Lecture Notes in Physics New Series m: Monographs Editorial Board H.Araki Research Institute for Mathematical Sciences Kyoto University, Kitashirakawa Sakyo-ku, Kyoto 606, Japan J. Ehlers Max-Planck-Institut fUr Physik und Astrophysik, Institut fUr Astrophysik Karl-Schwarzschild-StraBe 1, W-8046 Garching, FRG K. Hepp Institut fur Theoretische Physik, ETH Honggerberg, CH-8093 ZUrich, Switzerland R. L. Jaffe Massachusetts Institute of Technology, Department of Physics Center for Theoretical Physics Cambridge, MA 02139, USA R. Kippenhahn Rautenbreite 2, W-3400 Gottingen, FRG D. Ruelle Institut des Etudes Scientifiques 35, Route de Chartres, F-91440 Bures-sur-Yvette, France H. A. Weidenmuller Max-Planck-Institut fUr Kemphysik Postfach 10 39 80, W-6900 Heidelberg, FRG J. Wess Lehrstuhl fUr Theoretische Physik TheresienstraBe 37, W-8000 MUnchen 2, FRG J. Zittartz Institut fUr Theoretische Physik, Universitat KOln Ziilpicher StraBe 77, W-5000 KOln 41, FRG
Managing Editor W. Beiglb6ck Assisted by Mrs. Sabine Landgraf c/o Springer-Verlag, Physics Editorial Department V TiergartenstraBe 17, W-6900 Heidelberg, FRG
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R. K. Zeytounian
Mecanique des fluides fondamentale
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo Hong Kong Barcelona Budapest
Auteur Radyadour K. Zeytounian Universite de Lille I, Laboratoire de Mecanique de Lille F-59655 Villeneuve d' Ascq Cedex, France
ISBN 3-540-54441-0 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-54441-0 Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg ISBN 2-287-00355-X Springer-Verlag Paris Berlin Heidelberg This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, re-use of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in other ways, and storage in data banks. Duplication of this publicatIon or parts thereof is only permitted under the provisions of the German Copyright Law of September 9, 1965, In its current version, and a copyright fee must always be paid. Violations fall under the prosecution act of the German Copyright Law.
© Springer-Verlag BerlIn Heidelberg 1991 Printed In Germany Typesetting: Camera ready by author Printing: Druckhaus Beltz, Hemsbach/Bergstr. Bookbinding: 1. Schaffer GmbH & Co. KG., Grlinstadt 2153/3140-543210 - Printed on acid-free paper
AVANT PROPOS La mecanique des fluides newtoniens constitue une discipline particulierement remarquable de la mecanique des milieux continus et, historiquement, c'est l'une des premieres a avoir ete elaboree. En particulier, et ceci est essentiel du point de vue que nous adoptons ici, on sait que les lois de comportement liant les contraintes aux deformations peuvent s'exprimer de fa~on relativement simple, sans qu'il soit vraiment necessaire de faire appel a une thermodynamique elaboree*. A l'heure actuelle, trois grands modeles mathematiques sont intensivement exploites en mecanique des fluides newtoniens. II s'agit tout d'abord du modele complet de Navier-Stokes pour les fluides compressibles visqueux et conducteurs de chaleur, puis du modele dit de Navier pour les fluides incompressibles et visqueux, et enfin du modele classique d'Euler pour les fluides non visqueux en evolution adiabatique (fluides dit parfaits). Ce Cours de mecanique des fluides fondamentale (M.F.F.) comprend six chapitres, et traite des questions essentielles qui se posent lors de l'analyse theorique des ecoulements de fluides newtoniens. Ce Cours est done avant tout un Cours theorique, mais non mathematique au sens des mathematiques pures. L'une des questions theoriques fondamentales de la mecanique des fluides newtoniens est de savoir : quelles sont les qui, jointes aux equations, sont propres a determiner les solutions de ces equations en relation avec le probleme d'ecoulements de fluides considere ? ~onnees
On sait bien que Ie choix de ces donnees est avant tout tributaire de l'exigence suivante les problemes d'ecoulements de fluides doivent etre bien poses (ou correctement poses).
Ceci implique les trois proprietes suivantes de la solution: 1) Elle existe, 2) elle est unique et 3) elle depend continument des donnees, c'est a dire qu'elle doit etre stable.
* Pour tout ce qui concerne la mecanique des milieux continus, Ie lecteur est invite a consulter Ie livre de P. Germain et P. Muller (Introduction a la Mecanique des Milieux Continus, Masson, Paris 1980).
VI
Tout ce qui a ete dit ci-dessus concerne les ecoulements dit
laminaires. Malheureusement, dans la realite, les ecoulements de fluides sont presque toujours turbulents. Dans ce cas,
l'ecoulement peut evoluer tres differernrnent a partir de deux situations de depart "presque" identiques, ce qui explique son caractere a la fois detenniniste et imprevisible. Ainsi se pose Ie probleme de deceler les conditions d'apparition de la turbulence (sa genese 1) et de decrire Ie phenomene crucial de la transition, c'est a dire du passage du regime larninaire au regime turbulent. On sait que cette transition debute en general par une phase dite d'instabilite, et la theorie du chaos apporte un eclairage nouveau, via Ie concept d'attracteur etrange, sur les mecanismes fondamentaux de 1 'apparition de la turbulence. Naturellement, l'etat turbulent d'un fluide n'est pas, en toute generalite (surtout dans sa phase developpee), decrit au moyen d'un systeme dynamique dissipatif de dimension finie ; cependant, cela est bien Ie cas dans la phase d'instabilite, lors de la transition vers la turbulence, ou seulement un nornbre fini de modes instables sont excites. En prenant comme fil conducteur les diverses notions introduites ci-dessus, nous avons construit ce Cours de M.F.F. de fa~on telle que Ie contenu des six chapitres qui Ie composent apporte des elements de reponse aux questions theoriques posees. On trouvera aux Chapitres I et II un expose relativement complet sur les equations de la mecanique des fluides newtoniens. Le Chapitre III est entierement consacre a la formulation des problemes mathematiques correspondants aux equations de Navier-Stokes, de Navier ~t d'Euler. On trouvera dans ce Chapitre III divers resultats concernant l'existence, l'unicit~ et la regularite des solutions. Le Chapitre IV se presente comme une courte introduction a la theorie des modeles de la mecanique des fluides newtoniens (il s'agit essentiellernent de modeles asymptotiques). On trouvera dans ce Chapitre IV les premiers elements de la methode des developpements asymptotiques raccordes et de celIe dite des echelles multiples*. Tout Ie Chapi tre Vest cons acre a la stabilite des ecoulements laminaires. II s'agit principalement de la stabilite des ecoulements presque paralleles, de l'instabilite convective de Rayleigh-Benard et des phenomenes d'instabilite dans les ecoulements de fluides parfaits.
* On trouvera dans nos onze le~ons, publiees sous Ie t i t r e : Les mode1es asymptotiques de 1a mecanique des f1uides (vol.245 [1986] et vol.276 [1987] de la serie : Lecture Notes in Physics, chez SpringerVerlag), un inventaire relativernent cornplet des rnodeles asyrnptotiques de la rnecanique des fluides newtoniens.
VII
Enfin, au Chapitre VI, on traite des problemes lies aux e t instabilites et on donne une theorie phenomenologique des comportements chaotiques dans les fluides. On trouvera en particulier dans ce Chapitre VI un expose "qualitatif" sur les attracteurs etranges et les divers scenarios de transition vers Ie chaos. Ainsi, les six chapitres dans leur ensemble donnent une vision globale des questions fondamentales traitees en mecanique des fluides, qui sont a la base de toute recherche scientifique dans ce domaine. On pourra peut-etre regretter l'absence, d'une part, de toute indication concernant les methodes numeriques indispensables a l'heure actuelle pour mener a bien la resolution pratique des problemes que pose la mecanique des fluidep et, d'autre part, des premiers elements d'une "theorie" de la turbulence. Cependant, nous pensons que ces methodes numeriques se presentent plutot comme un "outil" qui doit etre expose dans un Cours de Mathematiques Appliquees a la Mecanique (des Fluides) et c'est pour cette raison que nous n'avons pas juge bon d'inserer un chapitre supplementaire consacre a ces methodes numeriques. En ce qui concerne la turbulence (developpee), il aurait ete effectivement interessant d'ecrire un Chapitre VII base sur les approches analytiques recentes*, mais cela aurait deborde largement du cadre initial fixe lors de la redaction de ce Cours de M.F.F. Le sommaire qui suit cet Avant-Propos donne une idee exacte des questions traitees dans ce Cours et l'index alphabetique des matieres situe a la fin devrait permettre aux lecteurs de s'orienter aisement lors de la recherche d'une reponse a une question precise. II nous reste a esperer que ce Cours sera utile aux etudiants et aux eleves des Ecoles d'Ingenieurs, ainsi qu'aux jeunes chercheurs s'interessant plus particulierement aux problemes theoriques poses par l'analyse des ecoulements des fluides newtoniens. si tel etait Ie cas, ce Cours aurait atteint l'un de ses buts et Ie temps consacre a Ie rediger, avec un certain enthousiasme, n'aurait pas ete "perdu" en vain I
bifurcations
* Citons, pour exemple, la Note aux C.R.A.S., Paris, t.302, serie II, N· 7, 1986, 383-386, ainsi que les trois articles sur la mQdelisation des ecoulements turbulents, dans Ie Numero Special 1986 du J.M.T.A., pages 73 a 140. On trouvera diverses approches asymptotiques dans Ie "minisymposium 3" pub lie dans Ie ZAMM, 69, 6, 1989, pages T 552 a T 563.
VIII
Pour pouvoir lire ce Cours avec profit, il est necessaire avant tout de posseder une bonne connaissance des milieux continus et les premiers elements de la mecanique des fluides newtoniens. Naturellement, si l'on veut assimiler convenablement les resultats mathematiques concernant 1 'existence, l'unicite et la regularite des solutions des equations de la mecanique des fluides, ainsi que ceux relatifs aux chaos, il est egalement necessaire d'avoir une preparation suffisante en analyse fonctionnelle moderne. En ce qui concerne l'analyse mathematique des equations de NavierStokes, citons Ie livre de R.Teman (Navier-Stokes equations, theory and numarical analysis, North-Holland Publ. Company, Amsterdam, 1979) et Ie volume 1431 de la serie Lecture Notes in Mathematics (The Navier-Stokes Equations [Theory and Numerical Methods); J.G.Heywood, K.Masuda, R.Rautman et V.A.Solonnikov Editeurs ; Springer-Verlag, 1990). Enfin, une bonne introduction mathematique au chaos et aux attracteurs etranges est Ie petit livre de D.Rue11e (Chaotic evolution et Strange attractors, Cambridge university Press, 1989). Nos remerciements vont tout d'abord a Mme Petiaux qui s'est, comme toujours, chargee avec competence de la frappe de ce Cours tel qu'il est presente aux lecteurs sous la forme du present volume, ainsi qu'a notre fille Christine qui a bien voulu nous aider pour la realisation de certaines figures. Nous remercions aussi les nombreux Collegues qui durant les annees d'elaboration de ce Cours l'ont lu et emis divers commentaires, remarques et critiques sur Ie contenu des differents chapitres. Nous avons, dans la mesure du possible, tenu compte de ces remarques et critiques dans la version finale. Enfin, notre reconnaissance va, une fois de plus, au Prof.Dr.W.Beiglbock et a la Maison d'Edition Springer-Verlag, a Heidelberg, pour avoir bien voulu assurer l'edition de ce Cours.
villeneuve d'Ascq Mars 1991
R. Zeytounian Laboratoire de Mecanique de Lille C.N.R.S.- U.R.A. 1441 Universite de Lille I
SOMMAlRE
CHAPITRE I. LES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES...............
1
1. L' EQUATION DE BOLTZMANN ET LES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
3
1,1. La description statistique (ou microscopique) • • . • . • . . • • . • • • • • • • . • . . • • • • • 1,2. L'equation de Botzmann....................... 1,3. Les equations de Navier-Stokes pour un gaz parfait a c p et Cv constants avec un coefficient de viscosite volurninique nul..... 1,4. Domaine de validite de la description macroscopique de Navier-Stokes ••.•.•..•••••••
11
2. FLUIDE NEWTONIEN ET EQUATIONS DE NAVIER-STOKES....
14
2,1. Les trois lois de conservation de la mecanique du milieu continu ••..•••••••••••••. 2,2. Les lois de comportement des fluides newtoniens-. . . • • • . . • • . . . . • . . • • • • • • • • • • . • • • . • . • 2,3. Les equations de Navier-Stokes (cas de l'aero-thermodynamique) •••..•.•••••••••••••.. 2,4. Les equations de Navier-Stokes pour les ecoulements atmospheriques ••..••••••••••••••.
3 6
8
14 17 22 23
3. FORME ADIMENSIONNELLE DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
3,1. Forme adimensionnel1e des equations de Navier-Stokes pour un gaz parfait a cp et Cv constants......................... 3,2. Equations de Navier-Stokes adirnensionnelles proprement dites. • . . • . • • . • . . • . . . • • • • . . . • • . . . • 3,3. Les equations de Navier-Stokes adimensionnelles pour les ecoulements atmospheriques •...••••••••••••••• 3,4. Nouvelle forme adimensionnelle des equations de Navier-Stokes proprement dites ••••..•.•••• 3,5. Nouvelle forme adimensionnelle des equations de Navier-Stokes pour les ecoulements adiabatiques de l'atmosphere •.••••.•••••••••.
29
29 31
32 35
36
x CHAPITRE II. QUELQUES FORMES SIMPLIFIEES DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES. LES EQUATIONS D'EULER ET DE NAVIER 39 4. LES EQUATIONS D' EULER POUR LE FLUIDE PARFAIT EN EVOLUTION ADIABATIQUE•••••••••••••••••••••••••••••
40
4,1. 4,2. 4,3. 4,4. 4,5.
40 42 44 47
Le fluide d'Euler barocline .•••••.••••••••••• Le fluide d'Euler barotrope •..•...•.•••••.••• L'equation de Steichen •••••..•..••••••••••••• Le cas du fluide d'Euler incompressible •••••• Les ecoulements stationnaires rotationnels baroclines. • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • •
52
5. LES EQUATIONS DE NAVIER POUR LE FLUIDE VISQUEUX INCOMPRESSIBLE •••••••••••••••••••••••••••
56
5,1. Le fluide de Navier.......................... 5,2. L'equation regissant l'ecoulement plan de Navier.................................... 5,3. L'equation d'energie associee ••.••.••.•.•••••
56
57 58
5,4. Le cas de MaO et l' ecoulement de Navier.....
59
5,5. Le cas de ReaO; l'equation de Stokes .•••••••
59
5,6. Le cas de Rea 00; l'equation d'Euler..........
60
5,7. Le cas de Re» 1; l'equation de Prandtl pour la couche limite ••••••..••••.••••••••••• 5,8. Le cas de Re« 1; L'equation d'Oseen •.•.•••.
61
CHAPITRE III. FORMULATION DES PROBLEMES MATHEMATIQUES CORRESPONDANTS AUX EQUATIONS DE NAVIER-STOKES, DE NAVIER ET D'EULER
63
66
6. FORMULATION DES DONNEES INITIALES, AUX FRONTIERES ET A L'INFINI ••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••
6,1. Le probleme des donnees initiales ..••...••••• 6,2. Le probleme des donnees aux frontieres •••.... 6,3. Le probleme des conditions a l'infini ••••••••
72 72 74 78
7. EXISTENCE ET UNICITE DES SOLUTIONS DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
80
7,1. Cas de l'ecoulement dans une enceinte bornee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
7,2. Cas de l'ecoulement monodimensionnel ••.••.•.•
82
XI
8. EXISTENCE, UNICITE ET REGULARITE DES SOLUTIONS DES
85 Le cadre fonctionne1......................... 85 La methode de Galerkin ...•••..•..••..•...•••. 87 Solutions faibles du probleme de Navier ..•••. 90 Solutions fortes du prob1eme de Navier ..••••. 95 Le cas des equations de Stokes ..•••••.••••••. 96 Complements.................................. 101
EQUATIONS DE NAVIER. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
8,1. 8,2. 8,3. 8,4. 8,5. 8 , 6.
9. ELEMENTS D' UNE THEORIE MATHEMATIQUE DES EQUATIONS
D' EULER. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 9,1. Surfa~es caracteristiques et hyperbolicite ••• 9,2. Surfaces de discontinuites fortes et faibles. . . . . • . . • . . . . . . • . • • • . . . . . . • . • • . • • • • • •. 9,3. Bicaracteristiques et conoYde caracteristique. . . . . . . • . . • • • • . . . • • • • • . • • • • • •• 9,4. Le theoreme de Cauchy-Kowalewski •.•••.•.••.•• 9,5. Quelques reflexions concernant l'unicite de la solution des equations d'Euler •.•••..••... 9,6. La condition de Joukowski ...•••••.••••.••.•.• 9,7. Les nappes tourbillonnaires ••.•••.••••.•.••.• 9,8. Les ondes de choc............................ 9,9. Quelques resultats d'existence et de regularite de la solution des equations d'Euler ..•.•••...••..•..•.•.....••...•••••••. 9.10. Le probleme avec frontiere libre .•••.••••••. CHAPITRE IV. LE CONCEPT DE MODELES EN MECANIQUE DES FLUIDES THEORIQUE
104 104 111 116 119 126 134 140 145
154 165
171
10. LES GRANDS MODELES DE LA MECANIQUE DES FLUIDES... 174
10,1. Les modeles lies au nombre de Reynolds ....•• 10,2. Les modeles lies au nombre de Mach •••..•.••• 10,3. Les modeles lies aux nombres de Strouhal et de Prandtl.................................. 10,4. Les modeles pour les ecoulements atmospheriques. . • • . . . • • . • . • . . . • • . . • • . • • • • • •.
174 179 187 188
11. LES MODELES LOCAUX ET LES MODELES SPECIFIQUES PROPREMENT DITS ••••••••••••••••••••••••••••••••• 190
11,1. Les modeles locaux ..•..•.•...•••.••••••••••. 190 11,2. Les modeles specifiques (globaux) •••.••••••• 193
XII 12. LE CONCEPT DE LINEARISATION•••••••••••••••••••••• 198
12,1. Le formalisme de la linearisation .•.•••••••• 198 12,2. Le cas de l'ecoulement eulerien stationnaire (Re a 00 et S. 0) autour d'une aile de faible epaisseur ••.•.•.•••.••. 200 12,3. Linearisation et modelisation asymptotique •• 207 13. LA MDAR •• •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 211 13,1. Developpements asymptotiques ......••••••...• 211 13,2. Raccords. Quelques exemples ••••••••••.•••••. 213 14. LA MEM •• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 14,1. Les failles de la MDAR et la MEM .••••••.•••• 14,2. MEM et methode des "moyennes" •••••••.•.•••.• 14,3. MEM et technique d'homogeneisation ..•.•••••• CHAPITRE V. SUR LA STABILITE DES ECOULEMENTS LAMINAIRES
225 225 232 234
238
15. LE CONCEPT DE STABILITE POUR L' ECOULEMENT DE NAVIER. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••
241
15,1. Diverses definitions de la stabilite •••••••. 15,2. L'equation de Landau et le probleme de la stabilite non lineaire............................ 15,3. L'equation d'energie de Reynolds-Orr et les criteres de stabilite de Serrin •.•..•..• 15,4. Derivation d'une equation d'evolution. Le critere de stabilite de Sattinger .•.••..• 15,5. La decomposition de Liapounov-Schrnidt pour Ie cas des perturbations confinees ••••••.••• 15,6. Derivation de l'equation de Landau par la MEM •.••..•..•..••.••.•.•......••••.•...••
241 241 253 259 264 269
16. STABILITE DES ECOULEMENTS PRESQUE PARALLELES. • • •• 273
16,1. Le probleme de Poiseuille ••••••••..•.•.•••.. 16,2. Derivation de l'equation de Orr-Sommerfeld par la technique de Bouthier .•....•••••••... 16,3. Solution asymptotique uniformement valable de l'equation de Orr-Sommerfeld .••••.•....•• 16,4. Sur la formation et l'evolution non lineaire d'un paquet d'ondes de Tollmien-Schlichting.
273 282 285 292
XIII
17. L' INSTABILITE CONVECTIVE DE RAYLEIGH-BENARD. • • • •• 307 17,1. Derivation asymptotique des equations de Boussinesq ••...•....••...•..•.•••.••..... 309 17,2. La theorie lineaire classique ....•••.•..••.• 319 17,3. La theorie lineaire de l'instabilite convective profonde ••..•.•.•••.••.••.•.••••• 331 17,4. Interactions quadratiques des modes lineaires les plus rapidement amplifies. L'equation de De Coninck, Guiraud et Zeytounian •••.••••••. 356 17,5. Le modele de Lorenz ••.•.••.••..•••••..•.•••• 363 17,6. Le modele de Lorenz avec effet de profQndeur (00 ~ 0) ..•••.••..••..••••..•••••• 373 17,7. Derivation asymptotique de l'equation d'amplitude .••..••...•..•••..••.•••••.•••••• 378 18. PHENOMENES D' INSTABILITE DANS LES ECOULEMENTS DE FLUIDES PARFAITS.. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 393
18,1. Un point de vue thermodynamique sur la stabilite. . • • • . . • • • . . • . • . • • . • • • • • • . . • . . • • • .. 18,2. Les criteres de stabilite de Arnold (1966) .. 18,3. Les theoremes de Rayleigh et de Fj0rtoft ..•. 18,4. Le cas de l'ecoulement isochorique pesant ..• 18,5. Le probleme de Rayleigh-Taylor et l'instabilite de Taylor •.•••..•••••.••.•.••. 18,6. L'instabilite de Helmholtz ••.••••.•..•.•.••. 18,7. L'instabilite de Kelvin-Helmholtz .•.••..•••. 18,8. Stabilite d'un ecoulement de Couette (non-visqueux) en fluide non homogene .....•. 18,9. Les theoremes de Miles-Howard et du demi-cercle de Howard .•••••.•....••••••••••• 18,10. Quelques resultats de stabilite non lineaire. • . • • . • • . • • . . . . • . . • . . . . . . • • • . • • • • •.
393 397 401 403 409 412 416 425 427 430
19. L'ECOULEMENT DE COUETTE-TAYLOR ENTRE CYLINDRES COAXIAUX••••••••••••••••••••••••••••••• 454
19,1. Formulation mathematique du probleme ..•..••• 456 19,2. Etude de la stabilite lineaire de l'ecou1ement de Couette •..•.•...••••.•...••• 458 19,3. Apparition et developpement des cellules de Taylor................................... 466
XIV
CHAPITRE VI. BIFURCATIONS ET COMPORTEMENTS CHAOTIQUES DANS LES FLUIDES
470
20. BIFURCATIONS ET INSTABILITES ••••••••••••••••••••• 480
20,1. Les systemes hydrodynamiques a petit nombre de modes............................. 20,2. Les singu1arites topologiques ......•......•• 20,3. Monodromie et structure homocline ••••..••••• 20,4. Le concept de cycle limite •...•••..•...••... 20,5. Bifurcations et instabilites •••.••..••...••.
481 490 494 498 504
21. STOCHASTICITE ET ATTRACTEURS ETRANGES •••••••••••• 513
21,1. Le concept de stochasticite ••••.•••.•...•••• 514 21,2. Phenomenologie de l'attracteur etrange .••.•• 522 21,3. La loi de Kolmogorov ••••.•......•.•.••.••••• 531 22. LES SCENARIOS DE TRANSITION VERS LE CHAOS ••••••••
534
22,1. La conjecture de Landau et Hopf ...••.••••••• 22,2. L'idee de Ruelle et Takens (vers Ie chaos via la quasi-periodicite) ••••••.••••••...••• 22,3. Le modele de Feigenbaum de dedoublement des frequences en cascade •...•••..••...••... 22,4. Le scenario de Pomeau et Manneville de la transition via l'intermittence ..•.••••....••
535 538 543 550
23. LES ECOULEMENTS DE COUETTE-TAYLOR ET DE RAYLEIGH-BENARD. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 555
23,1. Transition vers Ie chaos en ecoulement de Couette-Taylor •••••.••••••.••.••.••••••••••• 556 23,2. Etapes vers Ie chaos dans la convection de Benard................................... 568 INDEX ALPHABETIQUE DES MATIERES •..•.••••••.••••••••..••.••.•••. 612
CHAPITRE
LES EQUATIONS DE
NAVIER-STOKES
Nous presentons dans ce chapitre I les equations generales de Navier-Stokes qui gouvernent les mouvements d'un fluide classique (appele aussi fluide newtonien ou encore fluide de Navier-Stokes). On trouvera au
§
2 la definition precise de
ces fluides classiques et pour notre part, ici tout le long de ce Cours, nous considererons principalement deux types de fluides classiques : le gaz parfait chaleurs specifiques,c
p
et c ,constantes et le liquide dilatable satisfaisant v
a a
une loi d'etat simple :
p=p(T), oil pest la masse volumique et T la temperature absolue. Nous donnons deux derivations differentes des equations de Navier-Stokes; l'une est obtenue
a partir
de l'equation de Boltzmann de la mecanique statistique
des gaz (ou theorie cinetique) conservation
tandis que l'autre decoule directement des lois de
de la mecanique du milieu continu une fois formulees les lois de
comportement des fluides classiques. Precisons que les equations de Navier-Stokes qui decoulent de l'equation de Boltzmann, lorsque le libre parcours moyen moleculaire tend vers zero, sont celles d'un gaz parfait
a cp
et c
v
constants pour lequel l'hypothese de Stokes est
satisfaite (coefficient de viscosite volumique nul).
2
Par contre, les equations de Navier-Stokes obtenues au
§ 2, dans le
cadre de la mecanique du milieu continu, res tent valablespour tout fluides classiques (gaz ou liquide). Au
§ 2,on trouvera aussi une formulation des equations de Navier-Stokes
pour les mouvements atmospheriques, ce qui necessite la prise en compte de la force de la pesanteur et de la force de Coriolis. Enfin, le la mise sous forme sans dimension
§ 3 est consacre
a
des equations de Navier-Stokes, ce qui permet
de definir les grands parametres (nombres) sans dimensions de la mecanique des fluides. Le probleme des conditions (initiales et aux
~rontieres)pour
equations de Navier-Stokes est examine au chapitre III.
ces
L EQUATION DE SOL TZ~1ANN ET LES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES I
1,1. LA VESCRIPTION STATISTIQUE IOU MICROSCOPIgUE) Nous considerons donc les mouvements d'un gaz compose de molecules. gaz, ou theorie cinetique. cinetique, fondee par Boltzmann et Maxwell. Maxwell, La mecanique des gaz. permet de traiter d'une maniere satisfaisante le cas des gaz monoatomiques et la theorie moleculaire des gaz permet d'obtenir une description complete et coherente de leur comportement loin de l'equilibre. Le regime particulier.dit particulier,dit continu, continuo decrit par les equations de Navier-Stokes valable lorsque les deviations par rapport
a.
n'en est qu'un cas limite
l' equilibre local ne sont pas "trop
grandes'; dans ce cas nous ignorons que le gaz est en realite constitue de molecules et que les grandeurs, dites macroscopiques, telles que la vitesse ~,
la masse volumique p et l'energie interne specifique e. e, resultent de moyennes operees sur un element de volume de
diametretlpetit~par
rapport
caracteristique liee audomaine ou le mouvement est analyse .
l'obstacle autour duquel l'ecoulement
1II)
a.
une longueur
(ou encore. encore,
a.
est envisage ). ), tout en contenant un
tres grand nombre de molecules. La description statistique (microscopique) est basee sur l'existence de la fonction de distribution F des vitesses moleculaires; en chaque point ~ et
a.
chaque instant t. t, cette fonction est proportionnelle
a.
la probabilite. probabilite, pour
une molecule voisine de ce point. point, de posseder une vitesse specifiee t instant. Dans le cas d'un gaz monoatomique. monoatomique,
a.
cet
la position et la vitesse d'une
molecule definissent completement son etat dynamique. dynamique, de telle sorte que la fonction de distribution F(~.t;t) F(~,t;t) caracterise la repartition des molecules parmi les differents etats dynamiques possibles. Cette fonction de distribution
F(~,t;!) est definie quantitativement F(~.t;!)
par la formule 1,1) ( 1.1) If) Nous parlerons d'ecoulement plutot que de mouvement du fluide.
4 ou aN represente Ie nombre de molecules situees dans l'element de volume ~,
dont les vitesses
t possedent,a l'instant
dt. des composantes comprises dans
les intervalles (E.;.] ,. ]E.;.. + dE.;.), avec i = 1, 2, 3. ]. La densite numerique n (nombre de molecules par unite de volume) et la masse vOlumique p(t,x),macroscopique, s'obtiennent en integrant la formule ( 1 .1) :
n=~=fIJ
( 1 ,2)
+
dx
ou m est la masse d'une molecule. Dans ce cas,la vitesse macroscopique ~(t,~) est donnee par la formule (1,3)
que l'on ecrira sous la forme 1
+
(1.4)
u =- < n
7: l;
> •
en utilisant la notation
La vitesse moleculaire relative est done definie par la relation +
c =
7:
l; -
+
u
et la definition cinetique de la temperature absolue est basee sur la consideration de l'energie cinetique moyenne des molecules: 1
m +2
-<-IE.;! n 2
+2
>=m
£u2
1 +n
m +2
<-lei> 2
ce qui conduit a ( 1.6)
1m 23 m RT = n < 2
1+12 c
>.
puisque <-;;:> = O. On montre que la temperature absolue T s'identifie bien avec la temperature absolue thermodynamique dans le cas de l' equilibre.
5
Considerons maintenant un element infinitesimal de normale unitaire
t,
sur~ace
dcr et de
entraine par le mouvement moyen. Dans ce cas,le nombre de
molecules animees d' une vitesse absolue
t,
traversant dcr par unite de temps,
vaut :
Pour un etat gazeux di t "parfait", les contraintes macroscopiques qui s'exercent entre masses gazeuses situees de part et d'autre de dcr, ne peuvent
etre attribuees qu' a des echanges de quantite de mouvement causes par l' agi tation thermique. Mais la ~orce macroscopique ~ictive situee du cote de la normale
t
dr,
exercee par la portion de gaz
de dcr sur la portion de gaz voisine,n'est autre
que le flux total de quantite de mouvement moleculaire,
a travers
a~fecte
d'un signe adequat
dcr :
ou encore (1,7)
avec cr
ik
= - <m c
c > , k
i
et nous voyons apparaitre la symetrie du tenseur des contraintes crik ). La trace de
t
I
(de composantes
vaut
= - <m
( 1,8)
1"t1 2
> = 3cr , n
ou crn est la contrainte normale moyenne qui est independante du systeme de coordonnees choisi. Des formules (1,6) et (1,8),on voit que (1,9)
P R T
Mais - p 0ik' ou
a l'equilibre,les
cr
ik
- cr
n
se reduisent
a la
forme diagonale
6
(1,10)
r
°ik
si
i , k
si
i
-
k
de sorte que (1,9) s I identi:fie a. 1 I equation d I Hat des gaz par:faits constants : p = R P T
(1,11)
R
= cp
- c
ac p
et c
v
v
et la de:finition (1,6) de la temperature absolue se trouve bien justi:fiee, ainsi que la de:finition suivante pour la pression (generalisee) ( 1,12)
. . 2> • an = 31 <m I.cl
p
Ainsi, la relation (1,11),d ' etat des gaz par:faits a. c automatiquement veri:fiee
p
et c
v
constants, sera
meme en dehors de l'equilibre thermodynamique.
En:fin, le :flux thermique s'interprete lui aussi, aux niveaux de densite
consideres~), comme
un :flux d'energie cinetique d'agitation moleculaire
et
s'exprimera par:
en posant
....q
(1,13)
formule qui de:finit le vecteur courant de chaleur (flux thermique).
1,2. L'EQUATION VE BOLTZMANN La :fonction de distribution des vitesses moleculaires
F (i,t;t)
verifie une equation integro-differentielle non lineaire qui est celle dite de Boltzmann. Pour obtenir cette equation,il :faut etablir le bilan des molecules .... et appartenant a, une :famille monocinetique '" situees dans un element de volume dx ~)
C'est-a.-dire lorsque la distance moyenneentre deux molecules est tres superieure a. la distance en dessous de laquelle leur energie d'interaction devient comparable a. leur energie cinetique moyenne d'agitation.
7
caracterisee par une vitesse voisine de dt dont les camposantes sont comprises dans les intervalles (E;;., E;;. + dE;;.), ].]. ].
i = 1, 2, 3.
Trois processus dis tincts peuvent provoquer une variation de ce nombre
aN
=F
-+
......
-+-+
(x,t;E;;) dE;; dx, durant l'intervalle de temps dt et nous pouvons ecrire
l' equation suivante :
.!f dt ~ at
(1,14)
ou
A
dt
dt
A+ B+ C ,
dt~ t.\) dt dt
Iff
F
(~,t;t)
dO
-+
V.{Ft) dx
represente l'importation et l'exportation des molecules de la famille
a travers
la frontiere de l'element de volume ~. Le terme B donne l'effet de l'acceleration des molecules par les forces exterieures eventuelles (gravite, actions
electro-
magnetiques, .•• ), tandis que le terme C represente la contribution des collisions intermoleculaires; le terme C est, en fait, un operateur quadratique integral, que nous noterons C{F,F),faisant intervenir la dynamique de la collision. Ainsi, en l'absence de forces exterieures (B
=a),nous
pouvons ecrire
l' equation de Boltzmann sous la forme suivante :
~~
+ V.{tF)
= C{F,F)
La solution la plus simple de l'equation de Boltzmann (1,15) correspond
a l'equilibre
thermodynamique, pour lequel les conditions sont stationnaires et
uniformes dans l'espace. Dans ce cas, le second membre de (1,15) est done nul et la distribution d' equilibre doi t satisfaire l' equation integrale : (1,16)
c{f,F) = a .
8
Boltzmann et Maxwell ont montre que les solutions de cette equation (1,16) sont de la forme F
c'est la distribution dite maxwellienne. Precisons encore que:la conservation du nombre de molecules, de leur quantite de mouvement totale et de leur energie cinetique totale,en presence de collisions, s'expriment par les identites remarquables suivantes :
IIf (1,18)
+
C(F,F) dl; = 0
Iff
c(F,F) mt dt = 0
IfI
+ 2 + C(F,F) m 11;1 dl; = 0 • "2
1,3. LES EQUATIONS VE NAVIER-STOKES POUR UN GAZ PARFAIT A c -
AVEC UN COEFFICIENT VE VISCOSITE VOLUMIQ.UE NUL
a l'equation
Revenons
a des
ET c
p- v
CONSTANTS
de Boltzmann (1,15) et passons dans cette equation
grandeurs sans dimensions. Soient U ' L et L ' une vitesse, un temps et o o o upelongueur caracteristiques pour l'ecoulement considere et ecrivons : t =
( 1 ,19)
..:L L
o
et aussi F
(1,20)
F
=n /.J3 o
n
avec
Co
uo ) o
2
Lo
' ou
Lo
0
c
=.9-
co
est une echelle de section de collision et no
une valeur caracteristique de la densite numerique n . On notera que l'expression
9
1
A =--o
(1,21)
no
lo
est une echelle caracteristique pour le libre parcours moyen moleculaire. Apres substitution de (1,19) et (1,20) dans l'equation de
Bolt~n
(1,15), en obtient 1 'equation de Boltzmann reduite suivante (1,22)
S
a"F +~. a"f =·.l.c at J ai. Kn
(f,f),
J
oil
(1,23)
est le nombre de Knudsen, tandis que L S = __ 0_
( 1,24) est un
U , o 0
~ombre
de Strouhal base sur le temps caracteristique
'0
Lorsque l'on considere le cas limite:
Kn ... 0
( 1 ,25)
a
t, ~. J
et
x. fixes J
et S de l'ordre de l'unite, le premier membre de (1,22) etant de l'ordre de l'unite, C(f,F) doit egalement tendre vers zero. Ainsi, dans ce cas F devra etre voisine d'une distribution maxwellienne du type (1,17) (reecrite avec des grandeurs sans dimensions). On constate done que le regime des faibles nambresde Knudsen est domine par les collisions et il en resulte une deviation faible par rapport Des 1912
Hilber~
a l'equilibre
thermodynamique local.
avait imagine un processus formel de developpement
asymptotique (regulier) pour resoudre l'equation de Boltzmann (1,22) lorsque Kn «
1-). Plus tard, Chapman et Enskog ont imagine un autre processus de
developpement asymptotique (non regulier) qui a la propriete de redonner,
a un
certain niveau d'approximation, les equations de conservation de la mecanique du -) Le Lecteur interesse par ces questions pourra consulter avec profit le livre remarquable de : Cercignani (~eory and Application of the Boltzmann equation; Scottish Academy Press, Edinburg and London, 1975).
10
milieu continu (voir
a cp
a ce
sujet le
§ 2) avec la thermostatique du gaz parfait
et c v constants, qui est un gaz lIlonoatomique :
(1,26)
R P T,
p
c
R
- c
p
c y =....E.
v
c
v
et avec les lois, dites de comportement,·)
!
0.. ~J
(1,27)
qi
=-
~
i piS. . + ].J (T) [:u + - } ~J xj xi
dT - k (T) dX. ~
On notera quele processus de Chapman et Enskog permet de calculer
les coefficients de viscosite dynamique
].J(T) et de conductivite thermique k(T)
en fonction de la temperature absolue T.
a cp
On retrouve ainsi les equations de Navier-Stokes pour un gaz parfait et c
v
constants pour lequel l'hypothese de Stokes est satisfaite (le
coefficient de viscosite de volume est nul). En definitive, comme on a (e designe l'energie interne specifique)
( 1,28)
e :: e(T)
on trouve les equations de Navier-Stokes sous la forme suivante
(1,29a) -+
Du
-+;t;
3"2 ;].Jtv.; -+u)
(1,29b)
P Dt = P f - v(p +
( 1, 29c )
DT ;t; -+ ;t;-+ p C v Dt = v.(kVT) - p V.u +
].J
;t;
+ 2V. (vD);
[2D : D -} (V.u)2J + pr,
ou.D est le tenseur des taux de deformations dont les composantes cartesiennes sont 1 dU. dU. d •. = - (~+ ~) ,
(1,30)
~J
2
aX.
J
aX·
~
tandis que .) Dans un systeme de coordonnees cartesiennes Xi' i ..Q...=d
Dt
-+-+-a
a
":rt + u. V = -- + u· - .
at
J dXj
1,2, 3. Precisons que
11
D :]) _ d .. d ..
(1,31)
:LJ
:LJ
1
dU.
dU.
(_:L + -.-J. ) dX. J :L
2
11 dX.
i, j
1, 2, 3.
Au niveau de l'equation (1,29b),f est la densite des forces exterieures donnees, tandis de la chaleur
qu' au niveau de l' equation (1 ,29c), rest la densi te massique
re~ue
par le gaz.
Precisons que le procede de Chapman et Enskog se trouve clairement expose dans le livre de Cercignani de 1975 (voir le chapitre V). Du point de vue physique,le critere de validite de la premiere approximation de Chapman-Enskog, qui conduit aux equations de la faible valeur par rappoT\
a l'unite,des
Navier-Stok~s
(1,29), est
nombres de Knudsen bases sur les
gradients de vi tesse et de temperature absolue. Cela veut dire que la variation de vitesse, existant en moyenne entre deux points,ou une molecule subit des collisions successives, doit-etre "petite" par rapport
a la
celerite typique
d'agitation : (2RT) 1/2 et que la variation de temperature absolue correspondante doit etre faible par rapport
a la
temperature absolue locale.
1,4. VOMAINE VE VALIVITE VE LA VESCRIPTION MACROSCOPIQUE VE NAVIER-STOKES 11 est generalement admis que la description macroscopique, qui conduit " t :Lons . d ' (] -, 29) ,reste val able S:L. Kn < 10-1 ; pour Kn > 10-1 aux equa e Nav:Ler-Stokes
il faut faire appel
a la
theorie cinetique des gaz fondee sur l'equation de
Boltzmann (1,15). On distingue alors le regime de transition, pour lequel 10
-1
< Kn < 10,
ou l'equation complete de Boltzmann doit etre utilisee, et le regime moleculaire libre, lorsque Kn > 10, ou les collisions des molecules,entre-elles, peuvent etre negligees. En fait, les equations de Navier-Stokes (1,29) donnent des resultats valables meme en regime de transition (par exemple, lors de l'analyse de la structure de l'onde de choc ou pour l'ecoulement pres du bord d'attaque d'une plaque plane). 11 existe aussi un troisieme regime dit de glissement,ou on a : 2 2 10- < Kn < 10- 1 • Enfin, lorsque Kn < 10- , les effets de glissement et de saut
de temperature deviennent negligeables - c'est le regime d'ecoulement dit "de continu", pour lequel les equations (1,29) sont satisfaites avec une tres bonne approximation. De toute fa~on,les equations de Navier-Stokes (1,29) restent valables dans un domaine tres vaste d'applications de l'aerodynamique l'aeronautique (avions, engins) et
a l'astronautique
a
(probleme de la rentree dans
l'atmosphere terrestre d'un satellite oud'une navette spatiale).
12
Cependant, une analyse plus fine,que l'on trouvera dans le livre de Cercignani de 1975, montre
qu' en toute rigueur, la description continue d'un
ecoulement de fluide newtonien constitue une bonne approximation de la description dedui te de l' equation de Boltzmann, lorsque le nombre de Knudsen est tres petit, exception faite du voisinage immediat des frontieres et d'un voisinage de l'instant initial. 11 en resulte alors l'existence de zones de transition dans l'espace et dans le temps qui ne peuvent etre decrites
a l'aide
des solutions (normales)
habituelles. C'est Grad (1963) quile premier a pose le probleme de la resolution de l'equation de Boltzmann avec des conditions initiales·). La question etait de savoir : la fonction de distribution
F (~,t;t)
etant donnee
a l'instant
initial
(t = 0), comment l'etat thermodynaInique--d'un:"gal2i evol.ue-t-il vers l'equilibre au cours du temps? 11 est maintenant connu que la description de l'ecoulement
a
l'aide des solutions normales est valable en dehors d'une zone au voisinage de t = 0, qui a pour ordre de grandeur l' ordre du temps de vol d 'un libre parcours moyen (duree moyenne separant deux collisions). En dehors de cette zone temporelle, il est licite d'utiliser les equations de Navier-Stokes,
a condition
de remplacer
les conditions initiales (pour ces equations (1,29)), par. des conditions fictives portant sur les quantites macroscopiques; ces dernierestenant compte de la presence de la petite zone d'adaptation temporelle. En ce qui concerne le probleme stationnaire en presence d'une paroi,qui conduit
a traiter
l' equation de Boltzmann avec des conditions aux limites, il
faut appliquer la methode des developpements asymptotiques raccordes (MDAR)lI'liI). Dans l'etude des ecoulements en regime presque continu une telle methode s'introdui t d' elle-meme, car l' equation de Boltzmann (1,22) contient le parametre Kn« 1 et il est alors logique de rechercher la solution de (1,22) sous la forme d'un developpement asymptotique (1,32)
lI') H. Grad: Asymptotic theory of the Boltzmann equation, dans "Physics of Fluids", vol. 6, nO 2, 1963, p. 147 et aussi dans "Rarefied Gaz Dynamics", Academic Press, 1963 .
•• ) Nous donnerons au Chapitre IV les premieres notions concernant l'application de la MDAR.
13
ou les jauges
~(Kn) ~
0 avec Kn
~
0
et restent a determiner a partir de
criteres de coherence interne lors de l'application de la MDAR. En particulier, pour un gaz simple, lorsque l'ecoulement n'est pas hypersonique (voir a ce sujet la classification donnee au Chapitre IV), il s'avere que la resolution ne peut s'effectuer que par l'intermediaire de trois zones qui correspondent respectivement a:la couche de Knudsen, la couche limite et la zone de fluide parfait (non visqueux et non conducteur de la chaleur). On . . no t era que 1 ,...· epa1sseur de la couche 11m1te est Kn 1/2 et celle de la couche de
Knudsen Kn. Bien entendu,il ne suffit pas d'introduire des sauts de vitesse et de temperature a la paroi pour
~rendre
en consideration, dans une description
macroscopique, les phenomenes dus a une faible rarefaction du gaz, il faut,en outre, modifier les lois de comportement. 11 est certain que c'est la description macroscopique deduite de l'equation de Boltzmann qui prend en consideration, le plus completement possible, la structure microscopique du milieu gazeux. L'origine de la discontinuite apparente entre les valeurs de la vi tesse et de la temperature dans le gaz et les valeurs de la vitesse et de la temperature a la paroi doit etre expliquee par une analyse microscopique de l'ecoulement dans la couche de Knudsen qui vient se placer dans le voisinage immediat de la paroi. 11 faut,selon la MDAR, dans la couche de Knudsen, resoudre l'equation de Boltzmann en recherchant une solution qui se "raccorde" avec la solution dans la couche limitell!).
lI!) On trouvera au chapitre IV une premiere introduction au concept de couche
limite, qui joue un role fondgmental lors de la modelisation des ecoulements de fluide peu visqueux. En particulier, on explicitera comment appliquer une condition de raccord dans le cadre de la MDAR.
w FLUIDE NEWTONIEN ET
EQUATIONS DE NAVIER-STOKES 2,1. LES TROIS LOIS VE CONSERVATION VE LA MECANIQUE VU MILIEU CONTINU Dans tout ce qui suit, et sauf mention explicite, nous supposons que le referentiel dans lequel est observe le mouvement est galileen. Nous designons par x.~ (i = 1, 2, 3) les coordonnees cartesiennes d'un point M dans un repere cartesien 0 +k , +k 2 , + k ) ' lie au referentiel,et par 1 3 Ainsi,
orthonorme~
(
+
.....
x = Xi k i ,
+
et
i = 1, 2, 3;
t le temps.
Ik.1 J
= 1
+
k.·k.=o .. , o .. =O(i:#j),o .. =1. J
~
~J
~J
~~
Par la suite,la masse volumique p (x. ,t), l'energie interne specifique +
e(x. ,t) et la vitesse u(x. ,t) ~
~
~
de composantes cartesiennes u.(x.,t) (qui sont des ~
~
fonctions des variables independantes d'Euler x. et t) jouent un role privilegie. ~
1. En mecanique du milieu
continu·~ on
est la loi de conservation de la masse
~
(2,1)
a trois lois de conservation. La premiere
I
p dv
0,
V
ou JL d_ j = 1, 2, 3, designe la derivee particulaire et dt + u j __ dX' , Dt = JL <2 arbitraire du systeme S suppose~ tridimensionnel.
V un domaine
La seconde loi est la loi de conservation de la quantite de mouvement
(2,2)
D
Dt
I
V
p
+
u dv
I
+
f
dv ,
dV
.) Nous prenons comme livre de reference celui de P. Germain et P. Muller : "Introduction a la mecanique des milieux continus", Masson, Paris, 1980.
15 +
+
+
ou T (M,n) est le vecteur contrainte en M pour la direction n et c'est une densite surfacique de forces s'exer<;;ant sur une surface elementaire normale au vecteur ; (unitaire), tandis que fest une distribution volumique de forces qui represente les efforts exterieurs exerces sur V par les systemes exterieurs On notera que, sur chaque surface
el1~mentaire
a S.
dcr, autour du point M et
normalement au vecteur unitaire ; (normal en M a V), les elements de S,situes dans la region ou pointe le vecteur unitaire ;,exercent une force elementaire
T da
le support passe par le barycentre de la facette dO. En mecanique des milieux continus, on demontre l'existence d'un tenseur
dont
I
de composantes cr .. , qui sont dans S des fonctions continues par morceaux de ; et ~J
de t, tel qu 'en tout point
~e
continuite on peut ecrire :
+
o.. (;,t) n.
T
, +
ou n
= n.J k.J
symetrique
J
~J
et le tenseur rest le tenseur des contraintes; c I est un tenseur (0 . . ~J
= 0 J~ .. ).
Enfin, la troisieme loi de conservation est la loi de la
)
conservation de l'energie et constitue le premier principe de la thermodynamique-. D Dt (2,3)
f V
1
p(e +
'2
+
f
dV
dv u i u.) ~
fV (f.
~
u. + r) dv ~
(T. u. - qi n. ) dcr , ~ ~ ~
ou rest une densite volumique definissant un taux de chaleur fournie systemes exterieurs
q,
as et lea q. (;,t)sont ~
a V par
des
les composantes (cartesiennes) du vecteur
courant de chaleur. On peut ecrire que : ++
- q.n
avec q la densite surfacique de taux de chaleur re<;;ue (par conduction et elle traduit les echanges,
a travers dV, a l'interieur
a travers dV)
de S.
Les evolutions de S sont dites adiabatiques si on a : +
q
=0
et r
=0
.
• ) A chaque instant la derivee particulaire de l'energie d'un systeme est la somme de la puissance des efforts volumiques exterieurs et des efforts surfaciques exerces sur le systeme et du taux de chaleur re<;;ue par le systeme.
16
2. D'autre part, nous savons exprimer
I
D
Dt
U(;,t) dv,
V
ou Vest un domaine borne connexe que l' on suit dans son mouvement et U une
a valeurs
fonction
scalaires continue dans la fermeture de V et derivable dans V.
En effet, si le champ des vitesses ~ est continu et derivable et si la frontiere
av
de Vest lisse par morceaux, alors on peut ecrire :1If)
~
IU
dv =
V
(2,4)
I
au = at
dv +
V
I
av
U ~.; dO,
ou ; designe le vecteur unitaire de la normale exterieure On notera que l'operateur
V(dit
a V en
un point de
avo
"nabla") a pour composantes cartesiennes les -;}ox. Nous pouvons aussi transformer toute integrale de volume en une integral~
de surface et vice versa, d'apres le theoreme de la divergence. Ainsi pour tout champ de vecteurs
(2,5)
Adefini
et continu dans V et sur dV on a :
I (V.A) V
dv =
I
av
... +
A.n do .
D'apres (2,4) et (2,5), lorsque les fonctions considerees sont supposees continfunent derivables, on peut mettre les trois lois de conservations (2,1), (2,2) et (2,3) sous la forme integrale, generale, suivante :
(2,6)
ao.. .
}
(A. u.) + ~ - B~ ~ J oX ~ j
dv
0,
.) On suppose que U et ~ sont continfunent derivables dans V
V +
av.
17
ou
-
A.
~
P => a .. - 0 ~J
A. - P U. => ~ ~
(2,1)
et B. - 0 ~
a .. ~J
et B.
-0 .. ~J
f.
~
A. - P (e + 2"1 u u. ) => a .. ~ i ~ ~J
~
- u. O •• + 'l.
J
~J
~
B.
et
3. Maintenant conune Vest un domaine arbi traire interieur la 'luantite
a integrer
f. u. + r ~ ~
~
aS
et 'lue, par ailleurs,
dans (2,6) est supposee continue dans S, alors cette
derniere est nulle dans S. Cela conduit
a trois
e'luations aux derivees partielles associees aux
trois lois de conservation :
2.2. dt
(2,8a)
d
+ ~
(
~
dU.
pUi
dU.
ax:-J
(2,8b)
p(-~ +
(2,8c)
p(~ + u. de dt J dX.
dt
u. J
)
~
J
ou
1
d .. ~J
= -2
0
dO .. dx. J
=-2:.,1+ f.
~
d'li
o .. d .. - - - + r, dX. ~J ~J ~
dU. dU. (~ ox. + ~ ox. ) . J
~
2,2. LES LOIS VE COMPORTEMENT VES FLUIVES NEWTONIENS Deux tenseurs du second ordre, symetri'lues, jouent un role primordial lors de la formulation des lois de comportement: ce sont, respectivement, le tenseur des contraintes (de compos antes 0 .. ) 'lui, en definitive, caracterise ~J
les efforts interieurs en tout point du systeme etudie, et le tenseur des taux de deformations (de composantes d .. ) 'lui caracterise la deformation de ce systeme mais, construit
a
a partir
~J
du champ des vitesses (de composantes cartesiennes u i ) l'instant t, il ne rend compte 'lue de l'evolution instantanee du systeme pendant
une duree infiniment petite.
18
Les fluides appartiennent, justement,
a memoire
a la
categorie de milieux continus
infiniment courte qui oublient, en quelque sorte, l'histoire qu'ils ont
subie dans le passe pour ne retenir que la deformation en train de se produire. On peut definir, axiomatiquement, un "fluide" comme etant un milieu continu au repos ou le tenseur des contraintes est en tout point spherique et determine par la pression thermodynamique p(~,t) :
(2,9)
a .. ~J
- p
o.. ~J
c'est la base de la definition d'un fluide en thermostatique. Si le fluide se deforme au cours de son evolution, le tenseur des contraintes n'est plus en tout point spherique et dans ce cas,le fluide reel est dit visqueux et la compos ante non spherique du tenseur des contraintes est appelee le tenseur des contraintes de viscosite; on le note T et on a :
-pi +T ,
(2,10)
ou"1 est le tenseur unite du second ordre de composantes i :f. j
I
i - j .
En mecanique des fluides,on admet cependant l'existence d'un fluide fictif, dit parfait, en mouvement, pour lequel le tenseur des contraintes de viscosite est nul en tout point; on verra par la suite comment on peut preciser le domaine de validite de la loi de comportement (du point de vue thermodynamique) d' un tel fluide parfait. D'une
fa~on
assez generale,on a une classe de fluides dit de Stokes pour
lesquels le tenseur des contraintes de viscosite (de composantes T .. ) s'exprime ~J
uniquement en fonction du tenseur des taux de deformations - les contraintes de viscosite s' annulant avec le tenseur J) des taux de deformations
T = T (D) ,T
(0) _ 0 •
1. La loi de comportement des fluides newtoniens (on dit aussi "fluides classiques") precise de plus que le fluide de Stokes est un milieu isotrope et que les visqueuses sont lineaires enD. Cela conduit
a la
compos antes T .. , en fonction des composantes d •. , ~J
~J
contraint~s
relation suivante, pour les
19
(2,11)
T. .
l.J
= A eLk K
0.. + 2 l.l d .. , l.J l.J
avec A et ].l deux coefficients scalaires di ts de viscosite. Lorsque A = 0 et l.l
0 ,
on retrouve la loi de comportement (2,9) des fluides parfaits (non visqueux). Mais, i1 nous faut encore exprimer 1a loi de conduction thermique pour Ie courant de chaleur q.
...
Pour les fluides
newtonien~ on
q=
(2,12)
- k
admet que la 10i de Fourier est satisfaite
V T,
ou Test la temperature absolue et k Ie coefficient de conduction thermique. Lorsque les relatio~s (2,11) et (2,12) sont satisfaite~ on dit aussi que notre f1uide est un fluide de Navier-Stokes. Les coefficients scalaires fonctions de
A,].l et k sont, en toute genera1ite, des
p et de T.
En fait, un f1uide de Navier-Stokes est completement defini par la donnee de son energie libre specifig,ue : (2,13)
1jJ
(p,T) = e(p,T) - T S(p,T),
ou S est l'entropie specifique, une fois que l'on
chois~comme
variables thermo-
dynamiques p et T. Dans ce cas, (2,14)
S
_ a1/J(p,T) aT
et la pression pest determinee par la loi d'etat (2,15 )
p
P(p,T)-
On dit que Ie coefficient
a1/J(p,T) a(1/p)
].lv defini par
(2,16)
est Ie coefficient de viscosite de volume. 2. Une extension naturelIe des enonces elementaires du second principe de la thermodynamique conduit
a l'inega1ite
dite de Clausius-Duhem, dont la forme locale,
pour les fluides monoPhasiques·), est : .) Notre fluide newtonien (de Navier-Stokes) en mouvement est defini par une seule loi de mouvement; on dit que c'est un milieu monophasique.
20
iP
(2,17)
avecD:])
= dij
=2
dij =
llD :
J)
au.
1
'4 (ax~
+
+ (llv - } II )(V.~)2 -
au.
~)
;i.v
2
1.
J
On notera que le scalaire iP (toujours positir volumique. Introduisons,
a la
1.J
= O.
kk
ou nul) est la dissipation
place des d.. , les
D. .
et imposons que D
Log T ~ 0,
1.J
d .• - D
1.J
o.. 1.J
Dans ce cas, on constate que
= 9 II
v
D2 + 2 II D.. D.. + k (VT)2 1.J
1.J
T
~
0
'
une fois que l'on tient compte de (2,12). Ainsi, il faut que : et
llv ~ 0, 11 ~ 0
k
~
0
et on di t que 1 I on a un processus thermodynamiquement admissible. Pour les gaz mono-atomiques, l'hypothese dite de Stokes
o => A est satisfaite.
3. En particulier, pour un gaz parfait
a chaleurs
la loi d'etat (2,15) s'ecrira :
OU Y
c I
p C v
specifiques c et p
v
constantes,
. Dans ce cas, l'enthalpie specifique h est definie par la formule
(2,18)
a cp
etant donne que, pour un gaz parfait (2,19 )
C
e
= cv
et c T
v
constants
21
Tandis que l'entropie specifique sera (2,20)
8
Enfin, l'expression : (2,21)
a
2
Y R T,
= Y Pip
est le carre de la celerite du son, correspondant
a la
temperature (absolue) T;
de fa~on precise, on dit que a est la celerite du son locale (a 2 = (y-1) h).
Lorsque la densite massique des efforts exterieurs derive d'un potentiel
f =-
(2,22)
p
V U,
on peut introduire l'enthalpie specifigue totale H du fluide, definie par (2,23) On
notera que
de la relation (2,20),definissant l'entropie specifique 8,
on peut tirer la loi d' etat suivante des gaz parfaits ii cp et
C
v
constants :
p = pY exp (..§.. )
(2,24)
C
v
Lorsque l'entropie specifique 8 est partout constante, dans l'ecoulement continu considere, de (2,24) on tire la loi de barotropie suivante (2,25)
p
8
ou... ko :: exp (-2. c ) = Constante et 8 0 est la valeur constante de l'entropie specifique. v On
(2,25a)
peut naturellement ecrire (2,25) sous la forme suivante 8 P = P 1/Y exp (- -2. ) cp
et on constate qu'un cas limite particulier : de telle (2,26)
fa~on
mais c-+-O v
que c reste fixe p
22 conduit
a la
loi d'etat limite
(2.27) ou Po
2,3.
p S
==
exp (- c
o
p
= Po
= Const.
). qui est celle des fluides dits incompressibles.
~UATIONS VE
NAVIER-STOKES (CAS VE L'AERO-THERMOVYNAMIQ.UE)
1. Si nous tirons profit des lois (2.10). avec (2.11). et (2.12),au niveau des equations generales (2.8), nous obtenons les equations generales de Navier-Stokes :
f!Q.
(2.28a)
+
+
Dt + P V • u = 0;
D~:± +:± +~ :± P Dt +Yp - f = Y (). 'l.u) + 2 Y.(lJD);
(2.28b) (2,28c)
+ 2 lJ ]) :]) + r, lI)
OU
C
v
= ~;
et on suppose que e
= e(p,T)
est la loi d'etat du fluide.
On notera que les equations de Navier-Stokes (2,28a)-(2,28c) sont
ecrites sous une forme intrinseque, valable pour n'importe quel systeme de coordonnees,
a condition
~
(2,29)
d'ecrire que
= 'ddt
+
~.V
et ])
= %{~
~+ (V ~)T },
,du,tenseur :± ou'" (:± Y +u)T est le tenseur transpose Y + u •
1II) Precisons que De = Dt
2 terme - p
2;:. DT + 2;:. DP . mais Dp
oT
Dt
'dp Dt '
Dt
=-
P~ ~ .
~~ ~.~ au niveau de l'equation (2,28c).
ce qui donne le
23 2. Un cas particulier, interessant, que nous considererons par la suite, est
ac
celui du gaz parfait
et- v c - constants, ...; pour lequel l'hypothese de Stokes Si,de plus les coefficients IJ et k sont supposes constants
~---'=---;;..---p
est bien satisfaite. (ils sont notes: IJ
et k )' il vient les equations de Navier-Stokes suivantes, o ecrites dans un syst~e de coordonnees, xj ' cartesiennes, o
apU.
~ + __ K = 0 at a~
au.
p ( __ l. + u. at J
au.
l.
£J
+ 2L ax. l.
__
f.
l.
+ IJ o
A U
1
a
a~
u i + - IJ (-.,- ): 3 0 aXi a~
(2,30)
= R P T,
p
ou t::. D
Dt =
2
a =~ aX
a at +
1
2
a
a
2
+ ~ + ~
aX
2
aX
a
est l'operateur tridimensionnel de Laplace et
3
u j ax. J
On peut aussi ecrire,
a la
place de la troisieme des equations (2,30),
l'equation suivante : c
(2,31)
DT
p -
Dt
v
IJ
+ -2. 2
a~ + P = k
au.
ax.J
(_l.
a~
2
0
t::. T - -3
IJ
o
a~ 2 (- ) a~
au. 2 + --tl.) + r .
ax.l.
2,4. LES EQUATIONS VE NAVIER-STOKES POUR LES ECOULEMENTS ATMOSPHERIQUES
1. Un des caracteres dominants de la dynamique de l'atmosphere est l'influence essentielle de l'acceleration de Coriolis·). D'autre part, il faut aussi tenir compte de l'acceleration de la pesanteur
g,
qui est l'acceleration
.) L'existence et l'importance de cette acceleration furent reconnues pour la premiere fois par Laplace dans sa theorie des marees en 1775. Mais Ie theoreme de la composition des accelerations fut enonce seulement en 1835 par Coriolis.
24
gravitationnelle, composee de la force d'attraction newtonienne et de la force centrifuge de la rotation. Naturellement, dans ce cas, le repere dans lequel sont ecrites les equations est non galileen en mouvement de rotation, que l'on peut supposer uniforme,
a la
vitesse
Q= no ;
autour de l'axe Sud-Nord
de la sphere terrestre (la surface du geoide est assimilee
a la
surface d'une
sphere) ayant pour direction celle du vecteur unitaire:
;- = sin ~ k +
(2,32)
ou ~ est la latitude algebrique d'un point
cos ~:r, P situe sur la sphere terrestre
(voir la figure ci-dessous).
O={1oe
Ofo::::::~--r--f----J
Si l'on suppose que test la vraie force gravitationnelle (la force d' attraction de Newton, qui fa,i t tomber "la pomme de Newton") alors :
-+-
(2,33)
g
=-
-+-
g k
= -+-f + no2-+-x~
ou ~ est le vecteur position, d'origine au centre de la sphere terrestre et
'"= 6367 km; o ~. Les vecteurs unitaires
dirige vers l'exterieur suivant les rayons de cette sphere de rayon a l'indice L ' inferieur, designe la composante normale
t,
a
:r et k sont respectivement diriges vers l'Est, le Nord et le Zenith (dans le
sens oppose
a g).
25
....
On note V la vitesse relative du mouvement atmospherique etudie dans Ie repere mobile (P
....
n=n
....
0
.... e
T, j,
k), qui est en rotation uniforme avec Ia vitesse
autour de l'axe Sud-Nord de la sphere terrestre; les composantes de
T, j
V suivant
et
k
(parallele, meridien et Zenith) sont : u, v et w.
2. En toute rigueur,les equations de Navier-Stokes correspondantes doivent etre
A,
ecrites dans un systeme de coordonnees spheriques (r,
~), ou rest la
distance d'un point du voisinage de la surface terrestre au centre 0 de la sphere terrestre; A est Ia longitude. Ainsi, (2,34) II est cependant plus commode, pour la suite, de passer
a des
coordonnees
curvilignes (2,35 ) ou ~
o
x
= const
B) A , y cos·'Yo
= (ao
= a0
(~- ~0 ), z
est une latitude de reference (celIe du point
=r
- a ' o
P0 d'observation a Ao _ O.
sur la sphere terrestre, qui sert d'origine au repere mobile) associee Ainsi on peut ecrire que :
.1... aA
(2,36)
Si maintenant 1
0
= a
~ .1......1 0 ax ' a'l'
cos
0
= a
o
a _ a
a ay
-
ar
=
az
est l'echelle de longueur horizontale caracteristique
du mouvement atmospherique considere, on peut selectionner les mouvements pour lesquels : 1
-2.= a
(2,37)
o
IS
0
«1.
Sous Ilhypothese (2,37) il s'avere*) que lIon peut
repere~ avec
une tres
bonne approximation, Ies mouvements atmospheriques dans un systeme de coordonnees cartesiennes lie au plan normal +
ak
a g.
On notera encore par x et y les coordonnees cartesiennes du plan normal et on supposera que les directions des axes P x, P y et P z coincident avec -7-
-+
-+
- """,.
o
0
"..
0
celles de i, j et k, la coordonnee z etant mesuree vertlcalement ascendante dans Ia direction de
k.
Enfin, u, v et w designant une fois de plus les composantes
*) On pourra a ce sujet consulter Ie livre de 1e Blond et Mysak : "waves in the Ocean", Elsevier Scientific Publ. Company, Amsterdam, 1978; voir Ie § 5 du Chapitre 1.
26 -+-
de la vi tesse relative Y selon les axes Po x, on pourra ecrire, lorsque 0
-+-
o
Poy et Po z du systeme local mobile,
0 ,
(2,38) les variables t, x, y et z restant fixeeslors du processus limite 0 -+- O. o
3. L' atmosphere etant supposee etre un milieu continu en mouvement (du moins en ce qui concerne la troposphere qui s'etend de la surface du globe sur une epaisseur de 12 km en moyenne), on admet que l'air atmospherique (suppose sec) est un gaz parfait
a chaleurs
specifiques c
p
et c
v
constantes. Dans ce qui suit,
au niveau de l'equation de l'energie (1,29c), on supposera que le terme
pr
est
un terme du au rayonnement, suppose connu, et qui est la densite de chaleur re<;ue par unite de volume de la part des milieux exterieurs. On ecrira (en notant par R le rayonnement) (2,39)
pr -
oR az
dans le repere mobile (local Po x, y, z), defini plus haut. Pour l'analyse des phenomenes atmospheriques,il est jUdicieux de postuler l'existence d'une atmosphere dite standard qui est supposee exister de jour en jour sous la forme d'une situation thermodynamique de reference, fonction uniquement de l'altitude, et qui n'est que "legerement" pert"UI'beepar le temps proprement dit. Si l'on note par poo
Zoo '
l'altitude dans cette atmosphere standard et par
Poo'
et Too ' la pression, la masse volumique et la temperature absolue dans cette
derniere, alors on ecrira les relations statiques T
00
(2,40)
dpoo -Zd + gp00 =0, 00
0,
ou k est le coefficient de conduction thermique (turbulente) et Roo(Too ) s'identifie avec le rayonnement (d'apres (2,39» que nous supposons connu. Notons que l'expression :
27
.8. +dT", _ }
(2,41)
R
dZ",
est le carre de la freCluence interne de Viiis8.J.a et Clue l'atmosphere standard est statiCluement stable si
N", (z"') est reel dT
(2,42)
dz
'" <1=.l g y R '"
Precisons Clue nous considerons des ecoulements atmospheriClues pour lesCluels L satisfait 0
a la
relation
R T",(O) g
ou
RT",(O)/g
.< L0 «
a
'\,
0
6367
kIn,
est l'altitude de l'atmosphere dite homogene Clui vaut approxima-
tivement 8 kIn. Pour simplifier,nous admettrons Clue les lois des echanges verticaux par turbulence sont les memes Clue pour les echanges par agitation moleculaire; il faut alors, naturellement adopter pour les coeff'icients d' echange des , super1eures. ~ , valeurs de 10 4..a 106f01S De plus, 51. l' on suppose Clue ces coe ff'1cients turbulents d'echanges sont constants (on les designe par ~o' Ao et k 0 ) et si l'on admet l'hypothese de Stokes (3A
+
o
2V0
= 0), on peut ecrire dans le
systeme local de coordonnees cartesiennes, lie au plan normal
a g (approximation
du plan tangent), les eCluations de Navier-Stokes suivantes, pour la Yitesse relative
Vet
les fonctions thermodynamiClues p, p et T
(2,43) DLogp + ;t Dt v.
+
2
V= 0
,.
p
R P T;
ou ~1 (on notera que ~1 + ko(VT) /T - ~ ~ 0) est la dissipation intrinseClue volumiClue
28
-+-+2 - -2 II ('V. V) + 2 II 3
<1>1
0
0
{ClU (-) Clx
(2,44)
2
+ (Clv -) dy
2
+ (Clw - ) dZ
+ (dV + Clw Clz Cly
2
)2lJ. _
Naturellement, l'hypothese concernant les coefficients d'echanges turbulents (ll
o
et k
0
constants) est physiquement peu acceptable, aussi on
peut tenter de faire une hypothese moins restrictive qui consiste
a supposer
que II et k sont fonctions de Too(zoo)' On trouvera dans le petit livre de Houghton introduction
a la
(1977)~) une excellente
physique de l' atmosphere. Pour tout ce qui concerne la
modelisation des ecoulements atmospheriques, du point de vue de la mecanique des fluides, on pourra consulter les livres de Pedlosky (Geophysical Fluid Dynamics, chez Springer, New-York, 1979) et de Zeytounian (Asymptotic Modeling of Atmospheric Flows, chez Springer-Verlag
~)
Dont le titre est 1977 •
a Heidelberg,
1990).
"The Physics of Atmospheres"; Cl3Jllbridge University Press,
FORME ADIMENSIONNELLE DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES 3,1. FORME AVIMENSIONNELLE VES EQUATIONS VE NAVIER-STOKES POUR UN GAZ PARFAIT A c ET c CONSTANTS --p v Revenons aux equations de Navier-Stokes (2,28), en supposant que le fluide newtonien est un gaz parfait
~= dP
(3,1)
0
,
Nous voulons donc obtenir la
a cp
et c
v
e = C T, v fOl~e
constants de telle
fa~on
que
P = R P T.
adimensionnelle des equations (2,28a)-
(2,28c), en tenant compte de (3,1), afin de placer, au niveau de ces equations adimensionnelles,les parametres (nombres) sans dimensions qui regissent les divers effets aero-thermodynamiques (instationnarite, compressibilite, conduction, viscosite, ••• ). Nous supposerons d'emblee que les grandeurs utilisees dans ce qui suit sont sans dimensions·) en dressant un tableau
o~ nous
mettrons en regard de
chaque grandeur l'unite correspondante: x.
L
t
t
1
u.
0
P P
e S
0
U
1
T
0
0
].10
].Iv
].10
k
k
Po
T ••
Po
q.
lJ
1
Po T =-0 Rpo cv e =-0 To S
].I
c
d.. lJ
0
].IoUo L
k0
0
T
~
L
U -£ L
0
0
v
.) Si cela s'avere necessaire nous noterons eventuellement les grandeurs avec dimensions avec des asterisques; par exemple : x etant sans dimension et L o etant l'echelle de longueur correspondante,on aura que x· = Lo ~.
30
Apres substitution et quelques calculs simples¥) on trouve les equations
a la
place du systeme (2,28), en tenant compte de
~
V.(p~)
adimensionnelles suivantes,
(3,1) (3,2)
8
+
= 0 ;
~~ + (~.V) ~ ]
y~ V p = R~
V.T
(3,3)
P [ 8
( 3,4)
P (8 at + u.v T) + (y-l) p v.u = - Pr Re v.q
aT
+
.... :l:
(3,5 )
:l:.......r...
1 :l: ....
P T,
p
oil
(3,6)
T=2~D+(~v -~3
{q
= - k
V T.
On notera que
T
(3,7)
::J)
J) : J)
=2
'32
~ :J) : J) + (~v -
au.
au.
= !! (--1:.. + --.J. ) 2 ax. ax. J J.
~
)( :l:v. ....u) 2
,
2
Dans ces equations adimensionnelles de Navier-8tokes pour l'aerothermo-
....
dynamique (f
=0
et r
= 0),
interviennent les nombres sans dimensions suivants :
a
¥) Par exemple:(2,28a) conduit
2£.
Po
t o at
ou encore U
o
L
~
0
+ PoUo L
~
V.(p~)
o
0
+
V. (p~)
0
nombre de 8trouhal, 8 = L t ofUo 0 ._) Dans un systeme de coordonnees cartesiennes.
et on voit apparaitre le
31
S
M
L
= __0_
, nombre de Strouhal,
Ut o 0 U
= __0 _ , nombre de Mach,
IYRT" 0
(3,8)
UL o 0 He = - -
, nombre de Reynolds (v
v0
Pr
_ Cpllo ko
llo
0
=- ) ,
Po
, nombre de Prandtl.
3,2. EQUATIONS VE NAVIER-STOKES AVIMENSIONNELLES PROPREMENT VITES Supposons maintenant qu'au
niveau des ~quations (3,3), (3,4)
(c'est-a-dire au niveau de (3,6) et (3,7)),les coefficients II constantes et que
llv
=0
et k soient des
(hypothese de Stokes). Comme nous travaillons avec
des grandeurs sans dimensions, cela veut dire qu' il faut poser au niveau de (3,6) et (3,7) : II Dans ce cas, les
~quations
systeme de
a la
= 1, k = 1 et
place des
~quations
=0
.
(3,2) - (3,5), nous obtenons
de Navier-Stokes adimensionnelles suivantes,
coordonn~es
cartesiennes :
(3,10)
(3,12)
(3,13)
IIv
p =
P T.
~crites
dans un
32
a
C'est ce systeme d'equations (3,10) Navier-Stokes. que nous aurons
a analyser
(3,13), sans dimensions de
tout le long de ce Cours. 11 faudra
lui associer des conditions aux frontieres et initiales (ecrites aussi sous forme adimensionnelle ) et nous revenons sur cette question au Chapitre III
3,3. LES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES ADIMENSIONNELLES POUR LES ECOULEMENTS ATMOSPHERIQ.UES 1. On a dit que:
= H OIl
etait l'altitude de l'atmosphere dite homogene et habituellement,elle sert d'echelle verticale caracteristique pour l'atmosphere dite standard, satisfaisant aux relations (2,40). Ainsi, il semble logique de non dimensionnaliser Zoo
(l'altitude dans cette atmosphere standard) avec FICO" Soi~
d'autre
par~H
o
l'echelle verticale caracteristique de notre
mouvement atmospherique de telle sorte que Dans ce cas on a
Z
la relation suivante, entre
est non dimensionnalise avec H • o Zoo et z soua forme adimensionnelle
(on garde les memes notations) (3,15 )
Zoo
Bo z,
Bo
Ho R T<»(O)
ou (3,16)
H - H
=-2. oo
,
g est le nombre dit de Bouasinesq. On notera la relation suivante 2
Y~
Fr = - Be
avec (3,18)
ou Fr
est le nombre de Froude (base sur H ) et o
Moo,
le nombre de Mach
33
2. Soient done Lo ' Ho ' to' Uo ' Wo' poo(o). poo(o), Too(o) des echelles caracteristiques de longueur (pour x et y et z respectivement). de temps, de vitesse (pour u et vet w respectivement), de pression, de masse volumique et de temperature (absolue). D' apres (2,35) et (2,37), on a
o y+
(3,19)
°
~ , 0
a t,
ou y est sans dimensions. LorsClue 00 .... 0,
x, y et z fixes (approximation
dite du plan tangent), on doi t supposer Clue Ie rapport 1Il)
8
(3,20)
2
n cos ~
== _-:;0
0.:.-
a
2
L
°
U
o
o
reste de l'ordre de l'unite; cela permet de tenir compte de l'effet 8 au niveau des eCluations adimensionnelles de l'atmosphere. Ainsi, sous la condition (3,20),
00
10rsClue l'effet
....
O,l'approximation du plan tangent emerge tout naturellement avec
8 , Clui est une trace de la sphericite de la Terre. 8 est,en fait, significatif uniCluement pour les phenomenes meteorolo-
Cet effet
giClues d'echelle L , dite synoptiClue, telle Clue: o
e:
II
= --£« L
o
1.
o
On notera Clue l'on doit admettre Clue (3,22) pour avoir une ecriture coherente de l'eCluation de continuite sous forme adimensionnelle. 1Il) Si l'on introduit Ie nombre de Rossby : U
Ro =.e.
~
o
avec.e.0 0
2
no
n sin-'Po
Ie parametre de Coriolis, on peut ecrire pour 8 la relation suivante
8 = tg -
oo
1IJ
0
Ro
Pour Clue 8 reste de l'ordre de l'unite,il faut Clue Lo
% 106
m et U0
(petit nombre de Rossby), tandis que ~o doit etre tel Clue tg ~0 (latitudes moyennes).
%1
~
m /s
10
34 ....
3. Notons : u = u
"7 -t 1 + V J
la vitesse horizontale relative, w la vitesse
verticale, p la pression, p la masse volumique et T la temperature absolue, toutes sans dimensions. Ces fonctions satisfont alors aux equations de Navier-Stokes adimensionnelles suivantes :
r,.... ....
LD •u
+
a.u
= 0;
az]
(3,24) + _1_ 2 M Yeo
a~
Dp
1 ....
........ ai aw )Jl
- - + - D (D.u + az2 3
7J
1 .... Ro U.1
(3,25)
+
Bo 7Yeo
rl:o
1
p
2 ....2 D w
= Re
a2
+ _1_ M2 Yeo
w
1
ap
az a ........
aw.l )J
+ az2 + 3" az (n.u + az
(3,26)
1
1 Bo
(J0
d Reo
-----+-fl-~~ +Pr-Re £2 dz £
o
Re
o
(3,27)
p =
P T.
Au niveau de ce systeme (3,23) - (3,27),il faut noter que l'on
s
....
D
a
D _
.... n
Dt = S at + u.
a7
=: ax
,0%.....
1
v =: u +
+
aya-t-J
£0 W
£0
k,
az
W
± .... , lJ.k
,+
V=:D+..1... ..Lit
+
'
a
ai :=
0,
a~
35
_ ,g 3
Enfin,
0
0
l]
(au + av + aW)2 ax ay dZ
J .
:: --lL R (T (0)) est le parametre de rayonnement. @to 00
00
Ainsi, nous voyons apparaitre les nouveaux parametres sans dimensions suivants :
u
Ro = 2 n sin°~ L o
Bo =
gH
0
' nombre de Rossby,
0
o
( nombre de Boussinesq, RTooo)' H
£0
°
= ~ , parametre hydrostatique,
°
./1 L2 2 ",., cos _o. ljl =. __o=--_ 0 a U o 0
a
o
parametre
"e",
«
= _R_ g k
Roo Too (0 )), parametre de rayonnement.
o
3,4. NOUVELLE FORME AVIMENSIONNELLE VES EQUATIONS VE NAVIER-STOKES PROPREMENT VITES Lorsque lIon s'interesse
a l'ecoulement
autour d'un obstacle, on
suppose habituellement en aerodynamique, qu' il existe un ecoulement de base, loin de l'obstacle, tel que:
(3,30)
p =
1, P
1 et T = 1,
avec des grandeurs sans dimensions. Sous cette hypothese, revenons aux equations (3,10) introduisons,
a la
(sans dimensions)
a (3,13)
et
place de p, p et T, les perturbations thermodynamiques n, w et
e
telles que;
36
= 1 + M2 TI
p 1
,
..
appar~t~on
P
= 1 + M2 W
a la
2 ....
de M etant directement liee
,
T
= 1 + M2 e,
2 presence de M dans les
equations (3,11) et (3,12). En substituant (3,31) dans (3,10) - (3,13) on trouve, respectivement, les equations reduites suivantes : du.
dWU.
+ M2 (8 dW + __ 11: d~ dt d~
U,32)
__ 11:
dt
=
--l. Re
=0
;
d~u . . ,0 2 TI + u. +(-) + M J dx. dX. Y
dU.~
8 -
U,33)
)
[a
J
2
3
J
a~
+ .2 ~
(Y-1) -
d~
_d_
aXi
{aeat 8 -
(d~ d~
e
., ox.
ou 0(M
=
W
+
e+
Re
M2
W
dt
dU.~ ]
+ u. J dX.
J
;lJ .'
ae
[-
J
TI
dU.~
8 -
+ u. + (y-1) J dxj
d2 ~ - 2 + Y (y-1) -
=l Pr
t
~
u i +.1.
dX~
W
d'\ }
TI a~
+ OeM4 )
2 d'\ 2 1 au. au. 2 - ( - ) + - ( - l + ~) ; 3 aX. 2 dX. ax.~ 11: J
J
e,
4 ) est un terme de l'ordre de M4 que nous n'avons pas ecrit. Ce systeme
(3,32) - (3,35) est commode pour analyser les ecoulements Mach (M
-+
a faible
nombre de
0).
3,5. NOUVELLE FORME AVIMENSIONNELLE VES EQUATIONS VE NAVIER-STOKES POUR LES ECOULEMENTS AVIABATIQUES VE L'ATMOSPHERE. On revient aux equations (3,23) - (3,27) et on suppose que Re
=00;
c' est Ie cas de l' atmosphere adiabatique. Dans I' atmosphere, les fonctions qui sont significatives, du point de vue thermodynamique, sont cel1es qui tiennent compte des ecarts relativement
a l'atmosphere
standard, dont il a ete question
a la
section 2,4 du
§ 2.
37 Ainsi, il est jUdicieux d'introduire, dans les equations de l'atmosphere adiabatique (3,23) - (3,27), ou Re :: 00, les perturbations thermodynamiques
, w =
avec Zoo
= Bo
z. En substituant (3,36) dans les equations (3,23) - (3,27) on
trouve les equations adimensionnelles suivantes, pour ~, w, n, w et (3,37)
Dw
......
S Dt + (1+w) (D.u +
(l+w)
e
dW az
~ ~ + (R~ + f3Y)(k A ~)
e:
+_0_ tglfJ o
( 3,39)
(3,40)
n
(3,41)
= w+ e + we.
Pour obtenir les equations (3,38) - (3,40) nous avons tire profit des relations suivantes : d Log Poo
1 Too
dzoo ( 3,42)
d LogPoo dzoo
dToo - (1 + - dzoo
1
Too
qui decoulent de larelation hydrostatique et de la loi d' etat pour l' etat standard:
Le systeme des equations (3,37) - (3,41) permet aisement d'obtenir les equations approchees dites "de Boussinesq" qui correspondent au cas de Bo ... 0 et Moo'" de telle
0,
a t,
x, y et z
fa~on que ~ reste de l' ordre de l' uni te .) •
fixes,
38 " ma~ntenant So~t
2( 0 ) une valeur caracteristique du carre de la Noo
frequence interne de V~is~l~, definie par la relation (2,41). Introduisons la frequence sans dimension (3,43) et soit (3,44) une mesure de la stabilite statique (adimensionnelle). Dans ce cas l'equation sans dimension (3,40) peut se mettre sous la forme suivante, en tenant compte de la relation (2,41), ( 1+W) S D6 -
Dt
X:.! Y
S Drr + (1+7T)
Dt
a.~ r_ (z_) w = 0 • -
-
-
Precisons, enfin, que pour les ecoulements atmospheriques les valeurs de
7T, W et •
q~
6 sont toujours tres petites devant l' unite et c I est justement cela
permet d I effectuer le passage a" la
1II) On pourra
a ce
••
l~~te
de
1II111)
•
Bouss~nesq.
sujet consulter le chapitre 8 de notre livre sur la modelisation
asymptotique des ecoulements atmospheriques (en langue anglaise), publie chez Springer-Verlag 1II111)
a Heidelberg
en 1990.
Le Lecteur peut aisement se convaincre, avec un peu de reflexion, que l'on doit associer au passage
i,
a la
limite de
.
: Bo
Bouss~nesq
= .....B M,."
M,.,
-+-
0 avec
x, y, z et t fixes la representation asymptotique suivante (voir le § 13,
chapitre IV) : ii = iio + ••• , 7T = ~ 7T 2 + ••• , Lea equations limites ainsi obtenues pour iio ' dites de Boussinesq.
W 7T
2,
= M,.,
w1 + ••• , 6 = M,., 6 1 + " •. et 6 1 sont alors celles 1
W
CHAPITRE II
QUELQUES FORMES SIMPLIFIEES DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES. LES EQUATIONS D'EULER ET DE NAVIER
Le systeme des equations de Navier-Stokes, (3,10)
a
(3,13), est tres complique et afin d'avoir la possibilite d'analyser divers types d'ecoulements, il s'avere necessaire de simplifier ce systeme general. Le probleme de la simplification des equations (3,10)
a
(3,13) est un probleme crucial en mecanique theorique des fluides et a l'heure actuelle, des methodes tres elaborees existent qui permettent d'effectuer de telles simplifications en tirant profit du fait que les parametres sans dimensions, qui interviennent dans les equations de Navier-Stokes, peuvent dans diverses circonstances etre petits ou grands devant l' uni te. Ces methodes asymptotiques, di tes de "perturbations singulieres", permettent de tirer, des equations "exactes" de Navier-Stokes, des equations
mOdeles~) Au chapitre IV on trouvera les premiers elements d'une theorie de la modelisation (asymptotique). lei,
a ce
Chapitre II, nous voulons de
II
fa~on
comment l'on peut obtenir, d'une part, les equations d'Euler (Re part, les equations de Navier (M
= 0).
\\
assez heuristique montrer
=00)
et, d'autre
Puis, de ces dernieres, obtenir d'autres
equations simplifiees usuelles (celles de Prandtl, Stokes et Oseen) •
• ) Sur ce sujet le Lecteur interesse pourra consulter notre monographie, en deux volumes parue chez Springer-Verlag (Heidelberg, R.F.A.) en 1986 et 1987, SOllS le tire: "Les 1Il0deles asymptotiques de la lIlecanique des nuides", dans la serie "Lecture Notes in Physics" (volumes 245 et 276).
w LES EQUATIONS D'EULER POUR LE FLUIDE PARFAIT EN EVOLUTION ADIABATIQUE 4,1. LE FLUIVE V'EULER BAROCLINE Un fluide est dit parfait si le tenseur des contraintes, en tout point
et
a tout
instant, est spherique
cr ••
(4,1)
l.J
- p
a.. l.J
ce qui implique (4,2) au niveau de la loi de comportement (2,11). Maintenant si, avec (4,1) (ou 4,2), on a aussi:
...
(4,3)
q =
au niveau de l'equation (2,8c), (4,4)
° et
r = 0,
par exemple, ce qui implique, d'apres (2,12), k == 0,
alors,on dira que notre fluide est un fluide d'Euler. Ainsi, le fluide d'Euler est un fluide parfait (non visqueux) en evolution adiabatique. Dans ce cas,on sait que (evolution reversible) 1
de :: T dS - Pd(p) ou encore
(4,5)
De::TDS_ D (1) Dt Dt PDtP Mais,comme notre fluide est parfait,on a
cr .. l.J
d .. - P l.J
D Log Dt
P
41
et de ce fait. il vient
a la
suivante. grace aussi
(4.5) •
a
place de l'equation (2.8c). avec r _
o.
l'equation
(4.6) Comme consequence de (4.6) et (4.3).on constate que pour un fluide d'Euler on a necessairement la relation DB = 0
(4.7)
Dt
et l'entropie specifique de toute particule que l'on suit dans son mouvement reste constante (elle peut changer d'une trajectoire
a une
autre).
En definitive.les equations regissant l'ecoulement d'un fluide d'Euler sont
Dp + P~.~ Dt
(4.8)
= 0;
DS Dt = O. auxquelles il faut associer. en toute generalite. la loi d'etat du fluide d'Euler p = p (S.p).
(4.9)
en prenant comme variables thermodynamiques principales S et p. Avec la loi d'etat (4.94 les equations d'Euler (4.8) forment un systems ferme de trois equations pour les trois inconnues ~. p et S. Le fluide d'Euler est toujours en evolution reversible etant donne que sa dissipation volumique ep est identiquement nulle
a tout
instant et en tout point de l'ecoulement.
On supposera. en general. que
(4.10)
f
=0
(cas de l'aerodynamique classique).
Si notre fluide d'Euler est un gaz parfait
a cp
= _1-1 y-
= .1.
e( s,d
T 1-y
exp (.§..) et c v
T
et c
v
constants,alors on a:
- p
la loi d'etat (4.9) peut donc s'ecrire sous la forme explicite suivante (4.11)
p
42
Mais,quelque fois il est judicieux de garder p et T comme variables
a la
thermodynamiques principales et dans ce cas, (4,12)
p=RpT,
R
c -c p
avec des grandeurs dimensionnees. Dans ce cas,
place de (4,11),on aura
v
a la
place de la
troisi~e
des equations d'Euler (4,8) on prendra l'equation d'energie suivante : DT_1::..l !DP=O
(4,13)
Y
Dt
pDt
Tout ce qui vient d'etre dit,
a cette
•
section 4,1, concerne essentielle-
ment la classe des fluides d'Euler baroclines, caracterisee par (4,9) ou encore (4,11) ou (4,12) pour le cas du gaz parfait
a cp
et c
v
constants.
4,2. LE FLUIVE V'EULER BAROTROPE Une classe plus restreinte est celle des fluides d'Euler barotropes pour lesquels,
a la
place de (4,9), on a :
(4,14)
p
=g
(p) •
Ce cas se presente lorsque l'ecoulement de fluide d'Euler est suppose continu, partout dans tout le domaine d'ecoulement considere, et si Be fluide d'Euler est mis en mouvement
a partir
d'un etat de repos dans lequel :
S = SO = Const. En effet, dans ce cas : DS = 0 Dt
implique S _ SO = const.
et de ce fait dans (4,9),on a : P (S,p)
= P(SO,p)
= g(p).
En particulier, pour le cas du gaz parfait aura, la loi de barotropie suivante (4,15)
p = k
o
pY, avec
k
SO
o
a cp
_ exp (-- ) c v
et c
v
= Const.
constants,on
43
Si l'on tire profit de (4,15), on peut aisement ecrire, pour le
~
barotrope, les equations d'Euler suivantes :
!
~+V-+-=O Dt .u -+Du + k Y Py-1 V Log P Dt 0
(4,16)
0,
qui forment un systeme ferme pour ~ et p • Introduisons l' enthalpie specif"ique ''barotrope'' (4,17)
h
d'apres (2,18) , ou a
2
=....:L.y-1
k
0
y-1 P -
2 a y-l
Y Pip • Dans ce cas, on peut reecrire (4,16) sous la
forme
{
(4,18 )
D Log p Dt
+ V.~ = 0
Du+Vh=O Dt
Ainsi, si nous introduisons le tourbillon (4,19) nous obtenons aisement les relations :
~.V ~ =
-+-2
V (~ )
-+- -++2wAu,
-+-::1: -+""::1: -+- -+-::1: -+-+-::I:-+V A (u.v u) = 2 (u.V)w-2(w.v)u + 2 w(v.u) ,
::I:
et
ce qui fait que, des equations d'Euler barotropes (4, 18),nous pouvons former une equation pour le tourbillon : -+-
a-+-::I:) (~) ( at + u. V p
(4,20) -+-
w
-+-
w p
.V ~
= 0 •
Cette equation (4,20) est une equation differentielle ordinaire pour
pie long des trajectoires, dont on peut expliciter l'integration quand on connait le mouvement par une formule dite de Cauchy; introduire le tenseur
F de
compos antes
aJS.
£
aj
a cet
effet, il faut
,ou les a. sont les coordonnees J
44 .
0'"
lagrang~ennes
assoc~ees
If)
.
, ce
qu~
.
condu~t
F,
(4,21) ou ~o et lorsque
...
a la formule
pO sont les valeurs initiales, O W _
at
= 0, de ~
et de p • En particulier,
0 (en ecoulement continu) on a : -+
(4,22)
w
=0
et
-+
u
= -+'il
J\ ljI
,
ou la fonction ~ (~,t) est le potentiel des vitesses de l'ecoulement de fluide d'Euler barotrope irrotationnel (~= 0). La relation (4,22) traduit le theoreme dit de Lagrange qui est une consequence directe de l'equation (4,20)
dite d'Helmholtz.
4,3. L'EQUATION OE STEICHEN Pour un fluide d'Euler barotrope en evolution irrotationnelle l'equation
+
Du + Dt
Vh = 0
devient (avec (4,22)) :
o .
(4,23)
De ce fait, si le domaine d'ecoulement est simplement connexe, il vient la premiere integrale de Bernoulli :
(4,24) avec B(t) une fonction arbitraire ne dependant que du temps t. Cependant, on remarquera que l'on peut toujours ajouter une fonction du temps arbitraire
a~
sans changer ~ et de ce fait nous pouvons, en toute generalite, supposer qu'au
(4,24) nous avons une constante, que nous noterons Bo • 11 s'agit maintenant de construire, a la place des equations (4,18), une seule equation pour ~ . A cette fin, considerons (4,24) (avec B(t) =Bo = constante)
second membre de la formule
(If) Si (xi' t) sont les variables d'Euler et (a j , t) celles de Lagrange, alors
on a les relations suivantes a. = a.(xo ,t) J
Da. (la. -.J.=~+ Dt (It
J
(lao
~
~~=o
et
a i - xi' lorsque
t
o
de plus on a aussi
45
a t;
et derivons relativement
fl+~-..DL+
(4,25 )
pui s que
il vient :
Clt 2
Clh
at =
1 Y-1
Cla
2
Cl~ Clt Cl~
a
2
~_ Clt
- 0,
_ Y 2£ _ 2 ClLog p = yk o P Clt - a Clt
at
de la premiere des equations (4,18) on tire
Ensuit~
(4,26) oil
2 ,,_ fl2 +~ Cl .n d + 2
t.ljf -
Clx
1
Clx
Clx
2
3
Enfin, de la seconde des equations (4,18), on tire I 'equation suivante apres l'avoir multipliee scalairement par V~, (4,27)
puisque
Vh
_ a2
V Log
p.
Une combinaison simple du systeme compose des trois equations (4,25), (4,26) et (4,27) conduit a 2 t.
(4,28)
a l'equation
~
_
Cl2~
= 2
Clt
en ~ cherchee (oil p n'apparait plus) :
~ 2!.- + EL EL Clt Cl~ a~
Clx j ~
qui est l'equation dite de Steichen. Naturellement, l'equation de Steichen (4,28) n'est veritablement une equation pour Ie potentiel des vitesses ~ (x., t) que parce que la celerite du son locale,a, peut etre aussi exprimee En effet, revenons
a l'integrale
J.
a l'aide
des derivees partielles de ~.
de Bernoulli (4,24);dans Ie cas
considere ici on a :
Cl~ Clt et pour determiner la
+
..!2
I~12 Cl~
+
2 a B = Const., y-1 = 0
constant~ supposons
que l'on puisse remonter continUment
dans une region amont oil Ie module de la vitesse est constant - c'est Ie cas classique de l'aerodynamique, lorsque l'ecoulement loin en amont d'un obstacle est uniforme
46
-
i~~nd ~I = I~ I~ amont Si l'on designe par a
'"
dans cette region amont
a",2
U = Const.
'"
la valeur constante de la celerite locale du son = Y p"'/p -- Cons t .,
'"
OU P", = Const. et P", = Const. caracterisent l'etat thermodynamique uniforme de l'ecoulement loin en amont,
a vitesse
2 U
Constante: - '" 2
constante, il vient : 2
a + - '"
y-1
= B
0
et de ce fait, on trouve que
(4,29) Ainsi, il vient finalement l'equation de Steichen, en ~, suivante
(4,30)
Cette equation de Steichen (4,30) peut aussi s'ecrire sous la forme adimensionnelle suivante
(4,31)
ou
U
M
'"
tiques.
=~ a
'"
et S
L 0
= U", to
sont les nombres de Mach et de Strouhal caracteris-
47
4,4. LE CAS VU FLUIVE V'EULER INCOMPRESSIBLE 1. Revenons
a la
loi d'etat (4,11), qui est equivalente
l'entropie specifique S, pour le gaz parfait c
S
( 4,32)
v
a Cp
et
C
v
a la
relation donnant
constants,
Log ...E....
OY
cy Log P - c
Log p,
P
c puis que Y = J C v Considerons maintenant le cas limite de :
{
(4,33)
Y~ c
p
00
de telle
,
fa~on
reste fixe mais c --
v
~
que, 0
Dans ce cas, on obtient de (4,32), la relation suivante (4,34)
S
- c
P
Log P
et de ce fait
DS
(4,35)
Dt = 0
implique
DP
Dt = 0 •
Ainsi, dans ce cas,du fait de l'equation de continuite (~+ pV.~
0),
on trouve que l'ecoulement est incompressible
V.~ = 0
(4,36)
On abt'i:entainsi, sous la condition (4,33), Ie systeme d'Euler incompressible, dit isochorique, suivant :
{
(4,37)
l2.e = 0, V.~ = 0 Dt ~
P Du Dt + S
VP -- 0,
= - cp
T
= ...R..c P p
Log p.
2. Dans un cas particulier, lorsque l'ecoulement est continu partout dans tout Ie domaine d' ecoulement considere et si Ie fluide d 'Euler (isochorique) est mis en mouvement que :
a partir
du repos de telle fa~on que p
= po
= Const., on constate
48
= 0,
~
=>
avec p
= pO = Const
pour t o ,
= pO, partout,
P
c'est le cas du fluide incompressible et on trouve,
a la
place du systeme (4,37),
les equations d'Euler incompressibles suivantes ++
(4,38)
\l.u
+
Du + ~ (.L ) =
0,
pO
Dt
°,
qui forment un systeme ferme pour ~ et p. On retrouve ce systeme (4,38)
a partir
du cas barotrope en tirant profit
de (4,15) sous la forme: p = p
et en effectuant le passage
(4,39 )
a la p
= p
1/
SO Y exp (_ ) c p
limite (4,33). Dans ce cas.il Yient o
- exp
ce qui nous donne la valeur de pO, qui s' introduit au niveau de (4,38). 3. Comme
~.(~)
-
V.(~ A~)
0,
on trouve que
(4,40) ou les fonctions scalaires A et U sont les fonctions tourbillons de notre ecoulement de fluide incompressible d'Euler, de telle
(4,41)
2
~.V
A =
° et
2
~.V U =
fa~on
que :
°
Cela veut dire que les lignes tourbillons de notre ecoulement incompressible d'Euler s'obtiennent comme etant les intersections des surfaces tourbillons :
A = Const. et U = Const. Ainsi, on constate de (4,40) que :
VA~=VAAVU, ce qui veut dire que
49
V II
(4,42) ou
[
~
+
}l
V AJ
= 0 =>
~ = V ep
- ].J
VA
,
est la fonction potentielle des vitesses associee.
a l'equation
Revenons
du mouvement de notre ecoulement de fluide
incompressible d'Euler, que nous pouvons ecrire sous la forme suivante la relation :
+;l:>-
\.l·vu
=
+2 + u + +\ 'iJ (""2) + 2 w II u). : +
~~
(4,43) +2
+~ 2
avec H =~ Po
+
(V
II
~) II ~
+
VH =
0
,
Substituons ~ d'apr~s (4,42), il vient
D].J+
(4,44)
DA ±
(d'apr~s
a la
place de (4,43)
±
-'iJ A- V].J= V J Dt Dt '
avec
(4,45) De (4,44),il en decoule que:
ou encore
( 4,46)
J = J(A,].J,t) • Ainsi,
(4,47) et nous obtenons,
a la
place de (4,44), les deux equations canoniques suivantes
( 4,48) avec 1~12
t) = ~ + ..E.... + .£.P. _ aA \ J ( A, ].J , 2 0 at ].J at ' P
et
+
+
+
u = 'iJ ep-].J 'iJ A
Mais d'autre part,comme : V.~ = 0, on peut introduire deux fonctions de courant
~
et X de telle
fa~on
que
(4,50) et
a un
instant t fixe,les lignes de courant de notre ecoulement d'Euler
incompressible s'obtiennent comme etant les intersections des surfaces de courant :
50 ~
= Const
X = Const ,
et
puis que
~.V ~
=0
et ~.V X
=0
•
Donc en combinant (4,50) avec (4,42), on trouve la relation (4,51) Un cas particulier interessant correspond
a l'ecoulement
de
~luide
d'Euler incompressible stationnaire avec la condition supplementaire que
aJ
a]1
aA et dans ce cas, comme at
= 0
= 0, on aura -+;t
u.Y A
= (V-+- ~
-+
+-
A V x).V A = 0
Ainsi, il vient pour ce cas particulier la relation suivante pour la fonction tourbillon (4,52)
]1
Mai~
_ V <j>.V - IVAI 2
A
....
au dans le cas stationnaire, at = O,et l'equation (4,43) montre que
~.V H = 0 et aussi et de ce H
=X -
~ait
nous pouvons toujours
~aire
2~.V H = 0
le choix particulier suivant :
A • Les surfaces de courant H = Const. sont dites Ainsi, l'ecoulement de
~luide
sur~aces
de Lamb.
d'Euler incompressible stationnaire
est irrotationnel si :
V ep.V
(4,53)
H = 0 ,
puisque dans ce cas, d'apres (4,52), on aura ~ = 0 et aussi ~ = 0, d'apres (4,40) • Donc, si les
sur~aces
equipotentielles, = Const., et les surfaces
de Lamb, H = Const., forment un reseau orthogonal, alors l' ecoulement de ;fluide d'Euler incompressible stationnaire est irrotationnel.
51
V.; = 0,
4. Dans le cas rotationnel (~ t O~ 1 'equation de continuite,
implique
l'equation suivante : (4,54) et lorsque V
=0
(ecoulement irrotationnel),on retrouve l'equation classique
de Laplace pour la fonction potentielle des vitesses : (4,55)
Ii cP = 0 .
Dans le cas rotationnel mais stationnaire on a l'equation -+
(4,56)
-+
-+
(V A u) A u
=-
±
V
H
D'apres (4,50),on a la representation
et comme la surface de Lamb
H = Const. est une surface de courant on aura
= H (lji,X)
H
a la
Ainsi, on peut ecrire,
(V ou encore
lji A
V X)
•
place de (4,56), l'equation suivante
A 2 <:i
*
*
*
+ + + + ~ aH aH (2w.V lji) V X - (2w.v X) V lji = a1)l V 1)1 + ax V X
et cette derniere equation vectorielle est equivalente scalaires :
{
(4,57)
+ ~
2w.v lji
a deux
equations
aH = ax aH
+ ~
2w.v X =- alji
On notera l'analogie de (4,57) avec (4,48) qui pour le cas stationnaire devient
{
(4,58)
On sait que pour partou~
aJ
u. V V = aA '
~.V A=_aJ
aV
un ecoulement stationnaire on a,H
= Constante,
dans une certaine region de l'ecoulement suppose continu (par exemple,
a l'infini done
+ ~
amont loin d'un obstacle perturbant, cet ecoulement uniforme de base);
du fait de la conservation de H sur les lignes de courant de l' ecoulement
perturbe stationnaire
contin~on
aura aussi :
52
VH
= 0 =>
(V
A
~)
A
~
=0
De ce fait, dans ce cas,les equations d'Euler incompressibles stationnaires Be reduisent
a. v.~
(4,59)
=0
VA ~
et
= 0 ,
et on retrouve
~ ~ = 0 , avec ~ =
(4,60)
V ~.
4,5. LES ECOULEMENTS STATIONNAIRES ROTATIONNELS BAROCLINES 1. Considerons maintenant le cas des ecoulements stationnaires d'Euler
baroclines; on a les equations suivantes
{
(4,61)
V.p~ = 0 ; +
u.
V +u
~.V
S
Comme
~.V ~ =
P1 +'iJ
=0
o ,
p
•
1::1 2
V (~ ) +
2
~ 11. ~
1;t + + Vp = 'iJ h - T 'iJ S, P
et avec h
+
-
=e
+ Pip' nous pouvons ecrire,
a.
la place de la seconde des equations
(4,61), l'equation dite de Vazsonyi : (4,62) avec H = h +
1~12 2
Comme dans le cas stationnaire on a
;.V S
= 0, on constate de (4,62)
que l'on a aussi (4,63)
;.V Ainsi, les surfaces H(~)
H
=0
•
= Const.
(de Lamb) et les surfaces S(;)=Const.
(isentropiques) sont des surfaces de courant de notre ecoulement stationnaire d'Euler, barocline (rotationnel).
53
Plus generalement, soient ~ (;) = Const. et X (;) = Const. les deux familles de surfaces de courant qui caracterisent geometriquement (cinematiquement) notre ecoulement stationnaire tridimensionnel d'Euler barocline. Pui s que
=0
~.V ~
(4,64)
~.V X = 0 ,
et
il vient la representation suivante de la vitesse
(V
~ = -.1.
(4,65 )
~ A V X)
P ce qui integre l'equation de continuite :
V.(p
~) =
V.(V
~ A V X)
=V.[VA(~VX~ =0. ~. V S = 0,
Ainsi, comme consequence de
~. V H = 0 et de (4,65),
on constate que 1~12
(4,66)
ou
t
H= ~ 2
S
=s
(~,X)
+ h
,
H et S sont des fonctions arbitraires de
et de X qui se conservent le
~
long des lignes de courant de notre ecoulement stationnaire de fluide d 'Euler barocline. 2. Revenons maintenant
a l'equation
....
de Vazsonyi (4,62) et substituons u, H
et Sd'apres(4,65) et (4,66); onobtient : ;t;t
aH
....
aH
;t
;t
as
;t
as
;t
(v ~ A v X) A 2 w = p (a~ v~ + ax v X - T a~ v~ - T ax VX)
ou encore, en tirant profit de la formule du double produit vectoriel,
(2~.V~)
VXp
(;~
(2~.VX) -
V~
T ~)V X
+ p (aH _ T as a~ aljl
);t ,"
v~'
Cette derniere equation vectorielle est equivalente scalaires, qui s'ecrivent sous la forme suivante :
a deux
equations
54 +;:t"
2w. v 1/1 = p
{
(4,67)
aH
(ax -
+;:t"
T
aH
as
ax); as
2w.v X = -p(a1/l - T a1/l)'
et qui peuvent s'interpreter comme lJs integrales pre~eres de l'equation
(4,62). Ces integrales premieres (4,67) ont ete obtenues par Zeytounian en 1966~). L'ensemble des relations (4,65) a (4,67) donne une
de
Va~sonyi
nouvelle formulation des equations d'Euler pour les ecoulements stationnaires baroclines rotationnels. Au sujet de ces ecoulements,on pourra consulter notre monographie ("Notes sur les Ecoulements Rotationnels de Fluides Parfaits", dans la serie : Lecture Notes in Physics chez Springer-Verlag, Heidelberg 1974, vol. 27) ou l'on trouvera une analyse detaillee de ces ecoulements d'Euler (voir plus particulierement les Chapitres III et VIII de cette monographie). 3. Dans le cas particulier de l' ecoulement plan, ayant lieu dans le plan
(Ox , x ), on peut imposer que 1
2
x-
x
_ .l...£!t.. ,
.l!L - 0, u - p aX 1 3 , ax 2 3
Dans ce cas le tourbillon
tii
u
2 =
_ .l...£!t.. p aX 1
s'ecrit sous la forme simplifiee
et il n'y a done qu'une seule compos ante qui est perpendiculaire au plan de l'ecoulement. Ainsi, la seconde des relations (4,67) conduit
a la
formule suivante,
pour w3 '
(4,68) ouH
o
=H (1/1) etS 0
0
=S (1/1). 0
Cette formule (4,68) indique de
fa~on
explicite comment le tourbillon
est genere en ecoulement barocline rotationnel plan. On verra lors de la discussion des relations dites de chocs, pour les ecoulements discontinus, que la fonction H ne subit pas de discontinuite
a la
traversee d'une onde de
choc (cela est du au fait qu'il y a continuite de la quantite de mouvement
a
la traversee du choc); par contre l'entropie specifique, S, elle. subit une discontinuite (un accroissement) sur les lignes de courant en aval du choc If) Voir l'article : "Three-dimensional rotational motion in a compressible fll"id".
Academy of Sciences of USSR, Izvestya Atmospheric and Oceanic Physics, vol. " Feb. 1966, p. 61.
55
(suppose, en toute generalite, courbe). Ainsi, en fluide d'EUler, la production de tourbillon est causee par la variation d'entropie specifique d'une ligne de courant
a une
autre lors de la traversee de l'onde de choc. Ce cas se presente
lors de l'ecoUlement hypersonique •
pOJ.nte
1lI)
au~our
d'un
pro~il ~nce
dont Ie nez est en
•
a ce sujet lire avec profit Ie Cours de J.P. Guiraud : "Topic in hypersonic flow theorytl publie par Ie Department o~ Aeronautics and Astronautics, Stanford University (California, U.S.A., 3963). Ce Cours a ete traduit en langue russe par les Editions :MIR de Moscou:-erl 1965 et edite sous la forme d'un livre (Osnovnye voprozy teorii giperzvukovyh te~enij).
1lI) On pourra
LES EQUATIONS DE NAVIER POUR LE FLUIDE VISQUEUX INCOMPRESSIBLE 5,1. LE FLUIDE DE NAVIER Si le fluide n'est plus parfait, mais reste par contre incompressible, il faut faire intervenir les contraintes de viscosite T ... Comme l.J
~ :: ~.~ = 0 il vient T •.
l.J
=
2
~
d ..
l.J
~
dUo
dUo
(_l. + --.J.. ), dx. dx. J l.
avec des coordonnees cartesiennes. Ainsi, dans ce cas, le tenseur des contraintes de viscosite, propor· 1 . (qUl. . est un devl.ateur " . .)) , represente " t l.onne au t enseur des t aux de d"eformatl.ons = - p 0.. + T •• ), l.J l.J l.J ce qui n I est pas le cas en general pour un fluide visqueux compressible, pour
donc le deviateur du tenseur des contraintes (de composantes
lequel,
a la
0 ••
place de (5,1), on a la relation (2,11).
Le coefficient
~"
au niveau de (5,1) est toujours positif, ce que
· 1 es experl.ences " . .JIl) c , est le coeffl.cl.ent • . . . . ,. 10 rsque con f l.rme dynaml.que de Vl.scosl.te.
l'on suppose que: ~
-
~o
= Constante,
on di t que le fluide visqueux incompressible est un fluide de Navier. Le rapport ~o -= V 0 = Constante Po
est le coefficient de viscosite cinematique. Ainsi, on a la loi de comportement suivante, pour les fluides de Navier,
o .. = l.J
po l.J ..
+
2~
0
d .. ,
l.J
lI!)Precisons qu~ pour tout tenseur du second ordre A, on a la relation suivante, ~o~r le deviateur de A = (a .. ) : Dev A = A - 1/3 tr (A)jl,.lo~ tr(A) = ~ , 1.,J,k = 1,2,3(nos tenseurs ~~ second ordre sont tous symetrl.ques). lI!lI!) En particulier celle$effectueespar Poiseuille, physicien frangais (1799-1869). Ces experiences lui permettent d'etablir en 1844 les lois de l'ecoulement laminaire des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques et elles <3onduisent a la determination du coefficient de viscosite.
57
et une fois de plus,la pression (hydrodynamique) p, au niveau de (5,3), est un multiplicateur de Lagrange, qui est une inconnue au meme titre que la ->
vitesse u. Les deux fonctions ~ et p, deter~nant l'ecoulement d'un fluide de Navier (incompressible et visqueux), satisfont aux equations de Navier, qui decoulent des equations generales (2,28a) et (2,28b), P
= Po = Const.;
->->
(5,4)
'V.u = 0; -> dU
->->->
7:
n
"t + u. 'V u + v (--",- ) a Po
= \) 0
->
De maniere precise,les fonctions u et p, satisfaisant au systeme de Navier (5,4), caracterisent l'hydrodynamique de l'ecoulement de Navier. Comme ->->->
u. 'V u
avec
->
w=
217:V A ->u,
ls. troisieme
->2 u = 7:v jiL 2
->->
+ 2 wA u
7:
on trouve en prenant le rotationnel (vA.)des deux membres de
des equations (5,4), l'equation du tourbillon suivante :
une fois que l'on tient compte du fait que: ->
potentielle des forces exterieures f/
f
= - Po
V U,
ou U est la fonction
. On notera que cette equation (5,5),
Po pour le tourbillon d'un fluide visqueux incompressible,
t:i,
s'apparente
a une
equation du type de celle de la chaleur (parabolique). Naturellement, cela est bien le cas en theorie lineaire (diffusion du tourbillon sous l'action de la viscosite).
5,2. L'EQUATI0N REGISSANT L'ECOULEMENT PLAN OE NAVIER Un cas particulier interessant est celui de l'ecoulement plan. Soit (OX"
x ) le plan ou s'effectue l'ecoulement; dans ce cas le champ des vitesses 2 u ) est determine a partir d'une fonction de courant plan 1/J (t, x" x 2 ), 2 telle que : (u"
(5,6)
(5,7)
58
:02
avec
+
2
2
2 aX 1
aX
=a- - + a- -
+2
• Mais d' autre part, dans le cas plan,
2 2
aW
+
et !1w= (D w ) k 3
aW
3 ?j A (~ A ;) = (u - -3+ u - 1 ax, 2 aX 2
+
k
3
3
Ainsi, de l'equation generale (5,5), il vient pour la fonction de courant
W(t,
x , x ) l'equation scalaire suivante 1 2
o ,
(5,8)
W
qui est une equation quasilineaire du quatrieme ordre pour Cette equation (5,8) mise
SOllS
forme sans dimension
s'ecrira
(en gardant les memes notations) : (8
(5,9)
..l.. at
+ ~ l_~..l.._...l.. ay ax ax ay Re
:02 )
:o2 W= 0,
UL L o0 ou W (t,x,y), x - x , Y - x , 8 =_0_ et Re = 1 Ut 2 o 0 "0
5,3. L'EQUATION V'ENERGIE ASSOCIEE Lorsque p = p conduit
a ecrire
o
= Const. et ?j.~ = 0, l'equation generale (2,28c)
l'equation pour
~a
temperature absolue T
SOllS
la forme suivante
(5,10)
une fois que l'on suppose que le coefficient de conduction thermique k est constant k et r
= O.
=ko
= Constante,
Pour le champ des vitesses ; conuu
a partir
des equations de Navier
(5,4), l'equation (5,10), pour la temperature absolue T,est lineaire. Ainsi,
a chaque
ecoulement de Navier (dynamique) de fluide visqueux
et incompressible on peut associer un champ de temperature absolue satisfaisant
a l'equation
lineaire (en T) (5,10).
59
5,4. LE CAS DEM=O ET L'ECOULEMENT DE NAVIER Considerons les equations adimensionnelles de Navier-Stokes (3,32) -
(3,34). Faisons dans ces equations M = 0; on trouve alors pour ~,
TI
et
e
les equations simplifiees suivantes o~
-=0
o~
2
au.
a + _ (!!.) = lOu.1. ox. ox. y Re a 2
_1.
J
S
(5,11)
+
~
at
+
X
1.
j
~ - l ...L 02 e u j ox. - Pr Re a 2
V(vY--l1)I 2
~
J
X
aUi ox.
1
j
au;
(-+~)
Re
2
ox.
J
1.
Ce systeme (5,11) est equivalent au systeme constitue par les equations (5,4) et (5,10).
De plus,la relation (3,35) implique que: (5,12)
W
=
TI -
e,
ce qui permet de calculer la perturbation de masse volumique, w, une fois les perturbations de pression et de temperature,
TI
et
e,
calculees a partir du
systeme (5,11).
5,5. LE CAS DE Re
= 0;
L'EQUATI0N
DE STOKES
Revenons a l'equation (5,9), pour qu'au
niveau de (5,9), on impose Re
= 0;
~
(t,x,y), adimensionnelle. Supposons dans ce cas il vient, pour
l'equation simplifiee :
c'est-a-dire (5,14)
o ,
~
,
60 qui est l'equation dite de Stokes (dite aussi "biharmonique").A cette equation de Stokes est associe
le paradoxe celebre de
~
(lie
au "mauvais II comportement a l' infini). L' equation (5,14) est une equation elliptique. On notera que si l'on ne fait aucune hypothese sur le nombre de Strouhal, S, au niveau de l' equation "exacte II (5,9), valable que] que soit le nombre de Reynolds, Re, alors on perd la derivee temporelle en lorsque Re
=0;
de ce fait si une condition initiale sur
~
est associee a
~
(5,9), on ne pourra pas satisfaire a cette contrainte initiale au niveau de l'equation approchee
(5,1~),
valable lorsque Re
=O.
Il Y a la un probleme
de degenerescence singuliere et on pourra a ce sujet consulter la
Le~on
VII de
notre mooographie de 1987 (Lectures Notes in Physics, "Vol. 276 chez Springer-Verlag, Heidelberg).
5,6. LE CAS VE Re
=
00
;
L'E~UATrON
V'EULER
Considerons une fois de plus l'equation (5,9) pour
~
avec l'hypothese
que : S
=0
Dans ce cas, il vient pour
~
et
Re
=
00
•
(x,y) l'equation approchee suivante
ou encore
o ,
ce qui veut dire que (5,16)
au
F(~)
est une fonction arbitraire de
~
seulement qui doit-etre determinee,
par continuite, a partir de conditions a la limite a l'infini (amont). L'equation (5,16) est celle d'Euler et elle gouverne les ecoulements plans stationnairesde fluide parfait incompressible. C'est encore une equation elliptique qui se reduit a l'equation de Laplace, lorsque
F(~)
= O.
En fait,
61
a la
pour obtenir.
place de (5.16). l'equation de Laplace
il suffit que le tourbillon (perpendiculaire au plan de l'ecoulement) Boit nul
a l'infini
(amont). ce qui entraine. par continuite. qu'il est nul partout.
5, 7. Lf CAS Of Re» 1 ; L' fQ.UAT1 ON Of PRANVTL POUR LA COUCHE LIMITE Lorsque Re »1. il s'avere que la non dimensionnalisation qui conduit
a l'equation de Navier
(5.9) est satisfaisante uniquement si l'on examine l'ecoulement
a des
distances de l' ordre de L de la paroi de l' obstacle autour o duquel l'ecoulement peu visqueux incompressible est considere.
= O.
Supposons. pour simplifier. que l'equation de cette paroi est y On s'interesse. pour Re »1.
=0
y
a l'ecoulement
au voisinage immediat de cette paroi
et de ce fait.il semble logique dans ce cas.de garder x. puisque l'abscisse
reste la meme que l'on
//,/,/"///////////////////////,/,1'1 FP
soit pres de la paroi (a une distance.e.
o
«L) 0
Lo
ou loin de celle-ci (a une distance L ). o
Bar contre,il faut "distordre"convenablement y = 0
m
m
·.e~
m
..···· ·..·..···
·..
C"L--~
l' ordonnee y ainsi que la foncti on de courant 1jI. afin que y et 1j! restent de l' ordre de un, avec des variables sans dimension. dans la region tout pres de la paroi y = 0 ; ainsi. on pose:
•
y = t-
(5.18)
o
....
ou y
If
et 1j!
~
et
~ =
&• 0
0 .....
sont avec des dimensions. tandis que y et 1jI
et sont de l'ordre de un dans le voisinage d'epaisseur l
sont o
~
dimensions
de la paroi y = 0 .
Mais l'equation (5.9) a ete obtenue (cas stationnaire) lorsque (5,19 )
y =
t-•
-L
et 1jJ - U L
000
Par comparaison de (5,18) et (5,19) on trouve (avec des grandeurs sans dimension
~ =-!-o
62
oil apparai:t le petit parametre
oo
(5,21)
.t
=~« 1 • L o
Done. au voisinage immediat de la paroi y = 0,
a la
place de l'equation
(5,9), il nous faut, dans le cas stationnaire, considerer l'equation suivante (on tire profit de (5,20» : (5,22)
(
~ay
..l.. -
ax
1
~..l.. ) {o fl2 +...L fl ax ay ax 0 ay2 0
o
1
= Re Naturellement,lorsque
Re reste de l'ordre de un et que.t
les equations (5,9) et (5,22) sont equivalentes; de toute
fa~on
o
~ L
0
(5,9) et (5,22)
sont deux formes differentes sans dimensions de la meme equation dimensionnee
(5,8), pour le cas stationnaire (8
=0).
11 nous faut maintenant considerer la forme limite de l'equation
lorsque simultanement Re
et 0
+ ~
0
+
0, de telle
fa~on
(5,22)
que l'equation limite
ainsi obtenue contienne "au moins" un des termes du second membre de (5,22). On voit aisement que la seule possiblite consiste la relation de similitude suivante entre Re et 0 1
1
Re -. 02
a imposer
o
1 ,
o
ce qui nous donne pour 0
o
la relation
Ainsi, on constate que l' epaisseur de la region, pres de la paroi y = 0, qui nous interesse est :
(5,24)
.t
o
L
= __0_
IRe
c'est l'epaisseur (avec des dimensions) de la couche limite et qui gouverne la fonction de courant limite
l'~uation
63
~o
(5,25)
I')
est alors
a. i
Lim ~ -+ 00
Re o
3$0 3
-+
et
Y fixes,
0
3$0
a
(----ay 3x dX 3y
Cette derniere equation s'integre une fois, en
y,
et conduit
a.
l'equation suivante : (5,26) Lorsque f 0 (x) := 0, on obtient l' equation de Prandtl de la couche limite:")
5,8. LE CAS VE
Re «
Lorsque Re «
1;
L'EQUATION V'OSEEN
1 (fluide fortement visqueux) il s' avere que la
non dimensionnalisation qui a conduit
a l' equation (5,13) est
satisfaisante
uniquement que si l' on examine l' ecoulement de Navier dans une region pres de la paroi de l'obstacle, E , dont l'epaisseur reste de l'ordre de L ' L'equation o de Stokes (5,13) n'est pas adequate pour representer, meme pour Re tres petit devant un, l' ecoulement
a des
grandes distances de la paroi de E . A des
grandes distances, E "apparai:t" comme un petit domaine evanescent au voisinage de l' origine et nous supposerons qu' a des grandes distances de E, l' ecoulement est uniforme, ce qui veut dire 1j!
(5,27)
'V
Y
a.
qu' en variables sans dimensions, des grandes distances de
E.
Soit Yo une grandeur infiniment grande (qui tend vers l' 00 ); nous devons done au voisinage de l'infini,
a des
grandes distances de E , introduire
de nouvelles grandeurs adimensionnelles (5,28) et l'equation (5,9) devient, avec les grandeurs (5,28),
(5,29)
a un ecoulement uniforme, de vitesse constante parallele la plaque = 0, loin du bord d'attaque de cette plaque supposee semi-infinie (0 ~ X < 00).
lI!) Le cas fo(X) :: 0 correspond
a
y
64
On constate qu'il y a un choix particulier, qui est y
:=
o
1
Re
Ainsi, pour etudier ce qui se passe au voisinage de 1'00 il faut introduire les nouvelles grandeurs sans dimensions '\,
ou ~
satisfait
a l'equation "'\,,,
= Re
~
Re x,
x
Clx
= Re
ljJ
sans dimension
suivante
,,'}>
~2
'\,
_ ~.l... ) +n2 (ill!...L '\, '\, '\, '\, ay
~
et
y
Clx Cly
= n
'P ~
'\,
(+n2 'P) ~
.
COlllID.e l'obstacle E est un petit domaine (evanescent avec Re
+ 0)
dans le plan (~, ~), au voisinage de l'origine, on peut supposer que l'ecoulement uniforme
a l'infini,
correspondant
a:
(5,33)
sera peu perturbe par cet obstacle, de telle sorte que la solution de (5,32) pourra etre recherchee sous la forme du developpement suivant
~ =~
(5,34)
ou
~
(Re)
+
0, avec Re
+
+
~ (Re) ~1
+ ...
0, est une jauge qui reste
a determiner.
En substituant (5,34) dans (5,32) on constate qu 'a l' ordre la fonction ~1 satisfait
a l'equation .l...
(5,35)
Cl~
'\,
(+n2 'P) ~1
]..l
(Re),
dite d'Oseen '\,
'\,
=n
n
+2 (+2 'P )
1j!1 '
qui est lineaire. Ainsi, lorsque Re« 1, l' equation de Stokes (5,13) fourni t une solution approchee valable au voisinage de l'obstacle, tandis que l'equation d'Oseen (5,35) donne
une solution approchee valable au voisinage de l'infini, a de
grandes distances de cet obstacle : ce n'est que par la conjonction des deux
65
solutions que l'on parvient
a construire
une solution uniformement valable
partout. Le fait que la solution de Stokes (de l'equation (5,13)) devient singuliere
a de
grandes distances de l'obstacle constitue justement le
paradoxe de Stokes: on ne peut pas obtenir une solution de (5,13), qui satisfaisant condition
a des
conditions sur la paroi de E , satisfasse aussi
a l'infini
(5,27) ?
a la
CHAPITRE III
FORMULATION DES PROBLEMES MATMEMATIQUES CORRESPONDANTS AUX EQUATIONS DE NAVIER-STOKES, DE NAVIER ET D'EULER
La question fondamentale qui nous interessera. dans ce chapitre III. est de savoir : Quelles sont les
donn~es
chapitres I et II. sont propres relation
avec le probleme
qui. jointes aux
a d~terminer
Naturellement. le choix de ces pos~s).
les solutions de ces
dans les
~quations
en
d'~coulement consid~r~.
l'exigence que les problemes ("correctement"
~quations formul~es
donn~es
est avant tout tributaire de
d'~coulements consid~r~s
doivent etre bien
pos~s
Ceci implique que:
1) le probleme ait une solution (existence) 2) que cette solution soit unique
(unicit~)
3) et cette solution unique. qui existe.
d~pende
continUment des
donn~es (stabilit~).
La des
donn~es
stabilit~
de la solution veut dire qu'une
tout de suite qu'il s'agit ici des possible de mettre en de
alt~ration
tres petite
ne peut changer que tres peu les valeurs de cette solution.
l'~coulement.
~vidence
~coulements
Pr~cisons
dits laminaires. lorsqu'il est
l'existence physique des filets fluides au sein
Cependant,il faut bien comprendre que sous l'effet de la
variation de divers parametres. ou encore thermodynamiques.un
li~s
a des
~coulement,
donn~es g~om~triques.
qui
~tait
au
d~part
devenir ensuite turbulent. De ce fait, se pose le probleme de d' appari tion de la turbulence et de
d~crire
le
ph~nomene
dynamiques
laminaire. peut d~celer
lesconditions
crucial de la transition,
67
c'est-a.-dire du passage du regime laminaire au regime turbulent. Disons ici. uniquement.que cette transition debute. en general. par une phase dite d'instabilite. Le Chapitre Vest cons acre au probl~me de la stabilite hydrodynamique. tandis qu' au chapitre VI on exposera une theorie phenom~nologique de la trans i' -. ° t1° on vers le chaos"'). On verra que le phenomene de , dependance sens1tive aux conditions initiales (DSCI) est une des caracteristiques essentielles de la turbulence et elle est intimement liee a. l'apparition d'attracteurs dits etranges dans l'espace des phases du systeme hydrodynamique (dissipatif) etudie. D'apres Ruelle et Takens ("On the nature of turbulence". article dans: Corom. Math. Phys.
20. 1971. 167-192). on peut definir un attracteur etrange corome un attracteur presentant le phenomene de DSCI; ce caractere de la dynamique des trajectoires attirees vers l'attracteur etrange. et qui y restent confinees. etant plus directement relie a. un comportement chaotique (resultats d'un petit nombre de bifurcations successives). Nous n'en dirons pas plus. ici.sur ce sujet. 1. En fait. pour le mecanicien des fluides. le probl~me formule au depart
(equations. avec donnees initiales et aux frontieres) sera bien pose s'il arrive a. mener a. bien le calcul de la solution de ce probl~me. Les methodes qui servent au calcul de la solution etant. bien souvent. les plus propres
a la
"demonstration"
de son existence et de son unicite. Le probleme de la stabilite de cette solution devant faire l'objet d'une etude speciale (voir le Chapitre
V
). C'est la. un
point de vue que nous appelerons "constructif" et qui n' est pas. naturellement. , ° .... celui du mathematicien. A cet ,egard, le 11vre de Roger Temam"'.)• qU1° compren d pres
de 500 pages consacrees a. l'analyse mathematique rigoureuse des equations de Navier d'une part. et de Stokes. d'autre part. est tres revelateur des positions radicalement differentes du mathematicien puriste (specialiste de theoremes) et du mecanicien des fluides confronte aux applications et qui raisonne en mathematicien applique. au sens que les Anglo-Saxons donnent
a ce
terme.
Nous avons deja. precise que les equations de Navier-Stokes forment un systeme ferme. en ce sens qu'il y a autant d' equations (au nombre de quatre si l'on tient compte de la loi d'etat) que d'inconnues (~. p. p et T). C'est la. un point important. pour nous mecanicien des fluides.qui laisse "presager" que ce systeme de Navier-Stokes admettra. en general. une solution 1If) Le chaos n'est qu'un cas particulier de la turbulence dans les ecoulements
fluides. Le chaos decrit le caract ere irregulier (non laminaire) de l'ecoulement. lorsque un nombre fini de modes deviennent instables. tandis que lors de la turbulence les modes instables sont en nombre infini. excitant un nombre infini de degres de liberte dans le systeme hydrodynamique considere (turbulence developpe~. 1If1lf) Dent le titre est: "Navier-Stokes equations" (theory and numerical analysis). North-Holland Publ. Company. Amsterdam. 1979.
68
et une seule, si le choix des donnees initiales et aux frontieres est fait de
fa~on
convenable. En particulier, si l'on peut s'assurer que le systeme
de Navier-Stokes ne peut admettre plus d'une solution, on est, par la meme, "presque" assure qu'il en admet une seule. 2. Du pmint de vue mathematique, en ce qui concerne le systeme de N-S, une difficulte majeure est liee au fait que ce systeme ne rentre pas dans le cadre de la classification habituelle qui regroupe les equations et systemes d'equations aux derivees partielles suivant le type elliptique, parabolique oUhyperbolique. De toute
fa~on
il n'existe pas, a l'heure actuelle, de theorie
mathematique rigoureuse pour ce systeme de N-S complet (visqueux, compressible et conducteur de la chaleur, dans l'espace-temps a
4
dimensions); on trouvera
des resultats dans l'article de Solonnikov et Kazhikhov de
1981~).
Dans le but de formuler les donnees initiales et aux frontieres appropriees, on doit done se contenter d' arguments "plausibles". L'une des difficultes les plus fondamentales de l' analyse mathematique du systeme de N-S tient au caractere quasi-lineaire des eCluations. Une autre difficulte, a surmonter
malaisee
tient au fait que, contrairement a ~ et T, la masse volumiClue p
n'intervient pas au niveau de l'equation (2,28a)
par ses derivees secondes
spatiales. Enfin, les derivees interviennent non lineairement des que les coefficients de dissipation
~
, A et k ne sont pas constants.
L'un des arguments plausibles consiste a se laisser guider par les resultats concernant les systemes lineaires dits "incompletement paraboliques", dont l'etude est assez recente et on llflf
base de Gustafsson et Sundstrom
).
pourr~a
ce sujet,consulter l'article de
En convenant de faire
~, ~v=
A + } l.l et k
constants dans les eCluations (2,28b) et (2,28c) du systeme de N-S et d'y traiter les coefficients des divers derivees comme des constantes on peut voir, en prenant comme fonctions inconnues ~, T et p , que les equations (2,28b) et (2,28c) forment un systeme parabolique (puisque ~ > 0,
lly::: 0 et k > 0) pour
tandis Clue l'equation (2,28a) est hyperbolique relativement
ap
•
lIf) Voir: Annual Review of Fluid Mechanics, N° 13, 1981, pp. 79-95 .
• lIf) Article dans: SIAM J. of Appl. Maths, 35, 2, 1978, pp~ 343-357.
~ et T,
69
=
=
=
3. Lorsque p 0, ~v 0 et k O,on retombe sur les equations d'Euler (4,8); les equations instationnaires(4,8) forment un systeme hyperbolique. En effet, pour se convaincre que le systeme des equations d'Euler (4,8) est bien un systeme hyperbolique,il suffit de l'ecrire sous forme matricielle relativement
a p,
~
au + A. (U) ~ - 0 at J ax. , J
ou A.(U) J
=d
s'explicite
F.(U)/dU J
a partir
j
= 1,
2, 3, est une matrice carree 5 x 5 qui
des expressions:
U
p
p u.
P u1
P u 1 u. + P °1j J P u 2 u j + P °2j
J
F.(U) J
P u2 P u
P u 3 u j + p °3j
3
p E
une fois que l'on suppose que
P E u j + P ~ 0jk
f _0
au niveau de la premiere des equations (4,8).
Soit alors L une variete de dimension trois, dans l'espace-temps euclidien
a quatre
dimensions, d' equation
s et soient
Ci.
p
,
a l'equation det
ou
~
l.
"0" correspondant au temps t) des reels
P = 0, 1, 2, 3 (l'indice
non nuls satisfaisant
(et
o
=0
(t, x.)
r
caracteristique +
et.
J
A.) = 0 J
j=1,2,3,
est la matrice unite (de composantes 0.. ). La famille de varietes L definie
par l'equation
S (t, x.) l.
l.J
S sont les solutions de
= 0, ou les fonctions
as
at =
et
as
o et ~ = J
et .
J
est appelee famille de varietes caracteristiques. Pour se convaincre que le systeme des equations d'Euler est bien du type hyperbolique, il suffit et i l
70
est necessaire de montrer que: pour tous les reels a,. j = 1. 2. 3. non nuls. la matrice
A=
J aj~j a toutes ses valeurs propres reelles et est diagonalisable.
On peut se convaincre que c'est effectivement le cas. Le t
'1 deJa " ' . .anc~en ... de
rava~
. lJ) • qU1. recherche les
Serr~n
. .
cond~t~ons
garantissant 1 'unicite des solutions des equations d'Euler. etant mis les resultats des etudes plus recentes··) sont relatifs des equations d'Euler et l'on ne dispose pas d'un
a la
theorem~
version linearisee
d'existence global
(relativement au temps) pour ces equations d'Euler compressibles sont. elles. quasilineaires. Il faut toutefois signaler la
a part.
tr~s
compl~tes
qui
abondante
litterature consacree aux equations hyperboliques de conservation de la forme
au at
aF.(U)
+ --~-- = 0
ax.
~
La theorie mathematique est done manifestement incomplete. ce qui fait que nous devons. dans ce qui suit. au § 6. nous contenter d'hnposer des donnees initiales et aux frontieres plausibles confirmees. en particulier. par l'experience. 4. Pour ce qui concerne les equations de Navier (5.4). pour la vitesse
! et la
pression P. disons tout de suite que ces equations (5.4) ne rentrent pas dans la categorie des syst~es incompletement paraboliques, puisqu ' ~ la place de l'equation de continuite complete (DP/Dt + P v.~ d'incompressibilite (V.~
= 0).
= 0)
pour p.on a la condition
qui est. en fait. une contrainte sur ~. . . • 19 73.JJlf) • part~e du l~ vre de Sh~nbrot de
On trouvera dans la seconde
un expose des premiers resultats rigoureux concernant l'existence et l'unicite des solutions du systeme de Navier (5.4). qui prennent leur origine dans les travaux de base de Leray
+.
• ) Article dans : Arch. Ration. Mech. Anal.. 3. 1959. 271-288 • •• ) Voir. par exemple. le travail de Oliger et Sundstrom dans SIAM J. of Appl. Maths •• 35. 3. 1978. 419. ***) Dent le titre est "Lecture on Fluid MeChanics"; publie chez Gordon and Breach. N-Y • ..12TI. Ces travaux ont ete publies dans : J. Maths. Pures et Appl.. 12. j 933. 1 a 82 et 1934. 331 a 418. ainsi que dans: Acta Math •• 63. 1934:-193 it 248.
n.
71
Au
§ 6,nous donnons des indications concernant la formulation des
donnees initiales et aux frontieres pour les equations de N-S, de Navier et d'Euler. Au
§
7~on
trouvera divers renseignements sur l'existence et l'unicite
des solutions des equations de N-S. Au § 8,on discute de l'existence, de l'unicite et de la regularite des solutions des equations de Navier. Enfin, au § 9, on expose les elements d' une theorie mathematique des equations d' Euler, du point de vue du mecanicien des fluides.
w FORMULATION DES DONNEES INITIALES, AUX FRONTIERES ET A L'INFINI 6,1. LE PROBLEME VES VONNEES INITIALES Pour un systeme incompletement parabolique, tel que celui de N-S compressible et conducteur de la chaleur, il y a lieu de se donner Ie champ complet des
••
-+-
: u, p et T, comme
fonct~ons ~nconnues
donn~e
initiale. Ainsi, nous
imposons :
~ =~, p = po et T = TO, pour t = 0 ,
(6,1)
au ~o, pO et TO sont des donnees connues, fonctions des yariables spatiales
Xi' i = 1, 2, 3. Les donn~es initiales (6,1) sont celles du probleme d'evolution de Cauchy, permettant de determiner
l'~tat
instants t > 0 voisins, puisque les
ulterieur de l'ecoulement fluide
~quations
de N-S completes
a des
fournissent
explicitement les derivees partielles de ces fonctions relativement au temps t. Pour les
~quations
d'Euler compressibles (4,8) les
donn~es
initiales
seront
(6,2) ou
= SOe'
et S
~ pO e' e
pour t
=o
,
et SO sont des fonctions connues de x. e ~ On notera que Ie passage a la limite (Re -+-
conduit (des
~quationsde
N-S)aux
car il ne fait perdre aucune
~quations
deriv~e
d'Euler est
00
a t, xi fixes) qui
r~gulier
relativement at,
partielle relativement au temps.
Par contre, si l'on considere les ~quations d'Euler barotropes(4,16)
= O,les
on constate qu'il suffit de slimpose~ a t la valeur initiale SO e
=
valeurs de ~ et de p uniquement;
SO = constante intervenant alors au niveau de la loi
d'etat barotrope (4,15), dans la constante k En ce qui concerne
l'~quation
o
de Steichen (4,31),pour Ie potentiel des
vitesses ~ (t, x.),il faut ~
imposer deux conditions initiales
(6,3)
~ = f>
avec
4f
et
(xi) et
O
W des fonctions connues de x.
~
~
73 Par contre, au niveau des equations d'Euler incompressibles il suffit de s'imposer
a l'instant
initial uniquement ~ : +
(6,4) de telle
a la
~. (x.]. ),pour t e].
u
fa~on
que:
=0
,
;t; +0
v.uei = O. La valeur initiale (constante) de p etant liee
valeur initiale (constante) de S, par la relation (4,39),
De meme, pour les equations de Navier (5,4), il est necessaire de se donner uniquement le champ des vitesses
(6,5) avec
+ +0
V,~
= O.
Si les equations de Navier (5~4), avec (5,10), sont considerees
comme un cas limite de (3,32)
a (3,34),
lorsque M + 0 a t et xi fixes, alors il
y a une "incompatibilite" entre les donnees initiales +
(6,6)
u
+0
= UN'
T _
-
0
_
TN ' pour t - 0 ,
et les donnees initiales (6,1) de N-S. On sait bien maintenant que c'est justement cette incompatibilite qui nous oblige a considerer les equations de l'acoustigue, representatives de l'ecoulement de N-S, faiblement compressible, au voisinage de t = 0 , Bien souvent,en aero-hydrodynamique,on s'interesse plus particulierement aux ecoulements periodiques dans le temps et,dans ce cas,les donnees initiales sont remplacees par des conditions de periodicite relativement a t. Faisons encore une remarque. Considerons l'equation de Steichen (4,31) a laquelle il faut associer (6,3). Si nous faisons au niveau de ce probleme de Cauchy : Moo
+
0 a t et
~
fixes, nous retrouvons l' equation de Laplace pour le
cas incompressible :
(6,7)
£;
~
=0
.
Ainsi, le passage a la limite "incompressible"
(6,8)
Moo +
0
at
et
~
fixes,
a la f8.cheuse consequence de transformer un probleme de type hyperbolique en un probleme de type elliptique qui ne contient plus de derivees temporelles. C'est la l'indication que le double passage a la limite: Moo certainement singulier au voisinage de t
= O.
+
0 et
t
+
0, est
11 faut alors, au voisinage de t
0,
74 considerer un nouveau passage a. la limite (dit local; -voir a. ce sujet Ie Chapitre IV), permettant de recuperer les derivees partielles en temps et a. cette
fi~
il faut renormaliser Ie temps de telle
fa~on
que 1e temps adimen-
sionne1 soit bien adapte au phenomene ayant lieu au -voisinage de t = 0 - de cette fagon emerge l'equation c1assique de l'acoustique 1ineaire t
A
(6,9)
, a-vec t
M
00
a. 1aque11e on peut associer deux conditions initia1es pour t o .
6,2. LE PROBLEME VES VONNEES AUX FRONTIERES 1. Pour ce qui concerne 1es donnees aux frontieres a imposer aux equations de
N-S pour ~, p et T (la pression p etant, en fait, une inconnue intermediaire
1iee directement a p et a T),les choses sont malheureusement beaucoup moins c1airesque pour 1es donnees initia1es. Cependant, si l'on s'en tient uniquement au nombre de donnees a imposer, 1a question est assez simple: i1 faut s'imposer autant de donnees que 1a partie parabolique du systeme de N-S contient d' equations (dans notre cas deux, pour ~ et T) et i1 .faut en outre s'imposer 1e nombre de donnees correspondant a 1a partie hyperbo1ique consideree iso1ement (c'est-a.dire a l'equation de continuite pour p ). De maniere plus precise,
i1 y a lieu
de se donner ;, T et p it 1a .frontiere si, par cette frontiere, 1e f1mde de N-S penetre dans 1e domaine d' ecoulement, tandi s qu' i1 ne .faut se donner que ; et T si,
a.
1a frontiere, Ie fluide sort du domaine d' ecoulement.
Ces indications sont corroborees par un resultat theorique du a Serrin (dans son tra-vai1 de 1959, deja cite), qui garantit l'unicite de 1a solution, pour l'ecoulement prenant place dans un domaine borne, si a 1a .frontiere de ce domaine,on s'impose des donnees aux frontieres definies de 1a maniere suivante. Soit ; 1e vecteur unitaire de 1a normale a 1a frontiere
an, du domaine
borne n a l'interieur duquel l'ecoulement est confine; ~ est dirige yers 1e fluide a l'interieur de n et on precise que l e s t 1e. derivee 1e long de + ± an a cette normale (an = n.v). Dans ce cas sur an,on doit ecrire : +
(6,10 )
oU;p
+
u = up'
sur
an,
est la -vitesse des points de 1a frontiere
(c'est une donnee du prob1eme).
an,
supposee en mouvement
75 De plus, lorsque an a travers
est impermeable (pas de
d'aspiration
soufflag~ni
an ),il faut associer l'une ou l'autre des trois conditions suivantes,
pour la temperature :
T = Tp ,
(6,11a) ou
- k aT an
(6,11b) ou encore
- k aT +
(6,11c)
an
=r
sur an
cr (Tp- T )
=r
ou Tp ' cr et r sont des fonctions (eventuellement des constantes) donnees sur an. Les equations de N-S completes (2,28), avec une loi d'etat (e = e (p,T), par exemple),pour~, pet T, avec les conditions initiales (6,1), la condition dite d'adherence de la vitesse a la paroi, (6,10) et l'une des conditions (6,11) forment un probleme aux valeurs initiales et ala frontiere"bien pose", en ce sens que l'on peut calculer une solution physiquement valable de ce probleme I -+-
2. Considerons maintenant le cas des equations d'Euler (4,8) pour u, p et S. Dans ce cas, sur toute paroi impermeable, la composante normale de la vitesse relative ala paroi doit etre nulle - c'est la condition dite "de glissement". Ainsi : -+--+-
u.n
(6,12) -+-
W
n
sur an,
-+-
- Up.n
En particulier, si la fonction E (t, xi)
=0
represente l'equation de
an, a tout instant t, dans le systeme de coordonnees cartesiennes xi' alors. lorsque w - 0, on devra ecrire sur an : n (6,13)
o . On notera que cette condition, cinematique, qui est toujours necessaire,
devient ici, pour le cas du fluide d'Euler, aussi suffisante. Ainsi, on constate que lorsque l'on passe du fluide de N-S (suppose peu visqueux et peu conducteur de chaleur) au fluide d' Euler, il y a sur la paroi delimitant l'ecoulement une perte importante d'information : la condition d'adherence (6,10) doit etre remplacee par la condition,(6,12),de glissement. Cette perte d'information a des repercussions importantes sur l'ecoulement d~ fluide d'Euler, qui se traduisent par la necessite d'introduire des contraintes
76
complementaires, et en particulier apparait le phenomene de couche limite au voisinage immediat de la paroi. En particulier, si l' equation L
0 est de la forme
(6,14) "'" . " . et S1. u 1 ' u 2 et u des1gnent les composantes cartes1ennes de +u, alors, de 3 (6,13), on obtient
(6,15)
Dans le cas eulerien,il n'y a pas de condition
a la
sur la temperature
paroi; cela est dU, au fait, que l'equation de l'energie est reduite
a
une equation de conservation de l'entropie, le long des trajectoires de l'ecoulement eulerien, ce qui necessite uniquement la connaissance d'une condition initiale. De toute
fa~on,
il faut bien comprendre que le choix des conditions
doit etre coherent avec le type des equations et leurs ordres. On constate bien que le systeme des equations d'Euler (4,8),
OU seules figurent les
derivees premieres des inconnues, est d'ordre moins eleve que le systeme des equations de N-S ou figurent, en particulier, les termes
V.(~
V~)
et
V.(k VT)
qui font intervenir des derivees spatiales du second ordre. Si l'on sait bien que
la
condition necessaire de glissement est suffisante dans le cas d'un
fluide eulerien,en ce sens qu'il n'est pas possible d'ecrire alors sur la paroi des conditions plus fortes (il n'en resulte pas,neanmoins que l'unicite soit toujours assuree; voir
a ce
sujet le
§ 9), il convient par contre, dans le cas du fluiae
de N-S, d'ecrire des conditions supplementaires et c'est bien ce qui est fait quand on remplace la condition de glissement (6,12) par la condition d'adherence (6,10) . 3. Pour les equations de Navier (5,4),regissant l'ecoulement d'un fluide visqueux incompressible de vitesse ~ et dont la pression hydrodynamique est p, on doit ecrire uniquement la condition d'adherence (6,10). En particulier, si l'on represente le vecteur vitesse ~ sous la forme (6,16)
-+
u
-+
up +
-+ ~
-+
+ un n
-+ -+ ~.n
= 0,
77
alors l' adherence de ~ sur
an
se traduit par : -+~
(6,17)
=0
et
un
= 0,
sur
an.
Precisons encore que, si l'ecoulement est effectivement confine dans un domaine borne n (une enceinte), alors il faut que la condition suivante soit aussi satisfaite
fan
(6,18)
ou do est l'element d'aire de
o , -+--+-
an
puisque 'Y.u
o dans n,
d'apres le theoreme
de la divergence. On notera que lorsque la paroi est impermeable on a toujours -+-
(6,19a)
up) = 0 ~ cette paroi.
D'autre part, de la theorie cinetique des gaz, lorsque le nombre de Knudsen, (1,23), Kn
-+- 0,
on a -+-
-+-
-+-
n A (u - up) = 0 ,
(6,19b)
sur la paroi. De (6,19a) et (6,19b),on retrouve (6,17). La condition (6,19b) est la forme faible de la condition d'adherence.
4. En ce qui concerne la temperature, la theorie cinetique des gaz permet de preciser que, sur toute paroi : (6,20) ou
T
-+- -+-
Tp - S q.n,
S est une fonction scalaire. Il est bon de preciser que, d'une maniere generale, la theorie des
systemes incompletement paraboliques donne des indications sur la nature des donnees aux frontieres
a imposer.
Ce qui est important
a retenir
c'est que
ces donnees aux frontieres peuvent faire intervenir les fonctions ~, p et T ainsi que les derivees normales de ~ et de T, mais pas de p • NollS laissons, pour l'instant, de cote les conditions
a imposer
sur les interfaces (entre
deux fluides), les nappes tourbillonnaires (qui sont des surfaces de contact; voir
a ce
sujet la section 9,7 du § 9)et les ondes de choc (voir
la section 9,8 du
§ 9).
a ce
sujet
78
6,3. LE PROBLEME VES CONVITIONS A L'INF!N! Naturellement, lorsque l'on considere l'ecoulement autour d'un corps, de dimensions finies, dans tout l'espace, il faut aussi associer aux equations des conditions de comportement
a l'infini.
La situation la plus simple est celle d'un ecoulement uniforme
a
l' infini aussi bien du point de vue cinematique que thermodynamique. Dans ce cas, on ecrira que: (6,21) ou ~, Too et poo sont des grandeurs constantes bien definies,supposees etre des donnees du probleme d'ecoulement considere. Cependant, dans bien des cas, l'ecriture des conditions faite de telle
fa~on
a l'infini
est beaucoup plus delicate et doit etre
qu'elle permette de privilegier la bonne solution du
probleme mathematique formule, modelisant le phenomene d'ecoulement considere. De ce fait, bien souvent, il est assez illusoire de vouloir s'imposer des conditions de comportement
a l'infini
qui peuvent paraitre a priori physiquement
evidentes. D'ailleurs, pour certains problemes,les conditions de comportement
a l'infini complexes
traduisent des conditions de "raccord" et elles sont alors plus
a ecrire.
Donnons un exemple afin d'illustrer quelque peu notre propos. Considerons l'equation (6,9) et recherchons sa solution sous la forme d'une onde monochromatique :
~
(6,22)
=x1 +
Reel {
(x) e.xp (-iwt)}
11 vient alors pour ep (x) une equation elliptique du type de celle d'Helmoltz (6,23) Le probleme lie tout S
~
a l'equation
des ondes (6,9) est hyperbolique pour
0; c'est en general un probleme de"diffusion"(scattering,en anglais)
d'ondes par un obstacle borne de paroi
r et,sous des conditions aux limites
et initiales adequates (que nous ne prec1serons pas ici),il admet une solution unique!!!). Par contre, le probleme lie
a l'equation
d'Helmoltz (6,23) est lui
.) Voir a ce sujet le livre de Wilcox (Scattering theory for the d'Alembert equation in exterior domain), Lectures Notes in Mathematics, vol. 442, Springer-Verlag, 1975 .
79
elliptique et une condition classique pour (6,23) est (6,24)
= 0 .
Du fait du changement de type (hyperbolique + elliptique), on perd l'unicite de la solution et depuis Sommerfeld cette unicite est retablie en imposant une condition complementaire de comportement
a l'infini,
dite de
radiation (ou de r-++
(6,25)
oo ;
iSW~=O,
... 2 2 2 2 ou r = x, + x + x • En particulier, pour un probleme plan, lorsque l'obstacle 2 3 est un contour ferme dans Ie plan = r cos a et X = r sin e, il vient a la 2 place de (6,25) Ie comportement suivant :
x,
2S
~ ( TI~) r+ + 00
(6,26)
1/2
sin a Reel
{
G (cos a)exp [i (Swr -
*
ou la fonction G (cos a) est arbi traire et depend de la forme du contour dans Ie plan (Xl' x ). Si l'ecoulement est symetrique et que l'on considere unique2 ment Ie demi-plan x > alors, la perturbation devant s'annuler a l'infini 2 amont (x, + - 00), d'apres (6,22), il faut imposer:
°
G (cos a)
(6,27)
=0, pour cos
a < 0 .
On notera que, des qu'il y a perte de l'hyperbolicite dans les problemes d'ecoulements en domaine infini (filtrage des ondes acoustiques), il faut s'attendre
a l'infini.
a des
difficultes en
ce qui concerne les conditions de comportement
Ce cas se presente tout naturellement dans les problemes 'ineteo-
rOlogiques" pour lesquels on a en altiauae un domaine semi-borne (0,00).
w EXISTENCE ET UNICITE DES SOLUTIONS DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES 1,1. CAS VE L'ECOULEMENT VANS UNE ENCEINTE BORNEE Les resultats concernant l'existence et l'unicite du probleme aux valeurs initiales et a la frontiere pour les
e~uations
de N-S sont principa-
lement relatifs aux ecoulements confines dans une enceinte En
ce
~ui
n bornee.
concerne l'unicite de ce probleme citons le travail de
Serrin (de 1959, deja cite; voir les §§ 3 et 7); il s'agit de solutions lisses et les coefficients de dissipation
~'~v
et k sont supposes constants. Dans ce
travail de 1959, Serrin demontre un premier theoreme d'unicite pour le cas de ~o
> 0,
~
Vo
> 0 et k 0
~
0; un second theoreme d'unicite concerne le cas de
> 0, k > 0 mais ~vo = 0 et dans ce cas, il faut supposer o au niveau de la loi d t etat :
~o
~ue
ClP/3p > 0,
p = P (p,T) •
De plus, Serrin note
si les coefficients de dissipation sont des
~ue
fonctions differentiables de p et de T, telles ~
> 0, k > 0 et
~v
~ue
> 0 ,
alors les resultats du premier theoreme d'unicite restent yalables. Serrin, dans ce
weme
travail de 1959, obtient aussi un theoreme
d'unicite pour le cas du fluide dit'a'Euler-Navier' e~uations
suivantes (A = ~
=0 et k
> 0) :
Dp + ->-->Dt p'V.u=O
(7,2)
P (7,4)
~ui
DT
p c v Dt +
->-
;t;
->-
f
->-
P Y.u = V.(k 'V T) + P r
p =
pour le cas du gaz parfait a cp et
R P T, e = Cv T , C
v
constants.
est gouyerne par les
81
Comme consequence des theoremes d'unicite de Serrin on
obtient aussi
que la solution depend continUment des donnees initiales; en d'autres termes cette solution,quelque soit t, reste uniformement bornee. Malheureusement, ces theoremes d'unicite
de Serrin necessitent implicitement l'existence des solutions
pour tous les t > 0 (existence globale) et
a l'heure actuelle
un tel theoreme
d'existence globale pour les equations de N-S n'existe pas I On a par contre des theoremes d'existence locaux. Le premier theoreme d'existence local pour les equations de N-S est du a Nash·); il s'agit de l'existence de la solution classique du probleme de Cauchy aux valeurs initiales pour une enceinte bornee deJR 3 et l'existence n'est assuree que pour un "petit" intervalle de temps (0, t 1 ) dependant des donnees initiales. Le resultat deLNash ". . . "", a-.... ..) a T a ete,quelque peu,genera11se par Itaya et aUSS1 par VOl'pert et Khudyaev .
.. . . ~**) ont demontre ........ Recemment,Matsumura et N1sh1da
. . . de Cauchy, pour que Ie probleme
les equations de N-S completes tridimensionnelles, est resolvable ~u sens larg~'; respectivement au temps t, si les donnees initiales (6,1) sont tres proches de constantes. En ce qui concerne Ie probleme de l'existence (locale) de la solution du probleme mixte (avec valeurs initiales et a la fronti ere), il faut noter Ie
.
.
trava11 de Solonn1kov
.~~.)
.
,.".
.... .
....
.
....
qU1 demontre la resolub111te locale du probleme m1xte
de N-S pour Ie cas barotrope, lorsque p
= g(p),et
en supposant que
A et
~
sont
des coefficients de viscosite constants; dans ce cas la seule condition a la
.....
frontiere de l'enceinte bornee est la condition d'adherence de la vitesse. Un ... ... .... .... . " .... .. ). .... .... cas plus general a ete cons1dere par Tan1 qU1 a obtenu un theoreme local d'existence pour Ie probleme mixte de N-S, lorsqu' a la frontiere de l'enceinte bornee on s'impose pour la temperature la condition (6,11a); de plus certaines conditions de compatibilite etant requises (Tani suppose, cependant,
~p
=0)
que
sur les donnees initiales (6,1) et la temperature de paroi Tp . On trouvera,dans l'article de synthese de Solonnikov et Kazhikhov (de 1981, deja cite; voir les pages 83 a 86),les details de la demonstration de ce theoreme de
Tani . • ) Dans: Bull. Soc. Math. France, t. 90, nO 4, 1962, 487-497 . •• ) Voir: Proc. Japan Acad., vol. 46, nO 4, 1970:-379-382. :+= Dans: Math. USSR-Sbornik, .l2., 1972, 517-5~ ••• ) Dans: J. Math. KYoto Univ., 20, 1980, 67-104 . •••• ) Voir: Zapiski Nauchn. Semin. Leningrad Otd. Math. Inst. Steklov, t. 56, 1976, 128-142 (en russel . ••••• ) Dans: Publ. Res. Inst. Math. Sci. KYoto Univ., 13, nO 1, 1977, 193-253.
82
7,2. CAS VE L'ECOULEMENT MONOVIMENSIONNEL On a vu que la question concernant la resolubilite des problemes de Cauchy et mixte pour les equations de N-S completes dans un intervalle de temps arbitraire, independant des donnees (theoreme global d'existence), reste encore largement ouverte. Cependant, pour les problemes monodimensionnels instationnaires, de tels theoremes globaux d'existence sont demontres. Supposons donc que u 1 (la seule compos ante de la vi tesse le long de P, T, p soient des fonctions de t et de x, uniquement. Dans
l'axe des x,) et ce cas,
a la
place des equations (2,30), on doit considerer le systeme mono-
dimensionnel instationnaire suivant ap apu 1 -+--=0 ; at ax, P
(7,6)
aU 1
(at"
au, + u 1 ax,
aT
au,
aT
(-)
P cv(at + u 1 ~ p
2
ax,
= R P T.
10rsque l'on considere le mouvement du gaz dans un intervalle borne
o
< x, < 1 , on doit associer aux equations
0 et initiales suivantes :
(7,6) les conditions aux limites
o,
(7,7a)
ou les fonctions
1
o
pO(x,) et TO(x ) sont supposees strictement positives et 1
bornees dans l'intervalle [0, 1 ]. 0 11 faut alors demontrer la resolubilite du probleme mixte (7,6), (7,7) pour ~ intervalle arbitraire,t € [0, to] . Puis, ensuite, etudier le comporte-
ment de la solution lorsque t o
+
00.
On notera que la demonstration d' un theoreme
d'existence global est grandement facilite par le fait que le systeme (7,6) prend une forme beaucoup plus simple si l'on passe des yariables d'Euler (t, xl) aux variables de 1agrange (t, a,), avec a, :::: xl lorsque t
=0
.
En effet, dans ce cas l'equation de continuite s'ecrit SOllS la rorme aa 1 p (a" t ) = pO(a 1 ) aX 1
83
et de ce fait, nous pouvons introduire la coordonnee (7,8)
pO(a ) d a = dE;, E; (a ) = fa 1 1 1 On peut alors ecrire que :
(7,9)
Xl = a 1 (1;) + Ainsi, il vient
a la
r o
E; telle que 1
peen) dn.
o
ul(al(E;),~)) d~
place de (7,6) les equations suivantes pour
p(E;,t), u 1(E;,t) et T(E;,t) (7,10a) ap ) - aE; + f 1
(7,10b)
(7,10c)
(7,10d)
p
=P
o S o~t T l 1 e vo 1 ume
p
= geT);
=R
" . spec~
P T
fO~que e t
cons~° d" erons
1 e cas b arotrope:
dans ce cas, il faut resoudre pour les fonctions T et u
simplifie suivant
1
le systeme
aT au] at =
ar
(7,11)
~tUl = _ ~ + .!±.', .1... as 3 "'0 aE;
a
(1. T
a,,:l ) a."
= O. Ce systeme (7,11) a ete analyse par 1 probleme de Cauchy, avec l.es conditions initiales : lorsque f
.) Dans
Diff. Eqs., 4, 1968, 374-380.
Kanel~)
qui a etudie le
84 et demontre un theoreme global d'existence, pour la solution du probleme (7,11),
(7,12), lorsque la fonction g(,), avec, > 0, est monotone decroissante et que
'0(~)
la donnee
> 0 tend vers une constante pour
s: . . ±
co
•
Un resultat semblable a ete obtenu par Itaya·), lorsque g(,) =: Const/, • De plus, Ie resultat de Kane I , a ete etendu a une f'onction g(') non monotone par . Q) • L a resolub111te / . . / globale du probleme " -.( 7,11 ) , ( 7,12 ) Kaz h 1'khov et N1kolaev m1xte
et
(7,13)
u 1(0, t) = 0,
t
a ete demontree par KaZhikhov
u,(L
o
' t)= 0 ,
pour Ie cas de g(,) = Const/,S, S
~
"
et par
Kazhikhov et Nikolaev (travail de '979; deja cite) pour Ie cas d'une fonction g(,)
.rum
monotone.
Pour les equations completes (7,6), les resultats d'existence globale / / . / / aUSS1. b1en . Ie probleme " I es p 1 us generaux sont dus a"Kazh'kh 1 ov***). qU1 a cons1dere A
de Cauchy que Ie probleme mixte pour les equations completes (7,6), sans faire d'hYpotheses complementaires sur la grandeur des donnees initiales (7,7b); il a aussi etudie Ie comportement des solutions pour les grands temps et on pourra a ce sujet consulter Ie chapitre II du livre de Antontsev, Kazhikhov et Monakhov~~~~) . Precisons, pour terminer, que les resultats de Kazhikhov sont bases sur des estimations concernant p strictement positif et que p
et T; il demontre d'abord que Test toujours
est borne,
puis.ensuit~ il
etablit une estimation
inferieure pour p .
~
) Voir: J. Math. Kyoto Univ., 16, J976, 223-240.
lit.) En langue russe dans: Chislennye Metoely Mekh. Sploshnoi Sreely,
+
77-84.
10, 1979,
Voir l'article en langue russe dans: Dinam. Sploshnoi Sreely, 21, 1975, 18-48.
~ •• )
Dans: Sib. Math. Journal, t. 23, nO 1, 1982,60-64 .
•••• ) Dont Ie titre est : Probleroes aux limites de la mecanique des fluides non homogenes. Ed. Nauka, Novosibirsk, 1983; en langue russe.
EXISTENCE, UNICITE ET REGULARITE DES SOLUTIONS DES EQUATIONS DE NAVIER 8,1. LE CAVRE FONCTIONNEL Sur l'existence, l'unicite et la regularite des solutions des e'luations de Navier (avec conditions initiales et a la f'rontiere),trois livres nous paraissent dignes d I interet, parmi d I aut res . Tout d I abord, le livre de Shinbrot (de 1973; deja cite), ou l'auteur en une centaine de pages, donne divers resultats obtenus jus'lu'au debut des annees 1970. Le second livre est
. est complete .. .. par 1 I ' I 6 .ll) , celUl. de L adyzhenskaya. )'lUl art~cle de 1 auteur de 19 7
et ou l'on trouvera une theorie mathemati'lue relativement complete des e'luations de Navier. Des resultats plus recents se trouvent dans l'article de synthese ll . de Ladyzhenskaya de 1975 • . •) Enf'~n, le
..,.
tro~s~eme l~vre
est
.
celu~
de Temam de
1979 (deja cite). La lecture de ces trois ouvrages necessite la connaissance des espaces de Sobolev; ils sont notes wm,p(n),ou n
est un ensemble ouvert dans
En. 11 faut aussi connaitre les resultats classi'lues d'injection de Sobolev (a ce sujet voir le § 1 du chapitre II du livre de Temam de 1979). Mais, il est necessaire pour conduire l'analyse mathemati'lue des e'luations de Navier, d'introduire, ensuite, des espaces fonctionnels specifi'luement adaptes
a la
contrainte
d'incompressibilite du fluide vis'lueux de Navier; ce sont les completes de l'espace (sans topologie) : (8,1)
dans divers espaces fonctionnels, ou
V(n) est l'espace des f'onctions de classe
Coo, a support compact, contenu dans n.
Soit ~(t, x.) une fonction continue definie dans n ~
et ayant des
derivees partielles continues et 'lui est nulle dans un voisinage du bord an; on dit alors 'lue ~ n'
c
n sur le'luel
est une fonction a support compact dans n
et le domaine
~ t 0 est le support de ~ •
ll) Dont le titre est
The mathematical theory of viscous incompressible flow. Gordon and Breach, New-York, 1963.
lllf) Dans "The 1Ilathematical Problems in Fluid Mechanics". Polish Acad. of Sci.,
Warszawa,1967,60-86. ltltlt)
Dans: Annual Review of Fluid Mechanics, nO 7, pp. 249-272,1212.
86 L'essentiel des resultats mathematiquessuppose n
borne (une enceinte
dans laquelle l'ecoulement a lieu) et dans ce cas,il faut considerer Ie probleme
....
de Navier suivant, pour la vitesse u et la pression hydrodynamique
TI
= p/po,
avec po = constante :
....
au + ............ u.';7 U + at
r
V TI
\}
0
!:J.
....
u',
v.~ = 0 ;
(8,2)
1
.... 1
u an =
ou an, la frontiere de
n,
....
Up
....1
....0........
-
, u t=o = u (x); f = 0,
est un ouvert borne regulier de JRn (n=2 ou 3).
Mais Ie cas ou n n'est pas borne, est egalement envisage et dans ce OO
cas, si n
designe Ie domaine infini (exterieur a un obstacle de frontiere
lisse L), il faut analyser Ie probleme de Navier suivant :
v.~
....
(8,3)
u
.... u
=0
o sur L
-u
Pour Ie cas stationnaire (;t
lorsque
= 0),
I~I
....
00
du fait du caractere quasi-
lineaire de ces equations de Navier, il est necessaire d'introduire une forme n trilineaire definie et continue, dans un certain espace, quelque soitJR , et pour
n
borne ou non. Outre les techniques habituelles de compacite, il faut
faire appel au theoreme du point fixe de Brouwer pour etablir Ie theoreme d'existence. L'unicite n'est garantie que pour des nombres de Reynolds, U L
o opo~nt . " ou pour des donnees suffisamment petites; c'est Re = --\}-trop "1 e eves o
la qu'apparatt la possibilite de bifurcation de la solution (voir a ce sujet Ie chapitre VI de ce Cours). Dans Ie cas des equations de Navier instationnaires, il faut remplacer les espaces de Sobolev WID,p(n) par les espaces La(O,T;X),avec T > 0 et 1 < a < +
00
X etant un espace de Banach. La(O,T;X) est l'espace des fonctions
integrables a la puissance a avec la norme Buivante :
sur rO,T] dans X, et c'est un espace de Banach
87
On trouvera,dans le livre de Temam de 1979 (voir le chapitre III) deux demonstrations differentes du theoreme d'existence : l'une correspond une methode de Galerkin relativement de dimension n
~
a la
4) et l'autre correspond
a
variable spatiale (l'espace etant
a une
discretisation temporelle en
differences finies (et reste valable pour n quelconque). On retiendra que l'unicite est garantie, en dimension deux, pour tous les coefficients
et en dimension trois pour des nombres de Reynolds
V0
assez petits; on "frole" ici le phenomene de turbulence, phenomene essentiellement tridimensionnel.
8,2. LA METHOVE VE GALERKIN Considerons l'ecoulement de Navier dans une enceinte,
m3 ,
dont la paroi est E :::
{
(8,4)
-+
au at
-+-+
an.
-+
au - at
+ L (~) =
'Y.u
n
11 faut resoudre dans
+ ~. ~ - v fJ. ~ =-ti 0
n,
bornee, de
les equations de Navier
7T,
= 0,
avec
(8,5 ) Nous recherchons la solution du probleme (8,4), (8,5) dans un espace fonctionnel H, de champs vectoriels paroi E, de
n, a la
a diyergence
condition d'adherence; dans
(~,~)
(8,6)
nulle, satisfaisant sur la
H
le produit scalaire est note
- f ~.~ dx, -+
n
-+
oil dx est l' element de volume dans m3 . Representons la solution de (8,4), avec (8,5), dans
H,
sous la forme
approchee suivante : (8,7)
-+
-+
u (t,x) n
n
=L k=l
~(t) \(~),
et prenons comme base {Xk(~)} le systeme complet des fonctions Yectorielles propres, orthonormees, du probleme lineaire associe designe par ~ la valeur propre associee
a Xk(~)'
a
(8,4), (8,5). Si on
on pourra ecrire que
88
{
(8,8)
v0
D.
= - llk
-+
xkl r
~
0,
-+
-+
~ + 'IJ
-+
-+
1T ; v.~
-+
dx= 0, ~'\n J n
= 0;
n ". m,
avec la condition de normalisation
f IXk(~)12 a1 =
1.
n
En substituant (8,7) dans (8,4), puis en mUltipliant scalairement par ~(~)
le resultat, on obtient apres integration:
d\
-+
--+
(8,10)
dx
dt
=0
•
Pour obtenir (8,10) on a tire profit du fait que
In V 1T'Xk(~) a1 = nI V.(1T Xk(~)) 01, puisque
V'Xk
0, et de ce fait on trouve bien que
a;
=
f 1T Xk·n do
0,
1:
ou do est l'element d'aire de
r*).
Ainsi, la methode de Galerkin permet d'eliminer, des equations de Navier, le champ
1T.
La relation (8,10) est equivalente au systeme galerkinien de n equations differentielles ordinaires suivant :
d\
--
dt
(8,11)
+
k=1,2, ... n.,
ou (8,12) lit) La condition
I
Xk r = 0 implique naturellement que : Xk .; = 0, sur r, puisque a la paroi r.
fi est le vecteur unitaire de la normale
89
Ainsi,les amplitudes ~(t) sont solutions du systeme (8,11) auquel il faut associer les conditions initiales : (8,13)
Zk0- =
~ (0) ::
fu
+ (+ + x}.\. x} dx = (+0 u, +) \. .
+0(+
n Precisons que les coefficients Yklm' definis par (8,12), satisfont a l'egalite (8,14)
qui exprime la conservation de l'energie cinetique de l'ecoulement non visqueux associe (lorsque
V
o
oj; cela veut dire que:
_
D
(8,15)
o.
Dt
Dans le cas visqueux, lorsque \b;.! 0, a la place de (8,15), on aura l'equation de l'energie suivante :
~
:t nf 1~12 ~
+
V
o
f Iv ~12
n
+
dx
=0
ou encore, apres integration,
(8,16)
1 2
+
2
II u l1 2
+
V
o
o
ou 11;11 2
,
U
2
1;1 01
r 2
.
L'egalite (8,16) sert bien souvent de point de depart pour demontrer l'existence de solutionsditesfaiblesdu probleme mixte de Navier (8,2). On consultera le livre de Temam (de 1979; deja cite, voir le § 1.2 du chapitre 2 et le § 3 du chapitre 3) pour l'application rigoureuse de la methode de Galerkin a la demonstration de l'existence de la solution des equations stationnaireset instationnaires de Navier, a partir de la construction d'une solution approchee et passage a la limite :tol'sque n +
00
•
90 Precisons, enfin, que cette methode de Galerkin donne aussi la possibilite effective d'elucider la stabilite de divers ecoulements de fluide visqueux incompressible, regis par les equations de Navier, en analysant au cours du temps les equations d'amplitudes qui en decoulent; nous aurons l'occasion de revenir sur cette question aux chapitres V et VI de ce Cours.
8,3. SOLUTIONS FAIBLES VU PROBLEME VE NAVIER Considerons le probleme de Cauchy pour les equations de Navier +
au + ~.V ~ + at (8,17)
Soit ~
e H une
V.~
O',
~It=o
= ~(~)
V 1T
\!
0
f:,
+
u·,
fonction test; integrons par parties les divers termes
de l'equation de Navier, apres l'avoir prealablement multipliee scalairement par ~. On obtient ainsi
~ = -f (~.V) ~.~
+
dx;
n
f ~~ .~ ~
n
= aat
f~· ~ ~ - f ~. ~~ ~
n
n
et aussi, en tirant profit du theoreme de Green
deux fois,
Nous pouvons done ecrire la relation sui:vante : (8,18)
En tenant compte de la notation (8,6), pour le produit scalaire dans H, il vient apres integration par rapport suivante,
a la
place de (8,18),
a t,
de t = 0
at
= 00, l'expression
91
r{
(8,19 )
:d
+ (u, Clt ) + (u.Vlp',u) +
a
+~+
\1
++}
(u,61/1)
0
+0 , :t. dt = - (u lJ71
t=o
),
une fois ~ue l'on tient compte du fait ~ue la fonction ~ est a support compact. ° . ° lIi) , A ~ns~, on constate ~ue tout e solut~on class~~ue du probleme de Cauchy o
pour les
~
€
e~uations
de Navier doit satisfaire a la relation (8,19)
~uel~ue
soit
H. Naturellement, il existera des solutions ~ satisfaisant a (8,19), mais
n'ayant pas des proprietes de differentiabilite suffisantes pour etre des solutions
du probleme de Cauchy pour les
classi~ues
e~uations
de Navier.
Par definition une fonction
est dite solution faible du probleme de Cauchy pour les equations de Navier, H. 1'espace W2 ,2 (n')
si elle satisfait a la relation (8,19), pour tout ~ €
n' c n est un espace de Sobolev; c'est l'espace des fonctions appartenant (n') dont les derivees partielles (au sens des distributions) jus~u'a 2 l' ordre deux sont aussi dans 1 en') et c' est un espace de Hilbert avec une norme avec 2 a 1
definie a partir des derivees partielles des ~onctions. On demontre
~ue
:
2
+0 +
2
Si la valeur initiale u (x) € L
(~ui
est un sous-ensemble lineaire
de 1 , de fonctions a divergence nulle), alors le probleme (8,17) a, au moins, une solution faible et ce resultat reste valable si le domaine
n
n'est pas
bornee. Naturellement, en toute rigueur lors~ue n°O est le domaine exterieur a un obstacle ayant une frontiere lisse L, il faut considerer le probleme (8,3). En general, au niveau de (8,3), le vecteur ~
est un vecteur constant.
On demontre alors ~ue ~ est une solution faible de (8,3) si
et si le vecteur (~o
-
(8,20)
+ pour tout ~ €
\1
0 satisfait
0
+00
U
a la relation suivante :
- ;:, ~I t=o ) + [ {
(~ + O,t.~)}
dt
+
~
+00
(cr, Clt ) +([u
+ a + oJ.V1j), a + +
+
0)
0,
H et on notera ~ue 1 est une fonction vectorielle lisse ~ui
lIi) C'est une solution ayant des proprietes de differentiabilite suffisantespour ~ue
les termes de
l'e~uation
de Navier aient un sens.
92
appartient a l'espace H et qui est telle que-) :
On notera que la solution faible ; du probleme (8,3) est continue comme fonction de t dans une topologie faible de L2 (convergence faible). Elle est aussi continue dans une topologie forte de L2 (convergence forte), pour t
=0
et elle satisfait a la relation -+Ilu - +0 u I I2 -+- 0
pour t yO.
Precisons que sur un ensemble donne, il existe beaucoup de topologies, mais,pour les ensembles de fonctions (les espaces), deux topologies ont un reel interet. On dit que l'espace est muni d'une topologie faible si on a une convergence faible; de
plus precise:
fa~on
Soit B -+- {B } un operateur borne; si n
(u, B v) -+- (u, B v) comme n -+- 00 , n pour tout u et v appartenant a un espace de Hilbert, alors la suite {B } est dite converger faiblement vers B. n
Dans les espaces de Hilbert,la suite f converge faiblement vers n e L2 si :
l'element f
= (f,
Lim (f , F) n
n+OO
F) pour tout F
e
2 L .
La convergence forte (dite aussi, improprement, convergence en norme) veut dire: f
n
f pour n -+-
-+-
Ilf
n
00
- fll
,
-+-
en ce sens que 0, avec n -+-
00,
ou encore si
liBn
v - B
vii
-+-
0, avec n -+- "", pour tout v appartenant
a un espace de Hilbert. Dans ce cas,la suite {B } est dite converger fortement vers B• n • ) Cette fonction vectorielle a a ete introduite par Leray dans ses travaux de 1933 et 1934, deja cites.
93
La convergence en norme implique la convergence forte, puisque
liBn v - Bvii
~
liBn - BII Ilvll
et la convergence forte impligue la convergence faible. En ce qui concerne l'unicite de la solution faible du probleme (8,17), on demontre que : +
+
si u 1 et u sont deux solutions faibles de (8,17), satisfaisant ala 2 .... . . . .. +0 . -+ ...... meme cond1t10n 1n1t1ale u , pour t = 0, alors S1 u j appart1ent a un "
",.. bon " espace de 8obolev, on a necessa1rement que u 2+ -- + u ' pour tout 1 t EO [O,t'] , t' > O.
Comme nous l'avons dit, les theoremes d'unicite et d'existence sont, d'une maniere generale, obtenus a l'aide de la construction de solutions approchees des equations de Navier par la methode de Galerkin puis passage a la limite. Cependant, on ne sait passer a la limite dans le terme quasi-lineaire gue si on a convergence presque partout de certaines approximations. En ce qui concerne l'unicite, precisons que l'idee naturelle consistant a soustraire les -+
-+
--+-
-+-
equations en u 1 et u et a multiplier par u - u ne marche pas si n> 2, car 2 1 2 les integrations par parties ne sont pas alors licites. 8i n = 2 la solution du probleme de Navier est unique, tandis que si n > 2 on a unicite de solutions un peu plus
regulier~3(dont
on ne connait pas
l ' existence) . L'unicite est, en general, acquise que si le nombre de Reynolds est suffisamment petit et que si les donnees du probleme sont aussi
suffisamment
petites; dans le cas contraire il n'y a pas, en general, unicite et il apparait eventuellement un phenomene de bifurcation. Dans le cas instationnaire, la solution du probleme d' evolution de Navier est unique dans la classe des solutions faibles pour le cas des ecoulements bidimensionnels. Dans le cas de l'ecoulement tridimensionnel instationnaire,il y a une lacune entre la classe des solutions, pour laquelle l'existence a lieu, et la classe plus restreinte des solutions pour laquelle l'unicite est demontree. Dans le cas de l'ecoulement bidimensionne~on peut demontrer l'existence de solutions plus regulieres en supposant une regularite plus grande des donnees et un resultat analogue a lieu pour les ecoulements tridimensionnels pour des solutions locales, definies sur un petit intervalle de temps, en supposant que les donnees (en particulier, la donnee initiale) sont
suffisrolli~ent
petites.
De plus, lorsque les forces volumiques exterieures sont absentes, il y a
94 "stationnarisation"vers le repos de la solution pour t ....
00,
dans un domaine
borne. Dans le cas bidimensionnel on peut obtenir des theoremes de regularite, soit en travaillant sur le systeme de Garlerkin
passage a la
associ~puis
limite, soit en considerant les proprietes de regularite du
p~obleme lineair~
associe. Pour n > 2,seule la premiere methode marche eton n'obtient alors que des solutions regulieres locales (sur un intervalle [O,To),avec TO inconnu) qui peuvent etre uniques; on n'obtient des solutions globales que si les donnees sont suffisa.mment'petites' dans certains espaces. 11 semble que ce soit Leray (1934; travaux deja cites) qui ait le premier demontre l'existence de sOlutions faibles du probleme de Navier. La classe de solutions faibles de Leray ayant "" ete arne"1°" ~oree par LO.) ~ons . La stabilite asymptotique··) dans L2 de solutions faibles du probleme de Navier suivant :
[
(8,21 )
....u-Liu+v'IT .... ~
, , a "" ete recemment analysee par
.....
....0 . . . . . (
.... 1
.... )
u t=O = u, LJm u t,x
Ixl+oo
.••• ) ,
Secch~
.1
- f
dans nT '
0, pour t €)O,T[,
."" T €) 0,+00 [ et "T ('\ = ) O,T [ xm 3 .
o~
La decroissance des solutions faibles, des equations de Navier, appar,
2" ,
,
tenant a l'espace L , a ete analysee par par Schonbek
)
.. .
KaJ~k~ya
.
•••• )
et Miyakawa
et
°
auss~
.
• ) Dans deux Notes aux C.R. Acad. Sci., Paris, t. 248, pp. 2847-50 de 1958 et pp. 3519-21 de 1959 • •• ) Pour la definition de la stabilite asymptotique nous renvoyons le Lecteur au chapitre V (section 15,1) de ce Cours • ••• ) Voir l'article dans: Indiana Univ. Maths. J., vol. 36, nO 3, 1987, pp. 685-691 • .... ) Voir l'article dans: Math. Z. ~, 1986, 135-148 • ..... ) Dans : Arch. Rational Mech. Anal. 88, 1985, 209-222.
95
8,4. SOLUTIONS FORTES VU PROBLEME VE NAVIER Les solutions fortes du probleme de Navier sont telles pour ces
solutions,cha~ue terme
dans les
e~uations
~ue
de Navier existe et, de
plus, il est un element de l'espace de Hilbert L2 . Un resultat s'il
du a Sather et Serrin
lf
)
existe une solution forte des
dit
~ue
:
e~uations
de Navier, alors
il n'existe pas de solution faible satisfaisant a l'inegalite energeti~ue:
(8,22)
+
t
\J
o
J o
Ilv ~II ~
dt'
pour t € [ 0 , t '] , t' > o. L'existence de solution forte pour le probleme d'evolution de Navier //
.,
"
lflf)
a ete obtenue pour la premlere f01S par Kiselev et Ladyzhenskaya
pourra a ce sujet consulter aussi le travail de Kaniel et Shinbrot ~ui
et on
lflflf
).
En ce
concerne l'unicite des solutions fortes, elle decoule d'un theoreme de
comparaison avec les solutions faibles (voir, a ce sujet, le livre de Shinbrot, de 1973, deja cite). D'autre part, on demontre pour tout domaine e~uations
n
~ue
:
borne, si ~o appartient a un bon espace, les
de Navier ont une solution forte
uni~ue
[0, t' ], avec t' > 0 suffisamment petit; de plus, si
suffisamment petit, les dans [0,00
h
e~uations
dans l'intervalle
Ilv ~ 11 2
de Navier ont une solution
est uni~ue
s'agissant du probleme de Cauchy.
Dans l'article assez recent de
GUillOpe~
on trouvera des resultats
rigoureux sur le comportement a l'infini d'une solution forte, definie sur tout l'intervalle (to' +00), des "10
de~\
2
e~uations
de Navier dans un ouvert regulier
3
n
" / ' / , et de= ; 11 s . aglt, plus preclsement, du comportement a, 1" In f"lnl dune "10
solution forte definie sur l'intervalle semi-infini (t 2
0
~
0, +00) et continue
a valeurs dans l'espace de Sobolev construit sur L (n), ou n est un ouvert / connexe de ill2 ou de ill 3 , de fron t"lere r de c 1 asse COO ,te 11 e ~ue "r. SOl't borne, situe localement d' un seul cote de
r.
La propriete de "bornitude" de la solution
forte, ainsi obtenue, generalise les proprietes de regularite de l'ensemble ,.:) Dans : "Non linear Problems", R.E. Langer Editor, University of Wisconsin Press, 1963, 69-98. '':If) Dans lzvestya Akad. Nauk USSR, ser. Mat., 21, 1957, 655-680. ,.:,.:,.:) Dans: Arch. Rat. Mech. Anal., 21, 1966, 270-285. Dans : Ann. lnst. Fourier, Grenoble, 1982, 32, 3, pp. 1 a 37.
+)
96
des solutions stationnaires ou periodiques des equations de Navier. Notons que la regularite des solutions periodiques ne semble vraie qu'en dimension deux, en appliquant des theoremes de regularite lineaire. Pour n > 2,on peut demontrer l'existence de certaines solutions periodiques regulieres si les donnees sont suffisamment petites. Enfin, precisons que dans le cas enceinte
+
n bornee)
sur l'intervalle
(8,2), avec up
[n,
,V
+00]
n
=0,
a deux
dimensions,le probleme (dans une
admet une solution unique forte definie
> O. Par contre, dans le cas
a
trois dimensions,
i l existe un reel T (~o), dependant de
n
de Navier (8,2), toujours avec ~p V t dans 0 , t < T(to ).
admet une solution forte unique sur [O,t],
= 0,
,V
o
et ~o, tel que le probleme mixte
8, 5. LE CAS DES EQ.UATI ONS DE STOKES Comme
a la
section 5,5 du
a nombre
§ 5, considerons un ecoulement
de
Reynolds Re tres petit devant un (fluide fortement visqueux ou ecoulement lent). Si l'on part de l'equation de Navier (avec des dimensions) +
+ ± + ± (It + u. v u + V
(lu
on voit que lorsque
V
que :
o
+
00
7T
=
V0
fj.
+
u ,
il faut renormaliser la pression
7T
de telle
fa~on
~~ 1 vo '
et dans ce cas,
a la
limite
V
o
+
00,
on trouve l'eguation de Stokes classique
(8,23) avec
v.~
(8,24)
=° .
1. Pour le systeme de Stokes (8,23), (8,24),1'ecoulement dit de Poiseuille
a etudier paralleles a l'axe consiste
l'ecoulement dans un cylindre fini (disons de generatrices
x ). Les conditions aux limites etant l'adherence a la 3 paroi du cylindre, la vitesse etant normale a l'entree et a la sortie, la pression etant constante
a l'entree
et
etant donnee (voir la figure ci-apres).
a la
sortie, et la difference de pression
97
o
r1
Ains i, ~ et
1T
sont solutions du probleme suivant
- v
0
/';, ~ + ~1T
dans
n
~.~ = 0
dans
n,
+
u
1T
o1
sur
r1 ' sur r et r 22 ' 21
~A;= 0
(8,25)
ou
=0
et
1T
02
sur
r 21
sur
r 22
sont des constantes donnees.
Si le cylindre est de longueur 1 , sa section droite etant w, et si 0 l'entree r est situee dans le plan x = 0, il est bien connu qu'une solution 21 3 explicite de ce probleme est donnee par : (8,26a)
1T = 02 1
1T
1T
01
x
0
(8,26b)
u1
3
+
1T
01
= u2 = 0 ,
est une fonction qui ne depend que de x et x et qui est solution u 2 1 3 du probleme suivant
tandis que
(8,27)
{
-
V
u
0
3
/';, u
=0
1T
3
+
02
-
1
1T
0
01
0
dans w sur dW.
98
a base
Dans le cas ou le cylindre est
no2 - no' (r2
4v
(8,28) ou r
o
L
circulaire, on a la solution de (8.2TI: 2
- R),
0'
r ,
R
0
2 + 2 '/2 ( x, x2 ) , et ou Rest le rayon de la section circulaire W du cylindre.
2. Une generalisation du probleme de Stokes (8,25) est la suivante
.
.... . . . A-; . A;}
- v
f
o
V.u
0
u = u
(8,29)
u
0
dans n dans n
,
(a)
sur f ' 2
(b)
sur f,
= a
'IT = 'IT 0
-+ -+
-+-+
u.n=b.n
(V
b et h sont n . On notera
A ~) A -;
= h A -;
},urr
3
,(0)
ou ~o' ~, 'ITo'
des fonctions donnees, et ou -; est la normale exterieure
au bord de
qu'en
ce qui cone erne les conditions aux limites, on
suppose qu'elles sont de trois types differents : vitesse donnee sur une partie de la frontiere de
n
(notee f,), pression et compos ante tangentielle de la
vitesse donneessur une deuxieme partie de la frontiere (notee f 2 ), vitesse normale et composante tangentielle du tourbillon donnees sur une troisieme partie du bord (notee f ). La condition (a),du probleme (8,29),est une condition classique: 3 c'est l'adherence a la paroi f" que celle-ci soit fixe (~o = 0) ou mobile (cas d'un obstacle qui se deplace dans l'ecoulement). Les conditions (b) et (c),du " (8 ,29h\ sont en revanche non standard. 11 s'avere .... .) que la der1vee " . ;- normale probleme peut etre calculee de fa~on explicite a partir des donnees. 3 Dans les applications, on trouve frequemment des problemes dans lesquels les de la pression sur f
conditions aux limites (a) et (b), du probleme (8,29),interviennent d'une
fa~on
naturelle. Exemple, ecoulement dans une tuyauterie. Le domaine n represente l'ensemble de la tuyauterie (voir la figure ci-dessous). nans ce cas, f, est forme des parois des tuyaux et f 2 est l'union de toutes les entrees et sorties ~)
Pironneau, 0., Conditions aux limites sur la pression pour les equations de Stokes et de Navier-Stokes; C.R. Acad. Sc. Paris, serie I, 303 (9), '986. 403-406.
99
du reseau de tuyaux. Ainsi, f 2 = Ui f ou chaque f 2i represente une entree 2i ou une sortie sur 1aque11e i1 est nature1 de donner 1a pression; f est vide. 3 ... On suppose alors que U et a sont nuls; ce qui veut dire que 1es parois o de 1a tuyauterie sont rigides et que 1e f1uide adhere aux parois. De p1us,le
...
f1uide entre et sort du reseau avec une vitesse tangentie11e nul1e. Dans 1e travail de : Begue, Conca, Murat et Pironneau·) on trouvera une formulation variationne11e du prob1eme (8,29),qui est equiva1ente au prob1eme de depart, ainsi que des resultats d'existence et d'unicite pour 1e prob1eme variationne1 associe.
rl
rl
rl
L' equiva1ence,entre 1es formulations variationne11es et 1es prob1emes aux 1imites de depart,se demontre de fa~on c1assique
en uti1isant des fonctions
tests et en integrant par parties. Les resultats d'existence et d'unicite demontres dependent de 1a geometrie des prob1emes, c' est-a.-dire de n et de 1a partition {r l' f 2' f 3} • ¥) Dans 1es Publications du Laboratoire d' Analyse Numerique de l'Universite
P. et M. Curie (Paris 6); vol. 6, fasc. 2, 1987, 75 pages.
100
de 1a frontiere, 3 est determinee exp1icitement en
11 est demontre que, d'une part, sur 1a partie f 1a derivee norma1e de 1a pression an/an
fonction des donnees. D'autre part, 1es flux de 1a vitesse sur 1es composantes connexes de
r 2 sont determines explicitement en fonction des donnees du
et de certaines fonctions w ' ••• , w _ (r etant 1e nombre de 1 r 1 composantes connexes de r ) qui ne dependent que de 1a geometrie du prob1eme. 2 Ces resultats ont leurs analogues dans le cas des equations de Navier
prob~eme
stationnaires. t' recent, P ogu e Tournemlne 3 . Dans un t raval' l "
a l'ecoulement
d'existence et d'unicite
lIi)
. " certalns • " t ats ont app11que resu1
c1assique de Stokes, satisfaisant
a
l'equation (5,13) : (8,30) La solution de cette equation de Stokes,dont l'existence et l'unicite est prouvee pour l'ecoulement autour d'un profi1 que1conque, presente l'inconvenient physique de conduire
a des
vitesses non bornees
a l'infini
(c'est juste-
ment 1e paradoxe de Stokes). Divers auteurs, dont Oseen fut 1e premier, ont propose de lever 1a difficulte en mettant en doute 1a va1idite de l'equation de Stokes. D'autres ont cru voir dans ce paradoxe de Stokes 1a demonstration de 1a non existence physique d'ecoulements soit plan soit permanent. En rea1ite, ces tentatives d'exp1ication sont incorrectes et 1e paradoxe de Stokes n'a ete .
.,
~
•
blen comprls qu en 1955,a 1a sUlte des travaux de Kap1un et Lagerstrom
lIilli)
,
dune
part et de ceux de Proudman et Pearson', d'autre part. Ces quatre auteurs uti1isent 1a methode des deve10ppements asymptotiques raccordes (MOAB) dont i1s sont
a l'origine.
En fait, 1e paradoxe de Stokes a ete
1eve ana1ytiquement par Kap1un ••• ) dans 1e cas d'un profi1 circulaire. Dans 1e cas general d'un profi1 regulier que1conque,Pogu et Tournemine mont rent que 1a solution au premier ordre, uniformement va1ab1e et done echappant au paradoxe de Stokes, est representee par deux descriptions :
.) Dans 1e Journal de Mecanique Theorique et Appliquee, vol. 1, nO 4, 1982, pages 645 a 670. ft) Dans 1e livre :"F1uid Mechanics and Singular Perturbations", a collection of papers by S. Kap1un. Academic Press, 1967. , Dans: J.F.M., t. 2, 1957, 237 a 262. ----lIillill') Voir l'artic1e danS:J. Math. and Mech., 6, nO 5, 1957,595-603. I --
101
1) dans n (dans un voisinage de quelques cordes du profil):
L U 0 0 ~ Log Re
=-
1/1
(8,31 )
x.
~
x. = L
~
o
oil ~ est la solution du probleme suivant
~2
(;2
~)
~av- o
~= 0,
ti aX 1
(;:
sur
2
a ~
( -2 '
(8,32)
= 0 dans 51 ,
o quand
r ...
00
,
/-2 x + 1 - 47T,
2) dans ~ (quand
r
1 devient de l'ordre de Re- ) :
L U
(8,33)
1/1
=~ i: Re
sin
e , i:
Re r
a 2 a - represente I v. ~x-. ; V 1 et V2 etant les composantes de av _ i=1 ~ a la normale unitaire a aQ,exterieure au~profil. On notera que la condition On notera que
integrale intervenant en (8,32), compliquee a priori, a une signification physique simple: elle est liee x
1
a la D
oil
trainee (c'est la composante sur l'axe
de la resultante des actions du fluide sur la paroi an) :
]10
= 7T
]10
est Ie coefficient de viscosite dynamique (constant).
8,6. COMPLEMENTS Tout d'abord, comme pour les equations de Stokes (8,23), (8,24),on peut poser un probleme analogue Navier stationnaires
(8,34)
mais relativement aux equations de
-v0
!:J.
...u +
~ V -+ (u. ) u + -+ 'i17T
~.~
;:
0
dans Q,
{
avec les conditions
a (8,29)
...f
dans Q,
102
....
u =
.... U
o
sur f
1
~ A ; = : A ;, 7T
(8,35)
........ u.n
1:::,2
+ J1!.L = 2
7T
}
0
........ = b.n,
(V A u) -+
sur
-+
An
-+-
-+
= hAn
On demontre que la solution de (8,34), (8,35) est unique si la viscosite Vest assez grande par rapport aux donnees (ou bien, si les donnees o
sont petites par rapport
a vo ).
Lorsque les donnees sont petites,il y a aussi
existence de la solution du probleme (8,34), (8,35). On trouvera des resultats sur la regularite des solutions de Navier dans le livre de Ladyzhenskaya (de 1963 , deja cite) et l'article de Fujita·) Des
" " • resultats plus recents se trouvent dans 1 , artlcle de HeywoodIf!JIf) ou"- l'on
trouvera aussi des resultats concernant la decroissance des solutions du probleme de Navier, et divers theoremes d' existence pour les cas stationnaire et instationnaire, s'agissant de solutions classiques. Le theoreme d'existence
a la
de Heywood, pour le cas instationnaire, impose
...
donnee initiale ~o d'avoir
uniquement une integrale de Dirichlet finie. En ce qui concerne l'analyticite des solutions de Navier,on pourra
.
.
consulter les travaux de FOlas et Prodl
)
~
et de Kahane r.
Le comportement des solutions du probleme de Navier, lorsque Re .... 00,
a fait l'objet des recherches de Lions 7 et aussi de YudovitCh F et on pourra, sur cet aspect des choses consulter les divers articles parus dans le livre T • Mais,nous reviendrons sur ces questions au Chapitre VI. edite par Temam Tout recemment, Galdi et Maremonti..··) ont demontre
un theoreme d'unicite
pour la solution des equations de Navier, avec conditions initiales et condition d'adherence sur la paroi d'un obstacle borne. L'unicite a lieu pour l'ecoulement
a 102 • a 681 •
.) Dans: J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, section 1, 9, 1961, 59 •• ) Dans: Indiana Univ. Maths. J., vol. 29, 1980,639
a 34. a 405.
••• ) Voir: Rend. Sem. Mat. Padova, 1967, 39, 1
-+ Dans:
Arch. Rat. Mech. Anal., 1969, 33, 386
7 Dans le livre : Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires. Dunod, 1969, Paris. F Dans: P.M.M., 30, 1966, 4,688-698, en langue russe. T Dont le titre est: "Turbulence and Navier-Stokes equations". Lecture Notes in Mathematics, vol. 565, 1976, chez Springer-Verlag • •••• ) Dans: ARMA, vol. 91, 1985/1986, 375-384.
103
a l'exterieur
de cet obstacle et cette derniere est acquise grace
estimation sur
TI (
au ni veau du terme
V TI
a une
dans l' equation de la quantite
de mouvement de Navier).valable loin de l'obstacle. On demontre de
fa~on
precise que si (~,
et (~, +~,
,TI')
+
TI'
TI)
sont deux solutions classiques des
equations de Navier, alors on a
....
au
....
....
;:l;""
"";:l;"" = -
at; + (u'+ u).v u + u.V u'
....
V TI + /: ,. u,
(8,36)
.... (y,t) e a n avec
\i 0 -
x [O,T],
....
",.
-+,
-+
1 et oil nest exterieur a an ; si maintenant on suppose que u ,u, ....-+
-+-+
V u' et TI sont bornes, alors u
_
° dans n
T
=
n
%u
x (O,T), T > 0.
Ainsi, on obtient un theoreme d'unicite sans avoir impose de conditions precises
a l'infini. On trouvera aussi un theoreme d'unicite, de la solution des equations
de Navier, en domaine de Man)
~
borne, dans le travail de Heywood·)et aussi dans celui •
Enfin, signalons aussi l'article de Galdi et R1onero
lIElIElIE)
la stabilite des ecoulements de Navier en domaines exterieurs.
6, 1979, 427-444 . .. ) Dans : Pacific JL Math., 93, 1981, 387-405. lIE) Voir: Ann. Sc. Norm. Pisa, ser. IV,
lIEn) Dans: ARMA,
81, 1983,333-347.
concernant
ELEMENTS D'UNE THEORIE MATHEMATIQUE DES EQUATIONS D'EULER
9,1. SURFACES CARACTERISTIQUES ET HYPERBOLICITE En toute generalite, les
e~uations
D Log P + v.~ Dt
-+Du P Dt
,D
ou Dt
a
= at
-+- ;t; + u. V
+V P
d'Euler s'ecrivent sous la forme
=0
0
Au systeme nous associons la loi d'etat generale
=P
p
(p,s).
La celerite locale du son est donnee alors par la formule a
ap (p,S) > 0 dP
2
et dans ce cas
.l22. - --l.. .!?J2.
(9,4)
Dt -
a
2 Dt '
ce ~ui fait ~ue nous pouvons ecrire les e~uations d'Euler (9,1) sous une forme symetri~ue
-+Du
;t;
PDt+VP=O;
;t;-+-u +_1_.!?J2. V.
DS
Dt
2
a P
=0
Dt
=0
•
Ce systeme d'Euler (9,5) est dit symetri~ue etant donne ~ue sous forme matricielle, il s'exprime
a partir
de matrices 5 x 5
effet, on a pour (9,5) la forme matricielle suivante :
symetri~ues;
en
105
A dU +A
(9,6)
odt
~ = 0,
k
kd~
1, 2, 3 ,
ou u
1
P
0
0
0
0
2
0
P
0
0
0
0
0
p
0
0
p
0
0
0
S
0
0
0
u U
u
A=
3
0
(9,71
0
0
0
0
~
0
0
0
~
°kl
°k2
°k3
2a p
0
0
0
0
0
~
p~
~
1/ 2 0 a p
0
°kl °k2 °k3 uk
0 0
la matrice A etant definie positive. 0
1. On peut former,
a la
place du systeme d' Euler (9,5), une equation ne
contenant pas de derivees d'ordre superieur
a deux
et dans laquelle les seules
derivees secondes sont celles de la pression. Pour cela derivons totalement l'equation de continuite du systeme d'Euler (9,5); il vient : D {1
(9,8 )
Dt De maniere
2
a p
(.£E. dt
a faire
........)}
+ u. V'p
D (;:1: .... )
+ Dt
V. u
= 0 •
usage de l'equation de la quantite de mouvement,
il est indique de permuter les operateurs ~ et divergence (ti.); mais cela l5) introduit des termes supplementaires car :
Ainsi, en prenant la divergence de l'equation vectorielle de la quantite de mouvement, il vient : ~ . . dUo ;:l:+ ........ T 1I!) Prec~sons que s~les~ sont les composantes de vu, celles de (V'u) seront les dUo Xj ~ de sorte que (%) (%)T, en coordonnees cartesiennes) s' exprimera par: xi dUo duo --~ ~ ax. dx. ' i, j 1, 2, 3.
J
~
106
de sorte que (9,8) s'ecrit sous la forme suivante :
Le premier terme de (9,9) est transforme en remarquant que, pour le gaz parfait a
Cp
et
constants, on a : a
Cv
2
p = y p, avec y = cp/c
aussi que 2
12(12-) =_ -D 2 = -a 2 Dt Dt Dt at 2
+
a
+
+ +
+ 2u . i,I - + u u "t (]
de sorte qu'il vient l'expression
G-L2
12Dt
ap
(9,10) + +
~J Dt
2 ap
1
++
at
2
u. ;!;~ v Clt 1
Vn;!;
Dp 2
a p
yp
En reportant (9,10) dans (9,9) on trouve : 2
l...£2 at
+ ±
lP.
+ 2 u. V (at )
Vn;!;
2
++
- .:..;;:.. .V P = a p(i,lu) p
++T
(i,lu)
1 nn 2 + - (=) P Dt
ou encore, etant donne que
2
~
(9,11)
at
++lP.
)
- -.:..;;:.. v p - (-) 2p' 2Dt
+ u u . i,li,Ip
.
2
= _1_ (a p + 2+
++
2 + 2 u.i,I at + (u u - a
2..1
J.)
++
1
nn Dt
(i,lu)T + - (= ) P
2
v
et
107
i
en designant par le tenseur unite de composantes 000 • Cette equation (9,11) J.J presente bien la forme voulue; les seules derivees secondes qu'elle comporte sont celles de la pression p et il est immediat qu'elle se reduit a l'equation classique des ondes pour la perturbation de pression, lorsque celle-ci est supposee petite relativement a la pression Poo = const. de reference 0, p'
=p
2
- Poo ' aoo
ou Poo= const. est la masse volumique de reference. On sait que les surfaces dites
caracteristiques~) de
l'equation (9,11) doivent verifier l'equation du
premier ordre suivant : aG)2=
at
(~G). v
( 2.i
a
............ G ........) aG '1. - u u)."iJ - 2 (u."iJ G at •
11 Y a naturellement une autre famille de surfaces caracteristiques .~ DS = e t qUJ.° verJ. ~ 'f'J.ent l'~equat'J.on : assocJ.ees a'l'~ equatoJ.on Dt
°
aG .... ± -at+u.vG=O. L'equation (9,12) peut, en fait, se mettre sous la forme simple suivante :
et cela etablit que, si les evenements (t ,;-) et (t + dt, ;- +
sont sur une
meme onde, l' on a la relation suivante
(
(9,15 )
dt)V G =
+a
dt
Iv G I
Ainsi, les surfaces caracteristiques sont toujours reelles, c'est-adire que l' equation (9,11) est toujours du type hyperbolique et meme du
~
hYJlerbolique normal (c' est-a-dire du meme type que l' equation des ondes classiques) •
~)
=
L'hypersurface G(Xa) = Const., a = 0, 1, 2, 3, x t, est surface caracteristique si et seulement si le vecteur a quatreOcomposantes
t
ou
= {aG/
axa
} est solution de l'equation caracteristique : Det
A(t) = Aa ~a = A0
aG + A Ok
at
~ k a~ ,
= 1" 2 3 .
A (t)
= 0,
108
2. Le cas de l'ecoulement stationnaire, lorsque aG/at = 0, merite une attention particuliere. 11 vient alors :
~.VG = 0,
(9,16a) et
~.VG = :I: a
(9,16b)
Iv GI .
La relation (9,16a) definie les surfaces caracteristiques dites de contact, sst, tandis que la relation (9,16b) definie les surfaces caracterisc st S + ' stationnaires. Ainsi, on cons tate que, dans un
tiques di tes soniques,
ecoulement stationnaire
s-eulerien, les surfaces caracteristiques de contact
sont necessairement des surfaces de courant. D'autre part, il est presque evident que la relation (9,16b) ne peut avoir lieu que si I~I > a; c' est-a.-dire que si l'icoulement stationnaire eulerien est supersonique (le nombre de Mach local
M= ~ a
est alors plus grand que un).
Ainsi, les surfaces caracteristiques soniques ne peuvent exister que dans les ecoulements stationnaires euleriens supersoniques et de ce fait,le systeme d'Euler stationnaire
{
(9,17)
V.(p ~)= -+-±
-+
0,
p(u.v) u +
~.V S V p = 0,
0,
-+
est du type hyperbolique uniquement si l'ecoulement stationnaire correspondant est supersonique . Lorsque l'ecoulement stationnaire correspondant a. (9,17) est subsonique (M < 1), les seules surfaces caracteristiques sont des surfaces de contact qui sont aussi des surfaces de courant.
3. Pour se convaincre que l'equation de Steichen (4,28) est bien du type 2 hyperbolique (lorsque a "t 00), il suffit de lui associer sa forme quadratique ' . t·1que.) : carac t er1S
Q(!) = ,2 + 2 ~a x1
.) Les composantes de
t
~,+
sont (',~,n,s). On remplace dans l'equation de Steichen ~21\
2
(4,28) les derivees du second ordre : .d-1Il par , , at 2
a2./\ at ax 1
~
par
,~,
etc .••
109
Mais Q(t) peut s'ecrire sous la forme compacte suivante (9,18)
et on constate que les racines de l'equation caracteristique Q(t) relati vement au vecteur
t
de compos antes (T,
~,
=0
,
11, r;) dans ]R4, sont de la
forme: (9,19)
Ainsi, nous avons deux surfaces caracteristiques
~~
(9,20)
V$.V
+
G
=:
Iv
a
G
I,
ce qui implique bien que l'equation de Steichen (4,28) est hyperbolique, quelque soit la solution ~ (t, ~). On notera qu'il n'y a pas de surfaces caracteristiques de contact dans un
ecoulement
eulerien barotrope irro-
tationnel (a potentiel des vitesses). Pour l'equation de Steichen stationnaire,il est interessant d'introduire la notion de surface caracteristique d'un point de vue quelque peu different. Dans le cas stationnaire,l'equation de Steichen devient
(9,21) ce qui est equivalent
a ecrire
{
(9,22)
a
:
2-;1;+
V.u
+
+++
u. (u.'i7 u),
V A ~ = 0,
~
= V~ .
De (9,22) on forme la combinaison lineaire suivante a avec
t
2-;1;+
+
+-;1;+
-t--;I;
+
v.u - u.(u.V u) + A.vAu = 0,
un vecteur arbitraire . Dans un ecoulement continu de fluide d'Euler,la derivee normale de
la vitesse peut etre discontinue sur certaines surfaces particulieres,mais les derivees tangentielles de cette vitesse restent,elles, continues sur ces surfaces. Cela est, en fait, possible que si les equations d'Euler stationnaires en evolution barotrope irrotationnelle peuvent s'exprimer
a l'aide des derivees t de telle fa~on
tangentielles seules ! 11 s'agit done de choisir le vecteur
que la relation (9,23) ne contienne que des derivees tangentielles de la
110
ti,
vitesse '
•
-+
sur la surface E qui est une surface sur laquelle
d ~seont~nue
(d on
= n.
-+ -+V
-+
, avec n le vecteur
,
•
un~ta~re
IE
~~
,
de la normale a
peut etre '" ~
en un
point arbitraire). Reecrivons (9,23) sous une forme tens orielle (a
2J
j
+-+
-+-
-++
1- u u + 'LA ft.) : V u = 0,
ce qui fait que la condition pour que les derivees normales soient absentes sera ou encore
L'equation vectorielle (9,24) a une solution relativement a t et seulement si le vecteur a 2 ; - ~ ~.; est perpendiculaire a ;; done
si
qui est une condition pour l'existence de la surface E , sur laquelle 0;1 on E m3 l'equation de la surface E
peut-etre discontinue. Si on note dans -+
par G (x)
= 0,
on aura que
o
(9,26) ce qui nous redonne bien (9,16b).
4. Terminons cette discussion sur l'hyperbolicite, en considerant le cas de ,__ ,. 1 ecoulement plan stat~onna~re, lorsque
11 vient alors,
a2
avec
a
2
a la
oJI
~ =
0
-
, et notons : xl = x et x 2
=y.
place de (9,21),
(fl + fl ) = (:Pi ox2 ay2 ox
l
a 2 + 1:1. Iu2 _ 00 2 00
r(~
L ox
)2 +
)2
~ ox2
i:L (:E1. oy
+ 221 ~ + ox oy ox oy
)2
tl ol
(~ )2l}. oy J
L'equation (9,27) a des solutions qui se comportent tres differemment selon le signe de l'expression (9,28)
111
c'est-a-dire suivant le caractere localement subsonique (0 > 0) ou localement supersonique (0 < 0); le cas de 0 = 0 devant faire l'objet d'une analyse particuliere (c'est le cas dit "transsonique"). Dans le cas subsonique,on montre que les solutions sont pourvues de derivees de tous ordres et une propriete essentielle est une interdependance de tous les points de l'ecoulement (caractere elliptique du probleme). Dans le cas supersoniqu~ certaines derivees de ~ peuvent etre discontinues le long de certaines lignes, en
outr~et
cela est plus important, il peut apparaitre des
chocs qui entrainent une variation d'entropie specifique S, mais pas de variation de l'enthalpie totale, specifique H (voir l'equation de Vazsonyi (4,62». De ce fait, dans ce cas, a la traversee du choc,il y a perte du caract ere irrotationnel de l'ecoulement supersonique et il faut revenir aux equations d'Euler, avec ~ f O. En particulier, d'apres la relation (4,68), on aura le systeme eulerien suivant :
P u l =-~ , P u 2 = .1!i!... aX ax~ l u2 + u 2 + h l H - Ho (1/J00 ) 2
(9,29)
a l'infini amont (a l'amont loin du choc) 1/J
prend la valeur 1/J00 '
9,2. SURFACES OE OISCONTINUITES FORTES ET FAIBLES • • (->' • • On dlra que l'ensemble des fonctlons u, p , p, e ) , deflnles dans E 4 ,
caracterise un ecoulement eulerien generalise si,pour toute hypersurface fermee lisse par morceaux, S €E
4,
on a la relation integrale suivante :
IfSI (~~\COS(~,t)
dv
P E )
+
=e
III ( ~(~::) S (pE
+ p)
+..,.pi~ u.N )
sin
(~,t) dv
0,
1~12
+ ~ et ~ le vecteur unitaire de la normale exterieure a S 2 ->On notera que si ~ designe le vecteur unitaire de l'axe des temps t et N le
avec E
vecteur unitaire de la normale exterieure a la section hyperplan t
= Const.,
alors on peut ecrire la relation
n,
de S, par le
112 ~
v =
~
~
~
~
T cos (V,t) + N sin (v,t).
En particulier, si ~, p , p et e sont des fonctions continUment differentiables,on retrouvera de (9,30) les equations d'Euler classiques D Log P -+-+ + 'Y.u Dt -+ Du P Dt + Vp = 0
(9,31)
De
p;:t;-+
-Dt + -P v •u
0
o
Par contre, lorsque ~, p , p et e subissent des discontinuites sur
certaines surfaces dans
S, il faut utiliser (9,30),
a la
place de (9,31).
Si dans le domaine de definition de l'ecoulement generalise d'Euler 4 -+ il existe une hypersurface E C JR sur laquelle u, p, pet e ont des disconti. , ., ,"') . ., , nu~tes de prem~ere espece , tandis que en dehors de cette dern~ere,cet ecoulement generalise reste continu, alors cet ecoulement est dit etre un ecoulement avec discontinuites (tres fortes). Dans ce cas la section B(t) EJR 3 de l'hypersurface
E avec les hyperplans t = const. est dite surface de discontinuites
fortes. 11 s'avere que les sauts des champs euleriens ne peuvent etre arbitraires, mais doivent necessairement satisfaire aux relations de saut fort; de (9,30) il decoule que l'on doit avoir :
N,in
(9,32)
(;;,tl ]
o •
1. Maintenant, si l'on designe par W la vitesse de deplacement de la surface
N
de discontinuites fortes B(t) dans la direction de la normale
N,
alors on
-+ -+ constate que le vecteur W N + T est dans le plan tangent a E et il est N donc perpendiculaire au vecteur V defini plus haut. Ainsi, il s'avere que
et de ce fait on trouve,
a la
place de (9,32),
"') Dans ce cas les limites des fonctions ~, p, p, e a droite (aval)et a gauche (amont) de E, existe~t sur L mais sont distinctes. Soit f, l'une de ces fonctions, notons : f = Lim f et f- = Lim f , ou L+ est la face aval (t ,i)-+E+ . (t ,i)-+l:et L la face amont de l\fiypersurface E sur laquelle f est discontinue. Dans ce cas I [r] I = f + - f est le saut de f a travers E.
113
sin (v,t)
= - W). N
Mais : ~ - WN (~ la vitesse du fluide relativement
o .
v, ou vest la composante normale de
a la
surface de discontinuites, B(t), car
designe le champ des vitesses de B(t) dans son mouvement propre. Comme WN est une vitesse bornee,il faut que sin (v,t) ~ 0 et de ce a la place de (9,33),
fait on trouve,
o , 1~12 2
+ e) v + p
uJl
o •
Les relations (9,34) sont les equations de saut fort pour les ecoulements de fluide eulerien. -+
Soit maintenant u
la composante tangentielle, de la vitesse du T -+ fluide u, situee dans le plan tangent a la surface de discontinuites B(t). Projetons sur ce plan tangent la seconde des equations (9,34); on trouve :
(9,35)
p v
I[;J I =
0 ,
ce qui donne la possibilite de distinguer deux cas pour les sauts forts : i) v normale
a B(t)
= 0,
~
= WN et
est egale
a la
la vitesse de l'ecoulement dans la direction vitesse de deplacement de cette surface B(t)
dans la meme direction. De ce fait,le fluide ne traverse pas la surface de discontinuite B(t) et on a alors:
I[~I =
0,
I~] I
o ,
mais en general
on dit alors que l'on a affaire
a une
discontinuite de contact;
W
114
ii) v f 0, ~ f WN et dans ce cas
1[;JI=o , mais en general
on dit que l'on a affaire
a une
onde de choc et dans ce cas le fluide traverse
la surface de discontinuite (le choc) B(t). La difference qualitative entre une discontinuite de contact et une onde de choc consiste en ce que cette derniere se propage avec les particules fluides, tandis que la discontinuite de contact separe deux domaines d' ecoulements qui sont chacun constitues des memes particules fluides
a tous
les
instants. 2. Disons quelques mots sur les surfaces de discontinuites faibles. L'hypersurface S C JR4 est dite surface de discontinuite faible pour l' ecoulement eulerien, satisfaisant aux equations (9,31), si la solution de (9,31) ainsi que ses derivees premieres, d'apres les directions tangentes
as,
sont partout
continues(y compris sur S), tandis que certaines derivees premieres d'apres la normale
a
discontinues
S, continues en dehors de S et sur les faces S+ et S-, sont traversee de S ; ces discontinuites sur S etant de premiere
a la
espece. On notera que dans un ecoulement de fluide d 'Euler, barotrope, irrotationnel, une discontinuite faible sur les surfaces caracteristiques de contact est impossible; cela veut dire que : toute discontinuite sur une surface caracteristique de contact est necessairement une discontinuite forte; naturellement
cela est le cas lorsque les ecoulements d'Euler continus baro-
tropes, qui prennent place de chaque cote de la surface de discontinuite de contact, sont tous les deux irrotationnels.Si, par contr~,l'un de ces ecoulements est rotationnel , alors sur la surface caracteristique de contact, de separation, nous aurons une discontinuite faible. Une discontinuite faible est admissible aussi
bi~n
sur une surface
caracteristique de contact que sur une surface caracteristique sonique. Soient (9,38)
{
+
+
u.r.N = 0,
;t;
V
3+ = 3N N
+
++
+ D, D.N
0,
115
...
ou N est un vecteur normal unitaire a la section r (t) de l'hypersurface de 4 discontinui te faible S de lR , par t = Const.; N est suppose etre dirige d'un certain cote de necessaire.
r
(t), ~ue l'on precise cha~ue fois ~ue cela est
...
Si WN N designe la vitesse de deplacement normal, vectorielle, de l'hypersurface S, on a les relations de sauts suivantes
P(~-WN) I[~~JI+ I[~~JIN=O; (~ -
ou
I[
f ]
I
WN )
I[ ~~ ] I
denote la discontinui te de f
Lors~ue ~
+ a
2
P
I[ ~~ ] I·N =
a travers
0
S
- WN ~ 0 on trouve aussi ~ue
(9,40)
Surface d'onde d'entropie. Dans ce cas :
~
=WN et
on a
I[ ~~ ] I = 0, I[ ~~ ] I. N = 0
Ib~ ]I ~ I~:~ 1= +
I[ ~; ] I Surface d'onde
(9,42a)
acousti~ue.
{
,
0 ,
est arbitraire.
Dans ce cas
I[ ~; ]I = 0
~ ~
;
WN et on trouve
116
[I
/[~~I
a
2
/[#]I;
~~ I = ~ ~ I[~~J I; I~ ]I reste arbitraire, Ie signe
etant choisi de
fa~on
.
que la vitesse de deplacement normal de la surface +
(
+
d'onde acoustlque : WN N = ~ ~ a) N •
9,3. BICARACTERISTIQUES ET CONOIVE CARACTERISTIQUE Nous avons vu que si l'equation de la surface caracteristique (dite aussi variete caracteristique) est donnee sous la forme: G (t,~) alors cette fonction
= Const.,
G(t,~) satisfait aux equations: DG Dt
= 0,
DG + a Dt -
Iv
GI
= 0,
D
a
+:l:
Dt = at + u.v
Mais,il faut aussi avoir en vue qu'au niveau de ces equations (9,43) et (9,44),la vitesse ~ (qui intervient au niveau de ~~ ), ainsi que la celerite du son a, considerees comme des fonctions de t et de x, sont supposees connues, puisque la variete caracteristique est toujours recherchee relativement
a une
solution U des equations d'Euler (9,6). Pour les equations aux derivees partielles du premier ordre (9,43) et (9,44) nous pouvons formuler un probleme de Cauchy, avec valeur initiale trouver G (t,x), satisfaisant a (9,43) ou (9,44), lorsque l'on s'impose la donnee initiale
Dans ce cas, si la vitesse ~ est une fonction suffisamment lisse, pour toute donnee initiale (9,45), continue, il existe une solution unique (au moins localement dans Ie temps, c'est-a-dire pour des t > 0 assez petits) pour G (t,~). D'un point de vue geometrique,la donnee de GO(~) est equivalente
a la
donnee d'une surface, a deux dimensions, initiale dans m3(~), dont l'equation est
GO
G(t,~)
Const. et par laquelle passent les surfaces caracteristiques
= Const.
caracteristiques
Pour une meme surface initiale,nous aurons trois surfaces une de contact (entropique,
satisfaisant a (9,43)) et deux
soniques (sonores, solutions de (9,44))respectivement avec +a et -a.
117
Les courbes caracteristiques (on di t simplement "les caracH ristiques") de l'equation (9,44), au sens qui est donne dans la theorie classique des equations aux derivees partielles du premier ordre, et qui sont des caracteristiques au second degre pour l'equation hyperbolique de depart (9,11), ont "t".... , . ,... .) . e e denommees b1caracter1st1ques par Hadamard . Pour ce qU1 concerne plus particulierement l'equation (9,43), ces caracteristiques sont les courbes integrales du systeme +
dx
dt
+ U
c'est-a.-dire que les bicaracteristiques de contact coincident avec les trajectoires des particules fluides danslR
4
+
(t,x).
Pour l'equation (9,44), avec + a, qui determine la surface caracteG+ (t,~) = Const., les equations des bicaracteristiques s sonores correspondantes sont ristique sonore
dt
V G+s u + a--Iv G+I s
d dt
a G+ s a x a
+
dx
(9,46)
+
.v G+s -
+
au - aX a
a = 0, 1, 2, 3,
x
o
aa ax a
Iv
G+ s
I,
- t.
Les equations des bicaracteristiques sonores qui correspondent a. G
s
Const,
s'obtiennent de (9,46) en faisant le changement de +a en -a.
Lors de la recherche des bicaracteristiques sonores, a. partir de l'integration des equations aux bicaracteristiques correspondantes (disons, les equations (9,46»il faut prendre en compte que les donnees initiales pour t
a
(9,46) et qui imposent la connaissance des 'dG+ lax
s
a
= 0,
associees
, a = 0, 1, 2, 3,
doivent etre compatibles avec l'equation (9,44), ou ori- a:+a, et aUSS1 avec la donnee (9,45). Une surface caracteristique particuliere est obtenue, si l'on considere la surface engendree par les courbes bicaracteristiques issues d'un point instant Q(~, to). Cette surface caracteristique particuliere est le conoide caracteristique de sommet Q; les generatrices de ce conoide caracteristique issues de Q sont donc les
bicaracteristiques et les surfaces caracteristiques
,If) On peut consulter a. ce sujet son livre : tiLe problEl:'le de Cauchy et les
equations aux derivees partielles hYJ?erboli que s ", che z Hermann, Paris, 1932.
118
passant par Q sont tangentes au conoide caracteristique le long des bicaracteristiques. Naturellement, la forme du conoide caracteristique est liee a la solution U des equations d'Euler (9,6) et plus precisement a la vitesse ~ et a la celerite locale du son a associee. Un cas simple, est celui de :
=
+-+ U u
o
et a :: a
0
ou ~o et a
sont les valeurs de ~ et de a au point instant Q(~O,to). Dans ce o cas,la seconde des equations (9,46) donne
a (1+
~
( ax s)= 0,
a
ce qui veut dire que
aG+
aG+ s aXa
s
axa -
Const to ,x +0
le long des bicaracteristiques et ce quelque soit
a
= 0,
1, 2 et 3. De ce fait,
la premiere des equations (9,46) conduit, apres integration, a la solution
(9,47)
;t =;to +
[~
o
+ a 0
(VIVG+I G:)
J(t-t
O
).
0+0
t,x
s
Ainsi, dans ce cas particulier, les bicaracteristiques forment une famille de droites d'equations (9,47).
G+s I)k 0
En eliminant le terme constant
+0
,x
' on
obtient
l'equation du conoide caracteristique sous la forme suivante (pour la solution constante (~ , a )) : o 0
(9,48)
I
~
-
~
-
~o ( t-t 0 ) 1 2 = a 02 (t-t 0 ) 2
'
~ ~ +) . . . qUl. represente un cone dans 1 , espacem 4( t,x qu~ a pour sommet le po~nt-~nstant Q(t O, ~o). On demontre que le cone d'equation (9,48) modelise avec une bonne
approximation le conoide caracteristique au voisinage du sommet Q(tO,~) pour toute solution U , lisse, des equations d'Euler (9,6). On notera
= const
qu'une coupe t
de ce cone (9,48) est une sphere
dont le centre se deplace avec la vitesse I~
o
1 et
dont le rayon crolt avec la
vitesse a . En particulier, pour les ecoulements stationnaires ~les surfaces o Iu. I d'ondes sont des spheres et si I~ I > a , c'est-a-dire si M = ~ > 1, ces o
0
0
a
spheres ne contiennent pas le point Q et elles sont tangentes alor~ au cone circulaire droit, dans l'espace euclidienm3(~), dont le sommet est en Q
119
et l'angle d'ouverture est 2a ' ou o
c'est le cone dit de Mach. Enfin, la projection du vecteur vitesse ~ normale au cone de Mach est egale
a la
o
sur la
celerite du son constante ao' ce Qui
veut dire Que ce cone de Mach est le cone caracteristiQue de l'ecoulement d'Euler stationnaire supersoniQue constant considere.
9,4. LE THEOREME OE CAUCHY-KOWALEWSKI Le probleme de Cauchy, ou probleme avec donnees initiales, pour les eQuations d'Euler consiste le choix de to :: 0)
a s'imposer
= to
pour t
(mais on peut toujours faire
les valeurs de ~, p et S satisfaisant au systeme hyper-
boliQue : ap V .... at + .(pu)
0
....
1 au .... V .... at + u. u + p
(9,50)
as .... V at + u. S
(9,51)
Vp
0
0
....
o ,
u
....0
OU u , pO et SO sont des fonctions de ;::
e]R3
Le probleme de Cauchy (9,50), (9,51) peut etre considere dans diverses classes de fonctions
a la classe C des fonctions analytiques, la classe COO
des fonctions indefiniment differentiables, la classe
Jk
des fonctions lisses
par morceaux ou encore la classe C des fonctions continues. Si on se limite a la classe Ca , il faut supposer Que la fonction P(S,p), Qui est une donnee du probleme et Qui caracterise la loi d'etat du fluide d'Euler considere p = P (S,p),
(9,52)
est aussi analytique. De plus, on suppose Que la donnee initiale pO, dans (9,51), satisfait (9,53)
a la
relation :
pO
>
o.
120
Sous les conditions ci-dessus,nous pouvons appliquer le theoreme de Cauchy-Kowalewski au systeme (9,50); i l garantit que le probleme de Cauchy est bien pose dans la classe Ca. Ce theoreme d'existence et d'unicite affirme que "pour toutes donnees initiales (9,51), analytiques, il existe une solution unique, analytique,des equations d'Euler (9,50)
qui
satisfait aux conditions initiales (9 51)' cette uni ue solution analytique est definie dans un domaine dem
ou, T("'") x > 0, pour tout "'x" € m 3 , est une fonction dependant continfunent des donnees initiales (9,51) dans la metrique de l'espace des fonctions analytiques" . Ce theoreme donne une garantie de l'existence de la solution du probleme de Cauchy (9,50), (9,51) localement dans le temps (dans un petit voisinage de t
= 0)
et il en est de meme pour les solutions appartenant
a la
classe C des
fonctions continues. On ne sait pas demontrer sous quelles conditions il y a resolubilite du probleme de Cauchy (9,50), (9,51),quelque soit (existence globale) t > O.
1. Pour les
.
.,
appl~cat~ons
a la
.
dynam~que
• • ~ t de mettre des gaz lI!),~l est ~nteressan
en evidence les conditions sous lesquellesl'unicite du probleme de Cauchy, pour les equations d' Euler (9 ,~O), a effectivement lieu. Soit done U =( u 1 ' u 2 ' u , 3 p, S)T, une solution de (9,50) definie pour t ~ O. Considerons un domaine borne 11
C m
4 dont la frontiere est constituee d'un domaine d'espace w ' contenu dans o
l'hyperplan t = 0, et d'une hypersurface lisse par morceaux ayant une frontiere commune avec le domaine w • Soit encore o le vecteur de la normale exterieure a r.
r, pour t
> 0, et
t= {~a ; a =0,1,2, 3},
Il s t avere que l' unici te de U dans 11 est, en fait, intimement liee
a
la propriete d'hyperbolicite des equations d'Euler (9,50); elle se revele sous l'hypothese complementaire suivante : en chaque point de l'hypersurface r doH etre satisfaite l' ine~alite 2 2 2 1/2 ~o + u 1 ~1 + u 2 ~2 + u 3 ~3 ~ a (~1 + ~2 + ~3)
lI!) En dynamique des gaz on s'interesse presque exclusivement
des equations d'Euler compressibles (9,50).
a la
resolution
:
121
Considerons maintenant les coupes w (t) de Const > 0 (w (0)
t
V
=wo )
definie sur
{v. } ].
~
par les hyperplans
2
, sa norme dans L , pour les coupes w (t),
IIV;t I12 =fJf
(9,55)
~
et introduisons pour toute fonction vectorielle
Ivl
2
dw,
w(t)
+ ou, 1+12 V = ~ v.2 (t,x); la norme (9,55), comme fonction de t, etant definie ].
].
pour tout t
~
O.
On peut alors etablir l'estimation suivante : 1 "si la solution U du systeme (9,50) est dans C (n) et que cette solution U, ainsi que le domaine et
a l'inegalite
~,
satisfont aux conditions (9,54)
: inf pO(~) > 0 ,
wo
alors pour toute autre solution on trouvera une constante k
a l'inegalite
o
U' € C1(~), du systeme (9,50),
> O,telle que 0 U = U' - U satisfasse
II 0 U ;t II ~ k o I IoU; t =0 II,
t ~ 0 ".
Pour demontrer l'unicite, a partir de l'inegalite (9,56), il faut 1 noter que:si l'on se donne une solution U € C , t ~ 0, alors pour un domaine w € m3 (x) fixe, il existera un ensemble de domaines, ayant pour support w , o
qui sont tels que sur leurs frontieres Soit done
~
0
r, l'inegalite (9,54) est satisfaite.
(w ) la reunion de tels domaines; on peut alors affirmer que: o
"si l'egalite
U' = U est satisfaite sur wo' pour t = 0, alors elle
est aussi satisfaite en tout point-instant (t ,~) € ~ (w )", o
et cela confirme bien l'unicite du probleme de Cauchy pour les equations 1 d'Euler (9,50) dans la classe C . On dit que le domaine
~
(w ) est le domaine de determination de la o
solution du probleme de Cauchy (9,50), (9,51), avec des donnees initiales sur w • o
De plus, on peut demontrer que : "si la frontiere
r
(w ) du domaine ~ (w ), de determination de la o 0 j
solution, est une hypersurface lisse (de classe C ), alors sur cette derniere la relation (9,54) a lieu avec le signe d'egalite".
122
Cela veut dire que dans ce cas
r (wo ) est une surface caracteristique
des equations d' Euler( 9, 50~, pour la solution U. En particulier, si pour un +
-
point arbitraire Q( t,x), ou t > 0, il existe un conoide caracteristique K (Q), dirige vers les dt <
° et coupant 1 'hyperplan t ° d' apres wo '
coincide avec le domaine
n
alors ce conoide
(w ); si cela est bien le cas, on dira que le domaine o
W = wo(Q) est le domaine de dependance du point Q et dans ce cas la solution
o U(Q) se determine uniquement
a partir
de ses donnees initiales sur le domaine
w (Q) et n'est aucunement fonction des valeurs des donnees initiales en dehors o
1
de ce domaine (pour une solution de la classe C ) • D' autre part, si pour t = 0, on considere un certain ensemble
n
n o et
qu 'en chaque point Q e on construit un conoide caracteristique K+( Q ), o 0 o dirige vers les dt > 0, alors la reunion de tous ces conoides (ouverts, notee E+
(n o ))
sera telle que la valeur de la solution en chaque point Q
e
E+
(n )
est necessairement fonction des valeurs des donnees initiales sur l' ensemble De ce fait, E+
(n o ) est
di t : domaine d' influence de l' ensemble
n
0
n. 0
et, en
particulier, le domaine d'influence du point Q sera le conoide caracteristique +
K
0
(Qo)'
L'existence des domaines de determination, de dependance et d'influence bornes permet de faire des predictions quantitatives sur le caract ere de l'ecoulement d'Euler, en dehors de tous calculs. 2. 11 est bon de preciser que les donnees de Cauchy, c'est-a-dire les valeurs de ;, p et S, peuvent etre imposees sur une hypersurface necessairement avec l'un des hyperplans t a affaire
a un
= Const.
E qui ne coincide pas
Dans ce cas on dit que l'on
probleme de Cauchy generalise. Cependant, ce probleme de Cauchy
generalise, qui est alors un probleme aux limites, sera bien pose seulement si, sur l'hypersurface
ou
t
E , est satisfaite l'inegalite
= {~a' a = 0, 1, 2, 3} est le vecteur de la normale exterieure
aE
. Si
des courbes bicaracteristiques sont contenues dans 1 'hypersurface E ou encore si elles sont tangentes a E , alors le probleme de Cauchy generalise peut etre mal pose.
o
123
On dira que l'on a affaire a un probleme de Cauchy mixte lorsque, simultanement, avec les donnees initiales (pour t
0) on s'impose aussi
des conditions aux limites (pour un t = t') sur une hypersurface L (satisfaisant a (9,57»
contigUe a l'hyperplan t
= O.
Lorsque l'on s'impose sur L
des conditions complementaires,il est necessaire de prendre en compte la disposition de L , non seulement vis-a-vis des bicaracteristiques soniques, mais aussi vis-a-vis des bicaracteristiques de contact, c'est-a-dire des trajectoires fluides. D'un point de vue general,la question de savoir si le probleme d'ecoulement considere est alors bien pose ou non est tres souvent difficile a resoudre, et jusqu'a present la theorie est encore loin d'etre achevee Parmi d' autres, un probleme d' ecoulement relati vement simple, mais tres instructif, est celui dit "du piston". C'est un probleme de Cauchy mixte, pour lequel l'hypersurface Lest une surface caracteristique de contact; dans ce cas sur L
c
on a :
o ,
t'" --
{~
~
~
~}
"'0' "'1' "'2' "'3
est le vecteur de la normale a
L
Dans ce cas,le fluide ne s'ecoule pas a travers L
c
L' ensemble des
c
sections 0 (t) de l'hypersurface L par des hyperplans t = Const peut alors C
etre considere comme une surface impermeable en mouvement dans l'espace m3(~), qui refoule le fluide se trouvant devant elle, et
o(t) joue le role d'un piston
dont la forme change au cours du temps. Le probleme du piston est pose correctek ment et, en particulier, il est resoluble dans la classe C (localement en t) si sont realisees certaines conditions "de concordance" des donnees initiales avec la forme de l'hypersurface L au voisinage de C
0(0), d'apres laquelle L C
est
coupee par l'hyperplan t = O. Cesconditions sont liees au fait que le domaine de determination de la solution, avec des donnees initiales en t
=0
,
pour le
probleme du piston, est toujours separe de L par une surface caracteristique sonique
r,
c
passant par 0(0). Les conditions de concordance, d'ordre zero,
consistent a egaliser les valeurs de la vitesse ~Io(o) et de la vitesse de deplacement de la surface L ,aux points se trouvant sur c
0(0) dans la direction
du vecteur ~Io(o)' Les conditions de concordance, d'ordre un, consistent, en plus, a egaliser les derivees premieres de ces vitesses (la derivation se faisant le long de L ). Dans ce cas,la surface caracteristique c
r sera, de maniere
generale, une surface de discontinuite faible. De maniere plus precise
si sont
realisees les conditions de concordance d'ordre zero uniquement alors le long
124
de
r, les derivees premieres des fonctions decrivant la solution peuvent etre
discontinues; par contre,si sont realisees les conditions de concordance d'ordre un, uniquement, alors les derivees premieres sur
r restent continues, mais les
derivees secondes peuvent etre discontinues. S~'maintenan~ sur a
(0) les conditions de concordance d'ordre zero
ne sont pas realisees, alors il n'existe pas de sOlution continue du probleme du piston dans un domaine ferme; dans ce cas apparait un ecoulement avec des singulari tes du type "ondes de choc" et "ondes de rarefaction centrees". Le theoreme d'unicite de la solution du probleme du piston dans la 1
classe C
r) se demontre de fa~on
(qui tolere une discontinuite faible sur
classique, en tirant profit que sur E la forme quadratique: c
non negative.
oU.A(!)oU
est
Un cas particulier du probleme du piston est l'ecoulement au-dessus d'une surface solide immobile; dans ce cas 0 (t) est independant du temps t et o € :m 3 (;-) est une surface frontiere impermeable qui joue le role de la surface solide immobile sur laquelle glisse le fluide d'Euler considere. Soit h(~) l'equation de a
(9,59)
= 0,
la condition (9,58) devient -+ -+
-+
-+
u.V h (x) = 0 , sur
h (x) = 0 .
Un autre probleme peut aussi s'interpreter comme etant un probleme de piston. Supposons que, sur une surface caracteristique de contact, l'on s'impose la pression p; dans un tel cas on dira que cette surface caracteristique de contact est une surface libre. Mais,la donnee de p sur une surface caracteristique de contact rend le probleme de Cauchy mixte indetermine ! Pour qu'il soit determine,il est necessaire de considerer la surface libre comme l' une des inconnues du probleme de Cauchy mixte; cela veut dire que si l' equation de cette surface libre est r; (~, t)
=0,
alors la fonction r; (~, t)
est l'une des inconnues du probleme au meme titre que la vitesse, par exemple. Dans ce cas,le probleme avec surface libre s'interprete comme un probleme de piston, dont la forme est a priori une surface libre inconnue sur laquelle la pression est imposee. Le cas classique correspond
a une
pression imposee
constante et alors il faut imposer les conditions aux limites suivantes :
(9,60)
.£1
........
Clt + u.Vr;
0, p
p
o
= Const, sur r; (;-,t)
o .
125
Lorsque pour Po l'on prend la pression atmospherique constante au niveau de la mer, on obtient les problemes lies a la prevision des ondes de surface produites par une masse liquide en mouvement. Pour ce qui concerne la demonstration de l'unicite enoncee au debut . 9 , 4,on pourra consulter le l1vre .de. . lIi),en langue de cette sect10n Ovs1ann1kov russe. On trouvera aussi un theoreme d'unicite pour la solution des equations d'Euler (9,50), dans un domaine
n
borne, satisfaisant aux conditions initiales
(9,51) et a des conditions aux limites sur la frontiere
an
de
n
(lorsque
an
est immobile et impermeable, il faut tout simplement imposer que : ~.-; = 0, sur
an ,
ou -; est le vecteur unitaire de la normale a
an
dirige vers l'interieur
de n), dans l'article deja cite de Serrin (1959; voir les pages 279 a 283). On notera que ce theoreme de Serrin suppose l'existence de la solution pour tout t > 0 et que, de plus, cette solution soit une fonction continillnent derivable, definie dans
n .
Naturellement, le cas interessant est celui pour lequel une partie de
an
est une paroi materielle et dans ce cas,il faut considerer la vitesse
normale relative des particules fluides de cette paroi materielle, soit (d'apres ce qui a deja ete dit a la section 6,2 du v
§ 6) :
++
u.n - w
n
n
ou w est la vitesse exterieure normale de an . En tout point de an ou v < 0 n n (le fluide rentre alors dans n ) il faut s'imposer la vitesse, la masse volumique et l'entropie specifique. Par contre,lorsque v
n
> 0 (le fluide sort de + +
n), il
n'y a pas lieu de s'imposer autre chose que la donnee de u.n aux points correspondantsde
an .
En outre, il s'avere, que si pour une solution du probleme d'Euler
aux valeurs initiales et aux limites considere,nous avons
an· de an· sont
an,
sur une partie
la frontiere
cette partie
surabondantesrelativement aux conditions initiales
alors les conditions aux limites sur
imposees en t = 0; cela veut dire que les conditions imposees sur le restant de la frontiere et pour t
lIi) Dont le titre est :
=0
determinent de
fa~on
unique la solution.
Le~ons sur les fondements de la dynamique des gaz, ed. Nauka de Moscou, 1981, en langue russe (voir le § 7).
126
9,5. QUELQUES REFLEXIONS CONCERNANT L'UNICITE VE LA SOLUTION VES EQUATIONS V'EULER II faut bien se rendre compte que Ie modele d'Euler, regi par les equations (9,50) pour un fluide parfait en evolution adiabatique, est une approximation assez "grossiere" de la realite physique
qui,elle,correspond
(sous les hypotheses du "continu") au fluide visqueux, conducteur de la chaleur dont l'evolution dans l'espace - temps est gouverne par les equations de Navier-Stokes dont i l a ete question au § 2 (du chapitre I). Comme nous l' avons deja souligne, cette approximation se revele, en particulier, par une perte d'information sur la paroi delimitant l'ecoulement ou il faut imposer la condition de glissement, a la place de la condition (exacte !) d'adherence. Cette perte d'information sur la paroi a des consequences facheuses qui conduisent, dans divers cas, a la perte d'unicite de la solution des equations d'Euler et il est alors necessaire de faire appel a des informations complementaires (non contenues dans Ie modele d'Euler 7) afin de retablir cette unicite Un cas simple est celui de l' ecoulement plan autour d' un obstacle borne: la condition de glissement avec les conditions a l'infini (dont il a ete deja question a la section 6,3) ne garantissant aucunement l'unicite de la solution des equations d'Euler correspondantes. Pour simplifier, encore plus, on peut se restreindre a l'ecoulement stationnaire plan irrotationnel d'un fluide d'Euler incompressible autour d'un cercle C (qui est la section droite o dans Ie plan (x , x ) d'un cylindre de revolution dont les generatrices sont 1
2
perpendiculaires au plan (x , x ), c'est-a-dire dirigees dans la direction x ). 2
1
3
II s' avere alors que cet ecoulement ne devient bien determinee que si l' on se fixe la circulation du vecteur vitesse autour de ce cercle Co
r
(9,61 )
f
->--..
u.do
--+-
do
=->-T
dO,
C
o
ou ~
est Ie vecteur unitaire tangent d'un point de C oriente vers les
croissants (l'abscisse curviligne etant notee par
o
0
0). En restant dans Ie
cadre du modele de fluide parfait, au sens strict, nous n' avons aucun argument pour determiner cette circulation. D'une maniere
generale, l'observation montre que Ie modele d'Euler
ne convient pas pour les corps non profiles, au sens que l'on donne a ce terme en aerodynamique. Pour les corps non profiles,il faut completer Ie modele d'Euler en y incluant des nappes tourbillonnaires qui sont des surfaces de
127
discontinuites de contact. Le procede de calcul de ces ecoulements d'Euler, comportant des nappes tourbillonnaires, qui est essentiellement numerique, doit incorporer une information complementaire qui n'est pas donnee par le modele de fluide parfait et qui concerne le depart de la nappe sur la surface de l'obstacle. On sait que c'est une information qui doit etre contenue dans le passage a la limite Re => oo,lie au concept de fluide peu vi:rueux, d'une maniere qui n'est pas encore tres bien connue a l'heure actuelle Pour les corps profiles aerodynamiquement, c'est-a-dire aplatis au voisinage d'une portion
de plan contenant le vecteur vitesse a l'infini amont
et termines, a l'aval, par une arete jouant le role de bord de fuite, on subodore que la nappe s'echappe de l'arete et que cette nappe est unique. Dans ce cas l'existence de la nappe tourbillonnaire a pour fonction de realiser la condition dite de Joukowski*-): Si le modele de fluide d'Euler provient, par la limite Re =>
....
t, x
00,
a
fixes, d'un ecoulement de fluide peu visqueux et faiblement
conducteur de la chaleur, alors cet ecoulement limite d' Euler ne peut contourner une arete. Precisons qu'un tel contournement conduit a des valeurs non bornees de la vitesse, lorsque l'on tend vers l'arete.
Naturellemen~ le
fluide visqueux
peut contourner le bord de fui te, mai s vu au niveau du modele d' Euler de fl ui de parfai~
cela intervient dans une region tres localisee, au voisinage de ce bord
de fuite, qui est evanescente avec Re =>
00.
De part et d'autre de l'arete, sur
la paroi, le fluide converge vers elle et la nappe ne fait pas autre chose que de permettre a ces deux ecoulements convergents, non continus sur l'arete, de se prolonger au-dela de celle-ci. A la verite ce qui vient d'etre dit est relatif a une arete qui est un rebroussement pour la paroi; toute arete avec un angle diedre non nul, provoque necessairement l'apparition d'une zone decollee de plus ou moins grande etendue • • ) Le lecteur interesse par cet aspect theorique pourra consulter, en particulier, l'article de Guiraud et Zeytounian (J. de Mecanique, vol. 18, nO 3, 1979, pages 423 a 431), ou un critere relatif a l'emplacement de la ligne de separation, sur une paroi reguliere, d'une nappe tourbillonnaire est obtenu pour le cas d'un fluide compressible qui est un gaz parfait a Cp et Cv constants. L'ecoulement est stationnaire et la paroi est supposee athermane ou maintenue a une temperature constante. Enfin, la compos ante de la vitesse parietale, normale a la ligne de separation, est supposee subsonique . • lI<) On dit aussi condition de Kutta, car il semble que la condition "d'ecoulement regulier au bord de fuite" fut emise, independamment de Joukowski, par Kutta. On pourra consulter sur ce sujet le livre de Theodore Von Karman ("Aerodynamique", Interavia, Geneve 1956) ou l'on trouvera des "Themes" choisis a la lumiere de leur developpement historique.
128
En ecoulement plan instationnaire d'un fluide incompressible on dispose de la theorie mathematique des fonctions analytiques pour construire des ecoulements avec nappes. 1. Le defaut d' unicite, sans information complementaire, pour Ie modele de
fluide parfait est transparent sur l'exemple des ecoulements plans stationnaires de fluide d'Euler incompressible homogene (a masse volumique constante), qui sont regis par l'equation (5,16), de la section 5,6 :
Le raisonnement que l'on fait habituellement pour determiner l'expression de cette fonction arbitraire F(W) consiste a chercher sa valeur dans une region ou les caracteristiques de l'ecoulement considere sont connues par les conditions a l'infini; il s'agit en general de l'infini amont. Toutefois ce procede echoue si les lignes de courant ne vont pas a l'infini amont ? Dans ce cas les informations qu'il faut rechercher sont intimement liees au passage a la limite Re => 00. 11 faut donc revenir aux equations de Navier du § 5 qui peuvent s'ecrire sous la forme adimensionnelle suivante
{ avec
Re
=U
00
vement a Uoo
L /
o Vo
et
= 0,
v.~
' pour la vitesse (~) et la pression (TI) reduites relati2
PooUoo ou Uoo caracterise une vitesse de reference constante.
Comme dans Ie cas plan,le tourbillon n'a qu'une seule composante, perpendiculaire au plan de l'ecoulement, que nous avions deja note (voir la section 5,2) w ' nous pouvons ecrire, a la place de (9,63)
3
+ +
{
(9,64)
u·JXu
~
3
= Re -1
j)2
= { u 1 = dW/if.1
w3 ; w3 ' u2
D W, = -"21 +2
= -dW/dX
}.
Lorsque l'on effectue la limite dite d'Euler (Re =>00, a x et y fixes est note LimP Re+oo
il vient : . P
L1m w Re+oo 3
129 - + . . . f"'· "''' es t t e11 e que: L·~mP +u = u = +e A fld, -r ; l' ~ndice ~n er~eur "zero 3 o '" . '" Re-+oo .0 0 caracter~sant l'ecoulement non v~squeux obtenu a partir du passage a la
ou... ,I,~
limite d'Euler defini plus haut. Posons maintenant
{
(9,66)
wo
=- -21 F
+
+
u0 +
+ He
')f
')f
+
+ Re
w = w + 0 3
+ Re
u
0
-1 .+
u +
-1 -1
~
')f + ~
w +
(1jJ ) et supposons que les lignes de courant de l'ecoulement limite 0
d'Euler associe (qui satisfait
a
(9,62)) soient fermees. Soit donc y o une
ligne de courant generique de cet ecoulement limite; en portant les developpements de ~ et ')f , (9,66), dans les equations de Navier, il vient
(~
o
.n)
+~
~ + (~.D) ~
+ D')f
0
+ + D. u
= +2 D
a l'ordre
Re-
1
+
u
o
o
=0
+
~o·~) + ~ (~3 A ~o)
mais comme
nous pouvons aussi ecrire que j)2
~o
= j)
(rr
~
+ w (~3 A ~). o
Soit maintenant ~o le vecteur unitaire tangent multiplie scalairement (9,67) par ~
o
+
puisque u w o
o
+ 1 + 1Uo T. 0
a Yo'
on a, apres avoir
et integre le resultat,
On a designe par do
0
l'element d'arc le long de Yo.
. Ma~s
=-.IF (1jJo) est constant sur Yo' puisque cette derniere est l'une des lignes 2
de courant 1jJo
on obtient
Const, et de ce fait en appliquant le theoreme de la divergence
130
~Yo
+
+
+
fJ
A e ).u do 3
W (T
000
, +
domaine!::"
~o
-1
0
0,
o
!::"o
a Yo
ou no est le vecteur unitaire de la normale Re
V.~ dE
dirige vers l'i£te:ieur du
qui a pour frontiere y . Ainsi, le calcul des termes u, 0
~
, d'ordre
, au niveau des developpements (9,66), implique que le champ des vitesses
satisfasse
a la
contrainte-): +
0='
(9,68)
+2 +
T .D o
u
0
dO
{DA(DA~
o
o
}dO. 0
Cette information complementaire (9,68) n'est pas incluse a priori dans le modele de fluide d'Euler; elle apparait comme une trace laissee sur le modele de fluide d'Euler, par le modele de Navier, lorsque la viscosite est evanescente. Cette derniere relation de compatibilite (9,68) peut encore s'ecrire sous la forme : 0
=,
~ .(D A w o 0
~3) do0
Yo
=, -
(~
0
~3) '~o
A
do
0
Yo 1
-"2
dF (1}! ) 0
d1}!o
(~ + Yo
0
A
~3) .DtPo do 0
d1}!
-.2. dO dn o
0
De (9,69) on obtient defini tivement que
(9,70)
~)
d F (1}! ) o
o
=> F (1}!o) - Constante.
On notera que l'on a la formule suivante
ou!::" est
V(V.V) - VA (V A v) = ~ V, l'operateur de Laplace et V, l'operateur
gradient (nabla).
131 lf
La condition (9,70) est celle dite de Prandtl et Batchelor
)
:
le tourbillon d'Euler incompressible d'un ecoulement stationnaire plan est constant dans toute region parcourue par des lignes de courant fermees. Precisons
~ue
la valeur de la constante ne peut-etre determinee
par le
~ue
raccord (dans un sens asymptoti~ue) avec le modele associe de couche limite de Prandtl et on pourra
a ce
2. Continuons a supposer
sujet consulter le travail de Wood--) • ~ue
le fluide d'Euler incompressible irrotationnel
est en mouvement stationnaire et
~ue
l'hypothese de Joukowski est verifiee
(c'est-a-dire ~ue la vitesse reste finie a la pointe arriere du profil autour
du~uel
l'ecoulement est considere).
Mais,en
realit~il
stationnaire et de ce n'a de signification
n'existe pas d'ecoulement rigoureusement ecoulement stationnaire envisage par la theorie
fai~un
physi~ue ~ue
si l'on montre
~ue
cet ecoulement peut-etre
obtenu, a partir du repos, soit effectivement au bout d'un temps fini, soit asymptoti~uement lors~ue
t
+
00
(mais alors dans ce cas, se pose le probleme de
la possibilite d'intervertir le double passage a la limite: t Bien
~ue
+
00
et Re
+
(0).
la viscosite de l'air soit faible, on ne peut en faire tota-
lement abstraction,
puis~u'on
sait
~ue
l'adherence du fluide le long de la paroi
du profil entraine necessairement l'existence d'une couche limite et, par suite, l'existence d'un frottement tangentiel le long de la paroi. Considerons done (nous reprenonsles grandes lignes d'une argumentation ~ue
l'on trouvera exposee dans le livre de Germain et Muller (1980; deja cite,
voir les pages 297 a 300», dans un repere lie au profil fluide incompressible,
vis~ueux,
P, l'ecoulement d'un
baignant la paroi de P et mis en mouvement
a partir du repos. Immediatement apres l'instant initial, l'ecoulement est globalement un ecoulement instationnaire et irrotationnel d'un fluide d'Euler incompressible, sauf au voisinage meme de la paroi P ; eela est une du theoreme de Lagrange, p
= po = Const
~ui
conse~uence
decoule de la formule de Cauchy (4,21), oil
(on notera ~ue tout ecoulement d'Euler incompressible irrota-
tionnel represente un ecoulement de Navier (incompressible), satisfaisant a l'e~uation
(5,8)
dans le cas plan, a condition d'etre assez loin d'un voisinage
If) G.K. Batchelor, "On steady laminar flow with closed streamJines a~ large
Reynolds rumbe:r", Journal of Fluid Mechanics, vol. 1, p. 1'77, 1956.
lflf)
Voir l'article dans: J. of Fluid Mech., vol. 2, 1957, p. 77.
132
de la paroi). En toute generalite, le point de detachement de la ligne de courant contournant le profil, de l'amont vers l'aval, est distinct de la pointe arriere du profil (du bord de fui te) et de ce fai 1:, les composantes des gradients de
vitesses sont tres grandes au voisinage de cette pointe, ce qui
fait que la condition de Joukowski n'est pas verifiee. Dans ce voisinage du bord de fuite, les effets de la viscosite, qui sont proportionnels aux gradients de
vitesses, ne sont pas negligeables et, en particulier, il apparatt un champ
de tourbillons intenses qui seront entraines, ulterieurement, par le fluide en mouvement pour former en aval du profil un sillage rotationnel (tourbillonnaire). Envisageons maintenant l'ecoulement a un instant posterieur et schematisons-le en supposant, provisoirement, le fluide denue de viscosite (il est incompressible et non conducteur de la chaleur) - malgre
q~'en
aval du profil
il existera un sillage borne dans lequel l'ecoulement est rotationnel. Le long d'un contour tres eloigne du profil (notons ce contour par (L) ),la circulation est nulle, etant donne que la circulation le long d'un contour ferme (entourant le profil) que l'on suit dans son mouvement reste constante et que cette circulation etait nulle au repos. Ainsi, on constate que la somme des circulations
P et
prises l'une le long d'un contour plus petit, mais entourant le profil
l'autre le long d'un second contour, aussi plus petit, entourant lui le sillage ,l5)
borne
~
,
, est nulle. Autrement dit, l'existence du sillage rotationnel,a 1 aval,
entratne l'existence d'une circulation non nulle le long du profil
P lui-meme.
Cela veut dire que: l'existence de la viscosite (si faible soit-elle, elle existe physiquement) laisse une trace sur le schema de l'ecoulement obtenu a un instant determine en supposant le fluide non visqueux, a savoir, un sillage rotationnel et, correlativement, une circulation non nulle autour du profil
P
lui-meme. Lorsque le temps varie, cette circulation croissante a pour effet de rapprocher du bord de fuite le point de detachement de la ligne de courant entourant le profil de l'amont vers l'aval. Par suite, les gradients de vitesses au voisinage de la pointe deviennent moins importants et il en est de meme, par consequent, des effets de viscosite et de 1 'intensite du tourbillon s'echappant du profil pendant une duree donnee . • ) Le sillage, du aux effets de viscosite, qui apparatt inevitablement en arriere du profil est d'autant moins important que le profil est mieux dessine aerodynamiquement; il entratne toujours l'existence d'une trainee non nulle. Si le profil est mince, c'est-a-dire si il a une epaisseur relative faible et si l'incidence de la vitesse a l'infini amont est aussi faible, alors ce sillage aura lui-meme une epaisseur faible et on pourra,a la limite,le schematiser suivant une ligne, lieu de tourbillons singuliers ponctuels.
133
Lorsqu'
enfin, le temps augmente indefiniment, le point de detachement
de la ligne de courant contournant le profil tend yers le bord de fuite et la circulation tend vers une valeur finie et, plus generalement, l'ecoulement tend vers un ecoulement stationnaire, qui est alors unique des lors que la condition de Joukowski est realisee au bord de fuite. Cependant, i l reste
a comprendre
pourquoi l' ecoulement limite stationnaire
(d'Euler incompressible) peut-etre considere comme irrotationnel, alors que dans toute la phase transi toire il etait rotationnel dans le voisinage du bord de fui te ? La raison en est simple: la rotation qui s'est echappee du profil se trouve, au bout d'un temps infini, emmenee
a l'infini.
loin en aval
bien que le long de tout contour arbitraire situe tion est egale
a la
du bord de fuite, si
a distance
finie, la circula-
circulation autour du profil.
Naturellement il convient d'ajouter que le fluide reel etant faiblement visqueux (Re »
,) il existe toujours une couche limite au voisinage immediat
de la paroi du profil et aussi un sillage en aval du profil dans lesquels se manifestent les effets de la viscosite; mais ces regions echappent, tout naturellement,
a la
description
a partir
du modele approche d'Euler. D'autre part,
il est vrai que l'intensite de la rotation dans cette couche limite et dans ce sillage est relativement tres faible par rapport
a celle
que l'on observe durant
la periode d'etablissement de l'ecoulement stationnaire, ce qui fait qu 'en premiere approximation il est (asymptotiquement) legitime de supposer irrotationnel l'ecoulement stationnaire du fluide d'Euler qui schematise l'ecoulement reel peu visqueux incompressible. Les effets de la viscosite localises dans la couche limite expliquent, d'une part, l'existence d'une trainee non nulle, et, d'autre part, les differences entre les valeurs de la pression donnees par la theorie d'Euler et celles obtenues
a partir
des experiences, dans le voisinage du profil proche du bord de
fuite. On notera que si, dans la region du nez du profil.la couche limite
peu
epaisse reste laminaire, elle devient par contre turbulente sur la partie arriere du profil. Enfin, si l'incidence du profil (dans le plan (Ox , x 2 ), l'incidence 1 est l'angle du vecteur vitesse, a l'infini amont, avec l'axe Ox,) devient importante, les variations de pression le long du profil sont tres rapides et la couche limite decolle : le long de la paroi. la derivee de la pression devient positive et suffisamment grande et de ce fait,il apparait au voisinage de cette paroi un courant de retour qui fait justement decoller l'ecoulement incident.
134
Dans ce dernier cas,il apparatt en aval du profil un sillage turbulent relativement large que l'on ne peut plus schematiser suivant une ligne, lieu de tourbillons singuliers
ponctuels~) .
Naturellement, les divers paradoxes decoulant de l' etude des ecoulements d'Euler, de fluide non visqueux en evolution adiabatique, sont intrinsequement lies au fait que ces derniers ne sont qu'une grossieTe approximation des ecoulements reels, du moins au voisinage de parois solides en contact avec le fluide, ou la condition d'adherence doit etre imposee en toute rigueur. On . .
~.
n)
pourra a ce sUJet consulter le llvre de Blrkhoff
.
L'un des paradoxes les plus celebres estcelui dit de d'Alembert (1717-1783) enon~ant que "La resistance d'un corps, se un fluide
~
visqueux
depla~ant
d'un mouvement uniforme dans
incompressible et homogene, est nulle si
le fluide se referme derriere le corps" . On trouvera dans l'article de revue de Keith Stewartson-·*) une discussion theorique des divers aspects du paradoxe de d' Alembert.
9,6. LA CONDITION DE JOUKOWSKI En 1858, pres de cent ans apres les travaux de d'Alembert, Helmoltz
**•• )
demontrait un theoreme fondamental sur les mouvements tourbillonnaires S'il n'y a pas initialement de regions tourbillonnaires dans un fluide (autrement dit, si a l'origine le fluide est au repos), les tourbillons ne peuvent etre crees que par le frottement (la viscosite) ou par la presence de bords (d'aretes) effiles sur un corps, et dans ce dernier cas, une discontinuite peut etre formee relativement aux deux courants fluides qui se rejoignent le long du bord de fuite - cette discontinuite pouvant etre consideI1ee- ~omme une suite continue de tourbillons ou une nappe tourbillonnaire.
*) Nous ne pouvons que recommander, une fois de plus, aux lecteurs desireux
d'approfondir le cote physique des phenomenes aerodynamiques lies a l'ecoulement autour d'un profil, de lire le livre de Von Karman (1956, en frangais; deja cite) ou ils trouveront un expose remarquable de ces question par l'un des Mattres de l' Aero dynami que .
*llf) Dont le titre est : "Hydrodynamics" - a study in logic, fact and sirnilitude; Princeton Univ. Press, New Jersey, 1960 .
••*) Dans: SIAM Review, vol. 23, 3, 1981, 308 a 343.
*ll!•• )
Dans le Journal fUr die reine und angewandte Mathematik, 55, 1858, 25-55.
135
Ainsi, du bord de fuite
effile d'un profil,on aura necessairement
formation d' un tourbillon 'lui est le "tourbillon de depart de Von Karman". Ce tourbillon de depart est laisse en arriere a mesure 'lue le profil avance et, simultanement une circulation s'etablit autour du profil et tant 'lue des tourbillons s'echappent du bord de fuite des divers profils, formant l'aile tridimensionnelle, sous forme de nappe de tourbillons, la circulation augmente. Cependant, on peut raisonnablement supposer 'lue, lors'lue le tourbillon de depart est chasse au loin en aval de l'aile, la difference de vitessffientre les ecoulements 'luittant les surfaces extrados (superieures)et intrados (inferieures)de l'aile tend vers zero et 'lue la circulation a alors atteint sa valeur 'maximale. Cette hypothese dite condition de Joukowski, est donc une condition de regularite de l'ecoulement au bord de fuite et elle est le point essentiel de la theorie de la portance, parce 'lu'il determine la valeur de la circulation·) . Ainsi, grace a l'hypothese (condition) de Joukowski, l'ensemble du probleme de la portance devient purement mathemati'lue Il suffit de determiner la valeur de la
circulatio~ de
telle
fa~on
'lue
la vitesse de l'ecoulement 'luittant au bord de fuite l'extrados soit egale a celle de l'ecoulement 'luittant l'intrados. Enoncee de cette
fa~on,
la condition de Joukowski s'appli'lue aux ailes
dont l' intrados et l' extrados forment un angle nul au bord de fui te. Si les tangentes aux surfaces extrados et intrados de l' aile forment un angle fini, le bord de fuite est un point d'arret pour l'ecoulement, c'est-a-dire 'lue la vitesse calculee de part et d'autre doit etre nulle. Naturellement, pour les fluides reels (vis'lueux), a cause de l' effet de frottement, les lignes de courant (en ecoulement stationnaire) ne suivent pas la surface de l'aile jus'lu'au bord de fuite (surtout si l'aile est relativement epaisse), mais se separent de la surface en un point 'luelcon'lue laissant en aval de l'aile une region tourbillonnaire, 'lui est le sillage de l'aile. Comme nous l'avons deja precise, la formation du tourbillon de depart n'assure
*) Lors'lue l'on considere la resultantegenerale des efforts globaux exerces
sur un profil par l'ecoulement fluide, on cons tate 'lue sa compos ante normale a la vitesse a l'infini (qui est justement ce que l'on appelle la portance) est proportionnelle a la circulation. Par contre, sa composante sur la d~rec tion de la vitesse a l'infini (dite "trainee") est toujours nulle dans le cadre du modele de fluide parfait. De ce f~ t, pour des ecoulements de fluide parfait sans circulation, la resultante des efforts globaux est toujours nulle et on retrouve le paradoxe de d'Alembert.
136
que l'existence de la portance, mais pas de la trainee, car une trainee ne se fait subir que si l'arriere du corps est le siege d'une "eau morte" ou tout au moins si la viscosite et la compressibilite ne sont plus negligeables au voisinage de la paroi du corps. C' est le mecanisme dissipatif, laminaire ou turbulent, inherent a. tout ecoulement de fluide reel qui commande 1 'intervention de la condition de Joukowski. Les travaux recents (de l'Ecole Anglaise, principalement) ont mis en evidence le lien etroit entre la condition de Joukowski et le passage a. la limite Re => "" En ecoulement stationnaire, pour des profils minces et en regime subsonique, on constate que,pour CJ)le la condition de Joukowski joue son role, il faut 1 16 que l'incidence du profil tende vers zero comme Re- / , OU Re est le nombre de Reynolds construit a. partir de la vitesse a. l'infini U"" et de la corde profil (c'est la largeur de l'aile dans la direction de la vitesse En regime oscillatoire, caracterise par le nombre de Strouhal S
lo du
a l'infini).
= wo
l 0 /U"" ' ou
west la pulsation, il y a une situation privilegiee correspondant a. O/1/4 ru ., ~ S Re = 1 et ~l s avere que : a. haute frequence le mecanisme realisant la condition de Joukowski ne joue que pour des amplitudes considerablement reduites. Pour des nombres de Strouhal suffisamment eleves, le bord de fuite engendre un sillage epais qui est du a. la persistance des decollements qui auraient,a. frequence plus basse, tendance a. se produire alternativement d'un cote et de l'autre. -2 -1/16 En regime oscillatoire,l'incidence doit tendre vers zero comme S Re , ce qui indique qu'aux frequences elevees,il y a plus facilement decrochage au bord de fuite. On peut encore affirmer que : si a. tres grand nombre de Reynolds un angle au bord de fui te, meme tres petit, provoque un decollement, on peut atteindre des incidences "non negligeables", pourvu que le bord de fui te presente un rebroussement, sans craindre de declencher le decollement. Le mecanisme fondamental,par lequel la dissipation etablit la condition de Joukowski,est le schema asymptotique de couplage singulier en triple couche invente simultanement, mais independamment, par Stewartson et Williams
et
Neiland*) • Precisons ici, uniquement, que ce schema en triple couche est une ¥)Voir:Proc. Roy.Soc., A312, 1969, 181 a.206,etaussi Izv. AN SSSR, Mecanique des liquides et des gaz, nO 4, 1969, en langue russe.
137
locale~)
structure d'ecoulement
et il interesse une zone (au voisinage du bord
de fuite, en particulier) dont l'etendue longitudinale est, en ordre de grandeur, o Re -3/8 . D' une man~ere . '" I ~ I a condit~on . . ~o genera de Joukowsk~. qui exprime une absence de singularite de la vitesse, ou encore du coefficient de pression
= (p-poo)/1/2
2
Uoo )' au bord de fuite est d'une application malaisee dans les traitements numeriques. Naturellement, il y a un cas simple qui est celui du (Cp
Poo
fluide parfait incompressible ce qui donne, en ecoulement plan : dU + dV dX dY
=a ,
lorsque Ie plan, dans lequel l'ecoulement est etudie, est rapporte a deux axes rectangulaires Ox et Oy et les vitesses correspondantes notees u et v. L'ecoulement etant partout irrotationnel, ce qui implique naturellement qu'a l'infini il soit uniforme, on a aussi dU dV dY - dX
=a
•
Ainsi, il existe une fonction de courant o/(x,y) et une fonction potentielle ~ (x,Y) de telle fagon que :
.£.l =.£!l!. ~ = _.£!l!. dX dY' dY dX avec Z
=>f(Z)
=~
+ ilj!
'
x + i y. En particulier, on sait que la fonction if
- -2.. Log Z, 27f
est Ie potentiel complexe de l'ecoulement stationnaire plan, irrotationnel, = Const autour d'un cercle de rayon R ' o o centre a l'origine dans Ie plan des Z, et place dans un ecoulement uniforme a
qui s'etablit avec une circulation f
l'infini de vitesse complexe Ivool exp (-i8) donnee; Ie vecteur vitesse a l'infini faisant l'angle 8 avec l'axe Ox.
*)
bdistance, ' 0 Re -3/8 ,la couche l~~te . . . Sur une auss~. fa~"Ie ~ class~que, se trouvant a l'amont de la zone sigguliere locale, repond comme une couche de cisaillement de fluide parfait, par simple transport Ie long des lignes de courant deplacees verticalement par l'effet de deplaceme~t d'une souscouche visqueuse de paroi d'epaisseur de l'ordre de l Re- 5 / B dans laquelle les equations de la couche,limite de Prandtl sont val~bles. Mais dans ce schema en triple couch~ la pression et l'effet de deplacement sont relies par un probleme d' eco1Jl~ment de fluide parfait dans une zone dont les deux dimensions sont lo Re-3/~ et c'est justement par ce biais que se produit Ie couplage reciproque dit singulier. On trouvera un exemple d'application de ce schema en triple couche dans Ie travail de Daniels (Quart. Journal Mech. Appl. Math., vol. 31, pt. 1; 1978, pp. 49 a 75).
138
Considerons maintenant un profil aerodynamique, presentant a. l'arriere un point anguleux saillant, trace du bord de fuite de l'aile "d'envergure infinie". On sait qu'il existe une representation conforme du domaine exterieur a. ce profil sur l'exterieur d'un cercle centre a. l'origine, et une seule. La fonction
Z'
(9,75)
= H (Z),
effectuant cette representation admet a. l'infini un developpement de la forme 00
Z' Le rayon Ro du cercle, dans Ie plan Z, est a priori inconnu, mais il ne depend que du profil donne, dans Ie plan Z' = x' + i y'. Supposons que dans Ie plan Z' l'ecoulement autour du profil se comporte a. l'infini (pour Z'+ 00) comme un ecoulement uniforme de vitesse complexe l'angle a
Iueol exp (-i a) donnee;
du vecteur vitesse a. l'infini avec l'axe Ox' etant l'incidence du
profil par rapport a. Ox' . Le cercle de rayon Ro ' dans Ie plan Z, est contourne, d'apres (9,74), par un ecoulement ayant comme vitesse complexe a. l'infini Ivoo lexp(-i8). Pour l'uniformite de la representation conforme (9,76) exigeons que Ie point a. l'infini du plan Z' se transforme en un point eloigne a. l'infini du plan Z et ia que la direction de la vitesse Uoo Iuool ecoincide avec la direction de la i8 vitesse Voo IVoo le- • Dans ce cas, il faut que a 8 et, d'autre part, si f(Z') est Ie potentiel complexe pour Ie profi~ on doit avoir la relation:
=
df dF/ dZ -dZ' = -Z-,- , f(H (Z» d /dZ
=F
(Z),
et pour les points homologues, a. l'infini, i l vient, grace a. (9,76), (9,78)
IUoole
-ia
Ivoole k
-ia => k
0
en particulier, on pourra faire Ie choix de k correspond
a une
0
jvool
0
-
-
1,
ro IU""I -
Ivool, ce qui
transformation canonique.
Soient main~enant Zr l'affixe du point anguleux saillant arriere du
= Ro e ~cr I' affixe du point homologue de la circonference dans la representation conforme canonique envisagee plus haut. La fonction (9,75) est
profil et Zf
necessairement singuliere au voisinage de Z = Zr et on
a
139
En
particulie~
si l'angle des tangentes au profil au bord de fuite
d' affixe Zf' est O'IT (0 , 0 < 1), alors p = 2-0 et de ce fait au yoisinage de Zf: dZ' _ (Z-Z ) 1-0 Lim ~ = a p (2-0) Lim f Z+Zf Z+Zf
o ,0
< 1 •
Or la formule (9,77) montre alors que la vi tesse complexe, df/ dZ ' = u'-iv', au voisinage de la pointe du profil aura un module arbitrairement grand! Toutefois, il n'en est pas ainsi si Ie point Z = Zf de la circonference de rayon R est un point de vitesse nulle pour l'ecoulement F(Z) autour o du cercle defini, d'apres (9,74) et les contraintes a 8 et Ivool k luool, o par :
=
=
1 Z
En effet, Z - Zf etant un zero simple de dF/ ' on a que df/ ' est dZ dZ z'f si 0 < o < 1 et il reste borne si o = 0 (ce dernier cas est celui ou la trace du bord de fuite de l'aile est un point de rebroussement du
nul pour Z' = profil) •
En definitive"onarrive a la conclusion que la condition de Joukowski s'exprime par la contrainte suivante
(9,80)
dF
en Z
k
dZ
uool{eo l
et on peut faire Ie calcul de la circulation
r*o
2 'IT i R k o
0
ia _ ei(a-2a)} +
r*
o '
r
0
2 'IT i R o
e
-ia
0,
correspondante
luool {e-i(a-a) _ ei(a-a)}
4 'IT k o R0 lu00 I sin (a-a). Lorsque a
= a,
on a
r: =
0 et on dit que l'angle a definit la direction
de portance nulle. On notera que la circulation est une grandeur qui se conserve dans une transformation conforme pour des contours homologues et de ce fait,la circulation
r*o
est celIe qui s'etablit autour du profil lorsque Ie point d'arret
aval de l'ecoulement autour du profil se trouve exactement a la pointe arriere du profil, c'est-a-dire lorsqu'il coincide avec Ie bord de fuite. Compte tenu
140
de la condition de Joukowski,il existe donc un ecoulement et un seul autour du profil donne lorsque l'incidence a est donnee. Malheureusement, dans le cas compressible,les choses ne sont plus si simples, car on ne sait pas traduire simplement le schema d'ecoulement quand la condition de Joukowski n'est pas satisfaite ! Si l'on introduit la fonction de courant plan
~
(x,y), telle que: Clpu + Cle v = 0 => Clx Cly
alors pour determiner
~'
axCl 1 1
22 p
p Cly
, v
il faut resoudre le probleme
(.l~) p Clx
+..2....
(.1.~) p Cly
Cly
[(.£1Clx )2 + (~Cly )2J (p/p )y
~
u=.1.~
==
(poo/p
0
+ -Y...- p y-1
)y
2 U
=~+-Y...-p
/p -
2
y-1
oo/poo
,
00
= 0, sur le profil, ~ => ~oo ' a l'infini amont; ICl~/Clxl + ICl~~yl=> 0,
lorsque r = (x
2
2 1/2 + y) => 00.
9,1. LES NAPPES TOURBILLONNAIRES Pour un ecoulement de fluide d'Euler (parfait, en evolution adiabatique), dont la loi d'etat est, par ailleurs, quelconque, on traduit toutes les conditions en une nappe tourbillonnaire (qui est une discontinuite de contact) en ecrivant, d'une part que c'est une variete materielle, (9,84) de part et d'autre de cette derniere, notee ici N(t), c'est-a-dire sur
N+
et
N-,
et d'autre part que la pression y est continue
I[pJI
=0
•
La relation (9,84) exprime tout simplement que: la vitesse de l'ecou-
N (t) (N est le vecteur unitaire de la N (t) oriente vers l'aval) est egale a la vitesse de deplacement de
lement dans la direction normale a normale a
141 N(t) dans la meme direction; de ce fait,le fluide "glisse" sur
chaque cote
N(t), de
N+ et N-.
Les nappes tourbillonnaires supportent des discontinuites (fortes) de la composante tangentielle de la vitesse relative et de la densite. Representons le vecteur vitesse de l'ecoulement fluide d'Euler sous la forme
= u.r
+
(9,86)
+
u
et naturellement W est continu N
+
+ WN N,
+ u.r.N =0 4-
a travers N (t).
Considerons maintenant le vecteur
(9,87)
=>
construit
a partir
de la discontinuite de la composante tangentielle de la
vitesse. Il s'avere que
Irl est la valeur du vecteur tourbillon
(V A ~)
concentre sur la nappe tourbillonnaire et on dit que rest le vecteur "intensite tourbillonnaire" de la nappe est
N( t).
Si maintenant on suppose, en plus, que l'ecoulement de fluide d'Euler => +V A +u = 0 ) de part et d'autre de la nappe N ( t),
" " (4-;:!; ,n ~rrotat~onnel u = V 0/
on est amene
a introduire
la fonction scalaire
et dans ce cas
(9,88) On notera que, naturellement, la discontinuite du potentiel des vitesses
r n'est definie que sur la nappe N (t); cette fonction scalaire r,
par l'intermediaire de la formule (9,88), caracterise localement l'intensite de la nappe tourbillonnaire
N (t).
Rappelons que lorsque l'ecoulement d'Euler barotrope est irrotationnel, " "1 " / on peut t~rer prof~t de ' ~ntegrale de Berno ull"~ lI' )
*) En fait, au second membre de l'integrale de Bernoulli apparait nne fonc-
tion arbitraire de t et cette derniere peut, en principe, prendre des formes differentes des deux cotes de la nappe. Mais dans toute region qui ne coupe pas la nappe N (t) on peut toujours supposer que cette fonction est nne constante, la meme des deux cotes de la nappe.
142
avec h, l'enthalpie specifique (pour un gaz parfait a
2 h = (Y/Y-1) Pip = a / y _ 1)' Ainsi, on constate que
c~
et Cv constants
on a
et pour tirer avantage de cette derniere relation on introduit la valeur moyenne de ~ :
c'est-a-dire la valeur moyenne des deux potentiels des vitesses au meme point, mais de part et d'autre de la nappe (~+
e
N+ et ~-
e N-).
Dans ce cas, on peut
aussi definir l'operateur
OU
Q
U
++.= 1/2 (u + u ), qui est la derivee particulaire moyenne
elle a un sens meme pour une fonction qui n'est definie que sur
N (t) et N (t); cela a
sur
done un sens d'ecrire un expression telle que
'D'
Dt (
-+
1[u.rJ! ).
Maintenant on peut, avec 'f,ecrire (9,89) sous la forme suivante
mai s comme on a
il vient l' equation suivante
o et en particulier, en incompressible,
143
Dans le cas general d'un fluide d'Euler compressible, non barotrope (barocline) on peut etablir la relation suivante (obtenue en ecrivant que l'equation de quantite de mouvement est satisfaite de part et d'autre de N(t) ):
ce qui generalise (9,93). Mais de (9,95) il vient auss~ pour le cas incompressible, lorsque p ala meme valeur de part et d'autre de
N (t),
la relation:
Naturellement lorsque l'ecoulement de fluide d'Euler est incompressible, avec la meme valeur de p de part et d' autre de N (t), et que de plus il est irrotationnel alors le potentiel des vitesses ~ satisfait
~ I [~] I :: { ddt + ~ [(v 4»)+ + (v1/I)-].V }
(9,97)
I c ~ J I ::
y
~+ - 1/)-,
Revenons
a
t
e
(9,87)
(purement tangentiel
N+,
VJ- e
a l'equation
I[1/)] 1
(9,94)
0,
N- .
on peut se rendre compte que le champ superficiel
a N (t))
definit tres precisement Ie rotationnel au sens
+
des distributions d' un champ u tel que
I[~]I. ~ = 0, sur N (t), par ailleurs irrotationnel au sens classique dans ce
ca~
(V A ~ = 0).
La nappe
N (t) est,
le support de la distribution correspondante, d'ou la justification
de l'idee d'un champ de tourbillon "concentre" sur la nappe. On sait d'ailleurs qu'une
couche rotationnelle, ayant une epaisseur evanescente (la surface en
laquelle elle degenere etant la nappe tourbillonnaire un sillage du
a l'existence
N (t)), est en general
d'une faible viscosite du fluide reel et engendre
par la confluence "tres reguliere" de deux couches limites. L'interet fondamental du concept de nappe tourbillonnaire est qu'il permet d'evacuer tout
a la
144
fois la viscosite du fluide et Ie caractere rotationnel de l' ecoulement. Le fluide etant suppose parfait les relations fondamentales pour les sauts forts (9,34) et (9,98) entrainent immediatement que la pression p doit etre continue a travers
N (t).
Par ailleurs, il existe un potentiel des vitesses
~, lequel
peut etre a priori represente par une double couche : (9,99) dont on sait que la derivee normale est continue a travers
N (t),
done (9,98)
est automatiquement verifiee. Finalement, la rapide description ci-dessus rassemble l'essentiel de la theorie "cl ass ique" des nappes tourbillonnaires. Elle est bien loin d'en constituer une theorie
generale~),pour la
raisons principale qu'elle ne
cherche pas a decrire - ni meme simplement a definir - l' evolution dans Ie temps d'une nappe (il est vrai que des formules telles que (9,93), (9,95) ou (9,97), donnent deja des elements de la dynamique des nappes
), laquelle constitue
pourtant une inconnue d'un probleme d'ecoulement, au meme titre que Ie champ des vitesses. 11 est bon de preciser aussi que les methodes numeriques puissantes
qui ont permis de mener a bien des calculs d'ecoulements de fluide parfait avec nappes
.
.
tourb~llonna~res
( par exemple, Rehbach lflf)) se heurtent, lorsque la
.
paro~
de l'obstacle ne presente pas d'arete vive, au probleme du choix de la ligne a partir de laquelle se separe la nappe. Par contre,dans le cas d'une aile avec un bord de fuite formant un diedre d'angle non
n~
on peut donner certaines
regles, du moins en ecoulement irrotationnel et stationnaire et pour un fluide parfait incompressible. En effet, une analyse asymptotique coherente permet de se
.
conva~ncre
que 1 " argumentat~on de
.
MangleretS~th
~ •• ) selon laquel 1 e la nappe
ne peut partir que tangentiellement a l'une des faces du diedre au bord de fuite est, en fait, incorrecte. Nous ne disons pas que la nappe ne part pas selon Ie plan tangent a l'une des faces du diedre, nous disons que Mangler et Smith ont tort d'eliminer la possibilite de faire partir la nappe selon Ie plan bissecteur; .) A ce sujet on consultera Ie travail de These de Michel Mudry (liLa theorie enerale des na es et filaments tourbillonnaires et ses a lications a l'aerodynamique instationnaire").Universite Paris , soutenue Ie juillet ~.
~.) Article dans ~~~) PUbliee dans
: "La Recherche Aerospatiale ", nO 5, 1977, pp. 289-298). "Aeronautical Journal of the Roy. Aero. Soc", 74, nov. 1970, pages 905 a 907. --
145
nous pensons meme que crest la situation la plus plausible. Notre argument est que si l' on adopte l' autre terme de l' alternative il faut fournir un modele local, coherent, qui explique le basculement d'une face a l'autre ?
aynamiquement
A notre connaissance un tel modele local n'existe pas. D'autre part, en bidimensionnel,on demontre que la ligne de courant issue du bord de fuite bissecte l'angle du bord de fuite et comme l'analyse asymptotique conduit a considerer toujours, localement, un modele bidimensionnel, nous voyons la un argument tres persuasif pour eliminer les nappes partant tangentiellement aux faces du diedre au bord de fuite de l'aile. 11 est bon de preciser que lorsque l'ecoulement est tridimensionnel, du bord de fuite de l'aile il y a toujours une nappe tourbillonnaire qui prend naissance, independamment du fait que l' ecoulement tridimensionnel soit instationnaire ou stationnaire. Dans ce dernier cas,stationnaire tridimensionnel, la presence de la nappe tourbillonnaire en aval de l'aile est due a la variation de la circulation de la vitesse d'un profil a l'autre le long de l'envergure de l'aile. On notera que dans le cas instationnaire tridimensionnel,la continuite de la pression sur la nappe jusqu'au bord de fuite inclus assure en meme temps la condition de Joukowski au bord de fuite; la continuite de la pression aux points du bord de fuite de l'aile assure que la vitesse sera finie en ces points, si toutefois le potentiel des vitesses ~
est borne en ces memes points du bord
de fuite. En theorie lineaire, lorsque l'aile est mince et est tres proche de sa forme en plan
A,
on peut donner des formules simples qui expriment la condition
de Joukowski au bord de fuite et la continuite de la pression sur la nappe qui s'en echappe. On notera que dans ce cas lineaire,la condition de glissement est reportee sur la forme en plan de l'aile, tandis que les conditions sur la nappe tourbillonnaire sont elles, ecrites sur le sillage correspondant; celui-ci joue, par rapport a la nappe, le role que joue la forme en plan par rapport a l'aile.
9, 8. LfS ONDES Vf CHOC Pour que la formulation d'un probleme d'ecoulement autour d'une aile soit complete
a l'infini,
il faut,en plus
de la condition de glissement, de la condition
de la condition de Joukowski
e~
des conditions sur la nappe tour-
billonnaire, inclure aussi les ondes de choc.
146
1. Revenons done aux relations (9,34) de la section 9,2. Ces relations doivent en fait etre completees par une information concernant la discontinuite de l'entropie a travers un choc (v
~
0).
Lorsqu' une surface de discontinuite B (t) est presente au sein de l' ecoulement de nuide parfait en evolution adiabatique, il convient de rempla. cer 1 ,....equat~on
DS
Dt = 0 par 1
I · . . . . · .... ~negal~
te
~ IIIps
(9,100)
dV
V
~
0 ,
qui traduit,dans le cas des fluides parfaits en evolution adiabatique
(q = 0 et r =O),le
second principe de la thermodynamique et qui est un cas
particulier de
une fois que l' on passe a la forme locale, dans le cas des ecoulements continus. COlllIl1e V contient une surface de discontinuite (qui est une onde de choc notee E ) il faut ecrire que
JJI V
p
~
dV +
JJ
J[
P v s]
E
I
den 0
et il decoule que pvl[s]l~o.
(9,101)
Ainsi, l'entropie specifique
s
subit une discontinuite a travers le
choc (v # 0) et celle-ci est necessairement positive (puisque l'on peut toujours choisir
p v > 0). La presence d'une onde de choc denote une irreversibilite
dans l' ecoulement : l' evolution etant adiabatique, l' entropie specifique d 'une particule fluide reste constante dans les regions de continuite et augmente + N,
lorsque la particule traverse l'onde de choc. Orientons done le vecteur unitaire de la normale a l'onde de choc
E, de maniere que m = p v > 0;
on dit alors que le fluide traverse l'onde de choc aN, indice
"00"
E, de l'amont (cote oppose +
vers l'aval (cote vers lequel est oriente N; les grandeurs
sont indicees "a" et apparaissent cOlllIl1e des inconnues, vis-a-vis de celles avec des indices "00").
147
2. Posons
....
....
....
Nous pouvons alors ecrire,
(9,103)
I[p
vJI=
l [p
+ P
l[h+
v
+
= v N
u - W N N
(9,102)
2
2
a la
.... U
T
place de (9,34),
0 ,
v~ I
= 0 ,
JI=0,
ou h designe l'enthalpie specifique et pour un gaz parfait,
a Cp
et Cv
constants, on a :
Lorsque .... u = 0, on di t que le choc est droit, sinon on dit qu' il T est oblique. En general, les diverses relations de choc (d'Hugoniot, de Prandtl,
pour la variation d'entropie, etc ••• ) sont obtenues sous l'hypothese d'une onde de choc plane separant deux ecoulements uniformes. En fait, lorsqu 'en tout point d'une onde de choc courbe, localement on assimile cette derniere plan tangent, normal
aN,
a son
les relations de choc plan restent valables meme
quand l'onde de choc est courbe et les ecoulements amont et aval non uniformes. e
alors
a
choc .... V
=u
±
~+
=....Va'
on note : V
4-+
-+-+-
- W ~ = v N + u ' avec u T N = 0, T N l'infini amont, devant le cho~ on a la vitesse V00 et a l'aval du meme S~
S~
•
Q
~
",.
des~gne
,
1 angle du plan tangent en un
....
•
po~nt
de 1 , ondede choc
courbe, avec la vitesse locale amont Voo et 0 = 8 - 800 la deviation de la a de (9,103), le systeme :
vitesse~)on obtiendra
(9,104a)
{
Poo
q,., sin
Poo + Poo
q,., cos
a
a = Pa 2
q,.,
q
. 2
s~n
a
qa sin (13-0);
a =P
2 a + Pa qa
. 2
s~n
(13-0) ;
cos (13-0),
1Ii) Voir la figure se trouvant apres la formule (9, 104b), pour la signification
des notations.
148
OU
q,.,
9a AMONT ~
N
~
N
=
0 et alors 0 - Sa et On notera qu'en genera l, on prend toujou rs Soo de plus, comme nous travail lons avec une onde de choc plane, ~
V
=v
-+
+
N + U T,
+-+
T.N
=0
•
Nous pouvons ecrire (9,104) sous la forme
et Pour elimine r v comme un systeme de compa tibilite :
.00
tro~s
et ventr e ces relatio ns (9,105) conside rons les 2 2 a. / on de equat~ons en Voo et va et ecrivon s la conditi
149
2
2
Poo
- Pa
0
Poo
- Pa
Pa - Poo
..5::L
-1
Y-1
0
,
(Pa _ pOO) Pa Poo
ce qui donne la relation dite d'Hugoniot ( 1887 et 1889) (9,106)
Cette relation d'Hugoniot, qui donne le lien entre masse volumique et pression eValuees de part et d'autre du choc, differe fondamentalement de la loi dite de Poisson, valable pour les evolutions adiabatiques :
c'est cela qui explique l'evolution irreversible
a travers
l'onde de choco
Nous savons que l' entropie specifique du fluide ne peut que croi:tre
a la
traversee de l'onde de choc et cela veut dire que la pression et la masse volumique croissent aussi lorsque le fluide traverse l'onde de choco En d'autres termes, l'onde de choc est necessairement une onde de compression:
cela veut dire aussi que le fluide ralenti t en travers ant l' onde de choc (9,107)
v
> 1
0
a
30 En ecoulement stationnaire (pour un observateur l i e
a l' onde
de choc
le mouvement est stationnaire) nous savons que:
\v12 2
et a2 = y Pip
2
+~=C y-1 ons t
0,
h=--.1...- y-1 Pip ,
Par definition on atteint un point sonique ou "critique" de
l'ecoulement stationnaire lorsque
Ivl = q
- a
= alii
et la Const. peut alors s'exprimer en fonction de la "vitesse" dite "critique" '\ par:
150
-=t!:.L.
2
Const == 2(y-l) alf et nous pouvons alors ecrire que 2
V + _oo =....Y..- p
(9,108)
y-1
2
alp
+
a
v
2
a
2"
ou De (9,108) noustirons : (9,109a)
-~
(9, 109b)
-
2y
Or,de la seconde des relations (9,105) on tire, grace
a la
premiere
de ces relations, Poo
Pa Pa va
-----=v
Poo V oo
a
- v 00
ou encore, avec (9,109 ) 2 => v 00 v a = ~. '
c'est-a-dire que v
(9,110)
v 00
a
=
2 _ r::l u 2 '\ y+ 1 0 0 '
qui est la relation dite de Prandtl. Mais v00 > a 00
(9,111)
Voo
> va et de ce fait necessairement
puisqu'on a 2 2 v00 (v00 - v a ) = ~ y+ 1 (v00 - a0)0 '
ce qui est une autre forme de la relation de Prandtl. Ainsi,la vitesse normale de l' ecoulement amont relativement fait,l'onde de choc se propage
a l' onde
a vitesse
de choc est supersonique et de ce
supersonique dans un fluide au repos;
151
par contre, par analogie,va < aa ' c'est-a-dire que la vitesse normale de a l'aval de l'onde de choc est subsonique. Mais, pour l'instant
l'ecoulement
nous ne pouvons rien conclure quant au fait que q superieure a a
a
a
= Iva I
est inferieure ou
?
Soit maintenant
Veo
Meo =aeo
i l vient
M = M sin (S-o), a a
(9,112)
ou (9,113) est le nombre de Mach local. Nous obtenons alors aisement :
et en eliminant les rapports de pression et de masse volumique entre ces trois relations, nous obtenons : (9,114)
yM2
eo
v-l 2
_..I....-.:..
Cette derniere relation (9,114) permet d'exprimer (9,115a)
(9,115b)
(9,115c)
• 2
sJ.n
Ta
4y
T"=--""2 eo
(y+1)
[~ sJ.n
. 2
S
+
.Y.:.1. 2
J. '
152
On peut maintenant exprimer la variation d'entropie specifique (l'accroissement) il. la traversee de l'onde de choc oblique plane pour un gaz parfait il. Cp et Cv constants :
(9,116)
La
kL g
y+1
M2 sin 2 13 _ '"
2
2+(Y-1 )M", sin
~
r:..!.. 2
(y+1)~ sin 2 13
Pour des valeurs de M",
=M",
'"
y+1
I3
-y
J
sin 13 voisines, mais superieures il. l' uni te,
l'expression (9,116) se developpe en serie pour donner + .•. ou encore 8 -8 a '"
Cv
4. Une application des relations de choc est,tout d'abord,celle relative aux ecoulements supersoniques. Lorsqu'un ecoulement supersonique de vitesse
~'"
(I~",I > a", ) attaque un obstacle presentant un "nez" emousse, ou une pointe
de trop grande ouverture, l' onde de choc, qui est toujours attachee pour une pointe de fai ble ouverture, se detache devant cet obstacle de sorte que l'ecoulement entre le choc et la paroi de l'obstacle comporte un domaine mixte, subsonique - transsonique, s'etendant jusqu'il. la ligne limite formee d'un ou plusieurs arcs de caracteristiques tangentes il. la ligne sonique. En particulier, lorsque le nombre de Mach de l'ecoulement amont, est tel que 2>M",>1,
la ligne sonique part de l'obstacle en formant un angle aigu et la ligne limite formee d'une seule caracteristique est tangente il. la ligne sonique sur l'onde de choc (voir la figure ci-dessus, il. droite).
153
Supposons l'ecoulement supersonique stationnaire et travaillons avec des coordonnees cylindriques (r,e,z). L'equation qui simule la paroi de l'obstacle est
=g
r
(e,z)
et il faut imposer la condition de glissement u.£g - v + !!..£g az g ae
=0'
sur r
= g(e,z)
,
OU u, v et w sont, ici, les composantes de la vitesse selon z, r et e . Soit maintenant r = f(e,z) l'equation qui simule l'onde de choc (qui est une inconnue du probleme); la conservation de la vitesse tangentielle
a travers
cette onde
de choc entraine, sur la face aval du choc : u - u00
af/ ou uoo '
Voo
a l'amont
et
Woo
az
w-w00 af/ ' ae
= ---1- = f
.
...
sont les composantes de la vitesse unJ.forme uoo ' supersonique,
du choc; cette relation (9,118) donne deux relations entre u, vet w.
a satisfaire a la
Il en resulte que le systeme des equations
traversee de l'onde
de choc s'ecrit :
1
2
h(p,p) +-v 2 n
h 00
1
2
+-v oo 2 n
oU (9,120)
v
n
Enfin, si on designe par a
l'incidence (angle forme par la direction
des z et le vecteur vitesse ~) on a aussi : C100 cos a, v"" = - C100 sin a cos e Woo
avec C100 -
I~oo I.
C100 sin a sin e,
154
Une autre application. des plus importantes. est relative aux ecoulements dits hypersoniques. lorsque Moo
» 1
Pour Ie lecteur interesse par les ecoulements hypersoniques nous ne pouvons ici. que recommander Ie li~e remarquaole de Hayes et Probstein (HYPersonic flow theory. Academic Press, New York. 1959 1•
9,9. QUELQUES RESULTATS V'EXISTENCE ET VE REGULARITE VE LA SOLUTION VES EQUATIONS V'EULER Nous n'aborderons presque pas Ie probleme de l'unicite de la solution des equations d'Euler. etant donne que nous avons eu l'occasion de discuter de cette question
a la
section 9,4. De toute
fa~on.ce
probleme de l'unicite reste
encore. dans une grande mesure, ouvert et en aerodynamique appliquee c'est la confrontation du calcul avec les visualisations et les experiences (en souffleries, par exemple) qui permet de se convaincre de la realite physique des resultats obtenus. Ort not era que les resultats d' existence ne concernent principalement que les ecoulements. sans obstacle. encore les ecoulements
a l'interieur
de domainesbornes(des enceintes); les
lJ)..
prem1ers resultats de Gunter 0 " ,
et de
dans tout l'espace ou
L~chtenste~n
ul etant "'
. au cas dune ,
relat~f
enceinte avec une paroi impermeable. La plupart du temps.il s'agit d'un ecoulement de fluide incompressible ou eventuellement isochorique (a masse volumique conservative Ie long des trajectoires) et les theoremes d'existence sont locaux, dans Ie temps, du moins en dimension trois. Par contre, en dimension deux, si Ie tourbillon est initialement borne (en norme de Holder), alors il existe pour tout temps t > 0 une solution unique qui reste aussi reguliere que les donnees 0.0
~n~t~ales;
ce resultat a ete "'
"'"'"'
0
etabl~
pour la
".p0
prem~ere ~o~s
par
"111!1I!1II)
Wol~
Naturellement. cette condition de regularite des donnees initiales
ner
n'est pas
satisfaite dans Ie contexte de l'instabilite de Kelvin-Helmholtz; l,ou la vitesse initiale est discontinue au travers d'une nappe tourbillonnaire; dans ce cas, l'existence de la nappe pendant un court intervalle de temps n'est assuree que si la nappe et la densite de tourbillon initiales sont analytiques. lI')voir, par exemple, son article dans les "Isvestya de l'Institut de Physique et Mathematique" de l'Acad. des Sciences de l'OOSS; nO 1 du tome 2, pp. 1 a 168. 1927 (en langue russel; lI'lII) Dans Math. Z. vol. 23, 1925 • ••• ) Dans Math. Z, vol. 37. PP:- 727-738 • .12ll.
'I )
Le probleme de l'instabilite de "Kelvin-Helmholtz" est lie a la stabilite de la nappe tourbillonnaire a l'interface de deux fluides superposes de masse volumique differente (voir a ce sujet la section 18,7 du § 18).
155
De toute fa\
et I 'ecoulement ne peut alors
~tre
defini que dans un sens faible (au sujet
de l'apparition de cette singularite,on pourra consulter l'article de l~ore· ). Dans Ie cas isochorique, il faut resoudre : a~ +:!: + :!: P (at + u.y u) = -y p
ap + +u. at
(9,122a)
v
P = 0
dans V
V.~ = 0 ,
~.~
(9, 122b)
0, sur
av;
(9, 122c) (9,122d)
ou ~ est Ie vecteur normal unitaire,de la paroi immobile et impermeable oriente vers l'exterieur. Lorsque pO(~) modele d'Euler incompressible :
a~ at
+ +U •V +U
= poo = Const,
=- V(JLp~) ,
V.~
av,
alors on retrouve Ie
0,
++1 u.n av = 0 ; +1u t=O = +0 u (x). On notera, que dans Ie cas a deux dimensions,on peut associer au modele incompressible (9,123) l'equation de conservation du tourbillon (9,124)
W
:!:
= y A
+
U
=>
aw+
+:!: +
at + u. Y W = 0
c'est-a-dire, en fait, que =>
ou encore, comme
aU
aU
1 2 -~ 0 = -- 1!t. aX 1 + aX-2 => u 1 - ax2 ' u 2 = aX 1 et w = - 2 1/1 , on trouve pour 1/1 : 3
- n
• Dans les: Proc. Roy. Soc.,London A, Volume 365, 105-119,1979.
156
(.1at
+
.1!L _a__ aX2 aX 1
-+-_ a -+D = aX e 1
ou
1
Dans le cas
a trois
+
~
0,
aX 1
a-+aX e 2 2
dimensions, (9,124) n'est plus vrai; par contre
on a (9,126) ou S est l'entropie specifique satisfaisant systeme d'Euler isochorique (9,122a),on peut
a l'equation DS/Dt = O. a la place de (9,126),
Pour le dans le
cas tridimensionnel, ecrire que :
~.
et on pourra a ce sUJet consulter le
. , lfl
trava~l
de
Zeytoun~an
•
11 semble que l' on n'ait pas tire parti des equations de conservation
(9,126) et (9,127) pour obtenir des resultats d'existence et de regularite dans le cas tridimensionnel ! Ainsi, la situation est fondamentalement differente en ecoulement plan et en ecoulement tridimensionnel. En ecoulement tridimensionnel on ne dispose que de theoremesd'existence locaux en temps, pour des solutions regulieres (avec un tourbillon holderien) pendant un laps de temps inverse
a la
taille du tourbillon initial. On notera que les premiers resultats de Gunter et de Lichtenstein ne concernent que le probleme de Cauchy avec un ~ suffisamment lisse en ~ et
V.~ = 0 .
Ces premiers resultats ont ete ameliores et on a obtenu des versions de plus en plus precises, mais sans que l'esprit general ne soit modifie. On pourra consulter Vol. 92, 102-163,
a ce
sujet les articles de : Ebin et Marsden (Ann. of Math.,
,2212),
Kato (J. Funct. Anal., Vol. 9, 296-305, 1972) et
Temam (J. Funet. Anal., Vol. 20, 32-49, 1975). Ensuite, on a essaye d'analyser la perte de regularite (eventuelle) de la solution et on a montre que si la donnee initiale etait analytique, elle restait analytique tant que le tourbillon restait holderien. Voir
a ce
sujet
a 598, 1979 ou encore "Lecture Notes in Physics", Vol. 27, chapitre II, 1974, cii'e'ZSpringer-Verlag, Heidelberg.
If) Dans "Lecture Notes in Physics", Vol. 90, pp. 594
157
le travail de : Bardos
It)
et Benachour (Ann. Sc. Norm. Sup. PISA, serie IV,
vol. 4, 647-687, 1211), mais on peut aussi se referer a : Foias, Frisch et Temam (C. R. Acad. Sci., Paris, A, vol. 280, 505-508, 1975); en fait la regularite est deja enoncee, plus ou moins bien, dans l'article de Ebin et Marsden (de 1970, deja cite). La situation pour les ecoulements plans, a deux dimensions d'espace, est radicalement differente car,alors,nous avons la conservation du tourbillon le long des trajectoires (equation (9,124)).Cela permet de faire essentiellement trois choses : (1) prouver l'existence de solutions faibles pour tout temps t > 0, avec des 1 donnees initiales dans H ; (2) prouver l'unicite de la solution dans la classe des fonctions a tourbillon borne; (3) prouver la regularite ou l'analyticite de la solution, pour des donnees initiales regulieres ou analytiques. Les points (1) et (2) sont assez faciles (du moins, d'apres Bardos !) et on peut se referer a Bardos (J. Math. Anal. Appl., Vol. 40, 769-790, 1972). Mais, en fait, le travail de Bardos n'est qu'une amelioration (legere, d'apres !ardos !) d'un article de Youdovich (J. Math. Numer. Phys. Math., Vol. 6, 1032-1066, 1965). Par contre, la regularite de la solution, pour tout t > 0, n'est pas un resultat trivial; on pourra a ce sujet consulter les articles de Schaeffer, A.C. (Transc. of the A.M.S., Vol. 42, 497-513, 1937), Kato (Arch. Rat. Mech. Anal., Vol. 25, 302-324, 1967), qui ignorait "vraisemblablement" le travail precedent, et Bardos et Benachour (voir article de ~, cite), qui l'ont adapte a l'etude de l'analyticite. On trouvera dans l'article recent de C. Sulem, Pl. Sulem (J. de Mecanique theorique et appliquee, Numero special 1983, p. 217 a 242, 1983) une revue des resultats d'existence et de regularite de l'equation d'Euler pour un fluide parfait incompressible en dimension deux. On notera aussi que certains resultats peuvent s'etendre, dans le cas a deux
1 dimensions, a des domaines qui sont infinis sur un intervalle de temps [0, t ], suffisamment petit; le probleme d'Euler correspondant a une solution unique. ~)
Nous profitons de l'occasion pour remercier Mr. Claude Bardos, de l'Universite de Paris VII, d I avoir eu l ' amabilite de nous fournir, sous forme ecrite, une synthese des resultats mathematiques sur l'existence et la regularite de la solution des equations d'Euler incompressibles.
158
Sous certaines conditions, on peut demontrer aussi la resolubilite du probleme d'Euler, lorsque Ie domaine
V n'est
pas simplement connexe
(Ie lecteur interesse par cet aspect des choses consultera les pages 199 a
201 du livre de Antonsev, Kazhikhov et Monakhov (1983, deja cite)). II s'avere que lIon peut aussi montrer que Ie probleme d'Euler pour un fluide incompressible, avec une donnee initiale pour ; en t = 0 et les conditions aux limites :
(9,128)
un
= 0,
... = g
sur f S ' u
, sur f e
et p
= P,
sur f
a
avec g.~ < 0 et P une fonction scalaire donnee sur la frontiere non materielle de sortie (en aval) est bien pose. On notera que les frontieres non materielles amont, d'entree fe' et aval, de sortie fa' peuvent etre en contact avec la frontiere materielle Le cas de l'ecoulement stationnaire est beaucoup plus delicat et
f ' S
a l'heure actuelle,peu de resultats de caractere mathematique existent. On trouvera dans Ie travail de Viviand et Veuillot-tme discussion des conditions aux limites a imposer, basee sur l'utilisation de relations de compatibilite, lorsque l'ecoulement stationnaire plan est obtenu comme la limite, pour les grands temps, d'un ecoulement instationnaire
~ui
est sans signification physique
precise) jusqu'a convergence vers l'etat stationnaire; methode dite "pseudoinstationnaire" . Le travail de viviand et Veuillot est
applique au calcul numerique
d'ecoulements transsoniques stationnaires bidimensionnels (plans ou de revolution). . de V1V1and " l t l, lune f ) "etude systemat1que ". "On trouvera" dans le trava1l des systemes
pseudo-instationnaires pour des ecoulements iso-energetiques et en general rotationnels. L'approche pseudo-instationnaire generale developpee dans ce travail de Viviand est centree sur la condition essentielle que le systeme d'equations du premier ordre a resoudre soit hyperbolique par rapport a la variable temps. Cette condition apparait comme naturelle pour assurer que les perturbations restent bornees en temps (en theorie linearisee). La nature hyperbolique du systeme pseudo-instationnaire permet le traitement des conditions aux limites de
fa~on
systematique au moyen des relations de compatibilite.
Les conditions aux limites usuelles (dans le cas d'un fluide d'Euler compressible) sont les suivantes: sur une frontiere amont supersonique, on se donne toutes les grandeurs : la vitesse ; et la pression ou la masse volumique (qui sont liees par l'integrale de Bernoulli, ecrite pour un ecoulement iso-energetique), .) Voir la Publication ONERA, nO 1978-4, 1978 . • ) Voir la Publication ONERA,1983-4-, dec;-e 1983.
159
soit quatre grandeurs scalaires; physiquement, c'est plutot l'entropie qui est donnee et on en deduit p et p Sur une frontiere amont subsonique, on se donne l' entropie et en general,la direction de la vitesse (deux angles) soit trois grandeurs scalaires. Sur une frontiere aval subsonique on se donne la pression, et sur une frontiere aval supersonique on n'impose aucune condition aux limites. Ces conclusions restent valables en fluide incompressible
a condition
de considerer qu'une
frontiere est toujours subsonique (la celerite du son devenant infini) et de remplacer entropie par pression totale p +
On aura trois conditions
1
2" Po
a imposer
+2 u
,
Po :: Const.
sur une frontiere amont et une condition
sur une frontiere aval. Malheureusement,
a l'heure
actuelle, il n'existe pas de resultats
mathematiques rigoureux garantissant que les problemes d'ecoulements correspondants soient bien poses ! Notons que le probleme d'Euler compressible barotrope
{
a~ at
+
2..e. at
+) = 0, + ±v. ( pu
1 u.V +u + P
+
v
p
p
+
f
pep)
avec la condition de glissement :
++1 u.n an = 0 oil.
n est
,
un domaine borne de lR 3 , les equations (9,129) etant considerees dans
n , est bien pose et on demontre qu'il est resoluble localement dans le temps (voir le travail de Ebin~ ). Mais,revenons aux ecoulement stationnaires et considerons plus particulierement le cas bidimensionnel plan, irrotationnel. Pour l'aerodynamique,le probleme fondamental est celui de l' ecoulement autour d' un profil. Les equations sont : ~
Dans
Comm. Pure Appl. Math., V. 32, nO 1, pp. 1
a
19, 1979.
160
(9,131)
(u
2
2 - a )
~~
~;
+ 2 u y
2 2 ~ + 2
a2
--?y-1
2
+ (y2 _ a )
=.r:t..!. y-1
~;
a
=
2
'it '
et elles restent valables en dehors du profil. A (9,131),il faut associer Lim ~
(9,132)
r-><'O
++
(9,133)
u.n =
sur le contour du profil, ou r
2
x
a
2
+ y
2
+
et n, la normale au contour du profil.
On se donne la loi d'etat (pour un gaz parfait barotrope on aura p
= ko
a oo = Y Poojp
pY) et aussi la pression Poo et Moo
= ltiool jaoo
a l'infini;
sont aussi connues
a entropie
constante
de ce fait
a l'infini.
00
M=
1~lja
Dans le cas subsonique, il faut qu' en
tout point de l' ecoulement
< 1 ; pour cela il est necessaire que Moo <
1, mais celan'est pas
suffisant. On sait que, pour que l'ecoulement soit continu partout, il faut qu'il y ai t sur le contour du profil uniquement deux points de "ramification". Au point amont de ramification.la ligne de courant se separe en deux et forme le contour du profil, pour ensuite de nouveau se confondre en une seule ligne de courant au point aval de ramification. D'autre part, on sait que lorsque le contour est lisse alors la solution n'est pas unique; il existe un parametre arbitraire qui est la circulation du vecteur vitesse : (9,134)
rL
=,
L
~.~
=, u
dx
+ v dy ,
L
ou L est un contour ferme simple qui englobe le profil. Si, sur le contour du profil, il existe un point anguleux, alors il faut imposer que ce point anguleux soit le point de ramification aval. Cette condition est en fait la condition de Joukowski et elle determine la valeur de la circulation
r L de fagon univoque.
Dans le probleme d'ecoulement autour d'un profil en regime subsonique,il est tres important d'elucider le comportement asymptotique de cet ecoulement l'infini. On peut demontrer que le comportement asymptotique du potentiel
a
161
des vitesses ~ r
+
00,
(u
= d~/dX
' v
= d~/dY)
et du vecteur vitesse ~, lorsque
dans un systeme de coordonnees tel que l'axe des x coincide avec la
..
.
de la
d~rect~on
+ ". u (c, est-a-d~re
v~tesse
que
+ U oo
= (~,)0) ,
est donne.-
par
les formules arc tg (koo tg e) + 0 (r
(9,135)
ou r et
e
k oo
+
+ u
u
00
-1+£
);
rL
+ -2'T1" --
sont les coordonnees polaires (x = r cos
e,
y = r sin
e),
£
> 0
est un scalaire arbitraire aussi petit que l'on veut et
u enfin O(r ) est une grandeur qui reste bornee, lorsque r
+
00,
une fois qu'elle
U
est divisee par r • De (9,136) en tirant profit de l'integrale de
Bernoull~ on
peut aussi
obtenir : p
(9,137a)
P
koor L Pm +-P""Cj" ~
x
2
Pm ~ k oo r L Poo+~~ 00
y
2
+ k oo y
2 +0
(-2) r
,
y x
2
+
k2
00
Y
2
Grace aux comportements ...(9,137), on peut etablir le theoreme de Joukowski pour notre ecoulement subsonique : la resultante generale des efforts globaux exerces sur le profil par l' ecoulement est portee par perpendiculaire egale
a-
Pm ~
a la rL •
vitesse
a l'infini,
1m
axe directement
sa mesure algebrique sur cet axe etant
On notera que le module de la vitesse q
= I~I
locale atteint sa valeur
maximum ~ uniquement en un point du contour du profil et de ce fait le caractere subsonique de l'ecoulement autour du profil,dans tout le domaine exterieur au profil, sera preserve si :
162
p < ~
alf '
MaXql
P€
Profil
On peut formuler un theoreme d'unicite sous Ill. forme suivante : avec les
a l'infini
conditions de glissement (9,133) et est determine de
fa~on
(9,132), l'ecoulement subsonique
unique lorsque Ie contour du profil a un point anguleux.
Cela reste vrai pour un obstacle avec un contour lisse si on se donne en plus Ill. circulation. On peut aussi demontrer l'existence de Ill. solution du probleme d'ecoulement subsonique correspondant, lorsque l'inegalite (9,138) reste lf
satisfaite. On pourra trouver les details dans Ie travail de Serrin
).
Revenons au fluide d'Euler incompressible; il est pratique bien souvent de considerer,
a Ill.
place de l'equation pour ~,l'equation correspondante pour
Ie tourbillon :
(9,139)
{
a<:i + at
+
++
+
u.~ w-w.~ u = 0 +
~A~= w , ~.~ = 0 +
Pour t = 0, on se donne Ill. vitesse u (9,140) ou
n est
+ x
~ = ~(x), t = 0,
e n,
++0
V.u
= 0
un domaine d'espace borne, simplement connexe dont Ill. frontiere
an
a une forme cylindrique composee de trois surfaces : une surface laterale Si' une surface d' entree Se et une surface de sortie S Ss sont des surfaces de classe, C et S
.KaZhikov~uppose que Si' S
et
s . . e ,0 < a. < 1 et que 1 'lntersectlon de Si avec Se
2+a.
se fait d'apres les lignes Le et L sous un angle droit. On s'impose les s conditions aux limites suivantes s
1II) Dent Ie titre est: "Mathematical Principles of Classical Fluid Mechanics",
dans Handbuch der Physik, Band VIII/1, ed. S. FLUGGE, Springer-Verlag, 1959, voir les §§ 10, 11, 22 et 23. lIIlf) Dans : PMM, 2, 947 a 950, 1980.
163
ou
Ii est
a. an.
Ie vecteur unitaire de la normale interieure
tandis que ge et
gs sont des fonctions donnees respectivement sur Sp et s~. II s'avere (pour que Ie probleme ci-dessus soit bien pose) qu'il est suffisant de se donner sur Se la composante tangentielle du vecteur W + +( 1) = b ( 1 ) .
e'
W.T e
1) ou.. +( T et +(2) T sont des vecteurs tangents (lineairement independants ) e e
a.
la
surface d'entree Se' On peut aussi se donner sur cette surface d'entree S les composantes e normales de et de V A Sit enfin. sur Se on se donne la composante normale de
W Wet une
W.
W,
des composantes tangentielles de
wpeut etre
composante tangentielle de
determinee
a.
alors la seconde
partir d'une equation
aux derivees partielles du premier ordre (comme la courbe L
est caracterise tique pour cette equation, il faudra se donner sur une partie de L des e conditions complementaires en accord avec la formulation classique des problemes aux limites pour les equations aux derivees partielles du premier ordre). Terminons en disant quelques mots des problemes que posent les ecoulements de fluide parfait avec chocs. D'une maniere generale, Ie probleme de l'unicite des solutions faibles d'un systeme hyperbolique d'equations de conservation·) non lineaire fait l'objet depuis plusieurs annees de divers travaux (voir. pour exemple,Majda et Osher" ~ Ces etudes mettent en evidence l'interet d'une condition d'irreversibilite associee role tout
a fait
a.
une loi de conservation supplementaire, et qui joue un
semblable
a celui
de la condition d'entropie pour les equations
completes compressibles baroclines d'Euler (voir la relation (9,101)a la section 9,8). Mais.lorsque les equations d'Euler sont incompletes les choses ne sont plus aussi simp15et il faut savoir caracteriser les solutions faibles ~)
Une equation de conservation se presente dans le cas+general comme la divergence d'un champ de vecteur dans l'ea~ce m4(t,x) :
it = {A
, ex = 0, 1, 2, 3}; ax = 0, xo == t ; ex ex on dit que U est une solution faible de l'equation de conservation, si pour toute fonction "test" l' on a : 00
Aex ..
Dans
==
Aex (U) '. f f o V
(A
o
.£!I!. +
at
.1!)
A 'K a~
dt
~
0, k
Comm. Pure and Appl. Math., XXXII, pp. 787-838, 1979.
1, 2, 3.
164
physiquement admissibles. Pour Ie cas particulier
des ecoulements potentiels
stationnaires plans compressibles, on a Ie systeme des equations d'Euler suivant :
(9,144)
div (p~) = 0, rot ~ = 0,
la masse volumique p q
= I~I.
etant une fonction connue du module de la vitesse
Le systeme (9,144) est mixte, hYperbolique si q> a, elliptique si
q < a, oil a
2
_pq.9& dp
est Ie carre de la celerite du son. Les discontinuites des solutions faibles de (9,144) verifient les relations de saut classiques
I~ uJ\
(9,146) oil
~
0:); ;
=u.N
+:;t
I[;JI=
....
et N est un vecteur unitaire normal
est la projection de ~ sur (E), et
quantite F(~) de
= 0,
a travers
0 ,
a la
surface de discontinuite
I [F(~)J Irepresente
(E), pris dans Ie sens correspondant
Ie saut de la
a l'orientation
it : Mais ces relations (9,146) autorisent aussi bien des discontinuites
de type detente (p+ < p-), sans realite physique en aerodynamique et
a rejeter,
que des discontinuites de type compression qui representent des ondes de choc pour les ecoulements consideres; on passe d'ailleurs d'un type de discontinuite
a l'autre
simplement en inversant Ie sens de la vitesse. De ce fait, un critere
de selection des discontinuites (ou condition d'irreversibilite, du type de celIe ecrite en
(9,101)) doit-etre ajoutee aux equations (9,144) pour eliminer
les discontinuites de type detente. La forme la plus simple d'un tel critere est
mais elle n'est pas aSSOClee a une equation de conservation supplementaire. lf Recemment, Morice et Viviand ) ont montre que la fonction vectorielle 1Il) C.R. Acad. Sci. , Paris, B, t.
291, 235-238, 1980.
165
dn
-+
-+
=)pu-eqv pq
(9,148)
ou test le vecteur unitaire directement normal lement et
e,
a~
dans le plan de l'ecou-
l'angle que fait la vitesse ~ avec un axe de reference, telle
que : div
A
0,
I[A.~ I
o
permet (dans le cas d'un ecoulement plan) de caracteriser les solutions faibles de (9,144), physiquement admissibles,par une inequation de conservation
I A (~).;
(9,150) s'appliquant
a tout
dS , 0 ,
dV
domaine
V, plan, entierement occupe par le fluide ou ;
est le vecteur normal unitaire oriente vers l'exterieur. Cette inequation de conservation (9,150) permet de selectionner les seules discontinuites du type onde de choc apparaissant dans l'ecoulement plan regi par les equations (9,144).
9,10. LE PROBLEME AVEC FRONTIERE LIBRE Nous n'avons rien dit des problemes avec frontiere libre, malgre les diverses applications geophysiques de ces problemes. On pourra consulter,
a
ce sujet,le travail de : Ovsyannikov ("Dynamique des milieux continus", Institut d'Hydrodynamique, Novosibvisk, nO 8, 22-26, 1971) et le petit livre de : Nalimov et Poukhnachev ("Mouvement instationnaire d'un fluide parfait, avec surface libre", Novosibirsk, ed. de l'Universite, 1975). Citons aussi le travail recent de Vol. 17, nO 1, pp. 5
Bardos et Kuo Pen Yu (R.A.I.R.O. Analyse numerique,
a
16, 1983) ou les auteurs considerent l'equation d'Euler
pour le tourbillon dans un domaine dans cette
situatio~ils
a deux
dimensions variant avec le temps;
demontrent l'existence d'une solution faible et
l'existence et l'unicite d'une solution forte quand la taille du domaine augmente avec le temps. Nous revenons, ci-dessous, au probleme classique avec surface libre et nous donnons un theoreme d'existence et d'unicite.
166
On etudie les petits mouvements d'un fluide parfait incompressible
.=
contenu dans un recipient rigide lll). On designe par 11 de point generique x
.
(x l' x , x 2
un ouvert borne de:ffil
et de frontiere al1 = 1: U r
3)
.
ou r (x
3=0)
represente la surface libre du liquide au repos;
an
et nest la normale exterieure. On designe par
(x,t) Ie potentiel du champ
~
est suposee"assez reguliere"
de vitesse et g l'acceleration de la pesanteur. Le probleme linearise se pose en termes suivants
n x]
On donne 0, T [
(9,151a)
= Q et
~o et ~1 sur
r.
Determiner ~ (~,t) definie dans
verifiant ~ ~
= 0, dans Q. avec les conditions aux limites et
initiales (9,151b)
~=
(9,151c)
.£1+1n= .., 2 on
~ (x
a
0, sur 1: x] O,T [ •
g
0, sur
at
r
x] 0, T [ ,
,0)
(9,151d) On utilise les espaces usuels :
V
(11) - espace des fonctions
a support
valeurs reelles indefiniment differentiables sur 11 et dans
n;
V'(I1) - espace des distributions sur
de fonctions de carre sommable sur
Ilfll
n
n;
2
a
compact
L (11) espace des classes
muni de la norme
= (
J
If(~) 12
a:t)
1/2
11
1 H (11) - espace de Sobolev d' ordre 1, muni de la norme hilbertienne
On rappelle que H1 (11)
= {vlv e L2 (11), CJa:. e
2 L (11), i
= 1,2,3 } ,
~
et les derivees sont prises au sens des distributions sur 11. lll) Nous reprenons les grandes lignes d'un travail de J. Boujot (Journal de
Mecanique, vol. 11, nO 4, 1972,649-671).
167
On pose ~ (t) : ~
+
~ (~,t) (fonction en t
a valeurs
dans un
espace des fonctions en ~). Il est trivial de dire que: si ~ (t) est une 1 solution reguliere du probleme (9,151) dans H (n), elle verifie l'equation
f n
;t;
;t;
v ~.v
+ 1 ljJ dx + g
ce qui est une consequence de la formule de Green generalisee. Reciproquement : lorsque ~ (t) est solution reguliere de (9,152) 1 dans H (n) pour des conditions initiales (9,151d) alors elle est solution des equations (9,151, a, b, c). 1. Formulation fonctionnelle du probleme D'apres un theoreme de traces (voir le livre de J.L. Lions et E. Magenes : "Problemes aux limites non homogenes et applications", Dunod, Paris, 1968; page 44),on rappelle que lorsque ~ e H1(n) et 6 ~ e L2 (n) on 1 2 peut definir : ~Ian = Yo ~ e H / (an), ou Yo ~ est la restriction de ~ a an; -1/2 1/2 -1/2 a~/anlan = Y1 ~ e H (an), les espaces H (an) et H (an) sont deux espaces de Sobolev fractionnaires en dualite sur la variete an. Par definition, n
=n
n
{Qc1' x 2 ' x 3 ); x < O} 3 Ainsi, il vient : L'application
On est alors amene
~
+
est un domaine normal.
~Ir
a introduire
1 1 2 est continue surjective de H (n) dans H / (n). la variete
r
(qui correspond
a la
surface libre
du liquide au repos) dans la formulation du probleme. A cet effet, on note:
«.))
2 - le produit scalaire dans L (n);
( )
2 - le produit scalaire dans L (r) ;
<.>
- le produit scalaire dans la dualite sur r , par exemple entre
.
VCr) et V' (r),
et le probleme, faible, s'enonce de la maniere suivante 1 Determiner ~(t) dans H (n) tel que
(9,153)
{
«V~' V ljJ)) + 1. < a2~bi at g
~(xa.,O)
~o(xa.)'
*
ljJlr > = 0,
(xa.,O)
~1(xa.)'
On notera que si l'on suppose toutes les fonctions regulieres, on peut integrer (9,153) dans le temps et on retrouve la formulation variationnelle donnee dans: Moiseev et Rumyantsev ("Dynamic stability of bodies
168
Determiner rp qui minimise la
containing fluids", Springer-Verlag 1968).
.
fonctJ.onnelle
(.)
L
(
2. Existence d'une solution sur la variete Pour
f
e H 1/ 2 (r),on
considere le probleme suivant
= 0,
L'i
~= 0, sur an
(9,154)
n
dans ~
rp = f, sur r On montre que le probleme (9,154) a une solution 1 H (n) et cette solution verifie :
«v
~I r
- < A f, Wl r > = 0,
unique dans
1
Y W e H (n),
' avec A un operateur pseudo-differentiel sur r.
Soit maintenant A un scalaire positif quelconque. On considere l' operateur
8
la trace sur r
=A+
t. designe
Ai, OU
d'une fonction
vient : 8
l' operateur identite. Si ~ designe
harmonique dans
~=~I Cln r
+ A
~
n (probleme
(9,154)~il
•
On montre que : a) 8 est un operateur auto-adjoint positif et 2 coercif sur H1/ 2 (r), b) 8 -1 est compac t dans L (r) • 11 resulte alors que·ll') - B a une infinite de valeurs propres
°
< P 1 ~ P2 ~ "'Pn ~ ••. , Lim n-+OO
Pn
- la decomposition spectrale de Best donnee par les fonctions propres $i
On peut a ce sujet consulter: R. Kh. Zeytounian ("Probl~mes d'oscillations d'une masse liquide en etat d'impesanteur"; Note Technique ONERA, n0153, 1969) •• ) Voir, T'~r exempl~, le livre de Mikhlin) S,~G., "Variationnal methods in MathematJ.cal PhysJ.cs", Pergamon Press, ~ ~)
169
2 - les ~. forment un systeme orthonormal complet dans L (f) et un systeme 1/2
1.
complet dans H
(f), soit < B ~., ~.> = ll.(~., ~.) = 11·0 •.• 1.
J
1.
1.
J
1.
1.J
11 est important de noter que la plus petite valeur propre de Best
A . Revenant au probleme (9,151), si l'on pose
~I
A ~(t)
Cln f
¢(t)
=~
(t), alors
et le probleme devient le suivant
n Determiner une fonction o/(t) dans H1/2 (f) telle que A
~ +.1.g
~
(0)
~ Clt
n =° Clt 2
= ¢o
'
f x ]O,T [,
sur
donne sur f ,
(0) -- ¢1 donne sur f
,
on formule ainsi notre probleme sur la variete f . On a le theoreme d'existence suivant On suppose
¢o et ¢j donnes tels que :
~
il existe alors une fonction
unique telle que-)
et verifiant les equations (9,155). Cette solution ~ est, apres modification eventuelle sur un ensemble 2
de mesure nulle de [O,T], continue de [O,T] + L (f). Elle s'explicite sous la forme:
~ (xex ,t)
=
1 (¢1'~.) ..1wi
-)
Y {(¢ , ~.)
i=1
1.
0
sin w. t} 1.
cos w· t +
1.
1.
~.(xex ) 1.
X etant un espace de Banach, on designe par Loo(O,T;X) l'espace des fonctions t+f(t) de ]O,T[ +X, mesurables a. valeurs dans X telles que sup ess telO,T[
Ilf(t) IILoo(O,T;X)
<00.
170
3. Etude du probleme (9.153). Theoreme d'existence.
a la
Si l'on revient
formulation (9.154) du probleme. alors
\J9·(x) i l existe une solution
J Cl
o
O--.:-L.=
dans
!:J.
J
J
• an
o
1 H (0) telle que
e
sur E •
= ~. sur
J
r.
au sens suivant : 2
((V
(9,157 )
.v 1jJ» - Jw. g
(~ .• J
On est maintenant ramene
1jJlr)= o.
a un
\J
I/J
1
eH
(0).
resultat de Friedman et Shinbrot
(J. Math. and Mech., vol. 17. nO 2. 1967. p. 107-180) 1 2
Pour
--0-0.
2
L (r). il existe au probleme
(9.153) une solution unique sous la forme 00
e CO
L
j=1
{
0
.~.) cos w. t J
J
+
..l (
J
J
= ~ (xCl.t).
(O.T; H1(0) ) lIE).
On a enfin une propriete de regularite de la solution de (9.153). Du point de vue physique, les resultats precedents caracterisent l'etat vibratoire d'un liquide dans une coque rigide de forme quelconque. En particulier. il existe une infinite denombrable de frequences propres Wj '
w.
telles que
~im
fonctions
J-><X>
J
=
00
•
Les fonctions propres correspondantes sont les
J
lIE) CO(O.T;X) est l'espace des fonctions continues de [O,T] dans X.
CHAPITRE IV
LE CONCEPT DE MODELES EN MECANIQUE DES FLU IDES THEORIQUE
Nous voulons, tout d'abord, repondre a une question, malheureusement encore trop souvent posee, qui est : alors que la puissance des ordinateurs et le savoir faire des numericiens-mecaniciens sont devenus tels que l'on peut deja envisager de calculer l'ecoulement autour d'un avion entier ou encore predire le temps a moyenne echeance pour une dizaine de jours, et que l'on entrevoit l'epoque ou des simulations de problemes canoniques permettront de traiter avec efficacite le probleme des ecoulements turbulents, pourquoi revenir sur les modeles approches qui ont fait la fortune des etudes theoriques des annees 30 a 60 ? A notre avis il y a, au moins, deux raisons qui font qu'il nous semble, au contraire, necessaire de revenir sur ce qui paratt ne se rattacher qu'au passe. La premiere,c'est qu'une discipline vivante et complexe comme la mecanique des fluides ne peut pas, sans risquer de perdre une partie essentielle de son arne, abandonner les modeles, en apparence perimes, qui ont fait sa renommee sans avoir auparavant essaye d'en eclairer les contours obscurs ou delicats. Si la quete de modeles nouveaux et la recherche de codes numeriques dES plus performants et adequats a des situations physiques de plus en plus complexes doit constituer le souci majeur de la communaute des Mecaniciens des Fluides Theoriciens dans son ensemble, il nous paratt capital de maintenir en permanence ouverte une voie de recherche sur le fondement des modeles theoriques. Quiconque a une experience de l'enseignement connait bien l'existence de cet incorruptible comptable qui enregistre fidelement toutes les "pirouettes pedagogiques" qui esquivent, parfois meme brillamment, les difficultes inherentes
172
a tout
enseignement de la mecanique des fluides theoriques, mais que l'on
retrouve ulterieurement sur sa route comme autant dechausse-trapes pernicieuses. S'il n'est pas necessairement indispensable d'encombrer l'esprit des etudiants
a la
avec l'analyse detaillee des difficultes liees
justification des modeles,
il importe malgre tout que l'etudiant ait conscience des problemes que cela souleve et surtout que le pedagogue,lui, y ait serieusement reflechi ! De meme, s'il n'est pas necessaire d'encombrer l'esprit de l'1ngenieur voir du Chercheur, embarque dans une direction de recherche precise, avec la discussion des subtilites afferentes aux modeles qu'il utilise directement ou indirectement, il importe qu'un certain nombre de Mecaniciens des Fluides Theoriciens aient une activite de recherche orientee vers l'etude precise de ces subtilites. C'est la l'essentiel de la premiere raison que nous evoquions plus haut. En ce qui concerne la seconde raison elle decoule de ce que toute reflexion sur les fondements d'un modele qui s'est revele tres fecond est souvent generatrice d'idees, qui peuvent nourrir a leur tour de nouveaux champs de recherches. Comme illustration de ce qui vient d'etre
di~
nous mentionnerons deux exemples
tires de nos propres recherches sur la modelisation asymptotiques des ecoulements a grand nombre de Reynolds, d'une part, et des ecoulements a faible nombre de Mach, d'autre part. Le premier exemple est lie a une observation toute simple, presque triviale : la degenerescence d'Euler, qui conduit aux equations des fluides parfaits en evolution adiabatique, ne fait perdre aucune derivee temporelle, lorsque Re
+ 00,
alors que celle dite de Prandtl, qui conduit aux equations de
la couche limite, fait perdre la derivee temporelle de la composante normale, a la paroi, de la vitesse. Dans un tel cas,il faut s'attendre a ce que la modelisation asymptotique fasse apparattre un nouveau modele, associe a un nouveau passage a la limite et
a une
nouvelle representation asymptotique
locale, valable simultanement au voisinage de l'instant initial et de la paroi (Zeytounian
(1980)~));
c'est la troisieme degenerescence significative
des equations de Navier-Stokes, lorsque Re
+ 00,
qui conduit aux equations dites
de Rayleigh pour l'ecoulement monodimensionnel instationnaire d'un fluide visqueux, compressible et conducteur de la chaleur, ne dependant que du temps et de la coordonnee verticale, normale a la paroi de l'obstacle autour duquel l'ecoulement peu visqueux est analyse. 11 convient de comprendre, ensuite, par quel processus le comportement temporel, pour les grands temps locaux, du modele de Rayleigh et le comportement temporel, pour les petits temps, du modele de Prandtl de la couche limite instationnair~ se raccordent. Ce raccord
*)
Note aux C.R. Acad. Sci., Paris, A, t. 290, 567-569, 1980.
173
permettant de se convaincre que le modele de Rayleigh fournit bien l'initialisation du modele de couche limite de Prandtl.
a une
Le second exemple est aussi lie
observation triviale : si
au niveau des equations compressibles instationnaires d'Euler on considere un ecoulement irrotationnel, barotrope,
a potentiel
des vitesses, alors on
obtient pour ce potentiel une seule equation aux deri vees partielles, quasilineaire, de type hyperbolique, qui est l'equation de Steichen (4,31). Le passage
a la
limite S fixe; M + 0 , avec t et ~ fixes,
conduit
a l'equation
limite de Laplace qui est une equation elliptique ne
comportant aucune derivee au passage
a la
temporelle.
Ainsi, le regime incompressible, lie
limite ci-dessus, ne peut-etre compatible avec des donnees
initiales relatives au regime compressible ! 11 ne faut pas non plus oublier que les ecoulements ont toujours
une origine temporelle et l'etude du processus de mise en vitesse merite d'etre
exploree.O~ ce
processus entre dans le cadre de la modelisation
asymptotique via le passage S +
a la 00
limite :
et
M+ 0 .
Le T.G.V., par exemple, peut passer
a proximite
d'obstacles qui perturbent
sensiblement son aerodynamique, creant des phenomenes transitoires qui peuvent etre significatifs; ces derniers relevent tout naturellement de la modelisation liee au passage
a la
limite ci-dessus.
a
D'autre part, la mise en vitesse, fait intervenir, par le passage la limite: M+ 0 , S +
00
,M S = 0(1), avec t et ~ fixes
un phenomene acoustique qui decrit un processus d'adaptation instationnaire vers l'etat incompressible. On trouvera aux est cons acre
a la
§§
10 et 11 une discussion sur les modeles. Le
linearisation, le
§
MDAR et le concept de raccord, tandis
§
12
13 donne les premiers elements de la qu'au
§
14 on trouvera une idee de la
methode des echelles multiples (M.E.M.),avec la technique d'elimination des termes seculaires.
LES GRANDS MODELES DE LA MECANIQUE DES FLUIDES Les grands modeles theoriques de la mecanique des fluides sont ceux qui sont omnipresents
dans la presque totalite des travaux de recherche
en
mecanique des fluides theoriques et que l'on retrouve dans Ie mode d'expose traditionnel de la mecanique des fluides sous la forme de grands chapitres. Ces grands modeles s'obtiennent
a partir
du modele exact, general,
de Navier-Stokes, lorsqu'un petit (ou un grand) parametre sans dimension, dans ce modele de Navier-Stokes, prend sa valeur limite (zero, ou l'infini). Dans ce ca~ les variables d'Euler t,
t,
de l'espace-temps peuvent
elles-memes prendre des valeurs petites ou grandes devant l'unite, ce qui conduit tout naturellement limite principale : LimP, ... 1
a
a
.,
1~m1te
locaux :
.
a considerer, et t fixes
at
.e.... , ou
l~m
conjointement avec un passage
a la
de l'ordre de l'unite, divers passages
+
t et x peuvent prendre des valeurs
•
pet~tes
ou
grandes devant l'unite. Ainsi,on arrive
a l'idee
que l'on peut presenter les divers Chapitres
classiques de la mecanique des fluides newtoniens comme issus d'un modele unique exact qui est celui de N-S, en ayant la modelisation asymptotique comme fil directeur
lll
)
10,1. LES MOVELES LIES AU NOMBRE VE REYNOLVS Le nombre de Reynolds est l'un des parametres sans dimensions les plus importants dans Ie systeme exact de Navier-Stokes
car il prend en compte les
effets visqueux qui impliquent l'adherence du fluide sur toute paroi materielle delimitant l'ecoulement. D'autre part, Ie nombre de Reynolds, Re, se trouve place devant les termes d'ordre Ie plus eleve dans ces equations de N-S. 1II) A ce sujet,on pourra consulter notre monographie : "Les lIlodeles asymptotiques
de la mecanique des fluides"; VoL 245 et VoL 276 dans la serie "Lecture Notes in Physics" chez Springer-Verlag, ]986 et 1987, Heidelberg, R.F.A.
175
1. Comme nous l' avons dej a. vu au Chapitre II, on peut
tout d' abord,
considerer au niveau des equations de N-S (disons_les equations (3,10)
a
(3,13)),
avec la condition d'adherence (6,10), le cas des 8rands nombres de Reynolds Re »
(10,1)
1 •
Dans ce cas, on considere, tout naturellement, le cas limite lie au passage
a la
Re
+00
,
limite principale,dit d'Euler, suivant : LimP
( 10,2)
Re+oo
{Re +
00,
at
et ~ fixes } ,
tous les autres parametres etant supposes etre de l'ordre de un (ni trop grands, ni trop petits). Les equations qui emergent,
a la
limite (10,2)
des equations exactes
de N-S,sont alors celles d'Euler, pour un fluide parfait, compressible en evolution adiabatique (a entropie specifique conservee le long des trajectoires de l'ecoulement instationnaire). On sait que cet ecoulement eulerien ne peut satisfaire d'adherence (6,10) et satisfait uniquement
a la
a la
condition
condition dite "de glissement"
(6,12) . On sait tres bien maintenant que cette condition de glissement est une consequence toute naturelle du raccord avec l'ecoulement dit "de couche limite" qui est realisee au voisinage immediat de la paroL 2. Ainsi, le passage pas adequat
a la
limite (10,2)
d'Euler, n'est certainement
au voisinage immediat de la paroi baignant l'ecoulement de fluide
peu visqueux (Re »
1).
De ce fait, il faut remplacer ce passage d'Euler, par un passage
a la
a la
limite principale(10,2),
limite localequi prenne bien en compte le fait que
l'ecoulement de fluide peu visqueux a lieu au voisinage immediat de la paroi. A cette fin,il est necessaire, tout d'abord, d'introduire une coor-
a la
donnee normale
paroi, qui soit dilatee de telle
fa~on
qu'elle tienne
compte de la faible epaisseur de la region, au voisinage de la paroi, ou s'effectue l'ecoulement peu visqueux. +
Soit n le vecteur unitaire de la normale le fluide. Introduisons la coordonnee normale ++
x.n = x
et notons
n
a~
a.
la paroi
~,
dirige vers
176
ou
0
L
= ~ o
0
«
1, avec L
une echelle de longueur liee
o
= Uo L0 /"
intervient dans le nombre de Reynolds (Re
v
a la
paroi et qui
), tandis que i
0
est
E, qui nous interesse au niveau
l'epaisseur de la region, au voisinage de du passage
o
a la
limite locale. Toutes les grandeurs sont, ici, sans dimensions.
Dans ce cas le passage
a la
limite locale
limite principale d'Euler (10,2), est le passage
i
lim E Re-+<x>
(10,3)
{Re
le temps t, les deux coordonnees sur
+ 00
et 0
0
+
associe au passage
a la
0,
a la
limite de Prandtl :
a Xn
fixe},
E et tous les autres parametres etant
supposes etre de l'ordre de l'unite. Mais cela n'est pas tout; pour obtenir les equations dites "de la couche limite" (de Prandtl) il faut faire le ''bod' choix pour 0 aussi un changement sur la composante normale de la vitesse
o
et effectuer
(10,4) On sait que ce bon choix conduit
a
1 oo =--
(10,5 )
comme cela a ete le cas
a la
IRe
section 5,7 du
§ 5 (yoir la
~ormule
(5,23) ).
Une relation, telle que (10,5), est dite de similitude. En fait, comme nous avons un grand parametre (Re) et un petit parametre (0 ), nous pouvons considerer trois situations limites (locales) : I) 0
0
fixe; Re
II) Re fixe; 0 III) Re
+ 00
puis 0
+ 00
0
+
et 0 0
0
0, puis Re +
+ +00
o
°
° de telle fac;;on que
(10,6) ou A est un parametre de similitude suppose, en toute generalite, de l'ordre o de un et a > un exposant reel a preciser. Dans notre cas,ici, on a : A = 1 et a
= 2.
°
o
La troisieme situation III) devient necessaire lorsque les modeles
issus des situations I) et II) respectivement, sont (a un certain niveau d'approximation) de nature differente; cette situation III) conduisant alors
177
au modele approche le plus significatif et lorsque A
-+-
0
on retrouve la situation
A
-+-
00
on retrouve la situation II) .
0 0
I) ,
3. Une seconde situation limite liee au nombre de Reynolds est celle qui correspond aux faibles nombres de Reynolds : Re «
(10,7)
Ce cas se rencontre lorsque le fluide est tres visqueux (theorie de la lUbrification) ou encore l'ecoulement tres lent. Bien souvent l'ecoulement est
tres lent et le fluide tres visqueux aussi.
Une fois de plus, il faut considerer le passage
a la
limite principal,
di t de Stokes, { Re -+- 0
(10,8)
at
et ~ fixes}
tous les autres parametres etant fixes, de l'ordre de un lors du passage
a la
limi te (10,8).
Mais,lorsque le domaine d'ecoulement est non borne (cas de l'ecoulement autour d'un obstacle de dimension caracteristique L , borne, se trouvant o au voisinage de l'origine du systeme de coordonnees x.), on constate que le modele approche (de Stokes) obtenu
a partir
J.
de (10,8) ne saurait etre valable
aux grandes distances de l'obstacle. De ce fait, comme
a la
section 5,8 du
§ 5,
il faut introduire des nouvelles coordonnees (adimensionnelles) : -+X
L
-+-
'V
(10,9 )
X
=-
Yo
y
o
= -5d. L
»1,
o
ou Lest la longueur caracteristique pour les points de l'ecoulement loin o de l'obstacle. On peut alors considerer le passage a la limite locale suivant, (10,10)
o
tOO
L J.m
Re+O
qui est celui dit de Oseen.
{Re -+- 0
at
'V
et ~
fixes } ,
178
Le choix adequat
de
Yo»
1 est
(10.11) et dans ce cas. Ie nombre de Reynolds disparatt des equations sans dimensions pour l'ecoulement au loin de l'obstacle. Mais!ce nombre de Reynolds apparatt dans l'equation de l'obstacle. relativement au systeme de coordonnees ~. et lorsque Re reduit
a un
+
~
0 l'obstacle se
point. qui est celui de l'origine des coordonnees. lorsque l'on
suppose que cette origine se trouve
a l'interieur
de l'obstacle.
De ce fait. en premiere approximation. l'ecoulement limite de Oseen est celui qui est donne
a l'infini
loin de l'obstacle; cet ecoulement d'Oseen
etant faiblement perturbe par l'obstacle.lorsque Re
+
0
Dans la litterature.on considere habituellement deux cas: celui de l'ecoulement plan autour d'une section circulaire d'un obstacle cylindrique et l'ecoulement tridimensionnel autour d'une sphere en mouvement de translation uniforme.
4.
Ainsi. pour ce qui concerne Ie nombre de Reynolds, nous devons
considerer les modeles limites qui sont indiques sur Ie schema ci-dessous:
179
Un probleme important est celui du raccord des divers modeles entreeux
Euler-Prandtl et Stokes-Oseen. Ce raccord est intimement lie au comportement de la solution du modele
approche local correspondant. Par exemple, pour le cas de Re »
1, il faut que la solution du modele
de la couche limite ait un comportement "aux grandes distances" de l'obstacle, lorsque
tel que la SOlution de couche limite existe et puisse se raccorder avec le comportement de la solution du modele d'Euler, lorsque
I~I
+
0 ,
c'est-a-dire pour les distances proches de l'obstacle. Nous revenons au § 13 a cette notion de raccord qui joue un role fondamental dans la mise en evidence des modeles approches, coherents, issus du modele exact de N-S. Enfin, nous n'avons rien dit sur le modele dit "en triple couche" qui permet de rendre compte du comportement de la couche limite dans les diverses circonstances ou elle subit "un accident" localise
au voisinage
d'une ligne sur la paroi de l'obstacle autour duquel l'ecoulement peu visqueux (a Re »
1) est considere. Ce modele local en triple couche est analyse, dans
un cas simple,
a la
Lelt0n IX du vol. 276 de la serie "Lecture Notes in Physics 11
(1987) et on trouvera a la section 11,1 (point 3) quelques indications quantitatives. 10, 2. LES MOVE LES LI ES AU NOMBRE VE MACH Le nombre de Mach joue aussi un role important, au niveau des equations exactes de N-S
car il prend en compte les effets de la compressibilite du
fluide. Ces effets de compressibilite compliquent l'analyse des ecoulements en ce sens que les effets dynamiques et thermiques sont en general fortement couples. De plus, l'equation de continuite fait intervenir de la masse volumique
fa~on
essentielle
p, variable.
1. Afin, de retrouver le modele de fluide incompressible qui est, en generalite, celui de Navier dont il a ete deja question au § 5, il faut tout d'abord considerer le cas des fluides faiblement compressibles, pour lesquels
180
(10,12)
M < < 1 •
Dans ce cas,on considere, tout naturellement, Ie cas limite M ->- 0, lie au passage a. la limite principale, dit de Navier, suivant { M ->- 0, a. t et ~ fixes},
(10,13)
tous les autres parametres etant supposes etre de l'ordre de un. Les equations qui emergent, a. la limite (10,13), des equations exactes de N-S sont alors celles de Navier pour un fluide incompressible, les effets thermiques etant alors decouples, comme nous l'avons deja. vu a. la section 5,4 du
§ 5.
Cependant, en toute rigueur, ces equations de Navier limites tombent en defaut au voisinage de l'instant initial t = 0 et aussi au loin de la paroi de l'obstacle en mouvement dans Ie fluide faiblement compressible. De ce fait, il faut
considere~par exempl~un
passage a. la limite locale, en temps, au
voisinage de t =0; pour cela,on introduit un temps local: t t= M A
(10,14)
et on postule Ie passage a. la limite locale {M->-O, a. t = ~ et;- fixes} •
( 10, 15)
M
Le modele approche qui en decoule est celui de l'acoustique lineaire classique et il faut, une fois de plus, effectuer Ie raccord avec Ie modele de Navier correspondant, en elucidant Ie comportement de la solution acoustique locale pour les t ->-
00.
En relation avec Ie
raccor~il
faut noter que les domaines d'ecoulement
sont : soit des domaines bornes (enceintes remplies de gaz), soit des domaines non bornes qui s'identifient avec l'exterieur d'un obstacle (une aile) en mouvement dans l'atmosphere infinie au repos.
2. Pour preciser un peu plus,
considerons l'equation de Steichen (4,31)
qui gouverne les ecoulements de fluide parfait compressible, irrotationnel, evolution barotrope. On a done l'equation exacte suivante :
en
181
~
[1 - (y-1)
(10,16) Me: { S2
u
00
{ S
4 dt
~+~
+ S ddt
[
I~ ~12 -
1 ]}}
~
(~~)2 + ~ 11. (~ ~.V V~) }
est le nombre de Mach suppose «
1 et S le nombre de Strouhal
suppose etre de l'ordre de un. A cette equation (10,16), il faut associer, en particulier, deux conditions initiales :
(10,17) ou
f
et
pour t
°,
et 1jio sont des fonctions de ? supposees connues. Lorsque nous appliquons a l'equation (10,16), sous l'hypothese
Moo «1
mais avec S
= 0(1),
le passage a la limite (10,13)
~=lo
(10,18)
nous retrouvons le cas incompressible pour lequel
tl"iIJo
(10,19) Nous constatons alors
=0.
~u'~~
niveau de l'equation limite principale
(10,19) pour ~o (qui est l'equation de Laplace), toutes derivees temporelles
ont disparu
et de ce
fai~le
regime incompressible ne peut-etre compatible,
en toute generalit~ avec les donnees initiales (10,17) relatives au regime compressible regi par l'equation de Steichen (10,16). Cette derniere equation
(10,16), lorsque S
~
0, est toujours de type hyperbolique, tandis que l'equa-
tion de Laplace (10,19) est, elle, de type elliptique. Nous sommes la en presence d'un probleme typique de perburbation singuliere lie au changement de type de l'equation exacte de depart (hyperbolique -+
elliptique). En fait, le caract ere singulier du probleme, lorsque Moo
+
provient du fait que nous ne pouvons pas permuter les passages a la limite " P L~m
M+O 00
et
Lim t+O
Ainsi, il est manifeste que le voisinage de t =
° est singulier et
pour analyser l'ecoulement a faible nombre de Mach au voisinage de t = O,il
0,
182
faut introduire un temps fin (rapide). Un peu de reflexion (on doit retrouver le caractere "acoustique" de l'equation (10,16) au voisinage de t = 0) montre qu'il faut introduire la nouvelle variable temps :
t
(10,20)
t
= Moo
Soit alors
et on constate que
S~
~(~,t) satisfait
maintenant,on applique le passage
1 lim t M.x,+
°
( 10,21)
a l'equation
=> {t\,
+
°a~ et t
a la
=:
limite locale
fixes}
~"oo
alors
~o
(10,22)
satisfait
a l'equation
classique de l'acoustique lineaire
°.
-to ~o
(10,23)
A cette equation(10,23\10cale valable au voisinage de t
0, nous
pouvons associer les deux conditions initiales suivantes (10,24)
4l = ~ o
et S
a~
---;:9- = 0,
at
pour t
=0
,
qui decoulent de (10, 17) 1lI1l1) • 1lI) La notation O(M",,) designe des termes proportionnels 1lI1l1)
On suppose que la donnee initiale limite locale (10,21).
a la
W n'est O
a Moo
pas affectee
• par le passage
183
Ensuite, il faut elucider Ie comportement de ~ lorsque t o
+
00, pour
se convaincre que Ie raccord est possible avec l'ecoulement limite principal regi par l'equation limite (10,19) pour ~ Le passage
a la
o
limite principale
) a, en fait, pour but
d'eliminer, au niveau de la solution de
l'equation de Steichen
exact~
(10,16), les ondes acoustiques internes qui sont liees aux effets de compressibilite du gaz. En domaine borne (enceinte),il apparait que ces ondes acoustiques, generees en phase initiale de mise en mouvement de la paroi, E, de l'enceinte (et qui sont gouvernees par l'equation limite locale (10,23)), persistent sans attenuation (nous ne tenons pas compte ici de la viscosite) durant toute cette phase initiale et de ce fait, "penetren~'avec toute leur intensite dans la phase ulterieure t = 0(1) liee
a l'ecoulement
limite principal,
fondement. Ainsi"on conc;oit bien que Lim 1P limite n' est pas definie lorsque
t:- 00)
o
qu'elles affectent pro-
n' existe pas (dans Ie sens que cette
. Precisons que cette circonstance a lieu
precisement lorsque la paroi de l'enceinte, E, est mise impulsivement en mouvement ou encore lorsqu'elle est mise en mouvement "tres rapidement". Le phenomene ci-dessus, lie pour ~o lorsque t
+
a la
non existence d'une limite definie
00, a une incidence profonde sur Ie concept meme d'ecoulement
incompressible et plus particulierement sur l'integrale de Bernoulli classique (4,24). En effet, dans cette integrale de Bernoulli s'introduit un terme complementaire lie au carre des amplitudes des oscillations acoustiques - ce terme etant Ie resultat de la persistance des ondes acoustiques au sein de l'enceinte au cours du temps. Ce phenomene a ete mis en evidence, pour la premiere fois, dans un travail de Guiraud et Zeytounianll!) qui ont mis en oeuvre une technique .. . . , de la metho , d · asymptot1que directement 1nsp1ree e d1te des '" echel 1 es mult·1p1 es "lI!lI!) . En fait, il s'avere qu'il faut appliquer cette methode en introduisant une infinite (denombrable) de temps rapides
(10,25) ou les w sont les frequences propres des oscillations acoustiques de l'enceinte. n Dans ce cas, d'apres la theorie de Guiraud et Zeytounian, l'ecoulement ·)Voir : Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, t. 290, serie B, 75-78, 1980. lI!.) Nous donnerons au
§ 13 une idee de l'application de cette methode des
eChelles multiples (MEM).
184
limite incompressible dans l'enceinte s'interprete comme etant un ecoulement moyen1II)
" . . . . • t auquel sont superposees des osclllatlons acoustlques qUl provlennen
de la phase initiale du mouvement. Ains~
dans ce cas, il n'y a pas adaptation des donnees initiales au
sens classique de la MOAR. En domaine non borne, il apparait que les ondes acoustiques generees par le deplacement de l'aile, a partir du repos, at>
0, a faible vitesse
devant la celerite du son, laissent une trace au loin de l'obstacle a l'infini dans l'espace. L'analyse de ce phenomene de perturbation singuliere releve alors de la MOAR et precisons ici que la solution au voisinage de l'aile (productrice d'ondes acoustiques, at> 0) est approximativement incompressible alors que celle qui vaut au loin, a l'infini, releve des equations de l'acoustique lineaire. , " " •• 1II111) . ". " Ce probleme a ete analyse" par Vlvland et aUSSl• Crow1II•• )qUl ont reallse le
raccord des sOlutions incompressibleset acoustiques. On notera
qu~
dans le cas d'un ecoulement dans un domaine non borne,
exterieur a une aile, les perturbations acoustiques associees a l'adaptation des donnees initiales s'attenuent par dispersion de l'energie acoustique dans un domaine dont le volume tend vers l'infini. De ce fait, on ne s'attend pas a une persistance importante de la perturbation acoustique initiale au niveau du champ d'ecoulement proche de l'aile, lorsque t
= 0(1).
Ainsi, en domaine non borne,il faut distinguer trois regions liees aux passages a la limite suivants : (a) S fixe; ~
+
0 a ; et t fixes
(region dite "proximale" au voisinage de la paroi de l'obstacle); (b) S fixe; Moo
+
0 a t
et
'"x = MooX+
+
fixes
(region dite "distale", loin de la paroi de l'obstacle); (c) S fixe; ~
+
0 a
t =~
et
t
fixes
(region di te "initiale", au voisinage de l' origine des temps, t o ) . • ) On dit aussi ecoulement homogeneise et on a la un exemple ou la teChnique de l'homogeneisation est tres performante. La microstructure liee aux ondes acoustiques apparaissant au niveau de la macrostructure (ecoulement moyen) sous la forme d'un terme complementaire dans l'integrale de Bernoulli, comme il a ete explique plus haut • .. ) Voir: J. de Mecanique, 9, nO 4, 573-599, 1970. 1II111111)
Dans: Studies in Applied Maths., vol. XLIV, nO 1,21-44, 1970.
185
3. Une autre situation liee au nombre de Nach est celle des ecoulements subsoniques(M < j) et supersoniques (M > 1). Habituellement, i l est admis de considerer l'etude des ecoulements potentiels de
~luides par~aits,
autour
de profils minces, en prenant cOl!lllle modele exact de depart celui regi par l'equation de Steichen stationnaire, bidimensionnelle. Dans le cas subsonique et supersonique,il s'avere que l'on peut tirer profit de la linearisation et on trouvera au § 12 de ce chapitre IV le cas de l'ecoulement eulerien (Re =~) autour d'une aile de ~aible epaisseur. Mais,il s'avere que les resultats du § 12 ne sont plus valables pour les ecoulements ditstranssonigues (M ~ 1) et hypersoniques(M»
1). En theorie aussi bien le cas transsonique
que le cas hypersonique,sont traites, en general, pour les
pro~ils
minces
avec des lois de similitude. En particulier, pour le cas hypersonique les relations de choc jouent un role tres important pour modeliser l'ecoulement hypersonique autour d'un profil mince. Aussi bien le cas transsonique que le cas hypersonique necessitentune modelisation basee sur deux parametres; dans le premier cas: l'epaisseur relati ve faible du pro~il
E:
et le parametre petit ~ - 1, tandis que dans
le second cas : l' epaisseur relati ve grand
M~
»
du profil mince
~aible
1. Cela conduit, dans les deux cas,
a.
et le parametre
E:
introduire un parametre
de similitude :
~
- 1
= --3---~
( 10,26a)
E:
( 10,26b)
/2
E: N~
4.
, pour le cas transsonique;
, pour le cas hypersonique.
11 Saut encore dire quelques mots concernant l'interaction entre
ecoulements faiblements compressibles,
a.
N«
et ecoulements
j,
Re »1 et
Re «
1. Pour les ecoulements peu visqueux (Re »
(M «
1), il s'avere que le cas le plus signiSicatiS correspond
(10,27)
N
4 Re =
1) et
a.
(10,28)
1), il
~aut
que
1i ~ Re -
Kn
compressibles
a.
o( l).
Pour ce qui concerne les ecoulements lents (Re compressibles (M«
~aiblement
«
j
,
«J) et Saiblement
186
afin que l'on reste dans Ie cadre du milieu continu qui correspond au nombre de Knudsen petit devant un, comme nous l'avons vu au § 1 (sections 1,3 et 1,4). On notera que Ie cas classique correspond Re fixe, M +
a
0, puis Re
+
°
et dans ce cas,la contrainte (10,28) est toujours satisfaite. Enfin, il faut encore noter Ie cas des ecoulements hypersoniques (M» 1) peu visqueux (Re »
1), qui a
des applications en astronautique (probleme de
la rentree d'une navette spatiale dans l'atmosphere terrestre). Sur Ie schema ci-dessous nous avons indique les diverses situations qui ont ete mentionnees dana cette
~ection
)0,2
Navier-Stokes
ecoulement autour d' obstacle
M«1 Re» 1
M« 1Lmodele de Re«UStokes peu compressible
187
10,3. LES MOVELES LIES AUX NOMBRES VE STROUHAL ET VE PRANVTL 1. Pour ce qui concerne le nombre de Strouhal S, disons, tout d'abord,
que dans le cas instationnaire,les equations de la couche limite sont obtenues sous l'hypothese que S reste fixe, de l'ordre de un, lors du passage
a la
limite
de Prandtl (10,3). En toute rigueur, il s'avere que ces equations de la couche limite instationnaire ne sont pas valables au voisinage de l'instant initial t =
° et de ce fait,le cas de
(10,29)
Re
» 1 et S
»1
permet l'etude de ce voisinage de l'instant
initia~
1
caracterise par un laps de
«~ 1a situation (10,29) se rencontre des que o Uo l'on etudie le voisinage de l'instant initial en vue de determiner des condi-
temps caracteristique t
tions initiales
a appliquer
aux equations de Prandtl de la couche limite ins-
tationnaire classique obtenues avec S = 0(1). 1es equations modeles, issues du modele exact de Navier-Stokes, sous l'hypothese (10,29), sont celles dites "de Rayleigh" pour les ecoulements instationnaires monodimensionnels d'un fluide visqueux, conducteur de la chaleur qui ne dependent que du temps : t
'V
( 10,30)
t =-1 IRe
et de la variable d'espace,normale
a la
xn_ __
'V
(10,31)
X
paroi de l'obstacle
n
liRe
2. Un autre type particulier d'ecoulement conduit ecoulements as»
a analyser
les
1; il s'agit de l'ecoulement lie aux mouvements oscillatoires 10 °0
d'un obstacle, avec soit une periode T « o
-Uo
soit une frequence w »--
(oscillationsa haute frequence). Done, dans ce cas, outre Re »
0
1, il faut
introduire le parametre de frequence
( 10,32)
U
a. = _ _0_ « w 1 o 0
o
1,
qui est l'inverse d'un nombre de Strouhal base sur To. Ainsi, on est conduit a considerer le double passage a la limite
(10,33)
Cl.o....
°
et
Re....
00
10
188
et diverses situations peuvent etre considerees en fonction du parametre
(10,34 ) En particulier, le modele dit de "Riley et Stuart" l'hypothese que ReS »
est obtenu sous
1·}
3. Pour ce qui concerne le nombre de Prandtl Pr, 10rsque Pr « Pr» deux
1 et
nous sommes en presence d'un probleme de perturbation singuliere. Ces cas singuliers peuvent etre etudies dans le cadre de l' analyse de la
couche limite thermique pour le probleme de Blasius; lorsque Pr «
1 cette
couche limite thermique est plus epaisse, que la couche limite dynamique de Blasius, tandis que pour Pr »
1,elle est moins epaisse.
10,4. LES MOVELES POUR LES ECOULEMENTS ATMOSPHERIQUES
1. Pour les ecoulements atmospheriques un modele souvent analyse est celui dit "de Boussinesq" qui consiste ii faire tendre simultanement le nombre de Mach M et le nombre de Boussinesq Bo vers zero, de telle
fa~on
que le
rapport Bo
(10,35)
B=
Moo
O( 1)
Dans ce cas,on constate que la validite de ces equations de Boussinesq est limitee ii une couche atmospherique d'epaisseur HB telle que: (10,36)
IL --r1
=B
Uo
g
V~. ---f- '
lorsque B ~ 1 on trouve que H ~ 200 ii 300 m. On trouveradans notre article B de synthese de 1985 (Intern. J. Engng. Sci. vol. 23, pp. 1239-1288) une derivation asymptotique de ces equations de Boussinesq. 2. Un autre modele souvent utilise en meteorologie est celui dit quasi-geostrophique", qui s 'obtient sous 1 'hypothese que le nombre de Rossby, Ro, est petit devant un. Ce modele quasi-geostrophique doit-etre, en toute rigueur, complete par le modele dit
d'~
qui decrit la couche limite
atmospherique et qui est lie ii la petitesse du nombre d'Ekman devant un : .) A ce sujet on peut consulter la Leqon XI (page 263 a 310) du s~cond tome de notre 1DOnographie "LeS' Modeles AsymptotiqueS' de la Mecanique deS' Fluides", pUbliee chez Springer-Verlag, 1987.
189
( 10,37) avec l
EK
=2 n
sin ~
000
v = l
o
o
H2 0
le parametre de Coriolis.
D'apres Zeytounian on montre que la situation la plus significative correspond
a
(10,38)
O( 1) •
ou BRo - Ki
1
est le nombre de Kibel.
to lo
3. Enfin, pour les ecoulements d' echelle "synoptique" on peut considerer les modines issus de l'approximation dite "quasi-statique" qui correspond au passage
a la
limite : H
(10,39) de telle
£0 fa~on
= ~o o
+
° et Re
+
00
que £2 Re
(10,40)
o
_ Re.l. = O( 1) .
En particulier, lorsque Re.l. :: primitives" du meteorologue qui est numerique du temps
a courte
00
,
on retrouve le modele "awe equations
a l'heure
actuelle
a la
base de la prevision
echeance (de l'ordre de 4 jours).
Pour tout ce qui concerne les modeles approches pour les ecoulements atmospheriques on pourra consulter l'article de synthese de 1985,de
Zeytounian·~
.) Dont le titre est : Recent Advances in asymptotic modelling of tangent atmospheric motions. On peut aussi consulter le livre tout recent de Zeytounian : "Asymptotic Modelling of Atmospheric Flows"; Springer-Verlag, avril ~.
LES MOOELES LOCAUX ET LES MOOELES SPECIFIQUES PROPREMENT OITS
11,1. LES MOVELES LOCAUX A la difference des grands modeles, dont il vient d'etre question au § 10 et qui sont fondamentalement lies au mode d'exposition de la mecanique
des fluides, les modeles locaux sont plutot lies a des problemes de recherche. 11 s'agit de problemes ou l'analyse asymptotique ne peut s'appliquer qu'a une region tres localisee de l'ecoulement et c'est sans doute au niveau de ces mOdeles locaux que l' analyse asymptotique est destinee a garder pour longtemps encore, droit de cite a cote des grands codes de calculs numeriques. 11 s'agit, avant tout, de reperer et de decrire les singularites qui se presentent dans un champ d'ecoulement en prenant le concept de singularite dans une acceptation assez large. En termes numeriques, cela se produit lorsqu'un , • 1I1} , • ., S" • . probleme est ra1de dans une reg10n loca11see. 1 1 on ne d1spose pas d e rense1-
gnements precis sur la region singuliere, le code numerique peut echouer completement, ou perdre considerablement en precision, ou encore conduire a des temps de calculs prohibitifs. 1. A cet egard,on peut citer le cas de la modelisation d'un ecoulement " " . . , lHl) comportant une nappe tourb111onna1re fortement enroulee. Une mode11sat1on locale
permet de decrire approximativement le comportement de l'ecoulement dans le coeur de la nappe tourbillonnaire fortement enroulee, la, ou les spires de la nappe sont tres serrees. Numeriquement,ce probleme,dans le coeur de la nappe tourbillonnaire fortement enroulee,est tres raide,mais, en contre partie, il y a un petit parametre co' dit d'ecartement, qui est le rapport entre la distance .) C'est-a-dire difficile et mal aise a calculer numeriquement, du fait de la presence des diverses echelles 0aracterisant localement-l'ecoulement) qui peuvent avoir des ordres de grandeur tres differentes • •• ) Voir, par exemple, l'article de Guiraud et Zeytounian dans "La Recherche Aerospatiale", nO 1977-4, Juillet-Aoiit, pp. 205-212, 1977.
191
(normalement a. la nappe) d'une spire a. l'autre, A, et le diametre, L, du coeur. Pour l'essentiel l'analyse asymptotique de Guiraud et Zeytounian conduit
A.
- .. CO L
a. une regle assez simple, permettant d'etablir une correspondance entre deux
Co «
1
ecoulements. Le premier est un ecoulement rotationnel
L
continu de fluide parfait, tandis que le second est un ecoulement irrotationnel comportant une nappe tourbillonnaire enroulee, egalement de fluide parfait. La correspondance ne vaut qu'en un sens asymptotique, dans le coeur de la nappe enroulee, la. ou les spires sont tres serrees et elle repond bien a. l'image physique que l'on peut se faire de l'ecoulement dans le coeur de la nappe: le tourbillon concentre
~
la nappe peut-etre remplace par une distribution equivalente
continUment repartie du rotationnel du vecteur vitesse. 2. Lorsque l'on a bien compris la signification que nous donnons au concept de modelisation asymptotique,on se rend compte que le nombre de situatioIlS que l' on peut faire entrer sous la rubrique "modeles locaux" est tres grand. Par exemple, les solutions dites auto-semblables (ou encore homogenes, ou simplement semblables; en anglais "self-similar") qui paraissaient encore ces dernieres annees quelque peu artificielles prennent maintenant leur veritable signification (qui est celle de modeles asymptotiques locaux) si on les soumet a. l'eclairage de la modelisation asymptotique et cette optique devient particulierement enrichissante si on les considere comme complementaire de codes numeriques. Au sujet de ces solutions auto-semblables,on pourra consulter l'article de Barenblat et Germain···).
Zel'dovich~·)et aussi
les conferences dePaul
On a un exemple typique de solution homogene, lorsque
•• ) Dans "Annual Review of Fluid Mechanics", vol. 4, pp. 285-312, 1972. Il Y a aussi le livre de Barenblatt : "Similarity, Self-similarity, and Intermediate Asymptotics". Guidrometeoizdat, Lenigrad, 1982 (Edition en langue russe) . ••• ) Dans: Fluids Dynamics, pp. 1 a. 147; Ed. Gordon and Breach, Sci. Publishers, London, 1977.
192
l'on analyse le probleme dit de Blasius de la couche limite sur une plaque plane placee dans le lit d'un vent uniforme. D'une
fa~on
generale,on peut dire
que : ces solutions homogenes fournissent le comportement dominant de
solutions
quelconques pour certaines valeurs remarquables ou singulieres des variables. Ainsi, les termes dominants du developpement asymptotique d'une solution complete au voisinage d'un point remarquable ou au voisinage de l'infini sont des solutions homogenes; elles apparaissent done comme determinant des comportements asymptotiques locaux. 3. Naturellement l'un des modeles locaux le plus important et le plus enrichissant est celui dit "en triple couche" de Stewartson et Williams ·
1Il1ll)
Ne~land
. I
1
permet de
'
.
decr~re
ce
..
qu~ sur~ent
lorsqu
,. .
au
vo~s~nage
lll
)
et de
d , une
ligne singuliere,la couche limite classique de Prandtl d'epaisseur f o = L / o lRe subit un "accident". A cette fin,il faut retourner aux equations exactes de Navier-Stokes sous l'hypothese que Re
+
00.
Dans le cas plan, supposons qu I il y a: "accident" au voisinage de 1 I abscisse du contour C de l'obstacle autour duquel l'ecoulement peu visqueux o (Re » 1) est considere. On introduit alors au voisinage de X une nouvelle o abscisse locale : curviligne
X
( 11 ,1)
OU £ = _1_
et
£ < < <5
(£)«
1. Le modele en triple couche, qui est une dege-
, IRe.. .... old ' t. t d e Na~er. St 0 k es, es t a 1 ors nerescence s~gn~~~cat~ve es equa ~ons exac es caracterise par le passage ( 11 ,2)
a la
£ + 0
limite locale suivant : ~
, u1 +
.... tV
0 , a x
• " f~xe,
une double distorsion sur l'ordonnee y devant etre effectuee de 11 s' avere que
(11,3 )
Re
adequate.
-3/ 8
1Il) Article dans: Proc. Roy. Soc., A 312, 181-206, 1969. 1Il1ll)
fa~on
I
Article, en langue russe,dans : Mekh. Zhidkosti i Gaza, nO 4, 53-57, 1969.
193
Parmi les nombreuses applications du modele en triple couche a l'aerodynamique,citons : I) contournement d'un coin convexe, II) interaction: choc-couche limite supersonique, III) probleme du bord de fuite d'une plaque plane, IV) probleme du bord de fuite d'un profil, V) ecoulement decolle au voisinage du bord de fuite, d'une aile mince, VI) probleme de la separation d'une nappe, VII) ecoulement au-dessus d'une petite bosse, VIII) interaction entre une couche limite d'Ekman et une circulation locale induite par un site thermiquement non homogene, IX) mecanisme de Sytchev pour la separation laminaire, X) interaction entre deux ecoulements d'echelle ristique
de longueur caracte-
differente
XI) schema en triple couche instationnaire; le probleme de l'adaptation au schema en triple couche stationnaire associe, XII) accident cause par une tache thermique locale. Au sujet de ces problemes, on pourra consulter la
Le~on
IX du livrell!)
de Zeytounian, de 1987, ou l'on trouvera aussi les references bibliographiques correspondantes.
11,2. LES MOVELES SPECIFIQUES (GLOBAUX) Partant de l'un des grands modeles
dont il a ete question au
§ 10,
il s'agit maintenant de considerer un probleme specifique et de mener a bien sa modelisation par une analyse asymptotique globale - c'est-a-dire une analyse du probleme dans son ensemble, tenant compte aussi bien des equations modeles de depart que des conditions aux limites et initiales. 1. L'un des grands modeles de depart que nous pouvons considerer est celui d'Euler, du § 4, et qui a fait l'objet aussi du § 9. La modelisation asymptotique de l'ecoulement a travers une roue d'une turbomachine axiale est un exemple type de ces modeles specifiques globaux ayant comme point de depart le modele d'Euler. 1II) Dont le titre est : "Les modeles asymptotiques de la mecanique des fluides II", dans la serie Lecture Notes in Physics, vol. 276, chez Springer-Verlag, Heidelberg, 1987.
194
L'idee est qu' il y a un grand nombre d' aubes par roue ce qui fait que l'inverse de ce nombre d'aubes, grand, est un petit parametre natureI du probleme; plus precisement on a
s = 27T « 1 N
ou
N»
'
1 est Ie nombre d' aubes dans la roue.
--~lr AMONT
ROUE
AVAL
---'-7)Z
Dans Ie cas Ie plus simple, lorsque l'on considere qu'une seule roue mobile, un ecoulement stationnaire avec une alimentation uniforme, Ie probleme
a resoudre
a I' infini
amont
est simple : il faut que la vitesse ~ satis-
fasse simultanement aux deux equations
(11,4 )
v.~ = 0
comme cela a ete indique
a la
Comme on suppose axiale sont des cylindres on r,
e,
(11,5)
z et de ce fait, on a
et
VA ~
fin de la section
= 0,
4,4 du § 4.
que Ie carter et Ie moyeu de la turbomachine doit travailler avec des coordonnees cylindriques
195
l'axe des z etant l'axe de la turbomachine axiale, comme cela est indique sur la figure,page 194 . Les equations (11,4) sont tres si~plesmais par contre la configuration (du fait de l'aubage de la roue garni d'aubes) est complexe et de ce fait le probleme tridimensionnel est un probleme numeriquement raide, (essentiellement du a la dependance az_imuthale en Lorsque
£ +
0, on efface la dependance en
e
e ).
et on peut remplacer,
en premiere approximation, le systeme (11,4), tridimensionnel, par un systeme "equivalent" d'equations bidimensionnel en r et z uniquement - la structure fine en
e-
ayant ete modelisee (homogeneisee), au niveau du systeme equiva-
lent, par l'introduction d'un champ de forces fictives simulant l'action des aubes de la roue. 2. Le second grand modele de depart est celui de Navier qui regit les ecoulements d'un fluide visqueux, incompressible (voir le § 5). L'analyse de l'ecoulement d'un fluide
~
visqueux incompressible
autour d'une plaque plane de longueur finie, sans epaisseur, placee parallelement a la direction d 'un ecoulement uniforme amont est un exemple des plus interessants de mise en place d'un modele specifique, ayant comme point de depart le modele de Navier. Si l'on suppose que l'ecoulement est stationnaire il n'y a, dans l'enonce global du probleme, qu'un seul parametre sans dimension Uoo Lo qui est le nombre de Reynolds, Re = ----calcule avec la longueur de la Vo
plaque L ' la vitesse constante a l'infini amont Uoo et la viscosite cinematique o du fluide V o = constante. L'objectif est de decrir~avec le maximum de finesse possible,la structure asymptotique de cet ecoulement stationnaire laminaire, lorsque Re
+
00
•
Nous ecartons, naturellement, le phenomene de turbulence,
ce qui veut dire que le modele specifique asymptotique correspondant, a Re» 1, est deja significatif pour des nombres de Reynolds qui excluent la transition, au moins sur la plaque plane et dans son proche sillage. A l'heure
actuelle·~ la
structure asymptotique en question est bien
elucidee qualitativement et quantitativement;elle fait intervenir neuf regions d'ecoulements, deux d'entre elles necessitant, pour resoudre les problemes mathematiques qui leur sont associes, l'emploi de codes numeriques elabores qui n'ont ete acquis qu'en 1970 et lIf)
197~respectivement.
On pourra consulter, a ce sujet, les pages 230-232 du livre de M. Van Dyke "Perturbation Methods in Fluid Mechanics"; The Parabolic Press, Stanford, California, 1975.
196
Sur la figure ci-dessous,nous avons represente schematiquement les neuf regions qui interYiennent pour elucider la structure de l'ecoulement laminaire,a Re »
1,au voisinage de la plaque plane de longueur finie.
1.
R·I/l
.'
1
,.... . ...··R·· ,.
:~
Les regions 3 et 7, sur cette figure, sont des regions de Navier ou il faut resoudre les equations completes numeriquement (voir Zeytounian (1987; Le~ons
VI et IX)). La region 2 est celle de la couche limite stationnaire
classique de Blasius et la region 1 est celle de l'ecoulement potentiel de fluide parfait exterieur
a la couche limite de Blasius. Les trois regions
4, 5 et 6 sont celles du modele en triple couche au bord de fuite et les regions 8 et 9 sont celles de Goldstein pour le sillage proch~ ou une solution homogene reste valable,qui se raccorde avec la solution du modele en triple couche du bord de fui te si tu~ a l' amont • Le fait qu'un certain nombre de regions interYiennent pour decrire l'ecoulement specifique approche est une caracteristique Sondamentale de la modelisation asymptotique, lorsque le petit parametre principal du probleme est un petit parametre de perturbation singuliere. On peut dire que: l'ensemble de toutes les representations significatives approchees, d'un probleme specifique global avec un petit (ou grand) parametre sans dimension principal, forme un modele specifique proprement dit, associe
a ce
probleme specifigue global, une fois que l'on a efSectue tous les
raccords correspondants entre les diverses representations valables dans di verses regions.
197
Ce qui vient d'etre dit est relatif, naturellement,
a la
MOAR; mais
certaines representations approchees significatives, dans certaines regions, peuvent avoir une structure en ecnelles multiples et les raccords sont alors quelque fois plus subtils. Ces raccords jouent d'ailleurs un role fondamental car ils permettent d'obtenir un probleme specifique global approche bien pose. 11 ne peut manquer d'arriver que la frontiere, entre grands modeles et modeles specifiques globaux, soit mal definie et on amene
a des
a cerner
peu~
de ce fait,etre
recouvrements inevitables. Mais,nous n'avons pas chercher, ici,
avec precision les contours de la classe des grands modeles et celui
des modeles specifiques proprement dits. Precisons, seulement, que le cas des ecoulements Mach, instationnaires, peut justement etre sujet
a des
a faibles
nombres de
recouvrements. On pourra
sur la modelisation asymptotique des ecoulements de fluides newtoniens consulter l'article de Guiraud et Zeytounian*)
"Asymptotic modelling of flows: General features", dans le nO special 1986 du Journal de Mecanique Theorique et Appliquee, pages 1 a 24, 1987. La-seconde partie de cet article : "Asymptotic -modelling of' flows- : a f'ew exa;mples" est publiee dans Atti Accademia Peloritana dei Pericolanti, Classe 1 di Scienze Fis. Mat. e Nat., vol. LXV (1987) - Adunanza del 27-11-1987 (Messina 1988), pp. 103 a 122.
198
LE CONCEPT DE LINEARISATION
12,1. LE FORMALISME OE LA LINEARISATION Soit L (U;a) = 0 ,
(12,1)
une equation reduite, c'est-a-dire ecrite avec des grandeurs sans dimensions, faisant intervenir un petit parametre a «
1.
On a note par U = U (t,~;a) la fonction inconnue,ou ~ et t engendrent .. ,.. ( t,x +) d~mens~ons; en aerodynam~que le couple
4 , , 1 espace-temps lli a quatre
appartient a un certain domaine une frontiere
n
delli
4 et la geometrie de n fait intervenir
r et nous notons par
( 12,25
c(U,r;e:) = 0 ,
les conditions aux limites associees a l'equation (12,1). Au niveaude (12,2),£ est un parametre sans dimension dit "de configuration" qui peut aussi etre petit devant un. Enfin, il faut aussi associer a (12,1) des conditions initiales; par exemple ( 12,3) La linearisation constitue une methode heuristique pour operer, sous certaines conditions, une simplification du probleme (12,1) - (12,3), lorsque a«
1. La validite de la solution lineaire ainsi obtenue etant a discuter et
a apprecier dans chaque cas concret considere. Nous revenons a la section 12,2 suivante
sur cette question cle dans le cadre de l'ecoulement d'un fluide
parfait, en evolution adiabatique, lorsque le petit parametre a de Mach, M, caracteristique, tandis que
£
«
est le nombre
1 est l'epaisseur relative,faible,
d'une aile. Par definition meme, le probleme lineaire associe s'obtient formellement de (12,1) - (12,3) une fois qu'est donneeune solution U de base de ce o
probleme. On a alors :
199
U = Uo + a U' + ...
(12,4)
et U est supposee etre une solution particuliere, simple, du probleme (12,1)o
(12,3) valable a l'interieur d'un domaine n de frontiere f o
L'equation (12,5 )
L'(U0' U') = 0
0
,
U' , constitue l'equation linearisee pour U'.
lineaire et homogene en
A
cette equation linearisee (12,5),il faut associer les conditions aux limites linearisees suivantes : (12,6)
f f'·e:) = 0 , 0' U' '0"
C'(U
qui decoulent de (12,2) et oli
f' = lim
f-f
a-+O
a
o ).
On notera que dans certains cas,on a (12,71 avec
E
E
a
E
a
= 0(1) et a > 0 un reel qui reste a determiner au mieux; dans ces cas
la, naturellement, a la place de
E, dans (12,6), apparattra E, qui est un
parametre de similitude, et l'equation linearisee (12,5) devra etre compatible avec un bon choix de l'exposant a . Enfin, a (12,5) et (12,6) nous devons imposer aussi (12,8) si nous admettons que U satisfait a (12,3). o
La solution du probleme dans
no
linea~ise
(12,5), (12,6), (12,8) est recherchee
de frontiere f ; cette solution doit-etre uniformement valable relati0
vement a t et ; dans tout....,n0
..,;.,;==:....;~:....;::..;:...;,;,....;;:=::....;;.;;;.::.;;
Malheureusement, on n'est pas toujours assure que Uo + a U' definit, uniformement dans n , l' approximation lineaire de la solution exacte U pour a infiniment petit.
o
Bien souvent, la solution du probleme linearise ne represente pas le premier terme en a du developpement asymptotique de U uniformement valable dans tout le domaine d'ecoulement
no
considere.
200
Pour que la linearisation reste valable.il faut que le terme a U' (la perturbation) soit le terme
d'ordre un d'un developpement asymptotique
regulier de U • valable uniformement dans tout le domaine espace-temps n ; c'est-a-dire que a
o
soit un parametre petit de perturbation reguliere ayant
dans no des effets petits partout. Si cela n'est pas le cas. alors il y a certainement une singularite dans no : soit au voisinage de t =
o.
soit au voisinage d'une partie de f ' o soit au voisinage de l'infini. lorsque le domaine d'espace considere est
l'exterieur d'un obstacle de dimensions finies autour duquel l'ecoulement est considere; ce sont les cas les plus usuels. mais il peut apparattre une singularite au voisinage de certaines surfaces E ' particulieres. contenues S dans n . o
S"il
Y a une region singuliere. alors pour obtenir une solution
uniformement valable dans no' il faut considerer pour cette region singuliere un developpement asymptotique local. lie a un passage a la limite locale. en introduisant au prealable des variables locales adaptees a cette region singuliere.
12,2. LE CAS VE L'ECOULEMENT EULERIEN STATIONNAIRE (Re _ V'UNE AILE VE FAIBLE EPAISSEUR
00
ET S _ 0) AUTOUR
1. Considerons donc le cas de l'ecoulement stationnaire (S
=0)
de
fluide parfait en evolution adiabatique autour d'une aile de faible epaisseur dont la forme en plan est confondue avec une plaque de dimension caracteristique L o
(12.9a)
Les equations adimensionnelles de depart sont u
d 'a~ ...£Q...+p",~=o. D
j 'ax. J
o •
( 12.9b)
(12.9c) ( 12.9d)
j.k
u.
E!- - .r.::l 1. u . .EL =
J dx. J
y P
p
J dx. J
pT.
0
1. 2. 3;
i = 1. 2. 3;
201
ou les ui sont les camposantes de la vitesse, p, P et T respectivement la pression, la masse vOlumique et la temperature ausolue. Le nombre de Mach est note (12,10)
a l'infini (amont) parallele a l'axe OX 1 > 0, Y = Cp/Cv (le fluide est assimile a un gaz parfait a chaleurs specifiques Cp et Cv constantes), R = Cp - Cv et Too = Const, la temperature absolue dans OU Uoo = Const. est la vitesse
l'ecoulement uniforme amont de vitesse Uoo ' Dans notre cas, ici, l'ecoulement de base (la solution U , au niveau de (12,4)) estlll) : 0 1 , u
-
U =>
( 12,11)
0
{::o. Po
T
0
u
20
30 -
0,
- 1
L'aile est definie geometriquement par l'equation (adimensionnelle) x
(12,12) (12,13)
E:
3
+ g- (x"
E:
h0 =- « 1 L
x 2 ),
(x"
x 2 ) € Ao '
,
0
OU h
o
est l'epaisseur (dimensionnelle) de l'aile supposee de faible epaisseur
devant la largeur (la corde) de l'aile, tandis que A est une aire finie du plan x
= 0,
o
de diametre caracteristique de l'ordre de l'unite - on dit que
3 c'est la forme en plan de l'aile.
Dans notre cas,le domaine n
de :ffi3(~) est tout l' espace exterieur
a
l'aile et fest constitue des surfaces extrados (g+) et intrados (g-) de l'aile et aussi d'une surface non materielle situee est lui, constitue par tout l'espace exterieur
a la
a l'infini.
Le domaine no
plaque finie Ao ' tandis + que f est A et A ' les deux races de Ao,et la surface non materielle a o o o l'infini OU l'ecoulement est uniforme (cinematiquement et thermodynamiquement). D'apres la theorie lineaire,les ronctions inconnues,qui caracterisent l'ecoulement perturbe par l'aile de raible epaisseur. doivent etre definies dans tout l'espace:ffi3(~) entaille par la coupure faite par la plaque plane 1II) Nous travaillons avec des grandeurs adimensionnelles en prenant comme grandeurs de references : Uoo ' Pm' Pm et Too, qui sont les valeurs constantes prises par la vitesse, p, P et T dans l'ecoulement uniforme de base a l'infini amont.
202
solide et
~ixe
parfait, il nous
A situee dans Ie plan x o
~aut
3 ecrire sur les deux
= O. De plus, en theorie de ~luide + de cette coupure, A- , la
~aces
condition de glissement linearisee. La condition
o
~
de glissement sur
I' aile, d' equation (]2, 12). etant (12,14)
0, sur x
3
=£
+
g- (xl' x 2 )·
2. La solution des equations (]2,9) est done recherchee sous la forme suivante u] = + u2 = o + u o+
(12,15 )
lineaire suivant,
a la
u' +
v' +
£
w' +
= 1+£7T
+
p
=
+
£ W
+
T
=
+
£
e
+
p
Pour u', v', w',
3
£
£
7T, wet e, nous obtenons aisement
lll
)
Ie systeme
place des equations (12,9),
yM2
~+~= 0 ; ax] ax]
y~
av' + a7T = 0 aX2 ax]
y~
-aw' - + -d7T- = 0 ax] aX 3
00
(]2, ]6)
7T=W+e _) Considerons, par exemple, l'equation (]2,9a) :
(]+£u'+",)(£~ + ... )+(£v'+",)(£~ +
... ) +(EW'+ ... )(£
] 2 dV' tlw' + (H£w+ ... )(£ Pu' +'''+£dx + ... +£lh-_ +... ) = 0 , puis
ax--]
2
R!lL + •.• ) X
a3
-~~j
+ au' + ~ + ow' )+£2 {u'~ + v' dW + w' ~ + Wfdu' + /)V' + ~]+ ... } oX 1 oX2 oX3 dx] Ox 2 dx dx] dx 2 oX3 3 + •• , = 0 , et apres avoir divise par £ et fait tendre £ + 0 il reste bien la premiere des equations linearisees (12,16). £
(dW
ax]
203
Le systeme (12,16) est le systeme lineaire associe au systeme exact (12,9), relativement
a l'ecoulement
de base (12,11).
A partir de (12,16),nous pouvons former une seule equation aux derivees partielles du second ordre pour TI • En effet, des trois equations contenant y
~ on obtient, par derivation
ou
_ a2 6. = --2 + aX l
a2 2 aX2
+
a2 2 . Puis, grace aX3
a la
premiere des equations (12,16),
on peut ecrire que
Mais les deux dernieres equations de (12,16) conduisent aTI
aX
-
l
aw
aX
.1!!:...
(1 _ .1.)
Y"Ox
-
1
a
0,
l
aw 1 aTI ~ = y aX
ou encore :
1
Ainsi, on constate que l'on a l'equation suivante en TI 2
(12,17)
(1 -
M~) a ~ aX 1
+
2
a~ Ox
+
2
2
a~ aX3
= 0 •
Lorsque ~ < 1,cette equation (12,17) est de type elliptique (ecoulement subsonique), tandis que lorsque ~ > 1, elle est de type hyperbolique (ecoulement supersonique). 11 nous faut maintenant lineariser aussi la condition de glissement
( 12, 14) le long de l' aile donnee par (12,12). D' apres (12,15), on a : +
+
e: {[l + e: u' (xl' x ' e: g-) + ••• J 2 +[e: v' (xl' x ' e: 2
+ •••
O.
/)
+
+ ••• J
ag- } aX2
2L aX 1
- e: w'(x , x ' e: 2 1
+ g-)
204
Ou encore, en effectuant un developpement taylorien de u', v' et w' a £ g±
relativement
+ ... J
± ~ aX + 1
En divisant par
[£ v'(x , x ' 0)
£
1
2
et en faisant tendre
£ +
0, on trouve la condition
linearisee suivante : (12,18) On notera que (12,18) est la consequence directe du bon choix de la sequence (en puissances de £ ) dans (12,15), etant donne que £ directement au niveau de (12,14). Cette condition (12,18), grace
a la
intervient
quatrieme des equations (12,16),
peut encore s'ecrire sous la forme suivante
- y
(12,19)
II00
e Ao Ainsi,
a l'equation
lineaire (12,17), il faut associer la condition
de glissement linearisee (12,19). Naturellement, il faut encore imposer des conditions de comportement de la solution lineaire de (12,17) au loin. En particulier, on ecrira que:
~" = ~ ax,
( 12,20) Les conditions complexes et sont liees
+
0 , 1 orsque xl +
a l'aval (lorsque a la valeur de
Xl
+
- 00.
+ 00) sont en general plus
Moo' plus petit ou plus grand que un.
205
3. Precisons, maintenant, que la linearisation effectuee ci-dessus tombe en defaut lorsque Moo ~ 1 (cas transsonique) et Moo »10as hypersonique) et il est alors necessaire d'efSectuer une analyse asymototique avec deux petits .... parametFes lorsque lIon
•
"
s'~nteresse
au cas des
•
•
lIE)
prof~ls m~nces
.
II s'avere que les developpements (12,15), selon les puissances de E, ne sont pas valables au voisinage du bord de l'aile (l'extrados et l'intrados se raccordent Ie long d'une courbe dA bord de l'aile).
o qui renferme l'aire Ao et qui est Ie
Cela est la consequence directe du fait que la partie dAa qui o
correspond au bord d'attaque de l'aile (c'est la partie tournee vers l'ecoulement de base venant de l'infini amont) est en general arrondie. Pour modeliser l' ecoulement au voisinage du bord d' attaque de I' aile, lorsque
E+
0, il
faut, tout d'abord, rechercher une nouvelle formulation adimensionnelle du probleme exact de depart, dite locale, qui soit bien adaptee a cette region du bord d'attaque arrondi. A cette fin,il faut ecrire l'equation du bord d'attaque arrondi de l'aile avec des variables locales curvilignes nouvelles variables locales "distordues" : avec
€=
(a,~,n),
O(~E)
puis introduire des
et n = OCE)
OU 0 (E)+ 0,
E+ 0 . Dans les variables
~,n
Ie bord dlattaque est alors forme de deux arcs
de parabole et Ie probleme local revient a la recherche dlun ecoulement de fluide parfait plan compressible (en evolution adiabatique) autour de cette parabole, ayant un "bon" comportement aI' infini, lorsque En
fait~~),
I
g2 +
~2 ~
00
•
ce probleme etant de la classe de ceux qui peuvent etre
resolus par la MDAB, les conditions aux limites, qulil faut imposer a l'infini pour resoudre Ie probleme local, sont donnees par les conditions de raccord avec la solution lineaire, reecrite dans les variables locales curvilignes (a,~,n)
lorsque
~
et n tendent vers zero (c'est-a-dire vers Ie bord d'attaque
arrondi). Chemin faisant,on constate que cette solution lineaire, dite exterieure, nlest pas valable dans un voisinage du bord d'attaque de l'ordre de O(E) E2 , ce qui precise la distorsion de ~ et n
=
lIE) La trace de l'aile de faible epaisseur, dans un plan 0, x j x
donne un 3 profil mince; l'aile etant supposfe alors d'envergure tres grande.
a ce sujet consulter la Note Technique ONERA nO 1976-16, d' Octobre 1976, de J. S. Darrozes.
lIElIE) On pourra
206
Tout ce qui vient d'etre dit concerne le cas subsonique, lorsque < 1; toute solution deduite du formalisme classique de la theorie linearisee (solution dite t1exterieure tl ) se raccordant alors avec la solution locale (dite
~
aussi t1interieuretl) valable dans un voisinage 0(£2) du bord d'attaque arrondi et la recherche d'une approximation uniformement valable releve bien de la MDAR.
4. En fait, le probleme etudie ici contient deux petits parametres lorsque l'on considere les ecoulements faiblement compressibles autour de l'aile de faible epaisseur : £ , l'epaisseur relative de l'aile et Moo' la valeur du nombre de Mach
a l' infini
amont.
On peut alors effectuer, dans la theorie lineaire obtenue des developpements lorsque
~ =~ +
1 et cette
au niveau du probleme de depart exact, au passage (12,21)
Moo
fa~on
a la
fixe; £+0 , puis Moo +
plus haut,
de proceder correspond,
limite:
0 •
Dans le cas stationnaire considere, ici, le parametre
£
est un petit
parametre de perturbation singuliere vis-a.-vis des variables d'espace lorsque l'on tend vers un point du bord d'attaque arrondi de l'aile, mais c'est un parametre de perturbation reguliere pour la valeur zero de Moo
(cas incompressib10
considereecomme une variable particuliere. En d'autres termes, que l'on soit dans la region locale, du bord d'attaque arrondi de l'aile, ou la region exterieure a. ce bord d'attaque, la limite de la solution correspondante lorsque Moo € [0, M:] , avec M:
fixees des variables d'espace, £ +
0 et Moo + 0
(12,22)
£ +
0 est uniforme vis-a.-vis de
< 1. Par consequent, il est possible pour des valeurs
d'intervertir l'ordre des passages a. la limite
et d'adopter le nouveau processus limite : £
fixe; Moo
+
0, puis
£ +
0 •
Vu sous cet aspect, le probleme revient en premiere approximation, pour Moo = 0, a. l'etude des ecoulements incompressibles autour d'ailes de faible epaisseur. 11 existe neanmoins une expression approchee de la solution,lorsque £
et Moo tendent simultanement vers zero de telle
fa~on
que
207 (12,23) avec Moo fixe pond
a faire
de l'ordre de un. La description intermediaire (12,23) correstendre simultanement vers zero les deux petits parametres
Moo de sorte que la correction due de
a l'effet
~
en ecoulement
et
d'epaisseur (qui est de l'ordre
£) soit du meme ordre que la correction due
(qui est d'ordre
£
a la
faible compressibilite
stationnair~·) •
La relation de similitude (12,23) permet de retenir le maximum de termes dans le modele approche issu dumodele exact sous le passage
a la
limite (12,23) (principe dit "de moindre degenerescence U). 5. Une premiere conclusion importante se degage qui vient d'etre dit
a cette
a la
lumiere de ce
section 12,2 :
" toute solution deduite du formalisme classique de la linearisation doit etre consideree, en toute generalite, comme une solution principale valable uniquement dans un certain domaine de l'espace-temps; il faut de ce fait,la raccorder avec une solution locale valable dans la region singuliere ou cette solution linearisee principale tombe en defaut - en d'autres termes, il faut savoir inserer la solution principale linearisee dans une hierarchie de solutions qui releve de la MDAR " . En verite il peut arriver, pour certains problemes, que le comportement de la solution locale (valable dans la region singuliere)
~
la solution prin-
cipale, correspondant au probleme linearise, n'existe pas et dans ce cas il n'y a pas de possibilite de raccord entre ces deux solutions - il faut alors faire appel
a la MEM.
12,3. LINEARISATI0N
ET
MOVELISATI0N ASYMPTOTIQUE
Au vu de ce qui a ete dit et fait apparaitre
a la
section 12,4 il pourrait
qu'une fois que l'on a un petit parametre, a , dans le probleme
d'ecoulement considere, on recherche necessairement une solution linearisee du probleme, voisine d'une solution U simple connue. En fait, il n'en est o rien et le plus souvent, a l'heure actuelle, les efforts sont plut6t portes .) La theorie des ecoulements stationnaires faiblement compressibles, correspondant a S == 0 et Re == 00, est due initialement a Rayleigh et Janzen et on pourra a ce sujet consulter le travail de I~i (dans: Tech. Note BN-95, march 1957, University of Maryland. The Inst. for Fluid Dynamics and Applied Maths.-)-.-
208
vers la recherche du ''modele'' qui permet d'obtenir U , au niveau du developpement (12,4), lorsque
o
O. C'est-a-dire que l'on recherche la forme limite
~ +
du probleme exact (12,1)-(12,3) a partir d'un passage a la limite principale: {~
(12,24)
+
0,
at
et ~ fixes} .
Bien souvent, il arrive que la solution approchee
Ii (t,i) = LimP U(t,i;~),
(12,25)
~+O
o
correspondant
a cette
forme limite, n'est pas une approximation uniformement
valable de U dans Ie domaine
~'t,
de JR4 (t ,i), d I ecoulement. C I est souvent Ie
cas en aerodynamique et on dit alors que l'on a affaire
a un
probleme de
perturbations singulieres. Ainsi, plutot que de parler de linearisation, on parlera de modelisation asymptotique; cela veut dire que l'on n'aura pas en vue necessairement la recherche explicite (analytique) de U ' comme cela etait necessaire pour o effectuer la linearisation. De telle sorte que l'effort sera porte, principalement, sur la mise en evidence consistante de modeles rationnels, obtenus
a
partir de passages a la limite du probleme exact de depart. Les regions singulieres sont, en general, des voisinages de l'instant
initial, de parois solides delimitant l'ecoulement ou encore de l'infini.
° est singulier (du fait,
Par exemple, si Ie voisinage de t =
en
particulier, de la perte de derivees partielles en t dans Ie modele approche, principal, dont la solution est Ii
o
= LimP U) alors il faut considerer, ~
a la
place de (12,24), un passage a la limite locale (12,26)
it
Lim
={a + 0,
at
~
=
~+O
avec p >
, i fixes} ,
~
° un scalaire reel a determiner, de telle
local, valable pres de t
=0
fa~on
que Ie modele approche
et issu du modele exact sous Ie passage
limite locale (12,26), soit Ie plus significatif possible. Soit maintenant ( 12,27)
i = Lim t U ~+O
t
t = ~P
a la
209
la solution du modele approche local (a ce modele local nous pouvons associer, en t
0, toutes les conditions initiales imposees au modele exact de depart
a la
en t o ) , issu du modele exact par le passage A
limite local (12,26).
Il peut arriver deux cas : A-+-
(I) Lim U (t ,x) existe et alors, "bien souvent", on peut appliquer la condition
t->oo
0
---
de raccord, simplifiee, suivante (12,28)
Lim t+O A
(II) Lim U
t--
-+-
Ct ,x)
A
-+-
uo (oo,x)
n I existe pas, dans un sens "large", c I est-a.-dire que cette
0
limite peut, en particulier, ne tendre vers aucune valeur bien definie (comportement oscillatoire, par exemple) et alors il n'Y a pas de possibilite de raccord avec la limite de
Uo (t,~),lorsque
t
-+-
0.
Ainsi, on constate que lIon est en presence de deux grands types de problemes de perturbations singulieres : a) celui dit de type "couche limite" qui correspond au cas (I), ci-dessus, et qui conduit tres souvent a. ecrire la condition de raccord (12,28); b) celui dit de type "cumulatif" ou "seculaire" qui correspond au cas (II), ci-dessus. La methode la plus indiquee pour traiter les problemes de type cumulatif ou seculaire est la MEM, tandis que la MOAR est adequate pour resoudre les problemes singuliers de type couche limite, car elle prend directement en compte le fait que les solutions approchees, principale U et 0
A
locale U ' representant la solution exacte, U ,dans des sous-domaines de ~'t de o E4(t,~), ou est considere l'ecoulement, ne font intervenir que l'une des variables: soit lente (dans notre cas t), soit rapide (c'est-a.-dire t), qui apparaissent de
fa~on
essentielle dans la formulation meme du probleme exact
de depart. Insistons sur le fait que ces methodes de perturbations singuliere s ne suffisent pas pour obtenir un resultat d'approximation rigoureusement etabli (au sens des mathematiques pures). Ce sont ~iquement des methodes fondamentalement heuristiques de construction d'approximations asymptotiques uniformement valables. L'etude de ces methodes consiste
a preciser
les regles
de coherence interne sur lesquelles on peut s'appuyer dans les applications
210
et,plus ces regles sont le
~ormul~es
r~sultat convenable*). A l'heure actuelle, grace
avec soin plus on a de
a l'exp~rience
chances d'obtenir
acquise depuis les premiers
travaux de Kaplun et LagerstrOm de 1'i/54, on peut avec une grande faire appel qui se
a ces
pr~sentent
1II) On pourra
m~thodes
s~curit~
pour attaquer des problemes nouveaux et difficiles
dans divers domaines de la
m~canique
des fluides.
a. ce sujet consulter le livre de Eckhaus : "Asymptotic Analysis
of singular perturbations". che z North-Holland ed. Amsterd.aJn, 1979.
LA MDAR 13,1. VEVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQ.UES Soit un systeme d'equations aux derivees partielles, note (13,1)
L (U;£)
=0
,
relativement aux grandeurs representees en abrege par U et ou intervient un petit parametre E « ,. Formons Ie developpement formel (13,2)
U = U + E U, + o
E
2
U + .,. 2
et dans ce cas on a (13,3)
On dit que la suite de systemes L (U ) o 0
=0
. '
L1 (U o 'U 1 ) = 0
(13,4)
L2 (U o 'U 1,U2 ) =
0
est la hierarchie de systemes obtenue par substitution formelle de (13,2) dans Ie systeme de depart (13,1). On parle alors de systemes de rang zero, rang un, rang deux, .•• On dit aussi que ( 13,2 ) de U
~
est Ie terme de rang k dans Ie developpement
" et que Ie developpement en
Ie developpement
a
I' ordre k •
- .tronque - - " au terme Ekes k U t
quest~on
212
Un developpement tel que (j3,2), dans lequel il est sous entendu que les termes successifs Uk ne dependent pas du petit parametre £ regulier. Ceci par opposition ou £
a d'autres
est dit
developpements de forme plus generale
intervient aussi dans les Uk et qui sont aits singuliers. Le developpement (13,2) de U est un developpement en puissances
entieres de £ ; cependant dans les applications il est souvent necessaire de manipuler des developpements reguliers plUS generaux (13,5)
U
avec la propriete
(13,6)
-+-
0 , avec
£ -+-
0 .
Dans ce cas,les V (£) sont appelees des fonctions de jauge. k Pour ne pas alourdir l'expose qui suit,nous supposons maintenant que la solution recherchee est notee U (x;£),ou x designe l'ensemble des variables et
£«
1; dans x il peut y avoir des parametres (consideres ici comme fixes)
mais aussi des variables independantes parcourant un domaine. Une methode tres souple consiste
a rechercher
une approximation de
la forme
N-1
L on (E)
n=O
U (x;£), n
ou les 0 (£) constituent une sequence asymptotique caracterisee par n
(13,8)
{
0
n
Lim £+0
(E) > 0, pour 0 < £ < £
°n+1 (£) ° n (£)
=0
0
,
ce que l'on ecrit encore ( 13,9)
w) Cela veut dire que 0n+1 est un petit zero de on' en ce sens que
Lim £+0
°n+1 (£)
on (El = o.
213
On dit que
u(N)(~;E),
un developpement aaymptotique
II .II ,
l' on
a:
donne par la
a
IIU(-x;d -
(13,10)
~ormule
(33,7), repreaente
N termes de tI si, selon une certaine norme
U(N) (x;d
II
< 0
N-1
(d
Une fois de plus le developpement asymptotique (13,7) est dit regulier si les Un ne dependent pas de E et un developpement non regulier est dit singulier. 11 est important de noter qu'un developpement asymptotique n'a
reellement de sens que comme developpement limite car le plus souvent,le developpement
a un
formelilli~te
nombre fini de termes,
ne sera pas convergent.
Cependant,certaines procedures permettent quelque fois de tirer profit d'un grand nombre de termes dans le developpement asymptotique et donnent la possibilite de retrouver des resultats tres precis·).
J 3,2. RACCORVS. QUELQUES EXEMPLES Soit, maintenant, de faqon quelque peu precise, U (X;E) definie pour
o<
x < X
o
et 0 < E < Eo, representee par deux developpements asymptotiques : n
L op (d
U
(13,11)
p=O
lip (x) + 0(On+3)·1Il)
= E U + O( 0n+3) ; n m
L
U
(13,12)
q=O I
etant entendu que cS p+ J«
10.
A
x
Yq(E) Uq()JE) ) + 0(Y m+1)
U + 0(Y1O.+3) ,
°, P
1Il) On pourra a ce sujet consulter l'article de M. Van Dyke dans les : Lectures Notes in physics, vol. 594, pages 506-517, Springer-Verlag, Heidelberg, 1977. lHl) 0 (0 1) veut dire grand zero de 0 ] et c' est -une grandeur qui est du meme n+ 1:• n+ ordre que u n+1 llll-meme. A
214
On dit que les deux developpements (13,11) et (13,12) sont raccordes
a.
l' ordre
].l
= Jl (e:) s 'il existe une liJnite intermediaire
Lim = { e: + 0 , avec ~ = ;( e:) fixe } ,
( 13 , 13 )
n
avec A«n (e:) «1 ,
et une jauge
].l
(e:) telle que E U - I U Lim { -=n_ _-=m:..-_}
(13,14)
n
1. A titre pour la fonction y
d'exempl~ considerons
=y
o.
le probleme aux limites suivant,
(x;e:), e: {
.9:22 + .2l. = dx
dx
y(O;e:)
= a,
( 13, 15)
y(1;e:)
= b,
avec a et b deux reels donnes. La solution de (13,15) est simple x
(13,16)
=x
y(x;e:)
+ a +
b - a -
-1/
1
(1 _ e
e:
:= Yex
e:
1-e
Comme
(1 - e
1 1 2 + ~ + (~) + ... , e e
e: )-1
de la solution exacte (13,16) on construit, lorsque e: «
1, une approximation
de la forme : (13,17)
et lIon a
y
(N)
ell: ;e:)
N-1 ';' f..
n=O
1 n -rilE)
e
( Yn x;e:)
215
YO ( X;E )
(13,18) {
Y (X;E) 1
=
b - :l - x + (a - 0 + 1) e
= (b
,
X
- a - 1) (1 _ e- / E ) ,
-----
~------
N/
et l' erreur commise est alors O( e~
_X/E
•
\I
£), qui est enormement petit, meme pour N
tres grand. Mais supposons que la solution exacte (13,16) du probleme (13,15)
ne soit pas connue et cherchons a priori un developpement de y (lorsque
0.
SOliS
la forme
« 1) :
(13,19) Par sUbstitution, dans l'equation du probleme (13,15), on trouve
aYo ax=
(13,20)
yo (x)
1 =>
= (X + x 0
et on ne peut pas choisir la constante (Xo de maniere a satisfaire aux deux conditions a la limite du probleme (13,15). C'est la le signe qu'il faut essayer de representer la solution du probleme (13,15), lorsque 0
~
x,
1,
par, au moins,deux developpements asymptotiques raccordes. Posons donc : X -
Y(X;E~
(13,21) {
ou x
o
x = A (E) X,
= Y(xo
+
A(E) X;E) - y(x;E) ,
A(E) « 1,
est un point de [0,1] pour l'instant inconnu et la transformation (13,21)
est introduite afin d'etudier le voisinage d'ordre A (E) de ce point,ou
x
reste de l'ordre de un. Avec (13,21) (13,22)
y verifie
l'equation
2 il4?' ~ + :::>L = A (E) 2 5.(E) dX dX A
0.
et le principe
A (E) ==
0.,
qui permet de garder au niveau de l'equation (13,22) le plus de termes possibles.
216
Avec (13,23) essayons le developpement asymptotique local, valable dans un voisinage
E de xo'
on trouve d2
rl~ ~o
A
~ a.x2
(13,25)
-- + --
Il Y a trois cas la solution
yo (x)
di
=0
a considerer
y
=>
0
(x)
= y0
+ (3
~
0
e.
pour raccorder la solution
:
yo (x)
avec
1, il faut alors appliquer la regle de raccord·)
y (-00) = o
y0 (1-0)
ce qui ne peut manifestement pas avoir lieu (d'apres (13,25)). (II) 0 < x
o
< 1, il faut que
y (+ 00) o -
= y(x
0
+_ 0)
ce qui est aussi impossible au vu de la solution locale (13,25); (III) x
= 0, c'est le bon cas et dans ce cas en toute generalite, d'apres o (13,14), il faut ecrire que (a l'ordre zero, avec P (E) 1 et A (E) E)
lorsque
=
E «
n « 1, x
raccord simplifiee
= n xn o =
(13,26)
et x
yeO) -
n
fixe; on retrouve alors la condition de
y(oo) => ex
o
= y
.) Une regle de raccord simplifiee est (lorsque Lim i-+-oo
y(x) = Lim
x:+ 1-0
y(x).
=
0
~o
1)
217
La representation de y par Yo (a l'ordre zero) est done valable partout dans (0,1]
sauf au voisinage de x = 0, tandis que celle par
if 0
est,
elle,valable uniquement au voisinage de x = 0 . Nous pouvons done appliquer trouvons
a yo
la condition en x = 0 et nous
( 13,27)
tandis que l'application
a Yo
de la condition en x = 1 donne
( 13,28)
a la
Les deux conditions
limite (13,27) et (13,28) jointes
a la
condition de rae cord (13,26) determinent CLo,e o et Yo et on trouve que:
(13,29 )
=Y (x) = a
Io Y
0
+ (b - a - 1) (1 - e
-x ),
x=~
avec
e:
Si maintenant on fait la somme des developpements exterieur et interieur, de laquelle on a soustrait la partie commune ments., on trouve un developpement compos i te ( 13,30)
b -
qui s'identifie avec le
a l' ordre
a ces
deux developpe-
zero
1 + x + (a - b + 1)
(x;e:) de (13,18), ce qui montre que le developpement -1/e: composite (13,30) est valable avec une erreur qui est O(e ). Sur les y
o
figures ci-dessous,on trouvera les graphes des diverses representations de la solution du probleme (13,15).
b 'F------7I'
b r----y
b-i
b-~
a.. o
1
o
f-----1
1
x
o
218
x
o
2. Considerons maintenant Ie probleme. aux valeurs initiales suivant trouver la fonction f(X;8) solution de 8
2
.u2 + dx
df + f = O.
x > 0
dx
( 13.31)
1 = dfl dx x=O
f(0;8) = 0
lei. encore. on connait la solution qui est: f(x;8) = (1 - 48)
(13 .32) -( 1-48)
_ 1.
~
2 exp [
-1/2
[
exp
1
28( 1 - .11=1+£)
_.1.-( 1 28
+ .11=1+£) x
dont une approximation est (lorsque 8« 1) :
£o (X;8)
( 13.33)
= e-x _ e-X/ 8
et on peut verifier que
1£-£ I <.M
sup
O<x<.x
o
0
0
8 • .M o
Const.
]
=f ex •
219
Revenons
a la
solution e.xacte (j3.32) et, apres avoir 1'i-xe x,
effectuons un developpement en appliquant une technique de passage
a la
limite repetee; noUs obtenons : f(x;£) = f (x) + £ .f1 (x) + 0(£2), 0
(13,34) avec
{
(13,35)
f 0 (x) = e -x
.................
Faisons ensuite x
passage
a la
(13,36)
= £:X
x et
et tixons
appliquons une technique de
limite repetee; nous obtenons alors
f 0 (~)
t(x;E) =
avec
f 0 (x)
( 13,37)
-x
f 1 (x) = (2-x) e
- e
~l(x) = 2 (1
.............
+ £
f 1(x)
+ 0(£2),
-x
-
Un peu de reflexion montre que
e
-x
) - x (1 + e
-i
)
Ie developpement (13,34) est valable
uniquement pour xl ~ x ~ xo' avec xl > 0, tandis que Ie developpement (13,36) reste valable pour 0 , x , £
X. .
On constate aussi que f (x;£) de1'inie par (13,33) n'est autre que o
(13 ,38)
~ x ~ f (x·£) = f (x) + t (-) - t (00) 0' 0 o£ 0
=f c 0
et de plus
(13,39)
l' (00)
o
= f 0 (0)
;
f'c est une representation composite a 1 'ordre zero de t , uniformement valable o ex en x • Voyons comment se deduit la condition de raccord simplifiee (13,39), de la regIe de raccord plus generale (j3,14). On a :
220
LimP f"
-=
Lim f" = f ex) e:-+Q 0 xfue
Lim! f
-=
Lim f = e:-+Q
(13,40)
puis de meme
{
(13,41)
f-f 0 LimP ( -e:Lim! (
f-f 0_ __
e:
r
(~)
0
,
= f (x) 1
)=f (X) 1
et on constate que les deux developpements (13,34) et (13,36) sont engendres par des passages
a la
limite differents.
Introduisons maintenant la variable intermediaire ( 13,42) et definissons la limite inter.mediaire Lim
==
n
Lim e:+0. ,
Xn
fue
On peut verifier que Lim (f-f ) = Lim (f-f ) o
n
Lim
et de ce fait
n
o
n
(f-o - f 0 )
o ,
o .
Mais Lim (f - f ) = Lim
n
0
0
{ ; (~ x ) - f (n x-)} oe:
e:~
n.
0
![
xrfixe
-=
( 13,43) puis que
f
o
(00) -
f0 (0) '
n/e: » 1• Ainsi (13,39) s'identifie avec le resultat que l'on obtiendrait de
(13,14) lorsque A (e:)::: e: et Jl (e:).=
1.
221
3. Precisons que le developpement asymptotique (J3.J1) est dit exterieur. tandis que le deyeloppement asymptotique (]3.12) est dit interieur. Une regle de raccord. dite "de Van Dyke" s'enonce ainsi : " le deyeloppement interieur jusqu'a O(Oq) du deyeloppement exterieur jusqu'a _ _ _ _0(0 _ m ) est egal au developpement exterieur jusqu'a 0(0111 ) du deYeloppement interieur jusqu'a O(Oq)
fl.
les jauges etant les lIlemes dans les deux developpements (y .= 0 ) et les deux n
n
membres de l'egalite etant exprDmes avec les 1IIeme variables (soit x. soit i
= A(~)
). afin de pouvoir ecrire l'identite. Enfin. les nombres entiers
q et m ne sont pas necessairement egaux entre eux. Considerons. pour illustrer cette regle de raccord "a la Van Dyke" le probleme suivant : d2 + £ .9:..L (1 + £2) ~ + (1 - £2 ) y 2 dx
= 0,
O<x < 1 ,
(13,44)
y(O)
=a
• y( 1)
=~ ,
£ «
1
On trouve. tout d'abord, un developpement exterieur (£ ....
0, a
x fixe) de la forme Y
(13,45)
= B e ]-x
+ £ B (j-x) e
1-x
puis ensuite, apres ayoir introduit la variable locale interieur (£ .... 0, a
x
fixe) suivant
+ ••••
x = ~£
(a-b) o
(13.46) ou les constantes b
o (13,45) avec (13.46).
et b
1
x + b ie-x} + 0
doivent etre determinees a partir du raccord de
D'apres la regle de Van Dyke : (I) developpement exterieur
, le developpement
a.
deux termes
B e 1- x + £ B( ]-x) e J - x
... ,
222
reecrit en variable interieure..x ::; ~ Be
J-e:i
E
+E6(] -EX) e
J-e:i
developpement pour E-+-O
+ E B e( 1 - E x) (] - E X + •.• )
a deux
developpement interieur
termes
Be+EBe(1-x) , (II) developpement interieur
a deux
reecrit en variable exterieure x::; a - b
+ b
+ b: e-
o
o
.! e-X / E E
X
/
E
termes
E
X
+ E {- b, + b,
eX/ E -
(a - bo)
~
};
developpement pour E-+-O (a - bo) (, - x) - E b] + termes exponentiellement petits;
developpement exterieur
a deux
termes
(III) en egalisant le resultat de (I) avec le resultat de (II) et en exprimant les deux membres avec la .meme variable x, on trouve que
ou encore termes EO
-+-
Be-
Be x ::; (a-b o ) - (a-b 0 ) x •
En definitive Be •
223
Pour cet exemple,le developpement x
e
~iformement
valable,quelque soit
[0,1] , ou encore developpement composite,est e
l-x
( 13,48)
et c'est le resultat de la samme des developpements exterieur et interieur de laquelle on soustrait la partie commune
a ces
deux developpements.
4. Une autre regle de raccord "hybride" s 'avere efficace dans de nombreuses applications
a la mecanique
des fluides.
Raisonnons sur une fonction f(x;£), sOlution d'une equation differentielle ordinaire,avec un petit parametre £ «1
venant se placer devant
la derivee de plus haut degre. De ce fait, on peut supposer qu
au voisinage
de x = O,il existe une singularite de telle faqon que l'on est oblige d'introduire la variable locale
ax
Ainsi, lorsque £ .. 0
fixe, nous avons un developpement exterieur
(13,49) et lorsque £ .. 0
a x fixe,
un developpement interieur
f(x;£)
(13,50)
11 est clair que si la MDAR est applicable, alors les valeurs limites fo(~)' f1(~)' f2(~)' '" existent et sont bien dei'inies. D'autre part, on suppose que le developpement exterieur de f(x;£), (J4,49), reste valable au voisinage de x
=0
de telle fa~on que l'on puisse effectuer un developpement
taylorien
2
+L?,,(O)+ ... f(x;£l =fo (0) +x~'(O) 0 21 0 +
£
fJ(O) +
£ x
+ £ 2 -f ( 0) + .•• 2
f,(O) + •••
224
Dans ce cas, la regIe de raccord "hybride u s' exprime par I I egalite suivante, en tirant pro.fit de x =
f o (0) + (13,51)
+
2 £
£
A2
{~
£
{x
x,
f'(O) + f:l(O)} 0
f~(O) +
x fj(O)
+
f 2 (0)}
Ainsi, on constate que l'on a les conditions de raccords
f (13,52)
i
o
(0) =
f 0 (00)
f~(O) +
f 1(0)
En particulier, en appliquant (13,51) au probleme (13,44) avec (13,45) et (13,46), on trouve la relation:
ou encore Be
=a
- b
o
et
- b 1 = Be,
c'est-a-dire que l'on retrouve automatiquement (13,47).
LA MEM
14,1. LES FAILLES OE LA WAR ET LA MEM
Si l'on a bien compris l'expose du § 13, sur la MDAR, on doit etre conscient
~ue
cette methode n'est pas toujours applicable et
~ue
certains
problemes de perturbation singuliere peuvent ne pas etre resolus au moyen de la MDAR. Pour illustrer ce typi~ue
sur
le~uel
~ui
vient d'etre dit,nous donnons un exemple
nous verrons diverses failles de la MDAR et pour
le~uel
I' emploi de la MEM donne un tres bon resultat. Considerons done Ie probleme suivant 2 d f
df
dx2
dx
x = 0 : £(0)
:: £
-- + f + 2 a -
(14,1)
x ....
Lim
+00:
o
= 0,
00
f(x)
< a «
1
Const, O.
;x++oo
La solution exacte de (14,1) est f(x;a) = fe-ax cos (
(14,2)
00
et on constate
~ue
la variable x intervient
a deux
~-a2'x) niveaux
a) au niveau du terme d I amplitude, exp (-a x), comme 'V
x=a
b) au niveau du terme d'oscillation,
x, cos (
A-a2 ~),
2' 2 / 1-a x=(1-(J.2
(14,4) On verra
~ue
comme
4
+ ~ 8 + ... ) x. 'V
c'eat juatement cette double atructure,en x et
couplee ~ui fait que la MDAR ne peut s'appliquer du probleme (14,1), lorsque
(J. .... 0 .
a la
x,
resolution approchee
226
1. Puisque a«
J recherchons la solution de (J4,J) sous la ~or.me
du developpement principal (a
0
+
ax
suivant
~ixe)
ce qui conduit aux equations d
2
f
dx
d2 f
(14,6)
0
+ f
2 1
+ f
a.x 2
0
0
, df
- 2 ----2.
1
dx
2 d ~ 2+ df __ 1 ~2 = - 2dx 2 dx
.............. dont les solutions sont f (x) = A cos (x + ~ ) 0 0 0
f 1 (x) = - A
o
A0
f 2 (x) = 2 x
X
2
cos (x + ~ ) 0
A
x sin cos(x + ~o) + ~ 2
Ainsi, on trouve la solution approchee : 2
a 2 f = A cos (x + ~ ) { 1 - a x + --2 [x + x tg (x + ~ )] + ... } o 0 0
(14,8)
qui reste valable pour des x de I' ordre de un (pas trop grand). Comme la condition
Lim
il ~aut
~ postuler l'existence d'un developpement local au voisinage
de l'infini et
f = 0 n'est
Eani~estement
a cette ~in,il ~aut x'" = a x et
pas garantie au niveau de (14,8),
introduire la variable distale (14,3) : ~
'" ; " ' '~ '(x;a) ' (ix a) -=
Soit donc Ie developpement local (distal, au voisinage de
l'in~ini)
227
"''''
Comme f(x;a) satisfait
a l'equation
:
d ~ '" 2 df a 2 --;v;r-+f+2a -;;=0, 2
(14,10 )
dx
dx
on constate aisement que
(14,11) et naturellement,il n'est pas possible de raccorder la solution identiquement nulle
a l'infini
avec Lim~, ou ~ est donne par (14,8). x++<x>
De toute fa<;
x++<x>
0
0
n'a pas de sens,
et d' autre part Ie terme a f 1 (x), quelque soit a« 1, tend vers I' infini avec x + + "', de telle fa<;
If I \a f11
_ _0 _ ::
_1_« 1 I
alxl
Ainsi, la MDAR tombe en defaut du fait que Ie raccord n'est pas possible et de plus,il y a dans Ie developpement principal (14,8) des termes, dits seculaires,qui deviennent tres grands devant un lorsque x croft vers l'infini.
2. En se basant sur la solution exacte (14,2), qui met en evidence Ie role simultane de ~ et i, on arrive a l'idee qu'il faut representer la solution de notre probleme (14,1) en fonction, simultanement, des deux variables :
f:
(14,12) avec g(a.)
a.x et
n = g(a) x
228
ou les wn ' n = 2, 3, .•. , sont des Gonstantes a determiner "au .mieux" au cours de la resolution approchee du probl~e (j4,1). Ainsi, lorsque a«
1,
a la
solution f(x;a) de (j4,1), fonction
de la seule variable x, il faut faire correspondre la solution en double echelle f·(~,n;a) des deux variables (14,12), avec (14,13), ou ~
est une
variable lente (elle caracterise l'evolution de l'amplitude de la solution) et n une variable courte (rapide, distordue, qui caracterise l'oscillation de la solution). Naturellement, on a : f*(a x, g(a) X; a) ~ f(x;a)
I1 faut 1IlS.intenant reformuler Ie
probl~e
(14,1) pour f
•(1;, n ;a) ;
comme df
(14,14 )
dx
•
= ~• ~ + E.L• a~
ax
an
~f*+ g(a) af• an = a ~ ax a<,
on trouve que f (1;,n,a) doit satisfaire
an
a l'equation
suivante (en tirant
profit de (14,13))
(14,15)
+
On suppose alors que la solution f * (~,n;a), satisfaisant aux derivees partielles (14,15), admet, lorsque a « asymptotique uniformement valable
(14,16)
a l'equation
1, un developpement
en puissances de a , + ...
• ) On notera que
2
avec g (a)
229 ;J Dire que Ie developpement (14,16), de f , est uniformement valable relativement
a
~
et
a
n signifie :
chaque approximation ne doit pas avoir de singularites plus fortes que l'approximation precedente, ou encore, ne pas tendre moins vite vers zero que la precedente, lorsque a
+
0, pour toutes valeurs arbitraires
(grandes ou petites) des variables independantes
~
et
n ; de plus
toutes Ies derivees liees aux diverses approximations doivent avoir Ies memes proprietes. En particulier, cela veut dire que les rapports
,
(14,17)
restent uniformement bornes, lorsque a
... +
0, pour toutes valeurs de ~
et
de n .. ) developpe, De plus, pour determiner completement un terme f ; J ~,n (du k ment (14,16), i l ne suffit pas de resoudre, I' equation ou i l apparait pour la premiere fois. Les indeterminees qui demeurent necessairement sont
a choisir
en imposant que l'equation dans laquelle apparait Ie terme suivant f:+1(~,n) du developpement (14,16) pourra conduire
a une
solution qui ne detruise pas
la validite de l'approximation cherchee, mais, au contraire, assure au mieux cette validite - c'est Ie processus d'elimination des termes seculaires. 3. De (14,15), avec (14,16), on obtient la hierarchie d'equations suivantes : a 2 f;J __0_+ f;J 2 0 an
(14,18 )
°
a l_ _ 1 + lIE f 1 =- 2 2 an a 2f;J __ 2 + lIE f =- 2 2 2 an 2 . 2 a f d l'1 0 - d~2- 2 a~dn 2
E
llf;J 7lf0 --...2. 2 a~an dn df'"
0
~-
2
d l' af 1 0 2 - - 2w- _ _ an 2 an2 1II
.........................................
230 La solution de la premi ere CEsequations (14,18) est
et la condition
a la
limite en x = 0·) conduit A (0):::
( 14,20)
f
o
et
00
~
0
a
(0) ::: 0
Pour f~(;,11),il faut done resoudre l'equation suivante
'll~
011 21 +
f~
dA
2
(d~O
~o(O]
+ Ao ) sin [11 + d~
+ 2 Ao (;) d;o cos [11 + ~o(~)]
dont la solution est :
•
f1(~,11) = A1(~) cos [11 + ~1(~)] dA
o
( 14,21)
- (~+Ao) 11 cos [11 + ~o(~)] d~
+ Ao(~) d~o
Lorsque
11
+
+
~
11 sin [11 + ~o(t)] •
il y a deux termes seculaires qui apparaissent
au niveau de la solution (14,21) pour f~(~,11), la premiere des conditions ( 14,17) n' etant pas verifiee . dans f~ ,donne par (14,21),
Pour eliminer les deux termes seculaires il faut imposer que : dA
d.,~o
+ A = 0,
A (0) = f
o
0
.
00'
(14,22) ~(o)=o,
o
ce qui conduit
a Ao(t) = f 00 e-~ , po(t) ::: 0
et on constate bien que A0 (~) = 0
.) x = 0 veut dire t = o et 11 = 0
,
231
Ainsi, l'elimination des termes seculaires dans la solution d'ordre
.
un, permet de preciser la solution d' ordre zero ( 14,23) et ~ +
a ce + ~
f o (~,n) = f 00 e
-~
cos n ,
=
stade n x . La solution d'ordre zero (14,23) tend bien vers zero lorsque et elle est l'approximation fidele,
exacte (14,2) puisque : cos (
~ x) ~
a l'ordre
zero, de la solution
cos x + ...
.
Avec, (14,22) la solution f~(~,n) est donc de la forme A1(~) cos [ n + ~1(~)]
et pour determiner A1(~) et ~1(~) il nous faut consi
derer l'equation pour f;(~,n) :
a2 f lll an 22
(W 2
+ f: = 2 foo
+
d4>l
dt
+ 2 A1 (~) dA
+ 2 (d~
1
t) e-~ cos n cos [n + ~1 (~)]
+ A1 ) sin [n +
~1(~)]
dont la solution est
+ f
(14,24)
oo
t ) e-~ n sin n
(W 2 + d~l
+ A1(~) ~ n dA
sin [n + 4>1(~)]
1
- (~+ A1 ) n cos [n + ~j(~)]
On voit ainsi apparaitre dans la solution (14,24) pour trois termes seculaires qu'il faut eliminer; cela conduit W
2
(14,25)
d4>l d~
+1.=0 2
=0
+
W
, avec ~1(0)
2
=_1..
=0
2 '
+ ~1(~)
dA 1 ~ + A1 = 0, avec A (0) = 0
1
a:
+
- 0 Aj(s)
= 0,
JI
f2(~,n)
,
232 les conditions
~1(0)
= 0 et A (0) decoulant de la condition a la limite en 1
x = 0 du probleme (14,1).
•1
Ainsi, la solution d'ordre unestf (/;,n) - 0 et on precise la forme de la variable rapide : (14,26)
n=(1-
En
definitiv~nous
f(x;a) = f
a
2
2
)x.
pouvons ecrire la solution approchee suivante
00
e
2 2 -ax cos [(1 - ~ ) xJ + O(a )
qui est une approximation fidele de la solution exacte (14,2) jusqu'a l'ordre 2
a . On remarquera que l'introduction d'une seconde variable independante ne conduit pas a la resolution d'equations aux derivees partielles par rapport aux deux variables a la fois, mais a la resolution, successive, d'equations differentielles ordinaires par rapport a n puis a/;.
14,2. MEM ET METHOVE VES "MOYENNES"
Considerons Ie probleme,avec donnee (14,28)
{
initiale,suivant
dX(t) _ . dt - a F(X,t,at,a) O
X(O) = X
•
D' apres la forme du second :m.embre il nous .faut :m.anifestement introduire un temps lent : T = a t et considerer t et T comme deux variables independantes. Dans ce cas,nous sommes conduitsa rechercher une solution X·(t,T;a) de l'equation aux derivees partielles
ax· ( 14,29)
{
aT
+
• = ~T>1(.
ax at
u..1'
(
X, t, T ;a , •
)
X·(O, 0; a) = XO ~ Admettant qu'on peut representer F"'( X , t, T; a), pour a
'"
voisin
de zero, par Ie developpe:m.ent asymptotique :
= F. (X. , t, T ) + a F 3 ( X, • t, T ) + ... , 1 o on cherche une solution de (14,29) sous la forme d'un developpement uni.for(14,30)
F1(.
me:m.ent valable, en t et T ,
233
( 14,31) Par sUbstitution dans (14,28), on trouve,
ax*o at" =
(14,32) puis,
a l'ordre
°
=>
x·o -
( , )
a l'ordre
aO
,
1
a ,
d' oil
(14,33) Admettant que les developpements asymptotiques qui precedent sont valables pour,
e
[O,T]
et t
e
[O,T/a], l'on voit d'apres la solution
(14,33) que le tenne a x~ du developpement (14,31) ne peut tendre vers zero unifonnement par rapport
a
("t)
que si
(14,34)
e
[O,~]
[O,T] x
t
M. d,
= Lim
t--
[t f
F: (<1>(,), t 1 ,,)dt 1
o
, lorsque a
+
O-~
J.
Ainsi, on constate qu'il convient d'identifier Ie premier tenne du developpement uniformement valable (14,31), X· := <1>(,), o
<1>(,) du systeme, issu d'une moyenne,
d~~')
a une
solution
= G(<j>(,), ,);
<1>(0) = xO,
oil
(14,36) Dans Ie cas oil la fonction F- est periodique en t, ou presque o
periodique en t, la limite introduite existe • • ) Condition necessaire pour legitimer Ie developpement (14,31). Naturellement ~l reste a dete~ner :a fonction Y1(') de fa~?n adequate et a c;tte fin 11 faut pousser Jusqu'a l'ordre a 2 , pour pouv01r lever cette indetermation apparaissant aI' ordre a I
234
On voit que l'elimination du terme seculaire, au niveau de la · (14 , 33) pour 1 e t erme Xliil ' cond · ·~c~ · . .a. ·~ntro dui re une moyenne 1II) . so1 ut ~on mt
14,3. MEM ET TECHNIQUE V'HOMOGENEISATION Raisonnons, une fois de plus, sur un exemple simple; considerons pour la fonction U (t,x), des deux variables independantes t et x, une equation d'evolution de la forme
au at
(14,37) avec
E:«
+ U
On demande
a quelle
(x, e(tE,x) ; E ),
,J,
'Y
= e (t,x) E
1 e t ou... 1 a f t '~on y onc
" .
caracter~se
une
.
t ure.
m~crostruc
contrainte doit satisfaire la fonction e (t,x),
afin d'etre en meSure, lorsque solution
au .. ax
E: +
0, de decrire la double structure de la
U de (14,37) ? II nous faut donc supposer que
(14,38)
{
U(t,x) .. U-(t,x,y;e:), y= e(t,x) E
Ensuite,on admettra que 1II
(14,39)
U (t,x,y;e:) .. < U-(t,x;E» + (tlII(t,x,y;e:),
oil est la partie moyenne de la solution
U-,
fluctuante (la fluctuation). La moyenne de U-,
tandis que
lr
est sa partie
, s 'el'fectue de fa~on
adequate en fonction du probleme et de la classe des solutions considerees; dans un cas simple, si on considere la classe des solutions, y-periodique alors la moyenne revient
a imposer
U-
une condition de periodicite,
avec une periode de base Y de I' espace de la variable fine (microscopique) y. Naturellement, on a toujours : (14,40) ·)Cette constation est a la base d'une comparaison instructive entre l'application de la MEM et l'application des moyennes de Bogoliubov (voir, a ce sujet, Ie livre de Mitropolski : "Problemes de la theorie asymptotique des oscillations non stationnaires" chez Gauthier-Villars, Paris 1966).
235
On dira que
caracterise la macrostructure, tandis que
caracterise la microstructure (intimement liee L'operation de moyenne
<.>
~
la fonction
e
'"cl'
(t,x)).
efface la dependance en y (liee
a
la microstructure):
D'apr~s
(14,38),on doit ecrire que
( 14,41) ce qui conduit pour U·(t,x,y;£) ~ l'equation suivante, ~ la place de (14,37),
(14,42) +
ou encore,
( 14,43)
£
d'apr~s
+
£ {(
• • {m!... at + tf ~ ax -
o
,I, ( x,¥;£ ) } 'i'
la decomposition (14,39),
a
..lII> ax) a
at +
at!
'" a~'JII
aU-
•
-+t.! +at ax
~ a
" - <1jJ> } = W + ~x + U -----Q ax ' une fois que l'on fait
l'hypoth~se
'\>
que la fonction 1jJ (x,y;£), au second
membre de l'equation (14,37), se decompose sous la forme (14,44)
1jJ (x,y;£) = <1jJ> (x;£) +
1£ ~ (x,y;£)
cette decomposition est necessaire si l'on veut obtenir une equation coherente
(~ l'ordre zero) pour decrire la micro-structure en y de U·(t,x,y;£). I I faut maintenant developper et et aussi <1jJ> et ~ en puissance de £; dans ce cas,a l'ordre £0, on obtient l'equation suivante
U-
(14,45)
(~ at
+ 0
~ dx
a~
) -2. +
ay
~ ax
"'. aUUo ':>.~ = $o(x,y), u;y
236 et a l'ordre
8
1
l'equation
(14,46)
Au vu de (14,45),un cas relativement simple, qui permet de decoupler l'influence du champ moyen , sur la fluctuation ~ , est lie o o a la contrainte suivante, sur la fonction B(t,x) ( 14,47) ce qui veut dire que B (t,x) est une variable lagrangienne relativement au champ moyen (t,x). Sous cette hypothese (14,47) le champ fluctuant, o microscopique, ~(t,x,y) doit satisfaire, d'apres (14,45),a l'equation locale suivante : ( 14,48) ce qui justifie la decomposition (14,44), En tirant profit de (14,47), revenons a l'equation (14,46); nous pouvons alors reecrire cette derniere sous la forme suivante : "'lI!
~
"'-
U + U o 0
E
U ]} 1
B.
237
Ainsi, nous obtenons l'equation
dA
dY
=B
qui conduit a la condition de compatibilite suivante
=0
,
c'est-a-dire, grace a (14,40), a l'equation moyenne
( 14,50) L'equation (14,50) s'interprete comme une condition d'integrabilite, pour l'equation (14,49), qui est equivalente a l'elimination des termes seculaires dans la MEM. Cette equation (14,50) est l'equation macroscopique . '" ",. '" - un terme mem01re: "'. d dite homogene1see, dans laquelle appara1t 21 < dX
('\II!U )2 >, 0
trace de la microstructure qui, elle, satisfait a l'equation locale (14,48). Ainsi, on constate que la technique dite d'homogeneisation est un processus asymptotique, en double echelle, de derivation de proprietes macroscopiques en fonction d'informations microscopiques. Elle
perm~t
de
substituer a un milieu fortement heterogene un milieu homogene que l'on souhaite "equivalent" au precedent et cela avec une certaineapproximation. Onnotera que cette technique de l'homogeneisation permet, en particulier, de modeliser avec un certain succes des ecoulements turbulents a deux echelles
(~ir
a ce
sujet le N° special 1986 du JMTA,pp. 95 a
j07)~) .
• ) Le titre de ce N°-special de 1986, du Journal de Mecanique Theorique et Appliquee, edite par J.P. GuiraUcr et R.Kh. Zeytounian est : ''Modelisation asymptotique d' ecoulements de fluides". Precisons, encore, que l' on trouvera dans la Note aux C.R.Acad.Sc. Paris (t. 302, serie II, nO 7, 1986) de J.P. Guiraud et R. Zeytounian, l'amorce d'une-methodologie (basee le concept de moyenne, lie a la MEM) pour la modelisation asymptotique des structures non simulables dans les ecoulements turbulents.
su:r--
CHAPITRE V
SUR LA STABILITE DES ECOULEMENTS LAMINAIRES
Nous savons que le probleme d'ecoulement considere sera bien pose si, en particulier, sa solution depend continUment des donnees. Cela veut dire que
de tres petites erreurs dans les donnees du probleme doivent
conduire a de tres faibles changements dans l' evolution de sa solution. Si cela est bien le cas,nous dirons que la solution consideree est stable (vis-a-vis des donnees), s'agissant ici de solutions d'ecoulements dits laminaires. Pour ces ecoulements laminaires il est possible de mettre en evidence l'existence physique des filets fluides au sein de l'ecoulement et on pourra, a ce sujet, consulter les tres belles visualisations d "Henri Werle effectuees au Laboratoire de Visualisation Hydrodynamique de la Direction Aerodynamique de l'O.N.E.R.A. a Chatillon¥). Malheureusement, dans la realite, les ecoulements sont presque toujours turbulents et dans ce cas, les filets fluides "diffusent" tres rapidement dans tout le domaine d'ecoulement et ont un comportement chaotique, ce qui montre que l'ecoulement ne reste laminaire que si certaines conditions de stabilite sont satisfaites. Par exemple, lorsque l'on considere les equations de Navier pour un fluide visqueux incompressible (ecrites avec des grandeurs sans dimensions), au-dela d'un certain nombre de Reynolds Re-, dit critique, on obtient des ¥) Voir dans "Annual Review of Fluid Mechanics", vol. 5 de 1973, pp. 361 a 382, son article : Hydrodynamics FLow Visualization. ----
239
solutions "turbulentes" qui correspondent it des regimes d I ecoulements pour lesquels la vitesse en un point de l'ecoulement en fonction du temps cesse d'etre decrite par une fonction continUment derivable et
identi~iable
expe-
rimentalement. Cependant, les equations de Navier restent valables pour decrire ce regime turbulent, a condition de tenir compte des fluctuations turbUlentes instationnaires qui apparaissent lorsque Re > Re~. Ainsi, on doit distinguer un regime laminaire suivi d'un regime de transition, puis un regime turbUlent proprement dit. D'ailleurs, on sait que si le nambre de Reynolds augmente, le nombre des mecanismes de perturbations non amorties (qui sont autant d'effets d'instabilites) s'accroit tant et si bien qu'a partir d'un certain seuil,le regime devient "completement" If) turbUlent. Notons que l'on a Re = 105 ( ce qUl. est une valeur proche de Re 1Il pour beaucoup d'ecoUlements) pour l'ecoulement de l'eau dans un tuyau de 10 cm de diametre
a une
vitesse moyenne de 1 m/s.
On arrive donc
a l'idee
fondamentale que:
une fois obtenueune solution des equations de Navier-Stokes, avec des conditions initiales, aux limites et a. l'infini, il convient imperativement d'etudier sa stabilite afin de s'assurer que le probleme de depart est bien pose et que sa solution represente effectivement un ecoulement reel En particulier, se pose le probleme de deceler les conditions d'apparition de la turbulence (sa genese) et de decrire le phenomene crucial de la transition, c'est-a.-dire du passage du regime laminaire au regime turbulent. On sait que cette transition debute, en general, par une phase dite d'instabilite. On doi t distinguer deux types d' ecoulements du point de vue de la theorie de la stabilite: il s' agi t d' une part des ecoulements confines et d I autre part des ecoulements non confines. Le terme "confinement" etant pris dans un sens assez large: le domaine d'ecoulement est
alors borne
dans l'espace,soit par des parois, soit par des interfaces ou une surface libre, soit encore par des conditions de periodicite de periodes imposees. La litterature concernant la stabilite dite "hydrodynamique" est relativement abondanteet ncull! citerons, tout d'abord, trois livres : "The theory of hydrodynamic stability" de C.C. Lin (Cambridge University Press, 1955), puis "Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability" de S. Chandrasekhar (Oxford University Press, 1961) et enfin "Hydrodynamic Stability" de P.G. Drazin et W.H. Reid (Cambridge University Press, 198]). ~)
On est alors en presence d I une turbulence di te "developpee".
240
Un livre Vlus comvlet, ou l'on trouvera des analyses mathematiques rigoureuses est celui de D.J. Joseph : "Stability o.f .fluid motions" (deux volumes dans la serie "Springer Tracts in natural Philosophy", vol. 27 et 28, 1976, Springer-Verlag, Berlin). Citons encore le livre de G. Iooss et D.D. Joseph: "Elementary stability and bif'urcation theory" (chez Srpinger-Verlag 1980) et aussi celui de A. Georgescu : "Hydrodynamic stability theory" (Martinus Nijhof'f' Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1985),ou l'on trouvera une theorie rigoureuse de la stabilite basee sur l'analyse f'onctionnelle. En ce
qui concerne la theorie non lineaire de la stabilite hydro-
dynamique ci tons, l' article de synthese de J. T. Stuart : "Non-linear stability theory" (dans le volume 3 de 1971, pp. 347-370, de 1 'Annual Rev. of' .fluid mechanics), celui de J.P. Guiraud : "Ef'f'ets non lineaires en theorie de la stabili te des ecoulements laminaires" (dans : Ann. Phys. Fr. 5, 1980, pp. 33
a 59)
et aussi l'article de F. de Coninck, J.P. Guiraud et R. Kh. Zeytounian
"A short look at nonlinear hydrodynamic stability theory" (Quart. J1. Mech. Appl. Math., vol. 36, pt. 1, 1983, pp. 1 On
a la
trouver~au
a
18).
§ 15,divers resultats generaux sur la stabilite lies
def'inition meme de la stabilite hydrodynamique (tous ces resultats etant
tires des equations de Navier dont i l a ete question au § 5). Le § 16 est
consacre,entieremen~au
probleme de la stabilite des
ecoulements dits "presque paralleles", qui conduit, en theorie lineaire,
a
1 I equation d I Orr et Sommerf'eld pour les ondes dites de "Tollmien et
Schlichting". Tout ce qui concerne l'instabilite convective, liee au probleme de Rayleigh-Benard, f'ait l'objet du § 17. Au § 18 nous exposons divers phenomenes d'instabilite dans les ecoulements de f'luides parf'aits. Enf'in, le
§ 19 est consacre au probleme de Couette-Taylor de l'ecoulement entre
cylindres coaxiaux. On trouvera au Chapitre VI, suivant, un expose plus complet sur l'instabilite via les bifurcations qui conduisent au chaos hydrodynamique.
LE CONCEPT DE STABILITE POUR L' ECOULEMENT DE NAVIER
15,1. VI VERSES VEFINITIONS VE LA STABILITE
n,
1. Considerons dans
un ouvert connexe de]R3, le probleme de
Navier suivant (avec des dimensions) +
au at
+
v.~
(~.V) ~ + ...L V p
=0
Po
= "1
+
\I
0
6
~
,
(15,1)
Lorsque le domaine
n
n'est pas borne (ecoulement non borne), il
~aut associer au probleme (15,1) une condition de comportement pour ~ et p au loin (I~I + 00) ou encore des conditions de periodicite. Nous noterons (15,2)
u -(:)
une sOlution de (15,1) et soit U une sOlution de base satis~aisant a (J5,1), B . '" mais avec la donnee initiale +0 ~ (+) x d~~.ferente de +0 u (+ x): (15,3) +0
La perturbation initiale u ecoulement perturbe U , tel que: 1
1
+
(x), d'apres (15,3), genere un
242
(15,4) qui satisfait aux equations suivantes
(15,5) -+
u
-+
1
(x,O)
-+ = -+0 u (x) 1
,
qui est un probleme de Cauchy d'evolution instationnaire avec valeur initiale, dans la classe des fonctions vectorielles -+-+
(15,6)
V.u
1
= 0
a divergence
nulle et nulles sur
an :
o •
et
Naturellement, pour Ie probleme (15,5), avec (15,6), la solution zero correspond
a l'ecoulement
de base.
Dans tout ce qui suit.nous vOulons caracteriser la stabilite de cette solution zero de base,
supposee etre definie pour tout t > 0 •
Cette caracterisation de la stabilite etant relative a la perturbation ~ (i) de la condition initiale. Disons tout d'abord que l'etude rigoureuse (du point de vue mathematique) de la stabilite est intimement liee a l'analyse de l'existence globale de la solution zero, de base, et de la solution perturbee U] (pour tout t > 0). D'une
fa~on general~
une telle etude est effectuee dans le cadre
fonctionnel des solutions "generalisees·) " du probleme de Navier, appartenant a des espaces specifiques
H,
de Hilbert, qui sont les completes d'espaces
fonctionnels de fonctionscontinues. C'est pour cela qu'il faut definir la stabilite de ces solutions un choix donne de
a partir
de normes liees
a H.
Par exemple, pour
H, l'ecoulement sera dit stable (asymptotiquement) si : pour t
-+
00
,
.) C'est-a-dire des solutions fa~bles (voir la section 8,3 du
§ 8, chapitre III).
243
et pour un autre chou de H , si (15,8)
lorsque
t
+ m •
2. Stabilite au sens de Liapounov - Par definition, nous dirons que la solution de base zero est stable, si pour tout
£
> 0, il existe un
n(£) > 0 tel que :
(15,9) une ibis que l'on sait que II~
(;)11
< n (£).
Cela signifie qu' au sens de la norme,
II .11,
utilisee pour
caracteriser la "distance" de deux fonctions des variables spatiales dans la classe des fonctions vectorielles considerees, les deux solutions U et ~
restent "voisines" ii tout instant t > O. pourvu seulement qu' elles Ie
soient ii l' instant initial t
= o.
La sOlution de base ~ est dite instable
si elle n'est pas stable. Lorsque l'existence de solutions classiques des equations de Navier est assuree.on peut remplacer la norme
11·11
par Ie
sup (~.t)
1.1
On notera que la definition ci-dessus de la stabilite (ii la
Liapounov) de la solution de base ~ correspond bien ii l' exigence que cette solution de base depende continiiment de la condition initiale. comme il avait ete mentionne au debut du Chapitre III lors de la definition d'un probleme bien pose.
3. Stabilite asYJI!Ptotique - Souvent en mecanique des fluides. on introduit une definition de la stabilite qui est dite "stabilite asYJI!Ptotique" et qui est plus forte que celIe de la stabilite au sens de Liapounov. Dans ce cas,on exige. en plUS de (15.9). la condition de comportement suivante : (15.10)
Lim
t--
lI~l(i.t)11
= o.
la limite etant supposee uniforme relativement a~. Lorsque (15.9) et (15.10) sont satisfaitesla solution de base
~
est dite asymptotiquement stable.
244
Si, avec (15,9) et (15,10) on a aussi (15,11) oil
ct > 0 et t
> 0, alors, on dit que l' on a une stabilite asymptotique
"de tyPe exponentiel". Precisons que les perturbations (~1' P1),solutions du probleme (15,5), avec (15,6), decroissent vers zero,lorsque l'ecoulement de base (;, PB) est asy:mptotiquement stable (lorsque t base
(UB'
->- 00);
et cet ecoulement de
PB) est asymptotiquement instabl~lorsque ces perturbations sont
amplifiees. 4. Stabilite en moyenne - Une
fa~on
evidente de caracteriser le fait
que les solutions U et U sont "voisines" est d I etudier le comportement B ->de l'energie cinetique de l'ecoulement perturbe (caracterise par u1 et satisfaisant, avec Pl' au probleme (15,5), avec (15,6)) lorsque t
->- 00 •
Formons done (15,12) et si E(~l) "reste petit", alors, on pourra
conclure que U reste voisin
de UB • Ainsi, Si l' on peut montrer que E(~1) reste arbitrairement petit, pour tout t > 0,
a condition
que E(~) soit suffisamment petit, on
pourra dire que la solution de base ~ est stable (en lIloyenne) aux: perturbations ~ de la condition initiale. Si, de plus, on arrive
a se
E(~1)
(15,13)
->-
convaincre que 0, lorsque t
->- 00,
quelque soit +0 u , alors, on dira que la solution de base U est "universellement" 1 B stable. Precisons qu 'une condition sufsisante pour la stabilite en moyenne est donnee par: dE (~1)
(15,14)
dt
->-
< 0, pour tout t > 0
et tout u 1 dans l' ensemble des perturbations.
245
La stabilite asymptotique de l'ecoulement de base en ce sens qu'aucune borne n'est imposee
a l'amplitude
UB
est universelle
de la perturbation
initiale mesuree par E( ~). C' est la., rndemment, 1lll resultat tres fort d' un certain point de vue, mais aussi tres faible d 'un autre point de vue. En effet, un ecoulement peut tres bien etre stable aux perturbations d'amplitudes faibles sans etre universellement stable On di t aussi que 1 I ecoulement de base U est attractif (en moyenne) B
lorsque la relation Lim
t--
est satisfaite. Un ecoulement est asymptotiquement stable s 'iI est stable ~n moyenne) et,de
plu~attractif,
Quelquefois
ces deux proprietes etant independantes l'une de l'autre.
on di t que I I ecoulement de base U est globalement stable ou B
encore inconditionnellement stable,si la relation (15,15) est satisfaite quelque soit E(~). Par contre, I I ecoulement de base U est conditionnellement stable, si (15,15) reste vraie seulement lorsque
E(~) <
(15,16)
15
B
> 0 •
5. Stabilite lineaire - Revenons au probleme (15,5)
avec (15,6),
et considerons Ie cas lineaire associe, lorsque Ie terme quasi-lineaire ±) +u est negl~ge. " . " Supposons alors que toute perturbat~on . (+ (+ U "V u ' P1 ) est
1
1
obtenue par superposition de modes normaux +0 +
(15,17)
u (x) e 1
- P10(+) ou... P1 (+ x, 0) = x, S
=a +
.
~w
+St
1
et
•
Dans ce cas, a. la place de (15,5), (15,6), il vient Ie probleme aux valeurs propres suivant :
246
(15,18)
~Icm = 0
,
V.~
O.
... pour la fonction propre -+0(....) u "X assoc~ee a. la valeur propre S ( on peut toujours 1
eliminer p~ du problene (15,18». La SOlution;; est dite lineairement asymptotiquement stable. si le problene (15.18) n I a pas de valeurs propres lIVec des parties reelles positives. S 'il existe au moins une -valeur propre lIVec une partie reelle positive. alors ;; est dit asy:m:ptotiquement (lineairement) instable. Nous avons une stabilite ~ (ou marginale) pour
....
1.l:B' lorsqu'il
eriste au moins une valeur propre avec une partie reelle nulle. toutes les autres valeurs propres
ayant des parties reelles soit positives au nulles.
Precisons encore que les resultats de la theorie lineaire de la stabilite restent valables.pour le cas non lineaire. uniquement.lorsque E (~) est "petit" et de ce fait. on constate qu
I
:
un ecoulement stable selon
la theorie lineaire ne peut-etre que conditionnellement stable, d'apres la definition liee Ii (15.16). que nous avons donne Ii la fin du point 4 de cette section 15.1.
6. Instabilites pure et par etapes On saito d'apres les resultats du Chapitre II. que le problene ( 15.5), avec (15.6). peut s I ec~ sous forme sans dimension
(15.20)
et
247 en conservant les memes notations pour les grandeurs adimensionnelles, ou S est le nombre de Strouhal, tandis que Re est le nombre de Reynolds. 11 s' avere que pour les f'aibles nombres de Reynolds, la solution du probleme (15,19), avec les contraintes (15,20), est toujours stable ce qui veut dire que le probleme de Haner admet une solution de base ~ qui est unique et stable. Supposons que cette solution de base
0+-
~
perd sa
stabilite pour Re = Re11', ou Re III est le premier Reynolds critique. Dans ce cas, il peut apparaitre deux types d'instabilite : une instabilite dite pure et une instabilite par etapes. Lors de l' instabilite pure,
les perturbations
pour Re ) Re III sont amplif"iees lorsque t ....
co
ti: 1
qui sont generees
et l' ecoulement chang~ de ce f'ait
f"ondamentalement de caractere, devenant turbulent. Dans le cas de l' instabilite par etapes, pour Re = Re11', lorsque . .... , '" , ....(1 ) . . t .... co, les perturbatJ.ons u 1 generent un nouvel ecoulement ~ qUJ. est dit ecoulement secondaire et ce dernier reste stable jusqu' au second Reynolds . ... ....( 1 ) . '" . . cntJ.que Re , pour lequel '13 deVJ.ent a son tour J.nstable; ensUJ.te nous pouvons avoir, soit une instabilite pure, soit une instabilite par etapes On pressent bien que l' instabilite par etapes (du moins lorsqu' il
y a "quelques etapes") est tres intimement liee au probleme de la bifurcation des solutions du probleme de Haner (15,19), (15 ,20), lorsque le nombre de
.
.
lJ)
Reynolds He augmente; nous y renendrons au ChapJ.tre VI •
15,2. L'EQ.UATION VE LANVAU IT LE PROBLEME VE LA STA81LITE NON LINEAIRE Dans le cas de l'analyse lineaire de la stabilite d'un ecoulement
.... ....
de base stationnaire ~(x),on pose
V(;,t)
~ (~)
= A(t) ; (~) + AlJ(t) ~ (;) ,
(15,21) ou les
=~ -
"lII",
designent les complexes conjugues.
Dans ce cas, il apparait : .) A ce Chapitre VI, nous def"inirons la stabilite au sens de Liapounov dans l'espace desphases, qui est l'espace decrivant l'evolution des inconnues du systeme dynamique, associe au sys-teme de Hmer et qui s' obtient, en particulier, partir de la methode de Galerkin (voir la section 8,2).
a
248
('5,22)
A (t)
exp (+ St), avec S =
~
°+i
w.
Soi~maintenant,Re¥ le premier nombre de Reynolds critique; lorsque Re <
Re¥ toutes les perturbations sont stables avec
Lorsque Re
= Rellf,un
mode normal, avec S
lequel est "lIlarginallement" stable (o,(Re
lll
= 0,
)
,. Lorsque Re croit au-dela de Re
lll
,
= S, =
° < 0.
0, + i
w"
apparait
mais 0, > 0, pour Re '" Re
0, >
llf
).
° mais ° < ° pour tous
les autres modes, mais (ensuite) lorsque Re est suffisamment grand, ces autres modes deviennent aussi instables a tour de role. Ainsi, on ecrira que : 1Il
k o (Re - Re ) + lorsque Re
1Il
lll
, avec k une constante positive. De ce fait pour o « 1, le mode le plus instable croit lentement mais les autres modes decroissent et la theorie lineaire montre que le mode le plus instable
° < Re -
Re
+
Re
° { (Re - Re) 2 },
lll
devient dominant rapidement. Mais, on sait bien que l' auto-interaction non lineaire dumode dominant engendre des harmoniques et deforme l'ecoulement de base et de ce
fai~modere
la croissance exponentielle faible. Dans le cas
de la stabilite non lineaire il faut ecrire
(15,24) ou les
{~j(~)} forment un systeme complet (total) de fonctions complexes
satisfaisant a des conditions aux limites adequates. Divers choix peuvent etre faits sur les
{~j(t>}
• Par exemple, pour les equations de Navier, regissant
l' ecoulement dans une enceinte
n bonree,
on peut considerer dans
systeme des equations de Stokes stationnaires :
{
~o ~
('5,24) avec
~o
+
u -
Vp = f(x), +
~Ian = 0,
= constante
>
°.
+
x €
n,
V.~ =
°,
n
€ ]R3 le
249
... D 'apres
Ladyzh enskayaOJ), on
.
sa~t
que Ie probleme (15,24), pour un
f
quelconque dans L (n), a une solution unique 2
Au probleme (15,24) est associe Ie probleme aux valeurs propres
~ en, ~I
an
On demontre alors qu propres negatives
~,
= O.
il existe une suite denombrable de valeurs
auxquelles correspondent les
vecteurs-~onctions propres
~k qui forment une base dans l'espace des vecteurssolenoidaux, obtenus par 1 la ~ermeture des fonctions finies d'apr~s les normes de L (n) et W ,2(n). 2 Dans I' enceinte n, les fonctions ~k(~) sont inde~iniment di~ferentiables et si : (15,26) ou Ca(n) avec 0 < a < 1 designe la classe des ~onctions continues d'apr~s Holder d'exposant a. Le systeme des fonctions propres {~k} du probleme aux valeurs propres (15,25) est justement celui qui est utilise comme base lors de la construction de la solution de Navier, (dont il a ete question
a la
~
partir de la methode de Galerkin
section 8,2 du § 8) pour l'ecoulement dans une
enceinte n bornee. On impose aux fonctions la condition (15,27)
f I~k
n
2
(~) 1 ch = 1
•
lit) Voir son livre : "Problemes mathematiques de la dynamique des ~luides visqueux incompressibles", edite a Moscou, 1970, 2e edition avec complements, Nauka (en langue russel. ----
250
2. La methode de Galerkin permet alors d' obtenir une equation d'amplitude (qui est une equation d'evolution) pour les A.(t) que nous J
pouvons ecrire sous la fO:nDe ~nerale suivante
( 15,28) j = 1, 2, •.•
Nj ' des ~ (t), representant l' action non lineaire de tous
les fODetions
les modes sur Ie mode d'indic.e j (tenant compte de l'auto-interaction). Les termes lineaires sont simplement modelises par les S. A. (t) (sans sOllllll8.tion) et
.
J
J
~J et la fonction propre ~ant S. comme valeur propre associee. J
II semble que l'on puisse conjecturer que l'equation classique dite de Landau·) emerge de la i"orme tronquee de (15,28) lorsque Ie proble- possMe une s~trie telle que N.(~) est Ie produit de A. (t) et d'une i"onction
2
J
dependant de l' ensemble des I~ (t) I
. Dans
J
ce cas, en efiet pour j = 1, on
retrouve bien l' equation de Landau sous la i"orme suivante (15,29)
ou, en ~neral,
t =tr
+ i l. et S ~
= C1
+ i
1Il
sont des nombres complexes.
En fait, cette equation de Landau (15,29) est lineaire pour 2 IAI- ; en effet on peut 1 'ecrire sous la i"orme
(15,29')
puis comme une equation lineaire pour IAI - 2 :
.) Cette equation a ete obtenue pour la premiere i'ois Par Landau dans 1 'article publie dans les : Camptes Rendus de l'Acad. des Sci. de l'URSS, 1944, 44, pp. 311 A 314. On pourra aussi consulter Ie § 21 du livre de Landau et Lifshitz (~canique des milieux continus, edite A )k)scou, 1954, en langue
russel.
--
251
L'intE;gration donne (15.31)
IAI
-2 = l-r hi 1-2 2(1 + ~A(O)
~]-2<Jt e
- 2er
• cr :/. 0 ,
et on trouve que (15.32)
IAI
Lorsque
2
\A(0)1
= -::-l------l~-----
~
2~
2 IA(O) 1 + [1 -
cr > 0 et l
e
a la
J
2 IA(O) 1
a la
> 0 il vient
r
(15.33) ce qui correspond
2
2ert
e-
2ert
limite
.pour t-+-- ... et IA(O) I-+-O •
thE;orie linE;aire.
Par contre ...
(15,34)
2cr
IAI -+- A :: ( r )
1/2
, pour t -+- + ....
r
et quelque soit IA(O)I • Pour 1 'E;coulement de Navier. d 'apres (15.23). cr
est une fonction
du nombre de Reynolds Re. et au voisinage du premier Reynolds critique Re- • on a (par dHinition cr (Re·) (15.35)
(J
= 0)
'"= k o (Re
~
.
Re ) , avec
k
o
> 0
une constante.
Ainsi on trouve la relation : 2k 1/2 r .1 1/ 2 A'" '" ( r ) LRe - Re J
(15.36)
r
ou
l
r
•
pour Re '" Re
•
,
>0. On constate donc que l'instabilitE; absolue (cr > 0) de l'ecoulement
(lineaire) de Navier pour Re > ReI! conduit
a 1 'emergence
d'un ecoulement
instationnaire pE;riodique et lorsque Re est "voisin" de Re·cet E;coulement ... " .p ............ + ,... t peut etre represente sous la ...orme : ~ + u , ou u est perJ.odique, ayan une 1 1 amplitude "petite", mais non infinitE;simale. qui croit avec Re proportionnellemeIJt Ii la racine carrE;e de(Re - Re*) .
252 Une evolution type de IAI, en fonction de t, est representee sur la figure (a) ci-dessous, tandis que la figure (b), ci-dessous, represente la dependance des wnplitudes, des solutions d'equilibre
IAI
=0
et IAI
= A~
avec Re croissant. La branche de la courbe de la solution d'equilibre a Re
= Rellf ,
= 0,
IAI
est une bifurcation. AlAI
A'(O) t
(a) Evolution de IAI comme fonction
stable 0
instable Re
lli
(b) Courbe de bifurcation
:
du temps t pour deux valeurs
aJIlPlitude de la solution
initiales de A(O).
d'equilibre comme fonction de Re pour l r _ >_ 0
Ainsi, l'equation de Landau montre que la solution IAI = 0, laquelle represente l'ecoulement de base stationnaire, est stable pour Re < Re~ mais instable pour Re > Re
llf
et IAI = A~, laqueuerepresente un
nouvel ecoulement laminaire, est stable la ou eIle existe, c' est-a-dire pour Re > Re
llf
,
Si l
r
> 0 mais Re < Re
llf
alors cr < 0 et la solution (15,32) confirme
bien que les perturbations decroissent en accord avec la theorie lineaire de la stabilite : IAI ~IA(0)le2crt , t +~, IA(O)I+ 0; cr < 0 . 4 Dans ce dernier cas,le terme -lr IAI , au niveau de l'equation de Landau (15,29'), lie a la non linearite,reste petit pour tout t, initialement petit.
s'il est
Re
253
15,3, L'EQUATI0N V'ENERGIE VE REYNOLVS-ORR ET LES CRITERES VE STABILITE VE SERRIN 1, Revenons au probleme (15, 19), avec (15,20), et s upposons que
est un domaine borne. Multiplions scalairement par ~1 l'equation du probleme (15,19); apres avoir effectue l'integration sur tout pos~
n
et
S'= 1, on trouve
dE(~1 )
---+
I n
(;,V)
+
I n
(;1
,V)
I n
tJ.
dt
+ -L Re
-+ U
-+ U
-+ U
-+
1 'U 1
-+
1 'U 1
-+
1 'U 1
-+
dx+
-+
dx=
In -In
V -+
-+
(u 1 ' )
-+
-+
'13'U
u1'
V P1
-+
_ -+
-+
1
dx
-+
dx
~
Mais -+v-+-+
( '13 •
)
et comme
u1' U 1
.=
-+v '13'
I (~,V~) ~
n
condition ~Ian
1~112
(
- - ) et 2
(~1'V)
-+ U
1 'U 1 = u 1 '
V 1~112
(-2-)
= 0, d'apres le theoreme de la divergence et la
0, on trouve l'equation suivante
(15,37)
puisque, apres integration par parties,on a aussi la relation
I
n
tJ.
-+ U
-+
1 'U 1
-+
dx = -
f
n
Iv
~112
-+
dx
L'equation (15,37) est celle de Reynolds-Orr et on peut aussi l'ecrire sous la forme suivante
n
254
f
-+ -+ -+ 1 u1.~dx-Re
(15,38)
a.
car pour un champ de vecteur vitesse
et en integrant sur 0
o
\*-+ulI2 -+ V dx,
divergence nulle,
et en tenant compte du theoreme de la divergence
avec la condition d'adherence de la vitesse sur
ao,
on deduit bien
(15,38) de (15,37). On notera que Ie premier terme du second membre de (15,38), ." l~e
•
au gradient de
+~,
a tendance
a.
induire de I' instabilite, tandis que
Ie second terme, de ce second membre, lie
a.
la viscosite,a au contraire,
un role stabilisant. 2. D'apres l'equation (15,37),on constate que si
(15,39)
-+
alors, en accord avec (15,14), on pourra dire que ~ est stable en moyenne. De ce f"ait, i l est interessant de f"ormuler Ie probleme variationnel
(isoperi.metrique) suivant trouver 1/~ tel que : (15,40)
~
= Max
Re .
-+
ou Ie champ vecto=el u
J1 o
1
1- J(~l·V) ~.~1
l
satisf"ait aux contraintes
= 1,
*V -+ull2 dx -
....
....-+
I
ch },
0
et a la condit~on u 1 arl = 0 .
*V • -+ u
1
= 0
255
Ce probleme variationnel (15,40), (15,41) avec la condition
~11
an
= O,est
equivalent au probleme aux valeurs propres : +
*
+
(u 1 ·v) ~
=-
*
v A+
P1 A +u 1
J IV~112 ~ = 1, V'~1 = 0, ~1lan = 0
,
n 1
pour lequel
'"
est valeur propre et oil A est un multiplicateur de
Re Lagrange. De ce :fait, nous pouvons :formuler Ie theoreme suivant, du
(voir
"Arch. Rat. Mech. Anal.", 3, nO 1, 1959, pp. 1
a 13>:
a Serrin
!lSi Ie probleme variationnel (15,40), (15,41) avec la condition + U an = 0, admet une solution, alors ~1 R est la plus grande valeur 1 e
I
propre du probleme aux valeurs propres (15,42) et dans ce cas, '" I' ecoulement de base +~ est stable en moyenne, lorsque
-.1...>-.1... .. ~
Re
Comme consequence de (15,43),nous pouvons reecrire l'equation de Reynolds-Orr (15,37) sous la :forme suivante :
dEC u
)
1 - +-
(15,44)
dt
~
2
+
J Iv u I
n
1
+
dx
I~ } 1
Re
- -
1
Re
ne:finissons maintenant la constante Qo' telle que
J Iv ~112 ~ ~ n
Qo
f 1~112 ~
,
n
cette derniere pouvant etre deduite du probleme variationnel suivant -
(15,46)
I n
1u 1
+
= 1,
+ 12 dx = MaxJ.lllUlll, .
dans la classe des 1~1Isatis:faisant *+ 2 J IV u 1 I
n
dx
*+
v .U 1 = 0
et
a
256
Avec cette constante ao,il vient, a la place de (15,44), l'inegalite: (Re-Re)
'" Re Re pour tout t
~
0, ce qui veut dire aussi que
(15,47) et de ce
E(~1)'
~ait
Lim t--
E(~)
1E(~l) }= E(~)
exp
[
- 2 a
Re-Re
o
-",-- t
]
Re Re
0 , lorsque Re < Re.
En ~ai t, la ~ormule (15,47) montre que, pour tout E (~), les perturet, de ce ~ait, Re < i{e est une condition -+pour la stabilite globale (inconditionnelle) de ~.
bations tendent vers zero avec t -+su~~isante
<xl
3. A~in de ~ormuler les deux criteres universels de Serrin¥) , revenons a l'equation de Reynolds-Orr (15,37) et ecrivons la sous rorme dimensionnelle (en gardant les memes notations) :
d dt
I
Q
u l l-+l
2
ax-+-
= -
I
Q
ou encore
( 15,48) ou VB est Ie tenseur des taux de de~ormations de I' ecoulement de base les composantes (cartesiennes) sont :
d~J'B 4
1
= -2
(
aU' B
-+-
~
dont
aU' B
-~ax. + ---s1E. ax. ) • J
~
Soit, maintenant, - mo la borne in~erieure, relativement a t 6 [0,1"] , des valeurs caracteristiques de la matrice (d. 'B); nous pouvons alors ecrire que
~J
.) Ces deux criteres de Serrin ont ete obtenus dans son article de 1959, deja cite.
257 (15,49) Notons aussi par a un nombre tel que l'inegalite
f n
(15,50)
,.. . 1 12 u
....
dx
~
....
soit satisfaite dans la classe de fonctions vectorielles u
ayant des derivees 1 d'espace continues et satisfaisant aux conditions (15,6), oui est Ie diametre de la sphere contenant Ie domaine tridimensionnel a =
n.
o
Serrin montre que
3+1i3 2'" 2 n = 32,6 ,
mais Velte, sous la condition que n est contenu dans un cube de cote i , o llf obtient )
La bonne valeur de
"ll! a, notee a , peut etre dedu1te a part1r du A
" . . .
•
probleme variationnel :
. dx.... = Maximum, fn l.ull2
(15,51)
....
dans la classe des u 1 tels que
I Iv ~112 ch
= 1,
n
V'~l
0,
o .
2 • Dans ce cas,le rapport i fa est l'extremum de (15,51) et il est aussi o
la plus petite valeur propre de l'equation
....
dans la classe des u
tels que (15,52) soit satisfait. 1 llf Pour des domaines spheriques,il s'avere que a = (8,98)2, d'apres
Payne et Weinberger (dans "Nonlinear Problems", ed. R.E. Langer, 1963; University of Wisonsin Press, Madison) • • Le resultat a ete obtenu dans son article de 1959, deja cite, tandis que celui de Velte est publie dans "Arch. Rat. Mech. Anal.", 9, 1962, pp. 9a20.
258 D'apr~s
(15,49) et (15,50),on peut obtenir,
a partir
de (15,48),
la relation +
dE(u ) 1 ~ 2 (m ------dt o
ttv
t2
.... 0) E(u )
o
1
ou encore
De ce fait,nous pouvons formuler Ie premier criti!lre de stabilit€
de Serrin :
"Si Ie nombre de Reynolds Re
....
E(u 1 ) .... 0, 10rsque t ....
mt
2
=~ v
est petit devant 32,6, &lors
... 0
et I' ecoulement de base
~,
.... ~
est asympto-
tiquement stable en moyenne". On
notera que ce criti!lre de Serrin donne une borne universelle de
• stabilit€ valable quelque soit Ie dOlll8.l.ne
.... et la perturbatl.on u . 1
n
" borne, l'ecoulement de base
-+ ~
"
Pour d€river Ie second criti!lre de Serrin revenons " . " . . . " .... (1 5,38) et_ utl.ll.sons 1 ,l.negall.te : )
(15,54)
. . * ........
(u 1 ·v) u1·~ ~
a l'equation
21 { Vo
Maintenant tirons profit aussi de l'in€g&lit€ (15,50) et introduisons UB
= Max 1;1 , t€(O,.r>
ce qui permet de tirer
de (15,38),
.... dE(u1) - - t; - 1 dt
"0
0-?
2
.... u:::: - a v 0 ) E(u) B t2 1 o
notera que pour tout tenseur du second ordre T on peut €crire I' identit€ : 2 2 .... + I.... .... .... o ~T : T - 2 .... u1.r.~ u 1 1 I.... ~ 1 .: (T- ........ u 1 ~).(T-u1~). 11 suffit donc de substituer T .: vol V ~1 I pour €crire l' in€galit€ (15,54).
.) On
259
ou encore
a v
; ].
2
_ _ _0_
(15.55)
)
l2
o
o
Ainsi. "Si Ie nombre de Reynolds ...
E( u ) ... 0 avec t ... 1
e
ul
est plus petit que 5.71. alors
0
0
<Xl
...
et. de ce fait. I' ecoulement de base ~ est
asymptotiquement stable en moyenne". Le meilleur resultat est obtenu en
10.
= 5.71
par
Ia!"
rempla~ant
la valeur de Serrin
= 8.98.
Finalement. pour un domaine
n
avec une parDi rigide et lorsque
1;I=o.on obtient de (15.53) l'estimation suivante
2a-
...
(15.56)
-+-0
E(u ) 'E(u ) e 1 1
-
V
---ro
t
0
ce qui implique l'existence globale de la sOlution generalisee des eguations de Navier.
15,4. OERIVATION O'UNE EQUATION O'EVOLUTION. LE CRITERE OE STABILITE OE SATTI NGER 1. Revenons au probl~e de Navier pour
... +
au at
(~.V) ~ + V (...pPo O.
) =
V
1t et
0
b.
p
~
;
j
dans
n
Po = Constante.
(15.58)
, n ou..
. " " .. est un dOlIl8.l.ne borne de JR 3 suppose unmob~le.
. . . . e t PB une
So~ent ~
solution de base de ce syst~ (15.57). (15.58) dont nous voulons elucider la stabilite. Nous posons
260
et
et il vient,pour les perturbations
V.V = 0
Vet
vl,lrl = 0
,
Decomposons TI sous la forme: TI vectoriel
P
TI le systeme suivant
de telle fa~on que
.
= TI2
- TI
1
et definissons l'operateur
(15,60)
Papplique a V donne V + V TI 1 •
ce qui veut dire que cet operateur Maintenan~
choisissons TI
1
de telle
fa~on
que
o ,
( 15,61) et aussi ~
(15,62)
-+-
Y(V)
.nl an -+-
= 0 .
Ainsi, par construction meme,la compos ante TI , de TI, doit satisfaire 1 au probleme de Neumann suivant
{::l.._::~~~n~.
Introduisons alors l'operateur lineaire en de base
(15,64)
-+-
~
et du gradient de TI l ' suivant :
V,
dependant de la vitesse
261
...
et designons par M (V,V) l' operateur quadratique ... ± ... ± - V.V V - V n 2
(15,65)
en V, suivant
...... =M(V,V),
qui contient le terme en gradient de n2 . Imposons, une fois de plus, la contrainte ±
(15,66)
......
V.M(V,V) = 0
On trouve alors que n 2 , dans la decomposition n = n 2 - n , doit 1 necessairement satisfaire a une equation de Poisson (15,67)
...
une fois que Vest suppose connu. Cette equation (15,67) doit etre resolue sous la condition
a la
limite :
aV'"
(15,68)
...
(at + V.W).n =
dn 2 dn
' sur
an,
...
ce qui determine bien n 2 , lorsque Vest connue, dans le domaine borne
n e]R3.
Ainsi, comme consequence de tout ce qui vient d'etre dit ci-dessus, on obtient pour
V une
equation d'evolution de la forme
(15,69)
a laquelle
on peut associer la condition initiale
vi t=o = yo
(15,70) Precisons que
et de plus la condition (15,68), sur n 2 , assure aussi que
262 2. La premiere etape, en theorie de la stabilite,consiste Ie systeme linearise (autour de la solution de base zero) associe
a etudier a (15,69)
avec (15,70) :
On sait alors qu'il y a stabilite lineaire (ou, encore, aux perturbations infinitesimales), si pour toute solution
Ilvll ou la norme est liee
a un
V de
(15,71)"on a :
reste borne pour tout t > 0,
espace fonctionnel (un Hilbert) adequat. En fait,
dans ce cas, tres souvent,
Ilvll--- 0,
exponentiellement avec t ---
Si pour certaines solutions
V,
il s'avere que
Q).
IIvl I ne
reste pas
bornee, alors il y a instabilite aux perturbations infinitesimales. La seconde etape, en theorie de la stabilite, consiste
a passer
au systeme "non lineaire" (15,69) et alors il s'agit de savoir,d'abord, si la stabilite pour (15,71) entraine la stabilite du probleme (15,69), avec (15,70)?
On a pu montrer que la reponse etait affirmative dans certaines
situations uniquement. Ensuite, la question est de savoir, lorsqu'il y a instabilite aux perturbations infinitesimales, ce qu'il advient de ces perturbations, supposees initialement tres petites, lorsqu'elles sont devenues d'amplitudes suffisantes pour que Ie terme quasi-lineaire,
V.vv,
lie
a M(V,V)
au niveau de (15,69),
joue un role essentiel. En ce qui concerne la question de savoir si la stabilite lineaire
entraine la stabilite pour Ie probleme d'evolution complet (15,69), (15,70), on pourra consulter l'article de Prodi (dans: Rend. Sem. Univ. Padova, 1962, 32, p. 374-397), qui semble etre l'un des premiers resultats dans cette voie. Pour d'autres resultats on consultera les deux articles de
IQOSS
dans l'ARMA
(40, 1971, pp. 166-208 et 47, 1972, pp. 301-329). Pour ce qui est du role joue par les termes quasi-lineaires dans (15,69), on trouvera des
M(V,V)
reponses dans Ie livre de Sattinger ("Topics in Stability and Bifurcation Theory"; Lecture Notes in Mathematics, vol. 309, Springer-Verlag, 1973).
263 3. Revenons au probleme d' evolution (15.69. avec (15.10) et multiplions scalairement par (15.12)
OU
(t.;)
==
I 1.;
V I' equation
E(V)
a~
= (L
(~)
(15.69). On obtient.
V. V)
(V.V). V)
+ (M
a
Mais. on sait que
I v.v [ IV!2
v.v • +V)
( M( + +)
a
+
1fJ
d' apres le theoreme de la divergence et la condition
== 0
VIaa = 0
.
Introduisons done le scalaire Yo tel que
y
avec les contraintes
=
o
V.V= 0
et
VIan = O.
variationnel classique pour determiner y
ce qui nous donne un probleme .
o Ainsi. nous arrivons ii I' inegalite +
aE(V) + 2 E(V) , 0 at Yo ou encore (15.13) Lorsque Yo > O.toutes les perturbations decroissent zero avec t
+ ......
exponentiellement~rs
2
dans la norme L • independamment de l'amplitude initiale
de la perturbation et on retrouve Ie critere de stabilite inconditionnelle. Mais lorsque I' opEirateur lineaire L(~) n' est pas symetrique. i l est possible que Yo devienne negatif. tandis que toutes les valeurs propres de L(~) ont des parties reelles positives - il s'avere que cette derniere condition est suffisante pour garantir la stabilite relativement aux perturbations suffisamment petites.
I
De maniere
precis~
on a Ie theoreme suivant :
"si toutes les valeurs propres de L(;) ont des parties reelles positives. c' est-ii-dire si Ie probleme aux valeurs propres
264
a1T,
-vo ~~.~ (15,74)
a~.
ax.~ --
+--
ax.
~
0 ,
$'1 an ~
~
a des valeures propres
o ,
a parties
-+-
reelles positives, alors ua est
inconditionnellement (universellement) asymptotiquement stable 2"
dans la norme L
15.5. LA VECOMPOSITION VE LIAPOUNOV-SCHMIVT POUR LE CONfINEES 1. Revenons
a l'equation
v, a.
VES PERTURBATIONS
d'evolution generale (15,69); la
decomposition dite de "Liapounov-SchmidtU consiste ( 15,69), pour
CAS
deux equations pour
Xet y (qui
a.
reduire cette equation sont definies plus bas)
dans des espaces complementaires. Supposons, ici, que l'ecoulement de base (~, PB) ne depend pas -+-
du temps t et dans ce cas,l'operateur lineaire L(ua) est aussi independant de t. De plus, precisons que le domaine d'ecoulement . .. 3 toutes les tro~s dlrect~ons, dans:R .
n
est borne dans
Considerons le probleme lineaire (15,71) (15,71' ) et effectuons une transformation de Laplace
~= -+-
Comme V
=V
~
r
e-
St
Vdt
S
(J
+ i w
o
lorsque t =
~on
-+-
trouve pour V l'equation suivante
(15,76) et on sait que la stabilite du probleme lineaire (15,71') est liee Ala -+-
localisation du spectre de l'operateur lineaire L(ua), suppose independant de t. Ce spectre est forme par l'ensemble des valeurs (en general complexes)
265
.; de S pour lesquelles l'equation (15,76), en V, n'est pas resoluble d'une maniere unique par une fonction dependant continUment de la donnee initiale
YO.
De plus, et cela est le plus important pour nous ici, le domaine d'ecoulement etant
born~
le spectre en question sera constitue uniquement
de valeurs propres discretes que nous supposerons de multiplicite un
a l'hydrodynamique).
(situation qui est souvent realisee dans les applications Ainsi,
a chaque A
+
valeur propre Sn , n = 1, 2, ... ,sont associeesune A
.
+
fonction propre V et une fonct~on propre W de l'operateur adjoint n n telle fac;;on que le produit scalaire
(Vp ' ~q ) ou l'asterique
"~,,
-
~
-+.
V .W P q J n
->dx
(~
0pq -
~+
L(~)
de
p - q p 'f:. q ,
designe le passage au complexe conjugue. On peut done ecrire
la solution de notre probleme linearise (15,71') sous la forme suivante :
L (YO, n ~ 1
(15,77)
) n
~
S t .; e n V
S
n
n
=(j
Cette solution (15,77) indique bien que, si tous les il y a stabilite, tandis que si au moins un
n
+ i
wn
crn sont negatifs
crn est positif, alors y a
instabilite. Dans le cas instable, pour les grandes valeurs du temps t, la
->-
solution V sera constituee, uniquement, par une combinaison lineaire des ~ modes propres Vn (instables) correspondants aux valeurs propres S+n dont la ~partie reelle cr+ > 0 - ce sont lea modes amplifies; les aut res Vn etant n amortis. ~ Mais lorsque l'ecoulement de base (->~, PB ) varie, en fonction du
nombre de Reynolds, par exemple, certains modes propres peuvent passer du caract ere amorti au caractere amplifie et les Sn correspondants traversent alors l'axe imaginaire pur de 1& gauche
Yer~
la droite.
2. Une situation typique eat celle ou un petit nombre de modes propres est
caracterise
par des valeurs de cr
n
voisines de zero et positives,
tandis que pour tous,les autres modes propres,on a : cr
n
< 0, avec Icr
n
I
= O(J).
266
Par consequeIIt.,
designant un petit
E«
param~tre,
lorsque
n eN;
lorsque
neE,
nous ecrivons
(15,18)
oil
q > 1 est un exposant qui devra etre choisi, ulterieurement, "au mieux",
a partir
de considerations de "coherence interne" lors de 1a :mise en oeuvre
d 'une technique de perturbation singuli~re (MEM). Au niveau de (15,18) N et E sont deux sous-suites de la suite des indices n
et N ne comprend
qu'un nombre limite de termes.
a
Lorsque (15,18)
lieu on di t
que l' on est dans le cas d' une
"faible instabilite". Dans les situations hydrodynamiques usuelles N est compose d 'un seul element, avec un S
S
n
an + i wn et S·n
n
- a
n
= an
reel, ou encore de deux elements, avec
- iwn , complexes conjugues.
Admettons donc que l'operateur lineaire totale de fonctions propres
---
~
n
V
L(;) gen~re une suite
dans l' espace fonctionnel considere.
{V}
Dans ce cas, une fonction quelconque de cet espace fonctionnel peut-etre , , , ' . .) representee sous la forme d un developpement de Four~er
....
(15,19)
.+ (v, w) V n n ~
I
V=
nOll
et si l'on tient compte de ( 15,18), on pourra aussi ecrire que
....
V =
I nSN
(v, W ) ....Vn + n ....
(15,80)
en convenant que
X=
I
....
~
.... Y
....
+
PV
(v, w) vn n ~
neE
+
X
=
Y = QV,
~
QV
pV ne contient que des modes propres du type N et
des modes propres du type E . Les operateurs P et
Qjouent
d'operateurs de projection. Naturellement (15,81)
Q L (;)
*) Dans ce cas on a aussi :
X=
0
et
.. ..
L (u-) V = ~
L
n~1
..
~
*
Sn (V, W ) V n n
le role
267
Introduisons encore les notations
(15,82)
ce qui nous conduit,
o
(15,83) {
a la place
de (15,69), aux deux equations suivantes
~ = l.p x+ PM (x + i,
X + i)
dY = L Q
x +
dt
-+
Y
-+
+ QM (x +
-+
-+
Y,
ll
)
-+
Y)
3. Mais nous pouvons expliciter encore un peu plus Ie systeme (15,83) en faisant apparaitre Ie petit parametre
E
(voir (15,78». En e:ffet, de (15,78)
i l resulte que (15,84)
3
= Eq
n
0
+ i
n
hl
n
' lorsque n eN,
et de ce :fait, on peut ecrire la decomposition suivante
(15,85) E
q
A
X+ B X+ ~ y
Naturellement On et hl sont supposes etre de 1 'ordre de un et n Ie terme £q A, dans (15,85), correspond a £q tandis que Ie terme B, n dans (15,85), correspond a i hi et tous les deux pour n e N.
°
n
-+
En de:finitive, on arrive pour X et
Y aux
deux equations couplees
suivantes :
(15,86)
{
-+
dX
dt
= £q
-+
dY = L
dt
Ie terme LQ correspondant
Q
A
X+B X+PM
Y+
a 3n
Q M
eX + Y,
x+ Y);
(X+Y, X + y) ,
pour neE.
lI) Nous n' a:f:fichons plus la dependance rel.ativement
a la
variable d' espace,
qui reste implicite; seule la dependance temporelle apparait explicitement.
268
Comme
£
1, on voudrait bien resoudre le systeme (15,86) par
«
......
.
une methode asymptotique. Pour cela, on note que, si X et Y sont petl.ts dans la phase initiale d'evolution, ils le restent tant que t est petit devant £
-q
-+-....
,
...
et meme, durant cette phase, Y a tendance a decrol.tre exponen-
tiellement. En revanche, lorsque
...
l'amplification de X est telle que les termes non lineaires deviennent importants et l' evolution de
Yest alors
forcee par celle de
-X.
Ainsi, on constate que deux echelles de temps jouent necessairement un role important pour decrire l'evolution non lineaire; il s'agit de t et de T :
(15,87) et l'on est amene de
T
a considerer
que X et
Ydependent
simultanement de t et
•
D'autre part, pour des raisons de symetrie, on peut se convaincre que
PM(X,X)
=0
et dans ce cas
(15,88) oil G
PM
d, y ) est
d
+
Y, X + Y)
= PM
(Y, y)
une forme bilineaire de X et de
Sous cette
hypothes~ on
X=
(15,89)
£ ;
+ PG
s'interesse uniquement
a la
y),
Y.
peut faire le choix de q
2 et supposer que:
(t,T) ,
En fait, on ignore la phase transitoire,liee
aT
(x,
at
= 0 (1) et on
phase d'evolution temporelle non lineaire liee
= £2 t = 0(1).
Ainsi, le systeme (15,86) devient un systeme aux derivees partielles en t et en T de la forme suivante :
(15,90)
Ensuite, il faut developper; et ~
formellement sous la forme:
269
{
( 15,91)
-rP
-r
= Po +
8
-rP
1 +
8
2-+-
~2
+ .• ,
ce qui veut dire que I' on met en oeuvre une MEJi'I et on sait que 1 'une des cles, pour son application, est l' annulation des termes seculaires qui apparaitront lors de la resolution de (15,90) au moyen de (15,91),qui est suppose etre uniformement valable en t et en T.
OERIVATION OE L'EQUATION OE LANVAU PAR LA MEM
75,6
On considere ici la resolution asymptotique du systeme (15,90), lorsque
8
a partir
-+- 0,
des developpements asymptotiques (15,91).
Si nous portons (15,91) dans (15,90),nous obtenons une hierarchie d'equations pour $0' $1' $2' -+a
~o' .••. -B$0 = 0
(15,92a)
at
( 15,92b)
at
( 15 ,92c)
at
(15,92d)
al2 alo + P G (lo' B $ = at 2 ,IT+ A $0
a~0
al 1
- L ~ Q 0 - B $1
QM ($0' lo)
o ,.
~o)
................................. Notons que
X= E $
parcourt un espace de dimension finie (c' est
l'espace des modes propres correspondant .
.
.
"",.. .
an
6 N) tandis que B est sur 2
..
l'axe 1mag1na1re pur, car la decompos1t10n Lp = 8 A + B correspond a S = 8 2 a + iw . D'autre part, de (15,92a), on constate que $ ne sera n n n 0 determine que dans sa dependance en t. Si l'on veut determiner la dependance de $0 en
T,
il faudra resoudre l'equation (15 ,92d) pour $2 et ecrire
une condition d'annulation des termes seculaires; cette derniere condition conduit,en fait,
a l'equation
composee d'un seul element.
de Landau, lorsque la sous-suite n 6 Nest
270 Comme B a un spectre imaginaire pur
iw
, n 6 N, on peut ecrire
n
1a solution de l' equation (15, 92a), pour ;0' sous 1a forme suivante
.0
; o =n6N,n L
(15,93)
exp (i w t) n
et en substituant (15,93) dans (15,92b),on trouve $ (15,94)
OU
$
o
= peN L q6N L
~
o,pq
o
sous 1a forme
exp {i(w + w ) t} P q
$o,pq est sOlution de l'equation
H(wp
(15,95)
+
wq ) 1 -
L } Q
-- Q G (7 Cjlo,p
t ) , 'f'o,q
etant donne que nous nous p1a<;ons apres 1a phase transitoire . Grace a (15,93) et (15,94) nous obtenons, a 1a place de (15,92d)
.
....
l'equation non hamogene s~vante pour 4>2
....
iw t d4> n ~-A 7 ) dT Cjlo,n e
L
n6N
(15,96)
+
~ L.
~ L.
~ L.
PGCt
to
Cjlo,p , 'f'o,qr
peN q6N r6N
)e
i(w +w + w }t p q r
De (15,96) on voit que tous 1es termes du second membre, qui sont en exp (iwn t), avec n 6 N, entrent en resonance et donnent dans ;2 des termes seculaires t.exp (iw t), qui sont inadmissibles si l'on veut que 1es deve10ppeo
ments (15,91) soient uniformement valab1es ! II Y a une possibi1ite d'annuler ces termes seculaires (et c'est 1a justement l'une des soup1esses de 1a MEM) : i1 faut annuler Ie coefficient de chaque terme en exp - (iwn t),- avec resonance) •
0
6 N et wp + + -wr -:=-w - -wq n (condition de
Ainsi, apres 1a phase transitoire (car on a remp1ace $ approximation de regime permanent dans (15,96» (temps lent) suivante pour --
'$0,0 :
par son o on obtieot 1 'equation en T
271
r
( 15,97)
(R )
PG
n
ou (Rn ) symbolise la condition de resonance et
(~o,p' ~o, ...,.l ,
r
(R ) n
"""
est la somme sur tous
les (p. q, r) resonants pour un n donne. On notera que (15.97) fournit un systeme differentiel ordinaire pour determiner les coefficients ~ de la o,n solution (15,93) en fonction du temps lent T • Lorsque la sous-suite n e Nest composee d'un seul element, la solution ~o donnee par (15,93) est determinee par un seul scalaire d' amplitude
que nous noterons, maintenant, par A(T). Dans ce cas. d'apres (15.97), A(T) eet solution de l'eguation classigue de Landau. (15,98)
et A(T) est reel; dans (15,98), 0 est l'unique 0 de la relation (15,84), 2 n avec q = 2. L'absence de terme en A est une consequence directe de l'hypothese PM X) = O.
(x,
Lorsque la sous-suite N contient deux elements, les S
n
correspondants
sont complexes conjuguees et ~ est alors definie par un scalaire complexe o
C(T) qui est solution de l'eguation de Landau-Stuart d C(T) = 0 C + K C dT
(15,99)
IcI 2
L'etude de l'equation de Landau (15,98) a ete effectuee
a la
section
15,2 (voir Ie point 2). Precisons ici que cette equation de Landau permet de rendre compte des situations ou une valeur propre reelle se trouve au voisinage de I' axe imaginaire, d' un cote ou de I' autre de celui-ci, suivant les valeurs prises par les parametres qui definissent l'ecoulement de base. La valeur propre en question est precisement egale
a
0 et on dit que l'ecoulement de
base est sous-critique si 0 < 0 et qu' il est sur-critique si
0>
o.
Dans Ie premier
cas, 1 'ecoulement de base (ou ecoulement primaire) est stable (0 < 0), au sens de la theorie lineaire, tandis que dans Ie second cas,il est instable (0 > 0) dans ce meme sens.
272
L'evolution de A (T) selon (15,98) depend des signes de 0 et de K. Comme K peut etre considere comme etant independant de discussion selon le signe de K. Si~,
toute perturbation imposee
(ayant une composante suivant
Yqui
X qui
0, on peut faire une
a l'ecoulement
sous-critique
est O(e:) au plus, une composante suivant
est O(e: 2 ) au plus) tend vers zero, lorsque T
+
~ et cela exponentielle-
ment; on peut alors dire qu'il y a stabilite aux perturbations d'amplitude finie mais suffisamment petite. Par contre, si une perturbation est imposee
a. un ecoulement sur-critique elle croi:t tant qu'elle est dans le domaine 2 ~ 0 1/2 lineaire (A «0) et elle tend vers une limite finie A (- K) , lorsque T++~
Si K > 0, alors une perturbation apportee ne tend vers zero, lorsque T + +
a l'ecoulement
sous-critique
que si son amplitude initiale est inferieure ...a ( - K 0) 1/ 2 . 1 . ,. . A devenant J.nfJ.nJ. . . . au bout d' un ' sJ.non el e augmente J.ndefJ.nl.1Jlent; ~,
temps fini, mais toutefois l'equation de Landau (15,98) cesse d'etre valable bien avant cette eventualite. Enfin, si une perturbation est apportee
a. un
ecoulement sur-critique (lorsque K > 0), elle augmente et tend vers l' infini de nouveau pour une valeur finie de
T.
Il faut,enfin,bien preciser que les solutions non nulles de (15,98), independantes de T , n'existent que si 0 K < 0; elles correspondent
a une
bifur-
cation sous-critique si K > 0, et a une bifurcation sur-critique si K < O. La · , A = (- K 0) 1/2 et la branche non b"J.furquee ,echangent 1 eurs branche b J.furquee caracteristiques de stabilite ou d'instabilite. ~
~
A
A
--
......
""
STABLE
"-
"
""
STABLE
INSTABLE
--------..:>~
K > 0
sous-critique
,, ,
\
0
K
" , ...
--
sur-critique
STABILITE DES ECOULEMENTS PRESQUE PARALLELES
16,1. LE PROBLEME VE POISEUILLE Il s'agit de l'ecoulement d'un fluide de Navier,ayant une vitesse de profil parabolique
a l' entree
d' un canal plan (dans le plan (Ox, y)).
On considere des perturbations du champ des vitesses le long du canal, vers l'av~
qui sont periodiques de periode A et a
21r =II
est le nombre d'onde
associe. Avec des grandeurs sans dimensions cet ecoulement de base de Poiseuille plan
limite~par
les plans y = ± 1, est caracterise par la
fonction de courant :
( 16,1) qui satisfait aux conditions d'adherence de la vitesse
(16,2)
-d1J.lB dy
I
y=±1
=0
.
On sait que, dans le cas plan instationnaire, l'ecoulement de Navier caracterise par la fonction de courant
a l' equation (avec
(t,x,y), adimensionnelle, satisfait
le nombre de Strouhal S ::: 1) :
o ,
(16,3)
Ecrivons done que
( 16,4)
1J.I
1J.I
(t, x, y)
274
8i l' on suppose que 15 = o( 1) on obtient pour la perturbation
(t. x. y)
l'equation quasi-lineaire suivante :
(16.5)
etant donne que : f1 2 (f1 2 \jiB)
= O.
A cette equation (16.5). il faut associer
les conditions :
(16.6)
aep _ aep ± ax - 0 et ay = O. sur y = 1.
et aussi une condition initiale (16.7)
ep
epo(x.y). pour
1. En theorie lineaire. lorsque 0 «
t = 0 .
j.
on doit remplacer l'equation
(16.5) par l'equation lineaire associee : (16.8) et dans ce cas lineaire.on peut envisager des solutions de (16.8)
avec (16.6).
sous la forme d' ondes planes : (16.9)
ep (t. x. y) = F(y) exp ~i a(ct - x>]
qui sont des perturbations dont la structure spatiale. en x. est periodique lorsque a est reel. Naturellement. cette solution (j6.9) ne satis.fait pas la condition initiale (16.7). car elle n' est pas adequate pour decrire la phase transitoire. fortement instationnaire. qui prend naissance en t = O. En substituant (j6.9) dans (16.8) on obtient 1 'equation dite de
Orr et Sommer.feld (pour l' ecoulement de Poiseuille) pour F(y) :
a
275
(i a. Re
-1
)
d
2
2
2
2
F(y) + (1 - Y
=0
,
[ dy2 - a. J
F(y)
( 16,10) + 2 F(y)
qu'il faut resoudre avec les conditions aux limites
F(± 1)
(16,11)
o
dFl dy y=±1
'
o •
On trouvera une analyse detaillee du probleme (16,10), (16,11) dans le livre de Drazin et Reid (1981, deja cite; voir les §§ 28, 31 et 32). Ce probleme (16,10), (16,11) admet toujours la solution triviale F
=0 et
c'est,
de ce fait, un probleme aux valeurs propres (dans un sens quelque peu generalise): pour des valeurs arbitraires de a., Re et c,il n'y a, en general, que la solution F
=0
et de ce fait il y aura une solution non triviale, differente de zero, que
si une condition est satisfaite. Cette condition peut s'ecrire implicitement sous la forme
S (a., c; Re)
(16,12)
=0
.
L' equation (16,12) est 1 I equation "seculaire" de notre probleme (16,10), ( 16,11) et elle est definie pour a. et c complexes, en toute generalite. Considerons maintenant le cas particulier ou a. est fixe et reel. Cela veut dire que l'on s'interesse aux perturbations dont la structure spatiale en x est periodique et de longueur d'onde
A = 2rr/a.. Dans ce cas,l'equation
seculaire (16,12) nous donne c en fonction de Re et il y a une infinite de valeurs ~omplexes)
qui satisfont 1 I equation. c=C(Re;a.),
(16,13)
deduite de (16,12), lorsque a. est un reel fixe, car le graphe de (16,13) a en general une infinite de branches. Ainsi, si nous introduisons (16,14 )
c
= cr
+ i c.1.
>
-ia.( ct-x) +a.ci t = e e
-ia.( c r t - x) , e
276
de telle sorte que c r donne la vitesse de propagation de la phase des perturbations. Posons wi a c i ' alors
=
a) lorsque w. > 1
b) lorsque w. < 1
oo-
les perturbations sont amplifiees dans le temps; elles sont attenuees et il y a stabilite.
Ainsi, dans ce cas,la frontiere de stabilite (lineaire) est donnee par la courbe : W. 1
= 0,
qui est dite "courbe neutre de stabilite ".
(16,10) , on a
I l est bon de noter que, d'apres 1 'equation
S(a, c
r
+ ic.; He) 1
= O=>S(-a,
c
r
- i c.
1
He)
o
et de ce fait le signe de Wi ne depend pas du signe de a Mais on peut aussi convenir que c est un nombre reel et qu'il est fixe, tandis que a
= ar
+ i a
i
(16,15 ) Lorsque a > 0 , les perturbations sont amorties vers l'aval, lorsque x + + i et il y a stabilite, tandis que si a. < O,ces perturbations sont amplifiees
00
1
et il y a instabilite. Comme l'intervalle en y est fini (+ 1, - J), pour chaque paire de He et a , l'equation seculaire (16,12) permet de determiner un spectre discret de valeurs propres complexes cn' avec n
=
1,2, ... , et l'integration du
probleme d' Orr-Sommerfeld (16,10), (16,11) donne la possibilite de determiner les fonctions propres F (y) associees. n
Les perturbations ~ , determinees suivant (J6,9), d'apres ces F (y) n
n
sont dites constituer "des ondes de Tollmien-Schlichting" et elles se presentent sous la forme suivante :
et on peut construire une solution generale pour
( 16,16)
~
1
= 2'ff
I
~
sous la forme
00
00
L
n~1
t A (a) F (y) e -ia (cn -x) da , n n
la sommation port ant sur tous les modes propres,et en supposant que les {Fn (y)} forment un systeme total.
277
L'analyse du probleme (16,10), (16,11) montre que la solution est la somme de deux fonctions de y dont l'une est paire et l'autre impaire, chacune de ces deux fonctions etant fonction propre du probleme (lineaire)
(16,10), (16,11). De plus, il s'avere que, le spectre d'ondes de T.S. corres,. propres 1mpa1res, l1e aux f requences cimp est t oUJours n stable, tandis que pour celui correspondant aux fonctions propres paires, lie aux
pondant aux
~onctions
o
0
0"
0
frequences cpa , seul le premier mode est susceptible d' etre instable. Ainsi, n
la condition:
o
(16,17)
fixe la courbe de stabilite pour l'ecoulement de Poiseuille plan dans le canal y
=+ Les calculs montrent que le mode critique correspond a Re*
ce qui fait que le nombre d'onde correspondant est a~
= 1,0205.
,.;tI)
Cependant des etudes numer1ques, assez recentes ,.
,.
0
= 5772,2, bOlo ,.
, de la sta 1 1te
(non lineaire) d'un ecoulement de Poiseuille plan,ont mis en evidence des instabilites sous-critiques (apparaissant pour des Re < Re* de la theorie lineaire). L'instabilite apparatt
d'autant plus vite que l'amplitude
initiale de la perturbation est grande - les grandes perturbations initiales fournissent des resultats en bon accord avec les experiences en laboratoires et tendent a montrer l'existence d'un Re~ minimum (de l'ordre de 1000) en dessous duquel l'ecoulement de Poiseuille est stable quelque soit l'amplitude initiale de la perturbation. Sur la figure, ci-dessous, nous avons represente schematiquement la frontiere de stabilite de l'ecoulement de Poiseuille (16,1), c'est-a-dire la courbe neutre : c.
1
=0
I IIIII I I I I I
5
l'article de pp. 639-662.
~)Voir
8 10
20
I I I I I I
30 40 50
I
I
I I I
Re', 10
1
80 100
Flandroy et Platten dans le J. de Mecanique, vol. 19, 1980,
278
2. En theorie di te ".faiblement non lineaire ", on a pour but d'obtenir une equation du type de celle de Landau
(16,18) dont le developpement peut etre pousse jusqu'a n'importe quel ordre. Les coefficients d'indice impair sont souvent nuls pour des raisons de symetrie (ainsi, si A satisfait a (16,18), - A aussi). Par ailleurs, cette equation et en particulier le signe des coefficients ai'dits de Landau permettent de determiner le type de bifurcation qui a lieu et nous reviendrons sur ce probleme au chapitre VI suivant. Stuart (J.F.M., vol. 4, 1958 et J.F.M., vol. 9, 1960) et Watson (J.F.M., vol. 9, 1960) ont ete, semble-t-il les pionners de l'application de ces techniques faiblement non-lineaires en theorie de la stabilite hydrodynamique. Par la suite Itoh (Trans. Japan Soc. Aero. Space Sci., vol. 17,
1974), Reynolds et Potter (J.F.M., 27, 1987), Herbert (J.F.M., 126, 1983), Guiraud (Ann. Phys. Fr. 5, 1980), Guiraud et Zeytounian (J. de Mecanique, vol. 17, 1978) et De Coninck, Guiraud et Zeytounian (Q. J. Mech. Appl. Math. 36, 1, 1983) ont utilise et ameliore ces techniques (voir la section 15,5 du § 15). On revient donc a l'equation complete (16,5), avec 0 1 et on
=
admet que la solution de cette equation peut s'ecrire sous la forme
(16,19 )
e
inex(x-c t) r,
ou ex et c r sont pris reels (on s'interesse a une theorie temporelle) et on se limite donc aux solutions periodiques en x. Par ailleurs, dans (16,19), pour que
soit reel, on doit imposer
un systeme infini d'equations couplees :
=1,
et on trouve
279
d
a
-1(_d2
a
_
2 2 2 ( - - k a)- i k a(u... - c ) - "t
dy2
r
.t\
dy2
(16,20)
2 - Y •
OU '13
A partir de la, on fait l'hypothese
~ue
dans la serie de Fourier
(16,19) c'est la composante fondamentale ~1 ~ui est predominante. L'idee alors est, d'apres Herbert (1983), de definir une amplitude A(t) de ~1 par rapport a
la~uelle
on va effectuer des developpements en serie entiere
(en puissance de A). Pour le cas de l'ecoulement de Poiseuille,on prend A(t) = 1~1 (O,t) I,
(16,21)
OU Y
0 designe le plan central, milieu des deux plans delimitant le canal
en y
et y = - 1. On developpe alors les
~k
00
IAI 2n L n=O
(16,22)
OU
~
0,0
:: 0 et les
P1 k
~k
N ( ) ,n y , k e ,
sont normalisees facilement dans le cas de
,
l'ecoulement de Poiseuille grace a (16,21) : ( 16,23)
~1
,0
(0):: 1 et ~ 1
,n
(0):: 0,
n > 0 •
On reporte ensuite (16,22) dans (16,20) et on identifie les termes suivant les memes puissances de A. On obtient ainsi une hierarchie ~ui
montre
~ue
(16,20) fournit
d'e~uations
le procede est iteratif. En particulier, au premier ordre, l'e~uation
A(t)
{1 '
2
- ( d- - a 2 ) -ia Re dy2
(16,24) - 2ia}
~1,0
dA
dt
d
2
(Ug-cr~ 2
2dy - a ) ~1 , 0
i
(-- ( 2)
dy2
o .
280
Soient maintenant L
et
deux operateurs tels que (16,24) se
U
mette sous la forme A
dA
L <1>1 , 0
dt
o
U <1>1 , 0
on ecrit alors 1 dA
- -
( 16,25)
A dt
=
L<1>l 0 U<1>l , 0'
---:.L
ou
A
~
Par consequent, t et y sont separables et A
=
a une
et L<1>l,o;lU <1>1,0
meme constante que l'on note a c i wi de sorte que Ie premier terme du developpement (16,22), lorsque k = 1, corresponde au cas sont egaux
lineaire; l'operateur
L-
Wi U est celui d'Orr-Sommerfeld (16,10) et donc
au premier ordre,on a
(L - wi
( 16,26)
U) <1>1,0 = 0
dont la resolution fournit les valeurs propres c
et c
i
r
et la fonction propre
<1>1,0'
Par ailleurs, cette succession d'equations obtenue en reportant (16,22) dans (16,20) permet bien de trouver I I equation
"a
la Landau". On cherche
a priori ( 16,27)
d'apres Itoh (J.F.M., 181, 1987); en fait, il faut bien voir que l'on reporte dans ( 16,20)
a la
fois (16,22) et
suivant les puissances de
IAI·
(16,27) pour pouvoir identifier les termes
En particulier, d'apres (16,25), on a i
( 16,28)
On continue en determinant
~
't'0,1
w.1
W.
1
et 't'2,0 ~
_
a c. 1
dans des equations qui ne
seront plus homogenes. Et ainsi de suite; en regIe generale, les coefficients de Landau A., dans (16,27) sont obtenus grace 1
a des
par rapport au noyau de l'adjoint de l'operateur (16,26) •
relations d'orthogonalite
L - Wi U , singulier d'apres
281
On notera que la serie (16,27) ne converge que si, au depart, on est parti d'un mode instable pour la theorie lineaire, c'est-a-dire si c 1' > 0 (en fait pour c. = 0 la serie reste convergente); pour c. < 0, 1
1
l'hypothese faite au debut consistant a dire que
~1
est predominant dans
(16,19) devient fausse. Ainsi, donc, la demarche est valable pour a a l'interieur de la courbe neutre. On peut aussi aborder Ie probleme de la stabilite non lineaire (faible) en recherchant la solution pour un "paquet" d'ondes instables (en theorie lineaire) sous la forme approchee suivante :
(16,29) ou a
c
A (X, T) e
is c
It
+ A
(X,T) e
-is c
ec = ac x-w ct '
est Ie nombre d' onde du mode Ie plus instable et w sa frequence. c It 1/2 Au niveau de (16,29):X = E x, T E t, avec E= IRe-Re I «1.
La modulation "faible" de A en espace et en temps represente un paquetd' ondes et comme l'ont montre Stewartson et Stuart (J.F.M., 48, 529-545, 1971) cette amplitude A des modes les plus instables est gouvernee par l'equation aux deri vees partielles suivantes : (16,30) ou A1 =
~ =
£A ' c
ce qui permet de tenir compte des termes non lineaires,
=E
=2
t) et T = E T E t avec c = (i dS g g daa=a vitesse groupe et S Ie taux d'amplification tel que c X -
g
T
(x - c
la
(16,31 ) et
Re
->-
Re
lJ
On notera que wc et c g sont des constantes reelles, tandis que a 1 et a 2 sont des constantes complexes ~ant des parties reelles positives. lt Pour l'ecoulement de Poiseuille,on a c > 0 et l < O. Si Re > Re et g
r
lr < 0, alors A1 peut tendre vers 1 'infini lorsque T tend vers une valeur finie pour un ~ fixe - ces solutions dites explosives sont revelees par des etudes numeriques en resolvant Ie probleme avec valeur initiale, la donnee initiale est
la solution
~ondamentale
ou
de la solution lineaire.
La raison pour laquelle on prend cette donnee initiale tierrta ce que, si les perturbations initiales sont quelconques et resultent de la superposition
282
d' un spectre continu de modes (pourvu seulement qu' elJ.es soient franchement dans 2 le domaine lineaire) il faut un temps 0 (E- ) pour que les effets non lineaires deviennent appreciables et alors tous les modes non amplifies sont devenus parfaitement negligeables (nous revenons sur cette question
a la
fin de ce
a la
section 16,4,
§ 16). Ces solutions explosives pourraient avoir un rapport avec
les bouffees de turbulence,observees dans le phenomene de la transition laminaireturbulent (transition via l'intermittence qui est caracterisee par un melange de phases d'evolution reguliere,presque periodiques, interrompues temporairement par un comportement d'apparence anarchique (boufrees de turbulence)). On trouvera, dans l'article de Benney et Maslowe (Stud. Appl. Math. 54, 181-205, 1975),une theorie complete pour l'obtention d'equations du tyPe de celle ecrite en (16,30). Signalons aussi l'article de synthese de Maslowe dans le livre edite par Swinney et Gollub (Hydrodynamic Instabilities and the Transition to Turbulence, Springer-Verlag, 1981; voir le chapitre 7 cons acre transition et aux instabilites de l'ecoulement cisaille). Pour notre revenons
a cette
a la
par~nous
equation dans le contexte de l'etude de la formation et de
l'evolution non lineaire d'un paquet d'ondes de Tollmien-Schlichting (voir la section 16,4) - d'apres un travail de Guiraud et Zeytounian (J. de Mecanique, vol. 17, nO 3, 1978).
16,2. VERIVATION VE L'EQUATION V' ORR-SOMMERFELV PAR LA TECHNIQUE VE BOUTHIER Nous partons de l'equation (16,3) pour
~(t,
x, y) et nous recherchons
la solution de cette derniere sous la rorme ~(t, x,
(16,32) ou
0«
1 en theorie lineaire. Comme
stationnaire, associee ( 16,33)
= ~B
y)
a
(x, y) + 0 lj>(t, x, y) , ~B(x,
y) doit satisfaire
a l'equation
(16,3),
a~B
(ay-
a a~B i:l 1 ax - a;z- i:ly - Re
6. 2 ) 6. 2 ~B = 0
il vient, en theorie lineaire, pour lj> (t, x, y) l'equation lineaire suivante
(16,34) + (alj>
ay
a ax
et les conditions aux limites pour
o lj>, satisfaisant
a
(16,34), sont homogenes.
283
Bouthier (J. de Mecanique, vol. 11, nO 4, 599-621, 1972) a montre que, lorsque le defaut de parallelisme est faible (ecoulement presque parallele), on pouvait employer une MEM en faisant intervenir une modulation lente de l'amplitude des modes en x. Dans ce cas, on constate que l'equation generale d 'Orr-Sommerfeld regit la premiere approximation d'un developpement de la perturbation en echelles multiples et qu'en poussant aux approximations d'ordre superieur et en ecrivant une condition d'annulation d'un terme seculaire, on obtient une equation regissant la variation (avec x) des perturbations. Fosons done, avec Bouthier,
(16,35) oil
e:«
I;=e:x,
T=e:t,
Tl -
Y
A
= 8(s,T) e:
,
1 est un infiniment petit qui caracterise le "non-parallelisme" de
l'ecoulement, tandis que la fonction
6(I;,T) dans (16,35) est, pour l'instant,
arbitraire. Des lors avec ces nouvelles variables nous avons :
(16,36)
~B(x,y)
= F(I;, Tl;
e:);~(t,
x, y) = f(A, Tl,
S,
T; E),
avec les formules de derivations suivantes
(16,37)
_ ax a~
af a8
(16,38)
Si nous substituons (16,37) et (16,38) dans l'equation (16,34), alors la perturbation en E apparait, selon la MEM, comme etant reguliere, d'oil pour F et f' les developpements asymptotiques suivants :
(16,39)
F(I;,
1'];
e:) = Fo(I;,Tl) + e: F (I;,Tl) + ... ; 1
F(A,Tl,I;,T;E) = fO(A,Tl,I;,T) + e: f 1(A,Tl,I;,T) + A l'ordre e:o,nous obtenons ainsi l'equation suivante, pour fo' dont
les coefficients ne contiennent pas la variable courte A :
284
(16,40)
Comme les coefficients de cette equation (16,40) ne contiennent pas la variable A, nous pouvons rechercher sa solution sous la forme suivante
et il vient pour Xo
(16,41)
11 suffit ainsi de poser
aF o an
(16,42) pour retrouver l'equation d
I
= UB ,
ae
~ =
- c ,
a,
Orr et Sommerfeld ecrite sous sa forme habituelle 1
-.~aRe
(16,43)
~
a2 an 2
-
- a
J
2 2 X + (U 0
B
a2 an 2
2
- c) [ - - / a X _
0
Cependant, il y a une difference notable qui est liee au fait que a et c ne sont pas des constantes et que U est aussi fOl1ction de I; ; dans la B theorie classique de la stabilite lineaire a et c sont des constantes et UB == UB(n).
Cette equation (16,43) avec les conditions aux limites
aX
( 16,44)
Xo
=--2.=0
lln
sur n
+
= h~
(I;) ,
lorsque l'on suppose que l'ecoulement a lieu entre deux parois "presque" paralleles (I;
=£
x ,
£
< < 1; x variant lentement)
(16,45) determine la fonction ~o = X exp(iA),a une fonction amplitude Ao(I;,T) pres. o Pour obtenir l'equation donnant la variation de A ' en fonction de I; et de T, o il faut pousser jusqu'a l'ordre £ et ecrire l'annulation d'un terme seculaire
285
en
£
Aexp( iA) apparaissant au niveau du terme
£
f 1 du developpement (16,39).
On notera ~ue l'e~uation (16,41) avec (16,44),impli~ue l'existence d'une relation
caracteristi~ue
G (~
de dT ' d~
(16,46) ~ui
:
est, en fait, une
e~uation
o
t") ..
aux derivees partielles non-lineaire portant
sur la fonction de phase (arbitraire)
e
(~,T).
En definitive, a l'ordre £0, on obtient une solution approchee, uniformement valable, pour la perturbation sous la forme ( 16,47)
f
=A
o
(~,T) X (Tl,~) 0
exp
lfi ~J + 0 £
(£)
16,3. SOLUTION ASYMPTOTIQUE UNIFORMEMENT VALABLE VE L'EQUATION VE ORR-SOMMERFELV·) Nous considerons, ici, Ie probleme
classi~ue
de Orr-Sommerfeld
(16,48a)
(16 ,48b)
En fait, on sait ~ue les solutions de l'e~uation (16,48a) (dite "e~uation
OS") se separent en fonctions paire et impaire. Les solutions
impaires sont toujours stables et de ce fait,nous nous interessons
uni~uement
aux solutions paires. Pour ces dernieres, a la place de (16,48b),on peut imposer les conditions
.) Nous nous inspirons directement de l'article de L.N. Long publie dans: J. of Engineering Mathematics 21, 1987, 167-178. On pourra aussi consulter
Ie chapitre 5 du livre de Drazin et Reid (de 1981, deja cite).
286
MI -U-I
(16,48c)
dy y=O - dy3
y=O
eJ>(1) =
MI
dy y=1
o •
Etant donne que l'instabilite a lieu pour les valeurs du nombre de Reynolds suffisamment grandes, on introduit le parametre ( 16,49)
£
= i
1
Ct
Re
«1 ,
qui est un petit parametre de perturbation singuliere, etant donne qu'il se 4 trouve place devant la derivee d eJ>/dy4.
1. Lorsque
1£1
+
0, avec y fixe, on obtient de (16,48a) l'eguation
dite de R;rleigh (16,50)
ou
(j)
LimP eJ>(y) avec LimP
= Lim a y
fixe.
£+0
Les solutions de l'equation de Rayleigh (16,50) sont dites "non visqueuses" ou exterieures en ce sens qu'elles ne sont certainement pas valables au voisinage des parois. 2. Pour obtenir les solutions dites "visqueuses" ou interieures,il faut introduire la variable interieure
n = ~£
( 16,51)
et
eJ> (£n)
=~(n),
ce qui permet d' obtenir l' equation dominante suivante (16,52)
dite equation tronquee de Reid (voir
a.
ce sujet "Basic development in fluid
dynamics", vol. 1, Academic Press, New-York, 1965).
3. Ci-dessous,on suppose que
2
U
~ et (UB - c) restent toujours de
l'ordre de un. On va tirer profit de la eJ> (y) par:
d
m~hode
en deux echelles,en
rempla~ant
287
<j>(y)
1Il
<j> (y,T) ;e:)
ou (16,53)
T)
avec g(y) et
V
des inconnues
g(y)
a determiner.
Dans ce cas, on a :
er aussi des relations(que nousn'explicitons pas ici) pour d
2
<j>/dy2 et
d <j> /dy4 En substituant dans l'equation os ces relations il vient une equation aux derivees partielles pour <j>~(Y,T);e:),que nous pouvons mettre sous la forme suivante : - e:
2 -1
,,2 lI! dO' 2 0- ,t, ( =dy) (u -c) .:::...-...:I:. B (IT)2
(16,54) _
+ e: 2V (dyndO') e: 4V-1 N (,t,1Il) OJ' -=
2
(1Il) +Oe:,e: (3V 4v) =0, Q<j>
ou L, M, N et Q sont des operateurs differentiels qui sont explicites dans l'article de Long (j987; voir pages j70 et 171). L'equation tronquee de Reid (16,52) nous donne
a penser
que les
deux premiers termes de (16,54) doivent etre dominants, ce qui fait que:
o = 2v -
(16,55)
1
=>
V
=
1
2'
Ainsi, on voit apparaitre au niveau de l'equation (16,54) des termes proportionnels
a e:O,
1 2 e: / , e: ,
uniformement valable de
1Il
• De ce fait, le developpement asymptotique
<j> (y, T); e:) doit etre de la forme suivante :
288
(16,56)
(16,57)
4
o
( 16,58)
<1>1
2
0
2
<1>1
- - r - - r(y) - 011 '+ 13 011 2
=-1- [dg/dy
2 B
]
L ( ) + K (y) M( ) 0
0
(16,59 )
2
avec KB(y)
On notera que (16,60)
N ( ) o
est l'operateur de Rayleigh pour , et se trouve dans le second membre de o l'equation pour <1>2 . On precise aussi que les descriptions visqueuse (interieure) et non visqueuse (exterieure) sont, en
~ait,
inclusesdans les trois premieres
equations (16,57) - (16,59) du modele en deux echelles. La premiere equation (16,57) a pour solution generale A (y)
o(Y,l1)
= -o2 -
+
B (y)
_0 __
exp
~(y)
KB(y)
[-
~(Y)l1 ]
( 16,61) + D (y) 11 + E (y) , o
ou Ao ' Bo , D0 et E0 et
K-13
sont des
0
~onctions
complexes de y.
289
Le second membre de l'equation pour ~1(Y'~) est, grace
a la
solution
(16,61), de la forme suivante :
'~6
A
0
+ 5
_'~6
~ + 2 dy
-13
2 d g / 2 dy
B
0
~ + 2 dy
~-+oo
o
. ,+~-~ proportlonnels a e e
et
a imposer
dB 0 Ie dy -13
= O(l),il ~(y)
~ dy
0
Ie -13
~
exp
dg/dy
~1 Pour assurer que Lim ~
Cela conduit
o Ie - 2 A
dA dy
~aut
2B
0
~ dY
eliminer les termes seculaires
!
:
( 16,62)
( 16,63)
et D (y) o
( 16,64)
Ainsi, on trouve les expressions suivantes, pour g(y), A (y), B (y) o 0
290
{
(16,65)
-5/4
A (y)
a ( U - c) B
D (y)
4 d (U - c)-1/ B
0
0
(y) = b(UB-c)
B
0
-5/4
ou a, b et d sont des constantes arbitraires complexes. 11 reste
a determiner
l'equation (16,59) pour
P2
E (y). o
Pour cela, il
~aut
prendre en compte
(y,n). Si Eaintenant on veut que
P2
Lim -
n-- Po
= O( 1)
,
on constate, d'apr~s le second membre de l'equation (16,59), que E (y) et o D (y) doivent satis~aire a l'equation de Rayle1gh o
( 16,66)
N (E (y) )
o
Ainsi, d'une part, il
(16,67)
=N
s'av~re
d = 0
o .
(D (y) 0
que
si
et d'autre part que 2
(16,68)
[
a laquelle probl~me
il
~aut
d _ E0 _
dy2
-ciE J
d
2
U B =--E 2 0'
0
dy
associer les conditions aux liEites habituelles pour le
de Rayleigh.
2
2
En conclusion, lorsque U - c et d UB/dy restent de l'ordre de un, B on trouve une solution approchee, uni~ormement valable de l'equation OS sous la forme suivante
Po ( 16,69)
ou
(y, n)
291
(16,70) et
n
4. On trouvera dans le travail de Long (1987) le cas ou 2
d UBI
2
UB(y) - c
et
ont des zeros simples (en un meme point). Pour le cas plus general,
d,v.
concernant les
2
.
de U - c et d U 2 , on pourra consulter le l~vre B B/dy de Drazin et Reid (1981; voir les §§ 36-41). Supposons, ici, qu' en un point prof~ls
y = Yc on ait
dans ce cas, au voisinage de y
= yc ,
il faut resoudre localement un probleme
dit "de point tournant". Pour cela on introduit une variable locale
y-yc
y =-8-
avec 8 (Re) + 0, lorsque Re +
00
•
Dans ce cas, l'equation OS (16,48a) pour la fonction <j>(y)
(16,73)
conduit
a l'equation
dominante :
dUBl dy
y=y
c
ce qui implique que (ex Re)
-1/3
Ainsi, il vient pour ~o(y) l'equation suivante
292
(16,75)
i
d~~O +~EI J ~
Y=Yc qui s'ecrit sous la forme d'une equation d'Airy, en introduisant (16,76)
-
·l ' o
dUB J!3
(-) dy
(16,77)
y=Yc
)
o .
is )
Cette equation (16,77) peut toujours se ramener a une equation de 2 Bessel classique pour la fonctionC s 1/ 2]d $O/ds 2 ' ce qui fait que l'on a / les deux solutions suivantes ~(
S
t/J o
s
I I
1)
(s)
ds
+00
(16,78)
~(2\s)= 0
t
ds
-00
et
+00
r
s 1/2 H( 1) 1 1/3
(~
(i (1)
3/2 ) dS 1
s1/2 H(2) (~ (i s )3/2) dS 1 ' 1 1 1/3 3
-00
(2)
H / sont,respectivement,les fonctions de Hankel de premiere et 1 3
de seconde espece d'ordre 1/3. Les deux autres solutions de (16,77) sont triviales et elles correspondent aux comportements des deux solutions non visqueuses de l'equation de Rayleigh, lorsque y
+
y
c
.
16,4. SUR LA FORMATION ET L'EVOLUTION NON LINEAIRE V'UN PAQUET V'ONVES VE
TOLLMIEN-SCHLICHTIN~) La situation que nous avons en vue, ici, concerne l'evolution en regime non lineaire, des perturbations
a un
ecoulement parallele, independant du temps
et "faiblement" instable. Nous notons x et y les coordonnees dans le plan auquel l'ecoulement est parallele, et z la coordonnee normale.
*) Nous nous inspirons directement de notre article avec J.P. Guiraud (J. de Mecanique, vol. 17, nO 3, 1978, 387-402).
293
Soit
U la matrice (colonne) des trois composantes du vecteur vitesse
de perturbation et U verifie une equation d'evolution (voir (15,69))
=L
dU
dt
U + M (U,U) .
15,4) que (16,79) est deduit des equations
On sait (voir la section
de Navier (15,57) pour un fluide incompressible. Dans (16,79), L est un operateur lineaire dependant de l'ecoulement parallele dont on etudie la stabilite et M est un operateur quadratique. Tous deux sont des operateurs differentiels, qui contiennent chacun un terme en
a realiser
gradient d'un scalaire, destine
la condition d'incompressibilite
pour L U et M (U,U), etant entendu que U elle-meme est assujettie
a cette
contrainte. Enfin, la somme des deux gradients n'est autre (au signe pres) que le gradient de la perturbation de pression. On notera que nous sommes,ici,dans le cas de perturbations non confinees. L'invariance de l'operateur lineaire L par translation suivant x et y incite
a
utiliser la transformation de Fourier :
U==
( 16,80)
FU
If
et l'on definit un operateur L
e
-i(a.x+SY)
i(a,S) tel que
dU = L
( 16,81)
dt
U dx dy
U.
Si, comme nous le supposons, l'ecoulement de base est confine dans la direction des z, par exemple d.ans l'intervalle (0.1), l' operateur L
admet une
suite complete (totale) de fonctions propres an, avec pour valeurs propres associees ~n' n = 0,1,2, ... A chaque
Un
1II)
est associee une fonction propre de l'operateur adjoint,
~n
soit V , et l'on a la relation d'orthonormalite
( 16,82)
I Un V"'m 1
k
k
dz
onm
o
OU 0nm designe le symbole de Kronecker, l'indice muet k etant somme de 1 a 3 et "1II" designant le passage au complexe conjugue. Naturellement,
l'asterisque
~ . l'indice inferieur "k" deslgne
~n
~~m
les trois composantes de U et V
.
294
1. L'hypothese fondamentale que nous formulons sur I' ecoulement de base non-perturbe est qu'il est au voisinage de la stabilite neutre. Cela se traduit sur les valeurs propres
supposees classees dans l'ordre decroissant de leurs
~n'
parties reelles. On a d'abord (16,83)
n ~ 1
ce qui revient
a dire
quels que soient a
Reel
n
) < 0,
. Ensuite, on suppose qu'il existe dans Ie plan des
~
(a,~)
un petit domaine 6 tel que
{
(16,84)
(a,~)
e
6 => Reel
(~
2
o
) = 0 (£ ) ,
ou 0 (£) est une fonction de jauge telle que: £ « Le petit parametre du diametre de 6
(~
que tollS les modes, sauf eventuellement un, sont attenues,
et
variables de Fourier
(a,~) =>
\I
£
«
0 (£) « 1.
1 est manifestement, ici, de l'ordre de grandeur
et il s'avere que c'est aussi l'ordre de grandeur de l'amplitude
des perturbations dans Ie regime non-lineaire. On notera que (16,84) signifie ceci Ie mode ~
o
associe
a UO
est attenue dans la majeure partie du plan (a,~) et seul
un petit domaine 6 de ce plan conduit
a une
amplification et celle-ci est 0 (£2).
Les conditions (16,83), (16,84) constituent la maniere precise de traduire Ie fait que la stabilite de l'ecoulement de base est marginale. L'etude de l'operateur
1
montre que
6 = E+ U E- OU E+ est un petit domaine de forme ovale autour du point (a , 0) et E- est o
Ie domaine obtenu par symetrie relativement
a
(0,0). Au point (a , 0), on suppose que
Reel ~
o
(~
) est maximal. Ainsi, on ales
.0.
.)
symetr~essU1vantes
:
0,0
(16,85)
ou S designe l'operation qui consiste
a changer
Ie signe de la seconde composante
de la matrice Un (oude celIe de son conjugue complexe (i*n). II resulte maintenant de (16,83), (16,84) et (16,85) et du choix effectue pour (ao ' 0) que si, sur E+, l'on pose: ~) C'est bien Ie cas qui correspond aux ondes de Tollmien et Schlichting (ondes TS).
295
( 16,86)
ex = exo +
'U
'U
B de
avec ex et
l'ordre de un sur
r;; ( 16,87)
o
= r;;
0
(a
0
+
E
E
'U
, B=
ex
E
~
alors on peut ecrire
~
6:, E~)
= - i A - E i 0
.e. 6:
une fois que l' on tient compte du fait que :
or;; Reel (~) oa ex
,0
or;;
0; =0 du fait de la symetrie en B de r;;o'
= 0 et
o
On notera qu 'au niveau de la relation (16,87), A , constantes reelles, tandis que a On designe par pl~n
F-1
2
et b
2
.e.
et y
0
sont des
l'inverse de la transformation de Fourier dans le
(x,y); dans ce cas on ecrira que U
o
sont des complexes.
F- 1
00
{L
n=O
(16,88)
.)
(FU,r) Un }
X+ Y ,
ou
( 16,89)
{
1 X = F- {1(~) (F U , vOl DO}
y
pU;
F- 1 {l(c~) (F U, vOl DO +
L
n#O
OU (.,.) est le produit scalaire (voir (16,82))
(F U, vn) un}
a partir
QU,
duquel l'adjoint de L
est defini. Les relations (16,89) definissent, en fait, les operateurs de projection P et Q; dans ces relations (16,89) intervient la fonction caracteristique du domaine (16,90)
l(~)
=
1,(a,B)
e ~;
{ O,(a,B)
e b,
et aussi celle de son complement,C b,dans le plan (a,B), de fa~on analogue (0 si (a,B)
e
~ et 1 si
(a,B)$
~)
~'
qui est defini
.
• ) A la difference de (15,80) nous ne mettons plus de "fleches" sur X et Y.
296
On a maintenant :
et du fait de la normalisation, d'apres (16,82),
Done
(16,91)
De meme
{
( 16,92)
PY=X-PX=O QX
= X - PX = 0 .
et aussi QY = Q {U-X} = QU - QX - QU Done ( 16,93)
QY = Y . D'autre part LPU
=LX
= F-
!I
1
= F- 1{
=
n=O
I
n=O
'-V
n=O
'n(Fl<,
V"I U"l}
vn )
Sn ( 1(1I) (FU, vo)
fIo,
sn 1(1I) (FU, Vo)
(0°, yn)
on }
un}
297
et de meme PLU
= F- 1 =
{1 (1I) (F L U,
F- 1 {1 (1I)
(I
vOl
Uo}
~n(FU, vn ) un,
vOl DO}
n~O
=
F- 1 {1(1I) ~ (FU, vOl Uo} = LPU .
°
Ainsi (16,94) De meme,on montre que: QLU
= LQU = QLQU = F- 1
{~o
1 (ell) (FU, vOl DO
(16,95)
Mais ( 16,96)
QLPU Si on applique
a
= PLQU = 0
.
(16,79) les operateurs de projection P et Q respec
tivement on trouve de nouveau (voir (15,83)) :
~ =
Lp X + PM (X + Y, X + Y)
~~ =
LQ Y + QM (X + Y, X + Y) ,
( 16,97)
ou Lp
= PLP
et LQ = QLQ .
298 On notera que lorsque (a,e)€
x = F- 1
( 16,98)
Lp x
=
~,
d
on a
U"},
1(c~) ~ = a ,
F- {~o ~ Uo } 1
~
,
= (FU
, vOl ,
et on constate que la dimension de l'espace dans lequel X varie est en fait "petite", puisque la mesure de
~
est petite. On notera aussi, que pour calculer 1II)
PM (X,X), il suffit de se restreindre
a
(a,B)€
. Pour Ie cas des ondes TS,il
~
s'avere que dans l'expression de PM (X,X) interviennent trois facteurs 1(~) ce qui fait que 1 'on a bien :
(16,99)
PM (X, X)
a .
D'apres (16,94), ou (16,98), et (16,87) on constate que
(16,100) avec A, B et C des operateurs que l'on peut expliciter; on notera que l'operateur A est obtenu, par exemple, en rempla~ant dans l'expression de Lp ' (16,98), ~o par Ie terme 0(1) de son developpement. Ainsi, dans Ie cas de perturbations non confinees, s'agissant de l'evolution des ondes TS,il faut considerer,
a la
place de (16,86), Ie systeme
suivant pour X et Y : dX = AX + £ B X + £2 C X + ..•
dt
(16,101)
+ PM (X + Y, X + Y)
dY - = L Y + Q M (X + Y, X + y) • dt Q 2. L'evolution temporelle de X dans la phase lineaire est essentiellement regie par Ie facteur exponentiel
exp(~
o
fait en trois phases correspondant
t) et (16,8 ) montre que cette evolution se
a trois
echelles de temps. II y a d'abord un
temps rapide, qui s'identifie au temps physique, t, puis ensuite un premier temps lent
T
= £ t et enfin un second temps lent
e=
£2
t. Le temps
T
decrit Ie
1II) M(X + Y , X + y) = M (X,X) + M (Y,Y) + b (X,Y), avec b(X,Y) la forme bilineaire
de X et Y associee.
299 phenomene lineaire de convection avec la vitesse de groupe, qui est toujours present quand il y a un continuum de modes, tandis que Ie temps e decrit Ie phenomene (toujours lineaire) de diffusion et d'attenuation associe. On suppose maintenant que la condition initiale sur U est arbitraire, mais d'amplitude 0(£2) et dans ce cas on a, initialement, X = 0 (£4) et Y
= 0(£2).
Par ailleurs, en ce qui concerne X et Y, on peut montrer qu'au cours de la phase non lineaire,ils sont respectivement 0(£) et 0(£2); c'est un resultat que l'on peut justifier en supposant que X et Y sont respectivement O(£q) et O(£r) et en cherchant
a determiner
q et r de maniere
a obtenir
une degenerescence
significative des equations retenant les termes non lineaires. Pour alleger •
,~
1 expose,nous posons
!If)
d~rectement
{
(16,102)
T
X
e
t
£
'V
X
£
Y
en convenant que ~ et ~ sont fonctions des trois echelles de temps : t,
T,
e.
Ainsi, la substitution de (16,102) dans Ie systeme (16,101) conduit aux deux equations suivantes :
a~
a:t-
+ £2 {
(16,103)
t~~ -B ~ ]
'V
AX + £
1
a~ _
ae
c
Pb(t~)}
'V
X -
a~ at - LQ Y - Q M (x, ~) + ...
Nous cherchons de la
~~,
'V
a trouver
'V
0
+ •..
o .
la solution de ce systeme (16,103),
a partir
satisfaisant aux donnees initiales
(16,104)
~
et
=~
,pour t
=0
,
sous la forme d'un developpement asymptotique, uniformement valable,
(16,105)
~)
i
'V
X
'V
Y
'V
X + 0
'V
= Y0
£
'k 1 +
£
2
'V
X2 + ...
+ .•.
On notera que l'on fait aussi un changement d'echelle sur les variables horizontales x et y : ~ ~£ x et n = £ y, pour tenir compte d~ relations (16,86). Naturellement Ie X de (16,102) n'a rien a voir avec Ie X de (16,98) I
300
La substitution de (16,105) dans (16,103) conduit
a une
hierarchie
d'equations et, au rang zero, l'on a
o
(16,106)
a'1 o a:t-
(16,107)
L Q
'10 = Q M (~0 ,
~0 )
Comme l'operateur A est lie au terme 0(1) de ~o,d'apres (16,87),on peut ecrire une solution pour ~
o
sous la forme suivante
~o
(16,108)
AO
ou E =: exp [-i (A
AO
13
t - a x)] et U est la valeur prise par U en a a o et o 0 0 O. On constate que ~ est aussi fonction des variables lentes ~ E X et 0
n
E y horizontales. On notera que la premiere condition initiale (16,104)
donne
xo
(16,109) Ainsi, ~
o
a sa
(O,O,~,n)
=0
.
se trouve etre l'onde TS d'amplification maximale relativement
dependance aux variables rapides (t et x) et X joue le role d'une amplitude o modulee par les variables lentes. 'V
11 faut maintenant considerer l'equation (16,107) pour Yo ; on peut
mettre sa solution sous la forme suivante :
(16,110)
et on notera, ici, uniquement que le premier terme de (16,110), r(t)
'1(0) , o
tend vers zero comme exp (-0 (O(E))t) et il est done (en raison de ce que E «
O(E) «
quand e
1) exponentiellement petit en E quand Test 0(1) et a fortiori
est 0(1). Pour preciser la fonction X
o
(T,e,~,n),il
faut progresser dans la
hierarchie d'equations deduites de (16,103) par substitution de (16,105). Si l'on ecrit l'equation en ~ au rang 1, on trouve 'V
(16,111l
aX
at
l
o
301
et on voit tout de suite que les termes en ~o induisent des termes seculaires dans la solution de ~1' L'annulation de ces termes conduit, d'apres (16,108),
a l'equation
:
(16,112) En introduisant c
g
=
,C 1
(vitesse de groupe de 1 I onde TS), cela permet 'V
de preciser la solution (16,108) pour X o
3co
( 16,113)
= "Reel
{q
(e, F; - c
0
g
T,n) E
[jO0 } ,
ou l'amplitude qo reste indetermine. II faut pousser jusqu'au rang deux pour esperer obtenir une equation regissant l'evolution de qo relativement F; ,
a e,
n . 'V
Au rang deux.on trouve, pour X2 , l'equation suivante 'V
aX 1 'V ¥ - A X2 + -at'- - B X1 a3c 2
( 16,114)
'V
a3c
+~-c3c
ae
Pb(3co , ~0 ) .
0
Si l'on tient compte de (16,112) et de la solution (16,113) pour 3c et que l'on impose (par analogie avec (16,112)) la condition:
o
(16,115) 'V
on trouve pour Xl la solution suivante :
( 16,116) Pour comprendre l'origine rn1 second terme dans la solution (16,116), il faut se rappeler que &0, dans la solution (16,~13), provient d'un developpement o + E~, e~). Ainsi, l'annulation des ternes seculaires (16,115), o engendres par les termes en ~1 d~~s l'equation (16,11 h ), permet d'ecrire la en E de &o(a
'V
solution (16,116) pour X satisfaisant
a l'equation
(16,111). Maintenant, il faut annuler les termes en 3c au niveau de cette meme equation (16,114), pour ~2' o 1
302
afin d'obtenir l'equation sol~tion
a laquelle
la fonction q
o
(qui intervient dans la
(16,113)) doit satisfaire. Si l'on tient compte de la signification
de l'operateur C au niveau de (16,100), en relation avec la decomposition ( 16,87), on obtient l' equation di te "de I' onde enve~", pour qc' Sllivante 2
(16,117)
as
2
1 aqo dqo Yo qo - - (a - - + b - - ) = F(qo) • 2 2 d~2 2 an2
ou F(qo) designe un operateur non lineaire, cubique, qui se trou,re explicite par Davey, Hocking et Stewartson (~.F.M., vol. 63, 1974, p. 29-36). La formation de l'operateur Fest la seule partie laborieuse des operations dans les applications.L'avantage de la presente methode (due initialement
a J.P.
Guiraud) est
evident si I' on remarque que l' on peut formuler simplement la regIe
a appliquer
pour former ce terme non lineaire de l'equation enveloppe : on substitue ~ ( 16,113)
et
o
d'apres
'{o donne par (16,110), mais I 'on ne retient que les termes dont
la dependance relativement
a la
variable temporelle rapide est en exp (-A
En appliquant cette regle,il faut prendre garde que
a assurer
gradient d'un scalaire destine
o
t).
b(~, '{ ) contient Ie o 0
la condition d'incompressibilite; cela
introduit une complication qui se trouve decrite dans Ie travail de Davey, Hocking et Stewartson de 1974. Nous pouvons ecrire que : ( 16,118) avec l' equation suivante pour
n:
( 16,119) ou K0 et K1 sont des constantes. Pour achever de determiner qo,il faut tenir compte de la condition initiale (16,109) qui donne: (16,120) et sous reserve d'unicite, il en resulte que l'on a (16,121) Cette conclusion paratt etrange
o
pour
s
(~
; 0)
= 0(1)
En fait, la condition S = 0(1) dans (16,121)
est essentielle. Si l'on considere l'equation (16,117) comme une equation dominante
303
regissant le terme principal de l'onde enveloppe et non pas sa £
+
0, on voit
remplaqant
~u'en
~o
par
~
dans
limit~ lors~ue
(16,117), on doit
l'e~uation
~ui est 0 (£3). Comme la
resoudre cette derniere avec une donnee initiale
solution ~ = 0 de (16,117) est instable,on voit ~ue l'on a ~ = 0 (£3),pour
e = 0(1),
ce
~ui
conclure en ce
est en accord avec (16,121), mais
~ue
coneerne toute phase ulterieure,ou
~ui
pousser plus loin le developpement pour elucider cette
l'on ne peut rien
e
»
1. Il nous faut
~uestion.
3. Nous voulons done comprendre comment se forme l'onde enveloppe. Si l'on tient compte de (16,121) alors
r
(16,122)
(t)
1'( 0) o
(16,123) tandis
~ue
'V
,
...
/
pour Y1,1 on ale probleme lineaire 'V
o ce
'V
ce
~ui
It=o
0,
'V
Y == o. 1 Pour X on retrouve alors une 2 fait ~ue, d'apres (16,116) ,
~ui impli~ue :
YJ
e~uation
Reel {~2 (e, ~ - c g
Re"
(16,124)
T,
du meme type
n) E
{i [',~1 (',~ ),
~ue
'V
celle pour Xl '
Doo }
ou l'on a anticipe sur l'annulation, necessaire, du premier crochet dans /
•
l'e~uatJ.on
'V
ci-dessous pour X : 3
(16,125) +
{aEf-C
a~l
Pb(~l'
l'o )'Vne
'V
donne aucune contribution seculaire dans X3 en raison du comportement de Yo pour t + 00, mais les deux premiers termes du Le terme
second crochet donnent une tElle contribution seculaire et cela donne une
e~uation
pour
~1
:
~u'il
convient d'annuler
304
o et comme ql(O, ~, n) facilement ensuite
= 0,
l'on en deduit que ql -
que,aussi'~2
=0 et ~2 =0
o
et done
'V
Xl - 0 . On voit
Finalement, le premier terme non nul dans le developpement de ~ est ~3 'V
'V
et l'on a (d'apres (16,125) ou X2 et Xl sont nuls)
'V
tandis que l'elimination d'un terme seculaire dans X conduit a 5
o .
(16,126) Mais cette i'ois q3(0, ~,n)
= q~ :f
0 et la solution de (16,126) est
la solution fondamentale de (16,126),ce qui donne, pour 8 fini, ~-c
T
(--g-
(16,127)
18
ou la fonction
A peut
etre explicitee.
Tout ce qui precede montre que la formation de l' onde enveloppe est essentiellement un phenomene lineaire qui a lieu sur une duree tres longue
o (~ ). Ce phenomene de formation se produit en plusieurs phases. Au cours
e: d'une premiere phase dont la duree est 0(1), toutes les composantes amorties de la perturbation s'evanouissent. Au cours d'une seconde phase dont la duree
est 0 ( 1/ e) ;la composante non amortie de la perturbation se redui t a l ' onde de TS d'amplification maximale, convectee avec la vitesse de groupe, concentree dans l'espace des variables spatiales lentes
(~,n),
dont l'amplitude est,
sous les hypotheses faites concernant l'ordre de grandeur des perturbations
. . . ". . . 1n1t1ales, de 1 , ordre de e: 4 , c est-a-d1re 0 (2) e: en compara1son de 1 , amp11tude de la perturbation initiale. Ce n'est que durant la troisieme phase de duree
o
(11'e: 2 )' que l'onde formee durant les phases precedentes est amplifiee et diffusee comme indiquee par la formule (16,127). Ce processus d'amplification et de diffusion est essentiellement
lineaire et coincide avec le resultat d'une analyse asymptotique ei'fectuee sur une representation integrale de la solution lineaire, par Gaster (J.F.M., vol. 32, 1968, pp. 173-184).
305
4. Maintenant si lIon revient ala solution(16,127) on constate que la perturbation devient effectivement de llordre de £ lorsque :
et cela incite
a.
e
remplacer l' echelle de temps
par la nouvelle echelle T
(16,128) •
11 faut donc reprendre tout ce
'" ont la meme forme que celle Y 0....
l'equat~on
qu~
obtenue
........
'V
tV
precede et on trouve que Xo' Xl et
au point 2 de cette section 16,4, mais
'"
pour X2 ' (16,114), est remplacee par
::2 -A~2 la~~ -B~1 ] +
(16,129)
l -
+
T
e)
(Yo T -
'"
aXo aT
Il faut noter que lorsque Test O( 1 ), alors
'"
e
est O( 1/ ILog £ I) .
L'annulation des termes seculaires de X2 provenant du second crochet de (16,129) conduit a. l'equation :
(16,130)
et on notera que s~ relative
a.
T
= 0(1)
alors ~«
1 dans (16,130). La donnee initiale
cette equation (16,130) doit etre remplacee par une condition de
raccord, impliquant que, dans un domaine de recouvrement, la solution convenable de (16,130) et celle de (16,126) avec q3(0, ~, n) Or l'equation (16,130) est identique
a.
= q~
# 0, doivent se raccorder.
(16,117),au changement pres de
de sorte que rechercher une solution de (16,130) satisfaisant raccord mentionnee revient (16,131)
e
a. Lim £-+{)
a.
e
en T,
la condition de
chercher une solution de (16,117) telle que qo £3
ye
e 0 =-- A e
(.516
etant fixe et 0(1). L'etude de ce probleme a
ete
...!l. )
16
,
presentee par divers auteurs,
306
notamment par Hocking (Mathematika, vol. 21, 1974, p. 134-146) et Haberman (SIAM J. Appl. Math., vol. 32, 1977, p. 154-163). L'equation (16,117) qui, en
~ait,
peut s'ecrire sous la
Iqo I2
( 16,132)
~orme
suivante
o ,
=
du moins dans le cas des ondes de TS bidimensionnelles, est identique
a celle
ecrite en (16,30) pour l'amplitude A1 du paquet d'ondes instables. Le processus, de developpement adopte, ici, pour l'obtenir est sans doute le premier qui permet de suivre l'evolution des perturbations depuis l'instant initial jusqu'a la phase non lineaire. En outre, ce processus permet de traiter, d'une maniere non detournee et finalement plus simple que la methode des modes discrets de Diprima, Eckhaus et Segel (J.F.M., vol. 49, 1971, p. 705-744), la
di~ficulte
liee
a la
presence
d'un spectre continuo Dans un sens, on peut dire que la methode de developpement utilisee combine la MDAR et la MEM. Le developpement principal (ou exterieur), . "a t = 0 (""2 1 )' est un developpement / / au sens de la MDAR, valable Jusqu en echelles
multiples: t,T = £ t et e = va1 abl e pour t = 0 [ -1 Log 2 £2 T = -t£ exp (y £ t),ou exp lineaire.
o
£2 t, tandis qU~ le developpement local (interieur), (-£1 ' est auss~ en echelles mult~ples t, T et 2 (y £ t) est le ~acteur d'ampli~ication de la theorie
)J
0
.
/
.
L'INSTABILITE CONVECTIVE DE RAYLEIGH-BENARD
Le probleme di t de "Rayleigh-Benard", que noUE considerons Ii. ce paragraphe
1~
est celui d'une convection interne entre deux parois planes
de temperatures differentes. Soit To une temperature (absolue) constante de reference qui est celIe de l'ambiance et supposons que la paroi solide inferieure x Ii. la temperature
avec
~
T > 0 o
3
=0
est
un accroissement (positif) de la temperature. La paroi solide
superieure, situee Ii. une distance d de la paroi inferieure x
= 0 et parallele 3 Ii. cette derniere, reste Ii. la temperature To < T1 • On suppose donnes l' ecart de temperature ~ To et la distance d qui separe l'une de l'autre les deux parois
paralleles. L'analyse qui suit conduit Ii. imposer une contrainte sur d, si l'on veut retrouver les equations dites de Boussinesq qui servent de point de depart Ii. l'analyse mathematique de l'instabilite convective. Dans tout se qui suit on considerera un liquide dilatable caracterise, du point de vue thermodynamique, par la loi d'etat simplifiee suivante : p
P (T) ,
ou Pest la masse volumique et T la temperature absolue. Dans ce cas, il est clair que l'energie interne specifique du liquide e est aussi fonction de T seul, e = e (T) ,
et de ce fait,
~; = C(T) , ou C(T) est la chaleur specifique du liquide.
308 Enfin, les coefficients de viscosite >.
et
]l,
ainsi que le coefficient
de conduction k seront aussi des fonctions uniquement de la temperature absolue
T . Du point de vue physique, ce phenomene de convection, dit libre, consiste essentiellement en un transport de chaleur dii Ii des mouvements de fluide provoques par un champ de pesanteur
(forc~ dit~
d'Archimede). La convection libre, interne,
prend naissance lorsque des perturbations du champ des temperatures, correspondant Ii un regime de conduction pure, croissent au lieu de s'amortir (instabilite convective). Cela se produit pour une certaine valeur critique du nombre sans dimension Ra V
o
K
qui est le nombre dit "de RaYleigh", forme pesanteur), V
o
=]l
So
0
a partir
de g (l'intensite de la
(le coefficient de dilatation vOlumique du li qui de ) ,
(T 0 )/p(T) 0
et K
!J. T , d , o
k(T ) o o
C(T ) P (T ) o 0
Par exemple, pour l'espace compris entre deux plaques rigides horizontales isothermes, si la plaque inferieure est la plus chaude, le nombre de Rayleigh dit critique Ra* est egal Ii ]708. Dans ce cas, lorsque Ra > Ra· , le flux de chaleur qui traverse l'enceinte est superieur
a celui
qu'on aurait eu par conduction pure
seule, et le rapport des deux flux croit en fonction de Ra. Cette augmentation de flux est due
a la
presence de tourbillons en rouleaux ou encore polyedriques, au
sein de l'espace fluide entre les deux parois, qui sont les tourbillons dits de Benard - on est alors en presence d'un phenomene d'instabilite convective qui est celui de Rayleigh-Benard. Il apparait des mouvements organises dans l'espace sous forme cellulaire;
ces cellules (dites aussi de Benard) sont disposees reguliere-
ment et chacune d'elle est le siege d'un echange de chaleur par conduction entre les deux faces de la couche, sans qu'il y ait passage du fluide d'une cellule Ii '" une autre. Ce phenomene appara1t seulement lorsque Ra > Ra • et c , est la' un ph"enoA
mene typique de bifurcation sur lequel nous reviendrons au chapitre VI suivant.
309
le nombre de Rayleigh peut aussi se mettre sous la
Notons,enfi~que
forme du produit de deux nombres sans dimensions Ra = Pr.Gr, ou Pr
=VO/ K
o
a partir
est le nombre de Prandtl (forme g B !J. T
Gr
de C(T ))' tandis que o
o
est le nombre de Grashof.
11,1. VERIVA.TION ASYMPTOTIQUE VES EQUA.TIONS VE BOUSSINESQ
, i = 1, 2 et 3, un systeme de coordonnees cartesiennes dans est dirige vers la direction inverse a celle de la gravite. Les
Soit {X.~ } lequel l'axe x
3 equations de depart sont celles de Navier-Stokes avec dimensions
++ Op
Du~ ~
a;:-~
P Dt
+
(17,1)
~
_a_
=
1:
g P Ui3
au. ax.
"\
axi /\
_0_ (
,
~,
_-K )
~
-'"k
au.) ] ; ax.
II (-~ + --.J..
ax. J
J
~
D a~ Dt Log p + -a- = 0 ~
(17 ,2)
DT au. a aT + p --.J.. = (k Dt ax. ax. ax.
p C(T) -
J
au.
2
+A(aJt) J
a et ou,-.!2-=.l....+ Dt at u. ~ J
1:
U
J
On notera que:
~~
13
J
J
+~t::~+
= C(T) ~;
Si les parois sont fixes,
0,
1:
u
33
= 1.
et aussi A
= A(T),
II
= II
(T), k
rigides et,aussi,isothermes, alors on peut
associer aux equations (17,1) - (17,3) les conditions aux limites : (17 ,4)
u.
~
o ,
i
= k(T).
1, 2, 3, sur
x
3
o et
d
310
T
T
o
+!:J. T
= 0
0
1. Equations sans dimensions. Soient Co' AO ' ].l
,
et
~o'
T
T
o
sur
d.
k o et Po les valeurs de C, A,
k et P pour la valeur T = T . Nous pouvons alors definir les grandeurs sans o
dimensions (avec des ''barres'') (17 ,6)
C =
C
Co
Maintenant, on designe par: d,
\J
2
Id,!:J. T , d Iv et
o
0
0
p
0
g d
des
echelles caracteristiques pour les longueurs, les vitesses, la temperature, le temps et la pression,respectivement. Les nouvelles grandeurs sans dimensions de notre probleme sont done x. -
(17,7)
1
x.
~
d
-
'
u
u.
= __1_
p - Po g d
a la
place de (17,1) - (17,5), pour u ' T, p i les equations et les conditions aux limites adimensionnelles suivantes : Comme resultat,il vient,
et p
- _ ---lL-
T
T = !:J.T ' o
void
i
d~ D ---:- Log p + - Dt d~
(17,8)
Du.
-
-11k
p-+-
lit
0'0
ax.
1
(17 ,9)
a
1-
+-p<S. = 0'0 13 ax.
o
[ ]l
au. + --.J.. aU')J
__ 1
ax.
J
J
a;;:.1
pC
au. DT+ - --.J.. 1 (T) Bo P - =Dt ax. Pr J
(17,10)
A
+ -.2. ~o
n
0
J
(k aT
-[- -r
au. 2 ].l A (ax. ) +n o -2
- -J.
a ax. J
(lUi ax.
p
au. (lx.
__ +--J. J
p (T)
)
ax.
1
J
ax.
1
311
ou
- -a- et .12-=.1...+ u. J ilx. at Dt
X (T) ,
A
].1
= :ll (T) et k = k
(T)
J
(n,12)
u.
(n,13)
1 +
T
sur
0
~
,
sur x
0
x
X
T= , 0
et
0
3
et
0
3
3
sur x
3
1
Dans les equations et conditions aux limites sans dimensions (17,8)
a
(17,13),nous voyons apparaitre cinq parametres sans dimensions:
(v Id)2 0
(v Id)2
0
C
o
(n,14) C
].10
'0
0
Le parametre 0
0
!:J. T
0
0
T
0
Pr = - k
no Bo =0 -
0
no
gd
0
= -0!:J. T
0
est l'analogue d'un nombre de Froude pour notre liquide,
tandis que le parametre no est l'analogue d'un nombre de Mach. De ce fait,le parametre Bo est le nombre de Boussinesq pour notre liquide. Enfin" parametre de temperature.
2. Au repos, lorsque ui
=0,
o
est le
on constate que:
(n, 15)
p (T)
et
a
(n,16)
ai. J
k(T) il~
~
ilx.
] = 0 •
J
Supposons que la seule solution de (17,16), satisfaisant x
3
=0
et x
3
= 1,
soit :
aT
= ,
o
sur
312
Dans ce cas, (17,18)
et
P -
p - 1 - x
3
Lorsque u. F O,on suppose que Ie repos est "peu" perturbe; on ecrit ~
donc
T ou A = ~ o v o
h. p 0_ ,
g Po d
correspondant
a h.
T
o
+ 6
avec h. Po la fluctuation caracteristique de la pression
To; on verra que l'on peut toujours faire Ie choix de
A _
(17 ,20)
o
Pour la masse vOlumique p , on trouve que (17,21) grace
a
(17,11), ou
( 17 ,22) avec
.9£1 dT T=T
Ie coefficient de dilatation volumique du liquide. o
Au niveau de l'expression (17,21),on a introduit Ie coefficient
ao
h.T 2
o
[
d~
Log (BP)l JT=To
Si I 'on admet que la grandeur
reste bornee, lorsque
£0
+
0, alors on peut ecrire,
a la
place de (17,21),
313
p
(17 ,23)
avec
w = 8 + I:
a celIe
p
£
0
8
2
+ '"
De la meme fa~o~ on trouve,pour ecrite pour p
{
(17 ,24)
K
o
(8 + I: k
£0
8
2
k et C,des expressions analogues
en (17,23) : ;\
1 -
k
=1 -
£
£
,
II
X,
c=
0
0
I/J
X = 80
U,
~,
1 1 -
M
= 0~o0
r ,
£0
No
~o
I/J ,
0
(8 + I:
r="Q(8+I:
+ •.• ),
£
c
£
8
0
£
II 2
0
8
2
+ ... ) ,
+ ... ) ,
avec des grandeurs A ' M ' K et N analogues a 8 , tandis que les expressions o o 0 0 0 I:;\, I: , I:k et I: c sont les analogues de I: p et ellessont supposees rester bornees ll lorsque £ .... O. 0
3. Si nous prenons maintenant en compte tous les resultats ci-dessus, nous pouvons ecrire, pour u ' i
(17,25)
'IT
et 8,les equations adimensionnelles dominantes suivantes :
Clu.
_J
Cli.
=
J
(1 -
(17 ,26)
F:.
Du.
8) __ J. + A
£
Dt
o
U.J.
+
£
- Gr 8 <5. 13
Cli.
J.
Cl Clx.J.
0
Clx. [ J
0
., ..£:!I...
Clu. Clx.J
ClU.] Clx.J.
8(_J. + -..J.. )
D8 Dt
314
(17,27)
au.
au. 2 _
(_1.
+ ---->l.)
-
-
ax.
e:
ax.
J
{ ....2K 8
0
0
1.
ae a (e ax.J ax.J
Pr
aU.)2 J + 0 (e: 2) 0
au.
(---2:. + ---->l.
ax.J
ax.
1.
A ces equations (17,25) - (17,27),nous pouvons associer les conditions aux limites suivantes
{
(17 ,28)
u. = 0
sur
x
e
sur
x
1.
1
3
= 0
et
x
0
et
e
3
3 0
sur
x
3
1
Precisons qu ' au niveau de l'equation ( 17 ,26), on a (17 ,29)
Gr -
Introduisons,
a la
place de
e
(17 ,30)
e, Ra
la nouvelle perturbation de temperature
(X
3
-
1 + e)
ce qui permet d'ecrire des conditions aux limites homogenes
e =0
(17,31)
sur x 3
=0
=
et
x
3
=1
•
On supposera ensuite que A 1 et de ce fait,on introduira, o place de ~, la nouvelle perturbation de pression
a la
II
(17 ,32)
Enfin, faisons le changement suivant et le temps,
sur les composantes de la vitesse
315
u.
~
=..l v. et Pr ~
Pr T
et designons par 00 le produit de £0 par le nombre de Boussinesq Bo
Si,maintenant,nous effectuons le passage
a la
limite
(17 ,35) de telle
fa~on
que Pr, Ra et
° o
restent aussi fixes, on obtient pour V., e , n , ~
comme etant des fonctions de xi et T, les equations limites suivantes : avo -..1. = 0 ; ax.
(17 ,36)
J
DV. an 1 - -~ + - - - e 0i3 Pr DT ax.
ti v.
~
~
°
[1 + 0 (1 - x 3 )]
°
= ti e +-.£ 2
(17 ,38)
(De - - Ra V )
DT
avo
av. + --S! ai. ai.
(_~
J
3
)
2
~
Lorsque les deux parois sont des parois
~ixe~
rigides, il faut associer,
aux equations (17,36) - (17,38), les conditions aux limites : V. = 0 ~
Lorsque 00
~
et
e
= 0
sur
1.
0, on retrouve les equations classiques de Boussinesq
(dites "de la convection
~ pro~onde"),habituellement
utilisees lors de l' analyse
mathematique du probleme de Rayleigh-Benard-). De ce fait, on dira que les equations (17,36) - (17,38) sont celles de la convection profonde, ou intervient,en plus de Pr et Ra, un troisieme parametre "de profondeur" 00 (qui reste cependant petit devant un) :
a ce sujet le livre de base sur la stabilite (principalement lineaire) de Chandrasekhar ("Hydrodynamic and hydromagnetic stability"; Oxford, Clarendon Press, 1961).
*) Voir
316
Precisons que si, au niveau de I'equation (17,27), on suppose que Bo
~
1,aIors on retrouve toujours les equations de Boussinesq :
av.
_J
ax.
=0
J
dV. __ J.+ Pr DT
(17,41)
an
ax.J.
80 i3
l,. V. J.
D8 DT -RaV3 =t:.8 et dans ce cas,
(17 ,42)
d ~
d'apres les relations (17,14). 4. Pour tenir compte de l'influence du parametre de profondeur 0o,il faut supposer que Bo> 1,de telle grand" que
E:
•
fa~on
que 00' restant petit
devant un, soit malgre tout "plus
C'est Ie cas interessant pour l'analyse de la convection oceanique.
Mais dans ce cas,il faut naturellement remplacer la paroi superieure fixe et rigide par une surface libre. Les conditions sur
8
, au niveau de (17,39),ne changent naturellement
pas, mais il faut preciser Ies conditions composantes de Ia vitesse !
,.
,
a imposer,
sur cette surface libre, aux
...
On supposera qu J.I n est pas tenu compte de la tensJ.on superfJ.cJ.elle
.)
sur cette surface libre, dont l'equation est supposee etre (avec des dimensions) (17 ,43)
Sur la surface libre,on doit ecrire deux conditions: l'une cinematique traduit, en fait, que la surface libre est une surface materielle
( 17 ,44) l'autre, dite dynamique, traduit la continuite de la contrainte
a travers
l'inter-
face (la surface libre) entre Ie liquide (l'ocean) et Ie gaz (l'air atmospherique) • • ) On notera cependant que ce phenomene de tension superficielle sur la surface libre est essentiel pour expliquer les experiences de Benard en couche tres mince ("Les tourbillons cellulaires dans une nappe Ii qui de " , Revue generale des Sciences pures et appliquees, 11, 1261-71 et 1309-28, 1900).
317
Si dans l'atmosphere on admet
~ue
la contrainte se reduit
a une
pression constante
sur toute la surface libre, notee Pa' alors (17,45)
-p
dU.
dU.
d~
J
1.
11:
+ {].I (~ + -...l. ) + A aX. dX. dX,
n1.'
O•• } 1.J
n.
J
ou n
1
- TfhTT
1
dh dX
J
' n2 =
1
- TfhTT
dh
dx 2
n
3
+
1
TJhTT
(17 ,46) Ilhll
= [1 +
(dh dX
... = (n , 1
la direction de la normale n
1
(.£...£... )2-11/2 , dX _
)2 +
2
n , n ) etant dirigee vers l'atmosphere. 2
3
Soit h o = Max Ih (t, xl' x 2 )1, lorsque t, xl et x 2 varient sur la surface libre; l'equation adimensionnelle de la surface libre sera alors
et on ecrira,
a la
place de (17,44) et (17,45), les relations adimensionnelles
suivantes, valables sur la surface libre simulee par (17,47), (17 ,48)
o.. 1.J avec (]
o
=
(Void)
2
gd
caracteristique,
=£o~r
J
n.J
o ,
' une fois que l'on a pris pour Pa la meme echelle
Po g d , que celIe utilisee pour la pression du liquide p.
Mais d'apres la seconde des relations (17,19) et la relation donnant II, (17,32 ), on a (17,50)
p
318
=
puisque A 1. On notera qu' o temperature absolue.
et II
et
e
a cette
pression du liquide p correspond une
Pr ui,aux equations
satisfont, avec les composantes de la vitesse Vi
generales (17,36) - (17,38). Naturellement au repos relation (17,52)
(ui
- O),on aura sur la paroi (rigide) x
=> Pa = -
.1. 2
g d
~.S!£) T=TJ6
edT
D'autre part, si l'on tient compte que lorsque £
T
o
0
+
1 la
3
•
0, avec Gr fixe, on
a aussi que 00 + 0, on constate aisement que, pour hold de l'ordre de un, la surface l'b t etre s~mul"ee, a... 1 a 11m1te, .• . . de f1xe . 11) ~ re peu par la paro1. r1g1 x- = 1. 3 Dans ce cas de (17,48) on a A
•
o , sur
(17,53)
1 ,
puis de (17,49),il vient (17,54)
oil i
1 ,
et 2. Ainsi, dans Ie cas d'une
sur~ace
libre,il faut appliquer les conditions
aux limites suivantes, sur les composantes Y de la vitesse : i aV
llV
- -1= - -2= O,sur
( 17,55) aV 1 aV 2 Mais comme - - + - - + ll~l llx 2
o,
x
3
= 1 •
en derivant par rapport
a x 3,
on
trouve que l'on a aussi :
o ,
(17 ,56)
sur
En particulier, si l'on introduit la camposante normale du tourbillon :
a la limite, la relation (17,49) avec 0, hold restant fixe.
11) D'apres (17,50) et (17,52) on constate que,
(17 ,47) implique bien Ii
+
319
on constate que (17,57a)
W
3
=0
, sur une paroi rigide x
3
=0
OW
3 = 0 , sur une surface libre x ---
(17,5Th)
oX
3
1 •
3
Enfin, on a
e
(17 ,58)
libre
(x3
0, aussi bien sur une paroi rigide
1).
(x3
0), que sur une surface
11,2. LA THEORIE LINEAIRE CLASSIQUE Revenons aux equations generales (17,36) - (17,38) pour les fonctions inconnues Vi' II et
e .
Dans ces equations, le parametre 15
0
est un petit parametre.
En theorie lineaire,nous pouvons postuler une solution de la forme suivante :
(17 ,59)
u +
...
V2
15 Ov +
., .
II = 15 0 p +
.. .
e
15 0 T +
...
V1
15
0
V 3
15
0
...
w +
,
Si maintenant nous introduisons ( 17 ,60)
t
-
1"
x
-
xl
y ::: x-
2
et
z
-
x
3
et si nous substituons (17,59) (ou u, v, w, p et T sont supposes etre des fonctions des variables t, x, y et z) dans les equations (17,36) - (17,38) nous obtenons le systeme lineaire associe (17,61) (17 ,62)
suivant
320
(17 ,64)
( 17 ,65)
Sur une paroi fixe rigide,on devra imposer ( 17 ,66)
T = 0 ,
dw az =0
u=v=w=O
,
tandis que sur une surface libre,on imposera : (17 ,67)
T
=0
dU = dV = 0
,
dZ
dZ
Derivons (17,62) par rapport
2
(h = dZ2
ax
0), w = 0 •
et (17,63) par rapport
ay
puis faisons
la somme des deux equations ainsi obtenues. Ensuite,tirons profit de (17,61) en dU
dV
dw,.
remp1 a~an t dX + dY par - dZ
et
Maintenant appliquons
der~vons
a
,
par rapport a z. II
(17,64) l'operateur
soustraction de l'equation ainsi obtenue avec celIe
d2
...
~ent a~ns~
d2
~ + ~
:
et faisons la
ci~aessug~ On obtient alors
l'equation suivante entre w et T (17 ,68)
oil
Ainsi, pour w et T,nous avons les deux equations lineaires (17,65), (17,68). Nous recherchons la solution de ces deux equations sous la forme de "modes propres" : w = W (z) exp {
T
= e (z)
[i (R,x + lIlY) + wt]
exp [i (R,x + lIlY) + wt]
321
ce qui nous donne
(17 ,70a)
(17,70b) ou k 2 =
t2
2
+ m est le nombre d'onde horizontal.
Les solutioP'3 du systeme (17,70) doivent satisfaire aux conditions (Z _ z)
e=
0
W = 0,
et
sur
Z
0
et
Z
et dW dZ = 0 ,
sur une paroi rigide (Z = 0);
( 17 ,72)
1).
sur une surface libre (Z On peut naturellement eliminer
e
du systeme (17,70) et obtenir pour W
l' equation suivante w
( 17,73)
Pr
1. Le principe de l'echange des stabilites. Nous voulons montrer que w= 0 .
toujours reel et que l'etat marginal est caracterise par So it
(17 ,74)
G
et
(17 ,75)
F
On a alors
(17,76 )
2 2 (d - k 2 ) (d -2 - k 2 2 dZ dZ (puisque
e =0 F
0,
2
w
) W
Pr
sur Z
=0
sur
Z
(L _ k 2 dZ
2
(rigide) et Z 0
et
w ) G • Pr
Z
=1
(litre ))
west
322
a
et l'equation (17,73) est equivalente d
2
(--- - k
dZ
2
2
- w) F =
Nous voulons done montrer que cr
- Ra k
2
W.
est reel pour tout Ra > O. Multiplions,
pour cela, l'equation (17,77) par le conjugue complexe de F, F-, et integrons en
a 1;
Z de 0
r
nous obtenons :
r
0
2 d F- (--2 dZ
k 2 - w) F dZ = - Ra k 2
-
llf
F W dZ .
0
Et apres integration par parties,il vient:
r 0
grace
a
rI
2 F- ~ dZ 2 dZ
2
dF
dZ
dZ,
1
0
(17,76). Ainsi, (.2 +
wi IFI 2
} dZ • Ra ,2
J' • F'
dZ
o
Considerons l'integrale au second membre de (17,78)
r
W F- dZ
0
r r 0
1II 2 2 W ( L _ k -~ ) G- dZ 2 dZ Pr
2
llf
W~dZ _ (k 2 dZ
0
2
( 0
=-
r
d
2
2
1II
dW .9Q.... dZ dZ dZ
0
1 I I .
r
successive~,on
en tenant compte des conditions aux limites 1II
Pr
lII
W G dZ •
0
Par integrations par parties 2 lII d G W--dZ 2 dZ
1II
+~
r 0
:
G-
a
2
L.!r dZ
2
dZ
dW W = 0 et dZ
= O,ou •
G = (-;2 - k ) W = 0 , en fonct~on de la nature des paro~s. dZ
bien
323
Ainsi,
=
o
1
= J IGI
2
r o
1II
~r
dZ -
o
J1 0
Mais,de nouveau, 1
2
J
( 17 ,80)
lit
WLLdZ 2 dZ
o
En definitive, en tenant compte de (17,78), (17,79) et (17,80) on obtient la relation suivante :
J1 { 1~12 + k2 IFI 2+ w IFI 2} dZ
(17,81)
o
- Ra k
2
J 0
1 {
2
IGI
+
1II
~r
La partie reelle et la partie imaginaire de (17,81) doivent done, separement,etre nulles.Pour la partie imaginaire,cela conduit
Jo 1 [I
Imag (w)
ce qui implique bien que (17 ,82) puisque le crochet {
Imag tw)
=0
} > 0, lorsque Ra > 0 •
,
dW dZ
a la
12
relation
324
Ainsi
west bien reel et on constate, donc,que pour trouver la
courbe neutre de stabilite (la frontiere de stabilite),il suffit de poser w
= 0,
puisque les perturbations varient avec le temps de
fa~on
monotone :
elles croissent ou decroissent lorsque le temps cro1t - ce qui est justement le principe de l'echange des stabilites. Comme nous pouvons poser
w = 0, il suffit d'analyser le probleme
suivant, en theorie lineaire de l'instabilite convective classique : d
2
dZ
2
- k 2 )3
w
- k
2
Ra W
2 d 2 W = 0, (-2 - k )2 W = 0 , sur Z 0 et dZ 2 dW d W et soit - = 0, ou --2 = 0, en fonction dZ dZ
o
de la nature des parois Z
et Z
Z
1 ,
1.
Le probleme (17,83) admet une solution W 1 0, uniquement pour des 2 valeurs particulieres de Ra (pour un k donne) et de ce fait,nous avons un probleme aux valeurs propres pour Ra. Soit Rajune valeur propre du probleme (17,83) et W. la solution (propre) J
correspondante. Multiplions l'equation satisfaite par W., par F.1. (auquel corres• . J ." pond une valeur propre R1.a rJ. RaJ) et 1.ntegrons en Z de 0a' 1 • Nous 0 b tenons 1
J
d2
F. ( - - k
1.
o
dZ2
2
.
) F. dZ = -RaJ k
2
J
1
f
d2
2
W. ( - - k ) G. dZ .
J
o
dZ2
1.
" . Par integrations par parties successives,on obt1.ent alors . la relat1.on.)
(17 ,84)
r 0
dF. dF. 2 1.-J1 dZ dZ dZ + k F.1. F.) J
(
RJ
1
k2
J
G. G. dZ 1. J
0
r(df
Si l'on change i en j dans l'equation ci-dessus, on constate que dF. dF. 2 dZ dZ1. + k F j F.) 1.
0
R~
k
2
f
G. G.1. dZ, J
0
.) Voir, pour comparaison, la relation (17 ,81) oil
w
o
•
et w
0
325
ce qui fait que
(R~
(17,85)
G. G. dZ = 0 , si i
~
J
1.
j
et les Gj forment un ensemble orthogonal.
Pour i = j on obtient, de (17,84),
G~ dZ J
ce qui conduit
a considerer
r[ at) dF.
2
+ k
2
F
2 ]
j
dZ,
o
la formule
(17 ,86) avec J1
r[(:: )
2 + k
2
F~
dZ
o
(17,87)
1
J
G2 dZ _
o
2. Le principe variationnel. On montre tout d'abord,
(17,86), avec (17,87), que: si
a W(Z)
a partir
de la formule
correspond une petite variation oW
satisfaisant aux conditions a) les integrales J 1 et J 2 existent;
( 17 ,88)
alors oRa
= 0,
b)
of -
c)
of
i
( - - k 2 )2
dZ
2
oW et
d
oW ;
dZ (oW), ou
2d
2
(OW), sont nuls en
dZ fonction de la nature des parois,
lorsque W satisfait au probleme de stabilite et qu'elle est une
fonction propre; inversement, si West une fonction propre du probleme de
326
stabilite alors Ra est stationnaire, c'est-ii-dire que le rapport J stationnaire. On montre ensuite que ce meme rapport est un vrai minimum et que pour les perturbations marginallement Ra
(17 ,89)
1/k 2J 2
est
stables~),on a toujours :
min
le minimum etant pris sur toutes les fonctions reelles W(Z) satisfaisant aux conditions (17,88), ou
of et oW doivent etre remplaces par F et W. En fait
la formule (17,89) nous donne la valeur du Rayleigh critique Ra~ (de la theorie lineaire classique). On
que pour une valeur donnee de k, la
noter~enfin,
fonction W(Z) "minimisante" est une fonction propre pour la stabilite marginale. Pour illustrer le principe variationnel (17,89), prenons comme fonction cos [n (Z - 1 ) ] et dans ce cas, on trouve que:
F
2
W (Z)
+ B (Z -
avec
A
- n
{cos [n(z -
(n 2 + k 2 )2
~)
sh [ k (Z
sh(k/2) et sh k + k
B
~ )J
- ~ )J
2 n
+ A ch [k(Z -
~)J
1'
ch(k/2) pour le cas de deux parois sh k + k '
rigides. Ainsi, dans ce cas on peut faire le calcul de J est
1
et J
2
et le resultat
lIE) Precisons, une fois de plus, qu ' un mode est di t marginallement stable si ll
w = 0 pour Ra = Ra
,
mais w > 0 pour certaines valeurs voisines de Ra
(en fonction eventuellement de la valeur de k). On notera que la stabilite neutre d'un mode (w = 0) n'entraine pas necessairement sa stabilite marginale.
327 Apres un petit calcul. on trouve les valeurs indiquees sur Ie graphe ci-dessous _J_1_
k
2
J
2
o > 0 instable
o
0
1718
•
Ra
0<0
,
stable I
I I I
2
4
3
.
k
On obtient ainsi une valeur approchee pour Ra¥ qui est en bonne concordance avec celIe calculee (Ra
= 1707,8 ~
~
pour k
= 3,12). ~
3. II est interessant de noter que dans Ie cas ou les deux parois sont rigides, la courbe neutre de stabilite, dans Ie plan (k, Ra), est Ie lieu des points pour lequel Ie probleme aux valeurs propres
( 17 .90)
o et Z
1,
admet une solution non nulle. De part et d'autre de la cour.be neutre de stabilite (0
O),on a
!mag (0) = 0 , mais Reel (0) ~ 0 ; d'un cote Reel (0) < 0 et il y a stabilite, de l'autre cote Reel (0) > 0 et il y a instabilite. 11
~aut
naturellement tenir compte aussi du
~ait
que cette
courbe neutre de stabilite a, au moins, deux branches comme indique sur Ie graphe ci-dessus.
328
On voit aisement que le probleme (17,90) admet une symetrie relatiZ = 1/2 et de ce £ait,les perturbations sont paires
vement au plan horizontal ou impaires relativement
a la
valeur Z
=~ .
Les perturbations paires peuvent
etre recherchees sous la £orme suivante : J'(Z) = A1 ch
+ A
3
ch
[a 1 (Z - ~)J [a ~)J (Z -
3
+ A2 ch
'
~2
(Z
~)J
ou a 1 , a 2 , a sont les racines de l'equation caracteristique 3 (17,92) D'autre part, les trois conditions aux limites homogenes du probleme (17,90) conduisent
a un
systeme homogene de trois equations pour A , A et A . 2 1 3 Ainsi, la condition d'existence d'une solution non nulle peut se mettre sous la £orme de l'equation seculaire suivante :
a a 1 th (-1 2 )
(17 ,93)
o .
En ce qui concerne les perturbations impaires, elles peuvent s'ecrire sous une £orme analogue WI (Z)
(17 ,94)
a
(17,91) :
[a
(Z -
~)J
+ B 3 sh [a 3 (Z -
~)J
B
1
sh
l
+ B
'
2
sh
[a
2
(Z -
~
) ]
ou a , a et a sont toujours les racines de (17,92). La condition d'existen&~ 1 2 3 1 d'une solution non nulle s'obtient, elle aussi de (17,93) en rempla~ant th (2 a"1
par cth (2
),
avec i = 1, 2 et 3.
Par exemple, pour les perturbations tion transcendante suivante :
paire~on obtient
de (17,93) l'equa-
329
13 a. 1 th
2 i
a.
1 (2
+ (3 - i
)
-
(3+il3) a.
a.
) 13) a. 3 th (-..J. 2
a.
2
2 th (2
o ,
oil.
k2 +
(17 ,95)
1
2
(1 + i
(k 2 Ra) 1/3 .
13)
Les calculs effectues par divers auteurs montrent que le nombre de Rayleigh critique, minimum, pour l'instabilite, Ra~ (c'est-a-dire le minimum de Ra sur l ' ensemble des branches de la courbe neutre de stabilite), est egal a 1707,762 et que la valeur de k, en ce minimum, k-
3,117. Pour ce qui concerne
le calcul proprement dit de Ra-,on consultera Ie travail de Reid et Harris (Phys. of Fluids, 1, 1958, 102-110). Dans le cas oil. les deux parois sont libres, il faut remplacer les conditions du probleme (17,90) par
(17 ,96)
sur
o
Z
et
Z
1 •
,
et d'une maniere generale on peut montrer que
(17 ,96')
d2p W dZ2p = 0 ,
1, 2, 3, ...
avec p
sur
Z
o
et
Z
1 ,
Cela conduit a rechercher une solution de l ' equation:
o
(17,97) Sous la forme simple : W
A sin( n 11" Zl, n
= 1,
2, 3, ••. , avec A une constante
et n un nombre entier. Par substitution de cette solution dans l'equation (17,97), on trouve l'equation caracteristique suivante Ra " la plus petlte . et pour un k 2 donne, valeur d e Ra es t ce 1"~e qUl correspon d a... n
=1
:
Ra
330
Pour trouver le Ra~ qui correspond au declenchement de l'instabilite convecti ve, il faut trouve1" la solution de
o ce qui donne pour k la valeur klJ
ff et de ce fait
7T /
•
(17 ,98)
Ra
Enfin, dans le cas ou la paroi inferieure est rigide et la paroi superieure libre~la solution impaire correspondant au probleme avec les deux parois rigides reste valable, a condition de l'appliquer a deux parois rigides ... '" separees par une
2.
. " egale a.... d
d~stance
(17 ,99)
•=
Ra
Ainsi, il vient :
1100,65
et
k
lJ
= 2,682,
puisque la solution impaire du probleme avec les deux parois rigides donne comme Ra minimum 17610,39 et cela correspond
ak
= 5,365; si on divise cette valeur de
Ra par 16 (puisque dans l'expression de Ra intervient d
4), on trouve la valeur de
Ra* pour le cas rigide-libre et si on divise la valeur correspondante de k par 2 on retrouve bien la valeur de k
ll
pour le cas rigide-libre.
4. Revenons aux deux equations (17,65), (17,68) pour Wet T et recherchons la solution de ce systeme sous la forme
{
(17,100)
W = W(Z)
ep (x,y) exp (wt)
= e(z)
ep (x,y) exp (wt)
T
Imposons sur la fonction ep (x,y) la contrainte
o
(17,101) dans ce cas,on retrouve pour W(Z) et
e
(Z) les equations (17,70).
Une premiere classe de solutions de l'equation (17,101) est donnee par ep (x,y)
et elle conduit
a la
=cos
(kx)
convection dite en rouleaux.
331
Une seconde classe de solutions de (17,101), conduisant en cellules rectangulaires, correspond
$ (x,y)
a
= cos!
!2 + m2
x.cos my,
Enfin, une troisieme classe, conduit
a la
a la
=k 2
convection
•
convection en cellules
hexagonales (ce sont celles qui correspondent aux experiences de Benard de 1901) $ (x,y) (17,102) + cos
= $0 {cos[~
[~
(13 x + y)J
(13 x - y)J + cos
k
y} ,
la longueur b d'un cote de l'hexagone etant donneepar la relation b = 41Td 3k On notera que la solution (17,102) est symetrique en + x,
~
yet
elle est periodique en x et y de telle faqon que :
$ (x + 4m1T/!3k, y + 4n1T/k) (m, n
= 0,
=$
(x,y)
+ 1, ~ 2, ... ) .
Pour tout ce qui concerne la configuration des cellules convectives, on pourra consulter le travail de Stuart (J. Fluid Mech.,J8, J964, 491-98). D'une maniere
general~
on trouvera dans le livre, de Platten et Legros
("Convection in Liquids", Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1984), un expose detaille des phenomenes de convection dans les liquides.
11,3. LA THEORIE LINEAIRE VE L'INSTABILITE CONVECTIVE PROFONVE Nous revenons au systeme complet (17,36) - (17,38), avec 0o
mais nous considerons le cas bidimensionnel : (l (lx
2
-
0, V2 - 0 V 1
u
,
Xl - x,
V = W. 3
-
x
Z 3 -
,
~
0,
332
11 vient a10rs pour u, W, II
et
e
1es equations adimensionne1les
suivantes (17,103) (17,104)
(17,105 )
[1 +
(17,106)
~ (l-Z)] {~~ + u ~~ + w ~~ -
2
2
ax 2
az 2
= a e+ a e+ /)
Ra W
I
[2 (au)2 + 2 (aw )2+ (au+ dW )2J. ax dZ az ax
-2.
D'apres (17,103),on peut introduire une fonction de courant ~
= ~ (T,X,Z) te1le que
u=~
(17,107)
w=-~
az '
ax
et en eliminant II, des equations (17,104) et (17,105), on obtient l'equation suivante pour
~
:
J....[..l.. Pr aT
(17,108)
+
.£!l!. ..l.. - ~..l..J az ax ax az
6.
2
~
+
~xe []
= 6.
2 (6. 2
~)
L'equation (17,106) devient
[1 + -
( 17 ,109)
<5
0
(l-Z)' { CJ
U- + .£!l!...l.. dZ ax
LaT
= 6. e + 2
On a done pour
~
et
ax aZJ
2 axaz
e + Ra.£.1l!. } ax
4 ( l l )2 +
/)
e
~
.£!l!...l..1
0
2 2 (n - 2.::.Y!. az 2 ax2
)
2J
•
les deux equations couplees (17,108), (17,109)
333 A ces
equation~ il
faut associer Ies conditions aux Iimites, en Z, suivantes
( 17, 110a)
e
(17,110b)
1jJ =
(17, 110c)
a2,,, 1jJ = ~ = 0, sur Z
sur Z
= 0
~
0
et
= 0 , sur Z = 0
Z
(paroi rigide); (paroi libre).
az2
1. Le systeme Iineaire de Ia convection profonde (8
o
( 17 ,109) est : /',.2 1jJ +
~
0) associe
a
(17,108),
ae
ax = 0
(17,111)
(~~
[1 + 80 (1-Z)J
+ Ra
~
) = /',.2
Au niveau de (17,111), introduisons Ia fonction I' equation pour
e
relativement
a x;
il vient alors pour
e .
=
~ ~
ae ax
et
et derivons 1jJ
Ie systeme
Iineaire suivant :
{
(17,112)
1 Pr
D
a
-- - /',.2) /',.2
aT
+ 8o ( l-Z)
J
,I, 'f'
+ ~
'f'
=0
.,
2
(~+ Ra.Dl!.2 ) aT
dX
= /',.2
~ .
Au systeme (17,112),il faut associer Ies conditions aux Iimites en Z suivantes :
~
= 1jJ
=
~
~
= 1jJ
=
.n. az
(17,113)
Soit maintenant (17,114)
2
= 0 , sur Z = 0
x (x)
sur Z '
0
(paroi rigide), (paroi libre).
une fonction telle que
334
et recherchons la solution du probleme lineaire (17,112), (17,113) sous la forme
{
(17,115 )
lji =
W (Z) X (x) e 01"
e
01"
11 vient alors pour W(Z) et T(Z) le systeme
2 d [;r - ( -2 - q2)J dZ
(17,116)
~
1 +
<5
(d~ _ q2 W) 2
1 (l-Z)
0
dZ
+ T
°
2
(d -2 - q2)J T - q 2 Ra W = dZ
°,
avec les conditions
(17,117)
I
dW T=W = dZ
=
°,
d~
T = W = -2 = 0, dZ
sur
Z
sur
Z
°
(paroi rigide), (paroi libre).
Nous revenons un peu plus loin sur le probleme lineaire (17,116), (17,117); precisons pour le moment que ce probleme n'est pas auto-adjoint
et de ce fait la technique utilisee a la section 17,2 ne peut etre mise en " .de" " lIE) " " oeuvre; en partlculler pour demontrer le prlnclpe 1 echange des stab'l' l ltes. 2. Revenons aux equations (17,112), pour
et
lji, et considerons le cas de
deux parois libres (peu realiste mais tres simple pour l'analyse qui suit) :
a2,10 lji = ~ = O,sur Z 2
(17,118)
° et Z
az
1 •
Au probleme (17,112), (17,118) nous associons aussi les conditions en x suivantes : (17,119)
lji =
~ ax 2
= 0, sur
x
° et
x = .e
o
ou .eo est la longueur horizontale (adimensionnelle) dtune cellule convective. Recherchons une solution du probleme (17,112), (17,118), (17,119), sous la forme suivante : .) Lorsque les deux parois sont liores, il s'avere que cette technique conduit au resultat recherche. Pour cela il faut introduirela fonction : 2 _ q2) W et G = G = (d sur Z = et Z = 1. 2 dZ
°
°
335
(17,120)
f:
= T (T,Z) x (x) = W (T,Z) X (x)
,
ou la fonction X (x) est fonction propre du probleme de Sturm-Liouville (17,121)
X (0) =
X
(l ) = o
0
Dans ce cas, il vient pour T et W les deux equations suivantes 2 oT 2 o2T OT - Ra q W = oz2 - q T
(17,122a)
- 00 [(1-Z)
~~
- Ra (1-Z) q2 W];
1 (_CJ_ ,,2 _ 2 ) _oW + T = (_ 0 2 _ q 2"~ 2 W) ) (_CJIN_- Pr oZ2 q OT dZ 2 az2 q •
(17, 122b)
Comme on a, en Z, les conditions aux limites (17,123)
sur
Z
o
et Z
1 ,
On peut rechercher 1a solution du systeme (17,122) sous la forme co
W (T,Z) (17,124) T (T,Z)
L
An(T) sin (n7TZ)
L
Bn (T) sin (n7TZ)
n=1
n=1
L'equation (17,122b) donne directement, par substitution, a. dA 2 ---!!. ---..!!. - B + a. A Pr dT n n n
(17,125 ) n
2
7T
2
+ q
=0
'
2
Pour obtenir la seconde equation, qui determine avec (17,125) les amplitudes An (T) et Bn (T), il faut utiliser, au niveau de l'equation (17,122a) une technique de Galerkin; elle consiste puis
a multiplier
par sin(n 7T Z) et
a substituer
a integrer
Z = 1. On obtient ainsi l'equation suivante :
(17,124) dans (17,122a)
le resultat en Z, de Z = 0
a
336
( 17 ,126)
avec JSs mn
( 17,127)
=
l
J
(l-Z) sin (n n Z) sin (m n Z) dZ •
o
Si l'on introduit A
An = P~ , t = Pr
( 17 ,128)
20 T
et e:
== 2
+~
o
on peut reecrire les equations d'amplitudes (17,125), (17,126) sous la forme suivante
aXn 2 -a. n Pr = a. Pr A dt n n
(17,129) (17 ,130)
Pr {
~tn +
a.
M
2 e:
2
- B
n
B
n n 2 ISS dBn } + -----0;:;= q Ra Pr mn dt 1 + .-Q m 1 2
M
{An + 2e:m:
m~n
r" mn
m~n
ou
(17,131)
- _1_ ] 2
(m+n)
,
si m
~ n •
En premiere approximation lorsque n = m = 1, on trouve un systeme de deux equations pour A1 et B : 1 - 0.
1
(17,132)
Pr avec
0.
_
1 = n
2
+ q
2
Pr dB
dA 2 dt1 = 0. 1 Pr A1 2
- B ; 1
-
dt1 = q Ra Pr A 1 -
+ 0o /:2
1
An
'
337 L'equation caracteristique du systeme (17,132) est (17,133)
>..2 +
oil
~r
(11+
~
=
r
q
~
) +
2
2
0. 1 -----'---.0--- r Pr(l+"f
0.1 >..
Ra( 1+ 2
0 -f
-
Nous constatons alors que 0.1 4 ) 27 n -(a) si r < 0, c'est-a-direRa < ----~~---
o
j
=0
,
•
, les parties reelles des
4(1+--2. 2
valeurs propres >"1 et >"2 sont toutes deux negatives et il y a stabilite (asymptotique, lineaire); -(b) Sl r
= 0,
c'est-a-dire Ra
- Ra-, on aura une racine nulle,
o0
4( 1 + 2
)
>"1 = 0, ce qui correspond a l'~e~t~a~t~n~e~u~t~r~e-=de~s~t~a~b~l~·l~i~t~e, la racine >"2 ayant une partie reelle toujours negative; -(c) si r > 0, c'est-a-dire Ra >
la partie reelle de >"2 reste toujours
o0
4( 1 + 2
)
negative par contre celIe de >"1 change de signe et devient positive indiCluant Clue la solution est devenue instable. En seconde approximation, du systeme (17,129), (17,130), avec (17,131), 10rsClue n
=1
et 2 et m
=2
et 1, il vient pour
Cluatre eCluations suivant :
cJA 1
- 0. 1 Pr ~ = 0. 1 Pr
cJA - 0. 2 Pr
2
~
= 0.2
Pr
A1
@, + 2 Pr { ~
IS
a @2 dt
B ,
1
A2 ,
B
J+
B
. = TI 2 2'/qUl
Ie systeme de
2 ; 0.
1 B 1 0 +--2. 2
q
2
Ra Pr
oil . de q2 - ) On fait Ie cholx
2
- Bj
A2 -
( 17,135)
A1 ,
dr -correspon d'"a ~ dq
°•
{X, + 2
IS
a A2
};
338
Afin d'ecrire (17,132) et (17,135) sous la forme de systemes dynamiques (lineaires) classiques, il est necessaire de passer amplitudes :
A
1 X1 =0.- et 1
( 17 ,136)
B 1 Y1 = 3 0. 1
a T = 0. 1 t
et aux nouvelles
, pour le systeme (17,132);
A B1 A2 B2 1 X2 =0.- , Y2 = - , Z = - et W = - , pour le systeme (17,135). 1
0.
3 1
0.
1
0.
3 1
a (17,136) il vient, a la fonctions de T = 0. t) le systeme 1
Dans ce cas, grace Xl et Y
1 (comme des suivant :
dX
1
- Pr if-[ (17,137)
= Pr
place de (17,132), pour de premiere approximation
Xl - Y1
Y dY 1 R 1 Pr --- = Pr ~ Xl - - - 0 dT R: 1 + ---2. o
2
4 lII -27'IT . , ou'R a = --4-- . T and~s que pour le systeme de seconde o
obtenons,
a la
..
approx~at~on
nous
place de (17,135), les equations suivantes, pour X , Y , Z et W, 2 2 0. 1 t :
comme fonctions de T
- Pr dZ = 3 Pr Z - ~3 dT
dY 2
£~w
Pr dT =
( 17 ,138)
o
1 + ---2. 2
Pr dW dT
BZ - 3 --0 +---2. 2
ou
w+
2
£
aB
---0- Y2 ' 1 + ---2. 2
• De (17,138),nous trouvons pour le Rayleigh critique
l'expression suivante :
339
14 - 1196-277e']
lI!
Ra
(17,139 )
[
1/8
Sur la figure 1, ci-dessous, on a represente pour trois valeurs de r l'amplitude X1(T) obtenue du systeme de premiere approximation (17,137), pour Pr
= 10,
00
= 0,1
et les conditions initiales : X1
= Y1 = 0,01,
en T
= O.
Sur
la figure 2)on a represente l'amplitude X2 (T) du systeme de seconde approximation (17,138), toujours pour Pr 10 et 00 0,1 et les memes conditions initiales : ~ = Y = Z = W = 0,01, en T = O. Enfin la figure 3 represente le rapport X1/X2 2 en fonction du temps T, pour r = 0,034. Ces figures sont tirees d'un travail
de these de M. Errafiy (soutenue
X
a l'Universite
de Lille I, en juin 1990)._
1
00040
o 0035
o 0030 o 0025 o 0020
o 0015 00010
'00
Figure
200
340
0.0040
. X 2
0.0035
r = 0.034
0.0030
0.0025
0.0020
r
= 0.00
0.0015
0.0010
1.----------;-=--------;:;-;';::;--7,
r =-0.034
Figure 2 1.0160 1. 0150 1.0140 1.0130 1.0120 1.0110 1.0100
i
X X
1
2
1.0090 1.0080 1.0070 1.0060 1.0050 1.0040 1.0030 1.0020 1.0010 50
100
Figure 3
150
200
'
341
On notera que lorsque
=0
€
(0
o
=0)
Ie systeme de seconde approxima-
tion (17,138) se decouple en deux systemes, l'un pour X2 et Y2 et l'autre pour Z et W. Lorsque € F 0, si petit soit-il, il y a couplage et l'instabilite des modes (lineaires) X2 et Y2 entraine l'instabilite des modes Z et W. C'est la, toute la difference avec Ie cas de la convection (peu profonde) classique et naturellement cette difference sera plus sensible en theorie non lineaire de l'instabilite convective profonde, lorsque l'on s'interessa a l'evolution temporelle des modes instables qui conduit au chaos (voir a ce sujet la sect~on
17,6 et la section 23,2 du § 23 du chapitre VI). On trouvera dans la
These de Errafiy (1990) divers resultats numeriques qui caracterisent l'influence de 0 sur les scenarios de transition vers Ie chaos. o 3. Revenons au systeme (17,116) pour T et W, avec les conditions (17,117), et voyons voir si Ie principe de l'echange des stabilites est verifie,
oo F o.
lorsque
On designe par T¥ et W¥ les conjugues complexes de T et de W. Multiplions
par W¥ la premiere des equations de (17,116) puis integrons en Z, de Z = 0 a Z = 1, nous obtenons
1
1
Pr
f
f
(J
Mais, apres
integ~ations
Wlf< T dZ
O.
o
o
o
par parties et applications des conditions
aux limites (17,117), on trouve que : 1
f o
o
[I ~~ 1
2
d~ • {{ I dZ2
2 1
+ q
2
J
2
IW1
dZ
+ 2 q21 dW
dZ
aussi bien pour la paroi rigide (Z = 0) que pour la paroi libre (Z
1).
Ainsi, on obtient une premiere relation integrale (J
r [I r
Pr
dW dZ
0
(17,140) =
l'T
0
1
2
+ q
2
2
1 W1
] dZ +
{{ 0
dZ
I
d~2 dZ
1
2
+ 2 q
2 IdWI dZ
2
+ q 4 IWI 2}dZ
342
Ecrivons maintenant la seconde des equations (j7.j16) sous la forme 2 d T 2 (Z) a T - ----+ q T 2 dZ
~
ou ~ (Z)
aZ=
=1 +
q
2
Ra ~ (Z) W •
0o (1 - Z). et multiplions-la par T~ et integrons. en Z. de Z
=0
1; il vient
o
o
o
q2 Ra
J1 ~(z)
WT- dZ •
o
On notera que
(Z) > O.lorsque 0
~
~
Z
~
1
De (17.140) et (17.141) on obtient que-) :
lmag (a) { q
2
( 17.142) q2 Ra 0
0
~~
!mag
r[I: 1 2
{f1(1 -
+ q
2
1W1
2
J
dZ +
r~
(Z)
Z) W T- dZ} •
o
= O.
et on ne peut pas conclure que !mag (a)
Naturellement. lorsque 0
o
=0
on
retrouve que lmag (a) = 0 . Dans le cas libre-libre on peut. cependant. se convaincre que le principe de l'echange des stabilites est bien verifie. On constate ainsi qu'il faut. dans le cas de la convection profonde. analyser le probleme lineaire
a partir
du systeme (17.129). (17.130) avec
(17.131). obtenu au point 2 precedent, du moins dans les cas rigide-libre et rigide-rigide. 4. Nous voulons maintenant obtenir le systeme adjoint de (j7.116).en supposant que a
= O.
Dans ce cas on trouve
{
(n .116')
-) On a que
f1
o
a la
place de (17.116) :
2
(d-2 - q2)2 W = T dZ 2 (d-2 dZ
-
q2) T = - q 2 Ra
~
(Z) W •
(W- T + W T-) dZ est toujours reel. Dans le cas de deux parois libres
on montre que : Imag(a) {
f1 [I
o
~~
1
2
+ q2
ITI 2
+ q2 Ra Pr
IGI 2 ]dZ}
= O. avec
G==
d 2 W/dZ 2_q 2 W•
343
Posons
z
1 -
I;;
et
et il vient pour T(I;;) et W(I;;) Ie systeme
{ ou A
T=-).(l+o
q2 Ra. Comme ii Z
0
1 et ii Z
correspond I;;
1;;) W ,
o
=1
correspond 1;
0, on
peut associer au systeme (17,143) les conditions (2 parois rigides) : (17,144)
W==DW
T == 0 ,
sur
I;;
et
I;;
o
Supposons que la solution de (17,143), avec (17,144), puisse s'ecrire sous la forme
L
T
Bn sin(n n 1;;) et W
n
n
B W n n
ou W est la solution (supposee unique) de l'equation n (17,146a)
sin (n n 1;;)
qui satisfait aux conditions (17,146b)
= D Wn
W
n
0,
sur
I;; == 1
et I;; == 0
Ayant determine Wde cette fagon, substituons (17,145) dans la seconde n
des equations du systeme (17,143); il vient : B n
n
(n
2
TI
2
2
B W
+ q ) sin (nnl;;) ==
n
Multiplions cette equation par sin (n n 1;;) et integrons en I;;
n
de
I;; = 0 ii I;; = 1; on obtient alors pour les coefficients Bn un systeme infini d'equations lineaires et homogenes et de ce fait,il faut imposer la condition de compatibilite (equation seculaire) suivante
(17,148)
{
det
fk
[2~
r
o
(n
2
n
2
+ q2) 0nm -
6=]
== 0 , avec
Wm (1 + 00 1;;) sin (nnl;;) dl;;.
344
Maintenant considerons le systeme "associe"
{
(D
(17,149)
2
2 2 T - q) W = (1 + 0
o
a.
1;) T
(17,143) suivant
T
T T 2 (D 2 - q ) T = - A W
satisfaisant aux conditions
T W
(17,150)
T
T
= T = 0,
DW
sur
1;
=0
=1
et 1;
.
En appliquant la meme methode que ci-dessus on arrive, a la place de (17,148), a l'equation seculaire ; 1
det [ 2A
(17,151) {
ou
13 T
mn
(n
=
I
1
2
TI
2
+ q2) 0nm - 13:' ]
o ,
WT sin (nTI1;) d1;. m
o
T Nous voulons montrer que les matrices (Smn) et (Smn) sont transposees c'est-a-dire que ; (17,152) et que, de ce fait,les systemes (17,143), avec (17,144) et (17,149), avec (17,150), sont adjoints entre eux. Pour cela notons que, par analogie avec (17,146a), nous avons 222 T (D -q) W n
= (1
+ 0
0
1;) sin (nTI1;)
et de ce fait, (17,153)
13mn
=
I
1
2 2 2 T W (D -q) W d1; . m n
o
Integrons (17,153) par parties; on obtient ; (17,154)
Smn =
I
1
2 [(D _q2)
wm]
2 [(D _q2)
w~J
d1; .
o
De faqon analogue, grace a (17,146a), on peut ecrire que 1 T = WT (D 2 - 2)2 W d1; 13 mn m q n
I
o
345
ou encore
J
T = fl1,2 TJI,2 Smn L(D - Cl 2 ) Wm L{D - Cl 2 ) Wn
(17,155 )
o
5. Comme nous avons trouve Ie systeme adjoint,essayons d'obteni~maintenant, la condition d! orthogonalite, pour notre systeme lineaire de convection profonde (toujours avec cr
= 0).
Soient done les sOlutions W., T. correspondant
les solutions wJ ' TJ correspondant
a ~ '"
J
J
On ales eCluations
Aj
>'.(1 + 8 J
0
s) W. , J
et
Considerons l'integrale
~r Wk Tj T
2 2 f1 Tj (D _Cl )
ds
T~
ds
o
0
par integration par parties,il vient
~r Wk Tj T
ds
0
-r r
TT (D 2_Cl 2 ) T. ds k J
0
T + Cl 2 TT Tj [{D Tk ) (D T.) k J
J
ds .
0
D'autre part,
T
~r Wk Tj 0
ds
~r W: (D _Cl )2 Wj 2
2
ds
0
~r [(D2_Cl2 ) W~ J~D2_Cl2) 0
Maintenant,il faut definir les fonctions
wjJ ds .
a AJ"
et
346
et dans ce cas,on obtient que : ( 17,156) o
o
Mais de (17,155) et aussi de l'equation qui exprime (D 2_q2) T., on peut ecrire,
a la
(
~(D
TT) (D T ) + q 2 TT T j k k j
0
A.
J
(
ou encore, en rempla,.ant ( 1 + 0
r~(D
J d1;;
T T (1 + 0 1;;) W. d1;;, 0 k J
0
T 2 1;;) T par (D _q 2)2 WT k k
0
T T) (D T ) + q 2 TT T ] d1;; j k k j
0
A.
J
(17,157)
J
place de (17,156), la relation
A. J
A.
J
r
t 0
W (D 2_q 2)2 WT d1;; j k
2 [(D _q 2)
r
w~J [(D 2_q2)
Wj ] d1;;
GT G. d1;; . k J
o
De (17,156) et (17,157),il vient la relation
(~ -A j )
r
o
T
G G k j
d'"
"
=0
et on constate que l'on a la condition d'orthogonalite suivante (17,158)
1
f o
T G G d1;; = 0 , si j k j
~
k
Lorsque j = k, les relations (17,156) et (17,157) donnent la relation
347
r
f
[(D TT) (DT) + q2 TT TJ dZ;;
o
Ra
( 17.159)
q2
[(D 2_ q 2) W] [(D 2_q2) W]dZ;;
o
qui remplace celle exprimee par la formule (17.86). Cette formule (17.159) est
a la
base du principe variationnel pour le probleme lineaire de la convection
profonde. En erfet. si.maintenant.on suppose. une fois de plus. que: B
T
n
n
on trouve.
a partir 1
Ra ="2" q
ou encore. grace
L
sin (nrrZ;;) et TT =
A sin (nrrz;;) n
n
de (17.159). l'expression suivante pour Ra
L L Bm An
mn
/1 [(D 2_q2) W~ ][
0
a l'expression
T
de
~mn (formule (17.155))
\
1
Ra ="2"
(17.160)
2
q
L B
111
111
A
111
2
(111
LL B111 ~Tmn
nlll
rr
2
2
+ q )
A n
11 suffit donc de trouver l'extre1l1um de (17.160) considere comme une
fonction des "parametres" An et B
lIl
•
A cette fin. il faut calculer l'extremum
de la fonction : 1
J =2Ra et cela conduit
L 111
a ecrire
B111 Am les deux conditions suivantes
aJ
~ 111
=
'dJ
()A
n
=0
•
111.
n
=
1. 2. . ••
On peut verifier que cela conduit aux equations seculaires. (17.148) et (17.151).
348
6. Considerons, maintenant le cas rigide-libre pour le systeme lineaire (avec a = 0) de la convection profonde. Nous considerons done le systeme (17,116') :
[
(17,116")
oil
2
6. (Z)
1 + 8
0
2
(d - - q2)
2 dZ 2 (d2 dZ (1-Z)
-
W
T
q2) T = - q 2 Ra 6. (Z) W , 8 + ~- 8 (Z 2 0
1
-2
).
Les conditions aux limites sont
(17,162)
W=dW=T dZ W=
d~2
dZ
= T
,
sur
Z
o·,
0,
sur
Z
1
0
Nous ecrivons, une fois de plus, que: T
T sin (Jn1rZ) m
et de ce fait nous devons resoudre l'equation T sin (mrrZ). m
La solution de cette equation (17,163) est de la forme W(Z)
1 ) 2
]
(17,164)
Les constantes d'integration A , B , C et D sont determinees par m m m m les conditions (17,162); cela conduit au systeme algebrique de quatre equations suivant :
349
(17,165)
2 Am ch (%) + D sh (~) 2 111
0
(~) B ch (~) 2 + 2 Cm sh 2 m
0
(~) D ch (~) 2 + Bm sh 2 = 0 m
[B + q (Cm - D;m
)J
ch (%) -
~m +
q (A - Bm)] sh (%) =-m7f • m 2
La solution de (17,165) est A
= _ m7f
m
(17,166)
sh
3
(q/2)
sh(q)ch(q)-q coth 2 (~)
B
m
=2
A
Dm
=-
2 Am coth (~2) .
m
2
11 faut,maintenant,substituer les solutions obtenues, pour T et W, dans la seconde des equations (17,116"); cela conduit
+
~m +
Dm
(Z -
~ lJ
,h
[q(Z -
a l'expression
suivante
~ IJ + ,in 1m "Zl } .
D'apres la technique de Galerkin,on doit multiplier l'equation ci-dessus par sin (n 7f Z) et integrer, en Z, de Z suivante, apres integration :
= 0 a Z = 1;
il vient alors la relation
350
( m2 7T2 + {
q
2
q
2)3 <5 0
Ra (1+ 2
<5
lllIJ
-
lDIl
)
+m0' 1%1 [<_1}n +lID D
2
+
ou E et
ISS
lDIl
4 n 7T
<5
q
( n 2 7T 2 + q 2)2
Tm
'f':
D m
sh
sont donnes par les ~ormules (17,128) et (17,131). Le systeme
(17,167) est un systeme lineaire homogene pour les T (m = 1, 2, ••• ) et pour m ne pas avoir une solution tri vi ale nulle, il ~aut que le determinant de ce systeme soit nul. Cela conduit
a une
equation seculaire que l'on peut resoudre par
approximations. En premiere approximation)on pose
E
= n = 1 et
l'expression approchee suivante pour Ra :
(17,168)
Ra=
<5
0
q2 (1 + 2
;-]'
)
[a -
E
BJ
4 7T q B1 sh (q/2) (7T2 + q2)2 47Tq C1 ch (q/2) (7T2 + q2)2
on obtient alors
351
avec
et
51) 2 A1 coth 2 (2 '
sh(q) ch(q) - q
C
1
7. Nous avons deja indique que le parametre de profondeur 0 etai t petit 0
devant un et de ce fait, il semble interessant de tirer profit de 0 « 1, 0
afin de construire une solution asymptotique du probleme (17,143) avec les conditions aux limites (17,144). Du systeme (17,143),on peut eliminer la fonction T et il vient pour W le probleme : - A (1 + 0 ~) o
(17,169)
w
w;
et
sur
~
1 et
°.
~
Au niveau du probleme (17,169), faisons le changement e:
20
o ----
2+0
, ].I
o
ce qui nous donne, a la place de (17,169), le probleme suivant pour la fonction W (n;e:) : (D 2_q 2)3
(17,170)
W
= (D2
D
-
]l
- q2) W
(1 + e:rt) W
=°
et
+ 1
sur n
ou
w=
-2'
=~ - dn
Lorsque
e:
= O,nous
retrouvons le probleme classique de la theorie
lineaire. Supposons que les
]l.,
J
propres de l'equation suivante :
pour j = 0, 1, 2, ... , soient les valeurs
352
- lJ
e ,
II == q
2
I) 0
Ra (1 + 2
),
avec les conditions aux limites sur et par la suite e. sera la fonction propre correspondant J
On sait que les fonctions
311)
sont mutuellement orthogonales, lorsque j normalisees de telle
fa~on
2
On
= 0 et +1/2 forme: f , G
DG
2
=0
sur
222
G.(D -q)
2 2 2 alors (D -q) G = - p e avec les conditions
n = -+ 21 .
f
G. dn
1/2
p. J -1/2
integrant par parties,rintegrale proportionnelle
f ~'1/2~(De.)(De.)+q2
-1/2
J
k et nous supposerons qu'elles sont
~
J
J.
-1/2
valeur propre lJ ••
que :
1lI) En effet, soit G = (D -q ) e
e =0
a la
J
J.
= -
f
devient
Jdn,
e . eJ. J.
etant donne les conditions aux limites sur n i l vient
a p.J
±
21 . De
fa~on analogue,
+1/2
-1/2
f
1/2
-1/2 Ainsi p. J
f
+1/2
-1/2
[(D e.)(D e.) + q2 e. e.l dn
et de ce fait:
J
J.
f
+1/2
-1/2
J.
j-'
QD ek)(D e.) + q2 e . ekJ dn = 0 J J
si j
~ k
.
En integrant par parties Ie premier terme de l'integrale ci-dessus,on trouve que +1/2 2 2 +1/2 0, (j ~ k). e. (D -q ) ek dn = f e j Wk dn f J -1/2 -1/2
353
(17,172)
On sait que dans le cas rigide-rigide, pour le probleme classique lI' 2 00 lineaire, on a : Ra = 1708 pour q = 3,117; comme p q Ra (1 +:2 ),on trouve que, dans notre
ca~
a l'approximation
=
zero (£ = 0), le nombre de Rayleigh
critique sera : 1708
lI!
Ra
(17,173)
o
+....2. 2
Pour obtenir une correction d'ordre superieur en £,nous developpons en serie entiere en £
(17,174)
Apres substitution dans le probleme (17,170) on obtient les equations suivantes : (D 2
(17,175)
(D 2 _ q2)3 w( 1)
(17,176) ( 17,177)
(D 2 _ q2)3 W(2)= _
q
- }lo ]10
e0
2)3
W(2)_
w( 1)
]10 T1
]10
e0
- ]10 T1
e0
-
w( 1)
-}l
-
]1
(1)
(1) w( 1)
e0 -]1
( 1)
T1
e0
-}l
(2)
L'equation (17,175) est toujours satisfaite. Pour resoudre l'equation (1)
(17,176) pour W
, on suppose que
( 17 ,178) et de ce fait,il raut que la relation suivante soit satisraite 00
(17,179) puisque (17,171).
]10
p. et J
e.
J
L
j=O
A~1) e. J
J
T1
+]1 0
e 0
+}l(1)
e 0
sont les valeurs propres et fonctions propres de l'equation
e0 '
354
n
-
~
Multiplions la relation (17,179) par W et integrons en n de k an = + ~ • Si nous tirons profit de la condition (17,172),nous obtenons
(17,180) avec
-I
+1/2
J~(n)
(17,181)
Wk
-1/2
n 8.J dn
, , • •• If) et on notera que les J j( n ) sont les elements d I une matr1ce non herm1t1que . k
Pour k = 0, il vient de (17,180) 11
(1)
=-11o
I+ 1/ 2 W n8 0
0
dn
-1/2
et comme les fonctions propres W et 8 ,correspondant o l'integrale JO(n) et de ce fait 0 11 (1)= 0··) o
=°
a 11
0
sont paires,
,
Pour k ; 0, cette meme equation (17,180) donne
I
+1/2
(17,182)
(j
Wk n 80 dn,
-1/2
0) •
Naturellement, la formule (17,182) ne permet pas de determiner Ie .. . I , on verra que cela n " coeff1c1ent A(1) ,ma1s a pas . d 1mportance I o Comme 11(1) (n
= 0,
l'equation (17,177) donne
2 _ q2)3 W(2)
= _ ....0 11
W(2)
}Io
-
W( 1)
n
- 11
(2) 8
0
'
et on recherche sa solution sous la forme W(2)
= ~
j=O
A~2)
8.
J
J
ce qui conduit a la relation (analogue de (17,179)) (17,179' )
(.) C'est-a-dire que cette matrice n'est pas egale a sa matrice adjointe. (iIl¥) Puisque, dans ce cas, la fonction won 8
0
est impaire.
355
Multiplions cette equation (17,179') par W et integrons en n
n
=- 21 ,a
.. = + 21 ; ~l v~ent
n
de
0
+1/2
f
= II A(2) + II 00000
A(2) II
W n W(l) dn 0
+ ,,(2) ...
-1/2 et de ce fait, II
(2)
- llo
(1/2 -1/2
Substituons dans (17,183) l'expression de W(l), d'apres (17,178); on obtient : II
(2)
+1/2
co
- llo
L
j=O
f
-1/2
Wo n 6.J dn
ou encore (17,184 ) COlmne JO (n ) ne donne pas de
= 0,
le terme correspondant
~ontribution.
aj
= 0, dans (17,1 84) ,
Si nous substituons maintenant pour
A~l)
(j
~
0)
l'expression (17,182), nous obtenons p(2) sous la forme suivante : J
(17,184 a )
Ainsi, si l'on ne tient compte que d'un terme dans la somme figurant dans (17, 184 a), on trouve la f'ormule approchee
J.l = llo
{1 -
£
2
llo ]ll-ll o
(17,185 ) + .....
+1/2
+1/2
f
-1/2
}
W n 6 1 dn o
f
-1/2
W1 n 6 dn 0
356
Cela nous donne pour le Rayleigh critique de la convection (lineaire) profonde, l'expression suivante
R-a
(17,186)
=~ 2 + <5 o
1
{
2
<5
-
0 7, 61.10-3 (2+T
)
0
+ ...
} ,
d'apres Chandrasekhar (deja. cite; 1961, p. 313).
11,4. INTERACTIONS QUAVRATIQUES VES MOVES LINEAIRES LES PLUS RAPIVEMENT AMPLIFIES. L'EQUATION VE VE CONINCK, GUIRAUV ET ZEYTOUNIAN. 1. Revenons aux equations de la convection classique (17,41) et faisons le changement suivant : (17,187)
T=...:L Vi. = Pr u i ' II=Prp ' P r et x.:L - x :L. .
e=Rae,
Dans ce cas, pour les fonctions e, u. et p,nous pouvons ecrire les :L
equations suivantes :
au.
__ :L + at
aUi
ap + - Gr J aX aX i i
U. - -
ae u. ~ Pr (~+ - u3 ) at J :L
(17,188 )
au. --...l = 0 ax.
,
e b,
is' = b, u. i3:L
s
i, j = 1, 2, 3
J
Afin d'ecrire ce systeme d'equations (17,188) sous la forme (15,69), .
"
-+-+
-+
decomposons la V:Ltesse : u = uT + W e du tourbillon:
;:!;
W = (v
+
A u).e z .
Notons par U = (w , b,
( 17 ,189)
dU dt
=
+
w,
Z
. .
et :Lntrodu:Lsons la composante verticale
e)T et nous pouvons former l'equation suivante
w
b,-1{ b, b, W + Gr (6
2
a
- az 2
)
e}
357
+
!:J.
-1
-
.... ;:t; Cl;:t; ............ {- /:::,(u,VW) + ClZ [V.(u.V u)] }
~.V
e
ou /:::,-1 est l'operation inverse qui permet de resoudre l'equation de Poisson (de /: :, u = f, on passe
au
= /: :,
-1
.........
f) et x ::: x
r
.... + Z e
Z
Si l'on tient compte de la notation (16,80) (pour la transformee de Fourier), on obtient de l'equation de continuite
.UT :;.
( 17,190)
........
ou k. X
T
=a
=
r> ClW LJ.k ClZ -
1.k. 1- 2
....-:1 wJ'
.... (e z l\. ik)
x + By; x - xl et y - x 2 •
Ainsi, on constate que l'operateur quadratique, au second membre de l'equation matricielle (17,189), est bien de la forme M (U,U)lIf).
2. Ici,l'ecoulement de base est la configuration purement convective et elle est invariante par rotation autour d'un axe parallele
a la
direction des Z, qui
est celle ou la configuration est confinee (par les plans Z
=0
et Z
1).
Dans ce cas, on a toute une superposition de modes amplifies formant un spectre continu et on verra qu 'au voisinage de la stabilite neutre, se sont les interactions binaires qui sont preponderantes. Precisons, tout de suite, que dans les premiers travaux, cons acres
a la
theorie non lineaire, de Segel
et Stuart (J.F.M., 13, 1962, 289) et de Stuart (J.F.M., 18, 1964, 481) ce sont essentiellement les interaction ternaires entre modes propres isoles ou paquets isoles de modes propres qui ont ete utilises. Done, ici, le domaine /: :, (dont il a ete question au debut de la section 16,4) est une couronne dans le plan (a,B) dont
....
1If) On notera que les compos antes de u T sont u
1
et u
2
et que u
3
a ete note W.
358
a l'origine;
l'epaisseur est E (faible) et qui est centree
de ce fait, au
niveau de (16,84) on a : S Comme
o
est une couronne circulaire,il est jUdicieux de passer a
~
des coordonnees polaires definies par ....
(17,191) ou ;(cj»
k = (k
c
+
E
'V
....
k) e(cj»
,
est un vecteur unitaire qui precise l'angle cj>
et on notera que
; (cj> + ~ ) + ; (cj> - ~ ) = ; (cj»
n
Sur
~
~ = 0(1). D'apres (16,98), on a deja dit que la
, on a
dimension de l'espace,dans lequel X que la mesure de
n
=P U varie,etait
petite, etant donne
est petite. Une expression generale pour X peut s' ecrire
~
sous la forme X =_1_
(17,192)
(2TT)2
d'apres (16,89). En substituant (17,191) dans (17,192) on trouve que 2TT
(17,193)
X
=...f... 2TT
J
o
ou no,o est la valeur de ~
Ikl
DO evaluee pour
= k , tandis que la fonction c
(A,cj>,t) s'exprime sous la forme suivante (voir (16,98))
(17,194 )
~
(A,cj>,t)
= 2TT1 J e i~A
'V 'V
'V
X(k,cj>,t) dk ,
I
ou A
E
xT
....
....
.e (cj»
'V
et I est un petit segment balaye par k.
Comme 1',;0
,,,
ax
on trouve que 1 operateur dt - Lp X, au
.
n~veau
(16,97), conduit a l'operateur differentiel : (17 ,195) applique a
~.
. . . . . "equat~ons .
de la premere des
359 Pour la suite,le point le plus delicat concerne l'evaluation du terme PM
(X,X)~)
qui s'avere, ici,
di~~erent
de zero. Ce terme traduit
l'interaction binaire entre des modes repartis continUment sur la couronne
~
et il est constitue par des produits de convolutions, de sorte que seuls 7T 7T • t erag1ssen . t avec le mode + 3 et '"~ - 3 1n correspondant a cp.
1 es mo des correspon d ant s a' '"~
On trouvera les etapes du calcul formel du terme PM (X,X) dans l'article de De Coninck, Guiraud et Zeytounian (Q. Jl. Mech. Appl. Math., vol. 36, Pt. 1, 1983, pp. 1
a
18; voir les pages 14 et 15 de la section 5.3).
Le resultat de ce calcul conduit
a la
:
~ormule
k
....£).
(17,196)
PM(X,X)
ou a = constante et
+
~-
E:
~
o +
+
().-, CP-, t),
cP
±
~+ ~-
00 ,0
dCP)
,
7T
= cP ± 3
On montre que a est bien une constante independante de
cP,
tandis
qu ' au ni veau de (17,195) 0 et y sont des constantes reelles. Ainsi, en tenant compte de (17,195) et (17,196),on trouve que la premiere des equations (16,97) donne, en premiere approximation, suivante pour
~
1 'equation
(A,CP,T) :
(17,197)
T
=
E:
2
t ,
c'est l'equation de De Coninck, Guiraud et Zeytounian (DGZ). Le cas particulier de
y
=0
a ete considere par De Coninck (Note
aux C. R. Acad. des Sciences, 288, A, 1979, p. 665) et dans ce ca~ on met aisement en evidence une famille de solutions stationnaires de (17,197). Cette famille est un systeme
a deux
parametres :
.) NoUE supposons que nous sommes sortis de la phase transitoire (voisinage de t = 0), ou l'ap~roximation lineaire s'applique et noUE faisons l'hypothese de raccordement Ixl» IYI. Dans ce cas, en calculant Y en fonction de X, grace a la seconde des equations (16,97), on montre que les termes preponderants dans la premiere des equations (16,97) sont bien obtenus en posant Y= 0 .
360
S
(17, J98)
(¢J +]!.3 ) = (.9.) a
2
1A
oA
a B
Nous pouvons etudier la stabilite lineaire de ces solutions (17,198) en posant
~ (¢J + (k - 1) } )
I; (¢J + (k - 1) St
7T
'3 )
+ ~ ,
(k = J, 2, 3, 4, 5 et 6) ou I;St est la solution stationnaire de (17,J97),avec Apres linearisation,il vient un systeme premier ordre ).. =
a six
y
= 0.
di~ferentiel
lineaire du
variables dont la matrice associee a pour valeurs propres
° (double); ).. = 20
(double); A = - 0 et A = 30.
Ces solutions stationnaires sont done toujours instables (il faut ajouter ~aut
~
(¢J)
pousser
= 0,
pour tout
jus~u'aux
~, ~ui
est elle aussi instable). Ainsi, il
interactions ternaires pour voir apparaitre une
stabilisation eventuelle des perturbations. En toute
generalite,l'e~uation de
/ de six e~uations pour les
s'ecrit sous la
~orme
=~
DGZ est k-1
"3'
)7T
suivante
Cll;1
aT"Cll;2
aT Cll;3
aT ( 17,199)
~
«A, ¢J +
Cll;4
aT Cll;5
aT Cl/;6
aT -
Cl2~
o~
1
1
- y - - = a ~2 ~6
Cl)..2
Cl2~ 2= 01;2 - Y - a 1;3 ~1 2 ClA Cl2~ 3 o~ - y-a 1;4 ~2 3
d)..2
2 Cl 1;4
= 'a 1;5 ~3 01;4 - y - 2
dA
Cl2~5
01;5 - y - - = d)..2
2 Cl /;6
01;6 - y - - = a d)..2
a 1;6 ~4 ~
t;, 1 5
. T ),. .ou
k
=
a un
systeme "'6 ... 1 a ; ce systeme
e~uivalente
361
Le systeme (17,199) ne semble pas avoir ete analyse, malgre son interet evident. II est interessant de preciser ~u' une veri~ication minutieuse du travail de Schluter, Lorz et Busse (J.F.M., 23, 1965, 129), effectuee par J.P. Guiraud, montre que l'assertion concernant la disparition des interactions binaires non lineaires dans les problemes de stabilite pour la convection d'amplitude finie est erronee,en toute generalite. II ~aut bien voir ~ue au niveau de la formule (17,196),le coefficient a est obtenu par integration d'un produit, de ~onctions dependantes de Z, ~ui est lie
a la
structure des
modes normaux.
3. Une caracteristi~ue importante de l'e~uation (17,197) de DGZ est de contenir la convection en hexagones et Ie systeme (17,199) est un systeme pour les ~k' avec k
1
a6
et qui s'ecrit sous la ~orme de l'equation
indicielle suivante
( 17 , 199' )
~-1 • On notera toutefois que les hexagones correspondent au cas ou tout
les six ~ sont egaux entre eux et de ce fait, vient l'equation
uni~ue
a la
place de (17,199'), il
:
(17 ,200) Si la perturbation initiale est en hexagones dans la phase lineaire, elle doit rester en hexagones dans la phase non-lineaire. Dans Ie cas general, pour chaque
~,
chaque ~ (k =1
a 6)
de~init
un mode pseudo-hexagonal et
chacun de ces modes evolue pour son propre compte. Au niveau du systeme (17,199),on peut considerer un cas particulier ~ui
correspond
(17 ,201)
a y =0
et aussi au choix de solutions d'equilibre pour
362
ou a = ~ Dans ce cas,les trois modes hexagonaux restant doivent satisfaire au syst eme hydrodynamique suivant
(17 ,202)
a a Cll;5
;l-[ - 0 1;5
=a
a
2 2
2 1;3 1;1 1;5 2
1;5 1;3 1;1 '
qui devrait faire l'objet d'un traitement numerique.
4. Enfin, pour ce qui concerne la convection en rouleaux on notera que dans ce cas: PM(X,X) :: 0 et cela est du au fait que le mode unique ne peut interagir avec lui-meme I La description de l'evolution temporelle des deformations d'une structure convective en rouleaux paralleles, a ete abordee par Newell et Whitehead (J.F.M., 38, 1969, 279) et Segel (J.F.M., 38, 1969, 203). Ils ont considere un systeme de rouleaux convectifs paralleles de nombre d'onde k ' c ayant une vi tesse d' amplitude complexe A( t, x, y) representant une modulation spatiale lente de la structure, et ont calcule
a partir (17,203)
l'equation d'evolution pour A
des equations classiques de Boussinesq (17,41). Le resultat est: ClA Clt
r A + I;
2 Cl (-;:;o oX
i 2k
c
ou rest l'ecart relatif au seuil de convection, et, 1;0 et y sont des constantes positives dependant des conditions aux limites et du nombre de Prandtl. Nous n'en dirons pas plus au sujet de l'equation (17,203), mais nous aurons l'occasion de revenir sur sa derivation asymptotique section 17,7. Nous voulons maintenant
a la
a la
section 17,5,suivante,obtenir et
discuter le celebre modele de Lorenz qui est, en fait, le point de depart des diverses discussions sur le chaos qui feront l'objet du chapitre VI.
363
11,5. LE MODELE DE LORENZ
W(T,X,Z)
Revenons aux e~uations bidimensionnelles (J7,108) - (17,109) pour
e
et
(T,X,Z). On notera
~ue
au niveau de ces
e~uations
bidimen-
sionnelles,on a
_ dW
u -
_.2.Y!.
w
et
(lZ
dX
1. Pour exiber Ie celebre modele de Lorenz (J. Atmospheric Sciences, vol. 20, 1963, 130-141), on considerera, ici, une convection en rouleaux; une dimension horizontale liee aux rouleaux etant notee par t (A = ~ est sans dimension). Ainsi, notre domaine de convection est
o
~
Z
~
et 0
1
~
x
~
A ,
et les conditions aux limites seront-}
w
0 ,
u
=0 ,
e
o
(17,204)
d~
=
dZ 2
0, sur Z
d~ = 0, -2 dX
sur
de dX = 0 , sur x
Z
sur x
o
et Z
o
et x
=A
= 0 et Z = 1
o
A.
et x
Si on pose :
e on peut,
a la
Pr ep
Ra T ,
T
t
= Pr'
Ra - Pr Gr,
place de (17,108) et (17,j09), ecrire les deux e~uations
suivantes pour ep
et T
(17,205)
.) Ces conditions sont celles classi~ue de
~ui
correspondent
a l'obtention
du modele
Lorenz, de 1963, et elles permettent de postuler une solution
simple de la forme (17,209) et (17,210).
364
Les conditions aux limites associees au systeme (17,205), (17,206) s'ecrivent :
{
( 17 ,207)
2
¢ =
" ~
a az 2
= T = 0, sur Z
¢=
~ ax2
= aT = 0, sur x = 0 et x = A . ax
0 et Z =
Pour resoudre le probleme (17,205) - (17,207), methode de Galerkin (voir,
a ce
a partir
de la
sujet, la section 8,2 du § 8), on postule
une solution approchee du probleme, satisfaisant aux conditions (17,207) et aux e'luations (17,205) - (17,206), sous la forme suivante 00
¢
L L j=1
i=1
A.. (t) sin (iifX A J.J
sin (j if Z)
(12,208) 00
T
00
L L
i=O j=1
Le probleme consiste
B .. J.J
(t) cos ( iTIx) sin (j if Z). A
a trouver
des e'luations dirferentielles ordinaires
(non lineaires) pour les amplitudes A.. (t) et B.. (t). Lorenz, pour obtenir son J.J
systeme de _trois e'luations, se limite pour ¢ = A
( 17 ,209) et pour T
ai
1 et i
1 et j
T (17,210)
11
(t) sin
¢
J.J
ai
= 1 et j = 1
sin (ifZ) ,
0 et j = 2, ce 'lui conduit
B (t) cos (if:) sin (ifZ) 11 + B
o2
(t) sin (2 if Z).
a:
365
On notera que l'addition du second terme, independant de x, au niveau de (17,210), s'avere necessaire pour tenir compte d'une partie, au moins, des non linearites de l'equation (17,206). Naturellement, dans le cas de Lorenz (de la convection peu profonde),il faut supposer que 00
=0,
au niveau de l'equation (17,206). Si,maintenant,on remplace
~
et T dans l'equation (17,205) par leur
representation (17,209) et (17,210), on obtient, tout d'abord, la relation suivante : 2
d.A 11
2
Pr rr (r +1) sin (rrrx) sinrrZ
4
2
Pr rr (r +1)
2
~
+ Ra B
11
rr r sin(rrrx) sinrrZ
All sin(rrrx) sin rr Z,
ce qui fait que
o
(17,211)
c'est la premiere des equations du systeme de Lorenz, ou r On remplace,maintenant,~
= I1
et T dans l'equation (17,206) (ou
° t 0) o
par leur representation (17,209) et (17,210); on obtjent la relation suivante Pr[l + 0o(l-Z)] { cos (rrrx) sin(rrZ) - All B11 rr
2
r sin(rrZ) cos(rrZ) - 2 rr
(17,212)
+ ,
B
11
(r
2
dBll
+ 1) rr
2
dB
02 d:t + sin (2rrZ) d:t 2
r All B 02
r A"
cos (rrrx) sin(rrZ)- 4 rr
00'
2
cos (rrrx) cos (2rrZ)
('rx) ,in ('Z) }
B sin(2rrZ) 02
222.2 2 l All Sln (rrrx) sin (-rrZ)J'
4 (r -1)
+
D' apres la methode de Galerkin, il faut, tout d' abord, multiplier l'equation (17,212) par cos (rrrx) Z, de 0
a
sin~Z)et
integrer en x, de 0
a A,
et en
1; il vient alors l'equation suivante, apres avoir effectue les
integrations
366
dB
<S
11 ---a::t
Pr (1 +--..2. 2
(17,213)
0 0 + Pr 7T r (1 + 2
)
= O,on
Si l'on fait 0
0
+ 7T
2
<S
0
r Pr (1 + 2
A + 7T 11
)
A11 B02
22 (r + 1) B11 = 0 .
obtient la seconde des equations de Lorenz.
Pour obtenir une troisieme equation,il faut multiplier l'equation
a A,
(17,212) par sin (27TZ) et integrer en x, de 0
et en Z, de 0
a
1; on
obtient alors, apres avoir effectue les integrations, l'equation suivante
(17,214)
0 Pr (1 +--..2. 2
---a::t - "2
+ 4 7T 2 B 02
o ,
qui est (lorsque 0
o
= 0)
1
dB 02
Pr
7T
2
0 r (1 +--..2. ) A11 B 11 2
la troisieme des equations de Lorenz. On not era que
le terme quadratique de (17,206) proportionnel integration au niveau de (17,213) et (17,214).
a <S o
PGr r
disparait apres
11 est commode d'ecrire les equations (17,211), (17,213) et (17,214)
sous une forme plus concise, en introduisant le changement suivant :
x (17 ,215) Y
ou q
= 7T
r
=~
7Tq
2 2
2
12(7T +q )
=
-~ 2 2
Z -
B 11
7T +q
Ainsi, on obtient le systeme
amplitudes X(T), Y(T) et Z(T), lorsque 0
0
(17 ,216)
, b
"a
B02
la Lorenz" suivant pour les
# 0
Pr dX dT
=-
Pr X - Ra Y ;
Pr dY dT
=-
~ Y - a Pr X - Pr X Z
Pr dZ dT
=-
b ~ Z + Pr X Y ,
2
ou a = -~q",--- (7T2 + q2)3 (17 ,217)
7Tq A ,l2( 7T 2+q2) 11'
7T
2
47T 2 + q
et
2
_
~
1
= --01+--..2. 2
367
2. Le "vrai" systeme de Lorenz s' obtient, lui, avec
a la
).l _
1 et en introduisant
place de X, Y et Z les amplitudes : A -= X,
B -= - Ra Y et
C - - Ra Z
T/ Pr
ou A, B et C sont des fonctions de t -= dA - = Pr (B-A)
dt
dB
(17 ,218)
dt
=-
dC dt
-=
ou
(17 ,219)
AC + r
0
A- B
AB - bC
r
<J,.
0
2
(-rr 2 + 0. 2 )3
Ra ,
est le parametre de bifurcation du systeme de Lorenz (17,218). Un point important, au niveau du modele de Lorenz (17,218), est de se convaincre que la troncature appliquee (tres severe !) n'a pas subrepticement introduit de "catastrophe" indesirable dans le modele. A cette fin, il suffit de montrer qu'aucune solution de (17,218) ne va
a l'infini;
en d'autres termes,
que le champ des vitesses dans l'espace des phases (A, B, C) est partout dirige vers l'origine sur une surface entourant celle-ci
a grande
distance.
Soit h (A, B, C) l'equation d'une telle surface dans l'espace des phases; pour que la condition enoncee ci-dessus soit satisfait~ il faut (et il suffit) que le produit scalaire du vecteur vitesse et de la normale exterieure
a la
surface soit partout negatif
<
°.
Si l'on choisit comme surface h, l'ellipsoide d'equation h (A, B, C)
> 0, arbitrairement grand, alors en tenant compte des equations dA dB dC (17,218), qui expriment dt ' dt et dt on obtient l'inegalite :
avec
u
o
°
- (A
2 + B2 + b C2 ) + (r + 1) bC o
< 0,
u > suffisamment grand. Ainsi, aucune trajectoire issue d'un point o distance finie de l'origine ne peut s'eloigner a l'infini.
pour
a
368
Autre point meri tant d' etre souligne : la contraction des volumes de l'espace des phases (A, B, C), d'aprils laguelle le "flot" (17,218) est bien du type dissipatif, comme les eguations de depart. En effet, le champ des vitesses
a une
divergence constante et negative d (dA ) + d (dB) d (dC ) dA dt dB dt + dC dt
(17 ,220)
- (Pr + b + 1),
et de ce fait,le volume de phase decroit continuellement au cours du temps. Si
a un
instant donne (t
occupant un volume
n
= to),
(to), les extremites des trajectoires issues de celui-ci
rempliront au temps t un volume
n
(17 ,221)
(t)
on considilre un ensemble de conditions initiales
n (t)
egal
a:
n (t o ) exp [ - (Pr + b +
1) (t - to)J .
On notera que l'etat conductif decrit par le modele de Lorenz (17,218) est lineairement instable pour ('IT 2
+ q2)3
(17 ,222) q
2
Les fluctuations correspondant au seuil d'instabilite sont evidemment celles pour lesquelles le membre de droite de (17,222) est minimal; en ce cas, le nombre d'onde q est tel que et
(17,223)
Ra
= 27
4
4 'IT
lIE
Ra
On retrouve les valeurs critiques classiques calculees pour la premiere fois par
R~leigh
(Proc. Roy. Soc., A 93, 1916, 148-154). Dans ces conditions
= 8/ 3 ,qui est la valeur frequemment utilisee dans les simulations numeriques du modille de Lorenz, qui lui a adopte les valeurs : Pr 10, b = 8/ 3 et r > 0 variable, jouant le role du paramiltre de bifurcation. o On trouvera dans le livre de Sparrow (The Lorenz equations le paramiltre b
Bifurcations, Chaos and Strange Attractors. Springer 1962) une analyse relativement complete du modele de Lorenz. Pour notre par\ nous aurons l'occasion d'y revenir au Chapitre VI en relations avec les bifurcations et les divers scenarios de transition vers le chaos (voir la section 23,2).
369
3. Si l' on tient compte de (17,223) on constate qu ' au ni veau du modele de Lorenz classique (17,218), le parametre de bifurcation est: r
o
Ra
_
ll!
Ra
Ce systeme (17,218) admet une solution stationnaire qui satis~ait aux equations : A
=B
B
,
=A
(c - r ) et o
C
= 1b AB '
ce qui nous donne les solutions suivantes
± Ib£
A
St
B = ± St
(17 ,224)
CSt -
Ib£
,
E
ou (17 ,225)
E
•
Ra - Ra
- r0
'II
Ra
-
1
Nous pouvons tester la stabilite de cette solution stationnaire, (17 ,224), en ecri vant que : A
A
St
'V
+ A e
-at
, B
'V -at St + B e , C
'1!
CSt + C e
B
-at
et en substituant dans le systeme de Lorenz (17,218). Dans ce cas il vient pour
a l'equation caracteristique du 3eme degre suivante
(17 ,226)
Pr-a
- Pr
-1
1-a
o + Ib£
o .
b-a On sait qu'il existe une valeur parti culi ere de
E
,
notee
E
•, pour
laquelle la partie reelle d' au moins une des racines de l'equation (17 ,226), pour
a
•
est negative et il y a instabilite. D'apres le critere de Routh et
370
Hurwitz·), cette valeur
8~
( 17 ,227)
~ormule
s'obtient a partir de la 8
(1 + Pr) (1 + Pr + b)
lIE
(Pr - 1 - b)
ce qui nous donne, pour Pr
10 et b
= 38 '
la valeur
(17 ,228)
La solution stationnaire (17,224) du mod~le de Lorenz classique est •
• •
donc 1nstable lorsque 8 > 8
....
I
. Ma1s comme le modele de Lorenz n admet pas
d'autres solutions stationnaires que (17,224),on peut en conclure que la solution du mod~le de Lorenz, lorsque
8
> 8
l1E
est necessairement dependante
du temps. Lorsque
< 8-, on doit considerer deux cas en ~onction de
8
est la valeur de 8
a partir de laquelle des oscillations
8os ' qui c
reguli~res
apparaissent au sein de la convection; a) si 8 < 8
lIE
< E , dans ce cas,l'equation (17,226) admet trois racines osc reelles et positives et la solution stationnaire de Lorenz est stable et
les perturbations decroissent de
~ac;;on
monotone, ce qui permet, "assez vi te ",
de retrouver l'etat stationnaire, ;tE:
b ) si 80s
I....
•
. . . . .
< 8 < E , 1 equat10n admet une racine reelle posit1ve et deux c racines complexes conjuguees dont les parties reelles sont aussi positives
la perturbation est oscillatoire avec une amplitude decroissante en fonction du temps. Sur la
~igure ci-apr~s
nous avons trace dans le plan (Pr, 8~) le
graphe correspondant a la formule (17,227) pour b = role privilegie joue par la valeur Pr de
8
lIE
= 10
38 ;
..
on V01t b1en alors le
qui correspond a une valeur minimum
Le syst~me de Lorenz classique (17,126) pour X, Y et a ete integre numeriquement pour diverses valeurs de (17,225»
8 (8
z, ou
II -
1 ,
est donne par
par Errafiyau C.I.T.I. de l'Universite de Lille I; l'ordinateur
employe etant un DPS 8. lIE)
Le crit~re de Routh et Hurwitz donne une condition necessaire et suffisante pour que toutes les racines d'un polynOme(reel) aient des parties reelles negatives et on pourr~a ce sujet,consulter le livre de Gantmacher (Applications of the theory of Matrices. New York; Interscience 1959; voir la page 231) .
371
50
45
40
35
30
25
23,74
- -------:-:.:.----
15
10
L-~:-'------~10~-----~15l-------:;20:-----1~P:r
Sur 1a figure ci-dessous_ on trouvera 1e graphe de l' amplitude X en fonction du temps
x " 10
0'
.. , -, 0
-"
'00
l
pour
E:
= 27,5,
b
= "38
et Pr = 10 .
372
."
o
o
372
373
On notera que Ie caractere chaotique, en fonction de T , de
'"= 130.
" 1 ' ampli tude X demarre pour T
Ci-avant,nous avons trace Ie graphe de X comme fonction de Y pour differents temps T , toujours (17,225), pour b
= 8/3,
a partir
II == 1, Pr
= 10
de la resolution numerique du systeme et
= 27,5.
£
Ce dernier graphe nous
donne tine idee de la forme de l'attracteur etrange de Lorenz et on constate que la trajectoire reste bien confinee dans un domaine fini de l'espace des phases.
17,6. LE MOVELE VE LORENZ AVEC EFFET VE PROFONVEUR
(0 0f-0). -
Nous revenons au systeme des equations de la convection profonde bidimensionnelle (17,205), (17,206), pour ~ et T. Nous introduisons Ie parametre 20 (17 ,229)
o
£=~
o
et nous pouvons ecrire, Pr [1 +
£
a la
(.1. _ 2
place de (17,206), l'equation suivante
Z)J {
(17 ,230) "'2 '1' 0 1 + -2. 2
+
£!:L2 Ra
3'1' +
at
E.t aT _ E.t aT
az ax
[42 (~ )2
ax az
ax az
+
E.t }
ax
2 _ I2I + (li az 2 ax2
Ainsi, pour ~ et '1', lorsque 0 f O,nous devons considerer les o equations (17 ,205) et (17,230). A ce systeme d' equations,nous associons les conditions aux limites suivantes, relatives au cas dit "libre-libre" : (17,231)
'1'
sur
z
o et Z
1 •
Comme nous voulons tenir compte de I'influence de Ia profondeur (qui est decrite, au niveau de (17,230), par Ie parametre
£
),
il nous faut,
en accord avec Ia theorie Iineaire de Ia section 17,3 (voir Ie systeme (17,138»,
374 tenir compte, dans la decomposition de Galerkin, des modes qui sont "destabilises"
a£
par la presence des termes proportionnels
•
Ainsi, nous prenons la re-presentation app!l.'ochee suivante pour ep et T
(17 ,232)
= A11
(t) sin (r.Z) sin (qx)+ A (t) sin (21TZ) sin (qx); 21
T
= B 11
(t) sin (1TZ)COS (qx) + B
+ B
10
(t) sin (1TZ) + B
20
21
(t) sin (21TZ) cos (qx)
(t) sin (21TZ)
.
La substitution de (17,232) dans les equations (17,205) et (17,230), apres la mise en oeuvre de la technique de Galerkin,telle qu'elle a ete decrite
a la
"a
section 17,5, lors de l'obtention du systeme, • ~ • ,. • lIE) condu~t aux equat~ons d ampl~tudes s~vantes : (17 ,233)
dA 11 Pr all ~
la Lorenz", (17,216),
2
=q
Ra B 11 + Pr a 11 A11
(17 ,234)
(17,235)
21Tq
(17 ,236)
~ A21
+ 1T q [ All B20 -
~~1
l:2 A11 B 10 + a4 A21 B20
£
+ q A21 + 2
- 2 1T q
B 10 ]
£
[
£
a2
J
[~~ 1 + q A1
a 3 A 11 B 20 + ;
<5
Pr( 1 +.....2. 2
J J
A21 B lO
<5
0
Pr( 1 + 2
lIE) La derivation des equations (17 ,233) - (17 ,238) a ete e.ffectuee par ErraSiy dans le cadre de sa these (1990). 11 a aussi derive un systeme a 15 equations,
a
pour le cas libre-libre (voir, la section 23,2 du Chapitre VI, quelques resultats de ses calculs numeriques).
375
dB 20 a:t+ 2
dB a 2 --lQ. _ .:!!.9. 2 All B 11 dt
£
(17,237)
a 20 is Pr(l + 2°)
1Tqo
(A
-2£
B + 20
£
B
11
+
21
A B ) a6 21 11
Pr c Ra All A21
60
Pr (1 + 2
Au niveau de ce systeme (17,233) - (17,238) nous avons les coefficients constants suivants all = 1T
a2
2 + q2
8 = 97T 2
,
a
a
3
21
= 4 7T
16 =-----2 2257T
2
+ q
2
,
a
10
= 7T
2
a
20
4 1T
2
,
16 416 , a4 =---2 , a 5 = 2257T 2 , 2251T
(17 ,239)
a
4 = -37T
(7T
4
4 + q ) ,
Pour mettre le systeme (17,233) - (17,238) sous une forme plus "canonique",il est jUdicieux de faire le changement de variables suivant
T
(17,240)
z
= all
t
,
X
=
7Tq 0_
12 a 11
All'
y
7Tq
12
2
3
all
376
Si l'on suppose que q X, Y, Z, U, V et
~
2
=TI22 '
alors il vient pour les amplitudes
le systeme d'equations suivant : - Pr dX = Ra Y + Pr X dT
( 17 ,241a) (17,241b) Pr
~~ = r Pr X + Pr X Z
(17,241c)
+ -Y=----,o,-- +--.2.
i
Pr U Ttl
2
+ 2 £ Pr {a
dV + r a U - a 2 X W - a4 U Z 2 dT 2 2
dZ b 20 - Pr dT = - Pr X Y + ---0;;-
1
+
Pr {2 a 2
£
Z
+2
(17,241d)
Jt;
~~ -
~~ d 11
a6 [X V + U Y ] -
- Pr dV = r Pr U _ Pr X W + _~3'-.-_ M 2 ~
XU};
V
+2
(17,241e) + 2
£
Pr {a2
~~ + a 2 r
U W}
X - a3 X Z - ;
b
10- Pr dW = Pr (X V + U Y) + o W + 2 dT 2 1+ --.2.
£
Pr (d 2 2 ] - 2 a4 U V - 2Ra 12 X + d 13 U)
(17 ,242)
- a 22 X Y
2
(17,241f)
ou
dZ
Pr [ a 2 dT
{
2 8 b 20 = 3 ' b 10 =3' d 11 d
12
representation,
"a
=~
2464 40 =-=-- , d 2 2 13 135'lT 27'lT
On notera que si l'on se limite, la Lorenz", suivante :
,
135TI2
4
,r=~
a la
27'lT
place de (17,232),
a la
377
All sin(lTZ) sin(qx)
T E l l sin(lT Z)cos(qx) + E20 sin(2nZ) alors, a la place du systeme (17,241), il vient Ie systeme suivant - Pr ax dT
= Ra
Y + Pr X
°
- Pr dY = r Pr X + Pr X Z + _Y---;;~ dT
+-2. 2
b
_ Pr dZ
- Pr X Y +
dT
avec
r
4 =--4 et 27 IT
20 --'=-=--;o=--
Z ,
1 +-2. 2
8
3'
c'est-a-dire que l'on retrouve Ie systeme (17,216). Errafiy a effectue un calcul numerique du systeme (17,241) pour Pr
= 10
et 00
= 0,1.
Sur la figure de la page
378, on a trace Ie graphe du rapport
des amplitudes X calculees selon Ie systeme complet (17,241) (note X ) et Ie
E
systeme "a la Lorenz" (17 ,243) ( note XL)' On constate que la grandeur K
Ra pour r o - 1 = Ra* - 1 = 27,5, est negligeable jusqu'au temps T = 150 puis soudain devient importante et a un comportement chaotique pour T > 150. Cela est du au fait que pour T ~ 150 apparait Ie caractere chaotique de l'evolution des amplitudes avec Ie temps T . Ainsi, meme une petite valeur de 00 change Ie comportement du systeme complet (17 ,241), en comparaison avec celui "a la Lorenz" (17 ,243). On
trouver~
a la section 23,2 (Chapitre VI) des resultats de calculs
numeriques qui montrent comment l'attracteur de Lorenz se deforme en fonction du parametre de profondeur 00
378
K
15 10 5 0
50
100
150
YI J 0
I
T
-5 -10 -15 -20 -25
I",. VERIVATION ASYMPTOTIQUE VE L'EQUATION V'AMPLITUVE*) On considere les equations de Boussinesq de la convection en rouleaux de Rayleigh-Benard :
v.~ (17 ,244)
h
1
a (at
=0 a
; +;:l;
+;:l;
(at + u. v) u + V'IT + ± + u. v) 8 - Ra w
-
=M
+
+
= t::,.
8 k
u
.
Aux equations (17,244),on va associer les conditions aux limites usuelles, les plus simples, correspondant au cas dit "libre-libre" : (17,245 )
8
( 17 ,246)
w
0,
=0
sur Z
et
azau = 0
et
0
,
av
az~o,sur
Z
Z
o
et Z
1,
ou encore (17,247)
w
=0
et
o
et Z
1 •
*) Cette derivation est directement inspiree de l'article de Coullet et Huerre (voir: Physica 23D, 1986, pp. 27-44).
379 1. L'hypothese de depart, fondamentale,
est que : (17 ,248)
Ra
Ra
ce qui signi'fie
~ (Ra - Ra )1/2
£
c
puisque r
=0
(1).
Ra
c
On dira que r (de l'ordre de un) est le parametre de "supercriticite". On notera
qu~
pour le cas
-i------+-------+-k k
"libre-libre", on a Ra
c
c
On s'interesse,dans le cas de Ra > Rac,aux modes correspondant a (k - k )2
c
~(Ra - Ra c) qui vont croitre exponentiellement ! Pour Ra un peu superieur a Rac,nous pouvons nous attendre a ce que
ces fluctuations domineront la dynamique a basse frequence du systeme juste aU-dela de l'approximation lineaire -
ains~
nous sommes dans le cas d'une
instabilite "faible" et cela conduit a effectuer une analyse faiblement non lineaire. Cela veut dire que l'amplitude A des rouleaux
periodiques convectifs
(en x) va etre une fonction (complexe) de variables lentes (17 ,250)
£
Les exposants des
£
X
,
£
1/2
Y et
T
devant x et y sont dictes par le fait que k
est le nombre d'onde selon x et que nous avons fait l'hypothese (17,248); de plus,on tient compte de l'invariance rotatoire relativement a ce nombre d'onde et pour un
£
fixe,l'echelle des fluctuations transversalement a la
direction des x est de l'ordre de la racine carree de l'echelle longitudinale. En fait, le choix des variables lentes (17,250) est essentiellement lie au comportement du taux de croissance lineaire au voisinage de k c et il peut se justifier par des considerations de coherence interne lors de l'application formelle de la MEM, qui va nous permettre d'obtenir l'equation d'evolution pour A (~,n,T) - equation qui est du type de celle ecrite en (17,203).
380
11 s'avere que,lors de cette mise en oeuvre de la MEM,la variable longitudinale
x est la seule qui intervienne dans la decomposition en harmoniques et de ce fait,on doit tirer profit des formules, d'apres (17,250),
...£...=...£...+
(17,251)
ax
ax
E
a
ai;
Dans ce cas,
(17 ,252) U ...£... + w ...£... + ata + +;!; u. V = ax az E 1/2
v
ana + E
U
a + E 2 aT a
ai;
Maintenant, si on note
u
(17 ,253)
alors la solution du probleme (17,244) avec (17,245) - (17,247)
et
(17,248)-
(17,250) est recherchee sous la forme (17,254)
ou (17 ,255) avec i
=Y ~1 - I et
k =: 1 + 12. - 0" 1 2" 3 , 4 ... 2' p -
Le probleme de la mise en oeuvre formelle de la MEM
consiste
a tirer
profit de (17,251), (17,252), (17,254) et (17,255), simultanement, dans (17,245)
(17,247 avec (17,248) 1
2. Ordre E
. On constate, tout d'abord, que
u;o)
=: 0
et qu'il suffit
prendre en compte une seule harmonique (m = 1) et on obtient pour
w; 1 ),
Tr; 1)
et 8;') les eCNations suivantes
u,(1) ,
381
i k
" (1)
(1)
aWl
c u1
+
sur Z
=0
i k
--az- = 0
2 (1) 2 (1) 1 (1) =
(17,256)
Comme
:~
=0
et Z
= 1 on
constate que v;1)
ce cas de (17,256), on obtient deux equations pour w de la theorie lineaire bidimensionnelle
(1)
1
et
e(1) ,
=0 .
et dans
qUl sont celles
1
o (17,257)
o , avec
o sur Z
(17 ,258)
0
et
Z
1 •
La solution de (17,257), (17,258) qui va decrire une rangee periodique de rouleaux convectifs peut s'ecrire sous la forme generale suivante
(17,259)
{
(1)
w 1
i k
e(
3 1) = _ 9'IT
1
c
212
A (I;,T),T) sin ('IT Z); i A (I;,T),T) sin('IT Z\
puis que
Ra
c
pour k
c
'IT =-
382
Ensuite,on trouve aussi TI A
(17,260)
(~,n,T)
cos(TI Z)
et (17 ,261)
Dans la solution (17,259) - (17,261) la fonction reste arbitraire et pour trouver
l'e~uation
a
la~uelle
"amplitude",A(~,n,T),
elle doit satisfaire il
faut pousser jus~u'a l'ordre £3; au niveau des e~uations regissant les inconnues liees a £3 une condition de resolubilite fait justement apparaitre l'e~uation recherchee pour A
(~,n,T).
Ainsi, on cons tate
~u'
a l' ordre
E,
on a la solution
TI cos (TIZ)Reel (A e - k (17 ,262)
v
TI 6
Oll A
(~,n,T)
1
1
1
c
ik x c );
sin(TIZ) Reel (i A e
ik x c)
- 0
=:
(TI 2 + k~) cos(TIZ) Reel (i A e
c
ik x c )
9TI 3 ik x - sin(TIZ) Reel (i A e c )
212
reste pour l'instant arbitraire.
U;/~ = 0
et on ne tient compte (1) (1) seule harmoni~ue (m = 1); dans ce cas,il vient pour u / 2 ' w / 2 3 3 (1) (1) TI / 2 et 63 / 2 les e~uations suivantes : 3 (1) a W3 / 2 (1) 0 ik u / 2 c 3 a2 (1) ( 17 ,262a) u 3 / 2 _ k 2 (1) . (1) J.k c TI 3/2 2 c u3 / 2 az 3. Ordre
£3/2. Une fois de plus
I
+--az-=
d'une (1)
~ue
v 3/ 2
383
(17 ,262b)
(1)
2
a w3/ 2 ----:"-= az2
(17 ,262c)
(1) 63/ 2 --;;::.c.::-.
k
2
w
c
(1)
3/2
2
( 1)
- Ra w c 3/2
=
a
az2
-
k
2
c
( 1) -e 3/2
De l' equation (17 ,262b), on deduit :
et de ce fait (17 ,263)
v /2 3
7T
=k
COS(7T Z)Reel
c
1 aA
(I
aT] e
Les equations (17,262a) et (17,262c) conduisent .
(1)
(1)
le meme que le systeme (17,257),mals pour w /
ikcX
).
a un
systeme qui est
et 6 / ,et de ce fait,il est 3 2 3 2
logique de postuler que : (17 ,264)
3. Ordre £2. Ici,il faut tenir compte de U(o) et de U(1) . Pour ce qui concerne les composantes de
U~o), on
2
a les equations suivantes a2
aw(o) __2_ = 0
az
(17 ,265)
az
a7T (0) 2 -az-97T
4
412
(0)
u2
kc
k
2
2
= 0 ,
c 6(0) = --7T
IAI
2 2
2Pr
IAI 2
2
a2 v (0) 2 = 0 2 az
sin (27TZ) ;
sin(27TZ) - Rac w(o) 2
a 2 e(o) 2
dZ 2
384
e t on no t era que 1 es termes
." proport~onnels a
IA 12
. prov~ennent
des termes non
lineaires. Voyons, par exemple, comment on obtient la derniere des equations (17,265). De l'equation pour e (derniere des equations du systeme de depart (17 ,244 )), i l vient Ii l' ordre £2 ae
az
l
a2 e an
+ - - 1+ 2 maisel = %3 2/2
sin ('ITZ')(A
sink
r
ae l __ %3 ax 2/2
x+A.cosk
c
~
k c
sin ('ITZ) (A
x),puisqueA=A
c
r
cos k
c
x-A. sin k ~
+ i
r
c
A. et ~
x),
ae l 9'IT 3 -= --'IT cos ('ITZ) (A sin k x + A. cos k x), aZ 212 r c ~ c
et comme u
u
l
=
'IT cos ('IT Z) (A
r
cos k
c
x-A. sin k ~
c
x), on a
4 A cos 2 (k x)- 2 A A. sin(k x)cos (k x) -ae 1 = -9'IT k sin(2'IT Z) [ 2 l ax 412 c r c r ~ c c
et aussi, puisque w = k c sin('IT Z)(Ar sin k c x + A.~ cos k c x), l w
1
4 ae 1 9'IT [2 2 ,,--Z = k sin(2'IT Z) A sin (k x)+ 2 A A. sin(k x)cos(k x) CJ 412 c r c r ~ c c + A.2 cos 2 (k ~
c
x)]
Ainsi, ae
l
u 1 ~ + wl
(17 ,266)
ae 1
az
4 2 2 'IT = -9 k sin (2 'IT Z)( A + A.) 412 c r ~ 4 9'IT = 412
k
c
IAI
2
(sin(2'IT Z),
CQFD.
385 (1)
Pour les eomposantes de U ' on a le systeme suivant 2 aw(1) a (1) a (1) i k
e
(1) + _2_
U2
az
= _ .-l _ a1;
v 3/2
all
ae( 1) 1
+ 2 i k e -a-1;-
On a done que, d'apres (17,265),
= -
(17,268) (0)
7T 2
3
97T 32 2
7T = 13
1
.
s~n(2 7T
(pr +
Z)IA! 2 ,
9
8 ) eos(27T
Z)
IAI
2
,
et aussi, d'apres la troisieme des equations (J7,267), (17 ,269) .
..
Ens~te,~l v~ent
(17 ,270)
(1) pour w 2
et
e(1) le systeme non homogene suivant 2
386
ou 4
F2
aA i 3'IT -2(~-~
G 2
_ 9'IT 2
2
a A
c
( 17 ,271)
4
aA
all
2
) sin('lTz);
2
i
a A
(at;-~~ ) sin('lTZ) c
11
Pour resoudre (17,270) on doit associer les conditions aux limites
=0
(17 ,272)
, sur Z
o et Z
1 •
Pour resoudre (17,270) avec (17,272), il faut ecrire une condition de resolubilite.
11 s'avere,tout d'abor~qu'il suffit de rechercher la
solution pour 6(1) sous la forme: 2
(1)
62 pour voir que
w~ 1.)
= 3'IT et
2
1J~ 1)
2 aA i a A ,,( 1) (~- ~ ~ ) sin('lTZ) + 6 2 c all
satisfont au meme probleme lineaire que (17 ,257),
(17,258) et de ce fai~ on trouve que
o
(17 ,273)
et 6(3)
sin('lTZ)
2
. • • ~ •• ~1IE) Ensulte,on constate que la condltlon de resolublllte :
(17,274) o
est identiquement satisfaite. Dans (17,274),les fonctions ~ et ~
sont les fonctions propres
adjointes du probleme homogene (17,257), (17,258) et elles sont donnees par
1II) On pourra,
a ce
sujet, consulter le chapitre 15 du livre de Nayfeh ("Introduction
to Perturbation Techniques"; J. Wiley et Sons, 1981).
387
(17 ,275)
~
=-
3 sin(~Z) et
~
= sin(~Z)
En effet, la matrice adjointe associee au systeme (17,257) est 'V
L
et si ~ = ~ sin (~Z) et ~ = ~ sin (~ Z) sont les fonctions propres adjointes du probleme (17,257), (17,258), alors il faut que
Ainsi, 'V
a - (k
. k2 pUlsque c
2
~ = ""2
et Ra
2 2 'N + ~ ) ~ c
=0
=>
'V
a
=
27~4
c =-4-
En tirant profit de (17,273) et (17,269) on obtient des equations
(17,267) : (1)
(17,276)
7f
(1)
2
ClA
~
1
'iA
- TIC (~+Ik2
u2
c
. 3
=7c ~~
c
'lA
2 + 2 i
(-
an
an
k
) cos (~Z)
ClA ) cost 7f Z) . c~
Naturellement,c'est l'equation qui resulte de l'elimination de w, ou de
e,
au niveau du systeme homogene (17,257), qui est autoadjointe. Ainsi, il faut pousser plus loin pour obtenir l'equation d'evolution
pour l'amplitude A (~,n,T).
388
4. Ordre f.5/ 2 . Une fois de plus,il faut admettre que (0) ikCX e ) = 3, m = 1. U5/ 2 = U5/ 2 + Reel (U(1) 5/2 ' r On trouve alors que
o
o ,
(17 ,277)
et
e (0)
5/2
o ,
mais - -3
(17 ,278)
32
( 1- + -3 ) cos (27TZ) Pr 8
a an
l A I2 ~
Ensuite, i l vient (1)
(17 ,279)
(1 )
o ,
u5/ 2
o
w5 / 2
e( 1)
et
5/2
o ,
mais (1) v 5/ 2
(17 ,280)
2 4 a aA i aA = TI an (a~ - 2k~
c
n
)COS(7TZ).
5. Ordre f.3 . Dans ce cas,il faut,en toute generalite,supposer que: U 3
U(o) + Reel (U( 1) e 3
ik x c
3
+ Reel
(U(3) e 3
3ik x c )
+ Reel
(U(2) e 3
2ik x c )
,
mais, en fait, une fois de plus pour obtenir l'equation d'evolution pour A (~,n,T),
U~ 0 )
et
il suffit de determiner les conditions de resolubilite pour
U~ 1 ) • Tout d'abord, on trouve que
(17 ,281)
ou
389
(17 ,282)
1 =-323 (Pr
Q
3
cos (27fZ)
~ all
+ -3 ) cos (27fZ) 8
a2 1AI 22 all
Et de ce fait,il faut imposer les deux conditions de compatibilite suivantes :
r
(17 ,283)
8
3
dZ = 0
et
r
Q
3
dZ = 0 ,
0
0
si l'on veut satisfaire aux conditions aux limites
a (0) az
~=
(17 ,284)
0 e t w(0) 3
0
sur
Z
0
et
Z
1
11 s'avere que les relations (17,283) sont identiquement satisfaites. e(31 , 2 ), un ) systeme de la forme ( 17 ,70
on retrouve,ensu1te,pour . w(1) et 3 ou les seconds membres sont :
11 faut done ecrire la condition de resolubilite suivante
o, o
qui conduit apres quelques calculs
A
(~,ll,T)
:
a l'equation
d'evolution recherchee, pour
390
(17 ,286)
2
aA i a A 2 + 4 (~- 2k~) c oT)
6. On peut mettre l'equation (17,286) sous une forme canonique. Pour cela, on passe aux variables X, Y et T de telle faqon que :
{
X
=2
T
=
k
Y
~
c
16 Pr k 2 T Pr+ 1 c
Dans ce cas, pour la fonction (17 ,288)
A(
X, Y, T
)
Tf
= 16kc
A
(-...L
Y
T
2k c ' 2kc ' (Pr+ 1) / 16k 2 Pr
)
c
il vient l'equation d'evolution canonique suivante*) (17 ,289)
oil
De l'equation (17,289),on peut obtenir l'equation d'evolution de la phase correspondante. Tout d'abord, on a une famille de solutions periodiques de l'equation (17,289) sous la forme suivante (17 ,290)
et dans ce cas,l'amplitude Q est donnee par
¥) C'est l'equation de Newel et Whitehead et aussi de Segel (1969; deja cites).
391
( )l - q 2) 1/2 .
(17,291)
Pour etudier la stabilite de cette configuration,on ecrira que [ Q + p (X, Y, T)J e i (qX + 8)
A (X, Y, T)
(17 ,292)
,
avec 8 = 8 (X, Y, T). Dans ce cas,de (17,289),on obtient les deux equations (17 ,293a)
.£Q _
aT - -
2 Q2
p - 2 P Q
a8 ax
+
i2.2 + 2 q -a2p ay 2
ax
( 17 ,293b)
Le mode d'amplitude associe avec la variable pest gouverne par l' equation (17 ,293a); en approximation "d' onde longue", lorsque
;Y
«
a ax
« 1 et
1, ce mode d'amplitude decroit fortement. Par contre,le mode de phase 8,
qui en limite "d'onde longue" satisfait
a
a8 _ aT - 0 , est en stabUite "neutre" (il est sur la courbe de stabilite
a
=0
).
Pour decrire la dynamique en "ondes longues" du mode de phase 8, on peut supposer que l' ampli tude p
est '~diabatiquement"liee
lentement; on peut donc en premiere approximation ecrire,
a la a la
phase variant place de (17,293a),
et la substitution dans l'equation (17,293b) donne (17 ,294)
a8 aT
- = (1
2 2 _ .s.cL Q2
a28 --+ 2 q 2 ax
a28 ay 2
2 1/2 , alors on trouve que Si l'on tient compte que Q = ()l-q)
392
Ainsi, il vient pour
e
ae
(17 ,295)
aT Les signes de
8
l'~quation d'~volution
de la phase suivante
=8
et de q d~terminent respectivement les instabilit~s
dites "zig-zB.,lP;u et d'Eckhaus".On notera que cette ~quation (17,295) peut-etre d~riv~e
a partir
d'un principe variationnel en prenant comme fonctionnelle de
densi t~ de Lyapunov la fonction
H=.§.
(17 ,296)
2
ae ( ax
De plus avec la variable ~ = l'~quation
q
)2
+ q
xll8'
(ae ay
)2
on aura,
a la
place de (17 ,295) ,
"de la chaleur"
(17 ,297) et si q > 0 la phase diffuse, en Y, et il n'y a pas
d'instabilit~
en zig-zag.
PHENOMENES D'INSTABILITES DANS LES ECOULEMENTS DE FLUIDES PARFAITS
78,7. UN POINT DE VUE THERMODVNAMIQUE SUR LA STABILITE Considerons les equations d'Euler-Fourier*) pour les ecoulements instationnaires monodimensionnels; les equations de depart, avec des dimensions, seront done les suivantes (l'evolution n'est pas adiabatique)
( 18,1)
apu at
a + -ax
(P
+ P u 2) = 0 2
2
u (e + :E. + 2:L ) _ k p 2
+2:L 2
aT.l
aXJ
o ,
Ie fluide etant compressible. Pour ce qui suit,il est judicieux de reecrire les equations (18,1) en coordonnees lagrangiennes(t, m), ou la nouvelle coordonnee d'espace m est la masse; cette derniere satisfait (18,2)
dm
=P
dx -
a la
relation
P u dt
etant donne que Ie long d'une trajectoire dx
=u
=P
(dx - u dt),
pour toute particule fixee on a
dt et m = 0 Ie long de cette trajectoire. Dans ce cas, en coordonnees lagrangiennes (t,m) on peut ais~ment etablir
les relations suivantes
~)
Le fluide est non visqueux mais conducteur de la chaleur; Ie courant de chaleur etant donne par la loi de Fourier.
394
¢
_p { p ¢
(18,3)
¢
(u dIn - P dt) .:;
[u (p dx-u dt) - P dt ]
=0
2
u dx - (p + P u ) dt }
2 aT [(e + ~ ) dIn - (p u - k P am ) dt]
_¢
{p
(e +
~2
G
) dx -
~ + ~2
u (e +
) - k
~~J
dt}
0
Si toutes les fonctions intervenant au niveau des trois lois de conservation (18,3), ci-dessus, sont supposees suffisamment lisses, alors on peut ecrire le systeme differentiel associe suivant, qui est, equivalent
a
(18,3) : a at
(18,4)
(.2. ) = au p
3m
au + .£l2. at am
= 0,
a(e +
2
u
/2
+ ~
am
at Soit ( 18,5)
T
1 =P
et p
k
ae a:r(T,S)
o
a la
am
(k aT )
am'
Constante. On sait que
- P (T,S) et
et de ce fait on peut ecrire, aT at
:: X
=..l..
~~ (T,S) = T
place de (18,4),
au au a (ae ). am , at = am aT '
-=-
(18,6)
1
a at (e
2
+~
ou S est l'entropie specifique.
2
a = - (u ae am
aT
+ x
2 a o am2
(~~
),
a la
limite,
395 On constate done que la donnee de la loi d'etat, e = e (T ,s),
(18,71
et du coefficient de conduction x solutions du systeme (18,6).
constante
o
determinent completement les
Dans ce qui suit,nous considerons une theorie lineaire de la stabilite, relativement
a un
etat homogene au repos :
u
E U' + ••• ,
T
T
e
=e
(18,8)
= So
(To' So) + E T'
~=~I aT aT
=as
==
constante,
So
= constante, ae (T , S ) + E S' o 0 as (To' So)
~I
aT
10+ E
ae
aT
,
. .. , eo + E [T' aT 0 + s' ael} as 0
a2el + E [T' 2
ae
+ E S' + •••
TO
+ E T' +
o
+ ...
ae as
S
+ S' 0
2 a aT eas I0
J+
2 + S' T' a e aT aTas 0
,2~1}
I
0
...
,
...
En premiere approximation (en theorie lineaire il Saut negliger les 2 termes d'ordre E ), il vient pour u', T' et S' le systeme lineaire suivant, avec des coefficients constants :
( 18,9)
a:t =
aT'
au' am
au'
a2 e
a:t ae as
I
o
aT2
Io
~= am
0
as'
a:t
une fois que l'on a multiplie la premiere equation, obtenue de (18,6) avec (18,8), par
~~
10
et fait la difference avec la troisieme equation de (18,6),
toujours avec (18,8).
396 On s'interesse maintenant aux solutions de (18,9) de la forme suivante
(18,10)
pour
Si l'on suppose que u', T ' et S' sont donnes pour t = 0 alors, si a + + 00 , Imag (- A) reste borne superieurement, on pourra dire que
le probleme aux valeurs initiales lie stabilite. Par contre, si Imag (- A)
+
a
(18,9) sera bien pose car il y aura
00
plus vite que aa , a
> 0, alors
le probleme aux valeurs initiales sera mal pose. En substituant (18,10) dans (18,9) on trouve pour u, T et S le systeme algebrique suivant : i
A f- i a
u. = 0
2 ~ a 2e a e i A u - i a --2 T- i a aT as § =0 aT 0 0 2 2 a e ~ [2 a::'e S a x T+ a Xo ~ + i A 1 ] o as aT o as 0 0
I
I
I
I
~~
o ,
et ce systeme homogene a une solution non nulle si (18,11)
L'analyse de l'equation cubique en a +
00,
A, (18,11),montre que, lorsque
on a :
(8,12a) + 0 (1)
(8,12b)
,,2e
a
as
2
loa
2
+ O( 1) .
397
On sait que pour avoir un probleme bien pose (aux valeurs initiales) il faut que les parties reelles des expos ants iA, au niveau de la representation (18,10), soient bornees superieurement lorsque a ~ 00. · ae · .• Comme on a t oUJours as > O ,on obtlent donc les conditlons de stabilite suivantes (8,13)
et
Ainsi, la condition de stabilite est liee au fait que la matrice
doit-etre definie positive, ou encore que la fonction thermodynamique (l'energie interne specifique) e(t,S) est une fonction convexe dans l'ecoulement de base caracterise par t
o
et S . La convexite de e(t,S) entralne que les 0
parties reelles des trois racines iA, de l'equation caracteristique (18,11), sont necessairement bornees superieurement. On trouvera dans Ie livre de Glansdorff et Prigogine (Thermodynamics theory of structure, stability and fluctuations; Wiley-Interscience, 1971) une theorie thermo dynami que,
a la
lumiere de divers
critere~de
stabilite.
18,2. LES CRITERES VE STASILITE V'ARNOLV (1966)· On considere l'ecoulement dans un domaine V avec une frontiere
an = r
fixee. Le champ des vitesses de l'ecoulement de fluide parfait
incompressible, ~, et la pression p satisfont aux equations d'Euler incompressibles (18,14)
•
Dans
a , Journal de Mecanique, vol. 5, 1966, pp. 29
V.u
~~
a 43.
a ,
398
a
ou la masse volumique est supposee etre egale
l'unite. A (18,14),il faut
associer la condition
........
(18,15)
U.n
o
r
sur
a r,
ou ~ est le vecteur unitaire de la normale
orientee vers
V
(vers le
fluide) . On sait que les equations (18,14) admettent une integrale d'energie
JfIV
(18,16)
....2 u
.... dx
et l'on peut former les variations
JJf~o~
oE
(18, Ha)
....
dx
(premiere)
V
III {I' ~)2
(18,17b)
et on notera que 0
2
+ 2
~.,2 ~} <:
(seconde)
E est une forme quadrati que .
On peut alors enoncer deux resultats l'ecoulement stationnaire ~ est stable, par rapport
a une
perturbation finie
(mais "assez" petite), si la forme quadratique (18,17b) est definie positive ou definie negative; si une perturbation tend vers zero, alors une autre augmente indefiniment et
par
consequent
l'ecoulement stationnaire est instable.
1. Considerons maintenant le cas des ecoulements plans et stationnaires; dans ce cas, (18,18)
.... u
u
-r J.
-t
+ v J
, u
_2.Y!.
- ay
et
v
- 2.Y!. ax
399
dans un systeme de coordonnees rectangulaires cartesiennes Oxy. Dans ce cas, la fonction de courant ~ (x,y) satisfait
])2 ~ = F (~) ,
(18,19)
ou
a l'e~uation
2
2
])2 = _d_ + _d_ et 2 - dX
dl
une fonction arbitraire de ~ .
F(~)
Ainsi
=0
j) ~ A ]) ( j)2 ~) et les vecteurs j)~ et j)(j)2~)
sont colineaires.
De plus, d~ns ce cas plan, la variation seconde (18,lTb) peut s'ecrire sous la forme suivante
(18,20) Ainsi, on constate
-+
(18,21 ) alors 0
si le profil des vitesses est anti-convexe
~ue
-+2
D (D
2
~)
-+
> D~ ,
E > 0 et de ce ~ait on peut dire ~ue tous les ecoulements stationnaires
plans admettant des profils de vitesse anti-convexes sont stables. 11 faut bien preciser pour tout
£
~u'il
s'agit de la stabilite non lineaire
> 0 il existe un 0 > 0 tel ~ue, si l'on perturbe le champ des
vitesses ii, au moment t
= 0,
"assez peu",
II ~ alors
II~
-
~,
II
< 0
~'II <
pour t = 0 , pour tous les 0 < t < +
£
00
•
2. Considerons de nouveau le cas tridimensionnel mais stationnaire. Supposons ~ue
les e~uations d'Euler admettent une integralepremiere J,telle ~ue l'ecou-
lement stationnaire de vitesse ~(~) satisfasse
(18,22)
oJ
HI
V
-+
-+
A.ou dx,
a la
relation
400 oil on suppose que l'on peut trouver
A A rot
( 18,23)
Aet
h de telle fa<;on que
~ = grad h .
11 est clair que cette derniere condition (18,23) est bien satisfaite
pour le cas du fluide incompressible satisfaisant on a
=....u
....
=E
J
A
a
(18,14) et dans ce cas,
....2 h=p+1L
et
2
D'apres Arnold,il s'avere que pour assurer la stabilite du champ de vitesse ~(~), il suffit qu'une combinaison lineaire guelconque, (18,24) soit definie positive ou negative. En particulier, pour un ecoulement stationnaire plan,il suffit que (18,25 )
o
2
E+].Io
2
J
P
>0,
oil ( 18,26)
0
2
J
-.!.
p - 2
II
D
y (rot 0 ....2( ....2)
V D D 1/1
~)2
dx
dY •
a.
l ' axe des Ox > 0, lorsque 1/1.... ~o (y), si le profil des vitesses n'a pas de points d'inflexion (D (D 2 1/10) t O),on peut choisir le scalaire ].I de telle fa<;on que: Par exemple, pour les ecoulements paralleles
=
.... D
(18,27)
(1/1 o
+].1
....
:t2
y) > D (lJ
1/1), 0
ce qui fait que la condition (suffisante) (18,25) est satisfaite. Ainsi, on constate que l'ecoulement parallele est stable si le profil des vitesses n'a pas de points d I inflexion. Precisons enfin que tous ces criteres d ' Arnold donnent des conditions suffisantes de stabilite qui sont, dans le cas des ecoulements plans, tres proches des conditions neces saires .
401
18,3. LES THEOREMES VE RAYLEIGH ET VE
FJ~RTOFT
1. En fait, Ie critere de stabilite enonce
a la
fin de la section 18,2,
precedente,est bien connu sous Ie nom de "theoreme de Rayleigh" (voir les Proceed. London Math. Soc., 11, 1880, 57-70). Pour demontrer directement ce theoreme de Rayleigh,considerons
l'e~uation
de Rayleigh (16,50) :
o .
(18,28)
Multiplions (18,28) par: - ~~/(UB-c), ou ¢~ est Ie complexe conjuge de
¢, et integrons Ie resultat, en tirant profit des conditions
aux limites (¢ (-1)
= ¢(+1) = 0), lors
de l'integration par parties. On
obtient alors aisement la relation suivante :
o
( 18,29)
et, en particulier, la partie imaginaire de (18,29) doit-etre nulle Imag (c)
( 18,30)
o •
De (18,30),on retrouve Ie theoreme de Rayleigh, mais pour la stabilite aux perturbations infinitesimales - ce theoreme n'etant ~u'une condition suffisante.
2. Toujours dans Ie cas de la stabilite aux perturbations infinitesimales on peut demontrer Ie theoreme dit de Fj~rtoft (publie dans: Geofys. Publ. Oslo, 17, nO 6, 1950, pp. 1
a 52)
:
"S' il existe une constante K ' telle ~ue o (18,31 )
2 d U B (U - K ) --2- ;:: 0, B o dy
alors l' ecoulement parallele de fluide parfait est stable".
402 Pour demontrer ce theoreme de Fj~rtoft,il suffit de considerer la partie reelle de la relation (18,29)
(18,32)
(1
(U - c ) r B
-1
IUB - cl
2
1~12
(1{ I ~12
2 d U __ B dy dy2
+ a.
2
-1
1~12J dy < 0
,
= Reel (c) par r une constante arbitraire K ' puisque c est un coefficient devant une integrale o r egale a zero, d'apres (18,30).
et de noter que dans (18,32), on peut toujours remplacer c
Ainsi, on constate que
U
B
- K
0
dy2 et de ce fait, si UB(y) est une fonction monotone avec un seul point d'inflexion, une condition necessaire pour l'instabilite est
( 18,33)
< 0 .
On notera que le theoreme de
Fj~rtoft
celui de Rayleigh, si l'on suppose que d2 UBI l'on fait le choix de
dy
contient comme cas particulier 2
ne change pas de signe et si
( 18,34) - 1 l; y l; + 1
et K de meme signe que o
2 UB _d_ _
dy2
dans l'intervalle [-1, +1]. d
Un second cas particulier est celui de flexion y~ tel que
(18,35 )
d
2
U B
dy2
2
U B
dy2
ayant un point d'in-
2
Iy=/~ = 0
malS
et il faut alors faire le choix de K
0
[ uB(y) - UB(/II)J
- UB(/I).
UB d _ _
dy2
~
0,
403
Ci-dessous nous donnons quelques profils de vitesse UB(Y) pour lesquels Ie critere de Fj¢rtoft peut s'appliquer.
1Il
Y1Il
Y--
0, mais
2
--!- ~ 0, cas stable; d
U
dy
d
U
--J. ~
o , mais
18,4. LE CAS VE L'ECOULEMENT
2
dy2
IS0CHO~IQUE
0 , "peut-etre" instable.
PESANT
Jusqu'a present,il ne s'agissait que d'un fluide parfait incompressible non pesant et homogene. Afin de tenir compte de la compressibilite et de la force de la pesanteur, considerons maintenant un ecoulement isochorique (a masse volumique conservative Ie long des trajectoires). Dans Ie plan (x, z), nous avons, pour les composantes de la vitesse (u, w), la pression p et la masse volumique
p, les equations dimensionnelles suivantes :
404
p (au + u au + w au
.2E.
aw p (dW + uaw+w
_ .2E. _
at
at
(18,36)
ax
az
ax
ax
az
az
g p;
.£2. + u .£2. + w .£2. = 0 at
ax
dZ
1. L'eeoulement de base dont nous voulons analyser la stabilite, relativement aux perturbations infinitesimales, est earaeterise par ( 18,37) de telle fagon que
dPB dz
--- + g PB(z) = 0 .
(18,38) Soient done
u
=~
(z)
+
u'
+ ...
w = 0 + w' + ... ( 18,39)
En theorie
lineair~on
remplaee le systeme eomplet (18,36) par le
systeme lineaire assoeie suivant, pour u', w', p' et p',
_ .£1L. _ az
(18,40)
o
g p'
405
1ntroduisons au niveau du de courant
syst~me
lineaire (18,40) la fonction et w' = + a~'/ax et
~'(t, x, z) telle que: u ' = - a~'/az
eliminons la pression p' des deux
equations de (18,40). 11 vient
premi~res
alors
a (z)"x) a
( 18,41)
[i.JL - ~+ i..i.J ~
Q
ax 2
d~)~=
- 8
dz
ox
az
az2
~
1 g P (z)
ax
B
ou - P-1 -dpB dz
(18,42)
B
a~
Maintenant si l'on applique l'operateur equation (18,41) et si l'on tire profit de la on obtient une equation unique en
~'(t,
(18,43)
d
2
uE
- (~- 8
d~
~
troisi~me
a:
a cette derni~re
des equations (18,40),
x, z)
a2,,, I
( - a + u...(z) - a ) 2 at ~ ax
+
a2", '
a2
a,I, ,
d"
(~+2- 8~)+ g8 ~
ax
d7 )
az
a
ax
a
~
(at + ~ ( z) ax) ax
=0
Si l'on suppose que ( 18,44) alors
~
= ~ (z) exp (i a (x-ct) ), avec Z _ z,
~'(t,x,Z)
(Z) satisfait
a l'eguation
classique de Taylor-Goldstein (voir
Proceed. Roy. Soc. London, A 132, 1931, pp. 499 a 523 et 524 a 548) ecrite a la fin de cette section 18,4 (voir l'equ (18,57)). 2. Voyons maintenant les conditions aux limites
qui est
a associer a l'equation
fondamentale (18,43). Tout d'abord, sur toute paroi rigide plane
parall~le
a l'axe
des x,
il faut imposer la condition de glissement : al/J " = ax: x
(18,45) Precisons que
~'est
0
=>~'
= constante.
une perturbation infinitesimale liee
fonction de courant ~ (t, x, z) des equations compl~tes (18,36) :
a la
406 u =
~ et w
- az
=
+.£!l!. ax
au + aw = az ax
=>
o.
Cela veut dire
~
(18,46)
(t, x, z)
~ ~B
(z) +
I ~(Z') Z
~'
= -
dz' +
~'(t,x,z).
o
Ainsi, si l'equation de la paroi rigide plane est z = H
o
( 18,47)
~'
=0
(t, x, H ) o
cte, alors
•
Mais si la paroi rigide est curviligne, d'equation z = h
0
h' (x),
h
(18,48)
0
= Max Ih'(x) I
- i.0 z - 0
pour
x < - £.
0
~
x~i.
et
x>£.
0
0
alors (18,48) ~'(t, x, 0) = ~(O) h
o
h'(x),
selon le principe de la linearisation, puisque h etre une elevation infinitesimale. Cette condition (18,48) est valable lorsque -£. ~'
(t, x, 0)
=0
lorsque x < - £.
o
et x > £.
o
o
h'(x) est supposee
< x < £.
0
et devient
0
Supposons que le milieu fluideconsidere (en evolution isochorique) est constitue de deux fluides isochoriques .!!Q.!!. -miscibles, de masses volumiques +
p
et p
(18,49)
differentes, separes par une interface d'equation z=Ho+Z:oZ:'(t,x). On sait qu'il faut ecrire sur cette interface (18,49) deux conditions:
une condition cinematigue (la particule fluide reste toujours sur l'interface). et une condition dynamique (la pression reste continue a la traversee de l' interface) • Pour ce qui concerne la condition cinematique, en toute generalite, on doit admettre que la vitesse peut subir une discontinuite a la traversee de l'interface.SoientU;(z) et U;(z) les deux vitesses de l'ecoulement de base. On supposera que le fluide de masse volumique p+ est situe au-des sus de l'interface; p- etant alors relatif au fluide se trouvant sous l'interface.
407
Dans ce cas, apres linearisation, on ecrira 0,
(18,50)
OU
sur z
+
H-
o
caracterise la face superieure du "plan interface" z = H ' tandis o que z = H~ sa face inferieure, l'elevation ~o ~'(t, x) etant supposee infiniZ
= H:
tesimale (c'est une inconnue du probleme). En fait, en theorie lineaire on peut eliminer cette inconnue ~o
~' (t, x), des deux conditions cinematiques (18,50) en appliquant l'operateur
a a at + '13 (z) ax
a (~+ ax )
a et l' operateur at +
'1+3( z)
a ax
a
~
(ax
11 vient ainsi la condition cinematique linearisee suivante :
a
-
a]
at ax b-+1L(Z).tj
(18,51 )
sur z
.. " cont~nu~te
Naturellement, lorsque U;(z) de w
= ax
,~,
=U;(z),
= Ho
on retrouve la condition de
a travers l'interface (qui est le plan z
theorie lineaire).
= Ho ,
en
On notera de plus que la condition obtenue (18,51) est plus faible que la condition (18,50), etant donne qu'elle a ete obtenue par derivation de (18,50) - De ce fait,il sera necessaire de se convaincre que (18,50) est bien verifiee par la solution obtenue avec (18,51). Voyons maintenant ce que donne l'application de la condition dynamique. On a
Apres linearisation et en tirant profit de (18,38) on obtient ( 18,52) puis (18,53)
(p')
-
- (p')
+
408
Au niveau de la condition lineaire dynamique (18,53), nous avons neglige les effets lies a la tension superficielle; en theorie lineaire, pour tenir compte de cette tension superficielle,il suffit d'ajouter au second membre de (18,53) le terme-)
Revenons
a la
condition (18,53) et exprimons la par l'intermediaire
de (l/J'/ A cette fin,il faut appliquer a (18,53) l'operateur (aa + U;(Z) aax)aax t et prendre en compte (18,50) ainsi que la premiere des equations du systeme (18,40) . On obtient alors la condition dynamique suivante
la
a
~
t(at + ~(z) ax ) at (18,54)
une fois que l'on designe par
a travelS
le saut de f
l'interface; cette condition (18,54) est naturellement
plus faible que celle ecrite en (18,53).
3. En particulier, si le fluide est homogene (S
=0)
et incompressible ( p' - 0)
alors on trouve : a a a 2", , a2,,, , ( - + ~ (z) ) (~+ at ax ax az
2
(18,55)
a la place de (18,43). La condition cinematique (18,51) ne change pas, mais la condition dynamique (P
+
B
= P-B =
Po = constante) (18,54) devient
(¥) En toute generalite on a :an an+ - p + P = T (~+ ~ ) , sur z = H + ~
~', Oll n et n sont oZ 0 0 x z S oX les composantes du vecteur de la normale unite dirigee-vers le fluide (+) et T le coefficient de la tension superficielle. S
409
[ (ata
( 18,56)
~ _ dd~Z ~1jJx'] []
a ) az + ~ (z) ax
= 0 ,
= Ho
sur z
a travers z = Ho Revenons au cas general, mais supposons que l'on a la representation
qui exprime la continuite de p'
(18,44), ou Cl est le nombre d'onde dans la direction des x et c la vitesse de phase de l'onde consideree. Dans ce
ca~
pour 1jJ
(Z), on trouve l'eguation de Taylor-Golstein
2
1jJ 2 d,l, } --Cl1jJ-S~ [(~ (Z) -c] 2 {d
dZ2
:~
S
et lorsque
S =0,
) [
dZ
~ ( Z)
- c
J
=0
1jJ + g S 1jJ
on retrouve l'equation de Rayleigh (18,28). Pour cette
equation (18,57),on a les conditions suivantes sur Z=0 H
(interface, en
theorie lineaire) : ( 18,58a)
[~(Z) [
cJ
1jJ+
[~(Z)
-
~(Z) - cJ[PB {[~(Z) - cJ
( 18,58b) -
:~
1]
1jJ
= g
[PB ]
*
C ]
1jJ
1jJ+
Sur toute paroi rigide plane, on aura ( 18,59)
1jJ
18,5. LE PROBLEME VE RAYLEIGH-TAYLOR
ET
O.
L'INSTABILITE VE TAYLOR
1. Le probleme de Rayleigh-Taylor est des plus classiques. On suppose que le milieu fluide
est indefini et qu'il est occupe par deux fluides non miscibles,
de masse vOlumique respective : P 1 (ce fluide occupe tout le demi-espace Z < 0) et P2 (ce fluide occupe tout le demi-espace Z > 0) - Z = 0 etant l'equation de l'interface au repos.
410
De l'equation generale (18,57), avec
S - 0 et uB(Z) -
0, on
trouve l'equation c2
(18,60)
(~_ 2
a2
dZ
et lorsque c
2
~
o
)
~ 0, on doit prendre comme solution de (18,60)
( 18,61)
~
{
(Z)
A
o
e
-aZ
Z > 0
Bo e-taZ
Z
< 0
puisque la solution de (18,60) doi t rester bornee aussi bien pour Z pour Z
-+
+
-+ -
00
que
00.
Pour determiner les constantes A
o
et B il suffit de tirer profit 0
des conditions (18,58a) et (18,58b). La condition (18,58a), avec Ho ( 18,62)
Ao
=0,
donne
=B
0
tandis'lque la condition (18,58b) donne la relation suivante : (18,63)
P2 [_ - c
2.9&+ .1 dZ g ~J Z=+O
Enfin, en tenant compte de la solution (18,61) avec (18,62),on tire
de
(18,63) la relation suivante :
( 18,64) En conclusion, on constate que : Lorsgue P ~P2 (Ie fluide plus lourd est alors au-dessus du fluide 1 plus leger), il y a instabilite. 2. L'instabilite due
a la
croissance de la masse volumique avec l'altitude est
dite "instabilite de Taylor". Dans ce cas, on considere un fluide avec masse volumique variable, avec Z, qui est place entre deux parois rigides planes : Z = 0 et Z = h Boit donc ( 18,65)
P
Const.
S-
So
Const.
o
411
L'equation generale (18,57) conduit a, ( 18,66)
C
d -
2 (d2 .1,
2 (X
1jJ) + flo (- c
2 d,l,
~ + g 1jJ)
o ,
= o.
le fluide etant pesant, mais ~(z)
La solution generale de l'equation (18,66) est de la forme suivante 1jJ (Z) = A
(18,67)
e
o
A1Z
+ B
0
ou Ao et B sont des constantes et A et A les racines de l'equation algebrique o 1 2
c'est-a-dire que (18,68) D'autre part,les conditions
o et
1jJ (0)
1jJ (h ) o
=0
conduisent a
o ,
A + B o 0
o
et de ce fait ( 18,69) avec S un nombre entier arbitraire. Mais, on a
(18,70)
>"1 + A2
flo =>
t"
]
="2
(flo + h211" is) 0
1 _ 211" is) >"2 = -2 (flo h 0
Enfin, on sait que
fl2 (18,71)
0
A1 >"2 =11
+
11"2 S2
- -2= h
0
-
(X
2 +gflo -2 c
412
Ainsi, il existe pour chaque a
fixe, une infinite de c, differents,
tels que (18,72)
c
2
2 o
8
4"" et Ie signe de c
2
+ a2 + (~S )2 h o
coincide avec celui de
80
,
En conclusion, on constate que: pour
80 < O,il y a instabilite
de Taylor.
18,6. L'INSTABILITE VE HELMHOLTZ 1. Considerons Ie cas simple ou la masse vOlumique est la meme dans les deux fluides et constante. La vitesse ~(Z) a, elle, une discontinuite sur l'interface Z
=
° separant les deux fluides.
Si,maintenant,l'on considere un systeme d'axes en mouvement uniforme, avec une vitesse qui est la moyenne des deux vitesses, supposees uniformes, au-dessus et en-dessous de Z = 0, alors on voit que pour Z < o 0 ~ et pour Z > 0, cette vitesse sera + ~ .
-
Ainsi, on est conduit
a considerer
° la vitesse est
les deux equations suivantes
Z >
°
Z <
°.
De plus, dans ce cas, les conditions sur l'interface sont
(~ + p) (18,74)
1// = -
(~ - c) ljJ-
sur
+
(~-c) ~ = - (~+c) ~ dZ dZ
J
Manifestement,il y a une solution simple, qui est
( 18,75) {
c = -
O , avec ljJ- une fonction arbitraire
U
bornee, nulle pour Z
= O,et
ljJ+ -
0 .
z
°.
413
En fait,les deux valeurs c
=-
o
~
=+
et c
0
~
sont des valeurs
propres degenerees et elles caracterisent des perturbations en mouvement avec l'ecoulement de base.
! ~,il vient
Par contre, lorsque c f
et 1jJ et les conditions (18,74) conduisent
B
o
e
+aZ
a
(18,76) Ainsi, il y a instabilite dynamique, qui est celle dite de Helmholtz.
8 f 0, c'est-a-dire que
2. Supposons maintenant que
= PB (0)
PB(Z)
exp
(-8 Z).
a une
La discontinuite de la vitesse conduit toujours dynamique, d'apres (18,76), tandis que lorsque 8 > 0 et ~
instabilite
= O,il Y a
toujours
stabilite, d'apres (18,72). Ainsi, se pose la question d'elucider, lorsque
8f
0 et ~ f 0, quel est le facteur qui predomine du point de vue de la stabilite.
Revenons pour cela a l'equation fondamentale (18,57) pour 1jJ Afin de simplifier
l'analys~on
(Z).
fait habituellement l'approximation dite de
Boussinesq qui consiste, en fait, a ne retenir au niveau de l'equation (18,57) que le terme du derivees de 1jJ -
a la
force d'Archimede : g
et de ~(Z)
lI!)
.
Comme pour Z > O,la vitesse est
o
const, l'equation pour 1jJ
~
8 et de faire 8 o
~
=0
devant les
const et pour Z < 0 elle est
devient :
lI!) Si lIon met l'equation (18,57) sous forme adimensionnelle, alors on voit appa-
,,,..
~
01
les deux parametres redu~ts su~vants : ~ a et le nombre sans dimension ui(O) a/g joue le ra~tre
et
1'8
22
a
~(O)
-= 2
81a
~(O)
a/g
role d'un nombre de Froude caracteristique au carre. Pour obtenir l'equation
N::~ -
qui correspond
["B IZh
a l'auproximation 0
il faut supposer que
2
-}-
8
a
["BIZ)
+
2;;'2 o
de Boussinesq 2
~ , ] :zi" "+
g
B"
o ,
~(O)a 0 et ------ + 0 de telle fagon que -g _ a
2 g8 ui(O)
On pourra,au sujet de cette approximation de Boussinesq,consulter notre
.
art~cle
'8 ' ITnt. J. Engng. de synthese de ~ ( dans
pages 1239-1288; voir la section 6).
.11
Sc~.,
vol. 23 , n O 11,
414
(~o - c)
(18,77)
2[d2,I,
~ - '"
dZ
N
2
2
J
ljJ
+ g l3 ljJ
o .
Les solutions de cette equation (18,77) sont de la forme exp(± A Z), avec A - A+
(18,78a)
-
(18,78b)
A- A
[ a. 2
_
[ a. 2
_
o
g l3
(~ -c)
2
gl3 (~ + c)
T/2
'
] 1/2 2
'
pour
Z > 0;
pour
Z > 0;
Supposons que l'une de ces racines, disons A+, soit imaginaire pure; dans ce cas, pour Z < 0, toutes les solutions sont bornees
a l'infini
et on peut prendre comme solution correspondante
Meme si la seconde racine A- n'est pas imaginaire pure et que de ce fait,il faut, pour Z < 0, prendre la solution amortie : Co e Reel (A-) > 0, nous avons
a notre
A-Z
, avec
disposition trois constantes arbitraires, A ' o fa~on que l'on puisse
Bo et C0 . Ces dernieres doivent etre choisies de telle
verifier les deux conditions lineaires et homogenes sur I' interface - ce qui
est toujours possible. Ainsi, on constate que les valeurs de c, pour lesquelles A+ est imaginaire pure,appartiennent au spectre des valeurs propres recherche et on cons tate que ces valeurs propres sont reelles et recouvrent l'intervalle:
[~-
Ii$/a.,
~ + 19B'/a.] .
Par symetrie, on peut faire Ie meme raisonnement pour A-, imaginaire pure, ce qui conduit
a la
consideration de l'intervalle :
[-~ - Ii$/a., - ~ + li§/a. ] . l3
=~on
On a donc trouve deux intervalles du spectre continu et lorsque constate que ces derniers degenerent en deux points ± u~ , qui sont ceux
consideres au point 1 de cette section 18,6. Naturellement, Ie spectre continu ne conduit pas etant donne qu' i l est reel !
a une
instabilite,
415
Voyons maintenant le cas de Reel (A+) et Reel (A-) differentsde zero. Dans ce cas,
et pour obtenir des solutions bornees
a l'infini,il
faut faire le choix de
La condition sur l'interface devient alors (18,79) ou encore, d'apres (18,78),
(~ -
(18,80)
f L
c)4 a 2 -
og
e
('13- c
21 = )_
(
i_'
'103 + C )4
a2 -
0
g e2 ] .
('13+
c)
On constate ainsi que, soit
(~
+ c)2
=>
c
=0
,
soit
ce qui conduit
a 02
-'13
( 18,81) Ainsi, si a 2 <
ge/2 ~2,alors les racines sont reelles, tandis que 2 si a > ge/2~2, elles sont imaginaires pures. Il faut noter que la racine c = 0 est artificielle et provient de ce que l'on a eleve au carre l'expression (18,79). Ainsi, lorsque c = + i
(18,82 )
ce qui veut dire que
'102 3
> ge/2a
2
, il y a instabilite dynamique.
416
On peut dire que : il y a stabilite pour les ondes relativement longues, les ondes courtes etant toujours instables. En fait, on voit aisement que c ne peut pas etre reel, car pour de tels ~ l'equation (18,79) ne pourra pas etre satisfaite, puisque Reel (A+) et Reel (A-) ont necessairement des signes differents I On notera aussi que les ondes courtes (grandes valeurs de
a) sont
concentrees pres de l'interface dans une couche limite et de ce fait,elles ne
a>
sont pas affectees par 1 'effet stabilisateur de
0
En conclusion de cette analyse,on notera que la formule (18,82) peut s'ecrire sous la forme sans dimension suivante c
(18,83)
avec A2 Fr > o
-
o ~
""2 Fr o
2a
2 a 02
g
~
/1 -
c = + i
• -Si- -Fr0 < -1 ,,::o=....,,--::::.....;=::...::..::==:..=--:::o.z..:::=:..::I..:::::: i l y a instabilite aynamigue,
tandis que pour
1 il y a stabilite.
18,1. L'INSTABILITE VE KELVIN-HELMHOLTZ Considerons un fluide isochorique, non visqueux, stratifie en altitude. On suppose que ce fluide s'ecoule dans la direction des x avec la vitesse arbitrair~uniquement fonction
de l'altitude Z. En theorie lineaire,on doit
considerer les equations suivantes : (18,84a) (18,84b)
(18,84(')
P
( 18 ,84g.)
at
(18,84e)
~(z),
B
aw
(aw
at
+
+ ~
ax
aw
~
aw)
ax
+w
= - an az -
dPe a.z:=
0
gw"
417
ou P = PB (Z) est la masse volumique liee a l'ecoulement de base caracterisee B par ~ (Z), Tf et w sont les perturbations de la pression et de la masse volumique. Une analyse en modes normaux conduit
(18,85)
() u v
U =
li
w
Tf
(Z) exp
a poser
~
(ix + my + nt)]
w
ce qui nous donne,
a la
place de (18,84),
dUB i P (n+i ~) u + P dZ w = - i i Tf B B
(18,86)
i P (n + i ~) B
v =-
]..
w
PB
(
n+
i
~
) _
i (n + i
(i
i
u + m v)
dTf = dZ _ dP
~) w +
i m Tf
W
+ dw dZ
- g w B
dZ = 0
=0
Du systeme (18,86) ci-dessus, on forme aisement la relation
ou
k
2
=i 2
2
+ m .
D'autre part, du meme systeme
(18,86~
on forme une seconde relation
( 18,88)
-
En eliminant Tf de (18,87) et (18,88), on obtient 1 'equation suivante
(18,89) _ k2
pour la fonction
~ (n + i ~)
w(z).
w
=g
P k2 d B dZ
w
n + i
~
418
Si PB(Z) et
~(Z)
sont discontinus en un point Z
= Zo'
alors de
(18,89) nous pouvons obtenir une condition de saut, en Z = Z , en integrant o ( 18,89) sur un petit intervalle (Z -£, Z +£) et en passant a la limite £ ... o. o
0
a l'interface
On notera que la condition cinematique
entraine que 1 'expression
w/(n+l ~) est continue en Z = Zoo En definitive on trouve que: (18,90)
OU [ f ] designe Ie saut de f en Z
1.
~onsiderons
Z
o
plus specialement Ie cas de deux ecoulements fluides uniformes,
paralleles au plan de l'interface. Dans ce cas on note par et
~2)
p~1)
et
p~2)
les masses volumiques et
les vitesses des deux ecoulements fluides separes par Ie plan Z = (1)
(1)
(2)
(2)
,
~1)
o.
supposons que P
=0
.
L'equation (18,89) conduit d
2
2-
(--- - k )
dZ 2
et du fait que w/(n+l~)
w= 0
Z < 0
( 18,91b)
Z > 0
~1)
et
~2)
'
Z > 0 et Z < 0,
reste continu,on trouve :
( 18,91a)
ou
a
sont des constantes.
Maintenant de (18,91) et (18,90) on a
et on trouve que n
=-
(18,92) -
[~ 1 ) ~ 1 ) + ~ 2 ) ~ 2 ~ ~ {g k [~ 1 ) - ~ 2 )J
l D
2
.(.
(1)
aB
a(2) [ ( 1 ) B uB -
(2) ~
J
2 }1/2
'
419
ou
Ainsi, pour avoir stabilite,il faut que
(18,93)
k <
En
(1)..Lr
. '1'1te "... . fa1t, 1'1 y a 1nstab1 des que
~
(2)
~
. car on peut t oUJours
trouver une valeur de k pour laquelle l'inegalite (18,93) ne soit pas satisfaite Ainsi, lorsque d'onde satisfait
A
p~2)< p~1)
, sont amplifiees les ondes dont la longueur
relation A> All!: 2 fT g 0
( 18,94)
ou
a la
= 2'[[ k
2. Supposons maintenant que
~(Z) = ~ th
(18,95) et dans le cas de
l 'f O,mais m
=
(i ),
° on aura, a la place de
(18,89), __w__
(18,96)
n
=
°.
'13+"k Soit pour PB(Z) la distribution classique ( 18,97)
PB(Z)
= PBo e -BZ
, avec
B
const.
Dans ce cas, de (18,96),on obtient,sous forme adimensionnelle, (18,98)
-
w+J
w
o
--C-=O,
'13-
ou la longueur et la vitesse ont ete adimensionnees par d et
o
.
~,respect1vement,et
420
c
n
=
et
k~
J
o
si
=~
02 "13
En fait, il est facile de se convaincre que,pour trouver la courbe de stabilite,il suffit de considerer l'equation (on fait C = 0) : (18,99 )
1.1.l:S
i
(- -
dZ2
2
W
k )
..Y.. 0"13
J
=o •
D'apres une idee de Drazin,on prend "13 comme variable independante; on a, avec des variables sans dimensions,
d'13
""dZ=
1 _
sch;; Z
2
1-1J
et de ce fait, l' equation (18,99) devient d d"13
(18,100)
avec les conditions
[(1-~) d~ ] ~
= ~ 1
+
{2-~ 1-"13
J
+
0 2 2 "13 (1-1-1J)
}w
o,
w = 0 •
L'equation (18,100) a pour points singuliers : 1-1J
=+
1 et 0 .
Pour elucider le comportement de la solution de (18,100) aux points singuliers, 1-1J =
~
1,on pose
(18,101 )
1-1J=
+ Y ,
y «
1 ,
et dans ce cas, i l vient, de (18,100),
o ,
(18,102) droll
(18,103)
W'V YV, avec Ainsi, on constate que la solution de (18,100),reguliere en"13
doi t avoir le comportement suivant (18,104)
+
W 'V
(1_~)V ,avec Reel (V) ~ 0 .
+ 1,
421
De fa~on analogue,le comportement de
W'V
(18,105)
~,
wpour ~
0 est
l.l=..!.+..!. 11-4J 220
avec
De (18,105) et (18,104),on voit que l'on peut rechercher une solution de la forme
w ou X reste reguliere en ~
= ~l.l =~
(
2
1 -~)
\I
X,
1. Dans ce cas de (18,100) i l vient pour X
l'equation suivante
( 18,106) ( 2\1+l.l+2 ) ( 2v+l.l-1 )
2 1 - ~
X = 0 •
Si, X = constante, alors (18,107) donne ( 18,107) et si l'on note que de (18,103) et (18,105) on a
25
2\1+l.l+2 =
+
on trouve que (18,108) conduit 2\1+W 1 =
/ k 2 -J '+12 o
a:
~ - ..!. + ..!. 11 - 4 J \ = 022 o
d'ou
J
o
= k2
2 (1 _ k ).
Ainsi,
et la solution caracteristlque correspondante est
w'V ou encore ( 18,108)
(1 _
~)
2 k /2
~ 1-k
2
)
0 ,
422
On notera que J 1
est stable pour J o 2.."4-=
0
est maximum lorsque k 2
= 12
et de ce fait,l'ecoulement
3. Stabilite d'une interface entre un liquide et un ecoulement de gaz. On suppose que les ecoulements ont comme potentiel expressions :
et DOl) [x + cP(x,y,t)
;g
J (2~)'
A
(27f)
3/2
de vitesse les
~ (x,y,t), pour Ie liCluide
pour Ie gaz, ou A est la longueur d'onde de
l'interface (qui a une forme sinusoidale). En theorie lineaire,il faut considerer les equations (ecoulement plan): (18,109a)
y < n
(liquide) ;
r~ 2 0 ax at L
(18, 109b)
(gaz),
..
ou
~
U
=
1 I rg 2IT U-
DOl)' Enfin, y =
~
est suppose
n (x,t)
«1 et MOl)
est Ie nombre de Mach construit avec
est l'eCluation de l'interface perturbee. II faut prendre
en compte les conditions suivantes sur l'interface (18,110 )
y
o
(18,111) (18,112) , C1
X=-2
M
ax
-20
M
at
et TS est la tension superficielle, tandis Clue Pi et P sont les masses volumiques g du liquide et du gaz.
423 Les conditions
a l'infini
( 18, 113a)
y +
sont :
-
21ay-
00
0
~ ay -- 0
(18,113b)
si l'ecoulement de gaz est subsonique.
Pour une solution en "onde
t;
=x
- ct, et dans ce cas,
a la
progressive'~
place de (18,109) - (18,113) on obtient1Il)
n_ .
(18,114a)
y < 0
d
(18,114b)
y > 0
y2ft +
(18, 114c)
y
(18,114d)
y = 0 :
(18,114e)
y = 0 : n=C ~ + ko (l-oC)
(18,114f)
y + _
(18,114g)
y++oo
at;
2+
ay
at;2
i= -
=0
on pose:
2- 0 ,
~ =0 ay2
an
c~
~ = ay
(1 - oC) an
at;
a~
00
~ at;
+ k
2
2
2a n at;
~
ay + 0 ,
~ ely
+0
,
(cas subsonique),
ou Dans le cas subsonique,on pose
n (t;) = A cos t;
et alors de (18,114)
i l vient
~ (t;,y)
(18,115 )
= A C eY sin
t;,
~ (t;,y)
= $ (1
- 0 C) e-YY sin t; •
En particulier, de (18,114ehon obtient
et de ce fait, 1Il) On neglige les termes avec 0 «
1 mais on garde les termes couples avec oC •
424
1~
C =kcrl'i ( - + m 2m3
(18.116) / k 2 _ kcr + 1 m •
ou
+ /::, •
m=
Les nombres d'ondes de coupure correspondent
a
(18.117) Ainsi. grace
a l'effet
statilisateur de la tension superficielle.il
y a deux nombres d'onde de coupure et toutes les perturbations avec des nombres d'ondes en-dessous ou en-dessus de ces valeurs. se propagent sans croitre.ou sans decroitre Pour le cas supersonique il ne faut pas tenir compte de la condition (18.114g). Soit encore n (I;) = A eil;. alors.de (18.114a) - (18.114d). (18.114f). on obtient (18.118a)
(18.118b)
~ (I;.y)
_ iA (1-l'iC) ei(I;-/::,y)
(I;.y)
/::,
-
. A C e y+il; •
:1
Ensuite. de (18.114e). il vient la relation de dispersion (18.119 )
1
et on trouve.
a la
+
ikcr( 1-l'iC )2 /::,
ikal'i C = 2m 3
Ik 2 _ ikcrm + 1
L
2
place de (18.116).
( 18.120) ou
=C
et
m=
Irl - 1 <Xl
•
11 est clair que la condition physique est toujours celle de l'insta-
bilite. du fait de la presence de la tension superficielle; les effets d'inertie de l'ecoulement de gaz aggravant cette instabilite. 11 est curieux de noter que les effets d'inertie de l'ecoulement de gaz disparaissent (en theorie lineaire !) pour
rl
<Xl
= 2 !
425
18,8. STABILITE V'UN ECOULEMENT VE COUETTE (NON Lorsque ~(Z)
=~
Z, l'equation,
VIS~UEUX)
a la
EN FLUIVE NON HOMOGENE
Boussinesq (voir la section 18,6)
devient
ou encore
o
(18,121) avec (Z
c ) ex et o
1/J (..£.- + 0
~
~
S.
_ ~
ex
(s)
Au niveau de l'equation (18,121),nous voyons apparaitre le nombre sans dimension: ~=> ({)
2
_M__ = R•• dUB
(a:z)
2
~,
qui est le nombre de Richardson, fonction de Z sauf pour l'ecoulement de Couette. Ri est une mesure de la stabilite pour un fluide non homogene (8 ". 0). Au plus grand nombre de Richardson correspond des etats plus stables. Soit,maintenant,
~=R~ = 111 - v 2 02
(18,122)
u
B
et il vient,
a la
.' ~+[ '/
place de l'equation (18,121),
(18,123)
ds
2
4- } s2
- 1]
1/J = 0
qu'il faut resoudre avec les conditions aux limites :
(18,124)
{
1/J
=o
I~I
<
c , pour S = - -ex o U
B
00,
lorsque s++
00
426
a l'aide
La solution du probleme (18,123) - (18,124) s'exprime fonctions cylindriques d'ordre
V
et la condition pour
~ +
+
des
impose de retenir,
00
comme solution physiquement acceptable,la fonction de Mac Donald uniquement :
(18,125) 11
reste donc
o >4 1 Lorsque R1 ~n
'
a elucider
'ai' re que V c , est-a-
°.
les valeurs ~n qui donnent K (~) = V n = i ~ ( imaginaire pure ) , on montre que les
forment une suite denombrable de racines positives pour K
et les valeurs
v
propres correspondantes c
sont toutes reelles - il a donc stabilite. n Precisons que lorsque le nombre d'onde a croit, toutes les valeurs
propres se concentrent vers la valeur nulle, mais les frequences a c restent pres constantes. Pour ce qui concerne les fonctions propres associees
a peu
~ (~ ),elles n n
ne sont differentes de zero que uniquement dans un voisinage de la paroi, simulee par Z
= 0,
lorsque a
d'epaisseur l/a et de ce fait, se rapprochent de cette paroi, Z croit. '" ° Lorsque la stab 1OlO1te'" decro1t, c , est a' d"1re lorsque R~~
propres
~n
= 0,
,l
+ 4 ' 1 es
' va~eurs
se concentrent tres rapidement vers la valeur nulle. Lorsque
R~ <
±'
vest reel, Iv
1< ~ ,
et la fonction Kv
(~)
n'admet
pas de zeros qui conviennent au probleme stationnaire (18,123)-(18,124) - ce qui veut dire que ce dernier n' admet pas de solutions en modes normaux. En fait, dans ce cas il faut
resou~e
le probleme de Cauchy correspondant avec des conditions
initiales et elucider le comportement de sa solution lorsque t fluide est homogene (8
= 0)
cela revient
a considerer
+
00
!
Lorsque le
le probleme de Cauchy suivant :
°, (18,126 ) ~(a,t)
(b,t)
~
0,
~
(Z,t=O)
~
(z,t) dt
Soit
(18,127)
'V
~(Z,c)
Iooexp (-iact) o
et apres integration de l'equation (18,126), multipliee par exp (-iact), de en t et integration par parties, on trouve pour ~ (Z, c)
°a
00
427
(18,128)
oil
f
=-
"
d 2 tI,o
~ (~ ex dZ 2
-
$0) est une fonction connue
On trouvera dans le
" l~vre
a partir
de la donnee initiale.
. . 51) une analyse de D"k" ~ ~~.lIf) ( pages 46 a
complete de ce probleme qui montre qu'il y a stabilite aussi pour
18,9.
R~ ~ ~
•
LES THEOREMES VE MILES-HOWARV ET VU VEMI-CERCLE VE HOWARV
a ] 'equation (18,57) obtenue a la a cette equation les conditions aux
1. Revenons
fin de la section 18,4. Nous
associons
limites :
{
(18,129)
$
= 0,
sur les deux parois planes rigides
et paralleles
Z
=0
et Z
= Ho
On demontre que :
.e.a. c.onciUi.on Ri ~ ~ , leI.> valeWtl.> p/tOp/teA c du. p/tObame a.we va.f.eWtl.> p/tOp/teA (78-51) - (18,129) com totLteA /tee.Ue.I.>.
SOU6
En effet, soient fonction X (Z)
w= ~ -
satis~ait a l'equation d dX dZ (PB W dZ )
(18,130)
d~ 2 1/ 4 (dZ)
+ PB
w
c
et
X
suivante r1
d
- g
a
_"2 dZ
]x
= Jl .
Dans ce cas,la nouvelle
IW d~
(P B dZ
)
+ ex
2
PB W
o ,
avec S =
:t')
Dont le titre est: Stabilite Hydrodynamique et Dynamique de l'atmosphere. Guidrometeoizdat, Leningrad, 1976, en langue russe"
428
A cette equation (18,130), il faut associer les conditions homogenes
x
(0)
=X
(H ) o
o .
Multiplions l'equation (18,130) par le complexe conjugue de X (Z), soit X*(Z), et integrons de 0 (18,131), on trouve que:
J
HO{ o PB W
[
dX
a Ho •
2 +
IdZ I
a
En tenant compte des conditions homogenes
1 +2
2
d dZ (PB
d~ dZ
)
Ixl 2
(18,132) +
PB
d~
r1
2
L4 (~) -
.1 * I ~
o ,
8JW
g
ou W* est le complexe conjugue de W. Supposons maintenant que Imag (c) n'est pas possible lorsque Ri
~
~
0; nous voulons montrer que cela
1/4.
En effet,dans ce cas,la partie imaginaire de l'expression complexe (18,132) conduit
a:
1~12 }
o
ce qui pour Howard
lI!)
4g 8 ~
d~
(~)
2
1
=> Ri ~ 4
dZ ,
n' est pas possible !
Ainsi, c est toujours reel et on retrouve le theoreme de Miles et
"L'ec.ouieme.n.t plan pM.ClUUe. d'un 6.e.uJ.de. paJL6aLt l;:tJr..o..;t,[&<-e (non homogen.e, 8 1= 0) POWl. le.que1. Ri ~ 1/4 el;,t l;.ta.b.te.". Donc, pour un profil
~(Z)
quelconque il n'y a stabilite que si le
nombre de Richardson (local) est plus grand que 1/4.
2. Afin d'aller
a l'essentiel, considerons,maintenant, 1 'equation, a la
Boussinesq,
o . lI!)
Voir
J. Fluid Mech.vol. 10,n04,
1961 pages 496-508 et 509-512.
429
Observons l'ecoulement dans un systeme de coordonnees en o
mouvement avec la vi tesse moyenne
~
="21
(m ~
M)
-.
m
+ ~ , ou ~
et
M
sont les
~
valeurs extremes de ~(Z). Dans ce cas, la vitesse varie dans l'intervalle [- ~ , +~]
et cela veut dire qu 'au niveau de l'equation (18,133),il faut
effectuer le changement suivant
~(Z)
~ + ~(Z)
+
et
Supposons que c est un scalaire quelconque n'appartenant pas l'intervalle
a
[- ~ + ~ ] de telle fagon que l'on peut introduire la nouvelle
fonction
X
(18,134)
-~ ~-c
, avec
~
Cette nouvelle fonction X (Z) satisfait
- c
~
0 .
a l'equation
(18,135)
- g
Multiplions alors (18,135) par
I {"B-
(18,136)
o )2
{I~ 12 +.2
B x·
x*(Z) et integrons en Z 2
Ixl J
dZ
J g B Ixl 2
dZ
De cette relation (18,136), on constate que: le scalaire c ne peut pas etre un nombre reel, lorsque le fluide est homogene (B:: 0) !
Donc en
supposant que c n'est pas un nombre reel, on tire, de la relation (18,136), l'expression : (18,137)
OU
C
= cr
0, + i c . Donc, il faut que i
o
-~
<
430
D'autre part, la partie reelle de la relation (18,136) est
J
(18,1381
[1'yO)2-
on{I~~12+a2IXli .z= J g8lxl 2 .z
et en combinant (18,138) avec (18,137) on trouve que
J [{ Ains~
on arrive
2
10 1]
a la
J.z
{1~12 +a2 IXI 2
=
Jg 8 IxI 2 .z, o.
conclusion que
(18,139) ce qui demontre le theoreme du "demi-cercle" de Howard
~ "Toutel> £.el> vai.eWL6
~
-60n.t
pMpJr.e..6
non ILee.Uel>
{c r -
'2
)
:
(e.t lttL6-6,[ ILeeUel> £.OMque B :: 0)
-6.U:ueel> -6UIL £.e c.e!Lc1.e ltyltn.t POUIL cU.ametJr.e £.e -6egment
Ainsi, pour les modes instables, c 1
lll
m M 2 (~+~)} +
[~,
{]".
doit etre situe sur le demi-cercle
2 [1 M m J2 C i ~ @" (~-~) ,et c i > 0 .
18,10. QUELQUES RESULTATS VE STABILITE NON LINEAIRE 1. L'instabilite de Rayleigh-Taylor de deux fluides superposes Dans un formulation classique il faut resoudre les equations suivantes (18,140)
.~p
(18,141)
{1- - -
. =0 J
an aT
a(j>. an _ J ax ax
n a(j> . _J = ay
n ,
y <
et
y >
+
0
, y=n
j = 1, 2 ;
(1
(18,142)
[1 Oll
1II) Voir
J. Fluid Mech. 10, 1961, 509-512.
+
(~
)2
-3/2
J
, y =n ,
t =
T;
431
Aux equations (18,140)
t=o:n
(18,143 )
{ Oll £
(18,142),il faut associer les conditions
21T
a)\
y .... (-1)
cos x
£
(lcj>.
j 00:
avec a l'amplitude et
an at
= 0
-.-:..J. .... 0
ay
A la longueur d'onde de l'interface supposee
etre une onde permanente sinusoidale. La theorie lineaire classique donne la relation de dispersion suivante (18,144) et on constate que:en l'absence de tension superficielle, l'interface est stable ou instable en fonction de P1 ~2 ou P 1 2....P2 (on notera que l'indice "2" est relatif au fluide superieur). De plus, lorsque la tension superficielle existe, l'interface est stable ou instable en fonction de k < k
c
ou k > k
c
Oll
(18,145) ce qui montre l'effet stabilisateur de la tension superficielle pour les ondes suffisamment courtes On notera que, par la pour k
=k c '
suit~
les ondes interfaciales peuvent croitre
qui est la coupure predite par la theorie lineaire.
De ce
fai~
en theorie non
lineair~
on recherche la solution du probleme
(18,140) - (18,143) sous la forme 00
(18,146)
cj>. J
L
n=1
£n
cj>~n) ( x, y, J
00
T ) et
pour les nombres d'ondes k prochesdu k a aussi :
c
n
L
n=1
de la theorie lineaire et de ce fait on
00
(18,147)
CJ
L
n=1
et
En substituant (18,146) et (18,147) dans le probleme (18,140) - (18,143),on trouve respectivement :
432
a 1 'ordre
e: <
y > 0
( 18,148)
y ....
T
a l'ordre
e:
=0
. ap ~ 1) .... ( -l)J ""',-:...L, dy
= cos
n1
I
an 1 -= 0 aT
x
2
a2 ~~2) y ; 0
y = 0
Y= 0
( 18,149)
0 ,
_ _'sL)_
+
a2 ~~2)
-~"-
ax2
= 0
ay2 (2)
an
aep.
1 aT
ay
an 1
aep(~)
ax
ax
2 -.-:.......J. o -+~=-
01
a ~(2) 1
a:r1
= 2
+ n2 - s
[a~(1) 2 (_1_) ax
t ---a:r ,,(2; 01
aep(1)
+ (_1) ay
2]
a2 ep~l) "
n 1 - O2
al
J
+ n2
1
-2
S
+ k
2 c
a
2
n2
ax
[ aep( 1)
2
(_2_) ax
2
an 1
aT
433
a 1 'ordre e: 3
:
y ~ 0
y = 0
y = 0
(18,150) -0
d
--
434
a l'ordre
Du probleme
£, on retrouve les resultats de la theorie
lineaire classique :
n1 (X,T) = cos X.COS T
(18,151)
J
2 °1
(X,y,T)
=
(-1)j cos x.sin T.exp [-(-1)
j
y]
k2 + 8 - 1
......:::.c_ _--:-_
8 +
et le nombre d'onde de coupure lineaire k c est donne par 2
ou k
c
=1
+ 8
•
Pour les nombres d'onde voisinsde kc,on a du systeme (18,149), en utilisant (18,151),
el
____J_ = 02 cos x.cos T, en y
0
ely
(18,152)
(1-8)
el
/2)
n2 + k c2
__J_+
ely
o ,
2
el
n2 ~
pour y
=0
+ (-
en T
=0
, en y
1)
o
j 00
•
De (18,152), on trouve aisement que
(18,153)
{
n2 (X,T)
= cos
x.(1- cos T) ,
=-
(-1)
j
02 cos x.sinT.exp [-( 1)
j
y] ,
ou 02 # 0 mais reste arbitraire au niveau du probleme d'ordre £2 Maintenant du probleme (18,150), en utilisant (18,151) et (18,159) on t:re le probleme suivant :
435
a 2 ~~3)
a2 ~~3)
_-=",lc--
ax
2
+ _-="Jl..- = 0
pour
ai
y < 0 et
y > 0
a ~~3) ay
_ _J_
( 18,154)
en y
(1-8) n + 3
k~ a:x~3 = [-
(1 + 8)
cr~ + K - i
0;
(1-8)J cos x.COST,
en y = 0 ;
a~ ~ 3 )
-.:...l-
ay
n
3
-+-
0 pour y -+- (-1)
an
= ~3 = 0
en T
=0
j
,
00 '
.
L'elimination des termes seculaires dans la seconde des conditions en y
0 du probleme (18,154) conduit
a:
(1+8)cr~-K+i(1-8)
0
ou encore ( 18,155)
cr
2
=+
K - 3/8(1-8) J1/2
- {
1 + 8
Ainsi, on constate que pour : K < 1 (1 - 8), on a instabilite, 8 3 K ="8
( 1 - 8), on a instabilite neutre,
K>1 8
(1 - 8), on a stabilite.
Dans le cas de la stabilite neutre, on a ( 18,156)
k
2
= k
2 c
+"83 (1-8)
E
2
+0
2
(E ).
8ur le graphe ci-dessous,un trouvera schematise la courbe de k Enfin, il faut noter que les ondes interfaciales croissent en k est en contraction avec la theorie lineaire !
= k (E). = kc,ce
qui
436
E
coupure lineaire
, I
I
coupure non-lineaire
I, I,
I
I I
instable
stable
k
k
c
2. Evolution spatio-temporelledundes non-lineaires dans un ecoulement parallele lll cisaille ) En theorie lineaire,il faut considerer fonction de courant plan d
~
l'e~uation
suivante pour la
(x,y,t)
a2
a2
d
(18,157) { ( - + u... (y) - ) ( - + ) at .tl ax ax 2 al et l'on recherche la solution sous la forme (18,158) ce
~ui
~ = A (X,T) Ij>
conduit
a l'e~uation ('13
(18,159)
On notera
~u
(k,w,y) exp [i(kx - wt) ]
de Rayleigh
(y)
classi~ue
w
o .
k
'au niveau de la solution (18,158),X =
sont des "variables lentes ", avec
~«
~
x et
T =
~
t
1 un petit parametre ~ui caracterise
l'amplitude des ondes de cisaillement. Soit,maintenant, plutot la forme d'un developpement
~ue
(18,158), une solution de (18,157) sous
asymptoti~ue
:
1II) Voir, en particulier, l'article de Benney et Maslowe dans "Studies in Applied
Maths.", vol. 54, nO 3,.l212., 181-205.
437
(18,160) ou chaque
e
~(j) est fonction de y, X et T. La substitution de (18,160) dans (18,158) conduit
ikx-iwt
a toute
une hierarchie
d'equations (18,161)
(18,162)
L
(18,163)
~(2) = k(~-w/k) (~ 1
k(~-u.yk)
aax + daT )
(~2
d2~ ~ dy2 ax -
2 k
2 - k )
~(1)
~ ax
Aces equations,on impose les conditions homogenes (18,164)
sur
et
y = Y1
On separe les variables en ecrivant que
, ......
( 18,165) et dans ce cas,l'equation pour l'amplitude
A(X,T) est de la forme suivante :
(18,166) Cette separation des variables conduit differentielles ordinaires pour les
serie d'equations
~.(y)
J
d
(18,167a)
a une
-
2
~/
2
~(Y)-~k ) ~o = 0
438
(18,167b)
d
2
U B
Ll/l l
=7
Ll/l 2
-f·
(18,167c)
(W /k -
W ) g
k('l3-W/k)
d
l/lo - 2k l/lo
2
~
2
w2 +
(!£ - W - k )+ k g 2
['l3
'l3/dy2
k
2
('l3(Y) -w/ ) k
g
~2
- W
~ ] k
3
}·0
2 + {_ 2k + _d_'l3---:1d:.::oLy_2_(_W_/k----=:_W_g_) } l/l1 '
k ('l3 -
avec l/lj = 0 sur Y
= Yl
et Y
= Y2
w/k )
•
a
Pour la resolubilite du probleme lie
(18,167b),il faut, d'apres
l'alternative de Fredholm, ecrire une relation de compatibilite qui conduit pour W
g
a la
formule :
(18,168) {2 Y
d
j
2
uB dy2
ep2 0
dy (-u -w/ )2 k E
De la meme fa<;;on,on peut determiner Ie coefficient a. en ecrivant la condition de compatibilite liee
a l'equation
(18,167c).
On notera que au niveau de l'equation, pour A, (18,166) W joue Ie role d'une vitesse de groupe et de ce fait,si l'on introduit
/; = X -
(18,169)
W
g
T
g
et
on aura l'equation suivante pour A (/;,T) (18,170) et on notera que a.
est toujours reel.
En theorie non
lineair~
il faut revenir
l/J(x,y,t) :
(18,171)
ou
£
est une mesure de la non linearite.
a l'equation
complete pour
439
Dans ce cas,on recherche
~
(x,y,t) sous la forme:
+ i
(18,172) + •.• ]
eikx-iwt +
e{A2
e 2i (kx-wt) + complexe conj ugueJ + ••• ,
et on trouve,pour <prr(y) l'equation
i (--- -
(18,173)
dy2
d
4 k2 -
2
~
k __ ------) dy2
k~-W
= Xrr
'
ou 2 k2
2(k ~_w)2 et on a
=0
sur Y
= Y1 et
{
(k
= Y2
.
Y
~-w) ...£... [d u-/ .1j dy 2]} dy k ~ - w '
Une solution du probleme ci-dessus existe, sauf pour certains points de resonance,ou w (2k)
= 2w
(k) et nous ne prenons pas en compte ici de telles
valeurs. L'effet le plus important,du
a la
non
linearit~
est lie en fait au
terme de second ordre(~u'il faut inserer dans le developpement (18,172) de proportionnel a : (18,174) et on a,pour <pr(Y),llequation suivante : 2
(18,175) ou
(18,176)
(Ldy 2 _du
~/d..y2 ) B - wg
= Xr
'
~)
440
Une fois de
plu~
l'equation (18,175) devra etre resolue avec les
conditions : ~I (y) = 0 sur y = Y1 et y = Y2 • Maintenant,il s'agit d'obtenir l'equation de Schrodinger pour le cas non lineaire; cette derniere est de la forme
o,
(18,177)
une fois que l'on suppose queE= l.l • On notera, en fait, que d 2 w _ dW a =--=~
(18,178)
dk2
dk
ou west donne par la relation (18,168) de la theorie lineaire. Pour calculer g
le coefficient y, il faut inserer, dans le developpement de 1jJ ,le terme
ce qui conduit, pour ~III(Y)' (18,179)
L ~III
lI')
a l'equation +y
k [ (k ~-w)
2
avec
(k ~-w)
2
{
2 d
k
d
-
~
__ 0
dy
2
~
2k (k u...-w)X 11
k(k ~-w)
--2- + -u----w-'=-dy 11 g
II
i ~] 2 • dy
a ce sujet,l'article de Liu et Benney dans "Studies in Applied Maths.", v. b4, 1981, 247-269.
lI') Voi:;
441
De l'equation (18,179),on trouve aisement que la relation de compatibilite correspondante conduit
a
_(2 GIn (18,180)
Y
Yl
Y2
J
Y1
d
2
k
~/dy2
(k ~-w)
2
dy
On trouvera dans l'article de Liu et Benney (de 1981) le cas de l'ecoulement isochorique, lorsque les equations de depart sont
ou l'ecoulement de base est: u
= ~(y),
v
=0
et
PB (y) = PB(o) [ 1 - cr f(y) ]
'
une fois que l'on a effectue l'approximation de Boussinesq. Dans ce meme article, on trouvera aussi divers resultats de calculs numeriques.
3. Paquet d'ondes non lineaires dans l'instabilite de Kelvin-Helmholtz L'equation de depart est (18,181)
= 1 est relatif au fluide superieur = 2 correspond a la region Z < 0 .
oil n n
n
=
1, 2,
situe dans la region Z > 0, tandis que
442
On travaiUe avec des variables sans dimensions. L'equation de l'interface est
z
(18,182)
=£
r; (x, y, t)
et la condition cinematique sur l'interface est (18,183) (n = 1, 2) o
ou U 1
~
= Constante et U2
=O.
A partir d'un developpement de Taylor (£ « on trouve,
a la
1) au voisinage de Z = 0,
place de (18,183),
(OOt + Un oOx )r; + £ (18,184) +
i
{v.
£2 { V. [r;2 V (::n
~ v (Ijlnlo)J }
I ~} 0
+
n = 1, 2.
La condition dynamique sur l'interface donne, en tenant compte de la tension superficielle :
2r; [2 1+£ vr;.vr;J-
( 18,185) ou a et
P2 P2- P1 P l=ar;-sv
3/2
,en
Z=£r;,
S sont deux parametres sans dimensions; a est lie a la gravite tandis
que S est lie
a la
tension superficielle. On peut encore ecrire,
( 18, 185) , la relation suivante :
pi
pi
P220 -P 110 =Nr_ .....
-£ r;
~P
2
( 18,186) 1 2 - 2" £ r;2
oP2 I oPl az o-P 1 W o P2 ~P2 ~ 2
Q
~
v2r..
10 ] 2 o Pl
lo-
+1 £ 2 S (V2 r;)(Vr;.vr;) , 2
p -- 1 ] 0 1 0 Z2
a la
place de
443
qui reste correctejusqu'a l'ordre 0(£2). La perturbation de pression Pn (relativement a lapression hydrostatique) est donnee par l'integrale de Bernoulli: a a 1;t;t - (at + Un ax ) ~n - 2 £ (v ~n'v ~n)' n = 1,2 .
(18,187)
Les equations (18,181), (18,184), (18,186) et (18,187) sont nos equations de depart pour former l'equation d'amplitude du paquet d'ondes non lineaires. 11 faut,naturellement,ajouter les conditions usuelles
v~
(18,188)
n
+
comme
0
Izl
+
00
,n
= 1,
2.
Avec Weissman (Phil. Trans. of the Roy. Soc. of London, A, 290, nO 1377, 1979, 639-685),nous introduisons les variables lentes (x , Y , T ) = £ (x,y,t) et 1 1 1 et nous supposons que:
et Pn sont des fonctions de x, y, t, X1 ' Y1 , T1 et X2 ' Y2 , T2 et aussi de Z, pour ~n et Pn ~'~n
Ainsi, par exemple, on aura a ax
+..l.+ £ _a_ + £2 a aX 1 ax aX 2
2 a -+ L 2 ax r,S=0,1,2
r+S £
o
,
ou
x
0
- x.
=
a el el -- - - - = - 0 • ely - elY 1 elY 2 Lors de la derivation de cette equation d'evolution,on suppose que:
Pour alleger l'ecriture,on supposera
~
2 a axr ax s
u + tJ. , avec m
tJ. = 0 (2) £ , ou, u
m
. . " correspond , a un po~nt de . stab~l~te
.
marg~na
1 e 15) .
lIE) D'apres la definition de ~, on voit que c'est la difference des vitesses
(ou le cisaillement) entre les deux ecoulements de chaque cote de l'interface et ~ joue le role d'un parametre de stabilite. La definition de
c est donnee plus loin, c'est en fait la valeur critique de ~ (voir la figure se trouvant avant la formule (18,190»,
U
444 o
~
U1
u
c
+!J. u
c
-----+----+----1r---+------~ k k
c
Courbe neutre de stabilite Supposons,maintenant,que :
(18,190)
+ .,.
On obtient alors, une fois de plus,une hierarchie de systemes. Ordre EO (probleme lineaire)
a cj> (1)
__n_
(18,191)
I
- D n
~1 '
p(1) + D ~(1)
=0
az
n
0
n'i'n
,
o ,
a + Un ou D = at n ( 18,192 )
axa '
n = 1, 2. Une solution en onde simple de (18,191) est
~(11=) A e { Pn
i8
Cn e
i8+m
+ C.C.;
i8+mn
z
cj>(1) = B e n n
+ C.C.,
n
Z
+ C.C.;
445
ou e =
(a-U k)
(a-u
B = - i _---"n"---_ n m n
k x - a t , m = (_l)n k, n
A
et C = n
n m n
k)2
A. '
C.C. indique le complexe conjugue. Naturellement A, B et C sont des fonctions des variables lentes. n n La substitution de (18,192) dans la quatrieme ligne de (18,191) donne l'equation caracteristique
F
(a,k,~)
= P2 a
2
+
P1
(a-~
k)
2
ce qui donne la relation de dispersion suivante
puisque Pl + P2
1. On a donc :
pour la surface neutre liee aux points de stabilite marginale. D' apres ~ 1 a f'J.gure, u a un mJ.nJ.mum . . en k = (U) 8 1/2 =- k c m Ainsi, l'ecart de vitesse critique pour l'instabilite est ( 18,195) Ordre
E: :
(18,196)
3
- (u k + 8 k)
0,
446
ou'"
D
1n
=_a_+ U _a_ aT n aX
;:!;
et
1
V1 =
(a aX
)
1
' 0 •
A partir de (18,192\ on peut exprimer les seconds membres de (18,196) ce qui conduit au systeme :
v2 (2) n
(lB
=-
2 i k a~
a (2) ~Io
exp (ie + mn Z) + C.C.,
D A exp (ie) - 2 k 1n = -
~1n
2
A B exp (2ie) + C.C. , n
Bn exp (ie + mn Z) +
c.c.]
(18,197)
=-
V ljl(2) n ou
A~
~~1
2 f3 ik
exp (ie)- k (P2 C2 + P1 C1 )
Izi . .
.... 0 , comme
Gexp (2ie)
+
A~
+ C.C.,
00,
est le complexe conjugue de A. On peut prendre pour s2 et
~2)
la solution
harmonique :
{
(18,198)
et la seconde ligne de (18,197) donne B(2) en fonction de A(1 2 ) et du terme de n1 contrainte au second membre. De ce fait,la troisieme ligne de (18,197) permet d'exprimer p(2) et en substituant cette derniere dans la quatrieme ligne de n
(18, 197), on trouve [P
2
0
2
+ P
1
·-if ~ + [2 P 1
et comme le coefficient de l'amplitude A
(x 1 ,
T1 ,
x2 '
{o-~
3 k)2 - (a. k + f3 k ) ]
'2 0 + 2 "
(0-"" k) ]
A~2)
;~,
(o-~ k) ~ + {a. + 3 f3 k 2 )J ~~1}
A~2) est nul,on obtient une premiere equation pour T2 ) :
447
_ aF ~ + aF ~ == 0
(18,199)
acr aT 1
ak aX 1
Comme la sOlution (18,198) pour 1,;2 est de la meme forme que celle pour 1,;1 on peut toujours
suppose~maintenan~que A~2) = 0
.
La solution complete de (18,197) peut,en fait,s'ecrire sous la forme
(18,200a)
1,;(2)
=y
~(2)
= (B(2) + F(2) Z) exp (is + m Z) nl n n
n
+ B(2)
n2
_2k 2 IB (18,200b) +
C~~)
n
1
k A2 exp (2iS) + C.C.,
exp (2iS + 2 m Z) + C.C., n
2 ex (2m Z) + {(C(2) + C(2) Z) exp (is + m Z) n p n nl n
exp (2iS + 2 m Z) + C.C. }, n
et on trouvera les expressions des coefficients Y , B(2) nl et C(2) n2
dans l'article de Weissman (voir la page 677).
A l'ordre £2, il faut refaire la meme chose qu'
a l'ordre
£
et,en tenant compte
de (18,199),on trouve la seconde equation pour A :
(18,201 )
ou [P2 cr
2
- P1 (cr -
11-
k)
2
J
2
k 3 + 4 -=:-----=----....;J:j:=....--2 l3 k 3 - a. k
On notera que l'equation (18,199) peut s'ecrire sous la forme
~+a<1~=O
aT 1
ak aX 1
acr = ak
J.
448
On a aussi
et
a2
A aT2
1
et de ce fait nous pouvons mettre
l'e~uation
( ao
= ak
(18,201)sous la forme suivante
( 18,202)
une fois ~ue l'on suppose ~ue ~ _ 0, ou encore ~ue la fonction Fest independante de
~.
4. Ondes internes
faiblement non-lineaires
isochori~ues
Dans le cas d'un ecoulement
bidi~ensionnel,
les
e~uations
de depart sont:
.£2.+~.£2._~.£2.=0 . at ay ax ax ay , p
( 18,203)
(.i.JL + ~ --.i.L _~ i..~ at ely ay ay ax ax al 2
p et u -- ~ ay
v
a ~ a~ at ax + ay
2
_.££ ax
2
a ~ a~ a x2 - ax
a ~ ax ay )
= -~ ax
Nous supposons 1 a~ue 1 le la masse
En dehors de cette
~u'il
existe une region, dont l'epaisseur est O(h), dans
. .
voluml~ue
p
var~e
pycnoclin~ il
fortement et
. .
~u~
est
d~te
une
.
lI!)
pycnocl~ne
peut aussi exister une stratification en
altitude mais la variation de la densite est supposee monotone. L'amplitude de deplacement de l'onde, a, est supposee petite devant h, tandis longueur d'onde l
es\ au contraire,plus grande
ha = £
( 18,204) Le rapport
«1
.
ma~s
~ue
h l«
~ue
sa
h : 1 .
l/H reste arbi trair~ ou H est la profondeur totale du fluide.
Enfin, la variation temporelle de l'onde est supposee etre une propagation de phase stationnaire
a la~uelle
s'ajoute une variation lente de l'amplitude
(on ne s'interesse pas au comportement transitoire de l'onde)
a fort gradient vertical de densite. Les pycnoclines les plus prononcees sont presentes au contact de l'eau chaude de surface et l'eau froide sous-jacente. Des mouvements ondulatoires peuvent etre formes le long de cette surface de discontinuite.
lI!) Dans les mers et dans les lacs, couche
.
449
(18,205) et
C est la celerite de l'onde (avec des variables sans dimensions) et
ou
o
caract~rise
l'ecart de densite, tandis
On introduit done
P (~,
y, ,),
p(~,
~ue
y, ,)
~P
P est une densite de reference. r et ~ (~, de telle fa~on ~ue,
y,,)
dans la pycnocline
( 18,206)
P
= PB +
P
= PB
1jJ=
£(~ p)p ,
2 + £ Pr u r P ,
-_Y..
Y - h
IY~dy+aur~'
+ PB g = 0) caracterisent l'ecoulement de base dans la direction des x. On suppose ~ue l' on a, la non dimensionnalisation suivante
ou ~(y), PB(y), PB(Y) (dPBldY
~ =-
et , avec Naturellement,on constate ~ue
~ue
la
fre~uence
(J
de Brunt-Vaisala Nest telle
: r
( 108,207) Le cas de l'approximation de fait,on supposera ici ( 18,208)
.
Boussines~
correspond
~ue
(J
= 0 (E)
et
=0
II
(£) •
On postule les developpements suivants 1/1
( 18,209)
-
P
-
~, + £
~2 + -
P, + £ P2 + -
P = P, + £
£
2 2
iii 3
+
P + 3 2 + £ P3 + P2
-
£
... ,
... , ... ,
a
(J
«
, et de ce
450
et on obtient toute une hierarchie de systemes. A l'ordre
( 18,210)
( 18,211)
(y)
- Co]
[~
(Y)
- C~{
ar+rar=O
dU.1;;;
(a -ay
a~l
(J-
aTaY
£
= - - - - (- )
et £~ il vient
a~l
ap1
[~
£0
) -a>P,
~ -
Co
_
[a~l
-
aE;
J
1
+ap -= 0 aE;
P B
Lay ap2 _ -+ P = 0 2 'dy
On suppose maintenant que
Du systeme (18,210),on trouve que: ~l(E;,y,T)
(18,212)
=A
(E;,T)
(y);
:(Y)
P1(E;,y,T) = - _ A (E;,T) ~(y) - CO P1 (E;,y,T)
La fonction
=-
A (E;,T)
(y) satisfait
[~(y)
a l'equation
-
(y);
Co]!
:~~aY
a_ ay ~(y) -
1
Co
de Taylor et Goldstein:
451
L(4)) ::: L
(18,213)
2
+
{ aY 2
-
r(y)
-(~(y)
Lorsque ~ (y) # Co' pour tout y, on sait que l'equation (18,213) admet une infinite denombrable de valeurs propres discretes C = C o o,n
n=1,2,3, ...
et les fonctions propres correspondantes sont les 4> = Avec (18,212), le systeme (18,211) conduit
a l'equation
4>
n
(y), n = 1,2, 3, ...•
suivante
(18,214)
ou ~ _ d
A
o
M (y) o
2 -2
_
dy
_
~(y)- Co
dy
= -d-
2 -2 ~/dy
4> ;
{-p (u... - - C ) ~ d-h } - - d B.l:S 0 dY -
dy
~_pB -d~-
4>]
dy
no
On not era qu' au niveau de l'equation (18,214),y joue le role d'une variable interieure adaptee
~
=
£
«
a la
pycnocline (en fait,on a y = (y/l)/~ , avec
1). Multiplions l'equation (18,214) par
~f~~2co
et integrons dans
la pycnocline (region interieure) - cela veut dire que le domaine d'integration interieur relativement aA aT
a y est f+OO -00
aA A a~
ce qui fait que :
00,
4> ~-
( 18,215) +
~
f+OO -00
C
A dy+ (Q. ) aA 0
£
0
p ~ - Co
n0
a~
f+OO --.L-
C
-oo~-o
aY=-4>
a2~
2
a~ ay
M dy 0
I:
452
Le terme au second membre de (18,215) sera obtenu
a partir
du raccord
avec une solution exterieure valable en dehors de la pycnocline. Lorsqu 'en dehors de la la densite sont faibles de telle
pycnoclin~les fa~on
variations de la vitesse et de
que;
< O(El ,
< O(El et
on peut se convaincre que la region exterieure est une reglon d'ecoulement . . on a -IjJ .... '" '" T ) = ')potentiel, au premier ordre. Alnsl, IjJ ( 1;, y, 1j!1 + £ '" 1jJ2 + £ 2'" 1jJ3 + .•. , . . '" .avec y = Y/H la varlable exterieure,et 1jJ1 satisfait a l'equation
'"
2'P
2'"
H 2 a 1j!1 a 1jJ1 (-) - - + - - = 0 l al;2 d~2
a laquelle
il faut associer les conditions de raccord
~im ~
roo
= kim ~ y+O+
et
~im ~ = Lim ~
y-+-oo
y+0
+
~2
De ce fait, Lim ~2 (l;,y,T)
a~1
= ~£ y
~ (I;,O-,T) +
ay
y~
et aussi
2 -
a 1jJ2 Lim - ~ ay al;
2 '" h/H a 1jJ1 =-- -",-£
+ (1;,0- ,T),
± (1;,0 ,T).
ay al;
En resolvant le probleme pour l'ecoulement potentiel,on trouve que 2
( 18,216)
a ~2
+00
453
Go(~)
ou
+
et H et H
2
1
=[
2~1 {Coth
(2;1 f..
~) - sgn(~) J
~_1_ ~ 2H { coth (2H f.. ~)-sgn (~) 22 ep(oo) 2 2
1J
,
sont les profondeurs de la couche fluide au-dessus de la pycnocline
et en-dessous de cette derniere. En definitive, avec des grandeurs dimensionnees,on obtient l'equation suivante (A (x,t) = a u A) : r
~~
( 18,217)
+ (C + fj, + a. A)
~
- 8 ::2
f+<XlG (x-x 1) A (x 1' t)
dx 1
0,
-00
avec K
= J+<Xl~_ -00
~-Co
A
o
aY
'
a.
= -!..-f+oo ~ n0 aY hK -00
et l3
K
~-Co
Enfin G(x) -- h
t-.L
2
coth (:!!:!- ) + ~ _1_ coth ('lTX 2H 1 2H 1 2 2H 2 2H 2 ep(oo)
)~
.
On trouvera dans l'article de Tung, Ko et Chang (Studies in Applied Maths, vol. 65, 1981, 189-221) divers resultats de calculs numeriques.
L'ECOULEMENT DE COUETTE-TAYLOR ENTRE CYLINDRES COAXIAUX
Il Y a un si ecle, Couette (dans les "Annales de Chimie et de Physique", serie 21, pp. 433-510, 1890) a propose un dispositif experimental pour determiner la viscosite des liquides; il s'agit de l'ecoulement entre cylindres coaxiaux tournants. Couette mene ses experiences et son analyse de l'ecoulement dans le cas le plus frequemment aborde par la suite ou un seul cylindre est entraine en rotation. Des cette epoque, Couette remarque que le domaine de validite des equations du mouvement relatives a un ecoulement purement circulaire est beaucoup moins etendu lorsque le cylindre interieur tourne dans une gamme de vitesse croissante
a partir du repos, le cylindre exterieur etant fixe, que dans la
situation inverse. Lord Rayleigh (voir les "Proc. Roy. Soc., London", vol. A 93, pp. 148-154, 1916) justifie ulterieurement cette observation en .lIlontrant que, pour un ecoulement non visgueux a ligne de courant circulaire (vitesse V(r) fonction de la distance r au centre de rotation), la condition necessaire et suffisante de stabilite vis-a-vis d'une perturbation axisymetrique est que : le carre de la circulation croisse avec r, soit >
°.
Un premier critere de classement des ecoulements tournants se trouve ainsi etabli-) • En 1923, par une contribution essentielle, Taylor (dans "Phil. Trans. Roy. Soc.", London, vol. A 223, pp. 289-343, 1923) prend en compte l'influence de la viscosite dans l'apparition de l'instabilite. Il met en evidence a l'aide de traceurs colores l'existence d'un ecoulement secondaire axisymetrique, constitue de cellules (ou vortex) de forme torique
regulierement disposees dans
la direction axiale. La theorie qu'il developpe,sur un principe de stabilite .) Nous tirons profit ici de l'article de G. Cognet dans le Numero Special 1984 du J.M.T.A. (p. 7 a 44).
455
lineaire, permet de prevoir la dimension des cellules avec le seuil de vitesse critique,pour un fluide donne, dans des conditions geometriques (jeu radial) et dynamiques (vitesse relative des cylindres) determinees. En '965, les experiences de visualisation de Coles (publiees dans le "Journal of Fluid Mech., nO 2', pp. 385-425, J965) mettent en evidence un nouveau type d'instabilite : lorsque le nombre de Reynolds Re
au-dela d'un second
d/
v la visco~ite o la vitesse angulaire du cylindre interieur) croit
(avec r, le rayon du cylindre interieur, d l'espace annulaire, cinematique du fluide et
= r, n,
n,
seuil~
V
critique Re--, les lignes de separation des cellules
ne sont plus dans des plans perpendiculaires a l'axe, mais presentent des ondulations qui affectent l'ensemble des vortex de Taylor et progressent dans le sens de rotation du cylindre interieur. Le mouvement qui perd ainsi son axisymetrie, possede alors une double periodicite identifiee par un nombre d'ondes axiales (n) et un nombre d'ondes azimutales (m). Il apparait,en outre, un caractere de non unicite de l'ecoulement : selon la maniere dont on atteint la vitesse recherchee, on peut observer differents etats,correspondant a un couple d'entiers (n,m). Sur la figure ci-dessous,nous
a~ons
chacun
represente
a gauche (a) le regime des cellules de Taylor, tandis quI a droite (b) nous avons schematise le regime d'ondes azimutales.
(bl
(a)
Ecoulement de COllETTE entre cyllndres coaxlaux:
(a) rEgime de. cellule. de TAYLOR (b) rfgime d'ondes azimutales
.) Les vortex de Taylor apparaissent au-dela du premier seuil critique Reet le carre de leur amplitude d'equilibre est fonction lineaire de (Re-Re-).
456
En 1968, Davey et al. (J. of Fluid Mech., nO 31, pp. 17-52, 1968) publient une etude de la stabilite des cellules de Taylor vis-a-vis des ondes azimutales qui permet de prevoir le regime d'ondes observe par Coles. Ayant rappele brievement la place occupee par l'ecoulement de Couette-Taylor dans l'histoire de la mecanique des fluides (on pourra,a ce sujet,consulter le "60th Anniversary Taylor Vortex Flow", NSF Workshop, University of Oregon, 1983), du moins jusqu'a l'apparition des travaux sur le chaos (voir le
§ 23
du Chapitre VI, ou nous reviendrons sur le probleme de Couette-Taylor), nous nous
interesson~ dans
ce qui suit,principalement a la theorie classique de
l'ecoulement de Couette-Taylor. A la section 19,1,nous donnons la formulation mathematique du probleme, tandis que la section 19,2 est consacree a l'etude de la stabilite lineaire classique de l'ecoulement de Couette. Enfin, on trouvera a la section 19,3 un expose phenomenologique sur l'apparition et le developpement des cellules de Taylor.
19,1. FORMULATION MATHEMATIQUE VU PROBLEME Les equations de depart sont celles de Navier; avec des grandeurs dimensionnees, on aura, pour la vitesse ~ et la pression p : +
{
( 19,1)
Clu + +u. V +u + - 1 Clt Po
VP
+
v 0 tJ. u
o ,
o .
V.~
Du fait, meme, de la configuration particuliere de l'ecoulement,il est evident que l'utilisation de coordonnees cylindriques, r, 8 , Z s'imposent, avec r 1 < r < r 2 et on a pour la vitesse la decomposition suivante : +
(19,2)
u
D'apres (19,2), on doit imposer aux equations (19,1) les conditions aux limites : (19,3) (19,4)
u
w
o
en
r
=r 1
en
r
= ru '
et
r
=r2,
avec u
= 1,
2,
ou r 1 et Q1 sont le rayon et la vitesse angulaire du cylindre interieur, tandis que r et Q sont le rayon et la vitesse angulaire du cylindre exterieur. 2 2
457
En coordonnees cylindriques r, e, Z, nous pouvons exprimer
(19,5) et aussi
(19,6) +
et on notera que
- e
r
En definitive,nous obtenons pour u, v, wet p le systeme d'equations de Navier suivant :
av
av v av av uv 1 1 Clp (V2 v 2 au v ar + r as + w l i + r + r p as = o + 2" as - 2" o r r
( 19,8)
at
( 19,9)
aw + u aw + .1: aw + w aw + --.!.. .fu2. at ar r ae az Po az
(19,10)
1 aru
+ u
r ar
V
+
1 av r ae
+
aw az
=
=V
o
V-2 w
o.
On peut, en particulier, introduire au niveau des equations (19,7)-
(19,10) et des conditions (19,3) - (19,4) les grandeurs sans dimensions suivantes t
r
r =r
[l1 t ,
(19,11)
p
p
1
(u,v,w) r
1[l1
et dans ce ca~ apparait, au second membre des equations (19,7) nombre
a
(19,9), le
de Reynolds suivant
(19,12) lorsque d
Re
=r 1,on
debut de ce § 19.
r
2
[21
1 = -V--
o
retrouve le nombre de Reynolds dont il a ete question au
458
Une solution immediate de notre probleme (avec des grandeurs sans dimensions) est
{
(19,13)
°,
B ) , W == va - A r (1 +--2 r -2 2 B r C + A2 (2 + 2 B Log r - -=2 ) 2r
u == o , v p == p c
==
,
ou (19,14) avec
A ==
a.
= r 2/ r
cl w - 1 cl - 1
w == n2 /n
1
1
B ==
' r
cl
(1 -w)
ciw-
1
e [O,a.] . La constante
C reste arbitraire.
Bien souvent,on envisage le cas du cylindre exterieur fixe 1 w = 0, A = ----2
1-a.
et
B
- a.
2
mais certains resultats pourront concerner les cas de cylindres tournants dans le meme sens (w > 0) ou en sens contraire (w < 0). D'une maniere generale,on peut caracteriser l'ecoulement de Couette-Taylor par le nombre de Taylor 2
- a. w 4 2 (a.-1) a. - 1
Ta (19,15)
2 w + a.
. 2 3 4 Re (a.-1)
- a.
qui est done, ici, proportionnel au carre du nombre de Reynolds base sur r
1
et
n1
d'apres (19,12).
19,2. fTUOf Of LA STABILITf LINfAIRE Of L'fCOULfMfNT Of COUETTE 1. Le critere de Rayleigh. Revenons aux equations (19,7) - (19,10),
vo
==
° (cas non visqueux)
suivant (19,16)
---
u
= 0,
~
et considerons la stabilite de l'etat stationnaire
w
0,
v
= vc (r)
r
n
(r), p
p (r) .
c
459
Supposons que l'etat perturbe est decrit par: u, v, w et p-p 7T ( =~); cet etat perturbe satisfait aux equations lineaires suivantes
Po
v _(r) v __ (r) au 2 _c _ a7T + _c v = - ar ae-at r r a
~
v (r) c r
av + at
r
a7T as
v (r) +_c__ aw a7T ae-= - az r
aw at
(19,17)
[ vc (r) + dvc ] u = av ae-+ r dr
o . Une solution de (19,17) sous la rorme suivante
(19,18)
~
(
) = (
~!~1 ) '~[i
(k Z
+"+crt)] .)
conduit au systeme d'equations differentielles ordinaires (19,19) : i S U- 2 n V =
~
i SV + n + (19,19 )
_dP
dr
d(rn)~ ----a;-
U=
_ im p r
i S W = - ik P dU + Q + im V + i k W = 0 ,
dr
OU
r
r
S = 0 + m n.
Introduisons de vitesse
maintenan~ au
u, v et wtelle
U = ~.
0
u,
niveau de (19,19), les nouvelles composantes
que
V.;
=~
no u
V -
r an dr
-u, - -
W= i -
0
ce qui conduit au systeme suivant, pour u, v, w et P .) On suppose que v (r) _ r n (r). c
-w:
,
460
(8 2 8
2 v
8
2 w
( 19,20)
2r n dn dr
-
u + 2 i n
8
-
y
dP = dr
im 2 i n 8 u =- P r i k P
De ce systeme (19,20),on tire tout d'abord -
(8 2 - 2r n dll dr
u +
2in 8
suivante
l'~quation
(2 i n 8
u+
im P r
ou encore
~2
(19,21 )
- 4>(r) ]
avec
De (19,20), il 8
d~coule
aussi que:
2 2mQ8 2 2 (du + 2! ) - - u = (m + k ) P dr r 2 r r
ou encore 2mn1 d 1 (r u) - - - u = rdr 8r 82
(19,22)
2 (~+ k 2 ) P 2 r
Les conditions aux limites sont dans notre cas (19,23)
sur
r
= ra
' a
= 1,
2,
on a
u
O.
Pour m = 0 de (19,21) et (19,22), on aura: [ cr
2
1 d
rdr
u = ~~
- 4> (r) ]
(r
2
u) -2" -k
P
cr
et il decoule que, dans ce cas, il faut resoudre l'equation en u
dP = dr
461
d dr
(19,24)
avec u
=0
sur r
=r1
[1
Lr
et r
_ k 2 ;:;.
(r;:;') ]
d
dr
=r2
.
On arrive ainsi a un probleme du type de celui de Sturm-Liouville; 2 2 les valeurs propres k /cr sont toutes positives si W(r) est partout positif et vice versa!
De (19,24), on obtient que:
et de ce fait que :
if>
J if>
2
(r) r
;:;.2 dr
Q.- = - - - - - - - - - - - - - - 2 k
( 19,25)
pour qu'il y ait stabilite de l'ecoulement de Couette il faut
(r) > 0 - ce qui est justement le critere de Rayleigh pour le cas non
visqueux.
2. Le cas visqueux : la theorie de Synge. On considere ici les equations
completes (19,7) - (19,10); ces dernieres admettent une solution stationnaire de la forme: u
v2 (r) _c__
avec
r
= 0,
w
0,
Ainsi, on a v (r) c
avec
- win 2
( 19,27)
ou
1-n 2 et w
v (r) , c
et aussi la relation
=
( 19,26)
v
V
...£... (...£...
odrdr
+
.1 r
v
c
o .
462
En designant, une fois de plus, par u, v, wet n on obtient,
a 1a
1es perturbations,
place de (19,17), 1e systeme 1ineaire suivant,
a
equations completes (19,7)
des
(19,10),
v (r)
2 _c_ _ v = _ an + r ar
dv
v
(_c + --.£ ) u = dr r
(19,28)
a partir
v
V 0
0
une fois que l'on suppose que l'ecoulement perturbe est axisymetrique 2 2 a2 a +a-1 ) (aaa =: 0; V - - + ar 2 az2 . r ar Faisons une analyse en modes propres de 1a forme u
u(r)
v
v(r)
w
W(r)
n
p(r)
e
( 19,29)
ce qui conduit,
cos k Z
a 1a
sin k Z
J
cos k Z
place de (19,28), au systeme differentie1 suivant
v (DD - k 2 o
JII
vc(r) dP a ) U+ 2--V=r dr 0
V
v (DD - k 2 _2.- ) V JII o V
(19,30)
cos k Z
at
v (DD - k 2 o
JII
o
a
v0
~lC
vc(r)] U
=0
)W=-kP
DlIf U = - k W , ou D =: ~ et DlIf =: ~ + ~ . De (19,30), on obtient 1es deux equations suivantes (apres elimination de W et de p) :
463
C1 V
( 19,31)
- k2 ) U
(DD
v (r)
= 2 _c
'"
o
V
r
2
Introduisons aes grandeurs sans dimensions : r 2 pour r et vo l2 A1 r 2 pour les vitesses. En conservant les memes notations, on trouve, a la place de (19,31),
( 19,32)
tn.
- a
(DD lIE - a
ou a
2
= k
2
2 2
- q) (DDlIE - a 2 ) U = - T a - q)
2
1 ( - - K) V r
2
U ,
V
2 C1 r 2 2 = et r ' q 2 v 0
(l-W) (1-w/n2 )
(19,33)
T
2
( 1_n 2 )2
vo
qui est aussi un nombre de Taylor. Enfin, ( 19,34)
K
2
=
r2=~-
Les conditions aux limites sont, ici, (19,35 )
sur r
n
1 et r
U
0,
V = 0
et DU = 0 • lIE
Multiplions maintenant la premiere des equations (19,32) par U Ie complexe conjugue de U, et integrons en r de n
a
1; il vient alors :
(19,36) - Ja
2 f1
lIE
r rj> (r) V u dr,
n ou (19,37)
J
T
= 1-w
et
rj>(r)
(1-w)
1 ("2 r
K).
,
464 Mais l'integrale au premier membre de (19,36) peut aussi s'ecrire sous la forme: '1 1 1 + 1 2 , tandis que le second membre peut, lui, se mettre sous la forme: J a 2 {(a2 + '1*) 1 + 1 }. Ainsi, il vient la formule (q¥ est 4 3 le complexe conjugue de '1) : (19,38)
'1 1
1
+ 1
J a
2
2
{(a
2
¥
+ '1 ) 1
3
+ 14
}
'
oil 1
1
1
2
nJ1
{
2 r IdU dr 1 +
(r1 +
r
I
2 (DD. - a )
uI 2
a
2
r) IUI
J
2
dr
dr
n ( 19,39)
1
1
3
4
r~
(r) r
f\ n
(r)l r IdV dr
Ivl 2
dr
n
- 2 (1 -w)
r
2 1
+
¥ t
dr
* dr l£L
n
r
2 dr
On not era que les integrales 1 et 1 sont positives et que 1 2
~ (1 - n2 ) , pour r n
=1
21 (1 - n2 ), pour r = n , n
et de ce fait, si w > 0, cela entraine Clue Done 1 Clue
3
~
(r) > O.
est aussi,dans ce cas,une integrale positive. Enfin, notons Reel (1 4 ) =
f1 r n
2 ~(r) I~ - ¥ 1 dr
et de ce fait de (19,38),on aura la relation (19,40) Ainsi, on voit que: ( 19,41)
Reel ('1) < 0, lorsque
w >
n2 ,
et alors l'ecoulement est stable (car dans ce cas J < 0).
465
D'autre part, la partie imaginaire de (19,38) conduit (19,42)
1mag(q) [1
+ J a
1
2
1 ] = - 2 T a 3
2
1mag
{( n
V r
2
a dl"dr] dr
et on ne peut rien conclure de cette relation ! Pour obtenir une information concernant 1mag (q),il faut considerer Ie cas de (r 2-r 1 ) petit devant (r 1+r )!2. Dans ce cas: 2 D
1I
et si on note d = r
2
r [1 - (1 - w) r-r 1 ] r -r
2
1
- r 1 , alors avec les variables r - r
(19,43)
= n1
% D et v
1
k=~ d
I;=-d-
et
2
q =a-d-
vo
on trouve, de (19,31), les equations suivantes (a la place de (19,32)) 1 d (D 2 _ a 2 _ q) (D 2 _ a 2 ) U = 2 n V
(19,44) (D 2 _ a 2 _ q) V
Rempla~ons
U par
=
2 A
1
v
o
d
V
f3
2 [
1 - (l-w)1;
]
V;
u. U et soit T = -
o
alors,a la place de (19,44),on trouve Ie systeme
ou
a
o
2
2 n d2 a 2 1
2
ll
)
(1 - w).
Les conditions aux limites (19,35) sont maintenant (19,46)
sur
I; = 0 et I; =
Si on suppose que
on a : U = V = D U = 0 w ~ 1 , ce qui revient
a ignorer
Ie terme f3 I; V
au niveau de la premiere des equations (19,45), on peut aisement montrer que 1mag (q) = 0 et l'etat marginal est stable
*) On notera la similitude du systeme (19,45) avec celui considere en (17,149),lors
de l'analyse lineaire du probleme de Rayleigh-Benard profond (voir Ie point 4 de la section 17,3).
466 On trouvera, dans le livre de Chandrasekhar (Hydrodynamic and Hydromagnetic stability; Oxford, Clarendon Press, 1961; voir les chapitres VII et VIII),une
th~orie lin~aire
des plus completes de la
de Couette-Taylor. Pour notre part, a ce
stabilit~
de
l'~coulement
§ 19, nous n'irons pas plus loin et
nous nous contentons de terminer en donnant, a la section 19,3, certaines indications sur l'apparition et le
d~veloppement
des cellules de Taylor.
19,3. APPARITION ET DEVELOPPEMENT DES CELLULES DE TAYLOR Les
(19,45) avec les conditions (19,46)
~quations
d~finissent
un
probleme aux valeurs propres aboutissant a une expression de la forme :
F
(19,47)
o
(n,w,T,a,q)
n
pr~cise
la
a
d~signe
le nombre d'onde axial de la perturbation et q
g~om~trie
du systeme, w et T
de croissance. Ainsi pour n, w et T fication
R~el(q),
partie
r~elle
Pour un fluide et une
caract~risent l'~coulement
d~finit
de base,
sa vitesse
on peut obtenir le facteur d'ampli-
fix~s,
de q, pour une valeur de a g~om~trie d~termin~s
et
n2
positive.
donn~e
fix~, l'~coulement
devient instable vis-a-vis d'une perturbation du nombre d'onde a lorsque
n1 (ou T)
une valeur critique n pour laquelle R~el(q) 0 (stabilit~ c marginale). On peut,ainsi,obtenir un ensemble de points dans le plan (T, a) situ~s
d~passe
sur une courbe "neutre" pour laquelle chacune des perturbations
n'est ni amortie, ni
amplifi~e.
Le minimum de cette courbure
d~finit
consid~r~es
le nombre
de Taylor critique,T-, en-dessous duquel toutes les perturbations axisym~triques sont amorties, et le nombre d'onde critique avaleurs
propresestsimplifi~e si
La r~solution du probleme aux
l'on suppose que Reel(q) et Imag(q) s'annulent
simultanGment·); on peut alors utiliser les
proc~dures
classiques comme la
technique de Galerkin pour des valeurs de wpositives ou pas trop La figure ci-apres
pr~sente
les
r~sultats
n~gatives.
de Coles (voir les "Trans.
Am. Soc. Mech. Eng.", J. Appl. Mech., vol. 89, pp. 527-34, 1967) pour· n = 0,88
en fonction des nombres de Reynolds relatifs aux deux cylindres Re 2
et Re 2 = r 2
n2/ V
1
= r 21 n1/ V
0
o
On constate que pour Re > 0, la courbe tend asymptotiquement vers la 2 droite correspondant au critere de Rayleigh (w n2) . • ) On pourra,a ce sujet,consulter le travail de Yih Mech. Anal., vol. 45, pp. 288-300, 1972.
publi~
dans
Arch. Ration.
467
Cellules Cellules ondulees
ecoulement circulaire 20DO
-~OOO
On notera que la longueur d , onde
. l e 'A
ax~a
27Td = -a-
es t prat'~quement
egale a 2d,a l'apparition des cellules; elle subit une leg?re croissance (+ 7 %) dans l'intervalle 0,1 < n < 1 alors que le nombre de Taylor critique est multiplie par 10. Ces resultats sont confirmes par les calculs et les experiences (voir, par exemple, l' article de Roberts dans les "Proc. Roy. Soc.", London A 283, pp. 550-556, 1965 et le livre edite
par Swinney et Gollub "Topic in Applied
Physics", vol. 45 chez Springer-Verlag, 1981). lIE
Pour une valeur de la vitesse superieure a la vitesse critique (T > T ), la theorie lineaire prevoit une croissance exponentielle de la perturbation initialement infinitesimale (q > 0). Ce type de croissance ne peut se maintenir car les termes quadratiques des equations du mouvement perturbe deviennent non negligeables, ce qui a pour effet d'introduire un
premier harmonique et de
modifier le mouvement moyen. Par interaction avec le mode fondamental, il y a
468
alors apparition d'un second harmonique et le processus se poursuit ainsi par la generation d'une suite infinie d'harmoniques L'equation relative a l'amplitude A(t) de la perturbation est celle de Landau (19,48) lll
et on montre qu'au voisinage du seuil critique : q ~ (T - T
)
=
£
•
On peut
calculer le coefficient a
en tenant compte des harmoniques d'ordre 2. 1 L'amplitude d'equilibre de la perturbation est donnee par: ( 19,49) les deux premiers termes du second membre de (19,48) sont de l'ordre de £3/2 . t est de 1 ' ordre de £ 5/2 • Les experlences ~ . . a 1ors que le SUlvan conflrment cette loi de croissance de l'amplitude du mode fondamental en £1/2. Lorsque
n
+
(faible jeu radial), l'apparition des ondes est beaucoup plus precoce, ce qui peut expliquer que l'accord theorie-experience n'est observe que dans un domaine restreint aU-dela de T~ . Lorsque T augmente, la ~ourbe donnant Ie coefficient de frottement moyen presente un brusque changement de pente a l'apparition des cellules de Taylor; Ie coefficient de frottement,decroissant pour T < T~... , devlent crolssant au-dela.... de T~, passe par un maxlmum
PUlS decrol t
o . o .
'"
...
a nouveau, l'evolution ulterieure du mouvement etant beaucoup plus progressive. Sous cet aspect, on peut considerer que Ie regime de Taylor est effectivement une premiere etape vers l'etat turbulent. Au second seuil critique repere par T·~ apparaissent des ondes azimutales qui affectent,en
particulie~ les
rrontieres des cellules et ce
second seuil critique est d'autant plus rapproche du premier que n de 1. Pour T >
T••,
est voisin
les ondes ont leur maximum d' ampli tude sur la surface ou
Ie fluide a la meme vitesse que les ondes. En conclusion,les experiences ont montre que, pour T croissant, l'ecoulement de Couette-Taylor etait d'abord independant du temps (cellules de ~aylor), puis dependant du temps selon une loi periodique (ondes azimutales), puis quasi-periodique (ondes modulees)pour devenir enfin non periodique. La transition du regime quasi-periodique au regime non periodique etant decrite par un attracteur etrange dont Ie portrait bidimensionnel est reproduit sur la figure ci-apres.
469
L'exposant de Lyapounov (voi~
a ce
suje~
le
§
21) qui quantifie
la sensibilite de la solution aux conditions initiales par la separation (exponentielle !) des orbites successives, devient positif pour T ce qui correspond
a l'apparition
rapidement 1 pour T = 15
T*.
= 12
~
T ,
du "bruit" dans le mouvement, et atteint
L'attracteur ainsi Eis en evidence est de faible
dimension; la dimension fractale est d'environ 2 pour le regime quasi-periodique et croit
a 4 au
debut du regime chaotique. Mais,nous n'irons pas plus loin, ici,
dans cette voie et nous aurons l'occasion dry revenir au Chapltre VI suivant, cons acre aux "bifurcations et comportements chaotiques".
CHAPITRE VI
BIFURCATIONS ET COMPO~TE~ENTS
CHAOTIQUES
DANS LES FLUIDES
Depuis la parution en 1971 de l'article fondamental de Ruelle et Takens (liOn the nature of turbulence", dans les : Comm. Math. Phys., vol. 20, pp. 167-192, 1971), un nombre impressionnant de pUblications*) consacre
a
ete
au probleme de la transition vers la turbulence. De plus, ces
dernieres annees,de nombreux livres ont ete publies sur le "chaos" et nous aurons l'occasion, tout au long de ce chapitre VI, d'en mentionner un certain nombre. De ce point de vue,il semblait done difficile de presenter, dans le cadre de ce Cours un expose "rigoureux" et complet sur le chaos. Aussi, nous nous bornerons
ici, avant tout, a. un expose phenomenologique du chaos, ayant
pour but de decrire les divers aspects de la transition vers le chaos dans les fluides. Nous nous interesserons principalement a. la description du comportement chaotique dans les problemes de Rayleigh-Benard et de Couette-Taylo~
sans rentrer vraiment dans le detail des developpements
mathematiques (qui sont tres souvent ardus) et des techniques de visualisation (souvent tres sophistiquees) effectivement employees. 1II)
On pourra,a. ce sujet, consulter la Bibliographie compilee par Shiraiwa en 1981 (Department of Mathematics, Nagoya University) et en ]985 (March 1985; Preprint Series, N° ], Depart~ent of Mathematics, Nagoya University) sur les systemes dynamiques.
471
Le lecteur, interesse par cet aspect des chose~ trouvera diverses references citees dans Ie texte qui l'aideront a detailler les techniques mathematiques utilisees. Nous conseillons au lecteur
avant d'aborder
ce Chapitre VI, de lire les divers articles de vulgarisation sur Ie chaos parus ces dernieres anneesll!), afin de se faire une "idee plus precise" sur la physique du phenomene. On sait maintenant que des comportements erratiques peuvent surgir dans des systemes physiques simples modelisant des ecoulements de fluide plus ou moins complexes. Tandis que ce qui semble fondamentalement erratique (la turbulence !) peut obeir a un determinisme complexe, mais modelisable. L'ordre (la laminarite l),au fond, n'existerait pas en mecanique des fluides tel pourrait etre l'enseignement d'une nouvelle et fascinante theorie, la theorie du chaos. Nee au debut des annees 60, on ne s'etonnera pas que cette theorie du chaos se soit construite principalement autour de preoccupations pratiques portant sur la prevision du temps en meteorologie ou la turbulence en mecanique des fluides. Ce sont la deux domaines ou l'alea est apparemment la regIe, les lois physiques complexes et ou Ie determinisme, selon lequel les transformations d'un systeme dont on connait l'etat initial sont a tout moment previsibles, est
---
d'experi~nce lI!lI')
pris en defaut I
Mot d' origine grecque, chaos signifie confusion, desordre, manque
complet de structure et d'organisation; l'aspect determinant du chaos etant son impredictibilite. Lors du chaos, tout se passe comme si Ie phenomene perdait d'un instant a l'autre la memoire de son evolution anterieure et de ce fait, la connaissance de l'etat du systeme, observe pendant aussi longtemps que l'on voudra, ne permettra donc pas de prevoir avec precision son evolution ulterieure. En un mot: on ne pourra pas indiquer exactement son etat instant futur, designe
a l'avance,
a tout
ce qui fait que prevoir avec exactitude est
impossible ! Pour comprendre Ie chaos, trois notions simples sont indispensables. Tout d'abord, l'espace des phases, un espace de reference dont les axes sont les coordonnees des grandeurs caracteristiques du systeme - pour un systeme mecanique simple ce seront, par exemple, les coordonnees de position et de vitesse. Toute courbe de cet espace des phases,representative d'une evolution Citons les articles parus dans "La Recherche" (Noos: J08 de fevrier 1980; 110 d'avril 1980; 139 de decembre 1982; 185 de fevrier 1987; 195 de janvier 1988 et 209 d' avril 1989) et dans "Pour la Science" (NOOS : 39, 62, 82 et 112); Ie numero 1980-1981 de "Images de la Physique" du CNRS et Ie numero d'avril 1987 de "Sciences et Avenir" et enfin Ie numero hors serie 161 : "Les secrets de la Matiere" de "Science et Vie", de decembre 1987. lI'lI') Du grecque ''khaos'', abime; confusion, desordre. lI!)
472
du systeme,est appelee trajectoire de phases (orbite) et un ensemble de telles trajectoires constitue un portrait de phases.Du point de vue geometrique, -1' evolution et le comportement du syteme fluide etudie se situent dans un
espace des phases judicieusement choisi, dont les coordonnees ne sont pas necessairement des grandeurs spatiales, ou des vitesses, mais peuvent etre d'autres grandeurs physiques comme des temperatures, des pressions, etc ... ; un exemple de cette situation est l'espace des phases tridimensionnel lie au systeme de Lorenz dont il a ete deja question a la section 17,5 du et sur lequel nous reviendrons au
§ 17
§ 23 de ce Chapitre VI.
La seconde notion est celle de degres de liberte; le nombre de degres de liberte d'un systeme (hydrodynamique) etant egal
a celui
des conditions
initiales que l'on peut choisir independamment pour
de~inir
completement toute
l'evolution du systeme fluide. Enfin, la troisieme et derniere notion, dont il s'agit ici, est celIe des parametres de contrale dont l'ensemble,pour un systeme donne, est constitue par tous les parametres (les nombres sans dimensions) exprimant les actions exercees par le milieu exterieur environnant le systeme etUdie (par exemple, nombres de Reynolds, de Prandtl, de Rayleigh, de Taylor, etc ..• ). Nous revenons sur ces trois notions au
§ 20 qui suit cette
Introduction. L'apport de la theorie moderne du chaos est de mettre en lumiere que: des phenomenes physiques strictement deterministes, par exemple avec
a un regime prediction a long
seulement trois degres de liberte, peuvent deja donner naissance d'evOlution chaotigue. 11 en resulte a contrario que la
terme sur l'avenir de systemes physiques simples, regis par des lois deterministes est impossible
(du moins en l'etat actuel des connaissances).
Edward Lorenz,du Massachussetts Institute des peres de la theorie du
Chaos~)Il
o~
Technology (MIT) est l'un
se posa, aux Iendemains de la seconde
guerre mondiale, la question suivante : pourquoi, quelle que soit la quantite de donnees dont on dispose, sur la temperature, la pression, la direction du vent, etc ... , Ie comportement reel du temps (meteorologique) s'eloigne-t-il toujours dramatiquement des previsions, des que la duree deYient import ante ? Question pertinente, car l'evolution du systeme atmospherique n'est en theorie,gouvernee que par les equations deterministes de la mecanique des fluides et devrait en consequence, etre previsible ! C'est en 1963 que Lorenz apporte un element de reponse, montrant dans un article du "Journal of Atmospheric Science" (vol. 20, pp. 130
a
141, 1963),a partir d'un modele
atmospherique simple avec trois degresde liberte (c'est le systeme (17,218) du
§ 17; section 17,5), que le temps (meteorologique) est de
*) Naturellement, il s I agit de la theorie "moderne" du chaos
~aqon
inherente
473
chaotique et imprevisible en raison de la forte sensibilite, de l'~lution du systeme atmospherique, aux conditions initiales. En clair, un rien peut modifier dans un sens impreyu une evolution theoriquement previsible. Lors de sa simulation numerique, Lorenz avait observe un fait surprenant, qui est maintenant au coeur meme de la theorie moderne du chaos (hydrodynamique) : le faisceau des trajectoires qui constituaient les solutions de son systeme de trois equations formait une figure bizarre qui est tIle papillon" , ou tIle masque" de Lorenz1Ii). Quoique chacune des trajectoires fut erratique
et impredictible dans son comportement, toutes se tenaient
dans les limites de cette figure Ce n'est qu'un peu plus tard, en 1971, que de telles figures prirent le nom d'attracteurs etranges,sous la plume de David Ruelle et Florins Takens (voir le
§ 21). S'inspirant des resultats de Stephen Smale (qui decrit en
1967 ce qu 'est devenu le fer
a cheval
de Smale, une entite mathematique
demontrant le mecanisme geometrique de base qui sous-tend la theorie du chaos), Ruelle et Takens firent l'hypothese que les phenomenes de turbulence en mecanique des fluides pouvaient resulter de l'existence de tels attracteurs etranges. Sur le plan theorique, la voie ouverte etait radicalement nouvelle par la geometrie, ces figures fascinantes et compliquees allaient permettre de comprendre le comportement de phenomenes "turbulents ", en dessinant sur des ecrans d'ordinateur
les solutions des systemes d'equations differentielles
qui les modelisaient. Le travail theorique de Ruelle et Takens fut relaye par des recherches experimentales destinees
a verifier
l'existence de ces
attracteurs etranges et vers 1975, aux Etats-Unis, J. Gollub
et H. Swinney
montrerent que ceux-ci jouaient effectivement un role important dans le cas de l'ecoulement turbulent lie au probleme de Couette et Taylor (voir sujet le
§ 23).
a ce
11 semble que ce fut J. York qui, en 1975, utilisa pour la
premiere fois le mot chaos pour designer la classe des phenomenes evoques. Cette theorie du chaos a permis de comprendre clairement pourquoi la prevision du temps en meteorologie etait tres difficile, et cela en depit de la multiplication des capteurs de recueil des donnees terrestres et atmospheriques exre l'utilisation des plus puissants ordinateurs en service. Du point de vue de la modelisation, l'existence d'un attracteur montre les limites dans lesquelles le comportement du temps est effectivement maintenu. De ce
fai~
les conditions meteorologiques peuvent devenir absolument quelconques,
en dehors de telles limites, au bout d'un temps
suffisamment long. M"eme avec
un "bon modele", la prevision peut tres rapidement diverger de la realite des .) Suivant la fantaisie de l' observateur ,elle ressemble en effet soit a un papillon battant des ailes, soit a un masque de carnaval avec des trous pour les yeux.
474
et Ie
~ait
"
que l'attracteur II
type etrange,
signi~ie,
representati~
du processus d'evolution Boit du
entre autres choses, que Ie systeme est
sensible a des conditions initiales, impossibles
a mesurer
in~iniment
avec une
precision suffisante. D'une maniere generale,les attracteurs etranges sont des constructions geometriques associees a des ecoulements turbulents ayant un comportement paradoxal - bien que leur evolution soit determinee par les equations de Navier-Stokes, deterministes, ils sont imprevisibles, chaotiques et surtout ils sont tres sensibles aux conditions initiales. En
~ait,
temporeIs sont soumis au principe "petites causes, grands variation tres
~aible
leurs comportements e~~ets"
consequences. Ainsi, un ecoulement turbulent peut evoluer tres a partir de deux situations de depart caractere a la
~ois
: une
dans les conditions initiales peut produire d'enormes pres~
dif~eremment
identiques, ce qui explique son
deterministe et imprevisible. Le concept d'attracteur
etrange permet, lui, de decrire I' "ordre dans Ie desordre", la structure intime, cachee, de l'ecoulement turbulent chaotique. Pour comprendre plus precisement ce qu' est un attracteur etrange, un detour est necessaire. A cette fin, considerons un systeme mecanique simple dont Ie comportement a priori n'a rien de chaotique: un pendule qui oscille. Si on lance Ie pendule et qu'on l'abandonne a lui-meme, son mouvement s'amortit du fait des forces de
~rottement,
et il
~init
par s'immobiliser. Si l'oscilla-
tion est entretenue, comme pour un balancier d'horloge, Ie pendule a un mouvement periodique repassant par les memes points a intervalles reguliers. Dans les deux cas, on peut tracer un diagramme decrivant la variation de la vitesse du pendule en fonction de son angle avec la verticale. Ce diagramme est une trajectoire dynamique (de phases) : il ne represente pas la trajectoire reelle du pendule, mais il traduit geometriquement l'evolution avec Ie temps du systeme. Pour Ie pendule amorti, la trajectoire dynamique est une sorte de spirale aboutissant a un point .fixe, ou l' angle et la vitesse sont nuls. Si l'on relance Ie pendule un peu plus .fort, ou au contraire avec moins d'elan, on obtiendra toujours un resultat analogue : tot ou tard, il finit par s'arreter. Autrement dit, pour Ie pendule amorti, toutes les trajectoires possibles convergent (sont attirees) vers Ie point .fixe. Lorsque Ie pendule est entretenu, la trajectoire dynamique ne tend plus vers Ie point
~ixe,
mais vers une ellipse (on dit que c' est un cycle limite;
voir a ce sujet, la section 20,4 du § 20), la aussi,quelles que soient les conditions de depart (initiales).
475
Ainsi, le point fixe et le cycle limite (l'ellipse) sont les attracteurs du systeme : ils attirent
a eux
toutes les trajectoires dynamiques
engendrees par les diverses conditions de lancement possibles. Mais ces deux attracteurs n'ont rien d'etrange; ils decrivent un comportement tout raisonnable et previsible. Contrairement
a ce
a fait
qu'on pourrait croire; il suffit
d'assez peu de choses pour "affoler" notre pendule. On peut, par exemple, le doter d'une masselotte magnetique, et installer
a proximite
un electro-aimant
parcouru par un courant module periodiquement. En choisissant correctement la frequence et l'intensite du courant, on obtient un comportement erratique, imprevisible, chaotique. Dans ce cas, les trajectoires dynamiques du pendule "affole", au lieu de converger vers un attracteur simple (point fixe ou cycle limite), prennent un aspect tres irregulier et inattendu (imprevu). Une toute petite modification des conditions initiales aboutit
a des
evolutions totalement
differentes. Pourtant,le systeme possede toujours un attracteur et les trajectoires dynamiques ne sont pas, en fait, quelconques ! Elles tendent vers une figure geometrique precise, mais beaucoup plus complexe qu'un point fixe ou un cycle limite. Cet attracteur, qui est etrange, n'est pas une figure plane, il se deploie dans un espace des phases d'au moins trois dimensions. Mais ce n'est pas non plus une surface ou un volume simple. Sa topologie bizarre (etrange) reflete les deux aspects les trajectoires tendent
contradictoires d'un systeme chaotique
a se
d'une part,
rassembler sur l'attracteur, mais, simultanement,
du fait de la sensibilite aux conditions initiales, elles ont tendance
a partir
dans tous les sens. Memes des trajectoires de phases initialement aussi
a partir de rapidement a des
voisines que l'on veut, divergent. Cela signifie qu '
deux situations
initiales tres proches, le systeme peut aboutir
etats totale-
ment differents. La geometrie d'un tel attracteur est difficile
a visualiser;
il faut
s'imaginer une sorte de pate feuilletee, mais assez differente de celle que fabrique le patissier
chaque couche de feuilletage est elle-meme formee en
couches plus fines et cela quelle que soit l'echelle ou on l'observe. En fait, la structure ainsi obtenue est feuilletee
"a
l' infini".
Un autre aspect fascinant de la structure de l'attracteur etrange est son auto-similarite : quelle que soit l'echelle
a laquelle
on l'etudie,il
presente le meme aspect. Cette propriete d'auto-similarite conduit tout naturellement
a la
notion d'objet fractal (d'apres Mandelbrot) et elle est la
476 1 a plus e"1"ementa~re ' de la
. vers~on
est la propriete
~ue
.
,,1II) f'ractal~te
possede une f'orme
reduite du tout et elle se traduit Pour representer cette
geametri~ue,ou cha~ue
f'euilletee
partie est image
par une dimension f'ractionnaire.
numeri~uement
a l'inf'ini,
~ui
caracterise la structure
interne de l'attracteur etrange, on considere souvent sa coupe dans
geometri~ue
un plan,
p~te
.. ." • En f' a~. t , 1 ' aut o-s~lar~te
~ue
l'on appelle une section de Poincare (il s'agit ici d'un attracteur
etrange apparaissant dans un espace des phases tridimensionnel) - cela donne un nuage de points. Nous reviendrons sur la structure des attracteurs etranges et leur
au
~uantif'ication
§ 21.
travaux de Ruelle et Takens
Precisons,encore,~ue
(~ui
vers 1970, avant les
ne connaissaient pas l'article de Lorenz de
1963), la theorie la plus acceptee de la turbulence
hydrodynami~ue
etait celle
de Lev. D. Landau de(Moscou).D'apres cette "theorie de Landau", pour un f'luide turbulent, on a :
= f'
x(t) ou X(t) est un vecteur
~ui
periode unite par rapport
caracterise l'etat du f'luide et f' une f'onction de
a chacun
relies par une combinaison lineaire fre~uences
(w] t, w2 t, .•. , ~ t, .•• )
de ses arguments et ou les wi ne sont pas
a coef'f'icientsrationnels
independantes). La f'onction X(t)
l'attracteur est alors et irregulier
~ui
~uasi-periodique
correspond
a la
~ue
(ce sont des
nous utilisons pour dessiner
: elle a bien l'aspect non
periodi~ue
turbulence, mais une petite erreur sur les
conditions initiales remplace simplement
t par
~
~
t +
a~
avec
~
petit et,
de ce f'ai t, on n' a donc pas de dependance SCI (sensiti ve aux conditions initiales) Au lieu d'utiliser un attracteur
tore,
Tk, a k
~uasi-periodi~ue (~ui
est alors un
dimensions) pour interpreter la turbulence il etait tentant de
f'aire appel aux attracteurs etranges. D'autant plus
~ue
ces derniers ne sont
pas "f'ragiles" (ils sont "robustes") au sens ~ue R. Thom, f'ondateur de la theorie des catastrophes, donne ai· spara~At re
par cette
brus~uement
remar~ue,
a cet
adjectif' : ils ne ris~uent pas de
. sous 1 ' act~on d , un
.
st~mulus
Ruelle et Takens, demontrent
.... ... meme tres
~u'une
• •• ) .
pet~t
• "
Att~res
petite perturbation
des e~uations du mouvement pouvait f'aire disparaitre l'attracteur ~uasi
periodi~ue
Tk
et
~ue si k ~ 3, on obtient alors un attracteur etrange ~ui,
1II) Le principe ~ui f'onde la construction d'un objet f'ractal auto-similaire
est la repetition d'un meme motif' a des echelles spatiales diff'erentes c'est ce ~ue l'on nomme l'iteration. Comme exemple, citons la poussiere de Cantor et la courbe de Von Koch. 1II111) Ils sont structurellement stableS.
477
lui. persistait - ainsi on arrive
a l'idEe
que: la turbulence (du moins
son apparition !) est dEcrite par des attracteurs Etranges. On notera aussi que l'on peut analyser. en frEquences. la vitesse du fluide en un point. considErEe comme fonction du temps. et tracer le spectre de frEquencesdu fluide. Si la fonction du temps est quasi-pEriodigue. le spectre de frEquencessera formE de pics discrets aux frEquences w1 • w • 2 ••• ~ •••• et. par contre. si l'Evolution tempor£lle est gouvernEe par un attracteur Etrange on peut obtenir un spectre de frEquencescontinu. D'une maniere generale.on constate que. lorsque le systeme est periodique. le spectre contient
des pics isoles pour une frEquence et ses
harmoniques; lorsque le systeme est
quasi-periodiqu~ le
spectre montre
plusieurs frequences indEpendantes et on a plusieurs pics discrets. Mais lorsqu'un attracteur Etrange est prEsent. caractErisant le systeme chaotique. il apparait. en plus de pics discrets qui s'Elargissent. un spectre continuo On savait. naturellement. que le spectre de frEquences d 'un Ecoulement turbulent Etait continuo mais on attribuait la chose
a l'accumulation
d'un
grand nombre de frEquences indEpendantes wj • w2 • • •. ~ •••• simulant. a la limice. un spectre continuo Les expEriences dElicates effectuEes rEcemment ont montre qu' il en Etait autremE'nt. Quand on augmente la valeur du parametre du contrale (le nombre de Reynolds. par exemple). 1 'installation du spectre continu caracteristique de la turbulence se fait rapidement et sans accumulation de nombreuses frequences discretes independantes. Ainsi il semble bien que l'apparition de la turbulence corresponde
a l'emergence
d'attracteurs
etranges 1II). Nous discutons. au § 22.1es divers scEnarios actuellement EtudiEs pour d-ecrire le passage du rEgime pEriodique au rEgime chaotique. 1II) Pour qu'il y ait un attracteur Etrange dans l'espace des phases.il £aut
impErativement que l'Element de volume. dans cet espace. se contracte dans le voisinage de l'attracteur et cela est bien le cas pour les systemes dissipatifs. c' est-ii-dire ceux pour lesquels une forme "noble fI d' Energie (Energie mecanique) se transforme en chaleur. Ces systemes dissipatifs ne prEsentent d'ailleurs un comportement intEressant que s'ils ont une source constante d'Energie noble (sinon ils tendent vers le repos I).
478 Avant de clore cette ~ssez longu~ Introduction,disons quelques mots sur 1a signification du vocable "chaos" et sa relation avec 1e vocable "turbulence" ! Les termes
"turbulence" et "chaos" sont tous 1es deux utilises
genera1ement pour caracteriser un etat irregulier ou stochastique du mouvement (qui partie11ement re1eve du hasard).
Conceptue11emen~ i1
n'y a
aucune raison de faire une discrimination entre ces deux vocables; cependant, i1 est d' usage de dire que : 1a turbulence represente un ecoulement de f1uide visqueux rotationne1, irregulier, tandis que 1e chaos est p1utot re1atif
a
un comportement tempore1 stochastique d'un systeme, soit discret soit continuo De ce fait, i1 semble tout d'abord que 1e vocable chaos ait un sens un peu plus large que ce1ui de turbulence Mais, comme nous nous interessons aux comportements chaotiques dans 1es ecoulements de f1uides, i1 faut bien avoir en vue que 1e mot "chaos" a en fait,"presque" 1a meme signification que le mot turbulence. Cependant, lorsque 1e chaos est issu du comportement tempore1 d 'un systeme dynamique de dimension finie (comme ce1a sera 1e cas dans
~out
ce chapitre VI; exemp1e,
1e systeme de Lorenz), a10rs 1a difference entre chaos et turbulence devient significative, car 1a turbulence est 1iee aux ecoulements d'un f1uide visqueux ayant une infinite de degres de liberte et de ce fait, correspond, dans l' espace des phases,
a un
systeme dynamique de dimension infinie. Que1que
fois on dit que 1e chaos est caracteristique, dans 1es f1uides,
a une
turbulence faib1e. La "vraie" turbulence dans 1es f1uides etant 1a turbulence di te deve1oppee. Nature11ement, dans beaucoup de cas,i1 est 1icite de travai11er avec un systeme dynamique de dimension finie, afin de modeliser 1es ecoulements de f1uides gouvernes par 1es equations continues de Navier et ce1a est bien 1e cas lorsque l'on s'interesse
a 1a
phase de generation de 1a turbulence,
lors de 1aque11e seulement un nombre limite de degres de liberte de l' ecoulement a
ete excite. On sait maintenant que l'approximation du comportement d'un ecoulement
de fluide visqueux, a partir d 'un systeme hydrodynamique modele de dimension
finie (pas trop grande), donne de tres bonsresultats pour 1a comprehension et 1a prediction de cet ecoulement lors de 1a transition 1aminaire-turbulent. Ce1a est l'une des raisons principa1es du succes et des progres importants de 1a theorie du chaos hydrodynamique, qui apporte ainsi un ec1airage nouveau sur 1es mecanismes fondamentaux de l'apparition de 1a turbulence.
479
Bien sUr,la turbulence, dans sa phase developpee a une structure singuliere en espace et en temps et cette singularite est intimement liee
a la
propriete particuliere qu'a la turbulence de posseder
une dissipation Yisqueuse differente de zero, lorsque la viscosite disparait Un tel comportement singulier de l'ecoulement fluide (par exemple,
a grand
nombre de Reynolds et aux temps longs) ne peut pas, evi demment, etre decrit correctement
a partir
d'un systeroe dynamique de dimension finie, lequel reste,
par essence meme, regulier lorsque l'on se place dans le cas limite d'une viscosite evanescente. On peut done dire que, dans un certain sens, le chaos dans les fluides ne recouvre qu'une part seulement des phenomenes turbulents. 11 n'est pas evident (et cela n'est sans doute pas le cas, en general) que l' etat turbulent d 'un fluide soit decrit
a partir
d 'un systeme dynamique
de dimension finie, mais la teChnique dite "de la variete centrale" (dont i l sera question au
§ 20) donne l'assurance que cela est bien le cas dans la
phase d'instabilite, lors de la transition vers la turbulence, ou seulement un nombre fini de modes instables est
engendre.
BIFURCATIONS ET INSTABILITES Dans ce qui suit,nous supposons que l'evolution de notre systeme hydrodynamique est convenablement decrite par un systeme de n equations differentielles,non lineaires ordinaires du premier ordre dX dt
= F(X) ,
n ou X(t) est un vecteur de l'espace des phases R , test le temps et F(X) un second membre connu ou intervient au moins un parametre de contrale 1.1 On constate que notre flot (de phase~ est suppose autonome. Apres des generalites concernant les sytemes hydrodynamiques
a petit
nombre de modes et une esquisse de la technique de la variete dite "centrale", nous nous interessons aux singularites topologiques de notre flot (section 20,2). Par definition, notre
no~
,note:
M (t) decrit l'evolution de tous les ecoulements hYdrodynamiques relativement
a la
dissipati~s
geometrie donnee et pour toutes conditions initiales. Ces
singularites topologiques du flot(de phase~ sont usuellement dependantes du parametre de controle l.l (par exemple, dans le cas de l'instabilite convective du nombre de Rayleigh, Ra) qui mesure le degre de non-equilibre du flot. Lorsque le parametre .
diverses valeurs
•
•
cr~t~ques
~
de
~
change,le flot
~e
(~lII
1II111
notees
~,
~
phases) se deforme. Pour , •.•
)
•
certa~nes
des
.
s~ngula-
rites topologiques du flot(de phases)disparaissent ou apparaissent ou encore peuvent subir des changements qualitatifs significatifs. De tels changements dans les singularites topologiques du flot(de
phases)sont dits etre les
bifurcations du flot. Apres un bref
aper~u
sur les singularites topologiques les plus
remarquables, nous introduisons,
a la
section 20,3, les notions d'operateur
de monodromie et de structure homocline1Ii) • lIi) Denomination due
a Poincare.
481
puis a la section 20,4 nous exposerons Ie concept de cycle limite. Enfin, la section 20,5 est consacree,d'une part,a la
bi~urcation
dite de
Hopf, d'une solution stationnaire, qui joue un role fondamental pour comprendre les divers scenarios (exposes au § 22) de la transition vers le chaos hydrodynamique, et d'autre part,a la bifurcation d'une trajectoire periodique vers un tore invariant T2 •
20,1. LES SYSTEMES
HYV~OVYNAMIQ.UES
A PETIT NOMBRE VE MOVES
L'observation naive d'un ecoulement turbulent pourrait faire croire qu'il depend d'un nombre infini de degres de liberte. Cependant, un raisonnement heuristique, dB a Kolmogorov, suggere qu'il n'en est rien : les phenomenes visqueux (dissipation) impliquent que ce nombre Boit fini. En effet, soit t la longueur de dissipation de Kolmogorov; elle est telle que les tourbillons de taille inferieure a t
sont exponentiellement amortis par dissipation
v o ~ ~ au second membre de l'equation de Navier), les autres etant entretenus par le terme d'inertie, (~.V)~ , de cette meme
visqueuse (a cause du terme
equation de Navier (il s'agit ici d'un ecoulement de fluide incompressible tel que
V.~
= 0).
Supposons que cet ecoulement a lieu dans un cube de cote L
(echelle macroscopique), Ie nombre de tourbillons non amortis est de l'ordre de (L/t)3 et de ce fait,le nombre
N
de degres de liberte d'un ecoulement
tuburlent est aussi de l'ordre de (L/t)3. .- par "-0 = (3/ ) 1/4, . ..La va I eur de "-O est donnee V0 E ,ou V es t la V1SCOSl te k o cinematique et E le taux de dissipation visqueuse introduit par Kolmogorov. k Nous reviendrons sur cette loi de Kolmogorov au § 21 et nous verrons comment on peut retrouver de
fa~on
plus rigoureuse l'estimation du nombre de degres
de liberte selon Kolmogorov (voir la section 21,3). On sait que la notion d'ecoulement turbulent s'entend par opposition a celle d'ecoulement laminaire. Des exemples de transition d'un ecoulement laminaire vers un ecoulement turbulent,via un nombre fini de bifurcations, sont observes dans les experiences classiques de Couette-Taylor (ecoulement entre deux cylindres concentriques en rotation) ou de Benard (convection thermique entre deux plaques), quand on fait croitre un parametre bien choisi, Ie nombre de Taylor ou celui
de Rayleigh (voir a ce sujet Ie § 23).
Dans ce cas, la premiere bifurcation rompt la symetrie de la solution de base, qui perd sa stabilite, au profit d'une solution possedant moins de symetrie. Cette solution perd a son tour sa stabilite; il apparait alors une
482
solution periodique (bifurcation de Hopf). Pour des nombres de Taylor ou de Rayleigh plus eleves, il peut apparaitre des solutions quasi-periodiques a deux frequences fondamentales. Leur identification est banale apres transformation de Fourier : le spectre de Fourier est discret et engendre par les deux frequences. Pour des valeurs suffisamment grandes des nombres de Taylor ou de Rayleigh, on observe un spectre de Fourier continu : l'ecoulement est turbulent. Comme il est naturel, un mouvement periodique possede un degre de liberte; un mouvement bi-periodique deux degres de liberte. Il serait tentant de penser qu'un ecoulement possedant un spectre continu depend
d'un nombre
infini de degres de liberte ! Comme il a ete observe plus haut, c'est le phenomene de dissipation visqueuse qui impose a la dynamique de l'ecoulement , .... D' al.'11 eurs *),une approche math"emat'l.que part ant fl.m.-dl.mensl.onnel. un caract ere des equations de Navier montre que la dynamique de l'ecoulement est essentiellement de dimension finie et permet de retrouver rigoureusement l'estimation heuristique de Kolmogorov. En effet, un point de vue tres fecond pour l'etude qualitative du systeme de Navier est de le considerer tout d'abord comme un systeme dynamique, dissipatif, sur un espace de dimension infinie; par exemple sur l'espace des champs de vecteurs carre
~ommable
derivees premieres, a divergence nulle et s'annulant sur
ainsi que leurs
an,
~e
bord du domaine
borne n). On est alors formellement ramene a la situation d'une equation differentielle sur cet espace. Le fait que ce dernier soit de dimension infinie; par complique evidemment les choses (en particulier,on ne peut inverser le sens du temps I). Cependant, la dissipation due a la viscosite (et une propriete de "compacite") fait que la partie "interessante" de la dynamique est de dimension finie. Ce fait remarquable, exploite pour la premiere fois par Foias et Prodi (Rend. Bem. Math. Univ. Padova 39, ], ]267),conduit a l'existence d'un attracteur universel de dimension finie pour le systeme dynamique associe aux equations de Navier. D'autre part, une approche mathematique des phenomenes turbulents consiste ales expliquer par la complexite du comportement asymptotique des solutions des equations de Navier lorsque le temps tend vers l'infini. Lorsque la viscosite est forte, les autres donnees etant fixees (ce qui veut dire que le nombre de Reynolds reste petit), il est facile de montrer que toutes
lest~jec
toires des equations de Navier sont attirees exponentiellement par une solution unique, stationnaire et la dynamique de l'ecoulement est alors triviale. Dans le cas general, les trajectoires restent bornees et sont attirees par un objet lll) Voir l' article de Ghidaglia et Baut dans "]988 Images des Mathematiques",
edite par le C.N.R.B., pp. 28 a 33.
483
complexe, l'attracteur universel. La structure complexe de ce dernier (ou de certains des sous-ensembles) donne un aspect erratique aux trajectoires. Ce point de vue - presence d'attracteurs etranges - propose par Ruelle et Takens au debut des annees 1970, constitue l'une des approches modernes de la turbulence.
1. Revenons done aux equations de Navier (pour un fluide visqueux et
incompressible) pour la vitesse ~ et la pression p : +
(20,1) ou Po
= Const
= Vo
+
~
++
\l.u
u
°,
est la densite constante du fluide.
Pour appliquer la theorie des bifurcations aux equations de Navier
(20,1), il est necessaire de definir un cadre fonctionnel dans lequel le formalisme de cette theorie soit mathematiquement consistant. Le lecteur interesse pourra se reporter pp. 652-683, 1975)
a Kirchgassner (article dans : SIAM Review, vol. 18, et aussi a 100ss (voir "Arch. Rat. Mech. Anal.': vol.
pp. 166-208, 1971) pour les details. On note done rl
40,
un domaine borne regulier
2
de R3, L (rl) l'espace des champs de vecteurs de carre integrable dans rl muni 2 du produit scalaire (Q, Y) = f Q(x) ~(x) dx, H la fermeture dans L (rl) des champs"rl'O'a nulle
•
d~vergence
nulle n et dont la composante llormale au bord de
(Q.n+1
.
. . "")
""
est
~ la normale exter~eure a 0" .
La propriete fondamentale de H est d' avoir pour complement orthogonal
2 dans L (rl), l'espace des champs de la forme ~q, ou q la projection orthogonale sur H dans
€
H1(rl)~).
Soit alors
TI
o
L2(rl), cette propriete de H permet done
d'ecrire (20,1) sous la forme +
du dt
(20,2) {
=
ii( t)
€
V,
ou A est l'operateur lineaire non borne dans
H defini par
*) H1(n) est l'espace des fonctions de carre integrable dans n dont les derivees dans
n.
premiere~ au
sens des
distribution~ sont
aussi de carre integrable
484 A~
1f
o
tJ~, V ~ € V ,
et M est 1 'operateur quadratique defini dans H par :
avec V bord
= H n {~
an}. On
€ (H
2
(n) )3/~ et veri fie les conditions pres crites sur le
peut montrer que le spectre de l'operateur A est compose de
valeurs propres isolees de multiplicite finie. En outre, le probleme de Cauchy pour (20,2) est bien pose, au sens du theoreme suivant (d'apres le travail de looss de 1971) : a) Quel que soit T > 0, i l existe
is > 0 tel que si
il existe ~ solution de (20,2) avec ~(O) 1
C dans
H
= ~o,
sur l'intervalle [O,T[ (on a note
dans (H 2 (n))3);
b) Quel que soit ~ € verifiant ~(O)
=~
V,
II~ollv ~ is
continue dans
I I~I Iv
V
et
la norme de ~
il existe T > 0 tel que la solution de (20,2)
existe et soit unique sur [O,T[;
c) La solution depend analytiquement de t et ~. En fait, il est d'usage de non dimensionnaliser (20,2) ce qui fait apparaitre un certain nombre de parametres caracteristiques pour chaque probleme. De ce fait, nous ecrirons l'equation suivante d
(20,3)
~(t) dt
ou vest le parametre de bifurcation. La difficulte principale au sujet de la resolution de l'equation (20,3) est commune
a tous
les problemes d'evolution regis par des equations aux derivees
partielles : on n'a pas, en toute rigueur, un espace fonctionnel dans lequel on travaillerait comme pour une equation differentielle ordinaire; pour ~ €
F€
H et
V n'est
V,
que dense dans H (metriques hilbertiennes usuelles). Mais on
a, en ce qui concerne le probleme de Cauchy, le theoreme enonce plus haut, qui veut dire que : si (20,3) a une solution unique dans
V,
continue sur un
intervalle borne en t, et si cette solution reste bornee dans V quand t croit, alors elle existe sur [0,00[; un resultat supplementaire de regularite etant necessaire, par rapport au temps, au parametre et
a la
donnee initiale.
485 2. Le probleme fondamental est de remplacer le systeme (20,3), (continueslpar un systeme
d'e~uations
(fini) de la forme
dynami~ue
dU
(20,4)
dt = F (].l;U) ,
n oil U est un vecteur de R , avec n "pas trop grand". Une techni~ue simple pour obtenir,
a partir
de (20,1), un systeme de la forme (20,4) est celle de
Galerkin. Elle consiste +
+
a trouver
H un systeme total de fonctions propres
dans
.
orthonormees ¢k(x) solut~ons de (20,5) avec
1, 2, ...
, k
~
,
+
,
la valeur propre associee a ¢k. D'apres
Galerki~on
recherche la
solution approchee pour ~ sous la forme + u
(20,6) ~ui
n
est l'approximation d'ordre n
"a
la Galerkin".
Comme resultat, apres substitution, multiplication scalaire et integration, on trouve,pour les amplitudes Vk(t), le systeme Galerkinien suivant 1 2
(20,7)
r
avec
k
ji
r k
ji
v.J
v0 ok ).
V. ~
:t
+
+
= -2<1jIk'(¢'.V) J
V,., k l\.
1, 2, 3, ... , n,
+
¢. > ~
oil <., .> est un produit scalaire dans H . Le tenseur dynami~ue, symetri~ue n+1) composantes. A ce systeme dynami~ue (20,7), il faut en j et i, a n 2 (~ associer les conditions initiales
On not era
~ue
le nombre de modes
Galerkin (ce nombre correspond
a la
resout) est lie au comportement,
a considerer
dans la
techni~ue
de
dimension du systeme differentiel ~u'on
~uand
k
+
00,
des valeurs propres ordonnees
Ak du probleme (20,5). Si n est de dimension trois, le nombre de modes est de l'ordre du cube du nombre correspondant en dimension deux (pour un diametre comparable). Cetce dimension minimale garant it simplement le fait
~ue
si l'on
486
projette la solution sur le sous-espace de dimension finie, alors le comportement de la projection, quand t
+
+
00
,
donne des indications precises
sur le comportement de la solution; si cette projection tend vers une constante, ou une fonction periodique ou quasi-periodique, alors la solution a aussi cette propriete. Naturellement, il ne faut pas oublier que,lorsque
croit,alors la
~
dimension n du systeme dynamique (20,4) augmente aussi. Dans le cas des equations de Navier,cela est essentiellement lie au role de la viscosite qui croit lorsque les echelles decroissent,ce qui assure la detection des perturbations d'echelles microscopiques au sein des perturbations macroscopiques intenses. En conclusion
de tout ce qui vient d'etre dit plus haut, ce qui est
important pour nous ici, c'est de savoir que
si l'on se resout a ne comprendre
les comportements des solutions de (20,4) que qualitativement, c'est-a-dire que si l'on ne s'interesse qu'a la phenomenologie de l'ecoulement considere, alors on peut imaginer des modeles en petite dimension (mais n ~ 3), qui reproduisent les phenomenes observes. C'est la demarche la plus usitee actuellement, avec, il faut le souligner, un tres grand succes.
3. Si l'on veut effectuer une demarche plus rigoureuse (que celle de Galerkin) pour obtenir des modeles en petite dimension,on peut se contenter d'etudier certaines situations,ou plusieurs modes instables inter-agissent au voisinage de la perte de stabilite d'une solution stationnaire ou periodique. La multiplicite des parametres dans les problemes de la mecanique des fluides rend ce genre de situation frequente. Pour fixer les idees, un exemple d'une telle situation est le suivant k
On suppose que ~ 6 R
,que
F (O,U 0 )
=
o ° et que aF(o,U au )
ait un
spectre constitue de n valeurs propres de l'axe des imaginaires, les autres valeurs propres etant de parties reelles <
° (on sait que le spectre de cet
operateur lineaire, a resolvante compacte, est constitue de valeurs propres isolees de multiplicites finies situees dans un secteur du plan complexe k contenant l'axe reel < 0). Alors pour ~ voisin de zero dans R , la dynamique du probleme est attiree au voisinage de UO par celle sur une "variete centrale" W~
de dimension finie (somme des multiplicitesdes n valeurs propres sur l'axe
des imaginaires en en
~
~
= 0).
Cette variete centrale depend de
~
regulierement et
= O,elle est tangente a la sornme directe des sous-espaces invariants
relatifs aux valeurs propres de partie reelle nulle. Si les trajectoires
487
restent au voisinage de zero (celui-ci est fixe independamment de I~I), alors on voit que l'on a obtenu un probleme decrit par un champ de vecteurs en dimension finie, de
fa~on ri~oureuse.
Ce type de demarche peut encore se faire
a partir
d'une orbite perio-
dique de (20,4), en considerant une application de Poincare*). Mais la possibilite de construire une telle application dans un hyperplan affine de necessite un resultat de regularite par rapport
at
V
de l'operateur non lineaire
resolvant Ie probleme de Cauchy pour (20,4). En fait, la dependance en test analytique sur l'intervalle d'existence de la solution.
Ains~
Ie probleme se reduit
a l'etude
de la dynamique des
iteres d'un point initial par une application reguliere dans un hyperplan de
V,
ayant un point fixe. On peut montrer que Ie spectre de l'operateur lineaire
Qerive au point fixe est constitue seulement de valeurs propres isolees de multiplicites finies, sauf peut-etre zero. Alors, en jouant sur Ie parametre
~ E R~ on peut imaginer des situations voisines de celIe ou pour ~
0, n
valeurs propres se trouvent sur Ie cercle unite, les aut res etant de module < 1. De fa~on analogue
a la
situation decrite pour les champs de vecteurs, Ie
probleme se reduit sur une variete centrale de dimension finie voisinage de zero d'une famille d'applications dependant de
~
a l'etude au et a la dynamique
des iteres des points de ce voisinage. En definitive, on a obtenu une demarche rigoureuse pour obtenir des systemes dynamiques en dimension finie (champs de vecteurs ou applications), mais on paie cela en imposant de rester au voisinage de O.Cette Strategie de rendre local un scenario global a damontre son efficacite dans divers problemes et on pourra, a ce sujet, consulter Ie livre de Guckenheimer et Holmes ("Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields"; Springer-Verlag, 1983). Pour cela,il faut savoir positionner Ie systeme dans l' espace des parametres, au voisinage de surfaces (dites, quelquefois, "polycritiques" par analogie avec les phenomenes critiques etudies en physique) ou un nombre fini d'instabilites surviennent simultanement. Dans ce cas,la dynamique peut etre decrite par un systeme reduit d'equations differentielles ordinaires qui mettent en jeu les seules variables pertinentes. *) Precisons ici, seulement, que cela consiste a couper l'orbite en un point par un hyperplan transverse et a considerer l'application du premier retour des trajectoires au voisinage de ce point. Lorsque l'orbite est placee dans un espace (des phases) a trois dimensions, l'hyperplan en question est un "vrai" plan.
488
Les etapes du raisonnement mathematique qui permet la reduction de systemes tels que (20,4) a un modele realiste de dimensionnalite minimale sont au nombre de deux I) Le theoreme de la variete centrale permet d'ecarter les variables esclaves, c'est-a-dire de reduire la dimension du probleme en eliminant les mo d es 1 es plus
.
amort~s
. ) 1If)
(.
var~ables rap~des
;
II) La theorie des formes normales (qui prend sa source dans les travaux de Poincare et qui a ete formalisee par Arnold) nous fourni t les moyens de selectionner les termes non lineaires pertinents dans les equations d'evOlution des variables marginales (variables lentes) qui regissent la dynamique, une fois elimines les modes esclaves. On appelle,plus couramment, le modele resultant de cette reduction rigoureuse une forme normale. En toute
generalit~ on
represente un probleme general d'evolution
(ou un systeme dit "dynamique") sous la forme (a la place de (20,2)) (20,8) avec des conditions aux limites sur
V,
ou LA
est un operateur lineaire et
NA un operateur (au moins) quadratique au voisinage de 0, dans un espace fonctionnel approprie. Les operateurs LA
et N).
dependent de
).
= II
- II
lie
(ou II est le
parametre caracteristique du probleme considere). La valeur A = 0 donne
a
Lo un spectre constitue de valeurs propres imaginaires pures et valeurs propres a parties reelles negatives. La demarche consiste alors a etudier la trace de (20,8) sur une variete centrale de dimension egale
a la
somme
des multiplicites des valeurs propres de L imaginaires pures. Dans ce cas, toute la dynamique au voisinage de
V= 0,
o
est localement attiree par cette
variete et il suffit de connaitre le comportement des solutions de (20,8) sur la variete pour tout savoir du probleme au voisinage de 0, pour tout t > 0 .
¥) Au
§ 23,nous appliquons cette technique de la variete centrale au modele
de Lorenz, ce qui permet de retrouver une equation de Landau associee.
489
On notera qu'il n'est pas necessaire d'obtenir, en premier lieu, l'expression du developpement de Taylor de la variete centrale, pour expliciter le systeme differentiel sur cette vari€te. Ainsi, on decompose le domaine de L sous la forme suivante o +
(20,9) ou
+
X + Y
X appartient a l'espace
invariant de L ' de dimension finie (n), engendre o par les fonctions propres generalisees de L relatives aux valeurs propres o imaginaires pures et appartient a un sous-espace supplementaire. Dans ce cas,
Y
la variete dite centrale est un graphe de la forme : (20,10)
lo.,O)
ou
0,
~I 0,0
=0
•
On notera que la variete centrale n'est pas unique, mais on montre qu'il y en a une invariante par deux symetries, qui caracterisent les proprietes dites "d'equivariances", qui jouent un role fondamental
pour la
simplification des equations differentielles verifiees par les modes dominants.
l , au
De plus, le developpement de Taylor de
voisinage de 0, est unique.
La trace de (20,8) sur cette variete est alors de la forme :
....
dX
+
....
dt = g (A,X) ,
(20,11) ou (20,12)
~(A,O)
+
o et ~ (0,0) aX
Po
L
0
+
avec Po ' la projection dans le domaine de L sur le sous-espace des X. o La methode consiste done a ecrire le developpement de Taylor, a priori, de
l
au voisinage de 0, de le remplacer dans (20,9), puis, en utilisant (20,11)
et (20,8),d'identifier les puissances de
A
et
X.
On trouvera une application
toute recente de cette technique de la variete centrale dans le travail de : looss, Mielke et Demay ("Eur. J. Mech., B/Fluids, §., nO 3, 229-268 (1989)).
490
20,2. LES SINGULARITES TOPOLOGIQUES Comme premiere singularite du flat (de phase~ nous pouvons inclure les points de phases dits "sedentaires". Par definition,ces points sont tels que: tout voisinage (de ces points) se coupe avec une trajectoire de phases
au mains deux fois. Ces points n' "errent" pas dans l' espace des phases; ils n' ant done pas de mouvements migratoires dans cet espace des' phases. Ce sont, en particulier, les points fixes, qui correspondent aux solutions stationnaires des equations de Navier, ainsi que les points periodiques qui se trouvent sur les trajectoires fermees (cycles limites) correspondant aux solutions periodiques en temps de ces equations de Navier. Une seconde singularite de ce flot(de phases)est constituee par les points dits "limites" de la trajectoire : t Lim F k M , t -1>00
(20,13)
k
si du mains de tels points existent, ainsi que les ensembles limites qui sont composes par ces points limites. Ces ensembles limites sont notes M €
nM alors
le point M~est dit etre stable selon Poisson.
Ensuite, on peut aussi considerer comme singularite
dU~lot
n
Met
de
si
phase~,
les ensembles invariants qui sont remplis de trajectoires entieres; ces ensembles invariants etant supposes etre fermes. En particulier, les ensembles limites sont des ensembles invariants fermes. Un ensemble invariant ferme,non vide, qui ne possede pas de sousensemble ayant les memes proprietes, est dit minimal. Puis,comme singularite du flot(de points dits recurents
phase~
naus pouvons considerer les
pour lesquels : pour tout E > O,il existe un T > 0 de
telle faqon que le voisinage E du segment de trajectoire t {F M}, t € [T, T+T ], pour tout T, englobe toute la trajectoire. On notera qu 'un theoreme du
a Birkhoff
dit que : la condition necessaire
at suffisante pour qu' un point M soit recurrent est que la fermeture de la t trajectoire F M soit un ensemble minimal. Enfin, on doit considerer les attracteurs. Ce sont des ensembles minimaux,A,de points sedentaires qui possedent des voisinages tels que les trajec<:.oires de "phases qui y apparaissent tendent toutes asymptotiquement vers A •
491
Les attracteurs
~ui
ne peuvent pas etre representes par des sommes
finies de varietes lisses sont dits etranges (AE) et nous aurons l'occasion, au
§
21, de revenir en detail sur la phenomenologie de ces attracteurs etranges
(voir la section 21,2).
1. Cas du syst~me dynami~ue lineaire bldimensionnel (SDL2D). Pou~ un systeme dynami~ue
lineaire bidimensionnel : dX dt :: A X,
(20,14)
avec A une matricc d'ordre deux, on peut donner une classification plus detaillee du point fixe : X A
= 0.
Soient a cette fin A et A2 les deux valeurs propres de la matrice 1 on peut alors dresser le tableau ci-dessous :
A1 et A2 ' reels de meme signe
A1
et
A2 ,
noeud
reels mais de signe different
point-selle ou col
A1 et A2 , complexes-conjugues
foyer
A1 et A2 , imaginaires conjugues
centre
Sur lea figures)ci-dessous, on a points fixes X
=
° de
l'e~uation
schemati~uement
represente les divers
(20,14).
noeud
492
J'/L
point selle ou col
--_.~ 0 .... _---
Iii
centre
Precisons que dans le cas bidimensionnel, au voisinage d'un point-selle (col), les trajectoires sont des hyperboles dont les deux asymptotes passent par le col; l'une d'entre-elles joue le role d'un axe de contraction, tandis que l'autre joue le role d'un axe de dilatation. Dans ce cas bidimensionnel, le point X
=0
et les deux demi-trajectoires divergentes (dites separatrices
instables) forment la variete instable du point-selle. La variete stable est
formee du point X = 0 et des deux demi-trajectoires convergentes (dites
separatrices stables).
2, Hyperbolicite, Points homoclines et
heteroclines~).
Dans le cas
tridimensivnnel le point selle ou col devient un point hyperbolique. On peut voir sur la figure ci-contre
a droite,
une coupe perpendiculaire au flot tri-
y'
dimensionnel dont la direction moyenne correspond au point 0, dit point hyperbolique du fait d'une analogie geometrique : selon la direction du feuillet xx: les points figuratifs s'ecartent de
o ,
alors que, dans la direction perpendi-
y
culaire yy' les points figuratifs se rapprochent de O. ~)
On dit homocliniques et heterocliniques, du fait d'une double traduction, du frangais en anglais, et de l'anglais en "franglais",La notion d'hyperbolicite est essentielle pour comprendre la divergence exponentielle des trajectoires, initialement tres voisines (voir la section 21,1).
493
En dehors de ces axes principaux,les points se meuvent sur des courbes dont la projection, sur Ie plan de la figure ci-contre
a des
a gauche,
ressemble
hyperboles. Cette figure illustre
Ie concept d'hyperbolicite qui est
x
fondamental, pour la suite, pour comprendre la formation d' un attracteur etrange. L'attraction s'opere dans une direction, alors que la divergence des trajectoires Y
s'opere dans une autre direction. La
divergence est necessaire pour assurer la stochasticite (a ce sujet voir la section 21,1 du
§
21), tandis que l'attraction assure la concentration des
trajectoires dans un volu.me limite de I' espace des phases. Sur la figure, ci-dessus,
a gauche,on
a represente en traits gras les
trajectoires (et la direction) divergentes, en traits fins les trajectoires convergentes. L'axe 00' est la direction rnoyenne du flot, xx' est la direction dilatante et yy' est la direction ¢ontractante. La surface contenant les trajectoires convergentes (ici Ie plan yy' 00') est appeleevariete stable, alors que la surface contenant les trajectoires divergentes (ici Ie plan xx'OO') est appeleevariete instable. En d'autres termes,l'hyperbolicite signifie que par chaque trajectoire de phas$M (t) passent deux surfaces W (M) et W.(M); les points qui se trouvent s
l
sur W (M) se rapprochent exponentiellement du point M(t) lorsque t + + 00, s tandis que les points sur w.(M) se rapprochent exponentiellement du meme point l
M (t) lorsque t+-
00.
Les surfaces W (M) et w.(M) sont dites, respectivement, s
varietes stable et instable de la trajectoire
l
M(t).
Pour que la propriete d'hyperbolicite ait lieu,il faut que ces deux surfaces dependent continliment des trajectoires. En fait, il est facile de voir que l'hyperbolicite est la generalisation pour une trajectoire de la propriete de l'etat d'equilibre du point-selle (col) pour lequel les varietes stable et instable sont les separatrices. Considerons,maintenant,le cas general; on a Ie SHD suivant
x = {
(20,15) ou les composantes ~(t), k
= 1,2,
ximation de Galerkin d'ordre n .
~(t) },
.•. ~sont les coefficients de l'appro-
494
On dira
le point fixe X est o
~ue
A (Xo ) " {
(20,16)
::~
t
hyperboli~ue
si la matrice de Jacobi
au point X possede K valeurs propres avec des parties reelles positives, o les n-K autres valeurs propres ayant des parties reelles negatives (0 < K < n). Les ensembles, notes W (X ) et
w.(x0 )
SOl
des points de phases X par les~uels
passent les trajectoires, tendant vers X lors~ue t + + 00 et t + - 00, sont dits, o respectivement,varietes stable et instable du point Xo' Dans un petit voisinage de Xo' ce sont des sous-espaces "embrassant" les n-K et K vecteurs propres de la matrice A(X ), correspondant aux valeurs propres avec des parties reelles o
negatives et positives. Les points d'intersection des varietes stable et instable, differents du point X lui-meme, sont dits homoclines. Les intersections de la variete stable du point fixe X et de la variete instable du point fixe Y (differentes de X),engendrent les points dits heteroclines. Au voisinage de ces points,la structure du flot(de phases) peut etre particulierement complexe comme nous le verron~
un peu plus loin,
a la
section 20,3.
20,3. MONOVROMIE ET STRUCTURE HOMOCLINE Revenons aux
e~uations
de
l'hydrodynami~ue
(le3
e~uations
de Navier,
par exemple) et linearisons les au voisinage d'une solution periodi~ue M(t), de periode T1 . Nous ecrivons les e~uations lineaires ainsi obtenues sous la forme symboli~ue suivante : (20,17)
OU
ft est un operateur lineaire borne, fonction de t de
periodi~u~ de
fa~on continue et
periode T
Dans ce
ca~
1 pour toute perturbation M'(t) de la solution
periodi~ue
M(t), consideree au depart, nous pouvons ecrire : (20,18)
ou U(T 1 ) est un operateur linealre borne appele "operateur de monodromie".
495
Les valeurs propres P de cet operateur de monodromie, sont dltes des n multiplicateurs. Un de ces multiplicateurs est l'unite; il est trivial et ne sera pas pris en compte par la suite. Si tous les multiplicateurs
Ipn I
< 1,alors toutes les perturbations,
pour chaque tour de la trajectoire fermee, decroissent et de ce fait,le mouvement periodique est stable. Si par contre, pour au moins un indice n
= no ,
on a
Ipn I
> 1, alors ce mouvement periodique sera instable.
o
D'une fa~on generale, une trajectoire periodique sera un ensemble hyperbolique, si certains multiplicateurs sont
a l'interieur
et d'autres
a
l'exterieur du cercle unite. Les ensembles W et Wi de trajectoires qui s tendent vers un cycle limite pour t + + 00 et t + - 00 sont dits etre ses varietes stable et instable (attractive et repulsive) et si la somme de leur dimension
est egale
an
- 1 (ou nest l'ordre du systeme hydrodynamique
(20,15)), alors leur intersection est dite transversale. Les multiplicateurs situes
a l'interieur
multiplicateurs stables, tandis que ceux situes
du cercle unite sont dits
a l'exterieur
de ce cercle
unite sont dits multiplicateurs instables. Pour illustrer la structure dite
homoclin~ considerons
l'intersection
des varietes stable et instable d'une trajectoire periodique dans l'espace des phases
a trois
dimensions. A cette fin,il est utile de tirer profit de
l'application de Poincare: on coupe la trajectoire par un certain plan n, dans l'espace des phases tridimensionnel et on considere l'application du premier retour de la trajectoire. Cela veut dire que l'on enregistre la suite des points Yo' Y1 , ... d'intersection, avec le plan n de coupe, de la trajectoire dans l'espacedes phases a trois dimensions en parcourant la trajectoire dans une meme direction. Ce processus definit une application (20,19) du plan n sur lui-meme et cette application est reversible. En particulier,
a la
trajectoire periodique,
un point fixe de l'application IT pondent
correspond sur le plan n
et aux varietes stable et instable, corres-
les separatrices stable et instable. si ces separatrices ont un
point commun, alors tous les points images pour k originaux pour k
+ -
00
+ +
00
et tous les points
seront aussi des points d'intersection des separatrices
et de ce fait,ces points formeront un ensemble denombrable - on dit alors qu'ils appartiennent
a la
trajectoire homocline, qui est doublement asymptotique en ce
496
sens que : pour t
~
! oo,elle se dero ue de la trajectoire periodique initiale 1
ou s'enroule sur cette derniere. Lorsque l'on se rapporoche du point fixe, ou le mouvement est ralenti exponentiellement, les points homoclines se concentrent, tandis que les amplitudes des oscillations des separatrices augementent. Au voisinage de la trajectoire homocline,tout volume des phases petit se de forme de
fa~on
complexe pour t
~
les trajectoires divergent
+
00
et s'etend de telle
fa~on
que presque toutes
exponentiellement.
Sur la figure ci-apres, on a represente la trajectoire homocline sur le plan de coupe 1T
lI<)
.
11 est clair qu'une telle instabilite locale des trajectoires, comprises dans un volume borne de phases, conduit a une structure tres complexe du flot (de phases). Dans ce cas, le flot (de phases) comprend un ensemble denombrable de trajectoires periOdiques et un ensemble non denombrable de trajectoires doublement asymptotiques aces dernieres.
Esquisse de la trajectoire homocline. 1II) On trouvera dans le livre d 'Ekeland ("Le Calcul, l' 1mprevu"; Editions du
seuil, 1984; voir les pages 54 a 63 et l'Annexe 1)
la
construction de
cette trajectoire homocline (du moins une tentative pour la construire I).
497 Ainsi, la divergence exponentielle des trajectoires
vo~s~nes
dans
un systeme hydrodynamigue dissipatif est liee intimement ala presence, dans l'espace des phases associe, d'un ensemble hvPerboli~ue. On notera a ce sujet ~ue, pour une dimension n ~ 3 de l'espace des phases, une propriete infini
~
"tYJli~ue"
de points sedentaires
du flot(de phases)est la presence d'un ensemble hyperboli~ues,
ensemble dense partout de trajectoires ~
sur
le~uel
periodi~ues.
vient se placer un
Naturellement,cet ensemble
peut avo~r une structure geometrique tres complexe. Precisions,d'ailleurs,que Smale ("Differentiable Dynamical System".
Bull. AMS, 73, 1967, pp. 747-817) a demontre que, pour une classe large de systemes
dynami~ues
"typiques",
sous-ensemble invariant
K
cha~ue
point homocline appartient a un certain
de l'ensemble
~
qui est un discontinu de Cantor
(c'est-a-dire un ensemble ferme partout non dense sans points isoles). Enfin, sur la figure,ci-dessous,nous voyons un essai de representation graphique de la trajectoire homocline qui est directement inspire du livre d' Ekeland (de 1984).
Troisieme et dernier essai de raccord. La figure est inachevee, les plis de la courbe T (instable) doivent s'accumuler indefiniment Ie long de la courbe S (stable), et les plis de la courbe stable S doivent s'accumuler indefiniment Ie lon~ de la courbe instable T. On voit ainsi apparaitre une multitude de nouveaux points homoclines.
498
On obtient,ainsi,une figure veritablement "tissee",ou "tricotee", ou les courbes Stable et Instable s'entrelacent en un reseau de plus en plus serre
et qui defie bien entendu notre imagination. Si l'on se dit que cette
figure n'est qu'un pale reflet de la complication des mouvements hydrodynamiques, on comprendra mieux les difficultes auxquelles se heurtent les mecaniciens des fluides depuis pres de cent ans pour "comprendre" et predire la turbulence d'ecoulements fluides !
20,4. LE CONCEPT DE CYCLE LIMITE Revenons
a notre
systeme general et ecrivons le, sous la forme
suivante : dX dt
(20,20) oU X
= (Xl'
F (X),
... ,
X2 ' ... , Xn ) et F
F ), n
n sont deux vecteurs de l'espace desphases R . Si X est la condition initiale (pour t = 0), associee o alors nous noterons la solution de (20,20) sous la forme : X(t,X ) => X(O,X ) o 0
=X
0
a
(20,20),
.
Si F(X) est defini et continGment differentiable dans tout l'espace n desphases R , alors la solution X(t,X ) existe et est unique pour tout o n Xo 6 R . Dans ce cas, de l'unicite,il decoule que les trajectoires qui s'entrecoupent elles-memes (self-intersecting) ne peuvent etre que des courbes fermees qui seront decritent par une solution periodique X(t) ou un point (solution X(t)
= constante).
On sait que le point X
= Xo
n 6 R est dit point d'equilibre, de (20,20),
si F(Xo ) = 0; ce point est dit aussi etat d'eguilibre,ou point stationnaire, ou encore point singulier. Precisons que si la solution X existe pour t limite X pour t (20,20) .
+ + ~(t +
~
t
o
( t , t ) et a une 0
-00), alors X est un point d'equilibre du systeme
499
n 1. Definition : un point X € R est dit etre un point w-limite (a-limite) de la solution X(t,x )' s' il existe une sequence t ++oo(tk+--
k +
(20,21)
Lim X(tk,X )
k+oo
0
= X.
L'ensemble de tous les points w-limite de la trajectoire X(t,X ) est dit l'ensemble w-limite; si Lim x(t,X ) o t+oo w-limite est constitue par le point X seul.
= Xexiste,
o
alors l'ensemble
Si la trajectoire X(t,Xo ) est fermee (dans ce cas X(t,X0 ) est une -fonction periodique), alors l'ensemble w-limite et l'ensemble a-limite sont constitues par les points de la trajectoire elle-meme. En fait, du fait de la symetrie complete, on peut ne parler que de l'ensemble (n) w-limite. 2. Une question importante qui se pose au sujet des solutions du SD (20,20) est de savoir s' il possede des sOlutions periodiques ? Dans le cas du SDL2D, (20,14), cela est possible uniquement en presence d'un point d'equilibre qui est du type centre et alors toutes les trajectoires dans le plan desphases sont fermees et correspondent
a des
solutions X(t) ayant
la meme periode relativement au temps t. Dans le cas general d'un SD, (20,20), non lineaire, un autre type de trajectoire fermee est possible (qui correspond
a une
solution periodique),
qui est dite cycle limite. Par definition : une trajectoire fermee est dite cycle limite si elle est un ensemble w-limite (ou a-limite)pour une certaine trajectoire qui ne coincide pas avec ce cycle limite. En fait, un cycle limite est caracterise par l'enroulement d'une certaine trajectoire autour de ce cycle limite lorsque t + +
00
ou t + -
00
Le cycle limite est dit isole s 'il existe un voisinage de ce cycle limite ne contenant pas d'autres trajectoires fermees. On notera qu' un cycle limite isole devient un ensemble w-limite ou a-limite de toutes trajectoires X(t,Xo ) ayant un point initial Xo suffisamment proche du cycle limite. Le cycle limite isole sera dit stable s 'il est un ensemble w-limite pour toute trajectoire X(t,Xo ) ayant X0 comme valeur suffisamment proche du cycle limite.
500
Le cycle limite isole sera dit instable s ' il est un ensemble a-limite pour toute trajectoire X(t,X ) ayant X comme valeur initiale suffisamment o
0
proche du cycle limite. Enfin, le cycle limite isole sera dit semi-stable si, pour deux points X et X arbitrairement prochesde ce cycle limite, ce dernier 1 2 est un ensemble a-limite pour X(t,x ) et un ensemble w-limite pour X(t,X 2 ). On notera periodi~ue,
generale
1
~ue
le regime de cycle limite correspond a lme solution
developpable en serie de Fourier. C'est la une propriete tres
~ue
l'on retrouve pour tout systeme
dynami~ue
presentant ce type
de comportement. Ainsi, des qu'il y a cycle limite, une observable X(t) a toujours une dependance en fonction du temps de la forme 00
(20,22)
X(t)
L
m=O
X
m
sin
3. Un cycle limite caracterise un mouvement il est tel
~ue
mouvement tend mouvement
harmoni~ue;
pour des conditions initiales n'appartenant pas a ce CYCle, le asymptoti~uement
periodi~ue
exterieure et
mais non
periodi~ue
~ue
vers ce cycle. On est en presence d'un
bien determine, sans intervention d'une force periodique
l'on peut done qualifier d'oscillation auto-excitee.
Nous sommes ici devant un exemple de l'effet
surprenant
que peut
produire une perturbation non lineaire. Non seulement l'equilibre stable devient instable, mais les mouvements voisins de devient instable, tendent
asymptoti~uement vers
l'e~uilibre, ~uand
un mouvement
celui-ci
periodi~ue
stable.
Par exemple, dans le plan des phases (cas 2D), l'origine est un centre pour les images des mouvements,lorsque le parametre
= 0;
caracteristi~ue}l
° alors
devient un foyer repulsif instable pour}l t=
~ue
mais il
simultanement apparaH
un cycle limite stable; un tel phenomene est un exemple de bifurcation.
4. Sur la figure ci-apres,on a trace deux courbes integrales de l'equation de Van der Pol :
(20,23)
• l' 3 x = £ (x - -
3
x)
+
JC
0, x(O)
a,
0,
501
ou a est un nombre reel positif et E « singuliere-);
lors~ue
E
= a,on
1 un petit parametre de perturbation
retrouve l'oscillateur
harmoni~ue classi~ue
(non perturbe ). Lors~ue E ~ a ces deux courbes integrales tendent asymptoti~uement
vers Ie cycle limite.
Tout d'abord, si a = 2, l'image
r o (2)
des phases de coordonnees cartesiennes (x, y
(p,e) est Ie cercle Co approximation, ~uence
= r 0 (2),
soulignons-l~ est
reduite unite (x
=2
du mouvement (dans Ie plan
=~),
et de coordonnees polaires
de rayon 2 et Ie mouvement - en premiere un mouvement vibratoire
harmoni~ue,
de fre-
cos t); Ie meme ~ue celui ~u'on observerait pour
l'oscillateur non perturbe E
=a
pour la meme amplitude initiale (a
= 2).
-) Pour tout ce ~ui concerne les problemes de perturbation singuliere en mecani~ue des fluides,on pourra consulter Ie livre de Zeytounian (ilLes MOdeles Asymptoti~ues de la Mecani~ue des Fluides I" Springer-Verlag, 1986; voir les §§ 13 et 16, pour ce ~ui concerne la methode des echelles multiples).
502
Si a est different de 2, l'image r (a) est encore une courbe decrite e - t et le rayon ovecteur p = [g( Et) ] -1/2 est une
selon la loi horaire
fonction qui tend vers 2 lorsque t augmente indefiniment, par valeurs croissantes si a < 2, et par valeurs decroissantes si a > 2. Ainsi toutes les courbes integrales ro(a) - a # 0 - tendent vers le cercle Co qui est le cycle
limite de l'equation (20,23). On not era que l'equilibre X = 0 est bien un equilibre instable.
5. En relation avec le concept de cycle
limit~
il est interessant de revenir
sur les phenomenes de pertes douce et brusque de stabilite. A cette fin,considerons le systeme dynamique dZ dt
(20,24)
OU Z
=X +
Z
(i
W+ E + C Z
a un
parametre suivant
Z)
i Y est une coordonnee complexe (Z, le complexe conjugue) sur le
plan R2 traite comme le plan de la variable Z. Au niveau de (20,24), w et C
sont des constantes non nulles reelles que l'on peut, si l'on veut, prendre egales
a
± 1; le parametre E est reel.
Le point Z
0 est un point d'equilibre de type foyer pour tout E ;
il est stable pour E < 0 et instable pour E >
o.
Pour E
= O,l'approximation
lineaire nous donne un centre qui est stable ou instable selon que C < 0 ou
C
>
0. 11 est opportun de noter que lorsqu'on etUdie localement les points
singuliers, on remarque qu'a l'instant ou E
=0
le point singuljer perd sa
stabilite, mais on omet une circonstance importante liee
a cette
perte de
stabilite : la naissance justement d'un cycle limite et de ce fait,pour eviter cette erreur,il faut, en toute generalite, considerer le voisinage du point 0 dans le (Z,E) - espace et non dans le Z-espace pour E fixe. Dans le (Z,E)-espace il est commode d'etudier le voisinage du point 0 en introduisant la fonction p(Z) = Z
Z.
Dans ce cas de (20,24~ on trouve pour p
l'equation suivante :
p=
(20,25)
2 P (E + C p), P ~ O.
11 existe deux points singuliers
P
et au point p
o
=0
, p
E =- C '
du plan Z,correspond l'origine des coordonnees, tandis
503
qu'au point p
=-
£/C
un cycle limite (reel,uniquement lorsque £ et C sont
de signes contraires). 1e rayon du cycle limite est donc proportionnel a
IT£T.
Cas de C < 0 - Lorsque £ passe par 0, Ie foyer de l'origine des coordonnees perd sa stabilite. Pour £ /
egalement un foyer stable
.
ma~s
= 0,
l'origine des coordonnees est
non structurellement stable
lI').
; les
.
traJecto~res
ne se rapprochent pas exponentiellement de 0 (voir la figure ci-dessous).
G £<0
£>0
Pour £ > O,les trajectoires s'eloignent du foyer a une distance proportionnelle a lorsque £
IE
et s'enroulent autour du cycle limite stable; done,
passe par 0, et si C < 0, la perte de stabilite s'accompagne de la
naissance d'un cycle limite stable dont Ie rayon erott comme 1£ . En d'autres termes, dans ce cas C < 0, l'etat stationnaire perd sa stabilite et il apparatt un regime periodique stable dont l'amplitude est proportionnelle a la racine carree de l'ecart du parametre par rapport a la valeur critique - c'est Ie cas de l'excitation douce d'auto-oscillations.
Cas de C > 0 - Comme cela est indique sur la figure ci-apres, on a un cycle limite instable pour £ < O. Lorsque £ tend vers 0 Ie cycle prend une position d'equilibre qui, pour £ < 0 etait un foyer stable. Pour £
O,le foyer devient
instable, mais l'instabilite est faible, non exponentielle. Pour £
positif,le
foyer est instable deja en approximation lineaire. Ce cas de perte de stabilite est appele excitation brusque.
*) On qualifie de structureJlement stable une propriete lorsqu'elle "resiste"
a de petites variations des parametres du flot. On not era que la stabilite (au sens de Lyapounov, par exemple) concerne plutot la resistance a de petites variations des conditions initiales. On dit aussi que: un systeme est structurellement stable s'il reste equivalent (en un certain sens a preciser I) a lui-meme par une petite variation du champ de vecteurs qui Ie caracterise.
504
1<0
£=0
t. >0
Revenons a ce cas d'excitation brusque et imaginons qu'un systeme se trouve a l'etat d'equilibre au voisinage d'une position d'equilibre stable et que cette position perde sa stabilite lorsque le parametre varie. Pour C > 0, lorsque
E + 0 par valeurs negatives (ou meme bien avant), les
perturbations qui sont toujours presentes repoussent le systene du voisinage de la position d'equilibre et ce systeme saute d'un coup sur un autre regime (par exemple sur une position d'equilibre lointaine, un cycle limite ou un ensemble attractif plus complique). Done, lorsque le parametre varie de fa~on
continue, le regime du mouvement varie, par saut, brusquement. Il nous seEble interessant,en conclusion, de preciser que le seizieme
probleme de Hilbert (David Hilbert avait donne en 1900 une liste de 23 problemes cles des mathematiques), qui est au coeur de la theorie des equations differentielles et de la theorie des systemesdynamiques (dont Henri Poincare fut l'initiateur), concerne justement les cycles limites et on pourra,a ce sujet, consulter le court article paru dans "Pour la Science", nO 116 de juin 1987 (voir la page 11).
20,5.
BIFU~CATI0NS
ET
INSTABILITES
Considerons l'evolution de faibles perturbations ~(t,~), d'un +
+
ecoulement stationnaire, ~t(x), d'un fluide visqueux incompressible, sOlutions des equations linearisees de Navier. On peut alors ecrire que (20,26)
ou
cr
=±
exp( -icrt) , w + iy
505
Pour Re suffisamment petit, la solution stationnaire ~t representera dans l'espace desphases un foyer stable. Cela veut dire que toutes les valeurs propres a
des equations linearisees ont des y < 0, de telle A( t)
-+ 0,
avec t
-+ +
fa~on
que
00
et les faibles perturbations (20,26) s'evanouissent avec le temps croissant. Mais lorsque Re croit, les parties imaginaires de a (c'est-a-dire les y) croissent aussi pour certaines valeurs propres a . De ce fait, on doit s'attendre a ce qu'il se trouve un Re
lll
(dit Reynolds critique)
pour lequel,
pour la premiere fois, une certaine valeur propre a (Re) des equations linearisees coupe l'axe reel dans le plan complexe a • Sous cette eventualite,on aura:
et la perturbation correspondante (20,26) sera neutre - elle ne s'amortira pas, mais elle ne s'amplifiera pas non plus avec le temps croissant! Mais dans certaines situations,il peut aussi arriver qu'~n meme temps que y (Re·)
= 0,
on ait aussi :
Dans ce cas, ( 20,27)
=>
A(t)
=1
et
-+
u
=T
1jJ 0
(-+
x) ,
et on obtient un lJ.0uvel ecoulement stationnaire. Quelquefois, on dit que, pour Re = Re lII, il y a bifurcation du type "echange des stabilites " . On peut citer deux exemples classiques (analyses en detail,au
§
23).
Celui, tout d'abord, de l'instabilite convective liee au probleme de Rayleigh-Benard; dans ce cas,l'etat de repos, stationnaire ~t
=0,
conduit
au debut, lorsque le nombre de Rayleigh,Ra,croit, a une convection stationnaire sous la forme de cellules (ou de rouleaux) de Benard. Le second cas est celui du probleme de Couette-Taylor, formule au
§
19; lorsque le nombre de Taylor
croit, l'ecoulement stationnair~ laminaire donne naissance a un nouveau etat stationnaire constitue aussi de cellules (ou vortex) de forme torique.
506 1. Bifurcation normale dite d 'Andronov-Ropf (sur-criti~ue)
Mais,il peut arriver_aussi
~ue
:
et dans ce cas,la perturbation (20,26), pour Re
Re *
Pour Re > Re~ il existe alors des valeurs propres a Y > 0, ce
~ui
veut dire
~ue
sera une onde neutre. avec des parties imaginaires
des perturbations de la forme (20,26) croissent
exponentiellement au cours du temps, de telle +
fa~on ~ue
l'ecoulement stationnaire
Ust devient instable relativement aux faibles perturbations. Ropf (dans "Ber. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math. und PhYs.", KL. 1942,
Bd. 94,
s. 1)
a demontre ~ue, dans les espaces des phases de systemes dynami~ues de
forme assez generale, il existait pour des valeurs de Re,dans un voisinage de Re~
a un
une famille
parametre de trajectoires fermees. L'application de ce resultat
fondamental de Ropf aux
e~uations
de Navier est due a Brouchlinskaya (article
dans les "Dokl. Acad. Nauk SSSR", t. 162, 1965, p. 731). On sait ~ue ces trajectoires fermees dans I' espace des phases sont des cycles limites
aux~uels
corres-
pondent des ecoulements periodigues en temps. L'apparition de trajectoires fermees pour Re > Re*, c'est-a-dire : la conversion du foyer stable en un cycle limite, est dite bifurcation normale de Ropf. Mais,il faut,toutefois,souligner
~u
'Andronov (voir "C.R.A.S.", Paris, 189,
1929, p. 15) avait deja decrit ce type de bifurcation 13 ans avant Ropf ! D'autre part, la transition de la faible perturbation instable (20,26) vers un ecoulement periodique a ete decrite,en 1944, par Landau a partir de sa celebre e~uation (voir la section 15,2). Rappelons
~ue
selon cette theorie de Landau,
lors~ue
la perturbation est
encore faible, son amplitude A(t) satisfait avec une bonne approximation a l'e~uation
:
llit. dt
(20,28)
Mais, lors~ue IAIn' est plus "petit", il faut completer (20,28) par un 4 terme en IAI et il vient alors l'e~uation de Landau suivante : (20,29)
llit. dt
=2y1AI 2 -
et on sait ~ue c'est une equation lineaire pour 1/IA12 , ~ui a pour solution
507
e
(20,30) ou
2 (T )1/2
A00
15 > 0 et y > 0, on a A(t)
(20,31) +
,
et Ao - A(O)
Ainsi, lorsque
et A o
-2yt }-1
'V
A exp (yt), pour o
t
+ -
00
0, ce qui correspond a la theorie lineaire. Mais, lorsque t
(20,32)
+ +
00
,
quelque soit Ao Au voisinage du Reynolds critique, Re~, on peut toujours ecrire que Y (:Be) ~ k
( 20,33) avec k
o
o
(Re - Re
1I\
> 0 une constante, puisque y (Re*)::: 0 .
Ainsi, on constate que : n.
(20,34)
Aoo
·v
2k ) 1/2 ~ (-2. 15
Re-Re
;"11/2
J
~I
'
!Jour Re
'V
Re
!If
.
.
Cela veut dire que l' instabilite (absolue; y > 0) de l' ecoulement de
.....a l'emergence '" Navier, pour He > Re , condUlt d'un ecoulement instationnaire periodique et lorsque Re est "voisin" de Re~ ce dernier peut etre represente sous la forme
, +
ou u 1 est periodique avec une amplitude, petite mais non infinitesimale croit avec Re proportionnellement a la racine carree de (Re-Re!lf).
qui
Cet ecoulement periodique a une phase arbitraire qui est determinee par la phase initiale (aleatoire) de la perturbation, qui, est en fait,le degre de liberte de l'ecoulement limite. Ains~ 1 'equation
IAI
= 0,
de Landau (20,29), avec 15 > 0, montre que la solution
laquelle represente l'ecoulement de base stationnaire, est stable pour
Re < Re* mais instable pour Re > Re!lf et que IAI nouvel
= Aoo '
lequel represente un
ecoulement laminaire,est stable la ou il existe, c'est-a-dire pour
Re > Re * .
508
2. Les bifurcations des
ecoule~ents
periodiques. A la section 20,3,nous avons
introduit l'operateur de monodromie U(T j
),
d'apr~s
la relation (20,18). Dans
Ie cas analyse ici,les valeurs propres de cet operateur de monodromie, c'esta-dire les multiplicateurs P , sont naturellement des fonctions du nombre de n Reynolds Re : P (Re). Lorsque Re croit, les bifurcations des mouvements perion
diques ont lieu lorsque les P (Re) traversent Ie cercle unite dans Ie plan n
complexe P En effet, lorsque Re croit, au-dela de Re*, on
peut atteindre une
seconde valeur critique Re** pour laquelle une paire de multiplicateurs prend les valeurs exp (± i a), avec a of 0, rr ,
rr
2rr
"2 ' 3
afin d'eliminer les effets de resonance. Dans ce cas, justement, il apparaitra une seconde bifurcation normale : l'ecoulement periodique ~t(~) + ~1(t,~) deviendra instable relativement a des perturbations de la forme:
Oll ~1 est une fonction periodique du temps,de periode 2rr valeur propre a a une partie reelle Pour de
•
,tandis que la
W1
est ± w2 . petites valeurs de (Re-Re**),cette derni~re perturbation va qu~
croitre avec Ie temps jusqu'a une valeur limite qui est Ie mouvement qQasiperiodique avec deux periodes, 2rr/
w1 et 2rr/ w2 et
poss~de
deux degres de liberte
(ce sont les phases des oscillations). Comme consequence, dans l'espace des phases, on aura formation, a partir de la trajectoire fermee, d'une trajectoire 2 sur un tore bidimensionnel T . Puis ensuite, lors d'une nouvelle bifurcation normale (sur-critique), il se formera une trajectoire sur un tore T3 , tridimensionnel, et ainsi de suite. Lorsque cette succession de bifurcations conduit a des trajectoires sur des tores
Tk,
avec k assez grand (k > 3), on dit que l'on est dans Ie cadre du scenario de
transition vers Ie chaos de Landau et Hopf (voir,a ce suje\ la section 22,1 du § 22).
Mais,il peut auss~ arriver que pour Re Pn(Re) traverse Ie cercle unite au point P definition de U(T ), 1
=-
Re**
lIlli, des multiplicateurs
1. Dans ce cas, d'apr~s la
509
et cela veut dire qu'une faible perturbation au cours d'une revolution,d'apres +
la trajectoire u revolution
+
St
+ u ,changera simplement de signe. De ce fait, apres la
suivant~ on
1 obtiendra
(20,35) ce qui veut dire que la trajectoire perturbee se refermera sur elle-meme ! Ainsi, dans ce cas pour Re
= Re~·a
lieu une bifurcation de doublement
de periode et on constate qu' a partir du mouvement periodique est genere un mouvement periodique stable de periode double 2T 1 , Ie mouvement periodique initial devenant, lui, instable. Ce processus de dedoublement de periode peut continuer et il apparait ainsi une cascade sous-harmonigue. Precisons, tout de suite, que lorsqu'une trajectoire periodique, sur 2 un tore T , contourne C~ dernier n fois jusqu'a ce qu'elle se referme sur elle-meme, on dit
que la bifurcation est sous-harmonique et cette derniere est
alors caracterisee par une augmentation subite, de n fois, de la periode au moment de la bifurcation. D'une
fa~on general~ la
variation appropriee du parametre de contrale
~
permet,dans diverses situations de mettre en evidence toute une serie d'instabilite sous-harmonique donnan~ successivement naissance aux solutions de periode 2T 1 , 4T , 8T , .. , et dans ce cas on parlera d'une cascade de bifurcations 1 1 sous-harmonique ou cascade sous-harmonique, dont chaque etape s'accompagne de la division par deux de la frequence, c'est-a-dire du doublement de la periode. Nous reviendrons plus en detail sur ae phenomene de doublement de la periode,lors de la discussion du scenario de Feigenbaum (voir la section, 22,3). Notons,enfin,qu'un theoreme de Peixoto (voir'~opology~ vol. 1, 1962, pp. 101 a 120) suggere que l'eventualite pour qu'une trajectoire periodique bi2 '" tres peu probable". . . . n , est pas . . t Test f urque vers un tore lnvarlan En)falt, II 1Il) Pour les SD sur une variete bidimensionnelle com!lacte une propriete "type"
(dans un sens mathematique qui doit-etre precise) tres forte est que : cha~ue mouvement tend asymptotiquement vers l'un des points flxes (en nombre fini) et les trajectoires periodiques. En particulier, les mouvements quasi-periodiques ne sont pas typiques. II faut bien comprendre que ce theoreme de Peixoto est tres different du theoreme classique KAM (Kolmogorov, Arnold et Moser) valable pour les systemes hamiltoniens. Ce theoreme KAM dit que: pour les systemes hamiltoniens (SH), sous des hypotheses precises, les mouvements guasl-perlodlgues sont stablffirelatlvement a toutes perturbatlons falbles. Naturellement, II faut aVOlr en vue que les SH sont des SH conservatifs, non typiques et, en particulier, il est necessaire pour ces SH que les falbles perturbations soient toujours telles que Ie systeme reste toujours hamiltonien. En fait, ce qui est vraiment tYFique, c' est que les points fixes d 'un champ de vecteurs, sur une variete bldlmenslonnelle compacte,soient des points hyperboligues. De plus, l'existe~ce d~une t~ajectoire qui pass~ par deux cols n'est pas typique; si une telle traJectolre eXlste, ~our un certaln champ de vecteurs, la Plus petite perturbation peut la faire passer ~c6te du second col.
510
demontre que:n'importe quelle trajectoire separee recouvre de faxon dense le 2 tore T obtenu et condui~ de ce fait, effectivement a une fonction du temps quasi-periodique.
3. Bifurcation inverse d Si la famille
I
Anaronov et Hopf (sous-critique)
a un
parametre de trajectoires fermees, qui est predite
d'apres la theorie de la bifurcation de Andronov et Hopf, apparait,lorsque
0 <
Re < Re- alors,dans l'equation de Landau (20,29) on aura
° et y ~ (Re-Re-)
sera negatif aussi pour Re < Re- et positif lorsque Re > Re*. Ainsi, pour Re < Re-, on devra considerer l'equation de Landau suivante I2 d lA
(20,36)
~ dt
=-
2
2 Iy I IA 1+ 0 IAI
4
.
Cette equation (20,36) montre bien que la trajectoire fermee sera instable les trajectoires qui se trouvent
a l'interieur
de la trajectoire fermee (instable)
s'enroulent sur le polnt fixe, ce qui veut dire que les perturbations ayant des amplitudes petites, IAI < IA,I
= [2JyI/lol J,/2 , s'amortissent
Par contre,les trajectoires qui se trouvent
a l'exterieur
avec le temps.
de cette trajectoire
fermee, instable, se deroulent de cette derniere et s'eloignent vers d'autres regions de l'espacedes phases, ce qui veut dire que les perturbations ayant des
IAI >
amplitudes finies Re- > Re > Re- - a
2
A, croissent avec le temps de telle fa<;;on que 2 IAI ) le mouvement devient instable relativement
perturbations (on se reportera
a la
u.orsque
a de
telles
section 20,4). Lorsque Re < Re- croit,la
trajectoire fermee se contracte et pour Re passant par la valeur critique Re-, elle iisparait; dans ce cas on dit que l'on est en presence d'une bifurcation inverse. Pour Re > Re·, 1 'equation de Landau avec des coefficients admet la solution e- 2yt _ A2
(20,37) avec A,
o
= [2Y
1101
J'/2
Cette solution (20,37) devient infinie pour un temps fini (20,38)
t
t, =~
Log (, +
)
.
y >
° et 0 < °
511
Mais,il est clair que, bien avant cette eventualite, l'equation (20,36) n' est plus significative et doi t etre completee par des termes en puissance
IAI
d'ordre superieur
de
a 4.
Les exemples que nous connaissons montrent qu ' apres une bifurcation inverse, pour Re > Re lIE, le mouvement, de toute evidence, devient tres vi te aperiodique.
4. Bifurcation globale vers un cycle limite periodigue 11 s'avere que la bifurcation de Hopf n'est pas la seule fa~on de trans iter
d'un comportement stationnaire
a un
comportement periodique. Par exemple, dans
les ecoulements convectifs (probleme de Rayleigh-Benard), ou apparalt le phenomene de l'instabilite convective; lorsque le nombre de Rayleigh Ra
= Ra llE
llE
(ou Ra
est le
premier Rayleigh critique),la solution stationnaire perd sa stabilite par bifurcation noeud-col. L'existence d'une orbite heterocline dans l'espace desphases du systeme dynamique associe,
est
alors
a l'origine
du cycle limite.
Precisons, ici, que cette bifurcation noeud-col est liee
a une
equation
"normalisee" du type : dx
(20,39)
11 - x
dt
avec un parametre de bifurcation La solution
st~tionnaire
°
definie que pour ~ > et apparalt done en
~
2
~
a done pour coordonnees
x =
tlil
elle n'est
x
= 0,
comme cela est indique sur la figure ci-contre
a droite.
11 n'existe aucune
solution, stable ou non, pour
-l---~----+-------~~
0, ce qui conduit
~ <
bien au diagramme de bifurcation de la figure ci-contre
a droite.
C'est done la collision des points fixes stable et instable, pour Ra qui donne naissance
= Ra llE ,
a un
limite et contrairement
cycle
a la
bifurcation de Hopf, l'oscillation apparait a amplitude finie.
\
\
,
"...........-
instable
512
Lorsque (Ra-Ra*) est petit, le systeme passe un temps tres long au voisinage de son ancienne position d'equilibre. Les fluctuations du nombre de Rayleigh Ra, autour de Ra~ , destabilisent l'etat stationnaire de fa~on aleatoire, ce qui rend la periode du cycle limite
fluctuant~lors
de son apparition.
On a deja dit que, lorsque la bifurcation etait sous-critique, le'systeme quittait brusquement (brutalement) son ancien etat d'equilibre et que l'on ne pouvait pas, generalement, predire le comportement critique. Cependant, bien souvent,l'effet des non linearites est de ramener le systeme au voisinage de son ancien etat d'equilibre ce qui rend la transition continue, en un certain sens, puisque le systeme passe la plus grande partie de son temps au voisinage de son ancien etat d'equilibre bien que celui-ci ait perdu brutalement sa stabilite. Nous retrouverons,a la section 22,4 du
§ 22 (scenario de Pomeau et
Manneville),un mecanisme analogue concernant une des categories (un des scenarios) de transition vers le chaos, l'intermittence qui correspond au cas ou la structure globale de l' espace des phases est telle qu' elle confere a la transition un aspect continu alors que la bifurcation n'est pas sur-critique. On notera, a ce sujet, que lorsqu'il se produit une bifurcation noeud-col, la solution periodique ne devient pas seulement instable mais disparalt purement et simplement. Dans la region du parametre un peu au-dela du seuil de bifurcation le systeme developpe alors un regime particulier, dit justement d'intermittence (plus particulierement d'intermittence de "type I"), qui est caracterise par un melange des phases d'evolution reguliere presque periodique
(phases laminaires),
interrompues temporairement par un comportement d'apparence anarchique (bouffees de turbulence). Precisons, enfin, que pour l'intermittence de type I, la question de savoir si la bifurcation est sur ou sous-critique ne se pose pas, car il n'existe, a proprement parler, qu'un seul type generique de bifurcation qui - en un certain sens - est toujours sous-critique. On trouvera,dans le livre tout recent de Ruelle ("Elements of Differentiable Dynamics and Bifurcation theory", chez Academic Press, 1989), une Introduction rigoureuse a la theorie mathematique des systemes dynamiques et des bifurcations qui, via les scenarios, conduisent au chaos, illustre par l'apparition d'attracteurs etranges.
STOCHASTICITE ET ATTRACTEURS ETRANGES
Ic~
nous nous interessons plus particulierement aux attracteurs dits
"etranges" sur lesquels les trajectoires des phases dissipatifs (SHDD)
a petit
des systemes hydrodynamiques
nombre de modes, presentent des proprietes stochastigues.
On a vu que dans l'espace desphases les trajectoires peuvent tendre vers un cycle 2 limite ou encore vers un "enroulement" (qui ne se referme pas !) sur un tore T , mais aussi vers un "objet" mathematique plus complexe, qui, justement est di t "attracteur etrange (AE)". L'existence de cet AE s'avere etre fondamentale pour la juste comprehension du mecanisme de l'apparition (de la genese) de la turbulence dans les ecoulements de fluides visqueux. En fait, Ie comportement chaotique des trajectoires
a l'interieur
d'un
volume borne n'est possible que si toutes les trajectoires attirees vers ce volume (et qui ne peuvent plus en ressortir) sont instables. En particulier, les trajectoires instables, qui ne se referment pas sur elles memes, peuvent passer une infinite de fois dans un meme voisinage (aussi petit que l'on veut)
a l'interieur
du volume borne. C'est done un comportement de ce type complexe, irregulier, des trajectoires instables qui doit etre associe au mouvement turbulent dans les fluides (s'agissant, ici, d'une turbulence temporelle faible). C'est Lorenz, en 1963, qui a Ie premier montre l'existence de tels ensembles attractifs de trajectoires instables dans l'espace desphases pour un systeme dissipatif (c'est celui qui modelise Ie phenomene de la convection de Benard, analyse au
§
17 et sur lequel nous revenons au
§
23). Ces ensembles sont dits
stochastiques et on parle done d'attracteurs etranges. A premiere vue, la contrainte liee
a l'instabilite
de toutes les trajec-
toires de phases sur l'attracteur etrange (confine dans un volume borne de l'espace desphases) et celIe concernant la convergence de toutes les trajectoires voisines, pour t
+ +
00,
vers cet attracteur etrange,semblent incompatibles entre
elles, puisque,par definition meme,l'instabilite est liee
(a l'evasion) des trajectoires
!
a la
dispersion
514
Cependan~il
ne faut pas oublier
~ue
les trajectoires peuvent etre
instables dans certaines directions (repulsives) et stables (c'est-a-dire attractives) selon d'autres(directions; voir a ce sujet le concept d'hyperbolicite
~ui
a fait l'objet de l'expose du point 2 de la section 20,2). Ainsi,
les trajectoires
~ui
"remplissent" l'attracteur etrange sont necessairement
des trajectoires
hyperboli~ues
(elles sont constituees de points
llyperboli~ues).
Comme les trajectoires desphases (du fait de l'unicite du probleme de Cauchy lie au SHD) ne peuvent pas se croiser entre elles et
~ue
de meme,une
trajectoire isolee ne peut pas non plus se couper avec elle meme, il decoule ~ue
l'attracteur etrange ne peut exister
dimension n
~
3 et de ce
fai~
~ue
dans un espace desphases de
il faut au moins trois bifurcations pour voir
apparaitre cet attracteur etrange. Ainsi, l'attracteur etrange ne peut apparaitre, au plus tot,
la
~u'a
troisieme bifurcation sur un tore T3 , comme conse~uence de la desagregation 2 d'un tore T ~u~ lu~ caracterise un regime ~uasi-periodi~ue (avec deux periodes incommensurables), et les trajectoires desphases complexes, irregulieres
~ui
appartiennent a cet attracteur etrange sont bien situees dans un volume borne de l'espace desphases. Malheureusement, a l'heure actuelle, la classification des divers types d'attracteurs etranges
~ui
peuvent apparaitre en
pasconnue et on ne sait meme pas sur pourrait etre faite.
~uels
mecani~ue
des fluides n'est
criteres une telle classification
A la section 21,2,nous donnerons
~uel~ues
indications
generales concernant la structure des attracteurs etranges dans un espace des phases tridimensionnel. Tandis mathemati~ue
partant des
~u
'ala section 21,3, nous verrons
e~uations
de Navier montre
~ue
la
~u'une
dynami~ue
approche
de l'ecou-
lement est essentiellement de dimension finie et permet de retrouver rigoureusement l'estimation de Kolmogorov. Mais,avant tout, a la section 21,1,
~ui
suit,
nous voulons preciser le concept de stochasticite.
21,1. LE CONCEPT DE STOCHASTICITE Le concept de stochasticite,
~ui
etrange dans l'espace desphases, est base
caracterise l'emergence d'un attracteur sur trois proprietes fondamentales :
(1) il y a, tout d'abord, une tres forte dependance sensitive des trajectoires desphases aux conditions initiales du probleme de Cauchy lie au SHDD (DSCI); cela conduit a une divergence exponentielle des trajectoires desphases ~ui
515
etaient initialement (pour t
= O)
tres proches l'une de l'autre et la consequence
fondamentale liee a. la DSCI est une "impredictibilite (c'est-a.-dire a. "une non reproduction") des trajectoires desphases lorsque les conditions initiales du SHDD sont donnees avec une precision elevee mais toutefois finie) (2) presque toutes les trajectoires sont "presque dense" sur l'attracteur etrange; cela veut dire, en fait, que ces trajectoires
d~phases
passent aussi pres que
l'on veut de tout point de l'attracteur etrange et que,de plus,cette derniere propriete reste valable pour un nombre de passages aussi grand que l'on veut (c'est Ie theoreme dit "de recurrence de Poincare"), (3) il y a sur l'attracteur etrange ergodicite; cela veut dire que ~ l'attracteur etrange,la valeur moyenne temporelle de toute fonctionnelle, liee aux trajectoires d~phases,
est egale a. la valeur moyenne, a. un instant donne, de cette meme
fonctionnelle calculee sur un grand nombre de trajectoires
d~ phases
"identiques".
On notera que l' ergodicite indique une'lndecomposabilite"du SHDD : la moyenne temporelIe de toute fonction est partout la meme et egale a. la moyenne spatiale. Un systeme hamiltonien (SH, non dissipatif) n'est jamais ergodique et c'est l'existence d'integrales premieres qui interdit l'ergodicite du SH et d'ailleurs, plus Ie SH aura d'integrales premieres independantes, et moins il sera chaotique; en particulier s'il est integrable, c'est-a.-dire s'il possede n integrales premieres independantes. En fait, en toute rigueur, a. la place de l'ergodicite,il est necessaire de parler de propriete melangeante - la propriete d'etre melangeante etant plus forte que l'ergodicite. La definition precise de cette derniere propriete est la suivante : soit un SHDD forme par un espace mesurable (x,a) une .mesure de probabilite ~
sur X et une action g
=m,
Z ou
~
f 1 dll .
f f2
dll
T du semi-groupe G
+
g
; alors les conditions
suivantes sont equivalentes : 2 2 a} pour tout (f 1,f ) € L (x,a ,ll) x L (X,a,ll) 2 (21,1)
lim g++oo
f
(f
1
0
T ). f dll 2 g
f
b} pour tout (A,B) € a x a (21,2)
lim
II (A). ~ (E)
g++<x>
si l'une des conditions ci-dessus est verifiee,on dit que Ie SHDD est melangeant. Cette propriete du SHDD d'etre melangeant est done plus fine que celIe
516
a ce
de I' ergodicite (qui est di te "grossiere") et elle conduit
que les fonctions
de correlation lI') tendent suffisamment vite vers zero lorsque t -+- +
00
et cela
entraine la continuite temporelle des fonctions spectrales. Quelquefois, on dit qu'il y a turbulence lorsqu'il y a,d'une part,stochasticite et d'autre part, lorsque cette evolution stochastique est rotationnelle (on considere naturellement Ie cas d'un ecoulement de fluide visqueux). 1. Dissipativite. La viscosite conduit non seulement (nombre de degres de liberte fini) mais aussi du flot(de
phases~
a la
a un
espace des phases fini
propriete de dissipativite
Cela veut dire que Ie volume de phases se contracte en
moyenne lorsque t -+- +
00
(au cours de l'evolution temporelle de l'ecoulement
a
partir du repos) et cette propriete est caracterisee par (au "point" U ) o
div
(21,3)
F
(f.!;Uo )
pour Ie systeme dynamique (20,4). On notera qu' en differents points de phases U ' l'expression A (U o ) o peut etre aussi bien positive (expansion) que negative (contraction). Par definition,le flot(de
phase~
(21,4)
est dissipatif si pour tout U on a
A (",) " : : . ,
{t
o
log
I:~~::::I}
< 0 ,
OU 0 V(U o ,0) est un petit element initial (t = 0) du volume desphases au voisinage
de Uo et 0 V( Uo ' t) la valeur de ce meme element au temps t, lorsque I' ecoulement a evolue au cours du temps. En particulier, pour Ie systeme dynamique (20,7), lie aux equations de Navier, on trouve que : .) Soit ~
= F(X),notre
de correlation
SHDD avec X
sont les :
Bjl(t) 1
ou <~> - ~ T
f
T
o
(Xl' X , ... ,
2
xn ),
dans ce cas,les fonctions
<Xl> I> ,
~ [X(t)] dt. Lorsqu'il y a ergodicite,la moyenne
ne depend plus du temps t.
517
A = - v o
(21,5 )
n
L \
< 0 .
o k=l
On notera que, comme consequence de la dissipativite, les attracteurs etranges
ont des volumes desphases nuls et une dimension d'espace plus petite
que n
(l'ordre du systeme dynamique considere). Precisons que A (U ) est la o vitesse relative de variation de oV au cours du temps : 1
oV
II
n
~
L
'V
llt (oV)
k=l
(21,6)
o
=divF(ll,U), o
en tenant compte que U
U2 , ... , Un) est un vecteur de Rn .
(U"
2. Dimensions Considerons un espace metrique (E;d) et so it X un sous-ensemble compact de E; on note pour D > 0 et £ > 0 : (21,7)
" (X,D,e) = In< {
! r~ }
ou l'infimum (c'est-a-dire la borne inferieure) est pris sur tous les recouvrements de X par des boules de rayon r i Lorsque £
+
~
£
0, on aura
=lim ~ £+0
(X,D,£)
= Sup
~
(X,D,£)
et s ' il existe D > 0 tel que II (X,D )< +
00
alors
~
(21,8)
o
(X,D)
£>0
o
0
V D > D , II (X,D)
=0
0
et la dimension dite de Hausdorf~
0 0 -
de X est le nombre reel (21,9)
~(X) =
Maintenant, si
Nx(£)
Inf {D > 0, ~ (X,D) = 0 }. est le nombre minimal de boules de rayon ~ £ qu'il
faut pour recouvrir X, la dimension dite fractale
lI!)
(de Mandelbrot) de X est le
lI!) Connue aepuis longtemps en physique sous le nom de dimension capacitaire .
On peut aussi utiliser des cubes (voir la partie gauche de la figure de la page 518) .
518
nombre reel (21,10)
~(X)
Bien sUr,ces deux notions de dimension coincident avec la notion de dimension habituelle dans les espaces euclidiens et plus generalement sur une variete riemannienne. Elles ne sont toutefois pas equi valentes et il est facile de se convaincre que <\r(X) ~ ~(X) ,
mais Ie contraire est faux Considerons Ie cas de l'ensemble de Cantor (la poussiere de Cantor) qui est obtenu
a partir d'une operation qui est a 3 dimensions; yoir l~ p~rtie
(dans Ie cas
indiquee sur Ie schema ci-dessous droite de la figure).
..
~ ::
!'
_~
-'-= ,.j . _...... • ~...I /
.
::'..
"
1/3
~!I , :
..
I
•
. . .- ......
.
·~.,~i
/_1'
1/27
-0-
BB Btl
La longueur totale des intervalles retires du segment initial de longueur unite est alors
et de ce
fai~la
dimension habituelle (topologique) de l'ensemble de Cantor
dT = O. Cependant,la dimension fractale (ou la dimension de Hausdorff) de cet ensemble de Cantor sera
obtenu
o
< cL = Log2'jLog3 -y
0,631 < 1.
519
D'apres Mandelbrot,les ensembles pour lesquels d des fractals.
F
>
d
T
sont dits etre
On notera que la maniere la plus sUre de mettre en evidence l'existence d'attracteurs etranges est de tirer parti de leur caractere fractal et d'evaluer, en particulier, une dimension "dynamique" caracteristique de l' attracteur, elle-meme borne inferieure de la dimension "geometrique" de l'attracteur. Dans tout ce qui suit,nous noterons par deAl la dimension de l'attracteur etrange A et nous la calculerons par la formule simplifiee (21,11)
lim
deAl
£-+{)
c'est ce qu~ l'on appelle la capacite limite de l'attracteur etrange A (ou
N (A,£)
est le nombre minimal de cubes de rayon £ dont l'ensemble recouvre entierement l'attracteur etrange A). On notera que,dans les applications,d(A) est tres proche de ~(A) et de ~(A). En fait, bien souvent dans les applications liees
a la
mecanique des
fluides,le calcul de la dimension de l'attracteur"etrange A se fait sa dimension de Lyapunov qui s'exprime
a l'aide
a partir
de
des exposants caracteristiques de
Lyapunov. 11 nous faut,donc,maintenant definir ces ECL.
3. Exposants caracteristiques de Lyapunov. Boit le BHDD dX
(21,12)
dt
F(X) ,
n avec X( t) un vecteur de R ayant pour composantes Xl' X2 ' .". X ; on suppose que n Fest une fonction vectorielle qui est dependante d'au moins un parametre p lie aux bifurcations du systeme (pour simplifier l'ecriture, il n'apparatt pas au niveau de (21,12)). Boit maintenant X
= Xo (t)
l'equation d'une trajectoire instable, irregu-
liere, qui caracterise l'attracteur etrange A, du fait qu'elle psrcourt ce dernier pendant un temps infiniment long; naturellement X = X (t) est solution de (21,12). o Considerons,donc,la deformation d'un element de volume initialement spherique lors de son deplacement le long de cette trajectoire X satisfait au systeme associe
a
= Xo (t);
cette deformation
(21,12), linearise d'apres la difference
~
=X -
X • o
520
Ainsi, sous
~orme
scalaire,nous devons resoudre :
OF.,
Ao (t) =-~ ~k 0Xk X=Xo (t)
(21,13)
Lors de son deplacement, Ie long de la trajectoire X
= Xo (t),
l'element
(spherique) de volume se comprime selon certaines directions et s'elargit selon d'autres(directions)et la sphere devient un
ellipsoide. Lors du mouvement Ie
long de la trajectoire,aussi bien les directions que les longueurs des demi-axes de l'ellipsoide changent et on note par is(t) les longueurs correspondantes ou l'indice S fait reference
a la
direction.
Par definition,les exposants caracteristiques de Lyapunov (ECL) sont donnes par les valeurs limites suivantes : (21,14)
As
= ~~ o
[1 { t
is ( t) } ]
i(o)
Log
,
ou i (0) est le rayon de la sphere initiale (pour l'instant initial t = 0). Naturellement,les AS sont des nombres reels et Ie nombre de AS est egal
= 1,
dimension de l'espace desphases (S des AS
=0
(c'est celui qui correspond
a la
2, ... , n). Enfin, on notera que l'un
a la
direction le long de la trajectoire
elle-meme) • Precisons que la solution de (21,13), sous des conditions initiales donnees en t
= 0,
decrit la trajectoire voisine uniquement pour des distances
is(t) petites; cependant, cela n'enleve pas sa generalite
a la
definition (21,14),
car cette derniere reste valable pour t tres grand : pour tout t tres grand, on peut choisir un i(o) si petit, que les equations linearisees resteront valables au cours de tout cfit intervalle de temps. La somme
L
AS determine la variation moyenne le long de la trajectoire
d'un volume eleme~t~ire d ans l' espace desph ases. MOdo ~ = Aii (t) e t [a~s, ~v X = dO~v <, on peut montrer que (21,15 )
lim t-+oo
1
t
It
div
s dt
o
Comme pour les systemes dissipatifs (avec viscosite),les volumes dans l'espace desphases
an
pour ses SHDD la somme
dimensions ont tendance
~
S=1
a se
comprimer, on constate que
AS est necessairement negative.
521
Revenons au probleme de la dimension de l'attracteur etrange et definissons cette dimension de telle fac;on que, "dans l' espace de l' AE", les vol1.unes se conservent en moyenne. A cette fin,on va ecrire la suite des ECL dans l'ordre suivant, des valeurs algebriques decroissantes ••• >, A
n
et on va compter combien de directions stables sont necessaires pour compenser l'extension
a partir
de la compression
Dans ce cas,la dimension de l'AE (notee par D ) sera comprise entre met L m + 1, ou m est le nombre de ECL dans la suite ci-dessus, dont la somme reste encore positive, mais,si on ajoute A + ,elle devient negative*). La partie fracm 1 tionnaire de D = m + d , avec d < 1, satisfait a la relation: L
o .
(21,16)
Ainsi (d'apres Kaplan et Yorke) , m-
(21,17)
ou m est le nombre maximal pour lequel
o
~
r
A8 8=1 Am+ 1
m+1 A ~ 0 mais L A < 0 et on notera que 8 8=1 8 8=1 m
L
m
- L
8=1
< 1.
Ce nombre m est aussi le nombre de degres de liberte du systeme. Lorsque le systeme est ergodique,alors (21,18)
h
nous donne l'entropie de Kolmogorov. 8i h = O,l'ecoulement de fluide est laminaire et lorsque h > 0, alors cet ecoulement laminaire devient turbulent.
a zero ce qui introduit correspond a la dimension le
*) Precisons qu'il faut aussi tenir compte du ECL egal dans la dimension D la contribution + 1 qui L long de la trajectoire elle-meme
522
L'entropie de Kolmogorov, h, est une mesure du comportement chaotique du SHDD. Enfin, on notera que si la trajectoire X(t) de (21,12) est attiree vers un point fixe, une trajectoire periodique ou quasi-periodique, alors tous les AS
sont negatifs, sauf A = 0, qui est celui que l'on suppose correspondre a la 1 direction de la trajectoire limite. Par contre,si cette trajectoire (qui est
alors instable) est attiree vers un AE,alors necessairement A > O. L'apparition 1 d'un ECL positif est une propriete fondamentale de l'AE. Sur la figure ci-dessous,nous avons represente, dans un espace des phases tridimensionnel, les signes des 3 ECL correspondant
Point fixe
aux divers attracteurs.
Cycle limite
~/ •
(0,-,-)
(-,-,-)
Attracteur Etrange
<0,0,-)
21~2.
(+,0,-)
PHENOMENOLOGIE DE L'ATTRACTEUR ETRANGE On trouvera la definition formelle de l'attracteur etrange dans les
articles de base de Ruelle ("Strange attractors", Math. Intelligencer, 2, 1980, 126) et Eckman ("Roads to turbulence in Dissipative Dynamical Systems", Rev. Mod. Phys •• 53, 1981, 643). Precison~ ic~uniquement que l'attracteur etrange possede les proprietes suivantes :
523 (a) C'est,naturellement,un attracteur et, de ce fait,il occupe dans l'espace dffiphases un domaine borne vers lequel, au cours d'un temps assez long, sont attirees toutes les trajectoires assez prochffidu domaine dit d'attirance. On notera que ce domaine d'attirance peut avoir une structure tres complexe; la frontiere d'un tel domaine represente bien souvent un fractal et une classe de telles frontieres forme des ensembles dits de Julia (J. Math. Pures et Appl., 4, 1918,47). On trouvera sur la figure,ci-dessous,deux ensembles de Julia bien caracteristiques.
De plus,l'attracteur,lui-meme,est compose, en quelque sorte, d'une seule trajectoire, ce qui veut dire que cette trajectoire doit passer au cours du temps par chacun des points de l'attracteur;
524 (b) Ie fait que l'attracteur soit etrange est lie
a la
DSCI et malgre
la contraction du volume de l'attracteur etrange il n'y a pas reduction des longueurs dans toutes les directions et la distance entre deux points sur I' attracteur etrange (initialement aussi proche que 1 t on veut) reste finie apres un temps aussi long que l'on veut. Cela conduit
a une
entropie de Kolmogorov
positive; (c) pour caracteriser d'un point de vue physique Ie SHDD, l'attracteur etrange doit etre structurellement stable et tyPique. Cela veut dire qu!au niveau du SRDD (21,12), des petites variations du parametre implicitement
~
(qui rentre
dans F), changent la structure de l'attracteur de fag on continue
et l'ensemble des valeurs du parametre
~
pour lesquels (21,12) engendre un
attracteur etrange ne doit pas etre un ensemble de mesure nulle - dans Ie cas contraire,l'attracteur n'est pas typique et n'est pas physiquement significatif. Tous les attracteurs etranges connus,
a l'heure
actuelle, ont des dimensions DR
fractionnaires; mais on ne sait pas si cela decoule bien des proprietes (a) - (c), ci-dessus, ou s ' il faut pour cela enoncer une propriete complementaire. 1. On notera que l'attracteur local d'un ecoulement turbulent (visqueux; dissipatif) es~
d'une maniere generale,le produit cartesien d'une variete avec un ensemble du
type de celui de Cantor et la technique dite du groupe de renormalisation (GR) permet de bien comprendre l'emergence de cet ensemble de Cantor associe
a l'attrac-
" 1II) • II semble d'ailleurs que ce soit justement la presence " teur etrange de cet
ensemble de Cantor qui ait conduit
a.
la denomination "d'etrange" pour l'attracteur
caracterisant l'ecoulement turbulent. Precisons que la dimension d (A), donnee par la formule (21,11), evolue en
~onction
du nombre de Reynolds (pour Ie cas
des ecoulements visqueux de Navier) et l'on observe un saut de d (A)
a.
la transi-
tion laminaire-turbulent. Dans Ie domaine turbulent les dimensions d (A) deviennent non entieres, ce qui confirme que les attracteurs associes sont bien etranges et sont des objets fractals. Lorsque Ie regime est turbulent, l'attracteur etrange appara!t ce qui conduit
a un
spectre de frequences continu et la section de Poincare est un nuage
de points dont la densite tend
a devenir
uniforme. Les figures,ci-apres,donnent un
a ce sujet lire avec profit l'article de Coullet et Tresser dans Ie nO special 1984 du JMTA (voir les pages 217 a 240). Voir la figure page 548(section 22,3)qui illustre comment emerge l'ensemble de Cantor.
1II) On peut
525
exemple d'un tel attracteur etrange (a), de son spectre associe (b) et de sa section de Poincare (c) (section par le plan ~ dont la trace est indiquee sur la figure (a)). Ces figures sont tirees du travail de These de Lafon (These soutenue
a l'Universite
de Paris 6 le 14 juin 1985 et qui concerne 1,IIetude des
attracteurs pour des ecoulements bidimensionnels de fluides visqueux incompressibles ") •
\
\
'---~
(a) Attracteur etranse
(b) Spectre continu associe.
526
,.
.,
.
• ',' ~ 1",' '
"
;"1
t ••
,
:' "':- . ".'
I
(c) Section. de Poincare representee par un nuage de points dont la densite est presque uniforme.
Signalons que les figures ci-dessus ont ete obtenues numeriquement par Lafon pour Re = 200; la transition ayant ete observee pour Re
= Re c = 122,
554.
De ce fait, Lafon n'a pas calcule un regime associe a une turbulence "pl einement developpee". La figure suivante reproduit l'evolution de la dimension de l'attracteur en fonction du nombre de Reynolds Re. Ce graphe suggere les trois remarques suivantes (d'apres Lafon) : 1) On observe un saut de la dimension a la transition puisque,juste avant (Re = 122, 553) elle vaut 2 (regime quasi-periodique a 2 frequences) et juste apres (Re
= 122, 554)
elle passe
a 6,3;
2) dans le domainelturbulent"(Re ~ 122, 554) et pour les valeurs considerees (jusqu'a Re = 200), les dimensions calculees des attracteurs ~ont~ entieres : les attracteurs correspondants
son~
donc,des objets fractals;
3) on constate (toujours pour Re
~
122, 554) une croissance permanente de
la dimension de l'attracteur avec Re, mais cette evolution ne semble pas aller dans le sens dtune saturation de la dimension avec le nombre de Reynolds Re.
527 25.00
cL
22.50 20.00 17.50 15.00 12.50 10.0 7.50 5.00 2.50 0 100 .0 110.0 120.0 130.0 140.0 150.0 160.0 170.0 180.0 190.0 200.0
Dimension de l'attracteur de Lafon en fonction du nombre de Reynolds Re (d
= d(Re)
).
2. La structure et la geometrie des attracteurs etranges,actuellement connus sont le resultat de calculs numeriques de SHDD qui simulent des ecoulements reels de fluides devenant turbulents pour certaines valeurs de parametres sans dimensions caracteristiques (nombres de Reynolds, de Rayleigh, de Taylor, etc ••. ). Nous avons deja di t que l' attracteur etrange a une structure "a la Cantor"crest un ensemble non denombrable compose d'une infinite de couches (de
~euillets)
qui ne sont pas en contact entre elles et sur lesquelles viennent se placer les trajectoires instables hyperboliques et cela de telle fagon que les directions attractives soient tournees vers l'exterieur de l'attracteur etrange. Les bords de ces couches sont relies toire
instable
entre eux d'une
~agon
tres complexe, chaque trajec-
de l'attracteur etrange errant entre toutes ces couches, et apres
un temps assez long passe
aussi pres que l'on veut de tout point de l'attracteur
etrange (c'est justement la propriete d'ergodicite). Le volume global des couches et l'aire globale de leurs diverses sections sont nuls.
528
Ces figures schematisent l'operation de " repliement" qui caracterise la formation de l'attracteur etrange. Sur la section de Lorenz apparait alors l'ensemble de Cantor associe.
529 Ainsi le volume de l'AE dans son espace desphases esttoujours nul, mais il peut etre different de zero dans un autre espace de phases de dimension plus petite! La dimension de l'attracteur etrange est donnee, en particulier, par la formule (21,11), pour d(A). L'existence de la limite dans (21,11) (ou l'on doit faire tendre d'abord t + oo,puis ensuite seulement E + 0) implique que le volume de l'AE est fini dans l'espace de dimension d(A) et pour un E assez petit,on aura
N (A;E) ~ V E-d(A) , avec V o
Ainsi on constate que
N (A;E)
0
Constante.
peut etre considere comme etant le nombre de cubes
d(A)-dimensionnels qui recouvrent, dans l'espace de dimension d(A). le volume V . Naturellement la dimension d(A) ne peut pas etre plus grande que la dimension
o
entiere n de l'espace dffiphases, mais,elle peut etre plus petite et en particulier elle peut etre fractionnaire et c'est justement le cas pour les ensembles de Cantor. En relation avec le raisonnement qui a conduit a la formule (21,17), il convient de noter une circonstance importante. Si l'ecoulement turbulent est deja etabli (si l' ecoulement a "abouti sur un attracteur etrange") alors cet ecoulement d'un SHDD (fluide visqueux) ne se distingue pas en principe d'un ecoulement stochastique d'un systeme non dissipatif ayant une dimension
plu~
petite d'espace
de phases. Cela est lie au fait que, pour un ecoulement etabli,la dissipation visqueuse
qe
d'energi~ en
moyenne, pour un temps suffisamment long, est composee
l'energie apportee par l'ecoulement moyen. En consequence,si on observe
l'evolution temporelle de l'element de "volume" appartenant a l'attracteur (dans un certain espace dont la dimension est definie par la dimension de l'attracteur), alors ce volume sera conserve, en moyenne : sa contraction dans certaines directions sera en moyenne compensee par l'etirement cause par la divergence des trajectoires proches dans les autres directions. C'est justement cette propriete qui a ete utilisee pour obtenir la dimension de Lyapunov D de l'attracteur L (etrange) . De plus,etant donnee l'ergodicite du mouvement
~
l'attracteur etrange,
ses caracteristiques moyennes peuvent etre etablies par voie d'analyse du mouvement le long d'une trajectoire unique, instable, appartenant a l'attracteur dans l'espace desphases (c'est la trajectoire X = X (t) qui a ete choisie au debut du point 3 de la section 21,1).
o
530
3. Mais il faut bien voir que la notion meme d'attracteur dote de DSCI, comporte un double paradoxe et est hautement non intuitive, ce qui explique sans doute la decouverte tardive du chaos a petit nombre de degres de liberte (ou chaos dit deterministe). Le premier paradoxe reside dans l'antinomie "apparente" entre l'attraction, qui implique un resserrement des trajectoires (instables), et la DSCI qui, au contraire, necessite leur divergence (exponentielle). De fait,ce double aspect necessite une dimension minimale pour l'attracteur et donc une dimension minimale pour l'espace desphases (n = 3), ce qui ouvre la voie justement
a l'attracteur
etrange : la divergence des trajectoires s'effectue
suivant une spirale plane, puis les trajectoires emergent, depuis le plan, dans l'espace avec retour et reinjection au centre de la spirale, et ainsi de suite. Naturellement, cela suppose en realite une double operation qui est: l'etirement necessaire
a la
DSCI, suivi d'un repliement sans lequel les trajectoires
ne pourraient rester confineredans un espace borne (yoir les
~igures
de la page
528).
Sur la figure,ci-dessus, nous avons schematiquement represente la divergence de deux trajectoires dans un espace drephases tridimensionnel; les trajectoires voisines 1 et 2 emergent du plan horizontal (P), se croisent sans intersection dans l'espace, et retournent vers la spirale. Ces courbes correspondent
a une
vue simplifiee de l'attracteur de Rossler
dont il a ete deja question au debut du point 2 de cette section 21,2. Precisons que le flot imagine par Rossler est decrit par le SHDD suivant : dX=_y_Z
dt
dY dt
=X +
a Y
dZ
dt
=b
+ XZ - OZ
531
pour a = b = 0,2 et c = 5,7,le
~lot
a un comportement aperiodique, chaotique
(voir: Phys. Lett., 8erie A, v. 57, 1976, p. 397 et v. 60, 1977, p. 392).
a 3,
Ainsi, on peut dire qu' a partir d 'une dimension d' espace des phases egale la notion d'attraction et celIe de D8CI sont reconciliees
a travers
Ie
concept d'hyperbolicite : l'attraction s'opere dans une direction (trajectoires convergentes sur une variete stable), alors que la divergence des trajectoires (sur une variete instable) s'opere dans une autre direction. Done, on constate qu'il existe bien un contre point
a l'attraction,
destruc-
trice d'information : c'est la divergence creatrice d'information et crest
a ce
niveau,que se situe Ie second paradoxe entre attraction et D8CI. En effet, pour que la D8CI soit possible, il
~aut
que la dimension de l'attraction soit plus
grande que 2. Or, nous savons bien que dans un 8HDD (done dans lequel il apparatt un attracteur etrange),il y a contraction des volumes dans l'espace des phases quand Ie temps s'ecoule, ce qui fait quI
a la
limite t
+ oo,le volume de l'attrac-
?
teur etrange doit etre nul, ce qU1 a son tour, dans un espace desphases tridimensionnel implique une dimension plUS uetite que 3 pour l'attracteur etrange.
a trois
Ainsi, dans Ie cas d'un espace desphases
dimensions, un attracteur
susceptible d'etre etrange, done doue de D8CI et pouvant representer un regime chaotique, doit etre tel que
2 < d(A) < 3 et comme consequence d(A) est necessairement, pour l'attracteur A, une dimension non entiere, fractale, ce qui caracterise bien Ie
~ait
qu'il est etrange.
Nous revenons sur les proprietes de l'attracteur etrange de Lorenz section 23,2 du
a la
§ 23.
21,3. LA LOr Of KOLMOGOROV Tout d'abord,un theoreme (de Constantin,Foias et Temam; voir "Memoirs
o~
AMS", # 314, 53, 1985, dont Ie titre est "Attractors representating turbulent flOWS") relie les ECL
a la
dimension de l'attracteur A : m+l "8'il existe un entier n tel que I A < 0, alors 8=1 8 ~(A)
et
m+1 ~(A)
I
8=1
532
Nous allons yoir que l'application de ce resultat permet de retrouver l'estimation du nombre de degres de liberte selon Kolmogorov. A cette fin on considere les equations de Navier sur un domaine borne n et un ensemble X de V (espace de dimension infinie, des champs de vecteurs de carre sommable
ainsi que leurs derivees premieres,
a di~ergence
nulle et
s'annulant sur an), invariant par le semi-groupe associe aux equations de Navier. On suppose que X est borne dans V; on a done Sup
v€x
I
Iv
v(x)1
2
-< +
dx
00
•
n
En dimension deux d'espace,l'existence de tels ensembles fonctionnels
bornes invariants est connue : un exemple en est l'attracteur universel
A (qui
est par ailleurs le plus grand ensemble fonctionnel invariant borne dans V). En dimension trois d'espace,la theorie est tres largement ouverte; en particulier l'existence d'ensembles fonctionnels invariants non
tri~aux
n'est pas connue,
quoique conjecturee par de nombreux auteurs (c'est J.M. Ghidaglia et J. Cl. Saut qui le disent I). Mais lorsque X est borne dans V, on montre la propriete plus forte Sup
Iv
Sup
v€X xen
v(x)1 -< +
00
ce qui permet d'introduire le taux de dissipation vi squeuse par unite de masse et de temps sur X: ].lo
£ =-
Po
liE Sup Sup uoex t++oo
1
t
r 0
Sup xen
Iv
2 U(T ,x) 1 dT
,
ou u est la solution des equations de Navier avec donnee initiale u
O
,
].lo > 0 est
la viscosite dynamique et Po la masse volumique (constante) du fluide. On peut associer
a£
la longueur!
qui est l'unique combinaison de v
o et de
de Kolmogorov :
£ homogene
a une
longueur.
11 s'agit d'appliquer le resultat, enonce au debut de cette section 21,3,
a X au
lieu de A et done d' estimer les exposants de Lyapunov -uniformes sur cet
ensemble. Ces nombres sont lies
a l'operateur
lineaire defini par la linearisation
533
des equations de Navier; l'etude du spectre de ce dernier operateur permet d'etablir que, avec les notations introduites, on a :
et Cj est une constante universelle. I l est clair m sur cette derniere formule, que pour m assez grand, la somme L AS est negative, ~ S=1 que et que le result at enonce au debut s'applique. I l en resulte ou vol (l'l) est le volume de l'l
ou C est une constante universelle et L une longueur macroscopique (vol (l'l)1/3, o par exemple). On notera la similitude de cette derniere estimation avec celle, heuristique, obtenue au debut de la section 20,1. On constate que c'est bien le phenomene de dissipation visqueuse qui impose a la dynamique de l'ecoulement un caract ere fini-dimensionnel. Cela veut dire que la dissipation due a la viscosite (et une propriete de compacite) fait que la partie "interessante" de la dynamique soit de dimension finie (cela a ete exploite pour la premiere fois par Foias et Prodi en 1967) et conduit a l'existence d'un attracteur universel
A
de dimension finie pour le systeme dynamique associe
au systeme des equations de Navier. Cet attracteur universel a l'invariance*) (S(t) A = A , V t l'ensemble S(t) B converge vers de
A (ou
A
~
A
est compact; on
0) et l'attraction (quelque soit B borne de
dans
~
, quand t
+
~,
+ 00). La structure complexe
de certains de ses sous-ensembles) donne un aspect erratique aux trajec-
toires. Enfin, il est utile de noter fonctions qui forment l'ensemble
A
que,dans le cas des equations de Navier,les sont aussi regulieres que les donnees (l'l, p6.r
exemple) • On notera que dans le cas d'un ecoulement a deux dimensions l'attracteur universel
Aa
2
une dimension fractale qui est bornee par C Re , ou C est une 2 2 constante universelle et Re le nombre de Reynolds de l'ecoulement bidimensionnel
considere. Plus ~articulierement, pour le probleme de Benard de la convection on a ." ~ par C Gr (1 + Pr 3/2) ,avec C une constante un1. que cette dern1ere est bornee 3 3 **) verselle ,Gr le nombre de Grashof et Pr celui de Prandtl . • ) Rappelons qu'un semi-groupe { S(t), t ~ O} sur un espace de Banach ~ famille d'applications continues de ~ dans
est une
S satisfaisant : (1) S(O) = identite
(2) S(t )0 S(t ) = S(t + t ) pour tout t , t >, 0 • 2 1 2 1 1 2 •• ) On pourra,a ce sujet,consulter l'article de Ternan ou l'on trouvera les references sur
~,
precises (voir le livre "Theoretical Approaches to Turbulence", edites par Dwoyer, Hussaini et Voigt, chez Springer-Verlag, New-York, 1985; chapitre XIV).
LES SCENARIOS DE TRANSITION VERS LE CHAOS
A l'heure actuelle trois phenomenes clefs: quasi-periodicite, cascade sous-harmonique et intermittence sont bien analyses et sont susceptibles de conduire a un etat chaotique. Malheureusement, a notre connaissance, rien ne permet, partant de la, d'enoncer avec suffisamment de precision sous quelles conditions necessaires (et/ou sUffisantes) ils prennent place. En d'autres termes, on n'est pas encore en mesure de dire: si Ie flot possede telle ou telle structure particuliere,
alors voici ce qui peut (ou doit)
se produire ! Lorsque certaines conditions sont remplies, on est capable de prevoir la maniere dont va apparaitre un comportement chaotique (aperiodique), comment va s'operer la transition. Mais en revanche, ce que ne specifie nullement la theorie du chaos, c'est l'ensemble des circonstances devant etre reunies pour qu'un enchainement determine d'evenements aboutissant au chaos se produise. En bref, la theorie ne definit pas, du moins pas encore, les IJprerequisll d'un comportement chaotique et c'est la, sans nul doute, sa lacune majeure, a l'heure actuelle. Par contre,la theorie actuelle du chaos permet de comprendre Ie deroulement qui mene au chaos Vla les bifurcations et les hypotheses les plus vraisemblables sur les suites de bifurcations conduisant au chaos (a la stochasticite) etant justement les IIscenarios II. II faut, cependant, preciser, une fois de plus ,que jusqu'a present, pour aucune configuration d'ecoulement de fluide visqueux on n'a pu, avec rigueur, preciser quelle suite de bifurcations conduisait a la transition laminaire-turbulent, lorsque Ie parametre caracteristique du probleme croissait A l'heureactuelle trois scenarios sont bien analyses; il s'agit de ceux de Ruelle et Takens, de Feigenbaum et de Pomeau et Manneville et ils sont brievement commentes aux sections 22,2, 22,3 et 22,4,respectivement. Mais,auparavant, a la section 22,1 nous revenons sur Ie scenario "inadequat" de Landau-Hopf.
535 Ruelle et Takens ont montre les premiers les raisons pour lesquelles Ie scenario de Landau etait inapplicable et ils ont suggere de reconstruire un attracteur etrange dans des experiences d'hydrodynamique. Avant de caracteriser un attracteur etrange, deux equipes Ie chaos: blement
fran~aises
a l'ENS a Paris,
ont mis en evidence deux routes (scenarios) vers
Libchaber et Maurer observaient la cascade de dedou-
de periode (dite de Feigengaum, mais qui a ete, en fait, aussi decouverte
par Coullet et Tresser
a la marne
epoque (en 1978)),au cours d'experiences de
convection dans l'helium liquide, tandis que Berge et Dubois au C.E.A. observaient Ie phenomene dit "d' intermittence" qui fut
predit par les chercheurs fran<;;ais
Pomeau et Manneville. Ce dernier scenario consiste en un dereglement intermittent des caracteristiques de l'ecoulement qui presente
des oscillations regulieres
entrecoupees de bouffees chaotiques - la duree relative de ces dernieres augmentant au fur et
a mesure
que Ie systeme devient plus chaotique.
On notera que,lors de certaines experiences particulieres de convection de Rayleigh-Benard,on a reussi
a determiner
la dimension de l'attracteur etrange qui
s'avere etre dans ce cas egale a 2,8 et ce petit nombre infirme bien Ie scenario de Landau et soutient les theses de Ruelle et Takens. Neanmoins,il faut distinguer "transition vers la turbulence" et "turbulence developpee". En effet, si on peut decrire l'experience de la convection de Rayleigh-Benard dans une "petite" boite par un attracteur etrange, il semble que si l'on considere la "vraie" convection atmospherique, au-dessus d'un s'ite reel thermiquement non homogene, la turbulence du phenomene est nettement plus complexe et la caracterisation d'un attracteur est sinon impossible, du moins sans objet dans ce cas. Le chaos deterministe est incontestablement une etape decisive dans Ie probleme de la transition vers la turbulence et, bien qu'il ne permette pas de comprendre (encore !) celui de la turbulence developpee, il ouvre une nouvelle yoie d'approche dans ce domaine.
22,1. LA CONJECTURE OE LANVAU ET HOPF Le scenario de Landau-Hopf de la transition vers Ie chaos est lie
a une
suite de bifurcations normales (sur-critiques) qui,a la limite,engendre un ecoulement quasi-periOdique (22,1) qui possede la periode 2n, d'apres chacun des arguments
536 (22,2)
=~
1/Ik
t
+~ ,
k=J,2, ••• ,N
avec des frequences wJ ' w2 ' ••. , W incommensurables. N Cet ecoulement quasi-periodique limite occupe dans l'espace desphases un domaine
Vq
correspondant
a toutes
sortes de choix possiblffides phases initiales
a J , a 2 , ... aN . Cet ecoulement quasi-periodique limite, conjecture par Landau (J944) et Ropf (1948), est ergodique en ce sens que: la trajectoire qui s'enroule sur cet ecoulement au cours du temps passe aussi pres que l'on veut de tout point du domaine
Vq ,
dont il a ete question un peu plus haut. Cela decoule du fait qu'aux
instants t k = 2 TIk/w 1 , k 0, 1, 2, ••. , lorsque 1/1 (t) = a , la phase de toute J 1 autre oscillation 1/1 (t ) = 2TIk W /W (apres normalisation a l'intervalle [0,2m) 2
k
2
1
peut prendre une valeur aussi proche que l'on veut d'une valeur donnee, quelconque,
a l'avance.
Les fonctions temporelles de correlation pas, en general, vers zero, lorsque t vite comme 1//N
+
des yitesses,dans ce cas,ne tendent
+ 00, mais elles decroissent au debut tres
; le temps T jusqu'au maximum suivant (la periode dite du premier
retour de Poincare) etant tres grand, de l'ordre de T'" exp (aN),avec a'" 1, d'apres Arnold. Mais ce qui est le plus"mauvais"c'est le fait que la suite des bifurcations normales et l'ecoulement quasi-periodique qui en resulte ne sont pas structurellement ~ s etde ce fait ne sont pas typiques en ce sens que les flots (de phases)corres-
pondants a ce scenario de Landau et Ropf ne forment pas, dans l'espace de tous les flots(de phases4un ensemble de Baire*). Pour remedier
a cette
situation Sell(198~a propose de preciser quelque peu
le scenario de Landau-Ropf comme etant une succession de bifurcations de tores k T --> ~+1 en ne demandant pas que les ecoulements sur ces tores soient quasiperiodiques. De telles successions de bifurcations sont possibles en presence d'attracteurs etranges et possedent, dans un certain sens, une stabilite structurelle. 11 faut bien comprendre que les mouvements quasi-periodiques ne presentent pas le
phenomene crucial de dependance sensitive aux conditions initiales; or, ce phenomene est l'une des caracteristiques essentielles de la turbulence, puisque l'on observe couramment que deux ecoulements turbulents, initialement quasi-identiques, deviennent .) Plus generalement,un espace de Baire est un espace topologique separe E tel que l'intersection d'un nombre quelconque d'ouverts denses dans E est encore dense dans E (par, exemple, un espace metrique complet est un espace de Baire).
537
ulterieurement completement differenta, en relation avec le phenomene dit de "divergence exponentielle". Precisons que l'idee de base du scenario de Landau-Hopf, selon laquelle ; l'existence d'une suite de frequences independantes (qui ne sont pas reliees par une combinaison lineaire
a etre fai~
a coefficients
rationnels) conduit finalement le mouvement
tellement irregulier que l'on pourra le considerer comme chaotique, peut"en
tomber en defaut dans divers cas que nous enumerons ci-dessous
1) Lorsque l'une des bifurcations de la suite des bifurcations de Landau-Hopf est sous-critique et qu'apparatt alors le phenomene de transition explosive. 2) Lorsque l'ecoulement de base est
s~able
relativement aux perturbations infinite-
simales, pour tous les Re, mais devient instable aux perturbations finies d'amplitudes "pas trop grandes" et qui, avec Re croissant et caracterisant l'apparition de l'instabilite, diminuent puis tendent vers zero. 3) Lorsqu 'apres l'apparition du tore invariant, du fait de la seconde bifurcation, . . . de la traJectolre ne va pas reCOUYrlr
revenir
a son
fa~on
2 dense ce tore T ; e1 le peut alors
point de depart, apres un nombre fini de revolutions autour de
l'axe du tore, et dans ce cas,cette trajectoire sera fermee et l'ecoulement periodique. Cependant, en vertu du theoreme de Peixoto (dont il a ete question
a la
fin du point 2 de la section 20,5), on a l'impression actuellement que les
trajectoires fermees sur le tore sont "moins""improbables"que celles le recouvrant de
fa~on
dense - ce qui renforce, dans une certaine mesure, la validite
du scenario (modele) de Feigenbaum.
4) Lorsque l'on est en presence de la situation analysee par Ruelle et Takens (voir la section 22,2) qui conduit
a l'apparition,
apres quelques bifurcations
dans l'espace desphases, d'un ensemble de points invariants, qui ne se presente pas comme un tore mais comme un attracteur etrange; le mouvement etant alors non pas quasi-periodique mais aperiodique. Pour conclure ce court commentaire sur le scenario de Landau et Hopf, precisons que Hopf (dans son travail de 1948) a construit un exemple de systeme dynamique (ayant une certaine analogie avec le systeme des equations de Navier, en dimension deux sur le cercle) pour lequel il existait effectivement une suite infinie de bifurcations telle que chacune d'elle conduisait de dimension d'une precedente.
unit~
a un
plus grande que la dimension du tore lie
tore attractif
a la
bifurcation
5~
22,2. L'IDEE DE RUELLE Envisageon~
ET
tout
TAKENS (VERS LE CHAOS VIA LA QUASI-PERIOVICITE) d'abor~les dif~erentes
situations auxquelles peut
conduire un systeme d'equations dont les solutions dependent d'un certain parametre V - selon les valeurs de ce
~
avoir des solutions qualitativement bien
; on sait que Ie systeme peut a priori dif~erentes.
II peut exister, par exemple, une solution stationnaire, c'est-a-dire independante du temps; dans l'espace des phases, elle sera representee par un point fixe. L'evolution du systeme a partir de conditions initiales variees ne correspondant pas a cette solution stationnaire sera representee par un ensemble de trajectoires desphases qui convergent vers Ie point
~ixe
(sous reserve, bien
sUr, que cette solution soit stable et unique, ce que nous admettons implicitement ici). Ainsi, a toute solution stationnaire stable, est associe
un point
~ixe
attracteur dans l'espace des phases. Pour d'autres valeurs de
~
, la solution peut tres bien etre periodique
et non plus stationnaire; en ce cas, la trajectoire(de
phases)estune courbe fermee
(une orbite) que Ie point representatif parcourt avec une certaine frequence ~1 ; on sait que cet attracteur periodique est Ie cycle limite. Naturellement, rien n'interdit d'envisager encore d'autres solutions, par exemple,une fonction periodique faisant intervenir, non pas une seule frequence f 1 , mais deux frequences independantes f
et ~2 ; l'attracteur est alors un tore 2D 1 et,plus generalement,un tore de dimension k, s'il y a non pas deux mais k frequences independantes. Dans cette hypothese, la solution elle-meme presente, au cours du temps, un aspect tres irregulier, qui conduit a la
quali~ier
de quasi-periodique,
car la multiplicite des modes ne permet d'en distinguer aisement aucun. Nonobstant,son allure desordonnee, d'autant plus frappante que Ie nombre de frequences k est plus grand, cette solution possede,neanmoins,un ordre sous-jacent manifeste. En particulier, on voit que, partant de deux conditions initiales tres voisines, c'est-a-dire de deux points de l'attracteur proches l'un de l'autre, les trajectoires ne s'ecartent guere, de telle sorte que Ie desordre apparent est, en definitive,reproductible I Or il existe egalement un type de solution, qualifie de non-periodique (aperiodique), dont Ie comportement est tout a l'oppose : deux trajectoires issues de deux points voisins de l'attracteur de l'autre. Cette
~ois,le
~inissent
toujours par s'eloigner l'l1ne
desordre observe n'est pas seulement apparent; il n'est
plus reproductible et Ie resultat obtenu depend etroitement de la definition des conditions initiales. On
dit,justemen~
dans ce cas que Ie systeme d'equations
presente une dependance sensitive aux conditions initiales (DSCI). L'attracteur correspondant est qualifie d'etrange, car, si toute trajectoire y reste confinee, rien ne permet de savoir a l'avance Ie chemin qu'elle empruntera.
539
En resume, une difSerence tres pro£onde separe solution quasi-periodique et solution non-periodique. Pour autant que les conditions initiales soient connues avec une precision convenaole, on peut predire ce que deviendra la premiere solution, quasi-periodique. Dans le cas de la seconde solution non-periodique, en revanche, cette prediction exigerait une precision infinie, c'est-a-dire inaccessible, par definition: une petite erreur dans la condition initiale entrarne, au cours du temps, une erreur importante au niveau de la solution (divergence exponentielle). On doit a D. Ruelle et a F. Takens d'avoir
etabl~
en 1971,tres clairement
cette distinction capitale. 11s ont egalement montre que la stabilite d'un attracteur etrange est beaucoup plus forte que celle d'un tore de dimension k. Une legere perturbation des equations suffit, en effet, a faire disparartre ce dernier si k est
~
3,
alor~
qu'au
contraire,l'attr~cteur etrange,
lui, suosiste.
Sur la base de ces resultats, Ruelle et Takens ont avance l'idee que l' apparition de la turbulence temporelle (le chaos), type meme de dyna:mique irreguliere, devait etre decrite par des attracteurs etranges, ou encore etait un phenomene essentiellement non-periodique. Le resultat fondamental du travail de Ruelle et Takens est que : trois degres de liberte suffisent pour engendrer ce gue lIon appelle une turbulence faible, caracteristique des systemes a petit nombre de degres de liberte. On constate que l'idee de Ruelle et Takens prenait le contre-pied de la conjecture de Landau et Hopf, selon laquelle la turbulence resulterait de la superposition d'un nombre, a la limite "infini", de modes fondamentaux, c'est-adire : serait un regime quasi-periodique generalise. L'etude experimentale du flux circulaire de Couette et de la convection de Rayleigh-Benard a faible rapport d' aspect confirmEl" sans equivoque, la validite du point de vue developpe par Ruelle et Takens - la turbulence faible s'etablit en guelques etapes, peu nombreuses : quatre bifurcations peuvent suffire; c'est un regime non-periodique dont la transformee de Fourier contient une bande large au lieu de raies resolues (voir la figure ci-apres) .
t
Amplitude
Frequence
MODELE DE LANDAU-HOPF DU CHAOS
540
Fr~quence
REGIME REEL DE LA TURBULENCE FAIBLE CONFORME A L'IDEE DE RUELLE-TAKENS.
Le scenario de Ruelle-Takens (de 1971) a ete precise,en 1978, dans un article en commun avec Newhouse (dans: Comm. in Math. Physics, 64, 1978, p. 35) et on pourra lire aussi avec profit le petit livre recent de Ruelle (Chaotic evolution and Strange attractors; Cambridge University Press, Cambridge j989). Notons encore que diverses experiences delicates (par exemple, celles
a New-York)
de Gollub et Swinney au City College
ont bien Eontre que la conjec-
ture de Landau sur l'etablissement d'un spectre de frequence continu,
a la
limite, caracteristique de la turbulence, n'etait pas satisfaite, en ce sens que lorsque l'on augmente le parametre
~
decrivant le systeme, l'installation du
spectre continu se fait rapidement et sans accumulation de nombreuses frequences discretes independantes. Ainsi, il semble bien que l'apparition de la turbulence corresponde
a l'emergence
d'attracteurs etranges dans l'espace des phases.
541
, 0 -- @
•
Ll
.--
••• (Ll, Ll ' . Z
lol,.l
'
lJ,
<
R1
R.
R2
<.
<. co
(a) Route yers 1e chaos d'apres Landau.
ATTRACTEUR ) ( ETRANGE
(b) Route vers 1e chaos d'apres Rue1le-Takens et Newhouse.
Sur 1a figure, ci-dessus, nous avons schematise les routes vers le chaos d'apres Landau (a) et d'apres Ruelle-Takenset Newhouse (b). La maniere qui semble la plus sure de mettre en evidence l'existence d' attracteurs etranges est de tirer parti de leur caractere fractal et d' evaluer les grandeurs caracteristiques qui leur sont associees (dimension, entropie de Kolmogorov ou exposants caracteristiques de Lyapunov). En fait, apporter la preuve, pour autant que cela puisse se faire, que l'on est en presence d'un attracteur etrange et en evaluer la dimension passe necessairement par l'etude de la trajectoire representative de l'evo1ution du systeme dynamique dissipatif dans un espace des phases judicieusement choisi et pour lui-mem~
cel~
il faut savoir definir l'espace dffiphases
ce qui n'est pas toujours eYident dans le cas de l'ecoulement d'un fluide
visqueux. On sait qu 'un espace desphases de dimension au moins egale condition necessaire
a l'existence
a3
est une
d'un attracteur etrange, mais cette derniere
n'est pas suffisante(en ce sens que l'on peut avoir transition vers le chaos 2 partir d'un tore T ). Pour terminer, il est
instructi~
a
de reprendre la sequence de trois bifur-
cations de Hopf successives, dont il a ete question
a la
section 22,]. La premiere
conduit de l'etat stationnaire de depart (ce qui correspond dans l'espace des phases
a un point fixe; dimension O~))a un etat periodique (cycle limite; dimension j) . • ) Naturellement,la dimension de l'attracteur ne doit en aucun cas etre confondue avec la dimension de l'espace des phases dans lequel il est plonge.
542
La seconde bifurcation de HopS transSorme le reg~e periodique (f 1 ) en un regime quasi-periodique (f , f 2 ; mais S1/S2 irrationnel). L'attracteur correspondant 1 est la surface d'un tore T2 dont la dinension est 2. Sur cet attracteur,la seule instabilite des trajectoires qui puisse se produire aboutit
a la
synchronisation
et dans ce cas,f /f devient rationnel (pour plus de details on pourra consulter 1 2 avec profit l'Annexe C du livre de Berge, Pameau et Vidal (J984)). La troisieme bifurcation de Hopf fait passer, dans l'approxination lineaire, du regime quasi-
a deux frequences a un regime quasi-periodique a trois frequences 2 (f , f , f ; tore T3 ). De meme que le tore T est un attracteur de dimension 2, 1 2 3 le tore T3 est un attracteur de dimension 3. Plus precisement : le tore T3 peut2 ~ ~. ~ dans lR 3 comme T2 peut 1 , etre ~ 2 D etre deplle dans lR. ans le d cas ut ore T 1 es t raperiodique
jectoires sont,tout naturellement,astreintes a decrire des segments inscrits sur 2 3 un rectangle (surface de T deplie). Par contre,les trajectoires du tore T naviguent dans un cube euclidien, de telle sorte qu'elles peuvent tres bien ne pas etre paralleles, sans pour autant se couper. Ainsi,le degre de liberte supplementaire (qui correspond
a l'apparition
d'une nouvelle frequence i'3 dans le regimenecessitela
prise en compte d'une dimension supplementaire de l'espace des phases), revele par l'apparition de la troisieme frequence, apporte un element radicalement nouveau
a la situation anterieure et il permet le developpement d'instabilites 2 d'un type different de la synchronisation, seule possibilite existant sur un tore T .
par rapport
C'est ainsi, que l'on peut essayer d'interpreter par des considerations topologiques elementaires l'idee qu'il est necessaire d'avoir au moins trois degres de liberte (done trois bifurcations de Hopi' successives) pour avoir la "chance" d'atteindre le chaos decrit par un attracteur etrange. Mais,de petites perturbations ne sont pas toujours suffisantes pour destabiliser un tore T3 et le transformer en 2 un attracteur etrange; Ie chaos pouvant apparaltre comme la destruction d'un tore T , sans apparition d'une troisieme frequence, Ie degre de liberte se manifestant alors 2 par un abandon progressif de T par les trajectoires. On notera que Ie theoreme de Poincare-Bendixson (voi~a ce sujet,le livre de Hirsch et Smale: Differential Equations, Dynamic Systems and Linear Algebra, Academic Press, New-York 1965) exclut la possibilite d'apparition du chaos dans un domaine borne de l'espace a deux 2 dimensions et,en particulier,sur un tore T En fait, apres deux bii'urcations de Hopf,l'apparition d'un attracteur etrange n'est pas seulement possible mais il semble "pratiquement" inevitable, d'apres Ie travail de 1978 de Ruelle-Takens et Newhouse.
543
22,3. LE MOVELE VE FEIGENBAUM VE VEVOUBLEMENT VES FREQUENCES EN
CASCAV~)
Nous avons dej~ mentionne (au point 2 de la section 20,5) le phenomene de la cascade sous-harmonique : lorsqu 'une trajectoire periodique sur un tore T2 le contourne, jusqu'a fermeture n fois, alors la bifurcation est sous-harmonique et elle est caracterisee par une augmentation subite de n fois de la periode au moment de la bifurcation. Feigenbaum (Universal behavior in nonlinear systems, dans Physica 7D, 1983, 16-39) a propose une route vers le chaos basee sur une suite de bifurcations sous-harmoniques avec des periodes se dedoublant. 11 s'avere que ce processus de dedoublement se rencontre dans divers problemes de representations iterees et de systemes dynamiques simpJes. Lorsque le nombre de dedoublement, n, croit,le comportement de ces systemes commence a etre gouverne par des lois asymptotiques determinees, dans la fOrmulation desquelles s'introduisent des constantes et des fonctions universelles independantes du systeme etudie. En fait, ces lois asymptotiques commencent
~
etre verifees de
fa~on
de n "pas tellement elevees". En particulier, les valeur dimension de bifurcation tendent vers
~oo
exacte pour des valeurs
}In du parametre sans
pour lesquelles les bifurcations ont lieu (dedoublement)
comme une progression geometrique et pour des n assez grand,on a :
(22,3) qui est l'une des constantes de Feigenbaum. D'autre part, pour n
+
00, dans les cas etudies, le spectre energetique
de l'ecoulement est tres proche du spectre continu avec des proprietes universelles bien determinees. Pour
~
=
~oo,l'ecoulement
semble bien etre aperiodique et s'effectue
sur un attracteur etrange. On montre, par exemple, que le systeme de Lorenz a un comportement de ce genre lorsque le parametre de bifurcation rest suffisamment grand. L'attracteur etrange de Lorenz qui apparait pour r = 24,74 se conserve jusqu'a la valeur de r
= 250
et lorsque rest sensiblement plus grand que 250, il existe une trajectoire
periodique. De ce fait,lorsque r diminue yers cette valeur r suite de dedoublement pour les valeurs r = r superieures vers r
= 250
de telle
fa~on
que
n
250, il existe une
et la suite Ir } tend par valeurs n
.) C'est une route vers le chaos (temporel) qui consiste en une cascade d'instabilites parametriques dans laquelle un signal periodique voit a chaque etape doubler sa periode.
544
(22,4) On notera que, dans le modele de Feigenbaum, la suite des points de bifurcations s'accumule en un point limite pour une yaleur finie du parametre de contrale. Ce mecanisme de Feigenbaum ayant un caractere
uniYerse~ en
ce sens que
la distance entre deux points de bifurcations yoisins decroit aussi comme une progression geometrique, soit 4,67 fois et ce nombre est independant de la forme concrete du systeme dynamique considere mais,est lie uniquement a la presence d'un extremum simple de la fonction du premier retour de Poincare, dont il a ete question a la section 20,3-) • 11 est aussi interessant de souligner que, lors du mecanisme de Feigenbaum,
le spectre se remplit au fur et a mesure comme consequence du dedoublement des frequences pour chaque bifurcation et la trajectoire aperiodique qui en decoule dans l' espace des phases a la forme d' un "echeveau" ayant une infinite de revolution a l'interieur d'un tore dont l'axe est proche du cycle initial. Ce dedoublement spontane de frequencesdes oscillateurs non lineaires est bien connu des electroniciens en tant que phenomene dans les systemes auto-oscillants. Le dedoublement se produit generalement quand on augmente le parametre II
definissant
l'intensite relative des non-linearites. Cette transition (entre deux comportements ordonnes) est continue dans le sens suivant : a la transition, la frequence fondamentale (i.e. la frequence la plus basse des raies du spectre de Fourier) passe de f o a f o /2et l'amplitude de la raie sous-harmonique (a f /2) croit continiiment o a partir de zero, lorsqu' on fait varier le parametre de contrale }.I au-dela de la transition. Ce dedoublement elementaire peut en fait se produire un nombre infini de fois lors de la variation finie du parametre de contrale
ll: la frequence fonda-
mentale est alors indefiniment divisee par 2 et devient nulle a la fin du processus. Le resultat de cette suite infinie de dedoublements est la turbulence temporelle ou chaos, puisqu'une frequence fondamentale nulle signifie que le systeme ne se reprodui t j amais tel quel et n' a donc pas de correlation de portee finie.
1Ii) On pourra aussi, a ce sujet lire l' article de Cnulle"t et Tresser dans le
nO special 1984 du J.M.T.A. (voir les pages 2J7 a 240).
545
D' autre part, le changement de la dynamique induite par la variation du
parametre de contrcle ~ , lorsque la rrequence fondamentale passe de r /2 n a o n+1 . . . . .r I2 se reprod~t, en un certa1n sens, 1dent1quement au dedoublement suivant o n 1 n passage de f !2 + a f !2 +2 . On retrouve la une "invariance d'echelle" familiere o
0
dans d'autres domaines de la physique (en particulier, en mecanique statistique d'equilibre des phenomenes critiques). L'analyse detaillee du dedoublement en cascade fait d'ailleurs appel au Groupe de
Renormalisation~),
qui est la technique
mathematique d'etude pour les phenomenes invariants d'echelle. Quand cette invariance existe, une variation d'un parametre physique (tel que le parametre de contrcle V ) peut etre resorbee par une variation (changement d'echelle) de la finesse avec laquelle on examine les phenomenes. Pour le dedoublement de rrequence en cascade et au voisinage du seuil de la turbulence (temporelle), une variation du parametre de contrcle equivaut a un changement d'echelle consistant a diviser (ou a multiplier)
toutes
frequences par une certaine puissance de 2 et a changer
d'unite pour mesurer l'intensite des raies sous-harmoniques duspectre de Fourier. Comme dans le cas des phenomenes critiques, l'invariance d'echelle s'accompagne ici egalement de divers exposants "universels". On not era que l'explication de cette universalite a ete donnee independamment par Feigenbaum (1978) et Coullet
' 8) qU1 et Tresser (1--21.-,
..-
ont app11que
. .-
lKlII)
les- 1dees du GR
.
Par exemple, dans le cas du probleme de Rayleigh-Benard, successivement n 1 pour Ra = Ran (n = 2, 3,4),le cycle de periode 2 - T perd sa stabilite au profit du cycle de periode tJ-T et l' accumulation de ces bifurcations pour Ra = Raoo
conduit
a la divergence de la periode du signal, ce que l'on peut caracteriser par la donnee de l'exposant
(22,5)
0, critique, derini par Lim n->oo
Ran - Ra _ n 1 Ran + 1 - Ran
La mesure experimentale raite sur les dernieres birurcations observees, .) On pourra lire,a ce suje~ avec prorit la "Nobel Lecture" de Wilson (1983) ou lIon trouvera de nombreuses rererences sur le GR et son application a divers problemes de la physique . •• ) Feigenbaum: J. Stat. Phys., vol. J9, 1978, pp. 25-52. Coullet et Tresser Compte Rendu a l'Academie des Sciences, Paris, t. 287, 1978, pp. 577-580.
546
d'apres Fauve (N° special 1984 du J.M.T.A., pages 45 en bon
accord
a 76),
conduit
a0
4,4 + 0,1 ,
avec la valeur asymptotique 4,67.
Ainsi,la route vers le chaos de Feigenbaum peut se caracteriser par les proprietes suivantes : - il existe une cascade infinie de periodes "dedoublees" qui conduit
a l' emergence
de
sous - harmoniques ayant des frequences 2-n f , ou fest la frequence de base, o 0
a un
- chaque sous-harmonique suivante se trouve
niveau qui est m fois plus petit que
le niveau de la precedente et on a 10 Log m
= 13,5
,
- la variation du parametre de bifurcation r qui conduit
a la
suite des n sous-
harmoniques, est decrite par la relation (22,6)
r
le systeme
a une
n
application de Poincare unidimensionnelle qui possede un maximum
quadratique unique. En particulier, dans les experiences liees au probleme de
Benar~
on a bien
mis en evidence la suite sous-harmonique f 14 , f 18 o
0
et
f IJ6 0
et la valeur de m est en bon accord avec la theorie. Cependant, il ne semble pas que l'on soit arrive
a modeliser
le systeme hydrodynamique correspondant
convection de Benard, au moyen d'une
a la
simple application unidimensionnelle de
Poincare avec un seul maximum (quadratique). Mais d'autre part, il faut noter que la technique du GR, appliquee dans le cadre d'un modele simple unidimensionnel, permet non seulement de decrire les proprietes de la transition pour ce modele, Eais aussi de comprendre pourquoi la physique representee par les equations differentielles initiales s'oublie naturellement au voisinage de la transition; le modele simple choisi constituant alors un modele "universel" rigoureux de cascade de dedoublement de periodes (cascade dite aussi parametrique). Dans le travail de Coullet et Tresser (de J984),il a ete considere l'application f
r
(x)
r x (j-x)
547
et un algorithme geometrique simple pour construire les images successives d'un point par fest presente sur la figure ci-dessous. r
Le n
eme
itere de f
r
sera
~ r
=\. f r
0
f
r
o •••
0
f
r~
n fois 11 s'avere qu' une infinite d'orbites periodiques peuvent apparaitre quand r varie de 0
a4
et des qu'il y a une infinite d'orbites periodiques, on peut
trouver des r tels que f
r
soit '~raiment' chaotique. A cette fin,il suffit de
construire dans le domaine I
o
= [O,4J,de
variation de r, une suite d'intervalles
emboites I n tels que, si r varie de la borne inferieure a la borne superieure de , neme I , l'evolution de l'itere 2 de f res semble pour l'essentiel a l'evolution de n r f quand r passe de 0 a 4. L'intersection des intervalles emooites In est un point r r qui peut s'interpreter comme la limite d'une cascade de dedoublement en r a sa c
n
gauche. Cette structure est en fait independante du caract ere quadrati que choisi pour f
r
et peut s'interpreter comme une forme d'''universalite'', au sens 011 cette
structure ne depend essentiellement pas des details de la famille
a un
parametre
considere. Sur la figure, ci-apres, nous
presentons le graphe de ~OOO 011 apparait
(sur le cote de droite) l'ensemble du type de Cantor associe.
r
c
'
548
I
~ l~~
r
~A;
DA:D~l ,
B'
o0" C~
B~
Dei
x
Emergence de l'ensemble de Cantor associe.
presente bien un phenomene d'invariance d'echelle et cela rc suggere le caract ere pro fond de l' analogie entre le type de transition vers le chaos On montre que f
etUdie ici et les phenomenes critiques, ce qui permet de retrouver la relation r n+ 1 - r n
(22,8) et elle peut s'exprimer aussi par alors de
n
r n - r n- 1
fa~on
r
equivalente :
(22,9)
P
n
'V
(r
c
- r
n
)
c
-\1
- r
n
·v
'V
..
u
-1
<5-
("
equivalente a... ( 22,5 ))
n
. Cette derniere relation s'ecrit
\I-~ - Log <5
P = 2 n
n-1
,
et on peut reconnattre ainsi une loi de puissance caracteristique des phenomenes critiques. Nous donnons,ci-dessous,sur la figure (a) les points de bifurcations de l'iteration de la fonction ?(x) pour n>300 et sur la figure (b) l'exposant r
caracteristique de Lyapunov A en fonction de r*)
a ce sujet le livre de Schuster (Deterministic chaos-An Introduction; Physik-Verlag, Weinheim, 1984; voir le chapitre 3).
¥) On pourra consulter
549
x
o
r (s') J
'1
l}
I 1.'1
,
/'
"
I
\
/
/ !
\
!
i
\ \ ;
Au vu de ces
fcjl11
~2
~igures,on
i
i I
'\, i(if II
\' ill \1
j1
"rrlllI I I' I II
I
~
I
I
r I
I
4 r
i' !
1/
\i 1
I
doit distinguer un regime de bifurcations pour
1 < r < rc'ou l'exposant caracteristique de Lyapunov reste toujours negatif (il est egal
a zero
uniquement aux points de bifurcations r ) et un regime chaotique n
550
< r ~ 4, ou une grande partie des valeurs de A sont positives, ce qui c caracterise bien le comportement chaotique. On not era que ce regime chaotique est
pour r
interrompu par des r-renetres, ou la suite {rn(x)} periodique,ce qui correspond
a A<
devient de nouveau
r
a la
limite
O. On notera aussi que les distances dn satisront
a la relation
(22,10)
d
= 2,50
n/dn + 1
- a
pour n »
1
est l'une des constantes de Feigenbaum. De plus les Rn sur la figure (a) sont tels que
et a
29 07 87 50
R
n
et R c
- R
c
Constante
<S
-n
r = 3,5699456 ... c Precisons,enfin,que la region representee sur la rigure (a) ci-dessus
correspond, bien a celle d'une cascade de dedoublements de periodeset qu'ensuite (lorsque le parametre r de stochasticite crott),elle est suivie d'une cascade lnverse. Quand r devient superieur arc' les mouvements sont chaotiques : le n "bruit" detrui t tout d' abord le sous-harmonique f 0/2 (dans les experiences n = 4); les points de coupe de Poincare se repartissant alors sur une courbe. Au cours de la cascade inverse,les sous-harmoniques disparaissent dans l'ordre inverse de leur apparition et lors de cette destruction,on observe des "accrochages" de rrequences. L'accrochage de frequences semble avoir ete mis en
evidenc~pour
la premiere rois,
dans les experiences de Gollub et Benson.
22,4. LE SCENARIO OE POMEAU
ET
MANNEVILLE OE LA TRANSITION VIA L'INTERMITTENCE
On trouvera un expose relativement camplet et des plus pertinentssur "les intermittences" au chapitre IX du livre de Berge, Pomeau et Vidal (l'ordre dans le chaos; vers une approche deterministe de la turbulence, chez Hermann a Paris, 1984). En mecanique des rluides, l'intermittence se manireste dans divers types d' ecoulements sous l' appari tion (au sein de l' ecoulement laminaire)
de "bourrees"
de turbulence. 11 est fort probable que la plupart des phenomenes d'intermittence en mecanique des fluides ont leur origine dans la structure spatiale des phenomenes. Mais,il existe,neanmoins,une intermittence temporelle et dans le cadre de la theorie des SHDD
a petit
nombre de degresde liberte,il s'avere que trois types de transi-
tion par intermittence peuvent exister. Decrivons brievement la phenomenologie commune a ces trois types de transition par intermittence. Pour une valeur p d'un
551
parametre de controle inferieure
a une
valeur critique ~., le SHDD en question
a un comportement de cycle limite: il est le siege d'oscillations regulieres, stables pour les petites perturbations. Lorsque ~
depasse tres legerement ~~
(seuil d'intermittenceh on a un regime dynamique intermittent : les oscillations regulieres sont interrompues de temps- en temps par des fluctuations "anormales"
a peu
dont l'amplitude et la duree sont
pres les
~emes
d'une fluctuation
a l'autre
et dependent peu de ~ . Cette transition est dite intermittente car lorsque ~
~.
+
dans la region intermittente (~ > p~ mais assez proche de V~\ ces fluctuations deviennent de plus en plus rares pour disparaitre completement dans la region ~
<
~
llf
(
•
ma~s
assez proche de
"')
~
.
G II
III
La classification en intermittence de type I, II et III (d'apres Pomeau et Manneville) repose sur celle des trois types d'instabilite lineaire des trajectoires
periOdiques~)
: traversee du cercle unite du multiplicateur par +
.) Selon ce que nous- avons dit
a la
section 20,3 du
§ 20.
j
552
(type I), - J (type IIl)ou encore par deux valeurs propres complexes conjuguees (type II). Pour les types II et III, l'intermittence n'est possible que si la bifurcation est sous-critique, c'est-a-dire si les efSets non-lineaires tendent a accroitre l'instabilite. Au contraire, pour l'intermittence de type I, la question de savoir si la bifurcation est sur- ou sous-critique ne se pose pas, car il n'existe a proprement parler qu'un seul type generique de bifurcation qui -en un certain sens - est toujours sous-critique. 1. Intermittence de type I. Dans ce cas, la trajectoire periodique stable pour p < p~
se destabilise (et,en fait,disparait) en p
de '"l'operateur
= p~
parce qu'une valeur propre
de monodromie (matrice dite aussi de Floquet) sort du cercle unite
du plan complexe par + 1. Il s'avere que l'intermittence de type I peut avoir lieu, en particulier, pour certaines transitions entre deux comportements reguliers(non chaotiques}telles qu= periodique vers quasi-periodique. Mais elle peut aussi avoir lieu entre regime periodique et regime turbulent (c'est le cas pour le modele de Lorenz) . Pour prouver que l'on est bien en presence d'une intermittence du type I, il faut que la construction numerique d'une application de premier retour, liee au systeme dynamique analyse :
d'apres (20,19), montre de fa.;on explicite le phenomene dit "d'ouverture du canal", caracteristique de cette intermittence de type I. Sur la figure,ci-dessous,on a schematise l'ouverture d'un tel canal lorsque p
est un peu plus eleve que ~.
B
fixe attractif ~amique
voisinage
sur la vanete centrale (dim 1) nfant-Bme~nt fixe.
du
au
553 Dans ce cas,les iteres successifs s'accumulent dans la partie la plus etroite du canal. II n'existe plus pour ~ ~~.
de point fixe de l'application
de premier retour dans la region consideree et une iteration partant de la region inferieure A va systematiquement deriver vers la region superieure B. La region du "canal'~ ainsi mise en evidence est tres voisine de la region des points fixes qui existaient pour ~ < ~• • Done, si l'on reprend l'enregistrement continu (en temps) de la trajectoire du flot continu lors du passage dans Ie canal pour l'application de Poincare, on trouve une dependance en temps tres voisine de celIe des oscillations stables existant pour ~ < ~* . Mais,ces oscillations ne sont pas stables puisque la transformation de premier retour n'a plus de point ~ixe dans Ie voisinage de ~. et qu'il n'Y a done plus de solution periodique - stable ou non - du systeme dynamique correspondant, voisine du cycle limite Maintenant,on notera que Ie nombre d'iterations necessaire pour traverser Ie canal est d'ordre
1~_~*1-1/2 et
prem~ere loi d'echelle 1~_~*1-1/2 lorsqu'on se
on trouve,ainsi,une
la duree moyenne des phases laminaires diverge comme rapproche du seuil.
Lorsque la transition intermittente se fait entre regime periodique et regime "turbulent", Ie nombre de Lyapunov y (~), caracterisant Ie taux d'instabide 1 'ordre de ~ - ~*11/2 pres du seuil
I
Iite des traj ectoires turbulentes~ devient
d'intermittence. Ceci confirme aussi que les bouffees de turbulence sont chaotiques, en ce sens qu'elles detruisent bien la correlation temporelle du signal avec lui-meme. On notera enfin que la question du comportement des solutions intermittentes en dehors de la region du canal est liee intimement au phenomene de relaminarisation, c'est-a-dire au processus qui permet de rentrer de nouveau dans Ie canal apres en etre sorti. 2. Intermittence de type III. Tout d'abord, dans ce cas, Ie processus de relamina2 risation ne peut pas avoir lieu sur un tore T , alors que cette possibilite existe pour l'intermittence de type I. Alors que pour l'intermittence de type I cette relaminarisation resulte du passage oblige a travers Ie canal, on ne trouve rien de tel pour l'intermittence de type III, puisque la traversee du cercle unite par Ie multiplicateur ne s'accompagne
~
de la disparition du point fixe de l'appli-
cation du premier retour. A la section 23,2 du
§
23,nous presentons un cas d'inter-
mittence de type III pour Ie cas de la convection de Rayleigh-Benard. Lors de l'intermittence de type III, les phases laminaires peuvent etre vues comme des phases du mouvement au cours desquelles, Ie sous:- harmonique est amplifie jusqu I a une sorte de "catastrophe finale" marquant Ie debut de la bouffee turbulente. L'exposant de Lyapunov, caracteristique de la turbulence, croit comme I~-~ * 1
554
dans la phase intermittente. Enfin, le de~arrage des neriodes l~~inaires a lieu au hasard dans le
voisina~e
du point fixe instable.
3. Intermittence de tyPe II. Dans ce cas,une trajectoire periodique perd sa stabilite lorsque deux multiplicateurs complexes conjugues sortent du cercle unite du plan complexe. La fluctuation instable croit alors exponentiellement en module (dans l'approximation lineaire naturellement) et tourn~ en meme temps, dans son plan d'un angle fini,a chaque iteration. Dans ce cas on peut se convaincre, a partir d'une description assez elementaire, que l'exposant de Lyapunov y (£), avec
£
~ ~
-
p~, satisfait a la loi de comportement:
Log (liE) On notera que pour l'intermittence de type III,la variete instable est une ligne et - a priori - la periode laminaire demarre au hasard dans le voisinage du point fixe instable sur cette ligne. Au contraire, pour l'intermittence de type II, la variete instable est a deux dimensions, la duree de la phase laminaire etant encore determinee par la distance du point de depart des iterations au point fixe. En conclusion de cette courte analyse de l'intermittence,nous pouvons dire que ce phenomene s'explique, en fait,de faqon assez imagee par la presence (pour le type I) de nombreuses "marches" a l'interieur du canal etroit qui se forme lorsque ~ > 11* (mais "assez pres" de ~ll!). Dans ce cas, au cours de nombreuses iterations (pendant un temps "tres long"),la trajectoire du flot reste proche de la trajectoire initiale periodique. Ensuite, a la sortie du canal (la ou les marches deviennent de plus en plus grande~ apparaissent des fluctuations brusques de la trajectoire puis de
nouvea~au
retour dans le canal, on aura de longs inter-
valles ou l'ecoulement restera proche de l'ecoulement periodique.
LES ECOULEMENTS DE COllETTE-TAYLOR ET DE RAYLEIGH-BENARD
Ce
§ 23, qui clot ce Cours, est donc cons acre
a la
description de la
transition vers le chaos dans deux types d'ecoulements des plus classiques qui ont fait l'objet de nombreuses experiences en laboratoire,
de simulations
numeriques et d'analyses theoriques. Depuis maintenant un siecle,l'etude de ces deux ecoulements participe et contribue directement aux progres realises dans la comprehension des phenomenes complexes de la mecanique des fluides et plus particulierement
a ceux
lies aux bifurcations, a la transition laminaire-turbulent, a
l'apparition du chaos et enfin,a la turbulence elle-meme. Les etudes aussi bien theoriques, numeriques qu 'experimentales, concernant la transition vers un regime chaotique, ont connu
depuis une yingtaine d'annees
des developpements importants qui ont montre, en particulier, le bien fonde des divers scenarios discutes au
§ 22 precedent.
Ces deux problemes de Couette-Taylor et Rayleigh-Benard,du fait de leur confinement (faible rapport d'aspect pour le cas des cylindres coaxiaux et petite borte pour le cas de la convection thermique),conduisent
a l'emergence
d'un petit
nombres d'etats accessibles, ce qui facilite l'experience et le bon accord avec la theorie actuelle du chaos deterministe. On trouvera dans l'article de Cognet (nO special 1984 du J.M.T.A., pp. 7 a 44) une presentation relativement complete des etapes de transition de l'ecoulement de Couette-Taylor Yers la turbulence: regime periodique,puis quasi-periodique, enfin turbulence faible. Nous ayons
tire,nous~emes,des informations
inte-
ressantes de cet article, lors de la mise en forme de l' expose de la section 23,j
cons acre " a la transition vers le chaos en ecoulement de Couette-Taylor". Pour ce qui concerne les resultats theoriques bases sur la theorie des bifurcations-, on noter~tout d'abor~les
travaux de l'Ecole de Nice (Iooss, Chossat, Demay, Coullet ),
toujours pour ce qui concerne le probleme de Couette-Taylor. Pour le probleme de
556 la transition vers le chaos des ecoulements convecti~s (principalement liee au probleme classi~ue de Rayleigh-Benard), notons l'article de Fauve (dans le meme nO special 1984 du J.M.T.A., pp. 45 a 76); mais nous aurons l'occasion a la section 23,2 cons acre "aux etapes vers le chaos dans la convection de Benard" de citer d' autres rererences relatives aux experiences en laboratoire,
aux
simulations numeri~ues et aussi aux analyses theori~ues basees sur les e~uations d'amplitudes. A cette section 23,2,on trouvera, en particulier, une analyse assez detaillee du modele 17,5 du § 17) et
classi~ue
~uel~ues
de Lorenz
a deja fait l'objet de la section
(~ui
resultats des calculs
numeri~ues,
recents, d' Errafiy
concernant la convection de Rayleigh-Benard profonde (dont il a ete la section 17,6; §17) a partir d'un systeme
dynami~ue
~uestion
a
de dimension 15.
23,1. TRANSITION VERS LE CHAOS EN ECOULEMENT VE COUETTE-TAYLOR Suite a ce ~ui a ete deja dit a la section 39,3 du § 19 nous exposons tout d'abord, brievement, la
dynami~ue
des experiences en laboratoire
des transitions vers le chaos, a la lumiere
Ensuit~
bases sur la theorie des bifurcations
nous donnons
a partir
1. Dynamigue des transitions. Lors de cette
divers resultats
d'e~uations
dynami~u~ deux
theori~ues
d'amplitudes. parametres
geametri~ues
jouent un role important : A
et
(23,1)
=r
h__ 2
-r
(rapport d'aspect),
2
< r < r et h la hauteur des cylindres coaxiaux (A = 00 correspond au cas de 1 2 cylindres infinis). C' est en 1975 ~ue Gollub et Swinney ("Onset of turbulence in ou r
a rotating fluid"; Phys. Rev. Let. nO 35, 1975, pp. 927-930) apportent une premiere reponse experimentale aux nouvelles propositions
theori~ues
basees sur le chaos
deterministe : l'apparition de la turbulence (du chaos) est consecutive transitions, chacune ajoutant une
fre~uence
au mouvement (2
~re~uences
a trois
fines et
une fre~uence large). Des lors, l'interet pour ce type d'ecoulement s'est trouve ampli~ie
et le nombre de travaux
~ui
lui est consacre
Tout d' abord, un certain nambre de travaux a.
n' a fai t
~ue
ete consacre
crottre.
a.
l' etude
du developpement du mouvement secondaire dans son evolution spatio-temporelle lorsque le nombre de Taylor est accru rapidement d'une valeur subcritique (eventuellement a partir du repos) a une valeur supercritique. On a
montr~
experimentale-
ment, que la vitesse de croissance (ou d'amortissement) des cellules de Taylor varie
557
comme
E:
a la
(ecart
valeur du seuil) dans un domaine relati vement large autour de
1Ii
He . En particulier, avec une croissance de l'ecoulement de 2
a3
~uasi-stati~ue
de la vitesse, la transition
ondes azimutales suit un chemin deterministe et les transi-
tions qui sont obtenues apparaissent comme la consequence d'une compression d'une paire de cellules due
a la
croissance de l'amplitude des ondes. 8'agissant du chan-
gement du nombre d'ondes azimutales, on constate qu'il apparait une dissymetrie dans le train d'ondes, initialement parfaitement regulier, au profit d'une des ondes qui voit son amplitude s'accroitre sensiblement, alors que les autres ondes s'attenuent.Ulterieurement, le train d'ondes se reorganise et se regularise avec un nombre d'ondes (m') different de celui ~ui existait auparavant (m). Dans certains cas, on peut egalement observer le rapprochement de deux ondes consecutives qui arrivent
a
se fondre l'une dans l'autre pour n'en faire qu'une, ou la situation inverse pour laquelle une onde, prenant une extension azimutale plus grande,se divise en deux; dans l'un et l'autre cas,le nombre d'ondes unite (m'
=m ~
azimutal~diminue ou
s'accroit d'une
1).
Quant au changement du nombre de cellules, il peut s'annoncer par une diminution de l'amplitude des ondes et bation "majeure" qui conduit
a une
ensuite,onassis~~au declenchement
d'une pertur-
modification de l' arrangement des cellules dans
l'espace annulaire et de leur position par rapport au rep ere fixe attache au point de mesure. 11 y a done une interaction etroite entre le mouvement cellulaire et les ondulations. Notons, tout de suite, que si le developpement des theories non lineaires (dont il sera question au point 2 suivant) a permis de decrire la croissance des cellules de Taylor et l'apparition des ondes, il semble encore insuffisant pour mettre en evidence les etapes suivantes vers le chaos. A l'heure actuelle,
a partir
des experiences effectuees, on peut noter les principales etapes suivantes de la transi tion vers des "cellules turbulentes" : ondes azimutales, ondes modulees (le mouvement etant alors quasi-periodique), ondes modulees avec bruit hydrodynamique (des irregularites apparaissent), disparition des ondes (turbulence faible) et cellules turbulentes (les cellules subsistent bien que la turbulence soit developpee
!) .
Les experiences en laboratoire
ont bien montre
que les cellules sont les
structures dominantes de l'ecoulement de Couette-Taylor et elles constituent le cadre
a l'interieur
duquel va se developper la turbulence. En effet, une distorsion
spatiale apparait avec le regime d'ondes,
a laquelle
se superpose une distorsion
temporelle par la modulation de ces ondes. L'interaction de ces deux types d'instabilite conduit
a la
turbulence.
\
558 Naturellement un systeme
a un
a ~aible
rapport d'aspect (A petit) donne lieu
petit nombre d'etats accessibles, ce qui facilite l'experimentation. Pour A
fix~
plus le jeu radial est faible (n
+
1), plus l'instabilite
apparait prematurement et plus la transition de l'ecoulement circulaire de Couette vers le regime turbulent s' effectue rapidement. Pour n
fixe, plus A est grand, plus l'apparition du bruit est precoce.
La turbulence de phase qui se Eanifeste lorsqu'on est en presence d'un grand nombre de cellules, est probablement
a l'origine
de ce phenomene.
11 s'avere,en fait que les regimes periodiques sont tres sensibles aux
parametres geometriques A et 1'1. Pour A < 6 (rapport d'aspect petit),il ne semble pas exister de regime d'ondes. Pour n
= 0,82
et A de l'ordre de 20, on n'obtient pas non plus de regime
d'ondes. Ainsi l'ecoulement est fortement marque par les conditions de confinement. Sur les figures,ci-dessous,on trouvera quelques resultats des experiences. La figure a) montre les sections de Poincare pour trois valeurs de nJ/n~ou
n*
est
la vitesse angulaire critique du cylindre interieur (le cylindre exterieur etant ~ixe) 2 et on constate la desagregation du tore T au profit de l'attracteur etrange qui est caracterise par un nuage de points lorsque
n1/n* = J5,2 •
•' :<.; •.,••••
".
;.. "', .: ,,: .
• ••
-l.'~{':
o°.a °
0"
.:..-
-4
'rr
".-
+.:\
...,
..
'.'.
vlt+T)
-.
v It) 10,1
n.II""!I{. = 12,0 "
a) Les sections de Poincare; le nuage de points pour
n1/n * = 15,2
caracterise le chaos.
15,2
559
La figure b) indi~ue la dependance de l'entropie de Kolmogoroy (points &) et de l' expos ant JIlaxllnum de Lyapunov (points -), du rapport
h,'m
T15
I
I
I
e
e
-
e e
OS r-
les _ sont lies
/0,* .
e
1.0 r
Ola 10
n1
Io·
.. " "
~e
•
e.e
I
12
11.
a l'exposant
16
..
de Lyapunov Am maximum. _
Sur la figure c),on observe la dependance de la dimension de Hausdorff ~ et de la dimension dite de correlation d points. et points A).
' du rapport 0,1/0,~ (respectivement,
c
.
~,dc
•
3
••
2 11
..
•
•
..
I
•.
I
12
lJ. 0, /
c) Les 1 sont relatifs d , tandis _c
..• .
•..
~ue
a la
1
n*
16
•
dimension de correlation
les • sont lies
a la
dimension
~
de Hausdorff.
.
560
Enfin, sur Ia figure d) on a represente Ies portraits desphases, toujours ~
en fonction de 0, 10 , et pour OliO sur ces portraits
= '5,2,on obtient bien un attracteur etrange;
de phases Ia Iigne en pointille indique comment a ete faite Ia
section de Poincare correspondante de Ia figure a).
o,/n~ = 12,0
10,'
n,/n
= 15,2
d) Portraitsd§s phases pour trois valeurs de nl/n~ . On pourra,au sujet de ces 4 figures, consulter I'article de Brandstater et al. (Phys. Rev. Lett. 51, 1983), p. 1442-1449).
561
Precisons encore ~ue l'on trouvera,dans l'article de Di Prima et Swinney (dans le livre "Hydrodynamic Instabilities and the Transition to Turbulence" edite par Swinney et Gollub, Springer-Verlag 1981; voir les pages 139
a
180),une revue
tres complete sur l'instabilite et la transition de l'ecoulement de Couette et Taylor entre deux cylindres concentri~ues. Sur la figur~ ci-dessous, on donne le contour des cellules (~) ~ui apparaissent avec R/ R croissant (oil Rest le Reynolds base sur le cylindre interieur et R le c c Reynolds criti~ue correspondant a un cylindre infini) ainsi ~ue les lignes de vitesse angulaire (n) correspondantes.
Ces resultats correspondent
a n = 0,933
et A = 10 (voir: Comput. Fluids, ~, ~, pp. 259-269).
562
2. Approche theorique de la transition On sait que dans Ie probleme de Couette-Taylor, l'etat de base est l'ecoulement de Couette (il est donne par (19,13»
qui est invariant par les translations
Ie long de l'axe du cylindre, alors que les ecoulements qui apparaissent au-dela du seuil d'instabilite de l'ecoulement de Couette sont periodiques dans la direction de l'axe des cylindres (rouleaux de Taylor). Ces bifurcations induisent donc des "brisures spontanees de symetrie" (voir, a ce sujet,l'article de Chossat dans Ie nO special 1984 du J.M.T.A., pp. 157-192) et leur etude est justifiable, en toute rigueur mathematique, des methodes utilisant la theorie des groupes, developpees depuis une quinzaine d'annees par Michel (Jour. de Physique, vol. 36, 1975, pp. 67-41); en particulier. Si Re~ est la valeur du nombre de Reynolds a partir de laquelle la solution de Couette devient instable, alors d'apres la theorie il apparait deux types de solutions bifurquees : ondes helicoidales et cellules en rubans (qui sont des ondes rotati ves). On peut. aussi, etudier, de cette
fa~on, les
bifurcations secondaires; par
exemple l'instabilite instationnaire qui se developpe a partir des rouleaux de Taylor quand Re "depasse" une valeur Rellll!. Dans ce cas, les symetries des equations pour Ie terme de perturbation de I' ecoulement de Taylor, seront plus faibles que les symetries liees aux solutions precedentes, puisque les rouleaux de Taylor ont euxmemes une symetrie plus faible. Chossat et looss (dans
Japan J. Appl. Math., 2,
1985, 37-68) ontmontre que les solutions bifurquees etaient, en general, de deux types ondes rotatives modulees (modulation uniforme dans la direction z des rouleaux de Taylor; Oz etant l'axe des cylindres) et ondes rotatives "torsadees". En utilisant les techniques de la theorie des bifurcations en presence de symetrie, on a pu predire aussi un type d' ecoulement en "rubans" non axisymetriques tournant a vitesse constante (voir Ie travail de Demay et looss dans Ie nO special
1984 du J .M.T.A., pp. 193 a 216). Du point de vue theorique,la principale caracteristique du probleme est que chaque valeur propre, gouvernant la stabilite de l'ecoulement de Couette, est au moins double, a cause de la symetrie de reflection a travers un plan orthogonal a l'axe des cylindres. Les autres symetries du probleme (translation Ie long et rotations autour de l'axe des cylindres) permettent de simplifier Ie systeme des equations aux amplitudes qui decrit la dynamique sur la variete centrale. Pour ce qui concerne les bifurcations suivantes, la complexite croissante de l'analyse limite fortement la portee des resultats theoriques (on a deja mentionne Ie travail de Chossat et looss; 1985).
563
En
~ait,
pour obtenir des resultats analytiques, l'idee consiste a se
placer au yoisinage de situations critiques,ou l'ecoulement de Couette devient instable via plusieurs modes distincts presque simultanes. On obtient, ainsi,un systeme d'equations aux amplitudes de dimension superieure, dont on espere qu'il va engendrer une transition acceleree vers des regimes chaotiques (dans Ie travail de Chossat, Demay et looss, publie dans ARMA, 99, 1987, 213-248, i l s'agit d'un systeme aux amplitudes de dimension 8). Un premier type d'interaction consiste a melanger un mode axisymetrique (nombre d'onde azimutale m= 0), qui conduit aux rouleaux: stationnaires, et un mode non-axisymetrique (m
~
0) qui conduit a une bifUrcation vers un regime auto-
oscillant en ondes rotatives (spirales ou rubans). C'est ce qui a ete entrepris numeriquement assez recemment par divers auteurs (Di Prima, Eagles et d'autres), puis avec les techniques de bifUrcations avec rupture de symetrie par Golubitsky et Stewart (SIAM J. Math. Anal. 17, 1986, 249-288). Cette derniere etude conduit a un systeme d'equations aux: amplitudes de dimension 6 car les valeurs propres 0 et + ino ' qui correspondent au mode stationnaire et au mode oscillant, sont toutes doubles. Les types de transitions obtenues permettent d'atteindre analytiquement des regions comme les cellules de Taylor ondulees, les spirales ondulees et marne dans certain cas, l'ecoulement quasi-periodique en cellules de Taylor modulees. Malheureusement,a l'heure actuelle,peu de resultats numeriques sont disponibles pour s'assurer de la realite de tels ecoulements ! Dans Ie travail de Chossat, Demay et loess (de 1987),il a ete considere l' interaction de deux modes non-axisymetriques de nombres d' ondes1ll1 et m2 (premiers entre eux et de parites dif~erentes), ce qui produit bien un systeme aux: amplitUdes de dimension huit. Des regimes quasi-periodiques nouveaux ont ete obtenus comme les spirales qui s' interpenetrent de
~a<;.on
pure ou non, des rubans de nombres d' ondes
differents qui se superposent, des melanges entre rubans et spirales donnant des solutions quasi-periodiques a trois freguences
~ondamentales,
de 1IIeme que des
spirales qui s'interpenetrent et qui oscillent lentement. Dans ce marne travail de Chossat, Demay et looss, les
coe~ficients
pour une geollletrie particuliere des
cylindres ont ete calcules et on trouvera la description de la transition obtenue = 1 et 111 = 2 ou m = 2 et 1112 = 3; notamment 1 2 1 on a la possibilite d'avoir un regime quasi-periodique stable, pure superposition dans certains cas correspondant a
111
de deux ondes spiralees de nombres d'ondes azimutaux respectifs 2 et 3. Pour illustrer ce qui vient d'etre dit,sur l'utilisation des techniques de la theorie des
bi~urcation~
revenons aux equations (19,7) - (19,10) que nous
adimensionnalisons au 1II0yen de (19,11). Considerons alors l'ecoulement de base de
564
...
Couette defini par (19,13) et introduisons lea perturbations v et W de te1le
~a~on
que
...
...u ...u
(23,2)
+ v et p = Pc + 7T
c
Dans ce cas,i1 est
~acile
de se convaincre que 1e systeme -verifie par
C;,1T) est invariant par l'action des sous-groupes suivants
{
translations
z...
z +
re~lexions
z...
- z,
rotations
e ... e + 4>
:
S
•
L'analyse c1assique du prob1eme hamogene, auque1 satisfait (;,1T) , te11e que l'a effectuee G.T. Taylor en 1923, consiste de Re en fonction de a
a determiner
1a valeur critique
et de w , pour laque11e la solution (19,13) perd sa
stabi1ite. Pour cela,on examine les valeurs propres du systeme 1ineaire associe (auquel satisfait (;,1T); c'est 1e systeme comp1et sans 1e terme Les proprietes d'invariance du systeme conduisent
{
(23,4)
0
1es variables
i (k z + m e) + 0 t]; i (k z + me) + 0
On montre aisement que 1es va1eurs propres notons a10rs
;.V ;).
a separer
tJ. sont au moins doubles;
0
une valeur propre de partie ree11e maximum. On peut montrer que
0 si Re est "assez petit" (a et w fixes) a10rs Reel (0 ) < 0 et done 1 'ecoulement o
de Couette est stable (d'apres la theorie lineaire). On definit a10rs 1e nambre de Reynolds critique : Re'll (a,w)
inf
kE
m+ ,mEN
{Reo (k,m,a,w)} ,
est 1a valeur de Re te11e que Reel (0 ) = 0, pour des va1eurs fixees o de m, k, a et w On notera que pour w < Wo (a), deux va1eurs propres imaginaires
ou
Reo
pures 0 0 ~ i no correspond~nt decroit, m croit a partir de 1. Dans ce qui
(23,6)
s~t,on
a Re
= Re¥ (a,w) et au ~ et
note }J
1II
Re (a,w)
Re
a mesure
que w
565
et ainsi,il ~aut etudier pour; le systeme suiyant ++
V.y
(23,7) ou
+ v
o ,
doit verifier les conditions aux limites
0,
(23,8)
ajoutees
a la
condition de periodicite en z (periode h; k = K 2rr/h). 1e probleme
de Cauchy associe domaine
V
de 1
o
a
(23,7) admet une solution unique, pour ;'t=O
donne dans le
(considere comme operateur dans (1 2 )3). De plus, la solution depend
analytiquement de t > 0 dans son intervalle de continuite. Pour notre probleme, la valeur p
=0
correspond au fait que l'axe des imaginaires contient des yaleurs
propres de l'operateur lineaire 1
0
les autres valeurs propres etant de parties
,
reelles negatives. C'est la situation standard pour les problemes de bifurcation, la difficulte etant, ici, due
a la
non simplicite des yaleurs propres. Afin de ne
pas laisser echapper de comportement dynamique par une etude trop specifique, la demarche consiste, une fois de plus,
a etudier
la trace du systeme (23,7) sur la
variete centrale dont la dimension finie est la somme des multiplicites des yaleurs propres 1 0 sur l'axe des imaginaires. En de ;
=0
e~~et,
toute la dynamique au voisinage
est localement attiree par cette variete, et il suffit de connaftre le
comportement des solutions de (23,7) sur la variete pour tout sayoir du systeme au voisinage de 0 (pour tout t > 0). On sait que si l'on decompose l'espace V sous la forme; appartient
a l'espace
propres de 1
o
invariant par 1
0
,
de partie reelle nulle, et
de dimension
Yappartient a un
taire, alors la variete centrale est un graphe de la
Y=
~inie, relati~
$ (~,X), $ (~,O)
= 0 ,
X+ Y, ou X aux yaleurs
sous-espace supplemen-
~orme
£! (0,0) II
o .
1a trace du systeme (23,7) sur cette yariete est alors de la forme
F (~,X), F(~,O) = 0
et
dF/dX (0,0) = Po 1 0 ,
566
Po etant la projection dans V sur Ie sous-es1?ace des indique a la section 20,1 (voir Ie point 3).
X,
comme nous l'avions deja
On sait, qu'on peut construire la variete centrale de
~a~on
a ce que
soient conservees les proprietes d'equivariance (23,3) de (27,7) sur Ie nouveau systeme en dimension finie. On sait aussi que la methode consiste, dans chaque cas, a ecrire Ie deve-t , + + + loppement de Taylo~ au voisinage de O,de ~, a la remplacer dans v = X + Y puis en utilisant aX/dt
= F(~,X)
Llunicite du systeme
et (23,7) a identi~ier les puissances de ~ et de
X.
obtenu assure la validite du resultat, puisque
dif~erentiel
les conditions de regularite maximale sont ici realisees. Dans Ie travail de Dem~ et loess (1984; voir les pages 200 a 208), on trouvera l'obtention detaillee du systeme differentiel sur la variete centrale; il s'ecrit sous la forme suivante pour les amplitudes A(t) et B(t)-)
{:=
(23,9)
dt
i11 i11
0
0
A+ d
~ A + b A IAI 2 + c A
B + d
~ B + b BIB 12 + c B
ou les coefficients d, b et c sont complexes. La forme de (23,9) permet d'indiquer, en particulier, la partie principale des solutions periodiques
bi~urquant
a partir de 0 (0 correspond a llecoulement de
Couette (19,13)). Celles-ci sont de deux types
a) spirales eten coordonnees
cylindriques,l'ecoulement associe ne depend que des variables r et
t, ou 11 1 = 11 + 0(£2), avec £2 = - d~/b + 0(~2) et il est stable 1 0 si et seulement si Reel (b) <0 et Reel (c-b) <0; b) Rubans horizontaux en rotation
k z + m 6 + 11 uni~orme
et llecoulement associe est stable si et seulement si Reel (b+c) < 0 et
Reel (b-c) < O. Les solutions en spirales et en rubans sont toutes deux des "ondes rotati ves", cela signifie que, si lIon se met dans un repere en rotation uniforme avec une vitesse adequate, on observe un ecoulement stationnaire. Ainsi, on met en evidence un ecoulement periodique dans Ie temps d 'un nouveau type : cellules horizontales comme des rubans en rotation ~)
uni~orme.
+
+
Clest Ie cas de m ~ 0; on note ~o et ~l les vecteurs propres de L pour les o " -+-+valeurs propres + i11 et dans la decomposition v =X + 00+Y,on a : 0
-+
-+
-=i=
-+_":+
X = A ~o + A ~o + B ~1 + B ~1 ; la variete centrale etant de dimension quatre (la barre superieure designe Ie conjuge complexe).
567
Pour terminer disons, encore, que l'un des premiers travaux theoriques ou ont ete obtenues des equations d'amplitudes,est celui de Davey, Di Prima et Stuart (J. Fluid Mech. 31, 1968, 17-52) qui ont tire profit, eux, de la technique dite "de la variete instable'~)Ces auteurs ont, ainsi, derive
en toute generalite,
un systeme de quatre equations difrerentielles ordinaires, non lineaires, relativement
at
de la forme suivante :
ax
2 2 2 E X - X3 - Xy - 6 X IzI - 2 X IVI
dt
- 2 y (Z
~ + ~ V)
" + 'Z" V) ; - 2 X (Z 'V ~~ = cr Z - 3 Z IzI 2 - 2 Z IvI 2 - 3 ~ X2 - Y Z y2
(23,10)
-
dV dt
cr V - 3 V IvI
2
- 2 V IzI
2
(3-Y) V X Y -
y
= Z = V = O,on
V
2
2 3 V y2 - Y V X - (3-Y) Z X Y -
Lorsque X
~
~
Z2
retrouve l'ecoulement de Couette classique;
lorsque Y
Z= V
X = Y = V
O,on a le modele a un seul mode non symetrique; lorsque Y = Z
O,on a l'ecoulement avec tourbillon de Taylor; lorsque
on retrouve l'ecoulement avec tourbillons ondules; lorsque Y
= V = O,on
o
a
Y = 0, on retrouve 0 au niveau de (23,10),
l'ecoulement avec tourbillon non symetrigue, enfin lorsque X le mode "spirale". Precisons que si l'on rait
z=
V =
on trouve :
(23,11)
~) Voi~a
{
dX
dt
=E X
_ X3
dY = E Y _ y3 dt
ce sujet,le chapitre 29 (§ 29,7) du livre de Richtmyer (Principles of
Advanced Mathematical Physics; volume 2, Springer-Verlag, 1981). On notera que au niveau du systeme (23,10), les amplitudes Z et V sont complexes et sont complexes conjuguees.
i
et ~
568 ce qui est equivalent
a la
forme reelle de (23,9). On notera que,pour
€
< 0 ,
l'ecoulement laminaire de Couette existe et qu'il est stable. Pour tout ce qui concerne la theorie "rigoureuse" du probleme de Couette-Taylor,on pourra consulter Ie Cours·) de Chossat et Iooss (en preparation). On trouvera,enfin,un expose "original" sur l'ecoulement tourbillonnaire de
T~lor
(comme etant un systeme dynamique) dans l'article de Stuart (SIAM Review, vol. 28, nO 3, september 1986, 315 a 342).
23, 2. ETAPES VERS LE CHAOS VANS LA CONVECT!ON VE BENARV. On sait (voir Ie § 17) que l'instabilite de Rayleigh-Benard concerne la stabilite et Ie mouvement d'une couche horizontale de fluide, soumise a la pesanteur et
a un
gradient de temperature vertical et oriente vers Ie bas. Celui-ci
entraine la stratification du fluide decrite par l'equation d'etat pour la densite (23,12)
P (T)
ou Test, ici, l'ecart de temperature par rapport a la temperature moyenne. La couche de fluide soumise a une contrainte stationnaire mesuree par Ie nombre de Rayleigh (Ra
= g So ~
T
0
d3/V k ), ou g est l'acceleration de la 0
0
pesanteur, t::,. To I' ecart des. temperatures- (entre Ia paroi infel'ieure et Ie. paroi superieure qui renferme la couche de fluide d'epaisseur d), V la viscosite cinematique du fluide et k
o
o
sa diffUsite thermique, possede a priori une infinite
de degres de liberte, c'est-a-dire qu'une infinite de modes sont necessaires a la description de son champ de vitesses et de temperature.
Lorsque Ie nombre Ra
est sUffisamment petit,ces modes sont tous amortis. A mesure que Ra augmente, Ie taux d'amortissement de certains modes s'annule, pour des valeurs donnees de Ra, valeurs de transition entre des etats dynamiques differents. Au voisinage de ces transitions
ou bifurcations, la dynamique du systeme peut etre reduite a des
equations decrivant la dynamique des modes lents (equations d'amplitude). Les modes amdttis suivent adiabatiquement les modes lents et leur effet est simplement de determiner les coefficients des termes non lineaires de l'equation d'amplitude . • ) Grace a l'amabilite de notre Collegue Gerard Iooss de l'Universite de Nice, nous avons pu prendre connaissance, dans une version II, III et IV de ce Cours.
preli~naire,
des chapitres
569 Lors~ue
la bifurcation est
de son ancien etat
d'e~uilibre,
supercriti~ue,
Ie systeme s'eloigne continliment
et des comportements
criti~ues
l'amplitude des modes lents et leur taux de croissance. sous-criti~ue,
Ie systeme
~uitte
brutalement son ancien etat
peut generalement predire de comportement
criti~ue.
existent pour
Lors~ue
la bifurcation est
d'e~uilibre
et on ne
Cependant, dans certains cas,
l'effet des non linearites est de ramener Ie systeme "au voisinage" de son ancien etat
d'e~uilibre.
puis~ue
Ce phenomene rend la transition continue en un certain sens,
Ie systeme passe "la plus grande -partie" de son temps au voisinage de son
ancien etat
d'e~uilibre,
bien
~ue
celui-ci ait perdu brutalement sa stabilite. Nous
retrouvons la;un mecanisme analogue a l'intermittence dont il a ete
~uestion
a la
section 22,4. La figur~ ci-dessous,montre un exemple d'intermittence entre un regime
bi-periodi~ue
et un regime
chaoti~ue,
observe par Maurer et Libchaber avec
une experience de convection dans l'helium li~uide. Pour Ra > Ra r = 75,5 Ra* (Ra~ Ie Rayleigh criti~ue), des bouffees turbulentes de grande amplitude apparaissent dans les enregistrements plus
fre~uentes lors~ue
o
2
tempore~de
la temperature et elles deviennent de plus en
Ra augmente.
3
4-
5
TEMPS
6 (MIN)
7
8
9
570
On trouvera dans l'article de Busse (pp. 97
a
J37 du livre edite par
Swinney et Gollub en J98J) un expose des plus interessantssur la transition vers la turbulence dans la convection de Rayleigh-Benard. 1.
Les diverses options de la transition vers la turbulence. Lorsqu'on augmente Ra,
au passage d'une valeur critique Ra~ Ie fluide primitivement au repos, se met en mouvement stationnaire - ce qu'on voit
a un
endroit donne est independant du temps t.
Ce mouvement stationnaire de convection se manifeste sous la forme d'une juxtaposition d'un petit nombre de rouleaux d'axes horizontaux, paralleles
a un
des cotes
de la botte (on considere ici une bOlte parallelepipedique dont Ie diametre des faces horizontales est moins de JO fois egal
a la
hauteur). Selon les valeurs des
autres parametres (nombre de Prandtl, par exemple), il peut encore arriver une autre valeur critique Ra;', ou Ie mouvement stationnaire
a une
structure spatiale
differente. En tout cas,lorsqu'on fait crottre Ra, cette convention stationnaire disparatt en Ra;
et laisse place
a une
convection periodique dans Ie temps de
frequence wJ ' bien que les contraintes exterieures soient stationnaires. C'est alors, que la transition vers la turbulence peut prendre des formes tres differentes selon Ie chemin parcouru dans l'espace des parametres. II s'avere qu 'on aren fait,bien souvent,l'une des options suivantes (a) On obtient une suite (finie) de valeurs critiques Ra(n) telles qu'au passage de ces valeurs se produit un dedoublement de periode de l'ecoulement periodique. On a pu ainsi observer la suite de dedoublements (voir la figure ci-dessous) ;
Ra/Ra
llE
67,4
Ra/Rall! = 62,6
571
et les derniers dedoublements sont obtenus pour des valeurs tres rapprochees de Ra, realisant de
fa~on
etonnante la suite en progression geometrique prevue par la
theorie pour les applications de l'intervalle (voir a ce sujet le livre de : Collet et Eckmann, "Iterated maps on the interval as dynamical systems'. Prog. Phys.
j,
Birkhauser, Boston, 1980). Apres ces dedoublements on obtient un etat chaotique dont on peut dire simplement que le spectre de Fourier d'une observable est continuo (b) On obtient,au passage d'une valeur Ra- , de Ra,la disparition de l'ecoulement qp
periodique (W 1 ), et l'apparition d'un ecoulement quasi-periodique a deux frequences fondamentales w et w2 ' qu'on observe sur le spectre de Fourier d'une observable 1
(la temperature en un point determine, par exemple). Il peut alors se passer deux choses : (i) pour les valeurs croissantes de Ra, il se produit une succession d'accrochages de frequences, c'est-a-dire que l'ecoulement redevient periodique avec une frequence en rapport rationnel avec W (W 1
1
dependant aussi des parametres).
Lors d I un dernier "accrochage ", se produit alors le phenomene de dedoublements successifs de periode decrit a l'option (a), puis enfin le chaos s'installe; (ii) au passage d'une valeur critique Ra; , une troisieme frequence w apparait. 3 Sa mise en evidence n'est pas simple, mais elle ne fait pas de doute pour les eXgerimentateurs (voir l'article de Gollub et Benson dans le J. Fluid Mech., JOO, 3, 449, 1980). Cet ecoulement a 3 frequences laisse place, pour des valeurs de Ra tres rapprochees, a un etat turbulent.
J 00
r--------,-~--------.-------____,
Jo-2 ~
Ra
1If
42,3
572
(c) Au passage d'une valeur critique Ra~ , l'ecoulement periodique laisse place
a
un etat intermittent. L'ecoulement semble periodique sur un grand nombre de periodes, puis intervient une
bouf~ee
de chaos, elle-meme
a nouveau
suivie par un comportement
periodique regulier, etc •.• La duree relative du comportement chaotique devient de plus en plus importante lorsque Ra croit (voir
J. de Phys. Letters, 41, L 341, 1980). L'intermittence
peut aussi se rencontrer apres l'apparition de la deuxieme ~requence et l'ecoulement semble alors quasi-periodique quelques temps avant (et apres) des moments ou il est chaotique.
:j
UIIVjIUllllbIIIIUlllllllltlll!lllIIIIUlllflllllllllllllllllllllIJJ~jll11~11~lll!!lIIJllIUlllly1l11liIlUUIIIlII~II~~III~UlUJ:I':IIUJIUUIIJI'U»hUllltIUU!Ulltl~IIIIUWIIIIIYijl,IllIIlIl"
AUllIlllluillllllllifillllrlltlllllllUlllllltult!lrllnlllJlUUlllllulllhll1l d:llllhllllllll!lljjllmI!UlJnrllllltllnmm,II11I,1,~1l1111l1:Ui,:III'~hr.i;},:,:,mllll,I,Uhll",:",::I::lmllfJ
:j~'~~~~~~~~~~~~Ro/R!=-300 :jhr,.::",: V z mm
5-
10mtn
1
1-----------------------
_
Les trois options precedentes pour la transition vers la turbulence se rencontrent dans d'autres exemples en mecanique des fluides, mais ceci ne represente qu'un des aspects de l'etablissement de la turbulence. Celle-ci peut arriver de ra~on
brutale lorsqu'on augmente la contrainte (Ra dans
Toutes ces
~igures
l'exem~le ~recedent).
sont tirees de l'expose de Iooss au semlnaire Bourbaki
(35e annee, 1982/83, nO 607, Fevrier j983). Un article important concernant l'ordre et le desordre dans la convection de Benard a deux et trois dimensions est celui de Curry et al.(J. Fluid Mech. vol. 147, 1984, pp. 1
a 38);
i l s'agit de calculs numeriques pour toute une gamme
du nombre de Rayleigh et du nombre de Prandtl. Sur les rigures,ci-dessous,nous presentons les portraits de phases obtenus numeriquement des equations (continues) de Boussinesq; les
~igures
a partir
de l'integration
notees 60 et 60 A correspondent
573
ss
11 ~
; ~
u
u
574
au m.eme Rayleigh Ra = 60 Ra initiales Sur la
di~~erentes,
~igure
(Ra est le Rayleigh critillue) m.ais a. des conditions c c ce llui montre la DSCI de l'etat lluasi-periodillue ~inal.
notee 65 on devine deja. un etat chaotillue.
Ces calculs numerillues ont m.ontre llue lorsllue la dimension du modele dynamillue, a. petit nombre de modes, augmentait de trois (modele de Lorenz) jusllu'au modele complet (continu avec un nombre in~ini de modes) de Boussinesll, alors le degre de chaos augmentait aussi irregulierement au debut puis bruslluement decroissait; cependant,un etat "s~fisamment
"~ortement
chaotillue" etait observe pour une resolution numerillue
elevee". Les auteurs de ces calculs numerillues proposent de
cinq nombres de Rayleigh pour decrire les
di~~erentes
de~inir
etapes de la convection de
Benard vers le chaos. Naturellement,pour un systeme dynamique particulier,decrivant cette convection quelques uns de ces Rayleigh "critiques" peuvent ne pas exister Premierement,on peut definir le R~leigh critique classillue Ra- tel que l'etat non conducteur de chaleur reste stable aux perturbations infinitesimales pour
Ra <
Ra
les rouleaux
~.
A'"
~
~
•
et 1nstable pour Ra > Ra . Lorsque Ra cr01t au-dela de Ra ,appara1ssent
convecti~s
stationnaires. Ces derniers ont principalement une struc-
ture bidimensionnelle et le Rayleigh critique suivant Ra(1) est celui pour lequel les rouleaux se
trans~orment,
du fait d'une
bi~urcation
vers un etat periodique,
oscillatoire, qui peut etre tridimensionnel. Cet etat periodique evolue au-dela. d e ce Ra (1) et pour Ra (2),appara1t une seconde A
.-
~requence
en general 1ncommensu-
( '
.-
•
rable avec celle de l'ecoulement periodique precedent) et l'ecoulement est quasiperiodique. Si cette seconde ~requence est commensurable avec la premiere (celle de l' ecoulement periodique) alors, on a un "accrochage" de phase et l' ecoulement redevient periodique mais avec une nouvelle ~requence. Ensuite,pour Rat l'ecoulement subit une transition vers un etat chaotique avec un spectre de continuo Naturellement, on peut aussi avoir un certain nombre transition Ra (n), avec n
~
3, pour 'l.eslluels 1 'etat a n
~requence
de Rayleigh de
~requences
incommensurables
observables. Le scenario de Ruelle, Takens et Newhouse suggere que le cas typique correspond a. Rat Ra(3) .
=
Il peut aussi exister un Rayleigh critique Ra~~ qui est tel que : une transition inverse de l'etat quasi-periodique ou de l'etat chaotique vers un etat periodique a lieu lorsque Ra decroit; avant Ra·~ il y a au m.oins deux ~requences incommensurables, tandis que, juste apres Ra)tJl!, il ne reste llU 'une seule ~relluence signi~icative du~ouvement
periodique.
575
On notera que dans le dA
dt
-
(j
A+
(j
mod~le
de Lorenz (voir (17,218)
dB
dC
B , dt '" - AC + rA - B , dt
-
ou r '" ~ et (j est le nombre de Prandtl,on a Ra = Ra- pour r = 1 et l'etat Ra conductif A = B = C = 0 devient instable, tandis que l'etat convectif stationnaire _ 11 est stable pour tout Ra > Ra,' sauf lorsque (j > 3""' Les calculs ont ete effectues, en
genera~pour (j
= 10. Les Rayleighs critiques
Ra(1) et Ra(2) n'ont pas ete
observes et on sait que le chaos commence brusquement pour Rat ~ 24,74 RaD'autre part, ce chaos disparait aussi brusquement pour Ra-· ~ 320 Ra- et pour Rat < Ra < Ra**, il existe plusieurs intervalles de Ra pour lequel l'etat est chaotique. Enfin, pour Ra > Ra--,1' etat devient peri odi que . On notera aussi que pour certaines valeurs des
param~tres
(j
et r,le
mod~le
de Lorenz conduit au
scenario de Pomeau-Manneville et peut aussi exiber le scenario de dedoublement de periodes. Curry (voir ces articles dans: Math. Phys., 60, 193-204, 1978 et Phys. Rev. Lett. 43, 1013-1016, 1979) a considere un mod~le avec 14 modes et les calculs pour
(j
= 10
mont rent la route vers le chaos suivante. Pour r < 1,l'etat conductif
est stable, pour r > l,il se produit une bifurcation vers la convection et il reste stable jusqu'a r
= 43,50,ou
il y a une bifurcation de Hopf. L'etat periodique
qui en resulte reste stable jusqu'a r
= 44,40,ou
dedoublement de periode intervient. Lorsque r
une bifurcation simple de
> 44,85, ce dernier etat qui est
caracterise par une orbite de periode doublee subit une bifurcation vers un tore 2 T . Lorsqu r croit encore,l'ecoulement sur ce tore presente au debut un accrochage de phase et ensuite devient quasi-periodique avec deux frequences incommensurables. Enfin, pour r = 45,18 le chaos apparait. Ainsi, la sequence de bifurcations, dans ce mod~le
a 14 modes de Curry, semble etre consistante avec le scenario de Ruelle-Takens
et Newhouse. En 1986, Howard et Krishnamurti ont considere un mod~le avec 6 modes et ils ont montre que l'etat chaotique etait lie
a l'existence
de paires d'orbites hetero-
clines en accord avec un resultat theorique de Silnikov (voir: SOy. Math. Dokl. 6, 163-166, 1965 et Math. U.S.S.R. Sbornik, 10, 91-102, 1970)-) • ¥) On pourra aussi consulter l'article de Tresser (Ann. Inst. Henri Poincare 40,
441-461, 1984).
576
2. Modeles
Revenons aux equations (J7,J08) et (17,109),pour
hydr0QYn~iques.
~
et
@, etrecherchons la solution de ces deux equations couplees sous la forme
generales (lorsque 00
{
(23,13)
l
~
e
=
=0)
:
x) sin (m7T z) ~nm(t) sin (mf L H
E 8nm (t)
cos (nz x) sin (~z) H
'
ou H et L sont des mesures sans dimensions des cellules dans les directions verticale
(Z) et horizontale (x) .
A partir de (23,13), on obtient de (17,108) et (17,109) des equations de la forme (15,28) pour les amplitudes = 8
= 0 correspond
(23,14)
Ra < Rao -
~nm
nm
a 7T
(t) et 8 (t). La solution triviale nm nm l'equilibre mecanique qui est stable pour 4
~
L [1 + (-H )2
J
(..L + ..L + L2 H2
Lorsque Ra > Rao,la convection stationnaire
,l.q. ) • ~cellulaire
apparait et
les modes
~11' 8 11 et 802 sont differents de zero, les autres modes n'etant pas excites - on retrouve alors pour ces trois modes Ie systeme de Lorenz (17,218).
En principe, le regime chaotique (turbuleneetemporelle) peut apparaftre au sein d'une telle convection monocellulaire,
a condition
que dans le modele
du regime stable monotourbillonnaire, l'on puisse depasser Ie Rayleigh critique Rat' turbulent. Cependant,avant que la stochasticite decrite par le modele de Lorenz (17,218) apparaisse, pour Ra = Ra
< Rat (ou Ra est Ie Rayleigh pour osc osc lequel (experimentalement) apparaissent les oscillations regulieres) les modes
8 31 , 804 etc ... sont excites, ce qui veut dire que l'on peut avoir des regimes tri ou quadri-cellulaires.
~22'
8 22 ,
~31'
Le systeme d'equations pour ces modes represente trois modeles
a la
Lorenz
couples. En effet, si l'on note : ~11 ~ Xl' 8 11 ~ Yj , 802 ~ Zl' ~31 ~ X2 ' 831 ~ Y2 , 804 ~ Z2' !jJ22 ~X3 ' 822 ~ Y3' et si on laisse tombex les coefficients positifs, pour plus de simplicite, on arrive au systeme suivant :
577
dX
1
dt
Yl - Xl
+ X X
2
;
3
Xl - Y1 - Xl 2 1 + Y2 X + Y 3
- 2 + X2 Y2 - 2 + Xl Y 1 1 1 Y2 - X2
(23,15) dY
2
--= dt
X - Y 2 2
+ Xl X ;
3
X2 2 1
- 22 + X Y 3 3 dX
3
dt
dY
- -3= dt
Y - X 3 3
I
- Y
;
- Xl X2
X - Y - X 2 , 3 3 3 2
;
-
qui represente effectivement trois modeles du type de celui de Lorenz, respectivement, pour: Xl' Y1 ' 21 ; X2 , Y2 ' 2 1 et X , Y ' 22 . 3 3 D'apres Rabinovitch (Uspekhi Fiz. Nauk, 125, 1, 1978, 123 que pour Ra > Raos
a 168),
on trouve
et pour un intervalle etroit de nombres de Rayleigh, on a
c l'etablissement d'oscillations regulieres, ce qui veut dire que dans l'espace des phases
a9
dimensions, correspondant au systeme (23,15), on a un cycle limite;
l'amplitude des oscillations croissant de fagon monotone lorsque Ra crott, ensuite apparatt un regime stochastique. Precisons que, si les conditions initiales sont nulles pour une grande partie des modes intervenant dans (23,13), alors, apres un processus de transition complexe, les modes qui ne possedent pas la symetrie (exemple, ~12' ~21' B21 , B12 ,
B01 etc ... ) s'attenuent et le comportement des autres n'est plus fonction des conditions initiales.
578
On notera aussi que le modi!!le de Lorenz,
a trois
equations, est un "bloc"
elementaire qui intervient dans divers systemes dynamiques decrivant differents mouvements convectifs. On peut dire que le nombre de modes (d'equations) qui engendre le chaos est lie
a la
geometrie du probleme et au caract ere de l'insta-
bilite - de la forme de la courbe neutre; mais ce nombre doit etre au moins egal
a trois,
pour qu'apparaisse un attracteur etrange. Si l'on met le systeme de Lorenz sous la forme
ax
+
dT
dY dT
Pr Y
+ r X
(23,16) dZ
o
dT
II
I
III
alors,on peut dire que: la colonne I, decrit le phenomene d'attenuation lineaire; la colonne II, decrit l'excitation parametrique et la colonne III, le pompage non lineaire de l'energie sur le mode evanescent Z . Revenons TT/
L
=a
et
H = TT
Designons par B 1 'ensemble : { (n m)
=>
e
a
a
(23,13) et posons
= H/ L
A mais
n f: 0 }
Le systeme tronque analyse par Curry (1978) s'obtient en :faisant le choix suivant
A = {11, 02, 22, 13, 31, 33, 24, 04} en precisant que pour les
~nm
la sammation est :faite sur l'ensemble
B
tandis
que pour les a elle se :fait sur l'ensemble (nm) e A. nm Toutes les solutions du systeme dynamique de Curry tendent asymptotiquement vers zero pour les nombres de Rayleigh Ra < Ra-, ou Ra- (critique) est de:fini par la :formule (23,17)
Ra
-
= ~nf
{
P~
(na)2
}
' Pnm = n
2
a
2
2 + m
Le parametre de bifurcation, pour le systeme dynamique de Curry est :
,. = 6,75,
r =~ , ou... Ra Ra-
lorsque a
= 1/12 .
L'analyse de la structure de la
579 convection liee au modele de Curry a ete effectuee, en particulier par Shumova (Structural turbulence,ed. M.A. Goldshtik pp. 77-86. Novosibirsk, 1982, en russe),
a
dans un espace des phases
14 dimensions.
Pour ce qui concerne le modele de Howard et Krishnsmurti (1986) ces auteurs se sont interesses
a une
(23,18) T
convection invariante sous la symetrie RT, avec :
x .... x +
7T /0.
; RT := TR . lI!)
Dans ce cas on postule la solution de (17,108) et (17,109) sous la forme:
(23,19)
{-=. EJ
sin (o.x) sin Z + B sin Z + C cos (a.x) sin (2Z) ;
= D cos
(ax) sin Z + E sin (2Z) + F sin (o.x) sin (2Z) .
L'effet de l'invariance RT est de changer les signes de B, C et F mais pas de A, D et E (qui sont les smplitudes de Lorenz) • L'effet de R seul est de changer les signes de A, B, D mais pas de C, E et F. On notera que les solutions de la forme (23,19) qui sont invariantes sous RT sont precisement celles avec: B
=C
F
=0
(modele de Lorenz).
En substituant (23,19) dans (17,108) - (17,109),avec 0 := O,et en tronquant on trouve un modele galerkinien
a six
o
equations pour les amplitudes A(t), B(t),
C(t), D(t), E(t) et F(t) : dA
dt
= _ Pr
(1 + 0. 2 ) A +
dB
dt = - Pr B -
43
~2 D + ~ 2
1 + 0.
2 + 0. 1 + 0. 2
3
0. AC
~ 2 0. ~ - - - Pr (4 + 0. ) C - Pr - - F - - - - AB dt 4+0. 2 2(4+0.2) (23,20)
dD = _ ~
(1 + 0. 2 ) D + Ra 0. A - 0.
dE = _ 4E +
dt
dF
dt
=-
1 0. 2
AD
2
(4 + 0. ) F - Ra 0. C +
*) Les bornes en Z etant de 0
AE -
a 7T
•
2 BD .
~ BF 2
BC
580
Le systeme (23,20) a diverses proprietes. En particulier : a) on obtient le modele de Lorenz (de 1963), lorsque B
= C = F = 0;
b) si Ra < Ra;
= (4+a 2 )3ja 2 ,
toutes les trajectoires dans l'espace des phases, a 6 dimensions, qui partent des points se trouvant en dehors d'une certaine region bornee, se retrouvent et res tent finalement dans cette region de telle faqon que les coordonnees du point de phasesoientbornees lorsque t +
On notera que Ra
III
est le nombre de 2 Rayleigh critique pour l'instabilite de la conduction liee au mode vertical +
00
secondaire. On trouvera,dans ce travail de Howard et Krishnamurti (de 1986), une analyse des diverses bifurcations (points critiques, attracteurs, orbites heteroclineset attracteur etrange qui simule le chaos), ainsi qu'une discussion pertinente liee a un
resultat de Silnikov (1965, 1970), generalise recemment par
Tresser (1984). Ce resultat affirme que: si l'orbite homocline (dimension trois) est relative a un foyer - col tel que la repulsivite du col est superieure a l'attractivite du foyer (sur la variete stable de dimension deux), alors tout voisinage de l'orbite homocline contient un ensemble denombrable d'orbites periodiques instables (de type col). De plus,la dynamique (chaotique) au voisinage d'une telle orbite homocline est celle d'un decalage sur les suites bi-infinies, a une infinite de symboles (plus complique que le "fer a cheval",ou l'on n'a que deux symboles). On peut,naturellement,obtenir un systeme d'equations dynamiquesdes plus general,a partir de la technique de Galerkin. Revenons,pour cela,aux equations
=0,
(17,108) et (17,109), avec 00
et faisons le changement
ljJ + - Pr ljJ' pour ljJ' et
(23,21)
et
G+ RaG'
G',on a les equations: Pr
a /:'2 ljJ' at
aG' Pr ~
= Pr
Pr
a(ljJ' '/:'2ljJ') a(x,z)
{ a(ljJ', 8') a(x,z)
-~ dX
Au systeme (23,21), associons les conditions suivantes (23,22)
2 ~= o , a
(23,23)
~= o , az
ax
az2 a2 ax
2
(~) = o , pour Z ax
0 et Z
(~) az
o
0 ' pour x
et x
L
581
(23,24)
e'= 0
ae'
(23,25)
ax
a un
Cela veut dire que l'on s'interesse ~
Z
~
1 et 0
x
~
et Z
, sur x = 0 et x = L .
-= 0
rectangulaire : 0
o
, sur Z
~
mouvement convectif dans une boite
L , ou Lest la longueur adimensionnelle
de la boite ou encore la taille d'une cellule convective. La solution des equations(23,21) satisfaisant (23,22)
a
a toutes
les conditions
(23,25) est de la forme : 00
lji'(t,x,Z) (23,26)
L L
i=1 j=1 00
e'(t,x,Z)
00
00
L L i=O j=1
A.. (t) sin (i7TX L lJ B .. (t) cos (i7TX
L
lJ
Sln (j7TZ)
sin ( j7TZ)
La solution des equations non lineaires (23,21) est une superposition de fonctions propres du probleme lineaire associe, d'apres la methode de Galerkin. II faut substituer (23,26) dans (23,21) et demander (d'apres la methode de Galerkin) que Ie resultat soit orthogonal
a chacune
des fonctions de l'ensemble
(23,26) . Apres la substitution, l'equation (23,21), pour
W',
est multipliee par
Sln (p7TX/ ) sin (q7TZ) et l'equation (23,21), pour e', par cos (p7TX/ L ) sin(q7TZ); L Ie resultat est integre en x, de 0 a L, et en Z, de 0 a 1. Les conditions
ensuit~
d'orthogonalite : (23,27)
2 7T
7T
f
sin i Y sin j ydy
o.. lJ
cos i y sin j y dy
o.. lJ
0
(23,28)
2
1T
7T
f
0
donnent alors Ie systeme Galerkinien suivant pour determiner l'evolution, en t, des amplitudes Apq et Bpq
582
(23,29)
I
J
s sc J Jq! . dB Pr --l2.9. = dt
2
-'IT
(p
2
1, •..
' p
r
2
2
+ q ) B
+( 1 -
~ 0 ) 4 Pr r op
ss~l J jq!J ou. r =
L i=1
00
00
j=1
k=O
L
~I...
L
0, ...
' p
q = 1, ... 00
,
- Pr r
pq
00
(23,30)
00
!=1 q
00,
'P
A
pq
AiJ· Bk!
= 1,
[. JSsc Jk ikp
00
..l et L JCCC ijk
=f
cos i Y cos j Y cos k y d y.
0
(23,31)
=11
'IT
si
k
=
'IT
si
k
=0
=2"
i :!: j j
et i
0 dans les autres cas, JSsc ijk
f
sin i Y sin j Y cos kydy
0
=11 si k = Ii 'IT =-11 si k = i
jl
'IT
(23,32)
'IT
=2"
si k
=0
+ j
et i
j
o dans les autres- cas. Differentes methodes de troncature peuvent etre adoptees pour reduire le systeme infini (23,29), (23,30) en un systeme i ce qui conduit
a des
~
M
et
j
~
~ini.
Par exemple, on se borne
N ou encore i + j
erreurs de troncature differentes.
~
K ,
a:
583
1. Lorsque l ' on fait le choix de i + j ( K, avec K = 2, on retrouve le modele de Lorenz; il s'ecrit, ici, sous la forme suivante dA= !pr 7T 2 (r 2 + 1) 1-1 (Ra 7T r B + Pr 7T 4 (r 2 + 1)2 A) dt dB
- = - 7T r A dt
(23,33)
2 dC = 1!-.!: AB dt 2
2 7T 2 2 Pr (r + 1) B - r 7T AC 47T 2 Pr
C ,
une fois que l'on a suppose que
(23,34)
1jJ'
A(t) sin (7Trx) sin (7TZ);
8'
B(t) cos (7Trx) sin (7TZ) + C(t) sin (27TZ) .
3. Analyse du modele de Lorenz. On trouvera une analyse tres complete du modele de Lorenz (17,218) dans le livre de Sparrow (The Lorenz equations: bifurcations, chaos and strange attractors, chez Springer, 1982). On peut consulter aussi les §§ 31,8
a 31,18
du Chapitre 31 du livre de Richtmyer (1981),ou l'on trouvera une
discussion assez detaillee de la phenomenologie de l'attracteur de Lorenz, qui est represente sur la figure ci-dessous sous deux vues planes differentes : a) dans le plan de phases (A, B) et b) dans le plan de phases (A, C)
111)
.
Nous discutons, done, ici, du modele de Lorenz qui est constitue des trois equations,pour les amplitudes A(t), B(t) et C(t), suivantes dA= -cr(B - A) dt (23,35)
dB
- = r A - B - AC dt dC -= - b C + A B dt
¥) Pour le calcul des courbes, sur cette figure, les conditions initiales ont ete
prises telles que: A(O) =-8, B(O) = 8 et C(O) = r - 1, avec r = 28, cr = 10 et b
= 8/3.
584
c
-20
Les valeurs de
cr
= 10
et b
= "38
A
o
20
sont celles que Lorenz a prisES dans son
travail de 1963. 1.
On sait deja qu'il existe necessairement une constante R , fonction de
et b, telle que la solution de (23,35) reste confinee,
apres° un
cr, r
temps assez long,
dans la sphere
-+
D'autre part, si A, B et C sont les composantes du vecteur X dans l'espace dESphases R3 alors,a la place de (23,35),on pourra ecrire le SHDD suivant
585 +
dX + + dt = F (X) ,
(23,36) +
ou les composantes du vecteur F sont les seconds membres des equations (23,35). Dans ce cas,on sait aussi que div
(23,37)
F=
- (0 + b + 1)
et cela veut dire que le volume du domaine transporte (de l'etat initial
a l'etat
t)
par le flot de Lorenz decroit au cours du temps d'apres la loi : exp (- 13,67 t), si l'on prend pour
0
et b les valeurs de Lorenz. Comme consequence, lorsque t
+
+
00,
dans la sphere de rayon R ' se trouve piege au moins un attracteur (etrange, ayant o des proprietes stochastiques) et chaque attracteur de ce type occupe dans R3 un volume nul . De maniere quelque peu plus precise, on peut dire que donne initial (t
= 0)
si
a un
instant
on considere un ensemble de conditions initiales occupant
un volume no' alors les extremites des trajectoires, issues de no' rempliront au
temps t > 0 un volume n (t) egal n (t)
(23,38)
a
=n
(0) exp [- (0 + b + 1) t] .
Ace propos,il vaut la peine de remarquer que le modele de Lorenz (23,35) etant un flot dans R3 , cette contraction exponentielle du volume, (23,38) interdit 2 a priori l'existence d'un attracteur du type tore T et de ce fait,le modele de Lorenz ne possede pas, par nature meme, de solution quasi-periodique. 2. Les solutions stationnaires du modele de Lorenz sont telles que dA
dt
dB
dC
= dt = dt = 0
=> A
=B
,
(23,39) On notera que pour tout r, l'origine A = B
C = 0 est un point
~ixe
et
pour 0 < r < 1,il est stable (est attractif), tandis que pour r > 1,il est instable (le probleme lineaire associe a alors une valeur propre positive et deux valeurs propres negatives). Lorsque r franchit la valeur 1, l'etat de conduction pure (qui correspond
a la
solution triviale nulle) et la solution correspondante
deviennent instables et deux solutions emergent :
586
(23,40)
A
B
± ,I b (r-1l,
C
==
r-1
nous sommes en presence d'une bifurcation dite fourche,ou un point stable donne naissance a deux points stables. En fait, cette bifurcation resulte simplement de l'invariance du flot (23,35) dans la symetrie : (A, B, C) -> (-A, -B, C) .
Un calcul simple permet de verifier que les deux solutions stationnaires sont bien lineairement stables pour r ~ 1. D'un point de vue physique,elles correspondent a l'apparition de la convection en rouleaux, chacune etant associee a l'un des deux sens de rotation des rouleaux a priori possibles. Ces deux solutions perdent leur stabilite lineaire en r bifurcation de Hopf
~-critique
==
24,74,ou chacune d'elle donne lieu a une
et au-dela seule subsiste une solution aperiodique
et on peut alors raisonnablement admettre que l'on a affaire, ici, a un attracteur etrange. On notera qu'un phenomene d'hysteresis (associe a la bifurcation sous-critique) se manifeste au niveau de cette seconde bifurcation et trois attracteurs coexistent pour des valeurs de r comprises entre 24,06 et 24,74 les deux singularites et l'attracteur etrange. Ainsi, l'apparition du chaos n'intervient pas ici par perte de la stabilite d'une trajectoire periodique. Pour r € [24,74; 30], l'attracteur etrange constitue la seule solution stable du flot (23,35). Au-dela de r
==
30,1 et jusqu'a r
solutions devient excessivement complexe, avec une
= 214,
alternanc~
Ie diagramme des
de regimes chaotiques
et de regimes periodigues. On notera que l'etude analytique du systeme de Lorenz dans la limite des grandes valeurs de r montre que l'attracteur limite est necessairement un cycle limite (voir, par exemple, l'article de Fowler dans Studies in Appl. Math. pp. 215 a 233, 1984), resultat qui est pleinement confirme par Ie calcul numerique. 3. Mais revenons a la situatio~ou rest legerement superieur a 24,74, disons r
= 28
- dans ce
ca~les
trajectoires projetees sur Ie plan (B,C) decrivent des
orbites irregulieres autour des points C ,et C', qui sont les points fixes instables du flot, comme il est illustre sChematiquement sur la figure ci-apres.
587
-30 -20 -20 -10 -10 -30
oo
587
1010 2020 3030
BB
Sur la figure suivante, ci-dessous, on montre l'evolution temporelle Sur la figure suivante, ci-dessous, on montre l'evolution temporelle de l'amplitude A(t) qui presente l'allure irreguliere d'un comportement chaotique. de l'amplitude A(t) qui presente l'allure irreguliere d'un comportement chaotique.
A(t)
A
~j
o ~..:w--ill---U--LJ.---H-J~--P 1-,if-tHt~t---+ t A' A'
On notera que l' evolution est tres desordonnee, tantot autour d' une moyenne A, On notera que l' evolution est tres desordonnee, tantot autour d I une moyenne A, tant6t autour de l'autre A', o~ Aet A' sont les coordonnees A des points fixes tantot autour de l'autre A', o~ Aet A' sont les coordonnees A des points fixes stables C et C' . Pour des valeurs de depart {A(O), B(O), C(O)} prises au~, stables C et C'. Pour des valeurs de depart {A(O), B(O), C(O)} prises au~,
588
L
les trajectoires correspondantes sont tres rapidement attirees dans une region formee de l' ensemble des trajectoires "tournant" autour de C et C'. comme il a ete represente sur la figure ci-dessous. Cet attracteur L de Lorenz. associe
a
une dynamique chaotique. est le premier attracteur etrange decouvert et etudie en 1963.
L'attracteur etrange de la figure ci-dessus a ete Calcule par O. Lanford (de Berkeley) et les solutions dumodele de Lorenz pour s'approchent,lorsque t
croi~
a = JO.
solution de (23.35) qui part "pres" de l'origine au temps t fait une boucle de suite, de
a droite.
fa~on
b
= 8/3
et r
puis quelques boucles
a gauche,
irreguliere. On suit. sur cette derniere
=0
puis
Cette solution
a droite
~igure
et ainsi
la solution
pendant cinquante boucles. La partie en-dessous du plan S (qui correspond C
=r
(en t
- 1
= 27)
= 28
de cet attracteur etrange. Lanford a choisi la
a
est indiquee en pointille. Si l'on prenait une condition initiale
0) voisine, la nouvelle solution ~~carterait vite de l'ancienne et les
nombres de boucles
a gauche
et
a droite
ne seraient plus les memes; on constate
que l'on a bien une DSCI. On notera aussi que les trajectoires, calculees par Lanford. s'inscrivent pratiquement sur une
sur~ace
et on pourrait croire que la
dimension de l'attracteur etrange de Lorenz est egale
a 2.
En realite. il n'en est
rien et si on "perce" ce feuillet apparamment bidimensionnel, on rencontre une
589
structure complexe composee d'un grand nombre de feuillets tres serres. Ainsi, l'attracteur de Lorenz n'est pas tout-a-fait une surface mais il n'est pas non plus tout-a-fait un volume, car les feuillets n'ont pas d'extension transverse et sont separes par du vide! De fait, si on determine la dimension de l'attracteur de Lorenz on trouve que d(A) = 2,06 ce qui confirme bien que cet attracteur de Lorenz n'est pas une simple surface. Si la dimension de l'attracteur de Lorenz est tres voisine de 2, cela tient a la tres forte contraction des volumes, au voisinage d'une surface S
d'embranchement; les feuillets etant places dans un voisinage
o
tres proche de S , surface idealisee qui, avec une tres grande precision, caraco
terise le mouvement des trajectoires et l'attracteur de Lorenz lui-meme. L'ensemble infini des feuillets de cet attracteur de Lorenz est un ensemble non denombrable et ces feuillets sont relies entre-eux, formant une structure complexe "multi-feuillets", dans R3 ; cette structure a ete analysee en detail par Williams (voir son article dans les "Lecture Notes in Mathematics", vol. 615, p. 94,
1977, chez Springer-Verlag a Heidelberg). Precisons encore que le nombre de boucles a gauche et a droite varie de
fa~on
pseudo-aleatoire, ce qui fait que le mouvement
est bien aperiodique. Mori et Fujisaka (Lecture Notes in Physics, v. 132, p. 181, 1980) ont fait le calcul de l' exposant de Lyapunov maximum (A 1) en function de r pour le modele de Lorenz. Le second exposant de Lyapunov A = 0 et A = A - A reste toujours 2 1 3 negati f, ou A :: - ((J + b + 1). Dans ce cas la dimension de l' attracteur de Lorenz est :
(23,41)
A
d(A)
1 = 2 + 11:T
3 Sur la figure,ci-dessous,on trouvera le graphe de A ; A en fonction de -1 lllax r pour b = 4 et (J = 16 et dans ce cas pour r = 40 on trouve que d(A) = 2,06.
lL-J'---±:---b----.Ji;;;---:: IIJQ
200
)00
r
590
Sur les
~igures,ci-dessous,on trouvera
3 graphes qui illustrent la 4 271T Ra-Ra- = 27 avec Ra- =-4 formation de l'attracteur etrange de Lorenz (pour £ =----.-Ra a = 10 et b = 8/3) au cours du temps t; les calculs numeriques ont ete effectues par Errafiy au C.l.T.l. de l'Universite de Lille I sur un DPS 8. La derniere figure,ci-dessous,montre l'aspect de l'attracteur (un cycle limite) obtenu pour
£
= 300
Au bout de t
= 140
Au bout de t
= 280
(toujours pour a
= 10
et b
= 8/3)
numeriquement.
591
L'Attracteur etrange de Lorenz (Projection sur le plan (Y,X) ).
Cycle limite de Lorenz obtenu pour £
= 300,
a
= 10
et b
= 8/3
.
592
4. Terminons cette analyse du modele de Lorenz en lui appliquant la technique de la variete centrale (dont il a ete question a la section 20,1) afin de deriver l'equation de Landau associee. On considere ici le modele de Lorenz suivant (ou 00 # 0; voir (17,216)) dX
dT
=_X
dY _
(23,42)
dT - -
avec
Ra Pr
Y
a X - XZ _ .J!... Y Pr
1
et Jl =--0-
, b
Prandtl et Ra le nombre de Rayleigh. Lorsque
Pr etant le nombre de
1 + ---2. 2
00 -= 0, c'est-a-dire
~
_ 1,on
retrouve le systeme de Lorenz classique pour B
X-=A,Y_
Ra
C
et Z
Ra
comme fonction de T = Pr t. Charki
Zakaria~) s'inspire directement de la technique de Coullet et
Spiegel (article dans le SIAM J. Appl. Math., vol. 43, nO 4, 776-82J, 1983) pour deriver l'equation de Landau associee au systeme de Lorenz (23,42) • • D'apres Coullet et Spiegel (J983),si on considere le systeme dYilamique (23,43) oU
X
= X(t)
n
€ R
,
A est le parametre de bifurcation, alors les points d'equilibre du systeme
°
(23,43) sont solutions de FA(X ) = et l'etude de la stabilite du systeme (23,43) A est obtenue en linearisant les equations (23,43) au voisinage des points d'equilibre solutions de FA (X A) = 0. Posons donc : X = ~ + U et alors dU dt
(23,44) avec LA L -= LA
c
= DFA(XA).
= LA
U + NA(U) ,
Dans le cas critique: det (LA)
l'operateur critique, par
~
= 0,
le mode marginal
.) Boursier de These en mecanique (option de Lille a l'Universite de Lille I.
~luides)
A (L~
= AC '
= 0)
et notons par et par
~i
les
au Laboratoire de Mecanique
593
modes amortis (L
S.
~.
l.
l.
~.).). l.
Maintenant, quelque soit A, decomposons U (t)
sur la base de L : U (t)
(23,45)
A(t) ~
+
L
B. (t) ~. l.
i
l.
et en substituant (23,45) dans (23,44) on trouvera que dA
(23,46)
dt
= B A + G (A, B.); l.
dB. _l.
dt
= S. B. + G. (A, B.) l.
l.
l.
l.
dS.
ouB=(dAK)A=A(A-»)et Sk est la valeur propre positive, pour A> AC
'
telle que
c
Sk(A ) = O. Au voisinage de A ,on suppose que B. = H.(A), avec H.(A) un polynOme c
c
2
l.
l.
l.
en A qui commence par A . De ce fait, on peut ecrire,pour A(t), l'equation dominante suivante :
~ = BA+
(23,47)
G (A, Hi (A)) = B A + :f(A) .
Comme dans le cas des rouleaux de Benard, issus de la premiere instabilite convective, on est en presence d'un probleme insensible (A
+ -
A) on doit s'attendre
a une
a une
symetrie de reflexion
bi:furcation fourche (pitchfork) et on trouve la
forme normale classique suivante (23,48) 11 reste
a faire
le calcul explicite du coe:f:ficient a !
A cette fin, supposons que
U(t) = A(t) (23,49)
~
=-
~ +
V(A),
A = Ac et ecrivons (nous omettons l'indice
V(A)
a A3 + ... , N(U)
2 V2 A + V A3 + ... , 3 N A 2
2
+ N
3
3 A +
...
,
dU dt = L U + N(U) . • ) Les Si sont les valeurs propres de l'operateur lineaire L. Voir plus loin la relation (23,53) qui donne explicitement la derivee DFA(X) pour le systeme etudie (23,42).
594
L'identification des ordres en An nous donne (23,50) Soit, maintenant, L¥ l' adjoint de L et ep ¥ tel que
LlIE epII
=0
. Si nous
multiplions scalairement la troisieme des equations (23,50) par ep* alors : < LV, ~. > 3 't'
.
ma1S
< L v , 3
~lIE
't'
>
=<
+ <
LlIE
v , 3
N3 '
lIE
>
=-
a <
~1I>
't'
Ainsi, on trouve que: (23,51) 11 nous reste done
a utiliser
la formule (23,51) en relation avec le
systeme de depart (23,42) . •• Tout d'abord, pour (23,42),les positions d'equilibre sont Ra y ; Z Pr
X
(23,52)
ou encore
y2
Ra - blJ
y2 ; y
= 0,
b .11 [a Ra-J.IJ 2 Ra
si a Ra - lJ > 0, car (X, y, Z) € R3 par hypothese. Lorsque Y
= ~ on
= Z = 0 et linearisons = (0,0,0) le systeme (23,42).
a aussi X
position d'equilibre : X A On a,tout d'abord,
(23,53)
D FA (X)
1
- a - Z y
Ra - Pr
0
_L Pr
- X
X
- b ...H.. Pr
au voisinage de cette
595
et, de ce fait, Ra Pr
0
- a
_L
0
0
0
_E.g Pr
(23,53a)
-
LA
D FA(XA)
1
Pr
Donc,les valeurs propres de LA' pour X A
= (0,
0, 0) sont solutions
de l' equation :
(23,54)
( - .2!!. Pr
et
det (L ) A
qui s'annule pour
+ 8)
}l
r~
8 2 + 8 (1 +
L
Pr
[LPr - aPrRa
) + ].l- a Ra ] Pr
o
=-
b}l Pr
=a
Ra; ainsi le cas critique correspond
]
'
a Ra = ~a
Notre systeme de Lorenz (23,42) est invariant sous la symetrie X
+ -
X, Y
+ -
Y et Z +
Z et de ce fait, ce systeme, au voisinage de X
0,
A subit bien une bifurcation fourche. De (23,54), on peut tirer les trois solutions du polynome caracteristique :
{
(23,55)
ou ~
(1
__ ].l)2
Pr
r(
- b].l < O. 8 = _ .1. 1 Pr ' 2 2L
- .1. 2
4a + Pr
r( 1 L
+ J!.. ) -
Pr
JEl,
J
Ra > 0
< 0, si ].l - a Ra > 0 et le point X = 0 est stable, 3 > 0, si }l - a Ra < 0 et le point X = 0 est alors instable. Mais
On constate que: 8 tandis que 8 3 le premier cas (stable) est
a
ecarter et, de ce fait,le point X
instable. Comme Ra1Ii = ~ , on trouve que : a
L
et le mode marginal ¢
« est tel que
_ L... aPr _J!.. Pr
o
o
o
)
=0
est toujours
596
(23,56)
° => Ijl (- a¥r ' " 0)
L Ijl
••• Maintenant, il ~aut ecrire
(23,57)
N(U)
puis rechercher la
~orme
.
X = X + U , avec ~ = (0, 0, 0) , et A dU = dt
- LU
~orme
bilineaire associee a la
quadrati que N(u)
= Q(U J1) ~:
D'apres la forme meme de N(U),on voit aisement que
- ~ [X, Z,° + X2
(23,58)
~
[X, Y2 + X2
y,J
Revenons a (23,49); nous avons
{
(23,59) avec (23,60)
Ijl + V2 A2 + V A3 + ... ; 3
U(t)
= A(t)
N(U)
=Q(U,U)
- L V2
= A2
Q (1jl,1jl) + 2 A3 Q(Ij), V2 ) + ... ,
= N2 = Q(Ij),Ijl) = (0,
0, - ~ ) •
Comme l'operateur L n'est pas inversible,il adjoint a LIj)
=° :
•
L Ijl.
-
°
lIf
, avec L
1If) A tout couple (U"
1
_ --.l!..-
a Pr
°
- a
_L Pr
°
~aut
considerer le probleme
° °
_Ell. Pr
U ) qui pour U, fixe ait une forme 2 lineaire en U et, pour U ~ixe, une ~orme lineaire en U,. Lorsque U,=U 2 '
Q(U,U)
= N(U)
U ), nous associons Q (U" 2
2 2 et on dit que Q(U"
forme quadratique N( U)
= Q( U,U) •
U ) est la ~orme bilineaire associee ala 2
597
ce qui donne (23,61)
(- a, 1, 0) .
D'apres l'alternative de Fredholm
ill)
, pour que l'equation (23,60) admette
une solution pour V2,il f'aut que: < Q(
or < Q(
'" >=0
et de ce f'ait,V
du noyau de L :
, 2
,j,iIl> 't'
=0
,
peut etre determine it un element pres
V2 = (0, 0,
(23,62)
D'autre part, de la derniere des equations(23,50), on aura d'apres (23,59),
et connaissant V2 et
~on
doit pouvoir determiner
Q(
En ef'f'et, Q (
'V
Q(
Mais Q(
o et
'V
Q (p, V )
2
Q (
0
d' apres (23,50), (23,58) et (23,62), on trouve que
(
Q (=pllr +
j,
t
P/2 a
< Q(p,V 2 ),
0 2
b Pr
0
= -
2 a
/
b Pr
Ainsi,on obtient def'initivement, d'apres la i'ormule (23,5J), que "') On pourra
consulte~ it
ce sujet,notre livre (Les Modeles Asymptotiques de la
Mecanique des Fluides I; Lecture Notes in Physics, vol. 245, 1986, chez Springer-Verlag; voir les pages 69 it 74).
598 ].l
a 2 b Pr (~+ j) Pr
Pour trouver B au niveau de l'equation de Landau (23,48), il faut prendre la valeur propre positive 8 , d'apres (23,55) et developper en serie de Taylor 3 • • au v01s1nage de RalI' = Pia. Comme 8 ( RalI') = 0 et 3
+
4 a Ra' Pr
on trouve que a
(23,64)
(Ra - l! ) .
Pr (1 + ~ pr
a
En conclusion,l'equation de Landau, pour la bifurcation fourche du modele de Lorenz s'ecrit : dA = dT
a Pr (1 + P/Pr )
(Ra _l! ) A a
(23,65)
l.l a
2
A3 •
b Pr (1 + ....l:!.-) Pr
On peut se convaincre,aisement,que cette equation de Landau (23,65) nous donne les memes positions d'equilibre que celles obtenues par une etude directe du systeme de Lorenz (23,42). On notera que l'equation (23,65) s'integre sous la forme suivante : (23,66) ou a et
B sont
donnes par les formules (23,63) et (23,64), respectivement.
On voit done que si : Ra < ].l/a' l'ecoulement de base est sous-critique, tandis que lorsque Ra > Pia' il est sur-critique. En theorie lineaire,ce second cas
599
implique, un ecoulement primaire instable. Pour le trace des diagrammes de bifurcation et d'evolution de A(T),on se reportera
a la
section 15,2 du
§ 15 (Chapitre V). 4. Influence du parametre de profondeur 0 . Revenons aux equations (17,108), pour
~,
o
et (17,109), avec les
proportionnels
te~es
a0
0
,
pour e . Si nous
introduisons le parametre 20
o
qui reste petit
devant un, alors nous pouvons considerer pour
systeme de la convection
(J
(23,68)
o
].l=2+T
(23,67)
a~
+ II
2
(1l2
~)
(ll
~)
(J
[1 +
+
].l
(23,69)
~
2 ].l
= (J }
pro~onde
{~
et e
~
le
suivant :
~) - ~~ (1l2~)
;Z (1l2
_ ae
ax
(-1. - Z)l {ae - .£!I!. ae + M ae + Ra .£!I!. } = (1 - .l! ) II
J
2
2
4 (~ )2 + ax az
at
ax az
2
az ax
2
(.n - .n az 2 ax2
ou a est le nombre de Prandtl et II
2
~
)2]
ax
2
2
e
'
ag
a2
--+ --ax 2 az2
Dans un premier temps, Errafiy a considere le cas "libre-libre", plus simple pour une simulation numerique sur Z
0
et
Z
1,
(23,70) sur x = 0
et x = L
o
Aux equations (23,68) et (23,69) sous les conditions (23,70), on peut appliquer la technique de Galerkin. Par analogie avec (23,26), on ecrira que:
{
(23,71)
ou
1 a 0 '" L 0
~'V
L L
Apq (t) sin (p 1T Z) sin (q a x) 0
L L
B (t) sin (p1TZ) cos (q a x) pq 0
p~l
e
'V
p~l
q~l
q~O
est le nombre d' onde horizontale.
,
600
Dans ce cas, pour A (t) et B (t),on obtiendra un systeme d'equations pq pq aux amplitudes du meme type que celui explicite en (23,29), (23,30), avec cependant des termes supplementaires lies
a
~,
pour ce qui concerne l'analogue
de (23,30). En tronquant les equations ainsi obtenues, on peut considerer divers systemes dynamiques
a petits
nombres de modes. A cette fin, on peut envisager
deux types de troncatures a) p + q ~ K
et
b) P ~ P
et
q ~ Q
ou K, P et Q sont des parametres de troncature. Errafiy a considere les cas suivants : a) K K
2, (1,1), (2,0) on a 3 equations, 3, (1,1), (2,1), (1,2), (2,0), (1,0) on a 8 equations,
4, (1,1),(2,1), ( 1 ,2), (1,3), (3,1), (2,2) , (2,0) , (4,0) , (1,0) on a 15 equations; b) P = 2 et Q = 1, (1,1), (2,1), (2,0), (1,0) on a alors 6 equations. K
Le cas des 3 equations conduit au systeme (23,42) . Le cas des 6 equations conduit supplementaires sont liees
a la
presence de
Le cas des 8 equations conduit supplementaires sont liees
a la
a un
a un
presence de
systeme couple,ou les trois equations ~
systeme couple,ou les cinq equations ~
Enfin,le cas des 15 equations conduit equations supplementaires sont liees taires
a la
presence de
a la
a un
systeme couple,ou sept
troncature et cinq
equations supplemen-
~
La route vers le chaos dans ces divers systemes dynamiques a ete simulee numeriquement par Errafiy en faisant croltre le parametre de bifurcation (23,72)
E:
Ra - Ra
1If
lt
Ra
pour di verses valeurs du parametre de profondeur 0 ,ou Ra*, est le premier Rayleigh critique calcule de la meme
fa~on
que celui donne ;ar (17,186)lf)
On notera que la sequence des bifurcations qui conduit au chaos est tres sensible
a l'ordre
de la troncature. De plus,le nombre de modes necessaire,
bien representer la convection, tend l'interet d'un modele If)
a
a croltre
avec le nombre de Rayleigh, d'ou
15 modes pour les nombres de Rayleigh assez eleves.
Par analogie, pour le cas libre-libre, on aura, -3 00 2 RaIf ~ _1 31 5 {1 4,99.10 (-;,-)} 2+0 2+u o o
pour
a la
place de (17,186),
601
Precisons encore que, lors de la troncature p+q~K,
°
::: 0 (]J ::: 0), on ne tient compte que des modes pour lesquels 0 p + q est pair. Par contre, pour 00 "$ 0, les modes p + q pairs et p + q impairs il s'avere que, pour
interagissent entre eux, ce qui conduit a. des routes vers Ie chaos tout-a.-fait differentes de celles mises en evidence auparavant. D'une
fa~on
plus precise,
on constate que: l'instabilite des modes p + q pairs genere l'instabilite des modes p + q impairs, lorsque -
° t o.
Ainsi, pour
0 --
°t 0
0, il faut donner a. K les
valeurs 2, 3, 4, 5, •.. • Les divers calculs numeriques effectues par Errafiy (These, juin 1990),
a.
partir du modele a. 15 modes (K
nombre de Prandtl a
10, 20 et 100 et
00
= 4)
= 0,1,0,2,0,6
pour les valeurs du et 1, ont mis en evidence
les trois scenarios classiques de la transition vers Ie chaos, dont il a ete question aux sections 22,2, 22,3 et 22,4 du
§ 22. La mise en evidence (assez
spectaculaire, il faut bien Ie noter) du scenario de Pomeau et Manneville de la transition vers Ie chaos, via l'intermittence, etant intimement liee au fait que 00 F 0, meme tres petit devant un (00
0,1).
Sur les neuf planches placees a. la fin de ce point 4 de la section 23,2, nous avons reunis quelques resultats des calculs numeriques d'Errafiy, d'apres sa These (juin 1990). La premiere planche est relative montre l'influence de
°F o
a.
l'attracteur classique de Lorenz et
0 (petit devant un) sur la geometrie (formation des
boucles). La seconde planche illustre Ie scenario de Feigenbaum, en fonction du parametre de bifurcation E (formule (23,72», pour a = 100 et
00
0,1. Sur la
troisieme planche, on trouve l'attracteur etrange correspondant. La quatrieme planche illustre Ie scenario de Ruelle-Takens, toujours en fonction de
E, pour
a
= 20
et
= 0,2.
00
La cinquieme planche visualisant 2 l'attracteur etrange correspondant qUl emerge d e la destruc to10n des tores T ,
0
,
La sixieme planche illustre Ie phenomene d'intermittence. Sur les trois dernieres planches, on trouvera trois attracteurs etranges; on notera que lorsque 00 et a
= 10,
l'attracteur etrange apparait brusquement
a.
=1
partir de la disparition
d'un cycle limite. Les deux dernieres planches mettent bien en evidence l'influence de
°F o
0; on constate que plus
° 0
est grand (dans les limites de 0,1
a.
1), plus
Ie chaos apparait plus vite et l'attracteur etrange est "plUS chaotique". Cela s'explique, en partie, par Ie fait que Ie parametre de profondeur]J, d'apres{23,67),
602
caracterise, dans une certaine mesure, un ef'f'et "spatial", ce qui fait que lorsque 0
a
croit, le systeme (physique) tend avoir "plus de liberte" et peut, o de ce fait, devenir plus chaotique. Naturellement d'autres calculs numeriques
sont encore necessaire pour affiner ces conclusions et elucider toutes les facettes de la convection de Benard profonde.
603
Planche 1 Attracteurs de Lorenz £ = 75, a = 10.
604
Planche 2 Dedoublements de periodes "Feigenbaum"
00 = 0,1, cr = 100.
a la
605
Planche 3 Dedoublements de pel'iodes
a la
Attracteur etrange £
= 290,
cr
= 100,
Le chaos apparatt pour
00 £ ~
= 0,1 270.
"Feigenbaum"
606
---Planche
4
Scenario de Ruelle-Takens
a
= 20,
00
= 0,2.
Divers tores T2
607
Planche 5 Scenario de Ruelle-Takens Attracteur etrange emergeant de la destruction des tores T2 £
= 154,
0
= 20,
0o
0,2.
608
E
= 130
Planche 6 Intermittence : cr
0,1.
609
Planche 7 Attracteur etrange E
Pour E Pour E
~
=
= 114,66
115, a
= 10,
00
=1
on a un cycle limite (ecoulement periodique).
114,80 on a un attracteur etrange (chaos).
610
Planche 8 Attracteur etrange E
= 160,
a
= 20,° 0
0,1.
611
Planche 9 Attracteur etrange £
= 139, a = 20,
°= 0
0,6.
INDEX ALPHABETIQUE DES MATIERES
Aile de faible epaisseur 200-207. application du ler retour 495, 544. approximation de Boussinesq 413. " du plan tangent 27,33. atmosphere standard 26-27. attracteur de Lorenz 584, 588, 590-591, 603. attracteurs 475, 490, 573. " etranges 469, 473, 475, 522-531, 560, 605, 607, 609-611. Bicaracteristiques 116-117. bifurcation fourche 598. de Andronov-Hopf 506, 510. " " des ecoulements periodiques 508. vers un cycle limite 511. " bifurcations 480-482, 504-512, 549. Caract ere fini-dimensionnel 533 cascade sous-harmonique 509. celerite du son 21. cellules de Taylor 466-468, 561. chaos 478-479. chocs 54, 153. circulation 126. coefficient de viscosite cinematique 56. " de viscosite de volume 19. conditions d'adherence 74, 77. " de glissement 75. " de Joukowski 127, 134-140. de Prandtl-Batchelor 131. " " de rayonnement 79. " de resolubili te 386, 389. " d'orthogonalite 346. " pour la temperature 75,77. conditions a l'infini 78-79. conjecture de Landau-Hopf 535-537. conoide caracteristique 117-119. coordonnees curvilignes 25. convection de Benard 330-331, 568-575. " "" profonde 599-611.
convection en hexagones 331, 361. " " rouleaux 331, 362. convergence faible 92. forte 92. " contrainte normale 5. corps profiles 127. couche limite 62. critere de Rayleigh 461. de Sattinger 263-264. " criteres d'Arnold 398, 400. " de Serrin 255-259. cycle limite 499, 501-504. Decomposition de Liapounov-Schmidt 264- 26 7, 293-297. degres de liberte 472. developpement asymptotique 12. developpements asymptotiques 212. developpements composites 217. dimensions 517-519, 527. discontinuites de contact 113. faibles 114. " fortes 112. " dissipation volumique 20. dissipativite 516. distribution maxwellienne 8. domaine de dependance 122. de determination 121. " d'influence 122. " donnees aux frontieres 74-77. " initiales 72-74. DSCI 514, 530, 538. Ecoulement
" " "
" " " " " "
"
a nombre
de Mach nul 59. attractif 245. autour d'un cercle 138-139. compressible barotrope 159. de Couette 425, 455, 458-461. "-Taylor 454-469, 556-568 " de Poiseuille 96, 273-278. discontinu 54-55. incompressible 47. isochorique 47, 155, 403-409, 441, 448-453. irrotationnel 44, 50.
613
ecoulement parallele cisaille 436-441. plan de Navier 57-58. " presque parallele 273-282. " stationnaire rotationnel " barocline 52-55. " subsonique 160-162. " supersonique 152-153. effet B 33. elimination des termes seculaires
equations reduites 36. ergodicite 515. espace des phases 471. evolutions adiabatiques 15. excitation douce 503-504. " brusque 503-504. existence 80, 85, 154, 168-170. exposants de Lyapounov 519-522.
energie interne specifique 10. "libre " 19. ensemble de Cantor 518, 528, 548. ensemble de Julia 523. enthalpie specifique 21. " " totale 21. entropie de Kolmogorov 521, 559. " specifique 21. equation d'amplitude 390. " de Boltzmann 7. " de De Coninck, Guiraud et Zeytounian. 359. d'energie associee 58. " d'etat 6. " d'evolution 260-261, 390, 483. " de Landau 250-252, 271, 468, "
Faible instabilite 265-266, 294, 379. " nombre de Mach 179-184. fluide d'Euler barocline 40-42. " "barotrope 42-44. " "incompressible 47-52. " de Navier 56. " de Navier-Stokes 19. " incompressible 22. fluides 18. fonction de distribution 3. fonctions de courant 49. " tourbillons 48. forme normale 488. formule de Cauchy 44. " du tourbillon 54. fractalite 476, 518, 524.
229-231, 386, 389.
506, 598.
" "
de l'onde enveloppe 302. de Newel, Whitehead et Segel
281, 306, 362, 390, 448. de Orr-Sommerfeld 284. d'Oseen 63-65. de Prandtl 61-63. de Reynolds-Orr 253-254. de Schrodinger 440. de Steichen 45, 46. de Stokes 59-60, 96-101. de Taylor-Goldstein 405, 409. de Vazsonyi 52. pour la pycnocline 453. pour le tourbillon 43. tronquee de Reid 286.
" " " " " " " " " " " " equations aux derivees partielles associees au lois de conservation 17. canoniques 49. " de Boussinesq 37-38, 316. " d'Euler 41, 60-61, 104, 111. " " incompressibles " stationnaires 52. de Navier 57, 86, 90, 101. " de Navier-Stokes 10, 22. " de sauts 113,115,147. "
Gaz monoatomique 10. " parfait 6,20. grand nombre de Reynolds 175. groupe de renormalisation 545. Hyperbolicite 107, 492. hypothese de Stokes 20. Inegalite de Clausius-Duhem 19. instabilite convective 307-309. instabilite de Helmoltz 412-416. " de Kelvin-Helmoltz
416-424, 441-448.
" de Taylor 410-412, 430-435. instabilites 504-512. " d'Eckhaus 392. " pure et par etapes 246-247. " zig-zag 392. integrale de Bernoulli 44, 53. integrales premieres 54. intensite tourbillonnaire 141. interactions quadratiques 357, 361. intermittences 551-554, 608.
614
interface 406-409. irreversibilite 146, J64. Linearisation 198-207, 319, 333, 404. loi de barotropie 2J, 42. " de conduction thermique 19. " d' etat 22. " de Kolmogorov 481, 531-533. " de la conservation de l' energie
15·
lois de comportement 10.
IIIDAR 211-224. MEM 225-237, 269-271, 285-292, 378-390. methode de Galerkin 87-89, 250, 335-336, 364-366, 374, 485, 581-583. " des moyennes 232-233. microstructure 235. milieu monophasique 19. modele de Howard et Krishnamurti 579. " de Lorenz 366, 367, 578, 583-591. " " " profond 374-376. modeles lies au nombre de Mach 179-186. " " " " "Prandtl 188. " " " " "Reynolds 174-179. " " " " "Strouhal 187-188. " locaux 190-193. " specifiques 193-197. modelisation asymptotique 207-210. mouvement quasi-periodique 476, 508. mouvements atmospheriques 24-28, 188-189. Nappe tourbillonnaire 127, 140-145. nombre de Boussinesq 32, 311. " "Froude 32, 311. " "Grashof 309. " "Knudsen 9. " "Mach 31, 311. " "Prandtl 31, 309. " "Rayleigh 308. " "Reynolds 31, 457. " "Rossby 33. " "Strouhal 9, 31. " "Taylor 458. nombres sans dimensions 31. Ondes de chocs 114, 145-154. " de raref'action centrees 124. " rotatives 562. " de Tollmien-Schlichting 276,
298-306.
operateur de monodromie 494.
Parametre
B
35
de bif'urcations 369. pararoetre de profondeur 315. " de rayonnement 35. " de supercriticite 379. fJ hydrostatique 35. parametres de similitude 176, 185. paradoxe de d'Alembert 134. " de Stokes 65, 100. points f'ixes 491-492. " heteroclines 492-494. " homoclines 492-494. potentiel des vitesses 44, 137, 144. premier principe de la thermodynamique 15. principe de l'echange des stabilites 323, fJ
499.
" moindre degenerescence 215. variationnel 325-326, 347. probleme avec surf'ace libre 124, 165-170,
" "
316-319.
bien pose 66-68. de Cauchy 119. fJ " " mixte 123. " II point tournant 291-292. " "Rayleigh-Taylor 409-410. " du piston 123-125. processus thermodynamiquement admissible " "
20.
propriete melangeante 515. Rayleigh critique 339, 356, 368. regime de continu 11-12. " "glissement 11. fJ des faibles nombres de Knudsen 9. fJ moleculaire libre 11. regles de raccord 214-216, 219-224. relation d'Hugoniot 149. fJ de Prandtl 150. relations de chocs 153. repliement 528, 530. representation conforme 138. resultat de Silnikov 580. rubans 566. Scenario de Feigenbaum 543-550, 604. fJ II Pomeau et Manneville 550-554. fJ II Ruelle et Takens 538-542, 606. scenarios de transition 534-554. section de Poincare 476, 487, 526, 558. sillage rotationnel 132. singularites topologiques 490-494. solution asymptotique 351-355. solutions f'aibles 91. " fortes 95. sous-critique 271.
615
spirales 563, 566-567. stabilite a la Lyapounov 243. " asymptotique 243-244. " lineaire 245-246. stochasticite 514-522. sur-critique 271. surface de Lamb 50, 52. " isentropique 52. surfaces caracteristiques 108. " de discontinuites 112, 114. systeme hyperbolique 69-70. Technique de Bouthier 283-285. technique d'homogeneisation 234-237. tenseur des contraintes 5, 15. " " " visqueuses 18. " "taux de deformations 10. theoreme de Cauchy-Kowalewski 120. "Fjlllrtoft 401-402. " " "Howard 430. " "Lagrange 43-44. " "Miles et Howard 428. theoreme de Rayleigh 401. theorie de Synge 461-465. " faiblement non-lineaire 278-282. tore Tk 476, 541-542, 573, 606. tourbillon 43. trajectoire homocline 496-497. Unicite 80-81, 85-87, 93, 95, 102-103, 120, 124-125, 126-140, 163-165, 168-170. Yariete centrale 486-489, 565-566, 592-598. instable 493. " stable 493. " vecteur contrainte 15. courant de chaleur 6, 15. "
