HENRI CARTAN
CEUVRES Collected Works
VOLUME I
Edited by R. Rernrnert and J-P.Sewe
SPRINGER-VERLAG BERLIN . HEIDELBERG - NEW YORK 1979
ISBN 3-540-09189-0 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-09189-0 Springer-VerlagNew York Heidelberg Berlin CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Cartan. Henri: [Sammlung] (Euvres-Collected Works I Henri Cartan. Ed. by R. Kemmert : J-P. Serrc. - Berlin, Heidelberg. New York : Springer. ISBN 3-540-09189-0 (Berlin. He~delberg,New York) ISBN 0-387-09189-0 (New York, Hsidelberg, Berlin) Vol. 1. - 1979. This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part oT the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use oT ~llustrations,broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means and storage in data banks. Under 5 54 of the German Copyright Law where coples are made Tor other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount ofthe fee to be determined by agreement with the publisher. 0 by Springer-Verlag BerlinHeidelberg 1979. Printed in Germany. Pr~nting:Julius Beltz, HemsbachIBergstr. Binding: Konrad Triltsch, Wi~rz,burg 214013130-54 3 2 1
Preface
We are happy to present the Collected Works of Henri Cartan. There are three volumes. The first one contains a curriculum vitae, a <(Breve Analyse des Travaux>>and a list of publications, including books and seminars. In addition the volume contains all papers of H. Cartan on analytic functions published before 1939. The other papers on analytic functions, e.g. those on Stein manifolds and coherent sheaves, make up the second volume. The third volume contains, with a few exceptions, all further papers of H. Cartan; among them is a reproduction of exposes 2 to 1 1 of his 1954155 Seminar on Eilenberg-MacLane algebras. Each volume ist arranged in chronological order. The reader should be aware that these volumes do not fully reflect H. Cartan's work, a large part of which is also contained in his fifteen ENS-Seminars (1948-1964) and in his book "Homological Algebra" with S. Eilenberg. In particular one cannot appreciate the importance of Cartan's contributions to sheaf theory, Stein manifolds and analytic spaces without studying his 1950151, 1951152 and 1953154 Seminars. Still, we trust that mathematicians throughout the world will welcome the availability of the "Oeuvres" of a mathematician whose writing and teaching has had such an influence on our generation. Reinhold Remmert
Jean-Pierre Serre
Curriculum Vitae
Ne a Nancy Elkve a 1'Ecole Normale SupCrieure AgrCge de mathematiques Docteur es Sciences mathematiques Professeur au Lycee Malherbe Caen Charge de cours a la FacultC des Sciences de Lille Charge de cours, puis maitre de confCrences a la Faculte des Sciences de Strasbourg 1936-40 Professeur a la FacultC des Sciences de Strasbourg 1940-49 Maitre de conferences a la Faculte des Sciences de Paris 1945-47 DCtachC pour deux ans a la FacultC des Sciences de Strasbourg 1949-69 Professeur a la Faculte des Sciences de Paris 1940-65 Charge de l'enseignement des mathkmatiques a 1'Ecole Normale SupCrieure 1969-75 Professeur la FacultC des Sciences d'Orsay, puis a 1'Universite de Paris-Sud 1967-70 Prbident de 1'Union MathCmatique Internationale Professeur honoraire a la FacultC des Sciences de Strasbourg, puis a I'UniversitC Louis Pasteur Professeur honoraire a 1'Universite de Paris-Sud. Foreign Honorary Member of the American Academy (Boston), 1950 Foreign Honorary Member of the London Mathematical Society, 1959 Membre de 1'AcadCmie Royale des Sciences et des Lettres du Danemark, 1962 Membre correspondant de 1'AcadCmie des Sciences (Institut de France), 1965 AssociC Ctranger de 1'Academia di Scienze, Lettere et Arti di Palermo, 1967 Honorary Member of the Cambridge Philosophical Society, 1969 Foreign Member of the Royal Society of London, 1971 Membre correspondant de 1'AcadCmie des Sciences de Gottingen, 1971 Membre correspondant de 1'Academie des Sciences de Madrid, 1971 Foreign Associate of the National Academy of Sciences (USA), 1972 Membre de 1'AcadCmie des Sciences (Institut de France), 1974 Membre correspondant de 1'AcadCmie Bavaroise des Sciences, 1974 Membre associe de 1'Academie Royale de Belgique (classe des Sciences), 1978 Medaille d'or du Centre National de la Recherche Scientifique, 1976. Docteur honoris causa de 1'Ecole Polytechnique Federale de Zurich (1955), des Universites de Munster (1952), Oslo (1961), Sussex (1969), Cambridge (1969), Stockholm (1978). 1904 (8 juillet) 1923-26 1926 1928 1928-29 1929-31 1931-35
Brkve analyse des travaux*
I. Fonctions analytiques
1) Fonctions d'une variable complexe C'est a elles que sont consacres mes tout premiers travaux. Quelques Notes aux Comptes Rendus se rapportent a la fonction de croissance de Nevanlinna et a la repartition des valeurs des fonctions meromorphes. Dans ma These [3], j'ai reussi a prouver, en la precisant, une inegalite conjecturee par Andre BLOCH: pour tout nombre reel h>O, les points du plan complexe ou un polynbme unitaire de degre n est, en valeur absolue, au plus egal a h" peuvent Gtre enfermes dans des disques dont la somme des rayons est au plus Cgale 21 2 eh (e = base des logarithmes neperiens). J'ai montre de plus que l'on peut considerablement generaliser ce resultat; cette generalisation a Cte ensuite reprise et utiliske par Ahlfors. L'inCgalitC de Bloch s'est rCvClCe un instrument precieux dans l'etude de la repartition des valeurs d'une fonction analytique. Dans [25], j'ai etudie la croissance d'un systeme de fonctions holomorphes, c'est-a-dire, en fait, d'une application holomorphe dans un espace projectif, generalisant a cette situation les theoremes de NEVANLINNA. Cette etude a kt6 reprise, d'une f a ~ o nindkpendante, par Hermann et Joachim WEYL. C'est dans ma These [3] que j'ai Ctudie les familles normales d'applications holomorphes d'un disque dans l'espace projectif Pn(@) prive de n 2 hyperplans en position genkique. Ce sujet semble redevenu d'actualite a la suite de quelques travaux recents (notamment de P. KIERNANet S. KOBAYASHI,Nagoya Math. J. 1973).
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2) Probl2mes d'itkration et de limite pour les fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes ([I41, [24], [29]) J'ai notamment prouve le resultat suivant: soit D un domaine borne de a)",et soit f une application holomorphe D-D. Si, dans l'adherence de la suite des itCrees fk,il existe une transformation dont le Jacobien n'est pas identiquement nul, f est necessairement un automorphisme de D. Ce resultat est susceptible de nombreuses applications; M. HER* l'a utilise avec succes a diverses occasions. En voici une application immediate [24]: pour n = I, s'il existe un point a du plan complexe @, hors de D, et une courbe fermee de D dont l'indice par rapport * Caite par H. Cartan en 1973.
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a a soit non nul, si de plus f transforme cette courbe en une courbe dont l'indice est non nul, alors f est necessairement un automorphisme de D. Autre application: pour n quelconque, si f: D+D possede un point fixe en lequel le Jacobien est de valeur absolue Cgale a 1, f est un automorphisme de D.
3) Automorphismes des domaines born6s ([I 31, [20], [33]) Que peut-on dire du groupe de tous les automorphismes holomorphes d'un domaine born6 D de C"? (Cf. aussi 4) ci-dessous). Soit G ( a ) le groupe d'isotropie d'un point a E D, c'est-a-dire le sous-groupe forme des automorphismes qui laissent fixe le point a. Un premier rCsultat est le suivant: I'application qui, a chaque element de G (a), associe la transformation linCaire tangente en a, est un isomorphisrne de G (a) sur un sous-groupe (compact) du groupe linCaire GL(n,@).J'ai prouvC cela a partir d'un lemme t r b simple, qui dit que si une transformation holomorphe f de D dans D (non supposCe bijective) laisse fixe un point a E D et est tangente a 17identitCen a, c'est I'application identique. Ce lemme est aussi valable pour les groupes formels (cf. le livre classique de BOCHNERet MARTIN).I1 a aussi l'avantage de pouvoir s'appliquer tel quel aux fonctions holomorphes dans un espace de Banach complexe de dimension infinie, beaucoup Ctudiees aujourd'hui. Le rCsultat prCcCdent m'a conduit a une dkmonstration t r b simple du theoreme suivant: soient D et D' deux domaines cercles dont I'un au moins est suppose born6 (un domaine D est dit cerclC s'il est stable par toute homothCtie de rapport A tel que (A1 = 1 et s'il contient l'origine); alors tout isomorphisme holomorphe f: D+D1 qui transforme l'origine en l'origine est necessairement linkaire. Ce theoreme Ctait auparavant connu dans des cas particuliers, ou sous des hypotheses restrictives relatives a la frontiere (BEHNKE).I1 est, lui aussi, valable dans un espace de Banach. L'article [13] contient beaucoup d'autres resultats, notamment sur l'existence de developpements en sCries de types particuliers. La dktermination du groupe de tousles automorphismes d'un domainecerclC borne a ete faite completement pour le cas de deux variables dans [20]. A part quelques types spCciaux de domaines cercles (qui sont explicites), le groupe de tous les automorphismes se rCduit au groupe d'isotropie de l'origine. 4) Groupes de transformations holomorphes en gknkral
Le groupe des automorphismes holomorphes d'un domaine born6 D de @" est localement compact: c'est un rCsultat nullement Cvident que j'ai prouvC dans [24]. La question se posait ensuite de savoir si c'est un groupe de Lie. Ce probleme ne doit pas Stre confondu avec le fameux cinquieme probleme de HILBERT,qui du reste n'Ctait pas encore rCsolu a 1'Cpoque (1935). Dans [32], j'ai dCmontrC le thCoreme fondamental suivant: tout ccnoyau>>compact de groupe de transformations holomorphes, dans @",est un noyau de groupe de Lie. I1 en resulte d'une part que le groupe des automorphismes holomorphes
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d'un domaine borne est un groupe de Lie (a parametres reels); d'autre part que le groupe des automorphismes d'une varikte analytique complexe compacte est un groupe de Lie, comme BOCHNERl'a montre plus tard. Quant au theoreme fondamental ci-dessus, publie en 1935, il fut retrouve huit ans plus tard par MONTGOMERY SOUS une forme plus generale, valable pour les groupes de transformations differentiables; la methode de Montgomery est essentiellement la msme, mais en utilisant le thkoreme de Baire il reussit a I'appliquer au cas differentiable.
5) Domaines d 'holomorphie et convexite ([I 61, [23]) La notion de ccdomaine d'holomorphie>>est bien connue aujourd' hui. Dans l'article [16], j'ai pour la premiere fois montre qu'un domaine d'holomorphie posskde certaines proprietes de ccconvexitt>>par rapport aux fonctions holomorphes. Cette notion de ccconvexitt>> s'est, depuis lors, montrke feconde est non et elle est devenue classique. Dans [16], j'ai prouve que la ccconvexitC>> seulement necessaire pour que D soit un domaine d'holomorphie, mais qu'elle est suffisante pour certains domaines d'un type particulier (par exemple les domaines cercles). Qu'elle soit suffisante dans le cas general a etC dkmontre peu En mettant en commun nos idkes, Thullen et moi avons aprks par P. THULLEN. Ccrit le memoire [23] consacre a la theorie des domaines d'holomorphie. La notion de convexite holomorphe s'introduit aussi dans les problkmes d'approximation.
6) Problkmes de Cousin Le premier problkme de Cousin (ou probleme additif de Cousin) consiste a trouver une fonction meromorphe dont on se donne les parties principales (polaires). Le deuxikme problkme de Cousin (ou probleme multiplicatif) consiste a trouver une fonction meromorphe admettant un ccdiviseur,, donne (variete des zeros et des p6les avec leurs ordres de multiplicitC). On sait aujourd'hui que le probleme additif est toujours rCsoluble pour un domaine d'holomorphie, et plus gkneralement pour une ccvarietk de Stein,,. Ce resultat a kt6 prouve pour la premikre fois par K. OKA.Avant Oka, j'avais vu (6.[31]) que le probleme additif pouvait se rksoudre en utilisant l'integrale d'Andr6 WEIL,mais comme a cette Cpoque il manquait certaines techniques permettant d'appliquer l'integrale de Weil au cas general des domaines d'holomorphie, je renongai 5 publier ma demonstration. Par ailleurs, je savais que, dans le cas de deux variables, le premier problkme de Cousin n'a pas toujours de solution pour un domaine qui n'est pas un domaine d'holomorphie. En revanche, pour trois variables, j'ai donne le premier exemple (cf. [34]) d'ouvert qui n'est pas domaine d'holomorphie et dans lequel cependant le problkme additif de Cousin est toujours resoluble; il s'agit de C3 prive de l'origine. Ma methode de demonstration pour ce cas particulier (utilisation des series de Laurent) a et6
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Br6ve analyse des travaux
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9) La notion gknkrale d'espace analytique C'est apres 1950 qu'apparait la nCcessite de generaliser la notion de varietC analytique complexe, pour y inclure des singularites d'un type particulier, comme on le fait en GCometrie algkbrique. Par exemple, le quotient d'une varietk analytique complexe par un groupe proprement discontinu d'automorphismes n'est pas une variCtC analytique en gCnCral (s'il y a des points fixes), mais c'est un espace analytique (cf. [43]). Des 1951, BEHNKEet STEINtentaient d'introduire une notion d'espace analytique en prenant comme modeles locaux des ccrevktements ramifiis,, d'ouverts de Cn;mais leur dkfinition Ctait assez peu maniable. Ma premiere tentative date de mon Seminaire 1951-52 (Expose XIII); j'ai repris cette definition des espaces analytiques dans mon SCminairede 1953-54 en introduisant la notion genCrale d'espace annelk, qui a ensuite CtC popularisCe par SERRE,puis par GRAUERTet GROTHENDIECK. En 1953-54, ma dCfinition conduisait aux espaces analytiques normaux (c'est-a-dire tels que I'anneau associC a chaque point soit intkgralement clos). C'est SERREqui, le premier, attira I'attention sur I'utilitC d'abandonner la condition restrictive de normalitk. Ensuite GRAUERTpuis GROTHENDIECK introduisirent la catkgorie plus gCnCrale des espaces annelCs dans lesquels I'anneau attach6 a un point n'est plus nicessairement un anneau de germes de fonctions mais peut admettre des ClCments nilpotents. J'ai demontre dans [48] un thCoreme de ccprolongement~ des espaces analytiques normaux, suggerC par des travaux de W. L. BAILY,et qui s'applique a la compactification de SATAKEdans la thCorie des fonctions automorphes. 1 0 ) Quotients d7espacesanalytiques ([43], [51], et SCminaire 1953-54) Tout quotient d'un espace annelC X est canoniquement muni d'une structure d'espace annele (ayant une propriCte universelle aisee a formuler). Le probleme suivant se pose: lorsque X est un espace analytique, trouver des critkres permettant d'affirmer que I'espace annelC quotient est aussi un espace analytique. J'ai montrC que lorsque la relation d'equivalence est dCfinie par un groupe proprement discontinu d'automorphismes de X, le quotient est toujours un espace analytique. Puis, dans [51], j'ai donnC un critere valable pour toutes les relations d'equivalence ccpropres, et j'ai etendu au cas des espaces analytiques gkneraux un theoreme prouvC (par une autre mkthode) par K. STEINdans le cas des varietCs sans singularitks, et que voici: si f: X+Y est une application holomorphe, et si les composantes connexes des fibres de f sont compactes, le quotient de Xpar la relation d'iquivalence dont les classes sont les composantes connexes des fibres est un espace analytique. D'autres applications du critere sont donnCes dans [51]. 1 1 ) Fonctions automorphes e t plongements Ayant dCfini le quotient d'un espace analytique X par un groupe G proprement discontinu d'automorphismes, il s'agissait de realiser dans certains cas cet
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Brkve analyse des travaux
espace quotient comme sous-espace analytique d'espaces d'un type simple. Le premier cas que j'ai trait6 est celui ou X est un ouvert borne de @" et ou X/G est compact: en m'appuyant sur des resultats de M. HERVE(repris dans [47]), j'ai prouvC dans [43] que les formes automorphes d'un poids convenable fournissent un plongement de X/G comme sous-espace analytique (fermC) d'un espace projectif. Donc X/G s'identifie B l'espace analytique sous-jacent B une
12) Fibrds holomorphes Les premieres indications relatives B l'utilisation de la thCorie des faisceaux pour 1'Ctude des fibrCs holomorphes remontent B une conference que j'ai faite au SCminaire BOURBAKI (dCcembre 1950). Ma contribution a la thCorie a ensuite simplement consisti en une mise au point, au Colloque de Mexico (1956)' des thCorkmes fondamentaux de GRAUERTsur les espaces fibrCs principaux dont la base est une variCtC de Stein, thCoremes dont la dCmonstration n'Ctait pas encore publiCe mais dont les grandes lignes m'avaient CtC communiquCes par l'auteur. Dans la redaction [49], j'ai donne des dCmonstrations completes.
13) Varie'te'sanalytiques rkelles ([44], [45], [46]) L'un des buts de [44] Ctait de prouver l'analogue des theoremes A et B pour les variCtCs analytiques rCelles, dCnombrables 8 l'infini. A cette Cpoque le thCorkme de plongement de GRAUERTn'ktait pas encore connu; il a pour consCquence que les thCoremes que j'ai CnoncCs pour les varietes plongeables sont, en fait, toujours vrais. A partir de 18 on obtient, par les procCdCs usuels de passage du local au global, une sCrie de rCsultats de caractere global; par exemple, une sous-variCtC analytique fermCe d'une variCtC analytique rkelle (dknombrable a l'infini) peut 6tre dCfinie globalement par un nombre fini d'kquations analytiques. Toutefois, il est une propriCtC (d'ailleurs de caractere local) qui diffirencie le cas rCel du cas complexe: le faisceau d'idkaux d6fini par un sous-ensemble analytique rCel n'est pas toujours coherent, contrairement a ce qui se passe dans le cas complexe; j'en donne des contre-exemples dans [44], et je donne aussi un exemple d'un sous-ensemble analytique A de IR3, de codimension un, tel que toute fonction analytique dans R3 qui s'annule
Breve analyse des travaw
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identiquement sur A soit identiquement nulle. D'autres situations pathologiques sont CtudiCes dans les Notes [45] et [46], ecrites en collaboration avec F. BRUHAT.
11. Topologie algbbrique
1) Fibrks et groupes d'homotopie Dans les Notes [89] et [9C)], en collaboration avec J.-P. SERRE, nous introduisons I'opCration qui consiste 5 cctuer,, les groupes d'homotopie d'un espace X ((par le bas,,, c'est-a-dire a construire un espace Y e t une application f: Y+X de maniere que les groupes d'homotopie nj(Y) soient nuls pour i S n (n entier donne), et que nj(Y)+nj(X) soit un isomorphisme pour i > n . L'on peut choisir pour f une application fibr6e (en construisant avec SERREdes espaces de chemins), et I'on a donc une suite spectrale reliant les homologies de X, de Y et de la fibre. Cette mCthode permet le calcul (partiel) des groupes d'homotopie d'un espace a partir de ses groupes d'homologie.
2) DCtennination des algkbres d'Eilenberg-MacLane H. (17, n) ([9'1.], [92], 1931) Rappelons que K(17,n) dCsigne un espace dont tous les groupes d'homotopie sont nuls, sauf n,, qui est isomorphe a une groupe abClien donne 17. Un tel espace est un espace de HOPFet par suite ses groupes d'homologie foment une algebre graduee H.(17,n). Le probleme du calcul explicite de ces algebres avait CtC pose par EILENBERG et MACLANE.Je suis parvenu a ce calcul par des mCthodes purement algkbriques, basCes sur la notion de ccconstruction,,, et qui permettent un calcul explicite. Les resultats s'knoncent particulierement bien lorsqu'on prend comme anneau de coefficients le corps IF, a p klkments (p premier). Le cas ou p = 2 et ou le groupe 17 est cyclique avait CtC entierement rCsolu par J.-P. SERRE,par une mkthode un peu diffCrente. A l'occasion de ces calculs j'ai Ct6 amene introduire la notion d'algkbre graduCe a puissances diviskes; l'algkbre d'Eilenberg-MacLane possede de telles ((puissances divisCes,,. C'est une notion qui s'est avkree utile dans d'autres domaines, et notamment dans la thCorie des groupes formels (DIEUDONNG, CARTIER). 3) Suite spectrale d'un espace ou opdre un groupe discret ([82], [83]) On considere un groupe G opCrant sans point fixe, de fagon proprement discontinue, dans un espace topologique X. Dans une Note commune, J. LERAY et moi avions envisagC le cas ou le groupe est fini. J'ai CtudiC ensuite le cas gCnCra1, qui a de nombreuses applications. On trouve une exposition de cette question au Chapitre XVI de mon livre c~HomologicalAlgebra,, Ccrit en collaboration avec S. EILENBERG.
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Breve analyse des travaux
4) Cohomologie des espaces homog2nes de groupes de Lie ([86], [87]) I1 s'agit de la cohomologie h coefficients reels d'un espace hornogene Glg, G Ctant un groupe de Lie compact connexe et g u n sous-groupe ferme connexe de G. La methode utilisee est celle de I'ccalgebre de Weil>>d'une algebre de Lie. J'obtiens pour la premiere fois une determination complete de la cohomologie reelle de Glg; il suffit de connaitre la <
> dans l'algebre de Lie de G, et 1'homomorphisrne I (G)+ I (g) (ou I (G) designe l'algebre des polynbrnes sur l'algebre de Lie de G, invariants par le groupe adjoint; de mime pour I (g)). Ces resultats ont etC ensuite repris par A. BORELqui les a en partie etendus au cas plus difficile de la cohomologie coefficients dans IF,. A ce sujet, on peut consulter le rapport de BORELdans le Bulletin de 1'A.M.S. (vol. 61, 1955, p. 397-432).
5) Opkra tions de STEENROD La premiere demonstration de la forrnule du produit pour les cccarres de Steenrod,,, irnproprernent appelee <>puisque c'est WU-WENTSUN qui m'avait propose de prouver cette formule, se trouve donnee dans la une demonstration Note [85]. Son seul merite est d'avoir suggere a STEENROD de la formule analogue .9i(xy) = r.+C .9;(x) .Y;(y) pour les operations de j=k Steenrod modulo p ( p premier impair). Aujourd'hui on a de meilleures demonstrations de ces relations. Dans [94], je determine explicitement les relations rnultiplicatives existant entre les generateurs St; de l'algebre de Steenrod pour p premier impair (le cas p = 2 avait ete trait6 par J. ADEM;le cas ou p est impair a ensuite Cte trait6 independarnrnent par J. Adern au rnoyen d'une rnCthode differente de la mienne).
6) Cohomologie a coefficients dans un faisceau Cette notion maintenant fondamentale, aussi bien en Topologie qu'en Analyse, avait ete introduite par J. LERAYd'une f a ~ o nrelativement compliquee. Dans mon SCminaire de 1950-51 j'en donne la premiere exposition axiomatique, qui est aujourd'hui adoptee (voir par exemple le livre classique de R. GODEMENT). Cette presentation a permis ultkrieurement de faire rentrer la theorie des et de lui faisceaux (de groupes abeliens) dans celle des <> appliquer les mCthodes de 1'Algebre homologique (foncteurs derives, etc. ...). D'autre part, c'est dans le cadre de la cohomologie a valeurs dans un faisceau que j'ai place le theorerne de DE RHAM(relatif au calcul de la cohomologie rkelle d'une variktk differentiable au moyen des formes differentielles), ainsi que la c> de PO IN CAR^ des varietes topologiques, triangulables ou non. d'etudier Ces idCes sont devenues courantes; elles ont permis a P. DOLBEAULT le cornplexe de d"-cohornologie d'une variCtC analytique cornplexe.
Breve analyse des travaux
XVII
111. Theorie du potentiel ([70], [711.1, [72], [73], [74], [75], [84])
C'est sous l'influence de M. BRELOTque je me suis interesse pendant la guerre aux problemes de la theorie du potentiel (potentiel newtonien et generalisations diverses). J'ai utilid d'une maniere systematique la notion d'knergie, en commenqant par prouver le theoreme suivant: I'espace des distributions positives d'knergie finie, muni de la norme dkduite de I'energie, est complet. Ce fut l'occasion d'employer la methode de projection sur un sous-ensemble convexe et complet (dans un espace fonctionnel). Le theoreme precedent suggkra a J. DENYd'introduire en theorie du potentiel les distributions de SCHWARTZ; il prouva que I'espace vectoriel de toutes les distributions d'energie finie (et plus seulement les distributions positives) est complet. J'ai aussi introduit la notion de topologie fine (la moins fine rendant continues les fonctions surharmoniques), qui s'est averee utile notamment dans les questions d'effilement a la frontiere, et, plus recemment, dans les nouveaux developpements axiomatiques de la theorie du potentiel en relation avec les ProbabilitQ. J'ai donne la premiere demonstration d'un theoreme que dksirait BRELOT,et qui se formule ainsi: la limite d'une suite decroissante (ou, plus gkneralement, d'un ensemble filtrant dkcroissant) de fonctions surharmoniques, si elle n'est pas identiquement - 0 3 , ne differe d'une fonction surharmonique que sur un ensemble de capacite exterieure nulle. Enfin, je crois avoir Cte le premier a introduire une theorie du potentiel dans les espaces homogenes [7 11.
IV. Algebre homologique Ecrit entre 1950 et 1953, paru seulement en 1956, le livre ccHomological Algebra, est dii a une longue collaboration avec Samuel EILENBERG.On y expose pour la premi6re fois une theorie qui englobe diverses theories particulieres (homologie des groupes, homologie des algebres associatives, homologie des algebres de Lie, syzygies de HILBERT,etc. ...), en les plaqant dans le cadre general des foncteurs additifs et de leurs foncteurs ((derives>>.Les foncteurs Torn(A,B) (foncteurs derives gauches du produit tensoriel A 8 B) sont introduits dans cet ouvrage, ainsi que les foncteurs Extn(A, B) (foncteurs derives droits du foncteur Hom (A,B)). Auparavant, seul le foncteur Extl (A, R) avait it6 explicitement considCr6 dans la litterature (Eilenberg-MacLane). On montre notamment le r81e qu'ils jouent dans la ccformule de Kiinneth,,, qui est pour la premiere fois enoncee en termes invariants. Cet ouvrage de 400 pages semble avoir servi de catalyseur: il a ete a l'origine de rapides developpements tant en Algkbre pure qu'en Geometrie algkbrique et en Geometrie analytique. Le terme lui-mCme d'ccalgebre homologique>>,donnC comme titre a notre livre, a fait fortune. Dans ce livre nous avions trait6 le cas
XVIII
Brtve analyse des travaux
des modules sur un anneau; mais l'exposition avait Cte conduite de telle sorte qu'elle pouvait immkdiatement se transposer a d'autres cas, comme il Ctait d'ailleurs indiquC dans 1'Appendice a notre livre ecrit par D. BUCHSBAUM. I1 d'introduire et d'Ctudier systCmatiquement les devait revenir a GROTHENDIECK <
V. Divers 1 ) Thkorie des filtres J'ai introduit en 1937 la notion de filtre dans deux Notes aux Comptes Rendus ([61], [62]). Cette notion est devenue d'un usage courant en Topologie gCnCrale, ainsi que celle d'ultrafiltre qui lui est liee. Cette dernikre intervient aussi dans certaines thCories logiques.
2) The'orie de Galois des corps non commutatifs ([79]) La thCorie a ensuite CtC Ctendue aux anneaux simples, notamment par DIEUDONNG.
3) Analyse harmonique I1 s'agit d'un article Ccrit en collaboration avec R. GODEMENT [80]. C'est l'une des premieres prksentations ccmodernes>>de la transformation de Fourier dans le cadre gCnCral des groupes abCliens localement compacts, sans faire appel ala thCorie ccclassique>>. 4 ) Classes de fonctions indkfiniment dkrivables ([63]
[68]) J'ai Ctabli par voie ClCmentaire de nouvelles inCgalitCs entre les dCrivCes successives d'une fonction d'une variable rCelle. Puis, en collaboration avec S. MANDELBROJT,nous les avons appliqukes a la solution dCfinitive du problkme de 1'Cquivalence de deux classes de fonctions (chacune des classes ktant dkfinies par des majorations donnCes des dkrivkes successives).
Brkve analyse des travaux
XIX
5) Extension et simplification d'un thkor6me de RADO([40]) J'ai formule ce theoreme de la maniere suivante: une fonction continue f qui est holomorphe en tout point z ou f(z) = 0 est holomorphe aussi aux points ou f(z) = 0. La demonstration que j'en ai donnee est tres simple et basCe sur la theorie du potentiel. De 18on dCduit le theoreme de RADOSOUS sa forme usuelle (i.e.: une fonction holomorphe qui tend vers zero a la frontiere est identiquement nulle, sous des hypothkses convenables relatives a la frontiere). De plus, sous la forme ou je l'knonce, le theoreme s'Ctend trivialement aux fonctions d'un nombre quelconque de variables, et meme aux fonctions dans un ouvert d'un espace de Banach.
VI. Collaboration au Trait6 de N. BOURBAKI Pendant vingt ans, de 1935 a 1954, j'ai participk au travail collectif d'klaboration des <<Elementsde mathkmatique, de Nicolas BOURBAKI.Ceci doit etre mentionne dans cette Notice, non pour evoquer ma contribution personnelle qu'il est d'ailleurs bien difficile d'kvaluer, mais pour dire tout l'enrichissement que j'en ai retire. Ce travail en commun avec des hommes de caracteres tres divers, a la forte personnalitk, mus par une commune exigence de perfection, m'a beaucoup appris, et je dois a ces amis une grande partie de ma culture mathematique.
I
Liste des travaux
Reproduits dans les (EWRES: Volume I 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.
Sur quelques thtortmes de Nevanlinna Sur un theortme d'Andre Bloch Sur les systemes de fonctions holomorphes a variktks lintaires lacunaires (These) Un nouveau theortme d'unicite relatif aux fonctions mtromorphes Sur la croissance des fonctions meromorphes d'une ou plusieurs variables complexes Sur la fonction de croissance attachte a une fonction meromorphe de deux variables et ses applications aux fonctions meromorphes d'une variable Sur la derivee par rapport log r de la fonction de croissance T(r;f) Sur les zeros des combinaisons lintaires de p fonctions entieres donntes Sur les fonctions de deux variables complexes Les fonctions de deux variables complexes et les domaines cercles de M. Carathkodory Les transformations analytiques des domaines cerclks les uns dans les autres Sur les valeurs exceptionnelles d'une fonction meromorphe dans tout le plan Les fonctions de deux variables complexes et le probleme de la representation analytique Sur les fonctions de deux variables complexes: les transformations d'un domaine borne D en un domaine interieur a D Sur les varietes definies par une relation entiere Sur les domaines d'existence des fonctions de plusieurs variables complexes Les transformations analytiques et les domaines convexes (avec E. Cartan) Les transformations des domaines cercles bornes Les transformations des domaines semi-cercles bornes Sur les transformations analytiques des domaines cercles et semi-cerclks born& Sur une classe remarquable de domaines Sur les transformations pseudo-conformes des domaines cercles bornes (avec P. Thullen) Zur Theorie des Singularitaten der Funktionen mehrerer komplexen Veranderlichen Sur les fonctions de plusieurs variables complexes. Piteration des transformations intkrieures d'un domaine borne Sur les zeros des combinaisons lineaires de p fonctions holomorphes donntes Determination des points exceptionnels d'un systeme de pfonctions analytiques de nvariables complexes Sur les groupes de transformations pseudo-conformes Sur les groupes de transformations pseudo-conformes Sur I'iteration des transformations conformes ou pseudo-conformes Sur les transformations pseudo-conformes du produit topologique de deux domaines Les problemes de Poincare et de Cousin pour les fonctions de plusieurs variables complexes Sur lesgroupes de transformations analytiques Sur les fonctions de nvariables complexes: les transformations duproduit topologique de deux domaines bornes Sur le premier probleme de Cousin
Liste des travaux
XXII
Volume II
35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58.
Sur les matrices holomorphes de n variables complexes IdCaux de fonctions analytiques de n variables complexes Sur un cas de prolongement analytique pour les fonctions de plusieurs variables complexes IdCaux et modules de fonctions analytiques de variables complexes Probltmes globaux dans la theorie des fonctions analytiques de plusieurs variablescomplexes Sur une extension d'un theorkme de Rado VariCtCs analytiques complexes et cohomologie (avec J.-P. Serre) Un thtortme de finitude concernant les varittts analytiques compactes Quotient d'un espace analytique par un groupe d'automorphismes VariCtks analytiques reelles et varittes analytiques complexes (avec F. Bruhat) Sur la structure des sous-ensembles analytiques reels (avec F. Bruhat) Sur les composantes irrkductibles d'un sous-ensemble analytique reel Fonctions automorphes et series de Poincart Prolongement des espaces analytiques normaux Espaces fibres analytiques Sur les fonctions de plusieurs variables complexes: les espaces analytiques Quotients of complex analytic spaces Probltmes d'approximation dans la theorie des fonctions analytiques Faisceaux analytiques coherents Some applications of the new theory of Banach analytic spaces Sur le theoreme de preparation de Weierstrass Sur I'anneau des germes de fonctions holomorphes dans un espace de Banach Sur les travaux de K. Stein Domaines bornts symttriques dans un espace de Banachcomplexe
Volume I11
59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80.
(avec E. Cartan) Note sur la gtneration des oscillations entretenues Sur les transformations localement topologiques Theorie des filtres Filtres et ultrafiltres Sur les intgalitks entre les maxima des dCrivtes successives d'une fonction (avec S. Mandelbrojt) Solution du probltme de Carleman pour un intewalle ouvert fini Solution du probltme de Carleman pour un intervalle fermC fini Sur les maxima des derivkes successives d'une fonction (avec S. Mandelbrojt) Solution du problkme d'equivalence des classes de fonctions indtfiniment dtrivables Sur les classes de fonctions dCfinies par des intgalitks portant sur leurs dtrivees successives Sur la mesure de Haar Sur les fondements de la theorie du potentiel La thtorie gCntrale du potentiel dans les espaces homogenes Capacitt exttrieure et suites convergentes de potentiels Sur les suites de potentiels de masses ponctuelles Theorie du potentiel newtonien: Cnergie, capacite, suites de potentiels ThCorie genCrale du balayage en potentiel newtonien Methodes modernes en Topologie Algebrique Extension de la thtorie de Galois aux corps non commutatifs Les principaux theortmes de la thCorie de Galois pour les corps non commutatifs ThCorie de Galois pour les corps non commutatifs (avec R. Godement) Theorie de la dualite et analrje harmonique dans les groupes abeliens localement compacts
Liste des travaux 81. Sur la notion de carapace en topologie algebrique 82. Sur la cohomologie des espaces ou opere un groupe, notions algebriques preliminaires 83. Sur la cohomologie des espaces ou opere un groupe, etude d'un anneau differentiel ou opere un groupe 84. (avec J. Deny) Le principe du maximum en thkorie du potentiel et la notion de fonction surharmonique 85. Une thkorie axiomatique des carres de Steenrod 86. Notions d'algebre differentielle; application aux groupes de Lie et aux varittts ou opere un groupe de Lie 87. La transgression dans un groupe de Lie et dans un espace fibre principal 88. Extension du theoreme des ccchaines de syzygies~ 89. (avec J.-P. Serre) Espaces fibres et groupes d'homotopie. I. Constructions generales 90. (avec J.-P. Serre) Espaces fibres et groupes d'homotopie. 11. Applications 91. Sur les groupes d'Eilenberg-MacLane ki(U,n): I. Methode des constructions 92. Sur les groupes d'Eilenberg-MacLane. I1 93. Algkbres dlEilenberg-MacLane 94. Sur I'ittration des optrations de Steenrod 95. Sur la notion de dimension 96. Reflexions sur les rapports d'Aarhus et Dubrovnik 97. Emil Artin 98. Structural stability of differentiable mappings 99. Les travaux de Georges de Rham sur les varietes differentiables 100. Theories cohomologiques
Non reproduits dans les (EWRES: Seminaires de I'Ecole Normale Supkrieure (publies par le Secr. Math., 11 rue P. et M. Curie, 75005 PARIS, et par W. A. Benjamin, ed., New York, 1967) 1948-49 Topologie algebrique 1949-50 Espaces fibres et homotopie 1950-51 Cohomologie des groupes, suites spectrales, faisceaux 1951-52 Fonctions analytiques de plusieurs variables complexes 1953-54 Fonctions automorphes et espaces analytiques 1954-55 Algkbres d7Eilenberg-MacLane et homotopie 1955-56 (avec C. Chevalley) GeomCtrie algebrique 1956-57 Quelques questions de Topologie 1957-58 (avec R. Godement et I. Satake) Fonctions automorphes 1958-59 Invariant de Hopf et operations cohomologiques secondaires 1959-60 (avec J. C. Moore) PCriodicitC des groupes d'homotopie stables des groupes classiques, d'aprts Bott 1960-61 (avec A. Grothendieck) Familles d'espaces complexes et fondements de la gkomttrie analytique 1961-62 Topologie differentielle 1962-63 Topologie differentielle 1963-64 (avec L. Schwartz) Theoreme dlAtiyah-Singer sur I'indice d'un optrateur differentiel elliptique
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Liste des travaux
Livres (avec S. Eilenberg) Homological Algebra, Princeton Univ. Press, Math. Series, n019, 1966 -traduit en russe. ThCorie tlementaire des fonctions analytiques, Paris, Hermann, 1961 - traduit en allemand, anglais, espagnol, japonais, russe. Calcul differentiel; formes difftrentielles, Paris, Hermann, 1967 - traduit en anglais et en russe.
Divers Sur la possibilite d'btendre aux fonctions de plusieurs variables complexes la theorie des fonctions n s les fonctions univalentes ou multivalentes~de P. Montel, univalentes, Annexe aux ~ L e ~ o sur Paris, Gauthier-Villars (1933), 129-155. (avec J. DieudonnC) Notes de teratopologie. 111, Rev. Sci., 77 (1939), 413-414. Un thkorkme sur les groupes ordonnes, Bull. Sci. Math., 63 (1939), 201-205. Sur le fondement logique des mathtmatiques, Rev. Sci., 81 (1943), 2-11. (avec J . Leray) Relations entre anneaux d'homologie et groupes de PoincarC, Topologie Algtbrique, Coll. Intern. C.N.R.S. n012 (1949), 83-85. Nombres reels et mesure des grandeurs, Bull. Ass. Prof. Math., 34 (1954), 29-35. Structures algebriques, Bull. Ass. Prof. Math., 36 (1956), 288-298. (avec S. Eilenberg) Foundations of fibre bundles, Symp. Intern. Top. Alg., Mexico (1956), 16-23. Volume des polytdres, Bull. Ass. Prof. Math., 38 (1958), 1-12. Nicolas Bourbaki und die heutige Mathematik, Arbeits. fiir Forschung des Landes NordrheinWestfalen, Heft 76, Koln (1959). Notice necrologique sur Arnaud Denjoy, C. R. Acad. Sci. Paris, 279 (1974), Vie Acadtmique, 49-52 (= Asterisque 28-29, S.M.F., 1975, 14-18).
Exposb au Skminaire Bourbaki (Les numeros renvoient a la numerotation globale du Seminaire) 1,8,12. Les travaux de Koszul (1948-49) 34. Espaces fibres analytiques complexes (1950) 73. MCmoire de Gleason sur le 5e probleme de Hilbert (1953) 84. Fonctions et varietes algebroi'des, d'apres F. Hirzebruch (1953) r der analytisch vollstandigen Raume<< 115. Sur un mtmoire intdit de H. Grauert: ~ Z u Theorie (1955) 125. Thtorie spectrale des C-algebres commutatives, d'apres L. Waelbroeck (1956) 137. Espaces fibres analytiques, d'apres H. Grauert (1956) 296. These de Douady (1965) 337. Travaux de Karoubi sur la K-theorie (1968) 354. Sous-ensembles analytiques d'une variete banachique complexe, d'apres J.-P. Ramis (1969)
Table des Matieres
Volume I
Preface . . . . . . . . . Curriculum vitae . . . . Breve analyse des travaux Liste des travaw . . . . .
.................................. .................................. .................................. ..................................
V VII IX XXI
1. Sur quelques thtoremes de Nevanlinna, Comptes Rendus de I'AcadCmie des Sciences deParis, 185,1253-1255 (1927) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Sur un theoreme d'Andre Bloch, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 186,624-626 (1928) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Sur les svstemes de fonctions holomorphes a varietes lineaires lacunaires (These), Annales Scientifiques de I'Ecole Normale Superieure, 45,255-346 (1928) . . . . . . 4. Un nouveau theorkme d'unicite relatif aux fonctions meromorphes, Comptes Rendus de 1'Acadtmie des Sciences de Paris, 188,301-303 (1929) . . . . . . . . . . . . . . 5 . Sur la croissance des fonctions mtromorphes d'une ou plusieurs variables complexes, Comptes Rendus de I'Academiedes Sciences de Paris, 188,1374-1376 (1929) . . . . 6 . Sur la fonction de croissance attachee a une fonction meromorphes d'une variable, Cornptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 189,521-523 (1929) . . . . . 7 . Sur la derivee par rapport a log r de la fonction de croissance T(r;fJ,Comptes Rendus de I'AcadCmie des Sciences de Paris, 189,625-627 (1929) . . . . . . . . . . . . . . 8. Sur les zeros des combinaisons lineaires de p fonctions entieres donnees, Comptes Rendusde I'AcademiedesSciencesde Paris, 189,727-729(1929) . . . . . . . . . . 9 . Sur les fonctions de deux variables complexes, Bulletin des Sciences Mathematiques,54,99-116(1930). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Les fonctions de deux variables complexes et les domaines cercles de M. Caratheodory, Comptes Rendus de 1'Academie des Sciences de Paris, 190,354-356 (1930) . . . . . 11. Les transformations analytiques des domaines cercles les uns dans les autres, Comptes Rendus de 1'Acadtmie des Sciences de Paris, 190,718-720 (1930) . . . . . . . . . . 12. Sur les valeurs exceptionnelles d'une fonction mtromorphe dans tout le plan, Comptes Rendusde I'Academiedes Sciencesde Paris, 190,1003-1005 (1930) . . . . . . . . . 13. Les fonctions de deux variables com~lexeset le ~ r o b l k m ede la re~rtsentation analytique, Journal de Mathematiques pures etappliqukes, 9e serie, 10,l-114 (1931) 141 14. Sur les fonctions de deux variables complexes: les transformations d'un domaine borne D en un domaine interieur a D, Bulletin de la SociCtt mathematique de France, 58, 199-219(1930) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 15. Sur les varittes dCfinies par une relation entikre, Bulletin des Sciences Mathkmatiques, 55,24-32et47-64(1931) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 16. Sur les domaines d'existence des fonctions de plusieurs variables complexes, Bulletin 303 de la SocietC mathematique de France, 5 9 , 4 6 4 9 ( 1 9 3 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . 17. Les transformations analytiques et les domaines convexes, Association fran~aisepour I'avancement des sciences, Nancy, 30-31 (1931) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 18. (avec E. Cartan) Les transformations des domaines cerclts bornis, Comptes Rendus de I'AcadCmie des Sciences de Paris, 192,709-712 (1931) . . . . . . . . . . . . . . 329
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Table des Matieres
19. Les transformations des domaines semi-cerclts bornes, Comptes Rendus de 1'Academie des Sciences de Paris, 192,869-87 1 (193 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. Sur les transformations analytiques des domaines cercles et semi-cercles bornes, Mathematische Annalen, 106,540-573 (1932) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. Sur une classe remarquable de domaines, Comptes Rendus de 1'Academie des Sciences deParis, 192,1077-1079 (1931) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. Sur les transformations pseudo-conformes des domaines cercles bornes, Congres International des Mathematiciens, Ziirich, vol. 2,57-59 (1932) . . . . . . . . . . . . 23. (avec P. Thullen) Zur Theorie des Singularitaten der Funktionen mehrerer komplexen Veranderlichen, Mathematische Annalen, 106,617-647 (1932) . . . . . . . . . . . . 24. Sur les fonctions de plusieurs variables wmplexes. L'iteration des transformations intkrieures d'un domaine bornC, Mathematische Zeitschrift, 35,760-773 (1932) . . . 25. Sur les zeros des wmbinaisons lineaires de p fonctions holomorphes donnees, Mathematica,Cluj,7,5-29 (1933) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. DCtermination des points exceptionnels d'un systtme de p fonctions analytiques de n variables wmplexes, Bulletin des Sciences Mathematiques, 57,333-344 (1933) . . . 27. Sur les groupes de transformations pseudo-wnformes, Comptes Rendus de 1'Academie des Sciences de Paris, 196,669-671 (1933) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. Sur les groupes de transformations pseudo-wnformes, Comptes Rendus de 1'Academie des Sciences de Paris, 196,993-995 (1933) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. Sur I'iteration des transformations conformes ou pseudo-conformes, Compositio Mathematica, 1,223-227 (1934) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. Sur les transformations pseudo-conformes du produit topologique de deux domaines, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 199,925-927 (1934) . . . . . 31. Les probltmes de Poincari et de Cousin pour les fonctions de plusieurs variables complexes, Comptes Rendus de I'Acadkmie des Sciences de Paris, 199, 1284-1287 (1934) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Sur les groupes de transformations analytiques, Collection a la memoire de Jacques Herbrand, Hermann, Paris (1936) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. Sur les fonctions de n variables wmplexes: les transformations du produit topologique de deux domaines bornCs, Bulletin de la SocittC mathematique de France, 64,37-48 (1936) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. Sur le premier probleme de Cousin, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 207,558-560 (1938) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Volume 11 35. Sur les matrices holomorphes de n variables wmplexes, Journal de Mathematiques pureset appliquees, 19,l-26 (1940) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. IdCaw de fonctions analytiques de n variables complexes, Annales Scientifiques de I'Ewle Normale Suptrieure, 6 1,149-197 (1944) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37. Sur un cas de prolongement analytique pour les fonctions de plusieurs variables wmplexes, Annales Academiae Scientiarum Fennicae, series A, 61,3-6 (1949) . . . 38. IdCaux et modules de fonctions analytiques de variables wmplexes, Bulletin de la SocittCmathtmatique de France, 78,29-64 (1950) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. Problemes globaux dans la theorie des fonctions analytiques de plusieurs variables complexes, Congrts International des Mathematiciens, Cambridge, vol. 1, 152-164 (1950). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40. Sur une extension d'un thCortme de Rado, Mathematische Annalen, 125, 49-50 (1952). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. Varittes analytiques complexes et cohomologie, Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, Bruxelles, 41-55 (1953) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
539 565 614 618 654 667 669
Table des Matitres
XXVII
42. (avec J.-P. Serre) Un thtoreme de finitude concernant les varittes analytiques compactes, Comptes Rendus de 1'AcadCmie des Sciences de Paris, 237, 128-130 (1953) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. Quotient d'un espace analytique par un groupe d'automorphismes, Algebraic Geometry and Topology, A symposium in honor of S. Lefschetz, Princeton University Press,9&102(1957) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44. Varietts analytiques reelles et varietes analytiques complexes, Bulletin de la SocietC mathematique de France, 85,77-99 (1957) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45. (avec F. Bruhat) Sur la structure des sous-ensembles analytiques reels, Comptes Rendus de I'AcadCmie des Sciences de Paris, 244,988-991 (1957) . . . . . . . . . . 46. (avec F. Bruhat) Sur les composantes irrkductibles d'un sous-ensemble analytique reel, Comptes Rendus de I'Acadtmie des Sciences de Paris, 244,1123-1 126 (1957) . . . . 47. Fonctions automorphes et shies de PoincarC, Journal d'Analyse Mathimatique, 6, 169-175 (1958) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48. Prolongement des espaces analytiques normaux, Mathematische Annalen, 136, 97-llO(1958) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49. Espaces fibres analytiques, Symposium International de Topologia Algebraica, Mexico,97-121(1958) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50. Sui les fonctions de plusieurs variables complexes: les espaces analytiques, Congrks International des Mathematiciens, Edingurgh, 33-52 (1958) . . . . . . . . . . . . . 51. Quotients of complex analytic spaces, International Colloquium on Function Theory, TataInstitute, 1-15 (1960) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Problemes d'approximation dans la theorie des fonctions analytiques, Atti della 2a Riunione del Groupement des MathCmaticiens d'expression latine, Florence, 24-29 (1961) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. Faisceaux analytiques cohkrents, Centro Internazionale Matematico Estivo, Varenna (1963) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54. Some applications of the new theory of Banach analytic spaces, Journal of the London Mathematical Society, 41,70-78 (1966) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55. Sur le thkorerne de preparation de Weierstrass, Arbeitsgemeinschaft fur Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen, Wissenschaftliche Abhandlung, Band 33, 155-168 (1966) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56. Sur I'anneau des germes de fonctions holomorphes dans un espace de Banach, Stminaire sur les espaces analytiques, Editions de 1'AcadCmie de la Republique socialiste de Roumanie,Bucarest, 129-135 (1971) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57. Sur les travaux de K. Stein, Schriftenreihe des Mathematischen Instituts der Universitat Munster (1973) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58. Domaines bornes symetriques dans un espace de Banach complexe, Publicado en (
59. (avec E. Cartan) Note sur la generation des oscillations entretenues, Annales des P.T.T., 14,1196-1207 (1925) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60. Sur les transformations localement topologiques, Acta scientiarum mathematicarum, Szeged, 6,85-104 (1933) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61. Theorie des filtres, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 205, 595-598 (1937) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. Filtres et ultrafiltres, Comptes Rendus de I'AcadCmie des Sciences de Paris, 205, 777-779(1937) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. Sur les inegalites entre les maxima des derivees successives d'une fonction, Comptes Rendusde1'AcadCmiedesSciencesdeParis,208,414-416(1939) . . . . . . . . . .
921 933 953 957 960
XXVIII
Table des Matieres
64. (avec S. Mandelbrojt) Solution du probltme de Carleman pour un intervalle ouvert fini, Comptes Rendus de I'Acadtmie des Sciences de Paris, 208,555-558 (1939) . . . 65. Solution du probleme de Carleman pour un intervalle fermC fini, Comptes Rendus de I'AcadCmie des Sciences de Paris, 208,7 16-7 18 (1939) . . . . . . . . . . . . . . . . 66. Sur les maxima des dtrivtes successives d'une fonction, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 210,431 -434 (1940) . . . . . . . . . . . . . . . . 67. (avec S. Mandelbrojt) Solution du problkme d'equivalence des classes de fonctions indefiniment dtrivables, Acta Mathematica, 72,3 1-49 (1940) . . . . . . . . . . . . 68. Sur les classes de fonctions dCfinies par des inegalites portant sur leurs dtrivtes successives, Publications de I'Institut Mathematique de Strasbourg, Hermann (1 940) . 69. Sur les classes de Haar, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 211, 759-762 (1940) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70. Sur les fondements de la theorie du potentiel, Bulletin de la Societe mathematique de France,69,71-96 (1941) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71. La theorie generale du potentiel dans les espaces homogenes, Bulletin des Sciences MathCmatiques,66,126-132et 136-144 (1942) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. Capacitt exttrieure et suites convergentes de potentiels, Comptes Rendus de I'AcadCmie des Sciences de Paris, 214,944-946 (1942) . . . . . . . . . . . . . . . . 73. Sur les suites de potentiels de masses ponctuelles, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 214,994-996 (1942) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74. ThCorie du potentiel newtonien: energie, capacite, suites de potentiels, Bulletin de la Socitttmathematique de France, 73,74-106 (1945) . . . . . . . . . . . . . . . . . 75. ThCorie gtntrale du balayage en potentiel newtonien, Annales de I'universitC de Grenoble,22,221-280(1946) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76. MCthodes modernes en Topologie AlgCbrique, Commentarii Mathematici Helvetici, 18,l-15(1945) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77. Extension de la thCorie de Galois aux corps non commutatifs, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 224,87-89 (1947) . . . . . . . . . . . . . . . . . 78. Les principaux thtortmes de la thkorie de Galois pour les corps non commutatifs, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 224,249-25 1 (1947) . . . . . 79. Theorie de Galois pour les corps non commutatifs, Annales Scientifiques de I'Ecole Normale Superieure, 64,59-77 (1947) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80. (avec R. Godement) Theorie de la dualite et analyse harmonique dans les groupes abtliens localement compacts, Annales Scientifiques de 1'Ecole Normale Superieure, 64,79-99 (1947) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81. Sur la notion de carapace en topologie algtbrique, Topologie AlgCbrique, Colloque International duC.N.R.S., n012, 1-2 (1949). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. Sur la cohomologie des espaces ou opere un groupe. Notions algebriques prtliminaires, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 226,148-150 (1948) . . . . . . 83. Sur la cohomologie des espaces ou opere un groupe: etude d'un anneau differentiel ou optre un groupe, Comptes Rendus de 1'Acadtmie des Sciences de Paris, 226,303-305 (1948) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84. (avec J. Deny) Le principe du maximum en theorie du potentiel et la notion de fonction surharmonique, Actascientiarum mathematicarum, Szeged, 12,81-100 (1950) . . . 85. Une theorie axiomatique des carrCs de Steenrod, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 230,425-427 (1950) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86. Notions d'algkbre difftrentielle; application aux groupes de Lie et aux varietes ou opere un groupe de Lie, Colloque de Topologie, C.B.R.M., Bruxelles, 15-27 (1950) . . 87. La transgression dans un groupe de Lie et dans un espace fibre principal, Colloque de Topologie, C.B.R.M., Bruxelles, 57-71 (1950) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88. Extension du theoreme des ccchaines de syzygies~,Rendiconti di Matematica e delle sue applicazioni, V, 1 1 , l - l l ( 1 9 5 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89. (avec J.-P. Serre) Espaces fibres et groupes d'homotopie. I. Constructions gtntrales, Comptes Rendus de I'AcadCmie des Sciences de Paris, 234,288-290 (1952) . . . . .
Table des Matieres 90. (avec J.-P. Serre) Espaces fibres et groupes d'homotopie. 11. Applications, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 234,393-395 (1952). . . . . . . . . . . 91. Sur les groupes d'Eilenberg-MacLane H(n,n): I. Methode des constructions, Proceedings of the National Academy of Sciences USA, 40,467-471 (1954) . . . . . 92. Sur les groupes d'Eilenberg-MacLane. 11, Proceedings of the National Academy of Scimces USA, 40,704-707 (1954) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93. Algkbres d'Eilenberg-MacLane, SCminaire H. Cartan, Ecole Normale Superieure, 1954-1955,exposCs 2 9 11, deuxikme Cdition(l956) . . . . . . . . . . . . . . . . . 94. Sur I'itCration des operations de Steenrod, Commentarii Mathematici Helvetici, 29, 40-58 (1955) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95. Sur la notion de dimension, Bulletin de I'Association des Professeurs de MathCmatiques,37,1-12(1957). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96. RCflexions sur les rapports d'Aarhus et Dubrovnik, L'Enseignement MathCmatique, 9,84-90 (1963) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97. Emil Artin, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universitat Hamburg, 28,l-5 (1965) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98. Structural stability of differentiable mappings, Proceedings International Conference of Functional Analysis,Tokyo, 1-10 (1969) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99. Les travaux de Georges de Rham sur les variCtCs differentiables, Essays on Topology and Related Topics, Springer-Verlag, 1-1 1 (1970) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100. Theories cohomologiques, Inventiones Mathematicae, 35,261-271 (1976) . . . . . .
XXIX
1.
Sur quelques thborkrnes de Nevanlinna Comptes Rendus de 1'Academie des Sciences de Paris, 185,1253-1255 (1927)
1. Soit f (x)une fo~~ctioll uniforme et meromo~.pl~e dans tout le plan. DCsignons par E ( a ) I'ensemble des racilies de I'Cquatio~rf ( x ) = ( I , chaql~e racine Ctant prise autant de fois que I'exige son ordre d r runltiplicitP ( a peut d'ailleurs &treinfini). I. a, 6 , c , d etant quntre nombres complexes distincls, il ext;stc clu pBrs ~ r n u fbnction f ( x ) non constante pour. laquelle E ( a ) , E ( b ) , E ( c ) , E ( d ) coi'ncident respectivement avec quatre ensembles d0nnP.s. I1 y a un eels dlpxcc.ption, ou il existe deux fonctior~sdistinctes f (x) et g(s);c'est, le cas ou a , 6 , c, d forment une divi.sion l~armoniqrre,soit ( u , 6 , c , d ) = - I , el oil I'on a ( f , g, c, d ) = - 1 , ce q ~ exige ~ i q u e f ( x ) el g ( s ) admc~.tent-a P I h cornme valeurs exceplionnelles. Ce thCorkme a etPl demorrtrPl par M. Nevanlinna ('); or1 1)t.u1le coniplCter de la manikre suivante : convenons de regardel. conlme iderr~iques au sens large deux ensenlhles qlii ne diff'krent que par rln 11olnl)re firli de points. I bis. 11 cxiste nu plus line Ji)nction f ( x ) non rnlionnelle pour lcquelle E ( a ) , E ( b ) , E ( c ) , E ( d ) cozncident au sem large clvec quatrr cnsemhle.f donnes. Le cas d'exception est toujours le mPme, et J'jx)et g(.x)admettent alors a et b comme valeurs exceptionnelles au sells large. Nous allons maintenant ne faire intervenir que t1ni.s valeurs o, h , c. I1 et I1 bis. I1 exi.st~nu plus DEUX Jbnctzons J ' ( x )et g ( x ) non constantes ( O U , non ralionnslles) pour lesquelles E ( a ) , E ( b ) , E ( c ) cozncident nu senr strict (ou large) avec trois e ~ e m b l e sdonnes. 11 n'y a aucun cas d'exceptio~l; irn exemple du cas ou il existe deux fonctions distinctes, n'ayant d'ailleurs ( I ) Acta mathemativa, 48, 1926, p . 3f1~-391; voir aussi Comptes -1925, p. 99.
r.rnrl~/s. 181,
aucune valeur except.ionnelle, est donnb par
relativement aux valeurs u =o, b = I , c = m. Certains cas particuliers du thCorbme I1 ont CtC dCmontrCs par M . Nevanlinna. '2. Le principe de la dCmor~stratioride tous ces theorkmes repose sur la proposition suivante, consCquencc~ immCdiate d'un thCor&me de M. Borel ( ' ) : l'identitb
2 ~ ~ ( x ) e c ~o .( ~ ) = 1
oh les Ri(x) designent des fonctions rationrlelles non identiquenlent nulles, et les Gi(x) des fonctions entibres, exige que tous les G, ne diffkrent que par une constante, si toutefois 1'identitC ne se dCcompose pas en plusieurs identitks partielles. Dans le cas des thCorkmes I et I bis, I'existence de deux fonctioas f (x) et g ( x ) satisfaisan t aux conditions de 1'CnoncC conduit a une ideatit.4 de cette forme; de mCme, pour les thCorbmes I1 et I1 bis, l'existence de trois fonctions f(x), g ( x ) , h(x). Dans tous les cas la considCration de cette identit6 permet de conclure. 3. Quelques remarques. - I1 n'existe pas en gCnCral de fonction f (x)pour laquelle E(a), E(b), E(c) coi'ncident au sens strict avec trois ensembles d o n n b . Cela rCsulte du thCorkme I1 bis; car s'il existe une telle fonction pour trois ensembles particuliers, il suffit de changer un nomhre fini de points de ces ensembles pour qu'il n'en existe plus. Les theorbmes I et I1 sont susceptibles de gCnCralisations parallkles a celles du thCorkme de M. Borel. P a r exemple deux ensembles d'ordre fini p pourront Ctre regard& comme identiques, en un sens trks large, s'ils ne diffkrent que par un ensemble d'ordre infkrieur a p (il s'agit de l'ordre d e la suite des points de l'ensemble rangds par ordre de modules croissants). De mCme pour deux ensembles d'ordre infini qui ne diffkrent que par iin ensemble d'ordre fini. Les theorbmes I bis et I1 bis, et leurs gCnCralisations, s'appliquent Cgalement aux fonctions uniformes et mCromorp11es au voisinage d'un point aingulier essentiel isolC, en vertu d'un thCorkme gCnCral (a). ( 1 ) E. BORBL, Sur les zkros des fonctions enti6res ( A c t a malhematica. 20, 1897, p. 357-396. ( 2 ) Voir, par exemple, Anons B ~ o c a ,Memorial des Sciences mathematiques, fasc. XX, p. 17.
( 3 ) J'ajouterai, en terminant, que le theoreme 11, par exemple, peut Ctre complCtC par des thCor6mes analogues a ceux de Schottky et de M. Landau relativement au thCorkme de M. Picard. 11 est Cgalement la source d'un crit6re de familles complexes normales, qui permettra de prkciser sa portde en ce qui concerne les fonctions mCromorphes.
Sur un thhrkme d'Andr6 Bloch Cornptes Rendus de I'Aademie des Sciences de Paris 186,624-626 (1928)
1. M. A. Blocti ( ') a CnoncC le thCor6me suivant, qui semble devoir jouer un certain r6le en thCorie des fonctions, et qui est restC, Q ma connaissance, sans dkmonstration : Soit
nn polynorne de degrk n dont tous les zeros sont indt~*ieurrrtrl crrcle-unite. A tout nornbre positif r< I et a tout nornbre positif y, sipetit soit-il. on petit faire cotrespondre un nornbre H dependant uniquernent d~ r ~t de -y (nullement des a ni de n), tel que rinkgalite
soit vkriJieepour. torlte valeut. de .c inferieure a r en ~ ~ ~ o d u.rau l ef , peut-P~IP pour celles comprr'ses danr des contours de longueur totule au plus &galea y. 2. J e suis parvenu a trouver une demonstration ClCmentaire qui donne effectivement une valeur pour H , et qui montre qu'il est inutile d e supposer les a infkrieurs a r en module, ni x infCrieur Q r en module. Voici la forme precise que l'on peut donner a u thCorkme : Soient d a m le plan des points P , , P,, . . . P,, distincts ou non, dont b nombre n et la position sont absolument quelconques; soit deplus k un nornbr~ positif urbitraire. Les points M du plan pour lesquels on a l'intgalite
peuvent &re enferrnts a l'intkrieur de circonfkrences en nornbre ciu plus (;gal -
'
( )
Ann. ~ cNorm., . 30 serie, 43, 1926, p. 3 a 1 .
LLIL plus kgale a 2 e k ( PdCsigne la base des logarithmes nCpCriens). Saus cette forme, le thGorhrnc se gCnCralise immhdiatement pour un nombre quelconque de dimensions, les circonferences Ctant remplacees par des hypersphhres dont la somme des rayons est au plus Cgale a 2 ek. 3. Je me propose maintenant de complCter les ttlCorhmes dlunicitC CnoncCs dans une Note prCcGdente ( ' ). d'ai indiquC (') qu'il est impossible de trouver trois fonctions distinctes f ( x ) ,g ( . x ) , h ( x ) de la variable complexe x7 m6rornorphes dans tout le plan, et prenant ensemble la valeur a , ensemble la valeur b, et erlsemble la valeur c (avec les m&mes ordres de multiplicitC). Nous d i r o ~ ~dksornlais, s pour abrCger : cc prenant ensemble trois valeurs u,b , c D. La dCnlonstration de ce t11Corhmereposait sur un thCorkme de M. Borel, qu'on peul knoncer ainsi : lorsqu'on a une ident.it6
d n , et dont la somme des rayons est
oli les F, dksignent des forict,ior~sentikres sans zCro, les Fi se partagent en un certain nombre de groupes (il peut n'y avoir qu'un groupe), et les rapports mutuels dedeux fonctions d'un m&mcgroupe sont des constantes. 4. d'ai pu dkmontrer un thkorhme plus prCcis : ktnnt d o n n t ~une identitt
o i les Fi de'signent des fonctions mkromorphes (tuns tout le plan, s'il est possible de trouver une injnitb de couronnes homothttiques s'tloignant l'in,fini, a l'intbrieur desquelles les Fi n'aient ni pdle n i ztro, les Fi se partagent en groupes, et les rapports ml~tuelsde deux fonctions d'rrn m&megroupe sont des constantes oil ties fonctions (fordre nrrl. 5. A son tour ce ttiCor6me permet d'en dCrnontrer un qui touche directement aux questions d'unicite : Btant donnkes trois fonctions mtromorphes distinctes f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) dont une nu plus est d'ordre nid, et une sutte i n j n i e quelconque Re couronnes homoth(!tiques s'klotgnant d l'infini, il existe au plus deux valeurs a et b qu ( I ) Cornptes rendus, 185, 1 9 ~ 2 7 . p. 1253. Voir aussi B ce sujet une Note rkcente cie M . R . N E V A N L I ~ NConcptes A, rrndus, 186, 1978. p. 289. ( 2 ) Thkorerrle I1 de la premiere Note citee.
( 3 ) soient toujorrrs prises ensemble par les trois fonctioru d a m toirtes ces couronnes. De ce thCor6me on dCduit un autre en renversant 1'CnoncC. Bien entendu, dans les CnoncCs prCcCdents, on peut remplacer (( fonctions mCromorphes dans tout le plan u par <( fonctions mCromorphes au voisinage du point Q l'infini )).
Sur les systhmes de fonctions holomorphes a variktks linkaires lacunaires (Thhse) Annales Scientifiques de 1'Ecole Normale Superieure 45,255-346 (1928)
Introduction.
1. mile Borel a demontre [B] identite
( I )
en 1897 l'impossibilite d'une
x, ( x )+ &(x) +. . .i X, , ( x ) = 0,
entre des lonctions e n t i t r e s , sans zkros, de la variable complexe x. Voici, plus precisement, la forme q u e I'on peut donner a son theoreme : Si l'on a une telle identitc;, ou bien les rapports mutuels des fonctiom sont des constantes, - 011 bies les fonctions se partagent en plusieurs grorrpes, la somme des fonctions d'r~n&me groupe est identiquement nulle, et leurs rapports mutuels sont des constantes.
L o r s q u e p = 3, ce theoreme equivaut ( 2 ) a theoreme ~ d e E. Picard : une fonction entiere ne peut admettre d e u x valeurs exceptionnelles finies o. Or, on a comp.1ete le theoreme de Picard en le (( traduisant en ( I )
(2)
Les Iettres placCes entre crochets renvoient a ]'Index bibliographique. En effet, si I'on avsit
X I + X 2 + X,= X XI
0,
la fonction - 2 , par exemple, serait entikre e t ne prendrait aucune des valeurs rCro et un.
termesjinis n, suivant une expression de A. Bloch, c'est-a-dire en etablissant des propositions relatives aux fonctions holomorphes qui admettent deux valeurs exceptionnelles, et sont definies non plus dans tout le plan, mais dans le cercle-unite :je veux parler principalement du thkoreme de Schottky et du theoreme de Landau. Ces derniers peuvent etre Btablis, soit en partant de la fonction modulaire, soit en s'appugant, conformement au point de vue d e E. Borel, sur la theorie de la croissance des fonctions. Enfin P. Montel a demontre qu'une famille de fonctions holomorphes, admettant deux valeurs exceptionnc*lles fixes finies, est normale ('); ce theorbme, d'ou peuvent se deduire tous les precbdents, au moins du point de vue qualitatif, sera deslgne, au cours de ce travail, sous le nom de critkre de P. J!iontel.
2. La (( traduction en termes finis s du theoreme de E. Borel, dans le cas d'un norribre quelconque de fonctions, a ete abordee en 1926 par A. RIoch dans un Memoire paru dans les Annales de P ~ c o l e il'ormnle supkrierrrc [ A ] . Ce geometre est arrive a vaincre en grande partie les rkelles difficultes que presente cette question, et il a obtenu un theoreme qui est une generalisation immediate du theoreme de Scholtky, mais qui se complique du fait de I'existence de cassinguZiers; ces derniers n'ont Pte que partiellement eclaircis. Voici du moins le ~heor'emeobtenu par A. Bloch si I'on fnit abstraction des cas singuliers (') : Soient
<
n fonctions June variable x?holomorphes d a m le cercle 1x1 I , ne s'y nnnulant pas, et dont la somme n'y devient pas kgule d l'unitt. Les termcs constants a , , b , , . . . , e, sont supposks dlferents de l'unitt, et tels ( 1 ) Rappelons qu'une famille de fonctions holomorphes dans un domaine D est dite norrnale dans ce domaine, si, de toute suite infinie de fonctions de la famille, on peut extraire une suite infinie qui converge uniformdment dans tout domaine fermC intdrieur i D, la fonction limite Ctant, soit une fonction holomorphe,,soit la constante infinie. (2) [A], theoreme VIII, p. 309.
que lrr Jolnme d'rrn nornhre qrrclconqrre d'entre eLrx s:f[flre de zdro cr clc l'trnile. ..ilors f c . coe ~ fficients r z , , b , , . . . , e l ( P I , (i'une rnani21r gtn~:rnIe, les coej~icientsdes termes de ciegrL i, a , , h,, . . . , r , ) ndrnettent rlne bornc srtpe'rieure tldpendcrnt uniqrrrrnent de no, 6, , . . . , e , (el de i ) . Cette proposition est d'ailleurs une consequence d u fait suivant, qui constitue, a propremcnt parler, la generalisation d u theorhmc d e Scliottky : dans tout cercle 1x1 F, les fonctions admettent u n e bornc supcrieure qui depend urriquement de ;, a , , h,, . . . , e , .
<
:I. Aprhs ces travaux cle A. Bloch, il manquait encore, dails le cas tl'une idcntite tleBoreljl) i p termes, un theorbme analogue a u crit6re cle P. AIontel tlans lc cas d'une identite i trois termes. C'cst un thcorGr~iecle cc gelire q u e j'ai cherche i etablir, s a n s d'ailleurs m'appuyer s u r les resultats de A. Bloch, qui ne m c paraissaient pas d k ~ n o n t r k s dc fason certaine. J'ai jug8 utile d e reprelidre la ques~iorldhs le debut. Si jc n'ai pas fail subir de grandes modilications ;i la marche gdneralc tles idces, qui Btait, en cjuelque sorte, conforme b la nature tles clioses, j'ai par contre oriente ma dkmonstration dans u n sens un p r u diff'erent, puisqrle A. I3loch s'etait born; i consitltirer dcs systemes de p fonctions prenant tics ~ ~ ( I ~ donrlde~ c I ~ I ' sli f'originr. En rn'affranchissant de cette restriction, j'ai obtenu u n c sorte de crith-e rk. frlrnilkc con~plexcno~.r)zr~lc (?), tlui laissc encore tles cluestions e n suspens 4; au contraire, le cas p = 4 se trouve complPtement lorsque p eclairci (9). Ce ~ i ' c s tIh, bicn t ~ ~ ~ t c i i ccjll'un lu, resultat tl'ordre purement cjualitatif, obtenu en sooimc p i c e i une etude de la croissancc tles fonctions envisagees. Pour arriver h des resultats d'ordre qr~antitatif,il faudrkii t const~.uirecertains sgstCmes d c fonctions automorphes d e plu-
>
cl1L1.1de, Concliu~~s I I ~ ~ o I I I ~ tlirna I I . ~ un ~ ~ ccrtain ~ ~ d o u ~ a i n e sans , .r.drosdams ce d o ~ ~ ~ a i n c . ( ? ) 1'. \Iolltel non~nle fatnille Liornplexe une famille de sysl6mes de k fonctionsf:, ,fQ, . . ., f : , le syn~bolez servanl a designer le syst6me de la famille considCr6. La famillc c o ~ ~ ~ p l eost x e dite r~or.it?trle.;i cliacune des k falnilles f:, f:, . . ., f/3. est norInale. Voir Chap. I V , 3 'r-2. (:J)
sielirs variables, gcneralisant convellable~nenlla fonction modulaire, et 1'011 n'en a pas encore trouvk ( I ) . Dans le Chapitre premier, jc rappelle brievement quelques points fonclamentaux de la thkorie d ~ fonctions s mbromorphes, et jc f'ais une premihre etude de la croissancc tle- fonctions satisfaisanl it unta itlentite de Borel, en vue de la demonslration future du crithre de farhille complexe lorm male. Ce Cllapilrc ne contient riel1 d'essentiellement nouveau. Dans le Chapitre 11, j'etablis un lemme cnonce sans clemonstration par A. Bloch; i l convenait de le dbmontrer, d'autant plus qu'il joue ensuite un rcile capital. I1 est susceptible de diverses generalisations. Le Chapitre Ill conlient la demonstration du resultat fondamental : l'existcnce du critPre defamille complese normale dont j'ai deja p a r k . Dans le Chapitre suivant, je donne quelques exernples des applications dont il est susceptible. Enfin, le Chapitre V est consacre a la resolution de divers problbmes d'unicite dans la theorie des fonctions meromorphes; cette resolution est etroitement liee i l'etude de .certaines identites de Borel. J'indique, en terminant, une application d u critbre de famille complexe normale aux questions d'unicitk. Qu'il me soit permis de remercier M. Paul RIontel de l'interbt qu'il m'a toujours temoigne; j'espbre avoir li1.6 profit, dans la redaction de ce travail, de ses conseils e t de ses critiques arnicales, et je lui exprime ici toute ma respectueuse reconnaissance. 'I.
Index bibliographique. LA]. ,A. BLOCH.- Sur les s ~ s t t ~ n ede s fonctiu~is holomorpl~es i varietes linkaires lacunaires ( A n n . de l1&cole il'ornzale, 31' slrie, t . b3, 1926, p. 309 -362). 1111. 1':. Bonm. - Sur les zeros des fonctions entitres ( A c t n ntathematicn, t. PO, 1897, p . 357-396). [C:J. G. JULIA.- a . Stir les fanlilles de fonctions analytiques de plt~siet~rs kariahles ( A c t a ncathen~atica,t. 47, 1926, p. 53-11 5 ) . ( 1 ) Ce prohll.me semble,lie B celui de I'uniformisation pour les syste~nesd e p fonctions de p bariahles complexes.
SUR LES S Y S T ~ M E SDE FONCTIONS
5
HOLOMORPIIES, ETC.
1). Sur cjuelques pt*oprietes nour-elles des fonctions entieres O I L mero~norphes (Atrn. de l'dcole Normale: 3'; serie, 1. 36. 1919. p. 93. et t. 37, 1920, p. 165). [ D l . S. ~ . ~ A N D E L B R O J T . Les suites de fotlctions holornorphes. Ii.onctions entieres ( C . R. de 1'Acad. des S c . , t. 185, 1927, p. 1098). 1 I.]. 1'. MONTBL. - Le~ottsstir les familles not.rnales de fottctions nnnlytirlcl~s et lectrs applications (Paris, Gauthier-Villars: 1927). [I:]. ROLFNBVANLINNA. - n. Zur Tlleorie der meromorphen P l ~ n k ~ i o ~(l.lr.trr el~ tnathencntica, t. 'cG, 1925, p. 1-99). b. Einige Eindeutigkeitssatze in d,er Tl~eorieder r n e r o ~ ~ ~ o l . 1:11nl,l~he~~ lionen ( A c t a mathernatico, 1. B8, 1976, p. 367-391). r.. Sur les valeurs ercep~ionnellesdes fonctions mCronlorphes tlnns 1111 cercle ( R u l . de In Sor. t ~ t a t hde . France, t . 55, 1927, 13. 32). d . Un theoreme d'unicite relatif aua fonctions uniformes dans le voisinage d'un point singulier essentiel ( C . R. de te7Arad. des Sc., 1. ,181: 1925: p. 97). [ G I . G. P ~ L Y A -. Hestilnnlu~~g einer ganzrn I"t111htio11endlicltrn Gesc:l1lecl1t5 tlurch viererlei Stellen ( M a t . Tidssl
CHAPITRE 1. PR~LIMINAIRES.
I. - Rappel de quelques propositions fondamentales.
5. Nous aurons constamment a utiliser les resultats fondamentaux de la theorie des valeurs moyennes logarithmiques, fondbe par F. et H. Nevanlinna ( I ) . Rappelons-les bri8vement. Soit f ( x ) une fonction meromorphe dans le cercle 1x1 < I . La formule de Jensen s'ecrit (1)
loglf(0) l =
$J
? li
log I f(,s." ) do
-2 log v
*+z al
I*
log -
I.
IbPI
'
en supposant f(o) fini et different de zero; le premier terme du (1)
Voir, par exemple, I'exposC complci dc la thCorie dans [ F , a].
6
HENRl CARTAN.
second membre represente la valeur moyenne de log1f(x)l s u r la circonference, de rayon r < I , ayant pour centre l'origine. Quant aux sommes qui figurent au second membre, elles sont etendues, respectivement, a u x zeros a, et a u x pbles b, de modules inferieurs a r, chaque zero et chaque pble &ant com-ptb autant de fois qu'il y a d'unites d i n s son ordre dc multiplicite.
la relation ( I ) peut s'ecrire ou encore ( 2')
apres avoir pose T ( r , f )= ~ n ( rf,)+ N ( r , f).
La quantite T(r, f ) caracterise l a croissance de la fonction f ( x ) . On montre q u e c'est une fonction convexe de logr, et, par suite (=),une fonction croi-ssante de r. 6. F. et R. Nevanlinna ont demontre la relation suivante, qui gene(') n elant un nombre positif, on pose
+
loga=loga
+
loga = o
sin?[,
a51. 1-20, est si
( ? ) Car si une fonction rp(r), dtfinie pour finie pour. r = o , et convexe en logr, elle est croissante. Soit en evet o < rl < r,, e t prenons r, compris entre o e r r , . On a par hypothZse p ( r ~ ) 1ogr.o 1 y ( r , ) 1ogr1 1 50. logrz 1 I
11 suffit de faire tendre r, vers zCro pour cohclure ?(rl)5?(r2).
ralise la relation ( I ) :
Cette nouvelle forrnule, qu'ils ont appelee formule de Poisson-Jensen, cst - valable pour toul nornbre x de module inferieur b r. Selon I'usage, a, designe le nornbre complexe conjugue de a,. On peut en tirer l'inegalite (cf. [A], J,ernme 4, p. 320)
(4)
'+P
l ~ g l j ( zr -)p l j - - - r n Ir, + , - ~
(',
I)
J
P
v
(I"l=p<")
Pour I'obtenir, il suffit de rernplacer, dans la relation (3), z par pel?, et cle prendre les parties reelles des deux mernbres; il vient
r'- O,X r (x- a,) V
P
et cette relation conduit a l'inegalite (4). Les logarithmes qui figurent au second rnernbre de ( 4 ) et ( 5 ) sont tous positifs, puisque I x,l, 10, I et ( b, I soat inferieurs a r. Si, en particulier, f (z) est holornorphe, le terme disparait, et l'on tire de ( 4 )
7. Limitattbn de m(r,
y).-
2 log I ,.(,r2- -b-pb,)x I P
Supposons f ( x ) holomorphe et sans
. ( e u u ! l i ~ e ~(;)~ )s d q ) u ~ osuo!l:,uoj q xnap a p lua!lonb n p amJoj q SIIOS aqlaul as ~ ! o ~ n aopd suo!lauoj sa:, luapqssod a n b ?)a!.~do~del Jns aasaq uo!leJJsuomap gun am?Joarjl a:, a p auuop e (,) l a l u o a .d
: lueA!ns Ie,lrlaurepuoj amgJoayl a1 urfua suo[addeu - 9 -11 a p anb luepuadap au so~!l!sod salue~suo:,s a p luos slud!:,l~jao:, sal luop ' s ) u a w n 8 ~ eS!O.IJ a p aiuouhlod u n lue)a '!d
umJoj el a p ql!le8au! a u n ' a : , u a ~ ~ n : , a~~ e 'juawale!p?mm! d aAn0.q rro
Pla~ons-nousdans k cas ori les fonctions n'ont p a s de ~Cros; c'est precisement le cas oh nous nous servirons d u theorkme. Nous allons indiquer effectivement u n e borne supkriertre d e If ( x ) I . Designons en effet par m ( r , f ) la limite vers laquelle tend m(r, f ) lorsque I. tend vers un; cette limite existe, puisque m(r, ,f) croit avec I. en restant borne. Appliquons l'inegalitk en y permutant les lettres r et F, puis en faisant tendre p vers u n ; il vient a la limite 1% I-
I + 1. If ( x )I 5 =,
designe I .L- 1. Renlpla~onsf par -!; il vient
S
j) sent nuls, la relation ( . aprks un passage i la limite, Puisqt~eI$(,., f ) et N r.,
Ill
(
(2)
permet d'ecrire,
l , i ) ~ l l l ( , ~ j ) - l of(o)l, g ~
.'
II vient en definiti\.e
rt, si m j ~f ,) est infkrieur au nombre fixe AI,
On en deduit q u e les fonctions f ( x ) forment une f a n ~ i l l enormale. En effet, si If ( o ) l admet u n e borne superieure valable pour toutes les fonctions de la famille, l'inegalitt. de droite montre q u e 1 f(x)I admet line borne superieure qui n e depend q u e de r; dans le cas contrairc. on peut extraire de Is famille u n e suite inlinie cle fonctions, telle
HENBI CARTAN.
I 0
que les valeurs a l'origine des fonctions de cettc suite tendent vers l'infini, et l'inegalite de gauche montre alors que ces fonctions convergent uniformernent vers l'ilifini dans tout cercle 1x1
on ohtient ainsi, pour log If ( 2 ) 1, u n s limitation interessante, car elle est effectivement atteinte avec la fonction
un calcul facile montre en effet que l'on a tn(~,.f)=~
pour cette fonction.
11. - g t u d e de l a croissance de p fonctions holomorphes, sans zkros,
dont la somme est identique B un.
9. L'6tude qlie nous allons faire ici servira eilsuile i la demonstration du crilPre dc farnille complexe norrnale exposec au Chapitre 111. Soient, dans le cercle-unite,p fonctions F, ( x ) , F,(x), . . . , F,,(x), holomorphes, sans zkros, verifiant l'identitk
Reprenant une methode de dkmonstration ( ' ) qui, rlans le cas ou les fonctions F, sont dkfinies dans tout le plan, conduit au theortrme de li:. Borel (cf. 5 1), rnais l'appliquant i des fonctions definies seulement dans le cercle-unile, nous trouverons une borne superieure pour m ( r , F;). ( I ) J z rn'inspirerai d'une d e m o n s ~ r a t i o ndu thCorC~nede E. Borel donntie p a r R. Nevanlinna ( [ F , b ] . p. 381)
SUR LES S Y S T ~ M E SD E FONCTIONS
HOLOBIORPl1ES,
ETC.
II
Supposons q u e l'on ait 1:,
17,
clF, c/x
1,
-
tlx
autrement dit, supposons q u e les fonctions P i , F,, . . . , F, ne soient liees par aucune relation lineaire homogene i coefficients constants non tous nuls (I). Differentions p - I fois l'identite (9); n o u s o b t e n o n s u n systeme de relations qu'on peut 6crire
2
F'
F,+
F1+ 1i:;
[: = F!+. . .+ 1,1, F2+. + --F;~1; =: .. F,, "',a
et qu'on peut considerer comme un systbme d e p equations lineaires par rapport a u x p inconnues F , , F,, . . . , F,,. Le determinant deu coefficients n'est aulre qile 1;' I -
A(.x) =
I?,
Fi,
17%
.
F'
2
F,)
. . . . . . . . . ... J;:p-i I FiPII F(P--i d P - ... --
-~ -.
D F, F2 . . F,,
)
El.
P,
I:,,
En appliquant la rkgle d e Cramer, on trouve.
en designant par Ai(x) le mineur d u determinant A, relatif a u i'""' 4 6 ment de la pre'mikre ligne. ( 1 ) Si D(x) Btait identic~uementnul, o.n se ramknerait a une identit&, de la meme forrne que ( g ) , entre o n nornbre moindre de fonctions.
! ( x ) v U O ! J 3 U O j el
ne
~(p
'.l)
s u d ~ s a ~( 0u ) v ?s *aj!ns ~ r : d'ja
'~IIU
e uo 6 o y d ~ o m o l o jsa y alIa ammo:,
r: ( 2 ) uo!jelaJ e[ suonbqdde s!qq -(v L ~ ) awp na!I
w a p a:,uasa.ld el a p p ~ 0 q e . pjua!no~d plln:,g!p
sun
- ( ~ ) t u 8 o ly + alqe~edmoajsa aJqmaw puoaas a1 a n b J!OA aJ!ej a p ' ~ 0 ~ ua 8'lsa no!l -r:.~?suow?pel a p asp!,? .(.r)zcl ~aj!m![ ap a q j a m ~ a deA al!le8au! allan
d
- o e ~ ~d bsap a p u e ~ 9sllltl el
R
'.I
'(.r)tir ~ e (!J d *.r)ul s y y all alalvx anbet13 a nod 'lueuS!sap ua 'la
oo b s a y t l ~ o ~ u o suo!lauoj ~qu~ xnap luela
( x ) <j' la
(x)'J 'aj!ns ~ r : d
alrrap!,i;! al!leiiau!,l r: t ~ o'sj!)!sod saJqwou xnap lueja q l a
11
'JO
'NVLUV3 lklKd11
Z1
SUR 1.ES S Y S T ~ M E SDE FONCTIONS
On en deduit, puisque N ( r ,
HOLOMORPHES,
I
ETC.
3
i)est positif o a nul.
et, en portant dans (to),
Ai(x) et A ( 2 ) sent des pnlynomes en
F;, 17; --, -, F/, F/,
.,
'c, h prenanr les F/,
2, . . . , p; d'autre part, nous pouvons appliquer I'inegaF' de s m t e que, designant z I par r, et perlit6 ( 7 ) 1 ... ,
valeurs
I,
(<1, / I;
mutant dan's l'inbgalit,6 ( 7 ) les lettres r. et F, nous trouvons des inkgalit& de la forme
Q ie t H designant des polynomes d e p +
arguments, don1 Ies coefficients sont ties constantes positives ne dependant q u e d e p . 4Prenons les log des deux membres dans chacr~nedes i~lbgalitesprkcedentes, et servons-nous de I'inegalite presque evidente 2
les ( I ; At.ant positifs. On trouve +
F i-
. . .. logX(p. l',)].
F , ) . . . ., I & x ( ~ ,l;,,)
I
,
[J, et V dbsignant des fonctions linbaires d e p + 2 arguments, dent les coefficients sont des constantes positives ne dependant que tlep. On
peut d'ailleurs supprimer le terrne en logp qui est nul,
Btant plus
ue (.r)zu 'a.Iqmam puoaas ne ' a ~ ! n p o ~ l ue! lueualu!eur a1sa.t 11 ' 1 1 .xl
a p l a d o p luepuadap
la 'd a p a n b luepuadap au 3 la 8
aa!l!u'jap ua auop e u o .luamalnas w a p l a clap luepuadap ,,u .d)l(lk!ol +
x 3
.I -d +SO[ q + , , n 5 ( ~ ) w
' ( ~ 1 )al!~eSau!'l a p a8esn lues!ej ua 'aJ!.taa,s lnad a j n a p ? a a ~ d?l!leBau!'~ .l(o)'d I sal!luenb sap ;jr~rraerpr: l a I ( o )I r:~ ana!.raju! a x g j!l!sod aJqmou un w sJole l ! o ~ ' ( 0 ) ' ~ap la ( o ) a ~p Pa.lqmauI puoaas Sue 'aar~asaadt.1 ~ e s9r1aS d sarumos sllou '.lo - a . ~ n ~ ~ ul noeaj p , n b y!leS?u! all93 a p uaSour ne lsa,3
a m o j eI p u a ~ d(91) a~!leS?u!~la u b al.tos a p
(2 ~ d )
UI
+ (?,,I
.d)t= ~ ( 1 ~ *1d l x
e uo s!eN ad ~a!lua,[ op jrralualnas ~oapnad?p.!nb saa!l!sod salnelsuoa s a p lrlela 3 la q ' u .I -
d
' I ( o ) r l : ~ [ d - ( ! ~ q ' d ) y . ~ o l ~ ~y iS -o ~
q + n ~(.I)UI
($1)
lua!a : ( " I ) y SuouahaJ l a '.r = 1x1 aauaaajuoa~!r,el ~ n auuahom s m a l e a el u g u a suorlaad
'aajno ua 'e uo :1111 a n b ]!lad
sun
LES SYSTEMES DE FONCTIONS HOLOIOKDHES,
15
ETC.
lieu dr I ~ ( F ) .011y arrive grQce une methode classique de E. Borel, qui s';~ppliqueaux fonctions croissanles d'une variable rCelle, en parculier B m ( r ) . On verifie aisement la proposition suivante : I,es zwlelrra tle r, s ~ ~ i ! r i e ~ ti~ rR, e spotrr bsquelles on a , h Ptnnt un nombre positif, llinr;gnlitk
pcrlvent 611.eenjiv-~nkes clans ties intervnlles, en nombre Jini 0 1 1 en injnitt r,r ( 11 1 --
cltnor~~brc~ble, ~fontIn .Tomme rles longlleulr est a11 pll~s6gc~lea 2e
".
Si donc on a ici, It ktant plus petit q u e un, (Rl - ,,> -ae
/'
< 1-
I<,
c'est-h-dire ~ L ( K ) h> l o g _ * I-R'
il exist(: certainement une valeur de r, comprise entre R e t laquelle on a
I,
pour
111 j r ]
l.[r+E-7-]jflZ(I')+h~On2.
Prenons alors et portons dans (16). I1 vient
U
A' dkpendant d e h. On peut choisir h assez grand pour q u e -il soit plus petit que u n ; ce choix d e h dCpend uniquement de l'entier p , pnisque B est unt? constante qui ne depend q u e d e p. On peut alors kcrire
d'ou I'on conclut aisbmen t m ( r )$ M ,
JI etant un nombre positif, q u i ne depend que de A et C , donc de p
I6
I I E N I ~ I CARTAN.
et a seulernent. Yuisque H est inferieur h I.,
011
a n J'ortio1.i
m ( R ) 5 M.
De l'etude preckdente, il rksulte finalement que I'une des deux inbgalites suivantes cst verifibe
q i ~ e que l soit le nombre K infkieur a
i~n.
12. Nous en tirons deux propositions fondamentales, corresponda~it respectivement au ces d'un sgslbme unique d e p fonctions Fi, etau cas d'urie famille de tels sgstbmes. T H ~ O R I.~ M - Ek t n n t donna rln systimle d e p fonctions Fi, o n rl
1 etnnt unc comtantepo~1tic.eJise r/ni ne dipend qrle de p . E n eff'et,h l o g y & finit par 6lre superieur h M lorsque 1- lend very I
-I
On a donc, d'aprhs
(I
I.
7), si 1. est assez voisin de u n ,
etant une constante positive fixe qui ne depend que de p ; on en deduit immkdiatement le theorbme (' ). Rappelons que, pour etablir ce theorbme, on a supposk A # o ot A(o)# o. Nous verrons dans un instant qu'on peut s'afrranchir de cette dernikre hypothese. (1) Dans le cas p = z (fonctions holomorphes ayant deux valeurs exceptionncllcs z i r o et un), I'emploi de la fonction modulaire permet de montrer [ F , c] que I'on a m(r) =I. lim m ( r ) C I ; il existe en outre des fonctions pour lesquelles on a lim -
----- log
I-r I
log 2I-r
r
I IleoRknle 11. - ktnnt donntie unc farnille rie systi.rnes de p fonc7
tmns F,, si A(o) et Zcs F,(o) sont suptriez~rsen modzlle a un nombre pusitif ./i.ze a , vnlablc pourtous lessystkmes de la famiZZe, les fonctions F, ,forrtzent une ftrrnille co~rlplexenorrnnle, ce qui veut dire q u c toutes les f'oncttions F, de meme indice i forment une famille normalc. D'ailleurs,
les I'onctions F,, prises dans leur cnselnble, forment aussi une famille nol.lnalc. Eli elTet, m ( r ) est inferieur au plus grand des deux l l o ~ l ~ b r e11 s ct h log -, et, par suite, admet une borne superieure qui ne tldpel~tl I-r quc de 1%. Donc (cf. S 8) la famille cst normale dans tout cercle dc centrc origine et de rayon r inferieur a un; dans ces conditions, elle cst normale dans le cercle-unite, commc on le voit rn appliquant le procedd diagonal classiquc. 13. Chcrcholrs 4 elargir un peu les hypotheses rcstrictives faites jusqu'ici, 111aisen conservant toujours la condition A 9 o. On peut s'aff'ranchir de I'hypothbse A(o)# o. 11 existe en effet u n [ ~ o i nJ l , (1 .I-, ( < I . , I ), tel q u e A(x,) # o. On pcut ecrire, en vertu
<
,
v t , si
rest superieur i~ un nombrc fixe r,, compris entre I., et /in,
li etant un l l o l ~ ~ b positif re qui ne dhpend q u e dc r , ct I.,. Cette inegalite remplacera l'inegalite ( I I ) au cours de la demonstration precedente, qui subsiste ainsi avec ce Ieger. changen~ent.Le thCorPme I restc donc vrai. Ce qui precbde monfre de plus que, darls l'knonce du thkorbme 11, on peut remplacer I'hypothese IA(0) I> a par la su ivan te :pour chaclrn (JPS ~ystkrnesde In f ~ m i l l eil. eziite, a I'in-
I8
HENRl CARTAN.
te'rieur d'un cercle de rayon jixe r, , ayant pour centre l'origine, u n point o r i j A ( x ) 1 a , ce point pouvant hien entendu changer avec le systbme considere; u et r, sont les mbmes pour tous les systbmes de
>
fonctions de la famille. On peut Bgalement remplacer l'hypothkse relative aux F i ( o ) par la suivante : Quelle que soit la fonction Fi appartenant ci l'un quelconque des systemes de la famille, il existe, ci l'inte'rieur d'un cercle de rayon J x e r.,, ayalltpour centre l'origine, I L Rpoint ou 1 F i ( x ) I a.
>
II suffit en effet, dans cette dernikre hypothese, de remplacer, au cours de la demonstration precedente, l'egalite ( 1 5 ) par une inegalite de la forme
+ 'I
X(p, F.)S ~ [ r n ( Fi) ~ ,+ 10.;
Nous designerons dans la suite par T ~ E ~ R E M11E bis, le theoreme I1 ainsi complete. Ces perfectionnements viennent d'btre obtenus au moyen de l'ineyalite (ti'), qui sc deduit de ( 4 ) lorsque f ( x )est holomorphe. Nous aurons besoin, plus loin, d'appliquer I'inegalite ( 4 )4 une fonction f ( x ) ayant des pbles, et de savoir comparer les valeurs d'une expression
I
telle q u e Z 1% ,.(,r ' b_,,; )x
1
pour deux valeurs diffbrentes de x. C'est
precisemeit ce q u e nous apprendrons faire au Chapitre suivant.
I. - Gkneralisation d'un theoreme de Boutroux; diverses propositions qui s'y rattachent.
14. Dans son Memoire des Annales de 1'~coleNormale, A. Bloch enonce e t utilise le theorhme suivant ('), extension au domaine com(1)
LA], Lemme 3, p.
321.
'9
S U R LES SYSTEMES DE PONCTIONS IIOLOPORPHES, ETC.
plexe d'un theorkme de P. Boutroux ( ' ) s'appliquant a u x polynornes d'une variable reelle : Soil
u n polynorne de degrb n dont toils les ;c;las sont inttrieurs nu cercleunite. A tout nombre positif r < I et a tout nombre positif y, si petil soit-il, on peut fuire correspondre rln nombre H dkpendant riniquement de r et de y (nullement des a r ~ de i n), tel que Z'inPgalitk
soit vb.qiee pour toUte valerlr de x i nfirieure a I. en module, sarlfyeutItre pour celles comprises duns des contours de longueur totnle (111 plrls egale a y .
A. Bloch ne semble pas etre parvenu Q demontrer cette proposition. Je vais en donner ici une demonstration elementaire, qui fournit effectivement une valeur pour H ; nous n'aurons pas a supposer les aiinferieurs a un en module, ni .x inferieur A r en module. Voici la forme precise qu'on peut donner au theoreme (') :
.. 1 HEORBME 111.
.
- Soient, duns Ie pk(~n.,des points P, , P,, . . , P,,,di.9tincts ou non, donl le nombre n et la position sont quelconqr~es:soit de plus h u n nombre positif arbitraire. 1,es points M drs plan pour lesqrlels on a I'inc!gnliti produit MP, x MP, x . . . x Ml',,<=hrl
peuvent Ctre enfermis a l'inttneur de circonfkrences, en nombre au plrls egal a n , dont la somme des rayons est Pgale a zeh ( e designe la base
des logarithmes neperiens). 15. Supposons en effet donnee une distribution de points Pi, en nombre n , et soit R un nombre positif arbitraire. Je vais tracer des cercles, en nornbre au plus egal a n , dont la somme d e s rayons sera egale 2/r, de facon que, M etant un point quelconque, assujetti seuG. Valiron en a donne4 une dCrno~lstration: [ H ] , , p . 78-79. J'ai indiqud cet dnoncd dans une Note aua Cornpres rendus d e l'Acadenrie des Sciences, t. 186, 1928, p. 621. (1)
(2)
HENRI CARTAN.
20
lement a n'6tre interieur a aucun de ces cercles, on ait I'inegalite
1
Gi; <
log
I1
1
- log k .
2
J e suppose d'abord qu'il existe un cercle C, de rayon k , qui contienne les n points Pi a son interieur. Je trace alors le cercle I' de mkme centre et de rayon double. I1 est clair que, si M n'est pas int6rieur a I', on a MP, > k,
et par suite
a fot.tiori l'inegalite (18) a lieu.
Si,, au contraire, il est impossible de trouver un cercle de rayon P qui contienne les n poinls, je regarde si I'on peut trouver un cercle de k rayon ( n - I ) ; qui contienne n - r points. D'une facon genbrale, I,.
soit A, le plus grand e i ~ t i e rtel qu il existe un cercle C,, de rayon hi ;, qui contienne A, points Pi; ne considerons dorenavant, parmi les points Pi, que les points non interieurs a C,. Soit ensuite A,LA, le k
plus grand entier tel qu'il existe un cercle C,, de rayon A,i, qui contienne
?,?
des points restants; cessons desorn~aisde considerer ces
A, points (nous dirons qb'ils appartiennent a au cercle C,); et ainsi de suite. A la fin des operations, on aura pcut-6tre a envisager un ou k plusieurs cercles de rayon ;, contenant un seul des poirlts restants. On est ainsi conduit a envisager successivement p cercles C,, C a , . . , Cp, de rayons non croissants, et chaque point P, appar((
.
((
tient r a l'un d'eux et a un seulement. Ces cercles sont donc en nombre au plus egal h n ; d'ailleurs la somme de leurs rayons est egale k a -(A, + A, +. . . + A,) = k. En outre, A etant un entier quelconque n Ii
inferieur ou egal a n, s'il existe quelque part un cercle S, de rayon 1 ,; qui contienne ,uLA points parmi les n points Pi, l'un au moins de ces k ,u points u appartihnt D a un cercle C j de rayon supbrieur ou Bgal h A
SUFI LES SYSTEMES DE FONCTlONS
HOLOMORPHES,
ETC.
21
Ce fait resulte irnrnediatement du procede suivi pour definir les cercles C,, C,, . . . , C,,. Cela pose, t r a ~ o n sles cercles r , , Fa, . . . , 1', respectivftment concentriques aux cercles C;, C,, . . . ,C,, et de rayons doubles. La somme des rayons d e s p cercles ainsi traces est iigale a zk. Soit maintenant M un point quelconque du plan, assujetti seulement a n'6t1.e interieur a aucun des cercles r , , I',, . . . , r , . Nous allons chercher une lirnita
2 log&-
superieure de
1
A etant un enlier quelconque inferieur ou 6gal a cercle S;,, de centre M et de rayon A
k
;,
IL,
contient au plus A
je dis que Ic
- I points Pi.
Supposons en effet qu'un des points Pi soit interieur h S;,, et soit C , le cercle auquel i l (( appartient D. Designons, pour un instant, par R le rayon de SA,par r le rayon de Cj, et par d la distance des centres des cercles SAet Cj. Ces deux cercles se coupent, puisqu'il existe un point interieur a la fois a S),et Cj. On a donc Mais, par hypothkse, le point M, centre de Sj,, n'est pas interieur a rj, concentrique B Cj et de rayon double ; on a donc 2
On diduit de la
rscf.'
/.
$.
Ainsi le rayon de Cj est plus petit que ). D'aprhs la remarque faitc plus haut, le cercle S), ne peut contenir p2A points P,, et par suite en contient au plus A - I . Par consequent, il n'y a aucun point P, A l'interieur du cercle S , , dc k centre M et de rayon --; il y en a un au plus h l'interieur du cercle S, k
k
de rayon 2;) ..., A - I au plus a I'interieurdu cercle S j derayon ~ ). ,I ..., n - I au plus a l'interieur du cercle S, de rayon k. Nous rnajorerons d o n c x log&,en supposant qu'il y ait un point I), I
a la distance
k
du point M, un poir~t la distance
2
;k,
. .., un point a la
ILENRI CARTAN.
22
k
distance A ;, . enfin un point a la distance k ; cela fait bien n points en tout. On peut ainsi ecrire e . 9
(- - ~ l l o g k t dl
= I - log k.
La demonstration s'achhve a.ussit8t; il suffit, en effet, de poser
pour retrouver l'enonce du theoreme 111. La methode utilisee a I'avantage d'indiquer comment on peut -s'y prendre pour tracep effectivement les circonferences r ; il in~portede remarquer qu'il faut commencer par les plus grandes; la demonstration n'a pu se faire que grace a cette precaution.
16. Mais cette methode est susceptible d'6tre generalisbe. Observons que, jusqu'ici, nous avons trouve une limite suphrieure de
valable pour tout point M situe h I'exterieur de certains cercles, ou s u r la circonfkrence de l'un quelconque de ces cercles. Si la demonstration a pu ktre menee jusqu'au bout, c'est grcfce ct la convergence de 1'intkpaleJ log dr. 0
Soit maintenant f ( r ) une fonction quelconque, definie, positive et continue pour r positif, croissante avec vais indiquer une limite superieure de
:, et infinie pour
r = o. Je
2~ ( M P ~valable ), encore t
pour tout point M extkrieur a certains cercles, ou situe s u r la circonfkrence de l'un d'entre eux. Je ne suppose m&me pas que I'integale
S U R LES S Y S T ~ ~ I EDE S FONCTIONS
lIOLO.UORPIIES, ETC.
23
soit convergente., rnais j'introduis une fonction p(r), definie, positive et continue pour r positif, et telle clue I'integrale
soit convergente. ~ ' i n t k g r a l ei p ( r ) d r est converge11te a fortio,i: posons
@(I.)est une fonction definie your
I. positif, positive et croissante, nulle pour I . = o. Elle possbde donc une fonction inverse, soit
nulle pour 2 - o, definie pour t positif et assez petit ('); la fonction Y(z) est elle-meme continue, positive et croissante. -k designant un nombre positif arbitraire, je vais etablir le theorbme suivant : THEORGME 111 b i ~ . 1,es points M du p l a n pour lesquels on a l'inegalitk lkf(t)p.(t)dt I
@(k)
peuvent &tre enfermks a I'intkrieur de circonfkrences, en nornbre p nu plus egal a n, et de rayons p,,, p,, . . . , p,, c)k~.iJantla relation
11 suffit, pour s'en convaincre, de reprendre Ia d6monstration du k theoreme 111; en considerant cette fois, au lieu des ccrcles de rayons h ;E ( I ) D'une rnanihre prCcise, si @ ( r ) augmente indCfniment pour r infini, la fonction Y ( t - )est dkfinie pour Loutes les valeurs positives de t ; si au contraire cI~(rjtend vers nne limite I lorsque r angmente indkliniment, Y ( r )est dcfinie poor 0 5 t < l .
24
I l E N R l CARTIN.
qui contiennent 1 points, les eercles de rayons Y [ : o ( P ) ] qui contiennent 1. points. 11s s o ~ en t nombre p inferieur ou egal a n. Si 1'011 trace encore les cercles c o n c e ~ i t r i ~ uaux e s prkci'dents, et de rayons doubles, leurs rayons p j verifient la relati011
et I'on a , pour tout point M assujetti h n'etre interieur a auculi de ces cercles,
En posant
Y [ t @ ( k )= ] u,
trouve enfin la limitation indiquee dans I'enonce du theorkme 111 his. I1 est clai r q u e les thtoldmes 111 et 111bis restent vrais pour un systkme depoints placts dans un espace u un not~~bre quelconque de dimensions: il sufJit de ren~placerle mot u cercles )) par (< hypersphbres )I. 011
47. Appliquons le theoreme 111 bi.r a deux cas particuliers. Cas ou f
(I-) = log:.
C'est le cas examine au debut. Mais nous allons obtenir ulle proposition plus generale que le theoreme 111, qui correspond au cas oh l'on prendrait ? ( r ) = I . Prenons cette fois I"
-
(P (
r )= ru-r,
a etaut un nombre positif quelconque. On a
SUR LES S Y S T ~ M E SDE FONCTIONS HOLOMORPBES, ETC.
25
On a donc I'inegalite
sauf pour des points M qui peuvent 6tre. enfermes h l'interieur de cercles de rayons pj, tels que
I
Si l'on pose
k
I -
= hea.
le theoritme prend la forme suivante : 1,p.r points M du plan porlr lesyuels on u n
peuvent &treenfermts a l'inttrieur de cimonjtrences, en nombre au plus tgal a n , dont la sonlrne des puissances a'""" des rayons est au plus &ale u e x ( 2/1y,quel que soit le nornbre positif ,a. Bien entendu, les cercles A tracer dependent de a.
2.
Cas oii f ( I . ) = - Ce cas est intbressant quand 1, est entier e t positif; car si I'on se place dans un espace a A + z dimensions, ,f(r) est une lonction harmonique. Prenons 2O
On a donc l'int'galitk
sau f en des points intt'neur.~a des h:ypersphdres de rayons ?,, tels que
HENRI CARTAN.
26
En particulier, l e cas I. = I est le cas du potentiel cree par des masses electriques distribuees dans l'espace k trois dimensions; c'est la surface totale des sphhres exceptionnelles qui est bornee, resultat pressenti par A. Bloch ('). 18. Voyons maintenant ce que deviennent les theorbmes 111 et 111 bis, lorsqu'on passe d'une distribution discontinue de points Pi, en nombre fini, a une distribution continue. Nous remplacons I'expression
par l'integrale SP(p)f(m)dUP.
ete.ndue a tout le plan (ou plus generalement A tout I'espace); l'int8gration se fait par ~ a p p o r tau point variable I', et do, dksigne I'tlement d'aire dans le cas d u plan, l'elkment de volume dans le cas de l'espace. L'intkgrale est une fonction d u point M. La fonction p ( P ) est une densite continue, positive ou nulle, telle que l'integrale
soit convergente et egale A un. I1 est clair que si la seconde integrale est convergente, la premiere l'est aussi; car, eu vertu des hypothhses faites s u r la fonction f ( r ) , f (MP) reste bornee lorsque, M restant fixe, P s'eloigne indefiniment. P l a ~ o n s - n o u stout de suite dans le cas general, oh interviennent les fonctions p, et Ye.Au lieu de considerer les valeurs de l'entier I. pour lesquelles il eriste un cercle de rayon 1 [ 2 8 ( k ) ] qui contient iLpoints, considkrons cette fois les valeurs de r l . pour lesquelles il existe ( ? ) un cercle de rayon u, jouissant de la proprietk suivante : l'integrale. p ( P ) do,, etendue k ce cercle, est egale a @ -. ( u )
S
@(k)
(') [ A ] , P. 356. I1 se peut d'ailleurs qu'il n'y ait point de telles valeurs de u. Dans ce cas, i l n'y aura aucun cercle B tracer. (1)
sun
LES SYSTEBIES DE FONCTIONS HOLOYORPHES. ETC.
27
Plus precisement, rc etant une variable continue qui va decroitre de X- h zbro, soit IL, la plus grande valeur de 11 jo~iissantde la propri8th prec4dente; il existe donc un ccrcle C , , de rayon u , , tel que I8ititi:g r a l e S p ( ~ ) d o , , ~itcndueh ce cercle, soit Cgale b -. '@ ( I t ) Remplacons desormais ;J.(P) par zPlp en tout point d u cercle C,. Soit:ensuite n, la plus grande valeur de 11 qui jouisse de la m&me propriete, etc. Le procede est gkneral. Mais, celte fois, on perit Btre amen6 a envisager unc suite irifinie de circonferences C, ,C,, . . . ,C,,, . . . , correspondant des valeurs if,, II,, . . . , u,,. . . . Traqons les circonferences I',, I',, . . . , concentriques aux precedentes et de rayons doubles. Si le point M n'est inthrieur a aucune de ces dernikres, on trouve pour I'integrale
etenduc i tout le plan, la mkme limitation q u e celle trouvGe tout h I'heure pour It; 1;f (MP;). Soient d'ailleurs p , , p,, ..., p,, . . . les rayons des cercles r , , IT2, ..., r,,, ...; on a p,,= zu,,, et par suite
le premier membre etant une somme ordinaire ou une serie. Par exemple, Ctant d o n n h , d a m l'espace h tlpis dimensions, une distribrition de charg-es Clectriques positi~ve.~, de lnasse totale dgale h un, les points de l'espace oii le potentiel est supkrieer u peuvent &re enf e m h dan.r des s p h h s de snrface totnle 64 ?: k2.
;
19. Hevenons au cas g6neral. On a eti? arnenk :d considerer d e s cercles r , , o u p l u s genkralement d e s hypersphkres r,, en nombre nul, fini ou inhi.-Mais, si l'on connait une borne superieure A de p ( P ) valable dans tout I'espace, on peut indiquer une limite supdrieure drc nombre n des cercles ou des hyperspldres r j , au moins sous certaines conditions qui seront prkcisees dans un instant. Cette lirnite dbpend de A, dc k, e t aussi d u nornhre des dimensions de I'espace; c'est la premiere tois qu'intervient ce dernier.
2
8
IlENRI CARTAN.
Par exemple, si l'integrale prend cp(r) = I , on a
S. f ( r ) d r est convergente, et si I'on 4
11
<= [ . 4 (~k ) ] p ,
U ( k ) designant le volume de l'hypersphitre de rayon /; dans l'espace H p dimensions, dans lequel nous nous p l a ~ o n spar hypothbse. En euet, s'il existe unc hypersphitre de rayon tk. telle que l'integrale r p ( p ) d s , Ltendue h cette hypersphdre soit @ale r , cornme 4 cette integrale est, cl'autre part, inferieure ou Bgale a
d'ou l'on dAduit le resultat annonce. La limite superieure de n se calcule d'une manibre analogue dans le cas general, d condition que r P augrnente indtjnirnent lorsque r tend velr ztro, p designant toujours le nombre de dimensions de I'espace. 11 en est bien ainsi dans le cas du potentiel harmonique. 11.
- Application
iZ 1'8tude de N,?(r,J ) .
20. Revenons a u x pOles b,, de modules inferieurs H r < 1 , d'une fonction f (x) meromorphe d a n s 1e.cercle-unit&,et posons, pour 1x1 I.,
<
N,.(I*, f ) se reduit a N(r, f) pour x = o. Rappelons q u e les logarithmes q u i figurent a u premier membre sont tous positit's; par suite N,(r, f ) est une quantite positive. L'inegalitb (4) s'bcrit alors, en retablissant )x1 a la place de 2 ,
Si'r, 1.ES SYSTkblES DE FOKCTIONS HOLOMORPAES, ETC.
2!)
Nous poserons egalement T , . ( r ,f ) = m ( r . , . f ) + N , l r . . f ) :
T,.(r, f ) se rkduit a T(r, f ) pour x = o. Nous avons vu ( 5 9) que l'on a comme on a evidemmen t N z ( r . , .f,f 2 ) s N x ( r ' , . f 4 ) +y x ( r j f ! ) t
on a aussi Ces inegalites se generalisent pour un nombre quelconque tle fonctions. Nous allons chercher a comparer les valeurs d'une expression tellc que N,(r, f ) , pour deux valeurs differentes de x. Pour simplifier, supposons d'abord r = I . et, changeant un peu les notations, considerons l'expression , -
8
1cs ti Btant des nombres complexes, de modules inferieurs h u n , en nombre fini. Cherchons une limite superieure d u quotient (')
s e t y htal~ttleux nombres de modules inferieurs i
<
I.
21. Partons de la double inkgalit6
qui s'etablit aise~nentpar des. considerations gkometriques : en effet, ( 1 )
Cf. [ A ] . p.
321-322.
30
HENRI CAGTAN.
etant l'afcxe d'un point quelconque, fixe, intkrieur a u ccrclr-unitk, la transformation liomographique t
appliquee A x, transforme la circonfcrence ayant son centre h i'origine, et x pour rayon, en u n e autre circonfercnce, dont un diarnbtre est s u r la droite joignant l'origine a u point d'affixr t . I1 suffit d'ecrire q u e la distance de I'origine B un p ~ i n quelconque t M de cettc derniPrc circonfkrence atteipt son maximum et son minimum lorsquc R.1 vient respectivement aux d e u x extrkmites de ce diamPtrr, pour obtenir l'inegalite precedentc. Partageons les points t, en deux categories, suivant q u e I t , \ est + P, superieur ou inferieur B -
r0
CasoliIt/>
log
1
5 P .
- Ona
'-"' I
1 2 2 5 log -- ' I + l t 1 = l o ~ [ I - ~ I - l ~ l ~ I + , t. ,lJ , I r - 9' 1 + 1 t l . 1 1~
On en dkduit
SUR LES S Y S T ~ Y E SBE FONCTIONS
HOLOMORPHES, ETC.
3I
I+P. et le rnaximum d u second membre a lieu pour ( y1 = f , ( I I = On trouve alors immediatement
log
1 - t.1, -----
r--tl
> (-.1 - p ) 2 4
Soit n I c nombrc des points t, d e modules inferieurs ou esaux
qp. On a , d'apr8s ce qui prkcbde,
i
la sornme qui figure au premier nlembre etant etcndue a ccs points t,. Mais on a evidenlment
les sorrllnes etant toujouis etenducs a u x m&mespoints t,. Si lI. cst un nombre positif arbitraire, on peut, en vertu d u theorkme 111, tracrr des cercles dont la somme des rayons soit (rgalc h 4 e k , et tcls que I'on ait I'inegalite ('1 (23)
Z'og
+
< I 1 log I I<
sauf pcut-etre lorsijue Ic point x est interieur a u x ccrcles precedents. Des inegalitks (zI), ( 2 2 ) ct ( d ) , on deduit
Ilans cctte inesali t(! Ics somrnes sont &tenduesaux points tide modules It-? inferieurs ou egaux h -.
Pour tout point t d e module superieur
i3, on a l'inegalitk (20). On a donc, e n Btendant cctte fois les (I)
que
2.
On suppose Bvidemment
4
e k < I ; donc log
!e,t
k
positif, et mCme plus grand
somrnes B lous les points t;, -
-
,
I-tx
~ l o . - x-t + J . ~ 1 ~ l o l j = , 1. - t
( 2 ; )
L
>I designant le plus grand ( ' ) des dcux nombres
En definitive, I'inPgalitc: ( 2 4 ) est r~rnirpour tau/ corlpk* rie potnft .r inttrier~rsau cerclc de rayon p aynnt porlr centre l'origine. exccplion faite peut-&tre po111. des points x gu'on peut enfrrrne~. ri l'intP~.ie~r~. & circonjerences don/ la somrne dcs rayons est kgalr ci 4rk.
el y ,
I1 suffit de remplacer, dans I'inegalitC ( ~ 4 )J., par A, y par Y-, ~t t , par
+, pour trouver l'inegalitk 6
K T( r ,J ' ) < SIY?( I , f ).
\ 2;)
bl designall1 cette fois le plus grand des nombres
cette inkgalitk est valable pour tout couple de points x et.y, in1erieul.s au cercle de rayon p < r ayant pour centre l'origine, exception faite peut-&tre pour des points x qu'on peut enfermer a l'interieur de circonferences dont la somme des rayons est egale a Grrli, et n Jbrtio1.i inferieure B 4ek. L'inegalite (25) entraine la suivante
82. Ce point etant acquis, nous youvons ktablir quelques thkorkrnes qui, si cornpliques qu'ils puissent paraitre, rendront ensuite de grands services.
(1)
Pratiquement, on peut prendre RI = 4 1 u g J t puisque lug I cst plus grand (I
que
2,
- p)?
1;
k
' ~ ' H E O R ~ M IV. E
unite', et toutes ( p
- Soit f
S O ~ C I I Ir,,,
(x)une fonction holomorphe dalzs le cercle-
:, y et a des nombresposit
< r, < ). S U P ~ J O Sque O ~l'inegnlitk S J
soit vb.$iie en un point x intcrieur au cercle Cp de rayon ayant pour centre l'origl'ne: r ayant une valeur posltive quelconque comprise entre r, et un, on a , pour tout pointy intkrieur url cercle C,, I'inPgalitP
suuj‘ pelrt-6~i.e pou~.des points qu'on peut enf~lstterti I'intil-ieur cic circonferences ( ' ) dont la somme des rayons est Pgrzle ci y . Ln lettre K dksigne rlne constante positive ( ? ), qui dkpend seulement de r, , p , y ct x . En eff'ct, l'inbgalitk ( 1 8 ) per~netd'ecrire, puisque N,.(I.,J') = o,
D'ailleurs, -
et, puisque 011
l o1
+
)
0
>
-I--l . f ( ~ ~' l
/.c/
a n ,/i)i.tiot-~ "1
d'ou
(
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r , i)+".r
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1 .
'/.,,to " i)'(--) -? , 1'
I,L.(,,>
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I
j
,
r - " '
j ) + 'I.-
-
",+!,
lf(,~) I '
2 +
I
--10. 1."-p "u
11 suf'fit de joindre icsrte inegalitk l'inkgalitk (25') dans laquellc r f 6tablir on aurait permute les lettres 3,-et y, et remplack ~ ' ~ a, pour .I le theorbme IV. Ccs c i r e o ~ ~ f i . i ~ e ~tlCpcnde~~t ~ces de la valeur tle I . colisidti.,:c. Xous aurio~ispu Ccrire A -- B n z ( r , f ) , mais l'introduction dr la lcirrc unique K est aussi simple. ( 1 )
(?)
34
HENRI CARTAN.
THEOHBME IV bis. - Soit f ( x ) z~nefonction mb-omorphe danslecerckunitt?. Si les points x,intknkurs au c e d e de rayoh p ayant pou~.centre I'origine, pour lesquels o n a (26)
I
I f ( z )> a ,
ne penrent pas &t~'eenferrnes a l'inte'rierlr de circonfi:l.ences ddnt kc1 sornme drs rctyons soit d,a~le a y, on a , pour toilt point y intirieur all c e d e de rayon ayant pour centre l'origine, et sans exception cette fo is,
(r>ro).
Los notations du theorbmo precedent sont conservies. En effet, l'inegalitk ( 1 8 ) . traitec comme tout 2 l'hclure, perrnet d'ecrire
et, d'aprbs I'hypothbse de l'enonce, on peut choisir x de facon que les in'egalites ( 2 5 ' ) et (26) soient valables toutes deux, ce qui demontrc le theorkme. Tntidi\&,vlsIV ter. - Les conditions dn thdorime /I'bis ttlrnt mnintenues, on a
(r+>r,),
sarlf per~t-c'trepour des points qu'on peut enfermer /i 1'intc;ricur de circonferences dont la sonirne des rayons est &ale ci y.
En effet, I'inkgalite (18j pcrmet d'ecrire
ct I'on peut choisir x de facon quc I'inegalite temps que la suivante T d r ,f
(2(i)
) < M T y ( r ,f ) ,
quel que soit y d e module inferieur A p.
soit verifiee en m6me
SUR LES SYSTEWES UE FONCTIONS HOLOMORPHES, ETC.
35
Mais I'on a , pour tout point d'affixe inferieure a p , sauf peut-6tre pour des points qu'on peut enferrner i I'interieur de circonferences dont la somme des rayons est egale i y, I'inegalitti
ce qui tte~nontrele theor8rno. 23. Avant de terrniner cc genre d e considerations, indiquons, en passant, comrnent l'incgaliti! (25) permet d e complkter un theoreme de S. Rlandelbrojt [Dl. On peut donner a u theoreme primitif la forrne suivan[e : Soit f ( x )une Jbnction holornolphe, sans zh.os, et de module i nferieur ci u n duns le cercle-unite'; x et y ttant deux points quelcongues du cercle tie rayon p I ayant pour ccntre l'origine, le quotient
<
admet des bornes suptrieure ct i nferieure ne dipendunt que de p .
I1 est d'ailleurs facile d e trouver leurs valeurs exactes; ce sont
comme le montre l'inegaiite (8) ou I'on fait m ( I , f ) = o ; ces bornes 4. i-
I ~
sont atteintes avec la fonction e'-". Voici maintenant le theorkme complete : THEORBME V. - Soit f ( x ) ilnc fonction holomorphe, de module inferiew a irn d a m le cercle-unite', pouvant avoir des zeros; d tout nombre positif p inJ'Crieur a un, et d tout nombre positif y arbitmire, on peut fnire correspondre un nombre positif A, independant de la fonction f , cz tel que l'on ait
poirr tout couple de points x et y , inttrieurs au cercle de rayon F, ayant
36
HENKI CAKTAN.
poia. centre l'origine, exception faite peut-e"trepour des points x,qrr'on perrt enferrner a Z'intkrierlr de circonferences dont la sornrne des ruyons est kgale a y .
Soit cn eflet r u n nombre positif' compris entre F ct r ; appliquons I'inegalitb (IS), cn tenant c o ~ n p t edes 6galitcs
il vient, en r e n ~ p l a ~ axn tp a r y ,
et aussi, en r e m p l a ~ a nft par'
1"
Mais, puisque 1x1 e t Jyl sont inferieurs a F, Irs deux inkgalites precedcntes entrainent a.~ortioriles d e u s suivantes :
De la premiere on tire en particulier
portons dans la seconde; il vient
et, en divisant par -log f l ( y )1 qui est positit',
SUR LES SYSTEBIES DE FONCTlONS MOLORLOI(PllES,
ETC.
37
Or, d'aprbs ( 2 7 ) , on a
et par consequent
Mais, sauf pcut-etrc pour des points x qu'on peut enferlner h l'inlrricur de circonferences tlol~tla somule des rayons cst &ale i y, on a , d'apres ( a s ) , 8,
(
1;
;.)
.
-
<XI,
.kl etant le plus grand des deux t~olllbrcs
11 suffit.dc prendre I. superieur a un nornhre pour obtenir I'inCgalite 1% 10;
I.,
plus grand clue ;,
l.r(x)I I./'(J') 1
=
pour tout couple de points x e t y , iutcrieurs a u cercle de rayon ;ayant pour centrc I'origine, exception faite peut-etre pour des poir~tsx qu'on peut enfermer h l'intkrieur de circonferences dont la somme des rayons est egale i y ; le nolnbre A est egal % la plus grande des quantites
et, colnrne on peut choisir I . , aussi voisin de un qu1on veut, on peut prendre A aussi voisin qu'on veut de la plus grande des quantites
38
H E N R I CAHTAN.
I I i~nported e remarquer que, pour unc fonction f (z)donnnee, les circonferences exceptionnelles B tracer dependent du choix de I., .
CHAPITRE 111. U R C R I T ~ R ED E PAIILI,B
(:OMPLBXE N O R I I I A L E .
24. Considerons, dans Ie cercle-unit&, ulle famille infinie de systkmes de p fonctions X , ( x ) , X,(x), . . ., X,(x), holomorphes, saris zeros, verifiant l'identite
pourrail affecter cliaque fonction d'un symbole indiquant le systkme de la famille auquel elle appartient, rnais nous ne le ferons pas, pour si~nplifierI'kcriturc. x,, :Vous ne porteron.s notre attention que sur les rupports rnutueh -
011
x,
. . . , p ) dc.s fonctions J ' u n &me syst21nc. On pourrait, par exemple, supposer X,,= I , ~ n a i scela rornprait la symelrie des ( A , p. = I ,
2,
notations. Nous allons, dans cc Chapilre, ktablir U I I critkre d c famille complexe normale rel:ctifA une tclle famille. En realite, ce ne sera pas tout a fait un critkre de famille complexe normale, au sens adopti: jr~squ'ici par. P. Mantel; nous verrons, en eff'et, qu'nn ne peut pas affirrner que toutes les familles prksence d'une
((
X 4 soicnt Xu
norn~ales.Nous nous trouvons donc en
farnille complexe normale
))
d'un t.ype nouveau.
25. hlontrons d'abord comment certaines considerations geonietriques peuvent conduire ides systemes d e p fonctions holomorphes, sans zeros, dont la sornme est identiquernent nulle. Nous justifierons en In bme temps I'expression systL.tnes dr fonctions ir .vurit!tt!.~lin8airr.r locunuircs, introduite par A. Bloch. 1)lac;ons-nous dans l'espc~cep~.c!j~,c.~if compiexe A p - a tlimensions; un point tie cet espace posskde p - I coordonnees co~nplexeshomo-
SUR 1.F.S SYS'II
HOI.OMORPIIES,
KT(:.
39
les equations de 1) variktks linkaires V,, V,, . . . , V , , a y - 3 dimensions. Les prprr~iersrrhembres d e ces equations sont des formes lineaires d e s p - I roortlonnees, e t y - I quelconques d e ces formes sont supposees linairement independantes. Chacune d'elles n'est definie izpriori q u ' i un facteur constant prbs; norls pouvons disposer de ces facteurs constants, cie f'aron cjur X I , X1, . . . , X,, verifient I'itlentiti.
Supposons alors q u r les p - I coordonnkes homogenes d'un pointh1 tle I'espace soient des t'onctions holomorphes de la variable c o m p l e x e x , delinies dans le cercle-unitb par exemple; si, quel q u e soit x, le point M ( x ) rle virnt s u r aucllne d r s p varietes V , , V , , . . . , V,, q u e nous norrlrnerons alors lncunnir.es, e t si I'on remplace, d a n s X I , X,, . . . , N,,, les coordonnees d u point RI en fonction d e x , on ohtier~tp Sonct ~ o n sXI ( x ) , X , ( x ) , . . . , X,,(.z), holomorphes, sans zeros, tlont la somme est itlentiqr~ementnulle. Pour employer le langage de P. Montel ('), les p I coordonnees tlu point M ;l(lrnettent p combinoivonc. lintaires exceptionnelles X I , xi, . . . , XI,. Le cas p = 3 est celui d'une droite complexe (plan d e la variable complexc) 'a trois points lacunaires, par exemple o , I e t crj (critbrc tlr P. Montel). Le cas y = 4 est celui du plan projectif complexe i quatre droites lacunaires, no11 concourantes trois i~trois.
-
I.
-
Cas de trois fonctions.
26. Avant de traiter le cas general, il sera bon d e nous familiariser avec la rnetl~ode d e dkmonstration, en l'appliquant d'abord au cas p = 3 . Nous allons montrer que, etant donnee, rlans le cercleunite, une famille de systkmes d e trois fonctions X i , S , , X:,,holo(1)
Voir. par exernplc [ E l , Ct~opitrcX.
rnorphes, sans zCros, dont la sornme est iclentiquement nulle, il est possible d'en extraire une suite inlinie de systbmes, pour laquellc Irs rapports rnutuels
X X 2 , -' X, X::
et
X, convergent X:;
:
respectiverne~ll, soil vers
cles fonctions holomorphes sans zeros, soit vers la constante zero, soit vers la constante infinie ('). I1 s'agit de convelgcnce rlnifornze d(rn\ tout domaine ferrnk inte'rieurau domaine considerc', ici le cercle-unitP, et ?toils conoenons, nnc fois pour Lorltes, (le ne j(lmnis enc3is(zgcr~ ' ( I I ~ L I - ( , type de convergence que celui-la, sauf indication contraire. Iritroduisons egalement une convention dr langage : nous cliron, qu'une suite de fonctions holomorphes, saris zbros, converge all sens strict )), ou plus sirnplernent (( converge n, lorsqu'elle converyr vers une limite qui n'est ni la constante zero ni la constantr infinie; dans ce cas, la limitc est une fonction holomorphc sans zeros, en vertu d'nn theoreme classique. Nous mettons donc ii part le cas oh la limite est Cgale Q l'une des valeurs exceptionnelles des fonctiohs dc la suite, ici zero et I'infini. L'inverse d'une f'onction qui coliverge )) (( converge )) aussi; le produit ou le quotient de deux fonctions qui (( convergent a (( converge )) vcrs le produit ou le quotient des lirnites. Dans le cas general oh la suite converge vers une fonction holomorphe ou vers la constante infinie, nous dirons que la suite (( converge au sens large D. ((
((
27. Btant donnee, dans le cercle-uni~t,une Jut~zilli.i n j n i e de systkmes de trois fonctions, holomorphes, sans ;r;l-os, ve'r(fiant i'irlen/i~t
nous allons fai re voir q u'on peul en extroit.~ilne suite in/inic~(ie sysiimes, jouissant d'une des propriktks ssrlivantes : X x xo a . Les rapports msrltuels x, -3 -1et - (( convergent u ; X:, X:, (1)
I1 est a p i n e besoin dc faire rrmarqucr quc ce fait cst
dl* critbre dc P. Monte1 ; car la fonction
X
- 2,par x3
prend ni la vdleur rdro ni la valcur un.
uric
c o n ~ i q u c l l r cdirectc
exemple, e-t I ~ o l o m ophe, ~ e t ne
6 . i., y, Y disignant k s trois indicc>s I , 2 , 3 ranges d a m un certain \ x 1" ordre 2 conclergP uers - I , et 2 et - convergent vers aCro. ' 1, ;. 1,
Dans le cas 6 , nous dirons, en anticipant s u r le cas general, que X, ct X, sont de premikre catkgolze, et X , de seconde catkgorie. Dans le cas a , nous dirons q u c toutes les fonctions sont de premibre categorie. 11 y a, en somme, quatre circonstances possibles, suivant que les trois fonctions sont de premibre categorie, ou q u e l'une d'elles est de seconde categorie. Dans le thkorPme precedent, nous avons enoncb des proprietes de convergence qui ont lieu dans le cercle-unite; mais il suffit, pour l'etablir, de montrer qu'on peut extraire, de la famille donnee, une suite de systbmes jouissant dc. ces mkmes proprietes de convergence dans rln rercle de rayon qr~elconquer , I ayant pour centre l'ori,o'zne. . l2n eff'ct, une fois ce point acquis, donnons-nous une suite infinie de cercles ( I ) C,, C,, . . . , C,,, . . . , dont les rayons tendent vers un. Nous pouvons extraire de la famiile une suite de systbmes pour laquelle un des quatre cas de convergence se trouve realise dans le cercle C , ; de cette suite nous pouvons extraire une suite nouvelle, pour laquelle un e dans le cercle C,; et ainsi de suite. des quatre C A S 'se t r o ~ ~ vrealise Le nombre des cas possibles etant tini (quatre), I'un d'eux se trouvera rkalise pour une infinite de cercles, et le procede diagonal fournira une suite de systkmes pour laqurlle les proprietes de convergence, relatives h ce cas, auront lieu dans le cercle-unite tout entier ( 2 ) .
<
28. Soit donc C, un cercle de rayon fixe r,, envisager diverses hypotheses :
<
I.
C o m m e n ~ o n spar
11'Supposons d'abord qu'on puisse extraire de la famille une suite x converge vers zero dans le cercle C,. de systbmes pour laquelle
' Xi
Toils Ics cercles dont nous parlerons ditsormais ont pour centre I'originc. Nous aurions pu simplifier un peu ce raisonnement; mais il prcsentera I ' a ~ a n tagc de s'appliquer sans nlodification au cas ou p est quelconque. (1)
(5)
42
HENRl CARTAN.
3 converge vers - I , xa
X Y X et 2 = 2. converge vers zero dans le Xp Xx X p
cercle C,. Le theorCrne est donc Btabli dans ce cas. 2" Supposons en second lieu qu'on puisse extraire une suite pour laquelle
S 2 converge vers ,\
--
x
X
XI.
x,
r dans le cercle C, ; alors -2 et 2 con-
vergent vers zero, et le theorbme est etabli dans ce cas egalernent. S 3 ° S u p p o s ~ nenfin ~ qu'on puissewxtraire une suite pour laquelle 2
x;,
((
converge
))
alors Y = -
-
1.
vers une lirnite differente. de - I dans le cercle C, ;
+J
( :;,) I
X,,r-
converge u,
3 = 5 a converge a XV xv
aussi.
XI^
29. Nous pouvons desormais, pour etablir le theor2me , exclure 1'hypothkse I". I1 existe alors un nornbre positif a, jouissant de la X
propriete suivante : tout quotient 2, quels que soient A et p pris
xP
parrni les nornbres I , 2, 3, est superieur en module h a en un point au rnoins d u cercle C,, et inferieur en module a en un point du merne
2
cercle; le nornbre a cst valable pour lous les systbrnes de la farnillc. Deux hypotheses, qui s'excluent rnutuellernent, sont alors possibles : 1. Supposons qu'on puisse extraire de la famille une suite injinic. cie 1
systdmes, pour lnquelle la dkl.ivie logarithmique de 2 reste in fkrienre ou S, kgnle ri u n ( I ) en modrlte en tout point dn cercle C , .
Je dis gue, dans ces conditions,
(21adrnet des bornes supkrieure
et infbrieure fixes dans le cercle C,. En effet,
X
x2 etant Iiolornorphe 2
e t sans zeros, nous pouvons poser pour un instant
f(x)etant une fonction holornorphe.
La dcrivee f'(x) a, par hypo-
(') Au lieu de un, hous pourrions prendre n'importe qriel nonlb1.r positif liac.
sun
43
LES S Y S T ~ D I E SDE FONCTIONS HOLOMORPIIES, ETC.
thkse, son module inferieur ou egal a un en tout point d u cercle C,. Soient alors x , et x2deux points quelconques interieurs a ce cercle; on petit les joindre par un segment de droite de longueur inferieure ic zr,, et I'on a donc, en integrant,
Or,
11
ktant un nombre complexe, on a I'inegalitb
cl'ou I'on deduit ici
Appliquons cette dernibre inegalitk en prenant pour x, un point quelconque du cercle C., et pour x,le point de ca cercle oh I1 vient
011demontrerait
Ainsi,
1%
J-
/ 2 ( < a.
de mCme l'in6galite
( admet cles bornes suphrieure et inferieure fires dails le
cercle C,. La famille cles fonctions
X
x, est
-!
donc nor~nale,et I'on peut, de la X
suite dc syslbmes consideree, extraire une suite infinie pour laquelle -'
x
((converge s dans le cercle C,. On se ramkne h I'une des hypothbsas et 30, et le theoreme est etahli.
9
2"
11. I,'l~ypo~hise yrictdentc CLunt e x c h e , on peut appliquer le theor&me I1 his ( 5 13) h l'identilk
X 1,
En eflet, chacune tles fonctions 4 et
X.,
est superieure en motluleir.
en u n point d u cercle C,,; qrlant au determinant A dl1 Chapitre I, c'est
x,
-.
ici la dCrivee logarithmique
X.
2
X
= 2;o r elle est suyerieure en motlule
Y2 -
x,
X::
i rrn, donc i u n nombre fixe, en un point au moins d u cercle C,,. Par conserloent, on peut extraire d e la famille line suite infinie d c systemes, pour laquelle-'
X X,
X
e t 2 rc convergent
x:,
))
dans le cercle C,, et
le theoreme est compl6tement demontre Remnrqrre. - Ce theorkmc, relatif A des fonctions de x dtjinies duns le cerclc-unit(:, reste vrai si le domaine de variation de x est quclconque, en verlu d u t h e o r i m e classique : S i une fumille cle fonc~ions holomorphes cst normale e n chnqr~ep o i n ~( I ) d'rln domaine, elle esz normale dans Z ~ L I Zle domnine. Nous n'avons pas eu besoin, jusqu'ici, des theorbmes IV, I V his e l IV zer. 11s vont intervenir dans le c a s p = 4 e t dans le cas gendral. 11. - Cas de quatre fonctions.
30. Introduisons d'abord, avec A. Bloch ([A], p. 318), quelques de conventions de langage et d'ecriture. Designons le tr~ro~lskic,n n fonctions X,, X?, . . . , X, d e la variable x, c'est-a-dire le determinant -
-
par la notation I X, X2.. .X,, I. ( 1 ) On dit qu'unc farnille de fonctions est normule cercle de centre P dans lequcl elle est normale.
PIL UIL
point P, s'il existc nn
Observons a u e
u
est la derivee logarithmique de 2.Appliquons cett.e remarque ii
u,
( I ) P o ~ i r1'Ctablil-, rcgardons pour u n instant I U1 U2 I e t I X I X n X s . . .X, I coinme dea pol!nomcs i r11 variables indkpcndantes X I , X,, . ., X,, X',, .. .. Xi,, . . ., X;"-", . ., N,?-O. NOIISallons montrer q u e tout systBme d e n * nombres q r ~ isatisfait i l'kquation iX1X ,... X , I = o satisfait ar~ssia IICquatioo IUlU*I = o ;
.
.
comme les premiers membrcs d e ces deux Cquations sont IinCaires c n X("-'1, il en ~Gsultcraquc Ic polynome ( U, Uz ( est divisible par le polgnomc I XlX,. . . X n 1; e n Cgalant Ics cocfficicnts dc X'(L-I), on ~ ~ O I I V 11identit6 ~I-a chcrchec. Or, soit un systkmc dc n' nombres a/ satisfaisant a la rclatiolr
nous allons faire voir q u e si, dans le polynome I Ul U, 1, on remplace les lettres Xi!) rc.l~ccti\ement par Ics nombres a{, OII trouyc zCro. E n enet, les n fonctions dc x
sont lides par une relation IinCaire t ~ o m o g t n e
.
a coefficie~rt>constants non Lous nuls. Si zl et a, sont nuls, les fonctions X3, X,,, . . , X, sout likes par une relation l i n k i r e I~ornogene;Ics wronskiens U I e t U, s o n t donc identiquement nuls, c t l'on a U I U2 = o. Si a l e t a, ne sont pas nuls tous deux, les n - I fonctions a l X I + a 2 X 2 ,X1, . . ., Xn sont 1iecs.par unc relation lindaire homo-
46
M E N R l CARTRN.
Nous voyons q u e la fraction
q u e nous appellerons fraction dtrivke a n zermes f'ormCe avec les n fonctions X I , X,, . . . , X,,, est la derivke logarithmique de
Avec n fonctions on peut former n ( n - I ) fractions dCrivees i n termes, deux ideux opposees. Nous designerons sous le nom de fraction derivte ri deux termes, IX x I . une expression telle q u e 3
xi X,
11 est clair q u e les fractions derivees, ainsi que les expressions de X1x2'''xn'. la lorme x, x2.. .xn ne changent pas si I'on multiplie tootes les fonctions par une meme fonction de x.
31. Cela pose, enoncons le critbre d e fanlille complexe normale que nous demontrerons ensuite : T H E O H ~ VI. M E - @!ant donnke, duns le cercle-unite', rlne famille infinie de systkmes de quatre fonclions holomorphes, sons atros, vkrifianr l'identite X,+X,+X,+X,,~O.
on peut en extmire une suite injinie de systi.mes, pour laquelle se t~auve rtalisee l'une des circonstances suivantes : a . Ides i n d i c ~ sI , a , 3 , 4 se partagent en deux categories, jouissant d e ~ proprittts suivnntes : l o le quotient de deux fo~tc~ions quelconques cle ghnc, et I'on a donr a,
d'ob encore
U, + r,U1-- o,
; u, U? I = 0.
11 suffit de faire x = o dans ccttc derniere identit6 porlr ktablir la proposition annoncke.
pi-ernic~*ccat~;gol.ie conceigc u ; 2 O Ie quotient d'urre fonction quelconque de zecondc c(~tt;,aoi.iepar unc Jbnction quelconquc de premikl-e cnt&gol*ieconc9elqc ~~er:r zc;lo ( I ) ; 3 O colrllne consbquence de la propri Atb 2". It! quo ti en^ dr la sommr des fonction.~d~ p1.emti.r~caltgo~.iepar /'/me qrlelconqur d'enila clles converge DCI:F ;L;IY). Ajou to n s q u'il existe a11 rnoins cieux indices de ptwniikc cntegorie, c:t qu'il pelrt n'exi.stel. nilcun indice de seconde cnl(:goric. 1). Les indicrr se partaselzl cn d e glaupes ~ ~ dc deux in,dices chacun, ((
x.
X
soienl i,j et k. I. 1,es quotirnls 2 el X I convergent ver.s - I . Xi Pour plus de clarte, examinons les differents cas prevus dans a. Si hi
,
tous les indices sont de prsmikre categorie, tous les quotients - (( conX vergent s, h et ;I. prenant toutes les valeurs I , 2, 3, 4. S'il existe un X, x X seul indicc de seconde categorie, 4 par exemple, -, -1 et 2 (( conX, x, s, vergont
x.
?,;
57
X I X,
Xi X,
convergent vers zero, et
x 2 + '3
Xl
converge
vers zero. Enfin, s'il existe deux indices d e seconde catkgorie, 3 et X? par exemple, converge vers - I ,
4
X convergent vers zero. X, On ~nontrerait,comme au paragraphe 27, qu'il suffit d'etablir ces proprietes deconvergence pou~l'interieurd'uncercle C, (I X I
x,
<
et X.; - et
. Xl
< <
<
32. Cornrnenpo~lspar envisager deux hypotheses particulitres. I" Supposons qu'on puisse extmire de la famille une suite de systemes X pour laquelle -1converge velr ztro duns le cercle C, , en designant pal i, x, j, k , 1 les quatre indlces I , 2 , 3, 4 ranges dans un certain ordre. Considerons I'identite
la fonction
(
I
2)
+-
ne s'annule pas dans le cercle C , , au rnoins i -
1
)
(;c s ~ n ICS t I > I . o ~ I . ~ ~ L 1~ 0J ~t z0 qui
5 ~ 1 . 1C I I I .
p~.ccisCmen~ de d e l i n i t i o ~aux ~ catigorics.
partir d'un certain rang. On est ainsi ramene au cas de trois fonctions holomorphes, sans zeros, B savoir Y,=, y,=
-
+ X-'Xi'
X!, Xi
-*.
1-3 - X . ?(
On peut donc extraire, de la suite consideree, u n e nouvelle suite d e systhmes, pour laquelle se trouve realisbe, dans le cercle C,, l'une des circonstances prevues au paragraphe 27. Examinons-les.
Si Y , , Y,, Y3 sont d e premiPre catrsorie,
x
XI
Y, Y : Y,
, Y,
Y1
e t 1'Y,
x, x,
gent vers zCro d a n s ce cercle; en outre
"+
:+
convergent
r
Y / Y, 1 1 , - converx,' Y, X b " converge v e n rPro.
dans le cercle C,,; d o n c l , --, - ((convergent s, et X,
c(
-
C'est bien Ih un des cas de convergence prevus au theorirme \-I. Y.
Si Y, est de seconde cateyorie, .<,et o fortioti
xX:
X,
e t -x;". en outre,
Y
1converge
xk
xi convergent vers zCro, et K. vers
-I.
C'est IA un des cas
prevus a u thborbrne TI. S i enfin Y, ou Y:, est d e seconde catkgorie, Y,, par exemple, alors Xk
- et Xi
x convergent vers zero, )i1converge vers - I : c'esl encore un X, Xi
d e s cas prevus au theorbme VI. En dbfinitive, le theorhme VI se trouve etabli pour le cercle C,, dans I'hypothkse I". 2" Supposons
5 xi
((
converge
r
gu'on puisse extraire une suite de systkmes pour laquelle Den une limite difirente de - 1 dons le cercle C , .
Conservons les notations precedentes. La fonction limite de Y , , qui n'est pas identiquement nulle par hypothbse, a un nombre fini de zeros dans le cercle C,. Isolons-les h I'aide de petites circonference~I'~, et soit D le domaine interieur au cercle C, et exterieur a ces cir-
conferences. A partir d'un certain rang ( I ) , la fonction Y, ne s'annule pas dans D. Nous pouvons donc appliquer aux trois fonctions Y ,, Y,, Y,, definies dans le domaine D, le crithre de convergence ktahli plus haut. Un raisonnement, semblable i celui qui vient d'dtre fait dans I'hypothbse I", montre que I'on peut realiser, pour Ics fonctions X I ,X,, X,, X,, un des cas de convergence prevus au theoreme VI; la convergence a lieu dans le domaine D, mais, cornme on a affaire a des fonctions holomorphes qui convergent vers des fonctions holomorphes, elle a lieu egalement i l'interieur des circonferences I',. 11 y a donc convergence dans tout le cercle C,, et le theorPme VI est etabli pour le cercle C,, dans I'hypothese a".
33. Nous pouvons desoimais, pour etablir le tl~eorkmedans sa generalite, exclure I'hypothese I " . I1 existe alors un nombre positif -,
fixe a, jouissant de la propriktk suivante : tout quotient 2 est sup& X,
rieur en module B a en un point du cercle C,, et infkrieur 'cn module a en un point du mCme cercle. Plusieurs hypothbses, qui s'excluent mutuellement, sont alors posssibles : HYPOTHESE 1. - Supyosons qu'on puirse ~ x l r a i r ede In Samille irne suite injinie de systi.rne.v,pour laquelle deilx fractions dC~-ivbesci deux lerrnes restent infkrieul-es ou kgales a un en modrlle en tout point du cercle C , .
Soit par exernple
I X x.1 -= x,. X,- I'une
de ces deux fractions dkrivees; on
peut extrrire de la famille une suite pour laquelle le cercle C, ( c f . 129, 1). Si la limite de
c:
K
convcrge
a
X
i2 est d~fferentede -
I,
dans on se
trouve rament a I'hypothhse 2" du paragraphe prhckdent, et le theoreme V1 est etabli pour le cercle C,. Dans le cas oh
X -2convergerait
vers - I , cnvisageons I'autre frac-
x2
( 1 ) Nous in\oquor~s ici Ic t l ~ e o r e n ~ se u i \ d l ~ t: Si une suite (le j b t ~ c t i o n s 11nlo~ morphes f , , ( z ) converjie vdrs ctne . f o n c l i o ~l ~ c o l o n ~ o r p l ~f (e . r ) no^^ iclentique~ne~rt n ~ i l l e leu , ;r:ros rle f (.c) sont les Iirni~esdes ~ 8 1 ~ 0d es &(.I.).
50
H E N R I CAKTAN.
tion derivee de module infkrieur ou egal h rln dans le cercle C , , . i X,Xil X. so1t -.Xi X i Le theorhme VI est etabli, ii moins encore que -1 ne conxi verge vers - I . Si i ou j est egal a I ou 2, soit par exelnple i = I , j = 3, on voit clue. x, x, convergeant vers - I , .x:: - converge vers I , et I'on est ramen6 a X? l'hypothbse 2". S: Sinon, on a i = 3, j = 4, et - converge vers - r : on est alors dans X' le cas b du theoreme V1, qui se trouve donc etabli pour le cercle C,, dans l'hypothhse I . Exclrrom maintenant cc'tte hypothhc'. Nous pouvons alors extraire, de la famille. une suite infinie S de systbmes, jouissant de la propriete suivante : chacune des six fractions derivees a deux termes, sauf une peut-&re, x, X,. par exemple, est supkrieure A un en module en un point au moins du cercle C , , et cela quel que soit le systkme de la suite S. Soit rh un nombre positif fixe, compris eritre r, et un, et designons 1 X.X.' par l'une quelconque des cinq fractions dkrivtes autres 1 x; x ' Le theorkme I V (') permet d'kcrire, pour tout nombre r que XaX,' compris entre r', et un, I'inegalite t 2 )
&
qrrasipw~orrt,il dpres, pour les points y du cercle C,. Par (( quasi partout, a o' prks nous entendons : cr pour tout point du cercle C , , sauf peut-6tre pour des points qu'on peut enfermer A I'interieur de circonferences dont la somme des rayons est egale h o" )). Le nombre positif'c" sera fixe plus loin ( 5 36). On a nfortiori l'inegalitk ),,
(I) (2)
Chapitre 11, fj PP. On peut, sans inconvenient, supposer que le 1n6me nonlbrr K est valable pour
les cinq fractions derivkes
I X.X/I . x,xj
SUI:
I.ES
S Y S T ~ M E SD E FONCTIONS HOLOMORPHES, ETC.
5I
34. Faisons alors l'hypothhse suivante : HYPOTH~SE 11. -- la2 dksignnnt un nombre positif j x e compris entre r; ~ l non , pcut cxlrclirc, de la suite S definie au paragraphe prbcedent, r~rtesuite injinir S', j o ~ ~ i . ~ scie a n la t proprie'tk suic.!ante:chacune des trois (,I
quasi p(zrloi~t,t i pi-ks, infkrieui-e oil &ale rt r ~ nen moditle dans Ic ca.cit~l:, ( ( x 1 l.?.).
<
Le nombre positif 7 sera fixi: dans un instant. Considkrons alors en particulier un systkme, d'ailleurs quelconque, de la suite S', et raisonnons sur ce systkme de fonctions. En vertu de I ' h y p ~ t h ~ s eles , points du cercle C, ou I'une quelconque des trois I'ractions cl6rivi.e~ est superieure a irn en rnodr~le, peuvent dtre onfermes B I'interieur de circonference,~I';,ell nonibre fini, dont la somme dcs rayons est egale i 3s. T r a ~ o n s ,~qelativernenta chaque circonference I',, Ics deux circonferences, avant pour centre I'origine, clui sont tangr~rlesA r,, et excluons du cercle-unite la couronne qu'elles comprcnncnt. L'onsemble des regions ainsi exclues cst constitnil par (IPS couronnes en nombre fini, centrees it I'origil~e,el dont la sornrne des epaisseurs ( ' ) est au plus &galea 6s. II suffit d'avoir pris
pour qu'il existe des regions non exclues, comprises entre les deux circonfkrences de rayons ri et I.,, ayant pour centre I'origine; c:es regions sont constituees par des couronnes Z , , Z,, :. . , Z,,, centrdcs i r2- r i I'origine, tiont kt soname d r . ~ epnisser~rsest au moins &ale a 7. En tout point de ces couronnes, les trois fractions derivees ont Icurs modules inferieurs il un. Je dis q u e le module du quotient des valeurs de I X i X 1 ' en deux ! I points quelconques x, et x 2 d'une de ces couronnes, adrnet cles ( 1 ) Not15clCsignons sons le nom de couron~zela rCgion comprise enlre deur circont'l:~.<.~~:ei corrceotriq~les,ct nons appelons 4paisseur de la couronne la diff6rence des r;lyons de ces dcox circonfCrcnces.
52
HENRI CARTAN.
bornes superieure e t inferieure fixes. En effet, posons pour un instant
La tler~veelogarithmique ( I ) d e ~ ( xest ) inferieure 011 Cgale B un en module en tout point d e la couronne consideree X i Or, on peut joindre les points x, et x, par une courbe, ne sortant pas d e I,, dont la longueur est inferieure ou Bgale a un nombre fixe A , qu'on peut prendre egal a .nr,-+ r, - ra par exemple. IntCgrons de xl Q r, le long cle cette courbe, en choisissant arbilrairement la determination de l o g y ( x , ) , et en suivant par continuite la determination de l o g ? ( ~ j . 11 vient 1 I O ~ ~ ( J-' 10g$9(.T'2) ~ ) 1 < -1. I1 existe donc u n e d6t.ermination d e og:l
'("lit cP
pour layuelle on a
013,u Glalit une quantite complexe, -
/ logrr ( s l o g 1 1s ( ( = I l o ~ ~ r
On a donc ici
11 est ainsi dkmontre q u e le module du quotient des valeurs de
?i,X i >-&
en deux points quelconques d e la couronne X iatlmet des bornes supeX X1! +
rieurt! et inferieure fixes. Si donc la fonction I .\,A, 1 a son module superieur ou kgal Q 11n en un point de Xi,elle est bornee inferieurelnent en module par un nombre fixe, c-.', en tout point de T i ;sillon, elle est bornee superieurement. ( I ) Rappelons que la fraction
'
Xi X'x'X3 I esr, au signe prks, Cg:jI~l2 1;1 tlCrivEc lXlX~l.I~,~~,l
/ X X I logarith.mique de A. I XiX3 I
SUR LES S Y S T ~ M E SDE FONCTlONS
HOLOMORPHES,
ETC.
53
De meme, etant donnee I'une quelconque des couronnes XI, Z,,...,
IX Z,,, chacune des fonctions A et I Y IX,X,I
'I est bornee en module,
!X,X,I
soit superieurement, soit infkrieurernent, en tous .les points de cctte couronne.
3 5 . N'envi.mgvons dksormais que Zes ziafe~~rs I - des rayons des ci~aconfkrences centrc;es a Z'origine et inttrieures ci f'une guefconque cles couronms E,,. . ., Z,,. Nous allons montrer q u e I'on a, pour chacune de ces valeurs clc I.,
K designant une constante positive fixe, c'est-a-dire valable pour tous les systPrnes de la suite S' definie au paragraphe precedent ('). Nous a w n s deja, i l est vrai, introduit au paragraphe 33 une constante K ; rnais il n'y a aucun inconvknient a ecrire encore la meme lettre, car, 6tant donnees p l u s i c ~ ~ rconstantes s positives K , , K,, . . . , KI, nous pourrons toujours, dans Irs inkgalit'es envisagbes, les re~nplacerpar une seule, la plus grande d'entre elles, r t I'appeler K. Cette notation sera tres commode. Pour Btablir l'inegalite (q), supposons par exemple que, pour la valeur de r considerte, la fonction I Y l X 2 I ait son module borne supeI x, x, I
ricurernent sur la circonfkrence 1x1 = I - ; le cas oil le module serflit borne inferieurement se traiterait de rnkrne. Bcrivons I'identitk
+
et prenons la valeur moyenne, srlr la c i r c o n f 6 r e i ~ eIs./= I - des , log I est infkiles deux ~ n e ~ n b r e sil; vient, p~risquele module de --XgX'I
IXIX~I
54
H E N R I CARTAN.
Or, d'apres I'inegalite
(28'),
on a
d'ou
Wais, puisque
x-' a son module X
supkrieur
cl
cn un point
(Ill
cercle C ,
7
et I'inegalite (29) est demontree. x et XI , On a des inegalitcs analogues relativement aux fonctionsL
x*
Xi
et A leurs inverses. Soit alors F un nomhre positif'quelconque inferieur a u n ; desiglions par
el(?)
mip,
la I
r
e d r s six guantitfii 111(,?,
X. X 9 ) .m /( ~ <), , rn ( i, $1 et X
11,
X <)?
X
11((~,<),
X
(?,x:). U1apres ce qui pribclrlr,
l'inkgalizr'
est vr'rzjke poirr des valeurr de r qiri remplissent des intcrc,alles, cn nornblu. fini, donl 11 sornrno des longzreula esz ail rnoins kgnle li
- 1'-
I1 suffit, maintenant, de repre~rdrela nlethode de tlemonstl.a~iont l r ~ Chapitre 1, pour conclure que r n ( r , ) admet ( I ) uno borne supbrieure valable pour tous les systemes de la suite S'. On traitera. en eB'et, I'inegalite prkcedentc comme on a traite I'inegalite (12) tlu paragraphe 10, et I'on arrivera i une inegalite de la fornle ( 1 6 ) . Puis, ~ I I designant par R un nombre positif quelconque infkr*ieor k I.,, ~ I I reprendra le raisonnelnent du paragraphe I I , h c o n d i t i o ~tootcfois ~ c l ~ (') rl est le rayon du cercle C , ! tlefini
;III
p a l . ; i g ~ . ; ~ p l31 ~e
SYSTBIES
SUR
DE FON(:l'lOXS
IIOI,OMORl~HEI;,ETC.
rclmplacer la consideration de I'intervalle
I -
valles dont la sotl~lneest a11 ~noirlsbgale i-. I,.,
-
55
R , par celle d'inter-
On trouve finale-
rnent ( I I I ( I ~ r ~ ( , lest i ) inferieur an plus grand des deux nombres M e t I, log L . , 11 et It btant d c o s ~rombrespositifs, valables pour toas les -
-
I'.,- - I..>
sistknres de la suilc Sf. En particuliet-, I,I(I.,)
< rrz(R) est borne. C.
0 . F. D.
On peut donc exlraire, d e la suite S', une nouvelle suite pour laquelle
X , X
c.t
X. X
((
convergent
))
dans le cercle C , de rayon r , .
Con~mc,caos qr~o~icnl~fs Ile peuvent convcrgcr tous les lrois vers - I , on est 1,arnrne i1'hypoth;se 2 O c l r ~paragraphe 32, et le theoreme V I eat dkrnontre pour Ir cercle C,,.
S definie au paragraphe 33, une suite infinic d r systl.!nt.s jouissant dc la propriCtP suivante : les Noos pouvonsalors cstraire, d e la suite
points du cercle C-?,tle rayon I.,, oil I X,,X, : I4 2 exemple, esl 1.1 X,X2I 1 , sr~pkl-irurk I I rlr ~ ~ ~ ~ o c l unc l e ,p e u v c ~ pas ~ t &trc enfermes i I'interieur dr circonfvt-cnccs do111la soinlncl tlos rayoils soit egale h y. Nous ; t l l u ~ ~tl;ins s , ccs conditions, trouver uno limitation d e
lorsque I. cst sul)i?l*ierlrB
1111 nornbrc
:I(;. On a cn elret I'identite
(I)
tixe
I.:,
colnpris entre I., e.t un.
ugua auuop ( c c ) l a ( 9 s ) 'KE? '(zc) ' ( 1 ~ )sa]!l&au! s a p uos!e~edtuo:, 137.sunwruo:, sju!od sa:, ap uu z = /C=x l ! o ~-saIqe[eA luos (5s) la (PC) sy![eBau! sa[ slanbsal anod z s)u!od xne l a /C s~u!od x n e sunwwo:, slu!od sap luau~au!el.~a:,a p x a p,nb rnod :6 = 2 aldwaxa red 'j!)ad zasse g a!r!oq:, al, lgjns 11 "3 ap.ia:, n p z slu!od sal rnod * s g ~ 8d r: 'lnolaed !sen[)
( *X'X C -E
-
+
y
>
\
I"zY
X"X
I
(
.
x "X
/
,
(PI)
la "3 alum n p /Cs)u!od sal anod <s;rrdg y ' l n o ~ a e d!senb
' Ixx;xl.-.lCx1xI kxSxls- I'xixI.IL'x'xI "zx k'x I " z ~ ' ~ I I " S ' ~ ' ~ I ' ~ a w o j el aapuard lnad ( 0 s ) ?l!luap!,l a 0 I 3 al:,~a:, n p x lu!od.lnol anod
SUR LES SYSTEMES DE FOKCTIONS HOLOYORPHES, ETC.
57
il suftit d e poser
et de partir de 11inegalit8 ( 1 0 ) . On a ici
et Ipin8galitb (36) donne une borne superieure de m / I . ,
i)h l'aide de c lc ,
F; F:, Fj,
.
quantiles de la forme o7(r; P ), P designatit un polynome en i ; F" F" P" '9 2 e t 2.A partir de ce moment, le raisonnement fait au ChaF,
F,
F3
pitre I se repete identique. On peut donc extraire, de la suite considkree, une suite pour X, X X. Iaquelle p, e t 2 a convergent 1) dans le cercle-unite, e t n Ji)r.tiori - r
6
x,
xi. dans le cercle C,; tous les rapports mr~tuels(( convergent n alors,
XP
et le theoreme VI est enfin demontre pour le cercle C,,. D'apres la remarque dCjh faite, il se trouve etahli Pgalement pour le cercle-unite toul enlier.
37. De merne que le crithre relatif au cas y = 3, le thiol-+~~tr 1 7 lrste zlr.ni si b dornaine de onriation de x est guelconque. hiais le raisonnement d u paragraphe "4 ((Hemarqur) n'est plus valable ici; en eff'et, nous ne somrnes pas s Q r s u prio1.i de la propositior~suivante : (< Si le theoreme VI est vrai pour tous les points d'un tlomaine, c'est-i-dire si tout point do domaine est centre d'un cercle pour lequel le theoreme est vrai, il reste vrai pour I'ensemble d u domaine. ), Cela ticnt a ce que le thkorPme VI ne permet pas d'affirmer clue la famille des t'or~cS
tions x, ;~!,par exernple, soit norrnale.
I1 faut donc avoir recours a une :rutre methode. lndiquons qn'il suflit de raarcner le cas d ' l ~ ndornaitte cluelconrlue D au cas d u cercle, en elyectuaot la representation conforrne, s u r un cercle, d u dornaine de recouvrement si~nplement connexe (L7ebel*I~ig.er-ung.~frache) du domailre D.
58
HENRI CARTAN.
Sans nous attarder davantage au cas p = 4, qui sera etudie en ddtail au Chapitre suivant, traitons tout de suite'le cas oh p e s t quelconque. 111.
- Cas gbnbral.
38. THEOREME VII. - &ant donnte, duns le cercle-unitt?, une famille infinie de systbmes de p fonctions holomorphes, sans zbros, vtrijant l'identitt X,+X,+
...+X , = o ,
on peut e n extrnire une mite i n j n i e de systemes, pour laquelle se trouve rtalise'e 1 'une des circonstances suivantes : a . Les indice3
I , 2,
. . . ,p se partagent en deux catigorks, jouissant
des proprittis suivmntes : r le quotient de deux fonctions quelconques de premiere catkgorie (( converge ' 2 le quotient d'une fonction quelconqtle de seconde cntr;gorie par line fonction quelconque de premikre catigoric. converge uer~sztro;3" comrne conskquenco de la propriete zO, le quotient de la somme des fonctions de premiere cnte'gorie par l'une qr~elconque d'entre elles conve?Xc velr ~ 6 1 . 0 .Ajoutons qu'il existe au moins t k u x indices de premiere ct~t@orie,et qu'il peut n'exister ~ L L C ~ L I Z indice de seconde catkgoric.. b. I1 ~ x i s t edetrx grorrpes tl'i~itlicr.~, chaqt~egrorlpe comp~.cnnnt N U moins d e i ~ xindices: nrr/i.s il pcwt ( > x i s t ~des r indice3 n'nppnrtennnt ci alrctln de ces deux groupes, 101:rquep 4 . Duns chaqlrr groupe, on (/istingtre encore entre les indices de premiere catkgorir, m nombre au moins t g a l a deux, et lrs indicrs de seconde cntkgorie, quipeuvent Jailleulr ne pas exister; et t o n peut c5noncer, porll. Ips fonction.~rl'un nlPme porlpe, les m&rnes proprittks de convergence r O , 2 O et 3" que d a m le cas a, acgeccette diprence que la proprie'tt 30 est cetle fois inile'pendante iics cr u tres . ));
>
Le cas ( 1 est en som~rlele cas oil il existe un ~ I ' O I L P P unique compl-ennnt to1r.r IPS indices. Si I'on applique Ir thPori~meVII an cas p = 4,on retrouve le thCorbme VI, qui apparait ainsi colrlme un cas particulier d'un theortlrn~ plus general.
39. Comme Ir thbori.me VI, et pnur la meme raison, le theorvchmeVI1 reste vrai st le tlotn;~inutlv variation d11.zest quelconque. Indiqtlons alors rapidemcrrt la Inarche i snivre pour demontrer le tl~tnrhmeV I I . 011 srlppose qu'il a eti. etabli your p - I , lorsque le dnmaine dc vari2tion de x est quelconq~te,c t I'on montre qu'il est vrai pour p, lol.scluc>It. tlornaine de variation d r x est le c~rcle-unitk. Les fonctious cnvrsagees 6tant supposkes definies dans le cercleunito, il suffit, comrne dans les cas p = 3 e t p = 4, d'btablir les proprietes d~ convergence pour I'interieur d'un cercle C , , d e rayon r,, ayant pour centrr I'origine. Soit C, un cercle concentrique e t de rayon I., c o ~ n y r i sentre I., et un. Envisageons d'abord deux hypothhses parliculiibres :
Hsypnthi:seA . your laqucllc
--
X.
011
c o ~ ~ v e r gvers e zero dans le cercle C , , i et j designant
tleux des indircs I ,
Ilyl~oth?.scH . I:rquelle
2
oeut extrairc. de la famille une suite de systhmes
-
2,
. . . , p.
On prut extraire dc la famille une suite pour
a converge o vers une limitc dirkrente d e
- I dans lk
I
cercle C , . Dans I'unc e t I'autrc hyputhhses, on montre, en raisonnant comme at1 ~)aragr;~plle 32, que Ie tlleorerne VII se trouve etabli pour le cerclc! C,, cotllrne cons8rlucnce du thkorltme VII relatif h p - I fonctions d6finies dans un tlornaine quelconque.
40. On exclut d6sorrnais I'hypothbse A ; plusieurs hypothbses, q u i s'excluent m u t u e l l e m ~ n t ,sont alors possibles.
Ilyl)o/hi.sc I. - On peut extraire de la famille une suite infinie d e systCmes, your laquellc deux fractions derivees d e u x termes restent inferieures ou egales i rrn en module en tout point d u cercle C,. En raisonnant commetia~lsle c a s p = 4,o n voit q u e le thAoreme V1I esl ktabli pour le crrcle C,,, dans I'hypoth6se I. On exclut ensuite I'l~ypoth&se1, ce qui conduit h I'existence d'une suite infinie S, de systkrnes, jouissant de la propriete suivante : cha-
60
H E N R I CARTAN.
cune des six fractions derivkes h deux termes, sauf ulle petit-etre, 'xr+lxp' par exemple, est supl!rieure P ~n en lliolIuIc C I I I UI; 1,oiut da XPIX, cercle C, . On n'envisage dksormais que la suite S , , et I'on I'ait relativcme~ltI cette suite l'hgpothese suivante : Hypothkse 11. - I., etant un nombre c o ~ n p r i se ~ ~ tI .r, ?ct rrn, on oeut extraire de S , une suite infinie de systkmes, pour laquclle il existe un groupe de trois indices i, j, X., pris parmi I , 7, . .., y - I , tels que chacune des trois fractions derivees a trois terrnes formbes avec X,, X, et XI, soit quasi partout, h y, prbs, infcrieure ou Pyale a lrrl en m o t l u l ~ dans le cercle C,(I x ( I . ? ) . Le nombre positil' y2 est ensuitc convenablement choisi. On rnontre, comme dans le-cas y = 4, clue le theorkmc Y 1 I cst Ctabli pour le cercle C,,, dans l'hypothese 11. On exclut ensuite I'hypothhse 11, ce qui conduit h I'existence tl'une suite S,, extraitedc la s u i t e s , ,jouissantdc la yropriGt~soiva~ttr~: 1,p, u designant trois quelconques des indices I , 2 , . ..,p, I'une a11 ~troins des trois fractions derivees h tr0i.s termes formees avcc Xi,X, et X,,
<
X'Ix'xpxv' , est supbrieure h rm en module ell des points ilu lX).~pl.lxm cercle C,, qu'on n e peut pas enfermer h I'intt'ricur tlc circonferences dont l a somme des ravons soit egale h yl. On fait alors I'hypothlse suivante : soit
Hypotlkse I l l . - r , etant un nombre c o n ~ p r i seutre I., et rrlr, on per~t extraire de la suite S, une suite infinie de systlmes, pour I;~quellcil existe un groupe de quatre indices i, j , k , I , pris parrni I , 2 , . . .,1, - I , tel que chacune des fractions derivkes h quatres termes formees avcc Xi,Xj,X, et Xisoit quasi partout, h y:, pres, inferieure ou tlgale i t r r l l en module dans le cercle C , , de rayon I..,, ayant pour centre I'origine. On ecrira cette fois des identitiis dc la forme
et I'or~ pourra trouver, relativement im
(
I.,
, :::,
), une i~legalite
S U R LES
SYSTBUKS DE
FONCTIONS HOI.OMOHPE3ES,
ETC.
analogue P I'inegalitk j3Ci), relative i ns
a
6I
On conclut
encore a la validite d u theorhrne VII pour Ic cercle C,. Le procede ast general : I'exclusion de I'hypothese 111 c o ~ ~ d u ai t ['existence cl'une suite S., extraite d e la suite S,, et 1'011fait, rclativement a S,, tine / _ Y P o ~ ~ @ .ICrqui YF fait intervenir les fractions derivees a cinq termes, etc. La dernikre hypothkse, qui sera la ( p - z)'"""',sera relative i~une suite S,-,, extraite des precedentes; elle sera formulee ainsi : I;,-, ktant un r~ornbrecornpris entre I;,-:; ct I I I L011 , pcut extraire de S,,_:, une suite de systi~mes,pour laquelle chacune des f r a c ~ i o n stlCrivees a p - I terrncs formees avec X I , X,. . . ., X ,-, rcste quasi partout, h y,-, pres, inferieure ou kgale a Irn en module tlans le cercle C , , ,, de rayon I ; , _ ? , ayant pour centre I'origine. On exclut er~fincctte hypothese, cc qui c o ~ i d u i ti ['existence d'uoe suite S,-,, extraite de S,-,, polir laquelle on peut trouver une limitation X I X 2 . ..sp-,
),
de nr ( I . , / x , x Y ,,-, 1 en prockiant eoulrnc au p a n g r a l ~ h e36, et s n invoquant Ics theorbales IV, 1VI~i.re( lVrc,~..I 1 restc albrs A appliquer la methode d u Chapitre I :I I ' i d e ~ ~ t i l d !...a
X, X., X -+-+...+= +I=o. x ,, x,, x,,
pour achever la demonst~.atiol~. Nous pouvons donc considerer le thborilmc \'I1 corlllile delnitivernent etabli.
4 1 . Exlc,~~sion r r i ~ Joncrlr)r~s . ~ ( 1 plrrsio~ls ~ vrr~~iub/c~.r. - 0 11 sa i t q u c Ic critkre d e P. Monte1 s'e(.end taciltrllic~lta u x fonctious tle plusic!u~.s variables complexes ( I ). 011 peut peliser q u e les tl~CortmesVl ct V11 sont susceptibles d'une l~areilleg e ~ i d r a l i s a l i o ~El1 ~ . realitk, cela ne ra pas s J n s de stirieuses difficultbs; je suis pourtant p;~rvc~nu i dkmon~rt!r q u e b th,korPlne IJI s'Plend ~ I L fonclions X dr I I va~~iuhlrs colnplrxcs x ,, x ? , . . . , x,, rJ<Jinies dons l'ftypercylinrhr
<
IxrI
...,
)Xn/
(1)
[ C : a,);v o i r alissi LEI, 1). rA4.
--
62
H E N R I CARTAN.
La dernonstration, qoi est assez longue, srra puhliee dans un Memoire ulterieur.
CHAPITRE 1V. liN CRITERE
D E FAhIIL1.E COMPLEX& NORMALE ( ~ l l i l e ) .
I. - La valeur du critere lorsque 1, = 4 et lorsque p > ;.
,4P. Supposons p = 4 , et exan~irlons les divcrses circonstn~~ccls prevues a u thitorlme VI. Dans le cas a, si toutes les fonctions s o ~ r tde X premiere catkgorie, tous les rapports 2 (< convergent > I ; s'il y a u n t
x,
X
seule fonction de seconde catkgorie, tous les rapports 2 convergent X, au sens large )I. Au contraire, si, dans le cas a , il existe deux Snnctions de secondc ((
X
catkgoric, X, e t X, par exemple, tous les rapports 2 co~tvcrgentau XI, X,
sens large, snll f le rapport -,; ou, d u moins, Ic tl~eorib~nc nc (lit rirn sur
2x. . I1 est intitressant de donner un exemple d'une suitc inlinir S
X
t l ~
X
systemev pour lac~uelle-2 converge vers - I . et *- ccon~ergentvers x, 4 x, X zbro, 10 J'nmille -3 n'ktnnl pas nornzclkc. I'la~ons-nons,it ccl cll'ct, d:,~ts X, le cercle-unite, e t prenons
11
elan1
(111
X.
entier posilil' qui a u g n ~ r n t eintlefinimcnt. La San~ill~: X.
x,
n'est pas normale, car -.' = cnr tend vcrs zero si la pactie rtellc, de . I x, rst nPgative, et vcrs t GC si elle cst positive. X 11 rcste enlin icsalnillor la cas 6 . Supposons, par exclnple, clue 2 x*
SUR I.ES
SYST~:MES D E YONCTIONS
HOLOMORPHES,
63
ETC.'
X et X convergent i vers - c ; alors le theoreme ne dit rien s u r -2.Prex X, J.
nons, en effet,
x , n'cst prrs no~mulc.I 1 suffirait meme de prendre Ln f(~niilks x,
X, = - X , , r t X ,= - X,, la farnille
X
-1
x,
n'etant pas normale.
Par consi.quent, les cas dans lesquels le thebrbme VI ne perrnet pas X
cl'at'firmer clue toutes Ies familles f soient normales peuvent se prkP
senter effectivemrnt. I I ne faut donc pas esperer trouver, lorsque p = 4, un critt'brct tle farnille complexc normale plus complet q u e le thCureme TI. 43. Lorsque p > 4 , au contrairc, on p e u t garder I'espoir d e cornplkter le tltkori.mr VII. Convenons il'apprler cc~s(io/lter/x u ceux tles cas [)revus d a n s I'411uncC d e ce thkori~me,ou il existe des indices n'appartenant A aucun groupe. Supposons d'abord p = 5 : il y a un cas douteux, celui oh i l existe deux groupes d e deux indices chacun, 1 , 2 e t 3,4 par ((
exe~nple.hlurs
X
1 et
X..
convergent vers - I , e t c'est tout ce q u e le x1 ~ h t ' o l + i ~[)(:r~net ~e d'affirmet*. Or, darts tous les exemples de cette circronslat~ct:que j'ai su Irouver, on pouvait, de la suite envisagee, -:
x1
X X rstrairc une suite nouvelle po.ur Iaquelle I'un des rapports -2 e t -2
xi
X3
cotivergeait vers zbl-o. 31il;lis jr lie suis point parvenu i demontrer cln'il ell s o i t tol~joursainsi ( I ) . Poor tenter d'Cclaircir ce point, je m e suis plac6 dans I'hypothPse tl'une suite r; X jouissat~ides ~,roprii.ti..; s u i v a n t e ~: -2 e l - ~ c o l ~ v e v g e nvers ~ - I , et. il est ilnpossible (I)
S,
X,
1
d'extraire d e cette wile ulle suite nouselle pour l a q ~ ~ e l I'une le des fonetions -6 et.
x,
X --.I
s,
64
HENRI CARTAN.
D'une facon generale,p titant qoelconque, le theorbme suivant s'est trouve verifie d a n s tous les exemples qrle j'ai pu construire : La circonstance b du theorbme VII est remplacee par la suivante : les illdices se repartissent en plusieurs groupes, comprenant chacun d e u s indices au moins; les fonctions-d'un m k ~ n egroupe jouissent des mkrnes proprietes de convergence I", 2" ct 3" que dans le cas n , et ces trois proprietes sont indkpendantes. ((
tor1.v
))
Mais, comme je viens de le dire i propos du cas p = 5 , je n'ai pas reussi a etablir ce theorkme.
44 Le theoreme V11 gal-de neanmoins sa valeur dans des cas trbs converge vers zero. Je me petmels d'indiq~ret ici, sans dClnonstratiolr, quelques-unes des consi.qnencei ~ l ccetlr I~ypotlri-se. Yosons
11.w I ~ ~ p o r l ~ Z cIrs c . foncrions E, ct E, qui son1 holomorphcs, convergent vers Y ; Y ' Y' Y' ~ l l o r n:I - c 2 9 P: -' , E , --f convergent vers 261.0; de lntme E, Yl Y, Y, Y, r.1.
,
€1
(:+)",
21
(2)''. el,,..
~III!I ~ I I I .
E ~ O .
soil ~ ' e n l i r rp o s i ~ i fn ; enfin, si n est assez (rand,
En ontre, s111,1>o~on~ pour fixer lcs id&, qne Ics fonctions soient definies dans le c~.rcle-unite, 1.t con.truisons~ pour clraque s ~ s t & m rlc c la suite, une fonction p ( o ) , I~olnmorphe dans li: ccrrle-unite, n'y prenant pas la valcur un, e t y adrnettaat les mPmes z61.o~quc. la fonclion a\(:c ICS m h e s ordtcs dc rnultiplicit6. On a alors la pr~)()osition* ~ ~ i r . ; ~ :n tc cc La siiile rfes foncriorts ~ ( x jconvet-ge nc'cessairement uers ;Pro cf
ir111Cfinimentlorsqu'on se tleplace dans la suite des systkmes, car la fonction
?(XI= l - e t l i ~ converge pas vcrs 1.61.o. Ces c o ~ ~ s i d t t a ~ i omontl.Pnt ns pourquoi il est difficile de trouver un exemple r d l i s e n t I'hjpothtqe envisagCe. IIC
gkneraux. Plaqons-nous dans le cercle-unite, pour fixer les idees, et supposons que chacune des fonctions X , de la farnille prenne u l'origine une zlaleur fix? a,, et que la sornmr d'rin nornbre quelconque des quantitPs aLne soit pas nrille. Appliquons le ~heor(.meVII. II ne peut pas exister deux groupes d'indices ( I ) ; donc le cas a est seul possible. De plus, il n'existe pasde
r-
fonctioo de seconde categorie, puisque tout quotient X i poss+de, h l'originc, une valeur fixe non nulle. Par suite, onperlt extmire de la X farnille rlnr suitr infinie de systkrne.~porrr IagrlrIIr tolls les rapports -1 x ,, x A convergent )) ; autr.erne~~t dit, toutes les families .sont not-rnal(>.s,et !J bornees d a m tout dornrrine f errne intkieur. (' ). Le theorkme VII nous donne donc une certitude dans ce cas general ; on pourrait se placer egalement dans d'autres hyl)othes~s,de facon a exclure la possibilite des cas douteux. Faisor~sune dernibre rernarque : si, cornme A . Bloch, nous avions systematiquernent fixe les valer~rs des fonctions k I'origine, lou us n'aurions pas trouve de cas tlouteux llorsque p = 5 ; mais il s'en serait de nouveau present& d&s que p = 6. I1 nc semble pas que A. Bloch ait s o u p ~ o n n eI'existence de ces cas douteux, et i l enonce un theorbme (') qiii ne parait guere certain ; ou, tout au moitks, r i ~ ndans son Memoire ne conduit B adrnettre son exactitutlc. ((
( j )
11. - Quelques applications du critere.
45. Pour fixer les idbcs, nous nous placerons desorlnais dans le cercle-unite. Sinon, soient X,, X2,...: Xh les fonctions d'un mPme groupe, X,,pal. cxco~l)lc,eta111 xI+x2+..:~x/, devrait converger vers zr;r.o ; or de premiere catkgorie. Le quolient Y. ~. il possede une valeur fixe, non nulle, i I'or~gine. ( 2 ) Cvtte proposition etait \.irtuellernt:~rtcontcnlltLdans le thkori.mv VlI du hlimoire de A. Blocli : [ A ] . 1,. 3 4 3 . X x ( 3 ) En effet, les fonctions 2 e t 2 ne pourraient pas converger toutes deux vers - I , X, XI car elles devraient prendre alors la valeur - I i I'origine; e'ert impossible, p ~ ~ i s q u e X, n'est pas nu1 i I'origine. ( b ) [ A ] , T h e o r h e IX, p. 3 4 5 . (I)
: s!oal ua as!a!pqns a s
st:, a 3 'alnas s u n la a!ao$a~er, apuo3as ap uo!puoj a u n a)s!xa 11 .z
: saluea!ns sa)!l!q!ssod sal suoae snoN
.D
se3 ne suossed
..Y la J ap uo!lelnmaad aed q-!nla:, ay
l!npap --
8-I
la
;ts I & Isaaa
'x no sea a? .oaaz saaa as~aauo:, , X X
sraa ~uaBaaauo:, l'x l a ailaanuon B s.tol+'.l
;-
- saaa lua~aaauo:,"X ;la7X .z X -OJ;)Z
3
saaa aBaaau03
.h' + J la ' I - saaa aBaaauoa - saoljr. I -saaa ~uaSaaauo:,$ )a .r
x
E
Z
x
.I
: xnap ua as!a!pqns as sea a 3 -q se3 a1 red lue3uau1moa ua 'aru+oar[l a3 ap aauoua'l suep sanaaad saauelsuo3.1!:, sasaaa!p sdl ~ U ~ U I ~ A ! S S ~S UZ OI U~ ! ~U SI U X ~ 'IA amgaoaql a1 suonb!ldde la
suosod !suo!~:,uo~ xnap sa3 3 la J l u a ! o ~
.l-j = d sea ne snuu-srlouaoq ! uo!le3!ldmo:, es a p asne:, r: 'leaauag se3 a] suep sed suoaa:,rroua,l au snoN ' e d ~ ' " ' "J aIl!mej el y jyelaa 'alcwaou axaldmo:, all!olej ap aaal!aa un lua!lqo uo 'IIA ~ u ? a o a y la1 luenbrldde anal u 3 'allnu luaruanb!luap! Isa ammos anal la 'soaaz sues 'saqd~omoloq suo!larroj sap luos "X '... '" <'x -2-,I
.z-d ,I =,z-t/
-.
.
'"'
X
.-G,,
-1 L
$id
I
-l=l-(l
.
="x
'I
S
d ='x S UO S O d
.utr
'
J ~ I ~ ~ V v1L svd Z y u a ~ d a uawulos
vl fuop 'soqz suvs 'sayd~ou~oloy 'e-d~ SUO?PUOJz - d JP S~ZII?~S/CS a p ap.uuJ aun suoaap!suo3
SYSTI'.MES UE
F O A C T ~ O N S HOLOMORPHES, ETC.
67 a . 3 , ou .Y1 est de seconde categorie. Si c'est X,, g ((converge n, e t f converge vers zero. Si c'cst S,, ,f converge D, e t g converge vers ztro. p. X , est d e seconde categoric. Alors J'et g convergent 1). y. X , est dc secondecategorie. Alors f et gconvergent versl'intini, et . ,;I'converge D. S U R I.ES
((
((
' I
3" 11 existc deris fonctions de seconde categorie. a. S , et S 2 sont de seconde categorie. Alors J et g convergent vers
zero.
F. X, et S , sont de seconde categorie. Alors f converge vers zero, g converge vers I . Le cas oil S , ct S, sont de seconde categorie s e deduit d e celui-la par permutation clef et F. y. S , et X ., sont d e seconde catkgorie. Alors g et 8 convergent vers
f
I'infini. Le cas oh S , et S,, sont de seconde categorie s e deduit d e celui-la par permutation de J'et g . 8. X, et X, sont de seconde categorie. AIors f et g convergent vers I'infini, et f converge vers - I .
A'
46. Tous les cas ayant ete examines, nous pouvons enoncer lc thkortme suivant : ' ~ H E O R ~ ~VI lEbis. - ~ t a n donnee, t dans le cercle-unite, rtne f a m i l k de systemes de deux ,fonctions f ( x ) et g ( x ) , holomorphes, sans zeros, dont la somme ne prend pas la oaleur u n , on peut e n extraire une suite in.nie de syrtbmes, pour laguelle se trouve ~.lalise'r!l'une des circonstances suiczntes :
Chacune des fonctions f et g 2O
f et g convergent velr L'injini,
.3" g et
((
contarge
et f -
6
((
))
ou concierge vers zero;
converge ;
5 convergent vels l ' i n j n i , et la circonstance analogue,
f
obtenue e n permutant f et g ;
68
HENRI CARTAN.
f
+ g converge vers zero, et gf converge.vers - I ;
50 g converge vers
-
et
I,
f
contrrge vers zkro, et la circons-
tance analogue, obtenue en permutant f e t g . Dans les cas 3" e t la famille des fonctions f peut ne pas &re normale; dans le cas 40, il se peut qu'aucune des familles f e t g ne soit normale. Pour trouver d e s exemples d e ces circonstances, il suffit de se reporter aux exemples donnes au paragraphe 42. Ainsi le cas 30 est rkalise pour les fonctions suivantes 5O,
en conservant les notations du paragraphe 42. Voici un exemple d u cas 4" :
I
et u n e x e ~ n p l ed u cas
5 O
f(x)1-en'?
=
C;).(3:)
- e-"),
:
Dans le cas 4'1, il suffit mCme d e prendre pour /'(x) une famille non normale d e fonctions holomorphes sans zeros, et de prendre ensuite g ( x ) = - . / . ( x ) . Dans le cas 5 0 , on peut d e meme prendre pour f ( x ) une famille non normale de fonctions holomorphes sans zeros, et prendre ensuite g ( x ) I . Voyons ce q u e devient le theorkine \:I bis lorsqu'on suppose q u e les fonctions f ( x ) et g ( x ) d e la famille prennen t respectivement des valeurs fixes a , et b,, i I'origine ( a , # o, 6,# o , a , + b , f I ) . Les cinq circonstances possibles se reduisent alors i trois, e t I'on obtient le THEORBME VI t c ~. Atant donnee, dnns le cercle-unitt, une farnille dc? systi.rnes dc: deuz fonctions f (x)et g ( x ) , holomorphes, sans ztros, dont la somrne ne prendpas la ualeur un, si l'on a
a , et b, itant deux nornbres fixes, on peut extraire cfe In farnille une suite inJinie de systtmes, pourlaquelle re trorlve rinlisee l'une des circonstances suic'antes : I
O
2'
f et g a convergent )) ; f + g converge trerr zkro, ct f; converge vers - I , ce qrli cxige a
3' g converge vers
I,
6-1
et -converge vers ae't.o, ce qui exige 6, = I ;
f
et la circonstance analogue, obtenue en permutant f et g , a , et 6,. Examinons maintenant deux cas particuliers d u theoreme VT bis.
47. Considerons d'abord ulie suite infinie d e systPmes d e d e u x fonctions f (x) et g ( x ) , holomorphes, sans zeros, dont la somme ne prend pas la valeur u n , e t srrpposor~sque f ( o ) et g ( o ) lertdent ~ c r ~z hvo . Je dis que f + gconverge vc8rrzkro ( I ) . En effet, s'il n'en etait pas ainsi, on pourrait, de la suiteconsidCrCe, extraire u n e nouvelle suite S , posshdant la propriete (P) suivante : 1 f +gI est superieur a un nombre fixe a en un point au moins d'un cercle d e rayon fixe r, ayant pour centre I'origine. Appliquons le theorbme V1 bis a la suite S : la circonstance I * d e ce theorbme n'est pas possible; en ellet, on ne peut pas extraire d e S u n e suite pour laquelle f ou g n converge s, puisque f ( 0 ) et g ( o ) tendent vers zero; on ne peut pas non plus extraire une suite pour laquelle f e l g convergent vers zero, car alors f + g convergerait vers zero pour cetle suite, ce qui est en contradiction avec la propriete ( P ) . Les circonstances 2O, 30et 5One sont pas possibles non plus, puisque,/'(o) e t g ( o ) tendent vers zero. Enfin la circonstance 4"est en contradiction avec la propriete (P). Le theorbme VI his serait donc inexact pout; la suite S; par conscquent, I'hypothkse qui a conduit b I'existe~iced e cette suite est inadc. Q . F. D. missible. 48. Considkrons, en second lieu, irlie suite ir!/iriic. (fe sysl?mes de ( 1 ) IXappelons qne nous a \ o n s c o n r e n u , a u ~ ~ a l . a j i l . a l ~ 96, I r e ~ l e~ ~ ' e n \ i s a g eque ~ . la convergence uniforrne clans loclt clontoirtc fernze interiertr a u tlomaine consitlCre.
7O
HENRI CARTIN.
deux fonctions f et g, hol6morphes, sans z Pros, dont lu sommc converge vers zkm. Je dis qu'on peut en extraire une nouvelk suite,pour laquelle se trouve realisee l'une des deux ckonstanccs suivantes : IO
J' ct g c ~ n v e ~ g eoers r ~ t zero ;
' 2
f- converge vers - I . g
En eflet, dans tout cercle de rayon I.
converge m vers - I ; ou bien f converge vers zero,
et alors g converge vers zero. Dans les cas
20
);
et 3", 8 converge vers
19infini,et, pui sque g ( ~ + f converge vers r h o , { converge vrrs
-
I.
7
1)ans le cas 4",1 converge vers - I . Enfin, daiis le cas 31,a, convergp 67
t'converge vers - I . vers I ; par suite f converge vers - I , et 2 n
La proposition est donc demontrie ( I ) . I1 en resulte, en particulier, que si.1f(o) (
.supi~.iel~i ci url nonzbrc J j x e a , et s i f t g convergc velr ;Ira, on cst slir. guc. converge nelr - I . est
'I
Hn effet, de toute suite infinie extraite de la suite considti~.ke, on
t' peut extraire une suite pour laquelle "converge vers - I ; cela suffit
-
m
pour conclure, en vertu d'iin raisoni~enient classiqnc, dont nous aurons i faire l ~ s a g eB diverses reprises. Exposons-le au rnoinc unr3 fois : si. S ; ne convergeait pas vers - I , on pourrail extraire une s t ~ i t c 3
infinie A, telle que
soit suytirieur b
.6'n
1111
nornbre fixe Iell
1.111
( I ) Au lieu d'invoqucr lc tl~CorelncV I bis, c'cat-i-,ti~.c, C I I sulrllnc lc ~l~eoi.Crnc VI, on pcut donncr dc ccttc propo.iticln unc dernonst~~ation rii~.cctc. qui 11,. f : ~ c c r pnz appcl aux theorimes IV e t I V L i s ; clle ressrmble ~ J I ~ ~ I I C i~ I1;)I ~~ )I ~ . I I ~ ~ I I S I I . ; I I ~dl1 OI~ crillrre relatif au c a s p = 3 26-29).
is
S U R LES S Y S T ~ M E SDE FONCTIONS
I~OLOYORPHES, ETC.
7'
point au moins d'un cercle fixe (1x1 < r , < r ) . Or, tle la suite -f7 n on peut extraire une suite qui converge vers - I . [I y a contradiction. 49. Je vais maintenant dernontrer le theorkme suivant :
Considerons une suite i n j n i e de systilmes d e deux fonctions holornorphesp et g, admettant respectivernent les valeurs exceptionnellts (' ) jxes a et p, dont l'une a u moins n'pst pas nulle; si le produit p q converge vers akro, on peut extraire, de l a suite considCree, une suite i n j n i e p o u r laquelle l'une des fonctions p ct q concerge vers atla. Dans le cas oh a = o, on peut supposer une constante. Posons
=I,
en multipliant q par
f e t g sont holomorphes, sans zeros, e t leur somme converge vers zero. D'aprks le paragraphe prkcedent, on peut extraire une suite pour laquelle I'une des fonctions f et I + - converge vers zero, ce qui dhrnontre le theorkme. Dans le cas oh ap # o, on peut supposer a = = I . Posons :
7)
Les t'onctions X,,X, et X, sont holomorphes et n e s'annr~lentpas; en outre, dans tout cercle interieur au cercle-unite, X, ne s'annule pas i partir d'un certain rang, puisque X, converge vers un. Cela suffit pour qu'on puisse appliquer le theorbme VI aux fonctions X I , X2,X:lr X,, dont la somme est identiquement nulle. L'examen de tolls les cas prevus dans l'enonce de ce theorkme rnontre que, dans l'hypothbse oh p q converge vers zero, on peut extraire, d e la suite envisagee, une suite pour laquelle I'une des fonctionsp et g converge vers zero. Remarquons enfin que le thborbme serait inexact si a et P etaient
(7
( 1 ) On dit qrl'nne fonction admet l a ualeur exccptionnellc a , si cllc nc prend pas la valeur a. (I) Ccl cxamen, scmblable a celui qui figure au paragraphe U,n'oUre aucune difficultd, ct j'ai jug6 inutile dr 1t- rcproduirc ici.
72
HENRI CARTAN.
nuls tous les deux. 11 suflirait, pour le mettre en defaut, de prendre
n etant un entier positif qui augrnente indefiniment. Indiquons, pour terminer ces applications, que si I'on a une famille de systbmes de deux fonctions holomorphes p et q , admettant respectivement les valeurs exceptionnelles fixes a et p, dont I'une au moins n'est pas nnlle, et si le produit pq ne prend pas la valeur un, on peut enoncer un critbre de ramille complexe normale. 111.
- Gbnbralisation des theorbmes de Schottky et de Landau.
50. Notre critPre de farnille complexe normale (theorbmes VI et VII),
et les theorbmes que nous venons. d'en deduire, permettent de dernontrer des propositions analogues au theorbme de Schottky ou au theorbme de Landau. Nous supposerons, pour simplifier, p = 4, et nous nous placerons dans le cas, envisage aux, paragraphes 45 et 46, de derix fonctions f ( x ) et g ( x ) , holomorphes, sans zkms, riont la somme ne prend pas la valerlr tin. ecrivons leurs developpements en serie de Taylor dans le cercle-unite :
Nous allons demontrer la proposition suivante : et b , Ctant JxPs, sinriciine des trois quantitks a , + b,, a , - I et b,,- I nullc, ( d ( x ) ( et 1 g ( x ) ( admettent, dans tout cercle 1 x 1 r I , des bornes sriphierire et iyftrierire qui ne dkpendent que de r, no et 6 , . (1,
<<
IZ'PS~
Considbrons en efl'et la famille (F) . . de tous les sgstbmes de deux fonctions f ( x ) et g ( x ) , satisfaisant aux conditions enoncees plus liaut, et telles que j ( 0 )= ( l o .
g ( 0 ) = b".
Reportons-nous au theorbme VI ter; les cas z0 et 3" se trouvent exclus
ici. Dnnc, de toute suite infinie extraite cle la famil!e (F), on peut extraire une liouvelle suite pour lacluc.lle d' et g (( convergent )). Cela suffit pour demontrer la proposition annoncee, en vertu d'un raisonnement classique, semblable a celui qili est expose la fin du paragraphe 48. Puiscjue ( j ( x ) l e t (g(x)ladunettent une borne supi:rieul-e Mkr.), qui ne clPpend q u e de I . , no et b,, les inkgalites fondamentales
oh I'on donne a
J.
uire valeur f i l e ,
par exemple, mont,rel\t q u e / a , .I
rt 10,I rufmcttent unc borne sllpk~.ic~rrre q71i ne dkpend c / ~ ~(Icc ( I , , I),, et rle n. Dans les cas particuliers oh I'une au moins des quantites cr,+ b,, 0 , - I , e t 6,-I est nulle, une etude speciale est nkcessaire. Par
j'+g~,i'let
exemple.sio,=-b.(n,#~,o,#-~),~
dans tout cercle / x 1 que de no e t de
J-.
Si
I,
I$iadmetti:nl.
tles bornes supkrieures qui ne di:pendent (
I
y
I
,
# - )
1 ,
J
et
I+/
admettent des bornes superieures qui ne dependent que d e 6 , e t d e r. La methode de tlkmonstration est toujours la mi:me : oui se rimPiie au tlliorPrl~eV1 ter (' ).
51. AprPs ces gineralisations du thkoreme de Schottky, passons au theorkme de Lantlau. Soient, dans le cercle 1 z 1 R, deux Sonctions holomorphes J ' ( x ) et g(x), qui ne s'annulent pas e t dont la somme ne prend pas la valeur un : J ( x )= / I " + a,.l.+. . . ,
<
\(
I ; ) ( L . )= /to+ //,Xi-. .. (/I"#
0. /,,,#or / I 0 +
/)"#I).
( I ) Dcs rCsultats d c re gcnrc ont dPjk e t e indiq~lPs par A . Bloch : [A], I,. 3 3 1 , tlreoreme 111. Mnis 11o11savon.: voulu ici I r i rilttachc~.k notrc critere dc famille conrplcxc normnle.
-aleruJou axaldruo:, al[!wej a p ~ J ? I !aJjou J ~ ~ e 'suo!lsanb d sa:, salnol suep &?no!a l o J n p aap! aun su!our ne luauuop s a l u a p a q ~ d suo!le:,!pu! sa? *.la? IA aur?Joayl a1 ~ e ds n h a ~ d sea sap uamexa,l { 'alduroa ap ug ua ' s ~ n o r n oluas!npaJ l as !a-sa[[aa!suo!jeJlsuoruap sa1 ~ass!nbsa,nbl ! y suoae,u snou luaanos la 'sa~dru!ssnld sal se:, sal suep anb slellnsaJ ap aauoua suoae'u snou 'apqaa~d!nb aa lnoj s u e a -71 ax9 SueJ a p '"q la "n slua!aWao:, sal quaaaaju! aJ!ej lnad u o 'u Jal -!rn![ m o d ' j la I D J!uaaJalu! aJ!ej a p naq ne ' a n b ugua s u o n b ! p u ~ .J ap l a Oq ap uo!lauoj ua a u ~ o qlsa 1 ( x ~ ) /' 1( J x ( a p ~ a agnoj suep 'anbslnd 'Oq a p uo!lauoj ua a u ~ o qlsa utz, 'laaa u 3 - I D ta 9 ap an6 puadqp a 1 ?n6 a.tna?qdns auJoq aun lawpD H ' ( I -# Oq ' I # Oq) I = Ov ?S -(luapaaard a y d e ~ 8 e ~ e*d/ a ) .1 a p ga O D ap uoyauoj ua a u ~ o qIsa ( ( x u ) B+ ( x u ) / J ' I >.I Ix 1 ala~a:,gnol suep 'anbs!nd 'Oo ap uo!louoj ua a u ~ o qlsa 8 ( ' q + ID) 'lags u 3 " q + lo la O D ap an6 pua4sp au !n6 a ~ n a j ~ a d m n s~ o q dull 12WpD u ']71U S D 1SaLU ~ ' q + ' D ?S la '(1 - # O D ' I # O D ) Oq - = O D ?s 'aldmaxa J B ~-1uarua~edas sau!ruexa a q ? y luapueruap allnu ~ S JI - " q ' I -01) 'Oq + O D sal!luenb s ! o ~ lsap aun,I yo sea sa? ' u 11 O q 'O D ap an6 puadqp au r~lba~ns?~?dns azl~oqaun lawpD u 'allnu uou axg Jnalea aun e 'aldmexa ~ e d' I D !s t O q la O D a p anb puadap au ! n b a ~ n a ! ~ a d nauJoq s aun luallarupe 8 ' q la y ' n 'allnu l!os au I - ~q la 1 - O D ' ~ + qO D sql!ausnb s ! o ~ lsap a u n ~ n e ' n baJa!ueru ap 'sqxg luos "q ga O D !S ~ l u a n b ~ s u oJ aG ~
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SUR
LEs
S Y S T ~ Y E S DE
FoNcTloiYs HoLoMORPHES,ETc.
75
52. Soitf(x) une fonction mkromorphe dans tout le plan, on seulement au voisinage d'un point singulier essentiel isole, que nous supposerons a I'infini. Designons par E ( a ) l'ensemble des points oh la fonction f ( 2 ) prend la valeur a , et, en particulier, par E(m) I'ensemble des phles de la fonction. Dans tout ce qui suivra, on ndmettra, sauf indication contraire, que chaque point de l'ensemble E ( n ) est comptk autant de fois qu'il y a d'unitts dans l'ordre de multiplici~ede la racine correspondante de l'equation f ( x ) = a , si a est jini, d~rpdle correspondant, si a e ~ itlfitli. t Lorsque deux fonctions f ( x ) et g ( x ) , mBromorphes dans tout le plan, admettent le mCme ensemble E(a), nous dirons qu'elksprennent ensemble la valeur a , ou encore que g ( x ) prend la valeur a en mime temps ylle f ( x ) . 11 en est ainsi, t.11 particolier, lorsque chacune des deux fonctions admet a comme valeur exceptionnelle, c'est-8-dire ne prend pas la valeur a ; dans ce cas, I'ensemble E ( a ) est vide. Nous dirons, de mhn~e,que deux fonctions, meromorphes au voisinaye du point i I'in tin i. pr~~nnPnt ensemble la valeur a cru z~oisinagede l'injini, s'il cxiste un cercle de rayon assez grand, h I'extkrieur duquel les ensembles E(a) relatifs h ces deux fonctions coincident. Nous conviendrons Bgalrment de dire qu'une fonction /(XI, mkromorphe au voisinage du point i I'infini, admet (1 comrne valeur exceptionnelle, s'il cxiste uli cerclu ;I l'exteriec~rduquel / ( x ) ne prend pas lavaleur a . (1) Ccrlains des 1.6=11ltat.i de cc Ch;~pitl.c0111 &ti: plibliis dans dcux Notcs alix C o ~ j r p l e s~ C I L I I ~ (I/Se Z'.lcnd. rles S c . , t . 185? 1927, p. 1253, ct 1. 186, 1928, 11. 624. I.ci a f ( i ~ . n ~ : ~ ~dcs i o n sp a ~ , a g r a l ~ l ~4c sct 5 tlc la ~ c c o n d cNotc sont ~ 1 4 prol~ablcmcnr s
IIIl'XilCtCS.
53. G. POlga e t H. Neva~llinna ont kte, je crois, les premiers s'occuperde I'unicili. d e la determination d'une fonction meromorphe, par la connaissance d'un n o ~ n b r efini d'ensernbles E ( a , ) , E(t1,), . .., Etci,,), assujettis ou non la restriction relative aux ordres de rnultiplicitC. H. Nevat~linnaa demontre If: thCori!me suivant ('1 : S i rltlrr.r. Jbnctions, mt:~.ornorphe.s.arr voisintlgc (/I/ poinl il I'injni, srrpposk .singrrliel. c,ssc,ntiel, prenncnt ensemble c:rNc_, anlelrrs distinctes a u uoisinrrge cle l'infini, elles sont ~~t!ce.ssni~*ement r'dentiq~rcs,m&me1or.squ'on ne lien2 pas colnple clcs ol-rlws rle ~/~ulll;olicitr;. Une fonction meromorphe au voisinage d u point 5 l'infini cst donc complPtement determinee par la connaissance, au voisi~tngede cc point, de cinq ense~rlblesE ( a , ) , E ( u , ) , Eta,), E ( a , , ) ,E ( n , , ) . 11 est naturel de chercher B reduire ce nombre d e cinq. On y arrive en s'appuyant sur le theoreme de E. Borel, d e j i cite dans I'lntroduction ( 5 i ) : S i l'on
tr
rrne idcntitd de 111.forme
entre des fonctions enti?~r.s,sc1n.s zt!ms. ou bien 1eu1.s rtrpporls mirtuels sont des comtanles, - oil bien les fonclions se pcrrlagent e n ylusieurs p o r ~ y e s , 1t1 somine des fonclions rl'rrn m$me group(, cst i(lentique~nenl nulle, el lelr~riwpports mutrlels sonl des constantes. Rappelons clue, pour demontrer ce theori:me, H. N e v a ~ ~ l i ~ i(') na etablit la proposition suivante, d'ou il decoule immediatement : si les p fonctions ne solit pas liees par d'autre relation lineaire, homogbne, a coefficients constants non tous nuls, q u e la relation donnee
. . ., p ) sont bornes lorsque raugmente x et par suite les - - I s o n t d e s constantes. (i ~r, =I,
indeiiniment,
2,
P -
[ F , dl. G. Pblya avait ltabli cc ~1iCorCme [ G I dans le cas d e deux fonctions entikres, de gcnrc lini, qui prennent enst.mble quatrc valeurs h i e s distinctes. ( z ) [ F , 61. p. 3 8 1 . ( 1 )
SUR LES
SYSTBMES nE FONCTIONS
Or, pour rnontrer qrle n,(r.
IIOLOIIORPFIES,
ETC.
2)
77
est borne. i l sufit de supposer
que les fonctions sont d8li1iies gu voisinage d u point 9 l'infini, et qu'elles n'ont ni p8les ni zeros dans ce voisinage; dire que nr(r,
< X
)
est borne, c'est dire q u e
>
n'a pas de singularit6 h
!A
I'infini. D'oh une gen6ralis;1tion d u theorbme de Bore1 : N' l'on a lrne irlentit(;(1. la .forme
c n l r ~dc.r .fonctions /tolomo~p/~es, sans ziros, a11 voisin(~g.e(111 point ti l'inPni, 011 Oien leurs rapports mutnels sont rc;guliers a l'injini, - ou bien /es.fonctions se partagent e n pb~sieulrgroupes, la somme des .fonctions d'r~nm&rn~. grouppe cst i(1entiqrlerncnt nulle, el leurs rapporls niutr~elssont rigrr1ic1-.r/i l'infini.
Dans les problkmes que nous allons nous poser, nous nous ramltnerons systematiquement A I'etude d'une identitk, a laquelle nous appliquerons ce deruier theorhme. D'ailleura, celui-ci subsiste evidemment lorsque les fonctions X I , S,, .. ., X,, ont ,des zeros et des pbles, pourvu qu'aucun de leurs rapports mutuels n'en possi.de.
5%. Envisageons d'abord d e u s fonctions f ( x ) et g.(x), meromorplies au voisinage du point i I'inlini, supposk singulier essentiel; admettons qu'elles prennent ensemble, au voisinage de I'infini, quatre valeurs distinctes n , I), c, d , que nous pouvons supposer finies. Cherchons a voir si ces deux fonctions ne seraient pas forcement identiqnes. Designons, d'une facon generale, par ( e , , pe,, e,, c , ) le rapport anharrnonique de quatre nombres e l , e,, e,, r ; :
et posons (37)
I
(f,8.a , 1 ) ) -- X . (f,g, a, L . ) = Y , (f.g,a , d ) = % .
78 HENRI CARTAN. X, Y, Z sont des fon.ctions holomorphes, sans zeros, au voisinage du point a I'infini. Or, I'elimination de f et g entre les relations (37) conduit A une identite de Borel h six termes : ( a - b ) ( c- d ) ( X + Y Z ) + ( a -- c ) ( d- b ) ( Y + Z X ) + ( a - - - d ) ( -bc ) ( % + XY) - 0 .
R e h p l a ~ o n sX, Y, Z par leurs valeurs en fonction de f et g; il vient (38)
( a - b ) ( c - d ) [ (f - a ) ( f - b ) ( g - c ) ( g - d ) + (8'- a ) ( g - b ) (f - c ) ( l ' - d ) I + ( a - c ) ( d- b ) [ if - a ) ( f- c ) ( g - b ) i ~ 4 +!a-d)(b-()[(
+ (g- a ) ( # - c ) (f - b ) (f f -a)(j-d)(g.- b)(g-c)
dl]
+ (g- a ) ( # . - d ) ( j - b ) ( j - c ) ]G o .
Dbsignons respectivement par X:, X:, Xi,Xi, X:, X: les six termes qui figment au premier membre de (38), dans I'ordre o i ~ils se presentent. Ce sont des fonctions meromorphes au voisinage du point a I'infini, et leurs rapports mutuels ne possedent ni z'eros ni pdles. Nous appliquerons donc le theortme de Borel generalise a I'identite (38); les dimerents cas de decomposition possibles sont les suivants : a. Un seul groupe comprenant les six fonctions;
9. Deux groupes de trois fonction!;
y. Un groupe de deux fonctions et un groupe dequatre; t". Trois groupes de deux fonctions. Le cas p se subdivise Iui-mkme en deux cas essentiellement distirlcts, suivant que les trois fonctions d'un meme groupe ont leurs indices inferieurs tous differents, ou que deux de ces indices sent les mCmes. Nous prendrons, comme types de chacun de ces delis cas,
Le cas y se subdivise allssi en deux cas essentiellement distincts :
Enfin, le cas 4 se subdirisc en trois :
Jc dis d'abord que, 11 ct c designant deux quelconques des quatre nornbres a , 6, c , c / ( u $1 v ) , si deux des six rapports anharmoniques (.f, ,o., u , s u ~ reguliers t a I'infini, f ct g. sont idenliques. IIcrivons en clrct ( 1 )
(1. ,y.
11.
(,f. ,q. ( 1 , .
V )
u ,)
=I'
(,TI,
=,'F (x),
P ct P I etant des fonctions regulieres i I'infini. L'Clinlir~ation de g entre ces deux relations conduit a une equation, du second degre au plus ell .f. Si clle permettait de calculer f en fonction de P et P , , f n'aurait pas dc singularite rssrntielle a I'infini. II faut donc clue celte &quation soit identicjuenient rerifiee, autrement dit, que les deux relations kcrites se rkduisent 2 une seule. Or, si l'on y regarde, pour un instant, P el I), comrne des constantes, f e t g comrnedes variables, elles definissent une homographie admettant les points doubles 11, u, u 1 et u,, ce cjni fait au moins trois points doubles. Cette homographie sc reduit donc a la transformation identique, et I'on a
Cela posk, si l'on examinesuccessivement les cas enumeres plus haut, cn ecrivant, pour chacun d'eux, que le rapport de deux fonctions d'un mPnie groupe n'a pas de singularite a l'infini, on trouve precisement, all noi ins clans les cas a, p, , $, y I , y, et ;, , que delia des six rapports anharn~oniquesi f , g,11, c ) sont reguliers a I'infini. On en conclut f r g . Ilans le cas 6,, on a
[(I.,8, b. (')I2=
I.
Si (./', g., 6, 1 . ) r 1 , on a J'=g. Si (f, g, 6, c ) = - I , on tror~ve ensuite (j',g, u. h ) = I , ce q r ~ iest impossible, en vertu de la remarque faite plus haut.
80
II reste equations
IlENRl
CARTAN.
examiner le cas 2 , . L'elimination de f e t ,o. entre les ,Y;+X:=o
X:+X:o
et
donne [ ( a , 6,
d'oi1
I.,
d)12= I ,
( a , h , c , d )=
I.
puisc~ueles nombres ( I , I), c , d sont distincts. On trouve ensuite
cela exige q u e J'et g admettent (1 et 6 comme valeurs exceptionnelles; sinon j ' e t g prendraient ensemble la valeur 0, par exemplc; or on 11'a pas ( a / , 1 )= I . -
55. Tous les cas ayant ete examiees, nous obtenons le theorhme suivant : ' ~ I I ~ O R B D I V111. E - a , 6 , c , t/ dLsignant QIiATRE n01ttbre.rcomplexes distincts, i l existe a11 plus uric J'onction, m i r o m o y h e (111 f?oisinr~ge du point .ringulier essentiel a 1 ' i ~ r / i n iporrr , lalgnelle E ( a ), E ( b ) , E ( c ) , E ( d ) coi'ncideltt respcctic.ement, nu voisinage de l J i n . n i 7 aclr,c qrlrltrse ensembles do~cl,c!rA, 13, C , D. 11 y (1 e ~ : c e p ~ i osi, n les rns/,mbles A et B ttant vides U I I roisinage de l'itt/ini, 0 1 2 n
dans cr. cns, s'il existe l ~ folzction n ~ rel~onc//llttri la lguc.s/ion, il en existe d e u r , et dc~rr~. serrk~nzc~~c~, . / ' ( x ) ct g ( x ) , ct l'on n
1,orsquc rious disunu q u e tleus enscnil)lcs coi'ncident. au voisinage tlc I'infii~i, lou us cntentlons qu'il tlxistc un cercle cle rayon asscz gr:ind, i I'estkricur tluquel ils col~rcitlcnt. Conver~otrsalors de dire q u e dells e ~ i s e ~ n b l cdes points coi'ncident au sc~c.vlu~-,o.c,lorsqu'ils ire dillerent q u e par un ~ l o ~ r ~fini b r ede points. Le t1it'ori.m~\'Ill e1111.aincevicle~ii~nciil Ic suivant :
SUR I,ES SYSTEIIES DE FONCTIONS
IIOLOMORPI1ES,
8I
E1.C..
THEORBME VIIl bis. - (I existe arr plus une fonction me'romorphe dons tout leplan, non rationnelle, porrr laqrrelle E ( n ) , E(b), E(c), E ( d ) coi'ncident au sens large avec quatre ensembles donnks A, B , C, D ; il .y n exception xi, les ensembles A et B n'aynnt qrr'un nombre jini de poinls, on a ( a , I), c , d ) = -
I;
d a m ce cas, s'il existe une fonction repondant ci k1 question, il en existe deux, et deux seulernent, f ( x ) et g ( x ) , et l'on a
Ce theorPme reste vrai a fot.tior.i si I'on supprime les mots au sens large D ; le cas d'exception correspond alors seulement au cas oh les ensembles A et R sont vides. On retrouve ainsi u n thkoriime d i ~ a G. POlya et R. Nevanlinna ( I ) . ((
56. Corrsiderons maintenant trois fonctions f ( x ) , g ( x ) et 17(x), mCromorphes a u voisinage d n point h I'intini, suppose singulier essentiel; admettons qu'elles prennent ensemble, au voisinage d e l'infini, trois valeurs distinctes a , b , c, q u e nous pouvons supposer finies. Nous allons dkmontrer q u e deux de ces fonctions sont necessairement identiques. Posons en effet ( f , g , (7, //)=X. ( f ,,; n. r . ) = Y , ( f , / L , a , /,)=%, ( f , 11, a , 1 . ) = T ,
et Climinons J., g, /i entre ces relations; puis, dans I'identitk obtenue, r e m p l a ~ o n sde nouveau X, Y, Z, T en fonction de j;g , h. I1 vient, tous calculs faits, (39)
p~
( f -a)(g-b)(/~-,,) + ( f - b ) ( g -c)(/, - a ) a ) ( h- 0 ) - ( f - r ) ( g - I / ) ( / L - a ) -(f-a)(hr<,)(I1 - 1)) - ( f - l ) ) ( g - a ) ( / /- c ) z o .
+ ( f- ,.)(hr- -
6 . l'blya [ G I > ' l ~ a ~i ~ l a cdaus ; Ic ca. ( I ~ I11.9 l ' o n c ~ i o oson1 ~ e n t i 2 1 . e ~e t de (I) genre fini, e t ou I'une dcs quatre valeurs a , b , c , d cst precisemcnt egale a l'infini.
R . Nevanlinna [ F , 6. p. 3781 s'est ensuite place dans lc cas general des fonctions n~eromorphesdans tout Ic plan.
les JlCsigl~ons respectivement par X i , X:, X:, - Xt, - Xi, six terlnes qui fig~rrentau premier membre de (39). dans I'ordre oh ils sckprdsentent. Cc sont d e s fonctions rneromorphes an voisinage d u point i~I'inGni, et leurs rapports rnutuels ne possGdent ni zkros ni pi)les. On va lour appliquer, comlne tout A I'heure, le theoreme de Horel gendralisk. On remarque d'aborcl que si les deux rapports aoharmoniques (,/; 8, o , 1)) et (./; g , (1, C) sont reguliers a l'infini, on a J = g . On fait en outre la remarque suivante : Si l'on a une identite
p et g ddsignaot d e u x quelconques des indices I , 2, 3, d i f i r e n t s ou non, deux d e s trois fonctions f , g, h sont identiques. Par exemple, I'identitC Xi-x;=o
donne (,/-u)(,;r-6)(/,
-c)=(.f-
c) ( g - 6 ) ( h
-n),
et, par suite, c o ~ ~ ~g-m e6 n'est pas identiquement nul, f = 11. Cela post?, on examine les cas d e decomposition suivants : a. Un seul groupe comprenant les six fonctions; Deux groupes d e trois fonctions :
9.
-y. Un groupe de d e u s fonctiol~se t un groupe de quatre; d'apres une remarque precedente, il est inutile d'envisagcr le cas ou les indices inft?l-ieurs des deux fonctions du premier groope sont differents. On examinera donc seulement le cas suivant :
8. Trois groupes d e deux fonctions; mais il est inutile d'envisager ce cas, puisque, dans I'un au moins dcs trois groupes, les d e u x fonctions ont des indices inferieurs dill'erents. Si, dans chacun d e s cas a, P I , P3 e t y, on ecrit q u e le rapport d e deux fonctions d'un m6me groupe n'a pas d e singularite a I'infini, on trouve q u e deux des trois f o n c t ~ o n sf , g,h sont identiques, en vertu d e la remarque relative aux rapports anharmoniques. D'ou le
S U R LES S Y S T ~ M E SU E FONCTIONS HOLOMOKPHES, ETC.
83
T H E O R ~IX ME (' ). - I1 existe air plus DEUX fonctions, meromorphes au voisinage du point singulier essentiel d l'infini, pour lesquelles E ( a ) , E(b), E(c) cozncident respectivemnt, au voisinage de l ' i n j n i , avec TRON enscnlbles donnks A , B , C .
57. Ce theori:me entraine le suivant
:
THEOREME IX bis. - I1 existe au plus deux fonctions mkromorphes duns tout le plan, non ~.utionnelles,pour lesquelles E(a), E ( b ) , E ( c ) coincident au sens large avec trois ensembles d o n n b A , B , C. J,e thborhme subsiste a fortiori si I'on supprime les mots au sens large )I. En particulier, il existe au plus deux fonctions, meromorphes dans tout le plan, ayant un nombre fini d e zeros et de pbles ( a ) , et pour lesquelles E ( I ) co'incide au sens large avec un ensemble donne. Or, s'il en existe une, soit f ( x ) , il en existe une autre, I -. Donc la con-
f (x)
naissance de l'e~lsembleE ( I ) determine leszeros it les pbles, qui sont d'ailleurs interchangeables. D'ailleurs, si f ( x ) a au moins un zero ou un polc, les zeros de f ( x ) et -5-
ne coincident pas. D'oh le
f (x)
T H E O R ~X. ME - I1 existe an plus une fonction f ( x ) , mt~omorphedans tolzt le plan, udmettant a11 sens large un ensemble E ( I ) donnt, ayant u n nombre Jini depdles, et de.r zr'ros donnbs en nombre Jni, pourvu qu'elle possi.de nu rnoins un zbn ou u n polle. Dans le cas d'une fonction f ( x ) n'ayant ni pbles ni zeros, il existe une fonction el une seule, admettant le meme ensemble E ( I ) q u e f (x), et n'ayant ni pbles, ni zeros : c'est L. Nous retrouvons la un theo-
f (x,
( 1 ) I,orsql~ej'ai p11bliC ce tlbkor&me daos Ics C o n ~ p t e srendus, deux cas particuliers en avaient seulenlent 6tC envisayCs jusqne-lh : le cds cles fonctions entikres admettant dens vnleurs exceptionnelles (P6lya e t Nevanlinna), e t le cas des fonctions entikres d'ordre f ni non entier [F, b , p. 3871. R. Nevanlinn;~a publiC ensuite ce mdme th6orkme dans les Contptes rendus, t. 18G, 1928, p. 289. ( 2 ) Les ~61.1)~ et Ics pbles ne sont pas donnCs.
84
HENRI CARTAN.
reme dil G. POlya (') dans le cas des fonctions entikres de genre fini, et etendu par R. Nevanlinna [ F , b , p. 3881 aux fonctions entiPrrs de genre quelconque. D'aprbs ces deux auteurs, le theortme est vrai meme si I'on fait abstraction des o r d r ~ de s rriultiplicite des racines de
Nous venons de supposer, pour simplifier, a = o, b = m, c = I ; i l va sans dire que I'on passe de ce cas au cas general par une transformation homographique.
T H E O R ~XI M(2). E - &ant donne's tmis ensembles A, B , C quelconques, il n'existe pas, en gknkrol, de fonction mL:l*omorphedans tout /e plon, pour laquelle E ( a ) , E ( b ) , E ( c ) coi'ncident respectivenzent avec A, B , C . Nous sllons m&me montrer davantage : il n'existe pas, en gentral, de fonction pour laquelle, E ( a ) coi'ncidant avec A, E ( b ) et E ( c ) colncident au sens large avec B et C. Bn effet, en vertrl d u theorkme IX bis, il existe au plus deux fonctions pour lesquelles E(a), E(b), E(c) corncident au sens large avec A, B, C ; soient K , ( ( I ) ct E , ( a ) les ensembles E(a) relatifs h ces fonctions, si elles existent. Prenons alors un ensemble quelconque A', distinct de E , ( a ) et E , ( a ) , et assujetti a co'incider au sens large avec A. I1 n'existe aucune fonction pour laquelle, E(ci) co'incidant avec A', E(b) et E(c) colncidel~tau sens large avec B et C. En particulier, il n'existe pas en ge'ne'ral dc fonction me'romorphe dans tout le plan, uyant des ztros et des pdles en nombre $ni, et admetrant un ensemble E ( I )donne'. Hevenons au theoreme IX. S'il existe deux fonctions f ( x ) el g ( x ) , merornorphes au voisinage du point a I'infini, et prenant ensemble trois valeurs au voisinage tle I'infini, o, I e t a : par excmple, or1 peut ecrire
( I ) G. Polya (Deutsche ~ u t h Ver., . t. 33, 1913. p. 16) enoncc ce tl~Sol.i.mcsou., la forrne suivante : ,Fi les points ou d e u z p o l y n o n ~ e sprenne~zt tlcs vccleurs e r ~ f i e ~ . e s coincident, leur sornnze ou leur diference est constante. ( 2 ) I1 est h peine besoin de rappeler qu'on peut toujours construire une fonction, mCrornorpl~edans t o u t le plan, adrnettant deux ensembles E ( u ) e t I':(6) ~ O ~ I I C SJ,L~I. , exelnple a d m e t t a n t des zeros c t des p&les d0nni.s.
S U R 1,ES SYSTEMES D E FORCTIONS HOLOIIIOIIPl1ES,
ETC.
d'ou I'on tire 1
U el V Ctant tles fonctions holo~norphes,sans zeros, au voisinage du point a l'infini. Rdciproquernent, U et V etant deux telles fonctions, les formules (40) definissent deux fonctions f ct g prenant ensemble les valeurs o, I et rr, au voisinage de I'infini. En particulier, les deux fonctions
sont rnerornorphes dans Lou1 le plan, poss6dent les rnernes ensembles E(o), E ( I ) et E(m), et n'admcttcnz d'uillclal nucune vnlerlr excep~lonnelle( ' ).
58. Constderons rnaintenant quatre fonctions f , , f,, g , , g2,mdrornorphes au voisinage d u point b I'infini suppose singulier essentiel; admettons qu'au voisinage d e I'infini, ce,s cjuatre fonctions prennent ensemble deux valeurs finies n e t 6 , q u e J', et f?prennent ensemble la valeur c, et q u e g , et g2 prennent ensemble la valeur c. Nous pouvons supposer c infini. On est alors ramene ij I'ktude de I'identite h huit t e r ~ n c s
Le rapport d e deux terrnes quelconrjues est ho1ornorl)lie ct ne s'annule pas au voisinage de I'infini. Les cas de deco~npositiona examiner sont trhs nombreux; dans la plupart d'entre e u x , on trouve que d e u s des quatre fonctions sont identiques, mais il y a egalement des cas assez nombreux ou' il n'en est rien. Les hypotheses precedentes etant maintenues, supposons en outre ( I ) Au contraire, nous ;rvons v t r que deux fonctio~rsqui prenncnt c*n>rt~il,lr~ qunlre vale[irs posskdent n6ces~~1irernent deux v;~leursexccption~u*llccithcore~rreVI11).
86
HENRI CARTAN.
que les fonctions f , , f,, g,, g , prennent une infinite de fois chacune des valeurs a et b. Dans ces conditions, il suffit que e s o i t rigulier f2-
a
I'infini, pour que f , et f, soient identiques; en effet, f , prenant une infinite de fois lavaleur b, Ff,a - a prend une infinite de fois la valeur en, e t par suite est identique a un. c. 0 . t'. D. Cette remarque facilite I'examen de tous les cas dc decomposition, et I'on arrive la conclusion suivante : deux des fonctions f ,, f,, g,, g, sont identiques, sauf dans le cas oh I'on a
ce qui entraine inversement
Remarquons d'ailleurs que si I'on a deux fonctions g , et g,, prenant ensemble les valeurs a , b et cc, les formules ( 4 2 ) definissent deux fonctions f , et f,, prenant ensemble les valeprs a , b et cc; de plus les quatre fonctions f , , f,, g,, g, prennent ensemble l e valeurs ~ a et b.
59. L'etude precedente conduit au theoreme suivant : T H E O R ~X11. M E - a et b designant deux nombres complexes Jinis et distincts, comidkrons la f amille de toutes les f onctions mkromorphes a u voisinage dn point a I'inJni, et admettant, a u voisinage de l'inJni, deux ensembles E ( a ) et E(b) donnks, dont chacun contient une injinrte de points. Etant donne rln ensemble M quelconque de points, il existe au plrls UNE Jbnction de la famille pour laquelle E(cc) coi'ncide avec M au s~oisinagede I'infini, sarlf perlt-&tre pour DEUX ensembles exceptionnelr (') R I , et M,, pour chacun desqrrels il existe derlxfonctions; en outre, s'il y a un en.remble exceptionnel, il y cn a dcus. Supposons, en effet, qu'il existe u n ensemble exceptionnel M i , et ( 1 ) Noi~sne considdrons pas comrne distincts deux ensembles qui coincident au voisinage de I'infini.
snient g, et g, les deux fonctions d e la famille pour lesquelles E(m) colncide avec M I ; nous savons, d'aprbs le theorbme IX, qu'il n'existe pas plus d e deux telles I'onctions. Les formules (42) nous font alors connaitre deux fonctions f , et.f, dc la famille, qui admettent u n meme e n s e n ~ b l eE(cc), soit M,; c'est un second ensemble exceptionnel. 11 n'y en a pas d'autre. Soient en effet M, u n ensemble exceptionnel, hi et h, les fonctions correspondan tes ; si M, ne coi'ncide pas avec M,, les fonctions g l , g,, h , , h, son1 dislinctes, e t l'on a alors, d'aprits I'etude precedente,
et, par suite, h , =f , , h, =f,. Donc, si M, ne coi'ncide pas avec M,, il colncide avec M,. L e theorbme XI1 est compl&tement demontre. Nous avons admis, il est vrai, q u e lesensembles MI e t Ma ne coi'ncidaient pas au voisinage de I'infini; pour s'en assurer, il suffit d e verifier ( I ,) q u e chacune des fonctions f , et J;, definies par les formules ( r l z ) , est distincte de chacune des fonctions g , et g,. Par e x e ~ n p l e on , ne petit pas avoir f ,=g, ; on aurait alors en effet
c'cst impossible, puisque g , et 3, prennent ensemble la valeur a, et la prennant effeclivemcnt. (iU. Appliqr~onsle theorbme SII au cas des fonctions m6romorphes dans tout le plan; nous 3 avions suppost. n et b finis et c inlini; nous allons, cettc fois, pour rcndrc le 1hi.orbme plus frappant, supposer II = 0 , O = cc,C = I . NOUSobtenons alors le Ttidolitnl~111 6is. - Consinc'r.ons [a .fclmi[le de toutes les .fonctions mimnzo~phesd0n.r tolit lcpk/~n, ponr. ksquelks E ( o ) rl E(m) coi'ncident nn senr 111'ge n t ~ c/ / t u x ensembles inJinis h n n k s (' ). ~ t c l n donne t un ( 1 ) Ccl;~s ~ ~ f f i car? t , si Ics qllatrc i o n c t i ~ ~ f,, n s f i , ;I, g2sont distinctes, comme elles ; ~ r l ~ ~ ~ c t t c(I't~ntrc n t . , part, Ics I I ~ ~ I rnsernblr.~ I I ~ ~ E ( n )e t E ( 6 ) , elles ne peuvent admettre I U , I I P S le I I I C I I I(~~ n s e n ~ bE(mj. lc 4.n \,I-rtu1111 t h i o r & ~ n cIX. (r) Cci fo~~rtion 3ont s de la for~lrcp ( ~ ) R ( x ) e " ' ~cpetant ), une fnnctiol~miromorphe
88
HENRI CARTAN.
ensemble M quelconque, il existe all plus une fonction de la f nmille pour laquelle E ( I ) cohci(le nvec M all spns large, sauf peut-&tre por~rderlx ensembles exceptionnels ((' M, et kl,,pour chacun desquels il existe deux fonctions; en outre, s'il y a u n ensemble exceptionnel, il y en a d e i ~ x .
Enfin, on peut reprendre 1'8tude d e I'identite ( 4 1 )dans ~ le cas ou les fonctions f , , f ? , g,, g , d u pamgraphe 58 sont rneron~orphesdans tout le plan. Wais, au lieu de sllpposer que ces fonctions prenncnt une infinite de fois chacune des valeurs n et b , il suffit de supposer qu'elles l-a et 6 . Si alors f.fz est constant, on en conclut f , f,, ~et la demonstration s'achbvc comme precedemment. On a donc le theoremc syivant :
prennent au rnoins une fois chacune des valeurs
(1
TH~OREIE XI1 ter.. - Considirons lu famille de toutes les fonctions me'romorphes duns tout le plan, r~dmettantdes ziros et des pdles donnb, et admettant nu rnoins rln =Pro et nu nzoins u n pdlf . Btnnt donnC nn ensemble hl qrlelconqr~e,il cxistc nu plrls rlne (') jonction rle la filmille ponr laquclle E( I ) coiizcide nclec M , sunf pec~t-&reponr deux fnsernbles exceptionnels M , et .\I,, pout. clhucun dr.rqiie1.r il existe deux fonctions : s'il y a u n ensemble exccptionncl, il y en a deux. Nous pouvons ajouter ici : I'orll rlne rlistl.ihrltion donnt;,~dc zPt.os el de pdles, il n'cxiste pas, en g i n i m l , rl'c~n.rcmbleezccptionncl. En effct, il n'en existe pas lorsque les zeros et les pbles donnbs sont en nombre fini, en vertu du theorbme S . Laissons d e a8t6 Ic cas ou i l y aurait un nombre fini dc pijles c t une infinite dc zibros, par exemple, et venons au cas oh les p d e s , ainsi que les zeros, sont cn nombre infini. Designons par A I'ensemble des poles, par R I'ensemble des zeros. En vertu d u theorenle XI1 bis, i l existc au plrls deux couples de fonctions, j',e t f 2 , gl et g,, pour lesquellcs E ( m ) e t E(o) co'incident nu sen.$I(ct.ge avec A e t B, et telles, en outre, q u c les ensembles E ( I ) relatit's iJ', e t ij? coincident au sens large, c t clue les ensembles Ejr) donnee, qui admet des zi1.03 et tles pBlcs 1-1) nombrc infini. K(x) une f o n c t i ~ 1.11ion)~~ nelle arbitrairc, c t G ( . c ) unc fonctiol~t.ntit.rc arbitrai1.e ( 1 ) DCfinis chacun h un no~rrllrelini de points p r i s . ( 3 ) Et, en general, il n'en cxiste pas, en vertu ~ I thkoremc I XI.
relatifs B g, e t g, coincident au sens large. Prenons alors deux ensembles A' r l B' qurlconques, colncidant au sens large avec A et B, et tels que I'ensemble A' ne soit idenlique a aucun des quatre ensembles E(cc) relatifs a chacune des quatre fonctions f , , f2,g,, g,. 11 est clair quc, si I'on considbre maintenant la f'amille dcs fonctions ayant pour pi)les les poinls de A', et pour z6ros les points de B', il n'y a pas d'ensealble E ( I ) exceptionncl pour cette famille.
61. Nous allons eludier maintenant un 1)robllhme d'un genre nouveau, relatif non plus i un systPme de fonctions prenant rxnsernble certaines valeurs, mais une l'an~illeinfinie de tels systernes. Au lieu d'avoir h considerer u n e seule identile de Borpl, nous aurons h (ln considercr trne infinite, et nous leur appliquerons le crittre de fan~ille complexc normalo clu Chapitre 111. Bornons-nous, pour rester dalls le cas simple d'une identiti: a quatre termes. au probleme suivant : Troucer L I I ~criti're de f u/nille complexe nor./rt(r/ep o w r~nef amille de s.ysti,mes de drux fonctions p ( x ) et $ ( x ) , Irolorno~pl/~s d a n ~rrn dolnuine D, n'y prenunt pas la valeur zPi.o, et y prrnunt ensemble 1 1 vc~leul.un.
Posons 'P-l
4T -;
=A;
iL est une fonction holornorplre, sans zkros, et n a ~ avous ~s I'iclentitC:
i laquelle nous appliquons le theoritme VI. 11 suffit d'envisager tolites les circonsl:tnces prevucs dans 1'6nooce tle ce thborbtne; nous n'indiquernns pas le detail. de celle discussion; rlous en avons deja fait tle scnlblablcs ( I ) . On Obouvele theoreme S U ~ V R :I ~ ~ THEORI:NE XJII. - ktc~lztdonne'o une fnmille ( / P .yyrlPmps dv (/(,11.la fonctions q ( x ) 1'1 +(.c), hokomorpJ2e.1,suns ;c;ros, elplu,nnnt c,n.trrnble / / I
90
H E N R l CARTAN.
ualeur u n , on peut en extraire rrne suite injinie de !,ystkmes, pour laquelle se trouve rkaliske l'une ties cir~constnncessr~ivantes: IO
y et $ conoergent au sens large : ri-I
? - I convergrnt very z b n . - rt 1(1circonstoncr et $ onalog~rr,ohtenue en permutant p et +;
2" p ) - I ,
+
+-I
3" et
4" q$
convergent vers un ; +-I
- I,
-
r+-I
et
+-I
conv(,rgent vrrr zkro.
(i2. Le theorkme precbdent permet de demontrer le
THEORBME XIV. -- Soient t k u x fonctions f ( x ) et g ( x ) , ltolomorppher et sans ;Pros (111 ooisinage du point d l'inlini, supposC singulier r.s.~entiel. Si l'on peut trouver une suite injinie de couronnes circuluires C,,, hornothktiques entre elZ(~set s'tloignant li l'~n/ini,de.facon que, dans cllacune d'ell(,.s, les .fonctions f el g yrennent ens(~mhlela vcllcur un, on (I nrkessnirernent f(x)= g(x) ou f ( 2 )r l . ~ ( 2 )
Indiquons sommairement la demonstration. Considbrons la couronne C,, comme iransformee d'une couronne fixe C, par une substitution lineaire x' = S , , ( x ) . Envisageons alors, dans la couronne C,,, la famille des fonctions
e t appliquons-leur le theorkme XllI. Le cas car l'une des fonctions f
( 2 )et
'
I"
ne peut se presenter,
serait bornee s u r une infinite de
f (x)
circonferences s'eloignant h I'infini, donc serait constante. De.m$me, le cas 2" ne ,peut se presenter, car f ou g serait identique (In. Dans le cas 3'>,on a necessairement f j x ) = g ( x ) . Dans le c:~s4" enfin, on a f ( x ) g ( x )=I . L e theorbme est demontre. I1 complkte le theorkme de G . Pblya e t R. Nevanlinna deja citk (Sj 57).
S U I ~ LES S Y S T ~ M E SnE FONCTIONS HOLOMORPHES,
ETC.
9'
t i l . 011pel11 encore le completer de la taron suivante :
THEOREME XV. - Soienl deux fonctions distinctes f ( x ) et g ( x ) , holomotphes et sans zkr-os a11 uoisinage du point sr'nguliet. essentiel ir l'inj'ni. Sccpposon.v j'(.I,) g ( x )$ I .
,
Soit alors uric. suite urbitraire de nornbres co~rtp lexes 5,,o, . . ., G,,, . . . gui tendent vers I'inJini. ktc~ntd o n n k ~une cit-conference r nyunt .son centre tl l'origine ot u n rayon arbiltnirc., i1 cxiste 11npoint z o sur celte circonfkrence, et une suite injinie c L , ,ok,, . . . , CI,, , . . . extraice de Lu suite yrkcedente, qui jouissent de La pt-oprie'tk srri(-nntc: C disignc~ntun cercle dc centre z,, et tte ruyon arbit~.airernentyeti(, el C,,, C,,, . . ., Ck,,, . . . dksignant Les cc.rcles hotr~olhttiquesde C par rapport ci L'origine, duns Les rapports re spec ti':^ c,,, G,,, . . . , c,,,, ..., . " . f-1 . ,
92
H.
C.\RTAN.
-
SUR 1.KS SYSTEWES DE FOSCTIONS
IIOCOMORPHES,
E'l'(:.
Par consequent, il existe s u r I' un point;,, qui jouit de la propriete suivantp : etant donne un cercle C quelconque, d r centrc z,, on peut trouver une suite infinie oymtelle que, dans chacun des crrcles C , , , la fonction
fz ait ao rnuins un "- I
sCn, eu un pblc. Prenons alors an(.
suite infinie de cercles, de centre ;,, dont les rayons tendent vcrs zkro ; pour chacun d'eux nous avons une suite ol,,,. La suite diagonale fournit la suite 4- de I'enonc6, et le theorerne est dernontrk.
Vu e t approur~!: I'aris, le 3 oclobrc rgv.8.
V M et permis d'imprimer : Paris, le 3 octobre 1928.
LE RECTRURDE L ' A C A D ~ BI)H I K I'AHIS, S.
CHARLETY.
4.
Un nouveau thbrkme d'unicitk relatif aux fonctions mkromorphes Comptes Rendus del'Academie des Sciences de Paris, 188,301-303 (1929)
I . Soierlt f ( x ) et g ( x ) deux forlctiorls de la variable cornplexe z, meren~orphesau voisinage d'rin point singulier essentiel isole, que nous s u p p o s e rolls a I'infini. Convenons de dire que ces fonctions prennent ensemble la v&ur (1 ( n pel~t6t1.e infir~i),s'il existe l r r r cercle a l'exterieur duquel les ~~uatio~ls
adrneltenl les 1116rrlt!s racirws. 11 se polrrra, ee particulier, qu'elles rl'ad[nettent a11t:llne racinc~all voisinage d r I'infini; la valrrrr n sera dite alors e~ce~tiorlnelle. Si I'on suppose c:n outre que les ordres de mr1ltil)licit6des racines sont les rnknles dans les d e l ~ vPqllations ( i ) , or1 sait alors q~i'ilne peut exister plus tle d e ~ l xfonctions prerrant enspmt)lc lrnis valeurs distinctes. $i l'oo fait abstraction des ordres de multiplicitt; des racines des equalio~ts( I ) , on sait se~llerntbnt(Nevanlinna) que deux fonctions qui prennent c!ltseIrlhlch cinq valeurs sont rlCcessairerncrlt ident,iques, mais jusqu'ici on Il'avait, PII ahaisst:r c r ~lomhrt.de cinq ~ I I ( :dans d r s cas particuliers, comme le srlivarlt (Yevanlinrla) : si dt
I I. I ,e but tlr c-rtte Note est d'indiq~trrIt. thSo~.irrlrsuivant . b'ir~drcltigkeitss/it~e in der Thcorie der 1 ! Voir N B V A N L I N N A 1:'ir~ige Funktionen ( . . i r t a ntafh.emalica. 'c8. 1926, p. 367-391). Voir aussi le ma
These
: .Sur Ips s).st6rrtesdr.fort.rtions Irolomorph~s.rtr.. (,4rtn. d~
3e serie, $5. 19f28.p. 9,55-:1(6) .
rnemmorp&wt Chapitre V de
!'LC.Norm. sup.,
Il ne peut exister plus de deux fonctiom prenant ensemble quatre valeurs distinctes, mPme s i l'on -fait abstraction des ordres de multiplicite. Voici les grandes lignes de la dCmonstration. Supposons qu'il existe trois fonctions distinctes f ( x ) , g(x)et h(x), prenant enserrlble quatre valeurs a , b, c, d. Reprenons les notations du. MCmoire cite ( I ) ; d'aprds M. Nevan-
lim
( 2 )
r=.
N ( r , a )+R ( r , 6 )+s ( r , c ) +N ( r , d ) =a, T ( r .f )
6 condition d'exclure das valeurs cte r qui remplissent des intervalles I dont la longueur totale est finie. O r , la fonction
f"
h'
h'
a
h-a
admet comme zeros les zeros de f - u , et comrne zeros doubles les zeros de f - b, f - c et J'- d. D'ailleurs, si ['on n'a pas d1identit6 de la forme
A, p, v etant
des constantes dont aucurre rl'est nulle, la fonction g, n'est pas identiquement nulle, et 1'011 a donc
(4)
-
N ( r , a ) + a [ % ( r .6 ) + E ( r .
c.)
+ E ( r , d ) ]< ' l ' ( r . , y ) + O ( l o g r )
O n voit sans peine que (5)
' r ( r , cp)
< 3'r(r, f ) + 0 ( l o g r r ( rf, ) ] + O ( l o g r ) .
Si l'on revient a ( 2 ) en tenant compte tle (4) et ( 5 ), on trcnlv~que
en excluant toujours les intervalles 1. En cornparant de nouveau avec (2), on voit que, pour deux au moins des valeurs a , b , c, d, on doit avoir une identit6 de la forme (3), et l'on peut montrer, d'autre part, que cette dernikre Cventualite est impossible, ce qui Ctablit le thCor6me. 3. 11 resterait a savoir dans quels cas il peut eirectivement exister deux fonctions qui prennent ensemble quatre valeurs. Pour terminer, montrons sur un exenlple qu'il exister q~lc~tre fo~~c-
( 3 ) r.lons prenanl ensenlble trots valeurs, si l'on fait abstraction des ordres de multiplicit6. En effet, J d6s1gnant une fonction p i s la valeur
.
7f - I , IPS qnatre fonctions f , Tr, I' et (f+ I)'
phes et prennent elisemble les valeurs zdro et un. Peut-il e x i s ~ e rplus dc quatre follctions prenant ensernble trois valeurs, ou m&rr~e une illfirli~C?C'est la 1111 prohl&meintkressant.
Sur la croissance des fonctions mkromorphes d'une ou plusieurs variables complexes Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris 188, 1374-1376 (1929)
1. La lecture &une Note de M. A. Bloch ( 2 ) m'a suggCrC une nouvellc dL'finition de la fonction de croissance T ( r , f ) de M M . Nevanlinnn, attachCe A une fonction mCromorphe f (x) de la variable complexe x : Mettons f ( x ) sous la forme g*),
h .( x.)
g et ir itant holomorphes et sans nkros
commum; soit U ( x ) la plus grande des quantitis log I g ( x ) 1 et log 1 h ( x ) I. On a
en supposant, pour simplifier, h(o) # o. Si f ( x ) est une fonction entihe, on peut prendre
l'on retrouve la ddfinition classique de m ( r , f ) . Cette dkfinition peut permettre de simplifier des dtmonstrations antirieures. 2. Passons i une fonction de plusieurs variables complexes; raisonnons sur deux variables x et y. Mettons, avec Poincart et M. Cousin, f (x, y) sous la forme du quotient de deux fonctions enti6res ne s'annulant ensevhle qu'en des points isoles : et
et soit U(x, y) la plus grande des quantilks log I g(x, y ) 1 et log 1 h ( x , y) 1. Notre fonction de croissance sera ( 3 )
(1) Seance d u a2 mai lgag. (') Comptes rendur, 181, 1925, p. 276. ( 3 )
Cette definition concorde avec celle de M. A. RLOCR(loc. cil.).
C'est une fonction continue des variables positives r , et r , . 3. Propriktt fondamentale. - Posons
alors le point de l'espace de coordonnLes El , 5,, T (5, , 5,) dtcrit une surface S conoexe ( I ) (au sens large). Nous allons montrer, en effet, que les sections par les plans i,=aE,+
P,
ou a est rationnel, positif ou nCgatif, et quelconque, sont des courbes convexes; la continuit6 de la surface S entrainera alors sa convexit6. Dkmonstration. - m et p Ctant deux entiers premiers entre eux, positifs ou negatifs, il existe deux entiers a et b tels que
Effectuons le changement de variables 8, = 6u
+ rnv.
I1 vient
Posons, A et nombre positif,
I3 Ctant cfeux constantes positives quelconques et p un r, = Aprl,
r 2 = Bpm.
La quantitC entre accolades est Cgale, i T(p, F), en posant I:(
5
)
une constante additive prks ('),
=j'(.\e'nu;~, Belbll
);
~ 1 "
c'est donc une fonction convexe de logp. Donc T(Apn', Bpp) est convexe en logp ; d'ou la propriCt6 annoncCe. 4. Une Pltude plus approfondie des sections planes de la surface S est facile et digne dlinter&t. Indiqr~ons seulement 1'inCgalitC fondamentale suivante, qui rCsulte de la convexit6 : a p, et p, positifs quelconques corres( I ) &I. VALIRON avait dGjh i n d i q u i une propribte semblable pour la fonction M(rl,r,) ( B u l l . Sc. math., ze skrie, 57, 1923, p . I 7 7 ) . ( ' ) I1 pourrait aussi y avoir un terme en l o g p , dli aux zeros communs a g(x,y ) et h(.z, ,Y):rnais cela ne change rien a la couvexite en logp.
ap la x ap sa1IauuoyeJ suo!l~xojsal as!~?lae~e:, luawama!~?dnss?u~oqluos ( e d ' t d ) E 3 la ( = d ' t d ) t 3 qo sea a? -sj!l!sod EJ la 'J lua!os anb s~anb
l!e u o , ~anb slal
'(ed
' t d ) E 3
a , €
la ( z d " d ) t 3
sj!l!sod SaJqurou xnap luapuod
'S33N313S S3a 3Ih!$(lV3V
941
Sur la fonction de croissance attachke a une fonction mkomorphe de deux variables et ses applications aux fonctions mkromorphes d'une variable Comptes Rendus del'Academie des Sciences de Paris 189,521-523 (1929)
i . La-fonction f(x, y ) &ant supposCe m4romorphe dans Ic domaine
on peut la mettre sous la forme
g et h Ctant holomorphes dans ce domaine, et ne s'annulant ensemble qu'en des points isolCs. La definition, que j'ai donnCe dans une Note prCcCderlte ('), de la fonction de croissance T ( I . , , r, ;f ) est Cquivalente a la dCfinition donnCe par M. A. Bloch (,) : T i r , , r 2 ; f ) = ~ n ( r rj 2, ; f ) + V r i .I - ? ;
f),
en posan t log 1 f ~
(1)
(
r
~
~
r
~
;
On a supposC rl< Hi,
f
(I.,
d", r?
~'92)
1 d9, clop,
)log=I h (&r ,eio*, 6 rzel") ~ ~ 1 (15, ~ do,.~ ~ log ( J L ( o : r.,< H,,
0)
1.
h(o, o )j o.
2. N(r,, r,; f ) est une quantite attachhe aux inf nis de f , ou encore aux zeros de h, situCs dans le domaine D(I., , r,),
En effet, cette quantitC ne change pas si I'on multlplie h ( x , y ) par une fonction holomorphe qui ne s'annule pas dans D ( r , , I., j. O n peut montrer quc N (r, , r, ; f)est une q u a n ~ i t cessentiell~men~ positit., 01, nulle, nulle dans le cas oli h(x, y ) ne s'annulepas dans D ( r , ,r,), c8tcIans ce cas serllement. Enfin, ( ' ) Contptes rendus, 188, l g q , p. 1 3 ~ 4 , (2)
Comptes rendus, 181, 1925, p. 276.
522
A C A D ~ M I E DES SCIENCES.
le point de l'espace de coo~.do~tnr;es dkcrit une surface convexr.. 3. O n peut, dans la for~nule(I), eff'ectuer successivement les integrations par rapport h 0 , et 0,. O n trouve ainsi
et, en permutant l'ordre des integrations,
Dans ces relations, l'expl*ession
dCsigne la somme
Ctcndlie B toutes les r a c i ~ ~ y e s= .r,;, de modules inferieurs h I.,, de 1'Cquation 11(4)y)=o.
chacune dlellesCtant comptee autant de fois que l'exige son ordre de multiplicite. L'expression ( 2 ) nP fitit irlt(,rv(*nir(/UP les z.c:ros cle h ( x , y) rrpprolcnant ri l'ilne ou l'nutre dcs rlerlx vrrri(;t(;.r
En particulier, si h ( x , y) 12c s'nnrtuk. srlr aucrrnrs de re.\ derlx variilt:.s, alors N ( r ,, r, ; f ) est nul, tlt par suite II(x, y ) rzc s ' a n n u l ~pas dun.\ D ( r , , rr ). 4. Soient maintenant ./(.r)une fonction d'une variable, mCrornorplie
(7
(') (:ette propriPt6 r i s ~ l l t r~ i ' ; ~ i l l rd~' ~ c ~~ntlrl:o~.G~~~r ..; tlr hl. IIARTOGS. / < i r ~ i , qFolge~ rcrngen a7c.s der Cacrclc.y'scl~rr~ In/rgr/rlfornte/ (Miir~r.1~. S i t z g s b . , :1G. of, p. 2 . 2 3 ) .
5,23 pour 1x1 R , r un nombre positif infkrieur a R , p un nombre positif. On peut appliquer les formules ( 2 ) et ( 3 ) au calcul d e N , puis SBANCE
<
DU
7
OCTOBRE
1929.
I
Cgaler les deux expressions trouvkes. On obtient la relation fondamentub
Dans ces formules, N ( r ; a ) dCsigne, suivant l'usage, la somme
Ctendue aux zkros ( I ) de f(x)- rr, de modules inferieurs T
(
r
;
)
4 I-,
et l'on a posC
l r e P' d ~ + h . ( r m). ;
( I ) Chaclcir zi-ro esl conlptt! a \ r c soil oldre de n r ~ ~ l t i p l i c i t N t . ( r ; oo) designe la q ~ ~ a n t i landlogr~e i: k Y ( r ; ( 1 ) . al~achPeau\ p61e* tle f(x).
Sur la dbrivbe par rapport a log r de la fonction de croissance T(r;f) Comptes Rendus de 1'AcadCmie des Sciences de Paris 189,625-627 (1929)
1. Soit f(z) une fonction de la variable cornplexe x, rnero~norphe pour ) x l < R . Dans une Note rCceiite ( ' j, j'ai indiqui: la r e l a ~ i o( ?~) ~
d'ou, en particulier, pour p = I ,
(1) Comptes rendus. 189, 19-29, y . 5 2 1 . J e conserve les i~otationsde cette Note. Page 52a de cette Nete, ligne 15, au lieu rle h ( 0 , y ) = o , lire h ( a ,J J ) =o. ( ? ) Paragraph? 4, relation (4).
ACADEMIE DES SCIENCES.
626
Designons, suivant l'usage, par n(r; a) le nornbre des zC1.o~(' ) de J'(.T) -o , dont le module est infkrieur k r . 011sait que rj
La relation
( 2 ) montre
CL) ( r : I / ' I E 11Nir; .
~(IoQ")
clue T ( r ; f ) posskde unr dericvee, el ('on a
t(r; f ) est line fomtion positivr, continue et non d6croissante de I.. 2. ConsidCrons, dans le plan de la variable colnp1rxe.y. le domaii~eriemannien D ( r ) engendre par y =f ( x )pour I.r.Iir. A1)pelons fonctio?? d r wcoilvrement d'une circo?afk?ance C du plan y, le quotient, par la longueur de C, de la somme des longueurs des arcs de C recouverts par D(I.), chacrln d'eux Ctant comptC n fois s'il est reconve1.t par rt feuillets de D ( r ) . De la relation (3) resulte le t h e o r h e suivant : T H E O RI.~ M -ELa fonction de reconvrement de In circor~f'Prence1 y = r n'est outre que t ( r ; f ) . Pills generalement, 7a fonctiorc de reconctlv?nPntde /(I circonfkrence ly -.yo
1 = p est @galeO t (r ; k
y 2 P )
.
3. Designons maintenan1 par A I'uu quelco~rquedes dornaines suivants dans le plan y : r o llintCrieur d'un cc~rcle;20 l'aire comprise entre deux circonferences concentric~ues;3' 1'extPlrieilr d'un cercle; 4')le plan tout entier. Soit do ( y ) 1'ClCment d'aire de ce domaine, l'aire Ctant coiltpLCe SUI- la sphkre de R i e n l a n ~dans ~ les deux derniers cas: soit S l'aire totale de 1. Soit eniir~
En ~itilisantles r.elations ( I ) et
('I)
\LJ(I.:
(2),
on tl-olive aiskmertt ( ')
f)-T(r; j ) l < K .
K ne dependant qlie du do~llairle1 et de J'(o), ~ ~ u l l e m e nde t r. D'aild u ( r ;)' est egale h la fundion de recoeorrm(lnt fh /'nire dn abrnoine A, leurs d(logr) fonction dont la definitior~est analogucl a cellc dorlnee arl pa~~agrat)l~c\ 2.
Chaqur. zero est C O I I I ~;loran1 ~ ~ {le I'oi. q n t b L'e\i,gr SOII or.c(l.e tle ~~~r~ltiplicite. M. Smmrzu [ OILtke tl~eoryqf rt~eromorphicfirttctions ( J o p . Jortrr~trlofiMrrtlt.. 0, 1929, [I. H ~ ) - I ~~ Ia ) i]dGk t ia~nblicr I.+SIII~:I~. par unr n ~ d l l ~ , > t ltliH't;rr~r~r, t, el sru(')
(2)
Iement dans I r c : ~ soil A
est
le ~ I : I I I L O U I ~ I I I ~ C I . .
S ~ A N C ED U
21
6 27
OCTOBHE 1929.
4. Sul)l~osonsmaintenant f(x) rnkromoqhe duns tout le plan, et non mtionnelle. Alors t(r; f), et, d'une facon gCnCrale, toute fonction de I-ecouvrernent, augrnente indkfiniment avec r. A I'aide de (4) et de
H Ctant independant dc r, on demontre : THEOREYE 11. - 11, (I*)et u2(r) designant cteux qrr/~lconq~ies drs Jonciions c i c j
wcolicl,wnent (envisagees aux paragraphvs 2 et
:j),
on
(1,
pour tout a
> 1,
et your toiit r rxterieur a des intervalles duns lesquels la variation totalc de logr est j n i e ( ' ;), \ u , ( f , )~
--~2(r)l<[~,~r)lz;
au.r infercvollesprPccic/ents. 5. c t a n t donnee une courbe fermPe forrn6e d'un l~olribrefini d'arcs a~ialytiques, ou nn dornail~econnexe limit6 par un l~onlbrefini de telles courbes, on peut ellcore clClinir une fonctio~ide rcscouvrernent, h laquellc s'applique encore Ie theorhme 11 dans le cas ou /'(x)est rnkromorph'e dans tout le plan. Pour une courbe fermCe I', on prendra le quotient par a n de la sornme des pseudo-longueurs des arcs dk I? r-ecouverts par D ( r ) ; la pseudo-1011gueur esl, par dkfinition, la longueur de I'arc de ( y I = I qui correspond a I'arc envisage de I', dans une certaine representation conforme de l'intCrieur de I' sur ( y I I . 6. Enfin M. Valiron rn'a suggerk que tous-les rCstlltats prdckdents Ctaient sans doute e~lcorevalables pour une lonction cllgPb).oi'd~mc;romolpite. hous avor~sensuitr. vCrifi6 qu'il en est bier1 ainsi, car les relations ( I ) et (21, par exe~nple,s'appliquc~nt prtBsque sins changclrnel~taux folictions alg6.broldes.
<
i f ) ( : e it~tr~.\-allt.> ~ tlkpel~drnls r u l e l t ~ e n td r In 1'01ic~\io11 j ' ( . r : ) . tlr lhnctions u , et u , envisagees.
1,
o ~ ~ l l e n ~ des ent
Sur les zkros des combinaisons linkaires de p fonctions entikres donnkes Cornptes Rendus de I'Acadernie des Sciences de Paris 189,727-729 (1929)
2 . Soit un systhme de p fonctior~sg,(x),g,(x), . . . ,g,(x), holomorphes pour I x 1 R . Supposons une fois pour toutes qu'tl n'existe pas de ztm conznzun a toutes ces fonctions, nide relation kntaire homogene a coeffcients constants flntre ces fonctions. Soit U ( x ) la plus grande des quantit& log ( g i ( x )( ( j = I , 2, . . . ,p ) ; posons
<
$),
S i p = 2 , .l7(r)n'est autre que ~ ( r ; $ une constante additive prhs ( I ) . 0Si p esr quclconqile, on a , g,,et g;, dksignant deux quelconques des g,,
(;onsidkrons mainter~ar~t (1 cq > p ) combinaisons lineaires homoghes, distinctes p ci p, des fonctions g; ; soient F, , F,, . . . , F,. Posons
la somnle Ctailt kterldlie aux zeros .rP de F,(x), chacun Ctant comptC autant dc fois qu'il y a dluriitCs dans son ordre de multiplicit6 si ce dernier est infkrienr a p - I , p - I fois dans le cas contraire. On n 1'inkg;finlitPimportante
<x q
11)
(q -p)'l'(r)
.
N(r. F , ) l S ( r ) ,
,=I
oil S \ r ) jouit des propriktes Cnoncees par M. H. Nevanlinna dans le cas p = 2 . Pour p = 2 , en effet, on retrouve 1'inCgalitC qui a permis A M. Nevanlinna de complCter de facon si remarquable le thCor6me de Picard( % ) Voir i c e s c ~ j e ~ t r ~dcc nles Nores prP(.t;denles (Concpbs rendus, 188, p. 1 3 7 4 )
Igag,
.J
nod
s~auuo!ldaoxasa[[aaJalu! sap 'apnl!qeq,p ammoo 'lnloxa uo .sea su!elJao s u e a (,:) w o N e l ap a s s ~ q daJ?!uJap ' s z g - f z g .d .'6z61 ' 6 8 ~' s n p u a ~ sajdzuo9 (,) a(66-~:d ' s z 6 1 'gil ' o ~ y ~ z u a y ~ D n zJ uD ~ . ) ' g 'aldmaxa .lsd '.I!OA (,)
UlUO?lyUnJ u a y d ~ o z u o ~ a Jap z u a?JOayJ JnZ
'TNNITNVA~N
'. . . " D 'SUO!I!~UO:, sa:, s u e a 'allnu luamanb!luap! l!os au ly aun:,ne,nb '~a!ln:,!l~ed ua 'la "v sal a a u a siuelsuo:, s~ua!:,yjao:, ;au?80woq aqe?u!l uo!leIaJ aunone als!xa,u p,nb suosoddns .x ua saqdnomoloq loel? 'y sal
!sup "J sal i!s!oq:, uo luop aa?!ueru el ap a ~ p u a d a plnad ap analsh erl 'InU ??OS (A)? lnDJ+p 21 "J S U O Z ~ ~ U Od/ ap su?ow ap uos~~u?gzuo3 dun sud ?sa,u ?nb 'A uos?ou?qzuosa?no?mod .z !d 5 s azuwos ap ?a a?ua.%anuos ??os(?Ld)t a?~?s07 ,, I :anb uo3vJ ap ' d v d sa?m?i+p "A suos~vu?gzuos dp alqv.~qwou?p?l,tu$u? apn no l u g a~qwouun qs?oys 111adu o - .anr3uo3HLl,
p y u e n b el!d uos!eu!quro:, el ap snvJ?p suo~adde' s a ~ ? p u aiuel? l.8 saq .g .SOJ?Z sues s a m l u a suo!l:,uoj I d ap aurnros el a ale89 isa ,(,a + 1) 'sanall!eLa -SO.I~Z s u ~ saJ?zaua s ruo~a3uoJI +d ap su?ow ap azuwos vl D alv& aa,a mad au soqz sap D znb aqzaua uo??3uoJ aun'p ..,,,,,d a~uvss?ndvl '~a!ln:,!wed u g
+
'(I) s ? ~ d e , p'e uo '!w ;s ~ n a t q d n s?i!:,!ld!llnru ap saJpao sJnaI luama~!i:,adsa~luo 'A anbeq:, ap s o ~ a zsal !s !d g d sal:,u!l -s!p '!A suos!eu!qruo:, 6 suo~?p!suo:, la 'sa.r?yua '.8 sa1 suosoddns -6 asaauuop s a a y u a suo!l:,uoj d ap sal~auuo!lda:,xa suos!eu!qruo:, sal Jns IaluoN amap slelIns?J sa1 ap~duro:,aIla !( t ) u o q e h 'N ~ e a?sod d luaru ma:,?^ uoysanb aun g p u o d ? ~( I ) ?l!~e&u!,~ 'anb~o:,~anbd m o d *(,)IaJog
a, designant q nombres complexes distincts, on a, en vertu de (I),
Cette inegalite precise celle de M. Valiron ('). Dans le calcul de N [r, +(ai)], chaque zero de +(ai) n'est jamais comptC plus de v fois. 5. Application anx questions d'unicite'. - Soient f,et f,deux fonctions entikres sans zeros (f,$f,,f,f,$ I).On sait que l'ensemble des zeros de f ,- I ne peut coincider avec I'ensemble des zCros de f,- I . Voici un res~iltatbeaucoup plus prCcis, obtenu grlce a (I).Posons
a , designant les zeros communs a f,- I et f2- I , /3, les zCros de f,- I qui
n'annulent pas f,- I , yk les zCros de f,- 1 qui n'annulent par f ,- I ;. chaque zero n'est comptC qu'line fois dans les sommes prCcCdentes. O n a (2)
d'ailleurs, pour f ,r ( I ) (?)
el',
f , = e2"', la limite est atteinte.
Note deja citde; j'appelle T ( r )ce que M . Valiron appelle v T ( r ) . On exclut eventuellement certains intervalles exceptionnels pour r .
.saxaltlurc~:) c>lqt:!Jen wn.11) ap sea n e aau.loq snou ay u!le ?:,uuII?,~ :'Y!I)OWWUOUI.I srlo,y .($f . ( I ) III\ a ~ ~ r a . ~ o >4 n1 l l l a ( L x . d ) XI amaao.!ql a1 ~ r r n c u a r ! ~ u . ) d s aluos . ~ uo!lsaul) ua saru?.toalll sn.>p so? 11 31) S U ~ ! ~ : , ~ I ~ J sal J . I ~ S( r ) v 1 . 1 ~salqe!.ll!.% ) r n a l ) all . ; ~ I ~ I ! ~ ~s.11 u o.JI n s ( , )
. ( ' g - ~ .d ' 5 6 ~ '61 1 '3
itl>y)s.~xaldrr~o:,.;alqe!.lr:n
"~ljrtcci
' ( c I I - L ~ . d '!881 'P ' I
"t/lauc
. s a 1 3 . 1xnap ~ ap a[qm;,sua,l ap asodluo:, as sa?9les!~ua suo!Jauoj sap a:)uals!xa,p aureruop a1 anbsaol l ~ a n b ! ~ t l d ~suo!~eaap!suo:, ?~s saluaui sal :)nb nprialua luela 'd?u?[ anuwjs!]) ?I 7nol.rwcl satld.iou~o.l?lrr suo!l:,uoj ap la saJ??lua sfio?l.31ioJa p suo.r;q.red snou 'saap! sal .rarrj ano,] ..t'ur?~(l a[ suep la x uuId a1 suep ~rraruaa!I:,ad -saa sanl!s jsarrhz103lanb xazdtilio3 l u a u ~ a l d u ~ sau!wtciop !s xnap ap aruam 110) saj.).ia3: m a p ay ?ul.rol'ati?u~uoyr i l l sti?,y s a q d a o ~ u o ~ a r u no saqd.iomoloy 'aa!e~lrro:, 1113 'rto ',(' ap la s, ap sa.?u$ s.inalun ap awys,Cs ]no7 nod s a q d ~ o u r o a a ~ uno saqd.~oruoloq ,€ a p la x a p sno!l:,uoj sap y luaurruaaa,fj!pu! eaanb!~ddu,sI!ns !nb a:, J n o L
'(11 am?Joayl la I am?Jo?ql a p ruou a[ snos !3! ~rroaannB!j!nb) (,) xnap suo.rpua!iaJ ua s n o -xnc~au?l;f ~ snld saruaaoaql zap !Iqela r! u!snon
aJ.ra!d -J.~I' a l u a q j ! p a!o.i aun .red ra ' p ~ e 1s n ~ dnad u n
. s ? 1 0 ~s~v?ocisap ri;)'? I / ) ajqtuasfia l ~ l u l n u u . rs, ~azi sad;??ltia suo!l.?uoi z n a p dp ~1ia?jo?16 I I au1.104 ~ D ) S I I O S a.rljaw as /?lad 'a?u$a3u~js?pY ~ ~ / ( / . I o u I o .~I n? o~ l( .I i ~'saxal(lu1o3 (/ S ~ ~ / U ? .xtiap IUC~ ap uo!~uuo./aun,nb~ 8 8 "a 1 a.'iuom?p e ( , ) aale:,u!od !auaH ' 1.
( 0 ~ 6 191 ) 1-66 'PS sanbneuraq~e~ sa9uaps sap u!lallna
saxaldu~oasalqapaa xnap ap suogauoj sal m s
u ( x ,. y ) ; et cela, de facon que, e'tant donnhs tleux voisinages quelconqrres q u i ont rine rrjgion conznzune, le quotient des d e u x fonctior~su ( x ,y j correspondnt~tessoit /iolot;zo~.~)he et d t f e r e n t de ze'ro duns cette rdgion c.omn~ritie.Alors i fexistc une fonction entidre U (x,y ) , telle que, a u voisiltrcge de tout point, le qziotient
u(x;
soit bolomorplie et d i j i r e n t de rdt-o.
Y)
2. Convenons d'appeller vnrie'te' caractP~.istiqzietoule v a r d t k dblinie, au voisinage de chacrin d e ses points, 1,ar u n e relation de la forme rl(x,.y)=o,
u ( x , y ) etant holomorphe au voisinage d u point considC1.e. Le thkoreme 1 exprime q u e