PSEUDO-CONVEXITE, CONVEXITE POLYNOMIALE ET DOMAINES D’ HOLOMORPHIE EN DIMENSION INFINIE
A JACQUELINE
NORTH-HOLLAND ...
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PSEUDO-CONVEXITE, CONVEXITE POLYNOMIALE ET DOMAINES D’ HOLOMORPHIE EN DIMENSION INFINIE
A JACQUELINE
NORTH-HOLLAND MATHEMATICS STUDIES
3
Notas de Matem6tica (48) Editor: Leopoldo Nachbin Universidade Federal do Rio de Janeiro and University of Rochester
Pseudo-Convexite, Convexite Polynomiale et Domaines d' Holomorphie en Dimension Infinie
PHlLlPPE NOVERRAZ Universitb de Nancy I
1973
NORTH- HOLLAN D PUB LlSH ING COMPANY, AMSTERDAM- LON DON AMERICAN ELSEVIER PUBLISHING COMPANY, INC. - NEW YORK
0 NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY - AMSTERDAM - 1973 All Rights Reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise, without the prior permission of the Copyright owner.
Library of Congress Catalog Card Nummer : 72-93494 ISBN North-Holland 0 7204 2703 7 ISBN American Elsevier 0 444 10419 4
PUBLISHERS:
NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY - AMSTERDAM NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY, LTD. -LONDON SOLE DISTRIBUTORS FOR THE U.S.A. AND CANADA:
AMERICAN ELSEVIER PUBLISHING COMPANY, INC. 52 VANDERBILT AVENUE NEW YORK, N.Y. 10017
PRINTED IN THE NETHERLANDS
FOREWORD Volumes 1 through 6, volume 7 and volumes 8 through 47 of the series NOTAS DE MATEMATICA were published in Rio de Janeiro, Brasil since 1948 by Faculdade Nacional de Filosofia, Centro Brasileiro de Pesquisas Fisicas and Instituto de Matematica Pura e Aplicada, respectively. Starting from volume 48, the series is being published by North-Holland, Amsterdam, Netherlands. I wish to express my thanks to Einar Fredriksson for his interest in the continuation of the series.
LEOPOLDO NACHBIN
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I N T R O D U C T I O N
Ces notes ont k t k rkdigkes & l a s u i t e d'un cours donnk & 1 ' I n s t i t u t o de Matemgtica Piira e Aplicada (IMPA) de Rio de J a n e i r o durant l ' k t k 1971. Elles ont k t k complktkes ultkrieurement pour t e n i r compte d'amkliorations obtenueo ; c ' e s t a i n s i q u ' a k t k ajoutk l e c h a p i t r e 6 q u i renforce notablement les r k s u l t a t s du c h a p i t r e 5 que nous avons nkanmoins conserve c a r l e s techniques sont d i f f k r e n t e s e t peuvent s e r v i r & rksoudre d ' a u t r e s problhmes. Les espaces v e c t o r i e l s topologiques que nous considkrons i c i seront toujours complexes e t , en gknkral, localement convexes bien que c e t t e condition ne s o i t pas toujours nkcessaire. I1 f a u t cependant f a i r e a t t e n t i o n au f a i t que, dans un espace non localement convexe, l'ensemble des f o n c t i o n s analytiques peut &re r k d u i t aux c o n s t a n t e s ; c e t t e s i t u a t i o n se produit lorsque l ' e s p a c e e s t 2 dual nu1 ( c o m e , par exemple, l e s espaces de suites &p, 0 C- p 4 1 ) ; e l l e ne peut pas se prksenter, grgce au thkor'eme d'Hahn-Banach, dans un espace localement convexe. Aussi lorsque nous parlerons d'espace v e c t o r i e l topologique ( e v t ) il s e r a toujours sous-entendu que E' f { O f Nous avons c e n t r e n o t r e expose s u r l e s notions de pseudo-conv e x i t k , de convexitk polynomiale e t de domaine d'holomorphie, kcart a n t a i n s i p l u s i e u r s domaines qui f o n t actuellement l ' o b j e t de nomb r e w travaux. Ces domaines portent s u r : - l ' k t u d e d e s espaces k t a l k s , - l ' k t u d e d e s propriktCs topologiques e t bornologiques de l ' e s pace d e s f o n c t i o n s analytiques s u r un ouvert d'un espace de Banach ou, p l u s gknkralement, d'un e l c , - l ' k t u d e d e s opkrateurs de convolutions, - l ' k t u d e de l a notion d ' a p p l i c a t i o n analytique en bornologie.
.
A l a f i n de c e s notes, l e l e c t e u r trouvera une l i s t e k peu pr'es complete des travaux rkcents r e l a t i f s b l ' a n a l y t i c i t k e t b l a p l u r i sousharmonicitk en dimension i n f i n i e .
Le c h a p i t r e 0, i n t r o d u c t i f , rassemble d i v e r s r e s u l t a t s c l a s s i ques s u r l e s espaces v e c t o r i e l s topologiques e t s u r l e s f o n c t i o n s analytiques e t plurisousharmoniques en dimension f i n i e .
Dans l e c h a p i t r e I nous introduisons l e s f o n c t i o n s plurisousharmoniques e t l e u r s p r i n c i p a l e s propridtds, en p a r t i c u l i e r l e t h h rkme de convergence e t l e lemme de Hartogs, p u i s nous ktudions
VII
Introduction
VIIl
l e s f o n c t i o n s G-analytiques a i n s i que l e u r s d i v e r s e s p r o p r i k t k s q u i sont kquivalentes l o r s q u ' i l s ' a g i t d ' a p p l i c a t i o n s e n t r e espaces norF m k s . Les p r o p r i k t k s d e s f o n c t i o n s G-analytiques f : U C E peuvent se rksumer c o m e suit :
+
f bornee s u r t o u t compact
f:E + ( F , p ) continue V p
--
e -
V l
E mktrisable F norm6
f
continue
semi-norme continue s u r F
___f
<=.
uof a n a l y t i q u e Q U GF'
E mktrisable
f localement bornke
De p l u s d e s r e l a t i o n s sont donnkes e n t r e l e s f o n c t i o n s p l u r i sousharmoniques e t a n a l y t i q u e s . Le paragraphe 3 t r a i t e du lemme de Zorn q u i , en l ' a b s e n c e d ' u n lemme d'Abel, est prkcieux b i e n que l a c l a s s e d e s espaces dans l e s q u e l s ce thkorhme est v k r i f i k s e rkvkle e t r e a s s e z l i m i t k e comme l e montrent d i v e r s contre-exemples. h i s nous appliquons les p r o p r i k t k s du rayon de convergence ( o u de majorat i o n ) d'une f o n c t i o n a n a l y t i q u e pour montrer que t o u t e f o n c t i o n anal y t i q u e dans un espace norm6 s e prolonge & un ouvert du complktk ( q u i comme nous l e v e r r o n s au c h a p i t r e 5 en s e r a souvent d i s t i n c t ) . Le c h a p i t r e 2 p o r t e s u r l a pseudo-convexitd. Nous dkmontrons d'abord un thkorkme de f a c t o r i s a t i o n ( t h . 2.1.7.) u t i l e dans l e c a s non norme p u i s nous prouvons que l e s d i v e r s e s n o t i o n s de pseudo-conv e x i t k e t de convexitk plurisousharmonique que l ' o n peut i n t r o d u i r e coyncident dans l e s espaces semi-normks. Le c a s non semi-normk est moins aise & k t u d i e r car on ne peut u t i l i s e r de d i s t a n c e continue. Enfin l e c a s d e s espaces k t a l k s e s t abordk. L a pseudo-convexitk, cont r a i r e m e n t & l a convexitk holomorphe que nous v e r r o n s p l u s l o i n , est , grgce ? se sid e f i n i t i o n s k q u i v a l e n t e s , m e n o t i o n a s s e z maniable. Le c h a p i t r e 3 est a s s e z d i f f e r e n t d e s preckdents : nous y const r u i s o n s l'enveloppe d'holomorphie d'un espace k t a l k au-dessus d ' u n e l c . La d6monstration s ' i n s p i r e d e l a I'm6thode d e s germes", c l a s s i q u e en dimension f i n i e . L'enveloppe a i n s i c o n s t r u i t e posskde d e s proprikt k s de convexitk holomorphs dont l ' o n ne s a i t pas, comme en dimension f i n i e , montrer l ' k q u i v a l e n c e . Nous ktudions e n s u i t e l e s couples de prolongement e t montrons dans l e cas Banach, que l'enveloppe a i n s i c o n s t r u i t e e s t indkpendante de l ' d t a l e m e n t c h o i s i . Le c h a p i t r e 4 e s t c e n t r e t r o d u i s o n s une v a r i a n t e de l a d i e c k pour pouvoir "remonter" l ' e s p a c e e n t i e r . La convexitk
s u r l a n o t i o n de polyname ; nous y inp r o p r i k t k d'approximation de Grothend e s sous espaces de dimension f i n i e h polynomiale s e prouve a l o r s en considk-
Introduction
IX
r a n t l e s i n t e r s e c t i o n s avec l e s SOUS espaces de dimension f i n i e . Nous prouvons des thkorhmes d'approximation qui gkndralisent l e s thQorkmes c l a s s i q u e s de R u n s e t Oka-Weil, p u i s terminons en montrant que t o u t ouvert de Runge admet un ouvert de prolongement simultane maximal qui e s t polynomialement convexe.
L a p r e m i h e p a r t i e du c h a p i t r e 5 rksout p a r t i e l l e m e n t l e probl8me de Levi en dkmontrant que, dans un espace de Banach avec propriktk d'approximation p r o j e c t i v e , t o u t ouvert polynomialement convexe e s t l e domaine d'existence d'une fonction analytique, Nous u t i l i s o n s ce r e s u l t a t pour Q t u d i e r l a notion d'enveloppe holomorphiquernent compl8t e d ' u n espace porn6 ( i . e . l ' i n t e r s e c t i o n de tous l e s domaines d'existence dans E d e s f o n c t i o n s a n a l y t i q u e s s u r E ) . Le c h a p i t r e 6 rksout l e problkme de Levi dans l e s espaces de Banach skparables avec l a propriktk d'approximation de Banach ( i ,e . l ' i d e n t i t 6 e s t l i m i t e ponctuelle d'une s u i t e d'opkrateurs de rang f i n i ) . De t e l s espaces sont c a r a c t Q r i s Q sp a r l e f a i t d ' e t r e isomorphes h un SOUS espace d i r e c t d'un espace de Banach b base. Dans ce c a s l e s techniques d'H1Srmander permettent alors de prouver que t o u t ouvert pseudo-convexe est un domaine d ' e x i s t e n c e .
Nous prenons p l a i s i r h remercier l e Professeur Lkopoldo Nachbin grgce B qui l e cours a 6 t k organis4 h Rio de J a n e i r o ; p a r la s u i t e , il nous a prodig& s e s encouragements a u cours de l a redaction de c e s n o t e s q u ' i l a bien voulu accepter dans sa c o l l e c t i o n des "Notas de Matematica". En o u t r e , l e groupe q u ' i l a c o n s t i t u g a rendu n o t r e s6j o u r au B r k s i l h l a f o i s agrkable e t mathematiquement fructueux.
Nous savons grd h Sean Dineen e t h P h i l i p Boland d ' a v o i r r e l u c e s notes e t de nous a v o i r communiqud l e u r s observations, qui nous ont Q t k prdcieuses. Nos remerciements vont a u s s i a u s e c r d t a i r e s du Service Math&matiques de Nancy qui ont a s s u r e avec compQtence l a dactylographie de ce t e x t e .
ph. N O V E m Z ,
NANCY, AoQt 1972.
TABLE: DES MATIERES Introduction Rappels sur l e s espaces v e c t o r i e l s topologiques e t l e s fonctions de p l u s i e u r s v a r i a b l e s complexe s
Chapitre 0
..................................
Chapitre 1 1.1. 1.2.
1.3. 1.4. Chapitre 2 2.1.
2.2.
2.3. 2.4.
Fonctions plurisousharmoniques e t a p p l i c a t i o n s a n a ly t i q u e s Fonctions plurisousharmoniques Applications analytiques Le theorbme de Zorn Rayon de convergence d'une a p p l i c a t i o n a n a l y t i -
..........
................ ..................... ..................................... Notion de pseudo-convexitk Prkliminaires ........................... Cas dlwi espace semi-normk .............. Cas d'un e l c non semi-normk ............. Cas des espaces k t a l k s ..................
Chapitre 3
Notion d'enveloppe d'holomorphie
Chapitre 4
Convexit6 polynomiale
4.1. Proprigtk d'approximation 4.2.
........
............... ..........
Ouvert polynomialement convexe 4.3. Propriktks d'approximation polynomiale 4.4. Prolongement simultank sur u n ouvert de R u n g e
..
1
14 21 29
33 40
44 47 51 57
69
72 75 78
Chapitre 5
Theorbme de Cartan-Thullen-Oka e t complktion holomorphe 5.1. Propriktk d'approximation p r o j e c t i v e 5.2. Th6orbme de Cartan-Thullen-Oh 5.3. Notion de completion holomorphe
.... .......... .........
Chapitre 6 Bibliographie Index
....................
ThBoSme de Levi-Oka
.......................................... .................................................. *
*
it
X
81
83
87 98 105
111
CHAPITRE
0
RAPPELS SUR LES ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES ET LES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES COMPLEXES
Dans ce c h a p i t r e l e l e c t e u r trouvera knonck sans dkmonstration
un c e r t a i n nombre de d k f i n i t i o n s e t de r k s u l t a t s c l a s s i q u e s d'analyse f o n c t i o n n e l l e e t de fonctions de p l u s i e u r s v a r i a b l e s complexes. Espaces v e c t o r i e l s topologiques Un sous-ensemble adherence A
A
d ' u n espace topologique e s t
rare s i
son
est d ' i n t k r i e u r vide, une reunion dknombrable d'ensem-
b l e s r a r e s est maigre (de premiere c a t k n o r i e ) . Un espace topologique
est de Baire s ' i l s a t i s f a i t h l ' u n e des conditions kquivalentes suivantes : a ) t o u t e i n t e r s e c t i o n dknombrable d ' o u v e r t s partout dense e s t partout dense,
est maigre,
b) t o u t e reunion ddnombrable d ' ensembles maigres
c ) t o u t ouvert non vide n ' e s t pas maigre (est de
2kme
catkgorie). Tout espace mktrique complet e s t de Baire ; il en e s t de m6me de
I, avec I
t o u t produit d'espaces mktriques complets ; l ' e s p a c e
non dknombrable, e s t un exemple d ' e l c de Baire qui n ' e s t pas rnktrisable
. X e s t completement r k m l i e r s i
Un espace topologique skpark
pour t o u t ensemble fermk A nue
f : X ->
[0,1]
et
nulle sur A
b #=A
il e x i s t e une fonction. conti-
e t kgale h
1
en
b.
Un espace topologique sdpark e s t compact s ' i l s a t i s f a i t 8 une des conditions kquivalentes s u i v a n t e s : a ) de t o u t recouvrement on peut e x t r a i r e u n recouvrement f i n i , cumulation,
b ) t o u t f i l t r e a un point d'ac-
c ) une f a m i l l e de f e r n 6 e s t d ' i n t e r s e c t i o n vide s i l ' i n -
t e r s e c t i o n de t o u t e sons-famille f i n i e est vide. Tout produit de compact est compact (Tychonov), l'image d'un compact par une a p p l i c a t i o n continue est compacte. Un espace uniforne e s t prdcompact s i son skpard complkt6 e s t compact. Dans un e v t de dimension i n f i n i e t o u t compact est d ' i n t 6 r i e u r vide (Riesz) e t de compl6mentaire connexe. Quelques a b r d v i a t i o n s : e v t ( e v t s ) espace v e c t o r i e l topologique
2
Espaces vectonels topologiques et fonctions complexes
(skpark), elc (elcs) espace vectoriel topologique localement convexe (skpark). Tous les espaces vectoriels considkrks ici sont complexes. Si p est une semi-norme continue s u r un elc skpark E, on note (~,p) l'espace E muni de la topologie semi-normke par p et par E~ = (~,p)/p-'(o) llespace norm6 associk ; on note aussi :
B (a,r> = {x 6 ~,p(x-a) < r j . P Soient donnds, E et (Ei)i I des espaces vectoriels sur et pour tout i de I une topologie localement convexe Ti sur Ei et une application linkaire fi : E +E.,1 on appelle topologie pro-
jective (ou initiale) T sur E relative B la famille ( E ~ , T ~ , ~ J ~ la moins fine (plus faible) des topologies qui rendent continues toutes les fi. Cette topologie est localement convexe et si u est une application linkaire de E dans F elc, F ktant munie d'une topologie limite projective de (F.,T.,f.), alors u est continue si et 1
1
1
seulement si, pour tout i, l'application fio u : E +(F~,T~) est continue. Voici quelques exemples de topologie projective qui interviendront frkquemment : a) tout elc E peut &re
consider6 c o m e muni de la topologie
projective du systbe (Ei,Ti,fi) oc, si (pi)i6I
ddsigne une famil-
le filtrante de semi-normes d4finissant la topologie, on a posh E. = E, T. la topologie engendrge par p et fi l'application 1 1 i identique. b ) Soit
(Ei,Ti) une famille d'elc et E = n E i l'espace vec-
toriel produit des Ei, c'est-b-dire l'ensemble des familles OG x.1 t Ei' i. On munit l'espace E de la topologie (xi)i G I projective du systkme (E.,T.,fi) oh fi : E +Ei est la projec1 1
a
tion sur E En particulier si Ei = pour tout i on note i' = ( &" dans le cas dgnombrable).
c1
c) Soit E un elc E' son dual topologique ; la topologie (T
(E,E') est la topologie projective du systhme
(6,u)uCE' '
c'est la topologie la moins fine laissant continue tous les klkments de E'. Soit maintenant un ensemble I d'indice muni d'une relation
Espaces vecroriels topologiques et fonctions complexes
d ' o r d r e note d t o u t couple
. Considkrons une f a m i l l e
( i ,j ) t e l que
3
I d ' e l c e t pour
(Ei)ie
i 6 j , une a p p l i c a t i o n l i n k a i r e continue
: E . 3 E i . On a p p e l l e l i m i t e p r o j e c t i v e de l a famille ( E i , f i j ) , fij j notke l i m f . . E . , l e sous-espace E de 7-r Ei formk des x = (x,) + 1J 1 1 t e l s que x = f . .(x.) pour t o u t ( i , j ) , i < j . L a topologie de E i 1J J n ' e s t a u t r e que l a topologie p r o j e c t i v e de l a f a m i l l e (E. , f . ) oh 1
fi
est l a restriction b E
1
de l a p r o j e c t i o n de
E . sur E Les J i' exemples a ) e t b ) sont d e s exemples de limite p r o j e c t i v e mais non c )
c a r il n ' y a pas de r a i s o n s pour que
E'
s o i t f i l t r a n t . De a ) on
peut dkduire que t o u t e l c (complet) e s t isomorphe & un sous-espace (fermk) d'un produit d'espaces de Banach. f . . sont de p l u s ouvertes (c'est-&1J d i r e l'image d'un ouvert est ouvert) nous d i r o n s que l ' o n a une Lorsque d e s a p p l i c a t i o n s
u-
t e pro.iective ouverte (ou limite N-projective).
Voici un c a s p a r t i -
c u l i e r : Nous d i r o n s qu'un e l c posskde l a propri6tk ( C ) ( e s t une limite p r o j e c t i v e ouverte d'espaces semi-nomks) s I i1 e x i s t e une famil( p . , i E I) de semi-nomes s a t i s f a i s a n t aux c o n d i t i o n s
l e filtrante
1
kquivalentes suivantes : 1 ) La topologie de
E
est l a topologie p r o j e c t i v e de
oh E~ = ( E , ~ ~ ) / ~ Y ' ( of i) , e s t l ' a p p l i c a t i o n canonique
(Ei,fi)
E *E~
et
est supposge ouverte. p., f . . est 2 ) E = l i m ( f . . , E ~ )oh, pour t o u t couple pi< J 1J 1J l ' a p p l i c a t i o n canonique ( ~ , p ~ ) / p ; l ( o+) ( E , ~ ~ ) / ~ Y ' ( o )e t est supposke ouverte. Tout espace produit d ' e l c semi-nomks, t o u t e l c muni de sa topologie f a i b l e posshde l a propriktd ( C ) . Dans un e l c propriktk
(c)
E
posskdant l a
il ne peut e x i s t e r une nome continue sans que l ' e s p a c e
s o i t norm&. Pour d ' a u t r e s exemples v o i r au c h a p i t r e 2. La notion de limite inductive est p l u s d k l i c a t e c a r il f a u t fai-
re a t t e n t i o n & l a catkgorie dans l a q u e l l e on se place. Les r k s u l t a t s d i f f b r e n t en g6neral si on se place dans l a c a t e g o r i e des e v t ou dans c e l l e des e l c . Nous nous placerons i c i dans l a seconde. Soient un ensemble
I
d'indices
E, Ei
des espaces v e c t o r i e l s e t pour t o u t i
Espaces vt?ctoriels topologiqu es et fonctions complexes
4
de
une a p p l i c a t i o n l i n k a i r e e t Ti
I , f i : Ei --fE
lement convexe s u r E
topologie loca-
On a p p e l l e topologie inductive ( f i n a l e ) , sous
i'
entendu localement convexe, du systbme
( E . , T . ,f i ) l a topologie loca1
1
lement convexe l a p l u s f i n e ( l a p l u s f o r t e ) q u i rende continues toutes les
u :E 3F
fi. S i
(Ei,Ti,fi),
muni d'une topologie inductive e t seulement s i pour t o u t dans
E
e s t m e application linkaire e t
i
de
alors
est continue s i
u
I l'application
est
uof.
Ei
de
1
F est continue. Voici des exemples de topologie inductive : a) S i
E, la topologie de
F e s t un sous-espace d ' u n e l c
p l i c a t i o n canonique E b) S o i t
et
f
est 1 ' a p
i
3 E/F.
une f a i l l e d ' e l c e t CB Ei
(Ei,Ti)
Ei
(algbbrique) de
OL E 1 . = E
(Ei,fi)
est l a topologie inductive de
E/F
f o m k des
x = (x.) 1
l e sous-espace
t e l s que
xi = 0 sauf
pour un nombre f i n i d'indices. La topologie s o m e d i r e c t e localement convexe e s t la topologie inductive pour l e s i n j e c t i o n s
Ei 3 @ E i .
l-l-E i'
C ' e s t une topologie p l u s f i n e que l a topologie i n d u i t e p a r
6
En p a r t i c u l i e r s i Ei =
pour t o u t
i
Q
on note
ou
(1) ~ ( 1 )L'espace . complet pour t o u t
6
i. Un sous-ensemble
seulement s i il existe p r o j e c t i o n de n& dans E .
1
E
est complet s i e t sedement si Ei
Ei
sur
pour t o u t
J fini, J C I Ei i
on a i t de
B
de
0
est
est borne si e t
Ei
t e l que s i on note
f,
la
I
fi(B) = { O j
Vi&
J
et
fi(B)
bor-
J.
Remarque : S i l ' o n prend s u r @ E.
1
l a topologie l a plus f i n e de
t o u t e s l e s topologies d ' e v t ( e t non seulement localement convexe) rendant continues l e s i n j e c t i o n s
Ei -QEi
on o b t i e n t en gkneral
une topologie strictement p l u s f i n e que l a topologie somme d i r e c t e localement convexe qui n ' a aucune raison d ' & t r e localement convexe. Sur
Q
(I) par exemple, c e s deux topologies sont localement convexes
( e t donc identiques) si e t seulement s i Une a p p l i c a t i o n l i n g a i r e
u : E +E
I est dgnombrable.
e s t une p r o j e c t i o n s i
uou = u (ou, ce q u i e s t kquivalent, s i l a r e s t r i c t i o n de est llidentitk). S i
E = E, @ E
2)
u
B u(E)
s o m e d i r e c t e de d e n sous-espaces
Espaces vectoriels topologiques et fonctions complexes
fermks,tout plication
x de E
ce fermk
F
sous-espace
E
de G
= x1
+
x2 ; l ' a p -
) est une projection. un sous-espae s t d i r e c t ( a un suppldmentaire) s'il e x i s t e un
(resp. x *x
x +xl
x
s ' g c r i t de manibre unique
S
fermk de
E
2
Fa G = E.
t e l que
Dans un e l c t o u t
sous-espace de dimension f i n i e e s t d i r e c t . Un espace de Banach dans l e q u e l t o u t sous-espace fermk e s t d i r e c t est un isomorphe h un espace de H i l b e r t .
un ensemble f i l t r a n t e t pour t o u t c a t i o n s continues algkbrique , f i
d ' e l c oh
(Ei)irI
Soient maintenant donnks une f a m i l l e
I
est
(i,j ) , i 6 j , me f a m i l l e d ' a p p l i -
: Ei + E .. Notons Ji J l ' i n j e c t i o n canonique de f .
E =@E
l a some directe
Ei
E
i dans
et
F
le
sous-espace engendrk par l e s images des a p p l i c a t i o n s fi-f. o f . J Ji' i ,C j , de Ei dans E. S i F est f e d (ou ce qui est Qquivalent si
E/F e s t skpark) l ' e s p a c e
E/F, not6
inductive localement convexe d e s
est appelk l i m i t e
lim f . . E
4 j i i' ( E . ,f . . ). La s i t u a t i o n suivante se 1 J1
pr6sente souvent naturellement : (E . ) . . est une famille f i l t r a t e 1 It-I pour l ' i n c l u s i o n de sous-espaces de E , Ei f E . si i f j e t t e l l e J que E = 0 E i ; s u r chaque Ei est donnke me topologie localement convexe skparke
t e l l e que pour t o u t
Ti
une topologie moins f i n e que
et
f..
31
sur E
T . . On note
l ' i n c l u s i o n continue relative &
EiCEj,
1
E. - S E
(E.,Ti,fi) 1
que l a limite inductive r e l a t i v e
1
j'
Tj
induit sur
l'inclusion
f.
1
Ei + E
S i l a topologie inductive
e s t skparke a l o r s
(E,T)
T
n'est autre
( E . , T . , f . , ). Deux c a s particu1
1
J1
l i e r s importants : 1 ) Une limite inductive de sous-espaces e s t s t r i c t e s i :
a) les
E~
f o m e n t pour l t i n c l u s i o n me s u i t e c r o i s s a n t e ,
b ) Tn+l
i n d u i t sur En
l a topologie
Tn.
Dans ce c a s l a topologie inductive T e s t sgparke e t i n d u i t Tn sur chaque de
E
sont complets il en e s t de m&me En e s t borne dans E s i e t seulement s i il
En ; de p l u s s i l e s
e t un ensemble
B
est contenu e t born6 dans un En. L'espace
a
(U)
des f o n c t i o n s
indkfiniment dgrivables h support compact dans un ouvert e s t un exemple de t e l espace.
U de
Rn
Espaces vectoriels topologiques et fonctions complexes
6
2) Un e l c E
e s t de S i l v a s ' i l e s t l i m i t e inductive s t r i c t e
d'espaces de Banach En
de norme
l'injection
b)
pn
t e l s que :
e s t compacte.
En -En+,
Dans un t e l espace pour qu'un ensemble
A
s o i t ouvert il f a u t
e t il suffit gue AnEn s o i t ouvert dans En pour t o u t n. L'espace H(K) des germes de f o n c t i o n s analytiques s u r un compact K de e s t un exemple d'espace de S i l v a : sur l ' e s p a c e des fonct i o n s analytiques au voisinage de K on d k f i n i t l a r e l a t i o n d'kquivalence suivante : s o i t U,
et
et
U2
f2cH(U2) par d k f i n i t i o n f , m f ,
de K
H(K)
espaces de Banach En
w
W
fl = f
(Un)
dkcrois-
En
l'espace
d'adhkrence compacte e t not6
des fonctions continues dans f
et
o& l ' o n a considkrk me s u i t e
sante de voisinage de K cations
s ' i l e x i s t e un voisinage
s u r W. L'espace quotient 2 e t m u n i de l a topologie limite inductive s t r i c t e d e s
t e l que W C U, A U 2
est note
K, f l c H(U,)
des voisinages de
U
e t analytique dans Un ; l e s applin sont l e s r e s t r i c t i o n s de H(U) + H ( U ) pour V c U.
P l u s gknkralement t o u t espace dual de Frkchet nuclkaire (
)
e s t un espace de S i l v a . P a m i l e s propri6tks c a r a c t k r i s t i q u e s des espaces n u c l k a i r e s nous choisirons c e l l e - c i come d k f i n i t i o n : un e l c skpark e s t nuclk-
a i r e si
sa topologie peut etre d k f i n i e p a r une f a i l l e
mi-normes prkhilbertiennes, c'est-&-dire que pour t o u t
(pi) i
de se-
l'espace
(E,pi)/pY1 ( 0 ) e s t p r k h i l b e r t i e n . Voici quelques propriktks de stab i l i t k d e s espaces nuclkaires : t o u t sous-espace fermk, t o u t e limite p r o j e c t i v e , l i m i t e inductive dknombrable d'espaces nuclkaires e s t nuclkaire. Un e l c s E
est nuclkaire s i e t seulement s i son complktk
l ' e s t ; un espace de Frkchet ou un dual de Frkchet, e s t n u c l e a i r e si e t seulement s i son dual est nuclkaire ( l ' e s p a c e
cI
avec
I non
dknombrable e s t un exemple d'espace nuclkaire dont l e dual n ' e s t pas n u c l k a i r e ) . Tout Frechet nuclkaire e s t de Schwartz donc separable, l'espace
H(U)
des fonctions analytiques dans U
muni de l a topo-
Espaces vectoriels topologiques et fonctions complexes
7
l o g i e de l a convergence compacte e s t un exemple de Frkchet nuclk-
e::t
H(K)
aire e t
uIi
JIFJ
espace
(x,)
est un e l c s , on d i r a qu'une s u i t e
Si E
de
E
convere
x -0 pour t o u t e s u i t e (,\ n ) de n n s c a l a i r e s . Cela Qquivaut h d i r e que pour t o u t e semi-norme continue p
trks fortement v e r s 0
si
( p ( x n ) ) est n u l l e h p a r t i r d'un c e r t a i n rang. S ' i l e x i s t e
l a suite
une s u i t e convergeant trks fortement v e r s
E
s u r un e l c
0 donc il
n ' e x i s t e aucune norme continue ; l a rkciproque e s t v r a i e s i l ' e s p a ce e s t mktrisable. Exemple de t e l s espaces : t o u t produit i n f i n i d'espaces semi-normks,
Rn),
Lfloc(
f o i s continues dans un ouvert
l'espace
Cp(U)
des f o n c t i o n s p
U d'un espace complktement r k g u l i e r
e t muni de l a topologie de l a convergence compacte. Propriktks d'approximation e t d e n s i t k .
de
(eiliE I d'kldments
est linbairement indkpendante s i pour t o u t e sous f a m i l l e f i -
E
nie
un espace v e c t o r i e l , une f a m i l l e
E
Soit
I
de
J
> . e . = 0,
l a condition
rj ca
,
entrafne
jtJ
. =
J
0,
vj E J. Dans t o u t espace v e c t o r i e l il e x i s t e , p a r l e lernme
de Zorn une f a m i l l e lin6airement indkpendante e t maximale pour l ' i n 1
x de E
clusion ; t o u t
s ' k c r i t de manikre unique come combinai-
Une t e l l e f a m i l l e s ' a p p e l l e base de Hamel (ou bai' se algkbrique), t o u t e s l e s bases algkbriques d'un espace v e c t o r i e l son f i n i e des
e
ont mQme c a r d i n a l qui s ' a p p e l l e dimension (algkbrique) de 1'espace.
S i maintenant l ' e s p a c e v e c t o r i e l e s t muni d'une topologie, une famille
de p o i n t s est topologiquement l i b r e s i pour t o u t
(e.) 1
l'adhkrence du sous-espace engendrk p a r l e s pas
i
( x ~ ) ~ +ne c o n t i e n t
x
Une famille topologiquement l i b r e e s t lineairement ind6peni' dante, l a rkciproque n ' e s t pas v r a i e . On a p p e l l e
base dans
un e v t une f a m i l l e dknombrable
l6ments t e l l e que pour t o u t
x de E
(en)
d'6-
il e x i s t e une s u i t e unique de
z
I1
scalaires
(x,)
t e l l e que n
cation
x -7
xiei, i= 1
En
x . e . = x. On note u l'appli11 n n i=l l e sous-espace engendr6 par e, , ,en
lim
. ..
Espaces vectoriels topologiques et fonctions complexes
8
et
l e sous-espace fermk engendrk p a r
En
('i)i>n+l
*
S i toutes l e s
s o n t c o n t i n u e s on d i t que l ' o n a une base de Schauapplications u n d e r . Dans un e l c tonnelk ( c ' e s t l e c a s d e s espaces de Banach e t de
-
Frkchet) t o u t e base est de Schauder. L ' a p p l i c a t i o n
u
a l o r s c o m e p r o j e c t i o n s u r En e t l ' o n a
En algkbrique-
E = E CD n
s'interprkte
n
urn o un = uid(m , n ) ' Lorsque l ' e s e s t de Banach l e s a p p l i c a t i o n un s o n t uniform6ment bornke;
ment e t topologiquernent, de p l u s pace
E
on dkmontre a l o r s que l ' a p p l i c a t i o n kquivalente
B
x +s2p
l[un(x)ll e s t une norme
l a n o m e i n i t i a l e , c ' e s t pourquoi il e s t t o u j o u r s pos-
11 unit
s i b l e de supposer
S1
pour t o u t
n. Tout espace h base e s t sk-
p a r a b l e rnais il existe d e s e l c non normks s k p a r a b l e s s a n s base. La n o t i o n de base e s t s u r t o u t u t i l i s k e s dans l e s espaces de Banach. Exemples de Banach h base : l e s espaces de s u i t e s
C([O,l]) d e s f o n c t i o n s c o n t i n u e s s u r
l'espace ces
Lp( LO, I])
,
1$ p <
+go
t p ,1 4 p < + DO , iO,I] , l e s espa-
pour l a mesure de Lebesgue,
La n o t i o n de base k t a n t t r o p r e s t r i c t i v e , Grothendieck a i n t r o -
d u i t l a p r o p r i k t k s u i v a n t e : un e l c ximation s i pour t o u t compact
E
posskde l a p r o p r i k t 6 d'appro-
e t t o u t voisinage
K
de
V
u(x)-xt.V
pour t o u t
x
de
il
u : E +E
e x i s t e une a p p l i c a t i o n l i n k a i r e continue de rang f i n i t e l l e que
0
E
K. S i l ' e s p a c e
e s t norm6
e t s i l e s a p p l i c a t i o n s l i n k a i r e s i n t e r v e n a n t dans l a d e f i n i t i o n s o n t de normes unifomkment bornkes ( r e s p . i n f k r i e u r e s ou k g a l e s d i t que
E
? 1i)
on
poss8de l a p r o p r i k t k d'approximation bornke (P.A.B.)( r e q
( r e s p . p r o p r i k t k d'approximation rnktrique). On montre qu'un espace d e Banach possbde l a p r o p r i k t k d'approximation mktrique dbs que son d u a l possbde l a p r o p r i k t k d'approximation.
Les espaces c l a s s i q u e s de l ' a n a l y s e posskdent l a p r o p r i k t k d ' a p proximation c o m e l e s espaces Radon, l e s espaces
e
(K)
Lp(p),l ,< p c
+DO
et
p
mesure de
d e s f o n c t i o n s c o n t i n u e s s u r un compact,
l e s e s p a c e s n u c l k a i r e s , l e s espaces de d i s t r i b u t i o n s e t c . . .
Savoir
s ' i l e x i s t e d e s e s p a c e s q u i ne posskdent p a s l a p r o p r i k t k d'approxi-
mation k t a i t un problkme ouvert d e p u i s longtemps e t d i f f i c i l e ; on c o n j e c t u r a i t que t o u t espace de Banach possbde l a p r o p r i k t k d'appro-
Espaces vectonels topologiques e t fonctions complexes
9
ximation. Rkcemment a k t k construit par Enflo un exemple d'espace de Banach qui ne posskde pas la propriktk d'approximation. Forxtions analvtiques dans Si U est un ouvert de
ff n
et domaines d'holomorphie.
6: n, n 21,
on munit l'espace H(U)
des fonctions analytiques sur U de la topologie de la convergence compacte ; si Kn est une suite de compacts de U tels que KnC
in+,, U K n = U
la topologie de H(U)
est engendree par les
H(U) est un sous-espace fen& de l'espace (U) des fonctions continues sur U; en particulier c'est un espace de Frkchet nucleaire. Theorbme de Hartogs : Une fonction separement analytique par rapport h chaque variable est analytique. Principe du maximum : Une fonction analytique non constante ne peut atteindre un maximum relatif en un point. Si (X,cp) est un espace &talk au dessus de Cn(i.e. X est un un holomorphisme local) espace topologique connexe et 'p : X - c 7 6: est dite analytique si pour tout x une fonction f : X de X il existe un voisinage V de x tels que 'p soit un homkoN morphisme entre V et 'p(V), et une fonction f analytique sur 4 Y(V) telle que f = f o 'p SU-T V. Lorsque n = 1 on prouve sans peine que tout ouvert du plan complexe est le domaine d'existence d'une fonction analytique. I1 n'en est pas de mQme lorsque n 2 2 et l'on montre, par exemple, semi-nomes f +pn(f)
= JflKn. L'espace
et K un compact de U tel que
que si U est un ouvert de U-K
soit connexe,toute fonction analytique sur U-K se prolonge de manikre unique en une fonction analytique sur U. Ceci amkne h introduire les definitions suivantes : 1 ) Un ouvert U de
n, n >, 2, est un domaine d'holomorphie
s'il n'existe pas deux ouverts connexes U1 et U2 tels que : a) B + U , C U , ~ U , u1&u b) pour tout f de H(U) f = g sur
u2'
il existe g
e H(U,) tel que
Espaces vectoriels topologiques et fonctions complexes
10
6: n, n
2) Un ouvert de
e x i s t e une fonction f v e r t s connexes U1
t e l s que :
e t U2
3 g 6 H(U1 )
t e l l e q u ' i l n ' e x i s t e pas deux ou-
H(U)
de
6 f u 2 c u 1 n u,
a) b)
3 2 , e s t un domaine d'existence s ' i l
U,&J,
t e l l e que g = f
SUT
U2.
3) Un ouvert U est holomorphiquement convexe (H(U)-convexe) s i pour t o u t compact K
l'enveloppe
H(U)-convexe dkfinie p a r
;k(u)={Xe
f t H ( U ) I e s t compacte dans U. U, / f ( x ) / S Cartan e t Thullen ont montrk que ces t r o i s notions caractdri-
eaient l e s mhes ouverts. Ces t r o i s notions sont Qquivalentes B :
4 ) Soient
( t , z ) continues sur [0,1] ques de de
&
ge de
an
([pi)
par
et
IDt
lzl< 14, Dt
t de [0,1],
analyti-
appelk "disque" l'image dans
6:
l e bord de Dt(qui n ' e s t a u t r e que l'ima-
Un ouvert U
([pi))
des fonctions de
([pi):=,
e t , pour t o u t
x a
. On note
z dans A par
,
=[z C C
A
s a t i s f a i t au thko&ne du disuue
(Continuit8tsatz)si pour toute suite continue de disques Dt, 06-1, l e s conditions Dt C U pour t o u t
O 6 t
a
Dt C U
pour
t = 1
entrafnent D1 C U. Une cinquihne condition e s t encore Bquivalente au quatre premibps : 5) Pour toute suite f 6 H(U)
t e l l e que
(x,)
c U,
sgp lf(xn)l =
xn +xo +LM
.
Les propriktks topologiques de H(U)
6
bu
il existe
peuvent i n t e r v e n i r pour
donner des ddmonstrations simples des kquivalences. Par exemple pour 1)
2 ) l a propridtk de Baire e t pour 3 ) + 5 )
l e f a i t que H(U)
e s t tonnelk : en e f f e t si U e s t holomorphiquement convexe e t s ' i l e x i s t e me suite
( x n ) c U, xn + x
0
c2 u
t e l l e que
sup I f ( x n ) l < + g o pour t o u t f 6 H(U), l ' a p p l i c a t i o n p definie sur n est une semi-norme ; e l l e est contiH(U) par p ( f ) = sxp If(xn)I nue c a r l'ensemble p ( f ) < 1 4 est convexe, fermk, Qquilibrk e t ab-
{
sorbant donc, H(U) &ant tonnelk, un voisinage de un compact K de U e t de H(U). L e s semi-normes
C>O
0. I1 e x i s t e donc
t e l s que p ( f ) & C \f 1,
f +p(f)
et
t i v e s il s ' e n s u i t que C = 1 (remplacer f
pour tout
f
f q f l K ktant multiplica-
par
f", prendre
l a puis-
Espaces vectoriels topologiques e t fonctions complexes
1 -, n
sance ps: d'o;
p u i s f a i r e tendre
1 f(xn)/Slfl
+ ip ).
n vers
pour t o u t
f
de
H(U)
11
LIinBgalitB
e n t r a f n e que ( x n ) c
l a contradiction.
;k(u)
Ces notions se t r a n s c r i v e n t pour l e s espaces BtalBs au-dessus de
6.
e t sont encore Bquivalentes.
ThBoSme de R u n e : Un ouvert d'holomorphie
e s t polynomialement
U
convexe s i e t seulement si l e s polyn8mes sont denses dans H(U)
pour
l a topologie de l a convergence compacte.
ThBor&me d'Oka-Weil : S o i t K
u n compact polynomialement convexe
A
(c'est-&-dire
K = K
Ji- ), t o u t e f o n c t i o n holomorphe a u voisinage de K
s'approche unifomement sur K
p a r des polyn8mes.
Fonctions plurisoushamoniques e t domaines pseudo-convexes
6
dans
d i t e plurisoushamonique (p.s.h)
si :
Une a p p l i c a t i o n v
, est
v .f. -00
d'un ouvert
I)
v
2)
l a r e s t r i c t i o n de v
U de
[-@
, +&I,
e s t semi-continue superieurernent ( s c s ) sur U,
hamonique ou
- 00
h t o u t e d r o i t e complexe D
sur chaque composante connexe de
e s t sous-
U r\ D.
Remarques : a) s i l a condition 1 ) e s t s a t i s f a i t e , l a condition 2 ) Bquivaut B : 2')
a soit
*
a E U, b e
v(a+ub)E
cn-
-00,
soit
0
t e l s que a+ub C U pour \ u l S 1
on
v(a),<
-b) s i l a condition 2 ) ou
2 ' ) est s a t i s f a i t e , l a condition
I ) Bquivaut B : 1I)
v
e s t bornee sur t o u t compact.
Voici une l i s t e des propriBtBs dont on trouvera l a dBmonstratim dans l e cours de Lelong h Montrdal : 1 ) l a s o m e , l a borne supkrieure d'une famille f i n i e , l a limite
d'une famille f i l t r a n t e dBcroissante
4
-00
de f o n c t i o n s p l u r i -
soushamoniques e s t plurisoushamonique. 2 ) Principe du maximum : me f o n c t i o n psh dans un ouvert n ' a t -
t e i n t pas un maximum relatif en un point sans &re constante a u voisinage de ce point.
Espaces vectoriels topologiques et fonctions complexes
12
(v,)
3 ) Thkorkme de Convergence : S o i t
une famille bornke s u r
t o u t compact de fonction psh. La rkgularis4e supkrieure (c'est-b-di-
i m sup v ) e s t psh. r e l a p l u s p e t i t e majoritd s c s ) de sup vn (ou l n n 4 ) Toute f o n c t i o n psh e s t l i m i t e dgcroissante d'une s u i t e de f o n c t i o n s psh indkfiniment d4rivables.
5) S o i t f une a p p l i c a t i o n analytique de U dans U' ( o u v e r t s de 6 ") e t v une f o n c t i o n psh s u r U', a l o r s l a f o n c t i o n vof e s t psh s u r U ; c e c i permet de d k f i n i r l e s f o n c t i o n s plurisousharmoniques s u r une v a r i k t k analytique. U
6 ) deux f o n c t i o n s psh s u r un ouvert
e t &gales presque par-
t o u t (pour l a mesure de Lebesgue) sont identiques.
7) ( r e l a t i o n avec l a convexitk) une f o n c t i o n u s c s dans U
c&
ne dkpendant que des p a r t i e s r k e l l e s (resp. modules) des
i = 1 , , . . , n est plurisousharmonique si e t seulement s i e l l e e s t i' convexe de (Re z l , . , Re zn) ( r e s p . ( l o g ( z l l , , l o g IznI ) ) . z
..
.. .
8) Relation avec l a sous-harmonicit4
d k f i n i e s u r un ouvert
U
de
est soushamonique dans
6 2n(
e s t psh s i e t seulement s i e l l e
")
N
e t reste sousharmonique lors-
qu'on l a compose avec t o u t e transformation de
P(U)
des f o n c t i o n s psh dans un ouvert
un cone p o s i t i f qui c o n t i e n t fonction psh s u r
induite
2n
n.
par un automorphisne i n v e r s i b l e de L'espace
u
r 6 e l l e . Une f o n c t i o n
U de Q
est
H ( u ) , c a r si f G H ( U ) , l o g IfI e s t une
U. La r e l a t i o n e n t r e f o n c t i o n analytique e t p l u r i -
sousharmonique est mbme p l u s k t r o i t e . En e f f e t :
9) Dans un ouvert d'holomorphie
U, t o u t e fonction psh est Qgale
b l a rkgularis6e sup6rieu-e de l a borne superieure d'une f a m i l l e )i61
(ai loglfil
Soit de
6
U
un ouvert de
40j :
f i e H(u).
06 a1 . 7o e t n
c , posons
d(z,[U) = inf
w4u
pour t o u t
z
de
U
et
z'
IIz-wll
%(z,zt) = influ1
t e l s que
z+uz'
&u,
u c a3
.
Ces f o n c t i o n s sont respectivement continues e t semi-continues inferieurement. Thkor&me-dkfinition : Un ouvert
U de
&
n
e s t d i t pseudo-convexe
Espaces uwtoriels topologiques et fonctions complexes
13
s ' i l s a t i s f a i t B l ' u n e des conditions Qquivalentes suivantes : 1 ) l a fonction
-log d
%
e s t psh dans
U,
- ( O f ), 3 ) il e x i s t e m e fonction u psh t e l l e que pour t o u t c de 2 ) l a fonction
l'ensemble
{zE
-log
est psh dans
Ux (
m
U, v ( z ) C c j e s t d'adhCrence compacte dans U,
4) pour t o u t compact K de U, I$(,)={zeU,v(e) c sup v , v v ~ P ( U ) f K e s t compact dans U, 5) U est l a l i m i t e c r o i s s a n t e d'une s u i t e d ' o u v e r t s Un d ' a dhkrence compacte dans U
t e l s que
fonction psh au voisinage de
-
Uu ={vn<
'n) 6 ) il e x i s t e une fonction v psh dans
de t o u t point de
vn
e s t une
U non bornhe au voisinage
3 U.
Avec m e g 6 n e r a l i s a t i o n de
4 et
0 1 ob
d
et
%
l e s conditions
1, 2, 3,
5 sont encore Qquivalentes dans l e cadre d e s espaces & t a l e s .
Thkor&me (Oka) : Un ouvert de
6
e s t d'holomorphie s i e t seule-
ment s i il e s t pseudo-convexe. NOTES.- Pour c e s rappels l e l e c t e u r pourra c o n s u l t e r l e s nombreux exposes gbneraux. Sur l e s EVT : Bourbaki (8),Grothendieck ( 3 3 ) , Horrmt)! ( 5 0 ) , m t h e (51), Schaeffer (87). Sur l e s f o n c t i o n s analytiques l e l i v r e d ' i n i t i a t i o n , trks c l a i r , de Nachbin (67) e t l'ouvrage fondamental de mrmander (49). Sur l e s f o n c t i o n s plurisoushamoniques : Lelong (55) (56), Hem6 (39)) HUrmander (49). Pour l e s espaces h base : Marti (64). Pour les pro r i 6 t e s d'approximation : Grothendieck (35)) l e s6minaire Schwartz 735) a i n s i que de tr&snombreux a r t i c l e s dans "Israt21 Journal of Mathematics" a i n s i que dans "Studia Mathematica".
C H A P I T R E
I
FONCTIONS PLURISOUSHARMONIQUES ET APPLICATIONS ANALYTIQUES Dans le premier paragraphe, nous rappelons les definitions et propriet6s des fonctions plurisousharmoniques dont nous aurons besoin par la suite. Les diverses notions relatives b l'analyticitk sont ktudikes au paragraphe 2 : fonction G-analytique, continuitd, majoratkon locale ; toutes ces notions sont Qquivalentes dans les espaces de Banach. Nous donnons les relations qui existent entre les applications analytiques et les fonctions plurisousharmoniques. Enfin, au paragraphe 3 , nous Qnonqons le theorkme de Zorn qui est fondamental, le thgorhme de Hartogs s'en dkduit ; pour terminer, nous donnons quelques exemples qui limitent les possibilit6s de g6n6ralisation de ces derniers thkorhmes. Fonctions plurisousharmonipueg --------
1.1.
Quelques abrgviations : PSh
= plurisousharmonique
scs elc(s)
= semi-continue superieurement = espace vectoriel topologique sur 6 localement con-
vexe (skpard) evt(s)
a
= espace vectoriel topologique s u r =
i2
Q
DEFINITION 1.1 . l
tion v
:
U CE
,
jZ1
.-Soit
---9
6 (sgparg)
"r
U un ouvert d'un evt E
]-a ,+a) , vf. -a
, est
, une
fonc-
dite plurisous-
harmonique si : 1)
v
< c j est ouvert pour tout c R. (a,b) de U x (E- [Of ) , la fonction
est scs, i.e. v {
2) pour tout couple
b) est sousharmonique ou identique B -a f , ( a + chaque composante connexe de 6 o h elle est d6finie. Remarque : Si v est scs, on peut remplacer 2) par la condition suivante qui lui est Bquivalente : 2') pour tout couple (a,b) de U x (E- {O\ ) tel aue
a + z b c U , u : 2K
v(a+be 0
i0 d 0 ) -2K
Fonctions plurisoushannoniques
LEMME 1.1.2.-
Soient E
et
El
u :E
un evt, E l
15
llespace sdpark associk
l'application canonique. A l o r s , toute fonc-
tion plurisousharmonique sur un ouvert U
de
E
se factorise
?I travers u (clest-&-dire qutil existe une fonction v1
dans un ouvert U1 contenant u(U) SUI'
telle que v = v1
o
psh u
u).
Le lemme est une conskquence du fait que si l'on dksigne par N ltadhkrence de l'intersection de tous les voisinages de
E
, on
a El = E/N
,
. Si
v
0 dans
est une fonction plurisousharmonique
U il existe, par semi-continuit4 un voisinage Wx de 0 tel que v soit bornke supkrieurement sur x+Wx donc sur x+N La fonction v est constante sur x+N car toute fonction sousharmonique bornke supkrieurement sur 6 tout entier est une constante. La fonction v slkcrit donc v = v1 o u et on verifie sans peine que v, est m e fonction plurisousharmonique. Lorsqu'on ktudiera les fonctions psh, on pourra donc toujours se ramener au cas o h llespace est skpar6. Par la suite, sauf mention expresse du contraire, nous supposerons donc les espaces skparks. DEFINITION 1.1.3.- Soient E fi F deux evts, une application f : UCEF est dite localement bornke dans U si tout, point de u admet un voisinane w tel que f ( W ) soit un ensemble bornk de F Lorsque F = R , on introduit de meme les fonctions localement bornkes supkrieurement. dknombrable de bornks LEMME 1 . I .4.- si F admet me base et si E est mktrisable, les conditions suivantes sont kquiFf valentes pour une application f : U C E 1 ) f est localement bornke sur U. 2) f est bornke sur tout compact de U. 3) f est born6e sur toute suite convewente de U. 1 ) . Si f 1 ) 3 2 ) 3 3 ) est kvident. Montrons que 3 ) 7 n'6tait pas localement bornke, il existerait un point x 0 tel que, pour tout voisinage W de xo, f(W) n'est pas bornd dans F.
dans U C E
pour tout x de
.
.
-
Fonctions plurisousharmoniques
16
Notons et F
,
(Bn) la famille de bornks de F
=UBn . Si
telle que BnCBn+l
(Wn) est une base denombrable de voisinage de
il existe pour tout n un point xn de Wn tel que f(xn) B~ La suite (x,) converge vers x0 mais f n'est
x
+
.
pas bornke sur la suite. OEFINITION 1.1.5.- On appelle remlariske supkrieure w* d'une fonction w
localement bornke supgrieurement sur U
la plus petite ma.iorante semi-continue supkrieurement de w. Elle est aussi definie, pour tout z de U , P&L' w*(z> = lim sup w(zt) & pz designe le filtre des voisinages .
2'
'5,
Comme en dimension finie la classe M(U)
u C,(U)
sera definie par
a,
ob :
M(U) = k=0
est l'ensemble des fonctions plurisousharmoniques
Co(U)
dans U, est l'ensemble des fonction qui sont :
C,(U)
a) borne supkrieure de famille de fonctions de Ck,l (U) localement bornke supkrieurement, b) limite dkcroissante
4
-00
de fonctions dkfinies
en a) La classe M (U) est obtenue en considerant en a) uniquement 0
les familles dknombrables. LEMME 1.1.6. Soit u t M(U) , alors pour tout (a,b) U x E- 40s- tel que a + x b C U la fonction B-u(a+be est, soit
Lo,~K] u(a)
-a
, soit
de if3)
inteprable au sens de LebesPue sur
et lion a :
<
2n:
u(a+be 0
ie df3 ) 7 t
*
Ce lemme ainsi que la proposition qui suit sont consequences immediates des Qnoncgs semblables connus en dimension finie. PROPOSITION 1 .I .7.- Soit (v, ) une famille de fonctions plurisousharmoniques dans un ouvert U d ' u n evts ; les fonc-
Fonctions plunsousharmoniques
17
tions suivantes sont alors plurisousharmoniques :
et
a) v, + v 2 b)
sup v si ce
c)
yo
que
cv
C > O .
sup. est une fonction scs.
'p est une fonction convexe croissante telle
v
.
= lim
\p(t) t = -00 d) la limite dkcroissante d'une suite (v ) si cette limite O(n est $--a PROPOSITION 1.1.8.Soient E u n evts, U un ouvert de E , ~ ( - 0 0 )
-
.
un espace topologique localement compact muni d'une mesure
T
de Radon p positive b support compact mktrisable et
f
fonction dkfinie s u r
U x T B valeurs rkelles et semi-conti-
nue supkrieurement. A l o r s , la fonction F
,
-
dkfinie sur
U par
F(z) = Jf(z,t) d F ( t ) est scs ou -a. Lorsque E est mktrisable, la dkmonstration est simple et baske sur le lemme de Fatou. Dans le cas gknkral, nous utiliserons sans dkmonstration les rksultats suivants (voir, par exemple, Dieudonnd I1E16mentsd'analyse II", Gauthier Villars) : I) Soient X un espace localement compact mktrisable et s6parable,
p une
f une fonction p -
mesure de Radon positive et
mesurable. A l o r s pour tout compact K existe une partie compacte K'
de K
telle que la restriction de f B. K'
et pour tout f ? 0 il
telle que p ( K - K ' ) <
€
et
soit continue.
11) Toute fonction semi-continue est uniformkment mesurable. 111) Si w = (A.) est une partition finie de 1
trisable et si l'on pose Sb ( f )
= z(slpi
K
compact mQ-
f) p(Ai)
. Pour
toute suite fondamentale (hn)de partitions finies (i.e. le tend vers 0 lorsque n plus fine que b n entraPne :
plus grand diamhtre des Qlkments de n
tend vers +m), C.U
S r'n+l
(f)<S
(f)
'%
n+l et
p(f)
=
Lc,
lim no3
s
(f) bn
.
I V ) P o u r tout compact mktrisable, il existe une suite fonda-
mentale de partitions finies, chaque partition Qtant constituge
Fonctions plurisousharmoniques
18
d 1 ensembles ouverts ou
-ndgligeables
.
DEMONSTRATION : Montrons que F est scs en un point quelconque
x =a
. I1 suffit de faire la dkmonstration pour wie fonction
strictement positive car f est la limite dQcroissante des fonctions fn = sup(f,-n) et la scs est conservQe par passage a la limite des suites dQcroissantes.
Notons K
le support de
t~ et MA(x)
= sup
f(x,t)
qui est
t&A m e fonction scs si A est compact. a) D'aprhs I) il existe une partie compacte K1 de K telle
b) K Qtant compact il existe un voiainage V1 que MK(at)d %(a)
+
1
pour tout a1 de V1
.
de a tel
c) D'aprBs 111) et IV) il existe une partition finie de K1 par des ouverts et des ensembles b-nggligeables T i avec Ti
Or la fonction t -f(a,t) est continue s u r 1'adhQrence de Ti , dloG : sup f(a,t) = 91.12 f(a,t) , Ti t L Ti t t Ti ce qui donne :
-
d) Les
Ti
Qtant des compacts, les fonctions
sont scs MT i et, comme il n'y en a qu'un nombre fini, il existe un voisinage V2 de a tel que a1 dans V2 entrafne
MT (a') $ MT (a) +
E ------
.
pour tout i i i 3p(K9 Avec les notations prdchdentes on a pour tout
v1 n v ,
:
F(al) = jf(al,t) d
k(t>
8'
de
Fonctions plurisousharmoniques
19
Ce qui entrafne :
D'oh le rdsultat. On peut maintenant demontrer l'un des theorkmes fondamentaux de la thgorie des fonctions plurisousharmoniques. THEOFCEME DE CONVERGENCE 1 . I .9.-
Dans un evts, la rBmlaris6e
superieure de toute fonction de classe M
localement bornge
supgrieurement est une fonction plurisousharmonique. Si l'es-
pace E est mdtrisable, on peut remplacer la condition--tI lement bornde supkrieurement" P&T 11born6esur tout compact". La fonction w*
Qtant scs, il suffit de montrer que w*
sa-
tisfait h l'in6galitk de la moyenne. Or, pour tout couple (a,b) tel que a + n b C U et v ff --o sur a+bc , il de UxE-[Of existe un voisinage Va de a tel que, pour tout a' de Va
on ait : a'+ZbCU
et w(a'),<
\:=
w(a'tbe
i0 de ) =S
\
2K
w*(a'+be 0
if3 df3 ) z$
w(a'+beie) gtant scs sur V X[o,2K] La fonction (a1,e) Tit sur p,21IJ qui on applique la proposition 1.1.8. avec P = de
Fonctions plurisousharmoniques
20
ie d e est une fonction scs w*( at+be
montre que llintkgrale de a t dans Va
)Fit
qui majore w donc aussi sa rkgulariske supk-
rieure, dto& pourtant
at de
V, :
La deuxikme partie du thkorkme est une conskquence du lemme 1 .I .4.
PROPOSITION 1.1.10.- Toute fonction plurisousharmonique homogBne dfordre p (i.e. v(uz5) = lute V(Z) , pour tout u & 6 t o \ ) est non nkgative et Log v est une fonction psh.
-
COROLLAIRE 1 . I . I 1
.- Pour
la fonction Log p
toute semi-norme continue p
E,
est psh.
En effet, on peut appliquer h chaque restriction de v aux sous-espaces de dimension finie la proposition semblable connue en dimension finie et remarquer que Log v est scs. Le lecteur aura constatk qufon peut aiskment transposer certains rksultats de la dimension finie a la dimension infinie en vkrifiant la semi-continuitk et en considkrant la restriction de la fonction aux sous-espaces de dimension finie. Cependant, il ne faut pas croire que toute propriktk des fonctions plurisousharmoniques se gkngralise h la dimension finie ; par exemple, on ne sait pas si toute fonction psh est limite dkcroissante de fonctions psh rkgulikres (par exemple continues). De mdme, on ne sait pas si, dans la dkfinition des fonctions psh, on peut rem-
.
placer ltscstl par Illocalement bornke supkrieurementll
Enfin nous donnerons, sans le dkmontrer, le rksultat suivant : LEMME 1 . I .12.- (de Hartogs) Soient U un ouvert dlun evt mktrisable et complet, (& ).(€ A une famille bornee sup&rieurement sur tout compact de fonctions de classe M(U) , indexke par une famille A filtrante croissante 'a base dknombrable et telle qu'il existe une fonction g continue satisfaisant sur U
:
Fonctions plurisoushannoniques
lim sup vd
,<
.
g
A Alors, pour tout a & U s inage Va de a & Na on ait v4 ( z ) <
g(z)
+E
21
et tout
>O
,
il existe un voi-
tel que, pour tout
9
pour tout z
q
2N
.
va
a?€
9
COROLLAIRE 1 . I . 13.- Avec les mhes hspothkses,
m-
lim sup v 5 -cn , la famille v _converge vers --OD lement uniformQment (a, ce qui revient au meme, uniformement sur tout compact).
Remarquons que la conclusion du lemme 1.1.12. peut s' Qnoncer sous la forme kquivalente suivante : "Pour tout K
>
compact dans
U et pour tout 0 , il existe N tel que 4 2 N K,c K,C entralne v ( z ) < g ( z ) - t t pour tout z de K 4 On peut donner un contre-exemple au lemme 1.1.12. et & son corollaire, lorsque E n'est pas complet. DEFINITION 1.1.14.- Un ensemble K est dit compact dans un ouvert U d ' u n evt E s'il est compact dans E et s'il existe un voisinage V de 0 tel que K - t V C U La proposition suivante se dgmontre aisement par un argument de connexitk. PROPOSITION 1 .1 .15.- Soit v une fonction de la classe M(U) o h U est un ouvert connexe d'un evt E , l'ensemble A & points de U & v est &gale ? --co i est d'inthrieur vide ; de plus, A est fermk, U-A est connexe.
".
.
1.2. APPLICATIONS ANALYTIQUES
En dimension infinie, de nombreuses propriQtQs relatives B l'analyticitk, qui cokcident en dimension finie, different et conduisent ?i des notions distinctes selon les proprigtes des espaces E et F
.
I1 est ?i noter que, pour une application f : U C E - F , les rdsultats les plus simples, parfois connus depuis longtemps, s'obtiennent lorsque E et F sont des espaces de Banach. En dehors de ce cas, il y a une grande varidtk de situations. La
22
Fonctions plurisousharmoniques
classification habituelle des elc : espaces de Banach, de F r d chet, tonnelds, bornologiques, etc.. qui a ktd faite en fonction des propridtks des applications lindaires n’est pas toujours adaptde aux problkmes dtudids ici. Sauf mention expresse du contraire, nous supposerons que E et F sont des elc sdpards bien que, sur l’espace E de ddpart, l‘hypothkse de convexitk ne soit pas ndcessaire en general (avec E‘ f {o) ). Soit f : U C E c F , nous parlerons de fonction si F
=c
et dfapplication dans les autres cas. DEFINITION 1.2.1.- Soient E & F deux espaces vectoriels, une application f : E F est dite pol.ynomiale homogkne de degrk n sfil existe une application n-linkaire homoghe u de E x x E (n fois) dans F telle que x). f(x) = u(x Partons du rdsultat suivant : THEOREME 1.2.2.- Une application f : U C -F~ , F est dite analstique si elle satisfait aux conditions
...
-
,...,
u,
kquivalentes suivantes : 1 ) pour tout
u
0
f :
u
u +C
2) pour tout
de
F f (dual topologique de F), la fonction
est analstique. z
de
U
,
f(z+h) =
a3
2 n=o
anhn , la eerie
dtant uniformdrnent converaente dans un voisinage de z &
-
3) f est continue et, pour toute courbe tope b zdro dans d; f(z) de = 0
I,
.
r
rkmlihre homo-
Remarque. Dans 2), lorsque F n‘est pas sdquentiellement complet, les a ne sont pas ndcessairement des klkments de F ; n A la convergence de la sdrie est assurde dans le complktd E de E. DEFINITION 1.2.3.- Une application f : U C E + F , E & F est dite G-analgtique (G pour “Gilteaux ‘ I ) si sa res-
a,
triction B toute droite complexe est analstique au sens du
Fonctions plurisousharmoniques
thdorkme 1 .I .2.,
clest-h-dire:v (a,b)t. Ux(E-
cation 3 +f(a+Yb)
9ue a+gb C U
.
23
lo)),
est analstique pour tout
l'appli-
5 de 6 u
Par la suite, les applications G-analytiques joueront un r81e comparable 2L celui des applications linkaires. Ces applications ne sont pas nkcessairement continues et il est facile de voir, gr&ce h la condition 2 ) du theorkme 1 . I .2. que la notion de Ganalyticitd ne depend pas de la topologie de F mais seulement des born&
qu'elle definit, plus precisement si T,
et T2 sont
d e n topologies localement convexes sur F definissant la mdme famille de bornes, alors, f : E--,F
est G-analytique pour
.
T;, Donnons le resultat suivant qui relie application G-analytique et application polynomiale : THEOREME 1.2.4.- Une application f : U C E F , E et F est G-analytique si et seulement si, pour tout x de U , il existe une famille d'applications polmomiales homogknes de dear6 n (non necessairement continues) telles TI
si, et seulement si, elle est G-analytique pour
u,
(en)
que:
+a3
f(x+h) =
2 n=o
ln(x,h)
,
la serie conveweant en tout point du plus grand ouvert dislug en x
contenu dans U et les
Ln sont uniques et don-
nees par la formule :
=i
f(x+th) t-"-' ---d? ,I d . ltl=1 2ic Le lecteur trouvera la d4monstration de ce theorkme dans (40) pour le cas des espaces de Banach et dans (73) pour le cas g4neral. Voici maintenant quelques propriktks des applications Ganalytiques : THEOREME 1.2.5.- Soit f : U C E F , E et F une application G-analstique. A l o r s : 1) f est localement born6e, elle est continue, G(x,h)
m,
a
Fonctions plun'sousharmoniques
24
2 ) lorsque F
est normk, si f est continue e U e est locale-
ment bornde. COROLLAIRE 1.2.6.-
a
E
est mdtrisable et F normd,
conditions suivantes sont dquivalentes pour une application G-analytique' : 1)
f est localement bornde,
2) f est continue, 3)
.
f est bornke sur tout compact de U
Remarque. Dans la condition 2 ) du theorbme 1.2.5.
il est n6ces-
saire de supposer F norm6 car, dans un espace de Frdchet par exemple, l'application identique est continue mais n'est pas 10calement bornde. LEMME 1.2.7.-
Soient F un elcs, yune application analyti.-
gue au voisinage de A = [ z t a , lzl Q I \ & p semi-norme s u r F Alors. les conditions y(0) = 0 e t
.
p
(eie)s M ~ <+m
o
[ 0 , 2 t r ~ entraitnent
-
.
p o 'p ( z ) & M~ I Z I pour tout z & A Ce lemme se d6montre c o m e en dimension finie car la fonction \p(d est analytique au voisinage de b f ddfinie par f(z) = -----
-
Z
et donc
p o f est sousharmonique. C o m e pour tout
z tel que
,
on a p o f(z) ,< M , le principe du maximum entrafP ne que l'indgalitk est encore vraie pour \ z l < 1 , dlo& le r d lzl = 1
sultat
.
.
Ddmonstration du 1 ) du th6orhme. Soit a . e U Montrons que si f est localement bornke en a elle est continue en a 0
0'
c'est-&-dire que pour tout k ) 0 et pour toute semi-norme p
F il existe un voisinage V de l'origine dependant de I: et p tel que sur
pour tout point a de V Soit a .
+ V, un
voisinage disqug de a
est localement bornee ; p norme p s u r f
.
. 0
o
f(V ) 4 M 1
P
< foo
oh la fonction f pour toute semi-
2s
Fonctions plurisousharmoniques
Posons
'pa( t
=
3
lytique de tout a de p
)
(3 C
f( s a
+
ao)
-
f(ao)
p[ f(eiea
0
1
P
V
Pour tout a1 de l'ensemble
0
=
lf(aI + ao)
-
f(ao)] = p
ya(0) = 0.
et
5
1
llindgalitd
tout a de V1 inf( I , ).
et
-
V,
, le
point a =
a1 --YP
2M P
V, donc
appartient &
2M
lcp~<
tel que
Choisissons 5P
p
J151 P ,
+ a ) - f(ao) 6
'p( 4 ) 6 Jj12Mp , clest-&-dire: f( t a + ao) - f(ao)j d 2M 131 pour
If 16 1 ,
et pour
V, on a
[ya(eie)] =' o
If I6 l
ou identiquement nulle dans
Le lemme 1.2.7. entralne, p o u r tout p p
c'est une fonction ana-
If(
--a' + ao) -
I
f(ao)
4
I=
2M
P
.
P
9P Des rdsultats dnoncds plus haut il nlest pas difficile de ddduire le thBorGme suivant qui montre que tltoutse passe bien" si l'espace-but est normd, ce qui est en particulier le cas lorsque F = d:
, c'est-&-dire
THEOREME 1.2.8.- Soient E
f : U C E -F
lorsqulil slagit de fonctions.
fi F
deux elcs, F normd et
. Les conditions suivantes sont Bquivalentes :
1)
f est G-analstique et continue,
2)
f est Ganalstique et localement bornde,
3 ) pour tout x & U il existe une famille
(k)d'appli-
cations polnomiales homog'enes de d e d n et continues telles que f(x+h) = n a o tn (x;h) , la sdrie convergeant uniformdment dans un voisinaae de x
.
Remarque: Dans 3 ) , les $(x;h)
=
(,I
- 1
Ln
sont uniques et donndes par
f(x+ $ h) $-n-l m 'd i-
. Ces applications peu-
vent ne pas 6tre & valeurs dans F si l'espace n'est pas s6quentiellement complet ; la sdrie n
en(x;h)
converge alors
dans le complgtd F de F et sa somme f(x+h) appartient k F. DEFINITION 1.2.9.- Une application f : U C E -F , E & F
u,sera dite analstique si elle est G-analyticwe et
Fonctions plurisousharmoniques
26
continue. Certains auteurs appellent llanalytiquesl' les fonctions G-analytiques et localement bornees, ce qui est plus restrictif si F n'est pas norm6 mais revient au m&me lorsque F est norm6 en vertu du th6orhme 1.2.8. En fait, la solution la plus logique serait, par analogie avec les applications lin6aires ou polynomiales, de reserver le terme llanalytiquell aux applications que nous appelons G-analytiques. Les deux thdorhmes qui suivent montrent que, pour Qtudier la continuit6 d'une application Ganalytique, il est possible de se ramener au cas OG F est norm6 et, lorsque F est mktrisable, au cas o h F =
6
. Ces theorkmes ne sont plus vrais si l'on
remplace la condition llcontinuell par Illocalement born6e'I. Rappelons que, si F est un elcs, (Pi'i 1 une famille g6n6ratrice de semi-normes continues sur F et si l'on note par Fi lfespacenorm6 associk &
pi
, c'est-&-dire
Pi = (F,pi)/pT'(0)
, la topologie sur et par yi l'injection canonique F +Fi F peut &tre d6finie comme &ant la topologie la moins fine sur F
, rendant continues les
des
(Fi,
ouvert U
Yi))
Yi (c'est la topologie
projective ; de plus, pour qu'une application f d'un
d'un elc E 'a valeurs dans F soit continue, il
faut et il suffit que, pour tout 'f',o f soit continue.
i de
I
,
l'application
E et F w, E mktrisable, Pour que f soit analytisue il faut et il suffit que Pour u F' , dual topolonique de F , la fonction (scalaire) u o f soit analsrtique. Une telle fonction est parfois appelde scalairement analytiTHEORElME 1.2.10.-
Soit f
:U C E 4
F
,
-
que. Le theoreme 1.2.11 entrafne que la notion d'analyticitd ne fait intervenir, lorsque F est mktrisable, que les bornds de F Avec l'hypothbse sur E de mdtrisabilitd, une fonction f
.
reste analytique si l'on remplace la topologie de F par n'importe quelle topologie ayant les mQmes born&. Par contre le thdorbme n'est plus vrai si E est quelconque.
Fonctions plurisousharmoniques
21
En effet, si E est un espace de Banach, E, (E,E1)
de sa topologie faible de
Eg
dans E
,
et
llespace E muni
f l'application identique
la fonction u o f est analytique pour tout
u
de El mais f nldtant pas continue nlest pas analytique. Montrons que la condition est suffisante : supposons d'abord F norm6, f est alors G-analytique ; montrons qulelle est continue ou
pluti3t, ce qui est Bquivalent puisque
ble, que
f est born6e sur tout compact. Soit F un compact de
U
, pour
,u
tout u de F1
o f(K)
E est mgtrisa-
est compact, donc born6 ;
f(K) etant faiblement born6 est, de par le thBorkme de Mackey, un ensemble born&. Soit maintenant F non norm6 et (pi) une famille generatrice de semi-normes de F , avec les notations prdcsdentes fi = 'pi o f est, pour tout i , une application ?I valeurs dans F. et, pour tout e de Ff , llapplication 1 et C o y i t o fi est analytique car (0 fi = o f est un dlgment de F1
e yi
.
E 3U->
f
F .-yF'Pi ,
De la premikre partie de la ddmonstration il s'ensuit que
'Qi o f est une application de U C E dans Fi ; ceci dtant vrai pour tout i , le thgorkme 1.2.10. entrafne que f est analytique. Voici maintenant quelques resultats reliant les applications analytiques et les fonctions plurisousharmoniques : THEOREME 1.2.12.- Soit f : UCE.->F , E & F F sequentiellement complet. une application analytique. Alors, & v est une fonction s u r F , plurisousharmonique dans un voisinane V de f ( U ) , la fonction v 0 f : UCEj k est plurisousharmonique. COROLLAILU 1.2.13.Avec les hypothkses du theorbme, poul toute semi-norme continue p
F
, la
fonction Log p o f
Fonctions plurisousharmoniques
28
est plurisousharmonique. Ce theoreme permet d'introduire la notion de fonction pluri-
sousharmonique sur une varidte analytique de dimension infinie. Demonstration. La fonction v o f est Qvidemment semi-continue superieurement, aussi ne reste-t-il qu'8 verifier 11in6galitg
,
2
4 (x ,h) n2.o n o la sBrie convergeant en tout point d'un voisinage de x0 k Posons Sk(h) xn(xo;h) ; pour tout k fix6 et h assez n=o de 6 par l'application -Sk( 5 h) est petit, l'image Fk de dimension finie k au plus et v est psh sur V nFk ; le
de la moyenne. Soit x
0
dans U
f(xo+h)
=
.
=z
thkorkme,connu en dimension finie, entrafne que v o Sk est plurisousharmonique, c'est-&-dire que : 2R
v
0
v o Sk(he
Sk(0),<
i0 )
-
.
d(3 2l-L
D'ob, puisque v
Sk(0) = v
0
0
f(xo)
et que v
0
Sk est
localement born6 superieurement,
2Tt
4
v
o
f(xo heie)
.
2K
0
Le corollaire 1.1.13.
-
d%
permet de prouver le theoreme suivant,
du type Vitali : THEOREME 1.2.14.-
Soient E un espace de FrBchet, F
( fn) une suite localement bornhe d'applications analgtiques d'un ouvert connexe U de E B valeurs dans F A l o r s , si pour tout x d'un ouvert V de U la suite (fn(x)) a m e limite, la suite (f,) tend vers une limite uniformBment sur tout compact de U (ou, ce elcs sdquentiellement complet et
.
Fonctions plurisousharmoniques
29
gui est dquivalent, localement uniformdment) ; cette limite est analytique et localement bornhe. Ddmonstration : Montrons que fp(x) forrn&ment sur tout compact de U tinue sur F
VNP,9
-
f ( x ) tend vers z d r o uni-
. Pourq toute semi-norme
et pour tous entiers positifs p
et q
N con-
les fonc-
- fq(x)J foment m e famille locai p lement bornde de fonctions plurisousharmoniques. Pour tout N tions
log
=
N f (x)
la fonction lim s g fl (x) = #(x) est donc m e fonction de P!9 P19 classe Mo qui, d'aprks l'hypothkse, e s t &gale & -00 s u r V , \T
cela entrahe par la proposition 1.1.15. B
-m sur U
Donc
.
flP,9(x) + -03
pour tout
que
(p,q)
entraene pour toute semi-norme N
1.1.13.
+P
w'" est identique +a,.
sur F
Le corollaire la fonction
tend vers -a uniformdment s u r tout compact i.e. P,q fp(x) f (x) tend vers 0 uniformdment sur tout compact de U. 4 La fonction limite existe donc en tout point, elle est localement bornhe et ses restrictions en droites complexes sont analy-
-
tiques dloL le r&sultat. LETHEOREME: DE ZORN c
1.3.
Donnons, sans ddmonstration, un thdorhme, trks utile dans la pratique, d o 2 M. A . Zorn pour les espaces de Banach. THEOREME 1 . 3 . 1 . -
Soient E
& f
et F
U un ouvert
F une application Ganalytique. A l o r s , l'ensemble des points de U oh la fonction f est continue B la fois ouvert et fermd si llespace E E-
connexe de E
: U C
E
deux elcs,
7 -
tisfait B l'une des conditions suivantes : a) E est mhtrisable et complet ;
E est de c) E est un d) E est un e) E est un b)
Baire ; dual de Frdchet-Schwartz ( 3 5 3 ) ; produit dlespaces metrisables complet ; produit de 4S.J
.
Dans de tels espaces, les fonctions G-analytiques possedent
m e des propridtes, la plus importante des applications
Fonctions plurisousharmoniques
30
polynomiales, b savoir, gue la continuitk en un point entrarne la continuitk dans toute la composante connexe du point. Nous appellerons espace de Zorn tout elc o h le theoreme 1.3.1. est
.
satisfait pour tout ouvert
Remarque : Les conditions c), d ) et e) sont des conskquences de a) et b) pour les raisons suivantes :
afg
1 ) Un espace peut Btre considkr6 comme une limite inductive stricte dlespaces de Banach Bn par des operateurs compacts. On montre alors que, pour qu'un ensemble U de E (resp. m e application f : u c E -F) soit ouvert (resp. continue), il faut et il suffit que, pour tout n, llensemble : U nBn F soit U n B n soit ouvert dans Bn (resp. f continue). IBn 2) Nous montrerons plus loin que, si E duit, E = V E i
, tout
germe de fonction analytique sur E se
factorise b travers un produit fini de Ei est continue en x
est un espace pro-
, elle
. En effet, si
f
est bornee sur un voisinage de ce
point de la forme UJ x
Ei avec J fini, UJ ouvert de i& J Z J E i donc constante par le th6oreme de Liouville sur les fiEi pour tout x de U J c n Ei bres x + J J idJ Llintdret du thdorkme de Zorn est dQ au fait que dans de tels espaces, ktant donnk m ouvert connexe U et une fonction
.
, si
analytique f sur U que Vr\U
f
V telle que g
, V@ IU nv
U
= f
l'on peut trouver un ouvert V tel et une fonction G-analytique g sur
, on
est assurk de la continuitk et,
donc, de l'analyticit6 de la prolongde g sur V
.
On peut amsi, grgce &. ce thkorkme, gkndraliser le theoreme classique de Hartogs : THEOREME 1.3.2.- S Q i e e t E, G E 2 mktrisables et complets, F elcs et f : U C E 1 X E 2 -F m e fonction separkment analgtique [i.e.
x,
f(xl,x2)
et
sont des applications analstiques s u r
x2
f(x,,x2)
(E1x {x21)
nu
et
Fonctions plurisousharmoniques
u n ( {x
1x
I1 suffi
,
sur U . -
E2)
1. A l o r s ,
31
f est une application analytique
gr&ce au theorkme 1.2.10., de faire la demonstra-
tion dans le cas oG F est normk.
5,
%I)--*
lytique separement en
f et
La fonction (
f(a+ f b , a t + f'bt) est ana-
f
l
donc analytique de l ensemble
( f , g l ) par le thdorkme de Hartogs dans Q ; elle est donc , ce qui prouve que f analytique sur la diagonale f = 5 est G-analytique. La demonstration se termine en appliquant le thkorkme 1.3.1. aprks avoir montrk le resultat suivant : LEMME 1.3.3.- Soient El gt- E2 des espaces complets mktrisables et f une fonction h valeur Banach skparkment continue sur E l x E2 Tout ouvert U de El x E2 contient un ouvert V ob la fonction est bornke. Faisons la dkmonstration pour un ouvert de la forme U, x U2 o t Ui est un ouvert de E Pour tout y de U2 l'ensemble
.
.
4
E~(N) ={x U, , JJf(x,y)Il 6 N est ferme et soit Vn une base strictement ddcroissante de voisinages dtun point y0 de U2 notons E E~(N) ce sont des ensembles fermes n,N = Y GVn ou Qventuellement vides dont la reunion est U tout entier. En f(x,y) est effet soit x un point de u1 la fonction y continue en y = yo donc bornke dans un voisinage w de yo par exemple :
r'\
-
Soit no tel que Vn C V 0
appartient &
et N > M 0
ce qui prouve que
x
.
On applique alors le theorkme de Baire En0 , N ~ qui montre qulil existe un d'interieur non vide dlob En' ,N' le resultat. I1 serait intkressant de trouver, pour le thkorkme 1.3.1.,
les hypotheses les plus larges de validit6 portant sur ltespace
E et, aussi, de pouvoir remplacer lthypothksede continuit4 par celle de "localement born&elt (lorsque F nlest pas norme).
Fonctions plurisousharmoniques
32
Malheureusement, l e s r6ponses s o n t en g e n e r a l n d g a t i v e s c o m e l e montre l e s contre-exemples s u i v a n t s : e s t un espace de Banach e t
E
1)
F
non norm6, on ne
., llcontinuell
p e u t pas remplacer, dans 1'6nonc6 du th6orbme 1 . ? . I
par "localement born6e". tendant v e r s z e r o m u n i de l a norme
sup.
et
F =
'c
, ...)
. Toute
dquivaut h l a donnee d'une
f : E -F
application analytique
x = (x ,xl
l ' e s p a c e des s u i t e s
E = Co
Exemple : S o i e n t
.
( f ) de f o n c t i o n s a n a l y t i q u e s s u r E La f o n c t i o n P n k:xn] e s t a l o r s Ganaf = ( f ) ddfinie par fp(x) = P n20 l y t i q u e dans E e t localement bornde en tout p o i n t de
suite
,
U = {x G E
f
mais e l l e n ' e s t localement bornde en
U1 = [ x c E
aucun p o i n t de p l e , que
1j
J x O l<
,
>
lxo{
1 4 . Montrons, p a r exem-
X = (2,0,0,
n ' e s t pas born6e a u v o i s i n a g e de
...)
c ' e s t - & - d i r e q u ' i l n ' y a pas de boule
) oh toutes l e s
fonctions
s t
f
s o n t born6es. Pour
,..., ,... -
hs = (0, t
fp(X+hs)
=
P
)"
(2p
n=1
If/
p
>
t e l que sup
2'
=
>I
t
)f(X+hs)( =
IM
,
soit
; ona :
t
l\hs\l =
03
+
1
,
)
E ,O s termes
Pour t o u t sup
B(X, f donne e t
( 2 P 2 )" - 1 ----------2pt
,
+CO
-
I
on a u r a :
.
B(X,k ) 2 ) Le thdorkme 1 .3.1. n ' e s t pas v r a i s i . E
e s t un espace
norm6 non complet. Exemple : L'espace
E = Coo
d e s s u i t e s n u l l e s s a u f un nombre
f i n i de termes m u n i de la norme par
f(x)
=
z n>o
E
,
sup
et
f
soit
h S
6
. Ddfinir
f
xnx c ' e s t une f o n c t i o n G-analytique dans o n *
localement born6e donc c o n t i n u e dans
mais
F =
u
= {x E E
,
lxol< 1 )
n ' e s t pas c o n t i n u e a u p o i n t X = ( l , O , ...). En e f f e t , 1 0, ...) on a Ilh,\\ = 1 et =(---I
o,...,o, --Js'
J' B
---
d;s
Fonctions plurisousharmoniques
1
1
f(X+hs) = ( l + - ) C ( l + i ) s
F P \F
.
tend vers
+oo
33
avec
,
s
d'ob le r6sul-
tat puisque f(X) = I 3 ) Le th6orkme 1.3.1. n'est pas vrai si E est m e limite inductive stricte d'espaces de Banach. Exemple : E = Co ((xn),(yn))
et F est le dual de
le point courant de
f(x,y) =
yp fp(x)
P 20
ExF et posons
c o m e dans l'exemple I ) , on a posd
. C'est une fonction G-analytique car analyti-
(xpx )"
fP (x) = que en x
,
ob
6(h/, notons
0 0
et lindaire en y et, de plus, on a If(x,y)\ < 4 dks 1 2 et P q l < 24 donc f est continue au voisinage
que lxpl de l'origine. Montrons que f n'est pas bornge, donc n'est pas
continue, au voisinage du point
U un voisinage de ce point, V = (x,y) xo = 2, Ixils arbitraire, choisir d'abord Po M tel que (2 t ) ----
C I
">
.
(X,O)
pour
( a l , b l ) eV
i3 1
,
et
5., .
Jb.1 5 E j
po tel que 2 t 7 1 Enfin, si l'on dkfinit
M
Pour
puis 90 (al,bl)
,...,0, 1. ,O ,...),
b' = (0 *
I
q
If(a',b')\ > M et donc dans U
et
pas bornde dans V
= (2,0,...). Soit
OJ
0, C ,O ,...) par a t = (2,O p 0 +1 termes
on a
X
il contient un ensemble de la forme
PO
,...,
ob
.
0
termes
qui montre que
f n'est
1.4. MYON DE CONVERGENCE D'UNE APPLICATION ANALYTIQUIJ --Dans tout ce chapitre, E Banach,
B(x,r)
et F ddsignent des espaces de
B(x,r) l a boule ferm6e. DEFINITION 1.4.1 .- Soit f
: U C E
. s F
r 7 0 tels que la sdrie f(x+h) = uniformdment dans la boule B(x,r).n
R(x)
< R(xl) +
x
et IIx
XI
- xlII
de
U
,
,
m e application est le sup des
analytique, le rayon de convergence Rf(x)
Pour tout
de rayon r
la boule ouverte centrde en x
.a,..
(x;h) converoe
la ddfinition entrafne que
d'ob, en permutant x
et
XI
,
Fonctions plurisousharmoniques
34
IR(x)
- R(xt)l<
Ilx
- xtl\
. La fonction
continue et lipschitzienne dans U on a R ( X ) > o . THEOmME 1.4.2.-
, de
x + Rf(x)
est donc
plus, en tout point de U
Soit
f : U C E ->.F analsrtique, alors -Log Rf est une fonction plurisousharmonique dans U oh -03. DQmontrons dlabord le leme suivant : LEMME I .4.3.- Soit g(x> = Zen(x) une sdrie convergeant en tout point d'une boule centrde en 0 oh les 4n sont des applications polynorniales homoabnes de dear6 n Le rayon de converrence de la s6rie est &gal h la borne. supdrieure des soit b o d e sur B(O,r). r 0 tels que la famille D6signons par R Is rayon de convergence et par R' le sup des r tels que les fn soient uniform6ment borndes sur
.
(en)
>
B(O,r). Pour tout
pour tout
r < R' llhll 4 r
n \~g(x)t~~Z.~~ n (X>II M < +a r & R , d t o h Rf 6 R R , la s6rie converge uniformdment et
<
, on a , donc
< g est bornee sur B(O,r) . I1 en est de -n-I ((n) car en(.) = g( 5 x > P RQciproquement, si r
.
Z-(it)
m6me de la famille d$ D'oh R 6 R ' 2i n 4
---
.
I
DBmonstration du th6or'eme : Montrons que 1 = lim sup 11 I1 n' n nco I 11 slensuivra que -Log R(X) = lim sup 5 Logl),t(x)/l avec l a notation IIen(x)$ = sup /I en(x,h)ll Come la fonction
. .
.
llhll =1
est analytique, la fonction -Log R est de classe x +cn(x,h) M ; or, on sait qulelle est continue, cfest donc une fonction 0 , sup 11 &(x)lI,C M <+a plurisousharmonique. Pour tout t
>
donc
(R- t )"
sup llhU =I
11
llNl 6 R-€
tn(h)ll ,
Rkciproquement, pour tout une infinit6 dlindice n
&-dire
(R+f
In
/lcnll>/
<M
, qui
entrafne
k) 0 et pour tout M
tels que sup 11 Cn(h)ll llhll6 R+& M , dloh lim sup ( 1)
en2)n
, il existe M , c'est2
1 --.
R+ 1
Fonctions plurisousharmoniques
,
Pour tout x de U
35
le rayon de convergence d'une application
f est donne par une Ilformule d'Hadamard" : 1
-Log R (x) = lim sup - Log n f n-+a
[ sup
11
Cn(x;h)
I(
I.
llhll d 1 Donnons deux applications de ce rdsultat : A
Soit E un espace norm6, E son compldtk
THEOREME 1.4.4.-
et
F un esuace normeo Toute application analytique f : E -F se prolonae de facon unique b m ouvert
de
A
uf
E et ce prolongement est univalent. En d'autres termes, il existe un ouvert Uf tel que A E C U C E et une application analytique g : Uf -F telle f glE = f
que
. Nous verrons plus tard des exemples o&
U
b . 2.
Ie rayon R de convergence de f dans E est une fonction n uniformement continue qui, par consequent, se prolonge B E en A
une fonction continue R
, unique
A
car E est dense dans E A
.
De plus, la prolongee satisfait dans E B l'indgalit8
I R(X) - R(X')\ A
A
Q
- X'I~
IIX r
Posons U =
E
\
A
, R(x)
R f +a ).
(on a supposd
>
un ouvert de E qui /'. contient E Montrons qu'il existe une fonction f analytique sur U telle que PIE = f Cette fonction i sera univalente 4 car f(x) = lim f(y) en tout point x de U - E
.
0 4 , clest
.
A
Pour tout x de E
A
.
, posons
f(x+h) =
4n
tel que IlhII
Q
se prolongent b
r < R(x) A
.
, qui
11 cn(h)/\ 6
M pour tout r Les applications polynomiales
entrafne les inegalites de Cauchy h
2 tn(x,h) n
E ainsi que les indgalites, donc f se A prolonge B. B(x,R(x)), boule ouverte dans E Posons alors
u1 =
.
A
U $(x,R(x))
et montrons que
u
=
u1
. c o m e il suffit
x€E A de montrer que U1 3 U , soit a U , il y a dans B(a,k$(a)) au moins un point a0 de E (car E est dense dans E )et
Fonctions plurisousharmoniques
36
R(ao)-g(a)
I ^
I ^
4 11 a-ao// 2 - 2 R(a) puisque ao&B(a,F R(a)).
duit que R(ao)), donc dans U
I R(a) n
% .
On en d6-
A
qui prouve que a est dans B(ao,R(ao)),
.
est une application analyTHEOREME 1.4.5.- 2 f : U C E + F tique et x un point de U, l'ensemble des u & F' (w 0 topologique de F) tels que Rf(xo) f RUof(xo) est maiare (RUof
designe le rayon de convergence de uof).
COROLLAIRE 1.4.6.-
Soit
geant vers un point x0
-
(x,)
une suite de points de U
de
bU. S'il existe une application
conver-
analytique non borrike s u r la suite (xn ) il existe aussi une fonction analytique non born6e s u r la suite (x,). COROLLAIRE 1.4.7.E est ¶ble, tout domaine d'existence d'une application analytique est le domaine d'existence d'une fonctiori analytique. Le corollaire 1.4.7. entrahe que dans un espace de Banach s6parable il y a identit6 entre domaines d'existence de fonctions et d'applications analytiques. Nous verrons plus loin, dans le cas non separable, un exemple de dornaine d'existence d'une application analytique qui n'est le domaine d'existence d'aucune fonction analytique. Le theoreme 1.4.5. est une consequence du lemme suivant : LEMME 1.4.8.- Soit (v ) une suite localement born6e superieun rement de fonctions plurisousharmoniques continues dans un ou-
vert
U d'un espace de Banach E. A l o r s . si l'on pose w*(x)i est maiare. w = lim sup v l'ensemble x t U, w(x) n' Soit, en effet, w1 un sup de fonctions psh continues, ainsi que -(wl*) sont sci et A = ~ w <, wl*] = v { w l - w l ++ --
c
<
< w?j k '
L'ensemble A
est donc une reunion denombrable d'ensembles fermes ;
ceux-ci sont, de plus, d'intgrieur vide car si l'un d'entre eux contenait le voisinage V
d'un point a, on aurait : 1
*
1
lirn sup w 1 (x) Q l i m sup xl*(x) - T; = w1 (a) - T; , ce qui est absurde x +a *a puisque, par definition de la r6gulariske supdrieure, wl*(a)= lirn sup w,(x). x +a
Fonctions plurisousharmoniques
37
Avec l e s n o t a t i o n s du lemme, posons
wn = sup vWn, w PB 0 e t l e s ensembles {wn
est
wn*j
w < n sont maigres. Dans ( 7 3 ) , il e s t prouvd que l e diagramme suivant est
a l o r s l a l i m i t e ddcroissante des commutatif : wn
I
lim
-
Wn
6
r e g sup
-w c'est-&-dire que
L'ensemble
iw<
w* = l i m j w_
w*fr
*
r e g sup
* , ce
I
lim
-1
&* qui e n t r a f n e que
est donc maigre comme rdunion dgnombrable d'en-
sembles maigres. Ddmonstration du th6orkme : S o i t
yn
l a fonction d k f i n i e par
y n ( u ) = sup juoln(xo;h)l , c ' e s t une fonction continue e t l o g y n Ilhll= 1 e s t plurisousharmonique. En e f f e t , l a fonction u j u o l n ( x o ; h ) e s t l i n k a i r e continue, donc
yn e s t s c i ; de p l u s , y-
norme, c ' e s t donc une fonction continue e t
log
e s t m e semi-
ym e s t
psh.
11
l'kgalit6
avec
o
uol ( x ; h ) = n o
< a
uof(xo
+
f,h)f,-"-'
qui montre que l a f a m i l l e ;(
I
log
gK,
IIhll
yn) e s t
0 )
locale-
ment bornke supdrieurernent. On applique, a l o r s , l e lemme 1.4.8. avec 1 v = - log w e s t a l o r s -log R (x ) consldkrd c o m e fonction n n uof 0 de u G F ' . Comme, pour t o u t u de F ' , on a :
yn,
w(u) = -log R
sur
uof (x0 ) & l o g R ~ ( x ;~ w) e s t major6 p a r une constante F' t o u t e n t i e r , il s ' e n s u i t que w* e s t une fonction constan-
Rf = i n f RUof. L' ensemble Ut-F' qui n ' e s t a u t r e que {u t F ' , R U o f ( X o ) > R f ( X o ) , e s t mi-
t e , donc kgale b -log Rf(xo) {wd
w*j ,
puisque
f
g r e par l e lemme 1.4.8. Remarque 1.4.9.
Dans ce paragraphe, nous avons supposk que
E
ktait
un espace norm6 e t complet. En f a i t , l'hypothhse de compl6tion e s t superflue e t n ' e s t intervenue B aucun moment. On peut a u s s i o b t e n i r
l e s mhes r d s u l t a t s dans l e c a s non norm6 : si U e s t un ouvert con-
Fonctions plurisorrsliarmoniques
38
nexe d'un
elcs E
e t s i F e s t un espace de Banach, on peut, pour
t o u t e semi-norme continue
p, d k f i n i r l e p r a y o n de convergence R
d'une a p p l i c a t i o n analytique f : U C E / F .
PI f En reprenant l e s cal-
c u l s f a i t s prkckdemment dans l e c a s norm6 ( l a norme ktant remplacke par l a semi-norme p ) , on v o i t que
e s t une fonction p- contiP,f nue (kventuellement n u l l e s u r un sous-ensemble ouvert de U) e t que l a fonction -1Qg R
.
P9f
R
e s t une fonction plurisousharmonique dans
( ~ ) 7 0 ) Cela t i e n t au f a i t que, pour t o u t point a de Rp,f U, il e x i s t e une p-boule de rayon p o s i t i f contenue dans U s u r l a -
fzeu,
q u e l l e IIfb
e s t bornke. S ' i l n ' e x i s t e pas de t e l l e p-boule,
on pose
( a ) = 0 pour t o u t p. Les thkorkmes 1.4.4. e t 1.4.5. sont encore P, f v r a i s dans ce cadre p l u s gknkral. Nous ne ferons pas l e s dkmonstraR
t i o n s , qui sont l e s mgmes, b de trks lkgkres modifications prks.
NOTES. Bremermann ( 1 1 )
s ' e s t i n t k r e s s k l e premier aux fonctions plurisousharmoniques e t b l a pseudo-convexitk en dimension i n f i n i e . Une ktude systkmatique en a kt6 f a i t e par Lelong (57), Coeurk (15) e t Noverraz (73). Avec d e s hypotheses plus r e s t r i c t i v e s , l e thkoreme 1.1.9. (appelk "thkor&me de convergence" en thkorie du p o t e n t i e l ) a k t k prouvk par Kieselman (52) e t Coeurk (15) ; l e c a s gknkral e s t dh b Lelong (56), Coeurk (15) e t Noverraz (73). La proposition 1 . I .8. r e c t i f i e une dkmonstration de (73) (Proposition 1 . I .). Enfin, l e l e m me 1.1.12., appeld lemme de Hartogs en dimension f i n i e , est dkmontrk dans (73) a i n s i que d e s a p p l i c a t i o n s . Apres une pkriode de travaux, dont l e s r k s u l t a t s se trouvent exposes dans l e l i v r e de H i l l e e t P h i l i p s (40), l ' k t u d e de l a thkorie des a p p l i c a t i o n s analytiques dans l e s espaces de Banach a k t k r e p r i s e par d i f f g r e n t s a u t e u r s e t en p a r t i c u l i e r par Nachbin (68). Une ktude systgmatique, dans l e s elc] des d i v e r s e s notions d ' a n a l y t i c i t k , ui coPncident dans l e s espaces de Banach, a k t 6 f a i t e par Noverraz q73). Ultkrieurement, Q t o s ( 6 5 ) , Bochnack e t Siciack ( 6 ) e t c ont ktudik l e c a s des espaces v e c t o r i e l s de Baire a i n s i que le cas rkel. Le th6oreme 1.2.12, est dQ & CoeurQ (15) e t Lelong (57). Le thkoreme 1.3.1., dkmontrk pour l a premiere f o i s par Zorn (91 ) dans l e cadre des espaces de Banach, a k t k oubli6 jusqu'en 1968 o ? ~ il a k t k gknkralisk p a r (73) aux espaces mktrisables complets p u i s , p a r Matos (65) e t Bochnack e t S i c i a c k (6) aux espaces v e c t o r i e l s de Baire. Une version Qquivalente a v a i t kt6 prouvke par P i s a n e l l i (79) pour l e s espaces di)TJ' Hirschowitz (41) a m i s en kvidence, en meme temps que Rickart (82), l e s propriktks des fonctions analytiques d k f i n i e s s u r un espace prod u i t e t il a donnk quelques contre-exemples (en p a r t i c u l i e r , l e s con-
..
.
Fonctions plurisousharmoniques
39
tre-exemples 1 e t 3) h d'kventuelles k n h r a l i s a t i o n s de ce th6orgme. La propriktk de plurisousharmonicitk thkorsme 1 .11 ,2. ) du rayon de convergence (ou de majoration) e s t do h Lelong (57) dont l a dkmonst r a t i o n s'applique a u s s i aux f o n c t i o n s lurisousharmoniques. La dhmonstration domke i c i e s t c e l l e de (73 Enfin, l e s thkorkmes 1.4.4. e t 1.4.5. sont dus h Hirschowitz (42) ; sa dkmonstration, qui n ' u t i l i s e pas l a plurisousharmonicit6,est d i f f k r e n t e de c e l l e que nous donnons i c i .
7
P.
C H A P I T R E I1 UOTION DE PSEUDO-COhVEXITE Les diverses notions de pseudo-convexitk et de convexitk plurisousharmoniques sont introduites et au paragraphe 2 nous montrons qu'elles sont kquivalentes lorsque l'espace est seminormk. Le cas gknkral est ktudik au paragraphe 3 , tandis que le paragraphe 4 s'occupe des espaces &talks. 2.1
--
. Prkliminaires --------
U designera un ouvert d'un elc non n6cessairement skpark. Si U n'est pas connexe, les rksultats s'appliqueront ?chaque i composante connexe de U Un sous-ensemble K de U sera dit compact (resp. prkcompact) dans U si K est compact (resp. pr6compact) dans E et s'il existe un voisinage V de O tel que K + V C U . Si A(U) dksigne une famille de fonctions definies s u r U h valeurs dans un espace norm6 (qui sera 6 dans ce chapitre). DEFINITION 2.1 . I L'enveloppe A(U)-convexe d'un ensemble K prkcompact dans U est dkfinie par
.
.-
A
,df
= ( z k U , (f(z)(,( If/, € A(U)\ et l'on dira qu'un ouvert U & A(U)-convexe si l'enveloppe A(U)-convexe de
KA ( U )
.
tout compact de U est prkcompact dans U
de
E
,
2 Ea
-
OG El est le dual topologique a l'enveloppe E -convexe d'un compact K n'est autre
LEMME 2.1.2.-
= El
que l'adhkrence de son enveloppe convexe kquilibrke qui est
(& E est skquentiellement complet ou quasi-complet, elle est compacte).
prkcompacte dans E
DEMONSTRATION : Si K A
E' de
l'ensemble 'K' =
f7
est un compact de
E
, pour
tout u de
est convexe et fermk. I1 en est de m&me b k A K , ce qui entrafne Co K C Kf iE l . Rkcii'j
u & El proquement, soit xo$ Co K , il existe une forme lindaire af-
Notion de pseudo-convexit6
41
.
Sup
fine, rdelle et continue telle que l(xo)>
l(x) La Co K fonction l1 , ddfinie par ll(x) = l(x) - i l(ix) , appartient 6 ,ReXQ sup l(x)] contient B Ea et llensemble
-
cox
.
>
o tel que 1 (co K) mais pas ll(x0) Soit x E 6 et R 10 On en dgduit, ll(Co K ) C B ( A, , R) et l l ( x o ) & ' w ) si l'on pose u = l1 - A o , que Iu(xo)I R>. lul lulK fi qui prouve que x nlappartient pas B %a 0
.
>
rK)/
Ce lemme sera utile pour toutes les classes A ( U ) qui contiennent E l (par exemple, les fonctions plurisousharmoniques, r\
polynomiales et analytiques) car alors,
KA(u)
K pour tout
C C o A
compact de U et il suffira, pour montrer que K pact dans U
.
c\
,
de trouver un voisinage
K + V C U On notera P(U) [resp. Pc(U)]
V de 0 tel que
la famille des fonctions pluri-
sousharmoniques (resp. psh et continues) sur U
Soit
DEFINITION 2.1.3.dU(z,zl) = inf
lr/
U un ouvert de
1O , + L P ]
dkfinie s u r
tels que
z
tion B valeurs dans
est prdcom-
+
z'
E
, dU
U x(E U
.
. est la fonc-
- { 01)par
Un ouvert U sera dit pseudo-convexe si la fonction - l o g est
sur U x(E
psh
Pour tout
z 1 de E
- {Of;). -{O)
fix&, la fonction dU
%
n'est autre
z au compldmentaire de U dans la direc-
que la distance de
.
tion z '
c
LLMME 2.1.4.S J E est un elc fi U E , la fonction dU est semi-continue infkrieurement dans U x(E - LO)) pour toute topologie sur E
telle que U soit un ouvert.
DEMONSTRATION : Soit ( z o , a;) u x (E - (0)) tel que d(zo , z l ) = c < + o o Pour tout 0 < c'< c , consid6rons
.
0
H
= { ( z , z l ) ~z ' = zI
compact de U x(E
0
-
, I X I < ~qui ~ )est - un z = z + ,\z; 0 (0)). I1 existe donc des voisinages V et '
Notion de pseudo-convexiti
42
W
Pour tout z
+
+ c'W C V et H + V x V C U x(E -
0 tels que W
de
h z l
+W
z de z0
= z
-
z
0
+
(zo
et
+
+
el) 0
c 1 ce qui entrafne que
continuit4 lorsque c <
+OO
de
z1
posant
0
X(z1
d( z , z t )
. Lorsque
+ W on a
-
z1)
0
4 u pour tout
c =
LEMME 2.1.5.- Un ouvert U
. Remarquons
< +go
.
de E
on fait le
+PO
de prolonge de manihre semi-continue h d = 0 sur U x { O ) U
:
c t, qui prouve la semi-
par M
mQme raisonnement en remplapant c1
que dU
z'
(0)).
U x E en
est pseudo-convexe si et
seulement si U r\ F est pseudo-convexe pour tout sous-espace F de dimension finie de E De plus U reste pseudo-convexe
.
pour toute topologie pour laquelle U est un ouvert.
En effet, pour tout sous-espace F de dimension finie, la fonction dU n F
definie s u r
la restriction de
dU
( U n F ) x (F
- {Of)
et on sait (lemme 2.1.4.),
n'est autre que que - l o g dU
est scs. Le lemme est, alors, une consgquence du fait qu'une fonction scs est plurisousharmonique si, et seulement si, ses restrictions aux sous-espaces de dimension finie sont plurisousharmoniques (ou 6ventuellement
- *)
.
Exemples d'ouverts pseudo-convexes : les ouverts convexes, les ouverts 4quilibrhs, les domaines d'existence de fonctions o h v est une fonc{ I tion plurisousharmonique au voisinage de lladhdrence de llouvert,
analytiques, les ouverts de la forme v L O les ouvertsi
If1 C c 3
oh
f est une fonction holomorphe, les reunions filtrantes croissantes de tels ensembles. Remarquons que ces divers rgsultats ne supposent pas l'espace separk et qu'un ouvert pseudo-convexe reste pseudo-convexe si l'on remplace la topologie de
E par n'importe quelle topo-
logie, nor, n6ceseairement localement convexe telle que U soit un ouvert. Dam ce chapitre, la convexit6 locale n'intervient pas de manihre fondamentale si l'on suppose
DEFINITION 2.1.6.-
Soit 9
une
El
f {O)
.
propriete, on dira qu'un ensem-
Notion de pseudo-convexit4
43
, U poss'ede finiment (llfinitelv" p &, pour tout sous-espace F de dimension finie, chaque composante connexe de U n F posskde la proprietk 3 Le leme 2.1.5. affirme qu'un ouvert U est pseudo-convexe si et seulement s'il est finiment pseudo-convexe. On peut, de
ble
.
I
.
meme, parler d'ensemble finiment ouvert, de fonction finiment plurisousharmonique, d'ensemble finiment pseudo-convexe, etc... THEOREME 2.1.7.- s
3
E et E, deux evt et u
: E-,E1
une application linkaire continue surjective et ouverte. Alors,
si
U est un ouvert connexe et pseudo-convexe de E , conte-1 & V1 est un ouvert non vide nant un ouvert V = U (V,) de El , : -1 1) u = u 0 u(u)
.
2) U1 = u(U)
est pseudo-convexe dans
'
DEMONSTRATION : La fonction -log dU est, par hypothkse, plurisousharmonique dans U x (E - {Of 1, donc plurisousharmonique ou - 00 sur u X(E~ - { o f , , oir l'on a pose E~ = u-l(o) Montrons que sa restriction est, en fait, identique 8. - OD sur U x(Eo - t o ) ) . Soient zI de Eo - [Of et z de V quelconde , ce qui monques, on a z +A z ' E V C U pour tout tre que -log dU est identique & - 00 sur V x(Eo - {O)), qui est un ouvert dans U x(Eo - {OJ) La fonction -log dU est donc identique & -00 sur U x(Eo - { O ) ) , ce qui prouve que, pour tout z de U , l'ensemble z + E est encore con0 -1 tenu dans l'ouvert U , qui s'6crit alors U = u o u(U) I1 reste 8. montrer que U1 = u(U) est pseudo-convexe dans El , c'est-&-dire que -log dU est psh dans U1 x(E1 - {OJ).
.
.
.
1
Or, pour tout z de U et
- { O ) , la
condition
A
z' E u gquivaut 8. u(z) + ~ u ( z ' ) U(U) ~ car -1 = u o U(U) , ce qui prouve que % n'est autre que la
z+
u
z' de E
compos6e de
% 1
avec
(u,u)
, qui est
lineaire continue s u r
Notion de pseudo-convexit6
44
E x E , dloh le rksultat. De ce theorkme, il dkcoule immkdiatement que tout domaine pseudo-convexe dlun elc non skpark est llimage rkciproque dlun domaine pseudo-convexe de l'espace sdpark associk ; en particulier, tout ouvert pseudo-convexe dlun espace semi-normk E s'kcrit u-l(U) o& U est un domaine pseudo-convexe de llespace norm6 associk et u
l'application canonique de
sur
E
son skpark. Nous aurons souvent, par la suite, lloccasion d'utiliser ce theorkme qui permet de se ramener & des situations plus simples. Par exemple : Pour ktudier un domaine pseudo-convexe, on peut toujours se ramener au cas o h la topologie de E est dkfinie par une famille de normes. En effet, comme U est un
REMARQUE 2.1.8,-
ouvert, il contien-t une
pboule de rayon non nu1 et llapplica-
tion u : EE/p-'(O) est ouverte et surjective. Le thkoP -1 rkme entrafne que U = u o u (U) et que u (U) est pseudoP P P qui est un espace dont topologie est dkfinie convexe dans E P' par une famille de normes. 2.2. Cas dlunSoit p une
. On peut
la semi-norme continue sur E
introduire
p-distance ?.I la frontikre qui jouera un rale fondamental,
c'est la fonction d
dkfinie par d(z) = inf p(z-y)
est continue, strictement positive sur U
J@ nulle sur
,
. Elle
U
,
de E
.
E
-
et posskde de plus les deux propriktks suivantes :
a) !d(z)
-
b) d(z) =
d(z')i
inf p(z')=l
6 p(z-z') dU(z,zt)
pour tout z
et
el
.
Un sous-ensemble B de U sera dit U-bornk slil est born6 dans E et si d(B, LU) ) O
,
o ? ~d(A,B) =
inf p(x-y) x € A
Y(B Pb (U) dksignera la famille des fonctions plurisousharmoniques dans U , bornke s u r les ensembles U-born&.
Notion de pseudo-convexitt!
45
Les ddfinitions relatives B la pseudo-convexitd et aux convexitds par rapport aux diverses classes de fonctions psh sont kquivalentes dans m espace semi-norme, c o m e le montre le theorkme suivant qui prouve, de plus, que ces notions ne dependent pas de la semi-norme choisie.
THEOREME 2.2.1.-
2
U
est un ouvert d'un espace semi-normd E
les conditions suivantes sont kquivalentes : -log d -log dU
,
est plurisousharmonique continue dans U est plurisousharmonique dans
U est finiment pseudo-convexe , fi Pour tout compact K & U , d(F$
-
U x(E
\Oj),
(u) ,cU) > O , C
Dour tout U-born6
dg(u)
,
Pour tout compact K & U
B de U
, d@pb(u)
d
>0,
,[U)
04 A
u =Uui, u ~ c u ~, +ui~ = {vi(
,
O)
, [ U )
v i est une
fonction plurisousharmonique dans un voisinage de
-
ui
.
La demonstration se fait suivant le schema suivant :
2)+=$. 2)==+
3) par l e lemme 2.1.5. 1) car -log d = sup 112'11
- l o g dU
est m e fonction psh
dtant un
-log d
= 1
de
sup de fonctions psh
z
U
( 2 , ~ ) ) ;
donc si
pour tout
et de plus
z,
scs, est
,
-log d
psh.
.
1) = = j7) il suffit de prendre v = - l o g d - n n 7)==-3 il suffit de considdrer, pour tout sous-espace
7
dimension finie, la restriction des v
i
B
F de
F et d'appliquer
,
Notion d e pseudo-convexit6
46
le resultat connu en dimension finie.
5)==+ finie
.
3) il suffit de considerer des compacts de dimension 5) car Pc(U)
4 ) -
4) et
c P(U) , donc
6) se dkmontrent exactement de la meme manihre. Par exemple, pour l)=+ 6), soit B un ensemble A on a -log d(z) & sup - l o g d U-brnk, pour tout z de B B Pb(U) car -log dePb(U) , 51 stensuitque d(z) ?sup d pour tout z A B de B , ctest-8-dire que d(g,lU) )/d(B,l U)> 0 1) ==$
1J ==$
.
REMARQUE 2.2.2. On peut, dans 1'6nonc6 du th6or&me, remplacer les inkgalites des conditions 41, 5)et 6)par l'kgalitk de la distance h la fronti'ere des ensembles K ou B et de leurs enveloppe
par exemple
, [u)
d(%(u)
= d ( ~,
CU) 1
. De plus,
en remarquant que - l o g u appartient 8 Pb (u) pour tout u de E t et en se servant du leme 3.1.2., on peut remplacer les conditions 4), 5), suivantes :
4')%
C
(u)
6) par les conditions kquivalentes
est pr6compact dans U pour tout compact K de KJ It
A
6 t )BPb(U)
11
I1
It
.
est U-bornk pour tout ensemble U-born4 B
Dans 4') (resp. 51) , K sera compact (resp. relativement compact) si E est un espace de Banach ou, plus gkn6ralement, si l'enveloppe convexe fermks d'un compact est compacte. REMARQUE 2.2.3. Lorsque l'espace est ¶ble, on peut construire une fonction plurisousharmonique dans U non bornke au
.
.
voisinage de tout point de U On part de la condition 6) Soit (x ) une suite dense de points de U telle que chaque n
,
Notion d e pseudo-convexitd
47
terme apparaisse une infinite de fois, on dkfinit une suite d'ouverts :
-
.
Pour tout n , il U-born6s tels que U n C Un+, ,V Un = U existe vn dans Pb(U) et zn dans U tels que 6 En ajoutant une constante z E U Un et vn(zn)> sup vn n
-
u-
.
I1
puis en multipliant vn par un scalaire positif, on se ramkne . . au cas oh vn(zn) = n et sup v \< o Posons TT " n ) et ~ ( z ) =zun(z) La fonction s est un = sup(vn ' -2 n c o m e limite d6croissante de plurisousharmonique ou
.
'
.
-
sf
telles fonctions (les somes partielles). Or pour tout z
de
U1
tion S est donc psh avec n
,
, on a
-2
1 -2
: S(z)>
et S(zn) = n
kfn
d'o6 le resultat.
>-*o
k2
- 90
car,
. La fonc-
tend vers
+!p
2.3. Cas d'un elc non semi-normd. _ I L I _
Si p
est m e semi-norme continue sur E
,
on notera par
(E,p) l'espace E muni de la topologie engendrke par la seule semi-norme p
et par E~ = ( ~ , p )/ p-'(o>
associk. Un ouvert de
-
E sera dit uniformement ouvert (ou
p-ouvert)s'il existe une semi-norme p vert dans
(E,p)
llespace norm6
.
telle qulil soit ou-
Considgrons une classe dlespaces qui g6neralise la classe
des espaces produits d'espaces semi-norm6s.
DEFINITION 2.3.2.-&
JKUAQL
P AS
dit au'un
elc
N-wojectif) U e
-e
r
DOSS8de
la propri6te
(C)
sa toDolotzie est definie Day s c o w e s telles a=,
T , L'aDDucation
: E-El
est ouverte,
ce
qui 6quYvaut h dire gue la topologie initiale tie E et la topologie engendree par la semi-norme p induisant des topologies
Notion d e pseudo-convexit6
48
,
kquivalentes sur
ceci pour tout p
de
Exemples de tels espaces : a) E E~ oh les Ei sont des espaces semi-norm6s.
=n
(X ; L) , espace des applications continues sur x complktement rkgulier (come, par exemple,RTR" ou C" ) B valeurs dans un espace norm6 L et muni de la topologie de la b) E =
.
convergence uniforme sur les parties compactes de X P + 06 , espaces des applic) E = L loc (X ,p , L) , 1 \< p cations h. valeurs dans un espace norme L de p-ikme puissance localement p-intkgrables sur X
localement compact avec une
mesure de Radon p>,0 et munis de la convergence en
p -moyenne d'ordre p (avec l'interprktation habituelle pour p = + a
) .
E , alors E si et seulement stil est normk. Nous
REMARQUE : S'il existe une norme continue sur
posskde la propriktk
(C)
verrons plus loin qu'en dehors du cas normk il y a deux classes d'espaces o h lton peut obtenir des rksultats intkressants, ce sont les espaces nuclkaires et les espaces poss6dant la propri-
.
ktk (c) PROPOSITION 2.3.3.E est un elc poss6dant la propridt6 (C) , tout domaine pseudo-convexe de E est uniform6ment ouver t , Cette proposition est une conskquence du theoreme 2.1.7. car alors E/pTA) d E p Dans de tels espaces, la proposition permet de se ramener au cas norm6 pour dtudier la pseudo-convexit6
.
2), 3 ) , 4), 5) et 7) du th6orkme 3.2.1. sont kquivalentes. En particulier dans un elc avec et, alors, les condition
propriktk
(C) la pseudo-convexit6 est 6quivalente b la
convexitk par rapport aux fonctions plurisousharmoniques continues. La proposition ci-dessus ne se gdnkralise pas B n'importe quel espace car on peut donner dans un espace de Fr6chet ne poss6dant pas la proprikt6
(C)
, un
exemple de domaine
49
Notion de pseudo-convexiti
pseudo-convexe, qui nlest pas uniform6ment ouvert. LEMME 2.3.4.- Un ensemble p-ouvert
U & P(U)-convexe si et
seulement si il est P (U)-convexe OG Pp(U) P ble des Ql6ments p-continus de P(U)
d6signe l'ensem-
.
n
fi
En effet P (U) cP(U)
P
donc
5
.
( u) 3 I$(u) R6ciproquement si
%. .
kJ
U est P(U)-convexe il est pseudo-convexe et le reste lorsqu'on considitre U
comme un ouvert de
(E,p)
. C'est
donc un ouvert
P (U)-convexe car on est dans le cas semi-normk. P Soit maintenant p une semi-norme continue sur E d6finit la p-distance 'a un ensemble A dp(z,A)
,
on
par :
.
inf p(z-y) Cette distance satisfait 'a Y e A p(z-zt) ; de plus d (z,A) = 0 si et (dp(z,A) - dp(zl,A)l P seulement si z est dans l'adh6rence de A dans (E,p) =
<
.
PROPOSITION 2.3.5.-
Soit
U un ouvert d'un
elc E & p
semi-norme continue telle sue l'intdrieur U de P (E,p) ne soit pas vide. Alors : a) pour tout
z
& E
dp(Z
, [U)
U
dans
.
= d (z ,[Up)
P b) & U est pseudo-convexe il en est de meme de
U P
.
DEMONSTRATION : a) Comme U C U il suffit de montrer que L'ensemble dp(z , [U) < d fz , (,Up) pour tout z de U P P U U est d'int6rieur vide dans (E,p) donc pour tout y' de P u - u et tout I: > o , B~(YI, [U fi o~ P Soit donc y dans E , p(x - y t )< € \ Bp(yt,[ ) = { x U U et € > 0 , il existe y' dans [ U avec p(yt - y)*f P d'oh p(x - y t )4 p ( x - y) + ? pour tout x de U Or P y'C [U donc P(X - y') Z dp(X, et dp(x, U)< P(X-Y) +t. Ceci ayant lieu pour tout €70 , puis pour tout y de U - U P donc de [Up on en dgduit que dp(x , [U)< dp(x , [Up) r les deux fonctions sont identiquement nulles. Dans
.
-
>n
-
"J)
lUr,
.
[
.
.
Notion de pseudo-convexiti
50
b) Par hypothese -log d
to\)
est plurisousharmonique dans
ob d est ddfinie par d(z,zl) = inf Ih\ tels que U x(E z + h z l # U Considgrons inf d(z,z') , c'est une fonction qUi p( z' )=1 n'est autre que dp(z , U) pour tout z de U et z k r o dans P Or d'aprks a) d (z , [U) = d (z , CUP) et est une U - U P P P fonction p-continue ; la fonction - l o g dp(z , [Up) est donc
.
[
.
comme fonction p-continue et plurisousharmonique dans U P borne superieure d'une famille de fonctions psh. est pseudo-convexe. Ceci prouve que U P THEOREME 2.3.6.- Dans un elc tout domaine pseudo-convexe est convexe par rapport aux fonctions plurisousharmoniques. COROLLAIRE 2.3.7.- Pour un domaine U d'un
elc
les condi-
tions suivantes sont Qquivalentes : a) U n F est pseudo-convexe pour tout
sev F de dimen-
sion finie. b) -log dU
est plurisousharmonique dans U x(E
-
{O)).
c) U est convexe par rapport aux fonctions plurisousharmoniques. DEMONSTMTION : Soit
K
un compact de
,
U
il existe une semi-
.
norme p continue sur E telle que K + B (0,I ) c u Le P compact K , est donc contenu et compact dans U qui est un P ouvert pseudo-convexe de (E,p) De plus d (K , Up) 2 1 2A d'aprks la proposition precgdente. Posons K = Kp(u) et soit z0 dans K - K ; pour tout z 1 de E ( 0 ) la fonction
.
-
ZN
-log d (z,zl) est plurisousharmonique dans
U - l o g d (z
U donc :
sup -log %(z , z') , Z L K d l o h en prenant le sup des deux meabres de l'in6galit6 sur l'ensemble des z 1 tels que p(zz')= 1 et se rappelant que
u
inf p( z' )=I
0 '
zl)<
dU(z,zt) = d (2, [U) = d (z P P
dp(zo
, [u) 3
dp(K
, [Up) >
1
a
)
on obtient :
Notion de pseudo-ronvexitd
Ceci entrafne d'abord que dans
(E,p) de
dp(zO
, [Up)>,
,
[U
51
n'appartient pas 8. l'adhkrence
zo
c'est-&-dire
[Up
,
et ensuite que
1 ; l'inkgalitk ktant vraie pour tout
z
.
A
0
de
A
K
K + B ( 0 , l ) est contenu dans U D'ob le P P resultat puisque K est contenu dans l'enveloppe convexe de K Si, pour tout espace F de dimension finie, on applique 8. chaque restriction U r\ F les rksultats coilnus en dimension finie, on constate que la reunion d'une famille filtrante croissante d'ouverts pseudo-convexes est pseudo-convexe et qu'un ouvert localement pseudo-convexe (c'est-L-dire, tout point de 'aU admet un voisinage V pseudo-convexe tel que U n V soit on en deduit que
A
.
pseudo-convexe) est pseudo-convexe. Par contre, dans le cas non semi-normk, on ne sait pas montrer qu'un ouvert P(U)-convexe est Pc(U)-convexe
; on sait seulement que :
,
PROPOSITION 2.3.8.- Dans un elc
tout ouvert pseudo-convexe
est reunion d'une famille filtrante croissante d'ouverts
(Up)
gui sont pC ( Up)-convexes. En effet, par la proposition 2.3.5., pour toute semi-norme p
telle que U
contienne une
tkrieur de U dans donc, (E,p)
(E,p)
p-boule de rayon non nul, l'in-
, notk
, est
B tant semi-normk ,
pseudo-convexe et
-convexe par le lemme
2.3.4.
,
U et U' deux ouverts de E , U C U ' et U' pseudo-convexe. On dit que U est pseudo-convexe par rapport Ut U est kgal & la limite 0 ) ob les croissante dtouvc?rts Un dkfinis par Un ={vn< v sont des fonctions plurisousharmoniques dans U' n DEFINITION 2.3.9.- Soient E un elc
.
2.4. ----Cas des espaces Qtalks. -DEFINITION 2.4. I
.- Yn espace Qtalk (ou surface de Riemann) est
la donn6e dtun triplet
!X ,
IJ
F ~ L - - - c - cet 1,1,.i9~~-.i'~,irltxe, 7 bSU1L
, E) hi
& 4
:
X
--
X est un espace topoE ;ui hl&omrphlsme
52
Notion dr pseudo-convexitt!
E t a n t donnee une p a r t i e
XI
l e f a i t que donnds z
eX ,
LEMME 2.4.3.-
u
, E)
f : X-
v
u(Xf)
u(A)
.
et
IA
Soient
y
X"AJ
u ( X ' ) n u(A)
, x'n
u(X")
X1uX"
e s t dans
n ' e s t a u t r e que DEFINITION 2.4.5.-
N
P
, X'
ouverconne-
, il
xt
suffit
si
x
alors
e s t dans
deux o u v e r t s de X"
et
. Come
u(A)
un p o i n t de l ' a d h k r e p c e ,
y
f pl &
u ( X 1 ) U u(Xtl)
avec
u(X'
n A),
t e l s sue
X
U ( x l ) n
u(xq
. sur
u
x t t dans
XI
u
XI XIt
V
.
XIt
, le
u ( X ' ) n u(Xtt) q u i , p a r l e lemme precedent
u(X1n
XI1)
Pour t o u t
pOSe: d (x) = SUP
t e l l e que
n u(A)
u ( X t r \ A ) = u(Xl)
& X"
X'
u ( x l ) = u(xtl) = y
point
v
u(Xl)
I1 s u f f i t de v e r i f i e s l ' i n j e c t i v i t e de
Si
de
x
v , ~ u ( v ) et
psh)
.
. En e f f e t ,
on a : u l x ( y ) = u - l ( y )
connexe. Alors,
F
A W ~ ( X ' ) ~ ~ ( A )
-1
N U(X'>
j
g x j R , ) gera
t e l que
(resp. v
de montrer q u ' i l est ferme. S o i t
X'
r
(resp. v : x
,AN
e s t o u v e r t dans
LEMME 2.4.4.-
, I ~
& A deux p a r t i e s de X
XI
DEMONSTRATION : Montrons que u(X1 r\ A )
. Etant
IX'
un espace eta16 e t
F
f analytique
XI N
xtn
-9 Alors
u
( r e s p . plurisousharmonique) en un p o i n t
Soient
t e l l e s que
par
u(X1)
N
on posera :
,
(X
XI
on n o t e r a
u(Xl)
(resp. v = v o u ) su1* u(V)
f = fou
,
y = u(x) + j a
s ' i l e x i s t e un v o i s i n a g e
une a p p l i c a t i o n
xe.
,
Soit
application
d i t e analvtique
,
- {O)
G E
z1
DEFINITION 2.4.2.-
x
X
soit homdomorphe k
~ ~ ( u ( ,x r) ) = y L E
m, une
de
XI
des
r
>0
. On a x
donc
x'
& X et
= u
a
-1 \x'n xll(Y)
& E - {O]
t e l s q u ' i l e x i s t e un o u v e r t
= x".
, on "r
Notion de pseudo-convexirk
contenant x
tel que
XIr
d(x,xl) = sup des r Xttr
,
wBP(u(x)
>0
53
r) ,
tels qu'il existe un ensemble
.
tel que X" ~ D ~ , ( u ( x ), r)
contenant x
r
Par le lemme 2.4.4. l'ouvert
est unique et croissant
XIr
. On le note
B (x,r) et l'appelle, par abus de lanP gage, "p-boule dans X de centre x et de rayon r t l . On montre sans peine que la fonction d est p-continue et vdrifie P On peut monlocalement Idp(x) - dp(xI)IQ pp(x) - u(xt)] trer aussi que Xttr est unique pour tout r et croissant avec r ; de plus, d est semi-continue supdrieurement sur X x(E et d ( x ) = d(x,x') pour tout x de X P
avec r
.
.
to\)
Si A
X
,
dp(A) = inf x e A
on pose
.
dp(x)
DEFINITION 2.4.6.- On appelle "marmite vide" le compact de
2
d6fini par : No =
LIZ, I d
1
8
z2 =
oju(p,= I
La marmite*pleine" est ddfinie par M1
=
{pl 16 1
9
z2 6 [WJf
9
22
i0,Ij).
:
.
La marmite'lpleine au niveau t I' sera alors ddfinie par :
M~
= fizll
d' 1
,
~o,tjjc, { l z l l
22e
= 1
22
ro,l]\.
Le thkor&me suivant introduit la notion de pseudo-convexit6 dans les espaces 6tal6s. THEOREME
2.4.7.- 2 (X
, u , E)
dessus d'un espace de Banach E
est un domaine 6tal6 au-
, les
conditions suivantes
sont Qquivalentes : 1 ) - l o g d(z)
sur -
X
.
est une fonction plurisousharmonique continue
2 ) - l o g d(z,zl)
est une fonction psh
sur X x(E-{O$).
3 ) X est finiment pseudo-convexe. 4) toute application analgtique dlun voisinage de la marmite vide 'a valeurs dans X se prolonge analgtiquement
Notion de pseudo-convexiti
54
la marmite pleine.
5) pour tout compact K & X
,
fi
d($(X))
>0
.
Un espace ktalk posskdant ces propriktks est dit pseudoconvexe
.
REMARQUE : La condition 4), qui en dimension finie n'est autre que le "Continuitatsataft, entraine que la notion de pseudoconvexitk ne depend pas de 1'6talement choisi. La demonstration du thkorkme se fait selon le schema suivant :
Rappelons qu'un espace X est finiment pseudo-convexe si sa restriction au-dessus de chaque sous-espace vectoriel
F de dimension finie de E est pseudo-convexe. 2&=$
3
et
2J=*
nition de d(z,z')
.
1)
sont consequence immediate de la dkfi-
5J se montre de la m6me manikre que pour les ouverts = d(K) d'un espace de Banach ; de plus, IJ=+
d(2)
.
?==+ ?/
3) se montrent en considerant, dans le et 4)=+ premier cas, les compacts de dimension finie et, dans le deuxihme cas, les applications analytiques B valeurs dans un F ' * dim F < + m et en appliquant les resultats connus en dimension finie. I)==+
4).
Supposons -log d
plurisousharmonique et soit f
une application analytique d'un voisinage de la marmite vide Mo dans X ; il faut montrer que f se prolonge analytiqueCome f(Mo) est compact, il existe E 0 tel ment B M
.
>
.
>
que d(f(l~lo)) 3 I, 0 En d Lmension finie toute Yonctiox, L ~ : ~ t a lytique au vo I - I I E ~ E ' de se prclonge h MI , ce qui entralMo ne, par UH resdltat qsle nous dPasLtrerons plue loin (th. 3.7.).
Notion de pseudo-eonvexitt!
55
qu'il en est de mQme des applications analytiques h valeurs dans un espace de Banach. C'est le cas pour u G f ; l'appliu cation prolongee, notde u c f , est uniformgment continue sur
M,
-
et lton peut donc choisir 1
entrafne
-IIU o
f(x)
-
d
u
>0
f(y)II 4~
tel que 11 x
.
-
yl\< 27
Supposons que
f se
rJ
h valeurs dans X , au voisinage ft de la marmite Mt remplie au niveau t La fonction -log d o f est donc plurisousharmonique dans un voisinage de t Mt , or Mt est contenu dans l'enveloppe P(U) -convexe de MO d'oc d [ft(Mt)]>/ d [ft(Mo)] 3 t 0 Pour tout x de M t il r6sulte, de ce qui preckde et de la definition de 7 , que 2 se prolonge analytiquement dans la boule de 6: , de ft centre x et de rayon q , et que tous ces prolongements se recollent. I1 s'ensuit que ft se prolonge analytiquement au voisinage de M , d'oh le r6sultat. t+rl Lorsque l'espace E est un elcs sequentiellement complet non norm&, on peut encore donner plusieurs conditions dquivalentes de pseudo-convexit&. La dgmonstration, que nous laissons au lecteur le soin de faire, stinspiredu paragraphe 2.3.
prolonge en une fonction
.
> .
(X , u , E ) est un espace eta16 au-dessus sgquentiellement complet, les conditions suivantes
THEOREME 2.4.8.-
d'un
elc E
sont Qquivalentes : 1 ) -log d(z,z')
est une fonction plurisousharmonique sur
.
X x ( E -{Of ) 2) X est finiment pseudo-convexe.
3 ) x satisfait b un t~ContinuitatsatzI1. 4) Pour tout K compact, il existe une semi-norme continue p
E telle que dp(/;ip(X))
>
O
*
REMARQUES :
a) Si le domaine est tel que les fibres de u soient finies, on peut remplacer la dernikre condition des thgorkmes 2.4.7. et 2.4.8. par la condition suivante : "Pour tout compact
Notion de pseudo-convexiti
56
K
x
de
X
, llenveloppe
A
K
P(X)
e s t r e l a t i v e m e n t compactedans
",
b ) Les c o n d i t i o n s I / ,
2)et V r e s t e n t e q u i v a l e n t e s s i l l o n
r e t i r e l ' h y p o t h k s e de complktion s u r c ) Les theorbmes 2.4.7.
e t 2.4.8.
E
.
peuvent s t 6 n o n c e r pour
l e s espaces non connexes en c o n s i d e r a n t chaque composante conne-
xe de 1' espace.
Notes : L a n o t i o n de
convexit6 par r a p p o r t & une f a m i l l e de f o ct i o n s e s t bien connue en dimension f i n i e ( v o i r , par exemple (457). En dimensi n ' n f i n i e , l a pseudo-convexit6 a 6 t 6 Btudige p Bremermanny113 dans l e s espaces de Banach, p u i s par CoeurkTl5) e Banach. Le th6odans l e s espaces Qtales au-des us d t u n espa rbme 2.1.7. e s t db & Dineen(267 e t Noverraz, 2.1.11 montre que, l o r s q u e l t e s p a c e e s t semi-norm&, t o u t e s l e s n o t i o n s de pseudo-convexit& ou de convexit6 plurisousharmonique ue l ' o n peut i n t r o d u i r e coiincident Les r e s u l t a t s du c a s g e n e r a l qparagraphe 2.3.) se trouvent en (76j e t montrent, e n t r e a u t r e s , que l a d i s t a n c e r e l a t i v e a une d i r e c t i o n remplace l a d i s t a n c e e du cas normk. La c o n d i t i o n ( C ) a B t k i n t r o d u i t e p a r 70) ; dans l e s espaces possedant c e t t e p r o p r i e t k , l e s domaines pseudo-convexes a i n s i que l e s f o n c t i o n s o n t , grbce au theoreme 2.1 . I . , d e s p r o p r i e t e s de f a c t o r i s a t i o n q u i permettent de s e ramener au c a s norm&. Le theorkme 2.4.7. complete un r g s u l t a t de Coeurk(l5) t u t i l i s e l a n o t i o n de "marmite" i n t r o d u i t e p a r Hirschowitz(467
.
.
C H A P I T R E
I11
NOTION D'ENVELOPPE DtHOLOMORPHIE _--_Nous construisons l'enveloppe d'holomorphie d'un espace Cette enveloppe posohde connexe ktalk au-dessus d'un elc E une propriktg de convexitk holomorphe et les fonctions analytiques &parent les points de l'enveloppe. En outre, lorsque E est un espace de Banach, l'enveloppe ne depend pas de l'ktalement choisi. Nous etudions aussi le prolongement des applications analytiques.
.
Dhs que l'on essaie de prolonger une fonction ou une application analytique en dehors d'un ouvert d'un elc , apparait en general un phgnomhne d'ktalement -exactement le m&me qu'en dimension finie- et la fonction initiale et son prolongement peuvent ne pas coEncider en tout point de l'ouvert. Le cas de figure suivant est bien connu :
Si l'on suppose que 1'616ment
f de
H(U)
admet un prolon-
gement hors de U , c'est-&-dire qu'il existe deux ouverts connexes U, et U2 tels que : a)
6 f u2 CU, r \ u
U, 4
u
P
f 2 ! H(U ) qui coIncide avec f sur U 2 2 A Les fonctions f et f coYncident s u r la composante conneb ) il existe
xe de U,
qui contient U2 mais il n'y a aucune raison pour
qu'elles coYncident sur les autres composantes connexes de U,
nU . C'est
pourquoi, bien que nous ne soyons pas directement
intkressQ ici par les espaces Qtalds, il est necessaire de
Notion d'enveloppe d 'holomorphie
58
prouver l'existence de l'enveloppe d'holomorphie dans ce cadre gkn6ral. Nous montrerons au chapitre suivant que si un ouvert d'un
elc posskde la propriktk de Runge, son enveloppe est
"vraifldomaine. Dans tout ce chapitre, les espaces
(X , ' f )
Un
Qtal6s au-
dessus dlun elcs E seront toujours supposes connexes et munis de la structure analytique complexe induite par celle de E Si
.
(X
,y )
et
,9 ' )
(XI
sont deux espaces &tales sur un meme es-
pace E , un morphisme (dfespace&tale) entre (X , I f ) et (XI , y ' ) est la donnee d'un isomorphisme analytique local
y
: X-XI
.- Soit
DEFINITION 3.1
.
y=
tel que
(X
,y )
un espace 6talk sur E
.
) sur un espace eta16 (XI , y ' ) era si toute fonction anadit une extension analytique & (X ,'f) lytique sur X se factorise de facon unique b travers u (c'est-&-dire, pour tout f de H(X) il existe f' unique dans morphisme u
de
(X
,y
.
H(X1) tel que f = f' 0 u) Un espace &talk (X , y ) sera appele domaine d'holomorphie si toute extension est un isomorphisme. DEFINITION 3.2.- On appelle enveloppe d'holomorphie d'un espace
&tale (X , \ p )
la donnee d'un espace &tale
(';f
u , -
,?)
et d'une
extension analvtique u : (X , '4) j ( x , Y ) maximale en ce sens qu'elle se factorise analstiquement 'a travers toute extension analytique de
(X , 'f)
.
L'enveloppe d'holomorphie n'est autre que le domaine maximal de prolongement simultand relatif b la famille de toutes les fonctions holomorphes sur (X , y ) , Elle est unique b un isomorphisme prks. Toute enveloppe d'holomorphie est un domaine d'holomorphie. THEOREME 3 . 3 . - Tout espace Qtal6 au-dessus d'un
elcs admet une
enveloppe d'holomorphie unique b un isomorphisme p r k s .
Notion d 'enveloppe d'holomotphie
59
Rappelons que si F = \\Fi est un produit d'elc it1
,
f une
. et si l'on note f = (fi) , application d'un elc E dans T F 1 sont les applications coordonnes E-F. , alors o b les fi 1 l'application f est analytique si et seulement s'il en est de m&me de chaque fi
(ce rksultat ne serait pas vrai si, dans la
definition de l'analyticite, nous avions pris la condition "localement born6e" au lieu de "continue").
I l'ensemble des fonctions
DEMONSTRATION du theoreme : Notons
X , 8 ,le faisceau des germes de fonctions holomorphes s u r E et @E,a l a fibre du faisceau au-dessus , , c'estdksignera d'un point a de E au-dessus de V Posons &-dire l'ensemble des sections de X' ={(a , (hi)) ; a t E , (hi)tn @E,a tel qu'il existe un tels voisinage V de a dans E et des gi dans
holomorphes s u r
.
uE(V)
r ( V ex)
%
.
VE(V)
,
i de I
que, pour tout point
(gi)a = hi].
5. I , on dkfinit le germe de Soit f = (fi) : X(fi)i e 1 en a c o m e suit : on dira que (fi) et (gi) sont s'il existe un voisinage U de a
Qquivalentes en a dant de
i tel que, pour tout
et
gi soient holomorphes s u r
de
(fi) en a
d'kquivalence de
, not6
I , les applications fi
.
U et f.
,
= g sur U Le germe i i n'est autre que la classe
(f.) pour la relation qui vient d'btre dkfi1
nie et l'ensemble XI ble des couples
(fi)a
i de
indkpen-
(a
,
dkfini plus haut n'est autre que l'ensem(fi)a)
,
oh
germe d'une famille (fi) en a
a t: E
et
(fi)a
est un
(ceci suppose bien que, dans
chaque famille, les fonctions fi soient toutes dkfinies dans un m&me voisinage de a)
.
V de E et pour tout (gi) d e 7 BE(V), posons N(V , (gi)) ={(a , (gi)a) , a & V). Les ensembles N(V , (gi)) engendrent sur XI une topologie plus fine que la topologie produit, donc skparke. (XI ,'f") est alors un espace Pour tout ouvert
6talk o b
'p' est dkfini par
'f' (a
,
(hi)) = a
,
Notion d 'enveloppe d'holomorphie
60
Dkfinissons une application u1 : X-X'
de la manikre
suivante : soit x dans X , il existe un voisinage U de x tel que yIu soit un homkomorphisme de U sur '4 (U) ; pour
, le germe o ('f : 1 ) ) y(x), ne
toute fonction analytique sur X f
(
o
.pi;')
nage U
,
note
(f
choisi mais seulement du point
(fix)
est alors definie par : ul(x)=
en
depend pas du voisi-
x , L'application u'
iCfi 0
9
(x) de
y-lj
~(x)}i~~)~xt*
Compte tenu des definitions ae u et de la topologie de XI , l'application u' est continue et est un morphisme d'espaces &tales. Comme X est connexe, il en est de m8me de ul(X)
. On note
XI
X la composante connexe de XI II
ul(X) et u la restriction de u1 & .v
dans
d
X
qui contient
. La restriction 'p
'v
de
, qui n'est
'f"
X fait de
W
(% ,'p )
autre que l'application (a , (hi))a , un espace &tale au-dessus de E et u un mor-
.
w v y
phisme de (X ,\p) dans (X ,'f ) I1 reste B verifier que toute fonction f holomorphe sur X se prolonge & X (c'est-&-dire W
.-./
d
qu'il existe une application unique f , holomorphe sur X et 'v h / ? / telle que f = f 0 u) et que (X , q ) se factorise B travers toute extension analytique de
(X
, notons
Soit donc f holomorphe sur X f
-'
c
au point
.
'fJ-v(x)
.
,y )
I
fx le germe de
N
et
f(x)
la valeur de ce germe en
(x) La fonction f est le prolongement cherche de f car elle est analytique sur X et, par construction de u , on a rv
f = f
c
w
u
. Cette fonction est unique car toute autre fonction
4
N
f, sur X satisfaisant b.
u(X)
,
f = fl d
qui est un ouvert de X
N
o
u
, donc
colnciderait avec f sur
dans X tout entier, par
prolongement analytique. Soit, maintenant, une extension analytique
v : (X , '4 )isomorphe B f de H(X)
-
x' -UXI , -de f une
(x , 7 ) . L'ensemble
est canoniquement H(X) ; designons par 1'Qldment correspondant B par cet isomorphisme. On va definir une application
dans XI
H(X)
comme pr6c8demment. Soient x un point de
-
fonction analytique sur X et
U un voisinage de x
Notion d 'enveloppe d%olomorphie
'91
tel que
-
ul(x)
=
[
U sur
soit un isomorphisme de
, -
\p(x)
t L F~
o~-']
'f (x)\)
61
(U) ; on pose
et on vkrifie, c o m e pr8-
. Comme X
ckdemment, que u1 est continue, qu'elle est un morphisme d'es-
-
pace ktalk et que u1 = u 1 o v
-
,
est de m&me de u'(?>
-
alors u
-
-
.
'v
le morphisme restriction de u1 5 X
(2 ,y3)-(X (? ,?)
U : que
ce qui entrafne
est connexe, il en (2) C 'j; Notons
J
4
,y)
avec u = U
o
v
,
, d'oh
ce qui prouve bien
est m e enveloppe d'holomorphie.
L'unicitk de l'er-veloppe d'holomorphie se dkmontre aiskment:
(? , y )
soit
r
v
N
(XI ,y')
et
deux enveloppes ; en appliquant la
condition de maximalit6 & chacune de ces enveloppes on obtient Y
deux morphismes
r or gent B
G
et
= iduCxZ et N
x
et XI
, ce
N
entre X et X1 , qui sont tels que 606'= idul(X) ; ces identitks se prolon6'
qui prouve que
(5 , y )
et
(5 ,?)
sont isomorphes.
Nous montreronsplus loin que pour les espaces ktalks audessus d'un espace de Banach, l'enveloppe d'holomorphie ne dkpend pas de l'ktalernent.
PROPOSITION 3 . 4 . -
(X , y ) est un domaine d'holomorphie, &
fonctions analytiques &parent
les points de X
.
DEMONSTRATION : Un domaine d'holomorphie coEncide avec son enveloppe d'holomorphie. Soient x
1
et x,
deux points de X
tels
(x,) (le cas oh y (x,) f 'p (x,) est trivial) Si, pour toute fonction f analytique sur X , on avait f(x,) = f(x2) , on en dkduirait, en Qcrivant les ddveloppements de f en x1 et x , que les germes de f en x, et x, 2 dkfinissent le meme germe en (xi) , grdce aux propriktks des polynbmes dkrivks de f La construction de l'enveloppe d'holo-
que
'p (x,)
=
.
Notion d'enveloppe d 'holomorphie
62
morphie e n t r a i n e a l o r s que
= x2 Les dornaines dlholomorphie possedent l a p r o p r i d t 6 de conve-
x i t k suivante :
Soit
THEOREME 3.5.dessus d'un
elc E
semi-norme
,
(X
)
. Pour t o u t
p
E
un domaine d'holomorphie Q t a l k au-
t e l l e que
d
k
K
compact
(2) =
dp(K)
P l l e n v e l o p p e holomorphiquernent convexe de
DEMONSTRATION : S o i t
>
d (K) =
k
p y) 4
6 ,
p
. Pour
0
X
.
K
une semi-norme de
t o u t p o i n t fix6 y
, il ,&
t e l l e que
E
de
s a t i s f a i s a n t 8.
E
Ky = 'f (K) + { A y , l X l 4 6 , Y s i s s o n s un v o i s i n a g e W convexe e t k q u i l i b r 6 de
l f l KY
d
€
le
<
= M +
pour un Qlkment f
+go
K dQsime
6 , > 0 t e l que, s i l ' o n pose \ , on a i t d p ( y ( K ) ) > 0 , p u i s
choisissons
J
e x i s t e une h
de
choi-
t e l que
0
H(X)
,
on a n o t 6
K h t r a v e r s laquelY A e s t un p o i n t quelconque de K , on a
l a f o n c t i o n holomorphe a u v o i s i n a g e de f
se,factorise. S i
pour t o u t
Mais
\r(x)
, 1x1 6 1
de
+
x
>, /\y+ h ,
w
et
w
de
W :
K + 6, W Y
appartient h
e n t r a l n e que :
C e t t e i n k g a l i t 6 a y a n t l i e u pour t o u t tout
w de W
, on
x
de
/-
K
,
,
ce q u i
IXl,(l
,
et
en dQduit :
w t w q u i prouve que pour t o u t
x
de
h
K la s6rie
converge localement uniformgment pour t o u t
2 tn(\p(x) ,'p(z)) z
de
B (0 P
e t d Q f i n i t une f o n c t i o n a n a l y t i q u e q u i posshde pour t o u t
,c,) x de
Norion d 'enveloppe d'holomorphie
63
. La boule
Bp(O , i l ) ne dependant pas de la fonction f considdrde, il s'ensuit que A On en tout dldment de H(X) se prolonge b K + B ( 0 , P conclut, puisque X est un domaine d'holomorphie, que
K le mbme ddveloppement de Taylor que f
cl) .
COROLLAIRE : Tout domaine d'holomorphie dtald au-dessus d'un
elc E
est pseudo-convexe.
(X , \ p )
I1 n'est pas difficile de voir que, si
est tel que
les fibres de 'p
sont finies, tout domaine d'holomorphie est P est pr6comholomorphiquement convexe, c'est-&-dire que
.
%(x)
pact dans X pour tout compact K de X Etudions maintenant le prolongement des applications analytiques. DEFINITION 3.6.- On appelle couple de prolongement tout triplet
, u , X 2 ) , & X1 dessus d'un elc E et (X,
X,*X2
et X2
-
sont des espaces dtalds au-
u une application analstique ouverte
, gui
est telle que toute fonction analstisue sur X, se factorise analstiquement b travers u
.
X est associ6 canoniquement le P u , X) d6crit dans le thdorkme 3.3.
EXEMPLE : a tout espace dtald couple de prolongement (X THEOREME 3.7.-
Soit
(X1
,
, u , X2)
un couple de prolongement
au-dessus d'un espace de Banach et F un espace de Banach ; alors, toute application analstique sur X1 se factorise b travers u
.
b valeurs dans F
DEHONSTRATION : Soient F, le produit de droite obtenu en compldtant F-F1
F pour sa topologie faible, i
et f = i o f . Cornme 1
l'injection canonique
(xl , u , x2 )
est un couple
de prolongement, il existe m e application analytique f1 = f2 0 U ' Notons X l'intdrieur de l'ensemble des points de X 2 dont l'image par f2 appartient B i(F) Cet ensemble contient u(X,) ; en effet,
f2 : X2--,F1
telle que
.
Notion d 'enveloppe d'holomorphie
64
f2
o
u(x) = i af(x) i
et, c o m e
XI
de
i est W
f" : X-
injective, il existe que
x
pour tout
F tel que
f2IX = i
o
f
. Dire
rc,
o
f est analytique Qquivaut h dire que, pour toute forme
linkaire continue 1 s u r
F
,
-4
la fonction 1
est analytique, ce qui entrafne
o
f :
xI 6
(thdorkme 1 . 2 . 1 1 ) que
N
f : X-F
est analytique. La dkmonstration du thdorkme se ter-
minera en montrant que X est fermk dans X2 point de la frontikre de X dans X2 cale au voisinage de x 0
il existe un Blkment 1 de (x,)
,
x
0
x0
un
choisit une carte lo-
et on considere une suite
points de U convergeant vers point de la suite
, on
. Soit
(x,)
de
. Dlaprks le thdorkme 1.4.5.,
tel que
f ait, en tout le m&me rayon de convergence que f F1
1
o
.
Le triplet (X1 , u , X2) Qtant un couple de prolongement, le rayon de convergence de toute fonction analytique g s u r X est
>
inf R (x ) 0 , ce qui entraine que f se prolonge R g n analytiquement au voisinage x Le point x0 appartient B X 0 tel que
.
,
qui est donc fermk. Nous pouvons maintenant prouver que l'enveloppe dlholomorphie
est independante de l'dtalement choisi lorsque l'espace de base est un Banach. THEOREME 3.8.- Soient
(X1
,' P I )
(X2
Qtalds au-dessus d'un espace de Banach E
x,
.
, \p2)
deux domaines & u un isomorphisme N
&
de varietd analvtique entre & x* x, & x2 g&pent les enveloppes d'holomorphie de X, & X2 , il existe un Y N isomorphisme de variQtQ analvtique u , entre
dant commutatif le diapramme suivant :
65
Notion d 'enveloppe d 'holornorphie
I
I
I U
2
x2
Y
U
N
.x2
DEMONSTRATION : Par le theorbme precddent, \f2
rise B travers u1 ; montrons que l'application
\p2
", seddfinie factoy2
u = 'pi o u, est un dtalement (c'est-&-dire, un w homdomorphisme local). Le fibre tangent 2 X I peut &tre idenrv tifie, au moyen de yl , au produit X, x E , ce qui permet 4 de considkrer 1'application linkaire tangente B 'f ' c o m e une Y application analytique g de XI dans l'espace de Banach par
o
.
E Comme \F2 D u est un homkomorphisme local, l'application lin6aix-e g c ul(x) est inversible pour tout x ; son inverse definit m e application -1 (g o u l ) analytique de XI dans L(E) qui se factorise B tel que travers u Soit donc m 1 L(E)
des endomorphismes continus de
1
.
.
I-
La composition ktant une applica(g 0 u,) o u, = (g 0 u, )-' tion bilineaire continue (donc analytique) de L(E) x L(E) , les
entrafnent, par prolongement analytique, que g(y)
est inversi-
ble dans L(E) pour tout. y et donc, par le thgorkme des fonctions implicites, que Yl2 est un dtalement. Maintenant,
u1
-1
u est une extension analytique de au-dessus de E ?I x2 P a r definition de X 2 , il existe u : X1---5 X tel que 2 rJ -1 ; l'application u Qtant ouverte et X, u = u o u u u 0
V
Y
2
,
N
1
Iv
.
Notion d 'enveloppe d'holomorphie
66
U
ktant connexe, l'application u est unique. En faisant la m8me -1
construction B partir de u1 = u , on obtiendrait m e applicaY ' v N d tion unique u1 : x2 j x 1 Les applications u et u"( sont
.
inverses l'une de l'autre, ce qui rksulte du prolongement aaalytique des identitks suivantes :
(GI
0
Z)(ul(x))
= ul(x) et
(?i c %l)(u2(x))
= u2(x)
.
On ne peut pas gendraliser le thdorkme 3.7. h n'importe quel espace et il semble nkcessaire de faire des hypothkses de compld-
.
F C'est ce que montre l'exemple suivant : soient V un espace vectoriel de dimension 2 , t le point courant de V et Vl le dual de V , de point courant z Soient K un compact de V , d'interieur non vide et F l'espace des fonctions n hi e ( z i ~ t o h z, z sur V de la forme t+ n i=l tion s u r
.
,...,
.
V' On munit F de la topologie de la convergence uniforme sur K et on considkre le couple de prolongement (V' - {O) , u, V t ) , ob u d6signe l'injection dans canonique. Soit f l'application analytique de V' - {O\
sont des elements non nuls de
F dkfinie par
.A
f(t) = e'fPt'
cause des propridtks d'indd-
pendance des exponentielles, F ne contient pas les constantes, ce qui empgche f de se factoriser B travers u
.
THEOREME 3.9.- Soient (X, , u , X2) un couple de prolongement au-dessus d'un espace de Frdchet E & F m elc sdquentiellement complet. A l o r s , toute application analytique de X, F se factorise B travers u
.
DEMONSTRATION : Le fait que E soit un espace de Frdchet ndcessite, lorsque F est un espace de Banach, la modification suivante de la fin de la demonstration du theoreme 3.7. : pour tout = {t 4 F' tels que n et toute semi-norme p fixes, soit A n9P R (x = R (X ; c'est un ensemble de deuxiitme cat&gorie, p,eof n P,f n c'est-&-dire de compldmentaire maigre. I1 en est de m8me de l'intersection dtant prise pour tout n de N
)j
Notion d'enveloppe d 'holornorphie
61
et pour une famille dknombrable de semi-normes engendrant la topologie de E
. L'ensemble
tient 'a A
, pour
norme
telle que
est donc non vide ; si
A
t appar-
.
(X )=R (X ) f n p,f n Come toute fonction analytique se prolonge, il existe une semi-
PO
tout n
>
et
p
on a : R
p,
(x,) inf R n Pet (@f ce qui prouve que
e,
> o . 11 stensuit que
f se prolonge au voisi(x ) o, inf R n Po9f n nage de x Voyons le cas o c les applications sont 'a valeurs dans un es-
.
pace non normk. Le thkorkme 3.7. entrafne que toute application analytique f de X, dans un espace produit de Banach F =VFq se factorise 'a travers X2 En effet, toute application analyti-
.
que : f :X, -r[ F9 kquivaut 'a la donnke d'une famille : X1
d'applications analytiques f
F4
. I1 suffit de prendre alors , qui est analytique et telle que f = f u . Ser-
'a travers u N
4
(fq ) qui se factorisent
par
Y
f, = fq
q
u
n/
N
) 9 vons nous maintenant du fait que tout elc F peut &tre considkrk come eous-espace d'un produit d'espaces de Banach f = (f
0
F1
Notons i l'injection canonique Fanalytique X2*
F1
qui prolonge i
o
,
F1
N
'
f l'application
f et
X l'intdrieur 'v
de l'ensemble des points h i(F) C o m e X2 est il suffit de prouver que Soient x un point
.
de
X2 dont l'image par
connexe et c o m e X
f appartient
contient u(X,)
X est fermk dans x2 * adherent 'a X et U un voisinage de 0 x0 tel que U et y , (U) soient homkomorphes. Si x t U n X rJ les polynbmes derives de f en 'p,(x) se calculent au moyen de la formule de Cauchy. L'espace
, ,
F ktant skquentiellement
complet, et l'intkgrale sur un cercle pouvant dtre approchke par une suite de somes de Riemann, il s'ensuit que les polynames sont 'a valeurs dans
et que la fonction prend ses valeurs dans i(F) en tout point oh la sdrie de Taylor en x converge. Soit V un voisinage convexe Qquilibrk en 0 tel que x0 + 2 V C U et soit x un point de X tel que x & xo + V A l o r s x + V contient xo et est contenu dans U , La sdrie de i(F)
.
Notion d 'envrloppr d %olomorphie
68
N
f en x converge dans x + V et il stensuitque L'ensemble X est donc fermd dans X2 , dloh le r d x + V C X sultat puisque x2 est connexe et x # j4 Terminons en remarquant que, &me dans le cas o h l'espace
Taylor de
.
.
est ktalk au-dessus d'un Banach, on ne sait pas si, pour un domaine dlholomorphie, le rksultat suivant est vrai :
(X ,Y ) telle que d(xn) 9 0 et (x,) converge, il existe une fonction analytique sur non bornke sur la suite". h e rkponse positive relkve d'un thdorkme du type CartanttPour toute suite
(x,)
de
x
Thullen. Pour l'instant, on se contentera d'une rdponse positive dans le cas o h X
est un ouvert possddant la propridtd de Runge.
Nous montrerons, au chapitre 5 que, dans des espaces de Banach possddant une propridtd dlapproximation (qui sera prdcisde), tout ouvert polynomialement convexe poss'ede la propridtd citde plus haut. Remarquons que, du fait de la convexitd polynomiale il ne s'introduit pas de phknom'enes d'espaces dtalds (voir aussi le paragraphe 4 du chapitre 4). Notes : Les rdsultats de ce chapitre sont dus h Hirschowitz(46) pour les espaces dtalds au-dessus dlun espace de Banach. Plusieurs de ses ddmonstrations se ghdralisent sans rdelles modifications 21 des espaces de base plus gdn6raux. Antdrieur m nt, des rk ul ats partiels avaient ktd obtenus par AlexanderTlT et Coeurk 7 1 5 j qui, pour construire l'enveloppe dlholomorphie, tentaient d'util'ser la mkthode du spectre, Un travail recent de Schottenlohert28) rdsoud ce probl'eme, retrouve certains des r d sultats dIHirschowitz et donne une prdsentation unifide.
CHAPITRE
IY
CONVEXITE POLYNOMIALE Pour Q t u d i e r l a convexitk polynomiale, nous introduisons une proprikt6 d'approximation (PAF) que possedent des c l a s s e s important e s d'espaces de Banach a i n s i que l e s espaces nuclkaires. Nous mont r o n s que dans de nombreux c a s , un ouvert e s t polynomialement convexe s i e t seulement s ' i l e s t finiment polynomialement convexe. Nous prouvons a u s s i des theorkmes d'approximation (Runge, Oka-Weil) Enf i n , nous montrons que s i U e s t un ouvert de Runge d ' u n e l c quelconque, il e x i s t e un ouvert olynomialement convexe V contenant U t e l que t o u t Qlement de H ( U se prolonge h V.
.
P
4.1.-
PropriktQ d'approximation
Un ouvert
DEFINITION 4.1.1.-
mE
des pol.vnbmes continus s u r E
l'ensemble U.
Un ouvert
U
t o u t compact tout
e s t dense dans
pour l a topolonie' de l a convergence uniforme s u r l e s compacts
H(U)
de
U d'un elcs E e s t d i t de Runge &
de
f
d'un e l c s
K
TI-,
de
5.
E
e s t d i t pol.ynomialement convexe s i , pour
U, l'ensemble
=
{ xtU,
( f ( x ) l $ l f l K pour
est prkcompact dans U. L'enveloppe
j o u r s contenue dans l'enveloppe convexe fermke de Un ouvert
K.
U s e r a d i t finiment de RunEe ( r e s p . finiment polynomiale-
ment convexe) s i , pour t o u t sous-espace l'ouvert
e s t tou-
F de dimension f i n i e de E,
U n F e s t de Runge ( r e s p . polynomialement convexe).
Nous ne considkrons, dans ce c h a p i t r e , que l e s polyn6mes continus. DEFINITION 4.1.2.-
On d i r a qu'un e l c s E
proximation f o r t e (P.A.F.)
posskde l a proDriktk d ' a p
TE de pro.iec-
s ' i l e x i s t e une f a m i l l e
t i o n s continues de rang f i n i , ( u ( E ) ) ~ ~ F Q t a n t f i l t r a n t e croissant e pour l ' i n c l u s i o n , ~ u posskde i l a propriktk suivante : Pour t o u t compact u
K
FE t e l que
& E e t t o u t voisinage u(x)-xcv
pour t o u t
V
& 0,
x
il e x i s t e
K.
Cette propriQtk d'approximation e s t p l u s r e s t r i c t i v e que c e l l e de Grothendieck qui ne suppose pas que l e s klkments de
f
sont d e s
p r o j e c t i o n s n i que l a famille des images est f i l t r a n t e . Donnons quelques exemples d ' e l c s avec PAF : 1 ) L'espace de Banach
p
(K) des f o n c t i o n s continues s u r un com-
70
Convexit6 polynomiale
K h v a l e u r s complexes (ou plus gknkralement dans un espace
pact
n o d ) muni de l a norme sup. Les klkments de JE sont a l o r s l e s a p p l i c a t i o n s 'p + u(y) = i~I 'p(ci)ai, pour t o u t e p a r t i t i o n f i n i e
.z
(ai,Ci)ieI de
ci
et
K
Notons que
Soit
et X
1
€PO
7
un point de (supp ai)-
a . (C.) = 1). 1
K ( i . e . (ai)i
pointee de
nie
luU 61
'e(K),
X
(supp a . ) t e l que J
FE.
u de
pour t o u t
un compact de
d'Q16ments de
j i
est m e p a r t i t i o n f i n i e
il e x i s t e une f m i l l e f i P
Xci= u1 B(xi, f ).
telle
ConsidGrons
l a p a r t i t i o n f i n i e de K t e l l e que l ' o s c i l l a t i o n de chaque J J=1 € s u r l e support de chaque a .( i . e . V i = l , . , , p x s o i t infkrieure h i 3 J et j = I , . , , q on a : sup Ixi( t')-xi( t)l & Pour t o u t j c h o i s i r 3' t , t ' ksupp a j ( supp ad. A l o r s , pour un point 5 . dans (supp a . ) J J (a,)n
-
.
-
tout
x
9
K on peut trouver un
de
t e l que :
j
4 l~u(x)-u(xj)ll +-/lu(xj)-xjll + IIx.-x1 J
Ilu(x)-XI1
5
IIUII
I I X - x .11 + J
2-a j
l/aj(ti)-xj
Lp(X, p, F), 1 ,< p
2 ) Les espaces
<+
00,
(avec l a convention h a b i t u e l l e pour
d e s c l a s s e s de fonction
h un espace
Xi on considkre l a f a m i l l e =
fxidp 7Ii=l
r i s t i q u e de
X i . I c i encore on a
Lp
d'Qldments de
K c
u 1=1
oh
p(xi)
B(fi,
et Lp
f
E
u...
VXnh par des ktant relativement compacts e t
; pour t o u t e dkcomposition X=XI
ensembles 2 h 2 d i s j o i n t s , l e s
P
(X,p,F) est isomorphe
( K ) par un thkor'eme de Kakutani. S o i t maintenant
p3
compact de
F
). On m u n i t c e s espaces
p f cu
de l a convergence en p-moyenne d ' o r d r e p. L-
f -+u(f)
I/ xj-x II
localement compact) h v a l e u r s dans un espace normk
un espace X
p(Ki)>O,
+
p-intkgrables (p mesure de Radon p o s i t i v e sur
de puissance p i k m e
16 p<+
II
des a p p l i c a t i o n s
Ti uII
dksigne l a fonction caractk-
Lp 3 1 . En e f f e t s i K est un
7 0, on peut trouver une f m i l l e (fi):=,
finie
h support compact dans K
t e l l e que n ). Considkrons l e recouvrement (Kj)j,l
de
K tel
ConvexitP polynorniale
que, pour t o u t
i
r i e u r e & I-.
[d K ) ] f i
fi,i=l,..,,p
et
71
j, l ' o s c i l l a t i o n de f, s u r K L s o i t infk-
. Pour t o u t
J
I
f
de
K, on peut trouver
t e l l e s que
LP
LP E.
3 ) Les espaces h base de Schauder.
4) Tout espace E dont l a topologie e s t d k f i n i e par un systkme fondamental de semi-norines
p
t e l l e s que l e s espaces (E,p)/p-l(O)
pos-
shde l a PAF. Exemple de t e l s espaces a ) l e s espaces n u c l g a i r e s , c a r a l o r s l e s E
sont prehiber-
P
tiens ; b) t o u t produit d'espaces normks avec PAF, comme
ce
\e(X)
des f o n c t i o n s continues sur un ensemble
&I
; l'espa-
completement
X
r e g u l i e r muni de l a convergence u n i f o m e s u r l e s parties compactes de
E ; l e s espaces
(p), 1,(p
L:oc
c+00 , des c l a s s e s
de f o n c t i o n s
localement de puissance pieme i n t e g r a b l e sur un espace X
locale-
ment compact, p mesure de Radon p o s i t i v e e t muni de l a topologie de l a convergence en pmoyenne sur l e s p a r t i e s compactes de
c ) tout e l c E
m u n i de s a topologie f a i b l e
Demonstration : Soient et
u
p
une semi-nome, e t
l t a p p l i c a t i o n canonique E +E
P' compact e t il e x i s t e une p r o j e c t i o n v : E P
K
(r
X
;
(E,E').
un compact de
E
ES K =u (K) e s t un P' 1 P +E de rang f i n i telP P x de K. D
~
p [vou (x)-u ( x ) ] 6 1 pour t o u t P P est de rang f i n i e t peut donc s ' k c r i L'application w v o u W E P' P r e w= hifi avec bi&Et e t fi&Ep. Pour t o u t i, c h o i s i r 1= 1 n e . dans E t e l que u ( e . ) = f * l ' a p p l i c a t i o n u= hiei pos1 p 1 i ' 1=1 shde les p r o p r i e t d s voulues : c ' e s t une a p p l i c a t i o n l i n d a i r e conti-
l e que
5
2-
nue
E
+E
de rang f i n i e t
p [u(x)-x] d 1
pour t o u t
x
de
K
car u [u(x)-x-J=wx-u (x). 11 reste B v o i r que c ' e s t une p r o j e c t i o n P' P n a.e c'est-h-dire que 'Iu(E) = Idu(E) *' s o i t X C U ( E ) , x = i i i= 1
72
ConvexitP po1.vnomiale
avec
cli
-
cc e t u(x> = ZA j ( x ) e . Zcx i :e
pour t o u t u=u' ovou P P' 4.2. Ouvert
i
=
J
=
J
L, > J. ( el. )eJ
puisque
u
de
x J. ( e1. > eJ . = x
i
car
est une p r o j e c t i o n e t
v
j
polmomialement convexe
Dans un e l c avec PAF, on posera tout
i,j
E
= Imu
U
sE, ce qui donne une decomposition
et
E
U
= Ker u, pour
E=EU C 3 EU ( s o m e
d i r e c t e topologique) ; l ' a p p l i c a t i o n identique de E
e s t adhdrente
h f: pour l a topologie de l a convergence compacte. S i A e s t une f a m i l l e de fonctions d k f i n i e s sur un ouvert A ( U n E ) l'ensemble des f o n c t i o n s U
U
f=fru, oh f
U
de
E, on notera
d k f i n i e s s u r ( U n E U ) 0 EU p a r
f
e s t un 61kment de A(UOEU). Tout klkment
i n d u i t un Blkment
f
de AU(UnEU)
par
f
de A ( U )
f = ( f l U f i E U ) ou, rnais l a
reciproque n l e s t pas toujours v r a i e ( e l l e sera v r a i e , p a r exemple, si U=E, ce qui est l e cas pour l e s polyn8mes).
Nous supposerons toujours dans ce c h a p i t r e gue E
posskde l a P.A.F.
On peut a l o r s approcher uniformkment sur t o u t compact l e s fonctions continues par des f o n c t i o n s ne dkpendant que d'un sous-espace de d i mension f i n i e . De faCon p l u s p r e c i s e : PROPOSITION 4.2.1.-
E
e s t un e l c avec P.A.F.&
une fonction continue ( i . e . f t
'Qu)),
f:U
E +
il e x i s t e , pour t o u t compact
& 2, t e l sue f o u t r u ( U A Q ) e t If(x)-fou(x)l < c pour t o u t x & K. De plus, s i f est ana-
K
-
& U et
e 7 0 , un element
u
l v t i a u e . uol.vnomiale ou plurisousharmonisue continue. il en est de
meme de f ou. En e f f e t , come
e >O, E
tout
est uniformkment continue sur K, Btant donnk
il e x i s t e un voisinage
x-x'e V, x et ce
f
0
il e x i s t e
de K, ce qui entrafne
COROLLAIRE 4.2.2.-
de
x1 dans K+V entrafinent
k t a n t avec P.A.F., x
V
a) L'esDace
u t
t e l que K + V C U If(x)-f(x')l
,F t e l que
Ifou(x)-f(x)l< e
<
UkFE
e. L'espa-
U(X)-XGV
pour
pour t o u t x de K.
n ue s t dense dans
l a topologie de l a c o n v e r e n c e compacte.
et
pour
ConvexitP polynomiale
b ) Pour t o u t compact
=ni
E,=R
K
73
u t3
Ce c o r o l l a i r e e s t l a cons6quence du f a i t que LEiQE 4.2.3.-
Soit
un compact de
K
l'ensemble
est un p o l p a m e sur
'pou, oh 'p
d e s QlQmentsde l a forme
i . Tu e s t -rrU
EU.
u & /r
U. Pour t o u t
tel
A
Autrement d i t :
KAu(Ur\EU)
e s t de l a forme
KO
0 EU
et
U
DQmonstration : z 6 u
[kA (u/7 U
U
]
)
A
il e x i s t e
(uo
dans KA
Z
U
++
f
E A ~ ( UA E J
on a
)
tel que
u(2) = z
U
If(z)l C
F c A ( u ~ E on~ )a I?(z)l
=
lfIK
=
IfIu(K)BE~
If(z)I
u(K)
* 'A
U(K)A(U W E U )
K e s t un compact de U,
LEMME 4.2.4.A(U)
'
de f o n c t i o n s continues s u r
u
A(U)
Soit posons
xo
!
on, pour
toute famille
U :
iAu(UnEU).
u(K)C U
c
I1 e x i s t e
I
a= f ( x o ) I
il e x i s t e
u
dans
pour t o u t
x
de
-- If1 k
f
et
t e l que
dans A ( U )
K t = K o {xd
u(K')
t e l que
>
. Par l a p r o p o s i t i o n
cue t
Jfou(x)-f(x)\ 3
K. On en d e d u i t que : 7a = lfl, + 2a > p o u j K + 7a
7
If(xo)I
, qui
\fIK ; 4.2.1.
-a3
montre
On peut a l o r s dgmontrer :
THEOREME 4.2.5.-
avec P.A.F., I)
u est
si U
e s t un o u v e r t f i n i m e n t de R u n e d ' u n e l c s
l e s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s s o n t Qcluivalentes : Pc(U)-convexe
Convexirk polynomiale
14
2 ) U g& H(U)-convexe
3)
u est
-convexe.
U
COROLLAIRE 4.2.6.-
P.A.F.,
alors K
=
%(u)
e s t finiment n - c o n v e x e dans un e l c avec =
tPC(U)
si U &
COROLLAIRE 4.2.7.-
pour t o u t compact de
U.
P (U)-convexe dans un e l c avec P.A.F., c
l e s conditions sont kquivalentes : 1) U
e s t finiment de Runge.
2)
u
3)
u est l l -convexe.
e s t finiment Ti -convexe.
Pour prouver l e thkorhme, il s u f f i t de montrer que, si U e s t P,(U)-
i,= $c(u).
convexe, on a finie,
U
nF
Pour t o u t sous-espace
F de dimension
e s t pseudo-convexe e t de Runge, done polynomialement
convexe e t l e thkorhme de Runge en dimension f i n i e e n t r a l n e que
KnF= $ c ( U n F ) A
A
pour t o u t compact
ce aux lemmes 4.2.3.
e t 4.2.4.,
K
de
U n F . I1 s ' e n s u i t , grb-
que :
Remarque : Exemples d ' o u v e r t s finiment de Runge : 1 ) Tout ouvert kquilibrk par rapport b l'un de ses p o i n t s , 2 ) Tout ouvert de l a forme { x & E , v ( x )
<
03- oh v
e s t une fonc-
t o u t e n t i e r ( p l u s &nkralement
t i o n plurisoushamonique dans E
dans un ouvert convexe ou polynomialement convexe)
. Toute l i m i t e
,
d'une f a m i l l e f i l t r a n t e c r o i s s a n t e de t e l s ouverts. Dans un espace norm6 avec P.A.F., e s t pseudo-convexe e t done lence d e s conditions 2 e t
t o u t ouvert finiment
Pc(U)-convexe,
-convexe
c e qui e n t r a l n e 1'Qquiva-
3 du c o r o l l a i r e 4.2.7. Ceci peut s e gk-
n k r a l i s e r au c a s non normk : THEOREME 4.2.8.de semi-normes Un ouvert
U
Soit p
& E
E
un e l c s posskdant un systhme fondamental
t e l l e s uue
= (E,p)/p-'(O) posshdent l a P.A.F. P e s t Dol.womialement convexe s i e t seulement s i
E
il est finiment pol.momialement convexe.
Ce thkorhme s ' a p p l i q u e r a principalement aux espaces normks avec P.A.F.
e t aux espaces nucldaires.
I1 suf'fit de montrer que s i U
est connexe e t finiment fl-convexe
ConvexitP polynomiale
il e s t a u s s i
I5
-convexe c a r l a rkciproque e s t Qvidente si l ' o n re-
marque que l a condition : "U e s t finiment v-convexetl kquivaut b : A
It
pour t o u t compact
K
de dimension f i n i e de
U, KT e s t compact
dans U". S i U est finiment T-convexe, il est pseudo-convexe ; s o i t semi-norme t e l l e que
U contienne une p b o u l e de rayon non n u l , on
considkre l ' a p p l i c a t i o n
u
P
:E
* E/p-'(
n ' e s t pas d i f f i c i l e de v o i r q u ' a l o r s p
0 ) , q u i est s u r j e c t i v e e t
u ( U ) e t il P P e s t a u s s i finiment
U s'kcrit U =
ouverte. Par l e thkor'eme 2.1.7., convexe. Puisque
p une
-
u (U)
e s t une norme sur E/p
-1
rnonstration, supposer que l a topologie de E m i l l e de normes ; a u s s i n ' y a - t - i l
U-'O
(0) on peut, dans l a dkest d e f i n i e par une fa-
que l e c a s non norm6 b dhmontrer.
l ' i n t k r i e u r de U dans (E,p). S o i t K un compact de P t e l s que dimension f i n i e de U. I1 e x i s t e me norme p e t a > O
On notera
U
+
B (0,a)CU Pour t o u t sous-espace F de dimension f i n i e conteP P' A A = K r\ F. nant K, on a : K+B ( 0 , a ) O F C U ~ ~ ) F C U ~ \e Ft K P TF Ti-
K
U A F e s t p a r hypothese polynomialement convexe e t p ind u i t une norme sur F ; il s ' e n s u i t que : [;. +Bp( O , a ) l f l F ( U O F c a r , en dimension f i n i e , l e passage b l'enveloppe polynomiale ne d i -
L'ouvert
minue pas l a p-distance b l a f r o n t i e r e . L'inclusion prkcgdente ayant l i e u pour t o u t sous-espace
F
de dimension f i n i e contenant
K, il
f?+B ( 0,a) C U donc, a u s s i , t + B ( 0, a ) C Up, q u i p r o m P P e s t finiment n - c o n v e x e dans (E,p), done a u s s i dans E. Le
s' e n s u i t que
que
U
P theorkme s ' e n dkduit puisque
U e s t l a rkunion f i l t r a n t e c r o i s s a n t e
d e s U e t qu'une r&union f i l t r a n t e c r o i s s a n t e d ' o u v e r t s polynorniaP lement convexes est encore polynomialernent convexe. Remarquons que nous avons montre, dans l e cours de l a dkmonstration,
l a proposition suivante : PROPOSITION 4.2.9.-
Soit
convexe. A l o r s ,
reste finiment
U
localement convexe T
un e l c s e t
E
E
U un ouvert finiment
v-
v-convexe pour t o u t e topologie
t e l l e que U
s o i t ouvert pour
T.
4.3.- Propri6tes d'approximation polynomiale Nous a l l o n s maintenant prouver d e s t h e o r h e s r e l i a n t l a convexit6 po-
Convexitt! po1.vnomiale
16
lynomiale b l a proprikte de Runge.
.- (Runge) Un ouvert
THEOREME 4.3.1
E
un e l c s
U
holomorphiquement convexe dans
est polynomialement convexe s i e t seulement
avec P.A.F.
s i il e s t de Runm.
est de Runge, on a pour t o u t compact K
Si U
RQciproquement s i U de
avec K \f(x) x
+
g
VC U ,t e l que
. Soit
- f(y)l L
de K, done
U :
$=
%(u).
e s t polynomialement convexe, s o i e n t K
dans H(U) e t
U, f
de
u(K)
>0
x
; il e x i s t e un voisinage
- ytV u g
F,
et
x, y
t e l que
K
u(x)
e s t compact dans U f \ E U
+ -
V
compact
de
0,
entralnent
V
v
x
pour t o u t
qui e s t polynomiale-
ment connexe e t il e x i s t e par l e thGor&me de Runge en dimension f i n i e , un polynbme p \f(x)
\f(x)
- P(x)l 4 5 . Posons P = Pou. On o b t i e n t - P ( x ) ( 4 I f ( x ) - f o u ( x ) ) + ) f o u ( x ) - Pou(x)(
-2 .
sup I f ( y ) u(K)
-
-2 E
x
de
et le
(Oh-Weil) Dans un e l c s avec p r o p r i e t e d'approxima-
5
soit filtrant
fonction analytiaue au voisinaae d'un compact convexe ( i . e . K = %)
.
P
toute
K pol.momialement
un compact,
E>
une fonction analytique dans K
e x i s t e uri polynbme
,
s'approche uniformkment s u r K p a r des poly-
DQmonstration : Soient f i x e s K et f
pour t o u t
P ( y ) J q u i e s t a u s s i plus p e t i t
t i o n f o r t e t e l l e que de plus l'ensemble
0
on a i t
u(K)
u, l e premier terme e s t p l u s p e t i t que
E
THEOREME 4.3.2.-
de
de
R/
second, plus p e t i t que
names
x
U'd
K ; par choix de
que
t e l que pour t o u t
sur E
t e l que
0, V
+ V.
I f ( x ) - P(X) I < E
un voisinage
Montrons q u ' i l .uniform6ment
s u r K. On peut trouver u 6 F t e l que 0
pour t o u t
x
u0(K) C K
+
V
etlf(x)-fouo(x)l < e
de K. On ne peut pas a l o r s appliquer l e thkor&me d6jh
connu en dimension f i n i e , c a r il n ' y a aucune raison pour que
uo(K)
s o i t polynomialement convexe. On d o i t a l o r s u t i l i s e r l e lemme suivant :
LEMME 4.3.3.-
uo
Qtantf i x & . on a
u0 (K) =
ConvexitP polynomiale
fU
Pour s i m p l i f i e r l ' d c r i t u r e , notons K
=na,
I1
. Par hypothkse,
k
pour
T
U
donc, uo(K) c n u o ( i u ) . Rdciproquement, s o i t
pour t o u t
u
iu,t e l
X €
F, il e x i s t e
de
U
l a p r o j e c t i o n sur EU, parallelement &
u'
-
u' = 1%
u. Pour t o n t
u
f ,
de
n
que
E
U'
xe/-)uo(iu),
x = u ( X ). S o i t o u c'est-&dire
u'(K) est compact e t ut-'out(K)=
E ~ @ ~ ' ( K ;) posons a l o r s K ' = k u1-I o u ! ( ~ ) . La f a m i l l e u u est une f a m i l l e de compacts dont l ' i n t e r s e c t i o n e s t dgale
(K;)
i , de
A
p l u s on a : u(KU ) = u ( k i ) . En e f f e t ,
K i = [u(K) Q E U ] n i E U
compact ; d ' a u t r e p a r t ,
avec u'(K)
a i n s i que :K = Pour t o u t
u
U(K)
de
CK: Cku, d'o;,
f , il
XA
e x i s t e un point U
(XA), convergeant v e r s un point
pothkses sup
u, l a famille
est continue, l a f a m i l l e
0
u
0
0
x
0
uo ( X u ) uo(K)
de
u(x;)
e t comme
0
K. Par l e s hy-
=
U(X
U
), on en
= x
pour t o u t
0
u (K),
c a r p a r d d f i n i t i o n des
0
u.
est c h o i s i e t f i x 4 t e l
S u i t e de l a ddmonstration du thdorkme : u que
0
Xo e t comme uo converge v e r s uo(Xo). Or, dks
U
o u = u
o u x = u (X ), c'est-&-dire pue on a
X
u (X ) converge v e r s u (X ). On en conclut a l o r s que
ddduit que 0
KL, t e l que
u ( X t ) converge v e r s U
u ou(Xt)
u ~ ( E ) c u ( E ) , on a
de
nKljl,
on peut e x t r a i r e une sous-famille
(XI),
U
notee encore
que
K =
o u!(K).
u ( X t ) = u(X ). De l a f a m i l l e U
K
ut(KjJ
@
CK+V
0
A
et
(uo(Ku)L cs e s t une f a m i l l e f i l t r a n t e dd-
c r o i s s a n t e pour l ' i n c l u s i o n de compacts, dont l ' i n t e r s e c t i o n e s t 6gale B
u (K). 11 e x i s t e donc un
u
0
t e l que
u
(i )c:K + v
0
U r V
et
peut toujours &re suppos6 t e l que
E u o C EU. S o i t
Bgale B l a r e s t r i c t i o n de
EU, c'est-&-dire q u i co'incide
avec
x
+
f
sur Euof7 (K+V) pour t o u t
(EU 0 Euo)
fouo B
EU, t e l que
x
peut s ' d c r i r e 4
pose
de
P = POU. Ce polynbme
E
(K+V).
up\
u(ku) = u(K)
E l l e est d d f i n i e e t q u i est un compact poly-
TTU
U
N
: il existe donc un polyn8me P dans
- f(x)l < 5 d \P(x) - f(x)l < 5
ry
lP(x)
l a fonction
e t qui est constante s u r l e s f i b r e s
analytique au voisinage de nomialement convexe dans E
f
u,
pour t o u t
x de u ( i
), ce qui T U
pour t o u t
, OG
x de
l'on a
X U
P e s t l e polyname cherchd, en e f f e t :
Convexit6 polynomiale
78
n/
if(x) - P ( ~ I) 6 I f ( x ) - f ( x ) I + I%> e t , pour t o u t I?(x,
-
x de K,
If(x) N
P(x)(
$
sup I f ( x )
P(X)I
ry
-
f(x)l
=
If(x) e
- P(x)l< 7 .
,
- fou(x)),< 5
et
iz,
U
-
EMARQUE 4.3.4.
Lorsque l a f a m i l l e
plus l a propriktk que si u1
< u2,
F
de projection posshde de
a l o r s u o u = u20 u1 = u, ce 1 2 qui est l e c a s lorsque l ' e s p a c e e s t & base, l e s techniques prdckdent e s permettent de retrouver l e lemme c l a s s i q u e de Arens-Calderon.
4.4.- Prolongement simultank s u r un ouvert de Runae S o i t U un ouvert connexe d'un e l c , nous avons vu au c h a p i t r e 3, que l e phknomkne de surface de Riemann s ' i n t r o d u i t naturellement lorsque l ' o n essaye de prolonger en dehors de U a l l o n s v o i r que ce n ' e s t pas de c a s s i U
l e s dldments de
H(U).
Nous
e s t un ouvert connexe de
V e t polynomialement convexe t e l que t o u t e fonction analytique SLU U se prolonge & V. D'une manibre Runge e t q u ' i l e x i s t e un ouvert
plus precise : THEOREME 4.4.1.-
A t o u t ouvert de Runm c o n e x e U
peut a s s o c i e r un ouvert
connexe V
d'un elc E,
on
a u i posskde l e s propriktds sui-
vantes : 1 ) Toute fonction analytique s u r
t i o n de r e s t r i c t i o n
U
H(V) -H(U)
se prolonge &
V
e t l'applica-
e s t un isomorphisme pour l a topo-
l o g i e de l a convergence compacte (on d i t a l o r s aue V
est un prolon-
gement analvtique normal de U). 2)
v
e s t maximal a u sens suivant : t o u t prolongement analvtiaue nor-
mal de U
3)
v
contenant V
est identique
?iV.
e s t polsmomialement convexe.
Ddmonstration : S o i t ouverts de E
l'ensemble ordonne pour 1'inclusion des
qui sont des prolongements normaux de U. Pour t o u t e
chalne ordonnde
(Va)a
A
d'616ments de
est un prolongement normal de
contenu dans un V que d i r e que
P
que l'enveloppe
a0
c a r t o u t compact de
U
c/ Vor
est
qui e s t un prolongement normal de U. Notons
: H(V) *H(U)
H(V)
? , l'ensemble aU C AVa
est un isomorphisme kquivaut h d i r e
- convexe de
t o u t compact de
V
e s t contenue
Convexiti polynomiale
19
dans l'enveloppe H(U)-convexe
d'un compact de U. Par le lemme de Zorn, l'ensemble contient un dldment maximal V satisfaisant h 1 et 2 dont il reste montrer qu'il est polynomialement convexe (ou,
?
ce qui revient au meme puisque V est de R u n g e , qu'il est holomorphiquement convexe). Si l'ouvert V nlktait pas H(V)-convexe, il existerait un compact KO de V et une famille (xa ) contenue dans et adhkrente B un point x de V. En reprenant mot h mot 0
[
A
%(V)
(cp ktant alors l'identitk) la dkmonstration du thkorkme 3.5. on voit
qu'il existe un voisinage V;
+ V'0 C V et tel = ixo\ + V; en me
de 0 tel que KO
que tout dlkment f de H(V) se prolonge h Vo Deux cas peuvent alors se presenter : fanction
F.
M
I ) Les fonctions f et f prennent les memes valeurs sur
v (7v0,
c'est-b-dire que le prolongement est univalent. Nous allons montrer qu'alors
Vu(
Vo)
est un prolongement de V, ce qui contredit
V ) , 4 0 on peut kcrire : K C K1 (xo4 + K2), o~ K, est un compact de V et K2 un compact kquilibrk en 0 tel que )xoj + C Vo. En adaptant la dkmonstration du thgorkme 3.5. on montre que K2 (Ko K2)H(U)' Llensemble K0 + K2 est un compact de la maximalitk de V. En effet, soit K un compact de V c/ ('
-
u
+
c
5
+
U et K, est, par dkfinition, contenu dans llenveloppe H(U)-convexe dlun compact K: de U. I1 s'ensuit pour tout f de H(U) :
ce qui prouve que tout compact de V
u,1
Vo
est contenu dans l'enve-
loppe convexe d'un compact de U, c'est-&-dire que V
u i Vo
est un
prolongement normal de U et contredit la maximalitk de V.
2) Si, pour une fonction f de H(U), il existe 5 t V n V o tel que f(c) f f " ( 5 ) on construit la surface de Riemann de f au-dessus de U et l'on note
le point du deuxikme feuillet au-dessus de 1 existe une suite de polyn8mes 'TT tels que V,(E)
+f(c)
TT,(t;,)-?(cl).
h s polyn8mes
n,
c.
I1
et ktant univalents, on a pour
Convexire polynomiale
80
tout
n : q n ( <=)
V n ( < , ) , d'ob
f ( < ) = ?(<). On e s t donc ramen6 &
l a s i t u a t i o n d k c r i t e en 1 ) ) q u i termine l a dkmonstration du thkorhme. L ' i n t k d t de ce thkorkme a p p a r a f t r a au c h a p i t r e suivant lorsque nous aurons prouvk que, dans un espace de Banach avec propriktk d'approximation p r o j e c t i v e , t o u t ouvert polynomialement convexe e s t l e domaine d'existence d'une fonction analytique. L'ouvert l'knoncd du thkorkme 4.4.1. morphie de
U
V
q u i apparaft dans
s e r a a l o r s exactement l'enveloppe d'holo-
t e l l e q u ' e l l e a k t k d k f i n i e a u c h a p i t r e 3. Dans ce c a s
l'enveloppe e s t univalente.
NOTES.-
Le l e c t e u r trouvera au c h a p i t r e suivant une importante applic a t i o n de l a notion de convexitk 01 omiale. La propriktk d'approximation f o r t e , qui e s t i n t r o d u i t e 776r e s t un raffinement de l a propriktk d'approximation de Grothendieck (35) ; e l l e permet, dans cert a i n s c a s , d ' u t i l i s e r des r k s u l t a t s connus en dimension f i n i e . Les d i f f k r e n t s exemples donnks sont t i r k s de (35). L'idke, dans l e c a s normk, d ' u t i l i s e r l a propriktk de Runge s u r l e s sous-espaces de dimension f i n i e e s t due g Dineen. Les thkorkmes 4.2.5. e t 4.2.8. ont k t k dkmontrks par Noverraz (76). Une forme kquivalente du th8orkme 4.2.8. a Q t k prouvke par Dineen (46). Les r k s u l t a t s sur l'approximat i o n polynomiale (thkorkmes 4.3.1. e t 4.3.2.) se trouvent dans (77) e t avaient k t k i n i t i a l e m e n t dkmontrks dans l e cadre des espaces de Banach & base ; pour l a remarque 4.3.4. v o i r l e c a s p a r t i c u l i e r de (c" en (82) e t (89). Les r k s u l t a t s du paragraphe 4.4. sont dus ?t Dineen ( 2 2 ) pour l e s espaces 21 base ; l a dkmonstration est encore valable pour un e l c quelconque.
C H A P I T R E
V
_-
THEOREME DE CARTAN-THLJLLEN-GKA ET COMPLETION HGLOMORPHE ___________ ___
Dans le paragraphe 1 on introduit dans les espaces normes la propri6t6 d'approximation projective puis on montre, au paragraphe 2, que dans de tels espaces tout domaine polynomialement convexe est un domaine dlexistence. Le paragraphe 3 applique les resultats precedent h 1'6tude la cornpl6tion holomorphe d'un espace norm6.
5.1. Propri6t6 dlapproximation procjective. DEFINITION 5.1.1 On dit qu'un espace norm6 E posskde la pro-
.-
I _ _ c -
prikt6 d'approximation projective (P.A.P.) s'il existe une constante
d>O
et une famille (E% ) ,~
filtrante croissante pour
l'inclusion de sous-espaces de dimension finie tels que : 1) E = W E
z
, il existe une projection P
2) Pour tout E
T
tene w e
1 pT; I\4
Exemples d'espaces norm&
de z -
E
d.
posskdant la P.A.P. :
1) tout espace normk h base de Schauder.
2) les espaces
t' ( K ) , K
3) les espaces LP(p) , 1
compact. p 6 +@
.
Pour ces d e w derniers espaces il suffit de reprendre la dkmonstration faite au chapitre prgcddent B propos de la P.A.F.
I1 n'est pas difficile de comparer cette propristk 8. la propriQtk d'approximation introduite au chapitre pr6ckdent : PROPOSITION 5.1.2.- Un espace de Banach posskde la P.A.P. si et seulement si il posskde la P.A.F. et si la famille des pro,jections est uniform6ment bornke. En effet si l'espace E posskde la P.A.F. on prend pour famille (EL) la famille des images u(E)
pour tous les u de
.
Cette famille est filtrante croissante et sa rdunion e s t dense dans E ; ceci, joint au fait que la famille est uniformkment bornde entrafne la P.A.P. La r6ciproque est la conskquence du lemme suivant:
ThiorPme de Cartan- Thullen-Oka et complition holomorphe
82
si E
LEMME 5.1.3.-
est un espace norm6 avec P.A.P., pour tout com-
>
tel que p,.ct K & E 0 , il existe 70 avec /I pZ,(x) - x I/< E , pour tout x & K
.
d z 27, ,3L' z 7 ,
>0 ,
tel que (d+l)a < t . Pour tout x de 1 K , il existe 2 et y dans E , tels que (Iy XI/ < a . Les En effet, soit a
-
2
2
boules B(y,a) forment un recouvrement de K dont on peut exL o , tel que tous les centres traire un recouvrement fini, Soit (la famille de sousdes boules soient dans un sous-espace E Lo
espaces est filtrante pour l'inclusion). Pour tout x de K
, tel que 11 x -
existe donc y 6 E
, il
yII 4 a ; alors, c o m e
70
P
(y)=y,ona:
IIP
(X)
-
1
Y = 11 P
IIP
11
(X-Y)II
7-0
IJx- Y \I< c t a
, d'oh,
0
(x)
-XI\*
(4+1)a
L E
.
20
Aussi, dans un espace P.A.P., un ouvert V est polynomialement convexe si et seulement si ses intersections avec tout sous-espace de dimension finie le sont.
Dans un espace norm6 avec P.A.P. on peut, au besoin en remplaFant
u
par
, affaiblir la condition
1
. C'est ce que montre
la proposition suivante : PROPOSITION 5.1.4.- Soit E un espace normk
.(
- P.A.P.
et
q''>o(
.
11 existe elors w e famille ( G ~ , r) ' g T' filtrante croissante de sous-espaces de dimension finie telle que : 1) E =
VGzl
2) Pour tout
t'
,
il existe une projection P I
.
z'
: E - G ~ ,
telle que I I P ' ~ , I I Q 4 ' La proposition est kquivalente au fait que tout ensemble fini est contenu dans un sous-espace de dimension finie G , (xi):=, I tel qu'il existe une projection sur G , de norme plus petite que 7. On peut supposer les (xi) lingairement indgpendants. I1 existe donc une constante M telle que pour tout (
ai) c an, on ait
ThPorPme d e Cartan- Thullen-Oka et complition holomorphe
n i=1
n MII) i=1
Jail'
ti xil).
q u i c o n t i e n t des points
E
y
sous-espace engendr4 par l e s
6
(y.) 1
qui e s t de norme plus p e t i t e que
C
de
//xi
,
,..., n
i = 1
- yill$l
,
E
,...,
i = 1
e s t a s s e z p e t i t . Noter
P
et
E
l a p r o j e c t i o n de
. Choisir des points
n
u
n
le
C
e t (zj) (yi) s o i t une base de E J m n s ' k c r i t de manikre unique x = o(. z , + j=1 J J i=l
P(z.) = 0
t e l s que x
il e x i s t e un sous-espace
(xi)
= Pr
i lingairement indgpendants e t t e l s que
ce qui e s t toujours possible si
,
0
Soit E 7
83
sur
(z.)m J J=I'
. Tout
6,
yi
n
2 ti yi . De plus, i=1 I1
e t on a
P(x) =
na :
n
I I pi~ Yi i=1
si n
IIZ i=1
T pi
Yi
1-M2
€
2 M
i=1
(xi)?=,
114p i xiit
,
on
, d'oh
1=
X i M
M E 11 7pi -----1
-
ME
m
n
j=1
i= 1
sur l e sous-espace
E
de norme i n f g r i e u r e I?
y,llC
1
-----I
i=l
est assee p e t i t l ' a p p l i c a t i o n
p r o j e c t i o n de et
,Z ipils n
n
7 gi i= 1
Mn'i' - ------
Si
11 ,c t
y. J
,
t M C 1
bi
n
xi
i=1
-
p a r hypothkse sur l e s
llxji e t
-Mz
I -
#'
d g f i n i e par :
m
engendrk par ( z ,)
Gz,
+t'
M
i
M
et
n
J j=1 ne d6pendent
e t G t i dkpendent a u s s i d e l l . que de (xi)?=l , t a n d i s que E Z On peut a l o r s c h o i s i r f assez p e t i t pour que l a p r o j e c t i o n 0Pz de
E
sur
G
2'
s o i t de norme plus p e t i t e que
M f
5.2. Thdor&me de Cartan-Thullen-Oka.
THEOREME 5.2.1 , (Cartan-Thullen-Oka) , Dans m espace norm4 separable avec P.A.P.
t o u t ouvert polynomialement convexe e s t l e domaine
d ' e x i s t e n c e d'une fonction a n a l s t i q u e .
,
ThPorPme de Cartan- Thullen-Oka et complition holomorphe
84
COROLLAIRE.-
Soit U un ouvert finiment de Runge d'un espace norm6
¶ble avec P.A.P., les conditions suivantes sont gquivalentes : 1) U est pseudo-convexe. 2) U
3) sup n
v
est holomorphiquement convexe. (xn) u , xn 3 xo 6 [ u , il existe f 6 H(U)
c
I = + 30
If(Xn)
tel que
.
4) 11 nlexiste pas deux ouverts connexes U1 & U,- tels que: a)dfu2cu,~u,ul$-u9
, 3 f, C
f & H(U)
b)
5) I1 existe f
- f = f2
H(UI)
U2 '
tel qu'il n'existe pas deux ouverts U1 & U2- & f2 H(U2) tels W e :
a> 6 f
H(U)
u , c ~ , A, u~1 4 u
b) f 2 = f
U
2
(autrement dit : U est le domaine d'existence d'une fonction analytique). Le corollaire est conskquence du fait que 4) thhorkme 3.5. et que trivialement 5) =+ 4) , 3
=+ 3) par le =+ 2) ==+ 1 ) .
Avant de dkmontrer le th6oAme prouvons la proposition suivante : PROPOSITION 5.2.2.-
2 U est
un ouvert connexe d'un espace norm6
¶ble, les conditions suivantes sont 6quivalentes : a) U est le domaine d'existence d'une fonction analgtique. b) U & (Vn ) est une famille croissante d'ouverts tels que, pour tout n , d ( T , CU) 0
=Gn
>
.
DEMONSTMTIOI'T :
a)+
b) Soit f
la fonction analytique dont U est le domai-
ne d'existence. Pour tout x
de U
il existe un nombre rdel ax>O
tel que f soit born6 s u r l a boule fermge B(x et de rayon 2a La famille ( B ( x , 2ax))xcU X
.
, 2aX )
de centre x
est un recouvrement
de U dont on peut extraire un recouvrement denombrable puisque E
TIiPorPme de Cartan- Ttiullen - 0 k a et completion holomorphe
est ¶ble.
.u
On pose B
n
,
B(x
=
an)
. La famille des ouverts
B. posshde les qualitgs requises. Pour cela montrons V = n i ~ 1 n que si l'on pose b = inf a la fonction f se prolonge en n i' i,c n une fonction analytique dans Vn + B(O , b n ) i puisque U est le
,
domaine d'existence de U
,[
h
c'est-&-dire
d(Vn
il s'en suivra Vn U) >bn > O
.
+
= I f 11 , pour tout x de Vn v, Cauchy entrafnent IIP (x;h)/J+ M~ pour tout h n Posons M n
B(O , bn) C U ,
les in6galitgs de
'I
en(,
Les applications x
,
(x;h)ll$Mn<
h)
+
tel que Ilhit
< bn .
Gtant analytiques il s'ensuit : pour tout I\hb 6 b n
M
.
A
Pour tout x de V la s6rie z e n ( x ; h ) converge donc unin ' form6ment pour tout h € B(O b) avec 0 c b < bn et d6finit ain-
A
si un prolongement de f & Vn b) ==+ a)
+
B(0
, b,)
.
L'argument est classique : soit (xn)F
dense de points de U
,
une suite
chaque terme de cette suite intervenant une
infinit6 de fois. Pour tout n soit B la boule de centre x et n n de rayon d(xn , [U) Choisir z dans B2 V2 puis k2 tel 2 fi que V 3 V2 (z2) Soient (2,) et (k,) choisis tels que pour k2 tout n on ait :
. .
n[
A
zn t Bnk ' [
et k' 3 0 n n kn- I
Pour tout n
, il
izn-19
existe fn dans H(U)
telle que :
L'ouvert U z s t alors le domaine d'existence de la fonction analytique f = n=2
f n
.
On a m&me un peu plus : pour tout ouvert V de E tels que
+ 30 , c'est-&-dire tout point de 3 U . =
born6 au voisinage de
que f est non
86
Theoreme d e Cartan- Thullen-Oka et completion holomorphe
DEMONSTRATION du thkorhme 5.2.1.: Par la proposition 5.1.4, on peut supposer que E = U E r et que toutes les projections sont de norme Pour tout x de U notons Bx l a boule cenplus petite que d tree en x de U et de rayon 1 d(x , [U) , ces boules consti-
.
24
tuent un recouvrement de U dont on peut extraire, puisque E est separable, un recouvrement dknombrable (Bn)
. Par 1.
5.2.2. il suffit de montrer que la famille V =
[ >0
telle que d(qn , U)
Bn est
i d n
.
pour tout n
u
proposition
Si cela n'ktait pas vrai, il existerait une suite ( ym) de points de U convergeant vers un point f o de U et telle que, pour un n
0 '
sup m
If(
on ait (
5m)<-Vn - Vn 0
5 ,)I ,<
If1
c'est-&-dire 0
pour tout f de H(U) n'
name continu sur E
donc pour tout poly-
0
. Noter
x1
inf 1 d(xi ,(U) i d nn 2 " Choisissons m tel que 9, bn et a
[
A
=
0
,..., xn
les centres des boules
on a d&c
,[ U)>
d(Vn
a >O
.
0
- so\< -a . Les points
0 2 xn et F m sont contenus dans un sous-espace E de 0 0 To dimension finie. A tout polyname P sur E associons le poly-
x1
,...,
10
h)
name P = P
o
P , dkfini et continu
SUF
. I1 s'ensuit que :
E
CO
Les B ktant des boules centrkes sur E i 1 CO on a, en posant B! = B [xi,. - d(xi , [U,] , 1
n
p
(6BJC d1
c o i=l
2
n
1
i=
( B p LO
Donc, pour tout polyn8me P sur E
: ? I
et
(1 d
\I P LO
.(
Thkor6me d e Cartan-Thullen-Oko el complktion holomorphe
L'espace E 6tant nor&,
A U qui est
compact dans E
Bin E co ,est
l'ouvert
87
relativement
par hypothkse polynomialement convexe.
LO
Or en dimension finie le passage h l'enveloppe polynomiale ne diminue pas la distance h la frontikre et comme par l'in6 alit6 (*) $ est contenu dans l'enveloppe polynomiale de $0 B; 0 E c 0 i=1 11 s'ensuit les in6galitks : d( qui entrafnent
5,
- sol\2.a
11 P 0
l'on a choisi m pour que 0
, cU)> 0
d
[rm , [ (Uf\E 20
0
,
0
; d'oh l a contradiction puisque
/Ifm - gall $ a-2 . 0
REMARQUE.- Tout ouvert U domaine d'existence d'une fonction ana-
lytique est domaine d'existence d'une application analytique h valeur dans un espace de Banach. La reciproque est vraie (utiliser le thkorkme 1.4.5.) si E est s6parable. Voici un contre-exemple lorsque l'espace n'est pas ¶ble
:
E est l'espace des fonctions
continues B support compact sur l'ensemble des ordinaux de seconde classe muni de la topologie de l'ordre. Dans un tel espace on dkmontre(42)
que tout germe de fonction analytique se factorise h tra-
vers la projection de E sur un sous-Banach ¶ble boule unit6 B ( 0 , I )
direct. La
de E n'est donc le domaine d'existence d'au-
cune fonction analytique, alors que l'application analytique x---3
zxn!
de E dans lui-m&me a la boule unit6 pour domaine
d'existence.
5.3. Notion de complktion holomorphe. fi
Si E est un espace norm6 non complet et E dksigne son complktk, le th6oSme 1.4.4.
montre que toute fonction analytique sur A
E se prolonge h un ouvert Uf de E DEFINITION 5.3.1.-
.
On appelle enveloppe holomorphiquement complkte
Thiorkme de Cartan- Thullen-Oka et compldtion holomorphe
88
de
4
r\
E l'ensemble E =
PROPOSITION 5.3.2.-
Uf
.
H(E)
f
L'enveloppe holomorphiquement complete est un
.
fi
sous-espace vectoriel de E
En effet, pour tout f de H(E)
et
de
a
, la foncfion
dkfinie par fx (x) = f(Xx) pour tout x de E est un fA V klkment de H(E) . Soit maintenant x0 ( E , il s'ensuit que xo 6 UfA , c'est-h-dire que xo t Uf Puisque f est arbi-
.
v
traire il stensuit que x E E de
c.
0
c'est-&-dire (E)
E (xo +
=
U
z C
a
f'"
, la fonction
et f C H(E)
f (x) = f(z Z
+ x;
v
0
. Soit maintenant
(xo + E ) C E
est un 616-
pour tout fZ que x C Uf
+ 0
en d'autres termes : x
+
E C E
y CE0
Z
\
d'ok,
, on a
yo 6 (yo
+
J J
v
v
C E qui entrafne que xo + yo 6 E V " + (xo + E) ) L'ensemble E est donc bien un
(xo
E) )
.
J
espace vectoriel et l'on a E C E C E norm6 E
E il en
yo
E)" et, par le m&me raisonnement que celui qulon vient
de faire : (yo
+
+ 0, E ,
x
g v
puisque
car xo
A
W
Montrons maintenant que si x 0 et est de m&me de x + y , Soit z t E 0 0 dkfinie pour tout x de E par fZ V ment de H(E) , donc x 6 E entrafne
yo
h x o t E pour tout
entrafne
0
V
. Voici un exemple d'espace el , muni
tel que E f E : E est l'espace
induite par c 0 , alors E contient espace de c0 contenant strictement V
.
f7 P>l
CP
.D
de la norme
qui est un sous~
cet S exemple on se
sait pas caractkriser E On ne connait pas d'exemple d'espace norv n mk non complet tel que E = E , Par contre on connaft des classes u importantes d'espaces norm& tels que E = E De tels espaces sont -complets. Exemple : dits holomorphiquement complets ou coo muni d'une norm , 1 < p 6 + @ , Plus gknn6ralement :
.
THEOREME 5.3.3.-
D a m tout espace de Banach skparable avec P.A.P., V on peut trouver un sous-espace Eo propre, dense tel que E = Eo 0
DEMONSTRATION : I1 est toujours possible, par la proposition 5.1.4., de supposer que E est rkunion d'une famille filtrante pour l'in-
.
Thkorsme de Carton- Thullen-Oka et complition holomorphe
clusion de sous-espaces E,
89
de dimension finie avec, pour tout t ,
une projection de norme plus petite que 4 de E sur E,
. On
peut aussi toujours extraire de cette famille, une suite croissante, notke (En ) , dont la rkunion est dense dans E , noter Pn chaque = posshde les propriprojection correspondante. L'espace EO n ktks requises : E~ f E par un argument de RAE33 et pour montrer que
WE
V
E = E il suffit de montrer que pour tout a de E - Eo , il 0 0 ' existe une suite x + a , (xn)c E~ , et une fonction analytique m dans un voisinage de Eo qui contient la suite,telle que Soit I l'application identique SLW E ; l a sup If(xm)l =
.
+&J
m
famille de fonctions (Pn - I) est localement bornge, car
11 Pn(x) - I(x) fl 4
+.() II xll et pour tout x de E , Pn(x) - x -0 Le thkorkme de VITAL1 (ou aussi le lemme de HARTOGS) entrafne que pn - I 4 0uniformkment s u r tout compact, donc aussi localement. Tout point admet donc un voisinage V , tel qu'h partir d'un certain Nv , /lPn(x) - x I[,< 1 sur V Notons que (1
.
.
pour tout x de En
2n
pour
, Pn,(x) - x
>/ 0 , la fonction
= 0
,
ft n'
2n
v d6finie par
.
-
Z e n log
et consid6rons
/lPn(x) x 11 pour tout x de E Les sommes n partielles sont plurisousharmoniques et v localement limite d'une
v(x) =
suite d6croissante de telles fonctions ; c'est donc une fonction plurisousharmonique ou &
-
03
- 00 . La fonction ne sera pas
, si on choisit les
de plus, v(hx)$ L'ouvert
I$
En
tels que
identique
log~/Pn(a~a\b-~
pour tout lhldl et E o < { x e E , v(x)=----. E , v(x)< v(a)). est disqu4 en 0 , conne= ix
v(x)
aa
.
xe, contient E et a est adhkrent 'a -rL De plus, est 0 a a polynomialement convexe, car son intersection avec tout sous-espace de dimension finie l'est. On peut donc appliquer le theorhe 5.2.1. qui entrafne que pour toute suite xn 3 a
-
, (x,) CAa , il exis-
-
te une fonction analytique dans d a donc analytique dans EO telle que sup I f(xn)/ = + go , d'oh le r6sultat. n Rappelons que l'on dit qu'un ensemble A est polaire dans un ouvert connexe U s'il existe une fonction v plurisousharmonique
ThiorPme de Carton- Thullen-Oka et complition holomorphe
90
dans U telle que A C{v = - m j
. Un ensemble polaire est d'intk-
rieur vide, et, s'il est fermk, de complkmentaire connexe (proposition 1.1.15). Dans la demonstration prkckdente, nous avons utilisk le fait que ktait polaire dans E Le raisonnement utilisk permet de montrer
.
Eo que, si E est un espace de Banach avec P.A.P. et Eo un sousv espace dense et polaire de E , alors E; f E (En fait, le thkorbme est PO6.3. du chapitre 6 montre qu'il suffit de supposer que Eo laire dans un ouvert U de E) Rkciproquement, si Eo est un sousv espace dense de E tel que Eo f E , il existe une fonction analy-
.
.
tique sur Eo qui ne se prolonge pas h E d'existence, la fonction -log %(z dans U x(E
- {Of)
,
z')
U son domaine est plurisousharmonique
et on peut trouver un point de z 0' de Eo
tel que la fonction z -3 -log %(z , 2); h - go sur U On peut donc gnoncer :
.
PROPOSITION 5.3.4.-
. Soit
- 10s.
ne soit pas identique
Soit
E un espace de Banach skparable avec v soit tel que Eo f E P.A.P., Pour qu'un sous-espace dense Eo faut et il suffit qu'il soit polaire.
,
La notion d'ensemble polaire est utile en dimension infinie car elle permet, en l'absence de thkorie de la mesure (donc d'ensemble de mesure nulle), de mesurer la "petitesse" de certains ensembles et d'obtenir des rksultats come par exemple celui-ci : soit A un ensemble polaire fermk dans U dans U
-A
,
toute fonction plurisousharmonique
localement bornke au voisinage de tout point de A
se
prolonge de fapon unique en une fonction plurisousharmonique dans U , Voici quelques exemples d'ensembles polaires : les ensembles analytiques (c'est-&-dire, l'ensemble des zeros d'une famille finie de fonctions analytiques), tout sous-espace fermk (en prticulier, tout hyperplan) et dans un espace de Banach separable ou rkflexif, toute reunion denombrable de sous-espaces fern&
(en particulier, de sous-
espaces de dimension finie). En effet, pour ce dernier exemple, si En est une suite croissante de sous-espaces fermks de E et si
91
T h b r e m e de Carton-Thullen-Oka et complCtion holomorphe
x
-
E
0
WEn , h t o u t n
il e x i s t e , p a r Hahn-Eanach, une forme
u sur B t e l l e que un(x) = o s u r E n n ' IIunII = I e t un(xo) f o Come l ' e s p a c e e s t skparable, on peut e x t r a i r e une sous-suite l i n d a i r e continue
.
(u ) n
notke encore
q u i converge faiblement v e r s
z
f n l o g 1 un(x)l
d6finie oar v(x) = n 2 l
v
-m
tout entier e t
que dans E
f n l o g \un(xo)\ > - @
t e l s que
0
. La fonction
e s t plurisousharmoni-
s i l ' o n a choisi l e s
t 3 0
. I1 en ddcoule que
n
5.3.5.- Tout espace normd de dimension (alnkbrique) dknom-
THEOIiEME
brable e s t holomorphiquement complet. D6montrons d'abord l a proposition suivante : PROPOSITION 5.3.6.ble e t
Soit A
un point de E
y
un espace norm6 de dimension dknombra-
E
-E
. On Deut trouver un espace de Banach .A
h base F e t w e a p p l i c a t i o n l i n g a i r e continue u & E tels que U(E) = F u ( y ) # F@
.
@
Rappelons que l ' o n note
Fn
premiers klkments de l a base e t
l e sous-espace engendrk par l e s
E ; par hypothese
y
n
.
Fp= UE n
DEMONSTRATION de l a proposition : S o i t que de
F
(xnlnc
n'appartient
?A
,N
l a base algkbri-
aucun sous-espace engen-
x , Notons [ A ] l e sous-espace engendrk n Posons y1 = x e t choisissons u n supplkmentaire topoI & [yl] @ [y] dans E On peut k c r i r e :
drd par un nombre f i n i de h
par A C E logique de E = [Y1]
sur
>
.
8 [y
.
- Y,]
8 El
. Soit
- Y,]
C y l l parallhlement b [y
A
,(x)
l a p r o j e c t i o n de
@ El ; on a
e s t w e fonction continue. Dans r y
- -
- y,]
bl(y) = 1
8 E,
x6 E et
l e s vecteurs
et Y y1 y2 sont lindairement inddpendants. Y2 = x2 - h 1 ( X 2 ) Y , Dksignons par E2 un f a c t e u r d i r e c t de c y 2 ] d r y y1 y2] d m s [y
- y;]@
X =
>
n
El
e t , pour t o u t
Y1 +
Y2
x
de
E
- -
, posons
+ c.)2(x) avec
h 2 ( x ) 6 [y
- y1 - y2] @
E2.
ThtorPme d e Cartan- Tltullen-Oka et complition holomorphe
92
A
Par recurrence, on d 6 f i n i t me base algkbrique A
x
que t o u t
con t i n u
de
s ' k c r i t , pour t o u t
E
,
n
.
(y,)
de
telle
E
d e manibre unique
A
Soit
u
l ' a p p l i c a t i o n l i n g a i r e de
E
dans
4'
d d f i n i e par
00
. C ' e s t une a p p l i c a t i o n continue c a r llu(x)ll
Ix n(x)I --------
=
1- . Par
4 \\x112 2n
II >nII 2n
1 u ( E ) ={(x
n
,
) 6
xn = 0
construction
sauf un nombre f i n i de termes
f
et
-D'montrons maintenant l e thkorkme 5.3.5. I1 s u f f i t de montrer que s i (an)
e s t m e s u i t e d'618ments de
existe
f
H(E)
t e l que :
t i o n s de l a p r o p o s i t i o n 5.3.6.
.
sup n
E
convergeant v e r s
I f ( a n )[ = +
cw
(u(an))ntM/C
F
+ go
6E
il
. Avec l e s notaa0
et
Par l e thkorkme 5.3.3., F O3 u ( a n ) -3 u ( y ) t F - F* morphiauement complet e t il e x i s t e g t H(F-) t e l que sup I g ( u ( a n ) ) ( = n
y
e s t holo-
d ' o h l e r k s u l t a t en prenant l a f o n c t i o n
f = g o u .
Le theorbme s u i v a n t g d n 6 r a l i s e l e thkorkme 5.3.5. e t permet de c p n s t r u i r e des exemples d ' e s p a c e s q u i s o n t (ou ne s o n t p a s ) holomorphiquement complets. THEOREME 5.3.7.-&elcAE
m e t r i s a b l e de dimension denombrable e s t ho-
lomorphiquement complet s i e t seulement s ' i l e x i s t e s u r E me norme continue.
93
T h e o r h e de Cartan-Thullen-Oka et complktion holomorphe
et notons E
DEMONSTRATION : Soit p une norme continue s u r E
P l'espace E norm6 par p ; c o m e H(E~)C H ( E ) , il s ' ensuit que V
u
v
4
E CEH(E) cEH(E ) ' d'oh E = EH(E) P
)
= *H(E
puisque
par le
P
thkorhme 5.3.5.. Rhciproquement, supposons qu'il n'existe s u r E
aucune norme continue ou, ce qui est 6quivalent puisque la topologie de E eat mktrisable, qu'il existe une suite (x,) convergente vers 0" (c'est-&-dire,
rnxn .-+
O
"tri?s fortement pour toute suite
) de nombres complexes). Pour toute semi-norme p , il existe n un entier N tel que p(x ) = o pour tout n + N La suite P n P (yn ) dgfinie par y = x1 +...+ xn Aest alors une suite de Cauchy qui converge vers un point y de E ; la suite (y ) peut touo r , n jours &tre choisie telle que y E - E , par exemple en choisis()t
.
0
sant, pour tout n , x dans En+l - E~ , oh ( E ~ ) est une fan mille croissante de sous-espaces de dimension finie dont la r6union est &gale &
E
. Nous allons montrer que
x
0
est contenu dans l'in-
tersection des ouverts pseudo-convexes qui contiennent E , ce qui v entrafnera que x est un point de E et prouvera le thGor&me. Si 0
U est un ouvert pseudo-convexe contenant E et p une semi-norme telle que Bp(O, 1
)cu
il existe
w?
entier N
,
d4pendant de p ,
.
>
tel que p( xn) = 0 pour tout n N , donc aussi p( x +. .+x ) = 0 n m pour m), n a N L'ouvert U dtant pseudo-convexe et connexe con-
.
tenant B (0,l), il s'ensuit par le th&orkme 2.1.7. que
u+
.
,
on a y, = yN + %+, +...+ x n' donc yn appartient au sous-espace f e m k yN + p-1 (0) pour tout p-l~oj'cu Pour tout n 2 N
n a N ainsi que sa limite y
0 '
d'oh le r&sultat puisque
On a donc des exemples et des conditions pour que : soit E = E
Z
soit E V
soit E
&
A
E
.
I1 est int6ressant de caractkriser l'enveloppe holomorphiquev
ment complete E h partir de l'espace E
. On peut montrer que
E
Thkorsme d e Cartan- Thullen-Oka et romplbtion holomorphe
94
est kgal & l'intersection de tous les ouverts pseudo-convexes de
??
qui le contiennent. On peut aussi montrer, ce qui est plus interessant peut-Qtre, que E est kgal k. l'intersection de tous les ensemfi
pour toutes les fonctions v plurisousbles {x 6 E , v(x) = - W sur harmoniques dans un voisinage de E qui sont egales B -
El3.
Donnons maintenant un exemple d'espace E mktrisable de dimension dknombrable dont l'enveloppe holomorphiquement complete est kgale au complkt6. D'aprks le thko&me 5.3.7., la topologie de E doit &tre telle qu'il n'existe aucune norme continue sur E
. Pre-
nons l'espace E des suites nulles sauf un nombre fini de termes
*
muni de la topologie produit (donc E =
IN
6. )
6.''
2.3.3.,
. Par la proposition
tout domaine pseudo-convexe de est de la forme et o& U est le domaine pseudo-convexe de 6 Un x 6 n Tout des suites N-n dksigne l'espace > n * N-n x 6: domaine d'existence qui contient E est de la forme9 ce qui entrafne que U = et donc qu'il n'existe pas de domaih nA 4 ne pseudo-convexe U f E contenant E ; ceci prouve que E = E .
d'e cn
c
i',
&"
Cet exemple donne aussi un renseignement sur les ensembles polaires. En effet, il a ktk prouvk que dans un espace de Frkchet, toute &union dknombrable d'ensembles strictement polaires dans U (c ' est-h-dire, dkfinis par une fonction plurisousharmonique negative dans U) est strictement polaire. I1 n'en est pas de meme pour les IN est polaire dans 6 pour ensembles polaires : en effet,
cn
tout n
, mais
ctn
LJ
n'est pas polaire c a r toute fonction v
plurisousharmonique dans un ouvert qui contient B
-
00
sur
6,"
est
identique k.
-
00
uc .
Qtant dgale
Terminons ce paragraphe par quelques resultats sur les espaces holomorphiquement complets et les applications h valeurs M a c h . h
PROPOSITION 5.3.8.- Soient E un espace norm&, E f E & U un ou/r
vert connexe de E
. Pour tout
f
& H(U)
a f(U)
= f ( U nE)
Autrement dit toute fonction analytique sur U ne prend sur n
U n(E - E) que des valeurs dejh prises sur U A E
. En appliquant
.
Theorime de Carton-Thullen-Oka el complition holomorphe
95
, il s'ensuit que la fonction f ne prend
ceci b f t H ( E )
que des valeurs dkjb prises s u r E
sur
.
Montrons que si f n'annule en un point x
0
de U
uf
a($- E )
elle s'annule en au moins un point de U f l E . Soit D une droite A
complexe de E contenant x
0'
sur laquelle f n'est pas identique-
U 3 + yoeie , 0 d & 2a) et tel que x0 soit le seul z6ro de f dans le disque unit6 fern&. Approchons x et yo par des suites 0 (x,) et (yn) contenues dans E nU ; les fonctions ment nulle, on peut choisir un point y
0
bo
de U tel que
Yn(z) = f(xn + zyn ) sont d6finies et analytiques dans le disque et tend vers yo uniformkment. La suite unit6 de
Yn
c
A
=-J,
\p',Cz) dz
1
2 i ~ z(= 1 est un entier
yo en
>1
converge donc vers une limite qui
IPn'z) car cette limite n'est autre que la multiplicitk
. Chaque
gtant un entier, la suite est stationnaire b partir d'un certain rang, c'est-&-dire qu'il existe des
de
z= 0
points an de U f \ E
An
tels que f(an) = 0
.
Remarquons que nous avons introduit la notion de complktion holomorphe b partir des fonctions analytiques. En utilisant le th6orkme 1.4.4. et en examinant les dkmonstrations de ce paragraphe on s'aperGoit qu'on peut remplacer la notion de fonction par celle d'application analytique b valeurs dans un espace de h a c h et que l'on obtient la m&me notion d'ensemble holomorphiquement complet ainsi que le resultat suivant : PROPOSITION 5.7.9.-
analgtique de
E
est un espace norm6, toute application
B valeurs dans un espace de Banach se prolonae de manikre unique en une fonction 1(. : i *F E
.
Dans le cas d'un espace F norm6 holomorphiquement complet mais non complet on peut dnoncer :
PROPOSITION 5.3. 0.- si E & F sont d e w espaces norm& v d E F E et F = F , toute application analytique f : E *F
tels que se pro-
Theoreme de Cartan-Thullen-Oka et completion holomorphe
96
v
v
longe de manihre unique en une application analytique f : E d F
.
h
Soit j l'injection F +F
; grgce
la proposition 5.3.8.,
f se prolonge en une fonction analytique v v v f :E . I1 reste B montrer que f(E) C F c'est-'a-dire que si LI U est un domaine d'existence d'une fonction analytique, F C U C F , v u Y-I on a : F(E) C U L'ensemble V = f (U) est un ouvert connexe de l'application j *
v
-;
.
-4
E contenant E ; il est de plus fermd. En effet si x est adhkrent b V et (x,) une suite de points de E A V convergeant vers x , dans F ; de plus, p o w tout g de H(U)
la suite f(xn)-f(x)
,
. I
f(x ) ) est bornke car x € E entrafne que g c f n est analytique au voisinage de x La suite (f(xn)) est un ensemla suite (g
I,
.
U qui est un domaine d'existence, sa limite f(x) n'est donc pas un point frontikre de U ce qui entraPne que v x appartient 'a V , Par connexitk V = E c'est-&-dire que
ble
@-born4
de
V
:(i)cu . NOTES. La pro riktk d'approximation projective a ktk introduite par LindenstraussP61) ; la proposition 5.1.4. s ' inspire d'un rksultat de (61) et en rectifie la dkmonstration. Le premi r b avoir dkmontrd un th6orhme de type Cartan-Thullen est Dineenr2). Dans un espace de Banach b base, il a montrk, avec Hirschowitz(28), que tout ouvert finiment de Runge et pseudo-convexe est un ouvert d'holomorphie ; puis, nous montrons(75) que ce thkorhme est encore valable dans les especes de Banach avec P.A.P. et qu'alors l'hypothkse kquivaut b 1 c nvexitk polynomiale de l'ouvert. Ultkrieurement, Dineen 'a montrkT26y qu'un ouvert polynomial.ement convexe dans un espace de Frechet b base est le domaine d'existence d'une fonction analytique. Dans le cas nf;2T8parable, un contre-exemple ?I ce thkorbme est dtl h Hirschowitz La not'on de complktion holomorphe a 6tk introduite par Xirschowitzt46) , qui a donnk un exemple d'espace non holomorphiquement complet. Des exemples d'espaces holomorphiquement com lets ont &6 donnks dans(75) (thkorkme 5.3.3.) puis par Dineen(27) Ptheorhme
.
Thkor6me d e Carton-Thullen-Oka et complktion holomorphe
5.7.4. e t 5 .6.). Les r k s u l t a t s de l a f i n de ce chapitre se trouvent dans(4h7.
91
C H A P I T R E VI THEOREME DE LEVI-OKA Dans un espace de Banach separable posskdant l a propriktk d'approximation de Banach nous montrons que t o u t ouvert pseudo-convexe e s t un domaine d'existence, ce q u i renforce l e thkorkme de CartanThullen-Oka. La notion de polpbme qui k t a i t a u centre d e s c h a p i t r e s prdckdents nous a pennis de prouver que, d a m un espace de Banach ¶ble avec PAP, t o u t ouvert polynomialement convexe e s t l e domaine d ' e x i s t e n c e d'une fonction analytique (thdorhme de Cartan-Thullen-Oka). Un rksult a t beaucoup plus f o r t a k t k rkcemment dkmontrk dans l e s espaces de Banach h base o h l ' o n prouve que t o u t ouvert pseudo-convexe est un domaine d'existence (thkorhme de Levi-Oh).
I1 e s t de p l u s possible,
en u t i l i s a n t un rksultat recent de Pezczyiiski, de remplacer l a notion de base p a r une propriktk d'approximation p l u s gdnkrale. On o b t i e n t a i n s i , pour h peu prks l e s m&mes espaces, un thdorhme p l u s f o r t que c e l u i du c h a p i t r e prkckdent. I1 nous a paru ndanmoins i n t d r e s s a n t de dormer l e s d e w ddmonstrations c a r l e s techniques employkes sont d i f f d r e n t e s peuvent @treu t i l i s d e s dans d ' a u t r e s problhmes. DEFINITION 6.1.-
On d i t uu'un espace de Banach separable
l a propriktd d'approximation de Banach (P.A.B.)
E
posskde
s i1 e x i s t e une s u i t e
d'opdrateurs de ran0 f i n i uui converge en t o u t point v e r s l ' a w l i c a t i o n identique. Le thkorhme de Banach-Steinhaus e n t r a f n e a l o r s que l a f a m i l l e
(u,)
e s t bornke. Certains auteurs, p l u t b t que de propridtk d'approximation de Ehnach, p a r b n t de propriktk
d'approximation bornde ce qui est
j u s t i f i d par l e f a i t que, pour un espace de Banach sdparable, l e s conditions suivantes sont dquivalentes: ( un ) d'opkrateurs de rang f i n i t e l s que lim un(x) = x pour t o u t x de E. noo b) il e x i s t e une famille (u,) bornde ( e t q u i peut toujours @tresupa ) il e x i s t e une suite
poske ddnombrable) d'opkrateurs de rang f i n i t e l s que pour t o u t e ) O
e t t o u t compact K de E
il e x i s t e un
n
t e l que \lun(x)
- xn < E
ThPorPtne de Levi- Oka
pour t o u t
x
99
K.
de
La proprikte d'approximation de Banach est donc intermediaire e n t r e l a p r o p r i e t e d'approximation de Grothendieck qui ne suppose pas que
( IIunII ) est bornke e t l a p r o p r i e t e d'approximation met r i q u e qui suppose que lJunI1 S 1 pour t o u t n. Cette propriktd e s t l a famille
plus f a i b l e (formellement) que l a PAP e t l a PAF bornke c a r l e s applic a t i o n s q u i interviennent dans l a d e f i n i t i o n ne sont pas necessairement des projections. Exemple d'espaces de Banach ¶bles avec propriktk d'approximation de Banach, : 1 ) l e s espaces de Banach h base.
LP( x,p),
2 ) les espaces
I
i p
c
+3o
avec
x
localement compact e t
p mesure de Radon p o s i t i v e .
C(K), avec
3) l e s espaces
K
compact mktrisable.
Le l i e n e n t r e l e s espaces de Banach b base e t l e s espaces de Banach separablesavec PAB est donne p a r l a proposition suivante dont le lec-
teur trouvera l a demonstration en (77): PROPOSITION 6.2.-
Un e s w c e de Banach separable posskde l a p r o p r i Q t e
d'approximation de Banach s i e t seulement s i il est ( h u n isomorphis-
me p r h s ) sous-espace d i r e c t d'un espace de Banach h base. On peut maintenant dgmontrer l e theorkme suivant :
THEOREME 6.3.-
(Levi-Oka) Dans un espace de Banach separable E
avec
un ouvert est pseudo-convexe s i e t seulement si il e s t l e do-
P.A.B.
maine d'existence d'une fonction analytique. COROLLAIRE.-
Soit
un ouvert d'un espace de Banach separable avec
U
l e s conditions suivantes sont kquivalentes :
P.A.B., 1) U
e s t pseudo-convexe,
2) U
est holomorphiquement convexe,
3)
Y (xn) c U, xn /xo
t
C U,
il e x i s t e
sup \f(xn)I = + o o 9 n 4) il n ' e x i s t e pas deux ouverts connexes U1 a)
Id f
U , C U ~ A Uu1,
b) v f t H(U),
du
3 f l 2 H(U1)
5 ) il e x i s t e f G H(U)
f 6 H(U)
& U2
t e l que
t e l s me :
t
avec
f =
f2
s u r U2 ,-
t e l q u ' i l n ' e x i s t e pas deux ouverts connexes
TIiPorPme de Levi-Oka
100
u2 e t f 2 t H(u~) t e l s Que : Bfu2cu1nu, uldu
u1 a) b)
f2
=
U2
f
Remarquons que dans l e thkorkme on peut remplacer "fonction a n a l y t i quell par a p p l i c a t i o n analytique
? vi aleurs
dans un espace de Banach.
Avant de dormer l a ddrnonstration nous avons besoin de quelques rdsult a t s de dimension f i n i e dont on trouvera La dkmonstration dans l e liv r e de Hbrmander ( l a rkfkrence & l a numkrotation du l i v r e e s t i n d i quke e n t r e parenthhses).
Soit U
un domaine pseudo-convexe de 6 alors : a ) Pour t o u t e forme d i f f 6 r e n t i e l l e en dBi, notee f , b c o e f f i c i e n t s LEMME 6.4.-
-
dans ? (U) l'kquation
3u = f
a une s o l u t i o n u
dans
E
(U).
( C o r o l l a i r e 4.2.6. ). b)
a
e s t un comDact de U
K
t e l que),($i
= K, t o u t e fonction
a n a l s t i q u e au voisinage de K peut &re approchge uniformkment s u r
H(U).
K p a r des fonctions de
(thkorkme 4.3.2.)
K e s t un compact de U, a l o r s c) Dans ce lemme nous avons ~ o s d:
3
=
2 i=l
'3 2zi
diZi e t not6
g(u) $(u). =
?J(U)
(th8orkme 4.3.4)
l ' e s p a c e d e s fonctions
indkfiniment dkrivables dans U. La d6monstration se f a i t d'abord dans les espaces de Banach b base
se gknkralise aux espaces de Banach
puis, p a r l a proposition 6.2.) avec P.A.B. (en):
l e sous-espace engendrk par W n et u : E -+En .el, e la projection 2 x e - 5 x . e . . L'hyI j j 1 J J n n pothhse sur U veut d i r e que x +-log d(x, C U ) est plurisousharNotons
une base de
E, En
...,
monique dans U oil d(x, de U
[ U)
= i n f ( II x-y 1 I ; y Q U) ; l a t r a c e
sur E
e s t p a r conskquent un ouvert pseudo-convexe, n d'holomorphie. On u t i l i s e r a l a n o t a t i o n Kn =.{x
U ;//XI/
Unn {x c u
pour m, n 7 0, pose
L~ =
6 n e t d(x,
[ U) 3
Un
donc
l/n] ; Km est un compact de Runge de Un. Enfin on 1 ; I I U ~ ( X ) xi1 ,< 2 d(x, [ u ~ f . .
-
ThPor@rnede Levi-Oka
Notons que
101
e s t un compact de Runge de LI1-l f e t c e t ensemble n ' e s t a u t r e que
Unn Km Q
Un ; en ef-
Km ; -log d(x,[U) + l o g / x n / 5 - l o g ( 2 / l e n l l
{x (2 U n "
Ceci k t a n t dorink on a l e lemme s u i v a n t :
LEMME 6.5.- Soit ( b n ) y une s u i t e de p o i n t s de
.
[
(
U t e l l e que
I1 e x i s t e une s u i t e ( f n ) y de f o n c t i o n s bn t Unn Kn A En-l holomorphes f g , H ( U ) t e l l e que l a r e s t r i c t i o n de f n n n 'n- I s o i t fn-l' f n ( b n ) I b n9 et I f n ( x ) fn,l (Un-I ( X H l 4 2-" si
-
-
I
x 6 Un/'I Kn /I Ln-,
tion
Un-l ( x ) 6 Un - ). Chaque fonc-
(on n o t e q u ' a l o r s
f n p e u t &re c h o i s i e de facon clue
U,
s o i t son domaine g-
turel. D h o n s t r a t i o n : Prockdons p a r r e c u r r e n c e e t supposons que fl
,* ..,fn-1
a i e n t k t k trouvkes. Posons
uill (Un-l)
x E Un A
pour
et
h = [pg
(UnA KnA Ln
a u v o i s i n a g e de
- )u
g(xl,.
ou
-
..,xn)=fn-,
5
.
( x l , . ,x*~)
x v 'p 6 (Un) vaut 1 n Un,l e t vaut 0 a u voisinage de
(ce s o n t deux fermks d i s j o i n t s de Un ). A l o r s h -1 g > ' p , e t c e t t e & q u a t i o n admet une holomorphe kquivaut b v = x n solution v f (Un) (lemme 6.4.a). Come v e s t holomorphe dans un
U n n u ~ ~ l ( E n \-Ul )
5
Knn
on p e u t t r o u v e r ouvert contenant l e compact d e Rurige UnA Ln -n-2 w 4 H(Un) t e l l e que Iv - w l Q 2 /sup IxnI dans ce compact x c Kn
(lemme 6 . 4 . b ) . A l o r s , dans d i f f h r e de
f n-
un
-
,
Unn Kn n Ln - , F = h+xnw=rpg-x n (v-w) 2-n-2
que p a r
ne
a u p l u s . E n f i n on prend
x G + E x H oh G 6 H(U ) e s t t r k s grande e n module a u n n n bn mais t r k s p e t i t e sur U n / I K n (lemme 6 . 4 . c ) on peut l a -n-2 c h o i s i r t e l l e que IF(bn) + bn G(bn)) 3 n + 1 mais I x,G(x)/S 2
f
= F
n point
pour
+
x C Un
r\
Kn. Pour
H
on prend une f o n c t i o n holomorphe dont Un
e s t l e domaine n a t u r e l ; on peut c h o i s i r F
+
IE
xnG
+
E
xnH
pour
de fa$on que
c o m e domaine n a t u r e l e t
a i t encore Un
xn H(x)( ,< 2'n'2
E
x E
(UnnKn) { b n j . La f o n c t i o n
fn
s a t i s f a i t donc b t o u t e s l e s c o n d i t i o n s du lemme. Dhmonstration du theorkme : E (b ) n
de p o i n t s dans
U
k t a n t & p a r a b l e , il e x i s t e une s u i t e
q u i admet chaque p o i n t d e l a f r o n t i k r e de U
ThiorPme de Levi-Oka
102
comme point d'accumulation. Evidemment on peut supposer que
r\ [En-, ,
bn 6 Unn [Kn
e t c ' e s t pour c e t t e s u i t e que nous construi-
sons l a s u i t e de fonctions pour t o u t point
6 >O
respond
u
a
r 7O
il e x i s t e
e >O
t e l qu'b t o u t
cor-
t e l que
I fn(x)-fm(y) 1 ,< E B(b,l)
du lemme 6.5. On va montrer que
(f,)
x t U,,
si
Y
c
Um,x,y t B(b,S) e t b c B ( a , r ) ,
ktant l a boule ouverte de centre
b
. Ceci
6
e t de rayon
montrera l ' e x i s t e n c e e t l a continuitk d'une fonction f(x)=lim f j-
oh
(xj)
LU
x
e s t une s u i t e quelconque de p o i n t s dans WEn
; on v e r r a meme que
e s t localement unifome
/IUnll
e t I1 u n ( a )
et
lim f o u n n e x i s t e . Come l a convergence f s e r a analytique. On peut supposer que
u n ( B ( a , r ) ) C . B ( u n ( a ) , r ) n En, Choisisgo 2-n=2'nO< no> max( IIal\ + 1,2/d(a, [ U ) ) t e l que 4 no+1 1
- all 6
[U)
$(a,
0
n > n 0-1 ; c e l a est possible 1 r ,< r ( a ) = min( d(a,[U);I), B ( a , r )
pour tout
-a
u ( a ) tend v e r s a. S i n u n ( B ( a , r ) ) seront contenues dans Kn"
L'inkgalitk du lemme 6.5. n
ment continue dans
nKno,il e x i s t e fno(uno(Y)) I ,< 5 si
Uno
pour
m
E j=n +1 0
d
2
\fj(uj(y))
5
< r(a)
n,m ),no,
u_(x) I1
; come
fno
?t
0'
p a r t i r de
e s t uniformk-
6 , O < s,< r ( a ) X,Y
n2 n
pour t o u t
Ln-l
est donc valable pour
x 6 B ( a , r ( a ) ) . Prenons r
si
'4
tendant v e r s
= 1 ; il s ' e n s u i t que
sons d'abord
car
(xj) nj
6 B(a,Hg )
- r,
tel
et
on a :
- f j - 1 ( u ~ - ~ ( Y ) ) I + I fno(un0(x)) - fno(uno(Y)\
f-J+?S&,
j=n + I 0
si
x
Si
f
point
C Un, y C
n'admet pas
U
comme domaine nature1 c ' e s t q u ' i l e x i s t e un
a 6 U, un nombre rkel
Fc H ( B ( a , R ) ) t e l s que t r i c t i o n de
fn
) e t b C B(a,r).
Um,x,y C B(b,6
h En"
F
R
et
B(a,r)
f
> r = d ( a , [U)
e t une fonction
coencident dans
B ( a , r ) . La res-
peut donc e t r e prolongke h
TheorPme de Levi-Oka
E n A B(a,R)
pour t o u t
I03
f n , c e l a veut
n ; vu l a construction des
E A B(a,R) est contenu dans Un. Donc f e t F corncin dent dans E n r \ B(a,R) e t non seulement dans E n n B ( a , r ) . Prenons
d i r e que
b t B ( a , R ) n 2U ; il e x i s t e une sous-suite que
b
On s a i t que
>,
If(bnj)l
n j ; come
(b,)
telle
)=f(b,.) J j a s s e z grand c e c i e s t impossible, c o n t r a d i c t i o n qui dkmontre
"j
pour
+b.
( b n j ) de F(b
"j
bien l e theoreme lorsque
E
e s t un espace ?i base.
Supposons maintenant que
E
est un espace de Banach skparable qui
posskde l a propriktk d'approximation de Banach. Par l a proposition
6.2. il e x i s t e u n espace de Banach h base isomorphisme prks, sous-espace d i r e c t de
E
mentaire de
pseudo-convexe dans
E
( b t n ) une suite de point de
f r o n t i k r e de
U de E
U x G est E
adhgrente h t o u t point de l a
U
( b ) q u i conn e t qui s o i t adhkrente ?i t o u t point de l a fron-
(b;)
pace ae Banach ?i base
F
G
de
g
h E
f
non bornde s u r l a suite exactement l ' o u v e r t
e s t pseudo-convexe dans l'es-
il e x i s t e , par l a demonstration qui precede
analytique dans U x G
f
La r e s t r i c t i o n
un ouvert
un ouvert pseudo-convexe de
U
U x G dans F. Come U x
une fonction
un supplk-
dans E; on peut trouver une s u i t e
U
tienne l a s u i t e t i e r e de
G
s i e t seulement s i l ' o u v e r t
F. S o i t donc
s o i t , & un
E
t e l que
F ; notons
F. Par l e thkorkme 2.1.7.
dans
e s t pseudo-convexe d a m
et
F
non bornke s u r l a s u i t e (bA
est une fonction analytique dans U
(bh) ; son domaine d ' e x i s t e n c e e s t donc
U. Le thkorkme 6.3. e s t bien dkmontrk.
Remarquons que nous avons obtenu l e r e s u l t a t suivant :
PROPOSITION 6.6.Banach
E
Soit
U
separable avec
un ouvert pseudo-convexe d'un espace de PAB
et
F
un sous-espace de
mension f i n i e . Alors l ' a p p l i c a t i o n de r e s t r i c t i o n
est s u r j e c t i v e
de di-
H(U/) F)
.
I1 suffit de plonger se t e l l e que
H(U)
E
F
E
dans son espace b base e t de c h o i s i r une ba-
s o i t l e sous-espace engendrg par l e s
n
premikres
coordonnge s , Terminons ce c h a p i t r e en f a i s a n t remarquer que s i nous avons dfi u t i -
l i s e r l e r k s u l t a t de PeZczy5ski c ' e s t parce que l a famille
(u,)
des
104
Theoreme de Levi-Oka
a p p l i c a t i o n s qui interviennent dans l a d e f i n i t i o n de l a P.A.B. que dans l a P.A.P.
ainsi
n ' e s t pas nkcessairement f i l t r a n t e ce q u i empeehe
d'adapter aisement l a dkmonstration f a i t e dans l e cas d e s espaces
& base. Dans ce c a s en e f f e t l e s a p p l i c a t i o n s u sont des projecn tions e t I ' m a u o u = u. pour t o u t n e t m. n m inf(n,rn)
NOTES.-
Pour k t u d i e r l e problkme de Levi, nous avons j u s q u ' i c i s u i v i l ' i d k e de Dineen qui c o n s i s t e h se s e r v i r d e s polynames. En dimension f i n i e on s a i t que s i U e s t un ouvert pseudo-convexe e t F un sousespace, tout klkment de H(U r\ F) e s t l a r e s t r i c t i o n & F d'un 614ment de H(U). En dimension i n f i n i e lorsqu'on relkve de proche en proche d e s constantes apparaissent q u i , & p r i o r i , tendent v e r s l ' i n f i n i . Gruman (36) pour l e s espaces de H i l b e r t , puis Kieselman e t Gruman (37) pour l e s espaces de Banach & base ont r6solu ce problkme en u t i l i s a n t des techniques d'HiSrmander. I1 ne r e s t e p l u s qu'8 u t i l i s e r un r k s u l t a t de Pelczynski (77) pour ge'n6raliser ce r & s u l t a t , ce que nous avons f a i t i c i .
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INDEX
................. .................... ........ .. forte .......... mdtrique ........ projective ..... hire (espace) .......................... Base algebrique (de Hamel) .............. Base de Schauder ........................ (c) propridte ............................ Cartan-Thullen (thdohe) ............... Cartan-Thullen-Oka (theorhe) ........... Complhtement rQgulier ................... ContinuitXtsatz ......................... Convergence ( theorbme) .................. Convexitd holomorphe .................... Convexitd plurisoushamonique ........... Convexitd polynomiale ................... Compact U ......................... Dimension aldbrique .................... Domaine d'existence ..................... Domaine d'holomorphie ................... Enveloppe d'holomorphie ................. Enveloppe holomorphiquement complhte .... Espace holomorphiquement complet ........ Espace Qtald ............................ Extension analytique .................... fiiment ................................ G-analytique ............................ Hartogs lemme ........................... thdo&me ........................ Inductive topologie ..................... Inductive Limite loc. convexe ........... Inductive stricte ....................... Levi-Oka (thQorbme) ..................... Localement bornde ....................... Mamite ................................. Nucldaire ............................... Oka (theorbme) .......................... Oh-Wail ( theorbme) ..................... Plurisoushamoniques (fonctions) ........ Analytique application Analytique fonction Approximation (propridt6) bornde de Grothendieck
dans
P. a, 98 P* 8 p. 69 P- 8 p. a1 P* 1 P- 7 P* 7 p. 3, 47 p. 10 p. 83
P* 1 p. 10, 55 p. 12, p. 19 p. 10 p. 12, 45 p. 69 p. 21 P* 7 p. 10 p. 9, 58 p. 58 Pa al Po fl p. 51 p. 58 p. 43 p. 22 p. 20 P* 9, 30
P* 4 Pa 5 P* 5
p. 99 p. 15 p. 53
P. 6 p. 13 p. 11, 76 p. 11, 14
112
Index
....................... ........... ................................. Polyn8me ............................... Projection ..................... Projective topologie Projective limite ........................ Projective limite ouverte ................ Prolongement (couple) .................... Pseudo-convexe (ouvert) .................. Rayon ae convergence ..................... RQgularisQe superieure ................... Runge propri6t6, th6o&me) .............. Silva t espace) ........................... Suite t&s fortement convergeant vers 0 .. Uniform6ment ouvert ...................... ........................ Vitali (th6oAme) Zorn (th6orhme) ..........................
p. 89 p. 94 p. 22
P* P. P. Pa p. p. p. p.
5 2
3 3 63 12, 41
33 16
P.
11, 76, 78
p. p. p. p. p.
6
7, 93 48 28 29