Arnfried Kemnitz Mathematik zum Studienbeginn
Arnfried Kemnitz
Mathematik zum Studienbeginn Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge 10., aktualisierte Auflage STUDIUM
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Prof. Dr. Arnfried Kemnitz Computational Mathematics Technische Universität Braunschweig Pockelsstr. 14 38106 Braunschweig [email protected]
1. Auflage 1998 2., verbesserte Auflage 1999 3., durchgesehene Auflage 2000 4., durchgesehene Auflage 2001 5., verbesserte Auflage 2002 6., überarbeitete Auflage 2004 7., überarbeitete Auflage 2006 1 Nachdruck 2009 8., überarbeitete Auflage 2009 9., überarbeitete und erweiterte Auflage 2010 10., aktualisierte Auflage 2011 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Barbara Gerlach Vieweg +Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: AZ Druck und Datentechnik, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8348-1741-9
Vorwort zur 1. Auflage Die Mathematik ist ein wichtiges Grundlagenfach f¨ ur viele Studieng¨ange an Fachhochschulen, Technischen Hochschulen und Universit¨aten. Studierende vieler Fachrichtungen ben¨otigen zum Beginn ihres Studiums gute mathematische Grundkenntnisse. Dieses Buch wendet sich an Studentinnen und Studenten ingenieurwissenschaftlicher, technischer, wirtschaftswissenschaftlicher und mathematisch-naturwissenschaftlicher Studieng¨ange sowie an Lehramtsstudierende. Eine internationale Studie von TIMSS (Third International Mathematics and Science Study), deren Ergebnisse im Fr¨ uhjahr dieses Jahres ver¨offentlicht wurden, zum Wissensstand in Mathematik von Sch¨ ulern der Abschlussklassen in 24 europ¨aischen und außereurop¨aischen L¨ andern hat gezeigt, dass die deutschen Sch¨ uler nur einen Platz im unteren Mittelfeld einnehmen. Zum Beispiel hatten 30 % der befragten deutschen Sch¨ uler Schwierigkeiten beim Aufl¨ osen von Gleichungen mit einer Unbekannten. Auch eigene Lehrerfahrungen in mathematischen Grundvorlesungen an der Technischen Universit¨at Braunschweig zeigen, dass viele Studienbeginnerinnen und Studienbeginner Anfangsschwierigkeiten haben, wof¨ ur es eine Reihe unterschiedlicher Ursachen gibt. Viele dieser Schwierigkeiten beruhen darauf, dass der Schulstoff, der an den Hochschulen und Universit¨aten vorausgesetzt wird, nicht sicher beherrscht wird. Nicht selten f¨ uhren solche Probleme in den mathematischen Grundlagen sogar zum Studienabbruch. Das Buch will helfen, solche Anfangsschwierigkeiten zu vermeiden. Es enth¨alt als einen ¨ Schwerpunkt einen Uberblick des Schulstoffs. Vor allem die f¨ ur die Mathematikausbildung des Studiums wichtigen Gebiete sind ausf¨ uhrlich und mit vielen Beispielen dargestellt. Die Grundlagen der Mathematik werden systematisch und methodisch aufbereitet pr¨asentiert. Das Buch eignet sich deshalb sehr gut zum Selbststudium f¨ ur die Vorbereitung auf das Hochschulstudium. An vielen Hochschulen und Universit¨ aten finden vor Beginn eines Wintersemesters Vorkurse oder Br¨ uckenkurse in Mathematik statt. Diese Kurse wenden sich an Studienbeginner aller Mathematik anwendenden Fachrichtungen, vor allem also an die ingenieurwissenschaftlichen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studieng¨ange. In diesen Kursen sollen die f¨ ur das Studium erforderlichen Kenntnisse in Mathematik aufgefrischt bzw. vervollst¨ andigt werden. Dieses Buch eignet sich wegen der grundlegenden Begriffserl¨ auterungen mit vielen Beispielen sehr gut als Begleitbuch f¨ ur einen solchen Br¨ uckenkurs oder Vorkurs. Dar¨ uber hinaus werden als weiterer Schwerpunkt mathematische Grundlagen f¨ ur die Anfangssemester behandelt wie Analytische Geometrie und Differential- und Integralrechnung. Deshalb ist das Buch auch als begleitendes Lehr- und Handbuch f¨ ur die Grundvorlesungen von großem Interesse. Alle behandelten Themen sind durchg¨ angig verst¨andlich dargestellt. Zahlreiche Beispiele sollen die Kenntnisse vertiefen, viele Abbildungen sollen mathematische Objekte visualisieren und Ergebnisse veranschaulichen. Großer Wert wurde auf Anschaulichkeit gelegt.
vi Die einzelnen Abschnitte k¨ onnen weitgehend unabh¨angig voneinander durchgearbeitet werden, Verweise erleichtern das Auffinden notwendiger Begriffserl¨auterungen. Das Buch eignet sich auch gut als Nachschlagewerk f¨ ur die Grundlagen der Mathematik, eben als das Mathematikbuch zum Studienbeginn. F¨ ur Studierende ingenieurwissenschaftlicher Fachbereiche sind die im gleichen Verlag erschienenen Werke Das Techniker Handbuch“ (Hrsg. A. B¨oge), Vieweg Handbuch ” ” Elektrotechnik“ (Hrsg. W. B¨ oge) sowie Vieweg Lexikon Technik“ (Hrsg. A. B¨oge) von ” großem Interesse, deren Mathematikabschnitte von Dr. F. Kemnitz bzw. vom Autor dieses Buches geschrieben wurden. Der Autor bedankt sich bei Frau U. Schmickler-Hirzebruch vom Verlag Vieweg f¨ ur die gute Zusammenarbeit. Mein besonderer Dank gilt meinen Kollegen Dr. W. Oelke, C. Th¨ urmann und Dr. H. Weiß f¨ ur die Mithilfe bei der Erstellung der reproduktionsf¨ahigen Druckvorlage.
Braunschweig, im August 1998
Arnfried Kemnitz
Vorwort zur 2. Auflage Nur wenige Monate nach Einf¨ uhrung erscheint eine 2. Auflage dieses Buches. Dies zeigt, dass das Konzept der Mathematik zum Studienbeginn“ von den Lesern angenommen ” wird. F¨ ur zahlreiche Zuschriften mit konstruktiven Bemerkungen bedanke ich mich. Einige der Hinweise sind in dieser Auflage ber¨ ucksichtigt. Auf mehrfachen Wunsch ist das Kapitel u ¨ ber Kombinatorik erweitert worden.
Braunschweig, im Mai 1999
Arnfried Kemnitz
Der Text f¨ ur die 4. Auflage wurde durchgesehen, Druckfehler wurden korrigiert.
Braunschweig, im Oktober 2001
Arnfried Kemnitz
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Vorwort zur 5. Auflage Der Text wurde weiter verbessert und an die neue Rechtschreibung angepasst. Dabei wurden an verschiedenen Stellen auch Hinweise und Vorschl¨age von Lesern aufgegriffen und ber¨ ucksichtigt. Der Autor bedankt sich f¨ ur den sehr guten Zuspruch und die zahlreichen ¨außerst positiven Reaktionen auf das Buch. Die Pisa-Studie hat deutlich aufgezeigt, dass ausreichende mathematische Kenntnisse, die f¨ ur zahlreiche Studieng¨ ange notwendig sind, zum Studienbeginn nicht unbedingt vorausgesetzt werden k¨onnen. Es ist ein Hauptziel der Mathematik zum Studienbeginn“, ma” thematische Verst¨andnis- und Wissensl¨ ucken zu schließen, um das Studium gut ger¨ ustet beginnen zu k¨onnen. Braunschweig, im Oktober 2002
Arnfried Kemnitz
Vorwort zur 6. Auflage Der Text f¨ ur die 6. Auflage wurde in Teilen u ¨ berarbeitet, wobei eigene aktuelle Lehrerfahrungen eingeflossen sind. Außerdem wurden wieder einige Vorschl¨age von Lesern ber¨ ucksichtigt. Zudem wurde ein Großteil der Abbildungen elektronisch neu erstellt. Mein Dank gilt meinen Mitarbeitern Dr. J.-P. Bode und M. Marangio f¨ ur ihre Unterst¨ utzung dabei. Braunschweig, im Juli 2004
Arnfried Kemnitz
Vorwort zur 10. Auflage F¨ ur die 10. Auflage wurden verschiedene Textteile u ¨berarbeitet und einige inhaltliche ¨ Anderungen und Verbesserungen vorgenommen. Braunschweig, im Mai 2011
Arnfried Kemnitz
Inhaltsverzeichnis 1 Arithmetik 1.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Aussageformen und logische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Logische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Vollst¨ andige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Einteilung der Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Grundrechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Grundlegende Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Buchstabenrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Kehrwert, Quersumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Teilbarkeitsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Punktrechnung vor Strichrechnung . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Potenzrechnung vor Punktrechnung . . . . . . . . . . . . . 1.5.6 Grundgesetze der Addition und Multiplikation . . . . . . . 1.5.7 Grundregeln der Klammerrechnung . . . . . . . . . . . . . . 1.5.8 Multiplikation mit Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.9 Indizes, Summenzeichen, Produktzeichen . . . . . . . . . . 1.5.10 Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.11 Division mit Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Erweitern und K¨ urzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Br¨ uche . . . . . . 1.6.4 Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Br¨ uche . . . . 1.6.5 Multiplizieren von Br¨ uchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.6 Dividieren von Br¨ uchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Potenz- und Wurzelrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Definition der Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Regeln der Potenzrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Definition der Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.4 Regeln der Wurzelrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Dezimalzahlen und Dualzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Dezimalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 Dualsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Runden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Definition des Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.2 Spezielle Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.3 Regeln der Logarithmenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.4 Zusammenhang von Logarithmen mit verschiedenen Basen 1.9.5 Dekadische Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1 1 2 2 2 3 4 6 7 7 7 7 8 8 9 9 10 11 12 13 13 13 14 15 15 16 17 17 17 19 21 22 26 26 27 28 28 28 29 30 31 32 32
x 1.10.1 Arithmetisches Mittel . . . . . . . . . . . . . 1.10.2 Geometrisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . 1.10.3 Harmonisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . 1.10.4 Quadratisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.1 Definitionen und Rechenregeln . . . . . . . . 1.11.2 Absolutbetrag . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.3 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.1 Algebraische Form . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.2 Trigonometrische Form . . . . . . . . . . . . 1.12.3 Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen 1.12.4 Multiplizieren komplexer Zahlen . . . . . . . 1.12.5 Dividieren komplexer Zahlen . . . . . . . . . 1.12.6 Potenzieren komplexer Zahlen . . . . . . . . . 1.12.7 Radizieren komplexer Zahlen . . . . . . . . . 1.12.8 Eulersche Formel . . . . . . . . . . . . . . . .
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32 33 33 33 34 34 35 36 37 37 39 40 41 42 43 44 46
2 Gleichungen 2.1 Gleichungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 2.2 Aquivalente Umformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Proportionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 L¨osungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Satz von Vi¨eta f¨ ur quadratische Gleichungen . . . 2.6 Algebraische Gleichungen h¨ oheren Grades . . . . . . . . . 2.6.1 Kubische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Gleichungen vierten Grades . . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Gleichungen n-ten Grades . . . . . . . . . . . . . . 2.6.5 Satz von Vi¨eta f¨ ur Gleichungen n-ten Grades . . . 2.7 Auf algebraische Gleichungen zur¨ uckf¨ uhrbare Gleichungen 2.7.1 Bruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Transzendente Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 Logarithmische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . 2.8.3 Trigonometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . 2.9 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.2 Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen . . . 2.9.3 Drei lineare Gleichungen mit drei Variablen . . . . 2.9.4 Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . 2.10 Lineare Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.2 Lineare Ungleichungen mit einer Variablen . . . .
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48 48 50 52 53 54 54 55 60 60 60 62 64 67 68 70 70 71 73 73 74 75 76 76 76 80 81 92 92 93
xi 2.10.3 Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . 2.10.4 Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen . . . . . . . . . . 3 Planimetrie 3.1 Geraden und Strecken . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal . . 3.4 Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 3.5 Geometrische Orter . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Allgemeine Dreiecke . . . . . . . . . . . 3.6.2 Gleichschenklige Dreiecke . . . . . . . . 3.6.3 Gleichseitige Dreiecke . . . . . . . . . . 3.6.4 Rechtwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . 3.6.5 Besondere Geraden, Strecken und Kreise 3.6.6 Fl¨achens¨ atze im rechtwinkligen Dreieck 3.6.7 Kongruenz von Dreiecken . . . . . . . . 3.6.8 Grundkonstruktionen des Dreiecks . . . 3.7 Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Allgemeine Vierecke . . . . . . . . . . . 3.7.2 Trapeze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3 Parallelogramme . . . . . . . . . . . . . 3.7.4 Rhomben . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.5 Rechtecke . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.6 Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.7 Drachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.8 Sehnenvierecke . . . . . . . . . . . . . . 3.7.9 Tangentenvierecke . . . . . . . . . . . . 3.8 Regul¨are n-Ecke . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.2 Kreissektoren . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.3 Kreissegmente . . . . . . . . . . . . . . 3.10.4 Kreise und Geraden . . . . . . . . . . . 3.10.5 Winkels¨ atze am Kreis . . . . . . . . . . 3.10.6 Eigenschaften von Sekanten und Sehnen 3.10.7 Tangentenkonstruktionen . . . . . . . . 3.10.8 S¨ atze u ¨ ber Sehnen, Sekanten, Tangenten 3.10.9 Bogenmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11.1 Punktsymmetrie . . . . . . . . . . . . . 3.11.2 Achsensymmetrie . . . . . . . . . . . . . ¨ 3.12 Ahnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12.1 Zentrische Streckung . . . . . . . . . . . 3.12.2 Strahlens¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 3.12.3 Ahnliche Figuren . . . . . . . . . . . . . 3.12.4 Streckenteilungen . . . . . . . . . . . . .
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94 96 98 98 99 103 106 107 107 107 110 110 111 111 115 118 120 123 123 125 125 126 127 127 128 129 130 130 132 133 133 135 136 137 138 139 139 141 143 144 144 144 144 144 145 147 148
xii 4 Stereometrie 4.1 Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Allgemeine Prismen . . . . . . . 4.1.2 Parallelepiped und W¨ urfel . . . . 4.2 Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Allgemeine Zylinder . . . . . . . 4.2.2 Gerade Kreiszylinder . . . . . . . 4.2.3 Hohlzylinder . . . . . . . . . . . 4.3 Pyramiden . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Allgemeine Pyramiden . . . . . . 4.3.2 Gerade quadratische Pyramiden 4.4 Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Allgemeine Kegel . . . . . . . . . 4.4.2 Gerade Kreiskegel . . . . . . . . 4.5 Cavalierisches Prinzip . . . . . . . . . . 4.6 Pyramidenst¨ umpfe und Kegelst¨ umpfe . 4.6.1 Pyramidenst¨ umpfe . . . . . . . . 4.6.2 Kegelst¨ umpfe . . . . . . . . . . . 4.7 Platonische K¨ orper . . . . . . . . . . . . 4.8 Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . 4.8.2 Kugelsegmente . . . . . . . . . . 4.8.3 Kugelsektoren . . . . . . . . . . . 4.8.4 Kugelschichten . . . . . . . . . .
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152 152 152 153 154 154 155 156 157 157 158 159 159 160 161 161 161 162 163 166 166 167 167 168
5 Funktionen 5.1 Definition und Darstellungen von Funktionen . . 5.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Funktionsgleichung . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Graph einer Funktion . . . . . . . . . . . 5.1.4 Wertetabelle einer Funktion . . . . . . . . 5.2 Verhalten von Funktionen . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Monotone Funktionen . . . . . . . . . . . 5.2.2 Symmetrische Funktionen . . . . . . . . . 5.2.3 Beschr¨ ankte Funktionen . . . . . . . . . . 5.2.4 Injektive Funktionen . . . . . . . . . . . . 5.2.5 Surjektive Funktionen . . . . . . . . . . . 5.2.6 Bijektive Funktionen . . . . . . . . . . . . 5.2.7 Periodische Funktionen . . . . . . . . . . 5.2.8 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . 5.2.9 Reelle und komplexe Funktionen . . . . . 5.3 Einteilung der elementaren Funktionen . . . . . . 5.4 Ganze rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Konstante Funktionen . . . . . . . . . . . 5.4.2 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . 5.4.4 Kubische Funktionen . . . . . . . . . . . . 5.4.5 Ganze rationale Funktionen n-ten Grades
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170 170 170 171 172 173 173 173 175 177 177 178 179 179 179 181 182 185 185 186 190 198 199
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202 203 203 210 213 216 216 217
6 Trigonometrie 6.1 Definition der trigonometrischen Funktionen . . . . 6.2 Trigonometrische Funktionen f¨ ur beliebige Winkel 6.3 Beziehungen f¨ ur den gleichen Winkel . . . . . . . . 6.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen . . . . 6.5 Reduktionsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Sinussatz und Kosinussatz . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Grundaufgaben der Dreiecksberechnung . . . . . . 6.9 Arkusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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220 220 223 225 226 228 229 232 233 237
7 Analytische Geometrie 7.1 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Kartesisches Koordinatensystem der Ebene . . . . . . . . . . 7.1.2 Polarkoordinatensystem der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten . 7.1.4 Kartesisches Koordinatensystem des Raums . . . . . . . . . . 7.1.5 Kugelkoordinatensystem des Raums . . . . . . . . . . . . . . 7.1.6 Zylinderkoordinatensystem des Raums . . . . . . . . . . . . . 7.2 Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Geradengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Abst¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Kreisgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Berechnung von Kreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Kreis und Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Ellipsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2 Hyperbeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.3 Parabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Graphisches L¨ osen von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar . . . . . . . . . 7.7.3 Addition und Subtraktion zweier Vektoren . . . . . . . . . . 7.7.4 Komponentendarstellung von Vektoren in der Ebene . . . . . 7.7.5 Komponentendarstellung von Vektoren im Raum . . . . . . . 7.7.6 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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241 241 241 242 243 245 246 247 248 248 254 255 255 258 259 264 265 267 271 276 280 285 290 290 290 291 292 293 295
5.5
5.6 5.7
5.4.6 Horner-Schema . . . . . . . . Gebrochene rationale Funktionen . . 5.5.1 Nullstellen, Pole, Asymptoten 5.5.2 Partialbruchzerlegung . . . . Irrationale Funktionen . . . . . . . . Transzendente Funktionen . . . . . . 5.7.1 Exponentialfunktionen . . . . 5.7.2 Logarithmusfunktionen . . .
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xiv 7.7.7 7.7.8
Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
8 Differential- und Integralrechnung 8.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Arithmetische Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Geometrische Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.4 Grenzwert einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.5 Tabelle einiger Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.6 Divergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Arithmetische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Geometrische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Harmonische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.5 Alternierende Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Grenzwert an einer endlichen Stelle . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Einseitige Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Grenzwert im Unendlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.4 Rechenregeln f¨ ur Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.5 Unbestimmte Ausdr¨ ucke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.6 Stetigkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.7 Unstetigkeitsstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.3 H¨ohere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4 Ableitungen einiger algebraischer Funktionen . . . . . . . 8.4.5 Ableitungen einiger transzendenter Funktionen . . . . . . 8.4.6 Sekanten und Tangenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.7 Extremwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.8 Kr¨ ummungsverhalten von Funktionen . . . . . . . . . . . 8.4.9 Wendepunkte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.10 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.11 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.12 N¨aherungsverfahren zur Nullstellenbestimmung . . . . . . 8.5 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.3 Unbestimmte Integrale einiger algebraischer Funktionen . 8.5.4 Unbestimmte Integrale einiger transzendenter Funktionen 8.5.5 Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.6 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . 8.5.7 Eigenschaften des bestimmten Integrals . . . . . . . . . . 8.5.8 Einige Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . 8.6 Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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300 300 300 301 302 302 303 304 305 305 308 308 309 310 311 311 312 313 314 314 315 316 318 318 320 323 324 324 328 329 330 332 333 334 336 338 338 339 343 344 345 347 347 349 354
xv 8.6.1 8.6.2 8.6.3
Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
9 Kombinatorik 9.1 Kombinatorische Grundprinzipien . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Fakult¨aten, Binomialkoeffizienten und Pascalsches Dreieck 9.3 Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Permutationen und Variationen . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Permutationen mit eingeschr¨ ankter Wiederholung . . . . . 9.7 Multinomialsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8 Prinzip der Inklusion und Exklusion . . . . . . . . . . . .
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366 366 368 370 371 373 376 377 378
10 Wahrscheinlichkeitsrechnung 10.1 Zuf¨allige Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Absolute und relative H¨ aufigkeit von Ereignissen 10.3 Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit . 10.5 Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit . . . 10.6 Bedingte Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . 10.7 Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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381 381 383 384 390 392 397 400
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. . . . . . .
A Symbole und Bezeichnungsweisen
404
B Mathematische Konstanten
408
C Das griechische Alphabet
409
Literaturverzeichnis
411
Sachwortverzeichnis
412
1 1.1
Arithmetik Mengen
Die in der Mathematik betrachteten Gegenst¨ ande werden oftmals durch Symbole, meistens Buchstaben, bezeichnet. Dabei kennzeichnen manche Symbole feste Dinge, zum Beispiel π das Verh¨ altnis zwischen Umfang und Durchmesser eines beliebigen Kreises. Andere Symbole sind Ver¨ anderliche (auch Variable oder Platzhalter genannt), das heißt, sie k¨onnen jeden Gegenstand einer Klasse von Gegenst¨anden bezeichnen. In der Mathematik wird jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten zu einer Gesamtheit eine Menge genannt. Eine Menge ist definiert, wenn feststeht, welche Objekte zu dieser Menge geh¨ oren und welche nicht. Die zur Menge geh¨orenden Objekte heißen ihre Elemente. Mengen werden meistens mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet und die Elemente mit kleinen Buchstaben. Es gibt zwei M¨oglichkeiten, Mengen zu definieren: • Durch Aufz¨ahlen ihrer Elemente, die in beliebiger Reihenfolge zwischen geschweiften Klammern (Mengenklammern) gesetzt sind und durch Kommata getrennt werden (Schreibweise: {Element 1, Element 2, . . . }). • Durch Angabe einer die Elemente charakterisierenden Eigenschaft (Schreibweise: {x|x erf¨ ullt Eigenschaft}). Eine Menge von Punkten heißt Punktmenge. Beispiele: 1. A = {1, 2, 3} (die Menge A besteht aus den Elementen 1,2 und 3) 2. B = {x|x2 − 1 = 0} (die Menge B besteht aus den Elementen x, f¨ ur die x2 − 1 = 0 gilt) 2 osungen x = 1 und x = −1 besitzt, kann man die Menge 3. B = {1, −1} (da x − 1 = 0 die L¨ B auch in dieser Form schreiben) 4. C = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} (die Menge C besteht aus den Elementen −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5)
Geh¨ort ein Objekt a einer Menge M an, so schreibt man a ∈ M (gelesen: a ist Element von M ). Geh¨ort a nicht zu M , so schreibt man a ∈ M. Wenn jedes Element einer Menge M auch Element einer Menge N ist, so nennt man M Teilmenge von N und schreibt M ⊆ N . Nach dieser Definition ist offenbar jede Menge Teilmenge von sich selbst. Die leere Menge ∅ = {} enth¨ alt kein Element. Beispiele: 2 ∈ A; 2 ∈ C; 4 ∈ C; 4 ∈ A; A ⊆ C; ∅ = {x|x = x}
Die Vereinigung A ∪ B zweier Mengen A und B besteht aus denjenigen Elementen, die in A oder in B, also in mindestens einer der beiden Mengen A, B enthalten sind: A ∪ B = {x|x ∈ A oder x ∈ B} Der Durchschnitt A ∩ B zweier Mengen A und B besteht aus denjenigen Elementen, die sowohl in A als auch in B, also gleichzeitig in beiden Mengen A, B enthalten sind: A ∩ B = {x|x ∈ A und x ∈ B} A. Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn, DOI 10.1007/978-3-8348-8258-5_1, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
2
1 Arithmetik
Beispiel: A = {1, 2, 3}, B = {1, −1};
A ∪ B = {−1, 1, 2, 3}, A ∩ B = {1}
Eine Menge heißt endlich, wenn sie nur endlich viele Elemente besitzt. Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge M heißt M¨ achtigkeit der Menge, bezeichnet mit |M |. Beispiele: 1.
M = {2, 4, 6, 8, 10} ⇒ |M | = 5
2.
M = {1, 2, 3, . . . , 99, 100} ⇒ |M | = 100
1.2 1.2.1
Aussageformen und logische Zeichen Aussageformen
Eine Aussageform ist ein mathematischer Ausdruck, in dem Variable vorkommen. Aussageformen erhalten einen Wahrheitswert, wenn allen in ihnen vorkommenden Variablen ein Wert zugeordnet wird. Beispiele: 1.
Die Aussageform x − 3 = 5“ wird zu einer wahren Aussage, wenn man f¨ ur x die Zahl 8 ” einsetzt (x = 8 ist die L¨ osung der Gleichung).
2.
Die Aussageform x2 = 1“ wird zu einer wahren Aussage, wenn man f¨ ur x die Zahl 1 oder ” osungen der quadratischen Gleichung). −1 einsetzt (x1,2 = ±1 sind die L¨
3.
Die Aussageform x + 1 = 3“ wird zu einer falschen Aussage, wenn man f¨ ur x die Zahl 1 ” einsetzt (denn die L¨ osung der Gleichung ist x = 2).
1.2.2
Logische Zeichen
In der Mathematik ist es h¨ aufig sinnvoll, kompliziertere Aussagen mit Hilfe logischer Zeichen zu formalisieren. Sind A und B Aussagen, dann bedeutet A ∧ B, dass A und B gelten, A ∨ B, dass A oder B gilt, ¬A (nicht A), dass das Gegenteil von A gilt, A ⇒ B, dass B aus A folgt, A ⇔ B, dass sowohl A ⇒ B als auch B ⇒ A gelten. Die logischen Zeichen bezeichnet man auch als Junktoren. Das Symbol ∨ ist das nicht ausschließende Oder (also nicht entweder ... oder). Eine Aussage A ⇒ B heißt eine Implikation, man sagt: A impliziert B. Man nennt A die Pr¨amisse, B die Konklusion. Die Pr¨ amisse enth¨alt die Voraussetzungen, unter denen die Aussage B gilt. Gilt A ⇔ B, so sagt man, die beiden Aussagen A und B sind ¨aquivalent oder gleichwertig. Beispiele: 1.
F¨ ur eine nat¨ urliche Zahl n ist die Implikation 6 teilt n ⇒ 2 teilt n“ wahr. Die umgekehrte ” Implikation gilt nicht.
2.
6 teilt n“ und 2 teilt n und 3 teilt n“ sind zwei ¨ aquivalente Aussagen. ” ”
1.2 Aussageformen und logische Zeichen 1.2.3
3
Vollst¨ andige Induktion
Mathematische Aussagen m¨ ussen in der Regel bewiesen werden. Neben direkten Beweisen und Widerspruchsbeweisen ist eine h¨ aufig verwendete Beweismethode die vollst¨andige Induktion. Dieses Beweisverfahren l¨ asst sich bei Aussagen u urliche Zahlen (vgl. ¨ ber nat¨ Abschnitt 1.3) anwenden. Ein Beweis mit vollst¨ andiger Induktion, dass eine Aussage A(n) (eine Eigenschaft oder eine Formel) f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen n ≥ m (also von m an) richtig ist, besteht aus drei Schritten: 1. Induktionsanfang (Induktionsverankerung): A(n) ist richtig f¨ ur n = m. Dies muss meistens auf direktem Weg nachgewiesen werden. 2. Induktionsannahme (Induktionsvoraussetzung): Die Aussage A(n) ist f¨ ur eine beliebige nat¨ urliche Zahl n0 (n0 ≥ m) richtig, es gilt also A(n0 ). 3. Induktionsschluss (Induktionsschritt): Unter Benutzung der Induktionsannahme wird gezeigt, dass die Aussage A(n) dann auch f¨ ur n0 + 1 richtig ist, das heißt, aus A(n0 ) folgt A(n0 + 1). Man nennt diesen Schritt auch Schluss von n0 auf n0 + 1. Man beachte, dass sowohl der Induktionsanfang als auch der Induktionsschluss durchgef¨ uhrt werden m¨ ussen. Der Induktionsschluss von n0 auf n0 + 1 macht den Nachweis der G¨ ultigkeit f¨ ur n = m (Induktionsanfang) nicht u ussig. Der Induktionsschluss kann ¨berfl¨ gelingen, auch wenn die Aussage A(n) f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen falsch ist. Beispiel: Behauptung: F¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen n gilt 1 + 2 + 3 + . . . + n =
n · (n + 1) 2
Beweis der Behauptung mit vollst¨ andiger Induktion Induktionsanfang: F¨ ur n = 1 ist die Behauptung richtig, denn auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens steht 1: 1·2 =1 1= 2 Induktionsannahme: F¨ ur eine beliebige nat¨ urliche Zahl n0 ist die Behauptung richtig: n0 · (n0 + 1) 1 + 2 + 3 + . . . + n0 = 2 Induktionsschluss (von n0 auf n0 + 1): Addiert man auf beiden Seiten der Induktionsannahme n0 + 1, so folgt n0 · (n0 + 1) + (n0 + 1) 1 + 2 + 3 + . . . + n0 + (n0 + 1) = 2 (n0 + 1)(n0 + 2) (n0 + 1)[(n0 + 1) + 1] n0 = (n0 + 1) · ( + 1) = = 2 2 2 Aus der Richtigkeit der Annahme f¨ ur n0 folgt somit auch die Richtigkeit f¨ ur n0 + 1. Damit gilt die Formel f¨ ur alle n ≥ 1.
4
1 Arithmetik
1.3
Einteilung der Zahlen
komplexe Zahlen
reelle Zahlen
{a + bi|a, b = 0}
rationale Zahlen
ganze Zahlen
nat¨ urliche Zahlen
0
imagin¨are Zahlen
irrationale Zahlen
gebrochene Zahlen
algebraische irrationale Zahlen
transzendente Zahlen
negative ganze Zahlen
Einige der Zahlenbereiche werden h¨ aufig in Mengenschreibweise dargestellt: IN ZZ Q IR C
= {1, 2, 3, . . .} = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} = {m Z, n = 0} n |m, n ∈ Z = {z = a + bi|a, b ∈ IR, i =
√ −1}
Menge Menge Menge Menge Menge
der der der der der
nat¨ urlichen Zahlen ganzen Zahlen rationalen Zahlen reellen Zahlen komplexen Zahlen
Die nat¨ urlichen Zahlen sind die positiven ganzen Zahlen. Eine Teilmenge der nat¨ urlichen Zahlen sind die Primzahlen. Eine Primzahl ist eine nat¨ urliche Zahl gr¨ oßer als 1, die nur durch 1 und durch sich selbst ohne Rest teilbar ist. Die Primzahlen sind die Zahlen 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,..., die Zahl 1 ist keine Primzahl. Es gibt unendlich viele Primzahlen, das heißt, es gibt keine gr¨oßte Primzahl, zu jeder Primzahl gibt es noch gr¨ oßere. 2 ist die einzige gerade Primzahl. Alle Primzahlen
1.3 Einteilung der Zahlen
5
zusammen bilden die Menge IP der Primzahlen, die eine Teilmenge der Menge IN der nat¨ urlichen Zahlen ist. Jede nat¨ urliche Zahl n ≥ 2 l¨ asst sich in ein Produkt von Primzahlen zerlegen, die Zerlegung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Faktoren (sogenannte Primfaktorzerlegung). Beispiele zur Primfaktorzerlegung: 100 = 2 · 2 · 5 · 5 = 22 · 52 ; 546 = 2 · 3 · 7 · 13
Die ganzen Zahlen setzen sich zusammen aus den nat¨ urlichen Zahlen, der Null und den negativen ganzen Zahlen. Die rationalen Zahlen sind alle ganzen und gebrochenen Zahlen. Rationale Zahlen lassen sich als Br¨ uche aus ganzen Zahlen darstellen. Jede rationale Zahl kann als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch dargestellt werden. Der Dezimalbruch einer rationalen Zahl ist die Darstellung der rationalen Zahl als Dezimalzahl, also als Zahl mit Stellen hinter dem Komma“ (siehe auch Abschnitt 1.8.1). Bei ” einem endlichen Dezimalbruch ist die Anzahl der Stellen nach dem Komma endlich, bei einem periodischen Dezimalbruch wiederholen sich die Stellen nach dem Komma nach einem gewissen Muster (Periode). Die reellen Zahlen sind alle Zahlen, die auf der reellen Achse der Zahlenebene (gaußsche Zahlenebene, vgl. Abschnitt 1.12.1), der sogenannten Zahlengeraden, darstellbar sind. Die reellen Zahlen setzen sich zusammen aus den rationalen Zahlen und den irrationalen Zahlen. Der Dezimalbruch einer irrationalen Zahl hat unendlich viele Stellen und keine Periode. Man unterteilt die irrationalen Zahlen in algebraische irrationale Zahlen und transzendente Zahlen. Eine algebraische irrationale Zahl ist eine irrationale Zahl, die L¨osung (Wurzel) einer algebraischen Gleichung (Bestimmungsgleichung) xn +an−1 xn−1 +an−2 xn−2 +...+a1 x+a0 = 0 mit rationalen Zahlen als Koeffizienten an−1 , an−2 , ..., a1 , a0 ist, wobei n f¨ ur eine nat¨ urliche Zahl steht (Koeffizienten sind Beizahlen von Variablen, vgl. Abschnitt 2.1). Irrationale Zahlen, die nicht algebraisch irrational sind, heißen transzendent. Es gibt keine reelle Zahl, die L¨ osung der Gleichung x2 + 1 = 0 ist. Deshalb werden die reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen erweitert. Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form z = a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind und i osung der algebraischen Gleichung x2 +1 = 0). die imagin¨are Einheit, i2 = −1 (i ist eine L¨ Eine komplexe Zahl z besteht also aus einem reellen Teil a (Realteil) und einem imagin¨aren Teil b (Imagin¨ arteil). Komplexe Zahlen z mit Realteil gleich 0 (also a = 0) heißen imagin¨are Zahlen, die komplexen Zahlen z mit Imagin¨arteil gleich 0 (also b = 0) sind die reellen Zahlen. Komplexe Zahlen lassen sich in der Zahlenebene darstellen. Beispiele f¨ ur ganze Zahlen: 38; −700 632; 0; 105 Beispiele f¨ ur rationale Zahlen: −2; 32 = 1, 5; 43 = 1, 3333... = 1, 3; − 18 = −0, 125; − 16 = −1, 454 545... = −1, 45 (der periodische Teil wird u ¨ berstrichen) 11
6
1 Arithmetik
Beispiele f¨ ur reelle Zahlen: √ 3 −4; 4 ; 4 − π; e3 ; 3; sin 50 Beispiele f¨ ur irrationale Zahlen: √ √ √ 3 = 1, 732 050 808 . . . ; 3 4 = 1, 587 401 052 . . . ; 5 − 2 3 = 1, 535 898 385 . . . ; − π = −3, 141 592 654 . . . ; e = 2, 718 281 828 . . . Beispiele f¨ ur algebraische irrationale Zahlen: √ √ 3 (denn 3 ist L¨ osung der Gleichung x2 − 3 = 0); √ √ 3 3 4 (denn 4 ist L¨ osung der Gleichung x3 − 4 = 0); √ √ 5 − 2 3 (denn 5 − 2 3 ist L¨ osung der Gleichung x2 − 10x + 13 = 0) Beispiele f¨ ur transzendente Zahlen: −π; e Beispiele f¨ ur komplexe Zahlen: √ √ are Zahl); 3 2 (reelle Zahl) 3 + 2 i; −1 + 5i; e + π 2 i; −4i (imagin¨
Ein hochgestellter Stern bedeutet die entsprechende Menge ohne die Null: ZZ∗ = {. . . , −3, −2, −1, 1, 2, 3, . . .} = {x|x ∈ ZZ, x = 0} : Menge der ganzen Zahlen ohne die Null Q∗ = { m |m, n ∈ ZZ∗ } = {x|x ∈ Q, x = 0} : n Menge der rationalen Zahlen ohne die Null IR∗ = {x|x ∈ IR, x = 0} : Menge der reellen Zahlen ohne die Null Ein hochgestelltes Plus bedeutet die Menge der entsprechenden positiven Zahlen: ZZ+ = IN = {1, 2, 3, . . .} = {x|x ∈ ZZ, x > 0} : Menge der positiven ganzen Zahlen Q+ = { m n |m, n ∈ IN} = {x|x ∈ Q, x > 0} : Menge der positiven rationalen Zahlen IR+ = {x|x ∈ IR, x > 0} : Menge der positiven reellen Zahlen
1.4
Grundrechenarten
Die vier Grundrechenarten sind die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division. Addition: Subtraktion: Multiplikation: Division:
Summand plus Summand gleich Summe Minuend minus Subtrahend gleich Differenz Faktor mal Faktor gleich Produkt Dividend geteilt durch Divisor gleich Quotient
Beispiele: 4 + 5 = 9 (Addition); 7 − 2 = 5 (Subtraktion); 3 · 8 = 24 (Multiplikation); 87 : 3 = 29 (Division)
Vereinbarung: Der Multiplikationspunkt (Malpunkt) kann weggelassen werden zwischen zwei Variablen,
1.5 Grundlegende Rechenregeln
7
zwischen einer Zahl und einer Variablen, zwischen einer Zahl und einer Klammer, zwischen einer Variablen und einer Klammer sowie zwischen zwei Klammern. Beispiele: a · b = ab, 4 · a = 4a, 2 · (a + b) = 2(a + b), a · (3 + a) = a(3 + a), (a + b) · (c − d) = (a + b)(c − d)
Achtung: Der Multiplikationspunkt zwischen zwei Zahlen darf nicht weggelassen werden. Beispiel:
3 · 4 = 34
Eine Variable oder Ver¨ anderliche oder Platzhalter ist eine Gr¨oße, die in der Regel verschiedene Werte annehmen kann. Variable werden durch Symbole dargestellt (meist lateinische Buchstaben). Variable sind zum Beispiel die Platzhalter f¨ ur die gesuchten L¨osungen von einer oder mehreren gegebenen Gleichungen.
1.5 1.5.1
Grundlegende Rechenregeln Buchstabenrechnen
Buchstabenrechnen ist das Rechnen mit unbestimmten Zahlen. Formuliert man eine mathematische Aussage, die nicht nur f¨ ur eine bestimmte Zahl, sondern f¨ ur einen ganzen Zahlbereich oder sogar f¨ ur alle Zahlen gilt, dann benutzt man statt einer Zahl einen Buchstaben. Der Buchstabe heißt unbestimmte Zahl. Beispiele: 1.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (binomische Formel, sie gilt f¨ ur alle reellen Zahlen a, b)
2.
(a · b) · c = a · (b · c) = a · b · c (Assoziativgesetz bez¨ uglich der Multiplikation, gilt f¨ ur alle reellen Zahlen a, b, c) √ √ √ n n a · b = n a · b (gilt f¨ ur alle positiven reellen Zahlen a, b und alle nat¨ urlichen Zahlen n ≥ 2)
3.
1.5.2
Kehrwert, Quersumme
1 Der Kehrwert einer Zahl a = 0 ist die Zahl . Man sagt statt Kehrwert auch reziproker a Wert. 1 , der So ist zum Beispiel der Kehrwert von 3 gleich 13 , der Kehrwert von −17 ist − 17 1 Kehrwert von 4 ist 4. Die Quersumme einer ganzen Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. So ist zum Beispiel die Quersumme der Zahl 239 503 618 gleich 2 + 3 + 9 + 5 + 0 + 3 + 6 + 1 + 8 = 37, die Quersumme von 3 972 611 028 ist 3 + 9 + 7 + 2 + 6 + 1 + 1 + 0 + 2 + 8 = 39, und die Quersumme der Zahl 209 334 042 ist 2 + 0 + 9 + 3 + 3 + 4 + 0 + 4 + 2 = 27. 1.5.3
Teilbarkeitsregeln
Die einzelnen Zeichen einer Zahl sind ihre Ziffern. Aus Eigenschaften der Ziffern lassen sich Teilbarkeitseigenschaften der Zahlen ableiten.
8
1 Arithmetik
Eine ganze Zahl ist teilbar durch • • • • • • • •
2, wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist 3, wenn die Quersumme der Zahl (also die Summe der Ziffern) durch 3 teilbar ist 4, wenn die Zahl aus den letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar ist 5, wenn die letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (also 0 oder 5 ist) 6, wenn die letzte Ziffer durch 2 und die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist 8, wenn die Zahl aus den letzten drei Ziffern durch 8 teilbar ist 9, wenn die Quersumme der Zahl durch 9 teilbar ist 11, wenn die alternierende Quersumme der Zahl (also die Summe der Ziffern, die abwechselnd positives und negatives Vorzeichen erhalten) durch 11 teilbar ist
Beispiele: 1.
2486 ist teilbar durch 2, denn 6 ist teilbar durch 2
2.
263 451 ist teilbar durch 3, denn die Quersumme 2 + 6 + 3 + 4 + 5 + 1 = 21 ist teilbar durch 3
3.
2 563 488 ist teilbar durch 4, denn 88 ist teilbar durch 4
4.
823 620 ist teilbar durch 5, denn 0 ist teilbar durch 5
5.
2 598 018 ist teilbar durch 6, denn 8 ist teilbar durch 2 und die Quersumme 2 + 5 + 9 + 8 + 0 + 1 + 8 = 33 ist teilbar durch 3
6.
524 299 168 ist teilbar durch 8, denn 168 ist teilbar durch 8
7.
11 929 545 ist teilbar durch 9, denn die Quersumme 1 + 1 + 9 + 2 + 9 + 5 + 4 + 5 = 36 ist teilbar durch 9
8.
14 739 296 ist teilbar durch 11, denn die alternierende Quersumme 1 − 4 + 7 − 3 + 9 − 2 + 9 − 6 = 11 ist teilbar durch 11
1.5.4
Punktrechnung vor Strichrechnung
Die Rechenzeichen · und : binden st¨ arker als + und −, das heißt, Multiplikation und Division m¨ ussen vor Addition und Subtraktion ausgef¨ uhrt werden. a + b · c = a + (b · c) a − b : c = a − (b : c) Beispiele: a : b · c − d = (a : b) · c − d; 3 + 4 · 5 − 6 = 3 + (4 · 5) − 6 = 17 8 − 5 · 4 · 3 + 36 : 9 + 6 · (12 + 2 · 7) = 8 − 60 + 4 + 6 · 26 = 108
Die Klammern geben an, welcher Teil der Rechnung zuerst ausgef¨ uhrt wird. 1.5.5
Potenzrechnung vor Punktrechnung
Potenzieren bindet st¨ arker als Multiplizieren und Dividieren. a · b2 = a · (b2 )
1.5 Grundlegende Rechenregeln
9
Es gilt also ab2 = (ab)2 . Beispiele: a a a : b2 − 3 · 23 = 2 − 3(23 ) = 2 − 24; 4 · 53 − 7 · 42 = 4 · 125 − 7 · 16 = 388 b b
1.5.6
Grundgesetze der Addition und Multiplikation
1. Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) F¨ ur reelle Zahlen gilt bez¨ uglich der Addition und bez¨ uglich der Multiplikation das Kommutativgesetz: a·b = b·a
a+b=b+a
Bei der Addition kann man also die Summanden vertauschen, bei der Multiplikation kann man die Faktoren vertauschen. Beispiele:
3 + 4 = 4 + 3; 3 · 4 = 4 · 3
2. Assoziativgesetz (Verkn¨ upfungsgesetz) F¨ ur reelle Zahlen gilt bez¨ uglich der Addition und bez¨ uglich der Multiplikation das Assoziativgesetz: (a · b) · c = a · (b · c) = a · b · c
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
Bei der Addition kann man also Summanden beliebig verkn¨ upfen (zusammenfassen), bei der Multiplikation kann man Faktoren beliebig verkn¨ upfen. Beispiele:
(3 + 4) + 7 = 3 + (4 + 7) = 3 + 4 + 7 : (3 · 4) · 7 = 3 · (4 · 7) = 3 · 4 · 7
3. Distributivgesetze (Zerlegungsgesetze) F¨ ur reelle Zahlen gelten die Distributivgesetze: (a + b) · c = a · c + b · c Beispiele:
a · (b + c) = a · b + a · c
(3 + 4) · 7 = 3 · 7 + 4 · 7; 3 · (4 + 7) = 3 · 4 + 3 · 7
Aus diesen Grundgesetzen ergeben sich die wichtigen Regeln der Klammerrechnung. 1.5.7
Grundregeln der Klammerrechnung
Klammern geh¨oren immer paarweise zusammen. Ein durch ein Klammerpaar zusammengefasster Ausdruck ist eine Einheit. Wichtige Regeln der Klammerrechnung • Ein Klammerpaar nach einem Pluszeichen kann weggelassen werden. +(a + b) = a + b •
Beim Weglassen der Klammern nach einem Minuszeichen m¨ ussen alle zwischen den Klammern vorkommenden Vorzeichen umgedreht werden. −(a + b) = −a − b −(a − b) = −a + b
10
1 Arithmetik
Vorzeichenregeln F¨ ur die Multiplikation und die Division zweier reeller Zahlen a und b ( b = 0) gelten die Vorzeichenregeln. (+a) · (+b) = (−a) · (−b) = a · b a · (−b) = (−a) · b = −a · b −a a +a = = +b −b b +a −a a = =− −b +b b Beispiele: 1.
(a + b) + (c − d + e) = a + b + c − d + e
2.
(3 + 5 − 2) + (5 + 8) = 3 + 5 − 2 + 5 + 8 = 19
3.
a + b − (c − d − e) = a + b − c + d + e
4.
(4 + 7) − (−6 + 3 − 8) = 4 + 7 + 6 − 3 + 8 = 22
5.
3a − (4b + 2c − 8d) + (3a − 5c) − (6a + 3b − d) = 3a − 4b − 2c + 8d + 3a − 5c − 6a − 3b + d = −7b − 7c + 9d
6.
3a(−4b) = −12ab
7.
1 −4a + b = 2a − b −2 2
1.5.8 •
Multiplikation mit Klammern
Man multipliziert eine Zahl mit einer Summe (Differenz), indem man die Zahl mit jedem Glied multipliziert und die erhaltenen Produkte addiert (subtrahiert). a(b + c) = ab + ac a(b − c) = ab − ac (a + b)c = ac + bc (a − b)c = ac − bc
•
Fehlerwarnung: (a · b) · c = ac · bc, sondern (a · b) · c = abc Enthalten alle Glieder einer Summe oder Differenz den gleichen Faktor, so kann man diesen ausklammern. ab + ac = a(b + c) ac − bc = (a − b)c
•
Man multipliziert zwei Summen miteinander, indem man jedes Glied der einen Summe mit jedem Glied der anderen Summe multipliziert und die erhaltenen Produkte
1.5 Grundlegende Rechenregeln
11
addiert. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (a + b)(c − d) = ac − ad + bc − bd (a − b)(c + d) = ac + ad − bc − bd (a − b)(c − d) = ac − ad − bc + bd
•
Fehlerwarnung: (a + b)2 = a2 + b2 , sondern (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (siehe Abschnitt 1.5.10) Bei verschachtelten Klammern sind die Klammnern immer von innen nach außen aufzul¨osen. a(b + c(d + e)) = a(b + cd + ce) = ab + acd + ace
Beispiele: 1.
3(200 + 7) = 3 · 200 + 3 · 7
2.
4.
6x2 (16x − 0, 05y + 7, 2z) = 96x3 − 0, 3x2 y + 43, 2x2 z 1 p q r p 1 1 (− + − )(− ) = p2 − pq + pr 3 4 5 2 6 8 10 abc − acd + ace = ac(b − d + e)
5.
−5x2 + 25xy − 35zx = −5x(x − 5y + 7z)
6.
(3x − a)(a + 2b) = 3ax + 6bx − a2 − 2ab
7.
(x + 5)(x − a + 3) = x2 − ax + 3x + 5x − 5a + 15 = x2 − ax + 8x − 5a + 15
8.
(x + 2)(x − 5) − (x − 3)(x − 7) = x2 − 5x + 2x − 10 − (x2 − 7x − 3x + 21) = x2 − 3x − 10 − x2 + 10x − 21 = 7x − 31
9.
(x − 1)(a + 3)(2 − c) = (x − 1)(2a − ac + 6 − 3c) = 2ax − acx + 6x − 3cx − 2a + ac − 6 + 3c
3.
10.
(4x − y)(−2a(b − 4c) − 3bc) = (4x − y)(−2ab + 8ac − 3bc) = −8abx + 32acx − 12bcx + 2aby − 8acy + 3bcy
11.
5(x − 2(x − y − 3y − 6x − 3y) + 2y) = 5(x − 2(−5x − 7y) + 2y) = 5(x + 10x + 14y + 2y) = 5(11x + 16y) = 55x + 80y
1.5.9
Indizes, Summenzeichen, Produktzeichen
Ein Index (Plural Indizes) ist ein Zeichen, das an Symbole f¨ ur Variable, Funktionen oder Operationen angebracht wird. Bezeichnet man zum Beispiel Variable mit x, dann kennzeichnet man verschiedene Variable dadurch, dass man an das x verschiedene tiefgestellte Indizes anh¨angt: x1 , x2 , x3 , . . .. Ein Index ist meistens eine Zahl. Das Summenzeichen (entstanden aus dem griechischen Buchstaben f¨ ur S) dient zur vereinfachten Darstellung von Summen (gesprochen: Summe u ¨ber ak von k = 1 bis k = n). n k=1
ak = a1 + a2 + a3 + . . . + an
12
1 Arithmetik
Man erh¨alt alle Summanden der Summe, wenn man in ak f¨ ur den Index k zun¨achst 1, dann 2 usw. und schließlich n setzt. Dieser Buchstabe k heißt Summationsindex und kann durch einen beliebigen anderen Buchstaben ersetzt werden. Es gilt also zum Beispiel n n n ak = ai = aj . i=1
k=1
j=1
Beispiele: 1.
6
k2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62
k=1
2.
3
log(2i) = log 2 + log 4 + log 6
i=1
3.
5
6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 5 · 6 = 30
j=1
Das Produktzeichen dient zur vereinfachten Darstellung von Produkten (gesprochen: Produkt u ¨ ber ak von k = 1 bis k = n). n
ak = a1 · a2 · a3 · . . . · an
k=1
Man erh¨alt alle Faktoren des Produkts, wenn man in ak f¨ ur den Index k zun¨achst 1, dann 2 usw. und schließlich n setzt. Der Index k kann durch einen beliebigen anderen n n n Buchstaben ersetzt werden. Zum Beispiel gilt ak = ai = aj . k=1
i=1
j=1
Beispiele: 1.
7
k2 = 12 · 22 · 32 · 42 · 52 · 62 · 72
k=1
2.
4
3i = 32 · 33 · 34 = 32+3+4 = 39
i=2
3.
5
4 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 45
j=1
1.5.10
Binomische Formeln
Ein Binom ist ein zweigliedriger Ausdruck der Form a + b oder a − b . Die Multiplikation von Binomen f¨ uhrt zu den binomischen Formeln (zwei Faktoren) und zum binomischen Lehrsatz (n Faktoren, n ≥ 1 beliebig, vgl. Abschnitt 10.2). Die folgenden Rechenregeln heißen binomische Formeln oder binomische Gleichungen 2. Grades (a und b sind beliebige reelle Zahlen).
1.6 Bruchrechnung
13
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a + b)(a − b) = a2 − b2 Beispiele: 1.
212 = (20 + 1)2 = 202 + 2 · 20 · 1 + 12 = 441
2.
(2c + 3)2 = (2c)2 + 2 · 2c · 3 + 32 = 4c2 + 12c + 9
3.
192 = (20 − 1)2 = 202 − 2 · 20 · 1 + 12 = 361
4.
(2x − 5y)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 5y + (5y)2 = 4x2 − 20xy + 25y 2
5.
21 · 19 = (20 + 1)(20 − 1) = 202 − 12 = 399
6.
(3x + 4y)(3x − 4y) = (3x)2 − (4y)2 = 9x2 − 16y 2
1.5.11
Division mit Klammern
Man dividiert eine Summe (Differenz) durch eine Zahl, indem man jedes Glied durch die Zahl dividiert und die erhaltenen Quotienten addiert (subtrahiert): (a + b) : c = a : c + b : c (a − b) : c = a : c − b : c Beispiele: 1.
(10ax − 15bx) : 5x = 10ax : 5x − 15bx : 5x = 2a − 3b
2.
(12a2 xy + 39ax2 y − 27axy 2 ) : 3axy = 12a2 xy : 3axy + 39ax2 y : 3axy − 27axy 2 : 3axy = 4a + 13x − 9y
1.6 1.6.1
Bruchrechnung Definitionen
(m geteilt durch n) dargestellt Ein Bruch ist eine Zahl, die durch einen Ausdruck m n wird. Die Zahl m heißt Z¨ ahler und die Zahl n Nenner des Bruches. Es gilt dabei n = 0, denn die Division durch Null ist nicht m¨oglich. Die Division einer von Null verschiedenen Zahl durch Null ergibt keine Zahl. Ein Bruch ist ein Quotient, der Z¨ ahler ist der Dividend, und der Nenner ist der Divisor. m =m:n n Br¨ uche, deren Z¨ahler kleiner ist als der Nenner, heißen echte Br¨ uche. Beispiele: 2 1 12 ; ; 3 9 13
14
1 Arithmetik
Br¨ uche, bei denen der Z¨ ahler gr¨ oßer ist als der Nenner, heißen unechte Br¨ uche. Beispiele: 3 7 12 ; ; 2 3 11
Br¨ uche mit dem Z¨ ahler 1 heißen Stammbr¨ uche. Beispiele: 1 1 1 ; ; 3 7 243
Ganzzahlige Anteile von Br¨ uchen k¨ onnen vorgezogen werden. Beispiele: 15 3 25 8 =3 ; =1 4 4 17 17
2 2 2 5 2 = 1 · . Richtig ist 1 = 1 + = . 3 3 3 3 3 Der Kehrwert eines Bruches pq ist der Bruch qp , also der Bruch, bei dem Z¨ahler und Nen1 q ner vertauscht sind, denn p = . p q Fehlerwarnung: 1
Beispiele: Der Kehrwert von
1.6.2
19 1 11 3 16 ist ; der Kehrwert von ist 2; der Kehrwert von − ist − . 19 16 2 3 11
Erweitern und K¨ urzen
2 4 −6 3 , 6 , −9
¨ sind verschiedene Schreibweisen desselben Bruchs. Der Ubergang von einer Schreibweise zur anderen erfolgt durch Erweitern und K¨ urzen. Erweitern heißt, Z¨ ahler und Nenner eines Bruches mit derselben Zahl zu multiplizieren. Der Wert des Bruches bleibt durch Erweitern unver¨andert. a·c ac a = = b b·c bc
(c = 0)
Beispiele: 2·3 6 −3 (−3) · (−1) 3 ab2 ab2 e3 2 = = ; = = ; 3 = 3 3 5 5·3 15 −4 (−4) · (−1) 4 c d c de
Fehlerwarnung: Unterscheide Erweitern und Multiplizieren! Beispiel:
2 2·3 6 = = 5 5·3 15 2 2·3 6 Multiplizieren mit 3: · 3 = = 5 5 5
Erweitern mit 3:
K¨ urzen heißt, Z¨ahler und Nenner eines Bruches durch dieselbe Zahl zu dividieren. Der Wert des Bruches bleibt durch K¨ urzen unver¨ andert. a a:c = b b:c
(c = 0)
1.6 Bruchrechnung
15
Beispiele: 27 27 : 3 9 a2 bc2 a2 bc2 : a2 bc c = = ; = 3 = 3 24 24 : 3 8 a bc a bc : a2 bc a
Fehlerwarnung: Unterscheide K¨ urzen und Dividieren! Beispiel:
6 6:3 2 = = 15 15 : 3 5 6:3 2 6 :3= = Dividieren durch 3: 15 15 15 K¨ urzen durch 3:
1.6.3
Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Br¨ uche
Gleichnamige Br¨ uche (Br¨ uche mit dem gleichen Nenner) werden addiert oder subtrahiert, indem man die Z¨ahler addiert oder subtrahiert und den Nenner beibeh¨alt. a+b a b + = c c c
a−b a b − = c c c
Beispiele: 3 4 3+4 7 3x2 x2 4x2 x2 2 5 2−5 3 + = = ; + = = ; − = =− 5 5 5 5 4yz 4yz 4yz yz 7 7 7 7
1.6.4
Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Br¨ uche
Ungleichnamige Br¨ uche werden addiert oder subtrahiert, indem man sie auf den Hauptnenner bringt, also durch Erweitern gleichnamig macht. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der Nenner. c a·d c·b ad + bc a + = + = b d b·d d·b bd
c a·d c·b ad − bc a − = − = b d b·d d·b bd
Beispiele: 4 2 + 1. 3 5 Der Hauptnenner der Br¨ uche
2 4 und ist 3 · 5. 3 5
Addition der Br¨ uche: 2 4 2·5 4·3 10 + 12 22 + = + = = 3 5 3·5 5·3 15 15 2.
5 3 − 4 6 Der Hauptnenner der Br¨ uche Subtraktion der Br¨ uche: 3 5 9 10 1 − = − =− 4 6 12 12 12
3 5 und ist 3 · 4 = 12. 4 6
16
3.
1 Arithmetik 1 3 5 + + 3 5 6 Der Hauptnenner der Br¨ uche
1 3 5 , , ist 5 · 6. 3 5 6
Addition der Br¨ uche: 1 3 5 1·5·2 3·6 5·5 10 + 18 + 25 53 + + = + + = = 3 5 6 3·5·2 5·6 6·5 30 30 4.
1 1 1 + − 4 6 9 1 1 1 , , ist 4 · 9. 4 6 9 Addition bzw. Subtraktion der Br¨ uche: 1 1 1 1·9 1·2·3 1·4 9+6−4 11 + − = + − = = 4 6 9 4·9 6·2·3 9·4 36 36
Der Hauptnenner der Br¨ uche
5.
a−b a b a+b + + + 2x x 3y 4y Der Hauptnenner der Br¨ uche
a−b a b a+b , , , ist 3 · 4 · xy. 2x x 3y 4y
Addition der Br¨ uche: a b a+b (a − b) · 6y a · 12y b · 4x (a + b) · 3x a−b + + + = + + + 2x x 3y 4y 2x · 6y x · 12y 3y · 4x 4y · 3x =
(a − b) · 6y + a · 12y + b · 4x + (a + b) · 3x 3ax + 18ay + 7bx − 6by = 12xy 12xy
Fehlerwarnungen: a+b a a a a b + = darf nicht verwechselt werden mit + = , wie man zum Bei1. c c c b c b+c spiel durch Einsetzen von a = 1, b = 2, c = 3 sofort best¨atigt. Richtig ist a a a·c a·b ac + ab a(b + c) + = + = = . b c b·c c·b bc bc a c a+c 2. + = , wie man zum Beispiel durch Einsetzen von a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 b d b+d a c a·c best¨atigt. Die Verwechslung mit · = ist naheliegend. b d b·d 1.6.5
Multiplizieren von Br¨ uchen
Br¨ uche werden miteinander multipliziert, indem man Z¨ahler mit Z¨ahler und Nenner mit Nenner multipliziert. Vor dem Multiplizieren sollte man k¨ urzen. a·c ac a c · = = b d b·d bd Sonderfall: Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliziert, indem man den Z¨ahler mit der Zahl multipliziert. a a·c ac ·c= = b b b
1.7 Potenz- und Wurzelrechnung
17
Beispiele: 2·4 8 2 4 · = = 1. 3 5 3·5 15 3 2 7 · 12 7·3 21 2. 1 · 2 = = = 4 5 4·5 1·5 5 2 (a + 1)(a − 1) · 12b 6(a + 1) 12b a −1 · = = 3. 2b ac − c 2b · c(a − 1) c 4.
15 · 12 · uvw3 15uv 15uv 12w 3 45 = uvw · 12w3 = · = 8w2 8w2 1 8w2 2
3 2 3 2 Fehlerwarnung: 1 · 2 = 1 · 2 + · ; richtig siehe Beispiel 2. 4 5 4 5 1.6.6
Dividieren von Br¨ uchen
Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. a c a d ad : = · = b d b c bc Sonderfall: Ein Bruch wird durch eine Zahl dividiert, indem man den Z¨ahler durch die Zahl dividiert oder den Nenner mit der Zahl multipliziert. a a a :c= = b b·c bc Beispiele: 2 4 2·5 5 1. : = = 3 5 3·4 6 2 2 2 22 · 18 · ax2 y 2 r 2 s 2ary 66x y 1 · 2 · ayr 22ax y = = : = 2. 2 2 27brs 18r s 27 · 66 · bx2 yrs2 3 · 3 · bs 9bs 3 35 5 3. 8 : 7 = = 4 4·7 4 35a2 · 1 5a 35a2 14a 35a2 = = : 14a = : 4. 2 2 43b 43b 1 43b2 · 14a 86b2
1.7 1.7.1
Potenz- und Wurzelrechnung Definition der Potenz
Eine Zahl der Form ax (gesprochen: a hoch x) heißt Potenz. Dabei ist a die Basis oder die Grundzahl und x der Exponent oder die Hochzahl der Potenz. ax
Potenz
a
Basis (Grundzahl)
x
Exponent (Hochzahl)
18
1 Arithmetik
Ist die Basis a eine beliebige reelle Zahl und der Exponent x eine nat¨ urliche Zahl, dann steht ax f¨ ur die Vorschrift, die Basis a insgesamt x-mal mit sich selbst zu multiplizieren. ax = a · a · a · . . . · a (x Faktoren, x ∈ IN) Man spricht vom Potenzieren f¨ ur diese algebraische Operation. Ist der Exponent x eine nat¨ urliche Zahl n, dann kann die Basis a eine beliebige reelle Zahl sein. Man nennt an dann n-te Potenz von a. Ist der Exponent x eine beliebige reelle Zahl, dann ist die Potenz nur f¨ ur positive Basen a definiert (a ∈ IR+ ). Dabei sind Potenzen mit irrationalen Exponenten mit Hilfe eines Grenz¨ ubergangs erkl¨ art (vgl. Abschnitt 8). p
a q = c ⇔ ap = cq F¨ ur negative Exponenten gilt a−m =
1 am
F¨ ur die Exponenten 1 und 0 gilt a1 = a
a0 = 1
(a = 0)
Eine spezielle Potenz f¨ ur k ∈ ZZ ist k
(−1) =
+1 falls k gerade −1 falls k ungerade
Beispiele: 3
1.
2 2 = 2, 8284 . . . Potenz mit Basis 2 und Exponent
2.
35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243
3.
(−4)3 = (−4) · (−4) · (−4) = −64
4.
3−5 =
5.
60 = 1 1 0 − =1 6
6.
1 1 = 35 243
4
7.
8 3 = c ⇔ 84 = c3 ⇔ c = 16
8.
8− 3 = c ⇔ 8−4 = c3 ⇔ c =
9.
41 = 4, (−12)1 = −12
10.
3 2
4
1 16
(−1)5 = −1, (−1)4 = 1, (−1)0 = 1, (−1)−11 = −1
= 1, 5
1.7 Potenz- und Wurzelrechnung 1.7.2
19
Regeln der Potenzrechnung
1. Potenzrechnung vor Punktrechnung ban = b · (an ) Soll erst Punktrechnung erfolgen, dann muss ein Klammerpaar gesetzt werden. Beispiele: 5 · 34 = 5 · 3 · 3 · 3 · 3 = 5 · (34 ); (5 · 3)4 = 5 · 3 · 5 · 3 · 5 · 3 · 5 · 3 = 154
Fehlerwarnung: ban = (ba)n f¨ ur a, b = 0, b, n = 1. 2. Addieren und Subtrahieren Potenzen kann man nur addieren oder subtrahieren, wenn sie in Basis und Exponent u ¨ bereinstimmen. pan + qan = (p + q)an Beispiel: 2 · 34 + 5 · 34 = (2 + 5) · 34 = 7 · 34
Fehlerwarnungen: 24 + 34 = 54 , 32 + 34 = 36 3. Multiplizieren und Dividieren bei gleicher Basis Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert (genauer: indem man die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenziert). an · am = an+m Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert (genauer: indem man die gemeinsame Basis mit der Differenz der Exponenten potenziert). an = an−m am Der Wert einer Potenz bleibt erhalten, wenn man gleichzeitig die Basis durch ihren Kehrwert und das Vorzeichen des Exponenten durch das entgegengesetzte ersetzt. a −n b
=
b n a
Fehlerwarnungen: 36 · 34 = 36·4 = 324 , 312 : 34 = 312:4 = 33 , a−2 = −a2 Beispiele: 1. 36 · 34 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 310 = 36+4 2.
36 3·3·3·3·3·3 = = 3 · 3 = 32 = 36−4 34 3·3·3·3
3.
35 : 34 = 35−4 = 31 = 3
4.
34 : 34 = 34−4 = 30 = 1
4 6 5.
3 2
:
3 2
4−6 =
3 2
−2 =
3 2
2 =
2 3
20
1 Arithmetik
4. Multiplizieren und Dividieren bei gleichem Exponenten Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert (genauer: indem man das Produkt der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert). an · bn = (a · b)n Fehlerwarnung: an · bn = (ab)2n (außer in Sonderf¨allen wie n = 0), zum Beispiel: 23 · 53 = 106 Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert (genauer: indem man den Quotienten der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert). a n an = bn b Fehlerwarnung:
a·n a an a allen) im Gegensatz zu = = (außer in Sonderf¨ bn b b·n b
Umkehrungen Ein Produkt wird potenziert, indem man die einzelnen Faktoren potenziert (genauer: indem man die Potenzen der einzelnen Faktoren miteinander multipliziert). (a · b)n = an · bn Ein Bruch wird potenziert, indem man Z¨ ahler und Nenner einzeln potenziert (genauer: indem man die Potenzen von Z¨ ahler und Nenner durcheinander dividiert). a n b
=
an bn
Fehlerwarnung: Die Berechnung von (a + b)n darf nicht verwechselt werden mit der von (a · b)n . Es gilt (a · b)n = an · bn, aber (a + b)n = an + bn (außer in Sonderf¨allen). Beispiele: 1. 24 · 54 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 · 5 = (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5) = (2 · 5)4 = 104 = 10 000 4 34 3 2. = = 0, 64 = 0, 1296 4 5 5 3. 305 = (3 · 10)5 = 35 · 105 = 243 · 100 000 = 24 300 000 = 2, 43 · 107 5 3 35 243 = 0, 00243 = 2, 43 · 10−3 4. 0, 35 = = 5 = 10 10 100 000
5. Potenzieren einer Potenz Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert (genauer: indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert). (an )m = an·m Bei der Potenz einer Potenz kann man die Exponenten miteinander vertauschen. (an )m = (am )n
1.7 Potenz- und Wurzelrechnung
21
Fehlerwarnung: (23 )4 = 27 Beispiele: 1. (23 )4 = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2) = 23·4 = 212 2. (34 )2 = 812 = 6561 = 94 = (32 )4 Beispiele zur gesamten Potenzrechnung: 1.
ar p + bsp − cr p + dsp = (a − c)r p + (b + d)sp
2.
x3m−1 xm+1 = x3m−1+m+1 = x4m
3.
42 · (2 · 5)2 (4 · 2)2 · 52 82 · 52 = = 42 = 16 = 82 + 62 64 + 36 100
4.
5c4 5 · 28 · ax+y ay−x b3u+v bv−2u 4a2y bu+2v 5ax+y b3u+v : = = 2 y−x v−2u 2 4 7c 28a b 7·5·c c c6
5.
(−u2 )3 = (−1)3 u2·3 = −u6 , (−u3 )2 = (−1)2 u3·2 = u6 ,
(c = 0)
((−u)2 )3 = ((−1)2 u2 )3 = (u2 )3 = u2·3 = u6
6.
5a−1 −4 −22 b−3
⎧
5b3 −4 4a 4 256a4 ⎪ ⎪ − 2 = − 3 = ⎨ 2 a 5b 625b12 = ⎪ 28 a4 256a4 5−4 a4 ⎪ ⎩ = 4 12 = −4 −8 12 12 (−1)
7.
2 3
x−1 − 3x
3x−1 −
2
b
5 b
(a, b = 0)
625b
2 4 2 4 x = 2x−2 − − 9 + 2x2 = 2 − 9 + 2x2 3 9 x 9
(x = 0)
1.7.3
Definition der Wurzel √ 1 Eine Zahl der Form n a = a n (gesprochen: n-te Wurzel aus a) heißt Wurzel. Dabei heißt a Radikand der Wurzel und ist eine reelle Zahl gr¨oßer als 0, und n heißt Wurzelexponent und ist eine nat¨ urliche Zahl gr¨ oßer als 1. √ n
a
Wurzel
a>0
Radikand
n > 1 Wurzelexponent √ Die Wurzel n a ist definiert als die eindeutig bestimmte Zahl x ≥ 0 mit xn = a. Die n-te Wurzel aus a ≥ 0 ist also die nichtnegative reelle Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist. √ n
a = x ⇔ xn = a
Man spricht vom Radizieren oder Wurzelziehen f¨ ur diese algebraische Operation. √ √ 2 Ist der Wurzelexponent gleich 2, so heißt a = a (der Wurzelexponent √ 2 braucht nicht geschrieben zu werden) Quadratwurzel (oder einfach Wurzel) aus a; 3 a heißt Kubikwurzel aus a.
22
1 Arithmetik
Bemerkungen: 1. Nach der Definition der Wurzel ist die Wurzel aus einer positiven Zahl wieder eine √ ur jede reelle Zahl a (zum Absolutbetrag |a| einer positive Zahl: a2 = |a| f¨ √ √ Zahl a vgl. Abschnitt 1.11.2). Es gilt daher zum Beispiel nur 4√= 2, nicht auch 4 = √−2. Dagegen hat die Gleichung x2 = 4 die L¨ osungen x1 = + 4 = +2 und x2 = − 4 = −2. 2. F¨ ur ungerade n (zum Beispiel n = 3) kann die n-te Wurzel auch f¨ ur negative Zahlen a eindeutig definiert werden, denn die n-te Potenz einer negativen Zahl ist selbst √ negativ. Zum Beispiel gilt 3 −27 = −3. √ 1 3. Wegen n a = a n ergeben sich die Regeln der Wurzelrechnung aus den entsprechenden Regeln der Potenzrechnung. Wegen der besonderen Bedeutung werden die u ¨ bertragbaren Regeln hier in Wurzelschreibweise wiederholt.
1.7.4
Regeln der Wurzelrechnung
1. Addieren und Subtrahieren Wurzeln kann man nur addieren oder subtrahieren, wenn sie in Radikand und Wurzelexponent u ¨ bereinstimmen. √ √ √ p n a + q n a = (p + q) n a Beispiel: 2 ·
√ √ √ √ 4 3 + 5 · 4 3 = (2 + 5) · 4 3 = 7 · 4 3
√ √ √ √ √ √ Fehlerwarnungen: 4 2 + 4 3 = 4 5, 3 2 + 4 2 = 7 2 (beides l¨asst sich nicht zusammenfassen) 2. Multiplizieren und Dividieren bei gleichem Radikanden Wurzeln mit gleichem Radikanden und den Wurzelexponenten n, m werden multipliziert, indem man aus dem in die (m + n)-te Potenz erhobenen Radikanden die nm-te √ √ √ m+n 1 1 1 1 n·m Wurzel zieht (denn n a · m a = a n · a m = a n + m = a n·m = am+n ). √ n
Beispiel:
√ 3
4096 ·
√ 4
4096 =
a·
√
m
a=
√
n·m
am+n
16 √· 8 = 128 7 12 40967 = 2 = 128
√ √ √ √ √ √ √ √ √ 12 3 3 4 Fehlerwarnung: a ·√4 a = 12 a, a2 , 3 a · 4 a = 7 a √ a · a = √ √ 3·4 12 (richtig: 3 a · 4 a = a4+3 = a7 ) Wurzeln mit gleichem Radikanden und den Wurzelexponenten n und m werden dividiert, indem man aus dem in die (m − n)-te Potenz erhobenen Radikanden die nm-te √ 1 √ n m−n 1 1 n·m am−n ). Wurzel zieht (denn m√aa = a n1 = a n − m = a n·m = am
√ n a √ = m a
√
n·m
am−n
1.7 Potenz- und Wurzelrechnung
Beispiel:
23
√ 3 16√: 8 = 2 4096 √ √ √ = 3·4 12 12 4 40964−3 = 12 4096 = 2 =2 4096
3. Multiplizieren und Dividieren bei gleichem Wurzelexponenten Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden multipliziert, indem man die Radikanden multipliziert (genauer: indem man die Wurzel aus dem Produkt der Radi√ √ √ 1 1 1 n n n n n n kanden zieht) (denn a · b = a · b = (ab) = ab). √ √ √ n n n a · b = ab Beispiel:
√ 3
8·
√ 3
27 =
2√· 3 = 6 √ 3 8 · 27 = 3 216 = 6
√ √ √ Fehlerwarnung: n a+ n b = n a + b (außer in Sonderf¨allen); der gegebene Ausdruck l¨asst sich nicht vereinfachen Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden dividiert, indem man die Radikanden dividiert (genauer: indem man die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden √ 1 n 1 a an a n zieht) (denn √ = = n ab ). n 1 = (b) b bn
√ n a a √ = n n b b ⎧ 2 ⎪ ⎨ 2:3= √ √ 3 Beispiel: 3 8 : 3 27 = 8 2 3 ⎪ ⎩ = 27
3
Umkehrungen Man zieht die Wurzel aus einem Produkt, indem man die Wurzel aus den einzelnen Faktoren zieht (genauer: indem man die Wurzeln aus den einzelnen Faktoren miteinander multipliziert). √ √ √ n n ab = n a · b Beispiel:
√
Fehlerwarnung:
36 =
√ n
6 √
4·
a + b =
√ 9=2·3=6
√ n
a+
√ n b (außer in Sonderf¨allen)
Man zieht die Wurzel aus einem Bruch, indem man sie aus Z¨ahler und Nenner einzeln zieht (genauer: indem man die Wurzeln aus Z¨ahler und Nenner durcheinander dividiert). √ n a a n = √ n b b Spezialfall
n
1 1 = √ n a a
24
1 Arithmetik Beispiele: √ √ 8 2 3 3 3 1. = 8 : 27 = 2 : 3 = 27 3
2.
4
1 1 1 = = √ 4 625 5 625
4. Radizieren und Potenzieren einer Wurzel Man zieht die Wurzel aus einer Wurzel, indem man die Wurzelexponenten multipliziert (genauer: indem man aus dem Radikanden die Wurzel mit dem aus dem Produkt beider Wurzelexponenten gebildeten neuen Wurzelexponenten zieht) (denn √ √ 1 1 1 n m a = (a m ) n = a mn = m·n a).
√
n
Beispiel:
4 √ 3
Fehlerwarnung:
m
a=
√
m·n
a
√ 4 4096 =
√ 3 5
7 =
√16 = 2 4096 = 2
12
√ 8
7 (richtig:
√ 3 5
7=
√
15
7)
Bei der Wurzel aus einer Wurzel kann man die Wurzelexponenten miteinander ver√ √ 1 1 tauschen (denn n m a = a mn = a nm = m n a). n
√ a=
m
m
√ n
a
Beispiele: √ 4 16 = 2 4 √ 3 √ √ 1. 4096 = 3 4 4096 = 3 8 = 2 √ 3 √ 4 √ 4 3 2. 27 = 27 = 4 3
Eine Wurzel wird potenziert, indem man den Radikanden potenziert (genauer: indem 1 m 1 man die Wurzel aus der Potenz des Radikanden zieht) (denn (a n )m = a n = (am ) n ). √ √ ( n a)m = n am Beispiele: √ 2√4 = 16√ 1. ( 3 8)4 = 3 4 8 = 3 4096 = 16 √ √ 2. ( 4 4)2 = 4 16 = 2
Umkehrung Man zieht die Wurzel aus einer Potenz, indem man die Wurzel aus der Basis in die entsprechende Potenz erhebt. √ √ n am = ( n a)m Beispiel:
√ 43 =
√
√64 = 8 ( 4)3 = 23 = 8
1.7 Potenz- und Wurzelrechnung
25
Spezialfall
√ √ ( n a)n = n an = a
√ √ 5 Beispiel: ( 5 3)5 = 35 = 3
Exponenten und Wurzelexponenten kann man gegeneinander k¨ urzen. √
np
√
12
Beispiel:
28 =
√ 3
22 =
√ √ √ anq = ( np a)nq = p aq = ( p a)q √ 3
4
5. Rationalmachen des Nenners Zum Rationalmachen des Nenners eines Bruches erweitert man den Bruch so, dass die Wurzel im Nenner wegf¨ allt. √ a a b √ = b b Beispiele: √ √ √ a2 a2 · a a2 · a 1. √ = √ √ = =a a a a a· a √ √ 3 3 √ a · a2 a a · a2 3 √ √ = = a2 2. 3 = √ 3 3 a a a · a2 √ √ √ √ √ x2 + 2x y + y (x + y)(x + y) (x + y)2 x+ y = 3. √ = √ √ = x− y (x − y)(x + y) x2 − y x2 − y Beispiele zur gesamten Wurzelrechnung: √ 1. ( 3 6)3 = 6 2.
3.
√ √ √ 2 1 4 ( 4 4)2 = 42 = 4 4 = 4 2 = 4 = 2
√ 3 √ √ 24 3 3 3 24 √ = = 8 = 23 = 2 3 3 3
4.
5.
4
2 √ 3
6.
√ 3
7.
( (
8.
1 1 1 1 = √ = = √ 4 4 4 256 4 256 4 64 =
2·
√
2·3
64 =
√ 6
64 = 2
√ √ √ 15 3+5 15 8 5 2= 2 = 2
1
0, 5)−2 = (0, 5) 2 (−2) = (0, 5)−1 =
1 =2 0, 5
1 1 0, 5)−2 = √ = =2 0, 5 ( 0, 5)2 3
3
(−2 4 )2 = +2 2 =
√ √ √ 23 = 22 · 2 = 2 2
oder
26 9.
1 Arithmetik √ √ √ √ √ √ √ ( 18 + 2)2 − ( 18 − 2)2 = 18 + 2 36 + 2 − (18 − 2 36 + 2) = 4 36 = 4 · 6 = 24
10.
√ √ √ √ √ √ √ √ ( 5 + 3)3 = 5 5 + 15 3 + 9 5 + 3 3 = 14 5 + 18 3
11.
√ √ √ √ √ √ √ √ 6 6 (3 2 − 2 3 3)(7 3 2 + 5 3) = 21 25 + 15 6 − 14 3 6 − 10 35
12.
√ √ √ √ a(a − a) a(a − a) a a(a − a) a− a √ = √ √ = = = a2 − a a(a − 1) a−1 a+ a (a + a)(a − a)
13.
3
14.
√ √ √ √ (a − 2) a2 − 4 (a − 2) a2 − 4 (a − 2) a2 − 4 a−2 a2 − 4 √ √ = √ = = = 2 2 2 2 a −4 (a − 2)(a + 2) a+2 a −4 a −4 a −4
15.
x · 3 x2 y x · 3 x2 y 1 3 = = x2 y = 3 xy y xy 2 xy 2 3 x2 y
x
√ 4 5
1024 =
16.
9
3
1 = 18
√
20
6
10
1
210 = 2 20 = 2 2 =
93 = 18
6
√
2
⎧ 3 ⎪ ⎨ √ 6 36 18 = 4 18 ⎪ ⎩ 6 3 2
1.8
=
1√ 6 25 · 34 2
Dezimalzahlen und Dualzahlen
Es gibt verschiedene M¨ oglichkeiten zur Darstellung von Zahlen. Die einzelnen Zeichen zur Darstellung von Zahlen sind die Zahlzeichen oder Ziffern. Grunds¨atzlich unterscheidet man zwischen sogenannten Positions- oder Stellenwertsystemen und Additionssystemen. Bei einem Positionssystem ist der Wert einer Ziffer abh¨angig von der Position dieser Ziffer innerhalb der Zahl. Bei Additionssystemen wird der Wert aller Zahlzeichen einfach addiert, um den Wert der Zahl festzulegen. Ein Beispiel f¨ ur ein Positionssystem ist unser Dezimalsystem, ein Beispiel f¨ ur ein Additionssystem ist das r¨ omische Zahlensystem. 1.8.1
Dezimalsystem
Die heute u ¨bliche Schreibweise der Zahlen ist die Dezimalschreibweise, das heißt, es gibt 10 verschiedene Ziffern (0,1,2,...,9) zur Darstellung der Zahlen. Jede Ziffer hat den zehnfachen Stellenwert der ihr rechts folgenden Ziffer. Im Dezimalsystem dargestellte Zahlen nennt man Dezimalzahlen. Beispiel: 3607 = 3 · 103 + 6 · 102 + 0 · 101 + 7 · 100 = 3000 + 600 + 0 + 7
Der Wert einer Ziffer innerhalb der Zahl ergibt sich also folgendermaßen: Die Einerstelle bleibt unver¨andert (Multiplikation mit 100 = 1), die Zehnerstelle wird mit 101 = 10, die Hunderterstelle wird mit 102 = 100, die Tausenderstelle wird mit 103 = 1000, . . ., die n-te Stelle wird mit 10n−1 multipliziert. Das Dezimalsystem (auch Zehnersystem genannt) ist also ein Positionssystem zur Basis
1.8 Dezimalzahlen und Dualzahlen
27
10. Eine solche Schreibweise wurde erst m¨ oglich nach Einf¨ uhrung der Null (f¨ ur nichts“). ” Unser Zahlensystem wurde im ersten Jahrtausend nach der Zeitenwende in Indien entwickelt. Es gelangte u ¨ber den arabischen Raum zun¨achst nach Spanien und dann nach Mitteleuropa, wo noch bis zum 16. Jahrhundert mit dem r¨omischen Zahlensystem gerechnet wurde. Wegen dieses Ursprungs nennt man unsere Ziffern auch indisch-arabische Ziffern. Im Dezimalsystem lassen sich auch rationale und reelle Zahlen darstellen. Die Darstellung einer reellen (rationalen oder irrationalen) Zahl als Dezimalzahl nennt man auch Dezimalbruch (vgl. auch Abschnitt 1.3). Beispiel: 486, 2545 = =
4 · 102 + 8 · 101 + 6 · 100 + 2 · 10−1 + 5 · 10−2 + 4 · 10−3 + 5 · 10−4 400 + 80 + 6 + 0, 2 + 0, 05 + 0, 004 + 0, 0005
Der Wert einer Ziffer innerhalb der Zahl ergibt sich dadurch, dass die n-te Stelle vor dem Komma mit 10n−1 und die m-te Stelle nach dem Komma mit 10−m multipliziert wird. Ist a = an an−1 . . . a2 a1 a0 , a−1 a−2 . . . a−m eine Zahl mit den Ziffern an , an−1 , . . . , a2 , a1 , a0 vor dem Komma und den Ziffern a−1 , a−2 , . . . , a−m nach dem Komma, dann gilt also a=
n
ai 10i
(∗)
i=−m
Die Stellen mit i ≥ 0 bilden den ganzen Teil, die mit i < 0 den gebrochenen Teil der Zahl. F¨ ur andere Zahlensysteme, n¨ amlich Positionssysteme zur Basis B, gilt (∗) ganz analog, wenn man 10 durch die entsprechende Basis B ersetzt (zum Beispiel B = 2 f¨ ur das Dualsystem). 1.8.2
Dualsystem
Das Dualsystem ist ein System zur Darstellung der Zahlen, in dem es nur zwei Ziffern (0 und 1) gibt. Das Dualsystem wird deshalb manchmal auch Bin¨arsystem oder Zweiersystem genannt. Es ist ein Positionssystem zur Basis 2. Der Wert einer Ziffer ist also abh¨angig von der Position innerhalb der Zahl. Jede Ziffer hat den doppelten Stellenwert der ihr rechts folgenden Ziffer. Im Dualsystem dargestellte Zahlen nennt man Dualzahlen. Beispiel: Der Dualzahl 1 001 101 entspricht die Dezimalzahl 1 · 26 + 0 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77.
Die Umrechnung von einem Zahlensystem in ein anderes wird als Konvertierung bezeichnet. Werden mehrere Zahlensysteme gleichzeitig benutzt, so ist es zur Vermeidung von Irrt¨ umern u angen. ¨ blich, die Basis als Index anzuh¨ Beispiel: 1 001 1012 = 7710
Die Darstellung reeller Zahlen im Dualsystem ist analog der Darstellung im Dezimalsystem. Der Wert einer Ziffer innerhalb der Zahl ergibt sich dadurch, dass die n-te Stelle vor dem Komma mit 2n−1 und die m-te Stelle nach dem Komma mit 2−m multipliziert
28
1 Arithmetik
wird. Beispiel: 101 100 011, 10112 = 1 · 28 + 1 · 26 + 1 · 25 + 1 · 2 + 1 · 1 + 1 · 2−1 + 1 · 2−3 + 1 · 2−4 = 256 + 64 + 32 + 2 + 1 +
1 1 1 11 + + = 355 = 355, 687510 2 8 16 16
Dualsysteme sind sehr bedeutend in Elektrotechnik und Datenverarbeitung. Computer sind zeichenverarbeitende Maschinen. Die externen Zeichen (Buchstaben, Ziffern, Sonderzeichen) werden intern im Bin¨ arcode in Form von Bitfolgen dargestellt. Ein Bit (Abk¨ urzung von Binary Digit) ist die kleinste darstellbare Informationseinheit mit den Werten 0 und 1. Acht Bit werden zur n¨ achsth¨ oheren Einheit, dem Byte, zusammengefasst. Zahlen werden in Computern in mehreren aufeinanderfolgenden Bytes dargestellt. Die interne Durchf¨ uhrung arithmetischer Operationen erfolgt im Computer also im Dualsystem. Andere Zahlensysteme, die im Zusammenhang mit der Nutzung von Computern eine Rolle spielen, sind das Oktalsystem (Positionssystem zur Basis 8) mit den Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7 und das Hexadezimalsystem (Positionssystem zur Basis 16) mit den Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F (die Buchstaben A,. . . ,F stehen f¨ ur die Werte 10,. . . ,15). 1.8.3
Runden
Als Dezimalstellen einer Dezimalzahl bezeichnet man die Stellen nach dem Komma. Runden ist das Verk¨ urzen einer Dezimalzahl, also die Darstellung einer Dezimalzahl mit einer vorgegebenen Anzahl von Dezimalstellen. Rundungsregel Ist die erste weggelassene Ziffer 0,1,2,3,4, dann bleibt die letzte geschriebene Ziffer unver¨andert. Ist die erste weggelassene Ziffer 5,6,7,8,9, dann erh¨oht sich die letzte geschriebene Ziffer um 1. Ist die gerundete Zahl kleiner als die urspr¨ ungliche Zahl (die erste weggelassene Ziffer ist dann 0,1,2,3 oder 4), spricht man von Abrunden. Ist die gerundete Zahl jedoch gr¨oßer als die urspr¨ ungliche Zahl (die erste weggelassene Ziffer ist dann 5,6,7,8 oder 9), so spricht man von Aufrunden. Beispiele: 1.
3, 456 ≈ 3, 46 (aufgerundet)
2.
23, 699 ≈ 23, 70 (aufgerundet)
3.
14, 3449 ≈ 14, 34 (abgerundet)
4.
17, 249 638 9 ≈ 17, 2496 (auf 4 Dezimalstellen gerundet)
1.9 1.9.1
Logarithmen Definition des Logarithmus
Eine Zahl der Form loga b (gesprochen: Logarithmus b zur Basis a) heißt Logarithmus. Dabei heißt b Numerus des Logarithmus und ist eine reelle Zahl gr¨oßer als 0, und a heißt Basis des Logarithmus und ist eine positive reelle Zahl ungleich 1.
1.9 Logarithmen
29
loga b
Logarithmus b zur Basis a
b>0
Numerus
a > 0, a = 1 Basis Der Logarithmus loga b ist definiert als die eindeutige L¨osung x der Gleichung ax = b. loga b = x ⇔ ax = b Der Logarithmus x = loga b ist also der Exponent zu der Basis a, f¨ ur den die Potenz ax gleich dem Numerus b ist. Aus der Definition folgt (denn a1 = a und a0 = 1) loga a = 1
loga 1 = 0
Beispiele: 1. log2 8 = x
⇒ x=3
denn 23 = 8
2.
log4 16 = x
⇒ x=2
denn 42 = 16
3.
log7 7 = x
⇒ x=1
denn 71 = 7
4.
log5 1 = x
⇒ x=0
denn 50 = 1
5.
log3 81 = x
⇒ x=4
denn 34 = 81
6.
log5 5 = x
⇒ x=7
denn 57 = 57
7.
log10 1000 = x ⇒ x = 3
8.
log2 0, 5 = x
7
⇒ x = −1
loga 8 = 1 ⇒ a=8 1 = −3 ⇒ a = 5 10. loga 125 5 3 ⇒ a= 11. loga = −1 5 3 9.
12. log10 b = −1 5 13. log4 b = 2
1.9.2
⇒ b = 0, 1 ⇒ b = 32
denn 103 = 1000 1 denn 2−1 = = 0, 5 2 denn 81 = 8 1 denn 5−3 = 125 5 −1 3 = denn 3 5 1 = 0, 1 denn 10−1 = √ 10 5 denn 4 2 = 45 = 25 = 32
Spezielle Basen
Logarithmen zur Basis a = 10 heißen Zehnerlogarithmen oder dekadische Logarithmen oder briggssche Logarithmen (nach dem englischen Mathematiker Henry Briggs, 15561630). Man schreibt statt log10 b auch einfach lg b. log10 b = lg b Logarithmen mit der eulerschen Zahl e = 2, 718 281 82 . . . als Basis (vgl. Abschnitt 8.4.5) werden nat¨ urliche Logarithmen oder nepersche Logarithmen (nach dem schottischen Mathematiker John Neper (Napier), 1550-1617) genannt. Man schreibt ln b f¨ ur loge b. loge b = ln b
30
1 Arithmetik
Die eulersche Zahl e ist der Grenzwert der Folge (1 + n1 )n (vgl. Abschnitt 8.1.5): e = lim (1 + n1 )n = 2, 718 281 828 4 . . .. n→∞
Sie hat ihren Namen nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783). Die eulersche Zahl ist eine irrationale Zahl. Logarithmen zur Basis a = 2 heißen Zweierlogarithmen oder bin¨are Logarithmen oder duale Logarithmen. Man schreibt statt log2 b manchmal auch ld b. log2 b = ld b Beispiele: 1. log2 32 = ld 32 = x √ 2. ld 2 = x
denn 25 = 32 √ 1 denn 2 2 = 2
⇒ x=5 ⇒ x=
1 2
denn 104 = 10 000
3. log10 10 000 = lg 10 000 = x ⇒ x = 4 4. lg 0, 01 = x
⇒ x = −2
denn 10−2 = 0, 01
5. loge 5 = ln 5 = x
⇒ x = 1, 6094 . . .
denn e1,6094... = 5
1.9.3
Regeln der Logarithmenrechnung
1. Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren. Oder: Addiert man zum Logarithmus einer Zahl u den Logarithmus einer Zahl v, dann erh¨ alt man als Summe den Logarithmus des Produkts uv. loga (u · v) = loga u + loga v Beweis: Setze loga u = x, loga v = y ⇒ loga u + loga v = x + y ax = u, ay = v ⇒ u · v = ax · ay = ax+y ⇒ loga (u · v) = x + y Beispiel: log2 256 =ld 256 = ld (4 · 64) =ld 4+ld 64 = 2 + 6 = 8
2. Der Logarithmus eines Bruches (Quotienten) ist gleich der Differenz der Logarithmen von Z¨ahler (Dividend) und Nenner (Divisor). Oder: Subtrahiert man vom Logarithmus einer Zahl u den Logarithmus einer Zahl v, dann erh¨alt man als Differenz den Logarithmus des Bruches (Quotienten) uv . loga
u = loga u − loga v v
Beweis: Setze loga u = x, loga v = y ⇒ loga u − loga v = x − y u u ax ax = u, ay = v ⇒ = y = ax−y ⇒ loga = x − y v a v Beispiel: log3
9 = log3 9 − log3 243 = 2 − 5 = −3 243
3. Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem mit dem Exponenten multiplizierten Logarithmus der Basis. Oder: Multipliziert man den Logarithmus einer Zahl u mit einer Zahl r, dann erh¨ alt man den Logarithmus der Potenz ur . loga (ur ) = r · loga u
1.9 Logarithmen
31
Beweis: Setze loga u = x ⇒ ax = u ⇒ ur = (ax )r = arx ⇒ rx = loga (ur ) = r loga u Beispiele: 1. log2 83 = 3 log2 8 = 3 log2 23 = 3 · 3 = 9 2. lg 10 000 = lg 104 = 4 lg 10 = 4
4. Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem durch den Wurzelexponenten dividierten Logarithmus des Radikanden. Oder: Dividiert man den Logarithmus √ einer Zahl u durch eine Zahl n, dann erh¨ alt man den Logarithmus der Wurzel n u. loga
√ n
u=
1 loga u n
Beweis: √ √ 1 1 Wegen n u = u n folgt loga n u = loga u n =
1 n
· loga u aus der Potenzregel.
Beispiele: √ 1 1 3 1. log5 5 = log 5 5 = 3 3 √ 1 1 1 3 2. log2 64 = · log2 64 = · log2 26 = · 6 = 2 3 3 3
5. Aus den Regeln ergeben sich die folgenden Spezialf¨alle (denn loga loga v = 0 − loga v).
1 v
= loga 1 −
loga (ar ) = r
loga
1.9.4
1 = − loga v v
Zusammenhang von Logarithmen mit verschiedenen Basen
F¨ ur Logarithmen mit verschiedenen Basen a und c gilt folgende Umrechnungsregel loga u =
logc u logc a
Beweis: Setze loga u = x. Es folgt ax = u, also auch logc ax = logc u. Nach der Potenzregel logc u . Wegen x = loga u folgt die ergibt sich x logc a = logc u und nach x aufgel¨ ost x = logc a logc u . Behauptung: loga u = logc a Logarithmen zu verschiedenen Basen (a und c) unterscheiden sich also nur durch einen konstanten Faktor ( log1 a ). c
F¨ ur c = u = b ergibt sich der Spezialfall loga b =
1 logb a
32
1 Arithmetik
Beispiele: 1 1 · lg u = · lg u 1. ln u = lg e 0, 4342 . . . 1 1 2. lg u = · ln u = · ln u ln 10 2, 3025 . . . 1 1 3. log5 u = · lg u = · lg u lg 5 0, 6989 . . . 1 1 4. ln 1000 = · lg 1000 ≈ · 3 ≈ 6, 907 755 279 lg e 0, 434 294 481 9
1.9.5
Dekadische Logarithmen
Die dekadischen Logarithmen (auch Briggssche Logarithmen oder Zehnerlogarithmen genannt) haben den Vorteil, dass man mit den Logarithmen der Dezimalzahlen zwischen 1 und 10 u ugt. ¨ ber die Logarithmen aller positiven reellen Zahlen verf¨ Begr¨ undung: Jede reelle Zahl x l¨ asst sich durch Abspalten einer Zehnerpotenz 10k mit ¯ mit 1 ≤ x ¯ < 10 schreiben. Dabei ist x ¯ ganzzahligem k in der Form x = 10k · x durch die Ziffernfolge von x bestimmt, w¨ ahrend 10k die Gr¨oßenordnung von x angibt. Logarithmieren ergibt lg x = lg(10k · x ¯) = lg(10k ) + lg x ¯ = k + lg x ¯ mit 0 ≤ lg x ¯<1 (also lg x ¯ = 0, . . .). Man nennt k die Kennzahl und die Ziffernfolge hinter dem Komma von lg x¯ die Mantisse des Logarithmus von x. Von einer vor dem Komma n-stelligen Zahl ist die Kennzahl n − 1 (also um 1 kleiner). F¨ ur Zahlen kleiner als 1 sind die Kennzahlen negativ. Logarithmentafeln enthalten in der Regel nur die Mantisse. Alle Zahlen, die sich nur durch Zehnerpotenzen unterscheiden, haben die gleiche Mantisse, aber unterschiedliche Kennzahlen. Beispiele: 1.
lg 2250 = lg(1000 · 2, 25) = lg(103 · 2, 25) = lg 103 + lg 2, 25 ≈ 3 + 0, 3522 = 3, 3522
2.
lg 0, 0315 = lg(3, 15 ·
3.
lg 2000 = lg(103 · 2) = lg 103 + lg 2 ≈ 3 + 0, 3010 = 3, 3010, lg 200 ≈ 2, 3010, lg 20 ≈ 1, 3010, lg 2 ≈ 0, 3010, lg 0, 2 ≈ 0, 3010 − 1, lg 0, 02 ≈ 0, 3010 − 2, lg 0, 002 ≈ 0, 3010 − 3
1.10 1.10.1
1 ) 100
= lg(3, 15 · 10−2 ) = lg 3, 15 + lg 10−2 ≈ 0, 4983 − 2
Mittelwerte Arithmetisches Mittel
Das arithmetische Mittel x ¯a = x¯ zweier reeller Zahlen a und b ist die H¨alfte ihrer Summe. x ¯=
a+b 2
Das arithmetische Mittel x ¯a = x ¯ von n reellen Zahlen a1 , a2 , . . . , an ist x ¯=
a1 + a2 + . . . + an n
1.10 Mittelwerte
33
Beispiele: 1. 2.
3 + 17 = 10. 2 Das arithmetische Mittel von 6, −4, 3, 12, 5, 2 ist 6 − 4 + 3 + 12 + 5 + 2 = 4. 6 Das arithmetische Mittel von 3 und 17 ist
1.10.2
Geometrisches Mittel
Das geometrische Mittel x ¯g zweier positiver reeller Zahlen a und b ist die Quadratwurzel aus ihrem Produkt. √ x ¯g = a · b Das geometrische Mittel x ¯g von n positiven reellen Zahlen a1 , a2 , . . . , an ist x ¯g =
√ n
a 1 · a2 · . . . · a n
Beispiele: 1.
Das geometrische Mittel von 3 und 12 ist
2.
Das geometrische Mittel von 3,5,9,15 ist
1.10.3
√ √ 4
3 · 12 = 6.
3 · 5 · 9 · 15 =
√ 4
√ 2025 = 3 4 25.
Harmonisches Mittel
Das harmonische Mittel x ¯h zweier von Null verschiedener reeller Zahlen a und b ist Zwei geteilt durch die Summe ihrer Kehrwerte. x ¯h =
1 a
2 +
1 b
Das harmonische Mittel x ¯h von n von Null verschiedenen reellen Zahlen a1 , a2 , . . . , an ist x ¯h =
1 a1
+
1 a2
n + ... +
1 an
Beispiele: 1.
Das harmonische Mittel von 3 und 6 ist
2.
Das harmonische Mittel von 3, 4, 6, 12 ist
1.10.4
1 3
2 + 1 3
=
1 6
+
1 4
4 +
2 1 2 1 6
= 4.
+
1 12
=
4 10 12
=
24 = 4, 8. 5
Quadratisches Mittel
Das quadratische Mittel x ¯q zweier reeller Zahlen a und b ist die Quadratwurzel der halben Summe ihrer Quadrate. a2 + b 2 x ¯q = 2
34
1 Arithmetik
Das quadratische Mittel x ¯q von n reellen Zahlen a1 , a2 , . . . , an ist x ¯q =
a21 + a22 + . . . + a2n n
Beispiele: 1.
Das quadratische Mittel von 1 und 7 ist
12 +72 2
2.
Das quadratische Mittel von 2, 6, 10, 16 ist
1.11 1.11.1
=
√
25 = 5.
22 +62 +102 +162 4
=
396 4
=
√ 99.
Ungleichungen Definitionen und Rechenregeln
Zwischen zwei reellen Zahlen a und b besteht genau eine der drei Beziehungen: a = b (a ist gleich b), a < b (a ist kleiner als b), a > b (a ist gr¨oßer als b). Der Winkelhaken ist dabei immer nach der gr¨ oßeren Seite hin ge¨ offnet. a, b ∈ IR : a = b oder a < b oder a > b Wegen dieser Eigenschaft nennt man die Menge IR der reellen Zahlen geordnet. Im Falle a = b (a ungleich b) gilt genau eine der beiden Ungleichungen a < b oder a > b. a = b ⇒ a < b oder a > b Die Ungleichung a ≤ b bedeutet, dass a kleiner oder gleich b ist (a ist also nicht gr¨oßer als b), und die Ungleichung a ≥ b bedeutet entsprechend, dass a gr¨oßer oder gleich b ist (b ist also nicht gr¨ oßer als a). Ist a < b und b < c, dann kann man die beiden Ungleichungen fortlaufend schreiben: a < b < c. Man nennt dies fortlaufende Ungleichung oder Ungleichungskette. a < b < c ⇔ a < b und b < c Entsprechend schreibt man zum Beispiel a < x und x ≤ b zusammenfassend als a < x ≤ b. Fortlaufende Ungleichungen werden oft benutzt, um einen Bereich oder ein Intervall anzugeben, aus dem eine Gr¨ oße x gew¨ ahlt werden darf oder gew¨ahlt werden soll. Eigenschaften von Ungleichungen: 1. a ≤ a (Reflexivit¨ at) 2. a ≤ b und b ≤ c ⇒ a ≤ c (Transitivit¨ at) 3. a ≤ b und b ≤ a ⇒ a = b (Antisymmetrie) Rechenregeln f¨ ur Ungleichungen: •
Eine Ungleichung kann von beiden Seiten gelesen werden: a < b ⇔ b > a f¨ ur alle a, b ∈ IR
1.11 Ungleichungen
35
•
Auf beiden Seiten einer Ungleichung darf dieselbe Zahl addiert werden: a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c f¨ ur alle a, b, c ∈ IR • Zwei gleichgerichtete Ungleichungen d¨ urfen addiert werden: a ≤ b und c ≤ d ⇒ a + c ≤ b + d f¨ ur alle a, b, c, d ∈ IR, a < b und c ≤ d ⇒ a + c < b + d f¨ ur alle a, b, c, d ∈ IR • Eine Ungleichung darf mit einer nichtnegativen Zahl multipliziert werden: a ≤ b und c ≥ 0 ⇒ ac ≤ bc f¨ ur alle a, b ∈ IR Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, so dreht sich das Ungleichheitszeichen um: a ≤ b und c ≤ 0 ⇒ ac ≥ bc f¨ ur alle a, b ∈ IR • Bildet man auf beiden Seiten einer Ungleichung den Kehrwert, so dreht sich das Ungleichheitszeichen um: 1 1 a≤b ⇒ ≥ f¨ ur alle a, b ∈ IR∗ a b
Aus der Multiplikationsregel folgt im besonderen (Multiplikation mit −1), dass das Vertauschen der Vorzeichen auf beiden Seiten einer Ungleichung das Ungleichheitszeichen umdreht: a < b ⇒ −a > −b. Beispiele: 1.
3 ≤ 3; 5 ≥ 5; −12, 2 ≤ −12, 2
2.
3 ≤ 5, 5 ≤ 6 ⇒ 3 ≤ 6;
3.
3 ≤ 3, 3 ≥ 3 ⇒ 3 = 3
4.
3 < 5 ⇔ 5 > 3; −1 > −2 ⇔ −2 < −1
5.
5 ≤ 7 ⇒ 5 + 2 ≤ 7 + 2;
6.
3 < 4, 7 < 9 ⇒ 3 + 7 < 4 + 9;
−4 ≥ −5, −5 ≥ −7, 1 ⇒ −4 ≥ −7, 1
4> 1 ⇒ 4−3 > 1−3 4 ≥ 3, −2 ≥ −5 ⇒ 4 − 2 ≥ 3 − 5
7.
5 ≤ 7 ⇒ 5 · 3 ≤ 7 · 3;
8.
4 > 2 ⇒ 4 · (−2) < 2 · (−2); 6 ≤ 7 ⇒ 6 · (−1) ≥ 7 · (−1) ⇒ −6 ≥ −7 1 1 1 1 2<3 ⇒ > ; −5 > −6 ⇒ − < − 2 3 5 6
9.
1.11.2
−3 > −4 ⇒ −3 · 2 > −4 · 2
Absolutbetrag
Der Betrag oder Absolutbetrag |a| einer Zahl a stellt auf der Zahlengeraden den Abstand der Zahl a vom Nullpunkt dar. Da Abst¨ ande nicht negativ sind, gilt |a| = a f¨ ur a ≥ 0 und |a| = −a f¨ ur a < 0. a f¨ ur a ≥ 0 |a| = −a f¨ ur a < 0 Betr¨age sind nicht negativ. Eigenschaften: 1. | − a| = |a| 2. |a| ≥ 0; |a| = 0 ⇔ a = 0
36
1 Arithmetik
3. |a · b| = |a| · |b| a |a| 4. = f¨ ur b = 0; b |b|
1 = 1 f¨ b |b| ur b = 0 1 1 ur n ∈ IN; n = n f¨ ur n ∈ IN, a = 0 5. |an | = |a|n f¨ a |a| 6. |a + b| ≤ |a| + |b| (sogenannte Dreiecksungleichung) Beispiele: 1.
|4, 3| = 4, 3; | − 2| = 2; | − π| = π; |0| = 0
2.
|3 · 4| = |3| · |4| = 3 · 4 = 12; |(−3) · 4| = | − 3| · |4| = 3 · 4 = 12
3.
−2 | − 2| 2 = ; =
1 1 1 = = 3 |3| 3 −4 | − 4| 4 1 5 5 5 = 1 = 1 4. |(−3) | = | − 3| = 3 ; (−2)3 | − 2|3 23 5.
|4 + 2| ≤ |4| + |2| ⇒ 6 ≤ 4 + 2 = 6;
1.11.3
|5 − 3| ≤ |5| + | − 3| ⇒ 2 ≤ 5 + 3 = 8
Intervalle
Es seien a und b zwei reelle Zahlen mit a < b. Die Menge aller reellen Zahlen x, die die fortlaufende Ungleichung a < x < b erf¨ ullen, heißt Intervall oder Zahlenintervall mit den Endpunkten oder Randpunkten a und b (genauer: offenes und beschr¨anktes Intervall). Geh¨ ort der Randpunkt nicht selbst zum Intervall, so spricht man von einem offenen Intervallende, im entgegengesetzten Fall von einem abgeschlossenen Intervallende. Die Angabe eines Intervalls erfolgt durch seine Randpunkte a und b, indem diese in Klammern gesetzt werden. Eine eckige Klammer steht f¨ ur ein abgeschlossenes Intervallende, eine runde f¨ ur ein offenes Intervallende. Geh¨ oren beide Randpunkte zu dem Intervall, so heißt es abgeschlossen. Geh¨ ort nur einer der Randpunkte (also entweder a oder b) zum Intervall, so heißt es halboffen. Geh¨ ort keiner der Randpunkte zum Intervall, so heißt es offen. Intervalle dienen der Beschreibung von Zahlenmengen. Man unterscheidet beschr¨ankte und nicht beschr¨ankte Intervalle. Bei einem beschr¨ankten Intervall sind die Intervallgrenzen a und b reelle Zahlen. Es besteht aus allen reellen Zahlen x, die zwischen diesen beiden Grenzen liegen.
Beschr¨ ankte Intervalle
[a, b]
=
{x|x ∈ IR und a ≤ x ≤ b}
(abgeschlossenes Intervall)
(a, b)
=
{x|x ∈ IR und a < x < b}
(offenes Intervall)
[a, b)
=
{x|x ∈ IR und a ≤ x < b}
(halboffenes Intervall)
(a, b]
=
{x|x ∈ IR und a < x ≤ b}
(halboffenes Intervall)
Das Symbol mit der Schreibweise ∞ heißt unendlich und steht f¨ ur beliebig groß“. Das ” Symbol −∞ heißt entsprechend minus unendlich und steht f¨ ur beliebig klein“. Die Sym” bole ∞ und −∞ sind keine reellen Zahlen; −∞ ist kleiner als jede reelle Zahl, ∞ ist gr¨oßer als jede reelle Zahl. Bei einem nicht beschr¨ ankten Intervall ist mindestens eine der Intervallgrenzen −∞ oder ∞. Solche Intervalle k¨ onnen durch eine Ungleichung beschrieben werden.
1.12 Komplexe Zahlen
Nicht beschr¨ ankte Intervalle
37
[a, ∞)
=
{x|x ∈ IR und x ≥ a}
(halboffenes Intervall, nach rechts unbeschr¨ ankt)
(a, ∞)
=
{x|x ∈ IR und x > a}
(offenes Intervall, nach rechts unbeschr¨ ankt)
(−∞, a]
=
{x|x ∈ IR und x ≤ a}
(halboffenes Intervall, nach links unbeschr¨ ankt)
(−∞, a)
=
{x|x ∈ IR und x < a}
(offenes Intervall, nach links unbeschr¨ ankt)
(−∞, ∞)
=
{x|x ∈ IR}
(offenes Intervall, nach links und nach rechts unbeschr¨ ankt)
Beispiele: 1. [3, 4] = {x|x ∈ IR und 3 ≤ x ≤ 4} Alle reellen Zahlen zwischen 3 und 4; sowohl 3 als auch 4 geh¨ oren zum Intervall. 2. [3, 4) = {x|x ∈ IR und 3 ≤ x < 4} Alle reellen Zahlen zwischen 3 und 4; 3 geh¨ ort zum Intervall, 4 jedoch nicht. 3. (3, 4] = {x|x ∈ IR und 3 < x ≤ 4} Alle reellen Zahlen zwischen 3 und 4; 3 geh¨ ort nicht zum Intervall, aber 4. 4. (3, 4) = {x|x ∈ IR und 3 < x < 4} Alle reellen Zahlen zwischen 3 und 4; weder 3 noch 4 geh¨ oren zum Intervall. 5. [3, ∞) = {x|x ∈ IR und x ≥ 3} Alle reellen Zahlen gr¨ oßer oder gleich 3 geh¨ oren zum Intervall (3 geh¨ ort dazu). 6. (3, ∞) = {x|x ∈ IR und x > 3} Alle reellen Zahlen gr¨ oßer als 3 geh¨ oren zum Intervall (3 geh¨ ort nicht dazu). 7. (−∞, 4] = {x|x ∈ IR und x ≤ 4} Alle reellen Zahlen kleiner oder gleich 4 geh¨ oren zum Intervall (4 geh¨ ort dazu). 8. (−∞, 4) = {x|x ∈ IR und x < 4} Alle reellen Zahlen kleiner als 4 geh¨ oren zum Intervall (4 geh¨ ort nicht dazu). 9. (−∞, ∞) = {x|x ∈ IR} Alle reellen Zahlen geh¨ oren zum Intervall.
1.12
Komplexe Zahlen
1.12.1
Algebraische Form
Im Bereich Zahlen besitzt die Gleichung x2 + 1 = 0 keine L¨osung. Ebenso √ der reellen √ stellen −3 oder 4 −6 keine reellen Zahlen dar. Falls eine quadratische Gleichung keine reelle L¨osung besitzt, ist es trotzdem m¨oglich, L¨osungen anzugeben und zwar komplexe Zahlen als L¨osungen. Zur Darstellung dieser komplexen Zahlen wird eine Erweiterung des Bereichs der reellen Zahlen vorgenommen. Ausgangspunkt ist die imagin¨ are Einheit i, deren Quadrat gleich −1 ist: i2 = −1. Imagin¨are Einheit i F¨ ur die imagin¨are Einheit gilt
i2 = −1
38
1 Arithmetik
i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1 i4n−3 = i, i4n−2 = −1, i4n−1 = −i, i4n = 1 (n ∈ IN) Die Zahlen i und −i sind L¨ osungen der quadratischen Gleichung x2 + 1 = 0. Mit dieser imagin¨ aren Einheit i und zwei reellen Zahlen a und b stellt z = a + bi eine komplexe Zahl dar. z = a + bi, a, b ∈ IR, i2 = −1 Eine komplexe Zahl z besteht also aus einem reellen Teil a (Realteil) und einem imagin¨ aren Teil b (Imagin¨ arteil). Wenn a und b alle m¨ oglichen reellen Werte durchlaufen, dann werden alle m¨oglichen komplexen Zahlen z erzeugt. Alle komplexen Zahlen bilden zusammen die Menge C der komplexen Zahlen. C = {z = a + bi|a, b ∈ IR} Komplexe Zahlen z mit Realteil gleich 0 (also a = 0) heißen imagin¨are Zahlen, die komplexen Zahlen z mit Imagin¨ arteil gleich 0 (also b = 0) sind die reellen Zahlen. Die komplexen Zahlen umfassen also die imagin¨ aren Zahlen und die reellen Zahlen. z = a + bi
komplexe Zahlen
z = bi (a = 0) imagin¨are Zahlen z = a (b = 0)
reelle Zahlen
Komplexe Zahlen z = a + bi und z¯ = a − bi, also mit gleichem Realteil und entgegengesetzt gleichem Imagin¨ arteil, heißen konjugiert komplex. Komplexe Zahlen sind nicht mehr auf einer Zahlengeraden, sondern nur noch in einer Zahlenebene, der sogenannten gaußschen Zahlenebene, darstellbar (Name nach dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß, 1777-1855). imagin¨ are Achse z1 = a1 + b1 i
b1 i
i a2 −1
z2 = a2 + b2 i
0 1 −i
a1
reelle Achse
b2 i
Abbildung 1.1 Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene
1.12 Komplexe Zahlen
39
Dabei wird in einem kartesischen Koordinatensystem der Ebene (siehe Abschnitt 7.1.1) der Realteil a von z auf der Abszissenachse und der Imagin¨arteil b von z auf der Ordinatenachse abgetragen. Jeder komplexen Zahl entspricht ein Punkt der Ebene und umgekehrt. Die Zuordnung von Zahl und Punkt ist eineindeutig. Die reellen Zahlen liegen auf der Abszissenachse, die imagin¨ aren Zahlen liegen auf der Ordinatenachse. Deshalb nennt man die Abszissenachse auch reelle Achse und die Ordinatenachse imagin¨are Achse. Die Darstellung einer komplexen Zahl in der Form z = a + bi, bei der kartesische Koordinaten verwendet werden, heißt algebraische Form. Daneben gibt es f¨ ur die Darstellung der komplexen Zahlen die trigonometrische Form und die Exponentialform.
imagin¨ are Achse z = a + bi
bi
i −1 0 −i
−bi
1
a
reelle Achse
z = a − bi
Abbildung 1.2 Konjugiert komplexe Zahlen z und z¯ in algebraischer Form
1.12.2
Trigonometrische Form
Neben der Darstellung der komplexen Zahlen in algebraischer Form gibt es die Darstellung in trigonometrischer Form (vgl. Abschnitt 6): z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dabei heißt r Modul oder Absolutbetrag (also r = |z|) und ϕ Argument der komplexen Zahl z. Der (orientierte) Winkel ϕ wird im Bogenmaß (vgl. Abschnitt 3.10.9) gemessen und ist nur bis auf Vielfache von 2π bestimmt. Deshalb w¨ahlt man meist f¨ ur ϕ das halboffene Intervall [0, 2π), also 0 ≤ ϕ < 2π. z = r(cos ϕ + i sin ϕ), r ∈ IR, r ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π F¨ ur ϕ = 0 ergeben sich die positiven reellen Zahlen, f¨ ur ϕ = π die negativen reellen Zahlen, f¨ ur ϕ = π2 die positiven imagin¨ aren Zahlen und f¨ ur ϕ = 32 π die negativen imagin¨aren Zahlen. Statt trigonometrischer Form sagt man mitunter auch goniometrische Form der komplexen Zahlen.
40
1 Arithmetik imagin¨ are Achse z b (Imagin¨arteil)
bi ul) od M r(
i ϕ 0
(Argument) a (Realteil)
a
reelle Achse
Abbildung 1.3 Algebraische und trigonometrische Form einer komplexen Zahl z
F¨ ur die Darstellung der komplexen Zahlen in der Ebene werden f¨ ur die trigonometrische Form Polarkoordinaten (siehe Abschnitt 7.1.2) verwendet, wohingegen f¨ ur die algebraische Form kartesische Koordinaten (siehe Abschnitt 7.1.1) benutzt werden. F¨ ur den Zusammenhang zwischen algebraischer und trigonometrischer Form gilt b a2 + b2 , tan ϕ = a a = r cos ϕ, b = r sin ϕ r=
Derselbe Zusammenhang gilt f¨ ur die kartesischen Koordinaten und die Polarkoordinaten eines Punktes in der Ebene. Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren und Radizieren komplexer Zahlen lassen sich in der trigonometrischen Form einfacher durchf¨ uhren.
1.12.3
Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen
Komplexe Zahlen z1 = a1 +b1 i und z2 = a2 +b2 i werden addiert, indem man die Realteile addiert und die Imagin¨ arteile addiert. z1 + z2 = (a1 + b1 i) + (a2 + b2 i) = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i Komplexe Zahlen z1 = a1 + b1 i und z2 = a2 + b2 i werden voneinander subtrahiert, indem man die Realteile subtrahiert und die Imagin¨ arteile subtrahiert. z1 − z2 = (a1 + b1 i) − (a2 + b2 i) = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i
1.12 Komplexe Zahlen
41 imagin¨ are Achse z1 + z 2 #
z2
z1 # # 0
reelle Achse z1 − z2
Abbildung 1.4 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen z1 und z2 (die mit # gekennzeichneten Strecken sind parallel und gleich lang)
Die Summe konjugiert komplexer Zahlen z = a + bi und z¯ = a − bi ist reell, die Differenz konjugiert komplexer Zahlen ist imagin¨ ar. z + z¯ = (a + bi) + (a − bi) = 2a, z − z¯ = (a + bi) − (a − bi) = 2bi Beispiele: 1.
z1 + z2 = (2, 66 + 0, 89i) + (−0, 81 + 1, 49i) = 1, 85 + 2, 38i
2.
z1 − z2 = (2, 66 + 0, 89i) − (−0, 81 + 1, 49i) = 3, 47 − 0, 60i
3.
z + z¯ = (2, 4 + 0, 9i) + (2, 4 − 0, 9i) = 4, 8
4.
z − z¯ = (2, 4 + 0, 9i) − (2, 4 − 0, 9i) = 1, 8i
1.12.4
Multiplizieren komplexer Zahlen
Komplexe Zahlen z1 = a1 + b1 i und z2 = a2 + b2 i in algebraischer Form werden wie algebraische Summen multipliziert (denn z1 · z2 = (a1 + b1 i)(a2 + b2 i) = a1 a2 + a1 b2 i + b1 a2 i + b1 b2 i2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i wegen i2 = −1). z1 · z2 = (a1 + b1 i)(a2 + b2 i) = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i Das Produkt konjugiert komplexer Zahlen ist reell. z · z¯ = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 Beispiele: 1.
z1 · z2 = (3 + 4i)(5 − 2i) = (3 · 5 − 4 · (−2)) + (3 · (−2) + 5 · 4)i = 23 + 14i
2.
z · z¯ = (2, 4 + 0, 9i)(2, 4 − 0, 9i) = (2, 4)2 + (0, 9)2 = 5, 76 + 0, 81 = 6, 57
Komplexe Zahlen z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) und z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) in trigonometrischer Form werden multipliziert, indem man die Moduln (r1 und r2 ) multipliziert und die Argumente (ϕ1 und ϕ2 ) addiert. z 1 · z2
= r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) · r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )]
42
1 Arithmetik
Beweis: z1 · z2 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) · r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) = r1 r2 [(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 ) + (cos ϕ1 sin ϕ2 + sin ϕ1 cos ϕ2 )i] = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )], denn cos ϕ1 cos ϕ2 −sin ϕ1 sin ϕ2 = cos(ϕ1 +ϕ2 ) und cos ϕ1 sin ϕ2 +sin ϕ1 cos ϕ2 = sin(ϕ1 + ϕ2 ) (siehe Abschnitt 6.6). Beispiele: 3.
4.
z1 = 3(cos 20◦ + i sin 20◦ ), z2 = 7(cos 65◦ + i sin 65◦ ) ⇒ z1 · z2 = 3(cos 20◦ + i sin 20◦ ) · 7(cos 65◦ + i sin 65◦ ) = 21(cos 85◦ + i sin 85◦ ) 5√ 5 13 13 √ 3 + i; z2 = 13(cos 60◦ + i sin 60◦ ) = 3i + z1 = 5(cos 30◦ + i sin 30◦ ) = 2 2 2 2 √ 1 1 (denn sin 30◦ = cos 60◦ = und sin 60◦ = cos 30◦ = 3 ). Es folgt 2◦ 2 ◦ ◦ ◦ z1 · z2 = 5(cos 30 + i sin 30 ) · 13(cos 60 + i sin 60 ) = 65(cos 90◦ + i sin 90◦ ) = 65i oder √
65 √ 13 √ 65 5 65 √ 5 13 65 · 3 3+ i 3i = 3− 3+ i = 65i + + z1 · z2 = 2 2 2 2 4 4 4 4
1.12.5
Dividieren komplexer Zahlen
Komplexe Zahlen z1 = a1 + b1 i und z2 = a2 + b2 i in algebraischer Form werden dividiert, indem man mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners (Divisors) erweitert. z1 a 1 a2 + b 1 b2 a1 + b1 i b1 a2 − a1 b2 = = + i 2 2 z2 a2 + b 2 i a2 + b 2 a22 + b22
(z2 = 0)
Beweis: a1 + b 1 i z1 (a1 + b1 i)(a2 − b2 i) a1 a2 + b1 b2 + (b1 a2 − a1 b2 )i = = = z2 a2 + b 2 i (a2 + b2 i)(a2 − b2 i) a22 + b22 a 1 a2 + b 1 b 2 b1 a2 − a1 b2 = + i a22 + b22 a22 + b22 Der Quotient konjugiert komplexer Zahlen ist wieder eine komplexe Zahl. 2ab z a + bi a2 − b 2 + 2 i (z = 0) = = 2 z¯ a − bi a + b2 a + b2 Beispiele: 1.
2.
3.
3 · 5 + 4 · (−2) 4 · 5 − 3 · (−2) 20 + 6 7 26 3 + 4i 15 − 8 z1 = + i= + i = + i= z2 5 − 2i 52 + (−2)2 52 + (−2)2 25 + 4 25 + 4 29 29 z z¯
2 · 2, 4 · 0, 9 2, 4 + 0, 9i (2, 4)2 − (0, 9)2 + i = 2, 4 − 0, 9i (2, 4)2 + (0, 9)2 (2, 4)2 + (0, 9)2 5, 76 − 0, 81 4, 32 4, 95 4, 32 = + i= + i 5, 76 + 0, 81 5, 76 + 0, 81 6, 57 6, 57
=
1 · (−i) 1 = = −i i i · (−i)
1.12 Komplexe Zahlen
43
Komplexe Zahlen z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) und z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) in trigonometrischer Form werden dividiert, indem man die Moduln (r1 und r2 ) dividiert und die Argumente (ϕ1 und ϕ2 ) subtrahiert. r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) z1 r1 = = [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )] z2 r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) r2 Beweis: r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) z1 r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )(cos ϕ2 − i sin ϕ2 ) = = z2 r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )(cos ϕ2 − i sin ϕ2 ) r1 cos ϕ1 cos ϕ2 + sin ϕ1 sin ϕ2 + (sin ϕ1 cos ϕ2 − cos ϕ1 sin ϕ2 ) i r2 sin2 ϕ2 + cos2 ϕ2 r1 = [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )] r2 denn cos ϕ1 cos ϕ2 +sin ϕ1 sin ϕ2 = cos(ϕ1 −ϕ2 ), sin ϕ1 cos ϕ2 −cos ϕ1 sin ϕ2 = sin(ϕ1 −ϕ2 ) und sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1 (siehe Abschnitt 6.6). =
Beispiele: 4.
5.
z1 = 3(cos 20◦ + i sin 20◦ ), z2 = 7(cos 65◦ + i sin 65◦ ) 7(cos 65◦ + i sin 65◦ ) 7 z2 = (cos 45◦ + i sin 45◦ ) = ⇒ z1 3(cos 20◦ + i sin 20◦ ) 3 5√ 5 z1 = 5(cos 30◦ + i sin 30◦ ) = 3 + i, 2 2 13 √ 13 ◦ ◦ z2 = 13(cos 60 + i sin 60 ) = + 3i 2 2 Es folgt z1 z2
5(cos 30◦ + i sin 30◦ ) 5 = (cos(−30◦ ) + i sin(−30◦ )) 13(cos 60◦ + i sin 60◦ ) 13
5 1√ 1 5 √ 5 5 3− i = 3− = (cos 30◦ − i sin 30◦ ) = i 13 13 2 2 26 26
=
oder z1 z2
=
=
1.12.6
5 2 13 2 65 4
√
√
5 3 + 52 i 13 − 13 3i 2 2 2 3 + 52 i
√ = √ √
13 + 13 3i 2 + 13 3 i 13 − 13 3i 2 2 2 2 √ √ 3 − 65 · 3 i + 65 i + 65 3 5 5 √ 4 4 4 3− = i 169 26 26 √
Potenzieren komplexer Zahlen
Ist n eine nichtnegative ganze Zahl, so wird die n-te Potenz z n von z wie u ¨ blich durch z 0 = 1, z n = z n−1 · z definiert. Beispiele: 1. 2.
z 3 = (a + bi)2 (a + bi) = a3 − 3ab2 + (3a2 b − b3 ) i z4
= (a + bi)3 (a + bi) = [a3 − 3ab2 + (3a2 b − b3 )i](a + bi) = a4 − 6a2 b2 + b4 + (4a3 b − 4ab3 ) i
44
1 Arithmetik
Einfacher l¨asst sich das Potenzieren komplexer Zahlen in der trigonometrischen Form durchf¨ uhren. Mit Hilfe der Additionstheoreme f¨ ur die trigonometrischen Funktionen (vgl. Abschnitt 6.6) erh¨ alt man die Formel von Moivre (nach dem franz¨osischen Mathematiker Abraham de Moivre, 1667-1754). z n = [r(cos ϕ + i sin ϕ)]n = rn (cos nϕ + i sin nϕ) (n ∈ IN) Eine komplexe Zahl in trigonometrischer Form wird also in die n-te Potenz erhoben, indem man den Modul (r) in die entsprechende Potenz r n erhebt und das Argument (ϕ) mit dem Exponenten n multipliziert. Beispiel: 3.
z = 5(cos 30◦ + i sin 30◦ ) = z4
=
√ 5 2
5√ 5 3+ i 2 2
4
3+
√ 4 5
5 i 2
√ 2 2 5 5
4
√ 3 5 5
5√ 5 3 3 i 2 2 2 2 2 2 2 √ √ 625 · 9 4 · 125 · 3 · 3 · 5 6 · 25 · 3 · 25 625 4 · 5 · 3 · 125 = i − + + − 16 4·4 16 8·2 2·8 √ 625 625 · 3 =− + i 2 2 =
z4
3
−6
3
+
5 2
+ 4
3
·
−4
= [5(cos 30◦ + i sin 30◦ )]4 = 54 (cos 120◦ + i sin 120◦ ) 1√ 625 · 1 625 + 3 i) = − = 5 (− sin 30 + i cos 30 ) = 5 (− + 2 2 2 2 4
◦
◦
4
√
3
i
Die Moivresche Formel l¨ asst sich durch vollst¨ andige Induktion beweisen. Ihre G¨ ultigkeit l¨ asst sich schrittweise bis auf reelle Exponenten ausdehnen. 1.12.7
Radizieren komplexer Zahlen √ Die n-te Wurzel n z einer komplexen Zahl z ist definiert als eine komplexe Zahl w, deren n-te Potenz gleich z ist, also eine L¨ osung der Gleichung wn = z. Setzt man z = r(cos ϕ + i sin ϕ) und w = ρ(cos ψ + i sin ψ), dann folgt mit der Formel von Moivre wn = ρn (cos nψ + i sin nψ) und wegen wn = z = r(cos√ϕ + i sin ϕ) weiter ρn = r, cos nψ = cos ϕ, sin nψ = sin ϕ. Aus ρn = r ergibt sich ρ = n r, w¨ahrend es f¨ ur cos nψ = cos ϕ, sin nψ = sin ϕ wegen cos ϕ = cos(ϕ + 2kπ), sin ϕ = sin(ϕ + 2kπ) genau ϕ + 2(k − 1)π n verschiedene L¨osungen ψk = , k = 1, 2, 3, . . . , n, gibt. n Somit gilt: F¨ ur n ∈ IN besitzt die Gleichung wn = z = r(cos ϕ + i sin ϕ) genau n verschiedene L¨osungen w1 , w2 , . . . , wn (die n-ten Wurzeln aus z). wk =
√ ϕ + 2(k − 1)π ϕ + 2(k − 1)π
n , k = 1, 2, . . . , n r cos + i sin n n
Die n-te Wurzel aus z ist also nicht eindeutig. F¨ ur k = 1 ergibt sich der sogenannte Hauptwert w1 der n-ten Wurzel.
1.12 Komplexe Zahlen
Hauptwert
45
w1 =
√ ϕ ϕ
n r cos + i sin n n
Stellt man die n-ten Wurzeln wk , k = 1, 2, 3, . . . , n in der Gaußschen Zahlenebene dar, so ergeben sich die Eckpunkte eines regelm¨ aßigen n-Ecks mit dem Mittelpunkt√im Koordinatenursprung. Die Punkte liegen auf einem Kreis mit dem Radius ρ = n r. Der ϕ 2π Hauptwert w1 besitzt das Argument . Durch wiederholte Drehung um den Winkel n n erh¨alt man die weiteren L¨ osungen. Beispiel: z = 2, 985 984(cos 60◦ + i sin 60◦ ) = (1, 2)6 (cos 60◦ + i sin 60◦ ), n = 6 √ 60◦ ϕ Wegen n r = 6 (1, 2)6 = 1, 2 und = = 10◦ lauten die sechsten Wurzeln aus z: n 6 w2 = 1, 2(cos 70◦ + i sin 70◦ ) w1 = 1, 2(cos 10◦ + i sin 10◦ ), ◦ ◦ w4 = 1, 2(cos 190◦ + i sin 190◦ ) w3 = 1, 2(cos 130 + i sin 130 ), ◦ ◦ w6 = 1, 2(cos 310◦ + i sin 310◦ ) w5 = 1, 2(cos 250 + i sin 250 ),
imagin¨ are Achse z
w2
r
w3 ϕ 0
w4
√ 6
w1 reelle Achse
r w6
w5 Abbildung 1.5 Die sechsten Wurzeln w1 , w2 , . . . , w6 aus z = (1, 2)6 (cos 60◦ + i sin 60◦ )
Die n-ten Wurzeln aus z = 1 sind die sogenannten n-ten Einheitswurzeln. n-te Einheitswurzeln
L¨ osungen von wn = z = 1
Beispiele: 1.
n = 2 : z = w2 = 1 w1 = 1(cos 0◦ + i sin 0◦ ) = 1; w2 = 1(cos 180◦ + i sin 180◦ ) = −1
46 2.
1 Arithmetik n = 3 : z = w3 = 1 w1 = 1(cos 0◦ + i sin 0◦ ) = 1
1 1√ 3i + 2 2 1 1√ w3 = 1(cos 240◦ + i sin 240◦ ) = 1(− cos 60◦ − i sin 60◦ ) = − − 3i 2 2 4 n=4: z=w =1 w2 = 1(cos 120◦ + i sin 120◦ ) = 1(− cos 60◦ + i sin 60◦ ) = −
3.
w1 w2 w3 w4
= 1(cos 0◦ + i sin 0◦ ) = 1 = 1(cos 90◦ + i sin 90◦ ) = i = 1(cos 180◦ + i sin 180◦ ) = −1 = 1(cos 270◦ + i sin 270◦ ) = −i
w2 = 1
i
w2
w1
−1
0
1 w2
w3 = 1
i
−i w1 w4 = 1
−1 i
0
1
w2 w3
−i
w1
w3 −1
0
−i
1
w4
Abbildung 1.6 Die n-ten Einheitswurzeln f¨ ur n = 2, n = 3 und n = 4
1.12.8
Eulersche Formel
Die eulersche Formel f¨ ur komplexe Zahlen z verkn¨ upft die Exponentialfunktion (vgl. Abschnitt 5.7.1) und die trigonometrischen Funktionen (siehe Abschnitt 6) miteinander (nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler, 1707-1783). Dabei ist e die eulersche Zahl (vgl. Abschnitt 1.8). eiz = cos z + i sin z, z ∈ C F¨ ur reelle Zahlen x (die reellen Zahlen sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen) gilt eix = cos x + i sin x.
1.12 Komplexe Zahlen
47
Setzt man x = ϕ, dann erh¨ alt man die sogenannte Exponentialform der komplexen Zahlen. z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = reiϕ Dabei ist r der Modul und ϕ das Argument der komplexen Zahl z. F¨ ur das Produkt und den Quotienten zweier komplexer Zahlen z1 = r1 · eiϕ1 und z2 = r2 · eiϕ2 ergibt sich z1 · z2 = r1 · eiϕ1 · r2 · eiϕ2 = r1 · r2 · ei(ϕ1 +ϕ2 ) z1 r1 eiϕ1 r1 i(ϕ1 −ϕ2 ) = = e z2 r2 eiϕ2 r2
(z2 = 0)
Beispiel f¨ ur eine komplexe Zahl in verschiedenen Formen: √ √ 1 3 z = 2 + i = 1 + 3 i (algebraische Form) 2 2 π π = 2 cos + i sin (trigonometrische Form) 3 3 =
π
2ei 3
(Exponentialform)
2
Gleichungen
2.1
Gleichungsarten
Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen (mathematischen Operationen) und m¨ oglicherweise noch anderen mathematischen Symbolen (zum Beispiel Funktionswerten) besteht. Will man ausdr¨ ucken, dass ein Term T1 zu einem anderen Term T2 ¨aquivalent (gleichwertig) ist, so schreibt man Gleichung
T1 = T2
Eine solche Darstellung heißt Gleichung. Die linke Seite der Gleichung ist T1 , die rechte Seite der Gleichung ist T2 . Mit Hilfe von Gleichungen lassen sich quantitative Beziehungen in Natur und Technik beschreiben. Meist liegen jedoch in der Praxis auftretende Aufgaben nicht in Form von Gleichungen zwischen Termen vor, sondern sie werden als Textgleichungen mit Worten ¨ beschrieben. Daraus muss dann durch eine Ubersetzung in die formale Sprache der Mathematik eine mathematische Beziehung hergestellt werden. ¨ Die Uberlegenheit der mathematischen Symbolik zeigt folgendes Beispiel: •
•
Textgleichung: Den Umfang eines Kreises berechnet man, indem man das Produkt aus dem Verh¨altnis von Umfang eines beliebigen Kreises zu seinem Durchmesser ( Ud = π) und dem Kreisradius (r) mit 2 multipliziert (vgl. Abschnitt 3.10). Termgleichung: UKreis = 2πr
Man unterscheidet drei verschiedene Arten von Gleichungen: • • •
Identische Gleichungen Bestimmungsgleichungen Funktionsgleichungen
Eine identische Gleichung oder Identit¨ at ist eine Gleichung zwischen zwei algebraischen Ausdr¨ ucken, die bei Einsetzen beliebiger Zahlenwerte anstelle der darin aufgef¨ uhrten Buchstabensymbole erhalten bleibt. Beispiele f¨ ur identische Gleichungen (Identit¨ aten): 1.
a(b + c) = ab + ac
2.
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
3.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
4.
c ad + bc a + = b d bd
6.
an am = an+m √ √ √ n c n d = n cd
7.
loga (xy) = loga x + loga y
8.
eix = cos x + i sin x
5.
A. Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn, DOI 10.1007/978-3-8348-8258-5_2, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
2.1 Gleichungsarten
49
Eine Bestimmungsgleichung ist eine Gleichung, in der Variable (Unbekannte) auftreten, die durch eine Rechnung bestimmt werden sollen. Mit Hilfe zul¨assiger Rechenoperationen sollen alle Werte der Variablen aus dem zugrunde liegenden Zahlenbereich bestimmt werden, f¨ ur die die Gleichung erf¨ ullt ist. Man nennt diese Werte L¨osungen oder auch Wurzeln der Gleichung. Alle L¨ osungen zusammen bilden die L¨osungsmenge L der Bestimmungsgleichung. Eine Gleichung hat keine, eine oder mehrere L¨osungen. Eine Bestimmungsgleichung ist also nur f¨ ur einige spezielle Werte der Variablen erf¨ ullt. Beispiele f¨ ur Bestimmungsgleichungen: 1.
x+2 = 3
L¨ osung: x = 1 L¨ osungsmenge: L = {1}
2.
x+2 = x+3
Keine L¨ osung L¨ osungsmenge: L = {} = ∅
3.
2x + 1 = x2 − 2
L¨ osungen: x = 3 und x = −1 L¨ osungsmenge: L = {−1, 3}
4.
5x2 − 5 = x3 − x
L¨ osungen: x = 5, x = 1 und x = −1 L¨ osungsmenge: L = {−1, 1, 5}
5.
11 −
6.
3x = 4x−2 · 2x
7.
lg(6x + 10) − lg(x − 3) = 1
8.
sin2 x − 1 = −0, 5
√
x+3 =6
L¨ osung: x = 22 L¨ osungsmenge: L = {22} 4 log 2 L¨ osung: x = ≈ 2, 826 780 3 log 2 −log 3 4 log 2 L¨ osungsmenge: L = 3 log 2 − log 3 L¨ osung: x = 10 L¨ osungsmenge: L = {10} L¨ osung: x = 45◦ + k · 180◦ , k ∈ ZZ L¨ osungsmenge: L = {x|x = 45◦ + k · 180◦ , k ∈ ZZ}
Die Bestimmungsgleichungen werden unterteilt in algebraische Gleichungen und in transzendente Gleichungen. In einer algebraischen Gleichung werden mit der oder den Variablen nur algebraische Rechenoperationen vorgenommen; sie werden addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert, potenziert oder radiziert. Sowohl die auftretenden Zahlen (Koeffizienten genannt) als auch die L¨osungen k¨ onnen aber transzendente Zahlen sein. Jede algebraische Gleichung mit genau einer Variablen x l¨ asst sich in der allgemeinen Form an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + ... + a1 x + a0 = 0 schreiben. Die Zahlen an , an−1 , an−2 , ..., a1 , a0 heißen Koeffizienten (Beizahlen) der Gleichung. Sie stehen f¨ ur beliebige reelle oder komplexe Zahlen. Ist xn die h¨ochste auftretende Potenz der Variablen x, so heißt die Gleichung vom Grad n. Algebraische Gleichungen vom Grad 1 heißen auch lineare Gleichungen, Gleichungen vom Grad 2 quadratische Gleichungen und Gleichungen vom Grad 3 kubische Gleichungen. Der sogenannte Fundamentalsatz der Algebra sagt aus, dass jede algebraische Gleichung n-ten Grades genau n (reelle oder komplexe) L¨osungen (Wurzeln) besitzt. Alle Bestimmungsgleichungen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent (deutsch: u ¨ bersteigend). Sie haben ihren Namen daher, dass sie im allgemeinen schwieriger aufzul¨osen sind als die algebraischen Gleichungen. Sie erfordern Aufl¨osungsmethoden, die die Mittel der Algebra u ¨ bersteigen.
50
2 Gleichungen
Beispiele f¨ ur transzendente Gleichungen sind Exponentialgleichungen, logarithmische Gleichungen und trigonometrische Gleichungen. Bei den ersten f¨ unf Beispielen handelt es sich um algebraische Bestimmungsgleichungen, bei den letzten drei Beispielen um transzendente Gleichungen. Eine Funktionsgleichung dient dazu, eine Funktion zu definieren. Eine Funktion beschreibt den Zusammenhang zwischen verschiedenen ver¨anderlichen Gr¨oßen. Eine Funktionsgleichung enth¨ alt in der Regel zwei oder mehr Variable, die durch die Gleichung einander zugeordnet werden. Funktionen werden ausf¨ uhrlich im Abschnitt 5 behandelt. Beispiele f¨ ur Funktionsgleichungen: 1.
y = 2x + 1
2. 3.
y = −x2 + x − 5 √ y = 2x2 − x − 3 x + 4
4.
y = sin x
5.
y = 2x − 5x + 1
2.2
¨ Aquivalente Umformungen
Oft ist es m¨oglich, eine gegebene Gleichung durch zul¨assige Rechenoperationen in eine Gleichung zu u uhren, die die gleiche L¨ osungsmenge wie die Ausgangsgleichung be¨ berf¨ sitzt, aber einfacher zu l¨ osen ist. Eine solche Umformung heißt ¨aquivalent. Man nennt auch die beiden Gleichungen ¨ aquivalent (gleichwertig). Bei den zul¨assigen Rechenoperationen ist darauf zu achten, dass sie gleichzeitig auf beiden Seiten einer Gleichung durchgef¨ uhrt werden, zum Beispiel die Addition einer Konstanten oder die Multiplikation mit einer Konstanten. Grundregeln f¨ ur ¨aquivalente Umformungen: •
Addition einer Zahl (hier a) auf beiden Seiten einer Gleichung x−a =b |+a x =b+a
•
Subtraktion einer Zahl (hier a) von beiden Seiten einer Gleichung x+a =b |−a x =b−a
•
Multiplikation beider Seiten einer Gleichung mit der gleichen Zahl (hier mit a); Bedingung: a = 0 x =b |·a a x =b·a
¨ 2.2 Aquivalente Umformungen •
51
Division beider Seiten einer Gleichung durch die gleiche Zahl (hier durch a); Bedingung: a = 0 ax = b | : a x =
b a
Beispiele: 1.
5x − 6 = 29 | + 6 (Addition auf beiden Seiten) 5x = 35 | : 5 (Division auf beiden Seiten) x =7 Alle Gleichungen sind ¨ aquivalent mit der L¨ osungsmenge L = {7}.
2.
5x − 20 = 60 − 11x 16x − 20 = 60 16x = 80 x =5 Alle vier Gleichungen
3.
4.
| + 11x | + 20 | : 16
(Addition auf beiden Seiten) (Addition auf beiden Seiten) (Division auf beiden Seiten)
sind ¨ aquivalent mit der L¨ osungsmenge L = {5}.
1 1 2 − = (x = 0, 1, −2) | · x(x − 1)(x + 2) x x−1 x+2 2(x − 1)(x + 2) − x(x + 2) = x(x − 1) 2(x2 + x − 2) − (x2 + 2x) = x2 − x x 2 − 4 = x 2 − x | − x2 + x x−4 =0 |+4 x =4 Alle Gleichungen sind ¨ aquivalent mit der L¨ osungsmenge L = {4}.
(Hauptnenner)
| − (4x2 − x + 3) 4x2 − x + 3 = 6x2 + x − 1 2 2 0 = 6x + x − 1 − 4x + x − 3 | Zusammenfassen |:2 0 = 2x2 + 2x − 4 | Vertauschen der Seiten 0 = x2 + x − 2 x2 + x − 2 = 0 Berechnen der L¨ osungen der quadratischen Gleichung:
5.
1 1 3 1 x1,2 = − ± +2=− ± ⇒ x1 = 1, x2 = −2 2 4 2 2 Alle Gleichungen sind ¨ aquivalent mit der L¨ osungsmenge L = {1, −2}. √ x+8 =x+2 | Quadrieren x + 8 = (x + 2)2 | Klammer beseitigen“ ” x + 8 = x2 + 4x + 4 | − (x + 8) 0 = x2 + 3x − 4 | Vertauschen der Seiten x2 + 3x − 4 = 0 Berechnen der L¨ osungen der quadratischen Gleichung:
9 3 5 +4=− ± ⇒ x1 = 1, x2 = −4 4 2 2 √ ullt die Ausgangsgleichung wegen x1 = 1 erf¨ √ 1 + 8 = 1 + 2, dagegen ist x2 = −4 keine L¨ osung der Ausgangsgleichung, denn es ist −4 + 8 = −4 + 2. x1,2 = −
3 ± 2
Somit: Das Quadrieren ist keine ¨ aquivalente Umformung!
52
2.3
2 Gleichungen
Lineare Gleichungen
Eine lineare Gleichung oder Gleichung ersten Grades ist eine algebraische Gleichung, in der die Variable x in keiner h¨ oheren als der ersten Potenz vorkommt. Jede lineare Gleichung l¨ asst sich durch a uhren in die a¨qui¨quivalente Umformungen u ¨ berf¨ valente Gleichung ax + b = 0, a = 0 Diese Gleichung heißt allgemeine Form der linearen Gleichung. Durch Division durch a = 0 erh¨alt man die sogenannte Normalform der linearen Gleichung.
x+
b b = x + c = 0, c = a a
b ur die L¨osungsmenge gilt also: Die L¨osung der linearen Gleichung ist x = −c = − . F¨ a b L = {−c} = − . a Allgemeines Verfahren zur Bestimmung der L¨ osung: Man beseitigt“ zun¨ achst alle Klammern und Br¨ uche und ordnet dann die Glieder so, ” dass alle Glieder mit der Variablen x links vom Gleichheitszeichen und alle anderen rechts davon stehen: a(bx + c) abx + ac abx − dex x(ab − de)
= = = =
d(ex + f ) dex + df df − ac df − ac df − ac x = ab − de (ab = de ist Bedingung, denn durch 0 darf nicht dividiert werden.) Beispiel: 3(x + 2) = 5(−2x + 9) 3x + 6 = −10x + 45 3x + 10x = 45 − 6 13x = 39 x = 3 Probe: 3(3 + 2) = 5(−6 + 9) 3·5 = 5·3 15 = 15
Grunds¨atzlich sollte eine Probe durchgef¨ uhrt werden. Dabei ist jede Seite der Gleichung einzeln auszurechnen. Der berechnete Wert f¨ ur x sollte stets in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden. Fehlerwarnung: Nach Einsetzen der L¨ osung sollen nicht die gleichen Umformungen wie bei der Hauptrechnung vorgenommen werden, da sonst leicht ein m¨oglicher Fehler wiederholt werden kann.
2.4 Proportionen
2.4
53
Proportionen
Eine Sonderstellung unter den linearen Gleichungen mit einer Variablen nehmen die Proportionen wegen ihrer vielseitigen Anwendbarkeit ein. Eine Proportion ist eine Verh¨ altnisgleichung a:b=c:x oder mit x = d a:b=c:d und in Bruchschreibweise a c = b d (gesprochen: a verh¨ alt sich zu b wie c zu d). Treten in einer Proportion gleiche Innenglieder oder gleiche Außenglieder auf, so heißt die Proportion stetig. Im Fall gleicher Innenglieder, also a : b = b : c, nennt man b mittlere Proportionale. Sind von den Gliedern einer Proportion drei bekannt, dann l¨asst sich die vierte Proporbc tionale berechnen. Sind zum Beispiel a, b, c bekannt und d gesucht, so gilt d = . a Beispiele: 1.
Welche Kraft F dehnt eine Feder um 4 cm, wenn die Kraft 3 N (Newton) eine Dehnung um 2 cm bewirkt? Ansatz (Hookesches Gesetz): F : 4 cm = 3 N : 2 cm 4 cm · 3 N = 6N Aufl¨ osung nach F : F = 2 cm Antwort: Die Kraft 6 N bewirkt die Dehnung um 4 cm.
2.
Wie weit kommt ein Flugzeug in 2
1 2
Stunden, wenn es 10 km in 45 s zur¨ ucklegt?
Ansatz (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit): x : 9000 s = 10 km : 45 s 9000 s · 10 km = 2000 km Aufl¨ osung nach x: x = 45 s Antwort: Das Flugzeug fliegt 2000 km weit.
¨ Die Proportion a : b = c : d l¨ asst sich verschieden umformen. Aquivalente Formen sind d:c=b:a a:c=b:d d:b=c:a b:a=d:c a·d= b·c Aus der Proportion a : b = c : d lassen sich weitere Proportionen ableiten, etwa durch Addition oder Subtraktion von 1 auf beiden Seiten. Man nennt ein solches Umformen der
54
2 Gleichungen
Proportion korrespondierende Addition oder korrespondierende Subtraktion (Bedingung in allen F¨allen: Nenner ungleich 0). c+d a+b = b d
c a = a+b c+d
c−d a−b = b d
c a = a−b c−d
Dies sind Sonderf¨ alle des allgemeinen Gesetzes der korrespondierenden Addition und Subtraktion. Aus a : b = c : d folgt f¨ ur beliebige reelle Zahlen p, q, r, s (r und s d¨ urfen nicht gleichzeitig 0 sein) pa + qb pc + qd = ra + sb rc + sd Beispiele: 5 = 3. 4
5+x x
Nenner vom Z¨ ahler subtrahieren (korrespondierende Subtraktion):
5−4 4
=
5+x−x x
Vereinfachen:
1 4
=
5 x
Nach x au߬ osen (Multiplikation der Gleichung mit 4x):
x
=
20
Die L¨ osung ist x = 20, wie die Probe best¨ atigt. 5x : (4 − x)
4.
=
30 : 9
In Bruchschreibweise:
=
30 9
Addition von 15 des Z¨ ahlers zum Nenner (korrespondierende Addition):
=
30 9 + 30 5
Vereinfachen:
5x 4
=
30 (= 2) 15
Multiplikation mit
x
=
8 5
5x 4−x 5x 4−x+
5x 5
Die L¨ osung ist x =
4 : 5
8 . 5
Probe: 5 · 85 30 10 8 5 10 10 10 = = ⇔ ⇔ 8· = ⇔ = 9 3 12 3 3 3 4 − 85 2 25
2.5 2.5.1
Quadratische Gleichungen Definitionen
Eine quadratische Gleichung oder Gleichung zweiten Grades ist eine algebraische Gleichung, in der die Variable x in keiner h¨ oheren als der zweiten Potenz vorkommt.
2.5 Quadratische Gleichungen
55
Jede quadratische Gleichung l¨ asst sich durch a uhren in ¨quivalente Umformungen u ¨ berf¨ die Gleichung Allgemeine Form
ax2 + bx + c = 0, a = 0
Diese Gleichung heißt allgemeine Form der quadratischen Gleichung. Durch Division durch a = 0 erh¨ alt man die sogenannte Normalform der quadratischen c b Gleichung (mit p = , q = ). a a x2 + px + q = 0
Normalform
2.5.2
L¨ osungsverfahren
Sonderf¨alle alt man durch Ausklammern von x die Produktform Ist q = 0, also x2 + px = 0, dann erh¨ x(x+p) = 0. Da ein Produkt genau dann gleich 0 ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist, ergeben sich daraus die L¨ osungen x1 = 0, x2 = −p. Gleichung: x2 + px = 0 Sonderfall q = 0
L¨ osungen:
x1 = 0, x2 = −p
Fehlerwarnung: Man darf nicht durch x dividieren. Division durch 0 ist verboten. Die L¨osung x = 0 ginge sonst verloren. Beispiel:
x2 − 5x = 0 ⇒ L¨ osungen: x1 = 0, x2 = 5
Ist p = 0, also x2 + q = 0, dann liegt eine sogenannte rein quadratische Gleichung vor. Durch Subtraktion von q auf beiden Seiten der Gleichung, also x√2 = −q, und anschlie√ ßendes Radizieren erh¨ alt man die L¨ osungen x1 = + −q, x2 = − −q. Sonderfall p = 0
Gleichung: x2 + q = 0 √ √ L¨ osungen: x1 = + −q, x2 = − −q
F¨ ur q < 0 ergeben sich zwei reelle L¨ osungen, f¨ ur q = 0 die (doppelt √ zu z¨ahlende) √ L¨osung x = 0, f¨ ur q > 0 zwei rein imagin¨ are L¨ osungen, und zwar x1 = i q, x2 = −i q (x1 und x2 sind konjugiert komplex). Beispiele: 1.
x2 − 9 = 0 q = −9 < 0 ⇒ zwei reelle L¨ osungen: x1 = 3, x2 = −3
2.
x2 + 16 = 0 q = 16 > 0 ⇒ zwei imagin¨ are L¨ osungen: x1 = 4i, x2 = −4i
F¨ ur die Sonderf¨alle c = 0 und b = 0 der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung ergeben sich die L¨osungen ganz analog.
56
2 Gleichungen Gleichung: ax2 + bx = 0
Sonderfall c = 0
L¨ osungen:
x1 = 0, x2 = −
b a
Gleichung: ax2 + c = 0 c c L¨ osungen: x1 = + − , x2 = − − a a
Sonderfall b = 0
Normalform Die L¨osungen der Normalform x2 + px + q = 0 der quadratischen Gleichung bestimmt man mit der Methode der quadratischen Erg¨ anzung“. Zun¨achst bringt man q auf die ” rechte Seite der Gleichung, das heißt, von beiden Seiten der Gleichung wird q subtrahiert. Auf beiden Seiten addiert man dann die quadratische Erg¨anzung ( p2 )2 des Terms x2 + px. Damit wird die linke Seite der Gleichung zu einem vollst¨andigen Quadrat“ (binomische ” Formel). Durch Radizieren und anschließender Subtraktion von p2 ergeben sich dann die L¨osungen x1 und x2 der Gleichung. Bestimmung der L¨osungen: x2 + px + q x2 + px p 2 x2 + px + 2 p 2 x+ 2 p 2 x+ 2
= 0 = −q p 2 = −q 2 p 2 = −q 2 p2 = −q 4 p2 p = ± −q x+ 2 4 p p2 −q x = − ± 2 4
Daraus ergibt sich p2 p2 p p x1 = − + − q, x2 = − − −q 2 4 2 4
Normalform
Die Gleichung x1,2
(p, q)-Formel
Gleichung: x2 + px + q = 0 p p p2 p2 L¨ osungen: x1 = − + − q, x2 = − − −q 2 4 2 4 p =− ± 2
p2 − q f¨ ur die L¨osungen nennt man auch (p, q)-Formel. 4 x1,2
p =− ± 2
p2 −q 4
2.5 Quadratische Gleichungen
57
Beispiele: 1.
(ausf¨ uhrlich) x2 + 12x + 35 = 0 x2 + 12x = −35 2 x + 12x + 62 = −35 + 62 (x + 6)2 = 1 x + 6 = ±1 x = −6 ± 1 L¨ osungen: x1 = −6 + 1 = −5, x2 = −6 − 1 = −7 Es sind zwei Proben durchzuf¨ uhren!
2.
(mit (p, q)-Formel) 25x2 + 13 = 70x Sortieren und Dividieren durch 25 zum Beschaffen der Normalform: 14 13 14 13 x2 − x+ =0 ⇒ p=− und q = . 5 25 5 25 Einsetzen in die (p, q)-Formel ergibt die L¨ osungen: 7 x1 = + 5
2 7 5
7 13 = + − 25 5
7 6 13 36 = + = , 25 5 5 5
7 6 1 − = 5 5 5 Es sind zwei Proben durchzuf¨ uhren! x2 =
Den Radikanden in der (p, q)-Formel nennt man die Diskriminante D der Normalform der quadratischen Gleichung. D=
Diskriminante der Normalform
p2 −q 4
Die L¨osungen der Normalform lassen sich auch mit Hilfe der Diskriminante schreiben. Gleichung: x2 + px + q = 0 Normalform
L¨ osungen:
p √ p2 −q x1,2 = − ± D, D = 2 4
Der Wert der Diskriminante D bestimmt die Anzahl der reellen L¨osungen der quadratiur D = 0 gibt schen Gleichung. F¨ ur D > 0 existieren zwei reelle L¨osungen x1 und x2 , f¨ ur D < 0 hat die quadratische Gleichung es eine reelle L¨osung (Doppell¨ osung x1 = x2 ), f¨ keine reelle L¨osung, es existieren zwei komplexe L¨osungen x1 und x2 (x1 und x2 sind konjugiert komplex zueinander). Beispiele: 3.
2x2 − 10x + 12 = 0 2
x − 5x + 6 = 0
(allgemeine Form)
(Normalform)
p = −5, q = 6 ⇒ D =
25 1 p2 −q = −6= 4 4 4
D > 0 ⇒ zwei reelle L¨ osungen
58
2 Gleichungen
L¨ osungen: ⇒ x1 = 4.
x1,2
p =− ± 2
p √ −5 p2 −q =− ± D =− ± 4 2 2
5 1 1 = ± 4 2 2
1 1 5 5 + = 3, x2 = − = 2 2 2 2 2
−9x2 + 18x − 9 = 0 2
x − 2x + 1 = 0
(allgemeine Form)
(Normalform)
p = −2, q = 1 ⇒ D =
p2 4 −q = −1=0 4 4
D = 0 ⇒ Doppell¨ osung x1 = x2 L¨ osung: 5.
x 1 = x2 = −
3x2 − 36x + 120 = 0 2
x − 12x + 40 = 0
−2 =1 2
(allgemeine Form)
(Normalform)
p = −12, q = 40 ⇒ D =
p2 (−12)2 144 16 −q = − 40 = − 40 = − = −4 4 4 4 4
D < 0 ⇒ zwei konjugiert komplexe L¨ osungen √ √ √ −12 L¨ osungen: x1,2 = − ± −4 = 6 ± −4 = 6 ± 2 −1 = 6 ± 2i 2 ⇒ x1 = 6 + 2i, x2 = 6 − 2i
Allgemeine Form Die L¨osungen der allgemeinen Form ax2 + bx + c = 0 der quadratischen Gleichung erh¨alt c b man durch Setzen von p = , q = in der (p, q)-Formel. a a Allgemeine Form: Gleichung: ax2 + bx + c = 0, a = 0
1 1 L¨osungen: x1 = − b + b2 − 4ac , x2 = − b − b2 − 4ac 2a 2a
Beispiel: 1.
2x2 − 10x + 12 = 0 a = 2, b = −10, c = 12 L¨ osungen:
√ 1 1 1 x1 = − (−10) + (−10)2 − 4 · 2 · 12 = 10 + 100 − 96 = 10 + 2 = 3, 4 4 4
x2 =
1 10 − 2 = 2 4
Den Radikanden in der L¨ osungsformel nennt man die Diskriminante D der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung. Diskriminante der allgemeinen Form
D = b2 − 4ac
2.5 Quadratische Gleichungen
59
Die L¨osungen der allgemeinen Form lassen sich auch mit Hilfe der Diskriminante schreiben.
Allgemeine Form
Gleichung: ax2 + bx + c = 0, a = 0
1 L¨ osungen: x1,2 = − b ± D , D = b2 − 4ac 2a
Auch hier bestimmt der Wert der Diskriminante D die Anzahl der reellen L¨osungen der quadratischen Gleichung. F¨ ur D > 0 gibt es zwei reelle L¨ osungen x1 und x2 , f¨ ur D = 0 gibt es eine reelle Dopur D < 0 gibt es keine reelle L¨osung, sondern zwei konjugiert pell¨osung (x1 = x2 ), und f¨ komplexe L¨osungen x1 und x2 . Beispiel: 2.
3x2 − 18x + 42 = 0 a = 3, b = −18, c = 42 ⇒ D = (−18)2 − 4 · 3 · 42 = 324 − 504 = −180 < 0 D < 0 ⇒ zwei konjugiert komplexe L¨ osungen L¨ osungen:
√ √ 1 1 x1,2 = 18 ± −180 = 18 ± 36 · (−5) = 3 ± −5 6 6 √ √ ⇒ x1 = 3 + i 5, x2 = 3 − i 5
Zerlegung in Linearfaktoren Sind x1 und x2 die (nicht unbedingt verschiedenen) L¨osungen der quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0, a = 0, dann kann der quadratische Ausdruck in Linearfaktoren zerlegt werden. ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) = 0 Die Faktoren x − x1 und x − x2 heißen linear, weil die Variable x nur in erster Potenz, also linear auftritt. Da ein Produkt genau dann gleich 0 ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist, ergeben sich auch hieraus wieder die L¨ osungen x1 und x2 . Man nennt a(x − x1 )(x − x2 ) = 0 auch Produktform der quadratischen Gleichung. Beispiele: 1.
2x2 − 6x = 0 Zerlegung in Linearfaktoren: 2x2 − 6x = 2x(x − 3) = 0 L¨ osungen: x1 = 0, x2 = 3
2.
x2 − x − 6 = 0 Zerlegung in Linearfaktoren: x2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2) = 0 L¨ osungen: x1 = 3 (denn x − 3 = 0 f¨ ur x = 3), ur x = −2) x2 = −2 (denn x + 2 = 0 f¨
60
2 Gleichungen
2.5.3
Satz von Vi¨ eta f¨ ur quadratische Gleichungen
Die Produktform der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0 in Normalform lautet (x − x1 )(x − x2 ) = 0. Ausmultiplizieren und Vergleich ergibt (x − x1 )(x − x2 ) = 0 x2 − xx2 − x1 x + x1 x2 = 0 x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 = 0 x2 + px + q = 0 also die Beziehungen p = −(x1 + x2 ), q = x1 x2 . Der Koeffizient p von x ist somit gleich der negativen Summe der beiden L¨ osungen, das Absolutglied q der quadratischen Gleichung ist gleich dem Produkt der L¨ osungen. Diese Beziehungen nennt man den Satz von Vi¨eta f¨ ur quadratische Gleichungen (nach dem franz¨osischen Mathematiker Fran¸cois Vi´ete, 1540-1603). p = −(x1 + x2 ), q = x1 x2
Satz von Vi¨eta Beispiele: 1.
osungen Die quadratische Gleichung x2 − 5x + 6 = 0 mit p = −5, q = 6 hat die L¨ x1 = 3, x2 = 2. Es gilt: p = −5 = −(3 + 2) = −(x1 + x2 ), q = 6 = 3 · 2 = x1 x2
2.
Die quadratische Gleichung x2 − 12x + 40 = 0 mit p = −12, q = 40 hat die L¨ osungen x1 = 6 + 2i, x2 = 6 − 2i (siehe oben). Es gilt: p = −12 = −(6 + 2i + 6 − 2i) = −(x1 + x2 ), q = 40 = 36 + 4 = 36 − 4i2 = (6 + 2i)(6 − 2i) = x1 x2
3.
Welche quadratische Gleichung hat die L¨ osungen x1 = 5 und x2 = −3? Nach dem Satz von Vi¨eta folgt: p = −(x1 + x2 ) = −(5 − 3) = −2, q = x1 x2 = 5 · (−3) = −15 Antwort: Die Normalform der gesuchten quadratischen Gleichung ist x2 − 2x − 15 = 0
Hinweis: Der Satz von Vi¨eta l¨ asst sich auch f¨ ur die Probe anwenden!
2.6 2.6.1
Algebraische Gleichungen h¨ oheren Grades Kubische Gleichungen
Die allgemeine Form einer kubischen Gleichung lautet Allgemeine Form
ax3 + bx2 + cx + d = 0, a = 0
Die Normalform erh¨ alt man aus der allgemeinen Form durch Division durch a = 0 und c d b Setzen von = r, = s, = t. a a a Normalform
x3 + rx2 + sx + t = 0
Dabei sind a, b, c, d und somit auch r, s, t reelle (oder komplexe) Koeffizienten. Kubisch“ bedeutet, dass die Variable x in keiner h¨oheren als der dritten Potenz vor” kommt. Deshalb nennt man kubische Gleichungen auch Gleichungen dritten Grades.
2.6 Algebraische Gleichungen h¨ oheren Grades
61
Mit Hilfe der sogenannten cardanischen Formel lassen sich die L¨osungen exakt berechnen. Es gibt entweder drei reelle L¨ osungen oder eine reelle L¨osung und zwei konjugiert komplexe L¨osungen. In Spezialf¨allen f¨ uhren oftmals einfachere Methoden zum Ziel. Sind x1 , x2 , x3 die L¨ osungen der kubischen Gleichung ax3 + bx2 + cx + d = 0, dann gilt ax3 + bx2 + cx + d = a(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) = 0 Man nennt dies Produktform der kubischen Gleichung oder Zerlegung in Linearfaktoren. Ist t = 0 in der Normalform (f¨ ur die allgemeine Form ist die Methode ganz analog), alt man durch Ausklammern von x die Gleichung also x3 + rx2 + sx = 0, dann erh¨ x(x2 + rx + s) = 0. Neben der reellen L¨ osung x1 = 0 sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung x2 + rx + s = 0 die weiteren L¨ osungen. Sonderfall t = 0: Gleichung: x3 + rx2 + sx = 0 L¨osungen:
r x1 = 0, x2 = − + 2
r r2 − s, x3 = − − 4 2
r2 −s 4
Fehlerwarnung: Durch Division durch x geht die L¨osung x = 0 verloren! Beispiel: 1.
x3 − x2 − 2x = 0 Ausklammern von x: x(x2 − x − 2) = 0 Erste L¨ osung: x1 = 0 Die quadratische Gleichung x2 − x − 2 = 0 hat die L¨ osungen x2,3
−1 ± =− 2
1 1 3 − (−2) = ± , also x2 = 2, x3 = −1 4 2 2
L¨ osungen der kubischen Gleichung x3 − x2 − 2x = 0 somit: x1 = 0, x2 = 2, x3 = −1
Ist eine L¨osung x1 von x3 + rx2 + sx + t = 0 bekannt, dann l¨asst sich die kubische Gleichung durch Abspalten des Faktors x − x1 reduzieren (auch diese Methode l¨asst sich f¨ ur die allgemeine Form anwenden). x3 + rx2 + sx + t = (x − x1 )(x2 + ux + v) = 0 Dividiert man die linke Seite x3 + rx2 + sx + t der kubischen Gleichung durch x − x1 , so erh¨alt man einen quadratischen Term x2 + ux + v. Die Wurzeln von x2 + ux + v = 0 sind auch L¨osungen der kubischen Gleichung. Diese Methode heißt Reduktionsmethode, und die dabei durchgef¨ uhrte Division nennt man Polynomdivision (vgl. auch Abschnitt 2.6.2).
62
2 Gleichungen
L¨osung x1 bekannt: Gleichung: x3 + rx2 + sx + t = (x − x1 )(x2 + ux + v) = 0 u u u2 u2 L¨osungen: x1 , x2 = − + − v, x3 = − − −v 2 4 2 4 Beispiele: 2. x3 − 6x2 − x + 6 = 0 Eine L¨ osung dieser kubischen Gleichung ist x1 = 1 (erh¨ alt man durch Probieren). Division von x3 − 6x2 − x + 6 durch x − 1: ( x3 −6x2 − x+6): (x − 1) = x2 − 5x − 6 −( x3 − x2 ) −5x2 − x −(−5x2 +5x) −6x+6 −(−6x+6) 0 Die L¨ osungen der quadratischen Gleichung x2 − 5x − 6 = 0 sind x2 = 6, x3 = −1. L¨ osungen der kubischen Gleichung x3 − 6x2 − x + 6 = 0 somit: x1 = 1, x2 = 6, x3 = −1 3.
4x3 − 12x2 + 11x − 3 = 0 Eine L¨ osung dieser Gleichung ist x1 = 1 (Probieren!). Division von 4x3 − 12x2 + 11x − 3 durch x − 1: (4x3 −12x2 + 11x−3): (x − 1) = 4x2 − 8x + 3 −(4x3 − 4x2 ) − 8x2 + 11x −(− 8x2 + 8x) 3x−3 −( 3x−3) 0 Die L¨ osungen der quadratischen Gleichung 4x2 − 8x + 3 = 0 sind x2 =
3 1 , x3 = . 2 2
L¨ osungen der kubischen Gleichung x3 − 6x2 − x + 6 = 0 somit: x1 = 1, x2 =
2.6.2
3 1 , x3 = 2 2
Polynomdivision
Ein Ausdruck der folgenden Form mit a0 , a1 , a2 , . . . , an−1 , an ∈ IR, an = 0, n ∈ IN heißt Polynom in x. Polynom
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 =
n k=0
ak xk
2.6 Algebraische Gleichungen h¨ oheren Grades
63
Das x in Klammern hinter Pn weist darauf hin, dass x die Variable ist. Die Koeffizienten urfen dabei beliebige reelle (oder auch komplexe) Zahlen sein. a0 , a1 , a2 , . . . , an−1 , an d¨ Ein Polynom ist also die linke Seite der allgemeinen Form einer algebraischen Gleichung. Ist dabei xn die h¨ ochste auftretende Potenz der Variablen x, so hat das Polynom den Grad n. Zwei Polynome sind gleich, wenn sie vom gleichen Grad sind und die entsprechenden Koeffizienten u ¨ bereinstimmen. Beispiele f¨ ur Polynome: 1. x3 − 6x2 − x + 6 (Polynom vom Grad 3) 2. x − 1 (Polynom vom Grad 1) 1 3. x5 − x4 + 2x − 3 (Polynom vom Grad 5) 3 1 4. 0, 34x9 − 24, 3x6 + 22x5 − x4 + 11 (Polynom vom Grad 9) 3 5. x27 + 3 (Polynom vom Grad 27)
Die Division zweier Polynome Pn (x) und Pm (x) mit n ≥ m verl¨auft ganz analog dem schriftlichen Dividieren von Dezimalzahlen. Dabei wird zuerst die h¨ochste Potenz von x des Dividenden durch die h¨ ochste Potenz von x des Divisors geteilt. Pn (x) = Pk (x) mit Ist der Quotient der Polynomdivision wieder ein Polynom, gilt also Pm (x) einem Polynom Pk (x), dann heißt Pm (x) Faktor des Polynoms Pn (x) oder genauer Faktor m-ten Grades (und Pk (x) ist ein Faktor k-ten Grades von Pn (x)). F¨ ur m = 1 heißt Pm (x) linearer Faktor, f¨ ur m = 2 quadratischer Faktor und f¨ ur m = 3 kubischer Faktor von Pn (x). Beispiele zur Polynomdivision: 1. P3 (x) = x3 − 6x2 − x + 6 = 0, P1 (x) = x − 1 ( x3 −6x2 − x+6): (x − 1) = x2 − 5x − 6 −( x3 − x2 ) −5x2 − x −(−5x2 +5x) −6x+6 −(−6x+6) 0 Es gilt somit: P3 (x) x3 − 6x2 − x + 6 = = x2 − 5x − 6 = P2 (x) P1 (x) x−1 P1 (x) = x − 1 ist also ein linearer Faktor und P2 (x) = x2 − 5x − 6 ein quadratischer Faktor von P3 (x) = x3 − 6x2 − x + 6. 2.
P3 (x) = 4x3 − 12x2 + 11x − 3, P1 (x) = x − 1 (4x3 −12x2 + 11x−3): (x − 1) = 4x2 − 8x + 3 −(4x3 − 4x2 ) − 8x2 + 11x −(− 8x2 + 8x) 3x−3 −( 3x−3) 0
64
2 Gleichungen Es gilt P3 (x) = 4x3 − 12x2 + 11x − 3 = (x − 1)(4x2 − 8x + 3) = P1 (x) · P2 (x). P1 (x) = x − 1 ist ein linearer Faktor, P2 (x) = 4x2 − 8x + 3 ist ein quadratischer Faktor von P3 (x) = 4x3 − 12x2 + 11x − 3.
3.
P4 (x) = 3x4 − 10x3 + 22x2 − 24x + 10, P2 (x) = x2 − 2x + 3 (3x4 −10x3 +22x2 −24x+10): (x2 − 2x + 3) = 3x2 − 4x + 5 −(3x4 − 6x3 + 9x2 ) − 4x3 +13x2 −24x −(− 4x3 + 8x2 −12x) 5x2 −12x+10 − (5x2 −10x+15) − 2x− 5 Es gilt somit: (3x4 − 10x3 + 22x2 − 24x + 10) : (x2 − 2x + 3) = 3x2 − 4x + 5 +
−2x − 5 x2 − 2x + 3
Also ist P2 (x) = x2 − 2x + 3 kein Faktor von P4 (x) = 3x4 − 10x3 + 22x2 − 24x + 10.
Eine Zahl x0 heißt Nullstelle des Polynoms Pn (x), wenn Pn (x0 ) = 0 gilt. Das Polynom Pn (x) l¨asst sich dann durch x−x0 dividieren, x−x0 ist also ein linearer Faktor von Pn (x). Es gibt dann ein Polynom (n − 1)-ten Grades Pn−1 (x) mit Pn (x) = (x − x0 ) · Pn−1 (x). Findet man eine Zerlegung Pn (x) = (x − x0 )m · Pk (x), wobei Pk (x) ein Polynom mit Pk (x0 ) = 0 ist, dann heißt x0 eine m-fache Nullstelle von Pn (x), oder m heißt Vielfachheit der Nullstelle x0 . Pn (x) = (x − x0 )m · Pk (x) Ist x0 eine reelle Zahl, dann nennt man x0 eine reelle Nullstelle des Polynoms. Beispiele: 1.
P3 (x) = x3 − 3x2 + x − 3 = (x − 3)(x2 + 1) = (x − 3)P2 (x) Wegen P2 (3) = 0 ist x0 = 3 eine einfache Nullstelle des Polynoms P3 (x) = x3 − 3x2 + x − 3.
2.
P3 (x) = x3 − 3x2 + 3x − 1 = (x − 1)3 Es ist x0 = 1 eine dreifache Nullstelle des Polynoms P3 (x) = x3 − 3x2 + 3x − 1.
3.
P3 (x) = x3 − 3x + 2 = (x − 1)2 (x + 2) Es ist also x0 = 1 eine doppelte Nullstelle und x1 = −2 eine einfache Nullstelle von P3 (x) = x3 − 3x + 2.
2.6.3
Gleichungen vierten Grades
Die allgemeine Form einer Gleichung vierten Grades lautet Allgemeine Form
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, a = 0
Die Normalform erh¨ alt man aus der allgemeinen Form durch Division durch a = 0 und c d e b Setzen von = r, = s, = t, = u. a a a a Normalform
x4 + rx3 + sx2 + tx + u = 0
Dabei sind a, b, c, d, e und somit auch r, s, t, u reelle (oder komplexe) Koeffizienten.
2.6 Algebraische Gleichungen h¨ oheren Grades
65
Auch f¨ ur die Gleichungen vierten Grades existiert eine allgemeine L¨osungsformel. Diese ist aber noch wesentlich komplizierter als die f¨ ur die kubischen Gleichungen und wird deshalb hier weggelassen. Eine Gleichung vierten Grades muss nicht unbedingt eine reelle L¨osung besitzen. Im Bereich der komplexen Zahlen gibt es jedoch vier L¨osungen. Dabei k¨onnen Doppell¨osungen vorkommen. Komplexe L¨ osungen treten paarweise als konjugiert komplexe Zahlen auf. In Spezialf¨allen f¨ uhren manchmal einfachere Methoden zum Ziel. osungen der Gleichung vierten Grades ax4 +bx3 +cx2 +dx+e = 0, Sind x1 , x2 , x3 , x4 die L¨ dann gilt ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = a(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )(x − x4 ) = 0 Man nennt dies wieder Produktform oder Zerlegung in Linearfaktoren. Ist u = 0 in der Normalform (f¨ ur die allgemeine Form ist die Methode analog), also x4 + rx3 + sx2 + tx = 0, dann erh¨ alt man durch Ausklammern von x die Gleichung osung ist x1 = 0, die weiteren L¨osungen sind die Wurzeln x(x3 + rx2 + sx + t) = 0. Eine L¨ der kubischen Gleichung x3 + rx2 + sx + t = 0. Beispiel: 1.
x4 − 6x3 − x2 + 6x = 0 Ausklammern von x: x(x3 − 6x2 − x + 6) = 0 Erste L¨ osung: x1 = 0 Die kubische Gleichung x3 − 6x2 − x + 6 = 0 hat die L¨ osungen x2 = 1, x3 = 6, x4 = −1 (vgl. Beispiel 2 im Abschnitt 2.6.1). L¨ osungen der Gleichung vierten Grades x4 − 6x3 − x2 + 6x = 0 somit: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 6, x4 = −1
Ist eine L¨osung x1 von x4 + rx3 + sx2 + tx + u = 0 bekannt, dann l¨asst sich die Gleichung durch Abspalten des Faktors x − x1 durch Polynomdivision reduzieren (diese sogenannte Reduktionsmethode l¨ asst sich auch wieder f¨ ur die allgemeine Form anwenden): x4 + rx3 + sx2 + tx + u = (x − x1 )(x3 + kx2 + lx + m) = 0 Die Wurzeln der kubischen Gleichung x3 + kx2 + lx + m = 0 sind auch L¨osungen der Gleichung vierten Grades x4 + rx3 + sx2 + tx + u = 0 . Beispiele: 2.
x4 − 7x3 + 5x2 + 7x − 6 = 0 Durch Probieren findet man die L¨ osung x1 = 1. Polynomdivision ergibt: ( x4 −7x3 +5x2 +7x−6): (x − 1) = x3 − 6x2 − x + 6 −( x4 − x3 ) −6x3 +5x2 −(−6x3 +6x2 ) − x2 +7x −(− x2 + x) 6x−6 −( 6x−6) 0
66
2 Gleichungen Die kubische Gleichung x3 − 6x2 − x + 6 = 0 hat die L¨ osungen x2 = 1, x3 = 6, x4 = −1 (vgl. Beispiel 2 im Abschnitt 2.6.1). L¨ osungen der Gleichung vierten Grades x4 − 7x3 + 5x2 + 7x − 6 = 0 somit: x1 = x2 = 1, x3 = 6, x4 = −1
3.
4x4 − 8x3 − x2 + 8x − 3 = 0 Durch Probieren erh¨ alt man die L¨ osung x1 = −1. Polynomdivision von 4x4 − 8x3 − x2 + 8x − 3 durch x + 1 ergibt: (4x4 − 8x3 − x2 + 8x−3): (x + 1) = 4x3 − 12x2 + 11x − 3 −(4x4 + 4x3 ) −12x3 − x2 −(−12x3 −12x2 ) 11x2 + 8x −( 11x2 +11x) − 3x−3 −(− 3x−3) 0 osungen x2 = 1, x3 = Die kubische Gleichung 4x3 − 12x2 + 11x − 3 = 0 hat die L¨ (vgl. Beispiel 3 im Abschnitt 2.6.1).
3 1 , x4 = 2 2
L¨ osungen der Gleichung vierten Grades 4x4 − 8x3 − x2 + 8x − 3 = 0 somit: x1 = −1, x2 = 1, x3 =
3 1 , x4 = 2 2
Sind in einer Gleichung vierten Grades die Koeffizienten von x3 und x gleich Null, dann heißt sie biquadratische Gleichung: ax4 + cx2 + e = 0, a = 0 (allgemeine Form) oder x4 + sx2 + u = 0 (Normalform). Eine Substitution ist die Ersetzung eines algebraischen Ausdrucks durch einen anderen. Bei komplizierten Gleichungen k¨ onnen oftmals mit Hilfe einer geeigneten Substitution L¨osungen gefunden werden. Mit Hilfe der Substitution x2 = z wird aus einer biquadratischen Gleichung eine quadratische Gleichung mit der Variablen z: az 2 + cz + e = 0 oder z 2 + sz + u = 0. Aus deren L¨osungen z1 , z2 erh¨ alt man die L¨ osungen der biquadratischen Gleichung durch √ √ Radizieren (Wurzelziehen): x1,2 = ± z1 , x3,4 = ± z2 . Gleichung (Normalform):
x4 + sx2 + u = 0
Substitution x2 = z: Biquadratische Gleichung
L¨ osungen:
z1,2
z 2 + sz + u = 0 s s2 =− ± −u 2 4
L¨ osungen der biquadratischen Gleichung: √ √ x1,2 = ± z1 , x3,4 = ± z2 Beispiele: 4. 2x4 − 6x2 + 4 = 0 Division durch 2 ergibt die Normalform: x4 − 3x2 + 2 = 0
2.6 Algebraische Gleichungen h¨ oheren Grades
67
Substitution x2 = z ergibt eine quadratische Gleichung in z: z 2 − 3z + 2 = 0 L¨ osungen der quadratischen Gleichung: z1 = 1, z2 = 2 L¨ osungen der√biquadratischen Gleichung durch Radizieren: √ √ √ √ √ √ x1 = z1 = 1 = 1, x2 = − z1 = −1, x3 = z2 = 2, x4 = − z2 = − 2 5.
x4 + 2x2 − 15 = 0 Substitution x2 = z ergibt eine quadratische Gleichung in z: z 2 + 2z − 15 = 0 L¨ osungen der quadratischen Gleichung: z1 = 3, z2 = −5 L¨ osungen der√biquadratischen Gleichung durch Radizieren: √ √ √ √ √ √ z2 = −5 = i 5, x1 = z1 = 3,√x2 = − z√ 1 = − 3, x3 = √ x4 = − z2 = − −5 = −i 5
6.
x4 − 4x2 − 1 = 0 in z: z 2√ − 4z − 1√= 0 Substitution x2 = z ergibt eine quadratische Gleichung √ L¨ osungen der quadratischen Gleichung: z1 = 2 + 5, z2 = 2 − 5 = −( 5 − 2) L¨ osungen derbiquadratischen Gleichung durch Radizieren: √ √ √ √ √ √ √ x1 = z1 = 2 + 5, x2 = − z1 = − 2 + 5, x3 = z2 = −( 5 − 2) = i 5 − 2, √ √ √ 5−2 x4 = − z2 = − −( 5 − 2) = −i
2.6.4
Gleichungen n-ten Grades
Die allgemeine Form einer Gleichung n-ten Grades lautet an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 = 0, an = 0 Die Normalform erh¨ alt man aus der allgemeinen Form durch Division durch an = 0 und ai Setzen von = bi , i = 0, 1, 2, . . . , n − 1. an Normalform
xn + bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b2 x2 + b1 x + b0 = 0
Dabei sind an , an−1 , an−2 , . . . , a2 , a1 , a0 und bn−1 , bn−2 , . . . , b2 , b1 , b0 reelle (oder komplexe) Koeffizienten, und n ist eine nat¨ urliche Zahl. Nur f¨ ur n ≤ 4 (Gleichungen h¨ ochstens vierten Grades) gibt es allgemeine L¨osungsformeln, in denen nur ineinandergeschachtelte Wurzeln stehen. F¨ ur Gleichungen f¨ unften und h¨oheren Grades existieren solche L¨ osungsformeln nicht. In der Regel lassen sich dann die L¨osungen außer in Spezialf¨ allen nicht mehr exakt berechnen, man muss sich mit sogenannten N¨ aherungsl¨ osungen begn¨ ugen. Besonders bei der Behandlung praktischer Probleme werden verschiedene N¨ aherungsverfahren verwendet (wie zum Beispiel Regula falsi oder newtonsches Verfahren, vgl. Abschnitt 8.4.12). In Spezialf¨allen f¨ uhren die f¨ ur Gleichungen dritten und vierten Grades vorgef¨ uhrten Methoden wie zum Beispiel die Reduktionsmethode jedoch zu L¨osungen. Ist x1 eine L¨osung der Gleichung an xn +an−1 xn−1 +an−2xn−2 +. . .+a2 x2 +a1 x+a0 = 0, dann gilt an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 = (x − x1 )(cn−1 xn−1 + cn−2 xn−2 + . . . + c2 x2 + c1 x + c0 ) = 0
68
2 Gleichungen
mit cn−1 = an . Die weiteren L¨ osungen der Gleichung n-ten Grades an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 sind die L¨ osungen der Gleichung (n − 1)-ten Grades cn−1 xn−1 + cn−2 xn−2 + . . . + c2 x2 + c1 x + c0 = 0. Der Grad der zu l¨osenden Gleichung wird also um 1 reduziert. Beispiel: x6 − 6x5 + 14x4 − 14x3 + 5x2 = 0 Sofort zu erkennen: x1 = 0, x2 = 0 Es folgt: x6 − 6x5 + 14x4 − 14x3 + 5x2 = x2 (x4 − 6x3 + 14x2 − 14x + 5) = 0 osung von x4 − 6x3 + 14x2 − 14x + 5 = 0 Durch Probieren: x3 = 1 ist L¨ Polynomdivision: (x4 − 6x3 + 14x2 − 14x + 5) : (x − 1) = x3 − 5x2 + 9x − 5 Es folgt: x6 − 6x5 + 14x4 − 14x3 + 5x2 = x2 (x − 1)(x3 − 5x2 + 9x − 5) = 0 osung von x3 − 5x2 + 9x − 5 = 0 Durch Probieren: x4 = 1 ist L¨ Polynomdivision: (x3 − 5x2 + 9x − 5) : (x − 1) = x2 − 4x + 5 Es folgt: x6 − 6x5 + 14x4 − 14x3 + 5x2 = x2 (x − 1)2 (x2 − 4x + 5) = 0 osungen x5 = 2 + i, x6 = 2 − i Die quadratische Gleichung x2 − 4x + 5 = 0 hat die L¨ Es folgt: x6 − 6x5 + 14x4 − 14x3 + 5x2 = x2 (x − 1)2 (x − 2 − i)(x − 2 + i) = 0 Alle L¨ osungen von x6 − 6x5 + 14x4 − 14x3 + 5x2 = 0 somit: x1 = x2 = 0, x3 = x4 = 1, x5 = 2 + i, x6 = 2 − i
2.6.5
Satz von Vi¨ eta f¨ ur Gleichungen n-ten Grades
Wie f¨ ur quadratische Gleichungen, so erh¨ alt man auch f¨ ur beliebige Gleichungen n-ten Grades durch Vergleich der Normalform und der Produktform Beziehungen zwischen den L¨osungen und den Koeffizienten der Potenzen von x in der Normalform. Ausmultiplizieren der Produktform, Gleichsetzen mit der Normalform und Koeffizientenvergleich (das heißt, Vergleich der Koeffizienten von xn−1 , xn−2 , . . . , x2 , x1 = x, x0 = 1 auf beiden Seiten der Gleichung) ergibt die folgenden Beziehungen, die als Satz von Vi¨eta bezeichnet werden. Kubische Gleichungen: osungen x1 , x2 , x3 Normalform: x3 + b2 x2 + b1 x + b0 = 0, L¨ Satz von Vi¨eta: b2 = −(x1 + x2 + x3 ); b1 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ; b0 = −x1 x2 x3 Gleichungen vierten Grades: Normalform: x4 + b3 x3 + b2 x2 + b1 x + b0 = 0, L¨osungen x1 , x2 , x3 , x4 Satz von Vi¨eta: b3 = −(x1 + x2 + x3 + x4 ) b2 = x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 b1 = −(x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x4 ) b0 = x1 x2 x3 x4 Gleichungen n-ten Grades: Normalform: xn + bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b2 x2 + b1 x + b0 = 0 L¨osungen: x1 , x2 , x3 , . . . , xn
2.6 Algebraische Gleichungen h¨ oheren Grades
69
Satz von Vi¨eta: bn−1 = −(x1 + x2 + . . . xn ), bn−2 = x1 x2 + x1 x3 + . . . + x1 xn + x2 x3 + x2 x4 + . . . + x2 xn + . . . + xn−1 xn , bn−3 = −(x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + . . . + x1 x2 xn + x1 x3 x4 + x1 x3 x5 + . . . + x1 x3 xn + . . . + x2 x3 x4 + x2 x3 x5 + . . . + x2 x3 xn + x2 x4 x5 + . . . + xn−2 xn−1 xn ), ............................................................... b1 = (−1)n−1 (x1 x2 x3 . . . xn−1 + x1 x2 . . . xn−2 xn + x1 x2 . . . xn−3 xn−1 xn + . . . + x1 x3 x4 . . . xn + x2 x3 . . . xn ), b0 = (−1)n x1 x2 x3 . . . xn Beispiele: 1.
Die kubische Gleichung x3 − 6x2 − x + 6 = 0 (also b2 = −6, b1 = −1, b0 = 6) hat die L¨ osungen x1 = 1, x2 = 6, x3 = −1 (vgl. Beispiel 2 im Abschnitt 2.6.1). Es gilt nach dem Satz von Vi¨eta: b2 = −(x1 + x2 + x3 ) = −(1 + 6 − 1) = −6, b1 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = 1 · 6 + 1 · (−1) + 6 · (−1) = 6 − 1 − 6 = −1, b0 = −x1 x2 x3 = −1 · 6 · (−1) = −(−6) = 6
2.
F¨ ur die Gleichung vierten Grades x4 − 7x3 + 5x2 + 7x − 6 = 0 gilt: b3 = −7, b2 = 5, b1 = 7, b0 = −6. Die Gleichung hat die L¨ osungen x1 = x2 = 1, x3 = 6, x4 = −1 (vgl. Beispiel 2 im Abschnitt 2.6.3). Nach dem Satz von Vi¨eta gilt: b3 = −(x1 + x2 + x3 + x4 ) = −(1 + 1 + 6 − 1) = −7 b2 =x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 =1 · 1 + 1 · 6 + 1 · (−1) + 1 · 6 + 1 · (−1) + 6 · (−1) = 1 + 6 − 1 + 6 − 1 − 6 = 5 b1 =−(x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x4 ) =−(1 · 1 · 6 + 1 · 1 · (−1) + 1 · 6 · (−1) + 1 · 6 · (−1)) = −(6 − 1 − 6 − 6) = 7 b0 = x1 x2 x3 x4 = 1 · 1 · 6 · (−1) = −6
3.
Welche Normalform hat die kubische Gleichung mit den L¨ osungen 1 1 x1 = −2, x2 = − , x3 = ? 2 2 Normalform: x3 + b2 x2 + b1 x + b0 = 0 Nach dem Satz von Vi¨eta gilt:
1 1 =2 + 2 2 1 1 1 1 1 1 b1 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = (−2) − =1−1− =− + (−2) + − 2 2 2 2 4 4 1 1 1 b0 = −x1 x2 x3 = − (−2) − =− 2 2 2 1 1 Die Normalform der kubischen Gleichung lautet somit x3 + 2x2 − x − = 0. 4 2 b2 = −(x1 + x2 + x3 ) = − − 2 −
70
2 Gleichungen
2.7 2.7.1
Auf algebraische Gleichungen zuru ¨ckfu ¨ hrbare Gleichungen Bruchgleichungen
Bestimmungsgleichungen mit Bruchtermen, bei denen die Variable (auch) im Nenner auftritt, heißen Bruchgleichungen. P (x) Alle diese Bruchterme sind Quotienten , wo P (x) und Q(x) Polynome mit der Q(x) gleichen Variablen x sind, also P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 und Q(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + . . .+ b2 x2 + b1 x+ b0 mit n ≥ 0, m ≥ 1 (vgl. Abschnitt 2.6.2). Multipliziert man eine solche Gleichung mit dem Hauptnenner aller auf beiden Seiten der Gleichung auftretenden Nenner durch, dann entsteht eine algebraische Gleichung (oder eine identische Gleichung). Durch die Multiplikation mit dem Hauptnenner k¨onnen L¨osungen hinzukommen, es gehen aber keine L¨osungen verloren. Deshalb ist es unbedingt erforderlich, die L¨osungen der erhaltenen algebraischen Gleichung in die Ausgangsgleichung einzusetzen. Dadurch werden hinzugekommene L¨ osungen, die nicht L¨ osungen der Ausgangsgleichung sind, ausgesondert, insbesondere solche Werte, f¨ ur die ein Nenner der Ausgangsgleichung Null ist. Beispiele: 4x − 1 x+2 = 1. 2x − 1 x Multiplikation mit dem Hauptnenner x(2x − 1) : (x + 2)x = (4x − 1)(2x − 1) Aufl¨ osen der Klammern: x2 + 2x = 8x2 − 4x − 2x + 1 Sortieren nach Potenzen von x : 7x2 − 8x + 1 = 0 Quadratische Gleichung in allgemeiner Form mit a = 7, b = −8, c = 1 (vgl. Abschnitt 2.5.2) √ 1 1 L¨ osungen: x1,2 = 8 ± 64 − 4 · 7 · 1 = 8±6 14 14 1 ⇒ x1 = 1, x2 = 7 4·1−1 1+2 = ⇒ 3=3 Einsetzen von x1 in die Ausgangsgleichung: 2·1−1 1 1 4 · 17 − 1 +2 7 Einsetzen von x2 in die Ausgangsgleichung: = 1 1 2· 7 −1 7 ⇒
15 7 − 57
=
− 37 1 7
⇒ −3 = −3
Beide Werte sind also auch L¨ osungen der Ausgangsgleichung. 1 , 1 L¨ osungsmenge: L = 7 2.
3x − 5 2x2 + 2x + 18 2x + 1 + = x−3 x+3 x2 − 9 Multiplikation mit dem Hauptnenner (x − 3)(x + 3) = x2 − 9: (2x + 1)(x + 3) + (3x − 5)(x − 3) = 2x2 + 2x + 18 Aufl¨ osen der Klammern: 2x2 + 6x + x + 3 + 3x2 − 9x − 5x + 15 = 2x2 + 2x + 18 Sortieren nach Potenzen von x : 3x2 − 9x = 0 Durch 3 dividieren und x ausklammern: x(x − 3) = 0 Die L¨ osungen dieser quadratischen Gleichung sind x1 = 0, x2 = 3 1 −5 18 Einsetzen von x1 in die Ausgangsgleichung: + = ⇒ −2 = −2 −3 3 −9 osung der Ausgangsgleichung, da f¨ ur x = 3 zwei der Nenner gleich 0 sind. x2 = 3 ist keine L¨ L¨ osungsmenge: L = {0}
2.7 Auf algebraische Gleichungen zur¨ uckf¨ uhrbare Gleichungen
3.
71
2x + 3 4x + 5 6x2 + 6x − 2 + = x−1 x+1 x2 − 1 Multiplikation mit dem Hauptnenner (x − 1)(x + 1) = x2 − 1: (2x + 3)(x + 1) + (4x + 5)(x − 1) = 6x2 + 6x − 2 Aufl¨ osen der Klammern: 2x2 + 2x + 3x + 3 + 4x2 − 4x + 5x − 5 = 6x2 + 6x − 2 Zusammenfassen: 6x2 + 6x − 2 = 6x2 + 6x − 2 Dies ist eine identische Gleichung, die f¨ ur alle reellen x erf¨ ullt ist. F¨ ur x = 1 und x = −1 ist die Ausgangsgleichung nicht erkl¨ art, da Nenner gleich 0 sind. L¨ osungsmenge: L = {x|x ∈ IR und x = 1, x = −1}
4.
3 2 2x + 1 − =− 2 x−1 x−3 x − 4x + 3 Multiplikation mit dem Hauptnenner (x − 1)(x − 3) = x2 − 4x + 3: 3(x − 3) − 2(x − 1) = −(2x + 1) Aufl¨ osen der Klammern: 3x − 9 − 2x + 2 = −2x − 1 Sortieren nach Potenzen von x : 3x − 6 = 0 Die L¨ osung dieser linearen Gleichung ist x = 2. 2 5 3 − =− ⇒ 5=5 Einsetzen in die Ausgangsgleichung: 1 −1 −1 L¨ osungsmenge: L = {2}
2.7.2
Wurzelgleichungen
Bestimmungsgleichungen, bei denen die Variable (auch) unter einer Wurzel vorkommt, heißen Wurzelgleichungen. ¨ Uber die Existenz und die Anzahl von L¨ osungen bei Wurzelgleichungen lassen sich allgemein keine Aussagen machen. Ziel f¨ ur die Bestimmung der L¨osungen ist es, die in der Gleichung auftretenden Wurzeln zu beseitigen und die Gleichung in eine algebraische Gleichung zu u uhren. ¨ berf¨ Oftmals gelingt es, die Wurzeln zu isolieren (das heißt, die Gleichung so umzuformen, dass die Wurzel allein auf einer Seite der Gleichung steht) und dann beide Seiten der Gleichung in die entsprechende Potenz zu erheben. Viele Wurzelgleichungen k¨onnen auch schon durch ein- oder mehrmaliges Quadrieren in eine algebraische Gleichung u uhrt ¨ berf¨ werden. Durch das Quadrieren oder allgemeiner durch das Potenzieren k¨onnen L¨osungen hinzukommen, es gehen aber keine L¨ osungen verloren (Potenzieren ist keine ¨aquivalente Umformung!). Durch die Probe mit Einsetzen der gefundenen L¨osungen in die Ausgangsgleichung lassen sich diese zus¨ atzlichen Werte aber leicht feststellen und aussortieren. Beispiele: √ 1. 11 − x + 3 = 6 √ √ Isolieren der Wurzel ergibt x + 3 = 11 − 6, also x + 3 = 5, woraus man durch Quadrieren der Gleichung x + 3 = 25, also x = 22 erh¨ √alt. Einsetzen in die Ausgangsgleichung best¨ atigt x = 22 als L¨ osung: 11 − 22 + 3 = 6 L¨ osungsmenge: L = {22} 2.
√ 5 + 9x2 − 65 = 3x Isolieren der Wurzel und Quadrieren der Gleichung ergibt √ 9x2 − 65 = 3x − 5 ⇒ 9x2 − 65 = (3x − 5)2 = 9x2 − 30x + 25 ⇒ 30x = 90 ⇒ x = 3 Einsetzen in die Ausgangsgleichung ergibt x = 3 als L¨ osung. L¨ osungsmenge: L = {3}
72 3.
2 Gleichungen √
11 − x = x + 1 2 Quadrieren ergibt 11 − x = x2 + 2x + 1, also die quadratische Gleichung x + 3x − 10 = 0, 3 9 + 10, also x1 = 2 und x2 = −5 hat. die die L¨ osungen x1,2 = − ± 2 4 Die Probe zeigt, dass x1 die Wurzelgleichung erf¨ ullt, x2 jedoch nicht. L¨ osungsmenge: L = {2}
4.
√ x + 5 = 2x + 3 + 1 √ Quadrieren der Gleichung ergibt x + 5 = 2x + 3 + 2 2x + 3 + 1. √ Durch Zusammenfassen und Isolieren der Wurzel erh¨ alt man −x + 1 = 2 2x + 3. 2 Erneutes Quadrieren ergibt x − 2x + 1 = 4(2x + 3) und somit die quadratische Gleichung x2 − 10x − 11 = 0. √ 25 + 11, also x1 = 11 und x2 = −1. Diese Gleichung hat die L¨ osungen x1,2 √= 5 ± √ x + 5 = 2x + 3 + 1 zeigt, dass x2 eine L¨ osung ist, Einsetzen in die Ausgangsgleichung x1 aber nicht. √
L¨ osungsmenge: L = {−1} 5.
√ x + 2 + 2x + 7 = √ 4 Quadrieren: x + 2√+ 2x + 7 = 16 2x + 7 = 14 − x Wurzel isolieren: Quadrieren: 2x + 7 = 196 − 28x + x2 Sortieren nach Potenzen von x : x2 − 30x + 189 = 0 √ L¨ osungen dieser quadratischen Gleichung: x1,2 = 15 ± 225 − 189 = 15 ± 6 ⇒ x1 = 21, x2 = 9 √ √ 21 + 2 + 2 · 21 + 7 = 4 ⇒ 30 = 4: unwahr! Einsetzen von x1 in Ausgangsgleichung: Somit ist x1 keine L¨ osung der Ausgangsgleichung. √ 9 + 2 + 2 · 9 + 7 = 4 ⇒ 4 = 4: wahr, x2 = 9 Einsetzen von x2 in Ausgangsgleichung: ist also L¨ osung. L¨ osungsmenge: L = {9}
6.
√ 3
x+2=3 In die 3. Potenz erheben: x + 2 = 33 = √ 27 ⇒ x = 25 Einsetzen in die Ausgangsgleichung: 3 25 + 2 = 3 ⇒ 3 = 3 L¨ osungsmenge: L = {25}
7.
√ √ 3 x + 5 x2 − 22 3 x + 16 = 0 2 1 Umformung der Wurzelexponenten: x + 5x 3 − 22x 3 + 16 = 0 Durch Potenzieren lassen sich die Wurzeln nicht beseitigen, stattdessen Substitution: √ 1 z = 3 x = x3 3 Es folgt: z + 5z 2 − 22z + 16 = 0 Durch Probieren erh¨ alt man die L¨ osung z = 1 dieser kubischen Gleichung. Polynomdivision: (z 3 + 5z 2 − 22z + 16) : (z − 1) = z 2 + 6z − 16 L¨ osungen der√quadratischen Gleichung z 2 + 6z − 16 = 0 : z2,3 = −3 ± 9 + 16 = −3 ± 5 ⇒ z2 = 2, z3 = −8 Substitutionsgleichung in die dritte Potenz erheben: x = z 3 Einsetzen der L¨ osungen: x1 = z13 = 13 = 1, x2√= z23 = 2√3 = 8, x3 = z33 = (−8)3 = −512 3 Einsetzen von x1 in Ausgangsgleichung: 1 + 5 12 − 22 3 1 + 16 = 0 ⇒ 1 + 5 − 22 + 16 = 0 ⇒ 0=0 √ √ 3 Einsetzen von x2 in Ausgangsgleichung: 8 + 5 82 − 22 3 8 + 16 = 0 ⇒ 8 + 20 − 44 + 16 = 0 ⇒ 0=0
2.8 Transzendente Gleichungen
73
√ Einsetzen von x3 in Ausgangsgleichung: −512 + 5 3 (−512)2 − 22 3 −512 + 16 = 0 ⇒ −512 + 5 · 64 − 22 · (−8) + 16 = 0 ⇒ −512 + 320 + 176 + 16 = 0 ⇒ 0 = 0 L¨ osungsmenge: L = {−512, 1, 8}
2.8 2.8.1
Transzendente Gleichungen Exponentialgleichungen
Bestimmungsgleichungen, bei denen die Variable (auch) im Exponenten einer Potenz steht, heißen Exponentialgleichungen. Im allgemeinen lassen sich in Exponentialgleichungen die L¨osungen nur durch N¨aherungsverfahren (siehe Abschnitt 8.4.12) bestimmen. Tritt in einer Exponentialgleichung die Variable jedoch nur in den Exponenten auf, so kann man sie oftmals l¨osen, und zwar •
durch Umformung mit Hilfe der Potenzgesetze und anschließendes Logarithmieren zu einer beliebigen Basis
oder •
¨ durch Uberf¨ uhrung in eine algebraische Gleichung mit Hilfe einer geeigneten Substitution und anschließendem Logarithmieren. Die Exponentialgleichung a · bx = c geht durch Logarithmieren u ¨ ber in log a + x · log b = log c − log a log c, woraus sich f¨ ur b = 1 die L¨ osung x = ergibt. log b Die Exponentialgleichung an bnx + an−1 b(n−1)x + . . . + a2 b2x + a1 bx + a0 = 0 geht mit Hilfe der Substitution z = bx u ¨ ber in die algebraische Gleichung an z n + an−1 z n−1 + log z . . . + a2 z 2 + a1 z + a0 = 0. Ist z > 0 eine reelle L¨osung dieser Gleichung, so ist x = log b eine L¨osung der Exponentialgleichung. Beispiele: 1.
3x = 4x−2 · 2x Logarithmieren zu einer beliebigen Basis ergibt x log 3 = (x − 2) log 4 + x log 2. Aufl¨ osen nach x gibt die L¨ osung 2 log 4 4 log 2 x= = ≈ 2, 826 780. log 4 − log 3 + log 2 3 log 2 − log 3 Bei der letzten Umformung wurde log 4 = 2 log 2 gesetzt. L¨ osungsmenge: L = {2, 826 780 . . .}
2.
5 · 6x = 2x · 7−x
x 2 x 1 Durch Umformung ergibt sich = = 5, woraus man durch Logarithmieren 7·6 21 die L¨ osung erh¨ alt: log 5 log 5 = x= ≈ −0, 528 634 − log 21 log 1 21
L¨ osungsmenge: L = {−0, 528 633 . . .} 3.
e2x+3 = ex−4 Logarithmieren zur Basis e ergibt die Gleichheit der Exponenten: 2x + 3 = x − 4,
74
2 Gleichungen woraus sich unmittelbar die L¨ osung x = −7 ergibt. L¨ osungsmenge: L = {−7}
4.
22x − 52 · 2x+1 + 6 = 0 Durch Umformung erh¨ alt man (2x )2 − 5 · 2x + 6 = 0, und mit der Substitution z = 2x ergibt sich die quadratische Gleichung in z: z 2 −5z +6 = 0, 5 − 6, also z1 = 2 und z2 = 3 hat. die die L¨ osungen z1,2 = 2 ± 25 4 Durch Einsetzen dieser Werte in die Substitutionsgleichung ergeben sich die L¨ osungen x1 und x2 der Exponentialgleichung: log 3 ≈ 1, 584 963 2x1 = z1 = 2 ⇒ x1 = 1; 2x2 = z2 = 3 ⇒ x2 = log 2 L¨ osungsmenge: L = {1; 1, 584 962 . . .}
5.
3x = x + 4 In dieser Gleichung steht x nicht nur im Exponenten, die Gleichung l¨ asst sich deshalb nur mit einem N¨ aherungsverfahren l¨ osen. Man setzt y = 3x − x − 4 und wendet etwa Regula falsi oder das newtonsche Verfahren an (vgl. Abschnitt 8.4.12). Mit den Startwerten x1 = 1, 55, x2 = 1, 57 (⇒ y1 = alt man zum Beispiel mit Regula falsi (Sekantenverfah−0, 0604 . . . , y2 = 0, 0415 . . .) erh¨ ren) in zwei Schritten die N¨ aherungsl¨ osung: x ≈ 1, 561 919 L¨ osungsmenge: L = {1, 561 918 . . .}
2.8.2
Logarithmische Gleichungen
Bestimmungsgleichungen, bei denen die Variable (auch) im Argument eines Logarithmus vorkommt, heißen logarithmische Gleichungen. Einige dieser Gleichungen lassen sich mit Hilfe der Logarithmenrechnung auf die l¨osbare Form loga x = b bringen. Die L¨ osung lautet dann x = ab . Spezielle logarithmische Gleichungen k¨ onnen mit Hilfe einer geeigneten Substitution in eine algebraische Gleichung umgewandelt werden. Tritt die Variable nicht nur im Argument von Logarithmen auf, dann lassen sich die L¨osungen von logarithmischen Gleichungen im allgemeinen nur durch N¨aherungsverfahren bestimmen (siehe Abschnitt 8.4.12). Beispiele: 1.
log7 (x2 + 19) = 3 Durch Potenzieren ergibt sich 73 = x2 + 19, also x2 = 324. Daraus erh¨ alt man die L¨ osungen x1 = 18 und x2 = −18. L¨ osungsmenge: L = {18, −18}
2.
lg(6x + 10) − lg(x − 3) = 1 6x + 10 6x + 10 = 1 und durch Potenzieren = 101 = 10 und somit 6x + 10 = Es folgt lg x−3 x−3 10x − 30, also 4x = 40. Daraus ergibt sich x = 10 als L¨ osung der logarithmischen Gleichung. L¨ osungsmenge: L = {10}
2.8 Transzendente Gleichungen 3.
75
lg(11x − 10) + [lg(11x − 10)]2 = 6 2 Durch die Substitution z = lg(11x−10) erh¨alt man die quadratische Gleichung z +z −6 = 1 1 + 6, also z1 = −3 und z2 = 2. 0 mit den L¨ osungen z1,2 = − ± 2 4 Durch Einsetzen dieser Werte in die Substitutionsgleichung ergeben sich die L¨ osungen x1 und x2 der logarithmischen Ausgangsgleichung: 10z + 10 z = lg(11x − 10) ⇒ 10z = 11x − 10 ⇒ x = 11 10−3 + 10 = 0, 909 18 z1 = −3 ⇒ x1 = 11 102 + 10 = 10 z2 = 2 ⇒ x2 = 11 L¨ osungsmenge: L = {0, 909 18, 10}
2.8.3
Trigonometrische Gleichungen
Bestimmungsgleichungen, in denen die Variable (auch) im Argument einer trigonometrischen Funktion auftritt, heißen trigonometrische Gleichungen oder goniometrische Gleichungen (siehe Kapitel 6). Trigonometrische Gleichungen sind ebenfalls transzendente Gleichungen. Sie lassen sich nur in Spezialf¨allen rechnerisch exakt l¨ osen. Es existieren jedoch stets N¨aherungsverfahren, mit deren Hilfe sich die L¨ osungen mit beliebiger Genauigkeit angeben lassen (zum Beispiel newtonsches Verfahren oder Regula falsi, vgl. Abschnitt 8.4.12). Tritt in der Gleichung nur eine trigonometrische Funktion auf, so erh¨alt man mit den Arkusfunktionen die L¨ osungen (vgl. Abschnitt 6.9). Auch f¨ ur solche Gleichungen, in denen verschiedene trigonometrische Funktionen auftreten, die das gleiche Argument haben, kann man oft mit Hilfe der Arkusfunktionen die L¨osungen berechnen. Die L¨osungen k¨ onnen im Gradmaß oder im Bogenmaß angegeben werden. Die Probe durch Einsetzen der gefundenen Werte ist wichtig, weil beim L¨osen in der Regel auch nicht¨aquivalente Umformungen vorgenommen werden. Im allgemeinen sind trigonometrische Gleichungen nicht eindeutig l¨osbar. Beispiele: 1.
sin2 x − 1 = −0, 5 Man berechnet:
1√ 1 1 1√ 2 ⇒ x = arcsin ± 2 = ±45◦ ⇒ sin x = ± =± 2 2 2 2 Wegen sin x = sin(180◦ − x) und sin x = sin(x + k · 360◦ ) ergibt sich als L¨ osungsmenge der trigonometrischen Gleichung (im Gradmaß): sin2 x =
L = {x|x = 45◦ + k · 180◦ , k ∈ ZZ} Die Probe in der Ausgangsgleichung best¨ atigt diese Werte. 2.
sin2 x + 2 cos x = 1, 5 Wegen sin2 x + cos2 x = 1 ergibt sich 1 − cos2 x + 2 cos x = 1, 5 ⇒ cos2 x − 2 cos x + 0, 5 = 0 Dies ist eine quadratische Gleichung in cos x. Mit der Substitution z = cos x ergibt sich die 1√ osungen z = cos x = 1 ± 2. Wegen quadratische Gleichung z 2 − 2z + 0, 5 = 0 mit den L¨ 2 √ 1 2 f¨ ur eine L¨ osung nicht in Betracht. Somit folgt cos x ≤ 1 kommt cos x = 1 + 2
76
2 Gleichungen 1√ 1√ 2 ⇒ x = arccos(1 − 2) ≈ 1, 2735 2 2 Wegen cos x = cos(−x) und cos x = cos(x + 2kπ) ergibt sich als L¨ osungsmenge der Ausgangsgleichung (im Bogenmaß): cos x = 1 −
L = {x|x ≈ ±1, 2735 + 2kπ, k ∈ ZZ} Die Probe in der Ausgangsgleichung best¨ atigt diese Werte. 3.
sin x + cos x − 0, 9x = 0 Diese Gleichung ist nicht geschlossen l¨ osbar. Eine N¨ aherungsl¨ osung erh¨ alt man zum Beispiel mit Regula falsi (vgl. Abschnitt 8.4.12). Man setzt y = sin x + cos x − 0, 9x und erh¨ alt mit den Startwerten x1 = 77◦ , x2 = 76, 5◦ (⇒ y1 = −0, 0101 . . . , y2 = 0, 0041 . . .) im ersten Schritt die N¨ aherungsl¨ osung x ≈ 1, 3378.
2.9 2.9.1
Lineare Gleichungssysteme Definitionen
Die Schwierigkeiten beim Bestimmen der L¨ osungen von Gleichungen werden noch gr¨oßer, wenn nicht nur eine Variable aus einer Bestimmungsgleichung errechnet werden soll, sondern wenn mehrere Variable mehrere Gleichungen gleichzeitig erf¨ ullen sollen. Zum Beispiel sollen in den Gleichungen x − 2y = 4 und 2x + 5y = 35 die Variablen x und y so berechnet werden, dass deren Werte beide Gleichungen erf¨ ullen. Sollen m Gleichungen von n Variablen gleichzeitig erf¨ ullt sein, so spricht man von einem System von m Gleichungen mit n Variablen. Ein solches Gleichungssystem zu l¨osen, heißt, die Werte der Variablen zu bestimmen, die alle Gleichungen dieses Systems erf¨ ullen. Eine L¨osung eines Gleichungssystems mit m Gleichungen und n Variablen besteht also aus n Werten, einem sogenannten n-Tupel (f¨ ur jede Variable ein Wert). So besteht eine L¨ osung eines Gleichungssystems mit zwei Variablen aus einem Paar (2-Tupel) von Werten, ein Gleichungssystem mit drei Variablen hat ein L¨osungstripel (3-Tupel). In dem Beispiel ist das Paar x = 10, y = 3 L¨ osung. Man schreibt auch (x, y) = (10, 3), oder die L¨osungsmenge L der beiden Gleichungen ist L = {(10, 3)} (die Reihenfolge ist zu beachten!). Eine Gleichung in mehreren Variablen heißt linear, wenn alle Variablen h¨ochstens in der ersten Potenz auftreten und nicht miteinander multipliziert werden. Die beiden Gleichungen des Beispiels sind lineare Gleichungen. Ein Gleichungssystem heißt linear, wenn alle Gleichungen des Systems lineare Gleichungen sind. Im allgemeinen ist die Bestimmung von L¨ osungen oder sogar aller L¨osungen eines Gleichungssystems sehr schwierig oder auch nicht m¨ oglich. F¨ ur lineare Gleichungssysteme ist jedoch eine Methode entwickelt worden, die alle L¨osungen des Systems liefert. Ein lineares Gleichungssystem ist durch die Koeffizienten der Variablen und durch die Absolutglieder (die Terme, die die Variablen nicht enthalten) bestimmt. 2.9.2
Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen
Die allgemeine Form eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Variablen x, y lautet:
2.9 Lineare Gleichungssysteme
77
a1 x + b 1 y = c 1 a2 x + b 2 y = c 2 a1 , a2 sind die Koeffizienten von x, die Koeffizienten von y sind b1 , b2 , und c1 , c2 sind die Absolutglieder des Gleichungssystems. ¨ Es gibt verschiedene Methoden, solche linearen Gleichungssysteme zu l¨osen. Ubliche Verfahren sind das Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren), das Additionsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren. Einsetzungsverfahren Beim Einsetzungsverfahren wird eine der beiden Gleichungen nach einer der Variablen aufgel¨ost, und der entsprechende Term wird in die andere Gleichung eingesetzt. Man erh¨alt so eine lineare Gleichung mit einer Variablen, die gel¨ost werden kann. Durch Einsetzen dieses Wertes in eine der beiden Ausgangsgleichungen ergibt sich eine lineare Gleichung mit der anderen Variablen, die daraus dann auch berechnet werden kann. F¨ uhrt man das Verfahren mit der allgemeinen Form des Gleichungssystems durch, so ergibt sich x=
b2 c1 − b1 c2 a1 c2 − a2 c1 , y= a1 b2 − a2 b1 a1 b2 − a2 b1
Fallunterscheidung: 1. Ist der Nenner a1 b2 − a2 b1 = 0, so erh¨ alt man genau eine L¨osung, und zwar das Zahlenpaar b c −b c a c −a c
2 1 1 2 1 2 2 1 , (x, y) = . a1 b2 − a2 b1 a1 b2 − a2 b1 2. Ist der Nenner a1 b2 − a2 b1 = 0, aber (mindestens) einer der Z¨ahler b2 c1 − b1 c2 oder a1 c2 − a2 c1 ungleich 0, so gibt es keine L¨ osung. 3. Ist der Nenner gleich 0, und sind außerdem beide Z¨ahler gleich 0, so gibt es unendlich viele L¨osungen, und zwar jedes Paar (x, y), das die erste gegebene Gleichung a1 x + b1 y = c1 und damit dann zugleich die zweite gegebene Gleichung a2 x + b2 y = c2 erf¨ ullt. Der Graph (das Schaubild) zu jeder einzelnen gegebenen Gleichung ist eine Gerade (vgl. Abschnitt 5.4.2). Im ersten Fall ist das die L¨ osung bildende Zahlenpaar das Koordinatenpaar des eindeutigen Schnittpunktes der beiden Geraden. Im zweiten Fall gibt es keine L¨osung, die Graphen der beiden gegebenen Gleichungen sind parallele Geraden (Parallelen haben keinen Schnittpunkt). Im dritten Fall gibt es unendlich viele L¨osungen, die Graphen der beiden gegebenen Gleichungen sind gleich, es handelt sich um ein und dieselbe Gerade. Wichtiger Hinweis: Man sollte stets die Probe in den noch nicht umgeformten Ausgangsgleichungen durchf¨ uhren! Beispiele: 1.
(I) −x + y = 1, (II) 2x + y = 4 (I) ⇒ y = 1 + x; Einsetzen in (II): 2x + 1 + x = 4 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1 Einsetzen in (I) ⇒ y = 2
78
2 Gleichungen L¨ osung: (x, y) = (1, 2) (oder L¨ osungsmenge: L = {(1, 2)}) Berechnung der L¨ osung durch Einsetzen von a1 = −1, b1 = 1, c1 = 1, a2 = 2, b2 = 1, c2 = 4 in die L¨ osungsformel: x=
(−1) · 4 − 2 · 1 −3 −6 1·1−1·4 = = 1, y = = =2 (−1) · 1 − 2 · 1 −3 (−1) · 1 − 2 · 1 −3
Probe: (I) −1 + 2 = 1 ⇒ 1 = 1, (II) 2 · 1 + 2 = 4 ⇒ 4 = 4 2.
(I) 2x + 3y = 8, (II) x + 4y = 9 (II) ⇒ x = 9 − 4y; Einsetzen in (I): 2(9 − 4y) + 3y = 8 ⇒ 18 − 5y = 8 ⇒ 5y = 10 ⇒ y = 2 Einsetzen in (II) ⇒ x = 9 − 4 · 2 = 1 L¨ osung: (x, y) = (1, 2) (oder L¨ osungsmenge: L = {(1, 2)}) Berechnung der L¨ osung durch Einsetzen von a1 = 2, b1 = 3, c1 = 8, a2 = 1, b2 = 4, c2 = 9 in die L¨ osungsformel: x=
4·8−3·9 5 2·9−1·8 10 = = 1, y = = =2 2·4−1·3 5 2·4−1·3 5
Probe: (I) 2 · 1 + 3 · 2 = 8 ⇒ 8 = 8, (II) 1 + 4 · 2 = 9 ⇒ 9 = 9
y 3
2x + 3y = 8 (1, 2)
2
x + 4y = 9
1 0 −1 −1
1
2
3
4
5
6
x
Abbildung 2.1 Geraden von Beispiel 2
Additionsverfahren Beim Additionsverfahren werden beide Gleichungen jeweils so mit einem Faktor multipliziert, dass bei anschließender Addition der Gleichungen eine der Variablen wegf¨allt. Man erh¨alt so eine lineare Gleichung mit einer Variablen, die gel¨ost werden kann. Durch Einsetzen dieses Wertes in eine der beiden Ausgangsgleichungen ergibt sich eine lineare Gleichung mit der anderen Variablen, die daraus dann auch berechnet werden kann. Beispiele: 3.
(I) −x + y = 1, (II) 2x + y = 4 Multiplikation von (I) mit 2: (I ) −2x + 2y = 2 Addition von (I ) und (II): y + 2y = 4 + 2 ⇒ 3y = 6 ⇒ y = 2 Einsetzen in (I) ⇒ x = 1 L¨ osung: (x, y) = (1, 2) (oder L¨ osungsmenge: L = {(1, 2)})
4.
(I) 2x + 3y = 8, (II) x + 4y = 9 Multiplikation von (II) mit −2: (II ) −2x − 8y = −18 Addition von (I) und (II ): 3y − 8y = 8 − 18
2.9 Lineare Gleichungssysteme
79
⇒ 5y = 10 ⇒ y = 2 Einsetzen in (I) ⇒ x = 1 L¨ osung: (x, y) = (1, 2)
Gleichsetzungsverfahren Beim Gleichsetzungsverfahren l¨ ost man beide Gleichungen nach derselben Variablen (oder dem gleichen Vielfachen einer Variablen) auf und setzt die entsprechenden Terme gleich. Man erh¨ alt so eine lineare Gleichung mit einer Variablen, die gel¨ost werden kann. Durch Einsetzen dieses Wertes in eine der beiden Ausgangsgleichungen ergibt sich eine lineare Gleichung mit der anderen Variablen, die daraus dann auch berechnet werden kann. Beispiele: 5.
(I) −x + y = 1, (II) 2x + y = 4 (I) ⇒ y = 1 + x, (II) ⇒ y = 4 − 2x Gleichsetzen ⇒ 1 + x = 4 − 2x ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1 Einsetzen in (I) ⇒ y = 2 L¨ osung: (x, y) = (1, 2) (oder L¨ osungsmenge: L = {(1, 2)})
6.
(I) 2x + 3y = 8, (II) x + 4y = 9 (I) ⇒ (I ) 2x = 8 − 3y Multiplikation von (II) mit 2: (II ) 2x + 8y = 18 ⇒ (II ) 2x = 18 − 8y Gleichsetzen von (I ) und (II ) ⇒ 8 − 3y = 18 − 8y ⇒ 5y = 10 ⇒ y = 2 Einsetzen in (I ): 2x = 2 ⇒ x = 1 L¨ osung: (x, y) = (1, 2)
Weitere Beispiele: 7.
(I) 2x + 3y = 8, (II) 4x + 6y = 13 Nach der L¨ osungsformel ist der Nenner a1 b2 − a2 b1 = 2 · 6 − 4 · 3 = 0. Der Z¨ ahler des x-Terms ahler des y-Terms ist a1 c2 − a2 c1 = 2 · 13 − 4 · 8 = ist b2 c1 − b1 c2 = 6 · 8 − 3 · 13 = 9 = 0 (der Z¨ −6 = 0). Es gibt also keine L¨ osung, die Graphen zu beiden gegebenen Gleichungen sind parallele Gleichungen.
y 3
2x + 3y = 8
2 4x + 6y = 13 1 0 −1 −1
1
2
3
4
5
6
x
Abbildung 2.2 Geraden von Beispiel 7 Anderer Nachweis, dass es keine L¨ osung gibt: Multiplikation von (I) mit −2: (I ) −4x − 6y = −16 Addition von (I ) und (II): 0 = −3 Dies ist ein Widerspruch, also kann das Gleichungssystem keine L¨ osung haben.
80 8.
2 Gleichungen (I) 2x + 3y = 8, (II) 6x + 9y = 24 Nach der L¨ osungsformel ist der Nenner a1 b2 − a2 b1 = 2 · 9 − 6 · 3 = 0. Der Z¨ ahler des x-Terms ahler des y-Terms ist a1 c2 − a2 c1 = 2 · 24 − 6 · 8 = 0. ist b2 c1 − b1 c2 = 9 · 8 − 3 · 24 = 0, der Z¨ Es gibt also unendlich viele L¨ osungen, die Graphen der beiden gegebenen Gleichungen sind dieselbe Gerade.
y 3 2x + 3y = 8 6x + 9y = 24
2 1 0 −1 −1
1
2
3
4
5
6
x
Abbildung 2.3 Geraden von Beispiel 8 Anderer Nachweis, dass es unendlich viele L¨ osungen gibt: Multiplikation von (I) mit 3 ergibt (II). Es handelt sich also um dieselbe Geradengleichung. Zu jedem x-Wert l¨ asst sich ein y-Wert eindeutig berechnen.
2.9.3
Drei lineare Gleichungen mit drei Variablen
Die allgemeine Form eines linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen x, y, z lautet: a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2 a3 x + b3 y + c3 z = d3 a1 , a2 , a3 sind die Koeffizienten von x, die Koeffizienten von y sind b1 , b2 , b3 , die Koeffizienten von z sind c1 , c2 , c3 , und d1 , d2 , d3 sind die Absolutglieder des Gleichungssystems. Auch hier gibt es unterschiedliche M¨ oglichkeiten, die L¨osung oder die L¨osungen eines solchen linearen Gleichungssystems zu bestimmen. Einsetzungsverfahren Beim Einsetzungsverfahren wird eine der drei Gleichungen nach einer Variablen aufgel¨ost und dann in die beiden anderen Gleichungen eingesetzt. Man erh¨alt so ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen, das man entsprechend Abschnitt 2.9.2 l¨ost. Beispiel: 1.
(I) 3x −9y −z=5 (II) 4x+10y−9z=43 (III) 5x −y−2z=36
2.9 Lineare Gleichungssysteme
81
Gleichung (I) nach z aufl¨ osen: z = 3x − 9y − 5 Einsetzen in die beiden anderen Gleichungen (II) und (III): (II) 4x+10y−9(3x − 9y − 5)=43 (III) 5x −y−2(3x − 9y − 5)=36 Klammern aufl¨ osen und zusammenfassen: (II) −23x+91y=−2 (III) −x+17y=26 Gleichung (III) nach x aufl¨ osen: x = 17y − 26 Einsetzen in (II): −23(17y − 26) + 91y = −2 ⇒ 300y = 600 ⇒ y = 2 Einsetzen in (III): x = 8 Einsetzen von x = 8 und y = 2 in (I): z = 3 · 8 − 9 · 2 − 5 = 1 L¨ osung: (x, y, z) = (8, 2, 1) (oder L¨ osungsmenge: L = {(8, 2, 1)}) Probe: (I) 3 · 8 − 9 · 2 − 1 = 5 ⇒ 24 − 18 − 1 = 5 ⇒ 5 = 5 (II) 4 · 8 + 10 · 2 − 9 · 1 = 43 ⇒ 32 + 20 − 9 = 43 ⇒ 43 = 43 (III) 5 · 8 − 2 − 2 · 1 = 36 ⇒ 40 − 2 − 2 = 36 ⇒ 36 = 36
Wichtiger Hinweis: Die Probe stets in allen noch nicht umgeformten Ausgangsgleichungen durchf¨ uhren! Additionsverfahren Beim Additionsverfahren wird eine der Gleichungen jeweils so a¨quivalent umgeformt, dass bei Addition dieser umgeformten Gleichung mit einer der beiden anderen Gleichungen jeweils die gleiche Variable herausf¨ allt. Auch dadurch erh¨alt man wieder zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Beispiel: 2.
(I) x−2y−3z=−5 (II) 3x+3y +z=6 (III) 2x +y −z=0 Multiplikation von (II) mit 3: (II ) 9x + 9y + 3z = 18 Addition von (I) und (II ): (IV) 10x+7y=13 Addition von (II) und (III): (V) 5x+4y=6 Multiplikation von (V) mit −2: (V ) −10x − 8y = −12 Addition von (IV) und (V ): −y = 1 ⇒ y = −1 Einsetzen in (V): 5x − 4 = 6 ⇒ x = 2 Einsetzen von x = 2 und y = −1 in (III): z = 2x + y = 2 · 2 − 1 = 3 L¨ osung: (x, y, z) = (2, −1, 3) (oder L¨ osungsmenge: L = {(2, −1, 3)})
Weitere L¨osungsverfahren wie die cramersche Regel werden mit Hilfe der Determinantenrechnung im Abschnitt 2.9.4 formuliert. 2.9.4
Matrizen und Determinanten
Eine Matrix (Plural Matrizen) ist ein System von m · n Gr¨oßen, die in einem rechteckigen Schema von m (waagerechten) Zeilen und n (senkrechten) Spalten angeordnet sind. Die m·n Gr¨oßen nennt man die Elemente der Matrix, es sind beliebige reelle (oder komplexe) Zahlen. Die Stellung eines Elementes, etwa aij , im Schema wird durch einen Doppelindex gekennzeichnet. Dabei gibt der erste Index i die Zeile und der zweite Index j die
82
2 Gleichungen
Spalte an, in der das Element steht. Die Nummerierungen der Zeilen verlaufen von oben nach unten, die der Spalten von links nach rechts. Das Element aij befindet sich also im Kreuzungspunkt der i-ten Zeile und der j-ten Spalte. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten nennt man (m, n)-Matrix. Meist k¨ urzt man Matrizen durch große lateinische Buchstaben A, B, . . . ab. Man schreibt eine Matrix, indem man das Schema in eckige Klammern (oder auch in runde Klammern) setzt: ⎡
⎤ a11 a12 . . . a1n ⎢ a21 a22 . . . a2n ⎥ ⎥ A = ⎢ ⎣ ..................... ⎦ am1 am2 . . . amn Matrix
⎛
⎞ a11 a12 . . . a1n ⎜ a21 a22 . . . a2n ⎟ ⎟ A = ⎜ ⎝ ..................... ⎠ am1 am2 . . . amn
Abk¨ urzend schreibt man daf¨ ur auch A = (aij ). Beispiel:
%
A
=
5 14 −1
−2 0 0
0 −6 2
5 1 5
&
Dies ist eine (3,4)-Matrix, also eine Matrix mit 3 Zeilen und 4 Spalten. Zum Beispiel ist a12 = −2 das Element, das in der ersten Zeile und zweiten Spalte steht.
Achtung: Die Doppelindizes sind einzeln zu lesen, zum Beispiel wird a12 gesprochen: a − eins − zwei.
Quadratische Matrizen: Gilt m = n, also Zeilenanzahl gleich Spaltenanzahl, dann heißt A eine n−reihige quadratische Matrix oder eine quadratische Matrix der Ordnung n. Die Elemente einer quadratischen Matrix, f¨ ur die i = j gilt, bilden die sogenannte Hauptdiagonale der Matrix. Beispiel:
⎡
A
=
⎢ ⎢ ⎢ ⎣
4 5 1
0
−
1
5 2 1
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
4 3 A ist eine quadratische 3-reihige Matrix. Die Hauptdiagonalelemente sind 4 4 a11 = , a22 = 1, a33 = − . 5 3 Alle Elemente der zweiten Zeile sind gleich 1: a21 = a22 = a23 = 1. −1
10
−
Nullmatrix O: ur i = 1, . . . , m und Eine Matrix, deren Elemente alle gleich Null sind, also aij = 0 f¨ j = 1, . . . , n, heißt eine Nullmatrix.
2.9 Lineare Gleichungssysteme
83
Einheitsmatrix E: Eine quadratische Matrix heißt Einheitsmatrix, falls aij =
1 f¨ ur i = j, 0 f¨ ur i = j.
Diagonalmatrix: Eine quadratische Matrix, bei der f¨ ur alle i = j die Elemente aij gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix. Beispiel: ⎡ 2 A
=
0
⎤
0
⎣ 0 −3 0 ⎦ 0
0
7
Obere Dreiecksmatrix: Eine quadratische Matrix, bei der f¨ ur alle i > j die Elemente aij gleich Null sind, heißt obere Dreiecksmatrix. Beispiel: ⎡ −1
6
0
0
4
1 ⎦
0
0
A
=
⎣
⎤
−7
Untere Dreiecksmatrix: Eine quadratische Matrix, bei der f¨ ur alle i < j die Elemente aij gleich Null sind, heißt untere Dreiecksmatrix. Matrizen vom gleichen Typ: Zwei Matrizen heißen vom gleichen Typ, wenn sie die gleiche Anzahl von Zeilen und die gleiche Anzahl von Spalten haben, wenn also beide (m, n)-Matrizen sind mit dem gleichen m und dem gleichen n. Beispiel: ' −1 A = 1
2
3
24
0
(
' ;
B
=
2
2
0
0
6
1
(
' ;
C
=
−1
6
0
4
(
A und B sind vom gleichen Typ, C ist jedoch nicht vom gleichen Typ wie A und B.
Gleichheit von Matrizen: Zwei Matrizen A und B heißen gleich, wenn beide vom gleichen Typ sind und wenn die ur alle i = 1, . . . , m und entsprechenden Elemente u ¨ bereinstimmem, wenn also aij = bij f¨ j = 1, . . . , n gilt. Beispiel: ' −1 A = 1
2
3
24
0
(
' ;
B
=
−1
2
3
1
24
0
( : A=B
84
2 Gleichungen
Transponierte Matrix: Die transponierte oder gespiegelte Matrix AT der Matrix A ist die Matrix, die durch Vertauschung von Zeilen und Spalten von A gebildet wird: ⎡
⎤ a11 a12 . . . a1n ⎢ a21 a22 . . . a2n ⎥ ⎥ A = ⎢ ⎣ ..................... ⎦ ; am1 am2 . . . amn
Beispiel:
'
A
=
2 −5
−1 4
3 0
%
( ;
A
T
=
2 3 −1
⎡
⎤ a11 a21 . . . am1 ⎢ a12 a22 . . . am2 ⎥ ⎥ = ⎢ ⎣ .................... ⎦ a1n a2n . . . amn
AT
−5 0 4
&
Symmetrische Matrix: Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, wenn A = AT ist, wenn also aij = aji f¨ ur alle i und j gilt. Beispiel: ⎡ −1
2
2
−6
3
0
A
=
⎣
3
⎤
0 ⎦
=
AT
5
Antisymmetrische Matrix: Eine quadratische Matrix A heißt antisymmetrisch oder schiefsymmetrisch, wenn AT = −A ist. Addition und Subtraktion von Matrizen: Matrizen k¨onnen nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie vom gleichen Typ sind. Zwei Matrizen vom gleichen Typ werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre korrespondierenden Elemente addiert bzw. subtrahiert: A + B = (aij ) + (bij ) = (aij + bij )
A − B = (aij ) − (bij ) = (aij − bij ) Eigenschaften der Addition: 1. A + B = B + A (Kommutativgesetz) 2. (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (Assoziativgesetz) 3. (A + B)T = AT + B T
2.9 Lineare Gleichungssysteme Beispiel:
'
A
=
2
−2
0
−1
3
2
' A+B
=
A−B
=
'
85
(
' ; B
6
−1
−3
0
3
0
−2
−3
3
−2
3
4
=
4
1
−3
1
0
−2
(
( (
' ; B−A
=
2
3
−3
2
−3
−4
(
Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl: Man multipliziert eine Matrix A mit einer reellen Zahl k, indem man jedes Element der Matrix mit k multipliziert: k A = k (aij ) = (k aij ) Eigenschaften: Sind k und l zwei reelle Zahlen und A und B zwei Matrizen, so gilt: 1. k (l A) = l (k A) = (k l)A 2. (k + l) A = k A + l A 3. k (A + B) = k A + k B 4. (k A)T = k AT Beispiel:
'
3A
=
3
2
−2
0
−1
3
2
(
' =
6
−6
0
−3
9
6
(
Multiplikation von Matrizen: Das Produkt A B zweier Matrizen A und B kann nur dann gebildet werden, wenn die Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B ist. Ist A = (aij ) eine (m, n)-Matrix und B = (bjk ) eine (n, r)-Matrix (Anzahl der Spalten von A = Anzahl der Zeilen von B), so ist die Produktmatrix C = A B eine (m, r)-Matrix n aij · bjk . Das Element cik von C = A B f¨ ur ein festes i mit den Elementen cik = j=1
und ein festes k erh¨ alt man also, indem man das j-te Element der i-ten Zeile von A mit dem j-ten Element der k-ten Spalte von B multipliziert f¨ ur j = 1, . . . , n und alle diese Produkte addiert.
A = (aij ), B = (bjk ) ⇒ C = A B = (cik ) mit cik =
n j=1
aij · bjk
86
2 Gleichungen
Schematische Darstellung: ⎡
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ A = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ..................... ai1 ai2 . . . ain ..................... am1 am2 . . . amn
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎤ b11 b12 . . . b1k . . . b1r ⎢ b21 b22 . . . b2k . . . b2r ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ............................. ⎦ = B bn1 bn2 . . . bnk . . . bnr ⎡ ⎤ ... ... ... ... ... ... ⎢ ... ... ... ... ... ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ... ... ... ... ... ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . . . . . . . . . cik . . . . . . ⎥ = A B ⎢ ⎥ ⎣ ... ... ... ... ... ... ⎦ ... ... ... ... ... ...
Beispiel:
' A
=
2 1
3 −4
4 0
%
( ; B
%
' A
=
2 1
' AB
=
3 −4 6 1
5 −5
4 0
(
10 −6
'
3 5
=
1 0 1
−1 1 1 1 −1 1
1 0 1
−1 1 1
2 2 0
6 1
5 −5
10 −6
3 5
2 2 0
1 −1 1
&
& =
B
=
AB
(
(
B A existiert nicht.
Eigenschaften der Matrizenmultiplikation: 1. A (B C) = (A B) C (Assoziativgesetz) 2. A (B + C) = A B + A C (Distributivgesetz) 3. A B = B A (Kommutativgesetz gilt nicht) 4. A E = E A = A (E Einheitsmatrix) 5. A O = O A = O (O Nullmatrix) 6. (A B)T = B T AT (Reihenfolge ¨ andert sich) Orthogonale Matrix: Eine quadratische Matrix A heißt orthogonal, wenn A AT = AT A = E (E Einheitsmatrix) ist. Inverse Matrix: Eine Matrix B heißt Inverse der quadratischen Matrix A, wenn A B = E (E Einheitsmatrix) gilt. Man schreibt dann B = A−1 . Existiert die Inverse einer Matrix, dann ist
2.9 Lineare Gleichungssysteme
87
sie eindeutig. Eine Matrix A, f¨ ur die die Inverse A−1 existiert, heißt regul¨ar, andernfalls heißt sie singul¨ar. Beispiel:
'
Man berechne die Inverse der Matrix A
' ' A
=
−2 1
3 −2
(
'
a c
b d
1 0
0 1
=
−2 1
3 −2
( .
( =
A−1
=
E
(
Es ergibt sich das lineare Gleichungssystem −2a + 3c = 1, −2b + 3d = 0, a − 2c = 0, b − 2d = 1. Die L¨ osung des Gleichungssystems ist a = −2, b = −3, c = −1, d = −2. Es folgt:
'
Inverse A−1
=
−2 −1
−3 −2
(
Eine Determinante D ist ein algebraischer Ausdruck, der jeder n−reihigen quadratischen Matrix A mit reellen (oder komplexen) Elementen aij eindeutig zugeordnet wird. Dieser algebraische Ausdruck ist eine reelle (oder komplexe) Zahl. Die Determinante einer n−reihigen quadratischen Matrix nennt man n−reihige Determinante. Man schreibt eine Determinante, indem man das quadratische Schema der Matrix zwischen senkrechte Striche setzt, oder in Kurzform D = det(A) = |A|:
Determinante
D = det(A) = |A| =
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ................... an1 an2 . . . ann
Definition f¨ ur zweireihige Determinanten (n = 2): a D = 11 a21
a12 = a11 a22 − a12 a21 a22
Die Elemente a11 , a22 bilden die Hauptdiagonale, die Elemente a12 , a21 die sogenannte Nebendiagonale. Merkregel zur Berechnung: Produkt der Hauptdiagonalelemente minus Produkt der Nebendiagonalelemente. Beispiel:
−1 1 D = 2 1
= (−1) · 1 − 1 · 2 = −3
88
2 Gleichungen
b2 c1 − b1 c2 a1 c2 − a2 c1 , y= f¨ ur ein lineares Gleia1 b2 − a2 b1 a1 b2 − a2 b1 chungssystem a1 x + b1 y = c1 , a2 x + b2 y = c2 (vgl. Abschnitt 2.9.2) l¨asst sich auch mit Hilfe von zweireihigen Determinanten schreiben: Die allgemeine L¨osungsformel x =
x=
a1 c1 b1 a2 c2 b2 , y = a 1 b1 a1 a2 a2 b2
c1 c2 b1 b2
Die gemeinsame Nennerdeterminante wird aus den Koeffizienten von x und y der beiden Gleichungen in der gegebenen Anordnung gebildet. Die Nennerdeterminante heißt deshalb auch Koeffizientendeterminante. Man erh¨ alt die Z¨ahlerdeterminante von x, indem man die Koeffizienten von x durch die Absolutglieder ersetzt, und die Z¨ahlerdeterminante von y entsprechend durch Ersetzung der Koeffizienten von y durch die Absolutglieder (immer in der gleichen Reihenfolge, also Ersetzung von b1 durch c1 usw.). Man nennt diese Methode cramersche Regel zur Berechnung der L¨osung eines linearen Gleichungssystems (nach dem schweizerischen Mathematiker Gabriel Cramer, 17041752). Beispiel: (I) x − 2y = 4, (II) 2x + 5y = 35 Einsetzen von a1 = 1, a2 = 2, b1 = −2, b2 = 5, c1 = 4, c2 = 35 in die Determinantengleichungen f¨ ur x und y ergibt:
4 −2 35 5 4 · 5 − (−2) · 35 20 + 70 90 = = = = 10, x= 1 −2 1 · 5 − (−2)2 5+4 9 2 5
y=
1 2
4 35
= 1 · 35 − 4 · 2 = 35 − 8 = 27 = 3. 1 · 5 − (−2) · 2 5+4 9 1 −2 2 5
Definition f¨ ur dreireihige Determinanten (n = 3):
D
a11 = a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
= a11 a22 a32
a12 a23 − a 21 a33 a32
a12 a13 + a 31 a33 a22
a13 a23
= a11 (a22 a33 − a23 a32 ) − a21 (a12 a33 − a13 a32 ) + a31 (a12 a23 − a13 a22 ) = a11 a22 a33 − a11 a23 a32 + a13 a21 a32 − a12 a21 a33 + a12 a23 a31 − a13 a22 a31
2.9 Lineare Gleichungssysteme
89
Beispiel: D
3 7 −2 0 6 − 4 7 −2 + (−2) 7 −2 0 6 = 3 = 4 −4 1 −4 1 0 6 −2 −4 1 =
3(0 · 1 − 6(−4)) − 4(7 · 1 − (−2)(−4)) − 2(7 · 6 − (−2)0)
=
3 · 24 − 4(−1) − 2 · 42 = −8
Man nennt dies Entwickeln“ der dreireihigen Determinante nach der ersten Spalte. Dabei ” wird nacheinander jedes Element der ersten Spalte mit derjenigen zweireihigen Determinante multipliziert, die man erh¨ alt, wenn man in der dreireihigen Determinante die Zeile und die Spalte streicht, in der das Element steht. Die so gebildeten Produkte werden mit alternierenden (wechselnden) Vorzeichen versehen, angefangen mit einem +, und anschließend addiert. Bezeichnet man die Determinante, die man durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte der Determinante D erh¨ alt, mit Dij , so kann man das obige Entwickeln auch darstellen als D = a11 · D11 − a21 · D21 + a31 · D31 Die mit dem Faktor (−1)i+j (dieser Faktor ist +1 oder −1) multiplizierte Determinante Dij heißt Adjunkte oder algebraisches Komplement Aij des Elements aij . Somit kann man f¨ ur das obige Entwickeln auch schreiben D = a11 · A11 + a21 · A21 + a31 · A31 Zur Berechnung kann man die Determinante nach einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln. Entwicklung nach einer beliebigen Zeile: D = ai1 · Ai1 + ai2 · Ai2 + ai3 · Ai3 =
3
aij Aij , 1 ≤ i ≤ 3
j=1
Bei Entwicklung nach der ersten Zeile ist i = 1, bei Entwicklung nach der zweiten Zeile ist i = 2, und bei Entwicklung nach der dritten Zeile ist i = 3. Entwicklung nach einer beliebigen Spalte: D = a1j · A1j + a2j · A2j + a3j · A3j =
3
aij Aij , 1 ≤ j ≤ 3
i=1
Bei Entwicklung nach der ersten Spalte ist j = 1, bei Entwicklung nach der zweiten Spalte ist j = 2, und bei Entwicklung nach der dritten Spalte ist j = 3. Beispiel:
3 7 −2 D= 4 0 6 −2 −4 1
90
2 Gleichungen
Entwicklung nach der zweiten Zeile: D = a21 · A21 + a22 · A22 + a23 · A23 2+1
7 −2 7 + 0 · A22 + 6 · (−1)2+3 3 −4 −2 −4 1
=
4 · (−1)
=
−4[7 · 1 − (−2)(−4)] + 0 − 6[3 · (−4) − 7 · (−2)]
=
−4 · (−1) − 6 · 2 = 4 − 12 = −8
Dreireihige Determinanten k¨ onnen auch mit der Regel von Sarrus berechnet werden (nach dem franz¨osischen Mathematiker Pierre F. Sarrus, 1798-1861). Man f¨ ugt bei der Regel von Sarrus die ersten beiden Spalten der Determinante nochmals als 4. und 5. Spalte hinzu. Dann multipliziert man je drei diagonal aufeinanderfolgende Elemente und addiert (Hauptdiagonalen) bzw. subtrahiert (Nebendiagonalen) die so entstehenden sechs Produkte. −
−
−
a12 a13 a11 a12 a11 @ @ @ @ @ @ a21 a22 a23 a21 a22 @ @ @ @ @ @ a31 a32 a31 a32 a33 @ @ @ + + +
Die Regel ausgef¨ uhrt ergibt a11 det(A) = a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33
Beispiel:
3 7 −2 0 6 = 3 · 0 · 1 + 7 · 6 · (−2) + (−2) · 4 · (−4) 4 −2 −4 1
−(−2) · 0 · (−2) − 3 · 6 · (−4) − 7 · 4 · 1
=
0 − 84 + 32 − 0 + 72 − 28 = −8
Fehlerwarnung: Die Regel von Sarrus gilt nur f¨ ur dreireihige Determinanten! Definition f¨ ur n-reihige Determinanten (n ≥ 4): Auch f¨ ur beliebige n-reihige Determinanten l¨ asst sich der Wert mit Hilfe des Entwicklungssatzes definieren.
2.9 Lineare Gleichungssysteme
91
Entwicklung nach einer beliebigen Zeile:
D = ai1 · Ai1 + ai2 · Ai2 + . . . + ain · Ain =
n
aij Aij , 1 ≤ i ≤ n
j=1
Bei Entwicklung nach der ersten Zeile ist i = 1, bei Entwicklung nach der zweiten Zeile ist i = 2, usw., und bei Entwicklung nach der n-ten Zeile ist i = n. Entwicklung nach einer beliebigen Spalte:
D = a1j · A1j + a2j · A2j + . . . + anj · Anj =
n
aij Aij , 1 ≤ j ≤ n
i=1
Bei Entwicklung nach der ersten Spalte ist j = 1, bei Entwicklung nach der zweiten Spalte ist j = 2, usw., und bei Entwicklung nach der n-ten Spalte ist j = n. Die cramersche Regel zur Berechnung der L¨ osung eines linearen Gleichungssystems ist immer dann anwendbar, wenn bei dem betrachteten linearen Gleichungssystem die Anzahl der Gleichungen und die Anzahl der Variablen u ¨ bereinstimmen (und die Koeffizientendeterminante von Null verschieden ist). Die Koeffizientendeterminante eines allgemeinen linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen lautet (vgl. Abschnitt 2.9.3) a1 D = a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
Ersetzt man die erste Spalte von D, also die Koeffizienten von x, durch die Absolutglieder des linearen Gleichungssystems, so ergibt sich die Determinante d1 Dx = d2 d3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
Durch Ersetzen der Koeffizienten von y und z erh¨alt man analog die Matrizen a1 Dy = a2 a3
d1 d2 d3
c1 c2 c3
a1 , Dz = a2 a3
b1 b2 b3
d1 d2 d3
F¨ ur D = 0 ergibt sich dann als eindeutige L¨ osung des linearen Gleichungssystems
92
2 Gleichungen
Dx = x= D
d1 d2 d3 a1 a2 a3
b1 b2 b3 b1 b2 b3
c1 c2 c3 c1 c2 c3
a 1 d1 c 1 a1 b1 d1 a 2 d2 c 2 a 2 b 2 d2 a 3 d3 c 3 a 3 b 3 d3 Dy Dz , y = , z = = = D D a1 b1 c1 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a3 b3 c3 a3 b3 c3
Ist jedoch D = 0, dann gibt es entweder keine oder unendlich viele L¨osungen des linearen Gleichungssystems. In diesem Fall ist die cramersche Regel nicht anwendbar. Beispiel: Lineares Gleichungssystem: 3x + 15y + 8z = 10 −5x + 10y + 12z = −1 2x + 7y + z = 1 Nennerdeterminante (Determinante der Koeffizientenmatrix):
3 15 8 D = −5 10 12 = 30 + 360 − 280 − 160 − 252 + 75 = −227 2 7 1 Z¨ ahlerdeterminanten:
10 15 8 Dx = −1 10 12 = 100 + 180 − 56 − 80 − 840 + 15 = −681 1 7 1
3 10 8 Dy = −5 −1 12 = −3 + 240 − 40 + 16 − 36 + 50 = 227 2 1 1 3 15 10 Dz = −5 10 −1 = 30 − 30 − 350 − 200 + 21 + 75 = −454 2 7 1 Somit ergibt sich als L¨ osung des linearen Gleichungssystems: x=
Dx −681 Dy 227 Dz −454 = = 3, y = = = −1, z = = =2 D −227 D −227 D −227
Die L¨ osung des Gleichungssystems ist also das (geordnete) Zahlentripel (x, y, z) = (3, −1, 2) (oder L¨ osungsmenge: L = {(3, −1, 2)}).
2.10 2.10.1
Lineare Ungleichungen Definitionen
Eine Ungleichung zwischen Termen, in der eine oder mehrere Variable vorkommen, heißt linear, wenn alle Variablen h¨ ochstens in der ersten Potenz auftreten und nicht miteinander multipliziert werden. Eine Ungleichung zu l¨ osen bedeutet, alle Werte der Variablen aus
2.10 Lineare Ungleichungen
93
dem zugrunde liegenden Zahlenbereich zu bestimmen, f¨ ur die die Ungleichung erf¨ ullt ist. Alle diese Werte heißen L¨ osungen der Ungleichung und alle L¨osungen zusammen bilden die L¨osungsmenge der Ungleichung. Ein System aus mehreren Ungleichungen heißt linear, wenn alle Ungleichungen des Systems lineare Ungleichungen sind. Die L¨ osungen eines Ungleichungssystems sind die Werte der Variablen, die alle Ungleichungen des Systems erf¨ ullen. Beispiele: 1.
Lineare Ungleichung mit einer Variablen: 7x + 4 < 2(3x − 4) − 1
2.
Lineare Ungleichung mit zwei Variablen: 2x − y + 4 < 5(4 − x) + 3
3.
System linearer Ungleichungen: x + 2y < −3, 3x − y ≥ 5
Zum L¨osen linearer Ungleichungen ist es oftmals sinnvoll, ¨aquivalente Umformungen durchzuf¨ uhren (vgl. Abschnitt 2.2). Dabei sind aber die Rechenregeln f¨ ur Ungleichungen zu beachten (siehe Abschnitt 1.11). 2.10.2
Lineare Ungleichungen mit einer Variablen
Eine lineare Ungleichung mit einer Variablen l¨ asst sich durch ¨aquivalente Umformungen stets in eine der folgenden Ungleichungen u uhren. ¨berf¨ (1) ax + b < 0, a > 0 (2) ax + b ≤ 0, a > 0 (3) ax + b > 0, a > 0 (4) ax + b ≥ 0, a > 0 Durch Division durch a > 0 und Subtraktion von
b erh¨alt man als L¨osungen die Intervalle a
b
a b (2) L = − ∞, − a b
(3) L = − , ∞ a
b (4) L = − , ∞ a
(1) L =
− ∞, −
Eine lineare Ungleichung mit einer Variablen hat also als L¨osung immer ein nicht beschr¨anktes Intervall. Beispiele: 1.
7x + 4 < 2(3x − 4) − 1 Aufl¨ osung der Klammer: 7x + 4 < 6x − 8 − 1 Zusammenfassen: x + 13 < 0 Aufl¨ osen nach x: x < −13 L¨ osungsmenge: L = (−∞, −13)
94
2 Gleichungen
2.
5(x − 4) ≥ 2(5 − 4x) − 6 + x
3.
Aufl¨ osung der Klammern: 5x − 20 ≥ 10 − 8x − 6 + x Zusammenfassen: 5x − 20 ≥ −7x + 4 ⇒ 12x − 24 ≥ 0 Aufl¨ osen nach x: 12x ≥ 24 ⇒ x ≥ 2 L¨ osungsmenge: L = [2, ∞) 9(2 − x) < 2(x + 4) − (x + 2)3 Aufl¨ osung der Klammern: 18 − 9x < 2x + 8 − 3x − 6 Zusammenfassen: 18 − 9x < −x + 2 ⇒ −8x + 16 < 0 Aufl¨ osen nach x: −8x < −16 ⇒ x > 2 Achtung: Bei Division durch −8 dreht sich das Ungleichheitszeichen um! L¨ osungsmenge: L = (2, ∞)
2.10.3
Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen
Eine lineare Ungleichung mit zwei Variablen x und y l¨asst sich immer so ¨aquivalent umformen, dass eine der Variablen, etwa y, isoliert auf einer Seite der Ungleichung steht. So l¨ asst sich zum Beispiel die Ungleichung ax + by + c < 0 f¨ ur b > 0 umformen in a c y < − x − . Eine L¨ osung der Ungleichung ist dann ein Paar (x, y), wo x eine belieb b c a ullt. Als L¨osungsmenge von bige reelle Zahl ist und y die Ungleichung y < − x − erf¨ b b c a . ax + by + c < 0 ergibt sich dann L = (x, y)x ∈ IR, y < − x − b b Ungleichung:
ax + by + c < 0 (b > 0) a c L¨ osungsmenge: L = (x, y)x ∈ IR, y < − x − b b Beispiele: 1. x − y < −1
2.
Aufl¨ osung nach y: y > x + 1 Es ist zum Beispiel x = 2, y = 4 ein L¨ osungspaar oder x = −1, y = 0, 1. Alle L¨ osungen ergeben die L¨ osungsmenge: L = {(x, y)|x ∈ IR, y > x + 1} 2x + 4y + 4 ≤ 0 1 Aufl¨ osung nach y: y ≤ − x − 1 2 1 L¨ osungsmenge: L = (x, y)x ∈ IR, y ≤ − x − 1 2
F¨ ur manche Anwendungen ist es sinnvoll, die L¨ osungsmenge einer solchen Ungleichung graphisch darzustellen. Ersetzt man in einer Ungleichung das Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen, dann entsteht eine Gleichung. So entsteht zum Beispiel aus der linearen Ungleichung x − y < −1 die lineare Gleichung y = x + 1. Der Graph einer solchen linearen Gleichung ist in einem kartesischen Koordinatensystem eine Gerade (vgl. Abschnitte 5.4.2 und 7.1). Alle L¨osungen (x, y), die die Ungleichung y > x + 1 erf¨ ullen, sind in dem kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten der Punkte, die oberhalb der sogenannten Begrenzungsgeraden y = x + 1 liegen. Da es sich um eine echte Ungleichung handelt (das heißt, das Gleichheitszeichen ist nicht zugelassen), geh¨oren die Punkte der Geraden selbst nicht dazu.
2.10 Lineare Ungleichungen
95
Beispiele: 1.
x − y < −1 Aufl¨ osung nach y: y > x + 1 Geradengleichung: y = x + 1
y
y > x+1 y = x+1 1
−1 −1
x
1
Abbildung 2.4 Ungleichung y > x + 1 Die Koordinaten der Punkte im schraffierten Bereich bilden die L¨ osungsmenge. Die Koordinaten der Punkte der Begrenzungsgeraden geh¨ oren nicht zur L¨ osungsmenge, deshalb ist die Begrenzungsgerade gestrichelt gezeichnet. 2.
2x + 4y + 4 ≤ 0 1 Aufl¨ osung nach y: y ≤ − x − 1 2 1 Geradengleichung: y = − x − 1 2 y
1
−1
x
1 y = − 21 x − 1
y ≤ − 21 x − 1
1 Abbildung 2.5 Ungleichung y ≤ − x − 1 2
96
2 Gleichungen Die Koordinaten der Punkte im schraffierten Bereich bilden die L¨ osungsmenge. Die Koordinaten der Punkte der Begrenzungsgeraden geh¨ oren zur L¨ osungsmenge, deshalb ist die Begrenzungsgerade durchgezogen gezeichnet.
2.10.4
Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen
F¨ ur Systeme von linearen Ungleichungen mit zwei Variablen x und y ist es meist am u osungsmenge graphisch darzustellen. ¨ bersichtlichsten, die L¨ Man ersetzt dazu in allen Ungleichungen die Ungleichheitszeichen durch Gleichheitszeichen. Anschließend formt man alle diese linearen Gleichungen ¨aquivalent um, so dass jeweils auf der linken Seite die Variable y isoliert steht (enth¨alt eine Gleichung y nicht, so isoliere man x). Dann zeichnet man die Graphen dieser linearen Gleichungen alle in dasselbe kartesische Koordinatensystem (vgl. Abschnitt 7.1.1) und erh¨alt so f¨ ur jede Gleichung eine Gerade (gestrichelt gezeichnet, falls die zugeh¨orige Ungleichung echt ist, sonst durchgezogen). F¨ ur jede Gerade schraffiere man den Bereich, deren Punkte die zugeh¨ore Ungleichung erf¨ ullen (genauer: die Koordinaten der Punkte erf¨ ullen die Ungleichung). ¨ Uber der Menge der reellen Zahlen sind diese Bereiche Halbebenen. Die Koordinaten aller der Punkte, die in allen schraffierten Bereichen liegen, bilden die L¨osungsmenge. Beispiele: 1.
(I) x + 2y < 5, (II) x − 2y < 1 Aus (I) folgt y < −0, 5 x + 2, 5 und aus (II) y > 0, 5 x − 0, 5. Die Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung (I) erf¨ ullen, liegen unterhalb der Geraden y = −0, 5 x + 2, 5, und die Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung (II) erf¨ ullen, liegen oberhalb der Geraden y = 0, 5 x − 0, 5.
y y > 0, 5x − 0, 5
y = 0, 5x − 0, 5
1 −1 −1
1
x y = −0, 5x + 2, 5
y < −0, 5x + 2, 5
Abbildung 2.6 Ungleichungssystem y < −0, 5 x + 2, 5, y > 0, 5 x − 0, 5 Die Punkte, deren Koordinaten die L¨ osungsmenge bilden, liegen im doppelt gestrichelten Bereich. Die Koordinaten der Punkte beider Begrenzungsgeraden geh¨ oren nicht zur L¨ osungsmenge. 2.
(I) y − x < 1, (II) x − 2 < 0, (III) 2y + x + 4 ≥ 0 1 Aus (I) folgt y < x + 1, aus (II) x < 2 und aus (III) y ≥ − x − 2. 2
2.10 Lineare Ungleichungen
97
Die Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung (I) erf¨ ullen, liegen unterhalb der Geraden y = x + 1. Die Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung (II) erf¨ ullen, liegen links der Geraden x = 2, und die Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung (III) erf¨ ullen, liegen 1 oberhalb der Geraden y = − x − 2. 2 x=2
y y > − 12 x − 2
1
x<2
−1 −1
1
x
y <x+1 y =x+1
y = − 12 x − 2
1 Abbildung 2.7 Ungleichungssystem y < x + 1, x < 2, y ≥ − x − 2 2 Die Punkte, deren Koordinaten die L¨ osungsmenge bilden, liegen im dreifach markierten 1 Bereich. Nur die Koordinaten der Punkte der Begrenzungsgeraden y = − x − 2, die auf 2 dem Rand dieses dreifach markierten Bereiches liegen, geh¨ oren zur L¨ osungsmenge.
3
Planimetrie
Die Planimetrie (griech., Fl¨ achenmessung) ist ein Teilgebiet der Geometrie (griech., Erdmessung) und befasst sich mit h¨ ochstens zweidimensionalen Objekten. Dabei interessieren zum Beispiel Form, Gr¨ oße und gegenseitige Lage solcher Objekte. Die Grundelemente dieser Geometrie der Ebene sind Punkte und Geraden.
3.1
Geraden und Strecken
Eine Gerade ist eine beidseitig unbegrenzte gerade Linie. Ein Punkt ist die Schnittstelle zweier Geraden. Eine Gerade ist durch zwei voneinander verschiedenen ihrer Punkte eindeutig bestimmt. Die k¨ urzeste Verbindung zweier Punkte P1 und P2 liegt auf der Geraden durch P1 und P2 . Zwei verschiedene Geraden in der Ebene sind parallel zueinander oder haben einen Punkt, ihren Schnittpunkt, gemeinsam. Die Gerade durch die Punkte P1 und P2 schreibt man P1 P2 (gesprochen: Gerade P1 P2 ) oder P2 P1 . Geraden k¨ urzt man oft mit g ab, also g = P1 P2 = P2 P1 . A ∈ g ist eine abk¨ urzende Schreibweise daf¨ ur, dass der Punkt A ein Punkt der Geraden g ist, also auf der Geraden g liegt, und B ∈ g bedeutet, dass B außerhalb von g liegt. AB CD oder g h (gesprochen: g parallel h) bedeutet, dass AB und CD zwei parallele Geraden sind, also keinen Schnittpunkt haben. g α
h
α
Abbildung 3.1 Parallele Geraden g und h
Ein Strahl oder eine Halbgerade ist ein Teil einer Geraden, der von einem Punkt S einer Geraden aus in einer Richtung l¨ auft. Der Punkt S heißt Anfangspunkt des Strahls. Jeder Punkt einer Geraden bestimmt zwei verschiedene Strahlen. S A s Abbildung 3.2 Strahl s (A ist ein beliebiger Punkt von s) A. Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn, DOI 10.1007/978-3-8348-8258-5_3, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
3.2 Winkel
99
Eine Strecke ist ein Abschnitt einer Geraden zwischen zwei Punkten. Eine Strecke ist also eine beidseitig begrenzte gerade Linie. Die Strecke zwischen den Punkten A und B schreibt man AB (gesprochen: Strecke AB). Die Punkte A und B heißen die Endpunkte der Strecke, alle anderen Punkte der Strecke bilden das Innere. Die L¨ange der Strecke ange oder Betrag der Strecke AB). wird mit |AB| bezeichnet (gesprochen: L¨ B
a
C
A
a D
Abbildung 3.3 Strecken AB und CD mit derselben L¨ ange a
3.2
Winkel
Zwei Strahlen, die von demselben Punkt S ausgehen, k¨onnen durch eine Drehung um S ineinander u uhrt werden, durch die der Winkel zwischen ihnen bestimmt wird. Die ¨ berf¨ Strahlen heißen die Schenkel des Winkels, der Punkt S heißt Scheitelpunkt. Sind g und h die beiden Strahlen und A ein Punkt von g und B ein Punkt von h, so bezeichnet man den Winkel mit (g, h) (gesprochen: Winkel zwischen g und h) oder mit ASB (gesprochen: Winkel ASB). h B
α S
g A
Abbildung 3.4 Winkel α = (g, h) = ASB
Winkel werden meist mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet: α, β, γ, δ, . . . , ϕ, . . .. Man unterscheidet in der Regel nicht zwischen Winkel und Gr¨oße (Maß, Betrag) eines Winkels. Zur Winkelmessung unterscheidet man zwei verschiedene Winkelmaße: das Gradmaß und das Bogenmaß (Bogenmaß siehe Abschnitt 3.10.9). Beide beruhen auf Kreisteilungen. Beim Gradmaß wird ein Vollwinkel in 360 gleiche Teile eingeteilt (Sexagesimaleinteilung). 1 des Vollwinkels. UntereinheiDie Einheit des Gradmaßes ist Grad (◦ ); 1◦ entspricht 360 ten des Grads sind Minuten und Sekunden.
100
3 Planimetrie
1◦ (1 Grad) = 60 (60 Minuten) , 1 (1 Minute) = 60 (60 Sekunden) ) *◦ ) * 1 1 , 1 = 1 = 60 60 In der Geod¨asie wird eine Zentesimaleinteilung verwendet. Dabei wird der Vollwinkel 1 des in 400 gleiche Teile eingeteilt. Die Einheit ist gon (Gon); 1 gon entspricht also 400 ¨ Vollwinkels. Altere, heute nicht mehr gebr¨ auchliche Einheit ist Neugrad. 1 Vollwinkel = 360◦ = 400 gon F¨ ur bestimmte Winkel gibt es besondere Bezeichnungen: • Ein Winkel α mit α = 0◦ heißt Nullwinkel. • Ein Winkel α mit α = 90◦ heißt rechter Winkel. • Ein Winkel α mit α = 180◦ heißt gestreckter Winkel. • Ein Winkel α mit α = 360◦ heißt Vollwinkel. • Ein Winkel α, der gr¨ oßer als 0 und kleiner als ein rechter Winkel ist, heißt spitzer Winkel: 0◦ < α < 90◦ . • Ein Winkel α, der gr¨ oßer als ein rechter Winkel ist, heißt stumpfer Winkel: α > 90◦ . • Ein Winkel α, der gr¨ oßer als ein gestreckter Winkel ist, heißt u ¨ berstumpfer Winkel: α > 180◦.
S
S
S
spitzer Winkel
rechter Winkel
stumpfer Winkel
S
S
S
gestreckter Winkel
u ¨ berstumpfer Winkel
Vollwinkel
Abbildung 3.5 Winkelbezeichnungen
In einer Figur kennzeichnet man einen rechten Winkel mit einem Punkt zwischen seinen Schenkeln und einem Winkelbogen. Einige Paare von Winkeln haben bestimmte Namen:
3.2 Winkel
101
1. Komplementwinkel Winkel, die sich zu 90◦ erg¨ anzen. Der Komplementwinkel zu einem Winkel α ist der Winkel β = 90◦ − α. Beispiel:
α = 32◦ und β = 58◦ sind Komplementwinkel.
90◦ − α α
β
Abbildung 3.6 Komplementwinkel
2. Supplementwinkel Winkel, die sich zu 180◦ erg¨ anzen. Der Supplementwinkel zu einem Winkel α ist der Winkel β = 180◦ − α. Beispiel:
α = 62◦ und β = 118◦ sind Supplementwinkel.
180◦ − α α
β
Abbildung 3.7 Supplementwinkel
3. Scheitelwinkel Gegen¨ uberliegende Winkel an zwei sich schneidenden Geraden. Scheitelwinkel sind gleich groß. C
B S α
α A
D Abbildung 3.8 Scheitelwinkel (ASB und CSD)
4. Nebenwinkel Benachbarte Winkel an zwei sich schneidenden Geraden. Nebenwinkel sind Supplementwinkel, sie erg¨ anzen sich also zu 180◦. 180◦ − α
B α
C
S
A
Abbildung 3.9 Nebenwinkel (ASB und BSC)
102
3 Planimetrie
5. Stufenwinkel Gleichliegende Winkel an von einer Geraden geschnittenen Parallelen. Stufenwinkel sind gleich groß. A
A α
α
B = B S
S
C
C
D = D
Abbildung 3.10 Stufenwinkel (ASB und A S B )
6. Wechselwinkel Entgegengesetzt liegende Winkel an von einer Geraden geschnittenen Parallelen. Wechselwinkel sind gleich groß. A
A α B = B S
S
C
C
α
D = D
Abbildung 3.11 Wechselwinkel (ASB und C S D )
7. Halbgleichliegende Winkel Winkelpaare an von einer Geraden geschnittenen Parallelen, die weder Stufenwinkel noch Wechselwinkel sind. Halbgleichliegende Winkel sind Supplementwinkel, sie erg¨anzen sich also zu 180◦ . A 180◦ − α
A α B = B S
S
C
C
D = D
Abbildung 3.12 Halbgleichliegende Winkel (ASB und D S A )
3.3 Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal
3.3
103
Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal
Eine Senkrechte ist eine Gerade, die eine gegebene Gerade (oder eine Ebene) mit einem Winkel von 90◦ schneidet. Das Lot ist eine Gerade, die durch einen Punkt einer anderen Geraden (oder einer Ebene) geht und auf dieser Geraden (Ebene) senkrecht steht.
l
g P
Abbildung 3.13 Lot l auf Gerade g durch Punkt P
l
P E
Abbildung 3.14 Lot l auf Ebene E durch Punkt P
Einige wichtige Grundkonstruktionen lassen sich ausschließlich mit Benutzung von Zirkel und Lineal durchf¨ uhren. •
Strecke halbieren Kreisb¨ogen mit gleichem Radius um die Endpunkte A und B einer Strecke AB schlagen. Die Schnittpunkte sind C und C . Die Gerade CC halbiert AB in E.
104
3 Planimetrie
C s 2
s 2
A
B
E C
Abbildung 3.15 Strecke AB halbieren
•
Winkel halbieren Ein Kreisbogen um den Scheitelpunkt S des Winkels schneidet die Schenkel in A und in B. Kreisb¨ogen mit gleichem Radius um A und B schneiden sich in C. Die Gerade SC halbiert BSA.
A α 2
C
α 2
S
B
Abbildung 3.16 Winkel α halbieren
•
Senkrechte errichten Ein Halbkreis um P ∈ g (Punkt P liegt auf der Geraden g) schneidet g in A und B. Kreisb¨ogen mit gleichem Radius um A und B schneiden sich in C. Die Gerade P C ist die Senkrechte auf g im Punkte P .
C
A
P
B
g
Abbildung 3.17 Senkrechte auf g errichten
•
Lot f¨allen Ein Kreisbogen um P ∈ g (Punkt P liegt nicht auf der Geraden g) schneidet g in A und B. Kreisb¨ ogen mit gleichem Radius um A und B schneiden sich in P . Die Gerade P P ist das Lot von P auf g.
3.3 Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal
105
P g B
E
A P Abbildung 3.18 Lot von P auf g f¨ allen
•
Parallele durch gegebenen Punkt Ein Kreisbogen um P ∈ g mit Radius r schneidet die gegebene Gerade g in C. Ein Kreisbogen um C mit dem gleichen Radius r schneidet g in B, ein Kreisbogen um B mit dem Radius r schneidet den ersten Kreisbogen um P (mit dem Radius r) in A. Die Gerade P A ist die Parallele zu g durch P (Konstruktion eines Rhombus (P CBA)).
A
P
r
p
g r
C
B Abbildung 3.19 Parallele zu g durch P
•
Parallele in gegebenem Abstand In beliebigen Punkten A ∈ g und B ∈ g (aber A = B) einer gegebenen Geraden g werden die Senkrechten errichtet, und auf diesen wird der gegebene Abstand a abgetragen: |AD| = a und |BC| = a. Die Gerade CD ist eine der beiden Parallelen zu g im Abstand a (Konstruktion eines Rechtecks (ABCD)).
106
3 Planimetrie
D a
g
A
C a
a
p
B
Abbildung 3.20 Parallele zu g im Abstand a
3.4
Projektion
Man unterscheidet Parallelprojektion und Zentralprojektion. Eine Parallelprojektion ist die Abbildung eines ebenen Gegenstandes durch parallele Strahlen auf eine Gerade (in der Stereometrie die Abbildung eines r¨aumlichen Gegenstandes durch parallele Strahlen auf eine Ebene). Bei senkrechter Parallelprojektion stehen die projizierenden Strahlen senkrecht auf der Geraden (Stereometrie: auf der Ebene), bei schiefer Parallelprojektion nicht.
B
A
A s1
B s2
Abbildung 3.21 Senkrechte Parallelprojektion einer Strecke AB
Eine Zentralprojektion ist die Abbildung eines ebenen Gegenstandes durch Strahlen, die alle durch einen festen Punkt Z gehen (durch das Zentrum oder Projektionszentrum), auf eine Gerade (in der Stereometrie die Abbildung eines r¨aumlichen Gegenstandes auf
¨ 3.5 Geometrische Orter
107
eine Ebene).
Z
B A
A
s1
B
s2
Abbildung 3.22 Zentralprojektion von Z einer Strecke AB
3.5
¨ Geometrische Orter
Ein geometrischer Ort ist eine Punktmenge, die alle Elemente mit einer bestimmten geometrischen Eigenschaft (oder mit mehreren Eigenschaften) enth¨alt. ¨ In der Planimetrie sind die geometrischen Orter Linien, daher werden sie auch geometri¨ sche Ortslinien genannt. In der Stereometrie sind die geometrischen Orter Fl¨achen. Beispiele f¨ ur geometrische Ortslinien: 1.
Der geometrische Ort aller Punkte, die von einem festen Punkt M die feste Entfernung r haben, ist der Kreis um M mit dem Radius r.
2.
Der geometrische Ort aller Punkte, die von einer gegebenen Geraden g den festen Abstand d haben, ist eine Parallele zu g im Abstand d.
3.
Geometrischer Ort aller Punkte, die von zwei festen Punkten A und B gleich weit entfernt sind, ist die Mittelsenkrechte auf der Strecke AB.
4.
Geometrischer Ort aller Punkte, die von zwei festen nicht parallelen Geraden g und h den gleichen Abstand haben, sind die beiden (zueinander senkrechten) Winkelhalbierenden zwischen g und h.
3.6 3.6.1
Dreiecke Allgemeine Dreiecke
Ein Dreieck besteht aus drei nicht auf einer Geraden liegenden Punkten A, B, C und den Strecken AB, AC, BC. Die Punkte A, B, C sind die Eckpunkte des Dreiecks, die Strecken AB, AC, BC sind die
108
3 Planimetrie
Seiten des Dreiecks, und ihre L¨ angen |AB|, |AC|, |BC| sind die Seitenl¨angen des Dreiecks. Meistens werden die Seitenl¨ angen mit a, b, c und die Innenwinkel des Dreiecks mit α, β, γ bezeichnet, und zwar in der Weise, dass der Punkt A der Seite mit der L¨ange a, der Punkt B der Seite mit der L¨ ange b, der Punkt C der Seite mit der L¨ange c gegen¨ uberliegt und dass der Winkel α den Scheitelpunkt A, der Winkel β den Scheitelpunkt B und der Winkel γ den Scheitelpunkt C hat.
C γ
b
a
α
β c
A
B
Abbildung 3.23 Bezeichnungen im Dreieck
Abk¨ urzend verwendet man f¨ ur ein Dreieck den großen griechischen Buchstaben Δ, und f¨ ur ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C schreibt man Δ(ABC). Die Winkelsumme in jedem Dreieck betr¨ agt 180◦ . α + β + γ = 180◦
C α
γ
g AB
β
b
a
α A
β c
B
Abbildung 3.24 Winkelsumme gleich 180◦
Im Dreieck ist die Summe zweier Seitenl¨ angen stets gr¨oßer als die dritte. a + b > c, a + c > b, b + c > a Diese drei Ungleichungen zusammen heißen Dreiecksungleichungen.
3.6 Dreiecke
109
Die Supplementwinkel der Dreieckswinkel nennt man Außenwinkel des Dreiecks. Die Summe der Außenwinkel α , β , γ in jedem Dreieck betr¨agt 360◦ . α + β + γ = 360◦
γ
C γ
b
a
α A
β
α
β
c
B
Abbildung 3.25 Außenwinkelsumme gleich 360◦
In einem Dreieck liegt der gr¨ oßeren Seite stets der gr¨oßere Winkel gegen¨ uber. a>b>c ⇔ α>β>γ In einem spitzwinkligen Dreieck sind alle drei Innenwinkel kleiner als 90◦ , in einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel gleich 90◦ , in einem stumpfwinkligen Dreieck ist ein Winkel gr¨oßer als 90◦ . Der Umfang u eines Dreiecks ist die Summe der Seitenl¨angen. u=a+b+c Der Fl¨acheninhalt A eines Dreiecks berechnet sich nach der Grundformel A=
1 · Grundseite · H¨ohe 2
Daraus ergeben sich folgende Formeln f¨ ur den Fl¨acheninhalt A (vgl. Kapitel 6) A =
1 1 1 a · h a = b · hb = c · hc 2 2 2
=
1 1 1 a · b · sin γ = a · c · sin β = b · c · sin α 2 2 2
=
1 s(s − a)(s − b)(s − c), s = (a + b + c) 2
Die letzte Formel ist die sogenannte heronische Fl¨achenformel (nach dem griechischen Mathematiker Heron von Alexandria, 1. Jahrhundert u. Z.), damit ist die Berechnung des Fl¨acheninhalts eines Dreiecks allein mit den Seitenl¨angen m¨oglich.
110 3.6.2
3 Planimetrie Gleichschenklige Dreiecke
Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten heißt gleichschenklig. Die gleich langen Seiten heißen Schenkel und die dritte Seite Basis des Dreiecks. Die Winkel an der Basis sind die Basiswinkel. Der der Basis gegen¨ uberliegende Punkt heißt Spitze. C
Basiswinkel
α A
Spitze
el nk he Sc
Sc he nk el
Winkel an der Spitze
α B
Basis
Symmetrieachse Abbildung 3.26 Gleichschenkliges Dreieck
Die Basiswinkel sind gleich groß. H¨ ohe, Seitenhalbierende und Winkelhalbierende der Basis sind identisch und liegen auf der Mittelsenkrechten (vgl. Abschnitt 3.6.5). Sind umgekehrt in einem Dreieck je zwei dieser Strecken gleich, dann ist das Dreieck gleichschenklig. 3.6.3
Gleichseitige Dreiecke
Ein Dreieck mit drei gleich langen Dreiecksseiten heißt gleichseitig. In einem gleichseitigen Dreieck sind auch alle Winkel gleich groß, jeder Winkel betr¨agt also 60◦ . Das gleichseitige Dreieck hat drei Symmetrieachsen.
60◦ a
a
60◦
60◦ a
Abbildung 3.27 Gleichseitiges Dreieck
Die H¨ohen, Winkelhalbierenden und Seitenhalbierenden fallen beim gleichseitigen Dreieck jeweils zusammen und liegen auf der entsprechenden Mittelsenkrechten (vgl. Abschnitt 3.6.5). Folglich fallen auch die Mittelpunkte des Inkreises und des Umkreises mit
3.6 Dreiecke
111
dem Schwerpunkt des Dreiecks zusammen. Ein gleichseitiges Dreieck heißt auch regul¨ ares oder regelm¨aßiges Dreieck. 3.6.4
Rechtwinklige Dreiecke
Ein Dreieck mit einem rechten Winkel, also mit einem Winkel von 90◦ , heißt rechtwinklig. Die Summe der beiden anderen (spitzen) Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist ebenfalls 90◦ . Die dem rechten Winkel gegen¨ uberliegende Dreiecksseite ist die Hypotenuse, die beiden anderen Seiten (also die Schenkel des rechten Winkels) sind die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks.
Ka
the
te
Ka
the
te
C
A
α
β
B
Hypotenuse Abbildung 3.28 Rechtwinkliges Dreieck (α + β = 90◦ )
F¨ ur das rechtwinklige Dreieck gelten einige interessante Fl¨achens¨atze (vgl. Abschnitt 3.6.6). 3.6.5
Besondere Geraden, Strecken und Kreise
Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis durch die drei Eckpunkte des Dreiecks, der dem Dreieck umbeschriebene Kreis. Der Inkreis eines Dreiecks ber¨ uhrt die drei Dreiecksseiten von innen, er hat die Dreiecksseiten also als Tangenten. Der Inkreis ist der dem Dreieck einbeschriebene Kreis. Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist die Senkrechte durch den Mittelpunkt der Strecke. Beim Dreieck schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt M , dem Mittelpunkt des Umkreises. Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt M innerhalb des Dreiecks, bei stumpfwinkligen Dreiecken außerhalb und bei rechtwinkligen Dreiecken auf dem Rand (Mittelpunkt der Hypotenuse) des Dreiecks. Eine H¨ohe in einem Dreieck ist der Teil des Lotes von einem Eckpunkt auf die gegen¨ uberliegende Seite, der von dem Eckpunkt und dieser Seite (beziehungsweise ihrer Verl¨angerung) begrenzt wird. Die drei H¨ohen eines Dreiecks (beziehungsweise ihre Verl¨angerungen) schneiden sich in einem Punkt H. Der H¨ ohenschnittpunkt des Dreiecks heißt Orthozentrum des Dreiecks.
112
3 Planimetrie C
mb
b
a
M
ma mc A
r B
c
Abbildung 3.29 Dreieck mit Umkreis
C γ
hc b
a H hb
ha α
β
A
B
c
Abbildung 3.30 Die H¨ ohen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt H
Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt der H¨ ohenschnittpunkt H im Innern des Dreiecks, bei einem rechtwinkligen Dreieck f¨ allt H mit dem Scheitelpunkt des rechten Winkels zusammen (zwei H¨ohen fallen mit den Katheten zusammen), bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der H¨ohenschnittpunkt H außerhalb des Dreiecks. Die L¨angen der H¨ohen im Dreieck werden mit ha , hb , hc bezeichnet. C=H a = hb
b = ha hc
A
c
B
Abbildung 3.31 H¨ ohenschnittpunkt H im rechtwinkligen Dreieck
3.6 Dreiecke
113
H
C ha
hb
b
a
hc c
A
B
Abbildung 3.32 H¨ ohenschnittpunkt H im stumpfwinkligen Dreieck
Sind a, b, c die Dreiecksseiten und α, β, γ die Winkel des Dreiecks, so gilt (vgl. Kapitel 6) ha = c sin β = b sin γ, hb = c sin α = a sin γ, hc = a sin β = b sin α Die L¨angen der H¨ ohen verhalten sich umgekehrt proportional wie die zugeh¨origen Seitenl¨angen. ha : hb : hc =
1 1 1 : : a b c
Eine Winkelhalbierende ist eine Gerade durch den Scheitelpunkt eines Winkels, so dass die beiden Winkel zwischen Gerade und je einem Schenkel gleich sind. Im Dreieck sind die drei Winkelhalbierenden Strecken P Q, wobei P ein Eckpunkt (Scheitelpunkt des entsprechenden Winkels) und Q der Schnittpunkt mit der gegen¨ uberliegenden Seite ist. Die drei Winkelhalbierenden im Dreieck schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt des Inkreises. Die L¨angen der Winkelhalbierenden im Dreieck werden mit wα , wβ , wγ bezeichnet. C γ 2
γ 2
wγ b
ρ
ρ wα
α 2
A
a
wβ
ρ α 2
β 2
β 2
c Abbildung 3.33 Dreieck mit Inkreis
B
114
3 Planimetrie
F¨ ur die Winkelhalbierenden gilt (vgl. Kapitel 6)
wα =
2bc cos α2 2ac cos β2 2ab cos γ2 , wβ = , wγ = b+c a+c a+b
Eine Winkelhalbierende teilt die gegen¨ uberliegende Seite im Verh¨altnis der L¨angen der anliegenden Seiten.
γ 2
γ 2
b
a wγ
v
u
Abbildung 3.34 Winkelhalbierende im Dreieck (u : v = a : b)
Eine Seitenhalbierende (auch Median genannt) in einem Dreieck ist die Verbindungsstrecke einer Ecke mit dem Mittelpunkt der gegen¨ uberliegenden Seite. Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt S, dem Schwerpunkt des Dreiecks. Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden vom Eckpunkt aus im Verh¨altnis 2:1. Die L¨angen der Seitenhalbierenden im Dreieck werden mit sa , sb , sc bezeichnet.
C
b
sc D
E
a
S sa
A
sb
c
F
B
Abbildung 3.35 Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt S
3.6 Dreiecke
115
F¨ ur die Seitenhalbierenden gilt (vgl. Kapitel 6)
sa =
1 2 b + c2 + 2bc cos α 2
sb =
1 2 a + c2 + 2ac cos β 2
sc =
1 2 a + b2 + 2ab cos γ 2
Mit Hilfe unterschiedlicher Gr¨ oßen des Dreiecks lassen sich die Radien des Inkreises und des Umkreises berechnen. Dabei ist s der halbe Umfang des Dreiecks, s = 12 (a + b + c). Radius ρ des Inkreises
ρ=
(s − a)(s − b)(s − c) α β γ = s · tan · tan · tan s 2 2 2
r
Radius r des Umkreises
=
b c a = = 2 sin α 2 sin β 2 sin γ
=
bc ac ab = = 2ha 2hb 2hc
abc = 4 s(s − a)(s − b)(s − c)
3.6.6
Fl¨ achens¨ atze im rechtwinkligen Dreieck
1. Kathetensatz In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat u ¨ ber einer Kathete gleich dem Rechteck aus Hypotenuse und zugeh¨ origem Hypotenusenabschnitt. Der Hypotenusenabschnitt ist die Projektion (Parallelprojektion) der entsprechenden Kathete auf die Hypotenuse. Sind a, b die Kathetenl¨ angen, c die Hypotenusenl¨ange und p, q die zugeh¨origen Hypotenusenabschnitte des Dreiecks, so gilt
a2 = pc, b2 = qc
116
3 Planimetrie
C b
a h
q
A
D p
B
c
c
c Abbildung 3.36 Kathetensatz
Der Kathetensatz heißt auch erster Satz des Euklid (nach dem hellenistischen Mathematiker Euklid von Alexandria, ∼ 365 − 300 v. u. Z.). 2. Satz des Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate u ¨ber den Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse. Sind a und b die Kathetenl¨ angen und c die Hypotenusenl¨ange, so gilt a2 + b2 = c2
b2
C a2 b
A
a
c
B
c2
Abbildung 3.37 Satz des Pythagoras
3.6 Dreiecke
117
Einfacher Beweis des Satzes von Pythagoras: ange a + b wird ein Quadrat Q2 der Seitenl¨ange c so In ein Quadrat Q1 der Seitenl¨ gelegt, dass die Eckpunkte von Q2 die Seiten von Q1 im Verh¨altnis a : b teilen. Dann haben die vier innerhalb von Q1 entstandenen Dreiecke alle den Fl¨acheninhalt 12 ab, und deshalb gilt: 1 (a + b)2 = c2 + 4 · ab ⇒ a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab ⇒ a2 + b2 = c2 2
b
a b
c
c
c
a
c
b
a
b
a
Abbildung 3.38 Zum Beweis des Satzes von Pythagoras
Der Satz hat seinen Namen nach dem griechischen Sophisten und Mathematiker Pythagoras von Samos (∼ 580 − 500 v. u. Z.). 3. H¨ohensatz In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat u ¨ ber der H¨ohe auf der Hypotenuse gleich dem Rechteck aus den beiden durch die H¨ohe gebildeten Hypotenusenabschnitten. Bezeichnet man die H¨ ohe mit h und die Hypotenusenabschnitte mit p und q, so gilt
h2 = pq
Beweis des H¨ ohensatzes: Nach dem Satz des Pythagoras gilt a2 = h2 + p2 und nach dem Kathetensatz a2 = pc = p(p+q). Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt 0 = h2 +p2 −(p2 +pq) = h2 − pq, woraus h2 = pq folgt. Der H¨ohensatz heißt auch zweiter Satz des Euklid (nach dem hellenistischen Mathematiker Euklid von Alexandria, ∼ 365 − 300 v. u. Z.).
118
3 Planimetrie
h
C a
h D A
q
a p
B p
q
p Abbildung 3.39 H¨ ohensatz
3.6.7
Kongruenz von Dreiecken
Zwei geometrische Figuren heißen kongruent, wenn sie deckungsgleich sind. Kongruente geometrische Figuren stimmen also in Gr¨ oße und Gestalt v¨ollig u ¨ berein, alle Bestimmungsst¨ ucke wie L¨ angen, Winkel, Fl¨ ache und so weiter sind gleich. Kongruente Figuren unterscheiden sich nur durch ihre Lage in der Ebene. So sind zum Beispiel zwei Quadrate mit gleicher Seitenl¨ange kongruent oder zwei Kreise mit gleichem Radius (und unterschiedlichen Mittelpunkten).
Abbildung 3.40 Kongruente Quadrate
Kongruente Figuren lassen sich durch Parallelverschiebung, Spiegelung oder Drehung oder mehrere dieser drei Bewegungen zur Deckung bringen. F¨ ur Dreiecke gibt es vier Kongruenzs¨ atze, die Bedingungen f¨ ur die Kongruenz angeben. In der folgenden Aufz¨ ahlung steht W f¨ ur Winkel und S f¨ ur Seite bzw. Seitenl¨ange.
3.6 Dreiecke
119
1. Kongruenzsatz WSW und SWW Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln u ¨ bereinstimmen (WSW). Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und einem anliegenden sowie dem gegen¨ uberliegenden Winkel u ¨ bereinstimmen (SWW).
α
c β
β
α c
c
γ α
α
γ
c
Abbildung 3.41 Kongruenzsatz WSW und SWW
2. Kongruenzsatz SSW Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem der l¨angeren Seite gegen¨ uberliegenden Winkel u ¨ bereinstimmen.
a b
b
a β β
Abbildung 3.42 Kongruenzsatz SSW
3. Kongruenzsatz SWS Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel u ¨bereinstimmen.
c
a
a
β
β c
Abbildung 3.43 Kongruenzsatz SWS
120
3 Planimetrie
4. Kongruenzsatz SSS Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den drei Seiten u ¨ bereinstimmen. c a
b
a
b
c Abbildung 3.44 Kongruenzsatz SSS
3.6.8
Grundkonstruktionen des Dreiecks
Entsprechend den vier Kongruenzs¨ atzen f¨ ur das Dreieck gibt es vier Grundkonstruktionen f¨ ur das Dreieck. In der folgenden Aufz¨ ahlung steht W f¨ ur Winkel und S f¨ ur Seite bzw. Seitenl¨ange. 1. Grundkonstruktion WSW und SWW a) Gegeben: α, c, β (Winkel, Seite, Winkel) Konstruktion: Man zeichnet c = |AB| und tr¨agt an AB in A den Winkel α und in B den Winkel β an. Die freien Schenkel von α und β schneiden sich im Eckpunkt C. Bedingung: α + β < 180◦ C c
α
β
β
α A
c
B
Abbildung 3.45 Grundkonstruktion WSW
b) Gegeben: c, α, γ (Seite, Winkel, Winkel) Erste Konstruktion: Man konstruiert β als Nebenwinkel von α + γ und verf¨ahrt wie oben. Zweite Konstruktion: Man zeichnet c = |AB| und tr¨agt an AB in A den Winkel α an. In einem beliebigen Punkt C des freien Schenkels von α tr¨agt man an diesen den Winkel γ an. Die Parallele zu dem freien Schenkel von γ durch B schneidet den freien Schenkel von α im Eckpunkt C. Bedingung: α + β < 180◦
3.6 Dreiecke
121 C γ
c C α
γ
γ
α
γ
β = 180◦ − (α + γ)
β
α A
c
B
Abbildung 3.46 Grundkonstruktion SWW
2. Grundkonstruktion SSW Gegeben: b, c, β < 90◦ (Seite, Seite, Winkel) Konstruktion: Man zeichnet c = |AB| und tr¨agt an AB in B den Winkel β an. Dann zeichnet man um A einen Kreisbogen mit dem Radius b. Die L¨osung der Konstruktionsaufgabe ist abh¨ angig von der Anzahl der Schnittpunkte des Kreisbogens mit dem freien Schenkel von β: a) Der Kreis schneidet den freien Schenkel des gegebenen Winkels β nicht; keine L¨osung. b) Der Kreis ber¨ uhrt den freien Schenkel; ein rechtwinkliges Dreieck als L¨osung (γ = 90◦ ). c) Der Kreis schneidet den freien Schenkel zweimal, und f¨ ur den Radius b = bc gilt bc < c; zwei verschiedene L¨ osungen Δ(ABC1 ) und Δ(ABC2 ). d) Der Kreis schneidet den freien Schenkel zweimal, und f¨ ur den Radius b = bc gilt bc = c (der Kreis geht durch den Scheitelpunkt B des gegebenen Winkels β); ein gleichschenkliges Dreieck als L¨ osung (b = bd = c, Spitze A). e) Der Kreis schneidet den freien Schenkel einmal; ein Dreieck als L¨osung (b = be > c). Der Kongruenzsatz SSW gilt f¨ ur die F¨ alle b), d) und e). Gegeben: b, c, β ≥ 90◦ (Seite, Seite, Winkel) Konstruktion: Nach Konstruktion von AB und Antragen von β wie oben sind hier folgende F¨alle m¨ oglich: f) Der Kreis um A mit dem Radius bf schneidet den freien Schenkel des gegebenen Winkels β nicht; keine L¨ osung. g) Der Kreis um A mit dem Radius bg geht durch den Punkt B; L¨osung“ ist ein ” zur Strecke (Strecke AB) entartetes Dreieck. h) Der Kreis um A mit dem Radius bh schneidet den freien Schenkel des gegebenen Winkels β in C; eine L¨ osung. Der Kongruenzsatz SSW gilt hier nur f¨ ur den Fall h).
122
3 Planimetrie ba
c bb bc β
bd = c be C
C be
bd bc
C1 bb C bc
C2
ba
β B
c
A
Abbildung 3.47 Grundkonstruktion SSW (gegeben: b, c, β < 90◦ )
bf
c bg bh
β
C bf
bh β
A
c = bg
B
Abbildung 3.48 Grundkonstruktion SSW (gegeben: b, c, β ≥ 90◦ )
3. Grundkonstruktion SWS Gegeben: b, α, c (Seite, Winkel, Seite). Konstruktion: Den Schenkeln des Winkels α gibt man die L¨angen b = |AC| und c = |AB|. Man verbindet B und C. Bedingung: α < 180◦
3.7 Vierecke
123 C b
b
c
α
α A
B
c
Abbildung 3.49 Grundkonstruktion SWS
4. Grundkonstruktion SSS Gegeben: a, b, c (Seite, Seite, Seite). Konstruktion: Man zeichnet c = |AB| und schl¨agt um A einen Kreisbogen mit dem Radius b und um B einen Kreisbogen mit dem Radius a. Der Eckpunkt C ist der Schnittpunkt der Kreisb¨ ogen, der oberhalb“ von AB liegt (A, B, C folgen ” im mathematisch positiven Drehsinn, also entgegen dem Uhrzeigersinn aufeinander). Anschließend wird noch C mit den Eckpunkten A und B verbunden. Bedingungen: a < b + c, b < a + c, c < a + b (Dreiecksungleichungen) C b a
b
c
A
a B
c b
a C
Abbildung 3.50 Grundkonstruktion SSS
Anmerkung: Wenn sich, wie bei der letzten Konstruktion, zwei spiegelbildlich gleiche L¨osungen ergeben (denn die Kreise schneiden sich zweimal, in C und C , falls die Dreiecksungleichungen erf¨ ullt sind), w¨ ahlt man diejenige aus, bei der die Punkte A, B, C entgegen dem Uhrzeigersinn, also im mathematisch positiven Sinn, aufeinander folgen.
3.7 3.7.1
Vierecke Allgemeine Vierecke
Ein Viereck besteht aus vier Punkten A, B, C, D, von denen keine drei auf einer Geraden liegen, und den Strecken AB, BC, CD, DA. Die Punkte A, B, C, D sind die Eckpunkte des Vierecks, die Strecken AB, BC, CD, DA sind die Seiten des Vierecks, und ihre L¨ angen |AB|, |BC|, |CD|, |DA| sind die Seitenl¨angen des Vierecks. Meistens werden die Seitenl¨ angen mit a, b, c, d und die Innenwinkel des Vierecks mit α, β, γ, δ bezeichnet, und zwar so, dass a = |AB|, b = |BC|, c = |CD|, d = |DA| und
124
3 Planimetrie
dass der Winkel α den Scheitelpunkt A, der Winkel β den Scheitelpunkt B, der Winkel γ den Scheitelpunkt C und der Winkel δ den Scheitelpunkt D hat. c
D δ
d
C ϕ
γ
e
b f β
α a
A
B
Abbildung 3.51 Bezeichnungen im Viereck
Die Strecken AC und BD heißen Diagonalen des Vierecks, ihre L¨angen werden meist mit e und f bezeichnet: e = |AC|, f = |BD|. Abk¨ urzend verwendet man f¨ ur ein Viereck das Symbol , und f¨ ur ein Viereck mit den Eckpunkten A, B, C, D schreibt man (ABCD). Die Winkelsumme in einem beliebigen Viereck betr¨agt 360◦ . α + β + γ + δ = 360◦ F¨ ur die L¨angen der Seiten und der Diagonalen in einem Viereck gilt folgender Zusammenhang: In einem Viereck ist das Produkt der Diagonalenl¨angen kleiner oder gleich der Summe der Produkte der L¨ angen je zwei gegen¨ uberliegender Seiten. ef ≤ ac + bd Die Gleichheit gilt genau dann, wenn das Viereck ein Sehnenviereck ist (bei einem Sehnenviereck liegen alle vier Punkte auf einem Kreis). Diese Aussage ist der verallgemeinerte Satz des Ptolem¨aus (vgl. Abschnitt 3.7.8). Der Umfang u eines Vierecks ist die Summe der Seitenl¨angen. u=a+b+c+d F¨ ur den Fl¨acheninhalt A eines Vierecks gilt (vgl. Kapitel 6):
A =
=
1 1 (ad sin α + bc sin γ) = (ab sin β + cd sin δ) 2 2 1 ef sin ϕ 2
=
(s − a)(s − b)(s − c)(s − d) − abcd cos2
α+γ 2
(s − a)(s − b)(s − c)(s − d) − abcd cos2
β+δ 2
=
3.7 Vierecke
125
Dabei ist ϕ der Winkel zwischen den Diagonalen und s der halbe Umfang des Vierecks, also s = 12 (a + b + c + d). Die beiden letzten Formeln sind Verallgemeinerungen der heronischen Fl¨achenformel f¨ ur Dreiecke. 3.7.2
Trapeze
Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten zueinander parallel sind. Die parallelen Seiten heißen Grundlinien und die anderen beiden Seiten Schenkel des Trapezes. Die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte der Schenkel heißt Mittellinie, sie ist parallel zu den Grundlinien. Die H¨ ohe eines Trapezes ist der Abstand der parallelen Grundlinien. Sind die Schenkel gleich lang, so heißt das Trapez gleichschenklig. a+c Ist m die L¨ange der Mittellinie, so gilt m = . 2 D
c
C
δ
γ m
d
b h β
α A
a
B
Abbildung 3.52 Trapez
Das Trapez mit den Grundlinienl¨ angen a und c und der H¨ohe h ist fl¨achengleich einem Rechteck mit den Seitenl¨ angen m und h. F¨ ur den Fl¨acheninhalt A des Trapezes gilt A = mh =
3.7.3
a+c h 2
Parallelogramme
Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die beiden jeweils einander gegen¨ uberliegenden Seiten parallel sind. Einander gegen¨ uberliegende Seiten im Parallelogramm sind gleich lang; einander gegen¨ uberliegende Winkel sind gleich groß; benachbarte Winkel erg¨anzen sich zu 180◦ ; die Diagonalen halbieren sich in ihrem Schnittpunkt. Das Parallelogramm mit den Seitenl¨ angen a und b ist fl¨achengleich einem Rechteck mit den Seitenl¨angen a und ha (oder b und hb ).
126
3 Planimetrie a
D
C α
β e ha
b
b f β
α A
a
α B
Abbildung 3.53 Parallelogramm
F¨ ur den Umfang u und den Fl¨ acheninhalt A eines Parallelogramms mit den Seitenl¨angen a und b gilt Umfang
u = 2a + 2b
Fl¨ acheninhalt A = aha = bhb = ab sin α F¨ ur die L¨angen der Seiten und der Diagonalen in einem Parallelogramm gilt folgender Zusammenhang: In einem Parallelogramm ist die Summe der Quadrate der Seitenl¨angen gleich der Summe der Quadrate der Diagonalenl¨ angen, also 2a2 + 2b2 = e2 + f 2 Diese Aussage ist der Satz von Apollonios (nach dem hellenistischen Geometer und Astronom Apollonios von Perge, ∼ 262 − 190 v. u. Z.). 3.7.4
Rhomben
Ein Rhombus ist ein Parallelogramm mit gleich langen Seiten. Damit gelten f¨ ur Rhomben alle Eigenschaften von Parallelogrammen. Dar¨ uber hinaus gilt: Die Diagonalen eines Rhombus halbieren sich in ihrem Schnittpunkt, sie halbieren alle Winkel, und sie stehen senkrecht aufeinander. Statt Rhombus sagt man auch Raute.
C
a
D f a
A
a
e
a
B
Abbildung 3.54 Rhombus
3.7 Vierecke
127
F¨ ur den Umfang u und den Fl¨ acheninhalt A eines Rhombus der Seitenl¨ange a gilt (e und f sind die L¨angen der Diagonalen) Umfang
u = 4a
Fl¨ acheninhalt A = a2 sin α =
3.7.5
1 ef 2
Rechtecke
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln. Die Diagonalen eines Rechtecks halbieren sich in ihrem Schnittpunkt und sind gleich lang, es gilt e = f = a2 + b2 .
a
D
C
e b
b e a
A
B
Abbildung 3.55 Rechteck
F¨ ur den Umfang u und den Fl¨ acheninhalt A eines Rechtecks mit den Seitenl¨angen a und b gilt Umfang
u = 2a + 2b
Fl¨ acheninhalt A = ab
3.7.6
Quadrate
Ein Quadrat ist ein Rechteck mit gleich langen Seiten. Die Diagonalen √ eines Quadrats sind gleich lang und stehen senkrecht aufeinander. Es gilt e = f = a 2. Ein Quadrat ist auch ein Rhombus (eine Raute) mit vier rechten Winkeln. Ein Quadrat heißt auch regul¨ ares oder regelm¨ aßiges Viereck.
128
3 Planimetrie a
D
C
e a
a e
a
A
B
Abbildung 3.56 Quadrat
F¨ ur den Umfang u und den Fl¨ acheninhalt A eines Quadrats der Seitenl¨ange a gilt Umfang
u = 4a
Fl¨ acheninhalt A = a2 =
3.7.7
1 2 e 2
Drachen
Ein Drachen ist ein Viereck mit zwei Paaren gleich langer benachbarter Seiten. Statt Drachen sagt man auch Drachenviereck. Die Diagonalen eines Drachens stehen senkrecht aufeinander. D c
d e
A
C
f
a
b
B Abbildung 3.57 Drachen
Ein Drachen mit vier gleich langen Seiten ist ein Rhombus (eine Raute). Sind e und f die L¨ angen der Diagonalen, dann gilt f¨ ur den Fl¨acheninhalt A des Drachens A=
1 ef 2
3.7 Vierecke 3.7.8
129
Sehnenvierecke
Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, bei dem alle vier Eckpunkte auf einem Kreis liegen.
D
c
δ
C γ
f
e b
d β α
B
a A
Abbildung 3.58 Sehnenviereck
Der Kreis heißt Umkreis des Vierecks, die Seiten sind Sehnen dieses Kreises. Ein Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn gegen¨ uberliegende Winkel Supplementwinkel sind, sich also zu 180◦ erg¨ anzen. α + γ = β + δ = 180◦ In einem Sehnenviereck ist das Produkt der Diagonalenl¨angen gleich der Summe der Produkte der L¨angen je zwei gegen¨ uberliegender Seiten (Satz von Ptolem¨aus). ef = ac + bd Die Formel wurde hergeleitet und bewiesen von dem hellenistischen Geometer und Astronom Ptolemaios von Alexandria (∼ 83 − 161 u. Z.). In einem Sehnenviereck verhalten sich die L¨ angen der Diagonalen wie die Summen der Produkte der L¨angen jener Seitenpaare, die sich in den Endpunkten der Diagonalen treffen (Satz von Brahmagupta). e ab + cd = f ad + bc Die Formel wurde von dem Inder Brahmagupta (6./7. Jahrhundert u. Z.) entdeckt, der erste Beweis stammt von dem deutschen Mathematiker Johannes M¨ uller, genannt Regiomontanus (1436-1476). Durch Multiplikation bzw. Division dieser beiden Formeln erh¨alt man Ausdr¨ ucke f¨ ur die L¨ angen der beiden Diagonalen. e=
(ab + cd)(ac + bd) , f= ad + bc
(ad + bc)(ac + bd) ab + cd
130
3 Planimetrie
F¨ ur den Fl¨acheninhalt A des Sehnenvierecks gilt, wenn s der halbe Umfang des Sehnenvierecks ist, also s = 12 (a + b + c + d), A=
3.7.9
(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)
Tangentenvierecke
Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, bei dem alle vier Seiten denselben Kreis ber¨ uhren.
D c C
d b
A
a
B
Abbildung 3.59 Tangentenviereck
Der Kreis heißt Inkreis des Vierecks, die Seiten sind Tangenten dieses Kreises. Ein Viereck ist genau dann ein Tangentenviereck, wenn die Summe der L¨angen zweier gegen¨ uberliegender Seiten gleich der Summe der L¨angen der beiden anderen Seiten ist. a+c=b+d
3.8
Regul¨ are n-Ecke
Ein n-Eck besteht aus n Punkten, den Eckpunkten des n-Ecks, und n Seiten, den Strecken zwischen den Eckpunkten. Haben alle Seiten die gleiche L¨ ange und sind alle Innenwinkel gleich groß, dann heißt das n-Eck regul¨ar oder regelm¨ aßig. Bei einem regul¨aren n-Eck liegen alle Eckpunkte auf einem Kreis, dem Umkreis des nEcks, und alle Seiten sind Tangenten eines einbeschriebenen Kreises, dem Inkreis des n-Ecks. Die Seiten sind Sehnen des Umkreises.
3.8 Regul¨are n-Ecke
131
γn
ρn αn r βn an Abbildung 3.60 Bezeichnungen im regul¨ aren n-Eck
Ein regul¨ares Dreieck ist ein gleichseitiges Dreieck, ein regul¨ares Viereck ist ein Quadrat. Die Summe der Innenwinkel in einem beliebigen n-Eck ist (n − 2) · 180◦ . Da alle n Innenwinkel γn gleich groß sind, gilt Innenwinkel
γn =
n−2 · 180◦ n
Durch die Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit dem Mittelpunkt des Umkreises wird das regul¨are n-Eck in n kongruente Dreiecke zerlegt. F¨ ur die Basiswinkel βn und die Zentriwinkel αn gilt 1 n−2 γn = · 90◦ 2 n 360◦ Zentriwinkel αn = n Basiswinkel
βn =
F¨ ur die Seitenl¨ange an , den Umkreisradius r und den Inkreisradius ρn des regul¨aren n-Ecks gilt (vgl. Kapitel 6): Seitenl¨ ange
an = 2
r2 − ρ2n = 2r sin
αn αn = 2ρn tan 2 2
an 2 sin α2n an αn ρn = cot 2 2
Umkreisradius r = Inkreisradius
F¨ ur den Umfang un und den Fl¨ acheninhalt An des regul¨aren n-Ecks ergibt sich dann Umfang
un = nan
Fl¨acheninhalt An =
1 1 1 αn nan ρn = nr2 sin αn = na2n cot 2 2 4 2
132
3 Planimetrie ¨ Ubersicht u aren n-Ecke f¨ ur kleine n (r = Umkreisradius): ¨ ber die regul¨
n
Innenwinkel γn
Zentriwinkel αn
3
60◦
120◦
√ r 3
2r · 2, 5980 . . .
3√ 2 3r 4
4
90◦
90◦
√ r 2
2r · 2, 8284 . . .
2 r2
5
108◦
72◦
r 2
2r · 2, 9389 . . .
5 8
6
120◦
60◦
r
8
135◦
45◦
r
10
144◦
36◦
12
150◦
30◦
Seitenl¨ ange an
√ 10 − 2 5
Umfang un
2r · 3
2−
√ 2
r √ ( 5 − 1) 2 √ r 2− 3
2r · 3, 0614 . . .
Fl¨ acheninhalt An
√ 10 + 2 5 r 2
3√ 2 3r 2 √ 2 2 r2
2r · 3, 0901 . . .
5 4
2r · 3, 1058 . . .
3 r2
√ 10 − 2 5 r 2
Mit wachsendem n n¨ ahert der Umfang un sich dem Umfang 2r · π = 2r · 3, 1415 . . . und der Fl¨acheninhalt An sich dem Fl¨ acheninhalt π r2 des Kreises mit dem Radius r an.
3.9
Polygone
Ein Polygon ist ein geschlossener Streckenzug der Ebene. Ein Polygon oder Vieleck mit n Eckpunkten ist ein n-Eck. Die Strecken zwischen den Eckpunkten sind die Seiten des Polygons. ¨ Ein einfaches Polygon teilt die Ebene in zwei Gebiete, das Innere und das Außere, die durch die Seiten des Polygons getrennt werden. Die L¨ange des geschlossenen Streckenzugs ist der Umfang des Polygons, und die Fl¨ache des Inneren ist der Fl¨ acheninhalt des Polygons. Eine Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Eckpunkte ist eine Diagonale des Polygons. (Zwei Eckpunkte heißen benachbart, wenn es zwischen ihnen eine Seite gibt.) Jeder Eckpunkt kann also mit n − 3 anderen Eckpunkten durch eine Diagonale verbunden werden (denn jeder der n Eckpunkte hat n − 3 andere Eckpunkte nicht als Nachbarn). Die Innenwinkel des Polygons haben als Scheitelpunkte die Eckpunkte des Polygons. In einem konvexen Polygon liegen alle Diagonalen im Innern des Polygons, und alle Innenwinkel sind kleiner als 180◦ . Da man das Innere eines n-Ecks durch n − 3 sich nicht u ¨ berschneidende Diagonalen in n − 2 Dreiecke zerlegen kann, und die Winkelsumme im Dreieck 180◦ ist, betr¨agt die Summe der Innenwinkel in einem beliebigen n-Eck (n − 2) · 180◦ . In einem regul¨aren (regelm¨ aßigen) Polygon haben alle Seiten die gleiche L¨ange, und alle
3.10 Kreise
133
Innenwinkel sind gleich groß.
Abbildung 3.61 Einfaches Polygon
Abbildung 3.62 Konvexes Polygon
Abbildung 3.63 Regul¨ ares Polygon
3.10 3.10.1
Kreise Definitionen
Ein Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt M einen konstanten Abstand r haben. Der Punkt M ist der Mittelpunkt und r der Radius
134
3 Planimetrie
des Kreises. Zur Unterscheidung von der durch einen Kreis in der Ebene abgegrenzten Fl¨ache, der Kreisfl¨ache, wird der Kreis selbst auch als Kreisperipherie oder Kreisrand bezeichnet. Einen Kreis mit dem Radius r = 0 nennt man entartet. Ein Kreis mit dem Radius r = 1 heißt Einheitskreis. Kreise k¨ urzt man oft mit k ab, und f¨ ur die Peripherie des Kreises mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M schreibt man k(M, r). Jede Gerade durch zwei Punkte der Kreisperipherie nennt man Sekante. Der zwischen den Punkten gelegene Teil der Sekante heißt Sehne. Eine Sehne durch den Mittelpunkt heißt Durchmesser des Kreises. Durchmesser sind die gr¨oßten Sehnen des Kreises. F¨ ur die L¨ange d eines Durchmessers gilt d = 2r.
s1 M s2
s3
Abbildung 3.64 Sehnen eines Kreises (Sehne s2 ist auch Durchmesser)
Winkel, deren Scheitelpunkt ein Punkt der Kreisperipherie ist und deren Schenkel Sekanten des Kreises sind, heißen Peripherie- oder Umfangswinkel. Winkel, deren Scheitelpunkt der Kreismittelpunkt ist, nennt man Zentri- oder Mittelpunktswinkel. Der durch einen Peripherie- oder Zentriwinkel ausgeschnittene Teil der Kreisperipherie heißt Kreisbogen. F¨ ur den Umfang u und die Fl¨ ache A eines Kreises mit dem Radius r und dem Durchmesser d gilt Kreisumfang u = 2πr = πd Kreisfl¨ ache
A = πr2 =
π 2 d 4
Das Verh¨altnis des Umfangs zum Durchmesser eines beliebigen Kreises definiert die sogenannte Kreiszahl π = 3, 141 592 653 5 . . . Die Zahl π (kleines Pi“) ist transzendent (vgl. ” Abschnitt 1.3). π = 3, 141 592 653 5 . . .
3.10 Kreise
135
Peripheriewinkel Radius r M
Durchmesser d
Zentriwinkel
Abbildung 3.65 Bezeichnungen am Kreis
Ein Kreis ist festgelegt durch den Mittelpunkt und einen weiteren Punkt oder durch drei Punkte (die nicht alle auf einer Geraden liegen). Kreise, die den gleichen Mittelpunkt haben, heißen konzentrische Kreise. Zwei Kreise mit verschiedenen Mittelpunkten nennt man exzentrisch. Die von zwei konzentrischen Kreisen begrenzte Fl¨ache heißt Kreisring. Ist R der Radius des a¨ußeren Kreises und r der Radius des inneren Kreises, dann gilt f¨ ur den Fl¨acheninhalt A des Kreisrings A = π(R2 − r2 )
3.10.2
Kreissektoren
Ein Kreissektor oder Kreisausschnitt ist der Teil der Fl¨ache eines Kreises, der von den Schenkeln eines Zentriwinkels und dem zugeh¨ origen Kreisbogen begrenzt wird. Ist α ein Zentriwinkel und hat der Kreis den Radius r, dann ergibt sich f¨ ur die L¨ange lα des Kreisbogens lα =
α πr 180◦
F¨ ur die Fl¨ache Aα des Kreissektors gilt Aα =
1 α πr2 = rlα ◦ 360 2
136
3 Planimetrie
Kreissegment Sehne
Kreissektor
Abbildung 3.66 Kreissektor und Kreissegment
r
α
lα
r
Abbildung 3.67 Bezeichnungen Kreissektor
3.10.3
Kreissegmente
Ein Kreissegment oder Kreisabschnitt ist der Teil der Fl¨ache eines Kreises, der von einer
Sehne AB und einem der zugeh¨ origen Kreisb¨ ogen AB oder BA begrenzt wird. Ein Kreissegment ist also der Teil eines Kreissektors, der zwischen dem Kreisbogen und der zugeh¨origen Sehne liegt. Ein Kreis wird von einer Sehne in zwei Segmente zerlegt. Ist r der Radius eines Kreises, α ein Zentriwinkel, s die L¨ange der zugeh¨origen Sehne α α und h die H¨ohe des Kreissegments, dann berechnet man s = 2r sin und h = 2r sin2 , 2 4 woraus sich f¨ ur die L¨ ange lα des Kreisbogens ergibt lα = F¨ ur die Fl¨ache Aα des Kreissegments gilt
α πr 180◦
3.10 Kreise
137
Aα =
1 [rlα − s(r − h)] 2
r
s
r−h
α
h
lα
s
r
Abbildung 3.68 Bezeichnungen Kreissegment
3.10.4
Kreise und Geraden
Ein Kreis und eine Gerade k¨ onnen drei grunds¨atzlich verschiedene Lagen zueinander haben: • • •
Die Gerade ist eine Passante p, sie hat mit dem Kreis keinen Punkt gemeinsam. Die Gerade ist eine Tangente t, sie hat mit dem Kreis genau einen Punkt, den Ber¨ uhrungspunkt P , gemeinsam. Die Gerade ist eine Sekante s, sie hat mit dem Kreis zwei Punkte, die Schnittpunkte P1 und P2 , gemeinsam. p P
P1
t
s
P2
M
k
r
Abbildung 3.69 Sekante s, Tangente t, Passante p
138 3.10.5
3 Planimetrie Winkels¨ atze am Kreis
Die Winkels¨atze enthalten Eigenschaften von Peripherie- und Zentriwinkeln von Kreisen: • Alle Peripheriewinkel u ¨ ber der gleichen Sehne sind gleich groß. • Jeder Peripheriewinkel u ¨ ber dem Durchmesser ist ein rechter Winkel (Satz von Thales). • Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß wie der Zentriwinkel u ¨ber dem gleichen Kreisbogen (¨ uber der gleichen Sehne). • Jeder Peripheriewinkel ist genauso groß wie der Sehnentangentenwinkel (Winkel zwischen Sehne und Tangente an den Kreis durch einen der Endpunkte der Sehne). C1 γ
C3 γ
C2 M
γ
2γ γ
A
B
b T Abbildung 3.70 Spitzer Peripheriewinkel
C γ A
B M 2γ
γ T
b Abbildung 3.71 Stumpfer Peripheriewinkel
Zeichnet man einen Kreis um den Mittelpunkt M einer Strecke AB mit dem Durchmesser |AB|, dann ist jeder Peripheriewinkel u ¨ber der Strecke AB ein rechter Winkel. Ein solcher Kreis heißt Thaleskreis von A und B (nach dem griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet, ∼ 624 − 546 v. u. Z.). Der Thaleskreis von A und B ist also der geometrische Ort der Scheitelpunkte aller rechten Winkel, deren Schenkel durch die Punkte A und B gehen.
3.10 Kreise
139
M A
B
Abbildung 3.72 Thaleskreis
3.10.6
Eigenschaften von Sekanten und Sehnen
Haben zwei Sekanten den gleichen Abstand a vom Mittelpunkt M eines Kreises, dann ist die L¨ange der Sehnen, die der Kreis aus jeder Sekante ausschneidet, gleich. Umkehrung: Gleich lange Sehnen ein und desselben Kreises haben den gleichen Abstand vom Mittelpunkt: |M1 M | = |M2 M | = a. Die Mittelsenkrechten von zwei beliebigen Sehnen ein und desselben Kreises schneiden sich im Mittelpunkt.
M3 e 2 e 2
a
M
M1 a
M2
e 2
e 2
Abbildung 3.73 Eigenschaften von Sekanten und Sehnen
Anwendung: Ist von einem Kreis nur die Peripherie oder auch nur ein Bogen bekannt, der Mittelpunkt dagegen unbekannt, dann findet man diesen Mittelpunkt als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von zwei beliebigen Sehnen. 3.10.7
Tangentenkonstruktionen
Tangenten an einen Kreis Von jedem Punkt P0 außerhalb eines Kreises (Mittelpunkt M ) gibt es zwei Tangenten an den Kreis. In den Ber¨ uhrungspunkten P1 und P2 stehen die Tangenten senkrecht auf
140
3 Planimetrie
den Geraden P1 M und P2 M . Somit erh¨ alt man die Ber¨ uhrungspunkte als Schnittpunkte des Kreises mit dem Thaleskreis u ¨ ber der Strecke |M P0 |. Beispiele: 1.
Gesucht ist die Tangente an den Kreis k(M, r) im Kreispunkt P1 . Konstruktion: Auf P1 M wird in P1 die Senkrechte t1 errichtet.
2.
Gesucht sind die Tangenten von P0 mit |P0 M | > r an den Kreis k(M, r). ¨ Konstruktion: Uber P0 M als Durchmesser wird der Thaleskreis k0 (M0 , |M0 P0 | = 12 |P0 M |) gezeichnet. Der Thaleskreis schneidet den Kreis k(M, r) in den Punkten P1 und P2 . Die Geraden P0 P1 und P0 P2 sind die gesuchten Tangenten.
k
Thaleskreis
P1 M
k0
r
t1 M0
δ 2
r δ 2
P2
P0
t2
Abbildung 3.74 Tangenten an einen Kreis
Gemeinsame Tangenten an zwei Kreise An zwei Kreise k1 und k2 mit den Radien r1 und r2 sowie den Mittelpunkten M1 und M2 sollen gemeinsame Tangenten konstruiert werden. Ohne Einschr¨ankung der Allgemeinheit sei r1 ≤ r2 . Gemeinsame Tangenten gibt es nur dann, wenn ein Kreis nicht ganz innerhalb des anderen liegt. ¨ 1. Außere Tangenten Im Fall r1 = r2 verbindet man die Mittelpunkte M1 und M2 miteinander. Die Parallelen zu M1 M2 im Abstand r1 = r2 sind die gemeinsamen ¨außeren Tangenten von k1 und k2 . agt man um M2 einen Hilfskreis mit dem Radius r2 − r1 . An Im Fall r2 > r1 schl¨ diesen Kreis werden von M1 aus die Tangenten mit Hilfe des Thaleskreises u ¨ ber M1 M2 konstruiert. Die (¨ außeren) Parallelen hierzu im Abstand r1 sind die gesuchten gemeinsamen ¨ außeren Tangenten der Kreise k1 und k2 .
3.10 Kreise
141
k2 Thaleskreis Hilfskreis
M2 k1
r2
r2 − r1
M1 r1
r1
Abbildung 3.75 Gemeinsame ¨ außere Tangenten
2. Innere Tangenten Die gegebenen Kreise k1 und k2 sollen keinen Punkt gemeinsam haben. Um den einen Mittelpunkt M2 schl¨ agt man einen Hilfskreis mit dem Radius r1 + r2 . An diesen Kreis werden von dem anderen Mittelpunkt M1 aus die Tangenten konstruiert. Die (inneren) Parallelen hierzu im Abstand r1 sind die gesuchten gemeinsamen inneren Tangenten der beiden gegebenen Kreise k1 und k2 .
Thaleskreis Hilfskreis
r1 k1 r2
r1
+
r1
k2 M2
r2
M1
Abbildung 3.76 Gemeinsame innere Tangenten
3.10.8
S¨ atze u ¨ber Sehnen, Sekanten, Tangenten
Sehnensatz Schneiden sich in einem Kreis zwei Sehnen, so ist das Produkt der L¨angen der Abschnitte der einen Sehne gleich dem Produkt der L¨ angen der Abschnitte der anderen Sehne. |SA| · |SB| = |SC| · |SD|
142
3 Planimetrie D B
S
A
C Abbildung 3.77 Sehnensatz
Sekantensatz Schneiden sich zwei Sekanten eines Kreises außerhalb des Kreises, so ist das Produkt der L¨angen der Abschnitte vom Sekantenschnittpunkt bis zu den Schnittpunkten von Kreis und Sekante f¨ ur beide Sekanten gleich. |SA| · |SB| = |SC| · |SD|
B
A
S
D
C
Abbildung 3.78 Sekantensatz
Sekantentangentensatz Geht eine Sekante eines Kreises durch einen festen Punkt außerhalb des Kreises, und legt man durch diesen Punkt die Tangente an den Kreis, dann ist das Produkt der L¨angen der Abschnitte von diesem Punkt bis zu den Schnittpunkten von Kreis und Sekante gleich dem Quadrat der L¨ ange des Abschnitts der Tangente von diesem Punkt bis zu dem Ber¨ uhrpunkt von Kreis und Tangente. |SA| · |SB| = |SC|2
3.10 Kreise
143 B
A
S
C Abbildung 3.79 Sekantentangentensatz
3.10.9
Bogenmaß
Neben dem Gradmaß gibt es das Bogenmaß zur Winkelmessung. Beim Bogenmaß wird die Gr¨ oße eines Zentriwinkels α in einem beliebigen Kreis durch das Verh¨altnis des zugeh¨ origen Kreisbogens b zum Radius r des Kreises angegeben. Der Quotient rb heißt Bogenmaß des Winkels α.
b
Einheitskreis 1 α
x = arc α r
Abbildung 3.80 Gradmaß (α) und Bogenmaß (x = arc α) eines Winkels
Die Einheit des Bogenmaßes ist der Radiant (rad), also der Zentriwinkel, dessen Bogen gleich dem Radius ist. Mitunter schreibt man arc α (Arcus α) f¨ ur das Bogenmaß des Winkels α. b Bogenmaß: arc α = r Da der Einheitskreis, also der Kreis mit dem Radius r = 1, den Umfang 2π hat, ist das Bogenmaß des Vollwinkels 2π. 2π rad = 360◦ oder 1 rad =
360◦ ≈ 57, 2958◦ 2π
144
3 Planimetrie
Bezeichnet α den in Grad und x = arc α den in Radiant gemessenen Winkel, so gilt f¨ ur die Umrechnung von Gradmaß und Bogenmaß eines Winkels x= Beispiele zur Umrechnung: π 1◦ = rad = 0, 0174... rad 180 π 30◦ = rad 6 57, 2957 . . .◦ = 1 rad 0, 5 rad =
3.11 3.11.1
0, 5 · 180◦ = 28, 6478...◦ π
π · α, 180◦
α=
180◦ ·x π
10π π rad = rad = 0, 1745... rad 180 18 π 45◦ = rad 4 π ◦ 90 = rad 2 π π 180◦ rad = · = 60◦ 3 3 π 10◦ =
Symmetrie Punktsymmetrie
Eine ebene Figur F heißt punkt- oder zentralsymmetrisch, wenn sich in ihrer Ebene ein Punkt P angeben l¨ asst, so dass F durch eine Spiegelung an P in sich u uhrt wird. ¨bergef¨ Der Punkt P heißt dann Symmetriezentrum. Beispiele: Folgende Figuren sind punktsymmetrisch: 1.
Strecke mit ihrem Mittelpunkt als Symmetriezentrum
2.
Rechteck mit seinem Mittelpunkt als Symmetriezentrum
3.
Ellipse mit ihrem Mittelpunkt als Symmetriezentrum (vgl. Abschnitt 7.5.1)
3.11.2
Achsensymmetrie
Eine ebene Figur F heißt achsen- oder axialsymmetrisch, wenn sich in ihrer Ebene eine Gerade g angeben l¨ asst, so dass F durch eine Spiegelung an g in sich u uhrt wird. ¨ bergef¨ Die Gerade g heißt dann Symmetrieachse. Beispiele: Folgende Figuren sind achsensymmetrisch: 1.
Gleichseitiges Dreieck mit einer der Winkelhalbierenden als Symmetrieachse
2.
Rechteck mit einer Mittellinie als Symmetrieachse
3.
Kreis mit einer beliebigen Geraden durch den Mittelpunkt als Symmetrieachse
3.12 3.12.1
¨ Ahnlichkeit Zentrische Streckung
Die zentrische Streckung ist eine Abbildung, bei der f¨ ur jedes Element Bild Q und Urbild P auf einem Strahl durch einen festen Punkt Z, dem Zentrum, liegen und f¨ ur jedes
¨ 3.12 Ahnlichkeit
145
Element das Verh¨ altnis der L¨ ange der Strecke vom Bild zum Zentrum zu der L¨ange der Strecke vom Urbild zum Zentrum konstant ist. |ZQ| = k (k konstant) |ZP |
D1
C1
k1 = 1, 5 A1
D
A
C
B1
B
Z B2 C2
A2
k2 = −0, 5
D2 Abbildung 3.81 Zentrische Streckung
Eigenschaften: • • •
Die Bilder von Strecke, Strahl, Gerade sind wieder Strecke, Strahl, Gerade. Bild und Urbild von Strecke, Strahl, Gerade sind zueinander parallel. Entsprechende Winkel von Bild und Urbild sind gleich. Die L¨angen entsprechender Strecken von Bild und Urbild haben das gleiche Verh¨altnis, und zwar den Betrag des Streckungsfaktors k, also |k|.
3.12.2
Strahlens¨ atze
Unmittelbare Anwendungen der zentrischen Streckung sind die Strahlens¨atze. Erster Strahlensatz Werden zwei Strahlen mit gleichem Anfangspunkt (Zentrum) von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die L¨ angen der Abschnitte eines Strahls wie die L¨angen entsprechender Abschnitte des anderen Strahls. a 1 : a 2 = b 1 : b2
146
3 Planimetrie
a2
a1
Z b1 b2
Abbildung 3.82 Erster Strahlensatz: a1 : a2 = b1 : b2
Zweiter Strahlensatz Werden zwei Strahlen mit gleichem Anfangspunkt von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die L¨angen der zwischen den Strahlen liegenden Abschnitte wie die L¨angen der zugeh¨origen vom Anfangspunkt aus gemessenen Abschnitte auf den Strahlen. c1 : c3 = a1 : a3 a3 Z
a1 c1 c3
Abbildung 3.83 Zweiter Strahlensatz: c1 : c3 = a1 : a3 Beispiel: Welche L¨ ange B ergibt sich f¨ ur das Bild eines Gegenstands der L¨ ange G bei einer Bildweite b und einer Gegenstandsweite g? Nach dem zweiten Strahlensatz gilt g G b = ⇒ B=G b B g Anmerkung: Ist g b (g sehr groß gegen¨ uber b), dann kann man b ≈ f (f Brennweite) setzen und damit die zu erwartende Bildgr¨ oße absch¨ atzen.
G B g
b
Abbildung 3.84 Anwendung des zweiten Strahlensatzes
¨ 3.12 Ahnlichkeit 3.12.3
147
¨ Ahnliche Figuren
Geometrische Figuren heißen ¨ ahnlich, wenn sie nach geeigneter Parallelverschiebung, Drehung, Spiegelung durch zentrische Streckung zur Deckung gebracht werden k¨onnen. So sind zum Beispiel zwei Quadrate ¨ ahnlich (mit beliebigen Seitenl¨angen) oder zwei Kreise (mit beliebigen Radien und beliebigen Mittelpunkten) oder zwei gleichseitige Dreiecke (mit beliebigen Seitenl¨ angen). C1
B2 A2
C2 D1
B1
D2 C D
B A1
A ¨ Abbildung 3.85 Ahnliche Figuren
Entsprechend den vier Kongruenzs¨ atzen f¨ ur Dreiecke (siehe Abschnitt 3.6.7) gelten die ¨ folgenden Bedingungen f¨ ur die Ahnlichkeit von Dreiecken: 1. Dreiecke sind a hnlich, wenn sie in zwei Winkeln u ¨ ¨ bereinstimmen. ◦ Da im Dreieck die Winkelsumme gleich 180 ist, folgt, dass dann auch die jeweils dritten Winkel u ¨bereinstimmen.
α
β
β
α
α = α β = β ¨ Abbildung 3.86 Ahnliche Dreiecke
2. Dreiecke sind ¨ ahnlich, wenn sie in dem L¨ angenverh¨altnis eines Seitenpaares und dem Gegenwinkel der l¨ angeren Seite u ¨ bereinstimmen.
b
a
β
β a : b = a : b β = β
a
¨ Abbildung 3.87 Ahnliche Dreiecke
b
148
3 Planimetrie
3. Dreiecke sind a angenverh¨altnis eines Seitenpaares und dem ¨hnlich, wenn sie in dem L¨ eingeschlossenen Winkel u bereinstimmen. ¨
γ
b
a a : b = a : b γ = γ
a
γ
b
¨ Abbildung 3.88 Ahnliche Dreiecke
4. Dreiecke sind ¨ ahnlich, wenn sie in den L¨ angenverh¨altnissen zweier Seitenpaare u ¨bereinstimmen. c a
b c
a : b = a : b b : c = b : c
a
b
¨ Abbildung 3.89 Ahnliche Dreiecke
Bemerkungen: 1. Die Strahlens¨atze sind Anwendungen der Eigenschaften ¨ahnlicher Dreiecke. ¨ 2. Nur bei Dreiecken folgt aus der Gleichheit der Winkel die Ahnlichkeit. Zum Beispiel haben ein Rechteck mit den Seitenl¨angen a und b = a und ein Quadrat gleich große Winkel, sind aber nicht ¨ ahnlich, denn ihre Seitenverh¨altnisse sind verschieden. 3. Da ein rechtwinkliges Dreieck durch seine H¨ ohe in zwei untereinander und dem ganzen Dreieck a¨hnliche Teildreiecke geteilt wird (gleiche Winkel), folgen aus der Proportionalit¨at der L¨ angen entsprechender Seiten der Kathetensatz und der H¨ohensatz.
3.12.4
Streckenteilungen
Liegt zwischen zwei Punkten A und B ein Punkt T , so teilt er die Strecke AB im Verh¨altnis |AT | : |T B| = k. Das Teilungsverh¨altnis k ist eine positive reelle Zahl, wenn T echt zwischen A und B liegt. Halbiert T die Strecke AB, dann gilt k = 1. Dagegen ist k < 0, wenn T außerhalb der Strecke AB liegt. ¨ Mit Hilfe der Ahnlichkeitsbedingungen f¨ ur Dreiecke ist es m¨oglich, jede gegebene Strecke in einem beliebigen rationalen Verh¨ altnis zu teilen. Man unterscheidet verschiedene Arten von Streckenteilungen:
¨ 3.12 Ahnlichkeit •
149
Innere Teilung Der Teilungspunkt T = Ti liegt auf der Strecke AB. ki =
•
|ATi | pi = qi |Ti B|
¨ Außere Teilung Der Teilungspunkt T = Ta liegt auf der Geraden AB, aber außerhalb der Strecke AB. In diesem Fall ist das Teilungsverh¨ altnis k = ka negativ. ka = −
pa |ATa | =− qa |Ta B|
qi pi
Ta
A
B
Ti
pa qa Abbildung 3.90 Innere und ¨ außere Teilung
•
Harmonische Teilung Eine Strecke AB heißt durch die Punkte Ti und Ta harmonisch geteilt, wenn die Betr¨age der Teilungsverh¨ altnisse der inneren Teilung durch Ti und der a¨ußeren Teilung durch Ta gleich sind. k = |ki | = |ka | =
|ATi | |ATa | p = = q |Ti B| |Ta B|
Es gilt: Teilen Ti und Ta die Strecke AB harmonisch, dann teilen auch umgekehrt A und B die Strecke Ti Ta harmonisch. D q=
C2 p= Ta
7
2
Ap =
Ti 2
C1
Abbildung 3.91 Harmonische Teilung
B
150
3 Planimetrie
Sind Ti und Ta die Punkte, die eine Strecke AB harmonisch im Verh¨altnis p : q teilen, dann ist der Kreis mit dem Durchmesser Ti Ta der geometrische Ort aller Punkte (C), deren Verbindungsstrecken mit A und B das L¨angenverh¨altnis p : q haben: |ATi | : |Ti B| = |ATa | : |Ta B| = |AC| : |CB| = p : q. Dieser Kreis heißt Kreis des Apollonios (nach dem hellenistischen Geometer und Astronom Apollonios von Perge, ∼ 262 − 190 v. u. Z.). C
A
Ti
B
Ta
Abbildung 3.92 Kreis des Apollonios
•
Stetige Teilung (goldener Schnitt) Eine Strecke heißt stetig oder nach dem goldenen Schnitt geteilt, wenn sich ihre L¨ange zur L¨ange des gr¨ oßeren Teilst¨ ucks verh¨ alt wie die L¨ange des gr¨oßeren Teilst¨ ucks zur L¨ange des kleineren Teilst¨ ucks. Ein Punkt T teilt die Strecke AB also nach dem goldenen Schnitt, wenn gilt |AT | |AB| = |AT | |T B| s r = . s r−s r r s + (r − s) r−s 1 1 1 Mit x = folgt x = = =1+ =1+ s =1+ r =1+ . s s s s x r−s s
Setzt man r = |AB|, s = |AT |, so gilt
Multiplikation mit x ergibt x2 = x + 1 ⇔ x2 − x − 1 = 0. Die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung sind √ √ 1 1 x1 = (1 + 5) und x2 = (1 − 5). 2 2 ur das Teilungsverh¨altnis Wegen x1 > 0 und x2 < 0 kommt nur die positive Wurzel f¨ √ s 1 r = = (1 + 5). in Frage: s r−s 2 √ 1 Die Zahl (1 + 5) = 1, 618 033 988 7 . . . nennt man goldene Zahl. 2 Die Abbildung verdeutlicht eine Konstruktionsm¨oglichkeit des goldenen Schnitts einer Strecke.
¨ 3.12 Ahnlichkeit
151 r 2 r 2
s A
T r−s
s r
B
Abbildung 3.93 Stetige Teilung (goldener Schnitt)
4
Stereometrie
Das Wort Stereometrie kommt aus dem Griechischen und bedeutet K¨orpermessung. Man besch¨aftigt sich in dieser Teildisziplin der Geometrie mit Form, gegenseitiger Lage, Gr¨oße und anderen Beziehungen geometrischer Objekte im Raum.
4.1 4.1.1
Prismen Allgemeine Prismen
Gleitet eine Gerade, ohne ihre Richtung zu ¨ andern, im Raum an den Begrenzungslinien eines ebenen n-Ecks (n = 3, 4, . . .) entlang, so beschreibt sie eine prismatische Fl¨ache. Schneiden zwei parallele Ebenen die prismatische Fl¨ache, dann schließen sie zusammen mit dem zwischen ihnen liegenden Abschnitt der prismatischen Fl¨ache einen Teil des Raums vollst¨andig ein. Ein solcher K¨ orper heißt Prisma (griech., das Ges¨agte) oder genauer n-seitiges Prisma. Die Schnitte der Ebenen mit der prismatischen Fl¨ache sind kongruente n-Ecke. Diese n-Ecke heißen Grundfl¨ ache und Deckfl¨ ache des Prismas. Die Seitenfl¨achen des Prismas heißen Mantelfl¨achen. Die Kanten der Seitenfl¨achen heißen Mantellinien. Die Mantelfl¨achen sind Parallelogramme. Bei einem Prisma sind alle Schnitte parallel zu Grund- und Deckfl¨ache kongruent zu diesen Fl¨achen. Ein Prisma ist also ein K¨ orper mit einem gleichbleibenden Querschnitt. Gleitet die Gerade senkrecht zur Ebene der Grundfl¨ache, dann heißt das Prisma gerade. Bei einem geraden Prisma stehen die Mantellinien senkrecht auf der Grund- und Deckfl¨ache, und die Mantelfl¨ achen sind Rechtecke. Ein nicht gerades Prisma nennt man auch schiefes Prisma. Ein physikalisches Prisma ist mathematisch ein gerades dreiseitiges Prisma.
AG
h
AG Abbildung 4.1 Prisma
Das Volumen V eines Prismas ist der Inhalt AG der Grundfl¨ache multipliziert mit der H¨ohe h. Volumen Prisma
V = AG · h
A. Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn, DOI 10.1007/978-3-8348-8258-5_4, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
4.1 Prismen
153
Die Oberfl¨ache AO eines Prismas ist die Summe der Mantelfl¨ache AM und der doppelten Grundfl¨ache AG (denn Grund- und Deckfl¨ache sind kongruent, und damit ist ihr Fl¨acheninhalt gleich). AO = AM + 2AG
Ober߬ache Prisma
4.1.2
Parallelepiped und W¨ urfel
Ein Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfl¨ache heißt Parallelepiped oder Parallelflach oder Spat. Ein gerades Prisma mit einem Rechteck als Grundfl¨ache heißt Quader.
c c
a
b
a
Abbildung 4.2 Parallelepiped
b
Abbildung 4.3 Quader
Sind a und b die Seitenl¨ angen des Rechtecks und c die H¨ohe des Quaders, so gilt:
Quader
Volumen
V = abc
Ober߬ ache
AO = 2(ab + ac + bc)
Gesamtkantenl¨ ange l = 4(a + b + c) Ein Quader mit einem Quadrat als Grundfl¨ ache heißt quadratische S¨aule.
h
a a Abbildung 4.4 Quadratische S¨ aule
154
4 Stereometrie
Ist a die Seitenl¨ange des Quadrats und h die H¨ ohe der quadratischen S¨aule, dann gilt:
Quadratische S¨aule
Volumen
V = a2 h
Ober߬ ache
AO = 2a2 + 4ah
Gesamtkantenl¨ange l = 8a + 4h Ein Quader mit lauter gleich langen Kanten heißt W¨ urfel.
a
a a Abbildung 4.5 W¨ urfel
Ist a die Kantenl¨ange des W¨ urfels, so gilt:
W¨ urfel
Volumen
V = a3
Ober߬ ache
AO = 6a2
Gesamtkantenl¨ ange l = 12a Der W¨ urfel ist einer der platonischen K¨ orper (siehe Abschnitt 4.7). Er wird von sechs Quadraten begrenzt.
4.2 4.2.1
Zylinder Allgemeine Zylinder
Wird eine Gerade (Erzeugende) im Raum l¨ angs einer ebenen geschlossenen Kurve (Leitkurve) parallel verschoben (also ohne ihre Richtung zu ver¨andern), so entsteht eine Zylinderfl¨ache. Ein Zylinder ist ein K¨ orper, der von einer Zylinderfl¨ache und zwei parallelen ebenen Fl¨achenst¨ ucken begrenzt wird. Die ebenen Begrenzungsfl¨achenst¨ ucke m¨ ussen nicht senkrecht auf der erzeugenden Gerade stehen.
4.2 Zylinder
155
h
Abbildung 4.6 Zylinder
Ein Zylinder ist ein K¨ orper mit gleichbleibendem Querschnitt. Der Teil der Zylinderfl¨ ache zwischen den parallelen Begrenzungsfl¨achenst¨ ucken heißt Mantelfl¨ache des Zylinders, die parallelen Fl¨ achenst¨ ucke sind Grund- und Deckfl¨ache des Zylinders. Grundfl¨ ache und Deckfl¨ ache sind zueinander kongruent. Die zwischen den Fl¨achenst¨ ucken liegenden Strecken der Erzeugenden heißen Mantellinien, sie sind alle parallel und gleich lang. Der senkrechte Abstand zwischen Grund- und Deckfl¨ache ist die H¨ohe des Zylinders. Prismen sind spezielle Zylinder, n¨ amlich solche mit n-Ecken als Grundfl¨ache. Ein Zylinder heißt gerade, wenn die Mantellinien senkrecht auf Grund- und Deckfl¨ache stehen. Ein nicht gerader Zylinder heißt schiefer Zylinder. Ein Zylinder mit einer Kreisfl¨ ache als Grundfl¨ ache heißt Kreiszylinder. Das Volumen V eines Zylinders ist der Inhalt AG der Grundfl¨ache multipliziert mit der H¨ohe h. Die Oberfl¨ ache AO eines Zylinders ist die Summe der Mantelfl¨ache AM und der doppelten Grundfl¨ ache AG . Volumen
V = AG · h
Ober߬ ache AO = AM + 2AG
4.2.2
Gerade Kreiszylinder
Ein Zylinder mit senkrecht auf Grund- und Deckfl¨ache stehenden Mantellinien und mit einer Kreisfl¨ache als Grundfl¨ ache heißt gerader Kreiszylinder oder Walze. Die Mantelfl¨ache eines geraden Kreiszylinders kann in ein Rechteck mit den Seitenl¨angen h und 2πr (Kreisumfang) abgewickelt werden, wobei h die H¨ohe des geraden Kreiszylinders ist und r der Radius des Kreises. Dies kann man sich dadurch veranschaulichen, dass man eine Dose ohne Deckel und Boden l¨ angs einer Mantellinie aufschneidet und in eine Ebene abwickelt.
156
4 Stereometrie
r
h
r Abbildung 4.7 Gerader Kreiszylinder
Der Kreis als Grund- und Deckfl¨ ache (Grund- und Deckfl¨ache sind kongruent) hat den Fl¨ acheninhalt πr2 . Somit gilt f¨ ur die Oberfl¨ ache insgesamt AO = 2πr2 + 2πrh = 2πr(r + h). V = πr2 h
Volumen
Oberfl¨ ache AO = 2πr(r + h)
4.2.3
Hohlzylinder
Ein Hohlzylinder ist ein gerader Kreiszylinder (Kreis mit Radius R), aus dem ein kleinerer gerader Kreiszylinder (konzentrischer Kreis mit Radius r, r < R) ausgeschnitten ist.
R
h
r
Abbildung 4.8 Hohlzylinder
Die Grundfl¨achen der beiden Zylinder sind also konzentrische Kreise, das heißt, sie haben den gleichen Mittelpunkt. Das Volumen des Hohlzylinders ist die Differenz der Volumina der beiden geraden Kreiszylinder. Die Oberfl¨ ache setzt sich aus der ¨ außeren Mantelfl¨ache AMa = 2πRh (h ist die H¨ohe des Hohlzylinders), aus der inneren Mantelfl¨ache AMi = 2πrh, aus der Grundfl¨ache und aus der Deckfl¨ ache zusammen. Grundfl¨ ache AG und Deckfl¨ache AD sind gleich, sie ergeben sich aus der Differenz zweier Kreisfl¨ achen: AG = AD = π(R2 − r2 ).
4.3 Pyramiden
157
F¨ ur das Volumen und die Oberfl¨ ache des Hohlzylinders gilt somit Volumen
V = πh(R2 − r2 )
Oberfl¨ache AO = 2πh(R + r) + 2π(R2 − r2 ) = 2π(R + r)(R − r + h)
4.3 4.3.1
Pyramiden Allgemeine Pyramiden
Gleitet ein von einem festen Punkt S des Raums ausgehender Strahl an den Begrenzungslinien eines ebenen n-Ecks (n = 3, 4, . . .) entlang, in dessen Ebene der Anfangspunkt S des Strahls nicht liegt, so beschreibt der gleitende Strahl eine Pyramidenfl¨ache. Das nEck schließt zusammen mit dem zwischen ihm und dem Punkt S liegenden Abschnitt der Pyramidenfl¨ache einen Teil des Raums vollst¨andig ein. Ein solcher K¨orper heißt Pyramide. S
h
AG
H
Abbildung 4.9 Pyramide
Das n-Eck heißt Grundfl¨ ache, der Punkt S Spitze, der zum K¨orper geh¨orende Teil der Pyramidenfl¨ache ist die Mantelfl¨ ache der Pyramide. Die Kanten der Grundfl¨ache heißen Grundkanten, die Kanten der Mantelfl¨ ache Seitenkanten, und die ebenen Fl¨achen der Mantelfl¨ache sind die Seitenfl¨ achen. Alle Seitenfl¨achen einer Pyramide sind Dreiecke. Es gibt bei einem n-Eck als Grundfl¨ache genau n Dreiecke als Seitenfl¨ achen. Deshalb nennt man solch eine Pyramide auch genauer n-seitige Pyramide. Ist das n-Eck ein regul¨ ares n-Eck, dann heißt die Pyramide regul¨are (n-seitige) Pyramide. Der Abstand der Spitze S von der Ebene der Grundfl¨ache ist die H¨ohe der Pyramide. Man erh¨alt die H¨ ohe, indem man von S das Lot auf die Ebene der Grundfl¨ache f¨allt. Das Lot durchst¨oßt die Ebene der Grundfl¨ ache im H¨ohenfußpunkt H. Dieser kann auch
158
4 Stereometrie
außerhalb der Grundfl¨ ache liegen, dann liegt die H¨ohe außerhalb der Pyramide. F¨ allt der H¨ohenfußpunkt mit dem Mittelpunkt der Grundfl¨ache zusammen, so heißt die Pyramide gerade. Alle anderen Pyramidenformen nennt man schief. Die H¨ohe einer geraden Pyramide ist gleichzeitig ihre Achse. Die Seitenfl¨achen von regul¨ aren geraden Pyramiden sind kongruente gleichschenklige Dreiecke. F¨ ur das Volumen V und die Oberfl¨ ache AO einer beliebigen Pyramide gilt 1 AG · h 3 Oberfl¨ ache AO = AM + AG
Volumen
V =
AG ist der Fl¨acheninhalt des n-Ecks, AM der Inhalt der Mantelfl¨ache, also die Summe der Fl¨acheninhalte der Seitendreiecke, und h ist die H¨ohe der Pyramide. Eine gerade regul¨ are dreiseitige Pyramide, bei der die Seitendreiecke kongruent zum Grunddreieck sind, heißt Tetraeder. Ein Tetraeder wird also von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Das Tetraeder ist einer der platonischen K¨orper (siehe Abschnitt 4.7).
4.3.2
Gerade quadratische Pyramiden
Eine gerade quadratische Pyramide hat ein Quadrat als Grundfl¨ache, und die Spitze der Pyramide steht senkrecht u ¨ ber dem Mittelpunkt des Quadrats, dem Diagonalenschnittpunkt. Die Mantelfl¨ ache besteht aus vier kongruenten gleichschenkligen Dreiecken.
s s
h hs
a 2
a Abbildung 4.10 Gerade quadratische Pyramide
Ist a die Kantenl¨ange des Quadrats der Grundfl¨ ache, h die H¨ohe der Pyramide und s die Kantenl¨ange der Seitenkanten, so folgt aus dem Satz des Pythagoras s2 = h2 + 12 a2 . Bezeichnet man mit hs die H¨ ohe des gleichschenkligen Seitenfl¨achendreiecks Δs , dann folgt ebenfalls mit dem Satz von Pythagoras s2 = h2s + 14 a2 , denn die Basis dieses Dreiecks hat die L¨ ange a. L¨ ost man nach hs auf und ersetzt s2 durch h2 + 12 a2 , so
4.4 Kegel
159
h2 + 14 a2 . Daraus berechnet man den Fl¨acheninhalt AΔs von Δs zu AΔs = 12 a · hs = 12 a h2 + 14 a2 und den Inhalt der Mantelfl¨ache zu AM = 4 AΔs = 2a h2 + 14 a2 . ergibt sich hs =
F¨ ur Volumen und Oberfl¨ ache einer geraden quadratischen Pyramide gilt somit Volumen
V =
1 2 a ·h 3
Ober߬ ache AO = a2 + 2a
h2 +
1 2 a 4
Die Grabst¨atten alt¨ agyptischer Pharaonen waren w¨ahrend des Alten und des Mittleren Reichs h¨aufig gerade quadratische Pyramiden. Besonders beeindruckend sind die Pyramiden der Pharaonen Cheops, Chephren und Mykerinos in Gizeh am s¨ udlichen Rand von Kairo. Sie stammen aus dem Alten Reich und wurden in der Zeit zwischen 2600 und 2480 v. u. Z. erbaut, sie sind also rund 4500 Jahre alt. Die gr¨oßte Pyramide ist die Cheopspyramide: Das Quadrat der Grundfl¨ ache hat eine Kantenl¨ange von 227,5 m (urspr¨ unglich 230,38 m), und die H¨ ohe ist 137 m (urspr¨ unglich 146,6 m). Nimmt man die urspr¨ unglichen Werte, so berechnet man f¨ ur das Volumen: V = 13 (230, 38)2 · 146, 6 = 2 593 595, 61 . . ., also mehr als 2, 5 Millionen Kubikmeter! F¨ ur die Oberfl¨ache ergibt sich: 1 2 2 AO = 2 · 230, 38 · (146, 6) + 4 (230, 38) + (230, 38)2 = 138 979, 56 . . . m2 . Der Bau der Pyramiden war eine großartige ingenieurtechnische und logistische Leistung der Alt¨agypter!
4.4 4.4.1
Kegel Allgemeine Kegel
Wird eine Gerade (Erzeugende) im Raum l¨ angs einer ebenen geschlossenen Kurve (Leitkurve) so bewegt, dass sie durch einen festen Punkt, die Spitze S, geht, so entsteht eine Kegelfl¨ache.
h
Abbildung 4.11 Kegel
160
4 Stereometrie
Ein Kegel ist ein K¨ orper, der von einer Kegelfl¨ ache und einem nicht durch deren Spitze gehenden ebenen Fl¨ achenst¨ uck begrenzt wird. Der Teil der Kegelfl¨ ache zwischen dem ebenen Fl¨achenst¨ uck und der Spitze heißt Mantelfl¨ache, das ebene Fl¨ achenst¨ uck Grundfl¨ ache des Kegels. Die zwischen Grundfl¨ache und Spitze liegenden Strecken der Erzeugenden heißen Mantellinien. Der senkrechte Abstand der Spitze zur Ebene der Grundfl¨ ache ist die H¨ ohe des Kegels. Pyramiden sind spezielle Kegel, n¨ amlich Kegel mit n-Ecken als Grundfl¨ache. Hat die Grundfl¨ache einen Mittelpunkt (wie Kreis oder Ellipse), und liegt die Spitze senkrecht u ¨ber diesem Mittelpunkt, so heißt der Kegel gerade, andernfalls schief. Ein Kegel mit einer Kreisfl¨ ache als Grundfl¨ ache heißt Kreiskegel. Das Volumen V eines Kegels ist ein Drittel des Inhalts AG der Grundfl¨ache multipliziert mit der H¨ohe h. Die Oberfl¨ ache AO eines Kegels ist die Summe der Mantelfl¨ache AM und der Grundfl¨ache AG . 1 AG · h 3 Oberfl¨ ache AO = AM + AG
Volumen
4.4.2
V =
Gerade Kreiskegel
Ein Kegel mit einer Kreisfl¨ ache als Grundfl¨ ache und der Spitze S senkrecht u ¨ ber dem Kreismittelpunkt heißt gerader Kreiskegel. S
h
s
r Abbildung 4.12 Gerader Kreiskegel
√ Alle Mantellinien eines geraden Kreiskegels sind gleich lang. Ihre L¨ange ist s = r2 + h2 , wobei r der Radius des Kreises und h die H¨ ohe des geraden Kreiskegels sind. Die Mantelfl¨ache kann in die Ebene abgewickelt werden. Dabei entsteht ein Kreissektor mit dem Radius s (L¨ ange der Mantellinien) und der Kreisbogenl¨ange 2πr (Umfang des Kreises der Grundfl¨ ache). Der Fl¨ acheninhalt AM dieses Kreissektors (=Mantelfl¨ache) verh¨alt sich zur gesamten Kreisfl¨ ache πs2 wie die Kreisbogenl¨ange 2πr zum Gesamtkreisumfang 2πs, woraus sich f¨ ur die Mantelfl¨ ache AM = πrs ergibt. Der Kreis der Grundfl¨ache, der Grundkreis, hat den Fl¨ acheninhalt πr2 .
4.5 Cavalierisches Prinzip
161
Daraus folgt f¨ ur die Oberfl¨ ache AO = πrs + πr2 = πr(r + s) = πr(r + Somit gilt f¨ ur den geraden Kreiskegel
√ r 2 + h2 ) .
1 2 πr h 3 Oberfl¨ ache AO = πr(r + s) √ L¨ ange der Mantellinie s = r2 + h2 Volumen
4.5
V =
Cavalierisches Prinzip
Wesentlich zur Berechnung des Volumens von Prismen, Zylindern, Pyramiden und Kegeln ist das cavalierische Prinzip (nach dem italienischen Mathematiker Bonaventura Cavalieri, 1591/1598 − 1647, ein Sch¨ uler Galileis): K¨ orper mit inhaltsgleichem Querschnitt in gleichen H¨ohen haben gleiches Volumen. Speziell gilt also: Prismen und Zylinder sowie Pyramiden und Kegel mit gleicher Grundfl¨ache und gleicher H¨ ohe haben jeweils gleiches Volumen.
4.6 4.6.1
Pyramidenstu ¨mpfe und Kegelstu ¨mpfe Pyramidenst¨ umpfe
Schneidet man von einer Pyramide durch einen Schnitt parallel zur Grundfl¨ache den oberen Teil ab, so ist der Restk¨ orper ein Pyramidenstumpf. Der abgeschnittene Teil heißt Erg¨anzungspyramide, sie ist zur ganzen Pyramide ¨ahnlich.
A1
h
A2 Abbildung 4.13 Pyramidenstumpf
Die Schnittfl¨ache heißt Deckfl¨ ache des Pyramidenstumpfes. Der Abstand von Grundfl¨ache und Deckfl¨ache ist die H¨ ohe des Pyramidenstumpfes. Grundfl¨ache und Deckfl¨ ache sind zueinander ¨ ahnlich. Die Seitenfl¨achen eines Pyramidenstumpfes sind Trapeze. ache, A1 der Fl¨acheninhalt der Deckfl¨ache und h Ist A2 der Fl¨acheninhalt der Grundfl¨ die H¨ohe, so gilt f¨ ur das Volumen V des Pyramidenstumpfes
162
4 Stereometrie
Volumen Pyramidenstumpf
V =
h A2 + A2 A1 + A1 3
Herleitung: Ist h2 die H¨ohe der Pyramide und h1 die H¨ ohe der Erg¨anzungspyramide, dann gilt f¨ ur das Volumen V des Pyramidenstumpfes V = 13 (A2 h2 − A1 h1 ). Wegen h = h2 − h1 folgt V = 13 [A2 (h + h1 ) − A1 h1 ]. Die Inhalte paralleler Schnittfl¨ achen verhalten √ sich wie √die Quadrate ihrer Abst¨ande von = h22 : h21 . Daraus folgt A2 : A1 = (h + h1 ) : h1 und nach h1 der Spitze: A2 : A1 √ h A1 √ . Einsetzen in die Volumengleichung ergibt: aufgel¨ost h1 = √ A2 − A1 √ √
1 h A1 h A1 √ √ V = − A1 √ A2 h + √ 3 A2 − A1 A2 − A1 √ √ √ √ h A2 A2 − A1 A1 h A22 − A1 A2 A1 + A2 A2 A1 − A21 √ √ = = 3 3 A2 − A1 A2 − A1
h A2 + A2 A1 + A1 = 3 √ √ Bei den letzten beiden Umformungen wurde mit A2 + A1 erweitert beziehungsweise Polynomdivision durchgef¨ uhrt. 4.6.2
Kegelst¨ umpfe
Eine Ebene, die einen Kegel parallel zur Grundfl¨ ache schneidet, zerlegt den Kegel in einen kleineren Kegel, den Erg¨ anzungskegel, und in einen Kegelstumpf. Die zur Grundfl¨ache parallele Fl¨ache der Oberfl¨ ache eines Kegelstumpfes ist seine Deckfl¨ache. Der Abstand von Grundfl¨ache und Deckfl¨ ache ist die H¨ ohe des Kegelstumpfes. Grundfl¨ache und Deckfl¨ ache sind zueinander ¨ ahnlich.
s1 h1
s2 r1
h2
s h r2
Abbildung 4.14 Kreiskegelstumpf
Ist r2 der Radius des Kreises der Grundfl¨ ache und r1 der Radius des Kreises der Deckfl¨ache sowie h die H¨ ohe eines Kreiskegelstumpfes, dann gilt f¨ ur das Volumen V des
4.7 Platonische K¨orper
163
Kreiskegelstumpfes Volumen Kreiskegelstumpf
V =
πh 2 r2 + r2 r1 + r12 3
Herleitung: Ist h2 die H¨ohe des Kreiskegels und h1 die H¨ ohe des Erg¨anzungskegels, dann gilt f¨ ur das Volumen V des Kreiskegelstumpfes V = 13 π(r22 h2 − r12 h1 ). Wegen h = h2 − h1 und r2 : r1 = h2 : h1 folgt durch korrespondierende Subtraktion hr1 ost h1 = . Einsetzen in die Volumen(r2 − r1 ) : r1 = h : h1 und nach h1 aufgel¨ r2 − r1 gleichung ergibt: 1 hr1 1 2 hr1
V = − r12 π r2 (h + h1 ) − r12 h1 = π r22 h + 3 3 r2 − r1 r2 − r1
πh r23 − r13 πh 2 πh r23 − r22 r1 + r22 r1 − r13 = = = r2 + r2 r1 + r12 3 r2 − r1 3 r2 − r1 3 Bei der letzten Umformung wurde Polynomdivision durchgef¨ uhrt. angen der Mantellinien eines geraden Kreiskegels und seines ErSind s2 und s1 die L¨ g¨anzungskegels, dann gilt f¨ ur den Kreiskegelstumpf s = s2 − s1 = (r2 − r1 )2 + h2 . Ist A2 der Fl¨acheninhalt der Grundfl¨ ache, A1 der Fl¨acheninhalt der Deckfl¨ache und AM der Fl¨acheninhalt der Mantelfl¨ ache, so folgt f¨ ur die Oberfl¨ache AO eines geraden Kreiskegelstumpfes: AO = A2 + A1 + AM = πr22 + πr12 + πs(r2 + r1 ) = πr2 (r2 + s) + πr1 (r1 + s) Oberfl¨ache gerader Kreiskegelstumpf
AO = πr2 (r2 + s) + πr1 (r1 + s)
Herleitung der Formel f¨ ur die Mantelfl¨ache AM : Es gilt s2 : s1 = r2 : r1 und s = s2 − s1 , woraus durch korrespondierende Subtraktion r1 s ost s1 = . Damit ergibt sich: s : s1 = (r2 − r1 ) : r1 folgt und nach s1 aufgel¨ r2 − r1 r1 s r1 s
AM = πr2 s2 − πr1 s1 = πr2 (s + s1 ) − πr1 s1 = πr2 s + − πr1 r2 − r1 r2 − r1 r2 s − r2 r1 s + r2 r1 s − r12 s r2 − r12 = π 2 = πs 2 = πs (r2 + r1 ) r2 − r1 r2 − r1
4.7
Platonische Ko ¨rper
Ein K¨orper, der von lauter Ebenen begrenzt wird, heißt Polyeder. Die Begrenzungsebenen sind die Fl¨ achen des Polyeders. Schnittlinien von Fl¨achen heißen Kanten des Polyeders. Die Kanten schneiden sich in den Ecken des Polyeders. Polyeder sind die dreidimensionale Verallgemeinerung von Polygonen: Ein Polygon wird von lauter Geraden begrenzt. Ein Polyeder heißt konvex, wenn mit zwei Punkten die gesamte Verbindungsstrecke der Punkte zum Polyeder geh¨ ort. Beispiele f¨ ur konvexe Polyeder sind Prismen und Pyramiden, deren Grundfl¨ ache konvex ist.
164
4 Stereometrie
F¨ ur konvexe Polyeder gilt der eulersche Polyedersatz, wobei e die Anzahl der Ecken, k die Anzahl der Kanten und f die Anzahl der Fl¨achen des konvexen Polyeders sind. Eulerscher Polyedersatz
e+f =k+2
Konvexe Polyeder, bei denen in jeder Ecke gleich viele Fl¨achen zusammenstoßen und alle Fl¨achen kongruente regul¨ are n-Ecke sind, heißen platonische K¨orper (nach dem griechischen Philosophen Platon, 427-347 v. u. Z.) oder konvexe regul¨are Polyeder. Es gibt insgesamt genau f¨ unf verschiedene Arten platonischer K¨orper: Tetraeder, W¨ urfel (anderer Name: Hexaeder), Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. In der Tabelle sind die wichtigsten Eigenschaften der platonischen K¨orper zusammengestellt (mit Kantenl¨ ange a).
Platonischer K¨ orper
Begrenzungs߬ achen
Anzahl Fl¨ achen in jeder Ecke
Anzahl Ecken
Anzahl Kanten
Tetraeder
4 gleichseitige Dreiecke
3
4
6
2 3 a 12
√ 2 3a
W¨ urfel
6 Quadrate
3
8
12
a3
6 a2
Oktaeder
8 gleichseitige Dreiecke
4
6
12
Dodekaeder
12 regul¨ are F¨ unfecke
3
20
30
Ikosaeder
20 gleichseitige Dreiecke
5
12
30
Ober߬ ache
Volumen
√
√
√ 2 3 a2
2 3 a 3
√ 15 + 7 5 3 a 4 √ 5(3 + 5) 3 a 12
3
√ 5(5 + 2 5) a2
√ 5 3 a2
Die Namen stammen aus dem Griechischen und geben die Anzahl der Fl¨achen der K¨ orper an. Das Tetraeder ( Vierfl¨ achner“) hat vier gleichseitige Dreiecke als Begren” zungsfl¨achen, der W¨ urfel oder das Hexaeder ( Sechsfl¨achner“) wird von sechs Quadraten ” begrenzt, das Oktaeder ( Achtfl¨ achner“) von acht gleichseitigen Dreiecken, das Dode” kaeder ( Zw¨olffl¨achner“) von zw¨ olf regul¨ aren F¨ unfecken und das Ikosaeder ( Zwanzig” ” fl¨ achner“) von zwanzig gleichseitigen Dreiecken. Weitere konvexe regul¨are Polyeder gibt es nicht.
4.7 Platonische K¨orper
165
Abbildung 4.15 Tetraeder
Abbildung 4.16 W¨ urfel (Hexaeder)
Abbildung 4.17 Oktaeder
Abbildung 4.18 Dodekaeder
Abbildung 4.19 Ikosaeder
166
4.8 4.8.1
4 Stereometrie
Kugeln Definitionen
Eine Kugel ist der geometrische Ort aller Punkte des Raumes, die von einem festen Punkt M einen konstanten Abstand r haben. Der Punkt M ist der Mittelpunkt und r der Radius der Kugel. Zur Unterscheidung von dem durch eine Kugel abgegrenzten Raum nennt man die Kugel selbst auch Kugel߬ ache.
Tangente Passante
Sekante
Durchmesser Radius
Sehne
Abbildung 4.20 Bezeichnungen an der Kugel
F¨ ur das Volumen V und die Oberfl¨ ache AO einer Kugel mit dem Radius r und dem Durchmesser d gilt 4 3 π πr = d3 3 6 Oberfl¨ ache AO = 4πr2 = πd2 Volumen
V =
Eine Kugel mit dem Radius r = 1 heißt Einheitskugel. Eine Kugel ist festgelegt durch den Mittelpunkt und einen weiteren Punkt oder durch vier Punkte (die nicht alle in einer Ebene liegen). Kugeln mit gleichem Mittelpunkt heißen konzentrisch. Jede die Kugel schneidende Ebene schneidet sie in einem Kreis. Geraden haben mit einer Kugelfl¨ ache entweder zwei Punkte, einen Punkt oder keinen Punkt gemeinsam. Eine Sekante s schneidet die Kugelfl¨ ache in zwei Punkten. Der zwischen den Punkten
4.8 Kugeln
167
gelegene Teil der Sekante heißt Sehne. Eine Sehne durch den Mittelpunkt heißt Durchmesser der Kugel. Durchmesser sind die gr¨ oßten Sehnen der Kugel, f¨ ur ihre L¨ange d gilt d = 2r. Eine Tangente t ber¨ uhrt die Kugel in einem Punkt. Im Ber¨ uhrungspunkt sind beliebig viele Tangenten m¨oglich; alle Tangenten zusammen spannen die Tangentialebene auf. Eine Passante p hat mit der Kugel keinen Punkt gemeinsam.
4.8.2
Kugelsegmente
Ein Kugelsegment oder Kugelabschnitt ist ein durch eine Ebene abgeschnittener Teil einer Kugel.
2r 2r − h
M ρ
h
Kugel kappe
Abbildung 4.21 Kugelsegment
Die Mantelfl¨ache des Kugelsegments heißt Kugelkappe. Ist r der Radius der Kugel, ρ der Radius des von der Ebene ausgeschnittenen Kreises und h die H¨ohe des Kugelsegments, dann gilt: Radius Schnittkreis
ρ=
h(2r − h)
1 1 πh(3ρ2 + h2 ) = πh2 (3r − h) 6 3 Fl¨acheninhalt Kugelkappe A = 2πrh
4.8.3
Volumen Kugelsegment
V =
Ober߬ ache Kugelsegment
AO = 2πrh + πρ2 = π(2rh + ρ2 )
Kugelsektoren
Einem Kugelsegment (Kugelabschnitt) ist ein Kegel zugeordnet, dessen Grundfl¨ache der Schnittkreis des Kugelsegments und dessen Spitze der Kugelmittelpunkt ist. Der Gesamtk¨orper aus Kugelsegment und zugeordnetem Kegel heißt Kugelsektor oder Kugelausschnitt.
168
4 Stereometrie M r r−h
ρ
h
Abbildung 4.22 Kugelsektor
Das Volumen V des Kugelsektors setzt sich aus dem Volumen des Kugelabschnitts und 2 2 dem des zugeordneten Kegels zusammen: V = π h3 (3r − h) + π ρ3 (r − h). Dabei ist r der Radius der Kugel, ρ der Radius des Schnittkreises und h die H¨ohe des Kugelsegments. Durch Einsetzen von ρ2 = h(2r − h) erh¨alt man V = 23 πr2 h. Die Oberfl¨ache AO des Kugelsektors ist die Summe der Fl¨acheninhalte von Kugelkappe und Kegelmantel: AO = 2πrh + πρr = πr(2h + ρ). 2 2 πr h 3 Oberfl¨ ache Kugelsektor AO = πr(2h + ρ) Volumen Kugelsektor
4.8.4
V =
Kugelschichten
Eine Kugelschicht ist der durch zwei zueinander parallelen Ebenen ausgeschnittene Teil einer Kugel. Die durch die beiden Ebenen ausgeschnittene Kugeloberfl¨ache, also die Mantelfl¨ache der Kugelschicht, heißt Kugelzone.
M r
ρ2 Kugelzone
ρ1
h h2 h1
Abbildung 4.23 Kugelschicht
Ist r der Radius der Kugel, ρ1 und ρ2 die Radien der von den parallelen Ebenen ausgeschnittenen Kreise und h die Dicke der Kugelschicht, dann gilt
4.8 Kugeln
169
Radien Schnittkreise
h1 (2r − h1 ) ρ2 = (h + h1 )(2r − h − h1 ) ρ1 =
1 πh(3ρ21 + 3ρ22 + h2 ) 6 Fl¨ acheninhalt Kugelzone A = 2πrh Volumen Kugelschicht
V =
Ober߬ ache Kugelschicht
AO = π(2rh + ρ21 + ρ22 )
5
Funktionen
5.1 5.1.1
Definition und Darstellungen von Funktionen Definitionen
Eine Abbildung oder Funktion f ist eine Zuordnung, die jeder Zahl x einer gegebenen Zahlenmenge D eine Zahl y einer Zahlenmenge W zuordnet. Die Zuordnung ist eindeutig, das heißt, jeder Zahl x wird genau eine Zahl y zugeordnet. Man schreibt daf¨ ur y = f (x) oder manchmal auch x → f (x). Man nennt f (x) das Bild von x und umgekehrt x das Urbild von f (x). Die Menge D heißt Urbildmenge, Definitionsmenge oder Definitionsbereich. Die Menge W , aus der die Bilder stammen, heißt Wertemenge oder Wertebereich. Die Menge der Bilder (also alle y-Werte zusammen) heißt Bildmenge, bezeichnet mit f (D). D
Definitionsbereich
W
Wertebereich
f (D)
Bildmenge
Die Elemente der Bildmenge nennt man Funktionswerte. Die Bildmenge f (D) ist eine Teilmenge des Wertebereichs W , und W ist eine Teilmenge der Menge IR der reellen Zahlen. f (D) ⊆ W ⊆ IR Eine Funktion besteht aus drei Teilen: der Zuordnungsvorschrift f , dem Definitionsbereich D und dem Wertebereich W . Zwei Funktionen sind genau dann gleich, wenn sowohl die Zuordnungsvorschriften als auch die Definitionsbereiche als auch die Wertebereiche u ¨ bereinstimmen. Beispiele: 1.
y = f (x) = 5x, D = IN, W = IN Die Zuordnungsvorschrift ist hier 5 mal“, das heißt, man muss jeden x-Wert mit 5 mul” tiplizieren, um den zugeh¨ origen Funktionswert y zu erhalten. F¨ ur x = 3 erh¨ alt man zum Beispiel y = f (3) = 5 · 3 = 15. Sowohl der Definitionsbereich als auch der Wertebereich sind die nat¨ urlichen Zahlen. F¨ ur die Bildmenge ergibt sich f (D) = {5, 10, 15, 20, . . .}.
2.
D = {−1, −2, −3, −4, −5}, W = {1, 2, 3, 4, . . . , 24, 25}, f (−1) = 1, f (−2) = 4, f (−3) = 9, f (−4) = 16, f (−5) = 25
3.
D = {−1, −2, −3, −4, −5}, W = {1, 2, 3, 4, 5}, f (−1) = 1, f (−2) = 2, f (−3) = 3, f (−4) = 4, f (−5) = 5
4.
y = f (x) = x + 2, D = IR, W = IR
Bemerkung: Man kann Abbildungen (Funktionen) auch allgemeiner als eine Zuordnung zwischen beliebigen Mengen (also nicht eingeschr¨ankt auf Zahlenmengen) definieren. A. Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn, DOI 10.1007/978-3-8348-8258-5_5, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
5.1 Definition und Darstellungen von Funktionen 5.1.2
171
Funktionsgleichung
Explizite Darstellung der Funktionsgleichung Die Zuordnungsvorschrift f¨ ur eine Funktion ist im Regelfall eine Gleichung, die Funktionsgleichung y = f (x) (gesprochen: y gleich f von x). Dabei heißt x unabh¨angige Variable und y abh¨angige Variable. Man nennt x auch das Argument der Funktion. Die Form y = f (x) heißt explizite Darstellung der Funktionsgleichung. Dar¨ uber hinaus gibt es die implizite Darstellung und die Parameterdarstellung der Funktionsgleichung (siehe unten). Funktionen k¨onnen aber zum Beispiel auch durch Tabellen, Schaubilder (Graphen), Pfeildiagramme oder geordnete Wertepaare (Wertetabelle) dargestellt werden. Fehlt bei einer Funktion die Angabe des Definitionsbereichs, so gilt D = IR. Fehlt bei einer Funktion die Angabe des Wertebereichs, so gilt ebenfalls W = IR. Die Schreibweise y = f (x), f : D → W f¨ ur eine Funktion bedeutet, dass y = f (x) die Funktionsgleichung ist, dass die Funktion den Definitionsbereich D und den Wertebereich W hat. y = f (x), f : D → W Beispiele: 1.
y = f (x) = x3 − 4x2 − x + 4, f : IR → IR
2.
4.
y = f (x) = x2 − 1, f : IR → IR x−3 y = f (x) = 2 , f : [1, 1] → IR (also D = [1, 1], W = IR) x −2 √ y = f (x) = x, f : IN → IR
5.
y = f (x) =
3.
⎧ ⎪ ⎨−1 falls x < 0 ⎪ ⎩
0
falls x = 0,
+1
falls x > 0
f : IR → IR
Eine Funktion mit der Funktionsgleichung y = f (x), deren Definitions- und Wertemenge nur reelle Zahlen enthalten, nennt man eine reelle Funktion einer reellen Variablen. Beispiele: 6. 7.
y = x2 , D = (−∞, ∞), W = [0, ∞) √ y = x, D = [0, ∞), W = [0, ∞)
Implizite Darstellung der Funktionsgleichung Die Darstellung einer Funktion in der Form F (x, y) = 0 heißt implizit, falls sich diese Gleichung eindeutig nach y aufl¨ osen l¨ asst. Statt impliziter Darstellung der Funktion sagt man auch einfach nur implizite Funktion. Beispiel: 8.
F (x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0, D = [−1, 1], y ≥ 0 Es handelt sich hierbei um die obere H¨ alfte des Einheitskreises mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung (vgl. Abschnitt 7.3.1). Man beachte, dass mit x2 + y 2 − 1 = 0 keine reelle Funktion definiert wird, denn die Zuordnung ist nicht eindeutig, da jedem Element des Definitionsbereichs zwei Werte zugeordnet werden (einer auf dem oberen Halbkreis und einer auf dem unteren Halbkreis).
172
5 Funktionen
Parameterdarstellung der Funktionsgleichung Die Darstellung einer Funktion in der Form x = ϕ(t), y = ψ(t) heißt Parameterdarstellung. Die Werte von x und y werden dabei jeweils als Funktion einer Hilfsvariablen t angegeben, die Parameter genannt wird. Die Funktionen ϕ(t) und ψ(t) m¨ ussen denselben Definitionsbereich haben. Beispiele: 9.
x = 2t + 5, y = 8t + 4, t ∈ IR Durch Elimination von t erh¨ alt man 4x − 20 = y − 4 ⇒ y = 4x − 16, also eine Geradengleichung (in expliziter Form) (vgl. Abschnitt 7.2.1).
10.
x = ϕ(t), y = ψ(t) mit x = cos t, y = sin t und 0 ≤ t ≤ π Hierbei handelt es sich um die obere H¨ alfte des Einheitskreises mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung, denn Quadrieren und Addieren ergibt x2 + y 2 = cos2 t + sin2 t = 1, und t durchl¨ auft den ersten und den zweiten Quadranten (vgl. Abschnitt 6).
5.1.3
Graph einer Funktion
Eine M¨oglichkeit der Funktionsdarstellung ist, den Graph der Funktion zu zeichnen. Der Graph einer Funktion f mit dem Definitionsbereich D ist das Bild, das man erh¨alt, wenn man die geordneten Zahlenpaare (x, y) = (x, f (x)) mit x ∈ D in ein Koordinatenkreuz eintr¨agt. Geordnet bedeutet, dass in (x, y) die Reihenfolge von x und y wichtig ist: (x, y) ist verschieden von (y, x) (außer m¨ oglicherweise in Sonderf¨allen). In einem kartesischen Koordinatensystem (siehe Abschnitt 7.1) ist die waagerechte Achse die x-Achse oder Abszissenachse, die senkrechte Achse ist die y-Achse oder Ordinatenachse. Die Zahl x ist die Abszisse und y die Ordinate eines Punktes (x|y) mit den Koordinaten x und y. Statt Graph einer Funktion sagt man auch Schaubild oder Kurve der Funktion. Bemerkung: Bei einem Zahlenpaar setzt man ein Komma oder ein Semikolon zwischen die beiden Komponenten: (x, y) oder (x; y). Bei der Darstellung eines Punktes setzt man einen senkrechten Strich zwischen die beiden Koordinaten: (x|y). Beispiel: Graph der Funktion mit der Funktionsgleichung y = f (x) = 2x + 1 und dem Definitionsbereich D = IR:
5.2 Verhalten von Funktionen
173 y 5 4
y = 2x + 1
3 2 1 0 −3 −2 −1 −1
1
2
3
x
−2 −3 Abbildung 5.1 Graph der Funktion mit der Gleichung y = f (x) = 2x + 1
5.1.4
Wertetabelle einer Funktion
Auch mittels einer Wertetabelle kann eine Funktion dargestellt werden. In einer Wertetabelle werden f¨ ur einige ausgew¨ahlte Argumente x die geordneten Zahlenpaare (x, y) = (x, f (x)) f¨ ur eine Funktion y = f (x) eingetragen. Dabei m¨ ussen die ausgew¨ahlten Werte f¨ ur x Elemente des Definitionsbereichs D der Funktion sein. Man stellt oftmals eine Wertetabelle auf, um den Graph einer Funktion zeichnen zu k¨ onnen. Beispiel: Wertetabelle f¨ ur die Funktion y = −x2 − 4x + 3, D = IR:
5.2 5.2.1
x
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
y
−2
3
6
7
6
3
−2
−9
Verhalten von Funktionen Monotone Funktionen
Eine Funktion mit der Gleichung y = f (x) heißt in einem bestimmten Bereich B (B ist eine Teilmenge des Definitionsbereichs D) • • •
monoton wachsend, wenn aus x1 < x2 stets f (x1 ) ≤ f (x2 ) folgt, streng monoton wachsend, wenn aus x1 < x2 stets f (x1 ) < f (x2 ) folgt, monoton fallend, wenn aus x1 < x2 stets f (x1 ) ≥ f (x2 ) folgt,
174
5 Funktionen
• streng monoton fallend, wenn aus x1 < x2 stets f (x1 ) > f (x2 ) folgt. Dabei sind x1 , x2 beliebige Punkte aus diesem Bereich B. Beispiele: 1.
f (x) = 3x, D = IR ist streng monoton wachsend in D.
y 5 4
y = 3x
3 2 1
−5 −4 −3 −2 −1 −1
0
1
2
3
4
5
x
−3 −4 −5 Abbildung 5.2 Graph der Funktion mit der Gleichung f (x) = 3x 2.
f (x) = 3, D = IR ist in D monoton wachsend (und monoton fallend).
y 5 4 y=3 2 1 0 −5 −4 −3 −2 −1 −1
1
2
3
4
5
x
−2 Abbildung 5.3 Graph der Funktion mit der Gleichung f (x) = 3
5.2 Verhalten von Funktionen 3.
175
f (x) = x2 , D = IR ist in B1 = {x|x ∈ D und x ≤ 0} streng monoton fallend und in B2 = {x|x ∈ D und x ≥ 0} streng monoton wachsend. y 6 y = x2
5 4 3 2 1 0 −5 −4 −3 −2 −1 −1
1
2
3
4
5
x
Abbildung 5.4 Graph der Funktion mit der Gleichung f (x) = x2
5.2.2
Symmetrische Funktionen
Der Graph einer Funktion mit der Gleichung y = f (x) ist symmetrisch zur y-Achse, wenn f (x) = f (−x) f¨ ur alle x ∈ D gilt. Eine solche Funktion heißt eine gerade Funktion. Der Graph einer Funktion y = f (x) ist symmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn f (−x) = −f (x) f¨ ur alle x ∈ D gilt. Eine solche Funktion heißt eine ungerade Funktion. Beispiele: 1.
f (x) = 2x4 + 1
y 6 y = 2x4 + 1
5 4 3 2 1 0 −5 −4 −3 −2 −1 −1
1
2
3
4
5
x
Abbildung 5.5 Graph der Funktion mit der Gleichung f (x) = 2x4 + 1
176
5 Funktionen Wegen f (−x) = 2(−x)4 + 1 = 2x4 + 1 = f (x) ist y = f (x) symmetrisch zur y-Achse, also eine gerade Funktion.
2.
f (x) = 2x3 − 3x Wegen f (−x) = 2(−x)3 − 3(−x) = −2x3 + 3x = −f (x) ist y = f (x) symmetrisch zum Koordinatenursprung, also eine ungerade Funktion.
y 6 5 y = 2x3 − 3x
4 3 2 1
−5
−4
−3
−2
0 −1 −1
1
2
3
4
5
x
−2 −3 −4 −5 −6 Abbildung 5.6 Graph der Funktion mit der Gleichung f (x) = 2x3 − 3x
3.
f (x) = x2 − x Wegen f (−x) = (−x)2 − (−x) = x2 + x, also f (x) = f (−x) und f (x) = −f (−x), ist y = f (x) weder eine gerade noch eine ungerade Funktion.
5.2 Verhalten von Funktionen
177 y 6 5 y = x2 − x
4 3 2 1 −5
−4
−3
−2
0 −1 −1
1
2
3
4
5
x
Abbildung 5.7 Graph der Funktion mit der Gleichung f (x) = x2 − x
5.2.3
Beschr¨ ankte Funktionen
Eine Funktion heißt nach oben beschr¨ ankt, wenn ihre Funktionswerte eine bestimmte Zahl nicht u ankt, wenn ihre Funktionswerte nicht klei¨ bertreffen, und nach unten beschr¨ ner als eine bestimmte Zahl sind. Eine Funktion, die sowohl nach oben als auch nach unten beschr¨ankt ist, heißt beschr¨ ankt. Bei einer beschr¨ankten Funktion y = f (x) existieren also reelle Zahlen a und b mit a < b, so dass gilt: a ≤ f (x) ≤ b
f¨ ur alle x ∈ D
Beispiele: 1.
ankt, denn y ≤ 1. y = 1 − x2 ist nach oben beschr¨
2.
ankt, denn y > 0. y = ex ist nach unten beschr¨ 4 ist beschr¨ ankt, denn 0 < y ≤ 4. y= 1 + x2
3.
5.2.4
Injektive Funktionen
Eine Funktion heißt injektiv, wenn jedes Bild genau ein Urbild besitzt. Bei einer injektiven Funktion geh¨ oren zu verschiedenen Argumenten also stets verschiedene Bilder. x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) Beispiele: Folgende Funktionen sind injektiv:
178
5 Funktionen
1.
D = {−1, −2, −3, −4, −5}, W = {1, 2, 3, 4, . . . , 24, 25}, f (−1) = 1, f (−2) = 4, f (−3) = 9, f (−4) = 16, f (−5) = 25
2.
D = {−1, −2, −3, −4, −5}, W = {1, 2, 3, 4, 5}, f (−1) = 1, f (−2) = 2, f (−3) = 3, f (−4) = 4, f (−5) = 5
3.
y = f (x) = x + 2, f : IR → IR (also D = W = IR) √ y = f (x) = x, f : IN → IR
4.
Folgende Funktionen sind nicht injektiv: 1.
y = f (x) = x3 − 4x2 − x + 4, f : IR → IR
2.
y = f (x) = x2 − 1, f : IR → IR
3.
y = f (x) =
x−3 , f : [1, 1] → IR (also D = [1, 1], W = IR) x2 − 2
⎧ ⎪ ⎨−1 falls x < 0 4.
y = f (x) =
5.2.5
⎪ ⎩
0
falls x = 0,
+1
falls x > 0
f : IR → IR
Surjektive Funktionen
Eine Funktion heißt surjektiv, wenn ihre Bildmenge gleich dem Wertebereich ist. f (D) = W Beispiele: Folgende Funktionen sind surjektiv: 1.
D = {−1, −2, −3, −4, −5}, W = {1, 2, 3, 4, 5}, f (−1) = 1, f (−2) = 2, f (−3) = 3, f (−4) = 4, f (−5) = 5
2.
y = f (x) = x + 2, f : IR → IR
3.
y = f (x) = x3 − 4x2 − x + 4, f : IR → IR
Folgende Funktionen sind nicht surjektiv: 1.
D = {−1, −2, −3, −4, −5}, W = {1, 2, 3, 4, . . . , 24, 25}, f (−1) = 1, f (−2) = 4, f (−3) = 9, f (−4) = 16, f (−5) = 25
2.
y = f (x) = x2 − 1, f : IR → IR
4.
x−3 , f : [1, 1] → IR x2 − 2 √ y = f (x) = x, f : IN → IR
5.
y = f (x) =
3.
y = f (x) =
⎧ ⎪ ⎨−1 falls x < 0 ⎪ ⎩
0
falls x = 0,
+1
falls x > 0
f : IR → IR
5.2 Verhalten von Funktionen 5.2.6
179
Bijektive Funktionen
Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Bei einer bijektiven Funktion ist also die Bildmenge gleich dem Wertebereich, und jedes Bild besitzt genau ein Urbild. Ist y = f (x), f : D → W eine bijektive Funktion, so sind die Mengen D und W gleich m¨ achtig, das heißt, sie besitzen gleich viele Elemente. Die bijektiven Funktionen besitzen eine Umkehrfunktion. Beispiele: Folgende Funktionen sind bijektiv: 1.
D = {−1, −2, −3, −4, −5}, W = {1, 2, 3, 4, 5}, f (−1) = 1, f (−2) = 2, f (−3) = 3, f (−4) = 4, f (−5) = 5
2.
y = f (x) = x + 2, f : IR → IR
Folgende Funktionen sind nicht bijektiv: 1.
D = {−1, −2, −3, −4, −5}, W = {1, 2, 3, 4, . . . , 24, 25}, f (−1) = 1, f (−2) = 4, f (−3) = 9, f (−4) = 16, f (−5) = 25
2.
y = f (x) = x3 − 4x2 − x + 4, f : IR → IR
3.
5.
y = f (x) = x2 − 1, f : IR → IR x−3 y = f (x) = 2 , f : [1, 1] → IR x −2 √ y = f (x) = x, f : IN → IR
6.
y = f (x) =
4.
⎧ ⎪ ⎨−1 falls x < 0
5.2.7
⎪ ⎩
0
falls x = 0,
+1
falls x > 0
f : IR → IR
Periodische Funktionen
Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Bedingung f (x + T ) = f (x) erf¨ ullt, wobei T eine Konstante (feste reelle Zahl) ist, heißt periodische Funktion. Die Gleichung f (x + T ) = f (x) gilt f¨ ur alle x aus dem Definitionsbereich. f (x + T ) = f (x) Die kleinste positive Zahl T mit dieser Eigenschaft heißt die Periode der Funktion. Den absolut gr¨oßten Funktionswert nennt man Amplitude der periodischen Funktion. Beispiele f¨ ur periodische Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen (vgl. Kapitel 6). 5.2.8
Umkehrfunktionen
Die Funktion, die durch Vertauschen von x und y aus einer bijektiven Funktion y = f (x) entsteht, heißt Umkehrfunktion oder inverse Funktion von y = f (x). Bei einer bijektiven Funktion y = f (x), f : D → W ist jedes Element y ∈ W Bild von genau einem Element x ∈ D. Man kann eine neue Funktion definieren, die jedem y ∈ W als Bild gerade das x ∈ D zuordnet, das Urbild von y ist. Diese Funktion leistet
180
5 Funktionen
das Umgekehrte wie f , ihr Definitionsbereich ist W , und ihr Wertebereich ist D. Man nennt diese Funktion daher die Umkehrfunktion von f und bezeichnet sie mit f −1 . y = f −1 (x), f −1 : W → D Versteht man unter der Schreibweise g(f (x)), dass man auf x die Zuordnungsvorschrift f und dann auf f (x) die Vorschrift g anwendet, so gilt f −1 (f (x)) = x und f (f −1(x)) = x. Zu einer streng monoton wachsenden oder streng monoton fallenden Funktion existiert die Umkehrfunktion. Bestimmung der Umkehrfunktion: 1. Aufl¨osen von y = f (x) nach x: x = f −1 (y) 2. Vertauschen von x und y: y = f −1 (x) Diesen Operationen entspricht die Spiegelung des Graphen der Funktion an der Winkelhalbierenden y = x. Beispiele: y = f (x) = 4x − 1, D = W = IR
4 3
= y
y 5
x
1 1 x + , D = W = IR 4 4
−1
Umkehrfunktion: y = f −1 (x) =
y=4 x
1.
2 1
−5
−3 −2 −1 −1
1x+ y= 4
1
2
3
4
1 4
5
−2
−5 Abbildung 5.8 Graphen der Funktionen von Beispiel 1
2.
y = f (x) = x2 , D = W = {x|x ∈ IR, x ≥ 0} √ Umkehrfunktion: y = f −1 (x) = x, D = W = {x|x ∈ IR, x ≥ 0}
x
5.2 Verhalten von Funktionen
181 y
y
3
=
y= 2 x
x
4
2
√x y=+
1
−2 −1 −1
0
1
2
3
x
4
−2 Abbildung 5.9 Graphen der Funktionen von Beispiel 2
3.
y = f (x) = ex , D = IR, W = IR+ Umkehrfunktion: y = f −1 (x) = ln x, D = IR+ , W = IR
4.
y = f (x) = 2x , D = IR, W = IR+ Umkehrfunktion: y = f −1 (x) = log2 x, D = IR+ , W = IR
y
4 3
y= x 2
y = ex
5
y
=
x
6
2
x log 2 y=
1
n y=l
−2 −1 −1
0
1
2
3
4
5
x
6
x
Abbildung 5.10 Graphen der Funktionen von Beispiel 3 und Beispiel 4
5.2.9
Reelle und komplexe Funktionen
Eine Funktion mit der Funktionsgleichung y = f (x), deren Definitions- und Wertebereich nur reelle Zahlen enthalten, nennt man eine reelle Funktion einer reellen Variablen.
182
5 Funktionen
Beispiele: 1. 2.
y = x2 , D = (−∞, ∞), W = [0, ∞) √ y = x, D = [0, ∞), W = [0, ∞)
Ist dagegen die unabh¨ angige Variable einer Funktionsgleichung eine komplexe Zahl z, dann wird durch w = f (z) eine komplexe Funktion einer komplexen Variablen beschrieben. Komplexe Funktionen werden in dem mathematischen Gebiet Funktionentheorie behandelt.
5.3
Einteilung der elementaren Funktionen
Eine elementare Funktion ist eine Funktion, deren Funktionsgleichung durch einen geschlossenen analytischen Ausdruck dargestellt werden kann. Elementare Funktionen sind durch Formeln definiert, die nur endlich viele mathematische Operationen mit der unabh¨ angigen Variablen x und den Koeffizienten enthalten. Man teilt die elementaren Funktionen in algebraische Funktionen und transzendente Funktionen ein. Bei algebraischen Funktionen lassen sich die Verkn¨ upfung der unabh¨angigen Variablen x und der abh¨angigen Variablen y in einer algebraischen Gleichung folgender Form darstellen, wobei p0 , p1 , . . . , pn Polynome in x beliebigen Grades sind. p0 (x) + p1 (x)y + p2 (x)y 2 + . . . + pn (x)y n = 0 Elementare Funktionen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent. Beispiele f¨ ur algebraische Funktionen:
3.
y = 3x2 + 4 2x y= 3 x + 2x − 1 √ y = 2x + 3
4.
3xy 3 − 4xy + x3 − 1 = 0 (hier also p0 (x) = x3 − 1, p1 (x) = −4x, p2 (x) = 0, p3 (x) = 3x)
1. 2.
Zu den transzendenten Funktionen geh¨ oren zum Beispiel die Exponentialfunktionen, die Logarithmusfunktionen und die trigonometrischen Funktionen. Beispiele f¨ ur transzendente Funktionen: 1.
y = ex
2.
y = sin x
3.
y = ln x
4.
y=
√ ln x + sin x x2 + 5
Die algebraischen Funktionen untergliedern sich in die rationalen Funktionen und in die irrationalen Funktionen. Eine rationale Funktion ist eine algebraische Funktion, f¨ ur die die Funktionsgleichung y = f (x) als eine explizite Formel angegeben werden kann, in der auf die unabh¨angige Variable x nur endlich viele rationale Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) angewandt werden.
5.3 Einteilung der elementaren Funktionen
183
Eine algebraische Funktion, die nicht rational ist, heißt irrational. Beispiele f¨ ur rationale Funktionen: 1 3 1. y = 3x − 4 2x2 − 3x + 5 2. y = 3 x + 3x2 − 2
Bei irrationalen Funktionen tritt die unabh¨ angige Variable auch unter einem Wurzelzeichen auf. Beispiele f¨ ur irrationale Funktionen: √ 1. y = 3x2 + 4 √ 2. y = 3 (x2 + 1) x
F¨ ur rationale Funktionen ist f (x) ein Polynom (dann ist y = f (x) eine ganze rationale Funktion) oder ein Quotient aus Polynomen (dann heißt y = f (x) eine gebrochene rationale Funktion). Ganze rationale Funktionen lassen sich also darstellen in folgender Form mit a0 , a1 , a2 , . . . , an−1 , an ∈ IR, an = 0, n ∈ ZZ, n ≥ 0. y = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 =
n
ak xk
k=0
Ist n der Grad des Polynoms, so nennt man die Funktion ganze rationale Funktion n-ten Grades. Bei ganzen rationalen Funktionen werden auf die unabh¨angige Variable x nur die Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation angewandt. Ganze rationale Funktionen vom Grad 0 (y = a0 ) nennt man konstante Funktionen, vom Grad 1 (y = a1 x+a0 ) lineare Funktionen, vom Grad 2 (y = a2 x2 +a1 x+a0 ) quadratische Funktionen und vom Grad 3 (y = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 ) kubische Funktionen. Konstante Funktionen
y = a0
Lineare Funktionen
y = a1 x + a0
Quadratische Funktionen
y = a2 x2 + a1 x + a0
Kubische Funktionen
y = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
Beispiele f¨ ur ganze rationale Funktionen: 1. 2.
y = 23x4 − 12x + 4 11 23 12 y= x − 11x17 − 12x9 − πx6 − √ x − 2 12 5
3.
y = 1 − 3x + x6 − 2x2
4.
y = −7 (konstante Funktion)
5.
y = 3x − 4π (lineare Funktion)
6.
y = x2 − x + 1 (quadratische Funktion)
7.
y = 4x3 − 2x + 5 (kubische Funktion)
18