Mehrstufige Losgrößenplanung bei Kapazitätsrestriktionen

Florian Sahling Mehrstuﬁge Losgrößenplanung bei Kapazitätsrestriktionen GABLER RESEARCH Produktion und Logistik Herau...

Author: Florian Sahling

15 downloads 653 Views 1MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

DOWNLOAD .DOCX DOWNLOAD .PPTX

Florian Sahling Mehrstuﬁge Losgrößenplanung bei Kapazitätsrestriktionen

GABLER RESEARCH Produktion und Logistik Herausgegeben von Professor Dr. Wolfgang Domschke, Technische Universität Darmstadt, Professor Dr. Andreas Drexl, Universität Kiel, Professor Dr. Bernhard Fleischmann, Universität Augsburg, Professor Dr. Hans-Otto Günther, Technische Universität Berlin, Professor Dr. Stefan Helber, Universität Hannover, Professor Dr. Karl Inderfurth, Universität Magdeburg, Professor Dr. Thomas Spengler, Universität Braunschweig, Professor Dr. Hartmut Stadtler, Technische Universität Darmstadt, Professor Dr. Horst Tempelmeier, Universität zu Köln, Professor Dr. Gerhard Wäscher, Universität Magdeburg Kontakt: Professor Dr. Hans-Otto Günther, Technische Universität Berlin, H 95, Straße des 17. Juni 135, 10623 Berlin

Diese Reihe dient der Veröffentlichung neuer Forschungsergebnisse auf den Gebieten der Produktion und Logistik. Aufgenommen werden vor allem herausragende quantitativ orientierte Dissertationen und Habilitationsschriften. Die Publikationen vermitteln innovative Beiträge zur Lösung praktischer Anwendungsprobleme der Produktion und Logistik unter Einsatz quantitativer Methoden und moderner Informationstechnologie.

Florian Sahling

Mehrstuﬁge Losgrößenplanung bei Kapazitätsrestriktionen

RESEARCH

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Dissertation Universität Hannover, 2009

1. Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten © Gabler | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010 Lektorat: Ute Wrasmann | Jutta Hinrichsen Gabler ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.gabler.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8349-2073-7

Geleitwort Seit fast 100 Jahren beschäftigen sich Wissenschaftler mit der Analyse von Problemen der Losgrößenplanung, die in einer großen Vielfalt in der industriellen Sachgüterproduktion auftreten. Zu diesem Problembereich wurde daher bereits eine unüberschaubare Zahl von wissenschaftlichen Publikationen vorgelegt. Ein Ende dieser Wissensproduktion ist nicht erkennbar. Losgrößenprobleme sind ganz offensichtlich nicht nur praktisch bedeutsam, sondern auch intellektuell äußerst reizvoll. Aus Sicht der praktischen Anwendung sind vor allem solche Modelle und Verfahren der Losgrößenplanung bedeutsam, die dynamische Bedarfsverläufe, mehrstuﬁge Produktionsprozesse und begrenzte Produktionskapazitäten abbilden können. In der Vergangenheit wurden für derartige Problemstellungen eine Vielzahl hochgradig speziﬁscher (und damit oft unﬂexibler und intransparenter) Lösungsverfahren entwickelt. Gegenwärtig zeigt sich dagegen eine starke Tendenz zur Entwicklung von Verfahren auf Basis der mathematischen Programmierung. Dieser Ansatz verknüpft eine hohe Flexibilität der Modellierung mit einer häuﬁg sehr guten Lösungsgüte. In diesem Kontext ist die von Herrn Dr. Sahling vorgelegte Dissertationsschrift einzuordnen. Er entwickelt, untersucht und bewertet eine innovative Methode zur Losgrößenplanung auf Basis der mathematischen Programmierung, die aus mehreren Gründen praktisch und wissenschaftlich bedeutsam erscheint. Zum einen gelingt es ihm, für eine große Zahl untersuchter Testinstanzen bei vergleichsweise kurzen Rechenzeiten Lösungen von sehr hoher Qualität zu ermitteln. Zum zweiten ist der dazu verwendete neue Ansatz sehr gut auf andere dynamische Probleme der Losgrößenplanung übertragbar. Letztlich lässt sich sein Ansatz konzeptionell sehr gut für die weitere Entwicklung so genannter AdvancedPlanning-Systeme heranziehen. Durch seine Forschung zur Losgrößenplanung hat Dr. Sahling einen bedeutsamen wissenschaftlichen Beitrag geleistet, der auf dem Weg über Aufsatzpublikationen in kurzer Zeit schon eine hohe Aufmerksamkeit in der internationalen wissenschaftlichen Diskussion gefunden hat. Die von ihm präsentierte Vorgehensweise ist dabei so klar und transparent, dass sie auch bereits an mehreren Universitäten in die universitäre Lehre eingegangen ist. All dies unterstreicht die außerordentlich hohe Qualität der hier von Herrn Dr. Sahling vorgelegten Monographie, der ich ebenfalls eine sehr gute Aufnahme wünsche. Prof. Dr. Stefan Helber

Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Produktionswirtschaft an der Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover. Zurückblickend auf die vergangenen fünf Jahre haben mich bei der Erstellung dieser Arbeit zahlreiche Personen unterstützt und damit diese Arbeit erst ermöglicht. An dieser Stelle möchte ich daher die Gelegenheit nutzen, all denjenigen für die erhaltene Unterstützung in dieser Zeit zu danken. Mein besonderer Dank gilt meinem Doktorvater Herrn Prof. Dr. Stefan Helber für die persönliche Betreuung und Förderung meiner Forschungsarbeit. Seine stets vorhandene Gesprächsbereitschaft und Unterstützung haben in dieser Zeit immer wieder zu zahlreichen wertvollen Anregungen geführt und damit dieser Arbeit die entscheidende Richtung vorgegeben. Ebenfalls recht herzlich bedanken möchte ich mich bei Herrn Prof. Dr. Michael H. Breitner für die freundliche Übernahme des Zweitgutachtens sowie bei Prof. Dr. Daniel Rösch für die Übernahme des Prüfungsvorsitzes. Darüber hinaus möchte ich mich bei allen jetzigen und ehemaligen Kollegen in Hannover für die äußerst angenehme und freundschaftliche Arbeitsatmosphäre am Institut bedanken. Hier gilt mein Dank zunächst Frau Prof. Dr. Katja Schimmelpfeng und Herrn Prof. Dr. Raik Stolletz, die während aber auch nach ihrer Zeit in Hannover immer ein offenes Ohr für mich und meine Losgrößenprobleme hatten. Ein sehr großes Dankeschön geht an meine beiden „Vorzimmerdamen“ Carolin Kellenbrink und Anja Wolter für ihre zahlreichen konstruktiven Verbesserungsvorschläge sowie das unermütliche Korrekturlesen etlicher Versionen meiner Dissertation. Ebenso bedanken möchte ich mich bei Silvia Bertuzies, Michael Grundt und Beier Meng, die in der ﬁnalen Version noch die letzten Fehler gefunden haben. Meinen beiden ehemaligen Diplomandinnen Julia Baltzer und Natalia Prischepov möchte ich dafür danken, dass sie mich zum einen im Rahmen ihrer Diplomarbeiten tatkräftig bei der Durchführung von numerischen Untersuchungen unterstützt haben und sie zum anderen einen Großteil meiner Arbeit korrekturgelesen haben. Des weiteren geht mein Dank an Frau Dr. Lisbeth Buschkühl. Bei ihr möchte ich mich besonders für die freundschaftliche Zusammenarbeit bei unseren gemeinsamen Artikeln sowie für die zahlreichen und immer wieder aufmunternden Gespräche und Diskussionen am Telefon bzw. in Köln oder Hannover bedanken. Ein weiterer Dank geht an die Herren Prof. Dr. Horst Tempelmeier, Prof. Dr. Hartmut

VIII

Stadtler und Dr. Christopher Sürie, die mir jeweils eine Implementierung ihrer Lösungsansätze zur Verfügung gestellt haben und mir somit die vergleichenden numerischen Untersuchungen in Kapitel 5 ermöglicht haben. Zu guter Letzt möchte ich mich bei meiner Familie bedanken. Zum einen gilt mein Dank meinen Eltern für die erhaltene Unterstützung während meines Studiums, womit sie mir die Möglichkeit der Promotion ermöglicht haben. Zum anderen geht mein größter Dank an Kirsten für das mir entgegengebrachte Verständnis und die Unterstützung während der Entstehungsphase dieser Arbeit. Nicht nur aufgrund der anfänglichen räumlichen Trennung musste sie in dieser Zeit auf viele gemeinsame Stunden mit mir verzichten. Als kleine Wiedergutmachung möchte ich ihr diese Arbeit widmen. Florian Sahling

Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis

XIII

Algorithmenverzeichnis

XV

Tabellenverzeichnis Abkürzungsverzeichnis Symbolverzeichnis 1

Einleitung

2

Einordnung und Klassiﬁzierung von Problemen der Losgrößenplanung 2.1 Einordnung der Losgrößenplanung in die kapazitätsorientierte Produktionsplanung und -steuerung . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Bedeutung der Losgrößenplanung in Advanced-Planning-Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Klassiﬁzierung von Modellen für die Losgrößenplanung . . . . 2.4 Übersicht über Modellformulierungen für dynamische mehrstuﬁge Losgrößenprobleme mit Kapazitätsrestriktionen . . . . . . .

3

Modellformulierungen für mehrstuﬁge Losgrößenprobleme mit Kapazitätsrestriktionen 3.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ausgangspunkt: Das mehrstuﬁge Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen (MLCLSP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Modellannahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Standardmodellformulierung auf Basis von Produktionsund Lagermengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Erweiterung um die Möglichkeit der Rüstübertragung (MLCLSP-L) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Modellformulierung mit einfacher Rüstübertragung . . .

XVII XXI XXV 1

3 3 6 10 14

19 19 19 19 23 26 26

X

Inhaltsverzeichnis

3.4 3.5

4

5

3.3.2 Modellformulierung mit mehrfacher Rüstübertragung . . 3.3.3 Unterschiede zum MLCLSP . . . . . . . . . . . . . . . Das mehrstuﬁge Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen und reihenfolgeabhängigen Rüstkosten (MLCLSD) . . . . . . . Komplexität mehrstuﬁger Losgrößenprobleme mit Kapazitätsrestriktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Algorithmische Ansätze zur Lösung dynamischer Losgrößenprobleme mit Kapazitätsrestriktionen 4.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Klassiﬁzierungsschema für die Lösungsansätze . . . . . . . . . 4.3 Lösungsansätze für dynamische Losgrößenprobleme mit Kapazitätsrestriktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Mathematische Programmierungsansätze . . . . . . . . 4.3.2 Lagrange-Heuristiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Dekompositions- und Aggregationsansätze . . . . . . . 4.3.4 Metaheuristische Lösungsansätze . . . . . . . . . . . . 4.3.5 Problemspeziﬁsche Greedy-Heuristiken . . . . . . . . . 4.4 Kritische Würdigung der vorgestellten Lösungsansätze und Deﬁnition der Forschungslücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des mehrstuﬁgen Losgrößenproblems mit Kapazitätsrestriktionen 5.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Lösungsidee der Fix&Optimize-Heuristik: Dekomposition in Unterprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Modellformulierung für das Unterproblem . . . . . . . . . . . . 5.4 Ablauf der iterativen Fix&Optimize-Heuristik . . . . . . . . . . 5.4.1 Bestimmung einer formal zulässigen Startlösung . . . . opt 5.4.2 Bestimmung der Untermenge KT γ zu optimierender Binärvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Varianten der F&O-Heuristik durch Kombination der Dekompositionsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Numerische Untersuchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Vorüberlegungen zur Evaluation der Fix&OptimizeHeuristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Numerische Ergebnisse für Testinstanzen ohne Vorlaufverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 32 36 40

43 43 43 49 49 57 59 60 65 66

69 69 69 71 72 72 75 83 85 85 89

Inhaltsverzeichnis

5.5.3

5.6 6

7

Evaluation der Ergebnisse für Testinstanzen mit einer Vorlaufverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abschließende Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . .

XI

Anwendung der Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L 6.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Modellformulierung für das Unterproblem . . . . . . . . . . . . 6.3 Anpassung der Fix&Optimize-Heuristik für das MLCLSP-L . . 6.3.1 Bestimmung einer formal zulässigen Startlösung . . . . opt 6.3.2 Bestimmung der Untermengen KT opt γ und KT ω zu optimierender Binärvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Numerische Untersuchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Beschreibung der verwendeten Testinstanzen . . . . . . 6.4.2 Ergebnisse mit Vorlaufverschiebung und einfacher Rüstübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Ergebnisse mit Vorlaufverschiebung und mehrfacher Rüstübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Abschließende Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendung der Fix&Optimize-Heuristik auf ein Losgrößenproblem mit reihenfolgeabhängigen Rüstvorgängen aus der Lebensmittelindustrie 7.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Beschreibung des vorliegenden Praxisfalls . . . . . . . . . . . . 7.3 Das mehrstuﬁge Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen und reihenfolgeabhängigen Rüstvorgängen auf parallelen Maschinen an mehreren Standorten (MLCLSD-PM-ML) . . . . . . . . 7.3.1 Modellannahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Modellformulierung für das MLCLSD-PM-ML . . . . . 7.4 Anpassung der Fix&Optimize-Heuristik für das MLCLSD-PMML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Modellformulierung für das Unterproblem . . . . . . . 7.4.2 Bestimmung einer formal zulässigen Startlösung . . . . opt opt 7.4.3 Bestimmung der Untermengen IKT Mδ und KT Mω zu optimierender Binärvariablen . . . . . . . . . . . . . 7.5 Numerische Untersuchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Beschreibung der verwendeten Testinstanzen . . . . . . 7.5.2 Numerische Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102 105

107 107 107 109 109 111 119 119 122 125 127

129 129 129

131 131 133 138 138 140 144 153 153 159

XII

Inhaltsverzeichnis

7.6 8

Abschließende Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . .

Betriebswirtschaftliche Bewertung und Ausblick

163 165

Literaturverzeichnis

169

Anhang

185

A Ausführliche Modellformulierung für ein Unterproblem des MLCLSP bei der Fix&Optimize-Heuristik

187

B Ergänzende numerische Ergebnisse der Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP 189 B.1 Ergebnisse der ressourcenorientierten Dekomposition . . . . . . 189 B.2 Ergebnisse weiterer Varianten der F&O-Heuristik für das MLCLSP 191 C Ablauf der Fix&Optimize-Heuristik für Modellerweiterungen des MLCLSP

199

D Parameter der Testinstanzen für das MLCLSD-PM-ML

203

Abbildungsverzeichnis 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4.1 4.2 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Aufbau eines kapazitätsorientierten PPS-Systems . . . . . . . . . . . Planungsmatrix von Advanced-Planning-Systemen . . . . . . . . . . Klassiﬁzierung von Losgrößenmodellen . . . . . . . . . . . . . . . Grundformen der Erzeugnisstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . Übersicht über Modellformulierungen für dynamische mehrstuﬁge Losgrößenmodelle mit Kapazitätsrestriktionen . . . . . . . . . . . . Zusammenhang zwischen einer Vorlaufverschiebung und der Disaggregationsfähigkeit in einen zulässigen Maschinenbelegungsplan . . Maschinenbelegungsplan für das Beispiel auf der Basis der Modellannahmen für das MLCLSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maschinenbelegungsplan für das Beispiel auf der Basis der Modellannahmen für das MLCLSP-L mit einfacher Rüstübertragung . . . . . Maschinenbelegungsplan für das Beispiel auf der Basis der Modellannahmen für das MLCLSP-L mit mehrfacher Rüstübertragung . . . . Beispiel zur Erläuterung der Subtour-Eliminationsbedingungen beim MLCLSD mit drei Produkten und zwei Perioden . . . . . . . . . . . Klassiﬁzierung von Lösungsansätzen für dynamische Losgrößenprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellung des dynamischen Losgrößenproblems als Standortproblem Erzeugnisstruktur für ein Beispiel mit vier Produkten und zwei Ressourcen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiel zum Ablauf der produktorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiel zum Ablauf der ressourcenorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiel zum Ablauf der prozessorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verlauf der mittleren Lösungsgüte bei der produktorientierten Dekomposition am Beispiel der Problemklassen A+ und B+ . . . . . . . . Anteil der Testinstanzen mit einer Lösung mit Überstunden in Abhängigkeit von der Anzahl der gelösten Unterprobleme am Beispiel der Problemklasse D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 7 11 12 15 22 33 34 35 39 45 52 76 78 80 82 91

92

XIV

Abbildungsverzeichnis

5.7 Verlauf der mittleren Lösungsgüte bei der Variante 1 am Beispiel der Problemklassen A+ und B+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Verlauf der mittleren Lösungsgüte bei der Variante 4 am Beispiel der Problemklassen A+ und B+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Beispiel zum Ablauf der produktorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Beispiel zur Anpassung der ressourcenorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Beispiel zum Ablauf der ressourcenorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Beispiel zum Ablauf der prozessorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Schematischer Produktionsablauf für das Praxisbeispiel . . . . . . . 7.2 Produktionsbereich mit mehreren Standorten und parallelen Maschinen 7.3 Formal zulässige Startlösung für das MLCLSD-PM-ML für ein Beispiel mit vier Produkten und drei Perioden . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Beispiel I für den Ablauf der produktorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSD-PM-ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Beispiel II für den Ablauf der produktorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSD-PM-ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Beispiel III für den Ablauf der produktorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSD-PM-ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Beispiel für das Aufheben zunächst eingeplanter Rüstvorgänge bei der ressourcenorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSD-PM-ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8 Beispiel für die Auswahl zusätzlicher zu optimierender Rüstvariablen auf Basis eines Rüstzyklus bei der ressourcenorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSD-PM-ML . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 Beispiel I für den Ablauf der prozessorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSD-PM-ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10 Beispiel II für den Ablauf der prozessorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSD-PM-ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11 Erzeugnisstruktur der Problemklasse 1 für das MLCLSD-PM-ML . . 7.12 Erzeugnisstruktur der Problemklasse 2 für das MLCLSD-PM-ML . . 7.13 Primärbedarfsverlauf für Produkt G2 der Problemklasse 1 für das MLCLSD-PM-ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96 97 112 116 117 120 130 131 143 145 146 148

149

150 151 152 154 155 157

Algorithmenverzeichnis 5.1 Initialisierungsphase zur Bestimmung einer formal zulässigen Startlösung für die F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSP . . . . . . . . 5.2 Ablauf der produktorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Ablauf der ressourcenorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Ablauf der prozessorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Ablauf der F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSP . . . . . . . . 6.1 Initialisierungsphase zur Bestimmung einer formal zulässigen Startlösung für die F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L . . . . . . 6.2 Ablauf der produktorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Ablauf der ressourcenorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Ablauf der prozessorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Initialisierungsphase zur Bestimmung einer formal zulässigen Startlösung für die F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSD-PM-ML . . . C.1 Ablauf der F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L . . . . . . . C.2 Ablauf der F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSD-PM-ML . . .

74 77 79 81 84 110 113 115 118 143 200 201

Tabellenverzeichnis 3.1 Verwendete Notation für das MLCLSP . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Zusätzliche Entscheidungsvariable für das MLCLSP-L mit einfacher Rüstübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Zusätzliche Entscheidungsvariable für das MLCLSP-L mit mehrfacher Rüstübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Gegebene Parameterwerte für ein Beispiel mit drei Produkten und vier Perioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Ergänzende Notation für das MLCLSD . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Übersicht der MP-basierten Lösungsansätze . . . . . . . . . . . . . 4.2 Übersicht der Lagrange-Heuristiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Übersicht der Dekompositions- und Aggregationsansätze . . . . . . 4.4 Übersicht der metaheuristischen Ansätze . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Übersicht der problemspeziﬁschen Greedy-Heuristiken . . . . . . . 4.6 Zusätzliche Entscheidungsvariable für das MLCLSP-SPL . . . . . . 5.1 Ergänzende Notation für das MLCLSP-SUB . . . . . . . . . . . . . 5.2 Untersuchte Problemklassen nach Stadtler und Sürie (2000) für das MLCLSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Anzahl der untersuchten Testinstanzen mit einer bekannten zulässigen Lösung ohne Überstunden für das MLCLSP . . . . . . . . . . . . . 5.4 Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP bei einfachem Durchlauf der Dekompositionsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP bei mehrfachem Durchlauf der Dekompositionsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP bei einfachem Durchlauf für die untersuchten Varianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP bei mehrfachem Durchlauf für die untersuchten Varianten . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Ergebnisse für das MLCLSP bei den Problemklassen A+ und B+ ohne Vorlaufverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Ergebnisse für das MLCLSP bei den Problemklassen C und D ohne Vorlaufverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Ergebnisse für das MLCLSP bei der Problemklasse E ohne Vorlaufverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 29 31 33 37 46 47 47 48 49 52 72 85 86 89 90 94 95 98 99 101

XVIII

Tabellenverzeichnis

5.11 Ergebnisse für das MLCLSP bei den Problemklassen A+ und B+ mit Vorlaufverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12 Ergebnisse für das MLCLSP bei den Problemklassen C und D mit Vorlaufverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13 Ergebnisse für das MLCLSP bei der Problemklasse E mit Vorlaufverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Ergänzende Notation für das MLCLSP-L-SUB . . . . . . . . . . . . 6.2 Anzahl der untersuchten Testinstanzen mit einer bekannten zulässigen Lösung ohne Überstunden für das MLCLSP-L . . . . . . . . . . . . 6.3 Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP-L mit einfacher Rüstübertragung bei einfachem Durchlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP-L mit einfacher Rüstübertragung bei mehrfachem Durchlauf . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP-L mit mehrfacher Rüstübertragung bei einfachem Durchlauf . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP-L mit mehrfacher Rüstübertragung bei mehrfachem Durchlauf . . . . . . . . . . . . . 7.1 Verwendete Indizes und Parameter für das MLCLSD-PM-ML . . . . 7.2 Verwendete Entscheidungsvariablen für das MLCLSD-PM-ML . . . 7.3 Ergänzende Notation für das MLCLSD-PM-ML-SUB . . . . . . . . 7.4 Ergänzende Notation für das TSPm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Übersicht der untersuchten Problemklassen für das MLCLSD-PM-ML 7.6 Maschinenzuordnung der Problemklasse 1 für das MLCLSD-PM-ML 7.7 Maschinenzuordnung der Problemklasse 2 für das MLCLSD-PM-ML 7.8 Auslastungsproﬁle für die Maschinen der Problemklassen für das MLCLSD-PM-ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSD-PM-ML bei den Problemklassen 1 und 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1 Ergänzende Notation für das MLCLSP-SUB . . . . . . . . . . . . . B.1 Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP bei einfachem Durchlauf der ressourcenorientierten Dekomposition . . . . . . . . . . . . B.2 Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP bei mehrfachem Durchlauf der ressourcenorientierten Dekomposition . . . . . . . . . B.3 Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP bei einfachem Durchlauf für die Varianten beginnend mit der ressourcenorientierten Dekomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4 Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP bei mehrfachem Durchlauf für die Varianten beginnend mit der ressourcenorientierten Dekomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102 103 104 108 122 123 124 125 126 134 135 139 141 153 154 156 158 162 187 192 193

194

195

Tabellenverzeichnis

B.5 Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP bei einfachem Durchlauf für die Varianten beginnend mit der prozessorientierten Dekomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.6 Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP bei mehrfachem Durchlauf für die Varianten beginnend mit der prozessorientierten Dekomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.1 Gegebene Parameterwerte für die beiden Problemklassen für das MLCLSD-PM-ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.2 Nachfrage dkt für das Nachfrageproﬁl 1 der Problemklasse 1 MLCLSD-PM-ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.3 Nachfrage dkt für das Nachfrageproﬁl 2 der Problemklasse 1 MLCLSD-PM-ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.4 Nachfrage dkt für das Nachfrageproﬁl 3 der Problemklasse 1 MLCLSD-PM-ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.5 Nachfrage dkt für das Nachfrageproﬁl 1 der Problemklasse 2 MLCLSD-PM-ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.6 Nachfrage dkt für das Nachfrageproﬁl 2 der Problemklasse 2 MLCLSD-PM-ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.7 Nachfrage dkt für das Nachfrageproﬁl 3 der Problemklasse 2 MLCLSD-PM-ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XIX

196

197 203 204 204 205 206 207 208

Abkürzungsverzeichnis ACO

Ameisenalgorithmus (engl.: Ant Colony Optimization)

AGK

Produktbezogener Aggregationsansatz

AOS

Abweichung von der besten bekannten oberen Schranke

APS

Advanced-Planning-System

AUS

Abweichung von der besten bekannten unteren Schranke

B&B

Branch&Bound-Verfahren

B&C

Branch&Cut-Verfahren

Bin

Binärbedingung der Rüstvariablen

C&B

Cut&Branch-Verfahren

CLSD

Capacitated Lotsizing Problem with Sequence Dependent Setup Costs

CLSP

Capacitated Lotsizing Problem

CLSP-L

Capacitated Lotsizing Problem with Linked Lotsizes

DAOS

Durchschnittliche Abweichung von der besten bekannten oberen Schranke

DAUS

Durchschnittliche Abweichung von der besten bekannten unteren Schranke

DIR

Richtung der Greedy-Heuristik

DKK

Produktbezogener Dekompositionsansatz

DKT

Zeitbezogener Dekompositionsansatz

EA

Evolutionärer Algorithmus

ERP-System

Enterprise-Resource-Planning-System

EV

Eröffnungsverfahren

F&O

Fix&Optimize-Heuristik

XXII

Abkürzungsverzeichnis

F&R

Fix&Relax-Heuristik

FORM

Modellformulierung

GA

Genetischer Algorithmus

GE

Geldeinheiten

GH

Greedy-Heuristiken

Kap

Kapazitätsrestriktion

LA

Lösungsansatz

Lag

Lagerbilanzgleichung

LH

Lagrange-Heuristiken

lin. MLCLSP

MLCLSP ohne Binärbedingungen

LP

Lineare Programmierung

LPB

LP-basierter Lösungsansatz

LPR

LP-Relaxation

LR

Lagrange-Relaxation

LS

Lokales Suchverfahren

MA

Memetischer Algorithmus

ME

Mengeneinheit

MH

Metaheuristik

MLCLSD

Multi-Level Capacitated Lotsizing Problem with Sequence Dependent Setup Costs

MLCLSP

Multi-Level Capacitated Lotsizing Problem

MLCLSP-L

Multi-Level Capacitated Lotsizing Problem with Linked Lotsizes

MLDLSP

Multi-Level Discrete Lotsizing and Scheduling Problem

MLGLSP

Multi-Level General Lotsizing and Scheduling Problem

MLPLSP

Multi-Level Proportional Lotsizing Problem

MLULSP

Multi-Level Uncapacitated Lotsizing Problem

MSLS

Multi-Level Sequence Dependent Lotsizing and Scheduling Problem

Abkürzungsverzeichnis

XXIII

MP

Mathematische Programmierung

MRP

Material Requirements Planning

MRP II

Manufacturing Resource Planning

NSV

Nachbarschaftssuchverfahren

PBV

Populationsbasiertes Verfahren

PoD

Produktorientierte Dekomposition

PPS

Produktionsplanung und -steuerung

PzoD

Prozessorientierte Dekomposition

REL

Relaxation

RelR

Relaxierte Restriktionen

RfR

Reihenfolgerestriktionen

RH

Rundungsheuristik

RoD

Ressourcenorientierte Dekomposition

RW

rückwärts

RÜ

Rüstübertragung

RüR

Restriktionen für die Rüstübertragung

SA

Verfahren der simulierten Abkühlung

SLULSP

Single-Level Uncapacitated Lotsizing Problem

SLULSP-L

SLULSP mit Rüstübertragung

SPL

Standortproblem-Formulierung (engl.: Simple Plant Location Problem)

SR

Kürzeste-Wege-Formulierung (engl.: Shortest Route Problem)

SRP

Kürzeste-Wege-Problem

STD

Standardmodellformulierung

STH

Dekompositionsansatz von Stadtler

SUB

Unterproblem

TDH

Lagrange-Heuristik von Tempelmeier und Derstroff

TS

Tabu-Suchverfahren

TSP

Traveling Salesman Problem

XXIV

Abkürzungsverzeichnis

Var

Variante

VV

Verbesserungsverfahren

VW

vorwärts

WW

Wagner-Whitin-Verfahren

ZE

Zeiteinheit

ZU

Zulässige Ungleichungen

Symbolverzeichnis aki

Direktbedarfskoefﬁzient bezüglich Produkt k und Produkt i

bkt

hinreichend große Zahl für Produkt k in Periode t

c fl

Kapazität eines Fahrzeugs an Standort l

cpmt

verfügbare Kapazität auf Ressource m in Periode t

cpmt

verfügbare Kapazität von Maschine m in Periode t nach Abzug der bereits ﬁxierten Rüstzeiten

cyl

Lagerkapazität an Standort l

d ∈ Dv

Menge der Dekompositionsstrategien der Variante v

dkt

Primärbedarf nach Produkt k in Periode t

dktn

Nettonachfrage nach Produkt k in Periode t

n

dk

durchschnittliche Nettonachfrage nach Produkt k

Dktl

Hilfsvariable für die Nachfragemenge nach Produkt k, die in Periode t von Standort l erfüllt wird

eck

stufenbezogener Lagerkostensatz für Produkt k

f clh

ﬁxe Transportkosten für eine Lieferung von Standort l zu Standort h

gk

Volumen von Produkt k je ME

hck

Lagerkostensatz für eine ME von Produkt k je Periode

hckl

Lagerkostensatz für Produkt k an Standort l

IKT M

Menge der Quadrupel (i, k,t, m)

XXVI

Symbolverzeichnis

IKT Mδ

f ix

Menge der Quadrupel (i, k,t, m), deren zugehörige Rüstzustände δ iktm im aktuellen Unterproblem ﬁxiert sind

IKT Mopt δ

Menge der Quadrupel (i, k,t, m), deren zugehörige Rüstvariablen δiktm im aktuellen Unterproblem exakt gelöst werden

k, i ∈ K

Menge der Produkte, K = {1, . . . , K}

K

geordnete Menge aller Produkte

K

Untermenge der Menge Km

Kg

Indexmenge für die gemischten Kartons

Km

Menge der Produkte, die auf Ressource m gefertigt werden

Ks

Indexmenge für die sortenreinen Kartons

Kv

Indexmenge für die Vorprodukte

KapZul

boolesche Variable, die angibt, ob bereits eine zulässige Lösung ohne Überstunden bekannt ist

KapZul neu

boolesche Variable, die angibt, ob die aktuelle Lösung keine Überstunden enthält

KT

Menge der Produkt-Perioden-Kombinationen (k,t)

KT γf ix

Menge der Produkt-Perioden-Kombinationen (k,t), deren zugehörige Rüstzustände γ kt im aktuellen Unterproblem ﬁxiert sind

KT opt γ

Menge der Produkt-Perioden-Kombinationen (k,t), deren zugehörige Rüstzustandsvariablen γkt im aktuellen Unterproblem exakt gelöst werden

KT ωf ix

Menge der Produkt-Perioden-Kombinationen (k,t), deren zugehörige Rüstübertragungen ω kt im aktuellen Unterproblem ﬁxiert sind

KT opt ω

Menge der Produkt-Perioden-Kombinationen (k,t), deren zugehörige Rüstübertragungsvariablen ωkt im aktuellen Unterproblem optimal gelöst werden

Symbolverzeichnis

XXVII

KT M

Menge der Tripel (k,t, m)

KT Mωf ix

Menge der Tripel (k,t, m), deren zugehörige Rüstübertragungen ω ktm im aktuellen Unterproblem ﬁxiert sind

KT Mopt ω

Menge der Tripel (k,t, m), deren zugehörige Rüstübertragungsvariablen ωktm im aktuellen Unterproblem exakt gelöst werden

l, h ∈ L

Menge der Standorte, L = {1, . . . , L}

Anzahl der Iterationen

max

maximale Iterationsanzahl

m∈M

Menge der Ressourcen, M = {1, . . . , M}

Mkl

Menge der Maschinen an Standort l, die Produkt k herstellen können (Mkl ⊂ M)

Ml

Anzahl der Maschinen an Standort l

Nk

Menge der direkten Nachfolger von Produkt k

Ntlh

Anzahl der Transporte in Periode t von Standort l zu Standort h

Omt

Überstunden auf Ressource m in Periode t

O∗mt

optimale Ausprägung der Entscheidungsvariable Omt

ocm

Kostensatz für eine Überstunde auf Ressource m

pcm

variable Produktionskosten auf Maschine m je ZE

pzk

Produktionszyklus für Produkt k

QFktlh

Transportmenge von Produkt k in Periode t von Standort l zu Standort h

QNktτ

Produktionsmenge für Produkt k in Periode t zur Erfüllung der Nachfrage in Periode τ

QPkt

Produktionsmenge (Losgröße) von Produkt k in Periode t

XXVIII

Symbolverzeichnis

QP∗ kt

optimale Ausprägung der Produktionsmengenvariable QPkt

QPktm

Produktionsmenge von Produkt k in Periode t auf Maschine m

s ∈ Sd

Menge der Unterprobleme der Dekompositionsstrategie d

sck

Rüstkostensatz von Produkt k

sckm

Rüstkostensatz für Produkt k auf Maschine m

scik

Rüstkostensatz für einen Rüstvorgang von Produkt i auf Produkt k

scikm

Rüstkostensatz für einen Rüstvorgang von Produkt i auf Produkt k auf Maschine m

tskm

durchschnittliche Rüstzeit auf Produkt k auf Maschine m

t, τ ∈ T

Menge der Perioden, T = {1, . . . , T }

TI

Gesamtanzahl der Testinstanzen

t pk

Stückbearbeitungszeit von Produkt k

t pkm

Stückbearbeitungszeit von Produkt k auf Maschine m

tsk

Rüstzeit von Produkt k

tsik

Rüstzeit für einen Rüstvorgang von Produkt i auf Produkt k

tsikm

Rüstzeit für einen Rüstvorgang von Produkt i auf Produkt k auf Maschine m

umax

Anzahl der Dispositionsstufen

v

betrachtete Variante

Vk

Menge der direkten Vorgänger von Produkt k

v fk

Transportvorlaufverschiebung für Produkt k

vpk

Vorlaufverschiebung von Produkt k

Symbolverzeichnis

XXIX

Ykt

Lagerbestand von Produkt k am Ende von Periode t

Ykt∗

optimale Ausprägung der Lagerbestandsvariable Ykt

Yktl

Lagerbestand von Produkt k am Ende von Periode t an Standort l

Zk

produktspeziﬁsche Kosten für das Produkt k

Z∗

optimaler Zielfunktionswert des Unterproblems

Z alt

bester bekannter Zielfunktionswert der vorherigen Iteration

Z best

bester bekannter Zielfunktionswert für eine Testinstanz

Z F&O

mit der F&O-Heuristik bestimmter Zielfunktionswert einer Testinstanz

Z LP

Zielfunktionswert der LP-Relaxation einer Testinstanz

Z neu

bester bekannter Zielfunktionswert

Z˜ ∗

optimaler Zielfunktionswert der LP-Relaxation

ZTI

Anzahl der Testinstanzen mit einer bekannten zulässigen Lösung ohne Überstunden

Zul

Anteil der gelösten Testinstanzen mit einer zulässigen Lösung ohne Überstunden

γkt

binäre Rüstzustandsvariable für Produkt k in Periode t

γkt∗

optimale Ausprägung der Binärvariable γkt

γ˜kt∗

optimale Ausprägung der relaxiert gelösten Rüstzustandsvariable γkt

γ kt

ﬁxierter Rüstzustand für Produkt k in Periode t

δikt

binäre Rüstvariable von Produkt i auf Produkt k in Periode t

δiktm

binäre Rüstvariable von Produkt i auf Produkt k in Periode t auf Maschine m

XXX

Symbolverzeichnis

δ iktm

ﬁxierter Rüstzustand von Produkt i auf Produkt k in Periode t auf Maschine m

Δs

Anteil der in Unterproblem s optimal zu lösenden Binärvariablen

ηkm

Position von Produkt k im Rüstzyklus auf Maschine m

θ

Anzahl der Perioden, um die ein Planungsfenster verschoben wird

λ

Länge des Planungsfensters

μ(k)

Funktion zur Bestimmung des Index der Ressource, auf der Produkt k gefertigt wird

νmt

Hilfsvariable für Maschine m in Periode t

πkt

Position von Produkt k in der Rüstfolge der Periode t

πktm

Position von Produkt k in der Rüstfolge der Periode t auf Maschine m

ρm

Auslastung der Maschine m

ρikm

Rüstzyklusvariable für einen Rüstvorgang von Produkt i auf Produkt k auf Maschine m

∗ ρikm

optimale Ausprägung der Rüstzyklusvariable ρikm

ϒkt

disponibler Lagerbestand von Produkt k in Periode t

ωkt

binäre Rüstübertragungsvariable für Produkt k in Periode t

ωkt∗

optimale Ausprägung der binären Rüstübertragungsvariable ωkt

ω˜ kt∗

optimale Ausprägung der relaxiert gelösten Rüstübertragungsvariable ωkt

ω kt

ﬁxierte Rüstübertragung für Produkt k in Periode t

ωktm

binäre Rüstübertragungsvariable für Produkt k in Periode t auf Maschine m

Symbolverzeichnis

XXXI

ω ktm

ﬁxierte Rüstübertragung für Produkt k in Periode t auf Maschine m

k ω

Anfangsrüstzustand von Produkt k

km ω

Anfangsrüstzustand von Produkt k auf Maschine m

1 Einleitung Eine Losgröße ist deﬁniert als die „Anzahl gleichartiger Objekte, die auf einem Arbeitsträger unmittelbar nacheinander ohne Rüstvorgänge zu fertigen sind.“1 Losgrößenprobleme müssen immer dann in einer Unternehmung berücksichtigt werden, wenn ein Produkttypwechsel auf einer Ressource Rüstzeiten und/oder Rüstkosten verursacht. Zur Einsparung der Rüstkosten kann versucht werden, Nachfragemengen für ein Produkt zu einem Los zusammenzufassen. Dadurch steigen die Lagerbestände, was wiederum zu einem Anstieg der Lagerkosten führt. Eine Einsparung von Lagerkosten kann erreicht werden, wenn nachfragenah in kleinen Losen produziert wird, allerdings steigen in diesem Fall die Rüstkosten. Bei der Losgrößenplanung besteht somit ein genereller Zielkonﬂikt aufgrund der gegenläuﬁgen Entwicklung der Rüst- und Lagerkosten.2 Bei Losgrößenproblemen mit Kapazitätsbeschränkungen liegt der Fokus auf der Erstellung eines zulässigen Produktionsplans, der die beschränkten Kapazitäten der Ressourcen beachtet und die gegebene Nachfrage in der Regel vollständig erfüllt. Dieser zulässige Produktionsplan soll die entscheidungsrelevanten Kosten minimieren. Die Struktur des Losgrößenproblems ist abhängig vom Organisationstyp des Produktionssystems. In der industriellen Praxis gibt es unterschiedlichste Typen von Produktionssystemen, die einen wesentlichen Einﬂuss auf die Modellformulierung des Losgrößenproblems haben. In den letzten Jahrzehnten wurden in der Literatur zahlreiche Modellformulierungen und Lösungsansätze für die einzelnen Organisationstypen vorgestellt. Beispielsweise wird das dynamische mehrstuﬁge Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen (MLCLSP, engl.: Multi-Level Capacitated Lotsizing Problem)3 für den Organisationstyp der Werkstattproduktion verwendet, bei dem Rüstzeiten eine hohe Relevanz haben. Für derartige Losgrößenprobleme mit Rüstzeiten ist bereits der Nachweis der Existenz einer zulässigen Lösung N P-vollständig.4 Aus diesem Grund scheitern Standardmethoden der mathematischen Programmierung bei der Lösung realistischer Problemgrößen häuﬁg an der mathematischen 1 2 3 4

Domschke et al. (1997), S. 69. Vgl. Günther und Tempelmeier (2007), S. 195. Vgl. Billington et al. (1983). Vgl. Trigeiro et al. (1989) und Maes et al. (1991).

2

1 Einleitung

Problemstruktur. Daher werden in der Literatur zahlreiche problemspeziﬁsche Algorithmen für diese Losgrößenprobleme vorgestellt. Bis heute existiert allerdings noch kein Lösungsansatz, der alle anderen Ansätze dominiert oder zufriedenstellende Ergebnisse liefert. Ein solcher Lösungsansatz sollte den speziﬁschen Anforderungen eines Produktionssystems genügen. Diesen Anspruch erfüllen vor allem mathematisch exakte Verfahren, die auf einer algebraischen Problemspeziﬁkation aufbauen. Darüber hinaus sollte der Anwender mit möglichst geringem Zeitaufwand zumindest einen zulässigen Produktionsplan in akzeptabler Qualität bestimmen können. Ferner sollte dieser entscheiden können, diesen Plan mit zusätzlicher Rechenzeit weiter zu verbessern. Diese Forderungen vereint die in dieser Arbeit vorgestellte Fix&OptimizeHeuristik zur Lösung mehrstuﬁger Losgrößenprobleme mit Kapazitätsrestriktionen. Diese basiert auf mathematisch exakten Verfahren der gemischtganzzahligen Optimierung. In relativ kurzer Zeit liefert diese Heuristik gute bis sehr gute Ergebnisse im Vergleich zu anderen in der Literatur beschriebenen Verfahren. Darüber hinaus eröffnet diese Heuristik die Möglichkeit, die Ergebnisse noch weiter zu verbessern. Zudem kann dieser Ansatz relativ einfach an Modellerweiterungen bzw. veränderte Modellannahmen angepasst werden. Die vorliegende Arbeit ist wie folgt gegliedert. Im zweiten Kapitel wird die Losgrößenplanung in die Produktionsplanung eingeordnet. Darüber hinaus erfolgt in diesem Kapitel eine Klassiﬁzierung von Losgrößenmodellen. Die Modellformulierungen der in dieser Arbeit behandelten mehrstuﬁgen Losgrößenprobleme mit Kapazitätsrestriktionen werden im dritten Kapitel beschrieben. Das vierte Kapitel gibt einen umfassenden Überblick über Algorithmen zur Lösung der in dieser Arbeit betrachteten Losgrößenprobleme. Dazu werden die Lösungsansätze wiederum zunächst klassiﬁziert und anschließend basierend auf dieser Klassiﬁzierung näher erläutert. Im Zentrum der Arbeit stehen die Kapitel fünf bis sieben. Zunächst wird im fünften Kapitel die Fix&Optimize-Heuristik als neuer Lösungsansatz für das MLCLSP beschrieben. Es folgt im sechsten Kapitel die Anwendung dieser Heuristik auf eine Erweiterung des MLCLSP. Im siebten Kapitel wird ein Losgrößenproblem aus der Praxis vorgestellt, dessen Lösung ebenfalls mit der Fix&OptimizeHeuristik erfolgt. Den Abschluss der vorliegenden Arbeit bildet das achte Kapitel mit einer betriebswirtschaftlichen Bewertung der vorgestellten Ergebnisse sowie einem kurzen Ausblick auf weiterführende Forschungsaktivitäten.

2 Einordnung und Klassiﬁzierung von Problemen der Losgrößenplanung 2.1 Einordnung der Losgrößenplanung in die kapazitätsorientierte Produktionsplanung und -steuerung Die Produktionsplanung und -steuerung (PPS) umfasst „die räumliche, zeitliche und mengenmäßige Planung, Steuerung und Kontrolle des gesamten Geschehens im Produktionsbereich.“5 Innerhalb der PPS sind strategische, taktische und operative Entscheidungen zu treffen. Die strategische Planung beinhaltet Entscheidungen über (neue) Geschäftsbereiche und Unternehmensziele für einen langfristigen Zeitraum. Mit Entscheidungen hinsichtlich der Zusammensetzung des Produktionsprogramms sowie des Aufbaus des Produktionssystems über einen mittelfristigen Zeitraum beschäftigt sich die taktische Planung. Bei der operativen Planung werden Entscheidungen über das kurzfristige Produktionsprogramm, die einzusetzenden Produktionsfaktoren sowie die durchzuführenden Produktionsprozesse getroffen.6 Drexl et al. (1994) stellen die Grundstruktur einer operativen kapazitätsorientierten PPS vor, die einem hierarchischen Planungskonzept folgt.7 Der Aufbau dieses Systems ist in Abbildung 2.1 dargestellt. In der aggregierten Gesamtplanung wird zunächst ein standortübergreifender Produktionsplan für die unterschiedlichen Produkttypen8 für einen mittelfristigen Zeitraum9 bestimmt. Basierend auf den Vorgaben dieses Produktionsplans wird bei der anschließenden kapazitierten Hauptproduktionsprogrammplanung 5 6 7 8

9

Drexl et al. (1994), S. 1022. Vgl. Drexl et al. (1994), S. 1022. Eine ausführliche Beschreibung geben u. a. Drexl et al. (1994) sowie Günther und Tempelmeier (2007). Zu einem Produkttyp werden Produkte mit ähnlicher Kosten- und Nachfragestruktur sowie ähnlichem Produktionsprozess zusammengefasst. Dies ist häuﬁg aufgrund der hohen Variantenzahl der Endprodukte notwendig (vgl. Meyr (1999), S. 23). In der Regel wird ein Zeitraum von ein bis zwei Jahren, unterteilt in Monate oder Quartale, betrachtet (vgl. Drexl et al. (1994), S. 1031).

4

2 Einordnung und Klassiﬁzierung von Problemen der Losgrößenplanung

Aggregierte Gesamtplanung

Kapazitätsorientiertes PPS-System Kapazitierte Hauptproduktionsprogrammplanung

Detaillierte Losgrößen- und Ressourceneinsatzplanung

Segmentspezifische Feinplanung und -steuerung Baustellen- Werkstattproduktion produktion

JITZentrenFließproduktion produktion Produktion

...

Vernetzte Produktionssegmente

Abb. 2.1: Aufbau eines kapazitätsorientierten PPS-Systems (vgl. Günther und Tempelmeier (2007), S. 143)

ein Hauptproduktionsprogramm für einen kurzfristigen Planungszeitraum10 erstellt. Die Hauptproduktionsprogrammplanung umfasst die Hauptendprodukte sowie die wichtigsten Vorprodukte, die auf den Produktionssegmenten einer Produktionsstätte gefertigt werden. Sowohl bei der aggregierten Gesamtplanung als auch bei der Hauptproduktionsprogrammplanung werden die vorhandenen Produktionskapazitäten in aggregierter Form berücksichtigt.11 Für beide Planungs-

10 11

Als Planungszeitraum sind drei bis 12 Monate, unterteilt in Wochen, vorgesehen (vgl. Drexl et al. (1994), S. 1033). Vgl. Tempelmeier (2008), S. 5.

2.1 Einordnung der Losgrößenplanung in die kapazitätsorientierte PPS

5

schritte können lineare Optimierungsmodelle12 formuliert werden, die mit relativ geringem Zeitaufwand exakt gelöst werden können.13 Der Produktionsbereich einer betrachteten Unternehmung kann aus unterschiedlichen Produktionssegmenten bestehen, die u. a. nach dem Prinzip der Werkstattfertigung oder der Fließproduktion organisiert sein können. Für jedes Produktionssegment müssen daher in den nachfolgenden Planungsschritten auf den jeweiligen Organisationstyp zugeschnittene Planungsprobleme deﬁniert und gelöst werden. Der Aggregationsgrad für die Modellierung der beschränkten Kapazitäten der Ressourcen nimmt im Vergleich zur Hauptproduktionsprogrammplanung weiter ab, beispielsweise kann jede Maschine einzeln betrachtet werden oder gleichartige Maschinen können zu einer Ressource aggregiert werden. Die Losgrößenplanung basiert auf dem Hauptproduktionsprogramm, das die Produktionsaufträge für die Endprodukte liefert. Zusätzlich zu diesen Vorgaben müssen die Input- und OutputBeziehungen zwischen den Endprodukten und ihren Komponenten beachtet werden, die sich aus der vorliegenden Erzeugnisstruktur ableiten lassen. Beruhend auf diesen Parametern werden die Produktionsmengen und -termine für die Vorprodukte für einen kurzfristigen Zeitraum14 ermittelt. Im Rahmen des kapazitätsorientierten PPS-Systems lässt sich die Losgrößenplanung als Bindeglied zwischen der kapazitierten Hauptproduktionsprogrammplanung und der Ressourceneinsatzplanung auffassen.15 Der Umfang sowie das Planungskonzept sind bei der Losgrößenplanung und Ressourceneinsatzplanung also abhängig vom zugrunde liegenden Organisationstyp des Produktionssegments. Beispielsweise erfolgt die Losgrößen- und Reihenfolgeplanung bei der Fließproduktion gleichzeitig. In den Bereichen der Werkstattfertigung werden dagegen zunächst nur die Produktionsmengen für die Produkte bestimmt.16 Erst bei der anschließenden Ressourceneinsatzplanung wird für diese Segmente mit einem feineren Detaillierungsgrad ein Maschinenbelegungsplan erstellt.17 Abschließend folgt die segmentspeziﬁsche Feinplanung und -steuerung. Hier werden die einzelnen Arbeitsgänge unmittelbar vorbereitet und veranlasst.18

12 13 14 15 16 17 18

Zum Begriff des linearen Optimierungsmodells siehe u. a. Scholl (2008), S. 37f. Vgl. Drexl et al. (1994), S. 1032f. Der Planungshorizont beträgt ca. vier bis 12 Wochen, unterteilt in Tage oder Schichten (vgl. Drexl et al. (1994), S. 1034). Vgl. Günther und Tempelmeier (2007), S. 195. Vgl. Drexl et al. (1994), S. 1040. Vgl. Drexl et al. (1994), S. 1037. Vgl. Drexl et al. (1994), S. 1035.

6

2 Einordnung und Klassiﬁzierung von Problemen der Losgrößenplanung

2.2 Bedeutung der Losgrößenplanung in AdvancedPlanning-Systemen Das vorgestellte Konzept der kapazitätsorientierten PPS stellt eine methodisch anspruchsvolle Weiterentwicklung der in der betrieblichen Praxis häuﬁg eingesetzten konventionellen PPS-Systeme dar.19 Letztere folgen einem phasenbezogenen Sukzessivplanungskonzept basierend auf dem in der Literatur verwendeten Material Requirements Planning (MRP) sowie auf dessen Erweiterung, dem Manufacturing Resource Planning (MRP II).20 Diese konventionellen PPS-Systeme sind Bestandteil der in der betrieblichen Praxis eingesetzten computergestützten Informationsund Planungssysteme, den sog. Enterprise-Resource-Planning-Systemen (ERPSystem).21 Das Vorgehen bei der Produktionsplanung konventioneller PPS-Systeme wird in der Literatur von zahlreichen Autoren kritisiert.22 Bei diesen Planungssystemen werden die begrenzten Maschinenkapazitäten in fast allen Planungsphasen vernachlässigt. Dies führt zu unzulässigen Produktionsplänen sowie zu erhöhten Zwischenlagerbeständen. Darüber hinaus werden die Produktionsauftragsgrößen isoliert für jedes End- oder Vorprodukt bestimmt, ohne die Abhängigkeiten der Produkte untereinander zu beachten. Diese Abhängigkeiten bestehen aufgrund mehrstuﬁger Erzeugnisstrukturen sowie der Konkurrenz der Erzeugnisse um die knappen Ressourcen.23 Außerdem werden die speziﬁschen Planungsprobleme der Produktionstypen in den unterschiedlichen Produktionssegmenten nicht berücksichtigt.24 Diese Schwächen bei der Entscheidungsunterstützung durch konventionelle PPS-Systeme und der Fortschritt im Bereich der Informations- und Kommunikationstechnologien haben zur Entwicklung der sog. Advanced-Planning-Systeme (APS)25 geführt. Für den Bereich der Produktionsplanung stellen die APS eine planerische Erweiterung der bestehenden ERP-Systeme in Richtung der kapazitätsorientierten PPS dar, bei der in den einzelnen Planungsstufen fast durchgängig beschränkte Kapazitäten berücksichtigt werden.26 19 20 21 22 23 24 25 26

Vgl. Günther und Tempelmeier (2007), S. 311. Einen umfassenden Überblick über den Aufbau konventioneller PPS-Systeme geben u. a. Drexl et al. (1994), Küpper und Helber (2004) sowie Günther und Tempelmeier (2007). Siehe Günther und Tempelmeier (2007), S. 309 zum Begriff des Enterprise-Resource-PlanningSystems. Vgl. u. a. Adam (1988), Fleischmann (1988) und Drexl et al. (1994). Vgl. Tempelmeier (1995), S. 3. Vgl. Drexl et al. (1994), S. 1029. Zum Begriff des Advanced-Planning-Systems siehe u. a. Stadtler und Kilger (2008). Vgl. Günther (2005), S. 6.

2.2 Bedeutung der Losgrößenplanung in Advanced-Planning-Systemen

7

Die APS folgen einem hierarchischen Planungskonzept, bei dem einzelne Module in ein Sukzessivplanungssystem eingebettet sind. Die Ergebnisse der übergeordneten Module stellen die Vorgaben für die untergeordneten Module dar. Dazu ist bei den übergeordneten Modulen eine Aggregation der Daten notwendig. Mit den einzelnen Hierarchiestufen nimmt die Aggregation der Daten ab und der Detaillierungsgrad zu.27 Bezogen auf die Fristigkeit des Planungshorizonts lassen sich die Module eines Advanced-Planning-Systems in eine langfristige (strategische), eine mittelfristige (taktische) und eine kurzfristige (operative) Ebene unterteilen. Darüber hinaus erfolgt eine phasenorientierte Zuordnung zu den Unternehmensbereichen Beschaffung, Produktion, Distribution und Vertrieb.28 In den Modulen werden größtenteils quantitative Optimierungsmodelle zur Entscheidungsunterstützung verwendet. Diese Modelle werden mit Hilfe exakter oder heuristischer Verfahren gelöst.29 Der Aufbau der APS verschiedener Anbieter folgt weitestgehend einer einheitlichen Architektur, die sich anhand einer Planungsmatrix verdeutlichen lässt, wie in Abbildung 2.2 dargestellt. Beschaffung

langfristig

mittelfristig

Produktion

Distribution

Vertrieb

Strategische Netzwerkgestaltung

Hauptproduktionsprogrammplanung Bedarfsplanung

kurzfristig

Materialbedarfsplanung

Produktionsplanung Ressourceneinsatzplanung

Distributions-/ Transportplanung

Globale Verfügbarkeitsprüfung

Abb. 2.2: Planungsmatrix von Advanced-Planning-Systemen (vgl. Rohde et al. (2000), S. 10 und Günther (2005), S. 10)

27 28 29

Vgl. Fleischmann und Meyr (2003), S. 476. Vgl. Corsten und Gössinger (2008), S. 163. Vgl. Günther (2005), S. 8ff.

8

2 Einordnung und Klassiﬁzierung von Problemen der Losgrößenplanung

Im Folgenden werden die einzelnen Module eines APS kurz erläutert:30 Das Modul Strategische Netzwerkgestaltung31 ist auf einen langfristigen Planungszeitraum ausgerichtet und beinhaltet Verfahren zur Konﬁguration der gesamten Wertschöpfungskette. Zu den Aufgaben der strategischen Netzwerkgestaltung zählen beispielsweise die Errichtung bzw. Schließung von Standorten, der Aufund Abbau von Produktions- und Lagerkapazitäten sowie Entscheidungen über die Fertigungstiefe.32 Bei der Bedarfsplanung werden mit Hilfe von statistischen Verfahren zukünftige Absatzmengen prognostiziert.33 Die Prognose erfolgt auf der Basis vergangener Nachfragedaten unter Berücksichtigung bereits vorliegender Kundenaufträge.34 Die aufeinander abgestimmten Beschaffungs-, Produktions- und Distributionsmengen werden zentral im Modul der mittelfristigen Hauptproduktionsprogrammplanung ermittelt.35 Dazu werden unter der Zielsetzung der Gesamtkostenminimierung die beschränkten Kapazitäten berücksichtigt. Als Input dienen die Vorgaben der strategischen Netzwerkgestaltung sowie die aggregierten Nachfragedaten für die Produkttypen aus dem Modul Bedarfsplanung.36 Auf die Integration eines eigenständigen Moduls der Materialbedarfsplanung wird häuﬁg in APS verzichtet. Stattdessen wird weitestgehend auf die in den ERPSystemen verankerte Materialbedarfsrechnung konventioneller PPS-Systeme zurückgegriffen. Für den Datenaustausch wird die bestehende Schnittstelle zwischen dem APS und dem ERP-System verwendet.37 Bei der Produktionsplanung werden Produktionspläne aus den Vorgaben der Hauptproduktionsprogrammplanung erstellt. Diese liefern die Vorgabe für die anschließende Ressourceneinsatzplanung. Bei dieser werden die mengen- und terminmäßig gegebenen Aufträge den Ressourcen zugeordnet und die zeitliche Abfolge der Aufträge bestimmt.38

30 31

32 33 34 35 36 37 38

Einen umfassenden Überblick über APS und die dort integrierten Module geben u. a. Fleischmann und Meyr (2003), Günther (2005), Stadtler (2005) sowie Stadtler und Kilger (2008). In der Literatur wird die Strategische Netzwerkgestaltung häuﬁg auch als Netzwerkplanung bezeichnet (vgl. u. a. Fleischmann und Meyr (2003), S. 481 sowie Corsten und Gössinger (2008), S. 163f.). Vgl. Stadtler (2005), S. 580. Einen umfassenden Überblick über das Modul Strategische Netzwerkgestaltung geben u. a. Goetschalcks und Fleischmann (2008). Vgl. Rohde et al. (2000), S. 11. Vgl. Fleischmann und Meyr (2003), S. 487ff. U. a. geben Kilger und Wagner (2008) einen umfangreichen Überblick über das Modul Bedarfsplanung. Vgl. Fleischmann und Meyr (2003), S. 481. Vgl. Rohde und Wagner (2008), S. 161ff. Vgl. Yang (2005), S. 72 und Tempelmeier (2008), S. 417f. Vgl. Fleischmann und Meyr (2003), S. 497ff.

2.2 Bedeutung der Losgrößenplanung in Advanced-Planning-Systemen

9

Die Aufgabe des Moduls Distributions- und Transportplanung beinhaltet die zeitliche Abstimmung der Distributions- und Transportmengen für das gesamte Distributionsnetzwerk.39 Das Modul Globale Verfügbarkeitsprüfung liefert zuverlässige Lieferterminzusagen auf Kundenanfragen. Ferner beinhaltet dieses Modul die Möglichkeit, Kundenaufträge anzunehmen und zu bearbeiten.40 In den APS fehlt die Unterstützung der Losgrößenplanung noch weitestgehend. Die Losgrößenplanung ist eigentlich im Modul der Produktionsplanung als Bindeglied zwischen der Hauptproduktionsprogramm- und Ressourceneinsatzplanung vorgesehen. Sobald Rüstzeiten eine Losbildung erfordern, wird dies im praktischen Einsatz von APS zu erheblichen Problemen führen. Somit wird auch bei den APS „auf eine wichtige modellbasierte Verbindung zwischen den [beiden] Planungsmodulen“41 verzichtet. Darüber hinaus ist kritisch anzumerken, dass bei den meisten APS-Anbietern kein eigenständiges Modul zur Materialbedarfsrechnung vorgesehen ist. Für die Materialbedarfsrechnung werden stattdessen die Funktionen der konventionellen PPS-Systeme verwendet, die in den ERP-Systemen integriert sind. Aus diesem Grund besteht auch hier die Schwierigkeit darin, die Materialbedarfsplanung mit der Losgrößenplanung kapazitätsorientiert abzustimmen.42 Bei einigen APS-Anbietern besteht die Möglichkeit, die Losgrößenplanung in das Modul der Hauptproduktionsprogrammplanung zu integrieren. Aus den ohne Losgrößenaspekte relativ einfach zu lösenden linearen Optimierungsmodellen für die Hauptproduktionsprogrammplanung entstehen auf diesem Weg jedoch sehr schnell kaum lösbare gemischt-ganzzahlige Optimierungsmodelle.43 In Modulen zur Ressourceneinsatzplanung ist in wenigen Fällen neben heuristischen Lösungsverfahren für Einproduktlosgrößenprobleme auch die Bestimmung des Sekundärbedarfs integriert.44 In APS fehlen in der Regel Verfahren zur Lösung dynamischer mehrstuﬁger Losgrößenprobleme.45 Im Bereich der Losgrößenplanung besteht somit bei den APS noch deutlicher Verbesserungsbedarf.

39 40 41 42 43 44 45

Vgl. Fleischmann (2008), S. 231ff. Vgl. Kilger und Meyr (2008), S. 181ff. Günther und Tempelmeier (2007), S. 349f. Vgl. Günther und Tempelmeier (2007), S. 338. Vgl. Tempelmeier (2008), S. 417f. Vgl. Tempelmeier (2008), S. 418. Vgl. Tempelmeier (2008), S. 423.

10

2 Einordnung und Klassiﬁzierung von Problemen der Losgrößenplanung

2.3 Klassiﬁzierung von Modellen für die Losgrößenplanung Die in der Produktionsplanung vorzuﬁndenden Losgrößenprobleme sind abhängig vom Organisationstyp der Fertigung sowie vom unterstellten Produktionsprozess. Für die Entscheidungsunterstützung bei derartigen Entscheidungsproblemen46 bieten sich quantitative Optimierungsmodelle47 an, bei denen Handlungsalternativen mit Hilfe einer Zielfunktion bewertet und ausgewählt werden können. Darüber hinaus können auch einzuhaltende Restriktionen berücksichtigt werden.48 Diese Losgrößenmodelle können nach den Annahmen bezüglich des Informationsgrads, der Zeitstruktur, der Produkte und der Maschinen klassiﬁziert werden.49 In Abbildung 2.3 ist eine Klassiﬁzierung für Losgrößenmodelle dargestellt. Auf der obersten Ebene wird zwischen stochastischen und deterministischen Losgrößenmodellen unterschieden. Bei stochastischen Modellen werden Unsicherheiten vor allem bei der Nachfrage sowie bei den Kapazitäten aufgrund von Maschinenausfällen berücksichtigt.50 Bei deterministischen Modellen werden dagegen die Modellparameter vereinfachend als bekannt angenommen. Durch die Berücksichtigung von Sicherheitsbeständen und Puffern wird versucht, dem stochastischen Einﬂuss weitestgehend entgegenzuwirken.51 In der vorliegenden Arbeit werden ausschließlich deterministische Modelle betrachtet. Dabei werden die Parameter für die Nachfrage und die Kapazitäten aus der vorgelagerten Hauptproduktionsprogrammplanung als mit Sicherheit bekannt vorausgesetzt. Bezogen auf die Zeitstruktur wird zwischen statischen und dynamischen Losgrößenproblemen unterschieden. Bei statischen Losgrößenmodellen ist die Nachfrage im Zeitablauf konstant. Aus diesem Grund wird bei diesen Modellen ein unendlicher Planungshorizont und somit auch ein unbegrenzt fortgesetzter Betriebsablauf unterstellt. Gleichzeitig wird eine kontinuierliche Zeitachse angenommen. Die Losauﬂage kann zu jedem beliebigen Zeitpunkt erfolgen.52 Bei dynamischen Losgrößenmodellen sind einige Parameter zeitlichen Schwankungen ausgesetzt. In der Regel wird die Nachfrage als schwankend angesehen.53 In diesen Modellen wird ein endlicher Planungszeitraum unterstellt, der in T dis46 47 48 49 50 51 52 53

Zum Begriff des Entscheidungsproblems vgl. u. a. Scholl (2008), S. 36. Zum Begriff des quantitativen Optimierungsmodells vgl. u. a. Scholl (2008), S. 36. Vgl. Scholl (2008), S. 36. Vgl. u. a. Derstroff (1995), Domschke et al. (1997), Karimi et al. (2003) und Sürie (2005). Vgl. Stammen-Hegener (2002), S. 13. Vgl. Derstroff (1995), S. 22. Vgl. Schneider et al. (2005), S. 49. Vgl. Corsten und Gössinger (2008), S. 227.

2.3 Klassiﬁzierung von Modellen für die Losgrößenplanung

11

Losgrößenmodelle

deterministisch

statisch

stochastisch

dynamisch

Einprodukt

Mehrprodukt

einstufig

mehrstufig

Einmaschinen

Mehrmaschinen

ohne Kapazitätsbeschränkungen

mit Kapazitätsbeschränkungen

Abb. 2.3: Klassiﬁzierung von Losgrößenmodellen, (in Anlehnung an Domschke et al. (1997), S. 74)

krete Planungsperioden54 unterteilt wird. Vereinfachend ist daher eine Losauﬂage nur zu diskreten Zeitpunkten möglich.55 Im weiteren Verlauf der Arbeit liegt der Schwerpunkt auf dynamischen Losgrößenproblemen. Auf der nachfolgenden Ebene wird bezogen auf die Produktanzahl zwischen Einprodukt- und Mehrprodukt-Losgrößenproblemen unterschieden.56 Bei den Mehrproduktproblemen kann zwischen ein- und mehrstuﬁgen Erzeugnisstrukturen differenziert werden. Eine einstuﬁge Erzeugnisstruktur wird zugrunde gelegt, wenn keine Abhängigkeiten zwischen Vorgänger- und Nachfolgerprodukten existieren oder die bestehenden Abhängigkeiten unbeachtet bleiben. In diesem Fall 54

In der englischsprachigen Literatur werden Perioden auch als Buckets bezeichnet (vgl. Eppen und Martin (1987), S. 831f.). 55 Vgl. Stammen-Hegener (2002), S. 13. 56 Vgl. Schneider et al. (2005), S. 49.

12

2 Einordnung und Klassiﬁzierung von Problemen der Losgrößenplanung

werden nur die (End-)Produkte auf einer Fertigungsstufe betrachtet. Eine mehrstuﬁge Erzeugnisstruktur liegt vor, wenn die bestehenden Vorgänger-NachfolgerBeziehungen explizit berücksichtigt werden müssen.57 In der vorliegenden Arbeit werden ausschließlich mehrstuﬁge Losgrößenprobleme betrachtet. Bei einer mehrstuﬁgen Erzeugnisstruktur kann zwischen vier Vergenztypen der Produktion unterschieden werden.58 In Abbildung 2.4 sind die vier Typen von Erzeugnisstrukturen dargestellt. Höchstens einen direkten Vorgänger und einen direkten Nachfolger besitzt ein Produkt einer seriellen Erzeugnisstruktur. Bei einer konvergierenden Erzeugnisstruktur ist dagegen nur die Anzahl der direkten Nachfolger für ein Produkt auf höchstens ein Produkt beschränkt, jedes Produkt kann aber beliebig viele direkte Vorgänger besitzen. Ein Produkt einer divergierenden Erzeugnisstruktur besitzt maximal einen direkten Vorgänger, während die Anzahl der direkten Nachfolger unbeschränkt ist. Keine Einschränkungen bezüglich der Anzahl direkter Nachfolger und Vorgänger besteht für die Produkte einer generellen Erzeugnisstruktur.59

Serielle Erzeugnisstruktur

Konvergierende Erzeugnisstruktur

Divergierende Erzeugnisstruktur

Generelle Erzeugnisstruktur

Abb. 2.4: Grundformen der Erzeugnisstrukturen

Im Hinblick auf die Anzahl der Ressourcen kann zwischen Ein- und Mehrmaschinenproblemen unterschieden werden. Wenn die Produkte bei Mehrmaschinenproblemen jeweils nur auf einer Maschine gefertigt werden können, so lassen sich diese eindeutig einer Maschine zuordnen. Beim Einsatz paralleler Maschinen ist

57 58 59

Vgl. Meyr (1999), S. 47. Vgl. z. B. Helber (1994), S. 21 und Tempelmeier (2008), S. 103f. Vgl. Sürie (2005), S. 11f.

2.3 Klassiﬁzierung von Modellen für die Losgrößenplanung

13

eine eindeutige Zuordnung der Produkte zu den Maschinen nicht möglich.60 Im weiteren Verlauf der Arbeit werden nur noch Mehrmaschinenprobleme betrachtet. Bei Mehrmaschinenproblemen mit einer mehrstuﬁgen Erzeugnisstruktur liegt eine offene Losweitergabe vor, wenn eine Weitergabe einzelner Werkstücke bereits während der Bearbeitung möglich ist. Bei einer geschlossenen Losweitergabe kann das Los nur geschlossen an die nachfolgende Fertigungsstufe zur Weiterverarbeitung weitergegeben werden.61 Bei einer geschlossenen Losweitergabe wird daher häuﬁg in Modellformulierungen für mehrstuﬁge Losgrößenprobleme mit einem diskreten Zeitraster und mehreren Maschinen eine Vorlaufverschiebung für die Produkte betrachtet. Mit dieser Vorlaufverschiebung wird sichergestellt, dass die Vorprodukte für die Fertigung der nachfolgenden Produkte rechtzeitig verfügbar sind.62 Bei Losgrößenproblemen kann die Kapazität der Ressourcen berücksichtigt werden, wenn diese einen Engpass bei der Fertigung darstellt. Die verfügbare Kapazität stellt eine Obergrenze für die maximale Nutzungszeit der Ressource dar. Normalerweise ist die verfügbare Kapazität fest vorgegeben, diese lässt sich aber ggf. durch den Einsatz von Überstunden erweitern.63 Für die Herstellung der Produkte werden Nutzungszeiten auf den Ressourcen berücksichtigt, welche die vorhandene Kapazität verringern. Es wird zwischen den Bearbeitungs- und den Rüstzeiten unterschieden. Als Bearbeitungszeit wird die Zeitspanne bezeichnet, die für die Herstellung einer Mengeneinheit (ME) eines Produkts erforderlich ist. Bei einem Rüstvorgang von einem Produkt auf ein anderes können dagegen Rüstzeiten auftreten. Die Rüstzeit entspricht in der Regel der Zeitspanne für die Durchführung vorbereitender Maßnahmen zur Fertigung des nachfolgenden Produkts. Dazu zählen beispielsweise Werkzeugwechsel, Reinigungs- oder Justierungsprozesse.64 Im weiteren Verlauf der Arbeit werden nur Losgrößenprobleme mit Kapazitätsbeschränkungen betrachtet. Bei der Losgrößenplanung wird eine Minimierung der anfallenden Kosten angestrebt. Bei den Kosten kann u. a. zwischen Lagerhaltungs-, Rüst-, Produktionsund Überstundenkosten unterschieden werden.65 Die Lagerhaltungskosten für ein Produkt lassen sich vom Lagerbestand am Ende einer Periode, bewertet mit einem Lagerkostensatz, ableiten. Der Lagerkostensatz

60 61 62 63 64 65

Vgl. Özdamar und Barbarosoglu (1999), S. 812f. sowie Quadt und Kuhn (2008), S. 62. Vgl. Meyr (1999), S. 46. Vgl. Derstroff (1995), S. 27f. sowie das Beispiel im Abschnitt 3.2 auf S. 21. Vgl. Kuik et al. (1993), S. 7. Vgl. Meyr (1999), S. 47. Vgl. z. B. Tempelmeier (2008), S. 132 und Domschke et al. (1997), S. 71f.

14

2 Einordnung und Klassiﬁzierung von Problemen der Losgrößenplanung

besteht in der Regel hauptsächlich aus den Kapitalbindungskosten für ein Werkstück.66 Bei einem Rüstvorgang von einem Produkt auf ein anderes entstehen von der Produktionsmenge unabhängige Rüstkosten. Diese bestehen zum einen aus Kosten für den Verbrauch von Einsatzfaktoren, z. B. Schmierstoffen oder Reinigungsmitteln. Zum anderen können die Rüstkosten schwer schätzbare Opportunitätskosten enthalten, wenn Rüstzeiten innerhalb der Kapazitätsrestriktionen nicht betrachtet werden. Dies ist allerdings nur im Falle knapper Ressourcen notwendig. Mit Hilfe der Opportunitätskosten wird der durch einen Rüstvorgang entgangene Nutzen bewertet. Somit korrespondieren die Opportunitätskosten mit dem entgangenen Deckungsbeitrag der Produkte, die aufgrund mangelnder Kapazität bedingt durch den Rüstvorgang nicht gefertigt werden konnten.67 In einigen Fällen enthalten die Rüstkosten auch Anlaufkosten. Diese können zu Beginn der Fertigung nach einem Produktwechsel anfallen. Dies ist z. B. dann der Fall, wenn die Einstellungen einer Ressource noch korrigiert werden müssen und diese Einstellungen ggf. zur Produktion von Ausschuss führen.68 Zusätzlich können variable Produktionskosten betrachtet werden.69 Die Produktionskosten müssen innerhalb der Losgrößenplanung nur dann berücksichtigt werden, wenn sich diese im Zeitablauf verändern oder abhängig von der Losgröße bzw. von der ausgewählten Maschine sind. Andernfalls sind diese konstant und somit nicht entscheidungsrelevant.70

2.4 Übersicht über Modellformulierungen für dynamische mehrstuﬁge Losgrößenprobleme mit Kapazitätsrestriktionen Bereits zu Beginn des letzten Jahrhunderts formulierte Harris unter der Fragestellung „How many parts to make at once?“ ein statisches Losgrößenproblem bei konstanter Nachfrage.71 Eine erste dynamische Modellformulierung stammt von Wagner und Whitin (1958). Dieses einstuﬁge Losgrößenproblem ohne Kapazitäts-

66 67 68 69 70 71

Darüber hinaus können sonstige mengenabhängige Kostenzuschläge, z. B. in Form von Steuern oder Versicherungsprämien, auftreten (vgl. Derstroff (1995), S. 23). Vgl. Tempelmeier (2008), S. 132. Vgl. Zäpfel und Altmann (1978), S. 529. Vgl. Zäpfel und Altmann (1978), S. 529. Vgl. Schneider et al. (2005), S. 47. Vgl. Harris (1913).

2.4 Übersicht über Modellformulierungen

15

restriktionen (SLULSP, engl.: Single-Level Uncapacitated Lotsizing Problem)72 bildet die Grundlagen für zahlreiche weitere Modellformulierungen. Eine Erweiterung des SLULSP stellt das (einstuﬁge) Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen (CLSP, engl.: (Single-Level) Capacitated Lotsizing Problem)73 dar. Die im Folgenden vorgestellten Losgrößenmodelle basieren auf dieser Modellformulierung. Die Abbildung 2.5 gibt eine detaillierte Übersicht über Modellformulierungen für dynamische Losgrößenprobleme mit Kapazitätsrestriktionen. Mehrstufige kapazitierte Losgrößenmodelle

Small-BucketModelle

Big-BucketModelle

mit Reihenfolge

MLDLSP, MLPLSP

MLCLSD, MLGLSP

ohne Reihenfolge

ohne Rüstübertragung

mit Rüstübertragung

MLCLSP

MLCLSP-L

Abb. 2.5: Übersicht über Modellformulierungen für mehrstuﬁge Losgrößenmodelle mit Kapazitätsrestriktionen (vgl. Stammen-Hegener (2002), S. 21)

Bei dynamischen Losgrößenmodellen mit einem endlichen Planungszeitraum wird zwischen Small-Bucket- und Big-Bucket-Modellen unterschieden.74 Bei Small-Bucket-Modellen kann in jeder Periode höchstens ein Rüstvorgang erfolgen. Dies bedeutet, dass in einer Periode maximal zwei Produktarten gefertigt werden können.75 Aufgrund dieser Einschränkung wird eine relativ kurze Peri72

73 74 75

Das SLULSP wird von Wagner und Whitin (1958) eingeführt. Aus diesem Grund wird das SLULSP in der Literatur häuﬁg auch als Wagner-Whitin-Problem bezeichnet (vgl. Tempelmeier (2008), S. 138f.). Vgl. Karmarkar und Schrage (1985). Vgl. Karimi et al. (2003), S. 366. Vgl. Tempelmeier (2008), S. 182f.

16

2 Einordnung und Klassiﬁzierung von Problemen der Losgrößenplanung

odenlänge unterstellt. Die Perioden werden daher auch als Mikroperioden bezeichnet. Bei den Big-Bucket-Modellen ist dagegen die Anzahl der zu fertigenden Produktarten innerhalb einer Periode nur durch die Produktanzahl beschränkt. Analog werden die Perioden auch als Makroperioden bezeichnet, da die Periodenlänge im Vergleich zu den Small-Bucket-Modellen deutlich länger ist.76 Auf der anschließenden Ebene wird hinsichtlich der Berücksichtigung der Reihenfolgeplanung differenziert. Aufgrund der Komplexität wird bei Losgrößenmodellen häuﬁg auf eine simultane Maschinenbelegungsplanung verzichtet. Bei den Small-Bucket-Modellen wird die Produktionsreihenfolge durch die detaillierte Modellierung der Zeit modellendogen bestimmt, da in jeder Mikroperiode jeweils immer nur für maximal eine Produktart gerüstet werden kann.77 Die Bestimmung der Reihenfolge wird bei Big-Bucket-Modellen häuﬁg erst in einem nachfolgenden Planungsschritt durchgeführt. Lediglich für den Fall reihenfolgeabhängiger Rüstvorgänge wird die Losgrößen- und Maschinenbelegungsplanung simultan durchgeführt.78 In diesem Fall sind die Rüstzeiten und -kosten für ein Produkt abhängig von dem zuvor gefertigten Produkt. Darüber hinaus kann bei den Big-Bucket-Modellen hinsichtlich der Möglichkeit der Rüstübertragung differenziert werden. Einige Modellformulierungen schließen den Erhalt eines Rüstzustands auf einer Ressource über Periodengrenzen hinweg aus. In diesem Fall kehrt die Maschine am Ende einer Periode in einen Nullzustand zurück. Zu Beginn der nachfolgenden Periode ist ein erneuter Rüstvorgang erforderlich, auch wenn ein Produkt in zwei nachfolgenden Perioden gefertigt wird.79 Bei anderen Modellformulierungen kann der Rüstzustand für ein Produkt auf einer Maschine über die Periodengrenzen hinaus übertragen werden. Die Fertigung dieses Produkts kann ohne einen zusätzlichen Rüstvorgang in der nachfolgenden Periode fortgesetzt werden.80 In diesem Fall ist zwischen der einfachen und der mehrfachen Rüstübertragung zu unterscheiden. Bei der einfachen Rüstübertragung besteht die Möglichkeit, auf einer Ressource den Rüstzustand für ein Produkt bis zum Beginn einer nachfolgenden Periode aufrecht zu erhalten.81 Wenn ein Rüstzustand in eine nachfolgende Periode übertragen wird und kein weiterer Rüstvorgang für ein anderes Produkt in dieser Periode erfolgt, geht der übertragene Rüstzustand am Ende dieser Periode verloren.82 Aus hygienischen Gründen kann es z. B. bei der Produktion verderblicher Güter durchaus sinnvoll sein, ledig76 77 78 79 80 81 82

Vgl. Eppen und Martin (1987), S. 832 sowie Meyr (1999), S. 52. Vgl. Tempelmeier (2008), S. 182ff. Vgl. Quadt und Kuhn (2008), S. 62. Vgl. Meyr (1999), S. 48. Vgl. Karimi et al. (2003), S. 367. Vgl. Quadt und Kuhn (2008), S. 62. Vgl. Haase (1998), S. 130f. sowie Tempelmeier und Buschkühl (2009), S. 387f.

2.4 Übersicht über Modellformulierungen

17

lich eine einfache Rüstübertragung zuzulassen. Der Rüstzustand für ein Produkt kann dagegen bei der mehrfachen Rüstübertragung über mehrere Perioden erhalten bleiben, wenn zwischenzeitlich nicht auf ein anderes Produkt gerüstet wird.83 Zu den Small-Bucket-Modellen mit Mikroperioden gehören im mehrstuﬁgen Fall das Multi-Level Proportional Lotsizing Problem (MLPLSP)84 sowie das Multi-Level Discrete Lotsizing and Scheduling Problem (MLDLSP).85 Sowohl beim MLDLSP als auch beim MLPLSP besteht die Möglichkeit der Rüstübertragung. Bei den Big-Bucket-Modellen wird zwischen Modellformulierungen mit bzw. ohne integrierter Reihenfolgeplanung unterschieden. Bei den mehrstuﬁgen Problemen mit Reihenfolgeplanung stellt das Multi-Level General Lotsizing and Scheduling Problem (MLGLSP)86 einen Sonderfall dar. Dieses Modell kann als hybrides Modell aufgefasst werden, da Makroperioden betrachtet werden, die jedoch intern in Mikroperioden aufgeteilt werden. Ein reines Big-Bucket-Modell mit Reihenfolgeplanung stellt hingegen das mehrstuﬁge Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen und reihenfolgeabhängigen Rüstkosten (MLCLSD, engl.: MultiLevel Capacitated Lotsizing Problem with Sequence Dependent Setup Costs)87 dar. Bei dieser Modellformulierung werden reihenfolgeabhängige Rüstzeiten betrachtet. Der Erhalt des Rüstzustands ist jeweils in beiden Modellformulierungen integriert. Beim mehrstuﬁgen Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen (MLCLSP)88 geht der Rüstzustand am Ende einer Periode verloren. Die Möglichkeit der Rüstübertragung wird beim mehrstuﬁgen Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen und Erhalt des Rüstzustands (MLCLSP-L, engl.: MultiLevel Capacitated Lotsizing Problem with Linked Lotsizes)89 berücksichtigt. Die Small-Bucket-Modelle werden vorwiegend für den Bereich der Mehrprodukt-Fließproduktion verwendet. Aufgrund der modellendogenen Bestimmung der Reihenfolge wirken sich unvorhergesehene Planänderungen im Produktionsablauf jedoch erheblich auf den erstellten Produktionsplan aus,

83 84 85 86 87 88 89

Vgl. Sürie und Stadtler (2003), S. 1040ff. Vgl. Kimms (1996a, 1997). Vgl. Kimms (1996b). Vgl. Stammen-Hegener (2002). Vgl. Grünert (1998) sowie Abschnitt 3.4 auf S. 36ff. Vgl. Billington et al. (1983) sowie Abschnitt 3.2 auf S. 19ff. Vgl. Sürie und Stadtler (2003) sowie Abschnitt 3.3 auf S. 26ff. Anstelle von Linked Lotsizes wird in der englischsprachigen Literatur häuﬁg auch die Erweiterung Setup Carry-over verwendet (vgl. Gopalakrishnan et al. (1995, 2001) sowie Sox und Gao (1999)).

18

2 Einordnung und Klassiﬁzierung von Problemen der Losgrößenplanung

sodass in den meisten Fällen eine Neuplanung unausweichlich ist. Daher sind die Modelle für die Werkstattfertigung eher ungeeignet.90 Bei den Big-Bucket-Modellen werden nur die Produktionsmengen für die einzelnen Perioden ermittelt. Die Reihenfolge der Bearbeitung der Produktionsaufträge auf den Ressourcen innerhalb der Perioden wird erst in einem nachfolgenden Planungsschritt bestimmt. Der Vorteil bei diesen Modellformulierungen liegt darin, dass die Reihenfolge der Produkte in einer Periode zunächst ﬂexibel ist und somit die ermittelten Produktionspläne robuster gegenüber Veränderungen sind. In solchen Modellen ist es möglich, einen Teil der Produktionskapazität für spätere Planänderungen aufgrund von Eilaufträgen oder Maschinenausfällen zu reservieren.91 Im Folgenden liegt der Schwerpunkt auf mehrstuﬁgen Big-BucketModellen, die für die besonders schwer zu beherrschenden Werkstattproduktionssysteme benötigt werden.

90 91

Vgl. Tempelmeier (2008), S. 188. Vgl. Helber (1994), S. 166.

3 Modellformulierungen für mehrstuﬁge Losgrößenprobleme mit Kapazitätsrestriktionen 3.1 Überblick Der Fokus dieses Kapitels liegt auf Modellformulierungen für mehrstuﬁge Losgrößenprobleme mit Kapazitätsrestriktionen. Zunächst werden im Abschnitt 3.2 Modellannahmen sowie eine mathematische Standardmodellformulierung für das mehrstuﬁge Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen (MLCLSP) basierend auf Produktions- und Lagermengen eingeführt. Eine Erweiterung des MLCLSP um die Möglichkeit des Erhalts des Rüstzustands in nachfolgende Perioden (MLCLSP-L) wird im Abschnitt 3.3 beschrieben. Im Abschnitt 3.3.1 wird die Standardmodellformulierung für das MLCLSP um die Möglichkeit der einfachen Rüstübertragung erweitert. Darüber hinaus berücksichtigt eine zweite Modellformulierung den Fall der mehrfachen Rüstübertragung im Abschnitt 3.3.2. Das mehrstuﬁge Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen und reihenfolgeabhängigen Rüstzeiten und -kosten (MLCLSD) wird im Abschnitt 3.4 eingeführt. Den Abschluss bilden Anmerkungen zur Komplexität des MLCLSP im Abschnitt 3.5.

3.2 Ausgangspunkt: Das mehrstuﬁge Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen (MLCLSP) 3.2.1 Modellannahmen Beim MLCLSP wird die Planung von Produktionsmengen (Losgrößen) für mehrere Produktarten über einen endlichen Planungszeitraum betrachtet.92 Dabei werden die folgenden Modellannahmen unterstellt:93 Der Planungszeitraum ist in T diskrete Perioden (t = 1, . . . , T ) unterteilt. Die Herstellung der K Produkte 92 93

Vgl. z. B. Billington et al. (1983), S. 1131 und Stadtler (2003), S. 488ff. Vgl. z. B. Küpper und Helber (2004), S. 193ff. sowie Tempelmeier (2008), S. 229ff.

20

3 Modellformulierungen für mehrstuﬁge Losgrößenprobleme

(k = 1, . . . , K) erfolgt auf M nichtidentischen Ressourcen (m = 1, . . . , M) mit begrenzten Kapazitäten. Eine oder mehrere Maschineneinheiten, z. B. gleichartige Maschinen oder Arbeitskräfte, werden zu einer Ressource aggregiert. Für jedes Produkt k existiert eine eindeutige Zuordnung zu einer Ressource m. In der Menge Km sind die Produkte k enthalten, die auf Maschine m gefertigt werden. Die Fertigung von Produkt k ∈ Km erfolgt ausschließlich auf dieser Ressource m. Daher kann ein Produkt k auch als Ergebnis eines abgeschlossenen Arbeitsgangs auf einer Ressource angesehen werden. In Periode t steht eine Kapazität cpmt auf Ressource m zur Verfügung. Diese kann durch den Einsatz von Überstunden in jeder Periode erhöht werden. Der Einsatz von Überstunden wird mit Kosten ocm je Zeiteinheit (ZE) bewertet.94 Über die Normalkapazität gibt es bereits eine übergeordnete Entscheidung. Daher können die für die Normalkapazität erforderlichen Kosten als Fixkosten betrachtet werden, die somit im hier betrachteten Entscheidungsfeld nicht entscheidungsrelevant sind. Für die Herstellung einer Mengeneinheit (ME) von Produkt k wird eine Bearbeitungszeit t pk berücksichtigt. Für die Fertigung von Produkt k in Periode t ist ein Rüstvorgang erforderlich, der unabhängig von der Produktionsmenge ﬁxe Rüstkosten sck verursacht und eine Rüstzeit tsk auf der Ressource erfordert.95 Die anfallenden Rüstzeiten und -kosten sind unabhängig von der Reihenfolge der Fertigung innerhalb der Periode. Ein Rüstzustand für das Produkt k in Periode t geht am Ende der Periode t verloren. Somit ist ein Erhalt des Rüstzustands über die Periodengrenze hinaus beim MLCLSP auch dann nicht möglich, wenn ein Produkt k in zwei aufeinanderfolgenden Perioden produziert wird. Das MLCLSP gehört zu der Klasse der Big-Bucket-Modelle, da die Anzahl der zu fertigenden Produktarten innerhalb einer Periode nur durch die Produktanzahl beschränkt ist.96 Für Produkt k ist in Periode t ein Primärbedarf dkt gegeben. Dieser kann im Zeitablauf schwanken und ist ohne Fehlmengen in der jeweiligen Periode t zu erfüllen. Um die Nachfrage in späteren Perioden erfüllen zu können, besteht die Möglichkeit, die Produkte zu lagern.97 Für die Lagerung einer ME von Produkt k fallen Lagerkosten hck je Periode an. Die Produktionskosten werden über den gesamten Planungshorizont als konstant angenommen und sind somit nicht entscheidungsrelevant, da die gesamte Nachfrage zu erfüllen ist.98 94 95

96 97 98

Diese Kosten können auch als Strafkosten angesehen werden. Aufgrund der eindeutigen Zuordnung der Produkte auf die Ressourcen kann auf eine zusätzliche Indizierung, bezogen auf die Ressourcen bei den Bearbeitungs-, Rüstzeiten und -kosten, verzichtet werden. Vgl. Abschnitt 2.4 auf S. 14ff. Voraussetzung dafür ist die Lagerfähigkeit der Produkte. Vgl. Abschnitt 2.3 auf S. 14.

3.2 Das mehrstuﬁge Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen

21

Input- und Outputbeziehungen zwischen zwei Erzeugnissen k und i werden durch den Direktbedarfskoefﬁzienten aki dargestellt. Dieser gibt die Anzahl der Mengeneinheiten von Produkt k an, die zur Fertigung einer Einheit seines Nachfolgerprodukts i ∈ Nk benötigt werden. Die Input- und Outputbeziehungen führen zu einem abgeleiteten Sekundärbedarf für die Komponenten. Dieser muss ebenfalls rechtzeitig zur Verfügung stehen, um eine Herstellung der nachgelagerten Produkte zu gewährleisten. Beim MLCLSP wird auf die simultane Bestimmung eines Maschinenbelegungsplans verzichtet. Vielmehr steht die Bestimmung eines zulässigen Produktionsplans im Vordergrund, der sich in einem anschließenden Planungsschritt in einen durchführbaren Maschinenbelegungsplan disaggregieren lässt. Aus diesem Grund wird für jedes Produkt k eine Vorlaufverschiebung vpk berücksichtigt. Somit ist sichergestellt, dass die Komponenten rechtzeitig für die Herstellung nachgelagerter Produkte zur Verfügung stehen.99 Anhand eines Beispiels wird im Folgenden die Problematik aufgezeigt, wenn in Modellen der mehrstuﬁgen Losgrößenplanung keine Vorlaufverschiebung berücksichtigt wird. Das Beispiel basiert auf der in Abbildung 3.1 dargestellten seriellen Erzeugnisstruktur für drei Produkte und zwei Ressourcen. Für die Fertigung einer ME eines übergeordneten Produkts wird jeweils eine ME des jeweiligen Vorprodukts benötigt (a32 = a21 = 1). Die Komponente 3 und das Endprodukt 1 werden auf der Ressource A und das Zwischenprodukt 2 auf der Ressource B gefertigt. Für das Produkt 1 ist in Periode 3 eine Nachfrage von einer ME zu erfüllen. Eine Nachfrage nach Vorprodukten besteht nicht. Die Kapazität der Ressource A reicht in einer Periode aus, um sowohl eine ME von Produkt 1 als auch eine ME von Produkt 3 zu fertigen. Mit der Herstellung einer ME von Produkt 2 ist die Kapazität der Ressource B in einer Periode vollständig aufgebraucht. Für das Beispiel werden zwei Fälle untersucht. Im Fall 1 wird keine Vorlaufverschiebung berücksichtigt (vpk = 0). Im zweiten Fall wird für die Vorprodukte 2 und 3 jeweils eine Vorlaufverschiebung von einer Periode betrachtet (vpk = 1). Im Fall 1 ist der in Abbildung 3.1 dargestellte Produktionsplan bezogen auf die Kapazitätsbeschränkungen zulässig. Die Fertigung der drei Produkte erfolgt in Periode 3, um unnötige Lagerkosten einzusparen. Der ermittelte Produktionsplan lässt sich allerdings nicht in einen zulässigen Maschinenbelegungsplan disaggregieren. Zum einen steht das Vorprodukt 3 nicht rechtzeitig für die Herstellung von Produkt 2 zur Verfügung. Zum anderen kann auch das Produkt 1 noch nicht

99

Vgl. Derstroff (1995), S. 28f. und Buschkühl et al. (2008), S. 5.

22

3 Modellformulierungen für mehrstuﬁge Losgrößenprobleme

Fall 1: Vorlaufverschiebung vpk=0 (unzulässiger Maschinenbelegungsplan) A

3

1

1 B

2 Periode 1

Periode 2

Periode 3

2

Fall 2: Vorlaufverschiebung vpk=1 (zulässiger Maschinenbelegungsplan)

B

A

3

1

3 A

B

2 Periode 1

Periode 2

Periode 3

Abb. 3.1: Zusammenhang zwischen einer Vorlaufverschiebung und der Disaggregationsfähigkeit in einen zulässigen Maschinenbelegungsplan

hergestellt werden, da die Produktion von Produkt 2 auf Ressource B noch nicht abgeschlossen ist. Dieses Problem lässt sich vermeiden, indem eine Vorlaufverschiebung von einer Periode für die Produkte 2 und 3 berücksichtigt wird (vpk = 1). Der ermittelte Produktionsplan im Fall 2 ist wiederum bezogen auf die verfügbare Kapazität zulässig. Zunächst wird eine ME von Produkt 3 auf Ressource A in Periode 1 gefertigt. In Periode 2 wird diese zur Fertigung von Produkt 2 an die Ressource B weitergegeben. Abschließend kann in Periode 3 das Produkt 1 auf Ressource A gefertigt werden. Dieser Produktionsplan kann in einen zulässigen Maschinenbelegungsplan disaggregiert werden, da alle Vorprodukte rechtzeitig für die Herstellung der nachfolgenden Produkte zur Verfügung stehen. Bei einer Vorlaufverschiebung von einer Periode (vpk = 1) entspricht die planungsinduzierte Durchlaufzeit vom Beginn der Fertigung bis zur Fertigstellung eines Produkts k der Anzahl der zu durchlaufenden Fertigungsstufen in Perioden. Aus diesem Grund ist die planungsinduzierte Durchlaufzeit abhängig von der gewählten Periodendauer. Eine geringe Durchlaufzeit geht daher einher mit einer geringen Periodendauer.100 Als Zielsetzung wird die Minimierung der Gesamtkosten verfolgt. Diese setzen sich aus Lager-, Rüst- und Überstundenkosten zusammen. In der Modellformulie100 Vgl. Helber (1994), S. 18.

3.2 Das mehrstuﬁge Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen

23

rung wird für die Produktionsmenge von Produkt k in Periode t die Entscheidungsvariable QPkt verwendet. Den Lagerbestand von Produkt k am Ende der Periode t beschreibt die Variable Ykt . Mit der Variable Omt werden die Überstunden auf der Ressource m in Periode t bezeichnet. Ein Rüstzustand für Produkt k in Periode t wird mit der binären Rüstzustandsvariable γkt beschrieben, wobei γkt =

1, 0,

wenn für Produkt k in Periode t gerüstet ist sonst

(3.1)

gilt. Um einen Rüstzustand auf einer Ressource zu erlangen, ist ein Rüstvorgang erforderlich. Durch diesen Rüstvorgang fallen Rüstzeiten und Rüstkosten an. Die Rüstzustandsvariable γkt nimmt immer den Wert 1 an, wenn ein Rüstvorgang für Produkt k in Periode t erfolgt. Dies ist beim MLCLSP erforderlich, da der Rüstzustand am Ende einer Periode verloren geht. Aufgrund der eindeutigen Zuordnung der Produkte zu den Ressourcen kann bei den Produktionsmengen QPkt sowie bei den binären Rüstzustandsvariablen γkt auf eine zusätzliche Indizierung für die Ressourcen verzichtet werden.

3.2.2 Standardmodellformulierung auf Basis von Produktionsund Lagermengen Das MLCLSP kann mit der Notation aus Tabelle 3.1 folgendermaßen mathematisch modelliert werden: Modell MLCLSP:101 min Z =

∑ ∑ (hck ·Ykt + sck · γkt ) + ∑ ∑ ocm · Omt

k∈K t∈T

(3.2)

m∈M t∈T

unter Beachtung der Restriktionen Yk,t−1 + QPk,t−vpk −

∑

k∈Km

∑ aki · QPit −Ykt = dkt

i∈Nk

(t pk · QPkt + tsk · γkt ) ≤ cpmt + Omt

QPkt ≤ bkt · γkt

101 Vgl. Billington et al. (1983), S. 1131 und Stadtler (2003), S. 488ff.

∀ k,t

(3.3)

∀ m,t

(3.4)

∀ k,t

(3.5)

24

3 Modellformulierungen für mehrstuﬁge Losgrößenprobleme

Tab. 3.1: Verwendete Notation für das MLCLSP

Indizes und Indexmengen k, i ∈ K Menge der Produkte, K = {1, . . . , K} m∈M Menge der Ressourcen, M = {1, . . . , M} t, τ ∈ T Menge der Perioden, T = {1, . . . , T } Menge der Produkte, die auf Ressource m gefertigt werden Km Nk Menge der direkten Nachfolger von Produkt k Parameter aki bkt cpmt dkt dktn hck ocm sck t pk tsk vpk ϒkt

Direktbedarfskoefﬁzient bezüglich Produkt k und Produkt i hinreichend große Zahl für Produkt k in Periode t verfügbare Kapazität auf Ressource m in Periode t Primärbedarf nach Produkt k in Periode t Nettonachfrage nach Produkt k in Periode t Lagerkostensatz für eine ME von Produkt k je Periode Kostensatz für eine Überstunde auf Ressource m Rüstkostensatz von Produkt k Stückbearbeitungszeit von Produkt k Rüstzeit von Produkt k Vorlaufverschiebung von Produkt k disponibler Lagerbestand von Produkt k in Periode t

Entscheidungsvariablen Überstunden auf Ressource m in Periode t Omt QPkt Produktionsmenge (Losgröße) von Produkt k in Periode t Ykt Lagerbestand von Produkt k am Ende von Periode t binäre Rüstzustandsvariable für Produkt k in Periode t γkt

Yk0 , YkT gegeben

∀k

(3.6)

Omt , QPkt ,Ykt ≥ 0

∀ k, m,t

(3.7)

∀ k,t

(3.8)

γkt ∈ {0, 1}

3.2 Das mehrstuﬁge Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen

25

Die Zielfunktion (3.2) fordert die Minimierung der Gesamtkosten, bestehend aus Lager-, Rüst- und Überstundenkosten über den gesamten Planungszeitraum. Mit Hilfe der Lagerbilanzgleichungen (3.3) wird sichergestellt, dass sowohl der Primärbedarf dkt als auch der Sekundärbedarf ∑i∈Nk aki · QPit für Produkt k in Periode t vollständig erfüllt wird. Fehlmengen und Nachlieferungen sind nicht zulässig. Zusätzlich ist für Produkt k die Vorlaufverschiebung vpk zu berücksichtigen. Die Kapazitätsrestriktionen (3.4) stellen sicher, dass die Beanspruchung der Ressource m durch Produktions- und Rüstzeiten der gefertigten Produkte die vorhandene Kapazität cpmt in Periode t nicht übersteigt. Wenn die Normalkapazität in einer Periode nicht ausreicht, kann diese durch den Einsatz von Überstunden Omt erhöht werden. Die Nebenbedingungen (3.5) verknüpfen die reellwertigen Variablen für die Produktionsmengen QPkt mit den binären Rüstzustandsvariablen γkt . Wenn Produkt k in Periode t gefertigt wird (QPkt > 0), ist ein Rüstvorgang erforderlich, durch den Rüstzeiten und -kosten anfallen. In diesem Fall nimmt die zugehörige Rüstzustandsvariable γkt den Wert 1 an. Für die Modellierung wird eine hinreichend große Zahl bkt verwendet. Der Wert für den Parameter bkt ist so klein wie möglich zu wählen,102 da ein möglichst kleiner Wert für den Parameter bkt zu einer möglichst großen unteren Schranke für die LP-Relaxation103 führt. Auf diese Weise lässt sich die Rechenzeit bei einem Branch&Bound-Verfahren104 erheblich reduzieren. Der Wert des Parameters bkt darf allerdings den zulässigen Bereich für die Produktionsmenge QPkt für Produkt k in Periode t nicht einschränken. Der hinreichend große Parameter bkt entspricht der Gesamtnettonachfrage für Produkt k von der Periode t bis zum Ende des Planungshorizonts T , sodass bkt =

T

∑ dkτn

τ=t

∀ k,t

(3.9)

gilt.105 Die periodenspeziﬁsche Nettonachfrage dktn für Produkt k in Periode t enthält den Primärbedarf sowie den Sekundärbedarf für die Produktion der direkt nachfolgenden Produkte. Bei der Bestimmung der Nettonachfrage dktn ist der mit den Bedingungen (3.6) exogen vorgegebene Lageranfangsbestand Yk0 für das Produkt k zu berücksichtigen. Beginnend mit den Endprodukten kann entlang der Er102 Vgl. Stadtler (1996a), S. 563. 103 Zum Begriff der LP-Relaxation vgl. u. a. Domschke und Drexl (2007), S. 136f. sowie Abschnitt 4.3.1 auf S. 49ff. 104 Für eine Beschreibung des Branch&Bound-Verfahrens vgl. u. a. Land und Doig (1960) sowie Abschnitt 4.3.1 auf S. 49ff. 105 Vgl. z. B. Stadtler (1996a), S. 563f.

26

3 Modellformulierungen für mehrstuﬁge Losgrößenprobleme

zeugnisstruktur die Nettonachfrage dktn in Periode t rekursiv für jedes Produkt k bestimmt werden, wobei

dktn

= max 0, dk,t+vpk +

∑

i∈Nk

n aki · di,t+vp k

− ϒk,t−1

∀ k,t

(3.10)

ist. Bei der Berechnung ist jeweils der disponible Lagerbestand ϒk,t−1 von Produkt k aus der Vorperiode t − 1 zu berücksichtigen. Dieser ist folgendermaßen deﬁniert:106 ϒkt = max 0, ϒk,t−1 − dk,t+vpk −

∑

i∈Nk

n aki · di,t+vp k

mit ϒk0 = Yk0 .

Der Lageranfangsbestand Yk0 sowie der Lagerendbestand YkT sind mit den Bedingungen (3.6) exogen vorgegeben. Den Abschluss der Modellformulierung für das MLCLSP bilden die Nichtnegativitätsbedingungen (3.7) sowie die Binärbedingungen (3.8).

3.3 Erweiterung der Standardmodellformulierung um die Möglichkeit der Rüstübertragung (MLCLSP-L) 3.3.1 Modellformulierung mit einfacher Rüstübertragung Beim MLCLSP sollte für jede Komponente eine Vorlaufverschiebung von mindestens einer Periode berücksichtigt werden.107 Dadurch lässt sich eine zulässige Lösung in Form eines aggregierten Produktionsplans mit periodenbezogenen Produktionsmengen bei der anschließenden Ressourceneinsatzplanung immer in einen zulässigen Maschinenbelegungsplan disaggregieren. Bei einer Vorlaufverschiebung von je einer Periode (vpk = 1) entspricht die minimale planungsinduzierte Durchlaufzeit eines Produkts k vom Beginn der Fertigung bis zur Fertigstellung des Endprodukts der Anzahl der zu durchlaufenden Fertigungsstufen in Perioden. Die planungsinduzierte Durchlaufzeit hängt damit von der Periodenlänge ab.108 106 Vgl. Stadtler (1996a), S. 563. 107 Vgl. zur Erläuterung das Beispiel im Abschnitt 3.2.1 auf S. 21f. 108 Vgl. Helber (1994), S. 18.

3.3 Erweiterung um die Möglichkeit der Rüstübertragung (MLCLSP-L)

27

Um diese Durchlaufzeit zu reduzieren, sollte die Periodenlänge möglichst kurz gewählt werden. Für den Fall, dass die Periodenlänge zu kurz gewählt wird, kann jedoch nur eine geringe Zahl an Produkten innerhalb einer Periode gefertigt werden. Dies kann dazu führen, dass die Produktion eines Produkts in nachfolgenden Perioden fortgesetzt werden muss. Obwohl die Fertigung in der nachfolgenden Periode ohne neuen Rüstvorgang weitergeführt werden könnte, wird die Fortsetzung der Fertigung bei der Modellformulierung für das MLCLSP als Anlass für einen zusätzlichen Rüstvorgang interpretiert. Der Grund liegt darin, dass die Reihenfolge der Produkte innerhalb einer Periode nicht bestimmt wird. Somit ist auch nicht bekannt, welches Produkt am Anfang bzw. am Ende einer Periode gefertigt wird. Folglich werden häuﬁg zum einen die tatsächlich erforderlichen Rüstkosten und zum anderen der Kapazitätsbedarf überschätzt. Dieses Problem wird mit der nachfolgenden Modellvariante behoben. Das mehrstuﬁge Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen und Erhalt des Rüstzustands (MLCLSP-L)109 ist eine Erweiterung des MLCLSP und basiert auf dem einstuﬁgen Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen und Erhalt des Rüstzustands (CLSP-L, engl.: Capacitated Lotsizing Problem with Linked Lotsizes) von Haase (1994). In dieser Modellformulierung ist eine partielle Reihenfolgeplanung integriert, da in allen Perioden jeweils das erste und letzte zu fertigende Produkt einer Ressource bestimmt wird.110 Aufgrund der partiellen Reihenfolgeplanung ist eine Aggregation von mehreren (parallelen) Maschineneinheiten zu einer Ressource111 beim MLCLSP-L nicht mehr möglich. Die eindeutige Zuordnung der Produkte auf die Maschinen bleibt allerdings erhalten. Diese Modellformulierung erlaubt die Aufrechterhaltung eines Rüstzustands in der nachfolgenden Periode ohne zusätzliche Rüstzeiten und -kosten, was zu efﬁzienteren Rüstmustern und kürzeren Plandurchlaufzeiten führt. Zusätzlich können aufgrund der realistischeren Betrachtung der Rüstvorgänge häuﬁg auch dann zulässige Produktionspläne bestimmt werden, wenn die Standardmodellformulierung für das MLCLSP an der Erstellung eines zulässigen Produktionsplans scheitert. Dies kann vor allem bei hohen Maschinenauslastungen der Fall sein. Zur Modellierung einer Rüstübertragung wird zusätzlich die Binärvariable ωkt für Produkt k in Periode t eingeführt. Mit dieser wird eine Rüstübertragung für Produkt k von der Periode t − 1 in die Periode t dargestellt. Die Rüstübertragungs109 Vgl. Sürie und Stadtler (2003) sowie Buschkühl (2008). 110 Eine erste Modellformulierung mit Erhalt des Rüstzustands in nachfolgende Perioden beschreiben Dillenberger et al. (1993, 1994). Bei dieser Formulierung wird jedoch die Möglichkeit der Lagerung und somit der bei Losgrößenproblemen bestehende Zielkonﬂikt zwischen Lager- und Rüstkosten vernachlässigt. 111 Vgl. Abschnitt 3.2.1 auf S. 20.

28

3 Modellformulierungen für mehrstuﬁge Losgrößenprobleme

variable ωkt ist deﬁniert als ωkt =

⎧ ⎨ 1, ⎩

0,

wenn der Rüstzustand von Produkt k von Periode t − 1 in Periode t übertragen wird sonst.

(3.11)

Wenn die Rüstübertragungsvariable ωkt den Wert 1 annimmt, ist für Produkt k am Anfang der Periode t auf der entsprechenden Maschine m gerüstet. In diesem Fall wird der Rüstzustand aus der Vorperiode t − 1 für dieses Produkt übertragen. Auf einer Maschine m kann höchstens der Rüstzustand für ein Produkt k in eine nachfolgende Periode übertragen werden. Bei einer Rüstübertragung fallen in der neuen Periode weder Rüstkosten noch -zeiten für das Produkt an, da diese bereits in der vorherigen Periode berücksichtigt wurden. Ein Rüstzustand für ein Produkt k kann auch dann von Periode t − 1 in die nachfolgende Periode t übertragen werden, wenn das Produkt k nicht in Periode t − 1 gefertigt wird. Die restliche Kapazität am Ende der Periode t − 1 wird dafür verwendet, um für dieses Produkt zu rüsten. Der Rüstvorgang muss allerdings am Ende einer Periode abgeschlossen sein.112 Bei dem Erhalt des Rüstzustands kann zwischen der einfachen und mehrfachen Rüstübertragung unterschieden werden. Im ersten Fall kann eine Rüstübertragung nur dann erfolgen, wenn ein Rüstvorgang in der vorherigen Periode durchgeführt wurde (einfache Rüstübertragung). Im zweiten Fall kann ein Rüstzustand auch dann übertragen werden, wenn dieser bereits aus einer weiter zurückliegenden Periode übernommen wurde (mehrfache Rüstübertragung).113 Damit ist jedoch ein zusätzlicher Rüstvorgang für ein anderes Produkt auf der gleichen Ressource in dieser Periode unzulässig. Beim MLCLSP-L mit einfacher Rüstübertragung kann auf einer Maschine m ein Rüstzustand für jeweils ein Produkt k ∈ Km aus Periode t − 1 in der nachfolgenden Periode t erhalten bleiben. Dies ist nur dann möglich, wenn für Produkt k in Periode t − 1 gerüstet wurde. Für die Erfassung eines Rüstvorgangs wird neben der Rüstzustandsvariable γkt aus (3.1) zusätzlich auf die Rüstübertragungsvariable ωkt aus (3.11) zurückgegriffen. Ein Rüstvorgang für Produkt k in Periode t erfolgt dann, wenn in Periode t für das Produkt k gerüstet ist (γkt = 1) und der Rüstzustand für dieses Produkt nicht in Periode t übertragen wurde (ωkt = 0). Somit lässt sich ein Rüstvorgang für Produkt k in Periode t durch die Differenz aus der Rüstzustandsvariable γkt und der Rüstübertragungsvariable ωkt darstellen, da in diesem Fall γkt − ωkt = 1 gilt. 112 Vgl. Tempelmeier (2008), S. 170. 113 Für das MLCLSP-L mit mehrfacher Rüstübertragung wird im Abschnitt 3.3.2 auf S. 31ff. eine Modellformulierung vorgestellt.

3.3 Erweiterung um die Möglichkeit der Rüstübertragung (MLCLSP-L)

29

Mit der zusätzlichen Entscheidungsvariable ωkt aus Tabelle 3.2 kann das MLCLSP-L mit einfacher Rüstübertragung folgendermaßen mathematisch modelliert werden: Tab. 3.2: Zusätzliche Entscheidungsvariable für das MLCLSP-L mit einfacher Rüstübertragung

Entscheidungsvariable binäre Rüstübertragungsvariable für Produkt k in Periode t ωkt Modell MLCLSP-L:114 min Z =

∑ ∑ (hck ·Ykt + sck · (γkt − ωkt )) + ∑ ∑ ocm · Omt

k∈K t∈T

(3.12)

m∈M t∈T

unter Beachtung der Restriktionen Yk,t−1 + QPk,t−vpk −

∑

∀ k,t

(3.13)

∀ m,t

(3.14)

∀ k,t

(3.15)

∀ m,t

(3.16)

ωkt ≤ γk,t−1 − ωk,t−1

∀ k,t

(3.17)

ωkt ≤ γkt

∀ k,t

(3.18)

∀k

(3.19)

∑

i∈Nk

aki · QPit −Ykt = dkt

t pk · QPkt + tsk · (γkt − ωkt ) ≤ cpmt + Omt

k∈Km

QPkt ≤ bkt · γkt

∑

ωkt ≤ 1

k∈Km

Yk0 , YkT gegeben

114 Vgl. für das CLSP-L Haase (1998), S. 130f. sowie für das MLCLSP-L Tempelmeier und Buschkühl (2009), S. 387ff.

30

3 Modellformulierungen für mehrstuﬁge Losgrößenprobleme

ωk1 = 0 Omt , QPkt , Ykt ≥ 0 γkt , ωkt ∈ {0, 1}

∀k

(3.20)

∀ k, m,t

(3.21)

∀ k,t

(3.22)

In der Zielfunktion (3.12) werden im Gegensatz zur Zielfunktion (3.2) für das MLCLSP nur dann Rüstkosten sck berücksichtigt, wenn für Produkt k in Periode t gerüstet wird und somit γkt − ωkt = 1 gilt. Bei einer Rüstübertragung für Produkt k in Periode t fallen in Periode t keine weiteren Rüstkosten an (ωkt = 1), da aufgrund der Restriktionen (3.18) die Binärvariable γkt den Wert 1 annimmt. Die Lagerbilanzgleichungen (3.13) müssen nicht angepasst werden. Bei den Kapazitätsrestriktionen (3.14) treten ähnliche Änderungen wie bei der Zielfunktion (3.12) auf. Hier fallen für Produkt k in Periode t nur dann Rüstzeiten tsk an, wenn für dieses Produkt in Periode t ein Rüstvorgang durchgeführt wird (γkt − ωkt = 1). Bleibt dagegen ein Rüstzustand aus der vorherigen Periode t − 1 erhalten (ωkt = 1), müssen die Rüstzeiten nicht berücksichtigt werden, da auf der entsprechenden Maschine bereits für dieses Produkt gerüstet wurde (γkt − ωkt = 0). Die Nebenbedingungen (3.15) stellen sicher, dass eine Produktion von Produkt k in Periode t nur dann möglich ist (QPkt > 0), wenn für dieses Produkt auch gerüstet ist (γkt = 1). Dem MLCLSP-L werden im Vergleich zur Standardmodellformulierung des MLCLSP die Nebenbedingungen (3.16) bis (3.18) hinzugefügt. Die Nebenbedingungen (3.16) bewirken, dass auf Maschine m in Periode t höchstens der Rüstzustand für ein Produkt k ∈ Km erhalten bleibt. Die Restriktionen (3.17) verbieten eine mehrfache Rüstübertragung in nachfolgende Perioden. Ein Erhalt des Rüstzustands für Produkt k aus der Vorperiode t − 1 in die nachfolgende Periode t ist nur dann zulässig, wenn in der Vorperiode t − 1 ein Rüstvorgang durchgeführt wurde (γk,t−1 − ωk,t−1 = 1). Mit Hilfe der Nebenbedingungen (3.18) wird sichergestellt, dass ein Rüstzustand (γkt = 1) für Produkt k in Periode t erhalten bleibt, wenn dieser aus der Vorperiode übernommen wird (ωkt = 1). Die Restriktionen (3.19) geben den Lageranfangs- und Lagerendbestand exogen vor. Mit den Nebenbedingungen (3.20) wird festgelegt, dass zu Beginn des Planungshorizonts auf den Maschinen für kein Produkt k gerüstet ist. Den Abschluss der Modellformulierung für das MLCLSP-L bilden die Nichtnegativitätsbedingungen (3.21) sowie die Binärbedingungen (3.22).

3.3 Erweiterung um die Möglichkeit der Rüstübertragung (MLCLSP-L)

31

3.3.2 Modellformulierung mit mehrfacher Rüstübertragung Bei der mehrfachen Rüstübertragung kann ein Rüstzustand nicht nur in der Folgeperiode, sondern auch in weiteren nachfolgenden Perioden erhalten bleiben. Im letzten Fall sind auf der entsprechenden Maschine keine weiteren Rüstaktivitäten in diesen Perioden möglich. Für die Modellformulierung des MLCLSP-L mit mehrfacher Rüstübertragung sind im Vergleich zum MLCLSP-L mit einfacher Rüstübertragung zusätzliche Variablen und Nebenbedingungen notwendig. Für die Modellierung wird eine binäre Hilfsvariable νmt verwendet, wobei νmt =

⎧ ⎨ 1, ⎩

0,

falls kein Rüstvorgang auf der Maschine m in Periode t erfolgt sonst

(3.23)

gilt.115 Sobald auf einer Maschine m für mindestens ein Produkt in Periode t gerüstet wird, nimmt die Variable νmt den Wert 0 an. Die Variable νmt nimmt dagegen den Wert 1 an, wenn auf der Maschine m nur das Produkt gefertigt wird, dessen Rüstzustand aus der Vorperiode übernommen wurde.116 Mit der zusätzlichen Notation aus Tabelle 3.3 kann das MLCLSP-L mit mehrfacher Rüstübertragung folgendermaßen mathematisch modelliert werden: Tab. 3.3: Zusätzliche Entscheidungsvariable für das MLCLSP-L mit mehrfacher Rüstübertragung

Entscheidungsvariable νmt Hilfsvariable für Maschine m in Periode t Modell MLCLSP-L:117 (3.12) – (3.16) und (3.18) – (3.22) ωkt ≤ γk,t−1

∀ k,t

(3.24)

115 Vgl. Haase (1994), S. 18ff. sowie Sürie und Stadtler (2003), S. 1043. 116 Obwohl die Hilfsvariable νmt nur die Werte 0 oder 1 annehmen kann, ist es nicht notwendig, diese Variable als Binärvariable zu deﬁnieren (vgl. Sürie und Stadtler (2003), S. 1043). 117 Vgl. für das CLSP-L Haase (1994), S. 18ff. und für das MLCLSP-L Sürie und Stadtler (2003), S. 1043 sowie Buschkühl (2008), S. 82.

32

3 Modellformulierungen für mehrstuﬁge Losgrößenprobleme

ωkt + ωk,t+1 ≤ 1 + νmt

∀ m, k ∈ Km ,t

(3.25)

γkt − ωkt + νmt ≤ 1

∀ m, k ∈ Km ,t

(3.26)

∀ m,t

(3.27)

νmt ≥ 0

Für die Modellformulierung des MLCLSP-L mit mehrfacher Rüstübertragung können die Nebenbedingungen (3.12) bis (3.22) mit Ausnahme der Restriktionen (3.17) vollständig übernommen werden. Die Nebenbedingungen (3.17) werden durch die Restriktionen (3.24) ersetzt. Durch die Restriktionen (3.24) ist eine Rüstübertragung für Produkt k in Periode t auch dann möglich, wenn in der vorherigen Periode t − 1 für dieses Produkt gerüstet ist. Somit ist im Gegensatz zur einfachen Rüstübertragung nicht zwangsläuﬁg ein Rüstvorgang für das Produkt in der Vorperiode erforderlich. Vielmehr kann der Rüstzustand bereits aus einer weiter zurückliegenden Periode übernommen worden sein (ωk,t−1 = 1), da in diesem Fall auch die Rüstzustandsvariable γk,t−1 aufgrund der Nebenbedingungen (3.18) den Wert 1 annimmt. Mit den Restriktionen (3.25) wird sichergestellt, dass ein Erhalt des Rüstzustands von Periode t − 1 bis in Periode t + 1 nur dann zulässig ist, wenn in Periode t auf der entsprechenden Maschine m keine weiteren Rüstaktivitäten für andere Produkte durchgeführt werden (νmt = 1). Sobald in Periode t auf Maschine m für ein anderes Produkt i gerüstet wird (γit = 1, mit i ∈ Km ), nimmt die Variable νmt aufgrund der Nebenbedingungen (3.26) den Wert 0 an. Somit ist eine mehrfache Rüstübertragung für Produkt k ausgeschlossen. In diesem Fall kann jedoch der Rüstzustand für ein anderes Produkt auf dieser Maschine in die Folgeperiode übertragen werden. Den Abschluss bilden die Nichtnegativitätsbedingungen (3.27).

3.3.3 Unterschiede zum MLCLSP Anhand des folgenden Beispiels werden die Unterschiede zwischen dem MLCLSP und dem MLCLSP-L mit einfacher bzw. mehrfacher Rüstübertragung aufgezeigt. Hier wird eine Maschine betrachtet, auf der drei Produkte über vier Perioden produziert werden. In jeder Periode t steht auf der Maschine eine Kapazität cpt in Höhe von 150 ZE zur Verfügung. Diese kann durch den Einsatz von Überstunden erweitert werden. Die Überstundenkosten oc für eine ZE betragen 100 Geldeinheiten (GE). In der Tabelle 3.4 sind der Bedarf dkt sowie die Lagerkosten hck ,

3.3 Erweiterung um die Möglichkeit der Rüstübertragung (MLCLSP-L)

33

Tab. 3.4: Gegebene Parameterwerte für ein Beispiel mit drei Produkten und vier Perioden

k \t 1 2 3

1 30 50 40

2 − 100 40

3 − 140 −

4 20 30 80

hck 1 1 1

sck 10 10 10

t pk 1 1 1

tsk 10 10 10

Rüstkosten sck , Bearbeitungszeiten t pk und Rüstzeiten tsk für die Produkte gegeben. Auf der Grundlage der Modellannahmen für das MLCLSP entsprechen die Produktionsmengen QPkt für Produkt k in Periode t in der optimalen Lösung den entsprechenden Nachfragemengen dkt . Dieser optimale Produktionsplan lässt sich in einen Maschinenbelegungsplan disaggregieren. Ein möglicher Maschinenbelegungsplan ist in Abbildung 3.2 dargestellt. Periode 1

1

Periode 2

2

3

3

verfügbare Kapazität cp1

Periode 3

2 verfügbare Kapazität cp2

Periode 4

2 verfügbare Kapazität cp3

2

1

3

verfügbare Kapazität cp4

einzuplanender Rüstvorgang

Abb. 3.2: Maschinenbelegungsplan für das Beispiel auf der Basis der Modellannahmen für das MLCLSP

In diesem Fall ist für jedes Produkt in jeder Periode mit einer positiven Produktionsmenge QPkt ein Rüstvorgang erforderlich. Dadurch fallen insgesamt Rüstkosten in Höhe von 90 GE an. In Periode 2 und Periode 4 reicht die vorhandene Kapazität auf der Maschine nicht aus. In diesen Perioden werden zusätzlich jeweils 10 Überstunden benötigt. Die Gesamtkosten für diesen Produktionsplan betragen somit 2.090 GE.

34

3 Modellformulierungen für mehrstuﬁge Losgrößenprobleme

Die Lösung des beschriebenen Beispiels unter Berücksichtigung der Modellannahmen für das MLCLSP-L mit einfacher Rüstübertragung führt zu einem identischen Produktionsplan bezogen auf die Produktionsmengen. Der Rüstzustand kann allerdings hier für ein Produkt k in der direkt nachfolgenden Periode erhalten bleiben. Einen zulässigen Maschinenbelegungsplan auf der Basis der Modellannahmen des MLCLSP-L mit einfacher Rüstübertragung skizziert die Abbildung 3.3. Periode 1

1

Periode 2

2

3

3

2

verfügbare Kapazität cp1

Periode 3

verfügbare Kapazität cp2

Periode 4

2 verfügbare Kapazität cp3

3

2

1

verfügbare Kapazität cp4

einzuplanender Rüstvorgang

Abb. 3.3: Maschinenbelegungsplan für das Beispiel auf der Basis der Modellannahmen für das MLCLSP-L mit einfacher Rüstübertragung

In Periode 1 wird Produkt 3 zuletzt gefertigt, aus diesem Grund kann der Rüstzustand für dieses Produkt in Periode 2 übernommen werden und die Produktion in dieser Periode fortgeführt werden. Anschließend wird das Produkt 2 in Periode 2 gefertigt. Der Rüstzustand dieses Produkts kann in der Periode 3 aufrechterhalten werden. Dadurch können zwei Rüstvorgänge sowie die Überstunden in Periode 2 eingespart werden. Der Rüstzustand für Produkt 2 kann nicht in Periode 4 übertragen werden, da dieser bereits aus der vorherigen Periode stammt und jeder Rüstzustand höchstens einmal in eine nachfolgende Periode übernommen werden darf. Vielmehr kann die restliche Kapazität in Periode 3 nach der Fertigung von Produkt 2 genutzt werden, indem bereits am Ende dieser Periode auf das Produkt 3 gerüstet wird, ohne dieses Produkt jedoch in dieser Periode zu produzieren.118 Der Rüstzustand kann dann in die folgende Periode übertragen werden. Dadurch fallen in Periode 4 auch keine Überstunden mehr an. Die gesamten Rüstkosten betragen 118 Da die Rüstzeiten und -kosten für das Produkt 1 und 3 identisch sind, ist alternativ auch ein Rüstvorgang für Produkt 1 am Ende der Periode 3 einplanbar. In diesem Fall ändert sich nur die dargestellte Produktionsreihenfolge in Periode 4.

3.3 Erweiterung um die Möglichkeit der Rüstübertragung (MLCLSP-L)

35

somit 70 GE und die Überstunden können im Vergleich zur Lösung des MLCLSP vollständig eingespart werden. Die Gesamtkosten entsprechen somit den Rüstkosten in Höhe von 70 GE. Wenn alternativ die restliche Kapazität der Maschine in Periode 3 für eine vorgezogene Produktion von Produkt 2 verwendet wird, kommen zusätzlich zu den Rüstkosten noch Lagerkosten in Höhe von 10 GE hinzu. Daher wird auf eine vorgezogene Fertigung von Produkt 2 in Periode 3 verzichtet. Bei der Möglichkeit der mehrfachen Rüstübertragung entsprechen die Produktionsmengen ebenfalls der Nachfrage. In diesem Fall kann ein Rüstzustand für ein Produkt auch über mehrere Periodengrenzen hinaus erhalten bleiben, falls auf der entsprechenden Ressource zwischenzeitlich kein weiteres Produkt gefertigt wird. Somit lässt sich aus dem optimalen Produktionsplan der in Abbildung 3.4 dargestellte Maschinenbelegungsplan erzeugen. Periode 1

1

Periode 2

2

3

3

verfügbare Kapazität cp1

Periode 3

2 verfügbare Kapazität cp2

Periode 4

2 verfügbare Kapazität cp3

2

1

3

verfügbare Kapazität cp4

einzuplanender Rüstvorgang

Abb. 3.4: Maschinenbelegungsplan für das Beispiel auf der Basis der Modellannahmen für das MLCLSP-L mit mehrfacher Rüstübertragung

Für das MLCLSP-L mit mehrfacher Rüstübertragung kann der Rüstzustand von Produkt 2 von Periode 2 bis Periode 4 erhalten bleiben. Damit lassen sich ein weiterer Rüstvorgang und somit auch Rüstkosten in Höhe von 10 GE einsparen, da kein zusätzlicher Rüstvorgang für Produkt 2 in Periode 4 erforderlich ist. Die zu berücksichtigenden Rüstkosten lassen sich daher auf 60 GE senken. Dies entspricht den Gesamtkosten, da keine Überstunden anfallen. Auch in diesem Fall könnte die restliche Kapazität in Periode 3 für eine vorgezogene Fertigung von Produkt 2 genutzt werden. Dadurch werden jedoch Lagerkosten verursacht, weshalb auch hier auf eine vorzeitige Produktion verzichtet wird.

36

3 Modellformulierungen für mehrstuﬁge Losgrößenprobleme

3.4 Das mehrstuﬁge Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen und reihenfolgeabhängigen Rüstkosten (MLCLSD) Das mehrstuﬁge Losgrößenproblem mit beschränkten Kapazitäten und reihenfolgeabhängigen Rüstkosten (MLCLSD)119 ist eine Erweiterung des von Haase (1996) eingeführten einstuﬁgen Losgrößenproblems mit Kapazitätsrestriktionen und reihenfolgeabhängigen Rüstkosten (CLSD, engl.: Capacitated Lotsizing Problem with Sequence Dependent Setup Costs). Zusätzlich zu den bereits bekannten Modellannahmen vom MLCLSP-L mit mehrfacher Rüstübertragung werden beim MLCLSD reihenfolgeabhängige Rüstkosten und -zeiten unterstellt. Beim MLCLSD handelt es sich im Gegensatz zum MLCLSP-L nicht mehr um ein partielles Reihenfolgeproblem, bei dem jeweils nur das erste und letzte Produkt einer Periode auf jeder Maschine identiﬁziert wird. Vielmehr wird die Produktionsreihenfolge vollständig bestimmt und somit auch gleichzeitig ein zulässiger Maschinenbelegungsplan ermittelt. Bei der Modellierung des MLCLSD wird für die Bestimmung der Reihenfolge auf einen Teil der Modellformulierung des Handlungsreisendenproblems (TSP, engl.: Traveling Salesman Problem)120 zurückgegriffen. Für die Bestimmung der Rüstreihenfolge werden zunächst binäre Rüstvariablen δikt deﬁniert: δikt =

⎧ ⎨ 1, ⎩

0,

wenn in Periode t ein Rüstvorgang von Produkt i auf Produkt k erfolgt sonst.

(3.28)

Aufgrund der Reihenfolgeabhängigkeit der Rüstvorgänge ist eine Anpassung einiger der bereits vom MLCLSP-L bekannten Restriktionen notwendig. Außerdem sind die Rüstzeiten tsik und die Rüstkosten scik für Produkt k abhängig vom zuvor gefertigten Produkt i. Des Weiteren wird eine Hilfsvariable πkt benötigt, mit der die Produktionsreihenfolge innerhalb einer Periode auf der jeweiligen Maschine bestimmt werden kann. Mit Hilfe der Variablen δikt und πkt lässt sich die Position von Produkt k in der Rüstfolge in Periode t ableiten.121 Eine Rüstübertragung in nachfolgende Perioden ist ebenfalls zulässig. Beim MLCLSD muss auch, wie beim MLCLSP-L, ein Rüstvorgang am Ende einer Pe119 Dieses Modell wird von Grünert (1998) auch als Multi-Level Sequence Dependent Lotsizing and Scheduling Problem (MSLS) bezeichnet. 120 Eine Modellformulierung für das TSP beﬁndet sich im Abschnitt 7.4 auf S. 141f. Siehe u. a. auch Domschke (1997), S. 104ff. 121 Vgl. Tempelmeier (2008), S. 176.

3.4 Erweiterung um reihenfolgeabhängige Rüstkosten (MLCLSD)

37

riode abgeschlossen sein.122 Zur Abbildung einer Rüstübertragung werden weiterhin die binären Rüstübertragungsvariablen ωkt aus (3.11) verwendet. Darüber k für jedes Produkt k bekannt. hinaus ist der Anfangsrüstzustand ω Mit der zusätzlichen Notation aus Tabelle 3.5 lässt sich das MLCLSD folgendermaßen mathematisch modellieren: Tab. 3.5: Ergänzende Notation für das MLCLSD

Parameter Rüstkostensatz für einen Rüstvorgang von Produkt i auf Produkt k scik tsik Rüstzeit für einen Rüstvorgang von Produkt i auf Produkt k k ω Anfangsrüstzustand von Produkt k Entscheidungsvariablen δikt binäre Rüstvariable von Produkt i auf Produkt k in Periode t Position von Produkt k in der Rüstfolge der Periode t πkt Modell MLCLSD:123

min Z =

∑∑

hck ·Ykt + ∑ scik · δikt

k∈K t∈T

i∈K

+

∑ ∑ ocm · Omt

(3.29)

m∈M t∈T

unter Beachtung der Restriktionen Yk,t−1 + QPk,t−vpk −

∑ aki · QPit −Ykt = dkt

i∈Nk

∑

k∈Km

+

∑

tsik · δikt

≤ cpmt + Omt

∀ m,t

(3.31)

∀ k,t

(3.32)

∀t, m

(3.33)

i∈Km

∑

(3.30)

t pk · QPkt

QPkt ≤ bkt ·

∀ k,t

∑ δikt + ωkt

i∈K

ωkt = 1

k∈Km

122 Vgl. Abschnitt 3.3.1 auf. S. 28. 123 Vgl. Haase (1996), S. 53f. für das CLSD und Grünert (1998), S. 52ff. für das MLCLSD.

38

3 Modellformulierungen für mehrstuﬁge Losgrößenprobleme

ωkt + ∑ δikt −

∑ δk jt = ωk,t+1

∀ k,t

(3.34)

∀t, m, i ∈ Km , k ∈ Km mit k = i

(3.35)

Yk0 , YkT gegeben

∀k

(3.36)

k ωk1 = ω

∀k

(3.37)

∀ k, m,t

(3.38)

∀ i, k,t

(3.39)

i∈K

j∈K

πkt ≥ πit + 1 − |Km | · (1 − δikt )

Omt , QPkt , Ykt , πkt ≥ 0

δikt , ωkt ∈ {0, 1}

Die Zielfunktion (3.29) minimiert die anfallenden Gesamtkosten, bestehend aus Lager-, Rüst- und Überstundenkosten. Zur Bestimmung der reihenfolgeabhängigen Rüstkosten eines Produkts wird zusätzlich noch das zuvor gefertigte Produkt betrachtet. Die Lagerbilanzgleichungen (3.30) bleiben im Vergleich zum MLCLSP unverändert. Bei den Kapazitätsrestriktionen (3.31) ist wie bei der Zielfunktion ebenfalls das Vorgängerprodukt zur Bestimmung der Rüstzeiten von Produkt k zu berücksichtigen. Die Restriktionen (3.5) verknüpfen die binären Rüstvariablen δikt mit den Produktionsmengen QPkt . Eine Produktion von Produkt k in Periode t ist allerdings nur dann möglich (QPkt > 0), wenn von einem anderen Produkt i auf Produkt k gerüstet wird (∑i δikt = 1) oder der Rüstzustand dieses Produkts aus der Vorperiode übernommen wird (ωkt = 1). Die Nebenbedingungen (3.33) erlauben für ein Produkt k ∈ Km auf Maschine m einen Erhalt des Rüstzustands in Periode t. Die Nebenbedingungen (3.34) stellen Flussbedingungen dar. Mit Hilfe dieser Nebenbedingungen lässt sich der Rüstzustand für Produkt k zu Beginn der Periode t + 1 ableiten. Ein Rüstzustand für Produkt k kann in die nachfolgende Periode t + 1 übertragen werden (ωk,t+1 = 1), wenn 1. der Rüstzustand bereits aus der Periode t − 1 übernommen wurde (ωkt = 1) oder

3.4 Erweiterung um reihenfolgeabhängige Rüstkosten (MLCLSD)

39

2. in der Periode t von einem anderen Produkt i auf dieses Produkt k gerüstet wird (δikt = 1). In beiden Fällen darf kein Rüstvorgang ausgehend von Produkt k auf ein anderes Produkt j erfolgen (δk jt = 0). Die sog. Subtour-Eliminationsbedingungen (3.35)124 verbieten eine Rückkehr zu einem Produkt innerhalb einer Rüstsequenz in Periode t. Zusätzlich kann mit diesen Bedingungen die Rüstreihenfolge mit Hilfe der Variablen πkt bestimmt werden, in der die Produkte innerhalb einer Periode gefertigt werden. Wenn in Periode t von Produkt i auf ein anderes Produkt k gerüstet wird (δikt = 1), so gilt πkt ≥ πit + 1 aufgrund der Nebenbedingungen (3.35). Wenn kein Rüstvorgang von Produkt i auf ein anderes Produkt k in Periode t erfolgt (δikt = 0), ist die Nebenbedingung (3.35) immer erfüllt. Die Funktion der Subtour-Eliminationsbedingungen (3.35) wird anhand eines kleinen Beispiels in Abbildung 3.5 mit drei Produkten und zwei Perioden verdeutlicht. Periode 1

Periode 2

2 verfügbare Kapazität b1

2

1

3

verfügbare Kapazität b2

einzuplanender Rüstvorgang

Abb. 3.5: Beispiel zur Erläuterung der Subtour-Eliminationsbedingungen beim MLCLSD mit drei Produkten und zwei Perioden

In Periode 1 wird ausschließlich Produkt 2 gefertigt. Der Rüstzustand bleibt zu Beginn der Periode 2 erhalten und die Fertigung von Produkt 2 wird fortgesetzt (ω22 = 1). Anschließend wird auf das Produkt 1 gerüstet (δ212 = 1) und von diesem Produkt erfolgt ein Rüstvorgang auf das Produkt 3 (δ132 = 1). Dieses Produkt wird bis zum Ende der Periode 2 gefertigt. Da das Produkt 2 in Periode 2 zuerst gefertigt wird, nimmt die Ausprägung für die Hilfsvariable π22 den Wert 1 an. Aufgrund der Nebenbedingungen (3.35) muss π12 ≥ π22 + 1 eingehalten werden, da δ212 = 1 gilt. Aus diesem Grund nimmt die Hilfsvariable π12 den Wert 2 an. Analog muss π32 ≥ π12 + 1 wegen δ132 = 1 gelten, sodass π32 den Wert 3 annimmt. Da kein Rüstvorgang von Produkt 2 auf das 124 Vgl. Tempelmeier (2008), S. 176. Die Problematik der Subtouren beim TSP wird z. B. ausführlich in Domschke (1997), S. 105ff. sowie in Suhl und Mellouli (2006), S. 244f. behandelt.

40

3 Modellformulierungen für mehrstuﬁge Losgrößenprobleme

Produkt 3 in dieser Periode erfolgt (δ232 = 0), ist auch in diesem Fall die Nebenbedingung (3.35) erfüllt, da mit |Km | = 3 immer ein hinreichend großer Zahlenwert abgezogen wird. Darüber hinaus schließen diese Nebenbedingungen einen Rüstvorgang zurück auf das Produkt 2 aus. Sollte beispielsweise von Produkt 1 wieder auf das Produkt 2 gerüstet werden (δ122 = 1), so müsste π22 ≥ π12 + 1 gelten. Dies führt allerdings zu einem Widerspruch, da bereits π12 ≥ π22 + 1 gilt. Somit kann in jeder Periode für jedes Produkt maximal einmal gerüstet sein. Dies ist entweder aufgrund eines Rüstvorgangs oder aufgrund einer Rüstübertragung möglich. Den Lageranfangs- und Lagerendbestand geben die Bedingungen (3.36) exogen k für Produkt k zu vor. Mit den Restriktionen (3.37) ist der Anfangsrüstzustand ω Beginn der ersten Periode gegeben. Abschließend folgen die Nichtnegativitätsbedingungen (3.38) sowie die Binärbedingungen (3.39) für das MLCLSD.

3.5 Komplexität mehrstuﬁger Losgrößenprobleme mit Kapazitätsrestriktionen Florian et al. (1980) zeigen, dass das CLSP bereits im Einproduktfall N Pschwer125 ist. Aus diesem Grund existiert kein Algorithmus, mit dem das CLSP mit polynomialem Zeitaufwand exakt gelöst werden kann. Darüber hinaus zeigen Trigeiro et al. (1989) für den Fall positiver Rüstzeiten (tsk > 0), dass bereits der Nachweis der Existenz einer zulässigen Lösung ohne Überstunden für das CLSP N P-vollständig126 ist. Dafür verweisen Trigeiro et al. (1989) auf das Verpackungsproblem (engl.: Bin-Packing-Problem)127 als Spezialfall des CLSP mit Rüstzeiten.128 Das MLCLSP sowie das MLCLSP-L lassen sich unter Vernachlässigung einiger Variablen und Parameter ebenfalls auf das CLSP reduzieren, sodass beide Problemstellungen ebenfalls N P-schwer sind.129 Das MLCLSD stellt eine Kombination aus MLCLSP und TSP dar. Da sowohl das TSP130 als auch das MLCLSP N P-schwer sind, ist das MLCLSD ebenfalls N P-schwer. Aufgrund der Annahme eines unbeschränkt zulässigen Einsatzes von Überstunden ist bei der in dieser Arbeit verwendeten Modellformulierung für das MLCLSP 125 Für den Begriff N P-schwer siehe u. a. Domschke und Drexl (2007), S. 126f. 126 Vgl. zum Begriff der N P-Vollständigkeit Garey und Johnson (1979), S. 17ff. sowie Goddard (2008), S. 187f. 127 Vgl. z. B. de Carvalho (2002). 128 Siehe Garey und Johnson (1979), S. 124ff. für den Beweis der N P-Vollständigkeit des Verpackungsproblems. 129 Vgl. Maes et al. (1991), S. 134ff. 130 Vgl. Johnson und Papadimitriou (1985).

3.5 Komplexität mehrstuﬁger Losgrößenprobleme mit Kapazitätsrestriktionen

41

mit Überstunden immer die Existenz einer mathematisch zulässigen Lösung gewährleistet. Analog zur Modellierung mit Überstunden ist auch eine Modellierung mit Fehlmengen denkbar, um immer eine mathematisch zulässige Lösung für das MLCLSP zu gewährleisten.131 Der Nachweis der Existenz einer mathematisch zulässigen Lösung für die vorgestellten Modellformulierungen ist dann allerdings nicht mehr N P-vollständig. Die Überstundenvariablen Omt lassen sich auch als Schlupfvariablen interpretieren. Soll der Überstundeneinsatz weitestgehend vermieden werden, so wird dieser mit sehr hohen Strafkosten ocm bewertet. Die hier gewählte Formulierung erweist sich für den in dieser Arbeit entwickelten Lösungsansatz als zweckmäßig, wie der weitere Gang der Untersuchung zeigen wird.

131 Vgl. z. B. Aksen et al. (2003) sowie Absi und Kedad-Sidhoum (2008).

4 Algorithmische Ansätze zur Lösung dynamischer Losgrößenprobleme mit Kapazitätsrestriktionen 4.1 Überblick Basierend auf der Klassiﬁzierung von Lösungsansätzen nach Buschkühl et al. (2008) werden in diesem Kapitel Algorithmen zur Lösung des MLCLSP, (ML)CLSP-L sowie Erweiterungen vorgestellt. Zunächst wird die Klassiﬁzierung im Abschnitt 4.2 näher beschrieben. Dieser Klassiﬁzierung folgend werden im Abschnitt 4.3.1 Lösungsansätze erläutert, die auf exakten mathematischen Verfahren basieren. Im Abschnitt 4.3.2 liegt der Schwerpunkt auf Lagrange-Heuristiken. Danach werden im Abschnitt 4.3.3 Dekompositions- und Aggregationsansätze, im Abschnitt 4.3.4 Metaheuristiken und im Abschnitt 4.3.5 problemspeziﬁsche Greedy-Heuristiken132 beschrieben. Zum Abschluss werden Kritikpunkte für die vorgestellten Algorithmen im Abschnitt 4.4 aufgezeigt.

4.2 Klassiﬁzierungsschema für die Lösungsansätze Für dynamische Losgrößenprobleme mit Kapazitätsrestriktionen werden in der Literatur zahlreiche Modellformulierungen133 und Lösungsansätze vorgestellt. Eine große Autorenzahl gibt daher einen umfassenden Überblick über diese Lösungsansätze und Modellformulierungen. So untersuchen Bahl et al. (1987) ein- und mehrstuﬁge Losgrößenprobleme mit und ohne Kapazitätsbeschränkungen. Maes und van Wassenhove (1988) vergleichen Heuristiken insbesondere zur Lösung des CLSP. Gupta und Keung (1990) betrachten ein- und mehrstuﬁge Losgrößenprobleme ohne Kapazitätsbeschränkungen. Salomon et al. (1991) konzentrieren sich auf dynamische Losgrößenprobleme mit Kapazitätsrestriktionen und Algorithmen zur Lösung dieser Probleme. Bei Wolsey (1995) und Brahimi et al. (2006) liegt der 132 Das Wort Heuristik stammt vom griechischen Verb heuriskein, welches im Deutschen mit ﬁnden übersetzt werden kann (vgl. Blum und Roli (2003), S. 270). 133 Vgl. Abschnitt 2.4 auf S. 14ff.

44

4 Algorithmische Ansätze zur Lösung dynamischer Losgrößenprobleme

Schwerpunkt auf Einprodukt-Losgrößenproblemen. Drexl und Kimms (1997) geben einen umfassenden Überblick über Modellformulierungen für Losgrößen- und Reihenfolgeprobleme. Metaheuristiken zur Lösung von Losgrößen- und Reihenfolgeproblemen untersuchen Staggemeier und Clark (2001) sowie Jans und Degraeve (2007). Einen Überblick über Losgrößenprobleme mit Kapazitätsbeschränkungen geben Karimi et al. (2003) sowie Quadt und Kuhn (2008). Darüber hinaus stellen Quadt und Kuhn (2008) zahlreiche Erweiterungen für das CLSP vor. Buschkühl et al. (2008) klassiﬁzieren Lösungsansätze für dynamische Losgrößenprobleme mit Kapazitätsbeschränkungen und richten den Fokus insbesondere auf Ansätze zur Lösung des CLSP, MLCLSP und CLSP-L. Zunächst werden die in der Literatur beschriebenen Ansätze zur Lösung dynamischer Losgrößenprobleme mit Kapazitätsrestriktionen klassiﬁziert. Dazu wird die von Buschkühl et al. (2008) vorgestellte Klassiﬁzierung verwendet. Dieser Klassiﬁzierung folgend werden die Algorithmen in fünf Klassen gruppiert, welche noch weiter unterteilt werden können, wie in Abbildung 4.1 dargestellt.134 Ein großer Teil dieser Lösungsansätze basiert auf Verfahren der mathematischen Programmierung (MP), die im weiteren Verlauf dieser Arbeit als MP-basierte Verfahren bezeichnet werden. Diese Lösungsansätze lassen sich im Gegensatz zu problemspeziﬁschen Heuristiken135 häuﬁg ohne größeren Aufwand auf Modellerweiterungen oder -modiﬁkationen anwenden. Bei diesen Ansätzen wird zwischen exakten Verfahren und Heuristiken unterschieden. Für mathematisch exakte Verfahren lässt sich die Konvergenz gegen ein existierendes Optimum beweisen. Häuﬁg ist die Bestimmung der optimalen Lösung jedoch mit sehr hohem Rechenaufwand verbunden.136 Diese exakten Verfahren bilden die Grundlage für MPbasierte Heuristiken. Diese versuchen, in kurzer Zeit eine gute und möglichst zulässige Lösung in der Nähe des Optimums zu bestimmen, indem nur Teile des Lösungsraums untersucht werden. In Tabelle 4.1 sind MP-basierte Verfahren zur Lösung des MLCLSP und Erweiterungen dargestellt.137 Die zweite Klasse bilden die Lagrange-Heuristiken. Diese iterativen Lösungsverfahren basieren auf der sog. Lagrange-Relaxation. Bei dieser werden kritische Nebenbedingungen eines Problems relaxiert betrachtet. Dazu werden diese mit den sog. Lagrange-Multiplikatoren bewertet und in der Zielfunktion aufgenommen. Somit sind diese Restriktionen nicht mehr im System der Nebenbedingungen enthalten. Die Lagrange-Multiplikatoren können als Strafkosten interpretiert werden, mit denen eine Verletzung der Nebenbedingungen in der Zielfunktion be134 135 136 137

Vgl. Buschkühl et al. (2008), S. 8. Vgl. z. B. Abschnitt 4.3.3 auf S. 59ff. und Abschnitt 4.3.5 auf S. 65ff. Vgl. Domschke und Drexl (2007), S. 127. Eine Beschreibung dieser Ansätze erfolgt im Abschnitt 4.3.1 auf S. 49ff.

4.2 Klassiﬁzierungsschema für die Lösungsansätze

45

Dekompositions-/ AggregationsHeuristiken

Metaheuristiken

Problemspez. GreedyHeuristiken

Branch&BoundHeuristiken

Produktbezogene Heuristiken

Nachbarschaftssuchverfahren

Eröffnungsverfahren

Reformulierungen

Zeitbezogene Heuristiken

MP-basierte Verfahren

LagrangeHeuristiken

Lokale Suchverfahren

Verbesserungsverfahren

Verfahren der simulierten Abkühlung

Zulässige Ungleichungen

Fixierungs- & RelaxierungsHeuristiken

Rundungsheuristiken

Tabu-SuchVerfahren

Populationsbasierte Ansätze

Genetische Algorithmen

Memetische Algorithmen

LP-basierte Ansätze

Ameisenalgorithmen

Abb. 4.1: Klassiﬁzierung von Lösungsansätzen für dynamische Losgrößenprobleme (vgl. Buschkühl et al. (2008), S. 8)

wertet wird. Die Lösung der Lagrange-Relaxation stellt eine neue untere Schranke für das Ausgangsproblem dar. Anschließend wird daraus mit Hilfe einer problemspeziﬁschen Heuristik eine neue zulässige Lösung konstruiert, die als neue obere Schranke für das Ausgangsproblem dient. Zum Abschluss einer Iteration werden die Lagrange-Multiplikatoren aktualisiert. Die Tabelle 4.2 gibt einen Überblick über Lagrange-Heuristiken zur Lösung des MLCLSP und seiner Varianten.138 Die dritte Gruppe umfasst die Dekompositions- und Aggregationsansätze. Die Grundidee der Dekompositions- und Aggregationsansätze besteht darin, die Problemgröße des Ausgangsproblems zu reduzieren. So wird bei den Dekompositionsansätzen das Originalproblem zunächst in kleinere Unterprobleme unterteilt, die jeweils unabhängig voneinander gelöst werden. Nach der Lösung dieser Un138 Diese Ansätze werden im Abschnitt 4.3.2 auf S. 57ff. genauer beschrieben.

46

4 Algorithmische Ansätze zur Lösung dynamischer Losgrößenprobleme

Tab. 4.1: Übersicht der MP-basierten Lösungsansätze (vgl. Buschkühl et al. (2008), S. 9f.) Referenz Modell FORM REL LA Akartunalı und Miller (2009) MLCLSP STD LP RH,F&R,ZU Almada-Lobo et al. (2007) CLSD STD ZU Belvaux und Wolsey (2000) MLCLSP STD LPR ZU Belvaux und Wolsey (2001) MLCLSP STD LPR ZU Billington et al. (1986) MLCLSP STD LR B&B Clark und Armentano (1995) MLCLSP STD LPR ZU Dillenberger et al. (1993) CLSP-L STD LPR F&R Dillenberger et al. (1994) CLSP-L STD LPR F&R Förster et al. (2006) MLCLSD STD LPR F&R Harrison und Lewis (1996) MLCLSP STD – LPB Katok et al. (1998) MLCLSP STD – LPB Haase und Kimms (2000) CLSD STD LPR B&B Kuik et al. (1993) MLCLSP SPL LPR RH Maes et al. (1991) MLCLSP SPL LPR RH Pochet und Wolsey (1991) MLCLSP STD LPR ZU Rossi (2005) MLCLSP STD LPR F&R Salomon (1991) MLCLSP SPL LPR RH Stadtler (1996a) MLCLSP STD,SPL,SR LPR B&B Stadtler (1997) MLCLSP SR LPR B&B Stadtler (2003) MLCLSP SPL LPR F&R Sürie und Stadtler (2003) (ML)CLSP-L SPL LPR ZU,B&C,C&B Tempelmeier und Helber (1994) MLCLSP SR LPR B&B Abkürzungen FORM Modellformulierung (STD = Standardmodellformulierung, SPL = Standortproblem-Formulierung, SR = Kürzeste-Wege-Formulierung) REL Relaxation (LPR = LP-Relaxation, LR = Lagrange-Relaxation) LA Lösungsansatz (B&B = Branch&Bound-Verfahren, B&C = Branch&Cut-Verfahren, C&B = Cut&Branch-Verfahren, F&R = Fix&Relax-Heuristik, LPB = LP-basierter Lösungsansatz, RH = Rundungsheuristik, ZU = Zulässige Ungleichungen)

terprobleme werden dessen Ergebnisse zu einer zulässigen Gesamtlösung zusammengefügt. Bei den Aggregationsansätzen wird der Detaillierungsgrad des Ausgangsproblems verringert. Beispielsweise können alle Produkte einer Dispositionsstufe zu einer Produktgruppe zusammengefasst und das vereinfachte Problem gelöst werden. Die so bestimmte Lösung wird im Anschluss zu einer zulässigen Lösung für das Ausgangsproblem disaggregiert. Die Tabelle 4.3 zeigt Dekompositions- und Aggregationsansätze zur Lösung des MLCLSP und Erweiterungen auf.139 In der vierten Klasse folgen die metaheuristischen Lösungsansätze. Als Metaheuristik140 wird eine allgemeine Strategie zur Steuerung des Optimierungspro139 Die Dekompositions- und Aggregationsansätze werden im Abschnitt 4.3.3 auf S. 59ff. näher vorgestellt. 140 Der Begriff Metaheuristik wurde von Glover (1986) eingeführt. Dieser setzt sich aus dem griechischen Wort Heuristik und der Präposition meta zusammen (vgl. Blum und Roli (2003), S. 270).

4.2 Klassiﬁzierungsschema für die Lösungsansätze

47

Tab. 4.2: Übersicht der Lagrange-Heuristiken (vgl. Buschkühl et al. (2008), S. 15) Referenz Modell RelR SUB Buschkühl (2008) MLCLSP-L Kap, Lag SLULSP-L Chen und Chu (2003) MLCLSP Bin lin. MLCLSP Grünert (1998) MLCLSD Lag, RfR SLULSP, SRP Moorkanat (2000) MLCLSP Kap, Lag SLULSP Özdamar und Barbarosoglu (1999) MLCLSP Kap, Lag M(S)LULSP Özdamar und Barbarosoglu (2000) MLCLSP Kap, Lag M(S)LULSP Sox und Gao (1999) CLSP-L Kap, RüR SLULSP-L Tempelmeier und Buschkühl (2009) MLCLSP-L Kap, Lag SLULSP-L Tempelmeier und Derstroff (1993) MLCLSP Kap, Lag SLULSP Tempelmeier und Derstroff (1996) MLCLSP Kap, Lag SLULSP Abkürzungen RelR Relaxierte Restriktionen (Bin = Binärbedingung der Rüstvariablen, Kap = Kapazitätsrestriktion, Lag = Lagerbilanzgleichung, RfR = Reihenfolgerestriktionen, RüR = Restriktionen für die Rüstübertragung) SUB Gelöstes Unterproblem (lin. MLCLSP = MLCLSP ohne Binärbedingungen, SLULSP-L = SLULSP mit Rüstübertragung, SRP = Kürzeste-Wege-Problem)

zesses bezeichnet.141 Dabei sollen kombinatorische Optimierungsprobleme möglichst ﬂexibel gelöst werden. Zu den Metaheuristiken zählen Nachbarschaftssuchverfahren142 sowie populationsbasierte Verfahren. In der Tabelle 4.4 sind metaheuristische Ansätze zur Lösung des MLCLSP und CLSP-L dargestellt.143

Tab. 4.3: Übersicht der Dekompositions- und Aggregationsansätze (vgl. Buschkühl et al. (2008), S. 18) Referenz Modell Blackburn und Millen (1984) MLCLSP Boctor und Poulin (2005) MLCLSP Bourjolly et al. (2001) CLSP-L Helber (1994) MLCLSP Helber (1995) MLCLSP Tempelmeier und Helber (1994) MLCLSP Abkürzungen LA Lösungsansatz (AGK = Produktbezogener Aggregationsansatz, positionsansatz, DKT = Zeitbezogener Dekompositionsansatz) SUB Gelöstes Unterproblem

LA DKK AGK DKT DKK DKK DKK

SUB SLULSP CLSP CLSP CLSP CLSP CLSP

DKK = Produktbezogener Dekom-

141 Vgl. Suhl und Mellouli (2006), S. 12. 142 In der englischsprachigen Literatur werden Nachbarschaftssuchverfahren auch als TrajectoryMethoden bezeichnet (vgl. Blum und Roli (2003), S. 272). 143 Eine Auswahl dieser Verfahren wird im Abschnitt 4.3.4 auf S. 60ff. näher erläutert.

48

4 Algorithmische Ansätze zur Lösung dynamischer Losgrößenprobleme

Tab. 4.4: Übersicht der metaheuristischen Ansätze (vgl. Buschkühl et al. (2008), S. 21) Referenz Modell NSV PBV Barbarosoglu und Özdamar (2000) MLCLSP SA Berretta und Rodrigues (2004) MLCLSP MA Berretta et al. (2005) MLCLSP SA,TS Chen und Chu (2003) MLCLSP LS Gopalakrishnan et al. (2001) CLSP-L TS Gutierrez et al. (2001) MLCLSP GA Haase (1994) CLSP-L LS Haase (1996) CLSD LS Haase (1998) CLSP-L LS Helber (1994) MLCLSP SA,TS GA Helber (1995) MLCLSP SA,TS GA Hung und Chien (2000) MLCLSP SA,TS GA Kuik et al. (1993) MLCLSP SA,TS Özdamar und Barbarosoglu (2000) MLCLSP SA Özdamar und Bozyel (2000) MLCLSP SA Pitakaso et al. (2006) MLCLSP ACO Salomon (1991) MLCLSP SA,TS Salomon et al. (1993) MLCLSP SA,TS Xie und Dong (2002) MLCLSP GA Abkürzungen NSV Nachbarschaftssuchverfahren (LS = Lokales Suchverfahren, SA = Verfahren der simulierten Abkühlung, TS = Tabu-Suchverfahren) PBV Populationsbasierte Verfahren (ACO = Ameisenalgorithmus, GA = Genetischer Algorithmus, MA = Memetischer Algorithmus)

Der letzten Gruppe sind die problemspeziﬁschen Greedy-Heuristiken zugeordnet. Bei diesen Verfahren wird zwischen Eröffnungsverfahren und Verbesserungsverfahren unterschieden. Bei den Eröffnungsverfahren wird zunächst eine Startlösung generiert. Bei den Verbesserungsverfahren wird dagegen versucht, eine gegebene Lösung iterativ zu verbessern. Die Tabelle 4.5 gibt einen Überblick über problemspeziﬁsche GreedyHeuristiken zur Lösung des MLCLSP und CLSP-L.144 Häuﬁg werden unterschiedliche Ideen dieser Ansätze miteinander kombiniert, sodass sich einige Ansätze selbst auf der obersten Ebene nicht eindeutig einer Klasse zuordnen lassen.145

144 Die problemspeziﬁschen Greedy-Heuristiken werden im Abschnitt 4.3.5 auf S. 65ff. näher erläutert. 145 Vgl. Buschkühl et al. (2008), S. 27.

4.3 Lösungsansätze für dynamische Losgrößenprobleme

49

Tab. 4.5: Übersicht der problemspeziﬁschen Greedy-Heuristiken (vgl. Buschkühl et al. (2008), S. 24) Referenz Modell GH Clark und Armentano (1995) MLCLSP VV (WW) França et al. (1997) MLCLSP VV (WW) Gupta und Magnusson (2005) CLSP-L EV, VV Abkürzungen GH Art der problemspeziﬁschen Greedy-Heuristik (EV = Eröffnungsverfahren, VV = ren, WW = Wagner-Whitin-Verfahren) DIR Richtung der Greedy-Heuristik (RW = rückwärts, VW = vorwärts)

DIR VW, RW RW, VW VW Verbesserungsverfah-

4.3 Lösungsansätze für dynamische Losgrößenprobleme mit Kapazitätsrestriktionen 4.3.1 Mathematische Programmierungsansätze Das Branch&Bound-Verfahren (B&B)146 gehört zu der Klasse der exakten mathematischen Verfahren. Mit diesem Verfahren kann eine optimale Lösung bestimmt werden, sofern eine solche existiert. Allerdings steigt der benötigte Rechenaufwand zur Lösung kombinatorischer Optimierungsprobleme mit zunehmender Modellgröße exponentiell an.147 Dieser Lösungsansatz148 besteht aus zwei Teilen, dem Branching und dem Bounding. Beim Branching wird mit Hilfe eines Entscheidungsbaums der Lösungsraum systematisch in disjunkte Teilprobleme unterteilt. Dazu werden die Binärvariablen innerhalb eines Teilproblems entweder auf 0 oder 1 ﬁxiert. Anschließend wird beim Bounding für das neuentstandene Teilproblem eine neue untere Schranke bestimmt, indem das Teilproblem relaxiert gelöst wird. Zur Relaxierung eines Teilproblems werden häuﬁg zwei Vorgehensweisen verwendet, die LP-Relaxation149 und die Lagrange-Relaxation150 . Bei der LPRelaxation werden die Ganzzahligkeitsbedingungen für gemischt-ganzzahlige Optimierungsprobleme vernachlässigt, indem die relaxierten Binärvariablen reelle Werte im Intervall zwischen 0 und 1 annehmen dürfen.151 Die LagrangeRelaxation wird im Abschnitt 4.3.2 genauer beschrieben. 146 Vgl. Land und Doig (1960). 147 Vgl. Domschke und Drexl (2007), S. 126f. 148 Eine ausführliche Beschreibung des B&B-Verfahrens beﬁndet sich z. B. in Land und Doig (1960), Taha (2003), S. 373ff. sowie Domschke und Drexl (2007), S. 133ff. 149 Die Abkürzung entstammt dem Ausdruck der Linearen Programmierung (LP). 150 Vgl. Abschnitt 4.3.2 auf S. 57 sowie u. a. Geoffrion (1974). 151 Vgl. Domschke und Drexl (2007), S. 136f.

50

4 Algorithmische Ansätze zur Lösung dynamischer Losgrößenprobleme

Eine zulässige Lösung eines Teilproblems stellt bei einem Minimierungsproblem eine obere Schranke für das Ausgangsproblem dar. Sobald die untere Schranke eines Teilproblems einen größeren Wert als die derzeit beste obere Schranke annimmt, wird dieses Teilproblem von weiteren Betrachtungen ausgeschlossen. Das Verfahren endet mit der optimalen Lösung, sofern diese existiert.152 Aus einem B&B-Verfahren kann sehr einfach eine Heuristik konstruiert werden, indem das B&B-Verfahren nach einem gegebenen Zeitlimit abgebrochen wird. Alternativ kann dieses Verfahren abgebrochen werden, wenn eine vorher festgelegte relative Abweichung zwischen der besten bekannten Lösung und der unteren Schranke erreicht ist. Die bestimmte Lösung kann als Startlösung für eine anschließende Verbesserungsheuristik dienen.153 Billington et al. (1986) beschreiben ein B&B-Verfahren zur Lösung des MLCLSP basierend auf der Lagrange-Relaxation. Ein B&B-Verfahren zur Lösung des CLSD stellen Haase und Kimms (2000) vor. Dazu werden vorab efﬁziente Rüstsequenzen bestimmt. Beginnend in der letzten Periode wird für jede Periode eine Rüstsequenz ausgewählt und so eine Lösung für das CLSD generiert. Die LP-Relaxation der Standardmodellformulierung für das MLCLSP liefert äußerst schwache untere Schranken.154 Dies ist ein Grund dafür, dass die Bestimmung des Optimums bereits für kleinere Probleme mit dem B&B-Verfahren zu einem sehr hohen Zeitaufwand führt. Die Güte der unteren Schranke ist abhängig von der Wahl des hinreichend großen Parameters bkt in den Nebenbedingungen (3.5).155 Je größer der Wert für bkt gewählt wird, desto mehr Rechenzeit vergeht im Allgemeinen bis zur Konvergenz der unteren und oberen Schranke. Daher werden in der Literatur weitere Modellformulierungen156 für das MLCLSP vorgestellt, bei denen ein Teil der Entscheidungsvariablen, z. B. die Variablen für die Produktionsmengen, neu deﬁniert wird. Numerische Untersuchungen haben gezeigt, dass die auf diesem Wege verbesserten unteren Schranken der LP-Relaxation die Efﬁzienz des B&B-Verfahrens signiﬁkant steigern.157 Die beiden bekanntesten Formulierungen für das MLCLSP lassen sich analog zum Kürzeste-Wege-Problem (SR, engl.: Shortest Route Problem) sowie zum Standortproblem (SPL, engl.: Simple Plant Location Problem) modellieren. 152 Vgl. Domschke und Drexl (2007), S. 133ff. Bei einem Maximierungsproblem stellt eine zulässige Lösung eine untere Schranke sowie eine relaxierte Lösung eine obere Schranke für das Ausgangsproblem dar (vgl. Taha (2003), S. 373ff.). 153 Vgl. Abschnitt 4.3.5 auf S. 65ff. 154 Vgl. z. B. Stadtler (1996a), S. 574ff. 155 Vgl. Abschnitt 3.2 auf S. 23. 156 Vgl. z. B. Tempelmeier und Helber (1994) sowie Stadtler (1996a, 1997). 157 Vgl. Stadtler (1996a), S. 574ff.

4.3 Lösungsansätze für dynamische Losgrößenprobleme

51

Der Zielfunktionswert der Standardmodellformulierung stimmt für ein gegebenes Rüstmuster mit dem Zielfunktionswert der beiden alternativen Modellformulierungen überein. Die untere Schranke der LP-Relaxation dieser beiden Modellformulierungen ist allerdings deutlich höher als die der Standardmodellformulierung. Für das CLSP und MLCLSP zeigen Denizel et al. (2008) sowie Stadtler (1996b), dass der Zielfunktionswert der LP-Relaxation für die SR-Darstellung und für die SPL-Darstellung übereinstimmen. Die SR-Modellformulierung für Losgrößenprobleme geht auf Eppen und Martin (1987) für das SLULSP und CLSP zurück. Bereits die Lösung der LP-Relaxation führt für das SLULSP in der SR-Formulierung zur Optimallösung.158 Tempelmeier und Helber (1994) erweitern diese Formulierung für das MLCLSP. Basierend auf dieser SR-Formulierung schlägt Stadtler (1996a, 1997) eine verbesserte Modellformulierung für das MLCLSP vor. Bei dieser nimmt die Anzahl der nichtnegativen Einträge in der Koefﬁzientenmatrix ab. Dadurch sinkt der benötigte Rechenaufwand zur Lösung der zugehörigen LP-Relaxation.159 Die SPL-Modellformulierung führen Krarup und Bilde (1977) für das SLULSP ein. Darauf aufbauend beschreibt Rosling (1986) eine Modellformulierung für das MLULSP mit seriellen Erzeugnisstrukturen. Diese wird von Maes et al. (1991) um Kapazitätsrestriktionen erweitert. Darüber hinaus berücksichtigt Stadtler (1996a) generelle Erzeugnisstrukturen. Im Folgenden wird die SPL-Darstellung für das MLCLSP genauer vorgestellt, da diese zur Bestimmung von Referenzwerten bei den numerischen Untersuchungen in den Abschnitten 5.5 und 6.4 herangezogen wird. Einem Produktionsstandort entspricht in Anlehnung an das Standortproblem eine Periode t, in der produziert wird. Einem Kunden- bzw. Nachfragestandort entspricht eine Periode τ, für welche die Nachfrage durch Produktion in Periode t erfüllt wird. Die Herstellung eines Produkts k an einem Produktionsstandort t ist nur dann möglich, wenn dieser für Produkt k geöffnet ist. Die Öffnung eines Standorts entspricht einem Rüstvorgang in Periode t, für den Errichtungskosten in Höhe der Rüstkosten anfallen. Die Produktionsmenge QNktτ von Produkt k in Periode t zur Erfüllung der Nachfrage in Periode τ entspricht der Transportmenge vom Produktionsstandort t zum Nachfragestandort τ. Diese Entscheidungsvariable QNktτ kann nur für Perioden τ ≥ t einen positiven Wert annehmen. In Abbildung 4.2 ist die zugrunde gelegte Struktur der SPL-Darstellung für ein Produkt und vier Perioden skizziert. In der Abbildung entspricht jeder Kreis bzw. Knoten einer Periode. Ein oberer Knoten stellt eine Produktionsperiode für das betrachtete Produkt k dar. Ein unterer Knoten skizziert dagegen eine Nachfrage158 Vgl. Eppen und Martin (1987), S. 836 sowie Tempelmeier (2008), S. 142. 159 Vgl. Stadtler (1996a), S. 571ff. und Stadtler (1997), S. 90ff.

52

4 Algorithmische Ansätze zur Lösung dynamischer Losgrößenprobleme

Produktionsperioden (Ä3URGXNWLRQVVWDQGRUWH³) 1

2

N

3

N

Qk11

Qk22

1

Qk44 N Qk24

N Qk13

2

N

Qk33 N Qk23

N Qk12

4

N

N Qk34

N Qk14

3

4

Nachfrageperioden (Ä.XQGHQVWDQGRUWH³)

Abb. 4.2: Darstellung des dynamischen Losgrößenproblems als Standortproblem (vgl. Tempelmeier (2008), S. 146)

periode für das Produkt k. Ein Pfeil beschreibt die Produktionsmenge QNktτ für das Produkt k in der Produktionsperiode t zur Erfüllung des Bedarfs in der Nachfrageperiode τ. Beispielsweise stimmt der Pfeil von der Produktionsperiode 1 zur Nachfrageperiode 2 mit der Produktionsmenge QNk12 für das Produkt k in Periode 1 zur Befriedigung der Nachfrage in Periode 2 überein. Vereinfacht kann das mehrstuﬁge kapazitierte Losgrößenproblem basierend auf der SPL-Darstellung (MLCLSP-SPL) mit der zusätzlichen Notation aus Tabelle 4.6 folgendermaßen mathematisch modelliert werden:

Tab. 4.6: Zusätzliche Entscheidungsvariable für das MLCLSP-SPL

Entscheidungsvariable QNktτ Produktionsmenge von Produkt k in Periode t zur Erfüllung der Nachfrage in Periode τ Modell MLCLSP-SPL:160 (3.2) – (3.4) und (3.6) – (3.8) QPkt =

T

∑ QNktτ

τ=t

160 Vgl. Maes et al. (1991), S. 137f. und Stadtler (1996a), S. 570f.

∀ k,t

(4.1)

4.3 Lösungsansätze für dynamische Losgrößenprobleme

53

n QNktτ ≤ dkτ · γkt

∀ k,t, τ ≥ t

(4.2)

QNktτ ≥ 0

∀ k,t, τ ≥ t

(4.3)

Die Zielfunktion (3.2) sowie die Nebenbedingungen (3.3), (3.4) und (3.6) bis (3.8) können von der Standardmodellformulierung übernommen werden.161 Die Produktionsmenge QPkt von Produkt k in Periode t wird mit den Gleichungen (4.1) bestimmt. Darüber hinaus werden die Produktionsmengen QNktτ mit den Rüstvariablen γkt in den Bedingungen (4.2) verknüpft. Diese ersetzen die Restriktionen (3.5). Zusätzlich wird die hinreichend große Zahl bkt aus (3.5) durch die n Nettonachfrage dkτ in Periode τ ersetzt. Den Abschluss bilden die Nichtnegativitätsbedingungen (4.3). Bei der Standardmodellformulierung für das MLCLSP wird die Gesamtnettonachfrage als Wert für den hinreichend großen Parameter bkt verwendet.162 Somit wird bei der SPL-Darstellung ein deutlich geringerer Wert verwendet, was zu einer größeren unteren Schranke bei der LP-Relaxation führt. Aus diesem Grund kann die benötigte Rechenzeit bei einem B&B-Verfahren signiﬁkant reduziert werden.163 Eine weitere Möglichkeit zur Verbesserung der unteren Schranke der LPRelaxation besteht darin, der Modellformulierung zulässige Ungleichungen hinzuzufügen. Mit diesen Ungleichungen wird versucht, den Lösungsraum des relaxierten Problems zu verkleinern, indem unzulässige Bereiche des gemischtganzzahligen Ausgangsproblems abgeschnitten werden. Bei der Erzeugung zusätzlicher Ungleichungen wurden in der Literatur drei Vorgehensweisen beschrieben. Beim Schnittebenenverfahren von Gomory (1963) werden iterativ neue Ungleichungen generiert, die nicht-ganzzahlige Bereiche des Lösungsraums abtrennen.164 Beim Branch&Cut-Verfahren (B&C) werden der Modellformulierung weitere Ungleichungen während des B&B-Verfahrens dynamisch hinzugefügt. Beim Cut&Branch-Verfahren (C&B) werden dagegen zunächst zulässige Ungleichungen deﬁniert und vor dem Start des B&B-Verfahrens in die Modellformulierung integriert.165 Für das SLULSP und CLSP deﬁnieren Barany et al. (1984) zulässige Ungleichungen basierend auf den Variablen für die Produktions- und Lagermengen. Diese Ungleichungen werden von Pochet und Wolsey (1991) und Clark und Armenta161 162 163 164 165

Vgl. Abschnitt 3.2 auf S. 23ff. Vgl. Abschnitt 3.2 auf S. 25f. Vgl. Stadtler (1996a), S. 571ff. und Stadtler (1997), S. 90ff. Vgl. Gomory (1963), Taha (2003), S. 384ff. sowie Pochet und Wolsey (2006), S. 102ff. Vgl. Pochet und Wolsey (2006), S. 104ff.

54

4 Algorithmische Ansätze zur Lösung dynamischer Losgrößenprobleme

no (1995) für das MLCLSP angepasst. Belvaux und Wolsey (2000) stellen das System bc–prod zur Lösung kapazitierter Losgrößenprobleme vor. Dieses lässt sich als zusätzliches Modul in den Standardsolver Xpress-MP166 integrieren.167 Vorbereitend werden problemspeziﬁsche168 sowie generelle, zulässige Ungleichungen generiert. Anschließend wird ein B&C-Verfahren zur Lösung verwendet. Eine alternative Modellformulierung für das CLSP-L und MLCLSP-L beschreiben Sürie und Stadtler (2003). Die Restriktionen für die Rüstübertragungen werden neu deﬁniert und zusätzlich weitere zulässige Ungleichungen generiert. Zu diesem Zweck wird der Lagerbestand mit den Rüstvorgängen sowie den Kapazitäten verknüpft.169 Innerhalb eines vorgegebenen Zeitlimits wird versucht, das Optimum bzw. eine erste zulässige Lösung mit der in Xpress-MP integrierten C&Boder B&C-Methode zu bestimmen. Almada-Lobo et al. (2007) beschreiben eine alternative Darstellung der Reihenfolgebedingungen für das CLSD. Darüber hinaus werden der Modellformulierung zulässige Ungleichungen hinzugefügt. Bei einer Fix&Relax-Heuristik (F&R-Heuristik) wird die Anzahl der gleichzeitig zu betrachtenden Binärvariablen reduziert. Vom Ausgangsproblem werden iterativ kleinere Unterprobleme abgeleitet, indem die Binärvariablen innerhalb eines Unterproblems in drei paarweise disjunkte Mengen aufgeteilt werden. Die Optimalwerte der Binärvariablen in der ersten Menge werden im aktuellen Unterproblem ermittelt. Gleichzeitig werden die ursprünglichen Binärvariablen in der zweiten Menge nur relaxiert betrachtet, während die verbleibenden Binärvariablen bereits aus einer vorherigen Iteration ﬁxiert sind.170 Dillenberger et al. (1993, 1994) entwickeln eine F&R-Heuristik für das CLSP-L. Diese besteht hauptsächlich aus einem B&B-Verfahren, bei dem das Branching in der Reihenfolge der Perioden stattﬁndet. Alle Binärvariablen der gerade betrachteten Periode werden optimal gelöst, während die Rüstvariablen nachfolgender Perioden zunächst nur relaxiert betrachtet werden. Die Rüstentscheidungen vorheriger Perioden wurden bereits ﬁxiert. Zur Lösung des MLCLSP beschreibt Stadtler (2003) einen zeitorientierten Dekompositionsansatz mit sich überlappenden Planungsfenstern. Auf der Basis der SPL-Darstellung werden die Binärvariablen innerhalb eines Planungsfensters optimal bzw. am Ende dieses Fensters relaxiert gelöst. Die Werte der Rüstvaria166 Vgl. http://www.dashoptimization.com/ 167 Vgl. Belvaux und Wolsey (2000), S. 724ff. 168 Dazu gehören u. a. die von Barany et al. (1984), Pochet und Wolsey (1991) sowie Clark und Armentano (1995) beschriebenen zulässigen Ungleichungen. 169 Vgl. Sürie und Stadtler (2003), S. 1046. 170 Vgl. Pochet und Wolsey (2006), S. 109ff.

4.3 Lösungsansätze für dynamische Losgrößenprobleme

55

blen bereits betrachteter Planungsfenster sind aus einer vorherigen Iteration bereits bekannt und ﬁxiert. Die Binärvariablen nachfolgender Planungsfenster werden zunächst nicht berücksichtigt. Zur Bestimmung einer zulässigen Gesamtlösung müssen die Kapazitäten sowie die Lager- und Rüstkosten sowohl am Ende eines Planungsfensters als auch für die nachfolgenden Planungsfenster angepasst werden.171 Diese Anpassung ist erforderlich, da bei der exakten Lösung dynamischer Losgrößenprobleme eine Fertigung am Ende des Planungshorizonts häuﬁg unattraktiv erscheint. Die anfallenden Rüstkosten für eine Fertigung in den letzten Perioden sind selten niedriger als die Lagerkosten.172 Da Stadtler in seiner Heuristik jeweils nur die Rüstvariablen innerhalb eines Planungsfensters berücksichtigt, werden die Rüst- und Lagerkosten am Ende eines betrachteten Planungsfensters zur Vermeidung des beschriebenen Effekts modiﬁziert. Somit kann ein zusätzlicher Rüstvorgang am Ende des aktuellen Planungsfensters attraktiver werden. Sürie und Stadtler (2003) sowie Sürie (2005) beschreiben eine Variante des Verfahrens zur Lösung des CLSP-L und MLCLSP-L. Einen ähnlichen zeitorientierten Dekompositionsansatz für das MLCLSP verwendet Rossi (2005). Iterativ wird zunächst der Großteil der binären Rüstvariablen relaxiert betrachtet, während die Rüstvariablen innerhalb eines rollierenden Zeitfensters für alle Produkte optimal gelöst werden. Die Rüstvariablen bereits betrachteter Perioden werden ﬁxiert und innerhalb des Verfahrens nicht mehr verändert. Förster et al. (2006) beschreiben eine F&R-Heuristik mit rollierenden Planungsfenstern zur Lösung des MLCLSD. Zunächst wird ein Großteil der Binärvariablen relaxiert betrachtet, und die übrigen Binärvariablen im Planungsfenster werden optimal gelöst. Die optimal gelösten Binärvariablen werden anschließend ﬁxiert und das Planungsfenster verschoben. Das Verfahren endet, sobald das Ende des Planungshorizonts erreicht ist. Bei einer Rundungsheuristik (RH) werden die ganzzahligen Entscheidungsvariablen eines gemischt-ganzzahligen Optimierungsproblems zunächst relaxiert gelöst. Die nicht-ganzzahlig gelösten Entscheidungsvariablen werden sukzessiv aufbzw. abgerundet. Ein vermehrtes Auf- bzw. Abrunden der Binärvariablen kann bei Losgrößenproblemen mit Kapazitätsbeschränkungen zu unzulässigen Lösungen führen, da die vorgegebene Produktionskapazität nicht für vollständige Rüstvorgänge ausreicht. Häuﬁges Aufrunden der binären Rüstvariablen kann dazu führen, dass zu viele Produkte in einer Periode gefertigt werden. Entsprechend wird durch das Abrunden der Binärvariablen die Produktion in vorherige Perioden verlagert, was in diesen Perioden zu Kapazitätsengpässen führen kann. Aus diesem Grund 171 Vgl. Stadtler (2003), S. 491ff. 172 Vgl. Tempelmeier (2008), S. 213.

56

4 Algorithmische Ansätze zur Lösung dynamischer Losgrößenprobleme

werden während einer RH zunächst nur die nicht-ganzzahlig gelösten Binärvariablen in kleinen vorgegebenen Wertebereichen auf- bzw. abgerundet.173 Anschließend wird versucht, eine zulässige Lösung für das Ausgangsproblem zu bestimmen. Maes et al. (1991) verwenden Rundungsheuristiken zur Lösung des MLCLSP ohne Rüstzeiten. Basierend auf der SPL-Darstellung werden iterativ die relaxiert gelösten Rüstvariablen mit dem höchsten Wert aufgerundet. Ein ähnlicher Ansatz sieht vor, alle Rüstvariablen in einem Wertebereich nahe der 1 aufzurunden und die Rüstvariablen in einem Wertebereich nahe der 0 abzurunden. Anschließend wird bei beiden Ansätzen die um die bereits ﬁxierten Rüstvariablen reduzierte LPRelaxation erneut gelöst. Eine weitere RH stellen Kuik et al. (1993) für das MLCLSP ohne Rüstzeiten vor. Auch hier wird die LP-Relaxation basierend auf der SPL-Darstellung gelöst. Alle Rüstvariablen in den vorgegebenen Wertebereichen werden entweder auf- oder abgerundet. Für die Initialisierung eines anschließenden lokalen Suchverfahrens wird den übrigen, nicht-ganzzahlig gelösten Binärvariablen zunächst der Wert 1 zugewiesen. Dieses Suchverfahren beschränkt sich nur auf die Veränderung der nicht ﬁxierten Binärvariablen. Einen ähnlichen Ansatz beschreibt Salomon (1991) für das MLCLSP. Akartunalı und Miller (2009) kombinieren eine RH und einen F&R-Ansatz zur Lösung des MLCLSP. Zunächst wird die LP-Relaxation der Standardmodellformulierung mit zusätzlichen zulässigen Ungleichungen gelöst und die Rüstvariablen innerhalb eines vorgegebenen Intervalls ﬁxiert. Danach werden mit einer F&R-Heuristik die Rüstvariablen innerhalb eines Planungsfensters optimal gelöst und anschließend ﬁxiert. Durch das Vernachlässigen bzw. das Fixieren der binären Rüstvariablen γkt entsteht ein signiﬁkant einfacher zu lösendes lineares Optimierungsmodell. Die optimale Lösung kann efﬁzient mit Methoden der linearen Programmierung bestimmt werden. Bei den LP-basierten Ansätzen wird für ein gegebenes bzw. im Voraus bestimmtes Rüstmuster das zugehörige lineare Optimierungsmodell exakt gelöst. Iterativ werden neue Rüstmuster durch kleine Veränderungen des Ausgangsrüstmusters generiert und durch die Lösung des daraus abgeleiteten linearen Optimierungsmodells bewertet.174 Harrison und Lewis (1996) stellen einen iterativen Lösungsansatz für das MLCLSP vor. Durch die Restriktionen (3.5) sind die binären Rüstvariablen und die Variablen für die Produktionsmengen miteinander verknüpft.175 Somit ist ge173 Vgl. Maes et al. (1991), S. 139. 174 Vgl. Hung und Hu (1998), S. 1031f. 175 Vgl. Abschnitt 3.2 auf S. 23.

4.3 Lösungsansätze für dynamische Losgrößenprobleme

57

währleistet, dass die Entscheidungsvariablen für die Produktionsmengen nur einen positiven Wert annehmen dürfen, wenn gerüstet wird. Die beiden Variablen nehmen entweder gleichzeitig einen positiven Wert oder den Wert 0 an. Harrison und Lewis (1996) schlagen eine lineare Modellformulierung für das MLCLSP vor, in der die Rüstvariablen nicht berücksichtigt werden. Stattdessen werden die Bearbeitungszeiten zur Berücksichtigung der Rüstzeiten modiﬁziert. Die ursprünglichen Stückbearbeitungszeiten werden um anteilige Rüstzeiten pro Mengeneinheit erhöht. Diese Anpassung basiert auf den Produktionsmengen der vorherigen Iteration. Dieses Optimierungsmodell wird mit einem Standardsolver optimal gelöst. Katok et al. (1998) erweitern diese Heuristik, indem zusätzlich die Produktionskosten um anteilige Rüstkosten erweitert werden.

4.3.2 Lagrange-Heuristiken Bei den Lagrange-Heuristiken (LH) werden die Lagrange-Multiplikatoren iterativ angepasst, um eine gute untere Schranke für das Ausgangsproblem zu erzeugen. Unter Verwendung der optimalen Lagrange-Multiplikatoren soll sich die Lösung des relaxierten Problems möglichst dicht an der optimalen Lösung des Ausgangsproblems beﬁnden. Für die Konstruktion einer zulässigen Lösung in der Nähe des Optimums sind dann nur noch wenige Veränderungen notwendig.176 Bei der Lagrange-Relaxation (LR) werden zur Bestimmung einer unteren Schranke die kritischen Nebenbedingungen des Ausgangsproblems in der Zielfunktion relaxiert betrachtet. Durch die Relaxation der Kapazitätsrestriktionen zerfällt das CLSP in K einstuﬁge unkapazitierte Losgrößenprobleme vom Typ SLULSP.177 Beim MLCLSP werden zusätzlich zu den Kapazitätsrestriktionen auch die Lagerbilanzgleichungen relaxiert. Dadurch werden die bestehenden Input- und Outputbeziehungen zwischen den Produkten vernachlässigt. Somit zerfällt auch das MLCLSP in K einstuﬁge unkapazitierte Losgrößenprobleme. Für jedes Produkt k kann ein SLULSP unabhängig von den anderen Produkten gelöst werden.178 Alternativ können beim MLCLSP auch nur die Kapazitätsrestriktionen relaxiert betrachtet werden. Zur Lösung des daraus resultierenden mehrstuﬁgen Losgrößenproblems ohne Kapazitätsrestriktionen (MLULSP, engl.: Multi-

176 Vgl. z. B. Geoffrion (1974), Fisher (1985) und Beasley (1995). 177 Vgl. u. a. Trigeiro (1987) und Trigeiro et al. (1989). 178 Zur Lösung des SLULSP existieren zahlreiche exakte und heuristische Lösungsansätze. Exakte Verfahren haben u. a. Wagner und Whitin (1958), Evans (1985), Federgruen und Tzur (1991) sowie Wagelmans et al. (1992) vorgestellt. Zu den heuristischen Lösungsansätzen zählen u. a. das Verfahren von Silver und Meal (1969, 1973) sowie das Verfahren von Groff (1979).

58

4 Algorithmische Ansätze zur Lösung dynamischer Losgrößenprobleme

Level Uncapacitated Lotsizing Problem)179 sind allerdings noch keine efﬁzienten exakten Lösungsansätze bekannt.180 Die Aktualisierung der Lagrange-Multiplikatoren erfolgt mit dem Ansatz der Subgradienten-Optimierung. Die Subgradienten geben die Richtung zur Anpassung der Lagrange-Multiplikatoren für eine größtmögliche Verbesserung des Zielfunktionswerts an und basieren auf der Verletzung der jeweiligen Restriktion.181 Basierend auf der Modellformulierung von Billington et al. (1986) beschreiben Tempelmeier und Derstroff (1993, 1996) einen Lösungsansatz für das MLCLSP mit Rüst- und Vorlaufzeiten. Zur Bestimmung der oberen Schranke wird für jedes Produkt jeweils ein SLULSP in der Reihenfolge der Dispositionsstufen182 beginnend mit den Endprodukten gelöst. Durch dieses Vorgehen wird der abgeleitete Bedarf entlang der mehrstuﬁgen Erzeugnisstruktur berücksichtigt. Zur Berücksichtigung der Kapazitätsrestriktionen wird eine von Trigeiro et al. (1989) eingeführte Glättungsprozedur angepasst. Tempelmeier und Buschkühl (2009) erweitern diese Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L mit einfacher Rüstübertragung. Darüber hinaus berücksichtigt Buschkühl (2008) die Möglichkeit der mehrfachen Rüstübertragung sowie parallele Maschinen. Moorkanat (2000) stellt einen ähnlichen Ansatz für das MLCLSP mit Rüstzeiten vor. Zusätzlich zu der Glättungsprozedur von Tempelmeier und Derstroff (1996) wird eine weitere Heuristik implementiert, bei der jede Maschine periodenweise betrachtet wird. Der wesentliche Unterschied zum Ansatz von Tempelmeier und Derstroff (1996) besteht darin, dass für die Endprodukte Fehlmengen erlaubt sind. Zur Lösung des MLCLSP mit serieller Erzeugnisstruktur und mehreren Endprodukten kombinieren Özdamar und Barbarosoglu (1999) eine LH mit einem Ansatz der simulierten Abkühlung.183 Einen ähnlichen Lösungsansatz verwenden Özdamar und Barbarosoglu (2000) für das MLCLSP mit genereller Erzeugnisstruktur. Zwei Möglichkeiten der LR werden beschrieben. Bei der ersten werden nur die Kapazitätsrestriktionen relaxiert, dagegen werden bei der zweiten zusätzlich auch die Lagerbilanzgleichungen relaxiert. Ein Verfahren der simulierten Abkühlung sowie eine Greedy-Heuristik werden zur Bestimmung einer zulässigen Lösung verwendet. Bei der LH von Chen und Chu (2003) werden die Binärbedingungen der Rüstvariablen für das MLCLSP relaxiert. Das daraus resultierende lineare Optimierungsmodell wird näherungsweise gelöst. Für die Aktualisierung der Lagrange179 180 181 182 183

Vgl. Jacobs und Khumawala (1982), S. 141f. Vgl. u. a. Derstroff (1995), S. 65 und Tempelmeier (2008), S. 340. Vgl. u. a. Gofﬁn (1977) und Sandi (1979). Vgl. Günther und Tempelmeier (2007), S. 192. Vgl. Abschnitt 4.3.4 auf S. 60.

4.3 Lösungsansätze für dynamische Losgrößenprobleme

59

Multiplikatoren wird die Subgradienten-Optimierung angepasst, indem die Subgradienten nur näherungsweise bestimmt werden. Eine zulässige Lösung wird ermittelt, indem alle Rüstvariablen mit positiven Werten auf 1 und die übrigen auf 0 ﬁxiert werden. Im Anschluss an die LH wird zur Verbesserung der gefundenen Lösung ein lokales Suchverfahren verwendet. Sox und Gao (1999) stellen eine LH für das CLSP-L vor, bei der sowohl die Kapazitätsrestriktionen als auch die Nebenbedingungen für die Rüstübertragung relaxiert werden. Für die Lösung des MLCLSD beschreibt Grünert (1998) eine LH in Verbindung mit einer Tabu-Suche.

4.3.3 Dekompositions- und Aggregationsansätze Bei mehrstuﬁgen Losgrößenproblemen sind die Produktionsstufen durch den abgeleiteten Bedarf in der Lagerbilanzgleichung (3.3) miteinander verbunden.184 Eine Losgrößenentscheidung für ein Produkt wirkt sich sowohl auf die direkten als auch auf die indirekten Vorprodukte aus. Blackburn und Millen (1984) beschreiben einen Dekompositionsansatz zur Lösung des MLCLSP. Bei diesem wird entlang der konvergierenden Erzeugnisstruktur in aufsteigender Reihenfolge der Dispositionsstufen für jedes Produkt ein SLULSP gelöst. Dazu werden vorab die Lagerund Rüstkosten modiﬁziert. Abschließend wird aus den einzelnen Lösungen eine zulässige Lösung für das Gesamtproblem generiert. Tempelmeier und Helber (1994) stellen einen Dekompositionsansatz zur Lösung des MLCLSP ohne Rüstzeiten vor. Zunächst wird das MLCLSP in mehrere einstuﬁge Losgrößenprobleme vom Typ CLSP zerlegt. Für die Lösung der einzelnen CLSP wird die Heuristik von Dixon und Silver (1981) modiﬁziert und zusätzlich um einen mehrstuﬁgen Zulässigkeitstest erweitert. Helber (1994, 1995) beschreibt die Anpassung dieses Ansatzes zur Lösung des MLCLSP mit Rüstzeiten. Boctor und Poulin (2005) lösen das MLCLSP für serielle Erzeugnisstrukturen mit produktspeziﬁschen Maschinen. Die Aggregation erfolgt unter der Annahme, dass die Produktionsmengen für ein Produkt auf jeder Stufe identisch sind. Das aus dieser Annahme resultierende CLSP wird mit einer problemspeziﬁschen GreedyHeuristik185 gelöst. Bei den zeitlichen Dekompositionsansätzen wird häuﬁg eine rollierende Planung durchgeführt, indem der Planungshorizont in kleinere, sich überlappende Planungsfenster unterteilt wird. Beginnend in der ersten Periode wird iterativ 184 Vgl. Abschnitt 3.2 auf S. 23. 185 Vgl. Abschnitt 4.3.5 auf S. 65.

60

4 Algorithmische Ansätze zur Lösung dynamischer Losgrößenprobleme

für jedes Planungsfenster ein Unterproblem gelöst, während die Lösung früherer Planungsfenster ﬁxiert wird. Anschließend wird das folgende Planungsfenster betrachtet. Einige zeitliche Dekompositionsansätze wurden bereits im Abschnitt 4.3.1 bei den F&R-Ansätzen vorgestellt. Die Ansätze von Dillenberger et al. (1993, 1994), Stadtler (2003) und Rossi (2005) lassen sich ebenfalls der Gruppe der zeitlichen Dekompositionsansätze zuordnen. Bourjolly et al. (2001) erweitern einen Lösungsansatz von Gopalakrishnan et al. (2001)186 zur Lösung des CLSP-L. Basierend auf einem rollierenden Planungsfenster wird das Problem rekursiv in mehrere Unterprobleme ausgehend von der ersten Periode zerlegt und anschließend das Unterproblem gelöst. Der Produktionsplan für das aktuelle Unterproblem dient jeweils als Startlösung für das folgende Unterproblem. Die Möglichkeit der Rüstübertragung wird erst abschließend berücksichtigt. Dazu werden Rüstvorgänge von Produkten zusammengefasst, die in zwei zusammenhängenden Perioden gefertigt werden.

4.3.4 Metaheuristische Lösungsansätze Metaheuristiken (MH) werden auch der Klasse der Verbesserungsverfahren187 zugeordnet, da diese versuchen, eine gegebene Startlösung iterativ zu verbessern. Für eine Vielzahl der Nachbarschaftssuchverfahren wurden Mechanismen entwickelt, die zwischenzeitlich Verschlechterungen des Zielfunktionswerts zulassen, um lokale Optima wieder verlassen zu können. Bei den populationsbasierten Verfahren werden im Gegensatz zu den Nachbarschaftssuchverfahren mehrere Lösungen gleichzeitig betrachtet. Für einige metaheuristische Verfahren dient die Natur als Vorbild. Häuﬁg werden die allgemeinen Lösungsstrategien der MH mit problemspeziﬁschen Heuristiken kombiniert. Mit diesen hybriden Verfahren soll eine schnellere Konvergenz gegen ein lokales Optimum erreicht werden. Das Verhalten von MH bestimmen maßgeblich zwei Prinzipien, die Intensivierung und die Diversiﬁkation. Bei der Intensivierung wird die Suche auf einen aussichtsreichen Bereich des Lösungsraums fokussiert, die sog. Exploitation. Unter Diversiﬁkation wird die Ausweitung des Suchraums verstanden, wenn längere Zeit keine bessere Lösung mehr gefunden werden konnte, die sog. Exploration.188 Bei den Metaheuristiken für Losgrößenprobleme bietet sich eine an der Standardmodellformulierung189 orientierte Darstellung einer Lösung an. Für die Rüst186 Dieser Ansatz wird im Abschnitt 4.3.5 auf S. 65 vorgestellt. 187 Vgl. Abschnitt 4.3.5 auf S. 65. 188 Vgl. Fink und Rothlauf (2006), S. 5. Die Prinzipien der Intensivierung und Diversiﬁkation werden u. a. ausführlich von Gendreau (2003), S. 45ff. sowie von Blum und Roli (2003), S. 271ff. beschrieben. 189 Vgl. Abschnitt 3.2 auf. S. 19.

4.3 Lösungsansätze für dynamische Losgrößenprobleme

61

entscheidungen werden Binärvariablen und für die Produktions- und Lagermengen reellwertige Variablen verwendet. Einige Verfahren beschränken sich nur auf die Bestimmung eines Rüstmusters, möglichst in der Nähe des Optimums. Für die Bewertung des zugehörigen Produktionsplans können Methoden der linearen Optimierung190 oder der dualen Reoptimierung191 sowie heuristische Ansätze verwendet werden. Alternativ besteht auch die Möglichkeit einer indirekten Darstellung der Lösung. Beipielsweise benutzen Haase und Kohlmorgen (1995) in einem genetischen Algorithmus eine Parameterfolge für die Darstellung einer Lösung des CLSP. Mit der Hilfe einer Prioritätsregel erfolgt die Dekodierung zu einem Produktionsplan.192 Lokale Suchverfahren (LS) sind eigentlich der Klasse der Verbesserungsverfahren zuzuordnen. Da eine Vielzahl der Nachbarschaftssuchverfahren allerdings den Ideen der LS folgen, werden die LS bereits an dieser Stelle erläutert. Ausgehend von einer gegebenen Startlösung versuchen LS iterativ ein lokales Optimum zu bestimmen, indem eine zuvor deﬁnierte Nachbarschaft der Startlösung systematisch untersucht wird. Die Nachbarschaft einer Lösung ist deﬁniert als die Lösungsmenge, die man durch kleine Modiﬁkationen der Ausgangslösung, sog. Schritte, erhält. Bei Losgrößenproblemen bestehen mögliche Veränderungen aus der Verlagerung von Produktionsmengen in frühere oder spätere Perioden sowie aus dem Entfernen bzw. Hinzufügen eines Rüstvorgangs. Die Nachbarschaft kann teilweise oder vollständig untersucht werden. Haase (1994) beschreibt zur Lösung des CLSP-L eine stochastische rückwärtsorientierte Prozedur basierend auf einer Prioritätsregel. Diese Methode erweitert Haase (1998) um ein lokales Suchverfahren, bei dem die Prioritätsregel iterativ angepasst wird, um die Lösung zu verbessern. Haase (1996) passt die stochastische rückwärtsorientierte Prozedur zur Lösung des CLSD an. Chen und Chu (2003) kombinieren eine Lagrange-Heuristik mit einem LS. In jeder Iteration wird versucht, die während der LH konstruierte Lösung zu verbessern, indem jeweils zwei Rüstzustände aus der Nachbarschaft der Ausgangslösung verändert werden. Das Verfahren der simulierten Abkühlung (SA, engl.: Simulated Annealing) und das Tabu-Suchverfahren können als Erweiterungen der LS gesehen werden. Während der Optimierung soll die Möglichkeit bestehen, ein lokales Optimum wieder verlassen zu können, um eine bessere Lösung in noch nicht untersuchten Bereichen des Suchraums zu ﬁnden. In diesem Fall ist eine sensible Wahl des Abbruchkri190 Vgl. Hung und Hu (1998). 191 Vgl. Meyr (1999, 2000). 192 Vgl. Haase und Kohlmorgen (1995), S. 372ff.

62

4 Algorithmische Ansätze zur Lösung dynamischer Losgrößenprobleme

teriums notwendig, um vorübergehend auch schlechtere Lösungen zu akzeptieren und um somit lokale Optima wieder verlassen zu können.193 Das Verfahren der simulierten Abkühlung geht auf Kirkpatrick et al. (1983) zur Lösung kombinatorischer Entscheidungsprobleme zurück. Die SA kann als Kombination aus iterativer Verbesserung und Random Walk gesehen werden. Ausgehend von einer Startlösung wird iterativ eine neue Lösung zufällig aus der Nachbarschaft ausgewählt. Mit Hilfe einer monoton fallenden Annahmewahrscheinlichkeit für schlechtere Nachbarschaftslösungen wird die Suche im Lösungsraum gesteuert. Auf der Basis dieser Wahrscheinlichkeit wird entschieden, ob eine neue Lösung mit einem schlechteren Zielfunktionswert als neue Ausgangslösung akzeptiert wird. Somit können ggf. auch lokale Optima wieder verlassen werden.194 Kuik et al. (1993) kombinieren eine Rundungsheuristik mit einem SA-Ansatz für das MLCLSP ohne Rüstzeiten. Helber (1994, 1995) untersucht Abkühlungsschemata für SA-Ansätze zur Bestimmung eines kostenminimalen Rüstmusters für das MLCLSP. Zusätzlich wird der Einﬂuss von Startlösungen auf die Lösungsqualität untersucht. Ähnliche SA-Ansätze haben Barbarosoglu und Özdamar (2000), Berretta et al. (2005), Hung und Chien (2000), Özdamar und Barbarosoglu (2000), Özdamar und Bozyel (2000), Salomon (1991) und Salomon et al. (1993) vorgestellt. Das Tabu-Suchverfahren (TS) führt Glover (1986) ein. Bei diesem Verfahren kann sowohl deterministisch als auch stochastisch vorgegangen werden. Die Bezeichnung Tabu-Suche stammt vom charakteristischen Merkmal dieses Verfahrens, der sog. Tabu-Liste. In dieser werden Informationen über bereits betrachtete zurückliegende Lösungen gespeichert. Eine Lösung kann nur dann als neue Ausgangslösung verwendet werden, wenn diese nicht in der Tabu-Liste enthalten ist. Somit ist eine Wiederkehr zu vorherigen Schritten bzw. ein Kreiseln ausgeschlossen. Um vorteilhafte Schritte nicht schon vorab abzulehnen, kann z. B. ein Aspirationskriterium deﬁniert werden, um auch die Ausführung von tabugesetzten Schritten zu erlauben. Die maximale Länge einer Tabu-Liste ist abhängig von der Größe des durchsuchten Lösungsraums.195 Neuere Tabu-Suchverfahren verwenden eine adaptive Tabu-Liste. In diesem Fall wird die Listenlänge an die Lösungsqualität der aktuell betrachteten Lösung angepasst.196 Gopalakrishnan et al. (2001) beschreiben ein Tabu-Suchverfahren zur Lösung des CLSP-L. Zum einen werden zur Modiﬁkation der Rüstübertragungsvariablen Rüstverschiebungen in vorherige oder spätere Perioden vorgeschlagen. Zum an193 194 195 196

Vgl. Henderson et al. (2003), S. 288. Vgl. u. a. Kirkpatrick et al. (1983) und Henderson et al. (2003). Vgl. u. a. Glover (1986). Vgl. z. B. Gendreau (2003).

4.3 Lösungsansätze für dynamische Losgrößenprobleme

63

deren werden zur Veränderung der Produktionsmengen diese ebenfalls in frühere oder spätere Perioden verschoben. Die weiteren u. a. von Salomon (1991), Kuik et al. (1993), Helber (1994, 1995), Hindi (1996), Hung und Chien (2000), Özdamar et al. (2002) und Berretta et al. (2005) vorgestellten Tabu-Suchverfahren zur Lösung des MLCLSP beruhen größtenteils auf Veränderungen der binären Rüstvariablen. Genetische Algorithmen (GA)197 gehören zu der Klasse der Evolutionären Algorithmen (EA).198 Bei diesen Algorithmen werden im Gegensatz zu den Nachbarschaftssuchverfahren mehrere Lösungen gleichzeitig betrachtet. Die Menge der Lösungen wird auch als Population bezeichnet. Basierend auf der Evolutionstheorie von Charles Darwin wurden GA durch die Prinzipien der natürlichen Selektion inspiriert.199 Eine nachfolgende Generation wird iterativ durch Rekombination, dem sog. Crossover, von jeweils zwei Individuen erzeugt. Diese Individuen werden zufällig aus der aktuellen Population ausgewählt. Dazu werden diese zunächst mit Hilfe einer Fitnessfunktion bewertet. Die anschließende Auswahl, die sog. Selektion, dieser Individuen erfolgt auf der Basis dieser Fitnesswerte. Individuen mit einem höheren Fitnesswert erhalten eine höhere Auswahlpriorität als Individuen mit einem niedrigeren Fitnesswert. Zusätzlich zu den stochastischen Operatoren der Selektion und des Crossovers besteht die Möglichkeit der Mutation. Ein GA endet, sobald ein Abbruchkriterium erfüllt ist. Dies kann beispielsweise der Fall sein, wenn die maximale Generationszahl erreicht ist oder eine festgelegte Anzahl an Generationen zu keiner Verbesserung des Zielfunktionswerts geführt hat.200 Häuﬁg besteht die Herausforderung bei der Anwendung eines GA darin, die Darstellung der Lösungen so zu wählen, dass die Kombination zweier Lösungen wieder eine zulässige Lösung ergibt.201 Özdamar und Barbarosoglu (1999) integrieren in einem hybriden Ansatz ein Verfahren der SA und einen GA in einer Lagrange-Heuristik. Hung und Chien (2000) beschreiben ein TS, einen Ansatz der SA sowie einen GA zur Lösung des MLCLSP. Ausgehend von einem Rüstmuster wird eine Nachbarschaftslösung durch einige wenige Veränderungen generiert. Anschließend

197 Eine ausführliche Beschreibung von GA beﬁndet sich u. a. bei Nissen (1994), Mühlenbein (2003) oder Reeves (2003). 198 Zu der Klasse der evolutionären Algorithmen gehören ferner Verfahren der Evolutionären Programmierung sowie Evolutionsstrategien (vgl. Nissen (1994), S. 13). 199 In Anlehnung an die Evolutionstheorie wird eine Lösung als Individuum und die Population einer Iteration als Generation bezeichnet. 200 Vgl. Reeves (2003), S. 64. 201 Vgl. z. B. Nissen (1994), S. 21ff., Blum und Roli (2003), S. 284ff. sowie Reeves (2003).

64

4 Algorithmische Ansätze zur Lösung dynamischer Losgrößenprobleme

wird das zugehörige LP optimal gelöst. Auf der Basis der Schattenpreise der Optimallösung werden die nachfolgenden Schritte ausgewählt. Weitere GA für das MLCLSP werden von Gutierrez et al. (2001), Helber (1994, 1995), Özdamar und Bozyel (2000) und Xie und Dong (2002) vorgestellt. Zu der Klasse der EA zählen auch die Memetischen Algorithmen (MA).202 Bei diesen Ansätzen steht nicht die Analogie zur Biologie im Vordergrund. Vielmehr sollen problemspeziﬁsche Lösungsheuristiken sinnvoll mit den Operatoren eines GA verknüpft werden. Dazu können sowohl Heuristiken als auch exakte Lösungsverfahren verwendet werden.203 Berretta und Rodrigues (2004) stellen einen MA für das MLCLSP basierend auf der Heuristik von França et al. (1997)204 vor. Die Grundidee eines Ameisenalgorithmus (ACO, engl.: Ant Colony Optimization)205 basiert auf dem natürlichen Verhalten von Ameisenkolonien bei der Futtersuche, bei der Ameisen einen Pheromonpfad hinterlassen. Nachfolgende Ameisen wählen normalerweise den Weg mit der höchsten Pheromonkonzentration aus. Die Konzentration auf kürzeren Wegen ist im Vergleich zu längeren Wegen höher. Daher wählt eine Ameise mit hoher Wahrscheinlichkeit den kürzesten Weg aus.206 Pitakaso et al. (2006) kombinieren einen Ameisenalgorithmus mit einem Dekompositionsansatz zur Lösung des MLCLSP. Iterativ wird jeweils ein Unterproblem mit einer geringen Produkt- und Periodenzahl betrachtet und es werden auch nur die zugehörigen Restriktionen und Variablen berücksichtigt. Aus diesem Grund ist eine Anpassung der Kapazitäten zur Berücksichtigung der im aktuellen Unterproblem nicht betrachteten Produkte und Perioden erforderlich. Das zugehörige gemischt-ganzzahlige Optimierungsmodell wird optimal gelöst und die zugehörigen Variablen werden ﬁxiert. Basierend auf der in vorherigen Iterationen aufgebauten Pheromonkonzentration wird mit einem Ameisenalgorithmus das Unterproblem für die nächste Iteration ausgewählt. Anschließend werden die Pheromoninformationen aktualisiert.

202 Häuﬁg werden MA auch als hybride oder parallele GA bezeichnet, da hier Ideen problemspeziﬁscher Heuristiken mit den Prinzipien eines genetischen Algorithmus kombiniert werden (vgl. Merz (2000), S. 42). 203 Vgl. Berretta und Rodrigues (2004), S. 71. 204 Vgl. Abschnitt 4.3.5 auf S. 65f. 205 Eine ausführliche Beschreibung der Funktionsweise von Ameisenalgorithmen geben u. a. Dorigo und Stützle (2003, 2004). 206 Vgl. Deneubourg et al. (1990).

4.3 Lösungsansätze für dynamische Losgrößenprobleme

65

4.3.5 Problemspeziﬁsche Greedy-Heuristiken Die problemspeziﬁschen Greedy-Heuristiken (GH) bestehen gewöhnlich aus einem Prioritätsindex sowie einer Zulässigkeitsroutine. Mit dem Prioritätsindex wird der jeweils beste nachfolgende Schritt ausgewählt. Bei der Losgrößenplanung basiert dieser Prioritätsindex auf einem Kostenkriterium. In der Literatur werden zahlreiche Kriterien vorgestellt, die sich aus den Eigenschaften der optimalen Losgröße des statischen Losgrößenproblems207 ableiten lassen. Häuﬁg ﬁnden diese Kostenkriterien Anwendung in Heuristiken zur Lösung dynamischer Losgrößenprobleme ohne Kapazitätsbeschränkungen.208 Bei der Zulässigkeitsroutine werden Produktionsmengen in frühere oder spätere Perioden verlagert, in denen keine Kapazitätsverletzungen vorliegen. Die Zulässigkeitsroutine soll die Durchführbarkeit des Produktionsplans gewährleisten, damit die Nachfrage möglichst ohne Fehlmengen bzw. ohne Verletzung der Kapazitätsgrenzen erfüllt werden kann. Hier wird zwischen einem Rückwärts- und einem Vorwärtsabgleich unterschieden. Beginnend in der letzten Periode werden beim Rückwärtsabgleich Produktionsmengen in frühere Perioden verlagert, um Verletzungen der Kapazitätsrestriktionen zu vermeiden. Beim Vorwärtsabgleich werden dagegen beginnend in der ersten Periode Produktionsmengen in spätere Perioden verschoben. Somit können zum einen Lagerkosten eingespart und zum anderen Verletzungen der Kapazitätsrestriktionen vermieden werden. Zu der Klasse der problemspeziﬁschen GH gehören Eröffnungsverfahren (EV) und Verbesserungsverfahren (VV). EV zur Lösung von Losgrößenproblemen beginnen mit einer leeren Startlösung und fügen dieser sukzessiv Komponenten hinzu. Ausgehend von einer unzulässigen oder schlechten Startlösung versuchen VV dagegen, diese Lösung iterativ zu verbessern. Eröffnungsverfahren zur Lösung von Losgrößenproblemen gehen periodenweise entweder vorwärts oder rückwärts vor. Beginnend in der ersten oder letzten Periode werden einem Los für ein Produkt sukzessiv Produktionsmengen mehrerer Perioden hinzugefügt. Das Zusammenfassen erfolgt so lange, bis dies zu einem Kostenanstieg basierend auf dem verwendeten Kostenkriterium führt. Diese Verfahren gehen wenig vorausschauend vor, da zukünftige Kostenveränderungen nicht berücksichtigt werden. Gupta und Magnusson (2005) lösen das CLSP-L mit Rüstzeiten mit einem Eröffnungs- und Verbesserungsverfahren. Beim Eröffnungsverfahren wird ein Pro207 Vgl. Harris (1913). 208 Zu diesen Heuristiken gehören u. a. das Silver-Meal-Verfahren (vgl. Silver und Meal (1969, 1973)), das Verfahren der gleitenden wirtschaftlichen Losgröße (vgl. Tempelmeier (2008), S. 153f.), das Groff-Verfahren (vgl. Groff (1979)) sowie das Stückperiodenausgleichsverfahren (vgl. DeMatteis (1968)).

66

4 Algorithmische Ansätze zur Lösung dynamischer Losgrößenprobleme

duktionsplan für das CLSP unter Vernachlässigung der Rüstzeiten erstellt. Erst im Anschluss werden die Rüstzeiten sowie die Möglichkeit der Rüstübertragung in nachfolgende Perioden berücksichtigt. Abschließend wird versucht, die Lösung mit einem Verbesserungsverfahren zu verbessern. Clark und Armentano (1995) beschreiben ein Verbesserungsverfahren für das MLCLSP. Zunächst werden beim Eröffnungsverfahren die Kapazitäten vernachlässigt und eine Lösung für das mehrstuﬁge Losgrößenproblem ohne Kapazitätsbeschränkungen bestimmt. Dazu wird für jedes Produkt ein SLULSP entlang der Produktstruktur gelöst. Anschließend werden bei einem Vorwärts- und einem Rückwärtsabgleich Produktionsmengen zur Verbesserung in spätere oder frühere Perioden verlagert, um einen zulässigen Produktionsplan unter Berücksichtigung der Kapazitätsrestriktionen zu erhalten. França et al. (1997) erweitern diesen Algorithmus um eine zusätzliche Prozedur, bei der ohne Beachtung der Kapazitätsrestriktionen Produktionsmengen in Perioden verlagert werden, in denen bereits ein Rüstvorgang eingeplant wird, um Rüstkosten einzusparen. Sobald eine vorgegebene Anzahl an Iterationen erreicht ist, bricht das Verbesserungsverfahren mit der besten gefundenen Lösung ab.

4.4 Kritische Würdigung der vorgestellten Lösungsansätze und Deﬁnition der Forschungslücke Mitte der 90er-Jahre wurden zahlreiche Metaheuristiken zur Lösung des MLCLSP vorgestellt. Umfangreiche numerische Untersuchungen von Helber (1994) zeigen allerdings, dass einfache MH bereits bei der Lösung kleinerer Problemstellungen scheitern und somit unter Umständen in der Praxis nicht anwendbar sind.209 Da Computer und Standardsolver für gemischt-ganzzahlige Optimierungsprobleme immer leistungsfähiger geworden sind, wurden MH mittlerweile durch den Einsatz MP-basierter Lösungsansätze weitestgehend abgelöst. Zu diesen Ansätzen gehört beispielsweise das Verfahren von Katok et al. (1998), für welches Tempelmeier (2008) jedoch in numerischen Untersuchungen aufzeigt, dass häuﬁg unzulässige Produktionspläne bei Problemstellungen mit Rüstzeiten und knappen Maschinenkapazitäten ermittelt werden.210 Zur Klasse der MP-basierten Verfahren lassen sich auch die Fixierungs- und Relaxierungs-Heuristiken zählen. In den letzten Jahren wurden zahlreiche F&RAnsätze zur Lösung mehrstuﬁger Losgrößenprobleme mit Kapazitätsbeschränkun209 Vgl. Helber (1994), S. 146. 210 Vgl. Tempelmeier (2008), S. 369f.

4.4 Kritische Würdigung und Deﬁnition der Forschungslücke

67

gen vorgestellt. So liefert der Ansatz von Stadtler (2003) für das MLCLSP bezogen auf die Lösungsgüte und Rechenzeit sehr gute Ergebnisse. Mit zunehmender Rüstvariablenzahl steigen die Rechenzeiten allerdings signiﬁkant an. Das Verfahren von Pitakaso et al. (2006) für das MLCLSP liefert im Hinblick auf die Lösungsgüte bessere Ergebnisse als der Ansatz von Stadtler (2003).211 Die mögliche Verbesserung der Lösungsgüte ist jedoch im Vergleich zur deutlich höheren Rechenzeit eher gering. Das größte Deﬁzit beim Verfahren von Stadtler (2003) liegt allein darin, dass bei diesem Ansatz keine Vorlaufverschiebungen für die Vorprodukte berücksichtigen werden können.212 Aus diesem Grund kann dieser Ansatz auch nicht für praxisrelevante Problemstellungen verwendet werden, da somit eine Disaggregation des ermittelten Produktionsplans in einen zulässigen Maschinenbelegungsplan nahezu ausgeschlossen ist.213 In der Literatur wurden bisher nur sehr wenige Lösungsverfahren vorgestellt, bei denen eine Vorlaufverschiebung für die Vorprodukte berücksichtigt wird. Zu diesen wenigen Verfahren gehört u. a. die Lagrange-Heuristik von Tempelmeier und Derstroff (1993, 1996). Eigene numerische Untersuchungen im Abschnitt 5.5 zeigen, dass dieser Lösungsansatz zu den schnellsten für das MLCLSP gehört. Bei den numerischen Untersuchungen wird darüber hinaus deutlich, dass dieser Ansatz bezogen auf die Lösungsqualität noch erheblichen Spielraum für Verbesserungen bietet.214 Darüber hinaus ist die Struktur dieses Ansatzes relativ unﬂexibel gegenüber Modellerweiterungen, die sich nur mit sehr großem Aufwand in diesen Ansatz integrieren lassen. Zusammenfassend lässt sich damit festhalten, dass bis heute noch kein Verfahren bekannt ist, das zufriedenstellende Ergebnisse für das MLCLSP mit Vorlaufverschiebungen liefert. Dabei ist insbesondere die Berücksichtigung einer Vorlaufverschiebung von hoher praktischer Relevanz, da sich sonst die ermittelten Produktionspläne nicht in einen durchführbaren Maschinenbelegungsplan disaggregieren lassen. Darüber hinaus lässt sich eine Vielzahl der vorgestellten Ansätze nicht oder nur mit sehr großem Aufwand für Modellerweiterungen anpassen. Mit der im folgenden Kapitel vorgestellten Fix&Optimize-Heuristik soll diese Lücke geschlossen werden. Da dieser Ansatz auf den exakten Verfahren der mathematischen Programmierung basiert, ist dieser auch sehr ﬂexibel auf Modellerweiterungen anwendbar, wie der weitere Gang der Untersuchung zeigen wird.

211 212 213 214

Vgl. Pitakaso et al. (2006), S. 4769f. Vgl. Stadtler (2003), S. 501. Vgl. Abschnitt 3.2 auf S. 21f. Vgl. Abschnitt 5.5 auf S. 96ff.

5 Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des mehrstuﬁgen Losgrößenproblems mit Kapazitätsrestriktionen 5.1 Überblick In diesem Kapitel wird eine neue Lösungsheuristik für das MLCLSP vorgestellt. Ausgehend von der Standardmodellformulierung für das MLCLSP215 werden bei der sog. Fix&Optimize-Heuristik (F&O) iterativ Unterprobleme deﬁniert und mit einem Standardsolver für gemischt-ganzzahlige Optimierungsprobleme optimal gelöst. Die Ausführungen in diesem Kapitel folgen weitestgehend der Arbeit von Helber und Sahling (2009). Eine ausführliche Beschreibung der Lösungsidee der F&O-Heuristik erfolgt im Abschnitt 5.2. Die notwendigen Modellveränderungen zur Formulierung eines Unterproblems werden im Abschnitt 5.3 beschrieben. Der Ablauf der iterativen F&OHeuristik wird im Abschnitt 5.4 erläutert. Es folgen numerische Untersuchungen im Abschnitt 5.5. Diese basieren auf den von Stadtler und Sürie (2000) beschriebenen Testinstanzen. Abschließend folgt im Abschnitt 5.6 eine kurze Zusammenfassung der Ergebnisse dieses Kapitels.

5.2 Lösungsidee der Fix&Optimize-Heuristik: Dekomposition in Unterprobleme Das MLCLSP gehört zu der Klasse der N P-schweren Probleme. Für derartige Problemstellungen sind keine Lösungsansätze bekannt, die alle Probleme dieser Klasse mit polynomialem Rechenaufwand exakt lösen können. Maes et al. (1991) zeigen, dass bereits der Nachweis einer zulässigen Lösung ohne Überstunden für

215 Vgl. Abschnitt 3.2 auf S. 23ff.

70

5 Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

das MLCLSP mit Rüstzeiten (tsk > 0) N P-vollständig ist.216 Bereits die optimale Lösung kleinerer Problemstellungen (mit ca. 250 Binärvariablen, z. B. für 10 Produkte und 25 Perioden) führt für die vorgestellten Modellformulierungen für das MLCLSP zu sehr langen Rechenzeiten.217 Obwohl Computer und Standardsolver für gemischt-ganzzahlige lineare Optimierungsmodelle, wie z. B. CPLEX218 oder Xpress-MP219 , immer leistungsfähiger werden, können selbst kleinere Problemstellungen nicht mehr in angemessener Zeit optimal gelöst werden. Den größten Zeitbedarf beansprucht die Bestimmung des optimalen Rüstmusters für die |K| · |T | binären Rüstzustandsvariablen in Kombination mit den reellwertigen Entscheidungsvariablen. Die Anzahl der reellwertigen Entscheidungsvariablen spielt eine eher untergeordnete Rolle, da für lineare Optimierungsmodelle mit reellwertigen Variablen efﬁziente Lösungsverfahren existieren. Aus diesem Grund wird während der F&O-Heuristik jeweils immer nur ein kleiner Teil der Binärvariablen betrachtet, eine entsprechende Einschränkung für die reellwertigen Entscheidungsvariablen ist allerdings nicht erforderlich. Iterativ wird bei der F&O-Heuristik jeweils für ein Unterproblem die Optimallösung bestimmt. Diese Unterprobleme lassen sich jeweils aus der Standardmodellformulierung des MLCLSP220 ableiten. In jedem Unterproblem wird jeweils nur für einen kleinen Teil der binären Rüstzustandsvariablen γkt der Optimalwert221 bestimmt, während den übrigen binären Rüstzustandsvariablen im Voraus ein konstanter Rüstzustand zugewiesen wird. Dadurch wird die Optimierung auf einen Teil des Lösungsraums eingeschränkt. Im Anschluss an die Lösung des Unterproblems mit einem Standardsolver für gemischt-ganzzahlige Optimierungsmodelle werden die optimal bestimmten Rüstzustandsvariablen γkt auf den gerade ermittelten Wert ﬁxiert. Für das nachfolgende Unterproblem wird eine neue Untermenge zu berücksichtigender Binärvariablen bestimmt und dieses Problem optimal gelöst. Jedes Unterproblem enthält dabei immer alle reellwertigen Ent216 Vgl. Maes et al. (1991) und Abschnitt 3.5 auf S. 40. Für die hier verwendete Modellformulierung existiert immer eine formal zulässige Lösung, da angenommen wird, dass der Einsatz von Überstunden unbeschränkt ist. Das MLCLSP bleibt aber für den Nachweis einer existierenden Lösung ohne Überstunden N P-vollständig. 217 Eigene numerische Untersuchungen haben gezeigt, dass die Ganzzahligkeitslücke zwischen der besten gefundenen Lösung und der aktuellen unteren Schranke selbst bei der SPL-Formulierung für das MLCLSP nach vier CPU-Stunden Rechenzeit noch durchschnittlich 20 % beträgt. 218 Vgl. http://www.ilog.com/ 219 Vgl. http://www.dashoptimization.com/ 220 Vgl. Abschnitt 3.2 auf S. 23f. 221 Unter optimal sind hier nicht die optimalen Ausprägungen der Entscheidungsvariablen bezogen auf das Ausgangsproblem zu verstehen. Vielmehr handelt es sich bei dieser Lösung um eine lokal optimale Lösung bezogen auf das Ausgangsproblem. Im Folgenden wird der Ausdruck optimal im Zusammenhang mit der Optimierung eines Unterproblems synonym zu lokal optimal verwendet.

5.3 Modellformulierung für das Unterproblem

71

scheidungsvariablen für die Produktionsmengen QPkt , Lagermengen Ykt und Überstunden Omt , die ebenfalls optimal gelöst werden. Daher kann auf eine Fixierung des bestimmten Produktionsplans verzichtet werden. Dies hat den Vorteil, dass im Gegensatz zur Heuristik von Stadtler (2003) eine Anpassung der Rüst- und Lagerkosten nicht erforderlich ist.222 Die Fix&Optimize-Heuristik223 kann sowohl den Verfahren der mathematischen Programmierung224 als auch der Klasse der Dekompositionsverfahren225 zugeordnet werden. Bei der F&O-Heuristik werden im Gegensatz zu den bereits vorgestellten F&R-Heuristiken226 und Rundungsheuristiken227 keine relaxierten Binärvariablen betrachtet. Der Vorteil liegt darin, dass so in jedem Schritt der Heuristik eine formal zulässige Lösung für das Ausgangsproblem vorliegt.

5.3 Modellformulierung für das Unterproblem Einen ﬁxierten Rüstzustand für Produkt k in Periode t innerhalb eines Unterproblems MLCLSP-SUB kennzeichnet der Rüstzustandsparameter γ kt . Für die Identiﬁzierung der optimal zu lösenden Binärvariablen γkt sowie der ﬁxierten Rüstzustände γ kt wird die Menge aller Produkt-Perioden-Kombinationen (k,t) KT := K × T = {1, . . . , K} × {1, . . . , T }, f ix

in zwei disjunkte Teilmengen KT opt γ und KT γ unterteilt: sind die Produkt-Perioden-Kombinationen (k,t) zuge• Der Menge KT opt γ ordnet, für welche die Rüstzustandsvariablen γkt im gerade betrachteten Unterproblem optimal gelöst werden. f ix

• Der Menge KT γ sind die Produkt-Perioden-Kombinationen (k,t) zugeordnet, für welche die Rüstzustände γ kt vorübergehend ﬁxiert sind. Mit der zusätzlichen Notation aus Tabelle 5.1 kann das MLCLSP-SUB mathematisch sehr kompakt formuliert werden, indem denjenigen Binärvariablen γkt ein ﬁxierter Rüstzustand γ kt zugewiesen wird, deren zugehörige Produkt-Periodenf ix Kombinationen (k,t) in der Menge KT γ enthalten sind: 222 Vgl. Abschnitt 4.3.1 auf S. 54. 223 Diese Art von Lösungsansatz wird auch als Exchange-Heuristik bezeichnet (vgl. Pochet und Wolsey (2006), S. 113). 224 Vgl. Abschnitt 4.3.1 auf S. 49ff. 225 Vgl. Abschnitt 4.3.3 auf S. 59f. 226 Vgl. Pochet und Wolsey (2006), S. 109ff. sowie Abschnitt 4.3.1 auf S. 49ff. 227 Vgl. u. a. Maes et al. (1991) und Abschnitt 4.3.1 auf S. 49ff.

72

5 Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

Tab. 5.1: Ergänzende Notation für das MLCLSP-SUB

Indexmengen KT Menge der Produkt-Perioden-Kombinationen (k,t) opt KT γ Menge der Produkt-Perioden-Kombinationen (k,t), deren zugehörige Rüstzustandsvariablen γkt im aktuellen Unterproblem exakt gelöst werden KT γf ix Menge der Produkt-Perioden-Kombinationen (k,t), deren zugehörige Rüstzustände γ kt im aktuellen Unterproblem ﬁxiert sind Parameter γ kt ﬁxierter Rüstzustand für Produkt k in Periode t im aktuellen Unterproblem mit (k,t) ∈ KT γf ix Modell MLCLSP-SUB:228 (3.2) – (3.8) γkt = γ kt

f ix

∀ (k,t) ∈ KT γ

(5.1)

Für das MLCLSP-SUB werden neben der Zielfunktion (3.2) und den Restriktionen (3.3) bis (3.8) der Standardmodellformulierung für das MLCLSP229 nur die zusätzlichen Nebenbedingungen (5.1) benötigt. Mit diesen wird die Optimieopt f ix rung der Binärvariablen γkt auf die Menge KT γ = KT \ KT γ eingegrenzt. Der verwendete Standardsolver erkennt die bestehenden Redundanzen bei dieser Modellformulierung und beseitigt diese im Voraus.230

5.4 Ablauf der iterativen Fix&Optimize-Heuristik 5.4.1 Bestimmung einer formal zulässigen Startlösung Die F&O-Heuristik besteht aus zwei Phasen. Während in der Initialisierungsphase ein Startrüstmuster festgelegt wird, beginnt mit der anschließenden zweiten Phase die eigentliche F&O-Heuristik zur Verbesserung der Ausgangslösung. In dieser 228 Im Anhang A beﬁndet sich auf S. 187 eine redundanzfreie Modellformulierung für das MLCLSP-SUB. 229 Vgl. Abschnitt 3.2 auf S. 23f. 230 Vgl. ILOG (2006), S. 262ff.

5.4 Ablauf der iterativen Fix&Optimize-Heuristik

73 f ix

Phase werden durch eine Variation der Mengen KT opt und KT γ iterativ neue γ Unterprobleme vom Typ MLCLSP-SUB deﬁniert. Da jedes MLCLSP-SUB optimal gelöst wird, ist die Existenz einer formal zulässigen Lösung (mit ggf. beliebig vielen Überstunden) notwendig. Für den Fall, dass keine formal zulässige Lösung für ein Unterproblem existiert, da unter Umständen Überstunden nicht erlaubt sind, würde der Standardsolver mit einer Fehlermeldung abbrechen und somit die F&OHeuristik scheitern. Aus diesem Grund wird angenommen, dass der Einsatz von Überstunden unbeschränkt zulässig ist. Um die Überstunden möglichst im Verfahrensablauf zu eliminieren, werden diese mit entsprechend hohen Strafkosten bewertet. In der Initialisierungsphase wird als Startlösung für jedes Produkt k in jeder Periode t ein Rüstzustand eingeplant (γ kt = 1, ∀(k,t) ∈ KT ). Anschließend wird das MLCLSP-SUB für das Startrüstmuster optimal gelöst (KT γf ix = KT ) und der zugehörige optimale Zielfunktionswert Z ∗ ermittelt, indem die optimalen Produk∗ ∗ tionsmengen QP∗ kt , Lagermengen Ykt und Überstunden Omt bezogen auf die Startlösung bestimmt werden. Die boolesche Variable KapZul gibt im Verlauf der Heuristik an, ob bereits eine zulässige Lösung ohne Überstunden bekannt ist. Daher wird dieser Variable der Wert ‘true’ zugewiesen, wenn bereits die Startlösung im Sinne zu vermeidender Überstunden zulässig ist und der zugehörige Produktionsplan somit keine Überstunden enthält. Andernfalls wird dieser Variable der Wert ‘ f alse’ zugewiesen. Der Ablauf der Initialisierung ist im Algorithmus 5.1 dargestellt. Aus betriebswirtschaftlicher Sicht kann diese Startlösung vollkommen unattraktiv sein. Da für jedes Produkt in jeder Periode gerüstet ist, kann die Anzahl der eingeplanten Rüstvorgänge viel zu groß sein. Unter Umständen kann dies zu einem erhöhten Einsatz an Überstunden führen, besonders dann, wenn Rüstzeiten berücksichtigt werden müssen. Für den Einsatz der F&O-Heuristik ist allerdings nur eine formal zulässige Lösung erforderlich, aber keine (real) zulässige Lösung ohne Überstunden. Die F&O-Heuristik ﬁltert aufgrund der sehr hohen Überstundenkosten und der sehr hohen anfänglichen Rüstkosten unvorteilhafte Rüstvorgänge über den Preismechanismus heraus und entfernt diese aus dem aktuellen Rüstmuster. Auf diesem Weg wird die Ausgangslösung iterativ immer weiter verbessert. Mit der Anzahl |KT opt γ | der gleichzeitig optimal zu lösenden Binärvariablen steigt der Rechenaufwand zur Lösung eines Unterproblems s. Mit 0 < Δs =

|KT opt γ | <1 |KT |

74

5 Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

für alle (k,t) ∈ KT Setze γ kt := 1 Setze KT γf ix := KT Bestimme Z ∗ für das MLCLSP-SUB Setze Z neu := Z ∗ wenn ∑m∈M ∑t∈T O∗mt = 0 dann Setze KapZul :=‘true’ sonst Setze KapZul :=‘ f alse’ Bezeichnungen KapZul boolesche Variable, die angibt, ob bereits eine zulässige Lösung ohne Überstunden bekannt ist O∗mt optimale Ausprägung der Entscheidungsvariable Omt Z∗ optimaler Zielfunktionswert des Unterproblems Z neu bester bekannter Zielfunktionswert

Alg. 5.1: Initialisierungsphase zur Bestimmung einer formal zulässigen Startlösung für die F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

ist der Anteil der optimal zu lösenden Binärvariablen innerhalb eines Unterproblems s deﬁniert. Je größer der Wert des Parameters Δs , desto höher ist die erreichbare Lösungsgüte.231 Mit zunehmender erreichbarer Lösungsqualität steigt jedoch gleichzeitig auch der benötigte Zeitaufwand zur Lösung eines Unterproblems s. opt Die Bestimmung der Untermenge KT γ für die optimal zu lösenden Binärvariablen erfolgt mit den im Folgenden vorgestellten Dekompositionsstrategien. Für das zugehörige Unterproblem MLCLSP-SUB wird stets der optimale Zielfunktionswert Z ∗ ermittelt. Anschließend wird entschieden, ob die Lösung dieses Unterproblems als neue Ausgangslösung verwendet wird. Dazu wird im Falle eines zulässigen Produktionsplans ohne Überstunden einer booleschen Variable KapZul neu der Wert ‘true’ zugewiesen (∑m∈M ∑t∈T O∗mt = 0), ansonsten der Wert ‘ f alse’. Ein neuer zulässiger Produktionsplan ohne Überstunden wird nur dann als neue Ausgangslösung verwendet (KapZul neu =‘true’), wenn dieser zu einer Verbesserung des Zielfunktionswerts führt (Z ∗ < Z alt ).232 Ein unzulässiger 231 Bei Δs = 1 wird das Ausgangsproblem optimal gelöst. 232 Das aktuelle Rüstmuster stellt immer eine Lösung für das nachfolgende Unterproblem MLCLSP-SUB dar. Aus diesem Grund kann der optimale Zielfunktionswert Z ∗ nie schlechter sein als die derzeit beste Lösung Z alt .

5.4 Ablauf der iterativen Fix&Optimize-Heuristik

75

Produktionsplan mit Überstunden wird nur dann als neue Ausgangslösung verwendet (KapZul neu =‘ f alse’), wenn dieser zu einer Verbesserung des Zielfunktionswerts führt (Z ∗ < Z alt ) und gleichzeitig noch kein zulässiger Produktionsplan ohne Überstunden bekannt ist (KapZul =‘ f alse’). Somit wird bei der F&O-Heuristik ein unzulässiger Produktionsplan mit Überstunden – wie auch bei der zeitlichen Dekompositionsheuristik von Stadtler (2003) – auch bei einem besseren Zielfunktionswert nicht mehr akzeptiert, sobald ein (real) zulässiger Produktionsplan ohne Überstunden für das MLCLSP gefunden ist.233 Wenn ein neuer Produktionsplan übernommen wird, dient dieser als neue Ausgangslösung für das nachfolgende Unterproblem.

5.4.2 Bestimmung der Untermenge KT opt γ zu optimierender Binärvariablen 5.4.2.1 Produktorientierte Dekomposition Bei der produktorientierten Dekomposition (PoD) korrespondiert ein Unterproblem s jeweils mit einem Produkt k. In einem Unterproblem s werden alle Rüstzustandsvariablen γkt für das gerade betrachtete Produkt k über den gesamten Planungshorizont optimiert. Insgesamt werden daher K Unterprobleme bei der produktorientierten Dekomposition untersucht. Eigene numerische Untersuchungen haben gezeigt, dass die Reihenfolge von Bedeutung ist, in der die Produkte be gibt die im Voraus bestimmte Produkttrachtet werden. Die geordnete Menge K reihenfolge bei der produktorientierten Dekomposition an. Zur Bestimmung einer Reihenfolge, in welcher die Produkte bei der produktorientierten Dekomposition betrachtet werden, kann die LP-Relaxation der Standardmodellformulierung des MLCLSP234 als Sortierkriterium verwendet werden. Basierend auf dem optimalen LP-relaxierten Zielfunktionswert Z˜ ∗ lassen sich für Produkt k die produktspeziﬁschen Kosten Zk bestimmen, wobei Z˜ ∗ =

∑ Zk

k∈K

ist. Die produktspeziﬁschen Kosten Zk setzen sich aus den Lager- und den Rüstkosten der relaxiert gelösten Binärvariablen γ˜kt sowie den anteiligen Überstunden-

233 Vgl. Stadtler (2003), S. 495. 234 Vgl. Abschnitt 3.2 auf S. 23f.

76

5 Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

kosten zusammen: Zk

=

∑ (hck ·Ykt∗ + sck · γ˜kt∗ )

t∈T

+

(5.2)

∗ ∑ (t pk · QP∗ kt + tsk · γ˜kt )

t∈T

∑

∗ ∑ (t pi · QP∗ it + tsi · γ˜it )

i∈Kμ(k) t∈T

· ∑ ocμ(k),t · O∗μ(k),t . t∈T

Eine eindeutige Zuordnung der Überstunden auf die Produkte nach dem Verursachungsprinzip235 ist nicht möglich. Daher werden die Überstundenkosten einer Ressource proportional zur Kapazitätsbeanspruchung dieser Ressource auf die in dieser Periode produzierten Produkte verteilt. Die Funktion μ(k) = ind{m|k ∈ Km } gibt den Index der Ressource an, auf der das Produkt k gefertigt wird. Die Produkte werden in absteigender Reihenfolge der Gesamtkosten Zk betrachtet. So werden bei der produktorientierten Dekomposition zunächst die Rüstentscheidungen für die kostenintensiveren Produkte ﬁxiert, in der Hoffnung, dass später die weniger kostenintensiven Produkte mit geringen Zusatzkosten eingeplant werden können.236 Sobald ein MLCLSP-SUB für jedes Produkt optimal gelöst wurde, endet eine Iteration der produktorientierten Dekomposition. Der Ablauf der produktorientierten Dekomposition ist im Algorithmus 5.2 dargestellt. Anhand eines Beispiels wird das Vorgehen bei der produktorientierten Dekomposition verdeutlicht. In Abbildung 5.1 ist eine Erzeugnisstruktur für vier Produkte dargestellt. 1

3

A

B

2

4

Abb. 5.1: Erzeugnisstruktur für ein Beispiel mit vier Produkten und zwei Ressourcen

235 Vgl. u. a. Hoitsch und Lingnau (2007), S. 67ff. sowie Schweitzer und Küpper (2008), S. 55f. 236 Eigene numerische Untersuchungen haben im Vorfeld gezeigt, dass die Sortierung auf der Basis der LP-Relaxation sehr gute Ergebnisse im Vergleich zu anderen Sortierreihenfolgen liefert. Aus diesem Grund wird an dieser Stelle auf die Vorstellung weiterer Möglichkeiten verzichtet.

5.4 Ablauf der iterativen Fix&Optimize-Heuristik

77

Setze s := 1 für alle k ∈ K für alle t ∈ T Füge (k,t) der Menge KT opt γ hinzu Setze KT γf ix := KT \KT opt γ Bestimme Z ∗ für das MLCLSP-SUB wenn ∑m∈M ∑t∈T O∗mt = 0 dann Setze KapZul neu := ‘true’ sonst Setze KapZul neu := ‘ f alse’ wenn (Z ∗ < Z neu ) ∧ (KapZul neu ∨ [¬KapZul neu ∧ ¬KapZul]) dann für alle t ∈ T Setze γ kt := γkt∗ Setze Z neu := Z ∗ wenn KapZul neu dann Setze KapZul:= ‘true’ Setze KT opt / γ := 0 Setze s := s + 1 Bezeichnungen K geordnete Menge aller Produkte KapZul neu boolesche Variable, die angibt, ob die aktuelle Lösung keine Überstunden enthält s aktuelles Unterproblem optimale Ausprägung der Binärvariable γkt γkt∗

Alg. 5.2: Ablauf der produktorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP

Für die Fertigung von Endprodukt 1 wird die Komponente 3 benötigt, für die Herstellung von Endprodukt 2 die Komponenten 3 und 4. Die Herstellung der Produkte erfolgt auf den Maschinen A und B über einen Planungshorizont von acht Perioden. Auf Maschine A werden die Endprodukte 1 und 2 gefertigt und auf Maschine B die Komponenten 3 und 4. Zunächst wird die Reihenfolge bestimmt, in der die Produkte während der produktorientierten Dekomposition betrachtet werden. Im Beispiel wird die Produktreihenfolge 1, 2, 3 und 4 angenommen. Der Ablauf der produktorientierten Dekomposition für das Beispiel ist in Abbildung 5.2 dargestellt.

78

1. Unterproblem: 1 2

5 Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

3

4

5

6

7

8

2. Unterproblem: 1 2

Produkt 1

Produkt 1

Produkt 2

Produkt 2

Produkt 3

Produkt 3

Produkt 4

Produkt 4

3. Unterproblem: 1 2

3

4

5

6

7

8

4. Unterproblem: 1 2

Produkt 1

Produkt 1

Produkt 2

Produkt 2

Produkt 3

Produkt 3

Produkt 4

Produkt 4 aktuell betrachtetes Produkt

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

(vorübergehend) fixierter Rüstzustand

optimal zu lösende Rüstzustandsvariable

Abb. 5.2: Beispiel zum Ablauf der produktorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP

Im ersten Unterproblem werden die Rüstzustandsvariablen für Produkt 1 sowie alle reellwertigen Entscheidungsvariablen über den gesamten Planungshorizont betrachtet, während die Rüstzustände der übrigen Produkte ﬁxiert bleiben. Das zugehörige MLCLSP-SUB wird optimal gelöst. Im Anschluss an die Lösung des ersten Unterproblems werden die Rüstzustände für Produkt 1 ﬁxiert. Danach wird das zweite Unterproblem betrachtet, bei dem die Optimalwerte für die Rüstzustandsvariablen von Produkt 2 sowie für die reellwertigen Entscheidungsvariablen bestimmt werden. Das zugehörige MLCLSP-SUB wird optimal gelöst und die Rüstzustandsvariablen für Produkt 2 werden auf ihre Optimalwerte ﬁxiert. Analog wird mit den zu den Produkten 3 und 4 korrespondierenden Unterproblemen verfahren. 5.4.2.2 Ressourcenorientierte Dekomposition Die Konkurrenz der Produkte um die knappe Kapazität einer Ressource liegt der ressourcenorientierten Dekomposition (RoD) zugrunde. Dazu werden in jedem Unterproblem s jeweils alle unter Verwendung einer Ressource m hergestellten Produkte betrachtet. Damit die Anzahl gleichzeitig zu lösender binärer Rüstzu-

5.4 Ablauf der iterativen Fix&Optimize-Heuristik

79

standsvariablen nicht zu sehr zunimmt, wird in jedem Unterproblem s ein Planungsfenster mit λ zusammenhängenden Perioden verwendet. Anschließend wird das Planungsfenster um θ Perioden verschoben. Somit überlappen sich zwei nachfolgende Unterprobleme s und s + 1 um λ − θ Perioden, wenn beide derselben Ressource m zugeordnet sind. Eine Iteration der ressourcenorientierten Dekomposition endet, sobald alle Maschinen betrachtet wurden. Der Ablauf der ressourcenorientierten Dekomposition ist im Algorithmus 5.3 dargestellt. Setze s := 1 für alle m ∈ M Setze t := 0 solange t < T für τ := t + 1 bis min{T,t + λ } für alle k ∈ Km opt Füge (k, τ) der Menge KT γ hinzu f ix

Setze KT γ := KT \KT opt γ Bestimme Z ∗ für das MLCLSP-SUB wenn ∑m∈M ∑t∈T O∗mt = 0 dann Setze KapZul neu := ‘true’ sonst Setze KapZul neu := ‘ f alse’ wenn (Z ∗ < Z neu ) ∧ (KapZul neu ∨ [¬KapZul neu ∧ ¬KapZul]) dann für alle (k, τ) ∈ KT opt γ ∗ Setze γ kτ := γkτ Setze Z neu := Z ∗ wenn KapZul neu dann Setze KapZul:= ‘true’ Setze KT opt / γ := 0 Setze t := t + θ (wobei 1 ≤ θ ≤ λ ) Setze s := s + 1 Bezeichnungen λ Länge des Planungsfensters θ Anzahl der Perioden, um die ein Planungsfenster verschoben wird

Alg. 5.3: Ablauf der ressourcenorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP

80

5 Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

Eine Anpassung der Rüst- und Lagerkosten am Ende eines Planungsfensters ist im Gegensatz zum zeitlichen Ansatz von Stadtler (2003) bei der ressourcenorientierten Dekomposition nicht notwendig, da in jedem Unterproblem jeweils alle reellwertigen Entscheidungsvariablen für die Produktions- und Lagermengen optimal gelöst werden. Anhand des bekannten Beispiels ist das Vorgehen bei der ressourcenorientierten Dekomposition in Abbildung 5.3 dargestellt. Das betrachtete Planungsfenster hat eine Länge von vier Perioden (λ = 4) und wird jeweils um zwei Perioden verschoben (θ = 2). 1. Unterproblem: 1 2

3

4

5

6

7

8

2. Unterproblem: 1 2

Produkt 1

Produkt 1

Produkt 2

Produkt 2

Produkt 3

Produkt 3

Produkt 4

Produkt 4

3. Unterproblem: 1 2

3

4

5

6

7

8

4. Unterproblem: 1 2

Produkt 1

Produkt 1

Produkt 2

Produkt 2

Produkt 3

Produkt 3

Produkt 4

Produkt 4

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

5. Unterproblem:

aktuell betrachtete Produkte optimal zu lösende Rüstzustandsvariable

betrachtetes Zeitfenster der Länge ë=4 (vorübergehend) fixierter Rüstzustand

Abb. 5.3: Beispiel zum Ablauf der ressourcenorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP

Zunächst wird die Maschine A betrachtet, auf der die Produkte 1 und 2 gefertigt werden. Im ersten Unterproblem werden alle reellwertigen Entscheidungsvariablen sowie die Rüstzustandsvariablen für diese Produkte in den Perioden 1 bis 4 optimiert. Im Anschluss werden die optimierten Binärvariablen ﬁxiert. Das zweite Unterproblem enthält ebenfalls Rüstzustandsvariablen der Produkte 1 und 2 für die

5.4 Ablauf der iterativen Fix&Optimize-Heuristik

81

Perioden 3 bis 6. Für diese Binärvariablen werden die bestimmten Rüstzustände nach der Optimierung ﬁxiert. Danach werden die Perioden 5 bis 8 betrachtet. Dem vierten Unterproblem ist die Ressource B zugeordnet, auf der die Produkte 3 und 4 hergestellt werden. Zunächst werden für die Maschine B die Perioden 1 bis 4 betrachtet. Es folgen analog die Unterprobleme für die Perioden 3 bis 6 und 5 bis 8. Da nur die zwei betrachteten Maschinen vorhanden sind, endet anschließend eine Iteration. Setze s := 1 für alle k ∈ K für alle i ∈ Nk Setze t := 0 solange t < T für τ := t + 1 bis min{T,t + T2 } Füge (k, τ) und (i, τ) der Menge KT opt γ hinzu f ix

Setze KT γ := KT \KT opt γ Bestimme Z ∗ für das MLCLSP-SUB wenn ∑m∈M ∑t∈T O∗mt = 0 dann Setze KapZul neu := ‘true’ sonst Setze KapZul neu := ‘ f alse’ wenn (Z ∗ < Z neu ) ∧ (KapZul neu ∨ [¬KapZul neu ∧ ¬KapZul]) dann für τ := t + 1 bis min{T,t + T2 } f ix ∗ Setze γ kτ := γkτ f ix Setze γ iτ := γiτ∗ Setze Z neu := Z ∗ opt Setze KT γ := 0/ Setze t := t + T2 Setze s := s + 1 Alg. 5.4: Ablauf der prozessorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP

82

5 Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

5.4.2.3 Prozessorientierte Dekomposition Bei der prozessorientierten Dekomposition (PzoD) werden die bestehenden Inputund Outputbeziehungen der Produkte näher untersucht. Ein Unterproblem s korrespondiert mit einer Beziehung zwischen einem Produkt k und seinem direkten Nachfolgeprodukt i ∈ Nk . Da sich bei der prozessorientierten Dekomposition die Anzahl der betrachteten Produkte in einem Unterproblem im Vergleich zur produktorientierten Dekomposition verdoppelt, wird die Anzahl der gleichzeitig betrachteten Perioden reduziert. Dazu wird der Planungshorizont halbiert, sodass in zwei Unterproblemen s und s+1 für zwei Produkte k und i zunächst die Perioden 1 bis T2 und anschließend die Perioden T2 + 1 bis T untersucht werden. Sobald alle direkten Vorgänger- und Nachfolgerbeziehungen betrachtet wurden, endet eine Iteration der prozessorientierten Dekomposition. Das Vorgehen der prozessorientierten Dekomposition ist im Algorithmus 5.4 dargestellt. Auch das Vorgehen bei der prozessorientierten Dekomposition wird mit Hilfe des bekannten Beispiels in Abbildung 5.4 beschrieben. 1. Unterproblem: 1 2

3

4

5

6

7

8

2. Unterproblem: 1 2

Produkt 1

Produkt 1

Produkt 2

Produkt 2

Produkt 3

Produkt 3

Produkt 4

Produkt 4

3. Unterproblem: 1 2

3

4

5

6

7

8

4. Unterproblem: 1 2

Produkt 1

Produkt 1

Produkt 2

Produkt 2

Produkt 3

Produkt 3

Produkt 4

Produkt 4

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

5. Unterproblem:

aktuell betrachtete Produkte optimal zu lösende Rüstzustandsvariable

betrachtetes Zeitfenster der Länge ë=4 (vorübergehend) fixierter Rüstzustand

Abb. 5.4: Beispiel zum Ablauf der prozessorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP

5.4 Ablauf der iterativen Fix&Optimize-Heuristik

83

Im ersten Unterproblem werden zunächst das Produkt 3 und sein direkter Nachfolger, das Produkt 1, in den Perioden 1 bis 4 betrachtet. Die zugehörigen Rüstzustandsvariablen sowie alle reellwertigen Variablen werden optimal gelöst. Anschließend werden die Rüstzustandsvariablen auf die Optimalwerte ﬁxiert. Das zweite Unterproblem enthält ebenfalls die Rüstzustandsvariablen für die Produkte 3 und 1 allerdings für die Perioden 5 bis 8. Die zugehörigen Rüstzustände werden im Anschluss an die Optimierung ﬁxiert. Im dritten und vierten Unterproblem werden die Produkte 3 und 2 betrachtet. Analog wird mit den Produkten 4 und 2 verfahren.

5.4.3 Varianten der F&O-Heuristik durch Kombination der Dekompositionsstrategien Zur Lösung des MLCLSP werden für die F&O-Heuristik verschiedene Varianten verwendet, indem die Dekompositionsstrategien miteinander kombiniert werden. Jeder Variante v wird daher eine Menge Dv bestehend aus mindestens einer Dekompositionsstrategie zugeordnet. Für eine Dekompositionsstrategie d ∈ Dv der Variante v sind in der Menge Sd Unterprobleme in der zu betrachtenden Reihenfolge gegeben. Für jedes Unterproblem s ∈ Sd kann die Menge KT opt γ basierend auf der jeweiligen Dekompositionsstrategie d bestimmt werden. Der Ablauf der F&O-Heuristik ist im Algorithmus 5.5 dargestellt. In jeder Iteration der F&O-Heuristik werden für Variante v die zugehörigen Dekompositionsstrategien d ∈ Dv betrachtet. Für eine Dekompositionsstrategie d werden die Unterprobleme s in der durch die Menge Sd vorgegebenen Reihenfolge optimal gelöst. Dazu wird zunächst für ein Unterproblem s die Menge KT opt bestimmt und die optimale Lösung für das zugeγ hörige MLCLSP-SUB in Form eines Produktionsplans ermittelt. Anschließend wird über die Annahme dieser Lösung als neue Ausgangslösung entschieden.237 Wenn der neue Produktionsplan als neue Ausgangslösung verwendet wird ((Z ∗ < Z alt ) ∧ (KapZul neu ∨ [¬KapZul neu ∧ ¬KapZul]) =‘true’), werden die optimal gelösten Rüstzustandsvariablen ﬁxiert. Danach wird unabhängig von der Annahme der Lösung das nachfolgende Unterproblem untersucht. Eine Iteration der F&O-Heuristik ist beendet, sobald alle Unterprobleme der in Variante v betrachteten Dekompositionsstrategien untersucht wurden. Der Algorithmus bricht ab, wenn in einer Iteration keine Verbesserung mehr erzielt werden kann (Z neu = Z alt )238 oder die maximal zulässige Iterationsanzahl max erreicht ist. 237 Vgl. zur Erläuterung Abschnitt 5.4.1 auf S. 74. 238 In diesem Fall ist ein lokales Optimum erreicht.

84

5 Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

Setze := 0 wiederhole Setze := + 1 Setze Z alt := Z neu für jede Dekomposition d ∈ Dv der aktuell betrachteten Variante v für jedes Unterproblem s ∈ Sd Bestimme KT opt γ f ix opt Setze KT γ := KT \KT γ ∗ Bestimme Z für das MLCLSP-SUB wenn ∑m∈M ∑t∈T O∗mt = 0 dann Setze KapZul neu :=‘true’ sonst Setze KapZul neu :=‘ f alse’ wenn (Z ∗ < Z alt ) ∧ (KapZul neu ∨ [¬KapZul neu ∧ ¬KapZul]) dann opt für alle (k,t) ∈ KT γ Setze γ kt := γkt∗ Setze Z neu := Z ∗ wenn KapZul neu dann KapZul :=‘true’ Setze KT opt / γ := 0 bis ( = max ) oder (Z neu ≥ Z alt ) Bezeichnungen d ∈ Dv Menge der Dekompositionsstrategien der Variante v Anzahl der Iterationen maximale Iterationsanzahl max s ∈ Sd Menge der Unterprobleme der Dekompositionsstrategie d v betrachtete Variante bester bekannter Zielfunktionswert der vorherigen Iteration Z alt

Alg. 5.5: Ablauf der F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

5.5 Numerische Untersuchungen

85

5.5 Numerische Untersuchungen 5.5.1 Vorüberlegungen zur Evaluation der Fix&OptimizeHeuristik Um Aussagen über die mit der F&O-Heuristik zu erzielende Lösungsgüte treffen zu können, werden im Folgenden numerische Untersuchungen durchgeführt. Dazu werden Testinstanzen sowohl ohne als auch mit Vorlaufverschiebungen betrachtet. Bei den numerischen Untersuchungen wird eine Auswahl der von Stadtler und Sürie (2000) vorgestellten Probleminstanzen für das MLCLSP verwendet.239 Von den dort beschriebenen Problemklassen werden die Klassen A+ , B+ , C, D und E betrachtet. Wie in Tabelle 5.2 dargestellt, unterscheiden sich diese Problemklassen hinsichtlich der Produkt-, Perioden- und Ressourcenanzahl sowie bezogen auf das Auftreten von Rüstzeiten. Tab. 5.2: Untersuchte Problemklassen nach Stadtler und Sürie (2000) für das MLCLSP

Problemklasse A+ B+ C D E

K 10 10 40 40 100

Ta 24/26 24/26 16/20 16/20 16/25

M 3 3 6 6 10

Rüstzeiten tsk = 0 tsk > 0 tsk = 0 tsk > 0 tsk = 0

umax 3 3 5 5 10

Bezeichnungen umax Anzahl der Dispositionsstufen a

Die Anzahl der Perioden ist abhängig davon, ob Vorlaufverschiebungen betrachtet werden. Der erste Wert gibt die Periodenanzahl für den Fall ohne und der zweite die Anzahl für den Fall mit Vorlaufverschiebungen an.

Die Testinstanzen einer Problemklasse unterscheiden sich in Hinblick auf die unterstellte Erzeugnisstruktur. Jede Problemklasse enthält sowohl Testinstanzen mit einer konvergierenden als auch mit einer generellen Erzeugnisstruktur. Nachfragedaten sind jeweils nur für die Endprodukte gegeben, diese können ebenfalls je nach Testinstanz variieren. Darüber hinaus unterscheiden sich die Testinstanzen hinsichtlich der verfügbaren Kapazität der Ressourcen in Abhängigkeit der 239 Eine ausführliche Beschreibung dieser Instanzen beﬁndet sich unter http://www.bwl.tudarmstadt.de/bwl1/forschung/ti_mlclsp/ti_mlclsp.php?FG=bwl1. (Abruf: 9.12.2008)

86

5 Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

unterstellten Auslastung. Außerdem können sich die Rüstkosten und für die Problemklassen B+ und D auch die Rüstzeiten je nach Testinstanz ändern. Einer der Vorteile der F&O-Heuristik liegt im Gegensatz zu anderen Lösungsverfahren darin, dass diese Vorlaufverschiebungen berücksichtigen kann. Die Vorlaufverschiebungen sind besonders für die Praxis von Relevanz, da so ein zulässiger Produktionsplan immer in einen zulässigen Maschinenbelegungsplan disaggregiert werden kann.240 Die ursprünglichen Probleminstanzen von Stadtler und Sürie (2000) berücksichtigen keine Vorlaufverschiebungen. Aus diesem Grund werden die Testinstanzen jeweils um eine Vorlaufverschiebung von einer Periode für die Vorprodukte erweitert. Dafür ist allerdings eine Anpassung der Periodenanzahl notwendig. Dazu wird die Periodenanzahl um die Anzahl der Dispositionsstufen umax − 1 erweitert und der gegebene Primärbedarf der Endprodukte um umax − 1 Perioden nach hinten verschoben. Eine Anpassung des Primärbedarfs für die Komponenten ist in diesem Fall nicht erforderlich, da für diese kein Primärbedarf vorhanden ist. Die Auswertung der Ergebnisse erfolgt auf der Basis der Testinstanzen, für die eine Lösung ohne Überstunden bekannt ist. Die Anzahl der Instanzen für jede Problemklasse ist in Tabelle 5.3 angegeben. Tab. 5.3: Anzahl der untersuchten Testinstanzen mit einer bekannten zulässigen Lösung ohne Überstunden für das MLCLSP

Problemklasse A+ B+ C D E

TI 120 312 180 80 150

ZTI (vpk = 0) 108 312 132 72 150

ZTI (vpk = 1) 116 312 153 74 150

Bezeichnungen TI Gesamtanzahl der Testinstanzen ZTI Anzahl der Testinstanzen mit einer bekannten zulässigen Lösung ohne Überstunden

In der ersten Spalte ist die Gesamtanzahl der Testinstanzen einer Problemklasse angegeben. In der zweiten Spalte folgen Angaben zur Anzahl der Testinstanzen ohne Vorlaufverschiebung mit einer bekannten Lösung ohne Überstunden sowie 240 Vgl. zur Erläuterung Abschnitt 3.2 auf S. 21f.

5.5 Numerische Untersuchungen

87

in der dritten Spalte die Anzahl der Testinstanzen mit Vorlaufverschiebung und einer Lösung ohne Überstunden. Die Evaluation der numerischen Ergebnisse erfolgt in Hinblick auf bekannte Ergebnisse für die verwendeten Testinstanzen. Die besten bekannten Ergebnisse für die Testinstanzen ohne Vorlaufverschiebung werden im Internet von Stadtler und Sürie (2000) bereitgestellt.241 Für die Testinstanzen mit Vorlaufverschiebung existieren in der Literatur keine bekannten Referenzlösungen. Aus diesem Grund wurden diese Referenzwerte auf einem Rechner mit einem GB Arbeitsspeicher und einem Intel Pentium IV Prozessor mit 3,0 GHz ermittelt. Für die Bestimmung dieser Werte wurde die SPLDarstellung für das MLCLSP242 in der Modellierungssprache GAMS 22.3 umgesetzt. Für die Lösung der Testinstanzen wurde der Standardsolver CPLEX 10.0 verwendet. Die Bestimmung einer Referenzlösung mit dem in CPLEX integrierten B&B-Verfahren brach ab, sobald ein vorgegebenes Zeitlimit erreicht wurde. Die Länge des Zeitlimits ist abhängig von der Anzahl der Binärvariablen in der jeweiligen Problemklasse. Für die Problemklassen A+ und B+ wurde je Instanz ein Zeitlimit von 1,5 Stunden, für die Problemklassen C und D eines von je drei Stunden sowie für die Problemklasse E eines von je 6 Stunden verwendet. Die F&O-Heuristik wurde auf einem Rechner mit vier GB Arbeitsspeicher und einem Intel Core 2 Duo Prozessor mit je 2,13 GHz in Delphi 6.0 implementiert. Die Lösung der Unterprobleme erfolgte mit einem Aufruf des Standardsolvers CPLEX 10.0 über die Callable Library, allerdings stand CPLEX nur ein Prozessor zur Verfügung. Die Ergebnisse der F&O-Heuristik werden hinsichtlich der Abweichung von der besten bekannten Lösung und von der unteren Schranke bezogen auf die Lösung der LP-Relaxation untersucht. Mit AOS wird die Abweichung einer Lösung Z F&O der F&O-Heuristik von der besten bekannten Lösung Z best als obere Schranke bezeichnet. Für eine Testinstanz kann die Abweichung AOS folgendermaßen berechnet werden: Z F&O − Z best · 100 %. (5.3) AOS = Z best Mit DAOS wird die durchschnittliche Abweichung von der besten bekannten Lösung aller Testinstanzen einer Problemklasse bezeichnet. Die Abweichung DAOS wird ermittelt, indem die Summe der Abweichungen AOS für alle zulässig gelös241 Die Lösungen werden von Stadtler und Sürie (2000) in Form einer Excel-Tabelle dokumentiert. Diese ist online unter http://www.bwl.tudarmstadt.de/bwl1/forschung/ti_mlclsp/ti_mlclsp.php?FG=bwl1 abrufbar. Es wird jedoch nicht deutlich, mit welchem Ansatz die Ergebnisse bestimmt wurden. 242 Vgl. Abschnitt 4.3.1 auf S. 52.

88

5 Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

ten Testinstanzen ohne Überstunden durch die Anzahl der zulässig gelösten Testinstanzen ohne Überstunden einer Problemklasse geteilt wird. Bei einem positiven Wert für DAOS sind die Ergebnisse der F&O-Heuristik im Schnitt schlechter als die besten bekannten Lösungen. Mit AUS wird die Abweichung einer Lösung Z F&O der F&O-Heuristik vom Zielfunktionswert der Lösung Z LP der LP-Relaxation als untere Schranke basierend auf der SPL-Darstellung für das MLCLSP bezeichnet. AUS ist deﬁniert als AUS =

Z F&O − Z LP · 100 %. Z LP

(5.4)

Analog zur Bestimmung der mittleren Abweichung von der besten bekannten Lösung DAOS lässt sich die mittlere Abweichung DAUS von der LP-Relaxation bestimmen. Zunächst sollen geeignete Varianten der F&O-Heuristik durch Kombination der in den Abschnitten 5.4.2.1 bis 5.4.2.3 vorgestellten elementaren Dekompositionsstrategien bestimmt werden. Durch die Kombination dieser drei elementaren Strategien ergeben sich 15 F&O-Varianten, indem entweder eine, zwei oder alle drei Strategien miteinander kombiniert werden. Für die Auswahl geeigneter Varianten werden im folgenden Abschnitt zunächst die elementaren Dekompositionsstrategien untereinander verglichen. Jede dieser Varianten wird gemäß Algorithmus 5.5 entweder genau einmal (max = 1) oder so lange wiederholt, bis ein lokales Optimum erreicht ist (max = ∞). Bei der F&O-Heuristik wird im weiteren Verlauf bei Anwendung der ressourcenorientierten Dekomposition (RoD) ein Planungsfenster bestehend aus vier Perioden verwendet (λ = 4), das jeweils um zwei Perioden verschoben wird (θ = 2). In Vorabuntersuchungen hat sich diese Parameterkombination bezogen auf die Lösungsgüte und Rechenzeit als geeignet erwiesen. Mit θ = 1 können zwar vergleichsweise bessere Ergebnisse bestimmt werden, bei den größeren Problemklassen wird dazu jedoch annähernd doppelt soviel Rechenzeit benötigt.243

243 Vgl. Tabellen B.1 und B.2 im Anhang B auf S. 189ff.

5.5 Numerische Untersuchungen

89

5.5.2 Numerische Ergebnisse für Testinstanzen ohne Vorlaufverschiebung 5.5.2.1 Vergleich der Ergebnisse der vorgestellten Dekompositionsstrategien Eine vergleichende Übersicht der Ergebnisse der drei Dekompositionsstrategien bei nur einem Durchlauf (max = 1) ist in Tabelle 5.4 dargestellt. Der Anteil der gelösten Testinstanzen ohne Überstunden ist mit Zul gekennzeichnet. Die benötigte Rechenzeit ist in Sekunden gegeben. Tab. 5.4: Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP bei einfachem Durchlauf (max = 1) der Dekompositionsstrategien

DAOS [%]

DAUS [%]

Zul [%]

Zeit [s]

DAOS [%]

Problemklasse A+ PoD RoD PzoD

4,09 4,75 4,85

26,50 100,00 27,33 100,00 27,61 100,00

8,32 6,97 4,40

25,66 100,00 23,95 100,00 21,12 100,00

Zul [%]

Zeit [s]

Problemklasse B+ 1,16 3,46 1,89

3,82 5,06 5,31

Problemklasse C PoD RoD PzoD

DAUS [%]

26,42 100,00 27,88 100,00 28,31 100,00

1,56 4,30 2,60

Problemklasse D 3,83 19,28 8,10

10,34 14,32 7,10

19,78 100,00 23,68 95,83 16,33 100,00

3,59 7,85 9,42

Problemklasse E PoD 11,01 RoD 14,18 PzoD 7,78

23,14 100,00 26,17 100,00 19,24 100,00

17,68 23,15 37,96

Nach nur einem Durchlauf bestimmt die produktorientierte Dekomposition (PoD) bei den Problemklassen A+ und B+ die besten Ergebnisse in der kürzesten Rechenzeit. Die prozessorientierte Dekomposition (PzoD) ermittelt bei den größeren Problemklassen C, D und E die besten Ergebnisse in Hinblick auf die Lösungsgüte. Dies ist jedoch verbunden mit deutlich höheren Laufzeiten. Bei einem Durchlauf wird die RoD entweder von der PoD oder von der PzoD dominiert. Dies gilt sowohl hinsichtlich der Rechenzeit als auch bezogen auf die Lösungsgüte.

90

5 Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

Die Ergebnisse der Tabelle 5.5 bei mehrfachem Durchlauf (max = ∞) der drei Dekompositionsstrategien zeigen, dass erneut die PoD die schnellste Strategie darstellt. Sowohl beim einfachen als auch beim mehrfachen Durchlauf benötigt die PoD im Vergleich zu den anderen Strategien eine um die Hälfte geringere Rechenzeit. In Hinblick auf die Lösungsgüte sind die Ergebnisse bei mehrfachem Durchlauf schlechter als bei den anderen Strategien. Mit Ausnahme der Problemklasse E liefert die RoD bezogen auf die Lösungsqualität die besten Ergebnisse. Bei der Problemklasse E werden mit der RoD schlechtere Ergebnisse im Vergleich zur PzoD erzielt. Bei der PzoD wird allerdings die doppelte Rechenzeit benötigt. Tab. 5.5: Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP bei mehrfachem Durchlauf (max = ∞) der Dekompositionsstrategien

DAOS [%]

DAUS [%]

Zul [%]

Zeit [s]

DAOS [%]

Problemklasse A+ PoD RoD PzoD

2,51 2,28 3,37

24,66 100,00 24,39 100,00 25,80 100,00

5,14 1,14 2,62

22,03 100,00 17,34 100,00 19,09 100,00

Zul [%]

Zeit [s]

Problemklasse B+ 1,71 4,95 2,35

2,20 1,92 3,12

Problemklasse C PoD RoD PzoD

DAUS [%]

24,40 100,00 24,07 100,00 25,61 100,00

2,08 5,29 3,88

Problemklasse D 7,29 24,03 24,79

5,28 2,10 2,91

14,27 100,00 10,80 100,00 11,73 100,00

6,20 12,69 14,39

Problemklasse E PoD RoD PzoD

6,71 3,55 2,76

18,41 100,00 14,58 100,00 13,72 100,00

24,48 26,48 46,99

Der Verlauf der mittleren Lösungsgüte (DAOS) bei der PoD für die Problemklassen A+ und B+ ist in Abbildung 5.5 dargestellt. Die Auswertung der Ergebnisse ergibt, dass die Abweichung der Startlösung aufgrund des Einsatzes von Überstunden und der Durchführung von Rüstvorgängen in jeder Periode im Schnitt mehr als 100 % von der besten bekannten Lösung für beide Problemklassen be-

5.5 Numerische Untersuchungen

91

10% Problemklasse A+

9%

Problemklasse B+

8% 7% DAOS

6% 5% 4% 3% 2% 1% 0% 1

11

21

31

41

51

61

71

81

91

101

Anzahl der bisher untersuchten Unterprobleme

Abb. 5.5: Verlauf der mittleren Lösungsgüte bei der produktorientierten Dekomposition am Beispiel der Problemklassen A+ und B+

trägt. Bereits nach der ersten Iteration244 sinkt die durchschnittliche Abweichung von der besten bekannten Lösung auf knapp 4 %. Für beide Problemklassen ist im Mittel nach vier Iterationen (40 Unterprobleme) ein lokales Optimum erreicht. Dies entspricht bei der Problemklasse A+ einer Abweichung von 2,51 % und bei der Problemklasse B+ einer Abweichung von 2,2 % von der besten bekannten Lösung. In Abbildung 5.6 ist der Anteil an Lösungen mit Überstunden in Abhängigkeit von der Anzahl der gelösten Unterprobleme für die Problemklasse D245 dargestellt. Bei der produktorientierten Dekomposition enthält die Startlösung für ca. 11 % der Testinstanzen noch Überstunden. Bereits nach dem siebten Unterproblem kann die Anzahl auf eine Testinstanz verringert werden, dies entspricht ca. 1,4 % der Testinstanzen bei der Problemklasse D. Mit dem 17. Unterproblem wurde für alle Testinstanzen eine Lösung ohne Überstunden bestimmt. Auffällig ist dabei, dass 244 Die Anzahl der zu untersuchenden Unterprobleme innerhalb einer Iteration der PoD entspricht der Produktanzahl. Im Fall der Problemklassen A+ und B+ werden zehn Produkte betrachtet, somit werden in einer Iteration jeweils zehn Unterprobleme gelöst. Erst nach einer vollständigen Iteration über die zehn Unterprobleme der zehn Produkte ist für jedes Produkt eine (neue) Rüstentscheidung getroffen. 245 Die Problemklasse D enthält 40 Produkte, sodass bei einem einfachen Durchlauf der produktorientierten Dekomposition insgesamt 40 Unterprobleme gelöst werden.

92

5 Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

12% Anteil der Lösungen mit Überstunden 10%

8%

6%

4%

2%

0% 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

33

35

37

39

41

Anzahl der bisher untersuchten Unterprobleme

Abb. 5.6: Anteil der Testinstanzen mit einer Lösung mit Überstunden in Abhängigkeit von der Anzahl der gelösten Unterprobleme am Beispiel der Problemklasse D

bereits nach weniger als der Hälfte der betrachteten Produkte für alle Testinstanzen eine Lösung ohne Überstunden ermittelt wurde. Ziel der F&O-Heuristik ist es, in möglichst kurzer Zeit eine möglichst gute Lösung zu bestimmen. Dieses Ziel kann bereits mit einem Durchlauf der PoD erfüllt werden. Zusätzlich soll die Möglichkeit eröffnet werden, die gefundene Lösung zu verbessern. Dies gelingt beim mehrfachen Durchlauf der PoD nur bedingt. Aus diesem Grund wird im Folgenden der Einﬂuss auf die Lösungsgüte untersucht, wenn die PoD mit einer anderen Dekompositionsstrategie kombiniert wird. Das Ergebnis der PoD wird als Startlösung für die anschließende Dekompositionsstrategie verwendet. Auf der Basis der Auswahl der PoD als Startdekomposition werden die vier folgenden Varianten der F&O-Heuristik näher untersucht:246 Variante 1: Erst PoD, dann RoD Variante 2: Erst PoD, dann PzoD Variante 3: Erst PoD, dann RoD und dann PzoD 246 Die Bezeichnungen für die hier verwendeten Varianten weichen von den Bezeichnungen in Helber und Sahling (2009) auf S. 5 ab.

5.5 Numerische Untersuchungen

93

Variante 4: Erst PoD, dann PzoD und dann RoD In den nächsten Abschnitten werden die Ergebnisse dieser vier Varianten näher vorgestellt. Beginnend mit der RoD bzw. PzoD als Startschritt lassen sich weitere Varianten ableiten. Die Ergebnisse werden an dieser Stelle nicht weiter betrachtet. Für diese Varianten beﬁnden sich die Ergebnisse im Anhang B. Abhängig von den untersuchten Varianten wurden bei den Problemklassen A+ und B+ zwischen 3 % und 10 % der binären Rüstzustandsvariablen innerhalb eines Unterproblems optimal gelöst. Mit zunehmender Problemgröße nimmt der Anteil der gleichzeitig betrachteten Binärvariablen innerhalb eines Unterproblems ab. So wurden bei den Problemklassen C und D für ca. 1 % bis 7,5 % der Binärvariablen die Optimallösungen bestimmt. Bei der Problemklasse E nimmt dieser noch weiter ab, hier liegt der Anteil bei 0,5 % und 4 % der Binärvariablen. 5.5.2.2 Ergebnisse durch Kombination von zwei Dekompositionsstrategien, beginnend mit der produkt-orientierten Dekomposition In der Tabelle 5.6 sind die Ergebnisse bei nur einem Durchlauf (max = 1) der vier Varianten (Var) dargestellt. Zunächst wird die Variante 1 mit der PoD und RoD verglichen. Erwartungsgemäß steigt die Rechenzeit bei der Variante 1 im Vergleich zur PoD an. Die Rechenzeit ist mit Ausnahme der Problemklasse E im Vergleich zur RoD geringer, obwohl ein Anstieg zu erwarten gewesen wäre. Durch die Kombination der beiden Dekompositionsstrategien können die Ergebnisse bei einem einfachen Durchlauf beträchtlich verbessert werden. Abgesehen von der Problemklasse C erzielt die Variante 2, als Kombination der PoD und PzoD, bei nur einem Durchlauf bessere Ergebnisse im Vergleich zu jeweils einem Durchlauf der Varianten PoD bzw. PzoD. Dies führt aber zu einem Anstieg der benötigten Rechenzeit.247 Die Ergebnisse der vier Varianten bei mehrfachem Durchlauf (max = ∞) sind in der Tabelle 5.7 dargestellt. Durch den mehrmaligen Durchlauf können die Ergebnisse bei der Variante 1 weiter verbessert werden. Bei den Problemklassen A+ und B+ hat die Variante 1 die besten Ergebnisse im Vergleich zur PoD und RoD erzielt. Bei den größeren Problemklassen C, D und E ist die Lösungsgüte durch die RoD höher als die der PoD und die der Variante 1. Bei mehrfachem Durchlauf erreicht die Variante 2 nur für die Problemklassen A+ und B+ bessere Ergebnisse hinsichtlich der Lösungsgüte, was wiederum mit einer höheren Rechenzeit verbunden ist. Bei den anderen Problemklassen liefert die PzoD in kürzerer Zeit bessere Ergebnisse.248 247 Vgl. Tabelle 5.4 auf S. 89. 248 Vgl. Tabelle 5.5 auf S. 90.

94

5 Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

Tab. 5.6: Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP bei einfachem Durchlauf (max = 1) für die untersuchten Varianten

DAOS [%]

DAUS [%]

Zul [%]

Zeit [s]

DAOS [%]

Problemklasse A+ Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

1,80 2,13 1,13 1,31

23,79 24,20 23,00 23,21

100,00 100,00 100,00 100,00

3,80 4,81 2,11 2,71

20,44 21,65 18,51 19,21

100,00 100,00 100,00 100,00

Zul [%]

Zeit [s]

Problemklasse B+ 2,72 3,03 3,80 4,27

1,52 1,96 0,84 0,99

Problemklasse C Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

DAUS [%]

23,55 24,13 22,71 22,91

100,00 100,00 100,00 100,00

3,32 3,39 4,72 6,18

Problemklasse D 13,80 16,72 18,96 28,82

4,96 5,33 3,34 3,82

13,89 14,33 12,13 12,66

100,00 100,00 100,00 100,00

7,48 11,45 13,72 17,23

Problemklasse E Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

7,27 6,76 4,38 5,21

18,97 18,45 15,62 16,65

100,00 100,00 100,00 100,00

36,15 49,79 67,34 66,39

Der Verlauf der mittleren Lösungsgüte (DAOS) bei der Variante 1 durch Kombination der PoD und RoD für die Problemklassen A+ und B+ ist in Abbildung 5.7 dargestellt. Eine Iteration der Variante 1 entspricht je einem Durchlauf der PoD und RoD. Bei der PoD werden zehn Unterprobleme betrachtet. Die RoD enthält 33 Unterprobleme. Nach der ersten Iteration, d. h. nach 10 + 33 = 43 gelösten Unterproblemen, beträgt die mittlere Abweichung 1,8 % von der besten bekannten Lösung für die Problemklasse A+ und 1,5 % für die Problemklasse B+ . Bei den beiden Problemklassen ist durchschnittlich nach der dritten Iteration das lokale Optimum erreicht. Dies entspricht ca. 130 gelösten Unterproblemen.

5.5 Numerische Untersuchungen

95

Tab. 5.7: Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP bei mehrfachem Durchlauf (max = ∞) für die untersuchten Varianten

DAOS [%]

DAUS [%]

Zul [%]

Zeit [s]

DAOS [%]

Problemklasse A+ Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

1,03 1,67 0,75 0,78

22,87 23,65 22,54 22,58

100,00 100,00 100,00 100,00

1,57 3,71 1,12 1,16

17,85 20,40 17,36 17,40

100,00 100,00 100,00 100,00

Zul [%]

Zeit [s]

Problemklasse B+ 4,42 3,75 5,18 6,38

0,62 1,30 0,35 0,41

Problemklasse C Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

DAUS [%]

22,43 23,31 22,12 22,20

100,00 100,00 100,00 100,00

5,24 5,13 7,03 8,40

Problemklasse D 26,40 33,88 29,87 40,90

2,72 4,36 2,15 2,17

11,45 13,26 10,85 10,87

100,00 100,00 100,00 100,00

10,96 19,72 22,25 34,40

Problemklasse E Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

3,93 4,81 3,12 3,06

15,09 16,24 14,20 14,11

100,00 100,00 100,00 100,00

49,51 68,30 89,47 98,44

5.5.2.3 Ergebnisse nach Kombination von drei Dekompositionsstrategien, beginnend mit der produktorientierten Dekomposition Beginnend mit der PoD lassen sich die drei Dekompositionsstrategien zu den Varianten 3 und 4 kombinieren. Die Ergebnisse bei einem Durchlauf (max = 1) sind in Tabelle 5.6 dargestellt. Nach nur einem Durchlauf liefern diese beiden Varianten die besten Ergebnisse. Die Variante 3 (PoD, RoD und PzoD) führt im Vergleich zur Variante 4 (PoD, PzoD und RoD) zu einer höheren Lösungsgüte und benötigt in den meisten Fällen weniger Zeit. Dieses Bild setzt sich auch im Falle von mehreren Durchläufen (max = ∞) der F&O-Heuristik fort, wie in Tabelle 5.7 dargestellt. In den meisten Fällen liefert eine der beiden Varianten 3 und 4 immer die besten Ergebnisse. Auch beim mehrmaligen Durchlauf können mit der Variante 4 etwas bessere Lösungen in kürzerer Zeit im Vergleich zur Variante 3 bestimmt werden.

96

5 Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP 10% Problemklasse A+

9%

Problemklasse B+

8% 7% DAOS

6% 5% 4% 3% 2% 1% 0% 1

11

21

31

41

51

61

71

81

91

101

Anzahl der bisher untersuchten Unterprobleme

Abb. 5.7: Verlauf der mittleren Lösungsgüte bei der Variante 1 am Beispiel der Problemklassen A+ und B+

In Abbildung 5.8 ist für die Variante 4 der Verlauf der mittleren Lösungsgüte in Abhängigkeit der gelösten Unterprobleme für die Problemklassen A+ und B+ dargestellt. Die numerischen Auswertungen haben gezeigt, dass die Variante 4 ein lokales Optimum durchschnittlich nach 150 gelösten Unterproblemen erreicht. Zusammenfassend lässt sich als wichtiges Ergebnis festhalten, dass eine leistungsfähige Heuristik immer aus einer Kombination mehrerer Dekompositionsstrategien besteht. Durch einen Perspektivwechsel, also eine andere Dekompositionsstrategie, können die Ergebnisse in der Regel verbessert werden. 5.5.2.4 Vergleich der Ergebnisse der Fix&Optimize- Heuristik mit den Ergebnissen der Verfahren von Tempelmeier/ Derstroff und von Stadtler In diesem Abschnitt sollen die Ergebnisse der vier Varianten und die der drei Dekompositionsstrategien mit zwei als besonders bedeutend eingeschätzten Verfahren zur Lösung des MLCLSP aus der Literatur verglichen werden. Zum einen wird die Lagrange-Heuristik von Tempelmeier und Derstroff (1996)249 (TDH) und zum anderen die zeitliche Dekompositionsheuristik von Stadtler (2003)250 (STH) ver249 Vgl. Abschnitt 4.3.2 auf S. 58. 250 Vgl. Abschnitt 4.3.1 auf S. 54.

5.5 Numerische Untersuchungen

97

10% Problemklasse A+

9%

Problemklasse B+

8% 7% DAOS

6% 5% 4% 3% 2% 1% 0% 1

11

21

31

41

51

61

71

81

91

101

Anzahl der bisher untersuchten Unterprobleme

Abb. 5.8: Verlauf der mittleren Lösungsgüte bei der Variante 4 am Beispiel der Problemklassen A+ und B+

wendet. Von beiden Heuristiken liegt jeweils eine Implementierung der Autoren vor, sodass für die Bestimmung numerischer Ergebnisse derselbe Computer wie für die F&O-Heuristik verwendet werden konnte. Die vorliegende Implementierung der TDH lieferte nicht immer eine zulässige Lösung bezogen auf die Lagerbilanzgleichungen. In diesen Fällen traten in einigen Perioden sehr geringe Fehlmengen auf. Aufgrund dieser Unzulässigkeit wurde nicht der mit der TDH ermittelte Zielfunktionswert unmittelbar als Vergleichswert verwendet, sondern über die Lösung des zugehörigen linearen Optimierungsmodells der optimale Zielfunktionswert für das mit der TDH gefundene Rüstmuster bestimmt. Dazu wurde dieses LP mit CPLEX 10.0 optimal gelöst. Somit ist der auf diesem Wege ermittelte Zielfunktionswert für die TDH häuﬁg besser als der ursprüngliche Zielfunktionswert, da dieser bei der TDH nur heuristisch bestimmt wird. Auf diese Weise wurde demnach zu Gunsten der TDH vorgegangen. Die angegebene Rechenzeit enthält die Zeit für diesen Korrekturschritt allerdings nicht. Für einen aussagekräftigen Vergleich mit der F&O-Heuristik wurde der STH ein Zeitlimit vorgegeben. Dieses Zeitlimit entspricht der maximalen Rechenzeit, welche die F&O-Heuristik zur Lösung einer Testinstanz der jeweiligen Problemklasse benötigte. Das vorgegebene Zeitlimit konnte allerdings nicht immer von der STH eingehalten werden, um eine erste zulässige Lösung zu bestimmen. Aus diesem Grund ist die mittlere Rechenzeit der STH bei einigen Problemklassen höher als das erlaubte Zeitlimit. Für die STH wurde die Parameterkombination verwendet,

98

5 Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

die in den numerischen Untersuchungen von Stadtler (2003) zu den besten Ergebnissen geführt hat. Das betrachtete Zeitfenster enthält vier Perioden und wird jeweils um eine Periode verschoben.251 Die Ergebnisse dieser drei Heuristiken sind für die Problemklassen A+ und B+ in Tabelle 5.8 dargestellt. Die F&O-Heuristik liefert bei allen Varianten für diese beiden Klassen bessere Ergebnisse als die TDH und STH bezogen auf die Lösungsgüte. Die Lösungsgüte der STH entspricht annähernd der Lösungsgüte der PoD bei einem Durchlauf. Die STH benötigt aber mehr als das Zehnfache an LaufTab. 5.8: Ergebnisse für das MLCLSP bei den Problemklassen A+ und B+ ohne Vorlaufverschiebung

Problemklasse A+ DAOS [%] TDH 13,19 STHa 4,14

DAUS Zul [%] [%] 37,95 100,00 26,31 99,07

Problemklasse B+ Zeit [s] 0,08 13,49

DAOS [%] 12,52 4,11

DAUS Zul [%] [%] 37,28 100,00 24,18 84,62

Zeit [s] 0,08 13,50

Einfacher Durchlauf (max = 1) PoD RoD PzoD Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

4,09 4,75 4,85 1,80 2,13 1,13 1,31

26,50 27,33 27,61 23,79 24,20 23,00 23,21

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

1,16 3,46 1,89 2,72 3,03 3,80 4,27

3,82 5,06 5,31 1,52 1,96 0,84 0,99

26,42 27,88 28,31 23,55 24,13 22,71 22,91

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

1,56 4,30 2,60 3,32 3,39 4,72 6,18

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

2,08 5,29 3,88 5,24 5,13 7,03 8,40

Mehrfacher Durchlauf (max = ∞) PoD RoD PzoD Var 1 Var 2 Var 3 Var 4 a

2,51 2,28 3,37 1,03 1,67 0,75 0,78

24,66 24,39 25,80 22,87 23,65 22,54 22,58

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

1,71 4,95 2,35 4,42 3,75 5,18 6,38

2,20 1,92 3,12 0,62 1,30 0,35 0,41

24,40 24,07 25,61 22,43 23,31 22,12 22,20

Maximale Rechenzeit: 14 s bei Problemklasse A+ , 22 s bei Problemklasse B+

251 Dies entspricht bei Stadtler (2003) dem untersuchten Szenario (4/0/1) (vgl. Stadtler (2003), S. 490ff.).

5.5 Numerische Untersuchungen

99

zeit. Die TDH liefert in vernachlässigbarer Zeit eine Lösung für das MLCLSP. Diese ist mit knapp 13 % Abweichung von der besten bekannten Lösung weitaus schlechter. Der benötigte Zeitaufwand bei der F&O-Heuristik und STH ist im Vergleich zur TDH deutlich höher. Für die Problemklasse A+ entspricht das Zeitlimit 14 Sekunden, für die Problemklasse B+ 22 Sekunden. Die F&O-Heuristik und die TDH ﬁnden im Gegensatz zur STH immer eine zulässige Lösung ohne Überstunden. Die STH kann bei der Problemklasse A+ für ca. 1 % der Testinstanzen und bei der Problemklasse B+ für 15,4 % der Testinstanzen keine Lösung bestimmen. In der Tabelle 5.9 sind die Ergebnisse der drei Heuristiken für die Problemklassen C und D dargestellt. Erneut können mit der TDH und F&O-Heuristik alle Tab. 5.9: Ergebnisse für das MLCLSP bei den Problemklassen C und D ohne Vorlaufverschiebung

Problemklasse C DAOS [%] TDH 6,76 STHa 2,14

Problemklasse D

DAUS Zul Zeit [%] [%] [s] 23,07 100,00 0,43 18,33 99,24 279,21

DAOS [%] 5,68 6,99

DAUS Zul [%] [%] 14,80 100,00 14,96 88,89

Zeit [s] 0,28 76,73

Einfacher Durchlauf (max = 1) PoD RoD PzoD Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

8,32 6,97 4,40 3,80 4,81 2,11 2,71

25,66 23,95 21,12 20,44 21,65 18,51 19,21

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

3,83 19,28 8,10 13,80 16,72 18,96 28,82

10,34 14,32 7,10 4,96 5,33 3,34 3,82

19,78 23,68 16,33 13,89 14,33 12,13 12,66

100,00 95,83 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

3,59 7,85 9,42 7,48 11,45 13,72 17,23

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

6,20 12,69 14,39 10,96 19,72 22,25 34,40

Mehrfacher Durchlauf (max = ∞) PoD RoD PzoD Var 1 Var 2 Var 3 Var 4 a

5,14 1,14 2,62 1,57 3,71 1,12 1,16

22,03 17,34 19,09 17,85 20,40 17,36 17,40

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

7,29 24,03 24,79 26,40 33,88 29,87 40,90

5,28 2,10 2,91 2,72 4,36 2,15 2,17

14,27 10,80 11,73 11,45 13,26 10,85 10,87

Maximale Rechenzeit: 263 s bei Problemklasse C, 81 s bei Problemklasse D

100

5 Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

Probleminstanzen zulässig ohne Überstunden gelöst werden. Die STH ﬁndet für ca. 1 % der Instanzen bei der Problemklasse C und für 11,1 % der Instanzen bei der Problemklasse D keine Lösung. Die TDH bestimmt innerhalb weniger Zehntelsekunden jeweils eine Lösung, die im Mittel 6,6 % bzw. 5,7 % von der besten bekannten Lösung für die Klassen C bzw. D entfernt ist. Der STH wird ein Zeitlimit von 263 Sekunden für die Problemklasse C und 81 Sekunden für die Problemklasse D vorgegeben.252 Mit der F&O-Heuristik können, verglichen mit den anderen beiden Heuristiken, wiederum bessere Ergebnisse erzielt werden. Bei einem Durchlauf sind die Ergebnisse der F&O-Heuristik im Vergleich zur TDH für alle kombinierten Varianten besser. Die Lösungen sind allerdings nur für die Problemklasse C mit der Variante 3 bei einem Durchlauf besser hinsichtlich der Lösungsgüte als die der STH. Bei der Problemklasse D liefert die F&O-Heuristik mit den vier Varianten sowie der PoD bessere Ergebnisse. Bei mehrfachem Durchlauf sind die Lösungen aller Varianten bezogen auf die Lösungsgüte besser als die der TDH. Für die Problemklasse C werden bessere Ergebnisse mit den Varianten 1, 3 und 4 sowie mit der RoD als mit der STH in deutlich geringerer Rechenzeit erreicht. Bei der Problemklasse D dominieren alle Varianten die STH in Hinblick auf Rechenzeit und Lösungsgüte. Die Tabelle 5.10 stellt die Ergebnisse der drei Heuristiken für die Problemklasse E dar. Für diese Problemklasse konnten die drei Heuristiken alle Testinstanzen ohne Überstunden lösen. Die TDH benötigt im Schnitt weniger als eine Sekunde zur Lösung einer Testinstanz. Die STH benötigt allerdings durchschnittlich mehr Rechenzeit zur Lösung einer Testinstanz als das vorgegebene Zeitlimit von 397 Sekunden. Die F&O-Heuristik bestimmt bei der Variante 3 bei einem Durchlauf sowie bei den Varianten 1 bis 4 und bei der RoD und der PzoD bei mehrfachem Durchlauf ebenfalls bessere Lösungen als die TDH. Bezogen auf die Rechenzeit benötigt die F&O-Heuristik deutlich weniger Rechenzeit als die STH. Bereits bei einem Durchlauf der Variante 3 und bei mehrfachem Durchlauf der Varianten 1, 3 und 4 sowie der RoD und der PzoD bestimmt die F&O-Heuristik bessere Ergebnisse als die STH. Die besten Ergebnisse werden bei mehrfachem Durchlauf der PzoD erreicht. Zusammenfassend lässt sich damit festhalten, dass die F&O-Heuristik mit mindestens einer der vorgestellten Varianten immer im Durchschnitt bessere Lösungen als die TDH und STH ﬁndet. Die TDH liefert in zu vernachlässigender Laufzeit immer eine zulässige Lösung ohne Überstunden, die weitere Verbesserungen zulässt. Die Ergebnisse sind allerdings im Vergleich zur F&O-Heuristik bezogen auf

252 Vgl. zur Erläuterung S. 97.

5.5 Numerische Untersuchungen

101

Tab. 5.10: Ergebnisse für das MLCLSP bei der Problemklasse E ohne Vorlaufverschiebung

TDH STHa

DAOS [%] 6,13 4,66

DAUS [%] 17,60 15,84

Zul [%] 100,00 100,00

Zeit [s] 0,69 420,95

Einfacher Durchlauf (max = 1) PoD RoD PzoD Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

11,01 14,18 7,78 7,27 6,76 4,38 5,21

23,14 26,17 19,24 18,97 18,45 15,62 16,65

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

17,68 23,15 37,96 36,15 49,79 67,34 66,39

Mehrfacher Durchlauf (max = ∞) PoD RoD PzoD Var 1 Var 2 Var 3 Var 4 a

6,71 3,55 2,76 3,93 4,81 3,12 3,06

18,41 14,58 13,72 15,09 16,24 14,20 14,11

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

24,48 26,48 46,99 49,51 68,30 89,47 98,44

Maximale Rechenzeit: 397 sec

die Lösungsgüte erheblich schlechter. Bezogen auf die Rechenzeit und Lösungsgüte sind die Ergebnisse der STH im Mittel schlechter als die der F&O-Heuristik. Die numerischen Ergebnisse zeigen für die F&O-Heuristik, dass keine Variante die anderen dominiert. Bei mehrfachem Durchlauf liefert in einigen Fällen die RoD und in anderen Fällen die PzoD bessere Ergebnisse. Darüber hinaus ﬁnden auch die Varianten 3 und 4, bei denen alle drei Dekompositionsstrategien miteinander kombiniert werden, in einigen Fällen die besten Lösungen für eine Problemklasse. Aus diesem Grund lässt sich keine generelle Aussage treffen. Im weiteren Verlauf der numerischen Untersuchungen wird auf die RoD und PzoD als alleinige Varianten verzichtet und es werden nur die Varianten beginnend mit der PoD betrachtet.

102

5 Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

5.5.3 Evaluation der Ergebnisse für Testinstanzen mit einer Vorlaufverschiebung Die Ergebnisse der F&O-Heuristik für die Testinstanzen unter Berücksichtigung einer Vorlaufverschiebung von einer Periode können nur mit den Ergebnissen der TDH verglichen werden, da die STH keine Vorlaufverschiebungen berücksichtigen kann. Die in den Tabellen angegebene durchschnittliche Abweichung DAOS bezieht sich jeweils auf die mit CPLEX 10.0 bestimmten Referenzwerte.253 In der Tabelle 5.11 sind die Ergebnisse für die Problemklassen A+ und B+ dargestellt. Auch bei der Berücksichtigung von Vorlaufverschiebungen zeichnet sich das gleiche Bild ab wie bei den Testinstanzen ohne Vorlaufverschiebungen. Für alle Probleminstanzen ﬁnden beide Heuristiken immer eine zulässige Lösung ohne Überstunden. Die Rechenzeiten der TDH sind erneut zu vernachlässigen. Die Lösungsgüte der TDH ist allerdings in beiden Fällen relativ niedrig. Diese Lösungen

Tab. 5.11: Ergebnisse für das MLCLSP bei den Problemklassen A+ und B+ mit Vorlaufverschiebung

Problemklasse A+ DAOS [%] TDH 12,92

DAUS Zul [%] [%] 34,71 100,00

Problemklasse B+ Zeit [s] 0,10

DAOS [%] 11,38

DAUS Zul [%] [%] 30,82 100,00

Zeit [s] 0,09

Einfacher Durchlauf (max = 1) PoD Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

3,94 1,66 2,09 0,76 1,16

23,66 20,99 21,51 19,93 20,40

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

1,38 2,81 2,95 5,02 3,97

4,16 1,50 1,71 0,35 0,80

22,11 18,98 19,25 17,61 18,16

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

1,78 3,67 3,65 5,90 6,59

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

2,69 4,66 5,07 6,85 9,77

Mehrfacher Durchlauf (max = ∞) PoD Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

2,44 0,87 1,52 0,53 0,46

21,93 20,06 20,86 19,65 19,56

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

253 Vgl. Abschnitt 5.5.1 auf S. 85ff.

1,80 4,65 3,56 5,86 5,92

2,11 0,42 1,08 0,07 0,13

19,71 17,70 18,50 17,29 17,36

5.5 Numerische Untersuchungen

103

lassen sich daher noch weiter verbessern. Die F&O-Heuristik erzielt mit allen Varianten deutlich bessere Ergebnisse. Bei der Problemklasse B+ sind die Ergebnisse der Variante 3 bei mehrfachem Durchlauf im Schnitt 0,07 % von den CPLEXReferenzwerten entfernt. Diese Ergebnisse werden bereits nach knapp 10 Sekunden bestimmt, während für die Bestimmung der Referenzwerte ein Zeitlimit von 1,5 Stunden zur Verfügung stand. In der Tabelle 5.12 sind die Ergebnisse für das MLCLSP mit Vorlaufverschiebung für die Problemklassen C und D dargestellt. Erneut liefert die TDH in weniger als einer Sekunde für alle Probleminstanzen eine zulässige Lösung ohne Überstunden, die im Mittel 9,0 % bei Problemklasse C und 7,3 % bei Problemklasse D von den Referenzwerten abweicht. Bei der Problemklasse C bestimmt die F&OHeuristik mit allen Varianten eine bessere Lösung. Diese weicht im besten Fall, bei der Variante 4, 1,02 % von den Referenzwerten ab. Dafür werden durchschnittlich 26 Sekunden Rechenzeit benötigt. Zur Bestimmung der Referenzwerte wurde CPLEX allerdings ein Zeitlimit von drei Stunden vorgegeben. Bei Problemklas-

Tab. 5.12: Ergebnisse für das MLCLSP bei den Problemklassen C und D mit Vorlaufverschiebung

Problemklasse C DAOS [%] TDH 9,00

DAUS Zul [%] [%] 24,20 100,00

Problemklasse D Zeit [s] 0,50

DAOS [%] 7,30

DAUS Zul [%] [%] 15,64 100,00

Zeit [s] 0,30

Einfacher Durchlauf (max = 1) PoD Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

8,55 3,63 4,63 1,56 2,76

23,65 18,09 19,29 15,71 17,11

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

3,97 10,48 12,20 21,77 16,89

10,04 4,97 5,07 2,69 3,80

18,53 13,04 13,17 10,59 11,79

97,30 97,30 97,30 97,30 97,30

3,65 7,82 10,74 17,74 14,71

97,30 97,30 97,30 97,30 97,30

5,01 11,63 15,61 22,07 24,45

Mehrfacher Durchlauf (max = ∞) PoD Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

4,64 1,54 3,58 1,19 1,02

19,30 15,68 18,09 15,29 15,09

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

5,97 17,23 21,21 27,69 26,16

4,97 2,74 4,11 2,07 2,12

13,06 10,63 12,13 9,91 9,97

104

5 Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

se D erzielt die F&O-Heuristik im Vergleich zur TDH mit Ausnahme der PoD bei nur einem Durchlauf (max = 1) bessere Lösungen. Nur für zwei Testinstanzen (2,7 % der Testinstanzen) konnte mit der F&O-Heuristik keine zulässige Lösung ohne Überstunden bestimmt werden.254 Im besten Fall weicht die Lösung nach einer mittleren Rechenzeit von 22 Sekunden mit Variante 3 im Durchschnitt 2,07 % von den Referenzwerten ab. Die Tabelle 5.13 stellt die Ergebnisse für die Problemklasse E dar. Nach durchschnittlich etwas mehr als einer Sekunde bestimmt die TDH für alle Testinstanzen eine zulässige Lösung ohne Überstunden. Die Abweichung von der Referenzlösung entspricht im Mittel 7,12 %. Die F&O-Heuristik bestimmt ebenfalls für alle Testinstanzen eine zulässige Lösung ohne Überstunden. Die F&O-Heuristik liefert verglichen mit der TDH nur bei der PoD bei einem Durchlauf im Mittel schlechtere Lösungen. Nach knapp 120 Sekunden Rechenzeit liegt die durchschnittliche Abweichung bei mehreren Durchläufen der Variante 4 bei 2,4 % von der Refe-

Tab. 5.13: Ergebnisse für das MLCLSP bei der Problemklasse E mit Vorlaufverschiebung

TDH

DAOS [%] 7,12

DAUS [%] 16,26

Zul [%] 100,00

Zeit [s] 1,13

Einfacher Durchlauf (max = 1) PoD Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

9,38 5,36 4,65 3,20 3,57

18,64 14,27 13,54 11,89 12,33

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

21,17 42,88 60,83 97,56 81,33

Mehrfacher Durchlauf (max = ∞) PoD Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

4,28 3,27 2,99 2,41 2,28

13,13 11,95 11,70 11,02 10,86

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

31,39 62,04 83,45 123,38 122,63

254 Mit einem höheren Überstundenkostensatz dürfte sich auch für diese beiden Probleminstanzen eine zulässige Lösung ohne Überstunden bestimmen lassen. Durch eine Erhöhung des Überstundenkostensatzes ist jedoch eine Vergleichbarkeit mit der TDH nicht mehr gegeben.

5.6 Abschließende Zusammenfassung

105

renzlösung. Für die Bestimmung der Referenzwerte stand CPLEX allerdings ein Zeitlimit von sechs Stunden zur Verfügung.

5.6 Abschließende Zusammenfassung Mit der F&O-Heuristik wurde ein sehr leistungsfähiger Lösungsansatz für das mehrstuﬁge Losgrößenproblem mit Kapazitätsbeschränkungen vorgestellt. Obwohl in jedem Unterproblem jeweils nicht mehr als 10 % der Binärvariablen betrachtet werden, liefert die F&O-Heuristik bezogen auf die Lösungsgüte deutlich bessere Ergebnisse als die TDH und die STH. Darüber hinaus benötigt die F&OHeuristik weniger Rechenzeit als die STH. Die Laufzeiten der F&O-Heuristik sind im Vergleich zum Einsatz von Standardsoftware ebenfalls deutlich geringer. Bei der F&O-Heuristik handelt es sich um einen sehr ﬂexiblen Ansatz, der auf exakten Verfahren der mathematischen Programmierung basiert. Dabei lassen sich die betrachteten Unterprobleme jeweils von der Standardmodellformulierung für das MLCLSP ableiten. Aus diesem Grund ist eine Anpassung der F&O-Heuristik auch dann nicht notwendig, wenn Modellerweiterungen in Form von zusätzlichen Nebenbedingungen berücksichtigt werden. So lassen sich z. B. Mindestlosgrößen oder maximale Lagerbestände problemlos in die Modellformulierung integrieren, ohne dabei die F&O-Heuristik anpassen zu müssen. Die TDH hingegen ist sehr unﬂexibel gegenüber Modellerweiterungen. Bereits das Hinzufügen zusätzlicher Modellannahmen, wie z. B. Mindestlosgrößen oder maximale Lagerbestände, erlaubt keine Lösung des Problems mit der TDH. Eine Anpassung der F&O-Heuristik ist nur dann erforderlich, wenn zusätzliche Binärvariablen eingeführt werden. In diesem Fall werden die Mengen für die Binärvariablen sowie die Unterprobleme neu deﬁniert. Darüber hinaus kann eine Anpassung der Startlösung und der Dekompositionsstrategien notwendig sein. Da diese Veränderungen sehr gering sind, ist auch in diesem Fall eine Anpassung problemlos möglich. Ein weiterer Vorteil der F&O-Heuristik liegt darin, dass auch mehrstuﬁge Losgrößenprobleme mit einer positiven Vorlaufverschiebung sehr gut gelöst werden können. Die Problematik der Vorlaufverschiebung ist besonders praxisrelevant, da nur so ein Produktionsplan immer in einen Maschinenbelegungsplan disaggregiert werden kann. Mit der STH können keine Probleme mit Vorlaufverschiebungen gelöst werden. Neben der TDH gehört die F&O-Heuristik zu den wenigen Verfahren, bei denen auch Vorlaufverschiebungen berücksichtigt werden können. Insgesamt lässt sich festhalten, dass die F&O-Heuristik sehr gute Ergebnisse hinsichtlich der Lösungsgüte und Rechenzeit für das MLCLSP auch mit Vorlauf-

106

5 Eine iterative Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

verschiebungen liefert. Außerdem eröffnet die F&O-Heuristik dem Anwender die Möglichkeit, mit akzeptablem Zeitaufwand eine möglichst gute Lösung bestimmen zu können. Mit zusätzlichem Rechenaufwand lässt sich dieser Produktionsplan sogar noch weiter verbessern, indem die Anzahl der gleichzeitig betrachteten Binärvariablen erhöht wird. Die F&O-Heuristik weist somit auch im Hinblick auf die im Zeitablauf immer leistungsfähiger werdenden Computer und Standardsolver eine hohe Flexibilität auf.

6 Anwendung der Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L 6.1 Überblick Die F&O-Heuristik kann mit einigen kleineren Veränderungen zur Lösung des MLCLSP-L mit Übertragung des Rüstzustands verwendet werden. Die Grundidee der F&O-Heuristik bleibt erhalten. Dies verdeutlicht die hohe Flexibilität dieses Dekompositionsansatzes, der auf der mathematischen Programmierung beruht. Die hier dargestellten Ausführungen für die F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L basieren weitestgehend auf der Arbeit von Sahling et al. (2009). Die notwendigen Anpassungen der F&O-Heuristik werden in diesem Kapitel erläutert. Dazu wird im Abschnitt 6.2 dargestellt, wie die Deﬁnition eines Unterproblems für das MLCLSP-L angepasst wird, wenn Rüstzustände über Periodengrenzen hinaus übertragen werden können. Im Abschnitt 6.3 wird der Ablauf der F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L beschrieben. Es folgen numerische Untersuchungen im Abschnitt 6.4. Diese basieren auf den um Vorlaufverschiebungen erweiterten Problemklassen von Stadtler und Sürie (2000). Abschließend werden die Ergebnisse im Abschnitt 6.5 noch einmal kurz zusammengefasst.

6.2 Modellformulierung für das Unterproblem Beim MLCLSP-L kann der Rüstzustand ohne zusätzliche Rüstkosten und -zeiten in nachfolgende Perioden übertragen werden.255 Aufgrund der zusätzlich benötigten binären Rüstübertragungsvariablen wird das mathematische Modell allerdings noch komplexer, sodass auch hier Heuristiken zur Lösung notwendig sind. Die F&O-Heuristik kann durch einige Veränderungen auch für das MLCLSP-L genutzt werden. Die Grundidee der F&O-Heuristik bleibt bei dieser Modiﬁkation erhalten. Zur Bestimmung eines Unterproblems für das MLCLSP-L werden die binären Entscheidungsvariablen des Ausgangsproblems wieder in jeweils zwei disjunkte 255 Vgl. Abschnitt 3.3 auf S. 26.

108

6 Anwendung der Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L

Teilmengen unterteilt. Die eine umfasst diejenigen Binärvariablen des Ausgangsproblems, die im gerade betrachteten Unterproblem auf exogen vorgegebene Werte ﬁxiert sind. Die andere, komplementäre Teilmenge beschreibt dagegen die innerhalb des Unterproblems zu optimierenden Binärvariablen. Zusätzlich zu den Rüstzustandsvariablen γkt werden beim MLCLSP-L auch die binären Rüstübertragungsvariablen ωkt berücksichtigt. In Analogie zu einem ﬁxierten Rüstzustand γ kt bezeichnet ω kt eine ﬁxierte Rüstübertragung für Produkt k in Periode t. Zur Identiﬁzierung der innerhalb eines Unterproblems optimal zu lösenden Rüstübertragungsvariablen ωkt wird die Menge KT in zwei disjunkte Untermengen KT opt ω f ix und KT ω unterteilt: opt

• Die Menge KT ω enthält die Produkt-Perioden-Kombinationen (k,t), für welche die Rüstübertragungsvariablen ωkt in einem Unterproblem optimal gelöst werden. • Die Menge KT ωf ix enthält die Produkt-Perioden-Kombinationen (k,t), für welche die Rüstübertragungen ω kt in einem Unterproblem vorübergehend ﬁxiert sind. Alle reellwertigen Variablen QPkt , Ykt , Omt sowie νmt werden in jedem Unterproblem über den gesamten Planungshorizont optimal gelöst. Ein Unterproblem für das MLCLSP-L mit mehrfacher Rüstübertragung (MLCLSP-L-SUB) kann mit der Notation aus Tabelle 6.1 folgendermaßen mathematisch modelliert werden:

Tab. 6.1: Ergänzende Notation für das MLCLSP-L-SUB

Indexmengen Menge der Produkt-Perioden-Kombinationen (k,t), deren zugeKT opt ω hörige Rüstübertragungsvariablen ωkt im aktuellen Unterproblem optimal gelöst werden Menge der Produkt-Perioden-Kombinationen (k,t), deren zugeKT ωf ix hörige Rüstübertragungen ω kt im aktuellen Unterproblem ﬁxiert sind Parameter ω kt ﬁxierte Rüstübertragung für Produkt k in Periode t, wobei (k,t) ∈ KT ωf ix

6.3 Anpassung der Fix&Optimize-Heuristik für das MLCLSP-L

109

Modell MLCLSP-L-SUB: (3.12) – (3.16) und (3.18) – (3.27) γkt = γ kt

∀ (k,t) ∈ KT γf ix

(6.1)

ωkt = ω kt

∀ (k,t) ∈ KT ω

f ix

(6.2)

Der Standardmodellformulierung für das MLCLSP-L256 werden lediglich die zusätzlichen Nebenbedingungen (6.1) und (6.2) hinzugefügt.257 Aufgrund der Nebenbedingungen (6.1) wird einer binären Rüstzustandsvariable γkt ein ﬁxierter Rüstzustand γ kt zugewiesen, wenn die zugehörige Produkt-Periodenf ix Kombination (k,t) in der Menge KT γ enthalten ist. Entsprechend nimmt mit den Nebenbedingungen (6.2) eine binäre Rüstübertragungsvariable ωkt den Wert einer ﬁxierten Rüstübertragung ω kt an, wenn die Menge KT ωf ix die zugehörige Produkt-Perioden-Kombination (k,t) enthält. Somit wird die Optimierung der bif ix nären Rüstzustandsvariablen γkt auf die Menge KT opt γ = KT \ KT γ beschränkt. Die Optimierung der Rüstübertragungsvariablen ωkt ist auf die Menge KT opt ω = KT \ KT ωf ix begrenzt. Analog kann auch das MLCLSP-L-SUB bei einfacher Rüstübertragung modelliert werden. Dazu werden der Zielfunktion (3.12) und den Restriktionen (3.13) bis (3.22) zusätzlich die Nebenbedingungen (6.1) und (6.2) hinzugefügt.

6.3 Anpassung der Fix&Optimize-Heuristik für das MLCLSP-L 6.3.1 Bestimmung einer formal zulässigen Startlösung Die angepasste F&O-Heuristik besteht, wie beim MLCLSP, aus zwei Phasen. Die Anfangsﬁxierung für die binären Rüstübertragungsvariablen lässt sich aus der Startlösung für das MLCLSP bestimmen, bei der für jedes Produkt k in jeder Periode t gerüstet ist. Dazu wird das zugehörige MLCLSP-L-SUB optimal gelöst, indem alle binären Rüstvariablen ﬁxiert und alle Rüstübertragungsvariablen op256 Vgl. Abschnitt 3.3 auf S. 29ff. 257 Eine redundanzfreie mathematische Modellformulierung – wie für das MLCLSP-SUB im Abschnitt A vorgestellt – ist auch für das MLCLSP-L-SUB möglich.

110

6 Anwendung der Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L f ix

timal gelöst werden (KT γ = KT und KT opt ω = KT ). Auf diesem Weg wird auch der optimale Zielfunktionswert Z ∗ der Startlösung ermittelt. Wenn der Produktionsplan der Startlösung keine Überstunden enthält (∑m∈M ∑t∈T O∗mt = 0), wird der booleschen Variable KapZul der Wert ‘true’ zugewiesen, ansonsten der Wert ‘ f alse’. Abschließend werden die optimal gelösten Rüstübertragungsvariablen ωkt ﬁxiert. Der Ablauf der Initialisierung ist im Algorithmus 6.1 dargestellt. für alle (k,t) ∈ KT Setze γ kt := 1 f ix

Setze KT γ := KT f ix Setze KT ω := 0/ Bestimme Z ∗ für das MLCLSP-L-SUB Setze Z neu := Z ∗ wenn ∑m∈M ∑t∈T O∗mt = 0 dann Setze KapZul:= ‘true’ sonst Setze KapZul:= ‘ f alse’ für alle (k,t) ∈ KT Setze ω kt := ωkt∗ Bezeichnungen optimale Ausprägung der binären Rüstübertragungsvariable ωkt ωkt∗

Alg. 6.1: Initialisierungsphase zur Bestimmung einer formal zulässigen Startlösung für die F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L

Bei der Bestimmung einer Startlösung steht erneut die formale Zulässigkeit der Lösung im Vordergrund. Die ermittelte Lösung kann auch in diesem Fall aus betriebswirtschaftlicher Sicht äußerst unattraktiv sein. Im Verlauf der F&O-Heuristik wird diese Lösung allerdings immer weiter verbessert.258 Im Anschluss an die Bestimmung der Startlösung beginnt die eigentliche F&O-Heuristik. Der generelle Ablauf der F&O-Heuristik ist annähernd identisch mit dem bereits bekannten Ablauf zur Lösung des MLCLSP. Daher wird der Ablauf an dieser Stelle nicht weiter erläutert.259 Aufgrund der Rüstübertragung sind allerdings Anpassungen bezüglich der Dekompositionsstrategien notwendig. 258 Vgl. Abschnitt 5.4.1 auf S. 73. 259 Den detaillierten Ablauf der F&O-Heuristik für das MLCLSP-L beschreibt der Algorithmus C.1 im Anhang C.

6.3 Anpassung der Fix&Optimize-Heuristik für das MLCLSP-L

111

opt 6.3.2 Bestimmung der Untermengen KT opt γ und KT ω zu optimierender Binärvariablen

6.3.2.1 Produktorientierte Dekomposition Bei der produktorientierten Dekomposition korrespondiert ein Unterproblem s mit einem Produkt k. In einer vorgegebenen Reihenfolge K˜ wird für jedes Produkt k jeweils ein Unterproblem betrachtet.260 Die Reihenfolge, in der die Produkte während der produktorientierten Dekomposition betrachtet werden, basiert auf der Lösung der LP-Relaxation der Standardmodellformulierung für das MLCLSP-L.261 Aufgrund der zusätzlich zu berücksichtigenden Rüstübertragungsvariablen wird die Berechnungsvorschrift (5.2) für die produktspeziﬁschen Kosten Zk angepasst:262 Zk

=

∑ (hck ·Ykt∗ + sck · (γ˜kt∗ − ω˜ kt∗ ))

t∈T

+

∗ ˜ kt∗ )) ∑ (t pk · QP∗ kt + tsk · (γ˜kt − ω

t∈T

∗ ˜ it∗ )) ∑ ∑ (t pi · QP∗ it + tsi · (γ˜it − ω

i∈Kμ(k) t∈T

(6.3) · ∑ ocμ(k),t · O∗μ(k),t t∈T

Die Berechnung der produktspeziﬁschen Kosten Zk basiert auf den relaxiert gelösten Werten γ˜kt∗ und ω˜ kt∗ der Rüstzustands- und Rüstübertragungsvariablen. Die Überstundenkosten einer Ressource werden proportional zur Kapazitätsbeanspruchung auf die in Periode t gefertigten Produkte verteilt. Eine Aufteilung nach dem Verursachungsprinzip263 ist auch hier nicht möglich, da sich die Überstunden nicht eindeutig einem Produkt zuordnen lassen.264 Bei der produktorientierten Dekomposition werden die Produkte nach absteigenden Kosten Zk in die geordnete Menge K˜ einsortiert. Mit diesem Vorgehen werden somit zunächst die Rüstentscheidungen für die kostenintensiveren Produkte ﬁxiert. Insgesamt werden K Unterprobleme untersucht. Ein Unterproblem s beinhaltet alle Rüstzustandsvariablen γkt und alle Rüstübertragungsvariablen ωkt für das dem Unterproblem s zugeordnete Produkt k. Darüber hinaus werden auch die Rüstübertragungsvariablen ωit derjenigen Produkte i betrachtet, die auf derselben Maschine wie Produkt k gefertigt werden (i ∈ Kμ(k) ), da diese Produkte um die Möglichkeit 260 261 262 263 264

Vgl. Abschnitt 5.4.2.1 auf S. 76. Vgl. Abschnitt 3.3 auf S. 29ff. Vgl. Abschnitt 5.4.2.1 auf S. 76. Vgl. u. a. Hoitsch und Lingnau (2007), S. 67ff. sowie Schweitzer und Küpper (2008), S. 55. Vgl. zur Erläuterung Abschnitt 5.4.2.1 auf S. 76.

112

6 Anwendung der Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L

einer Rüstübertragung auf dieser Maschine konkurrieren. Diese Betrachtung ist notwendig, weil ein zusätzlich einzuplanender Rüstzustand (γkt = 1) für Produkt k in Periode t insgesamt zu einer Kostenreduzierung führen kann. Aufgrund eines bereits bestehenden Rüstzustands (γk,t−1 = 1) wird so für dieses Produkt in der Vorperiode t − 1 eine Rüstübertragung ermöglicht (ωkt = 1). Gleichzeitig muss allerdings eine bestehende Rüstübertragung (ωit = 1) für ein anderes Produkt i auf derselben Maschine aufgehoben werden. Andererseits kann beispielsweise das Aufheben eines Rüstzustands (γkt = 0) verbunden mit dem gleichzeitigen Aufheben einer Rüstübertragung (ωkt = 0) in die Periode t eine Rüstübertragung für ein anderes Produkt i auf derselben Maschine ermöglichen (ωit = 1). Eine Iteration der produktorientierten Dekomposition endet, sobald für jedes Produkt das korrespondierende Unterproblem betrachtet wurde. Der für die Übertragung des Rüstzustands angepasste Ablauf der produktorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP-L ist im Algorithmus 6.2 dargestellt. Die Abbildung 6.1 stellt den Ablauf der produktorientierten Dekomposition anhand des bekannten Beispiels265 dar. Nach der Lösung der LP-Relaxation ergibt sich für das Beispiel, dass die Produkte in der Reihenfolge ihrer Indizie1. Unterproblem: 1 2

3

4

5

6

7

8

2. Unterproblem: 1 2

Produkt 1

Produkt 1

Produkt 2

Produkt 2

Produkt 3

Produkt 3

Produkt 4

Produkt 4

3. Unterproblem: 1 2

3

4

5

6

7

8

4. Unterproblem: 1 2

Produkt 1

Produkt 1

Produkt 2

Produkt 2

Produkt 3

Produkt 3

Produkt 4

Produkt 4 aktuell betrachtetes Produkt optimal zu lösende Rüstzustandsvariable

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

(vorübergehend) fixierter Rüstzustand optimal zu lösende Rüstübertragungsvariable

Abb. 6.1: Beispiel zum Ablauf der produktorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP-L 265 Vgl. Abschnitt 5.4.2.1 auf S. 76f.

6.3 Anpassung der Fix&Optimize-Heuristik für das MLCLSP-L

113

Setze s := 1 für alle k ∈ K˜ für alle t ∈ T Füge (k,t) der Menge KT opt γ hinzu für alle i ∈ Kμ(k) opt Füge (i,t) der Menge KT ω hinzu Setze KT γf ix := KT \KT opt γ f ix Setze KT ω := KT \KT opt ω Bestimme Z ∗ des MLCLSP-L-SUB wenn ∑m∈M ∑t∈T O∗mt = 0 dann Setze KapZul neu := ‘true’ sonst Setze KapZul neu := ‘ f alse’ wenn (Z ∗ < Z neu ) ∧ (KapZul neu ∨ [¬KapZul neu ∧ ¬KapZul]) dann für alle t ∈ T Setze γ kt := γkt∗ für alle i ∈ Kμ(k) Setze ω it := ωit∗ Setze Z neu := Z ∗ wenn KapZul neu dann Setze KapZul:= ‘true’ opt

Setze KT γ := 0/ opt Setze KT ω := 0/ Setze s := s + 1 Alg. 6.2: Ablauf der produktorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP-L

rung betrachtet werden. Aus diesem Grund enthält das erste Unterproblem die Rüstzustandsvariablen sowie die Rüstübertragungsvariablen von Produkt 1. Zusätzlich werden auch die Rüstübertragungsvariablen von Produkt 2 betrachtet, da beide Produkte auf der Maschine A gefertigt werden. Die Rüstvariablen, d. h. die Rüstzustands- und Rüstübertragungsvariablen der übrigen Produkte bleiben zunächst ﬁxiert. Im Anschluss an die Optimierung erfolgt die Fixierung der optimal gelösten Rüstzustands- und Rüstübertragungsvariablen für die beiden Produkte. Danach wird das zweite Unterproblem optimiert, in dem die Rüstzustandsvariablen von Produkt 2 und die Rüstübertragungsvariablen der Produkte 1 und 2

114

6 Anwendung der Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L

optimal gelöst werden. Analog korrespondiert das dritte bzw. vierte Unterproblem mit den Produkten 3 bzw. 4. In jedem Unterproblem werden neben den jeweiligen Rüstzustandsvariablen des zugehörigen Produkts auch die Rüstübertragungsvariablen beider auf der jeweiligen Maschine gefertigten Produkte betrachtet. Nach der Optimierung des vierten Unterproblems endet eine Iteration der produktorientierten Dekomposition. 6.3.2.2 Ressourcenorientierte Dekomposition Bei der ressourcenorientierten Dekomposition für das MLCLSP-L werden innerhalb eines Unterproblems s jeweils nur die Produkte k ∈ Km einer Maschine m in einem Planungsfenster der Länge λ betrachtet. Im Anschluss an die exakte Lösung eines Unterproblems werden, wie beim MLCLSP, die optimal gelösten Binärvariablen ﬁxiert. Anschließend wird das Planungsfenster um θ Perioden verschoben. Somit überlappen sich zwei nachfolgende Unterprobleme s und s + 1 jeweils um λ − θ Perioden, wenn diese derselben Ressource m zugeordnet sind. Die ressourcenorientierte Dekomposition endet, sobald für jede Maschine die zugehörigen Planungsfenster genau einmal betrachtet wurden. Der Ablauf der ressourcenorientierten Dekomposition für das MLCLSP-L ist im Algorithmus 6.3 dargestellt. Der Ablauf der ressourcenorientierten Dekomposition entspricht in Bezug auf die Rüstzustandsvariablen γkt dem der ressourcenorientierten Dekomposition für das MLCLSP.266 Der einzige Unterschied betrifft die Rüstübertragungsvariablen ωkt . Diese werden ebenfalls für alle Produkte der betrachteten Maschine im Planungsfenster optimal gelöst. Veränderungen der Rüstzustandsvariablen am Ende des betrachteten Zeitraums können sich allerdings auch auf die Rüstübertragungsvariablen in der ersten nachfolgenden Periode auswirken, sodass zusätzlich zu den Perioden im Planungsfenster die erste nachfolgende Periode nach dem Planungsfenster für die Rüstübertragungsvariablen betrachtet wird. Anhand eines Beispiels in Abbildung 6.2 werden mögliche Auswirkungen erläutert. Das aktuelle Unterproblem korrespondiert mit der Maschine B, auf der die Produkte 3 und 4 gefertigt werden können. Dabei wird ein Planungsfenster bestehend aus den Perioden 3 bis 6 betrachtet.267 Wird beispielsweise für Produkt 3 in Periode 6 ein zusätzlicher Rüstzustand (γ36 = 1) eingeplant, so lässt sich dieser möglicherweise zur Kostenreduzierung in die Folgeperiode 7 übertragen. Ein Erhalt dieses Rüstzustands ist allerdings nur dann möglich (ω37 = 1), wenn in der nachfolgenden Periode 7 für Produkt 3 gerüstet ist (γ37 = 1). Entsprechend kann sich für Produkt 4 in Periode 6 der Verlust 266 Vgl. Abschnitt 5.4.2.2 auf S. 78ff. 267 Vgl. dazu das Beispiel im Abschnitt 5.4.2.1 auf S. 76f.

6.3 Anpassung der Fix&Optimize-Heuristik für das MLCLSP-L

115

Setze s := 1 für alle m ∈ M Setze t := 0 solange t < T für τ := t + 1 bis min{T,t + λ } für alle k ∈ Km Füge (k, τ) der Menge KT opt γ hinzu Setze KT γf ix := KT \ KT opt γ für τ := t + 1 bis min{T,t + λ + 1} für alle k ∈ Km opt Füge (k, τ) der Menge KT ω hinzu Setze KT ωf ix := KT \ KT opt ω Bestimme Z ∗ des MLCLSP-L-SUB wenn ∑m∈M ∑t∈T O∗mt = 0 dann Setze KapZul neu := ‘true’ sonst Setze KapZul neu := ‘ f alse’ wenn (Z ∗ < Z neu ) ∧ (KapZul neu ∨ [¬KapZul neu ∧ ¬KapZul]) dann für alle (k, τ) ∈ KT opt γ Setze γ kτ := γkt∗ für alle (k, τ) ∈ KT opt ω Setze ω kτ := ωkt∗ Setze Z neu := Z ∗ wenn KapZul neu dann Setze KapZul:= ‘true’ opt

Setze KT γ := 0/ Setze t := t + θ (wobei 1 ≤ θ ≤ λ ) Setze s := s + 1 Alg. 6.3: Ablauf der ressourcenorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP-L

eines Rüstzustands (γ46 = 0) auf eine vorherige Rüstübertragung (ω47 = 1) auswirken. Daher werden auch die Rüstübertragungsvariablen ω47 und ω37 für die Produkte der betrachteten Maschine in der Periode 7 nach dem Planungsfenster berücksichtigt. Eine Berücksichtigung der Periode 2 vor Beginn des Planungs-

116

6 Anwendung der Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L

1

2

3

4

5

6

7

8

Produkt 1 Produkt 2 Produkt 3 Produkt 4 aktuell betrachtete Produkte optimal zu lösende Rüstzustandsvariable

betrachtetes Zeitfenster der Länge ë=4 (vorübergehend) fixierter Rüstzustand

optimal zu lösende Rüstübertragungsvariable

Abb. 6.2: Beispiel zur Anpassung der ressourcenorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP-L

fensters ist aufgrund der Deﬁnition (3.11) der Rüstübertragungsvariablen ωkt nicht notwendig.268 Das Vorgehen bei der ressourcenorientierten Dekomposition wird anhand des bereits bekannten Beispiels269 in Abbildung 6.3 erläutert. In jedem Unterproblem s wird ein Planungsfenster mit vier Perioden betrachtet. Das Planungsfenster wird für ein neues Unterproblem auf derselben Ressource um zwei Perioden verschoben. Die Betrachtung beginnt mit Maschine A. Im ersten Unterproblem werden die Produkte 1 und 2 gleichzeitig betrachtet und die Rüstvariablen für diese Produkte über die Perioden 1 bis 4 optimiert. Darüber hinaus werden bei der Optimierung auch die Rüstübertragungsvariablen der Periode 5 für beide Produkte sowie alle reellwertigen Entscheidungsvariablen berücksichtigt. Anschließend werden die optimal gelösten Binärvariablen ﬁxiert. Für das zweite Unterproblem wird das Planungsfenster um zwei Perioden verschoben. In diesem Unterproblem werden alle reellwertigen Entscheidungsvariablen und die Rüstzustands- und Rüstübertragungsvariablen der Produkte 1 und 2 für die Perioden 3 bis 6 optimal gelöst. Zusätzlich werden die Rüstübertragungsvariablen der Periode 7 betrachtet. Anschließend werden die Binärvariablen ﬁxiert und das Planungsfenster um zwei weitere Perioden verschoben. In dem so entstan268 Vgl. Abschnitt 3.3 auf S. 28. 269 Vgl. Abschnitt 5.4.2.1 auf S. 76f.

6.3 Anpassung der Fix&Optimize-Heuristik für das MLCLSP-L

1. Unterproblem: 1 2

3

4

5

6

7

8

2. Unterproblem: 1 2

Produkt 1

Produkt 1

Produkt 2

Produkt 2

Produkt 3

Produkt 3

Produkt 4

Produkt 4

3. Unterproblem: 1 2

3

4

5

6

7

8

4. Unterproblem: 1 2

Produkt 1

Produkt 1

Produkt 2

Produkt 2

Produkt 3

Produkt 3

Produkt 4

Produkt 4

117

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

5. Unterproblem:

aktuell betrachtete Produkte optimal zu lösende Rüstzustandsvariable

betrachtetes Zeitfenster der Länge ë=4 (vorübergehend) fixierter Rüstzustand

optimal zu lösende Rüstübertragungsvariable

Abb. 6.3: Beispiel zum Ablauf der ressourcenorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP-L

denen Unterproblem werden die Rüstzustands- und Rüstübertragungsvariablen der Produkte 1 und 2 in den Perioden 5 bis 8 optimiert. Analog werden die Unterprobleme für die Maschine B deﬁniert. 6.3.2.3 Prozessorientierte Dekomposition Bei der prozessorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP-L werden innerhalb eines Unterproblems s die Rüstvariablen für ein Produkt k und einen seiner direkten Nachfolger i ∈ Nk betrachtet. Bezogen auf die Rüstzustandsvariablen ergeben sich keine Veränderungen beim Ablauf der prozessorientierten Dekomposition im Vergleich zum MLCLSP.270 Erneut wird der Planungshorizont halbiert, sodass in einem Unterproblem s zunächst die Perioden 1 bis T2 und im 270 Vgl. Abschnitt 5.4.2.3 auf S. 82f.

118

6 Anwendung der Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L

anschließenden Unterproblem s + 1 die Perioden T2 + 1 bis T betrachtet werden, wenn diese jeweils den gleichen Produkten k und i zugeordnet sind. Darüber hinaus ergeben sich Veränderungen bezogen auf die zu berücksichtigenden Rüstübertragungsvariablen. 6.4 s := 1 k∈K i ∈ Nk t := 0 t
min{T, t + T2 } (i, τ ) KT opt γ

τ := t + 1 min{T, t + T2 + 1} j∈K (μ(j) = μ(k)) ∨ (μ(j) = μ(i)) (j, τ ) KT opt ω KT fγ ix := KT \KT opt γ KT fωix := KT \KT opt ω ∗ Z ∗ m∈M t∈T Omt = 0 KapZulneu true KapZulneu f alse (Z < Z neu ) ∧ (KapZulneu ∨ [¬KapZulneu ∧ ¬KapZul]) ∗

τ := t + 1 min{T, t + T2 } ∗ γ kτ := γkτ ∗ γ iτ := γiτ

τ := t + 1 min{T, t + T2 + 1} j ∈ Kμ(k) ∪ Kμ(i) ∗ ω jτ := ωjτ Z neu := Z ∗ KT opt γ := ∅ t := t + T2 s := s + 1

Alg. 6.4: Ablauf der prozessorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP-L

6.4 Numerische Untersuchungen

119

Im ersten Unterproblem für zwei Produkte k und i werden die Rüstzustandsund Rüstübertragungsvariablen im Planungsfenster mit den Perioden 1 bis T2 optimal gelöst. Zusätzlich werden die Rüstübertragungsvariablen für die beiden Produkte in der Periode T2 + 1, der ersten Periode nach dem Planungsfenster, in die Optimierung miteinbezogen.271 Darüber hinaus werden bei der Optimierung auch die Rüstübertragungsvariablen der Produkte berücksichtigt, die auf denselben Ressourcen wie die Produkte k und i gefertigt werden. Für diese Variablen werden die Perioden t = 1, . . . , T2 + 1 betrachtet.272 Im Anschluss an die Optimierung des Unterproblems werden die Binärvariablen ﬁxiert. Danach wird die zweite Hälfte des Planungshorizonts betrachtet, d. h. die Perioden T2 + 1 bis T . Sobald diese beiden Unterprobleme für alle bestehenden Vorgänger-NachfolgerBeziehungen betrachtet wurden, endet eine Iteration der prozessorientierten Dekomposition. Der Ablauf der prozessorientierten Dekomposition ist im Algorithmus 6.4 dargestellt. In Abbildung 6.4 ist das Vorgehen bei der prozessorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP-L anhand des bereits bekannten Beispiels veranschaulicht. Beginnend mit Produkt 3 und dem direkten Nachfolgerprodukt 1 werden die zugehörigen Rüstzustandsvariablen für die Perioden 1 bis 4 im ersten Unterproblem optimal gelöst. Zusätzlich werden die Rüstübertragungsvariablen beider Produkte sowie die Rüstübertragungsvariablen der Produkte 2 und 4 für die Perioden 1 bis 5 betrachtet. Dies ﬁndet seine Begründung darin, dass Produkt 2 auf derselben Maschine wie Produkt 1 und Produkt 4 auf derselben Maschine wie Produkt 3 gefertigt wird. Anschließend erfolgt die Fixierung der Binärvariablen. Im folgenden Unterproblem wird die zweite Hälfte des Planungshorizonts untersucht. In diesem werden die Rüstvariablen der Produkte 1 und 3 sowie die Rüstzustandsvariablen der vier Produkte in den Perioden 5 bis 8 optimiert. Analog werden jeweils zwei Unterprobleme für die Produkte 2 und 3 sowie 2 und 4 untersucht.

6.4 Numerische Untersuchungen 6.4.1 Beschreibung der verwendeten Testinstanzen Die numerischen Untersuchungen basieren ebenfalls auf einer Auswahl der von Stadtler und Sürie (2000) vorgestellten und um eine Vorlaufverschiebung erweiterten Problemklassen A+ , B+ , C, D und E.273 Eine weitere Anpassung der Test271 Vgl. zur Erläuterung Abschnitt 6.3.2.2 auf S. 115ff. 272 Vgl. zur Erläuterung Abschnitt 6.3.2.1 auf S. 112ff. 273 Vgl. Abschnitt 5.5 auf S. 85ff.

120

1. Unterproblem: 1 2

6 Anwendung der Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L

3

4

5

6

7

8

2. Unterproblem: 1 2

Produkt 1

Produkt 1

Produkt 2

Produkt 2

Produkt 3

Produkt 3

Produkt 4

Produkt 4

3. Unterproblem: 1 2

3

4

5

6

7

8

4. Unterproblem: 1 2

Produkt 1

Produkt 1

Produkt 2

Produkt 2

Produkt 3

Produkt 3

Produkt 4

Produkt 4

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

5. Unterproblem:

aktuell betrachtete Produkte optimal zu lösende Rüstzustandsvariable

betrachtetes Zeitfenster der Länge ë=4 (vorübergehend) fixierter Rüstzustand

optimal zu lösende Rüstübertragungsvariable

Abb. 6.4: Beispiel zum Ablauf der prozessorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSP-L

instanzen an das MLCLSP-L ist nicht notwendig. Es wird sowohl das MLCLSP-L mit einfacher als auch mit mehrfacher Rüstübertragung untersucht. Die F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L wurde ebenfalls in Delphi 6.0 auf einem Computer mit vier GB Arbeitsspeicher und einem Intel Core 2 Duo Prozessor mit je 2,13 GHz implementiert. Die einzelnen Unterprobleme werden jeweils mit CPLEX 10.0 optimal gelöst. CPLEX konnte allerdings nur auf einen Prozessor zurückgreifen.274 Für die verwendeten Testinstanzen existieren keine Referenzwerte. Aus diesem Grund wurde für jede Probleminstanz versucht, die SPL-Darstellung für das MLCLSP-L optimal zu lösen. Die Modellierung des MLCLSP-L-SPL erfolgte in der Modellierungssprache GAMS 22.7. Die einzelnen Testinstanzen wurden jeweils auf dem Hochleistungsrechner CLUH des Regiona274 Vgl. Abschnitt 5.5 auf S. 87.

6.4 Numerische Untersuchungen

121

len Rechenzentrums für Niedersachsen mit CPLEX 11.0 gelöst. Die Rechnerinfrastruktur beinhaltet 16 Server mit je acht GB Hauptspeicher und je vier AMD Opteron MP Prozessoren mit 2,2 GHz. Für die Berechnung wurden allerdings nur vier Prozessoren parallel verwendet. Die Testinstanzen wurden mit einem gegebenen Zeitlimit in Abhängigkeit von der Problemgröße gelöst. Der Vergleich der Abweichung von der unteren Schranke AUS nach Deﬁnition (5.4) erfolgt auf der Basis der besten unteren Schranke,275 die bis zum Ablauf des Zeitlimits gefunden wurde. Für jede Problemklasse entspricht die Anzahl der zulässig gelösten Testinstanzen ohne Überstunden für das MLCLSP-L mindestens der Anzahl zulässig gelöster Testinstanzen ohne Überstunden für das MLCLSP. Beim MLCLSP-L können durch die Möglichkeit der Rüstübertragung allerdings Rüstzeiten eingespart werden und somit lässt sich der eigentliche Kapazitätsverbrauch senken. Bei den Problemklassen A+ , C und E bleibt die Anzahl allerdings unverändert, da keine Rüstzeiten betrachtet werden. Bei den Problemklassen B+ und D mit Rüstzeiten können mehr zulässig gelöste Testinstanzen ohne Überstunden als beim MLCLSP existieren, da durch die Möglichkeit der Rüstübertragung Rüstzeiten eingespart werden können. Bei der Bestimmung der Referenzwerte konnte mit CPLEX 11.0 überraschenderweise bei der Problemklasse D bei mehrfacher Rüstübertragung nur für 68 Testinstanzen eine Lösung ohne Überstunden innerhalb des vorgegebenen Zeitlimits bestimmt werden, obwohl für mindestens 74 Testinstanzen eine Lösung ohne Überstunden existieren muss. Diese Zahl entspricht der Anzahl der Testinstanzen, für die beim MLCLSP eine Lösung ohne Überstunden bekannt ist. Die Auswertung der Ergebnisse erfolgt auf der Basis der Testinstanzen, für die eine zulässige Lösung ohne Überstunden als Referenzwert bestimmt werden konnte. Die Anzahl dieser Instanzen für jede Problemklasse ist in Tabelle 6.2 angegeben. In der ersten Spalte ist die Gesamtanzahl der Testinstanzen einer Problemklasse angegeben. In der zweiten Spalte folgen Angaben zur Anzahl der Testinstanzen mit einer gefundenen zulässigen Lösung ohne Überstunden bei einfacher Rüstübertragung (RÜ) sowie in der dritten Spalte die Anzahl der Testinstanzen mit einer zulässigen Lösung ohne Überstunden bei mehrfacher Rüstübertragung. In der vierten Spalte ist das Zeitlimit in Stunden für die Bestimmung der optimalen Lösung mit CPLEX auf dem Hochleistungsrechner angegeben.276

275 Vgl. Abschnitt 5.5 auf S. 88. 276 Eine Zeitstunde entspricht einer CPU-Stunde für einen Prozessor. Da bei den Berechnungen vier Prozessoren gleichzeitig verwendet wurden, beträgt das Zeitlimit in CPU-Stunden somit das Vierfache des vorgegebenen Zeitlimits in Zeitstunden.

122

6 Anwendung der Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L

Tab. 6.2: Anzahl der untersuchten Testinstanzen mit einer bekannten zulässigen Lösung ohne Überstunden für das MLCLSP-L

Problemklasse A+ B+ C D E

# TI 120 312 180 80 150

# TI einf. RÜ 116 312 153 74 150

# TI mehrf. RÜ 116 312 153 68 150

Zeitlimit 1h 1h 2h 2h 4h

Bezeichnungen RÜ Rüstübertragung

Für die F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L werden wie beim MLCLSP277 ebenfalls neben der alleinigen Anwendung der PoD die vier Varianten mit der PoD als Startdekomposition verwendet:278 Variante 1: Erst PoD, dann RoD Variante 2: Erst PoD, dann PzoD Variante 3: Erst PoD, dann RoD und dann PzoD Variante 4: Erst PoD, dann PzoD und dann RoD

6.4.2 Ergebnisse mit Vorlaufverschiebung und einfacher Rüstübertragung Die Ergebnisse der F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L mit einfacher Rüstübertragung sind in Tabelle 6.3 dargestellt. Die mittlere Rechenzeit zur Lösung einer Testinstanz ist verglichen mit dem MLCLSP deutlich angestiegen. Dies lässt sich mit der gestiegenen Komplexität aufgrund der größeren Anzahl der Binärvariablen beim MLCLSP-L erklären. Während die Variante 2 zu kaum erkennbaren Verbesserungen im Vergleich zur PoD führt, erzielt die Variante 1 (PoD und RoD) dagegen deutliche Verbesserungen. Die Kombination aller drei Dekompositionsstrategien liefert bei einem Durchlauf aber immer die besten Ergebnisse, wobei die Variante 3 im Vergleich 277 Vgl. Abschnitt 5.5.2.1 auf S. 92. 278 Die Bezeichnung der hier verwendeten Varianten weicht von der Bezeichnung in Sahling et al. (2009) auf S. 2550 ab.

6.4 Numerische Untersuchungen

123

Tab. 6.3: Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP-L mit einfacher Rüstübertragung bei einfachem Durchlauf (max = 1)

DAOS [%]

DAUS [%]

Zul [%]

Zeit [s]

DAOS [%]

Problemklasse A+ PoD Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

7,89 1,40 7,66 1,22 1,42

29,78 21,86 29,50 21,64 21,90

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

39,93 31,35 38,89 30,60 31,00

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

Zul [%]

Zeit [s]

Problemklasse B+ 3,50 5,28 3,93 5,61 5,72

6,71 0,53 6,42 0,35 0,47

Problemklasse C PoD 6,29 Var 1 −0,19 Var 2 5,50 Var 3 −0,76 Var 4 −0,46

DAUS [%]

27,43 19,97 27,09 19,75 19,89

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

5,28 7,30 5,80 7,84 7,83

Problemklasse D 6,61 19,59 11,64 24,42 23,37

5,21 −0,71 4,28 −1,53 −1,06

33,96 97,30 26,22 100,00 32,67 98,65 25,18 100,00 25,78 100,00

6,14 16,80 11,37 21,60 21,64

Problemklasse E PoD Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

−3,73 −7,37 −5,82 −8,26 −8,29

30,69 25,34 27,65 23,97 23,98

100,00 46,11 100,00 93,94 100,00 132,51 100,00 181,16 100,00 180,78

zur Variante 4 noch bessere Ergebnisse liefert. Mit Ausnahme der Problemklasse D kann für alle Testinstanzen mit allen Varianten eine zulässige Lösung ohne Überstunden bestimmt werden. Bei der Problemklasse D kann für maximal 2,7 % der Testinstanzen keine zulässige Lösung gefunden werden. Bei den Problemklassen A+ und B+ können in maximal 7,83 Sekunden sehr gute Ergebnisse im Vergleich zu den mit CPLEX 11.0 bestimmten Referenzwerten ermittelt werden. Bei den anderen Problemklassen können sogar mit den Varianten 1, 3 und 4 bessere Ergebnisse erzielt werden.279 Bei der Problemklasse E können für alle Varianten nach einer Laufzeit von knapp 180 Sekunden im Schnitt 279 In diesem Fall sind die Werte für DAOS negativ.

124

6 Anwendung der Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L

bessere Ergebnisse verglichen mit den Referenzwerten ermittelt werden. Für die Bestimmung der Referenzwerte wurde bei dieser Problemklasse ein Zeitlimit von vier Stunden vorgegeben. Bei der Problemklasse E führen alle untersuchten Varianten der F&O-Heuristik zu besseren Lösungen im Vergleich zu den Ergebnissen auf dem Hochleistungsrechner. Die Ergebnisse bei mehreren Durchläufen (max = ∞) der F&O-Heuristik sind in Tabelle 6.4 dargestellt. Erwartungsgemäß können bei mehreren Durchläufen die Ergebnisse weiter verbessert werden, sodass für alle Probleminstanzen fast durchgängig bessere Werte im Vergleich zu den Referenzwerten bestimmt werden können. Bei der Variante 4 können bei der Problemklasse E beispielsweise im Mittel

Tab. 6.4: Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP-L mit einfacher Rüstübertragung bei mehrfachem Durchlauf (max = ∞)

DAOS [%]

DAUS [%]

Zul [%]

Zeit [s]

DAOS [%]

Problemklasse A+ PoD 2,12 Var 1 −0,29 Var 2 2,14 Var 3 −0,29 Var 4 −0,33

22,77 19,81 22,79 19,81 19,76

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

32,95 27,72 32,46 27,58 27,72

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

3,90 6,44 4,44 6,79 7,03

−7,98 −9,31 −8,65 −9,76 −9,80

24,33 22,23 23,39 21,56 21,48

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

Zeit [s]

1,03 −1,38 1,00 −1,38 −1,41

20,58 17,65 20,54 17,64 17,61

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

5,76 8,59 6,35 9,31 9,26

Problemklasse D 8,92 26,36 14,44 32,18 32,92

Problemklasse E PoD Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

Zul [%]

Problemklasse B+

Problemklasse C PoD 1,01 Var 1 −2,93 Var 2 0,64 Var 3 −3,04 Var 4 −2,93

DAUS [%]

67,21 135,21 168,32 237,22 275,46

0,18 −3,75 −0,19 −3,71 −3,85

27,35 22,33 26,99 22,38 22,21

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

8,50 21,44 13,87 27,67 29,28

6.4 Numerische Untersuchungen

125

um 9,8 % bessere Lösungen ermittelt werden. Der Anstieg der Rechenzeit für die Problemklassen A+ bis D ist eher gering. Die Rechenzeit bei der Problemklasse E erhöht sich allerdings deutlich.

6.4.3 Ergebnisse mit Vorlaufverschiebung und mehrfacher Rüstübertragung Die Tabelle 6.5 stellt die Ergebnisse für das MLCLSP-L mit mehrfacher Rüstübertragung mit Vorlaufverschiebung bei nur einem Durchlauf (max = 1) dar. Bereits nach nur einem Durchlauf können bei den Varianten 1, 3 und 4 jeweils für

Tab. 6.5: Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP-L mit mehrfacher Rüstübertragung bei einfachem Durchlauf (max = 1)

DAOS [%]

DAUS [%]

Zul [%]

Zeit [s]

DAOS [%]

Problemklasse A+ PoD 5,28 Var 1 −3,39 Var 2 6,00 Var 3 −3,22 Var 4 −3,33

74,17 59,69 75,25 60,00 59,78

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

53,11 43,07 52,58 41,71 42,77

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

3,09 6,26 3,95 6,37 6,71

−3,57 −7,56 −5,90 −8,25 −8,41

35,27 29,03 31,65 27,88 27,70

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

Zeit [s]

4,44 −4,00 5,21 −3,90 −4,05

71,98 57,94 73,11 58,13 57,86

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

4,11 8,11 5,78 7,49 8,60

Problemklasse D 6,73 26,21 12,39 28,60 30,52

Problemklasse E PoD Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

Zul [%]

Problemklasse B+

Problemklasse C PoD 4,56 Var 1 −2,22 Var 2 4,20 Var 3 −3,17 Var 4 −2,43

DAUS [%]

60,76 114,21 160,50 241,83 228,92

4,93 −1,41 3,96 −2,74 −1,80

43,86 34,97 42,33 33,34 34,45

98,53 100,00 100,00 100,00 100,00

6,26 24,10 12,22 27,27 31,86

126

6 Anwendung der Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L

alle Problemklassen im Durchschnitt bessere Ergebnisse im Vergleich zu den Referenzwerten ermittelt werden. Mit Ausnahme der Problemklasse D können wiederum für alle Testinstanzen zulässige Lösungen ohne Überstunden bestimmt werden. Bei einem Durchlauf der PoD kann in dieser Problemklasse nur für gut 1,5 % der Testinstanzen keine zulässige Lösung ohne Überstunden bestimmt werden. Bei den übrigen Varianten ist die Zulässigkeit aller Testinstanzen jedoch gegeben. Bei den Ergebnissen bei mehreren Durchläufen kann die Lösungsgüte erwartungsgemäß noch erhöht werden, wie in Tabelle 6.6 dargestellt. Die benötigte Rechenzeit steigt hingegen bei mehreren Durchläufen nur sehr gering. Bei allen Varianten können bessere Ergebnisse im Vergleich zu den Referenzwerten bestimmt

Tab. 6.6: Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP-L mit mehrfacher Rüstübertragung bei mehrfachem Durchlauf (max = ∞)

DAOS [%]

DAUS [%]

Zul [%]

Zeit [s]

DAOS [%]

Problemklasse A+ PoD −1,70 Var 1 −5,84 Var 2 −1,72 Var 3 −5,82 Var 4 −5,79

62,49 55,60 62,46 55,64 55,69

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

45,33 38,88 44,83 38,64 38,85

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

4,02 7,11 4,58 8,17 7,74

−7,92 −9,38 −8,64 −9,76 −9,85

28,40 25,98 27,33 25,41 25,24

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

Zeit [s]

−2,52 −6,67 −2,62 −6,59 −6,63

60,39 53,52 60,20 53,64 53,58

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

5,86 9,07 6,44 9,35 9,91

Problemklasse D 8,99 28,42 14,98 37,52 35,77

Problemklasse E PoD Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

Zul [%]

Problemklasse B+

Problemklasse C PoD −0,69 Var 1 −5,06 Var 2 −1,03 Var 3 −5,25 Var 4 −5,10

DAUS [%]

73,93 154,45 177,02 318,71 309,03

−0,42 −4,58 −0,65 −5,18 −4,49

36,35 30,68 36,01 29,84 30,79

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

8,67 23,06 14,76 34,69 29,78

6.5 Abschließende Zusammenfassung

127

werden. Bei der Problemklasse E können um bis zu 9,85 % bessere Lösungen bestimmt werden.

6.5 Abschließende Zusammenfassung Um das MLCLSP-L mit Hilfe der F&O-Heuristik lösen zu können, waren geringfügige Anpassungen erforderlich. Dazu war zunächst die Deﬁnition zusätzlicher Untermengen notwendig, um die Rüstübertragungsvariablen berücksichtigen zu können. Darüber hinaus wurde die Bestimmung einer formal zulässigen Startlösung im Vergleich zur Anwendung der F&O-Heuristik für das MLCLSP leicht abgewandelt sowie die vorgestellten elementaren Dekompositionsstrategien an die Möglichkeit der Rüstübertragung angepasst. Die vorgestellte F&O-Heuristik für das MLCLSP-L lässt sich ohne zusätzliche Anpassungen sowohl bei der einfachen als auch bei der mehrfachen Rüstübertragung verwenden. Die gestiegene Komplexität der Modellformulierung für das MLCLSP-L hat zu einem Anstieg der Rechenzeiten im Vergleich zum MLCLSP geführt. Die Laufzeiten der F&O-Heuristik sind jedoch verglichen mit den Laufzeiten exakter mathematischer Verfahren weiterhin gering. Darüber hinaus konnten auch hinsichtlich der Lösungsgüte mit der F&O-Heuristik deutlich bessere Ergebnisse im Vergleich zu den Referenzwerten erzielt werden, die mit einem Standardsolver für gemischtganzzahlige Optimierungsmodelle bei sehr viel längeren Rechenzeiten auf einem Hochleistungsrechner bestimmt wurden.

7 Anwendung der Fix&Optimize-Heuristik auf ein Losgrößenproblem mit reihenfolgeabhängigen Rüstvorgängen aus der Lebensmittelindustrie 7.1 Überblick Anhand eines Losgrößenproblems aus der Lebensmittelindustrie wird in diesem Kapitel demonstriert, wie sich die F&O-Heuristik auf praxisorientierte Problemstellungen anwenden lässt. Dazu wird zunächst im Abschnitt 7.2 der vorliegende Praxisfall beschrieben. Darauf aufbauend werden im Abschnitt 7.3 die Modellannahmen für das vorliegende Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen und reihenfolgeabhängigen Rüstkosten und -zeiten auf parallelen Maschinen an mehreren Standorten in allgemeiner Form beschrieben und eine mathematische Modellformulierung auf der Basis des MLCLSD vorgestellt. Die F&O-Heuristik wird für die Lösung dieser Problemstellung im Abschnitt 7.4 modiﬁziert. Die Ergebnisse der numerischen Untersuchungen werden im Abschnitt 7.5 beschrieben. Abschließend folgt im Abschnitt 7.6 eine kurze Zusammenfassung.

7.2 Beschreibung des vorliegenden Praxisfalls Bei dem betrachteten Unternehmen280 erfolgt die Herstellung und Verpackung von Lebensmitteln in einem zweistuﬁgen Produktionsprozess an zwei räumlich voneinander getrennten Standorten. Auf der ersten Stufe, der sog. Fertigungsstufe, erfolgt die Herstellung der Vorprodukte. In der anschließenden zweiten Stufe, der sog. Verpackungsstufe, werden die Produkte in Kartons verpackt. In der Literatur werden zweistuﬁge Produktionsprozesse, bestehend aus einer Fertigungs- und einer anschließenden Verpackungsstufe, als Make&Pack-Prozesse bezeichnet.281 280 Vgl. Schelper (2007), S. 67ff. 281 Vgl. u. a. Méndez und Cerdá (2002), Fündeling und Trautmann (2005) sowie Günther et al. (2006).

130

7 Anwendung der F&O-Heuristik auf das MLCLSD-PM-ML

Bei der Verpackung der Produkte in Kartons kann zwischen sortenreinen und gemischten Kartons unterschieden werden. In den sortenreinen Kartons sind nur Produkte einer Sorte enthalten, dagegen können gemischte Kartons verschiedene Produkte enthalten. Die Menge der gemischten Kartons wird im weiteren Verlauf der Arbeit mit Kg , die Menge der sortenreinen Kartons mit Ks sowie die Menge der Vorprodukte mit Kv bezeichnet. Die Vorprodukte können an beiden Standorten gefertigt und anschließend in sortenreine Kartons verpackt werden. Die gemischten Kartons können nur am Standort 1 verpackt werden. Es besteht jedoch die Möglichkeit, die noch nicht verpackten Produkte vom Standort 2 zum Standort 1 zu transportieren. Für die Lagerung der Produkte stehen am Standort 1 ein Vorprodukt- und ein Endproduktlager mit beschränkter Lagerkapazität zur Verfügung. Eine Lagerung der Produkte am Standort 2 ist nicht möglich. Der unterstellte Produktionsablauf für das betrachtete Unternehmen ist in Abbildung 7.1 skizziert.

Standort 2 Ä3DFN³

Nachfrage Ä0DNH³

- Herstellung von Vorprodukten - Verpackung in sortenreine Kartons

Standort 1 Endproduktlager Ä3DFN³

Transport Vorproduktlager

Ä0DNH³

- 2-stufiger Produktionsprozess (¶0DNH&3DFN¶) - Herstellung von Vorprodukten - Verpackung in sortenreine und gemischte Kartons

Abb. 7.1: Schematischer Produktionsablauf für das Praxisbeispiel

Versucht man diese Problemstruktur zu verallgemeinern, so liegt hier eine losweise Produktion mit genereller Erzeugnisstruktur und parallelen Maschinen an

7.3 Das MLCLSD-PM-ML

131

mehreren Standorten vor. Darüber hinaus sind Transporte zwischen den Standorten sowie reihenfolgeabhängige Rüstvorgänge zu beachten, die häuﬁg in der Lebensmittelindustrie anzutreffen sind. Diese Problemstellung wird im folgenden Abschnitt verallgemeinert und als mathematisches Optimierungsmodell formuliert.

7.3 Das mehrstuﬁge Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen und reihenfolgeabhängigen Rüstvorgängen auf parallelen Maschinen an mehreren Standorten (MLCLSD-PM-ML) 7.3.1 Modellannahmen In einem mehrstuﬁgen Produktionsprozess werden K Produkte an L räumlich voneinander getrennten Standorten (l = 1, . . . , L) über einen Planungshorizont von T Perioden hergestellt. Am Standort l stehen Ml Produktionsanlagen für die Fertigung der Produkte zur Verfügung. Insgesamt werden M Produktionsanlagen genutzt (∑l Ml = M). In Abbildung 7.2 ist ein möglicher Produktionsbereich mit mehreren Produktionsstandorten und parallelen Maschinen dargestellt.

Standort 1 (M1=8)

Standort 2 (M2=4)

Standort L (ML=6)

m=1

Produkte 1,3,6

m=2

Produkte 1,3,4

m=9

Produkte 2,3

m=10

Produkte 2,4,6

m=M-5

Produkte Produkte m=M-4 1,2 5,6

m=3

Produkte 1,2,4

m=4

Produkte 3,6

m=11

Produkte 1,5

m=12

Produkte 3,5

m=M-3

Produkte Produkte m=M-2 2,3,5 1,2,3

m=5

Produkte 2,5

m=6

Produkte 4,6

m=M-1

Produkte 3,5,6

m=7

Produkte 2,5

m=8

Produkte 4,6

Standort 3 (M3=2) m=13

Produkte 2,3

m=14

m=M

Produkte 2,4

Produkte 2,4,6

Abb. 7.2: Produktionsbereich mit mehreren Standorten und parallelen Maschinen

Für die Fertigung von Produkt k stehen im Gegensatz zum MLCLSP mehrere nicht-identische Maschinen mit beschränkten Kapazitäten am Standort l zur Verfügung. Diese werden mit der Menge Mkl bezeichnet. Die Menge Mkl enthält

132

7 Anwendung der F&O-Heuristik auf das MLCLSD-PM-ML

die Maschinen m, auf denen Produkt k am Standort l gefertigt werden kann. Eine eindeutige Zuordnung der Produkte auf die Maschinen ist somit nicht möglich.282 Die Kapazität cpmt von Maschine m in Periode t ist gegeben. Diese kann durch den Einsatz von Überstunden erweitert werden. Dieser Einsatz verursacht jedoch Überstundenkosten ocm je ZE auf Maschine m. Für die Fertigung einer Mengeneinheit von Produkt k werden t pkm Kapazitätseinheiten auf Maschine m benötigt. Die Produktionskosten auf Maschine m ergeben sich aus den bei der Fertigung verbrauchten Kapazitätseinheiten bewertet mit dem Kostensatz pcm . Für die Herstellung von Produkt k auf Maschine m ist ein Rüstvorgang erforderlich. Die durch einen Rüstvorgang für Produkt k auf Maschine m verursachte Rüstzeit tsikm ist abhängig von dem zuvor gefertigten Produkt i. Die Rüstkosten scikm für Produkt k sind ebenfalls abhängig von dem Vorgängerprodukt i auf Maschine m. Der Rüstzustand eines Produkts k kann auf Maschine m aus der Periode t − 1 in die nachfolgende Periode t übernommen werden. Bei einer Rüstübertragung müssen weder zusätzliche Rüstkosten noch -zeiten für dieses Produkt berücksichkm auf Maschine m tigt werden. Für jedes Produkt k ist der Anfangsrüstzustand ω bekannt. Die Nachfrage dkt nach Produkt k in Periode t ist im Voraus gegeben. Diese kann von jedem Standort l aus befriedigt werden. Der Direktbedarfskoefﬁzient aki gibt die Anzahl der ME von Produkt k an, die zur Fertigung einer Einheit seines Nachfolgerprodukts i ∈ Nk benötigt werden. Darüber hinaus wird für Produkt k eine Vorlaufverschiebung vpk bei der Produktion berücksichtigt, damit die Vorprodukte rechtzeitig für die Herstellung nachgelagerter Produkte zur Verfügung stehen. Aufgrund der Reihenfolgeabhängigkeit der Produkte entspricht jeder zulässige Produktionsplan gleichzeitig einem zulässigen Maschinenbelegungsplan. An jedem Standort l steht jeweils ein Lager zur Verfügung. Für die Lagerung einer Mengeneinheit von Produkt k fallen Lagerkosten hckl je Periode am Standort l an. Das Lagervolumen cyl am Standort l ist begrenzt. Das Volumen einer ME von Produkt k ist mit gk gegeben. Für die Transporte der Produkte zwischen den Standorten steht am Standort l in Periode t eine unbeschränkte Anzahl an Fahrzeugen zur Verfügung. Für einen Transportvorgang vom Standort l zum Standort h fallen pro Fahrzeug ﬁxe Transportkosten f clh an. Das Volumen eines Fahrzeugs am Standort l ist durch die Fahrzeugkapazität c f l beschränkt. Für die Transporte wird eine Transportvorlaufverschiebung v fk für Produkt k berücksichtigt. So wird sichergestellt, dass die Transportmenge rechtzeitig für die Weiterverarbeitung am Standort h zur Verfügung steht. 282 Vgl. Abschnitt 3.2 auf S. 19ff.

7.3 Das MLCLSD-PM-ML

133

7.3.2 Modellformulierung für das MLCLSD-PM-ML Bei der beschriebenen Problemstellung handelt es sich um ein mehrstuﬁges Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen und reihenfolgeabhängigen Rüstkosten auf parallelen Maschinen an mehreren Standorten. Die im Folgenden vorgestellte Modellformulierung basiert auf dem MLCLSD.283 Diese Modellformulierung wird aufgrund der beschriebenen Modellerweiterungen als MLCLSD-PM-ML (engl.: Multi-Level Capacitated Lotsizing Problem with Sequence Dependent Setup Costs using Parallel Machines at Multiple Locations) bezeichnet. Da beim MLCLSD-PM-ML die Fertigung der Produkte auf parallelen Maschinen erfolgen kann, ist eine eindeutige Zuordnung der Produkte auf die Ressourcen im Gegensatz zum MLCLSP oder MLCLSD nicht möglich. Aus diesem Grund werden die Rüstvariablen δiktm , die Rüstübertragungsvariablen ωktm , die Hilfsvariablen für die Reihenfolge πktm und die ganzzahligen Variablen für die Produktionsmengen QPktm jeweils um den Maschinenindex m erweitert. Die Variable Omt beschreibt die benötigten Überstunden auf Maschine m in Periode t. Eine zusätzliche Indizierung bezogen auf die Standorte ist bei diesen Variablen nicht erforderlich, da eine Maschine m eindeutig einem Standort l zugeordnet werden kann. Da die Produkte an allen Standorten gelagert werden können, werden die ganzzahligen Lagerendbestandsvariablen Yktl um den Standortindex l erweitert. Darüber hinaus werden ganzzahlige Variablen für die Transportmengen verwendet. Die ganzzahlige Entscheidungsvariable QFktlh beschreibt die Transportmenge von Produkt k in Periode t vom Standort l zum Standort h. Die Anzahl der eingesetzten Fahrzeuge in Periode t zum Transport der Güter von Standort l zu Standort h zeigt die ganzzahlige Variable Ntlh an. Die ganzzahlige Hilfsvariable Dktl beschreibt den Teil der Nachfrage nach Produkt k, der vom Standort l in Periode t erfüllt wird. Mit der in den Tabellen 7.1 und 7.2 dargestellten Notation kann das MLCLSD-PM-ML folgendermaßen mathematisch modelliert werden:

283 Vgl. Abschnitt 3.4 auf S. 36ff.

134

7 Anwendung der F&O-Heuristik auf das MLCLSD-PM-ML

Tab. 7.1: Verwendete Indizes und Parameter für das MLCLSD-PM-ML

Indizes und Indexmengen k, i ∈ K Menge der Produkte, K = {1, . . . , K} l, h ∈ L Menge der Standorte, L = {1, . . . , L} m∈M Menge der Ressourcen, M = {1, . . . , M} t ∈T Menge der Perioden, T = {1, . . . , T } Km Menge der Produkte, die auf Ressource m gefertigt werden Menge der Maschinen am Standort l, die Produkt k herstellen könMkl nen (Mkl ⊂ M) Anzahl der Maschinen am Standort l Ml Nk Menge der direkten Nachfolger von Produkt k Parameter aki bkt cpmt c fl cyl dkt f clh gk hckl ocm pcm scikm t pkm tsikm v fk vpk km ω

Direktbedarfskoefﬁzient bezüglich Produkt k und Produkt i hinreichend große Zahl für Produkt k in Periode t verfügbare Kapazität auf Ressource m in Periode t Kapazität eines Fahrzeugs am Standort l Lagerkapazität am Standort l Primärbedarf nach Produkt k in Periode t ﬁxe Transportkosten für eine Lieferung von Standort l zu Standort h Volumen von Produkt k je ME Lagerkostensatz für Produkt k am Standort l Überstundenkostensatz für eine Überstunde auf Resource m variable Produktionskosten auf Maschine m je ZE Rüstkostensatz für einen Rüstvorgang von Produkt i auf Produkt k auf Maschine m Stückbearbeitungszeit von Produkt k auf Maschine m Rüstzeit für einen Rüstvorgang von Produkt i auf Produkt k auf Maschine m Transportvorlaufverschiebung von Produkt k Produktionsvorlaufverschiebung von Produkt k Anfangsrüstzustand von Produkt k auf Maschine m

7.3 Das MLCLSD-PM-ML

135

Tab. 7.2: Verwendete Entscheidungsvariablen für das MLCLSD-PM-ML

Entscheidungsvariablen Dktl Hilfsvariable für die Nachfragemenge nach Produkt k, die in Periode t von Standort l erfüllt wird Anzahl der Transporte in Periode t von Standort l zu Standort h Ntlh Omt Überstunden auf Ressource m in Periode t Transportmenge von Produkt k in Periode t von Standort l zu QFktlh Standort h QPktm Produktionsmenge von Produkt k in Periode t auf Maschine m Lagerbestand von Produkt k am Ende von Periode t am Standort l Yktl δiktm binäre Rüstvariable von Produkt i auf Produkt k in Periode t auf Maschine m Position von Produkt k in der Rüstfolge der Periode t auf Maschiπktm ne m binäre Rüstübertragungsvariable für Produkt k in Periode t auf ωktm Maschine m

Modell MLCLSD-PM-ML:

min Z

= + +

∑ ∑ ∑ pcm · t pkm · QPktm + ∑ ∑ ∑ hckl ·Yktl

m∈M k∈Km t∈T

∑ ∑ ∑ ∑ scikm · δiktm + ∑ ∑ ocmt · Omt

m∈M i∈Km k∈Km t∈T

∑∑∑

t∈T l∈L h∈L h=l

f clh · Ntlh

unter Beachtung der Restriktionen

Yk,t−1,l +

∑

m∈Mkl

k∈K t∈T l∈L

QPk,t−vpk ,m +

∑ QFk,t−v fk ,hl =

h∈L h=l

m∈M t∈T

(7.1)

136

7 Anwendung der F&O-Heuristik auf das MLCLSD-PM-ML

∑ QFktlh + ∑ ∑

∀ k,t, l

(7.2)

∀ k,t

(7.3)

∀t, m

(7.4)

∀t, l, h, mit l = h

(7.5)

∀t, m, k ∈ Km

(7.6)

∀t, m

(7.7)

∀t, m, k ∈ Km

(7.8)

∀t, m, i ∈ Km , k ∈ Km mit k = i

(7.9)

i∈Nk m∈Mil

h∈L h=l

aki · QPitm + Dktl +Yktl

∑ Dktl = dkt

l∈L

∑

t pkm · QPktm +

k∈Km

∑

i∈Km

tsikm · δiktm

≤ cpmt + Omt

∑ gk · QFktlh ≤ c fl · Ntlh

k∈K

QPktm

∑

∑

≤ bkt ·

i∈Km

δiktm + ωktm

ωktm = 1

k∈Km

ωktm +

∑

i∈Km

δiktm =

∑

j∈Km

δk jtm + ωk,t+1,m

πktm ≥ πitm + 1 − |Km | · (1 − δiktm )

∑ gk ·Yktl ≤ cyl

∀t, l

(7.10)

Yk0l , YkT l gegeben

∀ k, l

(7.11)

∀ m, k ∈ Km

(7.12)

∀ k,t, m

(7.13)

k∈K

km ωk1m = ω

πktm , Omt ≥ 0

7.3 Das MLCLSD-PM-ML

δiktm , ωktm ∈ {0, 1} Dktl , Ntlh , QFktlh , QPktm , Yktl ∈ Z+ 0

137

∀ i, k,t, m

(7.14)

∀ k,t, l, h, m, mit l = h

(7.15)

Die Zielfunktion (7.1) minimiert die anfallenden Gesamtkosten. Diese beinhalten die variablen Produktionskosten, welche abhängig vom Kapazitätsverbrauch bei der Fertigung sind. Darüber hinaus sind auch die Lager-, Rüst-, Überstundenund Transportkosten enthalten. Letztere sind abhängig von der Anzahl der eingesetzten Fahrzeuge. Mit den Lagerbilanzgleichungen (7.2) wird der Teil der Nachfrage Dktl von Produkt k in Periode t bestimmt, der von Standort l erfüllt wird. Sowohl für die Produktionsmengen QPktm als auch für die Transportmengen QFktlh wird jeweils eine Vorlaufverschiebung vpk bzw. v fk für Produkt k berücksichtigt. Zum einen stehen so die Vorprodukte rechtzeitig für die Weiterverarbeitung bereit. Ein zulässiger Produktionsplan entspricht somit auch einem zulässigen Maschinenbelegungsplan, da beim MLCLSD-PM-ML gleichzeitig auch die Bearbeitungsreihenfolge der Produkte bestimmt wird. Zum anderen wird mit der Transportvorlaufverschiebung v fk sichergestellt, dass die Transportmengen rechtzeitig für die Weiterverarbeitung am Standort h bereitstehen. Zusammen mit den Nebenbedingungen (7.3) gewährleisten die Lagerbilanzgleichungen (7.2), dass der Primärbedarf dkt von Produkt k in Periode t ohne Fehlmengen erfüllt wird. Es folgen die Kapazitätsrestriktionen (7.4) für die Maschinen. Bei den Nebenbedingungen (7.5) handelt es sich um die Transportkapazitätsbedingungen. Mit diesen wird die Anzahl der eingesetzten Fahrzeuge Ntlh für den Transport von Standort l zu Standort h in Periode t bestimmt. Die Gesamttransportmenge darf die Kapazität der eingesetzten Fahrzeuge nicht übersteigen. Die Restriktionen (7.6) bis (7.9) stellen die Produktionsbedingungen, die Nebenbedingungen für die Rüstübertragungen sowie die Reihenfolgebedingungen dar.284 Mit den Nebenbedingungen (7.10) wird das Volumen der Lagermenge am Standort l in jeder Periode auf cyl begrenzt. Die Nebenbedingungen (7.11) geben den Lageranfangs- und Lagerendbestand exogen vor. Die Restriktionen (7.12) legen den Anfangsrüstzustand für Produkt k auf Maschine m zu Beginn der ersten Periode fest. Den Abschluss der Modellformulierung bilden die Nichtnegativitätsbedingungen (7.13), die Binärbedingungen (7.14) und die Ganzzahligkeitsbedingungen (7.15).

284 Vgl. Abschnitt 3.4 auf S. 38ff.

138

7 Anwendung der F&O-Heuristik auf das MLCLSD-PM-ML

7.4 Anpassung der Fix&Optimize-Heuristik für das MLCLSD-PM-ML 7.4.1 Modellformulierung für das Unterproblem MLCLSDPM-ML-SUB Für das MLCLSD-PM-ML lässt sich zur Anwendung der F&O-Heuristik ein Unterproblem analog zum MLCLSP und zum MLCLSP-L deﬁnieren. Dazu werden für das MLCLSD-PM-ML-SUB die binären Rüstvariablen δiktm und Rüstübertragungsvariablen ωktm in jeweils zwei disjunkte Teilmengen unterteilt. Die Rüstvariablen δiktm sind beim MLCLSD-PM-ML abhängig von den Beziehungen zweier Produkte k und i, die unmittelbar nacheinander auf einer Maschine m in Periode t gefertigt werden. Aus diesem Grund wird die Menge KT um einen zusätzlichen Produktindex sowie einen Maschinenindex zur Menge IKT M erweitert. Diese Menge enthält die Quadrupel (i, k,t, m). Zur Identiﬁzierung der innerhalb eines Unterproblems optimal zu lösenden Rüstvariablen δiktm und der ﬁxierten Rüstzustände δ iktm wird die Menge IKT M in zwei disjunkte Teilmengen IKT Mopt δ f ix und IKT Mδ unterteilt: enthält die Quadrupel (i, k,t, m), deren zugehörige • Die Menge IKT Mopt δ Rüstvariablen δiktm im aktuellen Unterproblem optimal gelöst werden. f ix

• Die Menge IKT Mδ enthält die Quadrupel (i, k,t, m), deren zugehörige Rüstzustände δ iktm im aktuellen Unterproblem ﬁxiert sind. Gleichzeitig wird für die Rüstübertragungsvariablen ωktm die Menge KT M deﬁniert. Die Menge KT M enthält die Tripel (k,t, m) bestehend aus einem Produkt k, einer Periode t und einer Maschine m. Auch diese Menge wird in zwei disjunkte Teilmengen KT Mopt ω für die optimal zu lösenden Rüstübertragungsvariablen ωktm f ix und KT Mω für die ﬁxierten Rüstübertragungen ω ktm unterteilt: • Die Menge KT Mopt ω enthält die Tripel (k,t, m), deren zugehörige Rüstübertragungsvariablen ωktm im aktuellen Unterproblem optimal gelöst werden. f ix

• Die Menge KT Mω enthält die Tripel (k,t, m), deren zugehörige Rüstübertragungen ω ktm im aktuellen Unterproblem ﬁxiert sind. Innerhalb eines Unterproblems werden die ursprünglich ganzzahligen Entscheidungsvariablen Dktl , Ntlh , QFktlh , QPktm und Yktl relaxiert gelöst, da ansonsten der benötigte Rechenaufwand zur Lösung eines Unterproblems erheblich ansteigen

7.4 Anpassung der Fix&Optimize-Heuristik für das MLCLSD-PM-ML

139

würde. Zur abschließenden Bestimmung eines Produktionsplans mit ganzzahligen Werten für die Entscheidungsvariablen wird das MLCLSD-PM-ML nach Beendigung der F&O-Heuristik mit dem bis dahin besten Rüstmuster optimal gelöst. Mit der ergänzenden Notation aus der Tabelle 7.3 kann ein Unterproblem für das MLCLSD-PM-ML folgendermaßen mathematisch formuliert werden:

Tab. 7.3: Ergänzende Notation für das MLCLSD-PM-ML-SUB

Indexmengen IKT M Menge der Quadrupel (i, k,t, m) Menge der Quadrupel (i, k,t, m), deren zugehörige Rüstvariablen IKT Mopt δ δiktm im aktuellen Unterproblem exakt gelöst werden f ix Menge der Quadrupel (i, k,t, m), deren zugehörige Rüstzustände IKT Mδ δ iktm im aktuellen Unterproblem ﬁxiert sind KT M Menge der Tripel (k,t, m) KT Mopt Menge der Tripel (k,t, m), deren zugehörige Rüstüberω tragungsvariablen ωktm im aktuellen Unterproblem exakt gelöst werden f ix Menge der Tripel (k,t, m), deren zugehörige Rüstübertragungen KT Mω ω ktm im aktuellen Unterproblem ﬁxiert sind Parameter δ iktm ﬁxierter Rüstzustand von Produkt i auf Produkt k in Periode t auf Maschine m, wobei (i, k,t, m) ∈ IKT Mδf ix ω ktm ﬁxierte Rüstübertragung für Produkt k in Periode t auf Maschine m, wobei (k,t, m) ∈ KT Mωf ix Modell MLCLSP-PM-ML-SUB:285 (7.1) – (7.14) δiktm = δ iktm ωktm = ω ktm Dktl , Ntlh , QFktlh , QPktm , Yktl ≥ 0

f ix

(7.16)

∀ (k,t, m) ∈ KT Mωf ix

(7.17)

∀ k,t, l, h, m

(7.18)

∀ (i, k,t, m) ∈ IKT Mδ

285 Auch für das MLCLSP-PM-ML-SUB ist eine redundanzfreie Modellformulierung möglich.

140

7 Anwendung der F&O-Heuristik auf das MLCLSD-PM-ML

Der Modellformulierung für das MLCLSD-PM-ML werden zur Deﬁnition eines Unterproblems die Nebenbedingungen (7.16) und (7.17) hinzugefügt und die Ganzzahligkeitsbedingungen (7.15) durch die Nichtnegativitätsbedingungen (7.18) ersetzt. Die Nebenbedingungen (7.16) weisen einer binären Rüstvariable δiktm den ﬁxierten Rüstzustand δ iktm zu, wenn das zugehörige Quadruf ix pel (i, k,t, m) in der Menge IKT Mδ enthalten ist. Somit wird die Optimierung f ix der binären Rüstvariablen δiktm auf die Menge IKT Mopt = IKT M \ IKT Mδ δ beschränkt. Entsprechend nimmt eine binäre Rüstübertragungsvariable ωktm aufgrund der Nebenbedingungen (7.17) den Wert der ﬁxierten Rüstübertragung ω ktm an, wenn die Menge KT Mωf ix das zugehörige Tripel (k,t, m) enthält. Somit ist die Optimierung der Rüstübertragungsvariablen ωktm auf die Menge KT Mopt ω = f ix KT M \ KT Mω begrenzt. Abschließend folgen in der Modellformulierung die Nichtnegativitätsbedingungen (7.18) für die relaxiert zu lösenden Entscheidungsvariablen.

7.4.2 Bestimmung einer formal zulässigen Startlösung Durch die veränderte Modellformulierung für das MLCLSD-PM-ML sind im Vergleich zum MLCLSP und MLCLSP-L weitere Anpassungen für die F&OHeuristik erforderlich. Die Reihenfolgeabhängigkeiten bei den Rüstvorgängen werden zum einen bei der Bestimmung einer formal zulässigen Startlösung und zum anderen bei den in ihrer Grundstruktur bereits bekannten Dekompositionsstrategien berücksichtigt. Ausgangspunkt der F&O-Heuristik ist eine formal zulässige Startlösung. Unter Umständen kann der zugehörige Produktionsplan Überstunden enthalten. Beim MLCLSD-PM-ML ist eine Triviallösung mit δiktm = 1, ∀ i, k,t, m allerdings unzulässig, da diese Lösung die Subtour-Eliminationsbedingungen (7.9) verletzt.286 Aus diesem Grund wird zunächst ein Rüstzyklus für alle Produkte einer Maschine ermittelt, in welchem für jedes Produkt genau einmal gerüstet ist.287 Aus diesem Rüstzyklus lässt sich für jedes Produkt das direkte Vorgänger- und direkte Nachfolgerprodukt ermitteln. Darüber hinaus lassen sich aus diesem Rüstzyklus die zunächst ﬁxierten Startwerte für die Rüstübertragungen ω ktm ableiten. Zur Bestimmung des Rüstzyklus wird für jede Maschine m ein Problem des Handlungsreisenden (TSP) aufgestellt und gelöst. Bei der Übertragung des TSP auf diese Problemstellung werden die Produkte einer Maschine als Kunden interpretiert, die genau einmal auf einer Rundreise besucht werden sollen. 286 Vgl. Abschnitt 3.4 auf S. 39f. 287 Dieser Rüstzyklus wird in der Literatur auch als efﬁziente Rüstsequenz bezeichnet (vgl. Förster et al. (2006), S. 1260).

7.4 Anpassung der Fix&Optimize-Heuristik für das MLCLSD-PM-ML

141

Die maschinenbezogenen Rüstkosten scikm werden als Entfernungen zwischen zwei Kunden i und k aufgefasst. Gesucht wird eine Rundreise beginnend mit dem Produkt κ, für das zu Beginn der ersten Periode auf der Maschine m gerüstet ist κm = 1). Die zu ermittelnde Rundreise minimiert die „zurückgelegte Entfer(ω nung“ in Form von Rüstkosten. Für die Modellierung eines TSPm werden die binären Rüstzyklusvariablen ρikm verwendet, die folgendermaßen deﬁniert sind: ⎧ ⎨ 1, wenn im Rüstzyklus auf Maschine m von Produkt k auf Produkt i gerüstet wird ⎩ 0, sonst.

=

ρikm

(7.19)

Darüber hinaus werden noch die Hilfsvariablen ηkm zur Vermeidung von Subtouren verwendet. Die Lösung des TSPm entspricht dem Rüstzyklus für Maschine m. Mit der zusätzlichen Notation aus Tabelle 7.4 kann das TSPm folgendermaßen mathematisch modelliert werden: Tab. 7.4: Ergänzende Notation für das TSPm

Entscheidungsvariablen Rüstzyklusvariable für einen Rüstvorgang von Produkt i auf Proρikm dukt k auf Maschine m Position von Produkt k im Rüstzyklus auf Maschine m ηkm Modell TSPm :

min Z =

∑ ∑

scikm · ρikm

(7.20)

i∈Km k∈Km k=i

unter Beachtung der Restriktionen

∑

ρikm = 1

∀ k ∈ Km

(7.21)

∑

ρikm = 1

∀ i ∈ Km

(7.22)

i∈Km i=k

k∈Km k=i

142

7 Anwendung der F&O-Heuristik auf das MLCLSD-PM-ML

ηkm ≥ ηim + 1 − |Km | · (1 − ρikm ) ∀ i ∈ Km \ {κ}, k ∈ Km \ {κ} mit k = i (7.23) ηkm ≥ 0 ρikm ∈ {0, 1}

∀ k ∈ Km

(7.24)

∀ i, k ∈ Km

(7.25)

Die Zielfunktion (7.20) minimiert die reihenfolgeabhängigen Rüstkosten. Die Nebenbedingungen (7.21) stellen sicher, dass für Produkt k genau einmal ausgehend von einem anderen Produkt i gerüstet wird. Entsprechend gewährleisten die Restriktionen (7.22), dass ausgehend von Produkt i genau einmal auf ein anderes Produkt k gerüstet wird. Die Nebenbedingungen (7.23) verbieten Subtouren, bei denen nicht alle Produkte enthalten sind.288 Den Abschluss bilden Nichtnegativitätsbedingungen (7.24) sowie Binärbedingungen (7.25) für die Entscheidungsvariablen. Zur Lösung des TSP existieren sowohl exakte mathematische Verfahren als auch eine Vielzahl an efﬁzienten Eröffnungs- und Verbesserungsverfahren.289 Für jede Maschine m wird das zugehörige TSPm optimal gelöst. Für Maschine m lässt sich mit Hilfe der Lösung für das TSPm ein formal zulässiges Startrüstmuster für das MLCLSD-PM-ML generieren. Eine formal zulässige Startlösung liegt vor, wenn für jedes Produkt k ∈ Km in jeder Periode t genau einmal gerüstet ist. Dies kann entweder durch Übertragung des Rüstzustands oder durch einen Rüstvorgang geschehen. Ausgehend von dem Startprodukt κ mit κm = 1 wird der Rüstsequenz in Periode 1 beginnend so lange ein weiteres Proω dukt k auf der Basis des Rüstzyklus des TSPm hinzugefügt, bis in dieser Periode für jedes Produkt k ∈ Km genau einmal gerüstet ist. Der Rüstzustand des letzten Produkts wird in die nachfolgende Periode übertragen. Ausgehend von diesem Produkt wird die Rüstsequenz für die nachfolgende Periode basierend auf der Lösung des TSPm fortgesetzt. Das Vorgehen zur Bestimmung einer Startlösung ist im Algorithmus 7.1 dargestellt. Mit diesem Vorgehen ist gewährleistet, dass genau einmal für jedes Produkt k ∈ Km in jeder Periode t auf Maschine m gerüstet ist. Anhand eines Beispiels mit vier Produkten und drei Perioden wird das Vorgehen zur Bestimmung einer formal zulässigen Startlösung für das MLCLSD-PM-ML-SUB im Folgenden demonstriert. Die Lösung des TSPm für 288 Vgl. zur Erläuterung Abschnitt 3.4 auf S. 39. 289 Vgl. u. a. Domschke (1997), S. 109ff. sowie Suhl und Mellouli (2006), S. 245ff.

7.4 Anpassung der Fix&Optimize-Heuristik für das MLCLSD-PM-ML

143

für alle m ∈ M für alle (i, k,t, m) ∈ IKT M Setze δ iktm := 0 für alle (k,t, m) ∈ KT M Setze ω ktm := 0 Bestimme (optimale) Lösung für das TSPm Setze t:=1 κm = 1 Bestimme Startprodukt κ mit ω := Km \ {κ} Setze K solange t ≤ T = 0/ solange K ∗ Bestimme k mit ρκkm =1 Setze δ κktm := 1 Setze κ := k := K \ {κ} Setze K Setze t := t + 1 Setze ω κtm := 1 := Km \ {κ} Setze K Bezeichnungen ⊆ Km K Untermenge der Menge Km , K ∗ ρikm optimale Ausprägung der Rüstzyklusvariable ρikm

Alg. 7.1: Initialisierungsphase zur Bestimmung einer formal zulässigen Startlösung für die F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSD-PM-ML

Maschine m entspricht dem Rüstzyklus 4 → 2 → 3 → 1 → 4, aus dem sich die in Abbildung 7.3 dargestellte Startlösung ableiten lässt.

Periode 1

4

Periode 2

2

3

1

1

Periode 3

4

2

3

3

1

4

2

Abb. 7.3: Formal zulässige Startlösung für das MLCLSD-PM-ML für ein Beispiel mit vier Produkten und drei Perioden

144

7 Anwendung der F&O-Heuristik auf das MLCLSD-PM-ML

Der Rüstzyklus des TSPm gibt die Rüstsequenz 4 → 2 → 3 → 1 in Periode 1 vor. Da aufgrund der Nebenbedingungen (7.9) für jedes Produkt maximal nur einmal in einer Periode gerüstet sein darf, ist ein Rüstvorgang von Produkt 1 auf Produkt 4 in Periode 1 unzulässig. Aus diesem Grund wird der Rüstzustand von Produkt 1 am Ende der Periode 1 in Periode 2 übertragen. In Periode 2 ist ein Rüstvorgang auf Produkt 4 wieder erlaubt. Daher wird, der Lösung des TSPm folgend, von Produkt 1 auf Produkt 4 gerüstet und so die Rüstsequenz fortgesetzt. Der Rüstzustand von Produkt 3 am Ende der Periode 2 bleibt zu Beginn der Periode 3 erhalten, da ein Rüstvorgang auf Produkt 1 in dieser Periode unzulässig ist. Ausgehend von Produkt 3 wird in Periode 3 auf Produkt 1 gerüstet und die Reihenfolge entsprechend der Lösung des TSPm fortgesetzt. Die ermittelte Startlösung minimiert die Rüstkosten, wenn in jeder Periode für jedes Produkt auf jeder Maschine gerüstet ist. Aus betriebswirtschaftlicher Sicht kann diese Startlösung für das MLCLSD-PM-ML dennoch vollkommen unattraktiv sein. Die Anzahl der eingeplanten Rüstvorgänge kann weit über die Zahl der eigentlich benötigten Rüstvorgänge hinausgehen. Dies kann unter Umständen bei positiven Rüstzeiten zu einem unnötigen Überstundeneinsatz führen. Die Ausgangslösung wird jedoch graduell immer weiter mit der F&O-Heuristik verbessert, indem unattraktive Rüstvorgänge eingespart werden.290 Im Anschluss an die Bestimmung der Startlösung beginnt die eigentliche F&OHeuristik. Das generelle Vorgehen bei der F&O-Heuristik ist annähernd identisch mit dem bereits bekannten Vorgehen zur Lösung des MLCLSP-L. Aus diesem Grund wird dieses hier nicht weiter erläutert.291 Aufgrund der Reihenfolgeabhängigkeiten sind allerdings Anpassungen bezüglich der Dekompositionsstrategien notwendig.

7.4.3 Bestimmung der Untermengen IKT Mopt und KT Mopt ω δ zu optimierender Binärvariablen 7.4.3.1 Produktorientierte Dekomposition Auch bei der Lösung des MLCLSD-PM-ML korrespondiert bei der produktorientierten Dekomposition ein Unterproblem s jeweils mit einem Produkt k. Für ein Produkt k werden allerdings nicht alle binären Rüstvariablen δiktm bzw. δk jtm in einem Unterproblem s betrachtet. Aufgrund der Reihenfolgeabhängigkeit der Produkte lassen sich so weder neue Rüstvorgänge hinzufügen noch bestehende Rüst290 Vgl. u. a. Abschnitt 5.4.1 auf S. 73. 291 Den detaillierten Ablauf der F&O-Heuristik für das MLCLSD-PM-ML beschreibt der Algorithmus C.2 im Anhang C.

7.4 Anpassung der Fix&Optimize-Heuristik für das MLCLSD-PM-ML

145

vorgänge einsparen. Dazu müssten allerdings noch zusätzlich die bestehenden Fixierungen weiterer Binärvariablen aufgehoben werden. Dadurch stiege sowohl die Anzahl der gleichzeitig optimal zu betrachtenden Binärvariablen als auch die benötigte Rechenzeit zur Lösung eines Unterproblems zu sehr an. Aus diesem Grund wird bei der im Folgenden vorgestellten produktorientierten Dekomposition ausschließlich versucht, die Gesamtkosten der Ausgangslösung zu reduzieren, indem zunächst eingeplante Rüstvorgänge für das gerade betrachtete Produkt k eingespart werden. Es besteht allerdings nicht die Möglichkeit, der aktuellen Rüstsequenz zusätzliche Rüstvorgänge für dieses Produkt hinzuzufügen. Diesem Ziel folgend werden die optimal zu lösenden Binärvariablen für ein Unterproblem ausgewählt. In der Abbildung 7.4 ist ein Rüstsequenzausschnitt für das Produkt 1 auf Maschine m in Periode 1 dargestellt. In dieser Periode wird zunächst von Produkt 3 auf Produkt 1 gerüstet (δ 311m = 1). Anschließend erfolgt ein Rüstvorgang von Produkt 1 auf Produkt 4 (δ 141m = 1).

Periode 1

3

1

4

Abb. 7.4: Beispiel I für den Ablauf der produktorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSD-PM-ML

Um die bestehenden Rüstvorgänge des Produkts 1 in Periode 1 einsparen zu können, werden zunächst die bestehenden Fixierungen der zugehörigen Rüstvariablen für das Produkt 1 aufgehoben. Dazu werden die Quadrupel (3, 1, 1, m) und (1, 4, 1, m) in die Menge der Rüstvariablen IKT Mopt δ aufgenommen. Damit die Möglichkeit besteht, diese Rüstvorgänge für Produkt 1 in Periode 1 einsparen zu können, muss allerdings ein Rüstvorgang von Produkt 3 auf Produkt 4 in dieser Periode ermöglicht werden. Aus diesem Grund wird die Fixierung des Rüstzustands δ 341m = 0 ebenfalls aufgehoben und das Quadrupel (3, 4, 1, m) der Menge der Rüstvariablen IKT Mopt δ hinzugefügt. Allgemein lässt sich dieses Vorgehen folgendermaßen beschreiben. Zunächst werden in der vorliegenden Rüstfolge für das gerade betrachtete Produkt k das direkte Vorgängerprodukt i mit δ iktm = 1 und das direkte Nachfolgerprodukt j mit δ k jtm = 1 auf jeder Maschine m für jede Periode t (t = 1, . . . , T ) bestimmt. Die Fixierungen dieser Variablen werden aufgehoben, d. h. (i, k,t, m) ∈ IKT Mopt δ und

146

7 Anwendung der F&O-Heuristik auf das MLCLSD-PM-ML

(k, j,t, m) ∈ IKT Mopt . Um einen Rüstvorgang für Produkt k in Periode t auf δ Maschine m einsparen zu können, muss ein Rüstvorgang vom direkten Vorgängerprodukt i auf den direkten Nachfolger j ermöglicht werden. Da zunächst eine Fixierung δ i jtm = 0 von Produkt i auf Produkt j in Periode t vorliegt, wird diese Fixierung aufgehoben. Daher wird das Quadrupel (i, j,t, m) ebenfalls in die Menge der Rüstvariablen IKT Mopt aufgenommen. δ Darüber hinaus können auch die Fixierungen bestimmter Rüstübertragungsvariablen aufgehoben werden. Dies ist dann der Fall, wenn der Rüstzustand des aktuell betrachteten Produkts von einer Periode in die nachfolgende Periode übertragen wird. Zunächst wird das Vorgehen anhand des in Abbildung 7.5 dargestellten Rüstsequenzausschnitts für die Perioden 3 bis 5 erläutert. In dieser Rüstsequenz wird in Periode 3 von Produkt 4 auf Produkt 1 gerüstet (δ 413m = 1). Der Rüstzustand von Produkt 1 bleibt bis in Periode 5 erhalten (ω 14m = ω 15m = 1).292 Anschließend wird ausgehend von Produkt 1 auf Produkt 2 in Periode 5 gerüstet (δ 125m = 1).

Periode 3

4

Periode 4

1

Periode 5

2

Abb. 7.5: Beispiel II für den Ablauf der produktorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSD-PM-ML

Bedingt durch die Rüstvorgänge von Produkt 4 auf Produkt 1 in Periode 3 und von Produkt 1 auf Produkt 2 in Periode 5 werden bei der produktorientierten Dekomposition für das Produkt 1 die bestehenden Fixierungen der zugehörigen Rüstvariablen aufgehoben. Dazu werden die Quadrupel (4, 1, 3, m) und (1, 2, 5, m) in die Menge der Rüstvariablen IKT Mopt aufgenommen. Darüber hinaus wird δ auch die Fixierung für die Rüstvariable von Produkt 4 auf Produkt 2 in Periode 5 aufgehoben, um ggf. die Rüstvorgänge für Produkt 1 einsparen zu können. Ein Rüstvorgang von Produkt 4 auf Produkt 2 ist allerdings nur in Periode 5 möglich, da ansonsten die Anzahl der zu optimierenden Binärvariablen zu sehr ansteigen 292 Aus Gründen der Übersichtlichkeit wird in dieser Abbildung auf die explizite Darstellung der Rüstübertragungen im Gegensatz zu Abbildung 7.3 verzichtet. Der Rüstzustand des zuletzt in einer Periode gefertigten Produkts, hier Produkt 1, bleibt am Anfang der nachfolgenden Periode(n) zunächst erhalten.

7.4 Anpassung der Fix&Optimize-Heuristik für das MLCLSD-PM-ML

147

würde. Eine Einsparung der Rüstvorgänge für Produkt 1 ist aber nur dann möglich, wenn auch die Fixierungen für die Rüstübertragungen ω 14m und ω 15m für Produkt 1 sowie die ﬁxierten Rüstübertragungen ω 44m und ω 45m für Produkt 4 aufgehoben werden, d. h. (1, 4, m), (1, 5, m), (4, 4, m), (4, 5, m) ∈ KT Mopt ω . Falls beispielsweise in Periode 5 nicht von Produkt 1 auf Produkt 2, sondern wieder zurück auf Produkt 4 gerüstet wird (δ 145m = 1), könnte der Rüstvorgang von Produkt 4 auf Produkt 1 in Periode 3 und wieder zurück auf Produkt 4 in Periode 5 eingespart werden, indem der Rüstzustand von Produkt 4 über Periode 3 hinaus bis in Periode 5 erhalten bleibt. Allgemein lässt sich festhalten, dass die Fixierungen einiger Rüstübertragungsvariablen aufgehoben werden müssen, wenn der Rüstzustand des aktuell betrachteten Produkts k von einer Periode ts bis in eine spätere Periode te erhalten bleibt. In Periode ts wird von einem anderen Produkt i auf das gerade betrachtete Produkt k gerüstet (δ ikts m = 1). Der Rüstzustand von Produkt k bleibt bis in die Periode te erhalten (ω kτm = 1, ∀ τ = ts + 1, . . . ,te ). In der Periode te erfolgt ein Rüstvorgang von Produkt k auf ein anderes Produkt j (δ k jte m = 1). Um die ﬁxierten Rüstvorgänge δ ikts m und δ k jte m für Produkt k einsparen zu können, werden zunächst die Fixierungen dieser beiden Rüstvorgänge aufgehoben. Da in diesem Fall nicht mehr auf Produkt k in Periode ts gerüstet werden würde, wäre auch eine Übertragung des Rüstzustands bis in die Periode te nicht mehr möglich. Daher wird die Fixierung der Rüstübertragungsvariablen für Produkt k in den Perioden ts + 1 bis te aufgehoben, d. h. (k, τ, m) ∈ KT Mopt ω , τ = ts + 1, . . . ,te . Stattdessen kann der Rüstzustand von Produkt i bis in die Periode te übertragen werden. Um dies zu ermöglichen, werden die Fixierungen der Rüstübertragungsvariablen für Produkt i in den Perioden ts + 1 bis te aufgehoben. Dazu werden die Tripel (i, τ, m) für die Perioden τ = ts + 1, . . . ,te der Menge der Rüstübertragungsvariablen KT Mopt ω hinzugefügt. Zusätzlich wird ein Rüstvorgang von Produkt i auf Produkt j in Periode te ermöglicht, indem das Quadrupel (i, j,te , m) in die Menge der Rüstvariablen IKT Mopt δ aufgenommen wird.293 Ein Sonderfall liegt mit dem in Abbildung 7.6 dargestellten Rüstsequenzausschnitt für die Perioden 6 und 7 vor. In Periode 6 wird von Produkt 4 auf Produkt 1 gerüstet (δ 416m = 1). Der Rüstzustand für dieses Produkt wird in die Periode 7 übertragen (ω 17m = 1) und anschließend wird auf Produkt 2 gerüstet (δ 127m = 1). Zusätzlich erfolgt in Periode 7 noch ein Rüstvorgang von Produkt 2 auf Produkt 4 (δ 247m = 1). Eine Einsparung der Rüstvorgänge für Produkt 1 und eine daraus resultierende Rüstübertragung für Produkt 4 ist in diesem Beispiel nicht zulässig. 293 In diesem Fall ist ein Rüstvorgang von Produkt i auf Produkt j nur in Periode te möglich.

148

7 Anwendung der F&O-Heuristik auf das MLCLSD-PM-ML

Periode 6

4

Periode 7

1

2

4

Abb. 7.6: Beispiel III für den Ablauf der produktorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSD-PM-ML

Die Einsparung dieser Rüstvorgänge würde zu einer Verletzung der SubtourEliminationsbedingungen (7.9) führen. Dieser Sonderfall muss bei der Bestimmung der Mengen der Rüstvariablen IKT Mopt und der Rüstübertragungsvariaδ allerdings nicht berücksichtigt werden, da die Nebenbedingunblen KT Mopt ω gen (7.9) dafür sorgen, dass diese Rüstvorgänge für Produkt 1 nicht eingespart werden. Nachdem die zu betrachtenden Binärvariablen für alle Maschinen bestimmt wurden, kann die Lösung des Unterproblems erfolgen. Anschließend werden die optimal gelösten Binärvariablen ﬁxiert und die entsprechenden Variablen des nächsten Produkts ausgewählt. Dabei werden die Produkte entlang der Erzeugnisstruktur beginnend mit den Endprodukten untersucht. Eine Iteration der produktorientierten Dekomposition endet, wenn jedes Produkt einmal betrachtet wurde. 7.4.3.2 Ressourcenorientierte Dekomposition Bei der ressourcenorientierten Dekomposition werden in einem Unterproblem s jeweils alle Produkte einer Maschine betrachtet. Damit die Anzahl der gleichzeitig betrachteten Binärvariablen innerhalb eines Unterproblems nicht zu groß wird, werden nur die entsprechenden Binärvariablen innerhalb eines Planungsfensters bestehend aus λ zusammenhängenden Perioden betrachtet. Das Planungsfenster wird im Anschluss an die Optimierung um θ Perioden verschoben (θ ≤ λ ), sodass sich zwei aufeinanderfolgende Unterprobleme s und s + 1 derselben Ressource m jeweils um λ − θ Perioden überlappen. Bei der ressourcenorientierten Dekomposition besteht im Gegensatz zur produktorientierten Dekomposition die Möglichkeit, der aktuellen Rüstsequenz Rüstvorgänge hinzuzufügen. Die Bestimmung der in einem Unterproblem optimal zu lösenden Binärvariablen erfolgt in zwei Schritten.

7.4 Anpassung der Fix&Optimize-Heuristik für das MLCLSD-PM-ML

149

Im ersten Schritt werden ausgehend vom Produkt, für das als Letztes in der letzten Periode vor Beginn des aktuellen Planungsfensters (τ − 1) gerüstet ist, alle zunächst eingeplanten Rüstzustände und Rüstübertragungen innerhalb des Planungsfensters bis zum ersten Produkt in der ersten Periode τ + λ nach dem Planungsfenster aufgehoben. Das Vorgehen beim ersten Schritt ist in Abbildung 7.7 für ein aus vier Perioden bestehendes Planungsfenster dargestellt, welches die Perioden 3 bis 6 enthält. Vor Beginn des Planungsfensters in Periode 2 ist zuletzt für Produkt 3 gerüstet. Ausgehend von diesem Rüstzustand werden die Fixierungen der bestehenden Rüstvorgänge im Planungsfenster aufgehoben. Dazu werden in diesem Beispiel die Quadrupel (3, 1, 3, m), (1, 2, 3, m), (2, 4, 4, m) usw. bis (2, 4, 7, m) der Menge der opt Rüstvariablen IKT Mδ hinzugefügt. Periode 2

3

Periode 3

1

Periode 4 Periode 5

2

4

1

Periode 6 Periode 7

3

2

4

Abb. 7.7: Beispiel für das Aufheben zunächst eingeplanter Rüstvorgänge bei der ressourcenorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSD-PM-ML

Im zweiten Schritt werden die Rüstvorgänge ausgewählt, welche der aktuellen Rüstsequenz hinzugefügt werden dürfen. Wenn die Fixierungen aller binären Rüstvariablen innerhalb des Planungsfensters aufgehoben werden würden, stiege die Anzahl der optimal zu lösenden Binärvariablen innerhalb eines Unterproblems allerdings zu sehr an. Aus diesem Grund werden nur bestimmte Rüstvariablen zusätzlich ausgewählt, die optimal zu lösen sind. Als Unterstützung für die Auswahl dieser Rüstvariablen eignet sich der für die Startlösung ermittelte Rüstzyklus. Die Auswahl der bei der ressourcenorientierten Dekomposition zusätzlich zu lösenden Fixierungen der Rüstvariablen ist anhand eines Beispiels in Abbildung 7.8 dargestellt. Die Basis stellt der bereits bekannte Rüstzyklus 4 → 2 → 3 → 1 → 4 dar.294 Für Produkt 3 ist als letztes vor Beginn des Planungsfensters in Periode 2 gerüstet. Ausgehend von diesem Produkt soll die Möglichkeit bestehen, den für die Startlösung bestimmten Rüstzyklus im Planungsfenster fortzusetzen. Dazu werden 294 Vgl. Abschnitt 7.4.2 auf S. 143.

150

7 Anwendung der F&O-Heuristik auf das MLCLSD-PM-ML

Periode 2 Periode 3

3

1

Periode 4

4

2

3

Periode 5

1

4

2

Periode 6

3

1

4

Periode 7

2

3

4

Abb. 7.8: Beispiel für die Auswahl zusätzlicher zu optimierender Rüstvariablen auf Basis eines Rüstzyklus bei der ressourcenorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSD-PM-ML

die Fixierungen der entsprechenden Rüstvariablen dem Rüstzyklus folgend im Planungsfenster aufgehoben, indem die Quadrupel (3, 1, 3, m), (1, 4, 3, m), (4, 2, 3, m), opt (2, 3, 4, m) usw. in die Menge der optimal zu lösenden Rüstvariablen IKT Mδ aufgenommen werden. Darüber hinaus ist es aber auch zulässig, nur Teile des im Planungsfenster fortgesetzten Rüstzyklus zu übernehmen. Für jedes Produkt werden daher weitere Rüstvariablen entlang des Rüstzyklus ausgewählt, deren Fixierungen aufgehoben werden sollen. So wird ausgehend von Produkt 3 zusätzlich auch die Fixierung der Rüstvariablen auf die übrigen Produkte 4 und 2 in Periode 3 aufgehoben. Dafür werden die Quadrupel (3, 4, 3, m) und (3, 2, 3, m) der hinzugefügt. AnschlieMenge der optimal zu lösenden Rüstvariablen IKT Mopt δ ßend werden ausgehend von Produkt 1 die Fixierungen der Rüstvariablen auf die Produkte 2 und 3 aufgehoben. Die Fixierung der Rüstvariable auf Produkt 2 kann in Periode 3 aufgehoben werden ((1, 2, 3, m) ∈ IKT Mopt δ ). In Periode 3 darf allerdings nicht von Produkt 1 auf Produkt 3 gerüstet werden, da dieses Produkt auf der Basis der Rüstsequenz in Periode 3 bereits vor Produkt 1 gefertigt wird. Aus diesem Grund wird die Fixierung der Rüstvariable von Produkt 1 auf Pro). Entsprechend wird dukt 3 erst in Periode 4 aufgehoben ((1, 3, 4, m) ∈ IKT Mopt δ mit Produkt 4 verfahren. Für dieses Produkt werden zusätzlich noch die Quadrupel (4, 3, 4, m) und (4, 1, 4, m) der Menge der Rüstvariablen IKT Mopt hinzugeδ fügt. Dieses Vorgehen wird so lange fortgesetzt, bis das letzte zu betrachtende Produkt im Planungsfenster, im Beispiel Produkt 3 in Periode 6, erreicht ist. Darüber hinaus werden im Planungsfenster die Fixierungen aller Rüstübertragungsvariablen für die Produkte aufgehoben, die auf der Maschine m gefertigt werden können. Mit den beiden beschriebenen Schritten ist gewährleistet, dass aufgrund des ersten Schritts die Ausgangslösung vollständig erhalten bleiben kann. Bedingt durch

7.4 Anpassung der Fix&Optimize-Heuristik für das MLCLSD-PM-ML

151

den zweiten Schritt können der Ausgangslösung neue Rüstvorgänge hinzugefügt werden. Dazu kann entweder die Rüstsequenz bezogen auf den Rüstzyklus vollständig oder nur in Teilen übernommen werden, indem Rüstvorgänge weggelassen werden. Aus diesem Grund werden die Fixierungen der Rüstvariablen aller Produkte auf Maschine m entlang dieser Rüstsequenz aufgehoben. Eine Iteration der ressourcenorientierten Dekomposition endet, wenn jedes Planungsfenster für jede Maschine einmal betrachtet wurde. 7.4.3.3 Prozessorientierte Dekomposition Bei der prozessorientierten Dekomposition werden in jedem Unterproblem s jeweils ein Produkt k und einer seiner direkten Nachfolger i ∈ Nk betrachtet. Dazu wird der Planungshorizont halbiert, sodass in zwei aufeinanderfolgenden Unterproblemen s und s + 1 für zwei Produkte k und i zunächst die Perioden 1 bis T2 und anschließend die Perioden T2 + 1 bis T betrachtet werden. Das Vorgehen bei der prozessorientierten Dekomposition entspricht weitestgehend dem Ablauf der produktorientierten Dekomposition295 bei einer gleichzeitigen Betrachtung der Produkte k und i. Auch hier wird ausschließlich das Ziel verfolgt, Rüstvorgänge für die beiden betrachteten Produkte einzusparen. Bei der prozessorientierten Dekomposition können im Vergleich zur produktorientierten Dekomposition zwei Ausnahmen auftreten. Bei der ersten Ausnahme besteht die Möglichkeit, dass die beiden betrachteten Produkte k und i direkt nacheinander auf einer Maschine m gefertigt werden. Dieser Fall ist in Abbildung 7.9 dargestellt. Im aktuellen Unterproblem werden die beiden Produkte 2 und 4 betrachtet. In Periode 3 erfolgt ein Rüstvorgang von

Periode 3

3

Periode 4

2

4

1

Abb. 7.9: Beispiel I für den Ablauf der prozessorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSD-PM-ML

295 Vgl. Abschnitt 7.4.3.1 auf S. 144ff.

152

7 Anwendung der F&O-Heuristik auf das MLCLSD-PM-ML

Produkt 3 auf Produkt 2 (δ 323m = 1) und der Rüstzustand von Produkt 2 wird in die nachfolgende Periode 4 übertragen (ω 24m = 1). Anschließend wird in Periode 4 von Produkt 2 auf Produkt 4 (δ 244m = 1) und danach auf Produkt 1 gerüstet (δ 414m = 1). Dem Vorgehen bei der produktorientierten Dekomposition folgend werden für Produkt 2 die Fixierungen der Rüstzustände δ 323m , δ 244m und δ 344m sowie für Produkt 4 die Fixierungen der Rüstzustände δ 414m und δ 214m aufgehoben. Die Fixierung für den Rüstzustand δ 244m ist bereits gelöst. Darüber hinaus werden auch die Fixierungen der Rüstübertragungen ω 24m und ω 34m aufgehoben. Eine Einsparung der beiden zunächst eingeplanten Rüstvorgänge auf die Produkte 2 und 4 ist allerdings nur dann möglich, wenn auch gleichzeitig die Fixierung des Rüstzustands δ 314m für einen Rüstvorgang von Produkt 3 auf Produkt 1 in Periode 4 gelöst wird. Bei der zweiten Ausnahme werden auch Rüstvorgänge außerhalb des Planungsfensters berücksichtigt.296 Dies ist dann der Fall, wenn für eines der beiden gerade betrachteten Produkte k und i als letztes Produkt in der Periode T2 gerüstet wird. Das Vorgehen ist anhand eines Beispiels in Abbildung 7.10 beschrieben. Eines der beiden betrachteten Produkte stellt das Produkt 2 dar. Die Periode 8 entspricht der Mitte des Planungshorizonts ( T2 = 8).

Periode 8

3

Periode 9

2

1

Abb. 7.10: Beispiel II für den Ablauf der prozessorientierten Dekomposition zur Lösung des MLCLSD-PM-ML

In der aktuellen Rüstsequenz wird in Periode 8 von Produkt 3 auf Produkt 2 gerüstet (δ 328m = 1). Der Rüstzustand von Produkt 2 wird in die Periode 9 übertragen (ω 29m = 1). Anschließend erfolgt ein Rüstvorgang von Produkt 2 auf Produkt 1 in Periode 9 (δ 219m = 1). Um den Rüstzustand für Produkt 2 einsparen zu können, werden jeweils die Fixierungen der Rüstzustände δ 328m , δ 219m und δ 319m sowie die der Rüstübertragungen ω 29m und ω 39m aufgehoben. 296 Dies ist bei der produktorientierten Dekomposition nicht notwendig, da immer der gesamte Planungshorizont betrachtet wird.

7.5 Numerische Untersuchungen

153

Sobald für alle bestehenden Vorgänger-Nachfolger-Beziehungen jeweils diese beiden Unterprobleme betrachtet wurden, endet eine Iteration der prozessorientierten Dekomposition.

7.5 Numerische Untersuchungen 7.5.1 Beschreibung der verwendeten Testinstanzen Für die Evaluation der F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSD-PM-ML wird das praxisorientierte Beispiel der Herstellung und Verpackung von Lebensmitteln betrachtet. Die gemischten Kartons können nur am Standort 1 verpackt werden, während die sortenreinen Kartons sowie die Vorprodukte an beiden Standorten verpackt bzw. gefertigt werden können. Weitere detaillierte Daten liegen allerdings nicht vor, sodass auf zwei selbst erstellte Problemklassen zurückgegriffen wird. Jede Problemklasse besteht aus 12 Testinstanzen, die in Anlehnung an die Testinstanzen von Stadtler und Sürie (2000) für das MLCLSP297 erstellt wurden. Die beiden Problemklassen unterscheiden sich hinsichtlich der Produkt-, Periodenund Maschinenanzahl, wie in Tabelle 7.5 dargestellt.

Tab. 7.5: Übersicht der untersuchten Problemklassen für das MLCLSD-PM-ML

Problemklasse 1 2

K 10 40

|Kg | 2 8

|Ks | 4 16

|Kv | 4 16

T 25 17

M1 + M2 4+2 8+4

Bezeichnungen Kg Indexmenge für die gemischten Kartons Indexmenge für die sortenreinen Kartons Ks Kv Indexmenge für die Vorprodukte

Am Standort 1 ist jeweils die Maschinenanzahl M1 doppelt so groß wie die Anzahl der Maschinen M2 am Standort 2. Jedes Produkt kann jeweils auf zwei Maschinen gefertigt werden. Bei der Problemklasse 1 werden insgesamt zehn Produkte über einen Planungshorizont von 25 Perioden betrachtet. Diese zehn Produkte setzen sich aus zwei gemischten Kartons (G1,G2), vier sortenreinen Kartons (S1,. . .,S4) und vier Vorprodukten (V1,. . .,V4) zusammen. Die unterstellte 297 Vgl. Abschnitt 5.5 auf S. 85ff.

154

7 Anwendung der F&O-Heuristik auf das MLCLSD-PM-ML

Erzeugnisstruktur der Problemklasse 1 ist in Abbildung 7.11 dargestellt. Jeder gemischte Karton enthält drei Vorprodukte. Jedes Vorprodukt geht in ein oder zwei gemischte Kartons ein.

S1

G1

V1

S2

S3

V2

V3

G2

S4

V4

Abb. 7.11: Erzeugnisstruktur der Problemklasse 1 für das MLCLSD-PM-ML

Am Standort 1 stehen vier Maschinen für die Fertigung zur Verfügung. Am Standort 2 können zwei Maschinen genutzt werden. Jeder Maschine sind zwei oder vier Produkte zugeordnet, wie in Tabelle 7.6 dargestellt. Die Problemklasse 2 enthält 40 Produkte. Diese 40 Produkte unterteilen sich in 8 gemischte Kartons (G1,. . .,G8), 16 sortenreine Kartons (S1,. . .,S16) sowie 16 Vorprodukte (V1,. . .,V16). Der Planungszeitraum umfasst 17 Perioden. Die Erzeugnisstruktur der Problemklasse 2 ist in Abbildung 7.12 skizziert. Ein gemischter Karton enthält vier Vorprodukte. Jedes Vorprodukt ist genau zwei gemischten Kartons zugeordnet. Am Standort 1 sind acht Maschinen für die

Tab. 7.6: Maschinenzuordnung der Problemklasse 1 für das MLCLSD-PM-ML

Produkte Standort 1 Maschine 1 Maschine 2 Maschine 3 Maschine 4

G1 G1 V1 V3

G2 G2 V2 V4

S1 S3

S2 S4

Standort 2 Maschine 5 Maschine 6

S1 V1

S2 V2

S3 V3

S4 V4

7.5 Numerische Untersuchungen

S1

S2

V1

V2

S9

S10

V9

V10

G1

G5

S3

S4

V3

V4

S11

S12

V11

V12

155

G2

G6

S5

S6

V5

V6

S13

S14

V13

V14

G3

G7

S7

S8

V7

V8

S15

S16

V15

V16

G4

V9

V10

V1

V2

G8

Abb. 7.12: Erzeugnisstruktur der Problemklasse 2 für das MLCLSD-PM-ML

Fertigung einsetzbar. Am Standort 2 können vier Maschinen verwendet werden. Jeder Maschine sind vier oder acht Produkte zugeordnet. Die Zuordnung der Produkte auf die Maschinen für die Problemklasse 2 gibt die Tabelle 7.7 wieder. Für die gemischten und sortenreinen Kartons ist ein Primärbedarf dkt in jeder Periode gegeben.298 In den beiden Problemklassen wird für die Vorprodukte jeweils eine Vorlaufverschiebung von einer Periode berücksichtigt (vpk = 1). Aus diesem Grund tritt der Primärbedarf dkt für alle Produkte erst ab Periode 2 auf. Für die Problemklassen werden jeweils drei Nachfrageproﬁle mit unterschiedlich schwankenden Nachfragedaten betrachtet. Die Nachfragedaten entsprechen einem Teil der Problemklassen A+ und C von Stadtler und Sürie (2000). Die Abbildung 7.13 stellt den Verlauf des Primärbedarfs am Beispiel von Produkt G2 für die drei Nachfrageproﬁle der Problemklasse 1 dar. In einem gemischten Karton i ∈ Kg sind zwei ME von Vorprodukt k ∈ Kv enthalten (aki = 2, i ∈ Nk ). Ein sortenreiner Karton i ∈ Ks setzt sich aus fünf ME von Vorprodukt k ∈ Kv zusammen (aki = 5, i ∈ Nk ). Mit Hilfe des stufenbezogenen Lagerkostensatzes299 eck lässt sich rekursiv der produktspeziﬁsche Lagerkostensatz hck von Produkt k beginnend mit den Produk298 Im Anhang D beﬁnden sich die Daten für den Primärbedarf der beiden Problemklassen. 299 In der Literatur wird häuﬁg vom marginalen Lagerkostensatz gesprochen (Tempelmeier (2008), S. 237).

156

7 Anwendung der F&O-Heuristik auf das MLCLSD-PM-ML

Tab. 7.7: Maschinenzuordnung der Problemklasse 2 für das MLCLSD-PM-ML

Produkte Standort 1 Maschine 1 Maschine 2 Maschine 3 Maschine 4 Maschine 5 Maschine 6 Maschine 7 Maschine 8

G1 G1 G5 G5 V1 V5 V9 V13

G2 G2 G6 G6 V2 V6 V10 V14

G3 G3 G7 G7 V3 V7 V11 V15

G4 G4 G8 G8 V4 V8 V12 V16

S1 S5 S9 S13

S2 S6 S10 S14

S3 S7 S11 S15

S4 S8 S12 S16

Standort 2 Maschine 9 Maschine 10 Maschine 11 Maschine 12

S1 S9 V1 V9

S2 S10 V2 V10

S3 S11 V3 V11

S4 S12 V4 V12

S5 S13 V5 V13

S6 S14 V6 V14

S7 S15 V7 V15

S8 S16 V8 V16

ten der untersten Dispositionsstufe bestimmen. Der produktspeziﬁsche Lagerkostensatz hck setzt sich aus dem stufenbezogenen Lagerkostensatz eck für das entsprechende Produkt sowie aus dem Lagerkostensatz der direkten Vorprodukte zusammen:300 hck = eck +

∑ aik · hci

i∈Vk

∀ k,

wobei die Menge Vk die Menge der direkten Vorprodukte von Produkt k darstellt. Der stufenbezogene Lagerkostensatz eck wird für jedes Produkt k mit 1 GE je ME angenommen (eck = 1). Eine Lagerung der Produkte ist nur am Standort 1 möglich. Aus diesem Grund entspricht der Lagerkostensatz hck dem Lagerkostensatz hck1 für Produkt k am Standort 1. Da die Rüstkosten sckm für Produkt k auf Maschine m nicht bekannt sind, werden diese von der Optimallösung des statischen Losgrößenproblems301 abgeleitet. Dazu werden diese mit den stufenbezogenen Lagerkosten eck in Relation ge300 Vgl. Helber (1994), S. 61 und Tempelmeier (2008), S. 237. 301 Vgl. Harris (1913).

7.5 Numerische Untersuchungen

1

2

3

4

5

6

7

8

157

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1

2

3

4

5

(a) Nachfrageproﬁl 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

(b) Nachfrageproﬁl 2

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

(c) Nachfrageproﬁl 3

Abb. 7.13: Primärbedarfsverlauf für Produkt G2 der Problemklasse 1 für das MLCLSD-PM-ML

setzt.302 Darüber hinaus wird ein Produktionszyklus pzk für jedes Produkt k vorgegeben. Der Produktionszyklus pzk gibt die Anzahl der Perioden an, bis erneut ein Los für das betrachtete Produkt k aufgesetzt wird. Dieser lässt sich im statischen Fall für ein Produkt k auf Maschine m am Standort 1 folgendermaßen bestimmen:303 pzk =

2 · sckm n eck · d k

302 Vgl. u. a. Derstroff (1995), S. 93. 303 Vgl. Helber (1994), S. 60.

∀ k, m ∈ M1 ,

158

7 Anwendung der F&O-Heuristik auf das MLCLSD-PM-ML n

wobei d k der durchschnittlichen Nettonachfrage für Produkt k in den Nachfran geperioden entspricht. Die durchschnittliche Nettonachfrage d k für Produkt k ist 304 folgendermaßen deﬁniert:

n

dk =

∑ dktn

t∈T

∀ k.

T −1

Für einen gegebenen Produktionszyklus pzk lassen sich die Rüstkosten sckm für Produkt k auf Maschine m folgendermaßen ableiten:305 sckm =

1 n · pz2k · eck · d k 2

∀ i, k, m ∈ M1 .

Für die Testinstanzen wird für jedes Produkt k ein Produktionszyklus pzk von zwei Perioden im statischen Fall unterstellt (pzk = 2). Es wird angenommen, dass die Rüstkosten scikm für alle Problemklassen unabhängig vom Vorgängerprodukt i sind, sodass die Rüstkosten sckm den Rüstkosten scikm für jedes Produkt i entsprechen. Die Rüstkosten scikm für Produkt k sind am Standort 2 um 25 % höher als am Standort 1. Die Rüstzeit tsikm für Produkt k auf Maschine m ist für jede Maschine identisch und unabhängig vom Vorgängerprodukt i. Auf ein Vorprodukt k ∈ Kv beträgt die Rüstzeit tsikm 40 ZE sowie auf ein Endprodukt k ∈ (Kg ∪ Ks ) 30 ZE. Bei den Problemklassen werden jeweils für die drei Nachfrageproﬁle vier unterschiedliche Auslastungsproﬁle der Maschinen betrachtet. Die Auslastung ρm der Maschinen in den vier Proﬁlen stellt Tabelle 7.8 dar. Tab. 7.8: Auslastungsproﬁle für die Maschinen der Problemklassen für das MLCLSD-PM-ML

Proﬁl 1 Proﬁl 2 Proﬁl 3 Proﬁl 4

Standort 1 0,8 0,5 0,8 0,5

Standort 2 0,8 0,5 0,5 0,8

304 Vgl. Helber (1994), S. 60. 305 Vgl. Helber (1994), S. 123 sowie Stadtler und Sürie (2000), S. 6.

7.5 Numerische Untersuchungen

159

Die mittlere Auslastung ρm der Maschinen an einem Standort soll entweder 50 % oder 80 % betragen. Aus der gegebenen Auslastung ρm lässt sich daher die ungefähr benötigte Kapazität cpmt einer Maschine m in Periode t ableiten. Dazu wird angenommen, dass die Produkte zu gleichen Teilen auf den entsprechenden Maschinen gefertigt werden, die den jeweiligen Produkten zugeordnet sind. Da jedes Produkt k auf zwei Maschinen gefertigt werden kann, soll die Kapazität cpmt ausreichen, um jeweils die Hälfte der durchschnittlichen Nettonachn frage d k für die Produkte k ∈ Km herzustellen zu können:306 n

cpmt =

d ∑ t pk · 2k + tskm k∈Km ρm

∀ m,t.

Zum einen sind die benötigten Bearbeitungszeiten t pkm zu berücksichtigen, zum anderen werden auch die bei einem Rüstvorgang erforderlichen Rüstzeiten tsikm von Produkt i auf Produkt k betrachtet. Da die Rüstzeiten abhängig vom Vorgängerprodukt i sind, wird die durchschnittliche Rüstzeit tskm für das Produkt k auf Maschine m bestimmt, wobei

∑

tskm =

tsikm

i∈Km \{k}

|Km | − 1

∀ k, m

gilt. Die vier Auslastungsproﬁle lassen sich zusammen mit den drei Nachfrageproﬁlen zu jeweils 12 Testinstanzen für die beiden Problemklassen kombinieren.

7.5.2 Numerische Ergebnisse Aufgrund der gestiegenen Komplexität der Modellformulierung des MLCLSD-PM-ML hat die Rechenkapazität des zuvor verwendeten Computers mit einem Intel Core 2 Duo Prozessor mit 2,13 GHz nicht mehr ausgereicht, um große Testinstanzen zu lösen. Aus diesem Grund wurde der Hochleistungsrechner PARIS vom Regionalen Rechenzentrum für Niedersachsen genutzt. Auf diesem können vier Intel Xeon Prozessoren mit je 3,0 GHz und insgesamt acht GB Arbeitsspeicher gleichzeitig verwendet werden. Von diesem Rechner aus kann allerdings nicht auf die Callable Library von CPLEX 10.0 zugegriffen 306 Vgl. Stadtler und Sürie (2000), S. 5.

160

7 Anwendung der F&O-Heuristik auf das MLCLSD-PM-ML

werden, die für eine Verknüpfung des Solvers mit Delphi 6.0 notwendig ist.307 Aus diesem Grund wurde die F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSD-PM-ML in GAMS 22.7 implementiert. Zur Lösung der einzelnen Unterprobleme wurde CPLEX 11.0 eingesetzt. Das Zeitlimit zur Lösung eines Unterproblems betrug jeweils zehn CPU-Sekunden. Es wurden die gleichen Varianten wie beim MLCLSP untersucht, die sich aus Kombination der vorgestellten Dekompositionsstrategien beginnend mit der produktorientierten Dekomposition ergeben.308 Während des Ablaufs der F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSD-PM-ML wurden die ganzzahligen Entscheidungsvariablen zunächst relaxiert betrachtet. Für die Bestimmung einer ganzzahligen Lösung wurde das beste gefundene Rüstmuster der relaxierten Lösung ﬁxiert. Anschließend wurde basierend auf diesem Rüstmuster eine Lösung unter Berücksichtigung der Ganzzahligkeitsbedingungen für das Ausgangsproblem ermittelt. Numerische Untersuchungen haben gezeigt, dass eine ganzzahlige Lösung der Problemklasse 1 für ein ﬁxiertes Rüstmuster durchschnittlich nur 0,5 % von der relaxierten Lösung abweicht. Für die Bestimmung dieser ganzzahligen Lösung wurden im Mittel 0,5 CPU-Sekunden benötigt.309 Bei der Problemklasse 2 weicht die ganzzahlige Lösung im Mittel 0,1 % von der Lösung ohne Ganzzahligkeitsbedingungen ab. Die Rechenzeit beträgt in diesem Fall durchschnittlich 4,1 CPU-Sekunden.310 Für alle Testinstanzen mit einer zulässigen relaxierten Lösung ohne Überstunden konnte bei der Berücksichtigung der Ganzzahligkeitsbedingungen ebenfalls eine zulässige Lösung ohne Überstunden bestimmt werden. Aus diesem Grund können bei den folgenden numerischen Untersuchungen Aussagen über die Lösungsgüte bezogen auf die Referenzwerte und Lösungen der F&O-Heuristik unter Vernachlässigung der Ganzzahligkeitsbedingungen getroffen werden. Um die Lösungsgüte der Heuristik abschätzen zu können, wurde jeweils versucht, die einzelnen Probleminstanzen mit CPLEX 11.0 optimal zu lösen. Dazu wurde die Standardmodellformulierung ebenfalls in GAMS 22.7 implementiert und das Rechnercluster PARIS für die Bestimmung dieser Referenzwerte verwendet. Vorabuntersuchungen für die Problemklasse 2 haben allerdings gezeigt, dass bereits in Bezug auf die Lösungsgüte die für die F&O-Heuristik verwendete Startlösung erheblich besser als die mit CPLEX 11.0 nach 120 CPU-Stunden311 er307 Vgl. Abschnitt 5.5.1 auf S. 87. 308 Vgl. Abschnitt 5.5.2.1 auf S. 92. 309 Für die Bestimmung einer ganzzahligen Lösung wurde als Abbruchkriterium eine Ganzzahligkeitslücke von 0,5 % vorgegeben. 310 Auch für diese Problemklasse wurde als Abbruchkriterium eine Ganzzahligkeitslücke von 0,5 % vorgegeben. 311 Da vier Prozessoren parallel verwendet werden, entspricht eine Zeitstunde in diesem Fall vier CPU-Stunden.

7.5 Numerische Untersuchungen

161

mittelte Referenzlösung ist. Somit ist eine Bewertung der Lösungsgüte der F&OHeuristik auf Grundlage dieser Referenzwerte nicht aussagekräftig. Für die Bestimmung möglichst aussagekräftiger Referenzwerte wurde daher die für die F&O-Heuristik ermittelte Rüstsequenz als Startlösung für ein in CPLEX 11.0 integriertes B&B-Verfahren vorgegeben. In diesem Fall entspricht die Startlösung einer ersten oberen Schranke für das B&B-Verfahren. Für die Problemklasse 1 wurde CPLEX 11.0 ein Zeitlimit von 20 CPU-Stunden je Testinstanz und für die Problemklasse 2 ein Zeitlimit von 40 CPU-Stunden für die Bestimmung der Referenzwerte vorgegeben. Nur für zwei Testinstanzen der Problemklasse 2 konnte keine zulässige Referenzlösung ohne Überstunden bestimmt werden. Analog zu den vorherigen numerischen Untersuchungen312 werden in der folgenden Auswertung nur die Testinstanzen betrachtet, für die eine zulässige Referenzlösung ohne Überstunden bekannt ist. In Tabelle 7.9 sind die numerischen Ergebnisse der F&O-Heuristik für die beiden untersuchten Problemklassen dargestellt. Der Aufbau der Tabelle orientiert sich dabei an dem bereits bekannten Aufbau der vorherigen Kapitel.313 Die durchschnittliche Abweichung von der besten bekannten Lösung DAOS314 bezieht sich jeweils auf die mit CPLEX 11.0 innerhalb des vorgegebenen Zeitlimits bestimmten Referenzwerte. Für die Bestimmung der durchschnittlichen Abweichung von der besten unteren Schranke DAUS315 wird jeweils die mit CPLEX 11.0 ermittelte beste untere Schranke nach Abbruch des B&B-Verfahrens verwendet. Die Rechenzeiten sind in CPU-Sekunden angegeben.316 Für alle Testinstanzen der Problemklasse 1 konnte mit der F&O-Heuristik eine zulässige Lösung ohne Überstunden bestimmt werden. Bei dieser Problemklasse führen die PoD und die Variante 2 bei einem einfachen Durchlauf in nur 3,77 Sekunden Rechenzeit zwar zu einer deutlichen Verbesserung der Startlösung, allerdings weichen diese im Durchschnitt knapp 50 % von den Referenzwerten ab. Bei einem Durchlauf (max = 1) der Varianten 1, 3 und 4 liegt die erreichte Lösungsgüte bei durchschnittlich 15 % nach einer mittleren Rechenzeit von knapp 28 CPU-Sekunden. Bei mehreren Durchläufen (max = ∞) liegt die durchschnittliche Abweichung bei gut 6,4 %. Für die Bestimmung dieser Lösungen wurden im Mittel vier Iterationen und eine Laufzeit von 115 Sekunden benötigt. Weitere Untersuchungen haben gezeigt, dass CPLEX 11.0 für die Bestimmung einer Referenzlösung mit einer vergleichbaren Lösungsgüte im Durchschnitt mehr als 312 313 314 315 316

Vgl. Abschnitt 5.5 auf S. 85. Vgl. Abschnitt 5.5 auf S. 87ff. Vgl. Abschnitt 5.5 auf S. 87. Vgl. Abschnitt 5.5 auf S. 88. Die hier angegebenen Laufzeiten entstammen der GAMS-Funktion

in CPU-Sekunden.

162

7 Anwendung der F&O-Heuristik auf das MLCLSD-PM-ML

Tab. 7.9: Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSD-PM-ML bei den Problemklassen 1 und 2

DAOS [%]

DAUS [%]

Zul [%]

Zeit [s]

DAOS [%]

Problemklasse 1

DAUS [%]

53,05 15,85 45,14 14,78 15,65

PoD 35,47 Var 1 6,34 Var 2 35,32 Var 3 6,36 Var 4 6,40

Zeit [s]

Problemklasse 2

76,66 33,88 67,77 32,65 33,51

Einfacher Durchlauf 100,00 3,77 −3,15 100,00 25,83 −15,25 100,00 6,56 −3,64 100,00 28,58 −15,34 100,00 28,28 −15,44

= 1) 58,46 38,82 57,64 38,67 38,46

100,00 192,80 100,00 955,59 100,00 427,56 100,00 1208,77 100,00 1190,97

56,89 22,79 56,68 22,81 22,84

Mehrfacher Durchlauf (max = ∞) 100,00 12,04 −6,00 53,81 100,00 106,11 −18,83 32,93 100,00 22,92 −5,96 53,87 100,00 116,04 −18,92 32,77 100,00 117,96 −18,88 32,82

100,00 868,50 100,00 5661,33 100,00 2020,58 100,00 7163,92 100,00 7924,18

(max

PoD Var 1 Var 2 Var 3 Var 4

Zul [%]

60 CPU-Stunden benötigen würde, wenn keine geeignete Startlösung als erste obere Schranke vorgegeben würde. Bei der Problemklasse 2 konnte für alle Testinstanzen mit einer bekannten zulässigen Referenzlösung ohne Überstunden auch eine zulässige Lösung ohne Überstunden mit der F&O-Heuristik bestimmt werden. Alle untersuchten Varianten liefern bessere Ergebnisse als die zuvor ermittelten Referenzwerte sowohl in Hinblick auf die Lösungsgüte als auch auf die Rechenzeit. Nach einem Durchlauf (max = 1) der PoD und der Variante 2 sind die ermittelten Werte im Mittel 3,2 % besser als die Referenzwerte. Die Lösungsgüte kann nach mehreren Durchläufen (max = ∞) der PoD und der Variante 2 noch geringfügig verbessert werden. Bereits nach einem Durchlauf und einer durchschnittlichen Rechenzeit von gut 1200 CPU-Sekunden sind die Ergebnisse der übrigen Varianten 1, 3 und 4 im Mittel ca. 15,4 % besser als die Referenzlösungen. Auch bei diesen Varianten fallen die Verbesserungen nach mehreren Iterationen eher gering aus. Die geringe Verbesserung wird hier durch das Sechsfache der Rechenzeit teuer erkauft.

7.6 Abschließende Zusammenfassung

163

7.6 Abschließende Zusammenfassung Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass die F&O-Heuristik sehr gut zur Lösung des MLCLSD-PM-ML geeignet ist. Selbst für die große betrachtete Problemklasse konnten sehr gute Ergebnisse mit der F&O-Heuristik erzielt werden. Häuﬁg war bereits eine Iteration der Variante 1 für eine sehr gute Lösungsgüte bei dieser Problemklasse ausreichend. So benötigt die F&O-Heuristik bei der Problemklasse 2 für eine Iteration der Variante 1 nur gut 950 CPU-Sekunden, um eine im Vergleich zu den in 40 CPU-Stunden berechneten Referenzwerten um 15 % bessere Lösung zu bestimmen. Ohne Vorgabe einer geeigneten Startlösung würden Standardsolver an der Ermittlung einer guten Lösung in angemessener Zeit für Problemstellungen dieser Größe sogar scheitern. Kritisch ist allerdings anzumerken, dass mit der F&O-Heuristik selbst auf dem Hochleistungsrechner keine sehr großen Problemklassen mit 100 Produkten gelöst werden konnten. Zur Lösung von Testinstanzen dieser Größe ist deshalb eine Aggregation der Produkte notwendig. Beispielsweise können jeweils die Vorprodukte und die zugehörigen sortenreinen Kartons zu einem Produkttyp zusammengefasst werden. Mit Hilfe dieser Aggregation lassen sich insgesamt |Ks | zu betrachtende Produkte einsparen. Dies führt zu einer gleichzeitigen Reduktion der benötigten binären Rüst- und Rüstübertragungsvariablen. Beispielsweise könnte mit Hilfe der vorgeschlagenen Aggregation bei der Problemklasse 2 die Anzahl der Rüstvariablen um 64 % und die Anzahl der Rüstübertragungsvariablen um 40 % gesenkt werden. Dadurch ließe sich der benötigte Rechenaufwand reduzieren.

8 Betriebswirtschaftliche Bewertung und Ausblick In der vorliegenden Arbeit wurden das mehrstuﬁge Losgrößenproblem mit Kapazitätsrestriktionen, das sog. MLCLSP, sowie Erweiterungen des MLCLSP näher betrachtet. Das MLCLSP zielt vorrangig auf die besonders schwer zu beherrschende Werkstattfertigung ab. Mit der Lösung des MLCLSP wird ein zulässiger Produktionsplan bestimmt, der die Gesamtkosten minimiert. Dieser Produktionsplan wird in der anschließenden Ressourceneinsatzplanung in einen zulässigen Maschinenbelegungsplan disaggregiert. Dazu ist bereits bei der Bestimmung des Produktionsplans die Beachtung einer Vorlaufverschiebung notwendig. Obwohl die Erstellung eines zulässigen Maschinenbelegungsplans von hoher praktischer Relevanz ist, vernachlässigen die meisten in der Literatur beschriebenen Lösungsansätze für mehrstuﬁge Prozesse die Vorlaufverschiebung. Diese Verfahren scheitern daher bei der Umsetzung in die Praxis. Die in dieser Arbeit vorgestellte F&O-Heuristik gehört zu den wenigen Verfahren, die Vorlaufverschiebungen berücksichtigen können. Ausgehend von der Standardmodellformulierung für das MLCLSP werden bei der F&O-Heuristik iterativ Unterprobleme deﬁniert. In jedem Unterproblem werden die Binärvariablen in zwei disjunkte Untermengen aufgeteilt. Eine Untermenge enthält dabei die Binärvariablen, die innerhalb eines Unterproblems optimal gelöst werden. Die andere enthält die Binärvariablen, die im Unterproblem ﬁxiert betrachtet werden. Die erste Teilmenge enthält weniger Binärvariablen als die zweite. Innerhalb eines Unterproblems wird somit nur ein kleiner Teil der Binärvariablen optimal gelöst, der größere Teil der Binärvariablen wird vorübergehend ﬁxiert. So gelingt es, die Rechenzeiten beherrschbar zu halten. Die einzelnen Unterprobleme werden jeweils mit einem Standardsolver für gemischt-ganzzahlige Optimierungsprobleme optimal gelöst. Die umfangreichen numerischen Untersuchungen haben gezeigt, dass die F&OHeuristik für das MLCLSP hinsichtlich der Lösungsgüte sehr gute Ergebnisse im Vergleich zu zwei in der Literatur sehr anerkannten Verfahren liefert. So war die Lösungsgüte der F&O-Heuristik deutlich besser als die Ergebnisse der LagrangeHeuristik von Tempelmeier und Derstroff (1996) und die Ergebnisse der zeitlichen Dekompositionsheuristik von Stadtler (2003). Die TDH war das schnellste der drei

166

8 Betriebswirtschaftliche Bewertung und Ausblick

Verfahren, allerdings ließen sich die Ergebnisse noch erheblich weiter verbessern. Die Laufzeiten der F&O-Heuristik waren dagegen geringer als die der STH sowie die eines Standardsolvers für gemischt-ganzzahlige Optimierungsmodelle. Darüber hinaus konnte gezeigt werden, dass die F&O-Heuristik auch das MLCLSP mit Vorlaufverschiebungen sehr gut löst. Da die F&O-Heuristik auf exakten Verfahren der mathematischen Programmierung basiert, ist der geschilderte Ansatz hinsichtlich möglicher Modellerweiterungen sehr ﬂexibel. Diese Modellerweiterungen lassen sich häuﬁg problemlos in die F&O-Heuristik integrieren. Beispielsweise waren zur Lösung des MLCLSP-L nur wenige Anpassungen der Untermengen für die Binärvariablen notwendig. Auch für das MLCLSP-L konnte in numerischen Untersuchungen gezeigt werden, dass die F&O-Heuristik (hinsichtlich der Lösungsgüte und Laufzeit) erheblich bessere Ergebnisse liefert als Standardsolver für gemischt-ganzzahlige Optimierungsmodelle. Anzumerken ist dabei, dass die F&O-Heuristik sowohl für den Fall der einfachen als auch für den Fall der mehrfachen Rüstübertragung angewendet werden konnte, ohne dass dafür zusätzliche Anpassungen notwendig waren. Dies verdeutlicht wiederum die hohe Flexibilität des vorgestellten Ansatzes. Aufgrund der Leistungsfähigkeit der F&O-Heuristik lässt sich die Heuristik auch efﬁzient auf Probleme mit unter Umständen bereits praxisrelevanter Größe anwenden. Die verwendeten Testinstanzen bilden ein weites Spektrum möglicher Szenarien in der Produktionsplanung ab. Diese beinhalten beispielsweise unterschiedliche Nachfrageverläufe, Kapazitätsauslastungsproﬁle oder Erzeugnisstrukturen. Die numerischen Auswertungen haben gezeigt, dass die F&O-Heuristik ohne Einschränkung für alle Szenarien einsetzbar ist und zu sehr guten Ergebnissen geführt hat. Selbst die Lösung der großen Problemklasse hat zu sehr guten Ergebnissen geführt. Für größere Probleminstanzen lassen sich darüber hinaus die einzelnen Unterprobleme weiter verkleinern, indem bspw. ein kleineres Zeitfenster bei der ressourcenorientierten Dekomposition gewählt wird. Somit scheint der Einsatz der F&O-Heuristik auch für praxisrelevante Problemstellungen des MLCLSP bzw. MLCLSP-L möglich. Darüber hinaus lässt sich die F&O-Heuristik auch auf Problemstellungen anwenden, deren Modellannahmen weit über die Annahmen des MLCLSP bzw. MLCLSP-L hinaus gehen. So konnte ein praxisorientiertes Losgrößenproblem aus der Lebensmittelindustrie gelöst werden. Numerische Untersuchungen haben allerdings gezeigt, dass für sehr große Problemstellungen eine Aggregation der Produkte notwendig ist. In dieser Hinsicht besteht noch weiterer Forschungsbedarf. Es lässt sich festhalten, dass mit der F&O-Heuristik ein sehr leistungsfähiger Lösungsansatz für mehrstuﬁge Losgrößenprobleme mit Kapazitätsrestriktionen entwickelt worden ist. Diese Heuristik lässt sich sehr gut an Modellerweiterun-

8 Betriebswirtschaftliche Bewertung und Ausblick

167

gen anpassen, ohne dass dabei der Ablauf grundlegend verändert werden muss. Aufgrund der hohen Flexibilität ist dieser Ansatz sehr gut in Advanced-PlanningSysteme integrierbar. Diese Systeme basieren häuﬁg auf quantitativen Optimierungsmodellen, die mit Methoden der mathematischen Programmierung gelöst werden. Somit bietet sich auch hier ein Einsatz der F&O-Heuristik an. Weiterer Forschungsbedarf besteht für die Lösung des MLCLSP-L bei der Berücksichtigung paralleler Maschinen. Bei der mehrfachen Rüstübertragung besteht beim Einsatz paralleler Maschinen die Möglichkeit, eine Maschine für den gesamten Planungszeitraum nur für ein Produkt gerüstet zu lassen, wodurch Rüstvorgänge vermieden werden. Aufgrund der hohen Flexibilität dürfte die F&O-Heuristik auch zur Lösung dieser Problemstellung geeignet sein. Dazu ist nur eine Anpassung der Untermengen für die Binärvariablen erforderlich. Darüber hinaus sollte zukünftig auch der vielversprechende Einsatz der F&O-Heuristik zur Lösung von Small-Bucket-Modellen untersucht werden. Bis heute weitestgehend unbeachtet ist der Bereich der robusten Planung in der mehrstuﬁgen Losgrößenplanung. Die in der vorliegenden Arbeit betrachteten Losgrößenprobleme basieren auf der Annahme, dass die Nachfragewerte aus der vorgelagerten Hauptproduktionsprogrammplanung über den gesamten Planungshorizont mit Sicherheit bekannt sind. Somit werden stochastische Einﬂüsse vollständig vernachlässigt. Der mit dem MLCLSP bzw. MLCLSP-L ermittelte Produktionsplan ist in einem gewissen Rahmen robust gegenüber kleineren Planänderungen, da bereits im Voraus ein fester Kapazitätsanteil für unvorhergesehene Eilaufträge oder Maschinenausfälle reserviert werden kann. Die Robustheit dieser Pläne begründet sich darin, dass aufgrund des beim MLCLSP gewählten Aggregationsgrads auf eine simultane Bestimmung eines Maschinenbelegungsplans verzichtet wird. Im Gegensatz dazu sind Small-Bucket-Modelle mit einem höheren Detaillierungsgrad wesentlich anfälliger gegenüber kleineren Veränderungen, da bei diesen eine simultane Reihenfolgeplanung durchgeführt wird. Dennoch sollte in späteren Forschungsvorhaben die Robustheit der ermittelten Produktionspläne genauer untersucht werden. Dies ist vor allem daher sinnvoll, da die Nachfragewerte häuﬁg mit Prognosefehlern behaftet sind und somit schwanken. Bis heute sind nur sehr wenige Ansätze für den einstuﬁgen Fall bekannt, welche diese Stochastizität berücksichtigen. Allerdings ist bereits die Berücksichtigung stochastischer Nachfrageverläufe für den einstuﬁgen Fall nur sehr schwer zu handhaben. Zur Lösung des stochastischen MLCLSP ist eine szenariobasierte Optimierung auf der Basis zufällig erzeugter Nachfrageszenarien denkbar. Aufgrund der Unsicherheit in der Nachfrage kann dies u. a. zu Fehlmengen führen. Mit Hilfe eines im Mittel über alle Szenarien einzuhaltenden Servicegrads müsste dann ge-

168

8 Betriebswirtschaftliche Bewertung und Ausblick

währleistet werden, dass mindestens ein fester Anteil der Nachfrage im Mittel befriedigt werden kann. In einem ersten Schritt muss dafür ein Rüstmuster gesucht werden, welches für die betrachteten Szenarien die Rüstkosten und durchschnittlichen Lagerkosten minimiert. Zur Bestimmung dieses Rüstmusters kann wiederum die F&O-Heuristik herangezogen werden. In diesem Fall ist eine Anpassung der F&O-Heuristik nicht erforderlich. Da die Modellformulierung im Vergleich zum MLCLSP nur um zusätzliche reellwertige Entscheidungsvariablen, z. B. für die Fehlmengen, erweitert wird, können die in dieser Arbeit beschriebenen Dekompositionsstrategien unverändert verwendet werden. Nach der Bestimmung eines „robusten“ Rüstmusters müssten in einem anschließenden Optimierungsschritt gegebenenfalls zur Überprüfung des einzuhaltenden Servicegrads die Produktionsmengen nach einer detaillierten Simulation angepasst werden. Mit Hilfe des Einsatzes einer szenariobasierten Optimierung ließe sich so ein gegenüber Prognosefehlern robuster Produktionsplan erstellen. Interessant für zukünftige Forschungsaktivitäten ist zudem die Anwendung der F&O-Heuristik auf weitere Problemstellungen der kombinatorischen Optimierung außerhalb der Losgrößenplanung. Voraussetzung für die Anwendung der F&OHeuristik ist die Existenz einer mathematisch zulässigen Lösung für jedes Unterproblem. Andernfalls würde die Heuristik mit einer Fehlermeldung des eingesetzten Standardsolvers abbrechen. Dies lässt sich aber in den meisten Fällen durch den Einsatz unbegrenzter Überstunden oder von Fremdbezug gewährleisten. Die Anwendung der F&O-Heuristik auf weitere kombinatorische Optimierungsprobleme erscheint immer dann erfolgsversprechend, wenn zwischen den Binärvariablen nur wenig Abhängigkeiten bestehen. So würde die Anwendung der F&O-Heuristik bspw. zur Lösung des Traveling Salesman Problems mit einer kundenorientierten Dekomposition einer einfachen myopischen Einfügeheuristik gleichen und daher voraussichtlich zu Ergebnissen mit einer sehr geringen Lösungsgüte führen. Denkbar wäre aber z. B. die Lösung des Projektplanungsproblems unter Kapazitätsrestriktionen mit der F&O-Heuristik. Bei der Projektplanung sollen die Anfangs- und Endzeitpunkte von Arbeitsgängen bestimmt werden, die für die Durchführung eines Projekts in einer vorher festgelegten Reihenfolge auf unterschiedlichen Ressourcen erforderlich sind. Als Zielsetzung wird beispielsweise die Minimierung der Projektdauer verfolgt. Mögliche Dekompositionsstrategien für die F&O-Heuristik beim Projektplanungsproblem wären z. B. eine arbeitsgang-, ressourcen- oder reihenfolgeorientierte Dekomposition. Aufgrund des hohen Grades an Flexibilität erscheint ein Einsatz der F&O-Heuristik auch bei diesen Problemstellungen äußerst erfolgsversprechend.

Literaturverzeichnis Absi, N. und Kedad-Sidhoum, S. (2008): The multi-item capacitated lot-sizing problem with setup times and shortage costs. In: European Journal of Operational Research. Bd. 185, S. 1351–1374. Adam, D. (1988): Aufbau und Eignung klassischer PPS-Systeme. In: D. Adam (Hrsg.), Fertigungssteuerung I: Grundlagen der Produktionsplanung und -steuerung. Gabler, Wiesbaden, S. 5–21. Akartunalı, K. und Miller, A.J. (2009): A heuristic approach for big bucket multilevel production planning problems. In: European Journal of Operational Research. Bd. 193, S. 396–411. Aksen, D.; Altinkemer, K. und Chand, S. (2003): The single-item lot-sizing problem with immediate lost sales. In: European Journal of Operational Research. Bd. 147, S. 558–566. Almada-Lobo, B.; Klabjan, D.; Carravilla, M.A. und Oliveira, J.F. (2007): Single machine multi-product capacitated lot sizing with sequence-dependent setups. In: International Journal of Production Research. Bd. 45, S. 4873–4894. Bahl, H.C.; Ritzman, L.P. und Gupta, J.N.D. (1987): Determining lot sizes and resource requirements: A review. In: Operations Research. Bd. 35, S. 329–345. Barany, I.; van Roy, T.J. und Wolsey, L.A. (1984): Strong formulations for multiitem capacitated lot sizing. In: Management Science. Bd. 30, S. 1255–1261. Barbarosoglu, G. und Özdamar, L. (2000): Analysis of solution space-dependent performance of simulated annealing: The case of the multi-level capacitated lot sizing problem. In: Computers & Operations Research. Bd. 27, S. 895–903. Beasley, J.E. (1995): Lagrangean relaxation. In: C.R. Reeves (Hrsg.), Modern heuristic techniques for combinatorial problems. McGraw-Hill, London, S. 243– 303. Belvaux, G. und Wolsey, L.A. (2000): bc-prod: A specialized branch-and-cut system for lot-sizing problems. In: Management Science. Bd. 46, S. 724–738.

170

Literaturverzeichnis

Belvaux, G. und Wolsey, L.A. (2001): Modelling practical lot-sizing problems as mixed-integer programs. In: Management Science. Bd. 47, S. 993–1007. Berretta, R.; França, P.M. und Armentano, V.A. (2005): Metaheuristic approaches for the multilevel resource-constrained lot-sizing problem with setup and lead times. In: Asia-Paciﬁc Journal of Operational Research. Bd. 22, S. 261–286. Berretta, R. und Rodrigues, L.F. (2004): A memetic algorithm for a multistage capacitated lot-sizing problem. In: International Journal of Production Economics. Bd. 87, S. 67–81. Billington, P.J.; McClain, J.O. und Thomas, L.J. (1983): Mathematical programming approaches to capacity-constrained MRP systems: Review, formulation and problem reduction. In: Management Science. Bd. 39, S. 1126–1141. Billington, P.J.; McClain, J.O. und Thomas, L.J. (1986): Heuristics for multilevel lot-sizing with a bottleneck. In: Management Science. Bd. 32, S. 989–1006. Blackburn, J.D. und Millen, R.A. (1984): Simultaneous lot-sizing and capacity planning in multi-stage assembly processes. In: European Journal of Operational Research. Bd. 16, S. 84–93. Blum, C. und Roli, A. (2003): Metaheuristics in combinatorial optimization: Overview and conceptual comparison. In: ACM Computing Surveys. Bd. 35, S. 268– 308. Boctor, F.F. und Poulin, P. (2005): Heuristics for the n-product, m-stage, economic lot sizing and scheduling problem with dynamic demand. In: International Journal of Production Research. Bd. 43, S. 2809–2828. Bourjolly, J.M.; Ding, K.; Gopalakrishnan, M.; Gramani, M.C.N. und Mohan, S. (2001): On a tactical/operational production planning problem in supply chain management: Balancing inventory and setup costs. In: J. de Sousa (Hrsg.), Proceedings of the 4th Metaheuristics International Conference. Porto, S. 569–571. Brahimi, N.; Dauzère-Pérès, S.; Najid, N.M. und Nordli, A. (2006): Single item lot sizing problems. In: European Journal of Operational Research. Bd. 168, S. 1–16. Buschkühl, L. (2008): Multi-level capacitated lotsizing with setup carryover. Kölner Wissenschaftsverlag, Köln.

Literaturverzeichnis

171

Buschkühl, L.; Sahling, F.; Helber, S. und Tempelmeier, H. (2008): Dynamic capacitated lot-sizing problems – A classiﬁcation and review of solution approaches. In: Operations Research Spectrum, S. 1–31. DOI 10.1007/s00291-008-0150-7. de Carvalho, J.M.V. (2002): LP models for bin packing and cutting stock problems. In: European Journal of Operational Research. Bd. 141, S. 253–273. Chen, H. und Chu, C. (2003): A Lagrangian relaxation approach for supply chain planning with order/setup costs and capacity constraints. In: Journal of Systems Science and Systems Engineering. Bd. 12, S. 98–110. Clark, A.R. und Armentano, V.A. (1995): A heuristic for a resource-capacitated multi-stage lot-sizing problem with lead times. In: Journal of the Operational Research Society. Bd. 46, S. 1208–1222. Corsten, H. und Gössinger, R. (2008): Einführung in das Supply Chain Management. Oldenbourg, München et al., 2. Auﬂ. DeMatteis, J.J. (1968): An economic lot-sizing technique, part I – The part-period algorithm. In: IBM Systems Journal. Bd. 7, S. 30–38. Deneubourg, J.L.; Aron, S.; Goss, S. und Pasteels, J.M. (1990): The selforganizing exploratory pattern of the Argentine ant. In: Journal of Insect Behavior. Bd. 3, S. 159–168. Denizel, M.; Altekin, F.T.; Süral, H. und Stadtler, H. (2008): Equivalence of the LP relaxations of two strong formulations for the capacitated lot-sizing problem with setup times. In: Operations Research Spectrum. Bd. 30, S. 773–785. Derstroff, M.C. (1995): Mehrstuﬁge Losgrößenplanung mit Kapazitätsbeschränkungen. Physica-Verlag, Heidelberg. Dillenberger, C.; Escudero, L.F.; Wollensak, A. und Zhang, W. (1993): On solving a large-scale resource allocation problem in production planning. In: G. Fandel; T. Gulledge und A. Jones (Hrsg.), Operations research in production planning and control. Springer, Berlin et al., S. 105–119. Dillenberger, C.; Escudero, L.F.; Wollensak, A. und Zhang, W. (1994): On practical resource allocation for production planning and scheduling with period overlapping setups. In: European Journal of Operational Research. Bd. 75, S. 275–286.

172

Literaturverzeichnis

Dixon, P.S. und Silver, E.A. (1981): A heuristic solution procedure for the multiitem, single-level, limited capacity, lot-sizing problem. In: Journal of Operations Management. Bd. 2, S. 23–39. Domschke, W. (1997): Logistik: Rundreisen und Touren. Oldenbourg, München et al., 4. Auﬂ. Domschke, W. und Drexl, A. (2007): Einführung in Operations Research. Springer, Berlin et al., 7. Auﬂ. Domschke, W.; Scholl, A. und Voß, S. (1997): Produktionsplanung: Ablauforganisatorische Aspekte. Springer, Berlin et al., 2. Auﬂ. Dorigo, M. und Stützle, T. (2003): The ant colony optimization metaheuristic: Algorithms, applications, and advances. In: F. Glover und G.A. Kochenberger (Hrsg.), Handbook of metaheuristics. Kluwer Academic Publishers, Boston, Mass. et al., S. 251–285. Dorigo, M. und Stützle, T. (2004): Ant colony optimization. MIT Press, Cambridge, Mass. et al. Drexl, A.; Fleischmann, B.; Günther, H.O.; Stadtler, H. und Tempelmeier, H. (1994): Konzeptionelle Grundlagen kapazitätsorientierter PPS-Systeme. In: Zeitschrift für betriebswirtschaftliche Forschung. Bd. 46, S. 1022–1045. Drexl, A. und Kimms, A. (1997): Lot sizing and scheduling – Survey and extensions. In: European Journal of Operational Research. Bd. 99, S. 221–235. Eppen, G.D. und Martin, R.K. (1987): Solving multi-item capacitated lot-sizing problems using variable redeﬁnition. In: Operations Research. Bd. 35, S. 832– 848. Evans, J.R. (1985): An efﬁcient implementation of the Wagner-Whitin algorithm for dynamic lot-sizing. In: Journal of Operations Management. Bd. 5, S. 229– 235. Federgruen, A. und Tzur, M. (1991): A simple forward algorithm to solve general dynamic lot sizing models with n periods in O(n log n) or O(n) time. In: Management Science. Bd. 37, S. 909–925. Fink, A. und Rothlauf, F. (2006): Heuristische Optimierungsverfahren in der Wirtschaftsinformatik. Arbeitspapier. Department of Information Systems 1, University of Mannheim.

Literaturverzeichnis

173

Fisher, M.L. (1985): An applications oriented guide to Lagrangian relaxation. In: Interfaces. Bd. 15, S. 10–21. Fleischmann, B. (1988): Operations-Research-Modelle und -Verfahren in der Produktionsplanung. In: Zeitschrift für Betriebswirtschaft. Bd. 58, S. 347–372. Fleischmann, B. (2008): Distribution and transport planning. In: H. Stadtler und C. Kilger (Hrsg.), Supply chain management and advanced planning: Concepts, models, software and case studies. Springer, Berlin et al., 4. Auﬂ., S. 231–246. Fleischmann, B. und Meyr, H. (2003): Planning hierarchy, modeling and advanced planning systems. In: A.G. de Kok und S.C. Graves (Hrsg.), Handbooks in operations research and management science: Supply chain management: Design, coordination and operation. Bd. 11. Elsevier, Amsterdam et al., S. 457–523. Florian, M.; Lenstra, J.K. und Kan, A.H.G.R. (1980): Deterministic production planning: Algorithms and complexity. In: Management Science. Bd. 26, S. 669– 679. Förster, A.; Haase, K. und Tönnies, M. (2006): Ein modellgestützter Ansatz zur mittelfristigen Produktions- und Ablaufplanung für eine Brauerei. In: Zeitschrift für Betriebswirtschaft. Bd. 76, S. 1255–1274. França, P.M.; Armentano, V.A.; Berretta, R.E. und Clark, A.R. (1997): A heuristic method for lot-sizing in multi-stage systems. In: Computers & Operations Research. Bd. 24, S. 861–874. Fündeling, C.U. und Trautmann, N. (2005): Belegungsplanung einer Make&PackAnlage: Eine Fallstudie aus der Konsumgüterindustrie. In: H.O. Günther; D. Mattfeld und L. Suhl (Hrsg.), Supply Chain Management und Logistik: Optimierung, Simulation, Decision Support. Physica-Verlag, Heidelberg, S. 223– 233. Garey, M. und Johnson, D. (1979): Computers and intractability: A guide to the theory of N P-completeness. Freeman, New York, NY. Gendreau, M. (2003): An introduction to tabu search. In: F. Glover und G.A. Kochenberger (Hrsg.), Handbook of metaheuristics. Kluwer Academic Publishers, Boston, Mass. et al., S. 37–54. Geoffrion, A.M. (1974): Lagrangean relaxation for integer programming. In: Mathematical Programming Study. Bd. 2, S. 82–114.

174

Literaturverzeichnis

Glover, F. (1986): Future paths for integer programming and links to artiﬁcial intelligence. In: Computers & Operations Research. Bd. 13, S. 533–549. Goddard, W. (2008): Introducing the theory of computation. Jones and Bartlett, Sudbury, Mass. Goetschalcks, M. und Fleischmann, B. (2008): Strategic network design. In: H. Stadtler und C. Kilger (Hrsg.), Supply chain management and advanced planning: Concepts, models, software and case studies. Springer, Berlin et al., 4. Auﬂ., S. 117–132. Gofﬁn, J.L. (1977): On convergence rates of subgradient optimization methods. In: Mathematical Programming. Bd. 13, S. 329–347. Gomory, R.E. (1963): An all-integer integer programming algorithm. In: J.F. Muth und G.L. Thompson (Hrsg.), Industrial scheduling. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, S. 193–206. Gopalakrishnan, M.; Ding, K.; Bourjolly, J.M. und Mohan, S. (2001): A tabusearch heuristic for the capacitated lot-sizing problem with set-up carryover. In: Management Science. Bd. 47, S. 851–863. Gopalakrishnan, M.; Miller, D.M. und Schmidt, C. (1995): A framework for modelling setup carryover in the capacitated lot sizing problem. In: International Journal of Production Research. Bd. 33, S. 1973–1988. Groff, G.K. (1979): A lot sizing rule for time-phased component demand. In: Production & Inventory Management. Bd. 20, S. 47–53. Grünert, T. (1998): Multi-level sequence-dependent dynamic lotsizing and scheduling. Shaker Verlag, Aachen. Günther, H.O. (2005): Supply chain management and advanced planning systems: A tutorial. In: H.O. Günther; D.C. Mattfeld und L. Suhl (Hrsg.), Supply Chain Management und Logistik: Optimierung, Simulation, Decision Support. Physica-Verlag, Heidelberg, S. 3–40. Günther, H.O.; Grunow, M. und Neuhaus, U. (2006): Realizing block planning concepts in make-and-pack production using MILP modelling and SAP APO©. In: International Journal of Production Research. Bd. 44, S. 3711–3726. Günther, H.O. und Tempelmeier, H. (2007): Produktion und Logistik. Springer, Berlin et al., 7. Auﬂ.

Literaturverzeichnis

175

Gupta, D. und Magnusson, T. (2005): The capacitated lot-sizing and scheduling problem with sequence-dependent setup costs and setup times. In: Computers & Operations Research. Bd. 32, S. 727–747. Gupta, Y.P. und Keung, Y. (1990): A review of multi-stage lot-sizing models. In: International Journal of Operations & Production Management. Bd. 10, S. 57– 73. Gutierrez, E.; Hernández, W. und Süer, G.A. (2001): Genetic algorithms in capacitated lot sizing decisions. In: Proceedings of the Computing Research Conference 2001. Mayagüez, Puerto Rico, S. 1–4. Haase, K. (1994): Lotsizing and scheduling for production planning. Lecture notes in economics and mathematical systems, Nr. 408. Springer, Berlin et al. Haase, K. (1996): Capacitated lot-sizing with sequence dependent setup costs. In: Operations Research Spektrum. Bd. 18, S. 51–59. Haase, K. (1998): Capacitated lot-sizing with linked production quantities of adjacent periods. In: A. Drexl und A. Kimms (Hrsg.), Beyond manufacturing resource planning (MRP II): Advanced models and methods for production planning. Springer, Berlin et al., S. 127–146. Haase, K. und Kimms, A. (2000): Lot sizing and scheduling with sequencedependent setup costs and times and efﬁcient rescheduling opportunities. In: International Journal of Production Economics. Bd. 66, S. 159–169. Haase, K. und Kohlmorgen, U. (1995): Parallel genetic algorithm for the capacitated lot-sizing problem. In: P. Kleinschmidt; A. Bachem; U. Derigs; D. Fischer; U. Leopold-Wildburger und R. Möhring (Hrsg.), Operations research proceedings 1995. Springer, Berlin et al., S. 370–375. Harris, F.W. (1913): How many parts to make at once. In: Factory, the Magazine of Management. Bd. 10, S. 135–136, 152. Neudruck in: Operations Research (1990). Bd. 38, S. 947–950. Harrison, T.P. und Lewis, H.S. (1996): Lot sizing in serial assembly systems with multiple constrained resources. In: Management Science. Bd. 42, S. 19–36. Helber, S. (1994): Kapazitätsorientierte Losgrößenplanung in PPS-Systemen. Metzler & Poeschel, Verlag für Wissenschaft und Forschung, Stuttgart.

176

Literaturverzeichnis

Helber, S. (1995): Lot sizing in capacitated production planning and control systems. In: Operations Research Spektrum. Bd. 17, S. 5–18. Helber, S. und Sahling, F. (2009): A ﬁx-and-optimize approach for the multi-level capacitated lot sizing problem. In: International Journal of Production Economics, S. 1–10. DOI 10.1016/j.ijpe.2009.08.022. Henderson, D.; Jacobsen, S.H. und Johnson, A.W. (2003): The theory and practice of simulated annealing. In: F. Glover und G.A. Kochenberger (Hrsg.), Handbook of metaheuristics. Kluwer Academic Publishers, Boston, Mass. et al., S. 287– 319. Hindi, K.S. (1996): Solving the CLSP by a tabu search heuristic. In: Journal of the Operational Research Society. Bd. 47, S. 151–161. Hoitsch, H.J. und Lingnau, V. (2007): Kosten- und Erlösrechnung: Eine controllingorientierte Einführung. Springer, Berlin et al., 6. Auﬂ. Hung, Y.F. und Chien, K.L. (2000): A multi-class multi-level capacitated lot sizing model. In: Journal of the Operational Research Society. Bd. 51, S. 1309–1318. Hung, Y.F. und Hu, Y.C. (1998): Solving mixed integer programming production planning problems with setups by shadow price information. In: Computers & Operations Research. Bd. 25, S. 1027–1042. ILOG (2006): ILOG CPLEX 10.0 – User’s manual. ILOG S.A. Jacobs, F.R. und Khumawala, B.M. (1982): Multi-level lot sizing in material requirements planning: An empirical investigation. In: Computers & Operations Research. Bd. 9, S. 139–144. Jans, R. und Degraeve, Z. (2007): Meta-heuristics for dynamic lot sizing: A review and comparison of solution approaches. In: European Journal of Operational Research. Bd. 177, S. 1855–1875. Johnson, D.S. und Papadimitriou, C.H. (1985): Computational complexity. In: E.L. Lawler; J.K. Lenstra; A.H.G.R. Kan und D.B. Shmoys (Hrsg.), The traveling salesman problem – A guided tour of combinatorial optimization. Wiley, Chichester, W. Sussex et al., S. 37–85. Karimi, B.; Ghomi, S.M.T.F. und Wilson, J.M. (2003): The capacitated lot sizing problem: A review of models and algorithms. In: Omega. Bd. 31, S. 365–378.

Literaturverzeichnis

177

Karmarkar, U.S. und Schrage, L. (1985): The deterministic dynamic product cycling problem. In: Operations Research. Bd. 33, S. 326–345. Katok, E.; Lewis, H.S. und Harrison, T.P. (1998): Lot sizing in general assembly systems with setup costs, setup times, and multiple constrained resources. In: Management Science. Bd. 44, S. 859–877. Kilger, C. und Meyr, H. (2008): Demand fulﬁlment and ATP. In: H. Stadtler und C. Kilger (Hrsg.), Supply chain management and advanced planning: Concepts, models, software and case studies. Springer, Berlin et al., 4. Auﬂ., S. 181–198. Kilger, C. und Wagner, M. (2008): Demand planning. In: H. Stadtler und C. Kilger (Hrsg.), Supply chain management and advanced planning: Concepts, models, software and case studies. Springer, Berlin et al., 4. Auﬂ., S. 133–160. Kimms, A. (1996a): Competitive methods for multi-level lot sizing and scheduling: Tabu search and randomized regrets. In: International Journal of Production Research. Bd. 34, S. 2279–2298. Kimms, A. (1996b): Multi-level, single-machine lotsizing and scheduling (with initial inventory). In: European Journal of Operational Research. Bd. 89, S. 86– 99. Kimms, A. (1997): Multi-level lot sizing and scheduling: Methods for capacitated, dynamic, and deterministic models. Physica-Verlag, Heidelberg. Kirkpatrick, S.; Gelatt, C.D. und Vecchi, M.P. (1983): Optimization by simulated annealing. In: Science. Bd. 220, S. 671–680. Krarup, J. und Bilde, O. (1977): Plant location, set covering and economic lot size: An O(mn)-algorithm for structured problems. In: L. Collatz; G. Meinardus und W. Wetterling (Hrsg.), Numerische Methoden bei Optimierungsaufgaben Band 3 – Optimierung bei graphentheoretischen und ganzzahligen Problemen. Birkhäuser, Basel et al., S. 155–180. Kuik, R.; Salomon, M.; van Wassenhove, L.N. und Maes, J. (1993): Linear programming, simulated annealing and tabu search heuristics for lotsizing in bottleneck assembly systems. In: IIE Transactions. Bd. 25, S. 62–72. Küpper, H.U. und Helber, S. (2004): Ablauforganisation in Produktion und Logistik. Schäffer-Poeschel, Stuttgart, 3. Auﬂ.

178

Literaturverzeichnis

Land, A.H. und Doig, A.G. (1960): An automatic method of solving discrete programming problems. In: Econometrica. Bd. 28, S. 497–520. Maes, J.; McClain, J.O. und van Wassenhove, L.N. (1991): Multilevel capacitated lotsizing complexity and LP-based heuristics. In: European Journal of Operational Research. Bd. 53, S. 131–148. Maes, J. und van Wassenhove, L. (1988): Multi-item single-level capacitated dynamic lot-sizing heuristics: A general review. In: Journal of the Operational Research Society. Bd. 39, S. 991–1004. Merz, P. (2000): Memetic algorithms for combinatorial optimization problems: Fitness landscapes and effective search strategies. Dissertation. Fachbereich Elektrotechnik und Informatik, Universität Siegen. http://www.ub.unisiegen.de/epub/diss/merz.htm. Meyr, H. (2000): Simultaneous lotsizing and scheduling by combining local search with dual reoptimization. In: European Journal of Operational Research. Bd. 120, S. 311–326. Meyr, H. (1999): Simultane Losgrößen- und Reihenfolgeplanung für kontinuierliche Produktionslinien: Modelle und Methoden im Rahmen des Supply Chain Management. Deutscher Universitäts-Verlag, Wiesbaden. Méndez, C.A. und Cerdá, J. (2002): An MILP-based approach to the short-term scheduling of make-and-pack continuous production plants. In: Operations Research Spectrum. Bd. 24, S. 403–429. Moorkanat, J. (2000): Studies in certain resource loading, scheduling and production control problems in multi-stage production control problems in multistage production inventory systems. Dissertation. Indian Institute of Technology, Bombay. Mühlenbein, H. (2003): Genetic algorithms. In: E. Aarts und J.K. Lenstra (Hrsg.), Local search in combinatorial optimization. John Wiley, New York, S. 137–171. Nissen, V. (1994): Evolutionäre Algorithmen: Darstellung, Beispiele, betriebswirtschaftliche Anwendungsmöglichkeiten. Deutscher Universitäts-Verlag, Wiesbaden. Özdamar, L. und Barbarosoglu, G. (1999): Hybrid heuristics for the multi-stage capacitated lot sizing and loading problem. In: Journal of the Operational Research Society. Bd. 50, S. 810–825.

Literaturverzeichnis

179

Özdamar, L. und Barbarosoglu, G. (2000): An integrated Lagrangean relaxationsimulated annealing approach to the multi-level multi-item capacitated lot sizing problem. In: International Journal of Production Economics. Bd. 68, S. 319– 331. Özdamar, L.; Birbil, S. ¸ I. und Portmann, M.C. (2002): Technical note: New results for the capacitated lot sizing problem with overtime decisions and setup times. In: Production Planning & Control. Bd. 13, S. 2–10. Özdamar, L. und Bozyel, M.A. (2000): The capacitated lot sizing problem with overtime decisions and setup times. In: IIE Transactions. Bd. 32, S. 1043–1057. Pitakaso, R.; Almeder, C.; Doerner, K.F. und Hartl, R.F. (2006): Combining population-based and exact methods for multi-level capacitated lot-sizing problems. In: International Journal of Production Research. Bd. 44, S. 4755–4771. Pochet, Y. und Wolsey, L.A. (1991): Solving multi-item lot-sizing problems using strong cutting planes. In: Management Science. Bd. 37, S. 53–67. Pochet, Y. und Wolsey, L.A. (2006): Production planning by mixed integer programming. Springer, New York, NY. Quadt, D. und Kuhn, H. (2008): Capacitated lot-sizing with extensions: A review. In: 4OR: A Quarterly Journal of Operations Research. Bd. 6, S. 61–83. Reeves, C. (2003): Genetic algorithms. In: F. Glover und G.A. Kochenberger (Hrsg.), Handbook of metaheuristics. Kluwer Academic Publishers, Boston, Mass. et al., S. 55–82. Rohde, J.; Meyr, H. und Wagner, M. (2000): Die Supply Chain Planning Matrix. In: PPS Management. Bd. 5, S. 10–15. Rohde, J. und Wagner, M. (2008): Master planning. In: H. Stadtler und C. Kilger (Hrsg.), Supply chain management and advanced planning: Concepts, models, software and case studies. Springer, Berlin et al., 4. Auﬂ., S. 161–179. Rosling, K. (1986): Optimal lot-sizing for dynamic assembly systems. In: S. Axsäter; C. Schneeweiss und E. Silver (Hrsg.), Multi-stage production planning and inventory control. Springer, Berlin et al., S. 119–131. Rossi, H. (2005): Ein heuristisches Dekompositionsverfahren für mehrstuﬁge Losgrößenprobleme. Dissertation. Fachbereich Wirtschaftswissenschaft, Freie Universität Berlin. http://www.diss.fu-berlin.de/diss/receive/ FUDISS_thesis_000000001757.

180

Literaturverzeichnis

Sahling, F.; Buschkühl, L.; Helber, S. und Tempelmeier, H. (2009): Solving a multi-level capacitated lot sizing problem with multi-period setup carry-over via a ﬁx-and-optimize heuristic. In: Computers & Operations Research. Bd. 36, S. 2546–2553. Salomon, M. (1991): Deterministic lotsizing models for production planning. Lecture notes in economics and mathematical systems, Nr. 355. Springer, Berlin et al. Salomon, M.; Kroon, L.G.; Kuik, R. und van Wassenhove, L.N. (1991): Some extensions of the discrete lotsizing and scheduling problem. In: Management Science. Bd. 37, S. 801–812. Salomon, M.; Kuik, R. und van Wassenhove, L.N. (1993): Statistical search methods for lotsizing problems. In: Annals of Operations Research. Bd. 41, S. 453– 468. Sandi, C. (1979): Subgradient optimization. In: N. Christoﬁdes; A. Mingozzi; P. Toth und C. Sandi (Hrsg.), Combinatorial optimization. Wiley, Chichester et al., S. 73–91. Schelper, S. (2007): Entwicklung und Lösung eines mehrstuﬁgen Losgrößenproblems mit parallel arbeitenden Maschinen und reihenfolgeabhängigen Rüstkosten. Diplomarbeit. Leibniz Universität Hannover, Fachgebiet Planung und Steuerung von Lager- und Transportsystemen. Schneider, H.M.; Buzacott, J.A. und Rücker, T. (2005): Operative Produktionsplanung und -steuerung: Konzepte und Modelle des Informations- und Materialﬂusses in komplexen Fertigungssystemen. Oldenbourg, München et al. Scholl, A. (2008): Modellierung logistischer Systeme. In: D. Arnold; H. Isermann; A. Kuhn; K. Furmans und H. Tempelmeier (Hrsg.), Handbuch Logistik. Springer, Berlin et al., 3. Auﬂ., S. A 2.1–A 2.2. Schweitzer, M. und Küpper, H.U. (2008): Systeme der Kosten- und Erlösrechnung. Vahlen, München, 9. Auﬂ. Silver, E.A. und Meal, H.C. (1969): A simple modiﬁcation of the EOQ for the case of a varying demand rate. In: Production & Inventory Management. Bd. 10, S. 62–65.

Literaturverzeichnis

181

Silver, E.A. und Meal, H.C. (1973): A heuristic for selecting lot size quantities for the case of a deterministic time-varying demand rate and discrete opportunities for replenishment. In: Production & Inventory Management. Bd. 14, S. 64–74. Sox, C.R. und Gao, Y. (1999): The capacitated lot sizing problem with setup carryover. In: IIE Transactions. Bd. 31, S. 173–181. Stadtler, H. (1996a): Mixed integer programming model formulations for dynamic multi-item multi-level capacitated lotsizing. In: European Journal of Operational Research. Bd. 94, S. 561–581. Stadtler, H. (1996b): On the equivalence of LP bounds provided by the shortest route and the simple plant location model formulation for dynamic multi-item multi-level capacitated lot-sizing. Arbeitspapier. Technische Hochschule Darmstadt. Schriften zur Quantitativen Betriebswirtschaftslehre, Nr. 5/96. Stadtler, H. (1997): Reformulations of the shortest route model for dynamic multi-item multi-level capacitated lotsizing. In: Operations Research Spektrum. Bd. 19, S. 87–96. Stadtler, H. (2003): Multilevel lot sizing with setup times and multiple constrained resources: Internally rolling schedules with lot-sizing windows. In: Operations Research. Bd. 51, S. 487–502. Stadtler, H. (2005): Supply chain management and advanced planning – Basics, overview and challenges. In: European Journal of Operational Research. Bd. 163, S. 575–588. Stadtler, H. und Kilger, C. (2008): Supply chain management and advanced planning: Concepts, models, software and case studies. Springer, Berlin et al., 4. Auﬂ. Stadtler, H. und Sürie, C. (2000): Description of MLCLSP test instances. Arbeitspapier. Technische Universität Darmstadt. http://www.bwl.tudarmstadt.de/bwl1/forschung/ti_mlclsp/ti_mlclsp.php?FG=bwl1. Staggemeier, A.T. und Clark, A.R. (2001): A survey of lot-sizing and scheduling models. In: Proceedings of the 23rd Annual Symposium of the Brazilian Operational Research Society. Campos do Jordao SP, Brazil, S. 938–947. Stammen-Hegener, C. (2002): Simultane Losgrößen- und Reihenfolgeplanung bei ein- und mehrstuﬁger Fertigung. Deutscher Universitäts-Verlag, Wiesbaden.

182

Literaturverzeichnis

Suhl, L. und Mellouli, T. (2006): Optimierungssysteme: Modelle, Verfahren, Software, Anwendungen. Springer, Berlin et al. Sürie, C. (2005): Time continuity in discrete time models: New approaches for production planning in process industries. Lecture notes in economics and mathematical systems, Nr. 552. Springer, Berlin et al. Sürie, C. und Stadtler, H. (2003): The capacitated lot-sizing problem with linked lot sizes. In: Management Science. Bd. 49, S. 1039–1054. Taha, H.A. (2003): Operations research: An introduction. Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 7. Auﬂ. Tempelmeier, H. (1995): Auftragsgrößenplanung bei Werkstattproduktion – Ein weißer Fleck in der PPS-Landschaft. In: G. Bot; T. Christ und B. Suchanek (Hrsg.), Das Potential der Lean-Techniken in der Kraftfahrzeugwirtschaft: Aktuelle Entwicklungen der Material-Logistik in Theorie und Praxis. VDA, Karlsruhe, S. 1–20. Tempelmeier, H. (2008): Material-Logistik: Modelle und Algorithmen für die Produktionsplanung und -steuerung in Advanced Planning-Systemen. Springer, Berlin et al., 7. Auﬂ. Tempelmeier, H. und Buschkühl, L. (2009): A heuristic for the dynamic multi-level capacitated lotsizing problem with linked lotsizes for general product structures. In: Operations Research Spectrum. Bd. 31, S. 385–404. Tempelmeier, H. und Derstroff, M. (1993): Mehrstuﬁge MehrproduktLosgrößenplanung bei beschränkten Ressourcen und genereller Erzeugnisstruktur. In: Operations Research Spektrum. Bd. 15, S. 63–73. Tempelmeier, H. und Derstroff, M. (1996): A Lagrangean-based heuristic for dynamic multilevel multiitem constrained lotsizing with setup times. In: Management Science. Bd. 42, S. 738–757. Tempelmeier, H. und Helber, S. (1994): A heuristic for dynamic multi-item multilevel capacitated lotsizing for general product structures. In: European Journal of Operational Research. Bd. 75, S. 296–311. Trigeiro, W.W. (1987): A dual-cost heuristic for the capacitated lot sizing problem. In: IIE Transactions. Bd. 19, S. 67–72.

Literaturverzeichnis

183

Trigeiro, W.W.; Thomas, L.J. und McClain, J.O. (1989): Capacitated lot sizing with setup times. In: Management Science. Bd. 35, S. 353–366. Wagelmans, A.; van Hoesel, S. und Kolen, A. (1992): Economic lot sizing: An O(n log n) algorithm that runs in linear time in the Wagner-Whitin case. In: Operations Research. Bd. 40, S. 145–156. Wagner, H.M. und Whitin, T.M. (1958): Dynamic version of the economic lot size model. In: Management Science. Bd. 5, S. 89–96. Wolsey, L.A. (1995): Progress with single-item lot-sizing. In: European Journal of Operational Research. Bd. 86, S. 395–401. Xie, J. und Dong, J. (2002): Heuristic genetic algorithms for general capacitated lot-sizing problems. In: Computers & Mathematics with Applications. Bd. 44, S. 263–276. Yang, G. (2005): Produktionsplanung in komplexen Wertschöpfungsnetzwerken: Ein integrierter hierarischer Ansatz in der chemischen Industrie. Deutscher Universitäts-Verlag, Wiesbaden. Zäpfel, G. und Altmann, J. (1978): Losgrößenplanung: Problemstellung und Problemklassen. In: WISU. Bd. 11, S. 529–532.

Anhang

A Ausführliche Modellformulierung für ein Unterproblem des MLCLSP bei der Fix&Optimize-Heuristik Aufgrund der vorübergehenden Fixierung der Rüstzustände γ kt verringert sich die Kapazität cpmt auf Maschine m in Periode t um die bereits ﬁxierten Rüstzeiten: cpmt = cpmt −

∑

tsk · γ kt

∀ m,t.

k∈Km (k,t)∈KT γf ix

Mit der zusätzlichen Notation aus Tabelle A.1 kann das MLCLSP-SUB alternativ mathematisch folgendermaßen modelliert werden:

Tab. A.1: Ergänzende Notation für das MLCLSP-SUB

Parameter cpmt verfügbare Kapazität von Maschine m in Periode t nach Abzug der bereits ﬁxierten Rüstzeiten Modell MLCLSP-SUB:

∑

min Z =

variabler Rüstkostenterm

+

∑

sck · γkt +

(k,t)∈KT opt γ

∑ ∑

sck · γ kt +

(k,t)∈KT γf ix

∑ ∑ hck ·Ykt

k∈K t∈T

ﬁxierter Rüstkostenterm

(A.1)

ocm · Omt

m∈M t∈T

unter Beachtung der Restriktionen Yk,t−1 + QPk,t−vpk −

∑

i∈Nk

aki · QPit −Ykt = dkt

∀ k,t

(A.2)

188

A Ausführliche Modellformulierung für ein Unterproblem des MLCLSP

∑

t pk · QPkt +

k∈Km

∑

tsk · γkt ≤ cpmt + Omt

∀ m,t

(A.3)

f ix

(A.4)

opt

(A.5)

∀ k, m,t

(A.6)

opt

(A.7)

k∈Km (k,t)∈KT opt γ

QPkt ≤ bkt · γ kt

∀ (k,t) ∈ KT γ

QPkt ≤ bkt · γkt

∀ (k,t) ∈ KT γ

Omt , QPkt , Ykt ≥ 0 γkt ∈ {0, 1}

∀ (k,t) ∈ KT γ

Veränderungen treten im Vergleich zur Standardmodellformulierung317 bei der Zielfunktion sowie bei den Restriktionen auf, in denen die Rüstzustandsvariablen γkt enthalten sind. Es wird zwischen zwei Fällen unterschieden. Im ersten Fall werden die optimal zu lösenden Binärvariablen berücksichtigt, im zweiten Fall die vorübergehend ﬁxierten Rüstzustände. In der Zielfunktion (A.1) enthält der erste Rüstkostenterm die binären Rüstzustandsvariablen γkt , die optimal gelöst werden. Der zweite Rüstkostenterm berücksichtigt konstante Rüstkosten bedingt durch die Fixierung der Rüstzustände γ kt . Auch bei den Kapazitätsrestriktionen (A.3) erfolgt eine Anpassung. Einerseits werden die Rüstzeiten für die zu opˆ mt werden timierenden Rüstzustandsvariablen γkt berücksichtigt. Durch den Parameter cp andererseits die Rüstzeiten für die bereits ﬁxierten Rüstzustände erfasst. Bei den ursprünglichen Restriktionen (3.5) für das MLCLSP wird nicht zwischen den f ix beiden Teilmengen KT opt γ und KT γ unterschieden. Aus diesem Grund werden diese für die Formulierung des MLCLSP-SUB in die Bedingungen (A.4) und (A.5) aufgeteilt. Bei den Lagerbilanzgleichungen (A.2) ist keine Anpassung erforderlich. Den Abschluss bilden die Nichtnegativitätsbedingungen (A.6) sowie die Binärbedingungen (A.7), wobei letztere opt auf die Menge KT γ beschränkt sind.

317 Vgl. Abschnitt 3.2 auf S. 23ff.

B Ergänzende numerische Ergebnisse der Fix&Optimize-Heuristik zur Lösung des MLCLSP B.1 Ergebnisse der ressourcenorientierten Dekomposition Für eine geeignete Auswahl der Parameterkombination (λ , θ ) wurde in Untersuchungen der Einﬂuss der Länge des Planungsfensters λ auf die Lösungsgüte und Rechenzeit bei der ressourcenorientierten Dekomposition analysiert. Darüber hinaus wurde für eine gegebene Planungsfensterlänge λ der Einﬂuss des Parameters θ analysiert, der die Anzahl der Perioden angibt, um die das Planungsfenster jeweils verschoben wird. Die Ergebnisse dieser numerischen Untersuchungen sind in Tabelle B.1 für einen Durchlauf der RoD und in Tabelle B.2 für den mehrfachen Durchlauf dargestellt. Mit zunehmender Länge des Planungsfensters λ werden gleichzeitig mehr Binärvariablen in einem Unterproblem betrachtet, daher steigt erwartungsgemäß sowohl beim einfachen als auch beim mehrfachen Durchlauf der RoD die Lösungsgüte an. Es wird dadurch allerdings auch mehr Rechenzeit benötigt. Je kleiner der Parameter θ gewählt wird, desto mehr Unterprobleme werden in einer Iteration der RoD betrachtet. Aus diesem Grund nimmt ebenfalls die Laufzeit zu. Gleichzeitig ist auch die Lösungsgüte höher, umso kleiner der Wert für θ gewählt wird, da die Abhängigkeiten der einzelnen Perioden untereinander genauer untersucht werden. Bei den größeren Problemklassen ab der Problemklasse C konnten ab einem Planungsfenster von acht Perioden nicht alle Unterprobleme optimal gelöst werden, da die verwendete Rechnerarchitektur nicht ausreichte. Aus diesem Grund wurde für diese Problemklassen ein Zeitlimit von zehn Sekunden für jedes Unterproblem gewählt. Obwohl nicht mehr alle Unterprobleme optimal gelöst werden konnten, sind die Ergebnisse mit einem Planungsfenster bestehend aus acht Perioden dennoch besser als die Ergebnisse mit einem Planungsfenster von vier Perioden. Erwartungsgemäß nimmt aber auch die benötigte Rechenzeit deutlich zu. Da bereits bei der Parameterkombination (λ = 8, θ = 4) ein deutlicher Anstieg der Laufzeit zu verzeichnen war, wurden weitere Parameterkombinationen für diese Problemklassen nicht weiter betrachtet. Als geeignete Wahl für die Länge des Planungsfensters λ hat sich für alle Problemklassen hinsichtlich der Lösungsgüte und der damit verbundenen Laufzeit ein Planungsfenster bestehend aus vier Perioden erwiesen (λ = 4). Für alle Problemklassen konnten die zuge-

190

B Ergänzende Ergebnisse der F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

hörigen Unterprobleme optimal gelöst werden. Wenn das Planungsfenster jeweils nur um eine Periode verschoben wurde (θ = 1), konnte eine höhere Lösungsgüte erzielt werden als bei einem Planungsfenster, das jeweils um zwei Perioden verschoben wurde. Aufgrund der höheren Anzahl der zu untersuchenden Unterprobleme stieg jedoch die benötigte Rechenzeit im Verhältnis zur erzielten Lösungsgüte besonders bei den größeren Problemklassen zu sehr an. Aus diesem Grund wurde jeweils nur die Kombination (λ = 4, θ = 2) bei den numerischen Untersuchungen verwendet.

B.2 Ergebnisse weiterer Varianten der F&O-Heuristik für das MLCLSP

191

B.2 Ergebnisse weiterer Varianten der F&O-Heuristik für das MLCLSP Aus Gründen der Vollständigkeit sind im Folgenden die Ergebnisse der Varianten beginnend mit der RoD bei einfachem Durchlauf in Tabelle B.3 und bei mehrfachem Durchlauf in Tabelle B.4 dargestellt, die nicht in den numerischen Untersuchungen im Abschnitt 5.5 betrachtet wurden. Für die RoD wurden die folgenden Varianten deﬁniert: Variante 5: Erst RoD, dann PoD Variante 6: Erst RoD, dann PzoD Variante 7: Erst RoD, dann PoD und dann PzoD Variante 8: Erst RoD, dann PzoD und dann PoD Darüber hinaus sind in Tabelle B.5 die Ergebnisse bei einfachem Durchlauf und in Tabelle B.6 bei mehrfachem Durchlauf der Varianten beginnend mit der PzoD dargestellt. Mit der PzoD als Startdekomposition wurden die restlichen vier Varianten 9 bis 12 deﬁniert: Variante 9: Erst PzoD, dann PoD Variante 10: Erst PzoD, dann RoD Variante 11: Erst PzoD, dann PoD und dann RoD Variante 12: Erst PzoD, dann RoD und dann PoD Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass keine der vorgestellten Varianten die im Kapitel 5 untersuchten Varianten dominiert.

192

B Ergänzende Ergebnisse der F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

Tab. B.1: Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP bei einfachem Durchlauf (max = 1) der ressourcenorientierten Dekomposition

λ

θ DAOS [%]

DAUS [%]

Zul [%]

Zeit [s]

DAOS [%]

Problemklasse A+ 4 4 4 8 8 8 8 12 12 12 12 12

1 2 4 1 2 4 8 1 2 4 6 12

4,26 4,75 9,94 2,80 2,80 2,89 5,43 2,55 2,58 2,54 2,69 4,16

26,76 27,33 33,61 25,06 25,05 25,16 28,25 24,77 24,81 24,76 24,94 26,72

100,00 3,17 100,00 3,46 100,00 0,88 100,00 16,53 100,00 8,53 100,00 4,36 100,00 2,35 100,00 254,90 100,00 121,69 100,00 66,91 100,00 42,90 100,00 15,02

1 2 4 4

5,97 6,97 8,68 4,95

22,79 23,95 25,97 21,64

100,00 20,21 100,00 19,28 100,00 4,91 100,00 125,07

Zul [%]

Zeit [s]

Problemklasse B+ 4,67 5,06 10,78 3,07 3,20 3,30 6,44 2,64 2,58 2,64 2,73 4,30

Problemklasse C 4 4 4 8

DAUS [%]

27,41 27,88 34,97 25,51 25,68 25,78 29,70 24,98 24,90 24,99 25,11 27,05

100,00 3,58 100,00 4,30 100,00 1,09 100,00 14,40 100,00 7,89 100,00 3,91 100,00 2,26 100,00 185,28 100,00 100,37 100,00 53,22 100,00 35,77 100,00 11,16

Problemklasse D 14,60 14,32 15,65 13,56

24,27 23,68 25,39 23,38

98,61 95,83 98,61 98,61

13,97 7,85 3,87 85,59

Problemklasse E 4 4 4 8

1 2 4 4

13,97 14,18 14,74 13,66

25,93 26,17 26,82 25,59

100,00 43,88 100,00 23,15 100,00 13,15 100,00 166,80

Anmerkung: Bei den größeren Problemklassen ab der Klasse C konnten nicht mehr alle Unterprobleme mit einer Planungsfensterlänge von acht Perioden optimal gelöst werden, da die vorhandene Rechenkapazität nicht ausgereicht hat. Aus diesem Grund wurde ein Zeitlimit von zehn Sekunden je Unterproblem eingeführt.

B.2 Ergebnisse weiterer Varianten der F&O-Heuristik für das MLCLSP

193

Tab. B.2: Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP bei mehrfachem Durchlauf (max = ∞) der ressourcenorientierten Dekomposition

λ

θ DAOS [%]

DAUS [%]

Zul [%]

Zeit [s]

DAOS [%]

Problemklasse A+ 4 4 4 8 8 8 8 12 12 12 12 12

1 2 4 1 2 4 8 1 2 4 6 12

1,69 2,28 6,44 1,48 1,32 1,38 3,21 1,33 1,27 1,24 1,32 2,11

23,71 24,39 29,45 23,50 23,29 23,36 25,58 23,31 23,24 23,18 23,29 24,23

100,00 4,39 100,00 4,95 100,00 1,26 100,00 19,30 100,00 9,75 100,00 5,16 100,00 2,75 100,00 264,68 100,00 125,89 100,00 69,17 100,00 44,35 100,00 15,57

1 2 4 4

0,54 1,14 4,29 0,25

16,65 17,34 20,98 16,32

100,00 24,21 100,00 24,03 100,00 6,50 100,00 131,39

Zul [%]

Zeit [s]

Problemklasse B+ 1,47 1,92 6,43 1,14 1,08 1,23 3,34 0,86 0,85 0,92 0,95 2,10

Problemklasse C 4 4 4 8

DAUS [%]

23,52 24,07 29,63 23,17 23,08 23,26 25,87 22,81 22,80 22,89 22,93 24,36

100,00 4,69 100,00 5,29 100,00 1,61 100,00 16,42 100,00 9,05 100,00 4,53 100,00 2,83 100,00 190,15 100,00 102,64 100,00 55,80 100,00 36,81 100,00 11,71

Problemklasse D 2,13 2,10 3,95 1,74

10,87 10,80 12,78 10,40

100,00 100,00 100,00 100,00

15,90 12,69 4,64 86,31

Problemklasse E 4 4 4 8

1 2 4 4

2,94 3,55 4,57 2,88

13,88 14,58 15,73 13,82

100,00 49,36 100,00 26,48 100,00 14,87 100,00 168,86

Anmerkung: Bei den größeren Problemklassen ab der Klasse C konnten nicht mehr alle Unterprobleme mit einer Planungsfensterlänge von acht Perioden optimal gelöst werden, da die vorhandene Rechenkapazität nicht ausgereicht hat. Aus diesem Grund wurde ein Zeitlimit von zehn Sekunden je Unterproblem eingeführt.

194

B Ergänzende Ergebnisse der F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

Tab. B.3: Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP bei einfachem Durchlauf (max = 1) für die Varianten beginnend mit der ressourcenorientierten Dekomposition

DAOS [%]

DAUS [%]

Zul [%]

Zeit [s]

DAOS [%]

Problemklasse A+ 4,75 3,01 2,53 2,30 2,21

27,33 100,00 25,30 100,00 24,71 100,00 24,43 100,00 24,33 100,00 Problemklasse C

3,46 4,59 5,17 6,75 7,79

5,06 3,06 2,36 2,12 2,10

RoD Var 5 Var 6 Var 7 Var 8

6,97 2,62 1,97 1,42 1,20

23,95 100,00 19,05 100,00 18,31 100,00 17,68 100,00 17,44 100,00 Problemklasse E

19,28 34,12 29,77 58,08 77,14

14,32 6,40 3,77 2,86 2,35

26,17 16,87 15,69 14,71 14,16

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

Zul [%]

Zeit [s]

Problemklasse B+

RoD Var 5 Var 6 Var 7 Var 8

RoD 14,18 Var 5 5,63 Var 6 4,56 Var 7 3,65 Var 8 3,16

DAUS [%]

23,15 37,71 55,58 80,76 96,26

27,88 100,00 25,52 100,00 24,63 100,00 24,36 100,00 24,33 100,00 Problemklasse D 23,68 15,72 12,68 11,69 11,11

95,83 100,00 100,00 100,00 100,00

4,30 6,37 11,10 15,38 9,99 7,85 14,53 28,13 43,67 38,59

B.2 Ergebnisse weiterer Varianten der F&O-Heuristik für das MLCLSP

195

Tab. B.4: Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP bei mehrfachem Durchlauf (max = ∞) für die Varianten beginnend mit der ressourcenorientierten Dekomposition

DAOS [%]

DAUS [%]

Zul [%]

Zeit [s]

DAOS [%]

Problemklasse A+ RoD Var 5 Var 6 Var 7 Var 8

2,28 1,83 1,45 1,42 1,41

24,39 23,86 23,41 23,37 23,36

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

1,14 0,84 0,43 0,47 0,44

17,34 17,01 16,54 16,58 16,56

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

4,95 5,67 6,83 9,17 10,66

3,55 3,44 2,56 2,48 2,50

14,58 14,44 13,50 13,40 13,42

Zeit [s]

1,92 1,71 1,17 1,10 1,13

24,07 23,84 23,17 23,07 23,12

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

5,29 8,88 13,63 17,65 13,84

Problemklasse D 24,03 45,92 38,54 66,87 84,70

Problemklasse E RoD Var 5 Var 6 Var 7 Var 8

Zul [%]

Problemklasse B+

Problemklasse C RoD Var 5 Var 6 Var 7 Var 8

DAUS [%]

100,00 26,48 100,00 48,60 100,00 67,45 100,00 96,21 100,00 112,50

2,10 1,72 1,44 1,44 1,41

10,80 10,37 10,09 10,08 10,01

100,00 100,00 100,00 100,00 98,61

12,69 29,30 46,55 51,58 45,32

196

B Ergänzende Ergebnisse der F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSP

Tab. B.5: Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP bei einfachem Durchlauf (max = 1) für die Varianten beginnend mit der prozessorientierten Dekomposition

DAOS [%]

DAUS [%]

Zul [%]

Zeit [s]

DAOS [%]

Problemklasse A+ PzoD Var 9 Var 10 Var 11 Var 12

4,85 4,00 2,71 2,41 2,45

27,61 26,60 24,93 24,56 24,62

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

2,62 2,41 0,69 0,67 0,66

PzoD Var 9 Var 10 Var 11 Var 12

7,78 4,17 4,02 3,10 2,96

19,09 18,85 16,83 16,80 16,80

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

Problemklasse E 19,24 100,00 15,28 100,00 15,08 100,00 14,09 100,00 13,93 100,00

Zul [%]

Zeit [s]

Problemklasse B+ 1,89 2,41 3,99 4,01 5,38

5,31 3,97 2,52 2,24 2,15

Problemklasse C PzoD Var 9 Var 10 Var 11 Var 12

DAUS [%]

28,31 26,68 24,82 24,47 24,37

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

2,60 3,49 4,88 7,58 8,13

Problemklasse D 24,79 39,34 58,05 80,12 40,98 37,96 51,64 50,87 76,11 74,27

2,91 2,66 1,55 1,49 1,49

11,73 11,46 10,23 10,16 10,16

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

14,39 24,09 27,97 44,15 43,53

B.2 Ergebnisse weiterer Varianten der F&O-Heuristik für das MLCLSP

197

Tab. B.6: Ergebnisse der F&O-Heuristik für das MLCLSP bei mehrfachem Durchlauf (max = ∞) für die Varianten beginnend mit der prozessorientierten Dekomposition

DAOS [%]

DAUS [%]

Zul [%]

Zeit [s]

DAOS [%]

Problemklasse A+ PzoD Var 9 Var 10 Var 11 Var 12

3,37 3,12 1,83 1,73 1,78

25,80 25,52 23,88 23,75 23,82

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

4,40 3,09 1,51 1,64 0,97

21,12 19,63 17,77 17,94 17,15

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

2,35 3,11 5,57 5,37 7,51

2,76 2,72 2,22 2,22 2,24

13,72 13,68 13,10 13,10 13,13

Zeit [s]

3,12 2,69 1,28 1,29 1,23

25,61 25,08 23,29 23,31 23,23

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

3,88 6,63 9,87 8,96 10,30

Problemklasse D 8,10 11,86 16,37 23,43 32,12

Problemklasse E PzoD Var 9 Var 10 Var 11 Var 12

Zul [%]

Problemklasse B+

Problemklasse C PzoD Var 9 Var 10 Var 11 Var 12

DAUS [%]

100,00 46,99 100,00 72,80 100,00 73,39 100,00 108,82 100,00 102,01

7,10 4,03 2,99 2,47 2,00

16,33 12,98 11,82 11,25 10,72

100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

9,42 11,85 13,13 20,02 21,57

C Ablauf der Fix&Optimize-Heuristik für Modellerweiterungen des MLCLSP Ergänzend zum Ablauf der F&O-Heuristik für das MLCLSP318 sind an dieser Stelle die Algorithmen zur Lösung des MLCLSP-L und des MLCLSD-PM-ML dargestellt. Algorithmus C.1 beschreibt den Ablauf der F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L und Algorithmus C.2 den Ablauf zur Lösung des MLCLSD-PM-ML.

318 Vgl. Algorithmus 5.5 auf S. 84.

200

C Ablauf der F&O-Heuristik für Modellerweiterungen des MLCLSP

Setze := 0 wiederhole Setze := + 1 Setze Z alt := Z neu für jede Dekomposition d ∈ Dv der aktuell betrachteten Variante v für jedes Unterproblem s ∈ Sd opt Bestimme KT opt γ und KT ω f ix opt Setze KT γ := KT \KT γ f ix opt Setze KT ω := KT \KT ω Bestimme Z ∗ für das MLCLSP-L-SUB wenn ∑m∈M ∑t∈T O∗mt = 0 dann Setze KapZul neu :=‘true’ sonst Setze KapZul neu :=‘ f alse’ wenn (Z ∗ < Z alt ) ∧ (KapZul neu ∨ [¬KapZul neu ∧ ¬KapZul]) dann opt für alle (k,t) ∈ KT γ ∗ Setze γ kt := γkt opt

für alle (k,t) ∈ KT ω Setze ω kt := ωkt∗ Setze Z neu := Z ∗ wenn KapZul neu dann KapZul :=‘true’ Setze KT opt / γ := 0 opt Setze KT ω := 0/ bis ( = max ) oder (Z neu = Z alt ) Alg. C.1: Ablauf der F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSP-L

C Ablauf der F&O-Heuristik für Modellerweiterungen des MLCLSP

201

Setze := 0 wiederhole Setze := + 1 Setze Z alt := Z neu für jede Dekomposition d ∈ Dv der aktuell betrachteten Variante v für jedes Unterproblem s ∈ Sd Bestimme IKT Mopt und KT Mopt ω δ f ix opt Setze IKT Mδ := IKT M\IKT Mδ f ix opt Setze KT Mω := KT M\KT Mω Bestimme Z ∗ für das MLCLSD-PM-ML-SUB wenn ∑m∈M ∑t∈T O∗mt = 0 dann Setze KapZul neu :=‘true’ sonst Setze KapZul neu :=‘ f alse’ wenn (Z ∗ < Z alt ) ∧ (KapZul neu ∨ [¬KapZul neu ∧ ¬KapZul]) dann opt für alle (i, k,t, m) ∈ IKT Mδ ∗ Setze δ iktm := δiktm opt

für alle (k,t, m) ∈ KT Mω ∗ Setze ω ktm := ωktm neu ∗ Setze Z := Z wenn KapZul neu dann KapZul :=‘true’ f ix

Setze IKT Mδ := 0/ f ix Setze KT Mω := 0/ bis ( = max ) oder (Z neu = Z alt ) Alg. C.2: Ablauf der F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSD-PM-ML

D Parameter der Testinstanzen für das MLCLSD-PM-ML Für die bei der Evaluation der F&O-Heuristik zur Lösung des MLCLSD-PM-ML verwendeten Problemklassen sind in Tabelle D.1 die übrigen konstanten Parameter gegeben.

Tab. D.1: Gegebene Parameterwerte für die beiden Problemklassen für das MLCLSD-PM-ML

c fl gk ocm pcm pcm

= = = = =

200 1 10000 1 1,5

∀l ∀k ∀m ∀ m ∈ M1 ∀ m ∈ M2

t pkm f c21 v fk vpk vpk

= = = = =

1 500 1 1 0

∀ k, m ∀k ∀ k ∈ Kv ∀ k ∈ Kg ∪ K s

Darüber hinaus sind in den Tabellen D.2 bis D.4 die Werte für die Nachfrageproﬁle der Problemklasse 1 und in den Tabellen D.5 bis D.7 die Nachfragewerte der Problemklasse 2 dargestellt.

204

D Parameter der Testinstanzen für das MLCLSD-PM-ML

Tab. D.2: Nachfrage dkt für das Nachfrageproﬁl 1 der Problemklasse 1 MLCLSD-PM-ML k/t G1

G2

S1

S2

S3

S4

1/11/21 0 56 42 0 108 86 0 103 104 0 86 80 0 164 128 0 103 104

2/12/22 35 62 48 74 118 102 86 104 105 62 84 79 109 180 150 86 104 105

3/13/23 32 58 43 104 113 102 119 105 93 64 89 61 136 171 145 119 105 93

4/14/24 53 47 63 123 126 92 136 100 99 89 76 95 176 173 155 136 100 99

5/15/25 57 51 50 136 115 126 125 119 95 97 89 74 193 166 176 125 119 95

6/16 60 44

7/17 44 61

8/18 51 60

9/19 38 50

10/20 37 62

99 88

107 78

112 73

86 108

110 77

110 116

101 113

111 84

94 65

109 81

94 68

59 90

93 89

61 72

70 89

159 132

151 139

163 133

124 158

147 139

110 116

101 113

111 84

94 65

109 81

Tab. D.3: Nachfrage dkt für das Nachfrageproﬁl 2 der Problemklasse 1 MLCLSD-PM-ML k/t G1

G2

S1

S2

S3

S4

1/11/21 0 145 164 0 171 110 0 278 211 0 252 265 0 132 79 0 39 31

2/12/22 90 195 119 72 144 83 127 255 163 145 306 199 53 111 56 19 33 27

3/13/23 111 162 131 60 135 75 123 222 131 174 249 187 39 92 53 21 43 22

4/14/24 116 264 114 88 119 69 157 248 136 185 393 181 60 70 47 28 49 22

5/15/25 103 207 117 79 114 79 130 206 147 154 299 185 61 86 0 18 28 0

6/16 139 204

7/17 152 136

8/18 146 136

9/19 165 159

10/20 164 155

116 138

89 105

97 123

87 95

96 80

183 256

156 211

164 195

160 178

186 158

206 322

219 242

213 208

238 242

254 233

85 101

65 65

68 86

59 66

54 58

31 37

24 40

29 37

28 29

42 22

D Parameter der Testinstanzen für das MLCLSD-PM-ML

205

Tab. D.4: Nachfrage dkt für das Nachfrageproﬁl 3 der Problemklasse 1 MLCLSD-PM-ML k/t G1

G2

S1

S2

S3

S4

1/11/21 0 161 148 0 159 125 0 258 204 0 260 227 0 133 101 0 26 24

2/12/22 80 193 116 45 137 84 84 254 149 119 310 181 33 94 62 12 43 22

3/13/23 66 250 122 47 150 74 84 279 138 103 379 186 33 101 54 14 49 20

4/14/24 95 236 95 50 178 69 86 323 122 131 381 148 34 119 51 16 59 18

5/15/25 79 263 89 66 130 42 130 257 88 143 390 135 40 93 0 26 37 0

6/16 104 179

7/17 85 179

8/18 156 221

9/19 223 162

10/20 239 109

71 139

76 109

104 154

122 112

159 104

141 243

135 209

189 262

218 190

268 166

174 283

144 279

241 329

319 240

348 171

48 95

51 72

72 105

84 85

119 84

23 44

25 37

32 49

38 27

40 20

206

D Parameter der Testinstanzen für das MLCLSD-PM-ML

Tab. D.5: Nachfrage dkt für das Nachfrageproﬁl 1 der Problemklasse 2 MLCLSD-PM-ML k/t G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15 V16

1/11 0 399 0 133 0 266 0 133 0 362 0 181 0 181 0 181 0 181 0 181 0 39 0 18 0 30 0 46 0 20 0 28 0 133 0 133 0 181 0 181 0 133 0 133 0 133 0 133

2/12 441 447 147 149 294 298 147 149 390 400 195 200 195 200 195 200 195 200 195 200 40 38 20 22 27 26 60 63 20 19 28 32 147 149 147 149 195 200 195 200 147 149 147 149 147 149 147 149

3/13 396 495 132 165 264 330 132 165 362 418 181 209 181 209 181 209 181 209 181 209 33 45 18 17 27 37 54 66 19 19 30 25 132 165 132 165 181 209 181 209 132 165 132 165 132 165 132 165

4/14 486 465 162 155 324 310 162 155 416 414 208 207 208 207 208 207 208 207 208 207 43 38 21 24 34 28 64 65 21 21 25 31 162 155 162 155 208 207 208 207 162 155 162 155 162 155 162 155

5/15 462 441 154 147 308 294 154 147 396 400 198 200 198 200 198 200 198 200 198 200 41 35 21 21 30 31 62 60 14 19 30 34 154 147 154 147 198 200 198 200 154 147 154 147 154 147 154 147

6/16 447 444 149 148 298 296 149 148 400 400 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 43 46 19 18 27 28 60 56 21 19 30 33 149 148 149 148 200 200 200 200 149 148 149 148 149 148 149 148

7/17 390 486 130 162 260 324 130 162 354 430 177 215 177 215 177 215 177 215 177 215 32 42 19 23 31 33 48 64 21 23 26 30 130 162 130 162 177 215 177 215 130 162 130 162 130 162 130 162

8 489

9 465

10 447

163

155

149

326

310

298

163

155

149

432

424

402

216

212

201

216

212

201

216

212

201

216

212

201

216

212

201

42

42

41

17

23

19

34

30

27

70

60

62

22

21

21

31

36

31

163

155

149

163

155

149

216

212

201

216

212

201

163

155

149

163

155

149

163

155

149

163

155

149

D Parameter der Testinstanzen für das MLCLSD-PM-ML

207

Tab. D.6: Nachfrage dkt für das Nachfrageproﬁl 2 der Problemklasse 2 MLCLSD-PM-ML k/t G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15 V16

1/11 0 477 0 159 0 318 0 159 0 432 0 216 0 216 0 216 0 216 0 216 0 47 0 21 0 36 0 55 0 24 0 33 0 159 0 159 0 216 0 216 0 159 0 159 0 159 0 159

2/12 312 495 104 165 208 330 104 165 276 442 138 221 138 221 138 221 138 221 138 221 28 42 14 24 19 29 43 70 14 21 20 35 104 165 104 165 138 221 138 221 104 165 104 165 104 165 104 165

3/13 306 495 102 165 204 330 102 165 278 418 139 209 139 209 139 209 139 209 139 209 25 45 14 17 21 37 42 66 14 19 23 25 102 165 102 165 139 209 139 209 102 165 102 165 102 165 102 165

4/14 426 405 142 135 284 270 142 135 364 360 182 180 182 180 182 180 182 180 182 180 38 33 18 21 30 24 56 57 18 18 22 27 142 135 142 135 182 180 182 180 142 135 142 135 142 135 142 135

5/15 450 342 150 114 300 228 150 114 384 308 192 154 192 154 192 154 192 154 192 154 40 27 20 16 29 24 61 47 13 14 29 26 150 114 150 114 192 154 192 154 150 114 150 114 150 114 150 114

6/16 492 318 164 106 328 212 164 106 440 284 220 142 220 142 220 142 220 142 220 142 47 33 21 13 30 20 66 40 23 13 33 23 164 106 164 106 220 142 220 142 164 106 164 106 164 106 164 106

7/17 468 336 156 112 312 224 156 112 424 298 212 149 212 149 212 149 212 149 212 149 38 29 23 16 37 23 58 44 25 16 31 21 156 112 156 112 212 149 212 149 156 112 156 112 156 112 156 112

8 618

9 594

10 567

206

198

189

412

396

378

206

198

189

546

542

508

273

271

254

273

271

254

273

271

254

273

271

254

273

271

254

53

54

52

21

29

24

43

38

34

89

77

79

28

27

26

39

46

39

206

198

189

206

198

189

273

271

254

273

271

254

206

198

189

206

198

189

206

198

189

206

198

189

208

D Parameter der Testinstanzen für das MLCLSD-PM-ML

Tab. D.7: Nachfrage dkt für das Nachfrageproﬁl 3 der Problemklasse 2 MLCLSD-PM-ML k/t G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15 V16

1/11 0 534 0 178 0 356 0 178 0 484 0 242 0 242 0 242 0 242 0 242 0 52 0 24 0 40 0 62 0 27 0 37 0 178 0 178 0 242 0 242 0 178 0 178 0 178 0 178

2/12 231 531 77 177 154 354 77 177 204 474 102 237 102 237 102 237 102 237 102 237 21 45 10 26 14 31 32 75 10 22 15 38 77 177 77 177 102 237 102 237 77 177 77 177 77 177 77 177

3/13 249 495 83 165 166 330 83 165 228 418 114 209 114 209 114 209 114 209 114 209 21 45 11 17 17 37 34 66 12 19 19 25 83 165 83 165 114 209 114 209 83 165 83 165 83 165 83 165

4/14 384 369 128 123 256 246 128 123 328 330 164 165 164 165 164 165 164 165 164 165 34 30 16 19 27 22 51 52 16 17 20 25 128 123 128 123 164 165 164 165 128 123 128 123 128 123 128 123

5/15 450 279 150 93 300 186 150 93 384 254 192 127 192 127 192 127 192 127 192 127 40 22 20 13 29 20 61 38 13 12 29 22 150 93 150 93 192 127 192 127 150 93 150 93 150 93 150 93

6/16 528 234 176 78 352 156 176 78 472 210 236 105 236 105 236 105 236 105 236 105 51 24 22 9 32 15 71 30 25 10 35 17 176 78 176 78 236 105 236 105 176 78 176 78 176 78 176 78

7/17 519 240 173 80 346 160 173 80 472 212 236 106 236 106 236 106 236 106 236 106 43 21 25 11 41 16 64 32 28 11 35 15 173 80 173 80 236 106 236 106 173 80 173 80 173 80 173 80

8 708

9 687

10 645

236

229

215

472

458

430

236

229

215

626

626

580

313

313

290

313

313

290

313

313

290

313

313

290

313

313

290

61

62

59

24

34

27

49

44

39

102

89

90

32

31

30

45

53

45

236

229

215

236

229

215

313

313

290

313

313

290

236

229

215

236

229

215

236

229

215

236

229

215