Mathematische Werke Mathematical Works: Mathematical Works

91

t

(mi, » 0 = 1 ,

Verzweigung einer algebraischen Funktion zweier Veränderlichen.

193

so erhält man eine Linie L 3 von folgender Art. Mit L x als Achsenlinie konstruiere man die Schlauchfläche o t : ξ -f- iη = (r + rx cos (— φ -f- ccA -f- r 3 cos ψΛ V ^/ tYb '\ /

(7)

ζ=

rx sin

,

ψ + ccx) + r2 sin ψχ.

Auf dieser windet sich dann Ln nach m Angabe der Gleichung i I Ψι = ·^<Ρ + *· herum. Die Linie L2 schließt sich nach v3 = [nx n., ] Umläufen um die ζ-Achse, wo das kl. gem. Vielf. von nx, n2 bedeutet, und umkreist dabei μ<ι =

-mal den Meridian von οχ. Die Zahl der Umläufe längs o t be-

trägt ^ = ^

{n1 = v1 gesetzt).

Allgemein entspricht dem A-ten Abschnitt h

f»h

). 1

1=1 eine auf der Schlauchfläche o h _ l ( ξ + %η = ψ

A_1

( 8 )

ζ

=

\

r, cos (^j- φ + «,) + rh cos Vh_1J e*>, Σ

r

i

sin

(^7 ψ + αι) + rh

mit der Achsenlinie Lh_1 gelegene Linie Lh, Flächenkoordinaten φ, ψ λ _ 1 lautet:

sin

VÄ_1

deren Gleichung in den

Ψπ-i = ~^

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194

Ε. Kahler.

[w1} w3, . . n ] — η ist. Unter den Linien L L a , L , . . . , L , L k + 1 , . . . ist dann Lk die erste, welche sich erst nach η Umläufen schließt. Daß Lk und λ = Lw topologisch äquivalent sind, beweist man folgendermaßen. Für den Abstand zweier in derselben Ebene φ = konst. gelegenen Punkte y = ( { φ + 2 k n ) y * = f ( < p + 2 k n ) (fc = M a ) von gilt k

1 }

1

t

t

t

s

k

9

2 Jti 1 —

e

2π i

n

r

2

h

+

1

~ 2 r

h

+

2

~ . . . > r

2

η

h

1

q - q

wenn h (<1 k) der erste der Indizes 1 , 2 , 3 , . . . ist, bei welchem die Differenz i

r e

1

'

nicht verschwindet. Andererseits ist der Abstand zweier zu demselben Parameterwert φ gehörigen Punkte von Lk und kleiner als 2 r f c + 1 + 2 r f c + 9 + 2r fc + 3 +

...<2r

f c T

^<2r

Ä

4^

A

·

Durch Wahl eines hinreichend kleinen q kann stets erreicht werden, daß der letztere Abstand kleiner ist als die rechte Seite von (9) und somit die Linie Lw stetig in Lk übergeführt werden kann. Liegt also nur eine singuläre Kurve vor, so genügt zur Charakterisierung der topologischen Verhältnisse die Angabe der Linie Lk> und dazu wiederum braucht man nur die Zahlen m[ η!

'

m[

m.J

n2 '

»3

m'k '

'

nk

zu kennen. Sind mehrere singuläre Kurven vorhanden und haben diese alle voneinander verschiedene charakterische Abschnitte, so reicht deren Angabe auch im vorliegenden Falle zur Beschreibung der topologischen Verhältnisse aus. Seien fflj Wti ttlji y =

a

1

x

+

n i

a

i

x

t y =

αϊ

χ

n

* + . . . + a

k

x '

t 1Τ%2

'ι +

α3' χ

η

*

η

+

* ,

1

t Uli ... +


ί

η

die charakteristischen Anfangsglieder zweier solcher Kurven Ρ, Ρ . Ist hierbei =

, a-i, f

η —η' «r-l —

nu

m!

wij

ml

— = —7,

τ-\>

α

«Γ-ι _»»»/_! «/-χ*

93

Verzweigung einer algebraischen Funktion zweier Veränderlichen.

195

dagegen nicht gleichzeitig ,

mr mi TT = ÜJ

=

. .

.

so sind Lh und L'h für h = 1, 2, . . r — 1 identisch, hingegen LT und L'x verschieden. Nehmen wir zuerst an, daß — < ^ ist, dann liegt (immer τΐχ ητ unter der Voraussetzung, daß q hinreichend klein gewählt ist) ganz innerhalb der Schlauchfläche σΓ_χ, und daher wird L'T und somit auch L[ ganz von Lx und also auch von Lk umschlungen. Ist — = so sind L τ und nt ητ L[ topologisch äquivalent, und es ist gleichgültig, ob man sich o'T_x als innerhalb oder außerhalb σ τ _ 1 liegend denkt. Im Falle zweier singulären Kurven genügt also die Angabe der Zahlen v 1 (P)

(P')

ml m2 m3 riy ' n2 ' ~Z. n3 '

m[

'

»

·

·

·

to./

m^ 1n k

to/ ni tfb Wirr Tli ΊΙχ

und des ersten Index r, für den nicht gleichzeitig aT = α'τ, — = —j ist. Sollten die charakteristischen Abschnitte vollständig übereinstimmen, so sind von den Entwicklungen von Ρ, P ' noch so viele Glieder hinzuzunehmen, bis sich der Unterschied bemerkbar macht, und auch dann braucht man nur die zugehörigen Zahlenreihen (Ρ), ( P ' ) und den Index τ zu kennen. Entsprechendes gilt für den Fall, wo mehr als zwei singuläre Kurven auftreten. Nachdem wir uns über Gestalt und Lage der Linien \ orientiert haben, ist es unsere Aufgabe, die Struktur von Γ zu untersuchen. Zufolge einer früheren Bemerkung ist Γ holoedrisch isomorph zu der Gruppe G der geschlossenen, im (ξ, η, £)-Raum verlaufenden Wege, welche von einem Punkte Π ausgehend zu Π zurückkehren ohne die Linien 1 zu treffen. §3. Untersuchen wir zunächst den einfachsten Fall, wo nur eine singuläre Kurve auftritt und überdies der charakteristische Abschnitt nur aus einem Term besteht, und zwar sei t» y = ax

n J

r...

(m,n)=

1

die Gleichung dieser Kurve. Dieser entspricht im (ξ, η, C)-Raum eine auf dem Torus τ (siehe Gleichung (6)) gelegene Knotenlinie Lx, die in Parameterdarstellung die Gleichung ψ = — φ -f- α besitzt.

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Ε. Kahler.

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Es sei L ein beliebiger durch Π gehender Weg. Dieser wird aus mehreren Stücken von folgender Art bestehen. Von Π führt ein außerhalb r verlaufendes Stück V zu einem Punkt Ä auf τ, von dem ein im Innern von % liegendes Stück a' zu einem Punkte B' auf r, dann folgt ein Stück b', das B', ganz außerhalb τ verlaufend, mit einem Punkte A" auf τ verbindet, dann ein inneres Stück a" mit den Endpunkten Α", Β" usw. Schließlich gelangt man zu einem Punkte Β { μ ) , von dem aus eine Linie l" direkt wieder zu Π führt. Nun kann man durch eine geringfügige Deformation von L stets erreichen, daß die Punkte Α', Β', Α", ..., Β(μ) alle auf demselben Breitenkreis c und derselben Linie (10)

ψ — ~ φ = konst. = k

liegen, und zwar auf derjenigen, welche durch einen beliebigen Punkt A auf r geht (Α möge auch auf c liegen). Ferner kann man durch folgende Konstruktion L stetig so verschieben, daß jene Punkte alle in Α zu liegen kommen. Zunächst setzt man an V kurz vor A' ein dicht neben (10) verlaufendes Stück Α', das zu Α führt, dort in das Innere von r eindringt und hier in einem parallel zu λ' aber umgekehrt laufenden inneren Stück a' seine Fortsetzung findet. Das letztere wird dann kurz hinter Ä mit a' vereinigt. Indem man den Teil V + α durch V -f- λ' + α + α ersetzt, erreicht man, daß A' mit Α zusammenfällt. Auf ähnliche Weise können auch Β', A", B",..., Β{μ) mit Α zur Deckung gebracht werden. Außerdem kann noch l' - λ ' durch eine Π mit Α verbindende Gerade l und evtl. ein sich um r schlingendes Stück b0 und ebenso das letzte von Α zurück nach Π führende Stück durch einige Umkreisungen von τ und die Gerade l ersetzt werden. Hierdurch ist L zerlegt worden in einzelne Stücke l, b0, a1} b1} aa, . . α

,b ,l

,

wobei die a{} b{ geschlossene in Α anfangende und dort endende Stücke bezeichnen, die ganz im Innern bzw. im Außenraum von τ verlaufen und Z - 1 den rückwärts durchlaufenen Weg l darstellt. Bedeutet nun ρ ein von Α bis zurück nach Α gehendes Wegstück, das τ außen im Sinne wachsender ψ einfach umkreist, und q ein entsprechendes Stück, das τ im Innern in der Richtung άφ > 0 einfach umläuft, so läßt sich jedes ai durch einige Wiederholungen von ρ oder des umgekehrt durchlaufenen p_1 bilden und analog jedes b{ aus q oder zusammensetzen. Hieraus ergibt sich, daß jeder Weg L sich aus lpl~\

lp~xl~x,

Iql'1

Iq-U'1

zusammensetzen läßt. Wenn also zu I p l I q l d i e Substitutionen P, Q gehören, so sind P, Q die Erzeugenden von Γ.

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Verzweigung einer algebraischen Funktion zweier Veränderlichen.

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Bestimmen wir ζ. B. die Darstellung P ' von folgender einfachen Umkreisung der Toruslinie. Von Α führt im Innern von r in der Richtung άφ > 0 ein Stück a' zum Punkte B' auf r und von dort ein parallel laufendes äußeres Stück b' zurück zu A. Hierbei soll L1 von a' nur einmal unterkreuzt und von b' nur einmal überkreuzt werden. Wendet man nun die oben erklärte Konstruktion an, verschiebt also Β so, daß es auf demselben Breitenkreise und derselben Linie ψ — — φ — konst. wie Α liegt, und setzt sodann an a' ein längs (10) verlaufendes Stück α und an b' ein umgekehrt verlaufendes Stück β an, so erkennt man, daß P ' von der Form Q P~" ist. Wenn man längs α von Β nach Α wandert, hat man ι\ ( λ — — J Äquatordrehungen und andererseits κ Meridiandrehungen auszuführen. Da nun hierbei eine Meridiandrehimg gleichbedeutend ist mit ^ Äquatordrehungen, so hat man /

(11) v '

— = mλ — m— oder

τηλ — ηκ = 1.

Die Exponenten λ, κ sind also die Lösungen der Diophantischen Gleichung m x — n y — 1 . Es ist gleich, welche Lösung man wählt; denn zwischen Ρ und Q besteht die Relation (12)

PmQ~n

= 1.

Dies erkennt man durch Betrachtung des mit der einfach durchlaufenen Linie (10) deckt. Innern von τ gehörend an, so bestimmt Ikl"1 dagegen k als eine äußere Linie angesehen, so Darstellung Pm. Es gilt also (13)

Qn =

Weges I k l w o k sich Sieht man k als zu dem die Substitution Qn, wird erhält man für lkl~x die

Pm.

Die Beziehung (12) ist aber auch die einzige unabhängige Relation, die zwischen Ρ und Q besteht. Jeder solchen entspricht nämlich ein geschlossener Weg Λ, der sich auf den Punkt Π zusammenziehen läßt. Es müssen sich also die im Innern von r verlaufenden Stücke von A — das sind die, welche den Potenzen von Q in jener Relation entsprechen — in den Außenraum bringen lassen. Das ist aber nur möglich, wenn sich das betreffende Stück mit der ein- oder mehrfach durchlaufenen Linie (10) zur Deckung gebracht werden kann, d. h. wenn der Exponent von Q ein (positives oder negatives) Vielfaches von η ist. Dann aber ließe sich nach (13) Qn überall durch Pm ersetzen und man hätte eine Relation von der Form Ρμ — 1, was nur für μ = 0 möglich ist.

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Ε. Kahler.

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§4. In dem Falle, wo der charakteristische Abschnitt zwei Glieder besitzt, zeigt man genau wie oben, daß jeder durch 77 gehende und die Linie L 2 nicht trefiende Weg L sich aus Stücken l , b0, at, bx, α2,...,

αμ,

bh,

zusammensetzen läßt, wo l eine Gerade ist, die ΓΙ mit einem Punkte A auf oi (siehe Gleichung (7)) verbindet und a { Jim Innern von σ,, b{ im Außenraum verlaufende Linien bezeichnen, die in Α anfangen und dort enden. Haben nun Px, Q^ in bezug auf den Außenraum, für den ja ol die Rolle eines Torusknotens Lx mit den Charakteristiken m[, n1 spielt, dieselbe Bedeutung wie P, Q im vorigen Falle, so läßt sich jede zu einer Linie Z&^Z-1 gehörige Substitution aus P 1 , Q l zusammensetzen und es besteht die Relation (14)

=

Ferner ist jeder Weg a{ äquivalent einer ein- oder mehrfachen Durchlaufung von oi längs der Achse von o 1 . Bedeutet α ein von Α ausgehendes Wegstück, das nach einer einfachen Durchlaufung des Innern von σχ im Sinne άφ > 0 zurückkehrt, und ist Q^ die zu la l~ gehörende Substitution, so gehört zu lail~1 eine Potenz von Hiernach wird Γ durch PJ} Qx, Q2 erzeugt. Die Fundamentalrelation zwischen Ρί, Qi, Q2 erhält man wieder durch Betrachtung eines Weges I k l w o k die im Sinne άφ > 0 einfach durch«

laufene Linie ψί

VYb '

φ — konst. darstellt. Wird k zu dem Innern von o1 Z? gerechnet, so führt Iklauf die Substitution Ql1. Im andern Falle kann n

2

7Υί '

man sich k erzeugt denken durch μ 9 = v^ ·

V

Umkreisungen von ox und -2

darauffolgenden Umläufen längs o i . Zu einer Umkreisung von o 1 gehört nach (11) eine Substitution P9 = Q x P r H l ,

(15)

ηι',λ,-η,κ^Ι

und zu einem Umlauf längs ol die Substitution

. Daher bestimmt der

*2

Weg I k l (16)

1

das Element P£*Qi

V,

= P£'*Q?

und es gilt

Ql^iQ^Pr^Ql*·

Aus der Ableitung dieser Gleichung erkennt man ohne weiteres, daß die rechte Seite nichts anderes ist als die Darstellung von Ln in der durch L1 bestimmten Gruppe {P x , Q t }.

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Verzweigung einer algebraischen Funktion zweier Veränderlichen.

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Die Relationen (14), (16) sind die einzigen unabhängigen, die zwischen Pi> Qi> Qi bestehen. Daß zwischen Plf Q, allein nur die Beziehung (14) bestehen kann, haben wir schon gesehen. Enthält nun eine von (16) verschiedene Relation (17)

{PrQM = 1

Q2, so muß die durch die linke Seite repräsentierte Linie, die sich auf II zusammenziehen läßt, gewisse im Innern von ox verlaufende Stücke a{ besitzen. Damit sich ai aus o1 herausziehen läßt, muß es sich mit der ein- oder mehrfach durchlaufenen Linie w. — — η2 = konst., auf welcher A liegt, zur Deckung bringen lassen, d.h. la{l~x bestimmt eine Substitution

.

Qζ1

V

von der Form (λ ganz). Indem man nun in (17) überall nach (16) durch Px, Q1 ausdrückt, gewinnt man eine Relation zwischen Px, Qx allein, usw. Allgemein kann man sagen: Besitzt der charakteristische Abschnitt k Glieder, so läßt sich die zugehörige Gruppe G aufbauen aus k -f- 1 Elementen Px, Qx, Q2, ..., Qk, welche einer einfachen Umkreisung von r bzw. einer einfachen Durchlaufung von L0, Lx, L 2 , . . . , Lk_x entsprechen3). Genauer müßte man sagen: Q{ ist die Substitution, welche dem Wege l l i x l~ x entspricht, wo l eine Π mit Α (auf σ λ 1 ) verbindende Gerade und l._ x eine mit Li_x topologisch äquivalente, von Α nach Α führende Linie bezeichnet. Zwischen Px, Qx, Q„, ..., Qk bestehen k Relationen von der Form

Ql1==Li(pi)

K =

Q? = L,{PXQX)

("< =

h Q? =

(18)

Q^

[»1».··.*,]),

L»(PiQM>

=

Lk(PxQxQ2...Qu_x).

m' Hierbei ist L1(PX)=P1 und allgemein Li+X (PxQXQ2 ... Q{) die Darstellung von Li+1 (oder genauer von lli+11~1) in der durch L{ definierten Gruppe {P 1 , Qx, ..., φ,·}. Es gibt nur k unabhängige Relationen. Man beweist diese Behauptungen sehr leicht durch Schluß von k auf k + 1 . Da aber die hierzu nötigen Betrachtungen genau denen entsprechen, die von k — 1 auf k = 2 führten, so erübrigt sich die nähere Ausführung des Beweises. 1

8)

Unter L0 ist hier der Kreis ξ2 + η2 = R*, ζ = 0 zu verstehen.

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Ε. Kahler.

200

§5. Gehen wir zu dem Fall über, wo zwei singulare Kurven m (I) y= a±x«+..., m (II) y= + vorhanden sind und für beide der charakteristische Teil nur aus einem Gliede besteht. TYb τη' Wenn nicht gleichzeitig GL = a[, IX — ¥i> = — ist, genügen die Zahlen zur Kennzeichnung der topologischen Verhältnisse. Man hat zwei •

Knotenlinien L1} L[, die auf den Tori r bzw. r ' hegen. Ist ~ ~ , so kann man annehmen, daß r' ganz innerhalb r liegt. Durch r und τ' wird der (ξ, η, £)-Raum i n drei Teile (A),(B),(C) zerlegt, wo (Ä) den Außenraum von τ, (Β) den Raum zwischen τ und τ' und (C) das Innere von r' darstellt. Dieser Einteilung entsprechend kann man jeden durch Π gehenden geschlossenen Weg L in mehrere Stücke a, b, b'} c von folgender Art zerlegen. Die Stücke α verlaufen in (A) und haben als Endpunkte IT und einen auf r gelegenen Punkt; die Stücke b, br liegen in (B), wobei die ersteren ihre beiden Endpunkte auf r, die letzteren einen Endpunkt auf r und den anderen auf r ' haben; schließlich verbinden die in {G) verlaufenden Stücke c zwei Punkte von r ' miteinander. Genau wie im Falle eines Torus zeigt man nun, daß durch eine stetige Deformation der Linien a,b,b' stets erreicht werden kann, daß alle ihre auf r liegenden Endpunkte mit einem festen Punkte Ä zusammenfallen. Danach ergibt die Anwendung derselben Konstruktion auf -r', daß alle auf r ' liegenden Endpunkte von b',c stetig in ein und demselben Punkt Β übergeführt werden können. Man kann fernerhin Ä, Β so wählen, daß beide dieselben φ, ^-Koordinaten besitzen. Bezeichnet man die geradlinige Verbindung von Π nach Λ mit l, die von Ä nach Β mit h, ferner mit ä eine in (^4) von Ä nach Ä zurückführende Linie, welche r einmal im Sinne dy> > 0 umkreist, weiter mit blf &2 zwei in (Β) von Ä nach Ä verlaufende Linien, die r ' im Sinne dxp > 0 bzw. άφ > 0 einfach umlaufen, bedeutet schließlich c einen einfachen Umlauf (άφ > 0) im Innern von τ' mit Β als Anfangs- und Endpunkt, so kann nach obiger Deformation jeder Weg α aus l, ä, ä~x, jedes b aus &2, b^1, &3_1, jedes b' aus h und b2, byX, bö1, jedes c aus c oder c - 1 zusammengesetzt werden. Hiernach läßt sich jeder Weg L aus den Elementarwegen ρ = ΙδΓ1,

q = lhch~1l~1,

τ = ΙΪ>1Γ1,

99

s=

IbJ'1

Verzweigung einer algebraischen Funktion zweier Veränderlichen.

201

und ihren Inversen aufbauen. Die zugehörige Gruppe wird also aus den durch p, q,r, s bestimmten Substitutionen P, Q, R, S erzeugt. Man erhält eine Fundamentalrelation zwischen P, Q, R, S, indem man die durch Ä gehende Linie Je: ψ — — ψ = konst. auf r, genauer die Linie lkl~x, auf zwei verschiedene Weisen darstellt. Denkt man sich k in (Ä) gelegen, so gehört zu lkl~1 die Substitution Pm. Sieht man sie dagegen als zu (B) gehörig an, so ist sie eine Knotenlinie, welche τ' m-mal im Meridian umschlingt und dabei η Umläufe längs r' vollführt. Man findet also hier für Ikldie Substitution Rm Sn und es gilt (19)

Pm = Rm Sn. Eine ganz analoge Betrachtung, angewandt auf die Linie I k ' l w o

k die durch Έ gehende Linie ψ — auf die Relation (20)

φ = konst. auf τ' darstellt, führt

Rm'Sn'=Qn',

indem man einmal k' als zu (B) gehörig, das andere Mal als zu (C) gehörig ansieht. Ferner sind, wie leicht ersichtlich, R und S vertauschbar, was auf die Relation (21) RS = SR führt. Außer den Beziehungen (19), (20), (21) gibt es keine anderen unabhängigen Relationen zwischen P, Q, R, S. Zunächst kann zwischen R, S allein neben (21) keine weitere Relation a R S^ = 1 bestehen, da einer solchen immer ein auf 77 zusammenziehbarer Weg Λ entspricht und andererseits jedes Symbol RaSß (cc > 0) einen Weg darstellt, der sich um τ' schlingt und daher nicht auf 77 reduziert werden kann. Enthält nun eine Relation (22)

(PQRS) = 1

das Element Q, so entspricht jedem Glied Qa in (22) ein innerhalb τ' verlaufendes Stück des Weges Λ, dessen Symbol die linke Seite von (22) ist. Ein solches Stück läßt sich aber nur dann aus (C) herausziehen, wenn es mit der ein- oder mehrfach durchlaufenen Linie k' zur Deckung gebracht werden kann, d. h. wenn α ein (positives oder negatives) Vielfache von η ist. Zufolge (20) kann daher in (22) Q überall durch R, S ausgedrückt werden, und man bekommt eine Relation von der Form (23)

(PRS)

100

= 1.

Ε. Kahler.

202

Dieser entspricht eine teils in (A), teils in (Β) verlaufende Linie Λ'. Damit die in (B) befindlichen Teile von Λ' aus (Β) nach (A) gezogen werden können, müssen sie mit der Linie Je zur Deckung gebracht werden können, d. h. die Elemente R, S treten nur in der Verbindung Rm Sn auf, und man gewinnt nach (19) aus (23) eine Relation (P) = 1, was nur die Identität P° = 1 sein kann. Die eben durchgeführten Betrachtungen können unmittelbar auf den Fall ausgedehnt werden, wo mehrere Torusknoten L1, L[, L", auftreten. Gilt für die Charakteristiken die Ungleichung m ^ m' m" ^ ^ m(p_1) n" — w7" —

—

—

>

und ist für alle ρ Kurven der Index r gleich 1 (siehe S. 195), so darf man annehmen, daß die zugehörigen Tori r, τ', τ τ ( ρ - 1 ) in eben dieser Reihenfolge ineinander gelagert sind. Es sei (A) der Außenraum von r, (B f ) der Raum zwischen T (i_1) , r(i), (C) das Innere von r 0 und Q einem einfachen Umlauf des Innern von r ( f _ 1 ) im Sinne d

0 . Dann baut sich die Gruppe G aus P, , S1, i?2, < S 2 , . . R p _ t ,Sp_1}Q auf. Es gelten zunächst die Relationen (24)

R{ 8{ = S{ R{

(i = l , 2 , . . . , p - l ) .

Weiter führt die zwiefache Darstellung einer auf τ liegenden Linie ψ — φ = konst. auf Pm = RrS?,

(25)

die zwiefache Darstellung einer auf τ{ί) ( 0 < i < ρ — 1) gelegenen Linie ψ — -^j- φ --- konst. auf (26)

n

R f " S f ] = R™^St",

und endlich ergibt die Betrachtung einer Linie ψ — τ(ρ-1) die Relation /(\rr\

(Z/J

( 0 < i < p - l ) ,

φ = konst. auf

ritn'P-1) cin
Man zeigt wie oben, daß alle anderen Beziehungen zwischen den P, Q, R{, S{ sich aus den vorstehenden ableiten lassen. Auch der allgemeinste Fall, wo die charakteristischen Abschnitte der singulären Kurven aus mehr als einem Gliede bestehen, kann nach den obigen Methoden erledigt werden. Es soll uns jedoch genügen, an den vorstehenden bereits sehr allgemeinen Beispielen die merkwürdigen Verzweigungsverhältnisse der Funktionen mehrerer Variablen dargetan zu haben.

101

Verzweigung einer algebraischen Funktion zweier Veränderlichen.

203

§ 6. Die Kenntnis der Gruppe G, die ja zu Γ holoedrisch isomorph ist, gestattet in einigen Fällen, die analytische Darstellung von F(x,y) in der Umgebung des Nullpunktes anzugeben. Nehmen wir ζ. B. an, daß durch (0, 0) nur eine Verzweigungskurve p(x, y)—0, und zwar einfach, hindurchgeht, d. h. daß die in der Umgebung von (0, 0) irreduzible Entwicklung q(x, y) — 0 mit Gliedern erster Ordnung beginnt. Dann läßt sich entweder y nach ganzen Potenzen von x, oder χ nach ganzen Potenzen von y entwickeln. Es sei etwa 0 = p(x, y) = {y — axm> — axm*— ...)h(x,

y),

Ä(0, 0) + 0

die Gleichung der singulären Kurve. Die Verzweigung wird hier durch einen Torusknoten Lt mit den Charakteristiken (m1, 1) bestimmt. Sind P, Q die durch L1 definierten Elemente von G, so gilt nach (13) Q = Pm\ d. h. G ist einfach die durch Ρ erzeugte zyklische Gruppe. Bezeichnet man den aus ζ (x, y) — z0(x, y) nach Durchlaufung des Weges Pv erhaltenen Zweig mit zv, so gilt, wenn in ρ = 0 η Zweige zusammenhängen, zk+n = zk. Der Ausdruck Zo = zo + zi + 2a + · · · + 2 « - i bleibt daher bei Ausführung der Substitution Ρ invariant, d. h. er ist in Σ eindeutig. Außerdem ist Z0 wie die zi in Σ beschränkt und stetig und zeigt höchstens in den Punkten von ρ {χ, y) = 0 singuläres Verhalten. Daraus folgt nach bekannten Sätzen, daß Z0 in ganz Σ holomorph ist. Die Summe / V.tiv \ e _ 1 e 2 (M_1) M ^ = Zo+ v 2i+ v~ 2 2 + . . . + e,r Zn-i, U , = e ν = 1,2,..., η - l j ; V nimmt bei Ρ den Faktor εν an. Da nun die Funktion ρ (χ, y) n bei Durchlaufung des zu Ρ gehörigen Weges sich mit ε* 1 multipliziert, so ist V Zv-P~* = rv in Σ eindeutig. Von der Funktion rv · ρ zeigt man dann wie oben, daß sie in ganz Σ holomorph ist. Da sie aber wegen ν
0

ergibt sich durch Addition »' o ( > y) = o ( > y) + i i > y)-v z

x

r

x

r

x

n

+

r2 («»y) vn

102

= Z0) 2_

+ ··· +

n-1 y) · ρ n ·

204

Ε· Kahler.

Verzweigung einer algebraischen Funktion zweier Veränderlichen.

In dieser Form läßt sich also z{x, y) unter den gemachten Voraussetzungen darstellen. Treten in Σ zwei singulare Kurven auf, die sich im Nullpunkt einfach schneiden, so ist, eventuell nach einer linearen Transformation der Größen x, y, in den zugehörigen Entwicklungen ( I ) , ( I I ) (S. 200) m = w = 1, i + und es wird daher nach (19), (20) G aus den beiden vertauschbaren Substitutionen allein erzeugt. Es seien 0, die in Σ irreduziblen holomorphen Formen der beiden Kurvengleichungen. Der aus einem bestimmten Zweige z 0 0 von ζ (χ, y) nach Durchlaufung des Weges hervorgehende Zweig werde mit z{ k bezeichnet. Ist m der kleinste Index, für welchen zm 0 = ζ 0 0 , und η der kleinste Index, für den 2 0 n = z 0 0 ist, so gilt allgemein a

R

,

S

p

z

i +

s

m ,

(

x

,

y )

=

q

(

x

,

y

)

—

0

=

k + σ η

und die Anzahl der in Σ zusammenhängenden Zweige ist gleich mn. Setzen wir nun m — l , W—1 ζ

μ

=

ν

( U

Σ

ϊ π ί μ u

=

e

2 π ί μ \

«

,

a ,

=

e

·

) ,

i , k = 0

so geht

Ζ

μ

v

bei

R

in

ε

μ

Ζ

μ

ν

p

bei

,

(

x

,

y

in

8

)

m

-

q

(

über. Da das Produkt

<5yZ

x

,

y

n

)

dasselbe Verhalten zeigt, so ist LI r

μν

=

Ζ

μν

· ν *

V

m

a ι

n

bei R, S invariant, d. h. in Σ eindeutig. Ferner kann τμ v nur in ρ [χ, y) — 0 oder 0 singuläres Verhalten zeigen. Der Ausdruck ist in ganz beschränkt und daher holomorph; wegen verschwindet er in den beiden Kurven ρ — 0 , q = 0 und ist daher durch p-q teilbar. ruv ist also auch holomorph. Aus q

(

x

,

y

)

=

r

Σ

μ

<

ι

η

,

μ

ν

v

·

ρ

<

·

q

n

erhält man durch Summation über alle μ, ν: m-n-z00=

m—l, η—1

Σ

μ, r = 0

iL —

r^pmqn

als Darstellung einer beschränkten algebroiden Funktion, die nur zwei sich einfach schneidende Verzweigungskurven in aufweist. p

(

x

,

y

)

=

0 ,

(Eingegangen am 19. Dezember 1928.)

103

q

(

x

,

y

)

=

0

Σ

Zur Theorie der algebraischen Funktionen zweier Veränderlichen. I [6] Math. Z. 31 (1929), 258-269 [JFM 55.0805.03]

Obwohl in der Theorie der algebraischen Funktionen zweier Variablen die Topologie nicht mehr in so reiner Form wie in der Riemannschen Funktionentheorie die wesentlichen analytischen Eigenschaften der Funktionen zu erfassen vermag, so gibt doch auch hier die Betrachtung der entsprechenden vierdimensionalen Räume erst die richtige Einsicht in die analytischen Verhältnisse. Als Beitrag zur Topologie der Funktionen zweier Variablen wird im folgenden in Analogie zu der bekannten Formel

ρ = ^ — η -f-1 die

Linearkombination P 2 — 2 P x aus den Bettischen Zahlen einer vierdimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit durch deren „Blätterzahl" und Verzweigungscharakter dargestellt. §1. Den Wertebereich zweier komplexen Veränderlichen z, y denke man sich in folgender Weise durch eine geschlossene vierdimensionale Mannigfaltigkeit veranschaulicht. Man projiziere die x-Ebene stereographisch auf eine Kugel X, analog die y- Ebene auf eine Kugel Y und ordne irgendeinem Punkte auf X irgendeinen Punkt auf Y zu. Die Gesamtheit der der so enthaltenen Paare (z, y) stellt dann den komplexen (z, y)-Raum dar. Aus dieser Erklärung folgt, daß die beiden unendlich fernen Gebilde χ = oo und y = oo als zwei verschiedene der Kugel äquivalente zweidimensionale Mannigfaltigkeiten anzusehen sind, die nur den Punkt (z = oo, y = oo) gemein haben. Eine Umgebung eines Punktes (z0, yQ) ist definiert durch die Ungleichungen

104

Ε. Kahler.

Algebraische Funktionen zweier Veränderlichen.

259

wobei für den Fall, daß x0 = oo oder y0 = oo ist, die Größen — bzw. — an • 2/ Stelle von χ — x0 bzw. y — y0 zu setzen sindA). Unter einer analytischen (algebraischen) KuTve ist die durch eine monogene analytische (algebraische) Relation zwischen χ und y im (x, y) Raum definierte geschlossene zweidimensionale Mannigfaltigkeit zu verstehen. Läßt sich eine solche Kurve Κ in der Umgebung einer Stelle {x0,y0) in der Form ^(x-xojy-yo) = 0 darstellen, wo ^ß eine mit Gliedern erster Ordnung beginnende Potenzreihe darstellt, so heißt ( x 0 , y0) ein einfacher Punkt von K. Eine algebraische Funktion z{x,y) ist definiert durch eine irreduzible algebraische Gleichung f(x, y,z) = 0. Ist Ν der Grad dieser Gleichung in bezug auf z, so gehören zu einem Punkte (x0, y0) im allgemeinen Ν „darüberliegende" Funktionselemente («, y), 2a («, y), ·•·,

ZN

(«, y)

von z(x,y), welche sich in der Umgebung von (x0, y0) meromorph verhalten, d. h. als Quotient zweier Potenzreihen nach (x — x0) und (y — y0) darstellen lassen. Diejenigen Stellen (x0, y0), wo sich diese Ν Funktionselemente nicht mehr sämtlich meromorph verhalten, erfüllen gewisse algebraische Kurven (1)

= 0,

Q9{x,y)

= 0,

...,

Qx{x,y)

= 0,

die die Verzweigungsgebilde von z(x,y) bestimmen. Ist (x,y) facher Punkt einer solchen Kurve, etwa von Q. = 0, und

(2)

g(x-

®0» y-y0)

ein ein-

= 0

eine holomorphe Darstellung von Q{= 0 in der Umgebung von (x0, y0), nehmen wir ferner an, daß (x0, y0) keiner anderen der Kurven (1) angehört, so können diejenigen Zweige von z{x,y), die sich in {x0,yQ) nicht meromorph verhalten, in der Form 1 2 -1 ( 3 ) z(x,y) = a0(x,y) + a1(x,y)q* + a.2(x,y)q* +... + a r _ 1 ( x , y)q * V

dargestellt werden, wo die a{{x,y) gewisse in der Umgebung von (x0, y0) meromorphe Funktionen bezeichnen. Es sind also in einem solchen Punkte ν von den Ν Zweigen durch ein und denselben Ausdruck ( 3 ) *) Wenn im folgenden nichts Besonderes gesagt wird, ist für x0 = oo (y0 = oo) überall x — x0 (bzw. y — y0) durch — ('bzw.

105

zu ersetzen.

260

· Kahler. ι gegeben, indem man der Wurzel qv ihre ν Bestimmungen erteilt. Die Entwicklung (3) bezeichnen wir als ein zur Stelle (z0, y0) gehöriges Funktionenelement von z{pc,y). In den Punkten {x0, y0) einer Kurve Qi =-- 0, wo die Entwicklung (2) mit Gliedern höherer Ordnung beginnt oder zugleich eine andere Kurve Q k = 0 hindurchgeht, läßt sich z{x,y) im allgemeinen nicht mehr in der Form (3) darstellen. Zur Definition der zugehörigen Funktionselemente nehmen wir in diesem Falle die in der Umgebung von x0, y0, z(x0,y0) irreduziblen Gleichungen Ε

φ1(χ, y,z) = 0,


denen die einzelnen Zweige von z(x,y)

...,

φν(χ, y,z) = 0

genügen.

§2. Durch Übertragung der von den Riemannschen Flächen geläufigen Vorstellungen ist es naheliegend, der algebraischen Funktion z(x,y) eine über dem (x, y)-Raum TV-fach ausgebreitete Riemannsche Mannigfaltigkeit R zuzuordnen, indem man zur Festlegung eines Punktes auf R den „darunter" liegenden Punkt (x0, yQ) im (x, y)-Raum und das zugehörige Funktionselement z0(x,y) von z(y,x) benutzt. Als Umgebung eines Punktes (x0, y0, z0) auf R ist dann die Gesamtheit der Punkte zu verstehen, die man erfaßt, wenn man in dem zugehörigen Funktionselement z0 (x, y) die Variablen x, y eine Umgebung von x0, yQ durchlaufen läßt Den Verzweigungspunkten einer Riemannschen Fläche entsprechen hier die (zweidimensionalen) Verzweigungskurven, die aus den über den Kurven (1) liegenden Stellen von R bestehen, wo sich z(x,y) nicht meromorph verhält. Ist (x0, y0, z0 (x, y)) ein Punkt einer über Qt= 0 hegenden Verzweigungskurve K{, so erhält man alle Punkte von K{, indem man das Funktionselement z0{x,y) auf der Kurve Q{ — 0 analytisch fortsetzt. Diejenigen Stellen einer solchen Kurve Kv die über den einfachen Punkten von Qi — 0 liegen und nicht zugleich einer anderen Verzweigungskurve angehören, nennt man nach Wirtinger Verzweigungsstellen erster Art, die übrigen Verzweigungsstellen zweiter Art. In der Umgebung einer Stelle erster Art von K{ gilt für z(x,y) eine Darstellung von der Form (3), und zwar ist der Wurzelexponent v, welcher angibt, wieviel „Blätter" sich um K{ herumwinden, für alle Punkte erster Art von K{ derselbe. Wir nennen ν die Windungszahl, ν — 1 die Ordnungszahl der Verzweigungskurve. Die Verzweigungsstellen zweiter Art treten nur in endlicher Anzahl auf. Stoßen in einem solchen Punkte μ Blätter von R zusammen, so heiße μ — 1 die Ordnungszahl dieser Verzweigungsstelle.

106

Algebraische Funktionen zweier Veränderlichen.

261

Betrachten wir einige Beispiele. 1. Der Riemannsche Raum R der Funktion zO, y) =

N

1Q{x,y),

wo Q(x, y) ein irreduzibles Polynom vom Grade m bezüglich χ, η bezüglich y bezeichnet, besteht aus Ν über dem (x, y)-Raum ausgebreiteten vierdimensionalen Blättern, die längs der Kurve Q (x, y) — 0 zusammenhängen. Ist μ der größte gemeinsame Teiler von Ν und m, so liegen Ν über χ = oo μ Verzweigungskurven mit der Windungszahl —; analog geμ Ν hören zu y = σο ν Verzweigungskurven mit der Windungszahl —, wenn ν der größte gemeinsame Teiler von η und Ν ist. Die im Endlichen liegenden Verzweigungsstellen zweiter Art bestimmen sich durch die drei Gleichungen «(*,,)-<>,

ffi_0.

Nehmen wir an, daß die m + η unendlich fernen Punkte von Q = 0 sämtlich voneinander und von (oo, oo) verschieden sind, so liegen übeT χ = oo für μ =f= Ν η und über y — oo für ν + Ν m Verzweigungsstellen zweiter Art mit der Ordnungszahl Ν — 1, die den Schnittpunkten von χ = oo bzw. y — oo mit ^ oc entsprechen. Dazu kommen noch die über (x = oo, y = oo) liegenden Verzweigungsstellen zweiter Art. Aus der Entwicklung m η ' y e — ' » ' · * ( £ , i) ν. . Ν ersieht man leicht, daß die Ν Zweige von y Q über (oo, oo) in — Gruppen / Ν N\ • ^ von je ρ ( = kl. gem. Vielf. v o n —1 , v— ) analytisch zusammenhängenden f ' Ν . Zweigen zerfallen. Demnach gehören zu (oo, oo) — Verzweigungsstellen (ρ — 1) - ter Ordnung. 2. Bei der durch z3 + 2y = 0 definierten Funktion z(x,y) 2) liegen über x* — y-= 0 und χ = oo je eine Verzweigungskurve erster Ordnung, über y = oo eine Verzweigungskurve zweiter Ordnung. Verzweigungsstellen zweiter Art gibt es zwei, nämlich über (x = 0, y = 0) und (x—oo, y = oo) je eine Stelle zweiter Ordnung. 2

) Vgl. K. Brauner, Hamb. Abh. 6 (1928), S. 4.

107

262

Ε. Kahler.

§3. Die Riemannsche Mannigfaltigkeit R einer algebraischen Funktion ζ (χ, y) ist ein geschlossener vierdimensionaler Raum. Es gehören daher zu R drei Bettische Zusammenhangszahlen Px, P 2 , P.A, wo Pv gleich der um 1 vermehrten Maximalzahl der in bezug auf Homologien unabhängigen geschlossenen ν - dimensionalen Mannigfaltigkeiten in R ist. Nach einem allgemeinen Satze von Poincare gilt P1 = P3, so daß nur die beiden Zahlen P1 und P 9 in Frage kommen. Da diesen auch eine große funktionentheoretische Bedeutung zukommt, wird man wünschen, sie aus den Daten der Mannigfaltigkeit R, d. h. aus Blätterzahl und Verzweigungscharakter von R zu berechnen. Der Zusammenhang zwischen Px, P 2 einzeln und diesen Bestimmungsstücken von R scheint recht komplizierter Natur zu sein; dagegen ist es leicht, die lineare Kombination P ^ ~ 2 P 1 durch jene Elemente auszudrücken. Man denke sich R in lauter vierdimensionale einfach zusammenhängende 3 ) Zellen σ4 eingeteilt, deren drei-, zwei- und eindimensionale Begrenzungsstücke σ3, σ2, σ ί ebenfalls einfach zusammenhängende Zellen sind. Bezeichnet man dann die Anzahl der ov mit Av und die Zahl der Eckpunkte der Teilung mit A0, so gilt nach Poincare die Beziehung (4)

Ai-A,

+ A,-A1

+ A0 = 2 - { P

= 3+

1

- l ) + { P

i

- \ ) - { P

z

- \ )

^ - 2 ^ .

Es handelt sich also darum, den Raum R geeignet in Zellen zu teilen, so daß sich am Ende alles Zufällige der Einteilung weghebt und nur die maßgebenden Bestimmungsstücke von R auf der linken Seite der letzten Gleichung übrigbleiben. Dies gelingt in folgender Weise. §4. Es seien Q1(x,y)

(5)

= Oi

Qt{x,y)

= 0,

Ql(xty)

= 0

die Gleichungen der Kurven, über denen Verzweigungskurven von R liegen. Wir können voraussetzen, daß zu den unendlich fernen Kurven χ = oo und y — oo keine Verzweigungskurven gehören und ferner die Schnittpunkte der Kurven ( 5 ) mit χ = oo und y = oo sämtlich voneinander verschieden sind. Durch eine birationale Transformation (6)

= « + 8)

V' =

h

+ \>

Eine ν - dimensionale Zelle heiße einfach zusammenhängend, wenn sie als ein-

eindeutiges stetiges Abbild einer r - dimensionalen Kugel: gesehen werden kann.

108

ξ χ + ξ» + · · · + ζ ν ^ 1 an-

Algebraische Funktionen zweier Veränderlichen.

263

die zugleich eine umkehrbar eindeutige Abbildung darstellt, läßt sich das jedenfalls erreichen. Das Polynom

Q

y) = Qx (χ, y) · Qt (χ, y)...

ist bezüglich χ vom Grade

Qx (χ, y)

m =

bezüglich y vom Grade

» =

wenn mii n{ die entsprechenden Grade von Qi sind. Betrachten wir nun die Kurvenschar Q (χ, y) = konst. = a im (x, y)-Raum. Irgend zwei solche Kurven Q = a, Q schneiden sich in den {m + n) als verschieden vorausgesetzten unendlich fernen Punkten von Q — 0 und nur in diesen. Das zweidimensionale Gebilde Q(x, y) = α variiert stetig mit dem Punkte α der komplexen α-Ebene, wenn man den (x, ?/)-Raum in der oben dargelegten Weise als geschlossen ansieht. Konvergiert α gegen oo, so geht Q=a stetig in das aus den beiden Kurven χ = σο, y = oo bestehende unendlich ferne Gebilde über. Durch jeden Punkt (xQ, yQ) mit Ausnahme jener oben erwähnten [m + n) Punkte geht eine und nur eine Kurve der Schar. Für allgemeine α stellt die Gleichung

(7)

Q{x,y)-a

= 0

eine geschlossene singularitätenfreie Fläche 8 a vom topologischen Geschlecht

π — (m — 1) (η — 1) dar.

Sind jedoch die drei Gleichungen

(8) Q = a, Qx = 0, ^ = 0 gleichzeitig erfüllbar — es gibt immer solche singulären α-Werte, stets aber nur endlich viele —, so ist das funktionentheoretische Geschlecht der Kurve Q—a — 0 kleiner als π, ja es kann vorkommen, daß die Gleichung (7) in verschiedene irreduzible Faktoren zerfällt. Das entsprechende zweidimensionale Gebilde 8a zeigt dann in den durch (8) bestimmten Punkten singuläres Verhalten. §5. Mit Hilfe der Kurvenschar

Q{x,y) = a läßt sich leicht eine geeignete Netzeinteilung des Riemannschen Raumes R herstellen.

109

Ε. Kahler.

264

Es seien αί, . a k die von 0 verschiedenen singulären α-Werte. Man teile die komplexe α-Ebene so in 2 k Dreiecke Δ1} Δ„, daß o = 0, ο = α15 a = a.2, a = ak, a = oο die einzigen Eckpunkte sind. Sodann ordne man jedem Gebilde 8 a für alle α innerhalb und auf dem Rande von Ai (i — 1, 2, ..., 2 k ) eine Eulersche Polyederteilung Π.(α) zu, die mit α stetig variiert und die (m -}- n) unendlich fernen Punkte der 8a mit unter den Eckpunkten enthält. Da Ai einfach zusammenhängend ist und keinen der singulären α-Werte im Innern enthält, kann man stets eine solche „Netzschar" finden. Für die auf einer Dreieckseite liegenden α sind dem Gebilde Sa die beiden Polyederteilungen Πμ(α), Πν(α) zugeordnet, die von den angrenzenden Dreiecken Δμ, Δν herrühren. Wir ordnen daher den Su auf einer solchen Seite α eine mit α stetig variierende Teilung 77 (α) zu, die sowohl Πμ(α) als ITv(a) umfaßt. Schließlich sollen für die Gebilde SQ, Saj, Sa2, · • ·, Sa/C, Soo, die den Ecken entsprechen, sämtliche von den anstoßenden Dreiecken und Seiten herrührenden Teilungen zu einer Polyederteilung 77 (0), Π(α 1 ), 77 ( a j , 77(oo) zusammengefaßt werden. Auf diese Weise ist jedem Gebilde Sa ein Polyedernetz 77(a) zugeordnet. Mit Hilfe dieses Netzsystems erklären wir zunächst eine Zellenteilung Τ des ( χ , y)- Raumes, indem wir folgendes Begrenzungsgebilde G zugrunde legen: G enthält alle und nur die Punkte (x, y), für die α auf einer Seite der Dreiecke Δ{ oder (x, y) auf einer Kante der Teilung /7(a) liegt. Es bezeichne Σ^{α) irgendeine Seitenfläche, Σ χ (α) irgendeine Kante, Σ0(α) irgendeine Ecke der Teilung 77(a). Erteilt man dem Parameter a alle Werte, die dem Innern oder dem Rande eines der Dreiecke Δ{ angehören, so erzeugen Σ2 (α) eine Zelle, Σ1 (α) ein dreidimensionales Begrenzungsstück (Hyperseite), Σ0 (α) 4) ein zweidimensionales Begrenzungselement (Hyperkante) von T. Durchläuft α eine Dreieckseite, so erzeugen Σ^ (α) eine Hyperseite, Σι (α) eine Hyperkante, Σ0(α) eine Kante von T. Gibt man schließlich α einen der Werte 0, αΑ, a.2, ..., ak, oo, so sind die Seitenflächen, Kanten, Ecken der entsprechenden Teilung 77 (α) bzw. Hyperkanten, Kanten und Ecken von T. Für einen im Innern der Dreiecke Δί liegenden Punkt α seien σ*, a* die Anzahlen der Seitenflächen, Kanten und Ecken von 77(a). Gehört a der Dreieckseite a i h an, so seien a*k, o*k die entsprechenden Zahlen. Schließlich für α = 0, α χ , α,, ..., ak, oo mögen diese Anzahlen mit σ®, σ0° α bzw. σ2 ·, σ«', op (i = 1, ..., k), α", σ™, σ0°° bezeichnet werden. 4

) Hierbei sind die m + η unendlich fernen Ecken auszuschließen, da sie allen Gebilden Q = a angehören. 5 ) Auch hier sind die unendlich fernen Ecken auszuschließen.

110

Algebraische Funktionen zweier Veränderlichen.

Hieraus bestimmen sich die Zahlen A4, A.s, . A folgendermaßen:

265

der Teilung Τ

0

Die Zellen von Τ werden erzeugt, wenn man jedem der 2 k Dreiecke Ai eine Seitenfläche Σ^ (α) der Teilung Πί (a) zuordnet; es ist also A

=

i

Σο*.

Die Hyperseiten entstehen durch Zuordnung der Dreiecke Δ{ zu den Kanten Σ1 (α) von Πί (α) oder der Dreieckseiten ccik zu den Σ^ (α) von n.k(a). Man hat demnach Die Hyperkanten ergeben sich durch Zuordnung der d. zu den Σ0 (α) 5) von Πί(α), der ailc zu den Σ1 (α) der TIik (a), der Punkte 0, a{, oo zu den Σ2(α). Danach ist Α = Σ ( °

ι 0

- m - n )

+ Σ ° ί

1

' + Σ ° ? + <

+ β8°° ·

Für die Zahl der Kanten und Ecken berechnet sich in derselben Weise A = 2 Α

(•fc

=Σ(<*ζ'

Für den (χ, y)-Raum Summe den Wert (9)

Σ{<*\-

Α

~ m -

η) + Σ

+ ®ί + ®Γ ,

— m -

η) + σ0° + σ® -

m — η

β

).

hat demnach die Poincaresche alternierende Α

+ ° Ϊ ) - Σ (°ik

Α -

Α

"I" A

°[k + °lok) + Σ (<£' -

+ (σ° - σ° + α«) + (σ» - σ» + σ « ) - m -

of +

σ«0

η,

und zwar muß dies gleich 4 sein, da für den (x, y)-Raum P 2 = 3,

= 1 ist 7 ).

Aus der eben beschriebenen Teilung Τ des (x, y)-Raumes läßt sich sofort eine zulässige Polyederteilung Θ der Riemannschen Mannigfaltigkeit R herstellen, wenn man das Teilungsnetz von Τ in sämtliche Ν Blätter von R übertragen denkt. In der Tat sind dann alle Zellen, Hyperseiten, Hyperkanten und Kanten von Θ einfach zusammenhängend, da wir die Teilung so gewählt haben, daß die Verzweigungsgebilde mit zur Begrenzung gehören, und insbesondere die Verzweigungsstellen zweiter Art, sowie die über den {m-\-n) unendlich fernen Punkten von Q = 0 liegenden Stellen mit unter den Ecken der Teilung auftreten. ®) Um die unendlich fernen Ecken nicht mehrfaoh zu zählen,, wollen wir sie nur bei Q = 0 mitzählen. 7 ) Vgl. Picard-Simait, Fonctions algebr. de deux variables indöpendantes 1, p. 41.

111

266

Ε. Kähler.

Für die Zahlen A4, As erhält man jetzt offenbar = Ν Σ °ϊ> (10)

Αζ = ΝΣο*χ +

ΝΣ°ί*!

Die Anzahl der Hyperkanten von <9, die über den durch Zuordnung der A{ und aile zu den Σ 0 (α) bzw. (α) erklärten Hyperkanten von Τ liegen, ist durch Ν Σ (ο* — m — n) + ΝΣ o[h gegeben. Dazu kommen noch die zu 8aj) Sai, Sa/I, Sa> gehörenden Hyperkanten, das sind im ganzen ΝΣ + N02° und endlich die über Q — 0 liegenden Hyperkanten, deren Anzahl C2 später ermittelt werden soll. Es ist also Α^=ΝΣ(ο*-τη-η)

(11)

+ ΝΣ °lk + Ν Σ

+ Νοξ> +

C2.

Die Zahl der Kanten, die sich durch Zuordnung der aik zu. den A^fach zu zählenden Ecken der Teilung Uilc{a) ergeben, ist Ν Σ (°Qk — m — η). Zu Q = alf Q —a^, Q = ak, Q = oo gehören ΝΣ

+

Kanten. Bezeichnet man die Anzahl der von Q = 0 herrührenden Kanten mit Cx, so hat man (12)

A1 =ΝΣ(°ί*

— m — η) + ΝΣο?

+ Νσ~ + Cx.

Was schließlich die Ecken unserer Teilung betrifft, so liegen über Q=alt Q = a 3 , ..., Q = a>n, Q = oo im ganzen ΝΣ(*ζ* — m — n) + Ν (s0°° — m — n), die nicht zugleich über Q — 0 liegen. Bedeutet C0 die Zahl der über Q = 0 liegenden Ecken, so ist (13)

A0 = N2(o«

- m - ») + Ν(σ0°° - m - η) +

C0.

Aus (10) bis (13) bestimmt sich somit A = A4 = ΝΣ

As

A2 — A1 + A0

- σ* + σ{) - Ν Σ (ol2k - σ " + σ " ) + Ν Σ

~

+ σ«')

+ Ν(σ« - σ - + α») - Ν(m + η) + C, - Cx + C0. Ziehen wir davon das iV-fache des Ausdrucks (9), der ja den Wert 4 hat, ab, so ergibt sich A-iN^C.-C^C.-NiaO-o^aO),

112

Algebraische Funktionen zweier Veränderlichen.

also (14)

P2 — 2 Pt = 4: Ν — 3 + C9 - Cx+ C0-N(a°

-

267

σ°+

Die hier auftretenden Größen C, σ beziehen sich alle auf Q = 0 und die darüberliegenden Verzweigungsgebilde. Sind e*, s* die Anzahlen der auf Q. = 0 liegenden Hyperkanten, Kanten und Ecken von T, so hat man in (15)

s t - s j + si^j,.

eine Zahl, die nur von der Beschaffenheit der Kurve (^ = 0, nicht aber von der Wahl der Polyederteilung abhängt. Weiter ist (16)

ο» =

i

Σ*ί·

Über Q i = 0 können mehrere Verzweigungskurven K v Κ-, K", . . . liegen. Bezeichnet man mit v- die Summe deren Ordnungszahlen8), so liegen über Q. = 0 (N — v{)·Hyperkanten und (N — v j s f Kanten von Θ, und es gilt

(17) 0,= j] ( Ν - v j s*. Es seien (18)

( « „ ß j , Κ,/?,),...,(«»,&)

die nicht einfachen Punkte von Q = 0, d. h. die Schnittpunkte und die nicht einfachen Punkte der Q{ = 0. Unter diesen mögen v{ zu Q. = 0 gehören. Dann ist offenbar (19)

*0°=i Κ-"<)+*· 1

Sind w1, ..wh die Summen der Ordnungszahlen der Verzweigungsstellen erster und zweiter Art, die über den Punkten (18) liegen, so entsprechen den letzteren im ganzen χ (N—w1)Jr(N—w2)^r... + (N—wh) = hN—w (w = Σ wv) ι Eckpunkte von Θ. Danach berechnet sich für C0: (20)

C0 = Σ (Ν - ν{) (a* - v^ -f Nh — w. 8

) Wird #( = 0 von K{) K/,... ^-fach bzw. λ/-fach usw. überdeckt, so ist i = hPi + Kpi + • • • z u setzen, wenn μ( +1, μ/ + 1 usw. die Windungszahlen von Kt, K/,... bezeichnen. v

113

Ε. Kahler.

2C8

Aus (15), (17) und (20) folgt sodann C, ~ Cx + C0^jj(N-vi)(7i 1

- r{) + Nh — w,

ferner aus (16) und (19):

und nach Einführung in (14): (21) p t - 2 P 1 = i N - B - w - 2 ! v1 i ( y i - P i ) als einfachste Darstellung des Ausdrucks P 3 — 2 Px. Die Zahl γ. hängt in einfacher Weise mit dem funktionentheoretischen Geschlecht der Kurve Q. = 0 zusammen. Wenn man die Größe 2 — 2 ni durch Anwendung der Eulerschen Polyederformel auf die Riemannsche Fläche von Q. = 0 ermittelt, rechnet man jeden mehrfachen Punkt so oft, als durch ihn Kurvenzweige hindurchgehen. In (15) ist aber jeder mehrfache Punkt nur einfach zu zählen. Bezeichnet man daher allgemein als Ordnung eines Kurvenpunktes die von 1 verminderte Zahl der hindurchgehenden Kurvenzweige, als Durchdringungszahl der Kurve die Summe der Ordnungen sämtlicher Kurvenpunkte, so ist (22)

γ{ = 2 — 2 πΊ — r.,

wenn ri diese Durchdringungszahl herstellt. Hiernach ergibt sich als endgültiger Ausdruck für P 3 — 2 Pt: (23)

P 2 - 2P, = 4N-

3 - u - jjVi (2 - 2 Ä f - r. - r f ), 1

wo Ν die Blätterzahl von R, w die Summe der Ordnungen aller Verzweigungsstellen über den Punkten (18), vi die Summe der Ordnungen der über Qi — 0 liegenden Verzweigungskurven, n i das Geschlecht, r. die Durchdringungszahl von Qi = 0, r{ die Anzahl der auf Q. = 0 fallenden nicht einfachen Punkte des aus Qx = 0, = 0, ..., Qx = 0 bestehenden Kurven bildes bedeuten. Bei der Ableitung der letzten Formel war vorausgesetzt, daß über χ — oo und y = oo keine Verzweigungskurven liegen. Da man dies aber stets durch eine Transformation der Form (6) erreichen kann und die in (23) auftretenden Größen alle hierbei invariant bleiben, so ist jene Voraussetzung überflüssig. Zur Erläuterung möge obige Formel auf die durch die Gleichung z3 — 3xz + 2y = 0

114

Algebraische Funktionen zweier Veränderlichen.

angewandt werden 9 ). Man hat drei Kurven im

definierte Funktion z(x,y) (x, y)-Raum

Q^ xs — y2 = 0,

Qa: x = cc,

Qa: y = oo,

über denen Verzweigungskurven liegen, und zwar ist V

l

=

7Tt

=

1, 0,

=

1,

jr9 =

o,

r

x = 0, l

=

v9

r

V

269

3 =

2,

=

= 2, 7lz

= 0,

o,

= 0,

1,

= 1,

ferner N-.= 3,

w

= 2 + 2 = 4,

=

und daher P9 — 2Pt = 2 . 9

) Vgl. Beispiel 2, S. 261. (Eingegangen am 27. Juli 1929.)

115

Über den topologischen Sinn der Periodenrelationen bei vierfach-periodischen Funktionen [7] Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 7 (1929/30), 125-131 [JFM 55.0227.04]

1. Eine eindeutige analytische Funktion φ (u, v), die sich im Endlichen wie eine rationale Funktion verhält, bezeichnet man als eine vierfach periodische Funktion, wenn es ein System von 4 Zahlenpaaren (t^, νj), v2), (u3, y 3 ), (w4, v^ gibt von der Art, daß die Gleichungen φ (u bestehen.

+

Mi,

V + Vi) =

Ψ (u, v)

(«' =

1, 2, 3, 4)

Es gilt dann offenbar auch Sp(m+Z7, v + V) =

ψ (ufv),

sofern in U —. ml Wi -f- m2 u2 + m3 u^ 4~

Ui,

V =

,

mi Vi + m2

-f ma v3 + m4

die rrii ganzzahlig sind. Die Gruppe der Substitutionen (u-*u-\-U,

ν -> ν + V)

besitzt im vierdimensionalen Raum der komplexen Variablen u, ν einen Fundamentalbereich, für den man etwa das Parallelotop Π: (1)

u = ν =

Ui Si + Ua s2 -f us sa -\-UiSi, , , , Vi Si + v2 s2 Η- vä s3 + Vi Sj,

(0<*<1) —

wählen kann. Dabei ist vorausgesetzt, daß zwischen den (in, Vi) nicht gleichzeitig zwei Relationen Ui ti + w2 U + Us 4 + W'4 h = Vi ti -f Vi k + va h + Vi ti =

0,

0

mit reellen U bestehen, da sonst das Parallelotop Π nur ein dreidimensionaler Bereich sein würde. Es ist nun eine seit langem bekannte, seltsame Tatsache, daß ein vierdimensionales Paralellotop Π im allgemeinen keine vierfach periodische Funktion bestimmt, sondern nur dann, wenn eine Relation von der Form 116

Ε. Kahler.

126 Σ

ick

c

ik (ni vk — Uk Vi) =

0

mit ganzzahligen au erfüllt ist. Vom Standpunkt der Funktionentheorie zweier Variablen ist diese Bedingung unverständlich und die bisher bekannten Beweise für die Notwendigkeit dieser Relation, die alle von der Theorie der hyperelliptischen Integrale ausgehen, können den Sinn dieser Tatsache nicht erklären. Es wird darum einigem Interesse begegnen, die Periodenrelation durch einfache topologische Überlegungen begründet zu sehen. 2. Dem Parallelotop Π entsprechen vermöge der Substitutionen

^

u

τι + ΥΠχ Ui + m2 uä + ma ?/3 -f- m4 ?/4,

ν

ν -+- Ύκΐγ Vi + ra2 Vi + ms νΆ -f- wz4 i>4

unendlich viele kongruente Parallelotope, die mit II zusammen den ganzen (u, v) - Raum einfach ausfüllen. In derselben Weise, wie man das Netz der Periodenparallelogramme der elliptischen Funktionen als Abbild eines Torus auffaßt, kann man den Bau der zu Π kongruenten Parallelotope als Bild einer geschlossenen vierdimensionalen Mannigfaltigkeit Ε betrachten, indem man zwei Punkte im (u, v)-Raum, die auseinander durch eine Substitution von der Form(l) hervorgehen, als identisch ansieht. In dieser Mannigfaltigkeit Ε kann man 6 in bezug auf Homologien unabhängige zweidimensionale geschlossene Mannigfaltigkeiten auffinden, nämlich die durch die 6 „Hyperkanten" von Π

^13 Zu

•^23 y ^•34

0 < 8 l < 1, 0 <; sv < 1, 0 < 8 l < 1, * = «1 = «ι =

0, ο, 0,

0 < S2 < 1 , = 0, s2 = 0. 0 <; 8S< 1, 0 <; s2 < 1, s2 = 0,

s3 = 0, 0 <; s3 < 1, s3 = 0, 0 < s3 < 1 , s3 = 0, 0 < s3 < 1,

s4 =

0;

Si = 0; 0 < s4 < 1; Si = 0; 0 < s4
repräsentierten geschlossenen Flächen #, 2 , $ 1 3 , S u , S 23 , $ 2 4 , $34· Jede andere geschlossene Fläche S ist homolog einer ganzzahligen linearen Verbindung aus den Sn, was man folgendermaßen einsieht. Betrachten wir das in II liegende Abbild 2 von 8. Die Begrenzungslinien λ dieser Fläche 2 liegen auf der Begrenzung von Π, die aus 8 dreidimensionalen „Seiten", 24 zweidimensionalen „Hyperkanten", 117

127

Periodenrelation.

32 eindimensionalen Kanten und 16 Ecken besteht. Dabei sind die auf zwei durch eine Substitution (u -» u + w, νν-j-Vi) zugeordneten Seiten liegenden Stücke der λ selbst durch diese Substitution aufeinander bezogen, weil 8 eine geschlossene Fläche sein soll. Man wähle nun innerhalb 77 einen nicht auf 2 liegenden Punkt (uq, v0) und ziehe von hier aus nach jedem Punkt der Begrenzung von 77 eine gerade Linie γ. Hiernach verschiebe man die im Innern von 77 liegenden Teile von 2 stetig so, daß jeder Punkt von 2 längs einer Geraden y wandernd in die Seiten von 77 zu liegen kommt. Es sei Τ eine dieser Seiten und c die nach der Verschiebung in Τ liegenden Teile von 2 , η ihre Begrenzungslinien. Man kann sich Τ als gewöhnliches Parallelopiped vorstellen. Nun bringe man die Teile c durch eine stetige Deformation in die Τ begrenzenden Hyperkanten. Hierbei müssen aber in der Seite T', die aus Τ durch eine Periodensubstitution hervorgeht, die dort befindlichen Teile a' von 8 gleichzeitig so mit verschoben werden, daß die Zuordnung der Randlinien rj' (von a') zu den η beständig erhalten bleibt. Nachdem man dies bei allen Seiten von 77 ausgeführt hat, ist 2 mit den Hyperkanten, also 8 mit den zur Deckung gebracht. Die dabei evtl. auftretenden „Falten" von S können leicht in die Kanten verlegt werden. Zwischen einer beliebigen geschlossenen Fläche 8 und den Sm besteht somit stets eine Homologie von der Form (2)

S~Z«*8*

i
mit ganzzahligen α*> Um die Vorzeichen der ak zu fixieren, ist es nötig, auf den in Betracht kommenden Flächen eine „Richtung" festzulegen. Hat man irgendein einfach zusammenhängendes Flächenstück c, so ziehe man auf ihm ein Netz von Parameterlinien und bezeichne den einen Parameter als den ersten, den andern als den zweiten Parameter. AVerden dann zwei beliebige einfach zusammenhängende Flächenstücke a, a' durch stetige Verschiebung und Deformation zur Deckung gebracht, wobei die Parameternetze in beiden Fällen stetig mitgeführt werden sollen, so definieren sie zwei Parametersysteme auf demselben Flächenstück. Sind , si bzw. s 2 , «2 die ersten bzw. zweiten Parameter auf
9 S| 9 s2 } 9ο jSi 0 S2

9 gi 9 s2 ^

Λ

^9 Τ S2"Το ΓSi-·' »Jj

so heißen
Ε. Kahler.

] 28

Weise die Richtung festlegen. Im folgenden kommen nur zweiseitige Flächen in Frage. Auf den Sm ist durch Si und Sk unmittelbar ein Parametersystem gegeben, und zwar wähle man Si als den ersten Parameter. Legt man auch auf 8 eine Richtung fest, so sind in (2) die Vorzeichen vollkommen bestimmt durch die Vorschrift, daß allgemein für zwei gerichtete Flächen 8', 8", die gleichsinnig zur Deckung gebracht werden können, die Homologie dagegen bei Deckung mit entgegengesetzter Richtung die Homologie besteht. 3. Diese Festsetzungen sind, wie der Begriff der Homologie überhaupt so gewählt, daß sie eine bequeme Anwendung auf die bei Variation der Integrationsfläche invarianten Doppelintegrale gestatten. Umgekehrt erlaubt die Betrachtung von solchen Integralen sehr oft, schwierig zu überschauende Homologien unmittelbar zu errechnen. Es sei 2 ein gerichtetes Flächenstück im (w,V)-Raum, £ der erste, η der zweite Parameter. Der Wert des über 2 erstreckten Integrals (3) Σ

Σ

ist unabhängig von der Wahl der Parameter, wenn man nur gleichsinnige Parameter zuläßt, andernfalls ändert er bloß sein Vorzeichen. Schreibt man I in der Form

Σ

so erkennt man durch partielle Integration, daß es in ein über die Begrenzung von 2 zu erstreckendes Linienintegral umgeformt werden kann und daher nur von dieser Begrenzung, nicht aber von der übrigen Gestalt von 2 abhängt. Da der Integrand in (3) bei Ausübung einer Periodensubstitution invariant ist, so kann J, wenn der Fläche 2 in Β eine geschlossene Fläche 8 entspricht, als ein Doppelintegral I s in dem geschlossenen vierdimensionalen Raum R aufgefaßt werden, dessen Wert zufolge der eben gemachten Beobachtung bei stetiger Deformation der Integrationsfläche S ungeändert bleibt. 119

Periodenrelation.

129

Man ersieht hieraus, daß jede zwischen geschlossenen Flächen S, S't 8" · · · bestehende Homologie

cs+c's'+
~ Ο

sich in eine Gleichung c I s + c ' I S ' + c"IS" + ... = Ο für die entsprechenden Integrale übersetzt. Dieselben Betrachtungen, die eben auf das Integral

j'J'du

dv

angewandt wurden, können Wort für Wort auf das Integral

r =J Jdwdw =J J (^y

jf) « dl

V m*

übertragen werden, wo w =

ux-\-

vy

mit konstanten Größen x, y gesetzt ist und w die zu w konjugierte Größe bezeichnet. Unter den früher gemachten Festsetzungen über die Reihenfolge der Parameter berechnet sich ι ι Isa

=

J ' j V i Vk — Uh Vi) dsids/c

Is^

=

§

(4)

ο οι 1

0

W

k

k Wi) dSidSk

w

0

—

=

1li Vk

Uk Vi,

IVi IVk — IVk Wit /

(Wh =

UhX +

Vhy)·

Da die 6 Ausdrücke (w vk— UkVi) bei allgemein gewählten m, vi linear unabhängig sind, so besteht zwischen den 8m keine Homologie, d. h. die zweite Bettische Zahl P 2 ist gleich 7.

4. Alle bisherigen Überlegungen sind unabhängig von der Existenz zugehöriger vierfach periodischer Funktionen. Wenn aber zu dem gegebenen Periodensystem eine periodische Funktion (p(u, v) existiert, so lassen sich folgende weiteren Schlüsse ziehen. Die Gleichung (5) sp(m, I>) = 0 definiert im (w, v) - Raum eine, evtl. mehrere zweidimensionale Mannigfaltigkeiten (analytische Kurven), denen wegen der Periodizitätseigenschaft der linken Seite ein System von geschlossenen Flächen in Β 120

Ε. Kahler.

130

entspricht. Aus dem rationalen Verhalten von
du

dv

du

dv

~ d J J v ~ ~ T y ~dj

)

~

'

wenn ξ, η zu 8 gehörige Parameter bezeichnen1). Ist nun ick

Cik Sik

die zwischen S und den Sik bestehende Homologie, so gelten die beiden Gleichungen Is

=

Σ ick

Cik Isik

=

Σ Cik (lli Vk — Uk Vi) , ick

Is

=

Σ Cik Isik ick

=

Σ cik (m Wk — Wk W) . ick

Is ist aber gleich Null, da der Integrand wegen (6) verschwindet, und es ergibt sich die Periodenrelation (7)

Σ cik (ui vk ick

-

Uk Vi) =

0.

Es wäre denkbar, daß 0 und somit die a k sämtlich verschwinden. Daß dies nicht zutrifft, lehrt die Betrachtung des Integrals Is. Die Kurve 2 läßt sich auch darstellen als analytische Relation zwischen ν und w = ux-\- vy, wenn χ φ 0 . Dieser Relation entspricht eine gewisse auf der tü-Ebene ausgebreitete Riemannsche Fläche, von der wir nur den Teil τ ins Auge fassen, der dem im Periodenparallelotop Π liegenden Stück α von 2 entspricht. Durch Einführung von Realund Imaginärteil von w als Flächenparameter für α berechnet man für das Integral Is — J J d w d w den Wert ± 2 ^ φ 0 , wo q den im gewöhnlichen Sinne verstandenen Flächeninhalt von τ bezeichnet Man wird q zweckmäßig als den Flächeninhalt der Projektion von α auf die analytische Ebene xu + yv = konst. bezeichnen. Ist χ — 0, aber y φ 0, so führt die zwischen u und w bestehende Relation zu einem ganz entsprechenden Resultat. *) In der Umgebung einer Stelle von Σ, wo ν als Funktion von u holomorph ist, wähle man ζ. B. Real- und Imaginärteil von u als Parameter ξ, η. Aus den CauchyRiemannschen Differentialgleichungen

= —i

und aus -^y = 1,

dann unmittelbar das Verschwinden der Determinante (6).

121

= i folgt

Periodenrelation.

131

Das Integral Is verschwindet demnach nur für χ = 0, y = 0, d. h. der Ausdruck Σ cik (iVi Wk — Wk Wi) i<.k

stellt eine definite Hermitesche Form der beiden Variablen χ, y dar. Es ist bekannt, daß die letztere Bedingung im Verein mit der Gleichung (7) auch hinreichend ist für die Existenz von vierfach periodischen Funktionen. Aus obigem ist weiterhin ersichtlich, daß zwischen zwei beliebigen durch analytische Kurven im (u, dargestellten geschlossenen Flächen S, S' in Β im allgemeinen eine Homologie cS~c'S'

besteht, da sonst die beiden Gleichungen Is = 0, Is — 0 zwei verschiedene bilineare Periodenrelationen ergeben würden, was nur bei den sog. singulären Periodensystemen möglich ist 1 ). ') Vgl. HECKE, Über die Periodenrelation der vierfach periodischen Funktionen. Gött. Nachr. 1914, S. 81 u. f.

122

Über die Integrale algebraischer Differentialgleichungen [8] Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 7 (1930), 355-385 [JFM 56.1054.04]

Eins der wichtigsten und schwierigsten Probleme der Analysis ist die Integration der algebraischen Differentialgleichungen. Im allgemeinen sind die durch eine algebraische Differentialgleichung bestimmten Funktionen transzendenter Natur, aber sie sind gleichsam auf algebraischem Boden gewachsene Transzendente, die ihre Herkunft durch irgendwelche besonderen Merkmale verraten müssen. Das Integrationsproblem besteht gerade darin, die aus algebraischen Differentialgleichungen entspringenden Funktionalrelationen zwischen den auftretenden Variablen durch „innere Symmetrien" zu kennzeichnen. Als der erste umfassende Vorstoß auf dieses Problem ist die Entdeckung des Abelschen Theorems anzusehen. In der Tat gestattet dieses Theorem eine vollständig befriedigende Lösung aller Differentialgleichungen von der Form dy = y>(x)dx, wo y>(x) eine algebraische Funktion von χ allein ist. Sodann hat POINCARÜ, dem das Integrationsproblem besonders am Herzen lag, durch die Aufstellung der fonctions Fuchsiennes und zetafuchsiennes alle für die Integration der linearen algebraischen Differentialgleichungen maßgebenden Gesichtspunkte erfaßt, wenn auch im einzelnen noch manche Fragen zu erledigen sind. Bei den nichtlinearen Gleichungen ist bisher nur in ganz wenigen Fällen eine im obigen Sinne geschlossene Integration gelungen. Die Frage nach Differentialgleichungen, deren allgemeine Lösungen eindeutige Funktionen sind, hat bei Gleichungen 1. Ordnung nur elementare Typen ergeben, und die von P A I N L E V £ entdeckten derartigen Differentialgleichungen höherer Ordnung sind von zu spezieller Struktur, als daß ihre Untersuchung das Integrationsproblem sonderlich fördern könnte. Dagegen betreffen die von P I C A R D eingeleiteten Untersuchungen über die totalen Differentiale auf algebraischen Flächen eine recht wichtige Klasse von Differentialgleichungen 1. Ordnung, nämlich alle die, welche einen algebraischen Multiplikator besitzen. In der vorliegenden Abhandlung wird versucht, durch Betrachtungen aus der Funktionentheorie zweier Variablen einen neuen Zugang zu dem allgemeinen Integrationsproblem zu gewinnen. Tatsächlich führen diese Überlegungen auf eine ausgedehnte Klasse von algebraischen Differentialgleichungen 1. Ordnung, die mit den hyperabelschen Funktionen in 123

Ε. Kahler.

356

engem Zusammenhang stehen und deren nähere Erforschung sowohl im Hinblick auf die Funktionentheorie zweier Variablen wie auf das Integrationsproblem zu wünschen ist. 1. Im folgenden wird das allgemeine Integral (A)

F{x, y) =

konst.

einer algebraischen Differentialgleichung dx

dy

y)

—

y)'

als Funktion der beiden Veränderlichen x, y untersucht. Aus Betrachtungen über die allgemeinen Eigenschaften der Funktion F(x, y) werden einige neue Gesichtspunkte gewonnen, die für die stilgerechte Integration einer Klasse von Differentialgleichungen maßgebend sind. Das Integral obiger Differentialgleichung kann in unendlich mannigfacher Weise auf die Form (A) gebracht werden; denn bezeichnet Φ (w) eine beliebige analytische Funktion von w, so ist neben (A) auch G>[F{x, y)] =

konst.

eine Form des Integrals. Andererseits werden auf diese Weise auch alle möglichen Formen gewonnen. Trotz dieser Willkür in der Wahl der Integralfunktion F(x, y) lassen sich über deren analytische Eigenschaften folgende allgemeinen Aussagen machen: 1. Die singulären Gebilde von Fix, y) bestehen, soweit sie nicht mit d (x u) den Verzweigungskurven des Quotienten - , ' . zusammenfallen, q. y) aus Integralkurven. 2. Setzt man die Funktion F(x, y) längs eines geschlossenen Weges Ό (x Ί/) in der durch , ; bestimmten vierdimensionalen Eiemannschen q (χ, y) Mannigfaltigkeit R analytisch fort, so- erleidet F(x, y) eine Transformation von der Form F'(x,y) = 0>[F(x,y)], wo Φ eine analytische Funktion bezeichnet. Die letztere Eigenschaft legt es nahe, nach solchen Differentialgleichungen zu fragen, bei denen sich eine Integralform F(x, y) finden läßt, deren sämtliche Substitutionen Φ linear sind. Setzt man weiter voraus, daß F(x,y) nur isolierte singulare Kurven besitzt — eine Ausdrucksweise, die später präzisiert wird — so schließt man unter. 124

Integrale algebraischer Differentialgleichungen.

357

Zuhilfenahme des ersten Satzes, daß F(x, y) nur eine endliche Anzahl algebraischer Kurven als Singularitäten besitzt und ferner als Quotient zweier unabhängigen Lösungen eines simultanen Systems 2. Ordnung 9Ζ dx

. 9Ζ rq-Τoy

. Vrz=

92Z dx

0,

9Ζ l·^ dx

.

7

„ =

ο

mit in Ε eindeutigen (im allgemeinen algebraischen) Koeffizienten dargestellt werden kann. Die auf solche Weise ausgewählten Differentialgleichungen bekommen dadurch noch besonderes Interesse, daß die von P I C A R D eingeführten hyperabelschen Funktionen sich ihnen unterordnen.

Einige Tatsachen aus der Theorie der Funktionen zweier komplexen Veränderlichen. 2. Da in den folgenden Untersuchungen viel von Betrachtungen aus der Theorie der Funktionen zweier komplexen Variablen Gebrauch gemacht wird und wegen des noch sehr jugendlichen Stadiums dieses Zweiges die betreffenden Vorstellungen und Ausdrucksweisen noch wenig ausgebildet sind, so seien hier einige Definitionen und Tatsachen aus diesem Gebiete vorausgeschickt. Der Raum der komplexen Variablen x, y ist eine geschlossene vierdimensionale Mannigfaltigkeit Man denke sich die ;r-Ebene und die «/-Ebene stereographisch auf zwei Kugeln Χ, Y bezogen. Die durch Zuordnung der Punkte von X zu denen von Y definierte vierdimensionale Mannigfaltigkeit ist ein anschauliches Bild für den topologischen Charakter von B^1). Insbesondere folgt daraus, daß die beiden unendlich fernen Gebilde (x = oo ,y beliebig), beliebig, y = oo) als geschlossene zweidimensionale Mannigfaltigkeiten (Flächen) angesehen werden müssen, die sich nur in dem einen Punkte {x = GO, y = oo) schneiden. Die Ungleichungen | χ—x01

< ρι,

| y — ?/o I < (?2

(Qi - (?2 hinreichend klein)

definieren eine Umgebung des Punktes (x0, y0), wenn x0, yo endlich sind. Ist x0 = cc, oder y0 = <x>, so ist χ—x0

durch — bzw. y — y0 durch — χ y zu ersetzen. Bei allen unseren Überlegungen, wo auf die Möglichkeit, daß xo oder y0 = <x> sein können, nicht besonders Rücksicht genommen wird, ist in solchem Falle die eben genannte Substitution vorzunehmen. 0 ist das topologische Produkt der beiden zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten X und Y.

125

358

Ε. Kahle*.

Unter einer analytischen Kurve ist die durch eine monogene analytische Relation zwischen χ und y bestimmte zweidimensionale Mannigfaltigkeit im B± zu verstehen. Ist eine solche Kurve Κ in der Umgebung einer Stelle (x 0 , yo) in der Form — x0, y — y0) = Ο darstellbar, wo eine mit Gliedern 1. Ordnung beginnende Potenzreihe bezeichnet, so heißt (xQ, y0) ein einfacher Punkt von K. Eine analytische Funktion F(x, y) kann nie in einem isolierten Punkte singular werden, vielmehr sind im niedersten (bei den Anwendungen allgemeinen) Falle die singulären Gebilde analytische Kurven. Eine algebraische Funktion z{x,y) ist durch eine irreduzible Gleichung f i x , y,z)

= Ο

( / ein Polynom)

definiert. Die singulären Gebilde von z{x, y) sind sämtlich algebraische Kurven, und zwar figurieren sie als Pol- und Verzweigungskurven. Ist η der Grad von f in bezug auf z, so bestimmt die Funktion z{x,y) durch ihre analytische Fortsetzung in bekannter Weise eine über dem (x, ?/)-Raum w-fach ausgebreitete Riemannsche Mannigfaltigkeit B. Setzt man einen bestimmten Zweig z0(x, y) von z(x, y) durch die ganze, hinreichend klein gewählte Umgebung 2 eines Punktes (x 0 , yo) analytisch fort, ohne dabei aus 2' herauszutreten, so heißt die Gesamtheit der hierbei berührten Punkte von Β eine Umgebung des Punktes (x0, y0, z0). Diese Umgebung kann relativ zu B 4 mehrblättrig sein, dann nämlich und nur dann, wenn z0 (x, y) in der Umgebung von x0, y0 verzweigt ist. Es sei (x0, y0, z0) ein Punkt von B, durch den nur eine Verzweigungskurve Q{x, y) = 0, und zwar einfach hindurchgeht. Ein solcher Punkt heißt nach einer von Herrn WIRTINGER 2 ) eingeführten Bezeichnung ein singulärer Punkt 1. Art des Zweiges z0 ix, y). In der Nähe von Or0, y0, z0) bilden dann einige Zweige, etwa z0, Zi, z2, •··, zv-1 der Funktion z{x,y) einen Zyklus, so daß die Umgebung 2 von {XQ, y0, z0) durch eine Entwicklung von der Form JL_

z(x, y) = %ix — x«, y — y0) -f Qv-^{x y—l '•• + Q "

— x0, y — y0) —

y — yo)

gekennzeichnet wird. Dabei bedeuten die Sß* gewöhnliche Potenzreihen in χ—XQ, y — yQ, und es ist vorausgesetzt, daß z{x,y) in ^ endlich bleibt; andernfalls ist das Produkt P(x, y) · z(x, y), wo Ρ ein geeignet gewähltes Polynom bezeichnet, in 2 endlich und daher für dieses eine Darstellung von obiger Form gültig. 2

) Vgl. K. BRAUNEB, Hamb. Abh. 6 (1928), S. 1 - 5 5 .

126

Integrale algebraischer Differentialgleichungen.

359

Ist (x0, y0, z0) ein nicht einfacher Punkt der Kurve Q = 0 oder ein Punkt, der zugleich einer anderen Verzweigungskurve angehört, so nennt man ihn einen singulären Punkt 2. Art des Zweiges z0(x, y). In der Umgebung einer solchen Stelle kann die Verzweigung von z0(x, y) auch nicht zyklisch sein, wie aus den Untersuchungen von Herrn BRAUNER 3 ) hervorgeht. Die singulären Stellen 2. Art sind nur in endlicher Anzahl vorhanden. Als lokale Parameter einer Stelle (x 0 , y0, z0) bezeichnen wir solche komplexe Größen u, ν, durch die die Umgebung von {xQ, y0, z0) eineindeutig auf die („einblättrige") Umgebung des Punktes u = 0, ν = 0 im (u, v)-Raum abgebildet wird. Für eine singulare Stelle 1. Art bestimmen die Gleichungen a(x — x0) + b(y — y0) =

u,

Q{x;y)

=

vv

bei geeignet gewählten Konstanten a, b ein Paar von lokalen Parametern. Für die singulären Stellen 2. Art müßte die Existenz der lokalen Parameter in dem hier definierten Sinne noch genauer untersucht werden. Man sagt, eine auf R erklärte Funktion F{x, y, z) verhält sich an einer Stelle {XQ , yQ, z0) relativ regulär, wenn sie sich in der Umgebung dieser Stelle in Form einer Potenzreihe in den lokalen Parametern u,v — relativ rational, wenn sie sich als Quotient zweier solcher Reihen darstellen läßt. Eine auf R eindeutige Funktion F(x, y, z), die sich überall auf R, evtl. mit Ausnahme gewisser isolierten Stellen (a1? b1} Cj), (a2, b2, <%), · • ·, relativ rational verhält, ist eine rationale Funktion von x, y, z. Beweis. Es seien zy, > · · •, Zn die zur Umgebung eines Punktes (xQ, y0), „über" dem kein Verzweigungsgebilde von z{x, y) liegt, gehörigen η Zweige von z(x, y) und Fr, ···, Fn die entsprechenden Zweige der Funktion F{x, y, ζ). Die Ausdrücke zk(x,y)

=

+

· • · +zkn'Fn

Qc =

0,1,2,...,«—1)

lassen sich unter Vermeidung gewisser isolierten Stellen durch den ganzen (x, y)-Raum eindeutig fortsetzen und zeigen dabei aus Symmetriegründen überall, evtl. mit Ausnahme jener isolierten Stellen, den Charakter einer rationalen Funktion von x, y. Daraus folgt aber4), daß Zk(x, y) eine rationale Funktion von x, y ist. Aus den η obigen Gleichungen bestimmt sich hierauf Fx als rationale Funktion von x, y, zt. Vgl. loc. cit. 2 ), ferner: E. KÄHLEK. Math. Zeitschr. 30, S. 188—204. Zufolge einer leicht beweisbaren Verallgemeinerung des Satzes, daß eine Funktion F(ßc, y), die sich überall im (x, i/)-Raum rational verhält, eine rationale 3)

4)

Funktion ist.

Siehe HUBWITZ. J. f. Math. 95 (1883), S. 201—207.

127

360

Ε. Kahler.

Eine analytische Kurve Κ in R ist, wenn R mehrblättrig ist, durch die zwischen χ und y bestehende analytische Beziehung noch nicht eindeutig festgelegt. Es ist vielmehr nötig, den Verlauf von Κ in den einzelnen Blättern von R zu fixieren, was am besten dadurch geschieht, daß man noch die zwischen χ und ζ bestehende monogene Relation hinzufügt. Ein Punkt (x 0 , y0, Zo) von Κ heißt dann ein relativ zu R einfacher Punkt, wenn sich Κ in den zugehörigen lokalen Parametern u, ν in der Form ν) = ο darstellen läßt, unter eine mit linearen Gliedern beginnende Potenzreihe verstanden. Unter den topologischen Charakteren einer Riemannschen Mannigfaltigkeit R ist von besonderer Wichtigkeit die 1. Bettische Zahl P u welche die um 1 vermehrte Anzahl der in bezug auf Homologien unabhängigen geschlossenen Linien in R angibt. Ist Pt — 1, so nennt man R eine reguläre Mannigfaltigkeit im Gegensatz zu den irregulären, bei denen P 1 > 1 ist.

I. Allgemeine Eigenschaften des Integrals einer algebraischen Differentialgleichung. 3. Die Koeffizienten der Differentialgleichung

m (1) v

'

d F d F ρ — l·J_ q —— = λ0 1 1 dx dy

F

seien rationale Funktionen des durch eine Gleichung w-ten Grades (2)

fix,

y,z)

=

0

in ζ definierten Körpers R. Ohne Einschränkung kann vorausgesetzt werden, daß über den Kurven χ = <x> und y = c© keine Verzweigungsgebilde von ζ (χ, y) liegen, was durch eine einfache birationale Transformation stets zu erreichen ist. Da ρ und q noch mit einem beliebigen Proportionalitätsfaktor versehen werden können, dürfen wir ferner annehmen, daß p, q im Endlichen nirgends unendlich werden. Es soll zunächst gezeigt werden, daß es mit Ausnahme einer endlichen Anzahl von Stellen in der Umgebung eines beliebigen Punktes (x0, y0, z0) von R eine Form des Integrals von (1) gibt, welche sich dort relativ regulär verhält. Dies folgt aus dem Satz von S. v. Kqwalewski. Ist (x 0 , y0, Zo) ein im Endlichen liegender Punkt von R, der auf keiner Verzweigungskurve von z(x,y) liegt und für den nicht beide 128

Integrale algebraischer Differentialgleichungen.

861

Koeffizienten p, q verschwinden, so braucht man nur — wenn ζ. B. q (ft,, Vo, *o) φ 0 ist — die Gleichung (1) in der Form dF dy

__ _p_

q

dF dx

zu schreiben und etwa die für y = y0 sich auf F(x, y0) — CC CCq reduzierende Lösung zu bestimmen, um ein Integral von der verlangten Form zu bekommen. Es sei jetzt (x 0 , y0, z0) ein im Endlichen gelegener einfacher, freier Punkt einer Verzweigungskurve Q(x, y) = Ο von g(x, y), d. h. ein einfacher Punkt von Q = Ο, der nicht zugleich einer anderen Verzweigungskurve angehört. In der Umgebung eines solchen Punktes lassen sich ρ und q in der Form L JL %{x—Xi),y—yo) + Qv' %{x-xo,y—yo)JrQv'%(x—xo,y — yH)'\-'·· v—l • · · + Q r - tyv-i (χ — x0>y— y0) darstellen, wo Sß* gewöhnliche Potenzreihen in (x — x0), (y •—y0) bezeichnen und ν die Anzahl der längs Q = Ο zusammenhängenden Zweige von z(x, y) angibt. Durch die Substitution α (χ — £Co) -f & (y — Vo) = u,

Q {x, y) =

υν,

welche in der Umgebung von x0, y0 bei geeigneten Werten a, b regulär nach x, y aufgelöst werden kann, wird die Umgebung der Stelle {x0,yQ,z0) eineindeutig auf die einfache Umgebung des Punktes u = Ο, ν = 0 im (m, v)-Raum abgebildet. Die Funktionen p, q gehen hierbei in Potenzreihen nach u, ν über, und die Gleichung (1) transformiert sich in (.pux + qiiy)

+ (pvx + qvv)

=

0,

+ (pQx+qQy)^£-

=

0.

d. h. in (3)

ν . (ap + bq) vv~1

Ist der Ausdruck pQx-\-qQy nicht für alle Punkte von Q = 0 gleich Null, so verschwindet er nur für eine endliche Anzahl von Punkten; werden diese ausgeschlossen, so gibt es in der Umgebung jedes der übrigen Punkte (x0> y0, z0) von Q = 0 eine dort reguläre Lösung F (u, v) von (3), die für ν = 0 in F(u, 0) = u übergeht. Verschwindet jedoch pQx-\-qQy für alle Punkte von Q = 0, so ist dieser Ausdruck durch eine gewisse Potenz υλ von υ = Qv teilbar. Der übrigbleibende Faktor 129

362

Ε. Kahler.

pQx+qQy λ Qv

kann dann nur für endlich viele Punkte von Q = Ο verschwinden; diese mögen wieder ausgeschlossen werden. Wenn λ Ο ist, stellt Q(x. y) — 0 eine singulare Lösung der Differentialgleichung (4)

dy_ <1

=

Ρ

dar. Nach Division mit vk erhält man aus (3) eine Gleichung, auf welche dieselben Schlüsse wie oben angewandt werden können. Im Falle λ ν ist Q — 0 eine partikuläre Lösung von (4). Hier kann man in jedem einfachen, freien Punkte von Q = 0 , für den ρ und q nicht gleichzeitig verschwinden, durch passende Wahl von a, b erreichen, daß in dF

=

9u

pQ.r+qQy

dF

ν (α ρ 4- b q)

9 F der Koeffizient von —— regulär ist. ov

9ν

1

Nach dem Satz von Kowalewski

existiert dann eine reguläre Lösung F(u, v), die sich für u = 0 auf F(0, ν) = ν reduziert. Schließlich ist noch das Verhalten im Unendlichen zu untersuchen. Da χ = go keine Verzweigungskurve sein soll und deshalb η verschiedene Kurven auf R darstellt, so gilt in der Umgebung eines allgemein gewählten Punktes (oo, y0, z0) für

f

=

V

eine Entwicklung

« " · * ( ϊ ·

*

mit ganzem m, wo $ eine Potenzreihe in — , y—y0 00

man

=

bezeichnet.

Setzt

u, y—y ( ) = ν und führt dies in (1) ein, so entsteht

0V

0u

J e nachdem ob 2 — m Ξ> 0 odrr m — 2 die folgende Form der Gleichung (]) 9F 9u

um~2 ^{u, 130

ν)

0 ist, wird man diese oder

9 F 9ν

Integrale algebraischer Differentialgleichungen.

363

zur Herstellung einer für die Umgebung von (go, z0) holomorphen Form des Integrals verwenden, und zwar kann die Lösung im ersten Falle durch die Bedingung F(u, 0) = u, im zweiten durch F(0, ν) = ν fixiert werden. Das Verfahren versagt höchstens in denjenigen Punkten, wo die Kurven χ = oo von q(x, y, z) = 0 oder y = co oder einer Verzweigungskurve getroffen werden — im Falle m > 2 sind auch die ρ Stellen, wo —^— verschwindet, auszuschließen —, auf jeden Fall nur Jß in endlich vielen Punkten. Entsprechendes gilt für die Kurven y = <x>. Alles in allem findet die obige Bemerkung ihre Bestätigung. Wir haben überdies gesehen, daß man für jeden der nicht ausgeschlossenen Punkte von R ein relativ reguläres Integral finden kann, dessen Entwicklung mit Gliedern 1. Ordnung in den lokalen Parametern beginnt. Die endlich vielen ausgeschlossenen Punkte mögen im folgenden als die Punkte (ch, h, a) bezeichnet werden. 4. Betrachten wir nun eine ganz bestimmte Form F(x, y, z) = konst. des Integrals in bezug auf ihr Verhalten bei analytischer Fortsetzung auf der zu (2) gehörigen Riemannschen Mannigfaltigkeit E . Ist (x0, y0, Zo) ein Punkt, in dem sich F(x, y, z) relativ regulär verhält, so kann Fix, y,z) längs der ganzen durch diesen Punkt gehenden Integralkurve Κ von

relativ regulär fortgesetzt werden, sofern die Punkte (at, bi, a) dabei gemieden werden. Beweis. Wäre dies nicht der Fall, so müßte man bei analytischer Fortsetzung längs einer Linie L auf Κ — man beachte, daß Κ eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit ist — von (x 0 , y0, z0) ausgehend auf einen Punkt (x1} yx, zt) stoßen, von dem aus F(x, y, z) nicht mehr relativ regulär fortgesetzt werden kann. Daß dies nicht möglich ist, erkennt man folgendermaßen. Wir setzen voraus, daß L durch keinen der oben ausgeschlossenen Punkte geht. Es gibt dann nach § 3 für den Punkt ( x i , y i , Z i ) ein relativ reguläres Integral Fi(x, y, z), dessen Entwicklung nach Potenzen der lokalen Variablen u, ν in einer gewissen Umgebung 2 von (xj, yx, ζι) gleichmäßig konvergiert und außerdem mit Gliedern 1. Ordnung beginnt. Da die Funktion F{x, y, ζ) sich in den zwischen {x0, y0, z0) und (xx, yi, Zt) liegenden Punkten von L relativ regulär verhält, so besteht in einer hinreichend kleinen Umgebung eines solchen Punktes (χ·2, y2, zs), voraus131

Ε. Kahler.

364

gesetzt, daß er innerhalb 2 liegt, zwischen F(x, eine analytische Relation

(5)

F(x,y,x)

=

y, z) und Fx (χ, y, z)

0[Fi{x,y,z)].

Die drei Gleichungen

F> =

0,

3u

=

Ο,

ψ - = ov

0

haben innerhalb 2 nur eine endliche Anzahl von Lösungen gemein, da

8 Fi du

d Fi ov

andernfalls sowohl — — als auch ——- durch Ft teilbar wären und somit für u — Ο, ν = 0, d. h. in (% l} yi, Zi) verschwinden würden. Wir können also den Punkt {x2, y2, z2) = {u2, v2) so wählen, daß die Entwicklung von F\ nach Potenzen von {ii — u2), (ν — v2) folgendermaßen lautet

Fi =

a(u — u2) + b(v — v2) + · · ·,

wo a,b nicht beide gleich Null sind. Es sei etwa & φ 0. Gleichung kann dann für hinreichend kleine | Fi | und u — aufgelöst werden und ergibt für ν — r2 eine Potenzreihe

(6)

V — V., =

—

Ms,

In der Umgebung von (x2, y2, z2) gilt für F(x, eine Entwicklung

F =

Die letztere | nach ν — v2

Fl). yj z) nach Voraussetzung

Co + Ci (u — u2) -f c2 (v — v2) +

Wird hier für ν — v2. der Ausdruck (6) eingeführt, so muß aus der so entstehenden Darstellung von F als Potenzreihe in Fr und u — u2 die Größe u von selbst verschwinden, und man erkennt durch Vergleich mit (5), daß die Funktion Φ für genügend kleine | F x \, etwa für | Fi \ < ρ, regulär ist. Die Beziehung (5), die ursprünglich nur für die nächste Umgebung von (x 2 , y2, z2) ξξξ (u2, v2) aufgestellt war, erklärt die Funktion F in dem ganzen von |F t |<(> aus 2 ausgeschnittenen Gebieter. Insbesondere erlaubt sie, die Funktion F(x, y, z) längs L durch {xx ,y1} Zi) hindurch fortzusetzen, da der innerhalb 2 liegende Teil von Κ auch in Γ enthalten ist. Hiermit ist die obige Behauptung bewiesen. Wenn sich also F(x, y, z) in einem der nicht ausgeschlossenen Punkte (x0, yo, Zo) relativ regulär verhält, so gilt dies für die ganze durch (xq, y0, z0) eindeutig bestimmte Integralkurve Κ mit Ausschluß der evtl. auf Κ liegenden Punkte (α*, h, a). Zeigt jedoch F(x, y, z) in (x0, y0, z0) singuläres Verhalten, so ist Κ für F eine singulare Kurve. Die Singularitäten einer Integralfunktion verteilen sich demnach auf eine endliche oder unendliche Anzahl von Integralkurven. 132

Integrale algebraischer Differentialgleichungen.

365

Daß bei dem Beweise gewisse Punkte ausgeschlossen wurden, ändert am Resultat nichts; denn eine analytische Funktion zweier Variablen kann keine isolierten singulären Punkte besitzen. 5.

Die in § 3 gewonnene Erkenntnis, daß es für jede von den Punkten (cii, bi, a) verschiedene Stelle (x0, yo, z0) ein relativ reguläres Integral gibt, dessen Entwicklung nach Potenzen der lokalen Parameter u, ν mit Gliedern 1. Ordnung beginnt, ermöglicht in einfacher Weise, die Existenz und Unität einer durch (x0, y0, z0) gehenden Integralkurve zu beweisen. Es sei F (u, v) eine derartige Integralfunktion und ^

du p'(u, v)

dv q'(u, ν)

die nach u, ν transformierte Differentialgleichung (4). Da F (u, v) der Gleichung (8)

+ Oll

ov

genügt, so wird durch (9) F(u, ν) = 0 eine durch (a?0, yo, Zo) gehende Integralkurve festgelegt. Andererseits folgt aus (7) und (8), daß jede Lösung von (7), die sich in bestimmter Weise dem Punkte yo, ?o) nähert, der Funktion F(u, v) einen konstanten Wert erteilt, und zwar den Wert 0, weil F{u, v) für u — 0, ν = 0 verschwindet. Wegen des Auftretens von Gliedern 1. Ordnung bestimmt aber die Gleichung (9) nur eine Kurve. In den Punkten (α,, bi, ci) zeigen die Integralkurven im allgemeinen ein ganz anderes Verhalten. Es ist ζ. B. bekannt, daß sich an die Ρ Q.

Stellen, wo der Quotient — unbestimmt wird, im allgemeinen Falle eine unendliche Anzahl von Integralkurven heranwindet. Eine einzelne Integralkurve Κ kann sich nur in den Punkten {cti, bi, Ci) unbestimmt verhalten; denn in jedem anderen Punkte ist der Verlauf von Κ durch eine Gleichung von der Form (9) bestimmt. Was jedoch im obigen Unitätsbeweis zu dem Zusatz „sich in bestimmter Weise dem Punkte (xo,yo,Zo) nähernd" zwang, ist folgender Umstand. Faßt man von jeder durch die Umgebung 2 von (x0, y0, Zo) gehenden Integralkurve nur den in 2 liegenden Teil ins Auge, so geht durch jeden Punkt eine und eine Lösungkurve. Es kann aber vorkommen, daß von diesen Teilen eine endliche oder unendliche Anzahl nur die analytische 133

Ε. Kahler.

366

Fortsetzung· einer und derselben Kurve K ' ist. Ist dies der Fall und häufen sich die betreffenden Kurventeile gegen die durch (a?0, y0, z0) bestimmte Integralkurve K , so könnte man auch K ' als eine durch (x0, y0, z0) gehende Lösung bezeichnen. Ein einfaches Beispiel hierfür liefert die vielzitierte Gleichung dy = d QC

!/* oc

Schreibt man das Integral in der Form y 1

log»

^ c

r - ^' -—-- der Integrationskonstanten für alle 1 + 2 vtcic ganzen ν dieselbe Integralkurve K' dar. Jede Integralkurve mit c φ 0 nähert sich asymptotisch der Kurve y = 0, die selbst Integralkurve ist. Man pflegt derartige Unbestimmtheiten nur dann zu erwarten, wenn die Differentialgleichung in der Umgebung einer Stelle u = 0, υ = 0 die Form = vfi< P( u > v ) (^>0, Ψ holomorph) et t( so stellen die Werte cv =

/

annimmt. Daß dem nicht so ist, daß vielmehr jede Integralkurve eine Häufungskurve sein kann, sieht man aus folgendem Beispiel. Es sei ÖJ CO —— Ψ (χ) ein nicht reduzierbares Abelsches Integral vom Geschlecht ρ > 1. Bei der Differentialgleichung dx — ψ (χ) dy = 0 zeigt dann jede Kurve dx φ{χ)

>J

—J

=

den genannten Häufungscharakter. 6.

Das Integral einer Differentialgleichung 1. Ordnung besitzt noch eine andere allgemeine Eigenschaft. Es seien F{x, y, z) = konst. eine Form des Integrals und F1(x, y, z), F2(x,y,z) zwei beliebige in der Umgebung eines Punktes (x0, y0,z0) relativ reguläre Zweige der Funktion F(x, y, z). Da F^ und F2 der Differentialgleichung aφ dip 0 jp-τox oy = 134

konst.

Integrale algebraischer Differentialgleichungen.

367

genügen, so besteht für eine hinreichend kleine Umgebung von (x0, y0, z0) eine analytische Relation (10) Ft = Φ (Fx), wo Φ (w) eine in der Umgebung von iv0 = F\ (x0, yQ, zQ) algebroide Funktion von w bezeichnet. Führt man nämlich lokale Parameter u, ν ein, so stellen sich Fx und F2 dar als reguläre Potenzreihen in u, v. Wenn aber zwischen zwei solchen Reihen eine Relation von der Form (10) besteht, kann Φ(ιν) in w0 höchstens eine algebroide Singularität besitzen. Sämtliche Zweige Fx, F2, Fz, ··• von F(x, y, ζ), die sich in der Umgebung von j 2/o, z0) relativ regulär verhalten, lassen sich mithin aus einem beliebigen dieser Zweige, etwa aus Fi, durch analytische Transformationen von der Form

F2 = Φ2^χ),

F, = Φ3(F^,

...

ableiten. Setzt man die beiden Zweige Fx, F2 längs eines von (x0, y0, z0) ausgehenden Weges L in R analytisch fort, so bleibt nach dem Prinzip der Invarianz von Funktionalgleichungen die Beziehung (10) längs L bestehen. Man kann daher, sofern sich Fx auf L relativ regulär verhält, das Verhalten von F2 mit Hilfe der Substitution Φ(ιν) in folgender Weise bestimmen. Durchläuft der Punkt (x, y, z) die Linie L , so beschreibt die Wertefolge w = Fx(x, y, z) einen eindeutig bestimmten Weg l in der υ-Ebene. Wir können uns (xQ,yo.z0) so gewählt denken, daß Φ(tv) in w = iv0 holomorph ist. Bei der analytischen Forsetzung von Φ(ιν) längs l kann es passieren, daß man auf eine Singularität w = wt von Φ(ιν) stößt. Ist tvi eine wesentlich singuläre (d. h. nicht algebroide) singulare Stelle für Φ(ιν), so kann der Zweig F2(x, y, z) nicht auf der ganzen Linie L fortgesetzt werden; denn da Fx(x,y,z) sich auf L überall relativ regulär verhält, zeigt die Funktion

F.* =

Φ(^(χ,ν,ζ))

in der durch Fx(x, y, z) = w\ bestimmten Kurve wesentlich singuläres Verhalten. Wenn jedoch wx nur eine algebroide singuläre Stelle ist und daher Φ(ιό) in der Umgebung von wx nach ganzen Potenzen einer 1 m Größe (w — wx) entwickelt werden kann, so gehört zu n\ — Fl(x}y,z) höchstens eine relativ algebroide Singularität, d. h. F2 ist eine algebroide Funktion der lokalen Parameter. Dabei kann es vorkommen, daß F2 relativ regulär ist, obwohl Φ(ιυ) sich algebroid singular verhält. Jedem von (x(j, y0, Zo) ausgehenden geschlossenen Wege L in R, auf dem sich Fx(x, y, z) relativ regulär fortsetzen läßt, entspricht eine 135

Ε. Kahler.

368

Substitution Φ (w), welche den Ubergang von dem ursprünglichen Zweige Fx{x,y, z) zu dem nach Rückkehr zum Ausgangspunkt sich ergebenden Zweige F2(x, y, z) vermittelt. Der Gesamtheit aller derartigen Linien L in R entspricht eine abzählbare Menge Μ von Substitutionen Φι(ιν), Φ2(ιυ), Φ3(ιν), ··· — abzählbar deshalb, weil der Definitionsbereich von F(x, y, z) durch eine abzählbare Menge von Hyperkugeln, in denen sich F(x, y, z) relativ regulär verhält, ausgeschöpft werden kann. Gehören zu den Wegen Ly, L2 bzw. die Substitutionen Φί} Φ2 und läßt sich neben Fx auch t (Fi) längs analytisch fortsetzen, so gehört zu dem Wege LY L2, der durch Zusammensetzung von Lι und L2 entsteht, die Substitution Φχ [Φ2 . In diesem Sinne könnte man von einer Gruppeneigenschaft der Menge Μ sprechen. Eine Gruppe im strengen Sinne bilden die Substitutionen Φ{ιυ) dann und nur dann, wenn sie umkehrbar eindeutige, d. h. lineare Funktionen sind. Die Gestalt der Substitutionen Φ (w) ist natürlich in hohem Grade abhängig von der Wahl der Integralform. Schreibt man ζ. B. das Integral der Gleichung dy = in der Form

(ν^4χ3 — gtx — g-A = z)

X

F{x, y,z) _

y—

J

I

V4:xa—g2x

— ga

=

konst.,

so haben die Substitutionen Φ die Gestalt Φ(w) = w + mi ωί + m2co2, wo «χ, oo2 zwei primitive Perioden des elliptischen Integrals, wij, ma ganze Zahlen bedeuten. Setzt man aber das Integral in der Form F*(x, y, z)

p{F{x, y, z)\(ou ω2) =

konst.

an, so ist F*(x, y, z) eine eindeutige Funktion des Körpers der rationalen Funktionen von x, y, 0 und Μ besteht nur aus der Einheitssubstitution ®(w) = w.

II. Integrale mit linearer Monodromiegruppe. 7.

Das Problem der Integration algebraischer Differentialgleichungen besteht darin, aus der unendlichen Mannigfaltigkeit der verschiedenen zu derselben Differentialgleichung gehörigen Formen des Integrals die136

Integrale algebraischer Differentialgleichungen.

369

jenigen mit den einfachsten analytischen Eigenschaften auszuwählen und analytisch darzustellen. Die oben erkannten allgemeinen Gesetzmäßigkeiten der Integralfunktionen ermöglichen es, diese noch unbestimmte Fassung des Problems durch einige Forderungen zu ergänzen. Es wird dann unsere Aufgabe sein, zu untersuchen, wieweit diesen Bedingungen genügt werden kann. Zu einer ersten Kennzeichnung des Integrals F(x, y, z) wollen wir die Forderung wählen, daß die singulären Kurven von F, die ja immer Integralkurven der betreffenden Gleichung sind, nur isoliert auftreten. D. h.: ist (x0, yo, zo) eine von den Punkten (α*, h, a) verschiedene Stelle, in der sich ein bestimmter Zweig Fx der Funktion F(x, y, z) singular verhält und Κ die durch {xQ, yQ, z0) bestimmte Integralkurve, so zeigt Fi (χ, y, z) in hinreichend kleiner Umgebung von ix0, > ^o) nur in Κ singuläres Verhalten. Insbesondere darf also F(x, y, z) keine natürlichen Grenzen besitzen. Eine bestimmte Integralform F(x, y, z) definiert eine Reihe von analytischen „Monodromiesubstitutionen" Q>i{w), Φ 2 («0, ···, durch welche die Verzweigungsart von F{x, y, z) gekennzeichnet wird. Die Gesamtheit dieser Substitutionen bildet dann und nur dann eine Gruppe Γ, wenn die Φϊ(ιν) lineare Funktionen sind. Wir werden daher zur weiteren Auswahl der Integralfunktionen die Forderung stellen, daß ihre verschiedenen Zweige durch lineare Substitutionen zusammenhängen. Aus diesen Voraussetzungen läßt sich bereits folgendes schließen: Die singulären Kurven von F(x,y,z)t die eine wesentliche 5 ) Singularität relativ zu Ε bedeuten, sind sämtlich algebraische Kurven und treten nur in endlicher Anzahl auf. Die Monodromiegruppe Γ wird aus endlich vielen Elementen erzeugt. Es sei Κ eine wesentlich singulare Kurve und (x0, y0, z0) ein von den (a-i, h, d) verschiedener, d. h. einfacher, freier Punkt von K. Ferner sei Fi(x, y, z) ein Zweig der Funktion F(x, y, z), der für eine gewisse Umgebung von (XQ, yQ, z0) erklärt ist und sich in Κ wesentlich singulär verhält. Dabei können wir uns 2 so klein gewählt denken, daß außer Κ durch 2 keine weitere wesentlich singulare Kurve von F.[ hindurchgeht. Jeder andere zur Umgebung von (XQ, yo, zo) gehörige Zweig F 2 geht aus Fx durch eine lineare Transformation hervor. Daraus folgt, daß F2 ebenfalls in ganz 2 erklärt ist und dort nur längs Κ wesentlich singuläres Verhalten zeigt. Die wesentlich singulären Kurven erfassen daher alle relativen Zweige von Fix, y,z) in gleicher Weise. Sind y = f{x), ζ = g{x) die Gleichungen der Kurve K, so ist die Funktion f{x), da Κ eine Integralkurve ist, nach bekannten Sätzen in 5

) Als wesentlich sing-ulär ist dabei jede von einer Polkurve verschiedene Singularität anzusehen.

137

Ε. Kahler.

370

der ganzen «-Ebene mit Ausnahme der Punkte 00 Cti algebroid fortsetzbar. Sie erklärt daher eine über der «-Ebene ausgebreitete Riemannsche Fläche ψ, welche höchstens die Punkte χ = oa als Grenzpunkte hat. Hätte nun ψ unendlich viele Blätter, so würden die zu einem allgemein gewählten Wert x0 gehörigen Punkte von Κ einen Häufungspunkt (,τ0, y*, z*) auf R aufweisen und die durch (x0, y*, 2*) gehende Integralkurve wäre eine nicht isolierte singuläre Kurve gegen die Voraussetzung. Die Fläche ψ hat also nur endlich viele Blätter. Analog erkennt man, daß auch die Umkehrungsfunktion χ = h{y) von fix) eine endlich vieldeutige Funktion vom selben Typus wie fix) ist, womit die algebraische Natur der Kurve Κ bewiesen ist. Die wesentlich singulären Kurven können auch nur in endlicher Anzahl vorhanden sein, da sonst ebenfalls eine Häufung der Singularitäten auftreten würde. Mit K1} K2, · · · , Κμ seien die singulären Kurven von F{x, y, z) bezeichnet, die eine Verzweigung relativ zu R bewirken. In R ziehe man von einem beliebigen Punkte (.r0, y0, e0) aus lauter geschlossene Linien L , welche die Kurven K i nicht schneiden. Sieht man zwei solche Wege als nicht verschieden an, wenn sie sich ohne Überschreitung der Ki stetig ineinander überführen lassen, so bildet die Gesamtheit der L in bezug auf ihre Zusammensetzung eine Gruppe O, zu der die Gruppe Γ der Monodromiesubstitutionen isomorph ist. Jeder Weg L läßt sich nach PICARD 6 ) unter Vermeidung der Kurven iT« bei festgehaltenem Anfangs- und Endpunkt («0, y0, Za) in R so deformieren, daß er in die durch χ — X(i aus R ausgeschnittene zweidimensionale Mannigfaltigkeit Mx zu liegen kommt, wenn der Wert x0 hinreichend allgemein gewählt ist. Der topologische Charakter von MX(J entspricht dem der Riemannschen Fläche ψ der Kurve f i x a , y , z ) = 0. Da nun jeder Weg L in MXQ, welcher die endlich vielen Schnittpunkte von MXQ mit den Ki nicht trifft, aus endlich vielen Elementarwegen zusammengesetzt werden kann, so wird auch G und daher Γ aus endlich vielen Elementen erzeugt. Einige weitere topologische Betrachtungen, die später Anwendung finden werden, seien gleich an dieser Stelle angeführt. Man ziehe von ix0, yo, 20) aus eine die K i nicht treffende Linie l in die Nähe eines einfachen, freien Punktes (xx, yx, ζ·ι) einer Kurve Kv — d. h. eines Punktes, der keiner anderen singulären Kurve Ki angehört — und anschließend in der nächsten Umgebung von (χι,ρι,Ζχ) eine geΧ -1 schlossene Linie Γ. Den Weg L = ΙΓΙ~ , wo Z den rückwärts durchlaufenen Weg l bezeichnet, nennen wir eine Umkreisung von Kv. Sind 6)

Siehe

Picard-Simakt,

Fonctions algebriques de deux variables independantes,

I, p. 68.

138

Integrale algebraischer Differentialgleichungen.

371

α, ν lokale zu , yx, gehörige Variable und ist qv{u, ν) = Ο die Darstellung von Kv, so heiße L insbesondere eine einfache positive Umkreisung von Kv, wenn sich der Ausdruck log qviu, v) beim Durchlaufen von γ um -j-2 πϊ ändert. Der Punkt (xt, yl7 zx) soll als Mittelpunkt, die Linie l als die Zuleitung von L bezeichnet werden. Zwei einfache positive Umkreisungen mit derselben Zuleitung sind topologisch äquivalent, d.h. sie bestimmen dasselbe Element der Gruppe 6r. Denn die zu derselben Zuleitung gehörenden Umkreisungen bilden eine zyklische Untergruppe von G, welche von einer einfachen positiven Umkreisung erzeugt wird. Eindeutige Integralfunktionen. 8. Der einfachste Fall, der unter den gemachten Voraussetzungen eintreten kann, ist der, wo die Monodromiegruppe Γ nur aus einem Element, der Einheitssubstitution Φ (w) = w, besteht. Dies bedeutet, die Funktion Fix, y, ζ) ist relativ zu R eindeutig. Die Bedingung, daß die singulären Kurven nur isoliert auftreten sollen, führt hier zu dem Schluß, daß alle singulären Kurven, auch die relativen Polkurven, algebraisch sind und nur in endlicher Anzahl auftreten. Der Fall einer algebraisch integrierbaren Differentialgleichung ordnet sich dem hier betrachteten unter. Hat nämlich eine Gleichung (1!)

y, z

)

+

y

,

z) =

ο

ein algebraisches Integral Ψ ix, y) =

konst.,

so gibt es immer auch eine im Körper R rationale Form des Integrals. Es seien ipiix, y, ζ), ψ* ix, y, z), · · ·, *pmix, y, z) die verschiedenen zu einer Stelle (a?0, y
ρ (·*, y,z) +

qix, y,z)

(«' =

l , 2, · · ·, m)

in der Umgebung dieser Stelle verschwinden. Setzt man die m Funktionen tpi längs eines beliebigen in R geschlossenen Weges analytisch fort, so stößt man nur auf relativ algebroide Singularitäten und die nach Rückkehr zur Stelle (a?0, yo, ZQ) resultierenden Zweige sind bis auf die Reihenfolge mit den ipt identisch, da der Ausdruck dtp

dip

139

372

Ε. Kahler.

auch für diese Zweige verschwindet. Jede symmetrische Verbindung der ψϊ ist daher eine bezüglich Β eindeutige algebraische Funktion, d. h. eine rationale Funktion von x, y, z. Da von diesen Verbindungen wenigstens eine nicht konstant ist — andernfalls wäre ψ(χ, y) selbst eine Konstante — und der Gleichung (11) genügt, so erhält man auf diese Art eine rationale Form des Integrals. Integrale mit Abelscher Monodromiegruppe.

9. Bevor wir zu den allgemeinen linearen Monodromiegruppen übergehen, sei dem Fall, wo sämtliche Elemente der Gruppe Γ untereinander vertauschbar sind, eine besondere Betrachtung gewidmet. Wenn zwei lineare Substitutionen vertauschbar sind, so haben sie gleiche Fixpunkte und umgekehrt. Durch Ausübung einer geeigneten linearen Transformation auf die Integralfunktion F(x, y, z) kann man daher erreichen, daß alle Substitutionen von Γ entweder die Form Φ iw) = w-\-a oder 0 ( w ) = w· α haben. Trifft das letztere zu, so haben die Substitutionen von log F(x, y, z) die Gestalt Φ(ιν) = tv-{-a und es genügt deshalb, den ersten Fall zu behandeln. Haben die Substitutionen von F die Form Φ.(ιν) = ιν + α, so sind 3F dF sowohl —— als auch —— relativ zu Β eindeutige Funktionen Pix, y, z) οχ οy bzw. Q(x, y, z) mit isolierten Singularitäten, woraus man wie oben schließen kann, daß die letzteren sämtlich algebraische Kurven sind. Die Differentialgleichung dx p(x,y,z)

dy q{x,y,z)

besitzt dann den in Β eindeutigen Multiplikator =

Pjx, y, ζ) q(x,y,z)

Qix, y, z) p{x,y,z)'

=

Umgekehrt führt bei Existenz eines solchen Multiplikators der Ansatz οχ

=

Q(x> y>z) ·

y> z)>

öy

=

~ Q(x> y>

Q ( X , I J , Z)

Vi

auf eine Integralfunktion, deren Monodromiesubstitutionen die Form w = w + α haben. Da außer evtl. χ — <x> oder y = oo jede relative Polkurve von (jFx, y, z) auch für P{x, y, z) und Q(x, y, z) Polkurve ist, sind auch die Polkurven von Fix, y, z) nur in endlicher Anzahl vorhanden und sämtlich algebraisch. 140

Integrale algebraischer Differentialgleichungen.

373

Über das Verhalten der Funktion F(x, y, z) in der Nähe der relativen Verzweigungskurven Κ γ , K 2 , · · ·, Κ μ läßt sich aus der Kenntnis der Monodromiegruppe folgendes aussagen. Es sei Σ die hinreichend klein gewählte Umgebung eines Punktes (x0, i/o, Zo), durch den die Kurven ~KX, K2, · · ·, Kv (1 v) hindurchgehen mögen. In den zugehörigen lokalen Parametern seien
IJ =

Ι'γΐ~\

wo l, ΐ die Zuleitungen von L, U bezeichnen. Dann ist ΐ Jr1 eine geschlossene L i n i e n , zu der die Monodromiesubstitution w' = w-\-b gehören möge. B e s t i m m t e die Substitution w = w-\-a, so gehört zu U = i'yi'-1 =

= st L J ~ X

die Substitution tv — w-\-b-\-

a — b — ιυ -f- α,

also dieselbe wie zu L . Hieraus schließt man weiter, daß zwei beliebigen Umkreisungen Ll} L2 von qi(u, ν) = 0 dieselbe Substitution w = iv-\-ai entspricht. Denn die Mittelpunkte {ih, Vi), (w2, v2) von Lt, L2 kann man stets durch eine auf der Kurve q%{u,v) — 0 verlaufende und den Punkt (u = Ο, ν = 0) meidende Linie c verbinden. Indem man L x so verschiebt, daß der Mittelpunkt {ui, vi) längs c wandernd in (u2, v2) übergeht, wird man auf den eben behandelten Fall gleicher Mittelpunkte geführt. Bilden wir nun den Ausdruck ψ(ιι, ν) = F{x, y, z)—

et

log qi(u, v) —

141

Cl

log q2(u, v)

374

Ε. Kahler.

so bleibt dieser bei jeder Umkreisung der singulären Kurven ungeändert, weil sich bei einfacher positiver Umkreisung von quin, ν) = 0 F und CLk

—r log qk um + Uk ändern, während alle übrigen Logarithmen ungeändert & 7t % bleiben. Da sich nun jeder Weg L in 2 aus Umkreisungen der qi = 0 zusammensetzen läßt, ist ψ(ιι, ν) eine in-Σ eindeutige Funktion von u, v. In der Umgebung der Stelle (x0, yo, läßt sich demnach die Funktion F(x, y, z) in der Form ψ(ιι, v) +

Fix, y, z) =

log qx (u, v) + ~~

t

^ TT Ί,

log q2 (u. v) + . ··

£ TT %

darstellen. Ganz analog wie oben zeigt man, daß zu allen, auch den nicht auf 2 beschränkten Umkreisungen einer singulären Kurve Ki dieselbe Substitution w = w + α gehört. Handelt es sich insbesondere um den Körper der rationalen Funktionen von x, y und sind Qi(x>y)

=

Qi(z,y)

=

0,

···,

QiU(x,y)

=

0

die Gleichungen der Kurven Ki, welche wir als von den unendlich fernen Gebilden χ — oc bzw. y — cc verschieden voraussetzen können, so ist der Ausdruck Ψ(χ,ν)

=

F(x, y)—

1ο

δ' Q-i(x,y)~

2

^

7

y

)

— ···

eine eindeutige Funktion von x, y, da jeder die IU nicht treffende Weg in R sich aus Umkreisungen der Ki zusammensetzen läßt und ψ bei jeder Umkreisung invariant ist. Die bereits sehr entwickelte Theorie der totalen Differentiale auf algebraischen Flächen gestattet auch bei allgemeinen algebraischen Körpern eine vollständige Übersicht über die bei Existenz eines in R eindeutigen Multiplikators möglichen Integraltypen. Die Differentialgleichungen mit algebraischem Multiplikator definieren ein totales algebraisches Differential aufiü, und dessen Integral ist eine Funktion von der in diesem Paragraphen geforderten Beschaffenheit. Man teilt diese Funktionen ein in drei Gattungen, und zwar gehört ein solches Integral F(x, y, z) zur 1. Gattung, wenn es sich überall in R relativ regulär, zur 2. Gattung, wenn es sich überall relativ rational und schließlich zur 3. Gattung, wenn es wesentliche Singularitäten relativ 142

Integrale algebraischer Differentialgleichungen.

375

zu R benutzt, welche dann nur logarithmischer Natur sein können. Nach einem von P I C A R D und S E V E R I bewiesenen Theorem 7 ) kann man in R eine bestimmte Anzahl ρ von algebraischen Kurven Ci, C2, · · ·, C9 finden von der Art, daß es stets ein Integral 3. Gattung gibt, welches sich in Ci, C2, · · · , Qe und einer beliebig hinzugenommenen Kurve C logarithmisch singular verhält und sonst nirgends, daß es dagegen keine Funktion gibt, die nur in den Kurven C\, Ci, · · ·, CQ relativ zu R verzweigt, und zwar logarithmisch verzweigt ist. Diesem Satz entspricht in der Funktionentheorie einer Variablen die topologisch begründete Tatsache, daß ein Abelsches Integral 3. Gattung mindestens zwei logarithmische Punkte haben muß. Ist nun Fix, y, ζ) irgendeine Integralfunktion auf R mit Abelscher Monodromiegruppe und bezeichnen wie oben K\, K 2 , · · ·, Κκ die relativen Verzweigungskurven von F, w = w-\- ax, w = iv-\-a2, · · ·, w = ιν-\- ai die entsprechenden Monodromiesubstitutionen, so bilde man die Integrale 3. Gattung ^{χ,ι/,ζ), J2(x,y,z), ···, Ji{x,y,z), welche bzw. in Klf Κ, - ·, Kx und in einigen oder allen Kurven C\ logarithmisch singular werden. Wir können noch Jv (x, y, z) so normieren, daß es sich bei einer einfachen positiven Umkreisung von Kp um + 1 vermehrt. Der Ausdruck

5p{x,y, z) = F(x, y, z) — alJi — aiJ2

—«λ Jk

stellt dann eine Integralfunktion dar, die höchstens in den Ci logarithmisch singular wird, woraus nach der Erklärung der C\ folgt, daß sie überhaupt keine relativen Verzweigungen aufweist. Trotzdem braucht ψ{χ,ν,ζ) noch keine eindeutige Funktion auf R zu sein. Ist nämlich die erste Bettische Zahl P x des vierdimensionalen Riemannschen Raumes R größer als 1, so werden den (Px — 1) unabhängigen geschlossenen Wegen in R im allgemeinen ebenso viele Perioden von ψ{χ, y, z) entsprechen. Nun kann man aber, genau wie bei gewöhnlichen Abelschen Integralen, eine solche Linearkombination Pi-l

Σ

1

Jv

aus Pi — 1 linear unabhängigen totalen Integralen 2. Gattung finden, daß die Perioden der Differenz P.-l

φ {x, y, ζ)— Σ bvJr = ψ(x, y, z) 1

sämtlich gleich Null sind und daher ψ(χ, y, z) eine in R Funktion ist 8 ). 7

eindeutige

) Siehe PICARD-SIMART, Fonctions algöbriques de deux variables, tome II, p. 241 und Note V, p. 498. s ) Bei Existenz eines algebraischen Multiplikators ist ψ (sc ,y,z) sogar rational.

143

376

Ε . Kahler.

Wenn also eine Differentialgleichung aus R einen in R eindeutigen Multiplikator besitzt — es genügt übrigens vorauszusetzen, daß ein endlich vieldeutiger Multiplikator existiert, da daraus schon die Existenz eines eindeutigen folgt — so gestattet ihr Abelsches Integral Fix, y, z) eine Darstellung von der Form λ Ρ,-1 ν F(x,y,z) = Σ α,Ιν+ Σ^ buJL + ψ(χ, y, ζ). 1 1 Besonderes Interesse verdient der Fall P t = 1. Dann reduzieren sich die Integrale 3. Gattung nach SEVERI9) auf Logarithmen rationaler Funktionen aus R und es ergibt sich, daß in solchen algebraischen Körpern alle Differentialgleichungen mit algebraischem Multiplikator in der elementaren Form λ F(x, y, ζ) = Σν ay logRr(x. y, ζ) + y, z) ι integriert werden können, wo R v und ψ rationale Funktionen bezeichnen. Integrale mit hyperabelscher Monodromiegruppe. 10.

Wesentlich weitergehende Resultate liefert die Untersuchung des allgemeinen „hyperabelschen" Falles, wo die Monodromiesubstitutionen beliebige lineare Substitution sind. Dabei wollen wir den Fall ausschließen, daß die Monodromiegruppe F von F(x, y, z) eigentlich diskontinuierlich ist, weil sich dann auch eine eindeutige Integralfunktion finden läßt. Ist nämlich g{w) irgendeine zur Gruppe Γ gehörige eindeutige automorphe Funktion, so ist g{F(x, y, z)) = konst. eine eindeutige Form des Integrals. Gehört bei einer solchen Integralfunktion F(x, y, ζ) zu einem geschlossenen Wege L die Substitution w

=

XX' γw + ο

(«d— β γ =

so erleiden die beiden Funktionen _ 1 /9F \ 2 (12) Zdx,y,z) = F· — , 7 ,9 Xj

Z2(x,y,z)

1),

/9 F \dx

_1

bei analytischer Fortsetzung längs L die lineare Transformation

( 1 3 )

n

Z[ =

ccZ^ßZz,

% =

rZi + tZ*.

) Siehe etwa loc. cit. 7 ). p. 498.

144

Integrale algebraischer Differentialgleichungen.

377

Setzt man, unter Cj, c2 willkürliche Konstanten verstehend, Ζ =

c1Z1 + c2Z2

und bezeichnet mit D, D', D" irgend drei Differentialoperatoren von der gm+w Form

m 8

n

, so gibt die Entwicklung der identisch verschwindenden

Determinante

D'Z

D" Ζ

DZ1

D'Zy

D" Zv

DZz

D'Zz

D" Z2

0

nach den Elementen der 1. Zeile eine Gleichung aDZ+biyz+cD"Z

=

0,

wo a : b : c gleich dem Verhältnis der aus der 2. und 3. Zeile gebildeten Minoren ist. Dieses Verhältnis ist aber wegen (13) bei analytischer Fortsetzung längs eines beliebigen geschlossenen Weges in R invariant, und daher können a,b, c als in R eindeutige Funktionen gewählt werden. Insbesondere bestehen also die Gleichungen r2

9Ζ . 9Ζ . r. "7ΓΤ- + ri dx + r0Z = dy

II

d2Z 9* dx

III

h*

0,

9Ζ

d2Z ι + 9 y*

dy +

0,

mit in R eindeutigen Koeffizienten. Die Funktion Fix, y, z) hat nach einer früheren Überlegung nur eine endliche Anzahl von algebraischen Kurven Κ1,Κ2.··',Κμ als wesentlich singulare Gebilde. Führt man die Ausdrücke (12) tür Zx, Z2 in die Unterdeterminanten ein, denen die Koeffizienten von I, II, I I I Ύ* proportional sind, so erkennt man, daß jeder der Quotienten 1 0 r2 r2 Αι Κ5 — — — , τ - sich als rationale Funktion von F(x, y, z) und einigen g » ' g2' h 2 ' h2 Λί*

Ableitungen von F darstellen läßt. Wir schließen daraus, daß diese Ausdrücke höchstens die Kt als wesentlich singulare Kurven besitzen können. Aus I ist zu ersehen, daß der Quotient F — Zx : Z2 der Gleichung 9F , dF η b r2 —— = 0 dx dy —

145

Ε. Kahler.

378

genügt. Für r1} r 2 können also die in der zugrunde gelegten algebraischen Differentialgleichung dx p(x,y,z)

dy q (x, y, z)

auftretenden rationalen Funktionen ρ , q gewählt werden. Ein aus zwei Gleichungen von der Form I, II bestehendes System von simultanen partiellen Differentialgleichungen — die Gleichung III läßt sich aus I und II ableiten — kann nicht mehr als zwei linear unabhängige Lösungen Zlf Z.2 besitzen. Denn da zwischen Zx und Ζ8 keine Relation von der Form =

l[y).Zu

mit nur von y abhängigem λ bestehen kann — weil sich aus I sofort 9λ -— = Ο ergeben würde — wird die Gleichung II allgemein durch 9y

Z =

cMZi

+

CiMZi

integriert, wo ct (y), c2(y) willkürliche Funktionen von y bezeichnen. Durch Einführung dieses Ausdrucks in I erhält man

d. h. deι r - v - = 0,

dc2 j = 0,

dy

dy

, w. z. b. w.

Mit Hilfe der Gleichungen I und II lassen sich sämtliche Ab9Ζ leitungen von Ζ linear durch zwei von ihnen, etwa durch Ζ und —— 9χ ausdrücken. Damit jedoch diese Bestimmung nicht zu Widersprüchen führt, müssen gewisse Integrabilitätsbedingungen erfüllt sein. Berechnet 9* Ζ man nämlich die Ableitungö „ ~2 — auf zwiefache Weise, indem man 9x 9y ' das eine Mal von I, das andere Mal von II ausgeht und die beiden 9Ζ Resultate auf die Form A— b BZ reduziert, so müssen die Koeffidx

zienten Α bzw. Β einander gleich sein. Dies ergibt zwei Bedingungsgleichungen für die Koeffizienten von I, II. Wenn diese erfüllt sind, lassen sich alle weiteren Ableitungen von Ζ auf eindeutig bestimmte Art berechnen und daraus mit Hilfe des calcul des limites die Existenz zweier linear unabhängigen Lösungen erschließen. Von besonderer Wichtigkeit sind die simultanen Systeme von der Form I, II, wo sämtliche Koeffizienten rationale Funktionen aus R sind. 146

379

Integrale algebraischer Differentialgleichungen.

Jedes solche System führt durch Bildung des Quotienten aus den beiden unabhängigen Lösungen auf eine Funktion F(x, y, z), die allen den oben an eine hyperabelsche Integralfunktion gestellten Forderungen genügt. 11. Uber das Verhalten der hyperabelschen Integrale in der Umgebung der relativen Verzweigungskurven gestattet die Betrachtung der Monodromiegruppe einige Aussagen zu machen. Es seien wie oben die singulären Kurven von F(x, y, z), längs denen eine Verzweigung relativ zu Ε stattfindet, mit Κ1}Κ2,—·,Κλ bezeichnet. {x0, y0, z0) sei ein Punkt auf einer dieser Kurven, etwa auf Κι, und zwar wollen wir zunächst annehmen, daß er ein einfacher, freier Punkt von Ky ist, also keiner anderen Kurve Ki mit angehört. In den zu (x0, y0, z0) gehörigen lokalen Parametern u, ν sei (14)

ffi

(«,*) =

0

die Gleichung von Ku deren linke Seite nach Voraussetzung mit linearen Gliedern beginnt. Es läßt sich leicht zeigen, daß die in der Umgebung 2 von u = 0, ν = 0 im (m, v)-Raum verlaufenden geschlossenen Wege, welche die Kurve (14) nicht treffen, eine zyklische Gruppe g bilden. Als erzeugendes Element 8 kann man dabei eine einfache positive Umkreisung von Κι wählen. Bezeichnet s die S entsprechende Substitution der Monodromiegruppe, so gehen sämtliche Zweige von F{x. y, z), die in der Umgebung von (x0, y0, zq) analytisch zusammenhängen, durch eine Potenz sv von s auseinander hervor. Man kann die lineare Substitution s immer in der Gestalt s = lal~r schreiben, wo α entweder die Form oder die Form

iv

=

w· a

w

=

w-\-h

hat. Bei der Funktion F* (x, y, z) = 1{F) entspricht dann dem Element S von g die Substitution
y, z).q~k

* . log a, so ist der Quotient Li Tt Ί =

ψ(ιι, ν)

bei S invariant, d. h. eine eindeutige Funktion in w' = w-\-h, so ist die Differenz F*(x,y,z)

—

log qi (u, v) =

in 2 eindeutig. 147

Hat a die Form tfj(u,v)

Ε. Kahler.

380

Wir sehen also, daß die Funktion F nach Ausübung einer geeigneten linearen Transformation l in der Umgebung einer relativen Verzweigungsstelle 1. Art in einer der beiden Formen 1(F) =

qi(u,

oder

v)k.ip{u,

v)

j 1{F) =

-j—r log qx (u, v) + ip(u, v)

dargestellt werden kann. Wenn (x0, y0, #o) eine relative Verzweigungsstelle 2. Art ist, wenn also (x 0 , yo, Zo) ein nicht einfacher Punkt von ist oder auch anderen Kurven Ki angehört, ist die Gruppe g der geschlossenen, die Ki meidenden Wege in der Umgebung 2 von (x0, yo, Zo) nicht mehr zyklisch. Ist ζ. B. dieser Punkt ein freier, gewöhnlicher Doppelpunkt von K1} so ist g die von zwei Elementen erzeugte freie Abelsche Gruppe. Die allgemeine Gestalt der Gruppe g ist zuerst von Herrn BRAUNER 10 ) untersucht worden. Gehen durch (x0, y0, z0) ν Zweige des aus den Ki bestehenden Kurvensystems hindurch, so wird g von gewissen Elementen Pt, P 2 , · · ·, Ρμ erzeugt, deren Anzahl endlich und mindestens gleich ν ist. Es ist klar, daß jeder Kelation zwischen den Pu eine Beziehung zwischen den zugehörigen Monodromiesubstitutionen pu entspricht. In manchen Fällen gelingt es, allein aus solchen topologischen Betrachtungen auch an den sonst sehr schwierig zu behandelnden singulären Stellen 2. Art eine Darstellung für F(x, y, z) zu gewinnen. Betrachten wir als Beispiel den Fall, wo die durch (x 0 , y0, Zo) gehenden singulären Kurvenzweige durch ν Gleichungen ν) =

0, q9(u, ν) =

Ο, ••·, qv(u, ν) = Ο

gegeben sind, welche ν sich in {u = Ο, ν = 0) schneidende Kurven mit verschiedenen Tangenten repräsentieren. Unter diesen Umständen wird g von gewissen Elementen Ri, Si{i = 1 , 2 , · · ·, v — 1) erzeugt, zwischen denen die Kelationen EiSi =

SiRi

(i =

RkSk =

Rk+χ Sk+1

(Je =

1, ·.·,

f —1),

1, · · ·, ν — 2)

bestehen. Sind n, Si die Ri, Si entsprechenden Elemente der Monodromiegruppe, so gelten auch zwischen diesen die Relationen η Si — Sin,

rkSk =

't'k+i Sk+i ·

Nun folgt aber aus der Vertauschbarkeit zweier linearen Transformationen die Gleichheit der Fixpunkte und umgekehrt, η und Si haben also 10

) Loc. cit. 2) und 3 ).

148

Integrale algebraischer Differentialgleichungen.

381

gleiche Fixpunkte. Wenn nun für irgendeinen Index i r. φ sr 1 , so gilt dies wegen der 2. Relationengruppe für alle i und aus nsi = n+i Si+i schließt man dann auf die Gleichheit der Fixpunkte beider Seiten. Es haben dann also alle Substitutionen n, Si die gleichen Fixpunkte und sind somit sämtlich untereinander vertauschbar. Wenn jedoch für ein i nsi = 1, so auch für alle i. Im ersten Falle wird die der Gruppe g entsprechende Untergruppe γ der Monodromiegruppe Γ von den ν vertauschbaren Substitutionen ,9χ, r\, r 2 , r 3 , · • ·, Vy-ι erzeugt, zwischen denen außer der Vertauschbarkeitsrelation topologischerseits keine weitere Beziehung gefordert wird. Im Falle η Si — 1 hingegen wird γ von rx, r2, · · ·, rv—\ erzeugt, zwischen denen überhaupt keine Relation zu bestehen braucht, soweit topologische Gründe sprechen. Ähnliche Verhältnisse ergeben sich in allen obigen Fällen, die bei singulären Stellen 2. Art auftreten können. Es läßt sich u. a. zeigen: Ist (x0, t/o, Zo) ein freier aber sonst beliebiger Punkt einer Kurve Ki und enthält γ kein Element von endlicher Ordnung, so sind alle Elemente von γ untereinander vertausch bar. Der Umstand, daß sämtliche Elemente von γ vertauschbar sein können, hat deshalb besonderes Interesse, weil sich dann F(x, y, z) nach Ausübung einer geeigneten linearen Transformation l in einer der beiden Formen l(F(x,y,

z)) =

qx (u, v)kl qs(u,

ν)λ* · · · qv(u,

vfv xp(u, ν)

oder l(F(x,

y, z))

= «i log & (μ, υ)+α 2 1ο gqs(u,

h «i/log^i«,

ν) +

v)-\-ip(u,

t?)

darstellen, wo qi(u, v) wie oben die singulären Kurvenzweige und ip(u,v) eine in der Umgebung von (x0, y0, z0) eindeutige Funktion bezeichnen. Da die Ki algebraische Kurven sind, so gibt es in ganz Β nur endlich viele relative Verzweigungsstellen 2. Art. Überdies können sich diese nur unter den (cu, h, d) finden, weil die Ki als Integralkurven nur an diesen Stellen Schnittpunkte oder nicht-einfache Punkte aufweisen können. Jeder Kurve Ki ist, wenn längs ihr keine logarithmische Verzweigung stattfindet, eine Zahl zugeordnet als Exponent in der für einen einfachen freien Punkt von Ki gültigen Darstellung 1(F)

=

qi(u,

v)kixp(u,

v).

Diese Zahl Ii ist natürlich noch bis auf ganze Zahlen unbestimmt, im übrigen aber unabhängig von der Wahl der Stelle 0xp, y0, z0), in dessen Umgebung man obige Entwicklung aufstellt. Denn e m k i ist der Multiplikator der linearen Substitution, die einer gewissen einfachen, positiven Umkreisung von Ki entspricht. Sind a = ΙγΙ~χ, a' = ΐ γ' irgend zwei solche Umkreisungen von Ki, wo 1,1' die Zuleitungen bedeuten, und s, s 149

Ε. Kahler.

382

die zugehörigen Monodromiesubstitutionen, so zeigt man wie oben (s. S. 373), daß man durch stetige Verschiebung den Mittelpunkt von
V'yf-1

=

Llyl-'L-1

=

LaL~\

s geht daher aus s durch Transformation mit der zu L gehörigen Substitution t von Γ hervor, woraus folgt, daß s und s denselben Multiplikator besitzen. Hyperabeische Funktionen. 12. Die vorangehenden Betrachtungen finden ihre eigentliche Rechtfertigung in den Anwendungen, die sie auf die Theorie der hyperabelschen Funktionen zulassen. Nach P I C A R D 1 1 ) nennt man eine eindeutige automorphe Funktion F(n, ν) hyperabelsch, wenn die Substitutionen ihrer Gruppe Γ reell und von der Form etilβ α ν β' sind, und ferner sich F(u, v) im Fundamentalbereich D wie eine rationale Funktion verhält mit Ausnahme der evtl. vorhandenen Stellen, wo D bis an die natürlichen Grenzen von F(u, v) heranreicht und andere Vorschriften über das Verhalten von F(u, ν) gemacht werden müssen. Zwischen drei beliebigen zu derselben Gruppe Γ gehörigen Funktionen besteht dann immer eine algebraische Relation und alle diese Funktionen lassen sich rational durch drei geeignet gewählte Funktionen x(u, v), y(u, v), z(u, v), zwischen denen eine algebraische Beziehung besteht, darstellen. Die Quotienten

f(x,

y,z)

9 y dx du ' du

=

0

3y dx dv ' dv

7

sind offenbar ebenfalls hyperabelsche Funktionen mit der Gruppe Γ und daher als rationale Funktionen
=

(15)

φ{χ, y-, z), f{x,y,z)

d

b) 1

')

== PICARD,

=

0,

ip(x,y,g),

Sur les fonetions hyperab^liennes. Journ.de Math. (4), t. 1 (1885). 150

Integrale algebraischer Differentialgleichungen.

383

werden demnach durch χ

=

x(u,

v),

y

=

y(u,

ν)

allgemein integriert, wobei das erste Mal v, das zweite Mal ή als Integrationskonstante anzusehen ist. Bestimmt man aus den beiden Gleichungen χ

=

x{u,

v),

y

=

y(u,

ν)

ν und ν als Funktion von x, y, so ist v{x, y) =

konst.

das allgemeine Integral von (15 a) und u{x, y) =

konst.

das allgemeine Integral von (15 b). Zwei eindeutige Funktionen Z{{u, ν), Z2(u, v), die sich bei Ausübung einer Substitution (n-*S(u). v ^ T { v j ) der Gruppe Γ nach dem Schema ( 1 6 )

Z\ (8(u),

T(v))

=

Cl

(tt,

Z2(S(u),

T(v))

=

CsZ^u,

v) +

c2

v) +


(η,

ν), v),

— d = konst. — transformieren, seien in Analogie zu den Poincareschen fonctions zetafuchsiennes als ein Paar konjugierter hyperabelscher Zetafunktionen bezeichnet. Man erkennt leicht, daß die Ausdrücke 1

9 Zy

Xu

du

1

d Z\

Xv

9ν

dZi ~

dx

dy

dx

'

+

Ψ

dy

dZ,

dZ, dy

Xu

du

dx

1

9 Z2 9ν

dZ,

9 Ζχ

dZx ~

1

dZx

'

CCy

dx

'

dZ2 +

Ψ

dy

'

zwei Paare konjugierter Zetafunktionen bilden, die sich mit genau denselben Konstanten d wie Z1} Z2 transformieren. Setzen wir daher Ζ

=

α Ζι-\-1}

Zt

mit konstanten a, b und entwickeln die identisch verschwindende Determinante 1 dZ xu

xu

3 u

d u

_JL U k xu 9u

Xv

dv

1

d Zi

Xv

9ν

1 xv

dZ2 dv

151

Ζ

Z1 Zz

=

0

Ε. Kahler.

384

nach den Elementen der ersten Zeile, so ist in der resultierenden Gleichung ^Z (h τ dx

|

I

h
dy

r,

A

h «s Ζ =

0

das Verhältnis der α» bei Ausübung einer Substitution der hyperabelschen Gruppe invariant. Die ai sind also proportional zu gewissen rationalen Funktionen p(x, y, z), q(x, y, z), r{x, y, z) von x(u, v), y(u, v), z(u, v), so daß Ζ der Differentialgleichung Ρ 1

3Ζ dx

. 3Ζ . _ r1 Η r ν Ζ = 1 dy

0

genügt. Analog erkennt man, daß zwischen drei beliebigen nach x, y genommenen Ableitungen von Ζ stets eine homogene lineare Relation mit rationalen Koeffizienten besteht. Die Funktion Ζ ist daher die allgemeine Lösung eines simultanen Systems von der Form I, I I (siehe S. 377). Da die Funktionen Zx (17) Z[

y dx V > "3 Ii

Z2 =

χι dx u\ ——, 1 du

V¥> « = - V ¥

zwei Paare konjugierter Zetafunktionen vorstellen, so sind u(x, y) und v(x, y) als Quotient der beiden unabhängigen Lösungen zweier simultaner Systeme 2. Ordnung von der Form 3Ζ

dx2

.

9Ζ ,

*

dx

darstellbar, und alle oben für solche Funktionen erkannten Gesetzmäßigkeiten sind an u{x, y) und v(x, y) zu beobachten. Die Gesamtheit der hyperabelschen Gruppen bildet eine Mannigfaltigkeit von noch unübersehbarem Formenreichtum. Es wäre für die Funktionentheorie wie für die Theorie der Differentialgleichungen von großer Wichtigkeit, hyperabelsche Gruppen explizit aufzustellen. Vor allem aber interessiert die Frage, in welchen algebraischen Körpern es nicht-triviale Integrale mit hyperabelscher Gruppe gibt. Man wird vermuten, daß dies gerade diejenigen Körper sind, die sich durch hyperabelsche Funktionen uniformisieren lassen. Es scheint bisher noch nicht bemerkt worden zu sein, daß die hyperabelschen Funktionen mit einem so einfachen simultanen System 152

Integrale algebraischer Differentialgleichungen.

385

wie (18) in Zusammenhang stehen; denn seit dem Vorgange von P I C A R D findet sich überall nur das System 4. Ordnung, dem die Funktionen Ux =

VD,

U2 = '

uVD, Us = vVD, _ dx_ dy dy] du dv dv du

=

uvVD,

genügen, als Differentialgleichungen der hyperabelschen Funktionen zitiert 12 ). Statt eines Systems 4. Ordnung haben wir zwei Systeme 2. Ordnung, nämlich die beiden zu Zly bzw. Z[, Z'2 (siehe (17)) gehörigen Systeme. Zum Schluß sei noch auf eine Möglichkeit hingewiesen, die oben dargelegten Ansätze zur Integration der algebraischen Differentialgleichungen zu erweitern. Sind Ft (,χ, y, z) =

konst.,

y, z) =

konst., · . ·, Fk (x, y, z) =

konst.

verschiedene Formen des Integrals einer Differentialgleichung dx Pb,y,*)

dy ~

.

Φ,υ,*)'

n X f

y

' ~

'

so ist offenbar auch 0(FlfFa,...,Fk)

=

konst.,

wo Φ eine beliebige analytische Funktion ihrer k Argumente bezeichnet, eine Form des Integrals. Man wird sich fragen: gibt es ein solches System FAx, y, z), F2 ix, y, z), .. ·, Fk (x, y, z) von Integralformen, daß diese Funktionen bei analytischer Fortsetzung längs eines beliebigen geschlossenen Weges in der zu fix, y, ζ) — Ο gehörigen Riemannschen Mannigfaltigkeit eine projektive, allgemein eine Cremona-Transformation erleiden? ) Bei G. GIRAUD, Ann. de l'Ecole Normale (3) 38 (1921), p. 160, findet sich ein analoges System 4. Ordnung. 12

153

Zur Invariantentheorie von Differentialoperatoren [9] Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 9 (1932/33), 64-71 [JFM 58.1242.05; Zbl. Math. 3.32601]

1. Bei drei Differentialoperatoren in drei Variablen 9

9

*

9

dXs + « · · »

( i

=

1 2

' '

3)

liefern die Koeffizienten dk der Zusammensetzungsformeln 4 4 —4 4

=

(l)

=

4 4 — 4 4 = 2<%kAk zusammen mit ihren durch ein- oder mehrmalige Anwendung der 4 erhaltenen sogen, invarianten Ableitungen ein vollständiges Invariantensystem1) gegenüber topologischen Transformationen x'i =

ψϊ(χι, X-ij Χά)

(i = 1, 2, 3).

Ein solches Operatorsystem ist also durch Angabe der au und deren invarianten Ableitungen topologisch vollkommen beschrieben. Im Folgenden soll untersucht werden, ob eine beliebig vorgegebene Funktionsmatrix (dk) immer als Matrix der Zusammensetzungsformeln eines Operatorsystems angesehen werden kann und wie weit dieses durch die dk festgelegt ist. Aus der Theorie der kontinuierlichen Gruppen ist bekannt, daß für konstante dk gewisse Relationen bestehen müssen, damit ein zugehöriges Operatorsystem existiert, das dann bis auf topologische Transformationen auch eindeutig bestimmt ist. Die Vermutung, daß sich für allgemeinere dk ähnliche Verhältnisse einstellen, bestätigt sich nicht. Unter der einzigen Voraussetzung, daß gewisse aus Ableitungen der dk gebildete Determinanten von Null verschieden sind, beweist sich die Existenz von unendlich vielen (im allgemeinen auch topologisch verschiedenen) zugehörigen Operatorsystemen. Die dk, die im Falle konstanter Werte ein vollständiges Invariantensystem liefern, genügen also im allgemeinen Falle noch nicht zur topologischen Charakterisierung des Operatorsystems. ') Vgl.

BOL

und

HOWE,

T27, Hamburg. Abh. 8 (1930), S. 194—200. 154

Iiivariantentheorie yon Differentialoperatoren.

65

Die zu behandelnde Frage führt auf die Diskussion der mit (1) gleichwertigen partiellen Differentialgleichungen

V

(3)

Σ

V

Σ

9 au dx v

α<ιν

«3r

3 -

3 d2i dx v

^

χ * (?i*>

ttsv — '

3

au

au

civ

=

Ö Xy

0 Xy

3 an dw — 0 Xy

3 au a>2v — 0 Xy

y —

^ y

üvi

a*"i

V

,.

ι

—

1

>

ο o\ 2

>

3

)

C3v avi

und der drei aus der Jacobi-Relation ( 4 ( 4 i3)) + ( 4 ( 4 4 ) ) + ( 4 ( 4 4 ) ) =

ο

entspringenden Gleichungen (4)

Σ

Δν Cvi +

Ci2 Cu

Ci3 Cii +

c83 Cii — C21 Csi +

C31 C2i —

C32 Cli

=

0

( « = 1 , 2 , 3), welche ausgeschrieben so lauten: (4')

Σ

νμ

Ο Χμ

+ ^12 Cu — CIS Cii + zykl. =

0.

In diesen Gleichungen (3) und (4') sind die uu als bekannt und die am als die Unbekannten anzusehen. Durch Anwendung des allgemeinen Existenzsatzes von

RIQUIER

über

partielle Differentialgleichungen stellt sich heraus, daß jene Gleichungen im allgemeinen, d. h. sofern nicht gewisse aus den Ableitungen der Cik gebildete Determinanten verschwinden, Lösungen aik besitzen, die noch von gewissen willkürlichen Funktionen von zwei bzw. einer Variablen abhängen.

2. Um alles beisammen zu haben, sei zunächst an einige Definitionen und Resultate von Nach

RIQUIER

RIQUIER

erinnert 1 ).

nennt man ein nach gewissen Ableitungen der un-

bekannten Funktionen

aufgelöstes System von partiellen Differential-

gleichungen harmonisch, wenn 1. auf der rechten Seite jeder Gleichung niemals höhere Ableitungen vorkommen als die auf der linken Seite stehende, 2. es möglich ist, den Variablen und Unbekannten solche p-gliedrige Gewichte („Cotes") zu erteilen, daß die Ableitung auf der linken Seite einer Gleichung lexikographisch stets vor den Ableitungen gleicher Ordnung auf der rechten Seite rangiert, *) RIQUIER, Ann. de TEc. Norm., 1893.

155

66

Ε. Kahler.

3. die links stehenden Ableitungen sämtlich von den auf den rechten Seiten vorkommenden Ableitungen und deren Derivierten verschieden sind. Was die in der zweiten Voraussetzung genannte Indexverteilung betrifft, so ist folgendes zu sagen. Man ordne jeder Variablen und unbekannten Funktion einen ^-dimensionalen Vektor (ρ eine passende ganze Zahl) mit ganzzahligen (positiven oder negativen und nicht sämtlich verschwindenden) Komponenten zu. Das zu einer Ableitung einer Unbekannten gehörige ^-gliedrige Gewicht (Vektor) berechne man so, daß man zu dem Vektor der Unbekannten so oft jeden Vektor der unabhängigen Variablen addiert, wie ihre Differentiationsordnung bezüglich jener Variablen angibt. Ein Vektor α steht dann „lexikographisch" vor einem anderen b, wenn die erste nicht verschwindende Komponente von α — b positiv ist. Die auf den linken Seiten eines harmonischen Systems auftretenden Ableitungen zusammen mit den durch Differenzieren daraus entstehenden, die sogen, prinzipalen Ableitungen, lassen sich durch die übrigen, die „parametrischen" Ableitungen darstellen. Wenn diese Darstellung, wie man auch jene unendlich vielen Gleichungen miteinander kombiniert, für alle prinzipalen Ableitungen eindeutig ist, heißt das System passiv, und es gilt dann der allgemeine Existenzsatz, daß unter gewissen trivialen Regularitätsbedingungen die Werte der parametrischen Ableitungen in einem Punkte beliebig vorgeschrieben werden können, so natürlich, daß sie, mit passenden Fakultätenfaktoren versehen, Koeffizienten eines konvergenten Potenzreihenausschnitts sind. Um ein harmonisches System als passiv zu erkennen, sind nur gewisse von RIQUIER genau angegebene Integrabilitätsbedingungen zu untersuchen. Es genügt für unseren Fall, wo es sich ja um ein System mit lauter Gleichungen 1. Ordnung handelt, folgendes zu wissen. Ein solches System ist dann und nur dann passiv, wenn die Berechnung der prinzipalen Ableitungen 2. Ordnung aus den Gleichungen des Systems und deren ersten Derivierten eindeutige Ausdrücke in den parametrischen Ableitungen liefert. 3. Von den zu untersuchenden Gleichungen (3) und (4') sind die letzteren endliche Gleichungen, die gestatten, drei von den neun Unbekannten anc durch die sechs übrigen linear darzustellen, vorausgesetzt natürlich, daß die maßgebende Determinante nicht verschwindet. Bezeichnen wir diese drei aik, um uns in den Indizes vorläufig nicht festzulegen, mit a 31 , «32, « 3 3 . Durch Substitution dieser drei Ausdrücke in (3) ergibt sich ein System (S) von neun partiellen Differentialgleichungen zur 156

Invariantentheorie von Differentialoperatoren.

67

Bestimmung der übrigen sechs Unbekannten anc. Dieses kann man durch Auflösung nach neun passend gewählten Ableitungen zu einem harmonischen und passiven System im Sinne von RIQUIER machen. Man löse nämlich auf nach den sechs Ableitungen bezüglich xx und drei weiteren nach x2 genommenen Ableitungen. Diejenigen Unbekannten cukj von denen sowohl die nach xx wie die nach x2 genommenen Ableitungen bei der Auflösung berücksichtigt werden, seien mit a 2 1 , «22, «23» die übrigen mit a n , « 12 , cciS bezeichnet. Die neun resultierenden Gleichungen haben dann folgende Form: Auf den linken Seiten stehen die Ableitungen w

ΐ τ '

π

T^T

» -

1

· » ' »

und rechts (lineare) Ausdrücke in den neun Ableitungen 9 aifc dx 2 '

9 «ifc dx a '

9 α2k 9.x3

(Ä =

1 , 2 , 3).

Ob die vorausgesetzten algebraischen Auflösungen überhaupt möglich sind, soll später untersucht werden; zunächst wollen wir uns überzeugen, daß das so erhaltene System ( S ' ) harmonisch und passiv ist. Die Forderungen 1 und 3 für harmonische Systeme sind offenbar erfüllt und der Bedingung 2 wird mit ρ = 1 durch folgende Wahl der Gewichte genügt 1 ): {xi)>(xi)>M, («u) = («12) = («13) = α, («2l) = («22) = («23) = «', 0 < a ' — a < ( x i) — (#3).

Um die Passivität des Systems 8' zu beweisen, haben wir zu zeigen, daß die Gleichungen von 8' und die durch einmaliges Differenzieren daraus hervorgehenden für die 3 · 8 = 24 prinzipalen Ableitungen 2. Ordnung d2ali a2«u· a2«ii 9 x\ ' 9 xx 9 x2 ' dxldx9 (6) 2 s s 9 cc2i d a2i d*a2i d a2i 92 a2i dx% ' dx1 dx2 ' dx1dxsT dx\ ' dx2dxs eindeutige Ausdrücke liefern. Zu diesem Zwecke gehen wir zurück zu dem System 8, aus dem 8' durch Auflösung entstanden ist. Dieses System S wurde erhalten, indem man zwischen (3), (4') und den Gleichungen 0 Die Gewichte sind durch Einklammerung· der betreffenden Größen bezeichnet.

157

Ε. Kahler.

68

(7)

3 *νμ d C} Σ dx d χ r

die sich aus (4') durch Differenzieren ableiten, die Größen a 8k und deren neun Ableitungen eliminierte. Zur Bestimmung der Ableitungen (6) denken wir uns sämtliche Gleichungen hingeschrieben, die dabei in Frage kommen. Das sind außer (3), (4') und (7) die 9 - 3 + 9 - 3 = 54 Gleichungen, die sich aus (3) und (7) durch .einmaliges Differenzieren ergeben. Zwischen allen diesen Gleichungen sind die a zk und deren Ableitungen bis zur 2. Ordnung zu eliminieren, und die danach übrigbleibenden Gleichungen müssen, damit das System 8' passiv ist, die 24 Ableitungen (6) eindeutig festlegen. Wir werden nun zeigen, daß von jenen 54 Gleichungen 12 überflüssig sind, so daß nach Elimination der 18 Ableitungen 2. Ordnung der aZi höchstens 54 — 1 2 — 1 8 = 24 zur Bestimmung der (6) übrigbleiben, womit dann alles bewiesen sein wird. Zunächst einmal sind von den 9 · 3 aus (7) durch Differenzieren entstehenden Gleichungen nur 27 — 9 verschiedene, weil die (7) selbst schon durch Differenzieren der drei Gleichungen (4') hervorgegangen waren. Drei weitere Gleichungen von jenen 54 sind wegen (4') überflüssig. Statt nämlich die Gleichungen (3) direkt zu differenzieren, kann man auch die durch Anwendung der Operatoren Ak resultierenden betrachten. Wendet man aber auf die drei Zeilen von (3) der Reihe nach A1} As, As an und addiert, so ergibt sich zufolge (3) und (4) = (4') eine identische Gleichung. Denn man erhält:

Ax A2 au— A{ As a2i -\-A2 As au— As Al azi

(i =

1, 2, 3)

Hier braucht man nur links ΑχΑ^αω— Α2Α1αΆΐ durch Av au, uswzu ersetzen (was ja nur eine Berücksichtigung von (3) bedeutet) und die Gleichungen (4) zu verwenden, um die Übereinstimmung mit der rechten Seite zu erkennen. Da der Index i die Werte 1, 2, 3 durchlaufen kann, sind in der Tat drei weitere überflüssige Gleichungen unter jenen 54 aufgefunden. Nachdem das System 8' als passiv und harmonisch erkannt ist, können wir den Existenzsatz von RIQUIER anwenden, wonach die Unbekannten cclk für χι = konst. = x°i als willkürliche Funktionen von x2, xz, die cc2k für x\ = x\, x2 = x% als willkürliche Funktionen von xs vorgeschrieben werden können. Unter gewissen Regularitätsbedingungen, die wegen ihrer Trivialität nicht erst genannt werden sollen, und unter der Voraussetzung, daß das System S f überhaupt hergestellt werden 158

Invariantentheorie von Differentialoperatoren.

69

kann, gibt es also zu gegebenen dk unendlich viele, nämlich von drei willkürlichen Funktionen zweier Variablen und drei willkürlichen Funkg

tionen einer Variablen abhängige Operatorsysteme

k

— » die im

oxjc

allgemeinen auch topologisch verschieden sein werden. 4. Es fehlt noch der Nachweis, daß die von 8 zu S' führenden algebraischen Prozesse im allgemeinen durchführbar sind. Dabei handelt es sich, wie gesagt, um die Elimination der a 3k und deren neun Ableitungen aus (3), (4') und (7) und nachherige Auflösung nach den Ableitungen (5). Es genügt dazu, zu zeigen, daß die Gleichungen (3), (4') und (7) nach den a3fc und den Ableitungen (5) zusammen mit denen von a 3k aufgelöst werden können. Damit zunächst die a s k aus (4') bestimmt werden können, muß eine gewisse aus Ableitungen der dk gebildete Determinante, wir wollen sie C nennen, von Null verschieden sein. Unter den weiteren Unbekannten finden sich alle nach x1 genommenen Ableitungen der α^. Lösen wir darum die 2. und 3. Gruppe der Gleichungen (3) nach

/g^

OXi OXi

d an dx-ι

«u 9 du

#31 dxi

9 d2i dx r

a gl 9 au «31 dxi

auf.

Es ergibt sich

#32 9 «ΐΐ ι «i2 9 #3i

#3i dx2

a31 dx2

«2g «31 — «21 «32 9 an «11 «3i dx2 I «12 #21 9 au #11 «31 9 x2

' «18 9 an an dx2

wobei hier, wie auch fernerhin, nur die Glieder hingeschrieben sind, die für die weiteren Überlegungen von Interesse sind. Trägt man dies in die 1. Gruppe jener Gleichungen (3) ein, so hebt θ CL I sich ——^— weg, und es bleibt (bis auf den Faktor 0X1 \ «11 (9)

«21 «31 9 au , «31 «11 9 an «22 #32 dx2 «32 #12 dx2

#11 #21 9 au + ... = #12 #22 dx2

0.

Diese Gleichungen (8) und (9) sind also den Gleichungen (3) äquivalent. Man trage nun die Ausdrücke (8) in die 1. Gruppe (r = 1) der Gleichungen (7)

159

70 ein.

Ε. Kahler, Es entsteht 9

1 V /

9C

I

C

li

9C

2i I

3i \ 3 «3u ι

ι.

Λ

.

0

wobei die nicht hingeschriebenen Glieder nur Ableitungen nach enthalten.

9 α3ί

Diese drei Gleichungen müssen nach den

und rr3

" auflösbar

sein, weil die übrigbleibenden Gleichungen (7) (r = 2, 3) keine nach xx genommenen Ableitungen mehr enthalten. Also muß die Determinante 9 eg

(10) sein.

,

Γ «21

«11 "7

bxjt

d on

,

Γ «31

dxk

3 cm

+ 0

3 Xk

(i, k Zeilen- und Spaltenindizes.) ^2fc , ^8fc

Zur Bestimmung der sechs Ableitungen

muß man

die Gleichungen (9) und 3 α,/μ 3 "Cvi' + . . . = ο dx2

d

(Gleichungen (7) für r = 2)

Χμ

heranziehen. Bezeichnen wir der Kürze halber die drei in (9) auftretenden Unterdeterminanten von \
^2fc ,

entsprechende sechsreihige Determinante des

Koeffizientenschemas 3 «ix 3 #2

3 «21 dx

s

Κ

(Π)

3 «31 3*2

3 «12

λ3

0

0

0

0

0

0

0

3 C\i

3 Ci 2

3

dx2

3 «22 3^2

3 «32

0

0

3

csi

dx dxi ί von Null verschieden sein.

dx

x

3 «13 3*2

3 «23

0

0

0

0

λ3

0

0

0

0

λι

dx2

0 en

3 C2i

3

dx2

dx2

s

csi

3 CH 3*3

3 «33 3 «2

dx2

λ8

3 C2i

3 CM

dx3

3*3

Schließlich lassen sich die noch fehlenden drei Ableitungen

9

3 #3

aus den letzten drei Gleichungen von (7)

0X5

ΟΧμ

=

0

(f =

l,2,3)

berechnen, wenn die entsprechende Determinante nicht verschwindet. Diese aber ist die schon oben bei der Bestimmung der a 3k aufgetretene Determinante C. 160

Invariantentheorie yon Differentialoperatoren.

71

Die gewünschte algebraische Auflösung ist also dann und nur dann durchführbar, wenn die Determinante C, die der Wahl der a2fc, «sfc entsprechende Determinante aus (11), und die Determinante (10) von Null verschieden sind. Man sieht, daß bei nicht spezieller Wahl der Ok diese Bedingung erfüllt ist. Bei gegebenen Cik hat man noch reichlich freie Wahl in den a^; denn diese sind für ein festes Wertsystem x2 = x\, x3 = x° bis auf die Vorschrift, der Gleichung (4') und gewissen Ungleichungen, ζ. B. an Φ 0, a81 φ 0, (vgl. (8)), |a

(i = 1 , 2 , 3)

überführen, so müßte wegen der Invarianz der au Cik(x[, x'i, x'z) =

Cik (Xi, X%, Xs)

(i, h — 1, 2, 3)

sein. Diese Gleichungen haben aber, abgesehen von dem eben besprochenen Spezialfall, nur die eine Lösung Xi — Xi. Rom, den 23. Oktober 1931.

161

Sui periodi degli integrali multipli sopra una varietä algebrica [10] With an appendix by F. Seven: Osservazioni a proposito della nota di Erich Kahler: "Sui periodi degl'integrali multipli sopra una varietä algebrica" Rend. Circ. Mat. Palermo 56 (1932), 6 9 - 7 4 [JFM 58.0708.01; Zbl. Math. 4.27101]

Adunanza del 24 gennaio 19)2.

Mi permetto di esporre qui con talune semplificazioni, che la abbreviano e la rendono perspicua, la dimostrazione ingegnosa data dal Sig. HODGE ' ) di un teorema importante sui periodi degli integrali multipli di prima specie. Credo che la cosa sia utile, perchfe, a quanto io so, la dimostrazione del Sig. HODGE ha dato luogo a discussioni private non brevi fra insigni cultori di geometria algebrica, non tutti i punti della dimostrazione medesima, la quale invece

essendo

chiarissimi

rimane integra di fronte

all'esame critico ρίύ esigente. II teorema cui alludo έ, che i periodi degli integrali multipli di prima specie appartenenti ad una varietä algebrica, soddisfanno a certe relazioni bilineari e a disuguaglianze analoghe a quelle valevoli pei periodi degli integrali abeliani. Da queste disuguaglianze segue la inesistenza di integrali multipli di prima specie, senza periodi ed il fatto che gl'integrali semiesatti di i* specie considerati sopra una superficie algebrica dal Sig. SEVERI [ved. la Memoria di questi, citata nella nota a ) ] sono tutti e soli gl'integrali semplici di I * specie, del Sig. PICARD. I . Premetto un lemma Siano ut,

che ci sari utile piü tardi.

wa, . . . , ur funzioni complesse delle variabili reali sjf

...

, sr, con-

tinue colle loro derivate del primo e del second'ordine in un certo campo ,T. Allora l'integrale

Λ,

L

J,» · · · > Ο

1

*

) HODGE, On multiple integrals attached to an algebraic variety. [Journal of the London Mathe-

matical Society, vol. j , p. 283-290 (1930)].

162

7o

feRicöfcÄfttEfi.

esteso ad un campo T0 situato all'interno di Γ, si puö trasformare in un integrale ( r — i)-plo esteso al contorno di

T0.

Infatti, sviluppiamo il determinante D

du-

=

ds.

rispetto alia prima riga: D =

dsJ

—

'

dst

+1

2

1 f-v ( —

J

Ι

Γ D „ dsr "

Dv designando il minore ottenuto da D colla soppressione della prima riga e

della

v-esima colonna. Si verifica facilmente l'identiti

ds,

ds,

^

l)

^

dsr

dalla quale segue l'uguaglianza

che conferisce all'integrando di I una forma che permette l'applicazione del noto teorema di

GAUSS.

Da ciö la dimostrazione del lemma.

2. Consideriamo ora due integrali di prima specie f

* , l · ' · > X » ) d X i d X 2 · ' ·

f Ψ(^ο> *,» " · » X*)dXidX2

·'·

dX

»

dX

n

appartenenti alia varied algebrica (0

/(*„»

*a> · • · »

X

n) =

°

•••>y.) =

o

e, prendendo un secondo modello (2)

/ö.i

della stessa varieü, formiamo l'integrale /

=

y

f * • ' ' " '

» "''

y»)dx'dx* ·'• dx»dy«···

che έ un integrale 2 w-uplo di prima specie per la varieti prodotto (varied delle coppie di punti) delle ( i ) e (2). Secondo un teorema di

POINCARÄ

l'integrale / έ un integrale invariante, vale

163

a

SUT PERIOD! D E G U DJTEGRALI MULTIPU SOPRA UNA VARIETA ALGEBRICA.

71

dire il valore dell'integrale non muta se si deforma in modo continuo il campo d'integrazione, lasciando fisso il suo contorno. Dunque ogni omologia

tra cicli 2 » dimensionali Γ ν sulla varied topologica corrispondente a ( 1 ) , ( 2 ) si tra· duce imrnediatamcnte in una relazione Σίν/(Γν) =

ο

fra i valori dell'integrale sui cicli Γ ν . Prendiamo in particolare il ciclo algebrico Γ rappresentato dalle equazioni: 0)

=yt,

*, = ? . » · · · » *. =

y.·

II valore corrispondente dell'integrale I k zero perchi nell'espressione differenziale d

J x - > ^0.,

x

»

x

···»

- > y » - ~ > y J d s , d s > 0

a

. . . i s ,

(i,. designando parametri reali su Γ) la quale dä il vero significato del prodotto simbolico dxtdxt

risultano delle colonne identiche

a

... d x j y

t

...

dyn>

).

Ricordiamo ora un risultato quasi intuitivo di topologia. Siano a ] , a\, . . . , una base pei ür-cicli della varietä topologica a 2 η dimension! ( 1 ) e b\y b\, . . . , bkR la stessa base presa sulla (2). Ogni ciclo Γ a 2 η dimensioni della varied prodotto di ( 1 ) e ( 2 ) soddisfa allora a una omologia della forma

Λ>Μ»

dove a{ χ

b™~> designa il prodotto topologico dei cicli a\ e

Applicando questa proposizione al ciclo Γ suddetto si ottiene una relazione χ

T O

a

=

o.

) Del resto il fatto consegue da una nota osservazione generale del LEFSCHETZ, secondo cui έ nullo un integrale multiplo di i* specie sopra un ciclo algebrico. Nfe per enunciare in generale questa propriety occorrono lunghi ragionamenti, perchfc un ciclo algebrico si puö sempre ridurre con una trasformazione birazionale ad essere contenuto in una sezione iperpiana della varietä. Cfr. SEVERI, Gl'integrali algebrici semplict e dofpi [Rendiconti della R. Accademia Nazionale dei Lincei, V I I 6 , i ° semestre 1928, p. 108].

164

72

ERICH

KÄHTER.

Ma siccome, scrivendo la rappresentazione del ciclo a[ X b 1 *"' in forma parametria χ. = , u determinante

xt(alf

<jif . . . , (f.)

y'i = .··,

.)

y , , . . . , y«)

öC®,»

assume la forma

(» = 0, 1 , 2 , . . . , » )

fjf ... , τ

τ

,

2„_;)

ο l'integrale I(a{ χ ω

per j =

έ zero per

νωμ=

f

φ η e uguale a

* ( * ) < * * , < * * , . . · <**„· / Ψ Ο Ο ^ , ^ ,

···

n.

Dunque sussiste la relatione

bilineare ΣΑμωνωμ =

°

(4ψ = βϋμ)

/Va ί periodi ο), ω' di due qualunque integrali n-pli di ia specie di una varietä algebrica ad η dimensioni: OSSERVAZIONΕ. —

Non si esclude che ψ possa essere la medesima
e impari, la relazione bilineare precedente svanisce in tal caso identicamente. 3. La considerazione dell'integrale

3

Γ

y~> ·•• 1 y,)dx*dx>

= f

?(*„>

*,,

•··

1 *„)?(£>

) ·•·

dx d

n yt

···

d

L·

dove il lineamento di una quantiti designa il passaggio alia sua coniugata (φ (y) =