchen M' ordnen wir eine Folge (up) von lokalen DarsteIlungen up : L p ~ M p zu, wobei up die Zusamm ensetzung der Inklu sion L p Y M; mit V;l ftir einen Isomorphismus v p : Mp ~ M; ist. Fu r M; = Mp sei v p = id gewahlt und somit up : L p ~ M p die Inklu sion fiir fast alle p. Die Folge der Klassen der lokalen Dars teIlungen up, d.h . die Folge der Nebenklassen (O(Mp)u p) hangt offensicht lich nicht von der Wahl der v p abo Sie andert sich nicht , wenn wir die DarsteIlung iM' innerh alb ihres Geschlechtes abandern, wie man sofort sieht. Fern er ist die so entstehende Zuordnung "Geschlecht von i u:" I-T (O(Mp)u p) deflnitionsgemaf injekti v. Wir zeigen nun , daf sie auch surjekt iv ist. Wenn man eine beliebige Folge von Klassen von Dar stellungen L p ~ M p gegeben hat , etwa vertreten dur ch up : L p ~ M p, so konnen wir zunachst annehmen, daf fast alle up gleich der jeweiligen Inklusion sind (na mlich nach (30.7) alle mit regular em L p ) . Fur die restlichen Primzahlen e set ze man U t nach dem Satz von Witt zu einem Automorphismus Ut von ijpM fort und bilde das lokale Gitter ul l Mt . Definiere ein Z-Gitter M ' gemaf Satz (21.5) durch M i = ul l M, fur diese e und M; = M p fiir die tibrigen P rimste llen p. Dann ist M' ein Urbild fur die gegebene Folge von Klassen (O(Mp)up). Somit ist die obige Abbildung als bijektiv erkannt und auch die P roduktformel des Satzes bewiesen.

130

X. Der Satz von Minkowski und Siegel

31 Adele und Haarsches MaB Wir betrachten Darstellungen eines Z-Gitters L durch Git ter M' aus dem Geschlecht eines Z-Git te rs M. Wir nehmen an, daB L ~ M und L ~ M ' ~ QM ist , und daf alle Darstellungen Inklu sionen sind . Diese Darstellungen wollen wir spezie lle Darst ellung en nennen. Die zugehorigen Vektorraum e seien U = QL, V = QM sowie W := ti-.

(31.1) Wir beschreiben nun , wie man alle diese Darstellungen aus der einen L Y M gewinnen kann und kniipfen hierzu an die Bet rachtungen im Beweis von (30.9) an. Dort hatten wir zu einer weiteren Darstellung iM' : L -+ M ' eine Folge v p E O(Vp) betrachtet mit vpMp = M; und vp = id ftir fast alle p .

L

/

-,

Me' - - - -..... M p

M'

eL-_--+-.

M'P

Umgekehrt ist zu jeder solchen Folge V = (vp ) ein Git ter v M = M ' durch M; = vpMp wohldefiniert, und man erhalt so alle speziellen Darstellungen von L durch Git ter im Geschlecht von M . Unter der zusatzlichen Bedingung v p 0 i M = i M" d.h . vpjU = idu , erhalte n wir genau die speziellen Darstellungen im Geschlecht der Inklu sion i M : L -+ M . Gemaf der Zerlegung V = U..L W schreiben sich diese vp als vp = idup ..Lu p ftir eine Folge u = (up), up E O(W p); wir schreiben ents prechend M ' = uM. Die Bedingung vpMp = M p fiir fast alle p Iibersetzt sich in upN p = N p fur fast alle p , wobei N ein in W fest gewahltes Git ter ist. In der Tat gilt M p = L p..LN p fur fast alle p. Diese Feststellungen fiihren auf die folgende Definition. (31.2) Definition Es sei W ein quadr atischer Q-Vekt orr aum . Die Gruppe der einqeschriinkteti Adele ist definiert als

oA (W)

wobei N ein Git ter in Wist. Man spricht von der vollen Adelegruppe, wenn p = 00 hinzugenommen wird. Die Definition ist unabhangig vom Git ter N , da fiir zwei Gitter fast alle p-adis chen Komplet tierungen iibereinstimmen.

31 Adele und Haarsches Mall

131

(31.3) Wie wir gerade gesehen haben, operiert OA(W) dureh Einbettung in t ransit iv au f der Menge aller Obergit ter von L im Gesehleeht von M bzw. der Menge aller speziellen Darstellungen im Gesehleeht der Darstellung L y M . Diese Operati on ist vertraglich mit der Einb ettung von O(W ) in o A (W) dureh Ausdehnung eines U auf die p-adi sehen Komp lettierungen. Den Stabilisator von M in 0 A (W) bezeichnen wir mit

oA (V)

OA(W , M ) = {u E OA(W ) I u M

= M} .

Definitionsgemaf gilt u E OA(W ) genau dann, wenn upMp = M p fur alle p gilt. Sind a, b E QX mit a(L ..L N ) ~ M ~ b(L ..L N), so ist dies sieher dann erfiillt, wenn upNp = Np fur alle p ist und up auf bNp/ aN p die Identi tat induziert. Diese Beobaehtung fiihrt auf folgende (31.4) Definition Eine Hauptkongru enzuntergruppe von 0 A (W) ist eine Untergruppe der Form

OA(W,N/cN ) =

II O(Wp, Np/ cNp) p

wobei O(Wp, Np/cNp) die Untergruppe aller up E O(N p) ist , die die Identitat au f Np/cNp induzieren. Eine Kongruenzun tergruppe ist eine Untergruppe , die eine Haup tkongruenzuntergruppe ent halt . Die Grupp e 0 A (W, M) ist eine Kongru enzun tergru ppe, wie wir gerade gesehen haben. (31.5) Der Durehsehnitt zweier Kongru enzuntergru ppen ist eine Kongru enzuntergruppe. Sind die beide n zugehorigen Hau ptkongruenzuntergruppen definiert dureh N und Identit at auf bN / aN bzw. N ' , b'N ' / a' N ' , so findet man eine Hauptkongrue nzunte rgr uppe im Dur ehsehnit t dureh N , b"N / a" N , wobei

ala", b"jb, a"N ~ a' N ' ~ b"Na"N ~ b'N' ~ b"N . Diese Bedin gungen an a", b" sind zu erfiillen und liefern eine Haup tkongruenzunte rgru ppe mit den gewunschte n Eigensehaft en. Mit dieser Bet raehtung folgt aueh (31.6) J e zwei Hauptkongru enzuntergruppen sind kommensur ab el. Naeh dem Beweis von (31.5) hat sogar eine im Dur ehsehnit t zweier Hauptkongruenzuntergruppen ent haltene Haup tkongruenzuntergru ppe in jeder der beiden endliehen Ind ex. (31.7) Definition Ein e K ongru enzm enge in der Adelgruppe OA(W ) ist eine endliehe Vereinigun g von Nebenklassen einer Haup tkongru enzuntergruppe H.

132

X. Der Sat z von Minkowski un d Siegel

Man kann je zwei Kongruenzmengen als endliche Vereinigung von Nebenklassen derselben Haup tkongru enzuntergruppe schreiben und so ihr e 'Volumina' oder 'MaBe' durch die Anzahl der benotigten Nebenklassen miteinand er vergleichen . Dieser Gedanke wird im folgenden Satz weitergefUhrt. (31.8) Satz Man kann j eder nicht leereti K ongruenzmenge A eine positive Zahl f-L (A ), ihr MaB, zuordnen, so daft gilt:

= =

f-L(AU B) f-L (uA)

f-L(A)

+ f-L(B)

f-L(A )

fu r

An B E OA(W )

falls u

1st f-L' ein zweites solches Maft, so existiert c

>0

=0

mit f-L'( A) = cf-L( A) .

Beweis: Wir werden die Eindeutigkeit bis auf einen posit iven Faktor zeigen, und dann die dab ei gewonnene Formel zum Nachweis der Existenz verwenden. Man schreibe zwei Kongru enzmengen A , C als disjunkte Vereinigungen einer Hauptkongru enzuntergruppe K , etwa s

C =

U cjK. j =l

Nach den Rechenr egeln ist dann r

f-L(A )

= 2:f-L (ai K ) = rf-L (K ) und f-L (C) = sf-L(K), i=l

also f-L(A ) = (r /s) f-L( C) . Ist fur ein anderes MaB f-L' (C) = Cf-L(C) , so ist f-L' (A ) = (r /s) f-L'( C) = c(r /s) f-L( C) = cf-L( A), d.h. C hangt nicht von der Kongruenzmenge abo Set zt man umgekehrt f-L (C ) = 1 fur eine willktirlich gewahlte Kongru enzmenge C , definiert also f-L(A ) = (r/ s) , so ist dieser Wert unabhan gig von der Wahl von K , da er sich bei Ubergang zu einem K ' ~ K nicht an dert. Die Additivitat und die Linksinvar ianz des so definierten f-L sind dann klar. (31.9) Ebenso kann man in O(Wp ) - mit denselben Bezeichnun gen - Untergruppen der Form O(Wp, Np/c N p) als Haup t kongru enzguntergruppen auszeichnen. Eine endliche Vereinigun g von Nebenklassen einer Haup tkon gruenzunte rgru ppe heiBt wieder eine Kongruenzmenge. Dann kann man jeder nicht leeren Kongru enzmenge A eine positive Zahl f-Lp(A ) zuordnen mit denselben Eigenschaften wie f-L in (31.8). Der Beweis verlauft gena uso wie oben. (31.10) Hilfssatz Fur die MaBe f-L aus (31.8) und f-Lp aus (31.9) und jede Kongru enzmenge A C OA(W ) bzw. A c O(Wp) gilt auch f-L (Au) = f-L (A ) ftir u E OA(W) und f-Lp(Aup) = f-Lp(A) fiir Up E O(Wp). Beweis. Mit A bzw. A auch Au bzw. Au wieder eine Kongruenzmenge. Ist A = UaiK, so ist

31 Adele und Haarsches Mall

133

und ftir eine Hauptkongruenzuntergruppe 0 A(W, N / eN) ist auch

eine Hauptkongruenzunter gruppe. Desgleichen ist

Nun ist JL(Au) = J/ (A) = e(u )JL(A ), weil JL' wieder ein MaB ist fur ein fest es u . Es ist e(u ) > und e(u v) = e(u)c(v ). Ents prechendes gilt in lokalen Fall. J et zt schlieBt man im Faile der lokalen ort hogona len Gruppe wie folgt: Fur eine Spiegelung s ist C(S)2 = C(s2) = c(id) = 1, wegen c(s ) > 0 also c(s) = 1. Da Spiegelungen die Gruppe erze ugen, ist c(u) = 1 fur beliebige u. Im Fall der Adelgruppe ist c(u ) = 1, falls u nur endlich viele Komponenten '" 1 hat , da dann c(u ) eine positive reelle Einh eit swurzel ist . Es ist auch c(u) = 1 fur u E 0 A (W, N). Dann ist namli ch K u = K. Ein beliebiges u kann man dann nach Definition der Adelgruppe als Produkt zweier Element e dieser T yp en schreibe n: u = (U2 , " " up, 1, ...) . (1, ... , 1, u p, . . .) .

°

Die Fun ktionen JL und JLp sind Sp ezialfalle des aus der Lit er atur bekannten Haar schen MaBes auf lokalkompakten to pologischen Gruppen. (31.11) Satz SeienJL,JLp Haarsche Mafte aufOA(W) , O(Wp), undTIJLpO(Np) p

konvergent (absolut, oder die p der Grofte nach angeordnet) . Dann existiert c > 0, so daft fur jede Kongruenzmenge A in OA(W) von der Bauart A = Il A p, Ap = O(Np) fur fast alle p, gilt JL(A) = c · Il JLp(A p). p

p

Beweis . Die Formel gelte fur ein A =

Il A p p

'"

0. Man wahl e eine Prim-

zahl e und definiere auf Kongruenzmengen Be ~ O(We) eine Funktion JL'e durch JL'e (B e) := JL(B e x TI Ap). Dies macht Sinn , weiI Be x Il A p wieder P'f.e

eine Kongruenzmenge ist . Man sieht leicht , daf JL'e wieder ein MaB mit den charakte rist ischen Invarian z-Bedingungen ist. Also ist JL'e(Be) = c' JLe(B e). Ist spe ziell B e = Ae, so ist JL(Il Ap) = c' JLp(Ae). Nach Annahme war p

JL(Il A p) = ell JLp(A p). Dann ist c' = c TI JLp(Ap), d .h., die Form el gilt auch p p p#e fiir Be x Il A p . Man definiere nun c so, daf die Formel fur A = TI O(Np ) P'f.e

richtig wird und andere die endlich vielen nicht passend en Komp onenten ab o (31.12) Es sei G eine Gruppe, H , K

~

G Untergru ppe n. Die Menge

H gK = {hgk I h E H , k E K} heiBt eine Doppelnebenklasse. Zwei Dopp elnebenkl assen sind entweder disjunkt oder gleich. Ist namlich HgKnHg'K '" 0,

134

X. Der Satz von Minkowski und Siegel

so ist fur gewisse h , h' E H, k , k ' E K hgk HhgkK = Hhlglk'K = Hg'K.

= h' g' k '

und dann H gK

=

(31.13) Satz lsi K eine K ongru enzuntergruppe von OA(W ) und H = O (W ) diagonal in 0 A(W) eingebette t, so ist 0 A(W) eine en dliche Vereinigung von Doppelnebenklass en: h

OA(W) =

UO(W )uiK. i =l

Speziell fur K = 0 A(W, N ) fur ein Gitter N der Kl assen im Geschlecht von N .

~

W ist h = h(N) die Anzahl

Beweis. Wir behandeln zunachst den Spezialfall K = OA(W , N). F ur = u ' N genau dann, wenn uK = u ' Ki st. Das heiBt , daB die Gitter in W im Geschlecht von N eineindeut ig den Neb enkl assen uK ent sprechen. Zwei Gitter, geh6rend zu den Neb enklassen uK und u ' K, liegen in ders elb en Isomorphieklasse genau dann , wenn u ' K = vu K mit v E O(W) , d.h. wenn O(W)u ' K = O(W)uK ist . SchlieBlich ist noch zu beacht en , daB jede Klasse im Geschlecht von M einen Vertreter in W besit zt. Insgesam t entsprechen also die Klassen im Geschlecht von N eineindeutig den Doppelneb enkl assen O(W )uK. Ist K eine beliebige Hauptkongruenzuntergruppe, K = 0 A(W, N j eN ), so ist K mit endlichem Index in K ' = OA(W,N) ent halte n. Nach dem Spezialu , u ' E 0 A(W ) ist uN

fall ist 0 A(W ) =

h

k

1

1

U0 (W )UiK' , auBerdem K ' = Uv j K , also liefert Ein setzen

eine endliche Vereinigung. Der Beweis fur eine allgemeine Kon gruenzunt ergru ppe redu zuier t sich unmit t elbar au f eine in ihr ent halte ne Hauptkongruenzuntergruppe. (31.14) Hilfssatz Sei W definit , N ~ W ein Gitter , e E N sei durch mindestens eine ungerade Primzahl p t eilbar. Dann ist O(W) n 0 A(W, N j eN ) =

{1}.

Beweis. Ein u E O(W ) n OA(W , Nj eN ) liegt insbeso ndere in O (N ), hat also endliche Ordnun g, weil W definit ist . Hat t e u die Ordnung k i- 1, so konnt e man k nach geeigneter Po tenzierung von u als P rim zahl annehmen. Man schr eib e die Matrix U von u beztiglich einer Basis von N als U = 1 + S. Wegen pie induziert u die Identitat auf NpjpNp- Daher ist S = ptT mit einer ga nzzahligen Ma trix T ~ 0 mod p und t ~ 1. Dann ist 1 = (1 + ptT)k = 1 + kptT + .. . + ptkT k. Ist k i- p , so ist 1 + kptT + . .. + ptPT k == 1 + kptT ~ 1 mod p2t. Ist k = p , so ist es == 1 + pt+1 T ~ 1 mod pt+2 , in jedem Fall ein Widerspruch. (31.15) W sei bis auf weit eres definit. A ~ OA(W) sei eine Kon gruenzmenge, also eine endliche Vereinigung A = UUiK mit einer Hauptkongruenzunt ergruppe K. Dann gibt es eine Kongruenzmenge F ~ A , so daB O(W)A disjunkt e Ver einigung UuF , u E O(W ) ist. F heiBt Fundamentalbereich fur O(W )A mod O(W ).

31 Adele und Haarsches Maf

135

Beweis. 0 hne Eins chrankung sei K = 0 A(W, N / eN ) mit 31c. Andernfalls multipliziere man e mit 3. Man schreib e O(W)A als disjunkte Vereinigung von Doppelnebenklassen, O(W)A = U O(W)Vi K und setze F := U ViK. Dann ist natiirlich O(W)A = O(W)F Vereinigung von Nebenklassen uF , u E O(W). Diese Vereinigung ist disjunkt: 1st uv.k = u'vjk' , so ist zunachst i = i . da U O(W)ViK disjunkt ist. Dann ist vikk,-lvi1 = u- 1u' E O(W) n ViKvi1 . Nach (31.14) ist ab er O(W)

n ViKvi1

n ViOA(W, N/eN)vi 1 O(W) n OA(W, ViN/eviN) = {I}. O(W)

=

Also ist u = u' und k = k'. (31.16) Sind F,F' zwei Fundamentalbereiche fiir O(W)A mod O(W) , so ist {L(F) = {L(F'). Wir schreiben {L(F) = {L(O(W)\O(W)A). Beweis. Seien F

=

r

UV iK, F' 1

=

s

UvjK mit demselb en K . Andernfalls 1

ersetze man K und K' durch den Dur chschnitt K n K'. Es ist zu zeigen, daf es eine bijektive Zuordnung i t+ j gibt. Zu gegebenem i ist O(W)Vi K ~ O(W)F

= O(W)F' = UO(W)vjK ,

also O(W)ViK = O(W)vjK mit eindeutig bestimmtem j. Dah er ist r = s und {L(F) = rp,(K) = sp,(K) = p,(F') . Aus den Rechenregeln folgt die Additivitat des MaBes: (31.17) 1st O(W)A n O(W)A' = 0, dann ist p,(O(W)\O(W)(A U A'))

= p,(O(W)\O(W)A) + p,(O(W)\O(W)A') .

Fur spatere Zwecke notieren wir noch einen einfachen Hilfssatz tiber die Gestalt von Fundamentalbereichen filr eine einzelne Nebenklasse uO A (W, M) bzw. Doppelnebenklasse O(W)UOA(W, M) . Wir legen die allgemeine Situ ation einer Gruppe G mit zwei Untergruppen H und K zugrunde. (31.18) Ein e Teilmenge F C gK ist ein Fundament alb ereich fiir HgK mod Him Sinne von (31.15) genau dann , wenn Fein Fundament alb ereich fur die Operation von H n gKg- 1 auf gK durch Linksmultiplikation ist: gK =

U

xF (disjunkte Vereinigung) .

x EH ng Kg -l

Wir ilberlass en den einfachen Beweis dem Leser. Man sieht insbesond ere unabhan gig von (31.15), daf ein solcher Fundamentalb ereich jedenfalls existiert: es ist F = gF', wobei F' c K ein Vertretersyst em ftir die Nebenklassen K'k der Unt ergruppe K' = g-l Hg n K von Kist.

136

X. Der Satz von Minkowski und Siegel

32 Darstellungsanzahlen in einem Geschlecht (32.1) Wie bisher seien M ;2 L 1.. N Z-Git ter in definiten Q-Vekto rraumen V = U 1.. W . Die Anzahl aller Darstellungen von L durch M in der Klasse der spe ziellen Dar stellung j : L Y M ist [O (M ) : O(W, M)] . Denn zwei Elemente u, u' E O(M ) liefern gena u dann dieselbe Darstellung u 0 j = u' 0 j , wenn sie in derselben Restkl asse modulo O(W, M) liegen (siehe (31.3)) . Die speziellen Dars tellungen L Y M ' aus dem Geschlecht von j : L Y M entsprechen eindeut ig den Nebenklassen uOA(W, M ), U E OA(W ). Die Klassen solcher Darst ellungen ents prechen eineindeut ig den Dopp elnebenklassen O(W )uO A(W, M). Man schreibe 0 A (W ) als disjunkte Vereinigung solcher Dopp elnebenklassen, d.h. wahle endlich viele u , E OA(W ) mit OA(W ) = UO(W)U iO A(W, M). i

J etzt berechne man M(O(W)\OA(W))

=L

M(O(W)\O(W)UiO A(W, M)) .

i

1st F

~

u.O A (W, M ) ein Fund am entalb ereich, so ist nach Hilfssatz (31.18) UiO A (W, M)

U

=

uF (disjunkte Vereinigung) .

u EO( W ,Ui M)

Also ist fur jedes i M(O(W )\O(W)Ui OA(W, M))

=

M(F)

M(UiO A(W, M)) · IO(W, UiM ) I- 1 M) : O(W, Ui M )] (0 (W M)) [O(Ui M A , 10(UiM)I · Dur ch Summation tiber i ergibt sich M(O(W )\O A(W )) = M(OA(W, M )) . ~

[0(Ui~6~u~t;1 Ui M )] .

t

Wir form en die Summ e nun noch etwas urn. Fur jedes i ist [O(UiM) O(W, UiM)] die Anzahl der Darstellungen von L dur ch UiM in der Klasse der Inklu sion L Y UiM. Nach Wahl der u, sind die Inklusionen L Y UiM ein Vertret ersystem fiir die Klassen im Geschlecht der Darstellung j : L Y M . Wir fassen die Summ e nun nach den verschiedenen Geschlechtem der Gitter UiM zusa mmen. Wahle daz u ein Vertretersystem {Md fiir die Klassen im Geschlecht von M . Fur jedes dieser M k sei aj(L, Mk) die Anzahl der Darstellungen von L durch M k , welche im Geschlecht von j liegen. Es ergibt sich dann aj(L , Mk) = [O(Ui M): O(W, Ui M )].

L

u i M ~ Mk

32 Darst ellun gsanz ahl en in einem Geschlecht

137

Durch Summati on tiber die Klassen im Geschlecht von M erhalt man

(32.2)

Es wird im folgend en dar auf ankommen, das Haarsche MaB so zu normi eren, daB man beide Seiten dieser Gleichung auswerten kann. Zur Vorbereitung der Normi erung kntlpfen wir an die Produktformel (31.11) fur das Haars che MaB an. Wir leiten eine zweckmalsige Normierun g der lokalen MaBe j.Lp her; insbesondere muf das Produkt TIpj.Lp(O(Np)) fur ein Git ter N in W konvergieren.

(32 .3) Wir benutzen im folgenden den Satz (15.3). Man bet rachtet dort eine Abbildung u eines Z-Git ters E in den quadratischen Raum W , der das ZGitter G umfaBt . Weitere Voraussetzungen waren: J ede Linearform f E E# laBt sich schreiben als f (x ) = b(ux ,y) mit y E G ; es gibt eine natiirli che Zahl k, so daf pk . q(G) ~ P: Zp und fiir x E E q(ux ) == q(x) mod pk gilt. Satz (15.3) besagt , daf es unter diesen Voraussetzungen ein u' : E -+ W l gibt mit u'x == ux modpkG, q(u'x ) = q(x). Nach (15.4) gibt es peg_ e(ei ) Moglichkeiten flir u' mod pk+1G. (32.4) Diese Ergebnisse wollen wir anwende n, wenn speziell E = N p , G = Nf und u die Identit at ist . Wir ford ern dann q(N p) ~ Zp, was sich durch Multiplikation erreichen laBt, und pkq(Nf) ~ pZ p, was fiir hinr eichend groBes k sicher gilt . Zunachst ist es das Ziel, den Ind ex [O (W p, Np jpk Nf) : O(Wp, N pjpk+ 1 Nf)] zu berechnen. Die Voraussetzungen sind z.B. dann erfiillt, wenn N p regular ist und k 2:: 1, weil dann N p = Nf ist , oder wenn p =I 2, pk- l Nf ~ N p ist , da dann nach Definition des dualen Gitte rs pk . b(N f , Nf ) ~ p . b(N p, Nf) = p ' Zp ist . Nun laBt sich der oben erwahnte Ind ex mit Hilfe von (15.4) leicht berechnen. Da e = 9 = n ist , ist der Ind ex gleich p n(~-l) , und dieser Wert ist gleich dem Quoti enten der MaBe j.Lp(O(Wp, Npjpk Nf )) n (n - l ) j.Lp(O(Wp, Npjpk+lN f)) =p 2 (32.5) Es sei R p ein Unt ermodul von Np mit [Np : Rp] = p. Weiter sei k so groB, da f pkNf ~ Np und pkR f ~ u, ist. Dann ist

Zum Beweis dieser Behauptung beachte man , daf pkNf ~ pkR f ~ R p ~ N p mit [N p : R p] = [pk R f : pkNf ] = P ist. Man wahle Elementarteilerb asen wie folgt :

138

X. Der Satz von Minkowski und Siegel

n-1

n

s, = 2: Z pei, n; = 2: Zpei + Zppen, N!!

1 n

1

= 2:1 Zpet ,

Rp# --

n-1

'71 - 1 # IU pei# + IUpP en '

"'71

L.J 1

Ist jetzt u E O(Wp , Rp/pkR f ), SO folgt fur 1 ~ i ~ n - 1 ue, = e, + Xi mit Xi E pkRf . Wegen des Ind ex [pk Rf : pkN!! ] = p gibt es fiir die Bilder ue, mod pkN!! hochstens pn-1 Moglichkeiten. Wir wollen jetz t zeigen, daf auch der zu berechnende Index hochstens pn-1 ist . Dazu zeigen wir, daf zwei u mit denselben Xi mod pkN!! in derselben Restk lasse mod O(Wp, N p/pk N!! ) liegen. Nennen wir ihren Quotienten wieder u , so muf ue, == ei mod pkN!! sein. Ist namlich U1ei == U2 ei mod pkN!! , so ist u;-1 u1ei == e, mod U;-1 pkN!! und U;-1 pkN!! = pkN!! . Zu untersuchen bleibt nun, wie der Quoti ent u auf en operiert. Es ist uen = en + 2: ti et · Aus u(p en) = pen + 2: Ptiet folgt wegen der Invarianz i

i

von R p/pk R f , daf 2:pti et E pkRf ist , d.h. pt, E pkZ p und p2t n E pkZ p fur i = 1, ... , n - 1. Nun ist

also ti E pkZ p fiir i = 1, . . . , n - 1. Ferner ist , zumindest fur groBes k ,

da die Teilbarkeit der ti durch pk- 1,pk- 2 bereits bekannt ist. Also ist auch t n E pkZ p- Daher ist auch uen == en mod pkN!! . Wir wahl en jetzt eine Folge von Modu ln Rp,i mit [Rp,i : R p,i+d = p, N p = R p,o :::> R p,1 . .. :::> R p,n = pNp • Dann ist nach dem eben Bewiesenen

und wegen der Multiplikativitat des Ind ex

Da O(Wp,pNp/pk(pNp)#) = O(Wp, N p/pk- 2N!!) ist , und wir bereits wissen, daB [O(Wp, N p/ pk-2 N!! ) : O(Wp, N p/pk N!! )] = pn(n- 1) ist , folgt an allen Stellen Gleichheit .

(32.6) Sa tz Fur aile hinreichend grofJen k und aile Gitt er N e w mit

q(N )

~

z., pk-1 . q(N # ) ~ z, hat

32 Darst ellungsanzahlen in einem Geschl echt

139

den gleichen, nur von der Norm ierung des Mapes J-tp abhiingigen Wert. B eweis . Die Unabhangigkeit von k erkennt man durch Ubergang von k auf k + 1: Nach (32.4) ist

J-tp(O(Wp, Np jpk Nf)) n (n - l ) J-tp(O(Wp, Npjpk+ 1Nf)) = P 2 und nattirlich

[Np : pk+1Nf ]n2" l Ebenso ist der in Frage st ehende Wert von N unabhangig: Weil wir im lokalen Fall sind, reicht es zu zeigen, daf es sich bei Ubergang zu einem Unt ergitter vom Ind ex p nicht andert. Denn zwei beliebige Gitter kann man mit Hilfe einer Kette soIcher Untergitter verbind en. Ist R p ein soIches Gitter, so ist nach (32.5)

Weiter ist

[N p : Rp]n 2"l [Rp : pk Rt] n2"l

[N p : pkNf] n2"l

p n2"l

=

•

•

[pk Rt : pkNf] n2"l

[Rp : pkRt ] n2"l • p n2"l

pn-I. [Rp : pk Rt]!!:jl .

(3 2.7) Wir wollen nun die c(J-tp) und damit gemaf (32.6) auch die lokalen MaBe J-tp so festsetzen, daf das Produkt aus (31.11) konvergiert und sich explizit auswerten laBt. Hierzu betrachten wir eine Kongruenzmenge der einfachen Bauart OA(W, N) = TIpO(Np). Sei p so, daf N p regular ist , und setze k = 1. Dann spezialisiert sich die Formel unter (32.6) zu

c(J-tp) :=J-tp(O(W,NjpN)) .p

n ( n -l ) 2 •

Nun berechne J-tp(O(Np)) als

J-tp(O(Np))

= =

[O(Np): O(Wp, Np jpNp)] . J-tp(O(Wp, Np jpNp)) [O(N p) : O(Wp, Np jpNf) ] . c(J-tp) . p - n (; - l ) •

Weil N p regular ist , ist nach dem Fortsetzungssat z von Witt die kanoni sche Projektion O(Np) ~ O(Np) surjektiv, wo N p der Restklassenmodul tiber

140

X. Der Sat z von Minkowski un d Siegel

dem Restkl assenkorper lFp ist . Der Gruppenind ex [O(Np) : O(Wp, NpjpNp)] ist somit gleich der Ordnung der vollen orthogonalen Gruppe von Np tiber lFp • Wir erinnern uns an (13.4), wonach in Abha ngigkeit von der Struk tur von Np gilt

mit dim N ergibt sich

= n = 2r

O(N )) J1.P( p

= c(

bzw.

) .2. J1.P

= 2r + 1 > O.

II O<2i
Setzen wir dieses Resultat ein, so

(1 _ p- 2i ) . { 1 - (~)p- ~ falls n gera de 1 sonst

wo d die mit Vorzeichen versehene Diskriminant e von N ist . Wir wissen ebenfalls aus §12, daf quadratische Raum e tiber endlichen Korp ern durch Dimension un d Diskriminante bestimmt sind . Wir miissen jetzt c(J1.p) so festsetzen, daJ3 11 J1. pO(N p) konvergiert . Die endlich vielen p, fur die N p nicht regular ist , p

brauchen wir nicht weiter zu berticksichtigen. Ftir n =f; 2 setze man c(J1.p) = ~ . Dann hat man ab solute Konvergenz, da 1l(1- ; , )-1 = L: ~, = ( (s) fur s > 1 p

n

konvergiert. Problematisch ist der Fall n = 2. Dann kann man auch c(J1.p) = ~ setze n, hat abe r nur noch die Konvergenz von ~ (1 - (~)p-1) bei Anordnung z.B. der GroJ3e nacho Ein e andere Moglichkeit , die im Ergebnis das gleiche liefert , ist es, c(J1.p) = ~ . (1- (~ )p- 1) - 1 zu setzen, daftir aber J1. nicht durch J1. = ~J1.p , sondern

J1.

= Ld(l )- l11J1.p zu definieren mit p

Dabei ist (-) das

00

= 1l(1- (~)p-8)-1 = L: ( ~ ) n - 8. p 1 J acobi-Symbol, Ld(l ) = lim Ld(S) = 1l(1 - (Q)p-1) -1 , 8-.71 P P Ld(S)

wobei letz teres Produkt der GroJ3e der p's nach angeordnet wird. Ab jetzt sei das Haar sche MaJ3 in dieser Weise normiert , falls n = dim N > 0 ist . Fu r n = 0 setz en wir form al f..l(O(Np)) = c(f..lp ) = 1.

33 Der Satz von Minkowski und Siegel (33.1) Es seien wie bisher M :2 L Gitt er mit den zugehOrigen Raum en V = U ..1 W. Wir machen die weitere Voraussetzung, daJ3 L = UnM primitiv in Mist. Die Dimensionen von V, U, W seien m , £, n . Wir setzen ab jetzt kur z

i (W ) = J1.(O(W )\OA(W )),

33 Der Satz von Minkowski und Siegel

Offensichtlich ist ,(W) = ,(W'), falls W nach, daf ,(W) = ,(aW) ist fiir a E QX.

~

141

W' ist. Ferner prtift man leicht

(33.2) Ist L = U = {O}, dann ist W = V und aj(L , M k) = 1. (32.2) liefert in diesem Spezialfall ,(V) = IT J,tpO(Mp) I: IO(Mk)I- 1 . Dividiert man die k

p

allgemeine Gleichung (32.2) durch diese spezielle, so ergibt sich

wobei wir wie schon frtiher mit j : L Y M die Inklusion bezeichnen und

) (Xj ,p (L,M:=

J,tpO(Mp) O(W M) J,tp p, p

schreiben. Die Normi erung sei k # . . k#~ _ _ 1

J,tpO(Wp, Np/p N p) (Np. p N p]

2

-

C(J,tp) -

2'

zunachst ohn e Rucksi cht auf die Konvergenz im Fall n = 2. Fur die (Xj,p(L, M) gilt

Als erstes wollen wir den zweiten Faktor der rechten Seite der Gleichung berechnen, und zwar mittels der Formel aus Satz (32.6) (Normierung des MaBes). Da M p nicht in Wp liegt , ist diese Formel nicht ohne weiteres anwendbar. Deshalb zeigen wir zunachst, daf

ist . Der Beweis geht aus von der Tatsache, daB M/fnWp = N/f ist , und weit er dann auch pkM/f n Wp = pkN/f. Also ist ftir Mp 3 x = Y + z E Up 1. W p und u E O(Wp) ux = y + uz, und weiter uz == z mod (pkM/f n Wp) fur u E O(Wp, Mp/pk M/f) und alle z E Np. Also ist u E O(W, Np/pk N/f). Umgekehrt kann man durch Addition von Vektoren aus Up zu allen Vektoren aus N p ganz M p erhalten. Nun ist w E Wp genau dann in M/f, wenn es mit allen Vektoren aus ~ Up 1. ganzzahliges Skalarprodukt hat, d.h. b(w, y + z ) = b(w, z ) E Zp flir alle z E Np, also genau dann, wenn es in N/f liegt.

u;

w,

Nun konnen wir die Form el aus (32.6) anwenden:

142

X. Der Satz von Minkowski und Siegel

{LpO ( Vp, Mp/ pk M p#) _ [N p : pk N p#] n -2 l {LpO(Wp, Mp/pk Mf) [M p : pkMf] m;l . Wir werden in (33.3) zeigen , daf

[Mp : pkMf ] = [Lp : pkLt] . [Np : pkNf]

(*)

ist . Dieses eingeset zt ergibt

[Np: pkN1!]~ [Mp :pkMf]¥

1

Die im Nenner st ehenden Indices sind gerade die in den zugehOrigen Transformationsdeterminanten steckenden p-Potenzen, die wir mit dp bezeichnen . Es ist also

[M p : pkMf ] = pkm . [M f : Mpt

1

= pkm . dpM- 1 ,

ahnlich fiir Lp- Das Ergebnis ist

{LpO(Vp, Mp/pk M1!) _ - g (m+n- l)d M l/ 2d L=.! # _p 2 P P 2, {LpO(Wp, Mp/pk u; ) wobe i im Fall £ = m > 0, n = 0 rechts noch ein Faktor ~ anzufUgen ist, da wir am Schluf von §33 ftir den Nullraum c({Lp) = 1 gesetzt haben. (33.3 ) J etzt zeigen wir noch, daf dM = dL . dN ist, woraus die eben benutzte Gleichung (*) sofort folgt , da sie dasselbe fiir die p-Anteile aus sagt. Sei el, ' . . , el eine Basis von L , el , " " el , . .. ,em eine Basis von M . Solche Basen gibt es, da L in M primitiv ist . Dann ist d(el' ... , em)

= =

d(el" '" ei, prw el+l, ... ,prw em) d(el, " " et} . d(prw el+ l , · . . , prw em)'

(33.4) Als nachstes wollen wir den Quotienten der Indices im Ausdruck fur

Qj,p(L, M) berechnen. Zuerst formen wir nach dem Isomorphiesatz "H N/N ~ H / H nN" fiir Gru ppen den Nenner urn: Alles spielt sich in G = O(Mp) ab , es sei N := O(Vp, Mp/pk M1!) (ein Normalte iler in G) und H := O(Wp, M p). Da mit ist

[O(Wp, M p) : O(Wp, Mp/pk Mf)] [O(Mp) : O(Vp, Mp/pk M1!)] [O(Wp, Mp)O(Vp, Mp/pk M1!) : O(Vp, Mp/pk M1!)] =

[O(Mp) : O(Wp, Mp) . O(Vp, Mp/pk Mf)] ·

33 Der Satz von Minkowski und Siegel

143

Weiter ist

O(W p, M p) . O(Vp, MpjpkMf) {u E O(Mp) lux == x mod pkMf fur aile x E L p}

O(Mp,L p modpkM f ))· Diese Gleichheit dar aus, daf sich jede Isometri e u : L p -+ M p mit ux == x mod pkMf fortsetzen HiBt zu einem v : Mp -+ Mp mit vx == x mod pkMf . Letzteres folgt aus den Satzen (15.3) und (15.5), indem man die dort auftauchende Bilinearform a(x, y ) so wahlt , daf a(x, y ) = 0 ist fur y E Lp . Man iiberlegt sich, daB der Ind ex [O(Mp) : O(Mp, L p mod pkMf)] gleich der Anzahl aj (L p, M p mod pkM f) der Abbildungen von L p in M p mod pkM f ist , die von einer Abbildung L p -+ M p herkommen, die in der Zp-Klasse der Inklusion liegt und die die quadratische Form modulo pk erhalt. ZusammengefaBt erhalte n wir also Q '

(L M ) '_ p-¥(m+n-l) dp L ~dP M i / 2.aJ·(L p, MP mOdpkM#) .P

J, p ,

wobei

aj( L p, u; mod pkM f ) #{u: L p -+ MpjpkMf I u ==j modpL, q(ux ) == q(x) mod p"]

!

ist , mit einem zusatzlichen Faktor auf der rechten Seite, wenn n = 0 und m > 0 ist , wie schon oben angemerkt wurde. Aile bisherigen Uber legungen gelte n auch, wenn j nicht die Inklu sion , sondern nur j L ~ M primitiv ist. (33.5) Wir wollen aus unseren Formeln die Abhangigkeit von j eliminieren , denn man inte ressiert sich weniger fiir die Darstellungsanzahlen in einem Geschlecht als fiir die Anzahl aller Darstellungen. Dazu lassen wir j ein Vert retersystem fur die Geschlechter der primi tiven Darst ellungen von L durch M durchlaufen. Es sei wie frilher

a(L , Mk) = Laj(L,Mk ) j

die Anzahl aller primitiven Darstellungen von L dur ch M k • Wir setzen weiter

a(L p, u, mod pkM f ) := L aj (L p, u, mod pkM f ) j

und schlieBlich

L Qj,p(L , M ) j EO'

p- ¥ (m+n-l )dpL ~-i-l dpM i / 2 • a(L p, M p mod pkM#) p

144

X. Der Satz von Minkowski und Siegel

mit e = ~ falls l = m > 0 und e = 1 sonst . Die GraBen O:p(L, M ) heissen auch die (lokalen) Darstellungsdicht en von L durch M oder genauer von L durch das Geschlecht von M. Unt er Beriicksichtigung von (30.9) hab en wir nun den folgenden Hauptsatz dieses Kapitels abgeleitet , abgesehen davon , daf die Gros sen 'Y(V ) = 'Y(m), 'Y(W) = 'Y(n ) im Augenblick noch unb ekannt sind. In der Formulierung des folgenden Satzes nehmen wir das diesbeziigliche Er gebnis des folgend en Abschnit ts vorweg. (33 .6 ) Satz (Minkowski, Si egel) Es sei L ein positiv definit es Gitter der Dimension und M = Ml> .' . ' Mh ein R epriis entantensystem fur ein Geschlecht positiv definit er Gitter der Dimension m. Dann gilt fur die Darstellungsanzahl en a(L , M k ) von L durch die verschieden en M k und die lokal en Darstellungsdichten O:p( L, M) , p prim , die B eziehung

e

Hierb ei sind die W ert e 'Y(n ) in dukti v definiert durch 'Y(O) WO

= 1,

'Y(1)

= -12 ,

'Y(2)

= 21

7T

, 'Y(n)

= 'Y(n -

1) fur m 2: 3, n · Pn

Pn das Volum en der n-dimen sion alen Einheitskug el ist.

(33 .7) Den Rest dieses Abschnit ts widmen wir der genaueren Behandlung des Spezialfalls e= 1, L = [t], m = 2 oder m = 4 und dV = 1. Offensichtli ch han gt 'Y(W) nicht von t ab. Ist m = 2, dim W = 1, so sind alle W ahnlich, und wir wissen, da f 'Y(aw) = 'Y(W) ist. Ist m = 4, so zerlegen wir V = [t] .L W t . Fiir eine positive rationale Zahl a ist V ~ av = [at] .L awt. Das folgt aus dem Satz von Minkowski und Hasse und der Klassifizierung p-adischer Raume. Der Wittsche Satz liefert dann W at ~ aw t, also ist 'Y(W at ) = 'Y(W t ), womit in diesen Fallen die Unabhangigkeit von t gezeigt ist . Wir wollen jetzt die Form el aus (33.6) auf M = [1 ,1] = 2[2 und M = [1,1 ,1,1] = 2[4 anwenden. Aus der Reduktionstheorie (20.6) ist bekannt, daf es in beiden Fallen nur eine Klasse im Geschlecht von M gibt. Daher reduziert sich die Formel auf a(t , M) = O:p(t, M) = a(t, M p mod pkMf) . t m;-2 a(l , M) p O:p(l, M) p a(l , M p mod pkMf) .

II

II

Im Falle p :f. 2, p t t konn en wir k = 1 wahlen. Nach (13.6) ist a(t, M p mod pMp ) unabhangig von t , also ist der Quoti ent 1. Diese Fakt oren t ragen zum Produkt nichts bei. Die anderen Falle miissen wir gesondert durchgehen . Zunachst sei p :f. 2, p it . Dann ist fiir m = 2 nach (13.6) a(O, M p mod pMp ) = { 0 a(l , M p mod pM p ) 2~:}

=2

p == 3(4) p == 1(4)

33 Der Satz von Minkowski und Siegel

Fur m

= 4 ist

145

der Quotient

a(O, M p mod pMp) a(l, M p mod pM p)

=

p3 + p2 - P - 1 p3 - P

P+ 1 p-

=-

Fur p = 2, M = 2h miissen wir zunachst unsere Bedin gun g an k unt ersuchen . Es sollte pk-lq(Mf ) ~ Zp sein: wegen Mf = ~M2' also q(Mf ) = i q(M2), reicht k = 3. Hier ist fiir m = 2

a(t , M, mod 4M, ) Dam it ergibt sich bei m

~{

4 t=1 (4) 4 t 2(8) o sonst

=

=2

r # _ { 2 a(t,Mpmodp k·Mp)

---=----------'-#;;- -

a(l, M p mod pk u;

)

t

ftir

v

sonst.

0

= 2"'p~1 . .. p~r mit = 0, 1 und Pi =1(4)

Wegen a(l , M) = a(l , 2h) = 4 erhalten wir schlieBlichdas klassisch e Resultat fiir die Anzahl der primitiven Darstellungen einer Zahl t als Summe von zwei Quadraten (siehe auch Satz (22.3)) : falls

t = 2'" p~l .. . p~r mit v = 0,1 und Pi 1(4)

=

sonst 1m Falle m = 4, also M = lungsanz ahlen

2[4,

ergeben sich die folgend en 2-adischen Dars tel32

48

a(t , M 2 mod 4M2) =

1

falls

16

o

2 ft 21t,4 ft 41t, 8 ft

81 t

Dann ist in den entsprechenden Fall en

t2 . a(t, M 2 mod 4M2) a(l , M 2 mod 4M2)

={

1 3 2 '

o

wo t p die in t ent halte ne p-Potenz ist . Da offensichtli ch a(l , 2[4) = 8 ist , folgt also fiir die Anzahl der primitiven Darstellungen einer Zahl t als Summe von vier Quadraten : 2

a(t , 14 )

=

24 8 } . 16

{

o

II t pp -+p-1 . Pit

p,e2

146

X. Der Sat z von Mink owski und Siegel

Wir wollen jetzt noch die Anzahl aU) aller Darstellungen berechnen und so ein klassisches Resultat von J acobi beweisen. Diese ergebe n sieh, indem man tiber die Anzahl der primiti ven Darstellungen von tid? mit d? lt aufsummiert , denn jede Dar stellung ftihrt durch Ausklammern des groflten gemeinsa men Teilers d auf eine primitive Darstellung von t] d2 • Wir schreiben

aU) =

I> (~) . 1t d2

Nun ist ~a eine multiplikative Funk tion, ~a( npri) auch ~a( npri) =

Il ~a(pri) . i

i

Weiter ist ftir P f:. 2

= n ~a(pri), i

und dann

1 _( V) 1 (V) 1 ( v- 2) Sa P = Sa P + Sa P + ... = PV + Pv-I + ... + P + 1.

Diese Gleichheit ist un abh angig davon, ob der Exponent v gerade oder ungerade ist , denn es ist ~a(pO) = 1. Ebenso ist ~a( 2V) = 1, falls II = 0 ist , andernfalls ~a( 2V) = 3, denn die von 0 verschiedenen Summand en sind gleieh 2 und 1 fur ungerades v , fur gerades v taucht nur die 3 auf. Die Zusamm enset zung dieser Einzelresultate ergibt

-(IT PiVi ) = {8} 24 ' IT (PiVi + Pi

vi-

a

i

I

1)

+ ... + Pi + .

pi#-2

Durch Ausmultiplizi eren der rechten Seite erhalt man das folgende Resultat (33.8) Satz (C.G .J. Jacobi) Die Anz ahl a(t) der Darstellungen ein er natiirlichen Zahl t = 2Vto, to ungemde, als Summe von 4 Quadmten ist gleich 8 v gemde } a(t ) = { 24 } d, falls { v ungem de .

.2: d lt

2fd

34 SchluB des Beweises Zum Beweis des Minkowski-Siegelschen Satzes fehlt uns noch die Bestimmung der Werte r (V ). Dazu benutzen wir die Formel aus (33.6) fiir = 1, L = [t]:

e

Wir wollen jetzt folgend es beweisen:

34 Schluf des Beweises

(34 .1) 'Y(V ) han gt nur von m folgende Werte: 'Y(O) = 1, 'Y( I)

dim V ab , also 'Y(V )

= -21 , 'Y(2) = 2:.. '

= 'Y (m ),

'Y (m ) = 'Y(m - 1) fiir m m·Pm

147

und hat

~ 3,

wo Pm das Volumen der m-d imensionalen Einh eitskugel ist . Ftir dieses Volumen gilt bekanntlich 7r m / 2

Pm

7r m / 2

= (m/ 2)! = r( ~ + 1) ·

Die Werte von 'Y (O) und 'Y(I ) ergeben sich unmittelbar aus der Definition. Der Beweis der anderen wird einige an alytisch e Hilfsmittel erfordern . Wie schon in den zu Ende des vorigen P ar agr aphen behand elten Spezialfallen wollen wir auch hier die Anzahl der primitiven Darstellungen dur ch die Anzahl aller Darste llungen a(t,Mk )

t

= La(d2 , M k ) d21t

ersetzen. Die ents prehende Behauptu ng des Satzes ist dann

(34.2)

Die Idee zur Bestimmun g von 'Y(V )h(W) ist jetzt , tiber verschiedene t zu summieren und da nn asymptotisch auszuwerte n. Dazu wahlen wir eine Zahl P , an die im Verlauf des Beweises gewisse Bedingungen gestellt werden. Die quadratische Form werd e noti genfalls so multipli ziert , daB Zq(M) = Z ist ; dab ei andert sich 'Y nicht. J etzt sei P so, daB aus x == y mod P M# folgt q(x) == q(y ) mod P. Wegen q(x + PM# ) ~ q(x) + p. b(x , M #) + p 2 . q(M#) ist diese Ford erung gleichbedeutend mit P·q(M # ) ~ Z . Denn dann ergibt die Anderung von x urn einen Vektor aus PM# eine Anderung von q(x) urn ein Element aus PZ . Ein e Folgerung ist dann P . b(M# , M #) ~ Z , also P M# ~ M . J etzt wahle man ein to E q(M) mit (to,P) = 1; wegen Z q(M) = Z ist das moglich, Nun summiere man tiber aIle t == to(P ), 2t < T , wobei die Schranke T spate r gegen unendlich gehen wird . Zunachst beha ndeln wir die linke Seite der Formel (34.2).

L t=to( P) 2t
a(t,M) =

L

x EM q(x) =to(P ) 2q(x)
1

=

L

L

XEXi+ P M # q(x )=to(P ) 2q(x )
1,

148

X. Der Satz von Minkowski und Siegel

wobei die Xi ein Vertretersystem fur die Restklassen von M nach P M # durchlaufen. Nach Konstruktion von P ist

L

L

1

L

=

XEXi+ PM# q(x )= t o(P ) 2q(x)
i

q(x;} =to( P)

L

1.

XEX i+PM# 2q(x)
Die innere Summe konnen wir abschatzen, indem wir die Anzahl der Punkte eines Git ters, hier von P M #, in einer Kugel ersetzen durch den Quotienten aus Kugelvolumen und Volumen einer Fundament almasche. Schreiben wir "~" (ungefahr gleich), falls der Quotient beider Seiten gegen 1 geht fiir T -+ 00, so ist 1 i

q(x ;}=to(P )

XEX i + P M # 2q( x)< T

Der erste Faktor gibt die Anzahl der Punkte des Gitters P M # in der Kugel vom Radius VT an, der zweite Faktor die Anzahl der Restklassen Xi + P M # , die to mod P darst ellen. Dieses Produkt laBt sich weiter umform en:

P T rn/2

Id; M#1 1/ 2

=

.

a(to mod P, M mod P M # )

T rn/2prn ldM I1/2p - rn .

II a(to mod r; u, mod P M f ) pi P

Der letzte Ausdruck ist der gleiche fur alle Vertreter eines Geschlechts. Er liefert also bei der beschriebenen Summation tiber 2t < T auch den asy mptotischen Wert fur die gemittelte Darstellungsanz ah l, d.h. die aufsummierte linke Seite von (34.2), die wir im folgenden kurz mit LS(T) bezeichnen. Wei! (to, P ) = 1 ist , sind alle Darstellungen von to durch M p primi tiv , so daB wir noch bei den Darstellungsanzahlen a durch a ersetze n konnen. Wir halten das Ergebni s fest:

(34. 3)

LS(T ) ~ Trn/2Prn ldMI1/2p-rn .

II a(to,M

p

mod PMf)

piP

Nun wenden wir uns der rechten Seite von (34.2) zu. Nach (33.5) gilt

Es ist noch die Wahl des Exp onent en k zu diskutieren. Falls p ein Tei!er von P ist , dann solI pk die gena ue p-Po tenz in P sein. Damit das moglich ist ,

34 SchluB des Beweises

149

muf pk-1 q(M1! ) ~ Zp sein. Das ist sicher der Fall, wenn p Teiler von P , aber nicht von dM ist . Ftir die endlich vielen Primteiler von dM verlangen wir nun einfach, daf eine gentigend hohe Potenz von p in P aufgeht, was mit den frtiheren Ford erungen an P vertraglich ist. Wir schra nken nun wieder auf t mit t == O(P) ein und erhalte n

(34.4) Ctp (t, M)

= (2t )1- 1IdpMI 1/ 2 . p- k(m-1 ) . a(to, M p mod PM!!)

fur

PIP.

In der Summe Ctp (t , M) + Ctp(t j p2, M) + .. . auf der rechten Seite von (34.2) benoti gen wir nur den erst en Summ anden, denn wegen t == to(P ) und (to, P) = 1 ist t nicht durch p2 teilbar .

(34 .5) Zur Berechnung der anderen Faktoren Ct p , pf P , benutzen wir (13.6) . In diesen F allen ist namlich M p regular , also kann man k = 1 wahlen. Dann ist d m 1 - (- )p-2" P

ill-1

Ctp (t, M ) = (2t)i

.

m gera de, p f t

d m (1 - (- )p- 2")(l p

+ (-d )p- (m2" p

1)

m gera de, pit

,

1 + O(p- 2) m ungerade, m 2: 5. Wir werd en nun , aufbauend auf den Formeln (34.4) und (34.5), auch fur RS(T) , die tiber 2t < T , t == to aufsummierte rechte Seite von (34.2), eine asy mptotische Formel herleiten. Dab ei sind die kleinen Dimensionen m = 3,4,5 gesondert zu behand eln. Wenn wir dann weiter vora usset zen, daf fur n = dim W < m der in (34.1) angebene Wert fur ,(W) bereits bekannt ist , insbesond ere nur von n abha ngt, so konnen wir dur ch asymptotischen Vergleich der aufsummierten linken und rechten Seite von (34.2) auch den angegebenen Wert von , (V) = , (m ) ber echnen. Am einfachsten verlauft diese Herleitung, wenn m 2: 5 ist . Dann ist auf der rechten Seite

(2t)1- 1(1 + O(p-2) + p- 2 + O(p- 4) + ...

= Sei jetz t

(2t) ,?-1(1 + O(p- 2))

a < E: < 1. Dann

£B n (1 + O(p-2)) £

schreibe man A

Weiter wahl e man P so, daB

pf P

fur 1 -

E:

< ~ < (1 -

E:) - 1.

1. Das ist moglich, weil das

150

X. Der Sat z von Minkowski und Siegel

P rodukt tiber alle p konvergiert . Summiert man jetzt die rechte n Seiten auf und multipliziert geeignet zusammen , so ergibt sich

RS (T ) ~

,(~) IdM11 / 2 . p- {m - l ) II a(to, u, mod P Mf , (

)

piP

L

)·

(2t)~ - 1 .

t=t o{P )

2t< T

Die let zte Summe kann man abschatzen mit tels eines Integrals

Einsetz en dieses Wertes liefert

RS(T)

e , (W )

(V) IdM1 1 / 2 • p - m

rv

,

T m/2 II a(to, u , mod PMf) . ---;;;;-. piP

Vergleich mit (34.3), Kiir zen gleicher Term e und Einset zen von ,(W) = ,(m - 1) liefert 1 ~ , (m - 1) . _1_ , (V ) m · Pm ' Da dieses ftir jedes positi ve e gilt, ergibt sich das gewtinscht e Ergebnis. Die Falle m = 2 und m = 4 lassen sich gemeinsam beginnen. Sei p f P , also k = 1. Dann ist a(t,Mp )

+ . ..

=

(2t)' -1

(1- (~)p-~ ) (1 + (~)p-{~-l»)

(1 + p-2{ ~- 1 ) + ...)

Wir noti eren die And erungen gegenuber dem Fall m ~ 5: Man ersetze

durch

II (1 - ( ~)p-~ ) L (2t) ~-1 L( ~)U-{ ~ -l). PIP

Schre ibt man t =

P

UV,

t

so ist dies gleich

u lt

34 SchluB des Beweises

151

im FaIle m = 4 also gleich

Es ist

L v= vo(P) 2v
2v

1 (T)2 T = -. -u + 0(-). 4P u

Einsetzen ergibt

4~T2 II 1'jP

(1- (~)p- 2) . P

L (~)U-2 + O(TlogT) = ~;(1 + 0(1)).

2u
Der letzte Faktor ist also wieder gleich Trn/2ImP, und wir erhalte n das gleiche Ergebnis wie fiir m 2:: 5. Als nachst es wollen wir (**) ftir m = 2 abschatzen. Einsetzen ergibt

Wir unterteilen das fragliche Gebiet in der u-v- Ebene und schatzen in den einzelnen Sektoren ab o I.

L (~) . L

u ,v<"jT[i u v=to( P )

(11.,1')= 1 11.< "jT[i

1

v=vo(P) v < "jT[i

L(~) (J~/2 + 0(1)) = J~/2. L (~) + O(vT). 11.

(u, P) = 1 u <"jT[i

Nach dem quadratischen Reziprozitatsgesetz hangt ( ~) nur von u mod 4d ab o Wahlt man P == O(4d) , dann ist also X(u) = (~) ein Charakter der prim en Restklassengruppe mod P , und wegen d < a nicht identisch 1. Dar aus folgt

L 11. m od P (u ,P)=l

(~) = O. U

152

X. Der Sat z von Minkowski und Siegel

v

T

"2

III

I

T

"2

u

Die Summe auf der rechten Seite der obigen Gleichung ist also beschrankt , und damit 1= D(VT). II.

L (~)(TJ2U~JT72+D(1)) (u ,P)= l

u
L (u ,P)=l

( ~)U-l + D(vT). U

u
(~) (~) =

(:v)

=

C~) ,

und wie man durch Uberga ng zu MpJpMp und Fp erkennt, ist sogar ( ~ ) = 1 fur plto. Also ist in verstandlicher Schreibweise III = II + D( VT) . SchlieBlich ist

34 SchluB des Beweises

153

Wenn wir zeigen konn en, daf

II (1- (~)p-1).

pj'P

~ (~)U-1 =

(u ,P) =1

1

ist, so folgt die Behauptung 1'(2) = 1/21r wie in den and eren Fallen. Form al geht das durch Entwi cklung von (1 - (~)p- 1 )-1 in eine geomet rische Reihe. Die Schwierigkeit liegt jedoch darin , daf 11(1 - ( ~)p- 1 ) nicht absolut konvergiert und die bedingte Konvergenz recht tief liegt (vgl. z.B. E. Landau , Handbu ch der Lehre von der Vert eilung der Prim zahlen, §109). Setzt man sie un d die leicht zu beweisende bedingte Konvergenz von 2:(~)U-1 voraus, so folgt die gewtlnschte Gleichung aus

d d II(l- (_)pS). ~(_)u - S = 1 fur s > 1 P u durch Grenziibergan g s -+ 1+. Im letz ten noch offenen Fall m = 3 gehen wir anders vor. Wir zeigen zuerst, daf 'Y (V ) nicht von V abhangt und ber echnen es dann fiir einen passenden Raum . Seien V, W zwei Raum e der Dimension 3. Ohn e Einschrankung sei dV = dW = -1 , weil day = a 3dV = adV und cay = cV ist. Fur die p mit ind Vp = ind W p = 0 ist Vp ~ W p nach (16.6b). Fur die anderen p ist ind Vp = 1 oder ind W p = 1, also q(Vp ) = (Qp oder q(Wp ) = (Qp. Man wahle to E q(V) n q(W) n Z, quadratfrei mit p f to, falls ind Vp = 0 oder ind W p = O. Die Existenz eines solchen t folgt aus dem Satz von Minkowski-Hasse. Sei x E V mit q(x ) = to, M ein maximales Git ter mit x E M und ents prechend y E W mit q(y) = to , N maximales Gitter mit yEN. P sei passend zu M , to und N, to gewahlt . Dann ist

~

II( a( t , M p )+ a(;2,Mp)+ . . .)

t ::to(P ) pj'P 2t
unabhan gig von V und W , weil M p ~ N p ist fur die vorkommenden p . J etzt bestimme man l' aus (33.6) mit M = L = [2,2 ,2] . Es ist 1 a 2(M , M ) . 48 = IO (M)1 = (3) l'

II-2 (1 - p ), #2

154

X. Der Satz von Minkowski und Siegel

3 II(1- p-2)-1 = II(l- p-2)- 1 . (1- 4)1 = 4· ((2) = s· 7r

p#2

Dann ist / (3)

2

p

= cx2(M, M)

. ~. Es bleibt noch der Nachweis von

der leicht durch Rechnung modulo 8 gefiihrt werd en kann .

35 Einige Beispiele und Anwendungen Der Fall L = M des Hauptsatz es (33.6) verdi ent besondere Aufmerksamkeit. In diesem Fall gilt a(L, M i ) = IO(Mi)1 fur i = 1 und a(L , M i ) = 0 fur i = 2, . . . ,h, denn eine Einbettung von L in M, muf notwendi g ein Isomorphismus sein. Die Formel des Satzes redu ziert sich also auf

(35.1) Die MaBformel h

1

~ IO(Mi)1

1

= / (m)

.1] cxp(M , M)·

Dieser Wert wird auch das Map des Geschlechtes von M genannt . Wenn man gewisse Gitter M 1 , ..• , M t eines Geschlechtes und die Ordnungen ihrer orthogonalen Gruppen bereits kennt , so kann man durch Berechnu ng des MaBes als Produkt der lokalen Faktoren feststellen, ob die Summ e der bekannten l/IO(M i ) I bereits das gesamte MaB liefert, d.h. ob t = h ist. Diese Uberlegung liefert fur die Aufgab e der vollstandigen Klassifizierung eines Geschlecht es positiv definiter Gitter in gewisser Weise einen Alternative zu der in §28 vorgestellte n Nachbarmet hode.

(35.2) Wir skizzieren die Niltzlichkeit der MaBformel (35.1) am Beispiel der unimodularen geraden Gitt er, also regular er quadratischer Formen. In der Formel unter (33.5) fur die lokalen Darstellungsdicht en ist n = 0, m = e> 0, also e = ~ sowie dM = 1, fern er a(L, M mod pkL#) = a(M, M mod pM) = IO(M/pM)I. Einsetzen dieser Ordnung aus (13.3), Fall 1 (die Restkl assenraume sind alle hyp erbolis ch) ergibt cxp(M, M)

= (1 -

m/2-1 p- m/2).

II (1 _ p-2

j ),

j= l

also

=

m/2- 1 ((m / 2) ·

II

i =l

( (2j ).

35 Eini ge Beispiele und Anwendungen

155

Speziell fiir m = 8 ergibt sich ( (2) . ((4) 2 . ((6)

= ~2

(;~) 2 . ;:5 - 459~1;000'

.

Weiter ist "(() 8

135

= 20487r

-1 6 .

Das Ma13 ist also gleich 1/696729600 = 2-143-55-27-1. Dieses ist genau der Kehrwert der uns aus §28 bekannten Ordnung der orth ogonalen Gruppe des Gitters E s , womit die Einkl assigkeit dieses Geschlechtes erne ut nach gewiesen ist . Mit etwas mehr Miihe ber echnet man ( "(

16)

= 12002806286149194140625 134217728

sowie das Ma13 ftir Dimension 16 als 691/2776671815152 43520000 . Die beid en bekann ten Gitter hab e als Ordnungen der ort hogonalen Gruppen IO(Es..LEs )! = 2· IO(EsW (dieses folgt aus der Eind eutigkeit der Zerlegung in Unzerlegbare) sowie IO(D 16 1 = 215 · 16! . Addieren der Kehrwerte und Vergleich mit dem Ma13 liefert , daB dieses die einzigen Klassen im Geschlecht sind, wie in §28 bereits behauptet . Fur hohere Dimensionen wachst das MaB st ark an; so ist es etwa fur n = 32 bereits gleich 4,031 . 107 (gerundet) . Da auf der linken Seite der Ma13formel jedes Gitter hochstens einen Beitrag ~ liefert, ist die Klassenzahl hier also gro13er als 80 Millionen. (35.3) Wir bestimmen schlieBlich als weitere Anwendung der Theorie dieses Kapi tels die Anzahl der primitiven Darstellungen einer naturlichen Zahl t als Summe von 5 ganzen Quadrat en. Es geht also urn die Darst ellungsanz ahl a(t, M) := a([t], M ) ftir M = 2fs. Da nach Satz (28.8 a) die Klassenzahl von 2Is gleich eins ist , lau tet der Hauptsatz (33.6) in diesem Fall "((4)

a(t , M) = "((5)' Dab ei ist

Die

O:p

"((4) "((5)

IT O:p(t, M ). 8

= 5 . P5 = 3"7r

2

.

werden na ch (33.5) berechnet (siehe auch (34.3»:

O:p(t, M)

= (2t);/2(dp(M»1/ 2p - 4k a(t , M p mod pk M/!).

Fur p :j:. 2 konn en wir k = 1 set zen und erhalten unter Verwendung von (13.6)

156

X. Der Sat z von Minkowski und Siegel

Qp(t, M)

= t~/2 . (1 + (! )p-2) . P

Aufmul tiplizieren tiber aIle ungeraden p liefert wegen 1 + (ip )p-2 p-4)/(1_ (~ )p-2) und ((4) = 1f4/90 den Wert

II Qp(t,M) = 96t

3

/

p¥-2 Fur p

L

21f- 4

( !) ~ .

u u ng erade

= 2 reicht es, k = 3 zu setzen, und

(1 -

u u

es ergibt sich

Durch einfache Inspektion aller Vekto ren in (Z / 4Z)5 ergibt sieh let ztere Darste llungsanzahl als

a(t, M 2 mod 4M2 ) =

80 112 { 160

falls falls falls

t t t

== 1 mod 8 == 5 mod 8 == 3 mod 4

Zusam mensetzen dieser Form eln liefert fiir die gesuchte Darstellungsan zahl den Ausdruck

a(t , 215 ) = t 3/ 21f- 2

'"

c:

u un ger ade

( !u ) ~ . u2

80 112 { 160

falls falls falls

t t t

== 1 mod 8 == 5 mod 8 == 3 mod 4

Fur quad ratfr eies t ist die unendliche Summe bis auf den fehlend en Eulerfaktor 1/(1 - X(p)p- S) fur p = 2 der Wert L (s, X) einer L-Reihe an der Stelle s = 2, wobei X der pr imitive quadratische Charakter zum Fuhrer t bzw. 4t ist. Sie HiBt sieh, ahnlich wie bei der Zetafunktion , mit tels wohlb ekann ter Met hoden weite r auswerten; siehe z.B. D. Zagier , Zetafunktionen und quadratische Kii rper , Springer-Verlag 1981. Wir beschranken uns auf den Fall t == 1 mod 4 und erhalte n folgend e endgiiltige Form el fur die Anzahl aller Dar stellungen einer quadratfreien ungeraden Zahl t als Summ e von 5 Quadraten:

a(t,215 ) =

(t-l)/2 t

{; ("k)k.

{ -80 -112

falls falls

t == 1 mod 8, t;j; 1 == 5 mod 8

t

Anmerkungen zu Kapitel X

157

Anmerkungen zu Kapitel X Die MaBformel (35.1) tauchte in dieser Vorlesung erst zum Schluf als ein Spezialfall des allgemeineren Satzes (33.6) auf; tatsachlich spielt sie aber eine besondere, eigenstandige Rolle und ist mehr als ein halb es J ahrhundert alter als die allgemeine Bestimmung der gemittelten Darstellungsanzahlen tiber ein Geschlecht quadr atischer Formen, die erst 1935 von Siegel [S] gegeben wur de. Eisenstein war offenbar der erste, der bei Unte rsuchungen tiber die Klassenzahl te rna rer quadratischer Formen die Bedeutung der Summ e der Kehrwerte der Ordnungen der orthogonalen Gruppen tiber ein Geschlecht erkannte und auch den Begriff des MaBes einfUhrte . In der Arbeit N eue Theorem e der hiihereti Arithmetik, J . reine angew. Math. 35 (1847),117-136 hat er -ohne Beweise- Ausdrii cke fiir das MaB terna rer Geschlechter angegeben. Ebenfalls ohne Beweis gab er in der Not e sur la repres entation d'un nombre par la som me de cinq carres, J. reine angew. Math. 35 (1847), 368, die ganz am Schluf von (35.3) erhalte ne Formel fiir die Anzahl einer nattirli chen Zahl als Summe von 5 Quadraten an. Die ersten publizi erten Beweise fiir einige der Eisensteinschen Satz e stammen von Henr y J .S. Smith , der in der Arbeit On the Orders and Genera of Quadratic Form s Containing m ore than Three Ind eterm inates, Proceedings of the Royal Society XVI (1867), 197-208, au ch als erster eine MaBformel fur beliebige Dimension anga b und damit bereits einen wesentlichen Beitrag zur Losung der spateren Preisaufgab e von 1881 der P ariser Akademie leistete. Wesentliche unabh angige Beitrage finden sich dann in Minkowskis pr eisgekronte r Arb eit Grundlagen fur eine Th eorie der quadratischen Form en mit ganzzahligen Ko efJizienten, Memoires presentee par divers savants a I'Acadernie des Sciences de l'insti tu t national de France, Tome XXIX , No. 2. 1884. Der Haupt teiJ dieser Arbeit wird ubri gens von der - in diesem Zusammenha ng als Vorb ereitung anzusehenden- Iokalen Klassifikation ganzzahliger quadratischer Formen eingenommen. In Kapitel XXII, und ebenso bei Siegel [S], findet sich die erste der oben unter (35.3) angegebenen Formeln fiir die Anzahl der Darstellungen einer naturlichen Zahl dur ch 5 Quadrate. Die Geschichte des Pari ser Preises wird erzahlt in J .-.P Serr e, N. Schappacher, Smith, Minkowski und die Par iser A cademie, Mitt. der Deuts chen Mathematik er-Vereinigung 1993, Heft 2, 4-7. Ein e der mod ern en Fassung bereits weitgehend ents prechende Fassung der MaBform el, bei der insbesondere die "rechte Seite" ein Produkt lokaler Dichten tiber alle Primzahlen ist , gab Minkowski kurz darauf in seiner Dissertation [M] ; dort wird auch mehr oder weniger erstma lig der heutige Begriff eines Geschlecht es quadr atischer Formen zugru ndegelegt . Einen auf wenige Seiten beschrankten, klaren Uber blick tiber diese Arbeit , der auch die Beit rage von Smith nennt , gibt Minkowski im erst en TeiJ der Note Uber positive quadratische Form en, J. reine angew. Math. 99 (1886), 1-9.

158

X. Der Satz von Minkowski und Siegel

Ein e weit erfiihrende Beschaftigung mit dem Thema lief dann ziemlich genau 50 J ahre auf sich warte n, bis Siegel 1935 in der ersten der dr ei Arb eit en [S] den allgemeinen Satz tiber gemittelte Darstellun gsan zahl en aufste llte und dadurc h auch eine neue Herleitung der MaBformel gab. Siegel gab auch Verallgemeineru ngen in verschiedene Richt ungen , u.a . in der zweite n Arbeit auf indefinite Formen und in der drit te n Arbe it auf Formen tiber Zah lkorp ern. Es sollte erwahnt werden , daf un sere lokalen Dar st ellungsdicht en nicht ganz mit den Siegelschen tlbereinetimrnen: Abweichun gen ergeben sich bei den Diskriminant enteilern, wobei zum Ausgleich die Siegelsche unendliche Darst ellungsdicht e a oo neben un serem Fakt or 'Y (m - f) h( m) aus (33.6) noch einen aus passende n Po t enzen der Diskriminant en gebildeten Faktor ent halt, In Absc hnitt 35 hat ten wir angedeutet, daf die Klassenzahl quadr atis cher Formen mit ste igender Dimension wachst. Dieses Erg ebni s ist keineswegs auf unimodulare Formen beschr ankt, vielmehr hat W . Magnus in der Arb eit Uber die A nzahl der in einem Geschlecht enthaltenen Klass en von positiv-definit en quadratischen Form en, Math. Ann. 114 (1937), 465-475, 115 (1938), 643644, aus der Ma Bforme l abgeleitet, daf besagt e Anzah l nur ftir endlic h viele Paare (Dimension, Det erminant e) unt er einer gegebe nen Schranke bleibt. Ube r Zahlkorpern wur de die Frage des Wachst ums der Klassenzahl von Gitte rn erst 30 Jahre nach Magnus geklart . H. Pfeuffer hat in seiner Dissert ation Einklassige Geschlechter totalpositiver quadratischer Form en in totalreellen algebraischen Zahlkiirpern , J. Numbe r Theory 3 (1971), 371-411 die bernerkenswert e Tatsa che gezeigt, daf bei gegebener Schrank e an die Klassenzah l nur end lich viele Korp er in Frage komrnen; siehe auc h J. Numbe r T heory 11 (1979) , 188-196. Wir machen schlieBlich einige Bemerkungen zu dem obigen Beweis des 'Hauptsat zes' von Minkowski und Siegel, was uns auch die Gelegenheit gibt, einen kurzen Blick auf die arithmet ische Theorie der algebraischen Gruppen zu werfen , in die sich wesentliche Teile der in dieser Vorlesung behandelte n Theorie rationaler (ganzzahliger) qua dratischer Form en einbetten (analog auch tiber Zahlkorp ern ), Bereits bei der starken Approximation in Kap it el VIII hat t en wir gesehen, wie ein Result at tiber qua dratische Formen , hier tiber Dar st ellun gen , sich in natiirlicher Weise fur die orthogona le Gruppe formulieren laBt und sich -sogar in etwas glatterer Form- auf deren universelle Ub erlagerung, die Spin gruppe iibertragt. Auch das (schwache) HassePrinzip besitzt eine Formulierung und Erweit erung im Rahmen algebra ischer Gruppen, namlich mittels der Galois-Cohomologie H I (k, G) einer tiber einem Zah lkorp er k definiert en algebraischen Gruppe G j siehe J.-P. Serr e, Cohomol ogie Galoisienn e, Springer Lecture Notes 5, 1965. Im FaIle einer Auto morphismengru ppe, insb esond ere einer orthogonal en Gruppe, beschr eibt dieses H I die Isom orphieklass en der ents prechenden Obj ekt e, und das HassePrinzip verallgemeinert sich als die Injektivi t at der kanonischen Abbildung HI (k,G) -t Il, H I (kp ,G).

Anmerkungen zu Kapit el X

159

Was schlieBlich die Situation des Hauptsatzes angeht, so war es Tamagawa, der in den spat en 50er Jahren fur algebr aische Gruppen tiber Zahlkorp ern , allgemeiner auf den Adelen gewisser algebraischer Varietaten, das spater so genannte Tam agawa-MaB definierte. Im Fall der Gruppen ist dieses ein Haars ches MaB, wobei der springende Punkt eine bestimmte kanonische Normi erung ist , deren Hintergrund wir oben nicht behandelt hab en. Diese Tam agawasche Normierung wird mit tels einer invari anten, tlberall regularen rationalen Differentialform erzielt ; dab ei unterscheiden sich zwei solche Form en nur durch einen Charakter auf der Gruppe, dessen Werte auf den Adelen durch die Produktformel herausfallen. DurchgefUhrt wur de dieses Programm 1959/60 in einer grundlegenden Vorlesung von Weil in Princeton, die 1961 in vervielfaltigte r Form und 1982 unverand ert als Buch A deles an d Algebraic Groups bei Birkhauser , Basel/Boston erschien. Wie z.B. aus einem Vortrag von Weil im Seminaire Bourbaki im Mai 1959 oder aus der Einleitung seines genannten Buches hervorgeht , war es Tamagawa klar , daB man mit Hilfe seiner Theorie den Siegelschen Hauptsatz beweisen kann. Nachdem das Haars che MaB auf der Adelgruppe einer algebraischen Gruppe G wie angedeutet normiert word en ist, definiert man unter gewissen technischen Annahmen, die z.B. im halb einfachen Fall erftillt sind, die Tam agawa-Zah l r (G) als das Tamagawa-MaB von G(k )\GA . Die Formel des Hauptsatzes ist dann modulo lokaler Rechnungen zu r (SO) = 2 aquivalent . Eine weitgehend e, tiefliegende und erst relativ spat vollstandig bewiesene Verallgemeinerung auf reduk tive algebr aische Gruppen reduziert die Berechnun g auf den halb einfachen einfach-zusammenhangen den Fall und besagt hierfiir , daB die Tamagawa-Zahl eins ist ; siehe hierzu den Bericht von L. Clozel, Nombres de Tamag awa des groupes semi-simples {d 'apres Kottwitz) , Sernin. Bourbaki , Vol. 1988/89, 41e ann ee, Exp. No.702, Asterisqu e 177-178 (1989),61-82. SchlieBlich haben auch die Gitter in definiten Raumen und die Klass enzahl von Geschlechtern eine Verallgemeinerung auf algebraische Gruppen, namli ch durch arithmetische Unt ergru ppen und deren ents prechend unserem Satz (31.13) definierte Klassenzahl. Das oben gena nnte Endlichkeitsresultat von Pfeuffer gilt auch in dieser allgemeineren Situ ati on, wie in der Arb eit von G. Prasad, Volum es of S-a rithmeti c quotiens of semi-simple groups, Publ. Math., lnst. Hautes tud. Sci. 69 (1989),91-117, gezeigt wird.

Literatur

[A] C. Arf, Untersuchungen tiber quadratische Formen in Korpern der Charakteristik 2 (Teil I), J . reine angew . Math. 183 (1941), 148-167. [B] R. Baeza , Quadratic Forms over Semilocal Rings, Lecture Notes in Math. 655 , Springer-Verlag 1978. [C] J .W.S. Cassels, Rational Quadratic Forms, Academic Press 1978. [CS] J .H. Conway, N.J .A. Sloane, Lattices, Sphere Packings and Groups, SpringerVerlag 1988. [D] J. Dieudonne, La geometric des groupes c1assiques. Springer-Verlag 1955. [El M. Eichler, Quadratische Formen und orthogonale Gruppen, Springer-Verlag 1952. [G] C.F. Gauss, Disquisitiones arit hmet icae , G. Fleischer 1801 = Werke I. [H] H. Hasse, Uber die Darstellbarkeit von Zahlen durch quadratische Formen im Korper der rationalen Zahlen; Uber die Aquivalenz quadratischer Formen im Korper der rationalen Zahlen, J . reine angew . Math. 152 (1923), 129-148, 205224 = Math. Abhandlungen I, 3-22, 23-42. [K] M.-A. Knus, Quadratic and Hermitian Forms over Rings, Springer-Verlag 1991. [M] H. Minkowski, Untersuchungen tiber quadratische Formen. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, die ein gegebenes Genus enthiilt. Inauguraldissertation, Konigsberg 1885; Acta Mathematica 7 (1885), 201-258. [0] O.T. O'Meara, Introduction to Quadratic Forms, Springer-Verlag 1963. [Sch] W . Scharlau, Quadratic and Hermitian Forms, Springer-Verlag 1985. IS] C.L. Siegel, Uber die analytische Theorie der quadratischen Formen I, II, III Annals of Mathematics 36 (1935), 527-606 , 37 (1936), 230-263, 38 (1937), 212-291 = Ges. Abh. I, 326-405, 410-443, 469-548 [W] E. Witt, Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Korpern, J. reine ang ew. Math. 176 (1937), 31-44 = Coll. Papers, Ges. Abh . 2-15 .

Index

Abstand, 114 Adele - eingeschrankte, 130 Algebra - Clifford-, 22 - Diskriminanten-, 44 - einfache, 45 - quadratische, 43 - zentrale, 45 Approximationssatz - schwacher, 96 - st ar ker, 94, 98, 102 Arf-Invariante,44 ausgear t et, 2 b enachbart, 114 Bewertung - diskrete , 62 Bewertungsideal, 62 Bewertungsring, 62 Brauer-aquivalent, 45 Brauer-Gruppe, 45 Clifford-Algebra, 22 Darstellung, 125 - Geschlecht einer, 125 - Klasse einer, 125 - primitive, 125 - spezielle, 130 Darstellungsdichte, 144 Determinante, 4 Diskriminante, 43 Diskriminantenalgebra, 44 Doppelnebenklasse, 133 duale Basis, 5 duales Gitter, 57 Fundamentalbereich, 134 Geschlecht einer Darst ellung, 125

Geschlecht eines Gitters , 86 Gitter, 57 - duales,57 - ganzzahliges, 106 - gerades, 106 - maximales, 61 - ungerades, 106 - unimodulares, 106 Gram-Matrix, 3 Haarsches Mall, 133 Halbdiskriminante, 43 halbregular, 9 Hauptkongruenzuntergruppe, 131 hyperbolisch, 11 Index, 14 Isometrie, 7 isotrop , 80 Klass e einer Darstellung, 125 kommensurabel, 127 Kongruenzmenge, 131 Kongruenzuntergruppe, 131 Mall,154 Maflformel , 154 Minkowski-Hasse - Satz von , 78, 79 Minkowski-Siegel - Satz von, 144 Nachbar, 114 nicht ausgeartet , 2 orthogonal, 1 - Gruppe, 12 - - spezi elle, 37, 39 - Summe, 1 - Untermodul, 1 orthogonale Gruppe, 12

164

Index

Partition, 112 primitiv, 10, 125 quadratische Algebra, 43 quadratische Form, 7 quadratischer Modul, 7 Quaternionen-Symbol, 48 Quaternionenalgebra, 29 regular, 2 Restklassenkorper, 62 scharf primitiv, 10 Signatur, 42 singular, 10 spezielle orthogonale Gruppe, 37, 39 Spingruppe, 39 Spinorgeschlecht, 104 Spinornorm, 39 Stelle, 71 unimodular, 106 unzerlegbar, 111 Witt - -Gruppe, 41 - -Index, 14 - -Invariante, 45 - -Zerlegung, 14 - Fortsetzungssatz von, 13 - Kiirzungssatz von, 12

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