Алгебра, и логика,, 39, N 5 (2000), 618—625
УДК 512.554
О ^-ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯХ П Е Р В И Ч Н Ы Х АЛЬТЕРНАТИВНЫХ И М А Л Ь Ц Е В С К И Х АЛГЕБР*) В- Т. ФИЛИППОВ
Пусть Ф — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, содер жащее | , А — Ф-алгебра, т.е. алгебра над кольцом Ф. Если S — фиксированный элемент кольца Ф, то S-дифференцировани ем Ф-алгебры А называется Ф-линейное отображение (р: .4 —> А, удовле творяющее равенству (ху)<р = 6(х<р)у + 6х(у<р)
(1)
для любых ж, у Е А, Это определение было введено автором в [1—3], где изучались £~диф ференцирования алгебр Ли. В частности, в [3] доказано, что первичная Ф~алгебра Ли не имеет ненулевого 5-дифференцирования, если 6 ф —1, О, | , 1. Там же были описаны £-дифференцирования первичных Ф-алгебр Ли при 6 = —1, j . Определение 1-дифференцирования совпадает с обычным определе нием дифференцирования; 0-дифференцированием является произволь ный эндоморфизм <р Ф-модуля Ф-алгебры А такой, что (А2)(р = 0, а эле менты центроида Г (А) являются ^-дифференцированиями. Эти три типа £-дифференцирований назовем тривиальными. В настоящей работе дается описание ^-дифференцирований первич ных альтернативных и нелиевых мальцевских Ф-алгебр с некоторыми *)Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования РФ, грант по фундаментальным исследованиям в области математики.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 1999
О 5-дифференцированиях
первичных альтернативных
619
ограничениями на кольцо операторов Ф. Доказывается, что в алгебрах из этих классов каждое S-дифференцирование будет тривиальным. Заметим, что в отличие от нелиевых первичных Ф-алгебр Мальцева даже простые Ф-алгебры Ли могут иметь как ненулевые - 1-дифференцирования (так называемые антидифференцирования), так и ^-дифференцирования, от личные от элементов центроида. Примерами таких алгебр являются соот ветственно простые 3-мерная алгебра Ли и алгебра Витта W\ над полем Ф (см. [3]). Далее Ф-алгебру А называем просто алгеброй и, если не оговорено противное, считаем, что ж, у, z, I ~~ произвольные элементы алгебры А. Для упрощения неассоциативное слово w = (...(ж1Ж2)...)жп записываем в виде w — xiX2 • • -хп. Ниже используются стандартные обозначения: [ж,у] = ~ ху — ух — коммутатор, (ж, у, z) = хух — x(yz) - ассоциатор, J (ж, у, г) = = xyz + zxy + yzx — якобиан. Напомним, что алгебра называется первичной, если произведение двух ее любых ненулевых идеалов ненулевое. Пусть End A — алгебра эндоморфизмов Ф-модуля алгебры А. Ал геброй умножений алгебры А назовем подалгебру М(А) алгебры End А, порожденную тождественным эндоморфизмом и всеми операторами пра вого и левого умножения. Центроидом алгебры А называется централизатор Г (А) алгебры М(А) в алгебре End А. Кроме того, нам потребуются понятия обобщенно го центроида и мартиндейловского кольца частных, которые содержатся в [4, 5]. Как обычно, считаем, что Ф С Г(А). Если А — первичная ал гебра, то центроид Г (А) является коммутативной областью целостности и алгебра А не имеет Г-кручения, т.е. для любых у G Г(А) и a £ А из ay = 0 следует либо 7 = 0, либо a = 0 (см. [4, теор. 1.1]). В частности, кольцо операторов Ф является коммутативной областью целостности, и алгебра А не имеет Ф-кручения. Кроме того, центр Z(A) = {n 6 А : [п, А] = 0, (п, А, А) = (А, п, А) = (А, А, п) — 0} алгебры А, в силу первич ности А, также является коммутативной областью целостности, и алгебра А не имеет Z-кручения.
620
В. Т. Филиппов Пусть А (Л) — множество ^-дифференцирований алгебры А. Для лю
бого 7 € Г(Л) имеем ^(#7)у + 5х(2/7) = (ж2/)т> т - е - 7 £ А(А) и> следова тельно, Г (А) С Д(Л).
§ 1. 8-дифференцирования
первичных альтернативных алгебр
Т Е О Р Е М А 1. Первичные ассоциативные Ф-алгебры ( | Е ф) не имеют нетривиальных
5-дифференцирований.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Л — первичная ассоциативная алге бра, ср — ее (^-дифференцирование. В силу (1) имеем (xyz)tp = 5[(xy)
) (У*) + ^ М О М * + 5 2 ж(у(^)). Сравнивая эти выражения, с учетом ассоциативности А, получаем 82(x 2r — ж ® яу? = 0 (см., например, [5, следствие 2.2.11]) в тензорном квадрате мартиндейловского кольца частных алгебры А над ее обобщенным центроидом С. Элементы х^р и х линейно зависимы над С: х<р = ух для некоторого у Е С; при этом у не зависит от #. Так как ух £ А для всех х Е А, то 7 € Г (А). Теорема доказана. П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е . Первичная Ф-алгебра А ( | Е Ф) с ненулевым центром Z не имеет нетривиальных S-дифференцирований, сохраняющих Z
инвариантным. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть 6ф0,1<р-
^-дифференцирование ал
гебры А такое, что Z
О S-дифференцированиях
первичных альтернативных
621
и отсутствия Z-кручения, выполняется равенство (x
6-дифференцирований.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, П}'сть Л — первичная альтернативная алге бра. Если А ассоциативна, то А, по теореме 1, не имеет нетривиальных #-дифференцирований. Пусть А неассоциативна, <р — произвольное (^-дифференцирование алгебры А. Можно предположить, что 8 ф0. В силу первичности алге бры А из теоремы D [6] следует Z(A) ^ 0. Поэтому, в силу предложения, для доказательства теоремы 2 осталось установить инвариантность Z(A) относительно <р. Пусть К (А) = {п £ А: [гс, А] = 0} — коммутативный центр алгебры А. Хорошо известно, что в любой альтернативной Ф-алгебре ( | £ Ф) центр совпадает с коммутативным центром. Следовательно, по (1) для любого и 6 Z(A) имеем 5[ж, п<р] = -8[х(р, п] + [ж, п](р = 0. Поскольку А не имеет Фкручения и 8 ф 0, получаем: [ж, п<р] = 0 и, следовательно, пу? 6 А'(А), т. е. n<£> G Z(A). Следовательно, Z(A) инвариантен относительно
mo
e
А верны равенства {ху)ф = 8х(уф) = 8(хф)у.
(2)
В частности, ^ является |-дифференцированием алгебры А. Кроме того, если А первична и 5 / 0, то [^,7i] — 0 Д л я любого 71 € Г(А).
622
В. Т. Филиппов ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу (1) и определения центроида выпол
няется ЫФ=
((*У)Т)<Р- (0*УМ7 = ИУТ))<Р- (( Ж У)^)Т
= ^[( ж ^)(У7) + ^ ( ( У Т ) ^ - ( ( ^ ^ ) у ) 7 - ( ^ ( ^ ) ) т ] = &я[(уу)(р-(у<р)у] = 6х(уф). Аналогично, "навешивая" у на х} получаем второе из равенств (2). Пусть теперь А первична. Для любого 7i £ Г (Л) имеем ((ху)ф)уг = 6((хф)у)уг = 6(хф)(ууг) = (х(уух))ф = ((sy)7i)^Так как ^ является |-дифференцированием, из (2) и последнего равенства получаем §(a#,7i])l/ = (ху)[Фт] = 0, откуда (A[^,7i])A = 0, A[V>,7i] = = 0, [^,7i] = 0. Лемма доказана. Л Е М М А 2. Пусть А — первичная неассоциативная алгебра, Г = = Г (А) — центроид алгебры А} А = Г" 1 А — центральное замыкание А. Если А не имеет нетривиальных S-дифференцирований, то их не имеет и алгебра А. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть <р — нетривиальное £-дифференцирование алгебры А. Достаточно доказать, что [<р}у] = 0 для любого 7 6 £ Г, поскольку в этом случае <р продолжается на центральное замыкание А алгебры А и является тривиальным. Пусть ф = [у>,7]> т °гд а > по лемме 1, ф является |-дифференцированием алгебры А и [ф,Г] = 0, поэтому ф продолжается на А и является там тривиальным. В частности, § равно одному из чисел 0, | , 1. В первых двух случаях <р тривиально; остается рассмотреть лишь случай S = 2. Здесь ^ является дифференцированием алгебры Л, поэтому в силу (2) (ху)ф = (a?^)i/ + ж(у^) = 2(хф)у = 2х(уф).
(3)
Из (3) следует, что ф2 является 2-дифференцированием алгебры А. Ясно, что [ф2} Г] = 0, поэтому ф2 продолжается до 2-дифференцирования А и, следовательно, ф2 = 0. Применяя вновь (3), видим, что Аф является идеалом в Л, при этом (Аф)2 = Аф2А = 0. Значит, ф = 0, лемма доказана.
О 8-дифференцированиях
первичных альтернативных
623
Напомним, что алгеброй Мальцева называется антикоммутативная алгебра, удовлетворяющая тождеству
J(x,y,xz)
=
J(x,y}z)x.
Пусть С7 — 7-мерная расщепляемая центральная простая алгебра Мальцева над полем F характеристики р ф 2,3. В С*? можно выбрать базис € i , . . . , ej с таблицей умножения: ef-e;+i = е,-+3 (e 7+ j = е, при j > 0), инвариантной относительно циклических перестановок троек индексов (см., например, [7]). Л Е М М А 3, Алгебра Сг не имеет нетривиальных 8-дифферен~ цирований. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть <р — нетривиальное 8-дифференциро вание алгебры С? и (а,Ь) — инвариантная симметрическая билинейная форма на С7. В силу (1) и инвариантности формы (а,Ь), имеем ({аЬ)<р,с) = 6[((а<р)Ь,с) + {а(1нр),с)] = 8[(а<р,Ьс) + (Ьу>,са)],
(4)
откуда ((ab)
(5)
Так как для любых г ^ j верно е, = е ^ е ^ ) , из (5) следует (е,-у>, е,-) = -*(€,-, е,-<р) при г ^ j ,
(6)
и далее (е,-у>, еу) = 52(е,-<р, е^). Пусть <$2 ^ 1, тогда (е,-<£>, еу) = 0 для всех г ф j , т. е. е,-<^ = а,е;, а,- Е F . Пусть е,е? = е^, тогда по (4) <*k = («W, е*) = ((е^)<р, e*) = 6[(ецр, е^ек) + ( е ^ , е*е,-)] = £[( + а3). Эти равенства остаются справедливыми при циклической перестановке ин дексов г, j , fc, откуда при <> ! ф - 1 следует at- = aj = а*, поэтому <^ = = а.и*еГ(С7).
В. Т. Филиппов
624
При S = — 1, с учетом (6), <р симметрично относительно формы (а, 6). Для каждой тройки индексов г, j , Ar таких, что е,е^ = е*, в силу (4) имеем равенства а, + ctj + а& = 0, где а, = (е,-<р, е,). В частности, поскольку е\ = = е 2 е 4 = езв7 = e$e§, получаем равенства #i + а 2 + а 4 = 0, ах+а^+а^
= О,
7
a i + a s - f «6 = 0, из которых следует 2&1+YL а* = О- В силу симметрии базиса аналогичные равенства выполняются для каждого j = 1 , . . . , 7, откуда все а{ = 0. Рассмотрим теперь (е4,е2^з) — — (е2у>, е з ^ ) = —(ei<^, вб) + (е2<£, 67). Аналогичные рассуждения для представления е4 = е 5 е 7 дают (е4у?, е3) = ((^567)^1
(е7<р)е2),
отсюда, в силу симметричности <£>, следует (е4<,р, ei) = 0. Используя пред ставления е 4 = бб^з = е5в7, аналогично получаем (е 4 ^,е 2 ) = ((е 6 е 3 )^,е 2 ) = (е6<р,е5) - (е3у>,е7), (е 4 ^,е 2 ) = ((е 5 е 7 )^,е 2 ) = -(е 5 ¥>,е 6 ) + (е7¥>,е3). откуда (е4<^>,е2) = 0, и аналогично (e4<^,ei) = 0. В силу симметрии эле ментов базиса и симметричности <р из доказанных равенств вытекает, что (е,-у>, е^-) = 0 для всех г, j , поэтому у = 0. Получили противоречие. Лемма доказана. Т Е О Р Е М А 3. Первичные нелиевы Ф-алгебры Мальцева ( | Е Ф) we гшеют нетривиальных
$-дифференцирований.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Л — первичная нелиева алгебра Маль цева. Хорошо известно, что любая первичная алгебра имеет характери стику. Все первичные алгебры Мальцева характеристики р = 3 лиевы (см. [8]), Поэтому характеристика А отлична от 2 и 3. В силу теоремы из [9] центральное замыкание Г"1 А алгебры А изо морфно алгебре Сг над полем Г" 1 . Поэтому доказательство теоремы оче видным образом вытекает из лемм 2 и 3. Теорема доказана. В заключение автор выражает благодарность Е. Н. Кузьмину за вни мание к работе и рецензенту за значительные сокращения доказательств.
О 8-дифференцированиях
первичных
альтернативных
625
ЛИТЕРАТУРА 1. В. Т. Филиппов, О <5-дифференцированиях первичных алгебр Ли, Доклады РАН, 364, N 4 (1999), 453-454. 2. В. Т. Филиппов, О ^-дифференцированиях алгебр Ли, Сиб. матем. ж., 39, N 6, (1998), 1409-1422. 3. В. Т. Филиппов, ^-дифференцирования первичных алгебр Ли, Сиб. матем. ж., 40, N 1 (1999), 201-213. 4. Т. S. Erickson, W. S. Martindale, J. M. Osborn, Prime nonassociative algebras. Pacific J. Math., 60, N 1 (1975), 49-63. 5. В. К. Харненко, Некоммутативная теория Галуа, Новосибирск, Научная книга (НИИ МИОО НГУ), 1996. 6. М. Slater, Ideals in semiprime alternative rings, J. Algebra, 8, N 1 (1968), 60— 76. 7. E. H. Кузьмин,
И. П. Шестаков,
Неассоциативные
структуры,
в
кн.
"Алгебра-6" (Итоги науки и техники. Современнные проблемы математики. Фундаментальные направления, 57), М., ВИНИТИ, 1990, 179—266. 8. В, Т. Филиппов, 0 полупервичных алгебрах Мальцева характеристики 3, Алгебра и логика, 14, N 1 (1975), 100-111. 9. В* Т. Филиппов, Первичные алгебры Мальцева, Матем. заметки, 3 1 , N 5 (1982), 669-678.
Адрес автора: Ф И Л И П П О В Валерий Терентьевич, РОССИЯ, 630090, г. Новосибирск, ул. Терешковой, 4, кв. 3. e-mail: [email protected]
Поступило 28 апреля 1998 г.
