Алгебра, и логика,, 39, N 3 (2000), 329-346
УДК 512.542
О ГРУППАХ ПЕРИОДА 60 С З А Д А Н Н Ы М И П О Р Я Д К А М И ЭЛЕМЕНТОВ*) В-Д. МАЗУРОВ К 60-летию Ю. JI. Ершова
Для периодической группы G обозначим через u>(G) множество по рядков элементов группы (У. Очевидно, что группа G, для которой u(G) = = {1,2}, является элементарной абелевой. Ф. Леви и Б. Л. Ван-дер-Варден [1] показали, что группа G нилыютентна и ее ступень нильпотентности не превосходит 3, если u>(G) = {1,3}. Б.Х.Нойман [2] описал группы, удо влетворяющие условию u)(G) = {1,2,3}. И. Н. Санов [3] и М. Холл [4] уста новили локальную конечность групп G, для которых u)(G) С {1,2,3,4} и, соответственно, u(G) С {1,2,3,6}. М.Ф.Ньюмэн [5] определил строение группы G, если u(G) = {1,2,5}. Из [6] следует, что произвольная группа G, для которой LJ(G) = {1,2,3,5}, изоморфна знакопеременной группе А5. Н. Д. Гупта и автор [7] доказали, что в случае, когда u(G) является соб ственным подмножеством множества {1,2,3,4,5}, группа G либо локально конечна, либо содержит нильпотентную нормальную силовскую подгруп пу S такую, что G/S является 5-группой. Цель настоящей работы — показать, что любая группа G, для ко торой u)(G) = {1,2,3,4,5}, является локально конечной. Более точно, мы доказываем следующий результат. *' Статья была написана во время поездки автора в Университет Манитобы (Кана да). Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект N 99-01-00550.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
330
В. Д. Мазуров Т Е О Р Е М А . Пусть G — группа} для которой OJ(G) = {1,2,3,4,5}.
Тогда верно одно из утверждений
(i)G~A6; (ii) G = VCf где V — нетривиальная элементарная абелева нор мальная 2-подгруппа группы G} а С ~ А$. Для конечных групп этот результат является несложным следствием классификации конечных простых групп с нильпотентными централиза торами нетривиальных элементов, которую получил М. Сузуки [8, 9]. Обозначения ЕСЛИ
Н — подгруппа группы G, i , i / 6 G, 1 , У -
Y
G, то ху = у~1ху,
уХ
у
= {у~1ху
подмножества в
| х G -X"}, [я, у] = х~гху,
ху
= {ху \
у е У}, x = {х \ х е х,у е У}, NH(X) = {Й е Я | Р = I}, (X) — подгруппа, порожденная подмножеством JT, [X, У] = ([ж, у]\х £ Х}
У € У]), С я Р О = {Л € Я | [Л, ж] = 1 для всех х G X } , Z{G) = C G (G). Для простого числа р подгруппа O p (G) определяется как произведение всех нормальных р-подгрупп группы С?, Ат и 5 т означают знакопеременную и соответственно симметрическую группу степени га.
Предварительные результаты Группа автоморфизмов некоторой группы называется
регулярной,
если каждый ее нетривиальный элемент не имеет нетривиальных непо движных точек. Отметим следующий хорошо известный результат. Л Е М М А 1. Пусть А — регулярная группа автоморфизмов конеч ной группы. Тогда для любых простых чисел р, q каждая подгруппа груп пы А, имеющая порядок pq, является циклической. Каждая
силовская
р-подгруппа группы А при р > 2 будет циклической. Каждая
силовская
2-подгруппа, группы А либо циклична} либо изоморфна обобщенной группе кватернионов. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. См., например, теорему V.8.15 в [10].
О группах периода 60 с заданными порядками элементов Л Е М М А 2. Если R = (г) — регулярная группа
331
автоморфизмов
порядка 3 конечной группы Н, то для любой абелевой подгруппы А из Н выполняется равенство (AR) = (А, А г ) и подгруппа (А, А г )
является
абелевой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть НА — естественное полупрямое про изведение групп И и А. Тогда НА ~ группа Фробениуса, и поэтому (hr~1)3
= 1 для любого элемента h £ Я . Поскольку (/ir~ x ) 3 = /i/irfer ,
то hr2
=
( / Г 1 ) ^ 1 - Отсюда Аг* < (А,А Г ). Пусть а,Ь е А. Тогда
1 = аЬ(аЬ)г(аЬ)г2 = ab(arbr)ar'2br2 1
г
= a(bbr)Kar2)br2 = ^ { r ^ W Т
=
г
= [а~ ,6 ]. Следовательно, [а,Ъ ] = 1 и [а ,4] = 1. Это означает, что подгруппа Аг централизует подгруппу А. Лемма доказана. Элемент порядка 2 из группы называется инволюцией. Доказатель ство следующей хорошо известной леммы не составляет труда. ЛЕММА
3. Пусть i,j
— инволюции.
Тогда верны следующие
утверждения: 1. Для любого элемента х £ (ij) справедливо равенство х% = x J = = х-1. 2* Если порядок элемента ij конечен и нечетен, то инволюции
i,j
сопряжены с помощью элемента из подгруппы (ij), они сопряжены также с помощью инволюции из смежного класса i(ij). 3. Если порядок ij конечен и четен, то подгруппа (ij)
содержит
инволюцию, перестановочную одновременно с г и с j . Л Е М М А 4. Пусть t — инволюция из группы А автоморфизмов периодической группы G. Если t не имеет нетривиальных
неподвижных l
точек, то для любого элемента g E G верно равенство g = д~г, группа G абелева и инволюция t принадлежит центру группы А. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Я = G(t) - естественное полупрямое произведение, и g Е G. Поскольку С#(£) = (t) и t9t = g~ltgt = g~lg* £ G, порядок t9t нечетен по п. 1 леммы 3. По п. 2 леммы 3 существует инволюция i € tG такая, что tgt = t, и поэтому gi = 1 или gi = t. Если gi = 1, то д = i € tG, а это неверно. Отсюда gi = £, # = ii, и по п. 1 леммы 3,
332
В. Д. Мазуров
дг = д~1. Если h e G, то gh = (Л*"1^""1)"1 = (/iV)' = hg,nG
абелева. Если
а £ А, то р*а = (flT1)* = (5 0 )" 1 = да\ откуда ta = at. Лемма доказана. Л Е М М А 5 (И. Н. Санов [3]). Группа Н, для которой и(Н)
С
С {1,2,3,4}, локально конечна. Л Е М М А 6 (В. П.Шунков [11]). Если подгруппа C G ( 0 конечна для некоторой инволюции г из периодической группы G, то группа G локально конечна. Л Е М М А 7* Пусть А — собственная подгруппа группы Я . Если в А нет элементов порядка 3 и каждый элемент из Н\А ментом, то А нормальна в Н и А двуступенно
является 3-эле
нильпотентна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что подгруппа А нормальна в Я . Пусть х — элемент порядка 3 из Я . Тогда для любого элемента а £ А спра ведливо ах""1 ^ А и ( а х - 1 ) 3 6 А. Поскольку ах"1 является 3-элементом, то (ах"" 1 ) 3 = 1 и, значит, аахах
= 1. Б. X. Пойман [12] показал, что в такой
ситуации любой элемент из А перестановочен с каждым своим сопряжен ным элементом. По результату Ф.В.Леви [13] группа А нильпотентна и третий член Т нижнего центрального ряда группы А имеет период 3. По условию Г = 1. Лемма доказана. Л Е М М А 8 (лемма 3 из [6]). Если А — периодическая
регулярная
группа автоморфизмов элементарной абелевой 2-группы, то шждый эле мент порядка 3 из А принадлежит центру группы А. Л Е М М А 9. Если Я — группа, для которой о?(Я) = {1,2,3,5}, то Н изоморфна знакопеременной группе А$. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Это утверждение — частный случай основно го результата работы [6]. Л Е М М А 10. Пусть Я — конечная простая группа, для которой ы(Н) = {1,2,3,4,5}. Тогда Я ~ А 6 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что централизатор любого нетри виального элемента из Я нильпотентен. По результату М.Сузуки [8, 9], Я - Ае.
О группах периода 60 с заданными порядками элементов
333
Л Е М М А 1 1 . Пусть Я — конечная группа, для которой и(Н) С С {1,2,3,4} и существует нормальная 2-подгруппа V в Н такая, что H/V ~ S3. Тогда подгруппа V элементарная абелева и существует подгруппа С группы Я', изоморфная группе £з, для которой Я = VC. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проводится индукцией по | # | , и можно счи тать, что V ф 1. Пусть г — элемент порядка З и з Я и й = (г), Тогда R — силовская 3-подгруппа в Я , и, по замечанию Фраттини, Я = Пусть С = NH{R).
VNH(R)-
Поскольку Ny{R) = G>(r) = 1, то С ~ C/NV{R)
=
= С / С П V - У С / У = Я / У - S 3 . Отсюда Я = УС, где С - 5 3 . Пусть £ — инволюция в С. Тогда г' = г" 1 . Поскольку У ^ 1, суще ствует инволюция г из центра группы У, перестановочная с t. По лемме 2 подгруппа Z = ( г я ) = {z, £г) является элементарной абелевой группой порядка 4. Так как (гг)г = z tr ~
= zr~
Е Z, подгруппа Z инвариант
на относительно С. По индукции группа V/Z элементарная абелева и, по условию, R действует регулярно на V/Z. Преположим, что коммутатор [v,t] имеет порядок 4 для некоторого элемента и € У. Тогда порядок элемента (и*)2 = v2[v, t] равен 4, поскольку v2 G Z. Значит, порядок vi, вопреки условию, равен 8. Следовательно, [и, £]2 = 1 для любого элемента v
eV.
Пусть и £ У. Тогда [v, £][«,£] = [vw,£]z для некоторого элемента z £ Z. Отсюда вытекает, что подгруппа U = [У>(*)] ^ (fa^lk £ ^0
яв
~
ляется элементарной абелевой. По лемме 2 подгруппа W = (UR) тоже является элементарной абелевой. Покажем, что У = W. Действительно, У = [У, Л] = ([v,a?]|v Е У, # £ J?). Поскольку ж = txt для а; 6 й , то [v,a?] = [v,t*t] = [VjtJtv,**]* = [vjtlfv**,*]*"" . Следовательно, [v,x] £ W. Лемма доказана. Л Е М М А 12. Предположим, что Я — непримарная и и(Н) С {1,2,3,4}. Тогда справедливо одно из следующих (i) существует
нормальная
2-подгруппа V в Н}
{2,Ъ)-группа утверждений: для которой
|Я/У| = 3; (ii) существует нормальная элементарная абелева 3-подгруппа V группы Н, для которой фактор-группа H/V
действует регулярно на V
334
В. Д. Мазуров
при сопряжении в Н и изоморфна нетривиальной подгруппе группы ква тернионов порядка 8; (Ш) существует нормальная элементарная абелева 2-подгруппа V группы Я такая, что Я = VC для некоторой подгруппы С ~ 5з* В частности, либо Я содержит подгруппу, изоморфную S3, либо имеет место (i). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 5 группа Я локально конечна. По этому достаточно доказать лемму только для конечной группы Я . В этом случае группа Я разрешима. Пусть t — инволюция из Я . Если V = 0 з ( Я ) ф 1, то t при сопряжении не имеет в V нетривиальных непо движных точек, и по лемме 4 V — элементарная абелева группа. Так как CJJ{V) г
— нормальная 3-подгруппа в Я , то CH(V)
= V. По лемме 4,
г
х = х~ для любого элемента х Е V и tV принадлежит центру фактор группы Я = H/V.
Поскольку Я не содержит элементов порядка б, Я
является 2-группой, действующей на V регулярно. По лемме 1 группа Я является либо циклической, либо группой кватернионов. Так как период группы Я делит 4, то верно (п) и, в частности, Я содержит подгруппу, изоморфную 5зПредположим, что Оз(Я) = 1. Тогда V = 0 г ( Я ) ф 1. Поскольку силовская 3-подгруппа 5 группы Я действует регулярно на V, то \S\ = 3 по лемме 1. Следовательно, группа Я / У изоморфна подгруппе группы S3. Если \H/V\ = 3, то верно (i). Если H/V ~ 5з, то по лемме 11 выполняется (Ш). Лемма доказана. Л Е М М А 13. Пусть Я — группа, для которой ы(Н) С {1,2,3,4,5}, w пусть V = О2(Я). Предположим, что фактор-группа H/V
изоморфна
5з tMU A5. Тог&х а) V — элементарная абелева группа; б) V обладает дополнением в Я ; в) ее/ш группа Н конечна, то \V : Су(Л)| = |CV(/i)| для любого 2-элемента h 6 H\V,
а если группа Я бесконечна, то индекс \V : Cv(h)\
бесконечен. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку группа Я локально конечна, до-
О группах периода 60 с заданными порядками элементов
335
статочно доказать лемму для конечной группы Я . Из леммы 11 сразу следует п. а, поскольку А$ содержит подгруппу, изоморфную S3. Пусть г — элемент порядка 3 из Я , R = (г) и N = ЛГ#(15Е). Тогда iV ~ S3. Если Я / У с* S3, то подгруппа JV — искомое дополнение к У. Пред положим, что H/V ~ As. Пусть t — инволюция из N. Существует элемент и порядка 3 из Я , для которого (t,u)V/V
~ А 4 . В частности, подгруппа
(i, u) содержит нормальную силовскую 2-подгруппу, в которой и при со пряжении не имеет нетривиальных неподвижных точек. По лемме 2 под группа (t, tu) является w-инвариантной элементарной абелевой подгруппой порядка 4, и поэтому {£, и) ~ А±. Следовательно, подгруппа (£, tu) дополня ет У в некоторой силовской 2-подгруппе группы Н. По теореме Гашютца (см. [10, теор. 1.17.4]) подгруппа У обладает дополнением С в Я , и п. б доказан. При доказательстве п. в можно считать, что h £ С. Пусть VQ == Су (h). Подгруппу У можно рассматривать как векторное пространство над полем порядка 2. Строение жордановой формы линейного преобразования, кото рое элемент h индуцирует в векторном пространстве У при сопряжении, показывает, что |Vo|2 ^ |У|. Поскольку г* = г" 1 , то г = trt и VoHVJ = Cv(t)C\Cv(tr)
< Cy(trt)
=
= Cv(r) = 1, откуда |У| ^ |VoVo"| = |Уо|2. Лемма доказана. Л Е М М А 14. Если Я — локально конечная группа, для которой UJ(H) = {1,2,3,4,5}, то либо Я а Аб, либо существует
нетривиальная
элементарная абелева нормальная 2-подгруппа V группы Я такая, что Я = VC для некоторой подгруппы С ~ А$. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно доказать лемму для конечной группы Я . Используем индукцию по |Я|. Если группа Я проста, то, по лемме 10, Я ~ А& поэтому предположим, что Я не является простой. Пусть М — минимальная нормальная подгруппа группы Я . Если группа М неразрешима, то М — прямое произведение неабелевых простых групп и число \М\ делится на 30. По лемме 9 либо группа М изоморфна А 5 , либо и(М) = и(Н) и, по индукции, М ~ Аб. Так как Сн{М) = 1, то груп па Я изоморфна группе автоморфизмов группы М и, поскольку М ф Я ,
336
В. Д
Мазуров
группа Н содержит элемент порядка 6 или 8. Это противоречит условию и, следовательно, М — элементарная абелева р-группа для р = 2,3 или 5. Если р > 2, то по лемме 4 центр группы Н/Сн{М)
содержит инволюцию, а
группа Н содержит, вопреки условию, элемент порядка б или 10. Поэтому р = 2 и и(Н/М)
= {1,2,3,5} или и(Н/М)
= w ( # ) . В первом случае, по
лемме 9, Н ~ А*> и по лемме 13 заключение верно. Во втором случае, по индукции, либо группа Н/М является расширением 2-группы посредством группы. Аь и ло. лемме 13 верно заключение, либо группа Н/М изоморфна группе Ав- Тогда силовская 3-подгруппа из Я является нециклической и действует регулярно на группе М при сопряжении. А это невозможно по лемме 1. Лемма доказана. Следуюгцую лемму можно проверить с помощью алгоритма перечис ления смежных классов (см., например, [14]): Л Е М М А 15, Пусть А = (а,Ь | R). В таблице (см, след. стр.) указан порядок группы А при условии выполнения определяющих соотно шений R.
Доказательство теоремы Пусть G — группа, для которой OJ(G) = {1,2,3,4,5}. Доказательство теоремы проводится в несколько этапов. Л Е М М А 16. Пусть Н = (ж, у) — подгруппа группы G, в которой х — элемент порядка 3, а у — элемент порядка 2, 3 или 4. Тогда подгруппа Н конечна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как Я = (х}ху)
= (я, у""1), то можно
считать, что порядок элемента х не превосходит порядка элемента ху, а порядок элемента ху не превосходит порядка элемента ху~~1. Поэтому су ществует гомоморфизм на Н одной из групп А леммы 15, который продол жает отображение а -* х) Ь -> у. Поскольку группа А конечна, подгруппа Н тоже конечна. Л Е М М А 17. Группа G содержит подгруппу, изоморфную 5з*
О группах периода 60 с заданными порядками элементов
R
\А\
a3,b3,(ab)3,(ab-lf 3
27
1
48
1 5
75
a ,bMab)Mab- )* 3
3
3
a ,b ,(ab) ,(ab- ) a3^3,^)4,^-1)4 3
3
168
4
a ,b ,(ab) ,(ab-^
1080
5
1 5
1
3
1
аЗ,б31(а6) ,(аЬ- ) ,(аЬа- Ь) 3
3
5
1 5
1
4
1920
3
3
5
1 5
1
5
62400
а ,6 ,(аЬ) ,(а6- ) ,(а6а- 6) а ,6 ,(аЬ) ,(аЬ- ) ,(аЬа- Ь) 3
А
1
а УЛ"Ь) ЛаЪ- )\(а#)* 2 4
а^ДагОМаб-ЧМаб ) 3
1
ъ
а ,Ь\(аЬ)\(аЬ- )*,(а^)
192 1152 1 14400
а3,Ь4,("Ъ)4ЛаЪ-1ГЛаЬ2)3 а3,Ь4,(аЬ)4,(аЬ-1)5,(а62)4 а3,Ь4,(а*)4,(аЬ-1)в,(аЬ2)в,[о,Ь]3 а 3 ,Ь 4 ,(а6) 4 ,И- 1 ) 5 ,И 2 ) 5 Л«.Ь] 4 а3,Ь4,(аЬ)4,(аЬ-1)5,(а62)5,[а,Ь]5 а3,Ь4,(аЬ)5,(аЬ-1)5,(аЬ2)3 о3|Ь41(аЬ)5,(оЬ-1)в,(а63)4,[а,6]3 а3,64,(а6)5,(аЬ-1)5,(а62)4,[а,Ч4, (аЪа-Ч)3
360
4 а 3 ^ 4 , ^ ) 5 , ^ - 1 ) 5 , ^ 2 ) 4 ' ^ 6 ] 4 ' (аЬа'Ч) 1 ъ а3, ЬМаЬ^И-^МаЬ 2 ) 4 ,[«, Ь]4, (аЬа- Ь)
а3^4,^)6,^-1)5,^)4,^^]5 а3^4,^)5,^-1)5.^2)5.^6]3 а3,Ь4,(аЬ)в,(аЬ-1)5,(аЬ2)Ма|Ь]4 а3^4,!^)5,!^"1)5,!^2)5,^^]5
80640
337
338
В. Д. Мазуров ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. Пусть х — нетриви
альный 2-элемент, а г — элемент порядка 3 из G. По лемме 16 подгруппа А = (х,г) конечна. Если А не является {2, 3}-группой, то согласно лем ме 14 группа А содержит подгруппу, изоморфную S3- Поэтому А является {2,3}-группой, и по лемме 2 (17.1) V = (х(г)) является 2-порожденной обелевой подгруппой пе риода 4. В частности, если х — инволюция, moV = (х, хг) — элементар ная абелева подгруппа порядка 4. Пусть t — инволюция в G и W — подгруппа, порожденная всеми инволюциями из Co(t)- Покажем, что (17.2) подгруппа W инвариантна относительно г. Пусть и — инволюция из Co(t). В силу 17.1 подгруппа (и^)
= (и} иг)
является r-инвариантной элементарной абелевой группой порядка 4. По скольку w, tr € Ccit) и, по условию, Co(t) является 2-группой периода 4, то х = tru будет 2-элементом, и по 17.1 подгруппа (х}хг) r
r
r
r
коммутатив r
на и г-инвариантна. Следовательно, [t u} {t u) ] = 1 = [tu ,f w]. Так как [t,tru] = 1, то [ur ,tru] = 1. Поскольку [V ,ti] = 1, то [ttr , £г] = 1 = [ti r ,£]. Отсюда г*г € W, и подгруппа W инвариантна относительно г. В частности, 17.2 означает, что подгруппа NQ(W) содержит все эле менты порядка 3 из группы G. Пусть N — подгруппа из
и, следовательно,
(17.3) 02(G) ф 1. Пусть G = G/f02(G). Тогда 02(G) = 1, Если G содержит подгруппу, изоморфную 5з, то по лемме 12 в группе G имеется такая подгруппа. Ес ли w(G) = OJ(G), то G удовлетворяет всем условиям теоремы и, по 17.3, 02(С?) ф 1, что неверно. Следовательно, w(G) = {1,2,3,5} или u>(G) = = {1,3,5}. В первом случае по лемме группа G изоморфна А$ и поэтому содержит подгруппу, изоморфную S3. Итак, (17.4) Ц Э ) = {1,3,5}. По лемме 7, 02(G) двуступенно нильпотентна. Пусть С —- подгруппа, порожденная всеми инволюциями из центра подгруппы 02(G). По 17.4, G индуцирует в С регулярную группу автоморфизмов периода 15. По лем-
О группах периода 60 с заданными порядками элементов
339
ме 8, G содержит вопреки условию элемент порядка 15. Лемма доказана. Л Е М М А 18. Пусть г £ G — элемент порядка 3. Тогда верны сле дующие утверждения: а) С = Сс(г) — элементарная абелева 3-группа; б) любой элемент порядка 3 из группы G сопряжен с элементом из подгруппы С; в) для любого нетривиального элемента и Е С имеет место равен ство CG(U>) = С; г) N = NG(C) = СТ, где Т — нетривиальная 2-подгруппа порядка ^ 8, действующая регулярно на С при сопряжении^ д) если гг, г; — нетривиальные элементы из С и и9 = v, mo g £ N. Кроме того, выполняется одно из следующих
утверждений:
(i) |C| = 3, |Т| = 2; (ii) |C| = 9, Т — читсличес^ал группа порядка 4 и G содержит под группу, изоморфную AQ] (iii) | С | = 9, Т изоморфна группе кватернионов порядка 8 и все эле менты порядка 3 сопряжены в группе G. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 17 существует подгруппа S группы G, изоморфная S3. Пусть uyt - элементы из 5 порядка 3 и 2 соответствен но. По условию U = C G ( ^ ) — 3-группа. Так как t нормализует подгруппу U и Cu(t) = 1, то по лемме 4 подгруппа U — элементарная абелева и vl = г;""1 для любого элемента v £ £7. Если v / 1, то (v}t) ~ 5з и поэтому CG(I;)
—элементарная абелева подгруппа, содержащая U. Следовательно,
C G ( ^ ) = U. По лемме 16, (и, г) — конечная группа. Пусть V — силовская 3-подгруппа из (w, г), содержащая и. Тогда Z(V)
< CQ{U) = U и
V < С<з(^(У")) < С/. Поскольку элемент г сопряжен с некоторым элемен том из V, элемент г сопряжен и с некоторым элементом из U. Поэтому существует инволюция s E G, для которой г 5 = г"""1. Отсюда (s, г) ~ 5з. В частности, можно считать, что г = и. Следовательно, п. а, б и в доказаны. По лемме 4 элемент t содержится в центре группы N/C} N/C
поэтому
будет 2-группой. По лемме 12 группа N/C изоморфна подгруппе
340
В. Д. Мазуров
группы кватернионов порядка 8. Поскольку группа N локально конечна, подгруппа С обладает дополнением Т в JV, и п. г доказан. Если 1 ф и, v е С и и9 = v, то v € С П С9 и С9 < CG(v) = С. Следовательно, п. д верен. Предположим, что все элементы порядка 3 из С сопряжены. По п. д \С\ = 1 + |Г| ^ 9. Так как С является 3-группой, то \С\ = 3 или \С\ = 9, и выполняется (i) или (ш). Предположим, что существует элемент порядка 3 в С, который не сопряжен с г, и пусть щ £ С, г 6 / , — представители всех классов сопря женных элементов порядка 3 из (?, не сопряженных с г. Если up С С, то С = Cc{uf)
— нормальная подгруппа в G, N = G, и по п. г в G нет
элементов порядка 5. Итак, и?1 $ С для некоторого элемента #,• € G. По лемме 16 подгруппа А = (г, ttf) конечна. Если А является 3-группой, то Z(A)
< CG(r) = С и wf € C G ( # ( A ) ) < С, что неверно. Если А явля
ется {2,3}-группой, то по лемме 12 порядок силовской 3-подгруппы из А равен 3 и поэтому элемент г сопряжен с щ. Если же порядок силовской 3-подгруппы из А отличен от 3 и Л не является {2,3}-группой, то, по леммам 9 и 14, А ~ А&. В этом случае существуют элемент а, 6 А, для которого wfа$ € С,- = Сд(г), подгруппа Т, порядка 4 в NA(C{)
^ iV такая,
т
что (г *) = С,, и любой элемент из С, сопряжен элементом из Т, либо с г, либо с щ. Можно считать, что Т, < Т. В частности, | / | = 1, если \Т\ = 4, и | / | < 3, если |Г| = 8. Так как С = {1} U г т U {uf | t € / } , то \С\ = 9, если |Г| = 4, и |С| ^ 1 + 8 + 8|/| ^ 33, если |Г| = 8. Если \Т\ = 4, то верно (ii). Предположим, что |Г| = 8. По п. г, группа Г действует на С регуляр но, и поэтому \С\ = 1 + 8Аг для некоторого натурального числа к. Отсюда \С\ = 9. В этом случае все элементы порядка 3 из С сопряжены. По п. б верно (Ш). Лемма доказана. ЛЕММА
19. Группа G содержит подгруппу Н такую,
02(H) ф 1 и фактор-группа Н/02(H)
что
изоморфна группе S3.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. По лемме 12 выпол няется
О группах периода 60 с заданными порядками элементов
341.
(19Л) любая нетривиальная {2,3}-подгруппа группы G содержит нетривиальную
нормальную силовскую подгруппу.
Пусть г — элемент порядка 3 из G и С = CG(Г). ПО лемме 18 выпол няется (19.2) \С\ ^ 9 и N = NG(C) = СТ} где Т является
нетривиальной
2-подгруппой, действующей регулярно на С при сопряжении. Бели 02(G) ф 1, то Я = 02{G)N
является {2,3}-подгруппой из С?,
в которой вопреки (19.1) нет нетривиальных нормальных силовских под групп. Поэтому (19.3) 02(G) = 1. Пусть х — элемент порядка 4 из G \ N. По лемме 16 подгруппа А = = (я, г) конечна. Если группа Л содержит элемент порядка 5, то по лем ме 14 подгруппа А содержит искомую подгруппу. Поэтому А является {2,3}~группой и по лемме 12 (19.4) подгруппа А = (<£,г) является {2,3}-группой, обладающей нетривиальной нормальной силовской подгруппой. Если силовская 3-подгруппа Д из А нормальна в А, то г Е R и по лемме R
По лемме 3
порядок элемента х = ut четен и, следовательно, равен 4. По лемме 3, хг = ж" 1 , и по (19.4), (19.5) подгруппа А = (г,ж) является ^-инвариантной {2,3}~группой, обладающей нетривиальной нормальной силовской 2-подгруппой. Таким образом, (A,t) — {2,3}-подгруппа, не содержащая нетри виальных нормальных силовских подгрупп, что противоречит (19.1). Предположим теперь, что все инволюции из G сопряжены. По (19.6),
342
В. Д. Мазуров
t содержится в элементарной абелевой подгруппе V порядка 4. Если \С\ = 3, то пусть х — элемент порядка 4 такой, что х2 = t. Тогда х $ N и по (19.5) подгруппа А = (я, г) обладает нормальной силовской 2-подгруппой. Это невозможно, поскольку [t,r] не является 2-элементом. Следователь но, \С\ > 3, и по (19.2), \С\ = 9. Так как подгруппа Co(t) локально ко нечна, то подгруппа W = (V,T) конечна, и поэтому WQ = iV^(T) /
Т.
По лемме 18, если \Т\ = 4, то 0 содержит подгруппу, изоморфную Лв, и поэтому содержит искомую подгруппу. Следовательно, \Т\ = 8, и поэто му подгруппа Wo содержит инволюцию v, отсутствующую в Г. Посколь ку все инволюции сопряжены, для некоторого х € G \ N выполняется х2 = v. По (19.5) подгруппа А = {#, г) обладает нормальной силовской 2-подгруппой, тогда и подгруппа -В = (и, г) обладает нетривиальной нор мальной силовской 2-подгруппой. Так как элемент t централизует v, то В является ^-инвариантной подгруппой. Теперь B(t) — искомая подгруппа. Лемма доказана. Л Е М М А 20, Группа G содержит нетривиальную
элементарную
абелеву 2-подгруппу V такую} что N = NQ(V) = VC для подгруппы С, изоморфной 5з или А$. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 19 в группе G имеется конечная подгруппа Я такая, что 02(H) ^ 1 и Н/02(Н)
~ S3. По лемме 11 под
группа 02(H) элементарная абелева. Пусть V = CG(02(H)). ляется 2-группой, 02(VH)
= V и VH/V
элементарная абелева. Пусть N = NQ(V).
Тогда V яв
~ S3. По лемме 11 подгруппа V Тогда V < 02(N) < CQ(V)
= V
и, следовательно, 02 (N) = V. Если JV является {2,3}-группой, то, по лемме 12, N/V
~ 5з, и за
ключение леммы верно. Пусть подгруппа N содержит элемент порядка 5. Если в N/V нет элементов порядка 4, то u(N/V) N/V
= {1,2,3,5}, и по лемме 9,
~ As. В этом случае по лемме 13 заключение леммы верно. Поэто
му можно считать, что u(N/V)
= {1,2,3,4,5} и N/V удовлетворяет всем
условиям теоремы. По лемме 19 фактор-группа N/V содержит подгруппу Hi такую, что 02(-Hi) ф 1 и # j / 0 2 ( # i ) ~ S3. Полный прообраз X подгруп пы Hi в N удовлетворяет условиям леммы 11, и поэтому подгруппа 02 (X)
О группах периода 60 с заданными порядками элементов
343
элементарная абелева. Поскольку V < 02 РО? то Ог(Х) < CG{V) = У и 02(Н\) = 1. Получили противоречие, лемма доказана. Пусть далее У, N и С означают подгруппы из заключения леммы 20. Л Е М М А 2 1 . CG{V) < N для любой инволюции и £ У. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. Пусть v — инволю ция из У, для которой CG(V) 0 N. Заметим, что CQ{V) является 2-группой и V < CG{v). Пусть t £ CG(v)
\CN(V).
Предположим, что подгруппа У конечна. Тогда У нормальна в CN(V) и подгруппа (CAT(I>),£) конечна. Можно считать, что t Е NG{CN(V))
И
t2 £
6 Сдг(и). Поскольку У ^ У У < iV, существует элемент я Е У* \ У. По лемме 13, \Cv(x)\2
= |У|. Так как У П У < CV(a?)> то | У У / У | 2 = | У / У П
ПУ| 2 ^ |У : CV(*)| 2 = |V|. Поэтому |У| ^ 4 в случае С ~ 5 3 и |У| ^ 16 в случае С ~ А$. Отсюда VV1 — силовская подгруппа в N и, если и £ V е \ V , то и централизует в У только элементы из У П У*. Следовательно, если w € У \ У, то (uw)2 = [w, w] ^ 1. Отсюда (21 Л ) любая инволюция из VlV содержится в V или в V1. Покажем, что (21-2) t2 Е У П У . Действительно, если t2 ф 1, то t2 — инволюция в VlV и по (21.1) выполняется t2 £ V ИЛИ t2 Е Vt. Тогда t2 = (£2)* е У П У. Выберем элемент w £ V \Vl
P^V. Тогда [w, u'] ^ 1 и (tu)2 = tutu =
= £2w*u. Поскольку по (21.2) справедливо t2 £ У* П У, то £2 централизует u и we. Следовательно, (£u)4 = tA(ulu)2
= (u'u) 2 = [w',«] ^ 1. Поэтому
£w — элемент порядка 8. Это невозможно, и лемма доказана для конечной подгруппы У. Пусть группа У бесконечна. Пусть VQ — конечная подгруппа из У, порядок которой больше 16 и которая нормальна в N. Тогда Со(Уо) == V и NG{V0) = iV. Пусть Ух -~ дополнение к У в CW(v) и t Е
C(v)\N.
Тогда |УХ| ^ 4, У2 = (VojVi,v,*) < Со(г>), И поэтому У2 — конечная 2-группа, не содержащаяся в N. Пусть Уз = У2ПН и У4 = ЛГу2(У3). Тогда У4 ^ У3. Пусть П = ^ П У3. Тогда У3 = У5У1 и |У3 : У5| < 4. Выберем элемент ж Е V4 \ У3 так, чтобы х2 Е У3. Если У5* < У, то У6 =
(V^)
344
В. Д. Мазуров
будет ж-инвариантной подгруппой из V, содержащей V0. Следовательно, CG(VS)
= V и подгруппа V является х-инвариантной, что неверно. Итак,
существует элемент w E Vg \ V, который централизует в Vs подгруппу Vef П V5 индекса \VbVg : Vb\ ^ |^ 3 : V5\ ^ 4. Поскольку V& < V5, то, по лемме 13, |Vo : Cy0(w)\ > 4. Получили противоречие, лемма доказана. Л Е М М А 22. Если подгруппа V конечна, то заключение
теоремы
верно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть v - инволюция в V. По лемме 21, < -Я"- Следовательно, подгруппа CG?(W) конечна. По лемме б группа
CG(V)
G локально конечна и заключение вытекает из леммы 14. Далее мы считаем, что подгруппа V бесконечна. Л Е М М А 23. Если \фи,
v eV и ид — v, то д е N. В частности,
не все инволюции из V сопряжены в G. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку t; € VDV9, то V* < CG(v) < N по лемме 21. Если д $ N, то Vя ф V и подгруппа V9V/V
конечна. Однако,
если w в V*\V, то \V : Cv(w)\ ^ \V : Vg(lV\ = \VeV/V\, что противоречит лемме 13. Лемма доказана. Пусть R — силовская 3-подгруппа из С и t — инволюция из Nc(R)Л Е М М А 24. Любая инволюция и Е Н \V сопряжена с t в Н. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Существует элемент п n
(u,u )V
п
~ 5з. Тогда порядок элемента ии
€
N такой, что
равен 3, (и, ип) ~ 5з и ин
волюция w сопряжена с инволюцией из NN{R) = Nc(R)- Лемма доказана. Л Е М М А 25. Выполняется CG(*) < N . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Уо ~ такая конечная подгруппа группы Cv(t),
что |V0| ^ 8. Пусть с е Cc?(t) \ N. Тогда подгруппа Vi =
(cyV0lt)
является конечной 2-группой. Пусть Vi = CViW))- Тогда Уг < N и Т^ = = (t) X F3, где Vo < V3 < V. Поскольку V2 ^ Vi, существует подгруппа ^2 < V^ < Vi, для которой IV4 : V^l = 2, и V4 централизует некоторый нетривиальный элемент в V3. Тогда V4 < N и V4 = Vs X (£), где V5 > V3. Это невозможно, и лемма доказана. Л Е М М А 26. Если х е N,mo CG(x) < N.
О группах периода 60 с заданными порядками элементов
345
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Это утверждение — непосредственное след ствие лемм 21, 24 и 25. Л Е М М А 27. Имеет место N = G. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что N ф G. Тогда N не может содержать все инволюции из G. Пусть и — инволюция из G \ N. По лемме 23 существует инволюция v € V, не сопряженная с и. По лемме 3 порядок элемента vu четен и г; централизует инволюцию w G (vu). По лемме 21, w е N. Поскольку и € CQ{W),
ТО
и 6 N по лемме 26, вопреки выбору
инволюции и. Лемма и теорема доказаны. Заключительное замечание. Эта работа — один из результатов общения с Нараином Гуптой, своевременные замечания которого способ ствовали ее быстрому завершению. Без него эта статья либо вообще не была бы написана, либо появилась бы значительно позже. Примечание при корректуре. М.Ньюмэн заметил, что пункт (и) теоремы можно уточнить: подгруппа V представляет собой прямое произведение минимальных нормальных в G подгрупп порядка 16, каж дая из которых является естественным двумерным модулем для группы 5Х/2(4) ~ С.
ЛИТЕРАТУРА 1. F. Levi^ В. L. van der Waerden, LFber eine besondere Klasse von Gruppen, Abh. Math. Semin. Univ. Hamb., 9 (1932), 154-158. 2. В. Н. Neumann, Groups whose elements have bounded orders, J. Lond. Math. Soc, 12 (1937), 195-198. 3. И. H. Санов Решение проблемы Бернсайда для показателя 4, Учен. зап. Ленингр. гос. ун-та, сер. матем., 10 (1940), 166—170. 4. М. Hall Jr., Solution of the Burnside problem for exponent six, 111. J. Math., 2, N 3 (1958), 764-786. 5. M. F. Newman, Groups of exponent dividing seventy, Math. Sci., 4 (1979), 149— 157. 6. A. X. Журтов, В. Д. Мазуров, Распознавание простых групп £2(2 m ) в клас се всех групп, Сиб. матем. ж., 40, N 1 (1999), 75—78.
346
В, Д
7. N.D.Gupta,
Мазуров
V.D.Mazurovy On groups with small orders of elements, Bull,
Aust. Math. Зое, 60, N 5 (1999), 197-205. 8. M. Suzuki^ Finite groups with nilpotent centralizers, Trans. Am. Math. Soc, 99, N 3 (1961), 425-470. 9. M.Suzuki> On a class of doubly transitive groups, Ann. Math. (2), 75, N 1 (1962), 105-145, 10. B.Huppert,
Endliche Gruppen I (Grundlehren Math. Wiss,, 1), Berlin,
Springer-Ver lag, 1967. 1L В,П.Шунк0б,
О периодических группах с почти регулярной инволюцией,
Алгебра и логика, 11, N 4 (1972), 470-493. 12. В.Н.Меитапщ
Groups with automorphisms that leave only the neutral
element fixed, Arch, Math., 7, N 1 (1956), 1-5. 13. F. W. Ьещ Groups in which the commutator operation satisfies certain algebraical conditions, J. Indian Math. Soc., Ser. 6 (1942), 87—97. 14. M.Schonert,
et a/, Groups, algorithms and programming, Lehrstuhl D fur
Mathematik, RWTH Aachen, 1993. Адрес автора: МАЗУРОВ Виктор Данилович, РОССИЯ, 630090, г. Новосибирск, просп. АкадгКоптюга, 4, Институт математики СО РАН. e-mail:
[email protected]
Поступило 5 января 2000 г.