Netzberechnung - Berechnung stationärer und quasistationärer Betriebszustände in Elektroenergieversorgungsnetzen

(1-12)

S* P - i Q . = ^ = — j ^ e " “ = (Jw+ j / b) e « \

(1.13)

I

13

Aus Gl. (1.13) und Bild 1.4 ist auch ersichtlich, daß nur für (pu = 0 (U liegt in der reellen Achse) Iw = I± und Ib = I±± wird (Übereinstimmung von Wirk- und Real- und Blind- und Imaginärteil). 1.4

Bild 1.4 Vorzeichen der Leistungen nach den VZS bei verschiedenen Phasenwinkeln zwischen Strom und Spannung

Bezogene Größen

Bezogene oder sogenannte p.u.(per unit)-Größen sind eine sinnvolle Form der Parameterangabe. Beispiele sind die Kurzschlußspannung eines Transformators oder die Reaktanzen der elektrischen Maschinen. In bezogener Form liegen die Parameter innerhalb enger Wertebereiche und lassen sich deshalb gut merken und auf Plausibilität überprüfen. Das Rechnen mit bezogenen Größen war aufgrund ihres engen Wertebereichs auch bei Analogrechnern und den ersten Digitalrechnern mit ungenügendem Zahlenbereich erforderlich. Heute liegt die praktische Bedeutung hauptsächlich nur noch in der Möglichkeit, sich schnell ein Bild von den quantitativen Verhältnissen zu machen (Ergebnisinterpreta­ tion, maßstäbliche Zeigerbilder, Überschlagsrechnungen). Von den Bezugsgrößen sind nur zwei frei wählbar. Die anderen ergeben sich dann zwangsläufig. Wählt man z.B. Uq und

Sb ,

so folgt: SB ( IB = — I bzw.

uB\

Sb \ _ -j. im Dreileitersystem I , 3 uB )

uB ui ( 3 u i\ (b™' s r ) Bild 1.5

^

Positive Zählrichtungen nach dem Verbraucherzählpfeilsystem

1 Zb ,

(1-18)

P = ~ = I cos cp ,

Wirkstrom,

(1-14)

<2 Ih = —— = —I sirup , Blindstrom,

(1-15)

(1.20)

Als Bezugsspannung und Bezugsleistung werden oft, bei Parameterangaben gene­ rell, die Bemessungsgrößen eines Betriebsmittels verwendet. Dabei ist zu beach­ ten, daß bei Dreileitersystemen UB = U J ] / 3 eine Strang- oder Leitergröße!) und SB= Sr die Gesamtleistung darstellt.

und: P = UIW= UI cos

Wirkleistung,

(1-16)

Q = — U4 = U I sin cp , Blindleistung,

(1-17)

14

') Der Begriff Leiter für Strang setzt sich immer mehr durch, ist jedoch z.B. bei den elektrischen Maschinen umstritten.

15

Der Bezugsstrom ist dann der Bemessungsstrom IB= Ir, und die bezogene Im­ pedanz wird als Bemessungsimpedanz ZB= Z r bezeichnet. Die Normierung der Spannungsgleichung U = Z I ergibt: U

Z

L/qc

Z I

4/qb

(L21) bzw.:

- e -

Kia Üb |ZI

1_L

M Generator / Netz

M=Äl=(r+jx)i.

(1.22)

Bezogene Größen werden i.a. klein geschrieben, wobei keine Verwechselung mit den rotierenden Amplitudenzeigern u und T, die hier vereinbarungsgemäß nicht mehr Vorkommen, erfolgen darf. Man sieht, daß sowohl R als auch X auf Z B bezogen werden: R r=—

und

X x = — in p .u . oder % , Zb

wobei der Vermerk p. u. oft weggelassen wird. So wird z. B. die synchrone Längs­ reaktanz eines Synchrongenerators in den Formen:

Bild 1.6

Übertragungselement

Abnehm er

Einseitig gespeistes Dreileitersystem

Zu Bild 1.6 gehört folgende Spannungsgleichung in Matrizenform: C/a Ub = Zbn u j -Zca

Uqa la Zab Zac Zbb Z h* Ib + ü qb Lc/qJ Zcb Zcc- L i J

(1.23)

oder in Kurzform: x d = 2,0 (p. u.)

oder

x d = 200% U=Z±+uq

angegeben. Es versteht sich dann von selbst, daß die Bezugsgrößen die Bemes­ sungsgrößen dieses Generators sind. 1.5

Symmetrisches Dreileitersystem

Die prinzipielle Struktur eines einseitig gespeisten Dreileitersystems zeigt das Bild 1.6. Es besteht aus einer dreiphasigen Spannungsquelle, einem Übertra­ gungselement und einem Abnehmer. Die Spannungsquelle wird ideal, d.h. ohne Innenwiderstände, angenommen. Tatsächlich immer vorhandene Innenwider­ stände kann man sich für die folgenden prinzipiellen Überlegungen dem Über­ tragungselement, das stellvertretend für Transformatoren oder/und Leitungen steht, zugeschlagen denken. Auch genügt es, die immer vorhandenen induktiven Kopplungen zwischen den einzelnen Leitern nur beim Übertragungselement zu berücksichtigen.

16

Ein symmetrisches Dreileitersystem enthält nur symmetrisch aufgebaute Betriebs­ mittel (geometrische Symmetrie) und wird symmetrisch gespeist und belastet (elektrische Symmetrie). Im vorliegenden, einfachen Beispiel bedeutet geometri­ sche Symmetrie eine diagonal-zyklisch-symmetrische Impedanzmatrix mit: —cc '

(1.24)

2ab = Zba = Zbc : =Z eh= Z r

(1.25)

_ aa ^bb

wobei mit Zs die Selbstimpedanz und mit Z g die Gegenimpedanz eingeführt wird. Elektrische Symmetrie bedeutet für die Quellenspannungen (Bild 1.7): Un

-ua ,

(1.26)

Uqb = Uqe 3 = a 2 t/q:

(1.27)

Uqc = E/q e 3 = a U q ,

(1.28) 17

Bild 1.7

Zeigerbild der symmetrischen Quellenspannungen

und somit: (1.29)

Uqa + u qb + u qc= o , und für die Abnehmerspannungen mit Z La = Z Lb = Z Lc = ZL: U '= - Z LI ;

(1.30)

Ub= —Z h l b >

(1.31)

t/c=-ZLIc,

(1.32)

Setzt man die Gin. (1.26) bis (1.32) in Gl. (1.23) ein und berücksichtigt die geo­ metrischen Symmetriebedingungen Gin. (1.24) und (1.25), so ergibt die Summe der drei Zeilen von Gl. (1.23): ~~Z L( I a + J b + I 0) —Z s(I a + I b + I C) + 2 Z g(J a + J b + I c) —0 .

Lc/J

0 Z

0 "~ 0

_0 0 z_

bzw. « = d iag (Z )/ + Mq . 18

la Ib + _ IJ

(1.34)

s = s a + s b+ s c = s u : + u a i + Uo£ = 3U

t/qa t/qb LUqJ

(1.36)

umfaßt aber die Wirkung aller drei Leiter. Für die Dreileiterleistung folgt unter Beachtung der Symmetriebedingungen (Bild 1.8):

und deshalb für jeden Leiter: ~Z u. Ub = 0

Z = Zs- Z g

(1.33)

Wegen Z L und Z s + 2 Z g # 0 folgt aus Gl. (1.33) die Bedingung: Ia+ Ib + Ic= 0

Die drei Spannungsgleichungen des symmetrischen Dreileitersystems sind ent­ koppelt. Die in jedem Leiter wirksame Dreileiterimpedanz:

(1.35)

l e

=3

tu

: =3

u r

= Sej* = p + j Q = s cos
(1.37)

Die Gin. (1.35) und (1.37) zeigen die Möglichkeit auf, das symmetrische Dreileitersystem durch eine Strang-Ersatzschaltung (Bild 1.9), zu dem ein Strang­ Zeigerbild (s. Bild 1.8) gehört, zu repräsentieren. Der dafür verwendete Leiter wird als Bezugsleiter bezeichnet. Es ist i. a. der Leiter a. Der Index a wird an den elektrischen Größen dann aber meist weggelassen. Zu beachten ist aber, daß gewöhnlich zwar mit Leitergrößen, aber mit der Dreileiterleistung gerechnet wird. Zur Vermeidung unnötiger Multiplikationen verwendet man dann in Rechenprogrammen gern als interne Größen Außen19

Ersetzt man die natürlichen Größen in Gl. (1.23) durch die modalen Größen, so erhält man: In

(1-42)

U m = ^ 2 m 1 m + 2 m i*qM

und unter der Bedingung, daß J Mumkehrbar ist: «M = 2m * Z T M_iM+ UqM

z

(1-43)

oder: Mm = 2 m !m + äqM •

Bild 1.9

Die Transformationsmatrix ist nun so zu bestimmen, daß Z M eine Diagonal­ matrix wird. Also muß gelten:

Strangersatzschaltbild für das symmetrische Dreileitersystem

Z m = I m 1 Z 2m

leiterspannungen und j/j-fache Ströme, mit denen sich die Leistungsgleichung wie folgt schreibt:

- +M

*M

(1-38)

± 21 •± 31

1.6

Koordinatentransformation

Ist das symmetrisch aufgebaute und symmetrisch gespeiste Dreileitersystem nicht mehr symmetrisch belastet, so gilt i.a. nicht mehr die Beziehung Gl. (1.34), nach der sich die Summe von zwei Strömen jeweils durch den negativen dritten Leiterstrom ausdrücken läßt, und demzufolge kann die Spannungsgleichung nicht in die entkoppelte Form von Gl. (1.35) überführt werden. Um dennoch eine entkoppelte Form zu erreichen, sollen die in den Vektoren u, ± und «q zusam­ mengefaßten natürlichen Größen durch neue, sogenannte modale Größen ersetzt werden. Zwischen den natürlichen und noch näher zu bestimmenden modalen Größen soll die Transformationsmatrix TMvermitteln: « —Im Um >

(L39)

i

(L4°)

Uq = lM!lqM-

(1-41)

20

=

d iag Q i

A2 A3 ) .

(1-44)

Die Aufgabenstellung ist aus der Matrizenrechnung als Hauptachsentransforma­ tion bekannt. Die Diagonalmatrix A wird auch als Spektral- oder Modalmatrix und ihre Elemente A; als Eigenwerte von Z bezeichnet. Die gesuchte Transformationsmatrix hat die allgemeine Form: ± 11

S==(]/3L/) - ( |/ 3 /*)-

=4

*.M -

±12

± 13

±22

—2 3

±32

u?

—2

in .

(i.45)

*M

± 33"

D ie ii* ,!!1 u n d ij1 sind die Eigenvektoren von Tu . Zur Bestimmung von TM wird Gl. (1.44) zunächst umgestellt in: ZI

m r : Tm A

.

(1-46)

Diese Form führt auf den Ansatz zur Bestimmung der drei Eigenwerte und Eigenvektoren: Z t M= t m X

(1.47)

bzw. ( Z - X E ) t M = o.

(1.48)

21

Aus der Lösungsbedingung für Gl. (1.48): d e t { Z — X E ) = 0 folgt das charakteri­ stische Polynom für die Bestimmung der Eigenwerte:

d e t(Z —Als) =

Zs X Zg Zg Zg Z s —X Z g = (Zs - A)3 —3 Z 2(Zs - X ) + 2 Z g3 = 0 Zg Zg Zs —X

f —2 Z g

L

Die Lösungen von Gl. -(1.49) lassen sich mit der Formel von Cardani ermitteln und sind: Ai = Z S Z g —Z ,

(1.50)

Ä2 = Ai >

(1.51)

2:3 = Zs + 2 Z g .

(1.52)

rz. z g LZg

Zg Zg z g

1

Ze

=

=0

(1.53)

=0.

(1-54)

_l31_

Z J

und:

1

[Z g z g i z s

Zg

z g

r ±12 tMi

z j

_±32_

±22

2 g

(1.57)

—1:33—

Nach der Vorgabe eines beliebigen Elements lassen sich die beiden anderen als Funktion des Vorgegebenen berechnen. Man erhält daraus die Bedingung M

fM -' Il3

(1.58)

-33

Da die Bedingungen nach Gin. (1.55), (1.56) und (1.58) die Elemente tfk der Transformationsmatrix 2m nicht näher bestimmen, sondern nur bestimmte Rela­ tionen zwischen ihnen festlegen, sind mehrere Möglichkeiten für die Konstruk­ tion von J Mgegeben.

1.7

In

fM

z g

Zg - 2 Z gJ

r ±13 n fM ±23

0

'■

r fM n 1 21

Z J - 2Zg

(1.49)

Zu jedem Eigenwert X{ gehört nach dem Ansatz von Gl. (1.48) (Z ein Eigenvektor . Mit X1 = X2 = Zs —Z g erhält man so für und

pür l 3 = Z s + 2 Z g bekommt man aus Gl. (1.48) das einfach überbestimmte Gleichsystem für f“ :

Die Gin. (1.53) und (1.54) sind so überbestimmt, daß jeweils zwei Elemente der Eigenvektoren l “ und beliebig vorgegeben werden können. Aus jeder Zeile der Gin. (1.53) bzw. (1.54) ergeben sich dann die Bedingungen

Komponentensysteme

Jede Matrix, deren Elemente die Gin. (1.55), (1.56) und (1.58) erfüllen, sind mögliche Transformationsmatrizen. Zu beachten ist aber, daß die Gin. (1.55) und (1.56) unabhängig voneinander erfüllt werden, damit die erforderliche Umkehr­ barkeit der Transformation gewährleistet ist. Die Transformation überführt die natürlichen Komponenten in modale Komponenten. Am bekanntesten sind die symmetrischen Komponenten (oder 1, 2, O-Komponenten) und die Diagonal­ komponenten (oder a, ß, O-Komponenten). Die Transformationsmatrix Ts der symmetrischen Komponenten entsteht durch die Vorgaben von: Iii= l

und i f 1= a 2

sowie: 1*2

= 1 und i | 2 = a.

Um den Gin. (1.55) und (1.56) zu genügen, muß dann: & 1 + & 1 + I 31=0

(1.55)

lli= a

bzw. A + £22 +132 = 0 .

(1.56)

und l 3 2 = a 2

sein, denn es gilt stets 1 + a + a 2 = 0. Die Gl. (1.58) wird durch die Wahl von: ts _ t s _ t s

1

—13 —±23 ~ ±3 3 — 1

22

23

erfüllt. Geordnet ist dann:

und Uq2 = UqO= 0. (1.59)

Js =

Die Inverse zu J s existiert und lautet: 1 a a 1 a2 a 1 1 1

(1.60)

(1.66)

Durch die Transformation wurde erreicht, daß solange keine Aussage über den unsymmetrischen Abnehmer gemacht wird, die drei Gin. für die einzelnen Kom­ ponenten entkoppelt sind und durch drei unabhängige Ersatzschaltungen wie in Bild 1.10 dargestellt werden können. Der Vergleich der Ersatzschaltung für das Mitsystem mit der Strangersatzschaltung in Bild 1.9 macht deutlich, daß beide Ersatzschaltungen identisch sind.1) Bei symmetrischer Belastung treten die Gegen- und Nullkomponenten nicht in Erscheinung. Sie drücken demzufolge nur die Abweichungen vom

Analog zur Gl. (1.43) schreibt man die transformierte Spannungsgleichung im Bildbereich der symmetrischen Komponenten: (1.61)

: ^ s i s + “qs oder ausführlich: C/i Ü2 = Lc/o J

Zi 0 0

0 0

0 0

ll

Zo­

L lo J

h

r ^ +

i

u q2 L t / qo J

Die mit den Indizes 1, 2 und 0 bezeichneten symmetrischen Komponenten werden als Mit- (Index 1), Gegen- (Index 2) und Nullkomponente (Index 0) bezeichnet. Sie sind anstelle der natürlichen Komponenten Ga, Gb und G0 getreten. Für die eigentlich in der Diagonale der transformierten Impedanz­ matrix Z s stehenden Eigenwerte ist es üblich, Impedanzen einzuführen. Diese sind Ä i = Z s~ Z g = Z 1 ,

Mitimpedanz,

(1-62)

A2 = Z s —Z g = Z 2 ,

Gegenimpedanz,

(1.63)

i 3 = Zs + 2 Z g = Z 0 ,

Nullimpedanz.

(1-64)

Bild 1.10 Ersatzschaltungen für die symmetrischen K om ponenten a) Mitsystem, b) Gegensystem, c) Nullsystem

Die Mitimpedanz Z l ist mit der Dreileiterimpedanz Z nach Gl. (1.36) identisch. Mit Hilfe der Gleichung wqS = Ts uq kann man sich davon überzeugen, daß für symmetrische Quellenspannungen nach Bild 1.7 gilt: Uql = E/q 24

(1.65)

‘) Durch die Festlegung leiter.

= i f 2 = i f 3 = 1 (1. Zeile in J s) wird auch hier der Leiter a zum Bezugs­

25

symmetrischen Normalzustand aus. Dieser Eigenschaft verdanken die symme­ trischen Komponenten ihre hohe Anschaulichkeit und große praktische Be­ deutung. Für die Leistung:

sowie: ß 2= 0

s = u ai : + u b i i + U o i : = M r i

und Ä 2 2 :

(i.67) Es muß dann:

folgt mit: «T = « I ls T ,

(1-69)

tD ■

I 31 '

‘

1+

1 1 2~ ~2

(1.69)

ES -iS 1

und

s = ä l I I H ü = 3 « I is = 3 u a \ + 3 u 2£ + 3 U0 I*0 .')

(1.70) 1t3D 2 '-

Vergleicht man die Leistung nach Gl. (1.70) mit der Beziehung & = «lis* = U, 11 + u 2 II + U0r 0 = ^ S ,

(1.71)

so wird sichtbar, daß die Transformation mit J s nicht leistungsinvariant ist. Leistungsinvarianz wird erzielt, wenn die Eigenvektoren so gewählt werden, daß af)Ti r = i wird. Die sich so ergebende und mit dem Index 0 gekennzeichnete leistungs­ invariante Transformationsmatrix und ihre Inverse unterscheiden sich von den leistungsvarianten durch: T$= ±= IS,

=0j / L

_/3

werden. Der dritte Eigenvektor bleibt wie bei fast allen Transformationsmatrizen der Einheitsvektor. Die so entstehende Transformationsmatrix: 1

1 "2

(1.72)

1 '2 transformiert die natürlichen Komponenten in die Diagonal- oder a, ß, 0Komponenten. Die Transformationsmatrix J D und ihre Inverse J ö 1 sind im Gegensatz zu Ts und J s~1 reell.

1 /3

Eine andere denkbare Vorgabe der freien Elemente der beiden ersten Eigen­ vektoren ist: t D - —* 121 “ 2

')

Beachte die Zusammenhänge: J

26

/ = 37 "

'* und

r / J s = 3 ( J S 1 J s) * = 3 £ .

27

2

Ersatzschaltungen der Betriebsmittel

2.1

Synchronmaschinen

2.1.1

Mitsystemersatzschaltungen

Strangersatzschaltungen und damit auch Ersatzschaltungen für das Mitsystem der symmetrischen Komponenten können für Synchronmaschinen nur unter der Annahme gleicher Reaktanzen in den beiden Läufersymmetrieachsen d und q {Längs- und Querachse) angegeben werden, d.h., die elektromagnetische Läu­ feranisotropie muß vernachlässigt werden. Für die Kurzschluß- und Stabilitäts­ berechnung ist diese Näherung durchaus vertretbar, und bei der Leistungsfluß­ berechnung interessiert das »Innenleben« der Synchronmaschine nicht. Unter der Voraussetzung X " = X% (subtransiente Reaktanzen), X'^ = X'ä (tran­ siente Reaktanzen) und X q = X d (synchrone Reaktanzen) läßt sich für die Syn­ chronmaschine die für alle Betriebszustände (subtransient, transient und statio­ när) gleichermaßen gültige Ersatzschaltung für das Mitsystem in Bild 2.1 ent­ wickeln. Sie enthält sowohl die Polradspannung Up als auch die transiente Spannung U’ und subtransiente Spannung U" als mögliche Spannungsquellen, jeweils hinter den Impedanzen: Zd = -Ra+j^d>

Zd = Ra+ j^ d

oder

m-x")

j(Xd-X'd)

R* +jK

U"

u'

u,

01 ----------------------------------------------------subfransienter

\_________________________________ / V transienter

X-------------------------------------- v------------------------------------- , sta tio n ä re r Zustand

Bild 2.1

Allgemeine M itsystem -Ersatzschaltung für die Synchronmaschinen

29

Z'd=Ra+jX'ä ■ Welche der drei Spannungen als Spannungsquelle fungiert, hängt vom Berech­ nungsziel mit seinem Betrachtunszeitraum ab.

o

Subtransienter Zustand Der subtransiente Zustand ist der Anfangszustand unmittelbar nach einer Stö­ rung (s. Bild 1.1). Beim Übergang vom stationären zum subtransienten Zustand bleiben stets die Läuferflußverkettungen und der Polradwinkel noch unveränder­ lich. Da die subtransiente Spannung ausschließlich eine Funktion der Läuferfluß­ verkettungen und des Polradwinkels ist, bleibt sie für diesen Übergang als einzige von den vier Spannungen im Bild 2.1 zunächst unveränderlich und bildet für diesen Zustand eine zweckmäßige, weil aus dem vorangegangenen stationä­ ren Zustand bekannte Spannungsquelle.x) Die entsprechende Ersatzschaltung ist in Bild 2.2a dargestellt. Sie repräsentiert die aus Bild 2.1 ablesbare Spannungs­ gleichung.

Ui=(Ra+iXa)h + W = Z l h +U" .

(2.1)

Löst man Gl. (2.1) nach der Mitkomponente des Ankerstroms auf, so erhält man die folgende Stromgleichung, auf der die äquivalente Stromquellenersatzschaltung in Bild 2.2b beruht: U, U" h = ^ - ^ r =n u l +I".

b)

a)

JL

l 1 u "

u

11

i

y i

1 r ;

Bild 2.2 M itsystem -Ersatzschaltungen für die Synchronm aschinen im subtransienten Zustand a) m it Spannungsquelle b) mit Stromquelle

Die jeweils rechts stehenden Werte gelten dabei für die höher ausgenutzten M a­ schinen größerer Leistung. Transienter Zustand

(2.2)

Der transiente Zustand schließt sich unmittelbar an den subtransienten Zustand an. Er wird durch die bis dahin noch annähernd konstant gebliebenen Flußver­ kettungen der Erregerwicklungen und der Dämpferquerachsenwicklung und den Polradwinkel geprägt. Diesen Größen ist die transiente Spannung in Bild 2.1 proportional, so daß sie eine geeignete Ersatzspannung für Vorgänge, die bis in den transienten Zustand reichen, darstellt. Bei Maschinen ohne wirksame Dämp­ ferwicklung tritt von vornherein die transiente Spannung anstelle der subtran­ sienten Spannung. Die zu Bild 2.2 analogen Ersatzschaltungen enthält Bild 2.3. Sie beruhen auf den Gleichungen:

(2.3)

U1= (R , +} X' a) I 1 + U' = Z'd Ii + U ' ,

Der in Gl. (2.2) und Bild 2.2b vorkommende Quellenstrom: V"

L"= —^ r = —YdU" —d

ist identisch mit dem Anfangskurzschlußwechselstrom. Als Richtwerte für die subtransiente Längsreaktanz X d und den Ankerwiderstand Ra, die die Mitimpedanz im subtransienten Zustand bilden, merkt man sich die bezogenen Werte: X j=0,12 ...0 ,2 5 , r. =0,004 ... 0,001 .

!) Prinzipiell könnte natürlich auch U' oder Up hinter der entsprechenden Impedanz als Ersatzspan­ nung verwendet werden. Nur sind diese Größen beim Übergang vom stationären zum subtransienten Zustand nicht konstant und bilden somit keine sinnvolle Ersatzschaltung.

30

h

U, U’ = ^ -^ 7 = J iE /i+ r,

(2.4) (2.5)

mit: r

= -% = -Y iW fed

(2 .6)

und werden z.B. für die Stabilitätsberechnung verwendet. Richtwerte für die transiente Längsreaktanz X'd sind die folgenden bezogenen Werte: Xd = 0,2... 0,5 . 31

b)

a)

o

u,

i'

Ö

0

Uy

01

01

Bild 2.3 M itsystem -Ersatzschaltungen für die Synchronm aschinen im transienten Z ustand a) m it Spannungsquelle b) m it Stromquelle

Bild 2.4 M itsystem -Ersatzschaltungen für die Synchronm aschinen im stationären Z ustand a) m it Spannungsquelle b) mit Stromquelle

■

l i - R a+)X2

Stationärer Zustand Der stationäre Zustand der ungeregelten Synchronmaschine wird läuferseitig durch den Erregerstrom und den Polradwinkel bestimmt. Beide Größen bilden die Bestimmungsstücke Betrag und Winkel der Polrad­ spannung Up. Mit der Polradspannung als Spannungsquelle bzw. dem Dauerkurzschlußstrom: I k= -

| E = - J d C /p

-2

U2

02Bild 2.5

Gegensystem-Ersatzschaltung für die Synchronmaschinen

( 2 .7 )

Die Ersatzschaltung gibt Bild 2.5 an. ergeben sich folgende Spannungs- und Stromgleichungen:

2.1.3 Nullsystemersatzschaltung

Ui = ( K + j ^ d) I t + Up = Z ä I 1 + Up ,

(2.8)

I i = | i - | E = J dt / 1+ I k fed Äd

(2.9)

und die zweckmäßigen Ersatzschaltungen in Bild 2.4 für den stationären Zu­ stand. Die synchrone Längsreaktanz X ä liegt in der Größenordnung:

x 0 = 0,02 ... 0,1 fü r Vollpolmaschinen, x 0 —0,03 ... 0,3 fü r Schenkelpolmaschinen.

x d= l , 2 ... 2,5 . 2.1.2

Ein Nullsystem baut ein reines Streufeld auf. In die Ersatzschaltung (Bild 2.6) ist auch eine mögliche, meist jedoch nicht praktizierte Sternpunkt-Erde-Verbindung einzubeziehen. Eine Sternpunkt-Erde-Impedanz ZME geht mit ihrem dreifachen Wert in die Ersatzschaltung für das Nullsystem ein. Die Nullreaktanz X 0 ist die kleinste der Reaktanzen und beträgt etwa:

Gegensystemersatzschaltung

Die Ersatzschaltungen für das Gegen- und Nullsystem sind passiv (s. Abschnitt 1.5). Da das Gegensystem ein invers rotierendes Drehfeld aufbaut, wirkt ihm neben dem Ankerwiderstand eine Reaktanz entgegen, die annähernd dem Mittel­ wert von X'ä und X" entspricht:

U 3Z.,. 00

X 2= \ ( X ^ + X " ) . 32

(2.10)

■

Bild 2.6

N ullsystem -Ersatzschaltung für die Synchronmaschinen

33

2.2 2.2.1

Tabelle 2.1:

Asynchronmaschinen

Param eter von Asynchronmaschinen

P aram eter in p. u.

Mitsystemersatzschaltungen

Von den Asynchronmaschinen können hier nur die Einfach-Käfigläufermotoren betrachtet werden. Für sie existiert kein subtransienter Zustand wie bei den Synchronmaschinen und Asynchronmaschinen mit Doppelkäfigläufer.

rs

N iederspannungsm otoren M ittelspannungsm otoren

0,04 ... 0,02 0,02 ... 0,004

0,12 ... 0,15 0,15 ... 0,25

Stationärer Zustand

Transienter Zustand Im transienten Zustand verhält sich eine Asynchronmaschine ähnlich wie die Synchronmaschine nach den folgenden Gleichungen bzw. den Ersatzschaltungen in Bild 2.7:

Im stationären Zustand kann U' nicht mehr als konstant angesehen werden. Es wird eine Funktion des Schlupfs und des Läuferstroms:

U1=(Rs +jX's) I i + U' = Z U i + U ' ,

(2.11)

l/'=jfl)fc«PL= - - f c Ä LlL . s

h

(2.12)

Um diese Abhängigkeit in der Ersatzschaltung nach Bild 2.7 a berücksichtigen zu können, wird diese unter Beachtung des Zusammenhangs: X^ = X a8 + k X ^

mit: U'

V

(2.14)

(2.13)

—s

N ur ist der Gültigkeitsbereich der Ersatzschaltungen mit konstanten Quellen auf­ grund der größeren Läuferwiderstände bei den Asynchronmaschinen bedeutend kürzer als bei Synchronmaschinen. Die bezogenen Werte für den Ständerwider­ stand R s und die transiente Ankerreaktanz liegen in den in Tabelle 2.1 angege­ benen Bereichen.

(2.15)

(XoS Ständerstreureaktanz, X al Läuferstreureaktanz, k = X h/(Xh + X ah) Koppel­ faktor) zunächst in die äquivalente Ersatzschaltung in Bild 2.8 nach den Regeln der Zweipoltheorie unter Beachtung des Zusammenhangs: I m= I i + I L= ^

(2.16)

umgeformt. Nun kann U' nach Gl. (2.14) ersetzt werden, und es entsteht die Ersatzschaltung nach Bild 2.9. Diese ist passiv und stellt für das Mitsystem eine schlupfabhängige Impedanz dar: Ui = Z i ( s ) h •

(2.17)

b)

a)

Rs f jXes

O

©

rs

01

Bild 2.7 M itsystem -Ersatzschaltungen für die Asynchronmaschinen im transienten Z ustand a) m it Spannungsquelle b) mit Stromquelle

34

VW

o

Bild 2.8

J*h

Äquivalente Ersatzschaltung zu Bild 2.7 a

35

ü .p i ' Zpslpl + «1 Usi —Z

I p l + ;•* —sl

Ml

(2.20)

I ! + U's

(2.21)

A Pl T^-Sl ■

Darin ist: Bild 2.9

2.2.2

M itsystem -Ersatzschaltung für die Asynchronmaschinen im stationären Z ustand

pi k 6 . --ü/ k - 30° ^ e '

..

Ml =

( 2 .22 )

rs

das komplexe Übersetzungsverhältnis für das Mitsystem, in dem k die Kennzahl der Schaltgruppe ist. Für die Gegensystemgrößen gelten die Gin. (2.20) und (2.21) sinngemäß, wenn anstelle üx das komplexe Übersetzungsverhältnis:

Gegensystemersatzschaltung

Die Ersatzschaltung für das Gegensystem enthält gemäß der Gleichung: (2.23)

M2 —-^1 U2 ^ ( R s + ) X £ I 2

(2.18) tritt. In Gl. (2.21) ist schon die Magnetisierungsimpedanz Z ml = Z m2 vernachlässigt, was im Mit- und Gegensystem immer gerechtfertigt ist. Mit den Gin. (2.20) und (2.21) läßt sich die Ersatzschaltung von Bild 2.10 bilden, in die zur Veranschau­ lichung noch die vernachlässigte Magnetisierungsimpedanz eingezeichnet ist. Löst man die Gl. (2.20) n a c h J pl und die Gl. (2.21) n a c h /sl auf, so findet man:

nur die Impedanz Z 2 = Äs +j-Xs • 2.2.3 Nullsystemersatzschaltung Die Spannungsgleichung für das Nullsystem lautet wie für die Synchronmaschi­ nen: (2.19)

Isl Die Ersatzschaltung besteht lediglich aus der Impedanz Z 0. Da die Sternpunkte der Asynchronmaschinen i.a. nicht geerdet sind, gilt in diesem Fall Z 0 —> co. 2.3 2.3.1

1

Mi

Mi

Zps üf

Zps

Z PS

Ipl II

t/0 = (i?s+ j* o + 3Z ME) I 0 = Z 0I 0 .

“

_

(2.24) C/sl

Transformatoren Mit- und Gegensystemersatzschaltungen

Die folgenden Ausführungen beziehen sich auf Zweiwicklungs-Volltransformatoren. Dreiwicklungstransformatoren können nach dem gleichen Prinzip behandelt werden. Es soll vereinbart werden, daß die Primärwicklung (Index p) stets mit der Oberspannungswicklung identisch ist. Zwischen Primär- und Sekundärwicklungsgrößen (Index s) im Mitsystem vermit­ teln die beiden grundlegenden Beziehungen:

p1

Zp

Z s

y^

S1

Up, 01

—

Bild 2.10 M itsystem -Ersatzschaltung des Zweiwicklungstransformators mit komplexem Übertrager

37

D a die Admittanzmatrix in Gl. (2.24) für alle Schaltgruppen außer YyO und Yy6 unsymmetrisch ist, läßt sich Gl. (2.24) nicht allgemein als Ersatzschaltung inter­ pretieren. Läßt man jedoch die Schaltgruppendrehungen der Mit- und Gegensystemgrößen außer Betracht, was in den meisten Berechnungsfällen möglich ist, so kommt man zu der für das Mit- und Gegensystem gleichermaßen gültigen Ersatzschaltung ohne Übertrager in Bild 2.11. Will man jedoch mit auf die Netzspannungsebene der Primärseite umgerechneten Sekundärgrößen (oder umgekehrt) rechnen, so muß man beachten, daß i.a. und auch durch die Wirkung der Transformatorregelung das Verhältnis der Netz­ nennspannungen nicht mit dem Übersetzungsverhältnis ü übereinstimmt. Schreibt m an: En

u„

■UNC,

77US \ TTOS TT u nN \ u nN u rs

(2.25)

so drückt der Faktor c die Abweichung der Spannungsverhältnisse voneinander aus. Er enthält demnach auch den Einfluß der Regelung und wird für quer- und schräggeregelte Transformatoren komplex. Die Ersatzschaltungen in Bild 2.12 veranschaulichen die Umrechnung und die Zerlegung in Gl. (2.25). Für die umgerechneten Sekundärgrößen gilt in Analogie zu Gl. (2.24):

“ Ipl

c

c

Zps c2

Zps

Zps

-

Uvi (2.26) üN Us

1 & Z 1 ____________________________ '

1 T T-Isl UN

1

Bild 2.12 Mitsystem-Ersatzschaltungen des Zweiwicklungstransformators mit auf die Netz­ nennspannung der Oberspannungsseite umgerechneten Sekundärgrößen (D rehung durch die Schaltgruppe nicht berücksichtigt) a) mit Ü bertrager für die Berücksichtigung der Spannungsabweichung c b) ohne Ü bertrager für die Berücksichtigung der Spannungsabweichung c

Isl

und umgekehrt:

C Z„

cZ„

- u pl mn

u

cZ„

(2.27)

Ü.-

Die im M it- und Gegensystem wirksame Impedanz: Z ps = Z p + Z's = R ps + j Xps

p1

1 ■7

ü -ps

s1

(2.28)

hat in bezogener Form die Größenordnung:

zps = Mk = 0>04 ...0,16,

yP,

&

rps= ^ = 0,02...0,002, or

01

—

—

Bild 2.11 Variante der M itsystem -Brsatzschaltung des Zweiwicklungstransform ators ohne Ü bertrager und ohne Berücksichtigung der D rehung durch die Schaltgruppe

38

wobei die rechts stehenden Werte wieder für die größeren Bemessungsleistungen gelten. 39

steht. Die Elemente bestehen aus: ^0

Z„ ^PSO

(2.31)

ry

ZmO

=PPO

7 '

J_% 7'

sO ~r -> Ä'sM

(2.32)

’

zl

(2.33)

Ss0 ~ Z p0 + 3 Z pM '

Man vergewissert sich für Z m0 —> co von der Ähnlichkeit der Elemente mit denen der Ersatzschaltung für das Mitsystem: psO

Bild 2.13 Nullsystem -Ersatzschaltungen des Zweiwicklungstransformators mit der Schaltgruppe a) T-Ersatzschaltung b) Ü -Ersatzschaltung

= Z—pO nO+' Zs 0 +' 3J ZpM —sO — pM + 3 ZsM )

Zpp0

^ssO * ^ •

Andererseits wird für Z pM und/oder Z 'Maußerdem: -p p 0 '

co

2.3.2 Nullsystemersatzschaltungen

und für Z l

Die Ersatzschaltungen für das Nullsystem hängen von der Schaltgruppe, der Art der Sternpunkterdung und der Kernbauart ab. Die Magnetisierungsimpedanz Z m0 ist im Nullsystem für Dreischenkeltransformatoren nicht vernachlässigbar. Sie wird deshalb generell mitgenommen.

Zl

Schaltgruppen YyO:

co wird noch: und

1 o &

o

1

—äz2 ’O

ZsO + 3 Z'sM + Z m0 ~ZmO

ZmO Z p O ”1” 3 Z pM -f- Z m O

U Po

40

Z„o — pO + 3 Z pM+ Z,

- psO

V,pO ^ p sO

c2

c2

7 'ssO

7 ^ psO

(2.34) «N Us(

(2.29)

U'nO.

Für Z mo rechnet man bei Dreischenkeltransformatoren mit:

in der für 7m 2O Z l = (Zp0 + 3 Z pM+ Z m0) (Z'0 + 3 Z 'M+ Z,mO/ - —

Z,ppO

1 1 Z ~ + ZZ~ — ppO j'psO

.. IsO “n

i- pO

Z ' n = Z '0 + 3Z sM+ Z„

Die weitere Umformung der Ersatzschaltung in Bild 2.13b analog zum Mit­ system führt zur Ersatzschaltung in Bild 2.14 mit der zugehörigen Stromglei­ chung: 1 ^

Das Übersetzungsverhältnis ist reell, und man erhält unter Einbeziehung der möglichen Sternpunkt-Erde-Impedanzen Z pM und Z sM auf dem gleichen Weg wie für das Mitsystem die Ersatzschaltungen in Bild 2.13. Die Schaltung im Bild 2.13b gehorcht der Stromgleichung:

oo

und

co Zpso - » c o , für Z pM-► co folgt

ZmO ~ ^ ZpsO >

(2.30)

und Zpso wird meist mit Z ps gleichgesetzt. 41

a)

pO

Zpo

Z so

3Zsm

ü

Bild 2.14 Äquivalente Ersatzschaltung zu Bild 2.13b mit auf die N etznennspannung der Oberspannungsseite umgerechneten Sekundärgrößen

Schaltgruppen Yd... und D y ...: Über eine Dreieckswicklung kann kein Nullsystem übertragen werden. Deshalb enthalten die Ersatzschaltungen für diese Schaltgruppen in Bild 2.15 und Bild 2.16 eine Unterbrechung zwischen Primär- und Sekundärseite.

Bild 2.16 Nullsystem-Ersatzschaltungen der Zweiwicklungstransformatoren mit den Schalt­ gruppen D y . . . a) ausführlich b) Im pedanzen auf der Prim ärseite zusammengefaßt

2.4

a)

2.4.1 p0

Z SQ

1____ 1---------1___ J -------- --------- [ = _ J --------ipo

s'O

ü

*-------

n

h

Uto

UsO

/po

1

^ZpM+.ZpQ

11i uni—

00 -------

b)

r

Uso

Bild 2.15 Nullsystem-Ersatzschaltungen der Zweiwicklungstransformatoren mit den Schalt­ gruppen Yd . . . a) ausführlich b) Im pedanzen au f der Primärseite zusammengefaßt

42

Mit- und Gegensystemersatzschaltungen

SO {£-» o 1 O

—

—pQ

Leitungen

Von den beiden möglichen Formen II- oder T-Ersatzschaltung hat die IIErsatzschaltung in den knotenorientierten Modellen den Vorteil, daß sie weniger interne Knoten in das Gesamtmodell einbringt. Bei Beschränkung auf ein IT-Glied für die gesamte Leitung, was in der stationären Netzberechnung bis zur 400-kV-Ebene durchaus gerechtfertigt ist, entsteht überhaupt kein innerer Kno­ ten (Bild 2.17). Ebenso sind die Konduktanzen Gb für Isolationsverluste u.a., deren zahlenmäßige Bestimmung ohnehin problematisch ist, bis zu dieser Span­ nungsebene in den meisten Fällen vernachlässigbar. Die vollständige Entkopp­ lung der drei symmetrischen Komponenten und damit die Aufstellung getrennter Ersatzschaltungen wie in Bild 2.17 und Bild 2.18 setzt diagonal-zyklisch- (siehe Abschnitt 1.6) (zumindest jedoch zyklisch-)symmetrischen Aufbau der Impedanzund Admittanzmatrizen der Leitung voraus. Durch die Verdrillung bzw. ge­ kreuzte Verlegung von Einleiterkabeln wird dieser Zustand zumindest annähernd erreicht. Leitungsparameter werden nicht in p.u. oder %, sondern in der ent­ sprechenden Maßeinheit pro 1 km Länge angegeben und durch den oberen Index ' gekennzeichnet. Typische kilometrische Werte sind (erste Werte für Mittelspannung, letzte Werte für Hochspannung bis 400 kV) in Tabelle 2.2 ange­ geben. 43

AC/1 = A UY = Zx 11 + Z'x l ? = ^ ( Z x + Z'x)I[ und ebenso: für

M J\ = AUl

und

A U l0 = A U ^ .

2.4.2 Nullsystemersatzschaltung Bild 2.17

M it- und Gegensystemersatzschaltung der Leitungen in Form eines Il-GIieds

Tabelle 2.2:

P aram eter von Leitungen (M itsystemparameter)

Param eter

R '/(n /k m )

XL/(fi/km)

Cb/(nF/km)

Freileitungen Kabel

0,4 ...0 ,0 3 0,4 ... 0,03

0,4 ... 0,25 0,1 ... 0,2

9 ... 13 600 ... 250

Die Nullsystemersatzschaltung der Einfachleitung unterscheidet sich von der für das Mit- und Gegensystem lediglich durch die Größenordnung der Parameter (Bild 2.18). D a ein Teil des Nullstroms auch von der Umgebung geführt werden kann, ist die Angabe von engeren Wertebereichen für die Nullsystemparameter nicht mehr ohne weiteres möglich. Zur groben Orientierung seien die Werte von Tabelle 2.3 genannt. Doppelleitungen bleiben auch unter der Voraussetzung jeglicher Verdrillung in ihren Nullsystemem gekoppelt.

Nimmt man bei Doppelleitungen ebenfalls eine diagonal-zyklisch symmetrische Impedanzmatrix (gleiche Belegung und entsprechende Verdrillung vorausgesetzt) an, so entsteht durch die Symmetrierung folgende Impedanzmatrix im Bereich der symmetrischen Komponenten:

I Z\ Z2

I 2o I

Zl

Z'o

Bild 2.18 leitung)

N ullsystem -Ersatzschaltung der Leitungen in Form eines II-G lieds (Einfach­

I Zx Zi

I Zo I

Z2 Zo

Folglich bleiben die Komponentensysteme noch in sich gekoppelt. Gleiches trifft auch auf die Admittanz der Querglieder zu. Mit der Verdrillungsart ß gelingt es, noch Z j = Z 2 = 0 zu erzielen. Ansonsten können die Koppelelemente jedoch ohne weiteres in die mathematischen Modelle einbezogen werden. Für den reinen Parallelbetrieb treten die Koppellemente explizit nicht in Erscheinung, denn bei gleichen Strömen im System I und II wird:

Tabelle 2.3:

N ullsystem param eter von Leitungen

Param eter

-Ro/(ß/km)

X i/(ß /k m )

Q /(n F /k m )

Freileitungen Kabel

(2 ... 9)R' 2 ... 0,4

(3 ... 6)X'h 0,7 ...0,3

(0 .4 ... 0,6) c ; 300 ... 200

45

2.5

Nichtmotorische Abnehmer

Unter nichtmotorischen Abnehmern soll hier weniger ein Einzelabnehmer als vielmehr eine Gruppe von Abnehmern verstanden werden. Ihr Verhalten gegen­ über Spannungsänderungen läßt sich nur schwer mathematisch analysieren, so daß man auf Meß- oder Erfahrungswerte angewiesen ist. In den meisten Fällen ist ein Potenzansatz für die von der Abnehmergruppe aufgenommene Leistung in der Form:

s - , +ja- , . ( 0 +1« , ( 0 Spannungsband

ausreichend. Die Exponenten p und q für die Spannungsabhängigkeit der Wirk- und Blindleistung um einen Arbeitspunkt (Index 0) schwanken zwischen 0 und 2. Aus Gl. (2.35) läßt sich leicht eine allgemeine Ersatzschaltung für das Mit- und Gegensystem in Form einer spannungsabhängigen Admittanz bzw. Impedanz angeben (Bild 2.19): S = 3 l / / * = 3 [ / 2J * ,

(2.36)

Y = G + i B = j ^ j j = j ^ I - } j ^ j j :=

^2'37^

Bild 2.20 Abnehmerleistungen als Funktion der Spannung 1 P = q = 0 konstante W irk- und Blindleistung 2 P = 9 = 1 konstanter W irk- und Blindstrom 3 p = q = 2 konstante A dm ittanz (Impedanz)

2. p = q = 1: konstanter Wirk- und Blindstrom: S = y7~U + j

U = 3(/w0 —j / b0) U

(2.39)

3. p = q = 2: konstante Admittanz: S = ^ | U2+ j

uo

Bild 2.19

uo

U 2 = 3 J* U 2 = 3(G0 - j ß 0) U 2

(2.40)

Mit- und Gegensystemersatzschaltung für nichtm otorische Abnehmer

Besonders interessant, weil praktisch einfacher zu handhaben als eine spannungs­ abhängige Admittanz, sind die folgenden, auch in Bild 2.20 skizzierten drei Sonderfälle (zur Vereinfachung werden p und q gleichermaßen behandelt. Sie können jedoch auch unterschiedlich angenommen werden): 1. p = q = 0: konstante Wirk- und Blindleistung: S = P0 +}Qo = S0 46

(2-38) 47

3 Gleichungssysteme des Netzes

3.1

Netzgraph

D erN etzgraph beschreibt die Struktur des Netzes. Er enthält alle erforderlichen topologischen Daten. Bild 3.1 zeigt die Entwicklung des Netzgraphen aus dem Schaltbild eines Netzes und seiner Betriebsmittel über die Impedanzersatzschaltimg. Spannungsquellen sind im Graph widerstandslose Zweige. Sammelschienen werden zu Knoten. Knoten und Zweige werden numeriert. In Computerprogram-

a)

GEN1

SS1

SS 2

GEN 2

Bild 3.1

N etzschaltbild (a), Im pedanzersatzschaltung (b) und N etzgraph (c)

49

men erfolgt die Vergabe der Knoten- und Zweignummern intern. Die Orientie­ rung der Zweige und die Zählpfeile für die Zweiggrößen werden angepaßt (Bild 3.2). K,

Z,

Bild 3.2

K*

1

H------------- Uo.— ...... “ ! 1 i i1 ri v> b ! i i i r r i ^ v;

Beispiele für Masche, Baum und Schnitt

Zu einem Graph läßt sich eine Vielzahl (ein Wald) von Gerüsten (Bäumen) angeben. Für einen Graph mit k Knoten und z Zweigen existieren m = z —(k— 1) = z —n unabhängige Zweige und unabhängige Maschen. In Bild 3.3 ist k = 6, n = 5, z = 8 und m = 8 —5 = 3. Ein Schnitt trennt mindestens einen Knoten vom Graph. Dieser Sonderfall heißt Knotensatz. Jeder Schnitt erhält einen Orientie­ rungspfeil. Ein fundamentaler Schnitt enthält nur einen Gerüstzweig, und die Orientierung des Schnitts wird der des Gerüstzweigs angepaßt. Die Anzahl der fundamentalen Schnitte ist gleich der der unabhängigen Knoten n = k — 1.

f i i l ! 1 l

(.)

1 M

s

Z ur Beschreibung der Struktur von Dreileiterystemen

• Die drei Leiter des Dreileitersystems bilden eine Ordnung (ein Bündel). Zur Beschreibung der Struktur genügt im Hinblick auf die einpolige Darstellung die Beschreibung der Struktur der Bündel. • Als Bezugsknoten (abhängiger Knoten) bietet sich der Rückleiter des Dreilei­ tersystems an. Er erhält die Bezeichnung 0 (Null). Alle Zweige lassen sich dann in Verbindungen von den unabhängigen Knoten (Sammelschienen) zum Be­ zugsknoten und in Verbindungen zwischen den unabhängigen Knoten eintei­ len. Die Verbindungen zwischen den unabhängigen Knoten sollen im folgen­ den mit Leitungen bezeichnet werden. Ihre Anzahl sei l(l
die Vermaschung aus. V unterscheidet sich vom allgemein benutzten Verma­ schungsgrad, der mit z/n definiert ist. Die Bü'ndel der Dreileiternetze bilden in der Regel nur einen ebenen Graph. Für die folgenden Netzformen erhält man in Abhängigkeit von der Knotenzahl n (Tabelle 3.1):

Tabelle 3.1:

Topologische Kenngrößen für verschiedene Netzformen

Netzform

l

Strahlennetz

•— •

ebenes Q uadratnetz

I

ebenes Dreiecksnetz

0

1

n—1

V 1 —n

r 2n — 2 y n

2 2 ---- — yn

r 3n —4 1 /n + l

4 1 3 -----^ + yü n

Topologische Eigenschaften von Elektroenergienetzen

Gegenüber völlig regellosen Netzwerken besitzen die Netze der elektrischen Energieversorgung (Dreileiternetze) zwei strukturelle Besonderheiten (Bild 3.4): 50

4

0

Bild 3.4

3.2

3

Zählpfeile für die Zweiggrößen und O rientierung der Zweige

Wichtige Subgraphen sind Masche, Baum und Schnitt. Die Masche bildet einen geschlossenen Weg im Graph, auf dem die beteiligten Zweige und Knoten nur einmal durchlaufen werden (Bild 3.3). Der Umlauf erhält eine willkürliche Orientierung. Ein Baum ist ein zusammenhängender Graph, der keine Masche enthält. Ein vollständiger Baum (oder Gerüst) erfaßt alle k Knoten. Es existieren genau k — l —n Gerüstzweige, die restlichen Zweige heißen unabhängige Zweige (oder Verbindungs- oder Brückenzweige oder einfach Brücken).

Bild 3.3

2

51

Knoten-Zf^lg-Inzidenzmatrix Die vollständige Knoten-Zweig-Inzidenzmatrix hat folgenden Aufbau: Z. k lz 1 { Bezugsknoten

zx

z2

Zweige

&11

k±2

...

K '= K 2 ^21 ' 1 5 K k _k k l

k22

k2z

k-k2

k-kz

Ki

{

(reduzierte) Knoten-ZweigInzidenzmatrix K

(3.1)

Das Bildungsgesetz lautet: + 1 wenn der Zweig vom Knoten wegführt, —1 wenn der Zweig zum Knoten hinführt,

{ 0

50

100

150

200

250

300

Bild 3.5 Anzahl der Leitungen und Vermaschung in Abhängigkeit von der K notenzahl für einfache ebene Netze

Zu dem Beispielnetz in Bild 3.6 mit /c = 4 und z = 6 gehören folgende KnotenZweig-Inzidenzmatrizen: 1 3 0 0 { Bezugsknoten K'

Typisch für Elektronenenergieversorgungsnetze ist der Bereich zwischen dem Strahlen- und Quadratnetz mit V zwischen 1 und 2 (Bild 3.5). Auf die topologischen Kenngrößen wird bei der Beurteilung der Eigenschaften der Netzgleichungssysteme zurückgekommen. 3.3

kein Zweig mit dem Knoten verbunden ist.

1 0 -1

1 -1 0

0 -1 1

K

Die vollständige Knoten-Zweig-Inzidenzmatrix ist spaltensingulär, was zur Kon­ trolle ausgenutzt werden kann. Die Anzahl der Elemente pro Zeile wird als Knotengrad bezeichnet. Ein Knotengrad 3 (3 Elemente pro Zeile) gibt an, daß drei Zweige mit dem betreffenden Knoten verbunden sind.

Topologische Matrizen

Die topologischen Matrizen dienen der Beschreibung des Netzgraphen. Sie sind Inzidenzmatrizen1).

*) Inzidenzmatrizen sind Matrizen, die nur + 1 , - 1 oder 0 als Elemente enthalten.

52

Bild 3.6

Beispiel zur Form ulierung der topologischen M atrizen

53

Maschen­

Inzidenzmatrix

Die vollständige Maschen-Zweig-Inzidenzmatrix erfaßt alle m' möglichen M a­ schen und ist wie folgt aufgebaut:

Ä'Af'T = o

(3.3)

K M T =o

(3.4)

wird topologische Regel genannt.

M ' =

Zl M, r %i ¥2 »»21 a .rrim-i

Z 2

Zweige

m 12

m lz

m 22

m 2z

m m,2

.. .

M ,

reduzierte MaschenZweig-Inzidenz­ matrix M

3.4 (3.2)

m m'Z _

Knoten- und Maschensatz

Knoten- und Maschensatz (KirchhofTsche Gesetze) verknüpfen die topologischen Matrizen und die Zweiggrößen miteinander. Knotensatz: K 'i z = o

und unterliegt dem Bildungsgesetz:

(3.5)

Maschensatz: + 1 bei gleichsinniger Orientierung von Zweig und Masche, —1 bei ungleichsinniger Orientierung von Zweig und Masche,

;

0

M ' u% = o

(3.6)

wobei: bei Nichtbeteiligung des Zweiges an der Masche. i 'L

= [ I z iI z 2 ■••Izz]T

Die reduzierte Maschen-Zweig-Inzidenzmatrix enthält stets ein vollständiges, unabhängiges Maschensystem der Ordnung m. Ein solches ergibt siohjms^elnem Verbindungszweigsystem eines vollständigen Baums (Fundamentalsystem) oder aus den Fenstermaschen. Für das Beispiel in Bild 3.6 mit m = 6 —(4 —1) = 3 sind: 1 2 3 4 5 6 1 0 1 1 0 1 “0 0 -1 1 2 0 0 -1 0 -1 0 1 3 1 0

der Zweigstromvektor und Zweigspannungsvektor sind. Von den durch die Gin. (3.5) und (3.6) formulierten Gleichungssystemen bilden nur n = k — 1 Knotengleichungen:

und

M ur = o 1 0 0 1

2 1 0 -1

3 0 -1 1

4 -1 0 0

5 1 -1 0

6 0' 1 0.

zwei reduzierte Maschen-Zweig-Inzidenzmatrizen, wobei M , aus einem Funda­ mentalsystem und M 2 aus einem System von Fenstermaschen gebildet wird. Die wichtige Beziehung:

» z = w z l u Z 2 . . . u Zzy

Kiz= o und m = z —n Maschengleichungen-.

(3.8)

unabhängige Gleichungssysteme.

3.5

Allgemeine Form der Netzgleichungen

Die Knoten- und Maschengleichungen bilden zusammen mit den Zweiggleichun­ gen: E(uz , i z ) = o

54

(3.7)

(3.9) 55

das vollständige Gleichungssystem des Netzes für insgesamt 2z = 2(m + n) Unbe­ kannte uz und i z . Bei linearem Verhalten der Zweige können die Zweiggleichungen in der Impe­ danzform : Hz = Z z i Z + Hq

(3.10)

oder in der Admittanzform: i z

=

r z « z +

\

Bild 3.7

J

i q

Definition der K notenspannungen U: und Uk

(3 .1 1 )

angegeben werden. «q und i q sind die Vektoren der Quellenspannungen und Quellenströme. In der durch Koordinatentransformation zu erzielenden (siehe Abschnitt 1.6), entkoppelten Darstellung sind Z z und Yz Diagonalmatrizen. Bei Verwendung der Stromquellenersatzschaltungen für die Generatoren und Mo­ toren sowie der II-Ersatzschaltbilder für die Leitungen und Transformatoren entstehen durch die Hinzunahme der Betriebsmittel keine zusätzlichen Knoten. Durch die Einführung von Knotengrößen (Index K) und Maschengrößen (Index M) mit Hilfe der topologischen Matrizen können die folgenden vier prinzipiellen Formen der Netzgleichungen in Tabelle 3.2, von denen die Maschenadmittanzdarstellung keine praktische Bedeutung hat und die Knotenadmittanzdarstellung eine hervorragende Stellung einnimmt, gebildet werden.

Oder wenn m it: (3.15)

K Y z K t = Y kk und: - K ± q= i K

(3.16)

die Knotenadmittanzmatrix und der Knotenstromvektor definiert werden1): 2 k k Uk —1

Tabelle 3.2:

(3-14)

K Y z K r u K= - K i q .

k

(3.17)

■

Form en des Netzgleichungssystems

Netzgleichung

Admittanzform

knotenorientiert

V

maschenorientiert

1 m m

/

Das Gleichungssystem (3.17) heißt Knotenspannungsgleichung oder aber auch kürzer Stromgleichung.

Im pedanzform

X

kk

Uk «M

= - % =

/ '

J k

k

I k

-

Mk

\

Struktur und Bildungsgesetz der Knotenadmittanzmatrix

i M

Die Knotenadmittanzmatrix ist wie alle in Tabelle 3.2 angegebenen Matrizen quadratisch. Sie hat die Dimension n x n . 3.6

Knotenadmittanzdarstellung

Zu ihrer formalen Herleitung wird die Knotengleichung Gl. (3.7) in die Zweig­ gleichung von Admittanzform Gl. (3.11) eingesetzt: K Y z uz = —Ä i q .

= K t uk

wird aus Gl. (3.12): 56

y_n I 22

■ Zu • Z2i

• ■ Zm ■ Z2n

ln

Zi2

• ■ Za

■ Zin

Im

yn2

■■ Zni

■ Znn

-(y ik)n

(3.12)

Nach Einführung der Knotenspannungen gemäß (Bild 3.7) uz

In y 2i

(3.13)

') In der deutschsprachigen Fachliteratur ist es auch üblich, die Knotenadmittanzmatrix und den Knotenstromvektor mit umgekehrten Vorzeichen zu definieren. Diese Gepflogenheit soll hier auch im folgenden beibehalten werden.

57

Um Verwechslungen mit den Zweigadmittanzen zu vermeiden, werden die Elemente yik von FKK klein geschrieben.1) Eine Besonderheit der Knotenadmittanz, der sie neben ihren Struktureigenschaf­ ten ihre hervorragende Bedeutung in der Netzberechnung verdankt, ist die Möglichkeit ihrer direkten Bildung aus einer Zweigliste ohne Zuhilfenahme der topologischen Matrizen. Bild 3.8 veranschaulicht dieses Bildungsgesetz unter Voraussetzung der zu den Gin. (3.15) und (3.16) umgekehrten Vorzeichenwahl (siehe Fußnote auf Seite 57): \ • Auf den Nichtdiagonalplätzen ik und k i steht jeweils die Summe der Admittanzen Yik der zwischen den Knoten i und k liegenden parallelen a Zweige/ 3fc = l r » = l ^ - a

a £iik

(3.18)

o Auf den Diagonalplätzen ii steht die negative Summe der Admittanzen Yi0 der zwischen den Knpten i und 0 (Bezugsknoten) liegenden parallelen b Zweige und aller Nichtdiagonalelemente der i-ten Zeile:

yu =

-yw -Z y>k = n- 1

l - I Z;n -iO

(3.19)

£ yik-

n -1

Eigenschaften der Knotenadmittanzmatrix Die Knotenadmittanzmatrix I

kk

ist:

• quadratisch von der Dimension n xn (n = k — 1), 0 symmetrisch (ohne Berücksichtigung der Quer- und Schrägregelung und der Schaltgruppendrehung der Transformatoren), • wegen y n = —yi0 —E yik für y i0 <§: E yik (ohne Quellenadmittanzen, siehe LeistungsfTußberechnung) nahezu singulär, • schwach besetzt (spärlich). Die Anzahl der Nichtnullelemente ist: (3.20)

N = n + 21J) und die Besetztheit:

B-

N

n + 2l

1+ 2 -

n

1+ 2 V

(3.21)

Die Spärlichkeit S = l —B ist das Komplement zu B. Für die in Tabelle 3.1 untersuchten Netzformen ergibt sich Tabelle 3.3. So ist z.B. die Knotenadmittanzmatrix für ein 100-Knoten-Netz nur zu rund 3% (Strahlennetz) bzw. 4,6% (Quadratnetz) bzw. 6,2% (Dreiecksnetz) besetzt.

Tabelle 3.3:

Besetztheit der K notenadm ittanzm atrix für verschiedene Netzformen V

Netzform

Bild 3.8

Bildung der Elemente £ tk und y u in der K notenadm ittanzm atrix

*) Diese Vereinbarung ist erforderlich, weil vereinfachend der Index K für Knoten an den Ele­ menten von J KK nicht mitgeführt werden soll. Das betrifft auch die Elemente des Knotenstromvektors und ebenso die in Abschnitt 3.7 eingeführten Maschengrößen.

58

3

2

n

n2

2 2 -7 = 1/ n

5

4

»

n]/n

4 1 3 ---- ~r: + ~ ]ß n

7

8 2 ....."P + 2 „ |/ „ n l

Strahlennetz

•— •

1 1— n

ebenes Q uadratnetz

□

ebenes Dreiecksnetz

,/

B

n

') An dieser Stelle wird die Definition von / in Abschnitt 3.2 klar. Nur die mit l gezählten Leitungen bringen Elemente in YKK ein.

59

3.7

Maschenimpedanzdarstellung

s ein Diagonalelement setzt sich aus der Summe aller Zweigelemente der betref­ fenden Masche zusammen:

In Analogie zur Herleitung der Knotenadmittanzdarstellung wird die Maschen­ gleichung Gl. (3.8) in die Zweiggleichung von Impedanzform Gl. (3.10) eingesetzt: M Z z i_z — M uq .

& = E 2 P„ 0

Nach Einführung der Maschenströme: (3.23)

i z —M T i M

(3.28)

Mi

(3.22)

e in 'Nichtdiagonalelement enthält die positive oder negative Summe der der /-ten und fc-ten Masche gemeinsamen Zweigimpedanzen. Das positive Vor­ zeichen gilt bei gleichsinnigem und das negative Vorzeichen bei nichtgleichsin­ nigem Durchlauf der beiden Maschen durch die gemeinsamen Zweigimpe­ danzen:

erhält man: M Z M Ti M= - M u q

(3.24)

oder allgemein: (3.25)

mit der Maschenimpedanzmatrix und dem Vektor der Maschenspannungen: Z mm = M Z z M \

(3.26) (3.27)

= - Muq.

Das Gleichungssystem (3.25) heißt Maschenstromgleichung oder aber auch kürzer Spannungsgleichung. Struktur und Bildungsgesetz der Maschenimpedanzmatrix Ausführlich schreibt sich die Maschenimpedanzmatrix:

ln

Ü12

—21

it22

la

—12

Änl

Z«2

I Mi, Mfc

(3-29)

Eigenschaften der Maschenimpedanzmatrix

^ mm1 m = S m

«M

z»=±

Zu

■•

Zl»

—2i

• •

z 2„

• •

Äii

■•

lin

•

Äni

■

■

Die Maschenimpedanzmatrix Z MMist: « quadratisch von der Dimension m x m , • symmetrisch, • bezüglich der Vorzeichen der Nichtdiagonalelemente abhängig vom gewählten Umlaufsinn der Maschen. Gleicher Umlaufsinn aller Maschen ergibt einheit­ lich das negative Vorzeichen, • hinsichtlich ihrer Besetztheit abhängig von der Wahl der Maschen. Zur Erzie­ lung einer geringen Besetztheit sind Fenstermaschen günstig.

3.8

Knotenimpedanzdarstellung

Sie ist die inverse Form der Knotenadmittanzdarstellung: Sk = Ik k 1k = Z kkI k

-Ulk)"

z„„

Zur Unterscheidung von den Zweigimpedanzen Z ik werden die Elemente von Z MM, die z ik, klein geschrieben. Sie bilden sich wie folgt:

■

(3.30)

Zur Bildung der Knotenimpedanzmatrix gibt es neben der aus FKK durch Inversion oder geordnete Elimination (s. Abschnitt 3.9) auch die Möglichkeit des direkten zweigweisen Aufbaus aus der Zweigliste ohne Zuhilfenahme graphen­ theoretischer Hilfsmittel. Dabei muß man vier Fälle unterscheiden: • Verbindung vom Bezugsknoten 0 zu einem neuen Knoten i: Mit einer solchen Verbindung beginnt i.a. der Aufbau. Es kann aber bereits auch die Teilmatrix Z £ k aufgebaut sein. Diese wird dann um das Diagonal­ element: 61

Ä u = - Z 0i

(3.31)

\ erweitert, wenn Z 0i die Impedanz des hinzugekommenen Zweigs isi Das negative Vorzeichen ergibt sich aus der positiven Zählrichtung der Kiiotenströme und -Spannungen nach Bild 3.9a*). Verbindung von einem vorhandenen Knoten i zu einem neuen Knoten j: Ein Strom am neuen Knoten j erzeugt auf die Knotenspannungen die gleiche Wirkung wie der Knotenstrom I I (Bild 3.9b). Es muß deshalb für die Gegen­ impedanzen (Nichtdiagonalelemente der hinzukommenden Zeile und Spalte): zvj-= zvi und

zjv = Z;v

v = 1 ... nalt

gelten. Das neu hinzugekommene Diagonalelement, d.h. die Eingangsimpe­ danz Zjj, ist um —Z u größer als die des Knotens;'. Also ist: Zjj = z n - Z i j .

(3.32)

Man hängt praktisch die j-te Zeile und Spalte der alten Impedanzmatrix an und ergänzt das Diagonalelement zj7. Verbindung zwischen zwei vorhandenen Knoten i und]: Man sieht in Bild 3.9c, daß die neue Impedanz Z i} einen Ausgleichsstrom I tJ, der von den Knotenströmen I ; = I y und I } = —I i} herrührend interpretiert werden kann, hervorruft. Der Ausgleichstrom berechnet sich aus: U ,- U , Li.= = l^ z L

(3.33)

und wirkt auf alle Knotenspannungen wie folgt: —k = Z & i K + z i Y h j - z l n j h j.

(3.34)

Bild 3.9 Zum zweigweisen Aufbau der K notenim pedanzm atrix a) neuer K noten m it Verbindung zum Bezugsknoten b) neuer K noten mit Verbindung zu einem alten K noten c) neue Verbindung zwischen zwei alten K noten d) neue Verbindung von einem alten K noten zum Bezugsknoten

*) Das negative Vorzeichen in Gl. (3.31) resultiert aus der Definition der Knotenadmittanzmatrix und der Knotenströme in den Gin. (3.15) und (3.16). Im englischsprachigen Schrifttum werden T kk u n d iKmit entgegengesetzten Vorzeichen definiert.

62

63

Ut = z'SS'ti K + z $ I ij - z f f I tj ,

(3.35)

Uj = zJtjtiK + z f L j l i j •

(3-36)

Schließlich wird:

Äa ~r±jj ~ zÄij

(3-37)

4 ij

und: 7

—KK

— T ' a l t _______________________________ / „ ä l t —KK alt _ a l t __9 _ a l t ’j \%Ki

i

Aii '±jj

AAij

_

4^ij

_ a l t\ ( _ T alt

_?K.//\i»Ki

^T alt\

%Kj ) •

/q o o \

(3.38)

Die Auswertung der Gl. (3.38) ist schon recht aufwendig. Die Korrekturmatrix enthält das dyadische Produkt aus der Differenz der i-ten und j-ten Spalte der alten Impedanzmatrix und der Differenz ihrer i-ten und;-ten Zeile.

Dieser in Bild 3.9d dargestellte Fall ist der Sonderfall des vorherigen Punkts für Uj = 0 und zKJ = o. Gl. (3.38) vereinfacht sich zu:

7

—ii

■

ä l 2 —13 ä 22 ä 23

_ Jb l

—32 -§33-

(3.39)

Zii 0

Die nach der vorstehend beschriebenen Methode aufgebaute Knotenimpedanzmatrix ist wie die nach Abschnitt 3.6 gebildete Knotenadmittanzmatrix stets symmetrisch. Im Gegensatz zur Knotenadmittanzmatrix ist die Knotenimpedanzmatrix in der Regel voll besetzt. Die Methode des zweigweisen Aufbaus eignet sich besonders zur Modifikation der Knotenimpedanzmatrix als Folge von NetzStrukturänderungen.

2f i Jl Y2 *2 = L jb J _ * 3J

eingegangen werden. 1. Schritt: • Multiplikation der 1. Zeile (sogenannte Eliminationszeile) mit dem Elimina­ tionskoeffizient c21= a 2l/ all (a n #0), im Netzgleichungssystem i.a. erfüllt) und Subtraktion von der 2. Zeile. • Multiplikation der 1. Zeile mit c31 = a 31/a 11 und Subtraktion von der 3. Zeile. Bei größeren Gleichungssystemen wird analog bis zur letzten Zeile vorgegangen. Auf diese Weise entstehen in der 1. Spalte von A bis auf a lx lauter Nullelemente: ih i 0 0

• Verbindung von einem vorhandenen Knoten i zum Bezugsknoten 0:

7 _ a l t _______________ a l t _ T a l t - kk ~ k k ai, 7 Z k ; Z Ki

ä ll ä ii

—12 ä l 3 —22 ä 23 —32 —33—

Al *2

ii =

(3.41)

12 L JU

mit: J§22 = Ü22 ~ £ 21i§12 J i ?23 = .£?23 ~ £ 2l i ?13 i J?32 = i ?32 ~~£ 31^12 i

—33 = —33

J 2 = J 2 ~ £ 21 J l l .

£31 —13 5 J 3 “ J ? ~ £ 3 1J l •

2. Schritt: Multiplikation der 2. Zeile (neue Eliminationszeile) mit dem Eliminationskoeffi­ zienten c32 = 3 3 2 /3 2 2 und Subtraktion von der 3. Zeile. Es entsteht: 1

L j - - p s —

wurden deshalb spezielle rechenzeit- und speichersparende Lösungsverfahren entwickelt, die besonders bei großen Netzen anzuwenden sind. Sie sind unter dem Begriff: topologisch gesteuerte Elimimation mit Nullerkennung bekannt ge­ worden. Zur Erläuterung dieser Verfahren soll zunächst kurz auf die Lösung eines linearen (oder linearisierten) Gleichsystems durch die geordnete Elimination nach Gauß am Beispiel der Gleichung A x = j mit der Ordnung 3

0

ä i2 ä i3 l_ä_22L_ 323 ®

Jl *2 = J 2 L JÜ !_j333— L j 3J '

Aus dieser Beziehung erhält man die zur Berechnung von-i 7} erforderlichen Spannungen:

mit: 3.9

Prinzipielle Lösung der Netzgleichungen ä 3 3 — ä 3 3 ~ £ . 32ä 2 3 ’

Hauptaugenmerk bei der Netzberechnung ist auf die effektive Behandlung der Netzgleichungen sowohl hinsichtlich ihrer Lösung als auch der Kompaktspeiche­ rung ihrer Koeffizientenmatrix, die ja sehr spärlich sein kann, zu legen. Es 64

X 3 — X3

£32 J 2

•

Die Form von Gl. (3.41) wird gestaffeltes System genannt. Die Prozedur zur Überführung der Ausgangsgleichung in das gestaffelte System, in dem die 65

Koeffizientenmatrix zu einer oberen Dreiecksmatrix A ' geworden ist, heißt Ab­ wärtsrechnen oder Dreiecksfaktorisierung. Die allgemeine Schreibweise des ge­ staffelten Systems ist: A 'x= y '.

(3.41)

Auf Banachiewicz geht die Schreibweise des Ausgangsgleichungssystems: A x = C A 'x = y

(3.42)

zurück. Für symmetrische Koeffizientenmatrizen gilt noch: A' = D C T,

(3.43)

d.h., man kann die in C zusammengefaßten Eliminationskoeffizienten cik leicht aus der Koeffizientenmatrix entnehmen: (3.44)

- D -1 A ' .

D ist eine Diagonalmatrix mit den Elementen a 11; a22 ... a„„ und C eine untere Dreiecksmatrix, die für Gl. (3.41) den Aufbau h a t: 1 1 0 £.21 .£■31

0 (3.45)

1 L?_. l £32

Nach der Dreiecksfaktorisierung werden die gesuchten X t rekursiv beginnend mit dem letzten Element X n, im Beispiel X 3, aus dem gestaffelten System be­ stimmt. Diese Prozedur heißt Aufrollen des gestaffelten Systems oder Rückwärts­ substitution oder Aufwärtsrechnen. Im Beispiel geht sie folgendermaßen vor sich:

—

33

X 2 —-~r~ ^Xz —^'2 3 X 3 ) > Ü22 X i = ----(Zi —ä l 2 ^ 2

3 13X 3) .

Formal läßt sich das Aufwärtsrechnen schreiben als:

x = ( A 'y ly' ■ 66

(3.46)

Häufig ist die Aufgabenstellung in der Netzberechnung so, daß ein Gleichungs­ system wiederholt mit verschiedenen rechten Seiten y zu lösen ist. Man organi­ siert deshalb das Abwärtsrechnen i.a. so, daß die Ermittlung von y' und A ' getrennt voneinander erfolgen. Für den Fall der neuen rechten Seile braucht dann nur y ' neu ermittelt werden, während die Dreiecksfaktorisierte A ' erhalten bleibt. Zur Ermittlung von y ' benötigt man die Eliminationskoeffizienten, denn es gilt nach Gl. (3.42): y' = C - ly .

(3.47)

Bei symmetrischen Koeffizientenmatrizen können die cik entsprechend Gl. (3.44) leicht aus A ' gewonnen werden, während man bei unsymmetrischen Koeffi­ zientenmatrizen die beim Dreiecksfaktorisieren frei werdenden Speicherplätze (s. Gin. (3.41) und (3.45)) zur Ablage der cik benutzen kann. Die Gl. (3.47) wird in ihrer Form nicht praktisch ausgewertet. Vielmehr berechnet man y ' rekursiv aus der zu Gl. (3.47) inversen Beziehung: ~ C y'= y.

(3.48)

So gilt für das Beispiel:

I 2=

¥ 2 ~ £ 21

iTi

X3 =

X3 ~ £31 ¥ 1 —£32X 2 ■

5

Weist nun die Koeffizientenmatrix A Nullelemente, wie das insbesondere bei der Knotenadmittanzmatrix der Fall ist, auf, so können im Verlauf der Dreiecksfak­ torisierung in der Matrix A ' zusätzliche, sogenannte Füllelemente entstehen. Die Anzahl der Füllelemente ist abhängig von der Eliminationsreihenfolge. Um den Aufwand bei der Lösung des Gleichungssystems zu minimieren, wird man einerseits Operationen mit Nullelementen durch vorherigen Test auf Null ver­ meiden (Nullerkennung) und andererseits bemüht sein, unnötige Füllelemente zu vermeiden. Zur Minimierung der Füllelemente hat Tinney drei mögliche Strategien vorgeschlagen, für die der Erfolg und der Aufwand in der genannten Reihenfolge zunehmen: • Primitive Strategie: Eliminationsreihenfolge nach aufsteigender Anzahl der Elemente pro Zeile (in der Admittanzmatrix als Knotengrad bezeichnet). Die anhand der Ausgangsmatrix einmal festgelegte Reihenfolge wird nicht mehr geändert. Es ist klar, daß sie durch Füllelemente „gestört“ wird. • Suboptimale Strategie: Die Eliminationsreihenfolge wird stets nach der aktuel­ len (Berücksichtigung der Füllelemente) kleinsten Anzahl von Elementen pro Zeile festgelegt. Bei mehreren Zeilen mit gleicher Anzahl von Elementen wird die Elimination mit der erstbesten von diesen (z.B. die mit dem kleinsten 67

Index) fortgeführt. Dabei kann es im Endergebnis doch noch zu unnötigen Füllelementen kommen. • Optimale Strategie: Es wird auch bei mehreren Zeilen mit gleicher Anzahl von Elementen vorausschauend geprüft, welche Reihenfolge die minimale Anzahl von Füllelementen bringt. Aufgrund des ausgewogenen Verhältnisses zwischen Aufwand (Suchoperationen in den Listen für die kompaktgespeicherte Koeffizientenmatrix) und Nutzen (Vermeidung von Füllelementen) arbeiten anspruchsvolle Computerprogramme meist nach der suboptimalen Strategie. Der allgemein verwendete Begriff der topologisch gesteuerten Elimination ist von der Lösung der Netzgleichungen mit der Knotenadmittanzmatrix als Koeffizientenmatrix, in der sich die Struktur des Netzes widerspiegelt, entlehnt. Das kleine Beispiel in Bild 3.10 soll die vorstehenden Ausführungen illustrieren. Die zugehörige Stromgleichung lautet: y n

J 12

J 21

y_22

3^31

0

0

i '1 3

^33-

c/i

~ ii =

U2 L c /J

13 12

L

J

In der natürlichen Eliminationsreihenfolge Knoten 1, 2, 3 ergibt sich nach Elimination von Knoten 1:

.------- 4---------- ---

—---------- ---------- u

Knoten 2 e lim in ie rt Z u

J 12

3^13

'u i

0

V22

^23

u2

3?33

Ul

0

~li =

I I

2 3

Knoten 2 + 1 e lim in ie rt

Bild 3.10 Netzbeispiel zur Lösung der Netzgleichungen durch topologisch gesteuerte Elimination a) Schaltbild b) Verifizierung der Eliminationsreihenfolge K noten 1, 2, 3 am N etzgraph c) Verifizierung der Eliminationsreihenfolge K noten 2, 1, 3

und nach Elimination von Knoten 2: In 0 0

y 12 y_%2 o

y 13 y23

u 2

3^3

u3

r iii

=

3

ll I

Mit }?23 ist ein Füllelement in der Dreiecksmatrix entstanden. Die Eliminations­ schritte lassen sich sehr schön am Netzgraph interpretieren (Bilder 3.10b und c). Jede Umrechnung eines Elements bedeutet das Entstehen eines neuen Zweiges (gestrichelt) und seine Parallelschaltung mit einem evtl. bereits vorhandenen. Ist vorher kein Zweig vorhanden (Nullelement in J KK), so bildet der neue Zweig ein Füllelement (s. Bild 3.10b). Die Umrechnung der Knotenströme wird Stromver­ werfung genannt.

Der Knoten 1 in Bild 3.10 hat den Knotengrad 2, während die beiden anderen nur den Rnotengrad 1 haben. Also wäre es besser gewesen, mit Knoten 2 oder 3 zu beginnen. In der Eliminationsreihenfolge 2, 1, 3 erhält man nach Elimination von Knoten 2:

21 3^2203 1 13

Zn J

-3^31

0

Zi

U

U2

0

y 33_

L c/ 3J

ii

=

i 2

L

J

69

und nach Elimination von Knoten 1:

-0

o y_2i

0

^13 Ul o U2 ^33_ L c / J

lz L iü

oder umgeordnet: y_22 y n

o

o i_2 ü

Z 13

_ 0

U2 Ul =

0 i y33_ L t / 3J

Leistungsflußberechnung

i'i ii

y_n y_zi

4

Lz Ii L iU

Es ist kein Füllelement entstanden, und an der Zahl der Striche an den Elementen ist erkennbar, daß weniger Rechenoperationen für das Abwärtsrech­ nen erforderlich waren.

4.1

Problematik, Voraussetzungen, Anwendungen

Ziel der Leistungsflußberechnung (auch Lastflußberechnung) ist die Bestimmung des Wirk- und Blindleistungsflusses in allen Netzzweigen sowie der Netzverluste und der Blindleistungsbilanz. Dazu müssen neben den Zweigimpedanzen alle Knotenspannungen Ut bekannt sein. Ihre Bestimmungsgrößen Real- und Ima­ ginärteil oder W inkel1) und Betrag bilden den gesuchten (stationären) Zu­ standsvektor: x = i u t

u i ... u t

-

u ?

u t

-

. . .

u

n

J

oder: x = [^

S2

ö n U,

U2 ...

U{

... C/„]T .

Die Ausgangssituation an den Netzknoten ist unterschiedlich. M an unterscheidet je nach den Vorgabewerten die in Tabelle 4.1 zusammengestellten Knotenarten. Tabelle 4.1:

K notenspezifikation für die Leistungsflußberechnung

K notenarten

gegeben

gesucht

Bilanzknoten (Slack-Knoten)

U, 5

P,Q

Abnehm erknoten (P-ß-K noten)

P,Q=f(U )

U, 3

Einspeise- oder G eneratorknoten (P-lZ-Knoten)

P, u

Q.S

Es muß mindestens (siehe Abschnitt 4.2.2) ein Bilanz- oder Slack- oder SwingKnoten vorgegeben werden. Er muß in der Lage sein, die Leistungsbilanz herzustellen. Deshalb sollte als Bilanzknoten ein großes Kraftwerk oder eine Fremdnetzeinspeisung gewählt werden. Die Vorgabe mehrerer Bilanzknoten ist problematisch, da sie bereits einen Leistungsfluß untereinander erzwingen.

*) In der Leistungsflußberechnung hat sich die Bezeichnung S für den Spannungswinkel
70

71

An den Einspeiseknoten (meist Kraftwerke) sind die Wirkleistung und der Betrag der Spannung (deshalb auch P-U-Knoten) gegeben. Sie werden entweder nach Fahrplänen, Prognosen oder Regelsollwerten (konventionelles Leistungsflußproblem) oder aus Optimierungsbedingungen (wirtschaftliche Lastverteilung, dezen­ trale Blindleistungsregelung) vorgegeben. Die Vorgabe von U an einem Einspeise­ knoten kann zu unzulässigen Blindleistungsergebnissen für diesen Knoten füh­ ren. Es muß dann der Vorgabewert von U korrigiert werden, oder der Knoten muß bei Überschreiten der zulässigen Blindleistungsab- oder -aufnahme wie ein Abnehmerknoten mit ß max oder Qmin behandelt werden. An den Abnehmer- oder Last- oder P-ß-Knoten sind P und 0 bekannt. Man nimmt sie entweder fest oder als Funktion der Spannung nach den im Abschnitt 2.5 beschriebenen Möglichkeiten je nach Abnehmercharakteristik an. Die Bereitstellung eines konsistenten Datensatzes aus Meßwerten (state estimation) stellt eine besondere Problematik dar, auf die hier nicht eingegangen werden kann. Die Leistungsflußberechnung wird generell unter der Annahme symmetrischer Einspeisungen, Betriebsmittel und Abnehmer durchgeführt. Die Modelle be­ schränken sich deshalb auf die Größen eines Strangs des Dreiphasensystems bzw. auf das Mitsystem der symmetrischen Komponenten. Sie sind von N atur

aus nichtlinear und führen deshalb auf iterative Algorithmen. Einen Überblick über die hier behandelten Verfahren gibt Bild 4.1. Die wichtigsten Anwendungsgebiete der Leistungsflußberechnung sind: • Berechnung der Leistungsverteilung und des Spannungsprofils bei der Pla­ nung und Betriebsführung, • Lösung von Optimierungsaufgaben (wirtschaftliche Lastverteilung, Minimie­ rung der Netzverluste), e Ausfallsimulation, Sicherheitsrechnung, • Berechnung des stationären Ausgangszustands für die Stabilitäts- und Kurz­ schlußberechnung (Überlagerungsverfahren).

4.2 4.2.1

Stromiterationsverfahren Stromgleichung

Das Stromiterations- oder auch Knotenpunktverfahren beruht auf der iterativen Lösung der Netzgleichung in der Knotenadmittanzdarstellung nach Gl. (3.17), die man zweckmäßigerweise konjugiert: —K =J-K

(4-1)

mit: YiK = (y:k)"Xn, «K = i u i u * 2 . . . u * . . . u ; y , ik

=[i*ii*2 - i ?

...ir r .

anschreibt. Das Bild 4.2 veranschaulicht das allgemeine Modell. Es sollen zunächst nur P-Q-Knoten vorhanden sein. Für die P-ß-Knoten gilt: S ; = 3 UiJ* = S i(Ui), .

1 SAU: )

7* = - = ^ —^-. 3 Ui

(4.2) (4.3 1 ;

Setzt man Gl. (4.3) für jeden Knotenstrom in Gl. (4.1) ein, so erhält man die grundlegende Beziehung für das Stromiterationsverfahren

Bild 4.1

72

Ü bersicht zu den behandelten Verfahren der Leistungsflußberechnung

VKK «K =Jli = , 1/k ' VK •

(4-4) 73

Gln - ß n g 2„ - b 21

—^12 ~ B 22

•

Gnl -Bn —B 21

G„2 ~ b 12 ~ B 22

G„n ~ B ln

~ B ni

■•

-G i,

-B„2 ~ G l2

~~B2n

—G2i

—G22

~ B nl

—B„2

■ - Bn„

~ G„i

—G„2

g 22

- B i." ~ B 2„

Ui

- B„„ —G i„

u~f

- G 2n

u ^

- Gnn

■

Ut

!

(P1U f + Q1U ^ ) / U f (P2 U^ + Q2 U ^ ) / U l

mit: 1 1 UK1 = diag I ------— ... — ... \U xU 2

u,

{PnUt + Q n U t W l

u,

1 q7 W - p [ W ) / ü T (Q2 U i - P 2 U ^ ) / U 2

JLk =[S1(C/1)52(L/2) . . . s m ... S„([/„)]T. Die Zerlegung der Stromgleichung, Gl. (4.4):

(QnU t - P nU ^ ) / U 2n yn y_2i *

I 12 y 22 *

lli

Im

uf

^Sl (U1)/U1

1*2i

l*2„

ul

S2(U2)/U2

hn

i u; ~3

SdUd/Ui

/nn

u:

S„(U„)/Un

*

ln

ln

Zu

ym

y*»2

yni

oder kurz (im folgenden ohne den Index K für Knoten): _

G \~B 1 1

" uL “

U

*

bzw.: liefert mit:

F « = r = /( « ) .! )

lik = Gi k~}Bik , U * = U t-jU t, S,

fi+jQ ;

u{ u t + j u t

p, u t

+ Qi u l ±

. Q , u t - Pi U t

uf

1

uf

Ztk Ul = Gik Ut - Bik U t - j (Bik Ut + Gik U t ) das reelle Gleichungssystem: 74

(4.5) (4.6)

-------------------------------------------------------------------------------

G%2

.. =u

Gn G21

*) Das Sternchen am reellen Vektor i verweist darauf, daß die i13- negativ genommen sind. In Abhängigkeit von der Größenordnung der Elemente Gü und Bu (Nieder- oder Hochspannungsnetz) und dem verwendeten Eliminationsalgorithmus kann eine Umordnung des Gleichungssystems so, daß die größeren Elemente jeweils in der Diagonale stehen, zweckmäßig sein. Das Problem besteht nicht, wenn man einen komplexen Eliminationsalgorithmus direkt auf Gl. (4.4) anwendet.

75

Aufbau der Knotenadmittanzmatrix (kom pakt gespeichert)

Die Real- und negativen Imaginärteile berechnen sich aus: ,-J- = i (U2) ~ 1(Pu± + Q u 11) ,

(4.8)

(Q i^-P u^).

(4.9)

Reduktion um die Achsen des Stack knotens Dreiecks fa kto risie ru n g (topologisch gesteuert) Anfangswerte der Knotenspannungen ( „ f la t " - Start)

U2, P und Q sind Diagonalmatrizen der Ordnung n x n mit den Elementen: U 2 = diag (Uf) , P = diag (Pj), Q = diag (Qi).

K o rrektu r der Abnehm erleistungen

Die Untermatrizen G und B von Y in Gl. (4.7) besitzen die Struktur von I W Wenn FKK symmetrisch ist, ist auch Y symmetrisch. Die Drehung der Transformatorschaltgruppen wird bei der Leitungsflußberechnung nicht berücksichtigt. Schräg- und/oder quergeregelte Transformatoren wird man zur Vermeidung unsymmetrischer Koeffizientenmatrizen durch Zusatzströme einbeziehen. 4.2.2

Berechnung der „R echten S eite"

Algorithmus

Abwärtsrechnen m it N ullerkennung

Die Koeffizientenmatrizen von Gl. (4.4) und Gl. (4.7) sind nahezu, bei Vernach­ lässigung der Leitungskapazitäten exakt, singulär. Es muß deshalb eine Knoten­ spannung nach Betrag und Winkel bzw. nach Real- und Imaginärteil vorgegeben werden. Bei Vorgabe der Spannung Us für den Bilanzknoten s geht Gl. (4.7) über in die um die Achsen s und n + s reduzierte Gleichung:

>-rr«r=/; >;s«s=/;.

i# s .

(4.11)

setzt. Danach beginnt der Iterationszyklus mit der Berechnung der rechten Seite, wobei auch die Abhängigkeit der vorgegebenen Knotenleistungen Pi{U^ und Qi(Ui) entsprechend Abschnitt 2.5 berücksichtigt werden kann. Ein erster Nähe76

Abbruchbedingung

(4.io)

Den Algorithmus — die sogenannte Stromiteration — zur Lösung von Gl. (4.10) stellt Bild 4.3 dar. Er beginnt mit der topologisch gesteuerten Dreiecksfaktori­ sierung von Frr, die nur einmal durchgeführt werden muß, weil die Elemente von Y„ konstant sind. Die rechte Seite wird dabei nicht mitbehandelt. Es folgt die Festlegung der Anfangswerte für den Spannungsvektor in der Regel durch einen sogenannten Fiat-Start, der alle Spannungen auf: t/^ tW j/3 , 1 ^ = 0

Aufwärtsrechnen mit Nullerkennung

Auswertung

Bild 4.3

Algorithmus zum Z-Bus-Verfahren

rungswert für den Spannungsvektor uT wird durch Ab- und Aufwärtsrechnen an der Dreiecksmatrix Y'r erhalten. Mit den verbesserten Spannungen beginnt der nächste Iterationsschritt. Der Abbruch erfolgt, wenn die Spannungsänderungen zwischen zwei Iterationszyklen unter der vorgegebenen Schranke liegen. Es ist dann noch der Strom is für den Slackpunkt zu berechnen, wofür die beiden in Gl. (4.7) gestrichenen Zeilen mit den Indizes s und n + s zur Verfügung stehen. Bei 77

der Lösung von Gl. (4.7) ist es vorteilhaft, stets das zu einem Knoten gehörende Zeilenpaar simultan zu behandeln (sogenannte Doppelzeilenelimination), da seine Zeilen die gleiche Struktur aufweisen. Im englischsprachigen Schrifttum wird das Stromiterationsverfahren mit der direkten Lösung der Stromgleichung durch Ab- und Aufwärtsrechnen des Stromvektors an Y 'r in jedem Iterationszyklus als Z-Bus-Verfahren bezeichnet (die Lösung ist formal gleichbedeutend mit ur = Z„(i* — Yn u,)). Früher hat man Gl. (4.7) in jedem Iterationszyklus ebenfalls iterativ nach dem Gauß-Seidel-Einzelschrittverfahren gelöst. Man spricht dann von Spannungsiteration oder innerem Iterationszyklus, der in den Stromiterationszyklus, der dann als äußerer Iterationszyklus bezeichnet wird, eingebettet ist. Das Gauß-Seidel-Verfahren hat den Vorteil, daß es sich leicht programmieren läßt und auch P-t/-Knoten einfach in die Iteration einbezogen werden können. Es benötigt aber wesentlich mehr Iterationsschritte1) als das Z-Bus-Verfahren, das i. a. unabhängig von der Netzgröße mit 6 bis 10 Schritten auskommt. Auch kann es beim Gauß-Seidel-Verfahren zu Konvergenzschwierigkeiten kommen, wenn das Netz zu groß wird oder negative Zweigimpedanzen enthält (Reihenüberkompensation).

Mit den so korrigierten Spannungskomponenten wird nun die Blindleistung ß v+1 für den nächsten Iterationsschritt bereitgestellt: ö „ v+1= i m ( 3 L / ; i n = 3 ( t / i^ ; 1/ it ; +1 -

•

(4.i6)

Die korrigierten Ströme erhält man aus den für den P-U-Knoten zutreffenden Zeilen in Gl. (4.7) zu:

It,u 1 =

t

>

(4.17)

- I f c i = t ( - B y t # + 1- G y t / # ; i ) . j= i

(4.18)

j= i

(GijUfr +^ B t j U f t U )

4.3

Newton-Verfahren

4.3.1

Leistungsgleichung

4.2.3 Einbeziehung von P-[/-Knoten An den P-U-Knoten sind P und U vorgegeben. Nach einem Iterationsschritt bei der Lösung der Gl. (4.10) wird sich aber eine Spannung am P-U-Knoten i einstellen:

Die grundlegende Gleichung für das Newton- oder auch Newton-RaphsonVerfahren ist die Leistungsgleichung. Sie wird aus Gl. (4.1) durch Multiplikation von links m it: 3C/K= 3diag(C/;)

uuv+! = 1/Ug+i + Uftlt # ut ,

(4.12)

wenn Ut die vorgegebene Spannung ist. Da aber gewöhnlich der Einfluß der Blindleistung auf den Spannungsbetrag und der der Wirkleistung auf den Spannungswinkel dominiert, kann man die in Gl. (4.12) festgestellte Spannungs­ abweichung der Blindleistungsänderung zuschreiben. Vor dem nächsten Itera­ tionsschritt werden deshalb die Spannungskomponenten U^v+1 und U ^ +1 unter der Annahme des richtig berechneten Winkels: öUv+l = arc tan Ei uU i

(4.13)

3 ^ KrKK«K = 3£/KiK = lK (« K)-

(4.20)

Der Vektor sK enthält die für die Knoten vorgegebenen Leistungen als Funktion von ihrer (gesuchten) Spannung. Das i-te Element lautet: ( U■\ p<

&=Piot e )

( U■Vi

+ ja ° f c j = m ) -

3 UK Fkk uk —sk (hk) = / (kk) = o

U t ’+1 = UiCosöUv+1,

(4.14)

£ / # ; 1 = C/JsinäifV+1.

(4.15)

78

gewonnen:

(4-21)

Die nichtlineare Gl. (4.20) hat Lösungen für:

wie folgt korrigiert (Index'):

‘) Die Anzahl der erforderlichen Iterationsschritte steigt etwa linear mit der Knotenzahl.

(4.19)

(4.22)

oder bei Trennung in Real- und Imaginärteil: 3R e(t/KJ k k « k ) -/>k(«k) = &P(x) = o ,

(4.23)

3 lm (U KTkk «k) -
(4.24) 79

x ist der gesuchte Lösungsvektor, entweder in Polar- oder kartesischen K ten. Die Nullstellen (Lösungen) der Gin. (4.23) und (4.24) werden mit dem Verfahren, das der so durchgeführten Leistungsflußberechnung auch de: gegeben hat, ermittelt. Durch eine Taylor-Entwicklung um den Näherv x v mit Abbruch nach dem 1. Glied erhält man die beiden linearen Gl für die Verbesserung A xv+, der Näherung x v :

ei­ jnnen ktor igen

Ui = U t + ] U t ±

(4.31)

lautet das i-te Element von Ap(x): A^ = 3 U ^ t (Gu u f - ß iJ U ^ ) + 3 U ^ t (Bi} U f + GtJ U ? ) - P. j =i

j= i

(4.32)

1

und von A<jr(x): (4.25) OJC

A Qt = 3 U ^ t

(Gtj U f - Bij U ^ ) ~ 3 U t t (Bu V f + Gy U f r - Q, .

j= i

® ^ ^ A * v+ i = - A * ( * ¥) , ox

(4.25)

und zusammengefaßt:

Ap ( x v)

dxT

AP; = 3 U t I t + 3 U t1-1 ^ - P i,

(4.34)

AQi = ' i U t x l t - ' 3 U t I t L - Q i ,

(4.35)

mit:

A q(xv)

0JC

Geeignete Abkürzungen sind:

(4.27)

A .i„

d A q ( x v)

It

JvA x v +x = y v .

t

(4.36)

(BijUt + GijUf1).

(4.37)

j= i

(4.28)

Die Koeffizientenmatrix J in Gl. (4.28) wird Funktional- oder Jacobi-Ma£n'x genannt. Ihre Untermatrizen: N L

= t ( G ijU f - B ijUt±), j= i =

oder noch kürzer:

H M

(4.33)

j= i

(4.29)

Für Pt und 0, steht:

F‘

<4-38>

a

(4-39)

hängen von der Wahl des Zustandsvektors (Polar- oder kartesische Form) ab. Sie werden in den folgenden Abschnitten näher beschrieben.

4.3.2

') Die folgende Matrizenschreibweise m acht den Zusam m enhang m it den Gin. (4.7), (4.8) und (4.9) deutlich:

Kartesische Form der Jacobi-Matrix

Ap" = 3 -A q

Mit: y*ik =

80

Gik- j B ik,

(4.30)

U1 - u 1

-U1 - u 1

t / x = diag (U-1) ;

' i1 " -i^

P

' ’

i1 ‘ - i 11

G—B —B —G

' KX '

= diag ( t/M ) .

81

Nach Partitionierung des Zustandsvektors in : (4.51) x = i u t U i...

Ut ... Ut I

u t ... ut1 ... U^Y

(4.40)

cU t

q i Ufo

U: \ q‘~2 Ut Ut0 Q i0\ u i0

0 öi d u t1

werden die partiellen Ableitungen gebildet. Das Ergebnis ist: 0A P r , it G„ n +irriL j_ 33 U .- 00Phu = u “ -r >= 3„ (U U ^ RBtt)\ + u ±1 ,

(4.41)

h,k = ^

= 3(U tG ik+ U t±B,k),

(4.42)

mu =

= 3 ( ^ G lf- U t ß „ ) - 3 ^

° \ U i0 (4.52)

Damit bekommt man folgende Form der Jacobi-Matrix1): /= 3

[U tG ^ + U ^ B ^ { -U tB a + U ^ G ^ r " + ( - U t Bik + C/M Gik)n*" ( - U t Gik - t/M ß iky x »_ Blockdiagonal-symmetrischer Anteil

.

0AQ; .. . mik= ^ J T = 3 (U> G‘k- U t B ik),

(4.43)

(4.44)

d iag ( 3 , ' -

+ 0A P, . ,, 0P.na = ^ ?f = 3 ( - t / iI ß ü + t / / J-Gn) + 3 7 M _ ^ i r , 0 AP

"i* = ^ y n = 3 ( - U i B ik +

Gik) = rni k ,

0AO; .L. n> . , Sßi hi = ^ 7^ = T3 /( - Ur r Jt- ± Bii- Ur rt lGß ii) +i 35 Iif i ______ ± 1 _

diag (4.45)

(4.46)

0AQ;

.. , = 3 ( - C/,^ B(Jt - C/f G J = - hik..

9 Qj dU t

d ia g ^ /f1

8 Pt dU t

diag \3 Ij--

QQi dU t

(4.53)

4.3.3 Polarkoordinatenform der Jacobi-Matrix Der Zustandsvektor setzt sich für diese Form aus den Winkeln <5i v + 1 und den bezogenen Beträgen w;>v+1 = Uuv+1/U iiv zusammen:

(4.47) X = [ ^ !

lik =

- 3 Ij~

^ i

(4.48)

Ö2 ... öi ... ö„

U j U2 . . . Ui . . . U „ ] T .

(4.54)

Mit:

17* — V pWik J Zik —yikc

mit:

Ui = UteiS‘ dP,

aut

Ut { u ,y < -2 Pi T t2 ^i y iu?0 i0 \ u i0

0P; _ t/M 'Pi 2 Q U ^ r ‘ tt Ufo

f u , \ P t~* iO lu \U i0

(4.49)

(4.50)

wird: AP, = 3 Ui I

j Uj cos (Sjj + (pij)

Pi,

(4.55)

j= i

!) D er G rößenordnung der Elemente der U nterm atrizen der Jacobi-M atrix entsprechend, ist für die numerische Lösung die U m ordnung des Gleichungssystems so, daß die größeren Elemente in der Diagonale stehen, zweckmäßig. D as wird erreicht, wenn im Z ustandsvektor zuerst die Imaginärteile der K notenspannungen angeordnet werden.

82

83

AQ, = 3 Ui £ yijUjSiniöij + c p i^ -Q i, ;=i

(4.56)

ln

bzw.

dAQi 0 M:i dAQi : 0 Mt

AP; = Pii+

i

P ij- P ,,

n

0 Ö-

Z Qi j + 2g i; ~ Q ^ f = qu + Aö i + J = l ,* i

( X~ 3i) ö i ’

—hik >

(4.69)

(4-70)

(4.57) und die Jacobi-Matrix nimmt die Form an:

A Qi

=qu + t

q tj-Q i>

(4.58)

Ph = 3 U iyiiUicos(pii = 3GiiU j >

(4.59)

q,t = 3 l/fj/l( Ut sin cpu = - 3

(4.60)

Uf,

Pu = 3 Ut ytj Uj cos (<5;j + (pu) ,

(4.61)

«.•j = 3 C/i

(4'62^

UJsin (^ü + 9>ij) •

Die Elemente der Jacobi-Matrix berechnen sich nach: 0APhi i = 1 r ~ = 0 0 ,hik

" I

=

Z

«y = * „ - A ß f- & ,

(4.63)

(4-64)

P*‘J = -P u + APi + Pi ’

0 Aß,. mik = - r j - = - p ik, dök

9 AP;

"

(4-65)

(4-66) 0

P.

n« = ^ — = Z Pü+ 2Pii-S77 = Pii + APi+ (1“ Pi)Pi>

(46?)

8Api= Pü = - mik , «.•* = —---0%

(4.68)

84

4.3.4

d i a g ( - A ß ,- ß ,) | diag(AP; + ( l - p ;)P ;) diag(A Pi + P^ | diag(A ß, + (1 - qt) ß ;)

■(4-71)

Algorithmus

Nach dem Strukturdiagramm in Bild 4.4 beginnt die Berechnung mit dem Setzen von Startwerten für den Zustandsvektor. Gewöhnlich wird ein Fiat-Start vor­ genommen. Je nach der gewählten Form des Zustandsvektors (kartesische oder Polarkoordinatenform) wird für alle Knoten: U t= U t, u f ± = o

0AP, = Qik > 0<5t

mii =

fe*)"*" I (p.-*r + ( - p ikr i (««)" xb

bzw.: <5; = 0 ; M; = 1 gesetzt. Innerhalb der Iterationsschleife werden nun zunächst die Koeffizienten der Jacobi-Matrix und gleichzeitig unter Ausnutzung von Zwischenausdrücken die Elemente der rechten Seite berechnet. Wegen ihrer Arbeitspunktabhängigkeit muß die Jacobi-Matrix für jeden Iterationsschritt neu berechnet werden. Nach der Berechnung der Jacobi-Matrix und der rechten Seite schließt sich der Test auf Abbruch, der im 1. Schritt natürlich noch nicht erfüllt ist, an. Bei Nicht­ erfüllung wird ein verbesserter Näherungswert für den Zustandsvektor berechnet, mit dem dann erneut die Jacobi-Matrix und die rechte Seite berechnet werden, solange bis die Vektornorm der rechten Seite die vorgegebene Genauigkeits­ schranke e unterschreitet. Zur effektiven Behandlung des Gleichungssystems sind folgende Einzelheiten zu beachten: Die Jacobi-Matrix ist topologisch symmetrisch, aber numerisch unsymmetrisch. Ihre Untermatrizen weisen durch ihre Entstehung aus der Knotenadmittanz­ matrix eine analoge Struktur auf. Wegen der Spärlichkeit lohnen sich auf jedem Fall die topologisch gesteuerte Elimination und die Kompaktspeicherung. Da sich während der Iteration zwar die Elemente, nicht aber die Struktur von J ändern, 85

t f l a t '!' - S ta rt

L eistungsdifferenzen und U n te rm a triz e n der J a c o b i-M a trix

APy } A Qy

Hy i Ny , My , Ly

jQ

J v " Cv 3'v c v ’apy"

. ~*Py

Ergebnis d a rste llu n g

D reiecksfaktorisierung und gleichzeitiges Abw ärtsrechnen

muß mindestens ein Slack-Knoten, für den die Spannung vorgegeben ist, vorhan­ den sein. Er wird so berücksichtigt, daß die zu ihm gehörenden Zeilen und Spal­ ten im Gleichungssystem gestrichen werden. In Bild 4.4 ist diese Reduktion, um die Schreibweise einfach zu halten, nicht ausdrücklich an den Größen vermerkt. Durch die Winkelfunktionen ist die Berechnung der Elemente der Jacobi-Matrix und der rechten Seite in Polarkoordinatenform aufwendiger. Dafür hat die Polarkoordinatenform aber den Vorteil, daß sie den Ansatz für vereinfachte Verfahren der Leistungsflußberechnung liefert (s. Abschnitte 4.5 und 4.6). P-U-Knoten sind in die Polarkoordinatenform einfacher einzubeziehen. Es ent­ fallen die zur gegebenen Spannung U-t gehörende Zeile und Spalte. Die Ordnung des Gleichungssystems wird um die Anzahl der P-U-Knoten reduziert. Zuletzt kann mit Hilfe der gestrichenen Gleichungen die Blindleistung der P-U-Knoten berechnet werden. In der kartesischen Form erfolgt die Einbeziehung von P-[/-Knoten derart, daß die Forderung: U t2 + U ^ 2 = Uf in der Nähe des Näherungswertes (Index v) linearisiert wird:

LAQyl

W y-

2 [tf¥ A C7ff v + 1 + 2 U # A U £ + j = Uf - U t2 - U £ 2 = - A t/?v . AÖy+ 1

APy Aqy .

Öy+1 = 5 ,

A u fw ä rtsre chn e n

+a 5 v+1

y := v +1

Erhöhung des Ite ra tio n szä h le rs

Algorithmus zum Newton-Verfahren in Polarkoordinatenform

braucht die suboptimale Eliminationsreihe nur einmal ermittelt zu werden. Bei der Dreiecksfaktorisierung werden die zu einem Knoten gehörenden beiden Zeilen (sie weisen die gleiche Struktur auf) gleichzeitig behandelt (Doppelzeilenelimination), und die rechten Seiten werden sofort mitbehandelt (Abwärtsrech­ nen). Die Speicherung der Eliminationskoeffizienten ist nicht erforderlich. Der Rechenablauf ist ohne das Vorhandensein von P-[/-Knoten für die beiden Darstellungsformen: kartesische und Polarkoordinatenform prinzipiell gleich. Es

(4.73)

Diese Gleichung tritt nun anstelle der Gleichung für die Berechnung der Blind­ leistungsabweichung des P-U-Knotens i (siehe Gl. (4.33)). In die Abbruchbedin­ gung ist A t/?v= 0 aufzunehmen.

4.4

■ u r +AU y+1

Bild 4.4

(4.72)

Vergleich zwischen Stromiterations- und Newton-Verfahren

Das erste Computerprogramm zur Leistungsflußberechnung wurde 1956 von Ward und Haie beschrieben. Es beruhte auf der Lösung der Stromgleichung nach dem Gauß-Seidel-Verfahren (Stromiterationsverfahren mit äußerer und innerer Iteration). Mit dem Ausbau der Verbundnetze kam es zu einem starken Anwachsen der Knotenzahlen und zu Schwierigkeiten mit dem Gauß-SeidelVerfahren (hohe Anzahl von Iterationen, in einzelnen Fällen keine Lösung). 1961 wendet van Ness erstmals das Newton-Verfahren an. Heute kommen nur noch das Z-Bus-Verfahren (Stromiteration ohne innere Iteration) und das Newton-Verfahren in Frage. Das Z-Bus-Verfahren zeichnet sich durch seinen ein­ fachen Algorithmus (leicht zu programmieren) und geringen Speicherplatzbedarf aus. Es benötigt mehr Iterationsschritte (zwei- bis dreimal soviel) als das New­ ton-Verfahren, hat aber einen größeren Konvergenzradius. Das Newton-Verfahren besitzt die optimale Konvergenzeigenschaft (in der Lö­ sungsnähe quadratische Konvergenz) und kommt unabhängig von der Netz­ größe mit drei bis fünf Iterationsschritten aus. Es ist aber empfindlich gegen schlechte Startwerte. Der Rechenaufwand und der Speicherplatzbedarf für einen 87

Iterationsschritt sind durch die erforderliche Neubestimmung der Jacobi-Matrix größer als beim Z-Bus-Verfahren, so daß beide Verfahren durchaus konkurrenz­ fähig sind.

4.5

Die Matrizen H und L sind ebenso wie die rechten Seiten noch von den aktuellen Knotenspannungen Ut abhängig. D a die Knotenspannungen sich aber im Betrag gewöhnlich nur gerinfügig unterscheiden, kann man in den Gin. (4.74), (4.75) sowie (4.78) und (4.79) die Uj bzw. Uk jeweils Ut setzen und erhält so für die Gin. (4.80) folgende Koeffizientenmatrix:

Uf

Entkoppelte Leistungsflußberechnung

Durch die ständig erforderliche Aktualisierung der Jacobi-Matrix ist die Lösung des Gleichungssystems (4.28) zeitaufwendig. Bei Verwendung von Näherungs­ ausdrücken für die Jacobi-Matrix wird zwar das optimale Konvergenzverhalten des Newton-Verfahrens aufgegeben, jedoch können die erzielten Rechenvorteile überwiegen. Das Ergebnis wird nicht beeinflußt. Ansatzpunkte für eine genäherte Berechnung der Elemente der Jacobi-Matrix ergeben sich aus der Größenord­ nung der gegenseitigen Spannungswinkel öik und der Impedanzwinkel
yn

Uf Ul

3^21

y\2 y '22

•

J'2.

yn

yi 2

• •

y'/i

ym

yn2

■■ ym

u2

■ y i.

ym y2n (4.82)

B'

mit: n

y ü = - Z yij j=l.*i

* „ = -3 1 /,

I

ytjU j,

(4.74)

hik = 3 U iyikUk ,

(4.75)

mu = mik = 0 ,

(4.76)

" n = n ik = 0 ,

(4.77)

und für Gl. (4.81):

Uf

yh y 12 3^21 y '22 Uf

Tu = - h u + 2- 3yu U?,

(4.78)

Ti k = h ik.

(4.79)

Die Anteile 0P;/ö C/f in nu und 5 QJd Ut in ln sind dabei ebenfalls vernachlässigt. Auf die rechte Seite dürfen die Näherungen selbstverständlich nicht angewendet werden. Wegen der verschwindenden Elemente der Matrizen M und N zerfällt die Gl. (4.28) in die beiden Gleichungen: H A Ö = -A p ,

(4.80)

L A u = —Aq .

(4.81)

88

Uf U2

• Jli ■ y 21

•■ ■

y 2n

3'ln

(4.83)

yn

yt 2

• ■ y'L

■

yin

yn1

3'n2

• ■ yni V--B"

■■■

y'L

mit: y"i= -y 'u + 2 yi i .

89

Damit werden aus Gin. (4.80) und (4.81):

Sie begründen somit auch nachträglich die Vorgehensweise bei der Berücksichti­ gung von P-U-Knoten im Z-Bus-Verfahren nach Abschnitt 4.3.4.

3 U 2B ' Aö = —A p ,

(4.84)

3 U 2B " A u = —Aq

(4.85)

4.6

B ’ A ö = - l- { U 2) - l A p ,

(4.86)

B " A u = - ^ ( U 2) - 1A q .

(4.87)

Die schnelle entkoppelte Leistungsflußberechnung oder auch Gleichstrom-Leistungsflußberechnung beruht auf weiteren Vereinfachungen des Modells für die entkoppelte Leistungsflußberechnung. Unter der Annahme (ptJ = %/2 und <5y «c 1 wird jetzt auch die rechte Seite in Gl. (4.86) vereinfacht. Aus dem i-ten Element im Vektor Ap wird ausgehend von Gl. (4.55) mit cos (öy + n/2) = — sin <5;j« —öi}:

und nach Umstellung

Das sind die Gleichungen für die sogenannte entkoppelte Leistungsflußberechnung, wobei sich die Bezeichnung „entkoppelt“ nur auf die linke Seite bezieht, denn auf der rechten Seite bleiben die Gleichungen über die Spannungsabhän­ gigkeit gekoppelt. Durch die Näherungen wurde aber erreicht, daß die Ko­ effizientenmatrizen B ’ und B" konstante Elemente enthalten. Sie brauchen — und das ist der erzielte entscheidende Vorteil — für alle Iterationsschritte nur einmal in eine Dreiecksmatrix überführt zu werden. Die Struktur und Besetztheit von B ’ und B" sind mit der Knotenadmittanzmatrix identisch. In den Zahlen­ werten unterscheiden sich beide Matrizen nur durch die Diagonalelemente. Un­ ter Ausnutzung der Spärlichkeit von B ' und B" führt die entkoppelte Leistungsflußberechnung auf sehr schnelle Algorithmen. Die Lösung der Gin. (4.86) und (4.87) erfolgt in zwei sogenannten Halbiterationen. Zunächst wird ein verbesserter Wert für die Spannungswinkel durch Lösung der Gl. (4.86) berechnet (1. Halb­ iteration), und anschließend wird ein verbesserter Wert für die Spannungsbe­ träge, bereits unter Verwendung der verbesserten Spannungswinkel (ähnlich wie beim Einzelschrittverfahren) auf der rechten Seite der Gl. (4.87), ermittelt (2. Halb­ iteration). Solange die Abbruchbedingungen nicht erreicht sind, beginnt der Iterationszyklus immer wieder von vorn. Für die Berechnung quasistationärer Zustände, wie sie bei der Stabilitätsberech­ nung (s. Kapitel 6 ) auftreten, ist die entkoppelte Leistungsflußberechnung nicht geeignet, weil es während der quasistationären Zustandsänderungen vorüber­ gehend zu größeren Winkeln zwischen den Spannungen und größeren Span­ nungsänderungen kommen kann. Es sei daran erinnert, daß die Herleitung der Gin. (4.86) und (4.87) von kleinen Werten für die öik und annähernd gleichen Spannungsbeträgen ausgegangen ist. Die beiden Gin. (4.86) und (4.87) werden auch als Wirkleistungs- und Blindleistungsmodell bezeichnet. Sie demonstrieren anschaulich die in Hochspannungs­ netzen dominierenden Abhängigkeiten zwischen Wirkleistung und Spannungs­ winkel einerseits und zwischen Blindleistung und Spannungsbetrag andererseits.

90

Schnelle entkoppelte Leistungsflußberechnung

(4.88)

AP,-= —3C/,- X yu U jö tJ- P t . j= i

Weiter wird für alle Spannungen l/; ein einheitlicher Wert, z.B. die Nennspan­ nung des berechneten Netzes, angenommen, also £/; = UnN/]/3 gesetzt. Damit entfällt die Notwendigkeit der Lösung von Gl. (4.87), und Gl. (4.86) vereinfacht sich mit: (4.89) und: v

y ’u J

21

(4.90)

— — — TI2 U nN Z y u ( ö i v - < 5 / , v ) - - P i , j =1 yi2

ym y2n

••

Y n

y n1

y n2

/u

y

J 12

^2 2

y,a

yn2

■

^ 2 , v + l ~ ^2,v

ynn

<5„,v+l ~ A , v _

■

ym

S l. v

•

y2n

$2,v

• y'nn

<5„,v

••

12

^ l.v + l =

(4.91)

> 1 1 +

P2

P„

91

190

Das Gleichungssystem (4.91) ist linear und gestattet die Berechnung der Span­ nungswinkel ohne Iteration:

y'n y 12 3^21

3^22

••• •••

ym y2 n

" V

^2

_

i

> r p2

(4.92)

5 Kurzschlußberechnung

5.1

Ü bersicht, Berechnungsziel

U nN

yni yn2

■■■

y’nn

A

p„

oder in symbolischer Schreibweise: B 'S = - X - p . TT2 U nN

Aus Gl. (4.88) ist ersichtlich, daß man das Modell für die Gleichstromleistungsflußberechnung Gl. (4.92) auch sofort aus Gl. (4.88) für AP; = 0 und Ui= Uj = C7nN/]/3 aufstellen kann. Es stellt einen extremen Kompromiß zwischen Aufwand und Genauigkeit dar und wird angewendet, wenn eine Vielzahl von Leistungsflußberechnungen, wie z.B. in der Zuverlässigkeitsanalyse, durchzu­ führen sind.

In der Kurzschlußberechnung unterscheidet man zwischen Verfahren unter Planungs- und Betriebsbedingungen (Bild 5.1). In der Planungsphase sind die Netzdaten noch mit Unsicherheiten behaftet. Das betrifft im wesentlichen alle vom Betriebszustand abhängigen Daten, wie z.B. den Erregungszustand der Generatoren, die Stufenstellung der Regeltransformatoren und insbesondere die Struktur und die Höhe der Belastung. Man war deshalb bemüht, Berechnungsverfahren zu entwickeln, die weitgehend unabhängig vom Einfluß der Betriebsdaten sind und dennoch ausreichend genau sind. Das Ergebnis dieser Bemühungen sind die standardisierten Berechnungsver­ fahren nach IEC-Paper 909 bzw. DIN VDE 0102. Sie haben den unbestrittenen Vorteil, ohne eine vorherige Leistungsflußberechnung und mit einem Minimum

11 IEC 909 DIN VDE 0102

Bild 5.1

92

Ü bersicht zur Kurzschlußberechnung

93

an Daten, die zudem noch unabhängig vom Betriebszustand sind, auszukommen. Die damit verbundene Genauigkeitseinbuße ist in der Planungsphase unbedeu­ tend. Das Prinzip der standardisierten Berechnungsverfahren beruht auf der Ermitt­ lung des Anfangskurzschlußwechselstroms /£, aus dem mit Hilfe von Faktoren ( k , fi, m und n) die gesuchten charakteristischen Kurzschlußstromgrößen ip (Stoßkurzschlußstrom), / a (Ausschaltwechselstrom) und Jm (thermisch gleichwertiger Mittelwert) bestimmt werden können. Der Anfangskurzschlußwechselstrom wird mit dem subtransienten Modell in der komplexen Ebene berechnet. Eine Ausgleichsvorgangsberechnung ist nicht erforderlich. In den letzten Jahren wurden die standardisierten Berechnungsverfahren einer gründlichen Prüfung auf Aus­ sagefähigkeit unterzogen und durch Korrekturen - insbesondere durch die Impedanzkorrektur - soweit verbessert, daß sie den praktischen Belangen voll entsprechen und auch leicht in ein Computerprogramm umgesetzt werden können. Es stehen deshalb heute Computerprogramme für eine breite Nutzung zur Verfügung. Die Kurzschlußberechnung unter Betriebsbedingungen erfordert die Berücksichti­ gung des aktuellen Leistungsflusses und die aktuellen Betriebsdaten einschließ­ lich des aktuellen Schaltzustands, da gerade diese Einflußgrößen interessieren. Der Leistungsfluß vor dem Kurzschluß kann nach dem Überlagerungsprinzip erfaßt werden, womit der Berechnungsaufwand steigt. In bezüglich des (R, X)Verhältnisses inhomogenen Netzen und Netzen mit starkem Maschineneinfluß (Industrie-und Kraftwerkseigenbedarfsnetze) können die Berechnungsverfahren auf der Grundlage von und der charakteristischen Faktoren versagen. Ins­ besondere die Teilkurzschlußströme können dann mit erheblichen Fehlern be­ haftet sein. Für genauere Aussagen bleibt dann nur die aufwendige Ermitt­ lung der charakteristischen Kurzschlußstromgrößen aus dem berechneten Kurz­ schlußstromverlauf. Der vollständige Kurzschlußstrom verlauf interessiert auch bei der Analyse von Störungsabläufen und des Verhaltens von Netzschutzeinrich­ tungen. Eine Sonderstellung nimmt die On-line-Kurzschlußberechnung zur Überwachung des Kurzschlußstromniveaus im Betrieb ein. Sie beruht auf der Berechnung von I£ nach dem Überlagerungsverfahren, wobei der vorangegangene stationäre Zustand durch eine »state estimation« geschätzt wird. Die erforderliche Rechen­ geschwindigkeit wird durch spezielle Algorithmen, wie z.B. das Takahashi-Ver­ fahren, erzielt. 5.2 5.2.1

1

Idi = n----- ; I" R.ü + J^ d i 1

2s,-= —----- ; I'i

bei Synchronmaschinen-,

bei Asynchronmotoren-,

R si+ jX st 1

7n; = —— — 5 L" Rvi + j^N i

bei Fremdnetzen.

Aus Bild 5.2 ist ersichtlich, daß als Quellenstrom /" der Anfangskurzschlußwech­ selstrom des betreffenden Betriebsmittels, der sich bei unmittelbarem dreipoligem Kurzschluß an seinen Klemmen ergibt, fungiert. Nichtmotorische Abnehmer (Lasten) werden in der Kurzschlußberechnung gene­ rell durch konstante Admittanzen Yhi nachgebildet. Genauere Modelle sind nicht erforderlich, da in der Nähe des Kurzschlusses eine starke Spannungseinsenkung auftritt, mit der der Einfluß der nichtmotorischen Abnehmer abnimmt. Kon­ stante Admittanzen lassen sich leicht in die Stromgleichung einbeziehen und werden deshalb bevorzugt. Somit erhält man folgende Stromgleichung:

Berechnung des dreipoligen Anfangskurzschlußwechselstroms Allgemeines Modell

Die Formulierung der Netzgleichungen erfolgt nach dem Knotenverfahren. Dabei wird zunächst angenommen, daß an jedem Knoten eine Einspeisung (im Kurz­ schlußfall) in Form eines Generators, Motors oder Netzteils (Fremdnetz) vor­ 94

handen sein kann (Bild 5.2). Als Ersatzschaltung für die auf den Kurzschluß speisenden Elemente wird einheitlich die Ersatzschaltung in der für die Rnotenadmittanzdarstellung günstigeren Form mit der Stromquelle (keine inneren Kno­ ten) zugrunde gelegt. Zur Vereinfachung der Schreibweise werden im folgenden alle speisenden Elemente Generator genannt und die Größen ihrer Ersatzschal­ tung allgemein mit Y" bezeichnet. Je nach dem tatsächlich vorhandenen Ele­ ment sind für die Admittanz Y" und den Quellenstrom I" einzusetzen:

passives Netz (wie fü r LF- Berechnung)

statischer Abnehmer

Generator- oder Motor oder Ersatznetz

Bild 5.2 Allgemeines Modell zur K urzschlußberechnung (Mitsystem der symmetrischen Kom ponenten)

95

C5 -1)

1-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s

I W S k = ± k = ( J l + ¥ g )U k + I k •

y'u y'zi

•••

y 'L

ii n

yi'n

ir+ ir

Die Knotenadmittanzmatrix FKK ist mit der bei der Leistungsflußberechnung verwendeten identisch. F, und Y£ sind Diagonalmatrizen:

y_2i

2 Y 22

! l = diag(J L1 J

y"i

y'n

■■■

y"i

■■■

In 1

yü

2

■■■

y'ni

■ ■ ■ Inn

L2

... J L i... J L„ ),

Yq = diag(Y'l Y'i ... Y'l ... Y'l).

(5.2)

Fl -

J g ) U k = Y I k Uk = ' k •

(5.5)

und: U I^ U i- Z H

g i-

(5-6)

Im Kurzschlußzustand setzt sich der Kurzschlußstrom am kurzschlußbehafteten Netzknoten i aus seinem Netzanteil J* und dem Quellenstrom 2" des eventuell vorhandenen speisenden Betriebsmittels zusammen, und die Spannung U{ wird bei sattem Kurzschluß Uf = 0. Führt man diese Kurzschlußbedingungen in Gl. (5.4) ein, so lautet diese: I k 'k ü k = 1 k + 1 k

und ausführlich:

■■■

(5-4)

F rk ist die um die Generator- und Lastadmittanzen erweiterte Knotenadmit­ tanzmatrix (s. gestrichelten Kasten in Bild 5.2). Da die Generator- und Last­ admittanzen nur in die Diagonalelemente eingehen, hat Y£K die gleichen Struk­ tureigenschaften wie Fkk. Jedoch ist Y£K durch die zusätzlichen Diagonal­ elemente wesentlich besser konditioniert als FKK (es sei daran erinnert, daß FKK nahezu singulär ist) und immer regulär. Im weiteren muß man die beiden Zustände: stationärer Zustand vor dem Kurzschluß (kurzschlußfreier Zustand) und Kurzschlußzustand besonders kenn­ zeichnen. Dafür sollen die hochgestellten Indizes 0 und k verwendet werden. Nicht besonders zu kennzeichnen sind die subtransienten Quellenströme, da sie ihren Wert beim Übergang vom stationären zum Kurzschlußzustand natur­ gemäß nicht ändern (Prinzip der Läuferflußkonstanz). Die Bestimmung der Quellenströme erfolgt mit den Ergebnissen L/; und l Qi der Leistungsflußberech­ nung für den stationären Zustand gemäß: 1 1 = - Y ’l U'l

y 'i

(5.3)

Gl. (5.1) läßt sich umformen zu: (2kk -

'y 'l i

(5 - 7 )

(5.7)

m

Die Lösung von Gl. (5.7) könnte nun prinzipiell so vorgenommen werden, daß man das Gleichungssystem um die i-te Achse (Kurzschlußknoten) reduziert (Streichen der i-ten Zeile und Spalte) und nach den Spannungen der kurzschluß­ freien Knoten auflöst: T r r « r = ir Formal erhält man:

1

Ut = (Yl't y l ± .

(5.8)

( 5 .9)

Dann könnte man aus der bisher nicht verwendeten i-ten Zeile den gesuchten Anfangskurzschlußwechselstrom berechnen: l } = y j, U i + y l2 U l + . . . + yjn Uk n- H l .

(5.10)

Er ist identisch mit dem sogenannten Summenkurzschlußstrom I£ (3), der über die widerstandslos angenommene Kurzschlußverbindung fließt. Nachteil der durch die Gin. (5.9) und (5.10) beschriebenen Vorgehensweise ist, daß zu jedem Kurzschlußort eine andere reduzierte Knotenadmittanzmatrix Fr" gehört und deshalb bei der Lösung von Gl. (5.9) durch topologisch gesteuerte Elimination für jeden Kurzschlußort eine neues gestaffeltes System aufzubauen ist. Der Aufwand für die Neubildung der oberen Dreiecksmatrix läßt sich durch Anwendung des Überlagerungsprinzips vermeiden. 5.2.2

Überlagerungsprinzip

Dieses auf Helmholtz zurückgehende und von Thevenin angewendete Prinzip geht davon aus, daß der Kurzschlußzustand'. Y " n k — i " -i- : k J k k U k —1 k + I k

unter Beachtung der Beziehung für den kurzschlußfreien Zustand: 96

97

Ikk^k =&

(5-11)

eine Überlagerung der Zustände stationär und des Zustands: (5.12)

entsprechend der Anteile des Stromvektors in Gl. (5.7) darstellt. Durch Addition der Gin. (5.11) und (5.12) überzeugt man sich von der Richtigkeit der Annahme. Der durch Gl. (5.12) ausgedrückte Zustand wird als Rückwärts-Einspeisung an der Kurzschlußstelle bezeichnet. Die im Vektor A u \ stehenden Spannungsdiffe­ renzen heißen Thevenin-Spannungen. Es sind die durch den Kurzschluß hervor­ gerufenen Knoten-Spannungsänderungen gegenüber dem stationären Ausgangs­ zustand. Für den kurzschlußbehafteten Knoten i gilt bei sattem Kurzschluß:

Bild 5.3

und für die anderen Knoten:

Anwendung des Ü berlagerungsprinzips für die Kurzschlußberechnung

(5.14)

Der Kurzschlußstromvektor ist bei Einfachkurzschlüssen nur mit dem Kurz­ schlußstrom des Kurzschlußknotens i besetzt. Bild 5.3 veranschaulicht das Über­ lagerungsprinzip. In die widerstandslose Kurzschlußverbindung vom Knoten i zum Bezugsknoten denkt man sich zwei entgegengesetzt gerichtete gleichgroße Quellenspannungen von jeweils U° eingebracht. In der Summe hebt sich die Wirkung der beiden Quellenspannungen auf. Ihre Einzelwirkung ruft aber die Zustände stationär und Rückwärtseinspeisung an der Kurzschlußstelle hervor. Bei der Rückwärtseinspeisung sind nach Gl. (5.12) die Stromquellen nicht wirksam, sie sind deshalb zu öffnen. Nach dem Überlagerungsprinzip besteht die Kurzschlußberechnung aus zwei unabhängigen Schritten: • Berechnung des stationären Leistungsflusses vor dem Kurzschluß. Es werden die im Vektor stehenden Knotenspannungen erhalten. • Lösung des Gleichungssystems Gl. (5.12) nach dem in Abschnitt 5.2.3 be­ schriebenen Algorithmus. Interessant ist, daß bei dieser Vorgehensweise die Quellenströme nicht be­ nötigt werden. Aus und A«k ergeben sich die Knotenspannungen im Kurz­ schluß: « k = « k + A« k

Rückwärtseinspeisung

(5.15)

5.2.3

Algorithmus

Entsprechend dem in Bild 5.4 skizzierten Ablauf erfolgt nach der Leistungsfluß­ berechnung die Lösung der Gl. (5.13) für einen vorgegebenen Kurzschlußort (Knoten i). Da der K u rz sch lu ß stro m v ek to rn u r mit dem Element besetzt ist, wird - wie die mit Gl. (5.17) angeschriebene formale Lösung der Gl. (5.12) zeigt - für die Berechnung aller Spannungsänderungen und des Kurzschluß­ stroms 2- nur die i-te Spalte z£,• der Knoten-Impedanzmatrix Z ^ K = (Y ^ K)~ 1 benötigt: A uk = Z kK1 k ,

(5.17)

und ausführlich: 1

AUf = Uf —Uf .

Stationär

(5.13)

' u i - U i '

Äll

Äl2

lli

•••

S .'L

U \ - U l

121

122

Ä2i

•••

Ä2„

• • • O O

AU? = Q -U ?

Kurzschluß

1

J K K (« k -l4 ) = rK KA «k= iK

i-il

—12

J lL - jk -

I?

Änl

Än2

o

- u ?

=

-

und schließlich die Zweigströme: u k„ - u ° _

A = I ik( U t - m ) .

98

ln i

•••

In n

0

(5.16)

99

1 • • • O O ...................................................................................................................

Aus der ausführlichen Schreibweise von Gl. (5.17) wird deutlich, daß die i-te Spalte von Z rk identisch mit — A h£ ist. Also: li 1

IF

A «k —JTkk ei —-Slti

bzw.

'u i - u T

Zll

A l

•••

Zu

-

Zl n

u \ - u \

—21

122

•••

Z'li

■■■

Z2n

Zn ■ .

In ••• . _ .

Zu :

Änl

Än2

Zni

1 -U f

ir

m - u f

=

n

•••

-

Zi„ .

1

z" -=-rtrt

0

(5.18)

Der Vektor et ist der i-te Einheitsvektor. Unter Berücksichtigung von Gl. (5.18) wird aus Gl. (5.12): Ik k ,k A I(k — !k k J*Ki _ ei ■

(5.19)

±-i

Bild 5.4 Algorithmus zur Berechnung des dreipoligen Anfangskurzschlußwechselstroms, der K notenspannungen und Zweigströme nach dem Überlagerungsprinzip

Die gesuchte Spalte kann demnach durch Ab- und Aufwärtsrechnen des i-ten Einheitsvektors an der zu Y^K gehörenden Dreiecksmatrix ( Y^K) ' ermittelt werden. Ändert sich der Kurzschlußort, so ändert sich lediglich der Einheitsvek­ tor, mit dem nur die Schritte Ab- und Aufwärtsrechnung an der unverändert gültigen Dreiecksmatrix für das ungestörte Netz neu durchzuführen sind. Mit dem Diagonalelement z-'-, der sogenannten Torimpedanz für den Kurzschluß­ knoten i, berechnet sich der Kurzschlußstrom: I? ’

.El

(5.20)

Z '!:

und m it/f die Thevenin-Spannungen: z": I * = -U f- m - :-=JlJ-l

100

U f.

(5.21)

101

Als Alternative zu dem hier beschriebenen Algorithmus bietet sich die direkte zweigweise Bildung der Knotenimpedanzmatrix nach Abschnitt 3.8 an. Jedoch ist dieser Weg aufwendig und lohnt sich nur, wenn alle Netzknoten auf Kurzschluß (es fällt stets die komplette Knotenimpedanzmatrix an) oder der Einfluß gering­ fügiger Änderungen der Netzstruktur auf das Kurzschlußstromniveau untersucht werden sollen. Für letzteren Fall ist die Modifizierung der Knotenimpedanz­ matrix nach den Regeln ihres direkten Aufbaus leicht möglich. Auf jeden Fall ist es aber erforderlich, den Speicherbedarf für die komplette, voll besetzte Knoten­ impedanz bereitzustellen. 5.2.4 Vereinfachte Kurzschlußberechnung ohne Leistungsflußberechnung Das Überlagerungsprinzip hat nicht nur den Vorteil, alle Kurzschlußorte mit der gleichen Dreiecksmatrix berechnen zu können. Es liefert auch den Ansatz­ punkt für die vereinfachte Kurzschlußberechnung ohne betriebsabhängige Daten, wie sie den Vorschriften zugrunde liegt. Man sieht an Gl. (5.20), daß zur Berechnung des Summenkurzschlußstroms nur die stationäre Spannung U f an der Kurzschlußstelle bekannt sein muß. Zu ihrer Berechnung muß normalerweise eine Leistungsflußberechnung durchgeführt werden, wobei unsicher ist, welche Belastungsverhältnisse und Transformatorstufungen dem Berechnungsziel größte oder kleinste Kurzschlußströme zuzuordnen sind. Aus diesem Grund erscheint es zweckmäßig, eine sinnvolle Annahme für U f zu treffen und auf die aufwendige Leistungsflußberechnung ganz zu verzichten. Als sinnvoller, weil wahrschein­ licher Wert, bietet sich U f = Unff/]/3 an, wobei C/nN die Nennspannung des Netzes, in dem der Kurzschluß liegt, ist. Nun stecken aber im Diagonalelement noch der Einfluß der Lastadmittanzen und die Abweichungen der Transformatorübersetzungsverhältnisse von den Ver­ hältnissen der Netznennspannungen (Faktor c nach Abschnitt 2.3.1) als Einfluß­ größen auf den stationären Leistungsfluß. Die angestrebte, vollständige Befreiung vom stationären Leistungsfluß vor dem Kurzschluß hat die Vernachlässigung dieser Einflußgrößen zur Konsequenz. Gleichzeitig vernachlässigt man dann auch die Leitungskapazitäten. Das Netz befindet sich dann vor dem Kurzschluß im absoluten Leerlaufzustand bei Nennspannung. Zur Unterscheidung der Ele­ mente der Knotenimpedanzmatrix werden die Elemente des so vereinfachten Netzes durch einen Überstrich gekennzeichnet, also z"k geschrieben. Ebenso erhalten alle im folgenden genähert berechneten Größen einen Überstrich. Da eine Vernachlässigung der Lastadmittanzen zu kleine Summenkurzschluß­ ströme ergeben würde, erfolgt eine Korrektur mit dem Spannungsfaktor c > 1: J k = _ Ct/"N = _ j^ rs j/ 3 I i "

(5 .2 2 )

in

Der Spannungsfaktor ist in den Vorschriften genormt. Analog zu Gl. (5.21) berechnen sich jetzt die Thevenin-Spannungen aus: 102

Bild 5.5

Z ur genäherten Berechnung der Zweigkurzschlußströme

A U f = zJi I } = - ^ U eis.

(5.23)

Bei der Berechnung der Zweigkurzschlußströme: Ä = I ik{Uf - Ui) = Yik{A m - A Ui) + Yik(U f - Uf) =I?k + / °

(5.24)

nur mit A U f und A U k fehlt der Beitrag des letzten Terms in Gl. (5.24). Er repräsentiert den stationären Zweigstrom Ifk vor dem Kurzschluß und ver­ schwindet aufgrund der Annahme U f = U f im Leerlauf des Netzes. Der ent­ stehende Fehler ist in der Nähe der Kurzschlußstelle akzeptabel, weil der Kurzschlußanteil T^k dort überwiegt und eine starke Phasenverschiebung zwi­ schen Tfk und Ifk vorhanden ist (Bild 5.5). Größere Fehler können aber für die Teilkurzschlußströme großer Kraftwerksblöcke und für Motoren entstehen. Der Fehler wirkt sich so aus, daß die Generatoranteile bis zu 40% zu klein und die Motoranteile zu groß berechnet werden. Das vereinfachte Verfahren der Kurzschlußberechnung ohne vorherige Lei­ stungsberechnung wird auch Verfahren der Ersatzspannung an der Kurzschluß­ stelle genannt. 5.2.5 Impedanzkorrektur Auf das in Abschnitt 5.2.4 aus dem Überlagerungsprinzip hergeleitete Verfahren der Ersatzspannung an der Fehlerstelle kann man auch durch folgende Über­ legung kommen. Man denkt sich alle Einspeisungen (Generatoren, Motoren, Fremdnetze) durch die Ersatzschaltung mit der Spannungsquelle nachgebil­ det und nimmt alle Quellenspannungen gleich groß, und zwar vom Betrag 103

U„s = c E/nN/ |/ 3 an 1). Dann kann man alle inneren Generatorknoten verbinden und die so parallel geschalteten gleichgroßen Quellenspannungen durch eine einzige Ersatzspannung ersetzen. Nun kann man noch, ohne die Kurzschluß­ verhältnisse zu ändern, die Ersatzspannung mit umgekehrter Zählrichtung in die Kurzschlußverbindung einbringen und alle inneren Generatorknoten mit dem Bezugsknoten verbinden und erhält so das Modell mit der Ersatzspannung an der Fehlerstelle. In dieser Modellvorstellung wird klar, daß die in Abschnitt 5.2.4 beschriebenen Fehler bei der Berechnung der Zweigkurzschlußströme von Ge­ nerator- und Motoreinspeisungen in einer größeren Abweichung ihrer Quellen­ spannung U" bzw. U' von der einheitlich angenommenen Ersatzspannung UCIS ihre Ursachen haben. Im Modell mit der Ersatzspannung an der Fehlerstelle (ohne Überlagerung der stationären Anteile) sind die einzelnen Quellenspannungen nicht mehr enthalten. Es bleibt nur die Möglichkeit der Korrektur der Innenimpedanzen der betreffen­ den Betriebsmittel. Das Prinzip der Impedanzkorrektur ist in Bild 5.6 erläutert. Zur Innenimpedanz des Betriebsmittels kann man sich eine Korrekturimpedanz parallel geschaltet denken, die den Teilkurzschlußstrom erhöht (bei Generatoren) oder verringert (bei Motoren). Aus Bild 5.6 folgt so für den Teilkurzschlußstrom Tk . I/O-

und damit: U f-U "

1 1

1

(528) Im einfachsten Fall, der direkten Speisung des zu korrigierenden Betriebsmittels auf die Kurzschlußstelle, d.h. Kurzschluß im Knoten j in Bild 5.6, berechnet sich der Korrekturfaktor k = kG für die Generatorimpedanz wegen Uf = 0 und A Ü f= -U m : *G = ^ j r -

(5-29)

Für Kurzschluß aus dem Bemessungsbetrieb wird: Wi =

- j X I I rG = - ^ + X'd / rGb - j X I JrGw l/3

(5.30)

j/3

und: I/o = ( Ti + A u f = j ; korr A u f \ —jkorr/

■

(5.25) U'j =

und aus der Spannungsquellenersatzschaltung (Bild 2.2a) exakt: L)o = T 3 ( U j - U D

(5-26)

sin <prG- j x'ä cos cprG) -1)

(5.31)

Nach Einsetzen von Gl. (5.31) in Gl. (5.29) wird mit UCTS= c C/nN/ | / 3 : U nn

Wenn die S t r ö m e u n d I j 0 gleich werden sollen, muß gelten: YJk0ItA Ü f = Y " ( U f - U J ) ,

(1 1 /3

C

kG = jY ^7:----- — ---------- ^ ----------T. UtG (1 - xd sin
(5.32)

(5.27) Da der Imaginärteil im Nenner von jcG klein gegenüber dem Realteil ist, kann er vernachlässigt werden. Man erhält einen reellen Korrekturfaktor: C/n]S! c ----- — -------< 1 . UlG l —x d sin cplG

lIj k 0

(5.33)

Bei Motoren ist gewöhnlich UrM= UnN und somit:

O

£/ korr

kM=z----- A -------> 1 1 —xs sm<prM Bild 5.6

Prinzip der Im pedanzkorrektur für das Betriebsmittel am K noten j

l) Die Lastadmittanzen und Leitungskapazitäten werden ebenfalls weggelassen.

104

(5.34)

*) Beachte die Vorzeichenvereinbarung nach dem VZS in Abschnitt 1.3. Für Generatoren ist sin<prG<0 und für Motoren sin tpM > 0.

105

(5.35)

aus, wobei Y^K die obere Dreiecksmatrix, C eine weitere Dreiecksmatrix mit den Eliminationskoeffizienten und D eine Diagonalmatrix mit den Elementen du d2 ... dn ist (s. Abschnitt 3.9). Ersetzt man nun in: (5.36)

Y kk durch Gl. (5.35): C D C r Z KK = E

(5.37)

und multipliziert mit C _ 1 von links: Ö C TZ KK= C -

1

(5.38)

und mit D ~ 1 von links: C J Z KK = D - l C ~ 1

(5.39)

und ordnet um: '5^ * K K >

(5.40)

*) Das Takahashi-Verfahren läßt sich in modifizierter Form auch auf unsymmetrische Matrizen anwenden.

106

(5.41)

Die Struktur von Gl. (5.41):

ir1 \

o

0

0

d2 l

0

0

0

0

0

X

X

!!___ ’

X

X

X

!

! An1

1------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Das Takahashi-Verfahren geht von der Zerlegung der symmetrischen*) Knoten«npeoanzmatnx FKK m die Form:

Yk k Z kk = E

Z KK = D - l C - ' + ( E - C * ) Z KK.

x

5.2.6 Takahashi-Yerfahren

Ykk = C Y U = C D C t

so erhält man nach Erweiterung mit Z kk auf der linken und rechten Seite schließlich die Vorschrift zur Bildung von Z KK

1 °

Ganz allgemein entspricht die Impedanzkorrektur durch das Einfügen von zusätzlichen Impedanzen (den Korrekturimpedanzen) zwischen schon vorhan­ denen Knoten und dem Bezugsknoten dem Fall 4 des zweigweisen Aufbaus der Knotenimpedanzmatrix in Abschnitt 3.8. Die eingefügten Korrekturimpedanzen beeinflussen nach Gl. (3.39) alle Elemente der Knotenimpedanzmatrix. Insofern stellt die Impedanzkorrektur eine Näherung dar, wenn der Kurzschluß nicht unmittelbar am korrigierten Element liegt. Der absolute Fehler begrenzt sich aber von selbst, da mit wachsender Entfernung vom Kurzschlußort auch der Teilkurzschlußstrom abnimmt.

0

X

ö"L 0 0

X

X

X X — j *. . ii X

0 0

zeigt, daß die Elemente von Z KK rekursiv, beginnend mit z„n = d ~ 1 berechnet werden können, denn aufgrund der vorausgesetzten Symmetrie von Z KK interes­ sieren die unterhalb der Hauptdiagonale der Matrix D ~ l C ~ l stehenden Ele­ mente nicht. Die Besonderheiten des Takahashi-Verfahrens liegen in der Mög­ lichkeit, in der rekursiven Prozedur genau nur die Elemente von Z KK zu berechnen, die auf einem Platz stehen, der auch in der oberen Dreiecksmatrix I k k belegt ist. Man erzeugt so eine spärliche Impedanzmatrix Z ^ r im Gegensatz zur sonst voll besetzten Knotenimpedanzmatrix. Hält man die Anzahl der Füllelemente durch topologisch gesteuerte Elimination klein, so ist die Anzahl der Nichtnullelemente der Takahashi-Impedanzmatrix nur geringfügig größer als die der ursprünglichen Knotenadmittanzmatrix. Praktisch geht man so vor, daß bei der rekursiven Lösung von Gl. (5.41) die Elemente z ik mit den Indizes der Nullelemente in K nicht berechnet werden, denn sie werden auch für die Berechnung der anderen Elemente nicht benötigt. Die wenigen, so berechneten Nichtnullelemente der Impedanzmatrix sind aber exakt. Der Rechenzeitgewinn wird durch den Nachteil erkauft, daß nicht mehr alle Knotenspannungsänderungen und damit nicht mehr alle Zweigströme (Teil­ kurzschlußströme) berechnet werden können. Es sind aber stets die Spannungs­ änderungen aller Knoten, die unmittelbar mit der Kurzschlußstelle verbunden sind, und damit neben dem Summenkurzschlußstrom alle zur Kurzschlußstelle führenden Teilkurzschlußströme berechenbar. Die Bildung der Takahashi-Elemente der Knotenimpedanzmatrix kostet wesentlich weniger Rechenzeit als die Ab- und Aufwärtsrechnung der Einheitsvektoren an der oberen Dreiecks­ matrix von Y kk-

107

5.3 5.3.1

mit den formalen Lösungen:,

Berechnung unsymmetrischer Anfangskurzschlußwechselströme Gleichungen der ungekoppelten Komponentennetze

Die Berechnung der unsymmetrischen Anfangskurzschlußströme bei ein- und zweipoligen Kurzschlüssen erfolgt im Bildbereich der symmetrischen Kompo­ nenten. Ausgehend von den Ersatzschaltungen der Betriebsmittel und der Netz­ struktur können die Gleichungen für die einzelnen Komponentennetze in Form der Knotenadmittanzdarstellung leicht formuliert werden. Nichtmotorische Abnehmer werden nur im Mitsystem berücksichtigt. Im Kurz­ schlußzustand (Index k) treten am Kurzschlußknoten in allen drei Komponenten­ netzen Kurzschlußströme auf, die in den Vektoren i i , ± \ und io stehen1). Damit lauten die Gleichungen der Komponentennetze: 17 Hj = i , + i i , M itsystem,

(5.42)

Y z u \ = i\ .

Gegensystem,

(5.43)

YS Hq = io ,

Nullsystem.

(5-44)

Die Gl. (5.42) ist mit der bei der Berechnung der dreipoligen Anfangskurzschluß­ wechselströme verwendeten Gl. (5.7) identisch. Wenn für die Synchronmaschinen X " = X'l angenommen wird und die Quer- und Schrägregelung von Transforma­ toren außer acht gelassen wird, ist Y2 = Y'{. Der Aufbau von Yö ist abhängig von den Sternpunkt-Erde-Verbindungen, der Kernbauart und den Schaltgruppen der Transformatoren. Den stationären Zustand (Index 0) unmittelbar vor Kurzschlußeintritt beschreibt in Übereinstimmung mit Gl. (5.11): M = i^ .

A u\ = Z 'i i \ ,

(5.49)

&!& = Z U l ,

(5.50)

A«o = ^ ' i | -

(5.51)

Wie bei der Berechnung des dreipoligen Anfangskurzschlußwechselstroms kann man auch hier von den in Abschnitt 5.2.4 eingeführten Vereinfachungen Ge­ brauch machen und nur mit den Gin. (5.46) bis (5.48) rechnen. Es werden dann die Lastadmittanzen und im Mit- und Gegensystem die Leitungskapazitäten vernachlässigt und an der Kurzschlußstelle im Mitsystem die Ersatzspannung [7crs = c[/nN/ |/ 3 eingeführt. Im Nullsystem dürfen die Kapazitäten nicht von vornherein vernachlässigt werden. Kennzeichnet man die vereinfacht berechneten Größen wieder mit einem Überstrich, so gehen die Gin. (5.49) bis (5.51) über in: A ü \ = Z 'H \ ,

(5.52)

A ü^ = Z U l ,

(5.53)

& äl = Z 'i & .

(5.54)

Aus der jeweils i-ten Zeile (wenn mit i der Fehlerknoten bezeichnet wird) der Gin. (5.52) bis (5.54) folgt: A ü h = Üh - u crs = i r „ If i ,

(5.55)

A ü?2 = Qh = z?i2I?2,

(5.56)

AUh>= U f0 =M i0l} 0 ,

(5.57)

(5.45)

Wendet man auch hier das Überlagerungsprinzip an, so zerfallen die Gin. (5.42) bis (5.44) in die beiden Überlagerungssysteme Gl. (5.45) und:

oder in Matrizenschreibweise:

Y'i («! —u f) = Y'i A «f = i \ ,

(5.46)

A«iS = «iS - «ers = ^iisÜ s •

F£«5

(5.47)

Im Fall des dreipoligen Kurzschlusses ist anstelle der Gin. (5.55) bis (5.57) nur die aus Gl. (5.55) für = 0 folgende Kurzschlußbedingung —fycrs = z"n 1 -, bedeut­ sam. Deshalb konnten mit Hilfe dieser Beziehung sofort und damit die Thevenin-Spannungen berechnet werden. Für die Berechnung der unsymme­ trischen Anfangskurzschlußwechselströme fehlen noch drei Gleichungen für die hinzugekommenen Unbekannten Ü&, Üf2 und Üf0. Diese drei Gleichungen liefern die Strom-Spannungsbeziehungen am Kurzschlußknoten i.

rö « o

= F£A u\ = i \ , /k > Jo'A«S = Io

(5.48)

(5.58)

‘) Der Index K für Knoten wird im folgenden weggelassen.

108

109

5.3.2

Bedingungen an der Kurzschlußstelle

Die Strom-Spannungsbeziehungen an der Kurzschlußstelle sollen dem Ansatz: £ r!“ is + i?siis = o

(5.59)

gehorchen:). Sie müssen aus den natürlichen Kurzschlußbedingungen:

r c¥ / ta H rrk ^ib
~— i * la + B n

u*

ic _

iTk -ib

(5.60)

I *ic A

Damit sind die einzigen E l e m e n t e u n d / -0 der Kurzschlußstromvektoren I i , i 2 u n d b e k a n n t , und es können die Spannungsänderungen nach den Gin. (5.52) bis (5.54) berechnet werden. Dabei wird jedes Komponentennetz nach dem in Abschnitt 5.2.3 dargelegten Algorithmus behandelt. D a sich bei Änderung des Kurschlußorts oder der Kurzschlußart nur die Kurzschlußstromvektoren ändern, brauchen die Dreiecksmatrizen der Komponentennetze nur einmal erzeugt zu werden. Das Bild 5.7 interpretiert die Gin. (5.52) bis (5.54) so, daß die nach Gl. (5.16) ermittelten Kurzschlußströme am Kurzschlußknoten in die entkoppelten, ungestörten Komponentennetze eingespeist werden. Sie sind deshalb als Strom­ quellen dargestellt, und man spricht auch von der Methode der Strominjektion. Am besten zeigt man die Rechenschritte an einem Beispiel. Beispiel: einpoliger Kurzschluß Nach Bild 5.8 lauten die Kurzschlußbedingungen: i.

oder:

2. ir„=o,

C?N“Sn+ ^SiiN = 0

3. I L = 0 , durch Symmetrierung für jede Kurzschlußart einmal bereitgestellt werden. Auf das Ergebnis kann dann immer wieder zurückgegriffen werden. Indem man nach Gl. (1.39) und (1.40): ity = Is l£ s

(5.61)

± I N — JLS±iS

(5.62)

in GL (5.60) setzt, ergibt sich: GI = g ^ t s ,

(5.63)

Bl = S k is

(5.64)

Nach Einsetzen von ufs aus Gl. (5.58) schreibt sich Gl. (5.59): (GlZ!'iS + R t ) i ^ = - G l u crs.

(5.65)

Diese Gleichung kann nach den Kurzschlußströmen i f s an der Kurzschlußstelle aufgelöst werden: -(G lZ ^ + R l r 'G l ^

(5.66)

0

*

— -

Um die Schreibweise zu vereinfachen, wird im folgenden der Überstrich über den genähert berechne­ ten Größen weggelassen.

110

Bild 5.7

;o

j0 Jt -/0rk i« V

f -'° T

Prinzip der Strom injektion bei der Berechnung unsymmetrischer Kurzschlüsse

111

Die Matrix G£Z/:S +

G l z r ^ + R t-

in GL (5.65) wird:

ä n —R f Äui ~ R f S.U0 ~~R f a 1 a2 a 1

und ihre Inverse:

Bild 5.8 Strom-Spannungsbeziehungen für einpoligen Kurzschluß

(Gsk z ;;s + Äsk) - , :

und in Form von Gl. (5.60):

Wegen:

£/-k ^ ia 1 Tjk

z l ib

,

0

0"

0

1

0

r / n A ia rk — ib

0

0

1

I *IC Ä.

R +

t/-k

IC_

f

Is =

1

1

a2 a a ä2

0

interessiert von der Inversen nur die erste Spalte. Schließlich bekommt m an:

rk — iO

u„

Tk _

Tk

"l

1

l

Ail —J-i2 —Ai0 •

0

0

0

0

0

0

Die Gleichheit der drei Kurzschlußströme am Kurzschlußknoten bedeutet eine Serienschaltung der Komponentennetze am Kurzschlußknoten, wie sie Bild 5.9 zeigt. Es sei noch erwähnt, daß man die Kurzschlußströme durch geschicktes Umstellen der Gl. (5.65) und unter Zuhilfenahme von Gl. (5.58) auch einfacher, aber nicht so systematisch wie hier beschrieben, erhalten kann. In Tabelle 5.1 sind die Kurzschlußströme, die in Bild 5.7 als Injektionsströme die­ nen, für alle Kurzschlußarten mit Berücksichtigung von Fehlerwiderständen angegeben. Sie lassen sich auf dem gleichen Weg wie für den einpoligen Kurz­ schluß berechnen. Die natürlichen Ströme und Spannungsänderungen werden durch Rücktransformation mit der Matrix J s erhalten.

und: -R f a2 a 112

~z.m —äü 2 —Äiio + ^ R f

Uei Ua

und somit: Tk _

Gsk =

1

1

ergibt

x x x

0

l Tk il

1

x x x

Um = 0

Die Multiplikation der Matrizen G£ und /?£ von rechts m it: ‘ 1

a —a a —a2 (a - a 2) (z"ul +z'[i2 + z"i0 - 3R f ) a —a2 i

—R f a a2

-R 1 1

113

0< (T ) +

OS

Kurzschlußströme (Injektionsströme) für die verschiedenen Kurzschlußarten


OS

m +

u.

öS o)

Bild 5.9

öCOS +

te.

öS

N| U.

05

Tabelle 5.1:

5.4 N| I ü.

öS

05

o»

öS

OS

ul

3

cq 3

114

K opplung der K om ponentennetze bei einpoligem Kurzschluß im Leiter a

3

*

-Owi

- 3

Berechnung von Mehrfachkurzschlüssen

Kurzschlüsse kommen nicht nur einfach, wie in Abschnitt 5.3.2 behandelt, sondern auch mehrfach entweder als gleichartige oder ungleichartige Kurz­ schlüsse vor. Gleichartige unsymmetrische Kurzschlüsse können noch gleichoder ungleichphasig sein. Doppelerdschlüsse sind meist ungleichphasig. Um ungleichphasige Mehrfachkurzschlüsse berechnen zu können, muß man die Strom-Spannungsbeziehungen für die einzelnen Kurzschlußarten derart modifi­ zieren, daß jede beliebige Lage des Kurzschlusses bezüglich der Leiter möglich ist. Bei Einfachkurzschlüssen ist diese Freizügigkeit nicht erforderlich. In Ab­ schnitt 5.3.2 konnten deshalb die unsymmetrischen Kurzschlüsse symmetrisch bezüglich des Bezugsleiters a für die symmetrischen Komponenten gelegt wer­ den, wodurch die einfachsten Gleichungen für die Kopplung der Komponenten­ netze an der Kurzschlußstelle entstehen (es werden keine komplexen Übertrager in Bild 5.9 benötigt). Um die in Abschnitt 5.3.2 hergeleiteten Strom-Spannungsbeziehungen hinsichtlich der Lage des Kurzschlusses zu verallgemeinern, werden Inzidenzmatrizen, die den Leitertausch ausdrücken, eingeführt. Sie gelten für die XJfy und die I \ v (v = a, b, c) gleichermaßen: 115

Gc =

Ga~

0

1

Gb

0

0

1

0 1

Tabelle 5.2: Werte für a in Abhängigkeit von der Leiterlage des Kurzschlusses

(5.67)

O

o

Qc Ga = Gb

0"

"0

1

0

0

Gb

0

1

0

Go

Leiterlage

a b c

b —c c —a a —b

1 a2 ä

Die Gl. (5.59) lautet somit allgemein für jede Leiterlage des betreffenden Kurz­ schlusses:

Gl. (5.59) muß man bei der Bildung der G | und ßg nach Gl. (5.63) und (5.64) beachten. Wenn von gleichen G£ und R ^ bei beliebiger Leiterlage der Kurz­ schlüsse ausgegangen wird, sind in Gl. (5.59) die Vektoren ufs u n d ifs durch: ä'A = K 'u \s

(5.70) (5.71)

gemäß Gl. (5.69) zu ersetzen. Folglich werden: rrr nr

S “ y N * ÄS

(5.72)

R l = B k K 'ls

(5.73)

Für K ' Ts läßt sich auch schreiben: K 'T s = T s A

(5.74)

mit: 1 ).

(5.75)

Das Element a in A kennzeichnet die Leiterlage des Kurzschlusses. Es nimmt die in Tabelle 5.2 angegebenen Werte an.

116

a

(5.68)

(5.69)

a

zweipolig

GskJ ^ s + Ä | J i ^ = o

gk = K 'g N .

J=diag(a

einpolig

~Ga~

oder allgemein:

G k _S ^ k

K urzschlußart

(5.76)

oder: Gs «iS

+ B lU i !

=0.

(5.77)

In GL (5.77) sind die Elemente a und a aus A an die symmetrischen Komponen­ ten der Spannungen und Ströme herangezogen worden: U:iSk _ =

«m

.2

-LäD i

Utb] T ,

(5.78)

1% ] T -

(5.79)

In der Zusammenschaltung der Komponentennetze an der Kurzschlußstelle bedeutet die Verallgemeinerung hinsichtlich der Leiterlage des Kurzschlusses die Einführung von komplexen Übertragern mit dem Übersetzungsverhältnis a bzw. a . In Bild 5.10 und Bild 5.11 sind die .Kopplungen der Komponentennetze für den einpoligen und zweipoligen Kurzschluß dargestellt. Der zweipolige Kurz­ schluß ohne Erdberührung ist ein Sonderfall des zweipoligen Kurzschlusses mit R'f —>oo. Aus den Ersatzschaltungen für die Koppplung der Komponenten­ netze läßt sich eine andere Form für G | und R$ als die nach Abschnitt 5.3.2 erhaltene, ablesen. Das hängt damit zusammen, daß die in Gl. (5.59) und (5.77) zusammengefaßten drei Gleichungen noch beliebig kombiniert (Subtraktion und Addition von jeweils zwei Gleichungen) werden können. Die Ersatzschaltungen in Bild 5.10 und Bild 5.11 repräsentieren die einfachste Form, in der der Dreher a außer in a nicht mehr enthalten ist. Da die Komponentennetze beim zweipoligen Kurzschluß parallel geschaltet sind, heißt dieser auch Parallelfehler. Eine andere Schreibweise der Gl. (5.77) ist: G ’*u)s + R ’i i % = o ,

(5.80)

117

mit: Gik = GskA ,

(5.81)

S sk = B l d -

(5.82)

Bei der Berechnung von symmetrischen und unsymmetrischen Mehrfachfehlern muß man auch zwischen dreipoligem Kurzschluß mit- und ohne Erdberührung unterscheiden. Die Koppelmatrizen G'sk und R$ aller Kurzschlußarten sind in Tabelle 5.3 zusammengestellt. Es wurde die einfachste Form, die auch den Ersatzschal­ tungen entspricht, aufgenommen, ohne daß dies besonders an Ggk und B$k vermerkt ist. Das Prinzip der Berechnung von Mehrfachkurzschlüssen ist das gleiche wie für die Berechnung von Einfachkurzschlüssen. Lediglich die Kurzschlußstromvektoren i , , und io sind nicht mehr nur mit einem Element,

Tabelle 5.3

Koppelmatrizen für die einzelnen Kurzschlußarten

K urzschlußart Bild 5.10 Leiter

0

K opplung der K om ponentennetze bei einpoligem K urzschluß im beliebigen

0

-3 R F

-txRF

Bild 5.11 K opplung der K om ponentennetze bei zweipoligem K urzschluß in zwei beliebi­ gen Leitern

-a RF

—R f

3

-a *

0

0

-a*

1

—aRF 0

a —a/?F 0

a*RF 0 < x*Rf —Rf—3Rp a a’RF 0

0' 0 1

119

sondern mit so vielen, wie Kurzschlüsse vorhanden sind, besetzt. Sie müssen wieder zuerst berechnet werden. Das allgemeine Gleichungssystem lautet: “E GK

Z K 1 —R

r “Mki K _ ;k

r«°i “k 0

1t

(5.83)

Es enthält in der ersten Zeile die Gin. (5.46) bis (5.48). Seine Vektoren und Matrizen sind wie folgt geordnet:

ÜK= [«I ul uIV «k entsprechend. ;k

_

r ;kT

kT

IT

— L i.p S

J.q S

Z " = diag (Z'i

Z"

>

(5.86)

Gl. (5.86) ist die Bestimmungsgleichung für die Kurzschlußströme i^ . Sie ent­ spricht der Gl. (5.65) für die Einfachkurzschlüsse. M i t / | geht man zurück in die erste Zeile von Gl. (5.83) und ermittelt die Spannungen: ul = Z "K Ti \ + u i.

(5.87)

Es wäre aber auch eine andere Lösung möglich. Sie geht von der Knotenadmittanzdarstellung des Netzes aus. Anstelle von Gl. (5.83) wird die aus den Gl. (5.46).(5.48) und den Kurzschlußbedingungen gebildete, folgende Gleichung verwendet: ~Y" GR

-iT •••J

(Gk z:;r + R k) i\ = - G k«?.

KT —R

«K _-iT_

1i"K 0

(5.88)

ZS) mit:

Die Inzidenzmatrix K greift die Untermenge der Spannungen an den Kurz­ schlußknoten p, q ... aus dem vollständigen Knotenspannungsvektor heraus und ordnet sie so um, daß die Komponenten für einen Kurzschlußknoten unmittelbar hintereinander wie in i£ stehen. Nach Multiplikation der ersten Zeile in Gl. (5.83) mit K erhält man: K j& = K Z " K T i \ + KuK,

(5.84)

Y " u l.

(5.89)

Gl. (5.88) könnte durch geordnete Elimination nach den gesuchten Größen und —ix aufgelöst werden. Allerdings müßte dann für jede neue Kurzschluß­ konstellation die Dreiecksmatrix neu gebildet werden. Außerdem wird die Koeffizientenmatrix von Gl. (5.88) durch die Kurzschlußbedingungen unsymme­ trisch.

oder:

ix + KT•

(5.85)

Die Gl. (5.85) beschreibt den Zusammenhang zwischen den sogenannten Kurzschlußtorspannungen und Kurzschlußtorströmen; das sind die Spannungen und Ströme an den Kurzschlußknoten der Komponentennetze1). Z ?T ist die Kurzschlußtormatrix. Demnach sind die Gin. (5.55) —(5.57) ein Sonderfall der Gl. (5.85). Zur Berechnung der Kurzschlußtorimpedanz benötigt man die Elemente der Knotenimpedanzmatrix. In der zweiten Zeile von Gl. (5.83) stehen die Koppelgleichungen für alle Kurzschlüsse. Durch die Hintereinanderordnung der einzelnen Kurzschlüsse haben die Matrizen G und R Blockdiagonalform mit den dem Kurzschluß entsprechenden Matrizen G$k und R'sk nach Tabelle 5.3. Setzt man nun die Gl. (5.85) in die zweite Zeile von Gl. (5.83) ein, so geht diese über in :

*) Es sei daran erinnert, daß der hochgestellte Index T stets nur für »transponiert« verwendet wird.

120

121

6

Stabilitätsberechnung

6.1

Untersuchungsgegenstand

Die Stabilitätsberechnung untersucht zwei grundsätzlich verschiedene Verhal­ tensweisen der Elektroenergieversorgungssysteme: die statische und die tran­ siente Stabilität (Bild 6.1). Die statische Stablitätsuntersuchung soll die Existenz stabiler stationärer Arbeits­ punkte, d.h. die Aufrechterhaltung des Synchronismus zwischen allen Syn­ chronmaschinen in Abhängigkeit von der Belastung, nachweisen. Das Bild 6.2 veranschaulicht die Aufgabenstellung am mechanischen Analogon. Ziel der tran­ sienten Stabilitätsuntersuchung ist die Beurteilung des Einschwingverhaltens der Synchronmaschinenläufer (sogenannter Schwingkurven) infolge schwerer Störun­ gen. Das System ist transient stabil, wenn es dabei im Anziehungsbereich eines stationären (statistisch stabilen) Arbeitspunkts bleibt und schließlich in diesen

Bild 6.1

Q)

Übersicht zur Stabilitätsberechnung

b)

C)

'//////////////////////, Bild 6.2 Physikalisches M odell zur Erklärung der statischen Stabilität a) stabil, b) labil, c) instabil

123

(6.2)

a) = j ( P e + P J

und durch Erweiterung so, daß mit: JQ l t ™=~Y~

(6-3)

die elektromechanische Zeitkonstante eingeführt werden kann: Pc + Pm “ = 7 i— DD a die Stabilität in der Nähe des Synchronismus, also bei Q « ß 0, entschieden wird, vereinfacht sich Gl. (6.4) noch zu: COq Pe “1“ Pm ® = ~ ------^---- = k(Pe + Pm). 1m *^r

Bild 6.3 U ntersuchung der transienten Stabilität anhand der Schwingkurven a) stabiler Verlauf b) instabiler Verlauf

zurückkehrt. In Bild 6.3 ist der transiente stabile und instabile Fall dargestellt. Entscheidend für die Stabilitätsbeurteilung ist nicht die absolute Änderung der Polradwinkel, die lediglich eine Frequenzänderung anzeigen, sondern ihr ge­ genseitiges Zusammenbleiben bzw. ihre Abweichung vom Winkelzentrum. Infolge der Trägheit der Maschinenläufer verlaufen die Polradwinkelschwingungen langsam im Vergleich zur Grundschwingung, so daß die in Abschnitt 1.1 formulierte Bedingung für die Gültigkeit des quasistationären Modells bei der Stabilitätsuntersuchung erfüllt ist. Zusätzlich zu den Netzgleichungen ist zur Beschreibung der Läuferbewegung für jede Maschine eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, die sogenannte Bewegungsgleichung, erforderlich. 6.2

(6.5)

Die Geschwindigkeitskoordinate reicht für die Beschreibung des Bewegungs­ verhaltens der Synchronmaschinen noch nicht aus. Nach Bild 6.4 wird die Lage eines Polrads1) eindeutig durch den Polradwinkel <5 fixiert. Zwischen co und ö besteht der Zusammenhang: ö = co-co0 .

(6 .6)

synchron rotierendes Bezugssystem (re elle Achse des Koordinatensystems fü r die ruhenden Zeiger)

Bewegungsgleichung

Aus der allgemeinen Drehmomentengleichung: JQ = Me + Mm

(6 . 1 ) Bild 6.4

Definition der Läuferkoordinaten

folgt mit: Q = co/p ,

räumliche Winkelgeschwindigkeit,

M c = PJQ ,

elektrisches Drehmoment,

Mm= jPm/ ß ,

mechanisches Drehmoment,

124

*) In der Stabilitätsberechnung werden die Begriffe Polrad und Polradwinkel unabhängig von der Läuferkonstruktion, also auch für Vollpolgeneratoren, gebraucht. Der Polradwinkel wird traditionell mit ö bezeichnet und darf nicht mit dem Spannungswinkel verwechselt werden.

125

Je nach Berechnungsziel steht für Jo,-:

Damit erhält die Bewegungsgleichung ihre endgültige Form: 0

0'

1

0

+

k(Pe + P J

Ym-

-Rai+j^di ’

-c o 0

mit:

1

Ykr-

_COq_

(6.8)

:TmSr und: GD2/Nm r ~ / s = 0 ’2 8 .......-.w ä —

2

, 10-6=

Riü + j xtu

-Jg ß T Yc

ic

Transfiguration des N etzes auf die Generatorknoten

Sowohl für die Berechnung der statischen als auch der transienten Stabilität werden nur die Generatorströme zur Berechnung der in der Bewegungsgleichung vorkommenden Generatorleistungen benötigt. D a für die transiente Stabilitäts­ berechnung aufgrund ihrer größeren Schwere auch nur dreipolige Störungen zu­ grunde gelegt werden, benötigt man auch nur die Ströme eines Leiters bzw. die Mitkomponenten der symmetrischen Komponenten. Die klassischen Modelle der Stabilitätsuntersuchung verwenden die Generatorersatzschaltungen mit Spannungsquelle. Dabei wird entsprechend den Bedingungen für die Untersuchung der statischen Stabilität ohne Berücksichtigung der Spannungsregelung die Er­ satzschaltung mit der Polradspannung Up hinter der synchronen Impedanz R.d + j X d (s. Bild 2.4a) und für die Untersuchung der transienten Stabilität die Ersatzschaltung mit der im Untersuchungszeitraum im Betrag konstanten tran­ sienten Spannung U' hinter R., + jX 'l als Quellenspannung genommen. Die m Quellenspannungen oder Generatorspannungen werden im Vektor uG zusammen­ gefaßt. Zunächst soll «G stellvertretend für die Polradspannungen «p oder die transienten Spannungen u'G stehen, denn die im folgenden beschriebenen Transfigurationsschritte werden sowohl bei der Berechnung der statischen als auch der transienten Stabilität vollzogen. Die Innenimpedanzen der Ersatzschaltungen werden in Admittanzform in der allgemeinen Diagonalmatrix FG angeordnet:

statische Stabilität,

transiente Stabilität.

Nun wird die Stromgleichung in der Knotenadmittanzform, jedoch getrennt nach den m inneren Generatorknoten1) (Index') und den üblichen n (Netz-) Knoten aufgeschrieben:

(6.9)

GD2fN m = 39,23 J/kgm 2 . 6.3

1

(6.7)

I l_

YgK - Hg Y k k - K ^ Y g K _-K_

(6.10)

K ist hier eine Inzidenzmatrix der Dimension m x n. In der Knotenadmittanz­ matrix Ykk —K t YGK sind im Gegensatz zu FKK bei der Leistungsflußberech­ nung die Generatoradmittanzen als Dialogelemente enthalten (s. Bild 6.5). Drückt man die Lastströme i L - wie bei der Stabilitätsuntersuchung üblich durch konstante Lastadmittanzen aus: 1

l

~ 1

l

“

k

( 6 . 11)

>

so geht Gl. (6.10) über in: —J e K T Yg

ic 0

Yg K äc FicK_ JI k_

(6.12)

mit: I

kk

= I

kk

—K 7 Yg K — F l .

Mit Hilfe der zweiten Zeile von Gl. (6.12) können nun die nicht benötigten Knotenspannungen eliminiert werden und somit das Netz auf die (inneren) Generatorknoten transfiguriert werden: ( J G+ r G^ F K K ^ TJG )« G:

I

g g

«

g

-2)

(6.13)

J c = d iag (JG1 J G2... J G i... J Gm). Die Bezeichnung Generator wird hier allgemein für einen Synchronmaschinenknoten verwendet. 2) Das Vorzeichen für Yr:c wurde analog zu F*Kgewählt.

126

127

Die Admittanzmatrix I g g hat die Dimension m x m . Sie ist vollbesetzt und bei symmetrischer Knotenadmittanzmatrix F^K auch symmetrisch. Ihre Diagonal­ elemente yn heißen Speisepunktadmittanzen und ihre Nichtdiagonalelemente yik Übertragungsadmittanzen. 6.4

Um den prinzipiellen Rechenweg zu zeigen, genügt es, die Synchronmaschinen ungeregelt anzunehmen, obwohl die Leistungs- und Spannungsregelung gerade bei der Berechnung der statischen Stabilität nicht generell vernachlässigbar sind. Der Grundgedanke der statischen Stabilitätsuntersuchung besteht darin, zunächst einen stationären Zustand anzunehmen und die Reaktion des Systems auf eine winzig kleine Störung zu untersuchen. In Bild 6.2 würde man die Kugel in den beiden möglichen Ruhepunkten a und c leicht antippen. Mathematisch geht man so vor, daß das stationäre Modell um den zu untersuchenden Arbeitspunkt 0 linearisiert wird. Die statische Stabilitätsuntersuchung führt somit immer auf ein lineares Modell. Die linearisierte Bewegungsgleichung Gl. (6.7) lautet für m M a­ schinen: 1).

Ir

A (b2

0 P2 ^2 as OÖ!

,

0 P„

,

. k, 9<52 " 9P 2 dPz ■k2 döm 0<52

^

1

1.............. 3

t 8pl

r-< S Oh «ö C O co

-

Ao>

0

K,

9 / ,c ( ^ o )

AS

Berechnung der statischen Stabilität

A d>1

bzw. mit K g = diag(fcj k2

0<5T 0

Aco (6.14)

AS

Sie stellt ein homogenes lineares Zustandsdifferentialgleichungssystem der Ord­ nung 2m dar. Die Tatsache, daß kein Störvektor auftritt, verweist darauf, daß die Art der Störung bei der statischen Stabilitätsuntersuchung fiktiv ist. Es wird nur das Eigenschwingungsverhalten untersucht. Das System ist statisch stabil, wenn kein Eigenwert Af = o’i + jö jct- der Systemmatrix von Gl. (6.14):

0 Ar

K,

9jPg (S0) döT

(6.15)

0

einen positiven Realteil für den untersuchten Arbeitspunkt aufweist. Damit ist gezeigt, daß die statische Stabilitätsuntersuchung ein Eigenwertproblem darstellt. Neben der direkten Berechnung der Eigenwerte sind eine Vielzahl von indirekten Verfahren zur Beurteilung der Lösungsform der Eigenwerte in Gebrauch, auf die hier jedoch nicht näher eingegangen werden kann. Um die partiellen Ableitungen dPi/dök in der Systemmatrix berechnen zu können, wird das Netz auf die Generatorknoten - wie in Abschnitt 6.3 beschrieben transfiguriert.

Aöj2

0

A( b m

dPm mdö 2 -

md ö l

■

fern

9^,

Att)m

döm

<1

A^ A<52

, =

1

A<52

1 0

A4,

1

Aöm

') D er Index »e« an der elektrischen Leistung ist zur Vereinfachung im folgenden weggelassen. A Pm wird ohne Reglereinfluß Null.

128

passives Netz (wie fü r LF- Bereich )

Bild 6.5

statischer Abnehmer

G enerator-oder Motor oder Ersatznetz

Netzmodell für die Stabilitätsberechnune

129

Es kann sofort vom Ergebnis, Gl. (6.13), ausgegangen werden, wenn man beachtet, daß jetzt uG= up ist und in I g g die Fdi = l/(i?ai+ j Z dl.) enthalten sein müssen. Man erhält dann den i-ten Generatorstrom als:1)

und J dN—»co gekennzeichnet. Demzufolge reduziert sich für das Ein-Maschi­ nenproblem die Gl. (6.14) auf die Koordinaten des zu untersuchenden Gene­ rators :

m 1 g, = 1 yijUvJe“ 4- ' - " ' 1. j= i

(6.16)

Wichtig ist noch der Zusammenhang zwischen den Polradwinkeln <5; und den Phasenwinkeln der Polradspannungen 8pi. D a die Polradspannung in der qAchse liegt und läuferfest ist, besteht die Beziehung c>pi = <5; + rc/2 und:

Acb

0

Aö

1

k

m so 8<5

Am

0

Aö

Aus det (X E —A 0) = 0 ergeben sich die Eigenwerte: ^Pi “ Spj = ö>+ \ ~

~ J = 8i ~ SJ = öü •

(6-16) X

Schließlich folgt für die Leistung unter der üblichen Vernachlässigung des Ankerwiderstands (er kann dem nächsten, dem Generator vorgelagerten Netz­ element zugeschlagen werden): Pi = 3 R e ® l a d = 3 Re(C/pi I*Gi)

-k -

- 1

(6.17) 2 l ,2 = +

m s o) 0Ö X

^

L m so) k

- Ä

,

öd

=

0

,

. .

....= ^i,2± JQ Jc •

und mit Gl. (6.14):

m Pi

= 3Upi £ yijUpjCosiöij + cpij).

(6.18)

7=1

Aus Gl. (6.18) berechnen sich die partiellen Ableitungen in Gl. (6.15) in Analogie zu den Gin. (4.63) und (4.64) zu:

0<5;

-3 upi

£

yijUpjSin(öij + (p^),

(6.19)

7 = 1 ,* «

dp. Q i r

= 3Upiy ikUpksm(öik +
(6.20)

Beispiel Ein-Maschinenproblem Das Ein-Maschinenproblem stellt die Frage nach der statischen Stabilität eines einzelnen Generators oder Motors gegenüber einem starren Netz. Ein frequenzund spannungsstarres Netz ist durch Acün = A^n = 0 und UN = t/pN mit A UN = 0

Um die Stabilitätsbedingung - kein Eigenwert hat einen positiven Realteil - zu erfüllen, muß der Ausdruck unter der Wurzel negativ sein. Also sind alle Arbeitspunkte, für die: dPQ

130

2 g g *

Es wird auch hier vereinfachend der Index G an den Elementen

= ~ 3 C/p [7 ^12 sin (5 5*2 +
erfüllt ist, statisch stabil. Für (pi2 = n/2, d.h. Vernachlässigung der Wirkwiderstände im Netz, ergibt sich der bekannte statisch stabile Arbeitsbereich: Ti

TZ

C<Ö012 ° — — Opl — ti° C —_ . Op2 <

2

In Bild 6.6 sind die zu den möglichen Lösungsformen von Xx und X2 gehörenden Eigenbewegungen für <52 = <5N= 0, d.h: öl2 = S1 = ö, dargestellt.

6.5

*) Die yik sind die Elemente von weggelassen.

^

Berechnung der transienten Stabilität

Im Gegensatz zur statischen Stabilität ist das Modell zur Berechnung der transienten Stabilität nichtlinear. Aufgrund der auch im transient stabilen Zu­ stand möglichen, relativ großen Polradwinkelauslenkungen kann die Leistungs131

Ö'ij = S'i -

Öj = Öi -

ß'i -

Öj + ß j = Ö; j ~ ß' ij ,

(6.24)

mit ß[j konstant. Die i-te Generatorleistung berechnet sich aus Gl. (6.23) z u :') m P, = 3 U l £

V i j U j eos(<)/j i

(6.25)

j= i Da in Gl. (6.25) nur S-j vorkommt und wegen ß- konstant: (6.26) gilt, rechnet man im klassischen Stabilitätsmodell (U[ konstant) gleich mit Sj im Zustandsvektor und schreibt anstelle der Gin. (6.21)-(6.23): = K G(p G(S’) + p m) ,

(6.27)

Ö' = m —O)0 ,

(6.28)

p G( ö ' ) = 3 R e ( y G Y £ GMc)

(6.29)

Bild 6.6 Eigenschwingformen des Ein-M aschinenproblem s um einen statisch stabilen und einen statisch instabilen A rbeitspunkt

gleichung nicht mehr linearisiert werden. Um die Schwingkurven ö;(t) zu erhal­ ten, muß die Bewegungsgleichung für alle Maschinen durch numerische Integra­ tion (z.B. nach Runge-Kutta) gelöst werden: ä = K G( p G( ö ) + p m) ,

(6.21)

ö = ß) — w 0 ,

(6.22)

p G( ö' ) = 3Re(LJGY ^ u ^ .

(6.23)

In Y'gg nach Gl. (6.13) sind jetzt die transienten Generatorimpedanzen enthalten. uG ist der Vektor der transienten Generatorspannungen und UG eine Diagonal­ matrix mit den Elementen von uG. Es wird angenommen, daß im Untersu­ chungszeitraum, der sich bis etwa eine Sekunde erstreckt, die U{ ihren durch den stationären Ausgangszustand bestimmten Betrag beibehalten und sich in den Läuferkoordinaten nicht bewegen (der Läuferwinkel ß ’ in Bild 6.7 bleibt kon­ stant). Dann besteht zwischen den Polradwinkeln ö( und den Winkeln der transienten Spannung der wichtige Zusammenhang: 132

Bild 6.7

Definition der transienten Polradwinkel

') Die y'it sind die Elemente von Y q C.

133

t* 0

Der Annahme betragskonstanter Generatorspannungen Ut kommt die Span­ nungsregelung mit ihrer Feldstützung entgegen, so daß im Gegensatz zum Modell für die Untersuchung der statischen Stabilität die Spannungsregelung bereits berücksichtigt ist. Eine Leistungsregelung wird im Kurzzeitbereich noch nicht wirksam. Damit bleiben die mechanischen Leistungen der Generatoren konstant. Sie berechnen sich aus den negativen Anfangswerten der elektrischen Leistung (siehe Gl. (6.27) für ü>= o). In Bild 6.8 ist die Struktur des Modells für die Berechnung der transienten Stabilität in Form eines Matrixstrukturbilds dargestellt. Danach ergibt sich folgender Algorithmus (Bild 6.9). Er beginnt mit einer Berechnung der stationären Anfangswerte durch eine Leistungsflußberechnung mit anschließender Berechnung der transienten Gene­ ratorspannungen Ul nach Betrag und Winkel. Es folgt die Erweiterung der Knotenadmittanzmatrix um die Generator- und Lastimpedanzen (Modifizierung der Diagonalelemente) und die Transfiguration des Netzes auf die (inneren) Generatorknoten (Berechnung der Generatorknoten-Admittanzmatrix Fgg)- Die Matrix T g g bleibt für einen Schaltzustand unverändert erhalten. Bei Änderung des Schaltzustands ist die Prozedur: Neuaufbau bzw. Änderung der Knoten­ admittanzmatrix und Netztransfiguration neu zu durchlaufen. Bei Integration mit einem expliziten Verfahren (z.B. nach dem Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung) können mit den aktuellen Werten für die C// und y'ik die elektrischen

LeistungsfluBberechnung

Anfangswerte der transienten Generatorspannungen

Aufbau bzw. M odifikation der erw eite rte n Knotenadm ittanz­ m a trix

T ra n s fig u ra tio n des Netzes auf die Generatorknoten

Berechnung der Generatorleistungen

Berechnung der Rechten Seite

Numerische Integration

Auswertung

Bild 6.9

Algorithmus zur Berechnung der transienten Stabilität

Y'f =- -G Y 1- Y ' K ( Y'm Y ' K T -u Y< -Gfi -G Bild 6.8 134

Struktur des klassischen Modells für die Berechnung der transienten Stabilität

135

Leistungen Pt berechnet und die rechte Seite des Zustandsdifferentialgleichungssystems gebildet werden. Nach dem Integrationsschritt steht ein neuer Vektor für die transienten Polradwinkel zur Verfügung, mit dem die transienten Spannun­ gen bei festem Betrag gedreht werden. Mit dem so veränderten, treibenden Spannungen werden die elektrischen Leistungen für den nächsten Integrations­ schritt berechnet. Die Rechnung wird bei Erreichen der Endzeit beendet. Die Polradwinkelverläufe (Schwingkurven) werden grafisch ausgewertet. Zur D ar­ stellung wird oft auch die Abweichung vom Winkelzentrum gewählt. Man muß dann stets zwei zusätzliche Gleichungen für die Bewegung des Winkelzentrums mit integrieren. Diese ergeben sich wie folgt. Aufgrund der geringen Drehzahlunterschiede der einzelnen Maschinen während der Stabilitätsschwingung wird für alle Maschinen während der Stabilitäts­ schwingung eine gleiche mittlere Drehzahländerung m— co angenommen. Es folgt dann aus der Addition der in Gl. (6.27) zusammengefaßten Gleichungen: 1 1 1 \ . — (- -— (-■•■ + -— ) cö = AjPj + AP2 + ••• + APm , ‘l i k 2 kmJ

(6.30)

Mit Gl. (6.31) wird die Frequenz des Systems in quasistationären Zustand definiert. Ihre Änderung interessiert bei der Auswertung der transienten Stabili­ tät nicht. Indem man nur die Winkelabweichungen Aöl = S - — 8 vom Winkelzentrum darstellt, hat man die Frequenzänderung eliminiert. Aus physikalischer Sicht beschreibt das Winkelzentrum die Erhaltung des Drehimpulses. Beispiel: Ein-Maschinenproblem Das Ein-Maschinenproblem - die Untersuchung der transienten Stabilität einer einzelnen Maschine gegenüber einem leistungsstarken Netz - ermöglicht, die Stabilitätsverhältnisse noch anschaulich darzulegen. Dabei wird das leistungs­ starke Netz durch einen Generator mit einer auch hinsichtlich der Lage kon­ stanten transienten Spannung hinter einer Reaktanz, die der Kurzschlußleistung entspricht, nachgebildet. Im Beispielnetz nach Bild 6.10 sind das Netz am Kno­ ten 2 und die zu untersuchende Maschine am Knoten 1 angeschlossen. Die Stabilitätsstörung wird durch einen dreipoligen Kurzschluß am Knoten 3 ver­ ursacht. Alle Wirkwiderstände werden zur Vereinfachung vernachlässigt. Im Kurzschlußzustand ist der Knoten 3 mit dem Bezugsknoten verbunden und ver­ schwindet deshalb. Man erhält folgende Knotenadmittanzmatrix:

wobei: l~ Ä 1 3

AP-t = P s et•+‘ P -*mi.

u

- Z 2 - J 2 3_

0

die Leistungsänderung ist. Wenn mit S das Winkelzentrum bezeichnet wird, bekommt man somit für seine Koordinaten: Y[

cb = k A P ,

eo(0) = co0 ,

(6.31)

<5 = m — w0 ,

m 1 ö(0) = 3o = k l - 5j(0) . j=i KJ

(6.32)

Gl. (6.31) ist Gl. (6.30) mit:

_0

~Y[

Y'2_

.0

" Y'i I 13 Y ’i + I 0

= — gg....... I (SrjTmJ) j=l

0"

13

0~

" -ri-Jis 0 Y ’2_

1

0 I i l 23

=

-

J 2 + J 2 3

o - X ' 2 - Y 2i_

-l 'Y[

_0

0 Y'2_

0

Z'i + Z 13 0

1

z2+ Z 23

und: A P = I

APj.

j ( X i + X 23)

j= i

136

137

X i ( * 2 + * 12) x u x i + x«) X [ X '2 X ’2(X[ + X 12) X'2{X'1 + X 13) X i(X i + X23) X'2( X [ + X l3) ( Z i + X 13)(Xi + Z 23)

3 -p o lig e r KS

6 ^ + K

Q) 1'

)A

y

1

-J "x^+ x^ + x ,

3 >

jXps

.

3

^

jX „

2

V

T

j Xn

hi

wobei X 12 = X 13 + X 23 gesetzt wurde. Schließlich wird:

2'

SX [

■1 Xi

b)

"

Bild 6.10

1

X [ + X '2 + X 12

X i + Z i + X 12 X \ + X 12 x i ( x ; + x i + x 12)

Netzbild (a) und Strangersatzschaltung zum Ein-M aschinenproblem (b)

Das Ergebnis kann man in diesem einfachen Fall natürlich auch sofort aus der Ersatzschaltung in Bild 6.10b ablesen. Die elektrische Leistung der interessierenden Maschine 1 wird

1

-j

1

0

1

* i + * !2 Z i ( X i + Z i + X 12)

0

q

-cos X l + X 13

0 0

© o o

o

“ 1

0 0 J l 3

1

Ii

1

1

z i + x ^ + x 12

X ^+ X ^+ X ^

•

y'n

y '12

Z 21

y.22

= /n

(nur hier!),

\ U 2 J U\ = 0

X 23

^1

„o

x ; + x i + x 12

Ii 2= (^ r)

1

o*

z ; + x i + x 12

Natürlich hätte man auch hier schneller zum Ziel kommen können, denn es muß ja gelten:

IX

y,

1

, _ / tc,i \ _ ________ 1________ _ • ______ l______ W J u i- o - } { X [ + X '2 + X 12) } X [ + X '2 + X 12’

Nach der Kurzschlußabschaltung gilt:

I gg =

1

— 13

1

I 23 — 2 ^13 — i *23

0

r;

o-

0

1

o

y'2.

0

0

Die Inverse der Knotenadmittanzmatrix erzeugt man für dieses Beispiel am besten duch den zweigweisen Aufbau der Knotenimpedanzmatrix nach Abschnitt 3.8. Das Ergebnis ist:

- _ Zt2 3^21

I , j \ y 2 /u\=0 j j

-ß < * A Ir/'/

_

> ~ 11

Damit berechnet sich die Leistung der Maschine 1 zu: U\2

1

(

n'

cos ( 0 ---x \ + x ; + x 12 V' 2

UI U2 ( iz\ U{ U2 + 3------------------- cos <5!2 + — I = —3 -------------------- s m ^ j X [ + X '2 + X 12 \ 2/ X [ + X 2 + X 12

138

139

~ Am2 = fcjPm(<5' - 8 ') +

k y P i max(cos5 ' -

cos ö'a)

und: Aco a>o

+

2 Pm ( S ' - ö ,0 + ^ ^ (cos<5' - c o s 5') . ST m _

Die Funktion A co = f(8 ') beschreibt das Systemverhalten anschaulich. Ihre Lösungen werden Trajektorien genannt. Sie sind in Bild 6.11 für stabiles und nichtstabiles Verhalten dargestellt. Während des Kurzschlusses bewegt sich die Maschine 1 auf der parabelförmigen Trajektorie und schwenkt bei <5' = <5' (Moment der Kurzschlußabschaltung) in eine der kreisförmigen Trajektorien ein. Man sieht deutlich, daß nur bis zu einem bestimmten Winkel <5a' ein stabiler Schwingungszyklus erreicht wird.

Bild 6.11

Trajektorien für das Ein-M aschinenproblem

Das Zustandsdifferentialgleichungssystem, Gin. (6.27)-(6.29), lautet für ö'2 = 0 (gewählt) und <5^ = <5' sowie co1=a> und Pm = —P ° : cb = k l (P1+ P J , ö' = co1 — cü0 = Acü ,

Eliminiert man aus diesen Gin. die Zeit, indem man die beiden ersten Gin. dividiert, so erhält man mit cb = A cb: AcodAco = k l (P1(ö') + Pm) d<5' und nach Integration längs der Zustandsbahn unter Beachtung der verschiedenen Werte für P t im Kurzschlußzustand und nach der Kurzschlußabschaltung bei ö' = ö'(t = ta) = S^ 140

141

7

Übungsaufgaben mit Lösungen

7.1

Geordnete Elimination

Ermittle für das in Bild 7.1 dargestellte Netz das Knotenspannungsgleichungssystem und das gestaffelte System durch geordnete Elimination in der natür­ lichen Reihenfolge (Knoten 1, 2, 3, 4)! Interpretiere die Eliminationsschritte am Netzgraph! Berechne die Knotenspannungen durch Rückwärtssubstitution und schreibe ein Basic-Programm zur Erzeugung des gestaffelten Systems und der Rückwärts­ substitution ! 7.2

Topologisch gesteuerte Elimination

Ermittle ein zu Aufgabe 7.1 äquivalentes gestaffeltes System durch topologisch gesteuerte Elimination nach der suboptimalen Strategie: es wird jeweils der Knoten mit dem geringsten Knotengrad (Leitungsverbindungen) eliminiert. Bei Knoten mit gleichem Knotengrad wird mit dem Knoten der niedrigeren Be­ zeichnungsnummer begonnen. Vergleiche die Anzahl der entstehenden Füll­ elemente mit der aus Aufgabe 7.1! 7.3

Berechnung der Knotenimpedanzmatrix aus der Knotenadmittanzmatrix

Berechne ausgehend von der unter Aufgabe 7.2 ermittelten oberen Dreiecks­ matrix die Spalten der Knotenimpedanzmatrix durch Ab- und Aufwärtsrechnen der Spalten der Einheitsmatrix! j 0,2 2'

j 0,1 —m -

J0.05

4

-C T 3 -

o Bild 7.1

j 0,1

jO/1

Beispielnetz. Alle G rößen in p. u.

143

7.4

Zweigweise Bildung der Knotenimpedanzmatrix

Bilde die Knotenimpedanzmatrix durch zweigweisen Aufbau aus dem Original­ netz in Bild 7.1.

7.4. Berechne die Kurzschlußströme bei dreipoligem Kurzschluß im Knoten 4 mit Hilfe der spärlichen Impedanzmatrix und l/ers = 1,1 p.u. an der Kurzschlußstelle! Lösungen der Übungsaufgaben Aufgabe 7.1:

7.5

Bildung der spärlichen Impedanzmatrix nach dem Takahashi-Verfahren

-j5

-7

1

2

Tj-

Bilde ausgehend von der dreiecksfaktorisierten Admittanzmatrix nach Aufgabe 7.2 die spärliche Impedanzmatrix nach dem Takahashi-Verfahren. Vergleiche die so erhaltene Impedanzmatrix mit dem Ergebnis der Aufgabe 7.3 bzw. Aufgabe

Knotenspannungsgleichungssystem:

1

-5

2

0

2

2

-4

0

4

0

0

-4

Ui U2 u3

11 2"

Ua

0

0

0

Y

7 " t / " = ------- • 1,0 = j 10. j 0 ,l

- 2- 2

Ermittlung des gestaffelten Systems: Die rechte Seite wird als fünfte Spalte an Y^K angehangen und gleich mitbehandelt: 1. Eliminationsschritt (Knoten 1) a) 1. Zeile x —und Addition zur 2. Zeile 7 b) 1. Zeile x - und Addition zur 3. Zeile 7 c) 1. Zeile x - und Addition zur 4. Zeile 7 1*

d) ■ Bild 7.2 a) G raph des vollständigen Netzes b) G raph nach dem ersten Elim inationsschritt (K noten 1 eliminiert) c) K noten 2 eliminiert d) K noten 3 eliminiert

144

145

4

34 ~1

" -7

T 7

16 7

0

-j5 24 7

280 ____ 119 I

~8

7

8"

12 7

7

1

34 ’T 0

2. Eliminationsschritt (Knoten 2) 16 a) 2. Zeile x — und Addition zur 3. Zeile 34

2

16

1 0 A U

280 ---119 168 H9

4 4 7 168 --119 196 _ Ü9

2

4

16 4 y 7 280 168 IÜ9 119 4 0 ~5

( J kk ) '

17

~2

2 -*2 5 ~2

'

Ux

'

/2

=

t/3

8

—

17

Ii

2 2 5

- I

(*k)'

«K

Berechnung der Knotenspannungen durch Rückwärtssubstitution beginnend mit U4:

4 b) 2. Zeile x — und Addition zur 4. Zeile

1

0

8

1“ ....................................................................................................................................................................................................................................................................

■

0

34

168 ___ 119 1 4 1 ---; 5

Damit lautet das gestaffelte System:

Es sind zwei Füllelemente □ entstanden. Bild 7.2b interpretiert die Umrechnun­ gen am Netzgraph in Form von hinzukommenden Leitungen (gestrichelt einge­ zeichnet). Die Umrechnung bereits vorhandener Elemente bedeutet Parallel­ schaltung der hinzugekommenen Leitung. Füllelemente bedeuten neue, bisher nicht vorhandene Leitungen (hier die Leitungen 2-4 und 3-4).

!

l'i

0

7

0

0

~

0

1

~4 7

16 --7

1 0 I'

0

16 ~7

4 4 — 7

2

1

34 ----7 --------(

1

2

1

1

0 ' T" L2 8

17 2

17

"2 Y" 1O

119 . 5 -1 6 8 -J5 • 280 V17 7 / 4 16 U2 = - J t ^ 7 I ! i + j5 • - t/ 4 + j 5 t 5 -34 1

£/i = - j

5^7

/3

1

~

•>IÖ " 2 ’ 1 __ T” —

= -j 10-2 = -j

1 __ J" —

10-2

Ua

1

= -j

m h ~

Das Ergebnis ist natürlich sofort aus Bild 7.1 abzulesen, da das Netz leerläuft 1

und deshalb gelten m uß: U1 = U2 = U3 = U4 = U”= —j — I'i. 3. Eliminationsschritt (Knoten 3) 168 3 3. Zeile x -----= - und Addition zu 4. Zeile 280 5

146

147

b) 1. Zeile x - und Addilion zur 3. Zeile 3

i

" -3

14

0

-y

0

8

3 i 0 8 !

--- - i 0 3

3 1

4

8

0

0

-4

0

0

o i-! 3

0

T" 12

0

4 —Ii 7

—4

0

1

4

_

Nach Ordnen in die Eliminationsreihenfolge erhält man das gestaffelte System 4

o lI - 3 j5

0

2 8

3

~ y

E/i

= U2

8 oi

i ~7

u3

0

J" ±2

1

0

1

14

0

........................................

0

0

■*t lr-

0

i o

1 ^*1 1 '1

1

2. Eliminationsschritt (Knoten 1). Es ist der Fall eingetreten, daß die verblei­ benden Knoten 1, 2 und 3 alle den gleichen Knotengrad 2 haben. Deshalb wird mit Knoten 1 (niedrigste Knotennummer) fortgesetzt.

148

3

! o

0

8

f

4

0

14 I ~ y '1

o

2-4

Ii

2

1

O

2

0

!

1

i 1-------------------------------------------------------------------------------------------------

" -3

O

j5

2

_

a) 2. Zeile x — und Addition zur 3. Zeile ’ 14

1. Eliminationsschritt (Knoten 4) a) Addition der 4. Zeile zur 1. Zeile

1 -5

0

3. Eliminationsschritt (Knoten 2)

Aufgabe 7.2:

0

T" ±2

1

0

0

o"

0

_

Bemerkung: Leistungsfähige Programme erzeugen durch topologische Steuerung ein gestaffeltes System mit annähernd minimaler Anzahl von Füllelementen und vermeiden die Nulloperationen. Das gestaffelte System wird kompakt und nicht als Matrix gespeichert.

' - 3 1 2

2 ; o i 8 !

o

Programm für die Rückwärtssubstitution: FOR I = N TO 1 STEP - 1 FOR J = I + 1 TO N Y(I, N + 1) = Y(I, N +1) - Y(I, J )* Y(J, N +1) NEXT J Y(I, N + 1) = Y (I, N + 1)/Y (I, I) N EX T I END

a) 1. Zeile x - und Addition zur 2. Zeile 3

o

Programm zur Erzeugung des gestaffelten Systems: DIM Y (N, N +1) FOR K = 1 TO N - 1 FORI = K + l TON E = Y(I, K)/Y (K, K) (Eliminationskoeffizient) FOR J = K + 1 TO N +1 Y(I, J) = Y(I, J ) - E * Y ( K , J) NEXT J N EX T I NEXT K Das Ergebnis steht auf Y (N, N +1)

149

Es ist kein Füllelement entstanden.

Aus ihr erhält man: 1 -1

0

0

3

- -2 3

Aufgabe 7.3: 1 - 1

Aus:

C r = D ~l Y' -

YZ=E mit:

1 0

...

0

0 1

...

0

und:

E=

i T i

'■Cei e 2 ■■■ e j 0 0

...

1

l ’" T 0

folgen n Gleichungssysteme zur Berechnung der n Spalten der Impedanzmatrix Z 0

I z , = e,. e-t ist die i-te Spalte der Einheitsmatrix und zt die i-te Spalte der Impedanzmatrix. Mit Y = C D C t — C Y ' (Dreiecksfaktorisierung) folgt weiter: C F z. = e.,

Die Dreiecksfaktorisierte Y ' lautet nach Aufgabe 7.2:

i

~3 2

_ 3

Die Nichtdiagonalelemente von C sind die Eliminationskoeffizienten (s. Aufgabe 7.2.). Zur Ermittlung der i-ten Spalte von Z wertet man die Gin. C ~ l ei = e\ und Zi = (i 7' ) - 1 wie folgt rekursiv aus: Ce j = et

(Abwärtsrechnen),

Y'Zi = e'i

(Aufwärtsrechnen).

Man erhält:

Y '-

150

-j5

4 1 — ... 7 I : i

-4

4

0

0

',-3 I

1

0

0

14 'T

0

0

dct

eil = e12 =

1 e'n = 1 e'tl + 1 e'12 = 0

-1

1

Oe'u —x e'i2 + ei 3 —0 3 2 , 4 e ' 2 _ _ e ' 3 4 -e ' 4 Oe',,

Analog erhält man: z2 = j [ - 0 ,2 - 0 ,2 - 0 ,1 —0,15]T, z3 = j [ —0 ,1 - 0 ,1 - 0 ,1 —0 ,1 ]T, z4 = j [ —0,15 -0 ,1 5 -0,1 —0,175]T und nach Umordnen in der natürlichen Reihenfolge der Knotennummern:

1 1 1

e'o

~3 6 e'i4 ~7

:

- 0 ,2 Die restlichen Vektoren e\ ergeben sich analog und lauten:

i

'

"

0

0

1

;e'3 =

1

3

; «i =

0

4

6

6

_7_

_7_

4 -3

-j5

3

2 13

0

0

Z u

1

1

2

-Sl2

1

14 T

8

1

8

3

-

— 13

2. Schritt: Verbindung 2-3 (s. Bild 7.3b) 2 - o , r -o,

2

&2)= j

i ; i

- o , i

!

3

1 3

Z l4

j 15z 12 - j 5 z 13 - j 10z 14 = 1 ->• z 12 j 2 0 zn —j 2 0 z 12 =

1

Ä11

-0 ,1

i

3 6

Z l4

—14 =

40

-0 ,2 5

Aufgabe 7.4: 1. Schritt: Verbindung 2-0 (s. Bild 7.3a)

1

3. Schritt: Verbindung 3-1 (s. Bild 7.3c)

7 "

6

J

0,1

-

-0 ,1 -0 ,1 5

2

J

0,1

Z kk = j [ —0 , 1 ]

! ~7 40 T J 70

-

1

Das Aufwärtsrechnen zur Ermittlung von z, geschieht wie folgt: —4

- 0 ,2

0

0

1

II

*1

i 3

' o"

"

0,1

-

1 O

'

0,1

- 0 ,2

-0 ,1 5 -0 ,1 -0 ,1 7 5 -0 ,1 5

I 0

■r

-

-0 ,1 -0 ,1 5

=-j0 ,1 5 4C) = 7 - j 0 ,l -J 7Ö‘ . 3 —j 0,2 J 15' J

J 20~

« = j

3

1

0,1

--

0,1

-

0,1

_ 0,1

-

0,2

-

0,2

-

0 ,2 1

0 ,2

-

- -

-

_-

0 ,1

-

0 ,1

—j 0,25

Also z, = j [ —0,25 - 0 ,2 -0 ,1 -0 ,1 5 ]T

152

153

2

4. Schritt: Verbindung 1-4 (s. Bild 7.3d) 2 '

a)

b)

3

0 ,1 0,2

-

0,2

-

-

0 ,1

-

0,2

-0 ,3

-

0 ,1

-

0,2

- 0 ,3 ! - 0 ,3 - 0 ,0 5

3

-0 ,3

1

4

2 -1 0

“ -

0 ,1

-

0 ,1

-

0 ,1

-

0 ,1

-

0 ,1

-

0 ,2

-

0,2

-

0,2

-

0 ,1

-

0,2

- 0 ,3 -0 ,3

. -

0 ,1

-

0,2

- 0 ,3 - 0 ,3 5 .

j 'j Z

(2 — 1)T

0 ,1

[0 0,1 0,2 0,2]

0,2

.

0 ,2

.

Z = —j 0,1 - j 0,3 + j 2 • 0,1 - j 0,2 = - j 0,4

•

<— j II

Ni

' -o ,i -

0 ,1

-

0 ,1

-

0 ,1

-

0,2

-

0,2

-

0,2

-

0 ,1

' 1

0

0

0

0

0

0 ,0 1

0,02

0,02

0

0,0 2

0,04 0,04

0

0,0 2

0,04 0,04 _

+ J Ö4 -

0 ,1

-

0,2

-0 ,3 -0 ,3

. -

0 ,1

-

0,2

-0 ,3 —0,35 _

.

und damit: 2 -

^K(K 5)= j

154

-

0 ,1

0 ,2

|

-

-

5. Schritt: Verbindung 2-1 (s. Bild 7.3e)

c)

Bild 7.3 Schritte der zweigweisen Bildung der K notenim pedanzm atrix a) Zweig 0 - 2 b) Zweig 2 -3 c) Zweig 3 -1 d) Zweig 1 -4 e) Zweig 2 -1

4

-- 0,1 0 ,1 -- 0,1 0 ,1 -- o , i :

2

d)

1

0,1

3 -

0,1

-

1

4

0,1

-

0,1

-0,1 -0 ,1 7 5

-0 ,1 5 -0 ,1 5

-0,1 -0 ,1 5

- 0 ,2

- 0 ,2

-0,1

- 0 ,2

-0 ,2 5

-0 ,1 5

155

und geordnet nach aufsteigenden Knotennummern: 3

-

0,2

-

-

0 ,1

—0 ,1 -

0 ,1

-0 ,1 5 0 ,1

4 -

0,2

0,1

-0 ,1 5 -

0 ,1

-0,175 -0 ,1 5

-

0 ,1

-0 ,1 5

-

0,2

-0 ,2 5

Aufgabe 7.5:

Das Takahashi-Verfahren liefen die rekursive Rechenvorschrift: Z = D ~ 1C ~1 — (C r — E )Z .

0

20

1

15

0

0

0

0

-j —

J 70

!o

!

40

-

Von der Matrix D l C 1 interessiert nur die Diagonale. Sie wird gleich D D enthält die Diagonalelemente von Y'. Nach Aufgabe 7.2 ist: j 20

—j 20

’ö’ 1I i

0

0

und somit

156

0

0

1

—j 5 - j i o .40 . 70

1

Jy

~Jy

0

JT

j 15 0

0

. i

.40

1

—21

—22

—23

^24

Ä31

—32

—33

Z 34

—41

^42

^43

^44

o

O i

— 13

)

U>] 1-

0

~ 3

4 0

0

0

O

1

0

— 12

N|

i

0

0

0

1 1 0

1-------------------------------------------------------------------------------------------------------

:

C T = D ~ 1 Y’

- l

1

i

Aus der Lösung von Aufgabe 7.3 wird übernommen:

Die rekursive Vorschrift wird:

1

2

1 -----------------------------------------------------------------.................................................................................................... 1

1

beginnend mit (der Index entspricht noch nicht den Knotennummern, sondern der Eliminationsreihenfolge in Aufgabe 7.2)

1

1

1

1

1

-j0 ,2

Für den Kurzschluß am Knoten 4 gilt: AU\ AUl am - u crs

Zusammengefaßt: 4

j

1

2 0

rk --

3

-0 ,2 5

-

0,2

-

0 ,2

-

0 ,2

-

0 ,1

-0 ,1 5

0

-

0 ,1

-

0 ,1

-

0

-0 ,1 5

-

0 ,1

-0,175

A U\--

0

0 ,1

und geordnet nach aufsteigender Knotennummer des Originalnetzes: 1

Z //spar_: KK —J

3

2

4 -

-

0,2

-

0 ,1

-0 ,1 5

-

0 ,1

-

0 ,1

-

0 ,1

0

-0 ,1 5

-

0 ,1

-0,175

0

-

0,2

0

0

0,2

-0 ,2 5

Die vorhandenen Elemente der spärlichen Impedanzmatrix Z£^pac entsprechen exakt den Elementen der vollständigen Knotenimpedanzmatrix. Die Anzahl der Nullelemente ist gleich der doppelten Anzahl der Nullstellen in der als Ausgangs­ punkt dienenden dreiecksfaktorisierten Knotenadmittanzmatrix. Zur Erzielung möglichst vieler Nullelemente ist deshalb die Admittanzmatrix so zu dreiecksfaktorisieren, daß möglichst wenige Füllelemente entstehen (topologisch ge­ steuerte Elimination).

158

=j

-u m -j0,25

0 ,2

-

0 ,1

-0 ,1 5

-

0 ,1

-

0 ,1

-

0 ,1

0

-0 ,1 5

-

0 ,1

-0 ,175

0

-

1,1

-J

- j 0 ,2 I \ ■

025 : -

-

-

0,2

0

0

0,2

-0 ,2 5

~j 4,4 ;

0 ,8

1 ------------------------------------------------------------------------------------0 1

_i ---- 1---£ + 15 3 15 30 10 z 14 nicht berechnet, da Nullelement in Y' z 13 nicht berechnet, da Nullelement in Y' j 0,2 — 12 ■ : 1 ' Ä22 — 1 3 1 h 1 ■z->, = - j ----- j — = - j0 ,2 5 -?11==—Ji ---20 “ 20 15

0 0 k iT4

Die Spannungen an den in der 2. Peripherie zum Kurzschlußknoten liegenden Knoten lassen sich wegen der erzeugten Nullelemente nicht berechnen (nicht richtig berechnen). Es lassen sich aber immer die Spannungen an den Knoten, die unmittelbar mit der Kurzschlußstelle verbunden sind (1. Peripherie) und damit auch die auf die Kurzschlußstelle speisenden Zweigströme berechnen. Im Beispiel wird: / i 4 = Ti4(AUi + Ucrs)= - j 2 0 ( - 0,88+ 1,1)= - j4 ,4 = /£.

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Literatur

[1] Happoldt, H.; Oeding, D.: Elektrische Kraftwerke und Netze. 5. Aufl., Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1978 [2] Koglin, H.-J.: Lastflüsse in Drehstromnetzen und ihre Berechnung. Ab­ schnitt 1.4 in Hütte-Elektrische Energietechnik, Band 3: Netze (Heraus­ geber G. Hosemann). Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokio: Springer-Verlag, 1988 [3] Oeding, D.: Kurzschlußströme und ihre Berechnung. Abschnitt 1.5 in HütteElektrische Energietechnik, Band 3: Netze (Herausgeber G. Hosemann). Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokio: Springer-Verlag, 1988 [4] Oeding, D.: Kurzzeitstabilität. Abschnitt 1.6 in Hütte-Elektrische Energie­ technik, Band 3: Netze (Herausgeber G. Hosemann). Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokio: Springer-Verlag, 1988 [5] Koettnitz, H.; Pundt, H.: Berechnung elektrischer Energieversorgungs­ netze. B an d l: Mathematische Grundlagen und Netzparameter. 2. Aufl., Leipzig: VEB Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, 1973 [ 6] Schultheiß, F.; Weßnigk, K.-D: Berechnung elektrischer Energieversor­ gungsnetze. Band II. Übertragungsberechnung. Leipzig: VEB Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, 1971 [7] Funk, G.: Der Kurzschluß im Drehstromnetz. München: R. OldenbourgVerlag, 1962 [ 8] Kloeppel, F. W.; Fiedler, H.: Kurzschluß in Elektroenergiesystemen. Leip­ zig: VEB Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, 1969 [9] Handschin, E .: Elektrische Energieübertragungssysteme. Teil I : Stationärer Betriebszustand. Heidelberg: Hüthig-Verlag, 1983 [10] Handschin, E .: Elektrische Energieübertragungssysteme. Teil I I : Netzdyna­ mik. Heidelberg: Hüthig-Verlag, 1983 [11] Hochrainer, A.: Symmetrische Komponenten in Drehstromsystemen. Ber­ lin, Göttingen, Heidelberg: Springer-Verlag, 1957 [12] Edelmann, H.: Berechnung elektrischer Verbundnetze. Berlin, Göttingen, Heidelberg: Springer-Verlag, 1963 [13] Kaminski, A.: Stabilität des elektrischen Verbundbetriebes. Berlin: VEB Verlag Technik, 1959 [14] IEC Publication 909: Short-Circuit Current Calculation in Three-Phase A. C. Systems, 1988 [15] DIN VDE 0102 Teil 100/04.85: Berechnung von Kurzschlußströmen in Drehstromnetzen

161

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Stichwortverzeichnis

Abnehmer/knoten 71 - nichtmotorische 46, 95 Admittanz 12 Algorithmus, Kurzschlußberech­ nung 10 0 -, Newton-Verfahren 86 -, Stabilitätsberechnung 135 -, Z-Bus-Verfahren 77 Amplitude 9 Amplitudenzeiger 11 Anfangskurzschlußwechselstrom 30,94 Ankerwiderstand 30 Arbeitsbereich, statisch stabiler 131 Asynchronmaschine 34 -, Gegenreaktanz 36 -, Gegensystemersatzschaltung 36 -, Mitsystemersatzschaltung 34, 36 -, Läuferstreureaktanz 35 Nullsystemersatzschaltung 36 -, Nullreaktanz 36 -, schlupfabhängige Impedanz 35 -, Ständerstreureaktanz 35 Ständerwiderstand 34 -, stationärer Zustand 35 transiente Ankerreaktanz 34 transienter Zustand 34 Aufrollen 66 Aufwärtsrechnen 66 Ausschaltwechselstrom 66 Baum 50 Bemessungsimpedanz 16 Besetztheit 59 Betriebszustand, stationärer 8 -, quasistationärer 8 Bewegungsgleichung 124,126 Bezugs/knoten 51,53 -, leiter 19

162

-, großen 15 Bilanzknoten 71,76 Blindleistung 14 Blindleistungsmodell 90 Blindstrom 14 Brücken 50 Dauerkurzschlußstrom 32 Diagonalkomponenten 23,27 DIN VDE 0102 93 Doppelleitung 45 Doppelzeilenelimination 78,86 Drehmoment, elektrisches 124 - , mechanisches 124 Drehmomentengleichung 124 Dreiecksfaktorisierung 66 Dreiecksmatrix, obere 66 , 97 -, untere 66 Effektivwert 11 Effektivwertzeiger, ruhender 8 Eigen/bewegung 131 - schwingform 132 - schwingungsverhalten 129 - vektor 2 1 - werte 21,129 - wertproblem 129 Ein-Maschinenproblem 130, 137 Einspeiseknoten 71 Elimination, geordnete 65 -, topologisch gesteuerte 65 Eliminations/koeffizient 65,66 - reihenfolge 67 - zeile 65 Ersatzschaltungen, symmetrische Komponenten 25 Ersatzspannung, an der Kurzschluß­ stelle 103,109 163

Fenstermaschen 54 Flat-start 76 Füllelemente 67 Fundamentalsystem 54 Gauß-Seidel-Einzelschrittverfahren 78, 87 Gegen/komponente 24 - impedanz 17, 24 Gegensystemersatzschaltung 25 - , Asynchronmaschine 36 - , Leitung 43 Synchronmaschine 32 -, Transformator 36 Generator/knoten 71 - leistung 133 - Spannungen 126 Gerüst 50 Gerüstzweige 50 Geschwindigkeitskoordinate 125 Gleichstrom-Leistungsflußberechnung 91 Größen, modale 20 -, natürliche 2 1 Grundschwingung 8 Halbiteration 90 Hauptachsentransformation Helmholtz 97

21

Längsreaktanz, subtransiente 30 -, synchrone 32 -, transiente 31 Läufer/anisotropie 29 - koordinaten 125 Lastströme 127 Leistung, Einleitersystem 12 -, Dreileitersystem 26 Leistungsflußberechnung, entkoppelte

IEC-Paper 909 93 Impedanz 12 Impedanzmatrix, diagonal zyklisch - symmetrisch 17 -, spärlich 107 Impedanzkorrektur 94,103 Integration, numerische 132 Injektionsströme 78 Iteration, äußere 78 -, innere 78 Jacobi-Matrix, kartesische Form -, Polarkoordinatenform 83 164

Kenngrößen, topologische 51 Knotenadmittanz/darstellung 56,121 - matrix 57,96 Knoten/arten 71 - gleichungen 55 - grad 53, 67 - impedanzdarstellung 61 - impedanzmatrix 61, 99 - satz 50, 55 - Spannungen 56 - spannungsgleichung 57 - Spezifikation 71 - Stromvektor 57 Knoten-Zweig-Inzidenzmatrix 53 Kompaktspeicherung 64 Komponenten, modale 23 -, symmetrische 23 Komponentensysteme 23 Koordinatentransformation 20 Korrektur/faktor 105 - impedanz 104,106 Kreisfrequenz 8 Kurzschluß, einpoliger 111 -zw eipoliger 117 Kurzschluß/bedingungen 96, 110 - stromvektor 98 - tormatrix 12 0 - torspannung 12 0 - zustand 96, 108

88

80

-, schnelle, entkoppelte 91 Leistungs/gleichung 79 - invarianz 26 - regelung 134 Leiterlage, Kurzschluß 116

Leitertausch 115 Leitung, Gegensystemersatzschaltung 43 -, Konduktanz 43 Mitsystemersatzschaltung 43 -, Mitsystemparameter 43 -, Nullsystemersatzschaltung 45 -, Nullsystemparameter 45 - , Parallelbetrieb 44 -, Querglieder 44 Maschen/admittanzdarstellung 56 - impedanzmatrix 60 - gleichungen 55 - großen 56 - satz 55 - Spannungen 60 - ströme 60 - stromgleichung 60 Maschen-Zweig-Inzidenzmatrix 54 Matrix, topologische 52 Mehrfach/fehler 119 - kurzschlüsse 115 Methode der Strominjektion 111 Mitimpedanz 24 Mitkomponente 24 Mitsystemersatzschaltung 25 Asynchronmaschine 34 -, Leitung 43 -, Synchronmaschine 29 -, Transformator 37 Modalmatrix 21 Newton-Verfahren 79 Netzgraph 49 Netztransfiguration 126 Nullersatzschaltungen 25 -, Asynchronmaschine 36 -, Leitung 45 -, Synchronmaschine 33 -, Transformator 40 Nullimpedanz 24 Nullkomponente 24 Nullreaktanz, Synchronmaschine

33

Oberspannungswicklung, Transforma­ tor 36 Parallelfehler 117 Phasenwinkel 8 Polrad/spannung 29, 130 - winkel 125, 130 - winkel, transienter 133 Polynom, charakteristisches 22 P-Q-Knoten 71 Primärwicklung, Transforma­ tor 36 P-U-Knoten 71,78 Quellen/spannungen 17, 24, 126 - spannungsvektor 56 - ström 30, 95, 96 - stromvektor 56 Reaktanz, kapazitive 13 - , subtransiente 29 - , synchrone 29 -, transiente 29 Regel, topologische 55 Rückwärts/einspeisung 98 - substitution 66 Schnitt 50 Schwingkurven 123, 136 Seite, rechte 67 Sekundärwicklung, Transforma­ tor 36 Slack-Knoten 71 Spannung, subtransiente 29 -, transiente 29 Spannungs/gleichung 60,73 - faktor 1 0 2 - iteration 78 - regelung 134 Spärlichkeit 59 Speisepunktadmittanzen 128 Spektralmatrix 21 Stabilitäts/bedingung 131 - modell, klassisches 133 - Untersuchung 123 165

Sternpunkt-Erde-Impedanz 33,40 Störung 8 Stoßkurzschlußstrom 94 Strang/Ersatzschaltung 29 Strom/gleichung 57 - iteration 71, 78 - quellenersatzschaltung 30 - Verwerfung 69 Subgraph 50

Summenkurzschlußstrom 97 Swing-Knoten 71 Symmetrie, elektrische 17 - geometrische 17 Synchronmaschine 29 -, Gegensystemersatzschaltung 32 - Mitsystemersatzschaltung 29 -, Nullsystemersatzschaltung 33 -, Quellenstrom 30 -, subtransienter Zustand 30 stationärer Zustand 32 -, transienter Zustand 31 Takahashi-Verfahren 94,106 Thevenin 97 Thevenin-Spannungen 98,101,109 Torimpedanz 101 Trajektorien 140 Transformationsmatrix 20 -, leistungsinvariante 26 Transformator 36 -, Dreieckswicklung 42 -, Dreischenkeltranformatoren 41 -, Magnetisierungsimpedanz 37, 40 - Mitsystemersatzschaltung 36 -, Mitimpedanz 39 -, Nullsystemersatzschaltung 40 -, Oberspannungswicklung 36 -, Primärwicklung 36 -, Regelung 38 -, Schaltgruppe 37

166

Spannungsabweichung 39 -, Übersetzungsverhältnis 37 Überlagerungsverfahren 94, 97, 98, 102,108 Übersetzungsverhältnis, komplexes .. 37 Übertragungsadmittanzen 128 Verbindungszweig 50 Verbraucherzählpfeilsystem Vermaschung 51

12

Winkel 8 Winkelgeschwindigkeit, räumliche 124 Winkelzentrum 124,136 Wirkleistung 14 Wirkleistungsmodelle 90 Wirkstrom 14 Z-Bus-Verfahren 78, 87 Zeiger 8 Zeigerbild 12 -, symmetrisches Dreileitersystem 19 Zeitkonstante, elektromechanische 125 Zusatzströme 76 Zustand, kurzschlußfreier 96 -, stationärer 29, 32, 96 -, subtransienter 29, 30 -, transienter 29, 31 Zustands/bahn 140 - differentialgleichungssystem 129, 140 - vektor 71 Zweig 50 Zweiggleichung, Admittanzform 56 - , Impedanzform 56 Zweig/spannungsvektor 55 - stromvektor 55