Portfoliotheorie, Risikomanagement und die Bewertung von Derivaten, 2. Auflage

Springer-Lehrbuch

Jürgen Kremer

Portfoliotheorie, Risikomanagement und die Bewertung von Derivaten Zweite, vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage

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Prof. Dr. Jürgen Kremer RheinAhrCampus Remagen Südalle 2 53424 Remagen Deutschland [email protected]

Die erste Auflage ist unter dem Titel Einführung in die Diskrete Finanzmathematik, 978-3-540-25394-5, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006 erschienen

ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-20867-6 e-ISBN 978-3-642-20868-3 DOI 10.1007/978-3-642-20868-3 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classification (2010): 91B02, 91B24, 91B26, 91B28 c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006, 2011

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Für Ulrike, Alexander und für meine Eltern

Vorwort

Das Buch bietet eine Einführung in grundlegende Konzepte, Modelle und Methoden der Finanzmathematik und wendet sich in erster Linie an …nanz- und wirtschaftsmathematisch orientierte Studenten und Absolventen von Fachhochschulen und Universitäten. Der Text ist in zwei Teile gegliedert. Ein Schwerpunkt und eine Besonderheit des ersten Teils ist die algebraische, nicht-wahrscheinlichkeitstheoretische Darstellung der Bewertung zustandsabhängiger zukünftiger Auszahlungen in allgemeinen Ein- und Mehr-Perioden-Modellen in den Kapiteln 1 und 3. Die seit Black, Scholes und Merton grundlegende Bewertungsidee besteht in der Replikation dieser Auszahlungen durch selbst…nanzierende Handelsstrategien in arbitragefreien Marktmodellen, und der Preis eines Auszahlungspro…ls ist der Anfangswert einer die Auszahlung replizierenden Handelsstrategie. Diese Vorgehensweise kann insofern als deterministisch bezeichnet werden, als dass eine Auszahlung in jedem möglichen Zustand mit Hilfe einer Handelsstrategie nachgebildet wird und die Eintrittswahrscheinlichkeiten von Zuständen dabei keine Rolle spielen. Diese Wahrscheinlichkeiten müssen nicht einmal modelliert werden. Wenn aber die Bewertungsstrategie im Kern nicht wahrscheinlichkeitstheoretisch ist, dann sollte sie – alleine schon zur Vermeidung irreführender Interpretationen –auch nicht ohne Not so formuliert werden. Der algebraische Zugang zur Bewertung von Derivaten lässt sich …nanzmathematisch als verallgemeinerte Diskontierung zukünftiger zustandsabhängiger Zahlungsströme interpretieren. So ist beispielsweise in arbitragefreien EinPerioden-Modellen der Preis einer zustandsabhängigen, replizierbaren Auszahlung c 2 RK durch ein Skalarprodukt c0 = h ; ci gegeben, wobei 0 einen Zustandsvektor des Modells bezeichnet. Wir werden sehen, dass alle Komponenten von 2 RK aufgrund der Arbitragefreiheit des Modells gröPK ß er als Null sind. Daher ist Q := d , wobei d := > 0, formal ein i i=1 Wahrscheinlichkeitsmaß , und es kann c0 = dEQ [c] geschrieben werden. Da d als Diskontfaktor interpretiert werden kann, ist der Preis c0 von c damit als abdiskontierter Erwartungswert in einer durch das Wahrscheinlichkeitsmaß

VIII

Vorwort

Q de…nierten „risikoneutralen Welt” umgeschrieben worden, aber die Bewertungsstrategie hat mit Wahrscheinlichkeitstheorie nichts zu tun. Im Rahmen unserer Interpretation sagen wir dagegen, dass durch c0 = h ; ci die zustandsabhängige zukünftige Auszahlung c in einem verallgemeinerten Sinn auf den aktuellen Zeitpunkt 0 abdiskontiert wird und dann den Wert c0 besitzt. Ist c zustandsunabhängig, gilt also c (! i ) = z 2 R für alle PK i = 1; : : : ; K, so folgt c0 = h ; ci = i=1 i z = d z, und wir erhalten die klassische Diskontierungsformel für den zukünftigen Zahlungsbetrag z. Eine weitere Besonderheit des vorliegenden Textes besteht darin, dass das Capital Asset Pricing Model (CAPM) in Kapitel 2 in mathematisch präziser Form aus der Theorie der arbitragefreien Ein-Perioden-Modelle entwickelt wird, und dass mit Hilfe dieser Ideen auch die Theorie und die Ergebnisse der klassischen Portfolio-Optimierung abgeleitet werden. In Kapitel 4 werden die in den Kapiteln 1 und 3 vorgestellten Bewertungskonzepte auf Binomialbaum-Modelle und auf praxisrelevante Finanzinstrumente angewendet. Insbesondere wird die Bewertung von Standard-Optionen unter Berücksichtigung von Dividendenzahlungen der Underlyings während der Laufzeit der Derivate dargestellt. Durch Grenzübergang werden ferner aus den Binomialbaum-Gleichungen für Call- und Put-Optionen die BlackScholes-Formeln abgeleitet. Bestandteil des ersten Teils dieses Buches ist auch eine ausführliche Darstellung des Risikokonzepts Value at Risk in Kapitel 5. Das Delta-NormalVerfahren zur näherungsweisen Berechnung des Value at Risk wird so formuliert, dass es sich leicht objektorientiert implementieren lässt. Darüber hinaus wird in diesem Kapitel auch eine Einführung in kohärente Risikomaß e gegeben, und der prominenteste Vertreter dieser Maß e, der Expected Shortfall, wird detailliert als kohärent nachgewiesen. Der heute übliche Zugang zur Finanzmathematik in stetiger Zeit wird mit Hilfe von Methoden der stochastischen Analysis entwickelt. Im zweiten Teil des vorliegenden Buches werden grundlegende Konzepte, wie etwa die bedingte Erwartung, Martingale, das stochastische Integral, die Itô-Formel, der Martingal-Darstellungssatz oder der Satz von Girsanov, in Kapitel 6 zunächst im Rahmen endlicher, zeitdiskreter Modelle vorgestellt. Der Vorteil der Konzentration auf diese Modellklasse besteht darin, dass die wesentlichen Begri¤sbildungen in groß er Allgemeinheit und ohne aufwendigen technischen Apparat dargestellt werden können. In Kapitel 7 werden die im vorherigen Kapitel eingeführten Konzepte und Zusammenhänge der stochastischen Analysis auf die Bewertung von Derivaten in Binomialbaum-Modellen angewendet. Die Vorgehensweise ist dabei ganz analog zur Bewertung von Optionen innerhalb der stetigen Finanzmathematik, aber sie lässt sich in den diskreten Modellen mit erheblich geringerem technischen Aufwand durchführen. Im letzten Kaptitel 8 wird schließ lich eine Einführung in die stetige Finanzmathematik gegeben. Obwohl die stochastische Analysis hier nicht streng und

Vorwort

IX

vollständig entwickelt wird, sind die vorgestellten Begri¤sbildungen dennoch aus den beiden vorangegangenen Kapiteln vertraut. Als wesentliche Anwendung werden die Black-Scholes-Formeln in diesem stetigen Rahmen hergeleitet. Im Text werden Code-Fragmente für die Implementierung von Binomialbaum-Verfahren und Black-Scholes-Formeln, auch unter Berücksichtigung von Dividendenzahlungen, angegeben. Eine vollständige Java-Anwendung mit gra…scher Ober‡äche, von der aus diese Bewertungsverfahren aufgerufen werden, können einschließ lich aller Quelltexte von der Homepage des Autors heruntergeladen werden1 . Frau Agnes Herrmann und Herrn Clemens Heine vom Springer Verlag danke ich herzlich für ihre Unterstützung und für die ausgezeichnete Zusammenarbeit. Ich möchte an dieser Stelle auch meinen wissenschaftlichen Lehrern danken, von denen ich sowohl persönlich als auch fachlich sehr viel gelernt habe und denen ich viel verdanke. Insbesondere bedanke ich mich bei Herrn Prof. Dr. Dietmar Arlt, der während meines Studiums in Bonn sein umfassendes Wissen mit ansteckender Begeisterung und hohem persönlichen Einsatz vermittelte. Weiter danke ich Herrn Prof. Dr. Alfred K. Louis, der sich stets mit groß em Engagement für seine Mitarbeiter einsetzte, in dessen Arbeitsgruppe an der Technischen Universität Berlin eine Vielfalt interessanter Themen vertreten war und in der eine ausgezeichnete persönliche und fachliche Atmosphäre herrschte. Dann danke ich Herrn Prof. Dr. Hans Föllmer, der mir als damaligem Mitarbeiter der Bankgesellschaft Berlin die Möglichkeit gab, seine Vorlesungen und Seminare an der Humboldt-Universität Berlin zu besuchen. Ein Dank gilt weiter meinen Studenten, deren Fragen und Kommentare an vielen Stellen zu Verbesserungen des Manuskriptes führten. Meinen Kollegen Herrn Prof. Dr. Claus Neidhardt und Herrn Prof. Dr. Jochen Wolf danke ich für ihre Unterstützung und für manche fachliche Diskussion. Schließ lich danke ich meinem Sohn Alexander für die Erstellung der schönen Abbildungen. Daun Mai 2011

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www.rheinahrcampus.de/kremer

Jürgen Kremer

Inhaltsverzeichnis

Teil I 1

2

Ein-Perioden-Wertpapiermärkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Ein-Perioden-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Optionen und Forward-Kontrakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Forward-Kontrakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Die Bewertung von Auszahlungspro…len . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Die Transformation deterministischer Zahlungsströme . . 1.4.2 Die Transformation zustandsabhängiger Zahlungsströme 1.4.3 Die Bewertung von Auszahlungspro…len mit Hilfe von Replikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Replikation und das „Law of One Price“. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Der Fundamentalsatz der Preistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Der Nachweis der Arbitragefreiheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Replizierbarkeit und Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4 Interpretation von und d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5 Preise als diskontierte Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Das Ein-Perioden-Zwei-Zustands-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Partial-Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Wertgrenzen für Call- und Put-Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Das diskontierte Marktmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 Weitere Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4 7 9 10 12 14 15 16 18 25 32 36 43 44 45 47 55 59 62 63 67 69

Portfoliotheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Rendite und Risiko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Die erwartete Rendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Risiko, Varianz und Volatilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73 73 74 74

XII

Inhaltsverzeichnis

2.1.3 Rationale Investoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.1.4 Das - -Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.2 Portfolioanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.2.1 Rendite und erwartete Rendite eines Portfolios . . . . . . . . 77 2.2.2 Varianz und Standardabweichung eines Portfolios . . . . . . 79 2.2.3 Relative Risikobeiträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.2.4 Interpretation der Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.2.5 Die Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.2.6 Diversi…kation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.2.7 Die klassische Darstellung des CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.2.8 Systematisches und spezi…sches Risiko . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.3 Minimum-Varianz-Portfolio-Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.3.1 Die Zustandsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2.3.2 CAPM und das Minimum-Varianz-Optimierungsproblem112 2.3.3 Anwendungsbeispiel für den Fall L 2 Im D> . . . . . . . . . . 121 2.3.4 Der Fall L 2 RK beliebig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2.4 Weitere Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3

Mehr-Perioden-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.1 Modellierung der Informationszunahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 3.1.1 Informationsbäume,... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 3.1.2 Algebren und Partitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.2 Stochastische Prozesse und Messbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 3.2.1 Die natürliche Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 3.3 Das Marktmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 3.4 Die Bewertung von Auszahlungspro…len . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 3.4.1 Lokalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 3.4.2 Ein-Perioden-Teilmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 3.4.3 Konstruktion einer replizierenden Handelsstrategie . . . . . 165 3.5 Das Law of One Price . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 3.6 Arbitragefreiheit und der Fundamentalsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 3.6.1 Die Diskontierung von Zahlungsströmen . . . . . . . . . . . . . . 177 3.7 Der Diskontierungsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 3.7.1 De…nition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 3.7.2 Direktes und rekursives Verfahren zur Bestimmung der Preise von Auszahlungspro…len . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 3.7.3 Darstellung der Preise als Erwartungswerte . . . . . . . . . . . 195 3.7.4 Festverzinsliche Handelsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 3.7.5 Der Diskontierungsoperator wird zur bedingten Erwartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 3.7.6 Preisprozesse werden zu Martingalen . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 3.8 Wertgrenzen für Call- und Put-Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 3.9 Die Zinsstrukturkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 3.10 Das diskontierte Marktmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 3.11 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Inhaltsverzeichnis

XIII

3.12 Weitere Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 4

Optionen, Futures und andere Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 4.1 Das Mehr-Perioden-Binomialbaum-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 4.2 Rekombinierende Binomialbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 4.2.1 Das direkte und das rekursive Bewertungsverfahren . . . . 237 4.3 Kalibrierung der Parameter des Binomialbaums . . . . . . . . . . . . . 239 4.3.1 Bestimmung des Zinssatzes rn pro Periode . . . . . . . . . . . . 239 4.3.2 Die Modellierung der Aktienkurse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 4.3.3 Binomialbäume und Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . 243 4.3.4 Die Bestimmung der Parameter un und pn . . . . . . . . . . . 245 4.3.5 Näherungslösungen für un und pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 4.4 Die Bewertung europäischer Standard-Derivate . . . . . . . . . . . . . . 250 4.4.1 Das direkte Bewertungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 4.4.2 Das rekursive Bewertungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 4.5 Die Berücksichtigung von Dividendenzahlungen . . . . . . . . . . . . . 257 4.5.1 Die Modellierung von Aktienkursen mit Dividendenzahlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 4.5.2 Die Bewertung im Ein-Perioden-Zwei-Zustands-Modell . 261 4.5.3 Dividenden im Mehr-Perioden-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . 265 4.5.4 Algorithmen zur Bewertung europäischer Auszahlungen mit Dividenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 4.6 Amerikanische Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 4.6.1 Die Bewertung amerikanischer Optionen ohne Dividendenzahlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 4.6.2 Ein Algorithmus zur Berechnung amerikanischer Auszahlungen ohne Dividendenzahlung . . . . . . . . . . . . . . . 276 4.7 Amerikanische Optionen mit Dividendenzahlungen . . . . . . . . . . . 278 4.7.1 Ein Algorithmus zur Berechnung von amerikanischen Optionen mit Dividendenzahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 4.8 Die Black-Scholes-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 4.8.1 Bewertungsformeln im Binomialbaum-Modell . . . . . . . . . 281 4.8.2 Die Konvergenz der Bewertungsformeln des Binomialbaum-Modells gegen die Black-Scholes-Formeln 284 4.8.3 Die analytische Bewertung von Standard-Optionen im Black-Scholes-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 4.8.4 Implementierung der Black-Scholes-Formeln . . . . . . . . . . 286 4.9 Present Value und die Bewertung von Zahlungsströmen . . . . . . 293 4.10 Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 4.11 Forward-Preise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 4.12 Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 4.13 Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 4.13.1 Die Bewertung von Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 4.13.2 Interne Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 4.13.3 Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

XIV

Inhaltsverzeichnis

4.14 4.15 4.16 4.17 5

4.13.4 Konvexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Forward-Start-Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Forward-Start-Performance-Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Ein strukturiertes Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Weitere Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

Value at Risk und kohärente Risikomaß e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 5.1 Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 5.2 Konstruktion einer Zufallsvariablen mit vorgegebener Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 5.3 Quantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 5.4 De…nition des Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 5.4.1 Darstellung des Value at Risk mit Hilfe der Renditeverteilung eines Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 5.5 Normalverteilte Portfoliorenditen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 5.5.1 Zeitliche Skalierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 5.5.2 Die Portfoliorendite als Linearkombination normalverteilter Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 5.6 Die Delta-Normal-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 5.6.1 Das Di¤erential eines Finanzinstrumentes . . . . . . . . . . . . 344 5.6.2 Der Value at Risk nach der Delta-Normal-Methode . . . . 346 5.6.3 Berechnung der modi…zierten Sensitivitäten . . . . . . . . . . . 348 5.6.4 Component VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 5.6.5 Directional VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 5.7 Diskussion: Value at Risk als Risikomaß. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 5.8 Kohärente Risikomaß e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 5.9 Expected Shortfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 5.9.1 Der Nachweis der Kohärenz des Expected Shortfall . . . . 366 5.9.2 Weitere Eigenschaften und Schätzung des Expected Shortfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 5.10 Weitere Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

Teil II 6

Diskrete Stochastische Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 6.1 Bedingte Erwartung und Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 6.1.1 Die bedingte Erwartung als Projektion . . . . . . . . . . . . . . . 382 6.2 Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 6.3 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 6.4 Die Doob-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 6.5 Kovariations-Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 6.6 Orthogonale Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 6.7 Das diskrete stochastische Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 6.8 Stochastische Integrale und Kovariations-Prozesse . . . . . . . . . . . 398

Inhaltsverzeichnis

XV

6.9 6.10 6.11 6.12

Die Itô-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 Stochastische Exponentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 Der Martingal-Darstellungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 Der Satz von Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 6.12.1 Die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte . . . . . . . . . . . . . . . 405 6.12.2 Der Satz von Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 6.13 Martingalmaß e und Maß wechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 6.13.1 Die Existenz von Martingalmaß en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 6.14 Stoppzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 6.15 Weitere Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 7

Stochastische Finanzmathematik in diskreter Zeit . . . . . . . . . 419 7.1 Das Black-Scholes-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 7.1.1 Schritt 1: Modellierung der Dynamik der Wertpapiere, das Black-Scholes-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 7.1.2 Schritt 2: Konstruktion eines Martingalmaß es . . . . . . . . . 422 7.1.3 Schritt 3: De…nition des Preises von cT als Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 7.1.4 Schritt 4: Konstruktion einer die Endauszahlung cT replizierenden selbst…nanzierenden Handelsstrategie . . . . 425 7.1.5 Vollständigkeit und Arbitragefreiheit binomialer Marktmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 7.2 Die Binomialbaum-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 7.3 Die Black-Scholes-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 7.4 Amerikanische Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 7.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

8

Einführung in die stetige Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . 439 8.1 Das Black-Scholes-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 8.1.1 Schritt 1: Modellierung der Dynamik der Wertpapiere, das Black-Scholes-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 8.1.2 Schritt 2: Konstruktion eines Martingalmaß es . . . . . . . . . 442 8.1.3 Schritt 3: De…nition des Preises von cT als Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 8.1.4 Schritt 4: Konstruktion einer die Endauszahlung cT replizierenden selbst…nanzierenden Handelsstrategie . . . . 444 8.2 Die Black-Scholes-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 8.3 Elemente der stochastischen Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 8.3.1 Bedingte Erwartung und Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 8.3.2 Brownsche Bewegung und Wienermaß e . . . . . . . . . . . . . . . 447 8.3.3 Das Itô-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 8.3.4 Itô-Prozesse und Itô-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 8.3.5 Der Satz von Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 8.3.6 Der Martingal-Darstellungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

XVI

Inhaltsverzeichnis

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

Teil I

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

Die Aktienkurse zum aktuellen Zeitpunkt sind bekannt, nicht aber diejenigen in einem Jahr. Damit ist auch ungewiss, was ein Derivat, etwa eine CallOption, in einem Jahr wert sein wird. Eine Call-Option beinhaltet das Recht, eine bestimmte Aktie zu einem bereits heute festgelegten Preis K zu einem zukünftigen Zeitpunkt T kaufen zu dürfen. Es liegt im Ermessen des Eigentümers der Call-Option, sein Kaufrecht auszuüben oder nicht. Wird das Optionsrecht nicht ausgeübt, so verfällt die Option und wird wertlos. Besitzt die Aktie zum Zeitpunkt T einen Marktwert von S > K, so kann der Inhaber der Option sie mit Hilfe seines Optionsrechts zum Preis K kaufen und anschließ end an der Börse zum Preis S wieder veräuß ern. Auf diese Weise erzielt er einen Gewinn von S K > 0. Liegt der Marktwert der Aktie zum Zeitpunkt T dagegen unterhalb von K , gilt also S < K , so kann er das Optionsrecht nicht sinnvoll nutzen, und die Option ist in diesem Fall wertlos. In jedem Fall hängt der Wert der Option zum Zeitpunkt T vom Aktienkurs zu diesem Zeitpunkt ab und ist daher ebenfalls ungewiss. Nun können zwei extreme Positionen eingenommen werden. Die erste lautet, dass niemand verlässlich in die Zukunft schauen kann, dass nicht einmal eine genaue Vorhersage des Wetters der nächsten zwei Wochen möglich ist, und dass daher jede Prognose über die Aktienkurse in einem Jahr ausgeschlossen ist. Unter diesen Voraussetzungen erscheint die Entwicklung einer sinnvollen Optionspreistheorie aussichtslos. Eine zweite, entgegengesetzte Position lautet, dass es mit einem ausgefeilten ökonomischen Modell möglich sein sollte, genaue Voraussagen über die Kurse der Zukunft zu machen. Werden nur alle wirtschaftlich und psychologisch relevanten Faktoren in einem entsprechend komplexen Modell richtig verarbeitet, so sind Zukunftsprognosen für Aktienkurse zuverlässig möglich. Damit wiederum wird die Bewertung von Optionen zur Trivialität. Die moderne Finanzmathematik ordnet sich zwischen diesen beiden Allesoder-nichts-Positionen ein. Die grundlegende Annahme besteht darin, dass zwar die Entwicklung eines betrachteten Finanzmarktes in der Zukunft nicht vorausgesagt werden kann, dass aber die Menge aller möglichen zukünftigen J. Kremer, Portfoliotheorie, Risikomanagement und die Bewertung von Derivaten, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-20868-3_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

4

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

Szenarien dieses Marktes bekannt ist und dass genau eines dieser Szenarien eintreten wird. In diesem Kontext lassen sich Modelle so formulieren, dass die möglichen Markt-Szenarien für zukünftige Zeitpunkte t > 0 zu Zustandsräumen t zusammengefasst werden. Das einfachste nichttriviale Modell besteht darin, neben dem aktuellen Zeitpunkt 0 einen einzigen weiteren zukünftigen Zeitpunkt 1 zuzulassen, an dem der Markt genau einen Zustand ! aus einer endlichen Menge von Zuständen annehmen wird. Zum aktuellen Zeitpunkt 0 wird der Finanzmarkt als vollständig bekannt vorausgesetzt. So einfach dieses Modell auch erscheinen mag, es ist in der Analyse –wie wir sehen werden –erstaunlich reichhaltig, lässt sich zu komplexeren und realistischeren Modellen ausbauen und zeigt bereits viele wesentliche Eigenschaften der allgemeinen zeitstetigen Modelle. Die Darstellung der Ein-Perioden-Modelle und der Bewertung zustandsabhängiger Auszahlungspro…le in diesem Kapitel wurde durch Du¢ e [15] motiviert. Siehe auch Pliska [45], Dothan [14], Föllmer/Schied [16] und Koch Medina/Merino [35].

1.1 Ein-Perioden-Modelle Das grundlegende Modell wird Ein-Perioden-Modell genannt und ist durch folgende Daten gekennzeichnet: Es gibt genau zwei Zeitpunkte, den Anfangszeitpunkt 0 und den Endzeitpunkt 1. Wir nehmen an, dass der Zustand des Finanzmarktes zum Zeitpunkt 0 bekannt ist und dass der Markt zum Zeitpunkt 1 in genau einen Zustand aus einer endlichen Menge von K Zuständen ! 1 ; : : : ; ! K übergehen wird. Zum Zeitpunkt 0 sind alle diese möglichen zukünftigen Zustände bekannt, nicht aber, welcher Zustand realisiert werden wird. Die Menge der möglichen Szenarien wird zu einem endlichen Zustandsraum zusammengefasst, = f! 1 ; : : : ; ! K g: Es wird die Existenz einer endlichen Anzahl N von Wertpapieren S 1 ; : : : ; S N vorausgesetzt. Es gibt zu diesen Wertpapieren einen Preisprozess S = fSt = (St1 ; : : : ; StN ) jt = 0; 1 g. Dieser Prozess beschreibt die Preise der N Wertpapiere S 1 ; : : : ; S N zu den beiden möglichen Zeitpunkten 0 und 1. Die Preise S0i der Wertpapiere zum Zeitpunkt 0 sind Zahlen. Die Preise S1i hängen dagegen vom eintretenden Zustand ab, sind also Funktionen auf , S1i : ! R: Dabei bezeichnet S1i (!) den Kurs des i-ten Wertpapiers zum Zeitpunkt 1 im Zustand ! 2 .1 Sowohl die Preise S0i als auch die Werte S1i (!), 1

O¤ensichtlich ist die Menge aller Funktionen X : wobei der Isomorphismus gegeben ist durch

! R isomorph zum RK ,

1.1 Ein-Perioden-Modelle

5

! 2 , sind den Investoren bekannt. Aber erst zum Zeitpunkt 1 entscheidet sich, welche Kurse S1i (!) zu diesem Zeitpunkt tatsächlich realisiert werden, denn erst dann stellt sich heraus, in welchen Zustand ! 2 der Finanzmarkt übergegangen ist. Zum Zeitpunkt 0 sind also die K Zustände der Menge = f! 1 ; : : : ; ! K g als Endzustände zum Zeitpunkt 1 möglich, und zum Zeitpunkt 1 wird genau einer dieser Zustände als Endzustand realisiert. !1 % &

t=0

.. . !K t=1

Abb. 1.1. Veranschaulichung des Strukturgerüsts eines Ein-Perioden-Modells mit K Zuständen

Dieses Aufspalten der Menge in die Elementarzustände ! 1 bis ! K bildet ein Strukturgerüst, das durch das Hinzufügen von Preisen ergänzt wird. Zur Komplettierung des Marktmodells sind für die N Finanzinstrumente S 1 ; : : : ; S N des Modells zum Zeitpunkt 0 und für jeden Zustand ! 2 zum Zeitpunkt 1 Kursdaten vorzugeben, siehe Abb. 1.2 und das nachfolgende Beispiel 1.1. Beispiel 1.1. Wir betrachten folgendes Ein-Perioden-Modell mit den beiden Zuständen ! 1 und ! 2 zum Zeitpunkt 1:

S0 =

1 10

S1 (! 1 ) =

1:02 12

S1 (! 2 ) =

1:02 9

% &

t=0

t=1

In dieses Strukturgerüst wurden die Daten für zwei Finanzinstrumente S 1 und S 2 eingefügt. Das erste Finanzinstrument S 1 besitzt zum Zeitpunkt 0 den X 7! (X (! 1 ) ; : : : ; X (! K )) : Damit ist der Preisprozess S1 = S11 ; : : : ; S1N isomorph zum RKN .

6

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte 0

0

1 S01 . S0 = @ .. A S0N

t=0

%

1 S11 (! 1 ) B C .. S1 (! 1 ) = @ A . N S1 (! 1 ) .. .

&

0

1 S11 (! K ) B C .. S1 (! K ) = @ A . S1N (! K ) t=1

Abb. 1.2. Veranschaulichung der zu den Zeitpunkten t = 0 und t = 1 zu spezi…zierenden Kursdaten in einem Ein-Perioden-Modell

Wert S01 = 1. Zum Zeitpunkt 1 besitzt S 1 die Werte S11 (! 1 ) = S11 (! 2 ) = 1:02. Da hier die Kurse in beiden Zuständen übereinstimmen, entspricht dieses Finanzinstrument einer festverzinslichen Kapitalanlage. Im Beispiel beträgt der Zinssatz 2%. Das zweite Finanzinstrument S 2 besitzt zum Zeitpunkt 0 den Wert S01 = 10. Zum Zeitpunkt 1 besitzt S 2 die Werte S12 (! 1 ) = 12 und S12 (! 2 ) = 9. Damit könnte dieses Wertpapier als Aktie interpretiert werden, deren Kurs im ersten Szenario ! 1 vom Anfangskurs 10 auf den Wert 12 steigt und im zweiten Szenario ! 2 von 10 auf den Wert 9 sinkt. 4 Anmerkung 1.2. In der Praxis können Ein-Perioden-Modelle beispielsweise mit Hilfe historischer Zeitreihen für jedes der interessierenden Finanzinstrumente S 1 ; : : : ; S N gebildet werden. Üblich sind Zeitreihen, die für jedes Finanzinstrument S i , i = 1; : : : ; N , aus den Tageskursen der letzten K Handelstage bestehen. Als Ausgangsdaten steht dann für jedes der N Finanzinstrumente i eine Zeitreihe S0i ; S1i ; : : : ; SK mit je K +1 Einträgen zur Verfügung, wobei S0i für i = 1; : : : ; N den aktuellen Kurs des i-ten Finanzinstruments bezeichnet. Mit Hilfe dieser Daten werden nun für jedes Instrument i die Tagesrenditen Si

Si

Rji := j S1i j , j = 1; : : : ; K, der Vergangenheit berechnet, so dass pro Finanj zinstrument K Renditewerte erhalten werden. Eine Modellierung könnte dann darin bestehen, jede der K Tagesrenditen der Vergangenheit als ein mögliches Rendite-Szenario für den zukünftigen Tag zu de…nieren. Das auf diese Weise entstehende Ein-Perioden-Modell beinhaltet damit folgende Daten: Die aktuellen Preise der N Finanzinstrumente,

1.2 Portfolios

7

0

1 S01 B C S0 = @ ... A S0N Die modellierten Szenarien für den nächsten Handelstag, 0 1 1 S0 1 + R1j B C .. S1 (! j ) = @ A; . N N S0 1 + Rj j = 1; : : : ; K.

Jede Tagesrendite Rji der letzten K Handelstage wird also durch die De…nition S1i (! j ) := S0i 1 + Rji in ein Kurs-Szenario für das i-te Finanzinstrument zum Zeitpunkt 1, d.h. für den kommenden Handelstag, umgesetzt.

1.2 Portfolios De…nition 1.3. Ein Portfolio ist eine Zusammenfassung von h1 Finanzinstrumenten S 1 , h2 Finanzinstrumenten S 2 , : : : und hN Finanzinstrumenten S N zu einer Gesamtheit. Formal wird ein Portfolio de…niert als ein Vektor 0 1 h1 B C h = @ ... A 2 RN ; hN

wobei eine Komponente hi als Stückzahl interpretiert wird, mit der das i-te Finanzinstrument S i in der Gesamtheit vertreten ist. Das Produkt hi S i wird als Position des i-ten Finanzinstruments S i im Portfolio h bezeichnet. Der Wert V0 (h) des Portfolios h zum Zeitpunkt 0 lautet V0 (h) := h1 S01 + = h S0 :

+ hN S0N

(1.1)

Der Wert des Portfolios V1 (h) zum Zeitpunkt 1 hängt dagegen vom eintretenden Zustand ! j 2 ab. Daher gilt 0 1 h S1 (! 1 ) B C .. K V1 (h) := h S1 := @ (1.2) A2R : . h S1 (! K )

8

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte V1 (h) (! 1 ) = h S1 (! 1 ) %

.. .

V0 (h) = h S0 &

V1 (h) (! K ) = h S1 (! K )

t=0

t=1

Abb. 1.3. Veranschaulichung der Werte V0 (h) und V1 (h) eines Portfolios h

Alternativ kann V1 (h) als Abbildung von nach R aufgefasst werden, wobei V1 (h) (!) := h S1 (!) für ! 2 . Betrachten wir ein beliebiges Portfolio h 2 RN , so lassen sich die Werte V0 (h) und V1 (h) des Portfolios gemäßAbb. 1.3 veranschaulichen. Im folgenden wird gelegentlich die Angabe des Portfolios h in V0 (h) oder V1 (h) (!) weggelassen und einfach V0 oder V1 (!) geschrieben. Anmerkung 1.4. Mit den De…nitionen (1.1) und (1.2) gilt V1 (h) = V0 (h) + h wobei

S := S1

S;

S0 . Die Di¤erenz G(h) := V1 (h) =h

V0 (h)

(1.3)

S

kennzeichnet den Gewinn, der mit der Portfoliostrategie h erzielt wird. An (1.3) wird deutlich, dass der Gewinn eines Portfolios ausschließ lich auf die Änderungen S der Wertpapierpreise zurückzuführen ist. Anmerkung 1.5. Bei der De…nition der Stückzahlen hi werden sowohl nichtganzzahlige als auch negative Werte zugelassen. Während die Zulassung nichtganzzahliger Werte vorwiegend technische Gründe hat, die später erläutert werden, haben negative Werte eine ökonomische Bedeutung. Enthält ein Portfolio etwa eine negative Anzahl hi an Aktien, so bedeutet dies, dass jhi j Aktien von einer Finanzinstitution geliehen und diese anschließ end am Markt verkauft wurden. Damit bestehen bei dem Verleiher der Aktien Schulden der Höhe jhi j. Eine negative Stückzahl an Finanzinstrumenten in einem Portfolio entspricht also Schulden in diesem Finanzinstrument. Dies ist analog zu Schulden in einer Währung. Um Schulden zu machen, wird Kapital bei einer …nanziellen Institution geliehen und dieses Kapital wird dann „verkauft“, also gegen ein anderes Gut eingetauscht. Entsprechend werden Kapitalschulden in einem Portfolio durch eine negative Zahl an geschuldeten Einheiten des Kapitals, also z.B. in Euro, ausgedrückt. Während die Verschuldung an Kapital jedem Privatanleger über einen Bankkredit zugänglich ist, sind Leihegeschäfte für Aktien Privatanlegern in der Regel verwehrt. Der Grund ist das

1.3 Optionen und Forward-Kontrakte

9

hohe, mit diesen Leihegeschäften verbundene Risiko. Theoretisch sind die mit Leihegeschäften verbundenen Verlustrisiken nach oben unbeschränkt. Denn um die Leiheschulden zurückzahlen zu können, muss der Leihende die geliehenen Aktien am Markt zurückkaufen. Da der Kurs der Aktien theoretisch beliebig hoch steigen kann, ist entsprechend das potentielle, für den Rückkauf aufzuwendende Kapital nicht begrenzt. Beispiel 1.6. Wir legen das Modell in Beispiel 1.1 zugrunde und betrachten ein Portfolio 10 h= : 1 Dies bedeutet, dass vom ersten Finanzinstrument S 1 Schulden in Höhe von 10 Stück bestehen und vom zweiten Finanzinstrument S 2 1 Stück im Portfolio enthalten ist. Wird S 1 mit einer festverzinslichen Kapitalanlage in Euro identi…ziert, so entsprechen die Schulden von 10 Stück einer Kreditaufnahme von 10 Euro. Wird das zweite Finanzinstrument S 2 als Aktie interpretiert, so beinhaltet das Portfolio h neben einem Kredit von 10 Euro den Bestand von einer Aktie. Mit diesen Daten gilt V0 = h S0 =

10 1

1 10

=0

und V1 (! 1 ) = h S1 (! 1 ) =

10 1

1:02 12

= 1: 8;

sowie V1 (! 2 ) = h S1 (! 2 ) =

10 1

1:02 9

=

1: 2:

Zum Zeitpunkt 0 besitzt das Portfolio den Wert V0 = 0, d.h. die Schulden über 10 Euro entsprechen gerade dem Wert der einen Aktie S 2 zum Zeitpunkt 0. Zum Zeitpunkt 1 führt das Steigen des Aktienkurses im Szenario ! 1 zu einem positiven Wert des Portfolios von V1 (! 1 ) = 1:8, während das Sinken des Aktienkurses im Szenario ! 2 zu einem negativen Wert V1 (! 2 ) = 1:2 führt, siehe Abb. 1.4. Im Zustand ! 2 reicht der Wert der Aktie von 9 Euro nicht aus, um den Kreditbetrag plus Kreditzinsen in Höhe von 10:20 Euro zurückzuzahlen, sondern es besteht nach Liquidierung des Portfolios eine Zahlungsverp‡ichtung über den Betrag von 1:20 Euro. 4

1.3 Optionen und Forward-Kontrakte Auf der Basis der Instrumente, die in einem Marktmodell enthalten sind, lassen sich weitere Finanzinstrumente de…nieren, deren Eigenschaften von denjenigen des Marktmodells abhängen. Solche, von anderen Finanzprodukten abgeleitete Instrumente, heiß en Derivate. Zu diesen zählen Optionen und Forward-Kontrakte.

10

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte V1 (! 1 ) = 1: 8 V0 = 0

% &

t=0

V1 (! 2 ) =

1: 2

t=1

Abb. 1.4. Eine Investition in das Portfolio h ist zum Zeitpunkt 0 mit einem Kapitaleinsatz von 0 möglich und führt zum Zeitpunkt 1 in dem einem Zustand zu einem Gewinn und im dem anderen zu einem Verlust.

1.3.1 Optionen De…nition 1.7. Eine Call-Option beinhaltet das Recht, ein bestimmtes Wertpapier, das Underlying, zu einem in der Zukunft liegenden Zeitpunkt, dem Fälligkeitszeitpunkt, zu einem heute schon festgesetzten Preis, dem Strike- oder Basispreis, zu kaufen. Eine Call-Option heiß t daher auch Kaufoption. Es besteht das Recht, nicht jedoch die P‡icht, das Underlying zu erwerben. Sollte also der aktuelle Marktpreis des Underlyings zum Fälligkeitszeitpunkt unterhalb des Basispreises liegen, so ist es nicht sinnvoll, das Optionsrecht auszuüben, da in diesem Fall für das Underlying mehr als notwendig bezahlt werden müsste. Ist umgekehrt der Marktpreis des Underlyings zum Fälligkeitszeitpunkt höher als der Basispreis, so ist es sinnvoll, das Optionsrecht der Call-Option auszuüben, da sich durch den Kauf des Underlyings zum Basispreis und den sofortigen Verkauf zum – höheren – Marktpreis ein Gewinn erzielen lässt. Bezeichnen wir den Kurs des Underlyings zum Fälligkeitszeitpunkt mit S und den Basispreis mit K, so lautet der Wert der Option bei Fälligkeit somit max(S

K; 0) =: (S

K)+ :

Da wir unterstellen, dass der Investor rational handelt, wird er nur im Falle von S (!) > K von seinem Optionsrecht Gebrauch machen, und aus diesem Grund ist der Wert einer Option niemals negativ. Betrachten wir eine Call-Option in einem Ein-Perioden-Modell, so lassen sich die Werte cj = (S1 (! j ) K)+ für alle j = 1; : : : ; K als Vektor des RK oder als Funktion c : ! R interpretieren. c wird als Auszahlungspro…l oder als zustandsabhängige Auszahlung bezeichnet.

1.3 Optionen und Forward-Kontrakte

11

De…nition 1.8. Eine Put-Option beinhaltet das Recht, ein bestimmtes Wertpapier, das Underlying, zu einem in der Zukunft liegenden Zeitpunkt, dem Fälligkeitszeitpunkt, zu einem heute schon festgesetzten Preis, dem Strike- oder Basispreis, zu verkaufen. Eine Put-Option heiß t daher auch Verkaufsoption. Das Auszahlungspro…l einer Put-Option bei Fälligkeit lautet dementsprechend max(K S; 0) =: (K S)+ : Analog gilt für das Auszahlungspro…l c 2 RK in einem Ein-Perioden-Modell cj = (K

S1 (! j ))+

für alle j = 1; : : : ; K. Kann ein Optionsrecht wie oben de…niert nur zu einem zuvor festgelegten zukünftigen Zeitpunkt, dem Fälligkeitszeitpunkt, ausgeübt werden, so heiß t die Option europäisch. Kann es dagegen zu einem beliebigen Zeitpunkt während der Laufzeit bis zum Fälligkeitszeitpunkt ausgeübt werden, so heiß t die Option amerikanisch. O¤enbar können im Rahmen unseres Ein-PeriodenModells europäische und amerikanische Optionen nicht voneinander unterschieden werden. Warum könnte es sinnvoll sein, Optionen zu erwerben? Angenommen, ein Investor möchte in der Zukunft ein Wertpapier kaufen. Mit einer Call-Option, das dieses Wertpapier als Underlying besitzt, kann er sich heute gegen einen unerwarteten Preisanstieg versichern. Denn steigt der Preis des betrachteten Wertpapiers am Markt an, so muss der Investor dennoch nur den vereinbarten Basispreis zahlen. Sinkt dagegen der Kurs unter den Basispreis, so lässt der Investor sein Optionsrecht verfallen und kauft das Wertpapier günstiger am Markt. Sei weiter angenommen, ein Investor verfügt heute über einen Wertpapierbestand. Mit einer Reihe von Put-Optionen auf diesen Bestand kann er sich gegen einen unerwarteten Preisverfall versichern. Sollte nämlich der Kurs eines Wertpapiers einbrechen, so garantiert ihm die Option dennoch die Möglichkeit des Verkaufs zum vereinbarten Basispreis. Damit wirkt eine PutOption wie eine Versicherung gegenüber negativen Kursentwicklungen. Dieses Optionsrecht hat einen Preis, so wie Versicherungen ihren Preis besitzen. Ein zentrales Thema dieses Buches ist die Entwicklung und Analyse einer sinnvollen Strategie zur Preis…ndung für Optionen und andere Derivate. Beispiel 1.9. Wir wählen wieder das Ein-Perioden-Zwei-Zustands-Modell aus Beispiel 1.1 und betrachten eine Call-Option auf das Finanzinstrument S 2 mit Ausübungspreis K = 10:5 Euro und Fälligkeitszeitpunkt 1. Zum Zeitpunkt 1 besitzt die Option je nach eintretendem Zustand die Werte

12

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

c (! 1 ) = S12 (! 1 )

K

c (! 2 ) = S12 (! 2 )

K

+ +

+

= (12

10:5) = 1:5 und +

= (9

10:5) = 0:

Die zustandsabhängige Auszahlung c der Call-Option beträgt damit zusammengefasst 1:5 c= : 0 Betrachten wir in diesem Beispiel dagegen eine Put-Option mit Ausübungspreis K = 11, so ergeben sich je nach Zustand die Auszahlungen c (! 1 ) = K

S12 (! 1 )

+

c (! 2 ) = K

S12 (! 2 )

+

+

= (11

12) = 0 und

= (11

9) = 2;

+

also zusammengefasst die Auszahlung c=

0 2

: 4

Der Käufer einer Option hat also bei t = 1 niemals eine Zahlungsverp‡ichtung gegenüber dem Verkäufer. Aus Sicht des Käufers verfällt die Option im ungünstigsten Fall wertlos oder aber er besitzt gegenüber dem Verkäufer einen Zahlungsanspruch. Bevor wir der Frage nachgehen, wie sinnvolle Preise für Optionen bestimmt werden können, stellen wir zunächst noch ein weiteres wichtiges Finanzinstrument vor. 1.3.2 Forward-Kontrakte De…nition 1.10. Ein Forward-Kontrakt ist eine zum Zeitpunkt 0 eingegangene Verp‡ichtung, ein bestimmtes Wertpapier, das Underlying, zu einem in der Zukunft liegenden Zeitpunkt, dem Fälligkeitszeitpunkt, zu einem heute, bei t = 0, festgesetzten Preis F , dem Forward-Preis, zu kaufen. Dabei wird der Forward-Preis F so bestimmt, dass das Eingehen der Kauf- bzw. Verkaufs-Verp‡ichtung zum Zeitpunkt 0 kostenlos ist. Auch bei Forward-Kontrakten wird zum Zeitpunkt 0 der Preis vereinbart, der für das Underlying zum Zeitpunkt 1 zu bezahlen ist. Aber im Gegensatz zur Situation bei Optionen ist der Kauf des Wertpapiers, auf das sich der Kontrakt bezieht, verbindlich. Während der Käufer einer Option entscheiden kann, ob er von seinem Optionsrecht Gebrauch macht oder nicht, hat sich der

1.3 Optionen und Forward-Kontrakte

13

Käufer eines Forward-Kontrakts verp‡ichtet, das Wertpapier zum Fälligkeitszeitpunkt zu erwerben. Er ist also auch dann verp‡ichtet, es zum vereinbarten Preis F zu kaufen, wenn er das betre¤ende Wertpapier an der Börse billiger erhalten könnte. Andererseits ist das Eingehen eines Forward-Kontraktes kostenfrei, während der Käufer einer Option eine Optionsprämie zu bezahlen hat. Der Wert eines Forward-Kontraktes bei t = 1 lautet einfach S

F:

Also ist das zugehörige Auszahlungspro…l c 2 RK in einem Ein-PeriodenModell gegeben durch cj = S1 (! j ) F: Forward-Kontrakte werden häu…g nicht auf Aktien, sondern auf Wechselkursen gehandelt und können, wie Optionen, dazu dienen, Risiken zu kontrollieren. Wenn ein Unternehmen in einem halben Jahr beispielsweise Maschinen in einer Fremdwährung erwerben möchte, so kann durch einen Forward-Kontrakt auf die Fremdwährung das Wechselkursrisiko ausgeschlossen werden. Das Unternehmen gewinnt damit Planungssicherheit. Beispiel 1.11. Im Marktmodell des Beispiels 1.1 betrachten wir einen ForwardKontrakt auf die Aktie S 2 mit Forward-Preis F . Damit gilt für die zugehörige Auszahlung c (! 1 ) = S12 (! 1 ) F = 12 F und c (! 2 ) = S12 (! 2 )

F =9

F:

Der Forward-Preis F ist nun so anzupassen, dass der Wert des Kontraktes zum Zeitpunkt 0 gerade Null beträgt. Legen wir den Forward-Preis beispielsweise auf einen willkürlichen Wert, etwa F = 10, fest, so ergeben sich als Auszahlung c des Forward-Kontraktes die Werte c (! 1 ) = S12 (! 1 ) F = 12 10 = 2 und c (! 2 ) = S12 (! 2 )

F =9

10 =

1;

also c=

2 1

:

Aber welchen Wert besitzt die Auszahlung c zum Zeitpunkt 0? Und wie kann der Forward-Preis so angepasst werden, dass der Wert der auf diese Weise entstehenden Auszahlung gleich Null ist? 4

14

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

Eine Besonderheit des Forward-Kontraktes besteht also darin, dass hier der Preis zum Zeitpunkt 0 auf Null festgelegt wird und dass der ForwardPreis F so bestimmt werden muss, dass der Kontrakt bei t = 0 tatsächlich kostenfrei ist. Für Forward-Kontrakte gibt es – im Gegensatz zu Optionen – eine sehr einfache Strategie, um den Forward-Preis F festzulegen. Angenommen, ein Kontrahent kauft von uns einen Forward-Kontrakt auf eine Aktie S mit Fälligkeit t = 1. Die Aktie habe heute, zum Zeitpunkt 0, einen Wert S0 . Wir sind nun verp‡ichtet, zum Zeitpunkt 1 eine Aktie S an den Kontrahenten zu einem Preis F auszuliefern. Um dies garantieren zu können, kaufen wir die Aktie bereits heute, zum Zeitpunkt 0, und …nanzieren sie durch einen Kredit in Höhe von S0 Euro. Dieses Portfolio, Leihe von S0 Euro und Kauf einer Aktie S, ist zum Zeitpunkt 0 kostenfrei. Zum Zeitpunkt 1 verkaufen wir dem Kontrahenten die Aktie S zum Forward-Preis F . Wählen wir F so, dass mit diesem Betrag die entstandenen Verp‡ichtungen über S0 (1 + r), d.h. Kreditbetrag S0 plus Zinskosten rS0 , aus dem Kredit beglichen werden können, so lässt sich der Kontrakt ohne Gewinn oder Verlust erfüllen. Daher sollte F = S0 (1 + r) gewählt werden. Bemerkenswert ist, dass der Forward-Preis lediglich vom risikolosen Zinssatz r abhängt und nicht, wie zunächst vermutet werden könnte, von den modellierten Wertentwicklungen der Aktie zum Zeitpunkt 1. Beispiel 1.12. Für den Forward-Kontrakt aus Beispiel 1.11 ergibt sich wegen r = 2% somit ein Forward-Preis von F = S0 (1 + r) = 10 (1 + 0:02) = 10:2 Euro. 4

1.4 Die Bewertung von Auszahlungspro…len Allen Beispielen des vorigen Abschnitts ist gemeinsam, dass der Wert des jeweiligen Finanzkontraktes zum Endzeitpunkt 1 leicht zu ermitteln und damit für jedes mögliche Szenario bekannt ist. In allen Fällen ergibt sich eine zustandsabhängige Auszahlung c 2 RK zum Zeitpunkt 1, wobei K die Anzahl der Zustände zum Endzeitpunkt bezeichnet. Das zu lösende Problem besteht darin, für eine möglichst groß e Klasse von Auszahlungspro…len c 2 RK einen sinnvollen Preis zum Zeitpunkt 0 anzugeben. Wir werden im folgenden das Problem der Bewertung von Auszahlungspro…len ganz allgemein behandeln. Es wird sich zeigen, dass es nicht erforderlich ist, Call- und Put-Optionen sowie Forward-Kontrakte getrennt zu behandeln, obwohl für Forward-Kontrakte die im letzten Abschnitt vorgestellte, verblüffend einfache Bewertungsstrategie existiert, für Optionen dagegen nicht. Bei der Entwicklung eines Verfahrens zur Preisbestimmung lassen wir uns von einem vertrauten deterministischen Beispiel leiten.

1.4 Die Bewertung von Auszahlungspro…len

15

1.4.1 Die zeitliche Transformation deterministischer Zahlungsströme Angenommen, eine Bank hat zu einem zukünftigen Zeitpunkt 1 die Zahlungsverp‡ichtung über einen Kapitalbetrag c > 0. Dies bedeutet, dass die Bank zum Zeitpunkt 1 einen Zahlungsstrom von c erfahren wird.

# t=0

c

t=1

Diese zukünftige Zahlungsverp‡ichtung kann wie folgt in eine äquivalente Zahlungsverp‡ichtung zum aktuellen Zeitpunkt 0 umgewandelt werden. Zum Zeitpunkt 0 kauft die Bank eine Anleihe mit der Auszahlung c zum Zeitpunkt 1. Für diese Anleihe bezahlt die Bank heute, zum Zeitpunkt 0, den Betrag c0 := dc, wobei d den Diskontfaktor zwischen t = 0 und t = 1 bezeichnet. Zum Zeitpunkt 1 erhält die Bank den Betrag c als Rückzahlung aus der Anleihe. Mit dieser Auszahlung begleicht die Bank die Zahlungsverp‡ichtung c zum Zeitpunkt 1, so dass netto zu diesem Zeitpunkt kein Kapital ‡ieß t.

#

c0 = t=0

dc

lc

c=0 t=1

Insgesamt wurde auf diese Weise eine zukünftige Zahlungsverp‡ichtung c in eine äquivalente Zahlungsverp‡ichtung über den Betrag c0 = dc zum Zeitpunkt 0 transformiert. Umgekehrt nehmen wir an, dass die Bank zu einem zukünftigen Zeitpunkt 1 einen Kapitalbetrag c erhalten wird. Auch dieser Betrag lässt sich in einen Kapitalbetrag c0 zum Zeitpunkt 0 transformieren. Dazu verkauft die Bank zum Zeitpunkt 0 eine Anleihe, die zum Zeitpunkt 1 mit dem Wert c zurückgezahlt werden muss. Die Bank nimmt auf diese Weise zum Zeitpunkt 0 den Kapitalbetrag c0 = dc ein, wobei d den Diskontfaktor zwischen t = 0 und t = 1 bezeichnet. Zum Zeitpunkt 1 erhält die Bank den angenommenen Kapitalbetrag c, mit dem nun die Schuld aus der Anleihe beglichen wird. Auch hier ‡ieß t zum Zeitpunkt 1 netto kein Kapital, und der zukünftige Zahlungsstrom c wird in einen äquivalenten Zahlungsstrom c0 zum Zeitpunkt 0 umgewandelt.

16

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

In jedem Fall lässt sich also ein beliebiger Betrag c, der zum Zeitpunkt 1 ‡ieß t, mit Hilfe von Handelsaktivitäten in eine äquivalente Zahlung c0 = dc zum Zeitpunkt 0 transformieren. 1.4.2 Die zeitliche Transformation zustandsabhängiger Zahlungsströme Die Idee, Zahlungsströme durch Handelsaktivitäten in der Zeit zu verschieben, übertragen wir nun auf zustandsabhängige Auszahlungen. Zunächst betrachten wir erneut die bereits angesprochene Bewertungsstrategie für einen Forward-Kontrakt. Bezeichnet s0 den Kurs einer Aktie s zum Zeitpunkt 0, r den risikolosen Zinssatz und F = s0 (1 + r) den Forward-Preis, so besitzt der Forward-Kontrakt das Auszahlungspro…l cj = s1 (! j )

s0 (1 + r)

(1.4)

für j = 1; : : : ; K zum Zeitpunkt 1. Wir betrachten nun ein Marktmodell, das aus den beiden Finanzinstrumenten S 1 und S 2 besteht, wobei S 1 eine festverzinsliche Kapitalanlage der Höhe 1 zum Zinssatz r und S 2 die Aktie s bezeichnet. Damit gilt S01 = 1 und S11 = 1 + r, sowie S 2 = s. Die Bewertungsstrategie für die Auszahlung c 2 RK des Forward-Kontrakts kann damit wie folgt formuliert werden: Investiere zum Zeitpunkt 0 in das Portfolio h = ( s0 ; 1), bestehend aus einem Kredit in Höhe von s0 Euro und aus einer Aktie s. Dieses Portfolio besitzt zum Zeitpunkt 1 in einem beliebigen Szenario ! j den Wert V1 (h) (! j ) = h S1 (! j ) =

h1 h2 s0 1

= =

S11 (! j ) S12 (! j ) 1+r s1 (! j )

s0 (1 + r) + s1 (! j )

= cj : Die Auszahlungen cj des Forward-Kontrakts aus (1.4) werden durch das Portfolio h = ( s0 ; 1) also exakt nachgebildet. Der Wert des Portfolios h zum Zeitpunkt 0 beträgt

1.4 Die Bewertung von Auszahlungspro…len

17

V0 (h) = h S0 = =

h1 h2

S01 S02

s0 1

1 s0

= s0 1 + 1 s0 = 0: Damit entstehen für das Portfolio h, genau wie für den Forward-Kontrakt, zum Zeitpunkt 0 keine Kosten. Das Portfolio und der Forward-Kontrakt sind bezüglich Preis und Auszahlung also vollkommen identisch. In Verallgemeinerung dieses Beispiels nehmen wir nun an, dass eine Bank die Verp‡ichtung hat, mit einem Kontrahenten je nach eintretendem Zustand ! j einen von diesem Zustand abhängigen Betrag c (! j ) = cj 2 R zum Zeitpunkt 1 auszutauschen. Ist c (! j ) > 0, so muss die Bank dem Kontrahenten c (! j ) auszahlen, ist c (! j ) < 0, so hat der Kontrahent die Verp‡ichtung, der Bank den Betrag jc (! j )j zu zahlen: # # (=

t=0

# "

c (! 1 ) c (! 2 ) .. . c (! K 1 ) c (! K ) t=1

Eine derartige Verp‡ichtung könnte beispielsweise dadurch entstehen, dass die Bank einem Kunden eine Option, einen Forward-Kontrakt oder ein anderes Finanzprodukt verkauft hat. Um für die betrachtete Auszahlung c einen Preis c0 zum Zeitpunkt 0 zu …nden, versuchen wir, ein Portfolio h 2 RN so zu bestimmen, dass der Wert des Portfolios mit der Auszahlung c zum Zeitpunkt 1 in jedem Zustand exakt übereinstimmt. Das Portfolio h soll also die Bedingungen c (! 1 ) = h S1 (! 1 ) .. . c (! K ) = h S1 (! K ) erfüllen. Kann ein derartiges Portfolio gefunden werden, dann lässt sich der Wert c0 dieses Portfolios zum Zeitpunkt 0 sofort angeben, denn die Preise S0 aller Finanzinstrumente zum Zeitpunkt 0 sind bekannt. Es gilt

18

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

c0 = h S0 : Damit erhalten wir folgende Strategie, um die zustandsabhängige Zahlung c 2 RK zum Zeitpunkt 1 in die Zahlung c0 2 R zum Zeitpunkt 0 zu transformieren: Bestimme das Portfolio h, welches zum Zeitpunkt 1 die Auszahlung c besitzt und kaufe dieses Portfolio zum Zeitpunkt 0 für den Preis von c0 = h S0 . Zum Zeitpunkt 1 wird je nach eintretendem Zustand ! der Betrag c (!) = h S1 (!) aus dem Portfolio erhalten, wenn c (!) > 0 ist, oder es wird der Betrag c (!) geschuldet, falls c (!) < 0 ist. In jedem Fall ist h S1 (!) gerade der Betrag, der dem Kontrahenten geschuldet oder von diesem erhalten wird, so dass netto zum Zeitpunkt 1 kein Kapital ‡ieß t. Verkauft eine Bank also zum Zeitpunkt 0 ein Finanzprodukt, das beinhaltet, zum Zeitpunkt 1 je nach eintretendem Zustand ! die Zahlung c (!) zu leisten, so kann sich die Bank gegen die mit dem Verkauf des Finanzprodukts verbundenen Risiken vollständig absichern, wenn sie als Preis den Wert c0 = h S0 verlangt und mit diesem Kapital das Portfolio h zum Zeitpunkt 0 kauft.

#

c0 =

h S0

(=

l l

h S1 (! 1 ) h S1 (! 2 )

c (! 1 ) = 0 c (! 2 ) = 0

l l

h S1 (! K 1 ) c (! K 1 ) = 0 h S1 (! K ) c (! K ) = 0

.. .

t=0

t=1

1.4.3 Die Bewertung von Auszahlungspro…len mit Hilfe von Replikation Wir betrachten eine zukünftige zustandsabhängige Zahlung c = (c1 ; : : : ; cK ) 2 RK , c1 .. . cK t=0

t = 1:

1.4 Die Bewertung von Auszahlungspro…len

19

Die Idee der Transformation von c 2 RK in einen äquivalenten Betrag c0 2 R zum Zeitpunkt 0 besteht zusammengefasst aus den beiden Schritten: 1. Suche ein Portfolio h 2 RN mit den Eigenschaften c1 = V1 (h) (! 1 ) = h S1 (! 1 ) .. . cK = V1 (h) (! K ) = h S1 (! K ) : Wir veranschaulichen dies wie folgt: c1 = h S1 (! 1 ) .. . cK = h S1 (! K ) t=0

t = 1:

2. De…niere den Wert c0 := V0 (h) = h S0 dieses Portfolios als Preis von c zum Zeitpunkt 0: c1 = h S1 (! 1 ) c0 = h S0

.. .

(=

cK = h S1 (! K ) t=0

t = 1:

Wir untersuchen nun, ob und wie zu gegebenem c 2 RK ein derartiges Portfolio h 2 RN gefunden werden kann. Dazu ist folgender einfache Zusammenhang hilfreich. Lemma 1.13. Für jedes h 2 RN gilt h S1 = D> h; wobei

0

S11 (! 1 ) B .. D> = @ . S11 (! K )

1 S1N (! 1 ) C .. A . N S1 (! K )

(1.5)

20

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

die Transponierte der Matrix 0

1 S11 (! K ) C .. A . N S1 (! K )

S11 (! 1 ) B .. D := @ . S1N (! 1 )

bezeichnet, die spaltenweise aus den Preisen aller Finanzinstrumente in jeweils einem Zustand besteht. Beweis. O¤enbar gilt 0

1 h S1 (! 1 ) B C .. h S1 = @ A . h S1 (! K ) 0 1 h1 S11 (! 1 ) + + hN S1N (! 1 ) B C .. =@ A . 1 N h1 S1 (! K ) + + hN S1 (! K )

(1.6)

= D > h:

De…nition 1.14. Die N

K-Matrix 0

S11 (! 1 ) B .. D := (S1 (! 1 ) ; : : : ; S1 (! K )) = @ . S1N (! 1 )

1 S11 (! K ) C .. A . S1N (! K )

wird Auszahlungsmatrix oder Payo¤ matrix genannt.

Die Auszahlungsmatrix D wurde so de…niert, dass jede ihrer Spalten dieselbe Struktur besitzt wie der Preisvektor S0 . Wir de…nieren also die Komponenten von D durch Dij := S1i (! j ) für i = 1; : : : ; N und j = 1; : : : ; K. Wir sehen, dass Schritt 1. der Bewertungsstrategie für Auszahlungspro…le c 2 RK auf ein Standardproblem der Linearen Algebra führt, nämlich auf das Lösen eines linearen Gleichungssystems c = D> h:

(1.7)

Ist h 2 RN eine Lösung von (1.7), so sagen wir, h repliziert c. De…nition 1.15. Ein Auszahlungspro…l c 2 RK heiß t replizierbar oder erreichbar, wenn c im Bild von D> liegt, also wenn c 2 Im D> :

1.4 Die Bewertung von Auszahlungspro…len

De…nition 1.16. Ein Tupel (S0 ; S1 ) = (b; D) 2 RN Marktmodell mit Preisvektor 0 11 S0 B .. C b := S0 = @ . A 2 RN

MN

K

21

(R) heiß t

S0N

und Auszahlungsmatrix

0

S11 (! 1 ) B .. D := (S1 (! 1 ) ; : : : ; S1 (! K )) = @ . S1N (! 1 )

Dabei bezeichnet MN

K

1 S11 (! K ) C .. A 2 MN . N S1 (! K )

(R) die Menge aller reellen N

K

(R) :

K-Matrizen.

Die Schreibweise (S0 ; S1 ) = (b; D) bedeutet, dass sich ein Marktmodell (S0 ; S1 ) 2 RN X X : ! RN auf äquivalente Weise auch durch N (b; D) 2 R MN K (R) beschreiben lässt. Aus einem vorgegebenen Tupel (b; D) 2 RN MN K (R) lassen sich alle charakterisierenden Bestandteile eines Ein-Perioden-Modells ableiten. Die gemeinsame Anzahl der Zeilen von b und D entspricht der Anzahl der Finanzinstrumente des Modells, und die Anzahl der Spalten von D entspricht der Anzahl der Zustände des Modells. Der Vektor b wird als Preisvektor S0 interpretiert, der die Preise aller N Finanzinstrumente zum Zeitpunkt 0 zusammenfasst, während die j-te Spalte von D > als Preisvektor S1 (! j ) = S11 (! j ) ; : : : ; S1N (! j ) interpretiert wird, der die Preise aller Finanzinstrumente zum Zeitpunkt 1 im Zustand ! j enthält. De…nition 1.17. Ein Marktmodell (b; D) heiß t vollständig, wenn D > surjektiv ist, wenn also gilt Im D > = RK : Wenn (b; D) vollständig ist, dann ist jedes Auszahlungspro…l c replizierbar, d.h. in diesem Fall gibt es zu jedem c 2 RK ein h 2 RN mit c = D> h. Anmerkung 1.18. Beachten Sie, dass etwaige Wahrscheinlichkeiten pj , mit denen die jeweiligen Zustände ! j 2 zum Zeitpunkt 1 eintreten, bei der oben vorgestellten Preis…ndung nirgends auftreten. Diese auf den ersten Blick überraschende Tatsache erklärt sich durch die Bewertungsstrategie. Ein vorgegebenes Auszahlungspro…l c wird durch ein Portfolio h repliziert. Da jede Komponente cj repliziert wird, spielen die Eintrittswahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Zustände keine Rolle. Anmerkung 1.19. Die dargestellte Strategie verwendet entscheidend Argumente aus der Linearen Algebra. Dies setzt jedoch voraus, dass die Portfoliovektoren als Elemente aus RN –und nicht aus ZN –interpretiert werden. Tatsächlich können jedoch keine Bruchteile von Aktien gehandelt werden. Andererseits sind in der Praxis Transaktionen über eine einzige Aktie auch selten.

22

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

Üblicherweise werden Vielfache, wie etwa 50 oder 100 Stücke, gehandelt. Daher wird mit reellwertigen Stückzahlen gerechnet, die für die Umsetzung in die Praxis auf die nächste ganze Zahl gerundet werden. Beispiel 1.20. Das zu Beispiel 1.1 gehörende Marktmodell lautet 1 10

(b; D) =

;

1:02 1:02 12 9

:

Der Preisvektor b und die Payo¤matrix D enthalten jeweils 2 Zeilen. Also besteht das Marktmodell aus zwei Finanzinstrumenten. Ferner besitzt D auch 2 Spalten, also werden hier zwei Szenarien zum Zeitpunkt 1 modelliert. Die Payo¤matrix D ist regulär, also ist das zugehörige Marktmodell (b; D) vollständig. 4 Beispiel 1.21. Ein Marktmodell (b; D) sei durch folgende Daten gegeben: 00 1 0 11 1 1:2 1:2 (b; D) = @@ 120 A ; @ 110 130 AA : 24 26 23

Es enthält drei Finanzinstrumente und zwei Zustände ! 1 und ! 2 bei t = 1, so dass 0 1 0 1 0 1 1 1:2 1:2 S0 = @ 120 A ; S1 (! 1 ) = @ 110 A ; S1 (! 2 ) = @ 130 A : 24 26 23

Der Rang von D > hat den Wert 2. Also ist D> : R3 ! R2 surjektiv, und das Markmodell ist vollständig. 4 Beispiel 1.22. Wir betrachten die Daten des Beispiels 1.20 und versuchen, mit der beschriebenen Strategie den Preis einer Call-Option auf Finanzinstrument S 2 mit Ausübungspreis K = 10:5 zu ermitteln. Das Auszahlungspro…l dieser Option lautet 1:5 c= : 0 Da D regulär ist, besitzt das Gleichungssytem c = D > h, gegeben durch 1:5 0

=

1:02 12 1:02 9

h1 h2

;

die eindeutig bestimmte Lösung h=

4: 412 0:5

:

Für den Preis c0 := h S0 der Call-Option zum Zeitpunkt 0 erhalten wir daher

1.4 Die Bewertung von Auszahlungspro…len

4: 412 0:5

c0 =

1 10

23

= 0:588:

Analog lässt sich der Preis der Put-Option auf Finanzinstrument S 2 mit Ausübungspreis K = 10 berechnen. Hier lautet das Auszahlungspro…l c=

0 2

;

und das Gleichungssystem c = D > h 0 2

1:02 12 1:02 9

=

h1 h2

besitzt die eindeutig bestimmte Lösung h=

7: 843 0:667

;

so dass sich der Preis c0 =

7: 843 0:667

1 10

= 1: 176

für die Put-Option zum Zeitpunkt 0 ergibt.

4

Beispiel 1.23. Wieder basierend auf Beispiel 1.20 wird der Wert eines ForwardKontrakts auf S 2 mit Forward-Preis F berechnet. Für das Auszahlungspro…l c des Forward-Kontrakts gilt c=

12 F 9 F

:

Das replizierende Portfolio h löst das Gleichungssystem 12 F 9 F

=

1:02 12 1:02 9

h1 h2

;

d.h., es gilt h=

1 1:02 F

1

:

Der Preis c0 := h S0 von h zum Zeitpunkt 0 beträgt daher c0 =

1 1:02 F

1

1 10

= 10

1 F: 1:02

Wir bestimmen schließ lich F so, dass c0 = 0 wird, also F = 10 1:02 = S0 (1 + r) und erhalten genau den Wert, den wir bereits im Rahmen der Diskussion im Anschluss an Beispiel 1.11 ermittelt hatten. Das Portfolio h besteht

24

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

aus einer Anleihe von 10 Einheiten des festverzinslichen Finanzinstruments S 1 , also aus einem Kredit von 10 Euro, und aus dem Bestand einer Aktie S 2 . Der Gesamtwert des Portfolios beträgt somit gerade 0. Zum Zeitpunkt 1 besitzt das Portfolio in jedem Zustand genau den Gegenwert der Verp‡ichtung, die durch den Verkauf des Forward-Kontrakts entstanden ist. 4 Das vorangegangene Beispiel zeigt auch, wie Forward-Kontrakte bewertet werden, wenn F 6= S0 (1 + r) gilt. In der Praxis tritt dieser Fall z.B. dann auf, wenn ein Forward-Kontrakt abgeschlossen wurde und zu einem späteren Zeitpunkt, aber vor dem Fälligkeitszeitpunkt, erneut bewertet wird. Im Handelsgeschäft beispielsweise werden sämtliche Handelspositionen am Ende jedes Handelstages bewertet, und im Rahmen dessen muss der Wert jedes gehandelten Finanzinstruments täglich neu ermittelt werden. Beispiel 1.24. Es sei (b; D) ein Ein-Perioden-Zwei-Zustands-Modell, wobei das erste Finanzinstrument eine festverzinsliche Kapitalanlage zum Zinssatz r ist. Also gilt 1 1+r 1+r b= = S0 ; D = = S1 : S0 S1 (! 1 ) S1 (! 2 ) Ferner setzen wir S1 (! 1 ) 6= S1 (! 2 ) voraus. Sei c1 c2

c=

ein beliebiges Auszahlungspro…l. Dann betrachten wir mit s1 := S1 (! 1 ) und s2 := S1 (! 2 ) das Gleichungssystem h S1 = D> h =

h1 (1 + r) + h2 s1 h1 (1 + r) + h2 s2

=

c1 c2

:

Durch Subtraktion der zweiten von der ersten Gleichung folgt h2 =

c1 s1

c2 : s2

Multiplizieren wir nun die erste Gleichung mit s2 = S1 (! 2 ) und die zweite mit s1 = S1 (! 1 ) so erhalten wir nach Subtraktion h1 =

1 c2 s1 1 + r s1

c 1 s2 : s2

Damit lautet der Wert c0 := V0 (h) des replizierenden Portfolios c0 = h S0 = h1 + h2 S0 1 c2 s1 c1 s2 c1 c2 = + S0 1 + r s1 s2 s1 s2 1 (1 + r) S0 s2 s1 (1 + r) S0 = c1 + c2 1+r s1 s2 s1 s2 1 = (qc1 + (1 q) c2 ) ; 1+r

(1.8)

1.5 Replikation und das „Law of One Price“

25

wobei

(1 + r) S0 s2 : s1 s2 Speziell für Forward-Kontrakte mit Forward-Preis F gilt q :=

c1 c2

=

S1 (! 1 ) S1 (! 2 )

F F

;

und (1.8) liefert c0 =

1 1+r

= S0

(1 + r) S0 s2 (s1 s1 s2 1 F: 1+r

F) +

s1

(1 + r) S0 (s2 s1 s2

F)

Dies ist genau dann 0, falls F = (1 + r) S0 , und für das replizierende Portfolio erhalten wir h=

1 c2 s1 c1 s2 1+r s1 s2 c1 c2 s1 s2

=

F 1+r

1

=

S0 1

: 4

1.5 Replikation und das „Law of One Price“ Der im letzten Abschnitt entwickelte Ansatz zur Bewertung zustandsabhängiger Auszahlungen c 2 RK lautet: Löse das Gleichungssystem c = h S1 = D> h und de…niere den Preis c0 von c zum Zeitpunkt 0 als c0 = h S0 . Mit Hilfe dieser Strategie kann das zum Zeitpunkt 1 ‡ieß ende zustandsabhängige Auszahlungspro…l c 2 RK in eine Zahlung c0 2 R transformiert werden, die zum Zeitpunkt 0 erfolgt. Bei der Umsetzung der Bewertungsstrategie können zwei grundsätzliche Probleme auftreten. Sei dazu (S0 ; S1 ) = (b; D) ein Marktmodell und sei c 2 RK ein Auszahlungspro…l. Folgende Situationen sind denkbar: Die Replikation ist nicht möglich: Es gibt kein Portfolio h mit der Eigenschaft c = D> h, also c 62 Im D> . Die Replikation ist nicht eindeutig bestimmt: Es gibt verschiedene Portfolios h und h0 mit c = D> h = D> h0 . Dies ist gleichbedeutend mit c 2 Im D> und ker D> 6= f0g, wobei ker D> den Kern von D> bezeichnet. In diesem Fall stimmen möglicherweise die Preise h b und h0 b nicht überein, so dass kein eindeutig bestimmter Preis für c angegeben werden kann. Wir betrachten die beiden Fälle nun genauer.

26

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

Die Replikation ist nicht möglich Wenn eine Auszahlung c 2 RK nicht replizierbar ist, dann kann c nicht mit Hilfe eines replizierenden Portfolios in einen äquivalenten Zahlungsstrom zum Zeitpunkt 0 transformiert werden. Wir betrachten nun einige mögliche Bewertungsstrategien für diesen Fall, d.h. für die Situation c 62 Im D> . Superhedging. Sei c 0. Wir setzen voraus, dass es wenigstens ein Instrument S k für ein 1 k N gibt, mit S0k > 0 und S1k (!) > 0 für alle ! 2 , etwa eine festverzinsliche Kapitalanlage mit Zinssatz r > 1. Wir betrachten die Menge C+ (c) der replizierbaren Auszahlungspro…le c0 mit c0 c, also C+ (c) := fc0 2 RK c0

c; c0 2 Im D> g:

Die Menge C+ (c) ist nicht leer, denn es gibt zu jedem c 2 RK ein S1k c, und es gilt S1k = D > ( ek ). Damit de…nieren wir V+ (c) := inf fh b D> h h2RN

2 R mit

c g:

Wir haben nun ein typisches Problem der linearen Optimierung vor uns. Zu lösen ist inf h b unter der Nebenbedingung D> h

c:

Eine Lösung v dieses Optimierungsproblems kann als der kleinste Preis interpretiert werden, zu dem ein Verkäufer die Auszahlung c ohne Verlustrisiko verkaufen kann. Analog de…nieren wir C (c) := fc0 2 RK 0

c0

c; c0 2 Im D > g

und V (c) := sup fh b D > h h2RN

c g:

Auch C (c) ist nicht leer, denn es gibt zu jedem c 2 RK ein 2 R mit 0 S1k c. Wieder erhalten wir ein Problem der linearen Optimierung; es lautet: sup h b unter der Nebenbedingung D> h

c:

Eine Lösung v dieses Optimierungsproblems kann entsprechend als höchster Preis interpretiert werden, zu dem ein Käufer für die Auszahlung c in keinem Zustand zuviel bezahlt2 . 2

Zunächst ist nicht klar, ob v oder v beschränkt sind. Tatsächlich werden wir in Abschnitt 1.5 sehen, dass es zu jeder replizierbaren Auszahlung c 2 RK und zu

1.5 Replikation und das „Law of One Price“

27

Projektionsansatz. Für c 62 Im D > besteht ein weiterer Ansatz zur Preis…ndung darin, ein Portfolio h zu suchen, dessen Auszahlung D> h möglichst nahe bei c liegt. Die Aufgabe besteht also darin, die Funktion D> h

c

2

=

K X

D> h

2 j

cj

(1.9)

j=1

für h 2 RN zu minimieren. Dies entspricht der Bestimmung der Projektion von c auf den Bildraum Im D> und lässt sich numerisch beispielsweise durch das Lösen der Normalengleichung DD> h = Dc …nden. Minimale mittlere quadratische Abweichung. Ein weiterer Ansatz lautet: Minimiere die mittlere quadratische Abweichung von D> h und c, E

h

D> h

c

2

i

:=

K X

P (! j )

D> h

2 j

cj

;

j=1

über alle Handelsstrategien h 2 RN . Die Idee besteht hier darin, eine Zahlung cj , die in einem Szenario ! j fällig wird, um so stärker zu berücksichtigen, je höher die Eintrittswahrscheinlichkeit für diesen Zustand ist. Dieser Ansatz erfordert jedoch, dass das Marktmodell um die Modellierung der Wahrscheinlichkeiten ergänzt wird, mit denen die jeweiligen Zustände zum Zeitpunkt 1 eintreten werden. Bei der bisherigen Bewertungsstrategie spielten diese Wahrscheinlichkeiten keine Rolle. Wir nehmen also für diesen Ansatz an, dass Wahrscheinlichkeiten P (! j ) =: pj für 1 j K vorgegeben sind, mit denen die zukünftigen Szenarien ! j des betrachteten Finanzmarktes eintreten werden. Auf diese Weise wird ein WahrscheinlichkeitsmaßP auf de…niert. Der Ansatz, die mittlere quadratische Abweichung zu minimieren, kann auf den Projektionsansatz zurückgeführt werden. Dazu wird 0p 1 0 p 1 p p1 0 p1 S11 (! 1 ) p1 S1N (! 1 ) B C B C .. .. A := @ ... . . . ... A D> = @ A . . p p p 0 pK pK S11 (! K ) pK S1N (! K ) jedem vorgegebenen Preis w 2 R ein Portfolio hw 2 RN gibt mit D > hw = c und hw b = w, falls im zugrundeliegenden Marktmodell (b; D) nicht das Law of One Price gilt. In diesem Fall erhalten wir v = 1 und v = 1. Ist das Marktmodell (b; D) aber sogar arbitragefrei, siehe Abschnitt 1.6, so folgt aus Lemma 1.51, dass v und v reellwertig sind und daß v

v

gilt. Ist c selbst replizierbar, dann folgt v = v .

28

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

de…niert. Mit

gilt dann

0p

1 0 p 1 p1 0 p1 c1 B C B C .. z := @ ... . . . ... A c = @ A . p p 0 pK pK cK E

h

D> h

c

2

i

= jjAh

zjj2 ;

und wir erhalten ein Problem vom Typ (1.9). Erwartungswert-Ansatz Sind Eintrittswahrscheinlichkeiten für jeden Zustand gegeben, so ist eine weitere mögliche Strategie für die Bewertung einer zustandsabhängigen Auszahlung c 2 RK gegeben durch c0 := dE [c] = d

K X

pj cj :

(1.10)

j=1

Der Preis c0 wird in diesem Fall also de…niert als diskontierter Erwartungswert der zukünftigen Auszahlung c. Untersuchungen von Absicherungsstrategien in unvollständigen Märkten …nden Sie in Föllmer/Schied [16] und in Pliska [45]. Wir werden uns in diesem Buch auf den Fall c 2 Im D> konzentrieren. Die Replikation ist nicht eindeutig bestimmt Wir betrachten nun den Fall, dass eine Auszahlung c zwar replizierbar ist, jedoch nicht auf eindeutig bestimmte Weise. Wir nehmen also an, dass es zwei Portfolios h und h0 gibt mit h 6= h0 und mit c = D> h = D> h0 . Dann gilt h0 = h + f für ein f 2 ker D > , und es gilt h b 6= h0 b genau dann, wenn f b 6= 0. De…nieren wir für ein beliebiges 2 R das Portfolio h := h + f , so gilt D> h = c und c := h b = h b + f b. Durch geeignete Wahl von lässt sich im Falle von f b 6= 0 jeder beliebige Wert c 2 R realisieren und die Replikationsstrategie führt nicht zu einer sinnvollen Preis…ndung. Wenn jedoch h b = h0 b gilt, dann sind die beiden Portfolios h und h0 ökonomisch gleichwertig; sie kosten dasselbe und liefern dieselbe Auszahlung. Satz 1.25 charakterisiert diese Situation. Im Beweis wird verwendet, dass ker D> ? Im D

(1.11)

und RN = ker D>

Im D

(1.12)

1.5 Replikation und das „Law of One Price“

29

gilt3 . Aufgabe 1.1. Konstruieren Sie ein Beispiel eines Marktmodells mit zwei Finanzinstrumenten und zwei Zuständen, wobei das erste ein Vielfaches des zweiten ist. Machen Sie sich klar, dass hier für ein replizierbares Auszahlungspro…l unendlich viele replizierende Portfolios mit gleichem Anfangspreis existieren. Im folgenden werden Skalarprodukte, bei denen über Finanzinstrumente summiert wird, wie bisher mit einem Punkt gekennzeichnet, während für Skalarprodukte, bei denen über Zustände summiert wird, die Klammer h ; i verwendet wird. Satz 1.25. (Law of One Price) Sei (b; D) ein Marktmodell. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1. Es gilt das „Law of One Price“: Sei c = D > h 2 Im D> ein beliebiges replizierbares Auszahlungspro…l. Dann ist der mit Hilfe einer Replikationsstrategie de…nierte Preis c0 = h b von c eindeutig bestimmt, also unabhängig vom replizierenden Portfolio h. 2. b ? ker D > : 3. b 2 Im D, d.h. es gilt b = D für ein 2 RK . 4. Es gibt ein 2 RK , so dass für jede replizierbare Auszahlung c = D> h 2 Im D> gilt h b = h ; ci. Beweis. 1: () 2: Sei h eine spezielle Lösung von c = D> h. Die allgemeine Lösung lautet dann h0 = h+f für ein beliebiges f 2 ker D> . Nun gilt h0 b = h b genau dann, wenn f b = 0. Da f beliebig gewählt werden kann, ist dies gleichbedeutend mit b ? ker D> . 3

Seien f 2 ker D> und w 2 Im D beliebig. Nach De…nition gilt w = Dv für ein v 2 RK . Damit erhalten wir f w = f (Dv) D E = D> f; v = 0;

da D> f = 0. Also folgt ker D > ? Im D. Nach De…nition ist ker D > Untervektorraum des RN . Aus dem Dimensionssatz folgt weiter

Im D ein

N = dim ker D> + dim Im D> : Da bei Matrizen der Zeilenrang gleich dem Spaltenrang ist, gilt dim Im D> = dim Im D. Also erhalten wir dim ker D> woraus ker D >

Im D = RN folgt.

Im D = N;

30

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

2: () 3: Diese Äquivalenz folgt unmittelbar aus (1.11) und (1.12). 3: =) 4: Nach Voraussetzung existiert ein 2 RK mit b = D . Mit > > c = D h gilt h b = h D = D h; = hc; i. 4: =) 3: Sei h 2 RN ein beliebiges Portfolio und sei c := D> h. Nach Voraussetzung gilt h b = hc; i = D> h; = h D . Da h beliebig gewählt wurde, folgt b = D . Wenn D > injektiv ist, also wenn ker D> = f0g, dann gilt nach Punkt 2: des letzten Satzes das Law of One Price. Folgerung 1.26. Sei (b; D) ein Marktmodell, in dem das Law of One Price nicht gilt. Dann ist D > nicht injektiv. Die Aussage 4: von Satz 1.32 besagt, dass es in Marktmodellen, in denen die Preise c0 = h b replizierbarer Auszahlungspro…le c = D> h vom replizierenden Portfolio h unabhängig sind, möglich ist, diese Preise ohne Kenntnis von h durch c0 = h ; ci (1.13) zu berechnen. Folgerung 1.27. Sei (b; D) = (S0 ; S1 ) ein Marktmodell, in dem das Law of One Price gilt. Dann gibt es eine Lösung der Gleichung D = b, und für alle i = 1; : : : ; N gilt S0i = ; S1i : (1.14) Beweis. Das Gleichungssystem D = b kann geschrieben werden als S0 = b = D =

1 S1

(! 1 ) +

+

K S1

(! K ) :

(1.15)

Mit S1i := S1i (! 1 ) ; : : : ; S1i (! K ) lässt sich (1.15) schreiben als S0i =

; S1i

für i = 1; : : : ; N . Gleichung (1.15) lässt sich so formulieren, dass in einem Marktmodell das Law of One Price genau dann gilt, wenn die Preise S0 zum Zeitpunkt 0 eine Linearkombination der Preisszenarien S1 (! j ), j = 1; : : : ; K, zum Zeitpunkt 1 sind. Wegen der Bilinearität des Skalarprodukts ist Gleichung (1.14) äquivalent zu V0 (h) = h ; V1 (h)i (1.16) für beliebige h 2 RN , wobei V0 (h) = h b, V1 (h) = D> h verwendet wurde. Die Zusammenhänge (1.14) und (1.16) können als eine auf zustandsabhängige Auszahlungspro…le verallgemeinerte Diskontierung zukünftiger Zahlungsströme c = V1 (h) auf den Zeitpunkt 0 interpretiert werden. De…nieren wir d := 1 + + K , so folgt für replizierbare deterministische Auszahlungen, d.h., im Fall von c (!) = c für alle ! 2 , die Darstellung

1.5 Replikation und das „Law of One Price“

c0 = h ; ci = dc;

31

(1.17)

und wir erhalten die elementare deterministische Diskontierungsformel. Die Komponentensumme d von ist o¤enbar der Diskontfaktor des zugrundeliegenden Marktmodells. Unter der Voraussetzung, dass im betrachteten Marktmodell das Law of One Price gilt, kann jedoch nicht geschlossen werden, dass der Diskontfaktor d positiv ist. Er könnte null oder sogar negativ sein. Wir werden aber später sehen, dass Diskontfaktoren in arbitragefreien Märkten stets positiv sind. Gleichung (1.14) besagt im Rahmen dieser Interpretation jedenfalls, dass der abdiskontierte Wert der zustandsabhängigen zukünftigen Auszahlung eines Finanzinstruments S1i gerade S0i beträgt. Wenn konstante Auszahlungen c (!) = c replizierbar sind, dann folgt aus Satz 1.25, dass c0 = dc unabhängig vom replizierenden Portfolio ist. Dies bedeutet auch, dass die Komponentensumme d = 1 + + K nicht von der Auswahl einer Lösung von D = b abhängt. Es gilt also ker D ? 1, wobei 1 : = (1; : : : ; 1). Dies ist ein Spezialfall des nachfolgenden Satzes 1.28. Vorbereitend halten wir fest, dass für die lineare Abbildung D : RK ! RN analog zu (1.11) und (1.12) gilt ker D ? Im D | und RK = ker D

Im D| :

(1.18) (1.19)

Satz 1.28. Sei (b; D) ein Marktmodell, in dem das „Law of One Price“ gilt, und sei c 2 RK ein Auszahlungspro…l. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1. c ist replizierbar. 2. c 2 Im D > . 3. c? ker D. 4. Für jede Lösung

von D = b besitzt h ; ci denselben Wert.

Beweis. 1: () 2: Dies ist gerade die De…nition von Replizierbarkeit. 2: () 3: Die Äquivalenz folgt unmittelbar aus (1.18) und (1.19). 3: () 4: Nach Satz 1.25 existiert wenigstens eine Lösung von D = b. Für jede weitere Lösung 0 von D 0 = b gilt 0 = + f für ein f 2 ker D. 0 Dann folgt ; c = h ; ci genau dann, wenn c ? f . Da f beliebig gewählt werden kann, ist dies gleichbedeutend mit c ? ker D. Satz 1.29. Sei (b; D) ein Marktmodell, in dem das „Law of One Price“ gilt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1. Das Marktmodell (b; D) ist vollständig. 2. Im D> = RK . 3. ker D = f0g. 4. Die Lösung von D = b ist eindeutig bestimmt.

32

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

Beweis. 1: () 2: Dies gilt nach De…nition. 2: () 3: Dies folgt unmittelbar aus (1.18) und (1.19). 3: () 4: Da im betrachteten Marktmodell das „Law of One Price“ gilt, existieren nach Satz 1.25 Lösungen von D = b. Daraus folgt die Äquivalenz von 3: und 4: unmittelbar. Beispiel 1.30. Sei (b; D) ein Marktmodell, in dem das „Law of One Price“ gilt, und sei eine Lösung von D = b. Sei weiter S := S j , 1 j N, ein Finanzinstrument des Modells. Ein Forward-Kontrakt auf S mit ForwardPreis F besitzt die Auszahlung c = S1 F . Sind konstante Auszahlungen replizierbar, so besitzt h ; F i = dF nach Satz 1.28 für jede Lösung von D = b denselben Wert. Damit gilt für den Preis c0 des Forward-Kontrakts c0 = h ; ci = h ; S1 i

h ; F i = S0

dF: 4

1.6 Arbitrage Wir betrachten nun ein Marktmodell (b; D), in dem das Law of One Price nicht gilt. Dies ist nach Satz 1.25 gleichbedeutend mit b 6? ker D > . In diesem Fall existieren f 2 ker D > mit f b < 0. Dies bedeutet aber, dass der Erwerb von f zum Zeitpunkt 0 mit einer Kapitaleinnahme von f b > 0 verbunden ist. Die Einnahme beinhaltet keinerlei Risiko, denn das Portfolio ist zum Zeitpunkt 1 wertlos, D> f = 0, insbesondere bestehen zu diesem Zeitpunkt keine Zahlungsverp‡ichtungen. Eine Möglichkeit, risikolos Gewinne ohne eigenen Kapitaleinsatz erzielen zu können, wird Arbitragegelegenheit genannt. De…nition 1.31. Eine Handelsstrategie h heiß t Arbitragegelegenheit, falls4 h b

0 und D > h > 0

(1.20)

oder h b < 0 und D> h

0:

(1.21)

Existieren in einem Marktmodell (b; D) keine Arbitragegelegenheiten, so heiß t das Marktmodell arbitragefrei. Gilt V0 (h) = h b > 0, so ist das der Betrag, der für den Kauf des Portfolios aufzuwenden ist. Ist V0 (h) < 0, so wird bei der Zusammenstellung des Portfolios h zum Zeitpunkt 0 das Kapital V0 (h) > 0 entnommen. 4

Dabei bedeutet D > h > 0, dass D > h

j

0 für alle j = 1; : : : ; K und dass

D> h k > 0 für wenigstens ein k. Für x 2 Rn schreiben wir allgemein x > 0, falls xi 0 für alle i = 1; : : : ; n und xk > 0 für wenigstens ein k. Wir schreiben x 0, falls x strikt positiv ist, d.h., falls xi > 0 für alle i = 1; : : : ; n.

1.6 Arbitrage

33

Der Betrag V1 (h) stellt den zustandsabhängigen Wert des Portfolios zum Zeitpunkt 1 dar. Gilt V1 (h) (! j ) = h S1 (! j ) = D> h j > 0, so bezeichnet dies den Gewinn, der beim Verkauf des Portfolios erzielt wird, falls zum Zeitpunkt 1 der Zustand ! j realisiert wird. Gilt V1 (h) (! j ) < 0, so bedeutet dies eine Zahlungsverp‡ichtung für den Besitzer des Portfolios im Zustand ! j . In (1.20) kostet das Portfolio also anfangs nichts oder es bringt sogar etwas ein, V0 (h) 0. Zum Zeitpunkt 1 bestehen dagegen in keinem Zustand Zahlungsverp‡ichtungen, aber es gibt die Chance auf einen positiven Gewinn, V1 (h) > 0. In (1.21) wird sofort ein Gewinn realisiert, V0 (h) < 0, und später bestehen keinerlei Zahlungsverp‡ichtungen, eventuell kann sogar ein Gewinn realisiert werden, V1 (h) 0. Wir haben gesehen, dass in einem Marktmodell Arbitragegelegenheiten existieren, wenn das Law of One Price nicht gilt. Dies formulieren wir wie folgt: Satz 1.32. In einem arbitragefreien Marktmodell (b; D) gilt das „Law of One Price“. Der Preis jeder replizierbaren Auszahlung c = D> h ist also eindeutig bestimmt durch h b und es gilt b ? ker D> oder äquivalent b 2 Im D: Gilt umgekehrt das „Law of One Price“, so kann daraus nicht geschlossen werden, dass das Marktmodell (b; D) arbitragefrei ist, wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel 1.33. Betrachten Sie das Marktmodell 00 1 0 11 0:99 1:1 1:1 (b; D) = @@ 7:0 A ; @ 10 9 AA : 2:1 9 6 Für D > =

1: 1 10 9 1: 1 9 6

: R3 ! R2 gilt Rang D> = 2, das Modell ist also 0 1 19:091 vollständig. Ferner gilt dim ker D > = 1 und f := @ 3:0 A löst das Glei1 chungssystem D> f = 0. Damit ist ker D > = f f j 2 Rg. Wegen f b=0 gilt ker D> ?b. Mit Satz 1.25 folgt daraus, dass in (b; D) das „Law of One Price“ gilt. Dennoch ist sofort zu sehen, dass das Marktmodell nicht arbitragefrei ist, denn eine Verschuldung im ersten Finanzinstrument und eine Investition in das dritte führt in jedem Szenario zu einem positiven Gewinn. 4

34

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

Lemma 1.34. In einem arbitragefreien Marktmodell (b; D) beinhaltet jede zum Zeitpunkt 0 getätigte kostenlose Investition in ein Portfolio h mit D> h 6= 0 ein Verlustrisiko. Beweis. Sei h eine kostenlose Investition mit D> h 6= 0. Dann gilt D > h 0, denn sonst wäre h eine Arbitragegelegenheit. Wegen D> h 6= 0 muss daher wenigstens eine Komponente von D> h negativ sein, und dies kennzeichnet einen Verlust. Dass im vorangegangenen Lemma eine zum Zeitpunkt 0 kostenlose Investition h betrachtet wurde, ist wesentlich. Denn das risikolose Erzielen von Gewinnen ist mit einem positiven Kapitaleinsatz bei jeder festverzinslichen Geldanlage mit positivem Zinssatz möglich. Bei der Anlage eines Kapitalbetrags K, der sich bis zum Zeitpunkt t mit einem Zinssatz r > 0 verzinst, beträgt das Endkapital K (1 + r). Also wurde hier der Gewinn rK erzielt, der unabhängig vom Zustand ist, der zum Zeitpunkt t eintritt. Ist ein Marktmodell arbitragefrei und ist h ein replizierendes Portfolio für das Auszahlungspro…l c, so ist der Wert h b mit c = D> h nach Satz 1.32 eindeutig durch c bestimmt. Sei (b; D) ein arbitragefreies Marktmodell. Den Wert h b als Preis für das Auszahlungspro…l c zu interpretieren, wobei c = D > h ein replizierendes Portfolio ist, ist nicht nur naheliegend, sondern zwingend. Jeder von h b abweichende Preis ermöglicht eine Arbitragestrategie, wie der folgende Satz zeigt. Satz 1.35. Sei c = D> h ein replizierbares Auszahlungspro…l in einem arbitragefreien Marktmodell (b; D). Dann ist h b der einzig mögliche arbitragefreie Preis für c. Beweis. Wird etwa das Auszahlungspro…l c für einen Preis s < h b angeboten, so kaufe c zum Preis von s und verkaufe das Portfolio h zum Preis von h b. Auf diese Weise wird zum Zeitpunkt 0 der Gewinn h b s > 0 realisiert. Zum Zeitpunkt 1 münden die getätigten Transaktionen in das Auszahlungspro…l D> h c = 0. Also bestehen zum Zeitpunkt 1 keine Zahlungsverp‡ichtungen, aber zum Zeitpunkt 0 wurde ein positiver Gewinn realisiert. Im Falle s > h b kaufe das Portfolio h und verkaufe das Auszahlungspro…l zum Preis s. Für die Bewertung von Auszahlungspro…len wird die Arbitragefreiheit des zugrundeliegenden Marktmodells in der Praxis üblicherweise vorausgesetzt. Denn Händler und Computerprogramme suchen weltweit nach derartigen Pro…tmöglichkeiten und nutzen sie aus. Dies hat aber eine Verschiebung der Preise, und damit eine Änderung des Modells, zur Folge, bis die Arbitragegelegenheiten wieder verschwunden ist. Äquivalent zu De…nition 1.31 kann eine Arbitragegelegenheit auch als ein Portfolio h 2 RN de…niert werden, für das gilt ( h b; D> h) > 0.

(1.22)

1.6 Arbitrage

35

Dabei werden das Negative des Anfangswertes h b des Portfolios h und die zustandsabhängige Auszahlung D> h des Portfolios zu einem Vektor ( h b; D> h) 2 R RK = RK+1 zusammengefasst. De…nition 1.36. Die lineare Abbildung L : RN ! R

RK = RK+1 ;

gegeben durch L(h) := ( h b; D> h) = ( h S0 ; h S1 ) ; wird Entnahmeprozess genannt. Dabei kennzeichnet L0 (h) :=

h b=

h S0 =

V0 (h)

(1.23)

die zum Erwerb des Portfolios h erforderliche Abbuchung des Betrags h S0 vom Konto des Portfolioinhabers zum Zeitpunkt 0, und L1 (h) := D> h = h S1 = V1 (h)

(1.24)

ist der Wert des Portfolios bei t = 1. Dieser Betrag kann dem Portfolio durch Au‡ösung zum Zeitpunkt 1 entnommen werden. Ein Portfolio h ist also genau dann eine Arbitragegelegenheit, wenn h niemals Kapital zugeführt werden muss und wenn dem Portfolio zum Zeitpunkt 0 oder zum Zeitpunkt 1 Kapital entnommen werden kann. Satz 1.37. Sei (b; D) ein Marktmodell. Angenommen, es gibt ein Portfolio mit b > 0 und D> > 0. Dann existieren genau dann Arbitragegelegenheiten, wenn es ein Portfolio h gibt mit h b = 0 und D> h > 0. Beweis. Jedes Portfolio h mit h b = 0 und D> h > 0 ist o¤enbar eine Arbitragegelegenheit. Sei h umgekehrt eine Arbitragegelegenheit. Dann gilt ( h b; D> h) > 0. Nach Voraussetzung besitzt das Portfolio in unserem Marktmodell die Eigenschaften b > 0 und D> > 0. Wir wählen nun 0 so, dass (h + ) b = 0 gilt. Wegen h b 0 folgt daraus = h bb 0. Nun ist = 0 genau dann, wenn h b = 0. Dann aber folgt D > h > 0, da h nach Voraussetzung eine Arbitragegelegenheit ist. Gilt dagegen > 0, so folgt h b < 0, also D > h 0, und wir betrachten D> (h + Wegen D > h daher

0 und

) = D> h + D > :

D> > 0 folgt D> (h + D> (h +

) > 0. In jedem Fall gilt

) > 0:

Ist also (b; D) nicht arbitragefrei, so gibt es insbesondere Arbitragegelegenheiten h mit h b = 0 und D> h > 0.

36

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

Folgerung 1.38. Sei (b; D) ein Marktmodell. Angenommen, es gibt ein Finanzinstrument S i mit S0i > 0 und S1i > 0. Das Marktmodell beinhaltet genau dann Arbitragegelegenheiten, wenn es ein Portfolio h gibt, mit h b = 0 und D> h > 0. >

Beweis. Das Portfolio ei = (0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0) besitzt in unserem Marktmodell nach Voraussetzung die Eigenschaften ei b = bi = S0i > 0 und D> ei = ei S1 = S1i > 0. Damit folgt die Behauptung aus Satz 1.37. Die Voraussetzungen von Folgerung 1.38 sind beispielsweise dann erfüllt, wenn das betrachtete Marktmodell eine festverzinsliche Kapitalanlage S i mit S0i > 0 und Zinssatz r > 1 enthält, denn in diesem Fall gilt S1i = S0i (1 + r) > 0. Folgerung 1.39. Sei (b; D) ein Marktmodell. Angenommen, es gibt ein Portfolio mit b > 0 und D > > 0. Dann ist (b; D) genau dann arbitragefrei, wenn jedes zum Zeitpunkt 0 kostenfreie Portfolio h mit D> h 6= 0 das Risiko eines Verlustes birgt, wenn also gilt D> h

j

< 0 für wenigstens ein j:

Beweis. Sei (b; D) ein arbitragefreies Marktmodell. Aus Lemma 1.34 folgt, dass jedes zum Zeitpunkt 0 kostenfreie Portfolio h mit D > h 6= 0 in wenigstens einem Zustand einen negativen Wert besitzt. Angenommen, es gilt für jedes Portfolio h mit h b = 0 und D> h 6= 0 die Eigenschaft D> h j < 0 für wenigstens ein j. Dann gibt es kein Portfolio h mit h b = 0 und D> h > 0. Nach Satz 1.37 folgt daraus die Arbitragefreiheit des Marktmodells. 1.6.1 Der Fundamentalsatz der Preistheorie Nach Satz 1.32 gilt in einem arbitragefreien Marktmodell (b; D) das Gesetz des eindeutig bestimmten Preises - das Law of One Price. In diesem Fall gibt es ein 2 RK mit D = b, und der Preis c0 = h b eines beliebigen replizierbaren Auszahlungspro…ls c = D> h ist eindeutig bestimmt und kann ohne Kenntnis des replizierenden Portfolios h durch c0 = h ; ci berechnet werden. In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass ein Marktmodell (b; D) genau dann arbitragefrei ist, wenn es eine Lösung 2 RK von D = b gibt mit 0. De…nition 1.40. Eine Lösung standsvektor.

2 RK von D

= b mit

0 heiß t Zu-

Satz 1.41. Gibt es in einem Marktmodell (b; D) einen Zustandsvektor, so folgt daraus die Arbitragefreiheit des Modells.

1.6 Arbitrage

37

Beweis. Aus D = b folgt h b = h D = D> h; . Ist nun D> h > 0, so folgt h b > 0 wegen 0. Ist dagegen D > h 0, so folgt entsprechend h b 0. Damit ist h aber keine Arbitragegelegenheit. Da h beliebig war, folgt die Behauptung. Beispiel 1.42. Wir betrachten das Marktmodell 1 10

(b; D) =

1:02 1:02 12 9

;

des Beispiels 1.1 und untersuchen das Gleichungssystem D = b, also 1:02 1:02 12 9

1

=

2

1 10

:

Es besitzt die eindeutig bestimmte Lösung = Da

0:392 0:588

:

0, ist das Marktmodell (b; D) arbitragefrei.

4

Satz 1.43. Sei (b; D) ein arbitragefreies und vollständiges Marktmodell. Dann gibt es in (b; D) einen Zustandsvektor. Beweis. Sei 2 RK mit D = b und sei ei 2 RK der i-te Standardbasisvektor. Aufgrund der Vollständigkeit des Marktmodells gibt es ein hi 2 RN mit ei = D> hi . Damit gilt i = h ; ei i = hi b:

Wäre i = hi b 0, so wäre hi wegen D > hi = ei > 0 eine Arbitragegelegenheit. Da das Marktmodell (b; D) aber nach Voraussetzung arbitragefrei ist, folgt i > 0 für alle i = 1; : : : ; K. Im folgenden wird gezeigt, wie aus der Arbitragefreiheit eines Marktmodells ganz allgemein, also ohne die Voraussetzung der Vollständigkeit, die Existenz eines Zustandsvektors abgeleitet werden kann. Dazu werden zunächst zwei Trennungssätze bewiesen. Satz 1.44 (Erster Trennungssatz). Sei C Rn eine abgeschlossene, konvexe Menge, die den Ursprung nicht enthält. Dann gibt es ein x0 2 Rn und ein > 0, so dass hx0 ; xi für alle x 2 C. Insbesondere schneidet C nicht die Hyperebene hx0 ; xi = 0. Beweis. Sei > 0 so gewählt, dass A := C \ B (0) 6= ;, wobei B (0) = fx 2 Rn j kxk g die abgeschlossene Kugel um 0 vom Radius ist. Sei x0 2 C der Punkt, an dem die stetige Abbildung x 7 ! kxk auf der kompakten Menge A ihr Minimum annimmt. Dann folgt sofort

38

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

C

MBB x 0 B B B

hx0 ; xi = 0

Abb. 1.5. Erster Trennungssatz

kxk

kx0 k für alle x 2 C:

Für beliebiges x 2 C gilt für alle t 2 [0; 1] x0 + t (x

x0 ) 2 C;

da C konvex ist. De…nieren wir f : R ! R durch f (t) := kx0 + t (x

2

2

x0 )k = kx0 k + 2t hx0 ; x

x0 i + t2 k(x

2

x0 )k ;

2

so ist f di¤erenzierbar und es gilt kx0 k = f (0) f (t) für alle t 2 [0; 1]. Daher ist f 0 (0) = limt#0 f (t) t f (0) 0. Wegen f 0 (0) = 2hx0 ; x x0 i = 2

2 hx0 ; xi kx0 k folgt hx0 ; xi folgt die Behauptung.

2

kx0 k > 0 für jedes x 2 C. Mit

2

:= kx0 k

Aufgabe 1.2. Machen Sie sich klar, dass die Schnittmenge C \ B (0) im Beweis von Satz 1.44 gebildet wurde, um die Tatsache zu verwenden, dass stetige Funktionen auf kompakten Mengen ein Minimum annehmen. Wegen 0 < hx0 ; xi = kx0 k kxk cos ] (x0 ; x) besitzen alle x 2 C in Satz 1.44 einen spitzen Winkel mit x0 . Dies bedeutet, dass C in einer Hälfte des durch n die Hyperebene x? 0 := fx 2 R jhx0 ; xi = 0 g getrennten Raumes liegt. Satz 1.45 (Zweiter Trennungssatz). Sei K eine kompakte und konvexe Teilmenge des Rn und sei V ein Untervektorraum des Rn . Wenn V und K disjunkt sind, so gibt es ein x0 2 Rn mit folgenden Eigenschaften: 1. hx0 ; xi > 0 für alle x 2 K. 2. hx0 ; xi = 0 für alle x 2 V . Daher ist der Unterraum V in einer Hyperebene enthalten, die K nicht schneidet.

1.6 Arbitrage

39

K

6x0 PP

PP PP P

PP P

PP PP P

V

PP hx0 ; xi = 0 PP P

Abb. 1.6. Zweiter Trennungssatz

Beweis. Die Menge C=K

V = fx 2 Rn j9(k; v) 2 K

V; x = k

vg

ist konvex, da V als Untervektorraum und K nach Voraussetzung konvex sind. Ferner ist C abgeschlossen, da V abgeschlossen und da K kompakt ist. Weiter enthält C nicht den Ursprung, da K und V disjunkt sind. Auf Grund des letzten Satzes existieren ein x0 2 Rn und ein > 0 mit hx0 ; xi >

für alle x 2 C.

Daher gilt für alle k 2 K und für alle v 2 V hx0 ; ki

hx0 ; vi

:

Für festes k 2 K gilt daher für jedes v 2 V und für alle hx0 ; vi

hx0 ; ki

2 R die Ungleichung

:

Dies ist aber nur möglich, wenn hx0 ; vi = 0. Wir erhalten also hx0 ; vi = 0 für alle v 2 V: Daraus folgt dann hx0 ; ki

> 0 für alle k 2 K:

40

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den vorangegangenen Satz und seinen Beweis. Aufgabe 1.3. Weisen Sie die Konvexität von C nach. Aufgabe 1.4. Zeigen Sie, dass Untervektorräume des Rn abgeschlossen sind. Aufgabe 1.5. Zeigen Sie, dass C abgeschlossen ist. Satz 1.46 (Fundamentalsatz der Preistheorie). In einem Marktmodell (b; D) sind folgende Aussagen äquivalent: 1. (b; D) ist arbitragefrei. 2. Es gibt ein 2 RK+1 ,

0, mit h ; L (h)i = 0

für alle h 2 RN . 3. Es gibt einen Zustandsvektor

2 RK ,

0, mit

D = b:

RK

@ @

@ @

ImL

P PP

PP PP P

PP P

@ M @ @

@

PP PP P

@ @ @

R

PP P

Abb. 1.7. Der Fundamentalsatz der Preistheorie

Beweis. 1: =) 2: Sei (b; D) ein arbitragefreies Marktmodell. Dann gibt es nach (1.22) kein h 2 RN mit

1.6 Arbitrage

41

L(h) = ( h b; D> h) > 0: Ferner ist L : RN ! RK+1 linear, so dass Im L ein Untervektorraum des RK+1 ist, der den positiven Quadranten fx 2 RK+1 j x > 0 g nicht schneidet. Insbesondere schneidet Im L nicht die kompakte und konvexe Menge M = fx 2 RK+1 j x > 0; x0 + + xK = 1 g, siehe Abb. 1.7. Also folgt aus Satz 1.45 die Existenz eines 2 RK+1 mit h ; xi = 0 für alle x 2 Im L und h ; xi > 0 für alle x 2 M . Aus hx; i > 0 für alle x 2 M folgt 0, wie für j = 0; : : : ; K die Wahl x = ej zeigt, wobei ej den j-ten Standardbasisvektor bezeichnet. 2: =) 3: Sei 2 RK+1 , 0, mit h ; L (h)i = 0. Wir schreiben = ( 0 ; 1 ) mit 0 2 R und 1 2 RK . Wegen 0 folgt 0 > 0 und 1 0. Damit erhalten wir 0 = h ; L (h)i = (

0;

=

0

h b; D> h)

1) ; (

(h b) +

1; D

>

h ;

also h b=

1

; D> h :

0

Mit der De…nition

:=

1 0

gilt

K

2R , h b=D

0 und h

für alle h 2 RN . Daraus folgt aber b = D . 3: =) 1: Dies ist gerade die Aussage von Satz 1.41. Aufgabe 1.6. Begründen Sie im Detail, warum die Menge M = fx 2 RK+1 j x > 0; x0 +

+ xK = 1 g

aus dem vorangehenden Beweis kompakt und konvex ist. De…nition 1.47. Ein Tupel = ( 0 ; 1 ) 2 R RK , 0 für alle h 2 RN wird Zustandsprozess genannt.

0, mit h ; L (h)i =

Anmerkung 1.48. Ein Zustandsprozess ist niemals eindeutig bestimmt. Jedes positive Vielfache , > 0, de…niert ebenfalls einen Zustandsprozess. Jedoch gilt 1 1 ( 1 ; : : : ; K )> = ( 1 ; : : : ; K )> 0

für jedes

2R

f0g.

0

42

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

Satz 1.49. Sei (b; D) ein arbitragefreies Marktmodell. Ist R RK ein Zustandsprozess, so de…niert 1

:=

0

einen Zustandsvektor. Ist umgekehrt

= (

0;

1)

2

2 RK 2 RK ein Zustandsvektor, so de…niert

:= (1; ) 2 R

RK

einen Zustandsprozess. Beweis. Ist = ( 0 ; 1 ) ein Zustandsprozess, so folgt aus dem Beweisteil 2: =) 3: des Satzes 1.46, dass := 1 ein Zustandsvektor ist. 0 Ist umgekehrt 2 RK , 0, ein Zustandsvektor, so folgt aus b = D der Zusammenhang 0=

h b+

; D> h

= (1; ) ; h b; D> h = h ; L (h)i mit

:= (1; ) 2 R

RK . Wegen

0 ist

ein Zustandsprozess.

Ist (b; D) ein arbitragefreies Marktmodell und ist ein Zustandsvektor, so gilt das Law of One Price, und nach (1.13) lässt sich der Preis c0 jedes replizierbaren Auszahlungspro…ls c ohne Kenntnis eines replizierenden Portfolios durch die verallgemeinerte Diskontierung c0 = h ; ci berechnen. Der Fundamentalsatz 1.46 besagt, dass ein Marktmodell genau dann arbitragefrei ist, wenn eine strikt positive Lösung von D = b existiert. Er sagt nicht, dass in arbitragefreien Märkten jede Lösung von D = b strikt positiv ist. Wenn ker D 6= f0g, so gibt es ein f 2 ker D mit f 6= 0. Ist ein Zustandsvektor, so kann durch geeignete Wahl von 2 R stets erreicht werden, dass 0 := + f 6 0 gilt. Aber es gilt natürlich D 0 = b. De…nition 1.50. Eine lineare Abbildung : Rn ! R wird Linearform genannt.

wird als positiv bezeichnet, wenn gilt (c) > 0

für c > 0. Lemma 1.51. Sei (b; D) ein arbitragefreies Marktmodell, und sei standsvektor. Die Zuordnung c ! h ; ci ; c 2 RN ;

ein Zu-

1.6 Arbitrage

43

de…niert eine positive Linearform. Angenommen, für zwei zustandsabhängige Auszahlungen c; c0 2 RK gilt c > c0 im Sinne von c c0 > 0. Dann ist h ; ci > h ; c0 i : Ist also eine replizierbare Auszahlung c zum Zeitpunkt 1 in jedem Zustand mindestens so viel wert wie eine replizierbare Auszahlung c0 und sei weiter angenommen, dass ck > c0k für wenigstens einen Zustand k, so ist der Preis von c zum Zeitpunkt 0 höher als der von c0 . Beweis. Dies folgt sofort aus

0.

1.6.2 Der Nachweis der Arbitragefreiheit Der Fundamentalsatz bietet einen Ansatz, um ein beliebiges Marktmodell (b; D) auf Arbitragefreiheit zu überprüfen. Es ist dazu das Gleichungssystem D = b;

0;

(1.25)

auf Lösbarkeit mit einem strikt positiven Vektor 2 RK zu untersuchen. Existiert ein solcher Vektor, so ist das Marktmodell arbitragefrei. Besitzt das Gleichungssystem (1.25) dagegen keine Lösung oder nur Lösungen, bei denen die Bedingung 0 nicht zutri¤t, so existieren Arbitragegelegenheiten. Wenn D : RK ! RN injektiv ist, dann existiert höchstens eine Lösung des Gleichungssystems (1.25), und das Marktmodell (b; D) kann in diesem Fall etwa mit Hilfe des Gauß -Algorithmus auf Arbitragefreiheit untersucht werden. Ist D dagegen nicht injektiv, so besitzt (1.25) entweder keine Lösung oder aber die unendlich vielen Lösungen + f , f 2 ker D; wobei eine beliebige spezielle Lösung von b = D ist. Wenn keine Lösung existiert, dann kann dies wieder mit Hilfe des Gauß -Algorithmus nachgewiesen werden. Existieren aber unendlich viele Lösungen, so ist eine beliebige spezielle Lösung nicht notwendigerweise strikt positiv. Im allgemeinen ist nun aber die Beantwortung der Frage, ob es ein f 2 ker D gibt mit +f 0 schwierig. Zur Lösung von (1.25) kann die Aufgabenstellung in diesem Fall jedoch als Lineares Optimierungsproblem umformuliert werden. Dazu setzen wir := 0 2 RK und betrachten die Optimierungsaufgabe max h ; i unter den Nebenbedingungen D =b 0:

(1.26)

44

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

Die Zielfunktion max h ; i besitzt für jedes stets den Wert 0. Entscheidend ist daher nicht die Optimierung der Zielfunktion, sondern die Erfüllung der Nebenbedingungen. Der Standard-Simplex-Algorithmus löst das Lineare Optimierungsproblem genau dann, wenn das Gleichungssystem (1.25) strikt positive Lösungen besitzt. 1.6.3 Replizierbarkeit und Vollständigkeit Die beiden folgenden Ergebnisse übertragen die Aussagen der Sätze 1.28 und 1.29 auf arbitragefreie Marktmodelle. Satz 1.52. Sei (b; D) ein arbitragefreies Marktmodell und sei c 2 RK ein Auszahlungspro…l. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1. c ist replizierbar. 2. c 2 Im D > . 3. c? ker D. 4. Für jeden Zustandsvektor

besitzt h ; ci denselben Wert.

Beweis. Die Äquivalenzen 1: () 2: () 3: stimmen mit denen aus Satz 1.28 überein. 3: =) 4: Zum Beweis der zweiten Behauptung sei ein Zustandsvektor, also eine strikt positive Lösung von D = b. Diese existiert nach dem Fundamentalsatz 1.46. Ist 0 ein weiterer Zustandsvektor, so folgt 0 = + f für 0 ein f 2 ker D. Nach Voraussetzung ist ker D?c. Daher gilt ; c = h ; ci, und h ; ci ist unabhängig von der Auswahl des Zustandsvektors. 4: =) 3: Sei umgekehrt angenommen, dass h ; ci für jeden Zustandsvektor denselben Wert besitzt, und sei f 2 ker D beliebig. Für 0 := min f i ji = 1; : : : ; K g gilt 0 > 0. Mit := folgt

0

1 + jf1 j +

+ jfK j

> 0, und wir erhalten für alle j = 1; : : : ; K die Abschätzung j

+ fj

0

1 + jf1 j + + (jfj j + fj ) + 1 + jf1 j + + jfK j

+ jfK j

> 0;

so dass + f 0. Damit ist aber + f ein Zustandsvektor. Nach Voraussetzung gilt nun h ; ci = h + f; ci, woraus hf; ci = 0 folgt. Da f beliebig war, erhalten wir ker D?c. Satz 1.53. In einem arbitragefreien Marktmodell (b; D) sind folgende Aussagen äquivalent: 1. Das Marktmodell (b; D) ist vollständig. 2. Im D> = RK .

1.6 Arbitrage

3. ker D = f0g. 4. Der Zustandsvektor

45

ist eindeutig bestimmt.

Beweis. Die Äquivalenzen 1: () 2: () 3: stimmen mit denen aus Satz 1.29 überein. 3: =) 4: Da das Marktmodell arbitragefrei ist, existiert ein Zustandsvektor , also eine strikt positive Lösung der Gleichung D = b. Gilt ker D = f0g, so ist diese Lösung, und damit der Zustandsvektor, eindeutig bestimmt. 4: =) 3: Es sei ein Zustandsvektor in (b; D). Angenommen, ker D 6= f0g. Dann existiert ein f 2 ker D mit f 6= 0, und der Beweis von Satz 1.52 zeigt, dass es ein > 0 gibt, so dass + f ebenfalls ein Zustandsvektor ist. Damit ist aber der Zustandsvektor nicht eindeutig bestimmt. Folgerung 1.54. Sei (b; D) ein Marktmodell. Dann ist die Vollständigkeit des Modells äquivalent zu Im D> = RK . Aus N = dim ker D > + dim Im D> folgt damit die Beziehung N K. Daher muss in einem vollständigen Marktmodell die Zahl der im Modell spezi…zierten Finanzinstrumente stets größ er oder gleich der Anzahl der Zustände sein. Folgerung 1.55. Liegt in einem vollständigen, arbitragefreien Modell speziell die Situation K = N vor, existieren also genau so viele Zustände, wie es Finanzinstrumente im Marktmodell gibt, so ist D> : RN ! RK ein Isomorphismus. 1.6.4 Interpretation von

und d =

1

+

+

K

Für den Fall, dass es Portfolios j mit der Eigenschaft D> gibt, gilt > j S0 = h ; D j i = h ; ej i = j :

j

=

j

S1 = ej

Daraus erklärt sich der alternative Name Zustandspreisvektor für , denn j sind die Kosten für ein Portfolio, das im Zustand ! j den Wert 1 auszahlt und in allen anderen Zuständen den Wert 0. j wird daher auch als Zustandspreis des j-ten Zustands bezeichnet. Der Preis eines Portfolios h, h S0 = h ; h S1 i = h ; D> hi =

K X

D> h

j

j;

(1.27)

j=1

kann weiter als Summe der Auszahlungen des Portfolios in den verschiedenen Zuständen D > h j , gewichtet mit den Zustandspreisen j , interpretiert werden. Insbesondere aber kann (1.27) als verallgemeinerte Diskontierung der zustandsabhängigen zukünftigen Auszahlung h S1 auf den Zeitpunkt 0 interpretiert werden, wie in Folgerung 1.27 und der anschließ enden Bemerkung bereits ausgeführt wurde. Insbesondere wurde dort dargestellt, dass sich die Komponentensumme eines Zustandsvektors als Diskontfaktor interpretieren lässt.

46

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

Lemma 1.56. Sei (S0 ; S1 ) = (b; D) ein arbitragefreies Marktmodell, und sei 2 RN ein Portfolio mit der Eigenschaft D> =

S1 = 1;

d.h. 1 : = (1; : : : ; 1) 2 Im D> . Wir de…nieren d :=

S0 :

Dann gilt d=

1

+

+

K:

Die Summe 1 + + K ist genau dann von der Auswahl eines Zustandsvektors unabhängig, wenn 1 2 Im D> . Beweis. Für das Portfolio

gilt o¤enbar

d = h ; 1i = h ; D> i = D Seien

und

0

=

S0 :

Zustandsvektoren. Dann gilt K X j=1

0 j

=

0

; 1 = h ; 1i = d

nach Satz 1.52 genau dann, wenn 1 2 Im D> . In Lemma 1.56 ist d = S0 der Preis des Portfolios zum Zeitpunkt 0. Es gilt d > 0, denn andernfalls wäre eine Arbitragegelegenheit. Die Eigenschaft d > 0 folgt auch aus d = 1 + + K und 0. Wir wissen bereits, dass d als Diskontfaktor interpretiert werden kann, da zum Zeitpunkt 0 gerade d investiert werden muss, um zum Zeitpunkt 1 in jedem Zustand die Auszahlung 1 zu erzielen. Das Portfolio ist festverzinslich mit Zinssatz r=

1 d

1;

(1.28)

denn der Wert d von zum Zeitpunkt 0 hat zum Zeitpunkt 1 in jedem Zustand den Wert d (1 + r) = 1: Daraus folgt die vertraute Darstellung d=

1 1+r

für den Diskontfaktor d. Der mit Hilfe von (1.28) de…nierte Zinssatz r := 1 1 wird auch risikoloser Zinssatz oder risikolose Rendite genannt. Die d Bezeichnung risikolos bedeutet in diesem Zusammenhang, dass zum Zeitpunkt 0 keine Unsicherheiten über die Rendite zum Zeitpunkt 1 bestehen.

1.6 Arbitrage

47

Folgerung 1.57. Sei (S0 ; S1 ) = (b; D) ein arbitragefreies und vollständiges Marktmodell. Dann existiert ein eindeutig bestimmter Zustandsvektor , die PK konstante Auszahlung (1; : : : ; 1) ist replizierbar und d = j=1 j ist daher der eindeutig bestimmte Diskontfaktor des Modells. Lemma 1.58. Angenommen, eines der Finanzinstrumente, etwa S 1 , ist selbst festverzinslich, d.h. es gibt ein r > 1 mit der Eigenschaft S01 = 1 und S11 (! j ) = 1 + r für alle j = 1; : : : ; K. Dann gilt d=

1 : 1+r

1 Beweis. Wird in Lemma 1.56 = ( 1+r ; 0; : : : ; 0) gewählt, so gilt D> = 1 1 1 1 S1 = 1+r (S1 (! 1 ); : : : ; S1 (! K )) = (1; : : : ; 1). Schließ lich folgt d = S0 = 1+r , und das Lemma ist bewiesen.

1.6.5 Preise als diskontierte Erwartungswerte Die Wahrscheinlichkeitstheorie spielt in der modernen Finanzmathematik eine überragende Rolle. Dennoch wurde in diesem Kapitel bislang kein Wahrscheinlichkeitsmaßverwendet. Insbesondere ist es für die hier vorgestellte Bewertungsstrategie unerheblich, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Zustand ! 2 zum Zeitpunkt 1 eintritt. Wir werden jedoch gleich sehen, dass sich die Preise beliebiger replizierbarer Auszahlungspro…le c 2 RK bis auf einen Faktor als Erwartungswerte formulieren lassen. Allerdings wird der Erwartungswert bezüglich eines aus dem Zustandsvektor konstruierten formalen Wahrscheinlichkeitsmaß es Q gebildet –und nicht mit Hilfe eines subjektiven Wahrscheinlichkeitsmaß es P , das das Eintreten der Szenarien ! 2 bewertet. De…nition 1.59. Sei eine endliche Menge und sei P ( ) die Potenzmenge von , also die Menge aller Teilmengen von . Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Tupel ( ; P ), wobei P : P ( ) ! [0; 1] Wahrscheinlichkeitsmaßgenannt wird und folgende Eigenschaften erfüllt: P ( ) = 1; P (A [ B) = P (A) + P (B) , falls A \ B = ?: Endliche Wahrscheinlichkeitsräume werden häu…g auch einfach Wahrscheinlichkeitsräume genannt. Aus der De…nition folgt P (?) = 0, denn es gilt also P ( ) = P ( [ ?) = P ( ) + P (?).

[? =

und

\? = ?,

48

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

Die angegebene De…nition eines Wahrscheinlichkeitsmaß es lässt zu, dass es Zustände ! 2 geben kann, mit P (!) = 0. Da dies bedeutet, dass ! unter keinen Umständen eintreten wird, werden Ereignisse mit Eintrittswahrscheinlichkeit Null in der Praxis in die Modellierung, also in die Menge , garnicht erst aufgenommen. Wir werden bei endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen daher stets voraussetzen, dass P (!) > 0 gilt für alle ! 2 .5 Sei Q : ! R eine Funktion mit Q (!) > 0 für alle ! 2 und mit PK Q (! ) = 1. Dann induziert Q ein WahrscheinlichkeitsmaßQ auf j j=1 P durch die De…nition Q (A) := !2A Q (!) für alle A . Mit Hilfe eines Zustandsvektors lässt sich auf diese Weise ein Wahrscheinlichkeitsmaßauf wie folgt de…nieren. De…nition 1.60. Setzen wir d :=

1

+

Q (! j ) :=

+

K

> 0, so induziert

j

d

für j = 1; : : : ; K ein WahrscheinlichkeitsmaßQ auf . Q wird risikoloses Wahrscheinlichkeitsmaßoder auch Preismaßgenannt. Der Name risikoloses Wahrscheinlichkeitsmaßwird später begründet. Wie bereits angemerkt haben die Wahrscheinlichkeiten Q (! j ) nichts mit den Wahrscheinlichkeiten zu tun, mit denen die Zustände ! j im Ein-PeriodenModell eintreten werden, sondern sie werden abstrakt aus den Komponenten eines Zustandsvektors gewonnen. Wir erinnern daran, dass der Diskontfaktor d = 1 + + K nach Satz 1.52 genau dann unabhängig von der Auswahl eines Zustandsvektors ist, wenn konstante Auszahlungen replizierbar sind. De…nition 1.61. Sei ( ; P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Funktion X : ! R heiß t Zufallsvariable auf ( ; P ). Häu…g spricht man auch von einer Zufallsvariablen X auf

.

De…nition 1.62. Sei X : ! R eine beliebige Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ( ; P ). Dann ist der Erwartungswert EP [X] von X bezüglich P de…niert durch X EP [X] := X (!) P (!) : !2

Der Erwartungswert von X ist also die Summe der mit den Wahrscheinlichkeiten P (!) gewichteten Ausprägungen X (!) von X. 5

Bei unendlichen Wahrscheinlichkeitsräumen kann dies anders sein. So ist beispielsweise das Lebesgue-Maß auf den Borelmengen des Intervalls [0; 1] ein Wahrscheinlichkeitsmaßmit der Eigenschaft (!) = 0 für alle ! 2 [0; 1], siehe Bauer [5].

1.6 Arbitrage

49

Lemma 1.63. Sei (b; D) ein arbitragefreies Marktmodell und sei ein Zustandsvektor. Dann gilt für den Preis c0 jedes replizierbaren Auszahlungspro…ls c 2 Im D> c0 = dEQ [c]; (1.29) wobei d =

1

+

+

K

und Q (! j ) =

j

d

für j = 1; : : : ; K. Beweis. Sei c 2 Im D> . Dann gilt c0 = h ; ci und daher c0 = h ; ci = dh ; ci d K X =d cj Q (! j ) j=1

= dEQ [c];

wobei der Erwartungswert EQ mit Hilfe des Preismaß es Q gebildet wird. Angenommen, im Marktmodell (b; D) sind konstante Auszahlungen replizierbar. Dann ist d nach Lemma 1.56 der eindeutig bestimmte Diskontfaktor des Modells, so dass der Preis c0 = dEQ [c] eines replizierbaren Auszahlungspro…ls c 2 Im D> als abdiskontierter Erwartungswert von c unter dem PreismaßQ interpretiert werden kann. Die Darstellung c0 = dEQ [c] für den Wert einer replizierbaren Auszahlung c zum Zeitpunkt 0 kann andererseits auch als Schreibweise interpretiert werden, bei der die Analogie zur Diskontierung deterministischer Zahlungen gegenüber dem Ausdruck c0 = h ; ci noch deutlicher wird. Ist insbesondere c selbst deterministisch, gilt also c = c 1, so erhalten wir c0 = dcEQ [1] = dc; und c0 = dc ist gerade der diskontierte Wert der zukünftigen deterministischen Zahlung c 2 R. In diesem Sinne wird der Ausdruck dEQ [c] als verallgemeinerte Diskontierung der Auszahlung c 2 RK interpretiert, und die Komponenten Q (! j ) werden als Gewichte der Zustände, nicht aber als Wahrscheinlichkeiten aufgefasst. Sei h ein Portfolio, das c repliziert. Dann gilt c = D> h = h S1 , und (1.29) lautet mit (1.24) und (1.16) V0 (h) = dEQ [V1 (h)]

(1.30)

Q

= dE [L1 (h)]: Der Wert V0 (h) von h zum Zeitpunkt 0 ist also gerade der auf den Zeitpunkt 0 abdiskontierte Wert V1 (h) oder die auf den Zeitpunkt 0 abdiskontierte Entnahme L1 (h) von h zum Zeitpunkt 1.

50

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

Interpretation von Q als Martingalmaß Wir betrachten nun die speziellen Portfolios ei , i = 1; : : : ; N , wobei ei den i-ten Standardbasisvektor bezeichnet. Dann gilt S0i = ei S0 = D ei = h ; D> ei i 0 i 1 * S1 (! 1 ) + B C .. = ;@ A . S1i (! K ) 20 i 13 S1 (! 1 ) 6B C7 .. = dEQ 4@ A5 .

(1.31)

S1i (! K )

= dEQ S1i :

Diese Rechnung zeigt, dass die bisherigen Überlegungen auch in dem Sinne konsistent sind, dass sich der Preis S0i des i-ten Wertpapiers zum Zeitpunkt 0 als abdiskontierter Erwartungswert der zustandsabhängigen Preise S1i zum Zeitpunkt 1 bezüglich des Maß es Q darstellen lässt. Damit bildet der diskontierte Preisprozess (S0 ; dS1 ) ein Martingal unter dem WahrscheinlichkeitsmaßQ. Aus diesem Grunde wird Q auch Martingalmaßgenannt. Der Begri¤ des Martingals spielt im Zusammenhang mit den Mehr-Perioden-Modellen und im Rahmen der stochastischen Finanzmathematik eine wichtige Rolle und wird später ausführlich erläutert. 1 Aus (1.31) folgt mit d = 1+r weiter EQ Si

S1i

S0i S0i

= r:

Si

Die Größ e 1S i 0 wird als Rendite von S i bezeichnet, und wir erhalten das 0 Ergebnis, dass unter dem WahrscheinlichkeitsmaßQ die erwartete Rendite jedes Finanzinstruments im Marktmodell mit der risikolosen Rendite r übereinstimmt. Dies begründet den Namen risikoloses Wahrscheinlichkeitsmaßfür Q. Satz 1.64. Bildet der diskontierte Preisprozess (S0 ; dS1 ) in einem arbitragefreien Marktmodell (b; D) ein Martingal bezüglich eines Wahrscheinlichkeitsmaß es Q, gilt also S0i = dEQ S1i für alle i = 1; : : : ; N , so gilt für jedes Portfolio h 2 RN h S0 = dEQ [h S1 ]: Beweis. Zum Beweis rechnen wir nach:

1.6 Arbitrage

h S0 =

N X

51

hi S0i

i=1

=d

N X

hi EQ S1i

i=1 Q

= dE [h S1 ] :

Satz 1.65. Ein Marktmodell (b; D) ist genau dann arbitragefrei, wenn es ein WahrscheinlichkeitsmaßQ mit Q (!) > 0 für alle ! 2 und eine Zahl d > 0 gibt, so dass S0 = dEQ [S1 ]: (1.32) Beweis. Ist (b; D) arbitragefrei, so gibt es einen Zustandsvektor 0. Dann folgt (1.32) aus (1.31) mit d := 1 + + K und Q (! j ) := dj für j = 1; : : : ; K. Für die Umkehrung de…niere 0 durch j := dQ (! j ) für j = 1; : : : ; K. Dann folgt aus Satz 1.64 h S0 = dEQ [h S1 ] = dEQ D> h = ; D> h = D h. Da die letzte Gleichung für beliebiges h gilt, folgt D = b. ist also ein Zustandsvektor, und das Marktmodell ist somit arbitragefrei. Erwartungswert versus Diskontierung Sollte die Darstellung (1.29) zur Bestimmung des Preises einer Auszahlung c, also c0 = dEQ [c]; eher wahrscheinlichkeitstheoretisch als abdiskontierter Erwartungswert in einer „risikoneutralen Welt“ oder als verallgemeinerte Diskontierung zukünftiger Zahlungsströme interpretiert werden? Wir wissen, dass die grundlegende Idee, zustandsabhängige Auszahlungspro…le c 2 RK in einem Marktmodell (b; D) zu bewerten, darin besteht, diese durch Portfolios h 2 RN nachzubilden, d.h. h so zu wählen, dass c = D> h gilt. Der Preis c0 = h b von h zum Zeitpunkt 0 wird dann als Preis von c de…niert. Dies ist ein algebraischer und kein wahrscheinlichkeitstheoretischer Ansatz. Ist (b; D) arbitragefrei, so existiert ein Zustandsvektor 0 mit b = D . Wegen h b = h D = D> h; = hc; i gilt dann auch c0 = h ; ci, so dass der Preis c0 von c mit Hilfe von ohne Kenntnis des replizierenden Portfolios h berechnet werden kann. Jede zum Zeitpunkt 1 erfolgende zustandsabhängige replizierbare Auszahlung c 2 RK wird also durch h ; ci in einen äquivalenten Wert zum Zeitpunkt 0 transformiert, und dies entspricht einer Diskontierung von c auf den Zeitpunkt 0.

52

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

PK Mit d := j=1 j sowie mit Q := d gilt c0 = h ; ci = dEQ [c], und für den Fall, dass c selbst deterministisch ist, d.h. dass c (!) = c für alle ! 2 gilt, erhalten wir c0 = dEQ [c] = dc, also die klassische Formel für die Diskontierung eines in der Zukunft ‡ieß enden Kapitalbetrags. Daher erinnert die Darstellung c0 = dEQ [c] noch eher an die Diskontierung deterministischer Auszahlungen als die Darstellung c0 = h ; ci. Es erscheint naheliegend, die Q (!) als Gewichte zu interpretieren, mit denen die einzelnen Zustände in die Bewertung eingehen, nicht aber als Wahrscheinlichkeiten. Denn die Replikationsstrategie besitzt die Eigenschaft, dass jede in einem Zustand ! benötigte Auszahlung c (!) durch das replizierende Portfolio h exakt nachgebildet wird, dass also c (!) = h S1 (!) für alle !2 gilt. Es ist daher unerheblich, welcher Zustand ! realisiert wird oder mit welcher Wahrscheinlichkeit er eintritt. Es gibt keine vorteilhaften oder unvorteilhaften Zustände, und die Auszahlung c wird nicht nur im Mittel bei vielen Transaktionen realisiert, sondern c (!) wird in jedem Zustand ! 2 bei jedem Erwerb eines Replikationsportfolios erzielt. Insofern besitzt die Replikationsstrategie deterministische Züge. Wie sollte also eine Preisformel für c von – wie auch immer konstruierten – Wahrscheinlichkeiten Q (!) für die eintretenden Zustände abhängen? Andererseits ist eine wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation der Darstellung (1.29) aufgrund folgender Analogie verführerisch. Die hier vorgestellte Replikationsstrategie ist nämlich zunächst nicht die einzig naheliegende Idee zur Bewertung von Auszahlungspro…len. Angenommen, es gibt K Szenarien ! 1 ; : : : ; ! K für den Zeitpunkt 1 und angenommen, diese Szenarien treten mit den Wahrscheinlichkeiten P (! 1 ) ; : : : ; P (! K ) ein. Welchen Wert besitzt dann eine vom Zustand abhängige Auszahlung c = (c (! 1 ) ; : : : ; c (! K ))? Naheliegend ist der Ansatz, hierfür den Erwartungswert der verschiedenen Zahlungen c (! 1 ) P (! 1 ) + + c (! K ) P (! K ) = EP [c] anzusetzen. Wird dieser zukünftige Wert EP [c] nun auf den Zeitpunkt 0 abdiskontiert, so erhalten wir c0 = dEP [c]:

(1.33)

Wird der Betrag c0 in (1.33) risikolos angelegt, so erhalten wir zum Zeitpunkt 1 einen Wert, der im Mittel mit der gewünschten Auszahlung c (!) übereinstimmt. In diesem Fall gibt es Zustände, die vorteilhaft und solche, die unvorteilhaft sind. Gleichung (1.33) stimmt nun mit (1.29) überein, wenn das MaßP durch das PreismaßQ ersetzt wird. Da bezüglich Q die erwartete Rendite jedes Finanzinstruments gleich der risikolosen Rendite r = d1 1 ist, wird (1.29) auch als „abdiskontierter Erwartungswert in einer risikoneutralen Welt“ bezeichnet. Trotz ihrer formalen Ähnlichkeit sind die beiden Bewertungsstrategien (1.29) und (1.33) inhaltlich vollkommen verschieden. Beachten Sie schließ lich, dass für replizierbare Auszahlungspro…le c der ökonomisch richtige Preis interpretationsunabhängig durch c0 = h ; ci = dEQ [c] gegeben ist, weil jeder andere Wert eine Arbitragegelegenheit bietet.

1.6 Arbitrage

53

Damit ist die Bewertung von c durch dEP [c] – von zufälligen Übereinstimmungen abgesehen –nicht nur keine Alternative, sondern falsch. Wird aber ein Marktmodell (b; D) um ein subjektives WahrscheinlichkeitsmaßP erweitert, so sollte sich diese Zusatzinformation nutzen lassen. Wie dies geschehen könnte, wird in Abschnitt 1.8 vorgestellt. Den Ansatz, die Replikationsstrategie als verallgemeinerte Diskontierung zu interpretieren, werden wir in Kapitel 3 aufgreifen und auf Mehr-PeriodenModelle ausdehnen. Das Au¢ nden von Arbitragegelegenheiten Ein Portfolio h 2 RN ist nach De…nition genau dann eine Arbitragegelegenheit, wenn L (h) = b h; D> h > 0: De…nieren wir die erweiterte Payo¤matrix Db durch 0 1 b1 D11 D1K B .. .. C ; Db := ( b jD ) := @ ... . . A bN DN1 DN K so gilt

L (h) = Db> h: Zum Au¢ nden von Arbitragegelegenheiten betrachten wir das lineare Optimierungsproblem min b h Db> h > 0: Auf diese Weise wird eine Lösung gesucht, für die die Entnahme Zusammenstellung von h zum Zeitpunkt 0 möglichst großist.

b h bei der

Der Fundamentalsatz der Preistheorie, Satz 1.46, bietet alternative Möglichkeiten, um ein Marktmodell (b; D) auf Arbitragefreiheit zu prüfen. Dazu ist das Gleichungssystem b=D auf strikt positive Lösungen 0 zu untersuchen. Nach (1.26) kann auch diese Aufgabe auf die Lösung eines linearen Optimierungsproblems zurückgeführt werden. Lemma 1.66. Sei (b; D) ein Marktmodell mit der Eigenschaft b 62 Im D: Dann ist h :=

bk

eine Arbitragegelegenheit, wobei bk die Projektion von b auf ker D> bezeichnet.

54

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

Beweis. Sei b = bk + bi 2 ker D>

Im D:

Wegen b 62 Im D folgt bk 6= 0. Damit gilt h b=

bk bk < 0

D> h =

D> bk = 0;

und da bk 2 ker D> nach Voraussetzung. Folgerung 1.67. Ist also insbesondere b 2 ker D> mit b 6= 0, so ist h := eine Arbitragegelegenheit.

b

Lemma 1.68. Sei (b; D) ein vollständiges Marktmodell mit der Eigenschaft b 2 Im D: Sei gilt

2 RK die eindeutig bestimmte Lösung von b = D . Angenommen, es

De…niere eine Auszahlung c 2 R cj :=

K

6

0:

durch 0 falls 1 falls

j j

>0 0

:

(1.34)

Dann gilt c > 0. Da (b; D) vollständig ist, existiert ein Portfolio h 2 RN mit c = D> h: Dann ist h eine Arbitragegelegenheit. Beweis. Wegen b 2 Im D existiert ein 2 RK mit b = D . Da (b; D) nach Voraussetzung vollständig ist, ist D > : RN ! RK surjektiv. Aus der Zerlegung RK = ker D Im D > folgt ker D = f0g, also ist D injektiv, und ist eindeutig bestimmt. Nach Voraussetzung ist 6 0. Also gilt j 0 für wenigstens ein j 2 f0; : : : ; Kg. Daraus folgt aber nach (1.34) c > 0. Sei h 2 RN ein Portfolio, das c repliziert. Dann gilt b h = h ; ci 0 und D > h = c > 0: Also ist h eine Arbitragegelegenheit. Wird (b; D) in Lemma 1.68 nicht als vollständig vorausgesetzt, dann existieren zwar Auszahlungspro…le c > 0 mit h ; ci 0, jedoch ist über die Replizierbarkeit derartiger c, also über die Eigenschaft c 2 Im D> , zunächst nichts bekannt.

1.7 Das Ein-Perioden-Zwei-Zustands-Modell

55

Anmerkung 1.69. Sei (b; D) ein Marktmodell mit N = K und sei D > ein Isomorphismus. Dann enthält (b; D) genau dann Arbitragegelegenheiten, wenn für die eindeutig bestimmte Lösung 2 RK von b = D gilt 6

0:

1.7 Das Ein-Perioden-Zwei-Zustands-Modell Wir betrachten nun das allgemeine Ein-Perioden-Zwei-Zustands-Modell und werden sehen, dass die Frage der Arbitragefreiheit des zugehörigen Marktmodells mit Hilfe der Begri¤sbildung des Zustandsvektors leicht und übersichtlich beantwortet werden kann. Beispiel 1.70. Sei B eine Währungseinheit, also etwa 1 Euro, oder ein beliebiges anderes Anfangskapital zum Zeitpunkt 0, und sei S eine Aktie. Wir betrachten ein Ein-Perioden-Zwei-Zustands-Modell b=

B S0

; D=

B (1 + r) B (1 + r) S1 (! 1 ) S1 (! 2 )

und untersuchen dies auf Arbitragefreiheit. Dazu betrachten wir das Gleichungssytem b = D ;also B S0

= =

B (1 + r) B (1 + r) S1 (! 1 ) S1 (! 2 ) B (1 + r) S1 (! 1 )

1

+ B (1 + r) + S1 (! 2 ) 2

1 1

(1.35)

2 2

:

Daraus folgen mit s1 := S1 (! 1 ) und s2 := S1 (! 2 ) die beiden Gleichungen s1

(1 + r) S0 = (1 + r) (s1

(1 + r) S0

s2 = (1 + r) (s1

s2 )

2

s2 )

1:

(1.36)

Wir nehmen nun folgende Fallunterscheidung vor: 1. Angenommen, es gilt s1 = s2 =: s > 0, dann ist das Gleichungssystem genau dann lösbar, wenn s = (1 + r) S0 gilt. In diesem Fall hat die Auszahlungsmatrix D die Gestalt D = (1 + r)

B B S0 S0

:

Damit ist der Rang von D gleich 1 und wir können ein beispielsweise wählen als =

1 2 (1 + r)

1 1

:

0 mit D

=b

56

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

Ferner gilt ker D =

v

Damit ist die Menge aller Lösungen 0

0

1 2 (1 + r)

=

1 1

2 R; v = von D 1 1

0

= b gegeben durch 1 1

+

:

;

2 R beliebig. Sei nun c = D> h ein replizierbares Auszahlungspro…l, so gilt c = (1 + r)

B S0 B S0

h1 h2

= (1 + r)

Bh1 + S0 h2 Bh1 + S0 h2

=

2 R;

;

und daher c ? ker D. Ein Auszahlungspro…l c ist genau dann nicht replizierbar, wenn c =

1

mit

2

1

6=

2.

In diesem Fall gilt o¤enbar

1 = 1 2 6= 0. 1 2 Das Marktmodell ist also arbitragefrei, aber nicht vollständig. O¤enbar 1

;

gilt Im D> = =

(1 + r) 1 1

B S0 B S0

h1 h2

h=

h1 h2

2 R2

2R :

1 ein replizierbares Auszahlungspro…l. Dann ist der Preis c0 von 1 c zum Zeitpunkt 0 gegeben durch Sei c =

c0 = h ; ci =

1+r

:

Damit ist c0 gerade der auf den Zeitpunkt 0 abdiskontierte Wert von . 2. Angenommen, es gilt s1 s2 > 0. Dann ist 1

=

1 (1 + r) S0 s2 1+r s1 s2

(1.37)

2

=

1 s1 (1 + r) S0 1+r s1 s2

(1.38)

und

1.7 Das Ein-Perioden-Zwei-Zustands-Modell

57

also 1 2

> 0 () (1 + r) S0 > s2 > 0 () s1 > (1 + r) S0 :

Das Marktmodell ist also im Falle s1

s2 > 0 genau dann arbitragefrei, wenn

s1 > (1 + r) S0 > s2 : Analog folgt, dass das Marktmodell im Falle s1 < s2 genau dann arbitragefrei ist, wenn s1 < (1 + r) S0 < s2 : In jedem Fall folgt aus s1 6= s2 die eindeutige Lösbarkeit des Gleichungssystems D = b. Also ist D dann injektiv und damit ein Isomorphismus. Dies ist aber gleichbedeutend mit der Vollständigkeit des Marktmodells. 4 Beispiel 1.71. Wir betrachten erneut das Beispiel 1.70, de…nieren aber hier zwei Konstanten u und d mit u > d > 0, so dass S1 (! 1 ) := uS0 und S2 (! 2 ) := dS0 : Dann lautet das Gleichungssystem (1.35) B S0

B (1 + r) B (1 + r) uS0 dS0

=

1 2

und ist nach Division durch B bzw. durch S0 identisch mit 1 1

=

1+r 1+r u d

1

:

(1.39)

2

Daraus folgt 1 = (1 + r) ( 1=u 1+d

1

+

2)

2

mit den Lösungen 1

=

und

1 (1 + r) d 1+r u d

(1.40)

1 u (1 + r) : (1.41) 1+r u d Wir sehen also, dass die Komponenten des Zustandsvektors nun nicht mehr von den Anfangskursen B und S0 , sondern nur noch von den Renditefaktoren u, d und 1 + r abhängen. Diese Tatsache wird bei der Erweiterung des Binomial-Modells auf mehrere Perioden verwendet werden. 2

=

58

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

O¤enbar ist das Marktmodell genau dann arbitragefrei, wenn u > 1 + r > d: Der Zustandsvektor

(1.42)

kann auch geschrieben werden als =

1 1+r

q 1

= dQ;

q

q das Martingalmaß 1 q aus Abschnitt 1.6.5. Der Wert c0 einer Auszahlung c 2 R2 zum Zeitpunkt 0 kann mit Hilfe von Q als diskontierter Erwartungswert geschrieben werden, wobei q :=

(1+r)S0 s2 s1 s2

und d :=

1 1+r .

Hier ist Q =

c0 = h ; ci = dEQ [c] = d (qc1 + (1 + q) c2 ) : 4 Beispiel 1.72. Wir betrachten erneut das Marktmodell aus Beispiel 1.42, 1 10

(b; D) =

1:02 1:02 12 9

;

:

Hier gilt 12 9 > 1:02 = 1 + r > = d; 10 10 woraus die Arbitragefreiheit von (b; D) folgt. Der Zustandsvektor ergibt sich entweder als eindeutig bestimmte Lösung des Gleichungssystems D = b oder durch Einsetzen von u und d in (1.40) und (1.41) zu u=

=

0:392 0:588

:

Nun betrachten wir eine Call-Option auf S 2 mit Basispreis 10. Die zustandsabhängige Auszahlung c dieser Option lautet c=

1 0

;

und daraus erhalten wir das replizierende Portfolio h als Lösung des Gleichungssystems D> h = c mit h=

2: 941 0:333

:

Der Wert c0 von c ergibt sich nun als Wert h S0 des Portfolios h zum Zeitpunkt 0 zu c0 = h S0 = 0:392:

1.8 Partial-Hedging

59

Mit Hilfe des Zustandsvektors erhalten wir diesen Wert für c0 unmittelbar als c0 = h ; ci = 0:392:

Betrachten wir nun eine Put-Option auf S 2 mit Basispreis 10:5, so lautet das zugehörige Auszahlungspro…l c=

0 1:5

;

und der Preis c0 von c ergibt sich als c0 = h ; ci = 0:882: 4 Sind die Bedingungen d < 1 + r < u in (1.42) verletzt, so ist die Bedingung 0 nicht erfüllt. Dies bedeutet aber, dass das Marktmodell nicht arbitragefrei sein kann. Nehmen wir beispielsweise an, dass 1 + r d < u gilt, so ist die Rendite bei Investition in die Aktie in jedem Zustand größ er als die Rendite r einer festverzinslichen Kapitalanlage. Damit liegt eine Arbitragestrategie auf der Hand: Leihe Kapital zum risikolosen Zinssatz und investiere dies in die Aktie. Da die Aktie in jedem Fall nicht weniger Rendite erzielt als die festverzinsliche Kapitalanlage, kann die entstehende Schuld in jedem Fall vollständig zurückgezahlt werden. Formalisiert wird dies durch eine Handelsstrategie h = (h1 ; h2 ) = 1; S10 . Wir leihen 1 Geldeinheit und kaufen für diese

1 S0

Anteile der Aktie. Die Gesamtinvestition entspricht dem Portfolio1 wert zum Zeitpunkt 0 und beträgt h = 0. Für die Auszahlung zum S0 Zeitpunkt 1 gilt D> h = =

1 + r uS0 1 + r dS0 u d

1 1 S0

(1 + r) (1 + r)

> 0: Also ist diese Handelsstrategie tatsächlich eine Arbitragegelegenheit.

1.8 Partial-Hedging Wir betrachten ein arbitragefreies Ein-Perioden-Marktmodell (S0 ; S1 ; P ) = (b; D; P ). Sei c 2 RK eine erreichbare Auszahlung, beispielsweise die einer Call- oder Put-Option. Wir fragen uns, wie subjektive Wahrscheinlichkeiten

60

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

P (!) für die modellierten Zustände ! genutzt werden können, um die Absicherungskosten für c zu reduzieren. Dazu versuchen wir, eine andere Auszahlung c0 2 RK anstelle von c zu replizieren, so dass aber die Verlustrisiken kontrolliert werden. Der erwartete Verlust bei Absicherung von c0 beträgt zum Zeitpunkt 1 c0 ] = EP [ ] ;

EP [c wobei := c erhalten wir

c0 . Wird dieser Betrag auf den Zeitpunkt 0 abdiskontiert, so dEP [ ] :

Die Einsparung, die zum Zeitpunkt 0 durch Absicherung von c0 anstelle von c erzielt werden kann, beträgt dEQ [c0 ] = dEQ [ ] :

dEQ [c]

Die teilweise Absicherung von c durch c0 , die wir Partial-Hedging nennen, lohnt sich nach den hier vorgestellten Überlegungen im Mittel dann, wenn die durch die Absicherung von c0 erzielte Einsparung dEQ [ ] den erwarteten Verlust dEP [ ] übersteigt. Wir erhalten so die Bedingungen dEQ [ ] > dEP [ ]

0:

Dies ist gleichbedeutend mit hP; i

0 und hQ

P; i > 0:

Für einen vorgegebenen mittleren Verlust EP [ ] = Optimierungsproblem: a :=

max 0

hP;c

c

c0 i=

= (hQ; ci

hQ )

P; c

0 erhalten wir so das

c0 i

min 0

c hP;c0 i=hP;ci

hQ; c0 i

Falls a positiv ist, so existieren im betrachteten Marktmodell (b; D; P ) für die gegebene Auszahlung c aussichtsreiche Partial-Hedging-Strategien. Beispiel 1.73. Betrachten Sie das Marktmodell 00 1 0 1 0 11 1 1:1 1:1 1:1 0:1 (b; D; P ) = @@ 5 A ; @ 2 4 7 A ; @ 0:6 AA 10 15 9 11 0:3 Das Marktmodell ist arbitragefrei mit

1.8 Partial-Hedging

0

61

1

0:124 = @ 0:248 A ; 0:537

d = 0:909 und 0 1 0:136 Q = @ 0:273 A : 0:591

Wir betrachten eine Call-Option c auf S 3 mit Ausübungspreis K = 10. Dann gilt 0 1 5 c = @0A 1 Der Wert der Option zum Zeitpunkt 0 beträgt

c0 = dEQ [c] = 1: 157: Der Zustand ! 1 wurde mit P (! 1 ) = 0:1 als relativ unwahrscheinlich modelliert. Daher wird nur das Auszahlungspro…l 0 1 2 c0 = @ 0 A 1 0 1 3 abgesichert. Der erwartete Verlust beträgt mit := c c0 = @ 0 A 0 EP [ ] = 0:3:

Andererseits gilt EQ [ ] = 0:409: Damit erhalten wir EQ [ ] > EP [ ], und es lohnt sich im Mittel, anstelle von c die Auszahlung c0 abzusichern mit c00 = dEQ [c0 ] = 0:785: Der unter Berücksichtigung der Verluste erwartete Gewinn beträgt dEQ [ ]

dEQ [ ] = 0:065:

Eine Alternative besteht darin, Kapital zur Absicherung festverzinslich anzulegen. In diesem Fall wählen wir 0 1 1 c00 = @ 1 A 1

62

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

und erhalten

0

1 4 = @ 1A: 0

Der mittlere erwartete Verlust EP [ ] = 0:2 ist in diesem Fall sogar ein Gewinn, denn der Zustand ! 2 tritt mit der vergleichsweise hohen Wahrscheinlichkeit von 60% ein. Zusätzlich ist die Einsparung EQ [ ] = 0:273 zum Zeitpunkt 1 positiv. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, keine Absicherung zu betreiben, also c000 = 0 zu wählen. In diesem Fall gilt jedoch EP [c c000 ] = EP [c] = 0:8 und EQ [c c000 ] = EQ [c] = 1:273, so dass diese Strategie im Sinne obiger Überlegungen als zu riskant erscheint. Für den erfolgreichen Einsatz dieser Strategie in der Praxis ist es natürlich wesentlich, dass sich nicht nur die modellierten Szenarien des Marktmodells, sondern auch die subjektiven Wahrscheinlichkeiten P (!) als realistisch herausstellen. 4

1.9 Wertgrenzen für Call- und Put-Optionen Es ist sowohl von theoretischem als auch von praktischem Interesse, einfach berechenbare obere und untere Schranken für Optionspreise angeben zu können. Dazu betrachten wir ein arbitragefreies Marktmodell (b; D), das eine Aktie S enthält mit S0 > 0 und S1 > 0. Wir betrachten die Auszahlung einer Call-Option + cC := (S1 K) und die einer Put-Option cP := (K mit Basispreis K

S1 )

+

0. O¤enbar gilt 0

cC

K

cC

und S1 Daraus folgen wegen (1.14) und

S1 :

0 die Eigenschaften ; cC =: cC 0

0 und S0

dK = h ; S1 i

; cC =: cC 0

h ; Ki

also (S0

dK)

+

cC 0

S0 :

h ; S1 i = S0 ; (1.43)

1.10 Das diskontierte Marktmodell

63

Für nicht-negative Zinsen, also für d 1, gilt S0 K S0 dK, und wir erhalten auch die folgende, etwas schwächere, aber einprägsamere Abschätzung S0

cC 0

K

S0 :

Beispiel 1.74. Wir betrachten eine Call-Option auf eine Aktie S mit Basispreis K = 27 Euro. Sei S0 = 29 Euro, und der risikolose Zinssatz betrage 2:7%. 1 Dann gilt d = 1+r = 0:974. Für den Wert cC 0 der Call-Option gilt dann 2: 702 = 29

0:974 27

cC 0

29: 4

Analog gilt cP

0

K;

woraus ; cP =: cP 0

0 folgt. Für d

h ; Ki = dK

(1.44)

1 erhalten wir aus (1.44) die etwas schwächere Abschätzung cP 0

0

K:

Beispiel 1.75. Wir betrachten eine Put-Option auf eine Aktie S mit Basispreis K = 32 Euro. Sei S0 = 30 Euro, und der risikolose Zinssatz betrage 2:7%. Für den Wert cP 0 der Call-Option gilt dann mit d = 0:974 0

cP 0

0:974 32 = 31: 168: 4

Wir betrachten nun die Identität cC

cP = (S1

+

K)

(K

+

S1 ) = S1

K:

Daraus folgt cC 0

cP 0 = h ; S1 i

h ; Ki = S0

dK:

(1.45)

Der Zusammenhang (1.45) wird Put-Call-Parität genannt und zeigt, wie Call- und Put-Preise mit identischem Ausübungspreis zusammenhängen. Nach der Put-Call-Parität besitzt eine Put-Option den gleichen Wert wie eine entsprechende Call-Option, falls K = d1 S0 = (1 + r) S0 gilt.

1.10 Das diskontierte Marktmodell In den letzten Abschnitten wurde der Wert c0 eines replizierbaren Auszahlungspro…ls c 2 RK als abdiskontierter Erwartungswert c0 = dEQ [c] dargestellt. Das WahrscheinlichkeitsmaßQ wurde dabei durch Normierung des Zustandsvektors gewonnen.

64

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

In diesem Abschnitt stellen wir eine alternative Vorgehensweise zur Bestimmung von c0 vor, die unmittelbar auf die Erwartungswert-Darstellung führt. Dazu ist es jedoch notwendig, die Existenz eines strikt positiven Finanzinstruments im Marktmodell vorauszusetzen. Wir nehmen daher im folgenden an, dass S01 > 0 und S11 (! j ) > 0 für alle j = 1; : : : ; K gilt. Unter dieser Voraussetzung transformieren wir das Marktmodell (S0 ; S1 ) in ein neues Modell (S~0 ; S~1 ). Dazu de…nieren wir Si S~0i := 01 für i = 1; : : : ; N und S0 S i (! j ) S~1i (! j ) := 11 für i = 1; : : : ; N und j = 1; : : : ; K: S1 (! j ) Das neue Marktmodell (S~0 ; S~1 ) besitzt also die Eigenschaften S~01 = S~11 (! 1 ) = = S~11 (! K ) = 1 und wird diskontiertes Marktmodell genannt. Es enthält alle Preise relativ zu den Preisen von S 1 . Dieses Finanzinstrument S 1 , relativ zu dem die Preise aller anderen Finanzinstrumente angegeben werden, wird auch Numéraire genannt. Die Bezeichnung diskontiertes Marktmodell für S~0 ; S~1 begründet sich dadurch, dass S 1 häu…g die Eigenschaften S01 = 1 und S11 (! j ) = 1 + r für alle j = 1; : : : ; K besitzt. In diesem Fall gilt S~0 = S0 und S~i (! j ) = 1 S i (! j ), also werden die Wertpapierpreise S i (! j ) mit dem 1

Faktor

1 1+r

1+r

1

1

abdiskontiert.

Satz 1.76. Ein Marktmodell (S0 ; S1 ) ist genau dann arbitragefrei, wenn das diskontierte Marktmodell S~0 ; S~1 arbitragefrei ist. Beweis. Dies folgt sofort aus den Beziehungen 1 h S~0 = 1 h S0 und S0 1 h S~1 (! j ) = 1 h S1 (! j ) S1 (! j ) unter Beachtung von S11 (! 1 ) > 0; : : : ; S11 (! K ) > 0 und S01 > 0. Ist also das Marktmodell (S0 ; S1 ) arbitragefrei, so auch S~0 ; S~1 , und es ~ ~ = ~b, wobei existiert ein Zustandsvektor ~ 0 mit D ~b := S~0 = S0 = b S01 b1 und

i ~ ij := S~i (! j ) = S1 (! j ) = Dij : D 1 1 S1 (! j ) S11 (! j )

1.10 Das diskontierte Marktmodell

65

Im diskontierten Modell ist das Portfolio e1 = (1; 0; : : : ; 0) eine festverzinsliche ~ > e1 = (D ~ 11 ; : : : ; D ~ 1K ) = Handelsstrategie zum Zinssatz r = 0, denn es gilt D (1; : : : ; 1). Daher ist d~ :=

K X j=1

~ = h ~ ; (1; : : : ; 1)i = h ~ ; D ~ > e1 i = D ~ ~ e1 = ~b e1 = ~b1 = 1; j

so dass die Komponenten des Zustandsvektors ~ formal ein Wahrscheinlichkeitsmaß ~ := ~ Q (1.46) bilden. Zur Erinnerung: Im ursprünglichen Modell bildet dagegen Q = d ein Wahrscheinlichkeitsmaß . Ist c 2 RK ein in (S0 ; S1 ) replizierbares Auszahlungspro…l, so gibt es ein h 2 RN mit c = D> h. Dann gilt für c~ 2 RK , de…niert durch c~j :=

S11

cj ; (! j )

die Darstellung N

c~j =

X cj 1 = 1 D> 1 S1 (! j ) S1 (! j ) i=1

h = ji i

N X

~> D

i=1

ji

~ >h hi = D

j

:

Also ist c~ in S~0 ; S~1 replizierbar, und es gilt D E D E ~ ~ = ~; D ~ > h = ~ ; c~ = EQ~ [~ c~0 := h S~0 = h D c] :

Wegen

1 1 c~0 = h S~0 = 1 h S0 = 1 c0 S0 S0 folgt also ~

~

c0 = S01 EQ [~ c] = S01 EQ

c : S11

(1.47)

Wir betrachten nun den Zusammenhang zwischen den Zustandsvektoren in ~ . (S0 ; S1 ) = (b; D) und denen im diskontierten Marktmodell S~0 ; S~1 = ~b; D Sei

ein Zustandsvektor in (b; D). Dann gilt wegen b = D K X ~bi = bi = 1 (D ) = 1 Dij i b1 b1 b1 j=1

j

=

K X j=1

~ ij D

D1j b1

j

:

(1.48)

Bezeichnen wir andererseits den Zustandsvektor im diskontierten Marktmo~ ~ und damit dell mit ~ , so gilt ~b = D

66

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

~bi = D ~~

i

=

K X

~ ij ~ : D j

j=1

Durch Vergleich mit (1.48) folgt ~ = D1j j b1

j

=

S11 (! j ) S01

j

für j = 1; : : : ; K:

(1.49)

Den Zusammenhang (1.49) erhalten wir auch mit Hilfe von (1.47) durch h b = h ; ci =

D1 b1 ; c b1 D1

= b1 h ~ ; c~i;

wobei D1 die erste Zeile von D bezeichnet und

D1 b1

j

:=

D1j b1

j

gilt.

Mit (1.46) folgt aus (1.49) 1 ~ j = ~ j = S1 (! j ) Q S01

j

=d

S11 (! j ) Qj : S01

(1.50)

Anmerkung 1.77. Angenommen das Finanzinstrument S 1 ist ein festverzinsliches Wertpapier mit b1 = S01 = 1 und mit D1j = S11 (! j ) = 1 + r für alle j = 1; : : : ; K. Dann gilt für den Preis c0 = h b eines replizierbaren Auszahlungspro…ls c mit c = D> h der Zusammenhang ~

c0 = h b = S01 EQ

c c ~ = EQ : 1 S1 1+r

(1.51)

In diesem wichtigen Spezialfall hist also i der Wert eines Auszahlungspro…ls ~ c 1 gleich dem Erwartungswert EQ 1+r des mit dem Diskontfaktor 1+r abdiskontierten Auszahlungspro…ls c. Dabei wird der Erwartungswert bezüglich ~ := ~ gebildet, das durch die Bedingungen des Wahrscheinlichkeitsmaß es Q 1 ~b = D ~ ~, ~ 0, de…niert ist. Wegen (1.50) und wegen d = 1+r folgt ferner ~ = Q: Q Existiert in einem arbitragefreien Marktmodell (S0 ; S1 ) also ein festverzinsliches Wertpapier und wird dieses als Numéraire verwendet, so stimmen die ~ im ursprünglichen und im diskontierten Mobeiden Martingalmaß e Q und Q dell überein. Beispiel 1.78. Wir betrachten das Beispiel 1.72 mit dem arbitragefreien Marktmodell 1 1:02 1:02 (b; D) = ; : 10 12 9 Der zugehörige eindeutig bestimmte Zustandsvektor lautet

1.11 Zusammenfassung

0:392 0:588

=

67

:

Wählen wir S 1 als Numéraire, so lautet das zugehörige diskontierte Marktmodell 1 1 1 ~b; D ~ = ; : 10 11: 765 8: 823 Der zu diesem Marktmodell gehörende Zustandsvektor ~ ergibt sich als Lö~ ~ = ~b und lautet sung des linearen Gleichungssystems D ~=

0:4 0:6

=: Q:

Erwartungsgemäßist ~ = Q formal ein Wahrscheinlichkeitsmaß . Für die in 1 Beispiel 1.72 betrachtete Call-Option mit Auszahlungspro…l c = berech0 nen wir nun (1.51) und erhalten c0 = EQ

c = EQ 1+r

1 1:02

0

=

0:4 = 0:392; 1:02

also den bereits bekannten Wert aus Beispiel 1.72. Entsprechend ergibt sich 0 für die in Beispiel 1.72 betrachtete Put-Option mit c = der Wert 1:5 c0 = EQ

c = EQ 1+r

0 1:5 1:02

=

0:9 = 0:882: 1:02 4

1.11 Zusammenfassung

Eine zustandsabhängige Auszahlung c 2 RK heiß t replizierbar in einem Marktmodell (b; D) 2 RN MN K (R), wenn c 2 Im D> . In diesem Fall gibt es ein Portfolio h 2 RN mit c = D > h. Ein Marktmodell heiß t vollständig, wenn jedes Auszahlungspro…l replizierbar ist. Einer replizierbaren Auszahlung c lässt sich genau dann ein eindeutig bestimmter Preis c0 zum Zeitpunkt 0 zuordnen, wenn c0 := h b für jedes replizierende Portfolio h denselben Wert besitzt. Dies ist gleichbedeutend mit der Eigenschaft ker D > ? b, oder äquivalent dazu mit b 2 Im D, und im Marktmodell gilt dann das Law of One Price. Es gibt in diesem Fall also ein 2 RK mit b = D , und der

68

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte Tabelle 1.1. Übersicht Ein-Perioden-Modelle Ein-Perioden-Modelle

Marktmodell

(S0 ; S1 ) = (b; D) 2 RN

Replizierbarkeit

c 2 RK replizierbar

MN

K

(R); S0 = b; S1 = D

, 9h 2 RN mit c = h S1 = D > h , c 2 Im D >

, c ? ker D (da RK = Im D > Vollständigkeit

ker D)

(b; D) vollständig , Im D > = RK , ker D = f0g (da RK = Im D> ,D

Law of One Price

2 RK

= b hat höchstens eine Lösung

Preis c0 := h b von c = h S1 = D > h unabhängig von h , b ? ker D>

, b 2 Im D (da RN = Im D ,D

ker D> )

= b hat mindestens eine Lösung

, 9 2 RK mit S0 = b = D (Diskontierung von D > h) , 9 2 RK mit h b = Arbitragegelegenheit

ker D)

2 RK

= h ; S1 i

; D > h 8h 2 RN

Portfolio h 2 RN , das Gewinnmöglichkeit ohne Kapitaleinsatz und ohne Zahlungsverp‡ichtung bietet , L (h) > 0 (Entnahmeprozess L (h) := ( h S0 ; h S1 ))

Fundamentalsatz

(b; D) arbitragefrei , 9 2 RK+1 mit

? Im L und

0

, 9 2 RK mit

0 und b = D

(

(Diskontierung von D > h) , 9 2 RK mit

0 und h b =

; D> h

=) h b = dE Q D > h

d=

PK

j=1

Zustandsvektor)

j;

Q=

8h 2 RN d

Preis c0 jeder replizierbaren Auszahlung c = D> h 2 RK lässt sich darstellen als c0 = h b = D h = h ; D> hi = h ; ci. Zur Berechnung von c0 muss das replizierende Portfolio h somit nicht bekannt sein, und c0 = h ; ci

1.12 Weitere Aufgaben

69

kann als verallgemeinerte Diskontierung des zukünftigen zustandsabhängigen Zahlungsstroms c auf den Zeitpunkt 0 interpretiert werden. Im Rahmen eines Marktmodells (b; D) heiß t ein Portfolio h Arbitragegelegenheit, falls L(h) = ( h b; D> h) > 0 gilt. In diesem Fall bietet die Investition in das Portfolio h eine risikolose Gewinnmöglichkeit ohne eigenen Kapitaleinsatz. In der Regel wird vorausgesetzt, dass Arbitragegelegenheiten in e¢ zienten Märkten nicht oder nur kurzzeitig auftreten, da Investoren jede dieser Gelegenheiten schnell erkennen und ausnutzen würden. Dies hätte eine Verschiebung der Preise der zugehörigen Finanzinstrumente zur Folge, so dass die Arbitragegelegenheiten nach kurzer Zeit wieder verschwunden wären. In einem Marktmodell (b; D) gilt ein grundlegender Struktursatz, der Fundamentalsatz der Preistheorie. Er besagt, dass Arbitragefreiheit äquivalent ist zur Existenz eines Zustandsvektors. Dies ist eine strikt positive Lösung 0 des Gleichungssystems D = b. In arbitragefreien Marktmodellen gilt also insbesondere das Law of One Price. Ein Auszahlungspro…l c ist in einem arbitragefreien Marktmodell genau dann replizierbar, wenn h ; ci für jeden Zustandsvektor denselben Wert besitzt. Ist also der Zustandsvektor in einem Marktmodell (b; D) eindeutig bestimmt, so ist jedes Auszahlungspro…l replizierbar, und in diesem Fall ist (b; D) daher vollständig. Sei ein Zustandsvektor in einem arbitragefreien Marktmodell. Wegen 0 lässt sich der Preis h ; ci jedes replizierbaren Auszahlungspro…ls c formal als diskontierter Erwartungswert der P Auszahlung c schreiben, denn es K gilt h ; ci = dh d ; ci = dEQ [c], wobei d := j=0 j > 0 und Q := d . Das WahrscheinlichkeitsmaßQ wird Preismaßgenannt, oder, wegen EQ [dS1i ] = 6 h ; S1i i = h ; D> ei i = hD ; ei i = ei S0 = S0i , auch Martingalmaß . Die Q Darstellung c0 = dE [c] für den Wert einer replizierbaren Auszahlung c zum Zeitpunkt 0 spezialisiert sich für deterministische Auszahlungen unmittelbar auf den vertrauten Ausdruck dc. Denn ist c deterministisch, gilt also c = c (1; : : : ; 1), so gilt c0 = dcEQ [(1; : : : ; 1)] = dc: Die Zahl d lässt sich daher als Diskontfaktor interpretieren, falls im betrachteten Marktmodell festverzinsliche Kapitalanlagen realisierbar sind. In Tabelle 1.1 …nden Sie eine Zusammenstellung der wichtigsten Resultate dieses Kapitels.

1.12 Weitere Aufgaben Aufgabe 1.7. Betrachten Sie das Marktmodell 6

Wegen EQ [dS1i ] = S0i de…niert der diskontierte Preisprozess (S0 ; dS1 ) ein Martingal bezüglich Q und der Filtration F0 = f?; g, F1 = P ( ). Auf die Begri¤e Filtration und Martingal wird in späteren Kapiteln noch ausführlich eingegangen.

70

1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

1 5

(b; D) =

;

1:1 1:1 7 4

:

1. Untersuchen Sie (b; D) auf Vollständigkeit und auf Arbitragefreiheit. 2. Bestimmen Sie den Wert einer Call-Option auf S 2 mit Basispreis K = 6. 3. Berechnen Sie den Forward-Preis F eines Forward-Kontrakts auf S 2 . Aufgabe 1.8. Betrachten Sie das Marktmodell (b; D) =

1 5

;

1:1 1:1 1:1 7 4 6

:

1. Untersuchen Sie (b; D) auf Vollständigkeit und auf Arbitragefreiheit. 2. Bestimmen Sie den Wert einer Call-Option auf S 2 mit Basispreis K = 6. 3. Berechnen Sie den Forward-Preis F eines Forward-Kontrakts auf S 2 . Aufgabe 1.9. Betrachten Sie das Marktmodell 00 1 0 11 1 1:1 1:1 1:1 (b; D) = @@ 5 A ; @ 7 4 6 AA : 10 12 9 9

1. Zeigen Sie, dass (b; D) vollständig, aber nicht arbitragefrei ist. 2. Finden Sie eine Arbitragegelegenheit.

Aufgabe 1.10. Betrachten Sie das Marktmodell 00 1 0 11 1 1:1 1:1 1:1 1:1 (b; D) = @@ 5 A ; @ 7 4 6 3 AA : 10 12 9 9 13

1. Zeigen Sie, dass (b; D) nicht vollständig, dagegen aber arbitragefrei ist. 2. Geben Sie eine zustandsabhängige Auszahlung c 2 R4 an, die nicht repliziert werden kann. 3. Bestimmen Sie die Menge aller replizierbaren Auszahlungen.

Aufgabe 1.11. Betrachten Sie das Marktmodell 00 1 0 11 1 1:1 1:1 1:1 (b; D) = @@ 5 A ; @ 3 4 7 AA : 10 12 9 11

1. Zeigen Sie, dass das Marktmodell arbitragefrei und vollständig ist. 2. Bestimmen Sie die Werte einer Call- und einer Put-Option auf S 3 mit Basispreis K = 10.

1.12 Weitere Aufgaben

71

3. Veri…zieren Sie die Put-Call-Parität mit Hilfe der Ergebnisse aus 2. 4. Bestimmen Sie die Werte aus 2. mit Hilfe des diskontierten Marktmodells, wobei S 1 als Numéraire gewählt werden soll. 5. Bestimmen Sie die Werte aus 2. mit Hilfe des diskontierten Marktmodells, wobei S 3 als Numéraire gewählt werden soll. Aufgabe 1.12. Betrachten Sie das Marktmodell 00 1 0 11 56 60 59 57 (b; D) = @@ 8 A ; @ 11 7 10 AA : 33 32 36 41

1. Zeigen Sie, dass (b; D) arbitragefrei und vollständig ist, und bestimmen Sie den eindeutig bestimmten Zustandsvektor . 2. Finden Sie die eindeutig bestimmte festverzinsliche Anlage mit der Eigenschaft S1 (!) = 1 für alle ! 2 . 3. Bestimmen Sie daraus den Diskontfaktor d und den risikolosen Zinssatz r. P3 4. Veri…zieren Sie d = j=1 j .

Aufgabe 1.13. Sei (b; D) ein arbitragefreies Marktmodell mit Zustandsvektor und seien C und C 0 zwei Investitionsalternativen, die zu den beiden zukünftigen zustandsabhängigen replizierbaren Auszahlungen c 2 RK und c0 2 RK führen. Wir möchten ein Kriterium einführen, nach dem derartige Investitionen bewertet werden können und nach dem insbesondere festgestellt werden kann, ob und wann C 0 gegenüber C zu bevorzugen ist. Dazu wird auf Im D> Im D> eine Relation de…niert durch c0

c () h ; c0 i

h ; ci :

c0 c bedeutet, dass c0 wenigstens so gut ist wie c. Dies ist de…nitionsgemäß also genau dann der Fall, wenn der auf t = 0 transformierte Wert h ; c0 i von c0 größ er gleich dem auf t = 0 transformierten Wert h ; ci von c ist. 1. Zeigen Sie, dass eine re‡exive und transitive Relation de…niert. 2. De…niert auch eine Ordnungsrelation?7

7

Eine Relation

auf einer Menge M heiß t Ordnungsrelation, wenn gilt a a a

a für alle a 2 M (re‡exiv) b und b b; b

a =) a = b (antisymmetrisch)

c =) a

c (transitiv)

2 Portfoliotheorie

In diesem Kapitel werden die Grundlagen der klassischen Portfoliotheorie dargestellt. Die zentrale Annahme der Portfoliotheorie besteht darin, dass Anleger ihre Investitionsentscheidungen ausschließ lich auf die beiden Größ en Rendite und Risiko gründen. Im Rahmen der Portfoliotheorie möchten Investoren bei einem vorgegebenen Risiko einen möglichst hohen Anlageerfolg erzielen. Oder Investoren möchten bei vorgegebenem Anlageerfolg ein möglichst geringes Risiko eingehen. Die Portfoliotheorie quanti…ziert den Anlageerfolg als den Erwartungswert und das Anlagerisiko als die Standardabweichung der Anlagerendite. Weitere Informationen zur Portfoliotheorie …nden sich in Dothan [14], Pliska [45], Luenberger [41] und in Huang/Litzenberger [22]. Im Rahmen der Portfoliotheorie wird das Ein-Perioden-Modell (b; D) = (S0 ; S1 ) des letzten Kapitels um ein WahrscheinlichkeitsmaßP erweitert, das zum Zeitpunkt t = 0 für jeden Zustand ! j 2 eine Wahrscheinlichkeit P (! j ) > 0 für das Eintreten des Zustands ! j zum Zeitpunkt t = 1 spezi…ziert. Ein derartiges Marktmodell bezeichnen wir im folgenden häu…g mit (b; D; P ) oder alternativ mit (S0 ; S1 ; P ).

2.1 Rendite und Risiko De…nition 2.1. Sei (b; D) = (S0 ; S1 ) ein Marktmodell. Sei weiter h 2 RN ein Portfolio mit Anfangswert h S0 = h b > 0. Dann ist die Rendite Rh von h durch D> h h (S1 S0 ) = 1 (2.1) Rh := h S0 h b de…niert. h (S (! ) S )

1 j 0 Gleichung (2.1) bedeutet Rh (! j ) = für jedes ! j 2 . Die h S0 Rendite Rh eines Portfolios h hängt also vom Szenario ab, welches zum Zeitpunkt t = 1 realisiert wird und ist damit als reellwertige Funktion auf eine Zufallsvariable. Alternativ kann Rh als Element des RK aufgefasst werden.

J. Kremer, Portfoliotheorie, Risikomanagement und die Bewertung von Derivaten, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-20868-3_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

74

2 Portfoliotheorie

Anmerkung 2.2. Mit V0 (h) = V0 = h S0 und mit V1 (h) = V1 = h S1 gilt auch V1 V0 Rh = : (2.2) V0 2.1.1 Die erwartete Rendite De…nition 2.3. In einem Marktmodell (b; D; P ) = (S0 ; S1 ; P ) ist die erwartete Rendite h 2 R eines Portfolios h de…niert als h

:= EP [Rh ] :=

K X

Rh (! j ) P (! j ) :

(2.3)

j=1

Diese Größ e ist im Rahmen der Portfoliotheorie das Maßfür den Erfolg einer Anlage h. Hier bedeutet der Index P in EP [Rh ], dass der Erwartungswert bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaß es P gebildet wird. In der Regel werden wir jedoch E anstelle von EP schreiben. Entsprechend wird bei der Bezeichnung h für die erwartete Rendite häu…g das Portfolio h weggelassen, also einfach geschrieben. 2.1.2 Risiko, Varianz und Volatilität Je stärker die Werte der Rendite Rh eines Portfolios h um den Erwartungswert EP [Rh ] schwanken, desto größ er ist das Risiko, dass die in einem Zustand ! j erzielte Rendite Rh (! j ) vom Erwartungswert abweichen wird. Als Maßfür die Stärke dieser Schwankung de…nieren wir zunächst die Varianz V[Rh ], V [Rh ] := E[(Rh =

K X

2

E [Rh ]) ]

(Rh (! j )

(2.4)

2

) P (! j ) ;

j=1

wobei := EP [Rh ]. Betrachten wir die Formel für die Varianz genauer. Hier wird die Abweichung jeder möglichen Rendite Rh (! j ) vom Mittelwert qua2 driert, (Rh (! j ) ) . Auf diese Weise liefert jede Abweichung vom Mittelwert einen positiven Beitrag, und die einzelnen Abweichungen können sich bei Summierung nicht gegenseitig aufheben. Durch das Quadrat werden größ ere Abweichungen vom Mittelwert stärker berücksichtigt. Schließ lich werden die quadrierten Di¤erenzen mit der Eintrittswahrscheinlichkeit P (! j ) des jeweiligen Szenarios ! j gewichtet. Je geringer die Wahrscheinlichkeit P (! j ) für das Eintreten eines Zustands ! j ist, desto geringer fällt die quadrierte Abweichung 2 (Rh (! j ) ) bei der Berechnung von V [Rh ] ins Gewicht.

2.1 Rendite und Risiko

75

De…nition 2.4. Wir de…nieren als Risiko oder Volatilität h einer Anlage h die Wurzel aus der Varianz V[Rh ] der Portfoliorendite Rh , also p V[Rh ]: (2.5) h :=

Das Risiko h eines Portfolios h wird also als Standardabweichung der Rendite Rh von h de…niert. Wenn keine Verwechslungen zu befürchten sind, so wird in der Bezeichnung h gelegentlich das Portfolio h weggelassen, also analog zum Erwartungswert der Rendite einfach geschrieben. Mit der Varianz lässt sich in der Regel leichter rechnen, die Volatilität besitzt dagegen eine anschauliche Bedeutung. Im Intervall von bis + liegen bei normalverteilten Renditen knapp 70% aller Renditewerte. Bemerkenswert ist, dass bei dem hier de…nierten Risikobegri¤ sowohl negative als auch positive –und damit in der Regel erwünschte –Abweichungen vom Mittelwert einen Risikobeitrag liefern. Das Risiko wird hier also allgemein als Stärke der Streuung um den Erwartungswert de…niert und entspricht damit nicht der intuitiven Bedeutung, die Risiko als die Gefahr des Eintre¤ens ungünstiger Umstände charakterisiert. Bei symmetrischen Verteilungen, wie etwa der Normalverteilung, ist die Berücksichtigung positiver Abweichungen vom Mittelwert für die De…nition des Risikos nicht kritisch. Bei allgemeineren, insbesondere nichtsymmetrischen Renditeverteilungen ist die Varianz als Risikobegri¤ jedoch nicht unumstritten. Darüber hinaus können zwei Verteilungen zwar gleiche Varianz, jedoch vollkommen unterschiedliche Verteilungen besitzen. Mittelwert und Varianz reichen zur Beschreibung einer gegebenen Verteilungsstruktur im allgemeinen nicht aus. Eine Normalverteilung dagegen ist durch diese beiden Werte eindeutig charakterisiert. Es ist also weder zwingend, das Risiko einer Investition in einer einzigen Zahl auszudrücken, noch ist es zwingend, als De…nition für das Anlagerisiko die Wurzel aus dem Erwartungswert der quadratischen Abweichungen vom Mittelwert zu verwenden. Dennoch ist dieser Risikobegri¤ in der Praxis von groß er Bedeutung und grundlegend in der Portfoliotheorie. Lemma 2.5. Sei h 2 RN ein Portfolio mit h S0 > 0. Dann gilt V[Rh ] = 0 genau dann, wenn Rh konstant ist, und dies ist gleichbedeutend mit Rh (!) = für alle ! 2

h

.

Beweis. Aus der De…nition folgt V[Rh ] =

K X

(Rh (! j )

h)

2

P (! j ) = 0

j=1

genau dann, wenn Rh (! j ) =

h

für alle j = 1; : : : ; K.

76

2 Portfoliotheorie

2.1.3 Rationale Investoren Anleger oder Investoren können vollkommen unterschiedliche Kapitalausstattungen und Einschätzungen über die zukünftigen Entwicklungen der Finanzmärkte haben. Dennoch scheinen sie in der Praxis häu…g folgende Prinzipien zu befolgen, die sie als sogenannte rationale Investoren kennzeichnen: 1. Nichtsättigung. Ein rationaler Anleger wird, sobald er die Möglichkeit zu weiteren Erträgen hat, diese auch realisieren. 2. Risikoaversion. Ein rationaler Anleger wird die Risiken seiner Anlageentscheidungen stets so niedrig wie möglich halten. In der Praxis sind das konkurrierende Ansprüche an die Anlagemöglichkeiten. Der Anleger muss in aller Regel bereit sein, zusätzliche Risiken einzugehen, um zusätzliche Erträge erzielen zu können. Investoren unterscheiden sich dagegen in ihrer Bereitschaft, Risiken einzugehen. Für einen risikoaversen Anleger müssen die Ertragschancen von Anlagen mit zunehmendem Risikoniveau überproportional steigen, damit er noch bereit ist, zusätzliche Risiken in Kauf zu nehmen. Demgegenüber wird ein risikofreudiger Anleger tendenziell die Position vertreten, dass mit zusätzlichem Risiko seine Ertragschancen wachsen und er daher bereit ist, diese zu akzeptieren. 2.1.4 Das

- -Diagramm

Werden jeder Anlage die beiden Größ en erwartete Rendite und Risiko zugeordnet, so kann jede Anlage als Punkt ( ; ) 2 R2 in einer Ebene repräsentiert werden. Die zugehörige Graphik wird - -Diagramm genannt. Haben Investoren in der Situation von Abb. 2.1 die Wahl zwischen den Anlagen B und C, so wählen Sie B, weil beide Investitionen über den gleichen erwarteten Ertrag verfügen, die Anlage B aber ein geringeres Risiko besitzt. Bei einer Auswahl zwischen den Anlagen A und C wählen rationale Investoren die Anlage A, weil beide Investitionen das gleiche Risiko besitzen. Die Anlage A besitzt jedoch gegenüber C einen höheren Ertrag. Hat ein rationaler Investor jedoch die Auswahl zwischen den Investitionen A und B, so liefert die Portfoliotheorie keine Entscheidungsgrundlage. Die Anlage A verfügt über einen höheren Ertrag als die Anlage B, aber sie besitzt auch ein höheres Risiko. Die Auswahl einer der beiden Investitionen hängt von der Risikoeinstellung des Investors ab.

2.2 Portfolioanalyse Wir versuchen nun, das Risiko und die Rendite eines Portfolios mit Hilfe der Renditen und Risiken der Finanzinstrumente, die im Portfolio enthalten sind, auszudrücken.

2.2 Portfolioanalyse

77

s A

s B

s C

Abb. 2.1.

- -Diagramm

Dabei wird ein bemerkenswerter E¤ekt zutage treten, der als Diversi…kation bekannt ist und bedeutet, dass sich durch eine geeignete Mischung von Finanztiteln das Risiko eines Portfolios reduzieren lässt, ohne dass sich die erwartete Rendite in gleichem Maß e verringert. Wie sehr sich das Risiko eines Portfolios absenken lässt, hängt vom Ausmaßder Gegenläu…gkeit der Bestandteile des Portfolios ab und wird mit Hilfe der Begri¤e Kovarianz und Korrelation formalisiert. 2.2.1 Rendite und erwartete Rendite eines Portfolios Die Rendite Rh eines Portfolios h kann als Linearkombination der Renditen Si Si Ri := 1S i 0 der Portfoliobestandteile S i für i = 1; : : : ; N dargestellt werden. 0

Bezeichnet ei 2 RN für i = 1; : : : ; N den i-ten Standardbasisvektor, so gilt o¤enbar Rei = Ri . Lemma 2.6. Angenommen, es gilt S0i > 0 für alle i = 1; : : : ; N und angenommen, es gilt V0 = h S0 > 0 für ein Portfolio h 2 RN . Dann gilt mit hi S0i S1i S0i i := h S0 und mit Ri = Si 0

Rh =

N X

i Ri

i=1

= Beweis. Dies folgt sofort aus

R:

(2.6)

78

2 Portfoliotheorie

V1

V0 = h (S1 =

N X

S0 )

hi S0i

S1i

i=1

und Division durch V0 = h S0 .

S0i S0i h Si

In der Darstellung (2.6) kennzeichnet i = hiS00 den Bruchteil des Anfangskapitals, das in das i-te Finanzinstrument investiert wird. Lemma 2.7. Für den Erwartungswert E [Rh ] der Portfoliorendite Rh eines Portfolios h gilt E [Rh ] = E [

N X

R] =

i E [Ri ]

=

E [R] ;

(2.7)

i=1

wobei E [Rh ] := (E [R1 ] ; : : : ; E [RN ]) 2 RN . Beweis. O¤enbar gilt

E [Rh ] = E

"N X

i Ri

i=1

=

N X

#

i E [Ri ] :

i=1

Die erwartete Rendite eines Portfolios ist also eine Linearkombination der erwarteten Renditen der Portfoliobestandteile. Lemma 2.8. Sei E [Rh ]

i

=

hi S0i h S0

0 für alle i = 1; : : : ; N . Dann gilt mit min

max ;

h

wobei min

:= min f

i

ji = 1; : : : ; N g

max

:= max f

i

ji = 1; : : : ; N g

und mit

i

:= E [Ri ] für i = 1; : : : ; N .

Beweis. Dies folgt aus E [Rh ] =

N X

i E [Ri ]

i=1

max

N X

i

i=1

= wegen

PN

i=1

i

max

= 1. Analog erhalten wir

min

E [Rh ].

h

:=

2.2 Portfolioanalyse

79

Wenn keine Leerverkäufe vorliegen, wenn also i 0 für alle i = 1; : : : ; N , dann liegt die erwartete Rendite E [Rh ] eines Portfolios h zwischen der kleinsten und größ ten erwarteten Rendite der im Portfolio vertretenen Finanzinstrumente. Beispiel 2.9. Wir betrachten ein Portfolio h = (h1 ; h2 ) aus zwei Wertpapieren h S1 h S2 und de…nieren := h1S00 . Dann ist 1 = h2S00 , und es gilt Rh = R1 + (1

) R2 :

Daraus folgt für die Portfoliorendite der Ausdruck E [Rh ] = E [R1 ] + (1

) E [R2 ] :

Werden also 30% des eingesetzten Kapitals in das erste Wertpapier investiert und 70% in das zweite, so lautet die Rendite des resultierenden Portfolios Rh = 0:3 R1 + 0:7 R2 ; und wir erhalten für die erwartete Portfoliorendite den Ausdruck E [Rh ] = 0:3 E [R1 ] + 0:7 E [R2 ] : Für E [R1 ]

E [R2 ] gilt E [R1 ]

E [Rh ]

E [R2 ] : 4

2.2.2 Varianz und Standardabweichung eines Portfolios Satz 2.10. Angenommen, es gilt S0i 6= 0 für alle i = 1; : : : ; N und angenomh Si men, es gilt V0 = h S0 > 0 für ein Portfolio h 2 RN . Dann gilt mit i := hiS00 und mit Ri =

S1i S0i S0i

2 h

= V[Rh ] =

N X N X

i jE

(Ri

i)

Rj

j

:

i=1 j=1

Beweis. Sei h 2 RN ein Portfolio. Dann gilt mit (2.6) und (2.7) Rh =

N X

i Ri ;

i=1

und = E [Rh ] =

N X i=1

i

i;

(2.8)

80

2 Portfoliotheorie

wobei := E [Rh ] und schreiben als

i

:= E [Ri ]. Die Varianz des Portfolios lässt sich dann 2

V[Rh ] = E[(Rh ) ] 2 N X = E4 i (Ri 2

= E4

!2 3 5 i)

i=1

N X

i

!0 N X @ i)

(Ri

i=1

2 N X N X = E4

j

Rj

j=1

i j

(Ri

i)

Rj

3

=

i jE

(Ri

i)

Rj

A5

5

j

i=1 j=1

N X N X

j

13

:

j

i=1 j=1

De…nition 2.11. Die Kovarianz von Ri und Rj ist de…niert als Cov (Ri ; Rj ) := E (Ri

i)

Rj

j

:

(2.9)

Lemma 2.12. Die Kovarianz Cov ist eine symmetrische, positiv semide…nite Bilinearform, d.h. es gilt Cov (Ri ; Rj ) = Cov (Rj ; Ri ) (Symmetrie) Cov ( Ri + Rj ; Rk ) = Cov (Ri ; Rk ) + Cov (Rj ; Rk ) Cov (Ri ; Rj + Rk ) = Cov (Ri ; Rj ) + Cov (Ri ; Rk ) (Bilinearität) Cov (Ri ; Ri ) 0 (Positive Semide…nitheit) Ferner gilt Cov (Ri ; Ri ) = V[Ri ] und Cov (Ri ; Rj ) = E [Ri Rj ]

i j:

Beweis. Die Symmetrie der Kovarianz folgt unmittelbar aus der De…nition. Bilden wir die Kovarianz einer Rendite Ri mit sich selbst, so erhalten wir h i 2 Cov (Ri ; Ri ) = E (Ri = V[Ri ]: i) Die Varianz V[Ri ] ist stets 0 und verschwindet nach Lemma 2.5 genau dann, wenn Ri konstant ist. Also ist die Kovarianz positiv semide…nit. Aus der Linearität des Erwartungswertes folgt

2.2 Portfolioanalyse

Cov (Ri ; Rj ) = E (Ri

i)

Rj

= E [Ri Rj ]

E Ri

= E [Ri Rj ]

i j:

81

j

E [ i Rj ] +

j

i j

Hieraus wiederum folgt sofort die Bilinearität der Kovarianz. De…nition 2.13. Die N

N -Matrix C, gegeben durch Cij := Cov (Ri ; Rj ) ;

für i; j = 1; : : : ; N , heiß t Kovarianzmatrix. Nach Lemma 2.12 ist C symmetrisch und positiv semide…nit. Lemma 2.14. Für die Varianz V[Rh ] der Rendite eines Portfolios h gilt 2

= V[Rh ] = h ; C i ;

also

p

=

h ; C i:

(2.10)

Beweis. Mit (2.8) und De…nition 2.13 erhalten wir 2

=

N X N X

i jE

(Ri

i)

Rj

j

i=1 j=1

=

N X

i

i=1

=

N X

N X

Cij

j

j=1

i

(C )i

i=1

= h ;C i:

Zerlegung der Varianz eines Portfolios Während die erwartete Rendite eines Portfolios gleich der gewichteten Summe der erwarteten Renditen der Portfoliobestandteile ist, gilt ein analoger Zusammenhang für die Portfoliovarianz nicht. Die gewichtete Summe der Portfoliobestandteile bildet dagegen einen Teil der Portfoliovarianz, wie die folgende Zerlegung zeigt. Wegen Cov(Ri ; Ri ) = V[Ri ] können wir die Varianz eines Portfolios schreiben als V[Rh ] =

N X

2 i V [Ri ]

i=1

|

{z

}

Varianzanteil

+

N X

i;j=1 i6=j

|

i j Cov (Ri ; Rj ):

{z

Kovarianzanteil

}

(2.11)

82

2 Portfoliotheorie

Der erste Summand der rechten Seite heiß t Varianzanteil, der zweite Summand Kovarianzanteil der Portfoliovarianz. Der Varianzanteil lässt sich berechnen, wenn nur die Renditen der Bestandteile des Portfolios bekannt sind. Hier gehen, im Gegensatz zum Kovarianzanteil, keine Informationen über Beziehungen zwischen den Renditen der Portfoliobestandteile ein. Beispiel 2.15. Sei V = h S = h1 S 1 + h2 S 2 der Wert eines Portfolios h = (h1 ; h2 ) mit zwei Finanztiteln S 1 und S 2 . Wir setzen V0 = h S0 > 0 voraus. Dann gilt Rh = 1 R1 + 2 R2 h S1

h S2

mit 1 = V1 0 0 und 2 = V2 0 0 . Setzen wir erwartete Portfoliorendite lautet E[Rh ] =

1 E[R1 ]

=

1

:= +

+ (1

1,

so ist

2

=1

, und die

2 E[R2 ]

)

2:

Für die Varianz der Portfoliorendite erhalten wir den Ausdruck V[Rh ] =

2 X 2 X

i ) (Rj

i j E[(Ri

j )]

i=1 j=1

= =(

2

2

V[R1 ] + (1 1)

2

) V[R2 ] + 2 (1

+ ((1

)

2)

2

+ 2 (1

2

2

) Cov(R1 ; R2 ) ) Cov(R1 ; R2 ): 2

Hier ist also 2 V[R1 ]+(1 ) V[R2 ] = ( 1 ) +((1 ) 2 ) der Varianzanteil und 2 (1 ) Cov(R1 ; R2 ) der Kovarianzanteil der Portfoliovarianz. 4 Aufgabe 2.1. Betrachten Sie ein Portfolio, das aus den beiden Wertpapieren S 1 und S 2 besteht. Die erwartete Rendite von S 1 betrage 5%, die von S 2 habe den Wert 8%. Das Risiko von S 1 betrage 18%, das von S 2 sei 25%. Die Kovarianz der Renditen von S 1 und S 2 betrage 0:0135. 1. Welche Werte besitzen die erwartete Portfoliorendite und das Risiko des Portfolios, wenn 20% des eingesetzten Kapitals in S 1 und 80% in S 2 investiert werden? 2. Wie muss das Kapital zwischen S 1 und S 2 aufgeteilt werden, damit das Portfolio ein minimales Risiko besitzt? 3. Berechnen Sie die erwartete Rendite und das Risiko dieses Portfolios.

2.2.3 Relative Risikobeiträge Die Portfoliovarianz V[Rh ] = N X j=1

2

kann wegen

j Cov(Ri ; Rj ) = Cov(Ri ;

N X j=1

j Rj )

= Cov(Ri ; Rh )

2.2 Portfolioanalyse

83

auch als 2

=

1

i

N X

i Cov(Ri ; Rh )

i=1

=

0 N X @

N X

j=1

j

Cov(Ri ; Rj )A

i=1

geschrieben werden. Dies bedeutet 1=

N X i=1

=

N X

i

Cov(Ri ; Rh ) V[Rh ]

i i

i=1

mit i

:=

Cov(Ri ; Rh ) 2

:

(2.12)

Damit haben wir den relativen Beitrag des i-ten Wertpapiers zur Gesamtvarianz dargestellt als i i: Der Ausdruck i = Cov(R2i ;Rh ) wird Beta-Faktor oder einfach Beta des i-ten Wertpapiers genannt. 2.2.4 Interpretation der Kovarianz Zur anschaulichen Interpretation der Kovarianz betrachten wir erneut die Gleichung (2.9) für zwei Renditen R1 und R2 , also Cov(R1 ; R2 ) = E[(R1 =

K X

1 ) (R2

P (! j ) (R1 (! j )

2 )] 1 ) (R2 (! j )

2) :

j=1

Wegen 1 = E[R1 ] ist für gewisse ! j der Wert R1 (! j ) kleiner als 1 , während für andere ! j der Wert R1 (! j ) größ er als 1 ist. Also ist der Wert R1 (! j ) 1 für gewisse ! j negativ, während er für andere ! j positiv ist. Entsprechendes gilt für R2 und 2 . Angenommen, die Kurse der beiden Wertpapiere S 1 und S 2 verlaufen tendenziell parallel. Dies ist dann der Fall, wenn die durch die ! j beschriebenen Marktszenarien einen grundsätzlich gleichartigen Ein‡uss auf die Kurse ausüben. So wirkt sich eine Erhöhung der Benzinpreise zwar unterschiedlich stark,

84

2 Portfoliotheorie

jedoch in gleicher Weise negativ, auf den Absatz der verschiedenen in Deutschland vertretenen Automobilkonzerne aus. Eine Senkung der KFZ-Steuer wirkt sich dagegen auf alle Automobilkonzerne mehr oder weniger positiv aus. Formaler gilt also: Ist für ein Szenario ! j der Ausdruck R1 (! j ) 1 < 0, so gilt in der Regel auch R2 (! j ) 2 < 0. Und ist für ein ! j der Ausdruck R1 (! j ) 1 > 0, so gilt in der Regel auch R2 (! j ) 2 > 0. In jedem dieser beiden Fälle, und das ist wichtig, gilt (R1 (! j )

1 ) (R2 (! j )

2)

> 0:

Damit ist aber auch die Kovarianz als mit Wahrscheinlichkeiten gewichtete Summe derartiger Terme positiv. Es gibt jedoch auch die umgekehrte Situation, dass die Kurse eines Wertpapiers tendenziell dann steigen, wenn die des anderen sinken. In diesem Fall gilt, dass für ein Szenario ! j der Ausdruck R1 (! j ) 1 dann negativ ist, wenn für das zweite Wertpapier R2 (! j ) 2 > 0 gilt, und umgekehrt. In beiden Fällen erhalten wir (R1 (! j )

1 ) (R2 (! j )

2)

< 0;

und damit ist auch die Kovarianz negativ. Eine positive Kovarianz kann also als tendenzieller Gleichlauf zweier Wertpapiere interpretiert werden, während eine negative Kovarianz bedeutet, dass die Kurse tendenziell entgegengesetzt verlaufen. Die betragsmäß ige Größ e der Kovarianz hängt jedoch nicht nur vom Gleich- oder Gegenlauf der betre¤enden Kurse, sondern auch von der Größ enordnung ihrer Renditen ab. Es lässt sich daher beispielsweise im allgemeinen nicht folgern, dass eine groß e positive Kovarianz auf einen starken Gleichlauf der beiden zugehörigen Wertpapierkurse schließ en lässt. 2.2.5 Die Korrelation Wir werden im folgenden die Kovarianz geeignet normieren, so dass auf diese Weise ein Maßfür die Ausprägung des Gleich- oder Gegenlaufs von Kursrenditen de…niert werden kann. Lemma 2.16. Seien X; Y : ! R beliebige Zufallsvariable auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum ( ; P ). Dann de…niert hX; Y i := E [XY ]

(2.13)

ein Skalarprodukt auf dem Vektorraum der Zufallsvariablen. Dieses Skalarprodukt induziert die Norm p p kXk := hX; Xi = E [X 2 ]: Insbesondere gilt für beliebige Zufallsvariablen X und Y die Schwarzsche Ungleichung

2.2 Portfolioanalyse

jhX; Y ij

kXk kY k ;

85

(2.14)

und es ist kXk Y , falls hX; Y i = kXk kY k ; kY k kXk X= Y , falls hX; Y i = kXk kY k : kY k X=

(2.15)

Beweis. Dass (2.13) ein Skalarprodukt de…niert, ist leicht zu sehen. Daraus folgt bereits die Schwarzsche Ungleichung (2.14)1 . Sei nun hX; Y i = kXk kY k. Dann gilt X

kXk Y kY k

2

kXk kXk Y + Y kY k kY k kXk 2 hX; Y i kY k

2

= kXk

= 2 kXk

2

2 X; 2

= 0:

Der Nachweis von (2.15) für den Fall hX; Y i =

kXk kY k folgt analog.

Aufgabe 2.2. Zeigen Sie, dass (2.13) ein Skalarprodukt de…niert. Geben Sie eine Basis des Vektorraums aller Zufallsvariablen an, die bezüglich dieses Skalarprodukts orthonormal ist. Lemma 2.17. Für beliebige Renditen R1 und R2 gilt p p jCov (R1 ; R2 )j V [R1 ] V [R2 ] =

1 2:

(2.16)

Beweis. Die Anwendung der Schwarzschen Ungleichung (2.14) auf die beiden Zufallsvariablen X := R1

E [R1 ] und Y := R2

E [R2 ]

liefert unmittelbar die Behauptung. 1

Für X = 0 oder Y = 0 gilt o¤enbar jhX; Y ij = 0 = kXk kY k. Andernfalls de…niere X e := kXk und f := kYY k . Dann gilt kek = kf k = 1 und 0

ke

= kek2 = 2 (1 also

1

he; f i =

1 kXkkY k

hX; Y i

f k2

2 he; f i + kf k2

he; f i) ; 1.

86

2 Portfoliotheorie

Folgerung 2.18. Die Standardabweichung , gegeben durch p p (X) := V[X] = Cov (X; X); de…niert eine Halbnorm, d.h., es gilt 1. 2. 3.

(X) 0 (Positive Semide…nitheit) ( X) = j j (X) für alle 2 R (Positive Homogenität) (X + Y ) (X) + (Y ) (Dreiecksungleichung)

Bei einer Halbnorm ist also (X) = 0 für X 6= 0 möglich. O¤enbar gilt (X) = 0 genau dann, wenn X konstant ist. Für 1 2 6= 0 gilt nach (2.16) also die Abschätzung 1

Cov (R1 ; R2 )

1:

1 2

De…nition 2.19. Die Größ e Corr (R1 ; R2 ) :=

Cov (R1 ; R2 ) 1 2

wird Korrelation zwischen R1 und R2 genannt und gelegentlich mit gekürzt.

12

ab-

Im Falle Corr (R1 ; R2 ) =

1

gilt nach Lemma 2.16 R1

p p

E [R1 ] =

oder R1

1

V [R1 ] V [R2 ] 1

=

(R2

2

(R2

E [R2 ])

2) :

Damit lässt sich aber eine Rendite als a¢ ne Funktion der anderen darstellen, R1 =

1 1

2

1 2

R2 :

2

Im Falle von Corr (R1 ; R2 ) = 1 sind R1 und R2 daher bis auf eine Konstante positive bzw. negative Vielfache voneinander, die Renditen sind also entweder vollkommen gleich- oder vollkommen gegenläu…g. Dies motiviert, den Wert Corr (R1 ; R2 ) als Ausmaßdes Gleichlaufs zwischen R1 und R2 zu interpretieren.

2.2 Portfolioanalyse

Lemma 2.20. Sei p V [Rh ]

i

wobei max := max f Weiter gilt

=

hi S0i h S0

0 für alle i = 1; : : : ; N . Dann gilt mit 0

i

max ;

h

ji = 1; : : : ; N g mit 0

N X

h

i

:= N X

i i

i=1

p

87 h

:=

V [Ri ] für i = 1; : : : ; N .

i:

(2.17)

i=1

Beweis. Zunächst weisen wir (2.17) nach. Mit (2.16) folgt 2 h

=

N X

i j Cov (Ri ; Rj )

i;j=1 N X

i j i j

i;j=1

=

N X

i i

i=1

Dies bedeutet aber h

N X i=1

wegen

i

wegen

i i

:

N X

i;

i=1

1 für alle i = 1; : : : ; N . Daraus erhalten wir aber ! N N X X i i i max = max i=1

PN

!2

i=1

i

i=1

= 1.

Vergleiche das vorangegangene Lemma 2.20 mit Lemma 2.8. 2.2.6 Diversi…kation Nach Lemma 2.20 ist die Standardabweichung der Rendite der Summe zweier Portfolios nicht größ er als die Summe der Standardabweichungen der Einzelportfoliorenditen ist. Für die Standardabweichung der Renditen Rh1 und Rh2 zweier Portfolios h1 und h2 gilt also stets p p p p V[Rh1 +h2 ] = V[Rh1 + Rh2 ] V[Rh1 ] + V[Rh2 ]: (2.18)

Wir betrachten nun erneut die Zerlegung (2.11) der Varianz einer Portfoliorendite in einen Varianz- und in einen Kovarianzanteil:

88

2 Portfoliotheorie

V[Rh ] =

N X

2 i V [Ri ]

N X

+

i=1

i j

Cov (Ri ; Rj ) :

i;j=1 i6=j

Der stets nicht negative Varianzanteil ist unabhängig vom Gleich- oder Gegenlauf der verschiedenen, im Portfolio vertretenen Wertpapiere. Der Kovarianzanteil kann dagegen je nach Vorzeichen einen positiven oder negativen Beitrag zum Portfoliorisiko liefern. Besonders übersichtlich kann der Ein‡uss des Kovarianzterms bei einem Portfolio dargestellt werden, das nur aus zwei Finanzinstrumenten besteht. Mit Hilfe der Korrelation schreiben wir für die Varianz der Rendite eines Portfolios h aus zwei Wertpapieren V[Rh ] = =(

2 V[R1 ] 1)

2

)2 V[R2 ] + 2 (1

+ (1

+ ((1

)

2)

2

+ 2 (1

)Cov(R1 ; R2 ) )

1 2

mit := Corr(R1 ; R2 ). Betrachten wir nun die Varianz des Portfolios in Abhängigkeit von der Korrelation zwischen R1 und R2 , so stellen wir fest, dass sie am größ ten ist für = 1 und am kleinsten für = 1. Der Fall

=1

Wir betrachten zunächst den Idealfall = 1. Nun gilt für die Varianz des Portfolios 2 V[Rh ] = ( 1 + (1 ) 2) : Also folgt, falls 0

1,

= ) 2 1 + (1 p für die Volatilität := V[Rh ]. Die Risiken 1 und 2 der Einzelpapiere addieren sich zum Gesamtrisiko des Portfolios. Anschaulich ist klar, dass sich bei vollständigem Gleichlauf der beiden Papiere das Risiko nicht verringern lassen kann. Sinkt oder steigt nämlich der Kurs eines Wertpapiers, so folgt der Kurs des anderen auf Grund des Gleichlaufs nach. Bei = 0 wird das gesamte Kapital in das zweite Wertpapier S 2 investiert, während bei = 1 alles in S 1 investiert wird. Welche Kurve wird im - Diagramm durchlaufen, wenn die Werte von 0 bis 1 durchläuft? Dies ist leicht zu beantworten. Zunächst gilt =

2

+

(

= =

+ (1 2+ ( 1

2) :

1

Ferner gilt 1

)

2 2) ;

2.2 Portfolioanalyse

wobei

:= E [R],

1

:= E [R1 ] und

2

2

=

89

:= E [R2 ]. Damit erhalten wir aber

+

2

1

2

1

2

;

und dies ist eine Geradengleichung. Siehe Abb. 2.2.

u S1 =

Z Z

1<

Z

1

< +1 =1

Z Z

Z

Z Z

Z Zu S 2

Abb. 2.2. Diversi…kation in Abhängigkeit von der Korrelation zwischen R1 und R2

Der Fall

=

1

Angenommen, die beiden Wertpapiere S 1 und S 2 sind maximal negativ korreliert mit = 1. Dann gilt 2

= V[Rh ] = ( =(

(1

1

2 1)

)

+ ((1 2)

2

)

2)

2

2 (1

)

:

Daraus folgt =j =j =

1

(1 ) 2j + ( 2 1 + 2) j

( 1 + 2 ) ; falls 0 2 + ( 1 + 2 ) ; falls

2

2

1+ 2 2 1+ 2

; 1:

1 2

90

2 Portfoliotheorie

Wählen wir also = 1 +2 2 2 (0; 1), so folgt V[Rh ] = 0. Daher lässt sich die Varianz eines Portfolios, das aus zwei vollständig negativ korrelierten Papieren besteht, auf Null reduzieren und wir können das Portfolio-Risiko durch eine geeignete Mischung der im Portfolio vorhandenen Wertpapiere vollständig ausschließ en. Aber musste die Reduktion des Risikos nicht durch eine entsprechende Reduzierung des erwarteten Ertrags dieses Portfolios erkauft werden? Nein, denn wir wissen nach Lemma 2.8, dass die erwartete Rendite des Portfolios zwischen der niedrigsten und der höchsten erwarteten Rendite der Portfoliobestandteile liegt. Mit min = min( 1 ; 2 ) und max = max( 1 ; 2 ) gilt für die erwartete Portfoliorendite min

für jedes

max

2 [0; 1] :

Durch eine geeignete Zusammensetzung des Portfolios kann hier das Risiko ausgeschlossen werden, = 0, jedoch gilt für die Portfoliorendite stets min . Eine Reduzierung des Portfoliorisikos unter Beibehaltung oder weitgehender Beibehaltung der Portfoliorendite wird Diversi…kation genannt. In der Praxis werden wir diesen Idealfall = 1 nicht antre¤en. Dies bedeutet, dass wir in der Praxis das Risiko nicht völlig ausschließ en können. Jedoch gilt: Je kleiner die Korrelation der Wertpapiere im Portfolio, desto stärker lässt sich auch das Gesamtrisiko durch geeignete Diversi…kation reduzieren. Auf welcher Kurve werden im Falle

=

1 die beiden Punkte

2

und

2 1

im - -Diagramm miteinander verbunden, wenn das Kapital von S 2

1

nach S 1 umgeschichtet wird? Dazu betrachten wir zunächst 0 In diesem Fall gilt = 2 ( 1 + 2 ). Zusammen mit = 2 + ( folgt 2

=

1

+

2

1

2

:

2

Dies ist eine Geradengleichung mit 2

=

2

für

= 0. Wir sehen, dass für

=

=

gilt

2 1+ 2

2 1+

1

2

0 +

1 1+ 2

: 2

Die Kurve ist ein Geradenabschnitt, der die beiden Punkte 2 1+

2

0 + 1

und

1 1+

2

2

2 2

2 1+ 2

1

.

2)

2.2 Portfolioanalyse

miteinander verbindet. Nun betrachten wir gilt = 2 + ( 1 + 2 ), also 2

=

1. Für diesen Bereich

2 1+ 2

1

+

2

91

+

2

1

:

2

Dies ist ebenfalls ein Geradenabschnitt, der in diesem Fall die Punkte 0 + 1

2 1+ 2

1

und

1

2

1+ 2

1

miteinander verbindet. Auch dieser Fall ist in Abb. 2.2 dargestellt. Der Fall

1<

<1

Für Werte der Korrelation 2

=(

1)

=( Wegen 0 <

1

2

zwischen 0 und 1 schreiben wir

+ ((1

)

+ (1

< 1 ist 2 (1

)

2) 2

)

2)

1 2

(1

Das bedeutet, dass die Kurve, die

2

+ 2 (1 2 (1

) )

1 2

1 2

(1

) > 0, also gilt 1

2

und

1

):

<

1 + (1

)

2.

miteinander verbindet,

2

stets links von der Verbindungsgeraden liegt. Dies de…niert aber gerade den Diversi…kationse¤ekt: Zu gegebenem 2 [0; 1] ist die erwartete Portfoliorendite unabhängig von der Korrelation und besitzt den Wert = ) 2; 1 + (1 während für das zugehörige Risiko

je nach Korrelation

j

1

2

+

(

1

+

2 )j

+ (1

)

gilt 2:

Zusammenfassend tritt also ein maximaler Diversi…kationse¤ekt bei vollständig negativer Korrelation auf, d.h. bei einem Korrelationskoe¢ zienten von = 1. Nur in diesem Grenzfall ist die Reduktion des Portfoliorisikos auf Null möglich. Bei vollständig positiver Korrelation, = +1, lässt sich dagegen kein Diversi…kationse¤ekt erzielen. Die Korrelationskoe¢ zienten realer Portfolios liegen zwischen diesen beiden Extremwerten, und der Diversi…kationse¤ekt ist um so ausgeprägter, je kleiner der Korrelationskoe¢ zient ist. 2.2.7 Die klassische Darstellung des CAPM In diesem Abschnitt wird das Capital Asset Pricing Model (CAPM) hergeleitet, das in den 60er Jahren von Jack Treynor zusammen mit W. Sharpe, J. Lintner und J. Mossin entwickelt wurde. W. Sharpe erhielt 1990 für seine Leistungen zusammen mit H. Markowitz den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften. Für weiterführende Informationen zum CAPM siehe Huang/Litzenberger [22] und Luenberger [41].

92

2 Portfoliotheorie

E¢ zienzlinie In realen Märkten treten Korrelationen mit einem Wert von 1 niemals auf. Daher lässt sich das Risiko eines Portfolios in der Praxis nicht bis auf den Wert Null herunterdrücken. Allerdings tritt der Diversi…kationse¤ekt bereits dann auf, wenn < 1 gilt. Angenommen, wir haben eine Reihe von Wertpapieren mit bekannten und festen Korrelationen untereinander, aus denen wir beliebige Portfolios bilden. Jedes Portfolio lässt sich als Punkt im - -Diagramm darstellen, und die Menge aller Punkte, die sich auf diese Weise in der ( ; )-Ebene realisieren lassen, wird Opportunitätsbereich genannt. Der Opportunitätsbereich besitzt folgende Eigenschaften. 1. Wenn es wenigstens drei Wertpapiere im betrachteten Marktmodell gibt, die nicht vollständig positiv korreliert sind und die paarweise verschiedene erwartete Renditen besitzen, so ist der Opportunitätsbereich ein „ausgefüllter“ Bereich der - -Ebene. Die Begründung erfolgt anhand von Abb. 2.3.

6

rB

rD r

C

A

r

Abb. 2.3. Die Menge aller realisierbaren Portfolios liegt dicht in der - -Ebene

Die drei grundlegenden Wertpapiere werden im - -Diagramm durch die Punkte A, B und C repräsentiert. Wir wissen, dass je zwei Wertpapiere durch eine linksgekrümmte Linie miteinander verbunden sind, wenn Portfolios aus diesen zwei Wertpapieren gebildet werden, deren Kapitalanteil von dem einen zu dem anderen Finanzinstrument stetig umgeschichtet wird.

2.2 Portfolioanalyse

93

So entsteht ein Portfolio D als Punkt zwischen den Wertpapieren B und C. Jedes Portfolio D kann wiederum mit dem Portfolio A gemischt werden. Variiert das Portfolio D von B nach C, so überstreichen die Verbindungen AD den gesamten Bereich ABC. 2. Die zweite Eigenschaft besteht darin, dass der Opportunitätsbereich linkskonvex ist. Dies bedeutet, dass der Geradenabschnitt, die zwei beliebige innere Punkte des Opportunitätsbereichs miteinander verbindet, den linken Rand des Opportunitätsbereichs nicht schneidet. Diese Situation liegt vor, weil alle Portfolios, die mit positiven Gewichten aus zwei beliebigen anderen Portfolios mit > 1 gebildet werden, links von ihrer Verbindungsgeraden liegen. Damit kann der Opportunitätsbereich wie in Abb. 2.4 skizziert werden.

uA E¢ zienzlinie

B u

u u uC

Abb. 2.4. „Regenschirm“

Auf Grund seiner Form wird der Opportunitätsbereich auch „Regenschirm“ genannt. Im Punkt B liegt das Portfolio mit der kleinstmöglichen Varianz. Es wird globales Minimum-Varianz-Portfolio genannt. Es zerlegt die Randkurve ABC der Menge der realisierbaren Portfolios in zwei Teile, AB und BC. Die vom Punkt B bis zum Punkt A verlaufende Kurve repräsentiert diejenigen Portfolios, die bei vorgegebener Varianz den höchsten Erwartungswert aufweisen. Diese Kurve wird E¢ zienzlinie genannt.

94

2 Portfoliotheorie

Wir erhalten diese Kurve als die Menge aller Punkte ( ; ) mit ( ; ) = (inff

h

jh Portfolio, E[Rh ] =

g; ) ;

wobei das In…mum über die Volatilitäten h aller möglichen Portfolios h mit gleicher erwarteter Rendite gebildet wird. Die untere Kurve BC besteht aus den maximal ine¢ zienten Portfolios, die bei vorgegebenem Risiko die kleinstmögliche erwartete Rendite liefern. Spezi…ziert ein Anleger das Risiko, das er einzugehen bereit ist, so …ndet sich im - -Diagramm genau ein zugehöriges Portfolio, das auf der E¢ zienzlinie liegt, vorausgesetzt, das Risiko ist weder zu klein, also links des globalen Minimum-Varianz-Punktes B, und auch nicht zu groß , also rechts vom „Regenschirm“. Einbeziehung einer festverzinslichen Kapitalanlage in ein Portfolio Bisher haben wir nur Portfolios aus risikobehafteten Wertpapieren betrachtet. Wir haben gesehen, dass die Menge aller durch Mischung entstehenden Portfolios einen „Regenschirm“ bildet, deren oberer Rand, die E¢ zienzlinie, diejenigen Portfolios enthält, die für den Anleger optimal sind. Wir untersuchen nun was geschieht, wenn wir ein festverzinsliches Wertpapier in die Menge der Anlagemöglichkeiten aufnehmen. Wir werden sehen, dass sich der „Regenschirm“ aller möglichen Portfolios nach Hinzunahme einer derartigen Kapitalanlage zu einem Fächer verändert und dass die E¢ zienzlinie zu einer Halbgeraden, der Kapitalmarktlinie, wird. Betrachten wir also ein beliebiges Portfolio A und ein festverzinsliches Wertpapier B. Die Tatsache, dass B festverzinslich ist, bedeutet, dass die Rendite RB von B für jeden Zustand ! 2 den gleichen Wert r > 0 besitzt, dass also gilt B1 (!) B0 RB (!) = = r > 0: B0 Daraus folgt V[RB ] = 0, und B heiß t daher auch risikolose Kapitalanlage. Aus einer Mischung der Anlage B mit einem Portfolio A bilden wir nun ein neues Portfolio C. Wir wissen, dass sich die Rendite von C als gewichtete Summe der Renditen von A und B darstellen lässt, RC = RA + (1 = R + (1

)RB )r;

wobei wir R := RA de…nieren und 0 voraussetzen. Nun bilden wir den Erwartungswert und die Varianz der Portfoliorenditen. Mit E[RC ] =: C und E[RA ] = E[R] =: erhalten wir C

= + (1 =r+ (

)r r) :

2.2 Portfolioanalyse 2

Weiter gilt mit V [RA ] = V[R] =: 2 C

95

:= V[RC ] =

2 2

=

2 2

)2 V[r] + 2 (1

+ (1

)Cov(R; r)

;

da V[r] = 0 und da Cov(R; r) = E [(R C

) (r

r)] = 0. Wir erhalten also

=

(2.19)

und damit den linearen Zusammenhang C

0 r

=

C

+

r

:

(2.20)

0 für = 0 mit r bei = 1 verbindet. Schreiben wir die erwartete Rendite C als Funktion des Risikos C , so erhalten wir Dies ist eine Geradengleichung, die das Portfolio

C

=r+ =r+

(

r) r

(2.21)

C:

r Der Ausdruck kennzeichnet die Steigung der Geraden (2.20). Gleichung (2.21) stellt eine Beziehung her zwischen der Risikoprämie C r und dem dabei einzugehenden Risiko C ,

r=

C

oder

r

C

=

r

C;

r

:

(2.22)

C

Gleichung (2.21) lässt sich wie folgt interpretieren. Legt ein Investor einen Teil seines Geldes sicher und den Rest seines Vermögens riskant an, so herrscht zwischen der zu erwartenden Rendite C und dem übernommenen Risiko eine strikt lineare Beziehung, sofern man das Risiko über die Standardabweichung der Portfoliorendite C misst, wie das im Rahmen der Portfolio-Theorie der Fall ist. Verbinden wir jedes risikobehaftete Portfolio des „Regenschirms“ mit der Rendite der risikolosen Geldanlage, so erhalten wir die Menge aller möglichen Portfolios. Diese bilden geometrisch einen „Fächer“. Kapitalmarktlinie Der Zusammenhang zwischen Varianz und erwarteter Rendite ist bei Mischung eines Portfolios mit einer risikolosen Geldanlage also linear. Wir versuchen nun, ein möglichst „gutes“ Portfolio aus riskanten Anlagetiteln zu …nden, das wir mit der risikolosen Anlage mischen können.

96

2 Portfoliotheorie

Betrachten wir Abb. 2.5, so sehen wir, dass das sich auf der E¢ zienzlinie be…ndende Portfolio M tatsächlich besonders günstig ist. Denn es gibt zu jedem beliebigen Portfolio A ein Portfolio C, das aus einer Kombination der risikolosen Anlage B und M gebildet wird, welches das gleiche Risiko wie A besitzt, aber einen höheren Ertrag aufweist. Das Portfolio M ist im - -Diagramm der Berührpunkt einer von der risikolosen Anlage ausgehenden Halbgeraden mit der E¢ zienzlinie. Wir …nden M , indem wir unter allen Portfolios A = ( A ; A ) dasjenige auswählen, dessen Verbindungsgrade mit B = (0; r) die höchste Steigung AA r besitzt. Dieses Portfolio M wird Marktportfolio genannt, und die auf diese Weise ausgezeichnete, durch B und M verlaufende Halbgerade heiß t Kapitalmarktlinie. Die Steigung der Kapitalr marktlinie MM wird in der Portfoliotheorie als Marktpreis des Risikos r bezeichnet. Da für Portfolios A die Quotienten AA häu…g auftreten, werden wir diese Marktpreis des Risikos der Anlage A nennen. Die Kapitalmarktlinie ist die E¢ zienzlinie für den Fall, dass zusätzlich zu riskanten Wertpapieren auch eine risikolose Anlage in das Anlagespektrum einbezogen wird.

Kapitalmarktlinie

uC

u

E¢ zienzlinie

M

B u

uA

Abb. 2.5. Die Kapitalmarktlinie, die die risikolose Anlage B mit M verbindet, besitzt eine größ ere Steigung als jede Verbindungsgerade von B zu einem beliebigen Portfolio A im Inneren des „Regenschirms“.

Da sich alle Portfolios auf der Kapitalmarktlinie durch eine Kombination der risikolosen Anlage mit dem Marktportfolio M bilden lassen, ist es im

2.2 Portfolioanalyse

97

Rahmen der Portfoliotheorie nicht sinnvoll, in andere riskante Anlagen als in M zu investieren, denn jedes beliebige Portfolio kann durch eine geeignete Investition in die risikolose Anlage und in M dominiert werden, siehe Abb. 2.5. Diese Aussage ist als Mutual Fund Theorem bekannt. Angenommen, alle Anleger handelten nach den hier vorgestellten Prämissen und alle Anleger stimmten in ihren Einschätzungen über Varianzen und Korrelationen der Wertpapiere überein. Dann wäre für alle Marktteilnehmer das Portfolio M identisch und alle investierten in eine geeignete Mischung von risikoloser Anlage und M . Für welche Portfoliomischung sich ein Investor entscheidet, hängt von seiner Risikoneigung ab. Entscheidend ist aber, dass die Optimallösungen sämtlicher Marktteilnehmer auf der Kapitalmarktlinie liegen. In diesem Zusammenhang sei darauf hingewiesen, dass Investoren durchaus Positionen „rechts“ vom Portfolio M einnehmen können. Dazu nehmen sie einen Kredit zum risikolosen Zinssatz r auf und investieren das geliehene Kapital in M . Die Rendite des auf diese Weise entstehenden Portfolios C lautet dann RC = RM + (1 )r mit einem

> 1. Für die erwartete Rendite und das Risiko von C folgt C

=r+

(

C

=

>

M

M

r) >

M

und

M:

Wie lässt sich das Portfolio M interpretieren? Wenn alle Investoren nur in die risikolose Anlage und in M investieren würden, so wäre M o¤enbar der Gesamtmarkt, also das Portfolio aller in Umlauf be…ndlichen Wertpapiere, während die Rendite dieses Portfolios die gewichtete Summe aller Wertpapierrenditen wäre, wobei die Gewichte gerade der Marktkapitalisierung der jeweiligen Anlagen entsprächen. Dies bedeutet aber auch, dass jeder Investor einen Bruchteil dieses Gesamtportfolios halten würde, nicht aber einzelne Wertpapiere oder ausgewählte Portfolios. In der Praxis wird das Gesamtmarktportfolio in der Regel durch einen Index, etwa durch den DAX für den deutschen Aktienmarkt, ersetzt. Capital Asset Pricing Model und Wertpapierlinie Wir …xieren nun ein Wertpapier S i und investieren den Bruchteil unseres Kapitals in dieses Papier und den Rest in das Marktportfolio M . Auf diese Weise erhalten wir eine Schar von Portfolios C mit den Eigenschaften C1 = S i und C0 = M . Für die Renditen R von C gilt R = Ri + (1

)R;

wobei R := RM die Rendite des Marktportfolios M und Ri die Rendite von S i bezeichnet.

98

2 Portfoliotheorie

Kombinieren wir C mit der risikolosen Geldanlage, so wissen wir, dass alle auf diese Weise realisierbaren Portfolios auf einer Geraden mit Steigung E[R ] r r f ( ) := p = V[R ] p liegen, wobei := E[R ] und := V[R ] de…niert wurde. Für = 0 erhalten wir wegen R0 = R = RM gerade den Marktpreis des Risikos von M , E[R] r r f (0) = p = ; V[R] p mit := EP [R] und := V[R]. Das Marktportfolio M wurde dadurch de…niert, dass die Steigung f (0) maximal ist. Insbesondere gilt also f( )

f (0) für alle :

In Abb. 2.6 sind die möglichen Portfolios C als Kurve, die durch S i und M führt, dargestellt. Für = 0 stimmt C0 mit dem Marktportfolio M überein. Wir sehen, dass die durch B und M verlaufende Kapitalmarktlinie die maximale Steigung aller Geraden besitzt, die durch B und beliebige Punkte auf der durch C de…nierten Kurve führen. Es gilt also nach De…nition des Marktportfolios df( ) = 0: d =0 Wir berechnen nun mit

:= E [R ] und

df ( ) d = d d

Mit

i

:= E [Ri ] und

i

d ( d

:=

r d d

=

:= V[R ]

(

(2.23) r)

(

r) dd

:

2

p

V[Ri ] folgt

r) = =

d ( d

i

+ (1

)

r)

i

sowie d d

d p 2 1 d 2 = d 2 d 1 d 2 2 2 = )2 2 + 2( )Cov(Ri ; R) i + (1 2 d 1 = [2 2i 2(1 ) 2 + 2(1 2 )Cov(Ri ; R)] 2 1 = [ 2i (1 ) 2 + (1 2 )Cov(Ri ; R)]: =

2.2 Portfolioanalyse

99

Kapitalmarktlinie, r

Steigung:

E¢ zienzlinie

u S i = C1

M = C0 u

Wertpapierlinie für S i , Steigung:

B u

r

i i

=

r

(Ri ; R)

C

Abb. 2.6. Ableitung der CAPM-Renditegleichung und der Darstellung für die Wertpapierlinie.

Setzen wir dies in (2.23) ein und setzen df ( ) d

(

=

i

)

= 0, so erhalten wir r) 1 (

(

2

+ Cov(Ri ; R))

2

=0

(

=

i

r)

1

Cov(Ri ; R)(

r)

2

:

Dies ist genau dann gleich Null, wenn der Zähler verschwindet, also wenn (

r)

i

1

Cov(Ri ; R)(

oder i

=r+

r 2

r) = 0

Cov(Ri ; R):

(2.24)

Dies ist die Grundform der CAPM-Renditegleichung. Sie besagt, dass die erwartete Rendite des i-ten Wertpapiers von der Kovarianz zwischen der Rendite des i-ten Wertpapiers und der Rendite des Marktportfolios abhängt. Eine i ;R) Umstellung der Gleichung (2.24) liefert mit (Ri ; R) = Cov(R den Zusami menhang r (Ri ; R) i (2.25) i =r+ oder

100

2 Portfoliotheorie

r

i

r

=

(Ri ; R):

(2.26)

i

Für den Fall > r bedeutet (2.26), dass der Marktpreis des Risikos einer beliebigen Anlage i stets kleiner oder gleich dem Marktpreis des Risikos des Marktportfolios ist. Unter Verwendung der Gleichung (2.12) für den Beta-Faktor folgt i

=r+

Cov(Ri ; R) 2

=r+( mit i = i durch

Cov(Ri ;R) 2

r)

(

r)

i

. Wir sehen, dass die Renditeerwartung für das Wertpapier i

=r+(

r)

i

(2.27)

i

r=(

r)

i

(2.28)

oder gegeben ist. Die Risikoprämie i r für das i-te Wertpapier ist also das r. Die durch (2.27) de…i -fache der Risikoprämie des Gesamtmarktes nierte Geradengleichung als Funktion von wird Wertpapierlinie genannt. Der Beta-Faktor eines Wertpapiers beschreibt, wie stark dessen Rendite bei Schwankungen der Rendite des Marktportfolios reagiert. Aufgabe 2.3. (Bewertung einer Investition) Der Gesamtmarkt, repräsentiert etwa durch einen Index, habe ein Jahresrisiko von 20% und eine erwartete Jahresrendite von 8%. Der risikolose Zinssatz betrage 2%. Eine Investition S soll bewertet werden. Das Jahresrisiko von S werde auf 30% geschätzt und für die Korrelation zum Gesamtmarkt wird der Wert 0:4 angenommen. Wie hoch ist die zum Gesamtmarkt passende Jahresrendite der Investition S? 2.2.8 Systematisches und spezi…sches Risiko Für die Rendite RP eines Portfolios P machen wir den Ansatz RP = r + (R

r)

P

+ R"

(2.29)

mit P = Cov(R2P ;R) und einer Zufallsvariablen R" , die durch (2.29) eindeutig bestimmt ist. Bilden wir den Erwartungswert, so erhalten wir P

=r+(

r)

P

+ E[R" ]:

(2.30)

Also folgt E[R" ] = 0 durch Vergleich mit (2.27). Für die folgende Überlegung setzen wir voraus.

(2.31) P

>0

2.2 Portfolioanalyse

Ein Portfolio Q mit erwarteter Rendite Q = P und mit Risiko liegt auf der Kapitalmarktlinie, denn mit (2.30) und (2.31) folgt r

Q

r

P

=

Q

r

=

Q

101

=

P

:

P

Q lässt sich durch RQ = r + (R r) = P R + (1

P P ) r:

realisieren. Denn dann gilt mit (2.27) und (2.19) Q

=r+(

Q

=

P

r)

P

=

P;

:

Das Mischungsverhältnis zwischen Marktportfolio und risikoloser Anlage ist also als = P zu wählen. Weiter gilt Cov (R; RP ) = P Cov (R; R) + Cov (R; R" ) = Cov(R; RP ) + Cov (R; R" ) : Dies bedeutet Cov (R; R" ) = 0;

(2.32)

die Zufallsvariable R" ist also unkorreliert zur Rendite des Marktportfolios. Mit der De…nition 2" := V [R" ] erhalten wir 2 P

= Cov (RP ; RP ) = =

also P

=

q

2 P V (R) + 2 2 + 2" ; P

2 P

2

+

2 "

>

2 "

P

:

(2.33)

Wenn ein Investor also in das Wertpapier P selbst investiert, dann erhält er den erwarteten Ertrag P und trägt das Risiko P > P . Dies legt nahe, den Bestandteil pP in (2.33) als durch den Gesamtmarkt bestimmt zu interpretieren. " = V [R" ] kennzeichnet dagegen den Anteil von P , der durch Diversi…kation ausgeschlossen werden könnte. P wird als systematisches Risiko und " als spezi…sches Risiko von P bezeichnet. Nach (2.31) besitzt jede Kapitalanlage P eine erwartete Rendite, die unabhängig vom spezi…schen Risiko ist. Dies kann so interpretiert werden, dass Anleger für das Eingehen eines spezi…schen Risikos nicht mit einer höheren erwarteten Rendite entschädigt werden, weil sie dieses Risiko durch geeignete Diversi…kation eliminieren

102

2 Portfoliotheorie

Kapitalmarktlinie

u

u

j ij

i

=

p

2 i

2

+ V[R ]

(0; r) u Abb. 2.7. Das Gesamtrisiko p i setzt sich aus dem systematischen Risiko j i j und aus dem spezi…schen Risiko V[R ] zusammen. Die erwartete Rendite ist vom Anteil des spezi…schen Risikos unabhängig.

könnten, siehe Abb. 2.7. Dagegen erhalten Anleger für das Eingehen eines höheren systematischen Risikos eine höhere erwartete Rendite. Für den Fall P > 0 be…ndet sich das Wertpapier P selbst genau dann auf der Kapitalmarktlinie, wenn " = 0, und damit P = P , gilt. Dann gilt aber Cov (RP ; R) = Corr (RP ; R) P ; P = P = also folgt in diesem Fall Corr (RP ; R) = 1, und P ist dann mit dem Gesamtmarkt vollständig positiv korreliert. Aufgabe 2.4. Wir betrachten ein Portfolio, das aus Anteilen an der risikolosen Kapitalanlage und aus Anteilen an P besteht und bezeichnen mit 0 den Prozentsatz des Kapitals, der in P investiert wird. Nach (2.27) lässt sich die erwartete Rendite P von P schreiben als P = r + ( r) P . Zeigen Sie, dass für := E[R ] mit R = RP + (1 ) r gilt =r+( wobei

=

P.

r)

;

2.2 Portfolioanalyse

103

Das CAPM als Preismodell Das CAPM ist nach seiner Namensgebung ein Modell zur Bestimmung von Wertpapierpreisen. Zur Begründung betrachten wir die Rendite RP eines Portfolios P mit P0 > 0 P1 P0 RP = : P0 Bilden wir den Erwartungswert, so folgt P

E[P1 ] P0

= E [RP ] =

Mit Hilfe der CAPM-Renditegleichung

P

1:

=r+

E[P1 ] 1+ P E[P1 ] = 1+r+ P (

P

P0 =

(

r) folgt daraus (2.34)

r)

:

Diese Formel besagt, dass sich der Preis des Portfolios P zum Zeitpunkt 0 als abdiskontierter Erwartungswert der Auszahlungen von S1i (! j ) über die verschiedenen Zustände ! j zum Zeitpunkt 1 schreiben lässt. Die Diskontie1 rung erfolgt jedoch nicht mit dem Faktor 1+r , also mit dem risikolosen Zins, sondern mit einem risikoadjustierten Zins P = r + P ( r). Es ist klar, dass sich zu jedem Finanzinstrument P stets ein P …nden lässt mit der Eigenschaft P0 =

1 1+

E[P1 ]: P

Aus dem CAPM folgt jedoch eine Bestimmungsgleichung für diesen risikoadjustierten Zins P . Aufgabe 2.5. Die Investition S aus Aufgabe 2.3 verspricht nach einem Jahr eine erwartete Auszahlung von 10 000 Euro. Wie hoch ist der zum Markt passende Preis S0 heute? Die Anwendung des CAPM in der Praxis In der Praxis wird das Marktportfolio häu…g durch einen Index repräsentiert. Für diesen wird eine Renditezeitreihe R betrachtet. Mit Hilfe dieser Zeitreihe können der Erwartungswert und die Standardabweichung von R geschätzt werden. Nun betrachten wir weiter ein Finanzinstrument S i , beispielsweise eine Aktie, mit Renditezeitreihe Ri . Dann können der Erwartungswert i von Ri und die Kovarianz Cov(Ri ; R) geschätzt werden. Damit liegt eine Schätzung

104

2 Portfoliotheorie

von i = Cov(R2 i ;R) vor. Wäre das CAPM streng gültig, so würde der Zusammenhang (2.27) gelten. In der Praxis wird es jedoch Abweichungen geben, die durch r = J + i( r) i mit einer Zahl J angegeben werden können. Diese Zahl J wird Jensen-Index genannt. Der Markpreis des Risikos von S i wird gelegentlich auch mit SRi :=

r

i i

i

bezeichnet und Sharpe-Ratio von S genannt. Wäre das CAPM streng gültig, so würde der Zusammenhang (2.26), also r

i

=

r

(Ri ; R);

i

gelten. In der Praxis werden der Jensen-Index und die Sharpe-Ratio verwendet, um Aussagen über die Qualität der Investition S i abzuleiten. Alle Schlussfolgerungen sind jedoch mit Vorsicht zu ziehen, da sie nur dann als zutre¤end eingeschätzt werden können, wenn die weitgehende Gültigkeit des CAPM vorausgesetzt wird.

2.3 Minimum-Varianz-Portfolio-Analyse In Abschnitt 2.2.7 wurden einige Eigenschaften des Opportunitätsbereichs für risikobehaftete Anlagen anschaulich begründet, nicht aber präzise hergeleitet. Auch wurde das Marktportfolio nur anschaulich interpretiert, seine Zusammensetzung wurde jedoch nicht aus den Modellannahmen abgeleitet. Wir werden in den folgenden Abschnitten das Minimum-Varianz-Problem für arbitragefreie Ein-Perioden-Modelle mit Hilfe der Methoden aus Kapitel 1 ausführlich und vollständig behandeln. Dabei wird eine a¢ ne Funktion der Zustandsdichte L die Rolle des in Abschnitt 2.2.7 anschaulich abgeleiteten Marktportfolios einnehmen. Im folgenden betrachten wir also erneut das Problem, e¢ ziente Portfolios für rationale Investoren zu …nden. Wir behalten die Annahmen der klassischen Portfoliotheorie bei, dass alle Investoren ihre Anlageentscheidungen ausschließ lich aufgrund der beiden Größ en erwartete Rendite und Risiko treffen. Individuell ist bei den Investoren lediglich ihre Risikobereitschaft. Im Rahmen der Portfoliotheorie versuchen Anleger bei gegebenem Risiko in ein Portfolio mit möglichst hohem Ertrag zu investieren oder

2.3 Minimum-Varianz-Portfolio-Analyse

105

bei gegebener erwarteter Rendite in ein Portfolio mit möglichst geringem Risiko zu investieren. De…nition 2.21. Sei (S0 ; S1 ; P ) ein arbitragefreies Marktmodell, und sei ein Zustandsvektor. Sei weiter C = h S1 ein replizierbares Auszahlungspro…l mit C0 := h ; Ci = h S0 > 0. Dann ist die Rendite Rh 2 RK von h aus De…nition 2.1 wohlde…niert und besitzt folgende Darstellungen: h (S1 S0 ) h S0 C = 1: C0

Rh =

Für Rh schreiben wir auch RC falls C = D> h, wobei D die Payo¤matrix des Modells (S0 ; S1 ; P ) bezeichnet. Weiter de…nieren wir := E [Rh ] = E [RC ] =:

C

:= V [Rh ] = V [RC ] =:

C;

h

und h

wobei die Indices C und h gelegentlich auch unterdrückt werden. O¤enbar gilt C

= E [RC ] =

1 E [C] C0

und C

= V [RC ] =

Aus der letzten Gleichung folgt

C

1

1 V [C] : C02

> 0 () V [C] > 0.

Voraussetzung Für den Rest dieses Kapitels wird vorausgesetzt, dass das zugrunde liegende Marktmodell (S0 ; S1 ; P ) arbitragefrei ist und ein festverzinsliches Portfolio mit D> = 1 = (1; : : : ; 1) enthält. Wir nehmen also an, dass ein 2 RN existiert mit S1 (!) = 1 für alle PK ! 2 . Für eine derartige Anlage gilt S0 = d, wobei d = h ; 1i = j=1 j den eindeutig bestimmten Diskontfaktor des Modells bezeichnet. Insbesondere 0 gilt nach Satz 1.52 d = h ; 1i = ; 1 für je zwei Zustandsvektoren und 0 von (S0 ; S1 ; P ). 2.3.1 Die Zustandsdichte De…nition 2.22. Sei (S0 ; S1 ; P ) ein arbitragefreies Marktmodell mit einem Zustandsvektor . Dann ist die Zustandsdichte L : ! R de…niert durch L :=

Q ; P

106

2 Portfoliotheorie

also durch L(! j ) := Lj := wobei d =

PK

j=1

j

und Q =

Q (! j ) 1 j = ; P (! j ) d P (! j )

d.

Wir verwenden dasselbe Symbol X sowohl für Funktionen X : ! R, also für Zufallsvariable, als auch für den Vektor X = (X (! 1 ) ; : : : ; X (! K )) 2 RK der Funktionswerte. PKIm folgenden werden Erwartungswerte von X bezüglich P mit EP [X] = j=1 X (! j ) P (! j ) und Erwartungswerte bezüglich Q mit PK EQ [X] = j=1 X (! j ) Q (! j ) bezeichnet. Die Varianz von X wird stets bezüglich P gebildet, so dass diese lediglich als V[X] geschrieben wird. Lemma 2.23. Es gilt 1. EP [L] = 1 2. EP [LC] = EQ [C] 3. Cov(L; C) = EQ [C] 4. V[L] = EQ [L] 1

EP [C]

Beweis. 1. und 2. folgen nach Einsetzen von L = De…nition des Erwartungswerts. 3. folgt, weil mit 1. und 2. gilt Cov(L; C) = EP [LC] = EQ [C]

Q P

unmittelbar aus der

EP [L]EP [C] EP [C]:

4. folgt mit 1. und 3. aus V[L] = Cov(L; L) = EQ [L]

EP [L]:

Folgerung 2.24. Es gilt V [L] > 0 () L 6= 1; also wenn P 6= Q. Weiter gilt EQ [L]

1

und EQ [L] = 1 () L = 1: Beweis. Für jede Zufallsvariable X gilt V [X] 0. Daraus folgt wegen 4. aus Lemma 2.23 bereits EQ [L] 1. Weiter gilt V [X] = 0 genau dann, wenn X Q konstant ist. Also P ist E [L] =P1 genau dann, wenn L = für ein 2 R oder Q = P . Aus !2 Q (!) = !2 P (!) = 1 folgt aber = 1.

2.3 Minimum-Varianz-Portfolio-Analyse

107

Aufgabe 2.6. Geben Sie einen alternativen Beweis für die Aussagen EQ [L] 1 und 1 = EQ [L] () P = Q an. Gehen Sie dazu mit qj := Q (! j ) und pj := P (! j ) aus von K X 1= qj j=1

und verwenden Sie die Schwarzsche Ungleichung zum Nachweis von K X qj2

1

j=1

= EQ [L]:

pj

Lemma 2.25. Es sei C 2 RK eine beliebige replizierbare Auszahlung mit der Eigenschaft C0 = h ; Ci > 0. Dann ist die Rendite RC = CC0 1 von C wohlde…niert, und mit r := d1 1 gilt 1. h ; RC i = 1 d 2. EQ [RC ] = r 3. Cov(L; RC ) = r

EP [RC ]

Beweis. Damit die Rendite von C wohlde…niert ist, muss zunächst ein eindeutig bestimmter Preis C0 > 0 von C de…niert sein. Da wir hier die Preisbestimmung mit Hilfe der Preise replizierender Portfolios vornehmen, muss C replizierbar sein. 1. folgt aus h ; RC i = h ; =1

C h ; Ci d:

1i

2. gilt wegen 1 h ; RC i d 1 = (1 d) d 1 = 1 d = r:

EQ [RC ] =

3. Mit 3. aus Lemma 2.23 und 2. folgt Cov(L; RC ) = EQ [RC ] =r

EP [RC ]

EP [RC ]:

108

2 Portfoliotheorie

Das Ergebnis 2. von Lemma 2.25 besagt, dass bezüglich des Preismaß es Q jede beliebige replizierbare Endauszahlung C mit positivem Anfangswert C0 die erwartete Rendite EQ [RC ] = r, also die Rendite einer festverzinslichen Kapitalanlage, besitzt. Dies begründet die Bezeichnung risikoneutrales Preismaßfür Q. Mit P C := E [RC ] und XC :=

C

C

C0

:

gilt RC =

C

+ XC :

(2.35)

Wir nennen C den vorhersehbaren Anteil und XC die Innovation der Rendite RC . O¤enbar ist C = C0 (1 + C + XC ) : (2.36) Mit Lemma 2.25 folgt Cov(L; XC ) = Cov(L; RC ) =

(

C

r) :

(2.37)

Wir setzen nun zusätzlich zur Arbitragefreiheit des Marktmodells und zusätzlich zur Existenz einer festverzinslichen Kapitalanlage 2 RN mit D> = 1 voraus, dass die Zustandsdichte L replizierbar ist. Wir nehmen also an, dass ein Portfolio l 2 RN existiert mit L = l S1 = D> l. Den Preis von L, also den Wert des replizierenden Portfolios l, bezeichnen wir mit L0 . Ist L replizierbar, so ist L0 = h ; Li = l b der eindeutig bestimmte Preis von L, und wegen 0 und L 0 folgt L0 > 0. Beispiel 2.26. Wir betrachten das Marktmodell 00 1 0 1 0 11 19 22 18 25 0:2 (S0 ; S1 ; P ) ' (b; D; P ) = @@ 8 A ; @ 9 11 7 A ; @ 0:5 AA : 33 32 36 41 0:3

Das Modell ist arbitragefrei und vollständig, denn D ist regulär und die eindeutig bestimmte Lösung von D = b lautet 0 1 0:150 B C = @ 0:378 A : 0:356

Daraus ergibt sich der Diskontfaktor d = 0:884, und das risikoneutrale Preismaßbesitzt die Werte 0 1 0:169 B C Q = = @ 0:428 A : d 0:403

2.3 Minimum-Varianz-Portfolio-Analyse

109

Daher lautet die Zustandsdichte 0

und es gilt

1 0:847 Q B C L= = @ 0:856 A ; P 1:342 EQ [L] = hQ; Li = 1:05 > 1:

Ferner lautet die risikolose Rendite r = r=

1 d

1 des Modells

31 = 13:14%: 236

Da die Payo¤matrix D regulär ist, ist L replizierbar. Das Gleichungssystem D> l = L besitzt die eindeutig bestimmte Lösung 0 1 0:00652 B C l = @ 0:06108 A 0:03918 Wiederum weil D regulär ist, enthält das Marktmodell festverzinsliche Portfolios. Das Gleichungssystem D > = 1 besitzt die eindeutig bestimmte Lösung 0 1 0:02434 B C = @ 0:04494 A : 0:00187

Für den Preis von erhalten wir den Wert S0 = 0:884. Dies stimmt mit dem oben berechneten Diskontfaktor d überein, wie es sein sollte. Schließ lich gilt L0 = h ; Li = 0:923: 4 Lemma 2.27. Sei (b; D) ein Marktmodell. Dann existiert höchstens eine Lösung von D = b, die replizierbar ist. Beweis. Seien 1 ; 2 2 Im D> , 1 6= 2 und D 1 = D 2 = b. Dann gilt für := 1 2 Im D > als auch 2 ker D, also ist = 0 wegen 2 sowohl K > R = Im D ker D. Insbesondere ist in einem Marktmodell also höchstens ein Zustandsvektor replizierbar. Ein entsprechender Zusammenhang gilt für Zustandsdichten, wie der folgende Satz zeigt. Satz 2.28. In einem arbitragefreien Marktmodell, das festverzinsliche Portfolios enthält, gibt es höchstens eine Zustandsdichte, die replizierbar ist.

110

2 Portfoliotheorie

Beweis. Angenommen, es existieren zwei Zustandsvektoren

und

0

, so dass

Q Q0 und L0 = P P

L= beide replizierbar sind, wobei Q=

und Q0 =

d

0

d

PK PK 0 mit d = i=1 i = i=1 i . Der Diskontfaktor d ist eindeutig bestimmt, da das Marktmodell nach Voraussetzung festverzinsliche Portfolios enthält. Wegen 0 = + f für ein f 2 ker D gilt Q0 =

0

d

=Q+q

mit q :=

(2.38)

f : d

Daraus folgt die Darstellung L0 = L +

q : P

Nach Voraussetzung ist L erreichbar. Daher ist der Preis von L unabhängig vom gewählten Zustandsvektor gegeben durch h ; Li =

0

;L :

Dies bedeutet hQ; Li = hQ0 ; Li = hQ; Li + hq; Li ; also 0

hq; Li = 0:

(2.39)

Nach Voraussetzung ist auch L erreichbar, so dass h ; L0 i =

0

; L0 ;

also hQ; L0 i = hQ0 ; L0 i : Aus (2.40) folgt mit (2.38) und (2.39) D qE 0 = hq; L0 i = hq; Li + q; P D qE = q; : P

Aber dies bedeutet q = 0, also L0 = L.

(2.40)

2.3 Minimum-Varianz-Portfolio-Analyse

111

Wir werden sehen, dass Auszahlungen vom Typ M = a + bL auf der Kapitalmarktlinie liegen, wenn konstante Auszahlungen und die Zustandsdichte L replizierbar sind. Nach dem vorangegangenen Satz 2.28 gibt es dann keine zweite, von L verschiedene, replizierbare Zustandsdichte, so dass die Kapitalmarktlinie eindeutig bestimmt ist. Lemma 2.29. Sei ein festverzinsliches Portfolio mit S1 (!) = 1 für alle ! 2 . Seien weiter a; b 2 R, b 6= 0. Dann ist a + bL genau dann replizierbar, wenn L replizierbar ist. Beweis. Sei l ein Portfolio mit l S1 = L. Dann gilt (a + bl) S1 = a + bL; also ist a + bL replizierbar. Ist umgekehrt a + bL replizierbar durch a + bL = h S1 für ein h 2 RN , so gilt 1 ((h b

L=

a ) S1 ) :

Jede a¢ ne Funktion M = a + bL von L entspricht der Auszahlung eines Portfolios, das aus einem Anteil an einer festverzinslichen Anlage , D > = 1, und aus einem Anteil an l besteht, wobei D > l = L. Wir setzen voraus, dass das investierte Anfangskapital positiv ist, dass also M0 = h ; M i > 0. Wegen L0 > 0 ist die Rendite L RL = 1 (2.41) L0 von L wohlde…niert.

Lemma 2.30. Sei L replizierbar. Dann gilt L

= r ()

= 0 () L = 1 () P = Q:

L

Falls L 6= 1, so folgt L

=

sowie 1< Für L = 6 1 gilt

L

=

p V[L] >0 L0

1+ r

L L

(2.42)

1 =r L0

=

V[L] < r: L0

p V[L]:

(2.43)

112

2 Portfoliotheorie

Beweis. Mit Lemma 2.25 berechnen wir L

r=

und 2 L

1 V[L] < 0 L0

Cov (RL ; L) = 2

1 L0

= V[RL ] =

V[L]:

Nun ist V[L] = 0 genau dann, wenn L = 1, und damit erhalten wir (2.42). Weiter folgt L

= EP [RL ] =

1 P E [L] L0

1=

1 L0

1>

1:

Daraus folgen die übrigen Aussagen. 2.3.2 CAPM und das Minimum-Varianz-Optimierungsproblem Unter der Voraussetzung, dass konstante Auszahlungen und die Zustandsdichte L = 6 1 replizierbar sind, werden wir im folgenden zeigen, dass das Minimum-Varianz-Problem der Portfolio-Optimierung explizit lösbar ist und sehr eng mit dem Capital Asset Pricing Model (CAPM) zusammenhängt. De…nition 2.31. Sei C 2 RK eine erreichbare Auszahlung mit C0 := h ; Ci > 0 und C > 0. Dann ist der Marktpreis des Risikos von C de…niert durch mC :=

r

C

:

C

pNach (2.43) besitzt der Marktpreis des Risikos mL von L den Wert mL = V[L].

Lemma 2.32. Angenommen, C ist replizierbar mit C0 := h ; Ci > 0. Sei X = a + bC, a; b 2 R, b 6= 0, mit X0 := h ; Xi > 0. Für die Rendite RX = XX0 1 dieser Auszahlung gilt mit := b

C0 X0

der Zusammenhang RX = (1

) r + RC :

Die Auszahlung X wird also dadurch realisiert, dass der Bruchteil 1 des eingesetzten Kapitals festverzinslich zum Zinssatz r angelegt und der Rest in die Auszahlung C investiert wird. Weiter sei C > 0 und X > 0 angenommen. Dann gilt r r X = sgn (b) C ; (2.44) X

C

2.3 Minimum-Varianz-Portfolio-Analyse

wobei

113

8 < +1, falls x > 0 0, falls x = 0 sgn (x) := : 1, falls x < 0

die Vorzeichen- oder Signum-Funktion bezeichnet.

Beweis. Nach Lemma 2.29 ist X replizierbar. Wegen X0 = h ; Xi > 0 ist die Rendite RX = XX0 1 von X wohlde…niert. Dann folgt mit X0 = da + bC0 X 0 RX = X

X0

= a + bC (da + bC0 ) = a (1 d) + b (C C0 ) = dar + bC0 RC ; wobei 1

d = dr verwendet wurde. Damit erhalten wir da C0 r+b RC X0 X0 = (1 ) r + RC

RX =

für

C0 := b X . Daraus folgt 0 X

r=

(

C

r)

und X

Wenn X > 0, dann ist sgn (b).

=j j

C:

6= 0, und dann folgt (2.44) wegen

j j

= sgn ( ) =

A¢ ne Funktionen X = a + bC einer Auszahlung C besitzen also bis auf das Vorzeichen denselben Marktpreis des Risikos wie C. Lemma 2.33. Sei X 2 RK eine replizierbare Auszahlung mit X0 := h ; Xi > 0 und X > 0. Dann gilt für beliebige Y 2 RK Cov (X; Y ) Cov (RX ; Y ) p = : V [X] X

Ist darüber hinaus auch Y replizierbar mit Y0 := h ; Y i > 0 und folgt Corr (X; Y ) = Corr (RX ; RY ) : Beweis. Zunächst ist die Rendite RX = wohlde…niert. Wir berechnen Cov (RX ; Y ) =

X X0

(2.45) Y

> 0, so (2.46)

1 von X nach Voraussetzung

1 Cov (X; Y ) X0

114

2 Portfoliotheorie

und X

=

p

V [RX ] =

1 p V [X]: X0

Daraus folgt (2.45). Ist zusätzlich Y replizierbar, so ist auch die Rendite RY = Y 1 von Y wohlde…niert, und nach (2.45) gilt für beliebige Z 2 RK Y0 Cov (Y; Z) Cov (RY ; Z) p = ; V [Y ] Y

also

(2.47)

Cov (X; Y ) p Corr (X; Y ) = p V [X] V [Y ] 1 Cov (RX ; Y ) =p V [Y ] X 1 Cov (Y; RX ) p = V [Y ] X 1 Cov (RY ; RX ) = X

Y

= Corr (RX ; RY ) ; wobei wir in der vorletzten Zeile (2.47) mit Z = RX verwendet haben. Folgerung 2.34 (CAPM-Grundgleichung) Sei L = 6 1 replizierbar, und sei weiter C 2 RK eine replizierbare Auszahlung mit C0 := h ; Ci > 0 und C > 0. Dann gilt r

C C

=

Corr (RC ; RL )

p

V [L]

L

= Corr (RC ; RL )

r

(2.48)

:

L

Insbesondere folgt für jede replizierbare Auszahlung C mit C0 := h ; Ci > 0 und C > 0 p r C V [L]: (2.49) C

Sei M = a + bL mit M0 = h ; M i > 0 und Grundgleichung r

C

= Corr (RC ; RM )

C

M

> 0. Dann gilt die CAPMr

M M

=

p sgn (b) Corr (RC ; RM ) V[L]:

Beweis. Mit Lemma 2.25 und mit (2.45) folgt

(2.50)

2.3 Minimum-Varianz-Portfolio-Analyse

r

C

=

Cov(RC ; L)

=

p

C

= =

115

C

V [L] Cov(RC ; L) p V [L] C 1 Cov(RC ; RL ) p V [L] C L p Corr (RC ; RL ) V [L]:

Die zweite Zeile in (2.48) folgt wegen (2.43). (2.49) ist klar. Da nach (2.44) a¢ ne Funktionen M = a + bL von L bis auf ein Vorzeichen denselben Marktpreis des Risikos besitzen wie L selbst, folgt (2.50). Damit besitzen L und a¢ ne Funktionen von L im betrachteten Marktmodell einen betragsmäß ig maximalen Marktpreis des Risikos. Für C = bL, p b 6= 0 gilt Corr (RC ; RL ) = sgn (b). Damit folgt aus (2.48) CC r = sgn (b) V[L]. Die erwartete Rendite C von C ist also genau dann größ er als die risikolose Rendite r, C > r, wenn b < 0 in C = bL gilt. Der Marktpreis des Risikos von L ist nach (2.49) betragsmäß ig um so kleiner, je kleiner V[L] ist, d.h. je näher P bei Q liegt. Gleichung (2.50) entspricht der klassischen Grundgleichung des Capital Asset Pricing Models. Im vorliegenden Fall ist die Kapitalmarktlinie durch a¢ ne Funktionen M = a + bL von L mit b 0 gegeben. Da im zugrunde liegenden Ein-Perioden-Modell kein „Regenschirm“ risikobehafteter Anlagen spezi…ziert wurde, kann kein Marktportfolio als Berührpunkt zwischen Kapitalmarktlinie und „Regenschirm“ de…niert werden. Dagegen ist jede Anlage M = a+bL mit b < 0 auf der Kapitalmarktlinie ein mögliches Marktportfolio. Es genügt also, Anteile b, b < 0, einer einzigen risikobehafteten Auszahlung L auszuwählen und diese je nach Risikoneigung mit einem Anteil a der zustandsunabhängigen Auszahlung 1 geeignet zu kombinieren, um Auszahlungen M = a + bL mit maximaler erwarteter Rendite bei vorgegebenem Risiko zu realisieren. Die Aussage, dass eine einzige risikobehaftete Kapitalanlage zur Erzeugung aller Auszahlungen auf der Kapitalmarktlinie ausreicht, ist als One Fund Theorem bekannt. Wir werden für derartige optimale Portfolios gleich eine geschlossene Darstellung herleiten. Alle Auszahlungen M = a + bL mit M0 = h ; M i > 0 liegen im - Diagramm auf folgenden beiden Halbgeraden: ! ! 8 p 0 1 > > p > + für = Mb0 V[L]; b 0 > > V[L] < r M = ! > M > p > > 0 + p1 > für = Mb0 V[L]; b 0; : V[L] r siehe Abb. 2.8. Insbesondere liegt das Portfolio l, also die Auszahlung L, im

116

2 Portfoliotheorie

= (0; r)

u Z

Z Z ul = ( L ; ) L Z Z Z Z Z Z

Z Z Z

Abb. 2.8. Die Auszahlungen a p + bL für a; b 2 R im - -Diagramm. DiepSteigung der oberen Halbgeraden beträgt V(L), die der unteren Halbgeraden V(L).

- -Diagramm an der Stelle L L

0 p

=@

r

V[L] L0 V[L] L0

1

A;

wobei für die letzte Gleichung Lemma 2.30 verwendet wurde. Der Marktpreis des Risikos einer beliebigen replizierbaren Auszahlung C ist für M > r durch den Marktpreis des Risikos von M nach oben beschränkt. Damit besitzt die durch die Punkte (0; r) und ( M ; M ) verlaufende Gerade im - -Diagramm eine größ ere Steigung als jede durch (0; r) und ( C ; C ) verlaufende Gerade. Die durch (0; r) und ( M ; M ) verlaufende Gerade verfügt damit über die de…nierende Eigenschaft der Kapitalmarktlinie. Dies ist in Abb. 2.9 skizziert. p Die möglichen Werte für V [L], und damit die möglichen Werte für den Marktpreis des Risikos, sind alle Zahlen des Intervalls [0; 1). Je kleiner die Varianz von L ist, desto geringer ist die Steigung der Kapitalmarktlinie und damit auch der Ö¤nungswinkel des „Fächers“, in dem die realisierbaren Portfolios im - -Diagramm liegen. Der minimale Wert 0 wird für P = Q erreicht. Wird andererseits 0 < " < 1 so gewählt, dass P1 := " und 0 < Pj := K1 1 (1 "), j = 2; : : : ; K, gilt, so de…niert P ein Wahrscheinlichkeitsmaß . Aus 4. von Lemma 2.23 folgt V [L] = EQ [L]

1>

Q21 "

1;

2.3 Minimum-Varianz-Portfolio-Analyse

117

Kapitalmarktlinie

= (0; r)

u Z

uh Z Z ul = ( L ; ) L Z Z Z Z Z Z

Z Z Z

Abb. 2.9. Die optimalen Portfolios be…nden sich auf der Kapitalmarktlinie. Jedes andere Portfolio h besitzt einen geringeren Marktpreis des Risikos als eine beliebige Auszahlung M auf der Kapitalmarktlinie.

und dies strebt für " ! 0 gegen 1. Theoretisch kann die Steigung der Kapitalmarktlinie also beliebig großwerden. De…nition 2.35. Sei (S0 ; S1 ; P ) ein arbitragefreies Marktmodell. Das Minimum-Varianz-Optimierungsproblem besteht darin, 1. zu vorgegebenem Anfangskapital und zu vorgegebener erwarteter Rendite > r ein Portfolio mit minimalem Risiko zu …nden oder 2. zu vorgegebenem Anfangskapital und zu vorgegebenem Risiko > 0 ein Portfolio mit maximaler erwarteter Rendite zu bestimmen. Satz 2.36. (Das Minimum-Varianz-Optimierungsproblem und das One Fund Theorem) Sei L = 6 1, und wir nehmen an, dass sowohl L als auch konstante Auszahlungen replizierbar sind. Seien weiter eine Rendite > r und ein Anfangskapital v > 0 vorgegeben. 1. Dann ist eine replizierbare Auszahlung mit Rendite , Anfangskapital v und maximalem Marktpreis des Risikos gegeben durch M = a + bL, wobei a=v 1+ und

+

r V[L]

118

2 Portfoliotheorie

b=

v

r : V[L]

Zusammengefasst gilt damit M =v 1+

+

r (1 V[L]

L) :

(2.51)

2. Für die Rendite RM von M gilt RM =

+

r (1 V[L]

L)

(2.52)

sowie M

und M

=

= EP [RM ] =

p

V[RM ] = p

(2.53) r V[L]

:

(2.54)

3. Die Auszahlung M = a + bL wird repliziert durch eine Lösung von D> h = M: Es gibt eine Darstellung h = a + bl; wobei l S1 = L. Das Portfolio h besteht also lediglich aus einer Investition in die festverzinsliche Anlage zum Zinssatz r sowie aus einer Investition in die risikobehaftete Anlage l, die L repliziert. p 4. Für jede replizierbare Auszahlung C mit C = V [RC ] > 0 und mit > r gilt C = M = M C: Zu einer vorgegebenen Rendite löst also das Portfolio h = a + bl das Minimum-Varianz-Optimierungsproblem. Beweis. Aus der CAPM-Grundgleichung in Folgerung 2.34 wissen wir, dass a¢ ne Funktionen M = a + bL der Zustandsdichte L einen maximalen Marktpreis des Risikos besitzen. 1. Unter der Voraussetzung h ; M i = dEQ [M ] = v gilt RM = mit Lemma 2.25 folgt r

= Cov (RM ; L) =

also b= Weiter gilt

v

r : V[L]

b V[L]; v

M v

1, und

2.3 Minimum-Varianz-Portfolio-Analyse

119

v = dEQ [M ] = d a + bEQ [L] : Daher folgt mit 4. aus Lemma 2.23, also mit V[L] = EQ [L] v a= bEQ [L] d r = v (1 + r) + (V[L] + 1) V[L] r =v 1+ + : V[L]

1,

2. (2.52) folgt unmittelbar durch Einsetzen von (2.51) in RM =

M v

1:

Wegen EP [L] = 1 erhalten wir aus (2.52) sofort EP [RM ] = . Weiter gilt

=

2

r V[L]

V [RM ] = (

V [L] 2

r) : V[L]

Daraus folgt (2.54) wegen > r. 3. folgt nach De…nition, siehe auch Lemma 2.29. 4. folgt sofort aus (2.48). Das Portfolio a + bl repliziert M und löst das Minimum-Varianz-Optimierungsproblem; es besitzt unter allen Portfolios h mit der Eigenschaft h = EP [Rh ] = die kleinste Varianz. Damit ist die Existenz einer Lösung des Optimierungsproblems nachgewiesen. Das One Fund Theorem besagt, dass Investoren ihr Kapital ausschließ lich in eine festverzinsliche Anlage zum Zinssatz r und in eine Anlage mit Auszahlung L investieren sollten. Rendite und Risiko jeder optimalen Investition werden allein durch die Aufteilung des eingesetzten Kapitals auf diese beiden Anlagen gesteuert. Anmerkung 2.37. Aus M =v 1+ folgt wegen EQ [1

L] =

+

r (1 V[L]

L)

V[L] der Zusammenhang

h ; M i = dEQ [M ] = dv (1 + )

dv (

r)

= vd (1 + r) = v: Der Wert der Auszahlung M zum Zeitpunkt 0 beträgt also v, wie es sein soll.

120

2 Portfoliotheorie

Aufgabe 2.7. Zeigen Sie, dass der Punkt Diagramm auf der Kapitalmarktlinie liegt.

p

V[L]; r + V[L]

im

- -

Satz 2.36 bietet einen alternativen Zugang zu Lemma 2.32. Wählen wir in (2.52), r RM = M + M (1 L) ; (2.55) V[L] speziell M = L, so folgt RL =

L

oder 1

L=

+

r L (1 V[L]

V[L] (RL r L

L)

L) :

(2.56)

Einsetzen von (2.56) in (2.55) liefert

M

=

M

=

r r M RL L+ r r L L r M ( r + r) + r L L r M ( M r) r+ r L r r M r+ M RL r r L L ) r + RL ; M

RM =

M

=r = (1 wobei

:=

M L

M L M L

r RL r r RL r

r : r

Wir erhalten also wiederum die Aussage von Lemma 2.32, dass sich die Rendite von M = a + bL als Linearkombination der risikolosen Rendite r und der Rendite von L schreiben lässt. Aufgabe 2.8. Sei M ein Portfolio mit der Eigenschaft RM = (1

) r + RL :

Sei weiter M 0 ein Portfolio, das aus einer Investition von 0 Kapitalanteilen 0 in L und aus 1 Anteilen der risikolosen Kapitalanlage gebildet wird. Es gilt also 0 RM 0 = 1 r + 0 RL : Zeigen Sie, dass es dann ein

2 R gibt mit

RM 0 = (1

) r + RM :

2.3 Minimum-Varianz-Portfolio-Analyse

121

Dies bedeutet, dass das Portfolio M 0 auch als Mischung der risikolosen Kapitalanlage mit M dargestellt werden kann. In diesem Sinne sind also je zwei riskante Portfolios auf der Kapitalmarktlinie gleichwertig, und das One Fund Theorem gilt nicht nur für L selbst, sondern auch für jedes Portfolio M = a + bL mit b 6= 0. 2.3.3 Anwendungsbeispiel für den Fall L 2 Im D> Der Ausdruck (2.51) stellt eine optimale Auszahlung M = a + bL des Minimum-Varianz-Problems in geschlossener Form dar. Diese a¢ ne Funktion der Zustandsdichte L ist nach Lemma 2.29 genau dann replizierbar, wenn die Zustandsdichte L replizierbar ist. In diesem Fall gibt es ein Portfolio l mit D> l = l S1 = L: Dann repliziert das Portfolio h = a + bl die Auszahlung M , D> h = h S1 = M: Insbesondere ist L –und damit M –natürlich dann replizierbar, wenn D> surjektiv ist, wenn also das Marktmodell vollständig ist. Beispiel 2.38. Wir setzen Beispiel 2.26 fort und suchen zu einer vorgegebenen erwarteten Rendite von = 19% das zugehörige Portfolio h mit Anfangswert v = 1000 Euro und mit minimaler Varianz. In Beispiel 2.26 berechneten wir EQ [L] = 1:05. Aus (4) von Lemma 2.23 folgt damit V[L] = EQ [L] 1 = 0:05. Einsetzen in Gleichung (2.51) liefert zunächst die zustandsabhängige Auszahlung M des optimalen Portfolios ( r) M = v (1 + ) (L 1) V[L] 0 0 1 0 1 B B C 0:0586 B = 1000 @1:19 @ 1 A @ 0:05 1 0 1 1368: 8 = @ 1358: 8 A : 789: 4

9 59 17 118 121 354

11 CC AA

0

1 1368: 8 Nun lösen wir das Gleichungssytem D> h = C mit C = @ 1358: 8 A und 789: 4 erhalten

122

2 Portfoliotheorie

0

1 49: 871 h = @ 177: 75 A : 41: 502

Damit gilt h b = 1000;

20

1 3 1: 368 8 EP [RM ] = EP 4@ 1: 358 8 A 15 = 19%; 0: 789 4 20 2 13 (0:368 8 0:19) V [RM ] = EP 4@ (0:358 8 0:19)2 A5 = 0:06868 und 2 ( 0:210 6 0:19) p V [RM ] = 26:23%: M =

Das Risiko der optimalen Auszahlung M beträgt p also 26:23%. Dieser Wert lässt sich auch mit Hilfe der Beziehung MM r = V [L] bestimmen. 4 2.3.4 Der Fall L 2 RK beliebig Das Marktmodell des vorangegangenen Beispiels 2.38 war vollständig, so dass jede Auszahlung, also insbesondere L oder M = a + bL, tatsächlich repliziert werden konnte. Wir lassen nun auch den Fall zu, dass M = a + bL nicht replizierbar ist. Dies ist nach Lemma 2.29 genau dann der Fall, wenn L 62 Im D> . Die Projektion von L auf Im D > Wir bestimmen eine Zerlegung von L, L = Lk + L? 2 Im D >

Im D>

?

;

so dass Lk und L? orthogonal sind im Sinne von Cov(Lk ; L? ) = 0: Dabei de…nieren wir Lk als Projektion von L auf Im D > . Zunächst beachten wir, dass die Kovarianz Cov : RK

RK ! R;

Cov (C; C 0 ) := EP

C

EP [C]

C0

EP [C 0 ]

;

C; C 0 2 RK , eine symmetrische, positiv semide…nite Bilinearform auf RK ist. Sei

2.3 Minimum-Varianz-Portfolio-Analyse

123

36 L? = L

Lk

L

( (((( ((( Lk ( ( (( (((

(( ImD>

Abb. 2.10. Die Projektion der Zustandsdichte L auf Im D >

U := C 2 RK jCov (C; C) = V [C] = 0 = fa1 ja 2 R g : Wir betrachten die Zerlegung Im D> = U

V

von Im D > als direkte Summe von U und einem Untervektorraum V Im D> . Für die Konstruktion betrachten wir eine beliebige Basis von Im D> und ergänzen den Vektor 1 2 Im D > mit Vektoren aus dieser Basis zu einer neuen Basis 1; f1 ; : : : ; fk von Im D> . Dann de…nieren wir V := [f1 ; : : : ; fk ]. Auf V ist die Kovarianzfunktion Cov ein Skalarprodukt, denn angenommen, für ein v 2 V wäre Cov (v; v) = 0, so wäre v = 1. Andererseits gibt es nach Voraussetzung eine Darstellung von v als Linearkombination v = 1 f1 + + =0 k fk . Da die Vektoren 1; f1 ; : : : ; fk aber linear unabhängig sind, folgt und damit v = 0. Nun orthonormalisieren wir die Basis f1 ; : : : ; fk von V mit Hilfe des Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens und erhalten auf diese Weise eine Orthonormalbasis C1 ; : : : ; Ck von V . Damit de…nieren wir die Projektion Lk von L auf Im D> durch Lk := Mit L? := L

k X j=1

Cov(Cj ; L)Cj :

Lk und der Orthonormalität der C1 ; : : : ; Ck gilt

(2.57)

124

2 Portfoliotheorie

Cov(L? ; Lk ) = Cov(L Lk ; Lk ) = Cov(L; Lk ) Cov(Lk ; Lk ) = Cov(L;

k X j=1

Cov(Cj ; L)Cj ) k X k X i=1 j=1

=

k X j=1

Cov2 (Cj ; L)

= 0:

Cov(Ci ; L)Cov(Cj ; L)Cov(Ci ; Cj )

k X i=1

Cov2 (Ci ; L)

Nach Konstruktion gilt Lk 2 Im D> , also gibt es ein Portfolio lk 2 RN mit Lk = D> lk . Wir stellen einige Eigenschaften der Projektion Lk zusammen: Satz 2.39. Sei (b; D; P ) ein arbitragefreies Marktmodell und sei L = Zustandsdichte.

Q P

eine

1. Es gilt der Satz des Pythagoras V[L] = V[Lk ] + V[L? ];

(2.58)

wobei L? = L Lk . 2. Für beliebige C 2 Im D> gilt Cov C; Lk = Cov (C; L) :

(2.59)

3. Es gilt V Lk = Cov Lk ; L : 4. Es gilt V Lk = EQ Lk

EP Lk :

(2.60)

Beweis. 1. Da Lk und L? bezüglich der Kovarianz orthogonal sind, folgt V[L] = Cov(Lk + L? ; Lk + L? ) = Cov(Lk ; Lk ) + Cov(L? ; L? ) = V[Lk ] + V[L? ]: 2. Da 1; C1 ; : : : ; Ck eine Basis von Im D > ist, gibt es Koe¢ zienten 0 ; : : : ; R, so dass C = 0 1+ 1 C1 + + k Ck . Daraus folgt einerseits Cov (C; L) =

k X i=1

i Cov (Ci ; L) :

k

2

2.3 Minimum-Varianz-Portfolio-Analyse

125

Andererseits gilt mit (2.57) 0

Cov C; Lk = Cov @ =

k X k X i=1 j=1

=

k X i=1

0 1+

k X

i Ci ;

i=1

k X j=1

1

Cov(Cj ; L)Cj A

i Cov(Cj ; L)Cov (Ci ; Cj )

i Cov (Ci ; L) :

3. Dies folgt aus Cov Lk ; L = Cov Lk ; L? + Lk = Cov Lk ; Lk :

4. Mit 3. gilt V Lk = Cov Lk ; Lk = Cov Lk ; L = EP Lk L

EP Lk EP [L]

= EQ Lk

EP Lk :

0

V[L]:

Aus 1. folgt insbesondere V[Lk ]

(2.61)

Der Zusammenhang (2.60) verallgemeinert 4. aus Lemma 2.23. Aus (2.60) folgt insbesondere E Q Lk E P Lk : (2.62) Spezialfälle Der Spezialfall Lk = L 2 Im D> Für den Fall, dass L replizierbar ist, gilt Lk = L, und es existiert ein l 2 RN mit L = D > l 2 Im D> :

126

2 Portfoliotheorie

Der Spezialfall L? = L Gilt dagegen L? = L, so folgt Lk = 0 und Cov D > h; L = 0 für alle h 2 RN . In diesem Fall ist also L orthogonal zu Im D > . Mit 3. aus Lemma 2.23 und dQ =: 0 erhalten wir EP [D> h] = EQ [D> h] =

1 d

; D> h =

1 b h; d

also b h = dEP [D> h] für alle h 2 RN . Damit ist aber P ein Preismaß , bzw. dP =: Zustandsvektor. Daher gilt 0

dP =

=

0

0 ein

+f

für ein f 2 ker D. In diesem Fall gilt für jede erreichbare Auszahlung C 2 RK mit C0 := dEQ [C] 6= 0 C

= EP [ 1 d 1 = d = r: =

C 1] C0 1 dEQ [C] C0

1

1

Das Minimum-Varianz-Optimierungsproblem ist also nur dann lösbar, wenn C = r vorausgesetzt wird. Und in diesem Fall ist die Lösung mit minimaler Varianz die Investition in das risikolose Portfolio. Satz 2.40. (Unabhängigkeit der Projektion von der Zustandsdichte) Seien L und L0 zwei Zustandsdichten mit zugehörigen Projektionen Lk und L0k auf Im D> . Dann gilt L0k = Lk + a1 für ein a 2 R. Beweis. Nach Voraussetzung betrachten wir zwei Zustandsvektoren so dass q L0 = L + ; P wobei 0 = + f für ein f 2 ker D, Q = berechnen wir

d

, Q0 =

0

d

und q =

und

f . d

0

,

Damit

2.3 Minimum-Varianz-Portfolio-Analyse

127

6 L0 = L +

q P

q P

36 L

L?

((( (((L( ( ( k ((( (((

(( ImD>

Abb. 2.11. Je zwei Zustandsdichten L und L0 besitzen dieselbe Projektion auf 0 ImD> . Dabei ist 0 = + f für ein f 2 ker D, Q = d und Q0 = d = Q + q mit q = fd . Damit gilt L0 = L + Pq .

Cov(C; L0 ) = Cov(C; L) + Cov(C; und Cov(C;

h qi q ) = EP C P P

EP [C] EP

q ) P hqi P

für beliebiges C 2 Im D> . Aber mit C = D > h erhalten wir

Weiter gilt

h qi 1 1 EP C = hC; qi = D > h; f = hh; Df i = 0: P d d 1=

K X j=1

also

Q0j =

K X

Qj +

j=1

K X

K X

qj = 1 +

j=1

qj = 0:

j=1

Daraus folgt, siehe auch Abb. 2.11, Cov(C;

q ) = 0; P

K X j=1

qj ;

(2.63)

128

2 Portfoliotheorie

und (2.63) lautet Cov(C; L0 ) = Cov(C; L)

>

(2.64)

für alle C 2 Im D . Nach (2.59) gilt

Lk = Cov C; L0

Cov C; L

L0k = 0;

und daher wegen (2.64) L0k = 0:

Cov C; Lk Speziell für C = Lk

L0k folgt V[Lk

L0k ] = 0;

also L0k = Lk + a1;

für ein a 2 R, was zu zeigen war.

Voraussetzung. Für den Rest dieses Abschnitts setzen wir neben 1 2 Im D > zusätzlich V[Lk ] > 0 voraus. Dies bedeutet insbesondere dim Im D> > 1: Im D> enthält also Elemente C 2 RK , die nicht konstant sind, für die also (C) > 0 gilt. Der maximale Marktpreis des Risikos Sei C 2 Im D> mit C0 := h ; Ci > 0, so dass RC = CC0 1 wohlde…niert ist. Mit C = D > h ist auch RC replizierbar, denn für 2 RN mit D> = 1 und h0 := h 1S0 h 2 RN gilt D> h0 = RC . Damit folgt aus (2.59) Cov (RC ; L) = Cov RC ; Lk : Für

C

> 0 ist der Marktpreis des Risikos von C wohlde…niert, und es gilt r

C

=

C

Cov (RC ; L) C

= =

Cov C; Lk p V[C]

q Corr(C; Lk ) V Lk :

(2.65)

2.3 Minimum-Varianz-Portfolio-Analyse

Insbesondere ist also

r

Lk

q

=

Lk

V[Lk ];

129

(2.66)

und mit (2.44) folgt daraus für den Marktpreis von M = a + bLk mit M0 = h ; M i > 0 und M > 0 die Darstellung q r M = sgn (b) V[Lk ]: (2.67) M

Satz 2.41. (CAPM-Grundgleichung) Sei Lk die Projektion von L auf Im D> und sei M := a + bLk mit M0 = h ; M i > 0 und M > 0, wobei a; b 2 R. Dann gilt für beliebiges C 2 Im D> mit C0 = h ; Ci > 0 und C > 0 r

C

= Corr(RC ; RM )

Beweis. Aus

M

r

M

C

:

(2.68)

M

> 0 folgt b 6= 0. Wir berechnen mit (2.46) und (2.65)

Corr(RC ; RM ) = Corr(C; M ) = sgn (b) Corr(C; Lk ) r 1 q = sgn (b) C : C V Lk

Mit (2.67) erhalten wir r

C

=

Corr(RC ; RM )sgn (b)

C

= Corr(RC ; RM )

r

M

q V Lk

:

M

Damit ist (2.68) nachgewiesen. Satz 2.41 verallgemeinert Folgerung 2.34. Folgerung 2.42 Es seien die Voraussetzungen von Satz 2.41 erfüllt. Dann folgt q r r C M = V Lk C

M

für M = a + bLk mit h ; M i > 0 und M

M

> 0. Unter der Voraussetzung

r>0

erhalten wir weiter r

C C

für alle C 2 Im D > .

r

M M

=

q

V Lk

Jedes Portfolio h 2 RN mit D> h = M , h ; M i > 0, maximiert also den Marktpreis des Risikos über Im D > .

(2.69)

M

> 0 und

M

>r

130

2 Portfoliotheorie

Die Lösung des Minimum-Varianz-Problems Der folgende Satz verallgemeinert Satz 2.36.

u

M

= (0; r)

u Z

u

c

Z Z ulk = ( L ; Lk ) k Z Z Z Z Z Z Z Z Z

Abb. 2.12. Die Parameter a; b 2 R können so bestimmt werden, daßdie erreichbare Auszahlung M = a + bLk sowohl das benötigte Anfangskapital v als auch die gewünschte erwartete Rendite besitzt. Weiter besitzt M minimale Varianz unter allen erreichbaren Auszahlungen c = D > h, h 2 RN , mit c = .

Satz 2.43. (Minimum-Varianz-Optimierungsproblem und das One Fund Theorem) Seien eine Rendite und ein Anfangskapital v > 0 vorgegeben. Sei weiter Lk die Projektion der Zustandsdichte L auf Im D> . Wir setzen voraus, dass das betrachtete Marktmodell die Eigenschaft V[Lk ] > 0 besitzt. 1. Dann ist eine Auszahlung mit Rendite , Anfangskapital v und maximalem Marktpreis des Risikos gegeben durch M = a + bLk , wobei a=v 1+

+

und b= Zusammengefasst gilt damit M =v 1+

+

v

r P E Lk V[Lk ] r : V[Lk ] r

V Lk

E P Lk

Lk

!

:

(2.70)

2.3 Minimum-Varianz-Portfolio-Analyse

131

2. Für die Rendite RM von M gilt RM =

+

r EP Lk V[Lk ]

Lk

(2.71)

sowie M

und M

=

= EP [RM ] =

p

V[RM ] = p

(2.72)

r : V[Lk ]

(2.73)

3. Die Auszahlung M = a + bLk wird repliziert durch h = a + blk ; wobei D> = 1 und D> lk = Lk . Das Portfolio h besteht also lediglich aus einer Investition in die festverzinsliche Anlage zum Zinssatz r sowie aus einer Investition in die Anlage lk , die Lk repliziert. p 4. Für jede replizierbare Auszahlung C mit C = V [RC ] > 0 und mit > r gilt C = M = M C: Zu einer vorgegebenen Rendite löst also das Portfolio h = a + blk das Minimum-Varianz-Optimierungsproblem. Beweis. 1. Unter den Voraussetzungen h ; M i = dEQ [M ] = v und die Konstanten a und b in M = a + bLk fest. Mit RM = r

M = a+bLk v

legen wir 1 gilt

= Cov (RM ; L) b = Cov Lk ; L v b = V Lk ; v

also b=

v

r : V[Lk ]

(2.74)

Weiter gilt mit 4. aus Satz 2.39 v = dEQ [M ]

(2.75) Q

= da + bdE

Lk

= d a + b V Lk + EP Lk Einsetzen von (2.74) in (2.75) liefert

:

132

2 Portfoliotheorie

a=

v d

b V Lk + EP Lk

= v (1 + r) + =v 1+

+

(2.76)

r V Lk + EP Lk V[Lk ]

r P E Lk V[Lk ]

:

Setzen wir schließ lich (2.74) und (2.76) in M = a + bLk ein, so erhalten wir (2.70). 2. (2.71) folgt unmittelbar durch Einsetzen von (2.70) in RM =

M v

1:

Wegen EP EP Lk Lk = 0 folgt weiter (2.72). Da M eine a¢ ne Funktion von Lk ist, folgt mit (2.69) q r r = M = V Lk ; M

M

also (2.73). 3. folgt nach De…nition. 4. folgt sofort aus (2.69). Das Portfolio a + blk repliziert M , besitzt den Anfangswert v sowie die vorgegebene erwartete Rendite und löst daher das Minimum-VarianzOptimierungsproblem; es besitzt unter allen Portfolios h mit der Eigenschaft P die kleinste Varianz. Damit ist die Existenz einer Lösung h = E [Rh ] = des Optimierungsproblems nachgewiesen, siehe Abb. 2.12. Für die Untersuchung des Minimum-Varianz-Optimierungsproblems in diesem Abschnitt war die Voraussetzung, dass die zugrunde liegenden Marktmodelle arbitragefrei sind, wesentlich. Beinhaltet diese Voraussetzung eine bedeutsame Einschränkung der Anwendbarkeit des Modells? Die eindeutige Antwort lautet: Nein. Denn wenn ein Marktmodell Arbitragemöglichkeiten beinhaltet, dann sind erwartete Rendite, Varianz und das Markowitz Optimierungsproblem bedeutungslos, da diese Arbitragegelegenheiten von Investoren genutzt werden können, um risikolose Gewinne ohne eigenen Kapitaleinsatz zu generieren. Die arbitragefreien Marktmodelle bilden eine Teilmenge aller Marktmodelle, und nur für diese Teilmenge ist es ökonomisch sinnvoll, das Minimum-Varianz-Optimierungsproblem zu untersuchen.

2.4 Weitere Aufgaben Aufgabe 2.9. Betrachten Sie ein Ein-Perioden-Modell (S0 ; S1 ; P ). Die Kovarianzmatrix C des Modells ist gegeben durch

2.4 Weitere Aufgaben

133

Cij = Cov (Ri ; Rj ) : 1. Zeigen Sie, dass sich das Minimum-Varianz-Portfolio-Optimierungsproblem formulieren lässt als 1 min h ; C i 2 unter den Nebenbedingungen D E > ; ( 1; : : : ; N ) = D E > ; (1; : : : ; 1) =1 h Si

für eine vorgegebene Portfoliorendite . Dabei gilt i = hiS00 für ein Portfolio h 2 RN . 2. Angenommen, die Kovarianzmatrix C ist positiv de…nit. Zeigen Sie unter Verwendung der Methode der Lagrange-Multiplikatoren, dass das Minimum-Varianz-Optimierungsproblem eine Lösung besitzt, falls für geeignete 1 und 2 gilt C =

1

(

1; : : : ;

N)

3. Angenommen, es existieren Lösungen C =( C

0

>

+

2

>

(1; : : : ; 1) :

2 RN und

1; : : : ;

N) >

>

0

2 RN für

;

= (1; : : : ; 1) :

Untersuchen Sie, unter welchen Voraussetzungen das Minimum-VarianzOptimierungsproblem in diesem Fall eine Lösung besitzt. Aufgabe 2.10. Betrachten Sie das Marktmodell 0 0 2 11 0 1 0 1 10 110 98 80 105 B 100 B 3 CC B@ B CC 5 A ; @ 7 4 6 3 A ; B 10 (b; D; P ) = B C: 3 C @ @ 10 AA 10 12 9 9 13 2 10

Lösen Sie das Minimum-Varianz-Problem mit der in Aufgabe 2.9 vorgestellten Methode für eine vorgegebene Portfoliorendite von = 19%. Aufgabe 2.11. Betrachten Sie das Marktmodell 0 0 2 11 0 1 0 1 10 102 102 102 102 B 100 B 3 CC B@ B CC 5 A ; @ 7 4 6 3 A ; B 10 (b; D; P ) = B C: 3 C @ @ 10 AA 10 12 9 9 13 2 10

134

2 Portfoliotheorie

Lösen Sie das Minimum-Varianz-Optimierungsproblem mit Hilfe des in Abschnitt 2.3.4 entwickelten Verfahrens für ein Anfangskapital v = 1000 und für die erwarteten Renditen 4% und 12%. Aufgabe 2.12. Konstruieren Sie ein Marktmodell, das keine replizierbare Zustandsdichte besitzt.

3 Mehr-Perioden-Modelle

Mehr-Perioden-Modelle beschreiben Wertpapiermärkte erheblich realistischer als Ein-Perioden-Modelle – und sie werden in der Praxis vielfach eingesetzt. So sind die verbreiteten Binomial- und Trinomial-Bäume Spezialfälle der hier vorgestellten allgemeinen Mehr-Perioden-Modelle. Mehr-Perioden-Modelle werden durch folgende Eigenschaften charakterisiert: Wir setzen voraus, dass es nicht wie bisher zwei, sondern T + 1 Handelszeitpunkte 0; : : : ; T gibt. Wir legen, wie beim Ein-Perioden-Modell, einen endlichen Zustandsraum = f! 1 ; : : : ; ! K g zugrunde. Wie im Ein-Perioden-Modell nehmen wir an, dass genau ein Zustand aus zum Endzeitpunkt t = T realisiert wird. Alle diese Zustände sind zum Zeitpunkt t = 0 bekannt, unbekannt ist jedoch, welcher Zustand zum Zeitpunkt t = T eintreten wird. Im Mehr-Perioden-Modell nehmen wir an, dass die Information der Investoren über den Endzustand, der zum Zeitpunkt t = T angenommen wird, im Laufe der Zeit zunimmt. Diese Informationszunahme wird mit Hilfe einer Filtration (Ft )t2f0;:::;T g = fFt jt = 0; 1; : : : ; T g modelliert. Wir berücksichtigen schließ lich eine endliche Anzahl von N Finanzinstrumenten, deren Preise als an die Filtration (Ft )t2f0;:::;T g adaptierte stochastische Prozesse de…niert sind. Das Mehr-Perioden-Modell besitzt zwei Bestandteile, die gegenüber dem EinPerioden-Modell konzeptionell neu sind: eine die Informationszunahme beschreibende Filtration und die an diese Filtration adaptierten Preisprozesse. Die neuen Begri¤sbildungen werden im folgenden eingeführt und detailliert besprochen. Die Darstellung der Mehr-Perioden-Modelle und der Bewertung zustandsabhängiger Auszahlungen in diesem Kapitel wurde durch Du¢ e [15] und Pliska [45] motiviert. Siehe auch Dothan [14], Föllmer/Schied [16] und Koch Medina/Merino [35].

J. Kremer, Portfoliotheorie, Risikomanagement und die Bewertung von Derivaten, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-20868-3_3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

136

3 Mehr-Perioden-Modelle

3.1 Modellierung der Informationszunahme im Verlaufe der Zeit 3.1.1 Informationsbäume und Partitions-Filtrationen Wir klären zunächst, wie die im Mehr-Perioden-Modell de…nierte Informationszunahme über die zum Zeitpunkt t = T eintretenden Endzustände des Marktmodells im Verlauf der Zeit modelliert wird. Zu Beginn, zum Zeitpunkt t = 0, sind alle Zustände ! 1 bis ! K aus als Endzustände möglich. Zum Endzeitpunkt t = T wird genau einer dieser Zustände als Endzustand realisiert. Wir nehmen an, dass unsere Kenntnis des modellierten Marktgeschehens zunimmt, während die Zeit von t = 0 bis t = T voranschreitet. Dies bedeutet, dass die Marktteilnehmer zum Zeitpunkt t = 1 über zusätzliche Informationen gegenüber dem Zeitpunkt t = 0 verfügen. Die Informationszunahme wird dadurch modelliert, dass die Investoren zum Zeitpunkt t = 1 gewisse Zustände als mögliche Endzustände ausschließ en können. Dazu wird der Grundraum in ein System P1 disjunkter Teilmengen zerlegt, und es wird angenommen, dass genau eine Teilmenge Ai11 2 P1 zum Zeitpunkt t = 1 als eingetretenes Ereignis realisiert wird.

P0

P1

P2

% % = f! 1 ; ! 2 g & A11 = f! 1 ; : : : ; ! 4 g & % % A22 = f! 3 ; ! 4 g &

A13 A23 A33 A43

= f! 1 g = f! 2 g = f! 3 g = f! 4 g

A32 = f! 5 ; ! 6 g % = f! 5 ; : : : ; ! 8 g % & & A42 = f! 7 ; ! 8 g % &

A53 A63 A73 A83

= f! 5 g = f! 6 g = f! 7 g = f! 8 g

A12

A0 = f! 1 ; : : : ; ! 8 g

P3

&

A21

Abb. 3.1. Beispiel eines Infomationsbaums mit 4 Zeitpunkten und mit 8 Endzuständen

Die Teilmenge Ai11 wird als Gesamtheit derjenigen Zustände interpretiert, die zum Zeitpunkt t = T noch als realisierbare Endzustände möglich sind. Während zum Zeitpunkt t = 0 noch jeder Zustand aus als Endzustand zum Zeitpunkt t = T möglich ist, so können beim Eintreten von Ai11 zum

3.1 Modellierung der Informationszunahme

137

Zeitpunkt t = 1 jetzt nur noch die Zustände ! 2 Ai11 als Endzustände zum Zeitpunkt t = T auftreten. Der Informationszuwachs wird also dadurch modelliert, dass die Unsicherheit über die möglichen Endzustände vermindert wird. Be…ndet sich der Markt zum Zeitpunkt t = 1 in einem Zustand Ai11 , so geht er zum Zeitpunkt t = 2 in einen Zustand Ai22 Ai11 über, der eine Teilmenge von Ai11 als Menge der von nun an möglichen Endzustände umfasst. Diese Abnahme der Ungewissheit über die möglichen Endzustände wird bis zum Zeitpunkt t = T fortgesetzt. Zum Endzeitpunkt t = T stellt sich genau ein Zustand ! 2 als realisierter Endzustand heraus, so dass die zugehörigen Teilmengen AiTT von genau die einelementigen Teilmengen f!g von sind. Insgesamt wird der Informationszuwachs beim Übergang vom Zeitpunkt t = 0 bis zum Zeitpunkt t = T also durch eine absteigende Folge von Teilmengen von , d.h. durch eine Folge von ineinander liegenden, kleiner werdenden Teilmengen = A0 Ai11 AiTT = f! iT g von modelliert. Eine derartige Folge von abnehmenden Teilmengen von wird auch Informations-Pfad genannt. Zur formalen De…nition benötigen wir die Begri¤e Partition und Partitions-Filtration. De…nition 3.1. Eine Zerlegung oder Partition C von ist ein Mengensystem, also eine Teilmenge C P( ), der Potenzmenge P( ) von , mit folgenden Eigenschaften: A 6= ? für alle A 2 C, [ A = und A2C

A1 \ A2 = ;, falls A1 ; A2 2 C mit A1 6= A2 : Eine Partition zerlegt

also in disjunkte, nichtleere Teilmengen.

De…nition 3.2. Eine Partition D heiß t feiner als eine Partition C, falls es zu jedem D 2 D ein C 2 C gibt, mit D C. Wir schreiben C D, falls D feiner ist als C. Eine Partition D heiß t strikt feiner als eine Partition C, falls C D und C 6= D gilt. Das an < erinnernde Symbol zur Kennzeichnung von C D deutet darauf hin, dass D als feinere Partition in der Regel über mehr Elemente verfügt als C. De…nition 3.3. Eine Filtration von Partitionen, oder abkürzend eine Filtration, ist eine endlichen Menge (Pt )0

t T

= fPt j0

t

Tg

138

3 Mehr-Perioden-Modelle

von feiner werdenden Partitionen, also Pt P0 = f g und PT = ff! 1 g; : : : ; f! K gg.

Pt+1 für alle 0

t < T , mit

Beispiel 3.4. Auf einem Zustandsraum = f! 1 ; : : : ; ! 8 g sei die Partition P1 de…niert durch P1 = ff! 1 ; ! 2 ; ! 3 ; ! 4 g; f! 5 ; ! 6 ; ! 7 ; ! 8 gg. Dann ist P2 = ff! 1 ; ! 2 g; f! 3 ; ! 4 g; f! 5 ; ! 6 g; f! 7 ; ! 8 gg eine Partition, die feiner als P1 ist. 0 Aber P2 = ff! 1 g; f! 2 ; ! 3 g; f! 3 ; ! 4 g; f! 5 g; f! 6 g; f! 7 ; ! 8 gg ist keine Partition, weil die Elemente dieses Mengensystems nicht paarweise disjunkt sind. 00 Ferner ist P2 = ff! 1 ; !3 g; f! 2 ; ! 5 g; f! 6 ; ! 7 g; f! 4 ; ! 8 gg zwar eine Partition von , aber diese ist nicht feiner als P1 , denn es gibt etwa zu A = 00 f! 2 ; ! 5 g 2 P2 kein Element B aus P1 mit A B. 000 Schließ lich ist P2 = ff! 1 ; ! 2 g; f! 3 ; ! 4 g; f! 5 ; ! 6 g; f! 7 gg keine Partition, 000 weil die Vereinigung aller Elemente aus P2 nicht ganz ist. 4 Lemma 3.5. Angenommen, eine Partition D ist feiner als eine Partition C, also C D. Dann ist jedes Element C 2 C eine Vereinigung von Elementen aus D. Beweis. Sei C 2 C beliebig vorgegeben. Zu jedem ! 2 C gibt es genau ein D! 2 D mit der Eigenschaft ! 2 D! , denn die Elemente aus D bilden eine disjunkte Vereinigung von .

C = A!

r! D!

Abb. 3.2. Es gilt ! 2 D!

C = A!

Da D feiner ist als C, gibt es zu jedem dieser D! genau ein A! 2 C mit D! A! . Wegen ! 2 A! \ C muss aber A! = C sein, denn zwei Elemente einer Partition sind entweder disjunkt oder gleich. Für jedes ! 2 C gilt also

3.1 Modellierung der Informationszunahme

[ ! 2 D! C. Daraus folgt aber wegen C !2C f!g Behauptung [ C = !2C D! :

[

!2C D!

139

C die

De…nition 3.6. Sei fPt j0 t T g eine Filtration. Ein Informationspfad ist eine absteigende Folge (At )t2f0;:::;T g , wobei At 2 Pt und At At+1 für alle t = 0; : : : ; T 1. Wegen P0 = f g und PT = ff! 1 g; : : : ; f! K gg gilt also = A0 A1 AT = f!g für ein ! 2 . Mit Hilfe dieser Begri¤sbildungen können wir den Mechanismus der Informationszunahme zusammenfassend wie folgt formulieren. Die Zunahme der Information über den zum Zeitpunkt T eintretenden Endzustand wird in unserem Kontext endlicher Zustandsräume durch eine endliche Folge feiner werdender Partitionen modelliert. Ein Element At einer Partition Pt besteht aus der Menge aller Endzustände, die von diesem Zeitpunkt t und von diesem Element At aus zum Zeitpunkt T noch realisierbar sind. Zu Beginn sind alle Zustände möglich, also umfasst die erste Partition P0 lediglich selbst. Für den folgenden Zeitpunkt t = 1 wird die Menge in endlich viele disjunkte Teilmengen zerlegt. Jede dieser Teilmengen zerfällt zum nächsten Zeitpunkt wiederum in endlich viele disjunkte Teilmengen. Auf diese Weise de…niert eine Filtration eine Menge von Informationspfaden, und in jedem Informationspfad nimmt die Zahl der erreichbaren Zustände von Zeitpunkt zu Zeitpunkt ständig ab, bis zum Endzeitpunkt T nur noch einelementige Teilmengen von auftreten. Ein derartiger Zustand wird zum Endzeitpunkt T schließ lich realisiert. Wir erhalten eine Baumstruktur, wenn alle Elemente einer Partition zu einem Zeitpunkt als Knoten dieses Baumes dargestellt werden und wenn jedes Element einer Partition mit jeder seiner Teilmengen, in die es zum darau¤olgenden Zeitpunkt zerfällt, durch Kanten verbunden wird. Der auf diese Weise entstehende Baum wird Informationsbaum genannt. Wir betrachten erneut das bereits dargestellte einführende Beispiel. Beispiel 3.7. Ein möglicher Informationsbaum für T = 3 und K = 8 lautet

140

3 Mehr-Perioden-Modelle

P0

f! 1 ; : : : ; ! 8 g

P1

P2

P3

% f! 1 g % f! 1 ; !2 g & f! 2 g f! 1 ; : : : ; ! 4 g & % f! 3 g % f! 3 ; !4 g & f! 4 g &

f! 5 ; !6 g % f! 5 g f! 5 ; : : : ; ! 8 g % & f! 6 g & f! 7 ; !8 g % f! 7 g & f! 8 g

Hierbei gilt P0 = ff! 1 ; ! 2 ; ! 3 ; !4 ; ! 5 ; ! 6 ; ! 7 ; ! 8 gg = f g ;

P1 = ff! 1 ; ! 2 ; ! 3 ; !4 g; f! 5 ; ! 6 ; ! 7 ; ! 8 gg; P2 = ff! 1 ; ! 2 g; f! 3 ; ! 4 g; f! 5 ; ! 6 g; f! 7 ; ! 8 gg; P3 = ff! 1 g; f! 2 g; f! 3 g; f! 4 g; f! 5 g; f! 6 g; f! 7 g; f! 8 gg; wobei der obige Informationsbaum eindeutig durch diese Partition P = fPt j0 t 3 g de…niert ist. 4 Beispiel 3.8. Ein anderes Beispiel für einen Informationsbaum mit T = 3 und K = 8 ist P0

P1

P2

P3

% f! 1 g f! 1 ; ! 2 ; !3 g ! f! 2 g % & f! 3 g f! 1 ; : : : ; ! 6 g & % f! 4 g % f! 4 ; ! 5 ; !6 g ! f! 5 g f! 1 ; : : : ; ! 8 g & f! 6 g & f! 7 ; !8 g % f! 7 g ! f! 7 g & f! 8 g ! f! 8 g Hierbei gilt

3.1 Modellierung der Informationszunahme

141

P0 = ff! 1 ; ! 2 ; ! 3 ; !4 ; ! 5 ; ! 6 ; ! 7 ; ! 8 gg = f g ; P1 = ff! 1 ; ! 2 ; ! 3 ; !4 ; ! 5 ; ! 6 g; f! 7 ; ! 8 gg;

P2 = ff! 1 ; ! 2 ; ! 3 g; f! 4 ; ! 5 ; ! 6 g; f! 7 g; f! 8 gg; P3 = ff! 1 g; f! 2 g; f! 3 g; f! 4 g; f! 5 g; f! 6 g; f! 7 g; f! 8 gg: Umgekehrt legt diese Partition fPt j0 Beispiels eindeutig fest.

t

3 g den Informationsbaum des 4

Die beiden vorangegangenen Beispiele zeigen, dass ein Informationsbaum allein durch die Angabe der Anzahl der Zeitpunkte T und durch die Vorgabe der Anzahl der Zustände K nicht eindeutig festgelegt ist. Wir fassen zusammen: Lemma 3.9. Eine Filtration ist die abstrakte Beschreibung eines Informationsbaums. Jede Filtration de…niert auf eindeutig bestimmte Weise einen Informationsbaum und umgekehrt. Ein Informationsbaum enthält jedoch noch keine Informationen über Finanzinstrumente und ihre Preise. Der folgende Abschnitt ist für den Ausbau der Finanzmathematik auf zeitstetige Marktmodelle wesentlich. 3.1.2 Algebren und Partitionen Eine andere, wie sich herausstellen wird äquivalente, Modellierung der Informationsstruktur von Marktmodellen ist mit Hilfe von Folgen ineinandergeschachtelter Algebren, die ebenfalls Filtrationen genannt werden, möglich. De…nition 3.10. Eine Teilmenge A P( ) der Potenzmenge von heiß t Algebra über , wenn A die Menge selbst enthält und wenn A abgeschlossen ist gegenüber allen Mengenoperationen, d.h. wenn folgendes gilt 2 A; A 2 A =) Ac 2 A und A1 ; A2 2 A =) A1 [ A2 2 A: Wegen A1 \ A2 = (Ac1 [ Ac2 )c sind auch Durchschnitte beliebiger Mengen aus A wieder in A enthalten. Ferner gilt A n B = A \ B c , so dass auch relative Komplemente von Mengen aus A wieder zu A gehören. Daher erzeugen tatsächlich beliebige Mengenoperationen, die mit den Elementen aus A durchgeführt werden, wieder Mengen, die in A liegen. Beispiel 3.11. Sei A Algebra über .

. Dann ist das Mengensystem A = f ; A; Ac ; ?g eine 4

142

3 Mehr-Perioden-Modelle

De…nition 3.12. Sei C P( ) ein Mengensystem. Dann bezeichnen wir mit (C) die kleinste Algebra, die C enthält. (C) ist der Durchschnitt aller Algebren, die C enthalten. Es gilt also \ (C) := A: A Algebra C A

Wir nennen (C) die von C erzeugte Algebra. Aufgabe 3.1. Zeigen Sie: Der Durchschnitt beliebig vieler Algebren, die alle ein gegebenes Mengensystem C enthalten, ist wieder eine Algebra, die C enthält. Machen Sie sich klar: Da P( ) selbst eine Algebra ist, die C enthält, ist (C) nicht leer und damit wohlde…niert. Aufgabe 3.2. Zeigen Sie: Ist C selbst eine Algebra, so gilt Lemma 3.13. Sei P = fB1 ; : : : ; Bn g eine Partition von (P) = fA

j9I

(C) = C.

. Dann gilt

f1; : : : ; ng mit A = [j2I Bj g :

Dabei sei A = ?, falls I = ?. Jedes A 2 (P) ist also eine Vereinigung von Elementen aus P; es gilt [ A= B: B2P B A

Beweis. Sei A := fA

j9I

f1; : : : ; ng mit A = [j2I Bj g :

Für I = fig gilt A = [j2I Bj = Bi . Also folgt P A. Die Wahl von I = f1; : : : ; ng zeigt, dass 2 A. Mit A = [j2I Bj gilt ferner Ac = [j2I c Bj wobei I c = f1; : : : ; ng I, so dass mit A 2 A auch Ac 2 A folgt. Sind schließ lich A = [j2I Bj und A0 = [j2I 0 Bj aus A, so gilt 0 0 A [ A = [j2I[I Bj 2 A. Also ist A eine Algebra, die P enthält. Daraus folgt sofort \ A0 A; A0 Algebra P A0

also (P) A. Sei umgekehrt A = [j2I Bj für beliebiges I f1; \: : : ; ng. Dann gilt A 2 A0 für jede Algebra A0 , die P enthält. Also gilt A 2 A0 . A0 Algebra P A0

Daraus folgt aber A

(P) :

Damit ist die behauptete Gleichheit A =

(P) nachgewiesen.

3.1 Modellierung der Informationszunahme

143

Die Menge aller möglichen Vereinigungen von Elementen einer Partition P bildet also die von P erzeugte Algebra. Lemma 3.14. Sei P = fB1 ; : : : ; Bn g eine Partition von von P erzeugte Algebra A genau 2n Elemente.

. Dann besitzt die

Beweis. Nach dem vorangegangenen Lemma gilt (P) = fA Jede Teilmenge I

j9I

f1; : : : ; ng mit A = [j2I Bj g :

f1; : : : ng entspricht eineindeutig einem n-Tupel ("1 ; : : : ; "n ) mit

"i = 1 falls i 2 I "i = 0 sonst.

Die Menge aller dieser Tupel f("1 ; : : : ; "n ) j"i 2 f0; 1g für i = 1; : : : ; n g enthält aber gerade 2n Elemente. Aufgabe 3.3. Zeigen Sie, dass die Menge aller Tupel f("1 ; : : : ; "n ) j"i 2 f0; 1g für i = 1; : : : ; n g genau 2n Elemente enthält. Aufgabe 3.4. Machen Sie sich klar, dass für die durch P0 = f g de…nierte Algebra (P0 ) = f ; ?g gilt und dass die von PT = ff! 1 g; : : : ; f! K gg de…nierte Algebra gerade die Potenzmenge von ist, also (PT ) = P( ). Aufgabe 3.5. Seien A; B (fA; Bg).

, A \ B = ?. Bestimmen Sie

(fAg) und

Wir zeigen nun, dass sich jeder Algebra A eine eindeutig bestimmte Partition P zuordnen lässt, so dass A = (P) gilt. Satz 3.15. Jede Algebra A über bestimmt eindeutig eine feinste Zerlegung Z(A) von mit der Eigenschaft Z(A) A = (Z(A)). Diese eindeutig bestimmte Zerlegung Z(A) wird induzierte Partition von A genannt. Beweis. Sei A eine Algebra. Wir de…nieren \ A! := A: A2A !2A

Wegen 2 A ist jedes A! nicht leer, und es gilt ! 2 A! . Wir zeigen nun, dass für !; ! 0 2 , ! 6= ! 0 , entweder A! \ A!0 = ? gilt oder A! = A!0 .

144

3 Mehr-Perioden-Modelle

Wir betrachten dazu den Fall A! \ A!0 = B 6= ?. Wir möchten zeigen, dass A! = A!0 = B gilt. Wäre das falsch, dann wäre B eine echte Teilmenge von A! oder von A!0 . Angenommen, B A! und B 6= A! . Falls ! 2 B, dann wäre B eine echte Teilmenge von A! , die ! enthält, was nach De…nition von A! nicht sein kann. Aber auch die Annahme ! 62 B führt zu diesem Widerspruch, denn in diesem Fall wäre A! n B eine echte Teilmenge von A! , die ! enthält, da B nach Voraussetzung nicht leer ist. Entsprechend schließ en wir für den Fall B A!0 und B 6= A!0 . Also muss B = A! = A!0 sein. Damit bildet das Mengensystem fA! j! 2 g =: Z(A) eine Partition von

.

Zum Nachweis der Eigenschaft A = (Z(A)) sei nun A 2 A beliebig. Dann gilt für jedes ! 2 A zunächst ! 2 A! und daher A = T [!2A f!g [!2A A! . Andererseits gilt für jedes ! 2 A die Inklusion A! = A0 2A A0 A. !2A0 S Damit ist aber A = !2A A! , woraus A (Z(A)) folgt. Aus Z(A) A folgt die Inklusion (Z(A)) A, also zusammen die behauptete Gleichheit A = (Z(A)). Sei P eine Partition, die strikt feiner ist als Z(A) mit der Eigenschaft (P) = A. Dann gibt es ein A 2 Z(A) und ein B 2 P mit der Eigenschaft B A und B 6= A. Wegen B 6= ? gibt es ein ! 2 B. Dann ist aber A = A! , und es folgt B 62 A, denn sonst wäre B eine echte Teilmenge von A! , die ! enthält, was nach De…nition von A! nicht sein kann. Daher kann P nicht strikt feiner sein als Z(A). Jede Algebra A bestimmt also eindeutig eine feinste Partition Z(A) von Elementen aus A, und wenn wir die von dieser Partition erzeugte Algebra (Z(A)) bilden, so erhalten wir wieder die Algebra A, von der wir ausgegangen sind. Jede Menge A! kann als „Atom“ der Algebra interpretiert werden, also als eine kleinste, nicht mehr weiter teilbare Menge der Algebra, die ein vorgegebenes ! 2 enthält. Die Elemente von A! bilden dann die zugehörigen „Nukleonen“, und nach Lemma 3.13 lässt sich jedes A 2 A als „Molekül“ interpretieren, welches sich durch A = [!2A A! aus gewissen „Atomen“ A! zusammensetzt. Beispiel 3.16. Wir betrachten eine Teilmenge A und die von dieser Teilmenge erzeugte Algebra (fAg) = A = f ; ;; A; Ac g. Sei ! 2 A. Dann gilt A! = \ A = A. Für ! 0 2 A gilt ebenfalls A!0 = \ A = A. Für ! 0 2 = A, also ! 0 2 Ac , gilt A!0 = \ Ac = Ac . Daher ist Z(A) = fA; Ac g. 4 Beispiel 3.17. Für zwei Teilmengen A; B mit A \ B = ; gilt (fA; Bg) = A = f ; ;; A; Ac ; B; B c ; A [ B; Ac \ B c g. Nun gilt Z(A) = fA; B; Ac \ B c g. 4

3.1 Modellierung der Informationszunahme

r! '$ A

&%

145

'$ B

&%

Abb. 3.3. Konstruktion einer Algebra aus den zwei disjunkten Mengen A und B

Satz 3.18. Seien As und At zwei Algebren über . Es gilt As At genau dann, wenn Z(As ) Z(At ), wenn also Z(At ) feiner ist als Z(As ). Beweis. Ist Z(At ) feiner als Z(As ), so ist jedes Element aus Z(As ) nach Lemma 3.13 eine Vereinigung von Elementen aus Z(At ). Also gilt Z(As ) (Z(At )), woraus As = (Z(As )) (Z(At )) = At folgt. Zum Beweis der Umkehrung setzen wir As At voraus. Sei A 2 Z(At ) beliebig. Zu zeigen ist, dass es ein B 2 Z(As ) gibt mit A B. Nun gilt aber für jedes ! 2 wegen As At \ \ A! := D D =: B! : D2At !2D

D2As !2D

Daraus folgt die Behauptung, denn es gilt Z(At ) = fA! j! 2 chend Z(As ) = fB! j! 2 g.

g und entspre-

De…nition 3.19. Eine Filtration von Algebren, oder einfach eine Filtration, (Ft )t2f0;:::;T g = fFt j0 t T g ist eine Menge von Algebren Ft über einer Menge , 0 t T , mit der Eigenschaft Fs

Ft für alle s

t

und F0 = f ; ?g sowie FT = P( ). Eine Filtration von Algebren ist aufgrund obiger Ergebnisse äquivalent zu einer Filtration von Partitionen, also zu einer endlichen Menge fPt j0 t T g von feiner werdenden Partitionen mit P0 = f g und PT = ff! 1 g; : : : ; f! K gg. Daher werden wir die beiden Typen von Filtrationen sprachlich häu…g nicht voneinander unterscheiden.

146

3 Mehr-Perioden-Modelle

Wir verwenden aber in der Regel den Buchstaben P, um uns auf die Partitions-De…nition zu beziehen, während wir den Buchstaben F für die Algebren-De…nition reservieren. De…nition 3.20. Ein Tupel ; (Ft )t2f0;:::;T g wird ge…lterter Zustandsraum genannt. Ist weiter auf ein WahrscheinlichkeitsmaßP gegeben, so heiß t das Tripel ; (Ft )t2f0;:::;T g ; P ge…lterter Wahrscheinlichkeitsraum.

3.2 Stochastische Prozesse und Messbarkeit Eine Filtration kann als Strukturgerüst aufgefasst werden, das erst durch die Vorgabe von Kursinformationen mit Leben gefüllt wird. Abb. 3.4 zeigt das Beispiel eines Zwei-Perioden-Modells mit einem Finanzinstrument S. Jedes Element At der Partition Pt entspricht einem möglichen Szenario zum Zeitpunkt t. In jedem dieser Szenarien besitzen alle beobachtbaren Größ en, also insbesondere alle Kurse von Finanzinstrumenten, einen eindeutig bestimmten Wert. Daher besitzt der im Beispiel modellierte Kurs des Finanzinstrumentes S zum Zeitpunkt t im Szenario At den Kurs St (At ). Eine naheliegende Modellierung von Aktienkursen in einem Informationsbaum P = fP0 ; : : : ; PT g besteht also darin, die Kurse als Funktionen St : Pt ! RN für t = 0; : : : ; T zu de…nieren, wie im folgenden Beispiel gezeigt. Gegen diese De…nition gibt es jedoch zwei Einwände: Sie lässt sich nicht auf zeitstetige Modelle übertragen, da hier die Zunahme der Information nicht mit Hilfe von feiner werdenden Partitionen de…niert werden kann. Weiter benötigen wir in den Anwendungen, etwa für eine Gewinn- und Verlustrechnung, häu…g den Vergleich zwischen Kursen zu verschiedenen Zeitpunkten, also die Größ e St Ss für t > s. Wird für alle t de…niert: St : Pt ! RN , dann besitzen St und Ss keinen gemeinsamen De…nitionsbereich, und die Di¤erenz St Ss ist als Abbildung nicht wohlde…niert. Aus diesen Gründen werden wir die Kurse von Finanzinstrumenten im folgenden nicht als Abbildungen St : Pt ! RN modellieren, sondern als stochastische Prozesse, d.h. für jeden Zeitpunkt t als Abbildungen St : ! RN . Diese Abbildungen müssen jedoch auf jedem At 2 Pt einen wohlde…nierten, eindeutig bestimmten Wert besitzen. Für !; ! 0 2 At muss also gelten St (!) = St (! 0 ). Dies führt zur De…nition der Messbarkeit von Kursfunktionen bzw. zur Forderung, dass stochastische Prozesse, die Kurse repräsentieren, an den zugrunde liegenden Informationsbaum adaptiert sein müssen. Es zeigt sich, dass sich das Konzept der Messbarkeit, und damit auch das der Adaption, auf zeitstetige Modelle übertragen lässt.

3.2 Stochastische Prozesse und Messbarkeit P0

P1

147

P2 %

A21 = f! 1 g S2 (A21 ) = 127

A11 = f! 1 ; ! 2 g & S1 (A11 ) = 113 %

A22 = f! 2 g S2 (A22 ) = 102

&

A23 = f! 3 g S2 (A23 ) = 98

= f! 1 ; : : : ; ! 4 g S0 ( ) = 100

A12 = f! 3 ; ! 4 g % S1 (A12 ) = 93 &

A24 = f! 4 g S2 (A24 ) = 74

Abb. 3.4. Beispiel eines Infomationsbaums mit 2 Perioden, 4 Zuständen und mit einem Finanzinstrument S. Für dieses Finanzinstrument werden in jedem Knoten des Informationsbaums Kurse modelliert, indem diese als Abbildungen St : Pt ! RN , t = 0; : : : ; T , de…niert werden.

De…nition 3.21. Ein stochastischer Prozess ist eine RN -wertige Funktion S : f0; : : : ; T g ! RN , (t; !) 7! St (!), von t und !. Für ein festes ! 2 heiß t die Funktion t ! St (!) ein Pfad des Prozesses. Für jedes feste t ist die Abbildung ! 7! St (!) eine Abbildung von nach RN . Eine Abbildung von N nach R wird auch Zustandsfunktion genannt. De…nition 3.22. Eine Zustandsfunktion X : ! RN heiß t messbar bezüglich einer Partition P, falls die Abbildung ! 7! X(!) konstant ist auf jedem Element von P. Eine Zustandsfunktion X : ! RN heiß t messbar bezüglich einer Algebra A über , falls die Abbildung ! 7! X(!) auf jedem Element aus Z(A) konstant ist. Sei (Ft )t2f0;:::;T g eine Filtration. Ein stochastischer Prozess heiß t adapN tiert an (Ft )t2f0;:::;T g , falls St : ! R für jedes t 2 f0; : : : ; T g messbar ist bezüglich Ft . Sei A eine Algebra über einer Menge . Eine Funktion X : ! R ist also genau dann messbar, wenn X auf jedem „Atom“ A! 2 Z (A) konstant ist, also für jedes „Nukleon“ ! 0 2 A! denselben Wert besitzt. Notation Sei X : ! RN eine Abbildung, und sei X auf einer Teilmenge A konstant. Dann schreiben wir für den gemeinsamen Funktionswert von

148

3 Mehr-Perioden-Modelle

X auf A in der Regel X (A), d.h. X (A) := X (!) für ein beliebiges ! 2 A. Ist X insbesondere messbar bezüglich einer Partition P und ist A 2 P, so schreiben wir X (A) für den gemeinsamen Wert von X auf A. Üblicherweise bezeichnet X (A) die Menge aller Funktionswerte auf A, also X (A) = fX (!) j! 2 A g, während wir hier X (A) als den gemeinsamen Funktionswert von X auf A de…nieren. Welche Bedeutung im Zweifelsfall gemeint ist, geht aus dem jeweiligen Kontext hervor. Angenommen, X : beliebige nichtleere B

s s

s

! RN ist auf A konstant. Dann gilt für jedes A o¤enbar X (B) = X (A).

s

s

s

s

s

Abb. 3.5. Veranschaulichung einer meß baren Funktion

Eine Menge wird in Abb. 3.5 durch eine horizontale Linie symbolisiert. Die Punkte auf dieser Linie deuten eine Zerlegung von an. Die horizontalen Linien kennzeichnen die Werte einer Funktion, die auf allen Elementen der Zerlegung konstant ist, so dass die Funktion bezüglich der Zerlegung messbar ist. Eine alternative graphische Skizzierung einer messbaren Funktion X ist in Abb. 3.6 angegeben. Dabei bedeutet fX = cg := f! 2 jX (!) = c g. Abb. 3.6 zeigt die disjunkte Zerlegung einer Menge . Auf jedem Element der Zerlegung besitzt eine Funktion X : ! R einen konstanten Wert. Daher ist X messbar bezüglich dieser Zerlegung. Der folgende Satz beinhaltet eine alternative Charakterisierung der Messbarkeit, die auf allgemeinere Zustandsräume ausgedehnt werden kann. Satz 3.23. Eine Zustandsfunktion X : ! RN ist genau dann messbar bezüglich einer Algebra A über , wenn für jede Menge B RN gilt X

1

(B) 2 A:

3.2 Stochastische Prozesse und Messbarkeit

149

fX = 1g

fX = 5g

fX = 2g fX = 0g

Abb. 3.6. Graphische Darstellung einer messbaren Funktion

Beweis. Da nur endlich viele Elemente besitzt, ist auch die Menge der Bildpunkte von X endlich. Sei C := fc1 ; : : : ; cm g = fX (!) j! 2 g mit paarweise verschiedenen ci 2 RN , i = 1; : : : ; m. Sei weiter Z (A) = fA1 ; : : : ; An g. Wenn X messbar ist, dann hat X auf jeder Menge Aj einen eindeutig bestimmten Funktionswert X (Aj ), j = 1; : : : ; n. Seien Ai1 ; : : : ; Aiki diejenigen Mengen aus Z (A) mit X Aij = ci . Dann gilt X 1 (fci g) = Ai1 [ [Aiki 2 [ A. Damit ist aber X 1 (B) = X 1 (fci g) 2 A. i2f1;:::;mg ci 2B

Sei nun umgekehrt X 1 (B) 2 A für alle B RN . Dann gilt insbesondere X 1 (fci g) 2 A für jedes ci 2 C. Damit folgt aber X 1 (fci g) = Ai1 [ [Aiki für gewisse Mengen Ai1 ; : : : ; Aiki 2 Z (A). Daraus folgt aber, dass X auf jedem Aj , j = 1; : : : ; n, konstant ist. Aufgabe 3.6. Seien f; g : ! R zwei messbare Funktionen auf ( ; P). Zeigen Sie, dass dann auch f + g, f g und f messbar sind für beliebiges 2 R. Ist g (!) 6= 0 für alle ! 2 , so ist auch fg messbar. Die Menge der messbaren Funktionen bildet daher einen reellen Vektorraum, ja sogar einen Ring mit Einselement1 . Sei A eine Menge. Dann ist die charakteristische Funktion 1A von A de…niert durch 1, falls ! 2 A 1A (!) := 0, falls ! 62 A: 1

Ein Ring ist eine Menge R mit zwei Verknüpfungen + und , wobei R bezüglich + eine abelsche Gruppe bildet, und wo assoziativ ist. Ferner gelten bezüglich + und die Distributivgesetze. Ein Einselement ist schließ lich das neutrale Element bezüglich .

150

3 Mehr-Perioden-Modelle

Lemma 3.24. Sei X : ! R messbar bezüglich einer Algebra F. Sei Z (F ) = fA1 ; : : : ; An g die Zerlegung von F. Dann kann X auf eindeutig bestimmte Weise dargestellt werden als X=

n X

X (Ai ) 1Ai :

(3.1)

i=1

Die charakteristischen Funktionen 1Ai bilden eine Basis des Vektorraums der F-messbaren Funktionen. Damit ist (3.1) die Basisdarstellung von X bezüglich der Basis 1A1 ; : : : ; 1An . Beweis. Sei ! 2 Damit gilt

beliebig. Dann gibt es genau ein k 2 f1; : : : ; ng mit ! 2 Ak . X (!) = X (Ak ) =

n X

X (Ai ) 1Ai

i=1

!

(!) :

Daher kann Pn jede F-messbare Funktion durch (3.1) dargestellt werden. Sei i=1 i 1Ai = 0. Dann gilt für ein beliebiges ! 2 Ak der Zusammenhang ! n X 0= (!) = k ; i 1Ai i=1

also sind die 1A1 ; : : : ; 1An linear unabhängig und bilden daher eine Basis.

De…nition 3.25 (Modellierung von Kursinformationen). Sei (Pt )0 t T eine Filtration. Dann werden die Kursinformationen von N Wertpapieren modelliert als ein Prozess S : f0; : : : ; T g der an (Pt )0

t T

! RN ;

adaptiert ist.

Beispiel 3.26. Wir betrachten die Filtration P0 = = f! 1 ; : : : ; ! 8 g; P1 = ff! 1 ; ! 2 ; ! 3 ; !4 g; f! 5 ; ! 6 ; ! 7 ; ! 8 gg;

P2 = ff! 1 ; ! 2 g; f! 3 ; ! 4 g; f! 5 ; ! 6 g; f! 7 ; ! 8 gg; P3 = ff! 1 g; f! 2 g; f! 3 g; f! 4 g; f! 5 g; f! 6 g; f! 7 g; f! 8 gg: Weiter betrachten wir einen stochastischen Prozess S : f0; 1; 2; 3g de…niert durch

! R2

3.2 Stochastische Prozesse und Messbarkeit

t 0 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3

A 2 Pt

151

St1 (!); St2 (!); !2A !2A

f! 1 ; : : : ; ! 8 g 1 f! 1 ; ! 2 ; !3 ; ! 4 g 1: 1 f! 5 ; ! 6 ; !7 ; ! 8 g 1: 1 f! 1 ; !2 g 1: 21 f! 3 ; !4 g 1: 21 f! 5 ; !6 g 1: 21 f! 7 ; !8 g 1: 21 f! 1 g 1: 331 f! 2 g 1: 331 f! 3 g 1: 331 f! 4 g 1: 331 f! 5 g 1: 331 f! 6 g 1: 331 f! 7 g 1: 331 f! 8 g 1: 331

10 9 11 8 10 10 12 7 9 9 11 9 11 11 13

Der Prozess S : f0; 1; 2; 3g ! R2 ist an die Filtration (Pt )0 t 3 adaptiert. Wäre aber beispielsweise S11 (! 1 ) = S11 (! 2 ) = 9 und S11 (! 3 ) = S11 (! 4 ) = 10 de…niert worden, so wäre S11 auf f! 1 ; ! 2 ; ! 3 ; ! 4 g 2 P1 nicht konstant und damit nicht messbar. Damit wäre S in diesem Fall nicht an die Filtration (Pt )0 t 3 adaptiert. 4 3.2.1 Die natürliche Filtration Bei den vorherigen Ausführungen war zunächst eine Filtration auf einem Zustandsraum gegeben und für diese wurden dann adaptierte stochastische Prozesse de…niert, die Kursinformationen repräsentieren. Nun ist es umgekehrt auch möglich, mit Kurspfaden zu beginnen und mit diesen einen Zustandsraum, einen stochastischen Prozess S sowie eine Filtration (Pt )0 t T so zu de…nieren, dass S an (Pt )0 t T adaptiert ist. Diese Vorgehensweise stellt den Regelfall für die in der Praxis weitverbreiteten Baummodelle dar. Für fest gewählte T; N 2 N betrachten wir K paarweise verschiedene Abbildungen S (j) : f0; : : : ; T g ! RN ; j = 1; : : : ; K; mit S (j) (t) := St (j) := St1 (j) ; : : : ; StN (j) 2 RN :

Alle Abbildungen haben einen gemeinsamen Anfangswert b 2 RN zum Zeitpunkt 0, also

152

3 Mehr-Perioden-Modelle

S (j) (0) = S0 (j) = S01 (j) ; : : : ; S0N (j) = b für ein b 2 RN und für alle j 2 f1; : : : ; Kg. Jede dieser K Abbildungen interpretieren wir als ein Szenario für das zu modellierende Marktmodell. Dabei fassen wir T als Anzahl der Zeitperioden und St (j) als Preisvektor von N Finanzinstrumenten zum Zeitpunkt t im Szenario j auf. De…nieren wir für festes j einen Pfad ! j durch ! j := (S0 (j); : : : ; ST (j)) 2 RN

(T +1)

;

so entspricht jedes Szenario ! j einer Abbildung t 7! St (j). Die Menge aller Pfade fassen wir zu einem Zustandsraum zusammen, := f! j j! j = (S0 (j); : : : ; ST (j)) ; j 2 f1; : : : ; Kg g: Wir de…nieren weiter einen Preisprozess S durch St (! j ) := St (j) = St1 (j) ; : : : ; StN (j) =: ! j (t): Mit ! j (t) = St (j) 2 RN bezeichnen wir also die t-te Komponente des Pfadvektors ! j = (S0 (j); : : : ; ST (j)). Diese besteht aus den Preisen aller Finanzinstrumente im Szenario ! j zum Zeitpunkt t. Wir setzen nun für c0 ; : : : ; ct 2 RN und für t 2 f0; : : : ; T g A (c0 ; : : : ; ct ) := f! 2

j!(0) = c0 ; : : : ; !(t) = ct g:

Die Menge A (c0 ; : : : ; ct ) besteht aus allen Pfaden, deren Preise zum Zeitpunkt i den Wert ci besitzen für i = 0; : : : ; t. Nach De…nition gilt S0 (j) = b für alle j 2 f1; : : : ; Kg, und daher ist A(b) =

und A (c0 ) = ? für c0 6= b:

Da die Menge f1; : : : ; Kg endlich ist, gibt es nur endlich viele paarweise verschiedene c1 mit A(c0 ; c1 ) 6= ?. Für derartige c1 gilt c1 2 fS1 (1); : : : ; S1 (K)g. Nach De…nition folgt für jedes c1 2 RN A(c0 )

A(c0 ; c1 ):

N

Seien c0 ; : : : ; ct 2 R gegeben mit A(c0 ; : : : ; ct ) 6= ?. Dann gibt es wiederum nur endliche viele paarweise verschiedene ct+1 2 fSt+1 (1); : : : ; St+1 (K)g mit A(c0 ; : : : ; ct ) Damit bildet für jedes 0

t

A(c0 ; : : : ; ct ; ct+1 ) 6= ?:

T

Pt = fA(c0 ; : : : ; ct ) c0 ; : : : ; ct 2 RN ; A(c0 ; : : : ; ct ) 6= ? g eine Partition von . O¤enbar ist Pt+1 feiner als Pt , und der Preisprozess St ist an die Filtration (Pt )0 t T adaptiert, denn für beliebiges ! 2 A(c0 ; : : : ; ct ) 2 Pt gilt St (!) = ! (t) = ct , also St (A(c0 ; : : : ; ct )) = ct . Damit ist St messbar bezüglich Pt für alle t. Wir fassen zusammen:

3.2 Stochastische Prozesse und Messbarkeit

153

De…nition 3.27. Für ein festes T 2 N betrachten wir K paarweise verschiedene Abbildungen S (j) : f0; : : : ; T g ! RN ; j = 1; : : : ; K; mit S (j) (t) := St (j) := St1 (j) ; : : : ; StN (j) 2 RN und S (j) (0) = S0 (j) = S01 (j) ; : : : ; S0N (j) = b für ein b 2 RN und für alle j 2 f1; : : : ; Kg. Wir de…nieren für festes j einen Pfad ! j durch ! j := (S0 (j); : : : ; ST (j)) 2 RN (T +1) und fassen die Menge aller Pfade zu einem Zustandsraum

zusammen,

:= f! j j! j = (S0 (j); : : : ; ST (j)) ; j 2 f1; : : : ; Kg g: Wir de…nieren einen Preisprozess S durch St (! j ) := St (j) = St1 (j) ; : : : ; StN (j) =: ! j (t); für ! j 2

und für 0

t

T . Die durch

Pt = fA(c0 ; : : : ; ct ) c0 ; : : : ; ct 2 RN ; A(c0 ; : : : ; ct ) 6= ? g =:

(S0 ; : : : ; St )

erzeugte Filtration (Pt )0 t schen Prozesses S = fSt j0

T

wird die natürliche Filtration des stochastit T g genannt.

Für Xi : ! R, i = 1; : : : ; n, bezeichnen wir mit (X1 ; : : : ; Xn ) die kleinste Algebra, bezüglich derer alle Xi messbar sind, d.h. \ (X1 ; : : : ; Xn ) = A: A Algebra üb er Xi m essbar b ezüglich A

(X1 ; : : : ; Xn ) ist nicht leer, denn jedes Xi ist bezüglich P ( ) messbar. Aufgabe 3.7. Betrachten Sie für j = 1; : : : ; 8 die folgenden Pfade S (j) : f0; 1; 2; 3g ! R2 :

154

3 Mehr-Perioden-Modelle

j

S0 (j) S1 (j)

S2 (j)

S3 (j)

1

1 10

1: 1 9

1: 21 8

1: 331 7

2

1 10

1: 1 9

1: 21 8

1: 331 9

3

1 10

1: 1 9

1: 21 10

1: 331 9

4

1 10

1: 1 9

1: 21 10

1: 331 11

5

1 10

1: 1 11

1: 21 10

1: 331 9

6

1 10

1: 1 11

1: 21 10

1: 331 11

7

1 10

1: 1 11

1: 21 12

1: 331 11

8

1 10

1: 1 11

1: 21 12

1: 331 13

Zeigen Sie, dass die natürliche Filtration dieses Beispiels mit der Filtration aus Beispiel 3.26 übereinstimmt. Beispiel 3.28. (Binomialbäume) Betrachten Sie folgendes Baummodell

% u3 S %u S & %uS& % u2 d S S % ud S & &dS & % ud2 S d2 S & d3 S 2

% u4 S & % u3 d S & % u2 d2 S & % ud3 S & d4 S

Zu Beginn habe eine Aktie den Kurswert S. Zum ersten Zeitpunkt t = 1 kann sich der Kurswert entweder zu u S oder zu d S verändern, wobei wir u > d voraussetzen. Besitzt der Kurs zum Zeitpunkt t = 1 den Wert u S, so kann die Aktie zum Zeitpunkt t = 2 entweder die Werte u (u S) = u2 S oder d (u S) = du S annehmen. Besitzt der Kurs zum Zeitpunkt t = 1 dagegen den Wert d S, so kann die Aktie zum Zeitpunkt t = 2 entweder den Wert u (d S) = ud S oder den Wert d (d S) = d2 S annehmen. Wegen ud = du rekombiniert dieser Baum, d.h. die möglichen t + 1 Kurswerte zu

3.2 Stochastische Prozesse und Messbarkeit

155

einem Zeitpunkt t 2 f0; : : : ; T g lauten ut j dj S, j = 0; : : : ; t. Speziell zum Endzeitpunkt t = T erhalten wir die T + 1 verschiedene Kurse uT j dj S, j = 0; : : : ; T . Die 2T möglichen Pfade sind durch (S; S "1 ; S "1 "2 ; : : : ; S "1

"T )

charakterisiert, wobei "i 2 fu; dg für alle i = 1; : : : ; T . Hier gilt für ein ! = (S; S "1 ; S "1 "2 ; : : : ; S "1 "T ) St (!) = S "1

"t

Äquivalent dazu können wir den zugehörigen Zustandsraum de…nieren durch = f("1 ; : : : ; "T ) j"i 2 fu; dg für alle i = 1; : : : ; T g: 4 Beispiel 3.29. Betrachten Sie die 4 Pfade eines Preisprozesses S (j) : f0; 1; 2g ! R für j = 1; : : : ; 4. Es gilt also N = 1, T = 2 und K = 4. S (j) besitzt die Werte j S0 (j) S1 (j) S2 (j) 1 4 5 6 2 4 5 4 3 4 3 4 4 4 3 2 Dies entspricht einem Zustandsraum

mit den vier Elementarereignissen:

! 1 = (4; 5; 6) ! 2 = (4; 5; 4) ! 3 = (4; 3; 4) ! 4 = (4; 3; 2): Dann gilt c0 = 4, denn A(4) = f! 2 Weiter gilt für c1 = 5 A (4; 5) = f! 2

j!(0) = 4 g =

, also P0 = f g.

j!(0) = 4; ! (1) = 5 g = f! 1 ; !2 g

und für c1 = 3 A (4; 3) = f! 2

j!(0) = 4; ! (1) = 3 g = f! 3 ; ! 4 g:

Damit folgt P1 = ff! 1 ; !2 g; f! 3 ; ! 4 gg. Schließ lich gilt A (4; 5; 6) = f! 2

j!(0) = 4; ! (1) = 5; ! (2) = 6 g = f! 1 g

156

3 Mehr-Perioden-Modelle S

rP PP

PP P

r

rP P

PP PP P

PP PrP P

PP PP P

PPr PPr T

0

1

2

Abb. 3.7. Erzeugung einer Algebra mit Hilfe von Pfaden

und analog A (4; 5; 4) = f! 2 g, A (4; 3; 4) = f! 3 g und A (4; 3; 2) = f! 4 g, also P2 = ff! 1 g; f! 2 g; f! 3 g; f! 4 gg. Direkt abzulesen ist ferner P0 P1 P2 . Zu beachten ist, dass in diesem Beispiel gilt ! 2 (2) = ! 3 (2) = 4: Die Kurse von Pfad ! 2 und ! 3 stimmen zum Zeitpunkt t = 2 überein, aber dennoch gilt ! 2 6= ! 3 . Verschiedene Pfade können also durchaus zu gewissen Zeitpunkten, insbesondere zum Endzeitpunkt T , identische Kurswerte besitzen. 4 Aufgabe 3.8. Konstruieren Sie für T = 3 sowie für festes S, u und d explizit den Raum aller Pfade eines Binomialbaum-Modells und spezi…zieren Sie die zugehörige natürliche Filtration. Neben den Kursen von Wertpapieren wird im folgenden auch die Modellierung von Dividenden in das Marktmodell aufgenommen.

3.3 Das Marktmodell Notation Wir werden im folgenden wieder Skalarprodukte, bei denen über Finanzinstrumente summiert wird, mit einem Punkt schreiben, während wir

3.3 Das Marktmodell

157

für Skalarprodukte, bei denen über Zustände summiert wird, die Klammer h ; i verwenden. Bei der Modellierung von Wertpapiermärkten werden wir berücksichtigen, dass Wertpapiere Dividenden auszahlen können. Kauft ein Investor Aktien, so überlässt er dem entsprechenden Aktienunternehmen Kapital, welches das Unternehmen für Investitionen nutzen kann. Der Investor ho¤t, dass die Investitionen zu steigenden Gewinnen des Unternehmens führen und damit zu einer Steigerung des Wertes der Aktiengesellschaft. Dies sollte sich – so die Ho¤nung –in steigenden Kursen niederschlagen. Auf diese Weise partizipiert der Investor an Unternehmensgewinnen. Hält der Investor jedoch seine Aktien, so wird seine Partizipation nicht realisiert, sondern ist im gestiegenen Aktienkurs potentiell enthalten. Durch die Auszahlung von Dividenden ‡ieß t Kapital vom Unternehmen an den Aktionär zurück. In Deutschland zahlen Aktiengesellschaften in der Regel einmal im Jahr Dividenden aus. Ihre Höhe wird auf den Hauptversammlungen beschlossen und richtet sich häu…g nach den Unternehmenserfolgen. Wir werden im folgenden modellieren, dass jedes Wertpapier potentiell Dividenden auszahlen kann. Werden sie für ein Finanzinstrument nicht gezahlt, so entspricht dies einer Dividende im Wert von Null. De…nition 3.30. Ein Marktmodell ist ein Tupel ((S; ) ; F ). Dabei ist F := (Ft )t2f0;:::;T g eine Filtration, und das Tupel (S; ) = (St ; t )t2f0;:::;T g besteht aus einem an F adaptierten Preisprozess St = (St1 ; : : : ; StN ) und aus einem i an F adaptierten Dividendenprozess t = ( 1t ; : : : ; N t ). Dabei bezeichnet t die Dividende, die vom i-ten Wertpapier zum Zeitpunkt t ausgezahlt wird. Sti bezeichnet den ex-dividend Preis dieses Wertpapiers zum Zeitpunkt t. Dies bedeutet, dass das Wertpapier i zum Zeitpunkt t nach Auszahlung der Dividende it zum Preis von Sti am Markt erhältlich ist. Zur Vereinfachung der Notation setzen wir St := St + t : Die St werden auch cum-dividend Kurse genannt. De…nition 3.31. Ein stochastischer Prozess X = (Xt )t2f0;:::;T g heiß t vorhersehbar, wenn gilt X0 ist F0 -messbar, also konstant, und Xt ist Ft

1 -messbar

für t = 1; : : : ; T:

Da jede Ft 1 -messbare Funktion insbesondere Ft -messbar ist, sind vorhersehbare Prozesse adaptiert. De…nition 3.32. Eine Handelsstrategie h = (h1t ; : : : ; hN t )t2f0;:::;T g ist ein vorhersehbarer, RN -wertiger stochastischer Prozess. Dabei repräsentiert ht die Zusammensetzung des Wertpapierportfolios zwischen dem Zeitpunkt t 1 nach dem Handeln und dem Zeitpunkt t vor dem Handeln.

158

3 Mehr-Perioden-Modelle

Dies bedeutet, dass die Positionen ht des Portfolios auf Grund der Informationen zum Zeitpunkt t 1 festgelegt und bis zum Zeitpunkt t gehalten werden. Die Darstellung der zeitlichen Entwicklung eines Portfolios lässt sich übersichtlich darstellen, wenn jedem Zeitpunkt t die beiden Zustände t Zeitpunkt t vor dem Handeln und vor Dividendenzahlungen t+ Zeitpunkt t nach dem Handeln und nach Dividendenzahlungen zugeordnet werden. Der zeitliche Verlauf der Wertentwicklung eines Portfolios lässt sich nun folgendermaß en darstellen. Zu Beginn, also zum Zeitpunkt 0 vor dem ersten Handeln, verfügt das Portfolio über ein Anfangskapital h0 S0 =: V0 (h), das auch gleich Null sein kann. Nun werden die Dividenden 0 ausgezahlt, und anschließ end wird zum ersten Mal gehandelt. Das Portfolio verfügt jetzt, zum Zeitpunkt 0+ , über die Zusammensetzung h1 und besitzt den Wert h1 S0 . Die Zusammensetzung h1 des Portfolios bleibt vom Zeitpunkt 0+ bis zum Zeitpunkt 1 konstant. Zum Zeitpunkt 1 werden die Kurse S1 realisiert, und das Portfolio verfügt dann über den Wert h1 S1 . Nun zahlen die Wertpapiere die Dividenden 1 aus, und die Preise der Wertpapiere betragen anschließ end S1 . Die Positionen des Portfolios werden dann, zum Zeitpunkt 1+ , in h2 verändert, so dass das Portfolio jetzt den Wert h2 S1 besitzt. Dies setzt sich fort, bis der Endzeitpunkt T im Zustand T erreicht wird. Das Portfolio besitzt schließ lich den Endwert hT ST , siehe Abb. 3.8. t 0 0+ Portfolioh0 S0 h1 S0 wert

1

1+

! h1 S1 h2 S1

T !

! hT ST

Abb. 3.8. Veranschaulichung der Wertentwicklung eines Portfolios

De…nition 3.33. Sei ((S; ) ; F) ein Marktmodell. Der durch (St ; t )t2f0;:::;T g und eine Handelsstrategie (ht )t2f0;:::;T g de…nierte Wertprozess V (h) ist gegeben durch Vt (h) := ht St für alle t = 0; : : : ; T . Entsprechend wird der Investitionsprozess I (h) de…niert durch It (h) := ht+1 St für alle t = 1; : : : ; T , wobei hT +1 := 0 gesetzt wird. Es gilt also stets IT (h) = 0. Die Zustandsvariable Vt (h) bezeichnet also zu jedem Zeitpunkt t den Wert des Portfolios h vor dem Handeln. Insbesondere ist V0 (h) = h0 S0 somit das oben bereits de…nierte Anfangskapital vor dem ersten Handeln, und

3.3 Das Marktmodell

159

VT (h) = hT ST ist der Endwert des Portfolios zum Endzeitpunkt T . Dagegen kennzeichnet It (h) für jeden Zeitpunkt das zu Beginn der Periode von t+ bis (t + 1) investierte Kapital. Zum Endzeitpunkt T wird nichts mehr investiert, also ist IT (h) = 0. Wir betrachten nun für jeden Zeitpunkt 0 t T die Di¤erenz Lt (h) := Vt (h) = ht St

It (h) ht+1 St

des Portfoliowertes vor und nach dem Handeln zu diesem Zeitpunkt. Ist diese Di¤erenz gleich Null, so wird der gesamte, zum Zeitpunkt t vorhandene Wert Vt (h) = ht St des Portfolios zum Zeitpunkt t+ als It (h) = ht+1 St reinvestiert. Gilt Lt (h) > 0, so wird dem Portfolio zum Zeitpunkt t dieser Differenzbetrag entnommen, beispielsweise als Gebühr im Rahmen eines Fondsmanagements oder als Dividendenausschüttung. Gilt dagegen Lt (h) < 0, so wird dem Portfolio zum Zeitpunkt t Kapital zugeführt, etwa durch Kundengelder zum Erwerb von Fondsanteilen. Wegen hT +1 = 0 folgt IT (h) = 0, also LT (h) = VT (h). Für alle t 2 f0; : : : ; T g gilt Lt (h) = ht

t

+ (ht

ht+1 ) St :

Der Wert von Lt (h) setzt sich also zusammen aus den Dividendenzahlungen ht t des Portfolios plus den durch Handelsaktivitäten verursachten Umschichtungskosten (ht ht+1 ) St zum Zeitpunkt t. Nehmen wir beispielsweise an, dass die Portfoliozusammensetzung zum Zeitpunkt t nicht verändert wird, dass also ht = ht+1 gilt, so ist Lt (h) = ht t , und dies ist der zum Zeitpunkt t ausgeschüttete Dividendenertrag. Werden zum Zeitpunkt t Dividenden gezahlt, gilt aber Lt (h) = 0, so bedeutet dies, dass alle ausgeschütteten Dividenden für die kommende Handelsperiode (t; t + 1) reinvestiert werden. De…nition 3.34. Sei F eine Filtration. Wir bezeichnen den Vektorraum aller Rn -wertigen, an F adaptierten stochastischen Prozesse mit Wn , Wn := fX jX stochastischer, Rn -wertiger, an F adaptierter Prozess g : Den Vektorraum aller Rn -wertigen, bezüglich F vorhersehbaren stochastischen Prozesse bezeichnen wir mit Hn , Hn := fh jh stochastischer, Rn -wertiger Prozess, h vorhersehbar bezüglich F g : Wir setzen W := W1 und H := H1 . Jeder vorhersehbare Prozess ist adaptiert, daher ist Hn vektorraum von Wn .

Wn ein Unter-

160

3 Mehr-Perioden-Modelle

Aufgabe 3.9. Machen Sie sich klar, dass Wn und Hn tatsächlich Vektorräume sind. Da jede Handelsstrategie h vorhersehbar ist, ist It (h) = ht+1 St Ft messbar für jedes t 2 f0; : : : ; T g, und der Prozess I (h) ist an F adaptiert. Da weiter vorhersehbare Prozesse adaptiert sind, ist V (h) ebenfalls adaptiert. Damit ist aber auch L (h) an F adaptiert. Wir fassen zusammen: De…nition 3.35. Der durch eine Handelsstrategie h generierte Entnahmeprozess L : HN ! W wird de…niert durch

Lt (h) := Vt (h)

It (h)

= ht St

ht+1 St

für alle h 2 HN und für alle t = 0; : : : ; T . Dabei setzen wir hT +1 := 0. Betrachten wir zwei Handelsstrategien h; g 2 HN , dann ist für ; 2 R auch h + g 2 HN , und es gilt L ( h + g) = L (h) + L (g). Also ist L eine lineare Abbildung. De…nition 3.36. Eine Handelsstrategie h 2 HN heiß t selbst…nanzierend, wenn für alle t = 0; : : : ; T 1 gilt Lt (h) = 0: Eine Handelsstrategie h ist also selbst…nanzierend, wenn der Wert Vt (h) = ht St des Portfolios zu jedem Zeitpunkt t vor dem Handeln mit dem Wert It (h) = ht+1 St des Portfolios zum Zeitpunkt t nach dem Handeln übereinstimmt. Dies bedeutet, dass der gesamte Portfoliowert zu jedem Zeitpunkt t = 0; : : : ; T 1 reinvestiert wird. Eine Handelsstrategie ist also selbst…nanzierend, wenn dem Portfolio weder Kapital entzogen noch hinzugefügt wird und wenn alle etwaigen Dividendenerträge reinvestiert werden. De…nition 3.37. Mit Hilfe des Wertprozesses wird der Pro…t-Loss- oder Gewinnprozess G (h) 2 W de…niert durch G0 (h) := 0 und Gt (h) := Vt (h)

It

= ht St = ht

1

(h)

ht St

(3.2)

1

St ;

wobei St := St für t = 1; : : : ; T .

St

1

(3.3)

3.3 Das Marktmodell

161

O¤enbar ist G (h) ein adaptierter Prozess. Gt (h) = Vt (h) It 1 (h) beschreibt die durch Kursänderungen verursachte Wertänderung des Portfolios h zwischen dem Zeitpunkt t 1 nach dem Handeln und dem Zeitpunkt t vor dem Handeln. G wird optimistisch Gewinnprozess genannt, obwohl natürlich auch Verluste, also negative Wertänderungen, realisiert werden können. Lemma 3.38. Für jede Handelsstrategie h 2 HN gilt Vt (h) = V0 (h) +

t X

Vj (h) ;

(3.4)

j=1

wobei Vj (h) := Vj (h)

Vj

1

(h) :

Beweis. Dies folgt sofort aus Vt (h)

V0 (h) = (Vt (h)

Vt

1

(h)) +

+ (V1 (h)

V0 (h)) :

Die Gesamtdi¤erenz VT (h) V0 (h) der Handelsstrategie h zwischen dem Endzeitpunkt T und dem Anfangszeitpunkt 0 setzt sich also erwartungsgemäßaus der Summe der Wertdi¤erenzen zwischen benachbarten Zeitpunkten zusammen. Satz 3.39. Für alle t = 1; : : : ; T gilt Vt (h) = Gt (h) und Vt (h) = V0 (h) +

t X

Lt

Gt (h)

j=1

1

(h)

t 1 X

(3.5)

Lj (h) :

(3.6)

j=0

Beweis. Der Zusammenhang (3.5) folgt mit (3.2) wegen Vt (h) = Vt (h) = Vt (h) = Gt (h)

Vt

1

(h)

It 1 (h) (Vt Lt 1 (h) :

1

(h)

It

1

(h))

Einsetzen in (3.4) liefert (3.6). Der Wert Vt (h) einer Handelsstrategie setzt sich also zusammen aus dem Anfangskapital V0 (h) plus der Summe aller durch Kursänderungen erzielten Pt Pt 1 Gewinne j=1 Gt (h) minus der Summe aller Entnahmen j=0 Lj (h).

162

3 Mehr-Perioden-Modelle

Folgerung 3.40. Eine Handelsstrategie ht ist genau dann selbst…nanzierend, wenn gilt t X Vt (h) = V0 (h) + hj Sj (3.7) j=1

für t = 0; : : : ; T . Beweis. Nach De…nition 3.36 ist h genau dann selbst…nanzierend, wenn Lt (h) = 0 für alle t = 0; : : : ; T 1 gilt. In diesem Fall spezialisiert sich (3.6) zu (3.7). Wird umgekehrt (3.7) vorausgesetzt, so folgt für alle 1 t T Vt (h)

Vt

1

(h) = ht

St

= Vt (h) Daraus folgt Vt 1 (h) = It 1 (h), also Lt selbst…nanzierend nachgewiesen.

1

St It

1

1 (h) :

(h) = 0. Damit ist aber h als

Angenommen, es gilt t = 0 für alle t. Dann gilt Sj =: Sj =: Sj und es ist Vj (h) = Gj (h) = hj Sj = hj (Sj Sj 1 ) sowie Vt (h) = V0 (h) +

t X

hj (Sj

Sj

1)

Sj

1

(3.8)

j=1

= V0 (h) +

t X

hj

Sj :

j=1

In Kapitel 6 werden wir sehen, dass die Darstellung von Vt (h) in (3.8) als diskretes stochastisches Integral interpretiert werden kann.

3.4 Die Bewertung von Auszahlungspro…len Die Vorgehensweise zur Bewertung von Derivaten ist analog zur Vorgehensweise im Rahmen der Ein-Perioden-Modelle. Auch in Mehr-Perioden-Modellen sind die Auszahlungen von Derivaten zustandsabhängige Zahlungsströme, und die Bewertungsstrategie besteht darin, diese durch Handelsstrategien nachzubilden. Der Wert einer die Auszahlung replizierenden Handelsstrategie zum Anfangszeitpunkt t = 0 wird dann als Preis des Derivats de…niert. De…nition 3.41. Sei ((S; ) ; F) ein Marktmodell. Dann bezeichnen wir den Bildraum von L mit WL := Im L = fX 2 W jX = L (h) für ein h 2 HN g Da L linear ist, ist WL ein Untervektorraum von W.

W:

3.4 Die Bewertung von Auszahlungspro…len

163

De…nition 3.42. Sei ((S; ) ; F) ein Marktmodell und sei c = (c0 ; : : : ; cT ) 2 W ein an F adaptierter reellwertiger Prozess. c wird zustandsabhängiges Auszahlungspro…l oder auch einfach Auszahlungspro…l genannt. Die Werte von c können als Zahlungen interpretiert werden, die je nach Zeitpunkt und je nach eintretendem Zustand ‡ieß en. Ein Auszahlungspro…l c heiß t erreichbar oder replizierbar, falls gilt c 2 WL :

(3.9)

In diesem Fall gibt es ein h 2 HN mit L (h) = c. Wir de…nieren den Wert V0 (h) = h0 S0 als Preis von c oder als Wert von c zum Zeitpunkt 0, wenn V0 (h) unabhängig von der replizierenden Handelsstrategie h 2 HN mit L (h) = c ist. Wie bei den Ein-Perioden-Modellen kann auch im Rahmen der MehrPerioden-Modelle die Situation auftreten, dass ein Auszahlungspro…l nicht replizierbar ist oder dass ein replizierbares Auszahlungspro…l keinen eindeutig bestimmten Preis besitzt. Wir vermeiden diese Schwierigkeiten, indem wir uns in diesem Buch auf replizierbare Auszahlungspro…le und auf arbitragefreie Märkte beschränken. Allgemeinere Situationen werden etwa in Föllmer/Schied [16] und in Pliska [45] behandelt. Beispiel 3.43. Wir spezialisieren die Mehr-Perioden-Modelle nun auf den EinPerioden-Fall. Dies bedeutet T = 1, und es gilt L0 (h) = V0 (h) = h0 S0

I0 (h) h1 S0 2 R;

sowie L1 (h) = h1 S1 = h1 S1 (! 1 ) ; : : : ; h1 S1 (! K ) 2 RK : Damit kann der Entnahmeprozess L (h) geschrieben werden als L (h) = (L0 (h) ; L1 (h)) = h0 S0

h1 S0 ; h1 S1 (! 1 ) ; : : : ; h1 S1 (! K ) 2 R

RK = W:

Sei ein Auszahlungspro…l c = (c0 ; c1 ) 2 R RK = W vorgegeben. Dann ist c replizierbar, wenn es eine Handelsstrategie h = (h0 ; h1 ) 2 RN RN = HN gibt, mit c = L (h), also mit c0 = L0 (h) = h0 S0 und mit

h1 S 0

164

3 Mehr-Perioden-Modelle

c1 = L1 (h) = h1 S1 : Ist h selbst…nanzierend, so gilt c0 = L0 (h) = 0. Zur Bewertung eines Auszahlungspro…ls c = (0; c1 ) = c1 2 RK wird daher ein Portfolio h1 2 RN gesucht, welches die Eigenschaft c1 = h1 S1 besitzt. Wegen 0 = L0 (h) = V0 h1 S0 beträgt der Wert von c1 zum Zeitpunkt t = 0 gerade V0 = h1 S0 ; und wir erhalten die vertraute Situation aus Kapitel 1. Insbesondere spielt es keine Rolle, in welcher Höhe in den Aktienkursen zum Zeitpunkt 1 Dividenden enthalten sind, wichtig ist nur der Gesamtwert S1 . 4 Wir werden sehen, dass das Au¢ nden replizierender Handelsstrategien in Mehr-Perioden-Modellen auf die Bestimmung von replizierenden Portfolios in Ein-Perioden-Modellen zurückgeführt werden kann. Dazu schränken wir Handelsstrategien auf Ein-Perioden-Teilmodelle ein. 3.4.1 Lokalisierung Seien t 2 f1; : : : ; T g und At 1 2 Z (Ft 1 ) beliebig. Sei weiter Wir de…nieren eine vorhersehbare Handelsstrategie h durch hs :=

2 RN beliebig.

1At 1 für s = t : 0 sonst

Mit De…nition 3.35 des Entnahmeprozesses L (h) gilt 8 < It 1 (h) = ht St 1 = ( St 1 ) 1At Ls (h) = Vt (h) = ht St = St 1At 1 : 0

(3.10)

1

für s=t für s=t sonst.

1

(3.11) Der auf diese Weise de…nierte Entnahmeprozess L (h) besitzt also nur für die beiden Zeitpunkte t 1 und t sowie nur für ! 2 At 1 von Null verschiedene Werte. Wir sagen, der Entnahmeprozess wird auf [t 1; t] At 1 lokalisiert. 3.4.2 Ein-Perioden-Teilmodelle Nun de…nieren wir b := St

1

(At

1)

2 RN .

Sei weiter At1 ; : : : ; Atk 2 Z (Ft ) eine Aufzählung von denjenigen Elementen aus Z (Ft ), in die At 1 zum Zeitpunkt t zerfällt. Es gilt also At1 [ [ Atk = At 1 . Dann de…nieren wir eine N k-Matrix D durch Dij := St i (Atj ) für i = 1; : : : ; N und j = 1; : : : ; k: Das auf diese Weise erhaltene Ein-Perioden-Modell wird mit (b; D)At 1 bezeichnet und Ein-Perioden-Teilmodell des Mehr-Perioden-Modells ((S; ) ; F) im Knoten At 1 genannt.

3.4 Die Bewertung von Auszahlungspro…len

165

3.4.3 Konstruktion einer replizierenden Handelsstrategie Wie bei den Ein-Perioden-Modellen sind auch im Kontext der MehrperiodenModelle in der Regel nicht alle vorgegebenen Auszahlungspro…le replizierbar. Sollten in einem Mehr-Perioden-Modell alle Auszahlungspro…le replizierbar sein, so nennen wir das Modell wie im Ein-Perioden-Fall vollständig. De…nition 3.44. Ein Mehr-Perioden-Modell ((S; ) ; F ) wird vollständig genannt, wenn jedes zustandsabhängige Auszahlungspro…l c 2 W durch eine Handelsstrategie h 2 HN repliziert werden kann. Dies ist gleichbedeutend mit Im L = W: Satz 3.45. Ein Mehr-Perioden-Modell ((S; ) ; F ) ist genau dann vollständig, wenn jedes Ein-Perioden-Teilmodell vollständig ist. Beweis. Sei c = (c0 ; : : : ; cT ) 2 W eine beliebige zustandsabhängige Auszahlung, und sei jedes Ein-Perioden-Teilmodell eines vorgegebenen MehrPerioden-Modells ((S; ) ; F ) vollständig. Wir beginnen beim Endzeitpunkt T . Zu einem beliebigen Knoten AT 1 2 Z (FT 1 ) existieren AT 1 ; : : : ; AT k 2 Z (FT ) mit AT 1 [ [ AT k = AT 1 , und wir betrachten das zugehörige Ein-Perioden-Teilmodell (b; D)AT 1 2 RN MN k (R). Die zu diesem Teilmodell gehörende Auszahlung cT 1;T (AT 1 ) 2 Rk de…nieren wir als cT

1;T

(AT

1)

:= (cT (AT 1 ) ; : : : ; cT (AT k )) :

Nach Voraussetzung ist (b; D)AT 1 vollständig, und so existiert ein Portfoliovektor hT (AT 1 ) 2 RN mit der Eigenschaft D > hT (AT Der Wert von cT

1;T

(AT

1)

1)

= cT

1;T

(AT

zum Zeitpunkt T hT (AT

1)

1) :

1 im Knoten AT

1

beträgt

b 2 R:

Da zum Zeitpunkt T 1 im Knoten AT 1 der Betrag cT 1 (AT 1 ) der Handelsstrategie entnommen werden soll, lautet der zum Zeitpunkt T 1 im Knoten AT 1 zu replizierende Wert zT

1

(AT

1)

:= cT

1

(AT

1)

+ hT (AT

1)

b 2 R:

Insgesamt erhalten wir so für jedes AT 1 2 Z (FT 1 ) einen zu replizierenden Betrag zT 1 (AT 1 ) 2 R. Können wir zum Zeitpunkt T 1 jedes zT 1 (AT 1 ) replizieren, so können wir nach Entnahme von cT 1 (AT 1 ) auch jedes cT (AT ) zum Zeitpunkt T replizieren. Auf diese Weise wurde das Problem, eine zustandsabhängige Auszahlung cT zum Zeitpunkt T zu replizieren, darauf reduziert, die zustandsabhängige Auszahlung zT 1 zum Zeitpunkt T 1 zu replizieren.

166

3 Mehr-Perioden-Modelle

Der nächste Schritt besteht darin, zu einem beliebigen AT 2 2 Z (FT 2 ) mit AT 2 = AT 1;1 [ [ AT 1;k0 und AT 1 ; : : : ; AT k0 2 Z (FT 1 ) das EinPerioden-Teilmodell (b; D)AT 2 zu betrachten. Die zu diesem Teilmodell gehörende zustandsabhängige Auszahlung lautet zT

2;T

1

(AT

2)

:= (zT

1

(AT

1;1 ) ; : : : ; zT

1

(AT

1;k0 ))

0

2 Rk :

Da (b; D)AT 2 nach Voraussetzung vollständig ist, existiert ein Portfoliovektor hT 1 (AT 2 ) 2 RN mit D > hT

1

(AT

2)

= zT

2;T

1

(AT

Der Wert dieses Portfolios beträgt zum Zeitpunkt T hT

2

(AT

2)

2) :

2 im Knoten AT

2

b 2 R:

Da der Handelsstrategie zum Zeitpunkt T 2 im Knoten AT 2 der Betrag cT 2 (AT 2 ) entnommen werden soll, beträgt der zum Zeitpunkt T 2 im Knoten AT 2 zu replizierende Betrag zT

2

(AT

2)

:= cT

2

(AT

2)

+ hT

2

(AT

2)

b 2 R:

Insgesamt erhalten wir auf diese Weise für jeden Knoten AT 2 2 Z (FT 2 ) einen zu replizierenden Wert zT 2 (AT 2 ) 2 R. Dieses Verfahren wird rekursiv bis zum Zeitpunkt t = 0 fortgesetzt. Für das zugehörige Ein-Perioden-Teilmodell (b; D)A0 wird der Wert h1 (A0 ) b zum Zeitpunkt t = 0 erhalten. Wegen A0 = gilt h1 (A0 ) = h1 2 RN , und daher h1 (A0 ) b = h1 S0 . Daraus ergibt sich der zur Replikation von c benötigte Betrag V0 (h) zum Zeitpunkt t = 0 als V0 (h) := c0 + h1 S0 2 R: Die verschiedenen Portfoliovektoren der Ein-Perioden-Teilmodelle ergeben zusammengenommen eine replizierende, vorhersehbare Handelsstrategie h 2 HN für die Auszahlung c 2 W. Da c beliebig war, ist ((S; ) ; F ) vollständig. Sei umgekehrt ein Mehr-Perioden-Modell ((S; ) ; F ) vollständig. Dann folgt daraus durch Lokalisierung sofort die Vollständigkeit jedes Ein-PeriodenTeilmodells. Der Beweis von Satz 3.45 beinhaltet ein konstruktives Verfahren zum Auf…nden einer replizierenden Handelsstrategie für eine vorgegebene zustandsabhängige Auszahlung im Falle der Vollständigkeit des zugrunde liegenden Marktmodells. Wir demonstrieren die Konstruktion einer replizierenden Handelsstrategie für eine Call-Option in einem Zwei-Perioden-Modell. Beispiel 3.46. Wir betrachten das in Abb. 3.9 dargestellte Modell, dem zwei Finanzinstrumente S 1 und S 2 sowie ein Zustandsraum mit vier Zuständen = f! 1 ; : : : ; !4 g zugrunde liegen. Ferner wird

3.4 Die Bewertung von Auszahlungspro…len

167

A11 := f! 1 ; ! 2 g und A12 := f! 3 ; ! 4 g de…niert. Wir stellen uns die Aufgabe, den Wert einer Call-Option auf S 2 mit

S2 (! 1 ) =

% S1 (A11 ) = h2 (A11 ) =

24 144

c2 (! 1 ) = 44 27 120 2:35 0:7

z1 (A11 ) = 20:181 S2 (! 2 ) =

%

&

29 105

c2 (! 2 ) = 5

30 100

S0 = h1 (A0 ) =

0:9 0:37

V0 (h) = 10: 091

&

S2 (! 3 ) =

%

27 95

c2 (! 3 ) = 0

S1 (A12 ) =

33 80

h2 (A12 ) =

0 0

z1 (A12 ) = 0 S2 (! 4 ) =

t=0

37 64

&

c2 (! 4 ) = 0

t=1

t=2

Abb. 3.9. Informationsbaum mit 2 Perioden, 4 Zuständen und mit 2 Finanzinstrumenten

Basispreis 100 und Fälligkeit T = 2 zu berechnen. In diesem Fall lauten die + zustandsabhängigen Endauszahlungen c2 (! i ) = S22 (! i ) K der Option

168

3 Mehr-Perioden-Modelle +

c2 (! 1 ) = (144

100) = 44;

c2 (! 2 ) = (105

100) = 5;

+

+

c2 (! 3 ) = (95

100) = 0;

c2 (! 4 ) = (64

100) = 0;

+

die ebenfalls bereits in Abb. 3.9 zusammen mit einigen der im folgenden berechneten Werte aufgenommen wurden. Für das Ein-Perioden-Teilmodell (b; D)A11 im Knoten A11 , 27 120

(b; D)A11 = (S1 (A11 ) ; (S2 (! 1 ) ; S2 (! 2 ))) =

;

24 29 144 105

;

betrachten wir zunächst das Gleichungssystem D> h2 (A11 ) = 24 144 29 105

c2 (! 1 ) c2 (! 2 )

, also

h21 (A11 ) h22 (A11 )

44 5

=

und erhalten die eindeutig bestimmte Lösung h2 (A11 ) =

h21 (A11 ) h22 (A11 )

=

325 138 289 414

!

=

2: 355 0:698

!

:

Der Wert von h2 (A11 ) zum Zeitpunkt t = 1 beträgt damit h2 (A11 ) S1 (A11 ) =

2785 = 20: 181: 138

Da im Knoten A11 keine Entnahme statt…ndet, gilt z1 (A11 ) = h2 (A11 ) S1 (A11 ). Für das nächste Ein-Perioden-Teilmodell (b; D)A12 im Knoten A12 , 33 80

(b; D)A12 = (S1 (A12 ) ; (S2 (! 3 ) ; S2 (! 4 ))) = betrachten wir entsprechend das Gleichungssystem D> h2 (A12 ) =

c2 (! 3 ) c2 (! 4 )

;

also 27 95 37 64 und erhalten sofort

h21 (A12 ) h22 (A12 )

=

0 0

;

27 37 95 64

;

3.4 Die Bewertung von Auszahlungspro…len

h2 (A12 ) =

h21 (A12 ) h22 (A12 )

0 0

=

169

:

Der Wert z1 (A12 ) von h2 (A12 ) zum Zeitpunkt t = 1 beträgt also z1 (A12 ) := h2 (A12 ) S1 (A12 ) = 0: Für das verbleibende Ein-Perioden-Teilmodell (b; D)A0 im Knoten A0 , 30 100

(b; D)A0 = (S0 ; (S1 (A11 ) ; S1 (A12 ))) =

;

27 33 120 80

;

betrachten wir schließ lich das Gleichungssystem D> h1 (A0 ) = 27 120 33 80

z1 (A11 ) z1 (A12 ) h11 (A0 ) h12 (A0 )

, also 2785 138

=

0

und erhalten die eindeutig bestimmte Lösung h1 (A0 ) =

h11 (A0 ) h12 (A0 )

=

557 621 6127 16 560

!

=

0:897 0:370

!

:

Der Wert von h1 (A0 ) zum Zeitpunkt t = 0 beträgt h1 (A0 ) S0 = 10: 091:

(3.12)

Da zum Zeitpunkt t = 0 keine Entnahme statt…ndet, lautet der Wert V0 (h) der die Call-Option replizierenden Handelsstrategie 10: 091 Währungseinheiten. Für diesen Betrag V0 (h) = 10: 091 kann zum Zeitpunkt t = 0 das 0:897 Portfolio h1 (A0 ) = gekauft werden. Tritt nun zum Zeitpunkt 0:370 t = 1 beispielsweise der Zustand A12 ein, so besitzt das Portfolio den Wert h1 (A0 ) S1 (A12 ) = 0. Nun wird das Portfolio aufgelöst und keine Investition 0 mehr getätigt, was h2 (A12 ) = entspricht. In jedem der beiden von A12 0 aus möglichen Endzustände ! 3 und ! 4 besitzt das Portfolio zum Endzeitpunkt t = 2 dann ebenfalls den Wert 0. Tritt dagegen zum Zeitpunkt t = 1 der Zustand A11 ein, so beträgt der Wert des Portfolios h1 (A0 ) S1 (A11 ) = 20: 181. In diesem Fall wird das Port2: 355 folio für die nächste Periode [1; 2] umgeschichtet in h2 (A11 ) = . 0:698 Dies ist aus Portfoliomitteln möglich, da gerade h2 (A11 ) S1 (A11 ) = 20: 181 gilt.

170

3 Mehr-Perioden-Modelle

Tritt nun Zustand ! 1 ein, so besitzt das Portfolio den Wert h2 (A11 ) S2 (! 1 ) = 44. Tritt dagegen der Zustand ! 2 ein, so besitzt das Portfolio den Wert h2 (A12 ) S2 (! 2 ) = 5. Wird die Call-Option also für 20: 181 Währungseinheiten verkauft und wird für dieses Kapital das Portfolio h1 (A0 ) zum Zeitpunkt t = 0 gekauft und je nach eintretendem Zustand zum Zeitpunkt t = 1 wie oben dargestellt umgeschichtet, so wird die Auszahlung der Call-Option exakt repliziert. Die auf diese Weise erzeugte Handelsstrategie h = (h1 (A0 ) ; h2 (A11 ) ; h2 (A12 )) ist o¤enbar vorhersehbar und selbst…nanzierend. Zum Zeitpunkt t = 0 kostet sie 20: 181 Währungseinheiten und verfügt über das gleiche Auszahlungspro…l wie die zu bewertende Option. Damit können sämtliche Risiken, die durch den Verkauf der Option entstehen, durch die eingenommene Optionsprämie vollständig abgesichert werden. 4

3.5 Das Law of One Price Analog zur Situation bei Ein-Perioden-Modellen ist die im vorangegangenen Abschnitt vorgestellte Bewertungsstrategie nur dann wohlde…niert, wenn die Preise aller rekursiv ermittelten Portfolios nicht von den jeweils replizierenden Portfolios abhängen. Zunächst de…nieren wir auf dem Raum W der adaptierten Prozesse ein Skalarprodukt. Sei F = fFt j0 t T g eine Filtration. Für einen an die Filtration F adaptierten reellwertigen stochastischen Prozess X ist Xt auf jedem Element At 2 Z (Ft ), der zu Ft gehörenden Partition, konstant für alle 0 t T . Bezeichnen wir die Anzahl der Elemente von Z (Ft ) mit kt , also kt := jZ (Ft ) j, so gilt mit Z (Ft ) = fAt1 ; : : : ; Atkt g zunächst Xt (Ati ) =: cti 2 R für i = 1; : : : ; kt und daher entsprechend Lemma 3.24 Xt = ct1 1At1 +

+ ctkt 1Atkt

' (ct1 ; : : : ; ctkt ) 2 Rkt : Jede Ft -messbare Abbildung Xt : ! R kann also mit einem Vektor ct 2 Rkt identi…ziert werden. Ein reellwertiger adaptierter stochastischer Prozess X : f0; : : : ; T g ! R entspricht damit einem Element aus Rk0 + +kT = R1+k1 + +kT 1 +K , denn wegen Z (F0 ) = f g gilt k0 = jZ (F0 ) j = 1, und wegen Z (FT ) = ff! 1 g; : : : ; f! K gg gilt kT = jZ (FT ) j = K. De…nition 3.47. Sei ((S; ) ; F ) ein Marktmodell. Für beliebige X; Y 2 W mit X ' (X0 (A0 ) ; X1 (A11 ) ; : : : ; X1 (A1k1 ) ; : : : ; XT (AT 1 ) ; : : : ; XT (AT kT ))

3.5 Das Law of One Price

171

und Y ' (Y0 (A0 ) ; Y1 (A11 ) ; : : : ; Y1 (A1k1 ) ; : : : ; YT (AT 1 ) ; : : : ; YT (AT kT )) de…nieren wir ein Skalarprodukt auf W durch hX; Y i :=

T X t=0

hXt ; Yt i ;

(3.13)

wobei X

hXt ; Yt i := =

Xt (At ) Yt (At )

At 2Z(Ft )

kt X

Xt (Atj ) Yt (Atj ) :

j=1

Satz 3.48. In einem Marktmodell ((S; ) ; F) gilt das Law of One Price genau dann, wenn es einen adaptierten Prozess gibt, so dass der Wert c0 jeder replizierbaren Auszahlung c = L (h) 2 W, h 2 HN , durch V0 (c) =

T X

V0 (ct )

(3.14)

t=0

=

T X t=0

h t ; ct i

= h ; ci gegeben ist. Sei = A0 At für Ai 2 Z (Fi ), 0 beliebiger Informationspfad. Dann ist gegeben durch t

(At ) =

0

(A0 )

t

(At ) ;

i

t

T , ein (3.15)

wobei 0 (A0 ) = 1 und wo i (Ai ) für 0 < i t die zugehörige Komponente des Zustandsvektors i 1;i (Ai 1 ) des Ein-Perioden-Teilmodells (b; D)Ai 1 bezeichnet. Beweis. Angenommen, in einem Marktmodell ((S; ) ; F) gilt das Law of One Price. Dann folgt durch Lokalisierung, dass das Law of One Price in jedem Ein-Perioden-Teilmodell gelten muss. In diesem Fall gibt es für jedes t = 1; : : : ; T in jedem Ein-Perioden-Teilmodell (b; D)At 1 2 RN MN k (R), At 1 2 Z (Ft 1 ) und At1 ; : : : ; Atk 2 Z (Ft ) mit At1 [ [ Atk = At 1 einen Vektor t 1;t (At 1 ) := ( t (At1 ) ; : : : ; t (Atk )) mit

172

3 Mehr-Perioden-Modelle

D

t 1;t

(At

1)

= b:

Sei nun c = (c0 ; : : : ; cT ) eine replizierbare Auszahlung. Wir betrachten zunächst die Auszahlung (0; : : : ; 0; cT ) und berechnen den Wert zT 1 (AT 1 ) von cT für jeden Knoten AT 1 2 Z (FT 1 ) zum Zeitpunkt T 1 X zT 1 (AT 1 ) = T (AT ) cT (AT ) : AT 2Z(FT ) AT AT 1

Nun berechnen wir für jeden Knoten AT 2 2 Z (FT 2 ) den Wert zT von zT 1 zum Zeitpunkt T 2 X zT 2 (AT 2 ) = T 1 (AT 1 ) zT 1 (AT 1 ) AT 1 2Z(FT AT 1 AT

X

=

2

(AT

2)

1)

2

T

1

(AT

1)

T

(AT ) cT (AT ) :

At 2Z(Ft );T 1 t T AT AT 1 AT 2

Induktiv folgt daraus für den Wert V0 (cT ) := z0 (A0 ) von cT zum Zeitpunkt t=0 X V0 (cT ) = 0 (A0 ) 1 (A1 ) T (AT ) cT (AT ) At 2Z(Ft );0 t T AT A0

=h

T ; cT i ;

wobei wir 0 (A0 ) := 1 und T (AT ) = 0 (A0 ) T (AT ) de…nieren. Entsprechend erhalten wir für eine replizierbare Auszahlung (0; : : : ; ct ; : : : ; 0), 0 t < T , den Wert X V0 (ct ) = 0 (A0 ) t (At ) ct (At ) Ai 2Z(Fi );1 i t At A0

X

=

t

(At ) ct (At )

Ai 2Z(Fi );1 i t At A0

= h t ; ct i ; wobei wir t : Z (Ft ) ! R durch t (At ) = 0 (A0 ) t (At ) de…nieren. Für den Wert V0 (c) von c = (c0 ; : : : ; cT ) erhalten wir damit die Darstellung (3.14) und für die behauptete Darstellung (3.15). O¤enbar ist der durch (3.15) de…nierte Prozess =(

0;

an die Filtration F adaptiert.

1; : : : ;

T)

= (1;

1; : : : ;

T)

3.5 Das Law of One Price

173

Sei nun umgekehrt die Existenz eines adaptierten Prozesses vorausgesetzt, so dass der Preis c0 jedes replizierbaren Auszahlungspro…ls c = L (h) 2 W durch (3.14) gegeben ist. Wir zeigen, dass in diesem Fall das Law of One Price gilt und dass die Darstellung (3.15) besitzt. Seien dazu t 2 f1; : : : ; T g und At 1 2 Z (Ft 1 ) beliebig. Sei weiter 2 RN ein beliebiger Vektor. Wir betrachten die auf At 1 lokalisierte Handelsstrategie 1At 1 für s = t hs := 0 sonst. Dann folgt 0 = h ; L (h)i, und mit (3.11) erhalten wir t 1; (

St

1 ) 1At

=

1

t;

St 1At

1

:

Nun verwenden wir t 1 (At ) = t 1 (At 1 ) für alle At At 1 . Mit den De…nitionen := t (At ), St 1 (At 1 ) =: b und St (At ) =: D> berechnen t 1 wir b=

St

=( =

1

St X

At At

(At

1)

1 ) (At 1 )

=

t

;

St 1At

1

t 1 t 1

(At )

St (At )

t 1

= ; D> =D : Da beliebig war, folgt D = b. Daraus folgt sowohl, dass in jedem EinPerioden-Teilmodell das Law of One Price gilt, als auch iterativ die Darstellung (3.15). Wie bei den Ein-Perioden-Modellen interpretieren wir h t ; ct i als verallgemeinerte Diskontierung der zustandsabhängigen Auszahlung ct auf den Zeitpunkt 0, wobei über die Vorzeichen der Komponenten von keine Aussage getro¤en werden kann. Zusammengefasst ist der Wert eines zustandsabhängigen Zahlungsstroms c = (c0 ; : : : ; cT ) zum Zeitpunkt 0 die Summe der auf den Zeitpunkt 0 abdiskontierten zukünftigen zustandsabhängigen Zahlungen ct , 0 t T . Schreiben wir in dem durch die Partitions-Filtration Z (F ) de…nierten Baum die Komponenten von t 1;t (At 1 ) = ( t (At1 ) ; : : : ; t (Atk )) an die Kanten der jeweiligen Ein-Perioden-Teilmodelle (b; D)At 1 2 RN MN k (R), so entspricht t (At ) = 0 (A0 ) t (At ) der Multiplikation dieser Kantenwerte längs des eindeutig bestimmten Informationspfads = A0 At bis zum Knoten At .

174

3 Mehr-Perioden-Modelle

3.6 Arbitragefreiheit und der Fundamentalsatz der Preistheorie De…nition 3.49. Sei ((S; ) ; F ) ein Marktmodell. Eine Handelsstrategie h 2 HN heiß t Arbitragegelegenheit, falls V0 (h) = 0 und L (h) > 0: Dabei bedeutet L (h) > 0, dass Lt (h) (!) 0 gilt für alle t = 0; : : : ; T und für alle ! 2 , und dass Lt0 (h) (! 0 ) > 0 gilt für wenigstens ein t0 2 f0; : : : ; T g und für wenigstens ein ! 0 2 . Eine Arbitragegelegenheit ist also eine Handelsstrategie h, bei der zu Beginn kein Kapitaleinsatz erforderlich ist, bei der niemals ein Kapitalzu‡uss statt…ndet und welcher die Chance auf eine positive Kapitalentnahme zu mindestens einem Zeitpunkt in mindestens einem Zustand beinhaltet. Eine Handelsstrategie h 2 HN ist also genau dann eine Arbitragegelegenheit, wenn V0 (h) = 0 gilt und wenn Rk0 +

+kT

3 L (h) = (L0 (h) (A0 ) ; L1 (h) (A11 ) ; : : : ; L1 (h) (A1k1 ) ; : : : ; LT (h) (AT 1 ) ; : : : ; LT (h) (AT kT )) > 0:

Beispiel 3.50. (Spezialisierung auf Ein-Perioden-Modelle) Wir setzen Beispiel 3.43 fort und betrachten den Entnahmeprozess L (h) = (L0 (h) ; L1 (h)) = V0 (h)

h1 S0 ; h1 S1 (! 1 ) ; : : : ; h1 S1 (! K ) 2 R

Setzen wir b := S0 und de…nieren eine N

so gilt

K-Matrix D durch 0 1 1 S1 (! 1 ) S1 1 (! K ) B C .. .. D=@ A; . . S1 N (! 1 ) S1 N (! K ) 0

1 h1 S1 (! 1 ) B C .. D > h1 = @ A = h1 S1 ; . h1 S1 (! K )

und wir erhalten die Darstellung

L (h) = V0 (h)

h1 b; D> h1 :

RK :

3.6 Arbitragefreiheit und der Fundamentalsatz

175

Eine Arbitragegelegenheit liegt nach De…nition genau dann vor, wenn V0 (h) = 0 gilt und wenn L (h) = h1 b; D > h1 > 0: Also spezialisiert sich die De…nition 3.49 von Arbitragegelegenheit im MehrPerioden-Modell auf die entsprechende De…nition 1.31 im Ein-Perioden-Fall. 4 Gäbe es in einem Marktmodell ((S; ) ; F) ein Ein-Perioden-Teilmodell (b; D)At 1 mit einer Arbitragegelegenheit , so ließ e sich zu einer Handelsstrategie h, die auß erhalb (b; D)At 1 überall Null ist, ergänzen. Auf diese Weise erhalten wir eine Arbitragegelegenheit h für das Mehr-Perioden-Modell. Ist also ein Mehr-Perioden-Modell ((S; ) ; F) arbitragefrei, so auch jedes EinPerioden-Teilmodell. Ist umgekehrt jedes Ein-Perioden-Modell arbitragefrei, so gilt in jedem dieser Modelle das Law of One Price. Dann folgt aber aus Satz 3.48 die Darstellung (3.14) für den Anfangswert V0 (h) eines Entnahmeprozesses L (h), wobei der zugehörige Prozess nach (3.15) strikt positiv ist. Aus 0 folgt aber für jeden positiven Entnahmeprozess L (h) > 0 die Eigenschaft h ; L (h)i > 0, also ist das Marktmodell arbitragefrei. Wir erhalten somit: Satz 3.51. (Fundamentalsatz der Preistheorie für Mehr-PeriodenModelle) Ein Mehr-Perioden-Modell ((S; ) ; F ) ist genau dann arbitragefrei, wenn es einen strikt positiven adaptierten reellwertigen Prozess 2 W gibt mit V0 (h) = h ; L (h)i :

Die messbaren Abbildungen t : Z (Ft ) ! R, t = 0; : : : ; T , besitzen die Darstellung (3.16) t (At ) = 0 (A0 ) t (At ) ; für Ai 2 Z (Fi ), i = 0; : : : ; t, und A0 At . Dabei gilt 0 (A0 ) = i t die Faktoren i (Ai ) von t (At ) 0 (A0 ) = 1. Weiter sind für 1 Komponenten der Zustandsvektoren i 1;i (Ai 1 ) = ( i (Ai1 ) ; : : : ; i (Aiki )) der Ein-Perioden-Teilmodelle (b; D)Ai 1 , die längs des zu At führenden Informationspfades (A0 ; : : : ; At ) miteinander multipliziert werden. Wird also jeder Kante (At 1 ; At ) im Baum des Marktmodells ((S; ) ; F) die zugehörige Komponente eines Ein-Perioden-Zustandsvektors t (At ) zugeordnet, so ergibt sich (3.16) durch Multiplikation der entsprechenden Faktoren längs des zu At gehörenden Informationspfades durch diesen Baum. Ist ein Marktmodell arbitragefrei, so gibt es also ein V0 (h) = h ; L (h)i für jede Handelsstrategie h.

2 W,

0, mit

De…nition 3.52. Der im Fundamentalsatz der Preistheorie, Satz 3.51, auftretende strikt positive Prozess 2 W mit V0 (h) = h ; L (h)i für alle h 2 HN wird Zustandsprozess genannt.

176

3 Mehr-Perioden-Modelle

Sei = A0

A1

AT = f!g

ein beliebiger Informationspfad. Dann gilt die Darstellung T

(!) =

T

1

(!) =

0

2

(A1 )

0

T

(A2 )

1

T

(!) ;

(3.17)

1

oder allgemeiner t (At ) =

t

(At ) =

0

t Y

i=1

In (3.17) und (3.18) wurde verwendet, dass Z (Ft ) gilt.

t

i

(Ai ) :

(3.18)

i 1

(A) =

t

(At ) für alle A

At 2

Satz 3.53. Sei ((S; ) ; F ) ein arbitragefreies Marktmodell und sei der zugehörige Zustandsprozess. Dann ist der Prozess t , t = 1; : : : ; T , genau dann 0 eindeutig bestimmt, wenn das Marktmodell vollständig ist. Beweis. dass jedes Auszahlungspro…l c = (c0 ; : : : ; cT ) erreichbar ist, ist äquivalent zur Vollständigkeit jedes Ein-Perioden-Teilmodells. In diesem Fall ist jeder Zustandsvektor in jedem Ein-Perioden-Teilmodell eindeutig bestimmt. Da die t (Atj ) die Komponenten dieser Zustandsvektoren in jedem Eint 1 Perioden-Teilmodell (b; D)At 1 für jedes At 1 2 Z (Ft 1 ) und für alle t = 1; : : : ; T bilden, sind also alle Quotienten sind aber auch die

t 0

t

t

1

(Atj ) eindeutig bestimmt. Dann

(Atj ) eindeutig bestimmt nach (3.18).

Ein alternativer Beweis des Fundamentalsatzes ohne Rückgri¤ auf die EinPerioden-Teilmodelle lautet wie folgt. Satz 3.54. (Alternative Formulierung des Fundamentalsatzes der Preistheorie für Mehr-Perioden-Modelle) Sei ((S; ) ; F) ein Marktmodell. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. 1. ((S; ) ; F) ist arbitragefrei. 2. Es existiert ein adaptierter, strikt positiver Prozess h ; L (h)i = 0 für alle Handelsstrategien h 2 HN mit V0 (h) = 0. 3. Es existiert ein adaptierter, strikt positiver Prozess alle Handelsstrategien h 2 HN gilt V0 (h) =

1 0

h ; L (h)i :

2 W mit (3.19) 2 W, so dass für (3.20)

3.6 Arbitragefreiheit und der Fundamentalsatz

177

Beweis. 1: =) 2: Sei W+ := fc 2 W jc 0 g W. Dann existieren genau dann keine Arbitragegelegenheiten, wenn der Kegel W+ den Untervektorraum WL;0 := fL (h) jh 2 HN ; V0 (h) = 0 g

WL

W

von W nur im Nullpunkt schneidet. Wir betrachten nun die Teilmenge M := fc 2 W+ jkck1 = 1 g W+ ; P t=0 At 2Z(Ft ) jct (At )j. Die Menge M ist konvex und kom-

PT

wobei kck1 := pakt. Angenommen, es gibt keine Arbitragegelegenheiten. Dann gilt WL;0 \M = ?, und aus dem zweiten Trennungssatz, Satz 1.45, folgt die Existenz eines 2 W mit h ; xi < h ; yi für alle x 2 WL;0 und für alle y 2 M . Da WL;0 ein linearer Raum ist, folgt daraus h ; xi = 0 für alle x 2 WL;0 . Dies wiederum impliziert h ; yi > 0 für alle y 2 M . Mit den Standardbasisvektoren ei 2 M gilt i = h ; ei i > 0, also ist 0. ~ := (0; h1 ; : : : ; hT ) 2 2: =) 3: Für ein beliebiges h 2 HN de…nieren wir h ~ ~ HN . Wegen V0 h = h0 S = 0 gilt nach Voraussetzung die Gleichung (3.19), 0

also

für ein

2 W mit

D

~ ;L h

E

= 0;

0. Nach De…nition gilt

L0 (h) = h0 S0 ~ Lt (h) = Lt h

~ h1 S0 = V0 (h) + L0 h

und

für t > 0:

Damit erhalten wir h ; L (h)i = =

0 V0 (h) + 0 V0

(h) ;

D

~ ;L h

E

also (3.20). 3: =) 1: Angenommen, für ein h 2 HN gilt L (h) > 0. Dann folgt wegen 0 aus (3.20) V0 (h) > 0. Also ist h keine Arbitragegelegenheit, und das Marktmodell ((S; ) ; F) ist arbitragefrei. Ist ein Zustandsprozess nach (3.19) oder (3.20), dann ist für jedes > 0 auch ein Zustandsprozess. Insbesondere können Zustandsprozesse stets so gewählt werden, dass 0 (A0 ) = 1 gilt. Zustandsprozesse mit dieser Eigenschaft 0 (A0 ) = 1 nennen wir normiert. 3.6.1 Die Diskontierung von Zahlungsströmen Wir heben in diesem Abschnitt erneut die Interpretation der Bewertung zustandsabhängiger Auszahlungspro…le als verallgemeinerte Diskontierung hervor.

178

3 Mehr-Perioden-Modelle

Die Bewertung deterministischer Zahlungsströme Sei c = (c0 ; : : : ; cT ) ein deterministischer Zahlungsstrom, d.h. es gilt ct 2 R für alle t = 0; : : : ; T . Dann lautet die zu diesem Zahlungsstrom äquivalente Zahlung V0 2 R zum Zeitpunkt t = 0 V0 =

PT

t=0

(3.21)

dt ct ;

wobei dt den Diskontfaktor für das Zeitintervall [0; t] bezeichnet. Gleichung (3.21) ist gerade die klassische Bewertungsformel für deterministische Zahlungsströme. Jede Zahlung ct wird mit dem Faktor dt auf den Zeitpunkt 0 abdiskontiert, und alle diskontierten Zahlungen werden zum Betrag V0 = PT d c aufsummiert, wobei d0 = 1, also d0 c0 = c0 , gilt. Die Situation t=0 t t ist symbolisch in Abb. 3.10 dargestellt. Dass V0 äquivalent ist zum Zahlungs-

" V0 =

PT

t=0

t=0

dt ct (= " c0

" cT

t=0

t=T

Abb. 3.10. Einem deterministischen Zahlungsstrom c = (c0 ; : : : ; cT ) wird der P diskontierte Wert V0 = Tt=0 dt ct zugeordnet.

strom (c0 ; : : : ; cT ) kann folgendermaß en begründet werden. Sei 0 t T ein beliebig vorgegebener Zeitpunkt, und sei ct die zu diesem Zeitpunkt gehörende Auszahlung. Wir nehmen zunächst an, dass ct < 0 gilt, dass also ct eine Zahlungsverp‡ichtung zum Zeitpunkt t bedeutet. Diese Zahlung zum Zeitpunkt t kann in eine Zahlung zum Zeitpunkt 0 überführt werden, indem zum Zeitpunkt 0 eine festverzinsliche Anlage mit Fälligkeit t gekauft wird. Der Preis c0;t für die Anlage wird so bemessen, dass diese zum Zeitpunkt t gerade den Wert ct besitzt. Der zum Diskontfaktor dt gehörende Zinssatz rt beträgt 1 rt := 1 dt und wegen (1 + rt ) c0;t = ct = (1 + rt ) (dt ct ) folgt c0;t = dt ct . Für den Fall ct > 0 wird zum Zeitpunkt 0 ein Kredit mit Fälligkeit t in Höhe von dt ct zum Zinssatz rt aufgenommen. Jede der Zahlungen c0 ; : : : ; cT wird also durch d0 c0 = c0 ; d1 c1 ; : : : ; dT cT in eine äquivalente Zahlung zum Zeitpunkt 0 überführt, so dass der Gesamtwert

3.6 Arbitragefreiheit und der Fundamentalsatz

179

des Zahlungsstroms (c0 ; : : : ; cT ) zum Zeitpunkt 0 gerade die Summe V0 = PT PT t=0 c0;t = t=0 dt ct dieser abdiskontierten Beträge ist. Umgekehrt kann jede Zahlung c0 zum Zeitpunkt 0 in eine Zahlung zum Zeitpunkt t der Höhe ct := (1 + rt ) c0 = d1t c0 überführt werden. Ist c0 > 0, so wird der Betrag c0 bis zum Zeitpunkt t zum Zinssatz rt festverzinslich angelegt. Gilt aber c0 < 0, so kann ein Kredit mit Fälligkeit t der Höhe c0 aufgenommen werden, mit dem die Zahlungsverp‡ichtung c0 beglichen wird. Zum Zeitpunkt t ist der Kredit dann einschließ lich Zinsen in Höhe von ct := (1 + rt ) c0 = d1t c0 zurückzuzahlen. Die Bewertung zustandsabhängiger Zahlungsströme Im allgemeinen Fall eines arbitragefreien Mehr-Perioden-Modells folgt aus dem Fundamentalsatz 3.51 die Existenz eines normierten Zustandsprozesses 0, so dass V0 (h) = h ; L (h)i für alle vorhersehbaren Handelsstrategien h 2 HN gilt, also V0 (h) =

T X t=0

=

h t ; Lt (h)i

T X

X

t

(3.22)

(At ) Lt (h) (At ) :

t=0 At 2Z(Ft )

Mit Hilfe dieser Ergebnisse lässt sich für Mehr-Perioden-Modelle eine zu Satz 3.45 alternative Darstellung der Bewertung zustandsabhängiger Zahlungsströme entwickeln. Sei dazu c = (c0 ; : : : ; cT ) ein replizierbares Auszahlungspro…l. Wir nehmen also an, dass es eine vorhersehbare Handelsstrategie h 2 HN gibt, mit ct = Lt (h) für alle t = 0; : : : ; T: (3.23) Mit (3.22) oder (3.23) kann diesem Zahlungsstrom c der Wert V0 := V0 (h) :=

PT

t=0

h t ; Lt (h)i =

PT

t=0

h t ; ct i

(3.24)

zum Zeitpunkt 0 zugeordnet werden. Sei insbesondere c = (0; : : : ; 0; cT ) ein replizierbares Auszahlungspro…l, das nur zum Endzeitpunkt T von Null verschiedene Zahlungen enthält. Dann gibt es nach Voraussetzung eine selbst…nanzierende Handelsstrategie h 2 HN mit LT (h) = cT und V0 = h

T ; LT

(h)i = h

T ; cT i

=

PK

j=1

T

(! j ) cT (! j ) :

(3.25)

Ist V0 positiv, so sind V0 gerade die Kosten, die für den Kauf der Handelsstrategie h zum Zeitpunkt t = 0 erforderlich sind. In diesem Sinne ist V0 also

180

3 Mehr-Perioden-Modelle

der Preis der Handelsstrategie zum Zeitpunkt t = 0. Ist dagegen V0 < 0, so ist V0 das beim Erwerb des Portfolios h1 zum Zeitpunkt t = 0 zur Verfügung stehende Kapital. In (3.24) ist V0 also die Summe aller durch h t ; ct i auf den Zeitpunkt 0 transformierten, zukünftigen Zahlungen ct . Dies ist analog zur deterministischen Situation (3.21), wobei die zustandsabhängige Zahlung ct hier durch die Berechnung von h t ; ct i auf den Zeitpunkt 0 diskontiert wird. Mit Hilfe der De…nitionen dt := Qt :=

P

At 2Z(Ft ) 1 dt t

t (At )

2 R+ ;

(3.26)

gilt für eine beliebige Ft -messbare Zustandsvariable X h t ; Xi = dt hQt ; Xit = dt EQt [X] ; wobei

X

EQt [X] :=

X (At ) Qt (At ) :

(3.27) (3.28)

At 2Z(Ft )

Weiter folgt d0 = 1 und dt > 0 für t > 0; Q0 = 1 und Qt > 0 für t > 0 sowie

X

Qt (At ) = 1:

At 2Z(Ft )

Für jedes t = 0; : : : ; T de…niert die Funktion Qt also formal ein Wahrscheinlichkeitsmaßauf ( ; Ft ). Ohne Zusatzvoraussetzungen lässt sich jedoch kein natürlicher Zusammenhang zwischen den Wahrscheinlichkeitsmaß en Qs und Qt zu verschiedenen Zeitpunkten 0 s < t T herstellen. Mit (3.26) kann (3.24) geschrieben werden als

V0 =

PT

t=0

dt EQt [ct ] ;

(3.29)

und durch diese Darstellung wird die Analogie zu (3.21) noch deutlicher. Insbesondere lassen sich die Konstanten dt wie beim Ein-Perioden-Modell als Diskontfaktoren interpretieren. Dazu nehmen wir an, dass es zu einem beliebig vorgegebenen Zeitpunkt 0 s T eine Handelsstrategie gibt mit Ls ( ) = 1 und Lt ( ) = 0 für 0

t

T und t 6= s:

3.6 Arbitragefreiheit und der Fundamentalsatz

181

Dann gilt V0 =

T X

dt EQt [Lt ( )] = ds EQs [1] = ds :

t=0

Also ist ds das Kapital, das zum Zeitpunkt 0 angelegt werden muss, um zum Zeitpunkt s die zustandsunabhängige Auszahlung 1 erzielen zu können. In diesem Sinne sind die dt also Diskontfaktoren für die Zeitintervalle [0; t]. Für den Fall, dass alle ct , t = 0; : : : ; T , konstant sind, gilt EQt [ct ] = ct und (3.29) spezialisiert sich zu V0 =

T X

dt EQt [ct ] =

t=0

T X

dt ct :

t=0

Wir erhalten so die Bewertungsformel (3.21) für deterministische Zahlungsströme als Spezialfall. Ist die Handelsstrategie h 2 HN in (3.22) selbst…nanzierend, so gilt Lt (h) = 0 für alle t = 0; : : : ; T 1, sowie LT (h) = hT ST = VT und es folgt V0 = h T ; LT (h)i = dT EQT [VT ] : (3.30) Analog zu den Ein-Perioden-Modellen lässt sich in (3.30) der Wert V0 der Handelsstrategie h zum Zeitpunkt 0 als diskontierter Erwartungswert dT EQT [VT ] der Endauszahlung VT bezüglich eines formalen Wahrscheinlichkeitsmaß es QT darstellen. Beispiel 3.55. (Das Ein-Perioden-Modell) Wir betrachten ein arbitragefreies Ein-Perioden-Modell (S0 ; S1 ) = (b; D) mit K Zuständen und N Finanzinstrumenten. Nach Satz 3.54 oder auch nach Satz 1.46 gibt es ein 2 RK+1 , = (1; 1 ) 0, so dass h ; L (h)i = 0 für alle h 2 RN gilt. Schreiben wir

1

=(

11 ; : : : ;

0 = h ; L (h)i = L0 (h) + h

1K )

1 ; L1

(h)i ;

also L0 (h) = h

1 ; L1

(h)i :

Nun ist L0 (h) =

h S0 2 R

und L1 (h) = h S1 2 RK ; also ist

1

ein Zustandsvektor, und es gilt h S0 = h

mit

1; h

2 RK , so gilt

S1 i = dEQ [h S1 ]

182

3 Mehr-Perioden-Modelle

d :=

K X

1j

j=1

Q :=

1 d

1:

Wir erhalten also (1.30) als Spezialisierung von (3.22) auf den Ein-PeriodenFall. Ist c1 deterministisch, gilt also c1 (!) = c 2 R für alle ! 2 , so folgt V0 := c h

1 ; (1; : : : ; 1)i

= dc: 4

Die Ergebnisse dieses Abschnitts werden durch folgendes Beispiel illustriert. Beispiel 3.56. Wir betrachten wieder das Beispiel 3.46 und stellen uns die Aufgabe, den Wert der dort betrachteten Call-Option auf S 2 mit Basispreis K = 100 und Fälligkeit T = 2 mit Hilfe eines Zustandsprozesses zu berechnen. In Abb. 3.11 wurden neben den zustandsabhängigen Endauszahlungen der Call-Option die Werte der Zustandsvektoren der Ein-Perioden-Teilmodelle eingetragen. Deren Berechnung wird im folgenden erläutert. Für das Ein-Perioden-Teilmodell (b; D)A11 im Knoten A11 , (b; D)A11 = (S1 (A11 ) ; (S2 (! 1 ) ; S2 (! 2 ))) =

27 120

;

24 29 144 105

;

ergibt sich als Lösung von D (A11 ) = b der Zustandsvektor ! ! 215 2 (! 1 ) 0:389 552 1 (A11 ) = = = : 14 2 0:609 (! 2 ) 23 1

Für das nächste Ein-Perioden-Teilmodell (b; D)A12 im Knoten A12 , 33 80

(b; D)A12 = (S1 (A12 ) ; (S2 (! 3 ) ; S2 (! 4 ))) =

;

27 37 95 64

;

erhalten wir entsprechend als Lösung von D (A12 ) = b den Vektor ! ! 848 2 (! 3 ) 0:474 1787 1 (A12 ) = = = : 975 2 0:546 (! 4 ) 1787 1

Für das verbleibende Ein-Perioden-Teilmodell (b; D)A0 im Knoten A0 , (b; D)A0 = (S0 ; (S1 (A11 ) ; S1 (A12 ))) = erhalten wir schließ lich als Lösung von D

0

30 100

;

27 33 120 80

= b das Ergebnis

;

3.6 Arbitragefreiheit und der Fundamentalsatz

2 1

S1 (A11 ) = (A11 ) =

1 2 1

=

(A11 ) %

0

S0 =

1

c (! 1 ) = 44

(! 1 ) (! 2 )

!

0:389 0:609

& (! 2 )

S2 (! 2 ) =

(! 3 ) %

S2 (! 3 ) =

29 105

c (! 2 ) = 5

30 100 1

0

2

24 144

27 120 2

1

S2 (! 1 ) =

(! 1 ) %

183

=

0 1 0

(A11 ) (A12 )

!

0:5 0:5

=

1 0

& (A12 )

2 1

S2 (A12 ) = (A12 ) =

1 2 1

2 1

t=0

c (! 3 ) = 0

33 80 2

=

27 95

(! 3 ) (! 4 )

!

0:474 0:546

& (! 4 )

t=1

S2 (! 4 ) =

37 64

c (! 4 ) = 0 t=2

Abb. 3.11. Konstruktion eines Zustandsprozesses am Beispiel einer Call-Option in einem Zwei-Perioden-Modell.

184

3 Mehr-Perioden-Modelle 1

0

=

0 1 0

(A11 ) (A12 )

!

1 2 1 2

=

!

=

0:5 0:5

:

Daher gilt 2

1

(! 1 ) =

0 2

0 1

(! 2 ) =

0 2

(A11 )

1

(! 3 ) =

0

2

1

(! 4 ) =

0

(! 1 ) =

1

(A11 )

0

0

215 = 0:195; 1104 7 (! 2 ) = = 0:304; 23 424 (! 3 ) = = 0:237; 1787 975 (! 4 ) = = 0:273: 3574

2

2 1

(A12 )

2 1

(A12 )

0

2 1

Für den Wert c0 der Call-Option erhalten wir damit c0 =

4 X j=1

2

(! j ) c (! j ) = 10: 091;

0

also das bekannte Ergebnis (3.12). Alternativ ergeben sich mit d1 =

X

1

X

= 1 und

0

A1 2Z(F1 )

d2 =

(A1 )

2

(A2 )

=

0

A2 2Z(F2 )

1990 933 = 1: 009 2 1972 848

die Wahrscheinlichkeitsmaß e Q1 und Q2 nach (3.26) zu Q1 =

1 d1

1 Q2 = d2 Damit erhalten wir den Wert

1 0

2 0

= 0

0:5 0:5

und 1

0:193 B 0:302 C C =B @ 0:235 A : 0:270

c0 = d2 EQ2 [c] = 10: 091 der Call-Option alternativ als diskontierten Erwartungswert der Endauszahlung c. Wir bemerken Q2 (! 1 ) + Q2 (! 2 ) = 0:495 6= 0:5 = Q1 (A11 ) = Q1 (f! 1 ; ! 2 g) und Q2 (! 3 ) + Q2 (! 4 ) = 0:505 6= 0:5 = Q1 (A12 ) = Q1 (f! 3 ; ! 4 g) :

3.7 Der Diskontierungsoperator

185

Dies zeigt, dass für die Wahrscheinlichkeitsmaß e Qt im allgemeinen gilt X Qt 1 (At 1 ) 6= Qt (At ) At 2Z(Ft ) At At 1

für beliebiges At

1

2 Z (Ft

1 ).

4

3.7 Der Diskontierungsoperator 3.7.1 De…nition und Eigenschaften Eine deterministische Zahlung ct zum Zeitpunkt t kann auch in eine gleichwertige Zahlung zu einem Zeitpunkt s t verwandelt werden. Dazu wird ct zunächst in die Zahlung c0 := dt ct überführt, und diese Zahlung wird anschließ end durch d1s c0 = ddst ct in eine äquivalente Zahlung zum Zeitpunkt s transformiert. Damit kann der Zahlungsstrom cs ; cs+1 ; : : : ; cT in die gleichwertige Zahlung T X dj cj (3.31) d j=s s zum Zeitpunkt s überführt werden. Auch in allgemeinen Mehr-Perioden-Modellen ist es möglich, die Auszahlungen zustandsabhängiger replizierbarer Auszahlungspro…le analog zu (3.31) von Zeitpunkten t > 0 auf Zeitpunkte 0 s < t zu diskontieren. Weil die Mehr-Perioden-Modelle zu Zeitpunkten s > 0 in der Regel mehrere Zustände besitzen, sind die auf die Zeitpunkte s 0 diskontierten zukünftigen Zahlungsströme Fs -messbare Funktionen. De…nition 3.57. Sei ((S; ) ; F) ein arbitragefreies Marktmodell und sei ein zugehöriger Zustandsprozess. Sei weiter X eine Ft -messbare Funktion und seien 0 s t T . Mit Hilfe von ist der Diskontierungsoperator Ds;t [X] :

!R

de…niert durch

D s;t [X] :=

X

As 2Z(Fs )

0 B B @

1 s (As )

X

At 2Z(Ft ) At As

t

1

C (At ) X (At )C A 1As :

(3.32)

Wegen s (As ) = s (!) > 0 für jedes ! 2 As 2 Z (Fs ) ist der Diskontierungsoperator wohlde…niert. Nach De…nition ist D s;t [X] eine Fs -messbare Funktion. Für (3.32) schreiben wir in der Regel abkürzend

186

3 Mehr-Perioden-Modelle

D s;t [X] =

X

X 1 s (As )

As

t

!

(At ) X (At ) 1As :

At As

(3.33)

Wir werden später sehen, dass sich der Diskontierungsoperator unter Voraussetzungen, die in der Praxis häu…g erfüllt sind, zu einer bedingten Erwartung spezialisiert. Anmerkung 3.58. Für 0 s t mit At As beliebig. Dann ist ! 2 At As und daher gilt

s

(At ) = s (As )

T seien As 2 Z (Fs ) und At 2 Z (Ft ) (As ) = s (At ) = s (!) für beliebiges

(At ) =: s (At )

t

t

t

(At ) :

Damit kann der Diskontierungsoperator auch geschrieben werden als ! X X t D s;t [X] = (At ) X (At ) 1As : As

(3.34)

s

(3.35)

s

At As

Beispiel 3.59. Wir betrachten noch einmal Beispiel 3.46 bzw. Beispiel 3.56 und berechnen D1;2 [c] für die Auszahlung c der Call-Option zum Zeitpunkt 2. In Beispiel 3.56 hatten wir 2 1 2 1 2 1 2 1

215 = 0:389 552 14 (! 2 ) = = 0:609 23 848 (! 3 ) = = 0:474 1787 975 (! 4 ) = = 0:546 1787 (! 1 ) =

erhalten. Daraus folgt D 1;2 [c] =

X

X

A1

=

2

A2 A1 2

(A2 ) c (A2 ) 1A1

1

(! 1 ) c (! 1 ) +

1

!

2 1

+

2 1

(! 2 ) c (! 2 ) 1fA11 g

(! 3 ) c (! 3 ) +

2 1

(! 4 ) c (! 4 ) 1fA12 g

215 14 44 + 5 1fA11 g + 0 1fA12 g 552 23 2785 = 1fA11 g 138 = 20: 181 1fA11 g : =

3.7 Der Diskontierungsoperator

187

Dies stimmt mit dem Ergebnis aus Beispiel 3.46 für den Wert der Option zum Zeitpunkt 1 überein. 4 Nach De…nition transformiert der Diskontierungsoperator D s;t [ ] beliebige Ft -messbare in Fs -messbare Funktionen. Insbesondere gilt für jedes Ft messbare X ! X X t D t;t [X] = (At ) X (At ) 1At At

=

X

At At

t

X (At ) 1At

At

= X: Weiter gilt wegen A0 =

D0;t [X] =

X

t

=

(At ) X (At ) 1

0

At

t

;X :

0

Für s = 0 spezialisiert sich (3.32) also zu (3.48), wobei wir konstante Funktionen mit ihrem Funktionswert identi…zieren. Lemma 3.60. Sei X eine Fs -messbare Funktion und sei s insbesondere auch Ft -messbar und es gilt ! X X t Ds;t [X] = X (As ) (At ) 1As As

=

X

At As

X (As )

As

P

t. Dann ist X

(3.36)

s

(At ) 1As : s (As ) t

At As

Beweis. Für s t ist jede Fs -messbare Funktion auch Ft -messbar. Wegen der Fs -Messbarkeit von X gilt X (At ) = X (As ) für alle At As 2 Z (Fs ). Daraus folgt ! X X t Ds;t [X] = (At ) X (At ) 1As As

=

X As

At As

X (As )

s

X

At As

t s

!

(At ) 1As :

Die zweite Gleichheit in (3.36) folgt mit (3.34) wegen X X 1 t (At ) = t (At ) : s s (As ) At As

At As

188

3 Mehr-Perioden-Modelle

Eine Fs -messbare Funktion X=

X

X (As ) 1As

As

wird also durch den Diskontierungsoperator D s;t [ ] in die Fs -messbare Funktion P X t (At ) D s;t [X] = X (As ) At As 1As s (As ) As

transformiert. Für beliebiges As 2 Z (Fs ) gilt also die Darstellung X (As ) = P

At

(As ) D s;t [X] (As ) : As t (At )

s

(3.37)

Lemma 3.61. (Iteration des Diskontierungsoperators) Sei X eine Ft messbare Funktion und seien r und s zwei Zeitpunkte mit 0 r s t T . Dann hat der Diskontierungsoperator die Eigenschaft h i Dr;t [X] = D r;s D s;t [X] : (3.38) Beweis. Aus (3.32) folgt für As 2 Z (Fs ) D s;t [X] (As ) =

X 1 s (As )

t (At ) X

(At ) :

At As

Daher gilt h i D r;s D s;t [X] =

X Ar

=

X Ar

=

X Ar

X 1 r (Ar )

s

!

(As ) D s;t [X] (As ) 1Ar

As Ar

X 1 r (Ar )

X

As Ar At As

X 1 r (Ar )

At Ar

t

t (At ) X

!

!

(At ) 1Ar

(At ) X (At ) 1Ar

= Dr;t [X] ; was zu zeigen war. Mit Hilfe des Diskontierungsoperators kann der Wert einer Handelsstrategie zum Zeitpunkt t auf den Wert zum Zeitpunkt (t 1)+ zurückgerechnet werden, wie folgendes Lemma zeigt.

3.7 Der Diskontierungsoperator

189

Lemma 3.62. Für alle t = 1; : : : ; T gilt It

1

(h) = Dt

[Vt (h)] :

1;t

(3.39)

Beweis. Sei h 2 HN eine beliebige Handelsstrategie. De…niere für beliebiges, fest gewähltes At 1 2 Z (Ft 1 ) eine Handelsstrategie durch := ht 1At 1 0 t0 := 0 für t 6= t: t

Dann ist

vorhersehbar und es gilt Lt

1

( )=

(ht St

1 ) 1At

Lt ( ) = ht St 1At Lt0 ( ) := 0 für t0 6= t

1

=

1

It

1

(h) 1At

1

= Vt (h) 1At 1 1 und t0 6= t:

Nach De…nition des Entnahmeprozesses gilt 0 = h ; L ( )i =

Da

t 1

t 1 ; It 1

auf At

1

konstant ist, folgt

It

1

(h) (At

1)

= t

= t

= Dt Da At

1

(h) 1At

1 1 (At 1;t

1 1 (At 1 ) X

1)

t ; Vt

(h) 1At

t ; Vt (h) 1At t (At ) Vt

At At

[Vt (h)] (At

+

1

1

:

1

(h) (At )

1

1) :

beliebig war, ist die Behauptung bewiesen.

Satz 3.63. Für alle k mit t + k It (h) =

k X

T gilt

D t;t+j [Lt+j (h)] + D t;t+k [It+k (h)]

(3.40)

j=1

=

t+k X

D t;j [Lj (h)] + Dt;t+k [It+k (h)] :

j=t+1

Speziell für k = T

t gilt

It (h) =

T Xt i=1

D t;t+i [Lt+i (h)] =

T X

i=t+1

D t;i [Li (h)] :

(3.41)

190

3 Mehr-Perioden-Modelle

Beweis. Wir beweisen zunächst (3.40) durch Induktion. Wegen (3.39) gilt mit Vt+1 (h) = Lt+1 (h) + It+1 (h) zunächst It (h) = Dt;t+1 [Vt+1 (h)] = D t;t+1 [Lt+1 (h)] + Dt;t+1 [It+1 (h)] :

(3.42)

Angenommen, für ein k > 1 wurde bereits nachgewiesen It (h) =

k X

D t;t+i [Lt+i (h)] + D t;t+k [It+k (h)] :

(3.43)

i=1

Ersetzen wir in (3.42) t durch t + k, so erhalten wir It+k (h) = D t+k;t+k+1 [Lt+k+1 (h)] + D t+k;t+k+1 [It+k+1 (h)] ; und wegen (3.38) folgt daraus die Beziehung Dt;t+k [It+k (h)] = Dt;t+k+1 [Lt+k+1 (h)] + D t;t+k+1 [It+k+1 (h)] :

(3.44)

Einsetzen von (3.44) in (3.43) liefert (3.40). (3.41) folgt sofort aus (3.40) wegen hT +1 = 0. Speziell für t = 0 lautet (3.41) I0 (h) =

T X

D 0;i [Li (h)] :

(3.45)

i=1

Ist h selbst…nanzierend, so gilt Li (h) = 0 für alle i = 0; : : : ; T spezialisiert sich weiter zu

1 und (3.45)

I0 (h) = D 0;T [LT (h)] = D 0;T [VT (h)] : (3.41) kann so interpretiert werden, dass für alle t = 0; : : : ; T

(3.46) 1 gilt

Investitiont := It (h) =

T X

Dt;i [Li (h)]

i=t+1

=

T X

Dt;i [Entnahmei ] :

i=t+1

Die zum Zeitpunkt t+ vorzunehmende Reinvestition It (h) = ht+1 St in eine Handelsstrategie, die Li (h) für alle i = t + 1; : : : ; T repliziert, entspricht also der Summe der auf den Zeitpunkt t diskontierten zukünftigen Entnahmen Dt;i [Li (h)], i = t+1; : : : ; T . Daher ist (3.41) die Verallgemeinerung der deterministischen Diskontierung (3.31) auf zustandsabhängige Auszahlungspro…le und auf Zeitpunkte t 0.

3.7 Der Diskontierungsoperator

Satz 3.64. Für alle k mit t + k Vt (h) =

t+k X

191

T gilt

D t;i [Li (h)] + D t;t+k [It+k (h)] :

(3.47)

i=t

Speziell für k = T

t erhalten wir Vt (h) =

T X

D t;i [Li (h)] :

(3.48)

i=t

Beweis. Mit Vt (h) = Lt (h) + It (h) und Lt (h) = D t;t [Lt (h)] folgt (3.47) aus (3.40). Entsprechend erhalten wir (3.48) mit Hilfe von (3.41). Für t = 0 spezialisiert sich (3.48) zu (3.22). (3.48) kann so interpretiert werden, dass für alle t = 0; : : : ; T 1 gilt Wertt := Vt (h) =

T X

Dt;i [Li (h)]

i=t

=

T X

Dt;i [Entnahmei ] :

i=t

Der Portfoliowert Vt (h) entspricht der Summe aller zukünftigen diskontierten Entnahmen einschließ lich der Entnahme zum Zeitpunkt t. Folgerung 3.65. Sei h eine selbst…nanzierende Handelsstrategie. Dann gilt Vt (h) = D t;T [VT (h)]

(3.49)

für alle t = 0; : : : ; T . Beweis. dass h selbst…nanzierend ist, bedeutet Lt (h) = 0 für alle t = 0; : : : ; T 1. Wegen LT (h) = VT (h) folgt (3.49) unmittelbar aus (3.48). Wegen Vt (h) = ht St lässt sich (3.49) auch schreiben als ht St = Dt;T hT ST : Satz 3.66. Für jedes Finanzinstrument j, j = 1; : : : ; N , in einem arbitragefreien Marktmodell ((S; ) ; F ) gilt für alle 0 s t T Ssj =

t X

i=s+1

D s;i

h i j i

h i + Ds;t Stj :

(3.50)

192

3 Mehr-Perioden-Modelle

Beweis. Wähle ein Finanzinstrument S j , j 2 f1; : : : ; N g, und zwei Zeitpunkte 0 s < t T . Dann ist eine Handelsstrategie h mit den Eigenschaften hik := 0 für alle i = 0; : : : ; T und für alle k 6= j und hij :=

1 für alle 0 i 0 für alle t + 1

t i

T

vorhersehbar. Weiter gilt hs+1 Ss = Ssj : Für s < i < t erhalten wir Li (h) = hi Si = Si =

j

hi+1 Si Sij

j i:

Schließ lich gilt Lt (h) = ht St = St j = Stj +

j t:

Die Behauptung (3.50) folgt damit aus Satz 3.63. Der Wert einer Aktie Ssj zum Zeitpunkt s kann damit als Summe der auf den Zeitpunkt s diskontierten zukünftigen Dividendenzahlungen ji plus dem auf s diskontierten zukünftigen Kurs Stj der Aktie für jeden Zeitpunkt t > s dargestellt werden. Folgerung 3.67. Angenommen, das j-te Finanzinstrument zahlt keine Dividenden aus. Dann gilt für alle 0 s t T h i Ssj = Ds;t Stj :

Zahlt also das Finanzinstrument S j keine Dividenden aus, so besitzt der auf den Zeitpunkt s diskontierte Aktienkurs Stj zu jedem Zeitpunkt s < t gerade den Wert Ssj , wie es sein sollte. 3.7.2 Direktes und rekursives Verfahren zur Bestimmung der Preise von Auszahlungspro…len Sei ((S; ) ; F ) ein arbitragefreies Marktmodell und sei ein Zustandsprozess. Wurden die Quotienten t (At ) für alle t = 1; : : : ; T und für alle At 2 Z (Ft ) t 1 bestimmt, so berechnet sich der Wert V0 jedes replizierbaren Auszahlungspro…ls c = (c0 ; : : : ; cT ) zum Zeitpunkt 0 durch

3.7 Der Diskontierungsoperator T X

V0 =

D 0;t [ct ]

193

(3.51)

t=0

T X

=

t

Gilt insbesondere c0 = c1 =

= cT

; ct :

0

t=1

1

= 0, so spezialisiert sich (3.51) zu T

V0 = D0;T [cT ] =

; cT

:

(3.52)

0

Für die Bewertung replizierbarer Auszahlungspro…le existiert also die geschlossene Darstellung (3.51), bzw. der Spezialfall (3.52). Diese Vorgehensweise zur Bestimmung des Wertes V0 von c = (c0 ; : : : ; cT ) wird direktes Verfahren genannt. Ein rekursives Verfahren zur Berechnung von V0 erhalten wir, indem wir mit dem Endzeitpunkt T beginnen und zunächst zT

:= DT

1

1;T

[cT ]

berechnen. Anschließ end addieren wir zu zT und berechnen mit (3.38) den Ausdruck zT

2

:= DT

2;T

= DT =

1 X

1

2;T

DT

1

[cT

[cT

1 1]

+ zT

1]

+ DT

t [cT

2;T

1

2;T

(3.53) die Auszahlung cT

h 1 DT

1;T

[cT ]

+ DT

3;T

i

1

hinzu

(3.54)

t] :

t=0

Zu zT

2

wird nun cT

2

zT

3;T

3

:= D T = DT =

2 X

addiert und

3;T

DT

3 2

[cT

[cT

3;T

t

2 2]

[cT

+ zT + DT

2] 3;T

1

[cT

1]

[cT ]

t]

t=0

berechnet. Dies wird rekursiv fortgesetzt, bis schließ lich z0 = D 0;1 [c1 + z1 ] =

T X1 t=0

bestimmt wurde. Damit gilt

D0;T

t [cT

t] =

T X

k=1

D0;k [ck ]

(3.55)

194

3 Mehr-Perioden-Modelle

V0 = z0 + c0 =

T X

D 0;k [ck ] :

k=0

Beim diesem rekursiven Verfahren wird also vom Endzeitpunkt T aus Zeitpunkt für Zeitpunkt zurückgerechnet. Beide Verfahren werden in folgendem Beispiel gegenübergestellt. Beispiel 3.68. In Beispiel 3.56 wurde eine Call-Option bereits mit Hilfe des direkten Verfahrens bewertet. Für die Quotienten t des Zustandsprozesses t 1 des dort behandelten Marktmodells ergaben sich folgende Werte: 2

(! 1 ) =

1 2

(! 2 ) =

1 2

(! 3 ) =

1 2

(! 4 ) =

1 1

(A11 ) =

0

215 = 0:389; 552 14 = 0:609; 23 848 = 0:474; 1787 975 = 0:546; 1787 1 1 (A12 ) = ; 2 0

wobei A11 = f! 1 ; ! 2 g und A12 = f! 3 ; ! 4 g. Daraus folgt 2

(! 1 ) =

1

0

0

2

1

(! 2 ) =

0

0

2

1

(! 3 ) =

0 2

2

(A11 )

1 2

(A11 )

1 2

(A12 )

0

(! 4 ) =

0

1

1 2

(A12 )

0

1

215 = 0:195; 1104 7 (! 2 ) = = 0:304; 23 424 (! 3 ) = = 0:237; 1787 975 (! 4 ) = = 0:273; 3574 (! 1 ) =

und das direkte Verfahren liefert für die Call-Option des Beispiels 3.56 mit Auszahlung c2 = c = (44; 5; 0; 0) c1 = 0 c0 = 0 den Wert V0 = z0 = D 0;2 [c] =

2 0

;c

= 44 0:195 + 5 0:304 = 10: 091: 2

3.7 Der Diskontierungsoperator

195

In Beispiel 3.59 wurde der erste Schritt des rekursiven Verfahrens, z1 = D 1;2 [c] = 20: 181 1fA11 g + 0 1fA12 g ; berechnet. Der zweite und letzte Schritt lautet V0 = z0 = D 0;1 [z1 ] 1

=

(A11 ) z1 (A11 ) +

0

1

(A12 ) z1 (A12 )

1f

0

g

= 20: 181 0:5 = 10: 091; und wir erhalten wieder den bekannten Wert, wobei die konstanten Funktionen D 0;2 [c] und D 0;1 [z1 ] wie üblich durch ihre Funktionswerte ersetzt wurden. Wir bestimmen nun einen Zustandsprozess . Zunächst ist jedes Vielfache eines Zustandsprozesses wieder ein Zustandsprozess. Skalieren wir so, dass folgende, auf drei Nachkommastellen gerun0 := 1 gilt, so erhalten wir für dete Darstellung =(

0;

1

(A11 ) ;

1

(A12 ) ;

2

(! 1 ) ;

2

(! 2 ) ;

2

(! 3 ) ;

2

(! 4 ))

= 1:0; 0:5; 0:5; 0:389; 0:609; 0:474; 0:546 oder 0

1

= 01 =1 =

1

(A11 ) 1A11 +

1

(A12 ) 1A12

= 0:5 1A11 + 0:5 1A12 2

=

2

(! 1 ) 1f!1 g +

2

(! 2 ) 1f!2 g +

2

(! 3 ) 1f!3 g +

2

(! 4 ) 1f!4 g

= 0:389 1f!1 g + 0:609 1f!2 g + 0:474 1f!3 g + 0:546 1f!4 g :

4 3.7.3 Darstellung der Preise von Auszahlungspro…len als Erwartungswerte Gleichung (3.41) ist im wesentlichen bereits die Verallgemeinerung von (3.31) auf den Fall zustandsabhängiger Auszahlungspro…le. Um die Analogie zu (3.31) weiter auszuarbeiten, betrachten wir die in (3.26) de…nierten WahrP scheinlichkeitsmaß e Qt = d1t t , wobei dt = At 2Z(Ft ) t (At ) = D 0;t [1 ]. 0

0

196

3 Mehr-Perioden-Modelle

Lemma 3.69. Mit Hilfe der in (3.26) de…nierten Wahrscheinlichkeitsmaß e Qt gilt folgende Darstellung für den Diskontierungsoperator ! X dt X 1 D s;t [X] = Qt (At ) X (At ) 1As : (3.56) ds Qs (As ) As

At As

Beweis. Seien As 2 Z (Fs ) und ! 2 As beliebig vorgegeben. Dann gilt ! X X 0 t Ds;t [X] (!) = (At ) X (At ) s (As ) A A 0 As t s ! X dt X 1 = Qt (At ) X (At ) : ds Qs (As ) As

At As

Da As beliebig war, folgt die Behauptung. Insbesondere spezialisiert sich (3.56) für s = 0 zu (3.27), ! X D 0;t [X] = dt Qt (At ) X (At ) 1

(3.57)

At

= dt

X

Qt (At ) X (At )

At

= dt EQt [X] : Der Wert einer zum Zeitpunkt t erfolgenden, Ft -messbaren, replizierbaren Auszahlung X zum Zeitpunkt 0 ist also das dt -fache des Erwartungswertes von X bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaß es Qt . Hier wurde wie üblich die Konstante dt EQt [X] 2 R mit der konstanten Funktion dt EQt [X] 1 : ! R identi…ziert. Mit Hilfe der in (3.26) de…nierten Wahrscheinlichkeitsmaß e Qt lässt sich (3.19) für c = (c0 ; : : : ; cT ) = (L0 (h) ; : : : ; LT (h)) schreiben als V0 =

T X

dt EQt [Lt (h)] =

t=0

T X

dt EQt [ct ] ;

(3.58)

t=0

und wir erhalten erneut (3.29). 3.7.4 Festverzinsliche Handelsstrategien Wenn sich die dt als Diskontfaktoren au¤assen lassen, dann lässt sich nach (3.58) der Anfangswert V0 (h) einer Handelsstrategie h zum Zeitpunkt 0 als Summe der diskontierten Erwartungswerte dt EQt [Lt (h)] der Entnahmen Lt (h), t = 0; : : : ; T , interpretieren. Die Erwartungswerte werden jedoch nicht bezüglich eines Wahrscheinlichkeitsmaß es gebildet, welches die Wahrscheinlichkeit des Eintretens der verschiedenen Zustände ! 1 ; : : : ; ! K 2 bewertet, sondern bezüglich der oben de…nierten formalen Wahrscheinlichkeitsmaß e Qt .

3.7 Der Diskontierungsoperator

197

De…nition 3.70. Sei ((S; ) ; F) ein arbitragefreies Marktmodell mit zugehörigem adaptiertem Zustandsprozess 0. Das Marktmodell enthält festverzinsliche Handelsstrategien, wenn es zu jedem 0 < t T eine Handelsstrategie t und eine nur vom Zeitpunkt t abhängige Konstante t > 0 gibt mit It

t

1 t

Vt t s

t t

= t t

=

St

1

=:

t;

(3.59)

St = 1 und

= 0 für s 6= t:

Eine Investition in das Portfolio t zum Zeitpunkt t 1 kostet also unabhängig vom eingetretenen Zustand den Betrag t und führt unabhängig vom eintretenden Zustand zum Zeitpunkt t zu einer Auszahlung von 1. Zwischen den Zeitpunkten t 1 und t hat eine Investition in tt 2 RN also unabhängig von den Anfangs- und Endzuständen eine konstante Rendite rt :=

1

1:

(3.60)

t

Damit ist die Existenz festverzinslicher Handelsstrategien gleichbedeutend mit der Existenz deterministischer Zinsen. Beispiel 3.71. Wir betrachten ein Mehr-Perioden-Modell ((S; ) ; F) und nehmen o.B.d.A. an, dass das erste Finanzinstrument S 1 des Modells festverzinslich ist und folgende Eigenschaften besitzt: es gibt zu jedem Zeitpunkt 1 t T einen deterministischen Zinssatz rt 2 R, rt > 1, so dass gilt S01 = 1 und St1 = (1 + r1 )

(1 + rt ) für 1

t

T:

Dann hat

für jedes 1

t

1 1 + r1

1 ; 0; : : : ; 0 1 + rt

t t

:=

t s

:= 0 für s 6= t:

und

T die Eigenschaften It Vt

t

1 t

=

= t t

t t

St

1

=

1 =: 1 + rt

t;

St = 1:

Also de…nieren die t festverzinsliche Handelsstrategien im Sinne der De…nition 3.70. Gilt für jedes 1 t T insbesondere rt = r für eine Konstante r > 1, so folgt

198

3 Mehr-Perioden-Modelle

1

t t

:=

t s

:=0 für s 6= t;

t ; 0; : : : ; 0

und

(1 + r)

sowie It

t

1 t

Vt

t t

=

=

t t

St

1

=

1 =: 1+r

=:

t

und

St = 1: 4

Wenn in einem Marktmodell festverzinsliche Handelsstrategien existieren, dann lassen sich alle Wahrscheinlichkeitsmaß e Qt auf QT zurückführen, und der Diskontierungsoperator spezialisiert sich in diesem Fall zu einer bedingten Erwartung bezüglich des Maß es QT . Wir beweisen zunächst folgende vorbereitende Aussagen. Lemma 3.72. Angenommen, ein arbitragefreies Marktmodell ((S; ) ; F) enthält festverzinsliche Handelsstrategien. Dann gilt für alle 0 < t T und für alle At 1 2 Z (Ft 1 ) X Qt 1 (At 1 ) = Qt (At ) (3.61) At 2Z(Ft ) At At 1

sowie t

=

dt ; dt 1

(3.62)

wobei die Qt , t = 0; : : : ; T , durch (3.26) de…niert sind. Beweis. Sei 0 < t T fest gewählt, und sei t eine festverzinsliche Handelsstrategie für das Zeitintervall [t 1; t]. Für alle t = 1; : : : ; T gilt dann 0= = =

t

;L

t

t 1 ; It 1

dt

1

Qt

1 ; It 1

t 1 t

+ t

t ; Vt

t t

+ dt Qt ; Vt 1

t t

:

Dies führt zu t dt 1 At

X

1 2Z(Ft

Qt 1)

1

(At

1)

= dt

X

Qt (At ) :

(3.63)

At 2Z(Ft )

Da Qt 1 und Qt Wahrscheinlichkeitsmaß e sind, haben beide Summen in (3.63) den Wert 1. Daraus folgt (3.62). Sei nun At 1 2 Z (Ft 1 ) beliebig gewählt. Dann ist h, de…niert durch

3.7 Der Diskontierungsoperator

199

ht := tt 1At 1 ; ht0 := 0 für t0 = 6 t; eine vorhersehbare Handelsstrategie, für die gilt 0 = h ; L (h)i =

dt

1

Qt

=

dt

1 t Qt 1

t

1 ; It 1

(At

1)

1At

+ dt

1

t 1

X

At At

Mit dt = dt

1 t

t

+ dt Qt ; Vt

1At

1

t

Qt (At ) : 1

folgt die Behauptung (3.61), und der Satz ist bewiesen.

Damit ist also und t.

t

=

dt dt 1

der Diskontfaktor zwischen den Zeitpunkten t

1

Folgerung 3.73. Angenommen, ein arbitragefreies Marktmodell ((S; ) ; F) enthält festverzinsliche Handelsstrategien. Dann gilt für alle 0 s
wobei die Qt , t = 0; : : : ; T , durch (3.26) de…niert sind. Beweis. Dies folgt induktiv aus (3.61). De…nition 3.74. Sei ((S; ) ; F) ein arbitragefreies Marktmodell mit festverzinslichen Handelsstrategien. Dann induzieren die Qt , t = 0; : : : ; T , aus (3.26) ein WahrscheinlichkeitsmaßQ : P ( ) ! [0; 1] durch Q (f!g) := QT (!)

(3.65)

für alle ! 2 . Für alle t = 0; : : : ; T und für alle At 2 Z (Ft ) gilt wegen (3.64) der Zusammenhang X Qt (At ) = Q (f!g) =: Q (At ) : (3.66) !2At

Q wird Preismaßgenannt. Satz 3.51 entnehmen wir, dass die Berechnung von Zustandsprozessen auf die Berechnung von Zustandsvektoren in Ein-Perioden-Teilmodellen zurückgeführt werden kann. Sei ein Zustandsprozess in ((S; ) ; F) und sei At 1 2 Z (Ft 1 ). Dann gibt es At1 ; : : : ; Atk 2 Z (Ft ) mit At 1 = At1 [ [ Atk . Für das Ein-Perioden-Teilmodell (b; D)At 1 gilt mit (3.16) und (3.66) j

=

t t 1

(Atj ) =

dt Q (Atj ) dt = QAt dt 1 Q (At 1 ) dt 1

1

(Atj ) ;

200

3 Mehr-Perioden-Modelle Q(A \A

Q(A )

)

tj t 1 wobei QAt 1 (Atj ) = Q(Attj1 ) = Q(A als die bedingte Wahrscheint 1) lichkeit von Atj , gegeben At 1 , interpretiert werden kann. Für einen beliebigen Informationspfad

= A0

A1

AT = f!g

gilt damit T

(!) =

0

1

2

(A1 )

0

T

(A2 )

1

T

(!)

(3.67)

1

d1 d2 QA0 (A1 ) QA1 (A2 ) d0 d1 = dT Q (!) ;

dT Q AT dT 1

=

1

(AT )

wegen d0 = 1. Seien t die in (3.59) de…nierten festverzinslichen Handelsstrategien. Damit de…nieren wir nun für jedes 0 < t T die Handelsstrategie ht hts = 0 für s > t htt = htt 1 htt 2

=

t 1 t t 1

=

t 2 t 1 t t 2

.. . hts

(3.68)

t t

t Y

=

i

i=s+1

.. . ht1 =

t Y

i=2

ht0 = 0:

i

!

s s

!

1 1

s s

Ss =

Dann gilt für alle 0 < s < t < T hts

t Y

Ss =

i=s+1

i

!

t Y

(3.69)

i

i=s+1

und hts+1

Ss =

t Y

i=s+2

i

!

s+1 s+1

Ss =

t Y

i=s+2

i

!

s+1

=

t Y

i=s+1

i:

(3.70)

3.7 Der Diskontierungsoperator

201

Also ist Ls ht = hts Ss

hts+1 Ss = 0 für jedes 0 < s < t < T;

und die Handelsstrategie ht reinvestiert das gesamte Kapital zu jedem Zeitpunkt 0 < s < t. Weiter gilt nach De…nition von ht Ls ht = 0 für s > t: Für s = 0 gilt L0 ht = ht0 S0 =

ht1 S0 t Y

=

i=2

=

ht1 S0

t Y

i

!

1 1

S0

i

i=1

und für s = t gilt Lt ht = htt St

htt+1 St

= tt St = 1: Zusammengefasst gilt also L0 (ht ) = =

ht1 S0 t Y i

(3.71)

i=1

Ls (ht ) = 0 für jedes 0 < s < t < T Lt (ht ) = 1 Ls (ht ) = 0 für t < s T: Eine Investition von

t Y

i

zum Zeitpunkt 0, die dem negativen Zahlungsstrom

i=1 t Y

i

entspricht, führt also zu einer zustandsunabhängigen Auszahlung von

i=1

1 zum Zeitpunkt t. Daher ist der Faktor dt , gegeben durch t

dt =

t

Y di Y dt = = i; d0 d i=1 i 1 i=1

der Diskontfaktor zwischen den Zeitpunkten 0 und t für jedes 0

(3.72) t

T.

202

3 Mehr-Perioden-Modelle

Mit (3.60) und (3.72) folgt dt =

t Y

i

i=1

Gibt es eine Konstante r > sich (3.73) auf

=

1 (1 + r1 )

(1 + rt )

:

(3.73)

1 mit rt = r für alle t = 1; : : : ; T , so spezialisiert dt =

1

t:

(1 + r)

(3.74)

3.7.5 Der Diskontierungsoperator wird zur bedingten Erwartung Für diesen Abschnitt nehmen wir an, dass das Marktmodell ((S; ) ; F ) über festverzinsliche Handelsstrategien verfügt. In diesem Fall lässt sich der Diskontierungsoperator als diskontierte bedingte Erwartung interpretieren. Wir formulieren im folgenden eine De…nition der bedingten Erwartung, die zunächst lediglich als bequeme, alternative Schreibweise des Diskontierungsoperators erscheint und die es gestattet, die Preise von zustandsabhängigen Auszahlungspro…len analog zum deterministischen Fall zu formulieren. Mehr zur bedingten Erwartung und deren Anwendung in der stochastischen Finanzmathematik ist im zweiten Teil des Buches zu …nden. De…nition 3.75. Sei ; (Ft )t2f0;:::;T g ; P ein ge…lterter Wahrscheinlichkeitsraum mit WahrscheinlichkeitsmaßQ auf P ( ). Sei X Ft -messbar und sei s t. Dann heiß t ! X X 1 Q E [X jFs ] := Q (At ) X (At ) 1As (3.75) Q (As ) As

At As

die bedingte Erwartung von X, gegeben Fs . Eine häu…g verwendete alternative Schreibweise lautet Q EQ s [X] := E [X jFs ] :

Lemma 3.76. Wenn ein arbitragefreies Marktmodell ((S; ) ; F ) mit PreismaßQ über festverzinsliche Handelsstrategien verfügt, dann ist der Diskontierungsoperator eine diskontierte bedingte Erwartung. Genauer gilt für jede Ft -messbare Funktion X und für alle s t D s;t [X] = Beweis. Mit De…nition 3.74 gilt

dt Q E [X] : ds s

(3.76)

3.7 Der Diskontierungsoperator

D s;t [X] =

dt X ds

X 1 Qt (At ) X (At ) 1As Qs (As ) At As ! X 1 Q (At ) X (At ) 1As Q (As )

As

dt X = ds As

=

203

!

At As

dt Q E [X jFs ] ; ds

wobei (3.66) verwendet wurde. Praxisrelevante Marktmodelle enthalten in aller Regel festverzinsliche Handelsstrategien, so dass sich zustandsabhängige Auszahlungspro…le mit Hilfe der bedingten Erwartung in äquivalente Preise für vorhergehende Zeitpunkte transformieren lassen. In Abschnitt 3.10 werden wir sehen, dass sich Auszahlungspro…le auch in allgemeineren Marktmodellen durch den Übergang zu diskontierten Modellen mit Hilfe der bedingten Erwartung bewerten lassen. Folgerung 3.77. Angenommen, ein Marktmodell enthält festverzinsliche Handelsstrategien. Sei c = (c0 ; : : : ; cT ) 2 WL ein Entnahmeprozess, der durch eine Handelsstrategie h 2 HN repliziert werden kann, also ct = Lt (h) für alle t = 0; : : : ; T . Dann gilt Vt (h) =

T X di i=t

dt

EQ t [ci ] :

(3.77)

Für t = 0 spezialisiert sich (3.77) zu

V0 := V0 (h) =

PT

t=0

dt EQ [Lt (h)] =

PT

t=0

dt EQ [ct ] :

(3.78)

Beweis. Dies folgt unmittelbar aus (3.48) und aus (3.76). Die Gleichung (3.78) ist die Verallgemeinerung des deterministischen Falls (3.21) auf zustandsabhängige replizierbare Auszahlungspro…le. Zukünftige, zustandsabhängige, replizierbare Zahlungen ct werden nach Bildung der Erwartungswerte abdiskontiert und zu einem zu diesem Zahlungsstrom äquivalenten Wert V0 aufsummiert. Falls c0 = = cT 1 = 0, so ist die Handelsstrategie, die (ct )t=0;:::;T repliziert, nach De…nition selbst…nanzierend, und (3.78) lautet V0 = dT EQ [cT ] :

204

3 Mehr-Perioden-Modelle

Ist schließ lich in (3.78) jede Zahlung ct deterministisch, so gilt EQ [ct ] = ct , und (3.78) spezialisiert sich zu V0 =

T X

dt EQ [ct ] =

t=1

T X

dt ct :

t=1

Mit (3.45) und mit (3.76) erhalten wir folgende alternative Herleitung von (3.72): Folgerung 3.78. Angenommen, ein Marktmodell enthält festverzinsliche Handelsstrategien und sei ht die durch (3.68) de…nierte Handelsstrategie. Dann gilt t Y dt = i: i=1

t

Beweis. Nach De…nition (3.68) von h gilt nach (3.45) der Zusammenhang h1 S0 =

T X

D t;j [Lj (h)] :

j=1

Daraus folgt nach Spezialisierung auf (3.71) t Y

i

= ht1 S0 = dt EQ htt St = dt EQ [1] = dt :

i=1

Beispiel 3.79. Wir betrachten erneut das Beispiel 3.68 und veri…zieren zunächst, dass das Marktmodell dieses Beispiels keine festverzinslichen Kapitalanlagen enthält. Dazu zeigen wir, dass die beiden Ein-Perioden-Teilmodelle für die Perioden [1; 2] festverzinsliche Kapitalanlagen mit unterschiedlichem Zinssatz enthalten. Jedes dieser Ein-Perioden-Teilmodelle ist vollständig, denn jede zugehörige Auszahlungsmatrix D besitzt vollen Rang 2. Also existieren in jedem Ein-Perioden-Teilmodell festverzinsliche Kapitalanlagen und die Komponentensummen der jeweiligen Zustandsvektoren ergeben den Diskontfaktor des zugehörigen Teilmodells. Damit erhalten wir für das Teilmodell (S1 (A11 ) ; (S2 (! 1 ) ; S2 (! 2 ))) * ! + 2 (! ) 215 14 551 1 1 d11 := h (A11 ) ; 1i = ;1 = + = = 0:998: 2 552 23 552 (! 2 ) 1

Die zugehörige risikolose Rendite lautet r11 :=

1 d11

1=

1 = 0:181%: 551

3.7 Der Diskontierungsoperator

205

Entsprechend erhalten wir für das Teilmodell (S1 (A12 ) ; (S2 (! 3 ) ; S2 (! 4 ))) den Diskontfaktor * ! + 2 (! 3 ) 848 975 1823 2 1 d1 := h (A12 ) ; 1i = ;1 = + = = 1: 020 2 1787 1787 1787 (! 4 ) 1

mit zugehöriger risikoloser Rendite r12 :=

1 d21

1=

36 = 1823

1:975%:

Da d11 6= d21 , und damit r11 6= r12 , existieren im betrachteten Zwei-PeriodenModell keine festverzinslichen Kapitalanlagen entsprechend der De…nition. Daher de…nieren die Maß e Qt in diesem Modell auch kein Preismaß . 4 3.7.6 Preisprozesse werden zu Martingalen Unter dem Preismaßwerden die diskontierten Preisprozesse der Finanzinstrumente, die keine Dividenden auszahlen, zu Martingalen. Der Martingalbegri¤ wird ebenso wie die bedingte Erwartung später, in Kapitel 7, ausführlicher dargestellt. Lemma 3.80. Angenommen, ein arbitragefreies Marktmodell ((S; ) ; F ) mit PreismaßQ enthält festverzinsliche Handelsstrategien. Dann gilt für jedes Finanzinstrument S j t h i h i X j j ds Ssj = EQ di EQ s dt St + s i : i=s+1

Sei weiter angenommen, dass ein Finanzinstrument S j keine Dividenden auszahlt. Dann ist der diskontierte Preisprozess dt Stj ein Martingal t=0;:::;T

bezüglich Q, es gilt also für s

Beweis. Nach Satz 3.66 gilt Ssj

t

h i j ds Ssj = EQ s dt St :

t h i h i X j = Ds;t St + Ds;i ji ; i=s+1

und daraus folgen beide Behauptungen zusammen mit Lemma 3.76. Aufgrund von Lemma 3.80 wird Q auch Martingalmaßgenannt. Eine hervorragende Einführung in die Maß - und Wahrscheinlichkeitstheorie mit Hilfe von Martingalen ist [59] von David Williams. In diesem Buch nennt Williams die bedingte Erwartung die zentrale De…nition der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie.

206

3 Mehr-Perioden-Modelle

3.8 Wertgrenzen für Call- und Put-Optionen Wir betrachten ein arbitragefreies Marktmodell ((S; ) ; F ) mit St > 0 für alle t = 0; : : : ; T sowie die Auszahlung einer Call-Option cC := (ST

K)

+

cP := (K

ST )

+

und die einer Put-Option

mit Basispreis K 0. Wir setzen voraus, dass sowohl cC als auch cP sowie konstante Endauszahlungen replizierbar sind. O¤enbar gilt 0

cC

K

cC

und ST

ST : PT

Daraus erhalten wir wegen D0;T [ST ] = S0 0

t=1

D 0;t [ t ] und

D 0;T cC =: cC 0

0 (3.79)

sowie S0

T X

D 0;t [ t ]

dT K = D0;T [ST ]

D 0;T [K]

(3.80)

t=1

= D0;T [ST

K]

D0;T cC D0;T [ST ] = S0

T X

D0;t [ t ] ;

t=1

wobei dT = D 0;T [1 ]. Aus (3.79) und (3.80) folgt S~0

+

dT K

cC 0

S~0 ;

(3.81)

PT wobei S~0 := S0 t=1 D 0;t [ t ] verwendet wurde. Falls die Aktie S während der Laufzeit der Option keine Dividenden auszahlt, spezialisiert sich (3.81) zu (S0

+

dT K)

Analog gilt für eine Put-Option

cC 0

S0 :

(3.82)

3.9 Die Zinsstrukturkurve

cP

0

207

K;

woraus D 0;T cP =: cP 0

0

dT K

(3.83)

D0;T [K]

(3.84)

folgt. Weiter erhalten wir aus cC

cP = ST

K

den Zusammenhang cC 0

cP 0 = D 0;T [ST ] = S0

T X

D 0;t [ t ]

dT K

t=1

= S~0

dT K;

der Put-Call-Parität genannt wird und (1.45) auf Mehr-Perioden-Modelle verallgemeinert. Wir sehen, dass Call- und Put-Preise miteinander zusammenhängen. Ist also etwa der Preis einer Call-Option cC 0 bekannt, so ist damit der Wert cP einer Put-Option mit gleichem Underlying, gleichem Ausübungspreis 0 und gleicher Fälligkeit festgelegt. Sind die Dividenden im Marktmodell deterministisch, so gilt mit Lemma 3.69, und mit (3.57) erhalten wir T X

D 0;t [ t ] =

t=1

wobei rt :=

1 dt

T X

t dt E Q 0 [ t] =

t=1

T X

dt

t=1

t

=

T X t=1

t

1 + rt

;

1.

Zahlt die Aktie S während der Laufzeit der Optionen keine Dividenden aus, so spezialisiert sich die Put-Call-Parität zu cC 0

cP 0 = S0

dT K:

(3.85)

3.9 Die Zinsstrukturkurve Wir betrachten nun ein arbitragefreies Marktmodell ((S; ) ; F), das nicht notwendigerweise festverzinsliche Handelsstrategien enthält. Dagegen setzen wir die Existenz einer Familie von Zerobonds, Bst js; t = 0; : : : ; T voraus. Dies sind adaptierte Prozesse mit den Eigenschaften

208

3 Mehr-Perioden-Modelle

Bst =

8 <

0 für s < t für s = t für s > t:

1 : 0

Für jeden Prozess B t kann t als Fälligkeit des Zerobonds interpretiert werden. Für jeden Zeitpunkt t = 0; : : : ; T ist Btt+1 ; : : : ; BtT eine Serie von ZerobondPreisen, und deren Gesamtheit Btt+1 ; : : : ; BtT

t=0;:::;T

wird Zerobond-Struktur genannt. Nach (3.56) gilt für 0 Brt = Dr;s Bst ds X = dr Ar

r

s

t

T

! X 1 Qs (As ) Bst (As ) 1Ar : Qr (Ar ) As Ar

Damit erhalten wir für s < t Bst = Ds;t Btt = D s;t [1] ; und Btt

1

= Dt

1;t

[1]

! P dt X At At 1 Qt (At ) = 1 At dt 1 Qt 1 (At 1 ) At 1 X = dt 1;t (At 1 ) 1At 1 At

= dt

1

1

1;t ;

wobei die dt

1;t

(At

1)

:=

dt dt 1 Qt

1 (A 1 t

1)

X

At At

Qt (At )

(3.86)

1

als zustandsabhängige Ein-Perioden-Diskontfaktoren interpretiert werden können. Die zugehörigen Zinssätze rt (At

1)

:=

1 dt 1;t (At

1)

1

werden Spot-Rates genannt, und rt (At 1 ) kennzeichnet die vom Zustand At 1 abhängige Verzinsung des Zerobonds B t zwischen den Zeitpunkten t 1 und t. Sind die Spot-Rates deterministisch, gilt also rt (At 1 ) = rt 2 R für alle At 1 2 Z (Ft 1 ) für alle t = 1; : : : ; T , so existieren im Mehr-Perioden-Modell

3.9 Die Zinsstrukturkurve

festverzinsliche Handelsstrategien. Dann gilt Qt und (3.86) spezialisiert sich zu dt

1;t

=

1

(At

1)

=

P

At At

1

209

Qt (At )

dt 1 = : dt 1 1 + rt

Für die Spot-Rates gilt in diesem Fall rt = dtdt 1 Darstellung 1 1 Bst = 1 + rs+1 1 + rt

1, und wir erhalten die

für die Zerobonds. Wir sehen also, dass sich aus einer Familie von Zerobonds eine Zinsstruktur fr1 ; : : : ; rT g im zugehörigen Mehr-Perioden-Modell ableiten lässt. Die Zinsstruktur (rt )t=1;:::;T ist ein vorhersehbarer stochastischer Prozess. Die Yield to Maturity Yst eines Zerobonds B t ist de…niert durch die Bedingung t s Bst 1 + Yst = 1: Der Prozess Y t ist gegeben durch ( 1 Yst :=

Für s = t

(Bst ) s

1

1 für s < t

(3.87)

t

0

für s

t:

1 erhalten wir insbesondere Ytt

1

= rt :

Die Gesamtheit Ytt+1 ; Ytt+2 ; : : : ; YtT

t=0;:::;T

wird als Yield Curve oder als Zinsstrukturkurve bezeichnet. O¤enbar ist die Kenntnis der Zerobonds äquivalent zur Kenntnis der Yield Curve. Sind die Spot-Rates deterministisch, so spezialisiert sich (3.87) zu Yst = Bst

1 t

s

1 = ((1 + rs+1 )

(1 + rt )) t

1 s

1:

t s

Es gilt also (1 + Yst ) = (1 + rs+1 ) (1 + rt ), so dass Yst einen konstanten Zinssatz pro Periode bezeichnet, der der Gesamtverzinsung zwischen den Zeitpunkten s und t entspricht. Ein weiteres wichtiges Konzept ist das der Forward-Zinskurve. Für t r s t bezeichnet Fr;s den Forward-Preis eines Forward-Kontrakts über einen Zerobond, der zum Zeitpunkt r abgeschlossen wird, der zum Zeitpunkt s t geliefert wird und der die Fälligkeit t besitzt. Damit ist Fr;s eine Fr -messbare

210

3 Mehr-Perioden-Modelle

Zustandsvariable, die durch die Forderung 0 = D r;s Bst wird. Es gilt 0 = Dr;s Bst = Brt =

Brt

= Brt

t Fr;s festgelegt

t Fr;s

t D r;s Fr;s

! X ds X t 1 Fr;s (Ar ) Qs (As ) 1Ar dr Qr (Ar ) Ar As Ar X t dr;s (Ar ) Fr;s (Ar ) 1Ar Ar

= Brt

t dr;s Fr;s :

Dabei wurde de…niert ds dr;s (Ar ) := dr

! X 1 Qs (As ) ; Qr (Ar )

(3.88)

As Ar

so dass dr;s

ds X = dr Ar

! X 1 Qs (As ) 1 1Ar Qr (Ar ) As Ar

= D r;s [1] = Brs : Daraus folgt

1 t B dr;s r Bt = rs : Br

t Fr;s =

t Die Darstellung Fr;s Brs = Brt besitzt folgende ökonomische Interpretation. Um eine Auszahlung von 1 zum Zeitpunkt t zu erzeugen, kann zunächst zum Zeitpunkt r ein Zerobond Brt mit Fälligkeit t erworben werden. Alternativ dazu kann zum Zeitpunkt r ein Forward-Kontrakt gekauft werden, der zum Zeitpunkt s eine Auszahlung von 1 zum Zeitpunkt t garantiert. Zum Zeitpunkt t s ist dafür der Forward-Preis Fr;s zu zahlen, und um diese Auszahlung zu t erzielen, wird zum Zeitpunkt r die Anzahl Fr;s Zerobonds Brs erworben. Existieren im Mehr-Perioden-Modell festverzinsliche Handelsstrategien, so spezialisiert sich (3.88) zu

dr;s = und wir erhalten mit Brt =

dr 1 = ds 1 + rr+1

1 1+rr+1

1 1+rt

1 ; 1 + rs

für den Forward-Preis

3.9 Die Zinsstrukturkurve t Fr;s = (1 + rs+1 )

211

(1 + rt ) =: 1 + fst ;

wobei fst := (1 + rs+1 ) De…nition 3.81. Für 0 fst gegeben durch

s

t

(1 + rt )

1:

T ist die Struktur der Forward-Rates

t fr;s :=

Brt Brs

1

Insbesondere gilt also t+1 fr;t =

Brt+1 Brt

1

Existieren festverzinsliche Handelsstrategien, so erhalten wir t fr;s := fst :=

ds dt

1 = (1 + rs+1 )

(1 + rt )

1:

Insbesondere folgt also ftt+1 = rt+1 ; und in diesem Spezialfall stimmen die Forward-Rates mit den Spot-Rates überein. Corporate Bonds Bislang wurden Bonds als eigenständige, im Marktmodell gegebene Finanzinstrumente betrachtet, wie etwa Staatsanleihen. Bonds können aber auch von Unternehmen ausgegeben werden, sogenannte Corporate Bonds, und je nach Rating des Unternehmens birgt das im Bond beinhaltete Versprechen der Rückzahlung des Nominalwerts bei Fälligkeit ein Risiko. Es liegt nahe, Corporate Bonds nicht als eigenständig zu modellieren, sondern als Finanzinstrumente, die von den Aktienkursen der zugehörigen Unternehmen abgeleitet werden. Im einfachsten Fall wird angenommen, dass das Aktienunternehmen konkurs geht, wenn der Aktienkurs einen gewissen Schwellenwert unterschreitet. In diesem Fall kann das Unternehmen den Nominalbetrag des Bonds entweder überhaupt nicht zurückzahlen, oder es wird nur ein Bruchteil dieses Betrags ausgezahlt. Im einfachsten Fall lautet der Payo¤ des Bonds also 1fS

Kg :

Liegt der Aktienkurs bei Fälligkeit oberhalb von K, so beträgt die Auszahlung 1, sonst 0. Damit erhält der Bond den Charakter einer sogenannten DigitalOption. Das Ziel ist nun, den Schwellenwert K so anzupassen, dass realistische Bondpreise bzw. realistische Bond-Yields erzielt werden. Für einen Corporate Bond B t mit Fälligkeit t ist K so zu wählen, dass

212

3 Mehr-Perioden-Modelle

B0t = D 0;t 1fS

Kg

;

wobei B0t den beobachteten Preis von B t zum Zeitpunkt 0 bezeichnet. Wegen B0t = D0;t 1fS

D 0;t [1]

Kg

ist der Wert des Corporate Bonds kleiner gleich dem Wert eines Zerobond ohne Rückzahlungsrisiko. Dies entspricht einer höheren Yield, die als risikoadjustierter Zinssatz interpretiert werden kann. Für zusätzliche Informationen zu Zerobonds, Zinsstrukturkurven und Forward-Rates siehe Pliska [45].

3.10 Das diskontierte Marktmodell Wir nehmen an, dass in einem arbitragefreien Marktmodell ((S; ) ; F) ein Finanzinstrument existiert, das keine Dividendenzahlungen leistet und das zu jedem Zeitpunkt und in jedem Zustand einen positiven Wert besitzt. O.B.d.A. nehmen wir an, dass dieses Finanzinstrument den Index 1 besitzt, so dass gilt St1 (!) > 0 für alle t = 0; : : : ; T und für alle ! 2

. Nun de…nieren wir

S j (!) S~tj (!) := t1 St (!) und

j S j (!) S~t j (!) := t1 = S~tj (!) + 1 t St (!) St (!)

für alle t = 0; : : : ; T und für alle ! 2 ~j := t nennen wir

. Mit der De…nition j t

St1 (!)

~ ~ ; F das diskontierte Marktmodell mit Numéraire S 1 . Die S;

j S~tj werden diskontierte Kurse, und die ~ werden diskontierte Dividenden genannt. Die Namen diskontiertes Marktmodell, diskontierte Kurse und diskontierte Dividenden rühren daher, dass das Finanzinstrument S 1 in der Praxis häu…g eine festverzinsliche Anlage ist. In diesem Fall gibt es ein r > 0 mit t

St1 (!) = (1 + r) für alle t = 0; : : : ; T und für alle ! 2

. Damit sind dann

3.10 Das diskontierte Marktmodell

213

S j (!) S~tj (!) = t t und (1 + r) j t

~j = t

t

(1 + r)

tatsächlich die diskontierten Kurse und Dividenden. Analog zum Ein-Perioden-Modell gilt Satz 3.82. Das Marktmodell ((S; ) ; F ) ist genau dann arbitragefrei, wenn ~ ~ ; F arbitragefrei ist. das diskontierte Marktmodell S; Beweis. Ein Mehr-Perioden-Modell ist genau dann arbitragefrei, wenn jedes Ein-Perioden-Teilmodell arbitragefrei ist. Nun ist ein Ein-Perioden-Teilmodell ~b; D ~ ~ ~ ; F in einem Knoten At 2 des diskontierten Marktmodells S; At

Z (Ft ) o¤ensichtlich identisch mit dem diskontierten Ein-Perioden-Teilmodell ^ ^ (b; D)At von ((S; ) ; F). Schließ lich ist aber (b; D)At nach Folgerung genau dann arbitragefrei, wenn (b; D)At arbitragefrei ist.

Für eine beliebige Handelsstrategie h 2 HN de…nieren wir den Wertpro~ (h) zess V~ (h), den Investitionsprozess I~ (h), den Entnahmeprozess L ~ (h) im diskontierten Marktmodell durch und den Gewinnprozess G Vt (h) V~t (h) := ht S~t = St1 It (h) I~t (h) := ht+1 S~t = St1 Lt (h) I~t (h) = St1

~ t (h) := V~t (h) L und

~ 0 (h) := 0 = G0 (h) G St1 Gt (h) S~t = St1

~ t (h) := ht G

Wegen S~t1 (!) = 1 für alle t = 0; : : : ; T gilt V~t (h) = ht1 +

N X

hti S~t i

i=2

I~t (h) = ht+1;1 +

N X

ht+1;i S~ti

i=2

~ t (h) = L

N X i=2

hti S~t i

ht+1;i S~ti

214

3 Mehr-Perioden-Modelle

und ~ t (h) = G

N X

hti S~t i :

i=2

Nach (3.6) gilt V~t (h) = V~0 (h) +

t X

t 1 X

~ t (h) G

j=1

= V0 (h) +

~ j (h) L

j=0

t N X X j=1

hji

S~j i

i=2

!

(3.89)

t 1 X N X j=0

hji S~j i

hj+1;i S~ji

i=2

!

:

Wir betrachten nun selbst…nanzierende Handelsstrategien. In diesem Fall spezialisiert sich (3.89) zu V~t (h) = V0 (h) +

t X

hj2 S~j 2 +

+ hjN S~j N ;

(3.90)

j=1

und wir sehen, dass der Wertprozess V~ (h) im diskontierten Modell für t = 1; : : : ; T nicht von ht1 abhängt. Andererseits gilt nach De…nition V~t (h) = ht1 +

N X

hti S~t i :

(3.91)

i=2

Aus (3.90) und (3.91) erhalten wir die Darstellung N X

ht1 = V~t (h)

hti S~t i

(3.92)

i=2

= V0 (h) +

t 1 X N X j=1

= V0 (h) +

t 1 X

hji

S~j i

i=2

!

hj2 S~j 2 +

N X

hti S~ti

1

i=2

+ hjN S~j N

ht2 S~t2

1

+

+ htN S~tN 1 :

j=1

Satz 3.83. Für jeden vorhersehbaren Prozess (ht2 ; : : : ; htN )t=0;:::;T und für jede Konstante V0 2 R existiert ein eindeutig bestimmter vorhersehbarer Prozess (ht1 )t=0;:::;T , so dass die Handelsstrategie (ht1 ; : : : ; htN )t=0;:::;T selbst…nanzierend und vorhersehbar ist mit Anfangskapital V0 . Beweis. Für jede selbst…nanzierende Handelsstrategie h 2 HN gilt nach (3.90) und (3.91) V~t (h) = ht1 + ht2 S~t 2 + = V0 (h) +

t X j=1

+ htN S~t N

hj2 S~j 2 +

+ hjN S~j N :

3.10 Das diskontierte Marktmodell

215

Dies legt ht1 für alle t = 0; : : : ; T eindeutig fest. Aufgrund der Darstellung (3.92) ist (ht1 )t=0;:::;T vorhersehbar. Beispiel 3.84. Wir betrachten den Fall eines Marktmodells mit zwei Finanzinstrumenten, also N = 2. Sei h 2 HN eine selbst…nanzierende Handelsstrategie. Dann gilt t X V~t (h) = V0 (h) + hj2 S~j 2 (3.93) j=1

und ht1 = V~t (h) = V0 (h) +

ht2 S~t 2 t 1 X

(3.94)

hj2 S~j 2

ht2 S~t2

1

j=1

Im diskontierten Marktmodell mit zwei Finanzinstrumenten besitzt der Wertprozess V~ (h) also eine Darstellung, die nur vom Anfangskapital V0 (h) und von der Handelsstrategie (ht2 )t=0;:::;T für das zweite Finanzinstrument S~2 abhängt. 4 Die Bedeutung des diskontierten Marktmodells liegt darin, dass hier die Existenz festverzinslicher Handelsstrategien stets gewährleistet ist, denn es gilt ja S~t1 (!) = 1 für alle t = 0; : : : ; T und für alle ! 2 . Insbesondere ~ existiert in einem diskontierten Marktmodell stets ein PreismaßQ. De…nition 3.85. Sei hörige Preismaß

~ ~ ;F S;

ein diskontiertes Marktmodell. Das zuge-

~ : P ( ) ! [0; 1] Q aus De…nition 3.74 wird auch Martingalmaßfür ((S; ) ; F) genannt. ~ ~ ; F de…niert In einem arbitragefreien diskontierten Marktmodell S; ~ denn für der zugehörige Zustandsprozess ~ stets selbst ein MartingalmaßQ, die Diskontfaktoren gilt nach (3.72) d~t = 1 für alle t = 0; : : : ; T . Mit (3.65) und (3.66) folgt ~ (!) := Q ~ T (!) = ~ T (!) und Q X ~ (At ) = ~ (f!g) = Q ~ t (At ) = ~ (At ) ; Q Q t !2At

und wir erhalten die Eigenschaft (3.76), also ~

~

Ds;t [X] = EQ s [X] ;

(3.95)

216

3 Mehr-Perioden-Modelle

für jede beliebige Ft -messbare Funktion X. Für einen beliebigen Informationspfad = A0

A1

AT = f!g

gilt nach (3.67) ~

T

~

~ (!) =

0

~

1

~ (A1 )

0

~

2

~ (A2 )

~

1

~ A (A1 ) Q ~ A (A2 ) =Q 0 1 ~ (!) : =Q

T

T

(!) 1

~A Q T

1

(AT )

Sei nun c = (c0 ; : : : ; cT ) ein replizierbares Auszahlungspro…l. Dann gibt es eine Handelsstrategie h mit ct = Lt (h) = ht St

ht+1 St

für alle t = 0; : : : ; T . Mit c~ = (~ c0 ; : : : ; c~T ) =

c0 cT ;:::; 1 1 S0 ST

gilt der Zusammenhang c~t = ht S~t

~ t (h) : ht+1 S~t =: L

Nach (3.78) folgt daraus i X X ~h V0 ~ ~ t (h) = V~0 = 1 = EQ L EQ [~ ct ] ; S0 t=0 t=0 T

also V0 = S01 V~0 = S01

T

T X

~

EQ [~ ct ] = S01

t=0

T X

~

EQ

t=0

ct : St1

Anmerkung 3.86. Wir setzen nun voraus, dass das Mehr-Perioden-Modell selbst ein festverzinsliches Wertpapier enthält, welches als Numéraire verwendet wird. Es sei also o.B.d.A. St1 = (1 + r1 )

(1 + rt )

mit r1 ; : : : ; rt 2 R. Dann folgt dt =

1 ; St1

und aus Bemerkung 1.77 sowie aus Lemma 3.76 folgt

3.10 Das diskontierte Marktmodell

~ Q = Q:

(3.96)

t

Gilt insbesondere etwa St1 (!) = (1 + r) für ein r >

V0 =

PT

t=0

~

EQ

h

ct (1+r)t

i

=

217

PT

1, so folgt

1 Q t=0 (1+r)t E

[ct ] :

Satz 3.87. Angenommen, ein arbitragefreies Marktmodell ((S; ) ; F ) enthält ein Finanzinstrument, das keine Dividenden auszahlt und das als Numéraire ~ das Martingalmaßdes zugehörigen diskontierten Marktverwendet wird. Sei Q ~ ~ modells S; ; F . Sei h 2 HN eine selbst…nanzierende Handelsstrategie. Dann gilt h i ~ ~ V~t (h) = EQ (3.97) t VT (h) für alle t = 0; : : : ; T . Der diskontierte Wertprozess V~ (h) bildet also ein Mar~ tingal bezüglich Q. Beweis. Der Zusammenhang (3.97) folgt aus Folgerung 3.77 unter Beachtung von d~t = 1 für alle t = 0; : : : ; T . Daraus folgt die Martingaleigenschaft wegen h i ~ ~ V~s (h) = EQ V (h) T s h ~h ii ~ Q ~ = EQ s Et VT (h) h i ~ ~ = EQ V (h) t s für alle 0

s

t

T.

Folgerung 3.88. Angenommen, ein arbitragefreies Marktmodell ((S; ) ; F) enthält ein Finanzinstrument, das keine Dividenden auszahlt und das als ~ das Martingalmaßdes zugehörigen diskonNuméraire verwendet wird. Sei Q ~ ~ ; F . Dann gilt für jedes j = 1; : : : ; N und für tierten Marktmodells S; alle t T T h ji h i X ~ ~ + EQ~ S~j : S~tj = EQ t s t T s=t

Der diskontierte Preisprozess S~tj

t=0;:::;T

bildet also ein Martingal bezüglich

~ wenn S j keine Dividenden auszahlt. Q, Beweis. Die Behauptung folgt wegen d~t = 1 für alle t = 0; : : : ; T aus Lemma 3.80. Beispiel 3.89. Wir betrachten wieder Beispiel 3.56 und wählen die Aktie S 1 als Numéraire. Auf diese Weise erhalten wir das in Abb. 3.12 dargestellte

218

3 Mehr-Perioden-Modelle ~ A11 (! 1 ) Q % S1 (A11 ) = (A11 ) =

=

~ (A11 ) Q % S0 =

0

=

=

1 100 30

S2 (! 1 ) = 1

1 120 27

!

~ A11 (! 1 ) Q ~ A11 (! 2 ) Q !

c~ =

~ (A11 ) Q ~ (A12 ) Q !

144 24

!

44 24

!

215 621 406 621

& ~ A11 (! 2 ) Q !

1

1

S2 (! 2 ) = 2

c~ =

105 29

!

5 29

!

9 20 11 20

& ~ (A12 ) Q

~ A12 (! 3 ) Q % S1 (A12 ) = (A12 ) =

=

1 80 33

!

~ A12 (! 3 ) Q ~ A12 (! 4 ) Q !

95 27

!

c~3 = 0

!

7632 19 657 12 025 19 657

& ~ A12 (! 4 ) Q

t=0

S2 (! 3 ) =

1

t=1

S2 (! 4 ) =

1 64 37

!

c~4 = 0 t=2

Abb. 3.12. Darstellung eines diskontierten Marktmodells am Beispiel einer PutOption in einem Zwei-Perioden-Modell

3.10 Das diskontierte Marktmodell

219

diskontierte Marktmodell. Hier wurden in Abb. 3.12 die zustandsabhängigen diskontierten Endauszahlungen der Put-Option eingetragen sowie die Zustandsvektoren der zugehörigen diskontierten Ein-Perioden-Teilmodelle. Für das erste diskontierte Ein-Perioden-Teilmodell (b; D)A11 = (S1 (A11 ) ; (S2 (! 1 ) ; S2 (! 2 ))) =

1

;

120 27

1

1

144 105 24 29

ergibt sich als eindeutig bestimmte Lösung von D (A11 ) = b der Zustandsvektor ! 215 ~ A (! 1 ) Q 0:346 (A11 ) = ~ 11 = 621 = : 406 0:654 QA11 (! 2 ) 621 Für das Ein-Perioden-Teilmodell 1

(b; D)A12 = (S1 (A12 ) ; (S2 (! 3 ) ; S2 (! 4 ))) =

1 1

;

80 33

95 64 27 37

erhalten wir entsprechend als Lösung von D (A12 ) = b den Vektor ! 7632 ~ A (! 3 ) Q 0:388 19 657 12 (A12 ) = ~ = 12 025 = ; 0:612 QA12 (! 4 ) 19 657

und für das verbleibende Ein-Perioden-Teilmodell (b; D)A0 = (S0 ; (S1 (A11 ) ; S1 (A12 ))) = erhalten wir schließ lich als Lösung von D

0

=

~ (A11 ) Q ~ (A12 ) Q

=

1 100 30

;

1

1

120 80 27 33

= b das Ergebnis ! 9 0:45 20 = : 11 0:55 0

20

Wir sehen, dass für jeden Zustandsvektor jedes Ein-Perioden-Teilmodells gilt 0 und 1 + 2 = 1, so dass formal ein Wahrscheinlichkeitsmaß de…niert. Weiter demonstrieren die erhaltenen Ergebnisse die Tatsache, dass aus der Arbitragefreiheit eines Marktmodells auch die Arbitragefreiheit des diskontierten Marktmodells folgt. Mit den erhaltenen Daten gilt ~ (! 1 ) = Q ~ (A11 ) Q ~ A (! 1 ) = 9 215 = Q 11 20 621 9 406 ~ ~ ~ Q (! 2 ) = Q (A11 ) QA11 (! 2 ) = = 20 621 ~ (! 3 ) = Q ~ (A12 ) Q ~ A (! 3 ) = 11 7632 Q 12 20 19 657 11 12 025 ~ ~ ~ Q (! 4 ) = Q (A12 ) QA12 (! 4 ) = 20 19 657

43 = 0:1568; 276 203 = 0:2942; 690 1908 = = 0:2135; 8935 2405 = = 0:3365: 7148

220

3 Mehr-Perioden-Modelle

~ ein Wahrscheinlichkeitsmaßauf = f! 1 ; ! 2 ; ! 3 ; !4 g de…Wir sehen, dass Q niert. Nun berechnen wir schließ lich mit 0 44 1 0 1 1: 833 24 B 5 C B 0:172 C c2 29 C B C c~2 := 1 = B @ 0 A = @ 0:0 A S2 0:0 0 den Ausdruck

~

V0 = S01 EQ [~ c2 ] = 10: 091 und erhalten gerade den in Abschnitt 3.56 berechneten Optionspreis. Diskontieren wir also ein arbitragefreies Marktmodell mit einem geeigneten Numéraire, so de…niert der zugehörige Zustandsprozess selbst ein Wahrscheinlichkeitsmaßauf dem Zustandsraum, und der Diskontierungsoperator hat die Struktur einer bedingten Erwartung bezüglich dieses Maß es. Die diskontierten Kursprozesse eines Finanzinstrumentes, das keine Dividenden auszahlt, bilden bezüglich dieses Maß es ein Martingal. Wir sehen also, dass die Bewertung von zustandsabhängiger Auszahlungspro…le ebenso gut in diskontierten Marktmodellen durchgeführt werden kann. Allerdings bietet das Diskontieren von Marktmodellen für praktische Berechnungen keine Vorteile. 4

3.11 Zusammenfassung Ein Mehr-Perioden-Modell ((S; ) ; ; F ) besteht aus einem endlichen Zustandsraum = f! 1 ; : : : ; ! K g ; auf dem eine Filtration F = fF0 ; : : : ; FT g de…niert ist. Dabei gilt f?; g = F0

FT = P ( ) :

Der Filtration F entsprechen auf eindeutig bestimmte Weise die mit aufsteigendem Index immer feiner werdenden Partitionen f g = Z (F0 )

Z (FT ) = ff! 1 g ; : : : ; f! K gg :

Jede Menge At 2 Z (Ft ) zerfällt zum Zeitpunkt t + 1 in gewisse Mengen At+1;1 ; : : : ; At+1;k 2 Z (Ft+1 ), so dass die Partitionen einen Baum mit Wurzel f g und mit den Blättern f! 1 g ; : : : ; f! K g bilden. Eine Filtration modelliert die Informationszunahme über die zu realisierenden Endzustände ! 1 ; : : : ; ! K im Verlaufe der Zeit von 0 bis T . Die Kurse

3.11 Zusammenfassung

S = (St )t2f0;:::;T g = St1 ; : : : ; StN

221

t2f0;:::;T g

und Dividendenzahlungen = ( t )t2f0;:::;T g =

1 N t;:::; t

t2f0;:::;T g

von N Finanzinstrumenten werden als stochastische Prozesse modelliert, die an die Filtration F adaptiert sind. Damit wird ein Marktmodell durch ein Tupel ((S; ) ; F ) charakterisiert, wobei F eine Filtration ist und wobei S und an F adaptierte RN -wertige Prozesse sind. Handelsstrategien werden als vorhersehbare Prozesse bezüglich der Filtration F de…niert. Dabei bezeichnet ht+1 (At ) 2 RN das Portfolio, das zum Zeitpunkt t im Knoten At 2 Z (Ft ) zusammengestellt und bis zum Zeitpunkt t + 1 gehalten wird. Der Wert Vt (h) einer Handelsstrategie h 2 HN zum Zeitpunkt t wird de…niert als Vt (h) = ht St :

(3.98)

Damit ist Vt (h) der Wert der Handelsstrategie h zum Zeitpunkt t vor dem Handeln. Anschließ end wird das Portfolio ht+1 für die Periode [t; t + 1] mit den Preisen St zum Zeitpunkt t nach Dividendenzahlung gehandelt. Es hat den Wert It (h) = ht+1 St ; also ist It (h) der Wert der Handelsstrategie h zum Zeitpunkt t nach dem Handeln. V (h) wird Wertprozess genannt, I (h) Investitionsprozess. Der Entnahmeprozess Lt (h) = Vt (h)

It (h) = ht St

ht+1 St

(3.99)

kennzeichnet die Kapitalbeträge, die dem Portfolio zum Zeitpunkt t entnommen bzw. zugeführt werden, je nachdem, ob Lt (h) positiv bzw. negativ ist. Dabei wird hT +1 := 0 de…niert, so dass LT (h) = hT ST = VT (h) gilt. Eine Handelsstrategie h heiß t Arbitragegelegenheit, wenn gilt V0 (h) = 0 und Lt (h) 0 für alle t = 0; : : : ; T und Lt0 (h) (! 0 ) > 0 für ein t0 2 f0; : : : ; T g und für ein ! 0 2

(3.100) :

Eine Arbitragegelegenheit verursacht keine Anfangskosten, V0 (h) = 0, beinhaltet keine Zahlungsverp‡ichtungen, Lt (h) 0, und besitzt zu mindestens einem Zeitpunkt t0 in mindestens einem Zustand ! 0 eine strikt positive Auszahlung Lt0 (h) (! 0 ) > 0. Es gilt der Fundamentalsatz der Preistheorie, Satz 3.54, der besagt, dass ein Marktmodell genau dann arbitragefrei ist, wenn es einen Zustandsprozess 2 W gibt, mit

222

3 Mehr-Perioden-Modelle

0 und mit 1 V0 (h) = h ; L (h)i

(3.101)

0

für jede Handelsstrategie h 2 HN . Zustandsprozesse können durch Lokalisierung auf Ein-Perioden-Teilmodelle berechnet werden, siehe Satz 3.51. Ein Auszahlungspro…l c 2 W heiß t replizierbar, wenn c 2 Im L, d.h. wenn es eine Handelsstrategie h 2 HN gibt, mit c = L (h) :

(3.102)

Der Wert von c 2 Im L zum Zeitpunkt 0 wird de…niert als V0 =

1 0

h ; ci :

(3.103)

Besitzt ein Finanzinstrument, etwa ein Derivat, in einem arbitragefreien Marktmodell ((S; ) ; F ) eine Auszahlung c 2 Im L, so ist (3.103) der Preis dieses Finanzinstruments zum Zeitpunkt 0. Der Diskontierungsoperator ist für s t de…niert durch 0 1 D s;t [X] =

X

As 2Z(Fs )

B B @

1 s (As )

X

At 2Z(Ft ) At As

t (At ) X

C (At )C A 1As :

(3.104)

Dabei ist X Ft -messbar. Die Funktion D s;t [X] ist nach De…nition Fs messbar. Wird X als zustandsabhängige Zahlung zum Zeitpunkt t interpretiert, so ist Ds;t [X] eine zu X äquivalente Zahlung zum Zeitpunkt s t. Eine Auszahlung X wird durch D s;t [X] in einem abstrakten Sinn auf den Zeitpunkt s diskontiert. Mit Hilfe der Normierungen dt =

X

At 2Z(Ft )

Qt =

1 dt

t

(At ) 0

= D0;t [1 ] 2 R+

(3.105)

t 0

sind die Qt für jedes t = 0; : : : ; T Wahrscheinlichkeitsmaß e auf Ft , und der Diskontierungsoperator kann geschrieben werden als ! X dt X 1 D s;t [X] = Qt (At ) X (At ) : (3.106) ds Qs (As ) As

At As

Dabei können die dt als abstrakte Diskontfaktoren interpretiert werden. Speziell für s = 0 gilt

3.11 Zusammenfassung

D 0;t [X] = dt EQt [X] ;

223

(3.107)

und die zu X äquivalente Zahlung zum Zeitpunkt 0 ist der mit dt abdiskontierte Erwartungswert von X bezüglich Qt . Die Wahrscheinlichkeitsmaß e Qt werden für jeden Zeitpunkt t durch Normierung aus den Komponenten des Zustandsprozesses gewonnen. Wenn in dem betrachteten Marktmodell festverzinsliche Handelsstrategien existieren, so lassen sich alle Wahrscheinlichkeitsmaß e Qt mit Hilfe von Q := QT ausdrücken durch X Qt (At ) = Q (!) ; (3.108) !2At

für jedes At 2 Z (Ft ). In diesem Fall wird der Diskontierungsoperator zur diskontierten bedingten Erwartung, und es gilt D s;t [X] =

dt Q E [X] : ds s

1 Dabei sind die Faktoren dt = (1+r) t die vertrauten Diskontfaktoren, wenn die festverzinslichen Handelsstrategien den gemeinsamen konstanten Zinssatz r besitzen. Im Falle der Existenz festverzinslicher Handelsstrategien lässt sich der Diskontierungsoperator also als bedingte Erwartung bezüglich eines Wahrscheinlichkeitsmaß es Q formulieren, und die Bewertung von Derivaten erscheint in einem vertrauten wahrscheinlichkeitstheoretischen Gewand.

Diskontierte Marktmodelle Wird ein strikt positives, keine Dividenden auszahlendes Finanzinstrument, etwa S 1 , als Numéraire gewählt, so lässt sich mit Hilfe des ursprünglichen ~ ~ ; F durch Marktmodells ((S; ) ; F) ein diskontiertes Marktmodell S; i i i Si S i S~ti := t1 , S~t i := t1 = S~ti + ~t mit ~t := t1 St St St

für alle i und für alle t de…nieren. Das ursprüngliche Marktmodell ist genau dann arbitragefrei, wenn das diskontierte Modell arbitragefrei ist. Im diskontierten Modell existieren stets festverzinsliche Kapitalanlagen mit Zinssatz r = 0, denn ist S 1 der Numéraire, so gilt S~t1 = 1 für alle t. Dies bedeutet, dass im diskontierten Modell für alle Diskontfaktoren d~t = 1 gilt, dass die Funktionen ~ t : Ft ! R des Zustandsprozesses formal Wahr~ t gemäß(3.105) de…nieren und dass alle Maß ~t scheinlichkeitsmaß e ~t = Q eQ die Eigenschaft (3.108) besitzen. Eine zustandsabhängige Auszahlung c ist im ursprünglichen Modell genau dann replizierbar, wenn c~t :=

ct St1

224

3 Mehr-Perioden-Modelle

im diskontierten Modell replizierbar ist. Der Wert V0 von c zum Zeitpunkt 0 kann daher berechnet werden als ~

V0 = S01 V~0 = S01 EQ [~ c] = S01

T X

~

EQ

t=0

ct : St1

Für jedes Finanzinstrument Sti gilt S~ti =

T X s=t

h ii h i ~ ~ + EQ~ S~i : EQ t s t T

(3.109)

Zahlt ein Finanzinstrument S i keine Dividenden aus, gilt also St i = Sti für alle t, so spezialisiert sich (3.109) zu h i ~ ~i S~ti = EQ t ST ; ~ ein Martingal bilden. so dass die diskontierten Kurse S~ti bezüglich Q 1 Ist speziell S eine festverzinsliche Kapitalanlage mit Zinssatz r, d.h. t

St1 = (1 + r) ; ~ = Q, und es folgt so gilt Q V0 = V~0 =

T X

EQ

t=0

Gilt zusätzlich ct = 0 für alle t = 0; : : : ; T delsstrategie selbst…nanzierend mit

ct t : (1 + r) 1, so ist eine replizierende Han-

ct = Lt (h) = 0 für alle t = 0; : : : ; T

1 und

cT = LT (h) = hT ST = VT (h) : Der Wert V0 von cT zum Zeitpunkt 0 lautet in diesem Fall " # c T V0 = V~0 = EQ : T (1 + r) Tabelle 3.1 gibt eine Zusammenstellung einer Reihe wesentlicher Zusammenhänge, die im Rahmen der Ein- und Mehr-Perioden-Modelle hergeleitet wurden.

3.11 Zusammenfassung

225

Tabelle 3.1. Ein- und Mehr-Perioden-Modelle Ein-Perioden-Modelle

Mehr-Perioden-Modelle

Marktmodell

(S0 ; S1 ) = (b; D)

((S; ) ; F )

Handelsstrategie

h 2 RN

h vorhersehbarer Prozess

Entnahmeprozess

L (h) := ( h S0 ; h S1 )

Lt (h) := Vt (h) It (h) = ht St ht+1 St

Arbitragegelegenheit L (h) > 0

V0 (h) = 0; L (h) > 0 RK , 0 = h ; L (h)i 9 adaptiert, V0 (h) =

Law of One Price

9 2R

Fundamentalsatz

(S0 ; S1 ) arbitragefrei , RK ,

9 2R

0

0 = h ; L (h)i Bewertung replizierD barer Auszahlungs- V0 = pro…le c Diskontierungsoperator De…nition Preismaß e

0

h S0 = Q := d :=

1

S festverzinslich mit Zinssatz r pro Periode

1

d=

1 d

;c

D

0

j=1

9 adaptiert, 0 D E V0 (h) = ; L (h) =

1

PK0

E

PT

t=0 PT t=0

0

1 1+r

c 2 Im D> =) V0 = dEQ [c] Diskontierte Marktmodelle, S 1 festd~ = 1 verzinslich mit Zins- ~ Q=Q satz r pro Periode, c 2 Im D> =) 1 S Numéraire V~0 = V0 = EQ [~ c] 1 = 1+r EQ [c]

D

t 0

; ct

E

t

D 0;t [ct ]

E P D Vt (h) = Ti=t i ; Li (h) t t P = Ti=t D t;i [Li (h)]

Qt := 1j

; L (h)

((S; ) ; F ) arbitragefrei ,

V0 =

; h S1

0

0

E

1

D

dt :=

1

t

dt P

0

At 2Z(Ft )

t (At ) 0

1 (1+r)t

dt = Q (At ) := Q t (At ) P = !2At QT (!) c 2 Im L =) h i P cs Vt = Ts=t EQ s s (1+r)

d~t = 1 ~=Q Q c 2 Im L =) P V~t = Ts=t EQ s [~ hcs ] i P cs = Ts=t EQ s (1+r)s V~0 = V0 h i P cs = Ts=0 EQ s (1+r)s

E

226

3 Mehr-Perioden-Modelle

3.12 Weitere Aufgaben Aufgabe 3.10. Betrachten Sie das folgende Zwei-Perioden-Modell mit den dort aufgeführten Kursen der beiden Aktien S 1 und S 2 : S2 (! 1 ) =

22 89

!

S2 (! 2 ) =

18 99

!

S2 (! 3 ) =

16 113

!

S2 (! 4 ) =

11 102

!

2

(! 1 ) 1 % S1 (A11 ) = 1 0

S0 =

1 0

(A11 ) % 17 100

19 96

!

& 2 (! 2 ) 1

!

& (A12 )

(! 3 ) 1 % 2

S1 (A12 ) =

14 108

& 2 (! 4 )

!

1

t=0

t=1

t=2

Dabei gilt A11 = f! 1 ; ! 2 g und A12 = f! 3 ; ! 4 g. Bewerten Sie eine europäische Put-Option auf S 2 mit Basispreis K = 101 und Fälligkeit T = 2 sowohl mit dem direkten als auch mit dem rekursiven Verfahren. Geben Sie weiter einen Zustandsprozess an. Aufgabe 3.11. Zeigen Sie, dass sich im Marktmodell aus Aufgabe 3.10 kein Preismaßde…nieren lässt. Aufgabe 3.12. Bewerten Sie die Put-Option aus Aufgabe 3.10 in einem diskontierten Marktmodell. Aufgabe 3.13. Betrachten Sie die durch P0 = f! 1 ; : : : ; ! 4 g =

= A0 ;

P1 = ff! 1 ; ! 2 g ; f! 2 ; ! 4 gg = fA11 ; A12 g ; P2 = ff! 1 g ; f! 2 g ; f! 3 g ; f! 4 gg = fA21 ; A22 ; A23 ; A24 g

3.12 Weitere Aufgaben

227

de…nierte Filtration P = fP0 ; P1 ; P2 g. Ein an P adaptierter Aktienprozess S sei mit u = 1:1 und d = 0:9 de…niert durch S (A0 ) = S = 100 S (A11 ) = uS = 110 S (A12 ) = dS = 90 S (A21 ) = u2 S = 121 S (A22 ) = udS = 99 S (A23 ) = udS = 99 S (A24 ) = d2 S = 81: Wir nehmen an, dass S keine Dividenden auszahlt. Neben der Aktie S betrachten wir eine risikolose Kapitalanlage B mit einem festen Zinssatz r = 2%. 1. Untersuchen Sie das Marktmodell ((S; B) ; P) auf Arbitragefreiheit und auf Vollständigkeit. 2. Bewerten Sie eine europäische Call-Option mit Basispreis K = 100 durch Bestimmung einer replizierenden Handelsstrategie h. 3. Bestimmen Sie für das Marktmodell ((S; B) ; P) einen Zustandsprozess und bewerten Sie die Call-Option mit Hilfe von . 4. Diskontieren Sie das Marktmodell ((S; B) ; P) mit der risikolosen Kapitalanlage und bewerten Sie die Call-Option im diskontierten Modell. 5. Berechnen Sie im Modell ((S; B) ; P) eine Put-Option mit Basispreis 100 und veri…zieren Sie die Put-Call-Parität.

4 Optionen, Futures und andere Derivate

Bereits die verhältnismäß ig einfachen Beispiele des letzten Kapitels lassen erkennen, dass es bei Modellen mit einer größ eren Anzahl von Zeitpunkten und Zuständen sehr zeit- und speicheraufwändig sein kann, Kursdaten zu spezi…zieren und Zustandsprozesse zu berechnen. Beide Schwierigkeiten können durch die Verwendung von Binomialbaum-Modellen häu…g vermieden werden. Für alle in diesem Kapitel vorgestellten Algorithmen können Programmtexte in Java inklusive eines Bewertungsdialogs, der die Bewertungsalgorithmen aufruft, von der Homepage des Autors1 heruntergeladen werden. Für weitere numerische Verfahren mit Anwendungen in der Finanzmathematik, insbesondere zur Bewertung von Derivaten und zur Simulation von Aktienkursen, siehe Seydel [53], aber auch Kloeden/Platen [33] sowie Kloeden/Platen/Schurz [34]. Notation Optionen, Futures, Forward-Kontrakte und andere Derivate besitzen Fälligkeitszeitpunkte, die hier im folgenden mit dem Buchstaben T gekennzeichnet werden; es gilt also T 2 R, T > 0. Um Verwechslungen zu vermeiden, wird ab jetzt die Anzahl der betrachteten Zeitintervalle in einem Mehr-Perioden-Modell nicht mehr mit T , sondern mit n bezeichnet. Bei den Binomialbäumen, die in den kommenden Abschnitten untersucht werden, betrachten wir also ein festes Zeitintervall [0; T ], das in n gleiche Abschnitte der Länge t := Tn unterteilt wird. Die Einheit der Zeit wird als ein Jahr de…niert, so dass beispielsweise T = 1 den gegenüber heute ein Jahr in der Zukunft liegenden Zeitpunkt bezeichnet. In den Marktmodellen dieses Kapitels wird in der Regel lediglich eine festverzinsliche Kapitalanlage und eine einzige Aktie auftreten. Der zum Zeitpunkt t = 0 festverzinslich angelegte Kapitalbetrag wird in der Regel mit B bezeichnet und die Aktie mit S. Das Tupel der beiden Finanzinstrumente B und S wird im folgenden durch ein fettgedrucktes S, S := 1

B S

;

www.rheinahrcampus.de/~kremer

J. Kremer, Portfoliotheorie, Risikomanagement und die Bewertung von Derivaten, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-20868-3_4, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

230

4 Optionen, Futures und andere Derivate

dargestellt.

4.1 Das Mehr-Perioden-Binomialbaum-Modell Im Rahmen der Binomialbaum-Modelle werden zwei Finanzinstrumente betrachtet, eine festverzinsliche Kapitalanlage und ein weiteres Finanzinstrument, etwa eine Aktie. In einem Binomialbaum-Modell spaltet sich jeder Zustand zu einem Zeitpunkt t zum nachfolgenden Zeitpunkt t + 1 in zwei Zustände auf. Daher besitzt ein Binomialbaum-Modell nach n Perioden 2n Endzustände und beinhaltet damit 2n verschiedene Pfade. Mehr-Perioden-Binomialbaum-Modelle werden durch die Parameter von Tabelle 4.1 eindeutig festgelegt. Häu…g wird auf die Indizierung bei rn , un Tabelle 4.1. De…nierende Parameter von Binomialbaum-Modellen Parameter S T n rn un ; dn

Bedeutung Anfangskurs der Aktie, S 6= 0 Endzeitpunkt Anzahl der Perioden im Baum für das Zeitintervall [0; T ] risikoloser Zinssatz pro Periode Renditefaktoren für die Aktie pro Periode, un > dn

und dn verzichtet und einfach r, u und d geschrieben. Bei n Perioden existieren im Baum die n + 1 Zeitpunkte 0; : : : ; n, die den realen Zeitpunkten 0 t = 0; 1 t; : : : ; n t = T entsprechen. Jedes EinPerioden-Teilmodell (b; D)At besitzt die Gestalt q 1+r

%

Bt+1 (At+1;1 ) St+1 (At+1;1 )

=

(1 + r) Bt (At ) uSt (At )

Bt+1 (At+1;2 ) St+1 (At+1;2 )

=

(1 + r) Bt (At ) dSt (At )

Bt (At ) St (At ) &

q0 1+r

t

t+1

Dabei bezeichnet Bt (At ) das zum Zeitpunkt t risikolos angelegte Kapital und St (At ) den Aktienkurs zum Zeitpunkt t in einem Zustand At 2 Z (Ft ). At 2 Z (Ft ) zerfällt zum nachfolgenden Zeitpunkt t + 1 in die beiden Knoten At+1;1 ; At+1;2 2 Z (Ft+1 ). Das zugehörige Gleichungssystem für einen Zustandsvektor lautet

4.1 Das Mehr-Perioden-Binomialbaum-Modell

(1 + r) Bt (At ) (1 + r) Bt (At ) uSt (At ) dSt (At )

1 2

=

Bt (At ) St (At )

231

:

Nach Division der entsprechenden Zeilen durch Bt (At ) und St (At ) ist dies äquivalent zu 1+r 1+r 1 1 = : (4.1) u d 1 2 Damit erhalten wir für jedes Ein-Perioden-Teilmodell das Gleichungssystem (4.1) mit der Lösung ! (1+r) d 1 u d = (4.2) 1 + r u u(1+r) d =

1 1+r

q q0

;

wobei (1 + r) d und u d u (1 + r) q 0 := 1 q = : u d q :=

(4.3)

Die Ein-Perioden-Teilmodelle, und damit das Binomialbaum-Modell selbst, sind genau dann arbitragefrei, wenn 0. Dies ist genau dann der Fall, wenn q und q 0 positiv sind, also wenn u > 1 + r > d:

(4.4)

Dies wird im folgenden immer vorausgesetzt. Damit besitzt jedes Ein-PeriodenTeilmodell den gleichen strikt positiven Zustandsvektor . Weiter ist unter Voraussetzung (4.4) jedes Ein-Perioden-Teilmodell, und damit das Binomialbaum-Modell insgesamt, vollständig. Beispiel 4.1. (Zwei-Perioden-Binomialbaum-Modell) Für zwei Perioden betrachten wir das Binomialbaum-Modell aus Abb. 4.1. Bei zwei Perioden beträgt die Anzahl der Endzustände 22 = 4. Jeder Endzustand entspricht einem eindeutig bestimmten Pfad, und die zugehörigen vier Pfade lassen sich mit Hilfe der Renditefaktoren u und d folgendermaß en charakterisieren: ! 1 = S; uS; u2 S ; ! 2 = (S; uS; udS) ; ! 3 = (S; dS; udS) ; ! 4 = S; dS; d2 S : Mit

:= f! 1 ; : : : ; ! 4 g gilt

232

4 Optionen, Futures und andere Derivate

1 1+r

S2 (! 1 ) =

(1 + r)2 u2 S

S2 (! 2 ) =

(1 + r)2 udS

S2 (! 3 ) =

(1 + r)2 udS

S2 (! 4 ) =

(1 + r)2 d2 S

q

%

1+r S1 (A11 ) = uS q 1 (A11 ) = 1+r q0 1 q 1+r

&

1 q0 1+r

% S0 (A0 ) = (A0 ) =

1 1+r

1 S q q0 1 q 1+r

&

1 q0 1+r

% 1+r dS q 1 (A12 ) = 1+r q0

S1 (A12 ) =

&

1 q0 1+r

t=0

t=1

t=2

Abb. 4.1. Binomialbaum mit 2 Perioden, 4 Zuständen und mit 2 Finanzinstrumenten

A11 = f! 1 ; ! 2 g = A (uS) = f! 2 A12 = f! 3 ; ! 4 g = A (dS) = f! 2

j! (1) = uS g ;

j! (1) = dS g :

Wir betrachten für die drei Ein-Perioden-Teilmodelle 1+r uS

2

;

(1 + r) (1 + r) u2 S udS

2

(b; D)A11 = (S1 (A11 ) ; (S2 (! 1 ) ; S2 (! 2 ))) =

1+r dS

2

;

(1 + r) (1 + r) duS d2 S

2

(b; D)A12 = (S1 (A12 ) ; (S2 (! 3 ) ; S2 (! 4 ))) = und

4.2 Rekombinierende Binomialbäume

1 S

(b; D)A0 = (S0 ( ) ; (S1 (A11 ) ; S1 (A12 ))) =

;

233

1+r 1+r uS dS

jeweils das Gleichungssystem D =b zur Bestimmung eines Zustandsvektors. Wir sehen, dass die zu den EinPerioden-Teilmodellen gehörenden Gleichungssysteme nach Division der entsprechenden Zeilen durch 1 + r oder S alle in das Gleichungssystem (4.1) überführt werden. Alle drei Systeme besitzen daher die gleiche Lösung (4.2), also ! (1+r) d 1 1 q u d = = ; 1 + r u (1+r) 1 + r q0 u d

(1+r) d u d

wobei q = erhalten wir 0 1

q =

u (1+r) u d .Für

den Zustandsprozess

( )=1

(A11 ) = 2

und q 0 = 1

(! 1 ) =

1 q; 1+r 1

2q

(1 + r)

1 2

;

(A12 ) = 2

1 0 q 1+r

(! 2 ) =

2

(! 3 ) =

1 (1 + r)

2 qq

0

;

2

(! 4 ) =

1 (1 + r)

2q

02

4

4.2 Rekombinierende Binomialbäume Jeder Pfad in einem Binomialbaum ist durch ein n-Tupel ! = ("1 ; : : : ; "n ) eindeutig bestimmt, wobei "t = 1, falls zwischen den Zeitpunkten t 1 und t eine Aufwärtsbewegung statt…ndet, und "t = 0 sonst. Die Menge aller Pfade de…niert einen Zustandsraum := f! = ("1 ; : : : ; "n ) j"t 2 f0; 1g für t = 1; : : : ; n g :

(4.5)

enthält o¤enbar 2n Elemente. Bei einem Anfangskurs S > 0 betragen die möglichen n + 1 Werte der Aktie zum Endzeitpunkt n Snj := un

j j

d S;

für j = 0; : : : ; n. Zu einem Kurswert Snj gelangt man durch n j Aufwärtsund durch j Abwärtsbewegungen. Jeder zugehörige Pfad ! besitzt n j Kanten, die mit dem Faktor q belegt sind und j Kanten, die mit dem Faktor j 1 n j q 0 = 1 q gewichtet sind, so dass n (!) = (1+r) (1 q) gilt. Insgesamt nq n existieren derartige Pfade. Fassen wir alle Pfade, die zu einem Kurs Snj j

:

234

4 Optionen, Futures und andere Derivate

führen, zu einer Menge Bnj zusammen, so sind die Bnj , j = 0; : : : ; n, disjunkt, n [ und es gilt = Bnj . Wir betrachten nun zustandsabhängige Auszahlunj=0

gen cnj , die nur vom Aktienkurs zum Endzeitpunkt n im Zustand j abhängen. Wir nehmen also an, dass eine Funktion f : R ! R existiert, mit cnj = f (Snj )

für alle j = 0; : : : ; n. In diesem Fall ist f (Sn ) auf Bnj konstant. Hängt die Auszahlung cnj nur vom Aktienkurs Snj zum Endzeitpunkt ab, dann stimmen also nicht nur die modellierten Aktienkurse, sondern auch die zustandsabhängigen Auszahlungen zum Endzeitpunkt für alle Pfade ! 2 Bnj überein. Man sagt in diesem Fall, dass der Binomialbaum rekombiniert. Im Falle rekombinierender Bäume führen die 2n Pfade zu insgesamt lediglich n + 1 paarweise verschiedenen aggregierten Endzuständen Bnj , j = 0; : : : n, und der Binomialbaum kann durch einen äquivalenten Baum ersetzt werden, der zu jedem Zeitpunkt t = 0; : : : ; n über lediglich t + 1 Knoten verfügt. Für eine Call-Option mit Ausübungspreis K ist die Funktion f gegeben durch +

f (x) = (x

K) ;

und für eine Put-Option mit Ausübungspreis K gilt +

f (x) = (K

x) :

Für einen Forward-Kontrakt mit Forward-Preis F erhalten wir f (x) = x

F:

Mit (3.78) aus Folgerung 3.77 ergibt sich der Wert der zustandsabhängigen Endauszahlung f (Sn ) = (f (Sn0 ) ; : : : ; f (Snn )) zu V0 = D 0;n [f (Sn )]

(4.6)

= h n ; f (Sn )i X = n (!) f (Sn (!)) !2

=

n X j=0

=

n X j=0

=

0 @

X

n (!)

!2Bnj

jBnj j

n

1

A f (Snj )

(Bnj ) f (Snj )

n X 1 n (1 + r) j=0

n j

qn

j

(1

j

q) f un

j j

d S ;

4.2 Rekombinierende Binomialbäume

235

n die Anzahl der Elemente von Bnj und n (Bnj ) = j j 1 q n j (1 q) den gemeinsamen Funktionswert von n auf Bnj bezeich(1+r)n net. Wir erhalten also eine geschlossene Formel für den Wert jeder Endauszahlung, die eine Funktion des Aktienkurses ist. Die vorangegangenen Ergebnisse fassen wir in folgendem Satz zusammen. wobei jBnj j =

Satz 4.2. Wir betrachten einen Binomialbaum mit n Perioden. Sei r der risikolose Zinssatz pro Periode, S der Anfangskurs der modellierten Aktie, und seien u und d zwei Faktoren mit u > 1 + r > d: Dann ist das durch diesen Baum erzeugte Marktmodell arbitragefrei und jedes Ein-Perioden-Teilmodell besitzt denselben Zustandsvektor ! (1+r) d 1 1 q u d = = u (1+r) 1 q 1+r 1+r u d d mit q := (1+r) u d . Sei weiter f : R ! R eine Funktion, so dass eine zustandsabhängige Auszahlung cn zum Endzeitpunkt n durch

cnj = f (Snj ) ; j = 0; : : : ; n, gegeben ist, wobei Snj = un

j j

d S

die modellierten Aktienkurse bezeichnet. Dann besitzt der Wert V0 der Endauszahlung cn = f (Sn ) zum Zeitpunkt 0 die Darstellung V0 = h = In (4.7) bezeichnet

n ; cn i

1 n (1 + r) n

(4.7) n X j=0

n j

qn

j

j

q) f un

(1

j j

d S :

den Zustandsprozess zum Zeitpunkt n, n

(!) =

1 n nq (1 + r)

j

(1

j

q) ;

wobei ! ein Pfad mit n j Aufwärts- und mit j Abwärtsbewegungen bezeichnet. j Auf der Menge aller Pfade wird durch Q (!) = q n j (1 q) ein Martingalmaßde…niert. Werden alle Pfade mit n j Aufwärts- und j Abwärtsbewegungen zu jeweils einer Menge Bnj zusammengefasst, so gilt Q (Bnj ) :=

n j

qn

j

(1

q)

j

(4.8)

236

4 Optionen, Futures und andere Derivate

für j = 0; : : : ; n, und (4.7) kann geschrieben werden als V0 =

1 Q n E [f (Sn )] : (1 + r)

Der in (4.7) berechnete Wert V0 ist der Wert einer Handelsstrategie zum Zeitpunkt 0, der die zustandsabhängige Auszahlung c zum Zeitpunkt n repliziert. Da in jedem Knoten zu jedem Zeitpunkt das gesamte Kapital für die nächste Periode reinvestiert wird, ist die zur Berechnung von V0 gehörende Handelsstrategie selbst…nanzierend. Beispiel 4.3. Die Werte des Finanzinstruments S stimmen im Zwei-PeriodenBinomialbaum-Modell zum Zeitpunkt 2 in den Zuständen ! 2 und ! 3 überein; es gilt 2 (1 + r) S2 (! 2 ) = S2 (! 3 ) = : udS Hängen die Werte der Endauszahlung c2j = f (S2j ) nur von S2j ab, nicht aber vom Verlauf des zu j führenden Pfades, so kann der Informationsbaum durch den in Abb. 4.2 dargestellten, gleichwertigen rekombinierenden Baum ersetzt werden, bei dem nur noch die für die Bewertung relevanten Daten eingetragen wurden. Wir sehen, dass die ursprünglich 22 = 4 Zustände zum Endzeitpunkt n = 2 durch n + 1 = 3 Knoten ersetzt wurden. Das MartingalmaßQ lautet für die 4 Endzuständen des ursprünglichen Binomialbaums 0 21 q B qq 0 C C Q := B @ qq 0 A ; q 02 während sich Q für die 3 Endzustände B20 , B21 und B22 des rekombinierenden Binomialbaums als 0 2 1 q Q := @ 2qq 0 A q 02 schreiben lässt.

4

Bei rekombinierenden Binomialbäumen steigt die Anzahl der Knoten mit wachsender Periodenzahl also nicht exponentiell, sondern nur linear an. Auf diese Weise wird sowohl der Speicheraufwand als auch die Rechenzeit in einem Maß e reduziert, dass sich mit derartigen Bäumen eine Vielzahl praxisrelevanter Finanzinstrumente, wie insbesondere Standard-Optionen, e¢ zient bewerten lassen.

4.2 Rekombinierende Binomialbäume 1 1+r

q

%

c20

1+r S1 (A10 ) = uS q 1 (A10 ) = 1+r q0

1 S q 1 0 = 1+r q0 Q 1 V0 = (1+r) [c2 ] 2E

&

S0 (A0 ) =

& 1 q0 1+r

(1 + r)2 u2 S 2 =f u S

S2 (B20 ) =

% 1 q 1+r

237

1 q0 1+r

(1 + r)2 udS = f (udS)

S2 (B21 ) =

1 q 1+r

c21

% 1+r dS q 1 (A11 ) = 1+r q0

S1 (A11 ) =

& 1 q0 1+r t=0

(1 + r)2 d2 S 2 =f d S

S2 (B22 ) = c22

t=1

t=2

Abb. 4.2. Rekombinierender Binomialbaum mit 2 Perioden, 4 Zuständen und mit 2 Finanzinstrumenten

4.2.1 Das direkte und das rekursive Bewertungsverfahren Wir betrachten die Bewertungsformel (4.7) für Auszahlungen, die eine Funktion der Kurse zum Endzeitpunkt sind, V0 =

n X 1 n (1 + r) j=0

n j

qn

j

(1

j

q) f un

j j

d S :

(4.9)

Die Bewertung von Auszahlungen zn;j := f un j dj S mit Hilfe von (4.9) bezeichnen wir als direktes Bewertungsverfahren. Wir de…nieren nun für j = 0; : : : ; n 1 zn

1;j

:=

1 (qzn;j + (1 1+r

und berechnen für j = 0; : : : ; n

2

q) zn;j+1 )

(4.10)

238

4 Optionen, Futures und andere Derivate

zn

2;j

1 (qzn 1;j + (1 q) zn 1;j+1 ) 1+r 1 2 = q) zn;j+1 + (1 2 q zn;j + 2q (1 (1 + r) 2 X 1 2 k = q 2 k (1 q) zn;j+k : 2 k (1 + r) k=0 =

Induktiv folgt für m zn

m;j

n und für j = 0; : : : ; n m X 1 m (1 + r)

=

k=0

m k

qm

n k

qn

2

q) zn;j+2

m k

(1

k

q) zn;j+k :

Speziell für m = n erhalten wir z0;0 =

n X 1 n (1 + r) k=0

k

(1

k

q) zn;k

= V0 :

Der Anfangspreis V0 der Endauszahlung lässt sich also auch mit Hilfe einer Rückwärtsrekursion in der Zeit berechnen, die wir schematisch wir folgt darstellen können: zn;0 #

zn

1;0

zn;1 .#

zn

1;1

zn;2 .#

zn

1;2

zn;3 .

zn;n 1 zn;n # .

zn

1;n 1

.. .

z1;0 # z0;0

z1;1 .

Wird dieses Verfahren in einer Programmiersprache implementiert, so ist für die Verwaltung der Daten lediglich eine lineare Liste mit n + 1 Speicherplätzen erforderlich. Im Verlauf der Rückwärtsrekursion werden die Speicherplätze dann von Zeitpunkt zu Zeitpunkt gemäß(4.10) jeweils überschrieben, bis zuletzt im ersten Element der Liste der gesuchte Wert z0;0 = V0 abgelegt wird. Dieser Algorithmus wird rekursives Bewertungsverfahren genannt. Das rekursive Bewertungsverfahren kann auch wie folgt interpretiert werden: Zu den n + 1 verschiedenen Endkursen Snj , j = 0; : : : ; n, gibt es genau n verschiedene Ein-Perioden-Teilmodelle. Also gibt es zu den n + 1 Auszahlungen zn0 ; : : : ; znn zum Zeitpunkt n genau n Werte zn 1;0 ; : : : ; zn 1;n 1 , die zum Zeitpunkt n 1 bereitgehalten werden müssen, um die Auszahlungen

4.3 Kalibrierung der Parameter des Binomialbaums

239

für jedes Ein-Perioden-Teilmodell zu replizieren. Diesen n Auszahlungen zum Zeitpunkt n 1 entsprechen n 1 verschiedene Ein-Perioden-Teilmodelle, also n 1 Kapitalbeträge zn 2;0 ; : : : ; zn 2;n 2 , die zum Zeitpunkt n 2 bereitgehalten werden müssen, usw.

4.3 Kalibrierung der Parameter des Binomialbaums Bisher waren die Anzahl n der betrachteten Perioden und die Parameter S; r; u und d in einem Binomialbaum willkürlich vorgegebene Größ en. In diesem Abschnitt wird dargestellt, wie diese Parameter bei vorgegebener Periodenzahl n so bestimmt werden, dass der Baum an reale Zinsen und an reale Aktienkursentwicklungen angepasst wird. 4.3.1 Bestimmung des Zinssatzes rn pro Periode Wir setzen einen Jahreszins R voraus, so dass sich festverzinslich angelegtes T Kapital nach Ablauf des Zeitraums [0; T ] mit dem Faktor (1 + R) verzinst. T Damit erhalten wir den Diskontfaktor dT = (1 + R) mit zugehörigem Zinssatz 1 rT := 1: (4.11) dT Für den Binomialbaum benötigen wir dagegen einen Zinssatz rn pro Periode. Dieser ist so zu wählen, dass n Verzinsungen mit dem Zinssatz rn gerade einer Verzinsung mit dem Faktor d1T = 1 + rT entsprechen. Es muss also gelten n

(1 + rn ) =

1 T = 1 + rT = (1 + R) dT

oder 1

rn = dT n

1

= (1 + rT ) = (1 + R)

(4.12) 1 n

1

T n

1:

4.3.2 Die Modellierung der Aktienkurse Empirische Eigenschaften von Aktienkursen S(t) Die logarithmischen Renditen Rt0 ;t := ln S(t 0 ) historischer Aktienkurse sind für 0 t0 t näherungsweise

unabhängig von ln S (t00 ) für alle 0

t00

t0

t,

240

4 Optionen, Futures und andere Derivate

normalverteilt mit Erwartungswert (t t0 ) und Varianz 2 (t t0 ).2 die Parameter und sind im Zeitverlauf unter normalen Marktentwicklungen näherungsweise konstant. Die motiviert das folgende Modell: Das Kursmodell für Aktien Sei S (t) der Kurs der Aktie S zum Zeitpunkt t 2 R. Wir nehmen an, dass es zwei Parameter und gibt, so dass für alle 0 t0 t gilt ln

S (t) = ln S (t) S (t0 )

ln S (t0 )

N

t0 ) ;

(t

2

(t

t0 ) :

(4.13)

Prozesse, die die Eigenschaft (4.13) besitzen, werden log-normal genannt. Das hier vorgestellte Modell besagt also, dass die Logarithmen der Aktienkurse als normalverteilt vorausgesetzt werden. Weiter nehmen wir an, dass ln S (t) ln S (t0 ) unabhängig von ln S (t00 ) ist für alle 0 t00 t0 t. l Wir de…nieren die logarithmische Rendite Rs;t des Aktienkurses S zwischen den Zeitpunkten s und t durch l Rs;t := ln

S (t) : S (s)

Wird für i = 1; : : : ; n vorausgesetzt, dass die logarithmischen Renditen S(i t) l R(i t; 2 t , so 1) t;i t = ln S((i 1) t) identisch verteilt sind nach N gilt für ein Zeitintervall [0; t] mit t = k t S (t) l E R0;t = E ln = E [ln S (t) ln S (0)] S (0) " k # X =E (ln S (i t) ln S ((i 1) t)) i=1

" k X

S (i t) =E ln S ((i 1) t) i=1 =

k X i=1

=k 2

h E Rl(i

1) t;i t

t:

#

i

Dies wird üblicherweise auch durch Rt0 ;t bezeichnet.

N

t

t0 ;

2

t

t0

4.3 Kalibrierung der Parameter des Binomialbaums

241

S(i t) l Werden die logarithmischen Renditen R(i 1) t;i t = ln S((i 1) t) für i = 1; : : : ; n zusätzlich als unabhängig vorausgesetzt, so folgt weiter

S (t) l V R0;t = V ln S (0) " k # X S (i t) =V ln S ((i 1) t) i=1 =

k X

i=1 2

=k

h l V R(i

1) t;i t

t:

i

Sowohl der Erwartungswert als auch die Varianz der logarithmischen Renditen hängen unter diesen Voraussetzungen also linear vom betrachteten Zeitraum ab, so dass die Unabhängigkeit der logarithmischen Renditen mit Voraussetzung (4.13) verträglich ist. Speziell für den Zeitraum [0; T ] mit T = n t erhalten wir E Rl0;T = T und l V R0;T =

Die Schätzung der Parameter

2

T:

und

In diesem Abschnitt zeigen wir, wie die Parameter und mit Hilfe historischer Kurszeitreihen für die Aktie S geschätzt werden können. Dazu werden etwa die Tageskurse S0 ; S1 ; : : : ; Sm der letzten m = 250 Handelstage, was ungefähr einem Jahr entspricht, jeweils zu einer festen Uhrzeit betrachtet. Anschließ end werden die logarithmischen Tagesrenditen Ril := ln

Si 1 ; i = 1; : : : ; m; Si

(4.14)

berechnet, und die Gesamtheit dieser Renditen wird als Wahrscheinlichkeitsverteilung der Aktienrenditen für den kommenden Handelstag interpretiert. Jeder betrachtete Tag i der Vergangenheit wird damit zu einem Szenario ! i für den kommenden Handelstag, und jede historische Tagesrendite ln SSi i 1 wird zu einem prognostizierten Rendite-Wert R (! i ) für die Aktie für Szenario ! i . Für die logarithmische Jahresrendite RlY := ln SSm0 gilt dann RYl =

m X i=1

Ril ;

242

4 Optionen, Futures und andere Derivate

denn es ist S0 = Sm = Sm

m Y Si

i=1 m Y

1

Si

exp Ril

i=1

= Sm exp =

m X

Ril

i=1 l Sm exp RY :

!

Anmerkung 4.4. Wegen ln (1 + x) = x + o (jxj) für x ! 0 folgt mit

x=

Si 1 Si

1

die Näherung ln

Si 1 Si

Si

Si

1

Si

;

denn für Tagesrenditen gilt in der Regel Si 1 Si

1

1:

Daher können im Falle von SSi i 1 1 1 an Stelle der logarithmischen Tagesrenditen auch die gewöhnlichen Renditen verwendet werden. Dies motiviert folgende De…nition 4.5. (De…nition der Parameter und im Binomialbaum) Sei m die Anzahl der Handelstage eines Jahres, z.B. m = 250. Dann de…nieren wir m 1 X := Ri (4.15) m i=1 und

2

:=

1 m

1

m X

(Ri

2

) :

(4.16)

i=1

Durch die Division durch m 1 in (4.16) wird der Ausdruck für einem erwartungstreuen Schätzer, siehe etwa Krengel [37].

2

zu

4.3 Kalibrierung der Parameter des Binomialbaums

243

Implizite Volatilitäten Wir werden sehen, dass für die Kalibrierung der Binomialbäume lediglich der Parameter von Bedeutung ist. In der Praxis wird dieser Parameter bei börsengehandelten Derivaten üblicherweise nicht aus historischen Zeitreihen, sondern aus den Preisen der Wertpapiere selbst implizit bestimmt, d.h. wird so angepasst, dass die beobachteten Marktpreise bei einer Bewertung im Baum reproduziert werden. Die auf diese Weise bestimmten werden implizite Volatilitäten genannt. 4.3.3 Binomialbäume und Binomialverteilung Nach Unterteilung des Zeitintervalls [0; T ] in n gleiche Abschnitte der Länge t := Tn legen wir in das entstehende Zeitgitter f0; t; 2 t; : : : ; n t = T g ein Binomialbaum-Modell. Wir nehmen dazu an, dass der Wert der Aktie zwischen je zwei zeitlich benachbarten Knoten entweder um den Faktor un > 1 + rn steigt oder um den Faktor dn := u1n < 1 + rn fällt. Für die Aktienkurse Stj im Baum gilt dann Stj = Sutn j djn = Sutn

2j

für alle t = 0; : : : ; n und für alle j = 0; : : : ; t. Nach Vorgabe eines Anfangskurses S und eines Wachstumsfaktors un wird also jedem Knoten (t; j) des Baums für t = 0; : : : ; n und für j = 0; : : : ; t ein Kurswert Stj = Sutn 2j zugeordnet. t Zu jedem Knoten (t; j) führen genau Pfade. j Bislang wurden im Binomialbaum keine Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten einer Kursentwicklung nach oben mit dem Faktor un oder nach unten mit dem Faktor dn de…niert. Somit können wir in einem Binomialbaum bisher auch nicht von Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Aktienkurse sprechen3 . Wir führen nun ein Wahrscheinlichkeitsmaßals neues Modellierungselement ein. 3

Allerdings ist die Anzahl der Pfade, die zu einem Knoten (t; j) führen, binomit alverteilt nach B t; 12 . Denn es gibt Pfade, die zum Knoten (t; j) führen, j t bei insgesamt 2 Pfaden. Nehmen wir auf der Menge aller 2t Pfade eine Gleichverteilung an und sei X eine Zufallsvariable, die einen dieser Pfade auswählt, so ist X verteilt nach B t; 12 und t t j j j 1 1 t PX (j) := = j 2 2 2t bezeichnet den Bruchteil derjenigen Pfade, die zum Knoten j führen.

244

4 Optionen, Futures und andere Derivate

De…nition 4.6. Wir betrachten einen Binomialbaum mit den Parametern S; T; n; rn und un und bezeichnen einen beliebigen Knoten im Baum mit (t; j) für t = 0; : : : ; n 1 und j = 0; : : : ; t. In einem Knoten (t; j) beträgt der Kurswert der Aktie Stj = ut j dj S. Wir de…nieren nun eine Wahrscheinlichkeit pn , 0 < pn < 1, für eine aufsteigende Kursentwicklung im Baum. Der Faktor pn gibt also an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Kurs Snj im Knoten (t; j) zum nachfolgenden Zeitpunkt t + 1 auf den Wert St+1;j = un Stj steigt.

Stj

pn %

St+1;j = un Stj

& S = dn Stj 1 pn t+1;j+1 Damit ist ein Binomialbaum durch die Parameter (S; T; n; rn ; un ; pn ) eindeutig festgelegt und wird im folgenden durch ein derartiges Tupel charakterisiert. Bei Überlegungen, für die die Wahrscheinlichkeit pn keine Rolle spielt, wird der Binomialbaum auch durch (S; T; n; rn ; un ) gekennzeichnet. Lemma 4.7. Sei (S; T; n; rn ; un ; pn ) ein Binomialbaum. Die logarithmischen S Renditen ln Stj der Aktienkurse sind als Funktion der Knotennummer j binoS mialverteilt nach B (t; pn ) für t = 1; : : : ; n. Ferner gilt mit Rl0;T = ln Snj Et;pn Rl0;T = t (1

2pn ) ln un

(4.17)

und Vt;pn Rl0;T = t 4pn (1

pn ) ln2 (un )

(4.18)

für t = 1; : : : ; n. Dabei bezeichnen Et;pn [ ] und Vt;pn [ ] den Erwartungswert und die Varianz bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaß es P (j) =

t j

ptn

j

(1

j

pn ) :

Beweis. Ausgehend von ln

Stj = (t S

2j) ln un

schreiben wir j zunächst als Summe von t unabhängigen Bernoulli-Zufallsvariablen Xi . Mit (4.5) kann Xi (!) := "i , "i 2 f0; 1g, fürh die Pfade i ! im Pt Binomialbaum de…niert werden. Dann gilt Et;pn [j] = Epn X i=1 i sowie hP i t Vt;pn [j] = Vpn i=1 Xi , und mit X1 =: X folgt pn

E

" t X i=1

#

Xi = tEpn [X] = tpn

4.3 Kalibrierung der Parameter des Binomialbaums

und V

pn

" t X i=1

Daher gilt

#

Xi =

t X

Vpn [Xi ] = tVpn [X] = tpn (1

245

pn ) :

i=1

Et;pn ln

Stj S

= Et;pn [(t

2j) ln un ]

= t 2Et;pn [j] ln un = t (1 2pn ) ln un und Vt;pn ln

Stj S

= Vt;pn [(t

2j) ln un ]

= 4Vt;pn [j] ln2 (un ) = t 4pn (1

pn ) ln2 (un ) :

Damit ist das Lemma bewiesen. Der Erwartungswert und die Varianz von ln t dem Zeitpunkt t t = t Tn entspricht.

Stj S

sind also linear in t, wobei

Aufgabe 4.1. Geben Sie einen direkten Beweis für die Aussagen (4.17) und (4.18) in Lemma 4.7 an. Folgerung 4.8 Wird ein Binomialbaum (S; T; n; rn ; un ) mit dn = u1n um die konstante Wahrscheinlichkeitsverteilung (pn ; 1 pn ) in jedem Knoten erweitert, so lassen sich im Baum genau solche Aktienkursentwicklungen modellieS ren, für die die logarithmischen Renditen ln Stj binomialverteilt sind. 4.3.4 Die Bestimmung der Parameter un und pn Wir setzen die beiden Parameter und im folgenden als gegeben voraus. Wie in Abschnitt 4.3.2 dargestellt, können sie beispielsweise aus der Analyse historischer Kurszeitreihen gewonnen werden. Dann sind die Werte un und pn in einem Binomialbaum mit Periodenzahl n nach (4.17) und (4.18) sowie nach (4.15) und (4.16) festgelegt durch l Et;pn R0;T = t (1

2pn ) ln un = t

t

und l Vt;pn R0;T = t 4pn (1

pn ) ln2 (un ) = t

t

2

:

für t = 0; : : : ; n. Daraus folgt t = (1

2pn ) ln un

(4.19)

246

4 Optionen, Futures und andere Derivate

und 2

pn ) ln2 (un ) :

t = 4pn (1

Mit

1 zn := p 2 pn (1

(4.20) (4.21)

pn )

erhalten wir aus (4.20) die Darstellung

p

un = ezn

t

:

Aus den beiden Bestimmungsgleichungen (4.19) und (4.20) für un und pn folgt p 1 2pn t= p : 2 pn (1 pn ) Einfache Umformungen führen zu

2

4p2n

4pn

4pn + 4p2n ;

t=1

und daraus erhalten wir 2

4p2n 1 +

2

t

4pn 1 +

t + 1 = 0:

Also gilt p2n

1

pn +

= 0:

2

4 1+

t

Diese quadratische Gleichung besitzt die Lösungen s 1 1 1 pn = 1 2 2 2 1+ t s 1 1 p 1 = t : 2 2 2 1+ t Damit der Faktor 1 2pn in 4.19 positiv ist, wählen wir die Lösung pn < 12 , und wir erhalten wir zusammengefasst pn =

1 2

un = ezn

1 2 p

p

t

r

1 1+(

2

) t ; zn := p 2

t

;

t :=

1 : pn (1 pn )

T n;

(4.22)

O¤enbar folgt lim pn =

n!1

1 2

und lim zn = 1:

n!1

(4.23)

4.3 Kalibrierung der Parameter des Binomialbaums

247

4.3.5 Näherungslösungen für un und pn 1 2

Eine Taylorentwicklung für pn > pn = für

in (4.22) liefert

1 p t+O 2

1 2

3

t2 :

(4.24)

t ! 0. Wegen (4.24) und (4.23) sind

p

un := e

t

(4.25)

und

1 1 p t: (4.26) 2 2 Näherungslösungen für (4.19) und (4.20). Wir zeigen nun, dass (4.25) und (4.26) die richtigen asymptotischen Eigenschaften besitzen. pn :=

Satz 4.9. Für die Wahl pT p t un := e n = e ; p 1 T n = e dn := =e un und pn :=

1 2

(4.27) p

t

1 p t + f ( t) ; 2

(4.28)

wobei f beliebig ist mit f ( t) = O ( t) für

t ! 0;

gilt l lim En;pn R0;T = T

n!1

und lim Vn;pn Rl0;T =

n!1

l Beweis. Nach Lemma 4.7 gilt mit R0;T = ln

En;pn ln

Snj S

= n (1 =n =n =T !

2

T:

Snj S

2pn ) ln un p

t + f ( t) +T T für

p

t + f ( t) p

f ( t) p t t t ! 0:

t

t

248

4 Optionen, Futures und andere Derivate

Weiter gilt mit Lemma 4.7 Vn;pn ln

Snj S pn ) ln2 (un )

= 4npn (1 = 4T

2

= 4T

2

= 4T = !

2 2

p2n

pn

1 p t + f ( t) 2

1 2

1 p t + f ( t) 2

1 2

2

!

p 1 +O t 4 p T +O t 2

T für

t ! 0:

Folgerung 4.10. Für die Wahl pT p t un := e n = e ; p 1 T n = e dn := =e un und pn :=

2 2

+

e

T n

un

(4.29) p

t

dn

(4.30)

dn

gilt l lim En;pn R0;T = T

n!1

und lim Vn;pn Rl0;T =

2

n!1

T:

Beweis. Wir betrachten die Funktion 2

erx f (x) := e x

e e

x x

2

erx e x = 2 sinh ( x)

und nehmen eine Taylorentwicklung um x = 0 vor. Mit der Regel von de L’Hospital gilt zunächst 2

2rxerx + e x!0 2 cosh ( x)

lim f (x) = lim

x!0

Weiter gilt

x

=

1 : 2

4.3 Kalibrierung der Parameter des Binomialbaums x

e

0

2

+ 2rxerx

erx

sinh ( x)

f (x) =

2

e

x

249

cosh x :

2 sinh2 x

Sowohl der Zähler als auch der Nenner des Ausdrucks für f 0 (x) haben den Grenzwert 0 für x ! 0. Eine erneute Anwendung der Regel von de L’Hospital liefert lim f 0 (x)

x!0

2

(sinh x ) 2rerx

2

e

= lim

+ 4r2 x2 erx

2

2

2

(sinh x ) erx

e

x

4 sinh ( x) cos ( x)

x!0 rx2

2

2re

e

x

2 2 rx2

2

2

+ 4r x e

= lim

erx

x

e

4 cosh ( x)

x!0

=

x

2

2r 4

:

Setzen wir schließ lich r = die Entwicklung +

e e

2 2

p

+

t t

e e

2

2

p p

t

ein, so erhalten wir wegen

t

=

2r 4

2

=

1 2

1 p t + O ( t) ; 2

1 2

und die Behauptung folgt aus Satz 4.9. Der vorangegangende Satz 4.9 und die Folgerung 4.10 rechtfertigen daher folgende De…nition. De…nition 4.11. Wir de…nieren für beliebiges n 2 N die einen Binomialbaum bestimmenden Parameter un ; dn und pn durch pT p t un := e n = e ; (4.31) p p T 1 t n = e dn := =e un und pn :=

e

+

un

2 2

T n

dn

dn

:

(4.32)

Wählen wir un und pn wie in obiger De…nition 4.11, so gilt nicht exakt Stj S Stj ln S

Et;pn ln

= t (1

Vt;pn

= t 4pn (1

2pn ) ln un = t

t

pn ) ln2 (un ) = t

und t

2

;

250

4 Optionen, Futures und andere Derivate

aber die beiden Gleichungen gelten mit wachsendem n nach Satz 4.9 und nach Folgerung 4.10 in immer besserer Näherung. pT Nach De…nition 4.11 tritt der Parameter in un = d1n = e n nicht auf, und da die Wahrscheinlichkeit pn für die Bewertung von Auszahlungspro…len in Binomialbäumen nicht benötigt wird, kann auf die Schätzung von sogar gänzlich verzichtet werden. Dies ist bemerkenswert, denn der Parameter beschreibt den deterministischen Anteil der Aktienrendite und unsere Ergebnisse besagen, dass dieser Anteil für die Bewertung von Auszahlungspro…len, also insbesondere von Derivaten, in Binomialbäumen keine Rolle spielt. Entscheidend ist lediglich der Parameter , der die Stärke der Neigung der Aktie zu Schwankungen charakterisiert.

4.4 Die Bewertung europäischer Standard-Derivate De…nition 4.12. Sei c 2 W gegeben durch c0 =

= cn

1

= 0 und durch

cn = f (Sn ) für eine Funktion f : R ! R. Dann heiß t c europäisches Auszahlungspro…l. 4.4.1 Das direkte Bewertungsverfahren Eine Bewertung europäischer Auszahlungspro…le f (Sn ) = (f (Sn0 ) ; : : : ; f (Snn )) mit Hilfe von Gleichung (4.7), also mit V0 =

n X 1 n (1 + r) j=0

n j

qn

j

(1

j

q) f un

j j

d S ;

ist gleichbedeutend mit dem Einsatz des in Abschnitt 3.7.2 vorgestellten direkten Verfahrens. Zur Implementierung von (4.7) sind die beiden folgenden Lemmata hilfreich. Lemma 4.13. Für beliebiges n 2 N und für beliebiges 0 Rekursionsformel n j n n = : j+1 j+1 j

j < n gilt die

4.4 Die Bewertung europäischer Standard-Derivate

251

Beweis. Mit der De…nition n j

=

n! n (n 1) = j! (n j)! j (j

(n 1)

(j 1

1))

gilt n j+1

Beachten wir

n 0

=

=

n (n

1) (n (j 1)) (n (j + 1) j (j 1) 1

j)

=

n j j+1

n! n!

= 1, so lauten die ersten Schritte der Rekursion n 0 n 1 n 2 n 3

n j

:

= =

1 n 11

=n

=

n 1 2 n

=

n 2n 1 3 2 n:

Weiter betrachten wir folgende einfache Rekursionsformeln für die Aktienkurse und Wahrscheinlichkeiten im Binomialbaum. Lemma 4.14. Es gilt d Snj u 1. Entsprechend gilt Sn;j+1 =

für alle j = 0; : : : ; n qn

(j+1)

(1

q)

j+1

=

1

q q

qn

(4.33)

j

Beweis. (4.33) folgt wegen Sn;j+1 = un j 1 dj+1 S d = un j d j S u d = Snj : u (4.34) ist klar.

(1

j

q) :

(4.34)

252

4 Optionen, Futures und andere Derivate

Im Falle d = u1 gilt speziell Sn;j+1 = u12 Snj für alle j = 0; : : : ; n 1. Die beiden vorangegangenen Aussagen sind deshalb von Bedeutung, weil sie eine e¢ ziente Implementierung von (4.7) ermöglichen. Dazu schreiben wir V0 = =

n X 1 n (1 + r) j=0 n X 1 n (1 + r) j=0

n j q n j (1 q) . Für j die Rekursionsbeziehung mit

j

:=

j+1

für j = 0; : : : ; n

n j jf

j

qn

j

(1

j

q) f (Snj )

(Snj ) ;

gilt nach Lemma 4.13 und Lemma 4.14

n qn j+1 1 qn j = q j+1

(j+1)

=

(1

j+1

q)

(4.35)

j

1, wobei der Startwert durch 0

=

n 0

q n (1

0

q) = q n

(4.36)

gegeben ist. Die Implementierung des direkten Verfahrens Die in den folgenden Abschnitten vorgestellten Algorithmen verwenden die in (4.37) aufgeführten Daten.

4.4 Die Bewertung europäischer Standard-Derivate

253

// Eingangsdaten, die den Binomialbaum spezifizieren double S0 ; // // double T ; // int n; // double R; // // double ; // //

Anfangskurs, S0 > 0, Einheit: etwa 1 Euro oder 1 Dollar Endzeitpunkt, T > 0, Einheit 1 Jahr Anzahl Perioden im Baum, n > 1 Jahreszins, R > 0 Einheit: Dezimalzahl (nicht %) Volatilität der Aktie für ein Jahr, Einheit: Dezimalzahl (nicht %)

>0

// Berechnete Größen double t = T =n; double r = (1 + R) double u = exp double d = 1=u; double q = ((1 + r)

t

p

1; t ;

d) = (u

// Länge einer Periode // Zinssatz pro Periode // Anstiegsfaktor der Aktie, // Bedingung: u > 1 + r > u1 // Abstiegsfaktor der Aktie d) ; // Martingalmaß

(4.37) Die Parameter S0 , T , n, R und de…nieren einen Binomialbaum und müssen als Eingangsdaten vorgegeben werden. Die Größ en t, r, u, d und q werden mit Hilfe dieser de…nierenden Parameter berechnet. Sie werden bereits hier aufgeführt und in den nachfolgenden Algorithmen kommentarlos verwendet. Wir setzen weiter voraus, dass die Endauszahlung c zum Zeitpunkt n eine Funktion f : R ! R der Kurse zum Endzeitpunkt ist, also cj = f (Snj ) für j = 0; : : : ; n. Dabei gilt beispielsweise f (x) = max (x K; 0) für eine Call-Option mit Basispreis K f (x) = max (K x; 0) für eine Put-Option mit Basispreis K f (x) = x F für einen Forward-Kontrakt mit Forward-Preis F .

(4.38)

Unter Verwendung der Rekursionen in Lemma 4.13 und Lemma 4.14 lässt sich ein Algorithmus zur Berechnung von (4.7) wie folgt sehr kompakt schreiben.

254

4 Optionen, Futures und andere Derivate

// Algorithmus zur direkten Bewertung // eines Auszahlungsprofils f (Sn ) a = (1 q) =q; b = d=u; = n ln (q) ; x = un S0 ; y = f (x) exp ( ) ; for (j = 0; j < n; j + +) f x = b; + = ln (a (n j) = (j + 1)) ; y + = f (x) exp ( ) ; g n return (1 + r) y;

(4.39)

Für groß e n wird 0 = q n zu 0 gerundet, und in diesem Fall liefert (4.35) für alle j = 1; : : : ; n den Wert 0. Zur Vermeidung dieses Problems wird die Rekursion (4.35) in (4.39) logarithmiert geschrieben als ln

j+1

= ln

1

qn j q j+1

+ ln

j;

j = 0; : : : ; n

1;

mit Startwert ln

0

= n ln q:

Der Algorithmus (4.39) zur Bewertung von Auszahlungspro…len f (Sn ) verursacht Kosten in Höhe von 4 (n + 1) Multiplikationen, wobei eine Division vom Aufwand her als Multiplikation gezählt wird und wobei Funktionsaufrufe nicht berücksichtigt werden. Auß erdem werden einzelne Multiplikationen, die bei der Initialisierung von Variablen oder in der return-Anweisung auftreten, nicht mitgezählt. Insgesamt wächst der Berechnungsaufwand nur linear mit der Anzahl n der Perioden an. Beachten Sie, dass der Algorithmus (4.39) von der De…nition der Funktionen f : R ! R unabhängig ist. Programmieren Sie objektorientiert, so sollten Sie den Algorithmus in einer Basisklasse B implementieren, wobei Sie die Methode f () als abstrakt deklarieren. Auf diese Weise wird B selbst zu einer abstrakten Klasse, von der Sie keine Instanzen bilden können. So würden Sie in Java beispielsweise schreiben:

4.4 Die Bewertung europäischer Standard-Derivate

255

// Basisklasse für das // direkte Bewertungsverfahren abstract public class B f .. . // Algorithmus (4.39) public double evaluate() f .. .

(4.40)

g // abstrakte Methode, die die // Endauszahlung definiert abstract protected double f (double S); g Der Algorithmus (4.39) wird hier in der Methoden evaluate () untergebracht. Für die Funktion f () fehlt der Funktionsrumpf, da diese Methode, wie oben ausgeführt, hier nur abstrakt deklariert wird. Sie wird jedoch im Rumpf der Methode evalutate () gemäß(4.39) aufgerufen. Im nächsten Schritt leiten Sie von B eine Klasse BCall ab, in der Sie die Funktion f () entsprechend implementieren. Sie erhalten auf diese Weise die folgende Programmstruktur:

// Basisklasse für das // direkte Bewertungsverfahren public class BCall extends B f // Ausübungspreis private double K; .. .

g

// Auszahlungsfunktion der // Call-Option protected double f (double S) f return Math.max (S K; 0) ; g

Entsprechend leiten Sie weiter von B die Klassen BP ut oder BF orward ab, in der Sie die Methode f () entsprechend programmieren.

256

4 Optionen, Futures und andere Derivate

Die Namen der Klassen B bzw. BCall, BP ut und BF orward, sowie die Methodenamen evalutate () und f () wählen Sie passend zum Aufbau Ihrer eigenen Klassenhierarchie. Wesentlich ist, dass Sie den Algorithmus (4.39) nur ein einziges Mal in einer Basisklasse implementieren und ihn anschließ end an abgeleitete Klassen vererben. 4.4.2 Das rekursive Bewertungsverfahren Sei wieder c = (f (Sn0 ) ; : : : ; f (Snn )) eine zustandsabhängige Endauszahlung. Nach Abschnitt kann der Wert von c zum Zeitpunkt 0 auch rekursiv mit Hilfe von (4.10) berechnet werden. Die Implementierung des rekursiven Verfahrens Werden die Werte der Endauszahlung cn0 ; : : : ; cnn in einem Array gespeichert, so wird zunächst der Wert zn 1;0 mit Hilfe der beiden Werte cn0 und cn1 berechnet. Im folgenden wird der Wert cn0 nicht mehr benötigt und der zugehörige Speicherplatz kann daher mit zn 1;0 überschrieben werden. Anschließ end wird der Wert zn 1;1 mit Hilfe der Werte cn1 und cn2 berechnet, worauf der Wert cn1 nicht mehr benötigt wird und daher mit zn 1;1 überschrieben werden kann, usw. Nach n Schritten ist das Array mit den Werten zn 1;0 ; : : : ; zn 1;n 1 gefüllt. Der letzte, n-te, Speicherplatz enthält noch den Wert cnn , der im folgenden jedoch nicht mehr verwendet wird. Nun wird mit zn 1;0 und zn 1;1 der Wert zn 2;0 berechnet, und mit diesem Wert wird zn 1;0 anschließ end überschrieben. Das Verfahren wird rekursiv fortgesetzt, bis schließ lich der gesuchte Wert z0 der Auszahlung c mit Hilfe der beiden Werte z10 und z11 berechnet wird. Das Speichern der Endauszahlung c = (f (Sn0 ) ; : : : ; f (Snn )) in einem Array kann wie folgt implementiert werden: // Initialisierung eines Arrays z der Länge n + 1 // mit einem Auszahlungsprofil c = f (Sn ) b = d=u; x = un S0 ; z = new double[n + 1]; for (j = 0; j <= n; j + +) f z [j] = f (x) ; x = b; g Der Rekursionsalgorithmus lautet nun folgendermaß en:

(4.41)

4.5 Die Berücksichtigung von Dividendenzahlungen

// Rekursiver Bewertungsalgorithmus mit // Hilfe der in z enthaltenen Daten for (k = n; k > 0; k ) f for (j = 0; j < k; j + +) f z [j] = q z [j] + (1 q) z [j + 1] ; g g n return (1 + r) z [0] ;

257

(4.42)

Bemerkenswert ist, dass der Algorithmus (4.42) vom Typ der durch f () de…nierten Endauszahlung vollkommen unabhängig ist. Die Initialisierung (4.41) erfordert Kosten in Höhe von n+1 Multiplikationen. Weiter beansprucht der Rekursionsalgorithmus 2n + 2 (n 1) + + 2 = n (n + 1) Multiplikationen. Insgesamt wachsen die Kosten also quadratisch mit der Anzahl der Perioden. Trotz erhöhter Kosten erweist sich das rekursive Verfahren als sehr e¢ zient, und für die Bewertung der in Abschnitt 4.6 besprochenen amerikanischen Optionen ist es häu…g unumgänglich. Auch beim rekursiven Verfahren bietet es sich an, sowohl die Initialisierung als auch den Rekursionsalgorithmus in einer abstrakten Basisklasse zu implementieren. Und wie beim direkten Verfahren wird die Methode f () abstrakt deklariert und erst in abgeleiteten Klassen je nach Typ des Derivats geeignet de…niert. Schließ lich spricht nichts dagegen, sowohl das direkte als auch das rekursive Verfahren in einer gemeinsamen abstrakten Basisklasse zu implementieren und durch sinnvolle Methodennamen voneinander zu unterschieden.

4.5 Die Bewertung europäischer Standard-Optionen bei Dividendenzahlungen des Underlyings 4.5.1 Die Modellierung von Aktienkursen mit Dividendenzahlungen Wird für eine Aktie S eine Dividende zu einem Zeitpunkt 0 T gezahlt, so reduziert sich der Aktienkurs S zum Zeitpunkt um den Dividendenbetrag . Wir nehmen im folgenden an, dass alle Dividendenzahlungen unabhängig vom eintretenden Zustand sind und dass wir sowohl den Betrag als auch den Zahlungszeitpunkt der Dividenden während der Laufzeit der Optionen kennen.

258

4 Optionen, Futures und andere Derivate

Weiter setzen wir für den gesamten Abschnitt stetige Zinsen voraus, d.h. wir berechnen aus dem Diskontfaktor dT des Modells den Zinssatz rc aus dT = e also rc =

rc T

;

1 ln dT : T

(4.43)

Anmerkung 4.15. Angenommen, es ist ein Jahreszinssatz R gegeben. Dann lautet der Diskontfaktor dT bis zum Zeitpunkt T dT =

1 (1 + R)T

:

T

Aus der Bedingung (1 + R) = erc T für den stetigen Zinssatz rc folgt rc = ln (1 + R) : Zunächst stellen wir verschiedene Möglichkeiten vor, Aktienkurse unter Berücksichtigung von Dividendenzahlungen zu modellieren. Erster Modell-Ansatz Wir betrachten wieder einen Binomialbaum mit n Perioden und untersuchen den Fall, dass eine Aktie während der Laufzeit einer Option nur eine einzige Dividende der Höhe auszahlt. Der Abstand zwischen zwei Zeitebenen betrage t = Tn und für den Zeitpunkt der Dividendenzahlung gelte (k

1) t <

k t:

Ein naheliegender Ansatz zur Berücksichtigung der Dividendenzahlung im Baum besteht in folgender Vorgehensweise. Wir setzen für i < k und für alle j = 0; : : : ; i wie bisher Sij = Sij = S0 ui j dj und vermindern für i = k die zustandsabhängigen Aktienkurse um den auf den Zeitpunkt k t aufgezinsten Dividendenbetrag erc (k t ) , also Skj = S0 uk j dj erc (k t ) für j = 0; : : : ; k. Die Aktienkurse der folgenden Zeitebenen werden durch Multiplikation von S0 ui j dj erc (k t ) mit geeigneten Faktoren der Form ur s ds modelliert. Dies bedeutet also Sij := Sij := S0 ui j dj Skj := S0 uk j dj Skj = Skj erc (k t ) Sij := Sij := ur s ds Skj 0

für für für für

0 i < k, j = 0; : : : ; i j = 0; : : : ; k j = 0; : : : ; k k < i n und geeignete r; s; j 0 :

Dieser Ansatz hat jedoch zur Konsequenz, dass der auf diese Weise entstehende Baum ab der Dividendenzahlung nicht mehr rekombiniert. Betrachten wir dazu beispielsweise die Kurse

4.5 Die Berücksichtigung von Dividendenzahlungen

Sk+1;1 = dSk0 = d S0 uk

erc (k

Sk+1;2 = uSk1 = u S0 uk

1

t

erc (k

d

259

) t

)

;

so gilt Sk+1;1 = Sk+1;2 nur für = 0. Die Anzahl der Knoten im Baum wächst also bei dieser Modellierung ab dem Zeitpunkt der Dividendenzahlung exponentiell an, so dass dieser Ansatz für die numerische Berechnung von Optionspreisen für die Praxis problematisch ist. Zweiter Modell-Ansatz Bei gleichen Voraussetzungen wie im ersten Ansatz besteht eine alternative Modellierung in der De…nition Sij := Sij := S0 ui j dj Skj := S0 uk j dj Skj = S0 uk j dj erc (k t ) i j j Sij := Sij := S0 u d erc (k

t

)

für für für für

0 i < k, j = 0; : : : ; i j = 0; : : : ; k j = 0; : : : ; k k < i n, j = 0; : : : ; i:

Hier wird also der deterministische, aufgezinste Dividendenbetrag von den stochastisch modellierten Aktienkursen subtrahiert. Dieser Ansatz führt zu rekombinierenden Bäumen, beinhaltet aber das Problem, dass unter der Voraussetzung d < 1 für groß e i negative Aktienkurse auftreten können. Denn beispielsweise gilt für i = j = n Snn = S0 dn erc (k q r (k t ) und dies wird negativ für d < n e c S0 .

t

)

;

Das Standard-Modell Wir betrachten wieder einen Binomialbaum mit n Perioden und setzen wie oben voraus, dass eine Aktie zu einem Zeitpunkt (k 0 < k n, eine S0 e rc , so ist Dividendenbeträge

1) t <

k t;

Dividende der Höhe auszahlt. De…nieren wir S~0 := ~ S0 > 0 für alle praxisrelevanten, d.h. genügend kleinen, . Wir setzen nun

Sij := Sij := S~0 ui j dj + e Skj := S~0 uk j dj + erc (k t Skj := S~0 uk j dj Sij := Sij := S~0 ui j dj

rc ( )

i t)

für für für für

i < k, j = 0; : : : ; i j = 0; : : : ; k j = 0; : : : ; k k < i; j = 0; : : : ; i:

(4.44)

Auch dieser Ansatz führt zu rekombinierenden Bäumen, und er vermeidet zudem das Problem negativer Kurswerte. Daher werden wir (4.44) im folgenden

260

4 Optionen, Futures und andere Derivate

verwenden, um den Verlauf von Aktienkursen mit Dividendenzahlungen zu modellieren. Wir betrachten (4.44) genauer. Nach De…nition gilt S00 = S00 = S~0 + e

rc

= S0 :

Also stimmt der modellierte Kurs S00 zum Zeitpunkt 0 mit dem Anfangskurs S0 überein. Für jedes 0 < i < k gilt Sij = Sij = S~0 ui j dj + e rc ( i t) . Die zum Zeitpunkt ausgeschüttete Dividende wird also auf die Zeitpunkte i t abdiskontiert und zu S~0 ui j dj hinzuaddiert. Zum Zeitpunkt k t beinhaltet der cum-dividend-Preis Skj = S~0 uk j dj + erc (k t ) die vom Zeitpunkt auf den Zeitpunkt k t aufgezinste Dividende, beim ex-dividend-Preis Skj = S~0 uk j dj wird dieser Betrag gerade weggelassen, siehe Abb. 4.3.

(k

r

R

1) t

r

r

k t

(k + 1) t

Abb. 4.3. Einzelne Dividende zum Zeitpunkt (k 1) t < k t. Zur Berechnung des cum-Dividend-Preises zum Zeitpunkt k t wird die Dividende auf diesen Zeitpunkt aufgezinst.

Für alle Zeitpunkte i t > k t treten keine Dividenden mehr auf, und es wird Sij := Sij := S~0 ui j dj de…niert. Verallgemeinerung auf mehrere Dividendenzahlungen Wir nehmen wieder an, dass im Binomialbaum n Perioden mit Abstand t = Tn vorliegen. Treten während der Laufzeit einer Option m Dividendenzahlungen k der zugrunde liegenden Aktie zu den Zeitpunkten 0 < 1 < < m T auf, so de…nieren wir zunächst Di :=

m X

k=1 i t<

k

e

rc (

k

i t)

:

(4.45)

k

Die Größ e Di bezeichnet also die auf den Zeitpunkt i t abdiskontierte Summe aller ab dem Zeitpunkt i t auftretenden Dividenden. Damit gilt D0 = Pm e rc k und DT = 0. Wir de…nieren nun k k=1

4.5 Die Berücksichtigung von Dividendenzahlungen m X

S~0 := S0

k

e

rc

261

(4.46)

k

k=1

= S0

D0 :

Weiter de…nieren wir die Größ e i 1;i als alle auf den Zeitpunkt i t aufgezinsten Dividenden zwischen (i 1) t und i t, also i 1;i

m X

:=

k

erc (i

t

k)

;

(4.47)

k=1 (i 1) t< k i t

siehe Abb. 4.4.

r

R R i

i+1

r

k t

r

(k + 1) t

Abb. 4.4. Alle Dividenden zwischen den Zeitpunkten (k 1) t < zur Berechnung von k 1;k auf den Zeitpunkt k t aufgezinst.

k t werden

Damit modellieren wir die Aktienkurse im Binomialbaum durch Sij := S~0 ui Sij := Sij +

j j

d + Di

(4.48)

i 1;i

für i = 0; : : : ; n und j = 0; : : : ; i. Im Falle einer einzelnen Dividendenzahlung reduziert sich (4.48) auf (4.44). 4.5.2 Die Bewertung im Ein-Perioden-Zwei-Zustands-Modell Wir betrachten ein Ein-Perioden-Zwei-Zustands-Modell mit einer Aktie S, Anfangszeitpunkt 0 und Endzeitpunkt T . Zu einem Zeitpunkt 0 < T zahle die Aktie eine Dividende der Höhe , die nach Zahlung bis zum Zeitpunkt T zum risikolosen stetigen Zinssatz rc angelegt wird. In diesen Fall reduziert sich (4.46) auf S~0 = S0 e rc : (4.49) Weiter spezialisiert sich (4.48) zu

262

4 Optionen, Futures und andere Derivate

S00 = S00 = S0 S10 = uS~0 S11 = dS~0 S10 = S10 + erc (T

)

S11 = S11 + erc (T

)

:

Die Bestimmung eines replizierenden Portfolios Wir betrachten die Aufgabe, eine Auszahlung c = (c1 ; c2 ) mit Hilfe eines Portfolios ( ; ) zu replizieren und erhalten die Gleichungen c1 = erc T + S10 = erc T + uS~0 + c2 = erc T + S = erc T + dS~0 +

erc (T

)

rc (T

)

e

11

(4.50)

:

Der jeweils letzte Summand erc (T ) der beiden vorausgegangenen Gleichungen ist die bis zum Fälligkeitszeitpunkt T aufgezinste Summe von Dividenden der Höhe , die zum Zeitpunkt gezahlt wurden. Aus den beiden Gleichungen folgt durch Subtraktion =

c1 c2 : (u d) S~0

Unter Beachtung von ud = 1 gilt d erc T = dc1 u erc T = uc2

S~0 S~0

d

erc (T

)

u

erc (T

)

dc1

(u

d)

erc (T

;

und daraus ergibt sich (u

d) erc T = uc2

also =

uc2 u

dc1 e d

rc T

e

rc

)

;

:

Der Aktienkurs hat zum Zeitpunkt 0 den Wert S~0 + e rc = S0 . Damit erhalten wir für den Wert c0 des replizierenden Portfolios zum Zeitpunkt 0 den Ausdruck c0 =

+ S0 uc2 dc1 rc T = e + S0 e rc u d uc2 dc1 rc T c1 c2 = e + u d u d rc T u e e rc T d = e rc T c2 + c1 : u d u d

4.5 Die Berücksichtigung von Dividendenzahlungen

263

Wir erhalten also dieselbe Formel wie beim Ein-Perioden-Zwei-ZustandsModell ohne Dividenden. Allerdings ist das Auszahlungspro…l c einer Call Option gegeben durch c1 c2

c= =

(S10 (S11

=

(u (S0 (d (S0

+

K) + K) e e

rc

+

) )

rc

K) + K)

!

:

In der De…nition des Auszahlungspro…ls c treten die ex-dividend-Preise der Aktie auf, da die Dividenden vor dem Fälligkeitszeitpunkt ausgezahlt und für die Replikation der Auszahlung nach (4.50) berücksichtigt wurden. Wir unterstellen dies auch noch für den Grenzfall = T . Im Falle einer Put-Option gilt entsprechend c1 c2

c=

(K (K

=

u (S0 d (S0

rc

e e

rc

+

)) + ))

!

;

während das Auszahlungspro…l eines Forward-Kontraktes mit Forward-Preis F lautet c= =

c1 c2 u (S0 d (S0

e e

rc rc

) )

F F

:

Die Modellierung der Aktienkurse mit einer Dividendenzahlung führt also zu den gleichen Bewertungsgleichungen wie im Fall ohne Dividendenzahlung, jedoch ist der Anfangskurs S0 bei der Berechnung des Auszahlungspro…ls c durch den um die abdiskontierte Dividende verminderten Anfangskurs S~0 = S0 e rc zu ersetzen. Bestimmung eines Zustandsvektors Ein alternativer Zugang besteht darin, für das Ein-Perioden-Modell einen Zustandsvektor zu berechnen. Aus (4.50) ergibt sich das Marktmodell zu 1 S0

(b; D) = =

1 S0

;

;

u (S0

erc T erc T S10 S11 erc T e ) + erc (T rc

(4.51) )

d (S0

erc T e rc ) + erc (T

)

:

264

4 Optionen, Futures und andere Derivate

Damit lautet die Gleichung D = b für einen Zustandsvektor erc T uS~0 + erc (T

erc T dS~0 + erc (T

)

1

)

=

2

1 S0

wie folgt ;

(4.52)

oder e rc T (

1

+

2)

= 1;

uS~0 + erc (T

(4.53)

) 1

+ dS~0 + erc (T

) 2

= S0 :

Mit Hilfe der ersten Gleichung in (4.53) kann die zweite umgeformt werden zu uS~0

1

+ dS~0

2

= S0

erc (T

= S0

rc

e

)

(

1

+

2)

;

also u

1

+d

2

= 1:

(4.54)

Die erste Gleichung in (4.53) und (4.54) stimmen nach Ersetzung von erc T durch 1+r mit der vertrauten Bestimmungsgleichung (1.39) für den Zustandsvektor im Ein-Perioden-Binomialbaum-Modell 1.70 ohne Dividendenzahlungen überein. Insbesondere ist der berechnete Zustandsvektor ! rc T e

=e

rc T

d u d rc T u e u d

(4.55)

von der Dividende unabhängig. Damit hängt auch die Eigenschaft des Modells, arbitragefrei oder nicht arbitragefrei zu sein, weder vom Zeitpunkt der Zahlung der Dividende, noch von der Dividendenhöhe ab. Wie im EinPerioden-Modell ohne Dividenden ist das Modell genau dann arbitragefrei, wenn d < erc T < u gilt. Mit der Lösung

=e

erc T d u d u er c T u d

rc T

abhängigen Auszahlung c =

c0 = h ; ci = e

!

lautet der Wert c0 einer zustands-

c1 c2

zum Zeitpunkt 0 also

rc T

e rc T d u erc T c1 + c2 : u d u d

Falls die Auszahlung c eine Funktion des Aktienkurses ST ist, so ist

4.5 Die Berücksichtigung von Dividendenzahlungen

ST =

ST 0 ST 1

=

u (S0 d (S0

rc

e e

rc

265

) )

zu beachten. Speziell für einen Forward-Kontrakt folgt aus der Bedingung c0 = h ; ci = e

rc T

erc T d (ST 0 u d

F) +

u

erc T (ST 1 u d

F)

=0

die Gleichung F = erc T S0

rc

e

:

(4.56)

Damit ist der Forward-Preis F durch die Gleichung (4.56) gegeben. Aufgabe 4.2. Geben Sie unter Berücksichtigung einer Dividendenzahlung der Aktie S explizit eine Handelsstrategie an, die zum Forward-Preis F in (4.56) für einen Forward-Kontrakt auf S führt. 4.5.3 Dividenden im Mehr-Perioden-Modell Wir betrachten nun das allgemeine Mehr-Perioden-Modell und nehmen an, dass bis zur Fälligkeit der Option m Dividendenzahlungen i , i = 1; : : : ; m, des Underlyings zu Zeitpunkten 0 < 1 < < m < T auftreten. Wieder nehmen wir an, dass n Zeitebenen mit Abstand t = T =n vorliegen und betrachten ein durch Si+1;j ; ci+1;j (Sij ; cij )

% &

Si+1;j+1 ; ci+1;j+1

gegebenes Ein-Perioden-Teilmodell im Baum. Lemma 4.16. Es gilt Di = e für i = 0; : : : ; n

rc

t

i;i+1

1.

Beweis. Nach De…nition von Di gilt

+e

rc

t

Di+1

266

4 Optionen, Futures und andere Derivate m X

Di =

k=1 i t<

k

i t<

m X

=

=e

e

k

rc (

i t)

k

rc (

e

k

i t)

k

k=1 (i+1) t t i t<

m X

erc ((i+1)

k

=e

i;i+1

e

rc (

rc

m X

t

k

+e

rc

t

ci+1;j = erc

t

rc

t

t

+ Si+1;j+1 = e

rc

ci+1;j Si+1;j

= Ferner gilt wegen Sij = S~0 ui

k

(i+1) t)

Di+1 :

+ Si+1;j = erc

Daraus folgt sofort

ci+1;j

k

k

Wir betrachten nun ein replizierendes Portfolio im Zustand j. Es gilt

ci+1;j+1 = e

i t)

k=1 (i+1) t

k=1 (i+1) t< t

k)

k

k

+e rc

t

rc (

e

k

k=1 (i+1) t<

k

rc

m X

+

+ Sij zum Zeitpunkt i

+ Si+1;j + t

i;i+1

+ Si+1;j+1 +

i;i+1 :

ci+1;j+1 : Si+1;j+1

j j

d + Di

Di+1 = erc

t

rc

t

= e

+ (Si+1;j S~0 u

+

Di+1 ) +

i j j

d

u+

i;i+1 i;i+1

und entsprechend ci+1;j+1

Di+1 = erc

t

rc

= e

t

+

S~0 u

= erc

t

+

S~0 ui

+

(Si+1;j+1

Di+1 ) +

i+1 (j+1) j+1

d

j j

d

d+

i;i+1

+

i;i+1

i;i+1 :

Multiplikation der beiden obigen Gleichungen mit d bzw. u liefert

woraus

d (ci+1;j

Di+1 ) = derc

u (ci+1;j+1

rc

Di+1 ) = ue

+ S~0 ui t + S~0 ui

t

j j

d + d

j j

d + u

i;i+1 i;i+1 ;

4.5 Die Berücksichtigung von Dividendenzahlungen

u (ci+1;j+1

Di+1 )

d (ci+1;j

Di+1 ) =

d) erc

(u

t

+

(u

267

d)

i;i+1

folgt, also wegen Lemma 4.16 =e

rc

t u (ci+1;j+1

=e

rc

t uci+1;j+1

=e

rc

Di+1 ) d (ci+1;j u d dci+1;j d dci+1;j d

u t uci+1;j+1

u

rc

e

t

Di+1 ) Di+1 + e

e rc

t

rc

t

i;i+1

i;i+1

Di :

Die erhaltenen Ausdrücke für und setzen wir nun in das replizierende Portfolio zum Zeitpunkt i im Zustand j ein. Beachten wir, dass für die Di¤erenz Si+1;j Si+1;j+1 gilt Si+1;j

S~0 ui

Si+1;j+1 =

j j

d

d) S~0 ui d) (Sij

= (u = (u

S~0 ui

u + Di+1

j j

d

d + Di+1

j j

d Di ) ;

so erhalten wir schließ lich cij =

+ Sij uci+1;j+1 dci+1;j = e rc t + (Sij Di ) u d uci+1;j+1 dci+1;j ci+1;j ci+1;j+1 = e rc t + u d u d rc t rc t u e e d = e rc t ci+1;j+1 + ci+1;j : u d u d

(4.57)

Wir erhalten also auch in diesem allgemeinen Fall die gleiche Formel für die Berechnung der cij wie im Fall ohne Dividendenzahlungen des Underlyings. Allerdings ist auch hier wieder zu beachten, dass für die Auszahlungen zum Fälligkeitszeitpunkt T im Falle eines Calls gilt +

cT j = (ST j

K)

= S~0 uT

j j

d

(4.58) +

K

:

Im Falle eines Puts erhalten wir cT j = (K = K Jeweils gilt

+

ST j )

S~0 uT

(4.59) j j

d

+

:

268

4 Optionen, Futures und andere Derivate

S~0 = S0

D0 m X

= S0

(4.60) k

e

rc

k

:

k=1

Im Fall eines Forward-Kontrakts mit Forward-Preis F folgt schließ lich cT j = S~0 uT Wegen Sij = S~0 ui

j j

d

F:

j j

d + Di erhalten wir weiter

Sij = S~0 ui j dj + Di S~0 u(i+1) j dj = + Di u Si+1;j Di+1 = + Di u Si+1;j Di+1 = + Di u u

:

Während in der Situation ohne Dividendenzahlung des Underlyings der Wert Sij leicht aus Si+1;j als Si+1;j Sij = (4.61) u berechnet werden kann, muss im Falle von Dividendenzahlungen des Underlyings zusätzlich der Term Di Di+1 hinzuaddiert werden. u Berechnung des Zustandsvektors Wie im Ein-Perioden-Modell berechnen wir auch hier den Zustandsvektor für ein Ein-Perioden-Teilmodell Si+1;j ; ci+1;j (Sij ; cij )

% &

Si+1;j+1 ; ci+1;j+1

Das zugehörige Marktmodell lautet 1 Sij

(b; D) = =

1 Sij

;

;

erc t erc t Si+1;j Si+1;j+1

S~0 ui+1

e rc t d + Di+1 +

j j

i;i+1

S~0 ui

e rc t + Di+1 +

j j+1

d

: i;i+1

4.5 Die Berücksichtigung von Dividendenzahlungen

Damit lautet die Gleichung D = b für einen Zustandsvektor uS~0 u

erc t d + Di+1 +

i j j

dS~0 u

i;i+1

e rc t d + Di+1 +

i j j

wie folgt 1

i;i+1

269

1 Sij

=

2

;

und wir erhalten die Gleichungen 1

+

2

=e

rc

t

(4.62)

und uS~0 ui

j j

d + Di+1 +

i;i+1

1

+ dS~0 ui

j j

d + Di+1 +

i;i+1

2

= Sij :

(4.63) Die letzte Gleichung (4.63) formen wir unter Verwendung von (4.62) um zu S~0 ui

j j

d (u

1

+d

2)

= Sij e

rc

t

Di+1 e

rc

t

i;i+1

= Sij Di = S~0 ui

j j

d ;

also u

1

+d

2

= 1:

Auch hier erhalten wir also das vertraute Ergebnis ! rc t e

=e

rc

t

u d u erc u d

d t

eines Ein-Perioden-Modells ohne Dividendenzahlungen. Die gewählte Modellierung der Aktienkurse bewahrt nicht nur die Eigenschaft des Binomialbaums zu rekombinieren, sondern sie besitzt darüber hinaus den Vorteil, dass sich für jedes Ein-Perioden-Teilmodell derselbe Zustandsvektor wie bei einem Ein-Perioden-Modell ohne Dividendenzahlungen ergibt. Damit hängt auch im allgemeinen Fall mehrerer Dividenden die Eigenschaft des zugrunde liegenden Marktmodells, arbitragefrei zu sein, nicht von den Zeitpunkten und Werten der Dividendenzahlungen ab. Das Ein-PeriodenTeilmodell und damit das Mehr-Perioden-Modell selbst, ist also genau dann arbitragefrei, wenn d < erc t < u gilt. 4.5.4 Algorithmen zur Bewertung europäischer Auszahlungen mit Dividenden Dem vorgegebenen Jahreszinssatz R entspricht der Diskontfaktor dT = Diesem wird der stetige Zinssatz rc durch die Bedingung e ordnet. Daher gilt rc = ln (1 + R) :

rc T

1 (1+R)T

= dT zuge-

.

270

4 Optionen, Futures und andere Derivate

Bezeichnet r den Periodenzins, so gilt wegen n

erc = 1 + R = (1 + r) T auch die Darstellung

n ln (1 + r) : T Angenommen, m Dividenden sind in einem Array d [k] zu Zeitpunkten t [k] für k = 1; : : : ; m gespeichert. Dann kann die Berechnung der Summe D0 der diskontierten Dividenden wie folgt formuliert werden: rc =

// Berechnung der Summe D0 der // abdiskontierten Dividenden rc = ln (1 + R) ; D0 = 0; for (k = 0; k <= m; k + +) f D0 + = d [k] exp ( rc t [k]) ; g

(4.64)

Zur Berücksichtigung von Dividendenzahlungen bei der Bewertung von Auszahlungspro…len ist in (4.39) für das direkte Verfahren und in (4.41) für das rekursive Verfahren jeweils lediglich der Anfangskurs S0 durch S~0 = S0 D0 zu ersetzen. Die Algorithmen bleiben ansonsten unverändert. Implementieren Sie dazu die Berechnung (4.64) in einer Methode, die hier getDiscountedDividends() genannt wird, und sorgen Sie dafür, dass diese Methode den Wert 0 zurückgibt, wenn keine Dividenden zu berücksichtigen sind. Anschließ end modi…zieren Sie die Programmteile (4.39) und (4.41) um den Aufruf dieser Methode, also:

4.5 Die Berücksichtigung von Dividendenzahlungen

// Algorithmus zur direkten Bewertung // eines Auszahlungsprofils f (Sn ) a = (1 q) =q; b = d=u; = n ln (q) ; D0 = getDiscountedDividends(); S~0 = S0 D0 ; x = un S~0 ; y = f (x) exp ( ) ; for (j = 0; j < n; j + +) f x = b; + = ln (a (n j) = (j + 1)) ; y + = f (x) exp ( ) ; g n return (1 + r) y;

271

(4.65)

bzw.: // Initialisierung eines Arrays z der Länge n + 1 // mit einem Auszahlungsprofil c = f (Sn ) b = d=u; D0 = getDiscountedDividends(); S~0 = S0 D0 ; x = un S~0 ; z = new double[n + 1]; for (j = 0; j <= n; j + +) f z [j] = f (x) ; x = b; g

(4.66)

Beachten Sie, dass der Rekursionsalgorithmus (4.42) nicht verändert werden muss . Zusammengefasst können nun beliebige europäische Auszahlungspro…le mit und ohne Berücksichtigung von Dividendenzahlungen der modellierten Aktie mit Hilfe des direkten und des rekursiven Verfahrens bewertet werden. Der Aufwand zur Berechnung der Summe D0 der diskontierten Dividenden kann vernachlässigt werden, da üblicherweise nur eine geringe Anzahl von Dividenden bis zu realistischen Fälligkeitszeitpunkten T auftreten. Das direkte Bewertungsverfahren benötigt 4 (n + 1) Multiplikationen, während das rekur-

272

4 Optionen, Futures und andere Derivate

sive Verfahren n + 1 Multiplikationen für die Initialisierung und n (n + 1) Multiplikationen für die Rekursion erfordert.

4.6 Amerikanische Optionen Amerikanische Optionen besitzen alle Eigenschaften europäischer Optionen, dürfen aber zu einem beliebigen Zeitpunkt zwischen 0 und dem Fälligkeitszeitpunkt n einmalig ausgeübt werden. Wird eine amerikanische Option in einem Knoten (i; j) eines Baums ausgeübt, also zu einem Zeitpunkt i in ei+ nem Zustand j = 0; : : : ; i, so erhält der Inhaber den Betrag (Sij K) oder + (K Sij ) ausgezahlt, je nachdem, ob es sich um eine Call- oder Put-Option + handelt. Anschließend verfällt die Option wertlos. Die Größe (Sij K) bzw. + (K Sij ) wird als innerer Wert der Option zum Zeitpunkt i bezeichnet. 4.6.1 Die Bewertung amerikanischer Optionen ohne Dividendenzahlungen Wir werden nun analysieren, wann eine vorzeitige Ausübung einer amerikanischen Option sinnvoll ist, und wir werden sehen, dass die Antwort auf diese Frage bereits den Schlüssel zu ihrer Bewertung beinhaltet. Würde eine amerikanische Option bis zum Fälligkeitszeitpunkt n gehalten, so wäre der Wert der Auszahlung cn wie bei einer europäischen Option durch + + (Sn K) beim Call oder durch (K Sn ) beim Put gegeben. Dieser Betrag kann vom Käufer der Option zum Zeitpunkt n gefordert werden und muss also vom Verkäufer der Option bereitgehalten werden. Zum Zeitpunkt n 1 beträgt der Wert der Auszahlung cn gerade D n 1;n [cn ]. Der Inhaber der Option wird diese genau dann ausüben, wenn er durch die Ausübung mehr erhält als D n 1;n [cn ]. Damit besitzt eine amerikanische CallOption zum Zeitpunkt n 1 den Wert zn

1

:= max (Sn

K)+ ; D n

1

1;n [cn ]

:

Für eine amerikanische Put-Option gilt entsprechend zn Die Auszahlung zn Wert

1

:= max (K

1

zum Zeitpunkt n Dn

Sn

2;n 1

1)

+

; Dn

1;n [cn ]

:

1 besitzt zum Zeitpunkt n [zn

2 den

1] :

Zum Zeitpunkt n 2 sollte der Inhaber die Option also genau dann ausüben, wenn er durch die Ausübung mehr erhält als D n 2;n 1 [zn 1 ]. Daher besitzt die Call-Option zum Zeitpunkt n 2 den Wert

4.6 Amerikanische Optionen

zn

2

:= max (Sn

+

K) ; D n

2

2;n 1

[zn

1]

;

2;n 1

[zn

1]

:

273

während für eine Put-Option gilt zn

2

:= max (K

Sn

+ 2)

; Dn

Dieses Berechnungsverfahren wird rekursiv bis zum Zeitpunkt 0 fortgesetzt. Der auf diese Weise erhaltene Wert z0 ist dann de…nitionsgemäßder Preis der betre¤enden amerikanischen Option. Wegen cn 0 folgt mit cn := zn rekursiv auch zi 0 für alle i = 0; : : : ; n. Daher gilt zi 1 = max Si 1 K; D i 1;i [zi ] (4.67) für eine Call- und entsprechend zi

1

= max K

Si

1 ; D i 1;i

[zi ]

(4.68)

für eine Put-Option. Beispiel 4.17. (Amerikanische Put-Option in einem Zwei-Perioden-Modell) Ein Zwei-Perioden-Binomialbaum-Modell sei durch folgende Daten gegeben S0 = 100 T =1 n=2 R = 2% = 35%: Damit lauten die berechneten Parameter T 1 = n 2 p r = 1:02 1 = 0:995% t=

u = exp

0:35 p 2

= 1:2808

1 = 0:7808 u q = ((1 + r) d) = (u

d=

d) = 0:4583:

Wir betrachten eine amerikanische Put-Option auf die Aktie mit Ausübungspreis K = 100.

274

4 Optionen, Futures und andere Derivate 1 1+r

1 q 1+r

% S0 = 100 1 (qz10 + q 0 z11 ) = 11:76 1+r (K S0 )+ = 0 z00 = 11:76 &

1 q0 1+r

S10 = uS0 = 128:08 1 (qc20 + q 0 c21 ) = 0 1+r (K S10 )+ = 0 z10 = 0

q

%

S20 = u2 S0 = 164:05 c20 = 0

&

1 q0 1+r 1 q 1+r

S21 = udS0 = 100 c21 = 0

% S11 = dS0 = 78:08 1 (qc21 + q 0 c22 ) = 20:94 1+r (K S11 )+ = 21:92 z11 = 21:92 & 1 q0 1+r

S22 = d2 S0 = 60:96 c22 = 39:04

t=1

t=2

t=0

In obigem Diagramm wurden alle für die Bewertung relevanten Größ en eingetragen, und wir sehen, dass es sinnvoll ist, die Option im Knoten (1; 1) zum Zeitpunkt 1 auszuüben. Hier ist der aus der Rückwärtsrekursion gewonnene + 1 Wert 1+r (qc21 + q 0 c22 ) = 20:94 kleiner als der innere Wert (K S11 ) = 21:92. Der Preis der amerikanischen Option zum Anfangszeitpunkt 0 beträgt V0 = z00 = 11:7583: Wie leicht nachzurechnen ist, lautet der Preis einer entsprechenden europäischen Put-Option V0 = 11:2299: 4 Das Beispiel zeigt, dass die amerikanische Put-Option durch folgendes Auszahlungspro…l charakterisiert werden kann: c20 = 0 c10 = 0 c00 = 0

c21 = 0 c11 = 21:92 c22 = 0

t=0

t=1

t=2

Zum Zeitpunkt 1 wird im Knoten (1; 1) das gesamte Kapital c11 = 21:924 entnommen, und es wird kein Kapital mehr für die nachfolgende Periode reinvestiert. Dies entspricht dem Ausüben der Option.

4.6 Amerikanische Optionen

275

Anmerkung 4.18. Ein alternatives Auszahlungspro…l mit identischem Anfangswert zum Zeitpunkt t = 0 lautet wie folgt: c20 = 0 c10 = 0 c00 = 0

c21 = 0 c11 = 0:98 c22 = 39:04

t=0

t=1

t=2

Hier wird zum Zeitpunkt 1 im Zustand (1; 1) der Betrag von 21:92 20:94 = 0:98 Euro entnommen, und die verbleibenden 20:94 Euro werden in den Kauf einer Put-Option mit Basispreis K = 100 investiert. Zur Realisierung dieses Auszahlungspro…ls muss also ein Teil des durch das Ausüben der amerikanischen Option realisierten Kapitals in eine weitere Put-Option reinvestiert werden. Die Auszahlungspro…le amerikanischer Optionen werden also durch Handelsstrategien repliziert, bei denen zugelassen ist, dass vor dem Endzeitpunkt n eine Kapitalentnahme statt…ndet. Dies entspricht Handelsstrategien, die nicht notwendigerweise selbst…nanzierend sind. Ein beliebiges c 2 WL , c 0, wird auch als amerikanisches Auszahlungspro…l bezeichnet. O¤ensichtlich kann eine amerikanische Option nicht billiger sein als ihr europäisches Gegenstück. Bezeichnen wir mit ziA amerikanische und mit ziE europäische Zahlungen zum Zeitpunkt i, so gilt znA

1

:= max (Sn

Daraus folgt wegen znA

+

1

K) ; D n

1;n

[cn ]

Dn

1;n

[cn ] =: znE 1 :

0 2

= max (Sn

K)+ ; D n

1

1;n

znA

1

D n 1;n znA 1 Dn = Induktiv folgt so z0A zurückgeht.

1;n

znE

1

znE 2 : z0E . Es gilt aber folgender Satz, der auf R. Merton

Satz 4.19 (Satz von Merton). Seien z0A und z0E die Preise je einer amerikanischen und einer europäischen Call-Option mit Underlying S, Fälligkeitszeitpunkt n und Ausübungspreis K. Angenommen, die Aktie S zahlt während der Laufzeit der Optionen keine Dividenden aus. Dann gilt z0A = z0E falls das zugrunde liegende Marktmodell über gewöhnliche, d.h. nicht negative, Zinsen verfügt.

276

4 Optionen, Futures und andere Derivate

Beweis. Wir wissen bereits, dass z0A

z0E

gilt. Angenommen, es wäre z0A > z0E : Mit znA := znE := (Sn mit

K)

+

gibt es in diesem Fall ein größtes t, 0 < t

n,

ztA = ztE aber mit ztA 1 > ztE 1 : Das bedeutet aber mit (4.67) max St

1

K; D t

1;t

ztE

= max St

K; D t

1

1;t

ztA

= ztA 1 > ztE

1

= Dt

1;t

ztE ;

also St

1

K > Dt

1;t

ztE :

Andererseits gilt Dt

1;t

ztE = D t

znE h = D t 1;n (Sn 1;n

Dt = St

1;n 1

[Sn dt

K)+

i

K] 1;n K;

und wir erhalten damit den Widerspruch K < St für den Fall dt

1;n

1

Dt

1;t

ztE

dt

1;n K

1, also im Falle nicht negativer Zinsen.

4.6.2 Ein Algorithmus zur Berechnung amerikanischer Auszahlungen ohne Dividendenzahlung Wir setzen voraus, dass das Underlying der Option bis zum Fälligkeitszeitpunkt keine Dividenden auszahlt und erhalten folgenden rekursiven Algorithmus.

4.6 Amerikanische Optionen

277

Initialisierung Die Initialisierung stimmt mit derjenigen europäischer Auszahlungen in (4.41) überein. Es gilt also:

// Initialisierung des Arrays z der Länge n + 1 // mit dem Auszahlungsprofil c = f (Sn ) b = d=u; x = un S0 ; z = new double[n + 1]; for (j = 0; j <= n; j + +) f z [j] = f (x) ; x = b; g Rekursion Gegenüber dem Rekursions-Algorithmus (4.42) für europäische Optionen ist hier zusätzlich für jeden Zeitpunkt i in jedem Knoten (i; j) für j = 0; : : : ; i der Aktienkurs Sij = Sui j dj zur Berechnung der Auszahlung f (Sij ) zu bestimmen. Es gilt jedoch Si0 = ui S0 und

d Si;j 1 u für j = 1; : : : ; i, so dass wir folgenden rekursiven Algorithmus erhalten: Sij =

278

4 Optionen, Futures und andere Derivate

// Rekursiver Bewertungsalgorithmus mit // Hilfe der in z enthaltenen Daten a1 = q= (1 + r) ; a2 = (1 q) = (1 + r) ; b = d=u; for (k = n; k > 0; k ) f x = uk 1 S0 ; for (j = 0; j < k; j + +) f c1 = a1 z [j] + a2 z [j + 1] ; c2 = f (x) ; z [j] = max (c1 ; c2 ) ; x = b; g g return z [0] ;

Der Algorithmus für die Initialisierung des Arrays z [] erfordert n + 1 Multiplikationen, während der Rekursionsalgorithmus 3n + 3 (n 1) + +3 = 3 2 n (n + 1) Multiplikationen benötigt.

4.7 Amerikanische Optionen mit Dividendenzahlungen 4.7.1 Ein Algorithmus zur Berechnung von amerikanischen Optionen mit Dividendenzahlung Wir lassen nun Dividendenzahlungen des Underlyings zu und betrachten m Dividendenzahlungen der Höhe i , die zu Zeiten i auftreten. Gemäßunserer Modellierung der Aktienkurse nach (4.48) gilt Sij := S~0 ui

j j

d + Di

für i = 0; : : : ; n und j = 0; : : : ; i. Dabei ist Di =

m X1

k=0 i t<

k

e

rc (

k

i t)

;

k

wobei rc = ln (1 + R). Wir nehmen an, dass die Dividenden in einem Array [k] = k , k = 0; : : : ; m 1, gespeichert werden, während ein Array [k] = k , k = 0; : : : ; m 1, die Zeitpunkte verwaltet, zu denen die Dividenden ausgezahlt werden.

4.7 Amerikanische Optionen mit Dividendenzahlungen

279

Zur Bewertung ist zu jedem Zeitpunkt i < n der Ausdruck ziA := max (Si zu berechnen, wobei Sij = S~0 ui

+

K) ; D i;i+1 [zi+1 ]

j j

d + Di zu beachten ist.

Algorithmus zur Berechnung von Di Ein Algorithmus zur Berechnung von Di lautet wie folgt: // Algorithmus zur Berechnung von Di D(int i) f = 0; for (k = 0; k < m; k + +) f if ( [k] i t) continue; if ( [k] > T ) continue; += [k] exp ( rc ( [k] i t)) ; g return ; g Initialisierung Wegen Dn = 0 gilt Snj = S~0 un in (4.66):

j n

d , und daher lautet die Initialisierung wie

// Initialisierung des Arrays z // mit dem Auszahlungsprofil c = f (Sn ) b = d=u; S~0 = S D (0) ; x = un S~0 ; z = new double[n + 1]; for (j = 0; j <= n; j + +) f z [j] = f (x) ; x = b; g Die Initialisierung unterscheidet sich bei Berücksichtigung von Dividendenzahlungen also lediglich durch die Modi…kation

280

4 Optionen, Futures und andere Derivate

S~0 = S

D (0)

von der Initialisierung im Fall ohne Dividendenzahlungen. Der Anfangskurs S wird also um die Summe der auf den Zeitpunkt 0 abdiskontierten Dividendenbeträge D0 vermindert. Rekursion Wegen Sij = S~0 ui

j j

d + Di gilt:

// Rekursionsalgorithmus zur Berechnung // des Wertes von c unter Berücksichtigung // von Dividendenzahlungen b = d=u; S~0 = S D (0) ; a1 = q= (1 + r) ; a2 = (1 q) = (1 + r) ; for (k = n; k > 0; k ) f x = uk 1 S~0 ; D = D (k 1) ; for (j = 0; j < k; j + +) f c1 = a1 z [j] + a2 z [j + 1] ; c2 = f (x + D) ; z [j] = max (c1 ; c2 ) ; x = b; g g return z [0] ; Zur Abschätzung des für die Berechnung erforderlichen Aufwands kann zunächst wieder die Berechnung der Summe Di der diskontierten Dividenden vernachlässigt werden. Die Initialisierung erfordert n + 1 Multiplikationen, während für den Rekursionsalgorithmus 32 n (n + 1) + n Multiplikationen benötigt werden.

4.8 Die Black-Scholes-Formeln Im Jahre 1973 verö¤entlichten die beiden Wirtschaftswissenschaftler Fischer Black und Myron Scholes eine Arbeit, die einen neuen Ansatz zur Bewertung von Optionen darstellte und der die Bewertungsgleichung enthielt, die heute

4.8 Die Black-Scholes-Formeln

281

Black-Scholes Formel genannt wird. Der Wirtschaftswissenschaftler Robert Merton entwickelte fast zeitgleich ein äquivalentes Resultat. Nach dem Tod von Fischer Black im Jahre 1995 wurde Myron Scholes und Robert Merton im Jahre 1997 der Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften verliehen. Wir stellen im folgenden dar, wie sich die klassischen Black-ScholesFormeln als Grenzfall des Binomialbaum-Preises für europäische StandardOptionen ergeben. 4.8.1 Bewertungsformeln im Binomialbaum-Modell Wir betrachten die Bewertungsformel (4.7) 1 Q n E [f (Sn )] (1 + r) n X 1 n = qn n j (1 + r)

c0 =

(4.69) j

j

q) f un

(1

j j

d S ;

j=0

die für beliebige Auszahlungsfunktionen f : R ! R gültig ist. Wie üblich gilt beispielsweise 8 + < (x K) für eine Call-Option mit Ausübungspreis K f (x) = (K x)+ für eine Put-Option mit Ausübungspreis K : x F für einen Forward-Kontrakt mit Forwardpreis F: Damit spezialisiert sich (4.69) im Falle einer Call-Option zu c0 =

=

n X 1 n (1 + r) j=0 j0 X 1 n (1 + r) j=0

=S

j0 X j=0

n j

q

n j

qn

j

(1

q)

j

un

j j

K

n j

qn

j

(1

q)

j

un

j j

K

n j

(1

d S

d S

j0 X K n (1 + r) j=0

un j d j q) n (1 + r) j

Wegen u > 1 > d gilt un > un 1 d > un 2 d2 > größ te natürliche Zahl mit der Eigenschaft f (Snj ) = un Setzen wir q 0 :=

qu , 1+r

j j

so gilt wegen q =

+

d S 1+r d u d

(4.70)

n j

qn

j

(1

j

q) :

> dn . In (4.70) ist j0 die

K > 0: die Gleichheit

282

4 Optionen, Futures und andere Derivate

q0 = 1

1

q

u 1+r

1 (1 + r) d (1 + r) u 1+r u d 1 (1 + r) (u d) (1 + r) u ud 1+r u d (u d) 1 ud d (1 + r) 1+r u d d u (1 + r) 1+r u d d (1 q) : 1+r

= = = = = Damit ist qn

j

(1

q)

j

un j d j q n j un n = n (1 + r) (1 + r) = q0

n j

j

j

q) dj

(1

j

(1 + r)

j

j

q0 ) ;

(1

und (4.70) lässt sich schreiben als c0 = S

j0 X j=0

n j

q0

n j

(1

j0 X K n (1 + r) j=0

j

q0 )

Nun ist Bn;p (k) =

k X j=0

n j

pj (1

n j

p)

qn

j

(1

j

q) :

(4.71)

n j

die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung. Daraus folgt für den Preis der Call-Option c0 = SBn;1

Für eine Put-Option gilt mit

q0

(j0 )

n n

k

K B (1+r)n n;1 q

=

n k

(j0 ) :

entsprechend

(4.72)

4.8 Die Black-Scholes-Formeln

c0 = =

n X 1 n (1 + r) j=0

n X 1 n (1 + r) k=0

=

k0 X 1 n (1 + r) k=0

=

k0 X K n (1 + r) k=0

n j

qn n

j

(1

q)

j

un

K n k

q k (1

q)

n

k

n k

q k (1

q)

n k

n k

q k (1

q)

n k

j j

d S

uk d n

K

S

+

uk d n

K

k0 X

k

k

S

+

S

n k

k=0

283

q k (1

q)

n k

uk d n k n; (1 + r)

wobei k0 die größ te Zahl ist, mit uk d n

K

k

S:

Daher gilt für die Put-Option die Gleichung K (1+r)n Bn;q

c0 =

(k0 )

SBn;q0 (k0 ) :

(4.73)

Schließ lich betrachten wir einen Forward-Kontrakt mit Forward-Preis F . Wir erhalten mit (4.69) und mit 1 = (q + (1 1 = (q 0 + (1

n

q)) = n

n X

j=0 n X

q 0 )) =

j=0

n j

qn

n j

q

j

0

j

(1

n j

q) und q0 )

(1

j

die Beziehung

c0 = S =S

Pn

0 n q j F (1+r)n :

n j

j=0

(1

q0 )

j

F (1+r)n

Pn

j=0

n j

qn

j

(1

q)

j

(4.74) Aus der Bedingung c0 = 0 folgt der vertraute Zusammenhang F = S (1 + r) für den Forward-Preis F .

n

284

4 Optionen, Futures und andere Derivate

4.8.2 Die Konvergenz der Bewertungsformeln des Binomialbaum-Modells gegen die Black-Scholes-Formeln Wir betrachten zunächst europäische Call- und Put-Optionen auf solche Aktien, die bis zum jeweiligen Fälligkeitszeitpunkt keine Dividenden ausschütten. Die Berücksichtigung von Dividendenzahlungen ist jedoch aufgrund von (4.58), (4.59) und (4.60) sehr einfach und wird anschließ end besprochen. Wir betrachten ein Binomialbaum-Modell (S; T; n; rn ; un ) mit t=

T n

p

un = exp

t

1 = exp un rn = exp (rc t)

p

dn =

t

1

1 + rn d n exp (rc t) dn qn = = : un d n un dn n

T

Dabei gilt rc = ln (1 + R), so dass (1 + rn ) = (1 + R) . Die Taylorentwickexp(rc x2 ) exp( x) lung der Funktion f (x) = exp( x) exp( x) liefert nach Folgerung 4.10 die folgende Darstellung für die Faktoren qn : qn =

1 rc + 2 2

p

4

t + O ( t) :

(4.75)

Mit der Taylorentwicklung exp

p

t

rc t = 1 +

p

=1+

p

t

rc t +

=

2

t

rc t

+ O ( t)

t + O ( t)

erhalten wir folgende Entwicklung von qn0 = qn0 = qn exp

p

1 2

p

t

1 rc + + 2 2 4

qu : 1+r

rc t p t + O ( t) :

(4.76)

Im Binomialbaum-Modell ergibt sich der Preis einer Call-Option Cn mit Ausübungspreis K und Fälligkeitszeitpunkt T = n t nach (4.72) zu Cn := SBn;1

0 qn

(j0 )

K n Bn;1 (1 + r)

Dabei ist j0 die größ te natürliche Zahl mit un

2j

S

qn

(j0 ) :

K > 0.

(4.77)

4.8 Die Black-Scholes-Formeln

285

Satz 4.20. (Black-Scholes-Formeln) Die Preisformeln für europäische Callund Put-Optionen im Binomialbaum-Modell konvergieren für n ! 1 jeweils gegen die Black-Scholes-Formeln C = S (d+ ) P =e

rc T

e

rc T

K (d )

K ( d )

(4.78)

S ( d+ ) ;

wobei die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung bezeichnet und wobei 2 S ln K + rc T 2 p d = : T Beweis. Nach dem Satz von De Moivre-Laplace gilt ! j0 n (1 qn ) p Bn;1 qn (j0 ) ! 0 für n ! 1 nqn (1 qn )

(4.79)

bzw.

Bn;1

0 qn

j0 n (1 p nqn0 (1

(j0 )

qn0 ) qn0 )

!

! 0 für n ! 1:

(4.80)

Mit Blick auf (4.77) bleibt somit nur zu zeigen, dass die Argumente von gegen d konvergieren. Wir lösen die Gleichung unn 2j S K = 0 nach j auf und erhalten p p n K n S p ln ; n 2j = p ln = S K T T oder

1 n= 2

j0

p n S p ln K T

wobei 0 n < 1 so gewählt wird, dass j0 Argument in (4.79) wie folgt schreiben: 1

1

S

p ln p qn j0 n + nqn 2 K p =p T + np nqn (1 qn ) qn (1 qn ) qn (1

Nun gilt:

n +

n;

n 2 Z. Damit lässt sich das 1 2

qn )

n +p nqn (1

Der erste Summand in (4.81) konvergiert wegen qn ! 1 S p ln K . T

1 2

qn )

: (4.81)

für n ! 1 gegen

p Der zweite Summand in (4.81) konvergiert für n ! 1 gegen rc T, 2 da der Nenner aufgrund von (4.75) gegen 12 und der Zähler unter Beachp tung von t = Tn gegen 2rc T konvergiert. 4 Der dritte Summand konvergiert für n ! 1 gegen Null.

286

4 Optionen, Futures und andere Derivate

Zusammenfassend folgt j0 lim p

n!1

n (1

qn )

nqn (1

qn )

=

1 p

T

ln

S + rc K

2

2

T

=d :

Das Argument in (4.80) schreiben wir analog wie folgt: 1

1

S

p ln p q0 j n + nqn0 2 K p0 =p T + np n nqn0 (1 qn0 ) qn0 (1 qn0 ) qn0 (1

1 2

qn0 )

n +p nqn0 (1

qn0 )

; (4.82)

wobei auch hier 0 (4.75) und (4.76) von qn n < 1 gilt. Die Entwicklungen p und qn0 unterscheiden sich nur im Vorfaktor des t-Terms. Daher ergibt sich als einziger Unterschied p zur vorherigen Rechnung, dass der zweite Summand nun gegen 2rc + 4 T konvergiert, so dass wir j0 n (1 lim p n!1 nqn0 (1

qn0 ) qn0 )

1 = p

T

ln

2 S + rc + K 2

T

= d+

erhalten. Mit der Put-Call-Parität folgt die Black-Scholes-Formel für die europäische Put-Option P = e rc T K ( d ) S ( d + ) : Damit ist der Satz bewiesen. Aufgabe 4.3. Leiten Sie mit Hilfe der Put-Call-Parität und der BlackScholes-Formel für die Call-Option die Black-Scholes-Formel für die PutOption her. Werden die Aktienkurse nach (4.44) modelliert, so bleiben die BlackScholes-Formeln (4.78) für die Bewertung von europäischen Call- und PutOptionen auch dann gültig, wenn das Underlying während der Laufzeit der Option Dividenden ausschüttet. Dies folgt aus (4.57), wonach auch im Falle rc t von Dividendenzahlungen q = e u d d gilt. Allerdings muss der Aktienkurs S P m rc k nach (4.60) durch S~ = S ersetzt werden. k=1 k e 4.8.3 Die analytische Bewertung von Standard-Optionen im Black-Scholes-Modell

In diesem Abschnitt stellen wir einen Implementierungsvorschlag für die Black-Scholes-Formeln vor. 4.8.4 Implementierung der Black-Scholes-Formeln Für einen europäischen Call C und einen europäischen Put P mit Basispreis K, Fälligkeit T , Forwardpreis F = S exp (rc T ), jährlichem, risikolosem, stetigem Zinssatz rc und Diskontfaktor d = exp ( rc T ) lauten die Black-ScholesPreise

4.8 Die Black-Scholes-Formeln

C = d (F (d+ ) K (d )) P = d (K ( d ) F ( d+ )) ;

287

(4.83)

wobei d := =

ln ln

dF K dF K

p

+ rc p T + rc T

1 2

2

T

(4.84)

1 p T 2

T ln + ln (d) + rc T p = T F ln 1 p = pK T: 2 T F K

1 p T 2

und wobei die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung bezeichnet. Für gilt die folgende, auf sechs Dezimalstellen genaue Polynomapproximation, siehe Abramowitz/Stegun [1] oder Lamberton/Lapeyre [38], (x) := 1

' (x)

5 X

ai k i ; x

0;

i=1

mit 1 x2 ' (x) := p exp 2 2 1 k := 1+ x := 0:2316419 a1 := 0:319381530 a2 := 0:356563782 a3 := 1:781477937 a4 := 1:821255978 a5 := 1:330274429: Für eine normalverteilte Zufallsvariable X gilt (x) := P [X x] Z x = ' (t) dt 1

und daher, wegen der Stetigkeit und Symmetrie der Dichte ',

(4.85)

288

4 Optionen, Futures und andere Derivate

(x) = P [X x] = 1 P [X > x] =1 =1 =1

P [X x] P [X x] ( x) :

Insbesondere gilt für x < 0 die Beziehung (x) = 1

( x) ; x < 0;

(4.86)

so dass die Formel (4.85) ausreicht, um die Verteilungsfunktion für alle x 2 R näherungsweise zu berechnen. Die Black-Scholes-Formel (4.83) für eine Put-Option kann mit (4.86) auch geschrieben werden als P = d (K ( d ) F ( d+ )) = d (F (1 (d+ )) K (1

(4.87) (d ))) :

Implementierung von Dichte und Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung Die Dichte ' und die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung etwa können als statische Methoden StdNormalDensity() und StdNormalDistF() in einer geeigneten Klasse H, in der beispielsweise verschiedene mathematische Routinen von allgemeinem Interesse enthalten sind, untergebracht und wie folgt implementiert werden:

4.8 Die Black-Scholes-Formeln

289

abstract public class H { static private final double = 0:231641900; static private final double[] A = f0:319381530; 0:356563782; 1:781477937; 1:821255978; 1:330274429g; // Dichte der Standardnormalverteilung static double stdN ormalDensity(double x) { return (1:=sqrt(2 )) exp( pow(x; 2)=2); } // Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung static double stdN ormalDistF (double x) { double absx = max (x; x); double t = 1= ((1 + ( absx)); double y = 0; for (int i = 4; i >= 0; i ) { y += A[i]; y = t; } y = stdN ormalDensity (x) ; y = 1 y; if (x < 0) { return 1 y; } else { return y; } } }

Die Klasse BlackScholesAnalytics Zur Berechnungen der Black-Scholes-Preise de…nieren wir eine neue Klasse BlackScholesAnalytics. In dieser Klasse bringen wir die für die Berechnung der Black-Scholes-Preise erforderlichen Größ en, wie Forward-Preis der Aktie, Abzinsungsfaktor, Basispreis der Option und Volatilität, mit zugehörigen setund get-Methoden unter:

290

4 Optionen, Futures und andere Derivate

abstract public class BlackScholesAnalytics { double f orward; double volatility; double strike; double maturity; double d; // Konstruktor BlackScholesAnalytics(double f , double v, double s, double m, double p) { setForward(f ) ; setVolatility(v) ; setStrike(s) ; setMaturity(m) ; setPV(p) ; } . . . }

Die Implementierung von d Für die Berechnung von d

beachten wir, dass 8 < +1; falls F > K falls F = K lim d = 0; p : T !0 1; falls F < K:

Bei setzen wir daher für kleine Werte von p der Implementierung T 10 10 , 8 < +1; falls F > K falls F = K d = 0; : 1; falls F < K und schreiben für d+ :

p

T , d.h. für

4.8 Die Black-Scholes-Formeln

291

// Implementierung von d+ private double dplus() { static …nal double " = 1:0 e 10; double result = 0; if (strike == 0) return Double.POSITIVE_INFINITY; if (volatility maturity <= ") { if (f orward < strike) { result = Double.NEGATIVE_INFINITY; } else if (f orward == strike) { result = 0; } else { result = Double.POSITIVE_INFINITY; } return result; } double s = volatility sqrt(maturity); result = ln(f orward=strike)=s + 0:5 s; return result; }

Entsprechend lautet ein Implementierungsvorschlag für d

wie folgt.

// Implementierung von d private double dminus() { double result = 0;

result = dplus(); double s = volatility sqrt(maturity); result =s; return result; }

Die Implementierung von

(d )

Mit Hilfe der bereits implementierten Verteilungsfunktion der StandardNormalverteilung, stdN ormalDistF (), geben wir nun zunächst einen Implementierungsvorschlag für (d+ ):

292

4 Optionen, Futures und andere Derivate

// Implementierung von (d+ ) private double ndplus() { double ndplus = 0; double result = 0; result = dplus(); if (result == Double.NEGATIVE_INFINITY) { ndplus = 0; } else if (result == Double.POSITIVE_INFINITY) { ndplus = 1; } else { ndplus = H.stdN ormalDistF (result); } return ndplus; }

Entsprechend kann

(d ) wie folgt implementiert werden:

// Implementierung von (d ) private double ndminus() { double ndminus = 0; double result = 0; result = dminus(); if (result == Double.NEGATIVE_INFINITY) { ndminus = 0; } else if (result == Double.POSITIVE_INFINITY) { ndminus = 1; } else { ndminus = H.stdN ormalDistF (result); } return ndminus; }

Die Implementierung der Black-Scholes-Formeln Damit folgt schließ lich die Implementierung der Black-Scholes-Formeln (4.83). Mit Hilfe von (4.83) gilt für eine Call-Option:

4.9 Present Value und die Bewertung von Zahlungsströmen

293

// Call-Preis nach Black-Scholes-Formel public double getCallP rice() { double p = ndplus (); double m = ndminus (); return max(d (f orward p strike m); 0); }

während die Black-Scholes-Formel für eine Put-Option mit (4.87) als: // Put-Preis nach Black-Scholes-Formel public double getP utP rice() { double p = 1 ndplus (); double m = 1 ndminus (); return max( d (f orward p strike m); 0); }

formuliert werden kann. Dabei implementieren wir die Ausdrücke d (F (d+ ) K (d )) und d (F (1 (d+ )) K (1 (d )))

(4.88)

als max(d (f orward ndplus strike ndminus); 0); max( d (f orward (1 ndplus) strike (1 ndminus)); 0); weil für F t K aufgrund der Tatsache, dass die numerische Berechnung der Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung nur auf sechs Dezimalstellen genau ist, sehr kleine, aber negative Werte für die Ausdrücke (4.88) auftreten können.

4.9 Present Value und die Bewertung von Zahlungsströmen Notation Für den Rest des Kapitels nehmen wir an, dass ((S; ) ; F) ein arbitragefreies, vollständiges Marktmodell mit Zustandsprozess ist. Weiter wird St1 (!) > 0 für alle t = 0; : : : ; T und für alle ! 2 angenommen und es wird vorausgesetzt, dass S 1 keine Dividenden auszahlt. Das Finanzinstrument S 1 wird auch mit B bezeichnet, B := S 1 , und bei diskontierten Marktmodellen als Numéraire gewählt. Insbesondere könnte B eine festverzinsliche Kapitalanlage sein mit

294

4 Optionen, Futures und andere Derivate

Bt (!) = (1 + r1 )

(1 + rt ) ;

(4.89)

wobei rt 2 R und rt > 1 für alle t = 1; : : : ; T . Bei konstantem Zinssatz r > 1 spezialisiert sich (4.89) zu t

Bt (!) = (1 + r) : Sei c 2 W ein zustandsabhängiges, replizierbares Auszahlungspro…l. Dann ist der Wert V0 von c zum Zeitpunkt 0 gegeben durch V0 =

T X

D0;t [ct ] :

(4.90)

t=0

Enthält das Marktmodell festverzinsliche Handelsstrategien, also deterministische Zinsen, so gilt mit Lemma 3.74 V0 =

T X

dt EQ 0 [ct ] :

(4.91)

t=0

Dabei bezeichnet Q das zum Zustandsprozess

gehörende Martingalmaß .

Zum diskontierten Marktmodell gehört ein Zustandsprozess ~ mit einem ~ 4 . Hier gilt für alle zugehörigen Diskontfaktoren d~t = 1 und MartingalmaßQ daher T T X X ~ ~ V~0 = D 0;t [~ ct ] = EQ ct ] ; 0 [~ t=0

t=0

also

V0 = B0 V~0 =

T X t=0

~

EQ 0

B0 ct : Bt

(4.92)

0 ~ wenn S 1 = B ein festverWegen Bemerkung 3.86 folgt dt = B sowie Q = Q, Bt zinsliches Finanzinstrument ist. In diesem Fall stimmen die beiden Ausdrücke (4.91) und (4.92) überein.

Der Wert V0 heiß t auch Barwert oder Present Value des Zahlungsstroms c. Für ein Finanzinstrument S j gilt nach (3.50) S0j =

T X t=1

4

D0;t

h i j t

h i + D 0;T STj :

(4.93)

Diskontierte Marktmodelle enthalten nach Konstruktion stets festverzinsliche Handelsstrategien mit Zinssätzen rt = 0 für alle t = 1; : : : ; T .

4.9 Present Value und die Bewertung von Zahlungsströmen

295

Existieren im Modell festverzinsliche Handelsstrategien, so lässt sich (4.93) schreiben als T h i h i X j j Q j S0 = dt EQ (4.94) t + dT E0 ST : 0 t=1

Der Wert des Finanzinstruments S j zum Zeitpunkt h i 0 setzt sich aus dem auf Q den Zeitpunkt 0 diskontierten Endwert dT E0 STj von STj und aus der Summe der diskontierten Dividenden von S j zusammen. Im diskontierten Marktmodell gilt entsprechend S~0j =

T X t=1

oder

h ji h i ~ ~ + EQ~ S~j ; EQ t 0 0 T

T X

S0j = B0 S~0j =

B0 Bt

~

EQ 0

t=1

j t

~

+ EQ 0

B0 j S : BT T

(4.95)

Das Finanzinstrument S j kann also als zustandsabhängige Zahlung c :=

j j 1; : : : ; T

j 1 ; ST

j j 1; : : : ; T

=

1 ; ST

+

j T

aufgefasst werden. Der Barwert V0 dieses Zahlungsstroms ist nach (4.90) und (4.93) bzw. nach (4.92) und (4.95) gerade S0j . Anmerkung 4.21. Es gilt auch S0j = =

t X s=1 t X

~

EQ 0

s=1

für jedes 0 Zahlung c=

t

h i + D0;t Stj

j s

D 0;s

B0 Bs

j s

~

+ EQ 0

B0 j S Bt t

T . Für beliebiges t = 0; : : : ; T besitzt jede zustandsabhängige

j j j 1 ; : : : ; t 1 ; St ; 0; : : : ; 0

=

j j 1 ; : : : ; t 1 ; St

+

j t ; 0; : : : ; 0

zum Zeitpunkt 0 den Wert S0j . Anmerkung 4.22. Wie leicht nachgerechnet werden kann, gilt in Verallgemeinerung von (4.90) bzw. (4.92) für 0 s t T Vs =

T X i=s

Ds;i [ci ] :

(4.96)

296

4 Optionen, Futures und andere Derivate

Im Falle deterministischer Zinsen lässt sich (4.96) umschreiben zu Vs =

T X di Q Es [ci ] : d i=s s

(4.97)

Wird das Auszahlungspro…l c auf die Auszahlung eines Finanzinstruments S j des Modells spezialisiert, so folgt Ssj =

t X

D s;i

i=s+1

h i j i

h i + Ds;t Stj ;

(4.98)

bzw. im Falle deterministischer Zinsen Ssj =

t X di Q h j i dt Q h j i E + Es St : ds s i ds

(4.99)

i=s+1

Im diskontierten Marktmodell gilt für den Wert von c zum Zeitpunkt s die Darstellung T X ~ Bs Vs = EQ ci : (4.100) s Bi i=s

Die Spezialisierung auf die Auszahlung des Finanzinstruments S j liefert hier Ssj =

t X

i=s+1

~

EQ s

Bs Bi

j i

~

+ EQ s

Bs j S : Bt t

(4.101)

4.10 Swaps Ein Swap ist eine Vereinbarung zwischen zwei Parteien, zwei Zahlungsströme c und c0 miteinander auszutauschen. In der Praxis tritt z.B. häu…g der Fall auf, dass eine Institution feste gegen variable Zinsen tauschen möchte. Zur Bewertung eines Swaps sind die Barwerte von c und von c0 zu berechnen, und die Di¤erenz dieser Barwerte ist der Wert des Swaps. Die De…nition eines Swaps ist hier sehr allgemein. Tatsächlich kann in diesem Sinne jeder Kauf eines beliebigen Finanzprodukts als Swap interpretiert werden, weil der Kaufpreis gegen das Produkt getauscht wird.

4.11 Forward-Preise Angenommen, eine Bank vereinbart mit einem Kontrahenten zu einem Zeitpunkt 0, diesem zu einem zukünftigen Zeitpunkt t eine zustandsabhängige Auszahlung (c0 ; : : : ; cT ) 2 W zu verkaufen. Was ist der richtige Preis F0;t 2 R, wenn zum Zeitpunkt 0 keine Zahlung erforderlich sein soll?

4.11 Forward-Preise

297

Zum Zeitpunkt t spielen die Zahlungen c0 ; : : : ; ct 1 der Vergangenheit keine Rolle, so dass nur die Zahlungen ab dem Zeitpunkt t zu betrachten sind. Es sind dann die beiden Zahlungsströme c := (0; : : : ; 0; ct ; : : : ; cT ) und c0 := (0; : : : ; 0; F0;t ; 0; : : : ; 0) miteinander zu vergleichen und F0;t ist so zu bestimmen, dass die Barwerte beider Zahlungsströme übereinstimmen. Nun gilt V0 (c) =

T X

D 0;i [ci ]

i=t

und V0 (c0 ) = D 0;t [F0;t ] = F0;t D 0;t [1 ] = dt F0;t : Daraus folgt T 1 X D 0;i [ci ] : dt

F0;t =

(4.102)

i=t

Enthält das Marktmodell deterministische Zinsen, so gilt V0 (c) =

T X

di EQ 0 [ci ] ;

i=t

und wir erhalten die Darstellung F0;t =

T X di i=t

dt

EQ 0 [ci ] :

(4.103)

Entsprechend gilt bei Verwendung des diskontierten Marktmodells V0 (c) =

T X

~

EQ 0

i=t

und ~

V0 (c0 ) = F0;t EQ 0

B0 ci Bi B0 : Bt

Damit ergibt sich F0;t hier zu

F0;t =

h i ~ B Q 0 E c i=t 0 Bi i h i : ~ B Q E0 B0t

PT

(4.104)

298

4 Optionen, Futures und andere Derivate

Ist B eine festverzinsliche Kapitalanlage mit deterministischen Renditen rt 2 ~ = Q und (4.104) R, rt > 1, so gilt Bt = B0 (1 + r1 ) (1 + rt ) sowie Q spezialisiert sich zu F0;t =

T X Bt i=t

=

Bi

~

EQ 0 [ci ] =

T X di Q~ E [ci ] dt 0

(4.105)

i=t

T X di Q E0 [ci ] ; d i=t t

0 wobei di = B den Diskontfaktor für das Intervall [0; i] bezeichnet. AngeBi 0 nommen, B ist deterministisch mit konstantem Zinssatz r. Dann gilt B Bi =

(1 + r)

i

und es folgt

F0;t =

h i ~ B Q 0 ~ T E c X i 0 i=t Bi EQ t 0 [ci ] h i = (1 + r) i ~ B0 EQ i=t (1 + r) 0 Bt

PT

t

= (1 + r)

T X EQ 0 [ci ]

i

i=t

(1 + r)

:

F0;t wird Forward-Preis von (c0 ; : : : ; cT ) zum Zeitpunkt t genannt. Beispiel 4.23. Angenommen, B ist deterministisch mit konstantem Zinssatz r. Sei c = (c0 ; : : : ; cT ) ein deterministischer Zahlungsstrom. Dann gilt F0;t = (1 + r)

t

T X i=t

ci i

(1 + r)

: 4

Beispiel 4.24. Sei wieder angenommen, dass B deterministisch ist mit konstantem Zinssatz r. Wir betrachten einen Forward-Kontrakt auf eine Aktie S j . Dann gilt mit c = 0; : : : ; 0; Stj ; 0; : : : ; 0 i 1 Qh E0 dt St j dt ! t h i X 1 j Q j = S0 di E0 i dt i=0 h i1 0 j t EQ X 0 i t A; = (1 + r) @S0j i i=0 (1 + r)

F0;t =

bzw.

(4.106)

4.12 Futures

F0;t =

h ~

EQ 0

~

EQ 0

B0 j Bt St

h

B0 Bt

i

299

i

0

~ Q

t E X 0

t = (1 + r) @S0j

i=0

h i1 j i

(1 + r)

i

A

im diskontierten Modell. Dabei wurde (3.50) für das diskontierte Modell verwendet. Zahlt die Aktie S j keine Dividenden aus, so erhalten wir das vertraute Resultat t F0;t = (1 + r) S0j : 4 Anmerkung 4.25. Die Vereinbarung eines Forward-Kontrakts kann nicht nur zum Zeitpunkt 0 geschehen, sondern auch zu einem Zeitpunkt s > 0. Es ist leicht zu sehen, dass für 0 s t T gilt h i PT ~ Bt Q T X i=t Es Bi ci di Q h i Fs;t = E [ci ] = : ~ B d s t EQ i=t t 0 Bs

Dabei ist Fs;t der Fs -messbare Forward-Preis, der zum Zeitpunkt s vereinbart wird und den Preis von c bezeichnet, der zum Zeitpunkt t bezahlt werden muss. Speziell für einen Aktienpreisprozess S j gilt ! ! t t h i X X ds 1 ~ Bt j j j Q j Q Fs;t = Ss Es i = ~ h i Ss Es : dt Bi i EQ Bt i=s+1

0

Bs

i=s+1

4.12 Futures Der Inhaber eines Future-Kontrakts hat sich verp‡ichtet, ein Gut oder Wertpapier zu einem zukünftigen Zeitpunkt und zu einem im voraus festgelegten Preis, dem Future-Preis, zu kaufen. Obwohl Future- und Forward-Kontrakte soweit identisch de…niert sind, gibt es einen grundlegenden Unterschied zwischen diesen Finanzinstrumenten. Forward-Kontrakte werden zwischen zwei Parteien geschlossen, die sich verp‡ichten, die vereinbarte Transaktion zum Fälligkeitszeitpunkt durchzuführen. Future-Kontrakte sind dagegen börsengehandelte Finanzinstrumente, die jederzeit gekauft und wieder veräuß ert werden können. Während auch bei jeder Future-Transaktion zu jedem Käufer ein Verkäufer gehört, sind sich die Marktteilnehmer hier gegenseitig nicht bekannt, sondern die Börse vermittelt zwischen ihnen. Dies bedeutet aber, dass die Börse sicherstellen muss , dass Future-Kontrakte auch erfüllt werden. Grundsätzlich besteht die Gefahr, dass ein Vertragspartner versucht, aus

300

4 Optionen, Futures und andere Derivate

einem Vertrag „auszusteigen“, wenn seine Verluste zu großwerden. Aus diesem Grund verlangt die Börse die Hinterlegung von Sicherheiten, sogenannten Marginzahlungen. Dies können Kapitalbeträge, aber auch Wertpapiere sein. Future-Kontrakte werden an jedem Handelstag durch die Börse bewertet. Sollte ein Vertragspartner mit seinem Future einen Verlust erzielt haben, so wird der entsprechende Betrag von seinem Margin-Konto abgebucht. Wird eine Sicherheitsmarge unterschritten, so verlangt die Börse eine Erhöhung der Einlagen. Werden diese Sicherheiten nicht beigebracht, so schließ t die Börse den betre¤enden Kontrakt. Der für die Bewertung wesentliche Unterschied besteht darin, dass durch die tägliche Bewertung Future-Kontrakte de facto nur jeweils einen Tag laufen und dann für den nächsten Tag neu abgeschlossen werden. Diese tägliche Bewertung wird auch marked to market genannt. Wir betrachten ein Mehr-Perioden-Modell ((S; ) ; F ), in dem ein FutureKontrakt als N -tes Finanzinstrument S N enthalten ist. Die Future-Kurse werden mit U0 ; : : : ; U bezeichnet, wobei den Fälligkeitszeitpunkt des Kontrakts bezeichnet. Jedes Ut wird als Ft -messbar vorausgesetzt. Nach dem Fälligkeitszeitpunkt ist der Future wertlos, was durch StN = 0 für alle t > modelliert wird. Zu Beginn jeder Periode [t 1; t] ist das Eingehen eines Future-Kontrakts, abgesehen von der P‡icht zur Hinterlegung von Sicherheiten, ohne Kosten möglich. Dies bedeutet StN = 0 für alle t und daher ht St

1

=

N X1

hit Sti

1:

i=1

Am Ende der Periode [t Dies bedeutet

1; t] besitzt der Future den Wert Ut ht St =

N X1

Ut

1

=:

Ut .

hit St i + hN Ut : t

i=1

Damit kann das N -te Finanzinstrument, das den Future-Handel beschreibt, de…niert werden als StN = 0 für t = 0; : : : ; T 1 St N = Ut für t = 1; : : : ; St N = 0 für t = + 1; : : : ; T: Da das Marktmodell nach Voraussetzung arbitragefrei ist, existiert ein Zustandsprozess und nach (4.98) gilt h i j Stj = D t;t+1 St+1 : für alle j = 1; : : : ; N . Speziell für j = N bedeutet dies

4.12 Futures

301

0 = D t;t+1 [ Ut+1 ] ; also D t;t+1 [Ut ] = D t;t+1 [Ut+1 ] :

(4.107)

Enthält das Marktmodell deterministische Zinsen, so gilt dt Q dt E [Ut ] = Ut dt+1 t dt+1

Dt;t+1 [Ut ] = und

D t;t+1 [Ut+1 ] =

dt Q E [Ut+1 ] ; dt+1 t

denn Ut ist Ft -messbar, und (4.107) spezialisiert sich zu Ut = EQ t [Ut+1 ] :

(4.108)

Also ist U unter der Voraussetzung, dass im Marktmodell festverzinsliche Handelsstrategien existieren, ein Martingal bezüglich Q. Bezieht sich der Future-Kontrakt auf eine Aktie S j des Marktmodells, so gilt zum Fälligkeitszeitpunkt nach De…nition des Futures U = S j:

(4.109)

Existieren im Marktmodell deterministische Zinsen, dann lässt sich der Future-Prozess mit Hilfe von (4.108) darstellen als Ut = EQ t S

j

(4.110)

für alle t = 0; : : : ; . Nach (4.98) gilt d Q j E S = Stj dt t

X di i=t

dt

EQ t

h i j i

;

und Einsetzen in (4.110) liefert dt Ut = d 1 = d Insbesondere für t = 0 folgt

Stj dt Stj

X di Q h j i E i d t i=t t X i=t

di EQ t

!

! h i j i

:

302

4 Optionen, Futures und andere Derivate

1 U0 = d

X

S0j

di E Q 0

i=0

! h i j i

:

Dies stimmt mit dem Forward-Preis F0; in (4.106) überein. Im Falle deterministischer Zinsen sind also Forward- und Future-Preise identisch. Betrachten wir die Situation nun im diskontierten Marktmodell, so erhalten wir nach (4.101) für alle t = 0; : : : ; T 1 den Zusammenhang 1 S j : Bt+1 t+1

~

Stj = Bt EQ t

Dies bedeutet für j = N die Darstellung 1

~

0 = Bt EQ t

Ut+1 :

Bt+1

h ~ 1 Ist der Prozess Bt vorhersehbar, so gilt EQ t Bt+1 Dies bedeutet ~ 0 = EQ t [ Ut+1 ] ;

(4.111)

i Ut+1 =

~ Q 1 Bt+1 Et

[ Ut+1 ].

~ ein Martingal ist. Speziell für t = 0 gilt so dass U bezüglich Q ~

U0 = EQ 0 S

j

;

(4.112)

während der entsprechende Forward-Preis F0;t nach (4.104) gegeben ist durch h i ~ B0 j EQ S 0 B h i : F0;t = (4.113) ~ B0 EQ 0 B

Wiederum erhalten wir das Resultat, dass Forward- und Future-Preise übereinstimmen, wenn der Prozess B deterministisch ist. Wenn jedoch B nicht deterministisch ist, dann können Forward- und Future-Preise voneinander verschieden sein. Dies gilt auch dann, wenn B nicht deterministisch, aber sogar vorhersehbar ist, wie das folgende Beispiel zeigt: Beispiel 4.26. (Unterschiede von Forward- und Future-Preisen) Wir betrachten folgendes Zwei-Perioden-Modell mit einem Future-Kontrakt auf die Aktie S. Den Daten der Abb. 4.5 ist zu entnehmen, dass der Prozess B vorhersehbar, aber nicht deterministisch ist. Das Ein-Perioden-Teilmodell (b; D)A11 lautet (b; D)A11 =

1:02 19

;

1:05 1:05 22 18

:

4.12 Futures

303

B2 (! 1 ) = 1:05 S2 (! 1 ) = 22 U2 (! 1 ) = S2 (! 1 )

~ (A11 ) 1 % B1 (A11 ) = 1:02 S1 (A11 ) = 19 ~ (A0 ) 1 %

& ~ (A11 ) 2

B2 (! 2 ) = 1:05 S2 (! 2 ) = 18 U2 (! 2 ) = S2 (! 2 )

~ (A12 ) 1 %

B2 (! 3 ) = 1:03 S2 (! 3 ) = 16 U2 (! 3 ) = S2 (! 3 )

B0 = 1 S0 = 17 & ~ (A0 ) 2

B1 (A12 ) = 1:02 S1 (A12 ) = 14

t=0

& ~ (A12 ) 2

B2 (! 4 ) = 1:03 S2 (! 4 ) = 11 U2 (! 4 ) = S2 (! 4 )

t=1

t=2

Abb. 4.5. Future-Kontrakt in einem Zwei-Perioden-Modell

~ Daraus ergibt sich das mit B diskontierte Modell ~b; D ~b; D ~

A11

=

1 19 1:02

;

1

1

22 18 1:05 1:05

A11

zu

:

~~ = Der zugehörige Zustandsvektor ~ ist die Lösung des Gleichungssystems D ~b und gegeben durch ~ (A11 ) = 0:389 71 : 0:610 29 Entsprechend erhalten wir ~ (A12 ) = ~ (A0 ) =

0:627 45 0:372 55 0:668 0:332

und :

~ wie Damit lautet das zum diskontierten Modell gehörende MartingalmaßQ folgt: ~ (! 1 ) = 0:668 0:389 71 = 0:260 33 Q ~ (! 2 ) = 0:668 0:610 29 = 0:407 67 Q ~ (! 3 ) = 0:332 0:627 45 = 0:208 31 Q ~ (! 4 ) = 0:332 0:372 55 = 0:123 69: Q

304

4 Optionen, Futures und andere Derivate

Mit (4.112) ergibt sich daraus der Future-Preis U0 zum Zeitpunkt 0 zu ~

U0 = EQ 0 [S2 ] = 17: 759: Der Forward-Preis F0;2 lautet mit (4.113) dagegen h i ~ B 0 EQ 0 B2 S2 h i = 17: 736: F0;t = ~ B0 EQ 0 B2

Also sind Forward- und Future-Preise in diesem Beispiel tatsächlich voneinander verschieden. 4 Anmerkung 4.27. In einem Ein-Perioden-Modell stimmen Forward- und FuturePreise auch dann überein, wenn der Prozess B nicht deterministisch ist. Zum Nachweis kann (4.110) bzw. (4.111) für das diskontierte Modell verwendet werden. Nach Satz 1.65 existieren im diskontierten Modell genau dann keine Arbitragegelegenheiten, wenn ein strikt positives MaßQ existiert mit h i S~0 = EQ S~1 und mit

0 = EQ ~1 = wobei U

U1 B1 .

h i U1 U1 U0 Q ~ = EQ = E U1 B1 S11

U0 EQ

1 ; B1

Dies bedeutet aber U0 =

EQ

Speziell für B1 = 1 + r gilt damit

1 h

U0 = (1 + r) EQ

1 B1

i EQ

U1 : B1

(4.114)

U1 = EQ [U1 ] : 1+r

Für den Fall, U = S j spezialisiert sich (4.114) zu h i 1 h i EQ S~1j U0 = EQ B11 =

S~0j h i

EQ

1 B1

und U0 ist gerade der Forward-Preis von S j . Dies ist nicht überraschend, denn in einem Ein-Perioden-Modell sind Forwards und Futures nicht voneinander zu unterscheiden. In einem Mehr-Perioden-Modell dagegen kann ein FutureKontrakt von Periode zu Periode gehandelt werden, während ein ForwardKontrakt bis zum Ende gehalten werden muss.

4.12 Futures

305

Das folgende Beispiel stammt aus Luenberger [41]. Wir setzen die Existenz deterministischer Zinsen voraus. Wird zum Zeitpunkt t ein Future-Kontrakt gekauft, so besitzt dieser zum Zeitpunkt t+1 den Wert Ut+1 Ut . Wenn dieser Betrag bis zum Fälligkeitszeitpunkt festverzinslich angelegt wird, so ergibt sich bei der Wert dt+1 (Ut+1 Ut ) : d Werden also ddt+1 Future-Kontrakte gekauft, so ergibt sich entsprechend zum Zeitpunkt der Wert dt+1 d (Ut+1 d dt+1

Ut ) = Ut+1

Ut

Der Kauf von dT d1 dT d2

Futures zum Zeitpunkt 0 Futures zum Zeitpunkt 1

.. . 1 Future zum Zeitpunkt T

1

führt auf diese Weise zu den Erträgen d1 dT d2 dT

.. . U

dT d1 dT d2

(U1 (U2 U

U0 ) = U1 U1 ) = U2

U0 U1

1.

Insgesamt liefert diese Handelsstrategie mit (4.109) den Wert U

U0 = S

j

U0 :

Ein Forward-Kontrakt besitzt dagegen die Auszahlung S

j

F0; :

Wären die beiden Auszahlungen nicht gleich, so wären die Werte der Kontrakte zum Zeitpunkt 0 verschieden. Beide Handelsstrategien besitzen jedoch zum Zeitpunkt 0 den Wert 0. Also gilt ! h i X 1 j Q j U0 = F0; = S0 di E 0 i ; d i=0 so dass Future- und Forward-Preis übereinstimmen.

306

4 Optionen, Futures und andere Derivate

4.13 Bonds Der Käufer eines Bonds bezahlt zum Kaufzeitpunkt den Bondpreis und hat anschließ end Anrecht auf periodische, meist jährliche oder halbjährliche Zahlungen, die Couponzahlungen genannt werden. Zum Fälligkeitszeitpunkt des Bonds wird der letzte Coupon gemeinsam mit dem sogenannten Nennwert des Bonds gezahlt. Die Couponhöhe wird in der Regel in Prozent des Nennwerts angegeben. Beispiel 4.28. Ein Bond habe einen Nennwert von 1000; Euro. Der Coupon betrage 5%, also 50 Euro, und werde jährlich ausgezahlt. Die Laufzeit des Bonds betrage 10 Jahre. Wird der Bond zu einem Zeitpunkt t = 0 erworben, so ‡ieß en zu den Zeitpunkten t = 1; : : : ; 10 jeweils 50 Euro. Zum Fälligkeitszeitpunkt t = 10 wird jedoch zusätzlich zum Coupon auch der Nennwert in Höhe von 1000; Euro gezahlt. 4 Grundsätzlich ist die Bewertung eines Bonds sehr einfach, denn es müssen lediglich deterministische Zahlungen auf den Zeitpunkt 0 abdiskontiert und aufsummiert werden. Durch eine Reihe von Regeln und Konventionen erweisen sich Bonds jedoch als komplexe Thematik, deren Beherrschung eine intensive Einarbeitung erfordert; für einen Eindruck siehe beispielsweise Luenberger [41]. Komplizierter wird die Bewertung von Bonds auch dadurch, dass die Bondinhaber ein Ausfallrisiko tragen. Bonds werden nicht nur von Staaten, sondern auch von größ eren Firmen zur Kapitalbescha¤ung emittiert. Erleidet das einen Bond emittierende Unternehmen während der Laufzeit des Bonds einen Konkurs, so können die Bondinhaber nicht damit rechnen, die restlichen Couponzahlungen und den abschließ enden Nennwert in voller Höhe zu erhalten. Je nach Bonität eines Bondemittenten sind also Preisabschläge auf den Bondpreis mit in die Bewertung einzubeziehen. Siehe auch Abschnitt 3.9. 4.13.1 Die Bewertung von Bonds In einem arbitragefreien Marktmodell gilt für den Barwert V0 eines Bonds mit Nennwert N und Couponzahlung c V0 =

T X

D0;t [c] + D 0;T [N ]

t=0

=c

T X

D 0;t [1] + N D0;T [1]

t=0

=c

T X t=0

dt + N dT :

4.13 Bonds

307

4.13.2 Interne Renditen Wir betrachten einen Zahlungsstrom (c0 ; c1 ; : : : ; cT ). Dies bedeutet, dass der Betrag c0 heute, zum Zeitpunkt t = 0, ‡ieß t, der Betrag c1 in einem Jahr, der Betrag c2 in zwei Jahren usw. Die interne Rendite r ist de…niert als diejenige Zahl, für die gilt c1 c2 + + 1 + r (1 + r)2

0 = c0 +

+

cT : (1 + r)T

Beispiel 4.29. Betrachten wir den Zahlungsstrom ( 3; 4), so folgt aus 0 = 4 3 + 1+r die Beziehung 3 (1 + r) = 4, oder r = 13 . 4 Zwei Zahlungsströme c = (c0 ; c1 ; : : : ; cT ) und c0 = (c00 ; c01 ; : : : ; c0T 0 ) können nun so verglichen werden, dass zu beiden die jeweiligen internen Renditen rc und rc0 berechnet werden und dass derjenige Zahlungsstrom als vorteilhafter eingeschätzt wird, dessen interne Rendite größ er ist. Es sind also rc und rc0 so zu bestimmen, dass 0=

T X t=0

T0

X ct c0t und 0 = : (1 + rc )t (1 + rc0 )t t=0

Falls rc > rc0 , so wird der Zahlungsstrom c als günstiger als Zahlungsstrom c0 eingeschätzt5 . Der Vergleich von Zahlungsströmen mit Hilfe der internen Renditen hat den Vorteil, dass hier kein Marktmodell, keine Prüfung auf Arbitragefreiheit und kein Zustandsprozess zugrunde gelegt werden muss, sondern dass sich die interne Rendite ausschließ lich aus dem jeweiligen Zahlungsstrom ohne Bezugnahme auf eine externe Größ e bestimmen lässt. Dennoch: Wird ein arbitragefreies Marktmodell zugrunde gelegt, so ist die Bewertung von replizierbaren Zahlungsströmen mit Hilfe des Diskontierungsoperators der richtige Ansatz, denn die auf diese Weise ermittelten Beträge sind die eindeutig bestimmten arbitragefreien Preise. Die interne Rendite als Nullstelle eines Polynoms De…nieren wir x := chung 5

1 1+r ,

so wird die interne Rendite de…niert über die Glei-

Betrachten wir die Zahlungsströme c und c0 in einem arbitragefreien Marktmodell mit Zustandsprozess , so betragen deren Werte zum Zeitpunkt 0 V0 (c) :=

n X t=0

D0;t [ct ] bzw. V0 c0 :=

n X

D0;t c0t ;

t=0

und c besitzt zum Zeitpunkt 0 genau dann einen höheren Wert als c0 , falls V0 (c) > V0 (c0 ).

308

4 Optionen, Futures und andere Derivate T X t=0

ct = c0 + c1 x + c2 x2 + (1 + r)t

+ cT xT = 0:

(4.115)

Wir bestimmen also zunächst die Nullstelle x des Polynoms p(x) = c0 + c1 x + 1 c2 x2 + +cT xT und erhalten dann durch Au‡ösen von x = 1+r die Beziehung 1 r = x 1. Diese Vorgehensweise ist jedoch nur dann anwendbar, wenn das Polynom p überhaupt eine reelle Nullstelle besitzt. Ebenfalls bleibt o¤en, wie die interne Rendite de…niert werden soll, wenn das Polynom über mehr als eine positive Nullstelle verfügt. So hat etwa das Polynom p (x) = 1 + x2 keine reellen Nullstellen, dagegen verfügt p (x) = 12 + 19x 8x2 + x3 über die drei reellen Nullstellen 1, 3, und 4. Ein wichtiger Spezialfall Es gibt jedoch einen wichtigen Spezialfall, der in der Praxis häu…g auftritt und für den sich eine eindeutig bestimmte positive Nullstelle des Polynoms (4.115) ergibt. Satz 4.30. Angenommen, der Zahlungsstrom c = (c0 ; c1 ; : : : ; cT ) hat die Eigenschaften c0 < 0 und ct 0 für alle t = 1; : : : ; T und c > 0 für wenigstens ein = 1; : : : ; T . Dann existiert eine eindeutig bestimmte positive Nullstelle x0 > 0 des Polynoms p(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + + cT xT . Gilt ferner PT 1 1 positiv. t=0 ct > 0, so ist r = x0

Beweis. Es gilt p (0) = c0 < 0 und limx!1 p (x) = 1, also besitzt p nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle. Weiter gilt p0 (x) = c1 + 2c2 x + + T cT xT 1 > 0 für x > 0, also ist p streng monoton wachsend, und die Nullstelle PT ist eindeutig bestimmt. Schließ lich gilt p (1) = t=0 ct > 0, also liegt die Nullstelle x0 von p im Intervall (0; 1). Dies bedeutet aber r = x10 1 > 0. Zahlungsströme der in Satz 4.30 beschriebenen Art treten dann auf, wenn zum Zeitpunkt t = 0 eine Anfangsinvestition c0 < 0 erforderlich ist, etwa zur Anscha¤ung von Maschinen. Die späteren Zahlungsströme c1 bis cT können dann Gewinne sein, die sich mit Hilfe der Anfangsinvestition erwirtschaften lassen. Pn Die Bedingung t=0 ct > 0 besagt, dass die Summe aller Zahlungen, also Anfangsinvestition und spätere Gewinne, in ihrer Summe positiv sind. In einem solchen Fall erweist sich der interne Zinssatz dann als positiv, was der Intuition entspricht. 4.13.3 Duration Wir betrachten einen Zahlungsstrom mit zukünftigen Zahlungen (c1 ; : : : ; cT ). Wir unterstellen eine ‡ache Zinsstruktur und legen einen Zinssatz r für alle Fristigkeiten zugrunde. Damit lautet der Barwert V0 des Zahlungsstroms

4.13 Bonds

V0 =

n X t=1

ct

309

t:

(1 + r)

Die interne Rendite des Zahlungsstroms ( V0 ; c1 ; : : : ; cT ) beträgt dann gerade r. Wir fragen uns, wie der Bondpreis auf eine Änderung des Zinsniveaus reagiert. Mit der Modi…ed Duration 1 dV0 V0 dr T 1 X tct = V0 t=1 (1 + r)t+1

DM :=

gilt dV0 = dr und damit gilt näherungsweise V0 V0

DM V0 ;

DM

r:

Die Modi…ed Duration gibt also die relative Änderung des Bondpreises an, wenn der interne Zins um r verschoben wird. Bezeichnen wir mit ct;0 := ct den Barwert der t-ten Zahlung ct , so gilt (1+r)t DM = =

T 1 X ct;0 t 1 + r t=1 V0

1 DM ac ; 1+r

PT c wobei DM ac := t=1 t Vt;0 Macaulay-Duration genannt wird. Die Macaulay0 Duration ist die laufzeitgewichtete Summe der Barwertanteile des betrachteten Zahlungsstroms und hat die Einheit Zeit. Wir betrachten nun Zahlungsströme c1 ; : : : ; cn mit Barwerten V01 ; : : : ; V0n 1 n und Durationen DM ; : : : ; DM bezüglich eines Zinsniveaus r. Sei P = h1 c1 + n + hn c ein Portfolio bestehend aus diesen Zahlungsströmen. Dann ist P0 = h1 V01 + + hn V0n der Barwert des Portfolios, und für die Duration des Portfolios gilt DM P0 = =

dP0 dr n X i=1

=

n X i=1

hi

dV0i dr

i DM hi V0i ;

310

4 Optionen, Futures und andere Derivate

also DM =

n X

i DM wi ;

i=1

hi V0i

wobei wi := P0 der Anteil des Barwerts des i-ten Zahlungsstroms am Gesamtbarwert des Portfolios ist. Die Duration DM des Portfolios ist also eine gewichtete Summe der Durationen der Portfoliobestandteile. Dieser Zusammenhang ist analog zur Darstellung der Rendite eines Portfolios als gewichtete Summe der Renditen der Portfoliobestandteile. In der Praxis wird häu…g versucht, Zahlungsströme so zu Portfolios zu kombinieren, dass die Duration dieser Portfolios klein wird, und damit ein geringes Zinsänderungsrisiko vorliegt. 4.13.4 Konvexität Bei der Duration werden nur Veränderungen des Bondpreises bis zur ersten Ordnung betrachtet. Eine bessere Approximation wird dann erhalten, wenn auch die Terme zweiter Ordnung berücksichtigt werden. Diese werden Konvexität genannt. Mit der De…nition C :=

1 d2 c0 c0 dr2

gilt C= Damit gilt näherungsweise c0 c0

T X t (t + 1) ct t+2 c : 0 (1 + r) t=1

DM od

r+

C 2 ( r) : 2

Für zusätzliche Informationen zum Finanzinstrument Bond und seinen Eigenschaften siehe Luenberger [41] und Hull [23].

4.14 Forward-Start-Optionen Eine Forward-Start-Option ist eine Option mit Underlying S, deren Basispreis erst zu einem zukünftigen Zeitpunkt festgelegt wird. Der Käufer des Derivats verfügt zu einem zukünftigen Zeitpunkt t0 über eine Option auf S mit Basispreis St0 und Fälligkeit T > t0 . Da die Auszahlung der Option zum Zeitpunkt t0 stets nicht negativ und für gewisse Zustände positiv ist, besitzt das Finanzprodukt zum Zeitpunkt 0, also zum Zeitpunkt des Kaufs, einen positiven Wert.

4.14 Forward-Start-Optionen

311

Wir betrachten zunächst europäische Optionen im Black-Scholes-Modell, deren Underlyings während des Zeitraums [0; T ] keine Dividenden zahlen. Dann hat eine Call-Option mit Basispreis K zum Zeitpunkt t0 , 0 < t0 < T , für eine Laufzeit T t0 nach (4.78) den Wert C (St0 ; T

t0 ; K) := St0 (d+ )

e

r(T

t0 )

K (d ) :

Speziell für K = St0 gilt C (St0 ; T Der Wert C (1; T spricht St0 C (1; T Wert von C (1; T

t0 ; St0 ) = St0 C (1; T

t0 ; 1) :

t0 ; 1) hängt nicht vom eintretenden Zustand ab, also entt0 ; 1) einem Vielfachen der Aktie S zum Zeitpunkt t0 . Der t0 ; 1) Aktien S zum Zeitpunkt 0 beträgt aber S0 C (1; T

t0 ; 1) = C (S0 ; T

t0 ; S0 ) :

Der Preis des Forward-Start-Calls stimmt also mit dem eines gewöhnlichen Calls, der den Basispreis S0 und den Fälligkeitszeitpunkt T t0 besitzt, überein. Für den Preis C (S0 ; T t0 ; S0 ) können C (1; T t0 ; 1) Aktien S zum Zeitpunkt 0 gekauft werden. Diese besitzen zum Zeitpunkt t0 den Wert St0 C (1; T t0 ; 1) = C (St0 ; T t0 ; St0 ), und dies ist der Wert des ForwardStart-Calls zum Zeitpunkt t0 . Entsprechend betrachten wir für eine Put-Option zum Zeitpunkt t0 mit Laufzeit T t0 und Basispreis K die Black-Scholes-Formel P (St0 ; T

t0 ; K) := e

r(T

t0 )

K ( d )

St0 ( d+ ) :

Analog zur Call-Option folgt P (St0 ; T

t0 ; St0 ) = St0 P (1; T

t0 ; 1) :

Der Forward-Start-Put besitzt daher zum Zeitpunkt 0 den Wert S0 P (1; T

t0 ; 1) = P (S0 ; T

t0 ; S 0 ) :

Wird die Call-Option alternativ in einem Binomialbaum modelliert, so gilt mit (4.73) c (St0 ; n wobei

t=

c (Sn0 ; n

n0 ; K) := Sn0 Bn T , n

n0 ;1 q 0

(j0 )

K n (1 + rn )

n0

Bn

n0 ;1 q

(j0 ) ;

n

n0 t = t0 und erT = (1 + rn ) . Insbesondere gilt

n0 ; Sn0 ) = Sn0

Bn

= Sn0 c (1; n

n0 ;1 q 0

(j0 )

n0 ; 1) :

1 n n0

(1 + rn )

Bn

n0 ;1 q

(j0 )

312

4 Optionen, Futures und andere Derivate

Wird dieser zustandsabhängige Wert St0 c (1; n abdiskontiert, so erhalten wir D 0;n0 [Sn0 c (1; n

n0 ; 1)] = c (1; n

n0 ; 1) auf den Zeitpunkt 0 n0 ; 1) D0;n0 [Sn0 ]

= S0 c (1; n n0 ; 1) = c (S0 ; n n0 ; S0 ) : Wie oben entspricht dies dem Preis einer gewöhnlichen Call-Option mit Laufzeit (n n0 ) t = T t0 und Basispreis S0 . Entsprechendes gilt für eine Put-Option.

4.15 Forward-Start-Performance-Optionen Für ein lung

> 0 und für einen Kapitalbetrag G > 0 betrachten wir die AuszahGRT+ = G

ST

S0

+

S0

G (ST S0

=

+

S0 ) :

(4.116)

Ist die Rendite von S zwischen 0 und T positiv, so ist die Auszahlung GRT+ die -fache Rendite eines eingesetzten Kapitalbetrags G. Ist die Rendite RT dagegen in einem Zustand negativ, so liefert (4.116) für diesen Zustand den Wert 0. Der Preis dieses Rendite- oder Performance-Calls zum Zeitpunkt 0 lautet damit o¤enbar G C (S0 ; T; S0 ) = GC (1; T; 1) : S0 Die Auszahlung eines Performance-Calls mit Laufzeit T zukünftigen Zeitpunkt t0 beginnt, beträgt GRt+0 ;T = G

ST

St0 St0

+

=

G (ST St0

t0 , der zu einem

+

St0 ) :

Der Wert dieses Performance-Calls zum Zeitpunkt t0 ergibt sich damit zu G C (St0 ; T St0

t0 ; St0 ) = GC (1; T

t0 ; 1) :

Diese Auszahlung hat unabhängig vom eintretenden Zustand zum Zeitpunkt t0 stets denselben Wert. Wir erhalten den Preis dieser Auszahlung zum Zeitpunkt 0 daher durch deterministisches Diskontieren, also e

rt0

GC (1; T

t0 ; 1) :

(4.117)

Entsprechend hat ein Forward-Start-Performance-Put, der zum Zeitpunkt t0 beginnt und zum Zeitpunkt T > t0 die Auszahlung G den Preis

St0 ST St0

+

besitzt,

4.16 Ein strukturiertes Produkt

e

rt0

GP (1; T

313

t0 ; 1) :

Einer anderen Variante eines Forward-Start-Performance-Calls liegt eine Auszahlung + ST G + G = (ST S0 ) S0 S0 zugrunde. Der Wert dieses Calls zum Zeitpunkt 0 beträgt G C (S0 ; T; S0 ) = GC (1; T; ) : S0 Entsprechend lautet die Auszahlung eines Performance-Calls mit Laufzeit T t0 , der zu einem zukünftigen Zeitpunkt t0 beginnt, G

+

ST St0

=

G (ST St0

+

St0 ) :

Damit erhalten wir als Wert dieses Performance-Calls zum Zeitpunkt t0 den Ausdruck G C0 (St0 ; T t0 ; St0 ) = GC (1; T t0 ; ) : St0 Dies ist wiederum unabhängig vom eintretenden Zustand zum Zeitpunkt t0 , so dass der Wert des Calls zum Zeitpunkt 0 lautet e

rt0

GC (1; T

t0 ; ) :

4.16 Ein strukturiertes Produkt, der Index-Performance-Sparvertrag Sei S ein Aktienindex, wie beispielsweise der DAX. Wir betrachten einen Sparvertrag mit folgenden Eigenschaften: Das Produkt kostet N = 1000 Euro zum Zeitpunkt 0. Die Laufzeit des Produkts beträgt n Jahre. Der Käufer des Produkts erhält eine Kapitalgarantie. Dies bedeutet, dass nach n Jahren garantiert G N Euro zurückgezahlt werden. Der Käufer partizipiert an positiven Renditen des Index S. Dies bedeutet, dass der Investor mit einem Faktor 0 < < 1 an den Jahresrenditen des Index S beteiligt wird, wenn diese positiv sind. Ist eine Jahresrendite des Index negativ, so vermindert dies nicht das bislang angesparte Vermögen des Investors. Die Endauszahlung des Produktes besteht aus der Summe der Partizipationen an positiven Indexentwicklungen plus der Kapitalgarantie von G Euro.

314

4 Optionen, Futures und andere Derivate

Beispiel 4.31. Wir setzen n = 5, G = 950 und eine Partizipation von = 85% voraus und betrachten einen Index-Performance-Sparvertrag am Ende seiner Laufzeit. Die Indexkurse am Ende der 5 Jahre seien wie folgt: Jahr Indexkurs Rendite Partizipation 1 2376 2 2567 8.04% 58.33 3 2779 8.26% 70.20 4 2503 -9.93% 0 5 2650 5.87% 49.92 Summe 188.45 Zur Bestimmung der Partizipation wurde N Auszahlung nach 5 Jahren beträgt

Jahresrendite gerechnet. Die

Kapitalgarantie + Partizipation, also 950 + 188:45 = 1138:45 Euro. 5

Dies entspricht mit 1138:45 = 1000 (1 + r) einer Jahresrendite r von r 5 1138:45 r= 1 = 2:63%: 1000 Mit 2:63% ist diese Rendite zwar nicht sehr hoch, q aber sie ist höher als die

durchschnittliche Jahresrendite des Index, die bei 5 2650 1 = 2:21% liegt. 2376 Zudem sind die potentiellen Verluste, die Investoren bei Erwerb des Produktes hinnehmen müssen, begrenzt. 4 Der Index-Performance-Sparvertrag kann durch den Erwerb eines Zerobonds realisiert werden, der nach n Jahren gerade den Garantiebetrag G als Rückzahlung besitzt. Für einen risikolosen Zinssatz r muss also zum Zeitpunkt G 0 der Betrag g = (1+r) n angelegt werden. Wäre der risikolose Zinssatz r in 950 obigem Beispiel r = 2:5%, so wäre g = 1:025 5 = 839:66 Euro. Mit dem verbleibenden Kapital N g = 140:34 Euro werden nun n 1 Forward-Start-Performance-Optionen mit Partizipation gekauft. In der Praxis müssen der Garantiebetrag G und die Partizipation so angepasst werden, dass der verbleibende Kapitalbetrag N g für die zu erwerbenden Forward-Start-Performance-Optionen ausreicht. Finanzinstrumente, die sich wie im obigen Beispiel aus verschiedenen anderen Finanzinstrumenten zusammensetzen, werden strukturierte Produkte genannt.

4.17 Weitere Aufgaben

315

4.17 Weitere Aufgaben Aufgabe 4.4. Implementieren Sie mit folgenden Abkürzungen Name Abkürzung Call C Put P Forward F Europäisch E Amerikanisch A Rekursiv R Direkt D Black-Scholes BS Bewertungsalgorithmen für Call- und Put-Optionen gemäßfolgender Tabelle Derivat C, P C, P C P C, P

Typ Dividenden E Nein E Ja A Nein A Nein A Ja

in C++, Java oder in Excel-VBA.

Verfahren D, R, BS D, R, BS D, R, BS R R

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

Im Rahmen der Portfoliotheorie wurde das Risiko eines Portfolios als Standardabweichung der Portfoliorenditen de…niert. Bei Banken, Versicherungen, Investment- und Vermögensverwaltungsgesellschaften ist dagegen die Kennzahl Value at Risk zur Messung von Marktrisiken weitverbreitet. Der Value at Risk ist eine Zahl, die den größ ten Verlust bezeichnet, den ein Portfolio innerhalb eines Zeitraums [0; T ] mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit, dem Kon…denzniveau, nicht überschreitet. Angenommen, es ließ e sich folgende Aussage machen: Ein Portfolio h verliert innerhalb der nächsten zehn Tage mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% nicht mehr als eine Million Euro, dann wäre dieser Betrag der Value at Risk von h. Obwohl der Value at Risk in der Praxis weit verbreitet ist, ist er als Risikomaßnicht unumstritten. So macht diese Kennzahl keine Aussagen über die Verteilung der groß en Verluste. Zudem ist der Value at Risk nicht subadditiv. Dies bedeutet, dass die Summe der Risiken von Teilportfolios geringer ausfallen kann als das Risiko des aggregierten Gesamtportfolios. Es wäre daher denkbar, dass das Gesamtrisiko durch eine geschickte Aufteilung in Teilportfolios „heruntergerechnet“ werden kann. Risikomaß e, die vom theoretischen Standpunkt aus über wünschenswerte Eigenschaften verfügen, werden kohärente Risikomaß e genannt. Ein wichtiges Beispiel für ein kohärentes Risikomaß ist der Expected Shortfall, der gegen Ende des Kapitels vorgestellt wird. Für weiterführende Informationen zu den Themen Value at Risk und Risikomaß e siehe Acerbi/Tasche [2] und Föllmer/Schied [16]. Zu den Grundlagen der Maß - und Integrationstheorie, die im vorliegenden Kapitel verwendet werden, siehe Bauer [5] und Williams [59].

5.1 Verteilungsfunktionen Wir betrachten in diesem Kapitel einen allgemeinen, nicht notwendigerweise endlichen, Wahrscheinlichkeitsraum. Für die De…nition ist die Begri¤sbildung einer -Algebra erforderlich. J. Kremer, Portfoliotheorie, Risikomanagement und die Bewertung von Derivaten, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-20868-3_5, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

318

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

De…nition 5.1. Sei eine beliebige Menge. Eine -Algebra über ist eine Teilmenge F der Potenzmenge P ( ) von , also ein System von Teilmengen von , mit folgenden Eigenschaften 1. 2 F 2. A 2 F =) Ac 2 F [ 3. (An )n2N 2 F für alle n 2 N =) An 2 F . n2N

Ein System F von Teilmengen einer Menge ist genau dann eine Algebra, wenn F abgeschlossen ist gegenüber allen endlichen und abzählbar unendlichen Mengenoperationen. So ist ? = c 2 F, und damit gilt für A; B 2 F auch A [ B = A [ B [ ? [ ? [ 2 F. Also!ist F eine Algebra. c \ [ Schließ lich gilt für (An )n2N 2 F , dass An = Acn 2 F. Für jedes n2N

ist P ( ), die Potenzmenge von

n2N

, eine -Algebra über

.

De…nition 5.2. Sei eine beliebige Menge, und sei F eine -Algebra über . Ein Tripel ( ; F; P ) heiß t Wahrscheinlichkeitsraum, wobei P : F ! [0; 1] ein Wahrscheinlichkeitsmaßist, also eine Abbildung mit den Eigenschaften 1. P ( ) = 1 2. (An )n2N 2 F für alle n 2 N, An \ Am = ? für n 6= m =) P P1

n=1

P (An )

[

An

n2N

!

=

O¤enbar gilt P (?) =P0, denn aus 2. folgt mit An = ? für alle n der 1 Zusammenhang P (?) = n=1 P (?).

Anmerkung 5.3. De…nition 5.2 ist die übliche De…nition eines Wahrscheinlichkeitsraums. Sie stimmt für F = P ( ) mit der De…nition 1.59 überein. Interpretieren wir F als spezielle, nur aus einer einzigen -Algebra bestehenden Filtration, so kann ( ; F ; P ) als ge…lterter Wahrscheinlichkeitsraum gemäß De…nition 3.20 aufgefaß t werden.1 Wir bezeichnen mit X eine reellwertige Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ( ; F ; P ). In diesem Kapitel ist die Situation relevant, dass X den Gewinn bzw. Verlust eines Portfolios in einem gegebenen Zeitraum [0; T ] modelliert. Sei h 2 RN ein Portfolio in einem Marktmodell und sei VT = VT (h) = h ST 1

Ein ge…lterter Wahrscheinlichkeitsraum ist allgemein ein Tupel ; F ; P; (Ft )t2I , wobei F eine -Algebra über bezeichnet, I eine beliebige geordnete Indexmenge ist, und wo (Ft )t2I eine Filtration mit der Eigenschaft (Ft )t2I F für alle t 2 I kennzeichnet.

5.1 Verteilungsfunktionen

319

der zustandsabhängige Wert des Portfolios zu einem zukünftigen Zeitpunkt T > 0. Dann de…niert X := VT (h) V0 (h) die Wertänderung von h, wobei V0 (h) = h S0 den aktuellen Portfoliowert bezeichnet. Seien eine Menge und X : ! R eine Funktion, dann vereinbaren wir fX

xg := f! 2

und entsprechend für fX < xg, fX

jX (!)

xg ;

xg usw.

De…nition 5.4. Sei X eine reellwertige Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ( ; F ; P ). Die Verteilungsfunktion FX : R ! R von X ist de…niert als FX (x) := P (fX

xg) =: P (X

x) :

Wenn der Bezug zu X klar oder ohne Bedeutung ist, schreiben wir auch F an Stelle von FX . Satz 5.5. Die Verteilungsfunktion FX einer Zufallsvariablen X ist monoton wachsend und rechtsstetig. Weiter gilt lim FX (x) = 0 sowie

x! 1

lim FX (x) = 1:

x!+1

Beweis. Für x < y gilt fX

xg

fX

yg;

und damit folgt FX (x) FX (y) aus der Monotonieeigenschaft von Maß en. Sei (xn )n2N eine monoton fallende Zahlenfolge mit limn!1 xn = x. Dann gilt fX xn g # fX xg; und mit der Stetigkeitseigenschaft von Maß en folgt daraus die Rechtsstetigkeit von FX . Weiter gilt für eine monoton wachsende Folge xn mit limn!1 xn = 1 fX

xn g "

;

und für eine monoton fallende Folge (xn )n2N mit limn!1 xn = fX

1 gilt

xn g # ?:

Daher folgen die restlichen Behauptungen des Satzes wiederum aus den Stetigkeitseigenschaften für Maß e.

320

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

Verteilungsfunktionen sind nicht notwendigerweise linksstetig, denn für eine streng monoton wachsende Zahlenfolge (xn )n2N mit limn!1 xn = x gilt fX

xn g " fX < xg:

Damit folgt, wiederum aus den Stetigkeitseigenschaften von Maß en, lim FX (xn ) = P (X < x) :

n!1

FX ist also in x genau dann linksstetig und damit stetig, wenn FX (x) = P (X < x), also wenn P (X = x) = 0:

5.2 Konstruktion einer Zufallsvariablen mit vorgegebener Verteilungsfunktion Die Ergebnisse dieses Abschnitts liefern einerseits eine Strategie für die Simulation von Zufallsvariablen mit vorgegebenen Verteilungen, sie bilden andererseits die Grundlage für die De…nition von Quantilen, mit Hilfe derer wichtige Risikokonzepte, wie etwa der Value at Risk und der Expected Shortfall, de…niert werden. In diesem Abschnitt sei F : R ! [0; 1] eine Funktion mit den in Satz 5.5 formulierten Eigenschaften einer Verteilungsfunktion. Im folgenden geben wir die Konstruktion einer numerischen Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum ([0; 1] ; B ([0; 1]) ; ) an, die F als Verteilungsfunktion besitzt. Dabei bezeichnet B ([0; 1]) die -Algebra der Borelmengen auf [0; 1] und das Lebesgue-Maß . Für jedes Intervall [a; b] R gilt nach De…nition ([a; b]) = b a, das Maßeines Intervalls ist also seine Länge. Wir de…nieren für ! 2 [0; 1] F+ 1 (!) := inf fx 2 R jF (x) > ! g

(5.1)

und F

1

(!) := inf fx 2 R jF (x)

!g:

(5.2) 1

Ist F in einer Umgebung von ! invertierbar mit Umkehrfunktion F , so gilt o¤enbar F+ 1 (!) = F 1 (!) = F 1 (!). Andernfalls sind für die De…nition kritische Situationen in Abb. 5.1 dargestellt. Lemma 5.6. Sowohl F+ 1 als auch F 1 sind monoton wachsend. Ferner gilt für alle ! 2 [0; 1] F 1 (!) F+ 1 (!) ; (5.3) und für !; ! 0 2 [0; 1], ! < ! 0 , gilt F+ 1 (!)

F

1

(! 0 ) :

(5.4)

5.2 Konstruktion einer Zufallsvariablen mit vorgegebener Verteilungsfunktion 1

321

1

u e

!

F (x)

0

0 F

1

(!)

F

1

(F (x))

Abb. 5.1. Konstruktion der Zufallsvariablen F tion F

Beweis. Für 0

!0

!

1

x

F+ 1 (F (x))

mit Hilfe einer Verteilungsfunk-

1 gilt fF > ! 0 g

fF > !g ;

F+ 1 (!)

F+ 1 (! 0 ) :

also Analog wird für F

1

geschlossen. Wegen fF > !g

fF

!g

folgt (5.3). Für ! < ! 0 gilt fF

!0g

fF > !g ;

und daraus folgt (5.4). Wir betrachten zunächst F 1 : [0; 1] ! [ 1; 1] und weisen nach, dass die Verteilungsfunktion FF 1 von F 1 gerade die vorgegebene Funktion F ist. Satz 5.7. Es gilt FF

1

= F;

sowie !

F (c) () F

1

(!)

c

(5.5)

und F F für alle ! 2 [0; 1].

1

(!)

!

(5.6)

322

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

Beweis. Zunächst gilt F (c)

! =) c

1

F

(!) ;

(5.7)

denn F (c) ! =) c 2 fx 2 R jF (x) ! g =) c inf fx 2 R jF (x) F 1 (!). Weiter ist c > F 1 (!) =) F (c) !;

!g = (5.8)

denn F (c) < ! =) c 62 fx 2 R jF (x) ! g =) c inf fx 2 R jF (x) ! g = F 1 (!). Sei (xn )n2N eine Zahlenfolge, die streng monoton fallend gegen F 1 (!) konvergiert. Nach (5.8) gilt zunächst F (xn ) !, und aus der Rechtsstetigkeit von F folgt limn!1 F (xn ) = F F 1 (!) !. Diese Abschätzung liefert zusammen mit der Monotonie von F die Folgerung F

1

(!)

c =) !

1

F F

(!)

F (c) :

(5.9)

(5.7) und (5.9) liefern zusammen die Äquivalenz (5.5), woraus F

1

(!)

c =

folgt. Wir erhalten also FF

(! 1

F (c)) =

[0; F (c)] = F (c) :

(5.10)

= F.

Satz 5.8. Es gilt FF

1

+

=F

und F+ 1 = F

1

= 1:

Weiter gilt !

F F

1

F F+ 1 (!)

(!)

(5.11)

für alle ! 2 [0; 1]. Beweis. Zunächst erhalten wir ! < F (c) =) F+ 1 (!)

c;

denn F (c) > ! =) c 2 fx 2 R jF (x) > ! g =) c F+ 1 (!). Dies bedeutet aber [0; F (c))

! 2 [0; 1] F+ 1 (!)

(5.12) inf fx 2 R jF (x) > ! g = c ;

also F (c) =

[0; F (c))

F+ 1 (!)

c = FF

1 +

Wegen (5.3) gilt F

1

6= F+ 1 =

[

c2Q

F

1

c < F+ 1 :

(c) :

5.2 Konstruktion einer Zufallsvariablen mit vorgegebener Verteilungsfunktion

323

Für jedes c 2 R gilt jedoch F

1

c < F+ 1 =

F

1

F+ 1

c

c

F (c)

F (c) = 0:

Da Q abzählbar ist, folgt die Behauptung F+ 1 = F 1 = 1. Schließ lich folgt (5.11) aus (5.3), (5.6) und aus der Monotonie von F . Lemma 5.9. Es gilt auch F+ 1 (!) := sup fx 2 R jF (x)

!g

(5.13)

(!) := sup fx 2 R jF (x) < ! g :

(5.14)

und 1

F Beweis. Nach (5.5) gilt

!

F (x) () F

1

(!)

x;

(5.15)

1

(!) :

(5.16)

also folgt F (x) < ! () x < F Dies bedeutet aber F

1

(!) = sup x 2 R x < F

1

(!)

= sup fx 2 R jF (x) < ! g ;

und (5.14) ist bewiesen. Nach (5.12) gilt ! < F (x) =) F+ 1 (!)

x;

(5.17)

x < F+ 1 (!) =) F (x)

!:

(5.18)

also Das bedeutet x 2 R x < F+ 1 (!)

fx 2 R jF (x)

F+ 1 (!) = sup x 2 R x < F+ 1 (!)

! g, also

sup fx 2 R jF (x)

!g:

Wegen der Monotonie von F folgt jedoch sup fx 2 R jF (x)

!g

inf fx 2 R jF (x) > ! g = F+ 1 (!) ;

und damit erhalten wir (5.13). Satz 5.10. Sei X eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ( ; F; P ) mit Verteilungsfunktion F . Ist U : [0; 1] ! [0; 1] eine gleichverteilte Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum ([0; 1] ; B ([0; 1]) ; ), so hat die Zufallsvariable Z := F 1 U : [0; 1] ! R auf ([0; 1] ; B ([0; 1]) ; ) dieselbe Verteilung wie X.

324

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

Beweis. Mit (5.5) gilt FZ (x) =

(Z

=

x) 1

y 2 [0; 1] F

=

(U (y))

(fy 2 [0; 1] jU (y)

=

U

1

x

F (x) g)

([0; F (x)])

= ([0; F (x)]) = F (x) :

Beispiel 5.11. Wir betrachten einen fairen Würfel und modellieren einen zugehörigen Wahrscheinlichkeitsraum ( ; F ; P ) durch = f! 1 ; : : : ; ! 6 g, F = P ( ) und P (f! i g) = j 1 j = 16 . Wir de…nieren weiter die Zufallsvariable X : ! R durch X (! i ) = i. Dann ist die Verteilungsfunktion F von X gegeben durch 6 1X F = i1Ai ; 6 i=0 wobei A0 := ( 1; 1), Ai := [i; i + 1) für i = 1; : : : ; 5 und A6 := [6; 1). Nun bestimmen wir zunächst F 1 . Es gilt F 1 (0) = inf fx 2 R jF (x) 0 g = 1 1 2 1. Für 0 < x (x) = 1. Für 16 < x 6 erhalten wir F 6 gilt weiter 1 F (x) = 2, usw. Allgemein folgt F wobei Bi :=

1 6

(i

1

=

1 1f0g +

6 X

i1Bi ;

i=1

1; i] für i = 1; : : : ; 6. Entsprechend erhalten wir F+ 1 = 1 1f1g +

6 X

i1Ci ;

i=1

wobei Ci := 16 [i 1; i) für i = 1; : : : ; 6. O¤enbar gilt F leichte Rechnung zeigt FF 1 = FF 1 = F . +

1

F+ 1 , und eine 4

1

Die Graphen von F und F+ 1 im vorangegangenen Beispiel entstehen aus F durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden f (x) = x. Dies gilt allgemein, wie der folgende Satz zeigt. Satz 5.12. Sei ! 2 [0; 1]. Ist F ist an der Stelle F !=F F

1

Fall 1: F stückweise konstant. Für F

1

(!) stetig, so folgt

(!) : 1

(!) < F+ 1 (!) gilt

(5.19)

5.2 Konstruktion einer Zufallsvariablen mit vorgegebener Verteilungsfunktion

[F [F

fx 2 R jF (x) = ! g =

1

In diesem Fall besitzt F

325

1

(!) ; F+ 1 (!)); falls F unstetig bei F+ 1 (!) ist (!) ; F+ 1 (!)]; falls F stetig bei F+ 1 (!) ist. (5.20) an der Stelle ! eine Sprungstelle der Höhe 1

lim F

1

! 0 #!

(! 0 )

F

1

(!) > 0:

(5.21)

Fall 2: F hat eine Sprungstelle. Angenommen, F hat an einer Stelle x0 eine Sprungstelle. Dann gilt mit ! u := F (x0 ) lim F (x) = F (x0 ) = ! u ;

x#x0

lim F (x) = ! d < ! u

x"x0

und es folgt ! 2 [0; 1] F

1

8 < (! d ; ! u ] ; falls F in einer Umgebung (x0 "; x0 ) konstant ist = : [! d ; ! u ] ; falls F (x) < ! d für x < x0 . (5.22)

(!) = x0

1

Beweis. Sei F an einer Stelle F F 1 (!) = inf fx 2 R jF (x) ! g

(!) stetig. Dann gilt für y mit y <

F (y) < !: Mit (5.6) folgt lim y"F

also (5.19). Fall 1. Für F

1

(!)

1

F (y)

!

F F

1

(!) ;

(!)

y < F+ 1 (!) folgt mit (5.6) und (5.18)

!

F F

1

(!)

F (y)

!;

also F (y) = !. Daraus folgt lim

y"F+ 1 (!)

F (y) = !:

Ist F in F+ 1 (!) stetig, so erhalten wir daraus unmittelbar F F+ 1 (!) = !. Ist dagegen F in F+ 1 (!) nicht stetig, so ist F in diesem Punkt nicht linksstetig, also ! = lim F (y) < F F+ 1 (!) : y"F+ 1 (!)

Damit ist (5.20) nachgewiesen. Aus der Voraussetzung und aus (5.4) folgt F

1

(!) < F+ 1 (!)

F

1

(! 0 )

326

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e 1

für ! 0 > !. Also besitzt F

an der Stelle ! eine Sprungstelle der Höhe 1

lim F

! 0 #!

(! 0 )

F

1

(!) > 0:

Fall 2. Wir nehmen nun an, dass F an einer Stelle x0 eine Sprungstelle besitzt. In diesem Fall gilt wegen der Rechtsstetigkeit von F lim F (x) = F (x0 ) =: ! u ;

x#x0

lim F (x) = ! d < !u :

x"x0

Sei ! d < !

! u . Dann gilt fx 2 R jF (x)

! g = [x0 ; 1) ;

also 1

F

(!) = x0 :

Angenommen, F ist in einer Umgebung (x0 alle y 2 (x0 "; x0 ) F (y) = ! d ; also F

1

"; x0 ) konstant. Dann gilt für

(! d ) < x0 . Gilt dagegen F (y) < ! d für alle y < x0 , so folgt fx 2 R jF (x)

! d g = [x0 ; 1) ;

also F

1

(! d ) = x0 :

und (5.22) ist bewiesen.

5.3 Quantile De…nition 5.13. (Quantile) Sei X eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ( ; F ; P ) mit Verteilungsfunktion F . Für 2 (0; 1) sei x( x

)

( )

:= q (X) := F

1

( ) das untere

-Quantil von X,

1

:= q (X) := F+ ( ) das obere -Quantil von X.

Lemma 5.14. Sei X eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ( ; F; P ) mit Verteilungsfunktion F . Für 0 < < < 1 gilt x( x(

) )

x( x(

x

( )

x

x

( )

x(

)

(5.23)

)

( ) )

F x(

)

:

5.3 Quantile

Sei

2 [0; 1]. Ist F ist an der Stelle x(

stetig, so folgt

)

= F x(

:

)

Fall 1: F stückweise konstant. Für x( fx 2 R jF (x) =

)

(5.24)

< x(

)

gilt

[x( ) ; x( ) ); P X = x( [x( ) ; x( ) ]; P X = x(

g=

In diesem Fall besitzt x( ) an der Stelle lim x( 0

) )

>0 = 0:

(5.25)

eine Sprungstelle der Höhe x(

0)

#

327

)

> 0:

(5.26)

Fall 2: F hat eine Sprungstelle. Angenommen, F hat an einer Stelle x0 eine Sprungstelle. Dann gilt mit u := F (x0 ) lim F (x) = F (x0 ) =

u;

x#x0

lim F (x) =

d

x"x0

<

u

und es folgt 2 [0; 1] x(

)

= x0

=

Insbesondere gilt

8 <(

d;

falls F in einer Umgebung (x0 "; x0 ) konstant ist : [ d ; u ] ; falls F (x) < d für x < x0 . (5.27)

P X = x(

u] ;

u

= F x(

d

= lim F (x)

)

x"x(

=

u

(5.28)

)

)

d

Beweis. Alle Aussagen folgen aus den Ergebnissen des vorangegangenen Abschnitts. Zum Nachweis von (5.28) beachte u

= F x( =P X

)

x(

)

= P X < x(

)

+ P X = x(

= lim F (x) + P X = x( x"x(

=

d

)

+ P X = x(

)

)

)

328

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

Lemma 5.15. Für jede Zufallsvariable X, für jedes c 2 R und für jedes gilt

>0

q (c + X) = c + q (X) q (c + X) = c + q (X) : Beweis. Wir verwenden für M und berechnen zunächst f x 2 Rj P (c + X

x)

R die Notation c + M = fc + x jx 2 M g g = f x 2 Rj P (X x = f y + c 2 Rj P (X

c) y)

= c + f x 2 Rj P (X

g g

x)

g:

Daraus folgt q (c + X) = c + q (X) : Weiter gilt für

>0

f x 2 Rj P ( X

x)

g=

n

= f y 2 Rj P (X =

o

x

x 2 Rj P X

y)

f x 2 Rj P (X

g

x)

g;

also q ( X) = q (X) : Für q folgt die Behauptung analog. Lemma 5.16. Für jede Zufallsvariable X gilt q ( X) =

q1

(X) :

Beweis. Verwenden wir für M berechnen wir vorbereitend

R die Notation

f x 2 Rj P ( X

g = f x 2 Rj P (X = f y 2 Rj P (X

x)

= = =

M = f x jx 2 M g, so x) y)

g g

f x 2 Rj P (X x) g f x 2 Rj 1 P (X < x) f x 2 Rj P (X < x)

1

Daraus folgt mit Lemma 5.9 q ( X) = inf f x 2 Rj P ( X = = =

x)

g

sup f x 2 Rj P (X < x) 1 inf f x 2 Rj P (X x) > 1

q1

(X) :

g g

g

g:

5.4 De…nition des Value at Risk

329

5.4 De…nition des Value at Risk De…nition 5.17. Sei T > 0 ein vorgegebener zukünftiger Zeitpunkt, und sei h 2 RN ein Portfolio mit Anfangswert V0 (h) = h S0 und mit Werteverteilung VT (h) = h ST zum Zeitpunkt T . Sei X (h) := VT (h) V0 (h) die Wertänderung des Portfolios im Zeitraum [0; T ]. Sei weiter eine Wahrscheinlichkeit 2 (0; 1) vorgegeben. Dann wird die Zahl V@R (h) :=

q (X (h))

(5.29)

Value at Risk von h zum Kon…denzniveau 1 genannt. Der Zeitraum [0; T ] wird als Liquidationsperiode bezeichnet. Häu…g lassen wir den Index in V@R (h) weg und schreiben V@R(h). Anstelle von V@R (h) schreiben wir auch V@R (V (h)) oder auch einfach V@R (V ). Wir folgen hier Acerbi/Tasche [2] und verwenden in der De…nition des Value at Risk das obere Quantil. Die Notation V@R wurde aus Föllmer/Schied [16] übernommen. Mit Lemma 5.15 und Lemma 5.16 erhalten wir die alternativen Darstellungen V@R (h) = V0 (h)

q (VT (h))

(5.30)

und V@R (h) = q1

( X (h)) :

Angenommen, die Verteilungsfunktion FVT (h) (x) = P (VT (h) monoton steigend und stetig. Dann ist die Gleichung

(5.31) x) ist streng

FVT (h) (x) = nach dem Zwischenwertsatz eindeutig lösbar, und die Lösung ist gegeben durch v = q (VT (h)) = q (VT (h)) = FVT1(h) ( ), wobei FVT1(h) die Umkehrfunktion von FVT (h) bezeichnet. Die Gleichung FVT (h) (v) = bedeutet, dass die Menge aller Zustände, für die der Portfoliowert VT zum Zeitpunkt T kleiner gleich v ist, die Wahrscheinlichkeit besitzt. Die Zahl V0

v;

wobei V0 := V0 (h) = h S0 gilt, ist nach (5.30) der Value at Risk V@R(h) des Portfolios h und kennzeichnet den Betrag, den das Portfolio im Zeitraum [0; T ] mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 , dem Kon…denzniveau, höchstens an Wert verliert. Dies ist in Abb. 5.2 graphisch veranschaulicht. Der Zeitraum [0; T ], der Liquidationsperiode genannt wird, soll theoretisch so gewählt werden, dass innerhalb dieser Zeitspanne alle Portfoliopositionen aufgelöst werden können. In der Praxis wird dieser Zeitraum in der Regel auf 10 Tage festgelegt. Üblicherweise wird = 1% oder = 5% gesetzt.

330

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e 1 FVT (h)

u

u

v = FVT1(h) ( )

V0

Abb. 5.2. Die Abbildung stellt die Verteilungsfunktion FVT (h) (x) = P (VT (h) x) einer Verteilung VT (h) von Portfoliowerten zum Zeitpunkt T dar. In der Graphik wird die Verteilungsfunktion als streng monoton steigend und als stetig angenommen. In diesem Fall besitzt der Graph von FVT (h) einen eindeutig bestimmten Schnittpunkt mit der durch verlaufenden Parallelen zur x-Achse. Dies bedeutet, dass die Gleichung FVT (h) (x) = die eindeutig bestimmte Lösung v = FVT1(h) ( ) besitzt. Der Value at Risk von h ist de…niert als V @R(h) = V0 v, wobei V0 = V0 (h) = h S0 den Anfangswert des Portfolios bezeichnet.

P (A) = A

1 2

P (B) =

2 3

B

Abb. 5.3. Portfolio mit von Null verschiedenen Werten auf den zwei disjunkten Mengen A und B

Beispiel 5.18. Betrachten Sie einen Wahrscheinlichkeitsraum ( ; F; P ). Seien A; B 2 F gegeben mit A \ B = ? und P (A) = 2 sowie P (B) = 23 für ein 2 0; 12 . Weiter seien zwei Zahlen a < b < 0 vorgegeben. Für ein Portfolio V gelte V0 = 0 und 8 < a; falls ! 2 A; VT (!) = b; falls ! 2 B; : 0 sonst.

5.4 De…nition des Value at Risk

331

Die Verteilungsfunktion F von VT lautet dann 8 0; falls x < a; > > > < 1 ; falls a x < b; F (x) = 27 > ; falls b x < 0; > > :6 1; falls 0 x: Der Value at Risk zur Wahrscheinlichkeit

beträgt somit

u

1

u

a

F

u b=v

V0 = 0

Abb. 5.4. Die Abbildung stellt die Verteilungsfunktion F (x) = P (VT x) der im Beispiel vorgestellten Verteilung VT dar. Der Value at Risk besitzt in diesem Beispiel den Wert V @R(V ) = v = b.

V@R(V ) = V0 = =

v

inffx 2 R jF (x) > b > 0;

g

siehe Abb. 5.4. Wir sehen, dass der Value at Risk unabhängig vom Verlust a ist, der theoretisch beliebig großgewählt werden kann. Werden für ein Jahr 250 Handelstage zugrunde gelegt, so bedeutet eine Wahrscheinlichkeit von = 1%, dass pro Jahr 2-3 Verluste auftreten können, die den Value at Risk überschreiten. Über die Höhe dieser Verluste sagt der Value at Risk jedoch nichts aus. Diese Unemp…ndlichkeit gegenüber der Verteilung der seltenen groß en Verluste ist einer der methodischen Kritikpunkte am Konzept Value at Risk, wie später noch erläutert werden wird. 4 Besitzt die Verteilungsfunktion F einer Zufallsvariablen X eine Dichte , so gilt nach De…nition F 0 (x) = (x) ; also

332

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

F (x) =

Z

x

(y) dy: 1

Bezeichnet also VT (h) die zukünftige Werteverteilung eines Portfolios, so entspricht die Wahrscheinlichkeit F (x) = P (VT (h) x), mit der Portfoliowerte x auftreten werden, also der Fläche unter der Kurve der Dichtefunktion bis zum Wert x, siehe Abb. 5.5.

F (v) = P (VT (h) =

v)

A A v

VT (h)

V0

Abb. 5.5. Die Abbildung stellt die Dichtefunktion der Verteilung von VT (h) dar, d also (x) = F 0 (x) = dx P (VT x). Der Value at Risk V@R(h) = V0 (h) v ergibt sich als Di¤erenz von aktuellem Portfoliowert V0 und dem -Quantil q (VT (h)) = v. Die Wahrscheinlichkeit P (VT (h) v) = entspricht der Fläche unter der Kurve der Dichtefunktion von 1 bis zum Wert v.

Ist eine Zufallsvariable X beispielsweise normalverteilt mit Erwartungswert und Varianz 2 , X N ( ; 2 ), so ist die Verteilungsfunktion von X gegeben durch ! Z x 2 1 1 y F (x) = p exp dy: 2 2 1 Die zugehörige Dichtefunktion lautet also (x) =

1 p exp 2

1 2

x

2

!

:

Insbesondere besitzt eine standardnormalverteilte Zufallsvariable " die Dichtefunktion 1 1 2 (x) = p exp x : 2 2 Weiter gilt

N (0; 1)

5.4 De…nition des Value at Risk

E [f (X)] =

Z

1

f (x) (x) dx;

1

wennR das Integral konvergiert. Beispielsweise folgt für X N (0; 1 1 2 2 p1 z exp z dz = 1 2 1 2 Z 1 1 1 x2 2 E X = p x2 exp dx 2 2 2 1 Z 1 1 1 2 = 2p z 2 exp z dz 2 2 1 = 2 sowie E X

4

=

1 p 2 4

=p

2 4

=p = =3

2 3

Z Z

Z

1

1 1 1 1 1

z3 1 2 z 2

2

) wegen

dx

(5.32)

1 2 z dz 2

z 4 exp

z exp 4

1 x2 2 2

x4 exp

333

1 2 z 2

exp 1

:

1

3 +p

4

2

0

Z

dz 1

z 2 exp

1

1 2 z dz 2

Aus Symmetriegründen folgt weiter E [X n ] = 0 für alle ungeraden n 2 N. 5.4.1 Darstellung des Value at Risk mit Hilfe der Renditeverteilung eines Portfolios Es ist in der Finanzmathematik üblich, nicht die Kurse, sondern die Renditeverteilungen der Kurse für die nahe Zukunft zu prognostizieren. Aus diesem Grund wird die De…nition des Value at Risk nun mit Hilfe der Renditeverteilung eines Portfolios formuliert. Sei V0 (h) > 0. Nach Lemma 5.15 gilt für V0 (h) Rh = VT (h) V0 (h) 1 q (Rh ) = q (VT (h)) 1; V0 (h) und damit V0 (h) q (VT (h)) = V0 (h) q (Rh ) : Mit (5.30) besitzt der Value at Risk die Darstellung V@R(h) =

V0 (h) q (Rh ) :

(5.33)

Der Value at Risk V@R(h) zum Kon…denzniveau 1 ist also das Negative des aktuellen Portfoliowerts V0 (h) > 0 multipliziert mit dem -Quantil der Renditeverteilung Rh des Portfolios h.

334

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

5.5 Normalverteilte Portfoliorenditen Die De…nition des Value at Risk gilt für beliebige Renditeverteilungen. Ist jedoch die Portfoliorendite Rh normalverteilt, so existiert in diesem Spezialfall eine Darstellung, die lediglich die Kenntnis des -Quantils einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen voraussetzt. Satz 5.19. Angenommen, für die Liquidationsperiode [0; T ] ist die Rendite eines Portfolios h normalverteilt mit Erwartungswert = E[Rh ] und Varianz 2 = V [Rh ], also Rh N ( ; 2 ). Dann gilt V@R(h) =

V0 (h) q

;

2

=

V0 (h) ( + q (0; 1)) ;

(5.34)

wobei q (a; b) das -Quantil einer N (a; b)-verteilten Zufallsvariablen bezeichnet. Beweis. Angenommen, " N (0; 1), dann gilt + " 5.15 folgt q ; 2 = + q (0; 1) ;

N( ;

2

). Aus Lemma (5.35)

also die Behauptung. Gemäß(5.35) können die Quantile beliebiger normalverteilter Zufallsvariable mit Hilfe der Kenntnis der Quantile standardnormalverteilter Zufallsvariable angegeben werden. Beispiel 5.20. Sei h ein Portfolio, dessen Portfoliorendite Rh für die nächsten 10 Handelstage normalverteilt ist mit = 2% und = 8%. Für dieses Portfolio soll der Value at Risk zum Kon…denzniveau 99% bestimmen werden. Der aktuelle Portfoliowert betrage V0 (h) = h S0 = 1 000 000 Euro. Das 1%-Quantil der Standard-Normalverteilung lautet q 1% (0; 1) = Das 1%-Quantil q 1%

;

2

q 1%

2:326:

besitzt damit nach (5.35) den Wert ;

2

= 2% =

2:326 8%

0:16608;

und für den Value at Risk V@R(h) des Portfolios h erhalten wir V@R(h) =

V0 q

;

2

= 166 080 Euro. Der Verlust des Portfolios h wird also innerhalb der nächsten 10 Handelstage mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% einen Wert von 166 080 Euro nicht überschreiten. 4

5.5 Normalverteilte Portfoliorenditen

335

Anmerkung 5.21. Wir erinnern daran, dass im Rahmen unserer Modellierung alle zugrunde liegenden Zustandsräume nur endlich viele Elemente enthalten. Daher können die Renditen beliebiger Portfolios grundsätzlich nicht exakt normalverteilt sein. Wir nehmen daher an, dass die Portfoliorenditen in guter Näherung durch eine Normalverteilung interpoliert werden können. Der Value at Risk wurde als Verlustrisiko eines Portfolios eingeführt. Dass es sich bei dem betrachteten Finanzinstrument um ein Portfolio handelt, ist jedoch unerheblich. Das Konzept und die De…nition des Value at Risk lassen sich wörtlich auf beliebige Auszahlungspro…le c übertragen. Bezeichnet etwa c0 > 0 den Wert einer Auszahlung c zu einem Anfangszeitpunkt 0 und cT : ! R den zustandsabhängigen Wert von c zu einem Zeitpunkt T > 0, so wird der Value at Risk von c analog zu (5.29) de…niert, wobei V0 (h) durch c0 und VT (h) durch cT ersetzt wird. Es gilt also V@R(c) := c0 =

q (cT )

(5.36)

c0 q (RcT ) :

In Beispiel 5.20 ging die Liquidationsperiode nicht explizit in die Berechnung des Value at Risk ein. Sie tritt dagegen implizit im Erwartungswert und in der Varianz 2 der Renditeverteilung Rh von h auf, denn Rh war nach Voraussetzung die Renditeverteilung für die nächsten 10 Handelstage. Im nächsten Abschnitt untersuchen wir den Ein‡uss der Dauer der Liquidationsperiode auf die Parameter und . 5.5.1 Zeitliche Skalierung In der Praxis wird die Schätzung der Renditeverteilung eines Finanzinstruments üblicherweise aus seinen Tagesrenditen gewonnen. Die Verteilung der Tagesrenditen ist dann auf die Renditeverteilung für die Liquidationsperiode hochzurechnen. Lemma 5.22. Sei S ein Finanzinstrument, dessen Kurse Si an n + 1 Handelstagen i = 0; : : : ; n als Zufallsvariable gegeben sind. Angenommen, die Tagesrenditen von S sind für unterschiedliche Tage unabhängig und identisch verteilt. Sei Si Si 1 Ri := (5.37) Si 1 die Tagesrendite des i-ten Handelstages für i = 1; : : : ; n, und seien d 2 d

:= E [Ri ]

(5.38)

:= V [Ri ]

die erwartete Rendite und die Varianz der Renditen für einen Handelstag. Sei weiter

336

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

S0 (5.39) S0 die Rendite von S für einen Zeitraum von n Handelstagen mit erwarteter Rendite und Varianz h i (n) := E R ; (5.40) nd h i 2 (n) : nd := V R R(n) :=

Sn

Angenommen, für alle i = 1; : : : ; n gilt Ri 1 sowie R(n) 1. Dann lassen sich der Erwartungswert d und die Varianz 2d der Tagesrenditen in den Erwartungswert nd und die Varianz 2nd für n Handelstage näherungsweise wie folgt umrechnen: nd 2 nd

n n

(5.41)

d 2 d:

Beweis. Zunächst betrachten wir für ein n > 0 ln

Sn = ln 1 + S0

Sn S0

1

= ln 1 + R(n) ; mit R(n) := SnS0S0 . Eine Taylorentwicklung bis zur ersten Ordnung von ln (1 + x) um x = 0 liefert ln (1 + x) = x + O x2 : Daher erhalten wir mit (5.39) und (5.37) für Renditen R(n)

1 näherungsweise

ln 1 + R(n)

(5.42)

Sn S0 n X Si = ln Si 1 = ln

i=1

=

n X

ln (1 + Ri )

i=1

N X

Ri :

i=1

Daraus folgt nd

h i = E R(n)

n X i=1

E [Ri ] = n

d

5.5 Normalverteilte Portfoliorenditen

337

und 2 nd

h i = V R(n) " n # X V Ri i=1

= =

n X

V [Ri ]

i=1 n 2d :

Damit ist das Lemma bewiesen. Die folgenden Ergebnisse zeigen, wie sich der Value at Risk mit Hilfe von Lemma 5.22 umrechnen lässt. Satz 5.23. (Value at Risk auf der Basis von Tagesrenditen) Sei h ein Portfolio, dessen Tagesrenditen nach N d ; 2d normalverteilt sind. Sind diese Tagesrenditen 1, unabhängig und identisch verteilt, so gilt für eine Liquidationsperiode von n Tagen näherungsweise V@R(h) = =

V0 (h) q (

)

V0 (h) n

d

n

2 d; n d

+

p

n

d

(5.43) q(

)

(0; 1) :

Beweis. Nach Lemma 5.22 gelten für die Rendite und die Standardabweichung des Portfolios h nach n Handelstagen näherungsweise die Beziehungen = 2

=

n

nd 2 nd

n

d 2 d:

Die Behauptung folgt durch Einsetzen in (5.34). Beispiel 5.24. Sei h ein Portfolio, dessen Tagesrenditen nach N ( d ; 2d ) normalverteilt sind. Wir möchten das Verlustrisiko von h für einen Zeitraum von 10 Handelstagen abschätzen. Nach (5.43) erhalten wir für den Value at Risk den Zusammenhang V@R(h) =

V0 (h) 10

d

+

p

10

d

q (0; 1) : 4

Beispiel 5.25. Sei h Portfolio mit V0 = 1 000 000 Euro, dessen erwartete Tagesrendite d = 0:032% und dessen Standardabweichung d = 1:9% beträgt. Der Value at Risk zum Kon…denzniveau 99% beträgt bei einer Liquidationsperiode von 10 Tagen

338

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

V@R(h) =

V0

10

d

p

10 2:326

d

= 136 550 Euro: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% verliert das Portfolio h nach 10 Tagen also nicht mehr als 136 550 Euro. 4 Überschlagsformel für den Value at Risk auf der Basis von Tagesrenditen Wenn wir in obiger Formel den Erwartungswert d der Renditen vernachläs(1%) sigen und berücksichtigen, dass das 1% Quantil (0; 1) = 2:326 lautet, p q so erhalten wir für den Value at Risk mit 10 2:326 = 7: 355 5 < 8 näherungsweise die Faustformel 8 V0 (h)

V@R(h)

d:

(5.44)

Beispiel 5.26. Für die Daten des Beispiels 5.25 erhalten wir mit dieser Näherung V@R(h)

8 1 000 000 1:9% Euro

(5.45)

= 152 000 Euro: 4 Gleichung (5.44) ist einprägsam und ermöglicht eine rasche Abschätzung von Portfoliorisiken. Der Näherungswert des Value at Risk in (5.44) ist proportional zum Portfoliorisiko d , so dass mit dieser Formel auch der Ein‡uss einer Änderung von d auf den Value at Risk leicht überschlagen werden kann. Satz 5.27. (Value at Risk auf der Basis von Jahresrenditen) Sei h ein Portfolio, dessen Jahresrenditen nach N ; 2 normalverteilt sind. Sind die Tagesrenditen des Portfolios 1, unabhängig und identisch verteilt, so gilt für eine beliebige Liquidationsperiode [0; T ] V@R(h) = =

V0 (h) q (

)

T ;T 2 p V0 (h) T + T q (0; 1) ;

(5.46)

wobei T in die Einheit 1 Jahr besitzt. Beweis. Sei n die Anzahl der Handelstage in einem Jahr und sei m die Anzahl der Handelstage der Liquidationsperiode T . Damit gilt T = m . Aus Lemma n 5.22 folgt einerseits = 2

=

nd 2 nd

n n

d 2 d

5.5 Normalverteilte Portfoliorenditen

339

sowie andererseits T 2 T

=

md 2 md

=

m m

d 2 d:

Daraus erhalten wir T

m

d

2 T

m

2 d

m =T n m 2 =T n

2

:

Für die Liquidationsperiode [0; T ] ist die Portfoliorendite daher näherungsweise verteilt nach N T ; 2T N T ; T 2 . Die Behauptung folgt nun mit (5.35). Beispiel 5.28. Sei h ein Portfolio, dessen Jahresrenditen nach N ( ; 2 ) normalverteilt sind. Wir möchten das Verlustrisiko von h für einen Zeitraum von 10 Handelstagen abschätzen. Setzen wir pro Jahr 250 Handelstage voraus, so 10 1 folgt T = 250 = 25 , also 10 d

=

1 25

und

2 10 d

=

1 25

2

:

Für eine Liquidationsperiode von 10 Tagen erhalten wir damit für den Value at Risk 1 1 V@R(h) = V0 (h) + q (0; 1) : (5.47) 25 5 4 Beispiel 5.29. Sei h Portfolio mit V0 = 1 000 000 Euro, dessen erwartete Jahresrendite = 8% und dessen jährliche Standardabweichung = 40% beträgt. Der Value at Risk zum Kon…denzniveau 99% beträgt bei einer Liquidationsperiode von 10 Tagen V@R(h) =

1 000 000

1 25

2:326 5

= 182 880: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% verliert das Portfolio h nach 10 Tagen also nicht mehr als 182 880 Euro. 4 Überschlagsformel für den Value at Risk auf der Basis von Jahresrenditen Wenn wir in (5.47) den Erwartungswert der Renditen vernachlässigen, so gilt mit q 1% (0; 1) = 2:326 und 2:326 = 0:4652 12 näherungsweise die Faustfor5 mel 1 V@R(h) V0 (h) : (5.48) 2

340

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

Beispiel 5.30. Für die Daten des Beispiels 5.29 erhalten wir mit dieser Näherung V@R(h)

1 1 000 000 40% 2 = 200 000: 4

Wie (5.44) ist auch (5.48) einprägsam und ermöglicht ein rasches Abschätzen von Portfoliorisiken auf der Basis von Jahresrenditen. 5.5.2 Die Portfoliorendite als Linearkombination normalverteilter Renditen In den letzten Abschnitten wurde dargestellt, dass sich der Value at Risk für ein Portfolio h sehr leicht bestimmen lässt, wenn die Rendite Rh dieses Portfolios normalverteilt ist. Wir stellen uns nun die Frage, unter welchen Voraussetzungen dies der Fall ist. In Lemma 2.6 aus Kapitel 2 wurde die Rendite Rh eines Portfolios als Si Si Linearkombination der Renditen Ri = 1S i 0 der Portfoliobestandteile darge0 stellt, N X Rh = wi Ri : i=1

Bilden die Renditen R = (R1 ; : : : ; RN ) der Portfoliobestandteile eine Gauß sche Zufallsvariable, so folgt unmittelbar, dass die Portfoliorendite Rh normalverteilt ist. De…nition 5.31. Seien Xi , i = 1; : : : ; m, Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ( ; F ; P ). Dann wird die Rm -wertige Zufallsvariable X = (X1 ; : : : ; Xm ) Gauß sche Zufallsvariable genannt, wenn jede Linearkombination der Komponenten Z = w1 X1 + + wm Xm eine eindimensional normalverteilte Zufallsvariable auf ( ; F ; P ) bildet. Dabei sind die entarteten Normalverteilungen Xi N ( ; 0) und Z N ( ; 0) zugelassen. In der Praxis werden die Renditen von Finanzinstrumenten häu…g als normalverteilt vorausgesetzt. Ist eine Rendite verteilt nach N ( ; 0), so entspricht dies einer festverzinslichen Kapitalanlage. Sei X = (X1 ; : : : ; Xm ) eine Gauß sche Zufallsvariable. Wählen wir ein i fest und setzen wi = 1 sowie wj = 0 für alle j 6= i, so folgt, dass jedes Xi normalverteilt ist. Besteht also beispielsweise ein Marktmodell aus Aktien und aus einer festverzinslichen Kapitalanlage, sind weiter die Tagesrenditen aller Aktien normalverteilt und bilden gemeinsam eine Gauß sche Zufallsvariable, so besitzt auch jedes Portfolio in diesem Modell normalverteilte Renditen.

5.5 Normalverteilte Portfoliorenditen

341

Anmerkung 5.32. Seien Xi , i = 1; : : : ; m, beliebige eindimensional normalverteilte Zufallsvariable auf ( ; F ; P ). Dann folgt nicht notwendigerweise, dass beliebige Linearkombinationen der Xi eindimensional normalverteilt sind. Für ein einfaches Gegenbeispiel siehe etwa Jacod/Protter [25]. Satz 5.33. Angenommen, für jedes Finanzinstrument S i , i = 1; : : : ; N , in einem Marktmodell gilt S0i 6= 0 und angenommen, die Tagesrenditen Ri aller Finanzinstrumente S i im Modell bilden eine Gauß sche Zufallsvariable R = (R1 ; : : : ; RN ). Insbesondere ist dann jede Rendite Ri eindimensional normalverteilt. Für ein Portfolio h 2 RN mit V0 (h) > 0 und Rh 1 besitzt der Value at Risk von h für eine Liquidationsperiode von n Tagen näherungsweise die Darstellung p p V@R(h) = V0 (h) n hw; i + n hw; Cwi q (0; 1) : (5.49) Dabei gilt

=(

1; : : : ;

N ),

wobei

i

= E [Ri ] ;

und w = (w1 ; : : : ; wN ), wi =

hi S0i V0 (h)

für i = 1; : : : ; N , sowie Cij = Cov (Ri ; Rj ) für i; j = 1; : : : ; N . Beweis. Sei h 2 RN ein Portfolio mit V0 (h) = h S0 > 0. Dann gilt nach (2.6) Rh =

N X

wi Ri

i=1

h Si

mit wi = Vi 0 0 , wobei Ri die Tagesrendite des i-ten Finanzinstruments bezeichnet. Nach Voraussetzung bildet R = (R1 ; : : : ; RN ) eine Gauß sche Zufallsvariable. Damit ist die Tagesrendite Rh des Portfolios als Linearkombination der Renditen Ri selbst normalverteilt mit Erwartungswert h = E [Rh ] = PN PN 2 i=1 wi i = hw; i und mit Varianz h = i;j=1 wi wj Cij = hw; Cwi. Nach Voraussetzung gilt Rh 1, und daher folgt (5.49) aus Satz 5.23. Anmerkung 5.34. Sind die Voraussetzungen von Satz 5.33 erfüllt, wobei aber und 2 den Erwartungswert und die Varianz der Jahresrenditen bezeichnen, so folgt entsprechend p p V@R(h) = V0 (h) T hw; i + T hw; Cwi q (0; 1) ; (5.50) mit T =

1 25

für eine Liquidationsperiode von 10 Tagen.

342

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

Wir bezeichnen die i-te Portfolioposition hi S i eines Portfolios h 2 RN mit vi (h), also vi (h) := hi S i für i = 1; : : : ; N . Ferner fassen wir die Portfoliopositionen zu einem Positionsvektor v zusammen, v (h) := (v1 (h) ; : : : ; vN (h)) : Gelegentlich wird in der Notation die Abhängigkeit vom Portfolio h unterdrückt und einfach vi bzw. v geschrieben. Der Wert PN V eines Portfolios h lässt sich als Summe der Positionen darstellen, V = i=1 vi . Folgerung 5.35. Seien die Voraussetzungen von Anmerkung 5.34 erfüllt. Sei ferner h 2 RN ein beliebiges Portfolio. Dann gilt vi0 = V0 wi

(5.51)

und damit V@R(h) =

T hv0 ; i +

p p T hv0 ; Cv0 iq (0; 1) :

(5.52)

Beweis. (5.51) folgt aus (5.34), und dann folgt (5.52) durch Einsetzen von (5.51) in (5.50). Die Voraussetzung, dass die Renditen aller Finanzinstrumente eines Portfolios normalverteilt sind oder gar eine Gauß sche Zufallsvariable bilden, ist in der Praxis in der Regel nicht erfüllt. Denn Portfolios enthalten in der Regel nicht nur Aktien, sondern auch Bonds, Optionen oder strukturierte Produkte, deren Renditen nicht näherungsweise normalverteilt sind. Aufgabe 5.1. Seien ck , k = 1; : : : ; m, beliebige replizierbare Auszahlungspro…le in einem arbitragefreien Ein-Perioden-Marktmodell (S0 ; S1 ; P ). Sei weiter = ( 1 ; : : : ; m ) 2 Rm ein beliebiges Portfolio bestehend aus den ck mit V0 ( ) 6= 0, also m X V1 ( ) = k ck : k=1

Zeigen Sie, dass

R =

N X

wi Ri ;

i=1

wobei wi :=

m X

k=1

Weisen Sie weiter die Eigenschaft

i k hk;i S0

V0 ( )

:

5.6 Die Delta-Normal-Methode N X

343

wi = 1

i=1

nach. In Ein-Perioden-Modellen ist also die Rendite jedes Portfolios replizierbarer Auszahlungspro…le eine Linearkombination der Renditen der im Marktmodell vorhandenen Finanzinstrumente. In Mehr-Perioden-Modellen ist diese Aussage in der Regel nicht mehr gültig, wie etwa ein Blick auf die Bewertungsformeln für europäische Call- und Put-Optionen in Binomialbäumen zeigt. Der lineare Zusammenhang gilt jedoch für eine Taylorentwicklung der Portfoliorenditen bis zur ersten Ordnung, wenn die Finanzinstrumente des Modells nach ihren Risikofaktoren entwickelt werden. Dies führt direkt zur DeltaNormal-Methode.

5.6 Die Delta-Normal-Methode Unter der Voraussetzung, dass die Portfoliorenditen normalverteilt sind, konnten wir einen geschlossenen Ausdruck für den Value at Risk herleiten. Insbesondere ist diese Annahme dann erfüllt, wenn die Renditen aller Portfoliobestandteile normalverteilt sind und gemeinsam eine Gauß sche Zufallsvariable bilden. In der Praxis darf dies in der Regel jedoch nicht vorausgesetzt werden, da die Renditen von Finanzinstrumenten wie Optionen, Futures, Swaps und Bonds nichtlinear von den Renditen ihrer Risikofaktoren abhängen. Dabei sind Risikofaktoren stochastische Größ en, die den Preis der Finanzinstrumente beein‡ussen. Diese umfassen Aktienkurse, Wechselkurse, Zinsen und implizite Volatilitäten. Weitere mögliche Risikofaktoren sind Betafaktoren, mit Hilfe derer die Bewertung einer Aktie auf die Bewertung eines Index zurückgeführt werden kann. Voraussetzung Wir nehmen an, dass für jedes Finanzinstrument c, das in unserem Marktmodell enthalten ist, eine di¤erenzierbare Bewertungsfunktion existiert, die den Preis c = c(F1 ; : : : ; Fm ) des Finanzinstrumentes als Funktion einer Anzahl m von Risikofaktoren Fi , i = 1; : : : ; m, ausdrückt. Beispiel 5.36. Die Black-Scholes-Formeln (4.83) für einen europäischen Call oder für einen europäischen Put enthalten als Parameter den Aktienkurs S des Underlyings, den Zinssatz r und die Volatilität . Diese Größ en bilden die Risikofaktoren für europäische Standard-Optionen. 4 Um die Vorteile einer geschlossenen Formel bei der Berechnung des Value at Risk zu erhalten, wird eine Taylor-Entwicklung des Portfolios nach den Risikofaktoren bis zur ersten Ordnung vorgenommen. Diese Entwicklung ist nach Konstruktion linear in den Risikofaktoren. Der Value at Risk wird nun im Rahmen der Delta-Normal-Methode nicht für die Portfoliorendite selbst,

344

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

sondern für ihre Linearisierung berechnet, auf die dann die oben hergeleitete Formel (5.52) angewendet wird. Es wird also zusätzlich unterstellt, dass die Renditen aller Risikofaktoren gemeinsam eine Gauß sche Zufallsvariable bilden. 5.6.1 Das Di¤erential eines Finanzinstrumentes Seien x; v 2 Rm und sei : ( "; ") ! Rm eine Kurve mit den Eigenschaften (0) = x und 0 (0) = v. Sei f : Rm ! R eine di¤erenzierbare Abbildung. Dann de…nieren wir das Di¤erential df : Rm

Rm ! R

von f durch df (x; v) := (f

0

) (0) = hOf ( (0)) ;

0

(0)i = hOf (x) ; vi :

Diese De…nition ist o¤enbar unabhängig von der speziellen Wahl der Kurve . Spezialisieren wir f auf eine Koordinatenabbildung2 xj : Rm ! R; xj (v) = vj ; so erhalten wir dxj (x; v) = hOxj (x) ; vi = hej ; vi = vj ; wobei ej den j-ten Standardbasisvektor bezeichnet. Damit gilt die Darstellung df =

m X @f dxj : @xj j=1

Im Rahmen des vorliegenden Kapitels wenden wir diese De…nition auf Preisfunktionen c von Finanzinstrumenten an, deren Werte von m Risikofaktoren F1 ; : : : ; Fm stetig di¤erenzierbar abhängen. Das Di¤erential dc von c lautet dann m X @c dc = dFj : @Fj j=1

@c Die partiellen Ableitungen @F werden Sensitivitäten genannt und im folj genden mit c;j bezeichnet, @c : c;j := @Fj 2

Hierbei ist zu beachten, dass für die j-te Komponente eines Vektors und für die j-te Koordinatenabbildung die gleiche Notation verwendet wird. Dies ist bedauerlich, aber üblich.

5.6 Die Delta-Normal-Methode

345

Wenn klar ist, um welches Finanzinstrument es sich handelt, wird auch j anstelle von c;j geschrieben. Bei der Umschreibung der Di¤erentiale dFj auf die di¤erentiellen Renditen Rj :=

dFj = d ln Fj Fj

der Risikofaktoren Fj erhalten wir die Darstellung dc =

=

m X

@c Fj @Fj

j=1 m X

mod c;j

Rj

(5.53)

Rj :

j=1

Wir de…nieren mod c;j

:=

@c Fj @Fj

=

c;j Fj

(5.54)

und nennen diese Größ en modi…zierte Sensitivitäten. Damit erhalten wir für die di¤erentielle Rendite R := dc c = d ln c den Ausdruck m

R=

=

1X c j=1

m X

mod c;j

Rj

(5.55)

wj Rj ;

j=1

wobei wir in der letzten Gleichung wj :=

mod c;j

c

(5.56)

de…niert haben. Wir sehen, dass sich die di¤ erentielle Portfoliorendite als gewichtete Summe der di¤ erentiellen Renditen der Risikofaktoren darstellen lässt. Anders als in der Portfoliotheorie gilt hier jedoch nicht mehr notwendigerweise, dass sich die Gewichte wj zu 1 addieren. Wir betrachten nun ein weiteres Finanzinstrument g, z.B. ein Portfolio oder ein strukturiertes Produkt, dessen Wert von den Werten anderer Finanzinstrumente c1 ; : : : ; ck abhängt. Für das Di¤erential von g gilt dann dg =

k X @g dcj @cj j=1

=

k X j=1

g;j dcj :

(5.57)

346

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

Setzen wir in (5.57) jeweils den zugehörigen Ausdruck (5.53) ein, so erhalten wir ! k m X @g X @cj dg = Fi Ri (5.58) @cj i=1 @Fi j=1 ! k m X X mod = g;j cj ;i Ri j=1

i=1

0 m k X X @ = i=1

=

m X

1

mod A cj ;i

g;j

j=1

mod g;i

Ri

Ri ;

i=1

also mod g;i

=

k X

g;j

mod cj ;i

(5.59)

j=1

0 k X =@

g;j

j=1

cj ;i

1

A Fi :

Mit Hilfe der Gleichungen (5.58) und (5.59) lässt sich die Berechnung der Sensitivitäten und modi…zierten Sensitivitäten für komplexe Finanzinstrumente rekursiv auf die Berechnung dieser Größ en für die zugehörigen Teilinstrumente zurückführen. Dieser Umstand ermöglicht ein e¢ zientes Design bei der Implementierung der Delta-Normal-Methode in einer objektorientierten Programmiersprache. 5.6.2 Der Value at Risk nach der Delta-Normal-Methode Wir erhalten eine Näherung erster Ordnung, indem wir in (5.55) die „in…nitesimalen Inkremente“ dc und R durch ersetzen. Wir substituieren also dc =

m X

mod j

c := ct

Rj

j=1

durch c

m X j=1

bzw.

mod Rj j

c0 und Rj :=

Stj S0j S0j

5.6 Die Delta-Normal-Methode

c = Rc c

m

1X c j=1

mod Rj j

=

m X j=1

347

wj Rj =: Rc :

Zur De…nitionPdes Delta-Normal-Value at Risk V@RDN (c) wird die Nähem rung Rc = 1c j=1 mod Rj für die Portfoliorendite Rc = cc verwendet. In j der Praxis wird der Zeitraum [0; t], für den die Wertänderungen und Renditen betrachtet werden, in der Regel als ein Handelstag gewählt, und die zugehörige Größ e Rc wird Delta-Normal-Rendite von c genannt. De…nition 5.37. Sei c ein Finanzinstrument, dessen Wert von m Risikofaktoren F1 ; : : : ; Fm di¤ erenzierbar abhängt, c = c(F1 ; : : : ; Fm ). Für j = 1; : : : ; m sei @c mod := Fj = j Fj j @Fj und wj :=

mod j

c

:

Mit der Delta-Normal-Rendite m

Rc =

1X c j=1

mod Rj j

=

m X

wj Rj

(5.60)

j=1

von c ist der Delta-Normal-Value at Risk V@RDN (c) für eine Liquidationsperiode von n Tagen de…niert durch p p V@RDN (c) := cnE [Rc ] q (0; 1) c n V [Rc ] (5.61) p p = cn hw; i q (0; 1) c n hw; Cwi p q = n mod ; q (0; 1) n h mod ; C mod i: In der letzten Zeile von (5.61) bezeichnet Erwartungswerte der Risikofaktorrenditen, j

= (

1; : : : ;

m)

den Vektor der

= E [Rj ] ;

j = 1; : : : ; m, und C ist die Kovarianzmatrix der Renditen der Risikofaktoren, Cij = Cov (Ri ; Rj ) für i; j = 1; : : : ; m. Entscheidend für die Berechnung des Delta-Normal-Value at Risk in (5.61) ist also die näherungsweise Darstellung der Portfoliorendite Rc als Linearkombination der Renditen der Risikofaktoren gemäß(5.60). Damit besteht das Problem der numerischen Bestimmung von V@RDN (c) darin, den Erwartungswert und die Kovarianzmatrix der zu c gehörenden Risikofaktorrenditen zu schätzen sowie die modi…zierten Sensitivitäten mod zu berechnen. j

348

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

Näherungsformel Vernachlässigen wir den Term mit den Erwartungswerten der Risikofaktoren, so gilt für das 1%-Quantil und für eine Liquidationsperiode von n = 10 Tagen die Näherungsformel p p V@RDN (c) nq (0; 1) V [Rc ] (5.62) q 8 h mod ; C mod i: 5.6.3 Berechnung der modi…zierten Sensitivitäten Dieser Abschnitt ist insbesondere hinsichtlich einer numerischen Berechnung des Value at Risk nach der Delta-Normal-Methode und einer zugehörigen programmtechnischen Implementierung von Bedeutung. Wir betrachten für verschiedene Finanzinstrumente die Darstellung der Di¤erentiale der Preisfunktionen als Linearkombination der di¤erentiellen Renditen. Dies bezeichnen wir als Zerlegung der Finanzinstrumente in Anteile der zugehörigen Risikofaktoren. Insbesondere bestimmen wir für diese Finanzinstrumente die modi…zierten Sensitivitäten, die für die Risikoberechnung nach der Delta-NormalMethode benötigt werden. Wir haben bereits in (5.58) und (5.59) ausgeführt, dass sich die Berechnung der modi…zierten Sensitivitäten für komplexe Finanzinstrumente rekursiv auf die Bestimmung der modi…zierten Sensitivitäten für die Bestandteile dieser Finanzinstrumente zurückführen lässt. Zerlegung von Aktien Für eine Aktie S ist der Aktienkurs der zugehörige Risikofaktor. Also gilt dS = S RS =

mod S

(5.63) RS ;

also mod S

= S:

(5.64)

Zerlegung von Summen Wir betrachten den Fall S = X + T: Dies bedeutet dS = dX + dT: Ist X selbst bereits ein Risikofaktor, T dagegen nicht, so wird dT weiter zerlegt, während dX mit Hilfe der di¤erentiellen Rendite umgeschrieben wird zu

5.6 Die Delta-Normal-Methode

349

dS = dX + dT = X RX + dT: Beispiel für Summen Wichtige Beispiele für Summen von Finanzinstrumenten sind Indizes, die anschließ end besprochen werden. Weitere Beispiele stellen Compound-Instrumente dar, also Instrumente, die sich additiv aus einer Liste von anderen Instrumenten zusammensetzen. Zu dieser Kategorie gehören strukturierte Produkte ebenso wie spezielle Swaps und Bonds. Zerlegung von Indizes Ein Index entspricht zu einem bestimmten Zeitpunkt einem Portfolio I aus N Aktien S i mit Stückzahlen hi I=

N X

hi S i :

i=1

Daraus folgt mit (5.63) und (5.64) dI =

N X

hi dS i

(5.65)

i=1

=

N X

hi S i RS i

i=1

=

N X

mod i

RS i ;

i=1

wobei mod die modi…zierte Sensitivität der i-ten Portfolioposition bezeichnet. i Also gilt mit (5.64) mod = hi S i = hi mod i Si : Zerlegung eines Zerobonds Ein Zerobond ist ein Finanzinstrument, das an einem festgelegten zukünftigen Zeitpunkt T einen zu Beginn festgelegten Kapitalbetrag K, den Nominalbetrag, auszahlt. Ist r ein Jahreszins, so besitzt dieses Kapital zum Zeitpunkt 0 den Wert T B = (1 + r) K: Damit gilt

350

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

@B dr @r B = T dr 1+r B = T r Rr 1+r = mod Rr ; r

dB =

wobei mod r

rT B: 1+r

=

Zerlegung von Standard-Optionen Als Beispiel betrachten wir die Black-Scholes-Formel C(S; r; ) für eine CallOption auf eine Aktie S, deren Wert neben dem Aktienkurs vom Zinssatz r und von der Volatilität abhängt. Damit gilt @C @C @C dS + dr + d @S @r @ = S dS + r dr + d

dC =

=( =

S) RS + ( mod S

RS +

mod r

r) Rr + ( Rr +

mod

) R R ;

wobei mod S mod r mod

= = =

S r :

Für die Sensitivitäten sind folgende Bezeichnungen üblich. Es bezeichnen @C := @C := @C @S das Delta, @r das Rho und @ das Vega der Option.

:=

Aufgabe 5.2. Zeigen Sie, dass für europäische Call- und Put-Optionen, deren Underlyings während der Laufzeit keine Dividenden auszahlen, gilt Call

Put

(d+ ) (d+ ) 1 = ( d+ ) rT rT KT e (d ) KT e ( (d ) 1) = p 0 p 0 S T (d+ ) S0 T (d+ ) Dabei ist

0

(x) =

p1 2

exp

x2 2

sowie d =

rT

KT e

S ln( K )+(pr T

1 2

2

( d )

)T

.

5.6 Die Delta-Normal-Methode

351

Zerlegung eines Portfolios Wir betrachten ein Portfolio, das aus Positionen mit verschiedenen Finanzinstrumenten ci besteht, deren Preise wiederum di¤erenzierbar von m Risikofaktoren F1 ; : : : ; Fm abhängen. Zur Berechnung der modi…zierten Sensitivitäten ist die Berechnung der partiellen Ableitungen des Portfolios nach den diversen Risikofaktoren erforderlich. Dies kann heruntergebrochen werden auf die Berechnung der partiellen Ableitung der Finanzinstrumente des Portfolios nach den Risikofaktoren. Dies erö¤net – wie in der Einleitung zu diesem Abschnitt bereits erwähnt – die Möglichkeit zu einer rekursiven Berechnung der Sensitivitäten im Rahmen eines Computerprogramms. Für ein Portfolio P gilt N X

P =

hi ci ;

i=1

wobei jedes Finanzinstrument ci als Funktion aller Risikofaktoren F1 ; : : : ; Fm aufgefasst wird. Damit gilt für das Di¤erential dP des Portfolios dP =

=

m X @P dFj @Fj j=1 m X j=1

=

m X j=1

=

m X j=1

=

m X

! N X @P @ci dFj @S i @Fj i=1 ! N X @ci hi dFj @Fj i=1 ! ! N X @ci hi Fj Rj @Fj i=1

mod j

Rj ;

j=1

wobei mod j

N X

@ci hi @Fj i=1

=

=

N X

hi

!

mod ci ;j

i=1

mit mod ci ;j

:=

@ci Fj : @Fj

Fj

352

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

Sollte ein Finanzinstrument S eine komplexe Struktur besitzen und sich aus anderen Finanzinstrumenten zusammensetzen, so kann die Berechnung der partiellen Ableitungen auf die Berechnung der partiellen Ableitungen der Bestandteile rekursiv zurückgeführt werden. Beispiel 5.38. (Call-Option aufP einen Index) Wir betrachten eine Call-Option m C(I; r; ) auf einen Index I = i=1 hi S i . Der Wert der Option hängt neben dem Wert I des Index vom Zinssatz r und von der Volatilität ab. Unter Verwendung der üblichen Symbole S r

=: =: =:

folgt @C @C @C dI + dr + d @I @r @ = dI + dr + d

dC =

=

dI +

mod r

mod

Rr +

R :

Weiter gilt nach (5.65) dI =

m X

mod i

RS

i

i=1

mit mod i

= hi S i = hi

mod vi

RS +

mod Si ;

so dass dC = =

m X i=1 m X

ni

mod Si

i

mod r

RS i +

Rr +

mod r

mod

Rr +

R

mod

R :

i=1

Dabei wird also jede Aktie S i im Index als Risikofaktor betrachtet, ebenso wie der Zinssatz r und die Volatilität . 4 Zerlegung von Produkten Wir betrachten den Fall, dass ein Finanzinstrument S das Produkt von zwei Größ en X und T ist. Es gilt also S = XT und damit

5.6 Die Delta-Normal-Methode

353

dS = d(XT ) = T dX + XdT: Die Sensitivität bezüglich dX lautet also T , die Sensitivität bezüglich dT lautet X. Ist X selbst ein Risikofaktor, T dagegen nicht, so gilt dS = XT RX + X dT = S RX + X dT: Beispiel 5.39. (Wechselkurse) Wir betrachten die Situation, dass eine Aktie T in einer anderen Währung ausgedrückt werden muss, S = XT: Dabei sei X der Wert von 1 Einheit von Währung B in Einheiten von A. Das Finanzinstrument T wird in Währung B quotiert und S = XT drückt diesen Wert in Währung A aus. Damit gilt dS = d(XT ) = S RX + S

RT

und mod X

=

mod T

= S: 4

Beispiel 5.40. Für zwei Aktien S und T seien folgende Daten gegeben: Gesamtzahl Preis pro Erwartete Volatilität Korrelation zwischen Aktien Aktie Rendite Rendite Renditen von S und T Aktie S hS = 5 120; 00 4% 9% Aktie T hT = 67 6; 00 10% 20% = 0:2 Die in obiger Tabelle angegebenen erwarteten Rendite, Volatilitäten und die Korrelation seien aus den Jahresrenditen von S und T berechnet worden. Die Preise der Aktien seien in einer beliebigen Währung angegeben. 1. Wir betrachten ein Portfolio P aus 5 Aktien vom Typ S und aus 67 Aktien vom Typ T und bestimmen den Value at Risk von P . Die Liquidationsperiode betrage 10 Tage, und das Kon…denzniveau betrage 99%. Das Anfangskapital des Portfolios beträgt P0 = hS S0 + hT T0 = 1002. Dann gilt RP = =

S RS

+

T RT

600 402 RS + RT : 1002 1002

354

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

Da P linear in den Risikofaktoren S und T ist, gilt mod S

=

@P S = hS S und @S

mod T

= hT T

und damit R P = RP : Daraus folgt V@RDN (P ) = V@R(P ): Weiter gilt P

= E (RP ) = 6:4072%:

Die Kovarianzmatrix lautet C=

2 S S T

=

S T 2 T

0:0081 0:0036 0:0036 0:04

;

und daraus ergeben sich die Portfoliovarianz und das Risiko des Portfolios V (RP ) = h ; C i = 1:107 2 10 p V (RP ) = 10:5 23%: P =

2

Für den Value at Risk erhalten wir damit

1 1 h ; Pi + 25 5 1 = 1002 6:4072% 25 = 46:48

V @R (P ) =

P0

Pq

1%

(0; 1)

1 10:5 23% 2:326 5

2. Wir betrachten erneut das Portfolio P bestehend aus 5 Aktien vom Typ S und aus 67 Aktien vom Typ T . Dieses Portfolio werde ergänzt um 2 Stücke eines Derivats mit der Preisfunktion X (S; T ) = ST . Es ist der Value at Risk dieses Portfolios Q = P + 2X nach der Delta-Normal-Methode zu berechnen. Zunächst gilt @X @X (S0 ; T0 ) dS + (S0 ; T0 ) + dT = T0 dS + S0 dT; @S @T df dS dT = = S0 T0 + S0 T0 = dS + dT: X0 X0 X0

dX (S; T ) = RX

und die Rendite des Portfolios lautet mit Q0 = 5S0 + 67T0 + 2X0 = 2442 zusammengefasst 2040 1842 RQ = RS + RT : 2442 2442

5.6 Die Delta-Normal-Methode

355

Damit erhalten wir Q

= E (RP ) = 10:885%

V (RQ ) = h ; C i = 3: 294 8 10 p h ; C i = 18:152%; Q =

2

und der Delta-Normal-Value at Risk ergibt sich zu V@RDN (Q) = =

Q0

1 25

2442

;

Q

+

1 5

1 10:885% 25

Qq

1%

(0; 1)

1 18:152% 2:326 5

= 195:58: 4 5.6.4 Component VaR In der Praxis möchte man häu…g das Risiko nach einzelnen Risikofaktoren oder nach Risikofaktortypen aufschlüsseln. So sind etwa Aussagen von Interesse, wie hoch der Anteil des Aktien-, Zins- Wechselkurs- oder Volatilitätsrisikos am Gesamtrisiko ist. Eine Antwort darauf gibt das im folgenden vorgestellte Component Value at Risk oder Component-VaR. Sei c ein Finanzinstrument, etwa ein Portfolio, und sei n

Rc =

1X c j=1

mod Rj j

eine Darstellung erster Ordnung der Rendite von c als Linearkombination der Renditen der Risikofaktoren Rj . Sei I eine Teilmenge von f1; : : : ; ng und sei PI der Projektionsoperator auf den durch I de…nierten Unterraum des Rn . Für 2 Rn gilt PI 2 Rn , wobei (PI )j =

j falls j 2 I 0 falls j 2 6 I:

Als das zu I gehörende Teilrisiko V @RI (c) bezeichnen wir den Ausdruck q p V@RI (c) := n PI mod ; nq (0; 1) hPI mod ; CPI mod i:

Sinnvoll sind hier die beiden folgenden Spezialisierungen, die als ComponentVaR bezeichnet werden.

356

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

Risiko für einen Risikofaktortyp. Werden alle Risikofaktoren, die zu den Typen Aktie, Index, Zins, Wechselkurs und Volatilität gehören, jeweils zu einer Indexmenge I zusammengefasst, so ist das Aktien-, Zins-, Wechselkurs- und Volatilitätsrisiko de…niert durch q p V@RI (c) = n PI mod ; nq (0; 1) hPI mod ; CPI mod i v uX m X p u m mod mod mod u = n nq (0; 1) Cov(Ri ; Rj ): i i i j t i=1 i2I

i;j=1 i;j2I

Risiko für einen einzelnen Risikofaktor. Für jeden Risikofaktor i wird die einelementige Teilmenge I = fig betrachtet. Damit wird das Risiko V @Ri (c) := V@RI (c) für diesen Risikofaktor de…niert als q p V@Ri (c) = n mod nq (0; 1) hPI mod ; CPI mod i i i q p mod 2 Cov(R ; R ) = n mod nq (0; 1) i i i i i p mod mod = n i nq (0; 1) i: i i

Wird der Summand n mod i vernachlässigt, so erhalten wir näherungsi weise p mod V@Ri (c) = nq (0; 1) i: i 5.6.5 Directional VaR Wie ändert sich das Portfoliorisiko, wenn der Anteil eines Risikofaktors verändert wird? Dazu setzen wir die Bewertungsfunktion c = c (F1 ; : : : ; Fm ) als zweimal stetig di¤erenzierbar voraus und betrachten für j = 1; : : : ; m die partiellen Ableitungen p @ q mod @ @ mod V@RDN (c) = n ; q (0; 1) n h ; C mod i: @Fj @Fj @Fj Mit

k

=

@c @Fk

berechnen wir @ @Fj

mod k

@ ( k Fk ) @Fj @ 2c = Fk + @Fj @Fk @ 2c = Fk + @Fj @Fk =

k

@Fk @Fj

k kj :

Vernachlässigen wir die gemischten partiellen Ableitungen, so erhalten wir @ @2 c @ mod mod näherungsweise @F F + k kj = @F kj . Zunächst j k @Fk2 k j j folgt damit

5.6 Die Delta-Normal-Methode

@ V@RDN (c) = @Fj

n

n

@ @Fj

mod

@ @Fj

p @ q q (0; 1) n h @Fj

;

@ @Fj

mod j

Weiter berechnen wir @ @Fj

mod

=

mod ; C mod i

(5.66) mod

p q (0; 1) n p 2 h

j

357

mod

;C

mod ; C mod i

:

mod

;C

m @ X Ckl @Fj

mod mod k l

k;l=1

=

m X

k;l=1 m X

Ckl

@ @Fj

mod k

mod l

Ckl

@ @Fj

mod j

mod kj l

k;l=1

@ @Fj

= =2

m X

mod j

Cjl mod l

+

l=1

@ @Fj

mod j

C

mod j

mod k

+

@ @Fj

+

mod k

@ @Fj

mod j

mod l

@ @Fj m X

mod j

Ckj

lj

mod k

k=1

:

Setzen wir dies in (5.66) ein, so erhalten wir @ V@RDN (c) @Fj n =

@ @Fj

1 Fj

mod j

@ Fj @Fj

j

mod j

q (0; 1) n

j

@ @Fj

+ q (0; 1)

mod j

p

p

np

np h C

h

mod

C

j

mod ; C mod i

mod

j

mod ; C mod i

!

:

Das Gesamtrisiko verändert sich nach Änderung eines Risikofaktors Fj um Fj näherungsweise um @ V@RDN (c) @Fj

V@RDN (c)

Rj F

@ Fj @Fj

mod j

Fj n

j

p

+ q (0; 1) n p h

C

mod j

mod ; C mod i

!

wobei Rj = Fj j die durch die Änderung des j-ten Risikofaktors de…nierte Rendite bezeichnet.

;

358

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

Wir haben damit berechnet, wie sich lokal das Gesamtrisiko verändert, wenn der j-te Risikofaktor Fj modi…ziert wird. Diese Größ e wird DirectionalValue at Risk oder Directional-VaR genannt und liefert Informationen darüber, auf die Änderung welcher Risikofaktoren das Gesamtrisiko lokal am emp…ndlichsten reagiert.

5.7 Diskussion: Value at Risk als Risikomaß Das Konzept des Value at Risk fasst das Risiko eines beliebigen Portfolios in einer einzigen Zahl zusammen; es ist bis auf eine Konstante ein Quantil seiner Renditeverteilung. Vollkommen unterschiedliche Portfolioverteilungen können daher über denselben Value at Risk verfügen. Der Value at Risk macht insbesondere keine Aussagen darüber, wie die groß en Verluste verteilt sind. Andererseits hat der Value at Risk den Vorteil einer anschaulichen und leicht kommunizierbaren Interpretation. Eine Schätzung der tatsächlichen Renditeverteilung eines Portfolios ist grundsätzlich mit Hilfe von Monte-Carlo-Simulationen möglich. Allerdings ist dies bei größ eren Portfolios mit erheblichem Implementierungs-, Rechen- und damit auch Zeitaufwand verbunden. Andererseits können die Ergebnisse erheblich aussagekräftiger sein, als die Bestimmung des Value at Risk allein. Die Delta-Normal-Methode ist eine Näherung, die nur dann verlässliche Ergebnisse erwarten lässt, wenn die Renditeverteilung des untersuchten Portfolios näherungsweise normalverteilt ist. In der Praxis ist jedoch die Gestalt der Renditeverteilung in der Regel nicht bekannt. Dennoch ist die DeltaNormal-Methode in der Praxis weit verbreitet. Wird eine Taylor-Entwicklung der Portfoliowerte bis zur zweiten Ordnung in den Risikofaktoren vorgenommen, so führt auch dies noch zu einer handhabbaren Näherung für den Value at Risk, der sogenannten Delta-GammaMethode. Eine umfassende Darstellung …ndet sich in Reiß[48] und in Reiß [49]. Doch auch die Delta-Gamma-Methode ist nur eine Näherung, und es lassen sich sogar Beispiele konstruieren, in denen die Delta-Gamma-Methode schlechtere Ergebnisse liefert als die Delta-Normal-Methode.

5.8 Kohärente Risikomaß e Wir betrachten nun einen Ansatz zur Bestimmung …nanzieller Risiken, der in der Arbeit von Artzner/Delbaen/Eber/Heath [4] begründet wurde und der groß e Beachtung gefunden hat. In der genannten Arbeit werden abstrakt eine Reihe von Forderungen formuliert, die jedes sinnvolle Risikomaßerfüllen sollte. Risikomaß e, die diese Eigenschaften besitzen, werden als kohärent bezeichnet. Ausgezeichnete und anspruchsvolle Darstellungen von Risikomaß en …nden Sie in Föllmer/Schied [16] und Acerbi/Tasche [2]. Siehe auch Langmann [40].

5.8 Kohärente Risikomaß e

359

Wir werden sehen, dass das Risikokonzept Value at Risk nicht kohärent ist und insbesondere eine zentrale Eigenschaft, nämlich die Subadditivität, nicht erfüllt. Siehe auch Studer [58]. Wir legen einen Wahrscheinlichkeitsraum ( ; F ; P ) zugrunde und interpretieren eine Zufallsvariable X : ! R als eine auf den aktuellen Zeitpunkt abdiskontierte zukünftige unsichere Auszahlung. Ein Risikomaß ordnet jeder dieser Zahlungen X ein Kapital (X) 2 R zu, das bereitgehalten werden muss, damit X im Sinne einer Risikokontrolle oder einer regulatorischen Vorschrift akzeptabel ist. Ein Betrag (X) > 0 entspricht dabei einer Sicherheitsleistung, die, wie auf einem Marginkonto, zur Absicherung von X hinterlegt werden muss. Gilt dagegen (X) < 0, so ist die Auszahlung X auch nach Entnahme des Kapitalbetrags (X) noch akzeptabel. De…nition 5.41. Sei ( ; F; P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei V die Menge aller reellwertigen Zufallsvariablen auf mit der Eigenschaft E [X ] < 1, wobei X = max (0; X) den Negativteil von X bezeichnet. Ein Risikomaßist eine Abbildung : V ! R. De…nition 5.42. Ein Risikomaß : V ! R heiß t kohärent, wenn es die folgenden Eigenschaften erfüllt: 1. (X) 0 falls X 2 V und X 0 (Monotonie), 2. (X + Y ) (X) + (Y ) für alle X; Y 2 V (Subadditivität), 3. ( X) = (X) für alle 0 und für alle X 2 V (Positive Homogenität), 4. (X + a) = (X) a für alle X 2 V und für alle a 2 R (Translationsinvarianz). Die Interpretation der Eigenschaft der Monotonie ist klar. Treten bei einer Auszahlung X keine Verluste auf, X 0, so soll auch kein Sicherungskapital erforderlich sein, (X) 0. Die Subadditivitätseigenschaft besagt, dass die Anforderungen an Sicherungskapital für die Kombination zweier Auszahlungen nicht größ er sein sollten als die Summe aus den Anforderungen für jede einzelne Auszahlung. Dies formalisiert das grundlegende Ergebnis der Portfoliotheorie, wonach sich die Risiken bei Portfoliobildung durch Diversi…kationse¤ekte verringern. Umgekehrt sollte es nicht möglich sein, den Kapitalbedarf durch geschickte Aufspaltung des Gesamtportfolios in geeignete Teilportfolios „herunter zu rechnen“, und eine Dezentralisierung der Risikomessung sollte gefahrlos möglich sein. Ein schwerwiegender Einwand gegen das Konzept des Value at Risk als Risikomaßbesteht nun gerade darin, dass der Value at Risk nicht subadditiv ist, wie später demonstriert werden wird. Demgegenüber ist jedoch der DeltaNormal-Value at Risk für Kon…denzniveaus > 0:5 subadditiv. Ist für eine Auszahlung X ein Sicherungskapital (X) erforderlich, so wird unterstellt, dass für die Auszahlung eines Vielfachen von X das Vielfache

360

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

des Sicherungskapitals benötigt wird. Die Eigenschaft positive Homogenität formalisiert diese Annahme. Fügen wir zu einer Auszahlung X einen konstanten Betrag a hinzu, so sollte sich das erforderliche Sicherungskapital (X + a) von X + a gegenüber (X) um a verringern. Dies wird durch die Eigenschaft der Translationsinvarianz formalisiert. Aus der Translationsinvarianz folgt o¤enbar (X + (X)) = 0: Beispiel 5.43. Sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum, und seien X; Y : ! R. Wir betrachten das Risikomaß (X) :=

min fX (!) j! 2

und prüfen es auf Kohärenz. Zunächst folgt aus X 0 und dies bedeutet

(X)

min fX (!) j! 2

0, also ist

fX (!) + Y (!) j! 2

g

g 0 die Eigenschaft

g;

monoton. Weiter folgt fX (!) + Y (! 0 ) j!; ! 0 2

g:

Daher gilt min fX (!) + Y (!) j! 2

g

min fX (!) + Y (! 0 ) j!; ! 0 2 g = min fX (!) j! 2 g + min fY (! 0 ) j! 0 2

g;

also (X + Y ) Somit ist

subadditiv. Wegen min f X (!) j! 2

für alle

(X) + (Y ) :

> 0 ist

g=

min fX (!) j! 2

positiv homogen. Es gilt (X + a) =

min fX (!) + a j! 2

= min fX (!) j! 2 = (X) a; also ist

g

translationsinvariant.

g

g

a

4

Der maximale Verlust einer zukünftigen unsicheren Auszahlung liefert zwar ein kohärentes Risikomaß , dennoch ist dieses für die Praxis vollkommen untauglich. Das Ziel der Risikomessung ist nicht, den theoretisch möglichen Maximalverlust zu bestimmen und für diesen Wert entsprechendes Risikokapital bereitzuhalten. Dies würde zu hohe Kapitalanforderungen stellen. Bei praxistauglichen Risikomaß en werden daher Verluste unter geeigneter Berücksichtigung ihrer Eintrittswahrscheinlichkeiten in ein zur Absicherung erforderliches Risikokapital umgesetzt.

5.8 Kohärente Risikomaß e

361

Beispiel 5.44. Sei ( ; F; P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, und sei V die Menge aller reellwertigen Zufallsvariablen auf mit der Eigenschaft E [X ] < 1. Wir de…nieren für alle X 2 V (X) := E X

;

und prüfen dieses Risikomaßauf Kohärenz. Für X 0 gilt zunächst X = 0 und damit E [X ] = 0, also ist monoton. Seien X; Y 2 V und ! 2 beliebig. Wir betrachten folgende Fallunterscheidungen: X (!) Y (!) 0 0 0 0 0 0 0 0

(X + Y ) (!) X (!) Y (!) 0 (X + Y ) (!) 0 (X + Y ) (!) 0

X (!) Y (!) X (!) Y (!) X (!) X (!) 0 Y (!) 0 Y (!) 0 0

In jedem Fall gilt also (X + Y ) (!) X (!) + Y (!). Daraus folgt aber h i E (X + Y ) E X +E Y ; also ist subadditiv. Für > 0 gilt ( X) = X , so dass aus der Linearität des Erwartungswerts die positive Homogenität von folgt. Für a > 0 betrachten wir schließ lich X := a. Dann gilt X 2 V sowie (X) = 0 wegen der Monotonie von . Dann gilt h i (X + a) = E (X + a) = 0 6= a = E X a = (X) a; und

ist nicht translationsinvariant, also nicht kohärent.

4

Beispiel 5.45. Sei wieder ( ; F ; P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei V die Menge aller reellwertigen Zufallsvariablen auf mit der Eigenschaft E [X ] < 1. Dann de…nieren wir E [X] :=

E [X + ] 1

E [X ] falls E [X + ] < 1 falls E [X + ] = 1;

wobei X + = max (X; 0) den Positivteil von X bezeichnet. Es ist leicht zu sehen, dass (X) := E [X] alle Eigenschaften eines kohärenten Risikomaß es erfüllt, allerdings ist nicht reellwertig, weil der Fall (X) = 1 nicht ausgeschlossen ist. Ist jedoch endlich oder schränken wir den De…nitionsbereich von auf die Menge aller integrierbaren reellwertigen Zufallsvariablen ein, so erhalten wir jeweils ein reellwertiges Risikomaß , das alle Kohärenzeigenschaften erfüllt. 4 Wir ziehen nun einige Schluß folgerungen aus De…nition 5.42.

362

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

Lemma 5.46. Wenn kohärent ist, so gilt (0) = 0 und für X; Y 2 V mit X Y folgt (X) (Y ). Insbesondere gilt also (X) falls X

0;

0.

Beweis. Dies folgt unmittelbar aus der Eigenschaft der positiven Homogenität von De…nition 5.42 mit der Wahl = 0. Aus der Subadditivitätseigenschaft folgt (Y ) = ((Y (Y

X) + X) X) + (X) ;

und daher erhalten wir mit der Monotonieeigenschaft (Y ) da Y

X

(X)

(Y

X)

0;

0.

Ein leeres Portfolio besitzt also erwartungsgemäßkein Risiko, und es ist umso mehr Sicherungskapital erforderlich ist, je höher die möglichen Verluste einer Auszahlung sind. Die Monotonieeigenschaft kann noch strenger formuliert werden: Lemma 5.47. Ist

kohärent und ist sup X < 0, so gilt

(X) > 0.

Beweis. Ist sup X < 0, so existiert ein a > 0, so dass X (!) + a für alle ! 2 nun

0

. Aus der Translationsinvarianz von (X)

und aus Lemma 5.46 folgt

a = (X + a) 0:

Analog zum Beweis von Lemma 5.47 beweist man auch, dass aus sup X > 0 folgt (X) < 0. Lemma 5.48. Sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum. Jedes kohärente Risikomaßist Lipschitz-stetig bezüglich der Supremumsnorm k k. Für alle reellwertigen Zufallsvariablen X und Y gilt j (X)

(Y )j

kX

Y k:

(5.67)

5.8 Kohärente Risikomaß e

363

Beweis. Die Behauptung basiert auf der Abschätzung X

Y + kX

Y k:

Aus der Translationsinvarianz und aus Lemma 5.46 folgt (Y )

kX

Y k = (Y + kX

Y k)

(X) ;

und damit erhalten wir (Y )

(X)

kX

Yk:

Die Vertauschung der Rollen von X und Y liefert die Behauptung (5.67). Lemma 5.49. Jedes kohärente Risikomaß ist konvex, d.h., es gilt ( X + (1 für 0

)Y )

(X) + (1

) (Y ) ;

1.

Beweis. Dies folgt unmittelbar aus der Subadditivität und aus der positiven Homogenität. Wir untersuchen nun, welche Eigenschaften der Kohärenz vom Risikomaß Value at Risk erfüllt werden. Lemma 5.50. Der Value at Risk erfüllt die Eigenschaften Monotonie, positive Homogenität und Translationsinvarianz der Kohärenz. Im allgemeinen ist der Value at Risk als Risikomaßjedoch nicht subadditiv. Beweis. Die Eigenschaften Monotonie, positive Homogenität und Translationsinvarianz des Value at Risk folgen mit Hilfe von Lemma 5.15 aus der Darstellung (5.31), V@R (X) = q (X), für den Value at Risk. Zum Nachweis, dass der Value at Risk im allgemeinen nicht subadditiv ist, geben wir ein einfaches Gegenbeispiel an. Wir betrachten erneut Beispiel 5.18, zerlegen aber die dort vorgestellte Auszahlung VT in zwei Summanden, VT = VA + VB , wobei a; falls ! 2 A; VA (!) := 0 sonst und VB (!) :=

b; falls ! 2 B; 0 sonst.

Für die Anfangswerte setzen wir VA0 = VB0 = 0 voraus. Dann gilt für die Verteilungsfunktionen FA und FB von VA und VB : 8 < 0; falls x < a; FA (x) = 12 ; falls a x < 0; : 1; falls 0 x

364

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

u

1

u

a

FA

V0 = 0 = v

Abb. 5.6. Die Abbildung stellt die Verteilungsfunktion FA (x) = P (VA im Beispiel vorgestellten Verteilung VA dar.

u

x) der

1 FB

u b

V0 = 0 = v

Abb. 5.7. Die Abbildung stellt die Verteilungsfunktion FB (x) = P (VB im Beispiel vorgestellten Verteilung VB dar.

und FB (x) =

x) der

8 < 0;

falls x < b; ; falls b x < 0; : 1; falls 0 x: 2 3

Die Verteilungsfunktionen FA und FB sind in den Abbildungen 5.6 und 5.7 graphisch dargestellt. Es folgt sofort V@R (VA ) = V@R (VB ) = 0: Wegen VT = VA + VB und V@R (VT ) =

b > 0 erhalten wir daher

V@R (VA + VB ) > V@R (VA ) + V@R (VB ) ; und die Behauptung ist bewiesen.

5.9 Expected Shortfall

365

Der Delta-Normal-Value at Risk für Kon…denzniveaus größ er oder gleich 0:5 ist jedoch subadditiv, wie folgendes Ergebnis zeigt. Satz 5.51. Seien die Voraussetzungen von De…nition 5.37 erfüllt. Dann ist der Delta-Normal-Value at Risk für 0:5 subadditiv, d.h., für zwei beliebige Auszahlungspro…le X und Y mit Anfangswerten X0 > 0 und Y0 > 0 gilt V@RDN (X + Y )

V@RDN (X) + V@RDN (Y ):

Beweis. Mit Z := X + Y gilt nach De…nition folgt mit Z0 = X0 + Y0 und (5.60) RZ =

m 1 X Z0 j=1

mod Z

=

mod X

+

mod . Y

Daraus

mod Z;j Rj

m 1 X mod mod Rj X;j + Y;j Z0 j=1 0 1 0 m m X0 @ 1 X mod A Y0 @ 1 X = + X;j Rj Z0 X0 Z0 Y0

=

j=1

j=1

= wX RX + wY RY ; mit wX :=

X0 Z0

und wY :=

Für 0:5 gilt und (5.61)

p

Y0 Z0 .

Wegen 0

V@RDN (Z) =

n n

mod A Y;j Rj

1 folgt nach Lemma 2.20

p p V [RX ] + V [RY ]:

V [RZ ]

q (0; 1)

wX ; wY

1

0, und daher erhalten wir mit mod Z ; mod X ;

p

n

1; : : : ;

m)

p p n V [RZ ] q (0; 1)

+ p

=(

mod ; Y

V [RX ] +

p

V [RY ]

q (0; 1)

= V@RDN (X) + V@RDN (Y ):

5.9 Expected Shortfall Ein für Theorie und Praxis wichtiges Risikomaß , das alle Kohärenzeigenschaften besitzt, ist der Expected Shortfall. De…nition 5.52. Angenommen, E [X ] < 1. Für

2 (0; 1) heiß t

366

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

TM (X) :=

h E X 1fX

1

)g

x(

i

+ x(

P X

)

x(

)

(5.68)

der -Tail Mean zum Niveau von X. Der Expected Shortfall ES (X) zum Niveau von X ist de…niert als ES (X) :=

TM (X) :

(5.69)

Gelegentlich wird der Index beim Tail Mean und beim Expected Shortfall weggelassen und einfach TM (X) bzw. ES (X) geschrieben. Angenommen, es gilt F x(

=P X

)

x(

= ;

)

dann vereinfacht sich (5.68) zu TM (X) =

1

h E X 1fX

=E X X

)g

x(

x(

;

)

i

und damit erhalten wir ES (X) =

E X X

x(

:

)

In diesem Fall ist der Expected Shortfall also das Negative des bedingten Erwartungswertes der Verluste von X, die größ er als x( ) sind. Ist darüber hinaus x( ) = x( ) ; so folgt wegen

x(

)

= V@R (X) die Darstellung

ES (X) =

E [X jX

V@R (X) ] :

5.9.1 Der Nachweis der Kohärenz des Expected Shortfall Wir weisen zunächst die Subadditivität des Expected Shortfall nach. Dazu und zum Nachweis der Monotonie benötigen wir folgendes Lemma. Lemma 5.53. Für jedes

2 (0; 1) gilt

ES (X) = wobei ( ) 1fX xg

:=

(

1fX 1fX

1

h ( ) E X 1fX

xg xg +

P (X x) P (X=x) 1fX=xg

i

;

(5.70)

falls P (X = x) = 0 falls P (X = x) > 0:

(5.71)

x(

)g

Weiter gilt ( )

1fX und

x(

h ( ) E 1fX

)g

x(

2 [0; 1] )g

i

= :

(5.72) (5.73)

5.9 Expected Shortfall

Beweis. Sei

367

2 (0; 1) fest gewählt.

1. Wir betrachten zunächst den Fall P X = x( ) = 0. Dies ist gleichbedeutend damit, dass F an der Stelle x( ) stetig ist und dass F x( ) = gilt. ( ) Nach De…nition (5.71) ist 1fX x( ) g = 1fX x( ) g , und damit erhalten wir h i (5.70) und (5.72). (5.73) folgt wegen E 1fX x( ) g = F x( ) = . 2. Wir betrachten nun die Situation P X = x( ) > 0. In diesem Fall besitzt F an der Stelle x( ) eine Sprungstelle mit Sprunghöhe P X = x( ) , und nach (5.23) und (5.28) ist 0

F x(

P X = x(

)

)

:

(5.74)

Nach De…nition (5.71) gilt

( ) 1fX x(

8 1 > < (x) = 0 )g > :1

falls x < x( falls x > x( F (x(

)

)

P (X=x(

)

)

) )

(5.75)

falls x = x( ) :

Aus (5.74) und (5.75) folgt (5.72). Wir berechnen h ( ) E 1fX

x(

)g

i

h = E 1fX

x(

)g

=P X

x(

)

i

P X x( ) P X = x( P X x( ) P X = x(

)

h E 1fX=x( P X = x(

)g

i

)

)

= ; und damit ist (5.73) nachgewiesen. Schließ lich gilt h i ( ) E X 1fX x( ) g h = E X 1fX h = E X 1fX

x(

x(

)g

)g

i i

P X x( ) P X = x(

x(

)

)

P X x( ) P X = x(

h E X 1fX=x( P X = x(

)g

)

i ;

)

und damit folgt (5.70). Lemma 5.54. Sei 2 (0; 1] fest gewählt. Wieder sei V die Menge der reellwertigen Zufallsvariablen mit E [X ] < 1 auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ( ; F; P ). Dann gilt für X; Y 2 V ES (X + Y )

ES (X) + ES (Y ) :

368

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

Beweis. Aus (5.72) und (5.75) folgt (

( )

1fZ

( )

z(

( ) 1fZ z(

1fX

)g

x( ( ) 1fX x(

)g

)g )g

0 falls X > x(

)

0 falls X < x( ) :

(5.76)

Daraus folgt X

x(

( )

1fZ

)

( )

z(

)g

1fX

x(

)g

0:

(5.77)

Wir verwenden (5.77) zusammen mit (5.70) und schreiben mit Z := X + Y (ES (X) + ES (Y ) ES (X + Y )) h i ( ) ( ) ( ) = E Z 1fZ z( ) g X 1fX x( ) g Y 1fY y( ) g h i ( ) ( ) ( ) ( ) = E X 1fZ z( ) g 1fX x( ) g + Y 1fZ z( ) g 1fY y( ) g h i h i ( ) ( ) ( ) ( ) x( ) E 1fZ z( ) g 1fX x( ) g + y( ) E 1fZ z( ) g 1fY y( ) g = x( = 0;

)

(

) + y(

)

(

)

wobei (5.73) verwendet wurde. Satz 5.55. Sei 2 (0; 1) fest gewählt. Wieder sei V die Menge der reellwertigen Zufallsvariablen mit E [X ] < 1 auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ( ; F; P ). Dann ist der Expected Shortfall : V ! R, (X) = ES (X) ; X 2 V , ein kohärentes Risikomaß . Beweis. Wir weisen direkt die Eigenschaften für kohärente Risikomaß e aus De…nition 5.42 nach. Seien X; Y 2 V . Zunächst gilt wegen (5.23) stets P X

x(

: (5.78) h i ( ) 1. (Monotonie) Für X 0 gilt wegen (5.72) E X 1fX x( ) g 0, und zusammen mit (5.70) folgt ES (X) 0, also die Monotonie von . 2. (Subadditivität) Dies folgt aus Lemma 5.54. 3. (Positive Homogenität) Für > 0 gilt nach Lemma 5.15 )

= F x(

)

q ( X) = q (X) = x( ) : Daher, wegen P ( X q ( X)) = P ( X q (X)) = P X x( ) und wegen der Linearität des Erwartungswerts folgt die positive Homogenität aus der Darstellung (5.68).

5.9 Expected Shortfall

369

4. (Translationsinvarianz) Sei a 2 R beliebig. Dann gilt nach Lemma 5.15 q (X + a) = q (X) + a und daher h i E (X + a) 1fX+a q (X+a)g = E X 1fX q (X)g + aE 1fX x( ) g h i = E X 1fX x( ) g + aP X x( ) : Weiter gilt

q (X + a) ( = x( = x(

)

P (X + a

+a

P X P X

)

x(

q (X + a))) x(

)

)

+ a

aP X

x(

)

:

Zusammen erhalten wir in (5.68) TM (X + a) = TM (X) + a; und daraus folgt die Translationsinvarianz von . 5.9.2 Weitere Eigenschaften und Schätzung des Expected Shortfall Je höher das Kon…denzniveau, desto näher liegt die in der De…nition des Expected Shortfall auftretende Wahrscheinlichkeit bei Null. Der Expected Shortfall ES (X) für eine Zufallsvariable X ist monoton fallend in , wie der folgende Satz zeigt. Das Sicherungskapital ES (X) für ein Portfolio X nimmt also bei steigendem Kon…denzniveau, d.h. bei sinkendem , tendenziell zu. Satz 5.56. Sei X eine reellwertige Zufallsvariable mit E [X ] < 1 auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ( ; F; P ). Seien 0 < < 1. Dann gilt ES (X)

ES (X) :

Beweis. Für gilt nach (5.23) die Abschätzung x( ) x( ) . Daraus folgt fX x( ) g fX x( ) g und ( ( ) 1fX x( ) g 0 falls X > x( ) ( ) ( ) 1fX x( ) g 1fX x( ) g = 0 falls X < x( ) : Mit diesem Ergebnis erhalten wir X

x(

( )

)

1fX

und daher gilt mit Lemma 5.53

( )

x(

)g

1fX

x(

)g

0;

370

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

TM (X)

h TM (X) = E X =

1 1

=

1

1 ( ) 1fX x(

h E X

)

)g

( )

x( ) E x(

1 ( ) 1fX x( ( )

1fX

h

)g

x(

)g

1fX

x(

)g

1fX

( )

1fX

(

x(

)g

x(

)g

( )

i

i

i

)

= 0:

Für den Expected Shortfall lässt sich mit Hilfe des folgenden Satzes eine Darstellung als Integral über die Quantile ableiten. Satz 5.57. Sei X eine reellwertige Zufallsvariable mit E [X ] < 1 auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ( ; F; P ). Dann gilt für alle 2 (0; 1) Z 1 ES (X) = x(u) du: (5.79) 0

Beweis. Sei U : [0; 1] ! [0; 1] gleichverteilt. Nach Satz 5.10 besitzt die Zufallsvariable 1 Z := x(U ) = (FX ) U; auf dem Wahrscheinlichkeitsraum ([0; 1] ; B ([0; 1]) ; ) dieselbe Verteilung wie X auf ( ; F; P ). Zunächst gilt fU

g

denn für ! 2 [0; 1] mit U (!) =: 5.6. Weiter gilt

Z

x(

;

)

(5.80)

gilt Z (!) = x(

A := fU > g \ Z

Z = x(

)

denn für ! 2 [0; 1] mit U (!) =: > gilt Z (!) = x( wegen Lemma 5.6. Aus (5.80) und (5.81) schließ en wir

)

Z

x(

)

= fU = fU

g\ Z g [ A:

x(

x(

)

x(

)

)

und daher

x(

)

=

Z

x(

(5.81) x( ) , wiederum

[ fU > g \ Z

)

=

wegen Lemma

;

Daraus folgt P X

)

+ (A)

x(

)

5.9 Expected Shortfall

Z

0

x(u) du = E Z h =E Z h =E X h =E X

1fU

g

1fZ

x(

)

g

i

i

E [Z 1A ]

1fX

x(

)

g

x(

)

1fX

x(

)

g + x(

)

i

371

(A) P X

x(

)

:

Die Behauptung folgt nun mit Lemma 5.53. Folgerung 5.58 Die Abbildung 7 ! ES (X) ist stetig. Beweis. Beachte, dass x(u) monoton in u ist, so dass für 0 < Z

x(u) du

(

) x(

)

< 1 gilt

:

Zur Schätzung des Expected Shortfall fragen wir uns zunächst, wie das untere -Quantil x( ) einer Zufallsvariablen X geschätzt werden kann. Sei (X1 ; : : : ; Xn ) eine Stichprobe von unabhängigen Realisierungen von X. Wir bezeichnen die aufsteigend sortierten Komponenten des Tupels mit X1:n Xn:n . Schließ lich bezeichnen wir mit bxc den ganzzahligen Anteil einer Zahl x 2 R, also bxc = max fn 2 Z jn x g : Dann erscheint die Ordnungsstatistik Xbn c:n als natürlicher Schätzer für x( ) . Obwohl bekannt ist, dass im Falle von x( ) < x( ) keine Konvergenz der Ordnungsstatistik gegen x( ) vorliegt, gilt dennoch folgendes Resultat: Satz 5.59. Sei 2 (0; 1) fest gewählt. X sein eine Zufallsvariable mit E [X ] < 1, und (X1 ; X2 ; : : :) sei eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit derselben Verteilung wie X. Dann gilt mit Wahrscheinlichkeit 1 lim

n!1

Pbn

c

Xi:n = ES (X) : bn c

i=1

(5.82)

Wenn X integrierbar ist, dann liegt in (5.82) auch Konvergenz in L1 vor. Beweis. Siehe Acerbi/Tasche [2], Proposition 4.1.

372

5 Value at Risk und kohärente Risikomaß e

5.10 Weitere Aufgaben Aufgabe 5.3. Die Jahresrenditen eines Portfolios seien näherungsweise normalverteilt mit = 6% und = 37%. Der aktuelle Wert des Portfolios betrage 457 452 Euro. Die Liquidationsperiode betrage 10 Handelstage, das Kon…denzniveau sei 99%. Legen Sie 250 Handelstage für ein Jahr zugrunde. Bestimmen Sie den Value at Risk für das gegebene Portfolio 1. mit Hilfe von Satz 5.27 2. sowie unter Verwendung der Faustformel (5.48). Aufgabe 5.4. Berechnen Sie die modi…zierten Sensitivitäten für den IndexPerformance-Sparvertrag aus Abschnitt 4.16.

Teil II

6 Diskrete Stochastische Analysis

In diesem Kapitel werden einige grundlegende Begri¤sbildungen der stochastischen Analysis, wie die bedingte Erwartung, Martingale, das stochastische Integral, die Doob-Zerlegung, die Itô-Formel, der Satz von Girsanov und Stoppzeiten im Rahmen endlicher Wahrscheinlichkeitsräume dargestellt. Als Hintergrundliteratur für dieses Kapitel seien die Bücher von Dothan [14], Bauer [5], [6] und Williams [59], sowie die Verö¤entlichung von Kallsen [26] empfohlen. Sei eine endliche Menge, F eine Algebra über , und sei P : F ! [0; 1] ein Wahrscheinlichkeitsmaß . Dann nennen wir das Tripel ( ; F ; P ) einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum. Da nach Voraussetzung endlich ist, lässt sich die Algebra F durch eine Partition Z (F) = fA1 ; : : : ; An g eindeutig charakterisieren. Wir setzen ab jetzt stets voraus, dass P (Ai ) > 0 für alle i = 1; : : : ; n gilt. Diese Situation kann stets erzielt werden. Sollte es in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum ( 0 ; F0 ; P0 ) eine Partitionsmenge A 2 Z (F ) geben mit P0 (A) = 0, so kann diese Menge aus 0 und aus der zu F0 gehörenden Partition entfernt werden. Dieses Vorgehen kann so lange wiederholt werden, bis das WahrscheinlichkeitsmaßP = P0jF auf einer verkleinerten Algebra F F 0 über einer kleineren Menge 0 die Eigenschaft P (A) > 0 für alle A 2 Z (F) besitzt. In diesem Fall werden also alle Ereignisse aus der Modellierung ausgenommen, deren Eintrittswahrscheinlichkeit Null ist, und es gibt in F keine nichtleeren Mengen mit MaßNull. Diese Modi…kation lässt sich jedoch in der Regel nur für endliche oder abzählbar unendliche Ereignismengen durchführen, denn -Algebren über nicht abzählbaren Mengen lassen sich im allgemeinen nicht mehr eindeutig durch ihre Partitionen charakterisieren1 . 1

So besteht sowohl die Partition der -Algebra der reellen Borelmengen als auch die Partition der -Algebra der Potenzmenge von R aus den einelementigen reellen Teilmengen.

J. Kremer, Portfoliotheorie, Risikomanagement und die Bewertung von Derivaten, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-20868-3_6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

376

6 Diskrete Stochastische Analysis

6.1 Bedingte Erwartung und Martingale Satz 6.1. Sei ( ; F ; P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum mit P (A) > 0 für alle A 2 F, A 6= ?. Sei X eine F-messbare Zufallsvariable. Sei weiter G F eine Unteralgebra von F. Dann existiert eine eindeutig bestimmte G-messbare Zufallsvariable Y mit der Eigenschaft E [Y 1A ] = E [X 1A ]

(6.1)

für alle A 2 G. Es gilt die Darstellung X Y := Y (A) 1A ;

(6.2)

A2Z(G)

wobei Y (A) :=

1 P (A)

X

X (B) P (B) =

B2Z(F) B A

1 P (A)

X

B2Z(F)

X (B) P (A \ B) : (6.3)

Beweis. Eindeutigkeit. Zunächst setzen wir die Existenz einer G-messbaren Zufallsvariablen Y voraus, die (6.1) erfüllt. Sei nun A 2 Z (G) G beliebig. Als G-messbare Funktion ist Y konstant auf A, und daher gilt Y (A) P (A) = E [Y 1A ] : Da F feiner als G ist, gilt für jedes B 2 Z (F ) entweder B A, also B\A = B, oder B \ A = ?. Damit folgt aber X E [X 1A ] = X (B) 1A (B) P (B) B2Z(F)

=

X

X (B) P (B) :

B2Z(F) B A

Damit erhalten wir (6.3), denn nach Voraussetzung gilt P (A) > 0. Wenn also eine G-messbare Zufallsvariable Y existiert, die (6.1) erfüllt, dann muss diese die Eigenschaft (6.3) besitzen und ist damit eindeutig bestimmt. Existenz. De…nieren wir umgekehrt Y durch (6.2) und (6.3), so ist Y offensichtlich G-messbar, und es gilt für beliebiges A 2 Z (G) E [Y 1A ] = Y (A) P (A) X = X (B) P (B) B2Z(F) B A

= E [X 1A ] :

6.1 Bedingte Erwartung und Martingale

377

Jedes A 2 G lässt sich darstellen als A = P A1 [ [An mit A1 ; : : : ; An 2 Z (G). n Wegen Ai \ Aj = ? für i 6= j gilt 1A = i=1 1Ai , und es folgt E [Y 1A ] =

n X

E [Y 1Ai ] =

i=1

n X

E [X 1Ai ] = E [X 1A ] :

i=1

Damit ist der Satz ist bewiesen. Die folgende De…nition stellt das nach Williams [59] zentrale Konzept der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie vor. De…nition 6.2. Sei ( ; F; P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum mit P (A) > 0 für alle nicht leeren A 2 F und sei G F eine Unteralgebra von F. Sei weiter X eine F-messbare Zufallsvariable. Die eindeutig bestimmte Zufallsvariable Y mit Eigenschaft (6.1) wird die bedingte Erwartung von X gegeben G genannt und als Y = E [X jG ] = EG [X] notiert. Gilt P (A) > 0 für alle nicht leeren A 2 F , so gilt insbesondere P (A) > 0 für alle nicht leeren A 2 G F . Beachte, dass die bedingte Erwartung einer Zufallsvariablen keine Zahl ist wie der Erwartungswert, sondern eine Zufallsvariable. Anmerkung 6.3. Sei ( ; F; P ) ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Menge N 2 F heiß t Nullmenge, wenn P (N ) = 0 gilt. Sei A (!) eine Eigenschaft, bei der für jedes ! 2 bestimmt werden kann, ob sie zutri¤t oder nicht, dann sagen wir, Eigenschaft A gilt fast überall oder fast sicher, wenn es eine Nullmenge N 2 F gibt, so dass A (!) zutri¤t für alle ! 62 N . Wir sagen dann, A (!) tri¤t für fast alle ! 2 zu. Seien X und Y zwei Zufallsvariablen auf . Wir sagen, X = Y fast überall, wenn X (!) = Y (!) für fast alle ! 2 gilt. Im Falle beliebiger Wahrscheinlichkeitsräume lassen sich die Existenz und die fast sichere Eindeutigkeit der bedingten Erwartung aus Bedingung (6.1) mit Hilfe des Satzes von Radon-Nikodym nachweisen, siehe Bauer [5]. Beispiel 6.4. Sei = f! 1 ; : : : ; ! 4 g und F = P ( ). Mit der De…nition P (!) = 1 de…niert. Sei weiter 4 wird ein Wahrscheinlichkeitsmaßauf Z (G) = ff! 1 ; !2 g ; f! 3 ; ! 4 gg : Wir de…nieren eine Zufallsvariable X :

! R durch

X (! 1 ) = 3 X (! 2 ) = 1 X (! 3 ) = 0 X (! 4 ) = 5

378

6 Diskrete Stochastische Analysis

und berechnen die bedingte Erwartung EG [X]. Mit (6.2) erhalten wir EG [X] =

= =

1 (X (! 1 ) P (! 1 ) + X (! 2 ) P (! 2 )) 1f!1 ;!2 g P (f! 1 ; ! 2 g) 1 + (X (! 3 ) P (! 3 ) + X (! 4 ) P (! 4 )) 1f!3 ;!4 g P (f! 3 ; ! 4 g) 3 1 5 2 + 1f!1 ;! 2 g + 2 1f!3 ;! 4 g 4 4 4 5 1f!1 ;! 2 g + 1f!3 ;! 4 g : 2 4

Beispiel 6.5. Ein Vergleich von (6.2) und (6.3) mit (3.75) zeigt, dass die beiden De…nitionen 3.75 und 6.2 übereinstimmen: Q EQ s [X] = E [X jFs ]

=

X As

=

X As

denn wegen At

X

!

X (At ) QAs (At ) 1As

At As

! X 1 Q (At ) X (At ) 1As ; Q (As )

As gilt QAs (At ) =

At As

Q(At \As ) Q(As )

=

Q(At ) . Q(As )

4

Wir formulieren nun einige grundlegende Eigenschaften der bedingten Erwartung. Satz 6.6. Sei ( ; F; P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum, G Unteralgebra von F , und sei X eine F -messbare Zufallsvariable.

F eine

1. Für Y = EG [X] gilt E [Y ] = E [X]. 2. Wenn X G-messbar ist, so gilt X = EG [X]. 3. Sind X1 und X2 F -messbar, so gilt EG [ 1 X1 + 2 X2 ] = 1 EG [X1 ] + 2 EG [X2 ] (Linearität). 4. Wenn X 0, so gilt EG [X] 0 (Positivität). 5. Angenommen, H ist eine Unteralgebra von G, so gilt EH [EG [X]] = EG [EH [X]] = EH [X] (Iteration der bedingten Erwartung). 6. Ist Z G-messbar, so gilt EG [ZX] = ZEG [X]. Beweis. 1. Wird in (6.1), E [Y 1A ] = E [X 1A ], speziell A = gewählt, so folgt die Behauptung. 2. Wenn X G-messbar ist, so ist X insbesondere auch F-messbar. In (6.1) kann also als G-messbare Funktion Y speziell X selbst gewählt werden. Da Y eindeutig bestimmt ist, gilt EG [X] = Y = X.

6.1 Bedingte Erwartung und Martingale

379

3. Seien X und X 0 F-messbar mit Y = EG [X] und Y 0 = EG [X 0 ]. Dann gilt für beliebiges A 2 G E [( X + X 0 ) 1A ] = E [X 1A ] + E [X 0 1A ] = E [Y 1A ] + E [Y 0 1A ] = E [( Y + Y 0 ) 1A ] : Dies bedeutet aber EG [ X + X 0 ] = Y + Y 0 = EG [X] + EG [X 0 ] ; was zu zeigen war. 4. Die Positivität folgt unmittelbar aus der Darstellung (6.2) und (6.3) für die bedingte Erwartung. 5. Sei Y := EG [X]. Dann gilt für alle A 2 G E [Y 1A ] = E [X 1A ] : Insbesondere gilt diese Gleichung also für H 2 H

G, also

E [Y 1H ] = E [X 1H ] : Daraus folgt aber bereits EH [EG [X]] = EH [X]. Weiter ist EH [X] Hmessbar, und daher auch G-messbar wegen H G. Damit folgt EG [EH [X]] = EH [X] unmittelbar aus 2. 6. Aus der Darstellung (6.2) folgt für A 2 Z (G) EG [ZX] (A) =

1 P (A)

X

Z (B) X (B) P (B)

B2Z(F) B A

0

B = Z (A) B @

1 P (A)

X

B2Z(F) B A

= Z (A) EG [X] (A) ; denn Z (B) = Z (A) für alle B

1

C X (B) P (B)C A

A.

Sei ( ; F ; P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum mit P (A) > 0 für alle A 2 Z (F ). Weiter sei G F eine Unteralgebra von F , A 2 Z (G) ein Partitions-Ereignis, und sei ferner X F -messbar. Für P (A) > 0 wird der bedingte Erwartungswert E[X jA ] von X gegeben A de…niert durch E[X jA ] := wobei

E[X 1A ] = P (A)

X

B2Z(F)

X (B) PA (B) ;

380

6 Diskrete Stochastische Analysis

P (A \ B) P (B) = : P (A) P (A)

PA (B) :=

Wir erhalten damit die Darstellung X EG [X] = E[X jA ] 1A

(6.4)

A2Z(G)

für die bedingte Erwartung von X, also EG [X] (A) = E[X jA ] für A 2 Z (G). Beispiel 6.7. Sei = f! 1 ; : : : ; ! 8 g und F = P ( ). Mit der De…nition P (!) = 1 8 wird ein Wahrscheinlichkeitsmaßauf F induziert. Sei weiter Z (G) = ff! 1 ; ! 8 g ; f! 2 ; ! 3 ; ! 6 ; ! 7 g ; f! 4 ; ! 5 gg : Wir de…nieren eine Zufallsvariable X : ! R durch X (! i ) = i2 und berechnen die bedingte Erwartung EG [X]. Mit A1 := f! 1 ; !8 g A2 := f! 2 ; !3 ; ! 6 ; ! 7 g A3 := f! 4 ; !5 g gilt ! 1 X EG [X] = X (!) P (!) 1A P (A) !2A A2Z(F) ! 3 X X 1 = X (!) P (!) 1 Ai P (Ai ) i=1 X

!2Ai

1 1 1 = (1 + 64) 1A1 + (4 + 9 + 36 + 49) 1A2 + (16 + 25) 1A3 2 4 2 65 49 41 = 1A1 + 1 A2 + 1 A3 : 2 2 2

Sei weiter eine Zufallsvariable Y auf Y Y Y Y

(! 1 ) = 1 (! 2 ) = 3 (! 3 ) = 3 (! 4 ) = 5

Dann ist Y G-messbar und es gilt

gegeben durch Y Y Y Y

(! 5 ) = 5 (! 6 ) = 3 (! 7 ) = 3 (! 8 ) = 1:

6.1 Bedingte Erwartung und Martingale

EG [Y ] =

3 X i=1

!

X 1 Y (!) P (!) P (Ai ) !2Ai

381

1 Ai

1 1 1 (2 1) 1A1 + (4 3) 1A2 + (2 ( 5)) 1A3 2 4 2 = 1 1 A1 + 3 1 A2 5 1 A3 = Y: =

4 Aufgabe 6.1. Berechnen Sie die bedingte Erwartung für folgendes Beispiel. Sei = f! 1 ; : : : ; ! 8 g und F = P ( ). Durch P P P P

(! 1 ) = (! 2 ) = (! 3 ) = (! 4 ) =

1 12 2 12 3 12 1 12

P P P P

(! 5 ) = (! 6 ) = (! 7 ) = (! 8 ) =

1 12 1 12 2 12 1 12

wird ein WahrscheinlichkeitsmaßP auf P ( ) induziert. Sei weiter Z (G) = ff! 1 ; ! 2 g ; f! 3 ; !4 g ; f! 5 ; ! 6 g ; f! 7 ; ! 8 gg : Eine Zufallsvariable X :

! R sei durch X (! i ) = 5

i de…niert.

1. Berechnen Sie die bedingte Erwartung EG [X]. 2. Sei weiter Z (H) = ff! 1 ; ! 2 ; ! 3 ; ! 4 g ; f! 5 ; ! 6 ; ! 7 ; ! 8 gg. Veri…zieren Sie die Eigenschaft der iterierten bedingten Erwartung EH [EG [X]] = EG [EH [X]] = EH [X] : Aufgabe 6.2. Sei ( ; F ; P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum, und sei G F eine Unteralgebra von F . Sei X eine G-messbare Zufallsvariable. Weisen Sie mit der Darstellung (6.2) und (6.3) die Gültigkeit von EG [X] = X nach. Aufgabe 6.3. Sei ( ; F ; P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und sei X eine F-messbare Zufallsvariable. Sei G F eine Unteralgebra von F und sei Z G-messbar. Zeigen Sie mit (6.2) und (6.3), dass EF [ZX] = Z EF [X]. Aufgabe 6.4. Sei ( ; F ; P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und sei X eine F -messbare Zufallsvariable. Sei weiter G F eine Unteralgebra von F. Weisen Sie mit (6.2) und (6.3) die Gültigkeit von E[EG [X]] = E[X] nach. Aufgabe 6.5. Sei ( ; F ; P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und sei X eine F -messbare Zufallsvariable. Seien weiter H G F Unteralgebren von F . Weisen Sie mit (6.2) und (6.3) die Eigenschaften 5. aus Satz 6.6 nach.

382

6 Diskrete Stochastische Analysis

6.1.1 Die bedingte Erwartung als Projektion Lemma 6.8. Sei ( ; F; P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum mit P (A) > 0 für alle A 2 Z (F ) und sei G F eine Unteralgebra von F . Sei X eine Fmessbare Zufallsvariable. Dann ist die bedingte Erwartung von X gegeben G die eindeutig bestimmte G-messbare Zufallsvariable Y mit der Eigenschaft E[Y Z] = E[XZ]

(6.5)

für alle G-messbaren Zufallsvariablen Z. Beweis. Angenommen, (6.5) ist erfüllt. Für beliebiges A 2 G ist dann Z = 1A eine G-messbare Zufallsvariable, und (6.5) spezialisiert sich in diesem Fall auf (6.1). Sei umgekehrt (6.1) erfüllt, wobei Y := EG [X]. Da Z G-messbar ist, folgt aus Eigenschaft 6. in Satz 6.6 ZY = ZEG [X] = EG [ZX] :

(6.6)

Bilden wir den Erwartungswert von (6.6), so erhalten wir E[Y Z] = E[ZEG [X]] = E[EG [ZX]] = E[ZX]; wobei Eigenschaft 1. in Satz 6.6 verwendet wurde. De…nition 6.9. Sei ( ; F; P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum mit P (A) > 0 für alle A 2 Z (F). Der Vektorraum der F -messbaren Zufallsvariablen mit dem durch hX; Zi := E[X Z] (6.7) de…nierten Skalarprodukt wird als L2 (F) bezeichnet, L2 (F ) := fX jX :

! R, X F-messbar g :

Speziell für F = P ( ) schreiben wir L2 (P ( )) =: L2 ( ). Das durch (6.7) de…nierte Skalarprodukt induziert auf L2 ( ) die Norm p kXk := E[X 2 ]:

Wir zeigen nun eine weitere wichtige Eigenschaft der bedingten Erwartung. Die G-messbaren Zufallsvariablen bilden einen Untervektorraum L2 (G) des Vektorraums L2 (F) aller F -messbaren Zufallsvariablen auf , und die bedingte Erwartung EG [X] einer beliebigen F -messbaren Zufallsvariablen X kann als orthogonale Projektion von L2 (F) auf L2 (G) bezüglich des Skalarproduktes (6.7) interpretiert werden. Satz 6.10. Sei ( ; F; P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum mit P (A) > 0 für alle A 2 Z (F ). Sei G F eine Unteralgebra und X 2 L2 (F ). Dann gilt:

6.1 Bedingte Erwartung und Martingale

383

1. Die bedingte Erwartung EG [X] ist die bezüglich des Skalarproduktes (6.7) orthogonale Projektion von X auf L2 (G). 2. Es gilt der Satz des Pythagoras 2

kXk = kX

2

2

EG [X]k + kEG [X]k :

(6.8)

3. Für alle Z 2 L2 (G) gilt kX

EG [X]k

kX

Zk :

Beweis. 1. Sei Z eine beliebige G-messbare Zufallsvariable. Setzen wir abkürzend Y = EG [X], so gilt nach (6.5) hX

d.h. X

Y; Zi = E[(X

Y ) Z]

= E[XZ] = 0;

(6.9)

E[Y Z]

Y ist orthogonal zu L2 (G), also EG [X] ? L2 (G) ;

X

(6.10)

und daher erhalten wir mit X = (X eine Zerlegung von X in X es eine weitere Zerlegung

EG [X]) + EG [X]

(6.11)

EG [X] ? L2 (G) und in EG [X] 2 L2 (G). Gäbe X = X? + Xk

mit X? ? L2 (G) und Xk 2 L2 (G), so wäre (X 2

?

2

EG [X])

X? = Xk

EG [X] 2 L (G) \ L (G) = f0g. Daraus folgt die Eindeutigkeit. 2. Der Satz des Pythagoras folgt durch Verwendung von (6.11) und (6.10) in 2 kXk = E[X 2 ]. 3. Nach (6.9) ist X Y orthogonal zu Y Z 2 L2 (G), so dass kX

2

Zk = k(X = kX kX

Y ) + (Y

Z)k

2

Y k + kY

Zk

2

2

2

Yk ;

was zu zeigen war. Damit ist EG [X] die Projektion von X auf den Unterraum L2 (G). Sei Z (G) = fA1 ; : : : ; An g. Dann de…niert

p

1 1 A1 ; : : : ; P (A1 )

Orthonormalbasis von L2 (G), denn es gilt h1Ai ; 1Aj i = P (Ai )

ij

p

1 1An P (An )

eine

384

6 Diskrete Stochastische Analysis

für i; j = 1; : : : ; n, und jede G-messbare Funktion lässt sich als Linearkombination der (e1 ; : : : ; en ), 1 ei := p 1 Ai ; P (Ai )

darstellen. Damit erhalten wir für die Projektion von X auf L2 (G) sowohl die aus der linearen Algebra vertraute Darstellung als auch die bereits bekannte Form (6.4) für die bedingte Erwartung zurück, denn es gilt EG [X] = =

n X i=1 n X i=1

hX; ei iei E[X 1Ai ] 1Ai : P (Ai )

Folgerung 6.11 Für jede F -messbare Zufallsvariable X gilt V [EG [X]]

V [X] :

Beweis. Aus dem Satz des Pythagoras, 2

kXk = kX folgt E X 2 = kXk

2

2

2

EG [X]k + kEG [X]k ; h i 2 2 kEG [X]k = E (EG [X]) :

(6.12)

Ersetzen wir X in (6.12) durch X E [X], so erhalten wir h i 2 V [X] = E (X E [X]) h i 2 E (EG [X E [X]]) h i 2 = E (EG [X] E [EG [X]]) = V [EG [X]] ;

denn es gilt EG [E [X]] = E [EG [X]] = E [X].

6.2 Unabhängigkeit De…nition 6.12. Sei ( ; F; P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und seien Gi F , i = 1; : : : ; m, Unteralgebren von F. Die Algebren Gi heiß en unabhängig, wenn für jede Auswahl Gij , j = 1; : : : ; k, mit Gij 2 Gij und ij 6= ij 0 für alle j 6= j 0 gilt P (Gi1 \

\ Gik ) = P (Gi1 )

P (Gik ) :

(6.13)

6.2 Unabhängigkeit

385

Insbesondere sind zwei Unteralgebren G1 und G2 von F unabhängig, wenn für alle G1 2 G1 und G2 2 G2 gilt P (G1 \ G2 ) = P (G1 ) P (G2 ) : De…nition 6.13. Eine endliche Familie Ai F von Partitionen eines endlichen Wahrscheinlichkeitsraums ( ; F; P ) heiß t unabhängig, wenn die von diesen Partitionen erzeugten Algebren (Ai ) unabhängig sind. Lemma 6.14. Seien A F und B F zwei Partitionen eines endlichen Wahrscheinlichkeitsraums ( ; F; P ). Die beiden Partitionen sind genau dann unabhängig, wenn für alle A 2 A und B 2 B die Eigenschaft P (A \ B) = P (A) P (B)

(6.14)

gilt. Beweis. Sind die von den beiden Partitionen erzeugten Algebren unabhängig, so gilt (6.14) für alle A 2 (A) und B 2 (B), insbesondere also für alle A 2 A und B 2 B. Sei umgekehrt die Gültigkeit von (6.14) vorausgesetzt. Zunächst gilt A = fA1 ; : : : ; An g, wobei die Ai paarweise disjunkt und nicht leer sind. Entsprechend gilt B = fB1 ; : : : ; Bm g für paarweise disjunkte, nicht leere Bi . Nach Lemma 3.13 gibt es für beliebige A 2 (A) und B 2 (B) Darstellungen der Form A = Ai1 [ B = B j1 [ Damit erhalten wir A\B =

[

r=1;:::;k s=1;:::;l

[ Aik [ B jl : Air \ Bjs

als disjunkte Vereinigung der Air \ Bjs . Daraus folgt X P (A \ B) = P (Air \ Bjs ) : r=1;:::;k s=1;:::;l

Aus der Unabhängigkeit der Partitionen folgt schließ lich X P (A \ B) = P (Air ) P (Bjs ) r=1;:::;k s=1;:::;l

0

=@

X

r=1;:::;k

1 0

P (Air )A @

= P (A) P (B) :

X

s=1;:::;l

1

P (Bjs )A

386

6 Diskrete Stochastische Analysis

Beispiel 6.15. Wir betrachten zwei hintereinander ausgeführte Münzwürfe, die voneinander unabhängig sein sollen. Bezeichnet k das Ergebnis „Kopf”und z das Ergebnis „Zahl”, so lautet die Menge aller möglichen Elementarereignisse = f(k; k) ; (k; z) ; (z; k) ; (z; z)g : Die zugehörige Algebra ist die Potenzmenge von

. Mit

Ak1 := f(k; k) ; (k; z)g ; Az1 := f(z; k) ; (z; z)g ; Ak2 := f(k; k) ; (z; k)g ; Az2 := f(k; z) ; (z; z)g

lauten die Partitionen Z (G1 ) und Z (G2 ), welche die Algebren G1 und G2 für die beiden Münzwürfe erzeugen: Z (G1 ) = Ak1 ; Az1 Für jedes Elementarereignis ! 2 erhalten so beispielsweise

und Z (G2 ) = Ak2 ; Az2 : gilt bei einer fairen Münze P (!) = 14 . Wir

P Ak1 \ Az2 = P (f(k; z)g) =

1 = P Ak1 P (Az2 ) : 4

Da für alle A1 2 Z (G1 ) und A2 2 Z (G2 ) die Beziehung P (A1 \ A2 ) = P (A1 ) P (A2 ) gilt, sind die beiden Algebren G1 und G2 nach dem vorangegangenen Lemma unabhängig. 4 De…nition 6.16. Sei X : ! R eine Zufallsvariable auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum ( ; F; P ), und sei G F eine Unteralgebra von F . Dann heiß en X und G unabhängig, wenn (X) und G unabhängig sind. Dabei ist (X) die von X erzeugte Algebra, also die kleinste Algebra, so dass X messbar ist, siehe De…nition 3.12. De…nition 6.17. Eine endliche Familie Xi : ! R, i = 1; : : : ; n, von Fmessbaren Zufallsvariablen heiß t unabhängig, wenn die zugehörigen Algebren (Xi ), i = 1; : : : ; n, unabhängig sind. Die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen wird also auf die Unabhängigkeit von Algebren bzw. auf die Unabhängigkeit von Partitionen zurückgeführt. Lemma 6.18. Seien X : ! R und Y : ! R jeweils F - und G-messbar für zwei Algebren F und G. Angenommen, X und Y sind unabhängig, dann gilt E [XY ] = E [X] E [Y ] : Beweis. Sei zunächst A 2 Z (F ) und B 2 Z (G), dann gilt E [1A 1B ] = E [1A\B ] = P (A \ B) = P (A) P (B) = E [1A ] E [1B ] :

6.3 Martingale

387

P P Schreiben wir X = A2Z(F) X (A) 1A und Y = B2Z(G) Y (B) 1B , so folgt P P mit XY = A2Z(F) B2Z(G) X (A) Y (B) 1A 1B E [XY ] =

X

X

A2Z(F) B2Z(G)

0

=@

X

A2Z(F)

X (A) Y (B) E [1A 1B ] 10

X (A) E [1A ]A @

X

B2Z(G)

= E [X] E [Y ] :

1

Y (B) E [1B ]A

Satz 6.19. Sei ( ; F; P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum mit P (A) > 0 für alle A 2 Z (G) und sei G F eine Unteralgebra von F. Angenommen, eine F-messbare Zufallsvariable X : ! R und die Algebra G sind unabhängig. Dann gilt EG [X] = E [X] : Beweis. Für A 2 Z (G) ist X unabhängig von 1A , also folgt Y (A) P (A) = E [Y 1A ] = E [X 1A ] = E [X] E [1A ] = E [X] P (A) :

Es ist üblich, konstante Funktionen nur mit Hilfe ihres Funktionswertes zu bezeichnen. Daher …ndet sich beispielsweise in der Regel die Formulierung EG [X] = E [X] anstelle von EG [X] = E [X] 1 .

6.3 Martingale De…nition 6.20. Sei

; (Ft )t2f0;:::;T g ; P

ein endlicher ge…lterter Wahr-

scheinlichkeitsraum. Zwei an die Filtration (Ft )t2f0;:::;T g adaptierte stochastische Prozesse X und Y heiß en Modi…kationen voneinander, wenn für jedes t = 0; : : : ; T gilt P (Xt 6= Yt ) = 0: X und Y heiß en ununterscheidbar, wenn die Pfade dieser Prozesse, t ! Xt (!) und t ! Yt (!), für fast alle ! 2 übereinstimmen.

388

6 Diskrete Stochastische Analysis

O¤enbar folgt aus der Tatsache, dass zwei stochastische Prozesse ununterscheidbar sind, insbesondere, dass sie Modi…kationen voneinander sind. De…T [ nieren wir umgekehrt Nt := fXt 6= Yt g, so ist N := Nt eine Nullmenge und t=0

für alle ! 62 N gilt Xt (!) = Yt (!) für alle t = 0; : : : ; T . Im Kontext endlicher Wahrscheinlichkeitsräume sind zwei stochastische Prozesse also genau dann Modi…kationen voneinander, wenn sie ununterscheidbar sind. Setzen wir sogar P (A) > 0 für alle A 2 Z (F ) voraus, so sind zwei adaptierte stochastische Prozesse, die Modi…kationen voneinander sind, nicht nur ununterscheidbar, sondern sogar identisch. De…nition 6.21. Sei

; (Ft )t2f0;:::;T g ; P

ein endlicher ge…lterter Wahr-

scheinlichkeitsraum. Ein adaptierter stochastischer Prozess X : f0; : : : ; T g ! R heiß t Martingal, wenn für alle t = 1; : : : ; T gilt Et Dabei schreiben wir Et tingal, wenn

1 [Xt ]

1 [Xt ]

= Xt

1:

:= EFt 1 [Xt ] = E[Xt jFt Et

1

[Xt ]

Xt

1

Et

1

[Xt ]

Xt

1

1 ].

X heiß t Submar-

und Supermartingal, wenn

für alle 1 t T gilt. Ein vektorwertiger stochastischer Prozess X : f0; : : : ; T g ! RN heiß t Martingal, wenn jede Komponente des Prozesses ein Martingal ist. Entsprechende De…nitionen gelten für vektorwertige Sub- und Supermartingale. Voraussetzung. Für den Rest dieses Kapitels legen wir einen endlichen ge…lterten Wahrscheinlichkeitsraum ; (Ft )t2f0;:::;T g ; P mit P (A) > 0 für alle A 2 Z (G) zugrunde. Weiter setzen wir F0 = f?; g und FT = P ( ) voraus. Ein adaptierter stochastischer Prozess X ist genau dann ein Martingal, wenn X sowohl ein Sub- als auch ein Supermartingal ist. Ist X ein Submartingal, so ist X ein Supermartingal und umgekehrt. Weiter folgt aus Eigenschaft 5. von Satz 6.6, dass Et

2

[Xt ] = Et = Et = Xt

also folgt induktiv für alle 0

s

t

[Et 2 [Xt 2

2;

[Xt ]] 1]

1

6.3 Martingale

389

Es [Xt ] = Xs : Insbesondere folgt daraus für F0 = f?; g E0 [Xt ] = X0 = E [X0 ] : Beispiel 6.22. Sei Xt eine endliche Folge von unabhängigen Zufallsvariablen Pn für t = 0; : : : ; T und angenommen, für alle t gilt E [Xt ] = 0. Sei Yn := t=0 Xt und sei Fn := (X1 ; : : : ; Xn ). Dann gilt Et

1

[Yt ] = Et = Yt = Yt

[Yt 1 ] + Et 1 + E [Xt ] 1

1

[Xt ]

1;

denn nach Voraussetzung ist Xt unabhängig von Ft Also ist Y ein Martingal.

1

=

(X1 ; : : : ; Xt

1 ).

4

Beispiel 6.23. Sei Xt eine endliche Folge von unabhängigen Zufallsvariablen für t = 0; : : : ; T und angenommen, für alle t gilt E [Xt ] = 1. Sei Fn := n Y (X1 ; : : : ; Xn ). Mit Yn := Xt gilt dann t=0

Et

1

[Yt ] = Et 1 [Yt 1 Xt ] = Yt 1 Et 1 [Xt ] = Yt = Yt

1 E [Xt ] 1;

also ist Y ein Martingal.

4

Wir nennen ein Martingal X vorhersehbar, wenn der stochastische Prozess (Xt )t2f0;:::;T g vorhersehbar ist. Lemma 6.24. Sei X ein vorhersehbares Martingal mit X0 = 0. Dann ist X = 0. Beweis. Nach Voraussetzung gilt X0 = 0. Angenommen, für alle 0 < s < t T wurde bereits Xs = 0 nachgewiesen. Dann folgt Xt = Et

1

[Xt ] = Xt

1

= 0:

Bei der ersten Gleichheit wurde die Vorhersehbarkeit von X verwendet, bei der zweiten die Martingaleigenschaft. De…nition 6.25. Sei X ein beliebiger stochastischer Prozess. Wir de…nieren den Prozess X durch (X )0 := X0 := X0 ; (X )t := Xt := Xt 1

390

6 Diskrete Stochastische Analysis

für t = 1; : : : ; T und Xt := Xt

Xt

0 Xt

=

(6.15)

Xt

1

für t = 0 sonst.

Für jeden adaptierten Prozess X ist X ein vorhersehbarer Prozess. Stets gilt Xt = X0 +

t X

Xs :

(6.16)

s=1

Zwei Prozesse X und Y stimmen also genau dann überein, wenn X0 = Y0 und wenn Xt = Yt für alle 1 t T gilt. Ein adaptierter Prozess X ist nach De…nition 6.21 genau dann ein Martingal, wenn Et 1 [Xt ] = Xt 1 für alle t = 1; : : : ; T gilt. Dies ist o¤enbar äquivalent zur Bedingung Et 1 [ Xt ] = 0 für alle t = 1; : : : ; T . Lemma 6.26. Ein adaptierter Prozess X ist genau dann ein Martingal, wenn Et

1

[ Xt ] = 0

für alle t = 1; : : : ; T .

6.4 Die Doob-Zerlegung Jeder adaptierte Prozess kann auf eindeutig bestimmte Weise in die Summe aus einem Martingal und einem vorhersehbaren Prozess mit Anfangswert Null zerlegt werden. Dies ist der Satz von Doob, der im vorliegenden Kontext leicht zu beweisen ist. Sein Pendant in der stetigen stochastischen Analysis, der Satz von Doob-Meyer, ist dagegen erheblich aufwendiger. Siehe etwa Karatzas/Shreve [28]. Satz 6.27. Sei X ein beliebiger adaptierter stochastischer Prozess. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Martingal M mit den Eigenschaften M0 = X0

(6.17)

Mt = Xt

Et

1 [Xt ] für t = 1; : : : ; T

Insbesondere besitzt X die eindeutig bestimmte Darstellung X= wobei

0

:= X0 und

t

:= Et

1

+

M;

[Xt ] für alle t = 1; : : : ; T .

(6.18)

6.4 Die Doob-Zerlegung

391

Beweis. Ein Prozess M wird durch M0 := X0 und durch die Rekursion Mt := Xt

Et

1

[Xt ] + Mt

1;

t = 1; : : : ; T , eindeutig festgelegt. Daraus folgt wegen Mt = Xt Et 1 [Xt ] die Eigenschaft Et 1 [ Mt ] = 0, woraus mit Lemma 6.26 die Martingaleigenschaft von M folgt. Nach De…nition (6.15) gilt M0 = 0, so dass aus (6.18) 0 = X0 folgt. 0

Der Prozess = X0 .

in (6.18) ist also ein vorhersehbarer Prozess mit Anfangswert

Satz 6.28. (Doob-Zerlegung) Sei X ein beliebiger adaptierter stochastischer Prozess. Dann gibt es eine Zerlegung von X, X = M + A;

(6.19)

wobei M ein Martingal ist und wobei A vorhersehbar ist. Mit den Anfangsbedingungen M0 = X0 und A0 = 0 ist diese Zerlegung eindeutig bestimmt. Sie wird als Doob-Zerlegung von X bezeichnet. Beweis. Nach Satz 6.27 gibt es ein eindeutig bestimmtes Martingal M mit M0 = X0 und mit Xt = Mt + (Et

1

[Xt ]

Mt

1) ;

für alle t = 1; : : : ; T . Mit der De…nition At :=

0 Et

1

[Xt ]

Mt

1

für t = 0 für t = 1; : : : ; T

folgt sowohl A0 = 0 als auch die Vorhersehbarkeit von A. Angenommen, es gäbe eine weitere Zerlegung X = N + B, N Martingal und B vorhersehbar, mit N0 = X0 und B0 = 0. Dann wäre C := B A = M N ein vorhersehbares Martingal mit C0 = 0. Nach Lemma 6.24 folgt C = 0, also A = B und M = N . De…nition 6.29. Sei X = M + A die Doob-Zerlegung eines adaptierten Prozesses X. Dann heiß t A der vorhersehbare Teil oder der Kompensator von X, und das Martingal M wird Innovation von X genannt. Lemma 6.30. Sei X = M + A die Doob-Zerlegung eines adaptierten Prozesses X. Dann gilt Mt = X0 +

t X

( Xs

Es

1

[ Xs ])

(6.20)

s=1

und At =

t X s=1

Es

1

[ Xs ] :

(6.21)

392

6 Diskrete Stochastische Analysis

Beweis. Wir schreiben (6.17) als Mt = Xt Et 1 [Xt ] = Xt + (Xt 1 Et =

Xt

Et

1

(6.22) 1

[Xt ])

[ Xt ] :

Pt Wegen Mt = M0 + s=1 Ms und M0 = X0 folgt (6.20). Wegen (6.19) gilt Xt = Mt + At , und der Vergleich mit (6.22) liefert At = Et 1 [ Xt ]. Daraus folgt (6.21) mit A0 = 0 durch Summation. Anmerkung 6.31. Ein alternativer Zugang zur Doob-Zerlegung besteht darin, den vorhersehbaren Prozess A durch At :=

t X

Es

1

[ Xs ]

s=1

festzulegen und anschließ end M := X A zu de…nieren. O¤ensichtlich ist A vorhersehbar, und es gilt A0 = 0. Ferner erhalten wir Mt =

Xt

Et

1

[ Xt ] ;

so dass M adaptiert ist mit M0 = X0 . Nach Konstruktion gilt Et also ist M ein Martingal.

1

[ Mt ] = 0,

Lemma 6.32. Sei X ein Submartingal. Dann ist der vorhersehbare Teil A der Doob-Zerlegung von X monoton wachsend, d.h. es gilt At (!) At 1 (!) für alle ! 2 und für alle t = 1; : : : ; T . Entsprechend ist der vorhersehbare Teil eines Supermartingals monoton fallend. Beweis. Ist X ein Submartingal ist, so gilt Et

1

[Xt ]

Xt

1;

also Et

1

[ Xt ]

0:

Sei X = M + A die Doob-Zerlegung von X. Dann folgt At

At

1

= Et

1

[ At ] = Et

also At

At

1:

1

[ Xt ]

0;

6.5 Kovariations-Prozesse

393

6.5 Kovariations-Prozesse De…nition 6.33. Seien X und Y stochastische Prozesse. Der KovariationsProzess [X; Y ] ist de…niert durch [X; Y ]0 := 0; [X; Y ]t :=

t X

Xs Ys

s=1

für t = 1; : : : ; T . Der quadratische Kovariations-Prozess von X mit sich selbst wird quadratischer Variations-Prozess genannt. Jeder quadratische Variations-Prozess ist als Summe nicht-negativer Terme wachsend. Ferner gilt o¤enbar [X; Y ]t =

X t Yt

(6.23)

für t = 0; : : : ; T . De…nition 6.34. Seien X und Y adaptierte stochastische Prozesse. Der vorhersehbare Kovariations-Prozess von X und Y ist gegeben durch hX; Y i0 := 0; hX; Y it :=

t X

(6.24) Es

1

[ Xs Ys ] :

s=1

Der vorhersehbare Kovariations-Prozess von X mit sich selbst wird vorhersehbarer quadratischer Variations-Prozess genannt und mit hXit := hX; Xit bezeichnet. O¤enbar gilt hX; Y it = Et

1

[ Xt Yt ] = Et

und hXit = Et für t = 0; : : : ; T .

1

[

[X; Y ]t ]

h i 2 ( X ) 1 t

(6.25) (6.26)

Lemma 6.35. Seien X und Y beliebige adaptierte stochastische Prozesse. Dann ist hX; Y i der Kompensator von [X; Y ]. Beweis. Aus De…nition (6.24) folgt die Ft 1 -Messbarkeit von hX; Y it . Also ist hX; Y i vorhersehbar. Weiter folgt aus (6.25) Et

1

[

([X; Y ]

für alle t = 1; : : : ; T , also ist [X; Y ]

hX; Y i)t ] = 0

hX; Y i ein Martingal.

394

6 Diskrete Stochastische Analysis

Beispiel 6.36. (Unabhängige zentrierte Inkremente) Sei Z ein adaptierter stochastischer Prozess und sei t X

Xt :=

Zs

s=0

für 0 t T . Angenommen, für alle t gilt E [Zt ] = 0, und für alle 1 sei Zt unabhängig von Ft 1 . Dann gilt mit Satz 6.19 hXit =

t

T

hX; Xit

= Et

Zt2

1

= E Zt2 = V [Zt ] = V [ Xt ] : Daraus folgt mit

2 t

:= V [Zt ] hXit = =

t X

hXit

s=0 t X

2 s:

s=0

4

Satz 6.37. Sei X ein Martingal und sei X2 = M + A die Doob-Zerlegung von X 2 . Dann ist A = hXi der vorhersehbare quadratische Variationsprozess von X. Beweis. Die Behauptung folgt aus der Darstellung (6.21) von A, At =

t X

Es

Xs2 ;

1

s=1

denn es gilt hXis = Es

h i 2 ( X ) 1 s 1

Xs2

2Xs Xs

= Es

1

Xs2

2Xs

= Es

1

Xs2

Xs2

= Es

1

Xs2

= Es

1

= Es

Xs2

1

+ Xs2

1 Es 1

1

[Xs ] + Xs2

1 1

Xs2 :

Daraus erhalten wir die Behauptung durch Summation.

1

6.5 Kovariations-Prozesse

395

Folgerung 6.38. Sei X ein Martingal. Dann ist der Prozess X2

hXi

ein Martingal. Folgerung 6.39. Seien X und Y Martingale. Dann sind sowohl die Prozesse (X + Y )

2

hX + Y i

(X

2

hX

und Y)

Yi

als auch der Di¤ erenzprozess 4XY

(hX + Y i

hX

Y i)

Martingale. Satz 6.40. Seien X und Y Martingale. Die Doob-Zerlegung von XY lautet XY = M + hX; Y i ; wobei M := XY

1 (hX + Y i 4

hX

(6.27)

Y i)

und wobei

1 (hX + Y i hX Y i) 4 der vorhersehbare Kovariations-Prozess von X und Y ist. hX; Y i =

Beweis. Nach Folgerung 6.39 ist M = XY

1 (hX + Y i 4

hX

Y i)

ein Martingal. Wegen hX + Y i0 = hX Y i0 = 0 gilt M0 = X0 Y0 . Daraus, sowie aus der Vorhersehbarkeit von hX + Y i und hX Y i folgt bereits, dass XY = M +

1 (hX + Y i 4

hX

Y i)

die Doob-Zerlegung von XY bildet. Es bleibt zu zeigen, dass der Ausdruck 1 (hX + Y i hX Y i) tatsächlich mit dem vorhersehbaren Kovariations4 Prozess hX; Y i übereinstimmt. Dazu berechnen wir mit (6.25) h i 2 hX + Y; X + Y it = Et 1 ( (Xt + Yt )) h i 2 2 = Et 1 ( Xt ) + ( Yt ) + 2 Xt Yt

396

6 Diskrete Stochastische Analysis

und hX

Y; X

h i 2 ( (Xt Yt )) h 2 2 = Et 1 ( Xt ) + ( Yt )

Y it = Et

Durch Subtraktion folgt hX + Y it

1

hX

Y it = 4Et

1

i 2 Xt Yt :

[ Xt Yt ] :

(6.28)

Die Summation der Di¤erenzen (6.28) liefert wegen (6.24) die Behauptung 1 (hX + Y it 4

t

hX

Y it ) = =

1X ( hX + Y it 4 s=1

t X

Es

1

hX

Y it )

[ Xs Ys ]

s=1

= hX; Y it : Damit ist der Satz bewiesen. Aufgabe 6.6. Angenommen, X und Y sind Martingale. 1. Zeigen Sie, dass XY

[X; Y ]

ein Martingal ist. 2. Nach Satz 6.40 ist auch XY hX; Y i ein Martingal. Warum liegt hier kein Widerspruch zur Eindeutigkeit der Doob-Zerlegung vor?

6.6 Orthogonale Martingale De…nition 6.41. Zwei Martingale X und Y werden orthogonal genannt, wenn hX; Y it = 0 für alle 0 t T gilt. Satz 6.42. Zwei Martingale X und Y sind genau dann orthogonal, wenn der Prozess XY ein Martingal ist. Beweis. Die Doob-Zerlegung von XY lautet XY = M + hX; Y i ; wobei M ein Martingal ist. Sind also X und Y orthogonal, so gilt XY = M , und XY ist ein Martingal. Ist XY dagegen ein Martingal, so auch XY M , so dass hX; Y i ein vorhersehbares Martingal mit hX; Y i0 = 0 ist. Nach Lemma 6.24 gilt hX; Y i = 0, was zu zeigen war.

6.7 Das diskrete stochastische Integral

397

6.7 Das diskrete stochastische Integral De…nition 6.43. Seien X und Y adaptierte stochastische Prozesse. Dann ist das diskrete stochastische Integral von Y bezüglich X de…niert durch Z

t

Y dX := 0

t X

Ys Xs :

(6.29)

s=1

Dabei heiß t Y Integrand und X Integrator. Das stochastische Integral wird auch als Transformation des Prozesses X durch den Prozess Y bezeichnet. Eine alternative Notation ist Z t (Y X)t := Y dX: (6.30) 0

Das stochastische Integral von Y bezüglich X de…niert einen adaptierten R0 stochastischen Prozess. Für t = 0 gilt nach De…nition 0 Y dX = 0. Weiter ist (Y X)t = Yt Xt : (6.31) Ferner ist das stochastische Integral linear, d.h. es gilt für beliebige adaptierte Prozesse X, Y und Z und für beliebiges 2 R Z t Z t Z t (Y + Z) dX = Y dX + Z dX 0 0 0 Z t Z t Y dX = Y dX: 0

0

Ist der Prozess Y konstant, also Y = c, so gilt Z t (c X)t = c dX = c (Xt

X0 ) :

0

Im Falle von X0 = 0 spezialisiert sich dies weiter zu (c X)t = cXt : Satz 6.44. Sei H ein vorhersehbarer Prozess und R t sei X ein Martingal . Dann ist auch das stochastische Integral (H X)t = 0 H dX ein Martingal. Angenommen, H ist ein vorhersehbarer Prozess mit Ht (!) 0 für alle ! 2 und für alle t = 0; : : : ; T , und X ist ein Super- oder Submartingal. Dann ist auch das stochastische Integral H X ein Super- oder Submartingal. Beweis. Die erste Aussage folgt mit Lemma 6.26 wegen Et

1

[ (H

X)t ] = Et

1

= Ht Et = 0:

[Ht Xt ] 1

[ Xt ]

(6.32)

398

6 Diskrete Stochastische Analysis

Ist X ein Super- oder Submartingal, so erfolgt der Beweis analog. Allerdings wird das Gleichheitszeichen in der letzten Zeile von (6.32) durch ein im Falle eines Supermartingals und durch ein im Falle eines Submartingals ersetzt. Satz 6.45. Für beliebige reellwertige Prozesse X; Y und Z gilt X Beweis. Mit (Y

(Y

Z) = (XY ) Z:

X)t = Yt Xt folgt (X

(Y

Z))t = Xt

(Y

Z)t

= Xt Yt Zt = ((XY ) Z)t ; was zu zeigen war.

6.8 Stochastische Integrale und Kovariations-Prozesse Satz 6.46. Es gilt für beliebige reellwertige Prozesse X; Y und Z [X

Y; Z] = X

[Y; Z] :

Wenn X vorhersehbar ist, dann gilt darüber hinaus hX Beweis. Wegen

[Y; Z]s = [X

Y; Zi = X

hY; Zi :

Ys Zs gilt mit (6.31) Y; Z]t = (X Y )t = Xt Yt Zt

Zt

= Xt [Y; Z]t = (X [Y; Z])t ; und die erste behauptete Gleichung folgt durch Summation. Wegen hY; Zit = Et 1 [ Yt Zt ] folgt die zweite Aussage unter Verwendung der Vorhersehbarkeit von X aus hX

Y; Zit = Et

1

[ (X

Y )t

= Et 1 [Xt Yt Zt ] = Xt Et 1 [ Yt Zt ] = Xt hY; Zit =

(X

hY; Zi)t :

Zt ]

6.8 Stochastische Integrale und Kovariations-Prozesse

399

Satz 6.47. Es gilt Z

t

X

1 Xt2 2

dX =

0

Rt

Ist X ein Martingal, so auch Beweis. Wegen Xs2

Xs2

X

0

(Xs

1

X02

[X; X]t :

dX.

2 1)

Xs

= 2Xs

(Xs

1

Xs

1)

gilt die Identität 2

Z

t

X

dX = 2

0

=

t X

Xs

1

s=1 t X

Xs2

(Xs Xs2

Xs

1)

t X

1

s=1

(Xs

Xs

1)

2

s=1

= Xt2

X02 +

= Xt2

X02

t X

( Xs )

2

s=1

[X; X]t ;

und die erste Behauptung ist bewiesen. Mit (X

X)t = Xt

Rt 0

1

X

dX = (X

X)t folgt

Xt ;

und daher gilt Et

1

[ (X

X)t ] = Xt

1 Et 1

[ Xt ] = 0:

Mit Lemma 6.26 folgt daraus die Martingaleigenschaft von X

X.

Es ist möglich, die De…nition des stochastischen Integrals so zu modi…zieren, dass ein zu Z t 1 x dx = t2 2 0 analoges Ergebnis erhalten wird. Setzen wir (X

dX)t :=

t X Xs s=1

+ Xs (Xs 2

1

Xs

1) ;

so folgt t X Xs s=1

+ Xs (Xs 2

1

t

Xs

1)

=

1X X2 2 s=1 s

Xs2

1

=

1 Xt2 2

X02 :

400

6 Diskrete Stochastische Analysis

Mit dieser De…nition geht jedoch die Martingaleigenschaft des stochastischen Integrals verloren, denn t X Xs

+ Xs (Xs 2

1

s=1

Xs

1)

1 Xt2 2

=

Xt2

;

1

und es gilt im allgemeinen Et

1

Xt2 6= Xt2 1 :

Satz 6.48. (Partielle Integration) Es gilt Z t Z t X dY = Xt Yt X0 Y0 Y 0

dX

0

[X; Y ]t

(6.33)

[X; Y ]t :

(6.34)

bzw. Xt

1

Yt = Xt Yt

Xt

1 Yt 1

Yt

1

Xt

Beweis. Wegen Xs (Ys

Ys

1)

= X s Ys

Xs

1 Ys 1

Ys

1

(Xs

Xs

1)

Xs

1)

folgt mit (6.23) die Identität (6.34), denn [X; Y ]s = Xs Ys = Xs (Ys Ys = (Xs Ys

Ys

1)

Xs

1 Xs 1 )

1

(Ys

Ys

Ys

1

1)

(Xs

Xs

1

(Ys

Ys

1) :

(6.33) folgt daraus durch Summation.

6.9 Die Itô-Formel Satz 6.49 (Itô-Formel). Sei f : R ! R eine di¤ erenzierbare Funktion. Dann gilt für alle 1 t T Z t t X 0 f (Xt ) = f (X0 ) + f (X ) dX + f (Xs ) f (Xs ) f 0 (Xs ) Xs : 0

s=1

(6.35)

Beweis. Dies ist klar wegen f (Xt )

f (X0 ) =

t X

f (Xs )

f (Xs )

s=1

und

Z

0

t

f 0 (X ) dX =

t X s=1

f 0 (Xs ) Xs :

6.10 Stochastische Exponentiale

401

Angenommen, f : R ! R ist zweimal stetig di¤erenzierbar. Dann gilt f (Xs )

1 2 Xs + f 00 (Xs ) ( Xs ) ; 2

f (Xs ) + f 0 (Xs )

und mit (6.23) folgt näherungsweise f (Xs )

f (Xs )

f 0 (Xs )

Xs

1 00 2 f (Xs ) ( Xs ) 2 1 = f 00 (Xs ) [X; X]s : 2

Einsetzen in (6.35) liefert f (Xt )

Z

t

1 X 00 f (Xs ) [X; X]s 2 s=1 0 Z t Z 1 t 00 = f (X0 ) + f 0 (X ) dX + f (X ) d [X; X] : 2 0 0 f (X0 ) +

t

f 0 (X ) dX +

(6.36)

6.10 Stochastische Exponentiale Satz 6.50. Sei W ein adaptierter Prozess und sei X0 eine beliebige Konstante. Dann wird durch folgende äquivalente Aussagen ein eindeutig bestimmter adaptierter Prozess X de…niert. 1. Es existiert ein eindeutig bestimmter adaptierter Prozess X, der die Integralgleichung Z t Xt = X0 + X dW (6.37) 0

löst. 2. Für 1

t

T ist X durch die Formel Xt = X0

t Y

(1 +

Ws )

(6.38)

s=1

gegeben. 3. Der Prozess X ist rekursiv durch vorgegebenes X0 2 R und durch Xt = Xt

1

Wt

für t = 1; : : : ; T gegeben. Ist darüber hinaus W ein Martingal ist, so ist auch X ein Martingal.

(6.39)

402

6 Diskrete Stochastische Analysis

Beweis. Wir betrachten die Gleichung Xt = X0 +

Z

t

X

dW:

0

Diese ist nach De…nition des stochastischen Integrals äquivalent zu einem vorgegebenen X0 2 R und zur Rekursion Xt = Xt

1

Wt

oder zu Xt = Xt

1

(1 +

Wt )

für t = 1; : : : ; T . Daraus folgt die Äquivalenz der behaupteten Aussagen, insbesondere die Existenz und die Eindeutigkeit von X sowie die Eigenschaft von X, adaptiert zu sein. Falls W ein Martingal ist, so folgt die Martingaleigenschaft von X aus Satz 6.44. De…nition 6.51. Sei W ein adaptierter Prozess. Der eindeutig bestimmte adaptierte Prozess X, der die Integralgleichung Z t Xt = 1 + X dW 0

löst, wird stochastisches Exponential des Prozesses W genannt und mit Xt = Et (W ) bezeichnet. Es gilt also Et (W ) =

t Y

s=1

=1+ =1+

(1 + Z Z

Ws )

t

X

dW

0 t

E (W ) dW:

0

Damit ist die eindeutig bestimmte Lösung der Integralgleichung Z t Xt = X0 + X dW 0

durch Xt = X0 Et (W )

(6.40)

gegeben. Die Bezeichnung stochastisches Exponential leitet sich ab von der klassischen Integralbeziehung

6.10 Stochastische Exponentiale

Z

ex = 1 +

403

x

ey dy:

0

Ist der Prozess W deterministisch mit spezialisiert sich (6.38) zu

Wt = r 2 R, d.h. Wt = W0 + tr, so t

Xt = X0 (1 + r) ; also gilt

t

Et (W ) = (1 + r) :

Satz 6.52. Sei W ein adaptierter und sei Y ein vorhersehbarer Prozess. Dann ist die Integralgleichung Z t Xt = X0 + Y X dW (6.41) 0

eindeutig lösbar und die Lösung ist gegeben durch Xt = X0 Et (Y bzw. durch Xt = X0

t Y

W)

(6.42)

(1 + Ys Ws ) :

(6.43)

s=1

Insbesondere ist die Lösung X adaptiert. Beweis. Analog zu (6.39) ist (6.41) gleichbedeutend mit vorgegebenem X0 2 R und der Rekursion Xt = Xt 1 Yt Wt oder Xt = Xt

1

(1 + Yt Wt )

für t = 1; : : : ; T . Daraus folgen aber bereits die Behauptungen. Satz 6.53. Es gilt folgende Multiplikationsformel für das stochastische Exponential: Et (X) Et (Y ) = Et (X + Y + [X; Y ]) : Beweis. Mit den Abkürzungen At := Et (X) und Bt := Et (Y ) gilt At = At

Xt ;

Bt = Bt Yt ; [A; B]t = At Bt = At B t X t Yt = At B t

[X; Y ]t :

Daraus folgt mit Hilfe der Formel (6.34) für die partielle Integration (At Bt ) = At Bt + Bt At + = At Bt Yt + B t A t = At Bt

[A; B]t Xt + At Bt

(Xt + Yt + [X; Y ]t ) :

[X; Y ]t

404

6 Diskrete Stochastische Analysis

6.11 Der Martingal-Darstellungssatz De…nition 6.54. Eine Filtration (Ft )t2f0;:::;T g = fF0 ; : : : ; FT g heiß t binomiale Filtration, wenn jedes At 1 2 Z (Ft 1 ) für 0 < t T in genau zwei Mengen At1 und At2 aus Z (Ft ) zum nachfolgenden Zeitpunkt t zerfällt. In diesem Fall gilt also At

1

= At1 [ At2 ; At1 \ At2 = ?:

Satz 6.55. (Martingal-Darstellungssatz) Sei ; (Ft )t2f0;:::;T g ; P ein endlicher ge…lterter Wahrscheinlichkeitsraum mit einer binomialen Filtration (Ft )t2f0;:::;T g und sei X ein Martingal mit der Eigenschaft, dass für jedes At 1 2 Z (Ft 1 ) gilt Xt (At1 ) 0 6= ; (6.44) Xt (At2 ) 0 wobei At

1

= At1 [ At2 für At1 ; At2 2 Z (Ft ) :

Sei Y ein beliebiges weiteres Martingal auf ; (Ft )t2f0;:::;T g ; P . Dann gibt es einen eindeutig bestimmten vorhersehbaren Prozess H mit der Eigenschaft Z t Yt = Y0 + H dX: (6.45) 0

Beweis. (6.45) ist gleichbedeutend mit Yt = H t X t für jedes t = 1; : : : ; T . Sei At 1 2 Z (Ft 1 ) beliebig und seien At1 ; At2 2 Z (Ft ) die beiden Mengen, in die At 1 zum Zeitpunkt t zerfällt. Da Y und X (At1 ) (At2 ) Martingale sind, gilt mit p1 := PP(A und p2 := PP(A = 1 p1 t 1) t 1) 0 = Et

1

[ Yt ] (At

1)

= p1 Yt (At1 ) + p2 Yt (At2 )

sowie 0 = Et

1

[ Xt ] (At

1) 2

= p1 Xt (At1 ) + p2 Xt (At2 ) :

Also sind die Vektoren x; y 2 R , y :=

Yt (At1 ) Yt (At2 )

und x :=

Xt (At1 ) Xt (At2 )

6= 0;

jeweils orthogonal zu p :=

p1 p2

2 R2 ;

und daher gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl h 2 R mit der Eigenschaft y = h x: De…nieren wir schließ lich Ht (At 1 ) := h und H0 = 0, so ist der auf diese Weise de…nierte Prozess H nach Konstruktion vorhersehbar und erfüllt (6.45).

6.12 Der Satz von Girsanov

405

6.12 Der Satz von Girsanov Wir betrachten nun ein spezielles Martingal, das vom Quotienten zweier Wahrscheinlichkeitsmaß e P und Q auf P ( ) generiert wird. Wir bezeichnen den Erwartungswert einer Zufallsvariablen X bezüglich P mit EP [X], während der Erwartungswert von X bezüglich Q als EQ [X] geschrieben wird. Für den gesamten Abschnitt setzen wir voraus, dass P äquivalent zu Q ist, Schreibweise P Q. Dies bedeutet in unserem Kontext endlicher Wahrscheinlichkeitsräume gilt P (!) > 0 für alle ! 2

Q (!) > 0 für alle ! 2

und .

6.12.1 Die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte De…nition 6.56. Die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte (oder kürzer bedingte Dichte) ist de…niert durch Lt := EP t

Q : P

(6.46)

Der bedingte Dichte-Prozess ist ein positives Martingal bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaß es P . Die Martingal-Eigenschaft folgt sofort aus der Iterationseigenschaft der bedingten Erwartung in Satz 6.6. Positiv ist das Martingal deshalb, weil Q positiv ist. Aus der De…nition folgt unmittelbar P LT = EP T

Q Q = P P

L0 = E P

Q = 1: P

und

Allgemeiner gilt folgender Zusammenhang: Lemma 6.57. Sei A 2 Z (Ft ) beliebig. Dann gilt Lt (A) =

Q (A) : P (A)

Beweis. Mit (6.46) und Satz 6.1 folgt die behauptete Darstellung Lt (A) = EP t [LT ] (A) =

1 X Q (!) Q (A) P (!) = : P (A) P (!) P (A) !2A

(6.47)

406

6 Diskrete Stochastische Analysis

Satz 6.58. Für jeden adaptierten Prozess X und für alle 0 EQ s [Xt ] =

EP s

s

[Lt Xt ] : Ls

At 2Z(Ft ) At As

0

Q (As ) B B 1 P (As ) @ Q (As )

T gilt (6.48)

Beweis. Sei As 2 Z (Fs ) beliebig. Dann gilt mit (6.47) X 1 EP Lt (At ) Xt (At ) P (At ) s [Lt Xt ] (As ) = P (As )

=

t

X

At 2Z(Ft ) At As

= Ls (As ) EQ s [Xt ] (As ) :

1

C Xt (At ) Q (At )C A

Da As 2 Z (Fs ) beliebig war, ist die Behauptung bewiesen. Folgerung 6.59. Ein adaptierter Prozess X ist genau dann ein Q-Martingal, wenn der Prozess LX ein P -Martingal ist. Beweis. Für s

t schreiben wir (6.48) als Q EP s [Lt Xt ] = Ls Es [Xt ] :

Ist X ein Q-Martingal, so gilt Xs = EQ s [Xt ] ; und LX ist somit ein P -Martingal. Ist umgekehrt LX ein P -Martingal, so gilt EP s [Lt Xt ] = Ls Xs ; und daraus folgt Xs = EQ s [Xt ]. Also ist X ein Q-Martingal. 6.12.2 Der Satz von Girsanov Lemma 6.60. Sei X ein adaptierter Prozess. Dann gilt hX; Lit = Lt

1

EQ t 1 [ Xt ]

= Lt

1

EQ t 1 [Xt ]

EP t EP t

1

1

[ Xt ]

(6.49)

[Xt ]

und Z

0

t

t

d hX; Li X = EQ s 1 [ Xs ] L s=1 =

t X s=1

EQ s 1 [Xs ]

EP s EP s

1

1

[ Xs ]

[Xs ] :

(6.50)

6.12 Der Satz von Girsanov

407

Ist X insbesondere ein P -Martingal, so spezialisieren sich (6.49) und (6.50) zu hX; Lit = Lt 1 EQ (6.51) t 1 [ Xt ] und

Z

0

t

t

d hX; Li X Q = Es 1 [ Xs ] L s=1 =

t X

EQ s 1 [Xs ]

(6.52)

Xs

1

:

s=1

Beweis. Mit (6.25) folgt hX; Lit = EP t =

1 EP t 1

[ Xt (Lt [ Xt Lt ]

Lt

Lt

1 )] P 1 Et 1

[ Xt ] :

P Daraus erhalten wir mit Satz 6.58 und mit Xt 1 = EQ t 1 [Xt 1 ] = Et 1 [Xt 1 ] die beiden Gleichheiten in (6.49). (6.50) folgt aus (6.49) nach Division durch Lt 1 und anschließ ender Summation. Die beiden Zusammenhänge (6.51) und (6.52) folgen daraus unmittelbar.

Anmerkung 6.61. Vergleiche (6.49) mit Aussage 3 aus 2.23. Satz 6.62 (Satz von Girsanov). Sei X ein P -Martingal. Dann sind die Prozesse Z t 1 d [X; L] X [X; L] = Xt (6.53) L L 0 t und Z t 1 d hX; Li X hX; Li = Xt (6.54) L L 0 t Q-Martingale. R t d[X;L] s Beweis. Wir betrachten zunächst den Prozess Xt . Dann gilt mit Ls 0 (6.31) und (6.23) Z t d [X; L]s [X; L]t X t Lt Xt = Xt = Xt : Ls Lt Lt 0 Nun berechnen wir mit (6.48) Z t d [X; L]s EQ X t t 1 Ls 0

= EQ t 1 [ Xt ] = Lt = EP t = 0;

Q 1 Et 1

1

Lt

EQ t 1 Xt Lt Xt Lt

Xt (Lt Lt Lt

1)

408

6 Diskrete Stochastische Analysis

denn X ist ein P -Martingal. Daraus folgt die erste Behauptung. Zum Nachweis, dass (6.54) ein Q-Martingal de…niert, berechnen wir mit (6.51) EQ t

1

Xt

Z

0

t

d hX; Lis Ls

= EQ t 1 [ Xt ] = 0:

EQ t 1

hX; Lit Lt 1

Daraus folgt die zweite Behauptung. Folgerung 6.63. Sei Q ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß , und sei X ein P -Martingal. Dann lautet die Doob-Zerlegung von X bezüglich Q Z t Z t d hX; Lis d hX; Lis Xt = Xt + : Ls Ls 0 0

R t dhX;Lis Beweis. Nach dem Satz von Girsanov, Satz 6.62, ist Xt ein QLs 0 R t dhX;Li Martingal, und nach (6.52) ist der Prozess 0 L vorhersehbar. Die Behauptung folgt damit aus der Eindeutigkeit der Doob-Zerlegung, Satz 6.28.

6.13 Martingalmaß e und Maß wechsel In diesem Abschnitt sei X ein adaptierter stochastischer Prozeßauf einem ge…lterten Wahrscheinlichkeitsraum ; (Ft )t2f0;:::;T g ; P . Wir zeigen, dass es unter recht schwachen Voraussetzungen ein WahrscheinlichkeitsmaßQ gibt, so dass der gegebene Prozess X ein Martingal bezüglich Q ist. Satz 6.64. Sei R ein adaptierter stochastischer Prozess auf einem ge…lterten Wahrscheinlichkeitsraum ; (Ft )t2f0;:::;T g ; P und sei R = + W die eindeutig bestimmte Zerlegung von R nach (6.18). Insbesondere ist vorhersehbar und W ist ein Martingal mit W0 = 0 = R0 . Wir nehmen an, dass für jedes 1 t T gilt 0< t

hW it =:

Wt <

2 t;

(6.55)

W

(6.56)

2 t:

Die Abbildung Q := P ET

2

de…niert dann ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß . Für 1 gilt EQ t: t 1 [ Wt ] =

t

T

(6.57)

6.13 Martingalmaß e und Maß wechsel

409

Der Dichteprozess L0 = 1 und Lt :=

t Y

s 2 s

1

s=1

= Et

Ws

(6.58)

W

2

ist ein P -Martingal mit der Eigenschaft Q (A) P (A)

Lt (A) =

(6.59)

für alle A 2 Z (Ft ). Für jeden adaptierten Prozess Z gilt EQ s [Zt ] = für alle 0

s

t

EP s [Lt Zt ] Ls

(6.60)

T.

Beweis. Wir de…nieren Q durch (6.56), setzen also Q (!) = P (!) ET = P (!)

W (!)

2

T Y

s 2 s

1

s=1

für alle ! 2

Ws (!)

. Nach den Voraussetzungen in (6.55) ist Q T Y

s 2 s

1

s=1

Ws

=1+

W1 +

1

+

T

0. Weiter gilt WT

für einen vorhersehbaren Prozess . Daraus folgt X

!2

Q (!) =

X

P (!) +

!2

=1+

T X

X

T X

EP 0 [

s

(

s

s=1

!2

Ws ]

s=1

=1+

T X

P EP 0 Es

1

[

s

Ws ]

s=1

=1+

T X s=1

= 1;

EP 0

P s Es 1

[ Ws ]

!

Ws ) (!) P (!)

410

6 Diskrete Stochastische Analysis

da s Fs 1 -messbar ist und da W ein P -Martingal ist. Also ist Q ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß . s De…nieren wir mit s := 2 den Prozeß s

Lt (!) :=

t Y

(1 +

Ws ) (!) ;

s

s=1

so folgt aus De…nition (6.56) zunächst LT =

Q P

und weiter Lt = Lt

(1 +

1

Da W ein P -Martingal ist und da EP t

1

Wt ) :

t

vorhersehbar ist, gilt für alle 0 < t [Lt ] = Lt

T

1:

Also ist auch L ein P -Martingal, und für alle A 2 Z (Ft ) erhalten wir P Lt (A) = EP t [LT ] (A) = Et

Q 1 X Q (!) Q (A) (A) = P (!) = : P P (A) P (!) P (A) !2A

Damit folgt (6.60) aus Satz 6.58. Wird in (6.60) speziell Zt = so gilt EP t

1

= EP t

1

EQ t 1 [ Wt ] =

[Lt Wt ] Lt 1

[(1 + t Wt ) h i 2 = t EP t 1 ( Wt ) =

Wt gewählt,

Wt ]

t;

und dies liefert (6.57). Die Aussage (6.57) bedeutet, dass der Prozess R bezüglich des Maß es Q zentriert oder ohne Drift ist im Sinne von EQ t 1 [Rt ] = 0 für alle t = 1; : : : ; T , während bezüglich P gilt EP t

1

[Rt ] =

t:

6.13 Martingalmaß e und Maß wechsel

411

6.13.1 Die Existenz von Martingalmaß en De…nition 6.65. Sei X ein adaptierter stochastischer Prozess auf einem ge…lterten Wahrscheinlichkeitsraum ; (Ft )t2f0;:::;T g ; P . Ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q : P ( ) ! [0; 1] heiß t Martingalmaßfür X, wenn Q

P

und wenn X ein Martingal bezüglich Q ist, wenn also gilt EQ t 1 [Xt ] = Xt

(6.61)

1

für alle t = 1; : : : ; T . Angenommen, es gilt Xt (!) 6= 0 für alle ! 2 Dann ist Rendite Xt Xt 1 Xt Rt := = Xt 1 Xt 1

und für alle t = 0; : : : ; T . 1

von X für alle t = 1; : : : ; T wohlde…niert. De…nieren wir noch R0 := 0, so ist R ein adaptierter stochastischer Prozess, den wir Renditeprozess nennen. Es gilt also Xt R0 = 0 und Rt = 1 für 1 t T: (6.62) Xt 1 Wenn die Voraussetzungen von Satz 6.58 für die Zerlegung R = + W von R erfüllt sind, dann de…niert (6.56) ein Martingalmaßfür X, denn für t 1 gilt Xt = Xt 1 (1 + t + Wt ) und daher EQ t 1 [Xt ] = Xt

1:

Q ist o¤enbar genau dann ein Martingalmaßfür X, wenn EQ t 1 [Rt ] = 0 für alle t = 1; : : : ; T gilt. Wir fassen zusammen: Satz 6.66. Sei X ein adaptierter stochastischer Prozess auf einem ge…lterten Wahrscheinlichkeitsraum ; (Ft )t2f0;:::;T g ; P . Sei weiter Xt (!) 6= 0 für alle ! 2 und für alle t = 0; : : : ; T . Dann ist der Renditeprozess R von X mit seiner Zerlegung (6.18), R = + W , wohlde…niert und eindeutig bestimmt. Dabei ist W ein P -Martingal und ist vorhersehbar mit W0 = 0 = R0 = 0. Angenommen, für jedes 1 t T gilt 0< t

hW it =:

Wt <

2 t;

2 t;

412

6 Diskrete Stochastische Analysis

dann sind alle Voraussetzungen von Satz 6.64 erfüllt. Insbesondere de…niert Q := P ET

W

2

ein Martingalmaßfür X. Lemma 6.67. Sei X ein adaptierter stochastischer Prozess. Sei weiter Xt (!) 6= 0 für alle ! 2 und für alle t = 0; : : : ; T . Dann existiert der Renditeprozess R von X mit seiner eindeutig bestimmten Zerlegung (6.18), R = + W . Wir de…nieren für jedes t = 0; : : : ; T Wt :=

+

1

+

t

+ Wt :

(6.63)

Es gilt Wt = Rt

(6.64)

für alle t = 0; : : : ; T . Sei Q ein Wahrscheinlichkeitsmaß . Dann ist Q genau dann ein Martingalmaßfür X, wenn Q ein Martingalmaßfür W ist. Beweis. Aus (6.63) folgt unmittelbar Wt =

+

t

Wt = Rt

für alle t = 0; : : : ; T . Es gilt somit Xt = Xt

Wt ;

1

(6.65)

also EQ t 1 [ Xt ] = Xt

Mit der Zerlegung (6.18), R = erhalten wir die Darstellung

+

Xt = Xt = X0

Q 1 Et 1

1

W , für den Renditeprozess R von X

(1 +

t Y

[ Wt ] :

+

t

(1 +

Wt )

(6.66)

Ws )

s=1

= X0 Et (W ) : Anmerkung 6.68. De…nieren wir Z

t s ds 0

:=

s := s

t X

s

(s

s=

1

1) = 1 und +

+

t;

s=1

so kann W auch geschrieben werden als Z Wt = Wt +

0

t s ds:

(6.67)

6.14 Stoppzeiten

413

Folgerung 6.69 Unter den Voraussetzungen von Satz 6.64 besitzt der Prozess W aus (6.63) die alternative Darstellung 1 L

W =W

hW; Li :

(6.68)

Beweis. Unter Verwendung von (6.57) und (6.51) schreiben wir Wt = =

t

+

Wt

Wt

hW; Lit : Lt 1

Die Behauptung folgt durch Summation. Für die Darstellung (6.68) zeigt nun alternativ der Satz von Girsanov 6.62, dass W ein Q-Martingal ist.

6.14 Stoppzeiten Es sei ein Ein-Perioden-Modell nach Abb. 6.1 mit dem dort abgebildeten Kursprozess S gegeben. Wir betrachten das Ereignis E, dass dieser Prozess zum ersten Mal den Wert 120 überschreitet oder den Wert 70 unterschreitet und fragen, ob und zu welchem Zeitpunkt dieses Ereignis eintritt. Jeder der vier Endzustände ! 1 ; : : : ; ! 4 bestimmt eindeutig einen Informationspfad. So entspricht beispielsweise ! 3 dem Pfad ( ; f! 3 ; ! 4 g ; f! 3 g). Wir de…nieren eine Abbildung : ! f0; 1; 2; 1g so, dass (!) jedem durch ! bestimmten Informationspfad den Zeitpunkt zuordnet, an dem E eintritt. Es wird der Wert 1 zugeordnet, wenn E längs des Pfades überhaupt nicht eintritt. Abb. 6.1 entnehmen wir (! 1 ) = 1 (! 2 ) = 1 (! 3 ) = 1

(6.69)

(! 4 ) = 2: Dies lässt sich auch schreiben als 1

(0) (1) 1 (2) 1 (1) 1

=? 2 F0 = f! 1 ; ! 2 g 2 F1 = f! 4 g 2 F2 = f! 3 g 2 F2 :

De…nition 6.70. Sei F = fFt jt 2 f0; : : : ; T g g eine Filtration. Eine Abbildung : ! f0; : : : ; T g [ f1g heiß t Stoppzeit bezüglich F , wenn gilt f = tg 2 Ft für alle t = 0; : : : ; T; 1:

414

6 Diskrete Stochastische Analysis F0 = f?;

g

F1 = f?; A11 ; A12 ;

g

F2 = P ( ) A21 = f! 1 g % S2 (A21 ) = 140 (! 1 ) = 1

A11 = f! 1 ; ! 2 g S1 (A11 ) = 120

&

%

A22 = f! 2 g S2 (A22 ) = 110 (! 2 ) = 1

&

A23 = f! 3 g S2 (A23 ) = 90 (! 3 ) = 1

= f! 1 ; : : : ; ! 4 g S0 ( ) = 100

A12 = f! 3 ; ! 4 g S1 (A12 ) = 80

% A24 = f! 4 g & S2 (A24 ) = 60 (! 4 ) = 2

t=0

t=1

t=2

Abb. 6.1. Stopzeit

Dabei sei F1 := FT und f = tg := f! 2

j (!) = t g :

Eine Stoppzeit wird als Zeitpunkt interpretiert, zu dem ein bestimmtes Ereignis eintritt. Dieses Ereignis kann für verschiedene Pfade zu verschiedenen Zeitpunkten oder überhaupt nicht statt…nden. Tritt das betrachtete Ereignis für einen durch ! 2 de…nierten Informationspfad zu keinem Zeitpunkt ein, so wird dies durch die Eigenschaft (!) = 1 ausgedrückt. Die Bedingung f = tg 2 Ft besagt, dass es zu jedem Zeitpunkt möglich ist zu entscheiden, ob das Ereignis stattgefunden hat oder nicht, denn die Elemente von Ft bilden gerade die zum Zeitpunkt t beobachtbaren Ereignisse. Beispiel 6.71. Die in (6.69) de…nierte Abbildung

ist eine Stoppzeit.

4

Aufgabe 6.7. Betrachten Sie für den in Abb. 6.1 dargestellten Kursprozess das Ereignis E, dass der Kurs zum ersten Mal den Mittelwert der Kurse längs

6.14 Stoppzeiten

415

eines Pfades ! 2 übersteigt. Zeigen Sie, dass die Zuordnung der Zeitpunkte (!) für den Eintritt von E keine Stoppzeit de…niert. Wegen Fs Ft für s t folgt, dass auch f tg = f = 0g [ [f = tg 2 Ft . Gilt umgekehrt f tg 2 Ft , so folgt f = tg = f tgnf t 1g 2 Ft . Eine Stoppzeit kann also alternativ auch durch die Eigenschaft f

tg 2 Ft für alle t = 0; : : : ; T; 1

de…niert werden. Lemma 6.72. Es gilt die Darstellung =

T X t=0

t 1f

=tg

+1 1

nf

T g:

Beweis. Das ist klar, denn der Bildbereich von lautet f0; : : : ; T; 1g und die Mengen f = tg für t = 0; : : : ; T und nf T g bilden eine Partition von . De…nition 6.73. Sei X ein stochastischer Prozess und sei Dann heiß t Xt^ , de…niert durch Xt^ (!) = der mit

eine Stoppzeit.

X (!) (!) falls (!) t Xt (!) falls (!) > t;

gestoppte Prozess.

O¤enbar gilt Xt^ =

t 1 X

tg :

(6.70)

Beispiel 6.74. Der mit der in (6.69) de…nierten Stoppzeit S aus Abb. 6.1 besitzt die Werte

gestoppte Prozess

i=0

S0^ S1^ S1^

( )

Xi 1f

=ig

+ Xt 1f

( ) = S0 ( ) = 100;

(A11 ) = S1 (A11 ) = 120; (A12 ) (A12 ) = S1 (A12 ) = 80; (A11 )

S2^ S2^

(! 1 ) (! 1 )

= S1 (! 1 ) = 120 6= 140 = S2 (! 1 ) ; (! 2 ) (! 2 ) = S1 (! 2 ) = 120 6= 110 = S2 (! 2 ) ;

S2^ S2^

(! 3 ) (! 3 )

= S2 (! 3 ) = 90; (! ) 4 = S2 (! 4 ) = 60: (! 4 )

4

416

6 Diskrete Stochastische Analysis

Eine alternative Darstellung des gestoppten Prozesses lautet Xt^ = X0 +

t X i=0

denn für beliebiges ! 2

und

1fi

Xi ;

g

(6.71)

(!) =: k gilt Xt (!) für 0 t Xk (!) für k < t

Xt^ (!) = Xt^k (!) =

k T

und X0 +

t X i=0

=

1fi

(!)g

(!)

Xi (!) = X0 +

t X i=0

1fi

kg

Pt X0 + i=0 Xi (!) = Xt (!) für 0 t Pk X0 + i=0 Xi (!) = Xk (!) für k < t

Wegen fi g = fi > gc = f i Fi 1 -messbar. Damit ist der durch

1gc 2 Fi

Yt := 1ft

1

(!)

Xi (!)

k T:

ist die Abbildung 1fi

g

g

de…nierte Prozess Y vorhersehbar und Xt^ lässt sich als diskretes stochastisches Integral schreiben, Z t Xt^ = X0 + Y dX: (6.72) 0

Satz 6.75. (Stoppsatz) Sei X ein Martingal und eine Stoppzeit. Dann ist auch der gestoppte Prozess Xt^ ein Martingal. Ist X ein Super- oder Submartingal, so ist auch der gestoppte Prozess Xt^ ein Super- oder Submartingal. Beweis. Die Behauptung folgt aus der Darstellung (6.72) und aus der Vorhersehbarkeit des Prozesses Yt = 1ft g mit Satz 6.44. De…nition 6.76. Ist eine endliche Stoppzeit, gilt als ! 2 , so de…nieren wir X (!) := X Ist

(!)

(!) < 1 für alle

(!) :

eine endliche Stoppzeit, so gilt o¤enbar Xt^ = X

1f


+ X t 1f

tg :

Lemma 6.77. Ein stochastischer Prozess X ist genau dann ein Martingal, wenn für jede endliche Stoppzeit T gilt E[X ] = X0 :

6.15 Weitere Aufgaben

417

Beweis. Wegen T gilt = T ^ . Ist X ein Martingal, so folgt aus dem Stoppsatz, dass auch Xt^ ein Martingal ist. Dann gilt aber E[X ] = E[XT ^ ] = E[X0 ] = X0 :

Dabei wurde die Abbildung X0 mit ihrem Funktionswert identi…ziert. Sei umgekehrt angenommen, dass E[X ] = X0 für jede endliche Stoppzeit gilt, und sei A 2 Z (Ft ) beliebig. De…niere nun := t 1 nA + (t + 1) 1A . Dann ist eine endliche Stoppzeit und es gilt wegen (6.70) X(t+1)^ (!) = Xt+1 1f =

t+1g

+X

1f


(!)

Xt+1 (!) falls ! 2 A ; Xt (!) falls ! 62 A

also X(t+1)^ = Xt+1 1A + Xt 1

nA :

Daher folgt X0 = E[X ] = E[Xt+1 1A ] + E[Xt 1 Andererseits ist auch

0

= t 1 = t 1A + t 1

nA

X0 = E[X 0 ] = E[Xt 1A ] + E[Xt 1

nA ]:

eine Stoppzeit. Daher gilt

nA ]:

Durch Vergleich folgt E[Xt+1 1A ] = E[Xt 1A ]; woraus die Martingaleigenschaft folgt.

6.15 Weitere Aufgaben Aufgabe 6.8. Geben Sie einen alternativen Beweis des Stoppsatzes mit Hilfe der De…nition der bedingten Erwartung und der Darstellung (6.70).

7 Stochastische Finanzmathematik in diskreter Zeit

Die im vorangegangenen Kapitel vorgestellten Konzepte der stochastischen Analysis werden in diesem Kapitel verwendet, um einen gegenüber dem ersten Teil des Buches alternativen Zugang zu den Black-Scholes-Formeln herzuleiten, der sich an die Vorgehensweise in stetiger Zeit anlehnt. Auß erdem werden einige Aussagen über amerikanische Optionen mit Hilfe von Stoppzeiten formuliert. Als Hintergrundliteratur für dieses Kapitel seien die Bücher von Dothan [14], Williams [59], Föllmer/Schied [16] und Pliska [45] empfohlen. Voraussetzung. Wir legen für das gesamte Kapitel einen endlichen ge…lterten Wahrscheinlichkeitsraum ; (Ft )t2f0;:::;T g ; P mit F0 = f?; g und FT = P ( ) zugrunde. Weiter setzen wir P (!) > 0 für alle ! 2

voraus.

7.1 Das Black-Scholes-Modell Der im Rahmen der Ein- und Mehr-Perioden-Modelle dargestellte Zugang zur Bewertung zustandsabhängiger Zahlungsströme basierte auf den Trennungssätzen. In diesem Kapitel stellen wir in diskretem Rahmen den schönen, von Michael Dothan in [14] entwickelten Zugang zur Bewertung von Auszahlungspro…len, der analog zur Vorgehensweise in der stetigen Finanzmathematik ist, in überarbeiteter Form vor. Die dabei eingeführten Begri¤sbildungen und Konzepte lassen sich auf die Situation in stetiger Zeit übertragen – allerdings mit einem deutlich erhöhten technischen Aufwand. Der Rahmen der diskreten Finanzmathematik bietet dagegen die Möglichkeit, die Vorgehensweise und die Zusammenhänge zwischen verschiedenen Begri¤sbildungen innerhalb der stetigen Finanzmathematik in einem elementareren Kontext zu studieren und anhand von konkreten Beispielen zu veranschaulichen.

J. Kremer, Portfoliotheorie, Risikomanagement und die Bewertung von Derivaten, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-20868-3_7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

420

7 Stochastische Finanzmathematik in diskreter Zeit

Wir betrachten im folgenden ein Mehr-Perioden-Modell S; (Ft )t2f0;:::;T g bestehend aus zwei Wertpapieren S = (B; S). Das erste Wertpapier ist im Rahmen des klassischen Black-Scholes-Modells eine festverzinsliche Kapitalt anlage B zum Zinssatz r, Bt = (1 + r) , während das zweite Wertpapier eine Aktie S ist, die keine Dividenden auszahlt. Wir setzen weiter voraus, dass der Aktienkurs die Eigenschaft St (!) > 0 für alle 0 t T und für alle ! 2 besitzt. Wir betrachten im folgenden eine selbst…nanzierende Handelsstrategie h = ( ; ). In diesem Fall gilt mit Vt =

t Bt

+

t St

für t = 0; : : : ; T Vt = V0 + = V0 +

t X

Vt

s=1 t X

t

Bt +

t

St :

s=1

Nun gehen wir über zum diskontierten Marktmodell mit Numéraire B und Vt ~ St ~t = 1 die Darstellung erhalten mit V~t := B , St := B und B t t V~t (h) = V0 (h) +

t X

j

S~j = V0 (h) +

j=1

Z

t

~ dS;

(7.1)

0

denn es gilt B0 = 1, also V~0 (h) = V0 (h). Wir sehen, dass der diskontierte Wertprozess V~t (h) nicht von der Handelsstrategie für B, sondern nur vom Anfangskapital V0 (h) und von der Handelsstrategie für die Aktie S abhängt. Im wesentlichen besteht die im folgenden darzustellende Bewertungsstrategie darin, ein WahrscheinlichkeitsmaßQ so zu konstruieren, dass der diskontierte Aktienpreisprozess S~ ein Martingal bezüglich Q ist. In diesem Fall ist V~ ebenfalls ein Martingal bezüglich Q, und es gilt daher h i V0 (h) = EQ V~T (h) : Ist nun cT eine beliebige zustandsabhängige Auszahlung zum Endzeitpunkt T , dann ist mit c~T := BcTT der Prozess c~t := EQ cT ] t [~ nach De…nition ein Martingal. Handelt es sich bei (Ft )t2f0;:::;T g um eine binomiale Filtration, wie etwa im Falle von Binomialbaum-Modellen, so folgt aus dem Martingal-Darstellungssatz 6.55, dass es zu c~ einen vorhersehbaren Prozess gibt, so dass gilt

7.1 Das Black-Scholes-Modell

Z

c~t = EQ cT ] + 0 [~

421

t

~ dS:

0

Wir werden sehen, dass sich zu einer selbst…nanzierenden Handelsstrategie h = ( ; ) ergänzen lässt. Daraus folgt V0 (h) = EQ cT ] ; 0 [~ wobei V0 (h) das Anfangskapital der die Endauszahlung cT replizierenden Handelsstrategie h bezeichnet. Da cT beliebig gewählt werden kann, ist das betrachtete Marktmodell vollständig, und die Anfangskosten für die replizierenden Handelsstrategien lassen sich als Erwartungswerte der diskontierten Endauszahlung bezüglich des Martingalmaß es Q formulieren. 7.1.1 Schritt 1: Modellierung der Dynamik der Wertpapiere, das Black-Scholes-Modell Den Bondkurs de…nieren wir zunächst allgemein als vorhersehbaren stochastischen Prozess B > 0. Wir normieren den Anfangswert B0 := 1 und de…nieren einen vorhersehbaren Prozess r durch r0 := 0 und durch Bt =: rt Bt 1 für alle 1

t

T . Mit der De…nition Xt := r1 +

erhalten wir zunächst

+ rt

Xt = rt und daher mit De…nition 6.51 die Darstellung

Bt = Et (X) = (1 + r1 ) O¤enbar gilt rt (!) >

1 für alle 1

t

(1 + rt ) :

T und für alle ! 2

.

Den Aktienkurs modellieren wir als adaptierten stochastischen Prozess S mit der Eigenschaft St (!) > 0 für alle ! 2 und für alle t = 0; : : : ; T . Dann ist die Zerlegung (6.18), Rt =

St St

=

t

1

+

Wt

für alle t = 1; : : : ; T wohlde…niert. Dabei gilt t = Et 1 [Rt ], und Rt t ist ein P -Martingal. (7.2) kann umgeschrieben werden zu St = St

1

(1 +

t

+

Wt ) :

De…nieren wir Yt =

1

+

+

t

+ Wt ;

(7.2) Wt = (7.3)

422

7 Stochastische Finanzmathematik in diskreter Zeit

dann gilt Yt =

t

+

Wt = Rt ;

und wir erhalten für den Aktienkursprozess S die Rekursion St = St

1

(1 +

Yt ) ;

also St = Et (Y ) : Das klassische Black-Scholes-Modell ist durch die Annahmen rt = r t = 2

hW it =

für alle t = 1; : : : ; T gekennzeichnet, wobei r > stanten sind.

1,

0 und

> 0 Kon-

7.1.2 Schritt 2: Konstruktion eines Martingalmaß es Wie in der Einleitung zu diesem Kapitel beschrieben, gehen wir für die weiS teren Überlegungen zum diskontierten Aktienpreisprozess S~ := B über. Nun suchen wir für S~ ein Martingalmaß , also ein Wahrscheinlichkeitsmaß , so dass der Prozess S~ ein Martingal bezüglich dieses Maß es ist1 . Sei R = + W die Zerlegung des Renditeprozesses von S nach (6.18). Wegen S~t Bt 1 St = ~ St 1 Bt St 1 1 St = 1 + rt St 1 folgt ~ ~ t = St R 1 S~t 1 1 = (Rt 1 + rt 1 = (( t 1 + rt 1

(7.4) rt ) rt ) +

Wt ) :

Im Allgemeinen ist weder S noch S~ ein Martingal bezüglich des gegebenen Wahrscheinlichkeitsmaß es P . Aus (7.3) folgt beispielsweise EP t

1

[St ] = St

1

Also ist S nur dann ein P -Martingal, wenn

(1 + t

t) :

= 0 gilt.

7.1 Das Black-Scholes-Modell

423

~ Satz 7.1. Sei ( r) + W die eindeutig bestimmte Zerlegung von (1 + r) R nach (6.18). Angenommen, für jedes 1 t T gilt 0< (

t

2 t;

hW it =:

(7.5) 2 t:

rt ) Wt <

Die Abbildung r

Q := P ET

W

2

(7.6)

de…niert dann ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß . Es gilt EQ t 1 [ Wt ] =

(

t

rt ) :

(7.7)

Ws

(7.8)

Für den Dichteprozess Lt :=

t Y

rs

s

1

2 s

s=1

r

= Et

W

2

folgt Lt (A) =

Q (A) P (A)

(7.9)

für alle A 2 Z (Ft ). Für jeden adaptierten Prozess Z gilt EQ s [Zt ] = für alle 0

s

t

EP s [Lt Zt ] Ls

(7.10)

T.

Beweis. Die Behauptungen folgen unmittelbar aus Satz 6.64. Folgerung 7.2 Unter den Voraussetzungen von Satz 7.1 ist das MaßQ in ~ Es gilt (7.6) ein Martingalmaßfür S. S~t =

1 ~ St 1 + rt

1

((

t

rt ) +

Wt )

(7.11)

für alle t = 1; : : : ; T . Beweis. (7.11) folgt unmittelbar aus (7.4). Daraus erhalten wir mit (7.7) h i ~t = 1 S~t 1 ( t rt ) + EQ [ Wt ] EQ S t 1 t 1 1 + rt = 0:

424

7 Stochastische Finanzmathematik in diskreter Zeit

Aus (7.11) folgt auch

h i ~ EQ t 1 Rt = 0;

(7.12)

~ t = Rt und daher erhalten wir wegen der Darstellung (1 + rt ) R auch EQ t 1 [Rt ] = rt :

rt in (7.4) (7.13)

De…nieren wir Wt := (

r1 ) + Z t = Wt + ( s

+(

1

t

rt ) + Wt = Yt

Xt

(7.14)

rs ) ds

0

für t = 0; : : : ; T , so erhalten wir Wt = ( t = Rt und ~t = R

rt ) + rt

1 1 + rt

Wt

Wt :

(7.15)

(7.16)

Analog zu Lemma 6.67 gilt: Lemma 7.3. Sei Q ein Wahrscheinlichkeitsmaß . Dann ist Q genau dann ein ~ wenn Q ein Martingalmaßfür W ist. Es gilt Martingalmaßfür S, S~t =

1 ~ St 1 + rt

1

Wt :

(7.17)

Beweis. (7.17) folgt unmittelbar aus (7.16). Wegen der Vorhersehbarkeit von r folgt die Behauptung aus h i ~t = 1 S~t 1 EQ [ W ] : EQ S t t 1 t 1 1 + rt Folgerung 7.4 Für den diskontierten Preisprozess S~ der Aktie gilt folgende Darstellung 1 S~t = S0 Et W : (7.18) 1+r Beweis. (7.18) ist nach Satz 6.52 äquivalent zur Rekursion (7.17). ~ Die Darstellung Folgerung 7.5 Sei Q ein Martingalmaßfür S. R t = rt +

Wt :

(7.19)

ist die eindeutig bestimmte Zerlegung von R nach Satz 6.27 bezüglich des Maß es Q.

7.1 Das Black-Scholes-Modell

425

Beweis. Dies folgt mit Satz 6.27 unmittelbar aus (7.15). Satz 7.6. Unter den Voraussetzungen von Satz 7.1 besitzt der Prozess W aus (7.14) die alternative Darstellung 1 L

W =W

hW; Li :

(7.20)

1 Beweis. Nach dem Satz von Girsanov, Satz 6.62, ist der ProzeßW L hW; Li ein Martingal bezüglich Q. Mit (7.10) angewendet auf Zt = Wt , mit (7.7) und da W ein P -Martingal ist, erhalten wir

W

1 L

hW; Li

hW; Lit Lt 1

=

Wt

=

Wt

=

Wt

=

Wt

= =

Wt + Wt :

t

EP t

[ Wt (Lt Lt 1 )] Lt 1 P Et 1 [ Wt Lt ] + EP t 1 [ Wt ] Lt 1 1

EQ s [ Wt ] rt

t

7.1.3 Schritt 3: De…nition des Preises von cT als Erwartungswert Als Wert c0 einer zustandsabhängigen Auszahlung cT de…nieren wir c0 := EQ [~ cT ]

(7.21) r

= EP c~T ET wobei c~T :=

cT BT

2

W

;

gilt. Im Black-Scholes-Modell spezialisiert sich dies zu c0 =

1 (1 + r)

T

EQ [cT ] :

(7.22)

Die De…nition (7.22) entspricht der in Kapitel 3 erhaltenen Darstellung (3.78). Allerdings ist hier das MartingalmaßQ mit Hilfe von (7.6) und nicht mit Hilfe der Trennungssätze konstruiert worden. 7.1.4 Schritt 4: Konstruktion einer die Endauszahlung cT replizierenden selbst…nanzierenden Handelsstrategie Es bleibt zu zeigen, dass der in (7.22) erhaltene Wert c0 mit dem Anfangspreis einer die Auszahlung cT replizierenden Handelsstrategie übereinstimmt.

426

7 Stochastische Finanzmathematik in diskreter Zeit

Dieser Nachweis ist zwar für die Berechnung von (7.21) oder (7.22) nicht erforderlich, zeigt aber, dass der auf diese Weise erhaltene Wert c0 der arbitragefreie Replikationspreis für cT ist. Hierzu ist die Anwendung des MartingalDarstellungssatzes erforderlich. Daher nehmen wir nun zusätzlich an, dass es sich bei der zugrunde liegenden Filtration (Ft )t2f0;:::;T g um eine binomiale Filtration handelt, wie das etwa in Binomialbaum-Modellen der Fall ist. Ein Marktmodell mit binomialer Filtration nennen wir auch binomiales Marktmodell . Sei Q ein Martingalmaß . Zunächst de…nieren wir das Q-Martingal c~t := EQ cT ] : t [~ Wegen B0 = 1 gilt c~0 = EQ cT ] = EQ [~ cT ] = c0 . Da S~ ebenfalls ein Q0 [~ Martingal ist, gibt es aufgrund des Martingal-Darstellungssatzes 6.55 einen vorhersehbaren Prozess mit der Eigenschaft Z t ~ c~t = c~0 + dS: (7.23) 0

Als Handelsstrategie betrachten wir nun Portfolios, die zum Zeitpunkt t zusammengesetzt sind aus t t

Stücken der Aktie und aus ~ := c~t t St Einheiten der festverzinslichen Kapitalanlage.

Damit gilt für den Wert Vt des Portfolios ht := ( t ; Vt :=

t St

+

t)

zum Zeitpunkt t

t Bt :

Daraus folgt Vt V~t := Bt = t S~t + = c~t :

t

Insbesondere gilt damit V0 = V~0 = c~0 = EQ [~ cT ] :

(7.24)

Der Anfangswert des Portfolios ist also gerade der Erwartungswert der diskontierten Endauszahlung c~T bezüglich des Martingalmaß es Q. Wegen (7.23) gilt c~t = t S~t , und daher folgt t

~

= c~t = =

t St

c~t + c~t 1 S~t + c~t

t

= c~t

1

~

~

t St 1

t St 1 :

~

t St

7.1 Das Black-Scholes-Modell

Also ist vorhersehbar. Ferner gilt wegen menhang t+1

+

~ = =

t+1 St

t+1

c~t+1 =

t+1

S~t+1 +

t+1

427

S~t+1 der Zusam-

~

t+1 St+1

c~t+1 + c~t+1

= c~t =

t

+

+

t+1 St

~

t St ;

also t+1 Bt

=

t Bt

+

Dies bedeutet mit St := (Bt ; St ) und ht := ( t ;

t St :

t)

ht St = ht+1 St ; also ist der Prozess h selbst…nanzierend. Zusammengenommen ist also h eine vorhersehbare, selbst…nanzierende Handelsstrategie, die die Endauszahlung cT repliziert. 7.1.5 Vollständigkeit und Arbitragefreiheit binomialer Marktmodelle Satz 7.7. Sei S; (Ft )t2f0;:::;T g ein Marktmodell mit einer binomialen Filtration. Angenommen, die Voraussetzungen für die Existenz von Martingalmaß en in Satz 7.1 sind erfüllt. Dann ist das Marktmodell vollständig und arbitragefrei. Beweis. Sei Q ein Martingalmaßund sei cT : ! R eine beliebige Auszahlung zum Endzeitpunkt T . Dann ist der Prozess c~, de…niert durch c~t := EQ cT ] ; t [~ wobei c~T := BcTT die mit BT diskontierte Auszahlung bezeichnet, ein Martingal. Aus der Voraussetzung 0 < hW it in (7.5) folgt die Voraussetzung (6.44), Wt 6= 0, des Martingal-Darstellungssatzes 6.55. Daher gibt es einen vorhersehbaren Prozess , so dass Z t ~ c~t = c~0 + dS: 0

Nach den vorangegangenen Überlegungen läß t sich zu einer selbst…nanzierenden, die Auszahlung cT replizierenden Handelsstrategie h = ( ; ) ergänzen. Da cT beliebig war, ist das Marktmodell vollständig. Sei weiter cT 0 und cT (!) > 0 für wenigstens ein ! 2 . Da Q 0 ist, folgt c0 = EQ cT ] > 0: 0 [~ Also ist der Replikationspreis c0 von cT positiv, und somit ist das Marktmodell arbitragefrei.

428

7 Stochastische Finanzmathematik in diskreter Zeit

7.2 Die Binomialbaum-Formeln Wir betrachten nun das Black-Scholes-Modell mit rt = r > t 2 t

1

=

0

=

2

>0

für alle t = 1; : : : ; T . Vergleichen Sie diesen Abschnitt mit Abschnitt 4.8.1. Wir legen einen Binomialbaum mit n Perioden zugrunde. Sei X eine binomialverteilte Zufallsvariable mit P (Xt = t

2j) = 2

t

t j

für 0 j t und für t = 0; : : : ; n. Die Zufallsvariable Xt kann beispielsweise als Summe t X Xt = Yi i=1

von t unabhängigen Bernoulli-Zufallsvariablen Yt = Xt mit den Werten 1 dargestellt werden. Dann gilt EP [Xt ] = 0 und EP Xt2 = t. Ferner ist Xt ein P -Martingal. Mit der De…nition Wt := Xt folgt hW it = 2 für alle t = 1; : : : ; n. Die Bedingungen (7.5) aus Satz 7.1 für die Existenz eines Martingalmaß es, und damit für die Arbitragefreiheit des Modells, lauten hier ( r) Xt < ; also, da

Xt =

1, (

r) <

=)


(

r) <

=) r <

+ ;

also, da die modellierten Aktienkurse positiv sein sollen, 0<1+

<1+r <1+

+ :

(7.25)

Anmerkung 7.8. Jedes Ein-Perioden-Teilmodell des Binomialbaums besitzt damit für jedes At 2 Z (Ft ) die Struktur (b; D; P )At =

B S

;

(1 + r) B (1 + r) B (1 + + ) S (1 + )S

;

0:5 0:5

;

7.2 Die Binomialbaum-Formeln

429

wobei P (! i ) = 0:5, i = 1; 2, die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des i-ten Zustands bezeichnet. In jedem Ein-Perioden-Teilmodell gilt damit S1 = S (1 + S1 S R= = S E [R] = ; V [R] = :

); ;

Die Lösung von D = b lautet =

1

1 2 (1 + r)

=

2

r ( ( + )

) r

und ist unter den Bedingungen (7.25) eindeutig bestimmt und strikt positiv, so dass jedes Ein-Perioden-Teilmodell, und damit das gesamte Mehr-PeriodenModell, arbitragefrei ist. Anmerkung 7.9. Mit d := 1 + und u := 1 + + erhalten wir genau die Bedingungen (4.4) für die Arbitragefreiheit eines Binomialbaums aus Kapitel 4. Alternativ ist (7.25) äquivalent zu r

1<

< 1;

Das zugrunde liegende Marktmodell ist also genau dann arbitragefrei, wenn der Marktpreis des Risikos der Aktie zwischen 1 und 1 liegt. Mit (7.8) erhalten wir die strikt positive Dichte n

Y Q = Ln = 1 P t=1

r

Xt :

(7.26)

Für den Aktienkurs St gilt o¤enbar die Darstellung St = S0

t Y

(1 +

+

Xs )

s=1

bzw. St = St

1

(1 +

+ )

1 k

(1 +

)

k

für k = 0; 1. Spezialisieren wir dies für t = n, so folgt Sn = S0 (1 + für alle 0

j

n und

T

+ )

j

(1 +

j

)

430

7 Stochastische Finanzmathematik in diskreter Zeit

P Sn = S0 (1 +

+ )

n j

j

(1 +

)

n und S0 (1 +

+ )

=2

n

n j

:

Mit

n jn := arg max j 0

j

n j

j

(1 +

) >K

o

:

berechnen wir nun (7.21) für eine Call-Option mit Ausübungspreis K. Verwenden wir die De…nition r := 2 in (7.26) und beachten c0 = S0

2 n n (1 + r)

jn X

Xt = n j

j=0

1, so erhalten wir die Darstellung j

(1 +

j

) (1 +

) (1 +

+ )

n j

(1

)

n j

(7.27) K

jn 2 n X n (1 + r) j=0

n j

n j

(1

)

(1 +

j

) :

Nun schreiben wir 1+ 2 1 2

1 1 + 2 2 1 1 = 2 2

r

=

r

=: q =1

q

sowie (1 +

) (1 + 2 (1 + r)

)

=

((1 + r) + ( r+ 2

=

r) )( r+ ) 2 (1 + r) (( r) )( r+ ) + 2 (1 + r) 2

1 (1 + r) ( r) ( r) + + 2 2 (1 + r) 2 (1 + r) 2 1 1 (1 + ) ( r) = + =: q 0 : 2 2 (1 + r)

2

=

und (1 +

+ ) (1 2 (1 + r)

)

=

((1 + r) + (

= 1 2 1 = 2 =

(

r) + 2

r) + ) ( ( r) + ) 2 (1 + r) (( r) + ) ( ( r) + ) + 2 (1 + r) 2

2 (1 + r) ( r) ( r) 2 (1 + r) 2 (1 + r) 2 1 (1 + ) ( r) = 1 q0 : 2 (1 + r)

7.3 Die Black-Scholes-Formeln

431

Damit und mit der Verteilungsfunktion Bn;q der Binomialverteilung, Bn;q (k) =

k X j=0

n j

n j

q j (1

q)

;

kann (7.27) dargestellt werden als c0 = S0 Bn;q0 (jn )

K n Bn;q (jn ) : (1 + r)

(7.28)

Mit Hilfe der Put-Call-Parität ergibt sich daraus die Bewertungsformel für die Put-Option zu K S0 n (1 + r) K = Bn;q (jn )) n (1 (1 + r)

p0 = c0 +

(7.29) S0 (1

Bn;q0 (jn )) :

7.3 Die Black-Scholes-Formeln Analog zu Abschnitt 4.8.2 zeigen wir nun, dass die Formeln (7.28) und (7.29) gegen die entsprechenden Black-Scholes-Formeln (3.106) konvergieren. Mit den De…nitionen p nr n n R := ; M := und := p T T T folgt zunächst TR r= ; n Daher gilt r

TM = und n

p TM = p n

R

p T = p : n

! 0 für n ! 1:

Weiter folgt 1 1 qn = + 2 2

r

1 1M = + 2 2

und damit lim qn =

n!1

R

p T p n

1 : 2

Entsprechend erhalten wir 1+ 1+r

r

1+r

! 0 für n ! 1 und ! 0 für n ! 1:

(7.30)

(7.31)

432

7 Stochastische Finanzmathematik in diskreter Zeit

Daraus folgt aber qn0 =

1 11+ + 2 2 1+r

und

1 21+r

n!1

(7.32) 2

1 1 (1 + ) ( r) + 2 2 (1 + r)

lim qn0 = lim

n!1

r

=

1 : 2

(7.33)

Weiter lässt sich qn0 mit Hilfe von qn wie folgt ausdrücken2 . ! 2 r 1 0 qn = qn + : 1+r 2 Aus dem Satz von De Moivre-Laplace folgt jn nq p nq (1 q)

Bn;q (jn ) !

!

für n ! 1:

Daher untersuchen wir die Ausdrücke

j nqn jn nqn0 p n und p nqn (1 qn ) nqn0 (1 qn0 )

(7.34)

auf Konvergenz für n ! 1. Zunächst gilt wegen (7.31) und (7.33) o¤enbar lim

n!1

Mit den De…nitionen

p

qn (1

qn ) = lim

n!1

p

qn0 (1

qn0 ) =

1 : 2

p T x := p n

und u := 1 +

+

d := 1 + 2

p TM T =1+ + p = 1 + M x2 + n n p TM T p = 1 + M x2 =1+ n n

Denn 1 11+r+ r + 2 2 1+r 1 1 r = + 1+ 2 2 1+r

r

qn0 =

=

1 1 + 2 2

= qn +

r

+

r)2

(

1 1+r r

1+r

r

2

1 21+r 1 21+r

1 2

:

1 2

2

!

x x

7.3 Die Black-Scholes-Formeln

433

folgt durch Taylorentwicklung weiter ln u = ln 1 + M x2 +

x =x

ln d = ln 1 + M x2

x =

1 2

+ x2 M + x2 M

x

2

+ O x3

1 2

2

+ O x3 :

Wir bestimmen nun jn durch die Bedingung S0 un

j j

d =K

also jn (ln u

ln d) = ln

S0 + n ln u: K

Wieder folgt durch Taylorentwicklung jn =

1T 1 + 2 2x 2x

ln

S0 +T K

1 2

M

2

+ O (1) :

(7.35)

Setzen wir dies und (7.30) in (7.34) ein, so erhalten wir3 ln SK0 + R jn nqn p p ! T nqn (1 qn )

1 2

ln SK0 + R + p T

1 2

2

T

=: d

für n ! 1:

Neben aktuellem Aktienkurs S0 und Ausübungspreis K hängt der Ausdruck d nur vom Fälligkeitszeitpunkt T , dem risikolosen Zinssatz R und der Volatilität der Aktie ab. Die deterministische Rendite M der Aktie tritt dagegen nicht mehr auf. Auf ähnliche Weise folgern wir4

3

Denn

p

nqn0

jn nqn0

(1

qn0 )

jn xT2 qn p p T qn (1 qn ) x S0 ln K + T M 12

jn nqn p = nqn (1 qn ) = = = ! 4

x

ln

1 T 2 x2

S0 K

S0 K

+

1 2x

+ T M 12 2 p p 2 T qn (1

+ R 12 p p 2 T qn (1

ln

ln

S0 K

Zunächst gilt

!

+ R p T

1 2

2

T

qn ) 2

T

2

2

p p T qn (1

(M

R) T

qn ) + O (x) für x ! 0:

T

=: d+ für n ! 1:

+ O (1) qn ) + O (x)

T x

1 2

+

1M 2

R

x

434

7 Stochastische Finanzmathematik in diskreter Zeit

Für eine Call-Option C erhalten wir also asymptotisch die Bewertungsformel C = S (d+ )

rT

e

K (d ) :

Mit Hilfe der Put-Call-Parität leiten wir daraus die Bewertungsformel rT

P =e

K ( d )

S ( d+ )

für eine Put-Option P ab. Wir erhalten damit wiederum die Black-Scholes Formeln (4.78). qn0 = qn +

x = qn + 1 + Rx2

1 2

M

2

x

1 1M = + 2 2

R

1 1M + 2 2

R

=

2

r 1+r

2

R

x x+ 1 + Rx2

1 2

!

M

2

x

R

2

1 2

!

1 x + O x3 : 2

x

Damit folgt aber j0 nq 0 = p p 0 n q (1 q 0 ) = = = = = = = =

p

T x

j0 xT2 q 0 xj0 Tx q 0 = p p p T q 0 (1 q 0 ) q 0 (1 q 0 ) 1

2

1 2

ln

S0 K

+

1T 2 x

1 2

ln

S0 K

+

T 2

1 2

ln

S0 K

+

T 2

1 2

ln

x

S0 K

ln

S0 K

x

+

T 2

+

1 T + T M 2 x2 p 2 x p T q 0 (1 q 0 )

M 12 2 p p T q 0 (1

M 1 2 p p2 T q 0 (1

ln

+T M

ln

S0 K

+ T (R

ln

S0 K

+T R+ p T

2

1

M

S0 K

1 2 M p p2 T q 0 (1

T 2

+

1 2

2

p

1M 2 q0 ) 1

(M

T M) + T M p T 1 2

T 1 x 2 q0 )

T 1 M x 2 q0 )

2 p2 p T q 0 (1

2

= d+ :

T 0 q x

2

1 2

R

R

+

x+

1 T 2 x

q0 ) R) T + T 2

R

x

T + 12 T

R) T + 12 T

(M

1 2

1 M 2

2

2

x

1 2

x

7.4 Amerikanische Optionen

435

7.4 Amerikanische Optionen In Abschnitt 4.6 wurde gezeigt, dass für den Wert zt einer amerikanischen Option die Rückwärts-Rekursionsbeziehung zT := fT ; zt

1

:= max ft

gilt. Dabei ist dt = (1 + r)

t

1;

dt Q E [zt ] dt 1 t 1

sowie

(St (K

ft =

(7.36)

+

K) für eine Call-Option + St ) für eine Put-Option.

Mit den De…nitionen z~t = dt zt und f~t = dt ft lautet (7.36) z~T := f~T ; z~t

(7.37)

:= max

1

f~t 1 ; EQ t 1

[~ zt ]

für alle t = 1; : : : ; T . Satz 7.10. Die endliche Folge z~t , t = 0; : : : ; T , de…niert ein Q-Supermartingal. Es ist das kleinste Supermartingal, das die Folge f~t dominiert, d.h., für das z~t f~t gilt für alle t = 0; : : : ; T . Beweis. Aus (7.37) folgt sofort z~t

1

z~t

1

EQ zt ] und t 1 [~ ~ ft :

Also de…niert z~ ein Supermartingal, welches f~ dominiert. Sei nun x ein beliebiges Supermartingal, das f~ dominiert. Dann gilt xT Angenommen, für ein t gilt xt xt und mit xt

1

f~t

1

1

f~T = z~T :

z~t . Dann folgt EQ t 1 [xt ]

EQ zt ] ; t 1 [~

erhalten wir

xt

1

max f~t

Q 1 ; Et 1

[~ zt ] = z~t

1:

Also dominiert x das Supermartingal z~, was zu zeigen war.

436

7 Stochastische Finanzmathematik in diskreter Zeit

De…nition 7.11. Sei X ein adaptierter stochastischer Prozess. Das kleinste Supermartingal, das X dominiert, wird Snell-Einhüllende von X genannt. Nach Satz 7.10 ist der Prozess z~ aus (7.37) die Snell-Einhüllende von f~. Nach De…nition gilt z~t f~t . Ist diese Ungleichung strikt erfüllt, so folgt z~t 1 = EQ zt ]. t 1 [~ Sei X ein adaptierter stochastischer Prozess. Nach Satz 7.10 ist die SnellEinhüllende Y von X gegeben durch YT = XT Yt = max (Xt ; Et [Yt+1 ]) für 0

(7.38) t < T:

Satz 7.12. Sei X ein adaptierter stochastischer Prozess, und sei Y die SnellEinhüllende (7.38) von X. Sei weiter (!) := inf ft

0 jYt (!) = Xt (!) g für ! 2

:

Dann ist eine endliche Stoppzeit, und der gestoppte Prozess (Yt^ )0 ein Martingal. Beweis. Wegen XT = YT ist

(!) 2 f0; : : : ; T g. Also ist

f = 0g = f! 2 =

jY0 (!) = X0 (!) g

? falls Y0 6= X0 sonst.

\ fYt

1

> Xt

1g

\ fYt = Xt g 2 Ft :

Also ist eine Stoppzeit. Nach (6.71) schreiben wir Yt^ als Yt^ = Y0 +

t X i=0

1fi

g

Yi :

Daher folgt Yt+1^

Yt^ = 1ft+1

g

(Yt+1

Yt ) :

Nach De…nition gilt Yt = max (Xt ; Et [Yt+1 ]) ; und auf der Menge ft + 1

g = ft < g gilt nach De…nition von Yt = Et [Yt+1 ] :

Dies aber bedeutet

ist

endlich. Nun ist

Daher gilt f = 0g 2 F0 . Weiter folgt für t = 1; : : : ; T f = tg = fY0 > X0 g \

t T

7.5 Aufgaben

Yt+1^

Yt^ = 1ft+1

g

(Yt+1

437

Et [Yt+1 ]) :

Bilden wir auf beiden Seiten die bedingte Erwartung und verwenden die Ft Messbarkeit von 1ft+1 g , so erhalten wir Et [Yt+1^ Daher ist der mit war.

Yt^ ] = 1ft+1

g Et [Yt+1

Et [Yt+1 ]] = 0:

gestoppte Prozess Yt^ ein Martingal, was zu zeigen

Folgerung 7.13 Für die in Satz 7.12 de…nierte endliche Stoppzeit Y0 = E [X ] =

sup

gilt

E [X ] :

en d liche S toppzeit

Beweis. Da (Yt^ ) ein Martingal ist mit den Eigenschaften YT ^ = Y und Y = X , gilt Y0 = E [YT ^ ] = E [Y ] = E [X ] : Nach De…nition ist Y als Snell-Einhüllende ein Supermartingal. Ist nun eine beliebige endliche Stoppzeit, so ist der gestoppte Prozess Yt^ nach dem Stoppsatz 6.75 ebenfalls ein Supermartingal. Dies bedeutet aber Y0

E [YT ^ ] = E [Y ]

E [X ] ;

wobei De…nition (7.38) verwendet wurde. Daraus folgt die Behauptung. Folgerung 7.14 Wir betrachten den Wert z0 einer amerikanischen Calloder Put-Option. Es gilt h i h i z0 = E f~ = sup E f~ ; en d liche S toppzeit

wobei

f~t =

8 < (St :

K)+ (1+r)t (K St )+ (1+r)t

für eine Call-Option für eine Put-Option.

7.5 Aufgaben Aufgabe 7.1. Zeigen Sie, dass mit den Bezeichnungen in Abschnitt 7.3 und n j j mit EP [j] = n2 sowie Sn = S0 (1 + + ) (1 + ) gilt EP ln

Sn ! TM S0

1 T 2

2

für n ! 1:

Aufgabe 7.2. Betrachten Sie ein Zwei-Perioden-Binomialbaum-Modell mit zwei Finanzinstrumenten, einer festverzinslichen Kapitalanlage zum Zinssatz r = 2% und einer Aktie mit Anfangskurs S. Die beiden Renditefaktoren der Aktie seien u = 1:1 und d = 0:9. Veri…zieren Sie Folgerung 7.14 für eine amerikanische Put-Option auf die Aktie mit Basispreis K = S.

8 Einführung in die stetige Finanzmathematik

In diesem Kapitel wird eine Vorgehensweise für die Bewertung von Call- und Put-Optionen im Rahmen der stetigen Finanzmathematik dargestellt. Der für eine vollständige Behandlung der Thematik benötigte mathematische Hintergrund ist erheblich und umfasst neben den Grundlagen der Maß theorie auch den Itô-Kalkül der stochastischen Analysis. Wir beschränken uns im folgenden darauf, das Prinzip darzustellen. Allerdings ist der Aufbau dieses Kapitels analog zum Aufbau des Kapitels 7. Somit können alle Schritte, die im vorliegenden Kapitel nicht vollständig dargestellt werden, im diskreten Kontext mit vollständigen Beweisen nachgelesen werden. Einführungen in die Maß theorie bieten Bauer [5], Klenke [32] oder Williams [59]. Zum Itô-Kalkül und zu den Anwendungen der stochastischen Analysis in der Finanzmathematik existiert eine umfangreiche Literatur, siehe etwa Bauer [6], Bingham/Kiesel [8], Deck [13], Karatzas [27], Karatzas/Shreve [28], [29], Lamberton/Lapeyre [38] und Steele [55].

8.1 Das Black-Scholes-Modell Wir betrachten die Wertentwicklung Vt = t Bt + t St eines Portfolios, das aus zwei Wertpapieren B und S mit den Stückzahlen t für B und t für S besteht. Zu einem Anfangszeitpunkt t0 = 0 verfügt das Portfolio über die Zusammensetzung Vt0 = t0 Bt0 + t0 St0 , und zu einem Zeitpunkt t1 > t0 wird zum ersten Mal gehandelt. Unmittelbar vor dem Handeln lautet der Wert des Portfolios Vt1 = t0 Bt1 + t0 St1 . Wird der gesamte Portfoliowert reinvestiert, so besitzt das Portfolio nach dem Umschichten denselben Wert, aber mit der neuen Zusammensetzung Vt1 = t1 Bt1 + t1 St1 . Falls zu einem Zeitpunkt t2 > t1 erneut gehandelt wird, so beträgt der Wert des Portfolios unmittelbar vor dem Handeln Vt2 = t1 Bt2 + t1 St2 . Wird wieder der gesamte Portfoliowert reinvestiert, so gilt zum Zeitpunkt t2 unmittelbar nach dem Handeln Vt2 = t2 Bt2 + t2 St2 . Nach n Handelszeitpunkten t0 < t1 < < tn erhalten wir auf diese Weise die Darstellung J. Kremer, Portfoliotheorie, Risikomanagement und die Bewertung von Derivaten, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-20868-3_8, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

440

8 Einführung in die stetige Finanzmathematik

Vtn

Vt0 = Vtn

Vtn

=

tn

1

+

tn

2

+ =

+ n X

+ Vtn

1

Btn +

Btn

1

+

t0 Bt1 ti

1

tn

1

Bti

Stn

tn

+

Vtn

1

2

tn

Stn

Bti

1

1

+

i=1

Btn tn

1

t0 St1

+

2

t0 Bt0 n X

2

+ (Vt1 tn

1

Btn

2

Vt0 ) Stn

1

tn

2

(8.1)

1

Stn

2

t0 St0

ti

1

Sti

Sti

1

:

i=1

Wird zu jedem Handelszeitpunkt der gesamte Portfoliowert reinvestiert, so heiß t die zugehörige Handelsstrategie wie im diskreten Fall selbst…nanzierend. Für die Wertänderung der Handelsstrategie gilt dann Vti := Vti =

ti

Vti 1

1

Bti +

ti

1

Sti

mit Bti := Bti Bti 1 und Sti := Sti Sti 1 . Selbst…nanzierend ist eine Handelsstrategie also genau dann, wenn sich der Wert des Portfolios ausschließ lich durch die Änderung der Preise der im Portfolio enthaltenen Wertpapiere ändert, nicht aber dadurch, dass dem Portfolio Kapital hinzugefügt wird oder dass Kapital abgezogen wird. Vt St Mit den De…nitionen V~t := B und S~t := B erhalten wir aus (8.1) wegen t t Bt ~ Bt := Bt = 1 n X ~ V~tn = V~0 + (8.2) ti 1 Sti ; i=1

wobei S~ti := S~ti S~ti 1 . Werden also alle Wertpapierpreise relativ zu B betrachtet, so ergibt sich für die relative Wertentwicklung V~ analog zu (7.1) eine Darstellung, die neben dem relativen Anfangskapital V~0 nur noch Positionen in S~t enthält. Wie in Kapitel 7 werden B Numéraire und S~ diskontierter Aktienpreisprozess genannt. Formal erhalten wir für gegen Null konvergierende Zeitintervalle [ti 1 ; ti ) einen Ausdruck der Form Z t ~ V~t = V~0 + (8.3) s dSs : 0

Die Modellierung der Preise Bt und St wird nun so vorgenommen, dass dem Ausdruck (8.3) eine mathematisch präzise Bedeutung zugeordnet werden kann. Wie in Kapitel 7 besteht der wesentliche Baustein der Bewertungsstrategie von Auszahlungspro…len darin, ein WahrscheinlichkeitsmaßQ so zu konstruieren, dass der diskontierte Aktienpreisprozess S~ ein Martingal bezüglich Q wird. In diesem Fall ist der diskontierte Wertprozess V~ wie in der diskreten

8.1 Das Black-Scholes-Modell

441

stochastischen R t Finanzmathematik ein Martingal bezüglich Q, denn der Prozess Xt := 0 s dS~s ist auch im allgemeinen Fall eine Martingaltransformation ~ und damit ist X analog zur Situation in der diskreten stochastischen von S, Analysis selbst ein Martingal mit X0 = EQ [Xt jF0 ] = EQ [Xt ] = 0. Daraus folgt aber h i V~0 = EQ V~T : Ist nun cT eine beliebige FT -messbare, zustandsabhängige Auszahlung zum Endzeitpunkt T , dann ist mit c~T := BcTT der Prozess c~t := EQ cT ] t [~ nach De…nition ein Martingal. Aus der stetigen Version des Martingal-Darstellungssatzes, Satz 8.28, folgt, dass es unter geeigneten Voraussetzungen an den diskontierten Aktienpreisprozess S~ einen adaptierten Prozess gibt, so dass gilt Z t

c~t = V~0 +

dS~

0

sowie

c~0 := EQ cT ] = V~0 : 0 [~ Weiter folgt für den Fall Bt = ert zunächst c~0 = c0 und dann c0 = EQ cT ] = e 0 [~

rT

EQ 0 [cT ] :

Wie im diskreten Fall lässt sich der Prozess zu einer selbst…nanzierenden Handelsstrategie h = ( ; ) für B und S ergänzen. Damit sind auch im stetigen Fall beliebige FT -messbare Auszahlungspro…le cT replizierbar, und die Anfangskosten für die replizierenden Handelsstrategien lassen sich analog zum diskreten Fall als diskontierte Erwartungswerte der Endauszahlung bezüglich des Maß es Q formulieren. Wir werden sehen, dass sich das Integral EQ 0 [cT ] für europäische Call- und Put-Optionen im Black-Scholes-Modell tatsächlich berechnen lässt und zu den Black-Scholes-Formeln führt. 8.1.1 Schritt 1: Modellierung der Dynamik der Wertpapiere, das Black-Scholes-Modell Wir modellieren die Preise der beiden Wertpapiere B und S als stochastische Prozesse auf einem Zeitintervall [0; T ]. Im folgenden setzen wir voraus, dass es sich bei Wertpapier B um eine festverzinsliche Kapitalanlage mit stetigem Zinssatz r handelt. Damit gilt Bt = exp (rt) :

(8.4)

Dies wird häu…g in einer sogenannten „di¤erentiellen Form” geschrieben

442

8 Einführung in die stetige Finanzmathematik

dBt = rBt dt:

(8.5)

Dies ist eine R t symbolische Schreibweise und steht für die Integralgleichung Bt = 1 + r 0 Bs ds, die o¤enbar durch (8.4) gelöst wird. Das zweite Finanzinstrument S modelliert eine Aktie. Für die Dynamik des Aktienpreises wird der Ansatz dSt = St dt + St dWt (8.6) gewählt. Dabei sind und positive Konstanten, und Wt ist eine Brownsche Bewegung. Die Modellierung (8.6) für die Aktienkurse S wird geometrische Brownsche Bewegung genannt. Diese Festlegungen für B und S zusammen mit den konstanten Koe¢ zienten und für Drift und Di¤usion de…niert das klassische Black-Scholes-Modell. Für kleine, endliche Zeitintervalle t = h lässt sich (8.6) schreiben als St+h St St

t + (Wt+h

Wt ) ;

(8.7)

so dass die Renditen kleiner Kursdi¤erenzen näherungsweise normalverteilt sind. Wir sehen, dass die Modellierung (8.7) die deterministische Komponente t enthält, wobei als Drift bezeichnet wird. Diesem Anteil wird die stochastische Fluktuation Wt = (Wt+h Wt ) überlagert, die als Diffusion bezeichnet wird. Die Konstante wird auch Volatilität genannt. Die Aussage, dass historische Aktienrenditen näherungsweise normalverteilt sind, lässt sich empirisch recht gut bestätigen. Ebenso wie (8.4) ist (8.6) als Kurzschreibweise für folgende Integralgleichung zu interpretieren Z t Z t St = S0 + Ss ds + Ss dWs : (8.8) 0

0

Rt

Dabei ist das Integral 0 Ss ds in (8.8) ein gewöhnliches, pfadweise de…niertes Rt Lebesgue-Integral, während 0 Ss dWs als Itô-Integral interpretiert wird. Die Integralgleichung (8.8) für S besitzt die fast sicher eindeutig bestimmte Lösung 2

St = S0 exp

t

t + Wt ;

2

(8.9)

wobei S0 2 R den Anfangskurs zum Zeitpunkt t = 0 bezeichnet. Der in (8.9) 2 auftretende Faktor exp t ergibt sich aus dem Itô-Kalkül, siehe Satz 8.22. 2 8.1.2 Schritt 2: Konstruktion eines Martingalmaß es Für den diskontierten Preisprozess S~t := S~t = S0 exp

St Bt

gilt nach (8.4) und (8.9) 2

r

2

t + Wt :

(8.10)

8.1 Das Black-Scholes-Modell

443

Dieser Prozess erfüllt analog zu (8.8) die Integralgleichung S~t = S0 + (

r)

Z

t

S~s ds +

0

Z

t

S~s dWs ;

0

bzw. dS~t = (

r) S~t dt + S~t dWt :

Setzen wir

r

Wt := Wt +

t;

(8.11)

so folgt dS~t = S~t dWt ; bzw. S~t = S0 +

Z

(8.12)

t

S~s dWs :

(8.13)

0

Nach dem Satz von Girsanov, Satz 8.27, gibt es ein zu P äquivalentes R r r 2 MaßQ (A) = A LT dP , LT = exp WT 12 T , so dass Wt eine Brownsche Bewegung bezüglich Q ist. Dann ist die Darstellung (8.13) für S~ aber eine Martingaltransformation des Martingals W . Daraus folgt, dass der diskontierte Preisprozess S~t selbst ein Martingal bezüglich Q ist. Weiter gilt mit (8.10) und (8.11) 2

S~t = S0 exp

t + Wt

2

also

;

(8.14)

2

St = S0 exp

r

2

t + Wt

:

(8.15)

8.1.3 Schritt 3: De…nition des Preises von cT als Erwartungswert Sei cT eine zustandsabhängige Auszahlung, also eine FT -messbare Funktion. Dann ist für c~T := BcTT der Prozess c~t , gegeben durch c~t := EQ cT ] ; t [~

(8.16)

nach De…nition ein Martingal. Als Preis von cT de…nieren wir c0 := c~0 = EQ cT ] = EQ [~ cT ] : 0 [~

(8.17)

444

8 Einführung in die stetige Finanzmathematik

8.1.4 Schritt 4: Konstruktion einer die Endauszahlung cT replizierenden selbst…nanzierenden Handelsstrategie Wir zeigen nun, dass c0 der Anfangswert einer selbst…nanzierenden Handelsstrategie h = ( ; ) ist, die zum Zeitpunkt T die Auszahlung cT repliziert. Nach dem Martingal-Darstellungsatz, Satz 8.28, gibt es zu (~ ct )0 t T einen adaptierten Prozess ( t )0 t T so dass Z t c~t = c0 + (8.18) t dWt : 0

Nun setzen wir t dWt = t dS~t . Daraus folgt mit (8.12) der Zusammenhang t

t

:=

O¤enbar gilt c~t = c0 +

S~t

Z

:

t

~

s dSs :

(8.19)

0

De…nieren wir weiter

~

:= c~t

t

t St

und ct := c~t Bt ; so erhalten wir die Darstellung ct = Interpretieren wir ht := ( t ;

t)

ct =

t Bt

+

t St :

als Handelsstrategie, so erhalten wir t Bt

+

t St

=: Vt (h)

und cT = VT (h) : Wir überzeugen uns nun davon, dass die Strategie Vt (h) selbst…nanzierend ist. Dazu berechnen wir mit (8.3) dV~t = = = =

~

t dSt rt

t

re

re

rt

( t Bt +

re

rt

Vt dt + e

rt

St dt + e

dSt

t St ) dt + e rt ( t dBt +

rt

( t dBt +

t dSt ) :

Andererseits gilt dV~t = d e

rt

=

rt

re

Vt Vt dt + e

rt

dVt :

Durch Vergleich folgt dVt = also ist ht := ( t ;

t)

t dBt

selbst…nanzierend.

+

t dSt ;

t dSt )

8.2 Die Black-Scholes-Formeln

445

8.2 Die Black-Scholes-Formeln Nach (8.17) gilt für eine nur vom Kurs zum Endzeitpunkt T abhängige Auszahlung cT = f (ST ) mit (8.15) c0 = c~0 = EQ [~ cT ]

(8.20)

=e

rT

Q

E [f (ST )]

=e

rT

EQ f

2

S0 exp

r

T + WT

2

:

Nun ist WT unter Q eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert 0 und mit Varianz T . Daraus folgt Z 2 p x2 e rT 1 c0 = p f S0 exp r T+ x T e 2 dx: (8.21) 2 2 1 Für f (x) = (x e rT c0 = p 2

Z

+

K) erhalten wir 1

r

S0 exp

r

1

K

p T+ x T

K;

2

Nun gilt 2

falls ln

S0 K

2

2

+ r

2

p T+ x T

Dies ist erfüllt für S0 K

+ r p T

ln

S0 K

+ r p T

ln

S0 K

+ r+ p T

ln x

+

p T+ x T

2

S0 exp

2

2

T :

Mit den De…nitionen d :=

d+ := schreiben wir (8.22) als

2

2

2

2

T

T

0:

e

x2 2

dx:

(8.22)

446

8 Einführung in die stetige Finanzmathematik

Z 2 e rT 1 c0 = p S0 exp r 2 2 d Z 1 2 p = S0 exp T+ x T 2 d Z 1 1 1 p = S0 p exp T 2 2 d ! Z d+ x2 1 = S0 p e 2 dx Ke 2 1 = S0 (d+ )

Ke

rT

p T+ x T e p

x2 2

2

dx

K e

Ke

2

x

dx Z

1 p 2

rT

Ke

Z

rT

rT

d

e 1

x2 2

1 d

1 p 2

x2 2

dx

dx

e p

Z

!

x2 2

2 1

dx e

x2 2

dx

d

(d ) :

Dabei bezeichnet 1 (d) = p 2

Z

d

e

x2 2

dx

1

wie üblich die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung. Für eine Put-Option p folgt mit Hilfe der Put-Call-Parität p0 = Ke

rT

( d )

S0 ( d+ ) ;

und wir erhalten erneut die aus den letzten Kapiteln bekannten Black-ScholesFormeln.

8.3 Elemente der stochastischen Analysis 8.3.1 Bedingte Erwartung und Martingale Sei ( ; F; P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Zufallsvariable X : ! R ist eine F-messbare reellwertige Funktion, d.h., es gilt X 1 (B) 2 F für alle Borelmengen B 2 B (R). Mit Lp ( ; F ; P ), p 2 [1; 1), bezeichnen wir Raum aller p-fach integrierbaren Zufallsvariablen X, d.h., es gilt R den p p jXj dP = E [jXj ] < 1. Wir schreiben abkürzend auch Lp (P ) oder p p L statt L ( ; F ; P ). Mit Lp ( ; F; P ) oder Lp (P ) bzw. Lp bezeichnen wir dagegen den Raum der Äquivalenzklassen der p-fach integrierbaren Zufallsvariablen unter der Äquivalenzrelation f g () f = g P -fast überall. Nach dem Satz von Riesz-Fischer ist Lp ( ; F; P ) mit der Norm kf kp := 1 R p jXj dP p vollständig, also ein Banachraum. Sprechen wir von einer Funktion f 2 Lp ( ; F; P ), so meinen wir den Repräsentanten f der Äquivalenzklasse [f ] := fg 2 Lp ( ; F ; P ) jg f g. De…nition 8.1. (bedingte Erwartung) Sei X 2 L1 ( ; F; P ) eine integrierbare Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ( ; F ; P ) und sei G F eine Unter- -Algebra von F . Eine Zufallsvariable Y 2 L1 ( ; F; P ) heiß t bedingte Erwartung von X gegeben G, wenn gilt

8.3 Elemente der stochastischen Analysis

447

1. Y ist G-messbar, 2. E [Y 1A ] = E [X 1A ] für alle A 2 G. Die Existenz der bedingten Erwartung folgt aus dem Satz von RadonNikodym. Sind weiter Y und Y 0 zwei bedingte Erwartungen von X gegeben G, dann gilt Y = Y 0 P -fast überall. Für die bedingte Erwartung Y schreiben wir in der Regel Y =: E [X jG ] =: EG [X]. Analog zu den Sätzen 6.1 und 6.19 gilt: Satz 8.2. Seien X; X1 ; X2 2 L1 ( ; F ; P ) integrierbare Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ( ; F ; P ). Sei weiter G F eine Unter- Algebra von F. Dann gilt: 1. Ist X G-messbar, so gilt EG [X] = X 2. Ist X G-messbar und ist X X1 integrierbar, so gilt EG [X X1 ] = X EG [X1 ]. 3. EG [aX1 + bX2 ] = aEG [X1 ] + bEG [X2 ] für a; b 2 R. 4. X1 X2 =) EG [X1 ] EG [X2 ]. 5. jEG [X]j EG [jXj]. 6. E [EG [X]] = E [X]. 7. Ist H eine weitere -Algebra mit H G F, so gilt EH [EG [X]] = EG [EH [X]] = EH [X] : 8. Ist X unabhängig von G, so gilt EG [X] = E [X] : De…nition 8.3. Sei ( ; F; P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Familie (Ft )t 0 von -Algebren heiß t Filtration in ( ; F; P ), wenn Fs Ft F für alle s < t. Ein Wahrscheinlichkeitsraum mit einer Filtration heiß t ge…lterter Wahrscheinlichkeitsraum. Ein stochastischer Prozess (Xt )t 0 ist eine Familie Xt , t 0, von Zufallsvariablen. Ein stochastischer Prozess (Xt )t 0 ist ein Lp (P )-Prozess, wenn Xt 2 Lp (P ) für alle t 0. (Xt )t 0 heiß t an eine Filtration (Ft )t 0 adaptiert, wenn jedes Xt Ft -messbar ist. Ein Martingal ist ein adaptierter stochastischer L1 (P )-Prozess, so dass E [Xt jFs ] = Xs für alle s t. Wir schreiben auch Es [Xt ] := E [Xt jFs ]. Sub- und Supermartingale werden analog zu ihren diskreten Varianten de…niert. 8.3.2 Brownsche Bewegung und Wienermaß e De…nition 8.4. Sei ( ; F ; P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei (Ft )t 0 eine Filtration mit Ft F für alle t 0. Ein reellwertiger stochastischer Prozess (Wt )t 0 heiß t Brownsche Bewegung bezüglich der Filtration (Ft )t 0 , falls gilt: W0 = 0.

448

8 Einführung in die stetige Finanzmathematik

Für Für Für Für

P -fast alle ! 2 jedes t 0 ist die alle s < t ist Wt alle s < t gilt Wt

ist der Pfad t ! Wt (!) stetig in t. Zufallsvariable Wt Ft -messbar. Ws unabhängig von der -Algebra Fs . Ws N (0; t s).

Das in der De…nition des Wahrscheinlichkeitsraums ( ; F; P ) auftretende WahrscheinlichkeitsmaßP wird Wiener-Maßgenannt. Wt Ws ist also für alle 0 s < t eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert 0 und mit Varianz t s. Seien weiter 0 t0 < < tn beliebige Zeitpunkte. Dann sind Wtn Wtn 1 ; : : : ; Wt1 Wt0 unabhängige, normalverteilte Zufallsvariablen. 8.3.3 Das Itô-Integral Sei (Wt )t 0 eine Brownsche Bewegung. Das Ziel ist, in Ausdrücken der Form (8.3) die Längen der Zeitintervalle [ti 1 ; ti ) gegen Null konvergieren zu lassen, und auf diese Weise wohlde…nierte Grenzwerte zu erhalten, die dann als Z

T

Xs dWs 0

notiert werden. Die von der Einführung des Riemann-Integrals her vertraute und daher zunächst naheliegende Strategie wäre, den zu de…nierenden Grenzwert pfadRT RT s (!) weise zu konstruieren, also etwa 0 Xs dWs (!) durch 0 Xs (!) dWds ds für ! 2 zu erklären. Dies ist jedoch nicht möglich, denn die Pfade der Brownschen Bewegung sind zwar stetig, aber P -fast sicher nirgends di¤erenzierbar. Zudem sind die Pfade der Brownschen Bewegung von unbeschränkter Variation, so dass es nicht einmal für stetige Integranden X möglich ist, den zu formulierenden Grenzwert als Stieltjes-Integral zu de…nieren. Satz 8.5. (Quadratische Variation der Brownschen Bewegung) Sei (Wt )t 0 eine Brownsche Bewegung auf ( ; F ; P ). Dann gilt für 0 a < b (n)

und tk

a) 2kn für k = 0; : : : ; 2n

:= a + (b

n

lim

n!1

für fast alle ! 2

2 X

2

Wt(n) (!) k

k=1

Wt(n) (!) k

=b

1

.

Beweis. Für die Zufallsvariablen n

Yn :=

2 X

k=1

2

Wt(n) k

Wt(n) k

1

(b

a)

a

(8.23)

8.3 Elemente der stochastischen Analysis

449

gilt wegen der Unabhängigkeit, Zentriertheit und Normalverteilung der Brownschen Inkremente b a E [Yn ] = 2n n (b a) = 0 2 und ! 2 2 b a (b a) 2 n E Yn = V [Yn ] = 2 2 = ; 2n 2n 1 2

denn für X N (0; 2 ) gilt nach (5.32) V X 2 = E X 4 E X2 = 3 4 4 4 =2 . P1 Damit gilt aber n=1 E Yn2 < 1. Nach dem Satz von der monotonen P1 P1 Konvergenz ist Z := n=1 Yn2 integrierbar, so dass n=1 Yn2 insbesondere fast überall endlich ist. Also konvergiert Yn fast überall gegen Null. Für festes ! 2

können die Di¤erenzen Wt(n) (!) k

lisierungen unabhängiger N 0;

Wt(n) (!) als Reak

1

b a 2n

-verteilter Zufallsvariablen interpretiert 2 P2n werden. Dann ist aber der Ausdruck 21n k=1 Wt(n) (!) Wt(n) (!) ein k

k

1

Schätzer für deren Varianz, was (8.23) nahelegt.

Folgerung 8.6 Die Pfade der Brownschen Bewegung sind auf jedem Intervall [a; b] von unbeschränkter Variation, d.h., es gilt sup

( 2n X

Wt(n) (!)

k=1

k

Wt(n) (!) k

1

)

=1

für fast alle ! 2 , wobei das Supremum über alle Zerlegungen von [a; b] (n) gebildet wird, bei denen die tk wie im vorangegangenen Satz de…niert sind. Beweis. Die Aussage folgt aus n

2 X

k=1

2

Wt(n) (!) k

Wt(n) (!) k

1

n

max Wt(n) (!) k

k

denn es gilt maxk Wt(n) (!) k

Wt(n) (!) k

1

2 X

k=1

Wt(n) (!) k

Wt(n) (!) ; k

1

Wt(n) (!) ! 0 für n ! 1 wegen der gleichk

1

mäß igen Stetigkeit der Brownschen Pfade auf kompakten Zeitintervallen. Das Riemann-Integral

Wenn auch das Itô-Integral nicht als Riemann- oder als Stieltjes-Integral de…niert werden kann, so basiert die Konstruktion des Riemann-Integrals dennoch

450

8 Einführung in die stetige Finanzmathematik

auf folgendem funktionalanalytischen Prinzip, das auch beim Itô-Integral Verwendung …ndet. Wir betrachten die Menge der reellwertigen Treppenfunktionen T [0; T ] auf einem Intervall [0; T ], T [0; T ] = (

f f=

N X1 i=0

ci 1[ti ;ti+1 ) + cN 1ftN g ; 0 = t0 <

< tN = T; ci 2 R

)

:

Zunächst de…nieren wir das Riemann-Integral R : T [0; T ] ! R für Treppenfunktionen durch R (f ) := =:

N X1 i=0 Z T

ci (ti+1

ti )

f (t) dt;

0

PN 1 wobei f = i=0 ci 1[ti ;ti+1 ) + cN 1ftN g 2 T [0; T ]. R ist o¤ensichtlich eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft jR (f )j

T kf k1 ;

wobei kf k1 := supt2[0;T ] jf (t)j die Supremumsnorm von f bezeichnet. R ist somit ein stetiger linearer Operator auf dem Vektorraum der Treppenfunktionen T [0; T ], versehen mit der Supremumsnorm k k1 , mit Bildern im Banachraum (R; j j), R : (T [0; T ] ; k k1 ) ! (R; j j) : Bezeichnen wir mit B [0; T ] die Menge aller beschränkten Funktionen auf [0; T ], so gilt T [0; T ] B [0; T ], und R kann auf den Abschluss von T [0; T ] bezüglich der Supremumsnorm in B [0; T ] fortgesetzt werden. Denn ist (fn )n2N eine Folge in T [0; T ] mit Grenzwert f 2 B [0; T ] bezüglich der Supremumsnorm, so gilt aufgrund der Linearität und Stetigkeit von R jR (fn )

R (fm )j = jR (fn

fm )j

T kfn

fm k1 :

Also ist (R (fn ))n2N eine Cauchy-Folge reeller Zahlen, die aufgrund der Vollständigkeit des Bildraums (R; j j) gegen ein c 2 R konvergiert. Es ist leicht zu sehen, dass dieser Grenzwert von der gegen f konvergierenden Folge (fn )n2N aus T [0; T ] unabhängig ist. Daher ist Z t R (f ) := f (t) dt := c 0

8.3 Elemente der stochastischen Analysis

451

Rt wohlde…niert. R (f ) = 0 f (t) dt = c wird als Riemann-Integral von f bezeichnet. Im Rahmen des weiteren Ausbaus der Riemannschen Integrationstheorie wird anschließ end untersucht, welche Funktionenklassen T [0; T ] umfasst. Es zeigt sich, dass T [0; T ] alle stetigen und alle stückweise stetigen Funktionen auf [0; T ] enthält. Das Wiener-Integral Das Riemann-Integral ist also zunächst als stetige lineare Abbildung auf dem normierten Raum der Treppenfunktionen mit Bildern im Banachraum der reellen Zahlen de…niert und wird dann auf den Abschluss der Treppenfunktionen in einem größ eren, die Treppenfunktionen umfassenden Raum fortgesetzt. Dieses Prinzip wird auch beim Itô-Integral und bei seinem Vorgänger, dem Wiener-Integral, PN 1 das wir zuvor betrachten, verwendet. Für f = i=0 ci 1[ti ;ti+1 ) + cN 1fT g 2 T [0; T ] de…nieren wir mit Wi := Wti Wti 1 I (f ) := =:

N X

ci

i=1 Z T

1

Wi

(8.24)

f (s) dWs :

0

I ist o¤ensichtlich linear. Der Schlüssel für den weiteren Ausbau ist folgendes Resultat: 2 !2 3 Z N X 2 jI (f )j dP = E 4 ci 1 Wi 5 (8.25) i=1

=

N X N X

ci

1 cj 1 E [

Wi Wj ]

i=1 j=1

=

N X i=1

= =

N X

i=1 Z T 0

h i 2 c2i 1 E ( Wi ) c2i

1

(ti

ti

1)

2

jf (t)j dt;

denn E [ Wi Wj ] = E [ Wi ] E [ Wj ] = 0 für i 6= j wegen der Unabhängigkeit und hZentriertheit der Inkremente der Brownschen Bewegung, und für i 2 i = j gilt E ( Wi ) = V [ Wi ] = ti ti 1 . Wir erhalten also die Gleichung

452

8 Einführung in die stetige Finanzmathematik 2

kI (f )kL2 (P ) =

Z

h i Z 2 2 jI (f )j dP = E I (f ) =

T

0

2

2

jf (t)j dt = kf kL2 (

)

:

(8.26) Dabei bezeichnet k kL2 (P ) die L2 -Norm der quadratintegrierbaren Funktionen auf bezüglich des Wienermaß es P , während k kL2 ( ) die L2 -Norm der quadratintegrierbaren Funktionen auf dem Intervall [0; T ] bezüglich des Lebesgue-Maß es symbolisiert. Die Gleichung kI (f )kL2 (P ) = kf kL2 (

(8.27)

)

wird Itô-Isometrie genannt und besagt, dass die Abbildung I : T [0; T ] ; k kL2 (

)

! L2 (P ) ; k kL2 (P )

normerhaltend und damit stetig ist. Da der Bildraum L2 (P ) ; k kL2 (P ) der quadratintegrierbaren Funktionen auf [0; T ] vollständig ist, kann das WienerIntegral I nun analog zur Vorgehensweise beim Riemann-Integral auf den Abschluss aller Treppenfunktionen T [0; T ] L2 ( ) auf [0; T ] bezüglich der k kL2 ( ) -Norm fortgesetzt werden. Es zeigt sich, dass die Treppenfunktionen in L2 ( ) ; k kL2 (

)

dicht liegen, so dass das Wiener-Integral auf den gesamten

2

L ( ) ausgedehnt werden kann: Satz 8.7. T [0; T ] = L2 ( ) : Beweis. Siehe Deck [13], S. 31. Satz 8.8. Für jedes f 2 L2 ( ) ist I (f ) eine normalverteilte und zentrierte 2 Zufallsvariable mit Varianz kf kL2 ( ) . Es gilt E [I (f )] = 0

h i 2 2 2 V [I (f )] = E I (f ) = kI (f )kL2 (P ) = kf kL2 (

)

:

Beweis. Siehe Deck [13], S. 33 f.

Insbesondere gilt die Itô-Isometrie für jedes f 2 L2 ( ). Das Itô-Integral Die Vorgehensweise beim Itô-Integral ist in einem ersten Schritt analog zur Konstruktion des Wiener-Integrals, allerdings ist der Ausgangsraum allgemeiner. De…nition 8.9. Wir betrachten ein endliches Intervall [0; T ]. Der Raum L2a ([0; T ]) der quadratintegrierbaren, adaptierten stochastischen Prozesse ist de…niert durch

8.3 Elemente der stochastischen Analysis

453

1. f 2 L2 ([0; T ] ; B [0; T ] F; P) ; 2. ft := f (t; ) ist Ft -messbar für alle t 2 [0; T ]. Der Raum der adaptierten Treppenprozesse wird durch Ta [0; T ] := ( N X1 f f= ci 1[ti ;ti+1 ) + cN 1ftN g ; 0 = t0 <

< tN = T; ci Fti -messbar

i=0

)

:

de…niert. Weiter de…nieren wir den Vektorraum der quadratintegrierbaren, adaptierten Treppenprozesse Ta2 [0; T ] := Ta [0; T ] \ L2a ([0; T ]). De…nition 8.10. Für f 2 Ta2 [0; T ] wird das Itô-Integral I (f ) de…niert durch Z T N X I (f ) := ft dWt := ci 1 Wi : 0

i=1

Im Gegensatz zum Wiener-Integral sind die ci hier keine Zahlen, sondern Fti -messbare L2 (P )-Zufallsvariablen. Dennoch gilt die Itô-Isometrie: Lemma 8.11. (Itô-Isometrie) Für f 2 Ta2 [0; T ] gilt Z h i Z T 2 2 2 2 2 kI (f )kL2 (P ) = jI (f )j dP = E I (f ) = jft j dt = kf kL2 ( 0

P)

:

Beweis. Der Beweis ist analog zu (8.25). Hier gilt jedoch, dass für i < j mit Wi = Wti Wti 1 und Wj := Wtj Wtj 1 E [ci

1 cj 1

Wi Wj ] = E [ci

1 cj 1

Wi ] E [ Wj ] = 0;

denn Wj ist unabhängig von ci 1 cj 1 Wi . Für i = j gilt dagegen mit ti = ti ti 1 h i h i 2 2 E c2i 1 ( Wi ) = E c2i 1 E ( Wi ) = E c2i 1 ti ; so dass

N h i X 2 E I (f ) = E c2i

1

ti

i=1

=E = =

Z

"N X i=1 Z T

0 2 kf kL2 (

c2i 1 2

ti

#

jft j dt dP P) :

(8.28)

454

8 Einführung in die stetige Finanzmathematik

Das Itô-Integral I : Ta2 [0; T ] ! L2 (P ) ist linear und wegen (8.28) stetig. I kann somit auf den Abschluss Ta2 [0; T ] der Treppenprozesse Ta2 [0; T ] in L2a ( P ) fortgesetzt werden. Satz 8.12. Ta2 [0; T ] = L2a ([0; T ]) : Beweis. Siehe Deck [13], S. 66 ¤. gilt

Die Itô-Isometrie setzt sich auf L2a ([0; T ]) fort, d.h., für alle f 2 L2a ([0; T ]) kI (f )kL2 (P ) = kf kL2 (

P) :

Stochastische Konvergenz Für eine stetige Funktion f : R ! R sollte eine zufriedenstellende Theorie der stochastischen Integration die De…nition von Integralen des Typs Z T f (Ws ) dWs 0

ermöglichen. Dazu ist der bisherige Ausbau des Itô-Integrals noch nicht ausreichend, denn die Bedingung "Z # T 2 E f (Ws ) ds < 1 0

schließ t beispielsweise die Funktion f (x) = exp x4 aus. Daher ist es erforderlich, den De…nitionsbereich des Itô-Integrals noch weiter auszudehnen. Dazu wird der Raum L2a ([0; T ]) in einen größ eren Raum L2! ([0; T ]) eingebettet. Dieser größ ere Raum wird mit einer Halbmetrik so ausgestattet, dass L2a ([0; T ]) in L2! ([0; T ]) dicht liegt. Jedes f 2 L2! ([0; T ]) kann dann durch eine Folge (fn )n2N aus L2a ([0; T ]) approximiert werden. Für f 62 L2a ([0; T ]) kann die Bildfolge I (fn ) aufgrund der Itô-Isometrie nicht in L2 (P ) konvergieren. Der Bildraum kann aber ebenfalls mit einer Halbmetrik so ausgestattet werden, dass I (fn ) bezüglich dieser Halbmetrik konvergiert. Wir führen zunächst das Konzept der stochastischen Konvergenz ein und zeigen anschließ end, dass sich dieser Konvergenzbegri¤ mit Hilfe einer Halbmetrik beschreiben lässt. Diese Halbmetrik stellt sich dann als geeignet heraus, um das Itô-Integral wie oben skizziert zu erweitern. De…nition 8.13. Eine Folge (Xn )n2N von Zufallsvariablen konvergiert stochastisch gegen eine Zufallsvariable X, wenn für jedes " > 0 gilt lim P (jXn

n!1

Xj > ") = 0:

(Xn )n2N heiß t stochastische Cauchy-Folge, wenn für jedes " > 0 gilt lim P (jXn

n!1

Xm j > ") = 0:

8.3 Elemente der stochastischen Analysis

455

Konvergiert eine Folge (Xn )n2N von Zufallsvariablen stochastisch gegen eine Zufallsvariable X, so ist X fast sicher eindeutig bestimmt. Für stochastische Konvergenz schreiben wir auch P

limXn = X:

n!1

Für X 2 Lp (P ) gilt die Tschebyschevsche Ungleichung Z Z p p E [jXj ] = jXj dP "p dP = "p P (fX > "g) : fX>"g

Konvergiert also (Xn )n2N gegen X in Lp (P ), so auch stochastisch. Umgekehrt konvergiert Xn = n1[0; 1 ] in ( ; F ; P ) = ([0; 1] ; B ([0; 1]) ; ) stochastisch gen

gen Null, jedoch nicht in L1 ( ).

De…nition 8.14. Bezeichnen wir mit M ( ; F ; P ) den Vektorraum der Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ( ; F; P ), dann de…niert d (X; Y ) := E

jX Y j 1 + jX Y j

für X; Y 2 M ( ; F ; P ) eine Halbmetrik1 auf M ( ; F; P ). Satz 8.15. Sei (Xn )n2N eine Folge aus M ( ; F; P ) und sei X 2 M ( ; F ; P ). Dann gilt 1. P limn!1 Xn = X () limn!1 d (Xn ; X) = 0, 2. (Xn )n2N ist eine stochastische Cauchy-Folge () (Xn )n2N ist eine CauchyFolge bezüglich d. Beweis. Siehe Deck [13], S. 72. Stochastische Konvergenz ist also äquivalent zur Konvergenz bezüglich der Halbmetrik d. Satz 8.16. (M ( ; F; P ) ; d) ist ein vollständiger halbmetrischer Raum. Beweis. Siehe Deck [13], S. 74. 1

Es gilt d (X; X) = 0 d (X; Y ) = d (Y; X) d (X; Z)

d (X; Y ) + d (Y; Z)

für alle X; Y; Z 2 M ( ; F ; P ). Aus d (X; Y ) = 0 folgt jedoch lediglich X = Y P -fast überall, nicht aber X = Y , wie es für eine Metrik erforderlich wäre.

456

8 Einführung in die stetige Finanzmathematik

De…nition 8.17. Sei ( ; F; P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Der Vektorraum der pfadweise quadratintegrierbaren adaptierten stochastischen Prozesse L2! ([0; T ]) ist die Menge aller B ([0; T ]) F -messbaren Funktionen f : [0; T ] ! R für die gilt RT 2 1. 0 jft (!)j dt < 1 für fast alle ! 2 ; 2. ft ist Ft -messbar für alle t 2 [0; T ]. Für f; g 2 L2! ([0; T ]) de…niert 2

6 d2 (f; g) := E 4

RT 0

jft

RT

1+

0

jft

2

gt j dt

1 2

2

gt j dt

1 2

eine Halbmetrik auf L2! ([0; T ]). O¤enbar gilt L2a ([0; T ])

3

7 5: L2! ([0; T ]).

Satz 8.18. Ta2 ([0; T ]) ist dicht in L2! ([0; T ]) bezüglich der Halbmetrik d2 . Beweis. Siehe Deck [13], S. 76. Satz 8.19. Sei (fn )n2N eine Cauchy-Folge in Ta2 ([0; T ]) bezüglich der Halbmetrik d2 . Dann bilden die Z T I (fn ) = fn (s) dWs 0

eine stochastische Cauchy-Folge in L2 (P ), d.h., es gilt d (I (fn ) ; I (fm )) ! 0 für n; m ! 1. Beweis. Siehe Deck [13], S. 80. Mit diesem Ergebnis lässt sich das Itô-Integral auf L2! ([0; T ]) ausdehnen. De…nition 8.20. Sei f 2 L2! ([0; T ]) und sei (fn )n2N eine Folge in Ta2 ([0; T ]), die gegen f in L2! ([0; T ]) bezüglich der Halbmetrik d2 konvergiert. Dann ist (I (fn ))n2N nach Satz 8.19 eine Cauchy-Folge in L2 (P ), die gegen ein g 2 L2 (P ) konvergiert. Dann wird das Itô-Integral von f durch I (f ) := g de…niert.

8.3 Elemente der stochastischen Analysis

457

8.3.4 Itô-Prozesse und Itô-Formel De…nition 8.21. Sei ( ; F ; P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, (Ft )t 0 eine Filtration, und sei (Wt )t 0 eine Brownsche Bewegung bezüglich Ft . Ein stochastischer Prozess (Xt )t 0 heiß t Itô-Prozeß , wenn gilt Xt = X0 +

Z

t

Ks ds + 0

Z

t

Hs dWs :

(8.29)

0

Dabei gilt: X0 ist F0 -messbar. (Kt )0 t T und (Ht )0 t T sind adaptiert an die Filtration (Ft )t RT Es gilt 0 jKs j ds < 1 P -fast sicher. RT 2 Es gilt 0 jHs j ds < 1 P -fast sicher.

0.

Die Darstellung (8.29) eines Itô-Prozesses ist P -fast sicher eindeutig bestimmt. Es gilt folgende Analogie zum Hauptsatz der Di¤erential- und Integralrechnung, der als Satz von Itô bekannt ist. Satz 8.22 (Satz von Itô). Sei (Xt )0 Xt = X0 +

Z

t T

t

Ks ds + 0

ein Itô-Prozess, Z

t

Hs dWs :

0

Dann gilt für jede zweimal stetig di¤ erenzierbare Funktion f : R ! R Z t Z 1 t 00 f (Xt ) = f (X0 ) + f 0 (Xs ) dXs + f (Xs ) d hX; Xis ; (8.30) 2 0 0 wobei Z

t

f 0 (Xs ) dXs =

0

Z

t

f 0 (Xs ) Ks ds +

0

Z

t

f 0 (Xs ) Hs dWs

(8.31)

0

und hX; Xit :=

Z

t

Hs2 ds:

(8.32)

0

Beweis. Siehe etwa Deck [13], Karatzas/Shreve [28], Lamberton/Lapeyre [38] oder Steele [55]. Mit (8.31) und (8.32) kann (8.30) also geschrieben werden als f (Xt ) = f (X0 ) +

Z

0

t

f 0 (Xs ) Ks ds +

Z

0

t

f 0 (Xs ) Hs dWs +

1 2

Z

0

t

f 00 (Xs ) Hs2 ds: (8.33)

458

8 Einführung in die stetige Finanzmathematik

Dabei sind das erste und das dritte Integral der rechten Seite von (8.33) gewöhnliche Lebesgue-Integrale, während das mittlere Integral ein Itô-Integral ist. In symbolischer di¤erentieller Notation lautet (8.30) 1 df (Xt ) = f 0 (Xt ) dXt + f 00 (Xt ) d hX; Xit 2

(8.34)

und (8.33) 1 df (Xt ) = f 0 (Xt ) Kt dt + f 0 (Xt ) Ht dWt + f 00 (Xt ) Ht2 dt: (8.35) 2 Beispiel 8.23. Die Brownsche Bewegung (Wt )t 0 ist selbst ein Itô-Prozess (8.29) mit W0 = 0, Kt = 0 und Ht = 1, denn es gilt Z t Wt = dWs : 0

2

Einsetzen von f (x) = x in (8.33) liefert Z t Z 1 t 00 Wt2 = f 0 (Ws ) dWs + f (Ws ) ds 2 0 0 Z t Z t =2 Ws dWs + ds 0 0 Z t =2 Ws dWs + t: 0

Daraus folgt

Z

t

Ws dWs =

0

1 Wt2 2

t : 4

Beispiel 8.24. Wir suchen eine Lösung der Integralgleichung Z t St = x0 + Ss ( ds + dWs ) :

(8.36)

0

Dies lautet formal in di¤erentieller Form dSt = St ( dt + dWt ) mit S0 = x0 :

(8.37)

Um einen Hinweis zu erhalten, wie die Lösung aussehen könnte, nehmen wir an, dass St die Gleichung (8.37) erfüllt und berechnen mit (8.35) für Kt = St und Ht = St formal d ln St = ln0 (St ) Kt dt + ln0 (St ) Ht dWt + 1 1 1 St dt + St dWt + St St 2 1 2 = dt + dWt dt: 2 =

1 St2

1 00 ln (St ) Ht2 dt 2 2

St2 dt

8.3 Elemente der stochastischen Analysis

459

Dies bedeutet ln St = ln S0 +

Z

t

1 2

0

1 2

= ln S0 +

2

also

1 2

St = S0 exp

2

ds +

Z

t

dWs

0

t + Wt ;

2

t + Wt :

(8.38)

Da ln nicht zweimal stetig di¤erenzierbar ist, war die Anwendung der ItôFormel (8.35) nur formal, und es bleibt zu prüfen, ob (8.38) tatsächlich eine Lösung von (8.36) ist. Dazu beachten wir, dass 1 2

Xt := =

Z

2

t

1 2

0

t + Wt 2

ds +

Z

t

dWt

0

ein Itô-Prozess ist, und wir berechnen mit f = exp, Kt = Ht =

1 2

1 exp00 (Xt ) Ht2 dt 2 1 dt + exp (Xt ) dWt + exp (Xt ) 2

2

und

d exp (Xt ) = exp0 (Xt ) Kt dt + exp0 (Xt ) Ht dWt + = exp (Xt )

1 2

2

2

dt

= exp (Xt ) ( dt + dWt ) : Die Behauptung folgt nun wegen St = exp (Xt ).

4

Folgerung 8.25. (Partielle Integration) Seien Xt und Yt zwei Itô-Prozesse, Z t Z t Xt = X0 + Ks ds + Hs dWs 0

und Yt = Y0 +

Z

0

t

Ks0 ds +

0

Z

t

Hs0 dWs : 0

Dann ist auch Xt Yt ein Itô-Prozess, und es gilt Z t Z t Xt Yt = X0 Y0 + Xs dYs + Ys dXs + hX; Y it ; 0

wobei hX; Y it :=

(8.39)

0

Z

t

Hs Hs0 ds: 0

(8.40)

460

8 Einführung in die stetige Finanzmathematik

Beweis. Nach der Itô-Formel gilt 2

Z

2

t

(Xt + Yt ) = (X0 + Y0 ) + 2 (Xs + Ys ) d (Xs + Ys ) 0 Z t 2 + (Hs + Hs0 ) ds; 0 Z t Z t Xt2 = X02 + 2 Xs dXs + Hs2 ds; 0 0 Z t Z t Yt2 = Y02 + 2 Ys dYs + Hs02 ds: 0

0

Die Behauptung folgt nun aus Xt Yt =

1 2 (Xt + Yt ) 2

Xt2

Yt2 :

Beispiel 8.26. Ist Xt ein Itô-Prozess, so auch Zt := g (t) Xt für eine di¤erenzierbare Funktion g. Wegen Z t g (t) = g (0) + g 0 (s) ds 0

ist g (t) ein Itô-Prozess mit dg (t) = g 0 (t) dt. Mit Z t Z t Xt = X0 + Ks ds + Hs dWs 0

gilt hg; Xit = 0, sowie g (t) Xt = g (0) X0 +

Z

0

t

g (s) dXs +

0

= g (0) X0 +

Z

0

Z

t

Xs dg (s)

(8.41)

0

t

g (s) dXs +

Z

t

g 0 (s) Xs ds:

0

Daraus folgt d (g (t) Xt ) = g (t) dXt + g 0 (t) Xs ds:

(8.42) 4

8.3.5 Der Satz von Girsanov Satz 8.27 (Satz von Girsanov). Sei ( t )0 t T ein adaptierter Prozess mit der Eigenschaft Z T 2 s ds < 1 P -fast überall. 0

8.3 Elemente der stochastischen Analysis

461

Ferner sei der Prozeß Z

Lt := exp

t

1 2

s dWs

0

Z

t 2 s ds

0

ein Martingal. Sei Q das Wahrscheinlichkeitsmaß , das durch Z Q (A) := LT dP A

de…niert ist. Dann ist der Prozeß Wt := Wt +

Z

t s ds

0

eine Brownsche Bewegung. Beweis. Siehe etwa Deck [13], Karatzas/Shreve [28], Lamberton/Lapeyre [38] oder Steele [55]. 8.3.6 Der Martingal-Darstellungssatz Satz 8.28 (Martingal-Darstellungssatz). Sei (Mt )0 t T ein quadratintegrierbares Martingal bezüglich der Filtration (Ft )0 t T . Dann existiert ein adaptierter Prozess ( t )0 t T mit der Eigenschaft E

"Z

T

0

und Mt = M0 +

#

2 s ds

Z

<1

t s dWs

P -fast sicher

0

für alle 0

t

T.

Beweis. Siehe etwa Deck [13], Karatzas/Shreve [28], Lamberton/Lapeyre [38] oder Steele [55].

Literaturverzeichnis

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Sachverzeichnis

adaptiert, 447 an eine Filtration, 147 Aktienpreisprozess diskontierter, 420, 440 Algebra, 141 erzeugte, 142 arbitragefrei, 32 Arbitragegelegenheit, 32, 174 Au¢ nden von Arbitragegelegenheiten, 53 Auszahlungsmatrix, 20, 21 Auszahlungspro…l, 10, 163 amerikanisches, 275 erreichbares, 163 europäisches, 250 replizierbares, 163 zustandsabhängiges, 163 Barwert, 294 Basispreis, 10, 11 bedingte Dichte, 405 bedingte Erwartung, 202, 377, 446 bedingte Wahrscheinlichkeit, 200 bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte, 405 Bernoulli-Zufallsvariable, 244 Beta, 83 Beta-Faktor, 83, 100 Betafaktor, 343 Binomialbaum, 154 rekombinierender, 233 Binomialverteilung Verteilungsfunktion, 282 Black-Scholes-Formeln, 285, 434

Black-Scholes-Modell, 442 zeitdiskretes Modell, 422 Bond, 306 Bondpreis, 306 Brownsche Bewegung, 442, 447 geometrische, 442 quadratische Variation, 448 Variation, 449 Capital Asset Pricing Model Grundgleichung, 114, 115 Grundgleichung, allgemeiner Fall, 129 in arbitragefreien Ein-PeriodenModellen, 112 Klassische Darstellung des CAPM, 91 Renditegleichung, 99 Cauchy-Folge stochastische, 454 charakteristische Funktion, 149 Component Value at Risk, 355 Corporate Bond, 211 Coupon, 306 Couponzahlung, 306 cum-dividend, 157 Delta-Gamma-Methode, 358 Delta-Normal-Rendite, 347 deterministische Zinsen, 197 Dichte, 331 Di¤erential, 344 di¤erentielle Renditen, 345 Digital-Option, 211 Directional Value at Risk, 358 Direktes Bewertungsverfahren, 237

468

Sachverzeichnis

direktes Verfahren, 193 Diskontfaktor, 31, 46, 180 diskontierter Preisprozess, 50 Diskontierung, 30 Diskontierungsoperator, 185 diskretes stochastisches Integral, 397 Diversi…kation, 77, 87, 90 Dividenden, 157 diskontierte, 212 Dividendenprozess, 157 Doob-Zerlegung, 391 Innovation, 391 vorhersehbarer Teil, 391 Duration Macaulay-Duration, 309 Modi…ed Duration, 309 E¢ zienzlinie, 93 Ein-Perioden-Modell, 4 Ein-Perioden-Teilmodell, 164 Entnahmeprozess Ein-Perioden-Modell, 35 Entnahmeprozess, 160 im diskontierten Marktmodell, 213 erreichbar, 20 erwartete Rendite, 74 Erwartungswert, 48 bedingter , 379 ex-dividend, 157 Expected Shortfall, 317, 366

Gewinn, 8 Gewinnprozess, 160 im diskontierten Marktmodell, 213 Girsanov Satz von, 407, 460 globales Minimum-Varianz-Portfolio, 93 Halbmetrik, 455 Halbnorm, 86 Handelsstrategie, 157 festverzinsliche, 197 selbst…nanzierende, 160, 214, 420, 425, 440, 443 implizite Volatilität, 343 Informationsbaum, 139 Informationspfad, 139 innerer Wert, 272 Integrand, 397 Integrator, 397 interne Rendite, 307 Investitionsprozess, 158 im diskontierten Marktmodell, 213 Itô Satz von, 457 Itô-Formel, 400, 457 Itô-Integral, 442, 453, 456 Itô-Isometrie, 452, 453 Itô-Prozess, 457 Jensen-Index, 104

Fächer, 95 Fälligkeitszeitpunkt, 10–12 fast sicher, 377 fast überall, 377 Filtration, 447 binomiale, 404 natürliche, 153 von Algebren, 145 von Partitionen, 137 Forward-Kontrakt, 12 Forward-Preis, 12, 209, 298 Forward-Zinskurve, 209 Fundamentalsatz der Preistheorie, 40 Future-Kurse, 300 Futures, 299 Gauß sche Zufallsvariable, 340 gestoppter Prozess, 415

Kapitalmarktlinie, 96 Kaufoption, 10 kohärent, 317, 358, 359 Kompensator, 391 Kon…denzniveau, 317, 329 Konvergenz stochastische, 454 Konvexität, 310 Korrelation, 86 Kovarianz, 80 Kovarianzanteil, 82 Kovarianzmatrix, 81 Kovariations-Prozess, 393 Kovariations-Prozess vorhersehbarer, 393 Law of One Price, 29

Sachverzeichnis Lebesgue-Integral, 442 Lebesgue-Maß , 452 Linearform, 42 positive, 42 Liquidationsperiode, 329 Log-normal Verteilung, 240 Lokalisierung, 164 Macaulay-Duration, 309 Marginzahlung, 300 marked to market, 300 Marktmodell, 21, 157 binomiales, 426 diskontiertes, 212, 420 diskontiertes , 64 vollständig, 21 Marktportfolio, 96 Marktpreis des Risikos, 96, 112 für eine Anlage, 96 Martingal, 205, 217, 388, 447 Martingal-Darstellungssatz, 404, 461 Martingale orthogonale, 396 Martingalmaß , 205, 215, 411 Ein-Perioden-Modell, 50 Merton Satz von, 275 messbar bezüglich einer Algebra, 147 bezüglich einer Partition, 147 Minimum-VarianzOptimierungsproblem, 117 allgemeiner Fall, 130 Minimum-Varianz-Portfolio-Analyse, 104 Modi…ed Duration, 309 Modi…kation, 387 Monotonie, 359 - -Diagramm, 76 Mutual Fund Theorem, 97 Nennwert, 306 Nichtsättigung, 76 Nullmenge, 377 Numéraire, 64, 212, 420 One Fund Theorem, 115, 117 allgemeiner Fall, 130 Opportunitätsbereich, 92

469

Option amerikanisch, 11 Call Option, 10 Delta, 350 europäisch, 11 Put Option, 11 Rho, 350 Vega, 350 Ordnungsrelation, 71 Partial-Hedging, 60 Partition, 137 feiner als, 137 induzierte, 143 strikt feiner als, 137 Payo¤matrix, 20 Pfad, 147 Portfolio, 7 Position Portfolio Position, 7 Positionsvektor, 342 Positive Homogenität, 359 Preismaß , 48, 199 Preisprozess, 157 Preisvektor, 21 Present Value, 294 Pro…t-Loss-Prozess , 160 Put-Call-Parität, 63, 207 Quantil oberes, 326 unteres, 326 Regenschirm, 93 rekombinieren, 234 rekursives Bewertungsverfahren, 238 rekursives Verfahren, 193 Rendite, 73 Delta-Normal, 347 di¤erentielle, 345 interne, 307 logarithmische, 240 mit Hilfe eines Zustandsvektors, 105 Renditeprozess, 411 replizierbar, 20 Riemann-Integral, 450 Risiko, 75 spezi…sches, 101 systematisches, 101

470

Sachverzeichnis

risikoadjustierter Zins, 103 Risikoaversion, 76 Risikoeinstellung eines Investors, 76 Risikofaktor, 343 risikolose Kapitalanlage, 94 risikolose Rendite, 46 risikoloser Zinssatz, 46 Risikomaß , 359 kohärentes, 359 risikoneutrales Preismaß , 108 Risikoprämie, 95 selbst…nanzierend, 160, 214, 420, 425, 440, 443 Sensitivitäten, 344 modi…zierte, 345 Sharpe-Ratio, 104 Signum-Funktion, 113 Snell-Einhüllende, 436 Spot-Rates, 208 Standardabweichung, 75 Stochastische Konvergenz, 454 stochastischer Prozess, 447 pfadweise quadratintegrierbar, adaptiert, 456 quadratintegrierbar, adaptiert, 452 stochastischer Prozess, 147 stochastisches Exponential, 402 stochastisches Integral diskretes, 397 Stoppsatz, 416 Stoppzeit, 413 Strikepreis, 10, 11 Struktur der Forward-Rates, 211 subadditiv, 365 Subadditivität, 359 Submartingal, 388, 447 Supermartingal, 388, 447 Swap, 296 Tail Mean, 366 Translationsinvarianz, 359 Trennungssätze Erster Trennungssatz, 37 Zweiter Trennungssatz, 38 Treppenprozesse adaptierte, 453 quadratintegrierbare, adaptierte, 453

Tschebyschevsche Ungleichung, 455 Unabhängigkeit von Algebren, 384 von Partitionen, 385 von Zufallsvariable und Algebra, 386 von Zufallsvariablen, 386 Underlying, 10–12 ununterscheidbar, 387 Value at Risk, 329 Delta-Normal, 347 Varianz, 74 Varianzanteil, 82 Variations-Prozess quadratischer, 393 vorhersehbarer quadratischer, 393 Verkaufsoption, 11 Verteilungsfunktion, 319 Volatilität, 75 Volatilität implizite, 243 vollständig, 165 vorhersehbar, 157 Vorzeichenfunktion, 113 Wahrscheinlichkeitsmaß , 47, 318 risikoloses, 48 Wahrscheinlichkeitsmaß e äquivalente, 405 Wahrscheinlichkeitsraum, 318 endlicher, 47, 375 ge…lterter, 146, 447 Wechselkurse, 343 Wertpapierlinie, 100 Wertprozess diskontierter, 420 Wertprozess, 158 im diskontierten Marktmodell, 213 Wiener-Integral, 451 Wiener-Maß , 448 Yield Curve, 209 Yield to Maturity, 209 Zerlegung, 137 Zerobond, 207, 349 Zerobond-Struktur, 208 Zinsen, 343

Sachverzeichnis Zinsstruktur, 209 Zinsstrukturkurve, 209 Zufallsvariable, 48, 446 zustandsabhängige Auszahlung, 10 Zustandsdichte, 105 Zustandsfunktion, 147 Zustandspreis, 45

Zustandspreisvektor, 45 Zustandsprozess, 41 Zustandsprozess, 175 normiert, 177 Zustandsraum ge…lterter, 146 Zustandsvektor, 36

471