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®etr-} les six constantes arbitrages necessaires pour Tintegration complete des trois equations differentielles en r,
Hy et les deux que Tintegration introduira dans les valeurs de t et de <J>. Dans la solution que nous venons de donner, nous avons pris pour coordonnees le rayon vecteur avec les deux angles de longitude et de latitude, pour nous conformer a Tusage des astronomesj aussi cette solution a-t-elle Tavantage d'ofFrir directement la plupart des theoremes que Ton ne trouve ordinairement que par la Trigonometric spherique. Mais en Tenvisageant du cote analytique, elle est moins simple que si on avait conserve les coordonnees rectangles primitives j e'est ce qu'il est bon de faire voir, d'autant qu'il en resultera de nouvelles formules qui pourront etre utiles par la suite. 9. En prenant x, y, z pour les trois variables independantes, les formules generates de Particle 3 donnent tout de suite les trois
SECONDE PARTIE, SECTION VII. equations differentielles dr
et l'equation integrate
En chassant R des trois equations differentielles, on a immediatement trois equations integrables et dont les integrates sont xdy
ydx dt -~ zdx xdz Jt = ydz zdy _^ It
r C>
* > . >
B
Cy B, A etant des constantes arbitrages dont la premiere est la meme que celle de Pequationr cos^ * = Cde Particle 5, parce qu'en effet celle-ci n'est qu'une transformed de Pequation x y~~^ty °° = C par la substitution des valeurs de x, y> z de Particle 4. Ces trois integrates repondent a celles que nous avons donnees pour un systeme de corps, dans Particle 9 de la Section III, d'ou nous aurions pu les emprunter. 10. En ajoutant ensemble les carres des trois dernieres equations y et employant cette reduction connue, {xdy ydx)% -f- {zdx xdzf + {ydz zdy)*
h*+dy*+dz*) {xdx-t-ydy+zdz)%
ia
MECANIQUE ANALYTIQUE.
on a Pequation dr laquelle, en y substituant pour dx*+ dy% + dz% sa valeur tiree de la premiere integrale, et faisant pour abreger, A* donne d'ou l'on tire tout de suite
dt =
-
dr
comme dans Particle 6. Les memes equations etant ajoutees ensemble ? apres avoir multiplie la premiere par z, la seconde par y et la troisieme par x, donnent celle-ci: Cz + By H- Ax s= o, laquelle est a un plan passant par Forigine des coordonnees, et fait voir que Torbite decrite par le corps est une courbe plane decrite autour du centre des forces. n . Nommons £ ? » les coordonnees rectangles de cette courbe, Faxe des £ etant pris dans la ligne d'intersection du plan de la courbe avec celui des x, y\ nommons de plus, comme dans Particle 5, i Tangle forme par ces deux plans, et h Tangle que la meme ligne ^intersection fait avec Taxe des X) ces deux quantites i et h seront constantes; et par les formules connues de la transformation des coordonnees on aura
x = %cosh ncosi smh, y =
SECONDE P ARTIE, SECTION VII. i5 Ces valeurs etant substitutes dans les memes equations, donneront celles-ci: j t - cos i =
C,
sin z cos h =: B, sin £ sin A == ^/.
Ajoutant leurs carres ensemble, et extrayant ensuite la racine, on a = . = JD(art.6)j v
COS I
' '
de sorte que les valeurs des constantes A, B, C seront C = Dcosiy
23 = D sin i cos h,
A = ZJsin/sin^.
Or designant par $ 4 - ^ , comme dans Particle 7, Pangle que le rayon r fait avec la ligne d'intersection du plan de Porbite et du plan fixe des x, y, ii est clair qu'on aura £ r cos (<^ + ^),
» = r sin ($ 4- £),
et la derniere des equations precedentes deviendra laquelle donne le theoreme connu des secteurs /rftJO proportionnels aux temps t. Substituant la valeur de dt, on aura Ddr
-&> comme dans l'article cite. Ainsi le probleme est de nouveau reduit a l'integration des deux
i4
M^CANIQUE ANALYTIQUE.
equations separees en f, O et r , que nous avions deja trouvees ci~dessus (art. 6 et 7) j mais cette integration depend de regression de la force centrale R en fonction du rayon r. 12. On voit par ces equations, que ce rayon sera le plus grand ou le plus petit, soit relativement au temps t > soit relativement a Tangle $, lorsqu'il sera determine par Tequation
2H 2/Rdr - = o. Supposons qu'en integrant ces memes equations, on prenne les integrates en r de leurs seconds membres, de maniere qu'elles commencent au point ou r est un minimum, et que Tangle 0 commence aussi a ce point, Tangle k sera alors celui que le rayon qui passe par le meme point fera avec la ligne d'intersection de Torbite avec le plan fixe (art. 7); et cette constante k, jointe a celle que Tintegration peut ajouter a t, et aux constantes A^ B, C, H, ou iJ, i , hy H, completera le nombre des six constantes arbitraires que Tintegration des trois equations differentielles en # , y, z et t doit donner, i5. Si maintenant on fait X = r cos <£,
Y = r cos $ ,
il est clair que X et Y seront les coordonnees rectangles de la courbe, placees dans son plan, et ayant la menae origine que le rayon r, les abscisses X etant dirigees vers le point ou r est un minimum; et si on substitue ces quantites dans les expressions de £ et y\ de Tarticle 11, on aura Ysink,
v\ =
Substituons ces valeurs dans celles de x, y, z du meme article,
SECONDE PARTIE, SECTION VIL et faisons pour abreger, ct = fi = ax = &= cta =
cos k cos h sin k sin h cos i, sin # cos A cos A sin A cos i-f cos £ sin A + sin & cos h cos £, sin k sin h + cos # cos h cos *', sin k sin / ,
on aura x = ctX + j 8 r = z
r(<»cos*
=
expressions qui ont cet avantage, queles quantites de'pendantes du mouvement dans Forbite sont separees des quantites qui dependent uniquement de la position de l'orbite, relativement au plan fixe des x, y. Ces expressions de x, y, z sont conformes a la theorie generale exposee dans la seconde Section (art. io) ? et on aurait pu les en deduire immediatement. En eflfet, en considerant tout de suite le mouvement dans-Torbite, on a les coordonnees X , F, la troisieme Z etant nulJe? lesquelles ne renfermant que trois constantes arbitrages, peuvent etre regardees comme des valeurs particulieres des coordonnees generales x7 y, z; ensuite on aura celles-ci, par le moj^en des coefficiens a, /3, ax, etc., qui renferment les trois autres constantes. i4. Si, au Heu de considerer le mouvement dans Torbite propre dn corps, on rapportait ce mouvement a un plan quelconque, par
16
M^CANIQUE ANALYTIQUE.
les trois coordonnees X , Y\ Z, lesquelles^ ne coiitinssent aussi que trois constantes arbitrages, on aurait alors par la memetheorie les expressions generates
x = etX + / S F + y = *t
yZ,
z = *% et comme on a trouve dans Particle 10'de la troisieme Section, y = &$% && ,
yx = (Zct% ufc,
y% = : a/3, /3a,,
on aurait y = sin^siiu,
> i = cos h sin/,
% =cosz.
Ces valeurs de A, /3, ^ , a,, etc. renfermant les trois arbitrages k, h, i satisfont d'une maniere generate aux six equations de condition donnees dans 1'article 10 de la Section III de la premiere Partie,
Apres avoir donne les formules generates pour le mouvement d'un corps attire vers un point fixe, ii ne reste qu'a les appliquer an mouvement des planetes et des cometes; e'est l'objet des paragraphes suivans. § 1. Du mouvement des planetes et des cometes autour du soleil suppose Jixe. i5. Dans le systeme du monde, la force attractive etant en raison inverse du carre des distances, on fera i ? = §-> g etant la force 'attractive
SECONDE P ARTIE, SECTION VII.
i7
attractive d'une planete vers le soleil, a la distance = 1, ce qui . K
donnera /Rdr=
Substituant cette valeur dans l'equation entre $ et r (art. 11), on voit que la quantite sous le signe devient 2H-\~^, quelle peut se mettre sous la forme *HA-£ (-
£V-
\r
DJ >
D2
la-
alors le second membre de Tequation exprimera la difFerentielle de Tangle ayant pour cosinus la quantite £ D &
de sorte qu'integrant, ajoutant a 4> la constante arbitraire Ky et passant des arcs a leurs cosinus^ on aura D r
g _ D """
On voit que la plus petite valeur de r aura lieu lorsque Tangle <[> -f-X est nul; de sorte que, comme nous avons suppose (art. 12) que Tangle 0 commence au point qui repond au minimum de r9 on aura K = o. Done, en faisant pour abreger, h = ?
e =
on aura r r= equation polaire d'une section conique dont b est le parametre,e Texcentricite, c?est-a-dire ? le rapport de la distance des foyers au grand axe, r le rayon vecteur partant d'un des foyers, et $ Tangle qu'il fait avec la partie du grand axe qui repond au sommet le plus proche de ce foyer. Mec. anal. Tom. II. %
18
MECANIQUE ANALYTIQUE.
La plus grande et la plus petite valeur de r etant I
to
r
lenr demi-somme sera
r
et , i
e
j^_e>
: ; c'est la distance moyenne que ilous
designerons par a; de sorte qu'on aura b = a ( i e a ),
et si on substitue ici pour ft et e leurs valeurs en D et IT, on aura i
i e2
d'oii Pon voit que la constante H doit etre negative pour que Porbite soit elliptique- si elle etait nulle ? Paxe 2a serait infini, et Porbite deviendrait parabolique; mais si elle etait positive, Paxe 2a serait negatif et Porbite serait hyperbolique. Dans le premier cas, la valeur de Pexcentricite e sera moiridre que Funitej elle sera = 1 dans le second cas , et > 1 dans le troisieme. II y a encore une autre hypothese d'attraction qui donne aussi une orbite elliptique , c'est Pattraction en raison directe des distances; mais comrae elle n'est point applicable aux planetes, nous ne nous y arreterons pas ici. On peut voir les Principes de NeWton et les ouvrages oil Pon a traduit ses theories en Analyse. 16, Revenons maintenant a Pequation qui donne t en r (art. 10), et substituons-y ^ a la place defRdr,
gb = ga(i e2) a la
place de D% et | a la place de 2H) elle deviendra dt =
rdr
Faisons 1 ~ = 6>cos0, ce qui donne r = a(j - ecosG),
SECONDE P ARTIE, SECTION VII.
19
on aura y / e ? X ( i ecos0)c/0,
dt=
et integrant avec une constante arbitraire c, t c = y / | x ( f l ^sinfl Cette equation donnera 0 en t, et comme on a r en 0, on aura par la substitution, r en t. Si on fait la meme substitution dans Tequation entre $ et r de Tart. 11, on aura celle-ci: 1 e 2 cos8
dont Tintegrale est = ang/sin= ^ * ~ ~ \ +- const. Mais on peut avoir la valeur de O en 0 sans une nouvelle integration, par la simple comparaison des valeurs de r? laquelle donne Tequation = a{\ ecos9),
i - j - e c o s <J>
v
'
?
d'ou Ton tire, a cause de b = a{\ e*), cos 9 e 7, i e cos 6 7
. , sin> =
sin 9
v i e%i l e cos 9 v ' s
et de la i
= y/(Jxtang-.
On voit par ces formules, que lorsque Tangle G est augmente de 56o° le rayon r revient le meme, et que Tangle O est aussi augmente de 56o°. Ainsi la planete revient au meme point, apres avoir fait une revolution entiere. Or Tangle Q augmentant de 56o% /a3
le temps t se trouve augmente de t / x 36o°j c'est le temps que la planete emploie pour revenir au mcme point de son or-
so
MECANIQUE ANALYTIQUE.
bite, et qu'on nomme le temps periodique. Ainsi ce temps ne depend que du grand axe 2a, et il est le meme que si la planete decrivait un cercle ayant pour rayon la distance moyenne a. Dans ce cas on aurait £ = o, t c = B t/~,
et 0 = O j ainsi le temps
serait proportionnel aux angles parcourus. Et si on suppose g = 1 3 et qu'on prenne la distance moyenne a de la terre pour funite des distances, les temps seront representes par les angles memes que la terre decrirait si elle se mouvait dans im cercle dont la distance moyenne serait ie raj^on, avec une vitesse egaie a Tunite- Le mouyement, dans ce cercle, est celui que les astronomes appellent mouvement moyen de la terre ou du solei!? et auquel ils rapportent Gommunement les mouvemems des autresplanetes. 17. Lorsque Torbite est hyperbolique ? Ie grand axe a devient negatif, et Tangle 6 imaginaire. Pour appliquer les formules precedentes a ce cas, faisons a = A , et 0 = = . y on aura par les formules connues, i etant le nombre dont le logarithme hyperbolique est i ?
ifr = * -_L ,
cosQ = l ±i.
et les equations de Particle precedent deviendront
a cause de e > i. 18. L'equation r(i -\*ecos
SECONDE PARTIE , SECTION VII. donne, en substituant X pour rcosfc (art. i3), -**
b r
fl(t
ai
e*) r
Substituant pour r sa valeur en 0, 0(1 ecosfl), on aura X = a (cos 0 e), et comme ; r = \A>a X% on trouvera
T = a \/i e* x sin 0, expressions fort simples qu'on pourra substituer dans les expressions generates de x, j , z du meme article. Ainsi il ne s'agira plus que de substituer la valeur de 9 en t, tiree de l'equation donnee dans Particle 16, pour avoir les trois coordonnees en fonctions du temps. 3 9. L'angle 0 que nous venons d'introduire a la place de t, est ce qu'on appelle en Astronomie anomalie excentrique, et qui
repond a Vanomalie moyenne {tc) t/&,
et a Vanomalie
vraie $; mais les astronomes ont coutume de compter ces angles dcpuis le sommet de l'ellipse le plus eloigne du foyer ou le soleil est suppose place, et qu'on nomme aphelie ou apside superieure, au lieu que dans les formules precedentes, ils sont supposes comptes depuis le sommet le plus proche da meme foyer, qu'on nomme perihe'lie ou apside inferieure. Pour les rapporter a Paphelie, il n'y aurait qu'a y ajouter l'angle de 1800, ou, ce qui revient au meme, changer le signe de la quantite e; mais en prenant Porigine des anomalies au perihelie, on a l'avantage d'avoir des formules egalement applicables aux planetes, dont I'excentricite est assez petite, etaux cometes, dont I'excentricite estpresqu'egale a Punitc leur grand axe etant tres-grand, tandis que le parametre conserve une valenr finie.
22
MtfCANIQUE ANALYTIQUE.
20. II nous reste, a determiner 0 en £, c'est-a-dire Fanomalie excentrique par Fanomalie moyenne; c'est le probleme connusous le nom de probleme de Kepler, parce qu'il est le premier qui Fait propose et qui en ait cherche une solution. Comme Fequation entre t et 0 est transcendante > il est impossible d'avoir en general la valeur de 0 en t par une expression finie; mais en supposant Fexcentricite e fort petite, on peut Favoir par une serie plus ou moins convergente. Pour y parvenir de la maniere la plus simple, nous ferons usage de la formule generate que nous avons demon tree ailleurs (*), pour la resolution en serie d'une equation quelconque. Soit une equation de la forme /.9 denotant une fonction quelconque de 0, on aura reciproquement G = u +/.Z/H
i
H
V, / + etc.
En general, si on demande la valeur d'une fonction quelconque de 0 designee par JF«0, on fera i^.0 = F.6 = +
'^
, et Fon aura
F. - ' LW o g ^ 2
J
+ etc.
21. Pour appliquer cette formule a Fequation deFarticle 16, on fera f.0 = e sinQ, et on aura immediatement
od il n'y aura plus qu'a executer les differentiations indiquees; (*) Yoyez Jes Mem. de Berlin , annees 1 7 6 8 - 9 ; la Theorie des Fonctions , chap, XYI, premiere Partie, et le Traite de Resolution des equations, note 11.
SECONDE PARTIE, SECTION VII. a3 mais pour avoir des expressions plus simples, il conviendra de developper auparavant les puissances des sinus en sinus et cosinus d'angles multiples de u. On aura de meme sinG = sina + esinu cosu + **'(sin"' .
+
2
2CIU
,
e
cosU
3
. si n z* cos 6 = cos & e sin & £ ; Q
d 2 sinii^
A
i
sinu
,
,
'cosu 2
fl
+ ea
tang8 = tang u + c
COS
33
, sin ua cos u*
.
h etc.
On aura ainsi, par les formules des articles 16 et 17 , /
1
o
,
o rf. sin u 3
,
r = a (1 e cos & + £ sin u% + ^3 7
?-n = anV(\e cosu)n + 7ie* sin^ a (i e cos it)"-1 ne'd.sinu^i
ecosuy-1 ,
Ccosu eii-
~ e° -T^IF ~
Y ayie*x
etc
^
,
"I J i
J'
3
(smu-\-esmiicosu+ea-
tang ? = ^ ( j i j ) X (tang ; + e d\
sin a3
7T^Z
s4
M&CANIQUE ANALYTIQUE. 22. On pourrait tirer de la la valeur de Tangle 0 par la serie qui donne Tangle par la tangente; mais on aurait difficilement de cette maniere une serie dont on put connaitre la loi. Pour obtenir une telle serie, il faudra tirer d'abord la valeur de Tangle $ de i'equation *
A+«
*
9
tang - = y x t a n g - , ce qu'on peut faire d'une maniere elegante, en employant ies exponentielles imaginaires. On aura ainsi cette transformee, en prenant i pour le nombre dont le logarithme hyperbolique est 1'unite, .a i
. 2 i
. . /i-v-e
-2 i
. 2 i
.2
laquelle se reduit a celle-ci:
d'oii Ton tire, en faisant- u^
= «,
ou bien, en supposant E = ^ i =
!
_, Prenons maintenant les logarithmes des deux membres, on aura, «n divisant par |/i ,
SECONDE P ARTIE, SECTION VII. s5 reduisant les logarithmes du second membre en serie, et substituant, ensuite, a la place des exponentielles imaginaires, les sinus reels qui y repondent, on aura enfin la serie (*) = Q + 2£sinG -H sin 20 + ^
sin 39 + etc.
II ne s'agira done plus que de substituer pour 0 sa valeur en w. Si done on fait, pour abreger, U=z cos u-{- E cos 2u + E% cos 5u +- etc-, on aura * = u -f- zE sinu + sin 211 + ^- sin 5u + etc.
u + **E d^~^
+ a^/f^
+ etc.
On peut reduire la valeur de 27 a une forme finie, etTon trouve E (1 -f- V^1 ' cosw -f-/£ 2 "~* 2(1 e cosu)
"
Ces formules ont Tavantage de donner la loi des series, qui n'etait pas connue auparavant 23. Puisqu'en prenant le plan des #, y pour celui de Tecliptique supposee fixe, et supposant Taxe des x dirige vers le premier point ft Aries, Tangle
et Tequation (art. 7) tang(
Mec. anal. Tome II.
4
*6
M£CANIQUE ANALYTIQUE.
ginaires employee ci-dessus. II n'y aura qu'a mettre, dans l'expression de 0 en 6,
| _J
] = -tang.?
et Ton aura
! _ .-^V/ 1
d'ou l'on tirerait ! 4. 1 __ (fft)»/ 1 x
et prenant les logarithmes, tan
A _. ^
6» /j(9ft)V 1 _ i(f~ft)i/lx
ay/ i ^ ( ? _ ft) j / _ 1 tang i3
3.8|/1 v1
^
5
etc.
/ .(?A) v/ 1V.
l
T
7
SECONDS PARTIE, SECTION VII.
27
enfin^en deyeloppant les puissances desesponentielles ima|ioaires et y substituant les sinus qui y repondent, on aurait 4 = tang z:'x sin (
[sin 5(
sera tres-conyergente, mais la serie de 4 e n P ^e s e r a beaucoup moins. 24. Apres le cas ou Texcentricite e est tres-petite? leprobleme de Kepler est encore resoluble analytiquexnent, dans le cas ou Fexcentricite est peu ditferente de Funite, et qui est celui des orbites presque parabolicfues, comme, celles des cometes. Dans ce cas, le demi-grand axe a devient tres-grand, et Fequation de Far tide i 5 , 1
b
dans laquelle b est le demi parametre, doniie
MECANIQUE ANALYTIQUE. L'eqaation entre t et 0 (art. i6j etant mise sous la forme
fait yoir que lorsque a est tres-grand, ,0 devient tres-petit, de g + a , 5 / 5 """"" etc*
sorte qu'on peut developper sin 0 en 0
En faisant ces substitutions dans l'equation precedente, on aura
o - ;n£f3 + etcou Pon voit que la quantite 8 est de-Fordre de ~^. Si done on fait Q = , et qu'on ne pousse rapproximation que jusqu'aux termes de 1'ordre - . on aura a7
u
L
4.3u
2.5.4.5
On trouvera par les memes reductions, 2.
Soit T la valeur de 0 lorsque a = oo, ce qui est le cas de h parabole; on a pour determiner T en t l'equation du troisieme degre,
SECONDS PARTIE, SECTION VIL faquelle donne
29.
T = Vxt. et si on. fait rpt
on aura & = T-f
b*T 4
bT3 5
5.4-5
f- etc., et de la
tang - ^75 - ^4 H- 7^76 " " Vb
r= Mais Tirrationnalite de l'expression de T1 empechera toujours que ces formules ne soient d'un grand usage dans le calcul analytique des orbites paraboliques ou presque paraboliques. 25. II est bon de remarquer, relatiyement au mouvement parabolique, qu'on peut determiner le temps employe a parcourir un are quetconque de la paraboFe, par une formule assez simple, qui ne renferme que la somme des rayons vecteurs qui repondent aux deux extremites de l'arc, et la corde qui soutend cet arc. En faisant a infini et 0 = r\fb, les formules precedentes donnenfc 6(te)y/i.=
b \/b(3r 4- T 3 ) ,
r = tang *,
Marquons par un trait les memes quantites rapportees a un autr-e point de la parabolcj la difference l't, ou le temps employe a
3o MECANIQUE ANALYTIQUE. parcourir un arc de parabole contenu entre deux points donnes sera exprime par la formule 6)t> t)\/l = b]/b (5 + r a + T T ' + T'*) (T' T). Or on a .X==& r, Y-=.\J^br b% ef si on nomine p la corde qui joint les deux extremites des rayons 7* et r', on aura
p* = prxy -\-(rr ry = (r'r"y 'b* s/zbr b%)\ Soit, pour abreger, on aura equation d'ou il s'agit de tirer la valeur de b. Faisant disparaitre les radicaux et ordonnant les termes par rapport a b, on a ^[(r' ry H- U"] bU> ( r ' + r) -f- ^ = o , tVoii Ton tire \/4>-V
h
2 [(/' ry ~-fTF]
*
ou bien en multipliant le haut et le bas par 7^+ 7- s/kr'r
Maintcnant on a r=
^ - 7 done b
vdonc
'-f r) - ^ ]
U\
SECONDE PAIiTlE, SECTION VII.
3i
substiluant la valeur de b, cette quantite devient
[>(r + r') + \/W U*~\ \/[z{r' + r) Done enfin, en remettant pour U* sa valeur, et faisant on aura ^-
f
r+r'=sv
(25 H- y V v )
671 expression qui peut se mettre sous la forme suivante, plus simple-,. 1
1
comme on peut s'en assurer en prenant les carres. 26. Cette formule elegante a ete donnee d'abord par Euler, dans le septieme volume des Miscellanea Berolinensis. On pourrait la deduire du lemme X da troisieme livre des Principes niatheinatiques, en traduisant en analyse la constraction par laquelle Newton determine la vitesse qui ferait parcourir uniformement la corde d'un arc de parabole ? dans le meme temps que Fare serait parcouru par une comete^ et en observant que dans la parabole la demi-somme des rajons vecteurs qui aboutissent aux extremites d?un arc quelconque? est toujours egale au rayon vecteur qui aboutit au sommet du diametre mene par le milieu de la corde parallelement a l'axe 7 plus a la partie de ce diametre interceptee entre Fare etla corde; d'ou et du lemme IX on tire la valeur de ce dernier rayon, exprimee par la corde et par la somme des rayons vecteurs qui repondent a ses deux extremites. On verra plus bas comment on peut etendre la meme formule au mouvement elliptique ou hjperbolique.. 27. Enfin requation entre 0. et t est toujours resoluble par ap-
52
MECANIQUE ANALYTIQUE.
proxiraation, Iorsqu'on suppose le temps t tres-petit; on a alors pour G, et par consequent pour toutes les variables qui en dependent, des series ordonnees suivant les puissances de t, et qui seront d'autant plus convergentes que la valeur de t sera plus petite. Mais dans ce cas il est plus simple d'en tirer la solution directement des equations differentielles en x9 y, z et t de Fart. 9, en y faisant JR = j[. En regardant les variables x, y> z comme des fonctioiis de*, et supposant qu'elles deviennent jc-f-»', JK+jK') Z + Z ' , lorsque t devient /-f-^? on a en general, par le theoreme connu, *
= SI ' + 7 * F X T + 3 5 - X O -4- etc.,
,
dz .,,d*z
t'*
&z
t?3
2
dt l "*" dr x V + ' S 3 x O ~*~ e t c '» et il ne s'agira que d'j substituer les valeurs des differentaelles de x,y, z, deduites des trois equations d*x
gx
dy
zv
d*z gz
auxquelies on pourra joindre, pour simplifier le calcul, I'equation en r de Particle 10,
laquelle etant diiferentiee et divisee par zrdr, donne g
d.rdr
d o u , en diffe'rentiant de nouveau et faisant, pour abreger, S = =
rdr ~£['
O n
a
laquelle est tout-a-fait semblable aux precedentes.
SECONDE PARTIE, SECTION VII. 33 On aura ainsi, par des differentiations et des substitutions successiyes,
tfla:
&x _
(
5.5.5g v ^ j&
et ainsi de suite. On aura de pareilles expressions pour les duTerentielles de y «t 2, en changeant seulement x en y et z. 28. On fera done ces substitutions, et comme les quantites# y, z et leurs differentielles se rapportent, dans ces formules, au commencement du temps t\ si on y change tr en t, et qu'on designe par x, y, z, r, s les valeurs de x, y, z} 7', s qui repondent a ^ = 0 , et qu'on suppose, pourabreger,
3.5g X
rfs
5.5.5gs a
~ J* on aura ces expressions:
. TOOT. / / .
?
g»
*"?
34
MECANIQUE ANALYTIQUE.
A l'egard des constantes s et que renferment ces expressions, il est bon de remarquer qu'elles se reduisent immediatement aux constantes D et H, d'ou dependent les elemens a, b, c de Porbite elliptique, comme nous l'avons vu dans Particle 8. Car en rapportant au commencement du temps t les deux equations en r de Particle precedent, on a ^
2gr 2 i i r
JJ,
a.dt%
r
savoir: « = agr
,
et substituant pour H et D* leurs valeurs za , et g&(art. i5), on aura ds dt
d'ou Pon tire - = --|- a
r
o = 2r
gat'
. a
g
On voit par la que les quantites T et /^ne dependent que de la figure de l'orbite, et nullement de la position de son plan. 29. Comme la quantite r-^, ou s est determinee par une equation differentielle semblable a celles qui determinent x, on aura aussi pour cette quantite une expression semblable, en changeant seulement x et |
en s et J . On aura ainsi SI
+
di
De la, en integrant et aj out ant la constante r*,
r4 = ra + 2sfTdt+
SECONDE PARTIE, SECTION VII. 35 oil les integrales doivent etre prises de maniere qu'elles soient nulles lorsque t=o. On aura ainsi, en substituant les valeurs de T et P^} et ordonnant les termes par rapport aux puissances de t,
r5 9S
etc. Cette expression de r* doit etre identique ayec celle que donneraient les valeurs de x, y, z; car puisque r* = x*-i-y* + z%, on aura aussi
^ '
^ (art. 9 ) d.rdr
de sorte qu'on aura
valeur qui coincide avec la precedents §' I I . Determination des elemens du mouvement elliptique, ouparabolique.
3o. Dans la theorie des planetes, on nomme elemens les six quantites constantes qui servent a determiner la figure de Torbite,
56
MtiCANIQUE ANALYTIQUE.
sa position par rapport a un plan fixe qu'on prend pour celui de i'e"cliptique, et l'epoque ou le moment du passage par l'aphelie ou par le perihelie. Soit, comme dans le paragraphe precedent, a le demi-grand axe ou la distance moyenne, et b le demi-parametre; ces deux elemens determinent la figure de Porbite, et si on nomme el'excentricite, ou plutot le rapport de la distance des deux foyers au grand axe, on a b = a(i e*)7 et par consequent
Soit, de plus, c le temps qui repond au passage de la planete par le perihelie; cet element, avec les deux precedens, servira a determiner le mouvement elliptique , independamment de la position de Porbite dans Pespace, Pour determiner cette position, soit k la longitude du perihelie comptee depuis la ligne des noeuds, c'est-a-dire, Tangle que la partie du grand axe qui repond au perihelie fait avec la ligne d'intersection du plan de l'orbite, avec un plan fixe; cet element determine la position de Pellipse sur le plan de Porbite. Soit enfin i Pinclinaison de ce plan sur le plan fixe auquel on le rapporte, et qu'en Astronomie on prend ordinairement pour Pecliptique; nous le prenons dans nos formules pour celui des coordonnees x, y, et soit h la longitude du noeud, c'est-a-dire, Pangle que Tintersection des deux plans fait avec une ligne fixe, que les astronomes supposent dirigee vers le premier point ft Aries > et que nous prenons pour Paxe des x. Ces six quantites a> b, c, h7 i, h sont les elemens qu'il s'agit de determiner, d'apres quelques circonstances du mouvement elliptique donne. 5i. Le casle plus simple de ce probleme est celui oil on connatt la position du mobile, sa vitesse et sa direction dans un instant
SECONDE PARTIE, SECTION Vll. quelconque donne. Dans ce cas, les donnees sont les valeurs de x
i J> z> -JJ:>fa,££pour un instant donne, valeurs que nous desi-
gnerons par les lettres romaines x, y, z, ^ , §-, ^ , et il s'agira d'exprimer par ces six quantites les six elemens a,b,c,k,
h, L
L'article 9 donne d'abord, en mettant£ a la place
de/Hdi\
et changeant X,y,
z, r, % %, % en x, j , z, r , | , J ,
z
dx
x
*.
dz
dl~~ dJ>
et les articles 11 et i5 donnent ^ B = Z)suucos# 3
C=
Dcosi7
On aura ainsi immediatement9 par ces fbrmules, les valeurs du demi-axe a, du demi-parametre b> d'ou Ton tire Fexcentricite e = l / i -, et les angles h e% i; et il'ne restera qu'a connaftre les quantites c et A. 5s. II est bon de remarquer que la yaleur de a et celle de h peuvent se reduire a une forme plus simple. En effet, il est clair que x's + y / f l +z^ est le carre de la vitesse initiale, laquelle etan& nominee u, on aura g" *
d'ou Ton yoit que le grand axe de la section conique? et par
58
MECANIQUE ANALYTIQUE.
consequent aussi le temps periodique (art. 16) ne dependent que de la distance primitive du corps au foyer attractif, et de la vitesse de projection. A l'egard du parametre 2&,ona reduit, dans Particle n , la quantite D a la forme ~ ,
ou d<$> est Tangle decrit par le rayon r
dans l'instant dt; de sorte que vd$ est le petit arc decrit par le meme rayon, par consequent T-£ est la vitesse perpendiculaire a ce rayon, et que le corps a pour tourner autour du foyer. Si on designait cette vitesse de rotation par v , on aurait dt
et par consequent ,
rV g
Ainsi le parametre ih ne depend que du rayon r et de la partie de la vitesse u, par laquelle le corps tend a tourner autour du foyer vers lequel il est attire. 53. Pour trouver la valeur de l'element c, qui determine le temps du passage par le perihelie, on remarquera que cette constante n'est entree dans le calcul que par I'integration qui a donne la valeur de r en t (art. 16). Done si on denote par 3 la valeur de 0 qui re'pond a t = o, on aura par les formules de l'article cite, en y faisant t=o, ce qui change r en r et 8 en $r, X(3
esinS),
r=a(i
Ainsi on aura par Pelimination de 9- la valeur de c en r, puisque a et e sont deja connues. Enfin pour determiner le dernier element k, qui est aussi entre par I'integration de l'equation entre r e t O (art. i5), on remar-
SECONDE PARTIE, SECTION VII. 59 quera d'abord que Ton a (art. 4), en changeant x, y en x, y y et rapportant l'angle
j- = tangp. Ensuite l'article 7 donne tang* =
COS I
De sorte que h et i etant deja connus, on aura par Tangle inter mediaire
Supposons qu'on ne veuille porter la precision que jusqu'aux troi
4o
MtiCANIQUE ANALYTIQUE.
siemes puissances de t, on aura +
X
^ = *
F
X
6
Comme Pexpression de T renferme la constante s = L5 ? on
commencera par la determiner en ajoutant
ctt
ensemble les trois equations precedentes, apres avoir multiplie la premiere par x, la seconde par y et la troisieme par z: on aura ainsi Pequation
' + yy' + zz' = r* d'oii Ton tirera la valeur de s qu'on substituera ensuite dans l'expression de T. Les valeurs de T et de V etant connues, les memes equations donneront les valeurs des difFerentielles 7 ~-^ ^ ; ainsi le probleme sera reduit au cas precedent. 55. Enfin si on ne connaissait que trois rayons vecteurs r? T\ 7Jf, avec les temps t et t! ecoules entre les passages par r et rf et par r et ru 5 on pourrait encore determiner Porbite par les formules de Particle 29, en supposant les temps £et t! assez petits. Car en faisant t = o pour la valeur de r, et ne poussant les series pour les valeurs de ?J* et r"a que jusqu'aux t% et tf3, on aura
equation d'ou Ton tirera les valeurs r, s et ~. tjes Ces aeux deux dernieres
SECONDS PARTIE, SECTION VIL 4, meres donnent tout de suite, par les formules de l'article 19, 1
a
cnsuite on aura Tangle n compris le rayon r et celui du perihelie par la formule (art. i5) cos IT =
, re
'
eetant = v / ( 1 _ ^ ) . Si Porbite etait une parabole, on aurait a = oo, et par consequent j t i ; alors il saffirait de connaitre deux distances r et r'; la premiere donnerait la valeur de r et la seconde la valeur de s 3 par Pequation
56. Les elemens des planetes sont assez Gomms; c'estpar des observations de longitudes et de latitudes qu'on les a determines ; et la petitesse de leurs excentricites et de leurs inclinaisons sur le plan de Pecliptique, a beaucoup contribue a faciliter ces determinations. En prenant ce plan pour celui des x et y, les angles
et q> en fonctions de rj et comme Pr/)> (p'> A > etc -» [p'> P"J» 0'? Pfr]» e t c - s o n t d e s Unctions de p', p" exprimees en series ou par des integrales definies, dans lesquelles les quantites p' et p" entrent de la meme maniere et forment des fonctions homogenes des dimensions 1 ou 5. Ainsi en faisant ' o f / H K, on aura £ = (p', p") + (P', p"), cos 9"] + D>',p"]. cos cp 4 - [p',p"]a cos 2(p + etc.) x [cos( etc. Or il est facile de voir que les quantites E, * , O, etc. seront des fonctions de £, 4 , (p, etc. et de leurs differentielles ^ , ^ , 57> etc., et que ces differentielles ne seront autre chose que les r/ = 5, etc. Ainsi Tangle compris entre deux sommets consecutifs, et repondant a une oscillation entiere du pendule , sera egal a 2$. 20. En supposant les angles ct et /3 tres-petits du premier ordre, la quantite cos/3 cos a sera tres-petite du second, par consequent Tangle y sera aussi tres-petit du second ordre; done en ne negligeant que les quantites tres-petites du quatrieme ordre, on aura ^ = 1 , cos> = i ; done T = = o^ qui ont lieu dans le vide, et en cherchant les petites quantites que ces termes tout connus ajouteront a ces memes valeurs. Les deux equations dont il s'agit seront si n -vj/ cos dt* 4 P o u ^ ^ es t r o ^ s coordonnees, on a Pequation r~a, a etant la longueur donnee du pendulej done, par Particle i 4 , en changeant ^ e n r , on aura tout de suite la valeur de A qui exprimera la force avec laquelle le fil qui retient le corps sur la surface spherique est tendu. Cette force sera done exprimee par FT ' = , %m=z sin^ sincoy yir = yiff = V"= tj = ^r/ = 12. II est facile de se convaincre que ces valeurs de a, 1>, c rendent egalement nulles les difFerentielles des coordonnees £, v, Z; car en differentiant et faisant c?^ = o, dvz=o,
b, c, on aura sur-le-champ X ==: a -\-fpdt) y = b -f- fqdt, z = c + frdt. Done faisant, pour abreger, &=:f$dt9 etchangeant dans O les variables x, y, z en a, by c, on aura simplement
on aurait aussi 4 en r. Mais ces differentielles se rapportant a fa rectification des sections coniques, on ne saurait les~ integrer que par approximation, et la meilleure methode pour cela me parait celle que j'ai donnee ailleurs (*) pour Fintegration de toutes les difFerentielles qui renferment un radical carre ou la variable monte a la quatrieme dimension sous le signe. 82. Si? outre les deux forces ^ et 4 q ^ attirent le corps vers les deux centres fixes, il y avait une troisieme force proportionnelle a la distance, qui 1'altirat vers le point place au milieu de la ligne qui joint les deux centres, il est visible que cette force pourrait se decomposer en deux tendantes aux memes points, et proportionnelles aussi aux distances. Dans ce cas done on aurait
p
Q= ^ +
et Ton trouverait que Tintegrale (b) aurait aussi lieu dans ce cas; seulement il faudrait ajouter a son premier membre les termed h* (ra + q>)] 5 ensuite il y aurait a ajouter au premier membre de Tequation (c) les termes
(*) Voyez le quatrieme volume des anciens Memoires de Turin,
SECONDE PARTIE, SECTION VII.
,,5
ct par consequent au premier membre de l'equation (d) les termes
De sorte qu'il n'y aura qu'a augmenter les polynomes en s et u sous le signe radical, dans les equations (e), ( / ) , (#), des termes respectifs
_
(^
^
ce qui ne rend gueres la solution plus compliquee. 85. Quoiqu'il soit impossible d'integrer en general Fequation trouvee ( / ) entre s et u, et d'ayoir par consequent une relation finie entre ces deux variables, on peut neanmoins en avoir deux integrales particulieres representees par s = const, et u = const. En effet, si on represente en general cette equation par ds
da
il est clair qu'elle aura aussi lieu en faisant ds ou du mils, pourvu que les denominateurs \/S ou \/U soient aussi nuls en meme temps, et du meme ordre. Pour determiner les conditions necessaires dans ce cas, on fera s ==/*+ co, f etant une constante, et c*> une quantite infiniment petite, et designant par F ce que devient S lorsqu'on change s enf7 le membre ~
deviendra
il faudra done, pour qu'ily ait le meme nombre de dimensions de &> en haut eten bas, que Ton ait F=o,
e t ^ = oj alors a cause dc
116 MECANIQUE ANALYTIQUE. « infiniment petit, la differentielle dont il s'agit se reduira a do,
/d*F >
dont Tintegrale est 7
m
k etant une constante arbitraire. Si done on faita>=o, et qu'on prenne en meme temps aussi & = o, la valeur de /. ^ deviendra indeterminee, et Pequation pourra toujours subsister, quelque valeur que puisse avoir Tautre membre f T7jj- Or on sait, et il est visible par soi-meme que F=> o et ^ = o sont les conditions qui rendent/'une racine double de Fequation F=o. D'ou il suit en general que si le polynome S a une ou plusieurs racines doubles, chacune de ces racines fournira une valeur particulars de s 3 il en sera de meme pour le polynome U* Mainlenant il est clair que Tequation s==/*ou r~\-q~f represente une ellipse dont les deux foyers sont aux deux centres des rayons r et q, et dont le grand axe est egal a /. De meme Fequation w=g ou rq^=g represente une hyperbole dont les foyers sont aux memes centres, et dont le premier axe est g. Ainsi les solutions particulieres dont nous venons de parler, donnent des ellipses ou des hyperboles decrites autour des centres des forces ^J, ~ prispour foyers. Et comme les polynomes
SttV
contiennent les trois constantes arbitrages A^B^C dependantes de la direction et de la Vitesse initiales du corps, il est visible qu'on pourra toujours prendre ces elemens 5 tels que le corps decrive une ellipse ou une hyperbole donnee autour des foyers donnes. Ainsi la meme section conique qui peut etre decrite en vertu
SECONDE P ARTIE, SECTION VII. n7 d'une force tendante a Tun des foyers et agissant en raison inverse des carres des distances, ou tendante au centre et agissant en raison directe des distances, peut Petre encore en vertu de trois forces pareilles tendantes aux deux foyers et au centre r ce qui est tresremarquable. 84 S'il n'y avait qu'un seul centre vers lequel le corps fut attire par la force ^ , on aurait le cas de Torbite elliptique que nous ayons resolu dans le chapitre premier. Dans ce cas on aurait j3 = o, > = o , et les deux polynomes Set U deviendraient semblables et ne passeraient pas le quatrieme degre; les equations CO? G?)> Q1) &e Particle 81 seraient alors integrables par les methodes connues, et Te mouvement du corps serait determine par des formules en s et ur c?est-a dire, par tes distances aux deux centres, dont Tun, celui dont Tattraction est nulle, pourrait etre place ou Ton voudraitj ces formules ne seraient done que de pure euriosite; mais il y a un cas ou elles se simplifient et donnent un resultat remarquable 7 e'est celui ou le centre d'attraction nulle est place sur le perimetre de Tellipse. Pour obtenir ce cas , on determinera les constantes B et C de maniere que le rayon q etant nul, Tautre rayon r soit egal h h, distance entre les deux centres 3 par consequent il faudra que les variables $ r-\-q et u=r* q deviennent a la fois egales a h. Les equations (e) de Particle 8-r sont tres-propres a eette determination. Faisant J = M = h> la premiere de ces equations donne B* = CAaj ensuite, la difference de ces equations etant divisee par s u7 si on y fait sz=u=zh, on a, a cause de 0 = o, + 2CI13.
n8
MECANIQUE ANALYTIQUE.
d'ou Ton tire Par les substitutions de ces valeurs, le polynome jfst 4 . as3 -+- Cs* a,h*s Hh* devient
jyfc* _
2S*fr
+ M) + *(s3 s*h* $h*
.ce qui se reduit a la forme 11 en sera de meme du polynome en u. Or, par l'article i 5 , on a, dans ce cas, a = g et 12"=^, a etant le demi-grand axe de l'ellipse; done Ies equations ( / ) et deviendront ds
du
JL
et si de cette derniere on retranche la premiere, multiplied par h%, et qu'ensuite on divise les numerateurs et les denominateurs respectivement par shy u h, on aura ^__
(.s + h)ds
SECONDE PARTIE, SECTION VIL n9 expression qui a I'ayantage de ne contenir d'aotre element que le grand axe za. 85. Si on fait
Pintegrale etant prise de maniere qu'elle commence lorsque z a une valeur quelconque donnee, et qu'on remette pour s Qtu leurs valeurs/? + £, pq, on aura, en integrant,
Wg= W+p + q) - ffa +pq) > oh Yon voit que ? = a lorsque # = o, de quelque maniere que Fintegrale soit priseOr, puisquep est le rayon vecteur qui part du foyer, g est le rayon qui part de Tautre centre, qui est pris dans un point de Tellipse, et dont la distance au foyer est h) il est clair que h et p seront deux rayons vecteurs, et que q sera la corde de Fare intercepte entre ces deux rayons; par consequent Fexpression precedente de t sera le temps employe par le mobile a decrire cet arc dans Fellipse, lequel sera donne ainsi par la somme des rayons vecteurs / z + p , par la corde q, et par le grand axe 2a. L'integrale que nous avons designee par fonction fz depend des arcs-de cerele, ou des logarithmes, suivant que a est positifou negatif; mais lorsque Faxe 2a est tres-grand, cettc fonction s& reduit a une serie tres-convergente 5 on a alors
Le premier terme donne l'expression du temps dans la parabole, et Ton a
kty/g =- f (/H- P 4- qf ~ i ( / + p ~ qf,
no
MtiCANIQUE ANALYTIQUE.
iaqaelle coincide avec celle que nous avons trouvee dalis Tartide 25. Le reste de la serie donne la difference des temps employes a parcourir un arc de parabole, et un arc d'ellipse ou d'hyperbole ayant la meme corde u et la meme somme s des rayons vecteurs. Cette belle propriete du mouvement dans les sections coniques* a ete trouvee par Lambert, qui en a donne une demonstration ingenieuse dans son Traite intitule: Insigniores orbitoe cometarum proprietates. Voyez aussi les Memoires de PAcademie de Berlin pour l'annee 1778Le probleme que nous venons de resoudre Pa ete d'abord par Euler, dans ie cas ou il n'y a que deux centres fixes qui attirent en raison inverse des carres des distances, et ou le corps se meut dans un plan passant par les deux centres (Memoires de Berlin de 1760.); sa solution est surtout remarquable par Tart aveclequel il a su employer differentes substitutions, pour ramener au premier ordre et aux quadratures, des equations differentielles qui, par leur complication, se refusaienta toutes les methodes connues. En donnant une autre forme a ces equations, je suis parvenu directement aux memes resultats, et j'ai meme pu les etendre au cas ou la courbe n'est pas dans un meme plan, et ou il y a, de plus, une force proportionnelle a la distance et tendante a un centre fixe place au milieu des deux autres centres. J^oyez le quatrieme volume des anciens Memoires de Turin, d'ou Panalyse precedente est tiree, et dans lequel on trouvera aussi Fexamen ducas ou Tun des centres s'eloignant a Tinfini, la force tendante a ce centre deviendrait uniforme et agirait suivant des lignes paralleles; et il est remarquable que dans ce cas la solution ne se simplifie gueres; seulementles radicaux qui forment les denominateurs des equations separees, au lieu de contenir les quatriemes puissances des variables, ne contiennent que les troisiemes, ce qui fait
SECONDE P ARTIE, SECTION VIL 121 fait egalement dependre leur integration de la rectification des sections coniques. CHAPITRE
IV.
Du moupement de deux ou plusieurs corps libres qui $*
86. Lorsque plusieurs corps s'attirent reciproquement avec des forces proportionnelles aux masses et a des fonctions des distances, on a, pour leurs mouvemens, les formules generates des articles 1 et 2, en prenant les corps memes pour les centres d'attraction. Soient m, m(? mr/, etc. les masses des corps, x, y^ z^ %\y\ z\ #", y\ T!\ etc. leurs coordonnees rectangles rapportees a des axes fixes dans Tespacej la quantite T sera; comme dans 1'article 1, ^
2 2 m dx + dv * 4-
4- m" etc. Soient p', f, p"', etc. les distances des corps m', m", m"', etc. au corps m, et B!y R"> Rf", etc. les fonctions de ces distances auxquelles les attractions entre ces corps sont proportionnelles. Soient aussi p", p", etc. les .distances des corps m", m'", etc. au corps m', et i?", R, les fonctions de ces distances proportionnelles aux attractions. Soient de meme fu, p'J, etc. les distances des corps m'", mw/, etc. au corps m", et B"tt, RHU% etc. les fonctions, de ces distances, proportionnelles aux attractions. l6 Mec. anal Tom. II.
MtiCANIQUE ANALYTIQUE. Et ainsi de suite, on aura
,' = y/(x>-xy+(y-yy-Hz'-zr, / z f';=v (*"-x'y+iy"-yr+v'- y>
f»=\/(x''-xy+(y-yy+(z''^y, a w
etc., p:=/c*'"-*T4
etc*
et la quantite V (art. 2) sera V
K
m (mffR'dp'-\- m''/>E"dpf' + mm/Rmdpm +- etc.}
m' (myR'W; + !»JK]dft + etc.)
m^myi?:^: + etc.), etcOr, quelles que soient Ies coordonnees independantes quTon voudra adopter > on aura taujours, par rapport a chacune d'elies, comme £ ? une, equation de la forme canonique
Et comme, dans Ie systeme que nous considerons, il n ' j a aucun point fixe, on pourra prendre rorigine des coordonnees partout ou Ton voudra, et Ton aura toujours, comme onl'a vu dans la troisieme Section, Ies trois integrales finies relatives au centre de gravite, ainsi que Ies trois integrales du premier ordre relatives aux aires, et enfin Tintegrale des forces vives T+fH. On aura de cette maniere Ie mouvement absolu des corps dans Fespace; mais comme la solution de ce probleme n'est importante qu5a Tegard des planetes, et qu'il n'y a que leurs mouvemens relatifs , par rapport au soleil regarde comme immobile, qui interessent TAstronomie, il nous reste a voir comment on peut transporter aux mouvemens relatifs Fequation generale des mouvemens absolus des corps du systeme.
SECONDE PARTIE, SECTION VIL
s^S
JI. Equations gdndrales pour'le mouvemeni relatif des corps qui sJattirent mutueMemenl. 87. Supposons qu'on demands les mouvemens relatifs des corps m', m", etc, par rapport au corps m; designons par g', »', £' les coordonnees rectangles du corps m', rapporte au corps m, en prenant ce dernier corps pour Porigine des coordonnees; soient de meme 0rV>irVC7/ ^ es coordonnees rectangles du corps m f/ par rapport au meme corps m, et ainsi de suite; la question consistera a trouver une formule generale qui ne contienne que ces oordonnees. II est d'abord evident qu-on aura
etc-;
etc.;
f = V r * + V'f + C71, etcM
etc., p; = etc., et la quantite T deviendra
T = (m + m'+ m"+ etc.) H
i24 MliCANIQUE ANALYTIQUE. Comme les variables x, y, z, apres ces substitutions, n'entrent plus dans la quantite 7^", et que ces variables n'entrent point dans Tsous la forme finie, on aura, relativement a ces memes variables, les equations
ce qui donne
rr_ _ a,, j(3, y etant des constantes arbitrages. Ainsi on aura les trois equations
( m + m'-j- m"+ etc.) | + m^ % + mF' * + etc. = ]9,
(m +m'-Hmf/+ etc.) ft + m' § ' + mr/ §'+etc. = ? , les quantites a, j(3, 5/ etant des constantes. Si maintenant on substitue dans l'expression precedente de T les valeurs de £;£,£, pour abreger*
X= Y = Z = Jf =
tirees de ces equations, et qu'on fesse,
m'f + m"f + mwf» + etc., mY + m'V + m!"*'" + etc., m'C + m r r + m w r + etc., m + m' -f- m" -f- m'" + etc.,
on aura T =
ga
+ ^a + va 2^"
t£P + ^Fa 4itfa?
SECONDE PARTIE, SECTION VII. I25 88. Les variables £', »', £', £", etc. etant independantes, et la quantite T ne> contenant point ces variables sous la forme finie, on aura tout de suite, par rapport a chacune d'elles 7 les equations ,(&% dW
d*x\
, dr
,./d>%'
d*x\
, dv
d*Z\
, dV
d*
dV
m ,,/d*C
o
\
0+
Si on ajoute ensemble les premieres equations relatives aux variables £', f", etc., on a
m M
x
d*x
m
dr
dv
~dF *"df~*"dT
+
etc
_ '
o?
ce qui donne d*X
M/dF
dV
rfF ~*mV5F" f "rfr" t "
elc
\
7'
et Ton trouvera de meme, par i'addition des secondes equations^ et par celle des troisiemes, d*y___ M/dr.dr, \ etc y ~3F ~ " " m \d7 **" dv" *+" v d*z M/dr *dr \ ~dlF " " m. W f ""*" C ' + e / ' valeurs qu'on pourra substituer dans les equations precedentes. On aura ainsi pour le mouvement du corps m' autour de m , les trois equations
m \W dr
t26
MECANIQUE ANALYTIQUE.
et Ton aura de ^pareilles equations pour le mouvernent des corps m", m"', etc., autour du meme corps m, en changeant seulement entr'elles les quantites affectees de deux traits, ou de trois, etc. II n'y aura done qu'a substituer la valeur de V et prendre ses differences partielles relatives auxidifferentes variables; mais cette substitution peut se simplifier par la consideration suivante. 89. Denotons par U la somme de tous les termes de la quantite V* qui contiennent les distances p", pj, etc. ? fT, etc, et remarquons que les expressions de ces distances sont telles qu'elles demeurent les memes en augmentant les coordonnees 07, ^;7 %"\ etc. qui y entrent, d'une meme quantite quelconque 5 d7ou il suit qu'en faisant varier ces memes coordonnees d'une meme quantite infiniment petite^ la variation de U sera nulle, ce qui donnera Fequation
du
du
du +
_ elc
w + ap d? + - °* On trouvera de la meme maniere r parce que la meme propriete a lieu par rapport aux coordonnees V, »f/? yn\ etc. ? et aux coordonnees C? C, C> e t c , dU
dU
dU
Done, puisque ^ = m (mf/MW + m"fM"dp" + etc.) 4 - £^? pf ne contenant que £', »', (;'; p(/ ne contenant que g", »f/5 £", et ainsi de suite, la premiere equation deviendra , par ces substitutions y en la divisant par m' ;
%
m + m') K | + m" R" % + etc. du
SECONDE PART1E, SECTION VII. I27 Or, dans la quantite Ui\ n?y a que les termes qui Gontiennent JB", fn etc., qui dependent des variables %, V, £' (art. 86); ainsioa peut reduire la valeur de U h
U^m'(m"/M:dp; + *Pr/BTtdfi+ etc.) j sabstituant la valeur de j - dans l'equatxon precedente, elle deviendra
g
+ (m + m>) R>
|
+ m^;
^ + m^; |T + etc.
+ m"R" | ^ + mwi{'" J 4- etc. = o, et Ton aura de la meme maniere
% + (m + m')B!% -f- m^' g + m ^ g
+
etc.
+ m"£!'d^t+ mwi?^ g + etc. = o, W ^ (m +
m
^ ^ + m"K %
90. On peut ramener ces equations a la forme generale, qui a Favantage de s'appliquer egalement a des coordonnees quelconqueSc Si on multiplie la premiere par cT£'? la seconde par dY, la troisieme par ^ \ et qu?an les ajpute ensemble, on aura d'abord la partie differentielle
laquelle, en transformant les coordannees %\ n', £' en dralitres coordonnees independantes %, 4 ,
i*8
M&CANIQUE ANALYTIQUE.
tiplies par cTf la formule (art. 7, Sect. IV)
en faisant A Tegard des termes qui coritiennent les forces R\ i?f/, etc., il est facile de voir qu'en changeant la caracteristique £ en d, tous ces termes sont integrables par rapport aux variables £', »', £'; Fintegrale contiendra d'abord les termes (m-\- m')fR'dpf + m"fR",dp" + mmfK"dff 4- etc. j ensuite elle contiendra les termes f etc.) % f- etc.) >t' f- etc.) ^. Or on a et comme on aura et de meme
et ainsi des autres expressions semblables. Done nommant V Tintegrale totale, on aura /
= (m + mf)fR'dpf + mf!/R"dp" + my/?"Jp" + etc. *
20"
*^
w/
'" " [ j e t c .
Ainsi
SECONDE PARTIE, SECTION VII. 129 Ainsi apres la transformation des coordonnees, les termes multiplies par cTf se reduiront a -j^-
a
91, S'il n'y a que deux corps, m et m', l'expression de f' devient V
= (m4-
ainsi les valeurs de 7* et de V sont les memes que pour un corps attire vers un centre fixe avec une force (m -+- m')R' proportionnelle a une fonction de la distance p' (art. 4). Done le mouvement relatif du corps m' autour du corps m, sera le meme que si celui-ci etait fixe, et que la masse attirante fut la somme des deux masses, ce qui est connu depuis Newton. Lorsque la masse m du corps autour duquel les autres sont censes se mouvoir, est beaucoup plus grande que la somme des masses m', m", etc., ce qui est le cas du soleil par rapport aux planetes, on a a tres-peu pres
V1 = (m + m')fB!dp'. Le mouvement du corps m' autour du corps m sera done, dans ce cas, a tres peu pres le meme que si celui-ci etait fixe, et que la somme des masses m-f-m7 y fut reunie; et en regardant les autres forces m"i?", vrf'R',, etc. comme des forces perturbatrices t on pourra employer la theorie de la variation des constantes arbitraires pour determiner l'effet de ces forces; il ne s'agira que de prendre, oonformement a Particle 9 de la Section V, £1 egale a la somme de tous les autres termes de la valeur de V donnee ci-dessus. On fera ainsi, en accentuant la lettre L pour la rapMect anal. Tom. II. 17
15o
MtiCANIQUE ANALYTIQUE.
porter a la planete m', XX' = - mffldp0, - rnynyp: - etc.
_ m W £ ± £ = £ _ m>»z»' £±^z£
+ etc.
et Ton aura, par les formules generales de l'article i4 de la meme Section, les variations des elemens du mouvement du corps m' autour du corps' m regarde comme fixe. § II. Formates generates pour les variations seculaires des elemens des orbites des planetes autour du soleil. 92. Pour appliquer ces formules au mouvement des planetes autour du soleil, on prendra la masse m pour celle du soleil, la masse m' pour cello de la planete dont on cherche les perturbations, etles masses m", m'", etc. pour les masses des planetes perturbatrices, et on fera
B! = 4 , r
K' = 4 , etc., r
R", = 4 , etc. Ye
On substituera ensuite dans la fonction £lf, au lieu des coordonnees %, nf, ^, £", n", etc, de ces differens corps autour de m, leurs valeurs exprimees en fonctions de t, conformement aux formules que nous avons donnees dans le chapitre I, pour les expressions des coordonnees xy y> z, en y faisant g = m + m ' , ou simplement g', pour le rapporter au corps m'? et Ton aura, par les articles 69 et suivans, les variations des six elemens de Forbite de la planete autour du soleil. Nous nous contenterons ici de chercher les variations seculaires de ces elemens qui sont les plus importantes, et qui ne dependent que du premier terme tout constant du developpement de £l>
SEGONDE P ARTIE, SECTION VIL L'expression de Cl' deviendra
+ etc. . CommenQons par developper la quantite
on y mettra d'abord pour £, n, ^ les expressions de x, y, z de l'article i 3 , en marquant par un trait, ou par deux, les quantites qui se rapportent aux masses m', mr/. On aura
2j»y'«cos*' +
Si on fait les multiplications, qu'on developpe les produits des sinus et cosinus, et qu'on fasse, pour abreger, A
l
ft
i
f
"
i
/
'/
on aura {A 4- fl,)p>" Les quantites a', jS', «[, etc. sont fonctions des elemens h', i' k' de l'orbite tie la planete m', donnees par les formules de l'article i 3 , en marquant toutes les lettres d'un trait, et les quantites a', /3",
MtiCANIQUE ANALYTIQUE. a,9 etc. sont fonctions semblables des elemens h", 2', k" de Torbite de la planete m", en marquant les lettres de deux traits- ainsi les quantites A, B, Ax, Bx sont fonctions de ces memes elejnens; mais par la consideration suivante, on peut voir ce gu'elles expriment. g4. Les coordonnees primitives rapportees a un plan donne etant x, y, z, pour les transformer dans les coordonnees x\ y\ z' rapportees au plan de l'orbite de m', on a, par les formules generales de Particle i4,
x s= tt'x' + j8y -f- y'z'y y = ct[x' 4- jS,y + y[z'7 ou les coefficiens a!, /3', etc. dependent des constantes h\ if, k\ qui determinent la position des nouveaux axes par rapport aux primitifs, i' etant l'inclinaison des deux plans. De meme, si on voulait transformer les memes coordonnees dans les coordonnees x", y", z" rapportees au plan de l'orbite de m", on aurait X =
ct"x"
y = cc"iX" + j8:y + y\z», ou les coefficiens ar/, ^", etc. seraient des fonctions semblables des constantes h", i", U\ qui determinent la position de ce nouveau plan par rapport au meme plan primitif, et ou i" serait l'inclinaison de ces plans. Si on compare maintenant ces expressions, on aura a'xf + j0y H- y'z' = a!'x" -f j 8 y + / z " .
SECONDE PARTIE, SECTION VII. S35 Comme les coefficiens a'? jS', y\ a.\, etc. sontassujetis auxmemes equations de condition que les cbefficiens a, /3, y, a,, etc. de l'article i4, si on ajoute ensemble les trois equations prece'dentes, apres les avoir multipliees respectivement par a', «j, a,, par /3', Q>\ 7 P> et par / , ^ , y\, on aura, en vertu de ces equations, *' =
AJC"
-f- Byf/ H- Cz.",
en faisant, pour abreger,
A
= «'
B =a' C = «
C
II est evident que par ces formules les coordonnees x', y\ zf sont transformees dans les coordonnees x"f y", z"-, ainsi les coefficiens A, B, C, A,, B,, etc. seront exprimes d'une maniere semblable aux coefficiens analogues a', /3', y', *[, (%[, etc., etprenant les constantes H, I, K, a la place des h', i', k\ on aura, par les formules generates de l'article i 3 , A = cos j£ cos i f sin JKsin J^TcosJ, B = sin K cos H cos/£ sin i f cos J , C =
i34
MftCANIQUE ANALYTIQUE. A , = cos K sin H -f- sinXcos^Tcos/, B 2 = sinXsinU + cosiCcosJ^cos/, C , = cos I f sin/; A 4 = sin .K s i n / , B 4 = cos K sin J , C a = cos/.
La constante /representera Tangle d'inclinaison des deux plans ou sont placees les orbites des planetes ra' et m"; et nous la designerons par 2", pour indiquer qu'elle se rapporte aux orbites de m' et m"; et si, dans Texpression de C4 en y', y", y[, etc., on substitue les valeurs de ces coefficiens en h', k\ i', h", k", i" (art. i3), on a cos 1" = cos i' cos i" + cos (h'h") sin i' sin i". On voit que les quantites que nous venons de designer par A, B, A,, B t sont les memes fonctions de a.', a", /3', etc. que celles que nous avons designees par les memes lettres dans Tarticle g3; ainsi on aura dans les formules de cet article, en y substituant pour ces quantites les valeurs que nous venons de trouver, A + Bt = 2cos(.ff-f- K) x (cos i I")%
A Bt= 2Cos(HK) x (sin£/;')% , B = asin (H+ K) x (cos \ 1))% t + B = 2sin (JJ K) x (sin i I"f)\ g5. Done faisant ces substitutions dans Texpression de p"a de Tarticle g3, on aura ^ ' O" H K) x (cosf/;')* p'p" ( $ 4 - $" H+ K) x (sin { 2p'p"cos
SECONDE P ARTIE, SECTION Vll. Faisons, pour un moment,
i35
A = cos (<&' + <&" H-\-K) cos($ $' H K), on aura ji_
i
^
c'est la valeur qu'il faudrasubstituer dans l'expression de f2 de l'article 925 et Ton aura de la meme maniere
En marquant de trois traits les lettres qui ne sont marquees que de deux, on aura les termes multiplies par m"' dans £1, et ainsi de suite. II faudra ensuite substituer pour p', fy etc. et pour <&', Of/, etc. leurs valeurs exprimees par les anomalies moyennes uf> v!1, etc., suivant les formules des articles 21 et 22; et dans le developpement, nous nous contenterons d'avoir egard aux secondes dimensions des excentricites ef, eu, etc., et des inclinaisons mutuelles I"f, Tf des orbites de mf/? m'"? etc. sur celle de m', en regardant ces quantites comme tres-petites du meme ordre, et en negligeant les termes ou elles formeraient des produits de plus de deux dimensions. On aura ainsi (^ZTo"~ HA)
96. On sait que les puissances d'une fonction de la forme p'» ]- pr/* 2pfp"cos $ peuvent se developper en series de cosinus
i56
MtfCANIQUE ANALYTIQUE.
d'angles multiples de
* = ( , = / , p") -f-ft',p")x '> A
c o s 2<
P + (l»'» P")s cos 5
)-* = [>', p"] + [>', P"].cos
p" = a"(ievcosii") +* * cos2w", = u! <&"= M" 4 . 2er'sinMf/ -f. sraaa", 4
et par consequent
= + Comme
SECONDE PARTIE, SECTION VII. Comme nous negligeons les quantites au-dessus du second ordre, dans les termes multiplies par sin, on pourra mettre tout de suite a! et a" au lieu de p', p"; u\ v!1 au lieu de $', <£", et ufu"L au lieu de
Considerons maintenant les fonctions (p'? p"), (p',p")i> etc.; en y faisant les substitutions precedentes a la place de p' et de p", et conservant les secondes dimensions de ef et de eff> on aura , p) =(<*> « ) +
. (a\
rfa''
a")
/
it
i j
ci'e'2
r f r f ( ( aae'co8u e'co8u+ +
a
rcosm
r
)
cos
et il en sera de meme des autres fonctions semblables. On aura pareillement cos
on developpera de la meme maniere les cosinus des angles mul Mec Anal. Tom. II. 18
13d" MftUNlQUE ANALYTIQUE. tiples de
Le terme (p'? p")iCos
Le terme (p'9 p'% cos 2(p, et les suivans, ne donneront que des termes ou e\ e"> i\ i" formeraient plus de deux dimensions, et qua nous negligeons. II reste a developper la quantite l
' 9° )
On fera ici pour p', p" les memes substitutions que ci-dessus; on aura d'abord
mais dans le terme qui contient sin £, et qui est deja du second ordre, il suffira de mettre ~
a la place de 4-ai et comme
SECONDE PARTIE, SECTION VIL i3g A:=cos(0'-|-$ f/ H+K) (*'*''J3"X), il est clair que ce terme ne donriera aucune quantite constante. En multipliant Fexpression precedente de -^ par celle de cos
ee"
, , e'e"
,
, ,,
de sorte que, dans la quantite dont il s'agit, les termes constans se detruisent. 97. La somme de tous les termes que nous venons de trouver, etant multipliee par m"? sera la partie constante de la fonction £2', due a Faction de la planete mf/, et Ton aura une expression semblable pour la partie due a Faction de la planete m"'? enrapportant a celle-ci les quantites relatives a la planete mf/. Nous avons designe par (Q) cette partie non periodique de la fonction CL-7 si done on fait, pour abreger,
et par consequent puisque a' et a" entreat de la raeme maniere dans la fonction (a', a"),
et de plus, [(a',
a")] = {a\ a»)t + ^ 1 a' + <M^p
on aura
*&, a"), , 4da'da" aa">
ii[o
MECANIQUE ANALYTIQUE. - (af) = m" {(a', a") -f- ((«', a!>))e" + ((a", a'))er< + [(«',«")] e'e"cosL + etc.
Cette valeur est exacte, aux quantites du troisieme ordre pres, en regardant les excentricites e' et e" des orbites de m' et de m",' ainsi que leur inclinaison mutuelle I, comme de tres-petites quantites du premier ordre, quelles que soient d'ailleurs les inclinaisons de ces orbiles sur le plan fixe de projection. 98. On peut simplifier beaucoup les expressions des fonctions ((a', a")) et [(a', a")], par les proprietes connues des coefficiens des series en cos
ensuite les differentielles relatives a a' et a a" donneront a" da'
2 (o"
2
a' 2 )
7
d(a', a"), _ ara\a')a")-a"\a', a")t da' a'Ca"1a/a) » *
'
fla'(o"a /a
^ (^, a") __ a(a +a da'da" "~" («
a'*)*
»
SECONDE PARTIE, SECTION VIT. Substituant ces valeurs, on aura 2 8(a" 8(a" 2' a'*Y a'*)*
14*
>
a, a )] Mais on peut avoir des expressions plus simples de ces fonctions, en employant les coefficiens de la serie _ 3
(a'a a'a" cos
[(a', a")] = \dd'\a!,
a"]i(a"+a"*)[a',a"l=:ia'a"[ara'%
qu'on substituera dans Fexpression de (n') de I'article precedent. A l'egard de la valeur des coefficiens (a', a"), (a1, a")t, etc., [a\ a"], [a', a"]t, etc., en fonctions de a\ a", on peut les trouver par le developpement des radicaux, en puissances de cos
14a MfiC ANIQUE ANALYTIQUE. sur Jupiter et Saturne; mais j'ai trouve, depuis long-temps, qu'on pouvait les avoir d'une maniere plus simple, en decomposant le binome a'a2a' a"cos
s
^
, etc.,
on aura en general
4- e t c , ,
et si on multiplie ensemble les deux series qui repondent a \/'i et a y/1, et qu'on repasse des exponentielles imaginaires aux cosinus des angles multiples, on aura (a'a 2a'a" cos
A = ^ [ 1 + n - x (0+ n '. x (^) 4 + rf"x(^,)'+ etc.], etc.], etc. Ces series sont toujours convergentes, lorsque o'>« r / j mais si l'on avait a"> 1, il n'y aurait qu'a changer a' en «" et a" en a', puisque dans la fonction non deyeloppee, les quantites a' et a" entrent egalement.
SECONDE PARTIE, SECTION Vlf. 143 Une consequence qui resuJte de la forme de ces series, est que tant que s est un nombre positif, tous les coefliciens A,B, C, etc. ont toujours des valeurs positives. Si on fait a = £, ces coefficiens deviendront (a', a"), (a', a")>, (a\ a")%7 etc., et si on fait a = | , ils deviendront [a!, a"], [a', a"]n [a'j a"Ja, etc. 99. II nous reste encore a determiner Tangle L. Comme nous negligeons les quantites du troisieme ordre, et que dans Pexpression de A, cosL est deja multiplie par e'e", on pourra, dans la determination de Tangle L, faire abstraction des quantites trespetites du premier ordre, et par consequent y supposer I"f=o. Or I=zH-\-K (art. 94),et faisant I", = 0 dans les formules de Tarticle 92, on a
A = cos (H+K),
A, B = sm(ir-hK.),
A,=oj
on a aussi, par les formules de cet article, A = a'a," -f- a i a l + KK
===
cosZ..
Differentions cette valeur de cosL, faisant varierles quantites a', a", a[, etc., substituant a la place de leurs difFerentielles les expressions donnees dans Tarticle 67, en accentuant les quantites respectives, et remettons les quantites ^/,, A%, etc. a la place de leurs valeurs en a', a", /3', etc., on trouvera facilement
smLdL = AM + AJTT' + B
done en divisant par sin!,, on aura dh = d%" -
et integrant
dX',
144
MECANIQUE ANALYTIQUE.
ou il n'est pas necessaire d'ajouter des constantes, puisque Torigine des angles %', %" est arbitraire. I/angle % est en general celui que Forbite decrit en tournant dans son plan, etquenous avons substitue a la place de la longitude k da perihelie (art. 68). 100. La fonction (n') est maintenant reduite a la forme la plus simple et la plus propre pour le calcul des variations seculaires; il n'y aura qu'a la substituer dans les formules de Particle 71, en marquant d'un trait les lettres de ces formules, pour les rapporter a la planete m', dont on cherche les variations; et en changeant simplement entr'elles ies lettres marquees d'un trait et de deux; on aura des formules semblables pour les variations de la planete m", et ainsi des autres. On voit que cette fonction est composee de deux fonctions distinctes entr'elles, dont Tune ne renferme que les excentricites et les lieux des aphelies dans les orbites, et dont Fautre ne renferme que les inclinaisons des orbites sur un plan fixe avec les lieux de leurs noeuds. Si on designe la premiere par (n / ) 1 et la seconde par (Ci% ensorte que Fon ait (£!') = (a')» + (n') t ? on aura _2a'aff[a',af%efef/cos(xf
X")
-f- etc.,
') t = ~ i m"afa"[ar, a" I x (1 cos JJ) - i m»'a'a"la', a'"]x x (1 - cos j Q oil
cos I',' = cosi' cos i! -+ cos(A' h") sin i' sin ?', cosJ';= cosi'cos^'-J- cos(A' h'^siai'swi'", etc., les
SECONDE P ARTIE, SECTION VII. 145 les angles / " , J'"> etc. etant les inclinaisons de l'orbite de la planete m' sur celles des planetes m", m'", etc. On substituera ainsi (£!'), + (£!') au lieu de ( a ' ) , dans les equations des variations seculaires (art. 71), et on accentuera les lettres, pour les rapporter a la planete m' dont on cherche les variations; on aura, en negligeant les e'% et mettant simplement a! au lieu de b dans les coefficiens des fonctions'(n), et qui sont deja du second ordre, de',
1
d(n')t
^£ ___ 1 . . d(n')2 dt * ~ i/eV sini'dh' '
dpc
1
dh' dt
1 i/jv
d{p.')a. sini'di''
On aura de pareilles equations pour les variations des elemens de la planete mr/ dans son orbite autour de m; et il n'y aura pour cela qu?a marquer de deux traits les lettres qui ne sont marquees que d'un trait, et au contraire ne marquer que d'un trait les lettres qui le sont de deux, Ainsi, en observant que les fonctions de a! et a"y representees par des parentheses, ne changent pas en echangeant entr'elles les quantites a!y af/, on aura
") = i m ' { _
2[(a\
a'% efe« cos (^ %")
etc., '/) _ i- m W [a!, a" I x (1 cos I[) \ m W [ o f / , a% X (1 cos /;) etc., ou coslrlt=:cosl%
et
cos T"n = cos i" cos im 4 - sin (h!1 hm) sin insm i"\ 19 I. Tom. II.
\
MECANIQUE ANALYTIQUE.
J4<3
et les equations des variations seront
et ainsi de suite pour les variations des elemens des orbites de m'", m"", etc. autour de m. 101. Mais nous remarquerons qu'on peut reduire a une seule fonction les differentes fonctions (£!'),, (a"),, etc., ainsi que les fonctions {&') {&")*, etc., ce qui mettra plus de simplicite et d'uniformite dans les formules des variations. En effet, si on fait cos(/-
, X
+ etc. j en faisant toutes les combinaisons, deux a deux, des masses m', m", m'", etc., et des fonctions qui y sont relatives, il est facile de voir que dans les differences partielles de ( n ' ) , , (H"),, etc., on pourra changer ces fonctions en O, pourvu qu'on divise par m' les differences partielles relatives a e' et %'; par m" les differences partielles relatives a e", %", et ainsi de suite. De sorte que les equations des variations des excentricites et des aphelies deviendront
dt ""
mVgV
*
mVgV'
etc.
X
757 » «"^"'
X ~dt~ m'y/gy y X 7d7
di y j 9
X
SECONDE PARTIE, SECTION VII. Ces equations donnent
£?
+ £ A-=o,
* * + * * = <,, etc.;
done comme O est fonction des variables e\ x'> e", %Vetc- sans t, on aura J $ = o, et par consequent O egale a une constante. C'est une relation generale entre les excentricites et les lieux des aphelies des planetes, qui doit tonjours subsister, quelques varianations que les excentricites et les lieux des aphelies subissent a la longue, pourvu qu'elles soient tres-petites. 102. Mais la nature de la fonction $ donne encore naissancc a d'autres relations generates entre ces memes elemens. En eflfet, il est facile de voir qu*on a Fequation
et si on snbstitue a la place de ces differences partielles leurs valeurs m's/g 7 ^ X *-£, m"v / gV' X ^ - , etc., donnee& par les equations de Particle precedent, on aura, en integrant relativement a f, l'equation finie
K* etant une constante egale a la valeur du premier membre de cette equation dans un instant quelconque. Cette equation fait voir que les excentricites e', e", e'", etc. ont necessairement des limites qu'elles ne peuyent passer; car comme elles sont necessairement reelles, tant que les orbites sont des sections coniques, chaque terme, comme m V g ' a ' x e ' 1 seratoujours positif, et son maximum sera la constante X*. II suit de la que si les excentricites des orbites qui appartiennent
3 43
M^CANIQUE ANALYTIQUE.
a des masses tres-grandes sont une fois tres-petites, elles le seront toujours, ce qui est le cas de Jupiter et Saturne; mais celles qui appartiennent a des masses fort petites pourront croitre jusqu'a 1'unite et au-dela, et on ne pourra determiner leurs veritables limites que par l'integration des equations differentielles, comme on le verra ci-apres. De plus, comme la quantite $ , regardee comme fonction de e', e", e"\ etc., est une fonction homogene de deux dimensions, on aura, par la propriete connue de ces fonctions,
£«-+£«*+£«"+<*>.=.«. Substituant dans cette equation Ies valeurs des differences partielles de O relatives a e\ eTf, e!!ly etc., tirees des memes equations de Particle precedent^ on aura
^ x F e'tant la valeur de O dans un instant quelconque. Dans cette e'quation, Ies quantites ^
y
^-,
etc. expriment Ies
vitesses angulaires des mouvemens des aphelies, et par consequent elle donne une relation invariable entre ces vitesses, par laquelle on voit qu'elles ont aussi necessairement des limites, tant qu'elles sont toutes de meme signe. io3. Si on emploie Ies transformations de l'article 73, ea faisant
m'=e'smx', n'~e'cosx>, m" = e"sinx", n"=e"cosx", etc., on aura
SECONDE PARTIE, SECTION VIL
149
etc,, les equations des variations seront dm'
1
d
dnr x
Si, dans ces equations, on substitue la valeur de 0 , et qu?on execute les differentiations partielles, on a des equations lineaires en m\ n1, m", ri\ etc. faciles a integrer, et ces equations seront entierement identiques avec celles que j'avais trouvees par une autre voie, dans les Memoires de Berlin de 1781, page 262, comme il est facile de s'en assurer en comparant entr'elles les denominations differentes des memes quantites. Dans les Memoires de l'annee 1782, j'ai applique ces equations aux six planetes principales > en adoptant pour leurs masses les valeurs les plus probables, et fen ai tire, par Pintegration, des formules generates pour les variations de leurs excentricites et des lieux de leurs apheiies, lesquelles donnent les valeurs de ces elemens, tant pour la terre que pour les autres planetes, au-bout d'an temps queiconqueindefini, soit avant ou apres Pepoque de 1700et comme, par ces formules, les excentricites demeurent toujours tres-petites, ainsi qu'on Pa suppose dans le calcul, on est assure de leur exactitude dans tous les temps passes et a venir. Oh trouvc ensuite, dans le volume des memes Memoires pour 1786^- 87 7
i5o MlfcANIQUE ANALYTIQUE. imprime en 1792, un supplement a cette theorie, relatifa la nouvelle planete d'Herschel, ou Ton determine de la meme maniere et par des formules aussi generates, les variations seculaires de l'excentricite et du lieu de l'aphelie de cette planete, produites par les actions de Jupiter et de Saturne j on a seulement neglige I'effet de l'action d'Herschel sur ces deux planetes, ainsi que sur les autres planetes inferieures, a cause de la petitesse de sa masse et de sa grande distance. io4. On peut reduire de la meme maniere, a une forme plus simple, les equations de la variation des noeuds et des inclinaisons. Soit * =
I mrm"a'a"[ar, a'% x (1 cos I") i m ' m W [ a ' , a"], x (1 cos/;) i rtWd'al'Xd', aT% x (1 cos JQ etc.,
en faisant aussi toutes les combinaisons deux a deux des masses m, m", m'", etc. etc., qui sont supposees agir les unes sur les autres, avec les fonctions correspondantes de a', a'\ a'", etc. et des inclinaisons / ; , /';, /", etc., qui sont determinees en general par la formule cos(n) = cos,fc^ cosz^ -J- cos (hf^ h^) sin i^ sin i^ on aura, en substituant ^ , , ^ -JD^)
7
, etc. a la place de
etc.,
dir _ _
i
d»
rft
m' y/gV
v
sin* dA'»
^
I
t?»
etc.
rf^f
i
«ft "~ m ' yfgS rfA"
1
rfj> X
sin i'^» dt
SECONDE PARTIE, SECTION VII. Ces equations donnent aussi 77/
d*
2K
dh
rf^
77
d*
+ a? * = °>
SF
,
J
jjf,
dh
,
d*
+a?
dl
77,
=
et par consequent, puisque * est une fonction de A', *7, A", i\ etc. sans aucune autre variable, GM"=O, et * = a une constante. De plus, il est visible, par la formule de la fonction * ? que Ton a cette equation
Substituant, pour les differentielles de * relatives a AT, ^f;, A7//, etc. leurs yaieurs donnees par les equations precedents, on aura une equation differentlelte en i', {', i"\ etc., dont Fintegrale sera
et qu'on pourra mettre aussi sous la forme m/
^S x (sin ^ )*+ mV§V X (sin 0 V etc. = tf%
H* etant la valeur du premier menabre dans un instant quelconque. On peut tirer de cette equation, relativement aux limites des quantites sin~, sin - , etc., des consequences analogues a celles que nous avons deduites d'une equation semblable en e\ d\ etc., dans Particle 101. io5. Dans le cas ou Ton ne considere que Faction de deux planetes m' et m';, Texpression de ¥ se reduit au seul terme multiplie par m'mf/, et l'inclinaisoa mutuelle J" des deux orbites devient alors constante; c'est a tres-peu pres le cas de Jupiter et Saturne, Dans ce cas, nous remarquerons encore que si on suppose que
ite MECANIQUE ANALYTIQUE. le plan de la planete perturbatrice m" coincide dans un instant avec le plan fixe, on aura £ " = o 7 et par consequent cosi",' = ce qui donnera ^ = i m ' W [ a ' , a'Q.xCi cos*'), et de la dh' _
___ m"a'a"[q>"] t .
c'est l'expression de la vitesse du mouvement retrograde du noeud de l'orbite de m' sur le plan de l'orbite de m", tandis que leur inclinaison mutuelle demeure constante; d'oii l'on voit que Faction de la planete m" sur la planete m', pour faire varier la position de son orbite, se reduit a donner au noeud de-son orbite, sur celle de la planete perturbatrice m", un mouvement retrograde instantane exprime par r
mVa"[C', a"], jf
sans affecter Pinclinaison mutuelle des deux orbites. De la meme maniere, ractioii de la planete m' sur la planete mf/, pour changer la position de son orbite ? fait retrograder le noeud de cette planete sur le plan de Torbite de m', d'un mouvement instantane
et ainsi des autres planetes. En combinant ainsi deux a deux toutes les planetes, onpourra trouver les variations de leurs noeuds et de leurs inclinaisons reciproques, puisque par la nature du caicul differentiel? la somme des valeurs" particulieres d'une differentielle en forme la valeur complete. C'est ainsi qu'on avait trouve les changemens annuels des noeuds et des inclinaisons d^s planetes, produits par leurs attractions
SECONDE PARTIE, SECTION VII. tractions mutuelles, avant qu'on eut une theorie directe et generate des variations seculaires. 106. Pour donner un exemple de cette methode, considerons trois planetes m', m", m'", dont les orbites s'entrecoupent , JJ, I" etant les inclinaisons de la seconde et de la troisieme sur la premiere, et r"n etant Pinclinaison de la seconde sur la troisieme; il est facile de voir qu'elles formeront sur la sphere un triangle spherique dont les trois angles, en supposant les inclinaisons de mf/ et de mm du meme cote, seront J',', 1800I" et jT, que nous designerons, pour plus de simplicite, par a, /3, y< La planete m/ fera retrograder sur son orbite le noeud de la planete mf/? de la qiiantite elementaire
et la meme planete fera retrograder en meme temps sur son orbite le noeud de Forbite de la planete m"', de la quantite elementaire
tandis que les inclinaisons J" et T" demeureront constantes. Ainsi dans le triangle forme par Fintersection des trois orbites, la portion de l'orbite de m' interceptee entre les orbites de m" et de m w , c'est-a-dire, le cote adjacent aux angles a et /3, croitra de la quantite Adt; faisant, pour abreger,
les angles a et /3 demeurent constans. Or dans un triangle spherique dont les angles sont a, 0, y, et dont le cote adjacent a a et /3, et par consequent oppose a y, est c, Mec. anal. Tom. II. 20
154 on a
MECANIQUE ANALYTIQUE. cos y = sin ct sin ]3 cos c cos* cos/3,
Done faisant varier c de (i)dt9 on aura d. cos y = sinct sin jS sin c (i )dt Mais la meme equation donne COSy -f- COStf \J\J\J
t/
"""""
sin a sin /3
d'ou Ton tire sine 5=
V/siri eft2
s i n /32
(cosy -|- cos« sin^sin/3
COS/3)*
cos« a - cosyS2 - cosy 2 2cos^cos/3.cosy sin # sin/3
Faisons, pour abreger, z/ = \/i-cos*2 cos/3a cos^a 2cosacos/3cos^ = sin* sin/3 sine, on aura On trouvera de la meme maniere, en considerant la retrogradation des orbites de m' et de m"' sur celle de m", laquelleaugmente le cote adjacent aux angles ct, y, et par consequent oppose a Tangle P9 de la quantite elementaire Bdt, en fei&ant 4 \
/
^gV
P
tandis que les angles /3 et > demeurent constans,
parce que la quantite ^ est une fonction sjmetrique des trois cosinus, Enfin la retrogradation des orbites de m' et mr/ sur c«Ue de mw,
SECONDE PARTIE, SECTION VII. donnera aussi d.cosu = Cudtt en faisant
i55
C = - - (*'*&> d"1< __ «V"[>"» 5 «"] \
4 \
VJZ
i/g ?
/
Dans ces equations, les trois coefficiens (1), A, B, C sont constans, ainsi il n'y a de variable que la quantite u, qui est fbnction des trois cosinus de et, ft, y, c'est-a-dire, des inclinaisons respectives des orbites I", I'", J"- ainsi on pourra determiner leurs valeurs en fonction de t. Si on ajoute ensemble ces trois equations, apres avoir multiplie la premiere par m"m'"a"am] a", a'"]lt la seconde par m'm'Va'" [a', a'"], la troisieme par m'm"a'a"[af, a"], on a m"m"d'd"[a", dT\xd. cosym'mVa'"[a', d"\A. cos/3+m'mVa"|>', d'\d. cos«= (m'm'W[a", d^A m'mVa"[a', d^B + m'm"a'c"[a', a"],C)rff.
Or en substituant les valeurs de A, B, C, on voit que. le second membre se reduit a zero, par la destruction mutuelle detous les termes, et le premier membre etant integrable, on a, en remettant pour a, /S, y leurs valeurs I"/9 i8o°/'", J",
equation qui s'accorde, dans le cas de trois orbites, avec l'integrale * = constante trouvee plus haut (art. io4). Si on fait, pour.plus de simplicite, cosa = x,
cos/3 = y,
cosy = 2,
on a les trois equations dx _ Cudt, dy. = Budty dz = Audt-r u = \/\ x2 y? z* tixyz. La premiere, combinee avec la seconde et avec la troisieme}
156
M^CANIQUE ANALYTIQUE.
donne, par Pelimination de u,
et de la
Sabstituant ces valeurs dans Pexpression de u> la variable x montera au troisieme degre sous le radical, et Pequation doG=Cudt donnera dtz=: ^ , equation oil les variables sont separees, mais dont le second membre ne sera integrable que par la rectification des sections coniques. Mais comme les inclinaisons mutuelles des orbites doivent etre supposees tres-petites? si on fait x=i %, jK=i+>i> z = i £ , ce qui donne les quantites % y », t, devront etre tres-petites, et on pourra negliger, dans Texpression de u, Ieurs troisiemes dimensions vis-a-vis des secondes. On aura ainsi et
« = 3(Cu + ?c + -€r — %*—**—^ d% =
CMC/^,
J» = J5z/^,
^ =
Audt.
Si on difFerentie cette valeur de u% et qu'apres la substitution des valeurs de d%, dy, d£y on divise l'equation par udt, qu'ensuiteon la redifferentie et qu'on y fasse encore les memes substitutions, on aura, dt etant constant.
equation integrable par des exponentielles ou des sinus, suivant que le coefficient de u sera positif ou negatif; mais comme u = sina sin /3 sine, il est evident que la valeur de u en t ne peut
SECONDS PARTIE, SECTION VlL i5 7 pas contenir d'exponentielles j designant done par ft le coefficient de u dans Fequation precedente, on aura u = j£ (cos/*£ + £), K et k etant deux constantes arbitraires qu'il faudra determiner par Fetat initial, et comme sin & et sin /3 sont, par hypothese, des quantites tres-petites, K aura aussi une valeur tres-petite. De la on aura, par Fintegration, les valeurs de £, n, ^, qui ne contiendront i que dans sin(/^f-j-^)? et qui, etant une fois trespetites, le seront toujours necessairement, desorte que la solution sera toujoiirs bonne. On connaitra done ainsi les inclinaisons reciproques des orbites pour un temps quelconque, mais on ne connaitra pas encore par la leurs positions absolues dans Fespace, lesquelles dependent des angles h\h!f,etc.,i!)in,etc.j e'est pourqnoiil est plus simple de chercher directement ces angles par Fintegration des formules de Farticle io4. 107. Mais au lieu d'employer ces equations sous la forme oil elles se presentent, il sera plus avantageux de les transformer par les substitutions de Farticle 73, en faisant qr = sinfcosA',
pfl =1 sin^sinA^ etc., q" = sin^cos^', etc.,
on aura ainsi, en accentuant les lettres p> q, pour les rapporter successivement aux planetes m'? m';, etc., et mettant la fonction * a la place de (Ii) (art. io4),
dt ~
etc.
mVgV
¥'
158 MtiCANIQUE ANALYTIQUE. La fonction Sr sera, comme dans l'article cite, * _ i m'm"afa"[ar, a"], x (1 ~ cosT,') i m ( m W " [ f t ' , i 4 x (i cos/;) etc.; mais ies valeurs cos/,, cos/J, cos/", etc. deviendront, par les, memes substitutions,
cos/; = \/ip'«q'* x \/iP('*?" cos I"; = \/xp>(£* X s/\p'"*q"l!t -\-p'p 'p'" COS/" = \/ip''*q''*><\/7pm*q"'>+py'-j-q''ft, etc. Faisant ces substitutions et executant les differentiations relatives, a p', q', p", q", etc.
«
=
m"a'a"[a' a"\ , , /
/?? etc.,
etc.,
etc.,
etc.
4- etc.;
(gVi-/
SECONDE P ARTIE, SECTION VIL
i5g
108. Ces equations ont lieu quelles que soient les talexirs des variables p\ qf? j>", q", etc., parce que nos formules ne supposent point que les inclinaisons '£', i", etc. des orbites sur le plan fixe soient tres-petites, comme on Fa vu jusqu'ici dans toutes les formules que Fon a donnees pour le mouvement
on aura les equations
Elles donnent d'abord
d'ou Ton tire Np' + Mp" = by
JSTq' -f- Mf
=
c,
b et c etant des constantes. Maintenant si on dififerentie 1'equation x* = 1 p'a qr% et qu'on y substitue les valeurs de dp', dq', on a, apres la division par xdt,
MECANIQUE ANALYTIQUE. on trouve de meme,
et de la f etant une constante. Les integrales que nous venons de trouver donnent Mq" c Nqf,
My = /
ces valeurs etant substitutes dans les trois equations
on obtient les equations suivantes : -CX
=
o
' b '
= o
,
qui, etant lineaires a coefficiens constans3 sont.toujours integrables. On aura de pareilles equations ? en changeant p\ q\ x en p\ q", y; mais lorsqu'on connaitra les trois premieres de ces quantites, on aura les trois dernieres par les trois integrales precedentes. Les expressions de p\ q\ x en t, contiendront trois constantes arbitraires, et comme les constantes b, c, fsout aussi arbitraires, on aura en tout six constantes arbitrages, mais qui se reduiront aquatre, pour satisfaire aux equations supposees J p / a +^' a +^ a =i ? jVN-
SECONDE PARTIE, SECTION VII. 161 son mutuelle des deux orbites soit tres-petite; le cosinus de cette inclinaison est exprime par la formule (art. 107)
dont la differentielle devient egale a zero, d'apres les equations differentieiles ci-dessus; cette quantite sera done egale a une constante, comme nous Favons deja trouvee (art. io5), et il faudra que cette constante soit supposee fort petite , pour Inexactitude de la solution precedente. II serait difficile, peut-etre meme impossible de resoudre de la meme maniere le cas de trois ou d'un plus grand nombre d'orbites j mais nous observerons que comme la position du plan de projection est arbitraire, on peut toujours le prendre de maniere que les inclinaisons des orbites sur ce plan soient tres-petites, puisque leurs inclinaisons mutueljes doivent etre tres-petites j et si ? les inclinaisons etant tres-petites dans un instant quelconque, elles demeurent toujours tres-petites ? la solution fondee sur cette hypothese sera legitime. 109. En supposant les inclinaisons i\ i\ etc. des orbites sur le plan fixe, tres-petites ? les variables p'y q\ p"> qn, etc. seront aussi tres-petites, et on pourra, dans les equations de Particle iO7,entre ces variables , mettre simplement 1 a la place des radicaux p'*qf*y \/i pn* q"*, etc., ce qui les reduira a la forme lineaire, dont Pintegration est facile. On aura ainsi des equations tout-a-fait semblables a celles que j'avais trouvees, par une autre methode, dans les Memoires de PAcademie de Berlin pour 1782, et dont j'ai fait aussi Papplication aux six planetes principales, en donnant les expressions finies des variables pour un temps indefini; et les Memoires de 1787, de la meme Academie, renferment, de plus, ce qui est relatif a Porbite
Mic. anal. Tom. II.
2l
i6 2
MECANIQUE ANALYTIQUB.
d'Herschel. II faut seulement remarquer que, dans les formules de ces Memoires, les tangentes des inclinaisons tiennent lieu des sinus qui se trouvent dans les valeurs des variables; p' = sin i' sin h', q' = snu'cos/z/,
p" = sin i" sin h", etc. q" = sin£"cos/i", etc.
mais a cause de la petitesse des inclinaisons, cette difference n'est d'aucune consideration. Lorsqu'on connait les valeurs de ces variables, on peut determiner tout de suite les inclinaisons mutuelles des orbites, par les formules de Particle 107; mais ces formules se simplifient dans le cas ou les quantites //, qr, p", q", etc. sont tres-petites. Dans ce cas on aura, en negligeant les troisiemes dimensions de ces quantites, c o s i ; = 1 - I (/>' 4-
q"+p
et de la, a cause de 1 cos J"t = 2
on aura de meme
sin i r = f \/(p'pflfy+(3' 0 % et ainsi des autres. 110. II reste encore, pour completer la theorie des variations seculaires, a considerer la variation du mouvement moyen que nous avons designe par dx dans Particle 77, et qui, en negligeant le carre de Pexcentricite e9 qui est supposee fort petite vis-a-vis de Punite, et accentuant les lettres pour les rapporter respectivement aux planetes m', m", etc., devient
SECONDE PARTIE, SECTION VII. i65 pour la planete m'; on aura de merae, pour la planete m", la variation JA", en ajoutant un trait aux lettres qui n'en ont qu'un, et ainsi de suite. On substituera done dans cette formule, au lieu de la fonction (a'), la somme (fl'), -+- (n') a , suivant Particle 100, et comme la fonction (Xl')a ne contient point les excentricites e', e", etc., on aura simplement dh' = i
et pour avoir une formule uniforme pour toutes les planetes m', m", etc., il n'y aura qu'a mettre, suivant les remarques des ard
d<S>
, ,
,
d
j
tides 101 et io4, j ^ r , ^ T ^ a la place de
a la place de ^ r 2 , ce qui donnera
ft = 2 V
d*
+
d*
les fonctions O et *" etant donnees dans les memes articles, et etant' les memes pour toutes les planetes. Mais si, a la place de ces fonctions exprimees en
,
d-ir \ m da J
et pour avoir cfa",
Dans ces formules, les differentielles relatives a a' n'affectent que les coefficiens (a', a"), a'a"[a', a"]n a'a"[a', a'% (a', a'"), etc.
164
MtiCANIQUE ANALYTIQUE.
des fonctions $ et * , a la place desquels il suffira de substituer
pour avoir Ies valeurs de - ^ tide
5^;
et par les formules de Far-
98, on trouvera les valeurs des differences
partielles
d(ft, a") d[_a\ q«], daf > da' >
II faudra ensuite y substituer Ies valeurs de rn\ n% pr\ q\ mrr, eta en t, trouvees par integration des equations differentielles de& articles io3 et 109, et que nous avons donnees pour toutes les planetes, dans les Memoires cites de FAcademie de Berlin; et comme ces valeurs sont exprimees par des suites de sinus et de cosinas, les variations dx\ d\", etc. serortf integrables j les termes constans donneront dans A', A", etc. des termes proportionnels a t, qui se confondront avec les mouvemens moyens; et les termes en sinus et cosinus donneront de pareils termes, qui exprimeront les variations seculaires de ces mouveaiens, JPavais trouve, par une autre methode, dans les Memoires cites de FAcademie de Berlin, des formules pour determiner les variations seculaires des moyens mouvemens des planetes, et elles m'avaient donne, pour Jupiter et Saturne, des resultats presqu'insensibles; mais les formules precedentes sont peut-etre plus rigpureuses, et il sera bon d'en faire Fapplication aux planetes; c'est un objet dont je pourrai m'occuper ailleurs; ici je n'ai eu en vae que de montrer Fusage de la nouvelle theorie des variations des constantes arbitrages, dans la determination des variations seculaires des elemens des orbites d^s planetes.
SECONDE PARTXE, SECTION VI*.
i65
§ III. Sur les equations seculaires des elemens des planetes, produites par la resistance d'un milieu tres-rare. 341. Pour ne rien laisser a desirer sur les variations seculaires des planetes, nous devons encore considerer Peffet d'an milieu peu resistant dans lequel il est possible qu'elles se meuvent, et ou elles devraient necessairement se moiivoir, si la lumiere etait due aux oscillations d'un fluide. Nous avons deja vu? dans Particle 78, que pour avoir egard a la resistance> il suffit d'ajouter a la valeur de ^£1 les termes
r etant la densite du milieu, qui peut etre une fonction de r, et qui doit etre supposee tres-petite, et d'y substituer pour r et <& leurs valeurs en t donnees par le mouvement elliptique de la plane te, en se souvenant que la caracteristique d se rapporte au temps t, etla caracteristique cT aux elemens de la planete. Comme nous ne cherchons ici que les variations seculaires, il faudra, ainsi que nous l'avons pratique plus haiit, rejeter tous les termes periodiques et ne retenir que les termes constans, 112. En designant, comme dans Particle 21, Panomalie moyenne de la planete par
l »== x/lit-* on a vu que r et 0 u peuvent s'exprimer par des series dont la premiere ne contient que des cosinus, et la seconde des sinus Wangles multiples de u\ done dr ne contiendra que des sinus sans
*6Q
MtfCANIQUE ANALYTIQUE.
terme constant, et d<& des cosinus de ces memes angles ; par consequent la quantite dr2 + r f t i0 a ne contiendra que des cosinus, et il en sera de meme de la serie qui exprimera la valeur de \/dr2-\-r*d®\ Ainsi en faisant r = / r , la quantite T\/dr2 -+sera exprimee par une serie de cosinus de multiples de u. Maintenant pour avoir f r e t cT$, il faudra faire varier dans les series de r et de les coefficiens des cosinus et des sinus qui sont donnes en a et e> et de plus Tangle u, a raison des constantes a et e qu'il renferme. Designons par cT(r) et £($) les.parties de JY et de J"O qui contiennent les variations des coefficiens, on aura JV = cT(r) + j ^ c P a , et de meme
^
Or il est clair que
done faisant ces substitutions, on aura pour
les termes a ajouter a cTa, a cause de la resistance du milieu,
SECONDE P A R T I E , SECTION VII.
167
*3 X
' IF ou ii faudra substituer pour r e t O leurs valeurs en t ou zz, et ne retenir dans les resultats que les termes independaus des sinus et cosmus de u. Pour les proprietes du mouvement elliptique, on a tout de suite = Ddt
ainsi les termes dont il s'agit se reduiront a
- § r \/j - \ x V«(i el) X cT OU dU =
n4. Tels sont les termes qu'il faudra substituer a la place de , dans les formules generales des variations des elemens des planetes (art. 74), et Ton aura
3.
dc 5ar (2 - i)* x {t-c)\/ldt,
les variations d e s autres elemens %, hyi seront nulles; d'ou
x68 M^CANIQUE ANALYTIQUE. Ton peut d'abord conclure que le grand axe ou la ligne des apsides, ainsi que le noeud et l'inclinaison, ne seront sujets a aucune variation seculaire; par consequent la resistance ne deplacera point l'orbite de la planete, mais en changera seulement a lalongue le grand axe et l'excentricite, et produira en meme temps une equation seculaire dans l'anomalie moyenne et dependante de la variation de c. Si Ton combine ensemble les deux premieres equations, on a 3{t-c)da a
c
m >
M
divisant par \/a 3 , et integrant, on trouve tr-c
et comme u= (tc) \/^3,
rdt
on aura
en supposant que l'integrale f-y= commence au point ou M=OJ ainsi tout depend de la variation de la distance moyenne a. Si, dans la premiere approximation, on neglige l'excentricite e i
supposee tres-petite, on a r = a f ^ - ^ J = ~=;
et comme la
densite du milieu T ne peut etre qu'une fonction de r, elle sera vine fonction de a ? et la premiere equation donnera at =
-=, Supposons
SECONDE PARTIE, SECTION VII. Supposons r constant; on aura, en integrant,
169
"~ A etant la valeur de a lorsque t = o; done
et la valeur de u deviendra U=
l/g JL\
ou le coefficient r doit etre suppose tres-petit. 115. Pour avoir la variation seculaire de Fexcentricite e, il faudra substituer dans les expressions irrationnelles y - - et ( - - J de la valeur de de Texpression de r en u, et ne retenir dans le developpement que les termes constans. Or, en ne conservant que les secondes dimensions de e, on a, par Particle 21 9 r = a (1 e cos w + cos 211), d'ou Ton tire i
(
- e*
)
\f- - = ~ (1 + e cos iz 7 + ^rcos V r r
a aj
V/ a \ I/a
4
4
i7o MECANIQUE ANALYTIQUE. par consequent, en rejetant les cosw et cos2#, on aura
Si on siibstitue pour \/a sa valeur y/A#Vg, d'abord les e3, on aura l'equation
et qu'on neglige
dont l'integrale donne
E etant la vateur de £ lorsque t = o. Mais comme Pexistence d'un milieu resistant, et a plus forte raison la loi de la densite de ce milieu, ne sont qu'hypothetiques, les resultats precedens ne doiyent etre regardes que comme une application de nos formules generales des variations seculaires. § IV. Du mouvement autour du centre commun de gravite de plusieurs corps qui syattirent mutuellement. 116. Nous avons demontre dans Particle 6 de la troisieme Section, que dans tout systeme libre, les equations du mouyement des corps du systeme sont les memes, soit qu'on les rapporte au centre de gravite du systeme, ou a un point quelconque fixehors du systeme. Ainsi dans les formules de Particle 85, on pourra etablir dans le centre de gravite de tous les corps m, m', m';, etc. Porigine de leurs coordonnees x, j , z, x', y\ etc., et par les proprietes du centre de gravite, on aura les trois equations
mx + mV + mV + mV + etc. = o, my + my + m"y" + mmym + etc. = o, mz + m'z' + m"z" + mmzm + etc. = o,
SECONDE PARTIE, SECTION VII. i7i lesquelles donnent tout de suite les valeurs des coordonnees de ra, par celles des autres corps m', m", etc. Considerons en particulier le mouvement du corps m' autour du centre commun de gravite. Comme ses coordonnees x\ y', z' sont independantes , on pourra, dans les formules de Particle cite , reduire les quantites T et V aux termes multiplies par m', qui sont les seuls qui contiennent les variables xf, y\ zr, et diviser ensuite ces quantites par m'; ainsi dans Pequation generate on pourra substituer T et V1 a la place de T et / ^ en faisant , _
et
T1 = mfR'dp' + m 7 2 ? ; ^ ; + m!!ffKnfdf; + etc.,
et Pon aura pour chacune des trois coordonnees de Porbite de m; autour du centre commun de gravite, une equation de la forme FT
% etant une quelconque de ces coordonnees. 117. S'il n'y avait que deux corps m et m', la valeur de V* se reduirait au seul terme m/Rfdpf, et Pon aurait Af'mR^^ B! etant suppose fonction de p. Pour avoir la valeur de Jf^1 relative a £y il faut differentier la variable en ne faisant varier que xr7 yry z\ et ensuite y substituer pour x?y, z leurs valeurs mV m
mV
172 On aura ainsi
MtiCANIQUE ANALYTIQUE. x
y
Or, par les rnemes substitutions, on a p
=
Done faisant r' = rayon vecteur de Porbite de m', on aura pf = consequent
m
m m
r' j et par
done aussi djp' == c?r' j de sorte que la valeur de V1 deviendra mfU'dr, R' etant maintenant une fonction de "*" r' semblable a la fonction supposee de pf. Dans le cas de la nature, on a B! = ^ ; done la force i?' dirigee vers le centre commun de gravite, sera representee par z;7TT7i> ce qui est connu.
i i 8. Considerons maintenant le cas ou le systeme est compose de plus de deux corps, et supposons, pour simplifier la question, que la masse m soit beaucoup plus grande que chacune des autres masses m', m"? etc. ? ce qui est le cas des planetes a Fegard du soleil; les quantites x7 j , z deviendront tres-petites vis-a-yis des quantites x\ y\ zf> x", etc., dans le rapport des masses m', m!'y etc. a la masse m ? en vertu des equations donnees dans Particle precedent; et on pourra, dans le developpement ? s'en tenir aux premieres puissances de x, y ^ z, dumoins tant qu'on ne voudra pas avoir egard aux carres des masses.
SECONDE PARTIE, SECTION VII. i73 Comme K est suppose fonction de p', fR'dp1 sera aussi une fonction de p' que nous denoterons par Fp', et la quantite .R sera exprimee par F'p', suivant la notation des fonctions derivees. Or on a
r' = yV3 + y a + z'*', done d.F/
d.F/
d.Fr'
et differentiant par cT, les quantites x, y, z demeurant cons tantes,
-3*
; - *r
ou il faudra mettre pour x, y> z leurs valeurs mV + mV' + mwxff/ + etc. X
m
,
__^ my + my + m y + etc. mV + m V + mV + etc. m
119. Supposons que la force d'attraction R! soit comme la puissance p^ de la distance p', on aura Fp' = ^ - ^ , et la fonction Fp' sera une fonction homogene de re', y , z' du degre ^ + 13 de sorte qu'on aura, par la propriete de ces fonctions,
done differentiant par cT, et observant que
i?4
MEGANIQUE ANALYTIQUE.
on aura
Done si on fait, pour abreger, )
X
d/
dx' ^ J
^
etc., on aura, apres les substitutions, m
m
JXR")' + v
m
^ ' " ) + etc.
et telle sera la valeur de £.fB!dpr dans la difference cTT^' (art. m ) ; de sorte qu'on aura pour le premier terme m/R'dp' de V\ mfR'dp' = (m-f-^m')Fr' + m"(R") + m'%R'") + etc., ou rr = Dans le systeme du monde, Fattraction des planetes est en raison inverse des carres des distances j on a ainsi
et Fon trouve 2/3
ar' 3
etc., en faisant " = \/x"> + j " 1 - j - z"«,
r'"
= v/*'w* + ^' //a + z"", etc.
SECONDS PARTIE, SECTION VII. Done si on fait ces substitutions dans la valeur de V
>75 (art. i n ) ,
et qu'on y suppose aussi 2?" = 4 ; , R" = 4 ; , etc., on aura, dans le cas de la nature, pour le mouvement du corps m' autour du centre commun de gravite, _
Le premier terme de V^ s'il etait seul? donnerait, comme on Ta vu dans le chapitre premier, une orbite elliptique dans laquelle g = m sm'; et comme les autres termes sont fort petits par rapport a celui-ci, etant multiplies par les masses m", m'/;? etc., supposees tres-petites vis-a-vis de m , on peut les regarder comme dus a des forces perturbatrices dont Feffet est de faire varier les eJemens de Forbite elliptique. Ainsi en faisant, comme dans Particle 90,
on pourra determiner, par les formules donnees dans Far tide 70, les variations de ces elemens. 120. Si on compare cette valeur de i! qu'on vient de trouver pour le mouvement du corps m' autour du centre de gravite du systeme, avec celle de la quantite n' pour le mouvement du meme corps autour du corps m , on voit qu'elles sont semblables; les rayons vecteurs des orbites etant representes dans celle-ci par p', p", etc., et dans la precedente par r', r", etc., et les quantites p", p^, etant les memes dans l'une et dansl'autre, puisqu'elles representent les distances rectilignes du corps m' aux autres corps
176
M^CANIQUE ANALYTIQUE. F
m", m ", etc.; il n'y a de difference qu'en oe qu'en changeant p', p", etc. en r1, r", etc., il faut echanger entr'elles les quantites r1, r", ainsi que les quantites r', r'", et ainsi des autres. Or si on ne cherche que les variations seculaires des elemens, comme nous l'avons fait pour l'orbite de m' autour de m, il est facile de voir qu'on aura la meme valeur de (Q.1) pour les deux orbites, et par consequent les memes formules pour ces variations, ce qui est assez remarquable. Au reste, dans la valeur de n ' trouvee ci-dessus, on pourrait effacer les termes m" 75 m'" -77etc., parce qu'etant de la meme forme que le premier terme V\
m
~
2m
de la quantite
ils peuvent se joindre a ce terme ? lequel deviendrait ainsi m 2m' m" mw etc. ;
de sorte que le corps m' decrirait autour du centre de grayitd une orbite, comme s'il y avait dans ce centre une masse egale a m 2mf mr/ m!" etc., et les forces perturbatrices de cette orbite seraient par consequent, toutes choses d'ailleurs egales, pioindres que celles de Forbite du meme corps m' autour du corps le plus gros m.
SECTION
SECONDE P ARTIE, SECTION VIII.
i77
HUITIEME SECTION. Du mouvement des corps non libres, et qui agissent les uns sur les autres d'une maniere quelconque. i- JLJANS la Section precedente, nous avons suppose que les corps etaient libres, et qu'ils pouvaient, par consequent, recevoir tous les mouvemens que les forces acceleratrices tendaient a leur imprimer. Dans cette hypothese, les coordonnees de chacun des corps peuvent etre prises pour des variables independantes, et chacune d'elles donne une equation de la forme (art. 1 ? Sect. VII)
Lorsque les corps ne sont pas libres, soit qu'ils soient assujetis a se mouvoir sur des surfaces ou des lignes donnees, soit qu'ils soient lies par des fils ou par des verges, ou que leur mouvement soit modifie d'une autre maniere quelconque, ces conditions, exprimees analytiquement, peuvent toujours se reduire a des equations de condition entre les differentes coordonnees des memes corps, par lesquelles quelques-unes de ces coordonnees dependront des autres, et pourront etre exprimees par des fonctions de celles-ci. II y aura done alors un moindre nombre de variables independantesj mais chacune de ces variables donnera. encore la meme equation, que si elle appartenait a un corps libre. Ainsi les memes formules que nous avons donnees dans les articles 1 et 2 de la Section precedente, servironl aussi de base dans celle-ci.
Mec. anal. Tom. II.
^5
i78 MtiCANIQUE ANALYTIQUE. On aura aussi, quelle que soit la liaison des corps, l'equation des forces vives T + V = H. 2. Si le mouvement se faisait dans un milieu resistant, nous avons vu, dans l'article 3 de la meme Section, que la resistance R donnerait pour chaque corps m, les termes R
dxh: -f- dyty -f- dzbz
a ajouter a .$V\ ainsi il n'y aura qu'a reduire les differences fx, £y, £z en differences relatives aux nouvelles variables independarites. On peut donner a cette reduction une forme generale, par l'analjse de l'article 4 de la Section IV; car en nommant f, 4 ,
ou Ton voit que le coefficient de cT£ est
Si on change le cT en J , alors la transformee de devient 4- Hd-\* 4- %Id%d(p + etc., et si on designe cette transformee par $ , il est clair que Ton a Fd% 4 - Gd-^ -f- Jd
II suit de la qu'on aura en general
SECONDE PARTIE, SECTION VIII.
179
La resistance des fluides etant en general proportionnelle au carre de la Vitesse j t , (s etant Pespace parcouru par le corps.) si on designe par T la densite du fluide, on aura i2 = r ~ , les termes a ajouter a r
T
i as
et
dxfoc -f- dyty -f- dzfc, x
__, __
Done, en retenant la signification de la lettre T de Particle 1 de la Section precedente, il n'y aura qu'a ajouter a J ^ l e s termes
et changer ensuite m, m', m", etc. en Yds, Y'dsf, Y"ds", etc.; car la resistance n'etant pas proportionnelle a la masse, mais seulement a la surface, il n'y aura qu'a exprimer par r, F', T", etc.- les resistances que les corps m, m', m", etc. eprouveraient en semouvant avec une Vitesse egale a l'unite. Ainsi l'equation de Particle 1, relative a ^, deviendra , FT
Mais l'equation des forces vives n'aura plus lieu dans ce cas. 3. Au lieu de reduire d'abord toutes les variables du probleme a un petit nombre de variables independantes, par le moyen des equations de condition donnees par la nature du probleme, on peut traiter immediatement toutes les variables comme independantes, et si L = o, M=o, etc. sont les equations de condition entre ces variables, il suffira d'ajouter a l'equation relative a chacune de ces variables, destermes de la forme A ^ - H * jf
i8o
Ml^CANIQUE ANALYTIQUE.
On aura ainsi, relativement a une variable quelconque £, l'equation
* les quantity A, p, etc. etant des quantites indeterminees qu'il faildra eliminerj au mo yen des equations de condition. A Fegard de ces equations, nous ayons deja remarque qu'il n'est pas necessaire qu'elles soient sous une forme finiej il suffit qu'elles soient differentielles du premier ordre : alors en changeant la caracteristique d-en$, on aura egalement les differences partielles relatives a chaque variable £. Enfin, si le systeme etait compose d'une infinite de particules jointes ensemble d'une maniere quelconque, on suivrait? a l'egard des tennes dus aux equations de condition, tes memes regies que nous avons donnees dans la Section VI de la premiere Partie (art- 10), puisque ces termes sont les memes dans la formule generale du mouvement que dans celle de Pequilibre. 4. Le probleme etant reduit a un certain nombre de variables independantes, on aura, pour chacune de ces variables, une equation differentielle du second ordre, dont Tintegration introduira deux constantes arbitraires j de sorte que la solution complete contiendra deux fois autant de constantes arbitraires qu'il y aura de variables independantes, lesquelles devront etre determinees par Tetat initial du syst^me. Or si, pendant que le systeme semeut, il arrive qu'un ou plusieurs des corps qui le composent, regoivent dans un instant donne des impulsions etrangeres quelconques, ces impulsions n'agissant que dans un instant, ne changeront pas la forme des equations, mais seulement la valeur des constantes arbilraires; et si les impulsions devenaient infiniment petites et continuelles, les constantes arbitraires cesseraient d'etre constantes, et deviendraient variables elles-memes.
SECONDE PARTIE, SECTION VIII. ,8t Nous avons deja donne, dans le second chapitre de la Section precedente, la theorie de ces variations des constantes arbitraires pour les corps libres, et nous en avons fait Implication auxelemens des orbites des planetesj nous commencerons cette Section par la generaliser et la rendre applicable a tout systeme de corps qui agissent les uns sur les autres. CHAPITRE PREMIER.
Formules generates pour la variation des constantes arbitraires y dans le mouvement cCun systeme quelconque de corps, produite par des impulsions Jinies et instantanees, ou par des impulsions infiniment petites et continuelles.
5. En nommant £, 4? P? etc - ^es variables independantes auxquelles on aura reduit toutes les coordonnees *, y^ z des corps du systeme, par le moyen des equations de condition dependantes de la liaison des corps, on pourra toujours exprimer chaque constante par une fonction donnee de ^, -^J
182
MtiCANIQUE ANALYTIQUE.
corps m du systeme, suivant les directions des lignes p , q, r, etc., ettendantes a les diminuer, et soient x> y, z les vitesses initiates qui en resulteraient dans ce corps, suivant les directions de ses coordonnees rectangles x, yy z, et dans le sens ou ces coordonnees augmerrtent, si tout le systeme etait en reposj on aura, par Particle 11 de la seconde Section, Pequation =
o,
laquelle doit se verifier independamment des variations £%
P
ar
dy
dz
Tt' dt> dt-
Par ces substitutions on aura la transformee
4et si on fait > comme dans Particle 62 (Sect, preced.),
fa _ s(V
lesquelles seront en meme nombre que les variables £, 4 ?
SECONBE PARTIE, SECTION VIIT. Vitesses initiales que nous avons designees ci-dessus par £, 4»
et il suit de ce que nous avons demontre ci-dessus (art. 2) , que si dans la formule £
°
m
ndr
'
on substitue pour x, j , z leurs valeurs en ^, 4?
dt
en 4 , ^ en (p, etc., on aura, par les dif-
ferences partielles relatives a ^, 4> ^> etc«> ^
dT
T
d%
dr
_
d^
dT
etc.,
dip
et les equations pour determiner £, 4 5
^2
JT
dto
dT
^2
"ST"-*' 5 " " ^ ' ^"""^'
'
oil Ton remarquera que ces inconnues n'y seront qu'au premier degre, puisqu'elles ne peuvent etre qu'au second degre dans la quantite T. Ainsi TefFet des impulsions instantanees et finies P, Q, i? ? etc. consistera a augmenter les differentielles ^ , ^ , £ , etc. , des quantites f, 4? P> etc., dans les expressions des constantes arbitraires du probleme.
i84 Ml^CANIQUE ANALYTIQUE. 6. Pour appliquer cette theorie au cas des impulsions tres-petites et continuelles, on changera P, Q, R, etc. en Pdt, Qdt, Rdt, etc., ce qui changera cTil endtfCl,
et les quantites f, 4 ,
;
,
.
.
,
d%
.
dtp
d^
,
,
£, 4 J
L
%
da
.
\
da
t
.
les variables finies %, 4 ? ^ ? e tc. ne recevant aucun changement \ et il n'y aura plus qu'a substituer pour £ ? 4 ?
et comme les differences partielles r, -, etc. ne contiennent d% 9
d^
que les premieres dimensions de £, ^ j
il
SECONDE PARTIE, SECTION VIII. il s-'agit, deviendront r\ dT
Pa .
. dT
R
dT
#n
i$5 ,
et Ton aura ou il faudra substituer les valeurs de cT|, ty, £
dT
dT
rpi
_
r m
reduit a + etc. J? A f cT^Ar fyAT" etc,, 2 Mec, anal. Tom. IL 4 7
1
186
H6CANIQUE ANALYTIQUE.
ou la caracteristique cP indique les variations dues a toutes les constantes a, 6, c , etc. devemies variables, mais ou la caracteristique A peut se rapporter indifferemment a ehacune de ces constantes. En la rapportant d'abord a une quelconque de ces constantes, comme a, et developpant les variations indiquees par «T, on a tout de suite la formule
~ dt = [a, V\db + [a, c]dc -f- [a, k]dk + etc., dans laquelle ,
dT ,
-,
d%
da
etc.,
d% dT
dc
d-b
dT" ,
d^
da
AT" ,
d
dAf __ dT da x ~dT dT" , d
dc
dT"
,
_^_ _ db dT" .
.
7 _ Ida ! x idct etc da
dc
*
?
et ou les valeurs des coefficiens [a, b], [a , c], etc. deviennent independantes de t, apres la substitution des valeurs de f, 4*,
SEGONDE PARTIE, SECTION VIII.
187
reduction prealable et qu'elles peuvent s'appliquer immediatement, toutes les fois qu'on a Pexpression de chaque variable en temps, dans laquelle les constantes arbitraires entrent d'une maniere quelconque j c'est par cette raisori que f ai cru devoir les redonner ici. 8. La seconde remarque porte sur Fetendue qu'on peut donner a ces formules, relativement a la nature des forces perturbatricesNous avons toujours suppose que ces forces etaient telles, qu'etant multiplies par les elemens de leur direction, la somme devenait integrable, et pouvait etre exprimee par une fonction des variables independantes que nous avons designees par £1. Mais nous avons deja remarque dans Particle 62 de la Section precedents, que quelles que soient les forces perturbatrices R, Q, P 5 etc., il suffit de faire etc., en rapportant les differences partielles relatives a la caracteristique J \ aux seules variables r, q, p, etc. En general il n'est pas necessaire, pour Inexactitude des formules des variations, que les forces perturbatrices que nous avons representees par les differences partielles ^F? gr? ^ 5 etc. soient en effet des differences partielles d'une meme cfuantite. On peut supposer que ces forces soient exprimees par des quantites quelconques, que nous designerons par n' ? £lr/, £lm, etc. j alors, au lieu de A . Q , dans les formules de 1'article 11 de la Section V# on aura n'Af + nf/A-4/ + awA(p + etc., et liquation de Particle precedent deviendra + n f/ A^ + H//;A(p + etc.) dt + A ^ f 4- Atp^r" + etc. w etc.;
i88 MtfCANIQUE ANALYTIQUE. d'ou, en rapportantla caracteristique A a la constante arbitrage a, on aura egalement
[a, b]db + [a, c]dc + [a, k]dk + etc., en regardant les variables £ , 4 ,
g. Enfin on peut faire abstraction des forces perturbatrices et ne considerer la fonction £2 que comme une quantite qui, etant ajoutee a la fonction /^"due aux forces prineipales, produit les variations des constantes arbitraires dans les mouvemens qui resultent de ces forces. Et comme dans le calcul de ces variations il n'entre que les differences partielles de £1 relatives aux variables independantes £, 4?
SECONDE P ARTIE, SECTION VI1L
189
aussi de leurs difFerentielles *j, ^ , ~ , etc., et du temps t Par exemple, si, apres avoir resolu un probleme de Mecanique dans le vide, on voulait avoir egard a la resistance d'un milieu, comme nous Favons fait, a Fegard des planetes, dans la Section precedents Mais la meme extension ne peut pas avoir lieu a Pegard des forces principales qui entrent dans les equations difFerentielles dont Fintegration introduit les constantes arbitraires. Ces forces, multipliees chacune par Felement de sa direction, doivent toujours former une quantite integrable que nous avons designee par V (art. 9, Sect. I T ) , et qui doit etre une fonction des variables independantes sans leurs difFerentielles; autrement la reduction de ces equations a la forme de Particle 2 de la Section V n'aurait pas lieu, et Fanalyse du § I de cette meme Section cesserait d'etre exacte. Rien n'empeche cependant que les expressions de ces forces ne contiennent le temps t\ car comme la quantite V disparait dans les difFerentielles partielles de ZTV^ relatives a ^ , <\\
Du mouvement d'un corps sur une surface ou ligne clonnee. 10. Quand on ne considere qu'un corps isole, on peut faire abstraction de sa masse, ou la supposer egale a 15 et Pon a, comme dans Particle 3 de la Section precedente,
L'equation de la surface donnera z en fonction de x et j> on
i$o
M^CANIQUE ANALYTIQUE.
aura ainsi
et les variables x et y etant regardees comme independantes, chacune d'elles donnera une equation de la forme IT
tr
W d2x
dx*
dx1
Le terme -^- de T donne sur-le-champ - ^ ; le ierme ^>
dz \ dx J
0. dz2
rz at
dz
. t
A
i
vZ
.
o. dz
7,: or -T- est la meme chose que -r-j et s 2,dxdt
est -^v~ ou ^
7
dx
*
ex
2ox
j done les deux termes dont il s'agit se redui-
ront a ^ ^ j ainsi requation relative a # sera
et Ton aura pareillement, pour rapport a y : dy
d2z
^z . ^v _
Si le corps etait contraint de se mouvoir sur une ligne donnee, alorsjK et z seraient fonction de x j le terme -Jp de Tdonnerait d (d
les termes
d/*
^ \
- ^ | ? , lesquels se reduiraient de la meme
maniere a ) | ? X ^ ; de meme le terme ^
donnerait
J x ^ j
t Ton aurait, relativement a x, qui est la seule variable ? Tequation
SECONDE PARTIE, SECTION VIII.
191
On voitpar l'analyse precedente, que tout terme de la quantite Tqui sera de la forme k -j£, z etant une fonction donnee de deux autres variables x et y, donnera , ^7"
PT
, r_ '*dy
T __ >y
a
, d*z ,dz d?
2/C
fz
X
?z ^'
reductions qui peuvent etre utiles dans plusieurs occasions. 11. Si au lieu des coordonnees rectangles x,y, z, on voulait employer, pour la surface, mi rayon r avec deux angles
ou r serait donne en fonction de ^ et
°* Le terme ^
de T donnerait J^XJT,
relativement a 4 , e t 5p
relativement a
que les methodes ordinaires ne donneraient qu'a l'aide de plusieurs reductions. 12. II estbon de remarquer que l'equation T-\-V~H)
qui a
192 toujours lieu portionnelles tout de suite courbe qu'il
MECANIQUE ANALYTIQUE. lorsque le corps n'est anime que par des forces proa des fonctions de leurs distances aux centres, donnc la vitesse du corps dans un point quelconque de la decrit. Car u etant la vitesse et s l'espace decrit,
on a a - g ^ ^ - f f i + J g ; done T= - \ et par consequent u = de sorte que V etant une fonction finie des coordonnees, la vitesse ne dependra que de la position du corps dans Pespaee. Si le corps n'est anime par aucune force acceleratrice, on a /^=o, et la vitesse devient constante. Dans ce cas ? cornme nous avons demontre en general que la formule fuds est toujours un maximum ou un minimum dans des limites donnees (Se,ct. I l l , art. 59), la quantite/#s, ou s, c'est-a-dire? la longueur de la courbe decrite par le corps, sera elle-meme un maximum ou un minimum; et il est evident qu'elle ne peut etre qu'un minimum, parce que le maximum n'a point lieu. D'ou resulte le theoreme connu, qu'un corps projete sur une surface quelconque, y decrit toujours la ligne la plus courte entre des points donnes, i3. Mais dans la solution de ces problemes ? il est souvent plus simple de regarder toutes les coordonnees comme des variables independantes, et d'employer les equations de la surface ou de la ligne donnee comme des equations de conc!ition qui, etant representees par L = o , M=oy donneront simpleiuent pour chaque variable les termes Ad L, pfM a aj outer a J ^ , les coefficiens A? yw etant indeterminus et devant etre elimines. Or, de ce que nous avons demontre dans Particle 5 de la quatrieine Section de la premiere Par tie, ils'ensuit que chaque term® comme
SECONDE PARTIE, SECTION VIII. comme \
v(F) V \ dx /
+(5 \d
et agissant perpendiculairement a la surface dont l'equation est dL=zo; par consequent cette force ne pourra etre que celle qui vient de la resistance que la surface oppose au corps, et qui est egale a la pression que le corps exerce sur la surface. Ainsi le coefficient A servira a determiner la pression du corps sur la surface donnee par l'equation L=o; et si le corps est mu sur une ligne donnee, en la regardant comme produite par Pintersection de deux surfaces representees par les equations L o, Jf=:o,.les deux coefficiens A et /* serviront a determiner les pressions que le corps exerce sur cette ligne, perpendiculairement aux deux surfaces. i4. En general, on peut assimiler le terme \£L au terme et comme £p^ = R
et les termes A -j^, A ~,
A exprimeront les forces qui re-
sultent de la resistance de la surface dont l'equation L=o, suivant les directions des coordonnees £, 4>$ > e t ^ tendent a diminuer ces coordonnees. Si l'equation de la surface etait £ =
25
194
MlSCANIQUE ANALYTIQUE.
a £ (art. 3) serait
les equations relatives aux deux autres variables ne recevant aucun changement. Ainsi on aura tout de suite la pression X du corps sur la surface, en faisant, dans la valeur de A, A
I f ~~* a'Jdl """ *>
% = a, et d% = o.
Corame l'application de nos formules generales n'est sujette a aucune difficulte, nous nous contenterons de donner un ou deux exemples.
Des oscillations d'un pendule simple de longueur donnee. i5. Nous prendrons Torigine des coordonnees dans le point de suspension du pendule ? et nous supposerons les ordonnees z verticales et din gees de haut en bas mais a la place des coordonnees rectangles x, y^ z, nous prendrons un rayon r qui sera la longueur du pendule avec deux angles 4 e t
y = rsin-^sincp,
z =
rcos4?
et la quantite T deviendra, a cause de r constant,
II est bon d'observer que Tangle 4 °lue n°us employons ici
SECONDE PARTIE, SECTION VIIL
i95
0
est le complement a go , de Tangle 4 que nous avons employe jusqu'ici, et qui representait Pinclinaison du rayon r sur le plan horizontal, au lieu qu'ici il represente son inclinaison a la verticale. La force R tendante au centre des rayons r sera nulle; la force Q pourra etre prise pour la gravite, que nous designerons par gj et comme elle doit agir parallelement a l'ordonnee z, et pour augmenter cette prdonnee, au lieu que la force Q est censee agir pour diminuer la distance q-y il faudra faire dq=z dz = c/.rsin4> ^n supposant le centre de cette force eloigne a. Tinfini; ainsi on aura simplement <^J^=z gcT. r cos4 = g^ sin4 cT4Les equations relatives a 4 et
o
'
dt*
La seconde de ces equations a pour integrate sin ~dt
et la valeur de d
dont Fintegrale, apres l'avoir multiplied par 2C?>[/, est
sin
C et E etant deux constantes qui dependent de l'etat initial
196
M^CANIQUE ANALYTIQUE.
Cette derniere integrate donne lout de suite sin
Cdt
et comme on a par la premiere d
~
//i
2g
\
:?
sin -J/2 C2
equations separees, mais dont les seconds membres ne sont integrables que par la rectification des sections coniques. I/equation en t et 4 donnera le temps que le pendule emploie a parcourir yerticalement Fangle 4 ; e t liquation en
laquelle donnera les plus grandes et les plus petites valeurs de Fangle d'inclinaison 4- Cette equation, a cause de sin4 a = 1 cos4 s ? est du troisicme degre, relatiyement a Finconnue s i n 4 j elle aura done une racine reelle- mais il est facile de voir, par la nature du probleme, qu'il ne peut y avoir un maximum de 4? s a n s qu'il y ait en meme temps un minimum, et vice versa ; d'ouil suit que les trois racines seront necessairement reelles, dont deux donneront un maximum et la troisieme un minimum.
SECONDE PARTIE, SECTION VIII. 197 Designons par a et /S la plus grande et la plus petite valeur de ? on aura les deux equations E + ^ cosct\ sina a O = o, + 21 cos 0) sin/3a . C% 5= o, lesquelles donnent ^
2g(cos a sin # 2 cos/3 sin/3*) ? r(sin /32 sin * 2 )
^, a
2g sin <«a sin /32(cos a cos /3) y r(sin/3 2 sin* a )
expressions qui se reduisent a celles-ci ? plus simples, T1%
^, a
2 g ( l COS a? COS /33 COS* COS/3)
r(cos«. + cos /?) g ag sin « sin ^ a (
7
f~ cos /3)"
On substituera ces valeurs dans l'equation en cos 4? laquelle, en changeant les signes, est de la forme
et, par la nature des equations, son premier membre deviendra £S (cos<4cosa)(cos4cos/S) rcos4+cosa-|-cos^-|- ^
,
cette quantite , prise avec le signe , sera identique avec la quanlite qui est sous le signe dans les deux dernieres equations de Particle precedent. Or on a, en reduisant,
cos* + cos0
. Er + =
1-f cos« cos/3 -
i98
MECANIQUE ANALYTIQUE.
done la quantite dont il s'agit sera i
1
-j-cos« cos/3
17. Supposons maintenant cos 4 = cos a sin a* + cos/3 cos tr1; il est clair que la valeur /3 de 4?
etc.,
deux droits. On aura ainsi cos 4 ~ cos# = (cos/3 - cos<x) cos or*, cos4 cos/3 = (cos a cos/3) sin a%, .
,
1 -f- COS* COS/3
cos 4 H
rr
T
COS a-\-
COS/3
1 + 2 COS<*COS/3 -fCOS«-f" COS/3
d'ailleurs on a =:
c?- cos4 = s(cos /3 cos a) sincr
done faisant ces substitutions dans Pequation differentielle en t et s de Particle precedent, elle deviendra j
2,d
l/
(
et faisant, pour abreger, COS# a 4 - COS/S 2 '
2 = \ / i + n (cos /3 . cos a) cos 20-1 elle se redutra a s
SECONDE P ARTIE, SECTION VIII.
199
Ensuite on aura
ou il faudra substituer pour cos 4 sa valeur en cos2cr, cos %[/ = 1 (cos ct + cos /3) + 7 (cos jS cos a1) cos 2
n
\
2 tangy
^(cos/3 cosfit)= sin %y = .
^-,
la fonction 2 deviendra 2 = cos y \ / i + tang y* + 2 tang 7 X cos 2s. La fonction irrationnelle (1 tang>* + 2tang}/ x cos 27)"
M^CANIQUE ANALYTIQUE. peut se reduire en une serie de la forme ^ -|- B cos 2ff +- Ccos4tr -+- D cos 6
,
1.3 2.4
1.5.5 2-4-67
7
etc., S = 2(tang>' 4- zz^tang^3 + zzVtang^5 *f- etc.), C = 2(nftang>a + rftang^ -+ reV'tangj.6 + etc.), etc. On aura done en substituant dt = ^/^ x et en integrant de maniere qae Tintegrale commence ou <7 = i5
s i n 2or
+ ? C s i n 4cr + etc.).
En faisant cr = ^, on aura le temps depuis le point le plus haut jusqu'au point le plus has, lequel etant nomme T, on aura
x . g
cosy
Si on denote par T, T", etc. les valeurs de t qui repondent a - 5 = ^ ' T» e t c > ' o n a u r a F^ZT, T'z=5T, etc., d'oii Ton voit que le pendale remontera toujours a la meme hauteur au boutd'un temps egal a 2T, qui sera par consequent en temps la duree d'une oscillation.
SECONDE PARTIE, SECTION VIIL 201 19. On peut avoir de la meme maniere Tangle
~.
COS*
:
Sin 2fX ,
=
2, -f- COS u -f-COS/3 COS/3 COStf ~
2
COS* COS/3
7
'
=5 sinzv ' i i n
KJI.X.X M¥
et on aura l-f-cos-vj/
(<2-f
1 cos^
(2 cos* cos/3) cosv2(i + tang va 2tang v cos2
Si dans les memes formules de Particle 98 (Sect. VII) on fait n = 1 , on a n1 = 1, 7z"= 1, etc. j done ix)"'1 = (A) +(B) cos H- (C) cos4(r + (2?) COS6J" + etc., ou {A) =
1 + tangfta + tang^ 4 + tang^ 6 + etc.
(B) =5 2tang/*(i H- tang^ft + tang^ 4 + etc.) *~
2 tang ^ 1 tang [S y
(C) = 2 tang^ a (1 + tangjua + tang^ 4 + etc.) 2tang 1 tang p? >
etcAinsi on aura (i + tang/^ a + 2 tang ^ cos 2CT)-1 = i _ t 1 a n g ^ ( 1 slangs cos 4 - 2 tang/>oa cos4r 2 tang^ 3 cos 6
Ccos4cr + etc., ^5
202 MECANIQUE ANALYTIQUE. le produit sera de nouveau de la forme A' + B' coszcr + C cos 4(7 + etc., et Ton aura ,
A Btang^ + Ctang^D __
tang ^ 3 + etc.
1
On aura ainsi i
(i -{- cos ^)2
(Q
x
+ cos * -f- cos /3) cos ^ 2 cos y
( ^ + 5 ^ 0 8 2 0 - 4 - ^ 0 3 4(r +etc.).
On trouvera de meme ( l COS 4 0 ^ *~~~ ( s
COS*
COS/3) COS v* COS y
f/
x (.^'H-5 eos 2
.ft
Faisant ces substitutions dans la valeur de de de Particle 4, et integrant de maniere que
2
y cos# -f-"cos/3 v (2 + cos<« -(- cos/3) cos^2 cosy . QA"S + B" cos 2cr -f. \ C cos 4
/
En faisant
^-^r^/2sin<« sin^ V^COS tf-f- COSfiX ( 2 - f - C 0 S ^ + COS^)COS*42 COS y
4-
cos a -{- cos p x (s cos * cos/3) cos »a cos y
SECONDE PARTIE, SECTION VIII. Comme tous les points les plus hauts, ou les sommets de la courbe, repondent a s = -, , , etc., si on denote par $', ", etc, les valeurs de
x \!
H
2TT \ / - x \ ! c o s " + c o s / 3 V g V 2 + 4 C 0 S ^ cos/3 + cos^2 -f- cos/3a ?
et 2 71 sera, aux quantites du quatrieme ordre pres, le temps de Toscillation entiere. Si on neglige les quantites du second ordre, cette expression se reduit a <x \JT- j e'est Texpression connue pour la duree des oscillations tres-petites d'un pendule dont la longueur est r, et ou Ton peut faire g = i; mais Tanaljse precedente fait voir que cette duree est la meme, quelles que soient les oscillations, soit qu'elles se fassent dans un plan vertical, soit que le pendule ait en meme temps un mouvement de rotation autour de la verticale. En conservant les quantites du second ordre, on peut simplifier la formule precedente, en mettant pour cos# et cos/3 leurs valeurs approchees, au quatrieme ordre pres, 1 ^ , 1 ^-, et en negligeant toujours les termes du quatrieme ordre, on aura pour la duree des oscillations tres-petites, au quatrieme ordre pres,
WF l'expression
MtiCANIQUE ANALYTIQUE.
21. Lorsque Tangle /3, qui repond au point le plus bas, est nul, le pendule reprend toujours la situation verticale, et Ies oscillations se font dans le plan vertical; car en faisant /3 = o, on voit, par laformule de Tarticle 5 , que Tangle
et 2$ sera Tangle a la verticale compris entre deux sommels consecutifs de la courbe. Done si Ie rapport de a/3 a <xa+/3a est rationnel, Tangle 2$ aura un rapport de nombre a nombre a Tangle vr de deux droits, et la courbe decrite par le pendule, ne sera formee que d'un certain nombre de spires qui reviendront Ies memesj dans le cas contraire, la courbe sera une espece despirale continue; mais ces conclusions ne sont qu'approchees, et pour avoir des resultats plus exacts, il faudra pousser Tapproximation plus loin, au moyen des series que nous avons donnees. Ce problem© a ete resolu anciennement par Clairaut, dans Ies
SECONDE P ARTIE, SECTION VIIL Memoires de TAcademie des Sciences, de Tannee 1735, mais d'une maniere moins complete, et les resultats approches que nous venons de trouyer s'accordent avec les siens, en faisant jS = o dans Fexpression de T, et @=* dans celle de $, 22. Les formules precedentes ont lieu tant que Tangle et differe de Tangle /3, parce que, quelque petite que soit leur difference, il y a toujours un maximum et un minimum dans les excursions verticales du pendule; mais si Ton a rigoureusement #=/3, il n ' j a plus de maximum ni de minimum, le pendule forme toujours le meme angle ct avec la verticale, et par consequent il decrira, dans son mouvement, un cone a base circulaire. Cette supposition est possible, parce qu'alors (articles 16 et 17) la quantite qui est sous le radical, dans la valeur de dt a deux facteurs egaux cos 4 c °s a ; de sorte que par la theorie exposee dans Tarticle 81 de la Section precedente, on pourra toujours faire cos 4 = cos a j c'est le cas des oscillations coniques qu'Huyghens a considerees le premier. Bans ce cas, Tequation /
dt (art. 4)
donnera rcos«
de sorte que le temps d'une revolution entiere du pendule sera expnme par
27r y .
Pour que ce cas ait lieu, il faut done que le pendule receive une Vitesse angulaire de rotation, autour de la verticale, exprimeepar ^ dt
1
/-3, V rcos«'
qu'il decrit.
laauelle ne depend que de la hauteur du cone ^
*
2 o6
MECANIQUE ANALYTIQUE.
25. Si le pendule etait mu dans un milieu resistant commele, carre de la vitesse, et dont la densite fut exprimee par r , il faudrait, pour avoir les equations de son mouvement, k£f ajouter les termes (art. 2)
en retenant Fexpression de T de Far tide 11, dans laquelle r est constant. Ainsi on aura a ajouter au premier membre de la premiere des equations differentielles de cet article, le terme - ^ r . ; et.au premier membre de la seconde, le terme V*
diJ
*
Par Faddition de ces termes, les equations qui etaient integrables cesseront de Fetre; mais lorsque la resistance est trespetite a Fegard de la force de la gravite, ce qui a lieu dans les mouvemens lents des corps dans Fair, onpeut resoudre ces equations par approximation , en substituant dans les termes das a la resistance, les valeurs de 4 e t
dt*
d, (sin vJ/Vp) . r sin ^ dsdtp
3?
df*
°*
La seconde etant divisee par s-^j~, ~dT~
u
et ensuite integree, donne '
i etant le nombre dont le logarilhine hyperbolique est
SECONDE PARTIE, SECTION VIII. 207 Ensuite, la premiere etant multipliee par 2^4 e t ajoutee a la seconde, multipliee par 2c?cp, donne l'integrale sin
-r
1-7=7 ^
ds
= E>
a cause de r1 (d^ -f- sin^,*d
ds a la place de E; de sorte que l'effet
de la resistance se reduira a faire varier ces constantes dans la solution generate donnee plus haut, art. i 5 , ou nous n'avons point eu egard a la resistance, et ou les relations entre les variables 4>
2 F cos *+ ~ Si done on regarde la quantite C et JS comme variables, on aura
dc = et
1/ ( £ + ^
Cos
Lorsque le pendule ne fait que des oscillations verticales, on a C = o, et par consequent cfc = J 4 ; l'equati©n en E devientalors integrable, etant multipliee par P7', l'integrale est
= (E) ^J
2o8
MtiCANIQUJE ANALYTIQUE.
(E) etant une constante arbitraire qui remplace la constante E, de venue variable. Qr on trouvera, par des integrations par parties, i rr** (sin (sin 4* 4* ^^-- c o s
2T4 2T
Ji r*
4F
done on aura E
= {E)i '. - p r ^ (sin 4 - ? cos
e'est la valeur qu'il faudra substituer a la place de E dans Pequation differentielle qui donne la valeur de t en %[; et en supposant le coefficient T tres-petit, on aura facilement Palteration produite dans la valeur du temps t par la resistance du milieu. 24. Dans le cas du pendule, en prenant, corame nous venous de le faire, r ,
, l
en substituant pour T et V leurs valeurs completes
et faisant ensuite r constant. On aura ainsi O,
-r-
dt2
et par consequent dt%
l
]
oil
SECONDE PARTIE, SECTION VIXI.
209
ou Pon remarquera que 2 T = u% (art. 12); de sorte que la tension du fit qui forme le pendule, sera exprimee par -f-g cos4Quand le pendule se meut dans le vide, on a, par le meme article , c etant la vitesse lorsque 4 = ° >
et la tension, designee par A aura pour valeur A=
g(a3cos4)-
s5. Nous avons suppose jusqu'ici la longueur du pendule invariable; mais si cette longueur variait d'un moment al'autre, suivant une loi connue, ensorte que r ftit une fonction donnee de tf il faudrait alors supposer r variable dans les equations differentielles; mais on aurait egalement £r=zo, comme danslecas de r constant; ainsi on poserait les equations m T
r2(sin 4>* dp + d^) + dr* = *dr ~ >
T~
^ = ~ § r C08
Pequation relative a r n'aurait pas lieu, mais les deux autres deviendraient d. racW/ r a sin %k cos 4^<Pa , 2 t dt* + 7 r a sin ^2d
.
,
gr sin 4 ^ ° f
Enfin si le fil qui soutient le corps etait elastique et extensible, en nommant .Fla force avec laquelle le fil tend a se raccourcir, et qui ne peut etre qu'une fonction de r, il n'y aurait qu'a ajouter a £V\ et Pon aurait, pour Pequation relative a r ,
les deux autres demeurant les memes; et dans ce cas on aurait toujours l'integrale T-\- F^^H, ou / ^ = / i 7 l / r grcos^Mec. anal. Tom. II. 27
M^CANIQUE ANALYTIQUE. § II. Du mouvement d*un corps pesant sur une surface quelconque de revolution. 26. L'axe de revolution etant pris dans Faxe des z, si on fait x = p cos
et prenant p et
Si Faxe des z n'etait pas vertical, mais incline a la verticale de Fangle a, la valeur de T demeurerait la meme, mais celle de V deviendrait g(^cos^#sina); de «orte qu'il n'y aurait qu'a changer dans la premiere equation g en gcosa, et aj outer a son premier membre le terme gsin^cos(p, et ajouter aussi au premier membre de la seconde le terme g sin & sin (p. En general, quelque changement qu'on fasse a la position de la surface ou de la ligne sur laquelle le corps se meut, la valeur de T d'oii naissent les termes differentiels de Fequation ne change pas; il n'y a que celle de F'qiii depend de la position de la surface ou de la ligne.
SECONDE P ARTIE, SECTION IX.
NEUVIEME SECTION. Sur le mouvement de rotation. et la difficulte de cette question m'engagent a y destiner une Section a part, et a la traiter a fond. Je donnerai d'abord les formules les plus generates, et en meme temps les plus simples pour representer le mouvement de rotation d'un corps ou d'un systeme de corps autour d'un point. Je deduirai ensuite de ces formules, par les methodes de la Section quatrieme, les equations necessaires pour determiner le mouvement de rotation d'un systeme de corps animes par des forces quelconques. Enfin je donnerai differentes applications de ces equations. Quoique ce sujet ait deja ete traite par plusieurs geometres, la theorie que nous allons en donner, n'en sera pas moins utile. D'un cote elle fournira de nouveaux moyens de resoudre le probleme celebre de la rotation des corps de figure quelconque; de Pautre elle servira a rapprochcr et reunir sous un meme point de vu(e, les solutions qu'on a deja donnees de ce probleme, et qui sont toutes fondees sur des principes differens, et presentees sous diverses formes. Ces sortes de rapprochemens sont toujours instructifs, et ne peuvent qu'etre tres-utiles aux progres tie l'analyse; on peut meme dire qu'ils lui sont necessaires dans Petat ou elle est aujourd'hui; car a mesure que cette science s'etend et s'enrichit de nouvelles me'thodes, elle devient aussi plus compliquee 3 et on ne saurait la simplifier qu'en ge'neralisant et reduisant, tout-ala-fois, les methodes qui peuvent etre susceptibles de ces a vantages. JLJ'IMPORTANCE
si a
M^CANIQUE ANALYTIQUE. CHAPITRE PREMIER.
Sur la rotation d'un systeme quelconque de corps.
JL Formules generates relatives au mouvement de rotation. Les formules differentielles tfouvees dans la premiere Partie, pour exprimer les variations quepeuvent recevoir les coordonnees d'un systeme quelconque de points , dont les distances sont supposees inyariables , s'appliquent naturellement a la recherche dont il s'agit ici. Car cette supposition ne fait qu'aneantir les termes qui resulteraient des variations des distances entre les differens points; ensorte que les termes restans expriment ce que dans le mouvement du systeme, il y a de general et de commun a tous les points, abstraction faite de leurs mouvemens relatifs; or c'esi precisement ce mouvement commun et absolu que nous nous proposons ici d'examiner* l. Reprenons les formules de Tarticle 55 de la cinquieme Section, que nous avons trouvees par une analyse directe fondee uniquement sur la supposition que les points du systeme conservent entr'eux les memes distances. En y changeant la caracteristique
dx = dA + zdM ydN, dy = dfA + xdN zc/L,
dz = dv + ydL xdM 7 dans lesquelles 3C, y,z representent,a Fordinaire,lescoordonnees de chaque point du systeme par rapport a trois axes fixes et per-
SECONDE PARTIE, SECTION IX". 3i3 pendiculaires entr'eux, et oil d\, d/x, dv, dL, dM, dN sont des quantites indeterminees, les memes pour tous les points, et qui ne dependent que du mouvement du systeme en general. Soient maintenant *', y\ z\ les coordonnees pour un point determine du systeme, on aura done aussi dxr = iA + z'dM y'dN, dy' = dp + x'dN z'dL, dz' = dv + j'dL x'dM-, par consequent si on retranche ces formules des precedentes, et qu'on fasse, pour plus de simplicite,
on aura ces equations difFerentielles
dans lesquelles les variables if, n, ^, representeront les coordonnees des differens points du systeme, prises depuis un point determine du meme systeme, point que nous nommerons dorenavant le centre du systeme. Ces equations etant lineaires et du premier ordre seulement, il suit de la theorie connue de ces sortes d'equations , que si on designe par %', %", %" trois valeurs particulieres de %, et par V, n", »'", et ^','C'yC" l e s valeurs correspondantes de « et £, OB aura les integrales completes
| = a? + u = an' + a, b, c etant trois constantes arbitrages. II est clair que %', »', £' ne sont autre chose que les coordonjaees d'uji point quelconque donne du systeme,. et que de meme
ai4
M^CANIQUE ANALYTIQUE.
g", »", t" et £'", >/", £'" s o n t l e s coordonnees des deux autres points du systeme aussi donnes a volonte, ces coordonnees ayant leur origine commune dans le centre du systeme. Ainsi, en connaissant les ordonnees pour trois points donnes on aura ? par les formules precedentes, les valeurs des coordonnees pour tout autre point dependant des constantes # , b, cj mais il faut chercher les valeurs de ces constantes. 2. Si on suppose, ce qui est permis, que dans Tetat initial les trois points donnes se trouvent places dans les trois axes des coordonnees, et a la distance = 1 de Forigine, il est clair qu'on aura alors g ' = i , i ' = : o , £ ' = 0 ; g r / = o , u " = i , £ " = 0 ; 0 w =o, V"=o, X"'1; c e ^ donnera £ = a , » = &, £ = c. Ainsi les quantites a, J , c ne seront autre chose que les coordonnees d'un point quelconque du sysleme rapportees aux memes axes. Mais par le mouvement du systeme, les axes de ces coordonnees changent de place dans Tespace, en demeurant fixes dans le systeme, puisque ces coordonnees sont constantes pour un meme point, et ne varient que d7un point a l'autre* La position de leurs axes dans un instant quelconque, par rapport aux axes immobiles des £, >?, £, ne dependra que des coefficiens ^, ^", 0//;, 7jr9 y}1, etc. En effet, si on fait i = o , c = o , ce qui donne ^ = a^p » = #»', ^ = a^, et par consequent a:=v/(£ fl +» a +£ a );il est facile de voir que les coefficiens | ; , »', £' sont les cosinus des angles que Taxe des a fait avec les axes des £, y\, £. On voit de meme, en supposant a et cnuls a-la-fois, ensuite a et h nuls ensemble , que les coefficiens | f / , »f/, £" sont les cosinus des angles de 1'axe des b, et les coefficiens £"', »'", £"' sont les cosinus des angles de Paxe des c avec les memes axes des f, i»? ^. 3. Comme ces coefficiens represented en general les coordones de trojs points donnes du systeme qu'on a supposes distans
SECONDE PARTIE, SECTION IX. ai5 de 1'origine, d'une quantite = 1, et places au commencement sur les axes des coordonnees rectangles a, b, c, on aura premierement ces trois equations :
Ensuite a cause que les distances mutuelles de ces points sont les hypotenuses de triangles rectangles dont les cotes sont = 1, on aura
( f - D* + (V- «"Y + (C- O3 = ^,
(r-r) a + (vo* H- (cn* = 2,
d'ou Ton tire ces trois equations :
Ainsi Ton a entre les neuf coefficiens %', %", %'", »', »", etc., six equations de condition par lesquelles ils se reduisent a trois indeterminees. 4. Au moyen de ces equations, les expressions generates des coordonnees £, », £ de Particle I satisfont a la condition primitive que la distance entre deux points quelconques du systeme demeure invariable. En effet, si £, >i, £ sont les coordonnees d'un de ces points, et f i , »i, £i les coordonnees d'un autre point, le carre de leur distance sera exprime par (^£i ) 2 +(>iti)*-^^^)*; et si on designe par ai, bi, ci les coordonnees relatives aux axes des a, b, c pour le second point, on aura les valeurs de £ r , m, £i, en changeant a,b,c e n a i , h , c i dans celles de g, JI, £. Faisant ces substitutions dans l'expression precedente, et ayant egard aux six equations de condition, elle se reduira a (aai)% -f.(i M)' + (c ci)», et sera par consequent constante pendant le mouvement. D'ou Ton peut conclure que ces six equations de condition sont les seules necessaires pour faire ensorte que la po-
ai6 M^CANIQUE ANALYTIQUE. sition respective des differens points du systeme ne depende qua des constantes a,b,c,et nullement des variables %', a', £', etc. Au reste, il est clair que les coordonnees £, n,; £ ne sont que les transformers des coordonnees a, by c, et que les six equations de condition sont le resultat de la condition generale £'+»!'+£' = a*-\~b* + c*; c'est ce qu'on voit par la comparaison de ces formules avec celles de Particle i5 de la Section III de la premiere Partie, dans lesquelles les coordonnees x9y9 z, xr, y\ z' repondent a %, », £, a, b, c, et les coefficiens a, /3, ^,a', jS',y't a", P', y" repondent a f, f", f', »', »", «'", ^, £", T"5. Si on ajoute ensemble les expressions de %, n, ^ de 1'article 1, apres les avoir multiplies respectivement par £', u', ^', ensuite par f", >i", ^", et enfin par |' w , »'", ^/ff, on aura tout de suite, par les equations de condition de l'article 3, ces formules inverses
a = &' + m' H- CC, ft = ^ " + c == f f w +
w«
+ CC", W »IV H- CC ; W
et ces valeurs de a, b, c etant substitutes dans l'equatioa £a-j-»2-f-£* == a^ + ^ + c2, qui doit avoir lieu quelles que soient les valeurs de g, », ^, donneront par la comparaison des termes, ces nouvelles equations de condition
lesquelles sont necessairement une suite de celles de l'article 3, puisque les unes et les autres resultent egalement de la condition generale £a + »a + £ = a2 + ^a -f- c*. 6. Mais si on cherche directement les valeurs de a, b, c par la resolution des equations de l'article i , on aura, d'apres les forraules
SECONDS PARTIE, SECTION IX: formules connues ,
a _
_
-
,
217
,
. _ ggr-gv) + ^ r r - i T ) + cozr»*g) c _
-
,
en supposant
k = IV7^71 V I T ' H - ^ f / | > w ?TV 77 + ^ f 7 7 ^ T " . Ces expressions doivent done etre identiques avec celles de Farticle precedent j ainsi en comparant les coefficiens des quantites %, >?? ^? on aura les equations suivantes:
£V Or si on ajoute ensemble les carres des trois premieres, on a
le premier membre peut se mettre sous cette forme
done par les equations de condition de Particle 5? cette equation se reduit a i=A:% d'ou A = ± i . Pour savoir lequel des deux signes on doit prendre, il n'y a qu'a considerer la valeur de k dans un cas particulier; or le casle plus simple est celui oil les trois axes des coordonnees a, by c coincideraient avec les trois axes des coordonnees 0, >i, C? auquel cas on aurait £ = # , >i= b, £ = £> et par consequent par les formules de Particle 1, £ ' = i 7 » " = i , r / / = : 1 ? e t toutes les autres quantites ^'7? %!\ etc. nulles. En faisant ces substitutions dans ['expression generate de k, elle devient = 1. Done on aura toujours Mec. anal. Tom. II. 38
2i8
M^CAMQUE ANALYTIQUE.
7. Comme entre les neuf indeterminees %', %", £'", v', »", *"', K'\'C">K'" il y a essentiellement six equations de condition, on peut reduire toutes ces indeterminees a trois; et il sum"rait d'y reduire les six £', £", v\f, »", ^', ^", par le moyen des trois equations de condition
puisque les trois autres £"', »"', £'" sont deja connues en fonctions de celles-la par les formules precedentes. Mais cette reduction se simplifie beaucoup en employant les sinus et cosinus d'angles; on peut meme y parvenir directement par les transformations connues des coordonnees. En effet, puisque £,>»,£ sont les coordonnees rectangles d'un point quelconque du corps, par rapport a trois axes menes par son centre parallelement aux axes fixes des coordonnees x, y, z, et que a, by c sont les coordonnees rectangles du meme point par rapport a trois autres axes passant par le meme centre, mais fixes au-dedans du corps, et par consequent de positions variables a Fegard des axes des £, », £; il s'ensuit que pour avoir les expressions de £ , '?\, £ en a, b, c, il n'y aura qu'a transformer de la maniere la plus generale, ces coordonnees, dans les autres. Pour eela nous nommerons co Tangle que le plan des coordonnees a, b fait avec celui des coordonnees 0, »; et \|/ Tangle que Tinterseclion de ces deux plans fait avec Taxe des £; enfin nous designerons par
SECONDE PARTIE, SECTION IX.
219
Paxe des a passe par un meridien donne; que de plus le plan des £, n soit celui de Tecliptique, et que Taxe des £ soit dirige vers le premier point d'Aries, il est clair que Tangle &> deviendra l'obliquite de Tecliptique; que Tangle 4 sera la longitude de Tequinoxed'automne, ou du noeud ascendant de Tequateur sur Fecliptique, et que
cf= c cosco -f- &;sin &.
Enfin supposons encore que Ton change les coordonnees a\ b!f, qui sont deja dans le plan des f, YI, en deux autres af/, bm, placees dans ce meme plan, mais teiles que Taxe des a!1 coincide avec Taxe des £; on trouvera de la meme maniere
a f / = a!. cos4 6 r/ sin4,
&'"= &f/cos4 + a! sin 4-
Et il est visible que les trois coordonnees af/, bm, d seront la
MECANIQUE ANALYTIQUE. meme chose que les coordonnees %, u, £, puisqu'elles sont rapportees aux memes axes; de sorte qu'en substituant successivement les valeurs de a!, V\ b'y on aura les expressions de £, y\r £ en a,b, c, lesqUelles se trouveront de la meme forme que celles de Particle 1, en supposant % =3 cos
cos (p s i n 4 + sincp c o s ^ cos co, sincp s i n 4 *+ cos
£ / ; / = COS or.
Ces valeurs satisfbnt aussi aux six equations de condition de J'article 5 ? ainsi qu'a celles de Particle 5, et resolvent ces equations dans toute leur etendue, puisqu'elles renferment trois variables indeterminees (p? 4? °°. En substituant ces valeurs, les expressions des coordonnees ^ ? », £ deviennent plus simples- mais il est utile d5y conserver les coefficiens | ; , »', £', etc. ? pour maintenir la symetrie dans les formules et en faciliter les reductions. 8. Comme les quantites %\ »', £ sont des valeurs particulieres ^ % > ^? C? e ^ e s doivent satisfaire aussi aux equations differentielles de Particle I entre ces dernieres variables 3 ainsi on aura e
et Pon aura de meme
SECONDE P ARTIE, SECTION IX. De la on peut tirer facilement les valeurs des quantites dL, dM, dN, en fonctions de £', n', £', %', etc. En effet, si on ajoute ensemble les valeurs de d(', d£", dg", aipves les avoir multipliees par »', »", »"', on aura, en vertu des equations de condition, dL y\fdt On trouvera de meme, en multipliant d%\ d%", d%" par £'", et
Ayant ainsi les valeurs de dL> dM, dN en fonctions de £', ^f/5 ^//y? etc., s i o n y substitue les valeurs de ces dernieres quantites en fonctions des angles
222
MECANIQUE ANALYTIQUE.
4 , «, $>j mais comme la propri^te de ce dernier axe est d'etre immobile pendant un instant, il faudra que les difFerentielles d«\,, d®, dues au changement de position de cet axe } soient nulles. De sorte qu'on aura pour Faxe dont il s'agit sin 4 sin &d
dL,
sin&(/
dN;
d'ou Ton tire
di = \/{dh% c'est Tangle de la rotation instantanee que nous avons denote par
dL
% =
>
rff
dM » =
zr,
J
~
dN
^ = - - .
J
En efFet, ces valeurs de f, n, ^ rendent nulles celles de leurs differentielles, comme on le voit par les formules de Particle 1, ce qui est la propriete de tous les points de Faxe instantane de rotation, et par laquelle nous avons determine cet axe dans la froisieme Section de la premiere Parlie. On voit par la que les quantites dL, dM, dN repondent exactement aux angles de rotation que nous avons denotes par
SECONDE PART1E, SECTION IX. da>, d
expressions entierement semblables a celles des £, «, ^, dans lesquelles on voit que les quantites c?P, f/Q, dR repondent aux quantites dL, dM, dN. Et ces valeurs de a, b, c seront pareillement les cosinus des angles que l'axe de rotation fait avec les axes des coordonnees a, b, c. n . Pour avoir les valeurs de dP, dQ, dR exprimees par les variables £', *i;, £', %", etc., il ne s'agira que de substituer a la place de dL, dM, dN les valeurs donnees dans Particle 8. Mais pour obtenir les formules les plus simples, il conviendra de mettre ces dernieres valeurs sous la forme suivante, qui est equivalente a celle de Particle cite en vertu des equations de condition donnees article 5 ,
224
MECANIQUE ANALYTIQUE.
= f W-f-f'W»"4- ?W'
Yi'd% Y,"d%" »"tff'".
On aura ainsi, en substituant et ordonnant, les termes
4 . (£'£"g'^^'H- (£'£'" ??")d*r" 4 . (u'^"^^^"H-C))'^' Z'* ce qui se reduit, par les formules de Particle 6 , a
et enfin par les trois equations de condition de Particle 5, difiFerentiees, a. cette expression simple, dP = %"d%' + u " W
et Ton trouvera de la meme maniere, dQ = %d%" 4 - v'dv1" dR = %"d? + I'd*' Et si on substitue pour £', ^", f", etc. leurs valeurs en-^, «, 9 de Particle 7, on a, apres quelques reductions, dP = sin
SECONDE PARTIE, SECTION IX. a , 6, c, pour les rapporter a l'axe instantane de rotation, on a les trois equations
+ bd%' + cd£f" = o, luln' 4- Ww" + erf*'" = o, a(/r 4- bdC1 + eTtff" = o. En les ajoutant ensemble apres les avoir multipliees successivement par §', *', £', par £w, »", C", et par £'", D'7', ^W, et ayant egard aux equations de condition de Particle 2, on a o,
4.
F
(
^
r
T^'dZWdl'+C'dZ,")
) = o.
En ayant ensuite egard aux trois autres equations de condition de l'article 5, et supposant les valeurs de dP, dQ, dR donnees ci-dessus, ces trois equations deviennent "cdQ ~bdR = o, ~adR ~cdP = o, JdP adQ = o, auxquelles satisfont evidemment les valeurs de a, b, c donnees ci-dessus. i3. De meme que les quantites dL, dM, dN servent a exprimer d'une maniere uniforme les difFerentielles des quantites £', |", %'", etc., comme on Pa vu dans l'article 8, on peut aussi exprimer ces differentielles par les quantites dP, dQ, dR. En effet, si on prend les trois equations jjj'dg' 4- »W 4- Z'dZ' = o,
g«dg' + r!'dn' 4- K"dZ' =
£'"
et qu'on les ajoute ensemble apres les avoir multipliees success^ Mec. anal. Tom. II. 39
326
Ml^CANIQUE ANALYTIQUE.
vement par g', %", %", par «', v", *"', et par £', £", £'", on aura tout de suite, par les equations tie condition de Particle 5, d% %'dR %"dQ, dli' = yf'dR r/»dQ, De meme les trois equations
etant multipliees successiyement par g', g", £'", par »', n", HW, e£ par Z,', Zu->K'"i et ensuite ajoutees ensemble, donneront, par les memes equations de condition,
Enfin les equations
donneront de la meme maniere 7
d?" = =
v'dQ yf'dP,
i4. Par le moyen de ces formules, on peut representer d'une maniere fort simple les variations des coordonnees g, n, £, lorsqu'on veut considerer a-la-fois le changement de situation du systeme autour de son centre, et le changement des distances mu-
SECONDE P ARTIE, SECTION IX. 227 tuelles des points du systeme. Pour cela, il est clair qu'il faut differentier les expressions de £, v\y £, en regardant en meme temps comma variables toutes les quantites §', »', £', »i", etc. ainsi que a, b, c, ce qui donne
= arff 4 . bd%' + a/f" 4- %da 4= aJu' + Z>c?>i" + cc?«'" + n'da + substituant les expressions de d%'9 dn', d%', d%", etc. qu'on vient de trouver, et faisant pour abreger, da' = da +- cdQ bdR, db' = db + adR cdP, dc' = dc 4- bdP on aura ces formules differentielles tres-simples, d% = %dd 4- %'db1 4= Ma' 4- »iV6' + x'W, Et si on differentie ces expressions, qu'on y substitue de nouyeau pour d%', dn', d(', d%", etc. les yaleurs trouvees ci-dessus 4et qu'on fasse encore, pour abreger, d*a" = d*a' 4- dc'dQ db'dR, d*b" = d'V 4- da'dR dc'dP, d-d' = d*d 4- db'dP da'dQ, on aura les differentielles secondes d% = %'d*a" + %'d*b" 4- £ ' W >
= ?d'a" 4-
rf
On voit que ces differentielles premieres et secondes sont sem-
M^CANIQUE ANALYTIQUE. blables aux expressions finies de £, », £ (art. i), et que les quantites %', »', £', |", etc. y entrent de la meme maniere; il en serait de meme des differentielles de tous les autres ordres, ce qui read l'emploi des quantites dP, dQ, dR tres-avantageux dans les calculs relatifs a la rotation. i5. Mais il y a une remarque importante a faire sur l'emploi de ces quantites ; c'est que quoiqu'elles se presentent sous la forme differentielle, on se tromperait en les traitant comme telles dans les differentiations relatives a la caracteristique «T. Ainsi il n'est pas permis de changer simplement JdP en d£P, etc. dans la valeur de ST. Nous observerons d'abord que rien n'empeche de changer dans les formules differentielles de Particle i 3 , la caracteristique d en J\ ce qui introduira dans les valeurs des variations «Tf', JY, ^ ' ,
et ainsi des quantites dQ, dR, qui deviendront
4- j ^ ^
!' 4. 4 crvw 4-
ri
et en differentiant fP par c?,
" 4 »|'W»|" 4 " 4
SEGONDE t>ARTIE, SECTION IX.
229
Mais JV/g", JW', Jtf£" sont la meme chose que d£%\ rfjy, dft", parce que les quantites g", »"/ £" sont des variables finiesj done on aura
JWP _ JJ\P = ^"'rfg" + JVW 4Substituons pour tfg", rf»", tf£" et
done Et par un calcul semblable, on trouvera
/ci ^e termine ce que Port a pu trouver d'entUrement acheve sur le mouvement de rotation , dans les manuscrits de M. Lagrange. Nous nous proposons de continuer ce chapitre avec les paragraphes de Tancienne edition, en profitant de plusieurs changemens indiques dans Vexemplaire de M. Lagrange. IVous renfermerons dans une note placee a la fin du volume, quelques fragmens relatifs d ce sujet, qui devaient servir de materiaux a un paragraphe sur les equations generates du mouvement de rotation d'un systeme quelconque de corps; Us sont dans un etat trop incomplet pour entrer dans le texte, et cependant les geomHres regretteraient de ne les pas connaitre.
MECANIQUE ANALYTIQUE. § II.. Equations pour le mouvement de rotation dJun corps solide > animi par des forces quelconques. 16. Nous venons de voir> dans le paragraphe precedent, que quelque mouvement que puisse avoir un corps solide, ce mouvement ne peut dependre que de six variables, dont trois se rapportent au mouvement d'un point unique du corps, que nous avons appele le centre du systeme, et dont les trois autres servent a determiner le mouvement de rotation du corps autour de ce centre. D'ou il suit que les equations qu'il s'agit de trouver ne peuvent etre qu'au nombre de six au plus; et il est clair que ces equations peuvent par consequent se deduire de celles que nous avons deja donnees dans la Section troisieme, §§ I et II, lesquelles sont generates pour tout systeme de corps. Mais pour cela il faut distinguer deux cas, Pun quand le corps est tout-a-fait libre, Pautre quand il est assujeti a se mouvoir autour d'un point fixe. 17. Considerons d'abord un corps solide absolument libre; pre~ nons le centre du corps dans son centre meme de gravite, et nommant x'y y\ z' les trois coordonnees rectangles de ce centre j m la masse entiere du corps, Dm chacun de ses elemens, et X , Y, Z les forces acceleratrices qui agissent sur chaque point de cet element, suivant les directions des memes coordonnees 5 nous aurons en premier lieu ces trois equations (Sect. I l l , art. 5). -%f Jn + SXDm = o, %r m + SYDm = o, d*zf
-gr m -\- SZDm = o,
SECOM>E PARTIE, SECTION IX. dans lesquelles la caracteristique S denote des integrales totales relatives a toute la masse du corps j et ces equations serviront, comme Ton voit, a determiner le mouvement du centre de gravite. En second lieu, si on designe par £, n, £ les coordonnees rectangles de chaque element Dm, prises depuis le centre de gravite , et paralleles aux memes axes des coordonnees x', y', %' de ce centre, on aura ces trois autres equations (Sect, citee, art. 12).
Or nous avons prouve dans le paragraphs precedent, queles vaieurs des quantites £, y, £ sont toujours de cette forme, n =
ay{
et nous y avons vu que pour les corps solides, les quantites a, b, c sont necessairement constantes par rapport au temps, et variables uniquement par rapport aux differens elemens dm > puisque ces quantites representent les coordonnees rectangles de chacun de ces elemens, rapportees a trois axes qui se croisent dans le centre du corps, et qui sont fixes dans son interieurj qu'au contraire, les quantites £', £", etc. sont variables par rapport au temps, et constantes pour tous les elemens du corps ? ces quantites etant toutes des fonctions de trois angles
MlfcANIQUE ANALYTIQUE. sortir hors des signes S les variables
n = fiPdp + Qdq 4- Rdr+ etc.). On considerera ensuite les deux quantites
en rapportapt la caracteristique integrate S uniquement aux elemens Dm du corps, et aux quantites relatives a la position de ces elemens dans le corps. On reduira ces deux quantites en fonctioos de variables quelconques >
SECONDE PARTIE, SECTION IX. conques, £, 4>
+ etc. Si les variables £, ^/,
MtfCANtQUE ANALYTIQUE. primees en fonctions des six variables independantes x', f, z",
a etant une de ces variables. 19. Commengons done par mettre dans l'expression de T, a la place de x,y, z,.ces nouvelles variables # ' + £ , y - M ? Z'+C> et faisant sortir hors du signe S les x', y', z', qui sont les memes pour tous points du corps, puisque ce sont les coordonnees du centre du corps, la fonction T deviendra
dx'Sdtym + dy'SdyDm
Cette expression est composee, comme Ton voit, de trois parties, dont la premiere ne contient que les seules variables xf, y\ z'y et exprime la yaleur de T dans le cas ou le corps serait regarde comme un point. Si done ces variables sont independantes des autres variables £, », £, ce qui a lieu lorsque le corps est libre de tourner en tout sens autour de son centre, la formule dont il s'agit devra etre traitee separement, et fournira pourle mouvement d^ ce centre les memes equations que si le corps y etait concentre 5 ainsi cette partie du probleme rentre dans celui que nousavonsresolu dans les Sectionsprecedentes, et auquelnous renvoyons. La troisieme partie de l'expression precedente, celle qui contient les differences dx'7 df, dzr, multipliees par les differences
SECONDE PARTIE, SECTION IX. d%, dv\, d£, disparait d'elle-meme dans deux casj lorsque Ie centre du corps est fixe, ce qui est evident, parce qu'alors les differences dx', dy\ dzf des coordonnees de ce centre sont nulles; et lorsque ce centre est suppose place dans Ie centre meme de gravite du corps, car alors les integrales Sd%Dm, Sdv\Dm, Sd(Dm deviennent nulles d'elles-memes. En effet, en y substituant pour d%, dy,d?\eurs (art. precedent), et faisant sortir hors da signe S les quantites d%, d%"y etc. qui sont independantes de la position des particules dm dans Ie corps, chaque terme de ces integrales se trouvera multiplie par une de ces trois quantites, SaDm, SbDm, ScDm; or ces quantites ne sont autre chose que les sommes des produits de chaque element dm, multiplie par sa distance a trois plans passant par Ie centre du corps, et perpendiculaires aux axes des coordonnees a, £, c; elles sont done nulles, quand ce centre coincide avec celui de gravite de tous les corps, par les proprietes connues de ce dernier centre. Done aussi les trois integrales Sd^Dm, SdvDm, Sd^Dm seront nulles dans ce cas. Dans Fun et dans Tautre cas, il ne restera done a considerer flJp
>-}Dm, qui est uniquement relative au mouvement de rotation que Ie systeme peut avoir autour de son centre, et qui servira par consequent a determiner les lois de ce mouvement, independamment de celui que Ie centre peut avoir dans l'espace. 20. Pour rendre la solution la plus simple qu'ii est possible, il est a propos de faire usage des expressions de d%, dv, d(, de Particle i 4 , lesquelles donnent, en faisant daz=o, db=:o, dc~o}
d%* + dn* + dp =3 (cdQbdRy+(adRcdPy+{bdP adQY . zbcdQdR zacdPdR zabdPdQ.
a36
MlfcANIQUE ANALYTIQUE.
Or les quantites a, b, c etant ici les seules variables, relativement a la positiou des particules Dm dans le corps; il s'ensuit que pour avoir la valeur de S(d%* -f- dn* -f- d^)Dm, il n'y aura qu'a multiplier chaque terme de la quantite precedente par Dm, et integrer ensuite relativement a la caracteristique S, en faisant sortir hors de ce signe les quantites dP, dQ, dR qui en sont independantes. Ainsi la quantite s( JdP*+ BdQ*-\- CdR* dF
^-jDm
deviendra
Fd QdR+GdPdR+HdPd dt*
Q
en faisant pour abreger,
F = SbcDm,
G = SacDm,
H = SabDm.
Ces integrations sont relatives a toute la masse du corps, ensorte que A, B, C, F, G, If doivent etre desormais regardees et traitees comme des constantes donnees par la figure da corps. 21. Si on fait, pour plus de simplicity - ^ p,
~r = ? >
r, on aura, en ne considerant dans la fonction T que termes relatifs au mouvement de rotation,
Fqr ainsi T n'etant fonction que de p, q, r, on aura, en difFerentiant selon cT, Or, par lesformules de Tarticle 11, on a sinip sin ad-fy + costpda dt »
P
___ cos ip sin ad-fy sin fda
*
It
*
dtp -f- cos ad-ip
""
It
'
SECONDE PARTIE, SECTION IX. done (dt etant toujours constant)
( dj
4-
f ^ p (
^
sin
^
d'oii Ton aura sur-le-champ, pour le mouvement de rotation du corps, ces trois equations du second ordre, d
' dr
dT
dt
, /dT
,dT_
djy *- '
.
.
da * t_dT
, dT
\
a. ( 7- sin
, /dT a. ( - 7 - cos
dT .
\
7 - sin
( - } - sin® coso) + - j - cos© cos&> -3- sm® ) - r + -^- = o. r T \ dp dq dr J dt { £a
A Pegard de la quantite / ^ comme elle depend des forces qui sollicitent le corps, elle sera nulle si le corps n'est anime' par aucune force; amsi dans ce cas les trois quantites j - , j-^ , seront nulles aussi, et la seconde des trois equations precedentes sera integrable d'elle-meme; mais Pintegration generale de toutes ces equations restera encore fort difficile. En general, puisque V= SUDm, et que IT est une fonction algebrique des distances p, q, etc. (art. 1 8 ) , dont chacune est exprimee par \Z[{x fY + (jK^)a + ( z ~ ^ ) 2 ] , en designant
par fy g, h les coordonnees du centre fixe des forces, il n'y aura
238 M^CANIQUE ANALYTIQUE. qu'a faire dans la fonction n les meWs substitutions que ci-dessus, et apres avoir integre relativement a toute la masse du corps, on aura l'expression de V en q, 4 > «> d'ou Ton tirera par la differentiation ordinaire les valeurs de j - , jr,
,
dV
dV
dF
n
j ^ , qui sont les ,
. _ ,
,.
memes que celles de ^-, ^r, -^-. Comme cecmapoint dedifficulte, nous ne nous y arreterons point; nous remarquerons seulement que les equations precedentes reviennent a celles que j'ai employees dans mes premieres recherches sur la libration de la lune. 22. Quoique 1'emploi des angles
substituant ces valeurs dans eTT1 et mettant p, q, r pour ? , dR
Tt>
on
aura
Quant aux termes relatifs a la variation de V, puisque V devient une fonction algebrique de £', f, %», *', etc., apres la substi-
SECONDE PARTIE, SECTION IX. t u t i o n d e x'+a%-{-bZ"+cZ'",/+aYi'-\-bY)"-\-cYi'", + Z C + C , au lieu de x>y, z, le signe integral Sn'ayani rapport qu'aux quantites a, b, c, il n'y aura qu'a differentier par «T, etmettre ensuite pour «T£', eT|f/, etc., leurs valeurs en £P, cTQ, J\fl; ainsi puisque dV
&V
==
dV
etc#
on aura
2f f ' termes suivans provenant de
"
ans
a meme
^
f
equation les
+J 4- 7^(»"^i? nw«TQ) + ete. Done enfin rassemblant tous les termes multiplies par chacune des trois quantites cTP,
, dT dp dT dt ^V dr
dT dq
dT
,,dr,y,,dr
pdv
,&_&?_
Et comme les trois quantites cTP, «TQ, cTi? sont independantes entr'elles, et en meme temps arbitrages, on aura done ces trois
240
M^CANIQUE ANALYTIQUE.
equations particulieres (P) == o, (Q) = o , (i?) = o , Iesquelles etant combinees avec les six equations de condition entre les neuf variables £', g", etc. (art. 5 ) , serviront a determiner cha-. cune de ces variables. On peut mettre, si Ton veut, sous une forme plus simple les termes de ces equations dependans de la quantite V. Car puisque F"z=SUDm, on aura (a cause que le signe S ne regarde point les variables £', £f'? etc.) ? srt, dV
nvt. dn
r w=w
-n
T%
Dm
f. dV
n ft dn
._.
' « V = ^ is Dm'
etc J
-
et comme n est une fonction algebrique de a% + b%" + c%'", a*' + br\" -\-cv\'", a% -\-b%'-\- eg", il est aise de voir qu'en faisant varier separement a, b, c, on aura d n
tjndn
jur"'dn
h
d n
&'
d n
-!_«"
d n
-Lr»
d n
/.dn
et ainsi de suite; de sorte qu'on aura de cette maniere, JL JL. v« dZ. JL. r>» JL
Mais si cette transformation simplifie les formules, elle ne simplifie pas le calcul, parce qu'au lieu de Pintegration unique contenue dans V, on en aura trois a executer. a3. Lorsque les distances des centres des forces au centre du corps
SECONDE PARTIE, SECTION IX. a^ corps sont tres-grandes vis-a-vis des dimensions de ce corps, on peut alors reduire la quantite n en une serie fort convergente de termes proportionnels aux puissances et aux produits de a, b, c, de sorte que l'integration SUDm n'aura aucune difficulte: c'est le cas des planetes en tant qu'elles s'attirent mutuellement. Si la force attractive P est simplement proportionnelle a la distance p, ensorte queP = kp, k etant un coefficient constant, le terme fPdp
de la fonction n (art. 18) devient = ^!,et comme
p est exprime en general par \/[(x/)*-{- {ygY+ (zh)*], ea designanty, g, h les coordonnees du centre des forces; le termc dont il s'agit donnera ceux-ci: -
[(xfY^
Done substituant pour#, y , z leurs valeurs #' multipliant par Dm, et integrant selon Sy on aura dans la valeur de V=.SUDm les termes suivans :
\ \.{x'-/y+ (y'-iY+ V- m SDm + k{x'f)S%Dm + k(fg)SyiDm-\-k(z'h)St;Dni
Or ^a done, S%Dm=.%SaDm-\-%'SbDm-+-%"ScDm, et ainsi des autres; 2 e t s{ %*+ >i H- £* )Dm = S(a*+b* + e)Dm ( art. 5 ) , = a une constante que nous designerons par E. Mais si on prend pour le centre arbitraire du corps, son centre meme de gravite, on a alors SaDm = o,
SbDm = o,
ScDm = o,
comme nous l'avons deja vu ci-dessus (art. 19). Ainsi dans ce cas Mec. anal. Tom. II. %i
24a MECANIQUE ANALYTIQUE. la quantite Vm, contiendra, relativement a la force dont il s'agit, que Ies termes \
de sorte que toutes Ies differences partielles -^r ? ^ > etc - seront nulles. D'ou il s'ensuit que Peffet de cette force sera nul par rapport au mouyement de rotation autour du centre de gravite. kE Et commme Texpression precedente V^ au terme constant pres, est la meme chose que si tout le corps etait concentre dans son centre , auquel cas x = x\ y y!, z = zf> on aura pour le mouyement progressif de ce centre, Ies memes equations que si le corps etait reduit a un point; car Ies differences partielles de V^ relativement aux variables x\ y'y zf, seront Ies memes que dans cette hypothese. Si on veut considerer le corps comme pesant, en prenant la force acceleratrice de la gravite pour Tunite, etl'axedes coordonnees z dirige yerticalement de haut en bas, on aura P = 1 et j ^ = A _ 2 ; done fPdp^h z^h z'ar'bZ'c?;"1; de sorte que la quantite / ^ contiendra, a raison de la pesanteur du corps, Ies termes (h zf)SDm %SaDm %'SbDm Ainsi si le centre du corps est pris dans son centre de gravite, Ies termes qui contiennent Ies variables £7, £", etc. disparaitront, et par consequent l'effet de la gravite sur la rotation sera nul, comme dans le cas precedent. La valeur de V, en tant qu'elle est due a la gravite, se reduira alors a {h z')SDm, c?est-a-dire, a ce qu'elle serait si le corps etait reduit a un point, en conservant
SECONDE PARTIE, SECTION IX.
*43
sa masse SDm; done aussi le mouvement de translation du corps sera le meme que dans ce cas. $
III.
Determination du mouvement d'un corps grave de figure quelconque. 24. Ce probleme, ,'quelque difficile <ju'il soit, est neanmoins un des plus simples que presente la Mecanique, quand on considere les choses dans Fetat naturel et sans abstraction; car tous les corps etant essentiellement pesans et etendus, on ne peut les depouiller de Fune ou de Fautre de ces proprietes sans les denaturer, et les questions dans lesqueltes on ne tiendrait pas compte de toutes les deux a-la-fois, ne 3eraient par coja^equent que de pure curiosifte. Nous commencerons par examiner le mouvement des corps libres, comme le sont les projectiles; nous examinerons ensuite celui des corps retenus par un point fixe, comme le sont les pendules* Dans le premier cas on prendra le centre du corps dans son centre de gravite, et comme alors Feffet de la gravite est nul sur la rotation, ainsi qu'on vient de le voir, on determinera les lois de cette rotation par les trois equations suivantes (art. 22) :
dt
d.
dr
~
dp
" dr
v
\"^*- ) y
M4
MtfCANIQUE ANALYTIQUE.
en supposant (art. 21) P ^ l t *
" ~~ ~df>
7
"~ dt>
et
T = I (^p1 -f- Btf -f- Cr*) Fqr Gpr A l'egard du centre meme du corps, il suivra les lois connues du mouvement des projectiles considered comme des points; ainsi la determination de son mouvement n'a aucune difficulte, et nous ne nous y arreterons point. Dans le second cas, on prendra le point fixe de suspension pour le centre du corps, et supposant les coordonnees z verticales et dirigees de haut en bas, on aura (art. 25) y-(h z')SDm d'ou Ton tire ^ s=: SaDm,
ZSaDmZ'SbDmVSeDm;
^ ^ SbDm,
~ = ScDm,
et toutes les autres differences partielles de V seront nullesj de sorte que les equations pour le mouvement de rotation seront (art. 22), d
o
dt l
"dT dt
dT
dT o
les quantites SaDm, SbDm, ScDm devant etre regardees comme des constantes donnees par la figure du corps, et par le lieu du point de suspension.
SECONDE P ARTIE, SECTION IX. 245 25. La solution du premier cas, 011 le corps est suppose entierement libre, et ou l'on ne considere que la rotation autour du centre de gravite, depend uniquement de Pintegration des trois equations (A). Or il est d'abord facile de trouver deux integrales de ces equations; car i°. si on les multiplie respectivement par ~ , ^-,
~,
et qu'ensuite on les ajoute ensemble, on a evidemment une equation integrable, et dont l'integrale sera
f* <$tant une constante arbitraire. 20. Si on multiplie les memes equations par p, q, r, et qu'oa les ajoute ensemble, on aura celle-ci: dT
, dT
,
7 dT
t
+ qd + r d o laquelle, a cause que Test une fonction de p^ qy r uniquement, r
7 r
_
Ct £
O JL * 7
7
Cll
w
*
et que par consequent dT= -j- dp + - j - dq + -^- dr> est aussi integrable? son integrale etant dT
dT
.
,
dT
iA
m
h* etant une nouvelle constante arbitraire. _
,
,
,.
,
,-
dT
dT
dT
En mettant dans ces equations, au lieu de T, -j-, -g-, -^, leurs valeurs, on aura deux equations du second degre entre p, q, r, par lesquelles on pourra determiner les valeurs de deux de ces variables en fonctions de la troisieme j et ces valeurs etant ensuite substitutes dans une quelconque des trois equations {A), on aura une equation du premier ordre entre t et la variable dont il s'agit; ainsi on pourra connaitre par ce moyen les valeurs de p, q, r en t. C'est ce que nous allons developper.
246
MtiCANIQUE ANALYTIQUE.
Je remarque d'abord qu'on peut reduire la seconde des deux integrates trouvees, a une forme pkis simple, en faisant attention que puisque T est une fonction homogene -de deux dimensions de py q, r, on a par la propriete connue de ces sortes de fonctions, AT
,
+V
AT ,
+r
AT
ee qui reduit Feguation integrate dont il s'agil a Tz=h% laquelle exprime la conservation des forces viyes du mouvemeiit de rotation. Je remarque nsuite que comme la quaritite /
dT
dT\*
dT
/
dT\*
dT
/
est equivalente a celle-ci :
a
a
4
f
laquelle devient f\p*-\- ^ -f- r ) 4th ; en vertu des deux integrates precedentes, on aura une equation differentielle plus simple, enajoutant ensemble les carres des valeurs de d.-r-
?
d.-j- , d.-j-
dans les trois equations differentielles {A), equation qu'oh pourra ainsi employer a la place d'une quelconque de celles-ci. De cette maniere la determination de$ quantites p, q1 r en t} dependra simplement de ces trois equations:
dans lesquelles l
Fqr
GprHpq.
SECONDE PARTIE, SECTION IX. ^j 26. Cette determination est assez facile, lorsque Ies trois constantes F, Gt H sont nulles; car on a alors sdraplement T done dT
dT
D
dT
de sorte que Ies trois equations a resoudre sprout de la forme suiyaote : Bq* + Cr* = zh%
Si done on fait /?a + ^ - i - r a = M, et qa'on.tire.ks
p a + q* + r* =zz,
4- Cra = aA',
on aura
ces valeurs etant substitutes dans Pequation differentielle cidessus, le premier membre de cette equation deviendra, apres Ies reductions, ] [ACuzh2(
et le second membre deviendra f*u 4A4, de sorte qu'en divisant toute l'equation par f*u 4A4, et tirant la racine carree, on
248
MECANIQUE ANALYTIQUE-
aura enfin ABCdu 2\/[BCuaft (5+C)+/ ] [ACu2hXA+C}+ r
a
d'ou Ton tirera par Tintegration t en u y et reciproquement. 27. Supposons maintenant que les const antes i ^ G , / f ne soient pas nulles, et voy ons comment on peut ramener ce cas au precedent, au moyen de quelques substitutions. Pour cela je substitue a la place des variables p , q, r, des fonctions d'autres variables x, y, z, qu'il ne faudra pas confondre avec celles que nous avons employees jusqu'ici pour representer les coordonnees des difFerens points du corps; et je suppose d'abord ces fonctions telles, que Fon ait p2-f- ^ 2 + r a = : #H-JK a + ^a. II est evident que pour satisfaire a cette condition, elles ne peuvent etre que lineaires, et par consequent de cette forme :
Les quantites pr, p", pm, q', etc. seront des constantes arbitrages entre lesquelles, en vertu de Tequation p*+5 r2 -h^ a = ii faudra qu'il y ait les six equations de condition que voici: "=o9
pfpm-hq'qm-t-r'r"'
de sorte que comme les quantites dont il s'agit sont au nombre de neuf, apres avoir satisfait a ces six equations ? il en restera encore trois d'arbitraires* Je substituerai maintenant ces expressions de p, q, r dans la valeur de !T, et je ferai ensorte, au moyen des trois arbitrages dont je viens de parler, que les trois termes qui contiendraient les produits xy7 xz, yz disparaissent de la valeur de Ty ensorte que cette quantite se reduise a cette forme *x* ^ ^
+
7
f. Mais
SECONDE P ARTIE, SECTION IX. 2fo Mais pour rendre le calcul plus simple, je substituerai immediatement dans cette formule les valeurs de x, y, z en p, q, r, et comparant ensuite le resultat avec l'expression de T, je determinerai non-seulement les arbitraires dont il s'agit, mais aussi les inconnues a, /3, y. Or les valeurs ci-dessus de p, q, r etant multipliees respectivement par p', q', r', par p", q", r", et par p'"9 q"\ r'"t ensuite ajoutees ensemble, donnent sur-le-champ, en vertu des equations de condition entre les coefficiens p', p"y etc., X=p'p-t-q'q-hr'r,
z=p'"p-\-q'"q-\-rl"r'}
y = p"p+q"q-t-r"r,
la substitution de ces valeurs dans la quantite **
-^^-, et la
comparaison avec la valeur de T de Particle 25, donnera ainsi les six equations suivantes :
-f.
yjJi'*
C,
r'"= F,
qui serviront a la determination des six inconnues dont il s'agit. Et cetle determination n'a meme aucune difficulte; car si on ajoute ensemble la premiere equation multipliee par p\ la sixieme multipliee par q', et la cinquieme multipliee par r', on a, en vertu des equations de condition deja citees,
en ajoutant la seconde, la quatrieme et la sixieme, mullipliees respectivement par q', r', p', on aura pareillement *q' = Bq'-~ Fr' Mec. Anal. Tom. II.
Hp1; 3a
a5o MECANIQUE ANALYTIQUE. ajoutant enfin la troisieme,, la cinquieme et la quatrieme, multipliers respectivement par r', p', qf, on aura ctr* = Cr'Gp' Fq'-, et ces trois equations etant combinees avec l'equation de condition
p" + t + r'a = »> serviront a determiner les quatre inconnues ct , pf, q', r'. Les deux premieres equations donnent *')*1*
" " FH+G{B
substituant ces valeurs dans la troisieme, on aura, apres avoir divise par p', cette equation en a, (a A)(ctB)(CL
C)
laquelle etant du troisieme degre, aura necessairement une racine reelle. Les memes valeurs etant substituees dans la quatrieme equation, on en tirera celles de/>', q', r' en a, lesquelles, en faisant pour abreger, ») &+ HG+ F(A«)+
FH
seront exprimees ainsi:
*=
oo
9
~
HG + F(J «),
w
r~
oo
'
Si on fait de nouveau les memes combinaisons des equations ci-dessus, mais en prenant pour multiplicateurs les quantitesp", q", J-", a la place de _//, q', ?', on en tirera ces equations-ci : » = Af Hq" Gr", " = Bq" Fr" Hp", fir" = Cr" Gp" Fq",
SECONDE PART1E, SECTION IX. 2 5i qui, etant jointes a l'equation de condition />"a-f- q"*-\- r"% = 1, serviront a determiner les quatre inconnues /3, p", q", r"; et comme ces equations ne different des precedentes qu'en ce que ces:inconnues y sont a la place des premieres inconnues a, p', q', r', on en conclura sur-le-champ que l'equation en /3, ainsi que les expressions <\ep",q", r" en /3, seront les memes que celles que nous venons de trouver en a. Entin si on reitere les memes operations, mais en prenant p'"t q'", r'" pour multiplicateurs, on trouvera de meme les trois equations yp'" = Apw Hq'" Gr'\ yq>" = Bq'" Fr"1 Hp"', yr'" = Cr'" Gp'" Fq'"y auxquelles on joindra l'equation />'"*+ g'" 2 + r'"* = 1 et comme ces equations sont en tout semblables aux precedentes, on en tirera des conclusions analogues. On conclura done, en general, que l'equation en a trouvee cidessus, aura pour racines les valeurs des trois quantites <*, /3, y7 et que ces trois racines etant substitutes successivement dans les expressions dep', q', r1 en a, on aura tout de suite les valeurs de p', q', r', de p", f, r", et de //", q'", r"'; de sorte que tout sera connu mojennant la resolution de l'equation dont il s'agit. Au reste, comme cette equation est du troisieme degre, elle aura toujours une racine reelie, qui etant prise pour a , rendra aussi reelles les trois quantites pf, q', r1. A l'egard des deux autres racines jS et y, si elles etaient imaginaires, elles seraient, comme Ton sait, de la forme b-t-c\/1 et b c\/1; de sorte que les quantites p", q", r" qui sont des fonctions rationnelles de /3, seraient aussi de ces formes, / n + « / - i , m ' + » V 1 , m"-t-ri'\/i; et les quantites p'", q'", r"', qui sont de semblables fonctions de y, se-
MECAN1QUE ANALYTIQUE. raient des formes reciproques mn \/i, m'n' ^i, 7n"n"v'i; done l'equation de condition p"p'"+q"q'"-\-r"r'" = o, deviendrait 77l»_f_7Za_j_w'»-f.7^a+m"a+7z"a = o, et par consequent impossible tant que m% n, m', n', m", n" seraient reelles; d'oii il s'ensuit que /3 et y ne peuvent etre imaginaires. Pour se convaincre directement de cette verite, d'apres l'equation meme dont il s'agit, je mets cette equation sous la forme * A) + G'jeB) QFGH
j'y substitue successivement, au lieu de *, les deux autres racines /3 et y, et je retranche les deux equations resultantes l'une de l'autre; j'aurai, apres les reductions et la division par /3y, cette transformed -f- (F* + Gs) $y + \F^^-G^)Hi+ laquelle est reductible a cette forme
+ [ G ( j 8 B) HF][G(y
B)
HF]
=0,
qu'on voit etre la meme chose que l'equation p"p"'-{-q"q"'-+-r"r"'=o, et qui fournit par consequent des conclusions semblables. Done les trois racines a, /3, y seront necessairement toutes reelles, et les neuf coefficiens p', q', r', p", etc., qui sont des fonctions rationnelles de ces racines, seront reels aussi. 28. Nous venons de determiner les valeurs de ces coefficiens , ensorte que Ton ait p% -f~ q* + r1 = x* + y* -f- z% et i =
a
3 or en taisant yaner successiyement/>? q, r,
SECONDE P ARTIE, SECTION IX. 2 53 on aura, a cause que x,y, z sont fonctions de ces variables, W^^te^- dy dT
dx x
-dj =
t
n
dy
dz
z
* dij+PyTq+y Tq
dT
dx .
n
dy
t
dz
raais Xz=zp'p-\-q'q+r'r, y=p"p-\-q"q+r"r, z=pf"p+q"'q+7Jr/r, comine on Ta deia vu plus haut; done ^ = p' ^ = a' ~ = r\ '
r
'
dp
* ' dq
*'
rfr
'
~-=zp", -¥ q"} etc. j substituant ces valeurs, on aura done p'
De sorte qu'en vertu des equations de condition entre les coefficiens pf, q', ?J, p", etc., on aura et
Par consequent les trois equations finales de Particle 24 se reduiront a celles-ci: + yz% = 2^%
lesquelles sont, comme Ton voit, tout-a-fait semblables a celles de l'article 25, les quantites x,y} z, &, @,y repondant aux quan-
tites p, q, r, A, B} C.
MECANIQUE ANALYTIQUE. D'ou il suit que si on fait, comme dans 1'article cite,
u = p a + q* + r* = x* -+-y2 -+- z% on aura entre les variables x,y> z, &, £, les memes formules que Ton avait trouvees entre p, q, r, u> t, en changeant seulement u4y 5 , C en a, j8, 7/. Ayant ainsi les valeurs de A:, y , z en & ou t, on aura les valeurs completes de py q, r par les formules de Particle 27. 29. Les quantitesjD, q7 r ne suffisent pas pour determiner toutes les circonstancesdumouvementde rotation ducorps?ellesne servent qu'a faire connattre sa rotation instantanee. En effet, puisqae dP
dQ
dR
..
,
.x 1
,
j
p = -7- , ^ = --T-, r = -7-, 11 s ensuit de ce qu on a vu dans 1 article 10, que l'axe spontane de rotation y autour duquel le corps tourne a chaque instant, fera avec les axes des coordonnees a, &? c, des angles dont les cosinus seront respectivement
V
V
+
r
y
e
t
que la vitesse an
"
gulaire autour de cet axe sera representee par Pour la connaissance complete de la rotation du corps, ii faut encore determiner les valeurs des neuf quantites £', V, £', £", etc., d'ou dependent celles des coordonnees £, », £, lesquelles donnent la position absolue de chaque point du corps dans Pespace, relativement au centre de gravite regarde comme immobile (art 17); c'est ce qui demande encore trois integrations nouvelles. Pour cet effet, je reprends les formules differentielles de Fartide i 3 , et mettant pdt, qdt, rdt, au lieu de dP, dQ, dR> j'ai ces equations : dt = o (C),
SECONDS PART1E, SECTION IX. et autant d'equations semblables en »', »", V", et en £', £", £'", en changeant seulement £ en n et en £. Ces equations etant comparees avec les equations difFerentielles {A) de l'article a4, entre les quantites ~y^L,
~ , il est visible
qu'elles sont entierement semblables, de sorte que ces quantites repondent aux quantites £', g", g'", comme aussi aux quantites »', »", »'", et aux quantites £', ^", fw. D'oii je conclus que ces dernieres variables peuvent etre regardees comme des valeurs particulieres des variables - r - , , D
r
dp ' da '
dT
-^-; et qu'ainsi, puisque les equations entre ces variables sont simplement lineaires, on aura, en prenant trois constantes conques /, zzz, #, ces trois equations integrates completes : dT
7W
"'+- TiC"1
or en combinant ces trois equations avec les six equations de condition entre les memes variables £', »', etc.? ii semble qu'on pourrait determiner ces variables, qui sont en tout au nombre de neuf; mais en considerant de plus pres les equations precedentes, il est facile de se convaincre qu'elles ne peuvent reellement Jenir lieu que de deux equations j car en ajoutant ensemble leurs carres, il arrive que toutes les inconnues %'y »', £', etc. disparaissent ala-fois5 en vertu des memes equations de condition (art. 5)j de sorte que Ton aura simplement Tequation
256
M^CANIQUE ANALYTIQUE.
laquelle revient, comme Ton voit, a la premiere des deux integrates trouvees plus haut (art. a5); et la comparaison de ces equations donne f% I* + m* + n% ensorte que parmi les quatre constantes / J /, m, n il n'y en a que trois d'arbitraires. D'ou Ton doit conclure que la solution complete demande encore une nouvelle integration, a laquelle il faudra employer une quelconque des equations differentielles ci-dessus, ou une combinaison quelconque de ces memes equations. 3o. Mais on peut rendre le calcul beaucoup plus general et plus simple, en cherchant directement les valeurs des coordonnees memes £, u, £, qui determinent immediatement la position absolue d'un point quelconque du corps, pour lequel les coordonnees relatives aux axes du corps sont a> b, c. Pour cela, j'ajoute ensemble les trois equations integrates (D) trouvees ci-dessus? apres avoir multiplie la premiere par a, la seconde par b, la troisieme par c ? ce qui donne (art. 1 ) cette equation
O r o n a deja, p a r la n a t u r e des quantites f, JJ, £ ( a r t . 5 ) ,
?' + »»" + T = «a+ & + c\ Enfin on a aussi (art. i4), en mettant pdt, qdt, rdt au lieu de dP, dQ, dR, et faisant a, b, c constans,
Ainsi voila trois equations d'ou Ton pourra tirer les valeurs de , y\y '(> moyennant une seule integration. Ensuite? si on voulait connaitre separement les yaleurs de ^',
SEGONDE PARTIE, SECTION IX. a57 *'> K't %"y -5 il n'y aurait qu'a supposer dans les expressions generates de £, u, £ les constantes a = 1, £ = o , c = o , ou « = o, ete
6=1,
C = O, OU # = O, £ = r o , C = l .
Supposons, pour abreger, L =
a -j- + o -T--f- c -T-, / g rfr
M z=z a* + 6* -f- c», ^ = (cgr bry + (arcpy on aura done a resoudre ces trois equations, -f- nt, =
i,
«*
+ dans lesquelles M est une constante donnee, L> N sont supposees connues en fonctions de t, et /? /72? TZ sont des constantes arbitraires. J'observe d'abord que si / et m etaient nulles a-la-fois, la premiere equation donnerait £ = j et cette valeur etant substituee dans les deux autres, on aurait
equations tres-faciles a integrer, en faisant ^ = p cos6, n = p sin5, ce qui les change en ces deux-ci: dt*
dont la premiere donnera la valeur de p, et la seconde donnera Tangle 8 par l'integration de cette formule dt
7 Mec. anal. Tom. II.
53
MECANIQUE ANALYTIQUE, Supposons maintenant que I et m ne soient pas nulles, tt voyons comment on peut reduire ce cas au -precedent. II est clair que si l'on fait /£ + TTIA = x v «- - rm% /#* > a a ft a on aura egalement £ 4->i = x -}-\7 et ainsi les equations proposees se reduiront d'abord a cette forme r
x V I* -f-
Si on fait ensuite = z s/t + m*
^ \/~FT~ni* = a V7* + ^* + »*, on aura encore «; a + ^ = z1 + M* et dx* H- d^' = c/za + (/waj ©n aura ces transformees , z \/l% + m% + 7i» =
£,
dt*
qui sont, comrne Pon voit, entierement semblables a celles que nous yenons de resoudre ci-dessus ; ensorte qu'on aura pour u f y, z les memes expressions que nous avons trouvees pour f, nr %, en y changeant seulement n en \//*-f- ma + 7i*. Ces valeurs etant connues, on aura les valeurs generates de £7 », ^ par les formules r
lx + my
mx ly
-,
nz u \/l* + m*
5i. Telle est, si je ne me trompe, la solution la plus generate^ et en meme temps la plus simple qu'on puisse donner du fameux probleme du mouvement de rotation des corps libres 5 elle est ana-
SEtONDE PARTIS, SECTION IX. logue a celle que j'ai donnee dans les Memoires de PAcademie de Berlin pour 1773 , mais elle est en meme temps plus directe et plus simple a quelqiies egards. Dans celle-la je suis parti de trois equations integrates qui repondent aux equations {D) de Particle 29 ci-dessus, equations quim'avaientetefourniesdirectement par leprincipeconnu des aires et des momens, et auxquelles j'avais joint Pequationdes forces vives T~h* (art. 24). Ici j'ai deduit toule la solution des trois equations differentielles primitives, et je crois avoir mis dans cette Solution, toute la clarte, et (si j'ose le dire) toute Pelegance dont elle festsusceptible- par cette raison je me flatte qu'on ne me desapprouyera pas d'avoir traite de nouveau ce probleme, quoiqu'il ne soit guere que de pure curiosite, surtout si, comme je n'en doute pas^ il peut etre de quelqu'utilite a Pavancement de PAnalyse. Ce qu'il y a, ce me semble, de plus remarquable dans la Solution precedente, c'est Pemploi qu'on y fait des quantites %\ v(\ K\ %\ e t c -? s a n s connaitre leurs valeurs, mais seulement les equations de condition auxquelles elles sont soumises, quantites qui disparaissent a la fin tout-a-fait du calculj je ne doute pas que ce genre d'analyse ne puisse aussi etre utile dans d'autres occasions. Au reste, si cette solution est un peu longue, on ne doit Pirnputer qu'a la grande generalite qu'on j a voulu conserver; et Pon a pu remarquer deux moyens de la simplifier, Pun en supposant k s constantes Fy G,jfiTnulles (art. 2 5), et Pautre en faisant nulles les constantes / et m (art. 3o). La premiere de ces deux suppositions avait toujours etc regnrdee comme indispensable pour parvenir a une solution complete du probleme, jusqu'a ce que je donnai, dans mon Memoire de 1773, la maniere de s'en passer; cette supposition consiste, en ^ffet, h prendre pour les axes des coordonnees ci, b,c, des droite^ telles que les sommes SabDrri, SacDm, SbcDm sbient nulles (art. 19)3 et Euler a demontre le premier que cela est toujours pos^
MECANIQUE ANALYTIQUE. d b l e , quelle que soit la figure du corps, et que les axes mnd determines, sont des axes de rotation naturels, e'est-a-dire, tefe que le corps peut tourner librement autour de chacun d'eux. Mais quoiqu'on puisse toujours trouver des axes qui aient la propriety dont il s'agit, et que d'ailleurs la position des axes du corps soit arbitraire, il n'est pas indifferent d'avoir une solution tout-a-fait directe et independante de ces considerations particulieres. La seconde des deux suppositions dont il s'agit depend de la position des axes des coordonnees £, u, £, dans l'espace, position qui, etant pareillement arbitraire, peut toujours etre supposee telle que les constantes / et m deviennent nulles, comme on peut s'en convaincre directement, d'apres les expressions generates de % y y\, ^ que nous avons trouvees. 52. En supposant F> G, ^ n u l l e s , on a, comme on Fa vu dans> Tarticle ^2y dT
.
dT
-,
dT
et ces valeurs etant substituees dans les trois equations differeirtielles (^/), il vient celles-ci:
lesquelles s'accordent avec celies qu'EuIer a employees dans la solution qu'il a donnee le premier de ce probleme (vojez les Memoires de PAcademie de Berlin pour 1758); pour s'en convaincre, il suffira d'observer que les constantes ^ / , B, C(art. 19) ne sont autre chose que ce qu'Euler nomme les momens d'inertie du corps autour des axes des coordonnees a, Z>, c, et que les variables p,q, r dependent du mouvement instantane et spontane de rotation, de maniere que si on nomme a, /3, y les angles que l'axe autour duquel le corps tourne spontanement a chaque instant, fait avec les axes des a, bf c, et p la vitesse angulaire de
SECONDE PARTIE, SECTION IX. fotation autour de cet axe, on a (art. 29), A Tegard des autres equations d'Euler, lesquelles servent a determiner la position des axes du corps dans Fespace , elles se rapportent a nos equations (C) de l'article 29. En effet, comme les neuf quantites £', »', £', £'', etc. ne sont autre chose que les coordonnees rectangles des trois points du corps, pris dans ses trois axes, a la distance 1 du centre (ce qui suit evidemment de ce que ces quantites resultent des trois £, », £, en y faisant successivement a = 1, Z> = o, c = 0 , ensuke a = o, b 1, c = o ? et enfin a = o, fc=^=o, c = i ) , il est clair que si on designe, ayec Euler, par /, m, n les complemens des angles d?inclinaison de ces axes sur le plan fixe des £ et », et par A, ^t, v les angles que les projections des memes axes font avec Taxe fixe des £, on aura ces trois expressions, %' = sin / cos A, £' = cos/, y{ == sin / sin A, £" = cos m, »" == sin 772 sin /w, ^f/ = sin m cos^t y <£"'= cosn7 nm= sin n sin*/, 0'/;=: sin ^ cosr; et par le moyen de ces substitutions, on trouvera aisement les equations auxquelles Euler est parvenu par des considerations geometriques et trigonometriques. 55. Au reste, en adoptant a-la-fois les deux suppositions de F9 G, H nulles, et de /, m nulles aussi, on aura la solution la plus simple par les trois equations (D) de Tarticle 29, en y substituant les valeurs de £', £"> C etde p, q, r en (p, ^, co ( art. 7, 20 ) 5 car on aura de cette maniere ces trois equations du premier ordre f cos
:
,, dtp + cos ad-d/ C d-1 s=
MECANIQUE ANALYTIQUE. lesquelles se reduisent evidemment a celles-ci:
ndt Ad-i == T
* , tangip sma '
ndt -
SU10
ndt Cd4, = -dX T
C03*>
Or si on elimine dt et ^ 4 * e n ajoutant ensemble ces trois equations, apres les avoir multiplies respectivement par C*B) AC? B ud) on aura Inequation = o,
laquelle se reduit a cette forme, cosad*
C (B~J)d(p
IT^r 777~Z~ B(AC) tang
J(CB) > ~
ou les variables sont separees, Le second membre de cette equation se change en C(B-A') sin
B{A 6>In,
ou encore en C (B A ) sin 2
done , en integrant logarithmiquement, et passant ensuite des garitlimes aux nombres, on aura
K etaDt une constante arbitraire:? or t a n gr c p = t / ( ^ c o s ) °
done substituant la valeur precedente, oil aura
y
\ 1 -f- COS 2
SECONDE PARTIE, SECTION IX. a65 ^et meitant cette valeur de tangcp dans les deux premieres equations differentielles, on aura ndt ^4d-\> ndt Bd
Ad* sin a Bda
),
equations- ou les indeterminees sont separees et qui, etant integrees , donneront t et 4 e n fonctions de «. CeLte solution revient a celle que d'Alembert a donnee dans le tome quatrieme de ses Opuscules. 54. Venons au second cas, oil Ton suppose le corps grave suspendu par un point fixe, autour duquei il pent tourner en tout sens. En prenant ce point pour le centre du corps, c'est-a-dire pour Toriginecommune des coordonnees ^ , » ^ e t a , & , c , etsupposant les ordonnees X, verticales et dirigees de haut en bas, on aura pour le mouvement de rotation du corps, les equations (B) de Particle 23. Ces equations sont plus compliquees que celles du cas precedent, a raison des termes multiplies par les quantites SaDrn7 SbDm1 ScDm, lesquelles ne sont plus nulles lorsque le centre du corps, dont la position est ici donnee, tombe hors de son centre de gravite; on peut neanmoins encore faire evanouir deux de ces quanlites, en faisant passer par ie centre de gravite Fun des axes des coordonnees a, b, c, dont la position dans le corps est arbitraire, ce qui simplifiera un pen les equations dont il s'agit Supposons done que Taxe des coordonnees c passe par le centre de gravite du corps; on aura alor-3, par les proprietes* de ce centre ? SaD/n = o, SbDmz=o, et si on nomme k la distance entre le centre du corps, qui est le point de suspension, et son centre de gravite, il est visible qu'on aura aussi S(c k) Dm = o^ done ScDm = SkDm = kSDm = km, en nommant m la masse du corps.
264 M^CANIQUE ANALYTIQUE. Faisant ces substitutions et mettant K pour km-, on aura lee trois equations suivantes ;
dT dT dq ^. dt 'dp dT d. dT dr , dt " dq
d.
f
dT dr
dT " dp ~~"
dans le§quelles
r = \ {Ap* + Bq* H- Cr*) Fqr Gpr Hpq: 55. On peut d'abord trouver deux integrates de ces Equations, en les ajoutant ensemble, apresles avoir multiplieesrespectivement par p, q, r ou par ^, £f/, t>m\ c a r ^ cause de d£'=;(g'rK!II(l)dt>
(art. 27), on aura ainsi les deux equations pd. %
dT_
qd. dq
dr dr
dont les iijtegrales sont
f et h etant deux constantes arbitraires, II parait difficile de trouver d'autres integrales, et par consequent de resoudre le probleme en general Mais on y peut parve-
SECONDE PART1E, SECTION IX. nir en supposant que la figure du corps soit assujetie a des conditions particulieres. Ainsi en supposant F=o,
G = o, j y = o , et de plus ^ = 5 ,
on aura ~j- = Ldp , -j- = ^4q, et la troisieme. des equations (E) deviendra d.-^- = o, dont Pintegrale est -^- = const. Ce cas est celui ou Paxe des ordonnees c, c'est-a-dire la droite qui passe par le point de suspension et par le centre de grayite, est un axe naturel de rotation, et ou les momens d'inertle autour des deux autres axes sont egaux (art. 5a), ce qui a lieu en general dans tous les solides de revolution, lorsque le point fixe est pris dans Paxe de revolution. La solution de ce cas est facile, d'apres les trois integrales qu'on vient de trouver. En efFet, puisque T ! =
r
+« , il est visible que ces
trois integrales se reduiront a cette forme :
fy h, n etant des constantes arbitraires. Done si on substitue pour £', ^f/, %m9 et pour p, q> r leurs valeurs en fonctions de $ , 4 * °* ( a r t - 7? 2O )? o n a u r a c e s equations,
cos m
lesquelles ont, comme Ton voit, l'avantage que les angles finis 4 et
MtiCANIQUE ANALYTIQUE. La seconde donne d'abord d-fy ^ h Cn cos ® 7 dt ""*"' Asma%
t cette valeur etant substitute dans la premiere , on aura ,
u4smadeo
~~ v/[^sin« a (2/ Cn* + sAcos^) (& Cn cos«)a] *
ensuite la seconde et la troisieme donneront ( h Cncosa^da
sin a y/ [_A sin &*(?>f Cn* -f- 2K cos«) (A Cn cos a {Anh cos co -{- (C ^ ) / i cos a>fi)c?« sin # ^ / [ A sin»a(2^/* Ca a -f- 2A^cos
equations oil les indeterminees sont separees, mais dont rintegration depend en general de la rectification des sections coniques. 56. Reprenons les equations (22) et substituons-y les valeurs cte dT
dT
dT
7 F ' IT* U7 e n AdP-Gdr-Hdq
+
+ (
^ _ C ) ? r + G ( i ? _ ^ _Hqr+Fpq
__ jgy==0>
Dans Tetat de repos du corps, les trois quantites p> q, r sont nulles, puisque v / ( / ? * + ? a + ^ e s t *a Vitesse instantanee de rotation (art, 29); done on aura alors ^ = 0 et ^f/ = o; ensorte qu'a cause de K'%-\-%"%-hZm~i> c t P a r consequent de ^ / ; = i , l'axe des coordonnees ^ coincidera avec celui des ordonnees c; e'esta-dire que ce dernier axe qui passe par le centre de gravite du corps , et que nous nommerons dorenayant Yaxe du corps> sera yertical, ce qui est Fetat d'equilibre du corps; et cela se yoit en-
SECONDE P ARTIE, SECTION IX. 267 core mieux par les formules de Particle 7, lesquelles donnent simp sin6> = o, cos
dt
^2. dt
dt
rf/? di dt ~~ dt'
yaleurs qui, etant substituees dans les equations differentielles ci-dessus, donneront, en negligeant les puissances et les produits de £' et f", des equations lineaires pour la determination de ces variables.
MCANIQUE ANALYTIQUE. Mais avant de faire ces substitutions, on remarquera qu'en supposant £' et £" nuls, les equations dont il s'agit donneront
Done puisque C ne saurait devenir nul, a moins que le corps ne se reduise a une ligne physique, Cetant z=:S(a2 -+- b*)Dmy ii s'ensuit qu'on ne peut satisfaire a ces equations qu'en faisant = o? et ensuite, ou ^' = o, ou i ^ = o et G=;o. De la il est facile de conclure que lorsque ^ et £f/ ne sont pas nuls, mais seulement tres-petits? il faudra que les valeurs de j x l ou de F et G soient aussi tres-petites ? ce qui fait deux cas qui demandent a etre examines separement. 67. Supposons premierement que j soit une quantite tres-petite du meme ordre que tj et-£f/, on aura, anx quantites du sew cond ordre pres, p = -~ , q = -^. Par ces substitutions y en negligeant toujours les quantite's da second ordre et changeant, pour plus de simplicite, les lettres Z,\ £" en s, u, les equations differentielles de Particle precedent deviendront Jd2u GdH + H&s
.
Bd*s Fffit Hd2u __ Cd>» + Fd*s Gdtu
dr
= °-
La derniere donne ^-! = - - ^ ^ ^ 5 et cette valeur etant subs-
SECONDE P ARTIE, SECTION IX. tituee dans les deux premieres, on aura ces deux-ci:
-G^u
269
±(CH±GF)d*s ~f
(BC F*)d*s + (Cff+ GF)d*u ,
^
=
n v
f- CKs =
o,
dont l'integration est facile par les methodes connues. Qu'on suppose pour cela ,5 = A sin (pt-f-/3),
u = y sin (|o£-J-/3),
a
y fit yi p etant des constantes indeterminees; on aura, apres ces substitutions, ces deux equations de condition, {AC G2)>pa+ ( C J J + GF)*,f CKy = o,
(BC F*yp%-^{CH+ GF)yp* CK* = o5 lesquelles donnent «
CK (^C Ga ) P a
d'ou resulte cette equation en p,
laquelle aura, eomme Ton voit, quatre racinesegalesdeuxa.deux, et de signe contraire. Si done on designe en general par p et p' les racines inegales de cette equation, abstraction faite de leur signe, et qu'on prenne quatre constantes arbitraires a, of, /3, /3', on aura en general
et par consequent U
(CH + ^
27o
MECANIQUE ANALYTIQUE.
Enfin on aura, en integrant la valeur de ^ ,
De sorte que Ton connaitra ainsi toutes les variables en fonctions de t, et le probleme sera resolu. Au reste, comme cette solution est fondee sur l'hypothese que s, u et ^ soient de tres-petites quantites, il faudra, pour qu'elle soit legitime, i°. que les constantes a, et' et h soient aussi trespetites ; 2°. que les racines p, p' soient reelles et inegales, afin que Tangle t soit toujours sous le signe des sinus. Or cette seconde condition exige ces deux-ci, BC F% +-ACGa > o [BCF lcsquelles dependent uniquement de la figure du corps, et de la situation du point de suspension. 38. Supposons, en second lieu, que les constantes F et G soient aussi tres-petites du meme ordre que £' et £"; alors negligeant les quantites du second ordre, et mettant s, u a la place de £', '(", les equations differentielles de l'article 36 deviendront dr
dt*
dt% H(sd6 + du)d6 .
FdH ^ df d? Gde* H(udi ds) di ^ _ Cd*t
^
KS0,
SECONDE PARTIE, SECTION IX.
271
La derniere donne 5^ = o, et integrant, ^ = 7Z, n etant une Clt
c;
/
fl£
*
constante arbitraire de grandeur quelconque. Substituant cette valeur de £ dans les deux equations, on aura celles-ci:
+ (C^)nV -+ Gn* -f- Hn*u 4- Ks = o, dont l'integration n'a aucuue difficulte. Qu'on les divise par n% et qu'on j remette, pour plus de simplicite, $ a la place de ndt, en se sonvenant que $ est desormais constant, on aura, en ordonnant les termes et faisant
-A-B) § + H(u+ * ) + G = o,
Pour integrer ces equations, je commence par faire disparaitre les termes tout constans, en supposant s x-\-f, uz=y-\-h, et determinant les eonstantes f, h, ensorte que les termes F et G disparaissentj ce qui donnera ces deux equations de condition,
d'ou Ton tirera r
FH G(C GHF(C
MECANIQUE ANALYTIQUE. et Fon aura en x, y, 6 les memes equations qu'en ' J ? ( i + £)]* = o f lesquelles donnent
de sorte qu'on aura ? en multipliant en croix, cette equation en i> laquelle, en faisant 1 + i% = p y se reduit a cette forme, (^BH*y+ [{^+B){L C)+C>] [+L*2L (A+BC) =o. Ajant determine p par cette equation, on aura xx et laconstante a demeurera indeterminee. Or comme Tequation en p a deux racines, et que le radical \/{p 1) peut etre pris egalement en plus et en moins, on aura ainsi quatre valeurs diffcrentes de x,y, lesquelles etant reunies satisferont egalementaux equations proposees, puisque les variables x, y n'y sont que sous la forme lineaire. Prenant done quatre constantes differentes pour cty on aura de cette maniere les valeurs completes de x et jry puisque ces valeurs ne dependant que de deux equations differentielles
SECONDE PARTIE, SECTION IX. 7 rentielles du second ordre, ne sauraient renfermer au-dela de quatre constantes arbitrages. Sg. Pour que les expressions de x et y ne contiennent point d'arcs de cercle, il faut que \/(p 1) soit imaginaire, et qu'ainsi p soit une quantite reelle et moindre que l'unite. Denotons par p et
2^/1
>
a\/1
y
2V/1
'
on'aura, en faisant ces substitutions et passant des exponentielles aux sinus et cosinus, ces expressions completes et reelles de K et y, x = *sin[8/(1 _p) + /3]+ ? sin
- P)
ou a, /3, >, e sont des constantes arbitraires dependantes de l'etat initial du corps. Ayant ainsi x et y, on aura S
f
(
^
GH+F(J CL)
Done prenant pour fi un angle queloonque proportionnel au Mec. anal Tom. II. $$
MECANIQUE ANALYTIQUE. temps, on aura (art. 36) ces valeurs des neuf variables f, «r, %v |=:
cosQ,
»' =
sinO,
£ " = sinfl,
*" =
cosfi,
ensorte qu'on connattra les coordonnees f 7 »7 £ de cbaque point du corps pour un instant quelconque (art, I )« Si on compare les expressions precedentes de £'? rf9 etc., avec celles de Particle 7, on en deduira facilement les yaleurs des angles denotation
teD
g^ = S'
4 =
6
Et il est facile de voir, d'apres les definitions de Particle 7, que a> sera l'inclinaison supposee tres-petite de Paxe du corps avec la verticale; que 4 s e r a l'angle que cet axe decrit en tournant autour de la verticale, et que (p sera Pangle quele corps meme decrit en tournant autour du meme axe y ces deux derniers angles pouvant etre de grandeur quelconque. 4o. Mais il faut? pour Pexactitude de cette solution, que les variables s et u demeurent toujours tres-petites. Ainsi, non-seulement les constantes ct et yy qui dependent de l'etat initial du corps, devront etre tres-petites; mais il faudra que les valeurs des constantes F et G, donnees par la figure du corps, soient aussi trespetites , et que de plus les racines p et cr soient reelles et positives , afin que Pangle 9 soit toujours renferme dans des sinus ou cosinus. Si on suppose F=o, G = o ? savoir, SbcDmo,SacDm=o, on aura les conditions necessaires pour que les momens des forces
SECONDE PARTIE, SECTION IX. centrifuges autour de l'axe du corps, qui est en meme temps celui des coordonnees c, se detruisent, ensorte que Ie corps puisse tourner uniformement et librement autour de cet axe. Or on sait qu'il y a dans chaque corps trois axes perpendiculaires entr'eux, et passant par le centre de gravite, lesquels ont cette propriete, et qu'on nomme communement, d'apres Euler, les axes principaux du corps. Done, puisque nous avons suppose que l'axe dtt corps passe en meme temps par le centre de gravite et par le point de suspension, il s'ensuit que les quantites F et G seront nulles, lorsque le corps sera suspendu par un point quelconque pris dans un de ses axes principaux. Done, pour que ces quantites, sans etre absolument nulles, soient du moins tres-petites, il faudra que le point de suspension du corps soit tres-pres d'un de ses axes principaux; e'est la premiere condition necessaire pour que l'axe du corps ne fasse que de tres-petites oscillations autour de la verticale, le corps luimeme ayant d'ailleurs un mouvement quelconque de rotation autour de cet axe. L'autre condition necessaire pour que ces oscillations soienf toujours tres-petites, depend de l'equation en p et se reduit a eelles-ci:
lesquelles dependent a-la-fois de la situation du point de suspension et de la figure du corps. 4i. La solution que nous venons de donner embrasse la theorie des petites oscillations des pendules, dans toute la generalite
276
M^CANIQUE ANALYTIQUE.
dont elle est susceptible. On sait que Huyghens a donne le premier la theorie des oscillations circulates; Clairaut y a ajoute ensuite celle des oscillations coniques, qui ont lieu lorsqueje pendule etant tire de sa ligne de repos, re§oit une impulsion dont la direction ne passe pas par cette ligne. Mais si le pendtile recjoifi en meme temps un mouvement de rotation autour de son axe f la force centrifuge produite par ce mouvement pourra deranger foeaucoup les oscillations, soit circulaires, soit coniques, et la determination de ces nouvelles oscillations est un probleme qui n'avait pas encore ete resolu completement, et pour des pendules de figure quelconque. C'est la raison qui m'a determine a m'ei* occuper ici.
SECONDE PARTIE, SECTION X.
DIXIEME SECTION. Sur les Principes de V Hydrodynamiqiie. J_JA determination du mouvement des fluides est Pobjetde Pity* drodjnamique j celui de PHydraulique ordinaire se reduit a Fart de conduire les eaux, et de les faire servir au mouvement des machines. Cet art a du etre cultive de tout temps, pour le besoin qu'on en a toujours eu, et les anciens y ont peut-etre autant excelle que nous, a en juger par ce qu'ils nous ont laisse dans ce genre. Mais PHydrodynamique est une science nee dans le siecle dernier. Newton a tente le premier de calculer ? par les principes de la Mecanique, le mouvement des fluides, et d'AIembert est le premier qui ait reduit les vrais lois de leur mouvement a des equations analytiques. Archimede et Galilee (car Pintervalle qui a separe ces deux grands genies disparait dansPhistoire de la Mecanique) ne s'etaient occupes que de Pequilibre des fluides. Torricelli commen§a a examiner le mouvement de Peau qui sort d'un vase par une ouverture fort petite, et a y chercher une loi. II trouva qu?en donnant au jet une direction verticale ? il atteint toujours a tres-peu-pres le niveau de Peau dans le vase; et comme ii est a presumer qu9il Patteindrait exactement sans la resistance de Pair et ies frottemens, Torricelli en conclut que la vitesse de Peau qui s'ecoule est la nieme que celle qu'elle aurait acquise en tombant librement de la hauteur du niveau, et que cette vitesse est par
consequent proportionnelle a la racine quarree de la meine hauteur.
275
MtiCANIQUE ANALYTIQUE. Ne pouvant cependant parvenir a une demonstration rigoureuse de cette proposition, il se contenta de la donner comme un principe d'experience, a la fin de son Traite de Motu naturaliter accelerate, imprime en i645. Newton entreprit de la demontrer dans le second livre des Principes mathematiques, qui parurent en 1687; mais il faut avouer que c'est Pendroit le moins satisfaisant de ce grand ouvrage. Si on considere une colonne d'eau qui tombe librement dans le vide , il est aise de se convaincre qu'elle doit prendre la figure d'un conoide forme par la revolution 4'une hyperbole du quatrieme ordre autour de Paxe vertical; car la vitesse de chaque tranche horizontale est, d'un cote, comme la racine quarree de la hauteur d'ou elle est descendue, et de Pautre elle doit etre, par la continuite de Peau, en raison inverse de la largeur de cette tranche, et par consequent en raison inverse du quarre de son rayon; d'ou il resulte que la portion de l'axe, ou Pabscisse qui represente la hauteur, est en raison inverse de la quatrieme puissance de 1'ordonnee de Phyperbole generatrice. Si done on s.e represente un vase qui ait la figure de ce conoide, et qui soit entretenu toujours plein d'eau, et qu'on suppose le mouvement de Peau parvenu a uu etat permanent, il est clair que chaque particule d'eau y descendra comme si elle etait libre, et qu'elle aura par consequent, au gortir de l'orifice, la vitesse due a la hauteur du vase de laquelle elle est tombee. Or Newton imagine que Peau qui remplit un vase cylindrique vertical, perce" a son fond d'une ouverture par laquelle elle s'echappe, se partage naturellement en deux parties, dont Pune est seule en mouvement et a la figure du conoide dont nous venons d© parler, c'est ce qu'il nomme la cataracte; Pautre est en repos, comme si elle etait glacee. JDe cette maniere, il est clair que Peau doit s'echapper avec une vitesse egale a celle qu'elle aurait acquise
SECONDE P ARTIE, SECTION X. en tornbant de la hauteur du vase, comme Torricelli l'avait trouvee par l'experience. Cependant Newton ayantmesure la quantite d'eau sortie dans un temps donne, et l'ayant comparee a la grandeur de l'orifice, en avait conclu, dans la premiere edition de ses Principes, que la vitesse, au sortir du vase, n'etait due qu'a la moitie de la hauteur de 1'eau dans le vase. Cette erreur venait de Ce qu'il n'avait pas d'abord fait attention a la contraction de la veine; il y eut egard dans la seconde edition, quiparut en 1714, et il recomrat que la section la plus petite de la veine etait, a l'ouverture du vase, a peu pres comme 1 a y/i\ de sorte qu'en prenant cette section pour le vrai orifice, la vitesse doit etre augmentee dans la meme raison de 1 a | / 2 , et repondre par consequent a la hauteur entiere de l'eau. De cette maniere, sa theorie se trouva rapprochee de l'experience, mais elle n'en devint pas pour cela plus exactej car la formation de la cataracte ou vase fictif dans lequel l'eau est supposee se mouvoir, tandis qtie l'eau laterale demeure en repos, est evidemment contraire aux lois connues de l'equilibre des fluides, puisque l'eau qui tomberait dans cette cataracte, avec toute la force de sa pesanteur, n'exerc,ant aucune pression laterale, ne saurait resister a celle du fluide stagnant qui l'environne. Vingt ans auparavant, Varignon avait donne a l'Academie des Sciences de Paris une explication plus naturelle et plus plausible du phenom6ne dont il s'agit. Ayant remarque que quand l'eau s'ecoule d'un vase cylindrique par une petite ouverture faite au fond, elle n'a dans le vase qu'un mouvement tres-petit et sensiblement uniforme pour toutes les particules, il en conclut qu'il ne s'y faisait aucune acceleration, et que la partie du fluide qui s'echappe a chaque instant, recevait tout son mouvement de la pression produite par le poids de la colonne de fluide dont elle est la base. Ainsi ce poids, qui est comme la largeur deTorifice mul<
2 8o
MlfcANIQUE ANALYTIQUE.
tipliee par la hauteur de Peau dans le vase, doit etre proportionnel a la quantite de mouvement engendree dans la particule qui sort a chaque instant par le meme orifice. Or cette quantite de mouvement est, comme Ton sait, proportionnelle a la vitesse et a la masse, et la masse est ici comme le produit de la largeur de Porifice par le petit espace que la particule parcourt dans Pinstant donne, espace qui est evidemment proportionnel a la vitesse meme de cette particule; par consequent la quantite du mouvement dont il s'agit est en raison de la largeur de Porifice multipliee par le quarre de la vitesse. Done enfin la hauteur de Peau dans le vase est proportionnelle au quarre de la vitesse avec laqaelle elle s'echappe , ce qui est le theorem© de TorricellL Ce raisonnement a neanmoins encore quelque chose de vague 1 car on y suppose tacitement que la petite masse qui s'echappe a chaque instant du vase , acquiert brusquement toute sa vitesse par la pression de la colonne qui repond a Porifice. Or on sait qu'une pression ne.peut pas produire tout-a-coup une vitesse finie. Mais en supposant, ce qui est naturel, que le poids de la cotonne agisse sur la particule pendant tout le temps qu'elle met a sortir du vase, il est clair que cette particule recevra un mouvement accelere, dont la quantite, au bout d'un temps quelconque, sera proportionnelle a la pression multipliee par le temps. Done le produit du poids de la colonne, par le temps de la sortie de la particule, sera egal au produit dela masse de cette particule, par la vitesse qu'elle aura acquise et comme la masse est le produit de la largeur de Porifice par le petit espace que la particule decrit en sortant du vase, espace qui, par la nature des mouvemens uniformement acceleres, est comme le produit de la vitesse par le temps; il s'ensuit (jue la hauteur de la colonne, sera de nouveau comme le quarre £e la vitesse acquise. Cette conclusion est done rigoureuse,pourvu qu'on accorde que chaque particule, en sortant du vase, estpressee
SECONDE PARTIE, SECTION X. par le poids entier de toute la colonue du fluide qui a cette particule pour base; c'est ce qui aurait lieu en efFet, si le fluide contenu dans le vase y etait stagnant j car alors sa pression sur la partie du fond ou est Fouverture, serait egale au poids de la colonne dont elle est la base; mais cette pression doit etre difFerente lorsque le fluide est en mouvement. Cependant ii est clair que plus il approchera de Fetat de repos, plus aussi sa pression sur le fond approchera du poids total de la colonne verticale; d'ailleurs ^experience fait voir que le mouvement du fluide dans le vase est d'autant moindre que Fouverture est plus petite. Ainsi la theorie precedente approchera d'autant plus de la verite, que les dimensions du vase seront plus grandes relativement a Fouverture par laquelle le fluide s'ecoule, et c'est ce que Fexperience confirme. Par une raison contraire, la meme theorie devient insuffisante pour determiner le mouvement des fluides qui coulent dans des tuyaux dont la largeur est assez petite, et varie peu. II faut alors considerer a-Ia-fois tous les mouvemens des particules du fluide, et examiner comment jls doivent etre changes et alteres par la figure du canal. Or Fexperience apprend que quand le tuyau a une direction peu difFerente de la verticale, les difFerentes tranches horizontales du fluide conservent a tres-peu pres leur parallelisme, ensorte qu'une tranche prend toujours la place de celle qui la precede; d'ou il suit, a cause de Fincompressibilite du fluide, que la vitesse de chaque tranche horizon tale, estimee suivant le sens vertical, doit etre en raison inverse de la largeur de cette tranche, largeur qui est donnee par la figure du vase. II suffit done de determiner le mouvement d'une seule tranche, et le probleme est en quelque maniere analogue a celui du mouvement d'un pendule compose. Ainsi, comme selon la theorie de Jacques Bernoulli, les mouvemens acquis et perdus a chaque instant par les difFerens poids qui forment le pendule ; se fontmutuel-
Mec. anal. Tom. II.
56
2H
MECANIQUE ANALYTIQUE.
lement equilibre dans le levier, il doit y avoir equilibre dans le tuyau entre les difFerentes tranches du fluide animees chacune do ia vltesse acquise ou perdue a chaque instant; et de la par Tapplication des principes deja connus de Fequilibre des fluides, on aurait pu d'abord determiner le mouvement d'un fluide dans un tuyau, corame on avait determine celui d'un pendule compose. Maisce n'est jamais par les routes les plus simples et les plus directes, que Pesprit humain parvient aux verites, dequelque genre qu'elles soient, et la matiere que nous traitons en fournit un exempli frappant Nous avons expose dans la premiere Section les difFerens pas qu'on avait faits pour arriver a la solution du probleme du centre d'oscillation; et nous y avons vu que la veritable theorie de ce probleme n'avait ete decouverte par Jacques Bernoulli que longtemps apres que Huyghens Feut resolu par le principe indirect de la conservation des forces vives. II en a ete de meme du probleme du mouvement des fluides dans des vases j et il est surprenant qu'on n'ait pas su d'uLurd jjrofiicr pour celui-ci des lumieres que Ton avait deja acquises par Tautre. Le meme principe de la conservation des forces vives fournit encore la premiere solution de ce dernier probleme, et servit de base a THydrodynamique de Daniel Bernoulli, imprimee en 1768^ ouvrage qui brille d'ailleurs par une Analyse aussi elegante dans sa marche que simple dans ses resultats. Mais J'inexactitude deceprincipe, qui n'avait pas encore ete demontre d'une maniere generale, devait en jeter aussi sur les propositions qui en resultent, et faisait desirer une theorie plus sure et appuyee uniquement sur les lois fondamentales de la Mecanique, Maclaurin et Jean Bernoulli entreprirent de remplir cet objet, Fun dans son Traite des Fluxions, et Fautre dans sa nouvelle Hydraulique, imprimee a la suite de ses GEuvres. Leurs methodes, quoique tres-differentes, conduisent
SECONDE PARTIE, SECTION X. 2 85 aux memes resultats que le principe de la conservation des forces vives; mais il faut avouer que celle de Maclaurin n'est pas assez ngoureuse et parait arrangee d'avance, conformement aux resultats qu'il voulait obtenir; et quant a la methode de Jean Bernoulli, sans adopter en entier les difficultes que d'Alembert lui a opposees, on doit convenir qu'elle laisse encore a desirer du cote de la clarte et de la precision. O n a v u , dans la premiere Section, comment d'Alembert, en generalisant la theorie de Jacques Bernoulli sur les pendules, etait parvenu a un principe de Dynamique simple et general, qui reduit les lois du mouvement des corps a celles de leur equilibre. L'application de ce principe au mouvement des fluides se presentait d'ellememe, et l'auteur en donna d'abord un essai a la fin de sa Dynamique, imprimee en 1743; il l'a developpee ensuite avec tout le detail convenable, dans son Traite des Fluides, qui parut Pannee suivante, et qui renferme des solutions aussi directes qu'elegantes des principales questions qu'on peut proposer sur les fluides qui se meuventdans des vases. Mais ces solutions, comme celles de Daniel Bernoulli, etaient appuyees sur deux suppositions qui ne sont pas vraies en general. i e . Que les differentes tranches du fluide conservent exactement leur parallelisme, ensorte qu'une tranche prend toujours la place de celle qui la precede, 2°. Que la Vitesse de chaque tranche ne varie point en direction, c'est-a-dire que tous les points d'une meme tranche sont supposes avoir une vitesse egale et parallele. Lorsque le fluide coule dans des vases ou tuyaux fort etroits, les suppositions dont il s'agit sont tres-plausibles et paraissent confirmees par Pexperience; mais hors de ce cas elles s'eloignent de la verite, et il n'y a plus alors d'autre moyen pour determiner le mouvement du fluide, que d'examiner celui que chaque particule doit
avoir.
284 M^CANlQUE ANALYTIQU& Clairaut avait donne dans sa Theorie de la figure de la Terre, imprimee en 1743, les lois generates de l'equilibre des fluides, dont toutesles particules sont animees par des forces quelconquesj il ne s'agissait que de passer de ces lois a celles de leur mouvement, par le moyen du principe auquel d'Alembert avait reduit, a cette meme epoque, toute la dynamique. Ce dernier fit, quelques annees apres, ce pas important, a l'occasion du prix que l'Academie de Berlin proposa en 1760, sur la theorie de la resistance des fluides, et il donna le premier, en 1752, dans son Essai d'une nouvelle Theorie sur la resistance des Fluides, les equations rigoureuses du mouvement des fluides, soit incompressibles, soit compressibles et elastiques, equations qui appartiennent a la classe de celles qu'on nomme a differences partielles, parce qu'elles sont entre les differentes parties des differences relatives a plusieurs variables. Mais ces equations n'avaient pas encore toute la gene'ralite et la simplicite dont elles etaient susceptibles. C'est a Euler qu'on doit les premieres formules generates pour le mouvement des fluides, fondees sur les lois de leur equilibre, et presentees avec la notation simple et lumineuse des differences partielies. Voyez le volume de I'Academie de Berlin, pour I'annee 1755. Par cette decouverte, toute la Mecanique des fluides fut reduite a un seul point d'analyse; et si les equations qui la renferment etaient integrates', on pourrait, dans tous les cas, determiner completement les circonstances du mouvement et de l'action d'un fluide mu par des forces quelconques- malheureusement elles sont si rebelles, qu'on n'a pu jusqu'a present en venir a bout que dans des cas tres-limites. C'est done dans ces equations et dans leur integration que consiste toute la theorie de l'Hydrodynamique. D'Alembert employa d'abord pour les trouver,unemethode un peu compliqueej il en donna ensuite une plus simple j mais cette methode etant fonder
SfiCONDE PARTIE, SECTION X. sur les lois de Fequilibre particulieres aux fluides, fait de FHydro* dynamique une science separee de la Dyiiamique des corps solides. La reunion que nous avons faite, dans la premiere partie de cet ouvrage, de toutes les lois de Fequilibre des corps, tant solides que fluides dans une meme formule, et ^application que nous venons de faire de cette formule aux lois du mouvement, nous conduisent naturellement a reunir de meme la Dynamique et FHydrodynamique comme des branches d'un principe unique 7 et comme des resultats d'une seule formule generale, C'est Fobjet qui reste a remplir pour completer notre travail sur la Mecanique, et acquitter Fengagement pris dans le cet ouvrage.
MECANIQUE ANALYTIQUE.
ONZIEME SECTION. Du mouvement des Fluides incompressibles. i. V J N pourrait deduire immediatement les lois du mouvement de ces fluides, de celles de leur equilibre, que nous avons trouvees dans la Section septieme de la premiere partie j car par le principe general expose dans la seconde Section, il ne faut qu'ajouter aux forces acceleratrices actuelles, les nouvelles forces accelera trices HFf ~dt*' ~dF* dirigees suivant les coordonnees rectangles
x,y,z.
Ainsi, comme dans les formules de Particle 10 et suiv. de la Section septieme citee, on a suppose toutes les forces acceleratrices du fluide deja reduites a trois, X, Y, Z> dans la direction des coordonnees x, y, z j il n?y aura, pour appliquer ces formules au mouvement desfluides,qu'a y substituer X + -^,
F + ^ , Z + ^|
au lieu de X, Y, Z. Mais nous croyons qu'ii est plus conforme a Fobjet de cet ouvrage, d'appliquer directement aux fluides les equations generates donnees dans la Section quatrieme, pour le mouvement d'un systeme quelconque de corps§ i. Equations gSnerales pour le mouvement des Fluides incompressibles. 2. On peut considerer un fluide incompressible comme compose d'une infinite de particules qui se meuvent libreinent entr'elles y
SECONDE PARTIE, SECTION XL sans changer de volume; ainsi la question rentre dans le cas de Particle 17 de la Section citee ci-dessus. Soit done Dm la masse d'une particule ou element quelconque du fluide, X , Y, Z les forces acceleratrices qui agissent sur cet element, reduites, pour plus de simplicity aux directions des coordonnees rectangles x, y, z, et tendantes a diminuer ces coordonnees, L = o Pequation de condition resultante de Pincompressibilite ou de Pinvariabilite du volume Dm, A une quantite indeterminee, et S une caracteristique integrate correspondante a la caracteristique differentielle D et relative a toute la masse du fluide; on aura pour le mouvement du fluide cette equation generate (Sect. I V ) ,
II faut maintenant substituer dans cette equation les valeurs de Dm et de J\L? et apres avoir fait disparaitre les differences des variations, s'il y en a, egaler separement a zero les coefficient des variations indeterminees Retenons la caracteristique D pour representer les differences relatives a la situation instantanee des particules contigues, tandis que la caracteristique d se rapportera uniquement au changement de position de la meme particule dans Tespace 5 il est clair qu'ora peut representer le volume de la particule Dm par le parallelipipede DxDyDz, ainsi en nommant A la densite de cette particule, on aura Dm= &DxDyDzr De plus, il est visible que la condition de Pincompressibilite sera contenue dans liquation DxDyDz = const; de sorte qu'on
aura L=DxDyDzconst.^t
par consequent
£L=z£.(DxDyDz),
Pour determiner cette differentielle, il faut employer les memes
288 MtfCANIQUE ANALYTIQUE. considerations que dans Farticle 11 de la Section septieme de la premiere parties ainsi en changeant seulement d en D dans les formules de cet endroit, on aura
= DxDyDz (g H- % + ^ Cette quantite etant multipliee par a toute la passe du fluide, on aura quelle il faudra faire disparattre les ipemes procedes deja employes dans tee. On aura ainsi,
A, et integree relativement la valeur de ^AcTL, dans ladoubles signes D£ par les Particle 17 de la Section ci-
SUL = - S ( ^ ^ H - ^ cTj - f - ^ J z ) DxDyD
Faisant done ces substitutions dans le premier membre de l'equation generale, elle contiendra premierement cette formula fntegrale totale,
£- +
AZ
- M) ^ 0 DxDyDz (a),
4ans laquelle il faudra faire separement egaux a zero les coefficiens des variations £x,
SECONDE PARTIE, SECTION XL 289 II restera ensuite afaire disparaitre les integrates partielles,
lesquelles ne se rapportent qu'a la surface exterieure du fluide; et Ton en conclura, corrime dans Particle 18 de la Section septieme citee, que la valeur de A devra etre nulle pour tous les points de la surface ou le fluide est librej on prouvera de plus, comnie dans l'article 3i de la meme Section, que, relativement aux endroits ou le fluide sera contenu par des parois fixes, les termes des integrales precedentes se detruiront mutuellement, ensorte qu'il n'en resultera aucune equation; et en general on demontrera, par un raisonnement semblable a celui des articles 52,58 , 59, que la quantite A rapportee a la surface du fluide, y exprimera la pression que le fluide j exerce, et qui, lorsqu'elle n'estpas nulle, doit etre contrebalancee par la resistance ou Faction des parois. 5. Les equations qu'on vient de trouver renferment done les lois generales du mouvement des fluides incompressibles; mais il y faut joindre encore Pequation meme qui resulte de la condition de l'ineompressibilite du volume DxDyDz, pendant que le fluide se meut; cette equation sera done representee par d.(DxDyDz)=o, de sorte qu'en changeant cT en d dans l'expression de cT. (DxDyDz) trouvee ci-dessus, et egalanta zero, on aura Ddx
, Ddy , Ddz
Cette equation, combinee avec les trois equations (A} de Particle precedent, servira done a determiner les quatre inconnues xf y, z et A. 4. Pour avoir une idee nette de la nature de ces equations, il Mec. anal. Tom. II, 3/
IfflECANJQUE ANALYTIQUE. faut considerer que les variables x> y, z qui determinent la position d'une particule dans un instant quelconque, doivent appartenir a-la-fois a toutes les particules dont la masse fluide est composee- elles doivent done etre des fonctions du temps ty et des valeurs que ces memes variables ont eues au commencement du mouvement, ou dans un autre instant donne. Nommant done a^ b7 c les valeurs de x,y ? z, lorsque £ = o , il faudra que les valeurs completes de x, y, z soient des fonctions de a7 b, c? t. De cette maniere, les differences marquees par la caracteristique Z>, se rapporteront uniquement a la variabilite de a > b, c; et les differences marquees par Pautre caracteristique d se rapporteront simplement a la variabilite de t. Mais comme dans les equations trouvees il y a des differences relatives aux variables memes x, y, z, il faudra reduire celles-ci aux differences relatives a a, b, c,ce qui est toujours possible; car on n'a qu'a concevoir qu'on ait substitue dans les fonctions ? avant la differentiation, les valeurs memes de x,y,z en a> b^ c.
5. En regardant done les variables x, y, z comme des fonctions de a, b> c, t, et representant les differentielles selon la notation ordinaire des differences partielles, on aura
" + *£*
J* +
««» + « + et regardant en meme temps la fonction A comme une fonction de x7 yy zy et comme une fonction de a, by c, on aura
+ Uy dx
dx
j
da
+
S
77
db
.
dx
dc
7
+ Tc '>
SECONDE PARTIE, SECTION XL 291 es deux expressions de D\ devant etre identiques, si on substitue dans la premiere les valeurs de Dx, Dy, Dz en da, db, dc, il faudra que les coefficiens de da, db, dc soient les memes de part et d'autre, ce qui fournira trois equations qui serviront a determiner les valeurs de i £ , ~, ~ en ^ , % ^;ceseralameme Dx
J
Dy Dz
da' db' dc'
chose si on substitae dans la seconde expression de DX les valeurs de da, db> dc en Dx, Dy, Dz tirees des expressions de ces dernieres quantites; alors la comparaison des termes afFectes de Dx, Dy, Dz donnera immediatement les valeurs de jr^etc. Or, par les regies ordinaires de Pelimination, on a y
da =
,
6
ao at
en supposant * ~ db* dc dc* db' , dx dz dx dz, * dT^db^db^-Tc'
Ta* db db* da> dx dz dx dz r * ~~ Ib*dirmdli*~db*
* ~-db*Tc~~Tc*db> dy dz dy dz a " Tc*Ta~~dZ*Tc>
* da* db db*da> _ dx dy dz dx dy dz, ° fa*db*dc db*da*dc
a,
P
'
fl
dx dz dx dz Ta*Tc~~Tc*d~a>
dx
<x&K ^ db*dc*da r
Faisant done ces substitutions dans l'expression
*&, + *
t^X&'X dc * db * da
392 MtiCANIQUE ANALYTIQUE. et compararit ensuite avec l'expression identique
pn aura 6
x
dc
*
Ainsi substituant ces valeurs dans Ies trois equations {A) de Particle 2, elles deviendront de cette forme, apres ayoir multiplie par 0,
ou il n'ya, comme Ton voit? que des differences partielles relatives k a, b9 c, t.
Dans ces equations, la quantite A, qui exprime la densite, est une fonction donnee de a, J, c sans £, puisqu'elle doit demeurer invariable pour chaque particule; et si le fluide est homogene, A sera alors une constante independante de a, b, c, t Quant aux quantites X, Y, Z qui represented Ies forces acceleratrices, elles seront le plus souvent donnees en fonctions de x> y7 z, t. 6. Mais on peut reduire les equations precedentes a une forme plus simple, en ajoutant ensemble, apres les avoir multiplies .
dx
,
dv
dx
dz,
dv
respectivement et successivement par ^ , ^ , -j-, par T , J J , dz
db
.
P
ar
dx
7
dy
dz
dc dc* dc>
car
1 5 ^ 1 1
^P ^ *
es
in
n
expressions de 6; a, p, y7
SECONDE PARTIE, SECTION XI. a', jS', etc. donnees ci-dessus, il est aise de voir qu'on aura
esuite. De sorte que, par ces operations et ces reductions, on aura les transformees
dy
On aurait pu paryenir direclement a ces dernieres equations^ en introduisant dans les formules de Particle 2 > au lieu des variations
** = t
+ 3 *» + To dc
a6
On fera ces substitutions dans la formule ( a ) de Particle 2, ef on egalera a zero les quantites multipliees par fa,
lb~~ dx
Dy
A
da ^
Dz
A
da
Dx * db 'r Dy * db~*~ Dz * db c?a: Dx dy . Dx dz
JDA
d~ ~ D
X
d
"*" Zty
X
rfc "*" Z?
X
fc*
394 MtiCANIQUE ANALYTIQUE. On aura tout de suite Ies equations dont ii s'agit, lescfuelles, dans le cas oil Xdx-\~ Ydy-\-Zdz est une differentiate complete representee par dy, peuvent se mettre sous cette forme plus simple, /d*x
dx , d\
dy
d'z
dz , dF\
dx
7. On transformera ? d'une maniere semblable, Fequation (B) de Tarticle 5; et pour cela, comme, d'apres la remarque de 1'article 4, Ies differentielles dx, dy, dz ne sont relatives qu'a la variable t\ on Ies reduira d'abord aux differences partielles -^ dt, -2- dty ~ dty ensorte que Tequation dont il s'agit etant divisee par dt} sera de la forme D.% D.£ D.i. dt
dt ,
dt
Or , par Ies formes trouvees ci - dessus pour Ies valeurs de - ^ , 2^, etc.? on aura pareillement, en substituant ^ , ^ , etc. a la place de X, n
dx ± _ ^ Dx ""I
X
dx dx dx _d± , fi dt y dt X X da " ^ ? ~db~ + I ~5T" '
et comme dans le second membre de cette equation, la quantiteA: est regardee comme une fonction de a, b, c, t, on aura 7
dx
et ainsi des autres ~d^~~d^i) differences partielles de x; de sorte qu'on aura simplement Ci 1C
Dx
t
x
dadt ^
6 X dbdt ^ " J
X
SECONDE PARTIE, SECTION XL On trouvera des expressions semblables pour les valeurs de T e* "ZhT'
et
^ n'y
aura
Pour
ce a
^ qu'a changer, dans la for-
mule precedente, x en y et z. Faisant done ces substitutions dans l'equation ci-dessus, elle deviendra, apres y avoir eflace le denominateur commun 9, d*x d*x , d*x R * dadt "+" ^ dbdt "+ ^ dedt dbdi
Le premier membre de cette equation n'est autre chose qua la valeur de ^ , comme on peut s'en assurer par la diiBFerentiation actuelle de Fexpression de 0 (art. 5). Ainsil'equation devient^=o ? dontl'integraleest 0=fonct. (a, b,c). Supposons dans cette equation, £ = o , et soit K ce que devient alors la quantite 9? on aura j£ = fonct. (a, b> c)j par consequent Fequation sera 6 = X . Or nous avons suppose que lorsque t=o> on a x a,y = by ,
.
dx
dx
dy
done on aura aussi alors ^ = 1, ^ = o , - ^ = o ? ^ = o ?
Z=LC\
^ = i, - r = o , -^ = o. ^ = o db .
c?x
T
J
dc
da
* do
? 7
^ = i . Ces valeurs etant subsdc
tituees dans Texpression de Q (art.5), on a G = i ; done X = i . Done reraettant pour 0 sa valeur dans l'equation dont il s'agit, elle sera de la forme d^^db^dc
dx rfc
db ^da^dc
dy
dz , dx
db
y
da
dc
dy da
"*" J 6 ^
dz db
dx da
deda
dy dc
dz
/rix
db
v
J
Cette equation, combinee avec les trois equations (C) ou (D)
MtfCANIQUE ANALYTIQUE. des articles 5 , 6 , servira done a determiner les valeurs de A, X, y, z en fonctions de a, b> c> t. Cette equation peut aussi se trouyer d'une maniere plus simple, sans passer par Pequation differentielle (B) de Particle 3. En effet, Pequation (2?) exprime seulement que la variation du volume DxDyDz de la particule Dm est nulle, tandis que le temps t varie; de sorte que la valeur de DxDyDz doit etre constante et egale a la valeur primitive dadbde. Or nous avons donne dans Particle 5 les expressions de Dx> Dy, Dz en da, db, dc\ mais il faut remarquer que dans la formule DxDyDz, la difference Dz doit etre prise en y regardant x et y comme constantes; que de meme la difference Dy doit etre prise en regardant x et z comme constantes et qu'enfin la difference Dx suppose y et z constantes, ce qui est evident en considerant le parallelipipede rectangle represente par DxDyDz. Supposons done d'abord x et y constantes, et par consequent Dx et Dy nuls- on aura les deux equations dx
dx 77 -JT db
.
7
-r- da + x
da
,
7
+ -j- dc = x
db
dx
2
o,
dc
>
d'ou Ton tire ,
act =
~j
x
dy dx dy d~c~~~d7 ^dh , -j
-j
j-
ac,
dx dy __ dy dx da * db da * db dx dy dx dy dc * da da X 5c ,
7, ab
dx db
=
-j
j
-j
j-
dx dy _ dy dx da ^ db da * db
dc:
>
ces valeurs, substituees dans Pexpression de Dz, donncront dx d ^ * ? v ^ v ^ -4- ^ v ^ ^ J\ _ da\db *dc dc ^db) ~*~ db\dc >
UZ
.
dx dy dy dx da~>
+i
dz/dx dy dy dx\ dXdZ>
Pour
SECONDE PARTIE, SECTION XI. Pour avoir de meme la valeur de Dy on supposera Dxo et Dz = o, ce qui donne dc = o et ^ da + ^ db = o|; d'oii Ton tire rfr
da = --dbfet
c e tt e
yaleur, ainsi que celle'de Jc = o , etant
substitutes dans l'expression de Zty, donneront
da
db
Dy =
db
da ,L
db.
^ da
Enfin pour avoir la valeur de Dx on fera Dy = o, 2?z = o, ce qui donne dboy
t/c = o? et par consequent
Dx-^da.
Multipliant ensemble ces valeurs de Dx, Dy, -Dz, on aura z / dx . dz/dx
dy
dr
X
dy
dx
dy\ , dz/dx
d
x
dy
dy
x
dx
+ db(^x£-Ta id + s U s - a s 35 Faisant done DxDyDz = dadbdc y on aura tout de suite Pequation (JB). II est bon de remarqiier que cette valeur de DxDyDz est cellc qu'on doit employer dans les integrates triples relatives a x, y f z, lorsqu'on y veut substituer, a la place des variables x>yy z} des fonctions donnees d'autres variables a, b, c. 8. Comme les equations dont il s'agit sont a differences partielles, Fintegration y introduira necessairement differentes fonctions arbitraires; et la determination de ces fonctions devra se deduire en par tie de Petat initial dufluide, lequel doit etre suppose donne, et en partie de la consideration de la surface exterieure du fluide, qui est aussi clonnee si le fluide est renferme dans un vase, et qui Mec. anal. Tprn. IL 58
298
MtfCANIQUE ANALYTIQUE.
doit etre representee par Fequation A = o, lorsque le fluide est libre (art. 2). En effet, dans le premier cas si on represente par ^ / = o Pequation des parois du vase , A etant une fonction donnee des coordonnees x, y, z de ces parois, et du temps t si les parois sont mobiles, ou d'une forme variable, en y mettant pour ces variables leurs valeurs en a, Z>, c, £, on aura une equation entre les coordonnees initiates a, b, c et le temps t, laquelle representera par consequent la surface que formaient dans Fetat initial les memes particules qui, apres le temps £, forment la surface representee par Fequation donnee ^ = 0 . Si done on veut que les memes particules qui sont une fois a la surface y demeurent toujours et ne se meuvent que le long de cette surface, condition qui parait necessaire pour que le fluide ne se divise pas, et qui est recjue generalement dans la theorie des Guides, il faudra que Fequation dont il s'agit ne contienne point le temps t\ par consequent la fonction ^4 de x, JK, z devra etre telle que t y disparaisse apres la substitution des valeurs de #, y, z en a, fe, c, t Par la meme raison Fequation A = o de la surface libre ne devra point contenir t; ainsi la valeur de A devra etre une simple fonction de a, b, c sans t. Au reste, il y a des cas dans le mouvement d'un fluide qui s'ecoule d'un vase ou la condition dont il s'agit ne doit pas avoir lieu; alors les determinations qui resultent de cette condition n$ sont plus necessaires. 9. Telles sont les equations par lesquelles on peut determiner directement le mouvement d'un fluide quelconque incompressible. Mais ces equations sont sous une forme un peu compliquee, et il est possible de les reduire a une plus simple, en prenant pour inconnues, a la place des coordonaees x, y, z> les vitesses
SECQNDE PARTIE, SECTION XL
299
~It* lit* 2i ^ a n s ^a direction des coordonnees, et en regardant ces vitesses comme des fonctions de x, y, z} t. En effet, d'un cote il est clair que puisque x, j , z sont foncr? tions de a> b, c, Z?les quantites ^ , -£, £- serontaussi fonctions des memes variables a, b, c, t, done si on congoit qu'on substitue dans ces fonctions les valeurs de a , b7 c en x, y, z tirees de celles de x>y, z en a ? b7 c; on aura ^ , ^7, -j. exprimees en fonctions de x, y, z et t D'un autre cote, ii est clair que pour la connaissance actuelle du mouvement du fluide, il suffit de connaitre a chaque instant le mouvement d'une particule quelconque qui occupe un lieu donne dans Pespace, sans qu'il soit necessaire de savoir les etats precedens de cette particule; par consequent il suffit d'avoir les valeurs des vitesses ^ , ^ , ^ en fonctions de x> y, z, t P'ailleurs ces valeurs etant connues, si on les nomme /?, q, rf
on aura les equations dx=pdty
dy qdt> dzrdt> entre x,y9
z, t, lesquelles etant ensuite integrees, de maniere que xy y, z deviennent tty b> c, lorsque £ = o , donneront les valeurs memes
de x,y7 z en a, b, c, t Au reste, si on chasse dt de ces equations differentielles, on aura ces deux-ci pdy = qdx, pdz = rdx, lesquelles expriment la nature des differentes courbes dans lesquelles tout le fluide se meut a chaque instant, courbes qui changent de place et de forme d'un instant a Pautre. io- Reprenons done les equations fondamentales (^/) et (B) des articles 2 et 3 , et introduisons - j les variables /? = -£? 5 =
r p,
regardees comme des fonctions de x,y, z, t
^
3oo
MlfcANIQUE ANALYTIQUE.
II est clair que les quantites ^ J , J , ~ dx c£ * y~
, dy
. di,
a m ~j
a.
peuvent etre mises
j
J
ji
ji
sons la forme - , - ^ - , - ^ , oil les quantites J > ^ , ^sont censees des fonctions de a, J, c, /. En les regardant done comme telles 1 on aura pour la difference . dx lt
, t/x t
_ dx t
- dx at
7 rf e t
A
^ ^
T
des
autres; mais en les regardant comme fonclions de x, yy z, t, et les designant par/7, ^, r^ leurs differences completes seront ^ dt+^dx
+ ^ dy + -£^dz, et ainsi des autres differences;
done si dans c s dernieres expressions on met pour dx, dy, dz leurs vuleurs en a, b, c, t, il faudra qu'elles deviennent identiques avec les premieres; mais x etant regarde comme fonction de a? by c, t, on a dx = -^ dt-t--j^ da + ^ db^r £ dc > ou ^ est evidemment = / ? ? en supposant qu'on mette dans p les valeurs de x, y, z en a, b, c? t. Ainsi on aura dxpdt~\~ -^da^r etc.;- et de meme dy = qdt -{- a^lda+ etc.,
dz =
Substituant ces valeurs dans l'expression de la difference complete de -^ , les termes affectes de dt seront \&^dx
.. . *
P "^ cf $ ~^~ Ttz7*)^' ^ e s ( I u e ' s devant etre identiques avecle , dx ci.
terme correspondant ~dt« ou bien -^-dt* on aura L
at d*x
d?
_>r d] di
J
at"
SECONDE PARTIE, SECTION XI. et Ton trouvera de la merae maniere d^
dq
dq ^.
dq .^
dq
d*z
dr ,
dr .
dr .
dr
3oi
On fera done ces substitutions dans les equations (A)-, et comme dans ces memes equations les termes - - , , ~ *
Dx'
re-
Dy ' Dz
presentent des differences partielles de A, relativement a x, j , z, en supposant t constant, on j pourra changer la caracteristique D en d. On aura ainsi les transformers
«cn dr
dr
A Fegard de Fequation (B) de Particle 3, dans laquelle les differences marquees par d sont relatives a f, et celles qui sont marquees par D sont relatives a x, j , r, il n'y aura qu'a y mettre k la place de dx, dy, dz, leurs valeurs jpofr, ^c/^5 7'^? et changeant la caracteristique D en d > puisque la caracteristique est indifferente dans les differences partielles>, on aura sur-le-champ? a cause de dt constant, dp
. dq . dr
On voit que ces equations sont beaucoup plus simples que les equations (C) ou (D) et (E) auxquelles elfes repondent, ainsi il convient de les employer de preference dans la theorie des fluides. Ces quatre equationg (F) et (G) donneront p, q, r et A en fonctions de x, y, z et de t} regarde comme constants dans leur i
MECANIQUE ANALYTIQUE, gration. Et si on voulait ensuite avoir les valeurs de x,y,z en fonctions de t et des coordonnees primitives a} b, c> comme dans la premiere solution, il n'y aurait qu'a integrer les equations
en y introduisant comme constantes arbitrages les valeurs initiates a, by c de x9y, Z. 11. Dans les Guides homogenes et de densite uniforme, la quan* tite A qui exprime la densite, est tout-a-fait constante; c'est le cas le plus ordinaire, et le seul que nous examinerons dans la suite.. Mais dans les fluides heterogenes, cette quantite doit etre une fonction constante relativement au temps t pour la meme particule, mais variable d'une particule a Fautre, selon une loi donnee. Ainsi en considerant le fluide dans Tetat initial, oil les coordonnees x} y, z sont <2, by c, la quantite A sera une fonction donnee et connue de a, i , c; done si on regarde A comme fonction de x,y, z et ty il faudra qu'en y substituant les valeurs de x, y, z en fonctions Ae a^ by c et ty la variable t disparaisse, et par consequent que la differentielle de A par rapport a £soit nulle. On aura a cause de x, yy z fonctions de ty Fequation dt ^ dx ^ dl^
dy*
dt ^~
dz^dt*0'
oix il faudra mettre pour ~ , ^ , ^ leurs vaieurs p7 q, r, Ainsi on aura Tequation dA
JA
dA
dA
7 ?
qui servira a determiner l inconnue A dans les equations (F) , paice que dans ces equations on doit traiter A comme une fonction de x7 y> & .
SECONDE PARTIE, SECTION XI. So5 A cet egard, elles sont moins avantageuses que les equations (C) ou (JD), dans lesquelles on peut regarder A comme une fonction connue de a, b, c. 12. Ce que nous venons de dire relatiyement a la fonction A7 il faudra Pappliquer aussi a la fonction A, en tant que ^ = o est Pequation des parois du vase ? et qu'on suppose que le fluide contigu aux parois ne peut se mouyoir qu'en coulant le long de ces parois, de maniere que les memes particules restent toujours a la surface. Car cette condition demande, comme on Fa vu dans Tarticle 8, que A devienne une fonction de a, #, c sans t-> de sorte qu'en regardant cette quantite comme une fonction de x, y> z, ty on aura aussi l'equa-tion dA .
+P
dA ,
+i
dA .
dA
r
+
0
Pour les parties de la surface oil le flui3e sera libre, on aura Tequation A = o (art. 2); il faudra, par consequent, pour satisfaire a la meme condition , relatiyement a cette surface ? que Ton ait aussi dx ,
dx
i5. Voila les formules les plus generates et les plus simples pour la determination rigoureuse du mouvement des fluides. La difficulte ne consiste plus que dans leur integration; mais elle est si grande que jusqu'a present on a ete oblige de se contenter, meme dans les problemes les plus simples, de methodes particulieres et fondees sur des hypotheses plus ou moins limitees. Pour diminuer autant qu'il est possible cette difficulte, nous allons examiner comment et dans quels cas ces formules peuvent encore etre simplifiees; nous en ferons en&uite l'application a quelques
S04
MECANIQUE ANALYTIQUE.
questions sur le mouvemeiit des fluides dans des vases ou des canaux. i4. Rien n'est d'abord plus facile que de satisfaire a Pequation (G) de Farticle 105 car en faisant p = -£ ,
q = ^l"
elle
de
vient
i i j - . f A + ^ = 0 , laquelle est integrable relativement a z , dxdz
l
dydz
7
dz
L
et donne r = J - -f; il n'est point necessaire d'ajouter ici une fonction arbitraire, a cause des quantites indeterminees ct et /S. Ainsi Tequation dont il s'agit sera satisfaite par ces vaieurs dot,
dfi
da
dfi
lesquelles etant ensuite substitutes dans les trois equations (F) du meme article, il n'y aura plus que trois inconnues, a, /SetA; et meme ii sera tres-facile d'eliminer A par des differentiations partielles. De sorte que de cette maniere, si la densite A est constante, le probleme se trouvera reduit a deux equations uniques entre les inconnues ct et /3, et si la densite A est variable, il y faudra joindre Fequation (H) de Tarticle 11. Mais Integration de ces equations surpasse les forces de Fanaljse connue. i5. Voyons done si les equations (.F), considerees en ellesmemes, ne sont pas susceptibles de quelque simplification. En ne considerant dans la fonction A que la variability de x, 7
y,,z, on a d* =
dx
7
, dx
dx +
7
dx
dy +
Done substituant pour ^ , ^ , ^ , leurs vaieurs tirees de ces Equations, on aura
dx
SECONDE PARTIE, SECTION XI.
3o5
Le premier membre de cette equation etant une difFerentielle complete, il faudra que le second en soit une aussi, relativement a x, y, z\ et la valeur de A qu'on en tirera satisfera a la fois aux equations (F). Supposons maintenant que le fluide soit homogene, ensorte que la densite A soit constante; et faisons-la, pour plus de simplicite, egale a Funite. Supposons, de plus, queles forces accelera trices X , K, Z soient telles que la quantite Xdx + Ydy + Zdz soit une difFerentielle complete. Cette condition est celle qui est necessaire pour que le fluide puisse etre en equilibre par ces memes forces, comme on Fa vu dans Particle 19 de la Section septiemede la premiere partie. Elle a d'ailleurs toujours lieu, lorsque ces forces yiennent d'une ou de plusieurs attractions proportionnelles a des fonctions quelconques des distances aux centres, ce qui est le cas de la nature, puisqu'en nommant les attractions P , Q, H, etc., et les distances p, q, r, etc., on a en general
(Part.I, Sect V, arty). Faisant done A = i , et Xdx + Ydy + Zdz Pdp + Qdq + Rdr+ etc.= Fequation precedente deviendra JHec. anal Torn. IL
59
5o6
MECANIQUE ANALYTIQUE.
dr
U et il faudra que le second membre de cette equation soit une differentielle complete, puisque le premier en est une. Cette equation equivaudra aussi aux equations (F) del'article 10. Or en considerant la differentielle de
p
q
, prise relative-
ment a #, y, z> il n'est pas difficile de voir qu'on peut donner au second membre de Fequation dont il s'agit, cette forme:
t on voit d'abord que cette quantite sera une differentielle complete , toutes les fois que pdx -+- qdy + rdz le sera elle-meme; car alors sa different:elle par rapport a t, savoir? -£dx-h j f ^ + 5 7 dz le sera aussi ? et de plus, les conditions connues de rintegrabilite j
. dp
donneront -r ay
da
dp
T ^ O ,
-/-
ax
7
dz,
dr
da
T-=:O,
ax
7
dr
-~ = 0. clz
ay
D'ou il s'ensuit qu'on pourra satisfaire a Fequation (L) par la simple supposition que pdx + qdy + rdz soit une differentielle complete; et le calcul du mouyement du fluide sera par la beaucoup simplifie. Mais comme ce n'est qu'une supposition particuliere, il importe d'examiner, avant tout, dans quels cas elle peut t doit avoir lieu.
SECONDE P ARTIE, SECTION XL 16. Soit, pour abreger, (t-
<
ty._mmdq_ n dp dr ~ dy dx> ^ ~ - ^ ~ ~ ^ >
dq y~"dz
307
dr_ dy>
il ne s'agira que de rendre une differentielle exacte la quantite
+
a
(qdx pdy) -f- j8 (rcfo /?&) + y {rdy g&).
En regardant p, q, r comme des fonctions de ty on peut supposer
p = y + /'£ -f- JD'"F H- piyt3 + etc., q qf -±* q"t + ^"'r + ^'V3 + etc. ? r = r! + r'Y + rw^a -+- rlvi3 + etc., les quantites p\ p"> p"\ etc.j ^^? ^f/? ?%
etc
-; r ? r; ? ^
etc
- ^tant
des fonctions de x, yy z sans f. Ces valeurs etant substituees dans les trois quantites a, /3, ^ ? elles deviendront ^ = a' -{- ctf/^ + oc^i2 + ctlyt3 + etc., /3 = ft -f- /3f>^ + /3"T + /3lvi3 + etc., y = y -{- yY + ^';/ia + ^ lv i 3 + etc., en supposant , _ R, ^
dp' dy
dq' ax 7
dp' Jz,
dr' rfx?
&u__
v.-*L
^
dp" dy
dq" ax 7
J
dp" dz
dr" dx
7
... _ * : _ * : .
Ainsi la quantite ^dx -\-^dy
7
etc.
-{- ~ dz -{- a (qdx pdy) 4-
pdz)-\-y(rdy qdz) deviendra, apres ces differentes substitutions, et en ordonnant les termes par rapport auxpuis-
3o8
MtfCANIQUE ANALYTIQUE
sances de t,
fdx + q"dy + r"dz + a!(q'dx p'dy) 4- PVdx p'dz) + 4- * [2 (//"
?
df/ _d/_ dz dx'
dcf _ rf/ m dz dy. ?
done ? a ' = o, fi'^rzo, y'o\ done la premiere quantite, qui doiE etre une differentielle exacte, se reduira a p"dx + q"dy + rVzj et Ton aura par consequent ces equations de condition a" = o, /3(/ = o ? > f / = o . Alorsla seconde quantite, qui doit etre une differentielle exacte, deviendra 2(ptndx-\-qmdy + rwdz)\ et il resultera de la- les nouvelles equations a ( / / = o , / 3 ^ = o , ym=o. Desorteque la troisieme quantite, qui doit etre une differentielle exacte , sera 3 (plldx-\-q"dy + 7
SECONDE P ARTIE > SECTION XL
pvdx-\-q"dy+r"dz, pnidx+qnidy+rmdz,
plydx+q"dy+r"dz,
etc.
soient aussi chacune en particulier des differentielles exactes. Par consequent la quantite entiere pdx-\~ qdy-\-rdz sera dans ce cas une differentielle exacted le temps t etant suppose fort petit. 17. II s'ensuit de la que si la quantite pdx + qdy + rdz est une differentielle exacte lorsque 2 = 0, elle devra' Fetre aussi lorsque t aura une valeur quelconque; done en general , comme Forigine des t est arbitraire, et qu'on peut prendre egalement t positif 011 negatif, il s'ensuit que si la quantite pdx-\-qdy-\-7%dz est une differentielle exacte dans un instant quelconque, elle devra Fetre pour tous les autres instans. Par consequent, s'il j a un seui instant dans lequel elle ne soit pas une differentielle exacte, elle ne pourra jamais Fetre pendant tout le mouvement; car si elle Fetait dans un aulre instant quelconque, elle devrait Fetre aussi dans le premier. 18. Lorsque le mouvement commence du repos, on a alors JD = O, # = 0, r = o , lorsque ^ = 0 ; done pdx-\-qdy-\-rdz sera integrable pour ce moment, et par consequent devra Fetre toujours pendant toute la duree du mouvement. Mais s'il y a des vitesses imprimees aufluide, au commencement, tout depend de la nature de ces vitesses, selon qu'elles seront telles que pdx + qdy -f- rdz soit une quantite integrable ou non; cans le premier cas, la quantite pdx 4- qdy + rdz sera tonjours integrable; dans le second, elle ne le sera jamais. Lorsque les vitesses initiales sont produites par une impulsion quelconque sur la surface du fluide, comme par Faction d'un piston, on peut demontrer qtie pdx-\~qdy -{- rdz doit etre integrable dans le premier instant. Car il faut que les vitesses p, q, r, que chaque point du fluide re^oit en vertu de Fimpulsion donnee a la surface, soient telles, que si on detruisait ces vitesses, en impd-
3 io
MtfCANIQUE ANALYTIQUE.
mant en meme temps a chaque point du fluide des vitesses e et en sens contraire, toute la masse du fluide demeurat en repos ou en equilibre. Done il faudra qu'il j ait equilibre dans cette masse, en vertu de l'impulsiori appliquee a la surface, et des vitesses ou forces p , q , r , appliquees a cbacun des points de son interieur; par consequent, d'apres la loi generate de Pequilibre des fluides (Partie premiere, Section septieme, article 19), les quantites p, q, r devront etre telles que pdx+qdy-\-rdz soit une difFerentielle exacte. Ainsi dans ce cas la meme quantite devra toujours etre une difFerentielle exacte dans chaque instant du mouvement. 19. On pourrait peut-etre douter s'il y a desmouvemens possibles dans un fluide, pour lesquels pdx + qdy + rdz ne soit pas une differentielie exacte. Pour lever ce doute par un exemple tres-simple, il n'y a qu'a considerer le cas ou Ton aurait p=gy, q = g x , r=o,g etant une constante quelconque. On voit d'abord que dans ce cas pdx-\-qdy-\-rdz ne sera pas une difFerentielle complete, puisqu'elle devient g{ydx xdy), qui n'est pas integrable; cependant l'equation (L) de Particle i5 sera integrable d'elle-meme; car on aura ^-=g,
-£c = g, et toutes les autres difFerences partiellcs
de p et q seront nulles -, de sorte que l'equation dont il s'agit d\ dV~ dont l'integrale donne
g* (xdx +
ydy),
A = V £ (x s +jK a ) + fonct. t, valeur qui satisfera done aux Irois equations (F) de Particle 10. A Pegard de l'equation (G) dumeme article, elle aura lieu aussi, puisque les valeurs supposees donnent ^ = 0, p- = o, ^ = 0 .
SECONDE P ARTIE, SECTION XL 3n Au reste, il est visible que ces valeurs de />, q, r represented le mouvement cTun fluide qui tourne autour de Faxe fixe des coordonnees z, avec une vitesse angulaire constante et egale a g, et Ton sait qu'un pareil mouvement pent loujours avoir lieu dans un fluide. On petit conclure de la que dans le calcul des oscillations de la mer, en vertu de Pattraction du soleil et de la lune, on ne peut pas supposer que la quantjte pdx + qdy -h rdz soit integrable 7 puisqu'elle ne Test pas lorsque le fluide est en repos par rapport a la terre, et qu'il n'a que le mouvement de rotation qui lui est commun avec elle, 20. Apr£s avoir determine les cas dans lesquels on est assure que la quantite pdx-\-qdy-\-rdz doit etre une differenlielle complete, voyons comment d'apres cette condition, on peut resoudre les equations du mouvement des fluides. Soit done
pdx + qdy + rdz = d
. f^
dx* -
-fr
^judl
dy
- dxdy -t- dz . *1 JU**
dxdz
*±
dtdy ^ dx dxdy ^ dy * dy* ^ dz " dydz /d2
dont Fintegrale, relativement a x9 y> z, est evidemment dp
Sj2
MECANIQUE ANALYTIQUE.
On pourrait y ajouter une fonction arbitraire de t, puisque cette variable est regardee dans Pintegration comme constante; mais ^observe que cette fonction peut etre censee renfermee dans la valeur de
mente de la fonction -j~} qui est arbitraire. On peut done, sans derog^r a la generalite de cette dquation, se dispenser d ? j ajonter aucune fonction arbitraire de t On aura done par cette equation,
valeur qui satisfera a la fois aux trois equations (F) de Tarticleio; et la determination de
+
5? °'
Ainsi toute la difficulte ne consistera plus que dans l'integration de cette derniere equation, 21. II y a encore un cas tres-etendu, dans lequel la quantite pdx + qdy + rdz doit elre une differenlielle exacte; e'est celui ou Ton suppose que les yitesses pv q, r soient tres-petites, et qu'on peglige les quantites tres-petites du second ordre etdes ordres suivans. Car il est visible que dans cette hypothese, la meme equation (L) se reduira a
oil Ton voit que dx -\- £ dy +- j dz devant etre integrable relativement
SECONDE PARTIE, SECTION XL 5i5 lativement a x ,yy z, la quantite pdx + qdy-\- rdz devra l'etre aussi. On aura ainsi les memes.formules que dans Particle precedent, en supposant
ou la fonction $ devra etre prise de maniere qu'elle soit nulle lorsque t = o, afin que a, b, c soient les valeurs initiales de Ce cas a lieu dans la theorie des ondes et dans toutes les petites oscillations. 22. En general, lorsque la masse du fluide est telle que l'une de ses dimensions soit considerablement plus petite que chacune des deux autres, ensorte qu'on puisse regarder, par exemple, les coordonnees z comme tres-petites vis-a-vis de x t\y; cette circonstance servira dans tous les cas a faciliter la resolution des equations generales. Car il est clair qu'on pourrait donner alors aux inconnues p} Mec. anal. Tom. II. 4°
5x4 MfiCANIQTJE ANALYTIQUE. q> r, A la forme suivante : p r=r pf -\~ p Z -\~ p Zt
r = r' + rf'z + r'V + etc., A = A' + Af/z + A'"z* + etc., dans Iesquelles p\ p\ etc. j ^'? 5r/? etc.; r\ j " , etc.; A^? A", etc. seraient des fonctions de x, y> t sans z; de sorte qu'en faisant ces substitutions, on aurait des equations en series, Iesquelles ne contiendraient que des differences partielles relatives a x, y, t. Pour donner la-dessus un essai de calcul, supposons de noixveau qu'il ne s'agisse que d?un fluide homogene , ou A = i j et commengons par substituer les valeurs precedentes dans Fequation (G) de farticle IO^ et ordonnant les termes par rapport a z, pn aura
° dx
dj +
r
etc. De sorte que, comme p\ p\ etc.; q1, q", etc. ne doiyent point contenir z 7 on aura ces equations particulieres 7
etc., par Iesquelles on determinera d'abord les quantites r", rf", r", etc.,
SECONDE PARTIE, SECTION XL 3i5 et les autres quantites r', p'y p", etc.; q', q", etc. demeureront encore indeterminees. On fera les raemes substitutions dans I'equation (L) de I'article i5, laquelle equivaut aux trois equations (F) de I'article io ? et il est aise de voir qu'elle se reduira a la forme suivante : dA dV adx + $dy -\-ydz-\-z {ddx + Q'dy + y'dz)
+ z*(*"dx -h @'dy+y"dz) + etc., faisant, pour abreger,
%+ * % + f
et ainsi de suite. Done pour que le second membre de cette equation soit integrable, il faudra que les quantite's ctdx + fidy, ydz + 2(*WJC -+ (Z'dy), y'zdz + z* (*"dx + |SVj), etc., soient chacune integrable en particulier. Si done on denote par a> une fonction de x, y, t sans z, on
M^CANIQUE ANALYTIQUE. aura ces conditions: dot
ft
d*
f ___ cty
p* ___ dy
Alors Tequation integree donnera A=
I?" -f- & + yz 4 y!z* 4* e ^* j
ct il ne s'agira que de satisfaire aux conditions precedentes, par le moyen des fonctions indeterminees co, r\ jp\ prf, etc. j q', c[\ etc.. Le calcul deviendrait plus facile encore, si les deux variables y et z etaient tres-petites en meme temps, vis-a-vis de X) car on pourrait supposer alors
r = rf 4 - r"y 4 - r"'z 4 - rl*y% 4 - r>z 4 - etc., les quantites y , /?f/? etc. 5 q', q"> etc. 5 / , ?J/? etc. etant de simples fonctions de x. Faisant ces substitutions dans I'equation (G), et e'galant separement a zero les termes afifectes de y7 z et de leurs produits? on aurait
etc. Ensuite I'equation (L) deviendrait de la forme
dV~
udx H- /ScfK + ydz +y{
SECONDE PARTiE, SECTION XI. en supposant
%
?% +
I'P"
+
"' =' "^ + P' % + P" % + "«>" + «V+'>'+'"/'"V etc,, et Ton aurait pour Pintegrabilite de cette equation Ies conditions ctf z= ^ ct"z=:-~, etc.? moyennant quoi elle donnerait A = y 4- fudx + jSy H- >2 + Enfin on pourra aussi quelquefois simplifier le calcul par le raoyen des substitutions, en introduisant a la place des coordonnees x^y^ z d'autres variables £, n9 ^, lesquelles soient des fonctions donnees de celles-la; et si, par la nature de la question, la variable £, par exemple, ou Ies deux variables » et £ sont tres-petites vis-a-vis de £, on pourra emplo}rer des reductions analogues a celles que nous venons d'exposer. § II. Du rnouvement des fluides pesans et homogenes dans des vases ou canaux defigurequelconque. 25. Pour montrer l'usage des principes etdes formules que nous venons de donner, nous alions Ies appliquer aux fluides qui se meuvent dans des vases ou des canaux de figure donnee. Nous supposerons que lefluidesoit homogene et pesant, et qu?il parte du repos,, ou q,u'il soit mis en mouvement parTimpulsion>
Si8
MECANIQUE ANALYTIQUE.
d'un piston applique a sa surface; ainsi k s vitesses /?, q,r de cliaque particule, devrontelre lelles que la quantitepdx-j-qdy+rdz soit inte£rable (art. ] 8); par consequent on pourra employer les formules de Particle 20. Soit done
>
on aura d'abord pour les vitesses de chaque particule, suivant les directions des coordonnees x, y, z, ces expressions, dip
d
Ensuite on: aura
quantite qui devra etre nulle a la surface exterieure libre du fluide (art. 2). Quant a la valeur de J^ qui depend des forces acceleratrices du fluide (art. i5), si on exprime par g la force acceleratrice de la gravite, et qu'on nomme ^7 », ^ les angles que les axes des coordonnees x, y^ z font avec la verticale menee du point d'intersection de ces axes, et dirigee de haut en bas, on aura X = ^ c o s ^ , Y=^cos»? Z^=z^cos^; je donnele signe aux valeurs des forces XyY)Z, parce que ces forces sont supposees tendre a diminuer les coordonnees x^yy z. Done puisque = Xdx -f- Ydy + Zdz, on aura en integrant, V = gx cos^ gy cosvi gz cos£. 24. Soit maintenant z = a, ou z a = o, Pequation d'une des parois du canal, ct etant une fonrtioo donnee de x, y sanszni t Pour que les memes parlicules du fluide soient toujours contigiies
SECONDE P ARTIE, SECTION XL §,g a cette paroi, il faudra remplir Pequation (I) de l'article 12, eny supposant A=zz^a. On aura done dtp
d(p
du
d(p
da
equation a laquelle devra satisfaire la valeur z = ct. Chaque paroi fournira aussi une equation semblabte. De meme puisque A = o est Fequation de la surface exterieure du fluide, pour que les memes particules soient constamment dans cette surface, on aura Fequation dx
d
dx
j ^ dep
dx
.^ d
dx
^_
laquelle devra avoir lieu et donner par consequent une meme valeur de z que Fequation A = o. Mais cette equation ne sera plus necessaire des que la condition dont il s'agit cessera d'avoir lieu. 26. Cela pose, il faut commencer par determiner la fonction
$20
MtiCANIQUE ANALYTlQtTE.
Be sorte qu'en egalant separement a zero les termes afFecte's des differentes puissances de z, on aura adx*
etc. Ainsi l'expression de cp deviendra
W\ -i_ etc dy^J ^ eiC> » dans laquelle les fonctions
d$_ dx
2.3.4 \dx* ^ dx*dy*
d£ , S T
Z
d^ S
z^/dY d3
a
*
_
dxdyO
d
d± ± WjL.j . rZ *£ £ £ ( V JL. *L*L LL\ dy ~~ ~~ dy dy "+" "+"Z dy dy \dx>dy "+* "+* dy dy V dy 22 \dx>dy
If) dz,V
Z
\dx~* + dy-)
+
etc#
>
"a" W
^ rf* /
ay) +
etc
* Et
SECONDE PARTIE, SECTION XI. Et substituant ces valeurs dans l'expression de A de l'article a3, elle deviendra de cette forme: A=
A' + z\" + z*\'" - j - Z3AIV +
etc.,
dans laquelle 7
r
A' = = g (x cos £ -f- y cos w) + ~
dp'
a a
\ dtdx* - 1 "*"
% /
V "*"
dy)
2 dy \dx*dy "*" dyV "*" 2
ct ainsi de suite. 26. Maintenant si z = et est l'equation des parois, a, etant une fonction fort petite de x et y sans z, l'equation de condition pour que les memes particules soienttoujours contigues a ces parois (art. 24) deviendra, par les substitutions precedentes,
»
? ""*" ^y5 "" W Mec. anal. Tom. II.
"^ dxdf)) ddx
\dx"dy ~*~ df J dy fa
522
MlfcANlQUE ANALYTIQUE.
laquelle devant avoir lieu, lorsqu'on fait z = «, se reduira a cette forme plus simple, d
.,
dtp'
a. a -= ax
a. u - 7 ay
dx
dy
y
&
a . erf ^ ax
2,dx
Jt*
a . u, 7 ay
sdy
- j - etc. = o y et ii fauclra que cette equation soit vraie dans toute Fetendue des parois donnees. 27. Enfin Tequation de la surface exterieure et libre du fluide etant A = o, sera de la~ forme A' + ZX" + Z*Xm + Z3A1T + etc. = O ; et Fequation de condition y pour que les memes particules demeurent a la surface (art a4) ? sera dx'
~dt j-
z
r ^
"+" Lit
. dtp' +
Ix
j . _^ + x
5x
dy ^
X
dx'
5^ J /
+
^ +
dep' w dx' X +
ly
^ '
5^ S^
57
f/
r/
^A
JA(/
x
dy " ^ dy ^
Jr
dy
2 \do: 3 "*"
dy
- etc. c= o.
Chassant z de ces deux equations, on en aura une qui devra subsister d'elle-meme, pour tous les points de la surface exterieure.
SECONDE PARTIE, SECTION XI. Application de ces formules au mouvement d'un fluide qui coule dans un vase etroit et presque vertical. 28. Imaginons maintenant que le fluide coule dans un vase etroit et a peu pres vertical, et supposons, pour plus de simplicite, que les abscisses x soient verticales et dirigees de haut en bas, on aura (art. 25) ? £ = 0, ^ = 90°, £ = 90°; done c o s £ = i , cos>i = o, cos£ = o. Supposons de plus, pour simplifier la question autant qu'il est possible, que le vase soit plan, ensorte que des deux ordonnees y et z, les premieresy soient nulles, et les secondes z soient fort petites. Enfin, soient z=zct et z = /3 les equations des deux paroisdu vase, ct et /3 etant des fonctions de x connues et fort petites. On aura, relativement a ces parois, les deux equations (art. 26), d. ot* -~z
i£T L + e t c - = ax
-^
,
o
»
.
{- etc. = o,
lesquelles serviront a determiner les fonctions
lesquelles, etant retranchees Tune de l'autre, donnent.
324
MtiCANIQUE ANALYTIQUE, -j =z o, equation dont Fintegrale est (a/3) j - = 0 , 9 etant
une fonction arbitraire cle t, laquelle doit etre tres-petite du premier ordre. Or il visible que a /3 est la Iargeur horizontale du vase, que nous representerons par y. Amsi on aura ^ = - ? et integrant de nouveau, par rapport a x, ^ 7 = 9 / une nouvelle fonction arbitraire de t
h<9", en designant par 3-
Si on ajoute ensemble les memes equations, et qu'on fasse^ d.p
f/
^ i ^ z = ^ 5 on en tirera ^p =
-7x
, ou en substituant la valeur
d Z
f/
de -p , cp = 9 ^ . D'ou Ton voit que puisque >, jtt, &sont des quantites tres-petites du premier ordre,
dx
y1 dx
d
Ensuite, a cause de cos £ = o la quantite Ktf sera aussi trespetite du premier ordre. Par consequent ? la valeur de * se reduira (art. 25) a
Cette valeur, egalee a zero, donnera la figure de la surface du fluide; et comme elle ne renferme point Fordonnee z > mais
SECONDE PARTIE, SECTION XL seulement Fabscisse x et le temps t, il s'ensuit que la surface du fluide devra etre a chaque instant plane et horizontale. Enfin Fequation de condition y pour que les memes particules soient toujours a la surface, se reduira, par la meme raison, a PD
ii.
d\f
celle-ci
Tt
dxr ,
dtp'
+ ^
x s
N
dx
, 0
(art. 27), savoir ^ + - x
dx Tx
*
17
= o, laquelle
ne contient pas non plus z, mais seulement # et ^. 129. Pour distinguer les quantites qui se rapportent a la surface superieure du fluide ? de celles qui se rapportent a la surface inferieure, nous marquerons les premieres par un trait et les secondes par deux traits. Ainsi xf, y\ etc. seront Fabscisse, la largeur du vase, etc. pour la surface superieure; x", y", etc. seront de meme Fabscisse, la largeur du vase, etc. a la surface interieure. Done aussi A', Ar/ denoteront dans la suite les valeurs de A pour les deux surfaces 5 de sorte que Fon aura, pour la surface superieure y Fequation
et pour la surface inferieure, l'equation semblable,
*''
& +
Enfin $- + 4 X -A? = o sera l'e'quation de condition pour que at
y
dx
les memes particules qui sont une fois a la surface superieure y restent toujours; et ^ - + 4; X ^
= o sera l'equation de con-
dition pour que la surface inferieure contienne toujours les memes particules du fluide. Cela pose, il faut distinguer quatre cas dans la maniere dont un fluide peut couler dans un vase; et chacun de ces cas demande une solution particuliere.
526 M^CANIQUE ANALYTIQUE. 5o. Le premier cas est celui oil une qnantite donnee de fluide coule dans un vase indefini. Dans ce cas, il est visible que l'une et l'autre surface doit toujours contenir les memes particules, et qu'ainsi on aura pour ces deux surfaces les equations A' = o, A " = o , et de plus, dxf
.
e dx'
ax
,
e
ax
IF "+" 7 ' dx7' ~~ ° '
quatre equations qui serviront a determiner les variables x', x", 6,3- en t. L'equation X'=zo etant differentiee, donne ~ dx' «+ -^jc/fc=o; done ~ = -A X -j-; substituant cette valeur dans l'equation djo
at
dx' , i
dx'
at '
. ,. .
*
dx'
dx'
t
rfF + 7 x dx' = ° ' e t d i v i s a n t P a r d7' o n a u r a IT = 7 ' On tronvera de meme, en combinant Fequation Ar' = o avec 1 equation _ = _ x - ^ , celle-ci: ^ = ? . Done on aura §dt=y'dx' y"dx!fy equations separeesj par consequent on aura en integrant
m etant une constante, laquelle exprime evidemment la quantite donnee du fluide qui coule dans le vase. Cette equation donnera ainsi la valeur de x" en x'. Maintenant si on substitue dans Fequation A' = o, pour dt sa
valeur ^ , elle devient -& + £/«+£+£
= o,
laquelle etant multipliee par y'dx', donne celle-ci gy'x'dx' Qdtif 0c/3- ^
= o, qu'onvoitetreiutegrable,
SECONDS PARTIE, SECTION XI. et dont l'integrale sera
3a 7
const On trouvera de la meme maniere, en substituant y~
a la
place de dt dans l'equation X" = o, et multipliant par y"dx", une nouyelle equation integrable, et dont l'integrale sera
gfy"dx" ^ . y 1 ^ /flrfS- = const. Retranchant ces deux equations Tune de l'autre, pour en eliminer le terme /0J3-, on aura celle-ci :
danslaquelle les quantites />V'
y
f^J
y
expriment les integrales de yxdx et de ? prises depuis xz=xf jusqu'a x x"> et ou L -est une constante. Cette equation donnera done G en x\ puisque x" est deja eonnue en xf, par Fequation trouvee plus haut. Ayant ainsi 0 en xr, on trouvera aussi t en x', par l'equation dt=
y
-~- , dont l'integrale
est t Cy-^- -f- H, j ^ e t a n t une constante arbitraire. A l'egard des deux constantes L et H, on les determinera par Petat initial du fluide. Car lorsque t = o, la valeur de x' sera donnee par la position initiale du fluide dans le vase; et si on suppose que les vitesses initiales du fluide soient nulles, il faudra que Ton ait 0 = o, lorsque t=o, pour que les expressionsp, q, r (art. 28) deviennent nulles. Mais si le fluide avait ete mis d'abord en mouvement par des impulsions quelconques, alors les valeurs de A' et A" seraiejit donne'es lorsque * = o , puisque la quantite A
323
MECANIQUE ANALYTIQUE.
rapportee a la surface du fluide exprime la pression que le fluide y exerce, et qui doit elre contre-balancee par la pression exterieure (art. 2). Or on a (art. 29)
A . A _ -°(x x)~rjt\J
l/"~
done en faisant t=oy on aura une equation qui servira a determiner la valeur initiale de 0. Ainsi le probleme est resolu > et le mouvement du fluide est entierement determine. 5i. Le second cas a lieu lorsque le vase est d'une longueur determinee, et que le fluide s'ecoule par le fond du vase. Dans ce cas on aura, comme dans le cas precedent, pour la surface superieure, les deux equations A ' = o et -^ + . - 7 X ^ 7 = 0 ;
mais
pour la surface inferieure, on aura simplement Tequation Af/ = o, puisqu'a cause de Fecoulement du fluide, il doit y avoir a chaque instant de nouvelles particules a cette surface. Mais d'un autre cote, Fabscisse x" pour cette meme surface, sera donnee et constante; de sorte qu'il n'y aura que trois inconnues a determiner, savoir, x\ 0 et 3-. Les deux premieres equations donnent d'abord, comme dans IQ cas precedent? celle-ci: dt 7-~-
?
et
gy'x'dx'ensuite Tequation Ar/ = o donnera
<
rdx"
ou Ton remarquera que *", y" et / , sont des constantes que nous denoterons, pour plus de simplicite, par / , h, n. Ainsi en substituant
SECONDE PARTIE, SECTION XI.
339
substituant a dt sa valeur ~ - , mullipliant ensuite par y'dx\ on aura l'equation gfy'dx'
nM§ 0cft- ^ = o.
Done retranchant de celle-ci l'equation precedente, pour en eliminer les termes 8d3r, on aura
g(f- *') y'dx' - (n -fd4)
id9 - ( £ - £ ) $'dx' = o,
equation qui ne contient que les deux variables xf et 0, et par laquelle on pourra done determiner une de ces variables en fonction de l'autre. Ensuite on aura t exprime par la meme variable ? en integrant Tequation ^ = ^ ^ -
?
et Ton determinera les constanles par Fetat
initial du fluide ? comme dans le probleme precedent. 52. Le troisieme cas a lieu lorsqu'un fluide coule dans un vase indefini ? mais qui est entretenu toujours plein a la meme hauteur, par de nouveau fluide qu'on y verse continuellement. Ce cas est l'inverse du precedent 3 car on aura ici pour la surface infefix1*
to
rl\'r
rieure les "deux equations A" = o et - ^ - ~ j - - ^ x ^ = o; et pour la surface superieure, on aura simplement l'equation A ' = o , a cause du changement continuel des particules de cette surface. Ainsi il n ' j aura qu'a changer dans les equations de l'article precedent les quantites x', y' en x", y", et prendre p o u r / , h, n les yaleurs
donnees de x', y'} j
A-.
Au reste, nous supposons que l'addition du nouveau fluide se fait de maniere que chaque couche prend d'abord la vitesse de celle qui la suit immediatement, et qu'ainsi l'augmentation ou la diminution de vitesse de cette couche, pendant le premier instant, est Mec. anal Tom. IL 42
MECANIQUE ANALYTIQUE, la meme qne si le vase n'etait pas entretenu plein a la meme hail* teur durant cet instant. 35. Enfin le dernier cas est celui ou le fluide sort d'urr vase de longueur determinee ? et qui est entretenu toujours plein a la meme hauteur. Ici les particules des surfaces superieure et inferieure se renouvellent entierement j par consequent on aura sim* plement*pour ces deux surfaces les equations A' = o, A r/ =oj mais en meme temps les deux abscisses xr et x" seront donnees et constantes, ensorte qu'il n'y aura que les deux inconnues Set A a determiner en t Soit done *'==/, y'=:h> CH-=n, x"z=:F7y"z= les deux equations A' = o, Ar' = o deyiendront da It
n
, da+ dt
S*-H-S- + ^ S = S 0 5 d'ou chassant ^ , on aura
d'ou Ton tire
equation separee, et qui est integrable par des arcs de cercle ou des logarithmes. 34. Les solutions precedentes sont conformes a celles que les premiers auteurs auxquels on doit des theories du mouvement des fluides ont trouvees, d'apres la supposition quelesdifFerentes tranches du fluide conservent exactement leur parallelisme, en descendant
SECONDE PARTIE, SECTION XL 25 5 1 dans le vase. (Voyez THydrodynamique de Daniel Bernoulli, l'Hydraulique de Jean Bernoulli, et le Traite desFluides de d'Alembert.) Notre analyse fait voir que cette supposition n'est exacte que lorsque la largeur du vase est infiniment petite, mais qu'elle peut, dans tous les cas, etre employee pour une premiere approximation, et que les solutions qui en resultent sont exactes, aux quantites du second ordre pres, en regardant les largeurs du vase comme des quantites du premier ordre. Mais le grand avantagfe de cette analyse, est qu'on peut par son moyen approcher de plus en plus du vrai mouvement des fluides, dans des vases de figure quelconque; car ayant trouve, ainsi que nous venons dele faire, les premieres valeurs des inconnues, en negligeant les secondes dimensions des largeurs du vase, il sera facile de pousser Tapproximation plus loin, en ayant egard successivement aux termes negliges. Ce detail n'a de difficulte que la longueur du calcul, et nous n'y entrerons point quant a present. Applications des memes formules au mouvement d'un fluide contenu dans un canal peu profond et presque horizontal j et en particulier au mouvement des ondes. 35. Puisqu'on suppose la hauteur du fluide fort petite, il faudra prendre les coordonnees z verticales et dirigees de haut en bas les abscisses x et les autres ordonneesjy deviendront horizontales, et Ton aura (art. 23) cos£ = o, cos y\ = 0 , cos £ = 1. En prenant les axes des x et y dans le plan horizontal forme par la surface superieure du fluide, dans Petal d'equilibre, soit z = <* l'equation du fond du canal, a etant une fonction de x et y. Nous regarderons les quantites z et ct comme tres-petites du premier ordre, et nous negligerons les quantites du second ordre
332
MtCANIQUE ANALYTIQUE.
et des suivans, c'est-a-dire celles qui contiendront les carre's e* les produits de z et et. L'equation de condition relative au fond du canal donnera (art. 26) *
dx
dy
d'oii Ton voit que
On aura done (art. 27), pour la surface superieure du 1'equation A'^2 = o5 et ensuite Tequation de condition
Liquation A ^ ^ = o ? donne sur-le-champ z^=~ pour la figure de la surface superieure du fluide a chaque instant, et comme Tequation de condition doit avoir lieu aussi relativement a la meme surface, il faudra qu'elle soit vraie, en y substituant a z cette meme valeur . Cette equation deviendra done par la de cette* forme : dx
+
dx
+
SEGONDE PARTIE, SECTION XI. 353 et substituant encore pour
^
ty
~~ °»
dans laquelle il n'y aura plus qu'a mettre a la place de X' sa va* e u r ' ~di ~^~ ^\£)"+" 5 Gr~) 5 e t ^'on a u r a u n e Equation aux differences partielles du second ordre, qui servira a determiner
2^ \dxj
"^ 2g \dy
et si on voulait connattre aussi les vitesses horizontales p, q de chaquc particule du fluide, on les aurait par les formules
56. Le calcul integral des equations aux differences est encore bien eloigne de la perfection necessaire pour Fintegra-^ tion d'equations aussi compliquees que celle dont il s'agit, et il ne reste d'autre ressource que de simplifies cette equation par quelque limitation Nous supposerons pour ceia? que le fluide dans son mou^ Vement, ne s'eleve ni ne s'abaisse au-dessus ou au-dessous du niveau ? qu'infiniment peu, ensorte que les ordonnees z de la surface superieure soient toujours tres-petites, et qu'outre cela les vitesses horizontales p et q soient aussi infiniment petites. II faudra done que les quantites ~-?' ~^-, soient infiniment petites^ et qu'ainsi la quantite
554
MfiCANIQUE ANALYTIQUE.
Ainsi negligeant dans l'equation proposee les quantites infini* nient petites du second ordre et des ordres ulterieurs, elje se reduira a cette forme lineaire
** dy dqf
dp'
Cette equation cpntient done la theorie generale des petite$ agitations d?un fluide peu profond, et par consequent la vraie tbeorie des ondes formees par les elevations et les abaissemens successifs et infiniment petits d'une eau stagnante et contenue dans un canal ou bassin peu profond. La theorie des ondes que Newton a donnee darjs la proposition quarante-sixieme du second Livre, etant fondee sur la supposition precaire et peu naturelle5 qoe Jes oscillations verticales des ondes soient analogues a celles de Feau dans un tuyau recourbe, doit etre regardee comme ab^ solument insuffisante pour expliquer ce probieme, 67. Si ou suppose que le canal ou bassin ait un fond horizontal ? alors la quantite ct sera constante et egale a la profondeur de Teau ? et Fequation pour le mouyement des ondes deviendm dt* ** \ dx* ^
dy*
Cette equation est entierement semblable a celle qui determine les petites agitations de Fair, dans la formation du son, enn'ayant egard qu'au mouvement des particules, parallelement a Fhorizon, comme on le verra dans Farticle 9 de la Section suivante. Les elevations z, au-dessus du nivcau de Feau, repondent aux condensations de Fair, et la profondeur a de Feau dans Je canal.
M R T I E , SECTION XI.
555
fepond a la hauteur de Fatmosphere supposee homogene , ce qui etablit une parfaite analogic entre les ondes formees a la surface d'une eau tranquille, par les elevations et les abaissemens success sifs de Feau, et les ondes formees dans Fair, par les condensations et rarefactions successives de Fair, analogie que plusieurs auteurs avaient deja supposee, mais que personne jusqu'ici n'avait encore rigoureusement demontree. Ainsi comme la vitesse de la propagation du son se trouve egale a celle qu'un corps grave acquerrait en tombant de la moitie de la hauteur de Fatmosphere supposee homogene, la vitesse de la propagation des ondes sera la meme que celle qu'un corps grave acquerrait en descendant d'une hauteur egale a Ja moitie de la profondeur de Feau dans le canal. Par consequent, si cette profondeur est d'un pied, la vitesse des ondes sera de 5,4g5 pieds par seconde; et si la profondeur de Feau est plus ou moins grande, la vitesse des ondes variera en raison soudoublee des profondeurs, pourvu qu'elles ne soient pas trop considerables. Au reste, quelle que puisse etre la profondeur de Feau i et la figure de son fond, on pourra toujours employer la theorie precedente, si on suppose que dans la formation des ondes Feau n'est ebranlee et remuee qu'a une profondeur tres-petite, supposition qui est tres-plausible en elle-meme, a cause de la tenacite et de Fadherence mutuelle des particules de Feau 3 et que je trouve d'ailleurs confirmee par Fexperience, meme a Fegard des grandes ondes de la mer. De cette maniere done, la vitesse des ondes determinera elle-meme la profondeur ct a iaquelle Feau est agitee dans leur formation j car si cette vitesse est de n pieds par seconde, on aura ^ = s
n
^
g
pieds,
On trouve 7 dans le tome X des anciens Memoires de l'Acade-
336 MlfcANIQUE ANALYTIQUE. rnie des Sciences de Paris, des experiences sur la Vitesse des ondes, faites par M. de la Hire, et qui ont donne un pied et demi par seconde pour cette vitesse, ou plus exaclement i,4ia pieds par seconde. Faisant done 7Z=i,4i2, on aura la profondeur a de - de pied, savoir de de pouce, ou 10 lignes a peu pr^s.
DOUZIEME
SECONDE P ARTIE, SECTION XII.
53/
DOUZIEME SECTION. Du mouvement
des Fluides compressihles et elastiques.
1. J T O U R appliquer a cette sorte de fluides Fequation generate de Particle 2 de la Section precedente, on obseryera que le terme SAcPL doit y etre efface, puisque la condition de Fincorapressibilite a laquelle ce terme est du n'existe plus dans Phypothese presente; mais d'un autre cote, il y faudra tenir compte de Pac~ tion de Felasticite, qui s'oppose a la compression et qui tend a dilater le fluideSoit done e Pelasticite d'une particule quelconque Dm du fluide; comme son effet consiste a augmenter le volume DxDyDz de cette particule, et par consequent a diminuer la quantite DxDjDz^ il en resultera pour cette particule le moment e
.(a).
Mec. anal. Tom. II.
43
358
M^GANIQUE ANALYTIQtJE,
Et il faudra de meme que la valear de e soit nulle a la surface du fluide, si le fluide y est libre; mais s^il est contenu par des parois, la valeur de e sera egale a la resistance que les parois exercent pour contenir le fluide, ce qui est evident, puisque e exprime la force d'elasticite de ses particules. 2. Dans les Guides compressibles, la densite A est toujours donnee par une fonction connue de , x, y, z, £, dependante de la loi de Felasticite du fluide, et de ceile de la chaleur, qui est supposee regner a chaque instant dans toas les points de l'espace. II y a done quatre inconnues, e, x> JK, 2 a determiner en t, et par consequent il faut encore une quatrieme equation pour la solution complete du probleme. Pour les fluides incompressibles? la condition de rinvariabilite du volume a donne Tequation (B) de Tarticle 5, et celle de Finvariabilite de la densite d'un instant a l'autre a donne Tequation (II) de Particle n . Dans les fluides compressibles, aucune de ces deux conditions n'a lieu en particulier, parce que le volume et la densite varient a-la-fois- mais la masse qui est le produit de ces deux elemens doit demeurer invariable. Ainsi on aura d.Dm = o, ou bien d.(ADxDfDz) = o. Done, en differentiant logarithmiquement -h DXD^D
= °? ct subs-
tituant la valeur de d,(DxDyDz), (cette valeur est la meme que celle de £.{DxDyDz) de Particle 2 dela Section precedente, en y changeant d en J"), on aura Fequation dA , Ddx
. Ddy , Ddz
T + UJ + 'J + ^ -
laquelle repond a l'equation (B) de l'article 5 de la Section citee, celle-la etant relative a rinvariabilite
SECONDE PARTIE, SECTION XII.
9
+y%
= o
ou de celle-ci, plus simple,
]+I
=°
ces transformees etant analogues aux transformees (C) et (D) de l'endroit cite. A Tegard de Pequati6n (b), en y appliquant les transformations de Tarticle 5 de la Section precedente, elle se reduira a cette forme
f- ^ = 0, les differentielles dA et JG etant relatives uni-
quement a la variable t De sorte qu'en integrant on aura A9 = fonct. (a, b> c). Lorsque £ = 0 , nous avons vu dans Fartide cite que Q devient = 1; done si on suppose que H soit alors la valeur de A, on aura H = fonct.(a? b, c), et l'equation deviendra A0=JHT? ou bien 6 = = ^ i c'est - a - dire, en substituant pour 6 sa valeur,
da*db
da^dc^db
A
^»
transformee analogue a la transformee (25) de Particle cite.
340
MECANIQUE ANALYTIQUE.
Enfin il faudra appliquer aussi a ces equations ce qu'on a dit dans Particle 8 de la meme Section, relativement a la surface du fluide. 4. Mais si Fon veut. ce qui est beaucoup plus simple, avoir des equations entre les vitesses p , q> r des particules, suivant les directions des coordonnees#,y, z, en regardant ces vitesses, ainsi que les quantites A et £, comme des fonctions de x,yy z, £, on emploiera les transformations de Far tide io de la Section precedente, et les equations (a) donneront sur-le-champ ces transfermees, analogues aux transformees (F) de ce dernier article,
h , __ dr , _dr
t
_dr
, . .
Dans Pequation (&), outre la substitution de pdt7 qdt, rdt, an lieu de dx> dyy dz, et le changement de D en df, il faudra encore mettre pour dA sa valeur complete,
et Ton aura, en divisant par dt, cette transformee, dA
,
dA_
dA_
Adt "T" AdxP~*~Ady ^
dA
^
x f y i d q .
^
S
+
dr
+
laquelle, etant multipliee par A, se reduit a cette forme plus simple,
A l'egard de la condition relative au mouvement des particules a la surface, elle sera reprtsentee egalement par l'equation (J)
SECONDE PARTIE, SECTION XIL
541
de Particle 12 de la Section precedente, savoir, dA
dA ,
dA .
dA
/ »\
en supposant que ^ = 0 soit Pequation de la surface. 5- II est aise de satisfaire a Pequation (g), en supposant dtt.
d&
A
.
dy
*> /3 ? > etant des fonctions de *, jy? z, ^. Par ces substitutions ? 1'equation dont ii s'agit deyiendra dA
d^
d>fi
d>y
Tt "+" rf^x + dtdy
laquelle est integrable relativemeijt a t, et dont Pintegrale donnera zp
A
IA,
^». X*
doc
d/2
d7
a J:
aj'
dz
"""" ~T~* °~~" "T~ """"* ~f ^ ?
F etant une fonction de x, y> z sans t, dependante de la loi de la densite initiale du fluide. On aura ainsi, du dt
P
dy>
F dx
dy 'dt dfi
dx
~Ty
dy9 dz
It da,
d/S
dy'
dx
dy
dz
Done substituant ces valeurs dans les equations ( / ) , et mettant de plus pour e sa yaleur en fonction de A, x9 y, zt t (art.2),
542
M^CANIQUE ANALYTIQUE,
on aura trois equations aux differences partielies entre les ificoft* nues a, /3, y et les.quatre variables #, y, z, t> et la solution du probleme ne dependra plus que de Integration de ces equations ; mais cette integration surpasse les forces de 1'analysQ connue. 6. En faisant abstraction de la chaleur et des autres circonstances qui peuvent faire varier Pelasticite independamment de la densite, la valeur de Pelasticite e sera donnee par une fonction de la densite A ? de sorte que -^ sera uqe differentielle a une seule variable, et par consequent integrable, dont nous supposerons l'in^ tegrale exprimee par E, Soit? de plus , la quantite Xdx-{-* Ydy-\~> Zdz une differentielle complete, dont Fin tegrale soit V, comme dans Particle i5 de la Section precedente. Les equations {/) de Farticle 4 etant multipliees respectivernent par dx, dy, dz y et ensuite ajoutees ensemble, donneront, apres la division par A, une equation de la forme
dont le premier membre etant integrable, ilfaudra que le second le soit aussi. Ainsi on aura de nouveau le cas de l'equation (L) de Particle 15 de la Section precedente, et on parviendra par consequent a des resultats semblables. 7. Done en general, si la quantite pdx -f- qdy + rdz se trouve dans un instant quelconque une differentielle complete, ce qui a
SECONDE PARTIE, SECTION XII. tonjonrs lieu au commencement du mouvement, lorsque le fluide part du repos, ou qu'il est mis en mouvement par une impulsion appliquee a la surface, alors la meme quantite devra etre toujours une differentielle complete (art. 17, 18, Sect. prec). Dans cette hypothese on fera, comme dans l'article 20 de la Section precedente, pdx -f- qdy + rdz = d
**
n
**
f
d
et l'equation (/) etant integree, apres ces substitutions, donnera dt
valeur qui satisfera en meme temps aux trois equations {/) de l'article 4Or E etant = / sera une fonction de A, puisque e est une fonction connue de A; done A sera une fonction de E. Substituant done la valeur de A tiree de l'equation precedente, ainsi que celles de p, qy r, dans l'equation (g) de l'article 4, on aura une equation en differences partielles de
544
MECANIQUE ANALYTIQUE.
que celai des gravites specifiques, et g la force acceleratrice dela gravite, on aura, lorsque A = i , e = gnH-, par consequent i gnH, ou Ton remarque que nH est la hauteur de Patmosphere supposee homogene. De sorte qu'en designant cette hauteur par A, on aura plus simplement i=gh, et de la ez=gh
Done puisque E=f~,
on aura E=zgh,lA.
Or Fequation (g)
de Particle 4 peut se mettre sous la forme
Done substituant - p £c, j - > -£ a la place de /A, p> qt r, et multipliant par gh, elle deviendra dy* ^ dE
d® , J.E
rfjc
dx
k
dy
dz>)^
dt
J
d
l
dz
dy
dz
II n'y aura done plus qu'a substituer pour S sa valeur trouvee ci-dessus- et cette substitution donnera Fequation finale en
dV dx
d
dV dy
d(p dy
fy dp dip d*
dV dz
X
d
dtp dz
da« dip dtp d*
laquelle contient seule la Iheorie du mouvement des fluides elastiques dans l'hypothese dont il s'agit.
SECONDE P ARTIE, SECTION XII. 345 9. Lorsque lc mouvement du fluide est tres-petit, et qu'on n'a egard qu'aux quantites tres-petites du premier ordre, nous avons vu dans Particle 21 de la Section precedente, que la quantite pdx -f- qdy + rdz est aussi necessairement une differentielle complete. Dans ce cas done, les formules precedentes auront toujours lieu , de quelque maniere que le mouvement du fluide ait ete engendre, pourvu qu'il soit toujours tres-petit, et que par consequent la fonction
dV dx
fxa ' dy* d
f
dy
dz
dz
Or en negligeant de meme les secondes dimensions de
_
pr _ ^ gh.lA (art. 8).
On peut supposer que la fonction
s=^Jt. 44
346
M^CANIQUE ANALYTIQUE.
A l'egard de la valeur de f qui depend des forces accelmtrices, en supposant le fluide pesant, et prenant, pour plus de simplicity les ordonnees z verticales et dirigees de haut en bas, on aura par la formule de Particle a5 ( Section precedente), j^gz, g etant la force acceleratrice de la gravite. Done 1'equation du son sera
Ayant determine
d
d(p
d
10. Si on ne vent ayoir egard qu'au mouvement horizontal de Fair, on supposera que la fonction
Mais avec cette simplification meme5 elle est encore trop compliquee pour pouyoir s'integrer rigoureusement. Au reste, cette equation est entierement semblable a celle du monvement des ondes dans un canal horizontal et peu profond. Voyez la Section precedente, article 37Jusqu'a present on n'a pu resoudre completement que le cas oil Ton ne considere dans la masse de Fair qu'une seule dimension, c?est-a-dire celui d'une ligne sonore, dont les particules ne font que des excursions longitudinales. Dans ce cas, en prenant cette meme ligne pour Faxe x, la fonction
gh tl fl
SECONDE PARTIE, SECTION XII.
34/
laquelle est semblable a celle des cordes vibrantes et a pour integrale complete
dFx
jrr
dfx
ensorte que F'x = -g, / * = -j^,
on aura
p = F!{x + ts/gh) + / ' ( * - ts/gh), s\/gh = Ff(x Faisant i = o et changeant p en P et s en $, on aura
P = Ffx +f'x,
S]/gh == F'x f'x.
543 MlfcANIQUE ANALYTXQUE. Ainsi comme P et S sont donnees pour toutes Ies abscisses X depuis x = o jusqu'a x=a, on aura aussi dans cette etendue Ies yaleurs de Frx et def'x; par consequent, on aura Ies valeurs de p et s pour une abscisse et un temps quelconques, tantque x dbt\/gh seront renfermees dans Ies limites o et a. Mais le temps t croissant toujours, Ies quantites x-\-t\/gh et X ts/gh sortiront bientot de ces limites, et la determination f'(xty/gh), dependra alors des des fonctions F!{x-\-t\/gh), conditions qui doivent avoir lieu aux extremites de la ligne sonore? selon que la flute sera ouverte ou fermee. 12. Supposons d^abord la flute ouyerte par ses deux bouts ? ensorte que la ligne sonore y communique immediatement avec Tair exterieur flest clair que son elasticite, dans ces deuxp oints, ne pouvant etre contrebalancee que par la pression constante de ratmosphere, la condensation $ y devra toujours etre nulle. II faudra done que Ton ait, dans ce cas, s = o ? lorsque A; = O et lorsque x a^ quelle que soit la valeur de t, ce qui donne Ies deux conditions a remplir ? f(a-ty/gh) = o, lesquelles devront subsister toujours, t ajant une valeur positive quelconque. Done en general, en prenant pour z une quantite quelconque positive, on aura
F'(a + z) =f'(az)
et/'( z) = F'z.
Done, i°. tant que z est
SECONDE P ARTIE, SECTION XII. Mettons dans ces formules a + z a u lieu de z , elles donneront
f\-a-~z)
= F(a+z) = /'(a-z).
Done, 20. tant que z sera < a , on connaitra aussi les valeurs de F'(*a + z) et de/'( a z), puisqu'elles se reduisent a celles de F!z et d e / ' ( a z ) , qui sont donnees. Mettons de nouveau dans les dernieres formules a + z pour z, et les combinant avec les premieres, puisque z peut etre quelconque5 on aura f'(aa - z) = / ' ( - 2 ) = 2?"z. Donc? 5°. tant que z sera < a ? on connaitra encore les valeurs de F!{ 3a + z) et de f!{ 2a z)y puisqu'elles se reduisent aux valeurs donnees de Frz et de f\a z). On trouvera de meme, en mettant derechef a-j^z pour z? /(_5« z) = ^ ( a 4 - « ) B'ou Ton connaitra les valeurs de F'( ka-\-z ) et de/;(5az), tant que z sera < a ? et ainsi de suite. On aura done de cette maniere les valeurs des fonctions j?'(Xj^.t\/gh), et de f\x*t\/gh), quel que soit le temps t ecoule* depuis le commencement du mouvement de la ligne sonore ; ainsi on connaitra pour chaque instant l'etat de cette ligne, e'est-a-dire les vitesses p et les condensations s de chacune de ses particules. II est visible, par les formules precedentes, que les valeurs de ees fonctions demeureront les memes, en augnnentant la quantite de 2d) ou de 4a, 6a> etc. De sorte que la ligne sonore
35o
MECANIQUE ANALYTIQUE.
reviendra exactement au meme etat, apres chaque intervalle de temps determine par l'equation t\/gh = 2a, ce qui donne ^ pour cet intervalle. Ainsi la duree des oscillations de la ligne sonore est independante des ebranlemens primitifs, et depend seulement de la longueur a de cette ligne et de la hauteur h de Fatmosphere. En supposant la force acceleratrice de la gravite g egale a Funite, il faut prendre pour 1'unite des espaces le double de celui qu'un corps pesant parcourt librement clans le temps qu'on prend pour Funite (Section I I , art. 2). Done si on prend, ce qui est permis, h pour Funite des espaces, Funite des temps sera celui qu'un corps pesant met a descendre de la hauteur - ; et le temps d'une oscillation de la ligne sonore sera exprime par 2a, ou, ce qui reyient au meme, le temps d'une oscillation sera a celui de la chute d'un corps par la hauteur - comme 2a a /?, i3o Si la flute etait fermee par ses deux bouts, alors les condensations s pourraient y etre quelconques, puisque Felasticite des particules y serait soutenue par la resistance des cloisons; mais par la meme raison, les vitesses p y devraient etre nulles, ce qui donnerait de nouveau les conditions
F' ( Wgh) +f{-Wgh) =0, F'{a + Wgh) + f\a - ty/gh) = o. Ces formules reviennent a celles que nous avons examinees cidessus, en y supposant seulement la fonction marquee p a r / ' negative. Ainsi, il en resultera des conclusions semblables, et on aura encore la meme expression pour la duree des oscillations de la fibre sonore.
SECONDS PARTIE, SECTION XII. S5i ll n'en serait pas de meme, si la flute etait ouverte par un bout et fermee par l'autre. II faudrait alors que s fut toujours nulle dans le bout ouvert, et que p le fut dans le bout ferine. Ainsi en supposant la flute ouverte, oil # o, et fermee, ou X = a, on aurait les conditions F' ( ty/gh ) - / ' ( - ty/gh ) = o, b f'(at)/gh) = o. D'ou, par une analyse semblable a celle de Particle 12, on tirera les formules suivantes :
F'(5a + z) = F'{^a + z) ==
'(-2) = F'z, '(- a~z) = -f'{a-z), f\a - z), /'{**- z) = F'z, F'z, / ' ( - 3 a - z) = / ' ( a - z),
et ainsi de suite. Or tant que z est <<2, les fonctions JP'Z vt fr(a z) sont donnees par Fetat primitif de la fibre sonore j done on connaitra aussi par leur moyen les yaleurs des autres fonctions F'(a+z)9 F'(2a + z), etc.;
/ ; ( z) ,f(a
z), eta,
et par consequent ? on aura Tetat de la fibre; apres un temps quelconque t Mais on voit par les formules precedentes 9 que cet etat ne reViendra le meme qu'apres un intervalle de temps determine par Tequation t^gh~ka\ d?ou il s'ensuit que la duree des vibrations sera une fois plus longue que dans les flutes ouvertes ou fermees par les deux bouts, et e'est ceque Texperience confirme a Tegard des jeux d'orgue qu'on nomme bourdons, et qui, etant bouclie's par leur extremite superieure opposee a la bouche, donnent un ton d'une octave plus bas que slls etaient ou verts.
35a
M£CANIQUE ANALYTIQUE.
Voyez au reste, sur la theorie des flutes, les deux premiers volumes de Turin, les Memoires de Paris pour 1762, et les. Nopi Commentarii de Petersbourg, tome XVL i4. Considerons maintenant une ligne sonore d'une longueur indefinie, qni ne soit ebranlee au commencement que dans une tres-petite etendue, on aura le cas des agitations de Fair produites par les corps sonores, Supposons done que les agitations initiales ne s'etendent que depuis xz=o jusqu'a x = a, aetant une quantite tres-petite, Les vitesses et les condensations initiales P , S seront done donnees pour toutes les abscisses x, tant positives que negatives j mais elles n'aurontde valeurs reelles que depuis x=o jusqu'a x=a; hors de ces limites, elles seront tout~a-fait nulles. II en sera done aussi.de meme des fonctions Ffx etjf'x, puisqu'en faisant f = o ,
on a P F'x-\-f'x,
S\/gh = F!xf'x
, et par consequent
D'ou il s'ensuit qu'en prenant pour z une quantite positive , moindre que
x = zzpt\/gh. On explique par la comment le son se propage et comment il se forme successivement de part et d'autre du corps sonore, et dans des temps egaux; des fibres sonores? egales en longueur a la fibre initiate a. La vitesse de la propagation de ces fibres sera exprimee par le coefficient \Zgh-P eHe sera par consequent constante et independante
SECONDE P ARTIE, SECTION XL 355 dante du mouvement primitif, ce que Fexperience confirme , puisque tous les sons forts ou faibles paraissent se propager avec une vitesse sensiblement egale. Quant a la valeur absolue de cette vitesse, en faisant, comme dans Particle 12, g=zi et A = i , elle deviendra aussi = 1 . Or Funite des vitesses est ici celle qu'un corps pesant doit acquerir en tombant de la moitie de Fespace h, qui est pris pour Funite (Section II, art. 2). Done la vitesse du son sera due a la hauteur -. 15. En supposant, avec la plupart des physiciens, Pair85o fois plus leger que Feau, et Feau i4 fois plus legere que le mercure, on a 1 a 11900 pour le rapport du poids specifique de Fair a celui du mercure. Or prenant la hauteur moyenne du barometre de 28 pouces de France, ii vient 5532oo pouces, ou 27766! pieds pour la hauteur h d'une colonne d'air uniformement dense et faisant equilibre a la colonne de mercure dans le barometre. Done la vitesse du son sera due a une hauteur de i5883 jpieds, et sera par consequent de gi5 parseconde. X/experience donne environ 1088, ce qui fait une difference de pres d'un sixieme ; mais cette difference ne peut etre attribuee qu'a Fincertitude des resultats fournis par Fexperience. Sur quoi voyez surtout un Memoire de feu M. Lambert, parmi ceux de FAcademiede Berlin, pour 1768. 16. Si la ligne sonore etait terminee d'un cote par un obstacle immobile, alors la particule d'air contigue a cet obstacle n'aurait aucun mouvement5 par consequent, si a est la valeur de Fabscisse x qui y repond, ii faudra que la vitesse p soit nulle 7 lorsque x = a , quel que soit t> ce qui donnera la condition
F\a + Wgh) +f(a ts/gh) = o. Or on a vu que la fonction f\a Wgh) a une valeur reelle Mdc. anal. Tom. II.
45
354
MlfcANIQUE ANALYTIQUE;
tant que a--t\/ghz
(art i 4 ) ; done puisque
F\a -f- ty/gh) = / ' ( a */*ft), la fonction F!{a + t\/gh)^ aura aussi des valeurs reelles, lorsque e'est-a-dire lorsque ty/gh=-a»z. Par consea t\/gh=zz, quent la fonction F\x -f- ts/gh) sera non-seulement Feelle lorsque 2 # z? dJou x j ^ t\/gh = 2 ? mais encore lorsque x + ^V^^ = il suit que dans ce cas les vitesses p et les condensations s seront aussi reelles pour les abscisses xza zWgh. Ainsi la fibre sonore, apres avoir parcouru Pespace a sera corame reflechie par Fobstacle qu^elle rencontre ? et rebroussera avec la Vitesse, ce qui donne Texplication bien naturelle des echos ordinaires. On expliquera de la merae maniere les echos composes, en supposant que la ligne sonore soit terminee des deux cotes par des obstacles immobiles qui reflechiront successivement les fibres sonores et leur feront faire des especes d'oscillations continuelles. Sur quoi on peut voir les ouvrages cites plus haut (art. i'3) ? ainsi que les Memoires de PAcademie de Berlin pour 1759 et 1766,
FIN.
NOTE SUR LA SECTION VII.
555
NOTE I. Sur la determination des orbites des Cometes. i? la distance de la comete a la terre, Rl,Rm,Rn les trois coordonnees de la comete rapportees a la terre, oil t -f- m% -f- n1 = 1; x,yj z les trois coordonnees de 1'orbite de la comete autour du soleil, et r son rayon vecteur; £, », t, les trois coordonnees de 1'orbite de la terre, et p son rayon vecteur; on aura Ensuite rf2o: ^ ^ a: dt2 r3
d2y ^^ y dt2r3
?
?
d2z di*
. z *~ r-3
7
done substituant, on aura d*.lR ^7*a
i
iP-.mR
-7T -3
. I
4 >
~"
v
savoir : -
d*R .
adldR
0
,
356 NOTE SUR LA DETERMINATION ,elc. Multipliant la premiere par mdn ndm> la seconde p a r . . . . {Idn ndl), la troisieme par 1dm mdl> et les ajoutant ensemble y on aura, a cause de I {mdn ndm) m {Idn ndl) + n {Idm mdl) = o r JJ
{mdn ndm) dH {Idn ndl) d2m -f- {Idm, mdl) d2n
4- Ck -3) [ % {mdnndm) »{Idnndl)-\-?, {Idmmdl)] = 0, Ainsi on aura mais done savoir: (r2pa) p6r6 + 2ft (/| + zw.n + wQ (r3 p3) p3r3 p* (r3 p3)a = o j equation du huitieme degre, mais qui est evidemm©nt divisible par r p, ce qui la rabaisse au
NOTE SCR LA SECTION IX.
357
NOTE II, Sur le mouvement de rotation ( Vojez page 23$ ). r AISONS, comme dans Particle 1, x = *' 4-. £,
y = / + »,
z = 2/ 4- £,
» = «))' 4- i>ir' 4- cV", £ = < 4-ftC"4- <"'. Ces formules representent naturellement les trois especes de mouvement dont un systeme est susceptible. Les variables x', y\ zf sont les coordonnees d'un point du systeme qu'on peut regarder comme son centre, et elles determinent le mouvement commun de tout le systeme. Les neuf variables ^', %", %"', n', etc., entre lesquelles il y a six equations de condition (art. 2), determinent le mouvement de rotation de tout le systeme autour de son centre. Enfin les quantites a, b, c ne dependent que des distances mutuelles des corps, et servent a determiner leurs mouvemens reciproques. En prenant le centre du systeme dans un point fixe, lorsqu'il y en a un dans le systeme, ou dans son centre de gravite , lorsque le systeme est libre, on a la formule generale (art. 6, Sect. H I ) ,
a laquelle il faudra ajouter les termes AcTL4-/*cTilf4->;JviV4-etc.
558 NOTE SUR LE MOUVEMENT dus aux equations de condition L = o, J f = o , i V = o , etc., pour avoir Pequation generale du mouvement du systeme (Sect. IV", art. 11).
II faut maintenant substituer a la place des variables £, YI , £, leurs valeurs en a, b, c, £', f", etc. de Particle precedent. Or si, dans les expressions de d%,
les valeurs de S~a',
= cfc + ^ P
Q
et si Ton fait ces substitutions conjointement a celles de d*%, d%n, d% de Particle cite, dans l'expression d*%
De meme la quantite XJ^-j- Y£*-\-ZS"C> se change en celle-ci: X'fa' 4- r'cT6' 4en faisant, pour abreger, X' = ?'X+ «T Y' = %'X+ iT En supposant le systeme libre de tourner en tout sens autour de son centre, il est facile de voir que les equations de condition L = o, M=o, JV=o, etc., donnees par la nature du systeme,
DE ROTATION. 35 9 ne pourront contenir que les coordonnees a , b, c, qui determinent la disposition des corps entr'eux. Ainsi les quantites L, My N, etc. ne pourront etre fonctions que des a, b> c, relatives aux differens corps. Ainsi en egalant separement a zero les termes de l'equation generate qui se trouveront multiplies par les variations cPP, £Q, cTi? y qui sont communes a tous les corps du systeme, et ceux qui seront multiplies par les variations &ay £b, £c relatives a chacun de ces corps, on aura d'abord, pour tout ie systeme en general, les trois equations ad*b" bfra"
h aY' bX') m = o,
/cd*a" ad*c" ,
v
,
^A
S(
j£T 4- cX' aZ'\ m = o, bd*c" cd*b bd" db" , !, v,\ j- bZ' cY') m = oj ensuite on aura pour cliacun des corps du sjsteme, les equations d2a
,
v
,\
, . dL .
dM
dN ,
.
Et si le systeme est un corps solide compose d'elemens Dm. pour lesquels les coordonnees a, b,c sont constantes relativement au temps ty on a
dc'=bdP a
et de la rf»a" = c ^ Q bd*R + WPc?Q + ctfPJi? a
adPdQ + WQrffl c
56o NOTE SUR LE MOUVEMENT Si on substitue ces valeurs dans les equations precedentes, qu'on prenne pour axes des coordormees a , b , c les trois axes prin« cipaux du corps , ce qui donnera SabDm = o , SacDm = o , SbcDmz=o (art. 28, Sect I I I ) , et qu'on fasse 6toaZ?m = / 7 $b*Dm = 772 ? «SfcaZJm = zz, on aura, en supposant nulles les forces acceleratrices ,
r-
= 0 ,
Ces equations s'accordent avec celles que nous avons trouvees d'une maniere differente dans la Section troisieme , puisque les quantites r , - p , - r sont les yitesses de rotation autour des trois axes principaux du corps ? qui etaient designees par 4 ? ^ 5
+ (cda'~ add) (*'%"'~%W".)+(adb'-~bda') (£V--«'§"), savoir,
BE ROTATION, savoir, par les formules de Particle 6,
56i
%dvi y\d% = (bdc'cdb') £' + (cda!add) £" + ( adV bda') £"', On trouvera de la meme maniere,
;=(bdc'cdb')»' + ( cddadc') »" + ( adb'bda' ) /", = (bdc'cdb') % + (cda'adc') %' -f- (adb'bda') %". Si on multiplie ces expressions par - 7 - , qu'on les affecte du signe «S, et qu'apres avoir substitue les valeurs de da', db', dc', on fasse da = o, db = o, dc = o , SabDm = o , ^czaDm = o , 6bcDm = o ? t?aaZ>m = / , 6teaZ?m = m , & a i?m = n, qu'ensuite on les egale aux constantes C> 25, A ^ on aura
d'ou Ton tire tout de suite, par les equatioDS de condition de Fart. 5 ,
Ces equations s'accordent avec celles de Fart. 3x de la troisieme Section, dans lesquelles 4'» ®'> ^ dP dQ_ dR i/f '
rif
at
o^ les
coefficiens
sont
Ia m
eme chose que
« jS , 3,, a;, /S', y , etc. re-
7
pondent a f, f, ?'", V, M", etc, Mec. anal. Tom. II.
46
56s NOTE SUR LE MOUVEMENT Si on ajoute ensemble les carres des trois equations prece* dentes , on a tout de suite une equation entre dP, dQ, dR et dt, en vertu des equations de condition de Particle 5; cetle equation est
par laquelle on peut determiner une des trois variables ^ , lit' ~di P a r ^ S ^ e u X a u t r e s On peut dans le meme cas d'un corps solide qui n'est anime par aucune force acceleratrice , avoir une seconde equation entre ces variables, par liquation des forces vives; car en ajoutant ensemble les carres des quantites J> ~ , -p, on a (art. i 5 ) , a ctt
dt
etc
cause des equations de condition, dt1
_ drf* + db* + dJ* m
done en afFectant tous les termes du signe 6*^ apres les avoir multiplies par Dm, on aura en general pour un systeme quelconque, lorsqu'il n'y a point de forces acceleratrices ( art. 55 , Sect. I l l ) ,
Dans le cas d'un corps solide , on a da = o , db = o , dc = o. done da" = c'dQ' zbcdQdR + b*dR% db'* = a*dR% zacdPdR -f- c*dP% dc'* = b*dP* 2abdPdQ + a*dQ\ Done snpposant coinme ci-dessus SabDxn = o , SacDm = o ,
SbcDm = o, et Sa'Dm = /, Sb'Z>m = in , S?Dm = n, on
DE ROTATION.
365
aura On a ainsi deux des trois variables ^ , -§~> -§ exprimees par la troisieme, mais on ne peut avoir la valeur de celle-ci que par 1'integration d'une des trois equations differentielles precedentes. Ensuite pour avoir la valeur finie des coordorinees ^ , y\, %
564
NOTE SUR LE MOUVEMENT
Fragmentsur
les equations gene'rales du mouvement de rotation d'un systeme quelconque.
Les expressions que nous avons trouvees, page 227, sont trespropres a representer les valeurs des sommes S ( d%a-f-
S (g
DE ROTATION. 365 qui entrent dans les equations generates pour le mouvement d'un systeme quelconque de corps, autour de son centre de gravite OLI d'un centre fixe, que nous avons donnees dans Particle 7 de la troisieme section. Ces equations deviendront ainsi, en substituant pour les differentielles de g', %", etc., les valeurs de Particle i 5 , + H+ + + +
K' (d.dTdAdR+dAdQ) C (d.dAdAdP+dTdR ) K'" (d.dAdrdQ+dAdP) + S (£7 »X) m = o, V (d.dYdAdR-i-dAdQ) n" (d.dAdAdP+drdR) r>'"(d.dAdVdQ+dAdP} + S gX%Z)m:=:o, I' (cLdYdAdR-t-dAdQ) %' {d.dAdAdP+dTdR) %"' (d.dAdYdQ+dAdP) -f- S (i\Z~-£Y) m = o.
Si on ajoute celles-ci ensemble , apres les avoir multiplies respectivement par £', YI', %; par C, n", f et par C'", »"', fw, et qu'on fasse pour abreger,
Y' = 0"X +
+ % ,
Z' = g'".X + n " 7 + r'^ ? on aura, en vertu des formules des articles 2 et 5 , les trois equations suivantes, d.dV dAdR + dAdQ = S ( o f ^ ' ) m , d.dA J A J P + Jrc?i{ = S (aZr cX') m , d.dA dTdQ «+ ^ ^ = S (^X' aY') m , qui ont toute la generality et la simplicite dont la question est susceptible.
566
NOTE SUR LE MOUVEMENT
Autre fragment sur la rotation d'un systeme quelconque. Ainsi on a en general,
+ (adRc (pag. 227). Si les forces acceleratrices ne dependent que de la situation respective des corps, elles ne seront fonctions que de a, b, c. Faisont
dR c
S
a , Xabcm
/bdccdb\
C5T-)
dP dR
m
c
dP ><Sacm
, r/O c /cdaadc\ S
ra
, J7J O /adbbda\
+ "5> (JF) + 5TS (^) m
On ai^ra, relatiyement aux variables c/P, dQ,
73? MP+
W
o
savoir (art. i 5 ? p.
o5 d'ou Ton tire les equations
~~ JdP
dP
+
JdR
+
MR
dR
DE ROTATION. 367 sayoir, en changeant dP,dQ, dR en pdt, qdt, rdt, on aura * dT
. /
dT
dT
. /
dT
dT ,
comme dans les equations {A) dans la page 243 j mais ces forraules - ci sont generales 7 quelle que soit la variabilite de a ? b, c. Ainsi on aura tout de suite Fintegrale
Ensuite on aura aussi dT
,
+
i dT
.
j
dT
q d + r d
mais qui ne sera pas une differentielle complete a cause de la variabilite de a, &? c ; mais on aura toujours, par Ie principe des forces yives, Pintegrale T + / ^ = const., V etant = SUm , n denotant la fonction proyenant des forces attractives (art. 54, Sect. III). Enfin? en multipliant ces equations respectivement par d%, d?1, d%m, on aura en les ajoutant?
+ ^ (Pr - r?') * + ^ (??' - ^ " ) A sayoir, a cause de <%' = (r'£' ^ w ) dt, etc. (pag. 226),
568
NOTE SUR LE MOUVEMENT = const. =
etde meme, » ' ^
On peut remarquer que ces equations sont celles de la conservation des aires ; car on a (pag. 227) d% = %'da1 4 - %'db' + %mdcr,
dn = »'f/a' + V'^' 4- »''Wc',. JC = K'da' 4- r ' ^ ' 4- r'^c'j tie la
= {adb'bda') C (adc'cda!) £"4. (bddcdb') &
__ (adbrbda') n
= (adb' bda') %'" {addcda') £"4* (bddcdb') %fr
Or en prenant les sommes on trouve que dt = S (bdd cdb') m, ^dtz=
S (cda! add)
m,
de
DE ROTATION. Ainsi la vitesse de rotation autour d'un axe fixe sera KfdT V
elle sera done constante lorsque d r = o et que V sera constant. Si les forces acceleratrices dependent de l'attraction d'un corps dont les coordonnees relativement au centre des Goordonnees a, b, c , et parallelement aux axes des £, », £ > soient x ? y , z, on aura et
^ =
Or,
done ^
n = =
=
i
,
I
3
Or | = af 4- * r + cf", etc.; done (
Soit
y^ -f- TX,' = A,
on aura i OA + V + « n=pH ^
a*+b* + c2 t2r3
5 (CA + V + )* 2rs
et (en ne retenant que le dernier terme),
sr 5 \
2
2
57o NOTE SUR LE MOUVEMFNT En n'ayant toujours egard qu'au dernier terme,. on aura
d
JL - a f = l^+j£±£d
c
da dn
v r° 3 (aA -f- 6p + cv )
etc t dn
(CA - a,), J
'
Done multipliant par Dm et integrant, on aura ST
II faudra done ajouter ces termes aux trois equations ( ^ ) , qui deviendront par consequent, dp
dT
- dq
dT
a
^dT
5 [_{A C) x, + G ( Aa >')
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~dT"^r'dp ~ P dr ">
^
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jdT dr
-l-r>dT
ndT _U 5 [ ( ^ - ^ ) ^ + g {^- n + G/« - FA,"]
~^^P^^-dJ^ ? De la nous tirerons Ies equations suivantes,
' + (Q) g« + (R) ?'»= o 3T dt
a*±
+{P) r + (Q)c+{n) r
o;
DE ROTATION. 57i Oil (P), (Q), (R) designent les parties des precedentes qui ne dependent pas de p, q , r. Faisons pour abreger 1 F== o, G == o , H= o; negligeons de plus, dans les premiers membres, les differences de ^,B, C, dT
!
.
dT
.
dT
.
,
on aura alors -j- = Ap i -j- = Jq, -j- = Ar, et nos equations deviendront 1
Jf
3[(C 5 ) ^ 1 ' + ( ^ _ C) AI/|" JriB
____-I dt
, 5[(C Z?)ffV + ( ^ C) AV,W 4 . ( 5
-dt
Faisant encore A=B,
on aura
dL .-j-
d M
0.
FIN DU DEUXIEME ET DEP^NIER TOME.
LISTE DES OUTRAGES DE M. LAGRANGE(*). OUVRAGES SEPARES.
Lsttre du 23 juin 1764 > adressee a Jules-Charles Fagnano , contenant une serie pour les differentielles et les integrales d'un ordre quelconque, correspondante a celle de Newton, pour les puissances (imprimee a Turin). Additions a FAlgebre d'Euler. Mecanique analytique ; i r e edit, en 1788 ; 2 e edit., i e r vol., en 1811 ; 2 e yoL en i8r5. Theorie des Fonetions analytiques; i r e edit en Tan V (1797) ; 2 e edit, en i 8 i 3 . Resolution des Equations numeriques; i r e edit, en Tan VI (1798); 2 e edit, en 1808. Lemons sur le Calcul des Fonetions. La premiere edition fait partie de la deuxieme edition des Seances de l'Ecole Normale, en 1801; cet Outrage a ete imprime dans /eXIP Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, en Tan XII (1804). En 1806, XAuteur en a donne a part une edition m-8°, contenant deux Legons nouvelles} qui ont ete inserees dans le XIV e Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, en 1808.
RECUEILS DE L'ACADEMIE DE TURIN. MISCELLANEA TAURINENSIA.
Tome I. Recherches sur la methode de maximis et minimis, Sur l'integration d'une Equation differentielle a differences finies, qui contient la Theorie des Suites recurrentes. Recherches sur la propagation du Son. Tome II. Nouvelles Recherches, sur la propagation du Son. Essai sur une nouvelle Methode pour determiner les maxima et minima des formules integrales indefinies. Application de cette Methode a la solution de differens Problemes de Dynamique. Tome III. Sur differens Problemes de Calcul integral, (avec des Applications a VHydrodynamique, a la Dynamique > a VAstronomie physique ). (*) Communiqnee j^ur M. Lacroix.
LISTE TfES OUTRAGES DE M. LAGRANGE,
S7Z
Tome IV. Solution d'un Probleme d'Arithmetique. Sur l'integration de quelques Equations difFerentielles ou les indeterminees sont separees , mais dont chaque membre en particulier n'est point integrable. Sur la Metliode des Variations. Sur le Mouvement d'un corps attire vers deux centres Exes, premier et deuxieme Memoires. Tome V. Sur la figure des Colonnes. Sur l'utilite de la methode de prendre tin milieu entf e les observations, MEMOIRES DE L'ACADEMIE DE TURIN.
Annee 1784. < 85, xre partie. Sur la percussion des Fluides. 2e partie, Nouvelle Methode de Calcul Integral, pour les differentielles affectees d'un radical quarre sous lequel la variable ne passe pas le 4e degre.
MEMOIRES DE L'ACADEMIE DE BERLIN. Tome X X I , annee 1765. Sur les Courbes tautochrones. Tome XXII, annee 17G6. Sur le passage de Venus , du 3 juin 1769 (ou sur les Parallaxes}, Tome XXIII> annee 1767. Sur la solution des Problemes indetermines du second degre. Sur la resolution des Equations numeriques. Tome XXIY, annee 1768. Additions au Memoire sur la resolution des Equations numeriques. Nouvelle Methode pour resoudre les Problemes indetermines , en nombres entier&. Nouvelle Methode pour resoudre les Equations litterales, par le moyen des series. Tome X X V , annee 1769. Sur la force des Ressorts plies. Sur le Probleme de Kepler. Sur rElimination. NOUVEAUX MEMOIRES E>E L'ACADEMIE DE BERLIN,Annee
1770.
Nouvelles reflexions sur les Tautochrones,
5j4
LISTE DES OUTRAGES
Demonstration d'un Theoreme d'Arithmetique. Reflexions sur la resolution algebrique des Equations. Annee 1771. Demonstration d'un Theoreme nouyeau concernant les Nombres premiers, Suite des reflexions sur la resolution algebrique des Equations. Annee 1772. Sur Sur Sur Sur
une nouvelle espece de Calcul relatif a la Differentiation et a lTntegration, la forme des Racines imaginaires des Equations. les Refractions astronomiques. Integration des Equations aux differences partielles du premier ordre. Annee 1773.
Nouvelle solution du Probleme du Mouvement de rotation d'un Corps. Sur l'attraction des Spheroi'des elliptiques. Solutions analytiques de quelques Problemes sur les Pyramides triangulaires. Recherches d'Arithmetique. Annee 1774* Sur les Integrales particulieres des equations differentielles. Sur le mouvement des Noeuds des orbites des Planetes. Annee 1775. Recherches sur les Suites recurrentes dont les termes varient de plusieurs manieres differentes , ou sur les Equations lineaires aux differences fmies partielles, et sur Tusage de ces Equations dans la theorie des hasards. Addition au Memoire sur rattraction des Spheroi'des elliptiques. Suite des Recherches d'Arithmetique imprimees dans le volume de 1773. Annee 1776* Sur I1 alteration des nioyens mouvemens des Planetes. Solution de quelques Problemes d'Astronomie spherique, par le moyen des series. Sur l'usage des Fractions continues dans le Calcul integral. Annee 1777. Recherches sur la determination du nombre des Racines imaginaires dans les equations litterales. Sur quelques Problemes de 1'Analyse de Diophante. Remarques general es sur le Mouvement de plusieurs Corps qui s'attirent. Reflexions sur TEchappement. Annee 1778. Sur le probleme de la determination des orbites des Cometes, premier Memoire, Second Memoire.
DE M. LAGRATNGE. 375 Sur la theorie des Lunettes. Sur une maniere particuliere d'exprimer le temps dans les Sections coniquea. Annee 1779. Sur differentes questions d'Anatyse relatives a la theorie des Integrales particulieres. Sur la construction des Cartes geographiques, premier Memoire, Second Memoire. Annee 1780. Theorie de la libration de la Lune. Annee 1781. (1) Sur la theorie des Mouyemens des Fluides. Theorie des variations seculaires des elemens des orbites des Planetes, i r c partie. Annee 1783. (2) Theorie des variations seculaires , etc., 2e partie, Annee 1783, Theorie des variations periodiques des Mouyemens des Planetes, i r e partie. Sur les variations seculaires des Mouvemens moyens des Planetes. Sur la maniere de rectiGer les niethodes ordinaires d'approximation pour l'integration des equations du Mouvement des Planetes. Sur une Methode particuliere d'approximation et d'interpolation. Sur une nouvelle propriete du Centre de Gravite. Sur le Probleme de la determination des Orbites des Cometes, troisieme Memoire, Annee 1784. Theorie des variations periodiques du Mouvement des Planetes , 2e partie. Annee 1785. Methode generale pour integrer les equations aux differences partielles du premier ordre , lorsque ces differences ne sont que lineaires. Annee 1786. Theorie geometrique du Mouvement des Aphelies., pour servir
(1) On trouve dans YHistoire Quadrature du Cercle.
de cette annee, page 17, un Rapport de Lagrangc sur une
(2) Rapport sur un moyen propose pour connallre la figure dc la Terre {Histoire, page 35).
Mec. anal, Tom, II.
4$
37G
LISTE DES OUTRAGES Annee 1787.
( M. Lagrangepresente a VAcademie de Berlin, la Determination des Variations seculaireb et periodiques des elemens d'Herschel, par M. DuyaHe-Roi.) Annee 1792 93* Sur une question concernant les Annuites. Recherches sur plusieurs points d'Analyse , relatifs a differens endroits des Memoires precedens : i° Sur Texpression du terme general des series recurrentes -y 2.0 Sur l'attraction des Spheroi'des elliptiques ; 3° Sur la Methode ^interpolation ; 4° Sur TEquation seculaire de la Lune. (M. Lagrange presente une Addition de M. DuyaHe-Roi a son Memoire sur les Variations des elemens d'Herschel). Annee Sur une loi generale de 1'Optique.
RECUEILS DE L'ACADEMIE DES SCIENCES DE PARIS. MEMOIP.ES. Annee 1772 , i e r e Partie. Pvecherches sur la maniere de former des Tables des Planetes d'apres les observations. ( Ce Memoire roule principalement sur les Suites recurrentes. ) Annee
ijj4°
E.echerches sur les Equations seculaires du Mouyement des Noeuds et des inclinaisons des Orbites des Planetes, PRIX.
Tome IX. Recherches sur la libration de la Lune , annee 1764. (C'est Id ou M. Lagrange a employe pour la premiere fois le principe des Vitesses virtuelles.) Pvecherches sur les inegalites des Satellites de Jupiter y annee 1766. Essai d'une nouyelle methodepour resoudre le Probleme des trois corps ; annee 1772.
t)t M. LAGRANGE.
377
SAVANS ETRANGERS.
Tome VIL Sur TEquation seculaire de la Lune. Tome X. Recherches stir le derangement d'une Comete qui passe pres d'une Planete,-
INST1TUT DE FRANCE. MEMOIRES DE LA PREMIERE CLASSE, Annee 1808. Stir la Theorie des variations des elemens des Planetes , et en particulier des variations du grand axe de leurs Orbites. Sur la Theorie generale des variations des Constantes arbitrages dans tous le* Problemes de la Mecanique. Supplement an Memoire precedents Annee i8ogo Second Memoire sur la Theorie de la variation des Constantes arbitraires dans les Problemes de Mecanique,
MEMOIRES INSERES DANS DES RECUEILS PARTICULIERS, JOURNAL DE L ' E C O L E POLYTECHNIQUE,
Cinquieme Cahier 3 Tome II. Essai d'Analyse numeriqne^ sur la transformation des fractions, Sur le principe des vitesses virtuelles. Sixieme Cahier , Tome II. Discours surl'objet de la Theorie des Fonctions analytiques. Solutions de quelques Problemes relatifs aux Triangles spheriques, avec une Analyse complete de ces Triangles. Douzieme Cahier; voyez Ouvrages separeV.
578
LISTE DES OUVRAGES DE M. LAGRANGE, Quinzieme Cahier, Tome VIIL
Eclaircissement d'une difficulte singuliere qui se rencontre dans le Calcul de 1'attraction des Spheroides, peu differens d'une Sphere. SEANCES DES ECOLES NORMALES.
JLegons d'Arithmetique et d'Algebre donnees a cette Ecole en Tan III (1794-95). (Reimprimees dans la seconde edition du meme Recueil en 1801 , et dans les septieme et huitieme Cahiers du Journal de TEcole Polytechnique, publies en 1812^ pour remplir une lacune dans les Nos de ce Journal. ) CONNAISSANCES DES TEMS0
Annee Sur Torigine des Cometes, Annee 1817. Sur le calcul des Eclipses sujettes aux Parallaxes {Memoire qui avait deja paru enallemand} dans les Elphemerides de Berlin , pour Vannee 1782.)
Essai d'Arithmelique politique , imprime dans une Collection de divers Ouvrages d'Arithmetique politique, par Lavoisier > Lagrange et autres^ publiee en Van IV (179596) par M. Roederer. N. B. M. Carnot, etant Ministre de l'lnterieur , a fait acquerir au Gouvefnement lesManuscrits qu'a laisses Lagrange ; et^ sur son invitation, la Clas^e des Sciences Mathematiques et Physiques de l'lnstitut a nomme une Commission pour faire le choix de ceux qui se trouvent en etat d'etre imprimes : les autres seront classes et deposes a la Bibliotheque de l'lnstitut.
FIN.
