Mathematik zum Studienbeginn, 10. Auflage

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Arnfried Kemnitz Mathematik zum Studienbeginn

Arnfried Kemnitz

Mathematik zum Studienbeginn Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge 10., aktualisierte Auflage STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Prof. Dr. Arnfried Kemnitz Computational Mathematics Technische Universität Braunschweig Pockelsstr. 14 38106 Braunschweig [email protected]

1. Auflage 1998 2., verbesserte Auflage 1999 3., durchgesehene Auflage 2000 4., durchgesehene Auflage 2001 5., verbesserte Auflage 2002 6., überarbeitete Auflage 2004 7., überarbeitete Auflage 2006 1 Nachdruck 2009 8., überarbeitete Auflage 2009 9., überarbeitete und erweiterte Auflage 2010 10., aktualisierte Auflage 2011 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Barbara Gerlach Vieweg +Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: AZ Druck und Datentechnik, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8348-1741-9

Vorwort zur 1. Auﬂage Die Mathematik ist ein wichtiges Grundlagenfach f¨ ur viele Studieng¨ange an Fachhochschulen, Technischen Hochschulen und Universit¨aten. Studierende vieler Fachrichtungen ben¨otigen zum Beginn ihres Studiums gute mathematische Grundkenntnisse. Dieses Buch wendet sich an Studentinnen und Studenten ingenieurwissenschaftlicher, technischer, wirtschaftswissenschaftlicher und mathematisch-naturwissenschaftlicher Studieng¨ange sowie an Lehramtsstudierende. Eine internationale Studie von TIMSS (Third International Mathematics and Science Study), deren Ergebnisse im Fr¨ uhjahr dieses Jahres ver¨oﬀentlicht wurden, zum Wissensstand in Mathematik von Sch¨ ulern der Abschlussklassen in 24 europ¨aischen und außereurop¨aischen L¨ andern hat gezeigt, dass die deutschen Sch¨ uler nur einen Platz im unteren Mittelfeld einnehmen. Zum Beispiel hatten 30 % der befragten deutschen Sch¨ uler Schwierigkeiten beim Auﬂ¨ osen von Gleichungen mit einer Unbekannten. Auch eigene Lehrerfahrungen in mathematischen Grundvorlesungen an der Technischen Universit¨at Braunschweig zeigen, dass viele Studienbeginnerinnen und Studienbeginner Anfangsschwierigkeiten haben, wof¨ ur es eine Reihe unterschiedlicher Ursachen gibt. Viele dieser Schwierigkeiten beruhen darauf, dass der Schulstoﬀ, der an den Hochschulen und Universit¨aten vorausgesetzt wird, nicht sicher beherrscht wird. Nicht selten f¨ uhren solche Probleme in den mathematischen Grundlagen sogar zum Studienabbruch. Das Buch will helfen, solche Anfangsschwierigkeiten zu vermeiden. Es enth¨alt als einen ¨ Schwerpunkt einen Uberblick des Schulstoﬀs. Vor allem die f¨ ur die Mathematikausbildung des Studiums wichtigen Gebiete sind ausf¨ uhrlich und mit vielen Beispielen dargestellt. Die Grundlagen der Mathematik werden systematisch und methodisch aufbereitet pr¨asentiert. Das Buch eignet sich deshalb sehr gut zum Selbststudium f¨ ur die Vorbereitung auf das Hochschulstudium. An vielen Hochschulen und Universit¨ aten ﬁnden vor Beginn eines Wintersemesters Vorkurse oder Br¨ uckenkurse in Mathematik statt. Diese Kurse wenden sich an Studienbeginner aller Mathematik anwendenden Fachrichtungen, vor allem also an die ingenieurwissenschaftlichen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studieng¨ange. In diesen Kursen sollen die f¨ ur das Studium erforderlichen Kenntnisse in Mathematik aufgefrischt bzw. vervollst¨ andigt werden. Dieses Buch eignet sich wegen der grundlegenden Begriﬀserl¨ auterungen mit vielen Beispielen sehr gut als Begleitbuch f¨ ur einen solchen Br¨ uckenkurs oder Vorkurs. Dar¨ uber hinaus werden als weiterer Schwerpunkt mathematische Grundlagen f¨ ur die Anfangssemester behandelt wie Analytische Geometrie und Diﬀerential- und Integralrechnung. Deshalb ist das Buch auch als begleitendes Lehr- und Handbuch f¨ ur die Grundvorlesungen von großem Interesse. Alle behandelten Themen sind durchg¨ angig verst¨andlich dargestellt. Zahlreiche Beispiele sollen die Kenntnisse vertiefen, viele Abbildungen sollen mathematische Objekte visualisieren und Ergebnisse veranschaulichen. Großer Wert wurde auf Anschaulichkeit gelegt.

vi Die einzelnen Abschnitte k¨ onnen weitgehend unabh¨angig voneinander durchgearbeitet werden, Verweise erleichtern das Auﬃnden notwendiger Begriﬀserl¨auterungen. Das Buch eignet sich auch gut als Nachschlagewerk f¨ ur die Grundlagen der Mathematik, eben als das Mathematikbuch zum Studienbeginn. F¨ ur Studierende ingenieurwissenschaftlicher Fachbereiche sind die im gleichen Verlag erschienenen Werke Das Techniker Handbuch“ (Hrsg. A. B¨oge), Vieweg Handbuch ” ” Elektrotechnik“ (Hrsg. W. B¨ oge) sowie Vieweg Lexikon Technik“ (Hrsg. A. B¨oge) von ” großem Interesse, deren Mathematikabschnitte von Dr. F. Kemnitz bzw. vom Autor dieses Buches geschrieben wurden. Der Autor bedankt sich bei Frau U. Schmickler-Hirzebruch vom Verlag Vieweg f¨ ur die gute Zusammenarbeit. Mein besonderer Dank gilt meinen Kollegen Dr. W. Oelke, C. Th¨ urmann und Dr. H. Weiß f¨ ur die Mithilfe bei der Erstellung der reproduktionsf¨ahigen Druckvorlage.

Braunschweig, im August 1998

Arnfried Kemnitz

Vorwort zur 2. Auﬂage Nur wenige Monate nach Einf¨ uhrung erscheint eine 2. Auﬂage dieses Buches. Dies zeigt, dass das Konzept der Mathematik zum Studienbeginn“ von den Lesern angenommen ” wird. F¨ ur zahlreiche Zuschriften mit konstruktiven Bemerkungen bedanke ich mich. Einige der Hinweise sind in dieser Auﬂage ber¨ ucksichtigt. Auf mehrfachen Wunsch ist das Kapitel u ¨ ber Kombinatorik erweitert worden.

Braunschweig, im Mai 1999

Arnfried Kemnitz

Der Text f¨ ur die 4. Auﬂage wurde durchgesehen, Druckfehler wurden korrigiert.

Braunschweig, im Oktober 2001

Arnfried Kemnitz

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Vorwort zur 5. Auﬂage Der Text wurde weiter verbessert und an die neue Rechtschreibung angepasst. Dabei wurden an verschiedenen Stellen auch Hinweise und Vorschl¨age von Lesern aufgegriﬀen und ber¨ ucksichtigt. Der Autor bedankt sich f¨ ur den sehr guten Zuspruch und die zahlreichen ¨außerst positiven Reaktionen auf das Buch. Die Pisa-Studie hat deutlich aufgezeigt, dass ausreichende mathematische Kenntnisse, die f¨ ur zahlreiche Studieng¨ ange notwendig sind, zum Studienbeginn nicht unbedingt vorausgesetzt werden k¨onnen. Es ist ein Hauptziel der Mathematik zum Studienbeginn“, ma” thematische Verst¨andnis- und Wissensl¨ ucken zu schließen, um das Studium gut ger¨ ustet beginnen zu k¨onnen. Braunschweig, im Oktober 2002

Arnfried Kemnitz

Vorwort zur 6. Auﬂage Der Text f¨ ur die 6. Auﬂage wurde in Teilen u ¨ berarbeitet, wobei eigene aktuelle Lehrerfahrungen eingeﬂossen sind. Außerdem wurden wieder einige Vorschl¨age von Lesern ber¨ ucksichtigt. Zudem wurde ein Großteil der Abbildungen elektronisch neu erstellt. Mein Dank gilt meinen Mitarbeitern Dr. J.-P. Bode und M. Marangio f¨ ur ihre Unterst¨ utzung dabei. Braunschweig, im Juli 2004

Arnfried Kemnitz

Vorwort zur 10. Auﬂage F¨ ur die 10. Auﬂage wurden verschiedene Textteile u ¨berarbeitet und einige inhaltliche ¨ Anderungen und Verbesserungen vorgenommen. Braunschweig, im Mai 2011

Arnfried Kemnitz

Inhaltsverzeichnis 1 Arithmetik 1.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Aussageformen und logische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Logische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Vollst¨ andige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Einteilung der Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Grundrechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Grundlegende Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Buchstabenrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Kehrwert, Quersumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Teilbarkeitsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Punktrechnung vor Strichrechnung . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Potenzrechnung vor Punktrechnung . . . . . . . . . . . . . 1.5.6 Grundgesetze der Addition und Multiplikation . . . . . . . 1.5.7 Grundregeln der Klammerrechnung . . . . . . . . . . . . . . 1.5.8 Multiplikation mit Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.9 Indizes, Summenzeichen, Produktzeichen . . . . . . . . . . 1.5.10 Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.11 Division mit Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Deﬁnitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Erweitern und K¨ urzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Br¨ uche . . . . . . 1.6.4 Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Br¨ uche . . . . 1.6.5 Multiplizieren von Br¨ uchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.6 Dividieren von Br¨ uchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Potenz- und Wurzelrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Deﬁnition der Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Regeln der Potenzrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Deﬁnition der Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.4 Regeln der Wurzelrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Dezimalzahlen und Dualzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Dezimalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 Dualsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Runden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Deﬁnition des Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.2 Spezielle Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.3 Regeln der Logarithmenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.4 Zusammenhang von Logarithmen mit verschiedenen Basen 1.9.5 Dekadische Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 2 2 2 3 4 6 7 7 7 7 8 8 9 9 10 11 12 13 13 13 14 15 15 16 17 17 17 19 21 22 26 26 27 28 28 28 29 30 31 32 32

x 1.10.1 Arithmetisches Mittel . . . . . . . . . . . . . 1.10.2 Geometrisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . 1.10.3 Harmonisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . 1.10.4 Quadratisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.1 Deﬁnitionen und Rechenregeln . . . . . . . . 1.11.2 Absolutbetrag . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.3 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.1 Algebraische Form . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.2 Trigonometrische Form . . . . . . . . . . . . 1.12.3 Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen 1.12.4 Multiplizieren komplexer Zahlen . . . . . . . 1.12.5 Dividieren komplexer Zahlen . . . . . . . . . 1.12.6 Potenzieren komplexer Zahlen . . . . . . . . . 1.12.7 Radizieren komplexer Zahlen . . . . . . . . . 1.12.8 Eulersche Formel . . . . . . . . . . . . . . . .

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32 33 33 33 34 34 35 36 37 37 39 40 41 42 43 44 46

2 Gleichungen 2.1 Gleichungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 2.2 Aquivalente Umformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Proportionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Deﬁnitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 L¨osungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Satz von Vi¨eta f¨ ur quadratische Gleichungen . . . 2.6 Algebraische Gleichungen h¨ oheren Grades . . . . . . . . . 2.6.1 Kubische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Gleichungen vierten Grades . . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Gleichungen n-ten Grades . . . . . . . . . . . . . . 2.6.5 Satz von Vi¨eta f¨ ur Gleichungen n-ten Grades . . . 2.7 Auf algebraische Gleichungen zur¨ uckf¨ uhrbare Gleichungen 2.7.1 Bruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Transzendente Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 Logarithmische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . 2.8.3 Trigonometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . 2.9 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1 Deﬁnitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.2 Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen . . . 2.9.3 Drei lineare Gleichungen mit drei Variablen . . . . 2.9.4 Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . 2.10 Lineare Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.1 Deﬁnitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.2 Lineare Ungleichungen mit einer Variablen . . . .

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48 48 50 52 53 54 54 55 60 60 60 62 64 67 68 70 70 71 73 73 74 75 76 76 76 80 81 92 92 93

xi 2.10.3 Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . 2.10.4 Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen . . . . . . . . . . 3 Planimetrie 3.1 Geraden und Strecken . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal . . 3.4 Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 3.5 Geometrische Orter . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Allgemeine Dreiecke . . . . . . . . . . . 3.6.2 Gleichschenklige Dreiecke . . . . . . . . 3.6.3 Gleichseitige Dreiecke . . . . . . . . . . 3.6.4 Rechtwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . 3.6.5 Besondere Geraden, Strecken und Kreise 3.6.6 Fl¨achens¨ atze im rechtwinkligen Dreieck 3.6.7 Kongruenz von Dreiecken . . . . . . . . 3.6.8 Grundkonstruktionen des Dreiecks . . . 3.7 Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Allgemeine Vierecke . . . . . . . . . . . 3.7.2 Trapeze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3 Parallelogramme . . . . . . . . . . . . . 3.7.4 Rhomben . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.5 Rechtecke . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.6 Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.7 Drachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.8 Sehnenvierecke . . . . . . . . . . . . . . 3.7.9 Tangentenvierecke . . . . . . . . . . . . 3.8 Regul¨are n-Ecke . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.1 Deﬁnitionen . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.2 Kreissektoren . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.3 Kreissegmente . . . . . . . . . . . . . . 3.10.4 Kreise und Geraden . . . . . . . . . . . 3.10.5 Winkels¨ atze am Kreis . . . . . . . . . . 3.10.6 Eigenschaften von Sekanten und Sehnen 3.10.7 Tangentenkonstruktionen . . . . . . . . 3.10.8 S¨ atze u ¨ ber Sehnen, Sekanten, Tangenten 3.10.9 Bogenmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11.1 Punktsymmetrie . . . . . . . . . . . . . 3.11.2 Achsensymmetrie . . . . . . . . . . . . . ¨ 3.12 Ahnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12.1 Zentrische Streckung . . . . . . . . . . . 3.12.2 Strahlens¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 3.12.3 Ahnliche Figuren . . . . . . . . . . . . . 3.12.4 Streckenteilungen . . . . . . . . . . . . .

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94 96 98 98 99 103 106 107 107 107 110 110 111 111 115 118 120 123 123 125 125 126 127 127 128 129 130 130 132 133 133 135 136 137 138 139 139 141 143 144 144 144 144 144 145 147 148

xii 4 Stereometrie 4.1 Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Allgemeine Prismen . . . . . . . 4.1.2 Parallelepiped und W¨ urfel . . . . 4.2 Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Allgemeine Zylinder . . . . . . . 4.2.2 Gerade Kreiszylinder . . . . . . . 4.2.3 Hohlzylinder . . . . . . . . . . . 4.3 Pyramiden . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Allgemeine Pyramiden . . . . . . 4.3.2 Gerade quadratische Pyramiden 4.4 Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Allgemeine Kegel . . . . . . . . . 4.4.2 Gerade Kreiskegel . . . . . . . . 4.5 Cavalierisches Prinzip . . . . . . . . . . 4.6 Pyramidenst¨ umpfe und Kegelst¨ umpfe . 4.6.1 Pyramidenst¨ umpfe . . . . . . . . 4.6.2 Kegelst¨ umpfe . . . . . . . . . . . 4.7 Platonische K¨ orper . . . . . . . . . . . . 4.8 Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Deﬁnitionen . . . . . . . . . . . . 4.8.2 Kugelsegmente . . . . . . . . . . 4.8.3 Kugelsektoren . . . . . . . . . . . 4.8.4 Kugelschichten . . . . . . . . . .

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152 152 152 153 154 154 155 156 157 157 158 159 159 160 161 161 161 162 163 166 166 167 167 168

5 Funktionen 5.1 Deﬁnition und Darstellungen von Funktionen . . 5.1.1 Deﬁnitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Funktionsgleichung . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Graph einer Funktion . . . . . . . . . . . 5.1.4 Wertetabelle einer Funktion . . . . . . . . 5.2 Verhalten von Funktionen . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Monotone Funktionen . . . . . . . . . . . 5.2.2 Symmetrische Funktionen . . . . . . . . . 5.2.3 Beschr¨ ankte Funktionen . . . . . . . . . . 5.2.4 Injektive Funktionen . . . . . . . . . . . . 5.2.5 Surjektive Funktionen . . . . . . . . . . . 5.2.6 Bijektive Funktionen . . . . . . . . . . . . 5.2.7 Periodische Funktionen . . . . . . . . . . 5.2.8 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . 5.2.9 Reelle und komplexe Funktionen . . . . . 5.3 Einteilung der elementaren Funktionen . . . . . . 5.4 Ganze rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Konstante Funktionen . . . . . . . . . . . 5.4.2 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . 5.4.4 Kubische Funktionen . . . . . . . . . . . . 5.4.5 Ganze rationale Funktionen n-ten Grades

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170 170 170 171 172 173 173 173 175 177 177 178 179 179 179 181 182 185 185 186 190 198 199

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202 203 203 210 213 216 216 217

6 Trigonometrie 6.1 Deﬁnition der trigonometrischen Funktionen . . . . 6.2 Trigonometrische Funktionen f¨ ur beliebige Winkel 6.3 Beziehungen f¨ ur den gleichen Winkel . . . . . . . . 6.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen . . . . 6.5 Reduktionsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Sinussatz und Kosinussatz . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Grundaufgaben der Dreiecksberechnung . . . . . . 6.9 Arkusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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220 220 223 225 226 228 229 232 233 237

7 Analytische Geometrie 7.1 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Kartesisches Koordinatensystem der Ebene . . . . . . . . . . 7.1.2 Polarkoordinatensystem der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten . 7.1.4 Kartesisches Koordinatensystem des Raums . . . . . . . . . . 7.1.5 Kugelkoordinatensystem des Raums . . . . . . . . . . . . . . 7.1.6 Zylinderkoordinatensystem des Raums . . . . . . . . . . . . . 7.2 Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Geradengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Abst¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Kreisgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Berechnung von Kreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Kreis und Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Ellipsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2 Hyperbeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.3 Parabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Graphisches L¨ osen von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1 Deﬁnitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar . . . . . . . . . 7.7.3 Addition und Subtraktion zweier Vektoren . . . . . . . . . . 7.7.4 Komponentendarstellung von Vektoren in der Ebene . . . . . 7.7.5 Komponentendarstellung von Vektoren im Raum . . . . . . . 7.7.6 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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241 241 241 242 243 245 246 247 248 248 254 255 255 258 259 264 265 267 271 276 280 285 290 290 290 291 292 293 295

5.5

5.6 5.7

5.4.6 Horner-Schema . . . . . . . . Gebrochene rationale Funktionen . . 5.5.1 Nullstellen, Pole, Asymptoten 5.5.2 Partialbruchzerlegung . . . . Irrationale Funktionen . . . . . . . . Transzendente Funktionen . . . . . . 5.7.1 Exponentialfunktionen . . . . 5.7.2 Logarithmusfunktionen . . .

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xiv 7.7.7 7.7.8

Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

8 Diﬀerential- und Integralrechnung 8.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Grundbegriﬀe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Arithmetische Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Geometrische Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.4 Grenzwert einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.5 Tabelle einiger Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.6 Divergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Deﬁnitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Arithmetische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Geometrische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Harmonische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.5 Alternierende Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Grenzwert an einer endlichen Stelle . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Einseitige Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Grenzwert im Unendlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.4 Rechenregeln f¨ ur Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.5 Unbestimmte Ausdr¨ ucke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.6 Stetigkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.7 Unstetigkeitsstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Deﬁnitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Diﬀerentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.3 H¨ohere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4 Ableitungen einiger algebraischer Funktionen . . . . . . . 8.4.5 Ableitungen einiger transzendenter Funktionen . . . . . . 8.4.6 Sekanten und Tangenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.7 Extremwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.8 Kr¨ ummungsverhalten von Funktionen . . . . . . . . . . . 8.4.9 Wendepunkte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.10 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.11 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.12 N¨aherungsverfahren zur Nullstellenbestimmung . . . . . . 8.5 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.3 Unbestimmte Integrale einiger algebraischer Funktionen . 8.5.4 Unbestimmte Integrale einiger transzendenter Funktionen 8.5.5 Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.6 Hauptsatz der Diﬀerential- und Integralrechnung . . . . . 8.5.7 Eigenschaften des bestimmten Integrals . . . . . . . . . . 8.5.8 Einige Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . 8.6 Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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300 300 300 301 302 302 303 304 305 305 308 308 309 310 311 311 312 313 314 314 315 316 318 318 320 323 324 324 328 329 330 332 333 334 336 338 338 339 343 344 345 347 347 349 354

xv 8.6.1 8.6.2 8.6.3

Deﬁnitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

9 Kombinatorik 9.1 Kombinatorische Grundprinzipien . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Fakult¨aten, Binomialkoeﬃzienten und Pascalsches Dreieck 9.3 Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Permutationen und Variationen . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Permutationen mit eingeschr¨ ankter Wiederholung . . . . . 9.7 Multinomialsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8 Prinzip der Inklusion und Exklusion . . . . . . . . . . . .

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366 366 368 370 371 373 376 377 378

10 Wahrscheinlichkeitsrechnung 10.1 Zuf¨allige Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Absolute und relative H¨ auﬁgkeit von Ereignissen 10.3 Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Axiomatische Deﬁnition der Wahrscheinlichkeit . 10.5 Klassische Deﬁnition der Wahrscheinlichkeit . . . 10.6 Bedingte Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . 10.7 Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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381 381 383 384 390 392 397 400

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A Symbole und Bezeichnungsweisen

404

B Mathematische Konstanten

408

C Das griechische Alphabet

409

Literaturverzeichnis

411

Sachwortverzeichnis

412

1 1.1

Arithmetik Mengen

Die in der Mathematik betrachteten Gegenst¨ ande werden oftmals durch Symbole, meistens Buchstaben, bezeichnet. Dabei kennzeichnen manche Symbole feste Dinge, zum Beispiel π das Verh¨ altnis zwischen Umfang und Durchmesser eines beliebigen Kreises. Andere Symbole sind Ver¨ anderliche (auch Variable oder Platzhalter genannt), das heißt, sie k¨onnen jeden Gegenstand einer Klasse von Gegenst¨anden bezeichnen. In der Mathematik wird jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten zu einer Gesamtheit eine Menge genannt. Eine Menge ist deﬁniert, wenn feststeht, welche Objekte zu dieser Menge geh¨ oren und welche nicht. Die zur Menge geh¨orenden Objekte heißen ihre Elemente. Mengen werden meistens mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet und die Elemente mit kleinen Buchstaben. Es gibt zwei M¨oglichkeiten, Mengen zu deﬁnieren: • Durch Aufz¨ahlen ihrer Elemente, die in beliebiger Reihenfolge zwischen geschweiften Klammern (Mengenklammern) gesetzt sind und durch Kommata getrennt werden (Schreibweise: {Element 1, Element 2, . . . }). • Durch Angabe einer die Elemente charakterisierenden Eigenschaft (Schreibweise: {x|x erf¨ ullt Eigenschaft}). Eine Menge von Punkten heißt Punktmenge. Beispiele: 1. A = {1, 2, 3} (die Menge A besteht aus den Elementen 1,2 und 3) 2. B = {x|x2 − 1 = 0} (die Menge B besteht aus den Elementen x, f¨ ur die x2 − 1 = 0 gilt) 2 osungen x = 1 und x = −1 besitzt, kann man die Menge 3. B = {1, −1} (da x − 1 = 0 die L¨ B auch in dieser Form schreiben) 4. C = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} (die Menge C besteht aus den Elementen −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5)

Geh¨ort ein Objekt a einer Menge M an, so schreibt man a ∈ M (gelesen: a ist Element von M ). Geh¨ort a nicht zu M , so schreibt man a ∈ M. Wenn jedes Element einer Menge M auch Element einer Menge N ist, so nennt man M Teilmenge von N und schreibt M ⊆ N . Nach dieser Deﬁnition ist oﬀenbar jede Menge Teilmenge von sich selbst. Die leere Menge ∅ = {} enth¨ alt kein Element. Beispiele: 2 ∈ A; 2 ∈ C; 4 ∈ C; 4 ∈ A; A ⊆ C; ∅ = {x|x = x}

Die Vereinigung A ∪ B zweier Mengen A und B besteht aus denjenigen Elementen, die in A oder in B, also in mindestens einer der beiden Mengen A, B enthalten sind: A ∪ B = {x|x ∈ A oder x ∈ B} Der Durchschnitt A ∩ B zweier Mengen A und B besteht aus denjenigen Elementen, die sowohl in A als auch in B, also gleichzeitig in beiden Mengen A, B enthalten sind: A ∩ B = {x|x ∈ A und x ∈ B} A. Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn, DOI 10.1007/978-3-8348-8258-5_1, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

2

1 Arithmetik

Beispiel: A = {1, 2, 3}, B = {1, −1};

A ∪ B = {−1, 1, 2, 3}, A ∩ B = {1}

Eine Menge heißt endlich, wenn sie nur endlich viele Elemente besitzt. Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge M heißt M¨ achtigkeit der Menge, bezeichnet mit |M |. Beispiele: 1.

M = {2, 4, 6, 8, 10} ⇒ |M | = 5

2.

M = {1, 2, 3, . . . , 99, 100} ⇒ |M | = 100

1.2 1.2.1

Aussageformen und logische Zeichen Aussageformen

Eine Aussageform ist ein mathematischer Ausdruck, in dem Variable vorkommen. Aussageformen erhalten einen Wahrheitswert, wenn allen in ihnen vorkommenden Variablen ein Wert zugeordnet wird. Beispiele: 1.

Die Aussageform x − 3 = 5“ wird zu einer wahren Aussage, wenn man f¨ ur x die Zahl 8 ” einsetzt (x = 8 ist die L¨ osung der Gleichung).

2.

Die Aussageform x2 = 1“ wird zu einer wahren Aussage, wenn man f¨ ur x die Zahl 1 oder ” osungen der quadratischen Gleichung). −1 einsetzt (x1,2 = ±1 sind die L¨

3.

Die Aussageform x + 1 = 3“ wird zu einer falschen Aussage, wenn man f¨ ur x die Zahl 1 ” einsetzt (denn die L¨ osung der Gleichung ist x = 2).

1.2.2

Logische Zeichen

In der Mathematik ist es h¨ auﬁg sinnvoll, kompliziertere Aussagen mit Hilfe logischer Zeichen zu formalisieren. Sind A und B Aussagen, dann bedeutet A ∧ B, dass A und B gelten, A ∨ B, dass A oder B gilt, ¬A (nicht A), dass das Gegenteil von A gilt, A ⇒ B, dass B aus A folgt, A ⇔ B, dass sowohl A ⇒ B als auch B ⇒ A gelten. Die logischen Zeichen bezeichnet man auch als Junktoren. Das Symbol ∨ ist das nicht ausschließende Oder (also nicht entweder ... oder). Eine Aussage A ⇒ B heißt eine Implikation, man sagt: A impliziert B. Man nennt A die Pr¨amisse, B die Konklusion. Die Pr¨ amisse enth¨alt die Voraussetzungen, unter denen die Aussage B gilt. Gilt A ⇔ B, so sagt man, die beiden Aussagen A und B sind ¨aquivalent oder gleichwertig. Beispiele: 1.

F¨ ur eine nat¨ urliche Zahl n ist die Implikation 6 teilt n ⇒ 2 teilt n“ wahr. Die umgekehrte ” Implikation gilt nicht.

2.

6 teilt n“ und 2 teilt n und 3 teilt n“ sind zwei ¨ aquivalente Aussagen. ” ”

1.2 Aussageformen und logische Zeichen 1.2.3

3

Vollst¨ andige Induktion

Mathematische Aussagen m¨ ussen in der Regel bewiesen werden. Neben direkten Beweisen und Widerspruchsbeweisen ist eine h¨ auﬁg verwendete Beweismethode die vollst¨andige Induktion. Dieses Beweisverfahren l¨ asst sich bei Aussagen u urliche Zahlen (vgl. ¨ ber nat¨ Abschnitt 1.3) anwenden. Ein Beweis mit vollst¨ andiger Induktion, dass eine Aussage A(n) (eine Eigenschaft oder eine Formel) f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen n ≥ m (also von m an) richtig ist, besteht aus drei Schritten: 1. Induktionsanfang (Induktionsverankerung): A(n) ist richtig f¨ ur n = m. Dies muss meistens auf direktem Weg nachgewiesen werden. 2. Induktionsannahme (Induktionsvoraussetzung): Die Aussage A(n) ist f¨ ur eine beliebige nat¨ urliche Zahl n0 (n0 ≥ m) richtig, es gilt also A(n0 ). 3. Induktionsschluss (Induktionsschritt): Unter Benutzung der Induktionsannahme wird gezeigt, dass die Aussage A(n) dann auch f¨ ur n0 + 1 richtig ist, das heißt, aus A(n0 ) folgt A(n0 + 1). Man nennt diesen Schritt auch Schluss von n0 auf n0 + 1. Man beachte, dass sowohl der Induktionsanfang als auch der Induktionsschluss durchgef¨ uhrt werden m¨ ussen. Der Induktionsschluss von n0 auf n0 + 1 macht den Nachweis der G¨ ultigkeit f¨ ur n = m (Induktionsanfang) nicht u ussig. Der Induktionsschluss kann ¨berﬂ¨ gelingen, auch wenn die Aussage A(n) f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen falsch ist. Beispiel: Behauptung: F¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen n gilt 1 + 2 + 3 + . . . + n =

n · (n + 1) 2

Beweis der Behauptung mit vollst¨ andiger Induktion Induktionsanfang: F¨ ur n = 1 ist die Behauptung richtig, denn auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens steht 1: 1·2 =1 1= 2 Induktionsannahme: F¨ ur eine beliebige nat¨ urliche Zahl n0 ist die Behauptung richtig: n0 · (n0 + 1) 1 + 2 + 3 + . . . + n0 = 2 Induktionsschluss (von n0 auf n0 + 1): Addiert man auf beiden Seiten der Induktionsannahme n0 + 1, so folgt n0 · (n0 + 1) + (n0 + 1) 1 + 2 + 3 + . . . + n0 + (n0 + 1) = 2 (n0 + 1)(n0 + 2) (n0 + 1)[(n0 + 1) + 1] n0 = (n0 + 1) · ( + 1) = = 2 2 2 Aus der Richtigkeit der Annahme f¨ ur n0 folgt somit auch die Richtigkeit f¨ ur n0 + 1. Damit gilt die Formel f¨ ur alle n ≥ 1.

4

1 Arithmetik

1.3

Einteilung der Zahlen

komplexe Zahlen

reelle Zahlen

{a + bi|a, b = 0}

rationale Zahlen

ganze Zahlen

nat¨ urliche Zahlen

0

imagin¨are Zahlen

irrationale Zahlen

gebrochene Zahlen

algebraische irrationale Zahlen

transzendente Zahlen

negative ganze Zahlen

Einige der Zahlenbereiche werden h¨ auﬁg in Mengenschreibweise dargestellt: IN ZZ Q IR C

= {1, 2, 3, . . .} = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} = {m Z, n = 0} n |m, n ∈ Z = {z = a + bi|a, b ∈ IR, i =

√ −1}

Menge Menge Menge Menge Menge

der der der der der

nat¨ urlichen Zahlen ganzen Zahlen rationalen Zahlen reellen Zahlen komplexen Zahlen

Die nat¨ urlichen Zahlen sind die positiven ganzen Zahlen. Eine Teilmenge der nat¨ urlichen Zahlen sind die Primzahlen. Eine Primzahl ist eine nat¨ urliche Zahl gr¨ oßer als 1, die nur durch 1 und durch sich selbst ohne Rest teilbar ist. Die Primzahlen sind die Zahlen 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,..., die Zahl 1 ist keine Primzahl. Es gibt unendlich viele Primzahlen, das heißt, es gibt keine gr¨oßte Primzahl, zu jeder Primzahl gibt es noch gr¨ oßere. 2 ist die einzige gerade Primzahl. Alle Primzahlen

1.3 Einteilung der Zahlen

5

zusammen bilden die Menge IP der Primzahlen, die eine Teilmenge der Menge IN der nat¨ urlichen Zahlen ist. Jede nat¨ urliche Zahl n ≥ 2 l¨ asst sich in ein Produkt von Primzahlen zerlegen, die Zerlegung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Faktoren (sogenannte Primfaktorzerlegung). Beispiele zur Primfaktorzerlegung: 100 = 2 · 2 · 5 · 5 = 22 · 52 ; 546 = 2 · 3 · 7 · 13

Die ganzen Zahlen setzen sich zusammen aus den nat¨ urlichen Zahlen, der Null und den negativen ganzen Zahlen. Die rationalen Zahlen sind alle ganzen und gebrochenen Zahlen. Rationale Zahlen lassen sich als Br¨ uche aus ganzen Zahlen darstellen. Jede rationale Zahl kann als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch dargestellt werden. Der Dezimalbruch einer rationalen Zahl ist die Darstellung der rationalen Zahl als Dezimalzahl, also als Zahl mit Stellen hinter dem Komma“ (siehe auch Abschnitt 1.8.1). Bei ” einem endlichen Dezimalbruch ist die Anzahl der Stellen nach dem Komma endlich, bei einem periodischen Dezimalbruch wiederholen sich die Stellen nach dem Komma nach einem gewissen Muster (Periode). Die reellen Zahlen sind alle Zahlen, die auf der reellen Achse der Zahlenebene (gaußsche Zahlenebene, vgl. Abschnitt 1.12.1), der sogenannten Zahlengeraden, darstellbar sind. Die reellen Zahlen setzen sich zusammen aus den rationalen Zahlen und den irrationalen Zahlen. Der Dezimalbruch einer irrationalen Zahl hat unendlich viele Stellen und keine Periode. Man unterteilt die irrationalen Zahlen in algebraische irrationale Zahlen und transzendente Zahlen. Eine algebraische irrationale Zahl ist eine irrationale Zahl, die L¨osung (Wurzel) einer algebraischen Gleichung (Bestimmungsgleichung) xn +an−1 xn−1 +an−2 xn−2 +...+a1 x+a0 = 0 mit rationalen Zahlen als Koeﬃzienten an−1 , an−2 , ..., a1 , a0 ist, wobei n f¨ ur eine nat¨ urliche Zahl steht (Koeﬃzienten sind Beizahlen von Variablen, vgl. Abschnitt 2.1). Irrationale Zahlen, die nicht algebraisch irrational sind, heißen transzendent. Es gibt keine reelle Zahl, die L¨ osung der Gleichung x2 + 1 = 0 ist. Deshalb werden die reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen erweitert. Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form z = a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind und i osung der algebraischen Gleichung x2 +1 = 0). die imagin¨are Einheit, i2 = −1 (i ist eine L¨ Eine komplexe Zahl z besteht also aus einem reellen Teil a (Realteil) und einem imagin¨aren Teil b (Imagin¨ arteil). Komplexe Zahlen z mit Realteil gleich 0 (also a = 0) heißen imagin¨are Zahlen, die komplexen Zahlen z mit Imagin¨arteil gleich 0 (also b = 0) sind die reellen Zahlen. Komplexe Zahlen lassen sich in der Zahlenebene darstellen. Beispiele f¨ ur ganze Zahlen: 38; −700 632; 0; 105 Beispiele f¨ ur rationale Zahlen: −2; 32 = 1, 5; 43 = 1, 3333... = 1, 3; − 18 = −0, 125; − 16 = −1, 454 545... = −1, 45 (der periodische Teil wird u ¨ berstrichen) 11

6

1 Arithmetik

Beispiele f¨ ur reelle Zahlen: √ 3 −4; 4 ; 4 − π; e3 ; 3; sin 50 Beispiele f¨ ur irrationale Zahlen: √ √ √ 3 = 1, 732 050 808 . . . ; 3 4 = 1, 587 401 052 . . . ; 5 − 2 3 = 1, 535 898 385 . . . ; − π = −3, 141 592 654 . . . ; e = 2, 718 281 828 . . . Beispiele f¨ ur algebraische irrationale Zahlen: √ √ 3 (denn 3 ist L¨ osung der Gleichung x2 − 3 = 0); √ √ 3 3 4 (denn 4 ist L¨ osung der Gleichung x3 − 4 = 0); √ √ 5 − 2 3 (denn 5 − 2 3 ist L¨ osung der Gleichung x2 − 10x + 13 = 0) Beispiele f¨ ur transzendente Zahlen: −π; e Beispiele f¨ ur komplexe Zahlen: √ √ are Zahl); 3 2 (reelle Zahl) 3 + 2 i; −1 + 5i; e + π 2 i; −4i (imagin¨

Ein hochgestellter Stern bedeutet die entsprechende Menge ohne die Null: ZZ∗ = {. . . , −3, −2, −1, 1, 2, 3, . . .} = {x|x ∈ ZZ, x = 0} : Menge der ganzen Zahlen ohne die Null Q∗ = { m |m, n ∈ ZZ∗ } = {x|x ∈ Q, x = 0} : n Menge der rationalen Zahlen ohne die Null IR∗ = {x|x ∈ IR, x = 0} : Menge der reellen Zahlen ohne die Null Ein hochgestelltes Plus bedeutet die Menge der entsprechenden positiven Zahlen: ZZ+ = IN = {1, 2, 3, . . .} = {x|x ∈ ZZ, x > 0} : Menge der positiven ganzen Zahlen Q+ = { m n |m, n ∈ IN} = {x|x ∈ Q, x > 0} : Menge der positiven rationalen Zahlen IR+ = {x|x ∈ IR, x > 0} : Menge der positiven reellen Zahlen

1.4

Grundrechenarten

Die vier Grundrechenarten sind die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division. Addition: Subtraktion: Multiplikation: Division:

Summand plus Summand gleich Summe Minuend minus Subtrahend gleich Diﬀerenz Faktor mal Faktor gleich Produkt Dividend geteilt durch Divisor gleich Quotient

Beispiele: 4 + 5 = 9 (Addition); 7 − 2 = 5 (Subtraktion); 3 · 8 = 24 (Multiplikation); 87 : 3 = 29 (Division)

Vereinbarung: Der Multiplikationspunkt (Malpunkt) kann weggelassen werden zwischen zwei Variablen,

1.5 Grundlegende Rechenregeln

7

zwischen einer Zahl und einer Variablen, zwischen einer Zahl und einer Klammer, zwischen einer Variablen und einer Klammer sowie zwischen zwei Klammern. Beispiele: a · b = ab, 4 · a = 4a, 2 · (a + b) = 2(a + b), a · (3 + a) = a(3 + a), (a + b) · (c − d) = (a + b)(c − d)

Achtung: Der Multiplikationspunkt zwischen zwei Zahlen darf nicht weggelassen werden. Beispiel:

3 · 4 = 34

Eine Variable oder Ver¨ anderliche oder Platzhalter ist eine Gr¨oße, die in der Regel verschiedene Werte annehmen kann. Variable werden durch Symbole dargestellt (meist lateinische Buchstaben). Variable sind zum Beispiel die Platzhalter f¨ ur die gesuchten L¨osungen von einer oder mehreren gegebenen Gleichungen.

1.5 1.5.1

Grundlegende Rechenregeln Buchstabenrechnen

Buchstabenrechnen ist das Rechnen mit unbestimmten Zahlen. Formuliert man eine mathematische Aussage, die nicht nur f¨ ur eine bestimmte Zahl, sondern f¨ ur einen ganzen Zahlbereich oder sogar f¨ ur alle Zahlen gilt, dann benutzt man statt einer Zahl einen Buchstaben. Der Buchstabe heißt unbestimmte Zahl. Beispiele: 1.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (binomische Formel, sie gilt f¨ ur alle reellen Zahlen a, b)

2.

(a · b) · c = a · (b · c) = a · b · c (Assoziativgesetz bez¨ uglich der Multiplikation, gilt f¨ ur alle reellen Zahlen a, b, c) √ √ √ n n a · b = n a · b (gilt f¨ ur alle positiven reellen Zahlen a, b und alle nat¨ urlichen Zahlen n ≥ 2)

3.

1.5.2

Kehrwert, Quersumme

1 Der Kehrwert einer Zahl a = 0 ist die Zahl . Man sagt statt Kehrwert auch reziproker a Wert. 1 , der So ist zum Beispiel der Kehrwert von 3 gleich 13 , der Kehrwert von −17 ist − 17 1 Kehrwert von 4 ist 4. Die Quersumme einer ganzen Zahl ist die Summe ihrer Ziﬀern. So ist zum Beispiel die Quersumme der Zahl 239 503 618 gleich 2 + 3 + 9 + 5 + 0 + 3 + 6 + 1 + 8 = 37, die Quersumme von 3 972 611 028 ist 3 + 9 + 7 + 2 + 6 + 1 + 1 + 0 + 2 + 8 = 39, und die Quersumme der Zahl 209 334 042 ist 2 + 0 + 9 + 3 + 3 + 4 + 0 + 4 + 2 = 27. 1.5.3

Teilbarkeitsregeln

Die einzelnen Zeichen einer Zahl sind ihre Ziﬀern. Aus Eigenschaften der Ziﬀern lassen sich Teilbarkeitseigenschaften der Zahlen ableiten.

8

1 Arithmetik

Eine ganze Zahl ist teilbar durch • • • • • • • •

2, wenn die letzte Ziﬀer durch 2 teilbar ist 3, wenn die Quersumme der Zahl (also die Summe der Ziﬀern) durch 3 teilbar ist 4, wenn die Zahl aus den letzten beiden Ziﬀern durch 4 teilbar ist 5, wenn die letzte Ziﬀer durch 5 teilbar ist (also 0 oder 5 ist) 6, wenn die letzte Ziﬀer durch 2 und die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist 8, wenn die Zahl aus den letzten drei Ziﬀern durch 8 teilbar ist 9, wenn die Quersumme der Zahl durch 9 teilbar ist 11, wenn die alternierende Quersumme der Zahl (also die Summe der Ziﬀern, die abwechselnd positives und negatives Vorzeichen erhalten) durch 11 teilbar ist

Beispiele: 1.

2486 ist teilbar durch 2, denn 6 ist teilbar durch 2

2.

263 451 ist teilbar durch 3, denn die Quersumme 2 + 6 + 3 + 4 + 5 + 1 = 21 ist teilbar durch 3

3.

2 563 488 ist teilbar durch 4, denn 88 ist teilbar durch 4

4.

823 620 ist teilbar durch 5, denn 0 ist teilbar durch 5

5.

2 598 018 ist teilbar durch 6, denn 8 ist teilbar durch 2 und die Quersumme 2 + 5 + 9 + 8 + 0 + 1 + 8 = 33 ist teilbar durch 3

6.

524 299 168 ist teilbar durch 8, denn 168 ist teilbar durch 8

7.

11 929 545 ist teilbar durch 9, denn die Quersumme 1 + 1 + 9 + 2 + 9 + 5 + 4 + 5 = 36 ist teilbar durch 9

8.

14 739 296 ist teilbar durch 11, denn die alternierende Quersumme 1 − 4 + 7 − 3 + 9 − 2 + 9 − 6 = 11 ist teilbar durch 11

1.5.4

Punktrechnung vor Strichrechnung

Die Rechenzeichen · und : binden st¨ arker als + und −, das heißt, Multiplikation und Division m¨ ussen vor Addition und Subtraktion ausgef¨ uhrt werden. a + b · c = a + (b · c) a − b : c = a − (b : c) Beispiele: a : b · c − d = (a : b) · c − d; 3 + 4 · 5 − 6 = 3 + (4 · 5) − 6 = 17 8 − 5 · 4 · 3 + 36 : 9 + 6 · (12 + 2 · 7) = 8 − 60 + 4 + 6 · 26 = 108

Die Klammern geben an, welcher Teil der Rechnung zuerst ausgef¨ uhrt wird. 1.5.5

Potenzrechnung vor Punktrechnung

Potenzieren bindet st¨ arker als Multiplizieren und Dividieren. a · b2 = a · (b2 )

1.5 Grundlegende Rechenregeln

9

Es gilt also ab2 = (ab)2 . Beispiele: a a a : b2 − 3 · 23 = 2 − 3(23 ) = 2 − 24; 4 · 53 − 7 · 42 = 4 · 125 − 7 · 16 = 388 b b

1.5.6

Grundgesetze der Addition und Multiplikation

1. Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) F¨ ur reelle Zahlen gilt bez¨ uglich der Addition und bez¨ uglich der Multiplikation das Kommutativgesetz: a·b = b·a

a+b=b+a

Bei der Addition kann man also die Summanden vertauschen, bei der Multiplikation kann man die Faktoren vertauschen. Beispiele:

3 + 4 = 4 + 3; 3 · 4 = 4 · 3

2. Assoziativgesetz (Verkn¨ upfungsgesetz) F¨ ur reelle Zahlen gilt bez¨ uglich der Addition und bez¨ uglich der Multiplikation das Assoziativgesetz: (a · b) · c = a · (b · c) = a · b · c

(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

Bei der Addition kann man also Summanden beliebig verkn¨ upfen (zusammenfassen), bei der Multiplikation kann man Faktoren beliebig verkn¨ upfen. Beispiele:

(3 + 4) + 7 = 3 + (4 + 7) = 3 + 4 + 7 : (3 · 4) · 7 = 3 · (4 · 7) = 3 · 4 · 7

3. Distributivgesetze (Zerlegungsgesetze) F¨ ur reelle Zahlen gelten die Distributivgesetze: (a + b) · c = a · c + b · c Beispiele:

a · (b + c) = a · b + a · c

(3 + 4) · 7 = 3 · 7 + 4 · 7; 3 · (4 + 7) = 3 · 4 + 3 · 7

Aus diesen Grundgesetzen ergeben sich die wichtigen Regeln der Klammerrechnung. 1.5.7

Grundregeln der Klammerrechnung

Klammern geh¨oren immer paarweise zusammen. Ein durch ein Klammerpaar zusammengefasster Ausdruck ist eine Einheit. Wichtige Regeln der Klammerrechnung • Ein Klammerpaar nach einem Pluszeichen kann weggelassen werden. +(a + b) = a + b •

Beim Weglassen der Klammern nach einem Minuszeichen m¨ ussen alle zwischen den Klammern vorkommenden Vorzeichen umgedreht werden. −(a + b) = −a − b −(a − b) = −a + b

10

1 Arithmetik

Vorzeichenregeln F¨ ur die Multiplikation und die Division zweier reeller Zahlen a und b ( b = 0) gelten die Vorzeichenregeln. (+a) · (+b) = (−a) · (−b) = a · b a · (−b) = (−a) · b = −a · b −a a +a = = +b −b b +a −a a = =− −b +b b Beispiele: 1.

(a + b) + (c − d + e) = a + b + c − d + e

2.

(3 + 5 − 2) + (5 + 8) = 3 + 5 − 2 + 5 + 8 = 19

3.

a + b − (c − d − e) = a + b − c + d + e

4.

(4 + 7) − (−6 + 3 − 8) = 4 + 7 + 6 − 3 + 8 = 22

5.

3a − (4b + 2c − 8d) + (3a − 5c) − (6a + 3b − d) = 3a − 4b − 2c + 8d + 3a − 5c − 6a − 3b + d = −7b − 7c + 9d

6.

3a(−4b) = −12ab

7.

1 −4a + b = 2a − b −2 2

1.5.8 •

Multiplikation mit Klammern

Man multipliziert eine Zahl mit einer Summe (Diﬀerenz), indem man die Zahl mit jedem Glied multipliziert und die erhaltenen Produkte addiert (subtrahiert). a(b + c) = ab + ac a(b − c) = ab − ac (a + b)c = ac + bc (a − b)c = ac − bc

•

Fehlerwarnung: (a · b) · c = ac · bc, sondern (a · b) · c = abc Enthalten alle Glieder einer Summe oder Diﬀerenz den gleichen Faktor, so kann man diesen ausklammern. ab + ac = a(b + c) ac − bc = (a − b)c

•

Man multipliziert zwei Summen miteinander, indem man jedes Glied der einen Summe mit jedem Glied der anderen Summe multipliziert und die erhaltenen Produkte

1.5 Grundlegende Rechenregeln

11

addiert. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (a + b)(c − d) = ac − ad + bc − bd (a − b)(c + d) = ac + ad − bc − bd (a − b)(c − d) = ac − ad − bc + bd

•

Fehlerwarnung: (a + b)2 = a2 + b2 , sondern (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (siehe Abschnitt 1.5.10) Bei verschachtelten Klammern sind die Klammnern immer von innen nach außen aufzul¨osen. a(b + c(d + e)) = a(b + cd + ce) = ab + acd + ace

Beispiele: 1.

3(200 + 7) = 3 · 200 + 3 · 7

2.

4.

6x2 (16x − 0, 05y + 7, 2z) = 96x3 − 0, 3x2 y + 43, 2x2 z 1 p q r p 1 1 (− + − )(− ) = p2 − pq + pr 3 4 5 2 6 8 10 abc − acd + ace = ac(b − d + e)

5.

−5x2 + 25xy − 35zx = −5x(x − 5y + 7z)

6.

(3x − a)(a + 2b) = 3ax + 6bx − a2 − 2ab

7.

(x + 5)(x − a + 3) = x2 − ax + 3x + 5x − 5a + 15 = x2 − ax + 8x − 5a + 15

8.

(x + 2)(x − 5) − (x − 3)(x − 7) = x2 − 5x + 2x − 10 − (x2 − 7x − 3x + 21) = x2 − 3x − 10 − x2 + 10x − 21 = 7x − 31

9.

(x − 1)(a + 3)(2 − c) = (x − 1)(2a − ac + 6 − 3c) = 2ax − acx + 6x − 3cx − 2a + ac − 6 + 3c

3.

10.

(4x − y)(−2a(b − 4c) − 3bc) = (4x − y)(−2ab + 8ac − 3bc) = −8abx + 32acx − 12bcx + 2aby − 8acy + 3bcy

11.

5(x − 2(x − y − 3y − 6x − 3y) + 2y) = 5(x − 2(−5x − 7y) + 2y) = 5(x + 10x + 14y + 2y) = 5(11x + 16y) = 55x + 80y

1.5.9

Indizes, Summenzeichen, Produktzeichen

Ein Index (Plural Indizes) ist ein Zeichen, das an Symbole f¨ ur Variable, Funktionen oder Operationen angebracht wird. Bezeichnet man zum Beispiel Variable mit x, dann kennzeichnet man verschiedene Variable dadurch, dass man an das x verschiedene tiefgestellte Indizes anh¨angt: x1 , x2 , x3 , . . .. Ein Index ist meistens eine Zahl. Das Summenzeichen (entstanden aus dem griechischen Buchstaben f¨ ur S) dient zur vereinfachten Darstellung von Summen (gesprochen: Summe u ¨ber ak von k = 1 bis k = n). n k=1

ak = a1 + a2 + a3 + . . . + an

12

1 Arithmetik

Man erh¨alt alle Summanden der Summe, wenn man in ak f¨ ur den Index k zun¨achst 1, dann 2 usw. und schließlich n setzt. Dieser Buchstabe k heißt Summationsindex und kann durch einen beliebigen anderen Buchstaben ersetzt werden. Es gilt also zum Beispiel n n n ak = ai = aj . i=1

k=1

j=1

Beispiele: 1.

6

k2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62

k=1

2.

3

log(2i) = log 2 + log 4 + log 6

i=1

3.

5

6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 5 · 6 = 30

j=1

Das Produktzeichen dient zur vereinfachten Darstellung von Produkten (gesprochen: Produkt u ¨ ber ak von k = 1 bis k = n). n

ak = a1 · a2 · a3 · . . . · an

k=1

Man erh¨alt alle Faktoren des Produkts, wenn man in ak f¨ ur den Index k zun¨achst 1, dann 2 usw. und schließlich n setzt. Der Index k kann durch einen beliebigen anderen n n n Buchstaben ersetzt werden. Zum Beispiel gilt ak = ai = aj . k=1

i=1

j=1

Beispiele: 1.

7

k2 = 12 · 22 · 32 · 42 · 52 · 62 · 72

k=1

2.

4

3i = 32 · 33 · 34 = 32+3+4 = 39

i=2

3.

5

4 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 45

j=1

1.5.10

Binomische Formeln

Ein Binom ist ein zweigliedriger Ausdruck der Form a + b oder a − b . Die Multiplikation von Binomen f¨ uhrt zu den binomischen Formeln (zwei Faktoren) und zum binomischen Lehrsatz (n Faktoren, n ≥ 1 beliebig, vgl. Abschnitt 10.2). Die folgenden Rechenregeln heißen binomische Formeln oder binomische Gleichungen 2. Grades (a und b sind beliebige reelle Zahlen).

1.6 Bruchrechnung

13

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a + b)(a − b) = a2 − b2 Beispiele: 1.

212 = (20 + 1)2 = 202 + 2 · 20 · 1 + 12 = 441

2.

(2c + 3)2 = (2c)2 + 2 · 2c · 3 + 32 = 4c2 + 12c + 9

3.

192 = (20 − 1)2 = 202 − 2 · 20 · 1 + 12 = 361

4.

(2x − 5y)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 5y + (5y)2 = 4x2 − 20xy + 25y 2

5.

21 · 19 = (20 + 1)(20 − 1) = 202 − 12 = 399

6.

(3x + 4y)(3x − 4y) = (3x)2 − (4y)2 = 9x2 − 16y 2

1.5.11

Division mit Klammern

Man dividiert eine Summe (Diﬀerenz) durch eine Zahl, indem man jedes Glied durch die Zahl dividiert und die erhaltenen Quotienten addiert (subtrahiert): (a + b) : c = a : c + b : c (a − b) : c = a : c − b : c Beispiele: 1.

(10ax − 15bx) : 5x = 10ax : 5x − 15bx : 5x = 2a − 3b

2.

(12a2 xy + 39ax2 y − 27axy 2 ) : 3axy = 12a2 xy : 3axy + 39ax2 y : 3axy − 27axy 2 : 3axy = 4a + 13x − 9y

1.6 1.6.1

Bruchrechnung Deﬁnitionen

(m geteilt durch n) dargestellt Ein Bruch ist eine Zahl, die durch einen Ausdruck m n wird. Die Zahl m heißt Z¨ ahler und die Zahl n Nenner des Bruches. Es gilt dabei n = 0, denn die Division durch Null ist nicht m¨oglich. Die Division einer von Null verschiedenen Zahl durch Null ergibt keine Zahl. Ein Bruch ist ein Quotient, der Z¨ ahler ist der Dividend, und der Nenner ist der Divisor. m =m:n n Br¨ uche, deren Z¨ahler kleiner ist als der Nenner, heißen echte Br¨ uche. Beispiele: 2 1 12 ; ; 3 9 13

14

1 Arithmetik

Br¨ uche, bei denen der Z¨ ahler gr¨ oßer ist als der Nenner, heißen unechte Br¨ uche. Beispiele: 3 7 12 ; ; 2 3 11

Br¨ uche mit dem Z¨ ahler 1 heißen Stammbr¨ uche. Beispiele: 1 1 1 ; ; 3 7 243

Ganzzahlige Anteile von Br¨ uchen k¨ onnen vorgezogen werden. Beispiele: 15 3 25 8 =3 ; =1 4 4 17 17

2 2 2 5 2 = 1 · . Richtig ist 1 = 1 + = . 3 3 3 3 3 Der Kehrwert eines Bruches pq ist der Bruch qp , also der Bruch, bei dem Z¨ahler und Nen1 q ner vertauscht sind, denn p = . p q Fehlerwarnung: 1

Beispiele: Der Kehrwert von

1.6.2

19 1 11 3 16 ist ; der Kehrwert von ist 2; der Kehrwert von − ist − . 19 16 2 3 11

Erweitern und K¨ urzen

2 4 −6 3 , 6 , −9

¨ sind verschiedene Schreibweisen desselben Bruchs. Der Ubergang von einer Schreibweise zur anderen erfolgt durch Erweitern und K¨ urzen. Erweitern heißt, Z¨ ahler und Nenner eines Bruches mit derselben Zahl zu multiplizieren. Der Wert des Bruches bleibt durch Erweitern unver¨andert. a·c ac a = = b b·c bc

(c = 0)

Beispiele: 2·3 6 −3 (−3) · (−1) 3 ab2 ab2 e3 2 = = ; = = ; 3 = 3 3 5 5·3 15 −4 (−4) · (−1) 4 c d c de

Fehlerwarnung: Unterscheide Erweitern und Multiplizieren! Beispiel:

2 2·3 6 = = 5 5·3 15 2 2·3 6 Multiplizieren mit 3: · 3 = = 5 5 5

Erweitern mit 3:

K¨ urzen heißt, Z¨ahler und Nenner eines Bruches durch dieselbe Zahl zu dividieren. Der Wert des Bruches bleibt durch K¨ urzen unver¨ andert. a a:c = b b:c

(c = 0)

1.6 Bruchrechnung

15

Beispiele: 27 27 : 3 9 a2 bc2 a2 bc2 : a2 bc c = = ; = 3 = 3 24 24 : 3 8 a bc a bc : a2 bc a

Fehlerwarnung: Unterscheide K¨ urzen und Dividieren! Beispiel:

6 6:3 2 = = 15 15 : 3 5 6:3 2 6 :3= = Dividieren durch 3: 15 15 15 K¨ urzen durch 3:

1.6.3

Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Br¨ uche

Gleichnamige Br¨ uche (Br¨ uche mit dem gleichen Nenner) werden addiert oder subtrahiert, indem man die Z¨ahler addiert oder subtrahiert und den Nenner beibeh¨alt. a+b a b + = c c c

a−b a b − = c c c

Beispiele: 3 4 3+4 7 3x2 x2 4x2 x2 2 5 2−5 3 + = = ; + = = ; − = =− 5 5 5 5 4yz 4yz 4yz yz 7 7 7 7

1.6.4

Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Br¨ uche

Ungleichnamige Br¨ uche werden addiert oder subtrahiert, indem man sie auf den Hauptnenner bringt, also durch Erweitern gleichnamig macht. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der Nenner. c a·d c·b ad + bc a + = + = b d b·d d·b bd

c a·d c·b ad − bc a − = − = b d b·d d·b bd

Beispiele: 4 2 + 1. 3 5 Der Hauptnenner der Br¨ uche

2 4 und ist 3 · 5. 3 5

Addition der Br¨ uche: 2 4 2·5 4·3 10 + 12 22 + = + = = 3 5 3·5 5·3 15 15 2.

5 3 − 4 6 Der Hauptnenner der Br¨ uche Subtraktion der Br¨ uche: 3 5 9 10 1 − = − =− 4 6 12 12 12

3 5 und ist 3 · 4 = 12. 4 6

16

3.

1 Arithmetik 1 3 5 + + 3 5 6 Der Hauptnenner der Br¨ uche

1 3 5 , , ist 5 · 6. 3 5 6

Addition der Br¨ uche: 1 3 5 1·5·2 3·6 5·5 10 + 18 + 25 53 + + = + + = = 3 5 6 3·5·2 5·6 6·5 30 30 4.

1 1 1 + − 4 6 9 1 1 1 , , ist 4 · 9. 4 6 9 Addition bzw. Subtraktion der Br¨ uche: 1 1 1 1·9 1·2·3 1·4 9+6−4 11 + − = + − = = 4 6 9 4·9 6·2·3 9·4 36 36

Der Hauptnenner der Br¨ uche

5.

a−b a b a+b + + + 2x x 3y 4y Der Hauptnenner der Br¨ uche

a−b a b a+b , , , ist 3 · 4 · xy. 2x x 3y 4y

Addition der Br¨ uche: a b a+b (a − b) · 6y a · 12y b · 4x (a + b) · 3x a−b + + + = + + + 2x x 3y 4y 2x · 6y x · 12y 3y · 4x 4y · 3x =

(a − b) · 6y + a · 12y + b · 4x + (a + b) · 3x 3ax + 18ay + 7bx − 6by = 12xy 12xy

Fehlerwarnungen: a+b a a a a b + = darf nicht verwechselt werden mit + = , wie man zum Bei1. c c c b c b+c spiel durch Einsetzen von a = 1, b = 2, c = 3 sofort best¨atigt. Richtig ist a a a·c a·b ac + ab a(b + c) + = + = = . b c b·c c·b bc bc a c a+c 2. + = , wie man zum Beispiel durch Einsetzen von a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 b d b+d a c a·c best¨atigt. Die Verwechslung mit · = ist naheliegend. b d b·d 1.6.5

Multiplizieren von Br¨ uchen

Br¨ uche werden miteinander multipliziert, indem man Z¨ahler mit Z¨ahler und Nenner mit Nenner multipliziert. Vor dem Multiplizieren sollte man k¨ urzen. a·c ac a c · = = b d b·d bd Sonderfall: Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliziert, indem man den Z¨ahler mit der Zahl multipliziert. a a·c ac ·c= = b b b

1.7 Potenz- und Wurzelrechnung

17

Beispiele: 2·4 8 2 4 · = = 1. 3 5 3·5 15 3 2 7 · 12 7·3 21 2. 1 · 2 = = = 4 5 4·5 1·5 5 2 (a + 1)(a − 1) · 12b 6(a + 1) 12b a −1 · = = 3. 2b ac − c 2b · c(a − 1) c 4.

15 · 12 · uvw3 15uv 15uv 12w 3 45 = uvw · 12w3 = · = 8w2 8w2 1 8w2 2

3 2 3 2 Fehlerwarnung: 1 · 2 = 1 · 2 + · ; richtig siehe Beispiel 2. 4 5 4 5 1.6.6

Dividieren von Br¨ uchen

Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. a c a d ad : = · = b d b c bc Sonderfall: Ein Bruch wird durch eine Zahl dividiert, indem man den Z¨ahler durch die Zahl dividiert oder den Nenner mit der Zahl multipliziert. a a a :c= = b b·c bc Beispiele: 2 4 2·5 5 1. : = = 3 5 3·4 6 2 2 2 22 · 18 · ax2 y 2 r 2 s 2ary 66x y 1 · 2 · ayr 22ax y = = : = 2. 2 2 27brs 18r s 27 · 66 · bx2 yrs2 3 · 3 · bs 9bs 3 35 5 3. 8 : 7 = = 4 4·7 4 35a2 · 1 5a 35a2 14a 35a2 = = : 14a = : 4. 2 2 43b 43b 1 43b2 · 14a 86b2

1.7 1.7.1

Potenz- und Wurzelrechnung Deﬁnition der Potenz

Eine Zahl der Form ax (gesprochen: a hoch x) heißt Potenz. Dabei ist a die Basis oder die Grundzahl und x der Exponent oder die Hochzahl der Potenz. ax

Potenz

a

Basis (Grundzahl)

x

Exponent (Hochzahl)

18

1 Arithmetik

Ist die Basis a eine beliebige reelle Zahl und der Exponent x eine nat¨ urliche Zahl, dann steht ax f¨ ur die Vorschrift, die Basis a insgesamt x-mal mit sich selbst zu multiplizieren. ax = a · a · a · . . . · a (x Faktoren, x ∈ IN) Man spricht vom Potenzieren f¨ ur diese algebraische Operation. Ist der Exponent x eine nat¨ urliche Zahl n, dann kann die Basis a eine beliebige reelle Zahl sein. Man nennt an dann n-te Potenz von a. Ist der Exponent x eine beliebige reelle Zahl, dann ist die Potenz nur f¨ ur positive Basen a deﬁniert (a ∈ IR+ ). Dabei sind Potenzen mit irrationalen Exponenten mit Hilfe eines Grenz¨ ubergangs erkl¨ art (vgl. Abschnitt 8). p

a q = c ⇔ ap = cq F¨ ur negative Exponenten gilt a−m =

1 am

F¨ ur die Exponenten 1 und 0 gilt a1 = a

a0 = 1

(a = 0)

Eine spezielle Potenz f¨ ur k ∈ ZZ ist k

(−1) =

+1 falls k gerade −1 falls k ungerade

Beispiele: 3

1.

2 2 = 2, 8284 . . . Potenz mit Basis 2 und Exponent

2.

35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243

3.

(−4)3 = (−4) · (−4) · (−4) = −64

4.

3−5 =

5.

60 = 1 1 0 − =1 6

6.

1 1 = 35 243

4

7.

8 3 = c ⇔ 84 = c3 ⇔ c = 16

8.

8− 3 = c ⇔ 8−4 = c3 ⇔ c =

9.

41 = 4, (−12)1 = −12

10.

3 2

4

1 16

(−1)5 = −1, (−1)4 = 1, (−1)0 = 1, (−1)−11 = −1

= 1, 5

1.7 Potenz- und Wurzelrechnung 1.7.2

19

Regeln der Potenzrechnung

1. Potenzrechnung vor Punktrechnung ban = b · (an ) Soll erst Punktrechnung erfolgen, dann muss ein Klammerpaar gesetzt werden. Beispiele: 5 · 34 = 5 · 3 · 3 · 3 · 3 = 5 · (34 ); (5 · 3)4 = 5 · 3 · 5 · 3 · 5 · 3 · 5 · 3 = 154

Fehlerwarnung: ban = (ba)n f¨ ur a, b = 0, b, n = 1. 2. Addieren und Subtrahieren Potenzen kann man nur addieren oder subtrahieren, wenn sie in Basis und Exponent u ¨ bereinstimmen. pan + qan = (p + q)an Beispiel: 2 · 34 + 5 · 34 = (2 + 5) · 34 = 7 · 34

Fehlerwarnungen: 24 + 34 = 54 , 32 + 34 = 36 3. Multiplizieren und Dividieren bei gleicher Basis Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert (genauer: indem man die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenziert). an · am = an+m Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert (genauer: indem man die gemeinsame Basis mit der Diﬀerenz der Exponenten potenziert). an = an−m am Der Wert einer Potenz bleibt erhalten, wenn man gleichzeitig die Basis durch ihren Kehrwert und das Vorzeichen des Exponenten durch das entgegengesetzte ersetzt. a −n b

=

b n a

Fehlerwarnungen: 36 · 34 = 36·4 = 324 , 312 : 34 = 312:4 = 33 , a−2 = −a2 Beispiele: 1. 36 · 34 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 310 = 36+4 2.

36 3·3·3·3·3·3 = = 3 · 3 = 32 = 36−4 34 3·3·3·3

3.

35 : 34 = 35−4 = 31 = 3

4.

34 : 34 = 34−4 = 30 = 1

4 6 5.

3 2

:

3 2

4−6 =

3 2

−2 =

3 2

2 =

2 3

20

1 Arithmetik

4. Multiplizieren und Dividieren bei gleichem Exponenten Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert (genauer: indem man das Produkt der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert). an · bn = (a · b)n Fehlerwarnung: an · bn = (ab)2n (außer in Sonderf¨allen wie n = 0), zum Beispiel: 23 · 53 = 106 Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert (genauer: indem man den Quotienten der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert). a n an = bn b Fehlerwarnung:

a·n a an a allen) im Gegensatz zu = = (außer in Sonderf¨ bn b b·n b

Umkehrungen Ein Produkt wird potenziert, indem man die einzelnen Faktoren potenziert (genauer: indem man die Potenzen der einzelnen Faktoren miteinander multipliziert). (a · b)n = an · bn Ein Bruch wird potenziert, indem man Z¨ ahler und Nenner einzeln potenziert (genauer: indem man die Potenzen von Z¨ ahler und Nenner durcheinander dividiert). a n b

=

an bn

Fehlerwarnung: Die Berechnung von (a + b)n darf nicht verwechselt werden mit der von (a · b)n . Es gilt (a · b)n = an · bn, aber (a + b)n = an + bn (außer in Sonderf¨allen). Beispiele: 1. 24 · 54 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 · 5 = (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5) = (2 · 5)4 = 104 = 10 000 4 34 3 2. = = 0, 64 = 0, 1296 4 5 5 3. 305 = (3 · 10)5 = 35 · 105 = 243 · 100 000 = 24 300 000 = 2, 43 · 107 5 3 35 243 = 0, 00243 = 2, 43 · 10−3 4. 0, 35 = = 5 = 10 10 100 000

5. Potenzieren einer Potenz Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert (genauer: indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert). (an )m = an·m Bei der Potenz einer Potenz kann man die Exponenten miteinander vertauschen. (an )m = (am )n

1.7 Potenz- und Wurzelrechnung

21

Fehlerwarnung: (23 )4 = 27 Beispiele: 1. (23 )4 = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2) = 23·4 = 212 2. (34 )2 = 812 = 6561 = 94 = (32 )4 Beispiele zur gesamten Potenzrechnung: 1.

ar p + bsp − cr p + dsp = (a − c)r p + (b + d)sp

2.

x3m−1 xm+1 = x3m−1+m+1 = x4m

3.

42 · (2 · 5)2 (4 · 2)2 · 52 82 · 52 = = 42 = 16 = 82 + 62 64 + 36 100

4.

5c4 5 · 28 · ax+y ay−x b3u+v bv−2u 4a2y bu+2v 5ax+y b3u+v : = = 2 y−x v−2u 2 4 7c 28a b 7·5·c c c6

5.

(−u2 )3 = (−1)3 u2·3 = −u6 , (−u3 )2 = (−1)2 u3·2 = u6 ,

(c = 0)

((−u)2 )3 = ((−1)2 u2 )3 = (u2 )3 = u2·3 = u6

6.

5a−1 −4 −22 b−3

⎧

5b3 −4 4a 4 256a4 ⎪ ⎪ − 2 = − 3 = ⎨ 2 a 5b 625b12 = ⎪ 28 a4 256a4 5−4 a4 ⎪ ⎩ = 4 12 = −4 −8 12 12 (−1)

7.

2 3

x−1 − 3x

3x−1 −

2

b

5 b

(a, b = 0)

625b

2 4 2 4 x = 2x−2 − − 9 + 2x2 = 2 − 9 + 2x2 3 9 x 9

(x = 0)

1.7.3

Deﬁnition der Wurzel √ 1 Eine Zahl der Form n a = a n (gesprochen: n-te Wurzel aus a) heißt Wurzel. Dabei heißt a Radikand der Wurzel und ist eine reelle Zahl gr¨oßer als 0, und n heißt Wurzelexponent und ist eine nat¨ urliche Zahl gr¨ oßer als 1. √ n

a

Wurzel

a>0

Radikand

n > 1 Wurzelexponent √ Die Wurzel n a ist deﬁniert als die eindeutig bestimmte Zahl x ≥ 0 mit xn = a. Die n-te Wurzel aus a ≥ 0 ist also die nichtnegative reelle Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist. √ n

a = x ⇔ xn = a

Man spricht vom Radizieren oder Wurzelziehen f¨ ur diese algebraische Operation. √ √ 2 Ist der Wurzelexponent gleich 2, so heißt a = a (der Wurzelexponent √ 2 braucht nicht geschrieben zu werden) Quadratwurzel (oder einfach Wurzel) aus a; 3 a heißt Kubikwurzel aus a.

22

1 Arithmetik

Bemerkungen: 1. Nach der Deﬁnition der Wurzel ist die Wurzel aus einer positiven Zahl wieder eine √ ur jede reelle Zahl a (zum Absolutbetrag |a| einer positive Zahl: a2 = |a| f¨ √ √ Zahl a vgl. Abschnitt 1.11.2). Es gilt daher zum Beispiel nur 4√= 2, nicht auch 4 = √−2. Dagegen hat die Gleichung x2 = 4 die L¨ osungen x1 = + 4 = +2 und x2 = − 4 = −2. 2. F¨ ur ungerade n (zum Beispiel n = 3) kann die n-te Wurzel auch f¨ ur negative Zahlen a eindeutig deﬁniert werden, denn die n-te Potenz einer negativen Zahl ist selbst √ negativ. Zum Beispiel gilt 3 −27 = −3. √ 1 3. Wegen n a = a n ergeben sich die Regeln der Wurzelrechnung aus den entsprechenden Regeln der Potenzrechnung. Wegen der besonderen Bedeutung werden die u ¨ bertragbaren Regeln hier in Wurzelschreibweise wiederholt.

1.7.4

Regeln der Wurzelrechnung

1. Addieren und Subtrahieren Wurzeln kann man nur addieren oder subtrahieren, wenn sie in Radikand und Wurzelexponent u ¨ bereinstimmen. √ √ √ p n a + q n a = (p + q) n a Beispiel: 2 ·

√ √ √ √ 4 3 + 5 · 4 3 = (2 + 5) · 4 3 = 7 · 4 3

√ √ √ √ √ √ Fehlerwarnungen: 4 2 + 4 3 = 4 5, 3 2 + 4 2 = 7 2 (beides l¨asst sich nicht zusammenfassen) 2. Multiplizieren und Dividieren bei gleichem Radikanden Wurzeln mit gleichem Radikanden und den Wurzelexponenten n, m werden multipliziert, indem man aus dem in die (m + n)-te Potenz erhobenen Radikanden die nm-te √ √ √ m+n 1 1 1 1 n·m Wurzel zieht (denn n a · m a = a n · a m = a n + m = a n·m = am+n ). √ n

Beispiel:

√ 3

4096 ·

√ 4

4096 =

a·

√

m

a=

√

n·m

am+n

16 √· 8 = 128 7 12 40967 = 2 = 128

√ √ √ √ √ √ √ √ √ 12 3 3 4 Fehlerwarnung: a ·√4 a = 12 a, a2 , 3 a · 4 a = 7 a √ a · a = √ √ 3·4 12 (richtig: 3 a · 4 a = a4+3 = a7 ) Wurzeln mit gleichem Radikanden und den Wurzelexponenten n und m werden dividiert, indem man aus dem in die (m − n)-te Potenz erhobenen Radikanden die nm-te √ 1 √ n m−n 1 1 n·m am−n ). Wurzel zieht (denn m√aa = a n1 = a n − m = a n·m = am

√ n a √ = m a

√

n·m

am−n

1.7 Potenz- und Wurzelrechnung

Beispiel:

23

√ 3 16√: 8 = 2 4096 √ √ √ = 3·4 12 12 4 40964−3 = 12 4096 = 2 =2 4096

3. Multiplizieren und Dividieren bei gleichem Wurzelexponenten Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden multipliziert, indem man die Radikanden multipliziert (genauer: indem man die Wurzel aus dem Produkt der Radi√ √ √ 1 1 1 n n n n n n kanden zieht) (denn a · b = a · b = (ab) = ab). √ √ √ n n n a · b = ab Beispiel:

√ 3

8·

√ 3

27 =

2√· 3 = 6 √ 3 8 · 27 = 3 216 = 6

√ √ √ Fehlerwarnung: n a+ n b = n a + b (außer in Sonderf¨allen); der gegebene Ausdruck l¨asst sich nicht vereinfachen Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden dividiert, indem man die Radikanden dividiert (genauer: indem man die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden √ 1 n 1 a an a n zieht) (denn √ = = n ab ). n 1 = (b) b bn

√ n a a √ = n n b b ⎧ 2 ⎪ ⎨ 2:3= √ √ 3 Beispiel: 3 8 : 3 27 = 8 2 3 ⎪ ⎩ = 27

3

Umkehrungen Man zieht die Wurzel aus einem Produkt, indem man die Wurzel aus den einzelnen Faktoren zieht (genauer: indem man die Wurzeln aus den einzelnen Faktoren miteinander multipliziert). √ √ √ n n ab = n a · b Beispiel:

√

Fehlerwarnung:

36 =

√ n

6 √

4·

a + b =

√ 9=2·3=6

√ n

a+

√ n b (außer in Sonderf¨allen)

Man zieht die Wurzel aus einem Bruch, indem man sie aus Z¨ahler und Nenner einzeln zieht (genauer: indem man die Wurzeln aus Z¨ahler und Nenner durcheinander dividiert). √ n a a n = √ n b b Spezialfall

n

1 1 = √ n a a

24

1 Arithmetik Beispiele: √ √ 8 2 3 3 3 1. = 8 : 27 = 2 : 3 = 27 3

2.

4

1 1 1 = = √ 4 625 5 625

4. Radizieren und Potenzieren einer Wurzel Man zieht die Wurzel aus einer Wurzel, indem man die Wurzelexponenten multipliziert (genauer: indem man aus dem Radikanden die Wurzel mit dem aus dem Produkt beider Wurzelexponenten gebildeten neuen Wurzelexponenten zieht) (denn √ √ 1 1 1 n m a = (a m ) n = a mn = m·n a).

√

n

Beispiel:

4 √ 3

Fehlerwarnung:

m

a=

√

m·n

a

√ 4 4096 =

√ 3 5

7 =

√16 = 2 4096 = 2

12

√ 8

7 (richtig:

√ 3 5

7=

√

15

7)

Bei der Wurzel aus einer Wurzel kann man die Wurzelexponenten miteinander ver√ √ 1 1 tauschen (denn n m a = a mn = a nm = m n a). n

√ a=

m

m

√ n

a

Beispiele: √ 4 16 = 2 4 √ 3 √ √ 1. 4096 = 3 4 4096 = 3 8 = 2 √ 3 √ 4 √ 4 3 2. 27 = 27 = 4 3

Eine Wurzel wird potenziert, indem man den Radikanden potenziert (genauer: indem 1 m 1 man die Wurzel aus der Potenz des Radikanden zieht) (denn (a n )m = a n = (am ) n ). √ √ ( n a)m = n am Beispiele: √ 2√4 = 16√ 1. ( 3 8)4 = 3 4 8 = 3 4096 = 16 √ √ 2. ( 4 4)2 = 4 16 = 2

Umkehrung Man zieht die Wurzel aus einer Potenz, indem man die Wurzel aus der Basis in die entsprechende Potenz erhebt. √ √ n am = ( n a)m Beispiel:

√ 43 =

√

√64 = 8 ( 4)3 = 23 = 8

1.7 Potenz- und Wurzelrechnung

25

Spezialfall

√ √ ( n a)n = n an = a

√ √ 5 Beispiel: ( 5 3)5 = 35 = 3

Exponenten und Wurzelexponenten kann man gegeneinander k¨ urzen. √

np

√

12

Beispiel:

28 =

√ 3

22 =

√ √ √ anq = ( np a)nq = p aq = ( p a)q √ 3

4

5. Rationalmachen des Nenners Zum Rationalmachen des Nenners eines Bruches erweitert man den Bruch so, dass die Wurzel im Nenner wegf¨ allt. √ a a b √ = b b Beispiele: √ √ √ a2 a2 · a a2 · a 1. √ = √ √ = =a a a a a· a √ √ 3 3 √ a · a2 a a · a2 3 √ √ = = a2 2. 3 = √ 3 3 a a a · a2 √ √ √ √ √ x2 + 2x y + y (x + y)(x + y) (x + y)2 x+ y = 3. √ = √ √ = x− y (x − y)(x + y) x2 − y x2 − y Beispiele zur gesamten Wurzelrechnung: √ 1. ( 3 6)3 = 6 2.

3.

√ √ √ 2 1 4 ( 4 4)2 = 42 = 4 4 = 4 2 = 4 = 2

√ 3 √ √ 24 3 3 3 24 √ = = 8 = 23 = 2 3 3 3

4.

5.

4

2 √ 3

6.

√ 3

7.

( (

8.

1 1 1 1 = √ = = √ 4 4 4 256 4 256 4 64 =

2·

√

2·3

64 =

√ 6

64 = 2

√ √ √ 15 3+5 15 8 5 2= 2 = 2

1

0, 5)−2 = (0, 5) 2 (−2) = (0, 5)−1 =

1 =2 0, 5

1 1 0, 5)−2 = √ = =2 0, 5 ( 0, 5)2 3

3

(−2 4 )2 = +2 2 =

√ √ √ 23 = 22 · 2 = 2 2

oder

26 9.

1 Arithmetik √ √ √ √ √ √ √ ( 18 + 2)2 − ( 18 − 2)2 = 18 + 2 36 + 2 − (18 − 2 36 + 2) = 4 36 = 4 · 6 = 24

10.

√ √ √ √ √ √ √ √ ( 5 + 3)3 = 5 5 + 15 3 + 9 5 + 3 3 = 14 5 + 18 3

11.

√ √ √ √ √ √ √ √ 6 6 (3 2 − 2 3 3)(7 3 2 + 5 3) = 21 25 + 15 6 − 14 3 6 − 10 35

12.

√ √ √ √ a(a − a) a(a − a) a a(a − a) a− a √ = √ √ = = = a2 − a a(a − 1) a−1 a+ a (a + a)(a − a)

13.

3

14.

√ √ √ √ (a − 2) a2 − 4 (a − 2) a2 − 4 (a − 2) a2 − 4 a−2 a2 − 4 √ √ = √ = = = 2 2 2 2 a −4 (a − 2)(a + 2) a+2 a −4 a −4 a −4

15.

x · 3 x2 y x · 3 x2 y 1 3 = = x2 y = 3 xy y xy 2 xy 2 3 x2 y

x

√ 4 5

1024 =

16.

9

3

1 = 18

√

20

6

10

1

210 = 2 20 = 2 2 =

93 = 18

6

√

2

⎧ 3 ⎪ ⎨ √ 6 36 18 = 4 18 ⎪ ⎩ 6 3 2

1.8

=

1√ 6 25 · 34 2

Dezimalzahlen und Dualzahlen

Es gibt verschiedene M¨ oglichkeiten zur Darstellung von Zahlen. Die einzelnen Zeichen zur Darstellung von Zahlen sind die Zahlzeichen oder Ziﬀern. Grunds¨atzlich unterscheidet man zwischen sogenannten Positions- oder Stellenwertsystemen und Additionssystemen. Bei einem Positionssystem ist der Wert einer Ziﬀer abh¨angig von der Position dieser Ziffer innerhalb der Zahl. Bei Additionssystemen wird der Wert aller Zahlzeichen einfach addiert, um den Wert der Zahl festzulegen. Ein Beispiel f¨ ur ein Positionssystem ist unser Dezimalsystem, ein Beispiel f¨ ur ein Additionssystem ist das r¨ omische Zahlensystem. 1.8.1

Dezimalsystem

Die heute u ¨bliche Schreibweise der Zahlen ist die Dezimalschreibweise, das heißt, es gibt 10 verschiedene Ziﬀern (0,1,2,...,9) zur Darstellung der Zahlen. Jede Ziﬀer hat den zehnfachen Stellenwert der ihr rechts folgenden Ziﬀer. Im Dezimalsystem dargestellte Zahlen nennt man Dezimalzahlen. Beispiel: 3607 = 3 · 103 + 6 · 102 + 0 · 101 + 7 · 100 = 3000 + 600 + 0 + 7

Der Wert einer Ziﬀer innerhalb der Zahl ergibt sich also folgendermaßen: Die Einerstelle bleibt unver¨andert (Multiplikation mit 100 = 1), die Zehnerstelle wird mit 101 = 10, die Hunderterstelle wird mit 102 = 100, die Tausenderstelle wird mit 103 = 1000, . . ., die n-te Stelle wird mit 10n−1 multipliziert. Das Dezimalsystem (auch Zehnersystem genannt) ist also ein Positionssystem zur Basis

1.8 Dezimalzahlen und Dualzahlen

27

10. Eine solche Schreibweise wurde erst m¨ oglich nach Einf¨ uhrung der Null (f¨ ur nichts“). ” Unser Zahlensystem wurde im ersten Jahrtausend nach der Zeitenwende in Indien entwickelt. Es gelangte u ¨ber den arabischen Raum zun¨achst nach Spanien und dann nach Mitteleuropa, wo noch bis zum 16. Jahrhundert mit dem r¨omischen Zahlensystem gerechnet wurde. Wegen dieses Ursprungs nennt man unsere Ziﬀern auch indisch-arabische Ziﬀern. Im Dezimalsystem lassen sich auch rationale und reelle Zahlen darstellen. Die Darstellung einer reellen (rationalen oder irrationalen) Zahl als Dezimalzahl nennt man auch Dezimalbruch (vgl. auch Abschnitt 1.3). Beispiel: 486, 2545 = =

4 · 102 + 8 · 101 + 6 · 100 + 2 · 10−1 + 5 · 10−2 + 4 · 10−3 + 5 · 10−4 400 + 80 + 6 + 0, 2 + 0, 05 + 0, 004 + 0, 0005

Der Wert einer Ziﬀer innerhalb der Zahl ergibt sich dadurch, dass die n-te Stelle vor dem Komma mit 10n−1 und die m-te Stelle nach dem Komma mit 10−m multipliziert wird. Ist a = an an−1 . . . a2 a1 a0 , a−1 a−2 . . . a−m eine Zahl mit den Ziﬀern an , an−1 , . . . , a2 , a1 , a0 vor dem Komma und den Ziﬀern a−1 , a−2 , . . . , a−m nach dem Komma, dann gilt also a=

n

ai 10i

(∗)

i=−m

Die Stellen mit i ≥ 0 bilden den ganzen Teil, die mit i < 0 den gebrochenen Teil der Zahl. F¨ ur andere Zahlensysteme, n¨ amlich Positionssysteme zur Basis B, gilt (∗) ganz analog, wenn man 10 durch die entsprechende Basis B ersetzt (zum Beispiel B = 2 f¨ ur das Dualsystem). 1.8.2

Dualsystem

Das Dualsystem ist ein System zur Darstellung der Zahlen, in dem es nur zwei Ziﬀern (0 und 1) gibt. Das Dualsystem wird deshalb manchmal auch Bin¨arsystem oder Zweiersystem genannt. Es ist ein Positionssystem zur Basis 2. Der Wert einer Ziﬀer ist also abh¨angig von der Position innerhalb der Zahl. Jede Ziﬀer hat den doppelten Stellenwert der ihr rechts folgenden Ziﬀer. Im Dualsystem dargestellte Zahlen nennt man Dualzahlen. Beispiel: Der Dualzahl 1 001 101 entspricht die Dezimalzahl 1 · 26 + 0 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77.

Die Umrechnung von einem Zahlensystem in ein anderes wird als Konvertierung bezeichnet. Werden mehrere Zahlensysteme gleichzeitig benutzt, so ist es zur Vermeidung von Irrt¨ umern u angen. ¨ blich, die Basis als Index anzuh¨ Beispiel: 1 001 1012 = 7710

Die Darstellung reeller Zahlen im Dualsystem ist analog der Darstellung im Dezimalsystem. Der Wert einer Ziﬀer innerhalb der Zahl ergibt sich dadurch, dass die n-te Stelle vor dem Komma mit 2n−1 und die m-te Stelle nach dem Komma mit 2−m multipliziert

28

1 Arithmetik

wird. Beispiel: 101 100 011, 10112 = 1 · 28 + 1 · 26 + 1 · 25 + 1 · 2 + 1 · 1 + 1 · 2−1 + 1 · 2−3 + 1 · 2−4 = 256 + 64 + 32 + 2 + 1 +

1 1 1 11 + + = 355 = 355, 687510 2 8 16 16

Dualsysteme sind sehr bedeutend in Elektrotechnik und Datenverarbeitung. Computer sind zeichenverarbeitende Maschinen. Die externen Zeichen (Buchstaben, Ziﬀern, Sonderzeichen) werden intern im Bin¨ arcode in Form von Bitfolgen dargestellt. Ein Bit (Abk¨ urzung von Binary Digit) ist die kleinste darstellbare Informationseinheit mit den Werten 0 und 1. Acht Bit werden zur n¨ achsth¨ oheren Einheit, dem Byte, zusammengefasst. Zahlen werden in Computern in mehreren aufeinanderfolgenden Bytes dargestellt. Die interne Durchf¨ uhrung arithmetischer Operationen erfolgt im Computer also im Dualsystem. Andere Zahlensysteme, die im Zusammenhang mit der Nutzung von Computern eine Rolle spielen, sind das Oktalsystem (Positionssystem zur Basis 8) mit den Ziﬀern 0,1,2,3,4,5,6,7 und das Hexadezimalsystem (Positionssystem zur Basis 16) mit den Ziﬀern 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F (die Buchstaben A,. . . ,F stehen f¨ ur die Werte 10,. . . ,15). 1.8.3

Runden

Als Dezimalstellen einer Dezimalzahl bezeichnet man die Stellen nach dem Komma. Runden ist das Verk¨ urzen einer Dezimalzahl, also die Darstellung einer Dezimalzahl mit einer vorgegebenen Anzahl von Dezimalstellen. Rundungsregel Ist die erste weggelassene Ziﬀer 0,1,2,3,4, dann bleibt die letzte geschriebene Ziﬀer unver¨andert. Ist die erste weggelassene Ziﬀer 5,6,7,8,9, dann erh¨oht sich die letzte geschriebene Ziﬀer um 1. Ist die gerundete Zahl kleiner als die urspr¨ ungliche Zahl (die erste weggelassene Ziﬀer ist dann 0,1,2,3 oder 4), spricht man von Abrunden. Ist die gerundete Zahl jedoch gr¨oßer als die urspr¨ ungliche Zahl (die erste weggelassene Ziﬀer ist dann 5,6,7,8 oder 9), so spricht man von Aufrunden. Beispiele: 1.

3, 456 ≈ 3, 46 (aufgerundet)

2.

23, 699 ≈ 23, 70 (aufgerundet)

3.

14, 3449 ≈ 14, 34 (abgerundet)

4.

17, 249 638 9 ≈ 17, 2496 (auf 4 Dezimalstellen gerundet)

1.9 1.9.1

Logarithmen Deﬁnition des Logarithmus

Eine Zahl der Form loga b (gesprochen: Logarithmus b zur Basis a) heißt Logarithmus. Dabei heißt b Numerus des Logarithmus und ist eine reelle Zahl gr¨oßer als 0, und a heißt Basis des Logarithmus und ist eine positive reelle Zahl ungleich 1.

1.9 Logarithmen

29

loga b

Logarithmus b zur Basis a

b>0

Numerus

a > 0, a = 1 Basis Der Logarithmus loga b ist deﬁniert als die eindeutige L¨osung x der Gleichung ax = b. loga b = x ⇔ ax = b Der Logarithmus x = loga b ist also der Exponent zu der Basis a, f¨ ur den die Potenz ax gleich dem Numerus b ist. Aus der Deﬁnition folgt (denn a1 = a und a0 = 1) loga a = 1

loga 1 = 0

Beispiele: 1. log2 8 = x

⇒ x=3

denn 23 = 8

2.

log4 16 = x

⇒ x=2

denn 42 = 16

3.

log7 7 = x

⇒ x=1

denn 71 = 7

4.

log5 1 = x

⇒ x=0

denn 50 = 1

5.

log3 81 = x

⇒ x=4

denn 34 = 81

6.

log5 5 = x

⇒ x=7

denn 57 = 57

7.

log10 1000 = x ⇒ x = 3

8.

log2 0, 5 = x

7

⇒ x = −1

loga 8 = 1 ⇒ a=8 1 = −3 ⇒ a = 5 10. loga 125 5 3 ⇒ a= 11. loga = −1 5 3 9.

12. log10 b = −1 5 13. log4 b = 2

1.9.2

⇒ b = 0, 1 ⇒ b = 32

denn 103 = 1000 1 denn 2−1 = = 0, 5 2 denn 81 = 8 1 denn 5−3 = 125 5 −1 3 = denn 3 5 1 = 0, 1 denn 10−1 = √ 10 5 denn 4 2 = 45 = 25 = 32

Spezielle Basen

Logarithmen zur Basis a = 10 heißen Zehnerlogarithmen oder dekadische Logarithmen oder briggssche Logarithmen (nach dem englischen Mathematiker Henry Briggs, 15561630). Man schreibt statt log10 b auch einfach lg b. log10 b = lg b Logarithmen mit der eulerschen Zahl e = 2, 718 281 82 . . . als Basis (vgl. Abschnitt 8.4.5) werden nat¨ urliche Logarithmen oder nepersche Logarithmen (nach dem schottischen Mathematiker John Neper (Napier), 1550-1617) genannt. Man schreibt ln b f¨ ur loge b. loge b = ln b

30

1 Arithmetik

Die eulersche Zahl e ist der Grenzwert der Folge (1 + n1 )n (vgl. Abschnitt 8.1.5): e = lim (1 + n1 )n = 2, 718 281 828 4 . . .. n→∞

Sie hat ihren Namen nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783). Die eulersche Zahl ist eine irrationale Zahl. Logarithmen zur Basis a = 2 heißen Zweierlogarithmen oder bin¨are Logarithmen oder duale Logarithmen. Man schreibt statt log2 b manchmal auch ld b. log2 b = ld b Beispiele: 1. log2 32 = ld 32 = x √ 2. ld 2 = x

denn 25 = 32 √ 1 denn 2 2 = 2

⇒ x=5 ⇒ x=

1 2

denn 104 = 10 000

3. log10 10 000 = lg 10 000 = x ⇒ x = 4 4. lg 0, 01 = x

⇒ x = −2

denn 10−2 = 0, 01

5. loge 5 = ln 5 = x

⇒ x = 1, 6094 . . .

denn e1,6094... = 5

1.9.3

Regeln der Logarithmenrechnung

1. Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren. Oder: Addiert man zum Logarithmus einer Zahl u den Logarithmus einer Zahl v, dann erh¨ alt man als Summe den Logarithmus des Produkts uv. loga (u · v) = loga u + loga v Beweis: Setze loga u = x, loga v = y ⇒ loga u + loga v = x + y ax = u, ay = v ⇒ u · v = ax · ay = ax+y ⇒ loga (u · v) = x + y Beispiel: log2 256 =ld 256 = ld (4 · 64) =ld 4+ld 64 = 2 + 6 = 8

2. Der Logarithmus eines Bruches (Quotienten) ist gleich der Diﬀerenz der Logarithmen von Z¨ahler (Dividend) und Nenner (Divisor). Oder: Subtrahiert man vom Logarithmus einer Zahl u den Logarithmus einer Zahl v, dann erh¨alt man als Diﬀerenz den Logarithmus des Bruches (Quotienten) uv . loga

u = loga u − loga v v

Beweis: Setze loga u = x, loga v = y ⇒ loga u − loga v = x − y u u ax ax = u, ay = v ⇒ = y = ax−y ⇒ loga = x − y v a v Beispiel: log3

9 = log3 9 − log3 243 = 2 − 5 = −3 243

3. Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem mit dem Exponenten multiplizierten Logarithmus der Basis. Oder: Multipliziert man den Logarithmus einer Zahl u mit einer Zahl r, dann erh¨ alt man den Logarithmus der Potenz ur . loga (ur ) = r · loga u

1.9 Logarithmen

31

Beweis: Setze loga u = x ⇒ ax = u ⇒ ur = (ax )r = arx ⇒ rx = loga (ur ) = r loga u Beispiele: 1. log2 83 = 3 log2 8 = 3 log2 23 = 3 · 3 = 9 2. lg 10 000 = lg 104 = 4 lg 10 = 4

4. Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem durch den Wurzelexponenten dividierten Logarithmus des Radikanden. Oder: Dividiert man den Logarithmus √ einer Zahl u durch eine Zahl n, dann erh¨ alt man den Logarithmus der Wurzel n u. loga

√ n

u=

1 loga u n

Beweis: √ √ 1 1 Wegen n u = u n folgt loga n u = loga u n =

1 n

· loga u aus der Potenzregel.

Beispiele: √ 1 1 3 1. log5 5 = log 5 5 = 3 3 √ 1 1 1 3 2. log2 64 = · log2 64 = · log2 26 = · 6 = 2 3 3 3

5. Aus den Regeln ergeben sich die folgenden Spezialf¨alle (denn loga loga v = 0 − loga v).

1 v

= loga 1 −

loga (ar ) = r

loga

1.9.4

1 = − loga v v

Zusammenhang von Logarithmen mit verschiedenen Basen

F¨ ur Logarithmen mit verschiedenen Basen a und c gilt folgende Umrechnungsregel loga u =

logc u logc a

Beweis: Setze loga u = x. Es folgt ax = u, also auch logc ax = logc u. Nach der Potenzregel logc u . Wegen x = loga u folgt die ergibt sich x logc a = logc u und nach x aufgel¨ ost x = logc a logc u . Behauptung: loga u = logc a Logarithmen zu verschiedenen Basen (a und c) unterscheiden sich also nur durch einen konstanten Faktor ( log1 a ). c

F¨ ur c = u = b ergibt sich der Spezialfall loga b =

1 logb a

32

1 Arithmetik

Beispiele: 1 1 · lg u = · lg u 1. ln u = lg e 0, 4342 . . . 1 1 2. lg u = · ln u = · ln u ln 10 2, 3025 . . . 1 1 3. log5 u = · lg u = · lg u lg 5 0, 6989 . . . 1 1 4. ln 1000 = · lg 1000 ≈ · 3 ≈ 6, 907 755 279 lg e 0, 434 294 481 9

1.9.5

Dekadische Logarithmen

Die dekadischen Logarithmen (auch Briggssche Logarithmen oder Zehnerlogarithmen genannt) haben den Vorteil, dass man mit den Logarithmen der Dezimalzahlen zwischen 1 und 10 u ugt. ¨ ber die Logarithmen aller positiven reellen Zahlen verf¨ Begr¨ undung: Jede reelle Zahl x l¨ asst sich durch Abspalten einer Zehnerpotenz 10k mit ¯ mit 1 ≤ x ¯ < 10 schreiben. Dabei ist x ¯ ganzzahligem k in der Form x = 10k · x durch die Ziﬀernfolge von x bestimmt, w¨ ahrend 10k die Gr¨oßenordnung von x angibt. Logarithmieren ergibt lg x = lg(10k · x ¯) = lg(10k ) + lg x ¯ = k + lg x ¯ mit 0 ≤ lg x ¯<1 (also lg x ¯ = 0, . . .). Man nennt k die Kennzahl und die Ziﬀernfolge hinter dem Komma von lg x¯ die Mantisse des Logarithmus von x. Von einer vor dem Komma n-stelligen Zahl ist die Kennzahl n − 1 (also um 1 kleiner). F¨ ur Zahlen kleiner als 1 sind die Kennzahlen negativ. Logarithmentafeln enthalten in der Regel nur die Mantisse. Alle Zahlen, die sich nur durch Zehnerpotenzen unterscheiden, haben die gleiche Mantisse, aber unterschiedliche Kennzahlen. Beispiele: 1.

lg 2250 = lg(1000 · 2, 25) = lg(103 · 2, 25) = lg 103 + lg 2, 25 ≈ 3 + 0, 3522 = 3, 3522

2.

lg 0, 0315 = lg(3, 15 ·

3.

lg 2000 = lg(103 · 2) = lg 103 + lg 2 ≈ 3 + 0, 3010 = 3, 3010, lg 200 ≈ 2, 3010, lg 20 ≈ 1, 3010, lg 2 ≈ 0, 3010, lg 0, 2 ≈ 0, 3010 − 1, lg 0, 02 ≈ 0, 3010 − 2, lg 0, 002 ≈ 0, 3010 − 3

1.10 1.10.1

1 ) 100

= lg(3, 15 · 10−2 ) = lg 3, 15 + lg 10−2 ≈ 0, 4983 − 2

Mittelwerte Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel x ¯a = x¯ zweier reeller Zahlen a und b ist die H¨alfte ihrer Summe. x ¯=

a+b 2

Das arithmetische Mittel x ¯a = x ¯ von n reellen Zahlen a1 , a2 , . . . , an ist x ¯=

a1 + a2 + . . . + an n

1.10 Mittelwerte

33

Beispiele: 1. 2.

3 + 17 = 10. 2 Das arithmetische Mittel von 6, −4, 3, 12, 5, 2 ist 6 − 4 + 3 + 12 + 5 + 2 = 4. 6 Das arithmetische Mittel von 3 und 17 ist

1.10.2

Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel x ¯g zweier positiver reeller Zahlen a und b ist die Quadratwurzel aus ihrem Produkt. √ x ¯g = a · b Das geometrische Mittel x ¯g von n positiven reellen Zahlen a1 , a2 , . . . , an ist x ¯g =

√ n

a 1 · a2 · . . . · a n

Beispiele: 1.

Das geometrische Mittel von 3 und 12 ist

2.

Das geometrische Mittel von 3,5,9,15 ist

1.10.3

√ √ 4

3 · 12 = 6.

3 · 5 · 9 · 15 =

√ 4

√ 2025 = 3 4 25.

Harmonisches Mittel

Das harmonische Mittel x ¯h zweier von Null verschiedener reeller Zahlen a und b ist Zwei geteilt durch die Summe ihrer Kehrwerte. x ¯h =

1 a

2 +

1 b

Das harmonische Mittel x ¯h von n von Null verschiedenen reellen Zahlen a1 , a2 , . . . , an ist x ¯h =

1 a1

+

1 a2

n + ... +

1 an

Beispiele: 1.

Das harmonische Mittel von 3 und 6 ist

2.

Das harmonische Mittel von 3, 4, 6, 12 ist

1.10.4

1 3

2 + 1 3

=

1 6

+

1 4

4 +

2 1 2 1 6

= 4.

+

1 12

=

4 10 12

=

24 = 4, 8. 5

Quadratisches Mittel

Das quadratische Mittel x ¯q zweier reeller Zahlen a und b ist die Quadratwurzel der halben Summe ihrer Quadrate. a2 + b 2 x ¯q = 2

34

1 Arithmetik

Das quadratische Mittel x ¯q von n reellen Zahlen a1 , a2 , . . . , an ist x ¯q =

a21 + a22 + . . . + a2n n

Beispiele: 1.

Das quadratische Mittel von 1 und 7 ist

12 +72 2

2.

Das quadratische Mittel von 2, 6, 10, 16 ist

1.11 1.11.1

=

√

25 = 5.

22 +62 +102 +162 4

=

396 4

=

√ 99.

Ungleichungen Deﬁnitionen und Rechenregeln

Zwischen zwei reellen Zahlen a und b besteht genau eine der drei Beziehungen: a = b (a ist gleich b), a b (a ist gr¨oßer als b). Der Winkelhaken ist dabei immer nach der gr¨ oßeren Seite hin ge¨ oﬀnet. a, b ∈ IR : a = b oder a b Wegen dieser Eigenschaft nennt man die Menge IR der reellen Zahlen geordnet. Im Falle a = b (a ungleich b) gilt genau eine der beiden Ungleichungen a b. a = b ⇒ a b Die Ungleichung a ≤ b bedeutet, dass a kleiner oder gleich b ist (a ist also nicht gr¨oßer als b), und die Ungleichung a ≥ b bedeutet entsprechend, dass a gr¨oßer oder gleich b ist (b ist also nicht gr¨ oßer als a). Ist a < b und b < c, dann kann man die beiden Ungleichungen fortlaufend schreiben: a < b < c. Man nennt dies fortlaufende Ungleichung oder Ungleichungskette. a < b < c ⇔ a < b und b < c Entsprechend schreibt man zum Beispiel a < x und x ≤ b zusammenfassend als a < x ≤ b. Fortlaufende Ungleichungen werden oft benutzt, um einen Bereich oder ein Intervall anzugeben, aus dem eine Gr¨ oße x gew¨ ahlt werden darf oder gew¨ahlt werden soll. Eigenschaften von Ungleichungen: 1. a ≤ a (Reﬂexivit¨ at) 2. a ≤ b und b ≤ c ⇒ a ≤ c (Transitivit¨ at) 3. a ≤ b und b ≤ a ⇒ a = b (Antisymmetrie) Rechenregeln f¨ ur Ungleichungen: •

Eine Ungleichung kann von beiden Seiten gelesen werden: a a f¨ ur alle a, b ∈ IR

1.11 Ungleichungen

35

•

Auf beiden Seiten einer Ungleichung darf dieselbe Zahl addiert werden: a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c f¨ ur alle a, b, c ∈ IR • Zwei gleichgerichtete Ungleichungen d¨ urfen addiert werden: a ≤ b und c ≤ d ⇒ a + c ≤ b + d f¨ ur alle a, b, c, d ∈ IR, a < b und c ≤ d ⇒ a + c < b + d f¨ ur alle a, b, c, d ∈ IR • Eine Ungleichung darf mit einer nichtnegativen Zahl multipliziert werden: a ≤ b und c ≥ 0 ⇒ ac ≤ bc f¨ ur alle a, b ∈ IR Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, so dreht sich das Ungleichheitszeichen um: a ≤ b und c ≤ 0 ⇒ ac ≥ bc f¨ ur alle a, b ∈ IR • Bildet man auf beiden Seiten einer Ungleichung den Kehrwert, so dreht sich das Ungleichheitszeichen um: 1 1 a≤b ⇒ ≥ f¨ ur alle a, b ∈ IR∗ a b

Aus der Multiplikationsregel folgt im besonderen (Multiplikation mit −1), dass das Vertauschen der Vorzeichen auf beiden Seiten einer Ungleichung das Ungleichheitszeichen umdreht: a −b. Beispiele: 1.

3 ≤ 3; 5 ≥ 5; −12, 2 ≤ −12, 2

2.

3 ≤ 5, 5 ≤ 6 ⇒ 3 ≤ 6;

3.

3 ≤ 3, 3 ≥ 3 ⇒ 3 = 3

4.

3 < 5 ⇔ 5 > 3; −1 > −2 ⇔ −2 < −1

5.

5 ≤ 7 ⇒ 5 + 2 ≤ 7 + 2;

6.

3 < 4, 7 < 9 ⇒ 3 + 7 < 4 + 9;

−4 ≥ −5, −5 ≥ −7, 1 ⇒ −4 ≥ −7, 1

4> 1 ⇒ 4−3 > 1−3 4 ≥ 3, −2 ≥ −5 ⇒ 4 − 2 ≥ 3 − 5

7.

5 ≤ 7 ⇒ 5 · 3 ≤ 7 · 3;

8.

4 > 2 ⇒ 4 · (−2) < 2 · (−2); 6 ≤ 7 ⇒ 6 · (−1) ≥ 7 · (−1) ⇒ −6 ≥ −7 1 1 1 1 2<3 ⇒ > ; −5 > −6 ⇒ − < − 2 3 5 6

9.

1.11.2

−3 > −4 ⇒ −3 · 2 > −4 · 2

Absolutbetrag

Der Betrag oder Absolutbetrag |a| einer Zahl a stellt auf der Zahlengeraden den Abstand der Zahl a vom Nullpunkt dar. Da Abst¨ ande nicht negativ sind, gilt |a| = a f¨ ur a ≥ 0 und |a| = −a f¨ ur a < 0. a f¨ ur a ≥ 0 |a| = −a f¨ ur a < 0 Betr¨age sind nicht negativ. Eigenschaften: 1. | − a| = |a| 2. |a| ≥ 0; |a| = 0 ⇔ a = 0

36

1 Arithmetik

3. |a · b| = |a| · |b| a |a| 4. = f¨ ur b = 0; b |b|

1 = 1 f¨ b |b| ur b = 0 1 1 ur n ∈ IN; n = n f¨ ur n ∈ IN, a = 0 5. |an | = |a|n f¨ a |a| 6. |a + b| ≤ |a| + |b| (sogenannte Dreiecksungleichung) Beispiele: 1.

|4, 3| = 4, 3; | − 2| = 2; | − π| = π; |0| = 0

2.

|3 · 4| = |3| · |4| = 3 · 4 = 12; |(−3) · 4| = | − 3| · |4| = 3 · 4 = 12

3.

−2 | − 2| 2 = ; =

1 1 1 = = 3 |3| 3 −4 | − 4| 4 1 5 5 5 = 1 = 1 4. |(−3) | = | − 3| = 3 ; (−2)3 | − 2|3 23 5.

|4 + 2| ≤ |4| + |2| ⇒ 6 ≤ 4 + 2 = 6;

1.11.3

|5 − 3| ≤ |5| + | − 3| ⇒ 2 ≤ 5 + 3 = 8

Intervalle

Es seien a und b zwei reelle Zahlen mit a < b. Die Menge aller reellen Zahlen x, die die fortlaufende Ungleichung a < x < b erf¨ ullen, heißt Intervall oder Zahlenintervall mit den Endpunkten oder Randpunkten a und b (genauer: oﬀenes und beschr¨anktes Intervall). Geh¨ ort der Randpunkt nicht selbst zum Intervall, so spricht man von einem oﬀenen Intervallende, im entgegengesetzten Fall von einem abgeschlossenen Intervallende. Die Angabe eines Intervalls erfolgt durch seine Randpunkte a und b, indem diese in Klammern gesetzt werden. Eine eckige Klammer steht f¨ ur ein abgeschlossenes Intervallende, eine runde f¨ ur ein oﬀenes Intervallende. Geh¨ oren beide Randpunkte zu dem Intervall, so heißt es abgeschlossen. Geh¨ ort nur einer der Randpunkte (also entweder a oder b) zum Intervall, so heißt es halboﬀen. Geh¨ ort keiner der Randpunkte zum Intervall, so heißt es oﬀen. Intervalle dienen der Beschreibung von Zahlenmengen. Man unterscheidet beschr¨ankte und nicht beschr¨ankte Intervalle. Bei einem beschr¨ankten Intervall sind die Intervallgrenzen a und b reelle Zahlen. Es besteht aus allen reellen Zahlen x, die zwischen diesen beiden Grenzen liegen.

Beschr¨ ankte Intervalle

[a, b]

=

{x|x ∈ IR und a ≤ x ≤ b}

(abgeschlossenes Intervall)

(a, b)

=

{x|x ∈ IR und a < x < b}

(oﬀenes Intervall)

[a, b)

=

{x|x ∈ IR und a ≤ x < b}

(halboﬀenes Intervall)

(a, b]

=

{x|x ∈ IR und a < x ≤ b}

(halboﬀenes Intervall)

Das Symbol mit der Schreibweise ∞ heißt unendlich und steht f¨ ur beliebig groß“. Das ” Symbol −∞ heißt entsprechend minus unendlich und steht f¨ ur beliebig klein“. Die Sym” bole ∞ und −∞ sind keine reellen Zahlen; −∞ ist kleiner als jede reelle Zahl, ∞ ist gr¨oßer als jede reelle Zahl. Bei einem nicht beschr¨ ankten Intervall ist mindestens eine der Intervallgrenzen −∞ oder ∞. Solche Intervalle k¨ onnen durch eine Ungleichung beschrieben werden.

1.12 Komplexe Zahlen

Nicht beschr¨ ankte Intervalle

37

[a, ∞)

=

{x|x ∈ IR und x ≥ a}

(halboﬀenes Intervall, nach rechts unbeschr¨ ankt)

(a, ∞)

=

{x|x ∈ IR und x > a}

(oﬀenes Intervall, nach rechts unbeschr¨ ankt)

(−∞, a]

=

{x|x ∈ IR und x ≤ a}

(halboﬀenes Intervall, nach links unbeschr¨ ankt)

(−∞, a)

=

{x|x ∈ IR und x < a}

(oﬀenes Intervall, nach links unbeschr¨ ankt)

(−∞, ∞)

=

{x|x ∈ IR}

(oﬀenes Intervall, nach links und nach rechts unbeschr¨ ankt)

Beispiele: 1. [3, 4] = {x|x ∈ IR und 3 ≤ x ≤ 4} Alle reellen Zahlen zwischen 3 und 4; sowohl 3 als auch 4 geh¨ oren zum Intervall. 2. [3, 4) = {x|x ∈ IR und 3 ≤ x < 4} Alle reellen Zahlen zwischen 3 und 4; 3 geh¨ ort zum Intervall, 4 jedoch nicht. 3. (3, 4] = {x|x ∈ IR und 3 < x ≤ 4} Alle reellen Zahlen zwischen 3 und 4; 3 geh¨ ort nicht zum Intervall, aber 4. 4. (3, 4) = {x|x ∈ IR und 3 < x < 4} Alle reellen Zahlen zwischen 3 und 4; weder 3 noch 4 geh¨ oren zum Intervall. 5. [3, ∞) = {x|x ∈ IR und x ≥ 3} Alle reellen Zahlen gr¨ oßer oder gleich 3 geh¨ oren zum Intervall (3 geh¨ ort dazu). 6. (3, ∞) = {x|x ∈ IR und x > 3} Alle reellen Zahlen gr¨ oßer als 3 geh¨ oren zum Intervall (3 geh¨ ort nicht dazu). 7. (−∞, 4] = {x|x ∈ IR und x ≤ 4} Alle reellen Zahlen kleiner oder gleich 4 geh¨ oren zum Intervall (4 geh¨ ort dazu). 8. (−∞, 4) = {x|x ∈ IR und x < 4} Alle reellen Zahlen kleiner als 4 geh¨ oren zum Intervall (4 geh¨ ort nicht dazu). 9. (−∞, ∞) = {x|x ∈ IR} Alle reellen Zahlen geh¨ oren zum Intervall.

1.12

Komplexe Zahlen

1.12.1

Algebraische Form

Im Bereich Zahlen besitzt die Gleichung x2 + 1 = 0 keine L¨osung. Ebenso √ der reellen √ stellen −3 oder 4 −6 keine reellen Zahlen dar. Falls eine quadratische Gleichung keine reelle L¨osung besitzt, ist es trotzdem m¨oglich, L¨osungen anzugeben und zwar komplexe Zahlen als L¨osungen. Zur Darstellung dieser komplexen Zahlen wird eine Erweiterung des Bereichs der reellen Zahlen vorgenommen. Ausgangspunkt ist die imagin¨ are Einheit i, deren Quadrat gleich −1 ist: i2 = −1. Imagin¨are Einheit i F¨ ur die imagin¨are Einheit gilt

i2 = −1

38

1 Arithmetik

i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1 i4n−3 = i, i4n−2 = −1, i4n−1 = −i, i4n = 1 (n ∈ IN) Die Zahlen i und −i sind L¨ osungen der quadratischen Gleichung x2 + 1 = 0. Mit dieser imagin¨ aren Einheit i und zwei reellen Zahlen a und b stellt z = a + bi eine komplexe Zahl dar. z = a + bi, a, b ∈ IR, i2 = −1 Eine komplexe Zahl z besteht also aus einem reellen Teil a (Realteil) und einem imagin¨ aren Teil b (Imagin¨ arteil). Wenn a und b alle m¨ oglichen reellen Werte durchlaufen, dann werden alle m¨oglichen komplexen Zahlen z erzeugt. Alle komplexen Zahlen bilden zusammen die Menge C der komplexen Zahlen. C = {z = a + bi|a, b ∈ IR} Komplexe Zahlen z mit Realteil gleich 0 (also a = 0) heißen imagin¨are Zahlen, die komplexen Zahlen z mit Imagin¨ arteil gleich 0 (also b = 0) sind die reellen Zahlen. Die komplexen Zahlen umfassen also die imagin¨ aren Zahlen und die reellen Zahlen. z = a + bi

komplexe Zahlen

z = bi (a = 0) imagin¨are Zahlen z = a (b = 0)

reelle Zahlen

Komplexe Zahlen z = a + bi und z¯ = a − bi, also mit gleichem Realteil und entgegengesetzt gleichem Imagin¨ arteil, heißen konjugiert komplex. Komplexe Zahlen sind nicht mehr auf einer Zahlengeraden, sondern nur noch in einer Zahlenebene, der sogenannten gaußschen Zahlenebene, darstellbar (Name nach dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß, 1777-1855). imagin¨ are Achse z1 = a1 + b1 i

b1 i

i a2 −1

z2 = a2 + b2 i

0 1 −i

a1

reelle Achse

b2 i

Abbildung 1.1 Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene

1.12 Komplexe Zahlen

39

Dabei wird in einem kartesischen Koordinatensystem der Ebene (siehe Abschnitt 7.1.1) der Realteil a von z auf der Abszissenachse und der Imagin¨arteil b von z auf der Ordinatenachse abgetragen. Jeder komplexen Zahl entspricht ein Punkt der Ebene und umgekehrt. Die Zuordnung von Zahl und Punkt ist eineindeutig. Die reellen Zahlen liegen auf der Abszissenachse, die imagin¨ aren Zahlen liegen auf der Ordinatenachse. Deshalb nennt man die Abszissenachse auch reelle Achse und die Ordinatenachse imagin¨are Achse. Die Darstellung einer komplexen Zahl in der Form z = a + bi, bei der kartesische Koordinaten verwendet werden, heißt algebraische Form. Daneben gibt es f¨ ur die Darstellung der komplexen Zahlen die trigonometrische Form und die Exponentialform.

imagin¨ are Achse z = a + bi

bi

i −1 0 −i

−bi

1

a

reelle Achse

z = a − bi

Abbildung 1.2 Konjugiert komplexe Zahlen z und z¯ in algebraischer Form

1.12.2

Trigonometrische Form

Neben der Darstellung der komplexen Zahlen in algebraischer Form gibt es die Darstellung in trigonometrischer Form (vgl. Abschnitt 6): z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dabei heißt r Modul oder Absolutbetrag (also r = |z|) und ϕ Argument der komplexen Zahl z. Der (orientierte) Winkel ϕ wird im Bogenmaß (vgl. Abschnitt 3.10.9) gemessen und ist nur bis auf Vielfache von 2π bestimmt. Deshalb w¨ahlt man meist f¨ ur ϕ das halboﬀene Intervall [0, 2π), also 0 ≤ ϕ < 2π. z = r(cos ϕ + i sin ϕ), r ∈ IR, r ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π F¨ ur ϕ = 0 ergeben sich die positiven reellen Zahlen, f¨ ur ϕ = π die negativen reellen Zahlen, f¨ ur ϕ = π2 die positiven imagin¨ aren Zahlen und f¨ ur ϕ = 32 π die negativen imagin¨aren Zahlen. Statt trigonometrischer Form sagt man mitunter auch goniometrische Form der komplexen Zahlen.

40

1 Arithmetik imagin¨ are Achse z b (Imagin¨arteil)

bi ul) od M r(

i ϕ 0

(Argument) a (Realteil)

a

reelle Achse

Abbildung 1.3 Algebraische und trigonometrische Form einer komplexen Zahl z

F¨ ur die Darstellung der komplexen Zahlen in der Ebene werden f¨ ur die trigonometrische Form Polarkoordinaten (siehe Abschnitt 7.1.2) verwendet, wohingegen f¨ ur die algebraische Form kartesische Koordinaten (siehe Abschnitt 7.1.1) benutzt werden. F¨ ur den Zusammenhang zwischen algebraischer und trigonometrischer Form gilt b a2 + b2 , tan ϕ = a a = r cos ϕ, b = r sin ϕ r=

Derselbe Zusammenhang gilt f¨ ur die kartesischen Koordinaten und die Polarkoordinaten eines Punktes in der Ebene. Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren und Radizieren komplexer Zahlen lassen sich in der trigonometrischen Form einfacher durchf¨ uhren.

1.12.3

Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen z1 = a1 +b1 i und z2 = a2 +b2 i werden addiert, indem man die Realteile addiert und die Imagin¨ arteile addiert. z1 + z2 = (a1 + b1 i) + (a2 + b2 i) = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i Komplexe Zahlen z1 = a1 + b1 i und z2 = a2 + b2 i werden voneinander subtrahiert, indem man die Realteile subtrahiert und die Imagin¨ arteile subtrahiert. z1 − z2 = (a1 + b1 i) − (a2 + b2 i) = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i

1.12 Komplexe Zahlen

41 imagin¨ are Achse z1 + z 2 #

z2

z1 # # 0

reelle Achse z1 − z2

Abbildung 1.4 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen z1 und z2 (die mit # gekennzeichneten Strecken sind parallel und gleich lang)

Die Summe konjugiert komplexer Zahlen z = a + bi und z¯ = a − bi ist reell, die Diﬀerenz konjugiert komplexer Zahlen ist imagin¨ ar. z + z¯ = (a + bi) + (a − bi) = 2a, z − z¯ = (a + bi) − (a − bi) = 2bi Beispiele: 1.

z1 + z2 = (2, 66 + 0, 89i) + (−0, 81 + 1, 49i) = 1, 85 + 2, 38i

2.

z1 − z2 = (2, 66 + 0, 89i) − (−0, 81 + 1, 49i) = 3, 47 − 0, 60i

3.

z + z¯ = (2, 4 + 0, 9i) + (2, 4 − 0, 9i) = 4, 8

4.

z − z¯ = (2, 4 + 0, 9i) − (2, 4 − 0, 9i) = 1, 8i

1.12.4

Multiplizieren komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen z1 = a1 + b1 i und z2 = a2 + b2 i in algebraischer Form werden wie algebraische Summen multipliziert (denn z1 · z2 = (a1 + b1 i)(a2 + b2 i) = a1 a2 + a1 b2 i + b1 a2 i + b1 b2 i2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i wegen i2 = −1). z1 · z2 = (a1 + b1 i)(a2 + b2 i) = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i Das Produkt konjugiert komplexer Zahlen ist reell. z · z¯ = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 Beispiele: 1.

z1 · z2 = (3 + 4i)(5 − 2i) = (3 · 5 − 4 · (−2)) + (3 · (−2) + 5 · 4)i = 23 + 14i

2.

z · z¯ = (2, 4 + 0, 9i)(2, 4 − 0, 9i) = (2, 4)2 + (0, 9)2 = 5, 76 + 0, 81 = 6, 57

Komplexe Zahlen z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) und z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) in trigonometrischer Form werden multipliziert, indem man die Moduln (r1 und r2 ) multipliziert und die Argumente (ϕ1 und ϕ2 ) addiert. z 1 · z2

= r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) · r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )]

42

1 Arithmetik

Beweis: z1 · z2 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) · r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) = r1 r2 [(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 ) + (cos ϕ1 sin ϕ2 + sin ϕ1 cos ϕ2 )i] = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )], denn cos ϕ1 cos ϕ2 −sin ϕ1 sin ϕ2 = cos(ϕ1 +ϕ2 ) und cos ϕ1 sin ϕ2 +sin ϕ1 cos ϕ2 = sin(ϕ1 + ϕ2 ) (siehe Abschnitt 6.6). Beispiele: 3.

4.

z1 = 3(cos 20◦ + i sin 20◦ ), z2 = 7(cos 65◦ + i sin 65◦ ) ⇒ z1 · z2 = 3(cos 20◦ + i sin 20◦ ) · 7(cos 65◦ + i sin 65◦ ) = 21(cos 85◦ + i sin 85◦ ) 5√ 5 13 13 √ 3 + i; z2 = 13(cos 60◦ + i sin 60◦ ) = 3i + z1 = 5(cos 30◦ + i sin 30◦ ) = 2 2 2 2 √ 1 1 (denn sin 30◦ = cos 60◦ = und sin 60◦ = cos 30◦ = 3 ). Es folgt 2◦ 2 ◦ ◦ ◦ z1 · z2 = 5(cos 30 + i sin 30 ) · 13(cos 60 + i sin 60 ) = 65(cos 90◦ + i sin 90◦ ) = 65i oder √

65 √ 13 √ 65 5 65 √ 5 13 65 · 3 3+ i 3i = 3− 3+ i = 65i + + z1 · z2 = 2 2 2 2 4 4 4 4

1.12.5

Dividieren komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen z1 = a1 + b1 i und z2 = a2 + b2 i in algebraischer Form werden dividiert, indem man mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners (Divisors) erweitert. z1 a 1 a2 + b 1 b2 a1 + b1 i b1 a2 − a1 b2 = = + i 2 2 z2 a2 + b 2 i a2 + b 2 a22 + b22

(z2 = 0)

Beweis: a1 + b 1 i z1 (a1 + b1 i)(a2 − b2 i) a1 a2 + b1 b2 + (b1 a2 − a1 b2 )i = = = z2 a2 + b 2 i (a2 + b2 i)(a2 − b2 i) a22 + b22 a 1 a2 + b 1 b 2 b1 a2 − a1 b2 = + i a22 + b22 a22 + b22 Der Quotient konjugiert komplexer Zahlen ist wieder eine komplexe Zahl. 2ab z a + bi a2 − b 2 + 2 i (z = 0) = = 2 z¯ a − bi a + b2 a + b2 Beispiele: 1.

2.

3.

3 · 5 + 4 · (−2) 4 · 5 − 3 · (−2) 20 + 6 7 26 3 + 4i 15 − 8 z1 = + i= + i = + i= z2 5 − 2i 52 + (−2)2 52 + (−2)2 25 + 4 25 + 4 29 29 z z¯

2 · 2, 4 · 0, 9 2, 4 + 0, 9i (2, 4)2 − (0, 9)2 + i = 2, 4 − 0, 9i (2, 4)2 + (0, 9)2 (2, 4)2 + (0, 9)2 5, 76 − 0, 81 4, 32 4, 95 4, 32 = + i= + i 5, 76 + 0, 81 5, 76 + 0, 81 6, 57 6, 57

=

1 · (−i) 1 = = −i i i · (−i)

1.12 Komplexe Zahlen

43

Komplexe Zahlen z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) und z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) in trigonometrischer Form werden dividiert, indem man die Moduln (r1 und r2 ) dividiert und die Argumente (ϕ1 und ϕ2 ) subtrahiert. r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) z1 r1 = = [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )] z2 r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) r2 Beweis: r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) z1 r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )(cos ϕ2 − i sin ϕ2 ) = = z2 r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )(cos ϕ2 − i sin ϕ2 ) r1 cos ϕ1 cos ϕ2 + sin ϕ1 sin ϕ2 + (sin ϕ1 cos ϕ2 − cos ϕ1 sin ϕ2 ) i r2 sin2 ϕ2 + cos2 ϕ2 r1 = [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )] r2 denn cos ϕ1 cos ϕ2 +sin ϕ1 sin ϕ2 = cos(ϕ1 −ϕ2 ), sin ϕ1 cos ϕ2 −cos ϕ1 sin ϕ2 = sin(ϕ1 −ϕ2 ) und sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1 (siehe Abschnitt 6.6). =

Beispiele: 4.

5.

z1 = 3(cos 20◦ + i sin 20◦ ), z2 = 7(cos 65◦ + i sin 65◦ ) 7(cos 65◦ + i sin 65◦ ) 7 z2 = (cos 45◦ + i sin 45◦ ) = ⇒ z1 3(cos 20◦ + i sin 20◦ ) 3 5√ 5 z1 = 5(cos 30◦ + i sin 30◦ ) = 3 + i, 2 2 13 √ 13 ◦ ◦ z2 = 13(cos 60 + i sin 60 ) = + 3i 2 2 Es folgt z1 z2

5(cos 30◦ + i sin 30◦ ) 5 = (cos(−30◦ ) + i sin(−30◦ )) 13(cos 60◦ + i sin 60◦ ) 13

5 1√ 1 5 √ 5 5 3− i = 3− = (cos 30◦ − i sin 30◦ ) = i 13 13 2 2 26 26

=

oder z1 z2

=

=

1.12.6

5 2 13 2 65 4

√

√

5 3 + 52 i 13 − 13 3i 2 2 2 3 + 52 i

√ = √ √

13 + 13 3i 2 + 13 3 i 13 − 13 3i 2 2 2 2 √ √ 3 − 65 · 3 i + 65 i + 65 3 5 5 √ 4 4 4 3− = i 169 26 26 √

Potenzieren komplexer Zahlen

Ist n eine nichtnegative ganze Zahl, so wird die n-te Potenz z n von z wie u ¨ blich durch z 0 = 1, z n = z n−1 · z deﬁniert. Beispiele: 1. 2.

z 3 = (a + bi)2 (a + bi) = a3 − 3ab2 + (3a2 b − b3 ) i z4

= (a + bi)3 (a + bi) = [a3 − 3ab2 + (3a2 b − b3 )i](a + bi) = a4 − 6a2 b2 + b4 + (4a3 b − 4ab3 ) i

44

1 Arithmetik

Einfacher l¨asst sich das Potenzieren komplexer Zahlen in der trigonometrischen Form durchf¨ uhren. Mit Hilfe der Additionstheoreme f¨ ur die trigonometrischen Funktionen (vgl. Abschnitt 6.6) erh¨ alt man die Formel von Moivre (nach dem franz¨osischen Mathematiker Abraham de Moivre, 1667-1754). z n = [r(cos ϕ + i sin ϕ)]n = rn (cos nϕ + i sin nϕ) (n ∈ IN) Eine komplexe Zahl in trigonometrischer Form wird also in die n-te Potenz erhoben, indem man den Modul (r) in die entsprechende Potenz r n erhebt und das Argument (ϕ) mit dem Exponenten n multipliziert. Beispiel: 3.

z = 5(cos 30◦ + i sin 30◦ ) = z4

=

√ 5 2

5√ 5 3+ i 2 2

4

3+

√ 4 5

5 i 2

√ 2 2 5 5

4

√ 3 5 5

5√ 5 3 3 i 2 2 2 2 2 2 2 √ √ 625 · 9 4 · 125 · 3 · 3 · 5 6 · 25 · 3 · 25 625 4 · 5 · 3 · 125 = i − + + − 16 4·4 16 8·2 2·8 √ 625 625 · 3 =− + i 2 2 =

z4

3

−6

3

+

5 2

+ 4

3

·

−4

= [5(cos 30◦ + i sin 30◦ )]4 = 54 (cos 120◦ + i sin 120◦ ) 1√ 625 · 1 625 + 3 i) = − = 5 (− sin 30 + i cos 30 ) = 5 (− + 2 2 2 2 4

◦

◦

4

√

3

i

Die Moivresche Formel l¨ asst sich durch vollst¨ andige Induktion beweisen. Ihre G¨ ultigkeit l¨ asst sich schrittweise bis auf reelle Exponenten ausdehnen. 1.12.7

Radizieren komplexer Zahlen √ Die n-te Wurzel n z einer komplexen Zahl z ist deﬁniert als eine komplexe Zahl w, deren n-te Potenz gleich z ist, also eine L¨ osung der Gleichung wn = z. Setzt man z = r(cos ϕ + i sin ϕ) und w = ρ(cos ψ + i sin ψ), dann folgt mit der Formel von Moivre wn = ρn (cos nψ + i sin nψ) und wegen wn = z = r(cos√ϕ + i sin ϕ) weiter ρn = r, cos nψ = cos ϕ, sin nψ = sin ϕ. Aus ρn = r ergibt sich ρ = n r, w¨ahrend es f¨ ur cos nψ = cos ϕ, sin nψ = sin ϕ wegen cos ϕ = cos(ϕ + 2kπ), sin ϕ = sin(ϕ + 2kπ) genau ϕ + 2(k − 1)π n verschiedene L¨osungen ψk = , k = 1, 2, 3, . . . , n, gibt. n Somit gilt: F¨ ur n ∈ IN besitzt die Gleichung wn = z = r(cos ϕ + i sin ϕ) genau n verschiedene L¨osungen w1 , w2 , . . . , wn (die n-ten Wurzeln aus z). wk =

√ ϕ + 2(k − 1)π ϕ + 2(k − 1)π

n , k = 1, 2, . . . , n r cos + i sin n n

Die n-te Wurzel aus z ist also nicht eindeutig. F¨ ur k = 1 ergibt sich der sogenannte Hauptwert w1 der n-ten Wurzel.

1.12 Komplexe Zahlen

Hauptwert

45

w1 =

√ ϕ ϕ

n r cos + i sin n n

Stellt man die n-ten Wurzeln wk , k = 1, 2, 3, . . . , n in der Gaußschen Zahlenebene dar, so ergeben sich die Eckpunkte eines regelm¨ aßigen n-Ecks mit dem Mittelpunkt√im Koordinatenursprung. Die Punkte liegen auf einem Kreis mit dem Radius ρ = n r. Der ϕ 2π Hauptwert w1 besitzt das Argument . Durch wiederholte Drehung um den Winkel n n erh¨alt man die weiteren L¨ osungen. Beispiel: z = 2, 985 984(cos 60◦ + i sin 60◦ ) = (1, 2)6 (cos 60◦ + i sin 60◦ ), n = 6 √ 60◦ ϕ Wegen n r = 6 (1, 2)6 = 1, 2 und = = 10◦ lauten die sechsten Wurzeln aus z: n 6 w2 = 1, 2(cos 70◦ + i sin 70◦ ) w1 = 1, 2(cos 10◦ + i sin 10◦ ), ◦ ◦ w4 = 1, 2(cos 190◦ + i sin 190◦ ) w3 = 1, 2(cos 130 + i sin 130 ), ◦ ◦ w6 = 1, 2(cos 310◦ + i sin 310◦ ) w5 = 1, 2(cos 250 + i sin 250 ),

imagin¨ are Achse z

w2

r

w3 ϕ 0

w4

√ 6

w1 reelle Achse

r w6

w5 Abbildung 1.5 Die sechsten Wurzeln w1 , w2 , . . . , w6 aus z = (1, 2)6 (cos 60◦ + i sin 60◦ )

Die n-ten Wurzeln aus z = 1 sind die sogenannten n-ten Einheitswurzeln. n-te Einheitswurzeln

L¨ osungen von wn = z = 1

Beispiele: 1.

n = 2 : z = w2 = 1 w1 = 1(cos 0◦ + i sin 0◦ ) = 1; w2 = 1(cos 180◦ + i sin 180◦ ) = −1

46 2.

1 Arithmetik n = 3 : z = w3 = 1 w1 = 1(cos 0◦ + i sin 0◦ ) = 1

1 1√ 3i + 2 2 1 1√ w3 = 1(cos 240◦ + i sin 240◦ ) = 1(− cos 60◦ − i sin 60◦ ) = − − 3i 2 2 4 n=4: z=w =1 w2 = 1(cos 120◦ + i sin 120◦ ) = 1(− cos 60◦ + i sin 60◦ ) = −

3.

w1 w2 w3 w4

= 1(cos 0◦ + i sin 0◦ ) = 1 = 1(cos 90◦ + i sin 90◦ ) = i = 1(cos 180◦ + i sin 180◦ ) = −1 = 1(cos 270◦ + i sin 270◦ ) = −i

w2 = 1

i

w2

w1

−1

0

1 w2

w3 = 1

i

−i w1 w4 = 1

−1 i

0

1

w2 w3

−i

w1

w3 −1

0

−i

1

w4

Abbildung 1.6 Die n-ten Einheitswurzeln f¨ ur n = 2, n = 3 und n = 4

1.12.8

Eulersche Formel

Die eulersche Formel f¨ ur komplexe Zahlen z verkn¨ upft die Exponentialfunktion (vgl. Abschnitt 5.7.1) und die trigonometrischen Funktionen (siehe Abschnitt 6) miteinander (nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler, 1707-1783). Dabei ist e die eulersche Zahl (vgl. Abschnitt 1.8). eiz = cos z + i sin z, z ∈ C F¨ ur reelle Zahlen x (die reellen Zahlen sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen) gilt eix = cos x + i sin x.

1.12 Komplexe Zahlen

47

Setzt man x = ϕ, dann erh¨ alt man die sogenannte Exponentialform der komplexen Zahlen. z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = reiϕ Dabei ist r der Modul und ϕ das Argument der komplexen Zahl z. F¨ ur das Produkt und den Quotienten zweier komplexer Zahlen z1 = r1 · eiϕ1 und z2 = r2 · eiϕ2 ergibt sich z1 · z2 = r1 · eiϕ1 · r2 · eiϕ2 = r1 · r2 · ei(ϕ1 +ϕ2 ) z1 r1 eiϕ1 r1 i(ϕ1 −ϕ2 ) = = e z2 r2 eiϕ2 r2

(z2 = 0)

Beispiel f¨ ur eine komplexe Zahl in verschiedenen Formen: √ √ 1 3 z = 2 + i = 1 + 3 i (algebraische Form) 2 2 π π = 2 cos + i sin (trigonometrische Form) 3 3 =

π

2ei 3

(Exponentialform)

2

Gleichungen

2.1

Gleichungsarten

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen (mathematischen Operationen) und m¨ oglicherweise noch anderen mathematischen Symbolen (zum Beispiel Funktionswerten) besteht. Will man ausdr¨ ucken, dass ein Term T1 zu einem anderen Term T2 ¨aquivalent (gleichwertig) ist, so schreibt man Gleichung

T1 = T2

Eine solche Darstellung heißt Gleichung. Die linke Seite der Gleichung ist T1 , die rechte Seite der Gleichung ist T2 . Mit Hilfe von Gleichungen lassen sich quantitative Beziehungen in Natur und Technik beschreiben. Meist liegen jedoch in der Praxis auftretende Aufgaben nicht in Form von Gleichungen zwischen Termen vor, sondern sie werden als Textgleichungen mit Worten ¨ beschrieben. Daraus muss dann durch eine Ubersetzung in die formale Sprache der Mathematik eine mathematische Beziehung hergestellt werden. ¨ Die Uberlegenheit der mathematischen Symbolik zeigt folgendes Beispiel: •

•

Textgleichung: Den Umfang eines Kreises berechnet man, indem man das Produkt aus dem Verh¨altnis von Umfang eines beliebigen Kreises zu seinem Durchmesser ( Ud = π) und dem Kreisradius (r) mit 2 multipliziert (vgl. Abschnitt 3.10). Termgleichung: UKreis = 2πr

Man unterscheidet drei verschiedene Arten von Gleichungen: • • •

Identische Gleichungen Bestimmungsgleichungen Funktionsgleichungen

Eine identische Gleichung oder Identit¨ at ist eine Gleichung zwischen zwei algebraischen Ausdr¨ ucken, die bei Einsetzen beliebiger Zahlenwerte anstelle der darin aufgef¨ uhrten Buchstabensymbole erhalten bleibt. Beispiele f¨ ur identische Gleichungen (Identit¨ aten): 1.

a(b + c) = ab + ac

2.

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

3.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

4.

c ad + bc a + = b d bd

6.

an am = an+m √ √ √ n c n d = n cd

7.

loga (xy) = loga x + loga y

8.

eix = cos x + i sin x

5.

A. Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn, DOI 10.1007/978-3-8348-8258-5_2, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

2.1 Gleichungsarten

49

Eine Bestimmungsgleichung ist eine Gleichung, in der Variable (Unbekannte) auftreten, die durch eine Rechnung bestimmt werden sollen. Mit Hilfe zul¨assiger Rechenoperationen sollen alle Werte der Variablen aus dem zugrunde liegenden Zahlenbereich bestimmt werden, f¨ ur die die Gleichung erf¨ ullt ist. Man nennt diese Werte L¨osungen oder auch Wurzeln der Gleichung. Alle L¨ osungen zusammen bilden die L¨osungsmenge L der Bestimmungsgleichung. Eine Gleichung hat keine, eine oder mehrere L¨osungen. Eine Bestimmungsgleichung ist also nur f¨ ur einige spezielle Werte der Variablen erf¨ ullt. Beispiele f¨ ur Bestimmungsgleichungen: 1.

x+2 = 3

L¨ osung: x = 1 L¨ osungsmenge: L = {1}

2.

x+2 = x+3

Keine L¨ osung L¨ osungsmenge: L = {} = ∅

3.

2x + 1 = x2 − 2

L¨ osungen: x = 3 und x = −1 L¨ osungsmenge: L = {−1, 3}

4.

5x2 − 5 = x3 − x

L¨ osungen: x = 5, x = 1 und x = −1 L¨ osungsmenge: L = {−1, 1, 5}

5.

11 −

6.

3x = 4x−2 · 2x

7.

lg(6x + 10) − lg(x − 3) = 1

8.

sin2 x − 1 = −0, 5

√

x+3 =6

L¨ osung: x = 22 L¨ osungsmenge: L = {22} 4 log 2 L¨ osung: x = ≈ 2, 826 780 3 log 2 −log 3 4 log 2 L¨ osungsmenge: L = 3 log 2 − log 3 L¨ osung: x = 10 L¨ osungsmenge: L = {10} L¨ osung: x = 45◦ + k · 180◦ , k ∈ ZZ L¨ osungsmenge: L = {x|x = 45◦ + k · 180◦ , k ∈ ZZ}

Die Bestimmungsgleichungen werden unterteilt in algebraische Gleichungen und in transzendente Gleichungen. In einer algebraischen Gleichung werden mit der oder den Variablen nur algebraische Rechenoperationen vorgenommen; sie werden addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert, potenziert oder radiziert. Sowohl die auftretenden Zahlen (Koeﬃzienten genannt) als auch die L¨osungen k¨ onnen aber transzendente Zahlen sein. Jede algebraische Gleichung mit genau einer Variablen x l¨ asst sich in der allgemeinen Form an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + ... + a1 x + a0 = 0 schreiben. Die Zahlen an , an−1 , an−2 , ..., a1 , a0 heißen Koeﬃzienten (Beizahlen) der Gleichung. Sie stehen f¨ ur beliebige reelle oder komplexe Zahlen. Ist xn die h¨ochste auftretende Potenz der Variablen x, so heißt die Gleichung vom Grad n. Algebraische Gleichungen vom Grad 1 heißen auch lineare Gleichungen, Gleichungen vom Grad 2 quadratische Gleichungen und Gleichungen vom Grad 3 kubische Gleichungen. Der sogenannte Fundamentalsatz der Algebra sagt aus, dass jede algebraische Gleichung n-ten Grades genau n (reelle oder komplexe) L¨osungen (Wurzeln) besitzt. Alle Bestimmungsgleichungen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent (deutsch: u ¨ bersteigend). Sie haben ihren Namen daher, dass sie im allgemeinen schwieriger aufzul¨osen sind als die algebraischen Gleichungen. Sie erfordern Auﬂ¨osungsmethoden, die die Mittel der Algebra u ¨ bersteigen.

50

2 Gleichungen

Beispiele f¨ ur transzendente Gleichungen sind Exponentialgleichungen, logarithmische Gleichungen und trigonometrische Gleichungen. Bei den ersten f¨ unf Beispielen handelt es sich um algebraische Bestimmungsgleichungen, bei den letzten drei Beispielen um transzendente Gleichungen. Eine Funktionsgleichung dient dazu, eine Funktion zu deﬁnieren. Eine Funktion beschreibt den Zusammenhang zwischen verschiedenen ver¨anderlichen Gr¨oßen. Eine Funktionsgleichung enth¨ alt in der Regel zwei oder mehr Variable, die durch die Gleichung einander zugeordnet werden. Funktionen werden ausf¨ uhrlich im Abschnitt 5 behandelt. Beispiele f¨ ur Funktionsgleichungen: 1.

y = 2x + 1

2. 3.

y = −x2 + x − 5 √ y = 2x2 − x − 3 x + 4

4.

y = sin x

5.

y = 2x − 5x + 1

2.2

¨ Aquivalente Umformungen

Oft ist es m¨oglich, eine gegebene Gleichung durch zul¨assige Rechenoperationen in eine Gleichung zu u uhren, die die gleiche L¨ osungsmenge wie die Ausgangsgleichung be¨ berf¨ sitzt, aber einfacher zu l¨ osen ist. Eine solche Umformung heißt ¨aquivalent. Man nennt auch die beiden Gleichungen ¨ aquivalent (gleichwertig). Bei den zul¨assigen Rechenoperationen ist darauf zu achten, dass sie gleichzeitig auf beiden Seiten einer Gleichung durchgef¨ uhrt werden, zum Beispiel die Addition einer Konstanten oder die Multiplikation mit einer Konstanten. Grundregeln f¨ ur ¨aquivalente Umformungen: •

Addition einer Zahl (hier a) auf beiden Seiten einer Gleichung x−a =b |+a x =b+a

•

Subtraktion einer Zahl (hier a) von beiden Seiten einer Gleichung x+a =b |−a x =b−a

•

Multiplikation beider Seiten einer Gleichung mit der gleichen Zahl (hier mit a); Bedingung: a = 0 x =b |·a a x =b·a

¨ 2.2 Aquivalente Umformungen •

51

Division beider Seiten einer Gleichung durch die gleiche Zahl (hier durch a); Bedingung: a = 0 ax = b | : a x =

b a

Beispiele: 1.

5x − 6 = 29 | + 6 (Addition auf beiden Seiten) 5x = 35 | : 5 (Division auf beiden Seiten) x =7 Alle Gleichungen sind ¨ aquivalent mit der L¨ osungsmenge L = {7}.

2.

5x − 20 = 60 − 11x 16x − 20 = 60 16x = 80 x =5 Alle vier Gleichungen

3.

4.

| + 11x | + 20 | : 16

(Addition auf beiden Seiten) (Addition auf beiden Seiten) (Division auf beiden Seiten)

sind ¨ aquivalent mit der L¨ osungsmenge L = {5}.

1 1 2 − = (x = 0, 1, −2) | · x(x − 1)(x + 2) x x−1 x+2 2(x − 1)(x + 2) − x(x + 2) = x(x − 1) 2(x2 + x − 2) − (x2 + 2x) = x2 − x x 2 − 4 = x 2 − x | − x2 + x x−4 =0 |+4 x =4 Alle Gleichungen sind ¨ aquivalent mit der L¨ osungsmenge L = {4}.

(Hauptnenner)

| − (4x2 − x + 3) 4x2 − x + 3 = 6x2 + x − 1 2 2 0 = 6x + x − 1 − 4x + x − 3 | Zusammenfassen |:2 0 = 2x2 + 2x − 4 | Vertauschen der Seiten 0 = x2 + x − 2 x2 + x − 2 = 0 Berechnen der L¨ osungen der quadratischen Gleichung:

5.

1 1 3 1 x1,2 = − ± +2=− ± ⇒ x1 = 1, x2 = −2 2 4 2 2 Alle Gleichungen sind ¨ aquivalent mit der L¨ osungsmenge L = {1, −2}. √ x+8 =x+2 | Quadrieren x + 8 = (x + 2)2 | Klammer beseitigen“ ” x + 8 = x2 + 4x + 4 | − (x + 8) 0 = x2 + 3x − 4 | Vertauschen der Seiten x2 + 3x − 4 = 0 Berechnen der L¨ osungen der quadratischen Gleichung:

9 3 5 +4=− ± ⇒ x1 = 1, x2 = −4 4 2 2 √ ullt die Ausgangsgleichung wegen x1 = 1 erf¨ √ 1 + 8 = 1 + 2, dagegen ist x2 = −4 keine L¨ osung der Ausgangsgleichung, denn es ist −4 + 8 = −4 + 2. x1,2 = −

3 ± 2

Somit: Das Quadrieren ist keine ¨ aquivalente Umformung!

52

2.3

2 Gleichungen

Lineare Gleichungen

Eine lineare Gleichung oder Gleichung ersten Grades ist eine algebraische Gleichung, in der die Variable x in keiner h¨ oheren als der ersten Potenz vorkommt. Jede lineare Gleichung l¨ asst sich durch a uhren in die a¨qui¨quivalente Umformungen u ¨ berf¨ valente Gleichung ax + b = 0, a = 0 Diese Gleichung heißt allgemeine Form der linearen Gleichung. Durch Division durch a = 0 erh¨alt man die sogenannte Normalform der linearen Gleichung.

x+

b b = x + c = 0, c = a a

b ur die L¨osungsmenge gilt also: Die L¨osung der linearen Gleichung ist x = −c = − . F¨ a b L = {−c} = − . a Allgemeines Verfahren zur Bestimmung der L¨ osung: Man beseitigt“ zun¨ achst alle Klammern und Br¨ uche und ordnet dann die Glieder so, ” dass alle Glieder mit der Variablen x links vom Gleichheitszeichen und alle anderen rechts davon stehen: a(bx + c) abx + ac abx − dex x(ab − de)

= = = =

d(ex + f ) dex + df df − ac df − ac df − ac x = ab − de (ab = de ist Bedingung, denn durch 0 darf nicht dividiert werden.) Beispiel: 3(x + 2) = 5(−2x + 9) 3x + 6 = −10x + 45 3x + 10x = 45 − 6 13x = 39 x = 3 Probe: 3(3 + 2) = 5(−6 + 9) 3·5 = 5·3 15 = 15

Grunds¨atzlich sollte eine Probe durchgef¨ uhrt werden. Dabei ist jede Seite der Gleichung einzeln auszurechnen. Der berechnete Wert f¨ ur x sollte stets in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden. Fehlerwarnung: Nach Einsetzen der L¨ osung sollen nicht die gleichen Umformungen wie bei der Hauptrechnung vorgenommen werden, da sonst leicht ein m¨oglicher Fehler wiederholt werden kann.

2.4 Proportionen

2.4

53

Proportionen

Eine Sonderstellung unter den linearen Gleichungen mit einer Variablen nehmen die Proportionen wegen ihrer vielseitigen Anwendbarkeit ein. Eine Proportion ist eine Verh¨ altnisgleichung a:b=c:x oder mit x = d a:b=c:d und in Bruchschreibweise a c = b d (gesprochen: a verh¨ alt sich zu b wie c zu d). Treten in einer Proportion gleiche Innenglieder oder gleiche Außenglieder auf, so heißt die Proportion stetig. Im Fall gleicher Innenglieder, also a : b = b : c, nennt man b mittlere Proportionale. Sind von den Gliedern einer Proportion drei bekannt, dann l¨asst sich die vierte Proporbc tionale berechnen. Sind zum Beispiel a, b, c bekannt und d gesucht, so gilt d = . a Beispiele: 1.

Welche Kraft F dehnt eine Feder um 4 cm, wenn die Kraft 3 N (Newton) eine Dehnung um 2 cm bewirkt? Ansatz (Hookesches Gesetz): F : 4 cm = 3 N : 2 cm 4 cm · 3 N = 6N Auﬂ¨ osung nach F : F = 2 cm Antwort: Die Kraft 6 N bewirkt die Dehnung um 4 cm.

2.

Wie weit kommt ein Flugzeug in 2

1 2

Stunden, wenn es 10 km in 45 s zur¨ ucklegt?

Ansatz (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit): x : 9000 s = 10 km : 45 s 9000 s · 10 km = 2000 km Auﬂ¨ osung nach x: x = 45 s Antwort: Das Flugzeug ﬂiegt 2000 km weit.

¨ Die Proportion a : b = c : d l¨ asst sich verschieden umformen. Aquivalente Formen sind d:c=b:a a:c=b:d d:b=c:a b:a=d:c a·d= b·c Aus der Proportion a : b = c : d lassen sich weitere Proportionen ableiten, etwa durch Addition oder Subtraktion von 1 auf beiden Seiten. Man nennt ein solches Umformen der

54

2 Gleichungen

Proportion korrespondierende Addition oder korrespondierende Subtraktion (Bedingung in allen F¨allen: Nenner ungleich 0). c+d a+b = b d

c a = a+b c+d

c−d a−b = b d

c a = a−b c−d

Dies sind Sonderf¨ alle des allgemeinen Gesetzes der korrespondierenden Addition und Subtraktion. Aus a : b = c : d folgt f¨ ur beliebige reelle Zahlen p, q, r, s (r und s d¨ urfen nicht gleichzeitig 0 sein) pa + qb pc + qd = ra + sb rc + sd Beispiele: 5 = 3. 4

5+x x

Nenner vom Z¨ ahler subtrahieren (korrespondierende Subtraktion):

5−4 4

=

5+x−x x

Vereinfachen:

1 4

=

5 x

Nach x auﬂ¨ osen (Multiplikation der Gleichung mit 4x):

x

=

20

Die L¨ osung ist x = 20, wie die Probe best¨ atigt. 5x : (4 − x)

4.

=

30 : 9

In Bruchschreibweise:

=

30 9

Addition von 15 des Z¨ ahlers zum Nenner (korrespondierende Addition):

=

30 9 + 30 5

Vereinfachen:

5x 4

=

30 (= 2) 15

Multiplikation mit

x

=

8 5

5x 4−x 5x 4−x+

5x 5

Die L¨ osung ist x =

4 : 5

8 . 5

Probe: 5 · 85 30 10 8 5 10 10 10 = = ⇔ ⇔ 8· = ⇔ = 9 3 12 3 3 3 4 − 85 2 25

2.5 2.5.1

Quadratische Gleichungen Deﬁnitionen

Eine quadratische Gleichung oder Gleichung zweiten Grades ist eine algebraische Gleichung, in der die Variable x in keiner h¨ oheren als der zweiten Potenz vorkommt.

2.5 Quadratische Gleichungen

55

Jede quadratische Gleichung l¨ asst sich durch a uhren in ¨quivalente Umformungen u ¨ berf¨ die Gleichung Allgemeine Form

ax2 + bx + c = 0, a = 0

Diese Gleichung heißt allgemeine Form der quadratischen Gleichung. Durch Division durch a = 0 erh¨ alt man die sogenannte Normalform der quadratischen c b Gleichung (mit p = , q = ). a a x2 + px + q = 0

Normalform

2.5.2

L¨ osungsverfahren

Sonderf¨alle alt man durch Ausklammern von x die Produktform Ist q = 0, also x2 + px = 0, dann erh¨ x(x+p) = 0. Da ein Produkt genau dann gleich 0 ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist, ergeben sich daraus die L¨ osungen x1 = 0, x2 = −p. Gleichung: x2 + px = 0 Sonderfall q = 0

L¨ osungen:

x1 = 0, x2 = −p

Fehlerwarnung: Man darf nicht durch x dividieren. Division durch 0 ist verboten. Die L¨osung x = 0 ginge sonst verloren. Beispiel:

x2 − 5x = 0 ⇒ L¨ osungen: x1 = 0, x2 = 5

Ist p = 0, also x2 + q = 0, dann liegt eine sogenannte rein quadratische Gleichung vor. Durch Subtraktion von q auf beiden Seiten der Gleichung, also x√2 = −q, und anschlie√ ßendes Radizieren erh¨ alt man die L¨ osungen x1 = + −q, x2 = − −q. Sonderfall p = 0

Gleichung: x2 + q = 0 √ √ L¨ osungen: x1 = + −q, x2 = − −q

F¨ ur q < 0 ergeben sich zwei reelle L¨ osungen, f¨ ur q = 0 die (doppelt √ zu z¨ahlende) √ L¨osung x = 0, f¨ ur q > 0 zwei rein imagin¨ are L¨ osungen, und zwar x1 = i q, x2 = −i q (x1 und x2 sind konjugiert komplex). Beispiele: 1.

x2 − 9 = 0 q = −9 < 0 ⇒ zwei reelle L¨ osungen: x1 = 3, x2 = −3

2.

x2 + 16 = 0 q = 16 > 0 ⇒ zwei imagin¨ are L¨ osungen: x1 = 4i, x2 = −4i

F¨ ur die Sonderf¨alle c = 0 und b = 0 der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung ergeben sich die L¨osungen ganz analog.

56

2 Gleichungen Gleichung: ax2 + bx = 0

Sonderfall c = 0

L¨ osungen:

x1 = 0, x2 = −

b a

Gleichung: ax2 + c = 0 c c L¨ osungen: x1 = + − , x2 = − − a a

Sonderfall b = 0

Normalform Die L¨osungen der Normalform x2 + px + q = 0 der quadratischen Gleichung bestimmt man mit der Methode der quadratischen Erg¨ anzung“. Zun¨achst bringt man q auf die ” rechte Seite der Gleichung, das heißt, von beiden Seiten der Gleichung wird q subtrahiert. Auf beiden Seiten addiert man dann die quadratische Erg¨anzung ( p2 )2 des Terms x2 + px. Damit wird die linke Seite der Gleichung zu einem vollst¨andigen Quadrat“ (binomische ” Formel). Durch Radizieren und anschließender Subtraktion von p2 ergeben sich dann die L¨osungen x1 und x2 der Gleichung. Bestimmung der L¨osungen: x2 + px + q x2 + px p 2 x2 + px + 2 p 2 x+ 2 p 2 x+ 2

= 0 = −q p 2 = −q 2 p 2 = −q 2 p2 = −q 4 p2 p = ± −q x+ 2 4 p p2 −q x = − ± 2 4

Daraus ergibt sich p2 p2 p p x1 = − + − q, x2 = − − −q 2 4 2 4

Normalform

Die Gleichung x1,2

(p, q)-Formel

Gleichung: x2 + px + q = 0 p p p2 p2 L¨ osungen: x1 = − + − q, x2 = − − −q 2 4 2 4 p =− ± 2

p2 − q f¨ ur die L¨osungen nennt man auch (p, q)-Formel. 4 x1,2

p =− ± 2

p2 −q 4

2.5 Quadratische Gleichungen

57

Beispiele: 1.

(ausf¨ uhrlich) x2 + 12x + 35 = 0 x2 + 12x = −35 2 x + 12x + 62 = −35 + 62 (x + 6)2 = 1 x + 6 = ±1 x = −6 ± 1 L¨ osungen: x1 = −6 + 1 = −5, x2 = −6 − 1 = −7 Es sind zwei Proben durchzuf¨ uhren!

2.

(mit (p, q)-Formel) 25x2 + 13 = 70x Sortieren und Dividieren durch 25 zum Beschaﬀen der Normalform: 14 13 14 13 x2 − x+ =0 ⇒ p=− und q = . 5 25 5 25 Einsetzen in die (p, q)-Formel ergibt die L¨ osungen: 7 x1 = + 5

2 7 5

7 13 = + − 25 5

7 6 13 36 = + = , 25 5 5 5

7 6 1 − = 5 5 5 Es sind zwei Proben durchzuf¨ uhren! x2 =

Den Radikanden in der (p, q)-Formel nennt man die Diskriminante D der Normalform der quadratischen Gleichung. D=

Diskriminante der Normalform

p2 −q 4

Die L¨osungen der Normalform lassen sich auch mit Hilfe der Diskriminante schreiben. Gleichung: x2 + px + q = 0 Normalform

L¨ osungen:

p √ p2 −q x1,2 = − ± D, D = 2 4

Der Wert der Diskriminante D bestimmt die Anzahl der reellen L¨osungen der quadratiur D = 0 gibt schen Gleichung. F¨ ur D > 0 existieren zwei reelle L¨osungen x1 und x2 , f¨ ur D < 0 hat die quadratische Gleichung es eine reelle L¨osung (Doppell¨ osung x1 = x2 ), f¨ keine reelle L¨osung, es existieren zwei komplexe L¨osungen x1 und x2 (x1 und x2 sind konjugiert komplex zueinander). Beispiele: 3.

2x2 − 10x + 12 = 0 2

x − 5x + 6 = 0

(allgemeine Form)

(Normalform)

p = −5, q = 6 ⇒ D =

25 1 p2 −q = −6= 4 4 4

D > 0 ⇒ zwei reelle L¨ osungen

58

2 Gleichungen

L¨ osungen: ⇒ x1 = 4.

x1,2

p =− ± 2

p √ −5 p2 −q =− ± D =− ± 4 2 2

5 1 1 = ± 4 2 2

1 1 5 5 + = 3, x2 = − = 2 2 2 2 2

−9x2 + 18x − 9 = 0 2

x − 2x + 1 = 0

(allgemeine Form)

(Normalform)

p = −2, q = 1 ⇒ D =

p2 4 −q = −1=0 4 4

D = 0 ⇒ Doppell¨ osung x1 = x2 L¨ osung: 5.

x 1 = x2 = −

3x2 − 36x + 120 = 0 2

x − 12x + 40 = 0

−2 =1 2

(allgemeine Form)

(Normalform)

p = −12, q = 40 ⇒ D =

p2 (−12)2 144 16 −q = − 40 = − 40 = − = −4 4 4 4 4

D < 0 ⇒ zwei konjugiert komplexe L¨ osungen √ √ √ −12 L¨ osungen: x1,2 = − ± −4 = 6 ± −4 = 6 ± 2 −1 = 6 ± 2i 2 ⇒ x1 = 6 + 2i, x2 = 6 − 2i

Allgemeine Form Die L¨osungen der allgemeinen Form ax2 + bx + c = 0 der quadratischen Gleichung erh¨alt c b man durch Setzen von p = , q = in der (p, q)-Formel. a a Allgemeine Form: Gleichung: ax2 + bx + c = 0, a = 0

1 1 L¨osungen: x1 = − b + b2 − 4ac , x2 = − b − b2 − 4ac 2a 2a

Beispiel: 1.

2x2 − 10x + 12 = 0 a = 2, b = −10, c = 12 L¨ osungen:

√ 1 1 1 x1 = − (−10) + (−10)2 − 4 · 2 · 12 = 10 + 100 − 96 = 10 + 2 = 3, 4 4 4

x2 =

1 10 − 2 = 2 4

Den Radikanden in der L¨ osungsformel nennt man die Diskriminante D der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung. Diskriminante der allgemeinen Form

D = b2 − 4ac

2.5 Quadratische Gleichungen

59

Die L¨osungen der allgemeinen Form lassen sich auch mit Hilfe der Diskriminante schreiben.

Allgemeine Form

Gleichung: ax2 + bx + c = 0, a = 0

1 L¨ osungen: x1,2 = − b ± D , D = b2 − 4ac 2a

Auch hier bestimmt der Wert der Diskriminante D die Anzahl der reellen L¨osungen der quadratischen Gleichung. F¨ ur D > 0 gibt es zwei reelle L¨ osungen x1 und x2 , f¨ ur D = 0 gibt es eine reelle Dopur D < 0 gibt es keine reelle L¨osung, sondern zwei konjugiert pell¨osung (x1 = x2 ), und f¨ komplexe L¨osungen x1 und x2 . Beispiel: 2.

3x2 − 18x + 42 = 0 a = 3, b = −18, c = 42 ⇒ D = (−18)2 − 4 · 3 · 42 = 324 − 504 = −180 < 0 D < 0 ⇒ zwei konjugiert komplexe L¨ osungen L¨ osungen:

√ √ 1 1 x1,2 = 18 ± −180 = 18 ± 36 · (−5) = 3 ± −5 6 6 √ √ ⇒ x1 = 3 + i 5, x2 = 3 − i 5

Zerlegung in Linearfaktoren Sind x1 und x2 die (nicht unbedingt verschiedenen) L¨osungen der quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0, a = 0, dann kann der quadratische Ausdruck in Linearfaktoren zerlegt werden. ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) = 0 Die Faktoren x − x1 und x − x2 heißen linear, weil die Variable x nur in erster Potenz, also linear auftritt. Da ein Produkt genau dann gleich 0 ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist, ergeben sich auch hieraus wieder die L¨ osungen x1 und x2 . Man nennt a(x − x1 )(x − x2 ) = 0 auch Produktform der quadratischen Gleichung. Beispiele: 1.

2x2 − 6x = 0 Zerlegung in Linearfaktoren: 2x2 − 6x = 2x(x − 3) = 0 L¨ osungen: x1 = 0, x2 = 3

2.

x2 − x − 6 = 0 Zerlegung in Linearfaktoren: x2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2) = 0 L¨ osungen: x1 = 3 (denn x − 3 = 0 f¨ ur x = 3), ur x = −2) x2 = −2 (denn x + 2 = 0 f¨

60

2 Gleichungen

2.5.3

Satz von Vi¨ eta f¨ ur quadratische Gleichungen

Die Produktform der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0 in Normalform lautet (x − x1 )(x − x2 ) = 0. Ausmultiplizieren und Vergleich ergibt (x − x1 )(x − x2 ) = 0 x2 − xx2 − x1 x + x1 x2 = 0 x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 = 0 x2 + px + q = 0 also die Beziehungen p = −(x1 + x2 ), q = x1 x2 . Der Koeﬃzient p von x ist somit gleich der negativen Summe der beiden L¨ osungen, das Absolutglied q der quadratischen Gleichung ist gleich dem Produkt der L¨ osungen. Diese Beziehungen nennt man den Satz von Vi¨eta f¨ ur quadratische Gleichungen (nach dem franz¨osischen Mathematiker Fran¸cois Vi´ete, 1540-1603). p = −(x1 + x2 ), q = x1 x2

Satz von Vi¨eta Beispiele: 1.

osungen Die quadratische Gleichung x2 − 5x + 6 = 0 mit p = −5, q = 6 hat die L¨ x1 = 3, x2 = 2. Es gilt: p = −5 = −(3 + 2) = −(x1 + x2 ), q = 6 = 3 · 2 = x1 x2

2.

Die quadratische Gleichung x2 − 12x + 40 = 0 mit p = −12, q = 40 hat die L¨ osungen x1 = 6 + 2i, x2 = 6 − 2i (siehe oben). Es gilt: p = −12 = −(6 + 2i + 6 − 2i) = −(x1 + x2 ), q = 40 = 36 + 4 = 36 − 4i2 = (6 + 2i)(6 − 2i) = x1 x2

3.

Welche quadratische Gleichung hat die L¨ osungen x1 = 5 und x2 = −3? Nach dem Satz von Vi¨eta folgt: p = −(x1 + x2 ) = −(5 − 3) = −2, q = x1 x2 = 5 · (−3) = −15 Antwort: Die Normalform der gesuchten quadratischen Gleichung ist x2 − 2x − 15 = 0

Hinweis: Der Satz von Vi¨eta l¨ asst sich auch f¨ ur die Probe anwenden!

2.6 2.6.1

Algebraische Gleichungen h¨ oheren Grades Kubische Gleichungen

Die allgemeine Form einer kubischen Gleichung lautet Allgemeine Form

ax3 + bx2 + cx + d = 0, a = 0

Die Normalform erh¨ alt man aus der allgemeinen Form durch Division durch a = 0 und c d b Setzen von = r, = s, = t. a a a Normalform

x3 + rx2 + sx + t = 0

Dabei sind a, b, c, d und somit auch r, s, t reelle (oder komplexe) Koeﬃzienten. Kubisch“ bedeutet, dass die Variable x in keiner h¨oheren als der dritten Potenz vor” kommt. Deshalb nennt man kubische Gleichungen auch Gleichungen dritten Grades.

2.6 Algebraische Gleichungen h¨ oheren Grades

61

Mit Hilfe der sogenannten cardanischen Formel lassen sich die L¨osungen exakt berechnen. Es gibt entweder drei reelle L¨ osungen oder eine reelle L¨osung und zwei konjugiert komplexe L¨osungen. In Spezialf¨allen f¨ uhren oftmals einfachere Methoden zum Ziel. Sind x1 , x2 , x3 die L¨ osungen der kubischen Gleichung ax3 + bx2 + cx + d = 0, dann gilt ax3 + bx2 + cx + d = a(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) = 0 Man nennt dies Produktform der kubischen Gleichung oder Zerlegung in Linearfaktoren. Ist t = 0 in der Normalform (f¨ ur die allgemeine Form ist die Methode ganz analog), alt man durch Ausklammern von x die Gleichung also x3 + rx2 + sx = 0, dann erh¨ x(x2 + rx + s) = 0. Neben der reellen L¨ osung x1 = 0 sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung x2 + rx + s = 0 die weiteren L¨ osungen. Sonderfall t = 0: Gleichung: x3 + rx2 + sx = 0 L¨osungen:

r x1 = 0, x2 = − + 2

r r2 − s, x3 = − − 4 2

r2 −s 4

Fehlerwarnung: Durch Division durch x geht die L¨osung x = 0 verloren! Beispiel: 1.

x3 − x2 − 2x = 0 Ausklammern von x: x(x2 − x − 2) = 0 Erste L¨ osung: x1 = 0 Die quadratische Gleichung x2 − x − 2 = 0 hat die L¨ osungen x2,3

−1 ± =− 2

1 1 3 − (−2) = ± , also x2 = 2, x3 = −1 4 2 2

L¨ osungen der kubischen Gleichung x3 − x2 − 2x = 0 somit: x1 = 0, x2 = 2, x3 = −1

Ist eine L¨osung x1 von x3 + rx2 + sx + t = 0 bekannt, dann l¨asst sich die kubische Gleichung durch Abspalten des Faktors x − x1 reduzieren (auch diese Methode l¨asst sich f¨ ur die allgemeine Form anwenden). x3 + rx2 + sx + t = (x − x1 )(x2 + ux + v) = 0 Dividiert man die linke Seite x3 + rx2 + sx + t der kubischen Gleichung durch x − x1 , so erh¨alt man einen quadratischen Term x2 + ux + v. Die Wurzeln von x2 + ux + v = 0 sind auch L¨osungen der kubischen Gleichung. Diese Methode heißt Reduktionsmethode, und die dabei durchgef¨ uhrte Division nennt man Polynomdivision (vgl. auch Abschnitt 2.6.2).

62

2 Gleichungen

L¨osung x1 bekannt: Gleichung: x3 + rx2 + sx + t = (x − x1 )(x2 + ux + v) = 0 u u u2 u2 L¨osungen: x1 , x2 = − + − v, x3 = − − −v 2 4 2 4 Beispiele: 2. x3 − 6x2 − x + 6 = 0 Eine L¨ osung dieser kubischen Gleichung ist x1 = 1 (erh¨ alt man durch Probieren). Division von x3 − 6x2 − x + 6 durch x − 1: ( x3 −6x2 − x+6): (x − 1) = x2 − 5x − 6 −( x3 − x2 ) −5x2 − x −(−5x2 +5x) −6x+6 −(−6x+6) 0 Die L¨ osungen der quadratischen Gleichung x2 − 5x − 6 = 0 sind x2 = 6, x3 = −1. L¨ osungen der kubischen Gleichung x3 − 6x2 − x + 6 = 0 somit: x1 = 1, x2 = 6, x3 = −1 3.

4x3 − 12x2 + 11x − 3 = 0 Eine L¨ osung dieser Gleichung ist x1 = 1 (Probieren!). Division von 4x3 − 12x2 + 11x − 3 durch x − 1: (4x3 −12x2 + 11x−3): (x − 1) = 4x2 − 8x + 3 −(4x3 − 4x2 ) − 8x2 + 11x −(− 8x2 + 8x) 3x−3 −( 3x−3) 0 Die L¨ osungen der quadratischen Gleichung 4x2 − 8x + 3 = 0 sind x2 =

3 1 , x3 = . 2 2

L¨ osungen der kubischen Gleichung x3 − 6x2 − x + 6 = 0 somit: x1 = 1, x2 =

2.6.2

3 1 , x3 = 2 2

Polynomdivision

Ein Ausdruck der folgenden Form mit a0 , a1 , a2 , . . . , an−1 , an ∈ IR, an = 0, n ∈ IN heißt Polynom in x. Polynom

Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 =

n k=0

ak xk

2.6 Algebraische Gleichungen h¨ oheren Grades

63

Das x in Klammern hinter Pn weist darauf hin, dass x die Variable ist. Die Koeﬃzienten urfen dabei beliebige reelle (oder auch komplexe) Zahlen sein. a0 , a1 , a2 , . . . , an−1 , an d¨ Ein Polynom ist also die linke Seite der allgemeinen Form einer algebraischen Gleichung. Ist dabei xn die h¨ ochste auftretende Potenz der Variablen x, so hat das Polynom den Grad n. Zwei Polynome sind gleich, wenn sie vom gleichen Grad sind und die entsprechenden Koeﬃzienten u ¨ bereinstimmen. Beispiele f¨ ur Polynome: 1. x3 − 6x2 − x + 6 (Polynom vom Grad 3) 2. x − 1 (Polynom vom Grad 1) 1 3. x5 − x4 + 2x − 3 (Polynom vom Grad 5) 3 1 4. 0, 34x9 − 24, 3x6 + 22x5 − x4 + 11 (Polynom vom Grad 9) 3 5. x27 + 3 (Polynom vom Grad 27)

Die Division zweier Polynome Pn (x) und Pm (x) mit n ≥ m verl¨auft ganz analog dem schriftlichen Dividieren von Dezimalzahlen. Dabei wird zuerst die h¨ochste Potenz von x des Dividenden durch die h¨ ochste Potenz von x des Divisors geteilt. Pn (x) = Pk (x) mit Ist der Quotient der Polynomdivision wieder ein Polynom, gilt also Pm (x) einem Polynom Pk (x), dann heißt Pm (x) Faktor des Polynoms Pn (x) oder genauer Faktor m-ten Grades (und Pk (x) ist ein Faktor k-ten Grades von Pn (x)). F¨ ur m = 1 heißt Pm (x) linearer Faktor, f¨ ur m = 2 quadratischer Faktor und f¨ ur m = 3 kubischer Faktor von Pn (x). Beispiele zur Polynomdivision: 1. P3 (x) = x3 − 6x2 − x + 6 = 0, P1 (x) = x − 1 ( x3 −6x2 − x+6): (x − 1) = x2 − 5x − 6 −( x3 − x2 ) −5x2 − x −(−5x2 +5x) −6x+6 −(−6x+6) 0 Es gilt somit: P3 (x) x3 − 6x2 − x + 6 = = x2 − 5x − 6 = P2 (x) P1 (x) x−1 P1 (x) = x − 1 ist also ein linearer Faktor und P2 (x) = x2 − 5x − 6 ein quadratischer Faktor von P3 (x) = x3 − 6x2 − x + 6. 2.

P3 (x) = 4x3 − 12x2 + 11x − 3, P1 (x) = x − 1 (4x3 −12x2 + 11x−3): (x − 1) = 4x2 − 8x + 3 −(4x3 − 4x2 ) − 8x2 + 11x −(− 8x2 + 8x) 3x−3 −( 3x−3) 0

64

2 Gleichungen Es gilt P3 (x) = 4x3 − 12x2 + 11x − 3 = (x − 1)(4x2 − 8x + 3) = P1 (x) · P2 (x). P1 (x) = x − 1 ist ein linearer Faktor, P2 (x) = 4x2 − 8x + 3 ist ein quadratischer Faktor von P3 (x) = 4x3 − 12x2 + 11x − 3.

3.

P4 (x) = 3x4 − 10x3 + 22x2 − 24x + 10, P2 (x) = x2 − 2x + 3 (3x4 −10x3 +22x2 −24x+10): (x2 − 2x + 3) = 3x2 − 4x + 5 −(3x4 − 6x3 + 9x2 ) − 4x3 +13x2 −24x −(− 4x3 + 8x2 −12x) 5x2 −12x+10 − (5x2 −10x+15) − 2x− 5 Es gilt somit: (3x4 − 10x3 + 22x2 − 24x + 10) : (x2 − 2x + 3) = 3x2 − 4x + 5 +

−2x − 5 x2 − 2x + 3

Also ist P2 (x) = x2 − 2x + 3 kein Faktor von P4 (x) = 3x4 − 10x3 + 22x2 − 24x + 10.

Eine Zahl x0 heißt Nullstelle des Polynoms Pn (x), wenn Pn (x0 ) = 0 gilt. Das Polynom Pn (x) l¨asst sich dann durch x−x0 dividieren, x−x0 ist also ein linearer Faktor von Pn (x). Es gibt dann ein Polynom (n − 1)-ten Grades Pn−1 (x) mit Pn (x) = (x − x0 ) · Pn−1 (x). Findet man eine Zerlegung Pn (x) = (x − x0 )m · Pk (x), wobei Pk (x) ein Polynom mit Pk (x0 ) = 0 ist, dann heißt x0 eine m-fache Nullstelle von Pn (x), oder m heißt Vielfachheit der Nullstelle x0 . Pn (x) = (x − x0 )m · Pk (x) Ist x0 eine reelle Zahl, dann nennt man x0 eine reelle Nullstelle des Polynoms. Beispiele: 1.

P3 (x) = x3 − 3x2 + x − 3 = (x − 3)(x2 + 1) = (x − 3)P2 (x) Wegen P2 (3) = 0 ist x0 = 3 eine einfache Nullstelle des Polynoms P3 (x) = x3 − 3x2 + x − 3.

2.

P3 (x) = x3 − 3x2 + 3x − 1 = (x − 1)3 Es ist x0 = 1 eine dreifache Nullstelle des Polynoms P3 (x) = x3 − 3x2 + 3x − 1.

3.

P3 (x) = x3 − 3x + 2 = (x − 1)2 (x + 2) Es ist also x0 = 1 eine doppelte Nullstelle und x1 = −2 eine einfache Nullstelle von P3 (x) = x3 − 3x + 2.

2.6.3

Gleichungen vierten Grades

Die allgemeine Form einer Gleichung vierten Grades lautet Allgemeine Form

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, a = 0

Die Normalform erh¨ alt man aus der allgemeinen Form durch Division durch a = 0 und c d e b Setzen von = r, = s, = t, = u. a a a a Normalform

x4 + rx3 + sx2 + tx + u = 0

Dabei sind a, b, c, d, e und somit auch r, s, t, u reelle (oder komplexe) Koeﬃzienten.

2.6 Algebraische Gleichungen h¨ oheren Grades

65

Auch f¨ ur die Gleichungen vierten Grades existiert eine allgemeine L¨osungsformel. Diese ist aber noch wesentlich komplizierter als die f¨ ur die kubischen Gleichungen und wird deshalb hier weggelassen. Eine Gleichung vierten Grades muss nicht unbedingt eine reelle L¨osung besitzen. Im Bereich der komplexen Zahlen gibt es jedoch vier L¨osungen. Dabei k¨onnen Doppell¨osungen vorkommen. Komplexe L¨ osungen treten paarweise als konjugiert komplexe Zahlen auf. In Spezialf¨allen f¨ uhren manchmal einfachere Methoden zum Ziel. osungen der Gleichung vierten Grades ax4 +bx3 +cx2 +dx+e = 0, Sind x1 , x2 , x3 , x4 die L¨ dann gilt ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = a(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )(x − x4 ) = 0 Man nennt dies wieder Produktform oder Zerlegung in Linearfaktoren. Ist u = 0 in der Normalform (f¨ ur die allgemeine Form ist die Methode analog), also x4 + rx3 + sx2 + tx = 0, dann erh¨ alt man durch Ausklammern von x die Gleichung osung ist x1 = 0, die weiteren L¨osungen sind die Wurzeln x(x3 + rx2 + sx + t) = 0. Eine L¨ der kubischen Gleichung x3 + rx2 + sx + t = 0. Beispiel: 1.

x4 − 6x3 − x2 + 6x = 0 Ausklammern von x: x(x3 − 6x2 − x + 6) = 0 Erste L¨ osung: x1 = 0 Die kubische Gleichung x3 − 6x2 − x + 6 = 0 hat die L¨ osungen x2 = 1, x3 = 6, x4 = −1 (vgl. Beispiel 2 im Abschnitt 2.6.1). L¨ osungen der Gleichung vierten Grades x4 − 6x3 − x2 + 6x = 0 somit: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 6, x4 = −1

Ist eine L¨osung x1 von x4 + rx3 + sx2 + tx + u = 0 bekannt, dann l¨asst sich die Gleichung durch Abspalten des Faktors x − x1 durch Polynomdivision reduzieren (diese sogenannte Reduktionsmethode l¨ asst sich auch wieder f¨ ur die allgemeine Form anwenden): x4 + rx3 + sx2 + tx + u = (x − x1 )(x3 + kx2 + lx + m) = 0 Die Wurzeln der kubischen Gleichung x3 + kx2 + lx + m = 0 sind auch L¨osungen der Gleichung vierten Grades x4 + rx3 + sx2 + tx + u = 0 . Beispiele: 2.

x4 − 7x3 + 5x2 + 7x − 6 = 0 Durch Probieren ﬁndet man die L¨ osung x1 = 1. Polynomdivision ergibt: ( x4 −7x3 +5x2 +7x−6): (x − 1) = x3 − 6x2 − x + 6 −( x4 − x3 ) −6x3 +5x2 −(−6x3 +6x2 ) − x2 +7x −(− x2 + x) 6x−6 −( 6x−6) 0

66

2 Gleichungen Die kubische Gleichung x3 − 6x2 − x + 6 = 0 hat die L¨ osungen x2 = 1, x3 = 6, x4 = −1 (vgl. Beispiel 2 im Abschnitt 2.6.1). L¨ osungen der Gleichung vierten Grades x4 − 7x3 + 5x2 + 7x − 6 = 0 somit: x1 = x2 = 1, x3 = 6, x4 = −1

3.

4x4 − 8x3 − x2 + 8x − 3 = 0 Durch Probieren erh¨ alt man die L¨ osung x1 = −1. Polynomdivision von 4x4 − 8x3 − x2 + 8x − 3 durch x + 1 ergibt: (4x4 − 8x3 − x2 + 8x−3): (x + 1) = 4x3 − 12x2 + 11x − 3 −(4x4 + 4x3 ) −12x3 − x2 −(−12x3 −12x2 ) 11x2 + 8x −( 11x2 +11x) − 3x−3 −(− 3x−3) 0 osungen x2 = 1, x3 = Die kubische Gleichung 4x3 − 12x2 + 11x − 3 = 0 hat die L¨ (vgl. Beispiel 3 im Abschnitt 2.6.1).

3 1 , x4 = 2 2

L¨ osungen der Gleichung vierten Grades 4x4 − 8x3 − x2 + 8x − 3 = 0 somit: x1 = −1, x2 = 1, x3 =

3 1 , x4 = 2 2

Sind in einer Gleichung vierten Grades die Koeﬃzienten von x3 und x gleich Null, dann heißt sie biquadratische Gleichung: ax4 + cx2 + e = 0, a = 0 (allgemeine Form) oder x4 + sx2 + u = 0 (Normalform). Eine Substitution ist die Ersetzung eines algebraischen Ausdrucks durch einen anderen. Bei komplizierten Gleichungen k¨ onnen oftmals mit Hilfe einer geeigneten Substitution L¨osungen gefunden werden. Mit Hilfe der Substitution x2 = z wird aus einer biquadratischen Gleichung eine quadratische Gleichung mit der Variablen z: az 2 + cz + e = 0 oder z 2 + sz + u = 0. Aus deren L¨osungen z1 , z2 erh¨ alt man die L¨ osungen der biquadratischen Gleichung durch √ √ Radizieren (Wurzelziehen): x1,2 = ± z1 , x3,4 = ± z2 . Gleichung (Normalform):

x4 + sx2 + u = 0

Substitution x2 = z: Biquadratische Gleichung

L¨ osungen:

z1,2

z 2 + sz + u = 0 s s2 =− ± −u 2 4

L¨ osungen der biquadratischen Gleichung: √ √ x1,2 = ± z1 , x3,4 = ± z2 Beispiele: 4. 2x4 − 6x2 + 4 = 0 Division durch 2 ergibt die Normalform: x4 − 3x2 + 2 = 0

2.6 Algebraische Gleichungen h¨ oheren Grades

67

Substitution x2 = z ergibt eine quadratische Gleichung in z: z 2 − 3z + 2 = 0 L¨ osungen der quadratischen Gleichung: z1 = 1, z2 = 2 L¨ osungen der√biquadratischen Gleichung durch Radizieren: √ √ √ √ √ √ x1 = z1 = 1 = 1, x2 = − z1 = −1, x3 = z2 = 2, x4 = − z2 = − 2 5.

x4 + 2x2 − 15 = 0 Substitution x2 = z ergibt eine quadratische Gleichung in z: z 2 + 2z − 15 = 0 L¨ osungen der quadratischen Gleichung: z1 = 3, z2 = −5 L¨ osungen der√biquadratischen Gleichung durch Radizieren: √ √ √ √ √ √ z2 = −5 = i 5, x1 = z1 = 3,√x2 = − z√ 1 = − 3, x3 = √ x4 = − z2 = − −5 = −i 5

6.

x4 − 4x2 − 1 = 0 in z: z 2√ − 4z − 1√= 0 Substitution x2 = z ergibt eine quadratische Gleichung √ L¨ osungen der quadratischen Gleichung: z1 = 2 + 5, z2 = 2 − 5 = −( 5 − 2) L¨ osungen derbiquadratischen Gleichung durch Radizieren: √ √ √ √ √ √ √ x1 = z1 = 2 + 5, x2 = − z1 = − 2 + 5, x3 = z2 = −( 5 − 2) = i 5 − 2, √ √ √ 5−2 x4 = − z2 = − −( 5 − 2) = −i

2.6.4

Gleichungen n-ten Grades

Die allgemeine Form einer Gleichung n-ten Grades lautet an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 = 0, an = 0 Die Normalform erh¨ alt man aus der allgemeinen Form durch Division durch an = 0 und ai Setzen von = bi , i = 0, 1, 2, . . . , n − 1. an Normalform

xn + bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b2 x2 + b1 x + b0 = 0

Dabei sind an , an−1 , an−2 , . . . , a2 , a1 , a0 und bn−1 , bn−2 , . . . , b2 , b1 , b0 reelle (oder komplexe) Koeﬃzienten, und n ist eine nat¨ urliche Zahl. Nur f¨ ur n ≤ 4 (Gleichungen h¨ ochstens vierten Grades) gibt es allgemeine L¨osungsformeln, in denen nur ineinandergeschachtelte Wurzeln stehen. F¨ ur Gleichungen f¨ unften und h¨oheren Grades existieren solche L¨ osungsformeln nicht. In der Regel lassen sich dann die L¨osungen außer in Spezialf¨ allen nicht mehr exakt berechnen, man muss sich mit sogenannten N¨ aherungsl¨ osungen begn¨ ugen. Besonders bei der Behandlung praktischer Probleme werden verschiedene N¨ aherungsverfahren verwendet (wie zum Beispiel Regula falsi oder newtonsches Verfahren, vgl. Abschnitt 8.4.12). In Spezialf¨allen f¨ uhren die f¨ ur Gleichungen dritten und vierten Grades vorgef¨ uhrten Methoden wie zum Beispiel die Reduktionsmethode jedoch zu L¨osungen. Ist x1 eine L¨osung der Gleichung an xn +an−1 xn−1 +an−2xn−2 +. . .+a2 x2 +a1 x+a0 = 0, dann gilt an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 = (x − x1 )(cn−1 xn−1 + cn−2 xn−2 + . . . + c2 x2 + c1 x + c0 ) = 0

68

2 Gleichungen

mit cn−1 = an . Die weiteren L¨ osungen der Gleichung n-ten Grades an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 sind die L¨ osungen der Gleichung (n − 1)-ten Grades cn−1 xn−1 + cn−2 xn−2 + . . . + c2 x2 + c1 x + c0 = 0. Der Grad der zu l¨osenden Gleichung wird also um 1 reduziert. Beispiel: x6 − 6x5 + 14x4 − 14x3 + 5x2 = 0 Sofort zu erkennen: x1 = 0, x2 = 0 Es folgt: x6 − 6x5 + 14x4 − 14x3 + 5x2 = x2 (x4 − 6x3 + 14x2 − 14x + 5) = 0 osung von x4 − 6x3 + 14x2 − 14x + 5 = 0 Durch Probieren: x3 = 1 ist L¨ Polynomdivision: (x4 − 6x3 + 14x2 − 14x + 5) : (x − 1) = x3 − 5x2 + 9x − 5 Es folgt: x6 − 6x5 + 14x4 − 14x3 + 5x2 = x2 (x − 1)(x3 − 5x2 + 9x − 5) = 0 osung von x3 − 5x2 + 9x − 5 = 0 Durch Probieren: x4 = 1 ist L¨ Polynomdivision: (x3 − 5x2 + 9x − 5) : (x − 1) = x2 − 4x + 5 Es folgt: x6 − 6x5 + 14x4 − 14x3 + 5x2 = x2 (x − 1)2 (x2 − 4x + 5) = 0 osungen x5 = 2 + i, x6 = 2 − i Die quadratische Gleichung x2 − 4x + 5 = 0 hat die L¨ Es folgt: x6 − 6x5 + 14x4 − 14x3 + 5x2 = x2 (x − 1)2 (x − 2 − i)(x − 2 + i) = 0 Alle L¨ osungen von x6 − 6x5 + 14x4 − 14x3 + 5x2 = 0 somit: x1 = x2 = 0, x3 = x4 = 1, x5 = 2 + i, x6 = 2 − i

2.6.5

Satz von Vi¨ eta f¨ ur Gleichungen n-ten Grades

Wie f¨ ur quadratische Gleichungen, so erh¨ alt man auch f¨ ur beliebige Gleichungen n-ten Grades durch Vergleich der Normalform und der Produktform Beziehungen zwischen den L¨osungen und den Koeﬃzienten der Potenzen von x in der Normalform. Ausmultiplizieren der Produktform, Gleichsetzen mit der Normalform und Koeﬃzientenvergleich (das heißt, Vergleich der Koeﬃzienten von xn−1 , xn−2 , . . . , x2 , x1 = x, x0 = 1 auf beiden Seiten der Gleichung) ergibt die folgenden Beziehungen, die als Satz von Vi¨eta bezeichnet werden. Kubische Gleichungen: osungen x1 , x2 , x3 Normalform: x3 + b2 x2 + b1 x + b0 = 0, L¨ Satz von Vi¨eta: b2 = −(x1 + x2 + x3 ); b1 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ; b0 = −x1 x2 x3 Gleichungen vierten Grades: Normalform: x4 + b3 x3 + b2 x2 + b1 x + b0 = 0, L¨osungen x1 , x2 , x3 , x4 Satz von Vi¨eta: b3 = −(x1 + x2 + x3 + x4 ) b2 = x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 b1 = −(x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x4 ) b0 = x1 x2 x3 x4 Gleichungen n-ten Grades: Normalform: xn + bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b2 x2 + b1 x + b0 = 0 L¨osungen: x1 , x2 , x3 , . . . , xn

2.6 Algebraische Gleichungen h¨ oheren Grades

69

Satz von Vi¨eta: bn−1 = −(x1 + x2 + . . . xn ), bn−2 = x1 x2 + x1 x3 + . . . + x1 xn + x2 x3 + x2 x4 + . . . + x2 xn + . . . + xn−1 xn , bn−3 = −(x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + . . . + x1 x2 xn + x1 x3 x4 + x1 x3 x5 + . . . + x1 x3 xn + . . . + x2 x3 x4 + x2 x3 x5 + . . . + x2 x3 xn + x2 x4 x5 + . . . + xn−2 xn−1 xn ), ............................................................... b1 = (−1)n−1 (x1 x2 x3 . . . xn−1 + x1 x2 . . . xn−2 xn + x1 x2 . . . xn−3 xn−1 xn + . . . + x1 x3 x4 . . . xn + x2 x3 . . . xn ), b0 = (−1)n x1 x2 x3 . . . xn Beispiele: 1.

Die kubische Gleichung x3 − 6x2 − x + 6 = 0 (also b2 = −6, b1 = −1, b0 = 6) hat die L¨ osungen x1 = 1, x2 = 6, x3 = −1 (vgl. Beispiel 2 im Abschnitt 2.6.1). Es gilt nach dem Satz von Vi¨eta: b2 = −(x1 + x2 + x3 ) = −(1 + 6 − 1) = −6, b1 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = 1 · 6 + 1 · (−1) + 6 · (−1) = 6 − 1 − 6 = −1, b0 = −x1 x2 x3 = −1 · 6 · (−1) = −(−6) = 6

2.

F¨ ur die Gleichung vierten Grades x4 − 7x3 + 5x2 + 7x − 6 = 0 gilt: b3 = −7, b2 = 5, b1 = 7, b0 = −6. Die Gleichung hat die L¨ osungen x1 = x2 = 1, x3 = 6, x4 = −1 (vgl. Beispiel 2 im Abschnitt 2.6.3). Nach dem Satz von Vi¨eta gilt: b3 = −(x1 + x2 + x3 + x4 ) = −(1 + 1 + 6 − 1) = −7 b2 =x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 =1 · 1 + 1 · 6 + 1 · (−1) + 1 · 6 + 1 · (−1) + 6 · (−1) = 1 + 6 − 1 + 6 − 1 − 6 = 5 b1 =−(x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x4 ) =−(1 · 1 · 6 + 1 · 1 · (−1) + 1 · 6 · (−1) + 1 · 6 · (−1)) = −(6 − 1 − 6 − 6) = 7 b0 = x1 x2 x3 x4 = 1 · 1 · 6 · (−1) = −6

3.

Welche Normalform hat die kubische Gleichung mit den L¨ osungen 1 1 x1 = −2, x2 = − , x3 = ? 2 2 Normalform: x3 + b2 x2 + b1 x + b0 = 0 Nach dem Satz von Vi¨eta gilt:

1 1 =2 + 2 2 1 1 1 1 1 1 b1 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = (−2) − =1−1− =− + (−2) + − 2 2 2 2 4 4 1 1 1 b0 = −x1 x2 x3 = − (−2) − =− 2 2 2 1 1 Die Normalform der kubischen Gleichung lautet somit x3 + 2x2 − x − = 0. 4 2 b2 = −(x1 + x2 + x3 ) = − − 2 −

70

2 Gleichungen

2.7 2.7.1

Auf algebraische Gleichungen zuru ¨ckfu ¨ hrbare Gleichungen Bruchgleichungen

Bestimmungsgleichungen mit Bruchtermen, bei denen die Variable (auch) im Nenner auftritt, heißen Bruchgleichungen. P (x) Alle diese Bruchterme sind Quotienten , wo P (x) und Q(x) Polynome mit der Q(x) gleichen Variablen x sind, also P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 und Q(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + . . .+ b2 x2 + b1 x+ b0 mit n ≥ 0, m ≥ 1 (vgl. Abschnitt 2.6.2). Multipliziert man eine solche Gleichung mit dem Hauptnenner aller auf beiden Seiten der Gleichung auftretenden Nenner durch, dann entsteht eine algebraische Gleichung (oder eine identische Gleichung). Durch die Multiplikation mit dem Hauptnenner k¨onnen L¨osungen hinzukommen, es gehen aber keine L¨osungen verloren. Deshalb ist es unbedingt erforderlich, die L¨osungen der erhaltenen algebraischen Gleichung in die Ausgangsgleichung einzusetzen. Dadurch werden hinzugekommene L¨ osungen, die nicht L¨ osungen der Ausgangsgleichung sind, ausgesondert, insbesondere solche Werte, f¨ ur die ein Nenner der Ausgangsgleichung Null ist. Beispiele: 4x − 1 x+2 = 1. 2x − 1 x Multiplikation mit dem Hauptnenner x(2x − 1) : (x + 2)x = (4x − 1)(2x − 1) Auﬂ¨ osen der Klammern: x2 + 2x = 8x2 − 4x − 2x + 1 Sortieren nach Potenzen von x : 7x2 − 8x + 1 = 0 Quadratische Gleichung in allgemeiner Form mit a = 7, b = −8, c = 1 (vgl. Abschnitt 2.5.2) √ 1 1 L¨ osungen: x1,2 = 8 ± 64 − 4 · 7 · 1 = 8±6 14 14 1 ⇒ x1 = 1, x2 = 7 4·1−1 1+2 = ⇒ 3=3 Einsetzen von x1 in die Ausgangsgleichung: 2·1−1 1 1 4 · 17 − 1 +2 7 Einsetzen von x2 in die Ausgangsgleichung: = 1 1 2· 7 −1 7 ⇒

15 7 − 57

=

− 37 1 7

⇒ −3 = −3

Beide Werte sind also auch L¨ osungen der Ausgangsgleichung. 1 , 1 L¨ osungsmenge: L = 7 2.

3x − 5 2x2 + 2x + 18 2x + 1 + = x−3 x+3 x2 − 9 Multiplikation mit dem Hauptnenner (x − 3)(x + 3) = x2 − 9: (2x + 1)(x + 3) + (3x − 5)(x − 3) = 2x2 + 2x + 18 Auﬂ¨ osen der Klammern: 2x2 + 6x + x + 3 + 3x2 − 9x − 5x + 15 = 2x2 + 2x + 18 Sortieren nach Potenzen von x : 3x2 − 9x = 0 Durch 3 dividieren und x ausklammern: x(x − 3) = 0 Die L¨ osungen dieser quadratischen Gleichung sind x1 = 0, x2 = 3 1 −5 18 Einsetzen von x1 in die Ausgangsgleichung: + = ⇒ −2 = −2 −3 3 −9 osung der Ausgangsgleichung, da f¨ ur x = 3 zwei der Nenner gleich 0 sind. x2 = 3 ist keine L¨ L¨ osungsmenge: L = {0}

2.7 Auf algebraische Gleichungen zur¨ uckf¨ uhrbare Gleichungen

3.

71

2x + 3 4x + 5 6x2 + 6x − 2 + = x−1 x+1 x2 − 1 Multiplikation mit dem Hauptnenner (x − 1)(x + 1) = x2 − 1: (2x + 3)(x + 1) + (4x + 5)(x − 1) = 6x2 + 6x − 2 Auﬂ¨ osen der Klammern: 2x2 + 2x + 3x + 3 + 4x2 − 4x + 5x − 5 = 6x2 + 6x − 2 Zusammenfassen: 6x2 + 6x − 2 = 6x2 + 6x − 2 Dies ist eine identische Gleichung, die f¨ ur alle reellen x erf¨ ullt ist. F¨ ur x = 1 und x = −1 ist die Ausgangsgleichung nicht erkl¨ art, da Nenner gleich 0 sind. L¨ osungsmenge: L = {x|x ∈ IR und x = 1, x = −1}

4.

3 2 2x + 1 − =− 2 x−1 x−3 x − 4x + 3 Multiplikation mit dem Hauptnenner (x − 1)(x − 3) = x2 − 4x + 3: 3(x − 3) − 2(x − 1) = −(2x + 1) Auﬂ¨ osen der Klammern: 3x − 9 − 2x + 2 = −2x − 1 Sortieren nach Potenzen von x : 3x − 6 = 0 Die L¨ osung dieser linearen Gleichung ist x = 2. 2 5 3 − =− ⇒ 5=5 Einsetzen in die Ausgangsgleichung: 1 −1 −1 L¨ osungsmenge: L = {2}

2.7.2

Wurzelgleichungen

Bestimmungsgleichungen, bei denen die Variable (auch) unter einer Wurzel vorkommt, heißen Wurzelgleichungen. ¨ Uber die Existenz und die Anzahl von L¨ osungen bei Wurzelgleichungen lassen sich allgemein keine Aussagen machen. Ziel f¨ ur die Bestimmung der L¨osungen ist es, die in der Gleichung auftretenden Wurzeln zu beseitigen und die Gleichung in eine algebraische Gleichung zu u uhren. ¨ berf¨ Oftmals gelingt es, die Wurzeln zu isolieren (das heißt, die Gleichung so umzuformen, dass die Wurzel allein auf einer Seite der Gleichung steht) und dann beide Seiten der Gleichung in die entsprechende Potenz zu erheben. Viele Wurzelgleichungen k¨onnen auch schon durch ein- oder mehrmaliges Quadrieren in eine algebraische Gleichung u uhrt ¨ berf¨ werden. Durch das Quadrieren oder allgemeiner durch das Potenzieren k¨onnen L¨osungen hinzukommen, es gehen aber keine L¨ osungen verloren (Potenzieren ist keine ¨aquivalente Umformung!). Durch die Probe mit Einsetzen der gefundenen L¨osungen in die Ausgangsgleichung lassen sich diese zus¨ atzlichen Werte aber leicht feststellen und aussortieren. Beispiele: √ 1. 11 − x + 3 = 6 √ √ Isolieren der Wurzel ergibt x + 3 = 11 − 6, also x + 3 = 5, woraus man durch Quadrieren der Gleichung x + 3 = 25, also x = 22 erh¨ √alt. Einsetzen in die Ausgangsgleichung best¨ atigt x = 22 als L¨ osung: 11 − 22 + 3 = 6 L¨ osungsmenge: L = {22} 2.

√ 5 + 9x2 − 65 = 3x Isolieren der Wurzel und Quadrieren der Gleichung ergibt √ 9x2 − 65 = 3x − 5 ⇒ 9x2 − 65 = (3x − 5)2 = 9x2 − 30x + 25 ⇒ 30x = 90 ⇒ x = 3 Einsetzen in die Ausgangsgleichung ergibt x = 3 als L¨ osung. L¨ osungsmenge: L = {3}

72 3.

2 Gleichungen √

11 − x = x + 1 2 Quadrieren ergibt 11 − x = x2 + 2x + 1, also die quadratische Gleichung x + 3x − 10 = 0, 3 9 + 10, also x1 = 2 und x2 = −5 hat. die die L¨ osungen x1,2 = − ± 2 4 Die Probe zeigt, dass x1 die Wurzelgleichung erf¨ ullt, x2 jedoch nicht. L¨ osungsmenge: L = {2}

4.

√ x + 5 = 2x + 3 + 1 √ Quadrieren der Gleichung ergibt x + 5 = 2x + 3 + 2 2x + 3 + 1. √ Durch Zusammenfassen und Isolieren der Wurzel erh¨ alt man −x + 1 = 2 2x + 3. 2 Erneutes Quadrieren ergibt x − 2x + 1 = 4(2x + 3) und somit die quadratische Gleichung x2 − 10x − 11 = 0. √ 25 + 11, also x1 = 11 und x2 = −1. Diese Gleichung hat die L¨ osungen x1,2 √= 5 ± √ x + 5 = 2x + 3 + 1 zeigt, dass x2 eine L¨ osung ist, Einsetzen in die Ausgangsgleichung x1 aber nicht. √

L¨ osungsmenge: L = {−1} 5.

√ x + 2 + 2x + 7 = √ 4 Quadrieren: x + 2√+ 2x + 7 = 16 2x + 7 = 14 − x Wurzel isolieren: Quadrieren: 2x + 7 = 196 − 28x + x2 Sortieren nach Potenzen von x : x2 − 30x + 189 = 0 √ L¨ osungen dieser quadratischen Gleichung: x1,2 = 15 ± 225 − 189 = 15 ± 6 ⇒ x1 = 21, x2 = 9 √ √ 21 + 2 + 2 · 21 + 7 = 4 ⇒ 30 = 4: unwahr! Einsetzen von x1 in Ausgangsgleichung: Somit ist x1 keine L¨ osung der Ausgangsgleichung. √ 9 + 2 + 2 · 9 + 7 = 4 ⇒ 4 = 4: wahr, x2 = 9 Einsetzen von x2 in Ausgangsgleichung: ist also L¨ osung. L¨ osungsmenge: L = {9}

6.

√ 3

x+2=3 In die 3. Potenz erheben: x + 2 = 33 = √ 27 ⇒ x = 25 Einsetzen in die Ausgangsgleichung: 3 25 + 2 = 3 ⇒ 3 = 3 L¨ osungsmenge: L = {25}

7.

√ √ 3 x + 5 x2 − 22 3 x + 16 = 0 2 1 Umformung der Wurzelexponenten: x + 5x 3 − 22x 3 + 16 = 0 Durch Potenzieren lassen sich die Wurzeln nicht beseitigen, stattdessen Substitution: √ 1 z = 3 x = x3 3 Es folgt: z + 5z 2 − 22z + 16 = 0 Durch Probieren erh¨ alt man die L¨ osung z = 1 dieser kubischen Gleichung. Polynomdivision: (z 3 + 5z 2 − 22z + 16) : (z − 1) = z 2 + 6z − 16 L¨ osungen der√quadratischen Gleichung z 2 + 6z − 16 = 0 : z2,3 = −3 ± 9 + 16 = −3 ± 5 ⇒ z2 = 2, z3 = −8 Substitutionsgleichung in die dritte Potenz erheben: x = z 3 Einsetzen der L¨ osungen: x1 = z13 = 13 = 1, x2√= z23 = 2√3 = 8, x3 = z33 = (−8)3 = −512 3 Einsetzen von x1 in Ausgangsgleichung: 1 + 5 12 − 22 3 1 + 16 = 0 ⇒ 1 + 5 − 22 + 16 = 0 ⇒ 0=0 √ √ 3 Einsetzen von x2 in Ausgangsgleichung: 8 + 5 82 − 22 3 8 + 16 = 0 ⇒ 8 + 20 − 44 + 16 = 0 ⇒ 0=0

2.8 Transzendente Gleichungen

73

√ Einsetzen von x3 in Ausgangsgleichung: −512 + 5 3 (−512)2 − 22 3 −512 + 16 = 0 ⇒ −512 + 5 · 64 − 22 · (−8) + 16 = 0 ⇒ −512 + 320 + 176 + 16 = 0 ⇒ 0 = 0 L¨ osungsmenge: L = {−512, 1, 8}

2.8 2.8.1

Transzendente Gleichungen Exponentialgleichungen

Bestimmungsgleichungen, bei denen die Variable (auch) im Exponenten einer Potenz steht, heißen Exponentialgleichungen. Im allgemeinen lassen sich in Exponentialgleichungen die L¨osungen nur durch N¨aherungsverfahren (siehe Abschnitt 8.4.12) bestimmen. Tritt in einer Exponentialgleichung die Variable jedoch nur in den Exponenten auf, so kann man sie oftmals l¨osen, und zwar •

durch Umformung mit Hilfe der Potenzgesetze und anschließendes Logarithmieren zu einer beliebigen Basis

oder •

¨ durch Uberf¨ uhrung in eine algebraische Gleichung mit Hilfe einer geeigneten Substitution und anschließendem Logarithmieren. Die Exponentialgleichung a · bx = c geht durch Logarithmieren u ¨ ber in log a + x · log b = log c − log a log c, woraus sich f¨ ur b = 1 die L¨ osung x = ergibt. log b Die Exponentialgleichung an bnx + an−1 b(n−1)x + . . . + a2 b2x + a1 bx + a0 = 0 geht mit Hilfe der Substitution z = bx u ¨ ber in die algebraische Gleichung an z n + an−1 z n−1 + log z . . . + a2 z 2 + a1 z + a0 = 0. Ist z > 0 eine reelle L¨osung dieser Gleichung, so ist x = log b eine L¨osung der Exponentialgleichung. Beispiele: 1.

3x = 4x−2 · 2x Logarithmieren zu einer beliebigen Basis ergibt x log 3 = (x − 2) log 4 + x log 2. Auﬂ¨ osen nach x gibt die L¨ osung 2 log 4 4 log 2 x= = ≈ 2, 826 780. log 4 − log 3 + log 2 3 log 2 − log 3 Bei der letzten Umformung wurde log 4 = 2 log 2 gesetzt. L¨ osungsmenge: L = {2, 826 780 . . .}

2.

5 · 6x = 2x · 7−x

x 2 x 1 Durch Umformung ergibt sich = = 5, woraus man durch Logarithmieren 7·6 21 die L¨ osung erh¨ alt: log 5 log 5 = x= ≈ −0, 528 634 − log 21 log 1 21

L¨ osungsmenge: L = {−0, 528 633 . . .} 3.

e2x+3 = ex−4 Logarithmieren zur Basis e ergibt die Gleichheit der Exponenten: 2x + 3 = x − 4,

74

2 Gleichungen woraus sich unmittelbar die L¨ osung x = −7 ergibt. L¨ osungsmenge: L = {−7}

4.

22x − 52 · 2x+1 + 6 = 0 Durch Umformung erh¨ alt man (2x )2 − 5 · 2x + 6 = 0, und mit der Substitution z = 2x ergibt sich die quadratische Gleichung in z: z 2 −5z +6 = 0, 5 − 6, also z1 = 2 und z2 = 3 hat. die die L¨ osungen z1,2 = 2 ± 25 4 Durch Einsetzen dieser Werte in die Substitutionsgleichung ergeben sich die L¨ osungen x1 und x2 der Exponentialgleichung: log 3 ≈ 1, 584 963 2x1 = z1 = 2 ⇒ x1 = 1; 2x2 = z2 = 3 ⇒ x2 = log 2 L¨ osungsmenge: L = {1; 1, 584 962 . . .}

5.

3x = x + 4 In dieser Gleichung steht x nicht nur im Exponenten, die Gleichung l¨ asst sich deshalb nur mit einem N¨ aherungsverfahren l¨ osen. Man setzt y = 3x − x − 4 und wendet etwa Regula falsi oder das newtonsche Verfahren an (vgl. Abschnitt 8.4.12). Mit den Startwerten x1 = 1, 55, x2 = 1, 57 (⇒ y1 = alt man zum Beispiel mit Regula falsi (Sekantenverfah−0, 0604 . . . , y2 = 0, 0415 . . .) erh¨ ren) in zwei Schritten die N¨ aherungsl¨ osung: x ≈ 1, 561 919 L¨ osungsmenge: L = {1, 561 918 . . .}

2.8.2

Logarithmische Gleichungen

Bestimmungsgleichungen, bei denen die Variable (auch) im Argument eines Logarithmus vorkommt, heißen logarithmische Gleichungen. Einige dieser Gleichungen lassen sich mit Hilfe der Logarithmenrechnung auf die l¨osbare Form loga x = b bringen. Die L¨ osung lautet dann x = ab . Spezielle logarithmische Gleichungen k¨ onnen mit Hilfe einer geeigneten Substitution in eine algebraische Gleichung umgewandelt werden. Tritt die Variable nicht nur im Argument von Logarithmen auf, dann lassen sich die L¨osungen von logarithmischen Gleichungen im allgemeinen nur durch N¨aherungsverfahren bestimmen (siehe Abschnitt 8.4.12). Beispiele: 1.

log7 (x2 + 19) = 3 Durch Potenzieren ergibt sich 73 = x2 + 19, also x2 = 324. Daraus erh¨ alt man die L¨ osungen x1 = 18 und x2 = −18. L¨ osungsmenge: L = {18, −18}

2.

lg(6x + 10) − lg(x − 3) = 1 6x + 10 6x + 10 = 1 und durch Potenzieren = 101 = 10 und somit 6x + 10 = Es folgt lg x−3 x−3 10x − 30, also 4x = 40. Daraus ergibt sich x = 10 als L¨ osung der logarithmischen Gleichung. L¨ osungsmenge: L = {10}

2.8 Transzendente Gleichungen 3.

75

lg(11x − 10) + [lg(11x − 10)]2 = 6 2 Durch die Substitution z = lg(11x−10) erh¨alt man die quadratische Gleichung z +z −6 = 1 1 + 6, also z1 = −3 und z2 = 2. 0 mit den L¨ osungen z1,2 = − ± 2 4 Durch Einsetzen dieser Werte in die Substitutionsgleichung ergeben sich die L¨ osungen x1 und x2 der logarithmischen Ausgangsgleichung: 10z + 10 z = lg(11x − 10) ⇒ 10z = 11x − 10 ⇒ x = 11 10−3 + 10 = 0, 909 18 z1 = −3 ⇒ x1 = 11 102 + 10 = 10 z2 = 2 ⇒ x2 = 11 L¨ osungsmenge: L = {0, 909 18, 10}

2.8.3

Trigonometrische Gleichungen

Bestimmungsgleichungen, in denen die Variable (auch) im Argument einer trigonometrischen Funktion auftritt, heißen trigonometrische Gleichungen oder goniometrische Gleichungen (siehe Kapitel 6). Trigonometrische Gleichungen sind ebenfalls transzendente Gleichungen. Sie lassen sich nur in Spezialf¨allen rechnerisch exakt l¨ osen. Es existieren jedoch stets N¨aherungsverfahren, mit deren Hilfe sich die L¨ osungen mit beliebiger Genauigkeit angeben lassen (zum Beispiel newtonsches Verfahren oder Regula falsi, vgl. Abschnitt 8.4.12). Tritt in der Gleichung nur eine trigonometrische Funktion auf, so erh¨alt man mit den Arkusfunktionen die L¨ osungen (vgl. Abschnitt 6.9). Auch f¨ ur solche Gleichungen, in denen verschiedene trigonometrische Funktionen auftreten, die das gleiche Argument haben, kann man oft mit Hilfe der Arkusfunktionen die L¨osungen berechnen. Die L¨osungen k¨ onnen im Gradmaß oder im Bogenmaß angegeben werden. Die Probe durch Einsetzen der gefundenen Werte ist wichtig, weil beim L¨osen in der Regel auch nicht¨aquivalente Umformungen vorgenommen werden. Im allgemeinen sind trigonometrische Gleichungen nicht eindeutig l¨osbar. Beispiele: 1.

sin2 x − 1 = −0, 5 Man berechnet:

1√ 1 1 1√ 2 ⇒ x = arcsin ± 2 = ±45◦ ⇒ sin x = ± =± 2 2 2 2 Wegen sin x = sin(180◦ − x) und sin x = sin(x + k · 360◦ ) ergibt sich als L¨ osungsmenge der trigonometrischen Gleichung (im Gradmaß): sin2 x =

L = {x|x = 45◦ + k · 180◦ , k ∈ ZZ} Die Probe in der Ausgangsgleichung best¨ atigt diese Werte. 2.

sin2 x + 2 cos x = 1, 5 Wegen sin2 x + cos2 x = 1 ergibt sich 1 − cos2 x + 2 cos x = 1, 5 ⇒ cos2 x − 2 cos x + 0, 5 = 0 Dies ist eine quadratische Gleichung in cos x. Mit der Substitution z = cos x ergibt sich die 1√ osungen z = cos x = 1 ± 2. Wegen quadratische Gleichung z 2 − 2z + 0, 5 = 0 mit den L¨ 2 √ 1 2 f¨ ur eine L¨ osung nicht in Betracht. Somit folgt cos x ≤ 1 kommt cos x = 1 + 2

76

2 Gleichungen 1√ 1√ 2 ⇒ x = arccos(1 − 2) ≈ 1, 2735 2 2 Wegen cos x = cos(−x) und cos x = cos(x + 2kπ) ergibt sich als L¨ osungsmenge der Ausgangsgleichung (im Bogenmaß): cos x = 1 −

L = {x|x ≈ ±1, 2735 + 2kπ, k ∈ ZZ} Die Probe in der Ausgangsgleichung best¨ atigt diese Werte. 3.

sin x + cos x − 0, 9x = 0 Diese Gleichung ist nicht geschlossen l¨ osbar. Eine N¨ aherungsl¨ osung erh¨ alt man zum Beispiel mit Regula falsi (vgl. Abschnitt 8.4.12). Man setzt y = sin x + cos x − 0, 9x und erh¨ alt mit den Startwerten x1 = 77◦ , x2 = 76, 5◦ (⇒ y1 = −0, 0101 . . . , y2 = 0, 0041 . . .) im ersten Schritt die N¨ aherungsl¨ osung x ≈ 1, 3378.

2.9 2.9.1

Lineare Gleichungssysteme Deﬁnitionen

Die Schwierigkeiten beim Bestimmen der L¨ osungen von Gleichungen werden noch gr¨oßer, wenn nicht nur eine Variable aus einer Bestimmungsgleichung errechnet werden soll, sondern wenn mehrere Variable mehrere Gleichungen gleichzeitig erf¨ ullen sollen. Zum Beispiel sollen in den Gleichungen x − 2y = 4 und 2x + 5y = 35 die Variablen x und y so berechnet werden, dass deren Werte beide Gleichungen erf¨ ullen. Sollen m Gleichungen von n Variablen gleichzeitig erf¨ ullt sein, so spricht man von einem System von m Gleichungen mit n Variablen. Ein solches Gleichungssystem zu l¨osen, heißt, die Werte der Variablen zu bestimmen, die alle Gleichungen dieses Systems erf¨ ullen. Eine L¨osung eines Gleichungssystems mit m Gleichungen und n Variablen besteht also aus n Werten, einem sogenannten n-Tupel (f¨ ur jede Variable ein Wert). So besteht eine L¨ osung eines Gleichungssystems mit zwei Variablen aus einem Paar (2-Tupel) von Werten, ein Gleichungssystem mit drei Variablen hat ein L¨osungstripel (3-Tupel). In dem Beispiel ist das Paar x = 10, y = 3 L¨ osung. Man schreibt auch (x, y) = (10, 3), oder die L¨osungsmenge L der beiden Gleichungen ist L = {(10, 3)} (die Reihenfolge ist zu beachten!). Eine Gleichung in mehreren Variablen heißt linear, wenn alle Variablen h¨ochstens in der ersten Potenz auftreten und nicht miteinander multipliziert werden. Die beiden Gleichungen des Beispiels sind lineare Gleichungen. Ein Gleichungssystem heißt linear, wenn alle Gleichungen des Systems lineare Gleichungen sind. Im allgemeinen ist die Bestimmung von L¨ osungen oder sogar aller L¨osungen eines Gleichungssystems sehr schwierig oder auch nicht m¨ oglich. F¨ ur lineare Gleichungssysteme ist jedoch eine Methode entwickelt worden, die alle L¨osungen des Systems liefert. Ein lineares Gleichungssystem ist durch die Koeﬃzienten der Variablen und durch die Absolutglieder (die Terme, die die Variablen nicht enthalten) bestimmt. 2.9.2

Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Die allgemeine Form eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Variablen x, y lautet:

2.9 Lineare Gleichungssysteme

77

a1 x + b 1 y = c 1 a2 x + b 2 y = c 2 a1 , a2 sind die Koeﬃzienten von x, die Koeﬃzienten von y sind b1 , b2 , und c1 , c2 sind die Absolutglieder des Gleichungssystems. ¨ Es gibt verschiedene Methoden, solche linearen Gleichungssysteme zu l¨osen. Ubliche Verfahren sind das Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren), das Additionsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren. Einsetzungsverfahren Beim Einsetzungsverfahren wird eine der beiden Gleichungen nach einer der Variablen aufgel¨ost, und der entsprechende Term wird in die andere Gleichung eingesetzt. Man erh¨alt so eine lineare Gleichung mit einer Variablen, die gel¨ost werden kann. Durch Einsetzen dieses Wertes in eine der beiden Ausgangsgleichungen ergibt sich eine lineare Gleichung mit der anderen Variablen, die daraus dann auch berechnet werden kann. F¨ uhrt man das Verfahren mit der allgemeinen Form des Gleichungssystems durch, so ergibt sich x=

b2 c1 − b1 c2 a1 c2 − a2 c1 , y= a1 b2 − a2 b1 a1 b2 − a2 b1

Fallunterscheidung: 1. Ist der Nenner a1 b2 − a2 b1 = 0, so erh¨ alt man genau eine L¨osung, und zwar das Zahlenpaar b c −b c a c −a c

2 1 1 2 1 2 2 1 , (x, y) = . a1 b2 − a2 b1 a1 b2 − a2 b1 2. Ist der Nenner a1 b2 − a2 b1 = 0, aber (mindestens) einer der Z¨ahler b2 c1 − b1 c2 oder a1 c2 − a2 c1 ungleich 0, so gibt es keine L¨ osung. 3. Ist der Nenner gleich 0, und sind außerdem beide Z¨ahler gleich 0, so gibt es unendlich viele L¨osungen, und zwar jedes Paar (x, y), das die erste gegebene Gleichung a1 x + b1 y = c1 und damit dann zugleich die zweite gegebene Gleichung a2 x + b2 y = c2 erf¨ ullt. Der Graph (das Schaubild) zu jeder einzelnen gegebenen Gleichung ist eine Gerade (vgl. Abschnitt 5.4.2). Im ersten Fall ist das die L¨ osung bildende Zahlenpaar das Koordinatenpaar des eindeutigen Schnittpunktes der beiden Geraden. Im zweiten Fall gibt es keine L¨osung, die Graphen der beiden gegebenen Gleichungen sind parallele Geraden (Parallelen haben keinen Schnittpunkt). Im dritten Fall gibt es unendlich viele L¨osungen, die Graphen der beiden gegebenen Gleichungen sind gleich, es handelt sich um ein und dieselbe Gerade. Wichtiger Hinweis: Man sollte stets die Probe in den noch nicht umgeformten Ausgangsgleichungen durchf¨ uhren! Beispiele: 1.

(I) −x + y = 1, (II) 2x + y = 4 (I) ⇒ y = 1 + x; Einsetzen in (II): 2x + 1 + x = 4 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1 Einsetzen in (I) ⇒ y = 2

78

2 Gleichungen L¨ osung: (x, y) = (1, 2) (oder L¨ osungsmenge: L = {(1, 2)}) Berechnung der L¨ osung durch Einsetzen von a1 = −1, b1 = 1, c1 = 1, a2 = 2, b2 = 1, c2 = 4 in die L¨ osungsformel: x=

(−1) · 4 − 2 · 1 −3 −6 1·1−1·4 = = 1, y = = =2 (−1) · 1 − 2 · 1 −3 (−1) · 1 − 2 · 1 −3

Probe: (I) −1 + 2 = 1 ⇒ 1 = 1, (II) 2 · 1 + 2 = 4 ⇒ 4 = 4 2.

(I) 2x + 3y = 8, (II) x + 4y = 9 (II) ⇒ x = 9 − 4y; Einsetzen in (I): 2(9 − 4y) + 3y = 8 ⇒ 18 − 5y = 8 ⇒ 5y = 10 ⇒ y = 2 Einsetzen in (II) ⇒ x = 9 − 4 · 2 = 1 L¨ osung: (x, y) = (1, 2) (oder L¨ osungsmenge: L = {(1, 2)}) Berechnung der L¨ osung durch Einsetzen von a1 = 2, b1 = 3, c1 = 8, a2 = 1, b2 = 4, c2 = 9 in die L¨ osungsformel: x=

4·8−3·9 5 2·9−1·8 10 = = 1, y = = =2 2·4−1·3 5 2·4−1·3 5

Probe: (I) 2 · 1 + 3 · 2 = 8 ⇒ 8 = 8, (II) 1 + 4 · 2 = 9 ⇒ 9 = 9

y 3

2x + 3y = 8 (1, 2)

2

x + 4y = 9

1 0 −1 −1

1

2

3

4

5

6

x

Abbildung 2.1 Geraden von Beispiel 2

Additionsverfahren Beim Additionsverfahren werden beide Gleichungen jeweils so mit einem Faktor multipliziert, dass bei anschließender Addition der Gleichungen eine der Variablen wegf¨allt. Man erh¨alt so eine lineare Gleichung mit einer Variablen, die gel¨ost werden kann. Durch Einsetzen dieses Wertes in eine der beiden Ausgangsgleichungen ergibt sich eine lineare Gleichung mit der anderen Variablen, die daraus dann auch berechnet werden kann. Beispiele: 3.

(I) −x + y = 1, (II) 2x + y = 4 Multiplikation von (I) mit 2: (I ) −2x + 2y = 2 Addition von (I ) und (II): y + 2y = 4 + 2 ⇒ 3y = 6 ⇒ y = 2 Einsetzen in (I) ⇒ x = 1 L¨ osung: (x, y) = (1, 2) (oder L¨ osungsmenge: L = {(1, 2)})

4.

(I) 2x + 3y = 8, (II) x + 4y = 9 Multiplikation von (II) mit −2: (II ) −2x − 8y = −18 Addition von (I) und (II ): 3y − 8y = 8 − 18

2.9 Lineare Gleichungssysteme

79

⇒ 5y = 10 ⇒ y = 2 Einsetzen in (I) ⇒ x = 1 L¨ osung: (x, y) = (1, 2)

Gleichsetzungsverfahren Beim Gleichsetzungsverfahren l¨ ost man beide Gleichungen nach derselben Variablen (oder dem gleichen Vielfachen einer Variablen) auf und setzt die entsprechenden Terme gleich. Man erh¨ alt so eine lineare Gleichung mit einer Variablen, die gel¨ost werden kann. Durch Einsetzen dieses Wertes in eine der beiden Ausgangsgleichungen ergibt sich eine lineare Gleichung mit der anderen Variablen, die daraus dann auch berechnet werden kann. Beispiele: 5.

(I) −x + y = 1, (II) 2x + y = 4 (I) ⇒ y = 1 + x, (II) ⇒ y = 4 − 2x Gleichsetzen ⇒ 1 + x = 4 − 2x ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1 Einsetzen in (I) ⇒ y = 2 L¨ osung: (x, y) = (1, 2) (oder L¨ osungsmenge: L = {(1, 2)})

6.

(I) 2x + 3y = 8, (II) x + 4y = 9 (I) ⇒ (I ) 2x = 8 − 3y Multiplikation von (II) mit 2: (II ) 2x + 8y = 18 ⇒ (II ) 2x = 18 − 8y Gleichsetzen von (I ) und (II ) ⇒ 8 − 3y = 18 − 8y ⇒ 5y = 10 ⇒ y = 2 Einsetzen in (I ): 2x = 2 ⇒ x = 1 L¨ osung: (x, y) = (1, 2)

Weitere Beispiele: 7.

(I) 2x + 3y = 8, (II) 4x + 6y = 13 Nach der L¨ osungsformel ist der Nenner a1 b2 − a2 b1 = 2 · 6 − 4 · 3 = 0. Der Z¨ ahler des x-Terms ahler des y-Terms ist a1 c2 − a2 c1 = 2 · 13 − 4 · 8 = ist b2 c1 − b1 c2 = 6 · 8 − 3 · 13 = 9 = 0 (der Z¨ −6 = 0). Es gibt also keine L¨ osung, die Graphen zu beiden gegebenen Gleichungen sind parallele Gleichungen.

y 3

2x + 3y = 8

2 4x + 6y = 13 1 0 −1 −1

1

2

3

4

5

6

x

Abbildung 2.2 Geraden von Beispiel 7 Anderer Nachweis, dass es keine L¨ osung gibt: Multiplikation von (I) mit −2: (I ) −4x − 6y = −16 Addition von (I ) und (II): 0 = −3 Dies ist ein Widerspruch, also kann das Gleichungssystem keine L¨ osung haben.

80 8.

2 Gleichungen (I) 2x + 3y = 8, (II) 6x + 9y = 24 Nach der L¨ osungsformel ist der Nenner a1 b2 − a2 b1 = 2 · 9 − 6 · 3 = 0. Der Z¨ ahler des x-Terms ahler des y-Terms ist a1 c2 − a2 c1 = 2 · 24 − 6 · 8 = 0. ist b2 c1 − b1 c2 = 9 · 8 − 3 · 24 = 0, der Z¨ Es gibt also unendlich viele L¨ osungen, die Graphen der beiden gegebenen Gleichungen sind dieselbe Gerade.

y 3 2x + 3y = 8 6x + 9y = 24

2 1 0 −1 −1

1

2

3

4

5

6

x

Abbildung 2.3 Geraden von Beispiel 8 Anderer Nachweis, dass es unendlich viele L¨ osungen gibt: Multiplikation von (I) mit 3 ergibt (II). Es handelt sich also um dieselbe Geradengleichung. Zu jedem x-Wert l¨ asst sich ein y-Wert eindeutig berechnen.

2.9.3

Drei lineare Gleichungen mit drei Variablen

Die allgemeine Form eines linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen x, y, z lautet: a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2 a3 x + b3 y + c3 z = d3 a1 , a2 , a3 sind die Koeﬃzienten von x, die Koeﬃzienten von y sind b1 , b2 , b3 , die Koeﬃzienten von z sind c1 , c2 , c3 , und d1 , d2 , d3 sind die Absolutglieder des Gleichungssystems. Auch hier gibt es unterschiedliche M¨ oglichkeiten, die L¨osung oder die L¨osungen eines solchen linearen Gleichungssystems zu bestimmen. Einsetzungsverfahren Beim Einsetzungsverfahren wird eine der drei Gleichungen nach einer Variablen aufgel¨ost und dann in die beiden anderen Gleichungen eingesetzt. Man erh¨alt so ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen, das man entsprechend Abschnitt 2.9.2 l¨ost. Beispiel: 1.

(I) 3x −9y −z=5 (II) 4x+10y−9z=43 (III) 5x −y−2z=36

2.9 Lineare Gleichungssysteme

81

Gleichung (I) nach z auﬂ¨ osen: z = 3x − 9y − 5 Einsetzen in die beiden anderen Gleichungen (II) und (III): (II) 4x+10y−9(3x − 9y − 5)=43 (III) 5x −y−2(3x − 9y − 5)=36 Klammern auﬂ¨ osen und zusammenfassen: (II) −23x+91y=−2 (III) −x+17y=26 Gleichung (III) nach x auﬂ¨ osen: x = 17y − 26 Einsetzen in (II): −23(17y − 26) + 91y = −2 ⇒ 300y = 600 ⇒ y = 2 Einsetzen in (III): x = 8 Einsetzen von x = 8 und y = 2 in (I): z = 3 · 8 − 9 · 2 − 5 = 1 L¨ osung: (x, y, z) = (8, 2, 1) (oder L¨ osungsmenge: L = {(8, 2, 1)}) Probe: (I) 3 · 8 − 9 · 2 − 1 = 5 ⇒ 24 − 18 − 1 = 5 ⇒ 5 = 5 (II) 4 · 8 + 10 · 2 − 9 · 1 = 43 ⇒ 32 + 20 − 9 = 43 ⇒ 43 = 43 (III) 5 · 8 − 2 − 2 · 1 = 36 ⇒ 40 − 2 − 2 = 36 ⇒ 36 = 36

Wichtiger Hinweis: Die Probe stets in allen noch nicht umgeformten Ausgangsgleichungen durchf¨ uhren! Additionsverfahren Beim Additionsverfahren wird eine der Gleichungen jeweils so a¨quivalent umgeformt, dass bei Addition dieser umgeformten Gleichung mit einer der beiden anderen Gleichungen jeweils die gleiche Variable herausf¨ allt. Auch dadurch erh¨alt man wieder zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Beispiel: 2.

(I) x−2y−3z=−5 (II) 3x+3y +z=6 (III) 2x +y −z=0 Multiplikation von (II) mit 3: (II ) 9x + 9y + 3z = 18 Addition von (I) und (II ): (IV) 10x+7y=13 Addition von (II) und (III): (V) 5x+4y=6 Multiplikation von (V) mit −2: (V ) −10x − 8y = −12 Addition von (IV) und (V ): −y = 1 ⇒ y = −1 Einsetzen in (V): 5x − 4 = 6 ⇒ x = 2 Einsetzen von x = 2 und y = −1 in (III): z = 2x + y = 2 · 2 − 1 = 3 L¨ osung: (x, y, z) = (2, −1, 3) (oder L¨ osungsmenge: L = {(2, −1, 3)})

Weitere L¨osungsverfahren wie die cramersche Regel werden mit Hilfe der Determinantenrechnung im Abschnitt 2.9.4 formuliert. 2.9.4

Matrizen und Determinanten

Eine Matrix (Plural Matrizen) ist ein System von m · n Gr¨oßen, die in einem rechteckigen Schema von m (waagerechten) Zeilen und n (senkrechten) Spalten angeordnet sind. Die m·n Gr¨oßen nennt man die Elemente der Matrix, es sind beliebige reelle (oder komplexe) Zahlen. Die Stellung eines Elementes, etwa aij , im Schema wird durch einen Doppelindex gekennzeichnet. Dabei gibt der erste Index i die Zeile und der zweite Index j die

82

2 Gleichungen

Spalte an, in der das Element steht. Die Nummerierungen der Zeilen verlaufen von oben nach unten, die der Spalten von links nach rechts. Das Element aij beﬁndet sich also im Kreuzungspunkt der i-ten Zeile und der j-ten Spalte. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten nennt man (m, n)-Matrix. Meist k¨ urzt man Matrizen durch große lateinische Buchstaben A, B, . . . ab. Man schreibt eine Matrix, indem man das Schema in eckige Klammern (oder auch in runde Klammern) setzt: ⎡

⎤ a11 a12 . . . a1n ⎢ a21 a22 . . . a2n ⎥ ⎥ A = ⎢ ⎣ ..................... ⎦ am1 am2 . . . amn Matrix

⎛

⎞ a11 a12 . . . a1n ⎜ a21 a22 . . . a2n ⎟ ⎟ A = ⎜ ⎝ ..................... ⎠ am1 am2 . . . amn

Abk¨ urzend schreibt man daf¨ ur auch A = (aij ). Beispiel:

%

A

=

5 14 −1

−2 0 0

0 −6 2

5 1 5

&

Dies ist eine (3,4)-Matrix, also eine Matrix mit 3 Zeilen und 4 Spalten. Zum Beispiel ist a12 = −2 das Element, das in der ersten Zeile und zweiten Spalte steht.

Achtung: Die Doppelindizes sind einzeln zu lesen, zum Beispiel wird a12 gesprochen: a − eins − zwei.

Quadratische Matrizen: Gilt m = n, also Zeilenanzahl gleich Spaltenanzahl, dann heißt A eine n−reihige quadratische Matrix oder eine quadratische Matrix der Ordnung n. Die Elemente einer quadratischen Matrix, f¨ ur die i = j gilt, bilden die sogenannte Hauptdiagonale der Matrix. Beispiel:

⎡

A

=

⎢ ⎢ ⎢ ⎣

4 5 1

0

−

1

5 2 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

4 3 A ist eine quadratische 3-reihige Matrix. Die Hauptdiagonalelemente sind 4 4 a11 = , a22 = 1, a33 = − . 5 3 Alle Elemente der zweiten Zeile sind gleich 1: a21 = a22 = a23 = 1. −1

10

−

Nullmatrix O: ur i = 1, . . . , m und Eine Matrix, deren Elemente alle gleich Null sind, also aij = 0 f¨ j = 1, . . . , n, heißt eine Nullmatrix.

2.9 Lineare Gleichungssysteme

83

Einheitsmatrix E: Eine quadratische Matrix heißt Einheitsmatrix, falls aij =

1 f¨ ur i = j, 0 f¨ ur i = j.

Diagonalmatrix: Eine quadratische Matrix, bei der f¨ ur alle i = j die Elemente aij gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix. Beispiel: ⎡ 2 A

=

0

⎤

0

⎣ 0 −3 0 ⎦ 0

0

7

Obere Dreiecksmatrix: Eine quadratische Matrix, bei der f¨ ur alle i > j die Elemente aij gleich Null sind, heißt obere Dreiecksmatrix. Beispiel: ⎡ −1

6

0

0

4

1 ⎦

0

0

A

=

⎣

⎤

−7

Untere Dreiecksmatrix: Eine quadratische Matrix, bei der f¨ ur alle i < j die Elemente aij gleich Null sind, heißt untere Dreiecksmatrix. Matrizen vom gleichen Typ: Zwei Matrizen heißen vom gleichen Typ, wenn sie die gleiche Anzahl von Zeilen und die gleiche Anzahl von Spalten haben, wenn also beide (m, n)-Matrizen sind mit dem gleichen m und dem gleichen n. Beispiel: ' −1 A = 1

2

3

24

0

(

' ;

B

=

2

2

0

0

6

1

(

' ;

C

=

−1

6

0

4

(

A und B sind vom gleichen Typ, C ist jedoch nicht vom gleichen Typ wie A und B.

Gleichheit von Matrizen: Zwei Matrizen A und B heißen gleich, wenn beide vom gleichen Typ sind und wenn die ur alle i = 1, . . . , m und entsprechenden Elemente u ¨ bereinstimmem, wenn also aij = bij f¨ j = 1, . . . , n gilt. Beispiel: ' −1 A = 1

2

3

24

0

(

' ;

B

=

−1

2

3

1

24

0

( : A=B

84

2 Gleichungen

Transponierte Matrix: Die transponierte oder gespiegelte Matrix AT der Matrix A ist die Matrix, die durch Vertauschung von Zeilen und Spalten von A gebildet wird: ⎡

⎤ a11 a12 . . . a1n ⎢ a21 a22 . . . a2n ⎥ ⎥ A = ⎢ ⎣ ..................... ⎦ ; am1 am2 . . . amn

Beispiel:

'

A

=

2 −5

−1 4

3 0

%

( ;

A

T

=

2 3 −1

⎡

⎤ a11 a21 . . . am1 ⎢ a12 a22 . . . am2 ⎥ ⎥ = ⎢ ⎣ .................... ⎦ a1n a2n . . . amn

AT

−5 0 4

&

Symmetrische Matrix: Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, wenn A = AT ist, wenn also aij = aji f¨ ur alle i und j gilt. Beispiel: ⎡ −1

2

2

−6

3

0

A

=

⎣

3

⎤

0 ⎦

=

AT

5

Antisymmetrische Matrix: Eine quadratische Matrix A heißt antisymmetrisch oder schiefsymmetrisch, wenn AT = −A ist. Addition und Subtraktion von Matrizen: Matrizen k¨onnen nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie vom gleichen Typ sind. Zwei Matrizen vom gleichen Typ werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre korrespondierenden Elemente addiert bzw. subtrahiert: A + B = (aij ) + (bij ) = (aij + bij )

A − B = (aij ) − (bij ) = (aij − bij ) Eigenschaften der Addition: 1. A + B = B + A (Kommutativgesetz) 2. (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (Assoziativgesetz) 3. (A + B)T = AT + B T

2.9 Lineare Gleichungssysteme Beispiel:

'

A

=

2

−2

0

−1

3

2

' A+B

=

A−B

=

'

85

(

' ; B

6

−1

−3

0

3

0

−2

−3

3

−2

3

4

=

4

1

−3

1

0

−2

(

( (

' ; B−A

=

2

3

−3

2

−3

−4

(

Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl: Man multipliziert eine Matrix A mit einer reellen Zahl k, indem man jedes Element der Matrix mit k multipliziert: k A = k (aij ) = (k aij ) Eigenschaften: Sind k und l zwei reelle Zahlen und A und B zwei Matrizen, so gilt: 1. k (l A) = l (k A) = (k l)A 2. (k + l) A = k A + l A 3. k (A + B) = k A + k B 4. (k A)T = k AT Beispiel:

'

3A

=

3

2

−2

0

−1

3

2

(

' =

6

−6

0

−3

9

6

(

Multiplikation von Matrizen: Das Produkt A B zweier Matrizen A und B kann nur dann gebildet werden, wenn die Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B ist. Ist A = (aij ) eine (m, n)-Matrix und B = (bjk ) eine (n, r)-Matrix (Anzahl der Spalten von A = Anzahl der Zeilen von B), so ist die Produktmatrix C = A B eine (m, r)-Matrix n aij · bjk . Das Element cik von C = A B f¨ ur ein festes i mit den Elementen cik = j=1

und ein festes k erh¨ alt man also, indem man das j-te Element der i-ten Zeile von A mit dem j-ten Element der k-ten Spalte von B multipliziert f¨ ur j = 1, . . . , n und alle diese Produkte addiert.

A = (aij ), B = (bjk ) ⇒ C = A B = (cik ) mit cik =

n j=1

aij · bjk

86

2 Gleichungen

Schematische Darstellung: ⎡

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ A = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ..................... ai1 ai2 . . . ain ..................... am1 am2 . . . amn

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎤ b11 b12 . . . b1k . . . b1r ⎢ b21 b22 . . . b2k . . . b2r ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ............................. ⎦ = B bn1 bn2 . . . bnk . . . bnr ⎡ ⎤ ... ... ... ... ... ... ⎢ ... ... ... ... ... ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ... ... ... ... ... ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . . . . . . . . . cik . . . . . . ⎥ = A B ⎢ ⎥ ⎣ ... ... ... ... ... ... ⎦ ... ... ... ... ... ...

Beispiel:

' A

=

2 1

3 −4

4 0

%

( ; B

%

' A

=

2 1

' AB

=

3 −4 6 1

5 −5

4 0

(

10 −6

'

3 5

=

1 0 1

−1 1 1 1 −1 1

1 0 1

−1 1 1

2 2 0

6 1

5 −5

10 −6

3 5

2 2 0

1 −1 1

&

& =

B

=

AB

(

(

B A existiert nicht.

Eigenschaften der Matrizenmultiplikation: 1. A (B C) = (A B) C (Assoziativgesetz) 2. A (B + C) = A B + A C (Distributivgesetz) 3. A B = B A (Kommutativgesetz gilt nicht) 4. A E = E A = A (E Einheitsmatrix) 5. A O = O A = O (O Nullmatrix) 6. (A B)T = B T AT (Reihenfolge ¨ andert sich) Orthogonale Matrix: Eine quadratische Matrix A heißt orthogonal, wenn A AT = AT A = E (E Einheitsmatrix) ist. Inverse Matrix: Eine Matrix B heißt Inverse der quadratischen Matrix A, wenn A B = E (E Einheitsmatrix) gilt. Man schreibt dann B = A−1 . Existiert die Inverse einer Matrix, dann ist

2.9 Lineare Gleichungssysteme

87

sie eindeutig. Eine Matrix A, f¨ ur die die Inverse A−1 existiert, heißt regul¨ar, andernfalls heißt sie singul¨ar. Beispiel:

'

Man berechne die Inverse der Matrix A

' ' A

=

−2 1

3 −2

(

'

a c

b d

1 0

0 1

=

−2 1

3 −2

( .

( =

A−1

=

E

(

Es ergibt sich das lineare Gleichungssystem −2a + 3c = 1, −2b + 3d = 0, a − 2c = 0, b − 2d = 1. Die L¨ osung des Gleichungssystems ist a = −2, b = −3, c = −1, d = −2. Es folgt:

'

Inverse A−1

=

−2 −1

−3 −2

(

Eine Determinante D ist ein algebraischer Ausdruck, der jeder n−reihigen quadratischen Matrix A mit reellen (oder komplexen) Elementen aij eindeutig zugeordnet wird. Dieser algebraische Ausdruck ist eine reelle (oder komplexe) Zahl. Die Determinante einer n−reihigen quadratischen Matrix nennt man n−reihige Determinante. Man schreibt eine Determinante, indem man das quadratische Schema der Matrix zwischen senkrechte Striche setzt, oder in Kurzform D = det(A) = |A|:

Determinante

D = det(A) = |A| =

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ................... an1 an2 . . . ann

Deﬁnition f¨ ur zweireihige Determinanten (n = 2): a D = 11 a21

a12 = a11 a22 − a12 a21 a22

Die Elemente a11 , a22 bilden die Hauptdiagonale, die Elemente a12 , a21 die sogenannte Nebendiagonale. Merkregel zur Berechnung: Produkt der Hauptdiagonalelemente minus Produkt der Nebendiagonalelemente. Beispiel:

−1 1 D = 2 1

= (−1) · 1 − 1 · 2 = −3

88

2 Gleichungen

b2 c1 − b1 c2 a1 c2 − a2 c1 , y= f¨ ur ein lineares Gleia1 b2 − a2 b1 a1 b2 − a2 b1 chungssystem a1 x + b1 y = c1 , a2 x + b2 y = c2 (vgl. Abschnitt 2.9.2) l¨asst sich auch mit Hilfe von zweireihigen Determinanten schreiben: Die allgemeine L¨osungsformel x =

x=

a1 c1 b1 a2 c2 b2 , y = a 1 b1 a1 a2 a2 b2

c1 c2 b1 b2

Die gemeinsame Nennerdeterminante wird aus den Koeﬃzienten von x und y der beiden Gleichungen in der gegebenen Anordnung gebildet. Die Nennerdeterminante heißt deshalb auch Koeﬃzientendeterminante. Man erh¨ alt die Z¨ahlerdeterminante von x, indem man die Koeﬃzienten von x durch die Absolutglieder ersetzt, und die Z¨ahlerdeterminante von y entsprechend durch Ersetzung der Koeﬃzienten von y durch die Absolutglieder (immer in der gleichen Reihenfolge, also Ersetzung von b1 durch c1 usw.). Man nennt diese Methode cramersche Regel zur Berechnung der L¨osung eines linearen Gleichungssystems (nach dem schweizerischen Mathematiker Gabriel Cramer, 17041752). Beispiel: (I) x − 2y = 4, (II) 2x + 5y = 35 Einsetzen von a1 = 1, a2 = 2, b1 = −2, b2 = 5, c1 = 4, c2 = 35 in die Determinantengleichungen f¨ ur x und y ergibt:

4 −2 35 5 4 · 5 − (−2) · 35 20 + 70 90 = = = = 10, x= 1 −2 1 · 5 − (−2)2 5+4 9 2 5

y=

1 2

4 35

= 1 · 35 − 4 · 2 = 35 − 8 = 27 = 3. 1 · 5 − (−2) · 2 5+4 9 1 −2 2 5

Deﬁnition f¨ ur dreireihige Determinanten (n = 3):

D

a11 = a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

= a11 a22 a32

a12 a23 − a 21 a33 a32

a12 a13 + a 31 a33 a22

a13 a23

= a11 (a22 a33 − a23 a32 ) − a21 (a12 a33 − a13 a32 ) + a31 (a12 a23 − a13 a22 ) = a11 a22 a33 − a11 a23 a32 + a13 a21 a32 − a12 a21 a33 + a12 a23 a31 − a13 a22 a31

2.9 Lineare Gleichungssysteme

89

Beispiel: D

3 7 −2 0 6 − 4 7 −2 + (−2) 7 −2 0 6 = 3 = 4 −4 1 −4 1 0 6 −2 −4 1 =

3(0 · 1 − 6(−4)) − 4(7 · 1 − (−2)(−4)) − 2(7 · 6 − (−2)0)

=

3 · 24 − 4(−1) − 2 · 42 = −8

Man nennt dies Entwickeln“ der dreireihigen Determinante nach der ersten Spalte. Dabei ” wird nacheinander jedes Element der ersten Spalte mit derjenigen zweireihigen Determinante multipliziert, die man erh¨ alt, wenn man in der dreireihigen Determinante die Zeile und die Spalte streicht, in der das Element steht. Die so gebildeten Produkte werden mit alternierenden (wechselnden) Vorzeichen versehen, angefangen mit einem +, und anschließend addiert. Bezeichnet man die Determinante, die man durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte der Determinante D erh¨ alt, mit Dij , so kann man das obige Entwickeln auch darstellen als D = a11 · D11 − a21 · D21 + a31 · D31 Die mit dem Faktor (−1)i+j (dieser Faktor ist +1 oder −1) multiplizierte Determinante Dij heißt Adjunkte oder algebraisches Komplement Aij des Elements aij . Somit kann man f¨ ur das obige Entwickeln auch schreiben D = a11 · A11 + a21 · A21 + a31 · A31 Zur Berechnung kann man die Determinante nach einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln. Entwicklung nach einer beliebigen Zeile: D = ai1 · Ai1 + ai2 · Ai2 + ai3 · Ai3 =

3

aij Aij , 1 ≤ i ≤ 3

j=1

Bei Entwicklung nach der ersten Zeile ist i = 1, bei Entwicklung nach der zweiten Zeile ist i = 2, und bei Entwicklung nach der dritten Zeile ist i = 3. Entwicklung nach einer beliebigen Spalte: D = a1j · A1j + a2j · A2j + a3j · A3j =

3

aij Aij , 1 ≤ j ≤ 3

i=1

Bei Entwicklung nach der ersten Spalte ist j = 1, bei Entwicklung nach der zweiten Spalte ist j = 2, und bei Entwicklung nach der dritten Spalte ist j = 3. Beispiel:

3 7 −2 D= 4 0 6 −2 −4 1

90

2 Gleichungen

Entwicklung nach der zweiten Zeile: D = a21 · A21 + a22 · A22 + a23 · A23 2+1

7 −2 7 + 0 · A22 + 6 · (−1)2+3 3 −4 −2 −4 1

=

4 · (−1)

=

−4[7 · 1 − (−2)(−4)] + 0 − 6[3 · (−4) − 7 · (−2)]

=

−4 · (−1) − 6 · 2 = 4 − 12 = −8

Dreireihige Determinanten k¨ onnen auch mit der Regel von Sarrus berechnet werden (nach dem franz¨osischen Mathematiker Pierre F. Sarrus, 1798-1861). Man f¨ ugt bei der Regel von Sarrus die ersten beiden Spalten der Determinante nochmals als 4. und 5. Spalte hinzu. Dann multipliziert man je drei diagonal aufeinanderfolgende Elemente und addiert (Hauptdiagonalen) bzw. subtrahiert (Nebendiagonalen) die so entstehenden sechs Produkte. −

−

−

a12 a13 a11 a12 a11 @ @ @ @ @ @ a21 a22 a23 a21 a22 @ @ @ @ @ @ a31 a32 a31 a32 a33 @ @ @ + + +

Die Regel ausgef¨ uhrt ergibt a11 det(A) = a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33

Beispiel:

3 7 −2 0 6 = 3 · 0 · 1 + 7 · 6 · (−2) + (−2) · 4 · (−4) 4 −2 −4 1

−(−2) · 0 · (−2) − 3 · 6 · (−4) − 7 · 4 · 1

=

0 − 84 + 32 − 0 + 72 − 28 = −8

Fehlerwarnung: Die Regel von Sarrus gilt nur f¨ ur dreireihige Determinanten! Deﬁnition f¨ ur n-reihige Determinanten (n ≥ 4): Auch f¨ ur beliebige n-reihige Determinanten l¨ asst sich der Wert mit Hilfe des Entwicklungssatzes deﬁnieren.

2.9 Lineare Gleichungssysteme

91

Entwicklung nach einer beliebigen Zeile:

D = ai1 · Ai1 + ai2 · Ai2 + . . . + ain · Ain =

n

aij Aij , 1 ≤ i ≤ n

j=1

Bei Entwicklung nach der ersten Zeile ist i = 1, bei Entwicklung nach der zweiten Zeile ist i = 2, usw., und bei Entwicklung nach der n-ten Zeile ist i = n. Entwicklung nach einer beliebigen Spalte:

D = a1j · A1j + a2j · A2j + . . . + anj · Anj =

n

aij Aij , 1 ≤ j ≤ n

i=1

Bei Entwicklung nach der ersten Spalte ist j = 1, bei Entwicklung nach der zweiten Spalte ist j = 2, usw., und bei Entwicklung nach der n-ten Spalte ist j = n. Die cramersche Regel zur Berechnung der L¨ osung eines linearen Gleichungssystems ist immer dann anwendbar, wenn bei dem betrachteten linearen Gleichungssystem die Anzahl der Gleichungen und die Anzahl der Variablen u ¨ bereinstimmen (und die Koeﬃzientendeterminante von Null verschieden ist). Die Koeﬃzientendeterminante eines allgemeinen linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen lautet (vgl. Abschnitt 2.9.3) a1 D = a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

Ersetzt man die erste Spalte von D, also die Koeﬃzienten von x, durch die Absolutglieder des linearen Gleichungssystems, so ergibt sich die Determinante d1 Dx = d2 d3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

Durch Ersetzen der Koeﬃzienten von y und z erh¨alt man analog die Matrizen a1 Dy = a2 a3

d1 d2 d3

c1 c2 c3

a1 , Dz = a2 a3

b1 b2 b3

d1 d2 d3

F¨ ur D = 0 ergibt sich dann als eindeutige L¨ osung des linearen Gleichungssystems

92

2 Gleichungen

Dx = x= D

d1 d2 d3 a1 a2 a3

b1 b2 b3 b1 b2 b3

c1 c2 c3 c1 c2 c3

a 1 d1 c 1 a1 b1 d1 a 2 d2 c 2 a 2 b 2 d2 a 3 d3 c 3 a 3 b 3 d3 Dy Dz , y = , z = = = D D a1 b1 c1 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a3 b3 c3 a3 b3 c3

Ist jedoch D = 0, dann gibt es entweder keine oder unendlich viele L¨osungen des linearen Gleichungssystems. In diesem Fall ist die cramersche Regel nicht anwendbar. Beispiel: Lineares Gleichungssystem: 3x + 15y + 8z = 10 −5x + 10y + 12z = −1 2x + 7y + z = 1 Nennerdeterminante (Determinante der Koeﬃzientenmatrix):

3 15 8 D = −5 10 12 = 30 + 360 − 280 − 160 − 252 + 75 = −227 2 7 1 Z¨ ahlerdeterminanten:

10 15 8 Dx = −1 10 12 = 100 + 180 − 56 − 80 − 840 + 15 = −681 1 7 1

3 10 8 Dy = −5 −1 12 = −3 + 240 − 40 + 16 − 36 + 50 = 227 2 1 1 3 15 10 Dz = −5 10 −1 = 30 − 30 − 350 − 200 + 21 + 75 = −454 2 7 1 Somit ergibt sich als L¨ osung des linearen Gleichungssystems: x=

Dx −681 Dy 227 Dz −454 = = 3, y = = = −1, z = = =2 D −227 D −227 D −227

Die L¨ osung des Gleichungssystems ist also das (geordnete) Zahlentripel (x, y, z) = (3, −1, 2) (oder L¨ osungsmenge: L = {(3, −1, 2)}).

2.10 2.10.1

Lineare Ungleichungen Deﬁnitionen

Eine Ungleichung zwischen Termen, in der eine oder mehrere Variable vorkommen, heißt linear, wenn alle Variablen h¨ ochstens in der ersten Potenz auftreten und nicht miteinander multipliziert werden. Eine Ungleichung zu l¨ osen bedeutet, alle Werte der Variablen aus

2.10 Lineare Ungleichungen

93

dem zugrunde liegenden Zahlenbereich zu bestimmen, f¨ ur die die Ungleichung erf¨ ullt ist. Alle diese Werte heißen L¨ osungen der Ungleichung und alle L¨osungen zusammen bilden die L¨osungsmenge der Ungleichung. Ein System aus mehreren Ungleichungen heißt linear, wenn alle Ungleichungen des Systems lineare Ungleichungen sind. Die L¨ osungen eines Ungleichungssystems sind die Werte der Variablen, die alle Ungleichungen des Systems erf¨ ullen. Beispiele: 1.

Lineare Ungleichung mit einer Variablen: 7x + 4 < 2(3x − 4) − 1

2.

Lineare Ungleichung mit zwei Variablen: 2x − y + 4 < 5(4 − x) + 3

3.

System linearer Ungleichungen: x + 2y < −3, 3x − y ≥ 5

Zum L¨osen linearer Ungleichungen ist es oftmals sinnvoll, ¨aquivalente Umformungen durchzuf¨ uhren (vgl. Abschnitt 2.2). Dabei sind aber die Rechenregeln f¨ ur Ungleichungen zu beachten (siehe Abschnitt 1.11). 2.10.2

Lineare Ungleichungen mit einer Variablen

Eine lineare Ungleichung mit einer Variablen l¨ asst sich durch ¨aquivalente Umformungen stets in eine der folgenden Ungleichungen u uhren. ¨berf¨ (1) ax + b < 0, a > 0 (2) ax + b ≤ 0, a > 0 (3) ax + b > 0, a > 0 (4) ax + b ≥ 0, a > 0 Durch Division durch a > 0 und Subtraktion von

b erh¨alt man als L¨osungen die Intervalle a

b

a b (2) L = − ∞, − a b

(3) L = − , ∞ a

b (4) L = − , ∞ a

(1) L =

− ∞, −

Eine lineare Ungleichung mit einer Variablen hat also als L¨osung immer ein nicht beschr¨anktes Intervall. Beispiele: 1.

7x + 4 < 2(3x − 4) − 1 Auﬂ¨ osung der Klammer: 7x + 4 < 6x − 8 − 1 Zusammenfassen: x + 13 < 0 Auﬂ¨ osen nach x: x < −13 L¨ osungsmenge: L = (−∞, −13)

94

2 Gleichungen

2.

5(x − 4) ≥ 2(5 − 4x) − 6 + x

3.

Auﬂ¨ osung der Klammern: 5x − 20 ≥ 10 − 8x − 6 + x Zusammenfassen: 5x − 20 ≥ −7x + 4 ⇒ 12x − 24 ≥ 0 Auﬂ¨ osen nach x: 12x ≥ 24 ⇒ x ≥ 2 L¨ osungsmenge: L = [2, ∞) 9(2 − x) < 2(x + 4) − (x + 2)3 Auﬂ¨ osung der Klammern: 18 − 9x < 2x + 8 − 3x − 6 Zusammenfassen: 18 − 9x < −x + 2 ⇒ −8x + 16 < 0 Auﬂ¨ osen nach x: −8x < −16 ⇒ x > 2 Achtung: Bei Division durch −8 dreht sich das Ungleichheitszeichen um! L¨ osungsmenge: L = (2, ∞)

2.10.3

Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen

Eine lineare Ungleichung mit zwei Variablen x und y l¨asst sich immer so ¨aquivalent umformen, dass eine der Variablen, etwa y, isoliert auf einer Seite der Ungleichung steht. So l¨ asst sich zum Beispiel die Ungleichung ax + by + c < 0 f¨ ur b > 0 umformen in a c y < − x − . Eine L¨ osung der Ungleichung ist dann ein Paar (x, y), wo x eine belieb b c a ullt. Als L¨osungsmenge von bige reelle Zahl ist und y die Ungleichung y < − x − erf¨ b b c a . ax + by + c < 0 ergibt sich dann L = (x, y)x ∈ IR, y < − x − b b Ungleichung:

ax + by + c < 0 (b > 0) a c L¨ osungsmenge: L = (x, y)x ∈ IR, y < − x − b b Beispiele: 1. x − y < −1

2.

Auﬂ¨ osung nach y: y > x + 1 Es ist zum Beispiel x = 2, y = 4 ein L¨ osungspaar oder x = −1, y = 0, 1. Alle L¨ osungen ergeben die L¨ osungsmenge: L = {(x, y)|x ∈ IR, y > x + 1} 2x + 4y + 4 ≤ 0 1 Auﬂ¨ osung nach y: y ≤ − x − 1 2 1 L¨ osungsmenge: L = (x, y)x ∈ IR, y ≤ − x − 1 2

F¨ ur manche Anwendungen ist es sinnvoll, die L¨ osungsmenge einer solchen Ungleichung graphisch darzustellen. Ersetzt man in einer Ungleichung das Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen, dann entsteht eine Gleichung. So entsteht zum Beispiel aus der linearen Ungleichung x − y < −1 die lineare Gleichung y = x + 1. Der Graph einer solchen linearen Gleichung ist in einem kartesischen Koordinatensystem eine Gerade (vgl. Abschnitte 5.4.2 und 7.1). Alle L¨osungen (x, y), die die Ungleichung y > x + 1 erf¨ ullen, sind in dem kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten der Punkte, die oberhalb der sogenannten Begrenzungsgeraden y = x + 1 liegen. Da es sich um eine echte Ungleichung handelt (das heißt, das Gleichheitszeichen ist nicht zugelassen), geh¨oren die Punkte der Geraden selbst nicht dazu.

2.10 Lineare Ungleichungen

95

Beispiele: 1.

x − y < −1 Auﬂ¨ osung nach y: y > x + 1 Geradengleichung: y = x + 1

y

y > x+1 y = x+1 1

−1 −1

x

1

Abbildung 2.4 Ungleichung y > x + 1 Die Koordinaten der Punkte im schraﬃerten Bereich bilden die L¨ osungsmenge. Die Koordinaten der Punkte der Begrenzungsgeraden geh¨ oren nicht zur L¨ osungsmenge, deshalb ist die Begrenzungsgerade gestrichelt gezeichnet. 2.

2x + 4y + 4 ≤ 0 1 Auﬂ¨ osung nach y: y ≤ − x − 1 2 1 Geradengleichung: y = − x − 1 2 y

1

−1

x

1 y = − 21 x − 1

y ≤ − 21 x − 1

1 Abbildung 2.5 Ungleichung y ≤ − x − 1 2

96

2 Gleichungen Die Koordinaten der Punkte im schraﬃerten Bereich bilden die L¨ osungsmenge. Die Koordinaten der Punkte der Begrenzungsgeraden geh¨ oren zur L¨ osungsmenge, deshalb ist die Begrenzungsgerade durchgezogen gezeichnet.

2.10.4

Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen

F¨ ur Systeme von linearen Ungleichungen mit zwei Variablen x und y ist es meist am u osungsmenge graphisch darzustellen. ¨ bersichtlichsten, die L¨ Man ersetzt dazu in allen Ungleichungen die Ungleichheitszeichen durch Gleichheitszeichen. Anschließend formt man alle diese linearen Gleichungen ¨aquivalent um, so dass jeweils auf der linken Seite die Variable y isoliert steht (enth¨alt eine Gleichung y nicht, so isoliere man x). Dann zeichnet man die Graphen dieser linearen Gleichungen alle in dasselbe kartesische Koordinatensystem (vgl. Abschnitt 7.1.1) und erh¨alt so f¨ ur jede Gleichung eine Gerade (gestrichelt gezeichnet, falls die zugeh¨orige Ungleichung echt ist, sonst durchgezogen). F¨ ur jede Gerade schraﬃere man den Bereich, deren Punkte die zugeh¨ore Ungleichung erf¨ ullen (genauer: die Koordinaten der Punkte erf¨ ullen die Ungleichung). ¨ Uber der Menge der reellen Zahlen sind diese Bereiche Halbebenen. Die Koordinaten aller der Punkte, die in allen schraﬃerten Bereichen liegen, bilden die L¨osungsmenge. Beispiele: 1.

(I) x + 2y < 5, (II) x − 2y < 1 Aus (I) folgt y < −0, 5 x + 2, 5 und aus (II) y > 0, 5 x − 0, 5. Die Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung (I) erf¨ ullen, liegen unterhalb der Geraden y = −0, 5 x + 2, 5, und die Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung (II) erf¨ ullen, liegen oberhalb der Geraden y = 0, 5 x − 0, 5.

y y > 0, 5x − 0, 5

y = 0, 5x − 0, 5

1 −1 −1

1

x y = −0, 5x + 2, 5

y < −0, 5x + 2, 5

Abbildung 2.6 Ungleichungssystem y < −0, 5 x + 2, 5, y > 0, 5 x − 0, 5 Die Punkte, deren Koordinaten die L¨ osungsmenge bilden, liegen im doppelt gestrichelten Bereich. Die Koordinaten der Punkte beider Begrenzungsgeraden geh¨ oren nicht zur L¨ osungsmenge. 2.

(I) y − x < 1, (II) x − 2 < 0, (III) 2y + x + 4 ≥ 0 1 Aus (I) folgt y < x + 1, aus (II) x < 2 und aus (III) y ≥ − x − 2. 2

2.10 Lineare Ungleichungen

97

Die Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung (I) erf¨ ullen, liegen unterhalb der Geraden y = x + 1. Die Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung (II) erf¨ ullen, liegen links der Geraden x = 2, und die Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung (III) erf¨ ullen, liegen 1 oberhalb der Geraden y = − x − 2. 2 x=2

y y > − 12 x − 2

1

x<2

−1 −1

1

x

y <x+1 y =x+1

y = − 12 x − 2

1 Abbildung 2.7 Ungleichungssystem y < x + 1, x < 2, y ≥ − x − 2 2 Die Punkte, deren Koordinaten die L¨ osungsmenge bilden, liegen im dreifach markierten 1 Bereich. Nur die Koordinaten der Punkte der Begrenzungsgeraden y = − x − 2, die auf 2 dem Rand dieses dreifach markierten Bereiches liegen, geh¨ oren zur L¨ osungsmenge.

3

Planimetrie

Die Planimetrie (griech., Fl¨ achenmessung) ist ein Teilgebiet der Geometrie (griech., Erdmessung) und befasst sich mit h¨ ochstens zweidimensionalen Objekten. Dabei interessieren zum Beispiel Form, Gr¨ oße und gegenseitige Lage solcher Objekte. Die Grundelemente dieser Geometrie der Ebene sind Punkte und Geraden.

3.1

Geraden und Strecken

Eine Gerade ist eine beidseitig unbegrenzte gerade Linie. Ein Punkt ist die Schnittstelle zweier Geraden. Eine Gerade ist durch zwei voneinander verschiedenen ihrer Punkte eindeutig bestimmt. Die k¨ urzeste Verbindung zweier Punkte P1 und P2 liegt auf der Geraden durch P1 und P2 . Zwei verschiedene Geraden in der Ebene sind parallel zueinander oder haben einen Punkt, ihren Schnittpunkt, gemeinsam. Die Gerade durch die Punkte P1 und P2 schreibt man P1 P2 (gesprochen: Gerade P1 P2 ) oder P2 P1 . Geraden k¨ urzt man oft mit g ab, also g = P1 P2 = P2 P1 . A ∈ g ist eine abk¨ urzende Schreibweise daf¨ ur, dass der Punkt A ein Punkt der Geraden g ist, also auf der Geraden g liegt, und B ∈ g bedeutet, dass B außerhalb von g liegt. AB CD oder g h (gesprochen: g parallel h) bedeutet, dass AB und CD zwei parallele Geraden sind, also keinen Schnittpunkt haben. g α

h

α

Abbildung 3.1 Parallele Geraden g und h

Ein Strahl oder eine Halbgerade ist ein Teil einer Geraden, der von einem Punkt S einer Geraden aus in einer Richtung l¨ auft. Der Punkt S heißt Anfangspunkt des Strahls. Jeder Punkt einer Geraden bestimmt zwei verschiedene Strahlen. S A s Abbildung 3.2 Strahl s (A ist ein beliebiger Punkt von s) A. Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn, DOI 10.1007/978-3-8348-8258-5_3, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

3.2 Winkel

99

Eine Strecke ist ein Abschnitt einer Geraden zwischen zwei Punkten. Eine Strecke ist also eine beidseitig begrenzte gerade Linie. Die Strecke zwischen den Punkten A und B schreibt man AB (gesprochen: Strecke AB). Die Punkte A und B heißen die Endpunkte der Strecke, alle anderen Punkte der Strecke bilden das Innere. Die L¨ange der Strecke ange oder Betrag der Strecke AB). wird mit |AB| bezeichnet (gesprochen: L¨ B

a

C

A

a D

Abbildung 3.3 Strecken AB und CD mit derselben L¨ ange a

3.2

Winkel

Zwei Strahlen, die von demselben Punkt S ausgehen, k¨onnen durch eine Drehung um S ineinander u uhrt werden, durch die der Winkel zwischen ihnen bestimmt wird. Die ¨ berf¨ Strahlen heißen die Schenkel des Winkels, der Punkt S heißt Scheitelpunkt. Sind g und h die beiden Strahlen und A ein Punkt von g und B ein Punkt von h, so bezeichnet man den Winkel mit (g, h) (gesprochen: Winkel zwischen g und h) oder mit ASB (gesprochen: Winkel ASB). h B

α S

g A

Abbildung 3.4 Winkel α = (g, h) = ASB

Winkel werden meist mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet: α, β, γ, δ, . . . , ϕ, . . .. Man unterscheidet in der Regel nicht zwischen Winkel und Gr¨oße (Maß, Betrag) eines Winkels. Zur Winkelmessung unterscheidet man zwei verschiedene Winkelmaße: das Gradmaß und das Bogenmaß (Bogenmaß siehe Abschnitt 3.10.9). Beide beruhen auf Kreisteilungen. Beim Gradmaß wird ein Vollwinkel in 360 gleiche Teile eingeteilt (Sexagesimaleinteilung). 1 des Vollwinkels. UntereinheiDie Einheit des Gradmaßes ist Grad (◦ ); 1◦ entspricht 360 ten des Grads sind Minuten und Sekunden.

100

3 Planimetrie

1◦ (1 Grad) = 60 (60 Minuten) , 1 (1 Minute) = 60 (60 Sekunden) ) *◦ ) * 1 1 , 1 = 1 = 60 60 In der Geod¨asie wird eine Zentesimaleinteilung verwendet. Dabei wird der Vollwinkel 1 des in 400 gleiche Teile eingeteilt. Die Einheit ist gon (Gon); 1 gon entspricht also 400 ¨ Vollwinkels. Altere, heute nicht mehr gebr¨ auchliche Einheit ist Neugrad. 1 Vollwinkel = 360◦ = 400 gon F¨ ur bestimmte Winkel gibt es besondere Bezeichnungen: • Ein Winkel α mit α = 0◦ heißt Nullwinkel. • Ein Winkel α mit α = 90◦ heißt rechter Winkel. • Ein Winkel α mit α = 180◦ heißt gestreckter Winkel. • Ein Winkel α mit α = 360◦ heißt Vollwinkel. • Ein Winkel α, der gr¨ oßer als 0 und kleiner als ein rechter Winkel ist, heißt spitzer Winkel: 0◦ < α < 90◦ . • Ein Winkel α, der gr¨ oßer als ein rechter Winkel ist, heißt stumpfer Winkel: α > 90◦ . • Ein Winkel α, der gr¨ oßer als ein gestreckter Winkel ist, heißt u ¨ berstumpfer Winkel: α > 180◦.

S

S

S

spitzer Winkel

rechter Winkel

stumpfer Winkel

S

S

S

gestreckter Winkel

u ¨ berstumpfer Winkel

Vollwinkel

Abbildung 3.5 Winkelbezeichnungen

In einer Figur kennzeichnet man einen rechten Winkel mit einem Punkt zwischen seinen Schenkeln und einem Winkelbogen. Einige Paare von Winkeln haben bestimmte Namen:

3.2 Winkel

101

1. Komplementwinkel Winkel, die sich zu 90◦ erg¨ anzen. Der Komplementwinkel zu einem Winkel α ist der Winkel β = 90◦ − α. Beispiel:

α = 32◦ und β = 58◦ sind Komplementwinkel.

90◦ − α α

β

Abbildung 3.6 Komplementwinkel

2. Supplementwinkel Winkel, die sich zu 180◦ erg¨ anzen. Der Supplementwinkel zu einem Winkel α ist der Winkel β = 180◦ − α. Beispiel:

α = 62◦ und β = 118◦ sind Supplementwinkel.

180◦ − α α

β

Abbildung 3.7 Supplementwinkel

3. Scheitelwinkel Gegen¨ uberliegende Winkel an zwei sich schneidenden Geraden. Scheitelwinkel sind gleich groß. C

B S α

α A

D Abbildung 3.8 Scheitelwinkel (ASB und CSD)

4. Nebenwinkel Benachbarte Winkel an zwei sich schneidenden Geraden. Nebenwinkel sind Supplementwinkel, sie erg¨ anzen sich also zu 180◦. 180◦ − α

B α

C

S

A

Abbildung 3.9 Nebenwinkel (ASB und BSC)

102

3 Planimetrie

5. Stufenwinkel Gleichliegende Winkel an von einer Geraden geschnittenen Parallelen. Stufenwinkel sind gleich groß. A

A α

α

B = B S

S

C

C

D = D

Abbildung 3.10 Stufenwinkel (ASB und A S B )

6. Wechselwinkel Entgegengesetzt liegende Winkel an von einer Geraden geschnittenen Parallelen. Wechselwinkel sind gleich groß. A

A α B = B S

S

C

C

α

D = D

Abbildung 3.11 Wechselwinkel (ASB und C S D )

7. Halbgleichliegende Winkel Winkelpaare an von einer Geraden geschnittenen Parallelen, die weder Stufenwinkel noch Wechselwinkel sind. Halbgleichliegende Winkel sind Supplementwinkel, sie erg¨anzen sich also zu 180◦ . A 180◦ − α

A α B = B S

S

C

C

D = D

Abbildung 3.12 Halbgleichliegende Winkel (ASB und D S A )

3.3 Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal

3.3

103

Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal

Eine Senkrechte ist eine Gerade, die eine gegebene Gerade (oder eine Ebene) mit einem Winkel von 90◦ schneidet. Das Lot ist eine Gerade, die durch einen Punkt einer anderen Geraden (oder einer Ebene) geht und auf dieser Geraden (Ebene) senkrecht steht.

l

g P

Abbildung 3.13 Lot l auf Gerade g durch Punkt P

l

P E

Abbildung 3.14 Lot l auf Ebene E durch Punkt P

Einige wichtige Grundkonstruktionen lassen sich ausschließlich mit Benutzung von Zirkel und Lineal durchf¨ uhren. •

Strecke halbieren Kreisb¨ogen mit gleichem Radius um die Endpunkte A und B einer Strecke AB schlagen. Die Schnittpunkte sind C und C . Die Gerade CC halbiert AB in E.

104

3 Planimetrie

C s 2

s 2

A

B

E C

Abbildung 3.15 Strecke AB halbieren

•

Winkel halbieren Ein Kreisbogen um den Scheitelpunkt S des Winkels schneidet die Schenkel in A und in B. Kreisb¨ogen mit gleichem Radius um A und B schneiden sich in C. Die Gerade SC halbiert BSA.

A α 2

C

α 2

S

B

Abbildung 3.16 Winkel α halbieren

•

Senkrechte errichten Ein Halbkreis um P ∈ g (Punkt P liegt auf der Geraden g) schneidet g in A und B. Kreisb¨ogen mit gleichem Radius um A und B schneiden sich in C. Die Gerade P C ist die Senkrechte auf g im Punkte P .

C

A

P

B

g

Abbildung 3.17 Senkrechte auf g errichten

•

Lot f¨allen Ein Kreisbogen um P ∈ g (Punkt P liegt nicht auf der Geraden g) schneidet g in A und B. Kreisb¨ ogen mit gleichem Radius um A und B schneiden sich in P . Die Gerade P P ist das Lot von P auf g.

3.3 Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal

105

P g B

E

A P Abbildung 3.18 Lot von P auf g f¨ allen

•

Parallele durch gegebenen Punkt Ein Kreisbogen um P ∈ g mit Radius r schneidet die gegebene Gerade g in C. Ein Kreisbogen um C mit dem gleichen Radius r schneidet g in B, ein Kreisbogen um B mit dem Radius r schneidet den ersten Kreisbogen um P (mit dem Radius r) in A. Die Gerade P A ist die Parallele zu g durch P (Konstruktion eines Rhombus (P CBA)).

A

P

r

p

g r

C

B Abbildung 3.19 Parallele zu g durch P

•

Parallele in gegebenem Abstand In beliebigen Punkten A ∈ g und B ∈ g (aber A = B) einer gegebenen Geraden g werden die Senkrechten errichtet, und auf diesen wird der gegebene Abstand a abgetragen: |AD| = a und |BC| = a. Die Gerade CD ist eine der beiden Parallelen zu g im Abstand a (Konstruktion eines Rechtecks (ABCD)).

106

3 Planimetrie

D a

g

A

C a

a

p

B

Abbildung 3.20 Parallele zu g im Abstand a

3.4

Projektion

Man unterscheidet Parallelprojektion und Zentralprojektion. Eine Parallelprojektion ist die Abbildung eines ebenen Gegenstandes durch parallele Strahlen auf eine Gerade (in der Stereometrie die Abbildung eines r¨aumlichen Gegenstandes durch parallele Strahlen auf eine Ebene). Bei senkrechter Parallelprojektion stehen die projizierenden Strahlen senkrecht auf der Geraden (Stereometrie: auf der Ebene), bei schiefer Parallelprojektion nicht.

B

A

A s1

B s2

Abbildung 3.21 Senkrechte Parallelprojektion einer Strecke AB

Eine Zentralprojektion ist die Abbildung eines ebenen Gegenstandes durch Strahlen, die alle durch einen festen Punkt Z gehen (durch das Zentrum oder Projektionszentrum), auf eine Gerade (in der Stereometrie die Abbildung eines r¨aumlichen Gegenstandes auf

¨ 3.5 Geometrische Orter

107

eine Ebene).

Z

B A

A

s1

B

s2

Abbildung 3.22 Zentralprojektion von Z einer Strecke AB

3.5

¨ Geometrische Orter

Ein geometrischer Ort ist eine Punktmenge, die alle Elemente mit einer bestimmten geometrischen Eigenschaft (oder mit mehreren Eigenschaften) enth¨alt. ¨ In der Planimetrie sind die geometrischen Orter Linien, daher werden sie auch geometri¨ sche Ortslinien genannt. In der Stereometrie sind die geometrischen Orter Fl¨achen. Beispiele f¨ ur geometrische Ortslinien: 1.

Der geometrische Ort aller Punkte, die von einem festen Punkt M die feste Entfernung r haben, ist der Kreis um M mit dem Radius r.

2.

Der geometrische Ort aller Punkte, die von einer gegebenen Geraden g den festen Abstand d haben, ist eine Parallele zu g im Abstand d.

3.

Geometrischer Ort aller Punkte, die von zwei festen Punkten A und B gleich weit entfernt sind, ist die Mittelsenkrechte auf der Strecke AB.

4.

Geometrischer Ort aller Punkte, die von zwei festen nicht parallelen Geraden g und h den gleichen Abstand haben, sind die beiden (zueinander senkrechten) Winkelhalbierenden zwischen g und h.

3.6 3.6.1

Dreiecke Allgemeine Dreiecke

Ein Dreieck besteht aus drei nicht auf einer Geraden liegenden Punkten A, B, C und den Strecken AB, AC, BC. Die Punkte A, B, C sind die Eckpunkte des Dreiecks, die Strecken AB, AC, BC sind die

108

3 Planimetrie

Seiten des Dreiecks, und ihre L¨ angen |AB|, |AC|, |BC| sind die Seitenl¨angen des Dreiecks. Meistens werden die Seitenl¨ angen mit a, b, c und die Innenwinkel des Dreiecks mit α, β, γ bezeichnet, und zwar in der Weise, dass der Punkt A der Seite mit der L¨ange a, der Punkt B der Seite mit der L¨ ange b, der Punkt C der Seite mit der L¨ange c gegen¨ uberliegt und dass der Winkel α den Scheitelpunkt A, der Winkel β den Scheitelpunkt B und der Winkel γ den Scheitelpunkt C hat.

C γ

b

a

α

β c

A

B

Abbildung 3.23 Bezeichnungen im Dreieck

Abk¨ urzend verwendet man f¨ ur ein Dreieck den großen griechischen Buchstaben Δ, und f¨ ur ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C schreibt man Δ(ABC). Die Winkelsumme in jedem Dreieck betr¨ agt 180◦ . α + β + γ = 180◦

C α

γ

g AB

β

b

a

α A

β c

B

Abbildung 3.24 Winkelsumme gleich 180◦

Im Dreieck ist die Summe zweier Seitenl¨ angen stets gr¨oßer als die dritte. a + b > c, a + c > b, b + c > a Diese drei Ungleichungen zusammen heißen Dreiecksungleichungen.

3.6 Dreiecke

109

Die Supplementwinkel der Dreieckswinkel nennt man Außenwinkel des Dreiecks. Die Summe der Außenwinkel α , β , γ in jedem Dreieck betr¨agt 360◦ . α + β + γ = 360◦

γ

C γ

b

a

α A

β

α

β

c

B

Abbildung 3.25 Außenwinkelsumme gleich 360◦

In einem Dreieck liegt der gr¨ oßeren Seite stets der gr¨oßere Winkel gegen¨ uber. a>b>c ⇔ α>β>γ In einem spitzwinkligen Dreieck sind alle drei Innenwinkel kleiner als 90◦ , in einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel gleich 90◦ , in einem stumpfwinkligen Dreieck ist ein Winkel gr¨oßer als 90◦ . Der Umfang u eines Dreiecks ist die Summe der Seitenl¨angen. u=a+b+c Der Fl¨acheninhalt A eines Dreiecks berechnet sich nach der Grundformel A=

1 · Grundseite · H¨ohe 2

Daraus ergeben sich folgende Formeln f¨ ur den Fl¨acheninhalt A (vgl. Kapitel 6) A =

1 1 1 a · h a = b · hb = c · hc 2 2 2

=

1 1 1 a · b · sin γ = a · c · sin β = b · c · sin α 2 2 2

=

1 s(s − a)(s − b)(s − c), s = (a + b + c) 2

Die letzte Formel ist die sogenannte heronische Fl¨achenformel (nach dem griechischen Mathematiker Heron von Alexandria, 1. Jahrhundert u. Z.), damit ist die Berechnung des Fl¨acheninhalts eines Dreiecks allein mit den Seitenl¨angen m¨oglich.

110 3.6.2

3 Planimetrie Gleichschenklige Dreiecke

Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten heißt gleichschenklig. Die gleich langen Seiten heißen Schenkel und die dritte Seite Basis des Dreiecks. Die Winkel an der Basis sind die Basiswinkel. Der der Basis gegen¨ uberliegende Punkt heißt Spitze. C

Basiswinkel

α A

Spitze

el nk he Sc

Sc he nk el

Winkel an der Spitze

α B

Basis

Symmetrieachse Abbildung 3.26 Gleichschenkliges Dreieck

Die Basiswinkel sind gleich groß. H¨ ohe, Seitenhalbierende und Winkelhalbierende der Basis sind identisch und liegen auf der Mittelsenkrechten (vgl. Abschnitt 3.6.5). Sind umgekehrt in einem Dreieck je zwei dieser Strecken gleich, dann ist das Dreieck gleichschenklig. 3.6.3

Gleichseitige Dreiecke

Ein Dreieck mit drei gleich langen Dreiecksseiten heißt gleichseitig. In einem gleichseitigen Dreieck sind auch alle Winkel gleich groß, jeder Winkel betr¨agt also 60◦ . Das gleichseitige Dreieck hat drei Symmetrieachsen.

60◦ a

a

60◦

60◦ a

Abbildung 3.27 Gleichseitiges Dreieck

Die H¨ohen, Winkelhalbierenden und Seitenhalbierenden fallen beim gleichseitigen Dreieck jeweils zusammen und liegen auf der entsprechenden Mittelsenkrechten (vgl. Abschnitt 3.6.5). Folglich fallen auch die Mittelpunkte des Inkreises und des Umkreises mit

3.6 Dreiecke

111

dem Schwerpunkt des Dreiecks zusammen. Ein gleichseitiges Dreieck heißt auch regul¨ ares oder regelm¨aßiges Dreieck. 3.6.4

Rechtwinklige Dreiecke

Ein Dreieck mit einem rechten Winkel, also mit einem Winkel von 90◦ , heißt rechtwinklig. Die Summe der beiden anderen (spitzen) Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist ebenfalls 90◦ . Die dem rechten Winkel gegen¨ uberliegende Dreiecksseite ist die Hypotenuse, die beiden anderen Seiten (also die Schenkel des rechten Winkels) sind die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks.

Ka

the

te

Ka

the

te

C

A

α

β

B

Hypotenuse Abbildung 3.28 Rechtwinkliges Dreieck (α + β = 90◦ )

F¨ ur das rechtwinklige Dreieck gelten einige interessante Fl¨achens¨atze (vgl. Abschnitt 3.6.6). 3.6.5

Besondere Geraden, Strecken und Kreise

Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis durch die drei Eckpunkte des Dreiecks, der dem Dreieck umbeschriebene Kreis. Der Inkreis eines Dreiecks ber¨ uhrt die drei Dreiecksseiten von innen, er hat die Dreiecksseiten also als Tangenten. Der Inkreis ist der dem Dreieck einbeschriebene Kreis. Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist die Senkrechte durch den Mittelpunkt der Strecke. Beim Dreieck schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt M , dem Mittelpunkt des Umkreises. Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt M innerhalb des Dreiecks, bei stumpfwinkligen Dreiecken außerhalb und bei rechtwinkligen Dreiecken auf dem Rand (Mittelpunkt der Hypotenuse) des Dreiecks. Eine H¨ohe in einem Dreieck ist der Teil des Lotes von einem Eckpunkt auf die gegen¨ uberliegende Seite, der von dem Eckpunkt und dieser Seite (beziehungsweise ihrer Verl¨angerung) begrenzt wird. Die drei H¨ohen eines Dreiecks (beziehungsweise ihre Verl¨angerungen) schneiden sich in einem Punkt H. Der H¨ ohenschnittpunkt des Dreiecks heißt Orthozentrum des Dreiecks.

112

3 Planimetrie C

mb

b

a

M

ma mc A

r B

c

Abbildung 3.29 Dreieck mit Umkreis

C γ

hc b

a H hb

ha α

β

A

B

c

Abbildung 3.30 Die H¨ ohen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt H

Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt der H¨ ohenschnittpunkt H im Innern des Dreiecks, bei einem rechtwinkligen Dreieck f¨ allt H mit dem Scheitelpunkt des rechten Winkels zusammen (zwei H¨ohen fallen mit den Katheten zusammen), bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der H¨ohenschnittpunkt H außerhalb des Dreiecks. Die L¨angen der H¨ohen im Dreieck werden mit ha , hb , hc bezeichnet. C=H a = hb

b = ha hc

A

c

B

Abbildung 3.31 H¨ ohenschnittpunkt H im rechtwinkligen Dreieck

3.6 Dreiecke

113

H

C ha

hb

b

a

hc c

A

B

Abbildung 3.32 H¨ ohenschnittpunkt H im stumpfwinkligen Dreieck

Sind a, b, c die Dreiecksseiten und α, β, γ die Winkel des Dreiecks, so gilt (vgl. Kapitel 6) ha = c sin β = b sin γ, hb = c sin α = a sin γ, hc = a sin β = b sin α Die L¨angen der H¨ ohen verhalten sich umgekehrt proportional wie die zugeh¨origen Seitenl¨angen. ha : hb : hc =

1 1 1 : : a b c

Eine Winkelhalbierende ist eine Gerade durch den Scheitelpunkt eines Winkels, so dass die beiden Winkel zwischen Gerade und je einem Schenkel gleich sind. Im Dreieck sind die drei Winkelhalbierenden Strecken P Q, wobei P ein Eckpunkt (Scheitelpunkt des entsprechenden Winkels) und Q der Schnittpunkt mit der gegen¨ uberliegenden Seite ist. Die drei Winkelhalbierenden im Dreieck schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt des Inkreises. Die L¨angen der Winkelhalbierenden im Dreieck werden mit wα , wβ , wγ bezeichnet. C γ 2

γ 2

wγ b

ρ

ρ wα

α 2

A

a

wβ

ρ α 2

β 2

β 2

c Abbildung 3.33 Dreieck mit Inkreis

B

114

3 Planimetrie

F¨ ur die Winkelhalbierenden gilt (vgl. Kapitel 6)

wα =

2bc cos α2 2ac cos β2 2ab cos γ2 , wβ = , wγ = b+c a+c a+b

Eine Winkelhalbierende teilt die gegen¨ uberliegende Seite im Verh¨altnis der L¨angen der anliegenden Seiten.

γ 2

γ 2

b

a wγ

v

u

Abbildung 3.34 Winkelhalbierende im Dreieck (u : v = a : b)

Eine Seitenhalbierende (auch Median genannt) in einem Dreieck ist die Verbindungsstrecke einer Ecke mit dem Mittelpunkt der gegen¨ uberliegenden Seite. Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt S, dem Schwerpunkt des Dreiecks. Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden vom Eckpunkt aus im Verh¨altnis 2:1. Die L¨angen der Seitenhalbierenden im Dreieck werden mit sa , sb , sc bezeichnet.

C

b

sc D

E

a

S sa

A

sb

c

F

B

Abbildung 3.35 Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt S

3.6 Dreiecke

115

F¨ ur die Seitenhalbierenden gilt (vgl. Kapitel 6)

sa =

1 2 b + c2 + 2bc cos α 2

sb =

1 2 a + c2 + 2ac cos β 2

sc =

1 2 a + b2 + 2ab cos γ 2

Mit Hilfe unterschiedlicher Gr¨ oßen des Dreiecks lassen sich die Radien des Inkreises und des Umkreises berechnen. Dabei ist s der halbe Umfang des Dreiecks, s = 12 (a + b + c). Radius ρ des Inkreises

ρ=

(s − a)(s − b)(s − c) α β γ = s · tan · tan · tan s 2 2 2

r

Radius r des Umkreises

=

b c a = = 2 sin α 2 sin β 2 sin γ

=

bc ac ab = = 2ha 2hb 2hc

abc = 4 s(s − a)(s − b)(s − c)

3.6.6

Fl¨ achens¨ atze im rechtwinkligen Dreieck

1. Kathetensatz In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat u ¨ ber einer Kathete gleich dem Rechteck aus Hypotenuse und zugeh¨ origem Hypotenusenabschnitt. Der Hypotenusenabschnitt ist die Projektion (Parallelprojektion) der entsprechenden Kathete auf die Hypotenuse. Sind a, b die Kathetenl¨ angen, c die Hypotenusenl¨ange und p, q die zugeh¨origen Hypotenusenabschnitte des Dreiecks, so gilt

a2 = pc, b2 = qc

116

3 Planimetrie

C b

a h

q

A

D p

B

c

c

c Abbildung 3.36 Kathetensatz

Der Kathetensatz heißt auch erster Satz des Euklid (nach dem hellenistischen Mathematiker Euklid von Alexandria, ∼ 365 − 300 v. u. Z.). 2. Satz des Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate u ¨ber den Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse. Sind a und b die Kathetenl¨ angen und c die Hypotenusenl¨ange, so gilt a2 + b2 = c2

b2

C a2 b

A

a

c

B

c2

Abbildung 3.37 Satz des Pythagoras

3.6 Dreiecke

117

Einfacher Beweis des Satzes von Pythagoras: ange a + b wird ein Quadrat Q2 der Seitenl¨ange c so In ein Quadrat Q1 der Seitenl¨ gelegt, dass die Eckpunkte von Q2 die Seiten von Q1 im Verh¨altnis a : b teilen. Dann haben die vier innerhalb von Q1 entstandenen Dreiecke alle den Fl¨acheninhalt 12 ab, und deshalb gilt: 1 (a + b)2 = c2 + 4 · ab ⇒ a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab ⇒ a2 + b2 = c2 2

b

a b

c

c

c

a

c

b

a

b

a

Abbildung 3.38 Zum Beweis des Satzes von Pythagoras

Der Satz hat seinen Namen nach dem griechischen Sophisten und Mathematiker Pythagoras von Samos (∼ 580 − 500 v. u. Z.). 3. H¨ohensatz In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat u ¨ ber der H¨ohe auf der Hypotenuse gleich dem Rechteck aus den beiden durch die H¨ohe gebildeten Hypotenusenabschnitten. Bezeichnet man die H¨ ohe mit h und die Hypotenusenabschnitte mit p und q, so gilt

h2 = pq

Beweis des H¨ ohensatzes: Nach dem Satz des Pythagoras gilt a2 = h2 + p2 und nach dem Kathetensatz a2 = pc = p(p+q). Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt 0 = h2 +p2 −(p2 +pq) = h2 − pq, woraus h2 = pq folgt. Der H¨ohensatz heißt auch zweiter Satz des Euklid (nach dem hellenistischen Mathematiker Euklid von Alexandria, ∼ 365 − 300 v. u. Z.).

118

3 Planimetrie

h

C a

h D A

q

a p

B p

q

p Abbildung 3.39 H¨ ohensatz

3.6.7

Kongruenz von Dreiecken

Zwei geometrische Figuren heißen kongruent, wenn sie deckungsgleich sind. Kongruente geometrische Figuren stimmen also in Gr¨ oße und Gestalt v¨ollig u ¨ berein, alle Bestimmungsst¨ ucke wie L¨ angen, Winkel, Fl¨ ache und so weiter sind gleich. Kongruente Figuren unterscheiden sich nur durch ihre Lage in der Ebene. So sind zum Beispiel zwei Quadrate mit gleicher Seitenl¨ange kongruent oder zwei Kreise mit gleichem Radius (und unterschiedlichen Mittelpunkten).

Abbildung 3.40 Kongruente Quadrate

Kongruente Figuren lassen sich durch Parallelverschiebung, Spiegelung oder Drehung oder mehrere dieser drei Bewegungen zur Deckung bringen. F¨ ur Dreiecke gibt es vier Kongruenzs¨ atze, die Bedingungen f¨ ur die Kongruenz angeben. In der folgenden Aufz¨ ahlung steht W f¨ ur Winkel und S f¨ ur Seite bzw. Seitenl¨ange.

3.6 Dreiecke

119

1. Kongruenzsatz WSW und SWW Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln u ¨ bereinstimmen (WSW). Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und einem anliegenden sowie dem gegen¨ uberliegenden Winkel u ¨ bereinstimmen (SWW).

α

c β

β

α c

c

γ α

α

γ

c

Abbildung 3.41 Kongruenzsatz WSW und SWW

2. Kongruenzsatz SSW Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem der l¨angeren Seite gegen¨ uberliegenden Winkel u ¨ bereinstimmen.

a b

b

a β β

Abbildung 3.42 Kongruenzsatz SSW

3. Kongruenzsatz SWS Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel u ¨bereinstimmen.

c

a

a

β

β c

Abbildung 3.43 Kongruenzsatz SWS

120

3 Planimetrie

4. Kongruenzsatz SSS Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den drei Seiten u ¨ bereinstimmen. c a

b

a

b

c Abbildung 3.44 Kongruenzsatz SSS

3.6.8

Grundkonstruktionen des Dreiecks

Entsprechend den vier Kongruenzs¨ atzen f¨ ur das Dreieck gibt es vier Grundkonstruktionen f¨ ur das Dreieck. In der folgenden Aufz¨ ahlung steht W f¨ ur Winkel und S f¨ ur Seite bzw. Seitenl¨ange. 1. Grundkonstruktion WSW und SWW a) Gegeben: α, c, β (Winkel, Seite, Winkel) Konstruktion: Man zeichnet c = |AB| und tr¨agt an AB in A den Winkel α und in B den Winkel β an. Die freien Schenkel von α und β schneiden sich im Eckpunkt C. Bedingung: α + β < 180◦ C c

α

β

β

α A

c

B

Abbildung 3.45 Grundkonstruktion WSW

b) Gegeben: c, α, γ (Seite, Winkel, Winkel) Erste Konstruktion: Man konstruiert β als Nebenwinkel von α + γ und verf¨ahrt wie oben. Zweite Konstruktion: Man zeichnet c = |AB| und tr¨agt an AB in A den Winkel α an. In einem beliebigen Punkt C des freien Schenkels von α tr¨agt man an diesen den Winkel γ an. Die Parallele zu dem freien Schenkel von γ durch B schneidet den freien Schenkel von α im Eckpunkt C. Bedingung: α + β < 180◦

3.6 Dreiecke

121 C γ

c C α

γ

γ

α

γ

β = 180◦ − (α + γ)

β

α A

c

B

Abbildung 3.46 Grundkonstruktion SWW

2. Grundkonstruktion SSW Gegeben: b, c, β < 90◦ (Seite, Seite, Winkel) Konstruktion: Man zeichnet c = |AB| und tr¨agt an AB in B den Winkel β an. Dann zeichnet man um A einen Kreisbogen mit dem Radius b. Die L¨osung der Konstruktionsaufgabe ist abh¨ angig von der Anzahl der Schnittpunkte des Kreisbogens mit dem freien Schenkel von β: a) Der Kreis schneidet den freien Schenkel des gegebenen Winkels β nicht; keine L¨osung. b) Der Kreis ber¨ uhrt den freien Schenkel; ein rechtwinkliges Dreieck als L¨osung (γ = 90◦ ). c) Der Kreis schneidet den freien Schenkel zweimal, und f¨ ur den Radius b = bc gilt bc < c; zwei verschiedene L¨ osungen Δ(ABC1 ) und Δ(ABC2 ). d) Der Kreis schneidet den freien Schenkel zweimal, und f¨ ur den Radius b = bc gilt bc = c (der Kreis geht durch den Scheitelpunkt B des gegebenen Winkels β); ein gleichschenkliges Dreieck als L¨ osung (b = bd = c, Spitze A). e) Der Kreis schneidet den freien Schenkel einmal; ein Dreieck als L¨osung (b = be > c). Der Kongruenzsatz SSW gilt f¨ ur die F¨ alle b), d) und e). Gegeben: b, c, β ≥ 90◦ (Seite, Seite, Winkel) Konstruktion: Nach Konstruktion von AB und Antragen von β wie oben sind hier folgende F¨alle m¨ oglich: f) Der Kreis um A mit dem Radius bf schneidet den freien Schenkel des gegebenen Winkels β nicht; keine L¨ osung. g) Der Kreis um A mit dem Radius bg geht durch den Punkt B; L¨osung“ ist ein ” zur Strecke (Strecke AB) entartetes Dreieck. h) Der Kreis um A mit dem Radius bh schneidet den freien Schenkel des gegebenen Winkels β in C; eine L¨ osung. Der Kongruenzsatz SSW gilt hier nur f¨ ur den Fall h).

122

3 Planimetrie ba

c bb bc β

bd = c be C

C be

bd bc

C1 bb C bc

C2

ba

β B

c

A

Abbildung 3.47 Grundkonstruktion SSW (gegeben: b, c, β < 90◦ )

bf

c bg bh

β

C bf

bh β

A

c = bg

B

Abbildung 3.48 Grundkonstruktion SSW (gegeben: b, c, β ≥ 90◦ )

3. Grundkonstruktion SWS Gegeben: b, α, c (Seite, Winkel, Seite). Konstruktion: Den Schenkeln des Winkels α gibt man die L¨angen b = |AC| und c = |AB|. Man verbindet B und C. Bedingung: α < 180◦

3.7 Vierecke

123 C b

b

c

α

α A

B

c

Abbildung 3.49 Grundkonstruktion SWS

4. Grundkonstruktion SSS Gegeben: a, b, c (Seite, Seite, Seite). Konstruktion: Man zeichnet c = |AB| und schl¨agt um A einen Kreisbogen mit dem Radius b und um B einen Kreisbogen mit dem Radius a. Der Eckpunkt C ist der Schnittpunkt der Kreisb¨ ogen, der oberhalb“ von AB liegt (A, B, C folgen ” im mathematisch positiven Drehsinn, also entgegen dem Uhrzeigersinn aufeinander). Anschließend wird noch C mit den Eckpunkten A und B verbunden. Bedingungen: a < b + c, b < a + c, c < a + b (Dreiecksungleichungen) C b a

b

c

A

a B

c b

a C

Abbildung 3.50 Grundkonstruktion SSS

Anmerkung: Wenn sich, wie bei der letzten Konstruktion, zwei spiegelbildlich gleiche L¨osungen ergeben (denn die Kreise schneiden sich zweimal, in C und C , falls die Dreiecksungleichungen erf¨ ullt sind), w¨ ahlt man diejenige aus, bei der die Punkte A, B, C entgegen dem Uhrzeigersinn, also im mathematisch positiven Sinn, aufeinander folgen.

3.7 3.7.1

Vierecke Allgemeine Vierecke

Ein Viereck besteht aus vier Punkten A, B, C, D, von denen keine drei auf einer Geraden liegen, und den Strecken AB, BC, CD, DA. Die Punkte A, B, C, D sind die Eckpunkte des Vierecks, die Strecken AB, BC, CD, DA sind die Seiten des Vierecks, und ihre L¨ angen |AB|, |BC|, |CD|, |DA| sind die Seitenl¨angen des Vierecks. Meistens werden die Seitenl¨ angen mit a, b, c, d und die Innenwinkel des Vierecks mit α, β, γ, δ bezeichnet, und zwar so, dass a = |AB|, b = |BC|, c = |CD|, d = |DA| und

124

3 Planimetrie

dass der Winkel α den Scheitelpunkt A, der Winkel β den Scheitelpunkt B, der Winkel γ den Scheitelpunkt C und der Winkel δ den Scheitelpunkt D hat. c

D δ

d

C ϕ

γ

e

b f β

α a

A

B

Abbildung 3.51 Bezeichnungen im Viereck

Die Strecken AC und BD heißen Diagonalen des Vierecks, ihre L¨angen werden meist mit e und f bezeichnet: e = |AC|, f = |BD|. Abk¨ urzend verwendet man f¨ ur ein Viereck das Symbol , und f¨ ur ein Viereck mit den Eckpunkten A, B, C, D schreibt man (ABCD). Die Winkelsumme in einem beliebigen Viereck betr¨agt 360◦ . α + β + γ + δ = 360◦ F¨ ur die L¨angen der Seiten und der Diagonalen in einem Viereck gilt folgender Zusammenhang: In einem Viereck ist das Produkt der Diagonalenl¨angen kleiner oder gleich der Summe der Produkte der L¨ angen je zwei gegen¨ uberliegender Seiten. ef ≤ ac + bd Die Gleichheit gilt genau dann, wenn das Viereck ein Sehnenviereck ist (bei einem Sehnenviereck liegen alle vier Punkte auf einem Kreis). Diese Aussage ist der verallgemeinerte Satz des Ptolem¨aus (vgl. Abschnitt 3.7.8). Der Umfang u eines Vierecks ist die Summe der Seitenl¨angen. u=a+b+c+d F¨ ur den Fl¨acheninhalt A eines Vierecks gilt (vgl. Kapitel 6):

A =

=

1 1 (ad sin α + bc sin γ) = (ab sin β + cd sin δ) 2 2 1 ef sin ϕ 2

=

(s − a)(s − b)(s − c)(s − d) − abcd cos2

α+γ 2

(s − a)(s − b)(s − c)(s − d) − abcd cos2

β+δ 2

=

3.7 Vierecke

125

Dabei ist ϕ der Winkel zwischen den Diagonalen und s der halbe Umfang des Vierecks, also s = 12 (a + b + c + d). Die beiden letzten Formeln sind Verallgemeinerungen der heronischen Fl¨achenformel f¨ ur Dreiecke. 3.7.2

Trapeze

Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten zueinander parallel sind. Die parallelen Seiten heißen Grundlinien und die anderen beiden Seiten Schenkel des Trapezes. Die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte der Schenkel heißt Mittellinie, sie ist parallel zu den Grundlinien. Die H¨ ohe eines Trapezes ist der Abstand der parallelen Grundlinien. Sind die Schenkel gleich lang, so heißt das Trapez gleichschenklig. a+c Ist m die L¨ange der Mittellinie, so gilt m = . 2 D

c

C

δ

γ m

d

b h β

α A

a

B

Abbildung 3.52 Trapez

Das Trapez mit den Grundlinienl¨ angen a und c und der H¨ohe h ist ﬂ¨achengleich einem Rechteck mit den Seitenl¨ angen m und h. F¨ ur den Fl¨acheninhalt A des Trapezes gilt A = mh =

3.7.3

a+c h 2

Parallelogramme

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die beiden jeweils einander gegen¨ uberliegenden Seiten parallel sind. Einander gegen¨ uberliegende Seiten im Parallelogramm sind gleich lang; einander gegen¨ uberliegende Winkel sind gleich groß; benachbarte Winkel erg¨anzen sich zu 180◦ ; die Diagonalen halbieren sich in ihrem Schnittpunkt. Das Parallelogramm mit den Seitenl¨ angen a und b ist ﬂ¨achengleich einem Rechteck mit den Seitenl¨angen a und ha (oder b und hb ).

126

3 Planimetrie a

D

C α

β e ha

b

b f β

α A

a

α B

Abbildung 3.53 Parallelogramm

F¨ ur den Umfang u und den Fl¨ acheninhalt A eines Parallelogramms mit den Seitenl¨angen a und b gilt Umfang

u = 2a + 2b

Fl¨ acheninhalt A = aha = bhb = ab sin α F¨ ur die L¨angen der Seiten und der Diagonalen in einem Parallelogramm gilt folgender Zusammenhang: In einem Parallelogramm ist die Summe der Quadrate der Seitenl¨angen gleich der Summe der Quadrate der Diagonalenl¨ angen, also 2a2 + 2b2 = e2 + f 2 Diese Aussage ist der Satz von Apollonios (nach dem hellenistischen Geometer und Astronom Apollonios von Perge, ∼ 262 − 190 v. u. Z.). 3.7.4

Rhomben

Ein Rhombus ist ein Parallelogramm mit gleich langen Seiten. Damit gelten f¨ ur Rhomben alle Eigenschaften von Parallelogrammen. Dar¨ uber hinaus gilt: Die Diagonalen eines Rhombus halbieren sich in ihrem Schnittpunkt, sie halbieren alle Winkel, und sie stehen senkrecht aufeinander. Statt Rhombus sagt man auch Raute.

C

a

D f a

A

a

e

a

B

Abbildung 3.54 Rhombus

3.7 Vierecke

127

F¨ ur den Umfang u und den Fl¨ acheninhalt A eines Rhombus der Seitenl¨ange a gilt (e und f sind die L¨angen der Diagonalen) Umfang

u = 4a

Fl¨ acheninhalt A = a2 sin α =

3.7.5

1 ef 2

Rechtecke

Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln. Die Diagonalen eines Rechtecks halbieren sich in ihrem Schnittpunkt und sind gleich lang, es gilt e = f = a2 + b2 .

a

D

C

e b

b e a

A

B

Abbildung 3.55 Rechteck

F¨ ur den Umfang u und den Fl¨ acheninhalt A eines Rechtecks mit den Seitenl¨angen a und b gilt Umfang

u = 2a + 2b

Fl¨ acheninhalt A = ab

3.7.6

Quadrate

Ein Quadrat ist ein Rechteck mit gleich langen Seiten. Die Diagonalen √ eines Quadrats sind gleich lang und stehen senkrecht aufeinander. Es gilt e = f = a 2. Ein Quadrat ist auch ein Rhombus (eine Raute) mit vier rechten Winkeln. Ein Quadrat heißt auch regul¨ ares oder regelm¨ aßiges Viereck.

128

3 Planimetrie a

D

C

e a

a e

a

A

B

Abbildung 3.56 Quadrat

F¨ ur den Umfang u und den Fl¨ acheninhalt A eines Quadrats der Seitenl¨ange a gilt Umfang

u = 4a

Fl¨ acheninhalt A = a2 =

3.7.7

1 2 e 2

Drachen

Ein Drachen ist ein Viereck mit zwei Paaren gleich langer benachbarter Seiten. Statt Drachen sagt man auch Drachenviereck. Die Diagonalen eines Drachens stehen senkrecht aufeinander. D c

d e

A

C

f

a

b

B Abbildung 3.57 Drachen

Ein Drachen mit vier gleich langen Seiten ist ein Rhombus (eine Raute). Sind e und f die L¨ angen der Diagonalen, dann gilt f¨ ur den Fl¨acheninhalt A des Drachens A=

1 ef 2

3.7 Vierecke 3.7.8

129

Sehnenvierecke

Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, bei dem alle vier Eckpunkte auf einem Kreis liegen.

D

c

δ

C γ

f

e b

d β α

B

a A

Abbildung 3.58 Sehnenviereck

Der Kreis heißt Umkreis des Vierecks, die Seiten sind Sehnen dieses Kreises. Ein Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn gegen¨ uberliegende Winkel Supplementwinkel sind, sich also zu 180◦ erg¨ anzen. α + γ = β + δ = 180◦ In einem Sehnenviereck ist das Produkt der Diagonalenl¨angen gleich der Summe der Produkte der L¨angen je zwei gegen¨ uberliegender Seiten (Satz von Ptolem¨aus). ef = ac + bd Die Formel wurde hergeleitet und bewiesen von dem hellenistischen Geometer und Astronom Ptolemaios von Alexandria (∼ 83 − 161 u. Z.). In einem Sehnenviereck verhalten sich die L¨ angen der Diagonalen wie die Summen der Produkte der L¨angen jener Seitenpaare, die sich in den Endpunkten der Diagonalen treﬀen (Satz von Brahmagupta). e ab + cd = f ad + bc Die Formel wurde von dem Inder Brahmagupta (6./7. Jahrhundert u. Z.) entdeckt, der erste Beweis stammt von dem deutschen Mathematiker Johannes M¨ uller, genannt Regiomontanus (1436-1476). Durch Multiplikation bzw. Division dieser beiden Formeln erh¨alt man Ausdr¨ ucke f¨ ur die L¨ angen der beiden Diagonalen. e=

(ab + cd)(ac + bd) , f= ad + bc

(ad + bc)(ac + bd) ab + cd

130

3 Planimetrie

F¨ ur den Fl¨acheninhalt A des Sehnenvierecks gilt, wenn s der halbe Umfang des Sehnenvierecks ist, also s = 12 (a + b + c + d), A=

3.7.9

(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)

Tangentenvierecke

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, bei dem alle vier Seiten denselben Kreis ber¨ uhren.

D c C

d b

A

a

B

Abbildung 3.59 Tangentenviereck

Der Kreis heißt Inkreis des Vierecks, die Seiten sind Tangenten dieses Kreises. Ein Viereck ist genau dann ein Tangentenviereck, wenn die Summe der L¨angen zweier gegen¨ uberliegender Seiten gleich der Summe der L¨angen der beiden anderen Seiten ist. a+c=b+d

3.8

Regul¨ are n-Ecke

Ein n-Eck besteht aus n Punkten, den Eckpunkten des n-Ecks, und n Seiten, den Strecken zwischen den Eckpunkten. Haben alle Seiten die gleiche L¨ ange und sind alle Innenwinkel gleich groß, dann heißt das n-Eck regul¨ar oder regelm¨ aßig. Bei einem regul¨aren n-Eck liegen alle Eckpunkte auf einem Kreis, dem Umkreis des nEcks, und alle Seiten sind Tangenten eines einbeschriebenen Kreises, dem Inkreis des n-Ecks. Die Seiten sind Sehnen des Umkreises.

3.8 Regul¨are n-Ecke

131

γn

ρn αn r βn an Abbildung 3.60 Bezeichnungen im regul¨ aren n-Eck

Ein regul¨ares Dreieck ist ein gleichseitiges Dreieck, ein regul¨ares Viereck ist ein Quadrat. Die Summe der Innenwinkel in einem beliebigen n-Eck ist (n − 2) · 180◦ . Da alle n Innenwinkel γn gleich groß sind, gilt Innenwinkel

γn =

n−2 · 180◦ n

Durch die Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit dem Mittelpunkt des Umkreises wird das regul¨are n-Eck in n kongruente Dreiecke zerlegt. F¨ ur die Basiswinkel βn und die Zentriwinkel αn gilt 1 n−2 γn = · 90◦ 2 n 360◦ Zentriwinkel αn = n Basiswinkel

βn =

F¨ ur die Seitenl¨ange an , den Umkreisradius r und den Inkreisradius ρn des regul¨aren n-Ecks gilt (vgl. Kapitel 6): Seitenl¨ ange

an = 2

r2 − ρ2n = 2r sin

αn αn = 2ρn tan 2 2

an 2 sin α2n an αn ρn = cot 2 2

Umkreisradius r = Inkreisradius

F¨ ur den Umfang un und den Fl¨ acheninhalt An des regul¨aren n-Ecks ergibt sich dann Umfang

un = nan

Fl¨acheninhalt An =

1 1 1 αn nan ρn = nr2 sin αn = na2n cot 2 2 4 2

132

3 Planimetrie ¨ Ubersicht u aren n-Ecke f¨ ur kleine n (r = Umkreisradius): ¨ ber die regul¨

n

Innenwinkel γn

Zentriwinkel αn

3

60◦

120◦

√ r 3

2r · 2, 5980 . . .

3√ 2 3r 4

4

90◦

90◦

√ r 2

2r · 2, 8284 . . .

2 r2

5

108◦

72◦

r 2

2r · 2, 9389 . . .

5 8

6

120◦

60◦

r

8

135◦

45◦

r

10

144◦

36◦

12

150◦

30◦

Seitenl¨ ange an

√ 10 − 2 5

Umfang un

2r · 3

2−

√ 2

r √ ( 5 − 1) 2 √ r 2− 3

2r · 3, 0614 . . .

Fl¨ acheninhalt An

√ 10 + 2 5 r 2

3√ 2 3r 2 √ 2 2 r2

2r · 3, 0901 . . .

5 4

2r · 3, 1058 . . .

3 r2

√ 10 − 2 5 r 2

Mit wachsendem n n¨ ahert der Umfang un sich dem Umfang 2r · π = 2r · 3, 1415 . . . und der Fl¨acheninhalt An sich dem Fl¨ acheninhalt π r2 des Kreises mit dem Radius r an.

3.9

Polygone

Ein Polygon ist ein geschlossener Streckenzug der Ebene. Ein Polygon oder Vieleck mit n Eckpunkten ist ein n-Eck. Die Strecken zwischen den Eckpunkten sind die Seiten des Polygons. ¨ Ein einfaches Polygon teilt die Ebene in zwei Gebiete, das Innere und das Außere, die durch die Seiten des Polygons getrennt werden. Die L¨ange des geschlossenen Streckenzugs ist der Umfang des Polygons, und die Fl¨ache des Inneren ist der Fl¨ acheninhalt des Polygons. Eine Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Eckpunkte ist eine Diagonale des Polygons. (Zwei Eckpunkte heißen benachbart, wenn es zwischen ihnen eine Seite gibt.) Jeder Eckpunkt kann also mit n − 3 anderen Eckpunkten durch eine Diagonale verbunden werden (denn jeder der n Eckpunkte hat n − 3 andere Eckpunkte nicht als Nachbarn). Die Innenwinkel des Polygons haben als Scheitelpunkte die Eckpunkte des Polygons. In einem konvexen Polygon liegen alle Diagonalen im Innern des Polygons, und alle Innenwinkel sind kleiner als 180◦ . Da man das Innere eines n-Ecks durch n − 3 sich nicht u ¨ berschneidende Diagonalen in n − 2 Dreiecke zerlegen kann, und die Winkelsumme im Dreieck 180◦ ist, betr¨agt die Summe der Innenwinkel in einem beliebigen n-Eck (n − 2) · 180◦ . In einem regul¨aren (regelm¨ aßigen) Polygon haben alle Seiten die gleiche L¨ange, und alle

3.10 Kreise

133

Innenwinkel sind gleich groß.

Abbildung 3.61 Einfaches Polygon

Abbildung 3.62 Konvexes Polygon

Abbildung 3.63 Regul¨ ares Polygon

3.10 3.10.1

Kreise Deﬁnitionen

Ein Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt M einen konstanten Abstand r haben. Der Punkt M ist der Mittelpunkt und r der Radius

134

3 Planimetrie

des Kreises. Zur Unterscheidung von der durch einen Kreis in der Ebene abgegrenzten Fl¨ache, der Kreisﬂ¨ache, wird der Kreis selbst auch als Kreisperipherie oder Kreisrand bezeichnet. Einen Kreis mit dem Radius r = 0 nennt man entartet. Ein Kreis mit dem Radius r = 1 heißt Einheitskreis. Kreise k¨ urzt man oft mit k ab, und f¨ ur die Peripherie des Kreises mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M schreibt man k(M, r). Jede Gerade durch zwei Punkte der Kreisperipherie nennt man Sekante. Der zwischen den Punkten gelegene Teil der Sekante heißt Sehne. Eine Sehne durch den Mittelpunkt heißt Durchmesser des Kreises. Durchmesser sind die gr¨oßten Sehnen des Kreises. F¨ ur die L¨ange d eines Durchmessers gilt d = 2r.

s1 M s2

s3

Abbildung 3.64 Sehnen eines Kreises (Sehne s2 ist auch Durchmesser)

Winkel, deren Scheitelpunkt ein Punkt der Kreisperipherie ist und deren Schenkel Sekanten des Kreises sind, heißen Peripherie- oder Umfangswinkel. Winkel, deren Scheitelpunkt der Kreismittelpunkt ist, nennt man Zentri- oder Mittelpunktswinkel. Der durch einen Peripherie- oder Zentriwinkel ausgeschnittene Teil der Kreisperipherie heißt Kreisbogen. F¨ ur den Umfang u und die Fl¨ ache A eines Kreises mit dem Radius r und dem Durchmesser d gilt Kreisumfang u = 2πr = πd Kreisﬂ¨ ache

A = πr2 =

π 2 d 4

Das Verh¨altnis des Umfangs zum Durchmesser eines beliebigen Kreises deﬁniert die sogenannte Kreiszahl π = 3, 141 592 653 5 . . . Die Zahl π (kleines Pi“) ist transzendent (vgl. ” Abschnitt 1.3). π = 3, 141 592 653 5 . . .

3.10 Kreise

135

Peripheriewinkel Radius r M

Durchmesser d

Zentriwinkel

Abbildung 3.65 Bezeichnungen am Kreis

Ein Kreis ist festgelegt durch den Mittelpunkt und einen weiteren Punkt oder durch drei Punkte (die nicht alle auf einer Geraden liegen). Kreise, die den gleichen Mittelpunkt haben, heißen konzentrische Kreise. Zwei Kreise mit verschiedenen Mittelpunkten nennt man exzentrisch. Die von zwei konzentrischen Kreisen begrenzte Fl¨ache heißt Kreisring. Ist R der Radius des a¨ußeren Kreises und r der Radius des inneren Kreises, dann gilt f¨ ur den Fl¨acheninhalt A des Kreisrings A = π(R2 − r2 )

3.10.2

Kreissektoren

Ein Kreissektor oder Kreisausschnitt ist der Teil der Fl¨ache eines Kreises, der von den Schenkeln eines Zentriwinkels und dem zugeh¨ origen Kreisbogen begrenzt wird. Ist α ein Zentriwinkel und hat der Kreis den Radius r, dann ergibt sich f¨ ur die L¨ange lα des Kreisbogens lα =

α πr 180◦

F¨ ur die Fl¨ache Aα des Kreissektors gilt Aα =

1 α πr2 = rlα ◦ 360 2

136

3 Planimetrie

Kreissegment Sehne

Kreissektor

Abbildung 3.66 Kreissektor und Kreissegment

r

α

lα

r

Abbildung 3.67 Bezeichnungen Kreissektor

3.10.3

Kreissegmente

Ein Kreissegment oder Kreisabschnitt ist der Teil der Fl¨ache eines Kreises, der von einer

Sehne AB und einem der zugeh¨ origen Kreisb¨ ogen AB oder BA begrenzt wird. Ein Kreissegment ist also der Teil eines Kreissektors, der zwischen dem Kreisbogen und der zugeh¨origen Sehne liegt. Ein Kreis wird von einer Sehne in zwei Segmente zerlegt. Ist r der Radius eines Kreises, α ein Zentriwinkel, s die L¨ange der zugeh¨origen Sehne α α und h die H¨ohe des Kreissegments, dann berechnet man s = 2r sin und h = 2r sin2 , 2 4 woraus sich f¨ ur die L¨ ange lα des Kreisbogens ergibt lα = F¨ ur die Fl¨ache Aα des Kreissegments gilt

α πr 180◦

3.10 Kreise

137

Aα =

1 [rlα − s(r − h)] 2

r

s

r−h

α

h

lα

s

r

Abbildung 3.68 Bezeichnungen Kreissegment

3.10.4

Kreise und Geraden

Ein Kreis und eine Gerade k¨ onnen drei grunds¨atzlich verschiedene Lagen zueinander haben: • • •

Die Gerade ist eine Passante p, sie hat mit dem Kreis keinen Punkt gemeinsam. Die Gerade ist eine Tangente t, sie hat mit dem Kreis genau einen Punkt, den Ber¨ uhrungspunkt P , gemeinsam. Die Gerade ist eine Sekante s, sie hat mit dem Kreis zwei Punkte, die Schnittpunkte P1 und P2 , gemeinsam. p P

P1

t

s

P2

M

k

r

Abbildung 3.69 Sekante s, Tangente t, Passante p

138 3.10.5

3 Planimetrie Winkels¨ atze am Kreis

Die Winkels¨atze enthalten Eigenschaften von Peripherie- und Zentriwinkeln von Kreisen: • Alle Peripheriewinkel u ¨ ber der gleichen Sehne sind gleich groß. • Jeder Peripheriewinkel u ¨ ber dem Durchmesser ist ein rechter Winkel (Satz von Thales). • Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß wie der Zentriwinkel u ¨ber dem gleichen Kreisbogen (¨ uber der gleichen Sehne). • Jeder Peripheriewinkel ist genauso groß wie der Sehnentangentenwinkel (Winkel zwischen Sehne und Tangente an den Kreis durch einen der Endpunkte der Sehne). C1 γ

C3 γ

C2 M

γ

2γ γ

A

B

b T Abbildung 3.70 Spitzer Peripheriewinkel

C γ A

B M 2γ

γ T

b Abbildung 3.71 Stumpfer Peripheriewinkel

Zeichnet man einen Kreis um den Mittelpunkt M einer Strecke AB mit dem Durchmesser |AB|, dann ist jeder Peripheriewinkel u ¨ber der Strecke AB ein rechter Winkel. Ein solcher Kreis heißt Thaleskreis von A und B (nach dem griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet, ∼ 624 − 546 v. u. Z.). Der Thaleskreis von A und B ist also der geometrische Ort der Scheitelpunkte aller rechten Winkel, deren Schenkel durch die Punkte A und B gehen.

3.10 Kreise

139

M A

B

Abbildung 3.72 Thaleskreis

3.10.6

Eigenschaften von Sekanten und Sehnen

Haben zwei Sekanten den gleichen Abstand a vom Mittelpunkt M eines Kreises, dann ist die L¨ange der Sehnen, die der Kreis aus jeder Sekante ausschneidet, gleich. Umkehrung: Gleich lange Sehnen ein und desselben Kreises haben den gleichen Abstand vom Mittelpunkt: |M1 M | = |M2 M | = a. Die Mittelsenkrechten von zwei beliebigen Sehnen ein und desselben Kreises schneiden sich im Mittelpunkt.

M3 e 2 e 2

a

M

M1 a

M2

e 2

e 2

Abbildung 3.73 Eigenschaften von Sekanten und Sehnen

Anwendung: Ist von einem Kreis nur die Peripherie oder auch nur ein Bogen bekannt, der Mittelpunkt dagegen unbekannt, dann ﬁndet man diesen Mittelpunkt als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von zwei beliebigen Sehnen. 3.10.7

Tangentenkonstruktionen

Tangenten an einen Kreis Von jedem Punkt P0 außerhalb eines Kreises (Mittelpunkt M ) gibt es zwei Tangenten an den Kreis. In den Ber¨ uhrungspunkten P1 und P2 stehen die Tangenten senkrecht auf

140

3 Planimetrie

den Geraden P1 M und P2 M . Somit erh¨ alt man die Ber¨ uhrungspunkte als Schnittpunkte des Kreises mit dem Thaleskreis u ¨ ber der Strecke |M P0 |. Beispiele: 1.

Gesucht ist die Tangente an den Kreis k(M, r) im Kreispunkt P1 . Konstruktion: Auf P1 M wird in P1 die Senkrechte t1 errichtet.

2.

Gesucht sind die Tangenten von P0 mit |P0 M | > r an den Kreis k(M, r). ¨ Konstruktion: Uber P0 M als Durchmesser wird der Thaleskreis k0 (M0 , |M0 P0 | = 12 |P0 M |) gezeichnet. Der Thaleskreis schneidet den Kreis k(M, r) in den Punkten P1 und P2 . Die Geraden P0 P1 und P0 P2 sind die gesuchten Tangenten.

k

Thaleskreis

P1 M

k0

r

t1 M0

δ 2

r δ 2

P2

P0

t2

Abbildung 3.74 Tangenten an einen Kreis

Gemeinsame Tangenten an zwei Kreise An zwei Kreise k1 und k2 mit den Radien r1 und r2 sowie den Mittelpunkten M1 und M2 sollen gemeinsame Tangenten konstruiert werden. Ohne Einschr¨ankung der Allgemeinheit sei r1 ≤ r2 . Gemeinsame Tangenten gibt es nur dann, wenn ein Kreis nicht ganz innerhalb des anderen liegt. ¨ 1. Außere Tangenten Im Fall r1 = r2 verbindet man die Mittelpunkte M1 und M2 miteinander. Die Parallelen zu M1 M2 im Abstand r1 = r2 sind die gemeinsamen ¨außeren Tangenten von k1 und k2 . agt man um M2 einen Hilfskreis mit dem Radius r2 − r1 . An Im Fall r2 > r1 schl¨ diesen Kreis werden von M1 aus die Tangenten mit Hilfe des Thaleskreises u ¨ ber M1 M2 konstruiert. Die (¨ außeren) Parallelen hierzu im Abstand r1 sind die gesuchten gemeinsamen ¨ außeren Tangenten der Kreise k1 und k2 .

3.10 Kreise

141

k2 Thaleskreis Hilfskreis

M2 k1

r2

r2 − r1

M1 r1

r1

Abbildung 3.75 Gemeinsame ¨ außere Tangenten

2. Innere Tangenten Die gegebenen Kreise k1 und k2 sollen keinen Punkt gemeinsam haben. Um den einen Mittelpunkt M2 schl¨ agt man einen Hilfskreis mit dem Radius r1 + r2 . An diesen Kreis werden von dem anderen Mittelpunkt M1 aus die Tangenten konstruiert. Die (inneren) Parallelen hierzu im Abstand r1 sind die gesuchten gemeinsamen inneren Tangenten der beiden gegebenen Kreise k1 und k2 .

Thaleskreis Hilfskreis

r1 k1 r2

r1

+

r1

k2 M2

r2

M1

Abbildung 3.76 Gemeinsame innere Tangenten

3.10.8

S¨ atze u ¨ber Sehnen, Sekanten, Tangenten

Sehnensatz Schneiden sich in einem Kreis zwei Sehnen, so ist das Produkt der L¨angen der Abschnitte der einen Sehne gleich dem Produkt der L¨ angen der Abschnitte der anderen Sehne. |SA| · |SB| = |SC| · |SD|

142

3 Planimetrie D B

S

A

C Abbildung 3.77 Sehnensatz

Sekantensatz Schneiden sich zwei Sekanten eines Kreises außerhalb des Kreises, so ist das Produkt der L¨angen der Abschnitte vom Sekantenschnittpunkt bis zu den Schnittpunkten von Kreis und Sekante f¨ ur beide Sekanten gleich. |SA| · |SB| = |SC| · |SD|

B

A

S

D

C

Abbildung 3.78 Sekantensatz

Sekantentangentensatz Geht eine Sekante eines Kreises durch einen festen Punkt außerhalb des Kreises, und legt man durch diesen Punkt die Tangente an den Kreis, dann ist das Produkt der L¨angen der Abschnitte von diesem Punkt bis zu den Schnittpunkten von Kreis und Sekante gleich dem Quadrat der L¨ ange des Abschnitts der Tangente von diesem Punkt bis zu dem Ber¨ uhrpunkt von Kreis und Tangente. |SA| · |SB| = |SC|2

3.10 Kreise

143 B

A

S

C Abbildung 3.79 Sekantentangentensatz

3.10.9

Bogenmaß

Neben dem Gradmaß gibt es das Bogenmaß zur Winkelmessung. Beim Bogenmaß wird die Gr¨ oße eines Zentriwinkels α in einem beliebigen Kreis durch das Verh¨altnis des zugeh¨ origen Kreisbogens b zum Radius r des Kreises angegeben. Der Quotient rb heißt Bogenmaß des Winkels α.

b

Einheitskreis 1 α

x = arc α r

Abbildung 3.80 Gradmaß (α) und Bogenmaß (x = arc α) eines Winkels

Die Einheit des Bogenmaßes ist der Radiant (rad), also der Zentriwinkel, dessen Bogen gleich dem Radius ist. Mitunter schreibt man arc α (Arcus α) f¨ ur das Bogenmaß des Winkels α. b Bogenmaß: arc α = r Da der Einheitskreis, also der Kreis mit dem Radius r = 1, den Umfang 2π hat, ist das Bogenmaß des Vollwinkels 2π. 2π rad = 360◦ oder 1 rad =

360◦ ≈ 57, 2958◦ 2π

144

3 Planimetrie

Bezeichnet α den in Grad und x = arc α den in Radiant gemessenen Winkel, so gilt f¨ ur die Umrechnung von Gradmaß und Bogenmaß eines Winkels x= Beispiele zur Umrechnung: π 1◦ = rad = 0, 0174... rad 180 π 30◦ = rad 6 57, 2957 . . .◦ = 1 rad 0, 5 rad =

3.11 3.11.1

0, 5 · 180◦ = 28, 6478...◦ π

π · α, 180◦

α=

180◦ ·x π

10π π rad = rad = 0, 1745... rad 180 18 π 45◦ = rad 4 π ◦ 90 = rad 2 π π 180◦ rad = · = 60◦ 3 3 π 10◦ =

Symmetrie Punktsymmetrie

Eine ebene Figur F heißt punkt- oder zentralsymmetrisch, wenn sich in ihrer Ebene ein Punkt P angeben l¨ asst, so dass F durch eine Spiegelung an P in sich u uhrt wird. ¨bergef¨ Der Punkt P heißt dann Symmetriezentrum. Beispiele: Folgende Figuren sind punktsymmetrisch: 1.

Strecke mit ihrem Mittelpunkt als Symmetriezentrum

2.

Rechteck mit seinem Mittelpunkt als Symmetriezentrum

3.

Ellipse mit ihrem Mittelpunkt als Symmetriezentrum (vgl. Abschnitt 7.5.1)

3.11.2

Achsensymmetrie

Eine ebene Figur F heißt achsen- oder axialsymmetrisch, wenn sich in ihrer Ebene eine Gerade g angeben l¨ asst, so dass F durch eine Spiegelung an g in sich u uhrt wird. ¨ bergef¨ Die Gerade g heißt dann Symmetrieachse. Beispiele: Folgende Figuren sind achsensymmetrisch: 1.

Gleichseitiges Dreieck mit einer der Winkelhalbierenden als Symmetrieachse

2.

Rechteck mit einer Mittellinie als Symmetrieachse

3.

Kreis mit einer beliebigen Geraden durch den Mittelpunkt als Symmetrieachse

3.12 3.12.1

¨ Ahnlichkeit Zentrische Streckung

Die zentrische Streckung ist eine Abbildung, bei der f¨ ur jedes Element Bild Q und Urbild P auf einem Strahl durch einen festen Punkt Z, dem Zentrum, liegen und f¨ ur jedes

¨ 3.12 Ahnlichkeit

145

Element das Verh¨ altnis der L¨ ange der Strecke vom Bild zum Zentrum zu der L¨ange der Strecke vom Urbild zum Zentrum konstant ist. |ZQ| = k (k konstant) |ZP |

D1

C1

k1 = 1, 5 A1

D

A

C

B1

B

Z B2 C2

A2

k2 = −0, 5

D2 Abbildung 3.81 Zentrische Streckung

Eigenschaften: • • •

Die Bilder von Strecke, Strahl, Gerade sind wieder Strecke, Strahl, Gerade. Bild und Urbild von Strecke, Strahl, Gerade sind zueinander parallel. Entsprechende Winkel von Bild und Urbild sind gleich. Die L¨angen entsprechender Strecken von Bild und Urbild haben das gleiche Verh¨altnis, und zwar den Betrag des Streckungsfaktors k, also |k|.

3.12.2

Strahlens¨ atze

Unmittelbare Anwendungen der zentrischen Streckung sind die Strahlens¨atze. Erster Strahlensatz Werden zwei Strahlen mit gleichem Anfangspunkt (Zentrum) von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die L¨ angen der Abschnitte eines Strahls wie die L¨angen entsprechender Abschnitte des anderen Strahls. a 1 : a 2 = b 1 : b2

146

3 Planimetrie

a2

a1

Z b1 b2

Abbildung 3.82 Erster Strahlensatz: a1 : a2 = b1 : b2

Zweiter Strahlensatz Werden zwei Strahlen mit gleichem Anfangspunkt von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die L¨angen der zwischen den Strahlen liegenden Abschnitte wie die L¨angen der zugeh¨origen vom Anfangspunkt aus gemessenen Abschnitte auf den Strahlen. c1 : c3 = a1 : a3 a3 Z

a1 c1 c3

Abbildung 3.83 Zweiter Strahlensatz: c1 : c3 = a1 : a3 Beispiel: Welche L¨ ange B ergibt sich f¨ ur das Bild eines Gegenstands der L¨ ange G bei einer Bildweite b und einer Gegenstandsweite g? Nach dem zweiten Strahlensatz gilt g G b = ⇒ B=G b B g Anmerkung: Ist g b (g sehr groß gegen¨ uber b), dann kann man b ≈ f (f Brennweite) setzen und damit die zu erwartende Bildgr¨ oße absch¨ atzen.

G B g

b

Abbildung 3.84 Anwendung des zweiten Strahlensatzes

¨ 3.12 Ahnlichkeit 3.12.3

147

¨ Ahnliche Figuren

Geometrische Figuren heißen ¨ ahnlich, wenn sie nach geeigneter Parallelverschiebung, Drehung, Spiegelung durch zentrische Streckung zur Deckung gebracht werden k¨onnen. So sind zum Beispiel zwei Quadrate ¨ ahnlich (mit beliebigen Seitenl¨angen) oder zwei Kreise (mit beliebigen Radien und beliebigen Mittelpunkten) oder zwei gleichseitige Dreiecke (mit beliebigen Seitenl¨ angen). C1

B2 A2

C2 D1

B1

D2 C D

B A1

A ¨ Abbildung 3.85 Ahnliche Figuren

Entsprechend den vier Kongruenzs¨ atzen f¨ ur Dreiecke (siehe Abschnitt 3.6.7) gelten die ¨ folgenden Bedingungen f¨ ur die Ahnlichkeit von Dreiecken: 1. Dreiecke sind a hnlich, wenn sie in zwei Winkeln u ¨ ¨ bereinstimmen. ◦ Da im Dreieck die Winkelsumme gleich 180 ist, folgt, dass dann auch die jeweils dritten Winkel u ¨bereinstimmen.

α

β

β

α

α = α β = β ¨ Abbildung 3.86 Ahnliche Dreiecke

2. Dreiecke sind ¨ ahnlich, wenn sie in dem L¨ angenverh¨altnis eines Seitenpaares und dem Gegenwinkel der l¨ angeren Seite u ¨ bereinstimmen.

b

a

β

β a : b = a : b β = β

a

¨ Abbildung 3.87 Ahnliche Dreiecke

b

148

3 Planimetrie

3. Dreiecke sind a angenverh¨altnis eines Seitenpaares und dem ¨hnlich, wenn sie in dem L¨ eingeschlossenen Winkel u bereinstimmen. ¨

γ

b

a a : b = a : b γ = γ

a

γ

b

¨ Abbildung 3.88 Ahnliche Dreiecke

4. Dreiecke sind ¨ ahnlich, wenn sie in den L¨ angenverh¨altnissen zweier Seitenpaare u ¨bereinstimmen. c a

b c

a : b = a : b b : c = b : c

a

b

¨ Abbildung 3.89 Ahnliche Dreiecke

Bemerkungen: 1. Die Strahlens¨atze sind Anwendungen der Eigenschaften ¨ahnlicher Dreiecke. ¨ 2. Nur bei Dreiecken folgt aus der Gleichheit der Winkel die Ahnlichkeit. Zum Beispiel haben ein Rechteck mit den Seitenl¨angen a und b = a und ein Quadrat gleich große Winkel, sind aber nicht ¨ ahnlich, denn ihre Seitenverh¨altnisse sind verschieden. 3. Da ein rechtwinkliges Dreieck durch seine H¨ ohe in zwei untereinander und dem ganzen Dreieck a¨hnliche Teildreiecke geteilt wird (gleiche Winkel), folgen aus der Proportionalit¨at der L¨ angen entsprechender Seiten der Kathetensatz und der H¨ohensatz.

3.12.4

Streckenteilungen

Liegt zwischen zwei Punkten A und B ein Punkt T , so teilt er die Strecke AB im Verh¨altnis |AT | : |T B| = k. Das Teilungsverh¨altnis k ist eine positive reelle Zahl, wenn T echt zwischen A und B liegt. Halbiert T die Strecke AB, dann gilt k = 1. Dagegen ist k < 0, wenn T außerhalb der Strecke AB liegt. ¨ Mit Hilfe der Ahnlichkeitsbedingungen f¨ ur Dreiecke ist es m¨oglich, jede gegebene Strecke in einem beliebigen rationalen Verh¨ altnis zu teilen. Man unterscheidet verschiedene Arten von Streckenteilungen:

¨ 3.12 Ahnlichkeit •

149

Innere Teilung Der Teilungspunkt T = Ti liegt auf der Strecke AB. ki =

•

|ATi | pi = qi |Ti B|

¨ Außere Teilung Der Teilungspunkt T = Ta liegt auf der Geraden AB, aber außerhalb der Strecke AB. In diesem Fall ist das Teilungsverh¨ altnis k = ka negativ. ka = −

pa |ATa | =− qa |Ta B|

qi pi

Ta

A

B

Ti

pa qa Abbildung 3.90 Innere und ¨ außere Teilung

•

Harmonische Teilung Eine Strecke AB heißt durch die Punkte Ti und Ta harmonisch geteilt, wenn die Betr¨age der Teilungsverh¨ altnisse der inneren Teilung durch Ti und der a¨ußeren Teilung durch Ta gleich sind. k = |ki | = |ka | =

|ATi | |ATa | p = = q |Ti B| |Ta B|

Es gilt: Teilen Ti und Ta die Strecke AB harmonisch, dann teilen auch umgekehrt A und B die Strecke Ti Ta harmonisch. D q=

C2 p= Ta

7

2

Ap =

Ti 2

C1

Abbildung 3.91 Harmonische Teilung

B

150

3 Planimetrie

Sind Ti und Ta die Punkte, die eine Strecke AB harmonisch im Verh¨altnis p : q teilen, dann ist der Kreis mit dem Durchmesser Ti Ta der geometrische Ort aller Punkte (C), deren Verbindungsstrecken mit A und B das L¨angenverh¨altnis p : q haben: |ATi | : |Ti B| = |ATa | : |Ta B| = |AC| : |CB| = p : q. Dieser Kreis heißt Kreis des Apollonios (nach dem hellenistischen Geometer und Astronom Apollonios von Perge, ∼ 262 − 190 v. u. Z.). C

A

Ti

B

Ta

Abbildung 3.92 Kreis des Apollonios

•

Stetige Teilung (goldener Schnitt) Eine Strecke heißt stetig oder nach dem goldenen Schnitt geteilt, wenn sich ihre L¨ange zur L¨ange des gr¨ oßeren Teilst¨ ucks verh¨ alt wie die L¨ange des gr¨oßeren Teilst¨ ucks zur L¨ange des kleineren Teilst¨ ucks. Ein Punkt T teilt die Strecke AB also nach dem goldenen Schnitt, wenn gilt |AT | |AB| = |AT | |T B| s r = . s r−s r r s + (r − s) r−s 1 1 1 Mit x = folgt x = = =1+ =1+ s =1+ r =1+ . s s s s x r−s s

Setzt man r = |AB|, s = |AT |, so gilt

Multiplikation mit x ergibt x2 = x + 1 ⇔ x2 − x − 1 = 0. Die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung sind √ √ 1 1 x1 = (1 + 5) und x2 = (1 − 5). 2 2 ur das Teilungsverh¨altnis Wegen x1 > 0 und x2 < 0 kommt nur die positive Wurzel f¨ √ s 1 r = = (1 + 5). in Frage: s r−s 2 √ 1 Die Zahl (1 + 5) = 1, 618 033 988 7 . . . nennt man goldene Zahl. 2 Die Abbildung verdeutlicht eine Konstruktionsm¨oglichkeit des goldenen Schnitts einer Strecke.

¨ 3.12 Ahnlichkeit

151 r 2 r 2

s A

T r−s

s r

B

Abbildung 3.93 Stetige Teilung (goldener Schnitt)

4

Stereometrie

Das Wort Stereometrie kommt aus dem Griechischen und bedeutet K¨orpermessung. Man besch¨aftigt sich in dieser Teildisziplin der Geometrie mit Form, gegenseitiger Lage, Gr¨oße und anderen Beziehungen geometrischer Objekte im Raum.

4.1 4.1.1

Prismen Allgemeine Prismen

Gleitet eine Gerade, ohne ihre Richtung zu ¨ andern, im Raum an den Begrenzungslinien eines ebenen n-Ecks (n = 3, 4, . . .) entlang, so beschreibt sie eine prismatische Fl¨ache. Schneiden zwei parallele Ebenen die prismatische Fl¨ache, dann schließen sie zusammen mit dem zwischen ihnen liegenden Abschnitt der prismatischen Fl¨ache einen Teil des Raums vollst¨andig ein. Ein solcher K¨ orper heißt Prisma (griech., das Ges¨agte) oder genauer n-seitiges Prisma. Die Schnitte der Ebenen mit der prismatischen Fl¨ache sind kongruente n-Ecke. Diese n-Ecke heißen Grundﬂ¨ ache und Deckﬂ¨ ache des Prismas. Die Seitenﬂ¨achen des Prismas heißen Mantelﬂ¨achen. Die Kanten der Seitenﬂ¨achen heißen Mantellinien. Die Mantelﬂ¨achen sind Parallelogramme. Bei einem Prisma sind alle Schnitte parallel zu Grund- und Deckﬂ¨ache kongruent zu diesen Fl¨achen. Ein Prisma ist also ein K¨ orper mit einem gleichbleibenden Querschnitt. Gleitet die Gerade senkrecht zur Ebene der Grundﬂ¨ache, dann heißt das Prisma gerade. Bei einem geraden Prisma stehen die Mantellinien senkrecht auf der Grund- und Deckﬂ¨ache, und die Mantelﬂ¨ achen sind Rechtecke. Ein nicht gerades Prisma nennt man auch schiefes Prisma. Ein physikalisches Prisma ist mathematisch ein gerades dreiseitiges Prisma.

AG

h

AG Abbildung 4.1 Prisma

Das Volumen V eines Prismas ist der Inhalt AG der Grundﬂ¨ache multipliziert mit der H¨ohe h. Volumen Prisma

V = AG · h

A. Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn, DOI 10.1007/978-3-8348-8258-5_4, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

4.1 Prismen

153

Die Oberﬂ¨ache AO eines Prismas ist die Summe der Mantelﬂ¨ache AM und der doppelten Grundﬂ¨ache AG (denn Grund- und Deckﬂ¨ache sind kongruent, und damit ist ihr Fl¨acheninhalt gleich). AO = AM + 2AG

Oberﬂ¨ache Prisma

4.1.2

Parallelepiped und W¨ urfel

Ein Prisma mit einem Parallelogramm als Grundﬂ¨ache heißt Parallelepiped oder Parallelﬂach oder Spat. Ein gerades Prisma mit einem Rechteck als Grundﬂ¨ache heißt Quader.

c c

a

b

a

Abbildung 4.2 Parallelepiped

b

Abbildung 4.3 Quader

Sind a und b die Seitenl¨ angen des Rechtecks und c die H¨ohe des Quaders, so gilt:

Quader

Volumen

V = abc

Oberﬂ¨ ache

AO = 2(ab + ac + bc)

Gesamtkantenl¨ ange l = 4(a + b + c) Ein Quader mit einem Quadrat als Grundﬂ¨ ache heißt quadratische S¨aule.

h

a a Abbildung 4.4 Quadratische S¨ aule

154

4 Stereometrie

Ist a die Seitenl¨ange des Quadrats und h die H¨ ohe der quadratischen S¨aule, dann gilt:

Quadratische S¨aule

Volumen

V = a2 h

Oberﬂ¨ ache

AO = 2a2 + 4ah

Gesamtkantenl¨ange l = 8a + 4h Ein Quader mit lauter gleich langen Kanten heißt W¨ urfel.

a

a a Abbildung 4.5 W¨ urfel

Ist a die Kantenl¨ange des W¨ urfels, so gilt:

W¨ urfel

Volumen

V = a3

Oberﬂ¨ ache

AO = 6a2

Gesamtkantenl¨ ange l = 12a Der W¨ urfel ist einer der platonischen K¨ orper (siehe Abschnitt 4.7). Er wird von sechs Quadraten begrenzt.

4.2 4.2.1

Zylinder Allgemeine Zylinder

Wird eine Gerade (Erzeugende) im Raum l¨ angs einer ebenen geschlossenen Kurve (Leitkurve) parallel verschoben (also ohne ihre Richtung zu ver¨andern), so entsteht eine Zylinderﬂ¨ache. Ein Zylinder ist ein K¨ orper, der von einer Zylinderﬂ¨ache und zwei parallelen ebenen Fl¨achenst¨ ucken begrenzt wird. Die ebenen Begrenzungsﬂ¨achenst¨ ucke m¨ ussen nicht senkrecht auf der erzeugenden Gerade stehen.

4.2 Zylinder

155

h

Abbildung 4.6 Zylinder

Ein Zylinder ist ein K¨ orper mit gleichbleibendem Querschnitt. Der Teil der Zylinderﬂ¨ ache zwischen den parallelen Begrenzungsﬂ¨achenst¨ ucken heißt Mantelﬂ¨ache des Zylinders, die parallelen Fl¨ achenst¨ ucke sind Grund- und Deckﬂ¨ache des Zylinders. Grundﬂ¨ ache und Deckﬂ¨ ache sind zueinander kongruent. Die zwischen den Fl¨achenst¨ ucken liegenden Strecken der Erzeugenden heißen Mantellinien, sie sind alle parallel und gleich lang. Der senkrechte Abstand zwischen Grund- und Deckﬂ¨ache ist die H¨ohe des Zylinders. Prismen sind spezielle Zylinder, n¨ amlich solche mit n-Ecken als Grundﬂ¨ache. Ein Zylinder heißt gerade, wenn die Mantellinien senkrecht auf Grund- und Deckﬂ¨ache stehen. Ein nicht gerader Zylinder heißt schiefer Zylinder. Ein Zylinder mit einer Kreisﬂ¨ ache als Grundﬂ¨ ache heißt Kreiszylinder. Das Volumen V eines Zylinders ist der Inhalt AG der Grundﬂ¨ache multipliziert mit der H¨ohe h. Die Oberﬂ¨ ache AO eines Zylinders ist die Summe der Mantelﬂ¨ache AM und der doppelten Grundﬂ¨ ache AG . Volumen

V = AG · h

Oberﬂ¨ ache AO = AM + 2AG

4.2.2

Gerade Kreiszylinder

Ein Zylinder mit senkrecht auf Grund- und Deckﬂ¨ache stehenden Mantellinien und mit einer Kreisﬂ¨ache als Grundﬂ¨ ache heißt gerader Kreiszylinder oder Walze. Die Mantelﬂ¨ache eines geraden Kreiszylinders kann in ein Rechteck mit den Seitenl¨angen h und 2πr (Kreisumfang) abgewickelt werden, wobei h die H¨ohe des geraden Kreiszylinders ist und r der Radius des Kreises. Dies kann man sich dadurch veranschaulichen, dass man eine Dose ohne Deckel und Boden l¨ angs einer Mantellinie aufschneidet und in eine Ebene abwickelt.

156

4 Stereometrie

r

h

r Abbildung 4.7 Gerader Kreiszylinder

Der Kreis als Grund- und Deckﬂ¨ ache (Grund- und Deckﬂ¨ache sind kongruent) hat den Fl¨ acheninhalt πr2 . Somit gilt f¨ ur die Oberﬂ¨ ache insgesamt AO = 2πr2 + 2πrh = 2πr(r + h). V = πr2 h

Volumen

Oberﬂ¨ ache AO = 2πr(r + h)

4.2.3

Hohlzylinder

Ein Hohlzylinder ist ein gerader Kreiszylinder (Kreis mit Radius R), aus dem ein kleinerer gerader Kreiszylinder (konzentrischer Kreis mit Radius r, r < R) ausgeschnitten ist.

R

h

r

Abbildung 4.8 Hohlzylinder

Die Grundﬂ¨achen der beiden Zylinder sind also konzentrische Kreise, das heißt, sie haben den gleichen Mittelpunkt. Das Volumen des Hohlzylinders ist die Diﬀerenz der Volumina der beiden geraden Kreiszylinder. Die Oberﬂ¨ ache setzt sich aus der ¨ außeren Mantelﬂ¨ache AMa = 2πRh (h ist die H¨ohe des Hohlzylinders), aus der inneren Mantelﬂ¨ache AMi = 2πrh, aus der Grundﬂ¨ache und aus der Deckﬂ¨ ache zusammen. Grundﬂ¨ ache AG und Deckﬂ¨ache AD sind gleich, sie ergeben sich aus der Diﬀerenz zweier Kreisﬂ¨ achen: AG = AD = π(R2 − r2 ).

4.3 Pyramiden

157

F¨ ur das Volumen und die Oberﬂ¨ ache des Hohlzylinders gilt somit Volumen

V = πh(R2 − r2 )

Oberﬂ¨ache AO = 2πh(R + r) + 2π(R2 − r2 ) = 2π(R + r)(R − r + h)

4.3 4.3.1

Pyramiden Allgemeine Pyramiden

Gleitet ein von einem festen Punkt S des Raums ausgehender Strahl an den Begrenzungslinien eines ebenen n-Ecks (n = 3, 4, . . .) entlang, in dessen Ebene der Anfangspunkt S des Strahls nicht liegt, so beschreibt der gleitende Strahl eine Pyramidenﬂ¨ache. Das nEck schließt zusammen mit dem zwischen ihm und dem Punkt S liegenden Abschnitt der Pyramidenﬂ¨ache einen Teil des Raums vollst¨andig ein. Ein solcher K¨orper heißt Pyramide. S

h

AG

H

Abbildung 4.9 Pyramide

Das n-Eck heißt Grundﬂ¨ ache, der Punkt S Spitze, der zum K¨orper geh¨orende Teil der Pyramidenﬂ¨ache ist die Mantelﬂ¨ ache der Pyramide. Die Kanten der Grundﬂ¨ache heißen Grundkanten, die Kanten der Mantelﬂ¨ ache Seitenkanten, und die ebenen Fl¨achen der Mantelﬂ¨ache sind die Seitenﬂ¨ achen. Alle Seitenﬂ¨achen einer Pyramide sind Dreiecke. Es gibt bei einem n-Eck als Grundﬂ¨ache genau n Dreiecke als Seitenﬂ¨ achen. Deshalb nennt man solch eine Pyramide auch genauer n-seitige Pyramide. Ist das n-Eck ein regul¨ ares n-Eck, dann heißt die Pyramide regul¨are (n-seitige) Pyramide. Der Abstand der Spitze S von der Ebene der Grundﬂ¨ache ist die H¨ohe der Pyramide. Man erh¨alt die H¨ ohe, indem man von S das Lot auf die Ebene der Grundﬂ¨ache f¨allt. Das Lot durchst¨oßt die Ebene der Grundﬂ¨ ache im H¨ohenfußpunkt H. Dieser kann auch

158

4 Stereometrie

außerhalb der Grundﬂ¨ ache liegen, dann liegt die H¨ohe außerhalb der Pyramide. F¨ allt der H¨ohenfußpunkt mit dem Mittelpunkt der Grundﬂ¨ache zusammen, so heißt die Pyramide gerade. Alle anderen Pyramidenformen nennt man schief. Die H¨ohe einer geraden Pyramide ist gleichzeitig ihre Achse. Die Seitenﬂ¨achen von regul¨ aren geraden Pyramiden sind kongruente gleichschenklige Dreiecke. F¨ ur das Volumen V und die Oberﬂ¨ ache AO einer beliebigen Pyramide gilt 1 AG · h 3 Oberﬂ¨ ache AO = AM + AG

Volumen

V =

AG ist der Fl¨acheninhalt des n-Ecks, AM der Inhalt der Mantelﬂ¨ache, also die Summe der Fl¨acheninhalte der Seitendreiecke, und h ist die H¨ohe der Pyramide. Eine gerade regul¨ are dreiseitige Pyramide, bei der die Seitendreiecke kongruent zum Grunddreieck sind, heißt Tetraeder. Ein Tetraeder wird also von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Das Tetraeder ist einer der platonischen K¨orper (siehe Abschnitt 4.7).

4.3.2

Gerade quadratische Pyramiden

Eine gerade quadratische Pyramide hat ein Quadrat als Grundﬂ¨ache, und die Spitze der Pyramide steht senkrecht u ¨ ber dem Mittelpunkt des Quadrats, dem Diagonalenschnittpunkt. Die Mantelﬂ¨ ache besteht aus vier kongruenten gleichschenkligen Dreiecken.

s s

h hs

a 2

a Abbildung 4.10 Gerade quadratische Pyramide

Ist a die Kantenl¨ange des Quadrats der Grundﬂ¨ ache, h die H¨ohe der Pyramide und s die Kantenl¨ange der Seitenkanten, so folgt aus dem Satz des Pythagoras s2 = h2 + 12 a2 . Bezeichnet man mit hs die H¨ ohe des gleichschenkligen Seitenﬂ¨achendreiecks Δs , dann folgt ebenfalls mit dem Satz von Pythagoras s2 = h2s + 14 a2 , denn die Basis dieses Dreiecks hat die L¨ ange a. L¨ ost man nach hs auf und ersetzt s2 durch h2 + 12 a2 , so

4.4 Kegel

159

h2 + 14 a2 . Daraus berechnet man den Fl¨acheninhalt AΔs von Δs zu AΔs = 12 a · hs = 12 a h2 + 14 a2 und den Inhalt der Mantelﬂ¨ache zu AM = 4 AΔs = 2a h2 + 14 a2 . ergibt sich hs =

F¨ ur Volumen und Oberﬂ¨ ache einer geraden quadratischen Pyramide gilt somit Volumen

V =

1 2 a ·h 3

Oberﬂ¨ ache AO = a2 + 2a

h2 +

1 2 a 4

Die Grabst¨atten alt¨ agyptischer Pharaonen waren w¨ahrend des Alten und des Mittleren Reichs h¨auﬁg gerade quadratische Pyramiden. Besonders beeindruckend sind die Pyramiden der Pharaonen Cheops, Chephren und Mykerinos in Gizeh am s¨ udlichen Rand von Kairo. Sie stammen aus dem Alten Reich und wurden in der Zeit zwischen 2600 und 2480 v. u. Z. erbaut, sie sind also rund 4500 Jahre alt. Die gr¨oßte Pyramide ist die Cheopspyramide: Das Quadrat der Grundﬂ¨ ache hat eine Kantenl¨ange von 227,5 m (urspr¨ unglich 230,38 m), und die H¨ ohe ist 137 m (urspr¨ unglich 146,6 m). Nimmt man die urspr¨ unglichen Werte, so berechnet man f¨ ur das Volumen: V = 13 (230, 38)2 · 146, 6 = 2 593 595, 61 . . ., also mehr als 2, 5 Millionen Kubikmeter! F¨ ur die Oberﬂ¨ache ergibt sich: 1 2 2 AO = 2 · 230, 38 · (146, 6) + 4 (230, 38) + (230, 38)2 = 138 979, 56 . . . m2 . Der Bau der Pyramiden war eine großartige ingenieurtechnische und logistische Leistung der Alt¨agypter!

4.4 4.4.1

Kegel Allgemeine Kegel

Wird eine Gerade (Erzeugende) im Raum l¨ angs einer ebenen geschlossenen Kurve (Leitkurve) so bewegt, dass sie durch einen festen Punkt, die Spitze S, geht, so entsteht eine Kegelﬂ¨ache.

h

Abbildung 4.11 Kegel

160

4 Stereometrie

Ein Kegel ist ein K¨ orper, der von einer Kegelﬂ¨ ache und einem nicht durch deren Spitze gehenden ebenen Fl¨ achenst¨ uck begrenzt wird. Der Teil der Kegelﬂ¨ ache zwischen dem ebenen Fl¨achenst¨ uck und der Spitze heißt Mantelﬂ¨ache, das ebene Fl¨ achenst¨ uck Grundﬂ¨ ache des Kegels. Die zwischen Grundﬂ¨ache und Spitze liegenden Strecken der Erzeugenden heißen Mantellinien. Der senkrechte Abstand der Spitze zur Ebene der Grundﬂ¨ ache ist die H¨ ohe des Kegels. Pyramiden sind spezielle Kegel, n¨ amlich Kegel mit n-Ecken als Grundﬂ¨ache. Hat die Grundﬂ¨ache einen Mittelpunkt (wie Kreis oder Ellipse), und liegt die Spitze senkrecht u ¨ber diesem Mittelpunkt, so heißt der Kegel gerade, andernfalls schief. Ein Kegel mit einer Kreisﬂ¨ ache als Grundﬂ¨ ache heißt Kreiskegel. Das Volumen V eines Kegels ist ein Drittel des Inhalts AG der Grundﬂ¨ache multipliziert mit der H¨ohe h. Die Oberﬂ¨ ache AO eines Kegels ist die Summe der Mantelﬂ¨ache AM und der Grundﬂ¨ache AG . 1 AG · h 3 Oberﬂ¨ ache AO = AM + AG

Volumen

4.4.2

V =

Gerade Kreiskegel

Ein Kegel mit einer Kreisﬂ¨ ache als Grundﬂ¨ ache und der Spitze S senkrecht u ¨ ber dem Kreismittelpunkt heißt gerader Kreiskegel. S

h

s

r Abbildung 4.12 Gerader Kreiskegel

√ Alle Mantellinien eines geraden Kreiskegels sind gleich lang. Ihre L¨ange ist s = r2 + h2 , wobei r der Radius des Kreises und h die H¨ ohe des geraden Kreiskegels sind. Die Mantelﬂ¨ache kann in die Ebene abgewickelt werden. Dabei entsteht ein Kreissektor mit dem Radius s (L¨ ange der Mantellinien) und der Kreisbogenl¨ange 2πr (Umfang des Kreises der Grundﬂ¨ ache). Der Fl¨ acheninhalt AM dieses Kreissektors (=Mantelﬂ¨ache) verh¨alt sich zur gesamten Kreisﬂ¨ ache πs2 wie die Kreisbogenl¨ange 2πr zum Gesamtkreisumfang 2πs, woraus sich f¨ ur die Mantelﬂ¨ ache AM = πrs ergibt. Der Kreis der Grundﬂ¨ache, der Grundkreis, hat den Fl¨ acheninhalt πr2 .

4.5 Cavalierisches Prinzip

161

Daraus folgt f¨ ur die Oberﬂ¨ ache AO = πrs + πr2 = πr(r + s) = πr(r + Somit gilt f¨ ur den geraden Kreiskegel

√ r 2 + h2 ) .

1 2 πr h 3 Oberﬂ¨ ache AO = πr(r + s) √ L¨ ange der Mantellinie s = r2 + h2 Volumen

4.5

V =

Cavalierisches Prinzip

Wesentlich zur Berechnung des Volumens von Prismen, Zylindern, Pyramiden und Kegeln ist das cavalierische Prinzip (nach dem italienischen Mathematiker Bonaventura Cavalieri, 1591/1598 − 1647, ein Sch¨ uler Galileis): K¨ orper mit inhaltsgleichem Querschnitt in gleichen H¨ohen haben gleiches Volumen. Speziell gilt also: Prismen und Zylinder sowie Pyramiden und Kegel mit gleicher Grundﬂ¨ache und gleicher H¨ ohe haben jeweils gleiches Volumen.

4.6 4.6.1

Pyramidenstu ¨mpfe und Kegelstu ¨mpfe Pyramidenst¨ umpfe

Schneidet man von einer Pyramide durch einen Schnitt parallel zur Grundﬂ¨ache den oberen Teil ab, so ist der Restk¨ orper ein Pyramidenstumpf. Der abgeschnittene Teil heißt Erg¨anzungspyramide, sie ist zur ganzen Pyramide ¨ahnlich.

A1

h

A2 Abbildung 4.13 Pyramidenstumpf

Die Schnittﬂ¨ache heißt Deckﬂ¨ ache des Pyramidenstumpfes. Der Abstand von Grundﬂ¨ache und Deckﬂ¨ache ist die H¨ ohe des Pyramidenstumpfes. Grundﬂ¨ache und Deckﬂ¨ ache sind zueinander ¨ ahnlich. Die Seitenﬂ¨achen eines Pyramidenstumpfes sind Trapeze. ache, A1 der Fl¨acheninhalt der Deckﬂ¨ache und h Ist A2 der Fl¨acheninhalt der Grundﬂ¨ die H¨ohe, so gilt f¨ ur das Volumen V des Pyramidenstumpfes

162

4 Stereometrie

Volumen Pyramidenstumpf

V =

h A2 + A2 A1 + A1 3

Herleitung: Ist h2 die H¨ohe der Pyramide und h1 die H¨ ohe der Erg¨anzungspyramide, dann gilt f¨ ur das Volumen V des Pyramidenstumpfes V = 13 (A2 h2 − A1 h1 ). Wegen h = h2 − h1 folgt V = 13 [A2 (h + h1 ) − A1 h1 ]. Die Inhalte paralleler Schnittﬂ¨ achen verhalten √ sich wie √die Quadrate ihrer Abst¨ande von = h22 : h21 . Daraus folgt A2 : A1 = (h + h1 ) : h1 und nach h1 der Spitze: A2 : A1 √ h A1 √ . Einsetzen in die Volumengleichung ergibt: aufgel¨ost h1 = √ A2 − A1 √ √

1 h A1 h A1 √ √ V = − A1 √ A2 h + √ 3 A2 − A1 A2 − A1 √ √ √ √ h A2 A2 − A1 A1 h A22 − A1 A2 A1 + A2 A2 A1 − A21 √ √ = = 3 3 A2 − A1 A2 − A1

h A2 + A2 A1 + A1 = 3 √ √ Bei den letzten beiden Umformungen wurde mit A2 + A1 erweitert beziehungsweise Polynomdivision durchgef¨ uhrt. 4.6.2

Kegelst¨ umpfe

Eine Ebene, die einen Kegel parallel zur Grundﬂ¨ ache schneidet, zerlegt den Kegel in einen kleineren Kegel, den Erg¨ anzungskegel, und in einen Kegelstumpf. Die zur Grundﬂ¨ache parallele Fl¨ache der Oberﬂ¨ ache eines Kegelstumpfes ist seine Deckﬂ¨ache. Der Abstand von Grundﬂ¨ache und Deckﬂ¨ ache ist die H¨ ohe des Kegelstumpfes. Grundﬂ¨ache und Deckﬂ¨ ache sind zueinander ¨ ahnlich.

s1 h1

s2 r1

h2

s h r2

Abbildung 4.14 Kreiskegelstumpf

Ist r2 der Radius des Kreises der Grundﬂ¨ ache und r1 der Radius des Kreises der Deckﬂ¨ache sowie h die H¨ ohe eines Kreiskegelstumpfes, dann gilt f¨ ur das Volumen V des

4.7 Platonische K¨orper

163

Kreiskegelstumpfes Volumen Kreiskegelstumpf

V =

πh 2 r2 + r2 r1 + r12 3

Herleitung: Ist h2 die H¨ohe des Kreiskegels und h1 die H¨ ohe des Erg¨anzungskegels, dann gilt f¨ ur das Volumen V des Kreiskegelstumpfes V = 13 π(r22 h2 − r12 h1 ). Wegen h = h2 − h1 und r2 : r1 = h2 : h1 folgt durch korrespondierende Subtraktion hr1 ost h1 = . Einsetzen in die Volumen(r2 − r1 ) : r1 = h : h1 und nach h1 aufgel¨ r2 − r1 gleichung ergibt: 1 hr1 1 2 hr1

V = − r12 π r2 (h + h1 ) − r12 h1 = π r22 h + 3 3 r2 − r1 r2 − r1

πh r23 − r13 πh 2 πh r23 − r22 r1 + r22 r1 − r13 = = = r2 + r2 r1 + r12 3 r2 − r1 3 r2 − r1 3 Bei der letzten Umformung wurde Polynomdivision durchgef¨ uhrt. angen der Mantellinien eines geraden Kreiskegels und seines ErSind s2 und s1 die L¨ g¨anzungskegels, dann gilt f¨ ur den Kreiskegelstumpf s = s2 − s1 = (r2 − r1 )2 + h2 . Ist A2 der Fl¨acheninhalt der Grundﬂ¨ ache, A1 der Fl¨acheninhalt der Deckﬂ¨ache und AM der Fl¨acheninhalt der Mantelﬂ¨ ache, so folgt f¨ ur die Oberﬂ¨ache AO eines geraden Kreiskegelstumpfes: AO = A2 + A1 + AM = πr22 + πr12 + πs(r2 + r1 ) = πr2 (r2 + s) + πr1 (r1 + s) Oberﬂ¨ache gerader Kreiskegelstumpf

AO = πr2 (r2 + s) + πr1 (r1 + s)

Herleitung der Formel f¨ ur die Mantelﬂ¨ache AM : Es gilt s2 : s1 = r2 : r1 und s = s2 − s1 , woraus durch korrespondierende Subtraktion r1 s ost s1 = . Damit ergibt sich: s : s1 = (r2 − r1 ) : r1 folgt und nach s1 aufgel¨ r2 − r1 r1 s r1 s

AM = πr2 s2 − πr1 s1 = πr2 (s + s1 ) − πr1 s1 = πr2 s + − πr1 r2 − r1 r2 − r1 r2 s − r2 r1 s + r2 r1 s − r12 s r2 − r12 = π 2 = πs 2 = πs (r2 + r1 ) r2 − r1 r2 − r1

4.7

Platonische Ko ¨rper

Ein K¨orper, der von lauter Ebenen begrenzt wird, heißt Polyeder. Die Begrenzungsebenen sind die Fl¨ achen des Polyeders. Schnittlinien von Fl¨achen heißen Kanten des Polyeders. Die Kanten schneiden sich in den Ecken des Polyeders. Polyeder sind die dreidimensionale Verallgemeinerung von Polygonen: Ein Polygon wird von lauter Geraden begrenzt. Ein Polyeder heißt konvex, wenn mit zwei Punkten die gesamte Verbindungsstrecke der Punkte zum Polyeder geh¨ ort. Beispiele f¨ ur konvexe Polyeder sind Prismen und Pyramiden, deren Grundﬂ¨ ache konvex ist.

164

4 Stereometrie

F¨ ur konvexe Polyeder gilt der eulersche Polyedersatz, wobei e die Anzahl der Ecken, k die Anzahl der Kanten und f die Anzahl der Fl¨achen des konvexen Polyeders sind. Eulerscher Polyedersatz

e+f =k+2

Konvexe Polyeder, bei denen in jeder Ecke gleich viele Fl¨achen zusammenstoßen und alle Fl¨achen kongruente regul¨ are n-Ecke sind, heißen platonische K¨orper (nach dem griechischen Philosophen Platon, 427-347 v. u. Z.) oder konvexe regul¨are Polyeder. Es gibt insgesamt genau f¨ unf verschiedene Arten platonischer K¨orper: Tetraeder, W¨ urfel (anderer Name: Hexaeder), Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. In der Tabelle sind die wichtigsten Eigenschaften der platonischen K¨orper zusammengestellt (mit Kantenl¨ ange a).

Platonischer K¨ orper

Begrenzungsﬂ¨ achen

Anzahl Fl¨ achen in jeder Ecke

Anzahl Ecken

Anzahl Kanten

Tetraeder

4 gleichseitige Dreiecke

3

4

6

2 3 a 12

√ 2 3a

W¨ urfel

6 Quadrate

3

8

12

a3

6 a2

Oktaeder

8 gleichseitige Dreiecke

4

6

12

Dodekaeder

12 regul¨ are F¨ unfecke

3

20

30

Ikosaeder

20 gleichseitige Dreiecke

5

12

30

Oberﬂ¨ ache

Volumen

√

√

√ 2 3 a2

2 3 a 3

√ 15 + 7 5 3 a 4 √ 5(3 + 5) 3 a 12

3

√ 5(5 + 2 5) a2

√ 5 3 a2

Die Namen stammen aus dem Griechischen und geben die Anzahl der Fl¨achen der K¨ orper an. Das Tetraeder ( Vierﬂ¨ achner“) hat vier gleichseitige Dreiecke als Begren” zungsﬂ¨achen, der W¨ urfel oder das Hexaeder ( Sechsﬂ¨achner“) wird von sechs Quadraten ” begrenzt, das Oktaeder ( Achtﬂ¨ achner“) von acht gleichseitigen Dreiecken, das Dode” kaeder ( Zw¨olﬄ¨achner“) von zw¨ olf regul¨ aren F¨ unfecken und das Ikosaeder ( Zwanzig” ” ﬂ¨ achner“) von zwanzig gleichseitigen Dreiecken. Weitere konvexe regul¨are Polyeder gibt es nicht.

4.7 Platonische K¨orper

165

Abbildung 4.15 Tetraeder

Abbildung 4.16 W¨ urfel (Hexaeder)

Abbildung 4.17 Oktaeder

Abbildung 4.18 Dodekaeder

Abbildung 4.19 Ikosaeder

166

4.8 4.8.1

4 Stereometrie

Kugeln Deﬁnitionen

Eine Kugel ist der geometrische Ort aller Punkte des Raumes, die von einem festen Punkt M einen konstanten Abstand r haben. Der Punkt M ist der Mittelpunkt und r der Radius der Kugel. Zur Unterscheidung von dem durch eine Kugel abgegrenzten Raum nennt man die Kugel selbst auch Kugelﬂ¨ ache.

Tangente Passante

Sekante

Durchmesser Radius

Sehne

Abbildung 4.20 Bezeichnungen an der Kugel

F¨ ur das Volumen V und die Oberﬂ¨ ache AO einer Kugel mit dem Radius r und dem Durchmesser d gilt 4 3 π πr = d3 3 6 Oberﬂ¨ ache AO = 4πr2 = πd2 Volumen

V =

Eine Kugel mit dem Radius r = 1 heißt Einheitskugel. Eine Kugel ist festgelegt durch den Mittelpunkt und einen weiteren Punkt oder durch vier Punkte (die nicht alle in einer Ebene liegen). Kugeln mit gleichem Mittelpunkt heißen konzentrisch. Jede die Kugel schneidende Ebene schneidet sie in einem Kreis. Geraden haben mit einer Kugelﬂ¨ ache entweder zwei Punkte, einen Punkt oder keinen Punkt gemeinsam. Eine Sekante s schneidet die Kugelﬂ¨ ache in zwei Punkten. Der zwischen den Punkten

4.8 Kugeln

167

gelegene Teil der Sekante heißt Sehne. Eine Sehne durch den Mittelpunkt heißt Durchmesser der Kugel. Durchmesser sind die gr¨ oßten Sehnen der Kugel, f¨ ur ihre L¨ange d gilt d = 2r. Eine Tangente t ber¨ uhrt die Kugel in einem Punkt. Im Ber¨ uhrungspunkt sind beliebig viele Tangenten m¨oglich; alle Tangenten zusammen spannen die Tangentialebene auf. Eine Passante p hat mit der Kugel keinen Punkt gemeinsam.

4.8.2

Kugelsegmente

Ein Kugelsegment oder Kugelabschnitt ist ein durch eine Ebene abgeschnittener Teil einer Kugel.

2r 2r − h

M ρ

h

Kugel kappe

Abbildung 4.21 Kugelsegment

Die Mantelﬂ¨ache des Kugelsegments heißt Kugelkappe. Ist r der Radius der Kugel, ρ der Radius des von der Ebene ausgeschnittenen Kreises und h die H¨ohe des Kugelsegments, dann gilt: Radius Schnittkreis

ρ=

h(2r − h)

1 1 πh(3ρ2 + h2 ) = πh2 (3r − h) 6 3 Fl¨acheninhalt Kugelkappe A = 2πrh

4.8.3

Volumen Kugelsegment

V =

Oberﬂ¨ ache Kugelsegment

AO = 2πrh + πρ2 = π(2rh + ρ2 )

Kugelsektoren

Einem Kugelsegment (Kugelabschnitt) ist ein Kegel zugeordnet, dessen Grundﬂ¨ache der Schnittkreis des Kugelsegments und dessen Spitze der Kugelmittelpunkt ist. Der Gesamtk¨orper aus Kugelsegment und zugeordnetem Kegel heißt Kugelsektor oder Kugelausschnitt.

168

4 Stereometrie M r r−h

ρ

h

Abbildung 4.22 Kugelsektor

Das Volumen V des Kugelsektors setzt sich aus dem Volumen des Kugelabschnitts und 2 2 dem des zugeordneten Kegels zusammen: V = π h3 (3r − h) + π ρ3 (r − h). Dabei ist r der Radius der Kugel, ρ der Radius des Schnittkreises und h die H¨ohe des Kugelsegments. Durch Einsetzen von ρ2 = h(2r − h) erh¨alt man V = 23 πr2 h. Die Oberﬂ¨ache AO des Kugelsektors ist die Summe der Fl¨acheninhalte von Kugelkappe und Kegelmantel: AO = 2πrh + πρr = πr(2h + ρ). 2 2 πr h 3 Oberﬂ¨ ache Kugelsektor AO = πr(2h + ρ) Volumen Kugelsektor

4.8.4

V =

Kugelschichten

Eine Kugelschicht ist der durch zwei zueinander parallelen Ebenen ausgeschnittene Teil einer Kugel. Die durch die beiden Ebenen ausgeschnittene Kugeloberﬂ¨ache, also die Mantelﬂ¨ache der Kugelschicht, heißt Kugelzone.

M r

ρ2 Kugelzone

ρ1

h h2 h1

Abbildung 4.23 Kugelschicht

Ist r der Radius der Kugel, ρ1 und ρ2 die Radien der von den parallelen Ebenen ausgeschnittenen Kreise und h die Dicke der Kugelschicht, dann gilt

4.8 Kugeln

169

Radien Schnittkreise

h1 (2r − h1 ) ρ2 = (h + h1 )(2r − h − h1 ) ρ1 =

1 πh(3ρ21 + 3ρ22 + h2 ) 6 Fl¨ acheninhalt Kugelzone A = 2πrh Volumen Kugelschicht

V =

Oberﬂ¨ ache Kugelschicht

AO = π(2rh + ρ21 + ρ22 )

5

Funktionen

5.1 5.1.1

Deﬁnition und Darstellungen von Funktionen Deﬁnitionen

Eine Abbildung oder Funktion f ist eine Zuordnung, die jeder Zahl x einer gegebenen Zahlenmenge D eine Zahl y einer Zahlenmenge W zuordnet. Die Zuordnung ist eindeutig, das heißt, jeder Zahl x wird genau eine Zahl y zugeordnet. Man schreibt daf¨ ur y = f (x) oder manchmal auch x → f (x). Man nennt f (x) das Bild von x und umgekehrt x das Urbild von f (x). Die Menge D heißt Urbildmenge, Deﬁnitionsmenge oder Deﬁnitionsbereich. Die Menge W , aus der die Bilder stammen, heißt Wertemenge oder Wertebereich. Die Menge der Bilder (also alle y-Werte zusammen) heißt Bildmenge, bezeichnet mit f (D). D

Deﬁnitionsbereich

W

Wertebereich

f (D)

Bildmenge

Die Elemente der Bildmenge nennt man Funktionswerte. Die Bildmenge f (D) ist eine Teilmenge des Wertebereichs W , und W ist eine Teilmenge der Menge IR der reellen Zahlen. f (D) ⊆ W ⊆ IR Eine Funktion besteht aus drei Teilen: der Zuordnungsvorschrift f , dem Deﬁnitionsbereich D und dem Wertebereich W . Zwei Funktionen sind genau dann gleich, wenn sowohl die Zuordnungsvorschriften als auch die Deﬁnitionsbereiche als auch die Wertebereiche u ¨ bereinstimmen. Beispiele: 1.

y = f (x) = 5x, D = IN, W = IN Die Zuordnungsvorschrift ist hier 5 mal“, das heißt, man muss jeden x-Wert mit 5 mul” tiplizieren, um den zugeh¨ origen Funktionswert y zu erhalten. F¨ ur x = 3 erh¨ alt man zum Beispiel y = f (3) = 5 · 3 = 15. Sowohl der Deﬁnitionsbereich als auch der Wertebereich sind die nat¨ urlichen Zahlen. F¨ ur die Bildmenge ergibt sich f (D) = {5, 10, 15, 20, . . .}.

2.

D = {−1, −2, −3, −4, −5}, W = {1, 2, 3, 4, . . . , 24, 25}, f (−1) = 1, f (−2) = 4, f (−3) = 9, f (−4) = 16, f (−5) = 25

3.

D = {−1, −2, −3, −4, −5}, W = {1, 2, 3, 4, 5}, f (−1) = 1, f (−2) = 2, f (−3) = 3, f (−4) = 4, f (−5) = 5

4.

y = f (x) = x + 2, D = IR, W = IR

Bemerkung: Man kann Abbildungen (Funktionen) auch allgemeiner als eine Zuordnung zwischen beliebigen Mengen (also nicht eingeschr¨ankt auf Zahlenmengen) deﬁnieren. A. Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn, DOI 10.1007/978-3-8348-8258-5_5, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

5.1 Deﬁnition und Darstellungen von Funktionen 5.1.2

171

Funktionsgleichung

Explizite Darstellung der Funktionsgleichung Die Zuordnungsvorschrift f¨ ur eine Funktion ist im Regelfall eine Gleichung, die Funktionsgleichung y = f (x) (gesprochen: y gleich f von x). Dabei heißt x unabh¨angige Variable und y abh¨angige Variable. Man nennt x auch das Argument der Funktion. Die Form y = f (x) heißt explizite Darstellung der Funktionsgleichung. Dar¨ uber hinaus gibt es die implizite Darstellung und die Parameterdarstellung der Funktionsgleichung (siehe unten). Funktionen k¨onnen aber zum Beispiel auch durch Tabellen, Schaubilder (Graphen), Pfeildiagramme oder geordnete Wertepaare (Wertetabelle) dargestellt werden. Fehlt bei einer Funktion die Angabe des Deﬁnitionsbereichs, so gilt D = IR. Fehlt bei einer Funktion die Angabe des Wertebereichs, so gilt ebenfalls W = IR. Die Schreibweise y = f (x), f : D → W f¨ ur eine Funktion bedeutet, dass y = f (x) die Funktionsgleichung ist, dass die Funktion den Deﬁnitionsbereich D und den Wertebereich W hat. y = f (x), f : D → W Beispiele: 1.

y = f (x) = x3 − 4x2 − x + 4, f : IR → IR

2.

4.

y = f (x) = x2 − 1, f : IR → IR x−3 y = f (x) = 2 , f : [1, 1] → IR (also D = [1, 1], W = IR) x −2 √ y = f (x) = x, f : IN → IR

5.

y = f (x) =

3.

⎧ ⎪ ⎨−1 falls x < 0 ⎪ ⎩

0

falls x = 0,

+1

falls x > 0

f : IR → IR

Eine Funktion mit der Funktionsgleichung y = f (x), deren Deﬁnitions- und Wertemenge nur reelle Zahlen enthalten, nennt man eine reelle Funktion einer reellen Variablen. Beispiele: 6. 7.

y = x2 , D = (−∞, ∞), W = [0, ∞) √ y = x, D = [0, ∞), W = [0, ∞)

Implizite Darstellung der Funktionsgleichung Die Darstellung einer Funktion in der Form F (x, y) = 0 heißt implizit, falls sich diese Gleichung eindeutig nach y auﬂ¨ osen l¨ asst. Statt impliziter Darstellung der Funktion sagt man auch einfach nur implizite Funktion. Beispiel: 8.

F (x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0, D = [−1, 1], y ≥ 0 Es handelt sich hierbei um die obere H¨ alfte des Einheitskreises mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung (vgl. Abschnitt 7.3.1). Man beachte, dass mit x2 + y 2 − 1 = 0 keine reelle Funktion deﬁniert wird, denn die Zuordnung ist nicht eindeutig, da jedem Element des Deﬁnitionsbereichs zwei Werte zugeordnet werden (einer auf dem oberen Halbkreis und einer auf dem unteren Halbkreis).

172

5 Funktionen

Parameterdarstellung der Funktionsgleichung Die Darstellung einer Funktion in der Form x = ϕ(t), y = ψ(t) heißt Parameterdarstellung. Die Werte von x und y werden dabei jeweils als Funktion einer Hilfsvariablen t angegeben, die Parameter genannt wird. Die Funktionen ϕ(t) und ψ(t) m¨ ussen denselben Deﬁnitionsbereich haben. Beispiele: 9.

x = 2t + 5, y = 8t + 4, t ∈ IR Durch Elimination von t erh¨ alt man 4x − 20 = y − 4 ⇒ y = 4x − 16, also eine Geradengleichung (in expliziter Form) (vgl. Abschnitt 7.2.1).

10.

x = ϕ(t), y = ψ(t) mit x = cos t, y = sin t und 0 ≤ t ≤ π Hierbei handelt es sich um die obere H¨ alfte des Einheitskreises mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung, denn Quadrieren und Addieren ergibt x2 + y 2 = cos2 t + sin2 t = 1, und t durchl¨ auft den ersten und den zweiten Quadranten (vgl. Abschnitt 6).

5.1.3

Graph einer Funktion

Eine M¨oglichkeit der Funktionsdarstellung ist, den Graph der Funktion zu zeichnen. Der Graph einer Funktion f mit dem Deﬁnitionsbereich D ist das Bild, das man erh¨alt, wenn man die geordneten Zahlenpaare (x, y) = (x, f (x)) mit x ∈ D in ein Koordinatenkreuz eintr¨agt. Geordnet bedeutet, dass in (x, y) die Reihenfolge von x und y wichtig ist: (x, y) ist verschieden von (y, x) (außer m¨ oglicherweise in Sonderf¨allen). In einem kartesischen Koordinatensystem (siehe Abschnitt 7.1) ist die waagerechte Achse die x-Achse oder Abszissenachse, die senkrechte Achse ist die y-Achse oder Ordinatenachse. Die Zahl x ist die Abszisse und y die Ordinate eines Punktes (x|y) mit den Koordinaten x und y. Statt Graph einer Funktion sagt man auch Schaubild oder Kurve der Funktion. Bemerkung: Bei einem Zahlenpaar setzt man ein Komma oder ein Semikolon zwischen die beiden Komponenten: (x, y) oder (x; y). Bei der Darstellung eines Punktes setzt man einen senkrechten Strich zwischen die beiden Koordinaten: (x|y). Beispiel: Graph der Funktion mit der Funktionsgleichung y = f (x) = 2x + 1 und dem Deﬁnitionsbereich D = IR:

5.2 Verhalten von Funktionen

173 y 5 4

y = 2x + 1

3 2 1 0 −3 −2 −1 −1

1

2

3

x

−2 −3 Abbildung 5.1 Graph der Funktion mit der Gleichung y = f (x) = 2x + 1

5.1.4

Wertetabelle einer Funktion

Auch mittels einer Wertetabelle kann eine Funktion dargestellt werden. In einer Wertetabelle werden f¨ ur einige ausgew¨ahlte Argumente x die geordneten Zahlenpaare (x, y) = (x, f (x)) f¨ ur eine Funktion y = f (x) eingetragen. Dabei m¨ ussen die ausgew¨ahlten Werte f¨ ur x Elemente des Deﬁnitionsbereichs D der Funktion sein. Man stellt oftmals eine Wertetabelle auf, um den Graph einer Funktion zeichnen zu k¨ onnen. Beispiel: Wertetabelle f¨ ur die Funktion y = −x2 − 4x + 3, D = IR:

5.2 5.2.1

x

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

y

−2

3

6

7

6

3

−2

−9

Verhalten von Funktionen Monotone Funktionen

Eine Funktion mit der Gleichung y = f (x) heißt in einem bestimmten Bereich B (B ist eine Teilmenge des Deﬁnitionsbereichs D) • • •

monoton wachsend, wenn aus x1 < x2 stets f (x1 ) ≤ f (x2 ) folgt, streng monoton wachsend, wenn aus x1 < x2 stets f (x1 ) < f (x2 ) folgt, monoton fallend, wenn aus x1 < x2 stets f (x1 ) ≥ f (x2 ) folgt,

174

5 Funktionen

• streng monoton fallend, wenn aus x1 < x2 stets f (x1 ) > f (x2 ) folgt. Dabei sind x1 , x2 beliebige Punkte aus diesem Bereich B. Beispiele: 1.

f (x) = 3x, D = IR ist streng monoton wachsend in D.

y 5 4

y = 3x

3 2 1

−5 −4 −3 −2 −1 −1

0

1

2

3

4

5

x

−3 −4 −5 Abbildung 5.2 Graph der Funktion mit der Gleichung f (x) = 3x 2.

f (x) = 3, D = IR ist in D monoton wachsend (und monoton fallend).

y 5 4 y=3 2 1 0 −5 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

5

x

−2 Abbildung 5.3 Graph der Funktion mit der Gleichung f (x) = 3

5.2 Verhalten von Funktionen 3.

175

f (x) = x2 , D = IR ist in B1 = {x|x ∈ D und x ≤ 0} streng monoton fallend und in B2 = {x|x ∈ D und x ≥ 0} streng monoton wachsend. y 6 y = x2

5 4 3 2 1 0 −5 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

5

x

Abbildung 5.4 Graph der Funktion mit der Gleichung f (x) = x2

5.2.2

Symmetrische Funktionen

Der Graph einer Funktion mit der Gleichung y = f (x) ist symmetrisch zur y-Achse, wenn f (x) = f (−x) f¨ ur alle x ∈ D gilt. Eine solche Funktion heißt eine gerade Funktion. Der Graph einer Funktion y = f (x) ist symmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn f (−x) = −f (x) f¨ ur alle x ∈ D gilt. Eine solche Funktion heißt eine ungerade Funktion. Beispiele: 1.

f (x) = 2x4 + 1

y 6 y = 2x4 + 1

5 4 3 2 1 0 −5 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

5

x

Abbildung 5.5 Graph der Funktion mit der Gleichung f (x) = 2x4 + 1

176

5 Funktionen Wegen f (−x) = 2(−x)4 + 1 = 2x4 + 1 = f (x) ist y = f (x) symmetrisch zur y-Achse, also eine gerade Funktion.

2.

f (x) = 2x3 − 3x Wegen f (−x) = 2(−x)3 − 3(−x) = −2x3 + 3x = −f (x) ist y = f (x) symmetrisch zum Koordinatenursprung, also eine ungerade Funktion.

y 6 5 y = 2x3 − 3x

4 3 2 1

−5

−4

−3

−2

0 −1 −1

1

2

3

4

5

x

−2 −3 −4 −5 −6 Abbildung 5.6 Graph der Funktion mit der Gleichung f (x) = 2x3 − 3x

3.

f (x) = x2 − x Wegen f (−x) = (−x)2 − (−x) = x2 + x, also f (x) = f (−x) und f (x) = −f (−x), ist y = f (x) weder eine gerade noch eine ungerade Funktion.

5.2 Verhalten von Funktionen

177 y 6 5 y = x2 − x

4 3 2 1 −5

−4

−3

−2

0 −1 −1

1

2

3

4

5

x

Abbildung 5.7 Graph der Funktion mit der Gleichung f (x) = x2 − x

5.2.3

Beschr¨ ankte Funktionen

Eine Funktion heißt nach oben beschr¨ ankt, wenn ihre Funktionswerte eine bestimmte Zahl nicht u ankt, wenn ihre Funktionswerte nicht klei¨ bertreﬀen, und nach unten beschr¨ ner als eine bestimmte Zahl sind. Eine Funktion, die sowohl nach oben als auch nach unten beschr¨ankt ist, heißt beschr¨ ankt. Bei einer beschr¨ankten Funktion y = f (x) existieren also reelle Zahlen a und b mit a < b, so dass gilt: a ≤ f (x) ≤ b

f¨ ur alle x ∈ D

Beispiele: 1.

ankt, denn y ≤ 1. y = 1 − x2 ist nach oben beschr¨

2.

ankt, denn y > 0. y = ex ist nach unten beschr¨ 4 ist beschr¨ ankt, denn 0 < y ≤ 4. y= 1 + x2

3.

5.2.4

Injektive Funktionen

Eine Funktion heißt injektiv, wenn jedes Bild genau ein Urbild besitzt. Bei einer injektiven Funktion geh¨ oren zu verschiedenen Argumenten also stets verschiedene Bilder. x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) Beispiele: Folgende Funktionen sind injektiv:

178

5 Funktionen

1.

D = {−1, −2, −3, −4, −5}, W = {1, 2, 3, 4, . . . , 24, 25}, f (−1) = 1, f (−2) = 4, f (−3) = 9, f (−4) = 16, f (−5) = 25

2.

D = {−1, −2, −3, −4, −5}, W = {1, 2, 3, 4, 5}, f (−1) = 1, f (−2) = 2, f (−3) = 3, f (−4) = 4, f (−5) = 5

3.

y = f (x) = x + 2, f : IR → IR (also D = W = IR) √ y = f (x) = x, f : IN → IR

4.

Folgende Funktionen sind nicht injektiv: 1.

y = f (x) = x3 − 4x2 − x + 4, f : IR → IR

2.

y = f (x) = x2 − 1, f : IR → IR

3.

y = f (x) =

x−3 , f : [1, 1] → IR (also D = [1, 1], W = IR) x2 − 2

⎧ ⎪ ⎨−1 falls x < 0 4.

y = f (x) =

5.2.5

⎪ ⎩

0

falls x = 0,

+1

falls x > 0

f : IR → IR

Surjektive Funktionen

Eine Funktion heißt surjektiv, wenn ihre Bildmenge gleich dem Wertebereich ist. f (D) = W Beispiele: Folgende Funktionen sind surjektiv: 1.

D = {−1, −2, −3, −4, −5}, W = {1, 2, 3, 4, 5}, f (−1) = 1, f (−2) = 2, f (−3) = 3, f (−4) = 4, f (−5) = 5

2.

y = f (x) = x + 2, f : IR → IR

3.

y = f (x) = x3 − 4x2 − x + 4, f : IR → IR

Folgende Funktionen sind nicht surjektiv: 1.

D = {−1, −2, −3, −4, −5}, W = {1, 2, 3, 4, . . . , 24, 25}, f (−1) = 1, f (−2) = 4, f (−3) = 9, f (−4) = 16, f (−5) = 25

2.

y = f (x) = x2 − 1, f : IR → IR

4.

x−3 , f : [1, 1] → IR x2 − 2 √ y = f (x) = x, f : IN → IR

5.

y = f (x) =

3.

y = f (x) =

⎧ ⎪ ⎨−1 falls x < 0 ⎪ ⎩

0

falls x = 0,

+1

falls x > 0

f : IR → IR

5.2 Verhalten von Funktionen 5.2.6

179

Bijektive Funktionen

Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Bei einer bijektiven Funktion ist also die Bildmenge gleich dem Wertebereich, und jedes Bild besitzt genau ein Urbild. Ist y = f (x), f : D → W eine bijektive Funktion, so sind die Mengen D und W gleich m¨ achtig, das heißt, sie besitzen gleich viele Elemente. Die bijektiven Funktionen besitzen eine Umkehrfunktion. Beispiele: Folgende Funktionen sind bijektiv: 1.

D = {−1, −2, −3, −4, −5}, W = {1, 2, 3, 4, 5}, f (−1) = 1, f (−2) = 2, f (−3) = 3, f (−4) = 4, f (−5) = 5

2.

y = f (x) = x + 2, f : IR → IR

Folgende Funktionen sind nicht bijektiv: 1.

D = {−1, −2, −3, −4, −5}, W = {1, 2, 3, 4, . . . , 24, 25}, f (−1) = 1, f (−2) = 4, f (−3) = 9, f (−4) = 16, f (−5) = 25

2.

y = f (x) = x3 − 4x2 − x + 4, f : IR → IR

3.

5.

y = f (x) = x2 − 1, f : IR → IR x−3 y = f (x) = 2 , f : [1, 1] → IR x −2 √ y = f (x) = x, f : IN → IR

6.

y = f (x) =

4.

⎧ ⎪ ⎨−1 falls x < 0

5.2.7

⎪ ⎩

0

falls x = 0,

+1

falls x > 0

f : IR → IR

Periodische Funktionen

Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Bedingung f (x + T ) = f (x) erf¨ ullt, wobei T eine Konstante (feste reelle Zahl) ist, heißt periodische Funktion. Die Gleichung f (x + T ) = f (x) gilt f¨ ur alle x aus dem Deﬁnitionsbereich. f (x + T ) = f (x) Die kleinste positive Zahl T mit dieser Eigenschaft heißt die Periode der Funktion. Den absolut gr¨oßten Funktionswert nennt man Amplitude der periodischen Funktion. Beispiele f¨ ur periodische Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen (vgl. Kapitel 6). 5.2.8

Umkehrfunktionen

Die Funktion, die durch Vertauschen von x und y aus einer bijektiven Funktion y = f (x) entsteht, heißt Umkehrfunktion oder inverse Funktion von y = f (x). Bei einer bijektiven Funktion y = f (x), f : D → W ist jedes Element y ∈ W Bild von genau einem Element x ∈ D. Man kann eine neue Funktion deﬁnieren, die jedem y ∈ W als Bild gerade das x ∈ D zuordnet, das Urbild von y ist. Diese Funktion leistet

180

5 Funktionen

das Umgekehrte wie f , ihr Deﬁnitionsbereich ist W , und ihr Wertebereich ist D. Man nennt diese Funktion daher die Umkehrfunktion von f und bezeichnet sie mit f −1 . y = f −1 (x), f −1 : W → D Versteht man unter der Schreibweise g(f (x)), dass man auf x die Zuordnungsvorschrift f und dann auf f (x) die Vorschrift g anwendet, so gilt f −1 (f (x)) = x und f (f −1(x)) = x. Zu einer streng monoton wachsenden oder streng monoton fallenden Funktion existiert die Umkehrfunktion. Bestimmung der Umkehrfunktion: 1. Auﬂ¨osen von y = f (x) nach x: x = f −1 (y) 2. Vertauschen von x und y: y = f −1 (x) Diesen Operationen entspricht die Spiegelung des Graphen der Funktion an der Winkelhalbierenden y = x. Beispiele: y = f (x) = 4x − 1, D = W = IR

4 3

= y

y 5

x

1 1 x + , D = W = IR 4 4

−1

Umkehrfunktion: y = f −1 (x) =

y=4 x

1.

2 1

−5

−3 −2 −1 −1

1x+ y= 4

1

2

3

4

1 4

5

−2

−5 Abbildung 5.8 Graphen der Funktionen von Beispiel 1

2.

y = f (x) = x2 , D = W = {x|x ∈ IR, x ≥ 0} √ Umkehrfunktion: y = f −1 (x) = x, D = W = {x|x ∈ IR, x ≥ 0}

x

5.2 Verhalten von Funktionen

181 y

y

3

=

y= 2 x

x

4

2

√x y=+

1

−2 −1 −1

0

1

2

3

x

4

−2 Abbildung 5.9 Graphen der Funktionen von Beispiel 2

3.

y = f (x) = ex , D = IR, W = IR+ Umkehrfunktion: y = f −1 (x) = ln x, D = IR+ , W = IR

4.

y = f (x) = 2x , D = IR, W = IR+ Umkehrfunktion: y = f −1 (x) = log2 x, D = IR+ , W = IR

y

4 3

y= x 2

y = ex

5

y

=

x

6

2

x log 2 y=

1

n y=l

−2 −1 −1

0

1

2

3

4

5

x

6

x

Abbildung 5.10 Graphen der Funktionen von Beispiel 3 und Beispiel 4

5.2.9

Reelle und komplexe Funktionen

Eine Funktion mit der Funktionsgleichung y = f (x), deren Deﬁnitions- und Wertebereich nur reelle Zahlen enthalten, nennt man eine reelle Funktion einer reellen Variablen.

182

5 Funktionen

Beispiele: 1. 2.

y = x2 , D = (−∞, ∞), W = [0, ∞) √ y = x, D = [0, ∞), W = [0, ∞)

Ist dagegen die unabh¨ angige Variable einer Funktionsgleichung eine komplexe Zahl z, dann wird durch w = f (z) eine komplexe Funktion einer komplexen Variablen beschrieben. Komplexe Funktionen werden in dem mathematischen Gebiet Funktionentheorie behandelt.

5.3

Einteilung der elementaren Funktionen

Eine elementare Funktion ist eine Funktion, deren Funktionsgleichung durch einen geschlossenen analytischen Ausdruck dargestellt werden kann. Elementare Funktionen sind durch Formeln deﬁniert, die nur endlich viele mathematische Operationen mit der unabh¨ angigen Variablen x und den Koeﬃzienten enthalten. Man teilt die elementaren Funktionen in algebraische Funktionen und transzendente Funktionen ein. Bei algebraischen Funktionen lassen sich die Verkn¨ upfung der unabh¨angigen Variablen x und der abh¨angigen Variablen y in einer algebraischen Gleichung folgender Form darstellen, wobei p0 , p1 , . . . , pn Polynome in x beliebigen Grades sind. p0 (x) + p1 (x)y + p2 (x)y 2 + . . . + pn (x)y n = 0 Elementare Funktionen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent. Beispiele f¨ ur algebraische Funktionen:

3.

y = 3x2 + 4 2x y= 3 x + 2x − 1 √ y = 2x + 3

4.

3xy 3 − 4xy + x3 − 1 = 0 (hier also p0 (x) = x3 − 1, p1 (x) = −4x, p2 (x) = 0, p3 (x) = 3x)

1. 2.

Zu den transzendenten Funktionen geh¨ oren zum Beispiel die Exponentialfunktionen, die Logarithmusfunktionen und die trigonometrischen Funktionen. Beispiele f¨ ur transzendente Funktionen: 1.

y = ex

2.

y = sin x

3.

y = ln x

4.

y=

√ ln x + sin x x2 + 5

Die algebraischen Funktionen untergliedern sich in die rationalen Funktionen und in die irrationalen Funktionen. Eine rationale Funktion ist eine algebraische Funktion, f¨ ur die die Funktionsgleichung y = f (x) als eine explizite Formel angegeben werden kann, in der auf die unabh¨angige Variable x nur endlich viele rationale Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) angewandt werden.

5.3 Einteilung der elementaren Funktionen

183

Eine algebraische Funktion, die nicht rational ist, heißt irrational. Beispiele f¨ ur rationale Funktionen: 1 3 1. y = 3x − 4 2x2 − 3x + 5 2. y = 3 x + 3x2 − 2

Bei irrationalen Funktionen tritt die unabh¨ angige Variable auch unter einem Wurzelzeichen auf. Beispiele f¨ ur irrationale Funktionen: √ 1. y = 3x2 + 4 √ 2. y = 3 (x2 + 1) x

F¨ ur rationale Funktionen ist f (x) ein Polynom (dann ist y = f (x) eine ganze rationale Funktion) oder ein Quotient aus Polynomen (dann heißt y = f (x) eine gebrochene rationale Funktion). Ganze rationale Funktionen lassen sich also darstellen in folgender Form mit a0 , a1 , a2 , . . . , an−1 , an ∈ IR, an = 0, n ∈ ZZ, n ≥ 0. y = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 =

n

ak xk

k=0

Ist n der Grad des Polynoms, so nennt man die Funktion ganze rationale Funktion n-ten Grades. Bei ganzen rationalen Funktionen werden auf die unabh¨angige Variable x nur die Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation angewandt. Ganze rationale Funktionen vom Grad 0 (y = a0 ) nennt man konstante Funktionen, vom Grad 1 (y = a1 x+a0 ) lineare Funktionen, vom Grad 2 (y = a2 x2 +a1 x+a0 ) quadratische Funktionen und vom Grad 3 (y = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 ) kubische Funktionen. Konstante Funktionen

y = a0

Lineare Funktionen

y = a1 x + a0

Quadratische Funktionen

y = a2 x2 + a1 x + a0

Kubische Funktionen

y = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0

Beispiele f¨ ur ganze rationale Funktionen: 1. 2.

y = 23x4 − 12x + 4 11 23 12 y= x − 11x17 − 12x9 − πx6 − √ x − 2 12 5

3.

y = 1 − 3x + x6 − 2x2

4.

y = −7 (konstante Funktion)

5.

y = 3x − 4π (lineare Funktion)

6.

y = x2 − x + 1 (quadratische Funktion)

7.

y = 4x3 − 2x + 5 (kubische Funktion)

184

5 Funktionen

Gebrochene rationale Funktionen sind Funktionen mit einer Funktionsgleichung y = f (x), bei der f (x) als Quotient zweier Polynome darstellbar ist. Sie besitzen also eine Darstellung folgender Form mit a0 , a1 , . . . , an , b0 , b1 , . . . , bm ∈ IR, an , bm = 0, n ∈ ZZ, n ≥ 0, m ∈ IN. n n

y=

n−1

2

an x + an−1 x + . . . + a2 x + a1 x + a0 = i=0 m bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b2 x2 + b1 x + b0

ai xi bk xk

k=0

Eine gebrochene rationale Funktion kann also immer als Quotient zweier ganzer rationaler Funktionen dargestellt werden. Bei gebrochenen rationalen Funktionen werden auf die unabh¨angige Variable x nur die Grundrechenarten (also die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) angewandt. Die Deﬁnitionsmenge einer gebrochenen rationalen Funktion besteht aus denjenigen reellen Zahlen, f¨ ur die der Nenner nicht Null wird. F¨ ur n < m heißt die Funktion echt gebrochene rationale Funktion, f¨ ur n ≥ m heißt sie unecht gebrochene rationale Funktion. a 1 x + a0 , heißen Gebrochene rationale Funktionen mit n = 1 und m = 1, also y = b1 x + b 0 gebrochene lineare Funktionen. Beispiele f¨ ur gebrochene rationale Funktionen: 2 1. y = x x4 − 22x3 + 13 x2 − 12 2. y = x5 − 11x3 + x + 1 2x 3. y = 3 x − 5x2 − 2x + 1 2x + 4 (gebrochene lineare Funktion) 4. y = x−3 x5 − 2 5. y = 2 x +1 6.

y = x2 + x +

1 x

=

x 3 + x2 + 1 x

Bei den ersten drei Beispielen handelt es sich um echt gebrochene rationale Funktionen, bei den letzten drei Beispielen um unecht gebrochene rationale Funktionen.

5.4 Ganze rationale Funktionen

185

¨ Zusammenfassende Ubersicht u ¨ber die elementaren Funktionen algebraische Funktionen

transzendente Funktionen

rationale Funktionen

irrationale Funktionen

ganze rationale Funktionen

gebrochene rationale Funktionen

echt gebrochene rationale Funktionen

konstante lineare quadratische kubische Funktionen Funktionen Funktionen Funktionen

5.4 5.4.1

unecht gebrochene rationale Funktionen

......

Ganze rationale Funktionen Konstante Funktionen

Funktionen mit einer Funktionsgleichung y = f (x) = n

(n ∈ IR)

Der Graph einer konstanten Funktion ist eine Parallele zur x-Achse, und zwar im Abstand n. Im Fall n = 0 ist die Gerade die x-Achse selbst. Die Geradengleichung der

186

5 Funktionen

x-Achse ist also y = 0. Um den Graph einer Funktion zu zeichnen, ist es sinnvoll, sich die Koordinaten von Punkten des Graphen in einer Wertetabelle aufzuschreiben. Da eine Gerade durch zwei auf ihr liegende Punkte festgelegt ist, reicht es im Prinzip, bei Geraden die Koordinaten von zwei Punkten zu berechnen. Beispiel: Funktionsgleichung: y = f (x) = 2 Wertetabelle: x

−1

0

1

y

2

2

2

y 4 3 y=2 1 0 −5 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

5

x

Abbildung 5.11 Graph der konstanten Funktion y = 2

5.4.2

Lineare Funktionen

Funktionen mit einer Funktionsgleichung y = f (x) = mx + n

(m, n ∈ IR, m = 0)

Eine lineare Funktion ist eine ganze rationale Funktion 1. Grades. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade (daher der Name lineare Funktion), und zwar die Gerade mit der Steigung m und dem Achsenabschnitt n auf der y-Achse (vgl. Abschnitt 7.2.1). Die Steigung m einer Geraden ist der H¨ohenzuwachs“ (die Dif” ferenz der y-Werte) bei einem Schritt um 1 nach rechts. Der Achsenabschnitt n ist der y-Wert, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet. F¨ ur m > 0 ist die Funktion streng monoton wachsend, f¨ ur m < 0 ist sie streng monoton fallend. Schnittpunkt des Graphen der Funktion mit der x-Achse: Sx ( −n m |0), Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy (0|n).

5.4 Ganze rationale Funktionen

187

Beispiel: Funktionsgleichung: y = f (x) =

1 x+2 2

Wertetabelle: x

−6

−4

−2

0

2

4

y

−1

0

1

2

3

4

y 6 y = 12 x + 2

5 4 3

Sy

2

1 n=2

1

Sx

0 −4 −3 −2 −1 −1

−6

m=

1

2

1 2

3

4

Abbildung 5.12 Graph der linearen Funktion y =

5

6

x

1 x+2 2

Ist n = 0, so nennt man die lineare Funktion y = mx (m ∈ IR, m = 0) auch Proportionalfunktion. Der Graph einer Proportionalfunktion ist eine Gerade durch den Koordinatenursprung, und zwar mit der Steigung m. Man nennt m auch den Proportionalit¨ atsfaktor der Gleichung, denn es gilt m = xy . Beispiel: Funktionsgleichung: y = f (x) =

1 x 2

Wertetabelle: −3

x

y

−

3 = −1, 5 2

−2

−1

−1

−

1 = −0, 5 2

0

1

2

3

0

1 = 0, 5 2

1

3 = 1, 5 2

188

5 Funktionen y

y = 12 x

3 2 1 m = 0, 5 0 −1

−6 −5 −4 −3 −2

1

2

3

4

5

6

x

−2 −3 Abbildung 5.13 Graph der Proportionalfunktion y =

1 x 2

Anwendungsbeispiele: 1.

Hookesches Gesetz Funktionsgleichung: F = c Δl (statt y = mx) Dabei bedeuten: F Federkraft, c Federkonstante (Federrate, Federsteiﬁgkeit), Δl L¨ angenver¨ anderung der Feder Beispiel: (vgl. Abschnitt 2.4) Welche Kraft F dehnt eine Feder um 4 cm, wenn die Kraft 3 N (Newton) eine Dehnung um 2 cm bewirkt? N 3N = 1, 5 , Δl = 4 cm c= 2 cm cm N · 4 cm = 6 N Einsetzen in die Funktionsgleichung: F = 1, 5 cm Antwort: Die Kraft 6 N bewirkt die Dehnung um 4 cm.

F in N 6

F = c · Δl

5 4 3 2 1

c

0 −1

1

2

3

4

5

6

Δl in cm

Abbildung 5.14 Hookesches Gesetz

5.4 Ganze rationale Funktionen

189

Anmerkung: Es muss sichergestellt sein, dass sich die Werte im materialbedingten G¨ ultigkeitsbereich des hookeschen Gesetzes bewegen. 2.

Geschwindigkeit im Weg-Zeit-Diagramm Funktionsgleichung: Δs = v Δt (statt y = mx) Dabei bedeuten: Δs zur¨ uckgelegter Weg, v Geschwindigkeit, Δt abgelaufene Zeit Beispiel: (vgl. Abschnitt 2.4) 1 Stunden, wenn es 10 km in 45 s zur¨ ucklegt? 2 10 000 m 3600 s m v= = 222, 2 , Δt = 2, 5 h · = 9000 s 45 s s h 10 000 m Einsetzen in die Funktionsgleichung: Δs = · 9000 s = 2000 km 45 s Antwort: Das Flugzeug ﬂiegt 2000 km weit. Wie weit kommt ein Flugzeug in 2

Δs in km 2000

Δs = v · Δt

1600 1200 800 400 0

v 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Δt in 1000 s

Abbildung 5.15 Geschwindigkeit im Weg-Zeit-Diagramm 3.

Gay-Lussacsches Gesetz Funktionsgleichung: V = V0 (1 + γϑ) oder V = V0 γϑ + V0 (statt y = mx + n) Dabei bedeuten: 1 V variables Gasvolumen, V0 Volumen derselben Gasmenge bei 0◦ C, γ = konstanter 273 ◦ Volumenausdehnungskoeﬃzient, ϑ Maßzahl der in C gemessenen variablen Temperatur Ein Vergleich mit der linearen Funktion ergibt: V0 = m, ϑ = x, V0 = b 273 Der Deﬁnitionsbereich ist gegeben durch die Bedingung −273 ≤ ϑ < ∞. V = y, V0 γ =

Beispiel: Im Winderhitzer eines Hochofens werden st¨ undlich 42 000 m3 Luft von 17◦ C auf 800◦ C erw¨ armt. Wie groß ist das Volumen der vom Winderhitzer pro Stunde gelieferten erhitzten Luft? L¨ osung: Die Gleichung V = V0 (1 + γϑ) wird zweimal benutzt. Zuerst Berechnung von V0 :

190

5 Funktionen

V0 = V1

1 1 = 42 000 m3 = 39 537, 9310 . . . m3 1 1 + γϑ1 1 + 273 · 17

Anschließend Berechnung des gesuchten V2 :

1 · 800 = 155 400 m3 273 Antwort: Das Volumen betr¨ agt 155 400 m3 .

V2 = V0 (1 + γϑ2 ) = 39 537, 9310 . . . m3 1 +

Wertetabelle: ϑ

V in m3

V = V0 (1 + γϑ)

V

−273

0

0

V0

100

373 V 273 0

200

473 V 273 0

273

2V0

100 V 273 0

100

V0

−273

−100

0

100

200

ϑ in ◦ C

Abbildung 5.16 Gay-Lussacsches Gesetz

5.4.3

Quadratische Funktionen

Funktionen mit einer Funktionsgleichung y = f (x) = a2 x2 + a1 x + a0

(a2 , a1 , a0 ∈ IR, a2 = 0)

Eine quadratische Funktion ist eine ganze rationale Funktion 2. Grades. Der Graph jeder quadratischen Funktion ist eine Parabel (vgl. auch Abschnitt 7.5.3). F¨ ur spezielle Koeﬃzienten a2 , a1 , a0 in der Funktionsgleichung erh¨alt man spezielle Parabeln. •

Normalparabel Mit den Koeﬃzienten a2 = 1, a1 = 0, a0 = 0 in der Gleichung y = a2 x2 + a1 x + a0 der quadratischen Funktion erh¨ alt man die Gleichung y = x2 der Normalparabel. Normalparabel

y = x2

5.4 Ganze rationale Funktionen

191

Der Punkt (0|0), also der Koordinatenursprung, ist der Scheitelpunkt der Normalparabel. Die Normalparabel ist symmetrisch zur y-Achse und nach oben ge¨oﬀnet. Der Deﬁnitionsbereich ist D = IR, der Wertebereich ist W = IR, und die Bildmenge + f (D) ist die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen: f (D) = IR+ 0 = IR ∪ {0}. y 7 y = x2

6 5 4 3 2 1 0 −5 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

5

x

Abbildung 5.17 Normalparabel

•

Verschobene Normalparabel Mit a2 = 1 und beliebigen Werten f¨ ur a1 und a0 (aber nicht beide gleich 0) in y = a2 x2 + a1 x + a0 ergibt sich die Gleichung y = x2 + a1 x + a0 einer verschobenem Normalparabel. Verschobene Normalparabel

y = x2 + a1 x + a0

Eine verschobene Normalparabel hat dieselbe Form wie die Normalparabel, der Scheitelpunkt liegt jedoch nicht im Koordinatenursprung. Berechnung des Scheitelpunkts S der verschobenen Normalparabel mit der Gleichung y = x2 + a1 x + a0 : Subtraktion von a0 ergibt y − a0 = x2 + a1 x. a 2 a 2 1 1 = x2 + a1 x + , woDurch quadratische Erg¨ anzung erh¨ alt man y − a0 + 2 2

2

2 a a1 raus y − a0 − 1 = x + folgt. 4 2 Die rechte Gleichungsseite und damit auch die linke ist ≥ 0. Der kleinste y-Wert a2 ergibt sich, wenn beide Gleichungsseiten gleich 0 sind, also f¨ ur y = a0 − 1 . Dies ist 4 der Wert der Ordinate des Scheitelpunkts. a1 Die rechte Gleichungsseite wird f¨ ur x = − gleich 0, dem Wert der Abszisse des 2 Scheitelpunkts. Man erh¨ alt somit als Scheitelpunkt der verschobenen Normalparabel a a2

1 S(xS |yS ) = S − a0 − 1 . 2 4 Berechnung des Schnittpunkts Sy der verschobenen Normalparabel mit der y-Achse:

192

5 Funktionen

Die Ordinate des Schnittpunkts mit der y-Achse ergibt sich, wenn man in der Funktionsgleichung x = 0 setzt: y = 0 + 0 + a0 = a0 . Somit ist Sy = Sy (0|a0 ). Berechnung der Schnittpunkte Sx1 und Sx2 der verschobenen Normalparabel mit der x-Achse: Die Abszissen der Schnittpunkte mit der x-Achse erh¨alt man, wenn man in der Funktionsgleichung y = 0 setzt: 0 = x2 + a1 x + a0 . Dies ist eine quadratische Gleichung in x, deren Nullstellen bestimmt werden m¨ ussen:

a1 2 a1 x1,2 = − ± − a0 . 2 2 Die Schnittpunkte mit der x-Achse lauten also:

a a a21 a21 1 1 Sx1 = Sx1 − + − a0 0 , Sx2 = Sx2 − − − a0 0 . 2 4 2 4 Beispiele: 1. y = x2 − x − 1 (also a1 = −1 und a0 = −1) (−1)2 a21 1 = = ergibt sich 4 4 4

1 1 5 1 Scheitelpunkt: S = S =S −1− − 2 4 2 4 Wegen

Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy = Sy (0| − 1) Schnittpunkte mit der x-Achse:

Sx1 = Sx1

Sx2 = Sx2

1 + 2 1 − 2

√ 1 1 + 10 = Sx1 1 + 5 0 = Sx1 (1, 6180 . . . |0), 4 2 √ 1 1 1 − 5 0 = Sx2 (−0, 6180 . . . |0) + 10 = Sx2 4 2

y 7 6 5 y = x2 − x − 1

4 3 2 1 Sx2 0 −5 −4 −3 −2 −1 Sy 1 −1 S −2

Sx1 2

3

4

Abbildung 5.18 Verschobene Normalparabel

5

x

5.4 Ganze rationale Funktionen 2.

193

y = x2 − 4x (also a1 = −4 und a0 = 0) Es ergibt sich

S=S −

(−4)2 a21 = = 4. Damit berechnet man den Scheitelpunkt: 4 4

−4 − 4 = S(2| − 4) 2

Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy = Sy (0|0) Schnittpunkte mit der x-Achse: √ Sx1 = Sx1 (2 + 4 − 0|0) = Sx1 (4|0), Sx2 = Sx2 (2 − 2|0) = Sx2 (0|0) Die Parabel geht durch den Koordinatenursprung, deshalb f¨ allt der Schnittpunkt mit der y-Achse mit dem einen Schnittpunkt mit der x-Achse zusammen.

y 5 4 y = x2 − 4x

2 1 Sy = Sx2 0 −3 −2 −1 −1

1

2

S x1 3

4

5

6

x

−2 −3 −4

S

Abbildung 5.19 Verschobene Normalparabel

•

Gespiegelte Normalparabel Mit den Koeﬃzienten a2 = −1, a1 = 0, a0 = 0 in y = a2 x2 + a1 x + a0 ergibt sich die Gleichung y = −x2 der gespiegelten Normalparabel. Gespiegelte Normalparabel

y = −x2

Die gespiegelte Normalparabel entsteht aus der Normalparabel durch Spiegelung an der x-Achse. Der Punkt (0|0) ist der Scheitelpunkt der gespiegelten Normalparabel. Sie ist symmetrisch zur y-Achse und nach unten ge¨oﬀnet.

194

5 Funktionen y 1 0 −5 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

5

x

−2 −3

y = −x2

−4 −5 −6 −7 −8 Abbildung 5.20 Gespiegelte Normalparabel

•

Gespiegelte verschobene Normalparabel Mit a2 = −1 und beliebigen Werten f¨ ur a1 und a0 (aber nicht beide gleich 0) ergibt sich die Gleichung y = −x2 +a1 x+a0 einer gespiegelten verschobenen Normalparabel. Gespiegelte verschobene Normalparabel

y = −x2 + a1 x + a0

Berechnung des Scheitelpunkts S: Subtraktion von a0 : y − a0 = −x2 + a1 x a 2 a 2 a 2 1 1 1 Subtraktion von : y − a0 − = −x2 + a1 x − 2 2 2 Zusammenfassen auf der linken Seite des Gleichheitszeichens und Ausklammern von −1 auf der rechten Seite: a 2

a 2

1 1 = − x2 − a1 x + y − a0 + 2 2 Anwenden der zweiten binomischen Formel auf der rechten Seite: a 1 2 a2

y − a0 + 1 = − x − 4 2 Die rechte Gleichungsseite und damit auch die linke ist ≤ 0. Der gr¨oßte y-Wert ergibt a2 sich, wenn beide Gleichungsseiten gleich 0 sind, also f¨ ur y = a0 + 1 . Dies ist der 4 Wert der Ordinate des Scheitelpunkts. a1 Die rechte Gleichungsseite wird f¨ ur x = gleich 0, dem Wert der Abszisse des Schei2 telpunkts. Somit ergibt sich f¨ ur den Scheitelpunkt der gespiegelten verschobenen Normalparabel a a2

1 S(xS |yS ) = S a0 + 1 2 4 Berechnung des Schnittpunkts Sy mit der y-Achse:

5.4 Ganze rationale Funktionen

195

Durch Einsetzen von x = 0 in die Funktionsgleichung erh¨alt man y = a0 als Ordinate des Schnittpunkts und als Schnittpunkt somit Sy = Sy (0|a0 ). Berechnung der Schnittpunkte Sx1 und Sx2 mit der x-Achse: Durch Einsetzen von y = 0 in die Funktionsgleichung ergibt sich 0 = −x2 + a1 x + a0 und nach Multiplikation der Gleichung mit −1 die quadratische Gleichung x2 − a1 x − a 2 a1 1 ± a0 = 0, die die L¨ osungen x1,2 = + a0 hat. Die Schnittpunkte mit der 2 2 x-Achse lauten somit:

a a a21 a21 1 1 + + a0 0 , Sx2 = Sx2 − + a0 0 . S x 1 = Sx 1 2 4 2 4 Beispiel: 3. y = −x2 − 4x + 3 (also a1 = −4 und a0 = 3) (−4)2 a21 = =4 4 4 Scheitelpunkt: S = S(−2|3 + 4) = S(−2|7)

Man berechnet

Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy = Sy (0|3) Schnittpunkte mit der x-Achse: √ √ Sx1 = Sx1 (−2 + 4 + 3|0) = Sx1 (−2 + 7|0) = Sx1 (0, 6457 . . . |0), √ Sx2 = Sx2 (−2 − 7|0) = Sx2 (−4, 6457 . . . |0)

S

y 7 6

4 3 2

Sy y = −x2 − 4x + 3

1 Sx2

Sx1

0 −5 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

5

x

Abbildung 5.21 Gespiegelte verschobene Normalparabel

•

Allgemeiner Fall Parabel

y = a2 x2 + a1 x + a0

F¨ ur a2 > 0 ist die Parabel nach oben, f¨ ur a2 < 0 nach unten ge¨oﬀnet. ur |a2 | < 1 F¨ ur |a2 | > 1 ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestreckt und f¨ gestaucht. Man nennt |a2 | deshalb den Streckungsfaktor der Parabel. ¨ Eine Anderung des Koeﬃzienten a1 bewirkt eine Verschiebung der Parabel in x-

196

5 Funktionen

¨ Richtung, eine Anderung von a0 bewirkt eine Verschiebung in y-Richtung. Berechnung des Scheitelpunkts S: Subtraktion von a0 : y − a0 = a2 x2 + a1 x a1

Ausklammern von a2 auf der rechten Seite: y − a0 = a2 x2 + x a2 Quadratische Erg¨ anzung in der Klammer auf der rechten Seite, also Addition von a21 auf beiden Seiten der Gleichung: 4a2 a 2

a2 a1 1 y − a0 + 1 = a2 x2 + x+ 4a2 a2 2a2 Anwenden der ersten binomischen Formel auf der rechten Seite: a2

a1 2 y − a0 − 1 = a2 x + 4a2 2a2 Hieraus liest man die Koordinaten des Scheitelpunkts ab, n¨amlich diejenigen Werte f¨ ur x und y, f¨ ur die beide Seiten der Gleichung gleich 0 werden: a2 a1 , yS = a0 − 1 xS = − 2a2 4a2 Scheitelpunkt S der Parabel: a1 a2

S(xS |yS ) = S − a0 − 1 2a2 4a2 Man nennt die Gleichung y − yS = a2 (x − xS )2 Scheitelform der quadratischen Funktion, wohingegen y = a2 x2 + a1 x + a0 Normalform der quadratischen Funktion heißt. Scheitelform der quadratischen Funktion

y − yS = a2 (x − xS )2

Berechnung des Schnittpunkts Sy mit der y-Achse: Setzt man in der Funktionsgleichung x = 0 ein, so erh¨alt man y = a0 als Ordinate des Schnittpunkts Sy und als Schnittpunkt somit Sy = Sy (0|a0 ). Der Wert D = a21 − 4a2 a0 heißt Diskriminante der quadratischen Funktion y = a2 x2 + a1 x + a0 . Gilt D > 0, so hat die zugeh¨orige Parabel zwei Schnittpunkte mit der x-Achse. F¨ ur D = 0 gibt es einen Schnittpunkt (der Schnittpunkt ist dann ein Ber¨ uhrpunkt). F¨ ur D < 0 gibt es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse. Berechnung des Schnittpunkts (f¨ ur D = 0) bzw. der Schnittpunkte (f¨ ur D > 0) der Parabel mit der x-Achse: Durch Einsetzen von y = 0 in die Funktionsgleichung y = a2 x2 + a1 x + a0 erh¨alt man die quadratische Gleichung a2 x2 + a1 x + a0 = 0, die die L¨osungen

1 x1,2 = − a1 ± a21 − 4a2 a0 hat. Daraus ergeben sich die Schnittpunkte mit 2a2 der x-Achse: 1

1

S x1 − a1 + a21 − 4a2 a0 0 , Sx2 − a1 − a21 − 4a2 a0 0 . 2a2 2a2

5.4 Ganze rationale Funktionen

197

Beispiele: 4. y = 4x2 (also a2 = 4, a1 = a0 = 0) Wegen |a2 | = |4| = 4 > 1 ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestreckt, und oﬀnet. wegen a2 = 4 > 0 ist die Parabel nach oben ge¨ Aus a1 = a0 = 0 folgt S = S(0|0) und S = Sx = Sy .

y

10 9 8 y = 4x2

7 6 5 4 3

1 S 0 −5 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

5

x

Abbildung 5.22 Parabel 5.

y = −3x2 + 1, 2x − 1, 5 (also a2 = −3, a1 = 1, 2, a0 = −1, 5) Aus |a2 | = | − 3| = 3 > 1 folgt, dass die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestreckt ist. Wegen a2 = −3 < 0 ist die Parabel nach unten ge¨ oﬀnet. Berechnung des Scheitelpunkts S:

(1, 2)2 1, 2 1, 44 1, 2 =S S(xS |yS ) = S − − 1, 5 − − 1, 5 + 2 · (−3) 4 · (−3) 6 12 = S(0, 2| − 1, 5 + 0, 12) = S(0, 2| − 1, 38) Scheitelform der Parabelgleichung: y + 1, 38 = −3(x − 0, 2)2 Berechnung des Schnittpunkts Sy mit der y-Achse: Sy = Sy (0| − 1, 5) Berechnung der Diskriminante D: D = a21 − 4a2 a0 = (1, 2)2 − 4 · (−3) · (−1, 5) = −16, 56. Wegen D < 0 gibt es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.

198

5 Funktionen y 1 0 −3 −2 −1 −1 Sy −2

S

1

2

3

4

x

y = −3x2 + 1, 2x − 1, 5

−5 −6 −7 Abbildung 5.23 Parabel

5.4.4

Kubische Funktionen

Funktionen mit einer Funktionsgleichung y = f (x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0

(a3 , a2 , a1 , a0 ∈ IR, a3 = 0)

Eine kubische Funktion ist eine ganze rationale Funktion 3. Grades. Der Graph einer kubischen Funktion ist eine kubische Parabel. Das Verhalten der Funktion h¨ angt wesentlich von dem Koeﬃzienten a3 und der Diskriminante D = 3a3 a1 − a22 ab. Wenn D ≥ 0 ist, dann ist die Funktion f¨ ur a3 > 0 monoton wachsend und f¨ ur a3 < 0 monoton fallend (vgl. Abschnitt 5.2.1). F¨ ur D < 0 besitzt die Funktion ein Maximum und ein Minimum (siehe Abschnitt 8.4.10). F¨ ur a3 > 0 ist die Funktion dann von −∞ bis zum Maximum monoton wachsend, monoton fallend vom Maximum bis zum Minimum und danach bis +∞ wieder monoton wachsend. F¨ ur a3 < 0 (und D < 0) ist die Funktion von −∞ bis zum Minimum monoton fallend, vom Minimum bis zum Maximum monoton wachsend und danach bis +∞ wieder monoton fallend. Es gibt einen, zwei (dann ist ein Schnittpunkt ein Ber¨ uhrpunkt) oder drei Schnittpunkte mit der x-Achse (abh¨ angig von den Koeﬃzienten a3 , a2 , a1 , a0 ). Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist Sy (0|a0 ). Spezialf¨alle: •

Kubische Normalparabel Mit den Koeﬃzienten a3 = 1, a2 = 0, a1 = 0, a0 = 0 ergibt sich die kubische Normalparabel y = x3 . Sie schneidet sowohl die x- als auch die y-Achse im Ursprung. Kubische Normalparabel

y = x3

5.4 Ganze rationale Funktionen •

199

Gespiegelte kubische Normalparabel Mit den Koeﬃzienten a3 = −1, a2 = 0, a1 = 0, a0 = 0 erh¨alt man die gespiegelte kubische Normalparabel y = −x3 . y = −x3

Gespiegelte kubische Normalparabel Beispiele: 1. 2. 3.

y = x3 1 y = − x3 2 1 y = x3 − x 4

y 2

y = x3

1

−2

−1

0

2

1

x

−1 1

−2

−1

0

1

−1 1

−2

−1

0

2 1 y = − x3 2

1

−1

2 y=

x

x

1 3 x −x 4

1 1 Abbildung 5.24 Graphen der kubischen Funktionen y = x3 , y = − x3 und y = x3 − x 2 4

5.4.5

Ganze rationale Funktionen n-ten Grades

Funktionen mit einer Funktionsgleichung folgender Art, wobei a0 , a1 , a2 , . . . , an−1 , an ∈ IR, an = 0, n ∈ IN, heißen ganze rationale Funktionen n-ten Grades.

200

5 Funktionen

y = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 =

n

ak xk

k=0

Die rechte Seite der Gleichung heißt auch Polynom n-ten Grades. Der Graph einer ganzen rationalen Funktion n-ten Grades ist eine zusammenh¨angende Kurve, die von links aus dem Unendlichen kommt und nach rechts im Unendlichen verschwindet. Dabei h¨ angt der Kurvenverlauf ganz wesentlich vom Grad n der Funktion und vom Vorzeichen von an ab. Es gilt: x → −∞ ⇒ y → +∞ n gerade (n = 2, 4, 6, . . .) und an > 0:

x → +∞ ⇒ y → +∞ x → −∞ ⇒ y → −∞

n gerade (n = 2, 4, 6, . . .) und an < 0:

x → +∞ ⇒ y → −∞ x → −∞ ⇒ y → −∞

n ungerade (n = 1, 3, 5, . . .) und an > 0:

x → +∞ ⇒ y → +∞ x → −∞ ⇒ y → +∞

n ungerade (n = 1, 3, 5, . . .) und an < 0:

x → +∞ ⇒ y → −∞

Dabei bedeutet zum Beispiel x → −∞, dass x sich −∞ n¨ahert. Ist von den Koeﬃzienten in der Funktionsgleichung nur an = 0, gilt also a0 = a1 = a2 = . . . = an−2 = an−1 = 0, dann nennt man die Funktion Potenzfunktion. Potenzfunktionen

y = an xn

(n ∈ IN, an ∈ IR, an = 0)

Die Graphen der Potenzfunktionen heißen f¨ ur n ≥ 2 Parabeln n-ter Ordnung. Der Deﬁnitionsbereich der Potenzfunktionen ist D = IR. F¨ ur die Bildmenge gilt f (D) = ur gerade {z|z ∈ IR, z ≥ 0} f¨ ur gerade n ≥ 2 und an > 0, f (D) = {z|z ∈ IR, z ≤ 0} f¨ ur ungerade n. n ≥ 2 und an < 0 und f (D) = IR f¨ Die Kurve der Funktion y = axn ist im Vergleich zur Kurve der Funktion y = xn f¨ ur |a| < 1 gestaucht, f¨ ur |a| > 1 gestreckt und f¨ ur a < 0 an der x-Achse gespiegelt. Beispiele: 1.

y = x2 und y = x4 Die Graphen dieser Funktionen sind Parabeln 2. bzw. 4. Ordnung.

5.4 Ganze rationale Funktionen

201 y 6

y = x4 y = x2

5 4 3 2 1 0

−4 −3 −2 −1

1

2

3

4

x

Abbildung 5.25 Parabeln 2. und 4. Ordnung 2.

y = x3 und y = x5 Die Graphen dieser Funktionen sind Parabeln 3. bzw. 5. Ordnung.

y 5

y = x5

4 y = x3

3 2 1 0 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

−2 −3 −4 −5

Abbildung 5.26 Parabeln 3. und 5. Ordnung 3.

1 6 1 5 17 4 1 3 16 2 1 12 x + x − x − x + x + x− 100 100 100 20 25 25 25 Das Polynom der rechten Seite l¨ asst sich umformen: y=

1 6 1 5 17 4 1 3 16 2 1 12 x + x − x − x + x + x− 100 100 100 20 25 25 25 1 = (x2 − 1)(x2 − 4)(x2 + x − 12) 100

x

202

5 Funktionen Da ein Produkt genau dann gleich 0 ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist, erh¨ alt man als Nullstellen der gegebenen Funktion die L¨ osungen der drei quadratischen Gleichungen x2 − 1 = 0, x2 − 4 = 0 und x2 + x − 12 = 0: x1 = 1, x2 = −1, x3 = 2, x4 = −2, x5 = 3, x6 = −4 Die Nullstellen sind die Abszissen der Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit der x-Achse. Weil eine algebraische Gleichung n-ten Grades h¨ ochstens n reelle Wurzeln besitzt, hat die Kurve f¨ ur den gegebenen Grad die H¨ ochstzahl an Schnittpunkten mit der x-Achse, n¨ amlich n = 6. 1 Da an = > 0 und n = 6 geradzahlig ist, kommt die Kurve von links aus dem Positiv100 Unendlichen und geht nach rechts ins Positiv-Unendliche. Zur Berechnung des Schnittpunkts Sy mit der y-Achse setzt man in der Funktionsgleichung 12 x = 0 ein und erh¨ alt y = − als Ordinate des Schnittpunkts und damit als Schnittpunkt 25 mit der y-Achse: 12

Sy = Sy 0 − 25

y 3 2

Sx6 −5

Sx4

1 Sx2

−3 −2 −1 −1

Sx1 0 1

S x3 2

S x5 3

4

5

x

−2 −3 Abbildung 5.27 Graph der Funktion zu der Gleichung aus Beispiel 3

5.4.6

Horner-Schema

Das Horner-Schema ist ein Verfahren zur Berechnung von Funktionswerten ganzer rationaler Funktionen. n Ist eine Funktion f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 = ak xk gegeben k=0

und der Funktionswert an der Stelle x0 gesucht, so dividiert man das Polynom

n k=0

ak xk

durch (x − x0 ): (an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 ) : (x − x0 ) = an xn−1 + c1 xn−2 + . . . + cn−2 x cn . +cn−1 + x − x0

5.5 Gebrochene rationale Funktionen

203

F¨ ur die Koeﬃzienten ci gilt c1 = an x0 +an−1 und ci = ci−1 x0 +an−i f¨ ur i = 2, 3, . . . , n. Damit kann die Funktion f (x) auch durch die Gleichung f (x) = (an xn−1 + c1 xn−2 + . . .+ cn−2 x + cn−1 )(x − x0 ) + cn beschrieben werden. F¨ ur x = x0 ergibt sich dann f (x0 ) = cn . Die Berechnung des Funktionswertes f (x0 ) ist somit auf die Berechnung der Konstante cn zur¨ uckgef¨ uhrt worden, die man in n Schritten durch einander folgende Berechnung von c1 , c2 , . . . , cn ermittelt. Man berechnet zuerst c1 aus c1 = an x0 + an−1 , dann c2 aus c2 = c1 x0 + an−2 und so weiter und schließlich cn aus cn = cn−1 x0 + a0 . Dieses Verfahren nennt man Horner-Schema (nach dem englischen Mathematiker William George Horner, 1786-1837). Es l¨ asst sich folgendermaßen schematisch darstellen: an +

an−1

an−2

...

a1

a0

an x0

c1 x0

...

cn−2 x0

cn−1 x0

c1

c2

...

cn−1

cn

an Beispiel: f (x) = 2x4 − 8x3 + 2x2 + 28x − 48

Gesucht ist f (−3), also der Funktionswert an der Stelle x0 = −3. Horner-Schema: 2 +

2

−8

2

28

−48

−6

42

−132

312

(= 2 · (−3))

(= (−14) · (−3))

(= 44 · (−3))

(= (−104) · (−3))

−14

44

−104

264

Es gilt also f (−3) = 264.

5.5 5.5.1

Gebrochene rationale Funktionen Nullstellen, Pole, Asymptoten

Funktionen mit einer Funktionsgleichung folgender Art, wobei a0 , a1 , . . . , an , b0 , b1 , . . . , bm ∈ IR, an , bm = 0, n ∈ ZZ, n ≥ 0, m ∈ IN, heißen gebrochene rationale Funktionen. n

an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 y= = i=0 m bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b2 x2 + b1 x + b0

ai xi bk xk

k=0

Eine gebrochene rationale Funktion y = f (x) kann immer als Quotient zweier ganzer rationaler Funktionen dargestellt werden (sowohl Z¨ahler als auch Nenner sind Polynome

204

5 Funktionen

in x). Gebrochene rationale Funktionen

y=

Pn (x) Pm (x)

Eine gebrochene rationale Funktion ist nicht f¨ ur alle x deﬁniert. Die Nullstellen des Nenners geh¨oren nicht zum Deﬁnitionsbereich der Funktion. Ist der Grad des Nennerpolynoms gr¨ oßer als der Grad des Z¨ahlerpolynoms (n < m), dann heißt die Funktion echt gebrochene rationale Funktion, andernfalls (also f¨ ur n ≥ m) heißt sie unecht gebrochene rationale Funktion. Gebrochene rationale Funktionen, bei denen sowohl das Z¨ahlerpolynom als auch das Nennerpolynom den Grad 1 haben (also n = 1 und m = 1), heißen gebrochene lineare Funktionen. Gebrochene lineare Funktionen

y=

a1 x + a0 b1 x + b 0

a , n ∈ IN, a ∈ IR, a = 0 heixn ßen Hyperbeln n-ter Ordnung (zu Hyperbeln vgl. auch Abschnitt 7.5.2). Durch Polynomdivision l¨ asst sich jede unecht gebrochene rationale Funktion y = f (x) darstellen als Summe einer ganzen rationalen Funktion g(x) und einer echt gebrochenen rationalen Funktion h(x) : y = f (x) = g(x) + h(x). Die Graphen der gebrochenen rationalen Funktionen y =

Beispiel: 1.

2x4 + 3x3 + 5x2 − 4x + 1 77x − 29 = 2x2 + 9x + 30 + 2 x2 − 3x + 1 x − 3x + 1

P (x) Pn (x) = , wenn an der Stelle x = x0 Pm (x) Q(x) der Z¨ahler Null ist und der Nenner von Null verschieden, also P (x0 ) = 0, Q(x0 ) = 0. P (x) , wenn xp eine Nullstelle des Eine Stelle x = xp heißt ein Pol der Funktion y = Q(x) Nenners Q(x) ist und der Z¨ ahler P (x) an der Stelle xp von Null verschieden ist, also Q(xp ) = 0, P (xp ) = 0. Ist x = xp eine k-fache Nullstelle des Nenners Q(x) und gilt P (x) P (xp ) = 0, dann heißt xp ein Pol k-ter Ordnung von y = . Q(x) Zwei Polynome P (x) und Q(x) heißen teilerfremd, wenn alle ihre Nullstellen verschieden sind. Gilt also f¨ ur eine Stelle x = x1 , dass P (x1 ) = 0, so folgt Q(x1 ) = 0, und gilt umgekehrt f¨ ur eine Stelle x = x2 , dass Q(x2 ) = 0, so folgt P (x2 ) = 0. Jede gebrochene rationale Funktion l¨ asst sich als Quotient zweier teilerfremder Polynome darstellen. P (x) , P (x) und Q(x) teilerfremd y= Q(x) Eine Zahl x0 ist eine Nullstelle von y = f (x) =

Eine solche Darstellung heißt Normalform der gebrochenen rationalen Funktion. Die Nullstellen einer gebrochenen rationalen Funktion in Normalform sind die Nullstellen des Z¨ahlerpolynoms P (x). P (x) Ist x = xp ein Pol k-ter Ordnung der Funktion y = mit teilerfremden P (x) und Q(x)

5.5 Gebrochene rationale Funktionen

205

Q(x), dann l¨asst sich die Funktion in der N¨ ahe des Pols darstellen durch 1 P (x) P (x) = . · y= Q(x) (x − xp )k Q1 (x) Dabei haben weder P (x) noch Q1 (x) in der N¨ ahe von x = xp eine Nullstelle, sie ¨andern also ihr Vorzeichen nicht. Ihr Quotient hat deshalb einen von Null verschiedenen, be1 schr¨ankten positiven oder negativen Wert. Die Funktion w¨achst aber, wenn (x − xp )k ahert, u sich x dem Pol xp n¨ ¨ber alle Grenzen. N¨ahert man sich dem Pol mit wachsenden x-Werten (also x < xp ), so ist x − xp ne1 gegen −∞, f¨ ur gerade k gativ. F¨ ur ungerade k (k = 1, 3, 5, . . .) geht dann (x − xp )k (k = 2, 4, 6, . . .) dagegen gegen +∞. N¨ahert man sich dem Pol mit abnehmenden x-Werten (also x > xp ), so ist x − xp positiv, 1 geht dann also stets gegen +∞. (x − xp )k P (x) F¨ ur negative Werte des Faktors dreht sich das Vorzeichen der Funktion y = f (x) Q1 (x) um. y

x

Abbildung 5.28 Funktionsverlauf bei Polen ungerader Ordnung

y

x

Abbildung 5.29 Funktionsverlauf bei Polen gerader Ordnung

206

5 Funktionen

Die Gerade x = xp heißt Asymptote der gebrochenen rationalen Funktion y = f (x). Asymptoten einer Funktion sind Geraden, denen sich der Graph der Funktion unbeschr¨ankt n¨ahert, ohne sie je zu erreichen (Asymptote = Nichtzusammenlaufende). Pn (x) im UnendliDas Verhalten einer gebrochenen rationalen Funktion y = f (x) = Pm (x) chen: • Ist y = f (x) eine echt gebrochene rationale Funktion, gilt also n < m, dann ist die x-Achse (Gerade mit der Gleichung y = 0) eine Asymptote. an • Im Falle n = m ist die zur x-Achse parallele Gerade mit der Gleichung y = eine bm Asymptote. • Ist n > m, so gilt y = f (x) = g(x) + h(x), wobei g(x) eine ganze rationale Funktion und h(x) eine echt gebrochene rationale Funktion sind. Die Funktion y = f (x) verh¨alt sich dann im Unendlichen wie die rationale Funktion y = g(x). Beispiele: 1 2. y = x Zum Deﬁnitionsbereich geh¨ oren alle x außer x = 0. 1 1 Wegen f (−x) = = − = −f (x) ist die Funktion ungerade, der Graph der Funktion −x x ist also symmetrisch zum Nullpunkt (Koordinatenursprung). Die Funktion hat keine Nullstelle, denn der Z¨ ahler ist stets von Null verschieden (P (x) = 1). Die Stelle x = 0 ist ein Pol erster Ordnung der Funktion. N¨ ahert man sich diesem Pol mit wachsenden x-Werten (also x < 0), dann geht y gegen −∞. N¨ ahert man sich dem Pol dagegen mit abnehmenden x-Werten (also x > 0), so geht y gegen +∞. Die Geraden x = 0 (y-Achse) und y = 0 (x-Achse) sind Asymptoten der Funktion. Der Graph der Funktion ist eine Hyperbel.

y 3 2 1

−4 −3

−1

0

1

2

3

4

x

−3

Abbildung 5.30 Graph der Funktion mit der Gleichung y =

1 x

5.5 Gebrochene rationale Funktionen

207

Wertetabelle (y-Werte auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet):

3.

x

−4

−3

−2

−1

−0, 5

−0, 25

−0, 1

−0, 01

1

2

3

4

y

−0, 25

−0, 33

−0, 50

−1

−2

−4

−10

−100

1

0, 50

0, 33

0, 25

y=

1 x2

Die Funktion ist deﬁniert f¨ ur alle x = 0. 1 1 = 2 = f (x), die Funktion ist also gerade, ihr Graph ist symmeEs gilt f (−x) = (−x)2 x trisch zur y-Achse. Da der Z¨ ahler konstant gleich 1 ist, besitzt die Funktion keine Nullstellen. Die Stelle x = 0 ist ein Pol zweiter Ordnung. N¨ ahert man sich dem Pol mit wachsenden x-Werten (also x < 0) oder mit abnehmenden x-Werten (also x > 0), dann geht y gegen +∞. Die Geraden x = 0 (y-Achse) und y = 0 (x-Achse) sind Asymptoten der Funktion. Wertetabelle: x

4

3

2

1

0, 5

0, 25

0, 1

−1

−2

−3

−4

y

0, 06

0, 11

0, 25

1

4

16

100

1

0, 25

0, 11

0, 06

Die y-Werte in der Wertetabelle sind auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

y 4

1 0 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

x

Abbildung 5.31 Graph der Funktion mit der Gleichung y =

4.

y=

1 x2 − 1

Die Funktion ist f¨ ur alle die x deﬁniert, f¨ ur die der Nenner ungleich 0 ist.

1 x2

208

5 Funktionen Die Nullstellen des Nenners berechnet man, indem man den Nenner (das Nennerpolynom) osungen x1 = 1 und gleich Null setzt: x2 − 1 = 0. Diese quadratische Gleichung hat die L¨ x2 = −1. 1 1 Wegen f (−x) = = 2 = f (x) ist die Funktion gerade, der Graph der Funk(−x)2 − 1 x −1 tion ist also symmetrisch zur y-Achse. Die Funktion hat keine Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse), denn der Z¨ ahler ist f¨ ur alle x des Deﬁnitionsbereiches von Null verschieden. Die Stellen x1 = 1 und x2 = −1 sind Pole erster Ordnung der Funktion. N¨ ahert man sich dem Pol x2 mit wachsenden x-Werten (also x < −1), dann ist der Faktor 1 P (x) = in der Zerlegung der Funktion Q1 (x) x−1 y=

P (x) P (x) 1 1 1 · = = · Q(x) x − x2 Q1 (x) x − (−1) x − 1

negativ, das heißt, y geht gegen +∞. N¨ ahert man sich entsprechend dem Pol x2 mit abnehmenden x-Werten (also x > −1) oder dem Pol x1 mit wachsenden x-Werten (also x < 1), so geht y gegen −∞. N¨ ahert man sich dagegen x1 mit abnehmenden x-Werten (also x > 1), so geht y gegen +∞. Die Geraden x1 = 1 und x2 = −1 sowie y = 0 (x-Achse) sind Asymptoten der Funktion. Funktionswerte f¨ ur −1 < y ≤ 0 gibt es nicht, da der Nenner nicht kleiner als −1 werden kann. Wertetabelle (y-Werte auf drei Stellen nach dem Komma gerundet):

x

±3

±2

±1, 5

±1, 1

±0, 9

±0, 5

0

y

0, 125

0, 333

0, 800

4, 762

−5, 263

−1, 333

−1

2

3

y 2 1

−4 −3 −2

x = −1

0 −1

4

x

x=1

Abbildung 5.32 Graph der Funktion mit der Gleichung y =

5.

y=

1 x2 − 1

x2 − 1 x2 + 1

Die Funktion ist deﬁniert f¨ ur alle reellen x, denn es gibt keine Nullstellen des Nenners und

5.5 Gebrochene rationale Funktionen

209

damit keine Pole. Die Nullstellen der Funktion sind x1 = 1 und x2 = −1. 1 an = = 1 ist Asymptote. bm 1 Der Graph der Funktion verl¨ auft u ¨berall unterhalb der Asymptote. Die zur x-Achse parallele Gerade mit der Gleichung y =

Wertetabelle: x

±4

±3

±2

±1, 5

±1

±0, 5

±0, 3

±0, 1

0

y

0, 87

0, 80

0, 60

0, 38

0

−0, 60

−0, 84

−0, 98

−1

Die y-Werte in der Wertetabelle sind auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

y 2

y=

x2 − 1 x2 + 1

2

3

y=1

−4 −3 −2 −1 −1

0 1

4

x

Abbildung 5.33 Graph der Funktion mit der Gleichung y =

6.

y=

x2 − 1 x2 + 1

x2 − x − 2 2x − 6

Die Funktion hat die Nullstellen x1 = −1 und x2 = 2 und einen Pol bei x = 3. Die Funktion ist also deﬁniert f¨ ur alle x = 3. Die Funktion ist weder gerade noch ungerade, eine Symmetrie des Graphen bez¨ uglich des Nullpunktes oder der y-Achse liegt also nicht vor. Durch Polynomdivision erh¨ alt man die Darstellung y=

x2 − x − 2 1 4 = x+1+ 2x − 6 2 2x − 6

der Funktion als Summe einer ganzen rationalen Funktion und einer echt gebrochenen ra1 tionalen Funktion. Es ist also y = x + 1 eine Asymptote der Funktion. Die Ann¨ aherung 2 an die Asymptote erfolgt f¨ ur x → −∞ von unten und f¨ ur x → ∞ von oben. Wertetabelle (y-Werte auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet):

x

−5

−3

−2

−1

0

1

1, 5

y

−1, 75

−0, 83

−0, 40

0

0, 33

0, 50

0, 42

210

5 Funktionen

x

2

2, 5

2, 9

3, 1

3, 5

4

5

7

y

0

−1, 75

−17.55

22, 55

6, 75

5

4, 50

5

y 5 4 3

y

1 x = 2

+1

2 1 0 −1 −1

−4

−2

1

4

2

5

6

8

x

x=3

Abbildung 5.34 Graph der Funktion mit der Gleichung y =

5.5.2

7

x2 − x − 2 2x − 6

Partialbruchzerlegung

Eine Partialbruchzerlegung ist die Zerlegung einer gebrochenen rationalen Funktion y = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 in eine Summe von Br¨ uchen. f (x) mit f (x) = bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b2 x2 + b1 x + b0 Durch eine Partialbruchzerlegung von f (x) wird oftmals die Integration der Funktion einfacher oder u oglich (vgl. Abschnitt 8.5.2). ¨ berhaupt erst m¨ Jede echt gebrochene rationale Funktion (also n < m) kann eindeutig in eine Summe von Partialbr¨ uchen zerlegt werden. Praktische Durchf¨ uhrung der Partialbruchzerlegung: 1. Im Falle n ≥ m Abspalten des ganzen rationalen Anteils mit Polynomdivision. 2. K¨ urzen des Bruches (also Division des Z¨ ahlers und des Nenners) durch bm , den Koeﬃzienten der h¨ ochsten Potenz des Nenners: f (x) =

cn xn + cn−1 xn−1 + . . . + c2 x2 + c1 x + c0 xm + dm−1 xm−1 + . . . + d2 x2 + d1 x + d0

ai bj = ci (1 ≤ i ≤ n) und = dj (1 ≤ j < m). bm bm 3. Bestimmung der Nullstellen x1 , x2 , . . . , xr (r ≤ m) des Nennerpolynoms. Es gilt also

5.5 Gebrochene rationale Funktionen

211

4. Zerlegung des Nennerpolynoms in die Form xm + dm−1 xm−1 + . . . + d2 x2 + d1 x + d0 = (x − x1 )k1 · (x − x2 )k2 · . . . · (x − xr )kr · (x2 + p1 x + q1 )l1 · (x2 + p2 x + q2 )l2 · . . . · (x2 + ps x + qs )ls Eine solche Zerlegung ist immer m¨ oglich. Dabei sind x1 , x2 , . . . , xr alle reellen Nullstellen mit den Vielfachheiten k1 , k2 , . . . , kr . Die restlichen quadratischen Faktoren ergeben die konjugierten Paare komplexer Nullstellen (also p2i − 4qi < 0). 5. Zerlegung von f (x) in eine Summe von Br¨ uchen: A12 A1k1 A11 + + ...+ 2 x − x1 (x − x1 ) (x − x1 )k1 A21 A22 A2k2 + + + ...+ 2 x − x2 (x − x2 ) (x − x2 )k2 + .................................... Ar2 Arkr Ar1 + + ...+ + x − xr (x − xr )2 (x − xr )kr B11 + C11 x B12 + C12 x B1l + C1l1 x + 2 + 2 + ...+ 2 1 2 x + p1 x + q1 (x + p1 x + q1 ) (x + p1 x + q1 )l1 B21 + C21 x B22 + C22 x B2l + C2l2 x + 2 + 2 + ...+ 2 2 x + p2 x + q2 (x + p2 x + q2 )2 (x + p2 x + q2 )l2 + ......................................................... Bs2 + Cs2 x Bsl + Csls x Bs1 + Cs1 x + 2 + ...+ 2 s + 2 2 x + ps x + qs (x + ps x + qs ) (x + ps x + qs )ls

f (x) =

Dabei sind die Koeﬃzienten Aij , Bij , Cij reelle Zahlen. 6. Bestimmung der Koeﬃzienten der Partialbr¨ uche zum Beispiel mit der Methode des Koeﬃzientenvergleichs. Die Br¨ uche im Schritt 5 nennt man die Partialbr¨ uche der gebrochenen rationalen Funktion f (x). Spezialf¨alle: •

Wenn das Nennerpolynom nur reelle Nullstellen besitzt, dann fallen die Partialbr¨ uche mit den nicht zerlegbaren quadratischen Funktionen im Nenner weg. • Besitzt das Nennerpolynom nur die einfachen reellen Nullstellen x1 , x2 , . . . , xm , dann lautet die Partialbruchzerlegung f (x) =

A2 Am A1 + + ...+ . x − x1 x − x2 x − xm

Beispiele: 1.

f (x) =

6x2 − 4 2x3 + 4x2 + 4x + 2

3x2 − 2 x3 + 2x2 + 2x + 1 Nullstelle des Nennerpolynoms: x1 = −1 Zerlegung des Nennerpolynoms: x3 + 2x2 + 2x + 1 = (x + 1)(x2 + x + 1) Division durch b3 = 2 : f (x) =

212

5 Funktionen

Zerlegung von f (x) in eine Summe von Partialbr¨ uchen: f (x) =

x3

A Bx + C 3x2 − 2 = + 2 + 2x2 + 2x + 1 x+1 x +x+1

Bestimmung der Koeﬃzienten A, B, C durch Koﬃzientenvergleich: f (x) =

3x2 − 2 A(x2 + x + 1) + (Bx + C)(x + 1) = (x + 1)(x2 + x + 1) (x + 1)(x2 + x + 1)

⇒ 3x2 − 2 = A(x2 + x + 1) + (Bx + C)(x + 1) = (A + B)x2 + (A + B + C)x + (A + C) Vergleich der Koeﬃzienten von x2 , von x und der Absolutglieder links und rechts vom Gleichheitszeichen ergibt: A + B = 3, A + B + C = 0, A + C = −2 ⇒ A = 1, B = 2, C = −3 L¨ osung somit: f (x) =

2.

2x3

1 2x − 3 6x2 − 4 = + 2 + 4x2 + 4x + 2 x+1 x +x+1

3x2 − x + 1 x3 − 2x2 + x Nullstellen des Nennerpolynoms: x1 = 0, x2 = 1 (x2 ist doppelte Nullstelle) Zerlegung des Nennerpolynoms: x3 − 2x2 + x = x(x − 1)2 Zerlegung von f (x) in Partialbr¨ uche: f (x) =

A B C 3x2 − x + 1 = + + x3 − 2x2 + x x x−1 (x − 1)2 Bestimmung der Koeﬃzienten A, B, C durch Koﬃzientenvergleich: f (x) =

f (x) =

A(x − 1)2 + Bx(x − 1) + Cx 3x2 − x + 1 = 2 x(x − 1) x(x − 1)2

⇒ 3x2 − x + 1 = A(x2 − 2x + 1) + B(x2 − x) + Cx = (A + B)x2 + (C − 2A − B)x + A Vergleich der Koeﬃzienten von x2 , von x und der Absolutglieder links und rechts vom Gleichheitszeichen ergibt: A + B = 3, C − 2A − B = −1, A = 1 ⇒ A = 1, B = 2, C = 3 L¨ osung somit: f (x) =

3.

3x2 − x + 1 1 2 3 = + + x3 − 2x2 + x x x−1 (x − 1)2

6x2 − x + 1 x3 − x Nullstellen des Nennerpolynoms: x1 = 0, x2 = 1, x3 = −1 Zerlegung des Nennerpolynoms: x3 − x = x(x − 1)(x + 1) Zerlegung von f (x) in Partialbr¨ uche: f (x) =

6x2 − x + 1 A B C = + + x3 − x x x−1 x+1 Bestimmung der Koeﬃzienten A, B, C durch Koﬃzientenvergleich: f (x) =

f (x) =

A(x − 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 1) 6x2 − x + 1 = x(x − 1)(x + 1) x(x − 1)(x + 1)

⇒ 6x2 − x + 1 = A(x2 − 1) + B(x2 + x) + C(x2 − x) = (A + B + C)x2 + (B − C)x − A Vergleich der Koeﬃzienten von x2 , von x und der Absolutglieder links und rechts vom Gleichheitszeichen ergibt: A + B + C = 6, B − C = −1, −A = 1 ⇒ A = −1, B = 3, C = 4

5.6 Irrationale Funktionen

213

L¨ osung somit: f (x) =

5.6

1 3 4 6x2 − x + 1 = + + x3 − x x x−1 x+1

Irrationale Funktionen

Irrationale Funktionen sind algebraische Funktionen, die nicht rational sind. In der Funktionsgleichung y = f (x) einer rationalen Funktion werden auf die unabh¨angige Variable x nur endlich viele rationale Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) angewandt. Bei irrationalen Funktionen tritt die unabh¨angige Variable x auch unter einem Wurzelzeichen auf. Beispiele: 1. 2. 3.

√ y = x2 + x + x √ y = 5x3 − 2 √ y = 7 (x2 − 1) 3 5x + 1

Eine besonders wichtige Klasse von irrationalen Funktionen sind die so genannten Wurzelfunktionen. √ Wurzelfunktionen y = n x (n ∈ IN, n ≥ 2) Der Deﬁnitionsbereich der Wurzelfunktionen ist D = {x|x ∈ IR, x ≥ 0} f¨ ur gerade n und D = IR f¨ ur ungerade n, die Bildmenge ist gleich dem Deﬁnitionsbereich, also f (D) = D. Die Wurzelfunktionen sind im ganzen Deﬁnitionsbereich streng monoton wachsend. √ F¨ ur ungerade n ist y = n x eine ungerade Funktion, der Graph der Funktion ist also punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Die Graphen der Wurzelfunktionen gehen durch den Koordinatenursprung und durch den Punkt P (1|1). F¨ ur das Verhalten der Wurzelfunktionen im Unendlichen gilt: n ∈ IN, n ≥ 2: n ungerade (n = 3, 5, 7, . . .):

y 3

x → +∞ ⇒ y → +∞ x → −∞ ⇒ y → −∞

y=

√ x

y=

√ 4

2 1 0

1

2

3

4

5

x

6

7

8

Abbildung 5.35 Graph der Wurzelfunktionen y =

9 √

x

x und y =

√ 4

x

214

5 Funktionen y

−5 −4 −3 −2 −1

2

y=

√ 3

x

1

y=

√ 5

x

0

1

2

3

4

5

x

−2 Abbildung 5.36 Graph der Wurzelfunktionen y =

√ 3

x und y =

√ 5 x

Die quadratische Funktion y = x2 ist in den zwei getrennten Intervallen 0 ≤ x < +∞ und −∞ monoton. Sie hat deshalb zwei Umkehrfunktionen, und zwar √ < x ≤ 0 jeweils √ y = + x und y = − x. F¨ ur beide Umkehrfunktionen ist der Deﬁnitionsbereich 0 ≤ x < +∞ (entspricht 0 ≤ y < +∞ der Funktion y = x2 ), die Bildmenge ist 0 ≤ y < +∞ bzw. −∞ < y ≤ 0. Die Graphen der Umkehrfunktionen ergeben sich aus der Normalparabel durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y = x. Die (positive) Quadratwurzelfunkti√ on y = x zum Beispiel ist also die Umkehrfunktion der Funktion des rechten Normalparabelastes. y

y

=

x2 y=

3

x

4

2

√x + = y

1 −2 −1 −1 −2

1

2

3 4 y = −√ x

x

Abbildung 5.37 Graphen von Funktionen und ihren Umkehrfunktionen

Die kubische Funktion y = x3 ist in ihrem ganzen Deﬁnitionsbereich D = (−∞, ∞) √ monoton steigend. Ihre Umkehrfunktion ist y = 3 x. Der Deﬁnitionsbereich der Umkehrfunktion ist −∞ < x < ∞, die Bildmenge −∞ < y < ∞. Der Graph der Umkehrfunktion ergibt sich aus der kubischen Normalparabel durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y = x. Allgemein gilt: √ • F¨ ur ungerade n ist die Wurzelfunktion y = f (x) = n x, f : IR → IR die Umkehrfunktion der Potenzfunktion y = f (x) = xn , f : IR → IR. √ • F¨ ur gerade n ist die Wurzelfunktion y = f (x) = n x, f : [0, ∞) → [0, ∞) die Umkehrfunktion der Potenzfunktion y = f (x) = xn , f : [0, ∞) → [0, ∞).

5.6 Irrationale Funktionen

215

√ Man bezeichnet allgemeiner auch Funktionen y = a n x, a ∈ IR, a = 0 als Wurzel√ n funktionen. Die Kurve der Funktion y = a x ist im Vergleich zur Kurve der Funktion √ ur |a| < 1 gestaucht, f¨ ur |a| > 1 gestreckt und f¨ ur a < 0 an der x-Achse gespiey = n x f¨ gelt. Beispiele: 4.

y =b+

r2 − (x − a)2 , D = {x| |x − a| ≤ r}, W = IR

Der Graph dieser Funktion ist der obere Halbkreis des Kreises mit dem Mittelpunkt M (a|b) und dem Radius r. Fehlerwarnung: Die Gleichung (x − a)2 + (y − b)2 = r2 des Kreises mit dem Mittelpunkt M (a|b) und dem Radius r (vgl. Abschnitt 7.3.1) ist keine (implizite) Funktion, denn die Zuordnung einer Zahl y zu einer Zahl x ist nicht eindeutig, wie in der Deﬁnition einer Funktion gefordert (zu jedem x mit |x − a| < r gibt es zwei y)!

Analog zu oben ist der Graph der Funktion y = b − r 2 − (x − a)2 , D = {x| |x − a| ≤ r}, W = IR die untere H¨ alfte des Kreises mit dem Mittelpunkt M (a|b) und dem Radius r.

y y =b+

r 2 − (x − a)2

5 P (x|y)

4

r

M

y−b

b=3 x−a

2 1 0 −1 −1

y =b− 1

2

3 a=4 5

6

r2 − (x − a)2 7

x

Abbildung 5.38 Graphen der Funktionen von Beispiel 4

5.

2

2

2

Aus der Gleichung der Astroide x 3 + y 3 = a 3 y die Funktionen

y=+ bzw. y=−

2

2

2

2

(a > 0) erh¨ alt man durch Auﬂ¨ osen nach

(a 3 − x 3 )3 , D = {x| |x| ≤ a}, W = IR

(a 3 − x 3 )3 , D = {x| |x| ≤ a}, W = IR.

Die Graphen dieser Funktionen sind der obere Teil (y ≥ 0) bzw. der untere Teil (y ≤ 0) der Astroide.

216

5 Funktionen y 3 2 y=+

(a2/3 − x2/3 )3

1 0 −3 −2 −1 −1

1

2 a=3 y=−

x

(a2/3 − x2/3 )3

−3 Abbildung 5.39 Graphen der Funktionen von Beispiel 5

5.7

Transzendente Funktionen

Elementare Funktionen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent. Wichtige Klassen von transzendenten Funktionen sind die Exponentialfunktionen, die Logarithmusfunktionen sowie die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen, die Arkusfunktionen. Die trigonometrischen Funktionen und die Arkusfunktionen werden in Kapitel 6 behandelt.

5.7.1

Exponentialfunktionen

Bei einer Exponentialfunktion steht die unabh¨ angige Variable x im Exponenten. y = ax , a ∈ IR+ Dabei ist die Basis a eine beliebige positive reelle Zahl. Alle Exponentialfunktionen y = ax , a ∈ IR+ haben als Deﬁnitionsbereich D = IR und, falls a = 1, als Bildmenge W = f (D) = IR+ . Alle Funktionswerte sind also positiv. Wegen a0 = 1 gehen die Graphen aller Funktionen durch den Punkt P (0|1). F¨ ur a > 1 ist die Funktion y = ax streng monoton wachsend mit y → 0 f¨ ur x → −∞ und y → ∞ f¨ ur x → ∞. Die (negative) x-Achse ist also Asymptote. ur x → −∞ F¨ ur 0 < a < 1 ist die Funktion y = ax streng monoton fallend mit y → ∞ f¨ und y → 0 f¨ ur x → ∞. Die (positive) x-Achse ist somit Asymptote. Der Graph der Funktion n¨ ahert sich um so schneller der x-Achse, je gr¨oßer | ln a| ist, f¨ ur a > 1 also je gr¨oßer a ist und f¨ ur a < 1 je kleiner a ist.

y

5

1, 5 x y=

y = 3x

x = = 0, 5

y 6

y= x 2

217 1 2x

5.7 Transzendente Funktionen

4 3 2 y = 1x = 1

−5 −4 −3 −2 −1

0

1

2

3

4

5

x

Abbildung 5.40 Graphen von Exponentialfunktionen

F¨ ur a = 1 gilt y = 1, der Graph der Funktion ist also eine Parallele zur x-Achse. onnen wegen der Regeln der LogarithmenDie Exponentialfunktionen y = ax , a > 0 k¨ und der Potenzrechnung auch in der Form y = ax = eln(a

x

)

= ex·ln a

dargestellt werden. Dabei ist e = 2, 718 281 828 4 . . . die eulersche Zahl (vgl. Abschnitt 8.4.5). Die Funktion y = ex , D = IR, W = f (D) = IR+ , also die Exponentialfunktion mit der Basis a = e, heißt nat¨ urliche Exponentialfunktion oder e-Funktion. y = ex , D = IR, W = f (D) = IR+ Es handelt sich um eine spezielle Exponentialfunktion, die h¨auﬁg als die Exponentialfunktion bezeichnet wird. Diese Funktion spielt bei vielen Wachstumsprozessen eine wichtige Rolle. Noch allgemeiner bezeichnet man manchmal auch solche Funktionen, die eine algebraische Funktion des Arguments x im Exponenten haben, als Exponentialfunktionen, zum 2 Beispiel y = 23x −7x . Die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen y = ax sind f¨ ur a = 1 die Logarithmusfunktionen y = loga x. Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist die nat¨ urliche Logarithmusfunktion y = ln x. 5.7.2

Logarithmusfunktionen

Logarithmusfunktionen sind Funktionen der Form y = loga x, a ∈ IR+ , a = 1 Alle Logarithmusfunktionen y = loga x, a ∈ IR+ , a = 1 haben als Deﬁnitionsbereich D = IR+ und als Bildmenge W = f (D) = IR.

218

5 Funktionen

Wegen loga 1 = 0 gehen die Graphen aller Funktionen durch den Punkt P (1|0). ur x → ∞ F¨ ur a > 1 ist die Funktion y = loga x streng monoton wachsend mit y → ∞ f¨ und y → −∞ f¨ ur x → 0, x > 0. Die (negative) y-Achse ist also Asymptote. F¨ ur x > 1 gilt loga x > 0, f¨ ur x = 1 gilt loga 1 = 0, und f¨ ur x mit 0 < x < 1 gilt loga x < 0. F¨ ur 0 < a < 1 ist die Funktion y = loga x streng monoton fallend mit y → −∞ f¨ ur x → ∞ und y → ∞ f¨ ur x → 0, x > 0. Die (positive) y-Achse ist somit Asymptote. F¨ ur x > 1 gilt loga x < 0, f¨ ur x = 1 gilt loga 1 = 0, und f¨ ur x mit 0 < x < 1 gilt loga x > 0. Der Graph der Funktion n¨ ahert sich f¨ ur alle a um so schneller der y-Achse, je gr¨oßer | ln a| ist, f¨ ur a > 1 also je gr¨ oßer a ist und f¨ ur a < 1 je kleiner a ist.

y 3 2 y = lg x = log10 x

1 0 −1

1

2

−2

3

4 1 x y = log 10

x

−3 Abbildung 5.41 Graphen der logarithmischen Funktionen y = lg x und y = log

1 10

x

Die Logarithmusfunktionen y = loga x, a > 0, a = 1 k¨onnen wegen der Regeln der Logarithmenrechnung auch in folgender Form dargestellt werden.

y = loga x =

1 · ln x, a = 1 ln a

Dabei heißt die Logarithmusfunktion mit der Basis a = e = 2, 7182 . . . nat¨ urliche Logarithmusfunktion. y = ln x, D = IR+ , W = f (D) = IR Allgemeiner noch bezeichnet man auch solche Funktionen, die eine algebraische Funktion des Arguments x als Numerus haben, als Logarithmusfunktion, zum Beispiel y = log2 (5x2 − 4x). Die Logarithmusfunktion y = loga x ist f¨ ur a = 1 die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion y = ax und umgekehrt. Die nat¨ urliche Logarithmusfunktion y = ln x ist die Umkehrfunktion der e-Funktion y = ex und umgekehrt.

5.7 Transzendente Funktionen

219 y

3

2x

4

y=

y = ex

5

y

=

x

6

y=

2

x

n y=l

1 −2 −1 −1

log 2

0

1

2

3

4

5

x

6

x

Abbildung 5.42 Graphen von y = ln x und y = log2 x und ihrer Umkehrfunktionen

6

Trigonometrie

Das Wort Trigonometrie kommt aus dem Griechischen und bedeutet Dreiecksmessung. Die Trigonometrie ist die Lehre von der Dreiecksberechnung mit Hilfe von Winkelfunktionen (trigonometrischen Funktionen).

6.1

Deﬁnition der trigonometrischen Funktionen

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse die dem rechten Winkel gegen¨ uberliegende Dreiecksseite, die beiden anderen Seiten (also die Schenkel des rechten Winkels) sind die Katheten (vgl. Abschnitt 3.6.4). In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Winkeln α, β und γ = 90◦ gilt α + β = 90◦ . Die Ankathete eines Winkels α in einem rechtwinkligen Dreieck ist die Kathete, die auf einem Schenkel von α liegt. Die andere Kathete heißt Gegenkathete von α. Das Verh¨altnis zweier beliebiger Seiten im rechtwinkligen Dreieck ist abh¨angig von dem urlich auch vom Winkel β), das heißt, das Verh¨altnis Winkel α (und wegen β = 90◦ −α nat¨ zweier Seiten ist eine Funktion des Winkels α (bzw. des Winkels β). Die trigonometrischen Funktionen sind deﬁniert als das Verh¨ altnis zweier Seiten im rechtwinkligen Dreieck. In einem rechtwinkligen Dreieck ist • sin α, der Sinus des Winkels α, das Verh¨ altnis von Gegenkathete zu Hypotenuse, • cos α, der Kosinus des Winkels α, das Verh¨ altnis von Ankathete zu Hypotenuse, • tan α, der Tangens des Winkels α, das Verh¨ altnis von Gegenkathete zu Ankathete, • cot α, der Kotangens des Winkels α, das Verh¨altnis von Ankathete zu Gegenkathete. C b

A

a

α

B

c

Abbildung 6.1 sin α =

a b a b , cos α = , tan α = , cot α = c c b a

Sinus:

sin α =

a Gegenkathete = c Hypotenuse

Kosinus:

cos α =

Ankathete b = c Hypotenuse

Tangens:

tan α =

Gegenkathete a = b Ankathete

Kotangens:

cot α =

b Ankathete = a Gegenkathete

A. Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn, DOI 10.1007/978-3-8348-8258-5_6, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

6.1 Deﬁnition der trigonometrischen Funktionen

221

Andere, weniger gebr¨ auchliche Namen f¨ ur die trigonometrischen Funktionen sind Winkelfunktionen oder Kreisfunktionen oder goniometrische Funktionen. In der folgenden Tabelle sind einige spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen angegeben: Gradmaß ϕ

0◦

30◦

45◦

60◦

90◦

Bogenmaß b

0

π 6

π 4

π 3

π 2

√

√

1 2 √ 3 2 √ 3 3

sin

0

cos

1

tan

0

cot

−

√

2 2 √ 2 2

3 2

1

1 2

0

√

1

3

−

3 3

0

√

3

1

Gradmaß ϕ

0◦

30◦

45◦

60◦

90◦

sin ϕ

1√ 0 2

1√ 1 2

1√ 2 2

1√ 3 2

1√ 4 2

Merkregel

Die meisten dieser Werte lassen sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Dies soll am Beispiel des Sinus vorgef¨ uhrt werden. F¨ ur die H¨ohe h in einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenl¨ange a gilt nach dem Satz a 2 a√ des Pythagoras h2 = a2 − , also h = 3. Es folgt 2 2 a h 1 1√ 3. sin 30◦ = 2 = und sin 60◦ = = a 2 a 2

30◦ a

a

a√ h= 3 2

60◦ a 2

a 2

Abbildung 6.2 Zur Berechnung von sin 30◦ und sin 60◦

222

6 Trigonometrie

F¨ ur den Durchmesser d in einem Quadrat der Seitenl¨ange a gilt nach dem Satz des √ Pythagoras d2 = a2 + a2 , also d = a 2. Es folgt a 1√ 1 a 2. sin 45◦ = = √ = √ = d 2 a 2 2

=

a

d

a

a √ 2

a

45◦ a Abbildung 6.3 Zur Berechnung von sin 45◦

Die beiden spitzen Winkel α und β in einem rechtwinkligen Dreieck sind Komplementwinkel, es gilt also β = 90◦ − α. Aus der Deﬁnition der trigonometrischen Funktionen folgt b b sin β = und cos α = ⇒ sin β = cos α c c a a und sin α = ⇒ cos β = sin α cos β = c c b b tan β = und cot α = ⇒ tan β = cot α a a a a cot β = und tan α = ⇒ cot β = tan α b b

C b

A

a β= 90◦−α

α c

Abbildung 6.4 Komplementwinkel

sin(90◦ − α) = cos α Komplementwinkel

cos(90◦ − α) = sin α tan(90◦ − α) = cot α cot(90◦ − α) = tan α

B

6.2 Trigonometrische Funktionen f¨ ur beliebige Winkel

6.2

223

Trigonometrische Funktionen fu ¨ r beliebige Winkel

Die Deﬁnition der trigonometrischen Funktionen eines Winkels α im rechtwinkligen Dreieck ist nur f¨ ur spitze Winkel m¨ oglich (also 0◦ < α < 90◦ ). Am Einheitskreis (Kreis mit dem Radius r = 1) lassen sich die trigonometrischen Funktionen f¨ ur beliebige Winkel deﬁnieren: Der Mittelpunkt des Einheitskreises sei der Koordinatenursprung O eines kartesischen Koordinatensystems (vgl. Abschnitt 7.1.1). Ein beliebiger Punkt P = P (x|y) auf dem Einheitskreis legt einen Winkel α fest, n¨ amlich den Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden durch O und P . Dabei wird α in mathematisch positiver Richtung, also gegen den Uhrzeigersinn, gemessen. y cot α

r=

α 0

1

x = cos α

tan α

P

cos α sin α

y = sin α

x

Abbildung 6.5 Deﬁnition der trigonometrischen Funktionen f¨ ur beliebige Winkel

Mit den vorzeichenbehafteten Koordinaten x und y des Punktes P werden die trigonometrischen Funktionen dann deﬁniert durch Sinus:

sin α = y

Kosinus:

cos α = x y tan α = x x cot α = y

Tangens: Kotangens:

Der Abschnitt des Einheitskreises zwischen der x-Achse und dem Punkt P ist das Bogenmaß b des Winkels α. Durchl¨auft P den Einheitskreis im mathematisch positiven Drehsinn, dann sind α und b positiv. Durchl¨auft P den Einheitskreis jedoch im mathematisch negativen Drehsinn, dann sind α und b negativ.

224

6 Trigonometrie

Im Einheitskreis sind damit die trigonometrischen Funktionen f¨ ur beliebige Winkel α im Gradmaß oder f¨ ur beliebige reelle Zahlen b (Bogenmaß von α) deﬁniert, f¨ ur die die entsprechenden Nenner nicht verschwinden. Bei der Berechnung von Funktionswerten muss beachtet werden, ob das Argument im Gradmaß oder im Bogenmaß angegeben ist. Durch die beiden orientierten Achsen eines kartesischen Koordinatensystems wird die Ebene in vier Teile eingeteilt, die Quadranten. Die Punkte des ersten Quadranten haben sowohl positive x- als auch positive y-Koordinaten, die Punkte des zweiten Quadranten haben negative x- und positive y-Koordinaten, die Punkte des dritten Quadranten haben negative x- und negative y-Koordinaten und die Punkte des vierten Quadranten haben positive x- und negative y-Koordinaten.

y 4 II

I

3 2 1

0 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

x

−2 −3

III

IV

−4

Abbildung 6.6 Quadranten

F¨ ur die Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen in den einzelnen Quadranten gilt:

Quadrant

sin

cos

tan

cot

I

+

+

+

+

II

+

−

−

−

III

−

−

+

+

IV

−

+

−

−

6.3 Beziehungen f¨ ur den gleichen Winkel

6.3

225

Beziehungen fu ¨ r den gleichen Winkel

F¨ ur beliebige Winkel α gelten folgende Umrechnungsformeln:

tan α =

1 sin α = cos α cot α

cot α =

sin2 α + cos2 α = 1 1 + tan2 α =

1 cos2 α

1

1 cos α = sin α tan α

tan α · cot α = 1 1 + cot2 α =

1 sin2 α

Diese Beziehungen lassen sich im rechtwinkligen Dreieck leicht nachrechnen. Beispiel:

2

a b 2 a2 + b 2 + = = 1, denn nach dem Satz des Pythagoras gilt im c c c2 2 2 2 rechtwinkligen Dreieck a + b = c . sin2 α + cos2 α =

Alle Beziehungen gelten auch allgemein, das heißt, f¨ ur beliebige Winkel α. Nach diesen Beziehungen l¨ asst sich jede trigonometrische Funktion durch jede andere desselben Winkels ausdr¨ ucken. √ Will man zum Beispiel sin α durch cos α ausdr¨ ucken, so folgt sin α = ± 1 − cos2 α aus sin2 α + cos2 α = 1. F¨ ur Winkel im ersten Quadranten, also f¨ ur Winkel α mit 0◦ < α < 90◦ gilt: sin α sin α =

cos α =

tan α =

√

sin α

cot α =

cos α

1 − sin2 α

cos α √

sin α 2

1 − sin α 1 − sin2 α sin α

1 − cos2 α

√

tan α √ √

cot α

tan α 2

√

2

√

1 + tan α 1 1 + tan α

1 1 + cot2 α cot α 1 + cot2 α

1 − cos2 α cos α

tan α

1 cot α

cos α 1 − cos2 α

1 tan α

cot α

In den u ¨ brigen Quadranten sind die Vorzeichen der Wurzeln nach der Vorzeichentabelle (vgl. Abschnitt 6.2) oder am Einheitskreis zu bestimmen. Beispiel: Im dritten Quadranten sind sowohl sin α als auch cos α negativ. Deswegen gilt f¨ ur Winkel α mit √ 180◦ < α < 270◦ zum Beispiel sin α = − 1 − cos2 α und cos α = − 1 − sin2 α. 1 F¨ ur Potenzen (f (x))k von Funktionswerten ist die Schreibweise f k (x) u ¨blich, etwa sin2 α (gesprochen: Sinus Quadrat Alpha) f¨ ur (sin α)2 .

226

6 Trigonometrie

6.4

Graphen der trigonometrischen Funktionen

Ein anschauliches Bild von Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen erh¨alt man, wenn in einem kartesisches Koordinatensystem (vgl. Abschnitt 7.1.1) als Abszissen (xWerte) die Winkel (im Gradmaß oder im Bogenmaß) und als Ordinaten (y-Werte) die Werte der betreﬀenden trigonometrischen Funktionen eingetragen werden. Die Funktionswerte ergeben sich als vorzeichenbehaftete L¨angen der entsprechenden Strecken am Einheitskreis.

sin β

0

α

− π2

cos α

α cos β

cos β cos α

sin α

sinα cosα

1 β r= α M

sinα

sin β

cos α sin α 1

π 2

π

3 π 2

2π

β

−1

0 α

cot β

α r=1

tan β

M

cot α

β

tan α

Kotangente

tan α

cot α

β

π

α 2π

tan β

cot β

tan α cot α

Asymptote zur Tangensfunktion

tan α cot α

Asymptote zur Kotangensfunktion

Abbildung 6.7 Sinuskurve und Kosinuskurve

Tangente Abbildung 6.8 Tangenskurve und Kotangenskurve

Die Graphen der trigonometrischen Funktionen nennt man auch Kurven. So ist zum Beispiel die Sinuskurve der Graph der Sinusfunktion. In der folgenden Aufz¨ ahlung sind alle Winkel im Bogenmaß angegeben. 1. Sinusfunktion Die Funktion y = sin x mit dem Deﬁnitionsbereich D = IR und dem Wertebereich W = [−1, 1]. Die Sinusfunktion hat die Periode 2π, es gilt also sin(x + 2kπ) = sin x f¨ ur k = π 0, ±1, ±2, . . .. Die Amplitude der Funktion ist 1, denn es gilt | sin x| ≤ 1 und sin = 1. 2 Die Sinusfunktion ist wegen sin(−x) = − sin x f¨ ur alle x eine ungerade Funktion. Die Sinuskurve ist also symmetrisch zum Koordinatenursprung.

6.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen

227

2. Kosinusfunktion Die Funktion y = cos x mit dem Deﬁnitionsbereich D = IR und dem Wertebereich W = [−1, 1]. Die Kosinusfunktion hat ebenfalls die Periode 2π, es gilt cos(x + 2kπ) = cos x f¨ ur k = 0, ±1, ±2, . . .. Die Amplitude der Funktion ist 1, denn es gilt | cos x| ≤ 1 und cos 0 = 1. Die Kosinusfunktion ist wegen cos(−x) = cos x f¨ ur alle x eine gerade Funktion. Die Kosinuskurve ist also symmetrisch zur y-Achse. y 1

−π

−π

−1

0

π

2π

x

2π

x

Periode

1 −1

π

0

1

−π

0

π

2π

x

π

2π

x

−1

Periode 1

−π

0

−1

Abbildung 6.9 y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x (von oben nach unten)

3. Tangensfunktion Die Funktion y = tan x mit dem Deﬁnitionsbereich D = IR, x = π2 + kπ, k ∈ ZZ und dem Wertebereich W = IR. Die Stellen x = π2 + kπ, k ∈ ZZ sind Pole der Funktion. N¨ahert man sich einem Pol x = xp mit wachsenden x-Werten (also x < xp ), dann geht tan x gegen +∞. N¨ahert man sich dagegen einem Pol x = xp mit abnehmenden x-Werten (also x > xp ), so geht tan x gegen −∞. Die Geraden x = π2 + kπ sind Asymptoten der Funktion. Die Tangensfunktion hat die Periode π, es gilt also tan(x + kπ) = tan x f¨ ur k = 0, ±1, ±2, . . .. Eine Amplitude besitzt die Funktion nicht (Pole!). Die Tangensfunktion ist wegen tan(−x) = − tan x f¨ ur alle x eine ungerade Funktion.

228

6 Trigonometrie

Die Tangenskurve ist also symmetrisch zum Koordinatenursprung. 4. Kotangensfunktion Die Funktion y = cot x mit dem Deﬁnitionsbereich D = IR, x = kπ, k ∈ ZZ und dem Wertebereich W = IR. Die Stellen x = kπ, k ∈ ZZ sind Pole der Funktion. N¨ahert man sich einem Pol x = xp mit wachsenden x-Werten (also x < xp ), dann geht cot x gegen −∞. N¨ahert man sich dagegen einem Pol x = xp mit abnehmenden x-Werten (also x > xp ), so geht cot x gegen +∞. Die Geraden x = kπ sind Asymptoten der Funktion. Die Kotangensfunktion hat die Periode π, es gilt also cot(x + kπ) = cot x f¨ ur k = 0, ±1, ±2, . . .. Eine Amplitude besitzt die Funktion nicht (Pole!). Die Kotangensfunktion ist ungerade, denn es gilt cot(−x) = − cot x. Die Kotangenskurve ist also symmetrisch zum Koordinatenursprung.

6.5

Reduktionsformeln

Wegen der Periodizit¨ at k¨ onnen die trigonometrischen Funktionen f¨ ur beliebige Winkel beim Sinus und Kosinus auf solche zwischen 0◦ und 360◦ und beim Tangens und Kotangens auf solche zwischen 0◦ und 180◦ zur¨ uckgef¨ uhrt werden. F¨ ur beliebige ganze Zahlen k gilt: sin(360◦ · k + α) = sin α cos(360◦ · k + α) = cos α tan(180◦ · k + α) = tan α cot(180◦ · k + α) = cot α Wegen der Symmetrie der trigonometrischen Funktionen gilt f¨ ur negative Winkel: sin(−α) = − sin α cos(−α) = cos α tan(−α) = − tan α cot(−α) = − cot α Jeder so reduzierte Winkel kann durch eine der folgenden Beziehungen auf einen Winkel zwischen 0◦ und 90◦ zur¨ uckgef¨ uhrt werden: Funktion sin β cos β tan β cot β

β = 90◦ ± α + cos α ∓ sin α ∓ cot α ∓ tan α

β = 180◦ ± α ∓ sin α − cos α ± tan α ± cot α

β = 270◦ ± α − cos α ± sin α ∓ cot α ∓ tan α

β = 360◦ − α − sin α + cos α − tan α − cot α

6.6 Additionstheoreme

6.6

229

Additionstheoreme

Die Additionstheoreme sind Formeln f¨ ur die trigonometrischen Funktionen von Winkelsummen und Winkeldiﬀerenzen. Die meisten dieser Gleichungen lassen sich mit Hilfe der eulerschen Formel eiz = cos z + i sin z f¨ ur komplexe Zahlen (vgl. Abschnitt 1.12.8) zusammen mit den Potenzgesetzen herleiten. Beispiel: cos (α + β) + i sin(α + β) = ei(α+β) = eiα · eiβ = (cos α + i sin α) · (cos β + i sin β) = (cos α cos β − sin α sin β) + i(sin α cos β + cos α sin β) Vergleich von Real- und Imagin¨ arteil ergibt cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β und sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

sin 2α = 2 sin α cos α =

2 tan α 1 + tan2 α

sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α sin 4α = 8 sin α cos3 α − 4 sin α cos α cos 2α = cos2 α − sin2 α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1 cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α cos 4α = 8 cos4 α − 8 cos2 α + 1 Trigonometrische Funktionen f¨ ur Winkelvielfache

tan 2α =

2 2 tan α = 2 cot α − tan α 1 − tan α

tan 3α =

3 tan α − tan3 α 1 − 3 tan2 α

tan 4α =

4 tan α − 4 tan3 α 1 − 6 tan2 α + tan4 α

cot 2α =

cot α − tan α 1 cot2 α − 1 = = 2 cot α 2 tan 2α

cot 3α =

cot3 α − 3 cot α 3 cot2 α − 1

cot 4α =

cot4 α − 6 cot2 α + 1 4 cot3 α − 4 cot α

F¨ ur allgemeine Winkelvielfache erh¨ alt man aus der Entwicklung der Formel von Moivre (vgl. Abschnitt 1.12.6) durch Vergleich des Real- und Imagin¨arteils entsprechende Formeln:

230

6 Trigonometrie

cos nα + i sin nα = (cos α + i sin α)n =

n

ik ·

k=0

) * n · cosn−k α · sink α. k

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β Trigonometrische Funktionen der Summe und der Diﬀerenz zweier Winkel

Summen und Diﬀerenzen zweier trigonometrischer Funktionen

tan(α + β) =

tan α + tan β 1 − tan α tan β

tan(α − β) =

tan α − tan β 1 + tan α tan β

cot(α + β) =

cot α cot β − 1 cot α + cot β

cot(α − β) =

cot α cot β + 1 cot α − cot β

sin α + sin β

= 2 sin

α+β α−β cos 2 2

sin α − sin β

= 2 cos

α−β α+β sin 2 2

cos α + cos β

= 2 cos

α+β α−β cos 2 2

cos α − cos β

= −2 sin

tan α + tan β

=

sin(α + β) cos α cos β

tan α − tan β

=

sin(α − β) cos α cos β

cot α + cot β

=

sin(α + β) sin α sin β

cot α − cot β

= −

α−β α+β sin 2 2

sin(α + β) sin α sin β

6.6 Additionstheoreme

Produkte trigonometrischer Funktionen

Potenzen trigonometrischer Funktionen

231

sin α sin β

=

1 cos(α − β) − cos(α + β) 2

cos α cos β

=

1 cos(α − β) + cos(α + β) 2

sin α cos β

=

1 sin(α + β) + sin(α − β) 2

cos α sin β

=

1 sin(α + β) − sin(α − β) 2

tan α tan β

=

tan α − tan β tan α + tan β =− cot α + cot β cot α − cot β

cot α cot β

=

cot α + cot β cot α − cot β =− tan α + tan β tan α − tan β

tan α cot β

=

tan α − cot β tan α + cot β =− cot α + tan β cot α − tan β

sin2 α =

1 1 − cos 2α 2

sin3 α =

1 3 sin α − sin 3α 4

sin4 α =

1 cos 4α − 4 cos 2α + 3 8

cos2 α =

1 1 + cos 2α 2

cos3 α =

1 3 cos α + cos 3α 4

cos4 α =

1 cos 4α + 4 cos 2α + 3 8

Die Formeln f¨ ur sinn α und cosn α erh¨ alt man, indem man die Formeln f¨ ur cos nα und sin nα nacheinander anwendet.

232

6.7

6 Trigonometrie

Sinussatz und Kosinussatz

Sinussatz In einem beliebigen Dreieck verhalten sich die L¨ angen der Seiten wie die Sinuswerte der gegen¨ uberliegenden Winkel. Sinussatz

sin α sin β sin γ = = a b c

oder

sin α : sin β : sin γ = a : b : c

Der Sinussatz l¨asst sich mit Hilfe der H¨ ohen, also durch Zerlegung des Dreiecks in zwei rechtwinklige Dreiecke herleiten: h h sin α = ⇒ h = b · sin α; sin β = ⇒ h = a · sin β b a Es folgt b · sin α = a · sin β und daraus a : b = sin α : sin β.

b α

h

a β

Abbildung 6.10 Zur Herleitung des Sinussatzes

Die anderen Proportionen lassen sich analog herleiten. Kosinussatz In einem beliebigen Dreieck ist das Quadrat einer Seitenl¨ange gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seitenl¨ angen minus dem doppelten Produkt der L¨angen dieser beiden anderen Seiten und dem Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels.

a2 = b2 + c2 − 2bc cos α Kosinussatz

b2 = a2 + c2 − 2ac cos β

oder

cos α =

b2 + c2 − a2 2bc

cos β =

a2 + c 2 − b 2 2ac

cos γ =

a 2 + b 2 − c2 2ab

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

Der Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras, der f¨ ur rechtwinklige Dreiecke gilt, auf beliebige Dreiecke. Gilt etwa γ = 90◦ , dann folgt c2 = a2 + b2 wegen cos γ = cos 90◦ = 0. Der Kosinussatz l¨asst sich durch Zerlegung des Dreiecks in zwei rechtwinklige Dreiecke und Anwendung des Satzes von Pythagoras herleiten: c−p q cos α = , q = c − p ⇒ cos α = ⇒ p = c − b cos α b b

6.8 Grundaufgaben der Dreiecksberechnung

sin α =

233

h ⇒ h = b sin α b

Durch Einsetzen der Ausdr¨ ucke f¨ ur p und f¨ ur h ergibt sich: a2 = p2 + h2 ⇒ a2 = (c − b cos α)2 + (b sin α)2 ⇒ a2 = c2 − 2bc cos α + b2 cos2 α + b2 sin2 α ⇒ a2 = c2 − 2bc cos α + b2 (cos2 α + sin2 α) ⇒ a2 = b2 + c2 − 2bc cos α

(denn sin2 α + cos2 α = 1).

b

a

h

β

α q

p c

Abbildung 6.11 Zur Herleitung des Kosinussatzes

Die anderen Gleichungen lassen sich ganz entsprechend herleiten.

6.8

Grundaufgaben der Dreiecksberechnung

Entsprechend den vier Grundkonstruktionen des Dreiecks (vgl. Abschnitt 3.6.8) gibt es vier Grundaufgaben der Dreiecksberechnung. 1. Grundaufgabe WSW und SWW Gegeben α, c, β (Winkel, Seite, Winkel) oder c, β, γ (Seite, Winkel, Winkel). Berechnung der fehlenden Winkel: γ = 180◦ − (α + β) oder α = 180◦ − (β + γ). Berechnung der fehlenden Seiten (durch Anwendung des Sinussatzes): c c sin α und b = sin β. a= sin γ sin γ 2. Grundaufgabe SSW Gegeben a, b, α (Seite, Seite, Winkel). sin α b Anwendung des Sinussatzes: sin β = a Der Winkel β l¨ asst sich f¨ ur b < a (⇒ β < α) eindeutig bestimmen. F¨ ur b > a ist β nicht in allen F¨ allen eindeutig. Die Aufgabe kann zwei L¨osungen, β1 und β2 , haben mit sin β1 = sin β2 und β1 + β2 = 180◦ . Berechnung des dritten Winkels γ aus der Winkelsumme im Dreieck. Berechnung der dritten Seite c oder c1 und c2 durch Anwendung des Sinussatzes.

234

6 Trigonometrie

3. Grundaufgabe SWS Gegeben a, γ, b (Seite, Winkel, Seite).

Berechnung von c mit dem Kosinussatz: c = a2 + b2 − 2ab cos γ. Bestimmung des Winkels α (oder β) mit dem Kosinussatz (eindeutig, aber umst¨andlicher) oder mit dem Sinussatz (Entscheidung zwischen den beiden m¨oglichen Winkeln α1 und α2 mit α1 + α2 = 180◦ u ¨ ber die Bedingung a > c (⇔ α > γ) oder a < c (⇔ α < γ). Berechnung von β (oder α) dann aus der Winkelsumme im Dreieck. Eine Kontrolle ist mit dem Sinussatz m¨ oglich.

4. Grundaufgabe SSS Gegeben a, b, c (Seite, Seite, Seite). Berechnung der Winkel mit Hilfe des Kosinus- und des Sinussatzes. Am besten wird zuerst der der gr¨ oßten Seite gegen¨ uberliegende Winkel berechnet. Die beiden anderen Winkel sind dann spitze Winkel und k¨onnen deshalb mit dem Sinussatz eindeutig berechnet werden. Liegt etwa γ der gr¨ oßten Seite gegen¨ uber, dann Berechnung mit sin β sin γ a2 + b2 − c2 sin α , = = . cos γ = 2ab a b c Eine Kontrolle l¨ asst sich mit der Winkelsumme im Dreieck durchf¨ uhren: Die Summe der drei berechneten Winkel muss 180◦ betragen. Beispiele: 1.

Gegeben: α = 55◦ , c = 7, 34, β = 48◦ (WSW)

C γ a

b α A

c

β B

Abbildung 6.12 Zu Beispiel 1 (WSW) Berechnung von γ: γ = 180◦ − (55◦ + 48◦ ) = 77◦ Berechnung der fehlenden Seiten (mit Hilfe des Sinussatzes): sin 55◦ sin 48◦ a= · 7, 34 ≈ 6, 17, b = · 7, 34 ≈ 5, 60 ◦ sin 77 sin 77◦ ◦ Ergebnisse: γ = 77 , a ≈ 6, 17, b ≈ 5, 60 2.

Gegeben: a = 8, 45, b = 6, 38, α = 68, 5◦ (SSW) Da α der gr¨ oßeren der gegebenen Seiten gegen¨ uberliegt, ist die Aufgabe eindeutig.

6.8 Grundaufgaben der Dreiecksberechnung

235

C γ b

a

α

β c

A

B

Abbildung 6.13 Zu Beispiel 2 (SSW) Berechnung sin 68, 5◦ = 8, 45 Berechnung

von β (mit dem Sinussatz): sin β 6, 38 ⇒ sin β = sin 68, 5◦ ≈ 0, 7025 ⇒ β ≈ 44, 6◦ 6, 38 8, 45 von γ: γ ≈ 180◦ − (68, 5◦ + 44, 6◦ ) = 66, 9◦

Berechnung von c (mit dem Sinussatz): sin 66, 9◦ c≈ 8, 45 ≈ 8, 35 sin 68, 5◦ Ergebnisse: β ≈ 44, 6◦ , γ ≈ 66, 9◦ , c ≈ 8, 35 3.

Gegeben: a = 9, 35, b = 14, 25, α = 39, 2◦ (SSW)

C γ1 γ2 a

b

A

β2 B2

α

a

β 1 B1

c2 c1

Abbildung 6.14 Zu Beispiel 3 (SSW) Berechnung von β (mit dem Sinussatz): sin 39, 2◦ sin β 14, 25 = ⇒ sin β = sin 39, 2◦ ≈ 0, 9633 9, 35 14, 25 9, 35 ⇒ β1 ≈ 74, 4◦ und β2 = 180◦ − β1 ≈ 105, 6◦ Beide Winkel erf¨ ullen die Bedingung β > α, die aus b > a folgt. Berechnung von γ1 und γ2 mit Hilfe der Winkelsumme im Dreieck: γ1 ≈ 180◦ − (39, 2◦ + 74, 4◦ ) = 66, 4◦ ;

γ2 ≈ 180◦ − (39, 2◦ + 105, 6◦ ) = 35, 2◦

236

6 Trigonometrie Berechnung von c1 und c2 mit dem Sinussatz: sin 66, 4◦ sin 35, 2◦ 9, 35 ≈ 13, 56; c2 ≈ 9, 35 ≈ 8, 53 c1 ≈ ◦ sin 39, 2 sin 39, 2◦ Ergebnisse: (1) β1 ≈ 74, 4◦ , γ1 ≈ 66, 4◦ , c1 ≈ 13, 56; (2) β2 ≈ 105, 6◦ , γ2 ≈ 35, 2◦ , c2 ≈ 8, 53

4.

Gegeben: a = 5, 62, γ = 115◦ , b = 8, 50 (SWS) C γ b

a β

α c

A

B

Abbildung 6.15 Zu Beispiel 4 (SWS) Berechnung von c mit dem Kosinussatz: c2 = 5, 622 + 8, 502 − 2 · 5, 62 · 8, 50 · cos 115◦ = 5, 622 + 8, 502 − 2 · 5, 62 · 8, 50 · cos 65◦ ≈ 144, 2113 ⇒ c ≈ 12, 01 Berechnung von α mit dem Sinussatz: 5, 62 5, 62 sin α ≈ sin 115◦ = sin 65◦ ≈ 0, 4241 ⇒ α ≈ 25, 1◦ 12, 01 12, 01 Berechnung von β (mit der Winkelsumme im Dreieck): β ≈ 180◦ − (115◦ + 25, 1◦ ) = 39, 9◦ Ergebnisse: c ≈ 12, 01, α ≈ 25, 1◦ , β ≈ 39, 9◦ 5.

Gegeben: a = 3, 43, b = 5, 26, c = 7, 95 (SSS)

C γ

b

β

α c

A

a

B

Abbildung 6.16 Zu Beispiel 5 (SSS) Berechnung von γ (liegt der gr¨ oßten Seite gegen¨ uber) mit dem Kosinussatz: 3, 432 + 5, 262 − 7, 952 ≈ −0, 6587 ⇒ γ ≈ 131, 2◦ 2 · 3, 43 · 5, 26 Berechnung von α mit dem Sinussatz: 3, 43 sin α ≈ sin 131, 2◦ ≈ 0, 3246 ⇒ α ≈ 18, 9◦ 7, 95 Berechnung von β (mit der Winkelsumme im Dreieck):

cos γ =

β ≈ 180◦ − (131, 2◦ + 18, 9◦ ) = 29, 9◦ Ergebnisse: α ≈ 18, 9◦ , β ≈ 29, 9◦ , γ ≈ 131, 2◦

6.9 Arkusfunktionen

6.9

237

Arkusfunktionen

Kennt man den Funktionswert einer trigonometrischen Funktion, etwa y = sin x, und will man daraus den zugeh¨ origen Winkel bestimmen, so muss man die Gleichung nach dem Winkel x auﬂ¨ osen, was mit Hilfe der Arkusfunktionen m¨oglich ist: x = arcsin y. Die Arkusfunktionen sind also die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. Die Arkusfunktionen werden auch zyklometrische Funktionen oder inverse trigonometrische Funktionen genannt. Zu ihrer eindeutigen Deﬁnition wird der Deﬁnitionsbereich der trigonometrischen Funktionen in Monotonieintervalle zerlegt, so dass f¨ ur jedes Monotonieintervall eine Umkehrfunktion erhalten wird (vgl. Abschnitt 5.2.8: Streng monotone Funktionen besitzen Umkehrfunktionen). Diese wird entsprechend dem zugeh¨origen Monotonieintervall mit dem Index k gekennzeichnet. Die Vorgehensweise wird am Beispiel des Arkussinus gezeigt. Der Deﬁnitionsbereich von y = sin x wird in die Monotonieintervalle kπ − π2 ≤ x ≤ kπ + π2 mit k = 0, ±1, ±2, . . . zerlegt. Durch Spiegelung von y = sin x an der Winkelhalbierenden y = x erh¨alt man die Umkehrfunktionen y = arck sin x mit den Deﬁnitionsbereichen Dk = [−1, 1] und den Wertebereichen Wk = [kπ − π2 , kπ + π2 ], wobei k = 0, ±1, ±2, . . . . Die Schreibweise y = arck sin x ist gleichbedeutend mit x = sin y. y = arck sin x ⇔ x = sin y

Die u ¨ brigen Arkusfunktionen ergeben sich analog. In der Tabelle sind die Deﬁnitionsund Wertebereiche aller Arkusfunktionen zusammengestellt, die Abbildungen 6.17 bis 6.20 zeigen die Graphen der Arkusfunktionen.

Name

Schreibweise

Deﬁnitionsbereich

Arkussinus

y = arck sin x

−1 ≤ x ≤ 1

Arkuskosinus

y = arck cos x

−1 ≤ x ≤ 1

Arkustangens

y = arck tan x

−∞ < x < ∞

Arkuskotangens

y = arck cot x

−∞ < x < ∞

Wertebereich

kπ −

π π ≤ y ≤ kπ + 2 2

kπ ≤ y ≤ (k + 1)π

kπ −

π π < y < kπ + 2 2

kπ < y < (k + 1)π

Arkusfunktionen

Gleichbedeutende trigonometrische Funktion

x = sin y

x = cos y

x = tan y

x = cot y

238

6 Trigonometrie

y

y

π

π

π 2

π 2

−1

0

1

−1

x

0

1

x

− π2

− π2 −π

−π

Abbildung 6.17 Arkussinuskurve

Abbildung 6.18 Arkuskosinuskurve

y

π π 2

− π2

0

−π

Abbildung 6.19 Arkustangenskurve

x

6.9 Arkusfunktionen

239 y

π π 2

0

x

− π2 −π

Abbildung 6.20 Arkuskotangenskurve

Setzt man k = 0, dann erh¨ alt man jeweils den sogenannten Hauptwert der Arkusfunktion. Den Hauptwert schreibt man ohne den Index k, also zum Beispiel arcsin x = arc0 sin x. F¨ ur andere Werte von k erh¨ alt man Nebenwerte der entsprechenden Arkusfunktion. Den Hauptwert der Arkusfunktionen zeigt Abbildung 6.21.

arccos x arccot x

y π arcsin x π 2

arctan x arccot x 0

arctan x

1

2

x

− π2 Abbildung 6.21 Hauptwerte der Arkusfunktionen

Die Zur¨ uckf¨ uhrung von Nebenwerten auf die Hauptwerte der Arkusfunktionen erfolgt mit Hilfe der folgenden Formeln: arck sin x = kπ + (−1)k arcsin x (k + 1)π − arccos x arck cos x = kπ + arccos x

falls k ungerade falls k gerade

arck tan x = kπ + arctan x arck cot x = kπ + arccotx

Rechenprogramme geben immer die Hauptwerte der Arkusfunktionen an.

240

6 Trigonometrie

Beziehungen zwischen den Hauptwerten

arcsin x =

π x − arccos x = arctan √ 2 1 − x2

arccos x =

x π − arcsin x = arccot √ 2 1 − x2

arctan x =

x π − arccotx = arcsin √ 2 1 + x2

arc cot x =

π x − arctan x = arccos √ 2 1 + x2

arcsin(−x) = − arcsin x arccos(−x) = π − arccos x

Formeln f¨ ur negative Argumente

arctan(−x) = − arctan x arccot(−x) = π − arccotx

Beispiele: 1.

arcsin 0 = 0; arck sin 0 = kπ

2.

1 π 1 arccos = ; arck cos = 2 3 2

3.

arc cot 1 =

− π3 + (k + 1)π π 3

π π ; arck cot 1 = + kπ 4 4

+ kπ

falls k ungerade falls k gerade

7

Analytische Geometrie

Der Grundgedanke der Analytischen Geometrie besteht darin, dass geometrische Untersuchungen mit rechnerischen Mitteln gef¨ uhrt werden. Geometrische Objekte werden dabei durch Gleichungen beschrieben und mit algebraischen Methoden untersucht.

7.1

Koordinatensysteme

Die Verbindung von Geometrie und Algebra wird dadurch erreicht, dass man die geometrischen Objekte als Punktmengen auﬀasst und jedem Punkt Zahlenwerte zuordnet, durch die er sich von anderen unterscheidet. Eine Kurve oder eine Gerade ist dann eine Menge von Punkten, f¨ ur deren Zahlenwerte bestimmte Bedingungen gelten, die man Gleichungen dieser Objekte nennt, zum Beispiel Gleichung eines Kreises oder einer Geraden. Das geometrische Bild einer linearen Gleichung in zwei Variablen ist immer eine Gerade, das einer quadratischen Gleichung in zwei Variablen immer ein Kegelschnitt. Die Grundlage f¨ ur eine solche analytische Darstellung der Geometrie ist die Zuordnung zwischen Punkt und Zahl, die eindeutig sein muss. Auf einer Geraden oder allgemeiner auf einer Kurve gen¨ ugt eine Zahl, auf einer Ebene oder einer Fl¨ache ein Zahlenpaar und im Raum ein Zahlentripel (drei Zahlen), um einen Punkt eindeutig festzulegen. Umgekehrt bestimmt ein Punkt auf einer Kurve eindeutig eine Zahl, auf einer Fl¨ache ein Zahlenpaar und im Raum ein Zahlentripel. Diese Zahlen werden Koordinaten des entsprechenden Punktes genannt. Die Koordinaten sind abh¨ angig von dem zugrunde liegenden Koordinatensystem. Es gibt verschiedene M¨ oglichkeiten f¨ ur Koordinatensysteme, von denen hier einige wichtige beschrieben werden. Allgemein kann man ein Koordinatensystem als ein System von geometrischen Objekten, mit deren Hilfe die Lage anderer geometrischer Objekte durch Zahlenwerte (Koordinaten) umkehrbar eindeutig beschrieben werden kann, bezeichnen. Legt man auf einer Geraden g einen Anfangspunkt 0 (Nullpunkt), eine positive Richtung (Orientierung) und eine L¨ angeneinheit l (Maßstab) fest, dann entspricht jeder reellen Zahl x ein bestimmter Punkt dieser Geraden, und umgekehrt entspricht jedem Punkt der Geraden eine reelle Zahl. Die Gerade g wird Zahlengerade genannt.

7.1.1

Kartesisches Koordinatensystem der Ebene

Um die Lage eines Punktes in der Ebene eindeutig festzulegen, sind zwei Zahlengeraden notwendig. Man ordnet die Zahlengeraden stets so an, dass ihre Nullpunkte zusammenfallen. Die Zahlengeraden werden Achsen des Koordinatensystems oder Koordinatenachsen genannt und als x- oder Abszissenachse und als y- oder Ordinatenachse bezeichnet. Der gemeinsame Nullpunkt, also der Schnittpunkt der beiden Geraden, heißt Koordinatenursprung oder Nullpunkt. Auf jeder der beiden Geraden wird vom Koordinatenursprung aus eine positive und eine negative Orientierung sowie ein Maßstab festgelegt. In einem kartesischen (rechtwinkligen) Koordinatensystem stehen die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander, die Achsen haben den gleichen Maßstab und bilden ein sogenannA. Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn, DOI 10.1007/978-3-8348-8258-5_7, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

242

7 Analytische Geometrie

tes Rechtssystem: Die x-Achse geht durch Drehung um einen rechten Winkel im mathematisch positiven Sinne (linksdrehend, entgegen dem Uhrzeigersinn) in die y-Achse u ¨ ber. Ein beliebiger Punkt P der Ebene kann dann durch seine kartesischen Koordinaten beschrieben werden: P (x|y) mit x als Abszisse und y als Ordinate. Dieses Koordinatensystem ist benannt nach dem franz¨osischen Mathematiker Ren´e Descartes, genannt Cartesius (1596-1650).

y-Achse (Ordinatenachse)

P1 (x1 |y1 ) y1

1 x2 0 −1 −1

P2 (x2 |y2 )

1

x1

x-Achse (Abszissenachse)

y2

Abbildung 7.1 Kartesisches Koordinatensystem der Ebene

7.1.2

Polarkoordinatensystem der Ebene

Ein Polarkoordinatensystem der Ebene ist bestimmt durch einen festen Punkt, den Pol O, und einer von ihm ausgehenden fest gew¨ ahlten Achse, der Polarachse, auf der wie bei einem Zahlenstrahl eine Orientierung und ein Maßstab festgelegt sind. Ein beliebiger Punkt P der Ebene l¨ asst sich dann durch seine Polarkoordinaten beschreiben: P (r|ϕ), wobei r der Abstand des Punktes P vom Pol O ist und ϕ der Winkel, den der Strahl vom Pol O durch den Punkt P mit der Polarachse bildet. Dabei wird der Winkel ϕ in mathematisch positiver Richtung (linksdrehend, entgegen dem Uhrzeigersinn) gemessen. Dieser Winkel ϕ ist nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2π bestimmt. Man nennt ϕ auch Polarwinkel des Punktes P .

7.1 Koordinatensysteme

243

r

P (r|ϕ)

O (Pol)

ϕ 1

Polarachse

Abbildung 7.2 Polarkoordinatensystem der Ebene

7.1.3

Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten

Ein beliebiges geometrisches Objekt kann in verschiedenen Koordinatensystemen beschrieben werden, zum Beispiel in einem kartesischen und in einem Polarkoordinatensystem. F¨ ur dieselben geometrischen Eigenschaften ﬁndet man dann zwei Gleichungen ¨ uhrung) des einen Koordif1 (x, y) = 0 und f2 (r, ϕ) = 0. Durch Transformation (Uberf¨ natensystems in das andere geht die eine Gleichung des geometrischen Objekts in die andere u ¨ ber. ¨ Die Transformationsgleichungen f¨ ur den Ubergang von Polarkoordinaten zu kartesischen Koordinaten und umgekehrt ergeben sich mit Hilfe der trigonometrischen und der Arkusfunktionen. Zur Vereinfachung wird dabei vorausgesetzt, dass der Pol des Polarkoordinatensystems mit dem Koordinatenursprung des kartesischen Koordinatensystems und die Polarachse mit der x-Achse (Abszisse) zusammenfallen.

Transformationsgleichungen

x2 + y 2

x = r cos ϕ

r=

y = r sin ϕ

cos ϕ =

x x2

+

y2

,

sin ϕ =

y P (x|y) = P (r|ϕ) y r 1 ϕ 0

1

x

x

Abbildung 7.3 Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten

y x2

+ y2

244

7 Analytische Geometrie

Beispiele: 1.

Eine rechteckige Metallplatte soll zwei Bohrungen erhalten. F¨ ur die Mitten der Bohrungen soll gelten: Die erste Bohrung ist von einer Ecke der Platte 120 mm entfernt. Die Verbindungsstrecke zwischen dieser Ecke und der Bohrung soll mit der l¨ angeren Seite der Platte einen Winkel von 30◦ bilden. Die zweite Bohrung soll dreiviertel so weit von derselben Ecke entfernt sein: Die Verbindungsstrecke zwischen dieser Ecke und der zweiten Bohrung soll mit der ersten Verbindungsstrecke einen Winkel von 45◦ einschließen. Die Bohrungsmitten sind anzureißen. Mathematisch umgesetzt bedeutet die Aufgabe: Die Polarkoordinaten r1 = 120 mm, ϕ1 = 30◦ und r2 = 90 mm, ϕ2 = 75◦ zweier Punkte P1 (r1 |ϕ1 ) und P2 (r2 |ϕ2 ) sind in kartesische Koordinaten umzurechnen (ϕ2 = ϕ1 − 45◦ kommt nicht in Frage, da P2 dann außerhalb der Platte l¨ age). Man berechnet: x1 = r1 cos ϕ1 y1 = r1 sin ϕ1 x2 = r2 cos ϕ2 y2 = r2 sin ϕ2

= 120 mm · cos 30◦ ◦

≈ 103, 92 mm

= 120 mm · sin 30

= 60, 00 mm

◦

≈ 23, 29 mm

◦

≈ 86, 93 mm

= 90 mm · cos 75 = 90 mm · sin 75

Ergebnis: x1 ≈ 130, 92 mm, y1 = 60, 00 mm, x2 ≈ 23, 29 mm, y2 ≈ 86, 93 mm

P2

y2

P1

y1 r2 r1 ϕ2 ϕ1 0

x2 x1 l¨ angere Rechteckseite

Abbildung 7.4 Zu Beispiel 1 2.

Welche Polarkoordinaten haben die Ecken A, B, C des Dreiecks mit A(2, 9|2, 3), B(−3, 0| − 0, 7), C(1, 8| − 2, 7)? Man berechnet:

(2, 9)2 + (2, 3)2 ≈ 3, 7 2, 9 ≈ 0, 7835 ⇒ ϕA ≈ 38, 4◦ cos ϕA = (2, 9)2 + (2, 3)2

rA =

rB =

(−3, 0)2 + (−0, 7)2 ≈ 3, 1

cos ϕB < 0 und sin ϕB < 0 ⇒ 180◦ < ϕB < 270◦ (vgl. Vorzeichentabelle in Abschnitt 6.2) −3, 0 cos α = ≈ −0, 9738; cos β = 0, 9738 ⇒ β ≈ 13, 1◦ (−3, 0)2 + (−0, 7)2

7.1 Koordinatensysteme

245

Wegen cos(180◦ + α) = − cos α (vgl. Abschnitt 6.5) folgt ϕB ≈ 180◦ + 13, 1◦ = 193, 1◦ rC =

(1, 8)2 + (−2, 7)2 ≈ 3, 2

cos ϕC > 0 und sin ϕC < 0 ⇒ 270◦ < ϕC < 360◦ (vgl. Vorzeichentabelle in Abschnitt 6.2) 1, 8 ≈ 0, 5547 ⇒ α ≈ 56, 3◦ cos α = 2 (1, 8) + (−2, 7)2 Wegen cos(360◦ − α) = cos α (vgl. Abschnitt 6.5) folgt ϕC ≈ 360◦ − 56, 3◦ = 303, 7◦ . Ergebnis: A(3, 7|38, 4◦ ), B(3, 1|193, 1◦ ), C(3, 2|303, 7◦ ) sind die drei Punkte in Polarkoordinaten.

y yA

A

rA

1 xB

ϕA xC

ϕB 0

B

rB

ϕC yB

yC

xA

1

x

rC

C

Abbildung 7.5 Zu Beispiel 2

7.1.4

Kartesisches Koordinatensystem des Raums

Ein kartesisches Koordinatensystem des Raums besteht aus drei paarweise aufeinander senkrecht stehenden Geraden (Koordinatenachsen), die sich in einem Punkt, dem Koordinatenursprung, schneiden. Die drei Koordinatenachsen bilden ein Rechtssystem: Winkelt man Daumen, Zeigeﬁnger und Mittelﬁnger der rechten Hand so ab, dass sie aufeinander senkrecht stehen, dann k¨ onnen diese Finger als positive Richtungen eines Rechtssystems aufgefasst werden. Man bezeichnet die Achsen in dieser Reihenfolge meist als x-Achse, y-Achse und z-Achse. Auf allen drei Achsen sind die Maßst¨abe gleich. Ein beliebiger Punkt P des Raums kann dann durch seine kartesischen Koordinaten beschrieben werden: P (x|y|z), wobei x, y und z die senkrechten Projektionen des Punktes auf die drei Koordinatenachsen sind.

246

7 Analytische Geometrie z z0 P0 (x0 |y0 |z0 )

1 0 1

1

y0

y

x0 x Abbildung 7.6 Kartesische Koordinaten eines Raumpunktes P0

7.1.5

Kugelkoordinatensystem des Raums

Ein Kugelkoordinatensystem ist bestimmt durch einen festen Punkt, den Pol O, und durch zwei aufeinander senkrecht stehende Strahlen n und o, die beide O als Anfangspunkt haben. Beide Strahlen legen jeweils eine Orientierung fest, der Strahl n eine Nordrichtung, der Strahl o eine Nullrichtung. Die auf dem Strahl n senkrecht stehende Ebene ¨ durch o heißt Aquatorebene. Ein beliebiger Punkt P des Raums kann dann durch seine Kugelkoordinaten beschrieben werden: P (r|λ|ϕ), wobei r ≥ 0 der Abstand des Punktes P vom Pol O ist, die Breiten¨ koordinate ϕ der Winkel zwischen der Aquatorebene und der Strecke OP (− π2 ≤ ϕ ≤ π2 ) und die L¨angenkoordinate λ der Winkel zwischen der Projektion der Strecke OP auf die ¨ Aquatorebene und dem Strahl o (−π < λ ≤ π). Den Drehsinn der Winkelmessungen zeigt die Abbildung. Ist ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung O und den positiven x- bzw. z-Achsen in Richtung von o bzw. n gegeben, so gelten die folgenden Umrechnungsformeln zwischen den Koordinaten eines Punktes P im kartesischen Koordinatensystem und im Kugelkoordinatensystem.

Transformationsgleichungen

x2 + y 2 + z 2

x = r cos ϕ cos λ

r=

y = r cos ϕ sin λ

tan λ =

z = r sin ϕ

z tan ϕ = 2 x + y2

y x

7.1 Koordinatensysteme

247 n

z

z P

x o

ϕ

x

r

O

y

λ P

¨ Aquator y

Abbildung 7.7 Kugelkoordinatensystem

Die Transformationsgleichungen berechnet man mit Hilfe der trigonometrischen und der Arkusfunktionen. Das L¨angen- und Breitengradsystem der Erdoberﬂ¨ache ist ein solches Kugelkoordinatensystem mit konstantem r, weshalb r zur Beschreibung der Punkte der Erdoberﬂ¨ache u ussig ist und deshalb weggelassen wird. ¨ berﬂ¨ Kugelkoordinaten heißen auch sph¨ arische Koordinaten oder r¨aumliche Polarkoordinaten oder geographische Koordinaten. 7.1.6

Zylinderkoordinatensystem des Raums

Eine Ebene E teilt den Raum in zwei Halbr¨ aume, von denen der eine als positiv und der andere als negativ ausgezeichnet wird. In der Ebene E wird ein (ebenes) Polarkoordinatensystem mit dem Pol O vorgegeben (vgl. Abschnitt 7.1.2). Ein beliebiger Punkt P des Raums kann dann durch seine Zylinderkoordinaten beschrieben werden: P (r|ϕ|z) mit den Koordinaten r und ϕ als ebenen Polarkoordinaten des Punktes P , wobei OP die Projektion der Strecke OP auf die Ebene E ist, und z als mit Vorzeichen versehenem Abstand des Punktes P von der Ebene E. Die Koordinate z ist positiv, wenn P im positiven Halbraum liegt, ansonsten negativ. Ist ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung O gegeben, so dass die x- und die y-Achse in der Ebene E liegen und die positive z-Achse im positiven Halbraum liegt und außerdem die Polarachse des ebenen Polarkoordinatensystems mit der x-Achse zusammenf¨ allt, dann gelten die folgenden Umrechnungsformeln zwischen den Koordinaten eines Punktes P im kartesischen Koordinatensystem und im Zylinderkoordinatensystem.

248

7 Analytische Geometrie

Transformationsgleichungen

x2 + y 2

x = r cos ϕ

r=

y = r sin ϕ

x cos ϕ = , 2 x + y2

z=z

z=z

y sin ϕ = 2 x + y2

z

P

z

x

y

r

O x ϕ

P

y

Abbildung 7.8 Zylinderkoordinatensystem

7.2

Geraden

7.2.1

Geradengleichungen

Eine Gerade ist die k¨ urzeste Verbindung zweier Punkte. Eine Gerade ist durch zwei beliebige auf ihr liegende Punkte eindeutig bestimmt (vgl. Abschnitt 3.1). F¨ ur eine Gerade gibt es verschiedene Gleichungsformen. 1. Die Gleichung ax + by + c = 0 ist die allgemeine Geradengleichung, wobei die Koeﬃzienten a und b nicht gleichzeitig Null sein d¨ urfen. Allgemeine Geradengleichung

ax + by + c = 0

Die Variablen x und y sind die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Geraden. Ein Punkt P0 = P (x0 |y0 ) der Ebene liegt also genau dann auf der Geraden, wenn seine Koordinaten x0 und y0 die Gleichung erf¨ ullen, wenn also ax0 + by0 + c = 0 gilt. Die Koeﬃzienten a, b, c legen die Gerade eindeutig fest. F¨ ur a = 0 ist die Gerade eine

7.2 Geraden

249

Parallele zur x-Achse, f¨ ur b = 0 eine Parallele zur y-Achse und f¨ ur c = 0 verl¨auft die Gerade durch den Koordinatenursprung (Nullpunkt). 2. Dividiert man die allgemeine Geradengleichung durch b = 0 (die Gerade ist also nicht parallel zur y-Achse), dann ergibt sich mit m = − ab und n = − cb die Hauptform oder Normalform der Geradengleichung. Hauptform oder Normalform

y = mx + n

Geraden, die Parallelen zur y-Achse sind, besitzen also keine Hauptform (Normalform). y P (x|y) y +n

x =m

mx

y m

1 n

1

n

α 0

x

1

x

Abbildung 7.9 Hauptform der Geradengleichung

Die Gr¨oße m wird Richtungskoeﬃzient oder Steigung der Geraden genannt. Die Steigung ist gleich dem Tangens des Winkels, den die Gerade mit der positiven Richtung der x-Achse einschließt. Die Strecke n wird von der Geraden auf der y-Achse abgeschnitten, deshalb heißt n auch Achsenabschnitt oder genauer y-Achsenabschnitt. Er kann ebenso wie der Tangens je nach Lage unterschiedliches Vorzeichen besitzen. Sonderf¨alle: 2.1 n = 0: Die Gerade verl¨ auft durch den Nullpunkt. Gerade durch Nullpunkt

y = mx

y P (x|y)

y y=

1

mx

m 0

1

x

x

Abbildung 7.10 Gerade mit der Gleichung y = mx

250

7 Analytische Geometrie 2.2 m = 0: Die Gerade ist eine Parallele zur x-Achse im Abstand n. y=n

Parallele zur x-Achse

y y=n 1

n 0

x

1

Abbildung 7.11 Gerade mit der Gleichung y = n

2.3 Entsprechend ist x = k die Gleichung einer Parallele zur y-Achse im Abstand k. x=k

Parallele zur y-Achse

x=k

y 1 0

x

k

Abbildung 7.12 Gerade mit der Gleichung x = k

3. Sind von einer Geraden ein Punkt P1 = P (x1 |y1 ) und die Steigung m bekannt, dann lautet die Gleichung der Geraden y = m(x − x1 ) + y1 . Dies ist die Punktsteigungsform der Geradengleichung. y = m(x − x1 ) + y1

Punktsteigungsform

y P

y 1

P1

y1

y − y1 m

mx1 x − x1

n

x1

α 0

1

x1

x

x

Abbildung 7.13 Punktsteigungsform der Geradengleichung

7.2 Geraden

251

¨ Wegen der Ahnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke mit den Katheten y − y1 und x − x1 und mit den Katheten m und 1 gilt die Proportion y − y1 = m. (y − y1 ) : (x − x1 ) = m : 1 oder x − x1 Auﬂ¨osung nach y ergibt die Punktsteigungsform. 4. Die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte P1 = P (x1 |y1 ) und P2 = P (x2 |y2 ) mit x1 = x2 ergibt die Zweipunkteform der Geradengleichung. Zweipunkteform

y=

y2 − y1 (x − x1 ) + y1 x2 − x1

y

y − y1 y2 − y 1 = x − x1 x2 − x1

oder

P

y P2

y2 P1

y1

m 1

0

x1

x2

x

x

Abbildung 7.14 Zweipunkteform der Geradengleichung

¨ Die Proportion ergibt sich aus der Ahnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke mit den Hypotenusen P1 P und P1 P2 . 5. Hat eine Gerade den Achsenabschnitt x0 auf der x-Achse und den Achsenabschnitt y0 auf der y-Achse, das heißt, die Gerade geht durch die Punkte P1 (x0 |0) und P2 (0|y0 ), x y + = 1. und gilt x0 = 0 und y0 = 0, dann lautet die Gleichung der Geraden x0 y0 Dies ist die Achsenabschnittsform der Geradengleichung. Achsenabschnittsform

x y + =1 x0 y0

Aus der allgemeinen Geradengleichung ax + by + c = 0 ergibt sich die Achsenabschnittsform durch Division durch −c = 0.

252

7 Analytische Geometrie y P2

y0

P

y

P1 0

x

x

x0

Abbildung 7.15 Achsenabschnittsform der Geradengleichung

6. Die Hesse-Form oder hessesche Normalform der Geradengleichung (nach dem deutschen Mathematiker Ludwig Otto Hesse, 1811-1874) lautet x cos ϕ + y sin ϕ − d = 0. Dabei ist d ≥ 0 der Abstand des Koordinatenursprungs O von der Geraden g, also die L¨ange des Lotes von O auf die Gerade g (Fußpunkt F ), und ϕ mit 0 ≤ ϕ < 2π der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Lot OF . x cos ϕ + y sin ϕ − d = 0

Hessesche Normalform

y

os

ϕ d ys in

ϕ

F

xc

y ϕ = α − 90◦

ϕ O

P

x

α g

x

Abbildung 7.16 Hessesche Normalform der Geradengleichung

Man kann die hessesche Normalform aus der allgemeinen Geradengleichung ax + by + c = 0 durch Multiplikation mit dem Normierungsfaktor ± √a21+b2 herleiten. Das Vorzeichen des Normierungsfaktors muss entgegengesetzt zu dem von c gew¨ahlt werden.

7.2 Geraden

253

Beispiel: Gesucht ist die Gerade durch die Punkte P1 (−5|3, 5) und P2 (2| − 7). •

Zweipunkteform:

•

Punktsteigungsform:

y − 3, 5 −7 − 3, 5 = x+5 2+5

Da die rechte Seite der Zweipunkteform die Steigung m angibt, also m =

−7 − 3, 5 = −1, 5, 2+5

folgt y = −1, 5(x + 5) + 3, 5 •

Hauptform: Aus der Punktsteigungsform ergibt sich y = −1, 5x − 7, 5 + 3, 5 und somit y = −1, 5x − 4

•

Achsenabschnittsform: Aus der Hauptform folgt y = −4 f¨ ur x = 0, der y-Achsenabschnitt ist also y0 = −4. Setzt man in die Hauptform y = 0 ein, so ergibt sich 1, 5x = −4, also x = − 83 , der x-Achsenabschnitt ist somit x0 = − 83 . Die Achsenabschnittsform lautet daher x y + =1 −4 − 38 Man ﬁndet die Achsenabschnittsform auch direkt, indem man in der Hauptform durch Division durch -4 das Absolutglied zu 1 macht.

•

Hessesche Normalform: Durch Umstellung der Hauptform ergibt sich −1, 5x − y − 4 = 0. Durch Vergleich mit der allgemeinen Geradengleichung ax + by + c = 0 erh¨ alt man a = −1, 5, b = −1, c = −4. Man erh¨ a lt die hessesche Normalform, indem man die Gleichung −1, 5x − y − 4 = 0 durch √ √ + a2 + b2 = + (−1, 5)2 + (−1)2 = + 3, 25 dividiert: 1 4 1, 5 x− √ y− √ =0 −√ 3, 25 3, 25 3, 25

y 4

P1

2 α −6

−4

ϕ d

0

2

4

6

x

−4 −6 −8

P2 g

Abbildung 7.17 Gerade durch die Punkte P1 (−5|3, 5) und P2 (2| − 7)

254

7 Analytische Geometrie

7.2.2

Abst¨ ande

Mit Hilfe der hesseschen Normalform der Geradengleichung l¨asst sich der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden oder zwischen zwei parallelen Geraden berechnen. Zun¨achst werden jedoch Formeln zur Berechnung des Abstandes zwischen zwei Punkten hergeleitet. 1. Punkt - Punkt Der Abstand zweier Punkte P1 und P2 ist die L¨ange |P1 P2 | der Verbindungsstrecke P1 P2 . Sind die Punkte im kartesischen Koordinatensystem dargestellt, also P1 = P1 (x1 |y1 ), P2 = P2 (x2 |y2 ), dann gilt f¨ ur den Abstand d(P1 , P2 ) von P1 und P2 nach dem Satz des Pythagoras d(P1 , P2 ) = |P1 P2 | = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 Sind die Punkte in Polarkoordinaten dargestellt, also P1 = P1 (r1 |ϕ1 ), P2 = P2 (r2 |ϕ2 ), dann folgt aus dem Kosinussatz d(P1 , P2 ) = |P1 P2 | = r12 + r22 − 2r1 r2 · cos(ϕ1 − ϕ2 ) 2. Gerade - Gerade Sind g1 : y = mx + n1 und g2 : y = mx + n2 zwei parallele Geraden (parallele Geraden haben gleiche Steigung), so ermittelt man die hessesche Normalform der Geraden: g1 : x cos ϕ + y sin ϕ − d1 = 0,

g2 : x cos ϕ + y sin ϕ − d2 = 0.

F¨ ur den Abstand l der parallelen Geraden g1 und g2 voneinander gilt dann • l = |d1 − d2 |, wenn die Geraden auf der gleichen Seite des Koordinatenursprungs liegen, • l = d1 + d2 , wenn die Geraden auf verschiedenen Seiten des Koordinatenursprungs liegen. 3. Punkt - Gerade Ist P1 (x1 |y1 ) ein Punkt und g1 : y = mx + n eine Gerade, dann ermittelt man zun¨achst die hessesche Normalform von g1 : g1 : x cos ϕ + y sin ϕ − d1 = 0. Durch den Punkt P1 legt man eine zu g1 parallele Gerade g2 : g2 : x cos ϕ + y sin ϕ − d2 = 0. Ist l der Abstand zwischen P1 und g1 , so ist l auch der Abstand zwischen den Geraden g1 und g2 , und es gilt g2 : x cos ϕ + y sin ϕ − (d1 ∓ l) = 0. Da P1 auf g2 liegt, erf¨ ullen seine Koordinaten die Geradengleichung x1 cos ϕ + y1 sin ϕ − (d1 ∓ l) = 0, woraus sich f¨ ur den Abstand l ergibt l = |x1 cos ϕ + y1 sin ϕ − d1 |.

7.3 Kreise

255

Beispiele: 1.

Gegeben: Die Punkte P1 (3|4) und P2 (−2|6) Gesucht: Der Abstand d(P1 , P2 ) von P1 und P2 Es gilt: d(P1 , P2 ) = =

2.

√

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 =

(−2 − 3)2 + (6 − 4)2 =

52 + 22

29 = 5, 3851 . . .

Gegeben: Die beiden parallelen Geraden g1 : 2x − 4y + 7 = 0, g2 : −3x + 6y + 30 = 0 Gesucht: Der Abstand l der beiden Geraden 2 4 7 Hessesche Normalform von g1 : − √ x + √ y − √ = 0 20 20 20 (durch Multiplikation der allgemeinen Geradengleichung mit dem Normierungsfaktor = −√ 1 = − √1 ) −√ 1 20

22 +(−4)2

a2 +b2

4 20 2 Hessesche Normalform von g2 : √ x − √ y − √ = 0 20 20 20 Entgegengesetzte Vorzeichen der x- und y-Glieder, also liegen die Geraden auf verschiedenen Seiten des Koordinatenursprungs. Somit gilt f¨ ur den Abstand l von g1 und g2 : √ 20 27 27 27 · 5 7 √ = l = d1 + d2 = √ + √ = √ = 10 20 20 20 2· 5 3.

Gegeben: Punkt P1 (5|10) und Gerade g1 : 3x − 4y + 10 = 0 Gesucht: Der Abstand l des Punktes P1 von der Geraden g1 3 4 Hessesche Normalform von g1 : − x + y − 2 = 0 5 5 durch Multiplikation der allgemeinen Geradengleichung mit dem Normierungsfaktor −√

1 a2 +b2

= −√

1 32 +(−4)2

= − 15

Durch Einsetzen der Koordinaten von P1 erh¨ alt man den gesuchten Abstand:

l =−

7.3 7.3.1

4 3 · 5 + · 10 − 2 = | − 3 + 8 − 2 | = 3 5 5

Kreise Kreisgleichungen

Der Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt M (Mittelpunkt des Kreises) einen konstanten Abstand r (Radius des Kreises) haben (vgl. Abschnitt 3.10). F¨ ur einen Kreis gibt es verschiedene Gleichungsformen. 1. Liegt der Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius r im Koordinatenursprung, dann lautet die Gleichung des Kreises in kartesischen Koordinaten x2 + y 2 = r2 . Dabei sind x und y die Koordinaten eines beliebigen Punktes P (x|y) des Kreises. Die Gleichung ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras.

256

7 Analytische Geometrie x2 + y 2 = r 2

Mittelpunkt im Ursprung

y P r

0

y x

x

Abbildung 7.18 Kreisgleichung x2 + y 2 = r 2

2. Hat der Mittelpunkt allgemeiner die Koordinaten xm und ym , also M = M (xm |ym ), dann ergibt sich die Mittelpunktsform oder Hauptform der Kreisgleichung. (x − xm )2 + (y − ym )2 = r2

Mittelpunktsform oder Hauptform

y

r M

ym

y − ym

P

y

x − xm

0

xm

x

x

Abbildung 7.19 Kreisgleichung (x − xm )2 + (y − ym )2 = r 2

3. L¨ost man in der Mittelpunktsform die Klammern auf, dann ergibt sich die allgemeine Form der Kreisgleichung. Allgemeine Form

x2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0

2 Hierin bedeuten a = −xm , b = −ym , c = x2m + ym − r2 . Aus der letzten Gleichung 2 2 2 folgt a + b − c = r > 0 als Bedingung daf¨ ur, dass es sich bei einer Gleichung der allgemeinen Form wirklich um eine Kreisgleichung handelt (f¨ ur c > a2 + b2 liefert

7.3 Kreise

257

die Gleichung keine reelle Kurve, f¨ ur c = a2 + b2 ergibt sich ein einziger Punkt M (xm |ym )). 4. Werden die beiden Koordinaten x und y jeweils als Funktion einer Hilfsvariablen t angegeben, so erh¨ alt man die Parameterdarstellung des Kreises mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M (xm |ym ) (vgl. Abschnitt 5.1.2). Parameterdarstellung

x = xm + r cos t, y = ym + r sin t,

0 ≤ t < 2π

Beispiele: 1.

Welches geometrische Objekt beschreibt die Gleichung 1, 5x2 + 1, 5y 2 + 3x − 6y + 4, 5 = 0? L¨ osung: Division durch 1,5 ergibt x2 + y 2 + 2x − 4y + 3 = 0, eine Kreisgleichung in allgemeiner Form. Dabei ist a = −xm = 1, b = −ym = −2, c = 3. Die Bedingung a2 + b2 − c > 0 ist erf¨ ullt, denn 1 + 4 − 3 = 2 > 0. Die √ des Kreismittelpunktes sind xm = −1, ym = 2, der Radius ist r = √ Koordinaten a2 + b2 − c = 2. Die Mittelpunktsform (Hauptform) dieses Kreises lautet somit (x + 1)2 + (y − 2)2 = 2.

y 4 3 M

2 1

−3 −2 −1

0

1

2

x

Abbildung 7.20 Kreis mit der Gleichung (x + 1)2 + (y − 2)2 = 2 asst sich Die aus der gegebenen Gleichung abgeleitete Gleichung x2 + y 2 + 2x − 4y + 3 = 0 l¨ auch ohne Benutzung der Formeln f¨ ur die Mittelpunktskoordinaten und den Radius auf die Mittelpunktsform bringen, und zwar mit Hilfe von quadratischen Erg¨ anzungen: x2 + y 2 + 2x − 4y + 3 = 0 = −3 (x2 + 2x) + (y 2 − 4y) (x2 + 2x + 1) + (y 2 − 4y + 4) = 1 + 4 − 3 = 2 (x + 1)2 + (y − 2)2 2.

Welches geometrische Objekt beschreibt die Gleichung 1, 5x2 + 1, 5y 2 + 3x − 6y + 9 = 0? L¨ osung: Die entsprechenden Rechnungen wie bei Beispiel 1 ergeben (x + 1)2 + (y − 2)2 = −1. Dies ist eine unerf¨ ullbare Gleichung, denn der Term auf der linken Seite des Gleichheitszeichens ist als Summe zweier Quadrate nicht negativ (ein Quadrat ist nicht negativ, also ist

258

3.

7 Analytische Geometrie auch eine Summe von Quadraten nicht negativ), w¨ ahrend die rechte Seite gleich −1, also ullt ist. negativ ist. Man best¨ atigt, dass die Bedingung a2 + b2 − c > 0 nicht erf¨ Welches geometrische Objekt beschreibt die Gleichung 1, 5x2 + 1, 5y 2 + 3x − 6y + 7, 5 = 0? L¨ osung: Man berechnet a2 + b2 − c = 1 + 4 − 5 = 0 in der durch 1,5 dividierten Gleichung und somit (x + 1)2 + (y − 2)2 = 0. Dies ist die Gleichung eines entarteten Kreises, also eines Kreises mit dem Radius r = 0. Die Gleichung wird nur von einem Koordinatenpaar, den Koordinaten des Mittelpunktes M (−1|2), erf¨ ullt.

7.3.2

Berechnung von Kreisen

Ein Kreis ist festgelegt durch den Mittelpunkt und einen weiteren Punkt oder durch drei Punkte (die nicht alle auf einer Geraden liegen). Die Gleichung eines Kreises kann also berechnet werden, wenn drei Punkte der Kreisperipherie gegeben sind oder der Mittelpunkt und ein Punkt der Peripherie. Berechnung von Kreisen: 1. Gegeben: Mittelpunkt M (xm |ym ), Punkt P1 (x1 |y1 ) Gesucht: Kreis mit dem Mittelpunkt M durch den Punkt P1 Der Radius r des gesuchten Kreises ergibt sich durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes P1 in die Mittelpunktsform der Kreisgleichung: r = (x1 − xm )2 + (y1 − ym )2 Kreisgleichung somit: (x − xm )2 + (y − ym )2 = (x1 − xm )2 + (y1 − ym )2 2. Gegeben: Punkte P1 (x1 |y1 ), P2 (x2 |y2 ), P3 (x3 |y3 ) Gesucht: Kreis durch die Punkte P1 , P2 , P3 Bestimmung der Koordinaten xm , ym des Mittelpunktes durch Einsetzen der Koordinaten der Punkte in die Mittelpunktsform der Kreisgleichung: (x1 − xm )2 + (y1 − ym )2 = (x2 − xm )2 + (y2 − ym )2 = (x3 − xm )2 + (y3 − ym )2 = r2 Daraus erh¨alt man ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung von xm und ym : 2(x2 − x1 ) · xm + 2(y2 − y1 ) · ym = x22 − x21 + y22 − y12 2(x3 − x1 ) · xm + 2(y3 − y1 ) · ym = x23 − x21 + y32 − y12 Bestimmung des Radius r: Einsetzen von xm , ym und der Koordinaten eines Punktes in die Mittelpunktsform der Kreisgleichung: r = (x1 − xm )2 + (y1 − ym )2 Einsetzen von xm , ym und r in die Mittelpunktsform der Kreisgleichung ergibt die Gleichung des gesuchten Kreises. Beispiele: 1. Gegeben: Mittelpunkt M (−2| − 1), Punkt P1 (4|3) Gesucht: Kreis mit dem Mittelpunkt M durch den Punkt P1 √ Berechnung des Radius: r = (4 − (−2))2 + (3 − (−1))2 = 52 Der gesuchte Kreis hat die Gleichung (x + 2)2 + (y + 1)2 = 52.

7.3 Kreise 2.

259

Gegeben: Punkte P1 (6|7), P2 (2|9), P3 (−1|0) Gesucht: Kreis durch die Punkte P1 , P2 , P3 Bestimmung der Koordinaten xm , ym des Mittelpunktes: 2(2 − 6)xm +2(9 − 7)ym = 22 − 62 + 92 − 72 2(−1 − 6)xm +2(0 − 7)ym = (−1)2 − 62 + 02 − 72

⇒

−8xm +4ym = 0 −14xm −14ym = −84

+

⇒ ym = 4 ⇒ x m = 2 Bestimmung des Radius r: r =

⇒

−2xm +ym = 0 2xm +2ym = 12

(6 − 2)2 + (7 − 4)2 =

√

+

25 = 5

2

Der gesuchte Kreis hat somit die Gleichung (x − 2) + (y − 4)2 = 52 .

7.3.3

Kreis und Gerade

Ein Kreis und eine Gerade k¨ onnen drei grunds¨atzlich verschiedene Lagen zueinander haben (vgl. Abschnitt 3.10.4): • • •

Die Gerade ist eine Passante p, sie hat mit dem Kreis keinen Punkt gemeinsam. Die Gerade ist eine Tangente t, sie hat mit dem Kreis genau einen Punkt, den Ber¨ uhrungspunkt P , gemeinsam. Die Gerade ist eine Sekante s, sie hat mit dem Kreis zwei Punkte, die Schnittpunkte P1 und P2 , gemeinsam.

Haben ein Kreis und eine Gerade Punkte gemeinsam (also in den F¨allen, dass die Gerade Tangente oder Sekante des Kreises ist), dann erf¨ ullen die gemeinsamen Punkte sowohl die Gleichung des Kreises als auch die Gleichung der Geraden, also das (nichtlineare) Gleichungssystem (1) (x − xm )2 + (y − ym )2 = r2 (2) ax + by + c = 0 Ist die Gerade eine Passante, dann hat dieses Gleichungssystem keine L¨osung, ist die Gerade eine Tangente, dann gibt es genau eine L¨osung, und ist die Gerade eine Sekante, dann existieren zwei verschiedene L¨ osungen. Man l¨ost dieses Gleichungssystem, indem man in der Geradengleichung (2) eine Variable durch die andere eliminiert (also Auﬂ¨ osen nach x oder y) und in (1) einsetzt. Dadurch entsteht eine quadratische Gleichung, die in Abh¨angigkeit von der Diskriminante keine, eine oder zwei reelle L¨ osungen hat. Hat zum Beispiel der gegebene Kreis seinen Mittelpunkt im Koordinatenursprung, und ist die Geradengleichung in Normalform gegeben, so folgt: (1) x2 + y 2 = r2 (2) y = mx + n Einsetzen von (2) in (1) ergibt eine quadratische Gleichung in x, die aufzul¨osen ist: x2 + (mx + n)2 = r2 ⇒ x2 + m2 x2 + 2mxn + n2 = r2 ⇒ x2 (1 + m2 ) + 2mnx + n2 − r2 = 0 mnx n2 − r 2 + =0 ⇒ x2 + 2 1 + m2 1 + m2

260

7 Analytische Geometrie

⇒ x1,2

mn 2 n2 − r2 mn =− ± − 1 + m2 1 + m2 1 + m2 1 mn =− ± m2 n2 − n2 + r2 − m2 n2 + m2 r2 1 + m2 1 + m2 mn 1 =− ± (1 + m2 )r2 − n2 1 + m2 1 + m2

Der Wert der Diskriminante D = (1 + m2 )r2 − n2 (Radikand der Gleichung f¨ ur x1,2 ) bestimmt die Anzahl der reellen L¨ osungen dieser Gleichung: •

osung (1 + m2 )r2 < n2 ⇒ keine reelle L¨

⇒ Gerade ist Passante

•

2

2

(1 + m )r = n

2

⇒ eine reelle L¨ osung

•

2

2

2

⇒ zwei reelle L¨ osungen ⇒ Gerade ist Sekante

(1 + m )r > n

⇒ Gerade ist Tangente

Beispiele: 1.

Berechnung der Schnittpunkte des Kreises mit der Gleichung (1)

(x − 2)2 + (y + 3)2 = 52

und der Geraden mit der Gleichung (2)

2x − y − 9 = 0.

Aus (2) folgt y = 2x − 9, was in (1) eingesetzt wird: (x − 2)2 + (2x − 6)2 = 25 ⇒ x2 − 4x + 4 + 4x2 − 24x + 36 = 25 ⇒ 5x2 − 28x + 15 = 0 28 x + 3 = 0 der quadratischen Gleichung, Division durch 5 ergibt die Normalform x2 − 514 2 14 2 121 = −3 + = die L¨ osungen woraus sich mit quadratischer Erg¨ anzung x − 5 5 25 14 3 11 x1,2 = ± , also x1 = 5, x2 = ergeben. 5 5 5 39 Aus (2) errechnet man die zugeh¨ origen y-Werte: y1 = 1, y2 = − . 5 3 39 Schnittpunkte von Kreis und Gerade somit: P1 (5|1), P2 − 5 5 Die Gerade ist eine Sekante. 2.

Berechnung der Schnittpunkte des Kreises mit der Gleichung (1)

(x + 2)2 + (y + 3)2 = 13

und der Geraden mit der Gleichung (2)

3x + 2y − 1 = 0.

1 3 7 3 ⇒ y+3=− x+ . Aus (2) folgt y = − x + 2 2 2 2 In (1) eingesetzt ergibt:

3 9 21 7 2 49 (x + 2)2 + − x + = 13 ⇒ x2 + 4x + 4 + x2 − x+ = 13 2 2 4 2 4 13 13 2 13 x − x+ =0 ⇒ 4 2 4

7.3 Kreise

261

4 Durch Multiplikation mit osungen erh¨ alt man x2 −2x+1 = (x−1)2 = 0, woraus sich die L¨ 13 x1 = x2 = 1 ergeben. In (2) eingesetzt ergibt den zugeh¨ origen y-Wert: y1 = y2 = −1. Die Gerade ist eine Tangente, sie ber¨ uhrt den Kreis im Punkt P (1| − 1).

3.

Berechnung der Schnittpunkte des Kreises mit der Gleichung (1)

(x − 1)2 + (y − 2)2 = 42

und der Geraden mit der Gleichung (2)

x − y + 10 = 0.

Gleichung (2) nach y aufgel¨ ost: y = x + 10 ⇒ y − 2 = x + 8 In (1) eingesetzt: (x − 1)2 + (x + 8)2 = 16 ⇒ x2 − 2x + 1 + x2 + 16x + 64 = 16 ⇒ 2x2 + 14x + 49 = 0 ⇒ x2 + 7x + ⇒ x1,2

7 =− ± 2

49 49 7 − =− ± 4 2 2

49 =0 2

−

√ 49 7 = − 1 ∓ −1 4 2

Die Diskriminante ist negativ, die quadratische Gleichung hat also keine reelle L¨ osung, das heißt, Kreis und Gerade schneiden sich nicht. Die Gerade ist eine Passante.

Eine Tangente ist ganz allgemein eine Gerade, die eine Kurve, also den Graph einer Funktion y = f (x), in einem Punkt P (a|f (a)) ber¨ uhrt, aber nicht schneidet (Tangente = Ber¨ uhrende). Tangenten gibt es also nicht nur beim Kreis, sondern f¨ ur beliebige Kurven. Eine Normale ist eine Gerade durch den Punkt P (a|f (a)) einer Funktion y = f (x), die senkrecht auf der Tangente an die Kurve der Funktion in diesem Punkt P steht. Zu jeder Tangente geh¨ort also eine Normale. Ist m1 = tan α die Steigung der Tangente, dann ist also m2 = tan(α ± 90◦ ) die Steigung 1 der zugeh¨origen Normale. Wegen tan(α ± 90◦ ) = − (vgl. Abschnitte 6.3 und 6.5) tan α ur das Produkt von Tangenten- und Normalensteigung. folgt daraus m1 m2 = −1 f¨ Beim Kreis geht jede Normale durch den Kreismittelpunkt. Will man die Gleichung der Normale des Kreises mit der Gleichung (x−xm )2 +(y−ym)2 = r2 (also Mittelpunktsform) durch den Punkt P1 (x1 |y1 ) des Kreises berechnen, so setzt man die Koordinaten der Punkte M (xm |ym ) und P1 (x1 |y1 ), die auch auf der Normale liegen und diese damit eindeutig festlegen, in die Zweipunkteform der Geradengleichung ein.

y=

y1 − ym (x − x1 ) + y1 x1 − xm

oder

y1 − y m y − y1 = x − x1 x1 − xm

Dies sind Gleichungen der Normale durch den Punkt P1 (x1 |y1 ) des Kreises.

262

7 Analytische Geometrie

N or

m al e

y

P1 (x1 |y1 )

y1 r

xm

e nt

0

M (xm |ym )

e ng Ta

ym

x1

x

Abbildung 7.21 Eine Tangente und eine Normale des Kreises

Die Steigung der Normale ist daher m2 =

y1 − y m . Wegen m1 m2 = −1 folgt f¨ ur die x1 − xm

x1 − xm . Die Gleichung der Tangente im Punkt y1 − y m P1 (x1 |y1 ) l¨asst sich dann mit der Punktsteigungsform berechnen

Steigung m1 der Tangente m1 = −

y = m1 (x − x1 ) + y1 = −

x1 − xm (x − x1 ) + y1 y1 − y m

Durch Subtraktion von y und Multiplikation der Gleichung mit −(y1 − ym ) erh¨alt man folgende a¨quivalente Form als Gleichung der Tangente im Punkt P1 (x1 |y1 ) an den Kreis mit der Gleichung (x − xm )2 + (y − ym )2 = r2 . (x1 − xm )(x − x1 ) + (y1 − ym )(y − y1 ) = 0 Durch elementare Umformungen ergibt sich (x1 − xm )(x − x1 ) + (y1 − ym )(y − y1 ) = 0 (x1 − xm ) x + (y1 − ym ) y = x1 (x1 − xm ) + y1 (y1 − ym ) (x1 − xm )(x − xm ) + (y1 − ym )(y − ym ) = (x1 − xm )2 + (y1 − ym )2 (x1 − xm )(x − xm ) + (y1 − ym )(y − ym ) = r2 Die letzte Gleichung folgt, weil P1 (x1 |y1 ) ein Punkt des Kreises ist und damit die Kreisgleichung erf¨ ullt. Als weitere ¨aquivalente Tangentengleichung erh¨alt man also (x1 − xm )(x − xm ) + (y1 − ym )(y − ym ) = r2

7.3 Kreise

263

Beispiele: 4.

Bestimmung der Gleichungen von Tangente und Normale an den Kreis mit der Gleichung (x − 2)2 + (y + 3)2 = 10 im Punkt P1 (1|0) des Kreises. Tangente:

1 1 x− 3 3

0+3 (x − 1) + 0 ⇒ y = −3x + 3 1−2 3 Welche Geraden mit der Steigung m = − ber¨ uhren den Kreis mit der Gleichung 2 2 2 x + y = 9? Normale:

5.

(1 − 2)(x − 1) + (0 + 3)(y − 0) = 0 ⇒ y = y=

L¨ osung: F¨ ur den y-Achsenabschnitt n einer Tangente an einen Kreis, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt, gilt nach dem Satz des Pythagoras n2 = r 2 + z 2 = r 2 + r2 m21 = z (1 + m21 )r 2 , denn tan(180◦ − α) = und tan(180◦ − α) = − tan α = −m1 (siehe Abbilr dung 7.22).

y n

z

1 M

180◦−α r 0

ale rm o N Tangente α

1

x

Tangente

Abbildung 7.22 Tangenten und Normale des Kreises mit der Gleichung x2 + y 2 = 9 3 und r = 3 ergibt 2

9 13 117 1√ ·9= 117 ≈ ±5, 4083. ·9= ⇒ n=± n2 = 1 + 4 4 4 2 Die gesuchten Tangentengleichungen sind 3 3 1√ 1√ 117 und y = − x − 117. y =− x+ 2 2 2 2 Die beiden Tangenten sind in Abbildung 7.22 eingezeichnet. Einsetzen von m = m1 = −

264

7 Analytische Geometrie

7.4

Kugeln

Eine Kugel ist der geometrische Ort aller Punkte des Raumes, die von einem festen Punkt M (Mittelpunkt der Kugel) einen konstanten Abstand r (Radius der Kugel) haben (vgl. Abschnitt 4.8). F¨ ur eine Kugel gibt es verschiedene Gleichungsformen. 1. Liegt der Mittelpunkt einer Kugel mit dem Radius r im Ursprung eines (dreidimensionalen) kartesischen Koordinatensystems, dann lautet die Gleichung der Kugel x2 + y 2 + z 2 = r2 . Dabei sind x, y und z die Koordinaten eines beliebigen Punktes P (x|y|z) der Kugel (Kugeloberﬂ¨ ache). x2 + y 2 + z 2 = r 2

Mittelpunkt im Ursprung z

0

y

r

x

Abbildung 7.23 Kugel mit der Gleichung x2 + y 2 + z 2 = r 2

2. Hat der Mittelpunkt allgemeiner die Koordinaten xm , ym und zm , also M = M (xm |ym |zm ), dann ergibt sich die Mittelpunktsform oder Hauptform der Kugelgleichung. Mittelpunktsform oder Hauptform

(x − xm )2 + (y − ym )2 + (z − zm )2 = r2

Eine Kugel ist festgelegt durch den Mittelpunkt und einen weiteren Punkt oder durch vier Punkte (die nicht alle in einer Ebene liegen). Beispiele: 1.

Gegeben: Mittelpunkt im Koordinatenursprung, also M = M (0|0|0), Punkt P1 (4|3|1) Gesucht: Kugel mit dem Mittelpunkt M durch den Punkt P1 √ √ Berechnung des Radius: r = 42 + 32 + 12 = 26 Die gesuchte Kugel hat die Gleichung x2 + y 2 + z 2 = 26.

2.

Gegeben: Mittelpunkt M (2| − 1|1), Punkt P1 (0|4| − 3) Gesucht: Kugel mit dem Mittelpunkt M durch den Punkt P1 Berechnung des Radius: r =

(0 − 2)2 + (4 − (−1))2 + (−3 − 1)2 = 2

2

2

√

45

Die gesuchte Kugel hat die Gleichung (x − 2) + (y + 1) + (z − 1) = 45.

7.5 Kegelschnitte

7.5

265

Kegelschnitte

Ein Kegelschnitt ist die Schnittﬁgur einer Ebene und des Mantels eines geraden Doppelkreiskegels. Ein gerader Kreiskegel entsteht durch Rotation einer Geraden (die Erzeugende oder Mantellinie) in einem festen Punkt (der Spitze) um eine vertikale Achse, wobei sich die rotierende Gerade entlang eines Kreises bewegt (also mit einem Kreis als Leitkurve), der in einer Ebene senkrecht zur Rotationsachse liegt (vgl. Abschnitt 4.4). Ein gerader Doppelkreiskegel besteht aus zwei gleichen geraden Kreiskegeln, deren Rotationsachsen parallel sind und deren Spitzen sich ber¨ uhren. Schneidet man einen geraden Doppelkreiskegel mit einer nicht durch die (gemeinsame) Spitze S gehenden Ebene E, dann entsteht als Kurve ein Kegelschnitt. Abh¨angig von der Lage der Ebene E zum Doppelkegel erh¨alt man verschiedene Kurven. •

Kreis Liegt die Ebene senkrecht zur Kegelachse (Rotationsachse), so schneidet sie aus der Mantelﬂ¨ache des Kegels einen Kreis heraus.

•

Ellipse Ist die Neigung der Ebene so, dass sie nur eine H¨alfte des Doppelkegels schneidet und dass sie nicht parallel zu einer Mantellinie verl¨auft, so wird eine Ellipse ausgeschnitten.

•

Parabel Verl¨auft die Ebene parallel zu einer Mantellinie, so schneidet sie aus der Mantelﬂ¨ache eine Parabel heraus.

•

Hyperbel Triﬀt die Ebene beide H¨ alften des Doppelkegels (zum Beispiel wenn sie parallel zur Kegelachse steht), dann ist die Schnittﬁgur eine Hyperbel (es werden zwei Kurven ¨ ausgeschnitten, die beiden Aste einer Hyperbel).

Abbildung 7.24 Kegelschnitt Ellipse

Abbildung 7.25 Kegelschnitt Parabel

266

7 Analytische Geometrie

Abbildung 7.26 Kegelschnitt Hyperbel

Die Kegelschnitte lassen sich bez¨ uglich der Lage der Ebene E zu den Mantellinien des Doppelkegels charakterisieren: Beim Kreis und bei der Ellipse ist die Ebene zu keiner der Mantellinien parallel, bei der Parabel ist die Ebene zu einer Mantellinie parallel, und bei der Hyperbel ist die Ebene zu zwei Mantellinien des Doppelkegels parallel. ¨ Die Kegelschnitte lassen sich auch durch die Beziehung des Oﬀnungswinkels α des Kegels zum Neigungswinkel β der Schnittebene E zur Rotationsachse beschreiben: Kreis: β = 90◦ α < β < 90◦ Ellipse: 2 α Parabel: β= 2 α Hyperbel: 0 ≤ β < 2 Kreis

Parabel β

β Rotationsachse

Ellipse

Hyperbel α

β

β

Abbildung 7.27 Beschreibung der Kegelschnitte

Der Kreis ist bez¨ uglich der verschiedenen Lagen von Ebene und Doppelkegel ein Spezialfall der Ellipse. Kreis und Ellipse sind beschr¨ ankt, nicht jedoch Parabel und Hyperbel. Die Parabel besteht aus einem einzigen Ast (sie ist also zusammenh¨angend), w¨ahrend die Hyperbel zwei ¨ getrennte symmetrische Aste besitzt.

7.5 Kegelschnitte

267

Falls die Ebene E durch die Kegelspitze S geht, dann besteht die Schnittmenge entweder nur aus einem Punkt (dem Punkt S) oder aus einer Gerade durch S oder aus einem durch S gehenden Geradenpaar. Solche Schnittmengen heißen entartete Kegelschnitte. Die nahe Verwandtschaft der Kegelschnitte zeigt sich auch in ihren Gleichungen. Jeder Kegelschnitt ist der Graph einer Funktion, die als Funktionsgleichung eine Gleichung zweiten Grades in x und y hat. In einer solchen Gleichung kommen x und y nur linear und quadratisch vor. Die allgemeine Gleichung eines Kegelschnitts lautet Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

Diese Gleichung enth¨ alt als Sonderf¨ alle auch Gleichungen von Punkten, Geraden, Geradenpaaren und imagin¨ aren Kurven. Beispiele: 1.

A = −1, B = C = D = 0, E = 1, F = 0 ⇒ y = x2 Gleichung der Normalparabel

2.

A = 1, B = 0, C = 1, D = E = 0, F = −r 2 ⇒ x2 + y 2 = r2 Mittelpunktsform der Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung

3.

4.

5.

1 1 x2 y2 , B = 0, C = , D = E = 0, F = −1 ⇒ + =1 a2 b2 a2 b2 Mittelpunktsform der Gleichung einer Ellipse mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung A=

1 x2 y2 1 , B = 0, C = − 2 , D = E = 0, F = −1 ⇒ 2 − 2 = 1 2 a b a b Mittelpunktsform der Gleichung einer Hyperbel mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung A=

A = B = C = 0, D = −1, E = 1, F = 0 ⇒ y = x Gleichung der Winkelhalbierenden (Gerade)

7.5.1

Ellipsen

Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte einer Ebene, f¨ ur die die Summe der Abst¨ande von zwei festen Punkten F1 und F2 konstant ist. Die Punkte F1 und F2 heißen Brennpunkte der Ellipse. Bezeichnet man den Abstand eines beliebigen Punktes P1 der Ellipse zu F1 mit r1 und den Abstand von P1 zu F2 mit r2 , also |P1 F1 | = r1 , |P1 F2 | = r2 , dann gilt r1 + r2 = 2a mit einer Konstanten a.

268

7 Analytische Geometrie y S1

a

a r 2

b

p F2

S2

p b

P1

y1

p F1

M =O x1 e a

e a

r1 S1

p

x

S2 Abbildung 7.28 Bezeichnungen f¨ ur die Ellipse

•

Bezeichnungen M (0|0) F1 (e|0), F2 (−e|0) S1 (a|0), S2 (−a|0) S1 (0|b), S2 (0| − b)

Mittelpunkt Brennpunkte Hauptscheitelpunkte Nebenscheitelpunkte

S1 S2

Hauptachse

S1 S2

Nebenachse

|S1 S2 | = 2a

L¨ ange der Hauptachse

|S1 S2 |

L¨ ange der Nebenachse (b < a)

= 2b

|M F1 | = |M F2 | = e

Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt

2

p=

•

b a

P1 (x1 |y1 )

Halbparameter (die halbe L¨ange einer parallel zur Nebenachse gezogenen Sehne durch einen Brennpunkt) beliebiger Punkt der Ellipse

|P1 F1 | = r1 , |P1 F2 | = r2

Abstand von P1 zu den Brennpunkten

Eigenschaften r1 + r2 = 2a e 2 + b 2 = a2 √ e = a2 − b2 > 0 e ε= <1 a

•

Summe der Abst¨ ande ist konstant gilt nach dem Satz des Pythagoras heißt lineare Exzentrizit¨ at der Ellipse heißt numerische Exzentrizit¨at der Ellipse

Bemerkungen Eine der drei Gr¨ oßen a, b, e kann wegen e2 + b2 = a2 aus den beiden anderen berechnet werden. Im Falle a = b entartet die Ellipse zu einem Kreis. Die beiden Brennpunkte F1 , F2 fallen dann mit dem Kreismittelpunkt zusammen.

7.5 Kegelschnitte

269

Ellipsengleichungen 1. Fallen die Koordinatenachsen mit den Ellipsenachsen zusammen, und ist der Koordinatenursprung der Mittelpunkt der Ellipse, dann lautet die Gleichung der Ellipse y2 x2 + 2 = 1. Dies ist die Normalform der Ellipsengleichung. 2 a b y2 x2 + =1 a2 b2

Normalform

2. Ist M (xm |ym ) der Mittelpunkt der Ellipse, und sind die Ellipsenachsen parallel zu den Koordinatenachsen, dann erh¨ alt man die Mittelpunktsform der Ellipsengleichung. (y − ym )2 (x − xm )2 + =1 2 a b2

Mittelpunktsform

3. Werden die beiden Koordinaten x und y jeweils als Funktion einer Hilfsvariablen t angegeben, so erh¨ alt man die Parameterdarstellung einer Ellipse, deren Achsen mit den Koordinatenachsen zusammenfallen (vgl. Abschnitt 5.1.2). x = a cos t, y = b sin t,

Parameterdarstellung

0 ≤ t < 2π

Gleichung der Tangente im Punkt P1 (x1 |y1 ) an die Ellipse mit der Gleichung (y − ym )2 (x − xm )2 + = 1: a2 b2 y=−

x1 − xm b2 · · (x − x1 ) + y1 y1 − ym a2

oder (x1 − xm )(x − xm ) (y1 − ym )(y − ym ) + =1 a2 b2 Gleichung der Normale (die Normale steht senkrecht auf der Tangente) durch den Punkt P1 (x1 |y1 ) der Ellipse: y=

y1 − ym a2 · · (x − x1 ) + y1 x1 − xm b2

F¨ ur die Fl¨ache A und den Umfang u einer Ellipse gilt Ellipsenﬂ¨ ache

A = πab

Ellipsensumfang u ≈ π[1, 5(a + b) −

√ ab ]

Der Wert f¨ ur den Umfang ist nur eine N¨ aherung, eine exakte Formel gibt es nicht.

270

7 Analytische Geometrie

Beispiele: 1.

Gegeben: Ellipsengleichung

y2 x2 + =1 6, 25 4

Gesucht: L¨ ange der Achsen, Brennpunkte, numerische Exzentrizit¨ at √ L¨ ange der Hauptachse = 2a = 2 · 2, 5 = 5 (denn a = 6, 25 = 2, 5) √ L¨ ange der Nebenachse = 2b = 2 · 2 = 4 (denn b = 4 = 2) Berechnung der Brennpunkte: e2 = a2 − b2 = 6, 25 − 4 = 2, 25 = 1, 52 ⇒ F1 (1, 5|0), F2 (−1, 5|0) e 1, 5 Numerische Exzentrizit¨ at: ε = = = 0, 6 a 2, 5 2.

Gegeben: Punkte P1 (2|2), P2 (4|1) einer Ellipse, Koordinatenachsen gleich Ellipsenachsen Gesucht: Gleichung der Ellipse Berechnung von a und b (halbe L¨ angen der Achsen): Koordinaten von P1 in die Normalform

x2 y2 + 2 = 1 der Ellipsengleichung einsetzen: 2 a b

4 4 + 2 = 1 ⇒ 4b2 + 4a2 = a2 b2 a2 b Kooordinaten von P2 in die Normalform einsetzen: 16 1 + 2 = 1 ⇒ 16b2 + a2 = a2 b2 a2 b Gleichsetzen der Gleichungen ergibt 4b2 + 4a2 = 16b2 + a2 ⇒ 3a2 = 12b2 ⇒ a2 = 4b2 Durch Einsetzen errechnet man 4b2 + 16b2 = 4b4 ⇒ 20b2 = 4b4 ⇒ b2 = 5 Daraus ergibt sich schließlich a2 = 4 · 5 = 20 x2 y2 Die Ellipsengleichung lautet also: + =1 20 5 3.

ange der Hauptachse a = 5 Gegeben: Brennpunkte F1 (4|0), F2 (−4|0), halbe L¨ Gesucht: Ellipsengleichung, numerische Exzentrizit¨ at Berechnung der halben L¨ ange der Nebenachse: b2 = a2 − e2 = 25 − 16 = 9 ⇒ b = 3 x2 y2 Ellipsengleichung: + =1 25 9 e 4 Numerische Exzentrizit¨ at: ε = = = 0, 8 a 5

4.

ange der Hauptachse Im Punkt P1 (3, 1|2, 7) einer Ellipse in Normalform mit der halben L¨ a = 4, 8 ist die Tangente gesucht. Wie groß ist die lineare Exzentrizit¨ at e? L¨ osung: x2 y2 Koordinaten von P1 und a = 4, 8 in die Normalform 2 + 2 = 1 der Ellipsengleichung a b einsetzen, um b zu berechnen: (2, 7)2 (2, 7)2 · (4, 8)2 (3, 1)2 + = 1 ⇒ b2 = = 12, 5064 . . . ⇒ b = 3, 5364 . . . 2 2 (4, 8) b (4, 8)2 − (3, 1)2 Einsetzen der Koordinaten von P1 , von a und b sowie von xm = ym = 0 in die Tangenten(x1 − xm )(x − xm ) (y1 − ym )(y − ym ) gleichung + = 1: a2 b2

7.5 Kegelschnitte

271

3, 1 x 2, 7 y + =1 23, 04 12, 5064 . . . Die Normalform der Tangentengleichung erh¨ alt man durch Auﬂ¨ osen nach y: y = −0, 6232 . . . x + 4, 6320 . . . Berechnung von e: √ √ e = a2 − b2 = 23, 04 − 12, 5064 . . . = 3, 2455 . . .

Es gibt etliche Konstruktionsm¨ oglichkeiten f¨ ur eine Ellipse. Eine davon ist die sogenannte Faden- oder G¨artnerkonstruktion: Die Endpunkte eines Fadens der L¨ ange 2a werden mit Hilfe zweier Pf¨ahle an zwei Punkten F1 und F2 fest verankert, und zwar so, dass der Faden nicht straﬀ ist. Ein Stock, der den Faden spannt und bewegt wird, beschreibt eine Ellipse.

k F2

2a −

k

F1

Abbildung 7.29 G¨ artnerkonstruktion einer Ellipse

7.5.2

Hyperbeln

Eine Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte einer Ebene, f¨ ur die der Betrag der Diﬀerenz der Abst¨ ande von zwei festen Punkten F1 und F2 konstant ist. Die Punkte F1 und F2 heißen Brennpunkte der Hyperbel. Bezeichnet man den Abstand eines beliebigen Punktes P1 der Hyperbel zu F1 mit r1 und den Abstand von P1 zu F2 mit r2 , also |P1 F1 | = r1 , |P1 F2 | = r2 , dann gilt |r1 − r2 | = 2a mit einer Konstanten a. Die Hyperbel ist nicht zusammenh¨ angend, sie besteht aus zwei getrennten symmetri¨ schen Asten (die Hyperbel hat also auch keinen endlichen Fl¨acheninhalt). Sie besitzt zwei Asymptoten.

272

7 Analytische Geometrie y Q2

Q1

P1 r1

r2 b

b

p F2 p Hy

A e F1 tot M =O sym S1 p pto p m y te b As

S2 b

l be

r pe

p

a

a

Q2

Q1

Scheitelkreis

x Hy

pe

rb

el

e

Abbildung 7.30 Bezeichnungen f¨ ur die Hyperbel

•

•

Bezeichnungen M (0|0) F1 (e|0), F2 (−e|0) S1 (a|0), S2 (−a|0)

Mittelpunkt Brennpunkte Scheitelpunkte

S1 S2

Hauptachse (Hyperbelachse)

|S1 S2 | = 2a

L¨ ange der Hauptachse

|M F1 | = |M F2 | = e Q1 , Q1 , Q2 , Q2

Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt Schnittpunkte der Asymptoten mit den Senkrechten zur Hauptachse durch die Scheitelpunkte

|S1 Q1 | = |S1 Q1 | = |S2 Q2 | = |S2 Q2 | = b b2 p= a

Abstand der Schnittpunkte zu den Scheitelpunkten

P1 (x1 |y1 )

Halbparameter (die halbe L¨ange einer senkrecht zur Hauptachse gezogenen Sehne durch einen Brennpunkt) beliebiger Punkt der Hyperbel

|P1 F1 | = r1 , |P1 F2 | = r2

Abstand von P1 zu den Brennpunkten

Eigenschaften Betragsdiﬀerenz der Abst¨ande ist konstant |r1 − r2 | = 2a gilt nach dem Satz des Pythagoras a2 + b2 = e2 √ 2 2 at der Hyperbel e = a + b > 0 heißt lineare Exzentrizit¨ e ε= >1 heißt numerische Exzentrizit¨at der Hyperbel a

7.5 Kegelschnitte •

273

Bemerkung Eine der drei Gr¨ oßen a, b, e kann wegen a2 + b2 = e2 aus den beiden anderen berechnet werden.

Hyperbelgleichungen 1. Scheitelpunkte auf der x-Achse, Mittelpunkt im Koordinatenursprung: x2 y2 − =1 a2 b2

Normalform

Beide Koordinatenachsen sind Symmetrieachsen der Hyperbel. Die Hyperbel ist nach rechts und nach links ge¨ oﬀnet. Diese Gleichung nennt man auch die Normalform der Hyperbelgleichung. b Gleichungen der Asymptoten y = ± x a Nur im Falle a = b stehen die Asymptoten senkrecht aufeinander. Solche Hyperbeln heißen gleichseitige Hyperbeln. 2. Hauptachse parallel zur x-Achse, Mittelpunkt M (xm |ym ): (x − xm )2 (y − ym )2 − =1 2 a b2

Mittelpunktsform

Die Hyperbel ist nach rechts und nach links ge¨oﬀnet. Diese Gleichung heißt auch Mittelpunktsform der Hyperbelgleichung. b Gleichungen der Asymptoten y = ± (x − xm ) + ym a 3. Scheitelpunkte auf der y-Achse, Mittelpunkt im Koordinatenursprung: −

x2 y2 + =1 a2 b2

Beide Koordinatenachsen sind Symmetrieachsen der Hyperbel. Die Hyperbel ist nach oben und nach unten ge¨ oﬀnet. b Gleichungen der Asymptoten y = ± x a 4. Hauptachse parallel zur y-Achse, Mittelpunkt M (xm |ym ): −

(y − ym )2 (x − xm )2 + =1 a2 b2

Die Hyperbel ist nach oben und nach unten ge¨oﬀnet. Die L¨ange der Hauptachse ist 2b. b Gleichungen der Asymptoten y = ± (x − xm ) + ym a 5. Koordinatenachsen als Asymptoten, Mittelpunkt im Koordinatenursprung: x · y = c oder y =

c (c = 0) x

274

7 Analytische Geometrie F¨ ur c > 0 ist die Winkelhalbierende y = x die Hauptachse, die Hyperbel¨aste liegen im ersten und im dritten Quadranten. Im Falle c < 0 ist die Winkelhalbierende y = −x die Hauptachse, die Hyperbel¨ aste liegen im zweiten und im vierten Quadranten. Gleichungen der Asymptoten x = 0, y = 0

Gleichung der Tangente im Punkt P1 (x1 |y1 ) an die Hyperbel mit der Gleichung (x − xm )2 (y − ym )2 − = 1: a2 b2 y=

x1 − xm b2 · · (x − x1 ) + y1 y1 − y m a 2

oder (x1 − xm )(x − xm ) (y1 − ym )(y − ym ) − =1 a2 b2 Gleichung der Normale (die Normale steht senkrecht auf der Tangente) durch den Punkt (x − xm )2 (y − ym )2 P1 (x1 |y1 ) der Hyperbel mit der Gleichung − = 1: a2 b2 y=−

y1 − ym a2 · · (x − x1 ) + y1 x1 − xm b2

Gleichung der Tangente im Punkt P1 (x1 |y1 ) an die Hyperbel mit der Gleichung (x − xm )2 (y − ym )2 − = 1: 2 b a2 y=

x1 − xm b2 · · (x − x1 ) + y1 y1 − y m a 2

oder (y1 − ym )(y − ym ) (x1 − xm )(x − xm ) − =1 b2 a2 Gleichung der Normale (die Normale steht senkrecht auf der Tangente) durch den Punkt (y − ym )2 (x − xm )2 P1 (x1 |y1 ) der Hyperbel mit der Gleichung − = 1: b2 a2 y=−

y1 − ym a2 · · (x − x1 ) + y1 x1 − xm b2

7.5 Kegelschnitte

275

Beispiele: 1.

y2 x2 − =1 16 20 Gesucht: Brennpunkte, numerische Exzentrizit¨ at Gegeben: Hyperbelgleichung

Berechnung der Brennpunkte: e2 = a2 + b2 = 16 + 20 = 36 = 62 ⇒ F1 (6|0), F2 (−6|0) 6 e Numerische Exzentrizit¨ at: ε = = = 1, 5 a 4 2.

Gegeben: Brennpunkte F1 (5|0), F2 (−5|0), halbe L¨ ange der Hauptachse a = 4 Gesucht: Hyperbelgleichung, numerische Exzentrizit¨ at, Gleichungen der Asymptoten Berechnung von b2 : b2 = e2 − a2 = 25 − 16 = 9 x2 y2 Hyperbelgleichung: − =1 16 9 e 5 Numerische Exzentrizit¨ at: ε = = = 1, 25 a 4 3 b Gleichungen der Asymptoten: y = ± x = ± x a 4

3.

Gegeben: Punkte P1 (2|1), P2 (3|2) einer Hyperbel Gesucht: Normalform der Hyperbelgleichung durch P1 und P2 Berechnung von a und b: Koordinaten von P1 in die Normalform

x2 y2 − = 1 der Hyperbelgleichung einsetzen: a2 b2

4 1 − 2 = 1 ⇒ 4b2 − a2 = a2 b2 a2 b Kooordinaten von P2 in die Normalform einsetzen: 4 9 − 2 = 1 ⇒ 9b2 − 4a2 = a2 b2 a2 b Gleichsetzen der Gleichungen ergibt 5 4b2 − a2 = 9b2 − 4a2 ⇒ 3a2 = 5b2 ⇒ a2 = b2 3 Durch Einsetzen errechnet man 5 5 7 2 5 7 4b2 − b2 = b4 ⇒ b = b4 ⇒ b2 = 3 3 3 3 5 7 5 7 2 Daraus ergibt sich schließlich a = · = . 3 5 3 Die Hyperbelgleichung lautet 4.

x2 7 3

−

y2 7 5

=1

Im Punkt P1 (5, 6|3, 4) einer Hyperbel in Normalform mit der halben L¨ ange der Hauptachse a = 2, 8 ist die Tangente gesucht. Wie groß ist die lineare Exzentrizit¨ at e? L¨ osung: x2 y2 Koordinaten von P1 und a = 2, 8 in die Normalform 2 − 2 = 1 der Hyperbelgleichung a b einsetzen, um b zu berechnen: (3, 4)2 (2, 8)2 · (3, 4)2 (5, 6)2 − = 1 ⇒ b2 = = 3, 8533 . . . ⇒ b = 1, 9629 . . . 2 2 (2, 8) b (5, 6)2 − (2, 8)2 Einsetzen der Koordinaten von P1 , von a und b sowie von xm = ym = 0 in die Tangenten(x1 − xm )(x − xm ) (y1 − ym )(y − ym ) gleichung − = 1: a2 b2

276

7 Analytische Geometrie 5, 6 x 3, 4 y − =1 7, 84 3, 8533 . . . Die Normalform der Tangentengleichung erh¨ alt man durch Auﬂ¨ osen nach y: y = 0, 8095 . . . x − 1, 1333 . . . Berechnung von e: √ √ e = a2 + b2 = 7, 84 + 3, 8533 . . . = 3, 4195 . . .

Es gibt verschiedene Konstruktionsm¨ oglichkeiten f¨ ur eine Hyperbel. Eine davon ist die sogenannte Fadenkonstruktion: In einem der beiden Brennpunkte wird ein Stab der L¨ange l > 2a drehbar befestigt. Die Enden eines Fadens der L¨ ange l − 2a werden am freien Stabende und am anderen Brennpunkt befestigt. Mit einem Stift wird der Faden am Stab gestraﬀt. Wird der Stab um den Brennpunkt gedreht, dann beschreibt der Stift einen Teil eines Hyperbelastes.

l Stab

l − 2a F2

a

M

a

F1

Abbildung 7.31 Fadenkonstruktion einer Hyperbel

7.5.3

Parabeln

Eine Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte einer Ebene, die von einem festen Punkt F (Brennpunkt) und einer festen Geraden l (Leitlinie) den gleichen Abstand besitzen. Der Punkt, der in der Mitte zwischen dem Brennpunkt F und der Leitlinie l liegt, ist der Scheitelpunkt S. Die Gerade durch die Punkte F und S heißt Parabelachse. Sie ist Symmetrieachse f¨ ur die Parabel und steht senkrecht auf der Leitlinie l. Der Abstand p des Brennpunkts F von der Leitlinie l heißt Parameter der Parabel. Der Brennpunkt hat die Eigenschaft, alle innen an der Parabel reﬂektierten achsenparallelen Strahlen in sich zu vereinigen (Anwendung: Parabolspiegel).

277

Leitlinie l

7.5 Kegelschnitte

d

P

d p 2 S

p 2

Parabelachse F

Abbildung 7.32 Parabel mit Brennpunkt F und Scheitelpunkt S

Parabelgleichungen 1. x-Achse ist Parabelachse, Scheitelpunkt im Koordinatenursprung, Parabel nach rechts ge¨oﬀnet: Normalform

y 2 = 2px, p > 0

Der Brennpunkt ist F ( p2 |0), die Gleichung der Leitlinie ist x = − p2 . Diese Gleichung nennt man auch die Normalform der Parabelgleichung. 2. Parabelachse parallel zur x-Achse, Scheitelpunkt S(xs |ys ), Parabel nach rechts ge¨oﬀnet: Scheitelpunktsform

(y − ys )2 = 2p(x − xs ), p > 0

Der Brennpunkt ist F ( p2 + xs |ys ), die Gleichung der Leitlinie ist x = xs − p2 . Diese Gleichung heißt auch Scheitelpunktsform der Parabelgleichung. 3. x-Achse ist Parabelachse, Scheitelpunkt im Koordinatenursprung, Parabel nach links ge¨oﬀnet: y 2 = −2px, p > 0 Der Brennpunkt ist F (− p2 |0), die Gleichung der Leitlinie ist x = p2 . 4. Parabelachse parallel zur x-Achse, Scheitelpunkt S(xs |ys ), Parabel nach links ge¨oﬀnet: (y − ys )2 = −2p(x − xs ), p > 0 Der Brennpunkt ist F (− p2 + xs |ys ), die Gleichung der Leitlinie ist x = xs + p2 . 5. y-Achse ist Parabelachse, Scheitelpunkt im Koordinatenursprung, Parabel nach oben ge¨oﬀnet: x2 = 2py oder y =

1 2 x (p > 0) 2p

278

7 Analytische Geometrie

Der Brennpunkt ist F (0| p2 ), die Gleichung der Leitlinie ist y = − p2 . Eine Parabel in dieser Lage ist der Graph einer quadratischen Funktion (vgl. Abschnitt 5.4.3). 6. Parabelachse parallel zur y-Achse, Scheitelpunkt S(xs |ys ), Parabel nach oben ge¨oﬀnet: (x − xs )2 = 2p(y − ys ) oder y =

(x − xs )2 + ys (p > 0) 2p

Der Brennpunkt ist F (xs | p2 + ys ), die Gleichung der Leitlinie ist y = ys − p2 . Eine Parabel in dieser Lage ist der Graph einer quadratischen Funktion. 7. y-Achse ist Parabelachse, Scheitelpunkt im Koordinatenursprung, Parabel nach unten ge¨oﬀnet: 1 x2 = −2py oder y = − x2 (p > 0) 2p Der Brennpunkt ist F (0| − p2 ), die Gleichung der Leitlinie ist y = p2 . Eine Parabel in dieser Lage ist der Graph einer quadratischen Funktion. 8. Parabelachse parallel zur y-Achse, Scheitelpunkt S(xs |ys ), Parabel nach unten ge¨oﬀnet: (x − xs )2 = −2p(y − ys ) oder y = −

(x − xs )2 + ys (p > 0) 2p

Der Brennpunkt ist F (xs | − p2 + ys ), die Gleichung der Leitlinie ist y = ys + p2 . Eine Parabel in dieser Lage ist der Graph einer quadratischen Funktion. Gleichung der Tangente im Punkt P1 (x1 |y1 ) an die Parabel mit der Gleichung (y − ys )2 = 2p(x − xs ): (y1 − ys )(y − y1 ) = p(x − x1 )

oder

(y1 − ys )(y − ys ) = p(x + x1 − 2xs )

Gleichung der Normale (die Normale steht senkrecht auf der Tangente) durch den Punkt P1 (x1 |y1 ) der Parabel mit der Gleichung (y − ys )2 = 2p(x − xs ): y=−

y1 − y s (x − x1 ) + y1 p

Gleichung der Tangente im Punkt P1 (x1 |y1 ) an die Parabel mit der Gleichung (x − xs )2 = 2p(y − ys ): p(y − y1 ) = (x1 − xs )(x − x1 )

oder

(x1 − xs )(x − xs ) = p(y + y1 − 2ys )

Gleichung der Normale (die Normale steht senkrecht auf der Tangente) durch den Punkt P1 (x1 |y1 ) der Parabel mit der Gleichung (x − xs )2 = 2p(y − ys ): y=−

p (x − x1 ) + y1 x1 − xs

7.5 Kegelschnitte

279

Beispiele: 1.

Gegeben: Parabelgleichung y 2 = 6x Gesucht: Brennpunkt, Gleichung der Leitlinie Parameter: p = 3 p 3 Brennpunkt: F 0 = F 0 2 2 3 p Gleichung der Leitlinie: x = − = − 2 2

2.

√ Gegeben: Scheitelpunkt S(0|0), x-Achse gleich Parabelachse, Punkt P (1| 3) der Parabel Gesucht: Gleichung der Parabel, Brennpunkt, Gleichung der Leitlinie Berechnung des Parameters p der Parabel durch Einsetzen der Koordinaten von P in die Normalform der Parabelgleichung: 3 y 2 = 2px ⇒ 3 = 2p ⇒ p = 2 Die Parabelgleichung lautet y 2 = 3x. p 3 Brennpunkt: F 0 = F 0 2 4 p 3 Gleichung der Leitlinie: x = − = − 2 4

3.

Eine nach rechts oﬀene Parabel hat die Gerade x = −2 als Tangente im Scheitelpunkt, geht 1 durch den Punkt P1 (2|7) und hat in diesem Punkt die Tangentensteigung m1 = . Wie 2 lautet die Gleichung der Parabel? L¨ osung: Berechnung der Tangentengleichung durch Einsetzen in die Punktsteigungsform und Umrechnung auf Normalform: y−7 1 1 = ⇒ y = x+6 x−2 2 2 Eine nach rechts ge¨ oﬀnete Parabel mit Scheitelpunkt S(xs |ys ) erf¨ ullt die Gleichung (y − ys )2 = 2p(x−xs ) und eine Tangente an diese Parabel auch die Gleichung (y1 −ys )(y −ys ) = p(x + x1 − 2xs ). Setzt man die Koordinaten des Punktes P1 ein und bringt auch diese Tangentengleichung auf Normalform, so ergibt sich p 6p (7 − ys )(y − ys ) = p(x + 2 − 2 · (−2)) ⇒ y = x+ + ys 7 − ys 7 − ys Vergleich dieser Gleichung mit der obigen Normalform der Gleichung f¨ ur dieselbe Tangente ergibt mit der Methode des Koeﬃzientenvergleichs die folgenden Bedingungen f¨ ur die Koeﬃzienten: p 1 6p = + ys = 6 und n = m1 = 7 − ys 2 7 − ys Dies ist ein System aus zwei Gleichungen zur Bestimmung der beiden Unbekannten p und ys . p 1 Setzt man zur L¨ osung des Systems zum Beispiel die Bedingung in die Glei= 7 − ys 2 chung f¨ ur n ein, so folgt 1 6 · + ys = 6 ⇒ y s = 3 2 ur m1 folgt Durch Einsetzen von ys = 3 in die Gleichung f¨ p 1 = ⇒ p=2 7−3 2 Die gesuchte Parabelgleichung lautet (y − 3)2 = 4 (x + 2).

280

4.

7 Analytische Geometrie

Eine nach unten oﬀene Parabel hat die y-Achse als Parabelachse, den Koordinatenursprung O als Brennpunkt und den Punkt S(0|2, 5) als Scheitelpunkt. Welche Gleichung hat die Parabel? Wo schneidet die Parabel die x-Achse? L¨ osung: Die Gleichung einer nach unten ge¨ oﬀneten Parabel mit Scheitelpunkt S(xs |ys ) ist (x − xs )2 = −2p(y − ys ). Aus den Bedingungen folgt xs = 0, ys = 2, 5 und

p = 2, 5. Die Gleichung der Parabel lautet 2

x2 = −10(y − 2, 5) ⇒ x2 = −10 y + 25 Durch Setzen von y = 0 erh¨ alt man die Schnittpunkte mit der x-Achse: x2 = 25 ⇒ x1,2 = ±5 ⇒ Schnittpunkte S1 (5|0), S2 (−5|0)

Es gibt einige Konstruktionsm¨ oglichkeiten f¨ ur eine Parabel. Eine davon ist die sogenannte Fadenkonstruktion: Ein rechtwinkliges Dreieck wird entlang der Leitlinie verschoben. Ein Faden mit der L¨ ange der Kathete AC wird mit den Enden in A und dem Brennpunkt F befestigt. Mit einem Stift wird der Faden an der Kathete AC gestraﬀt. Gleitet das Dreieck entlang der Leitlinie, dann beschreibt der Stift ein Parabelst¨ uck.

Leitlinie

B

C

P F

A Parabelachse

Abbildung 7.33 Fadenkonstruktion einer Parabel

7.5.4

Anwendungen

In diesem Abschnitt werden in einigen Beispielen verschiedene Anwendungen der Kegelschnitte aus Technik und Mathematik angegeben. Beispiel 1: Ein parabelf¨ ormiger Br¨ uckenbogen (Achse vertikal und Parabel nach unten ge¨ oﬀnet) hat zwischen den in gleicher H¨ ohe liegenden Lagern (Enden) des Bogens L und L die Spannweite ohe (H¨ ohe des Scheitelpunktes S u agt b = 10 m. 2a = |LL | = 32 m. Die Scheitelh¨ ¨ ber LL ) betr¨

7.5 Kegelschnitte

281

Die horizontal verlaufende Straße liegt h = 4 m u uckenbogen in P1 ¨ber LL und schneidet den Br¨ und P1 , den Befestigungspunkten des Straßenk¨ orpers. Der Straßenk¨ orper wird außer von einem Vertikalstab im Scheitelpunkt S (L¨ ange b − h = 6 m) noch von zwei weiteren Vertikalst¨ aben gehalten, die in der Mitte des horizontalen Abstandes von S und P1 sowie von S und P1 in den uckenbogen angebracht sind. Punkten P2 und P2 am Br¨ Wie groß ist die L¨ ange l dieser Vertikalst¨ abe? Wie groß sind |P1 P1 | und |P2 P2 |?

y S P2

P2

x

l P1 Straße

P1

b

h L

L

a Abbildung 7.34 Zu Beispiel 1

Die Skizze veranschaulicht nur eine H¨ alfte der symmetrischen Straßenbr¨ ucke. Zur L¨ osung der Aufgabe denkt man sich ein Koordinatenkreuz gelegt, so dass die Parabel des Br¨ uckenbogens die Gleichung y = −px2 hat. Setzt man die Koordinaten des Lagerpunktes L ein, so ergibt sich b −b = −pa2 ⇒ p = 2 a Der Befestigungspunkt P1 hat nach Aufgabenstellung die Ordinate y1 = −(b − h). Mit Hilfe der Parabelgleichung y1 = −px21 erh¨ alt man seine Abszisse x1 durch Auﬂ¨ osen nach x1 und Einsetzen von y1 und p:

x1 =

y1 = −p

−(b − h) =a − ab2

b−h b

b−h 1 a haben, also ist seine OrdiDer Befestigungspunkt P2 soll die Abszisse x2 = x1 = 2 2 b

b−h 2 b a b−h . nate y2 = −px22 = − 2 =− a 2 b 4 3 Die gesuchte Vertikalstabl¨ ange l ist l = y2 − y1 = (b − h). 4 Die Strecken |P1 P1 | und |P2 P2 | haben die L¨ angen

b−h b−h und 2x2 = a . b b Mit den gegebenen Abmessungen ergibt sich f¨ ur die gesuchten L¨ angen

2x1 = 2a

l=

3 (10 − 4) = 4, 50 m, 2x1 = 2 · 16 4

10 − 4 = 24, 78 . . . m, 2x2 = 16 10

10 − 4 = 12, 39 . . . m. 10

282

7 Analytische Geometrie

Beispiel 2: Ein Stab mit den Drehlagern O und M und der L¨ ange |OM | = r ist um O drehbar. Um M dreht sich ein zweiter Stab der L¨ ange |M P | = s. In der Ausgangsstellung liegen M und P als M0 und rechts davon P0 auf der Grundrichtungsachse OP0 . W¨ ahrend sich nun OM um den Winkel ϕ nach links dreht, dreht sich M P relativ zu OM um 2ϕ nach rechts. Auf welcher Kurve bewegt sich P bei fortgesetzter Drehung?

y

A

s M s ϕ

B

2ϕ

R−ϕ s P

y O

y M0

ϕ b=r−s

P0 x

r x a=r+s Abbildung 7.35 Zu Beispiel 2

Die L¨ osung der Aufgabe erfolgt mit Hilfe der Parameterdarstellung der Ellipse: x = a cos ϕ, y = b sin ϕ y x und sin ϕ = folgt durch Quadrieren und Addieren wegen a b 2 2 x y sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1 die Normalform 2 + 2 = 1 der Ellipsengleichung. a b In der vorliegenden Aufgabe ist a = r + s (halbe L¨ ange der Hauptachse) und b = r − s (halbe L¨ ange der Nebenachse). Der Punkt P bildet mit A und B, den Schnittpunkten der Geraden OM mit dem Haupt- und dem Nebenscheitelkreis (Kreise um O mit den Radien a und b), ein rechtwinkliges Dreieck. Deshalb folgt x = (r +s) cos ϕ, y = (r −s) sin ϕ, die Parameterdarstellung der y2 x2 + = 1. Ellipse, die als Bahnkurve von P gesucht ist. Ihre Normalform lautet 2 (r + s) (r − s)2 Man best¨ atigt: Aus cos ϕ =

Beispiel 3: Welche nach oben ge¨ oﬀnete Parabel mit dem Scheitelpunkt S(−4|−1) ber¨ uhrt die Gerade y = x? Welche Koordinaten hat der Ber¨ uhrungspunkt?

7.5 Kegelschnitte

283 y

=

x

4

y

3 P1

2 1 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 S

1

2

3

4

x

−1

Abbildung 7.36 Zu Beispiel 3 L¨ osung: Die Gleichung der nach oben ge¨ oﬀnete Parabel mit dem Scheitelpunkt S(xs |ys ) lautet (x − xs )2 = 2p(y − ys ). Einsetzen der Koordinaten des gegebenen Scheitelpunktes ergibt (x + 4)2 = 2p(y + 1). Die zugeh¨ orige Tangentengleichung im Punkt P1 (x1 |y1 ) der Parabel ist (x1 − xs )(x − xs ) = p(y + y1 − 2ys ) ⇒ (x1 + 4)(x + 4) = p(y + 1) + p(y1 + 1) Die Gleichung der Tangente ist aber auch y = x. Mit der Methode des Koeﬃzientenvergleichs ergeben sich die folgenden Bedingungen f¨ ur die Koeﬃzienten (aus y = x folgt, dass die Koeﬃzienten von x und von y gleich sind, etwa gleich k, k = 0): (1)

Koeﬃzienten von x:

x1 + 4 = k

(2)

Koeﬃzienten von y:

p=k

(3)

Absolutglieder:

(x1 + 4) 4 − p(1 + y1 + 1) = 0

Aus (2) folgt k = p. In (1) eingesetzt ergibt x1 + 4 = p. Setzt man dieses in (3) ein, so folgt 4p−(2+y1 )p = (2−y1 )p = 0, also y1 = 2 wegen p = 0. Wegen y1 = x1 f¨ ur den Ber¨ uhrungspunkt gilt auch x1 = 2. Setzt man dies in (1) ein, so folgt schließlich p = 6. uhrungspunkt Ergebnisse: Die gesuchte Parabel hat die Gleichung (x + 4)2 = 12(y + 1), der Ber¨ mit der Geraden y = x ist P1 (2|2). Beispiel 4: x2 y2 Man bestimme von der Ellipse mit der Gleichung + = 1 die Ecken des gr¨ oßten einbe36 18 schriebenen Quadrates! Welches Verh¨ altnis haben die Fl¨ acheninhalte dieses Quadrates und der Ellipse? L¨ osung: Aus Symmetriegr¨ unden liegen die Ecken des gesuchten Quadrates auf den Winkelhalbierenden der vier Quadranten des Koordinatensystems. Die Winkelhalbierenden sind die Geraden mit den Gleichungen y = x und y = −x. F¨ ur die Eckpunkte E(xe |ye ) gilt also ye = ±xe . Da die Eckpunkte auch die Ellipsengleichung erf¨ ullen (denn sie liegen auf der Ellipse), setzt man diese Beziehung in die Gleichung der Ellipse ein: √ (±xe )2 x2e x2 x2e + =1 ⇒ + e = 1 ⇒ x2e = 12 ⇒ xe = ±2 3 36 18 36 18 √ Wegen ye = ±xe folgt ebenfalls ye = ±2 3.

284

7 Analytische Geometrie

Somit sind die vier Ecken des gesuchten Quadrates: √ √ √ √ √ √ √ √ E1 (2 3|2 3), E2 (−2 3|2 3), E3 (−2 3| − 2 3), E4 (2 3| − 2 3). √ √ Die Seitenl¨ ange dieses Quadrates ist 4 3 = 6, 9282 . . ., sein Umfang also 16 3 = 27, 7128 . . ., √ und seine Fl¨ ache ist A = 48. Die Ellipse hat den Fl¨ acheninhalt AEll = πab = 6 · 3 2 · π = 79, 9718 . . .. A 48 √ = 0, 6002 . . . F¨ ur das gesuchte Verh¨ altnis der Fl¨ acheninhalte gilt = AEll 6·3 2·π Beispiel 5: Man bestimme die Schnittpunkte der Geraden mit der Gleichung y = 12 x + 4 und der Hyperbel mit der Gleichung 4y 2 −9x2 = 36! Gibt es zu der Geraden parallele Tangenten an die Hyperbel? y S1

6 5 S2 4 3

Pt1

2

0 −8

−6

−5 −4 −3 −2 −1

1

2

3

5

x

−2 Pt 2 −4

Abbildung 7.37 Zu Beispiel 5 L¨ osung: y2 x2 − 2 = 1. 2 3 2 Die y-Achse ist also Hauptachse der Hyperbel, der Mittelpunkt liegt im Koordinatenursprung. Ersetzt man in dieser Gleichung das y mit Hilfe der Geradengleichung, so folgt

Umformung der Hyperbelgleichung ergibt

1 2

2

x+4 9

−

4 7 x2 2 7 = 1 ⇒ − x2 + x + = 0 ⇒ x2 − 2x − = 0 4 9 9 9 2

Diese quadratische Gleichung hat die L¨ osungen x1,2 = 1 ±

9 3√ =1± 2, 2 2

3√ 3√ 2 = 3, 1213 . . . , x2 = 1 − 2 = −1, 1213 . . . 2 2 Setzt man diese Werte in die Geradengleichung ein, so ergeben sich die Ordinaten der Schnittpunkte: also

x1 = 1 +

7.6 Graphisches L¨osen von Gleichungen 1 3√ 2 + 4, also ± 2 4 Schnittpunkte der Geraden √ √

S1 1 + 32 2 92 + 34 2 √ √

S2 1 − 32 2 92 − 34 2

y1,2 =

285

9 9 3√ 3√ 2 = 5, 5606 . . . , y2 = − 2 = 3, 4393 . . . + 2 4 2 4 mit der Hyperbel sind y1 =

= S1 (3, 1213 . . . |5, 5606 . . .), = S2 (−1, 1213 . . . |3, 4393 . . .).

Die Gleichung der Tangente an die gegebene Hyperbel lautet

9x 9 xt 9 x2t 9 xt 9 yt2 9 x2 9 xt t (x − xt ) + yt = x− + yt = x+ x+ − t = y= 4 yt 4 yt 4 yt 4 yt yt 9 4 4 yt yt mit dem noch unbekannten Ber¨ uhrungspunkt Pt (xt |yt ). Der letzte Schritt der Umformung folgt x2t yt2 + = 1, denn Pt ist ein Punkt der Hyperbel. wegen 9 4 1 Die gesuchte Tangente soll parallel zur gegebenen Geraden sein, hat also die Steigung . Somit 2 muss gelten: 9 xt 1 9 = ⇒ yt = xt 4 yt 2 2 Setzt man diese Bedingung in die Hyperbelgleichung ein, so ergibt sich

9 2

2

xt 32

−

x2t 9 2 1 2 1 =1 ⇒ x − xt = 1 ⇒ x2t = 22 4 t 4 2

und daraus 1√ 2 x t1 = 2

und

xt2 = −

1√ 2. 2

9 9√ 9√ origen Ordinaten yt1 = 2 und yt2 = − 2. xt sind die dazugeh¨ 2 4 4 Es gibt also zwei zu der gegebenen Geraden parallele Tangenten mit den Ber¨ uhrungspunkten √ √

= Pt1 (0, 7071 . . . |3, 1819 . . .), Pt1 12 2 94 2

√ √ Pt2 − 12 2 − 94 2 = Pt2 (−0, 7071 . . . | − 3, 1819 . . .).

Wegen yt =

Die zugeh¨ origen Tangentengleichungen lauten √ √ 1 1 y1 = x + 2 2 = 0, 5 x + 2, 8284 . . . , y2 = x − 2 2 = 0, 5 x − 2, 8284 . . . 2 2 Bemerkungen: 3 b Tangenten gibt es bei dieser Hyperbel nur f¨ ur Steigungen |m| < = (Asymptotensteigung). a 2 So gibt es zum Beispiel parallel zur Geraden mit der Gleichung y = −2x keine Tangente. x2 y2 b F¨ ur Hyperbeln mit der Gleichung 2 − 2 = 1 gibt es Tangenten mit Steigungen |m| ≤ nicht, a b a b dagegen gibt es zwei parallele Tangenten f¨ ur jedes |m| > . a

7.6

Graphisches L¨ osen von Gleichungen

In Abschnitt 2 wurden Methoden zur rechnerischen Bestimmung der L¨osungen von Gleichungen und von linearen Gleichungssystemen angegeben. F¨ ur eine Reihe von praktischen Anwendungen reicht es aus, nicht die exakten L¨osungen zu kennen, sondern sogenannte N¨aherungsl¨osungen (L¨ osungen in der N¨ ahe“ der exakten L¨osungen). Eine M¨oglichkeit, ”

286

7 Analytische Geometrie

solche N¨aherungsl¨osungen zu ﬁnden, ist das graphische L¨osen von Gleichungen (zu N¨aherungsl¨osungen vgl. auch Abschnitt 8.4.12). Beim graphischen L¨ osen von Gleichungen bringt man eine Bestimmungsgleichung mit der Variablen x auf die Form f (x) = 0. Die reellen L¨osungen der Gleichung sind dann die Nullstellen der Funktion mit der Gleichung y = f (x). Das Aufsuchen der L¨osungen der Bestimmungsgleichung f (x) = 0 ist also gleichbedeutend mit der Bestimmung der Nullstellen der Funktion y = f (x). Zeichnet man den Graph der Funktion in einem kartesischen Koordinatensystem, dann sind die Nullstellen der Funktion die Schnittpunkte der Kurve mit der x-Achse. Man beachte, dass die in der Zeichnung abgelesenen Werte meist nur N¨aherungswerte f¨ ur die Nullstellen sind. Mit Hilfe von N¨ aherungsverfahren wie dem Newtonschen Verfahren oder Regula falsi (vgl. Abschnitt 8.4.12) lassen sich diese Werte verbessern. Man erzielt oft genauere Ergebnisse, wenn man die gegebene Gleichung f (x) = 0 auf die Form fI (x) = fII (x) bringt und dabei versucht, f¨ ur yI = fI (x) und yII = fII (x) Funktionen mit einfach zu zeichnenden Graphen zu erhalten. F¨ ur jeden Schnittpunkt S(xs |ys ) der Kurven gilt fI (xs ) = fII (xs ) und deshalb f (xs ) = fI (xs ) − fII (xs ) = 0. Seine Abszisse xs ist also eine L¨ osung der Gleichung f (x) = 0. Spezielle Bestimmungsgleichungen: 1. Die L¨osung einer linearen Gleichung ax + b = 0, a = 0, erh¨alt man als Nullstelle der linearen Funktion y = ax + b . Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem ist eine Gerade mit der Steigung a und dem y-Achsenabschnitt b. Beispiel:

5x + 7 = 0

y

y = 5x + 7

7 6 5

3 2 1 −3 −2 −1

0

1

2

3

x

Abbildung 7.38 Graphisches L¨ osen von 5x + 7 = 0 Man setzt y = 5x + 7, zeichnet die dadurch gegebene Gerade und liest am Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse das Ergebnis ab: x ≈ −1, 4.

2. Die L¨osung oder die L¨ osungen einer quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0 erh¨alt man als Nullstelle der quadratischen Funktion y = x2 + px + q . Ihr Graph ist in einem kartesischen Koordinatensystem eine verschobene Normalparabel.

7.6 Graphisches L¨osen von Gleichungen

287 2

Durch quadratische Erg¨ anzung ergibt sich y = (x+ p2 )2 − ( p4 − q) = (x+ p2 )2 − D mit 2

2

D = p4 − q. Der Scheitelpunkt der Parabel ist S(− p2 |q − p4 ). Die Anzahl der Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse (also die Anzahl der Nullstellen der Funktion) und damit die Anzahl der L¨ osungen der quadratischen Gleichung ist abh¨angig vom Vorzeichen der Diskriminante D : F¨ ur D > 0 gibt es zwei Schnittpunkte, f¨ ur D < 0 keinen Schnittpunkt und f¨ ur D = 0 einen Ber¨ uhrpunkt (bedeutet eine doppelte reelle L¨osung der quadratischen Gleichung). Beispiel:

x2 − 5x + 3 = 0 y 2

y = x2 − 5x + 3

1 0 −1

x2

1

2

3

4

x1

5

x

−2 −3

S(2, 5| − 3, 25)

−4

Abbildung 7.39 Graphisches L¨ osen von x2 − 5x + 3 = 0

5 13 13 Der Scheitelpunkt der Parabel ist S − > 0 hat die Parabel zwei . Wegen D = 2 4 4 Schnittpunkte mit der x-Achse und damit die Gleichung zwei reelle L¨ osungen. Aus der Abbildung liest man die L¨ osungen x1 ≈ 4, 3 und x2 ≈ 0, 7 ab.

3. Reelle L¨osungen einer quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0 erh¨alt man auch aus den Schnittpunkten der Graphen der Funktionen yI = x2 (Normalparabel) und yII = −px − q (Gerade). Beispiel:

x2 − 2x +

1 =0 2 y 3 y1 yI

yII

2

1 y2 −1

0

x2

1

x1

x

Abbildung 7.40 Graphisches L¨ osen von x2 − 2x +

1 =0 2

288

7 Analytische Geometrie 1 2 aheF¨ ur die Abszissen der Schnittpunkte liest man ab: x1 ≈ 1, 7, x2 ≈ 0, 3. Dies sind N¨ rungsl¨ osungen der quadratischen Gleichung. Gleichung der Normalparabel: yI = x2 , Geradengleichung: yII = 2x −

4. N¨aherungen f¨ ur die reellen L¨ osungen einer kubischen Gleichung in Normalform x3 + 2 alt man aus den Schnittpunkten des Graphen der Funktion ax + bx + c = 0 erh¨ y = x3 + ax2 + bx + c mit der x-Achse. Eine andere M¨ oglichkeit ergibt sich mit Hilfe einer Reduktion der kubischen Gleichung. Mit der Substitution x = z − a3 wird das quadratische Glied beseitigt. Durch Einsetzen und Ordnen erh¨ alt man 2

a2

ab 3 3 z + b− z+ a − + c = z 3 + pz + q = 0 3 27 3 Reelle L¨osungen dieser kubischen Gleichung erh¨alt man dann aus den Schnittpunkten der Graphen der Funktionen yI = z 3 (kubische Normalparabel) und yII = −pz − q (Gerade). Ist zs die Abszisse eines solchen Schnittpunktes, dann ist xs = zs − a3 eine L¨osung der Ausgangsgleichung. Beispiel:

x3 + 3x2 − 2, 11x + 0, 18 = 0

y

yI

10

yII z1 −2

−1

0

1

z2 z 3

2

x

−10

Abbildung 7.41 Graphisches L¨ osen von x3 + 3x2 − 2, 11x + 0, 18 = 0 Die Substitution x = z − 1 ergibt p = −2, 11 − 3 = −5, 11 und q = 2 + 2, 11 + 0, 18 = 4, 29. Die reduzierte Gleichung lautet also z 3 − 5, 11z + 4, 29 = 0. Gleichung der kubischen Normalparabel: yI = z 3 , Geradengleichung: yII = 5, 11z − 4, 29 F¨ ur die Abszissen der Schnittpunkte liest man ab:

z1 ≈ −2, 6, z2 ≈ 1, 1, z3 ≈ 1, 5.

aherungsl¨ osungen der kubischen Daraus ergeben sich x1 ≈ −3, 6, x2 ≈ 0, 1, x3 ≈ 0, 5 als N¨ Gleichung x3 + 3x2 − 2, 11x + 0, 18 = 0.

5. Auch f¨ ur transzendente Gleichungen lassen sich mit der Zerlegungsmethode mitunter N¨aherungsl¨osungen angeben. Beispiel:

ex − x = 3

Zerlegt man die Funktion mit der Gleichung y = f (x) = ex − x − 3 in die Funktionen yI = fI (x) = ex und yII = fII (x) = x + 3, dann gilt f (x) = fI (x) − fII (x) und somit ur die Abszisse xs eines Schnittpunkts S der Kurven der f (xs ) = fI (xs ) − fII (xs ) = 0 f¨ Funktionen yI = fI (x) = ex und yII = fII (x) = x + 3.

7.6 Graphisches L¨osen von Gleichungen

289 yI = ex

y

yII = x + 3

5 4 3 2 1 x1 −3 −2 −1

0

1 x2 2

3

x

Abbildung 7.42 Graphisches L¨ osen von ex − x = 3 F¨ ur die Abszissen der Schnittpunkte liest man ab: x1 ≈ −2, 95, x2 ≈ 1, 51.

6. F¨ ur Gleichungssysteme lassen sich ebenfalls graphisch N¨aherungsl¨osungen ﬁnden. Die L¨osung eines Systems a1 x + b1 y = c1 , a2 x + b2 y = c2 von zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen ergibt sich aus den Koordinaten des Schnittpunkts der zugeh¨origen Geraden. Beispiel:

x−

y 8 4 3 = − , x + 2y = 3 3 5 5 y 8

y = 3x + 8

7

5 4 y = − 25 x +

3 10

S

3 2 1

−4

x1 0 −2 −1

y1

1

Abbildung 7.43 Graphisches L¨ osen von x −

2

x

8 4 3 y = − , x + 2y = 3 3 5 5

2 3 Auﬂ¨ osen der beiden Gleichungen nach y: y = 3x + 8, y = − x + 5 10 In der Abbildung sind die durch diese Gleichungen bestimmten Geraden gezeichnet, und man liest als Koordinaten des Schnittpunkts S(x|y) die N¨ aherungsl¨ osung (x; y) = (−2, 2 ; 1, 2) des linearen Gleichungssystems ab.

290

7.7 7.7.1

7 Analytische Geometrie

Vektoren Deﬁnitionen

Eine gerichtete und orientierte Strecke bezeichnet man als Vektor. Ein Vektor ist durch drei Gr¨oßen bestimmt: Richtung, Orientierung und L¨ange. Vektoren, die in diesen drei Gr¨ oßen u angig von ihrer Lage in der Ebene oder im ¨bereinstimmen, sind gleich, unabh¨ Raum (vgl. Abbildung 7.44).

Abbildung 7.44 Gleiche Vektoren

Eine Gr¨oße, die durch einen einzigen reellen Zahlenwert charakterisiert wird, heißt Skalar. Beispiele f¨ ur Skalare sind Temperatur, Arbeit, Masse, Energie. Vektoren dagegen sind Gr¨ oßen, zu deren vollst¨andiger Beschreibung neben einem Zahlenwert, ihrem Betrag (L¨ ange des Vektors), noch die Angabe ihrer Richtung und Orientierung erforderlich sind. Beispiele f¨ ur Vektoren sind Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung, magnetische Feldst¨ arke. Vektoren werden meist mit kleinen lateinischen Buchstaben, die mit einem Pfeil verse−−→ hen sind, bezeichnet: a = P Q (gesprochen: Vektor a, Vektor P Q). Der Punkt P ist −−→ der Anfangspunkt und der Punkt Q der Endpunkt des Vektors. Der Betrag | a| = |P Q| eines Vektors ist die L¨ ange des Vektors, also die L¨ange der Verbindungsstrecke P Q. Der Betrag ist eine nichtnegative reelle Zahl. Zwei Vektoren a und b sind gleich, in Zeichen a = b, wenn sie den gleichen Betrag und gleiche Richtung und gleiche Orientierung haben. Vektoren d¨ urfen daher parallel verschoben werden. Gleiche Vektoren gehen durch Parallelverschiebung ineinander u ¨ ber. −−→ Im Unterschied zu diesen sogenannten freien Vektoren haben Ortsvektoren OP einen festen Anfangspunkt O. Ortsvektoren k¨ onnen also nicht verschoben werden. Spezielle Vektoren • Der Nullvektor 0 hat den Betrag 0 und unbestimmte Richtung. • Ein Vektor e mit dem Betrag | e| = 1 heißt Einheitsvektor. Man bezeichnet Einheitsvektoren auch als normierte Vektoren. 7.7.2

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Multipliziert man einen Vektor a mit einem Skalar (also einer reellen Zahl) λ ∈ IR, dann erh¨alt man einen Vektor λ a mit dem Betrag |λ a| = |λ| · | a| (|λ|-facher Betrag des Vektors a) (vgl. Abbildung 7.45). F¨ ur λ > 0 haben λ a und a gleiche Richtung und Orientierung, f¨ ur λ < 0 haben λ a und a gleiche Richtung und entgegengesetzte Orientierung.

7.7 Vektoren

291

a 2 a

Abbildung 7.45 Vektoren a und 2 a

Multiplikation mit λ = −1 ergibt den Vektor − a. Dieser Vektor hat den gleichen Betrag und die gleiche Richtung wie der Vektor a, jedoch die entgegengesetzte Orientierung.

7.7.3

Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Sollen zwei Vektoren a und b addiert werden, so bringt man durch Parallelverschiebung den Anfangspunkt des Vektors b in den Endpunkt des Vektors a. Die Summe a + b ist dann derjenige Vektor, der vom Anfangspunkt von a zum Endpunkt von b f¨ uhrt (siehe Abbildung 7.46).

a

b

a + b

b

a

Abbildung 7.46 Vektoraddition

Die Subtraktion zweier Vektoren a und b ist deﬁniert als Addition von a und − b. a − b = a + (− b) Legt man die Anfangspunkte von a und b u ¨ bereinander, dann ist der Vektor a − b der Vektor vom Endpunkt von b zum Endpunkt von a (siehe Abbildung 7.47).

292

7 Analytische Geometrie

a

a

a − b b

b

Abbildung 7.47 Vektorsubtraktion

Zeichnet man ein Parallelogramm mit den Seiten a und b, so kann man die Diagonale als a + b oder als b + a auﬀassen. Die Addition von Vektoren ist also kommutativ. Kommutativgesetz

a + b = b + a

Auch das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz sind erf¨ ullt. Assoziativgesetz

a + ( b + c) = ( a + b) + c = a + b + c

Distributivgesetz

λ · ( a + b) = λ · a + λ · b (λ ∈ IR)

7.7.4

Komponentendarstellung von Vektoren in der Ebene

W¨ ahlt man in einem kartesischen Koordinatensystem der Ebene einen Einheitsvektor e 1 mit Richtung und Orientierung wie die positive x-Achse und einen Einheitsvektor e 2 mit Richtung und Orientierung wie die positive y-Achse, dann l¨asst sich jeder Vektor a in der Ebene in eindeutiger Weise als Linearkombination der beiden sogenannten Basisvektoren e 1 und e 2 darstellen (siehe Abbildung 7.48). a = a1 e 1 + a2 e 2 , a1 , a2 ∈ IR Die beiden Vektoren a1 e 1 und a2 e 2 werden durch Parallelen zu den Basisvektoren e 1 und e 2 konstruiert.

7.7 Vektoren

293 y

a2

a

1 e 2 0

e 1

1

x

a1

Abbildung 7.48 Komponentendarstellung eines Vektors in der Ebene

Der Vektor a = a1 e 1 + a2 e 2 wird identiﬁziert mit dem sogenannten Spaltenvektor ) a =

a1 a2

*

Dabei heißen a1 und a2 die beiden Komponenten oder die kartesischen Koordinaten des Vektors a. Mit Hilfe der Komponenten lassen sich Addition und Subtraktion von Vektoren sowie die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar folgendermaßen darstellen: ) a + b = ) a − b =

a1 a2

a1 a2

*

) +

*

) − )

λ · a = λ ·

a1 a2

b1 b2

b1 b2

*

) =

*

) =

*

) =

a1 + b 1 a2 + b 2 a1 − b 1 a2 − b 2

λa1 λa2

*

*

*

−−→ −− → Der Betrag | a| = |P Q|, also die L¨ ange des Vektors a = P Q, ist die Entfernung zwischen den Punkten P und Q. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: | a| =

7.7.5

a21 + a22

Komponentendarstellung von Vektoren im Raum

Ganz analog w¨ahlt man in einem kartesischen Koordinatensystem des Raums drei Einheitsvektoren e 1 , e 2 , e 3 mit Richtung und Orientierung wie die positive x-Achse, die positive y-Achse und die positive z-Achse. Dann l¨asst sich jeder Vektor a im Raum in

294

7 Analytische Geometrie

eindeutiger Weise als Linearkombination der drei Basisvektoren e 1 , e 2 und e 3 darstellen (siehe Abbildung 7.49). a = a1 e 1 + a2 e 2 + a3 e 3 , a1 , a2 , a3 ∈ IR Die drei Vektoren a1 e 1 , a2 e 2 und a3 e 3 werden durch Parallelen zu den Basisvektoren e 1 , e 2 und e 3 konstruiert. z a3

y a2 1 1 e 3 e 2 0 e 1 1 a1 x Abbildung 7.49 Komponentendarstellung eines Vektors im Raum

Der Vektor a = a1 e 1 + a2 e 2 + a3 e 3 wird identiﬁziert mit dem Spaltenvektor ⎛

⎞ a1 a = ⎝ a2 ⎠ a3 Dabei heißen a1 , a2 , a3 die Komponenten oder die kartesischen Koordinaten des Vektors a. Mit Hilfe der Komponenten lassen sich auch im Raum Addition und Subtraktion von Vektoren sowie die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar darstellen: ⎛

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a1 a1 + b1 b1 a + b = ⎝ a2 ⎠ + ⎝ b2 ⎠ = ⎝ a2 + b2 ⎠ a3 b3 a3 + b 3 ⎛

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a1 b1 a1 − b1 a − b = ⎝ a2 ⎠ − ⎝ b2 ⎠ = ⎝ a2 − b2 ⎠ a3 b3 a3 − b 3 ⎞ ⎛ ⎞ a1 λa1 λ · a = λ · ⎝ a2 ⎠ = ⎝ λa2 ⎠ a3 λa3 ⎛

7.7 Vektoren

295

−−→ −−→ Der Betrag | a| = |P Q|, also die L¨ ange des Vektors a = P Q, ist die Entfernung zwischen den Punkten P und Q. Durch zweimalige Anwendung des Satzes von Pythagoras errechnet man: | a| = a21 + a22 + a23

7.7.6

Skalarprodukt

⎞ ⎛ ⎞ b1 a1 F¨ ur die beiden Vektoren a = ⎝ a2 ⎠ und b = ⎝ b2 ⎠ heißt a3 b3 ⎛

⎛

⎞ ⎛ ⎞ a1 b1 a · b = ⎝ a2 ⎠ · ⎝ b2 ⎠ = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 a3 b3 Skalarprodukt oder inneres Produkt. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist kein Vektor, sondern eine reelle Zahl, also ein Skalar. Geometrisch ist das Skalarprodukt das Produkt der L¨ange des Vektors a und der L¨ ange der senkrechten Projektion des Vektors b auf a (vgl. Abbildung 7.50), also, falls ϕ = ( a, b) den Winkel zwischen a und b bezeichnet, a · b = | a| · | b| · cos ϕ

b

a | b| cos ( a, b) | a| Abbildung 7.50 Skalarprodukt: a · b = | a| · | b| · cos ϕ

F¨ ur den Winkel ϕ = ( a, b) gilt somit:

cos ϕ =

a · b a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 2 a1 + a22 + a23 · b21 + b22 + b23 | a| · |b|

Die folgenden Rechenregeln lassen sich aus der Deﬁnition ableiten: 1. a · b = b · a 2. (λ · a) · b = a · (λ · b) = λ · ( a · b)

296

7 Analytische Geometrie

3. ( a + b) · c = a · c + b · c 4. a · b =√0 ⇔ a ⊥ b ( a und b stehen senkrecht aufeinander) 5. | a| = a · a So folgt zum Beispiel aus 4., n¨ amlich dass a · b = 0 genau f¨ ur zwei senkrecht aufeinander stehende (man sagt auch orthogonale) Vektoren a und b gilt, dass genau dann der Winkel ϕ gleich 90◦ ist (⇒ cos ϕ = 0). Das Skalarprodukt l¨ asst sich entsprechend auch in der Ebene, also f¨ ur Vektoren mit zwei Komponenten, deﬁnieren. Beispiele: 1.

Das Skalarprodukt der Vektoren a =

,

a · b =

2.

,

2 3 −1

- , ·

4 −5 2

-

2 3 −1

-

, und b =

b =

0 1 1

,

-

ist

1 1 0

und

miteinander einschließen.

Es gilt a · b = 1 · 0 + 1 · 1 + 0 · 1 = 1 und | a| = | b| = 1 1

a · b = √ √ = ⇒ ϕ = 60◦ . cos ϕ = 2 2· 2 | a| · | b| 3.

-

= 2 · 4 + 3 · (−5) + (−1) · 2 = 8 − 15 − 2 = −9.

Gesucht ist der Winkel ϕ, den die beiden Vektoren a =

,

4 −5 2

√ √ 1 + 1 = 2. Somit folgt

F¨ ur welchen Wert von c sind die beiden Vektoren a =

,

2 3 −4

-

, und b =

1 2 c

-

orthogonal? F¨ ur das Skalarprodukt gilt , - , 2 1

a · b = · = 2 + 6 − 4c = 8 − 4c = 0 ⇒ c = 2. 3 2 −4 c F¨ ur c = 2 stehen die Vektoren a und b also senkrecht aufeinander.

7.7.7

Vektorprodukt ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a1 b1 Sind a = ⎝ a2 ⎠ und b = ⎝ b2 ⎠ zwei Vektoren im Raum, so heißt der Vektor a3 b3 ⎛

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a1 b1 a2 b3 − a3 b2 a × b = ⎝ a2 ⎠ × ⎝ b2 ⎠ = ⎝ a3 b1 − a1 b3 ⎠ a3 b3 a1 b2 − a2 b1 Vektorprodukt oder Kreuzprodukt oder ¨ außeres Produkt der Vektoren a und b. Das Vektorprodukt ist im Unterschied zum Skalarprodukt nur im Raum deﬁniert.

7.7 Vektoren

297

Das Vektorprodukt besitzt folgende Eigenschaften: 1. b × a = − a × b 2. a × b = 0, falls a = 0 oder b = 0 oder a parallel zu b 3. (λ a) × b = a × (λ b) = λ( a × b) 4. ( a + b) × c = a × c + b × c 5. a × b steht senkrecht auf den Vektoren a und b 6. | a × b| = | a| · | b| · sin ϕ = | a| · | b| · sin ( a, b) 7. a, b, a × b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem Der Vektor a × b steht also senkrecht auf a und auf b. Sein Betrag (seine L¨ange) ist gleich dem Fl¨acheninhalt des von den beiden Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms. Falls a auf dem k¨ urzesten Weg nach b gedreht wird, zeigt a × b in Richtung der Bewegung einer Schraube mit Rechtsgewinde (siehe Abbildung 7.51).

a × b

b ϕ a

Abbildung 7.51 Vektorprodukt a × b der Vektoren a und b

Beispiel:

,

F¨ ur die Vektoren a =

,

a × b =

−1 −8 −5

-

−1 2 −3

-

, und b =

2 1 −2

ergibt sich f¨ ur das Vektorprodukt

.

Zur Probe kann man etwa Eigenschaft 5. benutzen: Es muss ( a × b)· a = 0 (und auch ( a × b)· b = 0) gelten: , - , −1 −1

( a × b) · a = · = 1 − 16 + 15 = 0. −8 2 −5 −3

298 7.7.8

7 Analytische Geometrie Spatprodukt

Sind a, b und c drei Vektoren im Raum, so heißt der Skalar ( a × b) · c Spatprodukt. Aus der geometrischen Interpretation des Skalarprodukts folgt, dass ( a × b) · c gleich dem Produkt aus der L¨ ange von a × b und der L¨ange der Projektion von c auf a × b ist. Da | a × b| gleich dem Fl¨acheninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms ist, stellt ( a × b) · c das Volumen des von den Vektoren a, b, c aufgespannten Spates dar, falls die Vektoren eine Lage wie in Abbildung 7.52 haben. Spat ist ein anderer Name f¨ ur Parallelepiped oder Parallelﬂach. Zeigt c nach unten, so ist das Spatprodukt negativ, und es ist dem Betrage nach das Volumen des Spates. a × b

c b a Abbildung 7.52 Geometrische Veranschaulichung des Spatprodukts

Mit der abk¨ urzenden Schreibweise [ a, b, c] = ( a × b) · c f¨ ur das Spatprodukt k¨ onnen einige Eigenschaften des Spatprodukts formuliert werden: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ c1 a 2 b3 − a 3 b2 1. [ a, b, c] = ( a × b) · c = ⎝ a3 b1 − a1 b3 ⎠ · ⎝ c2 ⎠ a1 b2 − b 1 a2 c3 = c1 (a2 b3 − a3 b2 ) + c2 (a3 b1 − a1 b3 ) + c3 (a1 b2 − b1 a2 ) 2. Eine zyklische (kreisf¨ ormige) Vertauschung der Vektoren ¨andert das Spatprodukt nicht: [ a, b, c] = [ b, c, a] = [ c, a, b] 3. Das Spatprodukt ¨ andert das Vorzeichen (bei gleichem Betrag), falls zwei Vektoren miteinander vertauscht werden: [ b, a, c] = [ c, b, a] = [ a, c, b] = −[ a, b, c] 4. [ a, b, c] = 0 ⇔ a, b, c liegen in einer Ebene (man sagt dann: a, b, c sind linear abh¨angig)

7.7 Vektoren

299

5. [ a, b, c] > 0 ⇔ a, b, c bilden ein Rechtssystem 6. Das Volumen V des von den Vektoren a, b, c gebildeten Tetraeders ist V = Beispiel:

,

Das Volumen V des von den Vektoren a = ten Tetraeders betr¨ agt

1 0 −1

-

, , b =

, - , - −1 1 −3 1 = · −1 2

1 1 1 V = [ a, b, c] = ( a × b) · c = 6 6 6

2 −1 1

-

, , c =

1 1 2

1 1 − 6 = · 6 = 1. 6 6

1 6

[ a, b, c].

aufgespann-

8

Diﬀerential- und Integralrechnung

8.1 8.1.1

Folgen Grundbegriﬀe

Eine Folge besteht aus Zahlen einer Menge, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind: a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . Sind alle diese Zahlen reelle Zahlen, dann nennt man die Folge auch reelle Zahlenfolge. Die Zahlen der Folge heißen Glieder der Folge. Handelt es sich um endlich viele Zahlen, so heißt die Folge endlich, andernfalls unendliche Folge. Eine unendliche Folge l¨ asst sich auch als Funktion (Abbildung) deﬁnieren: f : IN → IR, n → f (n) = an Unter den Gliedern einer Folge k¨ onnen auch gleiche Zahlen auftreten. Eine Folge kann durch direkte Angabe ihrer Glieder oder auch durch einen arithmetischen Ausdruck gegeben sein. Ein solcher arithmetischer Ausdruck kann entweder eine explizite Formel f¨ ur das Folgenglied an oder eine rekursive Deﬁnition sein. Bei einer Rekursion wird an durch Folgenglieder mit kleineren Indizes deﬁniert. Schreibweise von Folgen: (an ) = (a1 , a2 , a3 , . . .) Eine konstante Folge (an ) ist eine Folge mit (an ) = (a, a, a, . . .). Beispiele: 1.

(an ) = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

2.

(an ) = (n) = (1, 2, 3, 4, . . .) 1 5 11 23 (an ) = 3 − n−2 = 1, 2, , , , . . . 2 2 4 8 (an ) = (4 + 3(n − 1)) = (4, 7, 10, 13, . . .)

3. 4. 5. 6. 7.

(an ) = ((−1)n+1 ) = (1, −1, 1, −1, 1, . . .) 1 1 1 1 (an ) = = 1, , , , · · · n 2 3 4 1 (an ) mit a1 = 0, an+1 = 1 + an f¨ ur n ∈ IN, 2 1 3 7 15 (an ) = 0, , , , , . . . 2 4 8 16

also

Die erste Folge ist endlich, alle anderen sind unendlich. Die erste Folge ist durch Angabe ihrer Glieder deﬁniert, die letzte Folge ist rekursiv deﬁniert und alle anderen durch eine explizite Formel. A. Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn, DOI 10.1007/978-3-8348-8258-5_8, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

8.1 Folgen

301

Monotone Folgen Eine Folge (an ) heißt • monoton wachsend, wenn a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . . ≤ an ≤ . . . gilt, • streng monoton wachsend, wenn a1 < a2 < a3 < . . . < an < . . . gilt, • monoton fallend, wenn a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . gilt, • streng monoton fallend, wenn a1 > a2 > a3 > . . . > an > . . . gilt. Beispiele: Die Folgen der Beispiele 1 bis 4 und 7 sind streng monoton wachsend, die Folge aus Beispiel 6 ist streng monoton fallend.

Alternierende Folgen Eine alternierende Folge ist eine Folge, deren Glieder abwechselnd unterschiedliche Vorzeichen haben. Von zwei aufeinanderfolgenden Gliedern ak und ak+1 einer solchen Folge (an ) ist also genau ein Glied positiv und eins negativ. Beispiel: Die Folge aus Beispiel 5 ist alternierend.

Beschr¨ankte Folgen Eine Folge (an ) heißt • nach oben beschr¨ ankt, wenn es eine konstante Zahl Ko gibt, so dass f¨ ur alle Glieder an ≤ Ko gilt, • nach unten beschr¨ ankt, wenn es eine konstante Zahl Ku gibt, so dass f¨ ur alle Glieder an ≥ Ku gilt, • beschr¨ankt, wenn die Folge sowohl nach oben als auch nach unten beschr¨ankt ist, ur alle n ∈ IN. wenn es also zwei Zahlen Ku , Ko gibt mit Ku ≤ an ≤ Ko f¨ Gleichwertig damit ist, dass es eine Konstante K > 0 mit |an | ≤ K f¨ ur alle n gibt. Monoton wachsende und streng monoton wachsende Folgen sind nach unten beschr¨ankt, monoton fallende und streng monoton fallende Folgen sind nach oben beschr¨ankt. Beispiele: Die Folgen der Beispiele 1,3,5,6 und 7 sind beschr¨ ankt, die Folgen der Beispiele 2 und 4 sind nach unten beschr¨ ankt.

8.1.2

Arithmetische Folgen

Bei einer arithmetischen Folge ist die Diﬀerenz je zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant. Durch das Anfangsglied a1 = a und diese Diﬀerenz d ist die Folge dann eindeutig bestimmt. (an ) = (a, a + d, a + 2d, a + 3d, . . . , a + (n − 1)d, . . .) Das n-te Glied einer arithmetischen Folge lautet an = a + (n − 1)d, n ∈ IN. Das Glied a1 = a nennt man Anfangsglied der Folge und d = an+1 − an (f¨ ur n = 1, 2, 3, . . .) die (konstante) Diﬀerenz der Folge. In einer arithmetischen Folge ist jedes Folgenglied an (n ≥ 2) das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder.

302

8 Diﬀerential- und Integralrechnung

Beispiele: 1.

(an ) = (n) = (1, 2, 3, 4, . . .) (arithmetische Folge mit a = 1 und d = 1)

2.

(an ) = (4 + 3(n − 1)) = (4, 7, 10, 13, . . .) (arithmetische Folge mit a = 4 und d = 3)

8.1.3

Geometrische Folgen

Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient je zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant. Durch das Anfangsglied a1 = a und diesen Quotienten q ist die Folge dann eindeutig bestimmt. (an ) = (a, aq, aq 2 , aq 3 , . . . , aq n−1 , . . .) Das n-te Glied einer geometrischen Folge lautet an = aq n−1 , n ∈ IN. Das Glied a1 = a an+1 (f¨ ur n = 1, 2, 3, . . .) den (konstanten) nennt man Anfangsglied der Folge und q = an Quotienten der Folge. In einer geometrischen Folge ist jedes Folgenglied an (n ≥ 2) das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder (bis eventuell auf das Vorzeichen). Beispiele: 1.

(an ) = (3 · 2n−1 ) = (3, 6, 12, 24, . . .) (geometrische Folge mit a = 3 und q = 2)

2.

(an ) = (2−n ) =

8.1.4

1 1 1 1

, , , ,... 2 4 8 16

geometrische Folge mit a =

1 1 und q = 2 2

Grenzwert einer Folge

Man sagt, die Folge (an ) besitzt den Grenzwert (oder auch Limes genannt) lim an = a n→∞

oder (an ) → a (gesprochen: Limes an gleich a), wenn die Abweichung |a − an | der Folgenglieder an von diesem Wert a f¨ ur gen¨ ugend große n beliebig klein wird. Grenzwert (Limes)

lim an = a oder (an ) → a

n→∞

Exakte Deﬁnition: Die Folge (an ) besitzt den Grenzwert lim an = a, wenn sich nach Vorgabe einer beliebig n→∞ asst, dass f¨ ur alle n ≥ n0 gilt kleinen positiven Zahl ε ein n0 ∈ IN so ﬁnden l¨ |a − an | < ε Das n0 h¨angt oﬀensichtlich von der Wahl von ε ab, also n0 = n0 (ε). Besitzt (an ) den Grenzwert a, so sagt man, dass (an ) gegen a konvergiert. Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent. Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, heißt dagegen divergent. Eine Folge besitzt h¨ ochstens einen Grenzwert. Eine Nullfolge ist eine Folge, die den Grenzwert 0 besitzt.

8.1 Folgen

303

Beispiel: 1.

1 Die Folge (an ) mit an = n hat den Grenzwert a = 0, denn die Diﬀerenz 10 1 1 1 ur große n beliebig klein. W¨ ahlt man etwa ε = 10 , so |a − an | = 0 − n = n wird f¨ 10 10 10 1 gilt |a − an | < ε f¨ ur n ≥ 11. Es gilt also lim an = lim = 0. n→∞ n→∞ 10n Die Folge (an ) ist somit eine Nullfolge.

Konvergente Folgen sind beschr¨ ankt. Eine beliebige Folge kann also nur konvergent sein, wenn sie beschr¨ankt ist. Es gilt folgendes Konvergenzkriterium: Eine monotone und beschr¨ ankte Folge ist stets konvergent. F¨ ur konvergente Folgen gelten verschiedene Rechenregeln: lim (an + bn ) =

n→∞

lim (an − bn ) =

n→∞

lim (an · bn ) =

n→∞

an n→∞ bn lim

lim an + lim bn

n→∞

lim an − lim bn

n→∞

n→∞

lim an · lim bn

n→∞

lim an

=

n→∞

n→∞

lim bn

n→∞

, falls bn = 0 und lim bn = 0 n→∞

n→∞

Beispiele: 2. 3. 4. 5.

1 =0 n n =1 lim an = lim n→∞ n→∞ n + 1

1 lim an = lim 3 − n−2 = 3 n→∞ n→∞ 2 n 1 =0 lim an = lim n→∞ n→∞ 2 lim an = lim

n→∞

n→∞

Die Folge aus Beispiel 5 ist eine geometrische Folge. Es gilt: Jede geometrische Folge mit an = aq n−1 konvergiert gegen Null, wenn |q|, der Betrag von q, kleiner als 1 ist.

8.1.5

Tabelle einiger Grenzwerte

F¨ ur einige wichtige konvergente Zahlenfolgen sind in der folgenden Tabelle ihre Grenzwerte angegeben. √ lim n q = 1 (q > 0) n→∞ √ lim n n = 1 n→∞

304

8 Diﬀerential- und Integralrechnung

⎧c ⎨ r cr nr + cr−1 nr−1 + . . . + c1 n + c0 dr lim = n→∞ ds ns + ds−1 ns−1 + . . . + d1 n + d0 ⎩0

f¨ ur r = s f¨ ur r < s

(c0 , c1 , . . . , cr , d0 , d1 , . . . , ds ∈ IR, cr = 0, ds = 0) loga n =0 (a > 0, a = 1) n→∞ n lim q n = 0 (|q| < 1) lim

n→∞

lim nq n = 0

(|q| < 1)

n→∞

an =0 (a ∈ IR) n→∞ n! 1 n = e = 2, 718 281 828 4 . . . lim 1 + n→∞ n lim

8.1.6

Divergente Folgen

Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, heißt divergent. Bei divergenten Folgen unterscheidet man zwischen bestimmter und unbestimmter Divergenz. Eine Folge (an ) heißt bestimmt divergent gegen +∞, wenn zu jeder beliebig großen vorgegebenen Zahl K ein Index n0 existiert, so dass an > K f¨ ur alle Indizes n ≥ n0 gilt. Eine solche bestimmt divergente Folge w¨ achst f¨ ur n → ∞ u ¨ ber alle Grenzen. Man schreibt dann lim an = ∞ n→∞

Eine Folge (an ) heißt dagegen bestimmt divergent gegen −∞, wenn zu jeder noch so kleinen vorgegebenen Zahl −K (K > 0) ein Index n0 existiert, so dass an < −K f¨ ur alle Indizes n ≥ n0 gilt. Eine solche bestimmt divergente Folge f¨allt f¨ ur n → ∞ unter alle Grenzen. Man schreibt dann lim an = −∞ n→∞

Eine Folge, die nicht konvergent und nicht bestimmt divergent ist, heißt unbestimmt divergent. Monoton (streng monoton) wachsende und nicht beschr¨ankte Folgen (an ) sind bestimmt divergent mit lim an = ∞. n→∞

Monoton (streng monoton) fallende und nicht beschr¨ankte Folgen (an ) sind bestimmt divergent mit lim an = −∞. n→∞

Beispiele: 1.

lim n = ∞

n→∞

ankt) (denn (an ) = (n) ist streng monoton wachsend und nicht beschr¨ 2.

lim (−n3 ) = −∞

n→∞

(denn (an ) = (−n3 ) ist streng monoton fallend und nicht beschr¨ ankt)

8.2 Reihen 3.

305

lim 2n+2 = ∞

n→∞

ankt) (denn (an ) = (2n+2 ) ist streng monoton wachsend und nicht beschr¨ 4.

(an ) = ((−3)n ) = ((−1)n · 3n ) ist unbestimmt divergent

Die Folge aus Beispiel 1 ist eine arithmetische Folge. Es gilt: Jede arithmetische Folge ist divergent, denn die Diﬀerenz zweier aufeinanderfolgender Glieder ist stets d. F¨ ur positive Werte von d werden die Glieder an der Folge ab einer Stelle gr¨oßer als jede beliebig große Zahl. F¨ ur negative Werte von d werden die Glieder an dagegen ab einer Stelle kleiner als jede vorgegebene beliebig kleine Zahl. Jede arithmetische Folge ist also bestimmt divergent. Die Folgen aus den Beispielen 3 und 4 sind geometrische Folgen. Es gilt: Jede geometrische Folge mit an = aq n−1 ist divergent, wenn der Betrag |q| gr¨oßer als 1 ist, und zwar f¨ ur q > 1 bestimmt divergent und f¨ ur q < −1 unbestimmt divergent.

8.2

Reihen

8.2.1

Deﬁnitionen

Eine Reihe ist die Summe der Glieder einer Folge (Zahlenfolge) (an ). a1 + a2 + . . . + an + . . . Ist die Folge endlich, so nennt man auch die Reihe endlich. F¨ ur unendliche Folgen ergeben sich unendliche Reihen. a1 + a2 + . . . + an + . . . =

∞

ak

k=1

Das Zeichen ∞ bedeutet dabei, dass die Reihe nicht abbricht. Sie besteht aus unendlich vielen Summanden. Die Zahlen an , also die Summanden, heißen auch Glieder der Reihe. Beispiele: 1.

10

2k = 21 + 22 + 23 + . . . + 210 = 2 + 4 + 8 + . . . + 1024

(endliche Reihe)

k=1

2.

∞ 3k k=1

k

=3+

32 33 3n + + ... + + ... 2 3 n

(unendliche Reihe)

Folgende Summen heißen Teilsummen oder Partialsummen der Reihe:

s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , . . . , sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an =

n k=1

ak , . . .

306

8 Diﬀerential- und Integralrechnung

Man spricht von einer konvergenten unendlichen Reihe, wenn die Folge (sn ) der Partialsummen konvergiert, also einen Grenzwert s besitzt.

s = lim sn = n→∞

∞

ak

k=1

Dieser Grenzwert s heißt die Summe der Reihe. Eine unendliche Reihe ist also genau dann konvergent, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. Besitzt die Folge der Partialsummen keinen Grenzwert, dann heißt die unendliche Reihe divergent. In diesem Fall k¨ onnen die Partialsummen unbegrenzt wachsen oder oszillieren (die Folge der Partialsummen ist alternierend). Die unendliche Reihe heißt bestimmt divergent, wenn die Folge (sn ) der Partialsummen bestimmt divergent ist. Ist die Folge der Partialsummen unbestimmt divergent, so heißt auch die unendliche Reihe unbestimmt divergent. Die Frage nach der Konvergenz einer unendlichen Reihe wird somit auf die Frage nach uckgef¨ uhrt. der Existenz eines Grenzwertes der Folge (sn ) der Partialsummen zur¨ Die Folge der Glieder (an ) einer konvergenten Reihe muss gegen Null konvergieren, also eine Nullfolge sein. Diese Bedingung ist notwendig, sie reicht jedoch f¨ ur die Konvergenz einer unendlichen Reihe nicht aus (vgl. Abschnitt 8.2.4). F¨ ur konvergente Reihen gelten verschiedene Rechenregeln: ∞ ∞ ∞ ak und bk , so konvergieren auch die Reihen (ak + bk ) Konvergieren die Reihen und

∞

k=1

k=1

k=1

c · ak , c ∈ IR, und es gilt

k=1 ∞

(ak + bk ) =

k=1 ∞

c · ak

∞

ak +

k=1 ∞

= c

k=1

∞

bk

k=1

ak

k=1

Beispiele: 3.

6

k · 2k = 2 + 2 · 22 + 3 · 23 + 4 · 24 + 5 · 25 + 6 · 26

k=1

4.

∞

1 k k=1

2

= 2 + 8 + 24 + 64 + 160 + 384 = 642 =

1 1 1 1 + + + +... = 1 2 4 8 16

Dass diese unendliche Reihe die Summe 1 hat, kann man sich dadurch klarmachen, dass man ein Quadrat mit der Fl¨ ache 1 fortgesetzt halbiert (siehe Abbildung 8.1). Die entstehenden 1 1 1 1 Rechtecke haben die Fl¨ acheninhalte , , , . . . , n , . . ., und ihre Summe ist oﬀensichtlich 1, 2 4 8 2 der Fl¨ acheninhalt des Quadrats (vgl. auch Abschnitt 8.2.3).

8.2 Reihen

307

1 4

1 2

1 8

1 1 1 + + +... 2 4 8

Abbildung 8.1 Zur Konvergenz der Reihe

5.

∞

k = 1 + 2 +3 + ... + n + ...

k=1

Diese unendliche Reihe ist bestimmt divergent, denn die Folge (an ) = (n) ist bestimmt divergent (vgl. Abschnitt 8.1.6). 6.

∞

(−1)k = −1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − . . .

k=1

F¨ ur die Partialsummen gilt

0

sn =

−1

falls n gerade ist falls n ungerade ist

Die unendliche Reihe ist unbestimmt divergent. 7.

∞ k=1

1 1 1 1 1 = + + + + ... k(k + 1) 1·2 2·3 3·4 4·5

Aus ak = sn =

n

1 1 1 = − folgt k(k + 1) k k+1

ak = 1 −

k=1

Wegen

1 2

+

lim sn = lim

n→∞

n→∞

1−

gent mit dem Grenzwert 1: ∞ k=1

8.

1 n+1

+

1 1 − 3 4

= 1 − lim

+ ... +

n→∞

1 1 − n n+1

=1−

1 n+1

1 = 1 ist die gegebene Reihe konvern+1

1 = 1. k(k + 1)

∞ k+1 k=1

1 1 − 2 3

3k + 2

ist nicht konvergent, denn die Glieder ak =

lim an = lim

n→∞

n→∞

n+1 1 = keine Nullfolge. 3n + 2 3

k+1 bilden wegen 3k + 2

308

8 Diﬀerential- und Integralrechnung

8.2.2

Arithmetische Reihen

Eine arithmetische Reihe entsteht aus den Gliedern einer arithmetischen Folge. Da schon jede unendliche arithmetische Folge divergiert, ist auch jede unendliche arithmetische Reihe divergent. Da unendliche arithmetische Folgen bestimmt divergent sind (vgl. Abschnitt 8.1.6), sind auch unendliche arithmetische Reihen bestimmt divergent. n Die Summe sn einer endlichen arithmetischen Reihe (a + (k − 1)d) l¨asst sich jedoch k=1

allgemein berechnen. Wegen a1 = a folgt sn = a1 +(a1 +d)+(a1 +2d)+. . .+(a1 +(n−1)d). Dreht man die Reihenfolge der Summanden um und beachtet, dass die Diﬀerenz zweier aufeinander folgender Glieder gleich d ist, so folgt andererseits sn = an + (an − d)+ (an − 2d) + . . . + (an − (n − 1)d). Schreibt man diese beiden Ausdr¨ ucke f¨ ur sn untereinander sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + . . . + (a1 + (n − 1)d) sn = an + (an − d) + (an − 2d) + . . . + (an − (n − 1)d) und addiert jeweils die beiden u ¨ bereinanderstehenden Terme, so folgt 2sn = n(a1 + an ), denn jede dieser Summen ist a1 + an und es gibt insgesamt n solcher Summen.

sn =

n

(a + (k − 1)d) =

k=1

n a1 + an 2

Die Summe einer endlichen arithmetischen Reihe mit n Summanden ist also die Summe des ersten und des letzten Glieds multipliziert mit der halben Anzahl der Summanden. Beispiele: 1.

10

(3 + (k − 1)5) =

k=1

2.

100

10 3 + 48 = 255 2

k = 50(1 + 100) = 5050

k=1

3.

100

(3 + 4k) =

k=1

100 7 + 403 = 50 · 410 = 20 500 2

Die Summe der ersten n nat¨ urlichen Zahlen zum Beispiel l¨asst sich hiermit f¨ ur beliebiges (beliebig großes) n sehr einfach ausrechnen (vgl. Beispiel 2).

8.2.3

Geometrische Reihen

Eine geometrische Reihe entsteht aus den Gliedern einer geometrischen Folge. Die Summe n aq k−1 ergibt sich f¨ ur q = 1 aus folgender sn einer endlichen geometrischen Reihe k=1

Rechnung: sn = a + aq + aq 2 + . . . + aq n−1 q sn = aq + aq 2 + . . . + aq n−1 + aq n Zieht man die zweite Gleichung von der ersten ab, so folgt sn − q sn = a − aq n und somit

8.2 Reihen

309

f¨ ur die Summe sn einer endlichen geometrischen Reihe mit q = 1: sn =

n

aq k−1 = a

k=1

1 − qn 1−q

(q = 1)

F¨ ur q = 1 gilt sn = n · a. Beispiele: 1.

5

1 − 25 = 31 1−2

2k−1 =

k=1

2.

10

3 · 5k−1 = 3 ·

k=1

3.

100

3k = 3

k=1

1 − 510 9 765 624 =3· = 7 324 218 1−5 4

3 100 1 − 3100 = 3 −1 1−3 2

1 − qn ist f¨ ur q = 1 das n-te Glied der Folge der Partialsummen. Die 1−q Gr¨oßen a und q sind Konstanten, die Konvergenz der Folge h¨angt nur von der Gr¨oße ur q > 1 und q ≤ −1 divergiert die Folge (qn ), die geometrische Reihe ist 1 − q n ab. F¨ dann also ebenfalls divergent. F¨ ur q ≥ 1 ist die unendliche geometrische Reihe bestimmt divergent, f¨ ur q ≤ −1 ist sie unbestimmt divergent. F¨ ur |q| < 1 wird |q|n = |q n | beliebig klein, wenn n nur groß genug gew¨ahlt wird, das heißt, es gilt lim q n = 0. F¨ ur |q| < 1 konvergiert deshalb die Folge (qn ), es gilt dann Die Summe sn = a

n→∞

lim (1 − q n ) = 1− lim q n = 1. In diesem Fall konvergiert die unendliche geometrische n→∞ n→∞ Reihe und hat den Grenzwert s = lim sn = n→∞

∞

aq k−1 = lim a n→∞

k=1

a qn − 1 = q−1 1−q

(|q| < 1)

Beispiele: 4.

∞

11 k−1 5 60 = = 12 23 1 + 11 12

5· −

k=1

5.

∞ 1 k

2

k=1

6.

3

8.2.4

1−

5

=

1 2

=1

3 1−

4 5

a = 5, q = −

a=q=

1 2

= 15

11 12

a = 3, q =

4 5

Harmonische Reihen

Ist (an ) =

k=1

1 2

∞ 4 k−1 k=1

∞

=

ak =

1

n

∞ k=1

, so nennt man

n k=1

ak =

n 1 endliche harmonische Reihe und k

k=1

1 unendliche harmonische Reihe. k

310

8 Diﬀerential- und Integralrechnung

1

Ist (an ) = (−1)n+1 , dann heißt die Reihe alternierende harmonische Reihe. n Die unendliche harmonische Reihe ist bestimmt divergent, wie folgende Rechnung zeigt: ∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1+ + + + + + + k 2 3 4 5 6 7 8 k=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + ... + + 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 1 1 1 1 1 1

= 1+ + + + + + + 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1

1 + + + + + + + + + ... + 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 1 1 1 1 1 1

> + + + + + + 2 4 4 8 8 8 8 1 1 1 1 1 1 1 1

1 + + + + + + + + + ... + 16 16 16 16 16 16 16 16 32 1 1 1 1 1 = + + + + + ... 2 2 2 2 2 Die unendliche Reihe

∞ 1

ist eine arithmetische Reihe (mit d = 0) und deshalb 2 bestimmt divergent. Somit folgt k=1

∞ 1 = +∞ k

k=1

Die harmonische Reihe ist bestimmt divergent, obwohl die Glieder der Reihe eine Nullfolge bilden. Die unendliche alternierende harmonische Reihe ist dagegen konvergent. Beispiele: 1.

6 1 k=1 ∞

2.

k

=1+

(−1)k+1

k=1

1 1 1 1 1 + + + + 2 3 4 5 6

(endliche harmonische Reihe)

1 1 1 1 1 = 1 − + − + . . . + (−1)n+1 + . . . = ln 2 k 2 3 4 n

(unendliche alternierende

harmonische Reihe)

8.2.5

Alternierende Reihen

Ist (an ) eine alternierende Folge, also eine Folge, deren Glieder abwechselnd unterschiedn ak eine endliche alternierende Reihe und liches Vorzeichen haben, dann nennt man ∞ k=1

k=1

ak eine unendliche alternierende Reihe.

8.3 Grenzwerte von Funktionen

311

Beispiele: 1.

10

(−1)k k = −1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 − 7 + 8 − 9 + 10

k=1

2.

∞ (−1)k+1

k

k=1

3.

n

(−1)k =

k=1

0 −1

f¨ ur gerades n f¨ ur ungerades n

F¨ ur alternierende Reihen gibt es ein einfaches Kriterium, mit dem sich die Konvergenz der Reihe untersuchen l¨ asst: ∞ Eine alternierende Reihe ak , bei der (|an |), also die Folge der Betr¨age der Glieder, k=1

eine monoton fallende Nullfolge bildet, ist stets konvergent (leibnizsches Konvergenzkriterium). Beispiel: 4.

∞

(−1)k+1

k=1

1 1 1 1 1 = 1 − + − + . . . + (−1)n+1 + . . . k 2 3 4 n

Die alternierende harmonische Reihe ist konvergent nach dem leibnizschen Konvergenzkri 1 1 terium, denn die Folge der Betr¨ age der Glieder, also (−1)n+1 = , ist monoton n n fallend und eine Nullfolge.

8.3 8.3.1

Grenzwerte von Funktionen Grenzwert an einer endlichen Stelle

Die Funktion y = f (x) besitzt an der Stelle x = a den Grenzwert lim f (x) = A oder x→a

f (x) → A f¨ ur x → a (gesprochen: Limes f (x) gleich A f¨ ur x gegen a), wenn sich die Funktion f (x) bei unbegrenzter Ann¨ aherung von x an a unbegrenzt an A n¨ahert. Die Variable x n¨ahert sich a unbegrenzt an, es gilt jedoch stets x = a. Die Funktion f (x) muss an der Stelle x = a den Wert A nicht annehmen und braucht an dieser Stelle auch nicht deﬁniert zu sein. Grenzwert

lim f (x) = A

x→a

oder

f (x) → A f¨ ur x → a

Exakte Deﬁnition: Die Funktion y = f (x) besitzt an der Stelle x = a den Grenzwert lim f (x) = A, wenn sich nach Vorgabe einer beliebig kleinen positiven Zahl ε eine zweite x→a

positive Zahl δ = δ(ε) so ﬁnden l¨ asst, dass f¨ ur alle x mit |x−a| < δ(ε) gilt |f (x)−A| < ε eventuell mit Ausnahme der Stelle a. Der Unterschied |f (x) − A| zwischen den Funktionswerten und dem Grenzwert wird kleiner als jede beliebig vorgegebene positive Zahl ε, wenn die x-Werte sich um weniger als eine passend gew¨ahlte, von ε abh¨ angige Zahl δ = δ(ε) vom Wert a unterscheiden, wenn also 0 < |x − a| < δ(ε) gilt.

312

8 Diﬀerential- und Integralrechnung y f (x) A+ A A− 0

a−δ a a+δ

x

Abbildung 8.2 Veranschaulichung des Grenzwertbegriﬀes

Besitzt die Funktion y = f (x) an der Stelle x = a den Grenzwert lim f (x) = A, so sagt x→a

man auch, der Grenzwert lim f (x) existiert und ist gleich A. x→a

Beispiele: 1.

ur x → 0 den Grenzwert A = 0: lim x3 = 0. Soll etwa Die Funktion y = f (x) = x3 hat f¨ x→0

|x3 − 0|, der Unterschied zwischen y = x3 und A = 0, kleiner als ε = 0, 000 001 sein, so ist dies erf¨ ullt, wenn man f¨ ur δ = δ(ε) < 0, 01 w¨ ahlt, denn (10−2 )3 = 10−6 . √ F¨ ur ein beliebiges positives ε erf¨ ullt δ(ε) < 3 ε die geforderte Bedingung. 2.

2x2 + 5x ist an der Stelle x = 0 nicht deﬁniert, da f¨ ur x = 0 der Die Funktion y = f (x) = 3x Nenner Null ist. Es gilt 2x2 + 5x 2x + 5 lim f (x) = lim = lim x→0 x→0 x→0 3x 3 (K¨ urzen durch x = 0), und Anwendung der Rechenregeln f¨ ur Grenzwerte (siehe Abschnitt 8.3.4) ergibt weiter 5 2 5 lim f (x) = lim x + = . x→0 3 x→0 3 3 5 Die Funktion y = f (x) besitzt an der Stelle x = 0 den Grenzwert . 3

8.3.2

Einseitige Grenzwerte

Die Funktion y = f (x) besitzt an der Stelle x = a den linksseitigen Grenzwert A, wenn sich die Funktion f (x) bei unbegrenzter Ann¨ aherung von x von links an a unbegrenzt an A n¨ahert. Linksseitiger Grenzwert

lim f (x) = lim f (x) = A

x→a x
x→a−0

Die Funktion y = f (x) besitzt an der Stelle x = a den rechtsseitigen Grenzwert A, wenn sich die Funktion f (x) bei unbegrenzter Ann¨ aherung von x von rechts an a unbegrenzt an A n¨ahert. Rechtsseitiger Grenzwert

lim f (x) = lim f (x) = A

x→a x>a

x→a+0

Die Variable x n¨ahert sich a unbegrenzt an, es gilt jedoch stets x = a.

8.3 Grenzwerte von Funktionen

313

Die Funktion f (x) muss an der Stelle x = a den Wert A nicht annehmen und braucht an dieser Stelle auch nicht deﬁniert zu sein. Die Funktion y = f (x) besitzt an der Stelle x = a den Grenzwert A, wenn an dieser Stelle sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert existieren und gleich sind (=A). lim f (x) = x→a lim f (x) = A ⇒ lim f (x) = A

Grenzwert

x→a x
x>a

x→a

Beispiel:

f (x) =

1

f¨ ur x > 0

0

f¨ ur x < 0

Linksseitiger Grenzwert: Rechtsseitiger Grenzwert:

lim f (x) = lim f (x) = 0

x→0 x<0

x→0−0

lim f (x) = lim f (x) = 1

x→0 x>0

x→0+0

Die Funktion y = f (x) besitzt an der Stelle x = 0 sowohl den linksseitigen als auch den rechtsseitigen Grenzwert. Da diese jedoch verschieden sind, existiert der Grenzwert an der Stelle x = 0 nicht.

8.3.3

Grenzwert im Unendlichen

Die Funktion y = f (x) besitzt f¨ ur x → ∞ den Grenzwert A, wenn es zu jedem beliebigen ε > 0 ein hinreichend großes ω = ω(ε) gibt, so dass |f (x) − A| < ε f¨ ur alle x > ω(ε) gilt. Man schreibt daf¨ ur lim f (x) = A x→∞

Analog besitzt die Funktion y = f (x) f¨ ur x → −∞ den Grenzwert A, wenn es zu jedem beliebigen ε > 0 ein hinreichend großes ω = ω(ε) gibt, so dass |f (x) − A| < ε f¨ ur alle x < −ω(ε) gilt. Man schreibt dann lim f (x) = A

x→−∞

Die Grenzwerte

lim f (x) und

x→∞

lim f (x) der Funktion y = f (x) beschreiben, falls

x→−∞

sie existieren, den Verlauf der Funktion im Unendlichen, das heißt, das Verhalten der Funktion f¨ ur sehr großes positives und f¨ ur sehr kleines negatives Argument x. Beispiele: 1.

2.

1 1 1 = 0, denn es gilt − 0 = < ε f¨ ur alle x, die der Bedingung x x x 1 1 x > ω(ε) = gen¨ ugen. Ebenso gilt lim = 0. x→−∞ x ε 5 5x + 3 hat f¨ ur x → ±∞ den Grenzwert , also Die Funktion y = f (x) = 2x + 7 2 5x + 3 5x + 3 5 lim = lim = , x→∞ 2x + 7 x→−∞ 2x + 7 2 wie folgende Rechnung unter Anwendung der Rechenregeln f¨ ur Grenzwerte (siehe AbEs ist lim

x→∞

314

8 Diﬀerential- und Integralrechnung schnitt 8.3.4) zeigt:

3.

1 3 5 + 3 lim 5+ 5x + 3 5 x→∞ x x = = lim = lim 1 7 x→∞ 2x + 7 x→∞ 2 2+ 2 + 7 lim x→∞ x x 5x + 3 5 = verl¨ auft ganz analog. Die Rechnung f¨ ur lim x→−∞ 2x + 7 2 Der Grenzwert lim sin x existiert nicht. Wie groß man x auch w¨ ahlt, es lassen sich wegen x→∞

der Periodizit¨ at der Sinusfunktion unendlich viele gr¨ oßere x-Werte angeben, f¨ ur die die Funktion einen vorgegebenen Wert zwischen −1 und 1 hat.

8.3.4

Rechenregeln f¨ ur Grenzwerte

Die f¨ ur Folgen aufgestellten Regeln f¨ ur das Rechnen mit Grenzwerten (vgl. Abschnitt 8.1.4) lassen sich auf das Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen u ¨ bertragen. ur zwei Funktionen f (x) und g(x), so existieren Gilt lim f (x) = F und lim g(x) = G f¨ x→a x→a auch die folgenden Grenzwerte: lim [f (x) + g(x)] =

x→a

lim [f (x) − g(x)] =

x→a

lim f (x) + lim g(x) = F + G

x→a

x→a

lim f (x) − lim g(x) = F − G

x→a

x→a

lim [c · f (x)]

= c · lim f (x)

lim [f (x) · g(x)]

=

f (x) x→a g(x)

=

x→a x→a

lim

= c·F

x→a

lim f (x) · lim g(x)

x→a

x→a

= F ·G

lim f (x)

x→a

lim g(x)

x→a

(c ∈ IR)

=

F G

(g(x) = 0, G = 0)

Diese Regeln sagen aus, dass man die Operation der Grenzwertbildung mit der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (falls G = 0) vertauschen darf. Die Regeln wurden schon bei den Beispielen der vorangegangenen Abschnitte angewandt. 8.3.5

Unbestimmte Ausdr¨ ucke

Unbestimmte Ausdr¨ ucke sind symbolische Ausdr¨ ucke der Form 0 , 0

∞ , ∞

0 · ∞,

∞ · 0,

∞ − ∞,

−∞ + ∞,

00 ,

∞0 ,

1∞

Solche Ausdr¨ ucke ergeben sich bei bestimmten Grenzwertaufgaben. Sind zum Beispiel f (x) f (x) und g(x) zwei Funktionen mit f (a) = g(a) = 0, so ist ihr Quotient an der g(x) Stelle x = a nicht deﬁniert. Formales Einsetzen von x = a f¨ uhrt auf den unbestimmten 0 f (x) Ausdruck “ ”. Damit soll ausgedr¨ uckt werden, dass der Grenzwert lim zu ermitx→a g(x) 0 teln ist, der das Verhalten des Quotienten in der N¨ahe der kritischen Stelle a beschreibt, falls er existiert.

8.3 Grenzwerte von Funktionen

315

Beispiele: 1.

3x2 − x − 1 =? x→∞ 4x2 + 3 lim

∞ ”. ∞ 2 Durch K¨ urzen des Bruches durch x (x = 0) ergibt sich Unbestimmter Ausdruck der Form “

3 − x1 − x12 3 3x2 − x − 1 = lim = 2 x→∞ x→∞ 4x + 3 4 4 + x32 lim

Der Grenzwert existiert also und ist gleich 2.

3 . 4

lim (x2 − x) =?

x→∞

Unbestimmter Ausdruck der Form “∞ − ∞”. Durch Umformen ergibt sich lim (x2 − x) = lim x(x − 1) = ∞ · ∞ = ∞

x→∞

3.

x→∞

Es existiert kein Grenzwert. x2 − 2 lim =? x→∞ x3

∞ ”. ∞ 3 alt man Durch K¨ urzen des Bruches durch x (x = 0) erh¨ Unbestimmter Ausdruck der Form “

1 − x23 0−0 x2 − 2 = =0 = lim x 3 x→∞ x→∞ x 1 1 Der Grenzwert existiert und ist gleich 0.

lim

4.

x3 =? x→∞ x2 − 2 lim

∞ ”. ∞ 2 Durch K¨ urzen des Bruches durch x (x = 0) ergibt sich Unbestimmter Ausdruck der Form “

x3 x ∞ = lim =∞ = 2 x→∞ 1 − 2 −2 1 −0 x Es existiert kein Grenzwert. lim

x→∞ x2

8.3.6

Stetigkeit einer Funktion

Die Stetigkeit einer Funktion y = f (x) an einer Stelle x = a wird mit Hilfe des Grenzwertes der Funktion an dieser Stelle deﬁniert. Eine Funktion y = f (x) heißt an der Stelle x = a stetig, wenn f (x) an der Stelle a deﬁniert ist und der Grenzwert lim f (x) existiert und gleich f (a) ist. x→a

Das ist genau dann der Fall, wenn es zu jedem vorgegebenen ε > 0 ein δ = δ(ε) > 0 gibt, so dass |f (x) − f (a)| < ε f¨ ur alle x mit |x − a| < δ gilt. ¨ Ist eine Funktion y = f (x) stetig, dann ¨ andert sich bei kleinen Anderungen der Variablen x auch der Funktionswert f (x) nur geringf¨ ugig. Die meisten Funktionen, die in den Anwendungen vorkommen, sind stetig. Der Graph einer stetigen Funktion ist eine zusammenh¨angende Kurve. Ist dagegen die Kurve an verschiedenen Stellen (mindestens an einer) unterbrochen, dann heißt die zugeh¨orige Funktion unstetig, und die Werte der unabh¨angigen Variablen x, an denen die

316

8 Diﬀerential- und Integralrechnung

Unterbrechung auftritt, heißen Unstetigkeitsstellen. Eine an jeder Stelle ihres Deﬁnitionsbereichs stetige Funktion y = f (x) heißt stetig. Sind f (x) und g(x) zwei Funktionen mit dem Deﬁnitionsbereich D und dem Wertebereich W = IR, und ist c eine reelle Zahl, so gilt: Sind f (x) und g(x) stetig an der Stelle x = a des Deﬁnitionsbereichs D, so sind auch f (x) f (x) + g(x), c · f (x), f (x) · g(x), (falls g(x) = 0 f¨ ur x ∈ D) und |f (x)| stetig g(x) an der Stelle x = a. Da die Sinusfunktion y = sin x eine stetige Funktion ist, folgt hieraus zum Beispiel, dass eine so kompliziert gebaute Funktion wie etwa f : IR → IR, x · sin(x2 + 1) ebenfalls stetig ist. f (x) = 1 + | sin x| Beispiele: 1.

Die Funktion f (x) = 5x + 2 ist an jeder Stelle x = a des Deﬁnitionsbereichs stetig, denn es gilt lim (5x + 2) = 5a + 2 = f (a). Die Funktion ist also eine stetige Funktion. x→a

2.

ur jedes reelle x stetig, die Funktion ist eine stetige Funktion. Die Funktion f (x) = 3x2 ist f¨

3.

Die Funktion f (x) =

1

f¨ ur x ≥ 0

0 f¨ ur x < 0 y = f (x) eine unstetige Funktion.

8.3.7

besitzt f¨ ur x = 0 eine Unstetigkeitsstelle, also ist

Unstetigkeitsstellen

Eine Unstetigkeitsstelle ist eine Stelle x = a einer Funktion y = f (x), an der die Funktion nicht stetig ist. Die Kurve einer Funktion ist an einer Unstetigkeitsstelle unterbrochen. Eine Funktion, die mindestens eine Unstetigkeitsstelle besitzt, heißt unstetig. Die h¨auﬁgsten Unstetigkeitsstellen sind Sprungstellen und Pole. An einer Sprungstelle x = a sind der rechtsseitige Grenzwert lim f (x) und der linksx→a+0

seitige Grenzwert

lim f (x) voneinander verschieden. Die Funktion f (x) springt beim

x→a−0

Durchlaufen des Punktes x = a von einem auf einen anderen endlichen Wert. Die Funktion f (x) braucht f¨ ur x = a nicht deﬁniert zu sein. g(x) ist eine Ein Pol oder eine Unendlichkeitsstelle x = a einer Funktion y = f (x) = h(x) Stelle, f¨ ur die der Nenner von f (x) den Wert 0 hat und der Z¨ahler von 0 verschieden ist, also h(a) = 0 und g(a) = 0 (vgl. Abschnitt 5.5). An einer solchen Stelle ist die Funktion also nicht deﬁniert. Die Funktion strebt bei Ann¨aherung an einen Pol nach (plus oder minus) Unendlich. Die Kurve der Funktion l¨ auft an einer solchen Stelle ins Unendliche. Beispiele:

1.

f (x) =

1

f¨ ur x > 0

0

f¨ ur x < 0

Linksseitiger Grenzwert: lim f (x) = lim f (x) = 0 x→0 x<0

x→0−0

Rechtsseitiger Grenzwert: lim f (x) = lim f (x) = 1 x→0 x>0

x→0+0

8.3 Grenzwerte von Funktionen

317

Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert der Funktion y = f (x) sind verschieden, also besitzt die Funktion bei x = 0 eine Sprungstelle. Die Funktion springt beim Durchlaufen des Punktes x = 0 von 0 auf 1.

y

1

−2

0

−1

1

x

2

Abbildung 8.3 Graph der Funktion von Beispiel 1

2.

f (x) =

1 , D = IR, x = 0 x

Einseitige Grenzwerte: lim

x→0 x<0

1 1 = −∞, lim = +∞ x→0 x x x>0

1 Die Funktion y = besitzt bei x = 0 einen Pol. Bei Ann¨ aherung von links an den Pol strebt x die Funktion nach minus Unendlich, bei Ann¨ aherung von rechts nach plus Unendlich.

y 4 3 2 1

−1

0

1

2

3

4

x

Abbildung 8.4 Graph der Funktion von Beispiel 2

318

8.4 8.4.1

8 Diﬀerential- und Integralrechnung

Ableitung einer Funktion Deﬁnitionen

Existiert f¨ ur eine Funktion y = f (x) mit dem Deﬁnitionsbereich D der Grenzwert f (x0 ) = lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

(x0 ∈ D)

dann nennt man f (x0 ) die Ableitung der Funktion f (x) an der Stelle x = x0 (gesprochen: f Strich von x0 ). Die Funktion f (x) heißt dann diﬀerenzierbar in x0 . dy df Statt f (x0 ) schreibt man auch y (x0 ) oder (x0 ) oder (x0 ) (gesprochen: y Strich dx dx von x0 bzw. dy nach dx an der Stelle x0 bzw. df nach dx an der Stelle x0 ). f (x) − f (x0 ) heißt auch Diﬀerenzenquotient, da im Z¨ahler die Diﬀerenz zweiDer Bruch x − x0 er Funktionswerte und im Nenner die Diﬀerenz zweier x-Werte steht. Deshalb nennt man f (x) − f (x0 ) den Grenzwert f (x0 ) = lim statt Ableitung auch Diﬀerentialquotient. x→x0 x − x0 Geometrische Deutung: Ist die Funktion y = f (x) als Kurve in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt, dann ist der Diﬀerenzenquotient gleich der Steigung (also dem Tangens des Steigungswinkels β) der Sekante durch die Punkte P0 (x0 |f (x0 )) und P (x|f (x)). Der Grenzwert f (x0 ) ist die Steigung der Tangente in x0 an den Graphen von f (x), also f (x0 ) = tan α. Dabei ist α der Winkel zwischen der x-Achse und der Tangente an den Graphen in x0 , wobei der Winkel von der positiven x-Achse zur Tangente im entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers gemessen wird. Anschaulich bedeutet die Existenz der Ableitung an der Stelle x = x0 , dass der Kurvenverlauf in x0 glatt ist (keine Knickstelle“ hat). ” y

y = f (x) P

y

y − y0

P0

y0

x − x0 α 0

β x0

x

x

Abbildung 8.5 Geometrische Deutungen des Diﬀerenzen- und des Diﬀerentialquotienten

8.4 Ableitung einer Funktion

319

Eine Funktion y = f (x) heißt (generell) diﬀerenzierbar, wenn sie an jeder Stelle ihres Deﬁnitionsbereichs diﬀerenzierbar ist. Dann heißt die durch g(x) = f (x) deﬁnierte Funktion y = f (x) die Ableitung oder die Ableitungsfunktion von f (x). Eine an der Stelle x0 diﬀerenzierbare Funktion y = f (x) ist dort auch stetig. Falls f (x) an der Stelle x0 nicht stetig ist, kann f (x) dort auch nicht diﬀerenzierbar sein. Aus der Stetigkeit an der Stelle x0 folgt jedoch noch nicht die Diﬀerenzierbarkeit an dieser Stelle. Eine Funktion y = f (x) heißt stetig diﬀerenzierbar, wenn f (x) diﬀerenzierbar ist und die Ableitung f (x) eine stetige Funktion ist. Beispiele: 1.

F¨ ur die konstante Funktion f (x) = c (c ∈ IR) gilt f (x) − f (x0 ) c−c = lim = lim 0 = 0 f (x0 ) = lim x→x0 x→x0 x − x0 x→x0 x − x0 Die Ableitungsfunktion einer konstanten Funktion ist somit f (x) = 0.

2.

F¨ ur die Funktion f (x) = ax + b, a, b ∈ IR, D = IR gilt ax + b − (ax0 + b) a · (x − x0 ) f (x0 ) = lim = lim = lim a = a x→x0 x→x0 x→x0 x − x0 x − x0 Die Funktion f (x) = ax + b ist ebenfalls eine (¨ uberall) diﬀerenzierbare Funktion, und es gilt f (x) = a.

3.

Die Funktion f (x) = x2 mit D = IR ist in jedem Punkt x0 ∈ D diﬀerenzierbar. Es ist f (x) − f (x0 ) (x + x0 )(x − x0 ) x2 − x20 = = = x + x0 und somit x − x0 x − x0 x − x0 f (x) − f (x0 ) = lim (x + x0 ) = 2x0 f (x0 ) = lim x→x0 x→x0 x − x0 Die Funktion f (x) = x2 ist eine (¨ uberall) diﬀerenzierbare Funktion, und es gilt f (x) = 2x.

4.

Die Funktion f (x) = |x| =

x

f¨ ur x ≥ 0

−x

f¨ ur x < 0

ist (¨ uberall) stetig.

ur x0 < 0 ist dagegen f (x0 ) = −1. F¨ ur x0 > 0 ist f (x0 ) = 1, f¨ F¨ ur x0 = 0 gilt wegen f (0) = 0 x−0 = lim 1 = 1 lim |x| = lim x→0 x→0 x→0 x x>0

x>0

x>0

und

lim |x| = lim

x→0 x<0

x→0 x<0

−x − 0 = lim (−1) = −1 x→0 x x<0

y 5 4 3 2 1

−5 −4 −3 −2 −1

0

1

2

3

4

Abbildung 8.6 Graph der Funktion von Beispiel 4

5

x

320

8 Diﬀerential- und Integralrechnung Der Diﬀerentialquotient existiert nicht, da der rechtsseitige Grenzwert und der linksseitige Grenzwert nicht gleich sind. Die Funktion f (x) = |x| ist an der Stelle x0 = 0 stetig, aber nicht diﬀerenzierbar.

8.4.2

Diﬀerentiationsregeln

Die folgenden Regeln gelten sowohl f¨ ur die Ableitungen einer Funktion y = f (x) an einer ur die Ableitungsfunktionen y = f (x). bestimmten Stelle x = x0 als auch f¨ 1. Konstante Funktion Die Ableitung einer konstanten Funktion ist Null (vgl. Beispiel 1 im Abschnitt 8.4.1). y = f (x) = c (c ∈ IR, konstant)

⇒

y = 0

Beispiel: y = 3 ⇒ y = 0

2. Faktorregel Die Ableitung einer Funktion mal konstantem Faktor ist gleich konstanter Faktor mal abgeleitete Funktion. y = c · f (x) (c ∈ IR, konstant) Herleitung:

⇒

y = c · f (x)

f (x) − f (x0 ) c · f (x) − c · f (x0 ) = lim c x→x0 x − x0 x − x0 f (x) − f (x0 ) = c lim = c f (x0 ) x→x0 x − x0

(c · f ) (x0 ) = lim

x→x0

Beispiel: y = 3x2

⇒

y = 3 · 2x = 6x,

denn

d 2 x = 2x (vgl. Beispiel 3 in Abschnitt 8.4.1) dx

3. Summenregel Die Ableitung der Summe (Diﬀerenz) zweier Funktionen ist gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen der Funktionen.

Herleitung:

y = f (x) + g(x)

⇒

y = f (x) + g (x)

y = f (x) − g(x)

⇒

y = f (x) − g (x)

f (x) + g(x) − (f (x0 ) + g(x0 )) x−x f (x) − f (x ) 0g(x) − g(x )

0 0 = lim + x→x0 x − x0 x − x0 f (x) − f (x0 ) g(x) − g(x0 ) + lim = lim x→x0 x→x0 x − x0 x − x0 = f (x0 ) + g (x0 )

(f + g) (x0 ) = lim

x→x0

8.4 Ableitung einer Funktion

321

Die Herleitung f¨ ur die Ableitung der Diﬀerenz zweier Funktionen verl¨auft ganz analog. Beispiel: y = x2 + 3x

⇒

y = 2x + 3,

denn

d 2 d x = 2x und 3x = 3 dx dx

4. Produktregel Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe aus der ersten Funktion multipliziert mit der Ableitung der zweiten Funktion und der zweiten Funktion multipliziert mit der Ableitung der ersten Funktion. y = f (x) · g(x) Herleitung:

⇒

y = f (x) · g(x) + f (x) · g (x)

f (x)g(x) − f (x0 )g(x0 ) x−x f (x) − f (x )0 g(x) − g(x0 )

0 = lim g(x) + f (x0 ) x→x0 x − x0 x − x0 = f (x0 ) · g(x0 ) + f (x0 ) · g (x0 )

(f · g) (x0 ) = lim

x→x0

F¨ ur die Ableitung des Produkts von drei Funktionen gilt y = f (x) · g(x) · h(x)

⇒

y = f (x) · g(x) · h (x) + f (x) · g (x) · h(x) +f (x) · g(x) · h(x)

Mehrfache Anwendung der Produktregel ergibt die Ableitung der Potenzfunktion. y = xn (n ∈ IN)

Potenzregel

⇒

y = nxn−1

Mit Hilfe von Polynomdivision l¨ asst sich dieses Ergebnis auch direkt herleiten: d n xn − xn0 x (x0 ) = lim = lim (xn−1 + x0 xn−2 + x20 xn−3 + · · · + xn−1 ) 0 x→x0 x − x0 x→x0 dx = nxn−1 0 Durch Anwendung von Quotienten- und Kettenregel (siehe unten) kann man dieses Ergebnis auf reelle Exponenten ausweiten. y = xr (r ∈ IR)

⇒

y = rxr−1

Summen- und Potenzregel zusammen ergeben die Ableitung eines Polynoms.

y=

n

ck xk = c0 + c1 x + . . . + cn xn

k=0

⇒

y =

n k=1

k · ck xk−1 = c1 + 2c2 x + . . . + ncn xn−1

322

8 Diﬀerential- und Integralrechnung Beispiele: 1. y = 3x2 · sin x ⇒ y = 3x2 · cos x + 6x · sin x 2. y = x7 ⇒ y = 7x6 7 7 4 3. y = x 3 ⇒ y = x 3 3 4. y = 3x7 − 5x4 + x2 + 3 ⇒ y = 21x6 − 20x3 + 2x

5. Quotientenregel Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen ist gleich der Diﬀerenz der Ableitung der Z¨ahlerfunktion multipliziert mit der Nennerfunktion und der Z¨ahlerfunktion multipliziert mit der Ableitung der Nennerfunktion dividiert durch das Quadrat der Nennerfunktion. y=

f (x) g(x)

(g(x) = 0)

y =

⇒

f (x) · g(x) − f (x) · g (x) g 2 (x)

Der Z¨ahler von y beginnt also mit der Ableitung der Z¨ahlerfunktion f (x). Herleitung: f (x) f (x0 ) − f g(x) g(x0 ) (x0 ) = lim x→x0 g x − x0 f (x) − f (x ) g(x) − g(x0 )

1 0 = lim g(x0 ) − f (x0 ) x→x0 g(x)g(x0 ) x − x0 x − x0 =

f (x0 ) · g(x0 ) − f (x0 ) · g (x0 ) g 2 (x0 )

Im Spezialfall, dass f (x) eine konstante Funktion mit f (x) = 1 ist, gilt y=

1 g(x)

⇒

y = −

g (x) g 2 (x)

Beispiele: (2x + 3) · 5 − (5x − 1) · 2 17 5x − 1 = ⇒ y = 1. y = 2x + 3 (2x + 3)2 (2x + 3)2 x3 3x2 (x2 − 1) − 2x · x3 x2 (x2 − 3) 2. y = 2 = ⇒ y = x −1 (x2 − 1)2 (x2 − 1)2 1 2x + 3 3. y = 2 ⇒ y =− 2 x + 3x (x + 3x)2

6. Kettenregel Die Kettenregel ist eine Regel zur Diﬀerentiation zusammengesetzter Funktionen. Ist y = F (x) eine zusammengesetzte Funktion, also F (x) = f (h(x)), und setzt man z = h(x), dann ist y = F (x) diﬀerenzierbar, wenn die Funktionen y = f (z) und z = h(x) diﬀerenzierbar sind, und es gilt y = F (x) =

df dh · = f (z) · h (x) = f (h(x)) · h (x) dz dx

Man nennt f (h(x)) die ¨ außere Ableitung und h (x) die innere Ableitung der Funktion y = f (h(x)).

8.4 Ableitung einer Funktion

323

Beispiele: 1. y = F (x) = (x3 − 2x + 1)3 , also z = h(x) = x3 − 2x + 1 und y = f (z) = z 3

2.

y = F (x) = f (z) · h (x) = 3z 2 · (3x2 − 2) = 3(x3 − 2x + 1)2 · (3x2 − 2) √ √ y = F (x) = 5x2 − 7x + 8, also z = h(x) = 5x2 − 7x + 8 und y = f (z) = z 1 1 10x − 7 ⇒ y = F (x) = f (z) · h (x) = z − 2 · (10x − 7) = √ 2 2 5x2 − 7x + 8

3.

y = F (x) = sin(4x2 + 1), also z = h(x) = 4x2 + 1 und y = f (z) = sin z

⇒

⇒

y = F (x) = f (z) · h (x) = cos z · 8x = 8x · cos(4x2 + 1)

Die Ableitung von y = sin x ist y = cos x (vgl. Abschnitt 8.4.5).

7. Ableitung der Umkehrfunktion Ist y = f (x) eine diﬀerenzierbare Funktion mit f (x) = 0, die eine Umkehrfunktion y = f −1 (x) besitzt, so ist auch die Umkehrfunktion diﬀerenzierbar, und es gilt (f −1 ) (x) =

1 f (f −1 (x))

Herleitung: Aus f (f −1 (x)) = x (vgl. Abschnitt 5.2.8) folgt durch Diﬀerentiation mit Anwendung der Kettenregel f (f −1 (x))·(f −1 ) (x) = 1 und daraus wegen f (x) = 0 durch Auﬂ¨osen nach (f −1 ) (x) die behauptete Gleichung f¨ ur die Ableitung der Umkehrfunktion. 8.4.3

H¨ ohere Ableitungen

Ist die Funktion y = f (x) diﬀerenzierbar oder zumindest in einem ganzen Intervall ihres Deﬁnitionsbereichs diﬀerenzierbar, so kann dort also an jeder Stelle die Ableitung f (x) gebildet werden. Dann ist y = f (x) wieder eine Funktion von x. Ist diese Funktion wieder diﬀerenzierbar, so nennt man diese Ableitung der (ersten) Ableitung die zweite d2 y Ableitung der Ausgangsfunktion y = f (x), geschrieben f (x) oder y (x) oder (x) dx2 2 d f oder (x) (gesprochen: f zwei Strich von x bzw. y zwei Strich von x bzw. d zwei y dx2 nach dx Quadrat an der Stelle x bzw. d zwei f nach dx Quadrat an der Stelle x). Entsprechend kann es auch eine dritte, vierte, . . . Ableitung von f (x) geben. Die n-te Ableitung von f (x) schreibt man f (n) (x) = y (n) (x) =

dn y dn f (x) = (x) dxn dxn

Beispiele: 1. Die Funktion f (x) = x5 hat als (erste) Ableitung f (x) = 5x4 , als zweite Ableitung f (x) = 20x3 , als dritte Ableitung f (x) = 60x2 , als vierte Ableitung f (4) (x) = 120x und als oheren Ableitungen sind Null, also f (k) (x) = 0 f¨ ur f¨ unfte Ableitung f (5) (x) = 120. Alle h¨ k = 6, 7, . . .. 2. f (x) = 4x4 − 12x3 + 5x − 2 ⇒ f (x) = 16x3 − 36x2 + 5, f (x) = 48x2 − 72x,

3.

f (x) = 96x − 72, f (4) (x) = 96, f (5) (x) = f (6) (x) = . . . = 0 x2 2x 2(2x + 1) 12(x + 1) f (x) = ⇒ f (x) = − , f (x) = , f (x) = − , ... (x − 1)2 (x − 1)3 (x − 1)4 (x − 1)5

324 8.4.4

8 Diﬀerential- und Integralrechnung Ableitungen einiger algebraischer Funktionen

Mit den Diﬀerentationsregeln aus Abschnitt 8.4.2 lassen sich die Ableitungen von algebraischen Funktionen berechnen. Rationale Funktionen y y y y

= c (c konstant) ⇒ y = 0 = x ⇒ y = 1 = xn ⇒ y = nxn−1 = cn xn + cn−1 xn−1 + . . . + c2 x2 + c1 x + c0 ⇒ y = ncn xn−1 + (n − 1)cn−1 xn−2 + . . . + 2c2 x + c1

1 1 ⇒ y = − 2 x x 1 n y = n ⇒ y = − n+1 x x xm (m − n)xm y= n ⇒ y = x xn+1 y=

Irrationale Funktionen √ 1 y = x ⇒ y = √ 2 x √ 1 y = n x ⇒ y = √ n n xn−1 √ √ m n−m mx x √ y= √ = ⇒ y n x mn n xn+1 8.4.5

Ableitungen einiger transzendenter Funktionen

Trigonometrische Funktionen Zur Herleitung der Ableitung der Sinusfunktion wird der Grenzwert von ben¨otigt. Es gilt lim

x→0

sin x f¨ ur x → 0 x

sin x =1 x

Beweis: Zeichnet man einen Einheitskreis in einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung O, so ist die L¨ ange des Lotes eines Kreispunktes P auf die Abszisse sin x, wenn die Strecke OP mit der Abszisse den Winkel x (im Bogenmaß) bildet. Der zum Winkel geh¨ orige Bogen hat die L¨ange x, da der Radius des Kreises 1 ist (vgl. Abschnitt 6.2). Die Projektion von OP auf die Abszisse hat die L¨ange cos x. Der Teil der zur Abszisse senkrechten Tangente an den Einheitskreis, der zwischen der Abszisse und der Verl¨ angerung der Strecke OP liegt, hat die L¨ange tan x.

8.4 Ableitung einer Funktion

325

O

x

x

sin x

1

tan x

P

cos x 1

Abbildung 8.7 Zur Herleitung von lim

x→0

sin x =1 x

Die Fl¨ache A1 des rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenl¨angen sin x und cos x ist sin x · cos x x A1 = , die Fl¨ ache A2 des Einheitskreissektors mit dem Winkel x ist A2 = , 2 2 und die Fl¨ache A3 des rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenl¨angen 1 und tan x ist 1 · tan x sin x · cos x x 1 · tan x A3 = . Wegen A1 < A2 < A3 folgt < < . 2 2 2 2 x 1 2 ergibt sich cos x < < und durch KehrwertNach Multiplikation mit sin x sin x cos x sin x 1 bildung cos x < < . x cos x Die Grenzwerte der beiden ¨ außeren Funktionen an der Stelle x = 0 sind 1, also muss auch der Grenzwert der mittleren Funktion an der Stelle x = 0 gleich 1 sein: sin x lim = 1. x→0 x Die Ableitung der Funktion y = f (x) = sin x ist die Funktion y = f (x) = cos x. y = sin x

⇒

y = cos x

Beweis: F¨ ur die Diﬀerenz sin α−sin β zweier trigonometrischer Funktionen gilt (vgl. Abschnitt 6.6) α+β α−β sin α − sin β = 2 cos sin . Damit folgt 2 2 x + x0 x − x0 2 cos sin sin x − sin x 0 2 2 = lim (sin x) (x0 ) = lim x→x0 x→x0 x − x0 x − x0 x − x0 sin x + x0 2 · lim x − x = cos x0 , = lim cos x→x0 x→x0 0 2 2 x − x0 sin 2 = 1, wie oben bewiesen wurde. denn lim x − x x→x0 0 2

326

8 Diﬀerential- und Integralrechnung

⇒

y = cos x

y = − sin x

Beweis:

π − x . AnwenAus sin(90◦ − α) = cos α (vgl. Abschnitt 6.1) folgt y = cos x = sin 2 π dung der Kettenregel mit z = h(x) = − x und y = f (z) = sin z ergibt 2

π y = f (z) · h (x) = cos z · (−1) = − cos − x . Wegen cos(90◦ − α) = sin α (vgl. Ab2 schnitt 6.1) folgt die Behauptung y = − sin x.

y = tan x

⇒

y =

1 cos2 x

Beweis: sin x Wegen tan x = folgt mit der Quotientenregel und den Ableitungen von sin x und cos x cos x cos x · cos x − sin x · (− sin x) cos2 x + sin2 x 1 y = = = . 2 cos x cos2 x cos2 x

y = cot x

⇒

y = −

1 sin2 x

Beweis: cos x Wegen cot x = folgt sin x −(sin2 x + cos2 x) −1 sin x · (− sin x) − cos x · cos x = = . y = 2 sin x sin2 x sin2 x

Logarithmusfunktionen Der Grenzwert der Zahlenfolge (an ) = ((1 + n1 )n ) heißt eulersche Zahl (Name nach dem schweizerischen Mathematiker Leonhard Euler, 1707-1783) und wird mit dem Buchstaben e bezeichnet. e = lim

n→∞

1+

1 n = 2, 718 281 828 4 . . . n

Die eulersche Zahl ist eine irrationale Zahl, sie ist Basis der nat¨ urlichen Logarithmen (vgl. Abschnitt 1.9.2). Mit Hilfe dieses Grenzwertes lassen sich die Ableitungen der Logarithmusfunktionen y = loga x berechnen. Es ergibt sich mit den Regeln der Logarithmenrechnung (siehe Abschnitt 1.9.3)

8.4 Ableitung einer Funktion (loga x) (x0 ) = lim

x→x0

327

loga x − loga x0 1 x = lim loga x→x0 x − x0 x − x0 x0

1 x0 1 x − x0

= lim = lim loga 1 + loga x→x0 x0 x − x0 x→x0 x0 x0 x0 , - x−x 0 1 1 1 = loga lim 1 + x0 = loga e x→x0 x0 x 0 x−x0

, 1+

1

x0 - x−x

0

x0 x−x0

Bei der vorletzten Umformung wurde (der hier nicht hergeleitete) Satz benutzt, dass der Grenzwert des Logarithmus gleich dem Logarithmus des Grenzwertes ist. Wegen 1 ln e = (vgl. Abschnitt 1.9.4) ergibt sich loga e = ln a ln a y = loga x

y = loga e ·

⇒

1 1 1 = · x ln a x

F¨ ur die nat¨ urliche Logarithmusfunktion mit der Basis a = e folgt y = ln x

⇒

y =

1 x

Exponentialfunktionen Die e-Funktion ist die Umkehrfunktion der nat¨ urlichen Logarithmusfunktion. Nach der Regel zur Berechnung der Ableitung der Umkehrfunktion (siehe Abschnitt 8.4.2) folgt 1 d d x 1 e = 1 = ex wegen ln x = . dx dx x ex ⇒

y = ex

y = ex

Daraus folgt unmittelbar f (x) = f (x) = f (x) = f (x) = . . . = f (n) (x) = . . . = ex f¨ ur alle n ∈ IN. Die e-Funktion hat also die bemerkenswerte Eigenschaft, dass sie mit allen ihren Ableitungen u ¨ bereinstimmt. F¨ ur die allgemeine Exponentialfunktion gilt y = ax

⇒

y = ax · ln a

Beweis: Wegen ax = ex·ln a (vgl. Abschnitt 5.7.1) ergibt sich aus der Ableitung der e-Funktion zusammen mit der Kettenregel y = (ax ) = (ex·ln a ) = ex·ln a · ln a = ax · ln a. ¨ Zusammenfassende Ubersicht Trigonometrische Funktionen y = sin x

⇒

y = cos x

328

8 Diﬀerential- und Integralrechnung

y = cos x

⇒

y = − sin x

y = tan x

⇒

y = cot x

⇒

1 cos2 x 1 y = − 2 sin x y =

π x = 2k + 1 , k ∈ ZZ 2 (x = kπ, k ∈ ZZ)

Exponentialfunktionen y = ex y = ax

y = ex = y y = ax ln a

⇒ ⇒

(a ∈ IR, a > 0 konstant)

Logarithmusfunktionen ⇒

y = ln x y = loga x

8.4.6

⇒

y =

1 x

y =

(x > 0) 1 1 1 loga e = · x ln a x

(a ∈ IR, a > 0, a = 1 konstant, x > 0)

Sekanten und Tangenten

Eine Sekante ist eine Gerade, die eine Kurve, also den Graph einer Funktion y = f (x), in (mindestens) zwei Punkten schneidet (Sekante = Schneidende). Der Teil zwischen den Schnittpunkten heißt Sehne. Die Gleichung der Sekante durch die Punkte P1 (x1 |f (x1 )) und P2 (x2 |f (x2 )) lautet y=

f (x2 ) − f (x1 ) (x − x1 ) + f (x1 ) x2 − x1

Beispiele: 1.

f (x) = x2 , P1 (0|0), P2 (1|1) Die Gleichung der Sekante durch die Punkte P1 und P2 lautet 1−0 (x − 0) + 0, also y = x. y= 1−0

2.

f (x) = x3 − 2x + 1, P1 (−1|2), P2 (2|5) Die Gleichung der Sekante durch die Punkte P1 und P2 lautet 5−2 y= (x − (−1)) + 2 = x + 3. 2 − (−1)

Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graph einer Funktion y = f (x) in einem Punkt ber¨ uhrt, aber nicht schneidet (Tangente = Ber¨ uhrende) (vgl. auch Abschnitt 7.3.3). Die Funktion f (x) hat in dem Punkt P (a|f (a)) genau dann eine Tangente, wenn die Funktion in a diﬀerenzierbar ist. Die Ableitung der Funktion an der Stelle, also f (a), ist die Steigung der Tangente. Die Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt P (a|f (a)) lautet y = f (a)(x − a) + f (a)

8.4 Ableitung einer Funktion

329

Beispiele: 1.

f (x) = x2 , P (1|1) f (x) = 2x ⇒ f (1) = 2 Die Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt P (1|1) lautet somit y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1.

2.

f (x) = x3 − 2x + 1, P (1|0) f (x) = 3x2 − 2 ⇒ f (1) = 1 Die Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt P (1|0) lautet somit y = 1 · (x − 1) + 0 = x − 1.

8.4.7

Extremwerte von Funktionen

Eine Funktion y = f (x) besitzt an der Stelle x = a ein relatives Maximum, wenn es eine Umgebung von a gibt, in der alle Funktionswerte kleiner als an der Stelle x = a sind. Dieser Funktionswert f (a) heißt relatives Maximum. Es gilt dann f (x) < f (a) f¨ ur alle x = a aus einer passenden Umgebung von a. Alle benachbarten Funktionswerte sind also kleiner als f (a). Relatives Maximum f (a)

f (x) < f (a) f¨ ur x = a

Entsprechend besitzt eine Funktion y = f (x) an der Stelle x = a ein relatives Minimum, wenn es eine Umgebung von a gibt, in der alle Funktionswerte gr¨oßer als an der Stelle x = a sind. Der Funktionswert f (a) heißt dann relatives Minimum. F¨ ur ein relatives Minimum gilt analog f (x) > f (a) f¨ ur alle x = a aus einer geeigneten Umgebung von a. Alle benachbarten Funktionswerte sind also gr¨ oßer als f (a). Relatives Minimum f (a)

f (x) > f (a) f¨ ur x = a

Es handelt sich bei einem relativen Maximum oder einem relativen Minimum um eine lokale Eigenschaft, denn es wird nur eine Umgebung von x = a betrachtet. Das absolute oder globale Maximum einer Funktion y = f (x), die in einem abgeschlossenen Intervall [c, d] diﬀerenzierbar ist, ist entweder ein relatives Maximum, oder es wird am Rand, also f¨ ur x = c oder x = d, angenommen. Entsprechend ist das absolute oder globale Minimum ein relatives Minimum, oder es wird an einem der Intervallr¨ander x = c oder x = d angenommen. Ein Extremwert einer Funktion ist ein Funktionswert f (a), der ein relatives Minimum oder ein relatives Maximum ist. Statt Extremwert sagt man auch Extremum oder relatives Extremum. Eine notwendige Bedingung daf¨ ur, dass die Funktion y = f (x) an der Stelle x = a ein relatives Extremum besitzt, ist das Verschwinden der Ableitung an dieser Stelle, also ussen alle x bef (a) = 0 (falls sie existiert). Zur Bestimmung der relativen Extrema m¨ rechnet werden, die die Gleichung f (x) = 0 erf¨ ullen. Eine hinreichende Bedingung f¨ ur ein relatives Extremum (das heißt, ist die Bedingung erf¨ ullt, dann liegt ein relatives Extremum vor) ist, dass die zweite Ableitung von Null verschieden ist, also f (a) = 0. Gilt jedoch auch f (a) = 0, so ist f (a) ein relatives Extremum, wenn es ein gerades n gibt, so dass f (a) = f (a) = . . . = f (n−1) (a) = 0, f (n) (a) = 0 (n gerade). Ein Extremum liegt vor, wenn die erste an der Stelle a nicht verschwindende Ableitung von gerader Ordnung ist.

330

8 Diﬀerential- und Integralrechnung

Dieses relative Extremum ist ein relatives Minimum, wenn im ersten Fall f (a) > 0 und im zweiten Fall f (n) (a) > 0 gilt. Das relative Extremum ist ein relatives Maximum, wenn im ersten Fall f (a) < 0 und im zweiten Fall f (n) (a) < 0 gilt. Geometrisch bedeutet f (a) = 0, dass die Tangente an die Kurve der Funktion im Punkt P (a|f (a)) waagerecht, also parallel zur x-Achse, verl¨auft. Beispiele: 1. f (x) = x2 f (x) = 2x, f (x) = 2 f (x) = 0 ⇒ x = 0 f (0) = 2 > 0 ⇒ f (0) = 0 ist ein relatives Minimum von y = f (x) 2.

f (x) = −x4 + 1 f (x) = −4x3 , f (x) = −12x2 , f (x) = −24x, f (4) (x) = −24 f (x) = 0 ⇒ x = 0 f (0) = f (0) = 0, f (4) = −24 < 0 ⇒ f (0) = 1 ist ein relatives Maximum von y = f (x)

3.

f (x) = x3 − 4x2 + 4x = x(x − 2)2 f (x) = 3x2 − 8x + 4, f (x) = 6x − 8

4.

2 f (x) = 0 ⇒ 3x2 − 8x + 4 = 0 ⇒ x1 = 2, x2 = 3 2 f (2) = 4 > 0, f = −4 < 0 ⇒ f (x1 ) = f (2) = 0 ist ein relatives Minimum und 2 323 ist ein relatives Maximum von y = f (x) f (x2 ) = f = 3 27 f (x) = x3 − 3x2 + 3x f (x) = 3x2 − 6x + 3 = 3(x − 1)2 , f (x) = 6x − 6, f (x) = 6 f (x) = 0 ⇒ x = 1 f (1) = 0, f (1) = 6 ⇒ f (x) besitzt kein relatives Extremum, bei x = 1 liegt der Sattelpunkt P = (1|1), also ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente (vgl. Abschnitt 8.4.8).

8.4.8

Kr¨ ummungsverhalten von Funktionen

Das Kr¨ ummungsverhalten einer Funktion ist die Verteilung von konvexen und konkaven Bereichen der Kurve der Funktion. Eine Funktion y = f (x) heißt an der Stelle x = a von unten konvex, wenn alle Punkte der Kurve der Funktion in einer Umgebung von a oberhalb der Tangente im Punkt P (a|f (a)) liegen. In einem von unten konvexen Bereich ist die Ableitungsfunktion y = f (x) monoton wachsend. Die Funktion y = f (x) hat dort eine Linkskr¨ ummung (der Graph macht in x-Richtung eine Linkskurve). Existiert in dem Bereich auch die zweite Ableitung f (x), so ist die Kurve konvex, wenn f (x) > 0 gilt. Entsprechend heißt die Funktion an der Stelle x = a von unten konkav (oder von oben konvex), wenn alle Punkte der Kurve der Funktion in einer Umgebung von a unterhalb der Tangente im Punkt P (a|f (a)) liegen. In einem von unten konkaven Bereich ist die Ableitungsfunktion y = f (x) monoton fallend. Die Funktion y = f (x) hat dort eine Rechtskr¨ ummung (der Graph macht in x-Richtung eine Rechtskurve). Existiert in dem Bereich auch die zweite Ableitung f (x), so ist die Kurve konkav, wenn f (x) < 0 gilt.

8.4 Ableitung einer Funktion

331

y y = f (x) konvex (f > 0)

konvex (f > 0)

konkav (f < 0)

0

x

Abbildung 8.8 Konkave und konvexe Bereiche der Funktion y = f (x)

Die Kr¨ ummung einer Funktion ist die Abweichung der Kurve der Funktion von der Geraden. Die Kr¨ ummung der Kurve der Funktion y = f (x) im Punkt P (x|y) ist deﬁniert als der Grenzwert κ des Quotienten aus der Diﬀerenz der Steigungswinkel α1 und α der Tangenten durch einen Punkt P1 und durch P an die Kurve und der L¨ange Δs des Kurvenbogens zwischen den Punkten (falls der Grenzwert existiert):

κ = lim

P1 →P

α1 − α Δα dα = lim = P →P Δs Δs ds 1

Die Kr¨ ummung einer Funktion ist in einem konvexen Bereich (Linkskurve) positiv, in einem konkaven Bereich (Rechtskurve) negativ. F¨ ur eine Gerade gilt κ = 0. Mit Hilfe der Kettenregel berechnet man f¨ ur die Kr¨ ummung in einem Punkt P (x|y) der Funktion y = f (x):

κ=

f (x) f (x) = 3 [1 + f 2 (x)] 2 [ 1 + f 2 (x)]3

1 Kr¨ ummungsradius und der Kreis mit diesem Radius Kr¨ um|κ| mungskreis der Kurve im Punkt P (x|y). F¨ ur κ = 0 heißt ρ = Beispiel: f (x) = 3x3 − 1 ⇒ f (x) = 9x2 , f (x) = 18x 18x Es folgt: κ = 3 . (1 + 81x4 ) 2 Kr¨ ummung im Punkt P (1|2) zum Beispiel: κ =

18 3

82 2

≈ 0, 0242.

332

8 Diﬀerential- und Integralrechnung y

Δα α1

y1

P1 Δs

y

P α x

x1

x

Abbildung 8.9 Zur Deﬁnition der Kr¨ ummung einer Kurve

8.4.9

Wendepunkte von Funktionen

Ein Wendepunkt einer Funktion y = f (x) ist ein Punkt P (a|f (a)), in dem sich das ¨ Kr¨ ummungsverhalten der Kurve ¨ andert. In einem Wendepunkt ﬁndet der Ubergang von einem konvexen zu einem konkaven Bereich oder umgekehrt statt. Die Kurve liegt in der unmittelbaren N¨ ahe eines Wendepunktes nicht auf einer Seite der Tangente, sondern wird von dieser durchsetzt. Eine notwendige Bedingung f¨ ur die Existenz eines Wendepunkts P (a|f (a)) einer Funktion y = f (x) ist das Verschwinden der zweiten Ableitung im Wendepunkt, also f (a) = 0 (falls sie existiert). Zur Bestimmung der Wendepunkte m¨ ussen alle x berechnet werden, ullen. die die Gleichung f (x) = 0 erf¨ Eine hinreichende Bedingung f¨ ur einen Wendepunkt ist, dass die dritte Ableitung von Null verschieden ist, also f (a) = 0. Gilt jedoch auch f (a) = 0, so hat f (x) an der Stelle a einen Wendepunkt, wenn es ein ungerades n gibt, so dass f (a) = f (a) = . . . = f (n−1) (a) = 0, f (n) (a) = 0 (n ungerade). Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die erste an der Stelle a nicht verschwindende Ableitung von ungerader Ordnung ist. Falls in einem Wendepunkt P (a|f (a)) auch noch die erste Ableitung verschwindet, wenn also zus¨atzlich f (a) = 0 gilt, dann ist dort die Tangente waagerecht. Ein solcher Wendepunkt heißt Sattelpunkt. Beispiele: 1.

f (x) = x3 − 4x2 + 4x = x(x − 2)2

2.

f (x) = 3x2 − 8x + 4, f (x) = 6x − 8, f (x) = 6 4 f (x) = 0 ⇒ 6x − 8 = 0 ⇒ x = 3 4 4 liegt der Wendepunkt f = 6 = 0 ⇒ bei x = 3 3 4 4 4 16 f P = = 3 3 3 27 f (x) = x3 − 3x2 + 3x f (x) = 3x2 − 6x + 3 = 3(x − 1)2 , f (x) = 6x − 6, f (x) = 6 f (x) = 0 ⇒ x = 1

8.4 Ableitung einer Funktion

333

f (1) = 6 = 0 ⇒ f (x) besitzt bei x = 1 einen Wendepunkt Da auch f (1) = 0 gilt, ist dort die Tangente waagerecht, und somit ist P = (1|1) ein Sattelpunkt. 3.

f (x) = −x5 f (x) = −5x4 , f (x) = −20x3 , f (x) = −60x2 , f (4) (x) = −120x, f (5) (x) = −120 f (x) = 0 ⇒ x = 0 f (0) = f (4) (0) = 0, f (5) (0) = −120 = 0 ⇒ f (x) besitzt bei x = 0 einen Wendepunkt Da auch f (0) = 0 gilt, ist dort die Tangente waagerecht, und somit ist P = (0|0) ein Sattelpunkt.

8.4.10

Kurvendiskussion

Eine Kurvendiskussion ist die Untersuchung einer Funktion y = f (x) bzw. des Graphen der Funktion auf typische Eigenschaften. Dazu geh¨oren die Untersuchung auf Symmetrie und Monotonie sowie die Bestimmung von Deﬁnitionsbereich, Nullstellen, relativen Extrema, Wendepunkten, Unstetigkeitsstellen und Asymptoten. Beispiel: 1 f (x) = x(x − 2)3 2 Ableitungen: 1 3 1 f (x) = (x − 2)3 + x(x − 2)2 = (x − 2)2 (x − 2 + 3x) = (x − 2)2 (2x − 1) 2 2 2 f (x) = 2(x − 2)(2x − 1) + 2(x − 2)2 = (x − 2)(4x − 2 + 2x − 4) = 6(x − 1)(x − 2) f (x) = 6(x − 1) + 6(x − 2) = 6(2x − 3) Deﬁnitionsbereich: D = IR Nullstellen: 1 f (x) = x(x − 2)3 = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = 2 2 Relative Extremwerte: 1 2 f (x3 ) = f (2) = 0, f (2) = 6 > 0 (n ungerade) ⇒ bei x3 = 2 Wendepunkt; wegen f (2) = 0

f (x) = (x − 2)2 (2x − 1) = 0 ⇒ x3 = 2, x4 =

ist P (2|0) ein Sattelpunkt 1 1 3 1 f (x4 ) = f = 6 · · > 0 ⇒ Minimum bei x4 = 2 2 2 2 Wendepunkte: f (x) = 6(x − 1)(x − 2) = 0 ⇒ x5 = 1, x6 = x3 = 2 f (x5 ) = f (1) = 0 ⇒ Wendepunkt bei x5 = 1 Sattelpunkt bei x6 = x3 = 2 (siehe oben) Zusammenfassung: 1 Die Funktion f (x) = x(x − 2)3 hat die Nullstellen x1 = 0 und x2 = 2, das relative Minimum 2 1 1 1 3 3 1 27 1 1 f = · · − = − , den Wendepunkt P 1 − denn f (1) = · 1 · (−1)3 = − 2 2 2 2 32 2 2 2 und den Sattelpunkt P (2|0). Die Funktion besitzt keine Unstetigkeitsstellen und Asymptoten,

334

8 Diﬀerential- und Integralrechnung

sie ist weder zur y-Achse noch zum Koordinatenursprung symmetrisch. Die Funktion ist streng /1 1. monoton fallend im Intervall − ∞, ,∞ . und streng monoton wachsend im Intervall 2 2

y

3 2 1 0 −1 −1

1

2

3

4

x

Abbildung 8.10 Graph der Funktion f (x) =

8.4.11

1 x(x − 2)3 2

Anwendungsbeispiele

1. Ein halbrunder Balken soll so bes¨ aumt werden, dass ein rechtwinkliger Balken mit maximalem Widerstandsmoment W entsteht.

b r

h

Abbildung 8.11 Zu Anwendungsbeispiel 1

Die Gleichung f¨ ur das Widerstandsmoment lautet: hb2 (1) W = 6 Nach dem Satz des Pythagoras gilt f¨ ur die Beziehung zwischen b und h: b 2 (2) + h2 = r2 2 Auﬂ¨osen von Gleichung (2) nach b2 : b2 = 4(r2 − h2 ) 2 h Einsetzen in (1): W = · 4(r2 − h2 ) = (r2 h − h3 ) 6 3 Da r eine feste Gr¨ oße ist, h¨ angt W nur von h ab, das heißt, W ist eine Funktion von h: W = W (h). Notwendige Voraussetzung f¨ ur ein Maximum von W ist das Verschwinden der Ableitung: W = 0. 2 Berechnung der Ableitung: W (h) = (r2 − 3h2 ) 3 2 2 1 √ (r − 3h2 ) = 0 ⇒ r2 − 3h2 = 0 ⇒ h = r 3 W (h) = 0 ⇒ 3 3 (Da die H¨ohe h nicht negativ sein kann, kommt f¨ ur das Maximum nur das positive

8.4 Ableitung einer Funktion

335

1 √ Vorzeichen in Frage.) Wegen W (h) = −4h ist f¨ ur h = r 3 die zweite Ableitung 3 negativ, es liegt also ein Maximum vor. Ergebnis: 1 √ 2 √ h = r 3 und b = r 6 sind die Abmessungen f¨ ur das maximale Widerstands3 3 √ √ 1 4 3 2 r 3. moment, es betr¨ agt W = r 3(r2 − r2 ) = 9 3 27 2. Aus einem kreiskegelf¨ ormigen St¨ uck Holz soll ein Zylinder gr¨oßtm¨oglichen Rauminhalts (Gewichts) gedreht werden. Welchen Radius x und welche H¨ohe y hat dieser Zylinder, wenn r der Radius und h die H¨ ohe des Kegels sind?

h−y h

y

x r Abbildung 8.12 Zu Anwendungsbeispiel 2

V = πx2 y Zylindervolumen h−y h (2) = Beziehung zwischen x und y x r ¨ Die Beziehung zwischen x und y folgt aus der Ahnlichkeit der schraﬃerten Dreiecke. x

Auﬂ¨osen von (2) nach y: y = h 1 − r

x 1

Einsetzen in (1): V = πx2 h 1 − = πh x2 − x3 r r h ist eine feste Gr¨ oße, V ist also eine Funktion der Variablen x: V = V (x). 3

Berechnung der Ableitung: V (x) = πh 2x − x2 r 3 2

2 3

V (x) = 0 ⇒ πh 2x − x = πhx 2 − x = 0 ⇒ x1 = 0 und x2 = r r r 3

6 Wegen V (x) = πh 2 − x gilt V (x1 ) > 0 und V (x2 ) < 0, das heißt, bei x1 liegt r ein Minimum und bei x2 ein Maximum vor. Ergebnis: 2 1 x = r und y = h sind Radius und H¨ ohe des gesuchten Zylinders, das maximale 3 3 4 πr2 h. Zylindervolumen betr¨ agt V = 27 (1)

336 8.4.12

8 Diﬀerential- und Integralrechnung N¨ aherungsverfahren zur Nullstellenbestimmung

In vielen F¨allen ist es nicht m¨ oglich oder nicht notwendig, die Nullstellen von Funktionen exakt zu berechnen. Gerade in vielen praktischen Anwendungen gen¨ ugen oftmals angen¨aherte Werte. Zur Bestimmung solcher sogenannten N¨aherungsl¨osungen gibt es eine Reihe von N¨aherungsverfahren. Regula falsi Regula falsi ist ein Verfahren zur n¨ aherungsweisen Bestimmung einer Nullstelle einer stetigen Funktion. F¨ ur eine stetige Funktion y = f (x) wird eine Nullstelle, also eine Stelle x0 mit f (x0 ) = 0, gesucht. Sind x1 und x2 zwei Stellen in der N¨ahe der Nullstelle x0 , deren Funktionswerte unterschiedliche Vorzeichen haben (also f (x1 ) · f (x2 ) < 0), dann erh¨alt man eine bessere N¨aherung, indem man durch die Punkte P1 (x1 |f (x1 )) und P2 (x2 |f (x2 )) die Verbindungsgerade (Sekante) legt. Der Schnittpunkt x3 der Verbindungsgeraden mit der x-Achse liefert einen verbesserten N¨ aherungswert f¨ ur die Nullstelle x0 . x3 = x2 −

Das folgt aus

x2 − x1 f (x2 ) f (x2 ) − f (x1 )

x2 − x3 f (x2 ) , was sich mit dem zweiten Strahlensatz ergibt. = x2 − x1 f (x2 ) − f (x1 ) y

x1 0

x0 x3

x2

x

Abbildung 8.13 Regula falsi

Dieses Verfahren l¨ asst sich zur Bestimmung immer besserer N¨aherungsl¨osungen f¨ ur die Nullstelle x0 beliebig oft wiederholen. Im n¨ achsten Schritt wendet man das Verfahren auf x3 und den Wert x1 oder x2 an, dessen Funktionswert ein von f (x3 ) verschiedenes Vorzeichen hat. Diese Methode zur Bestimmung von N¨ aherungswerten einer Nullstelle einer stetigen Funktion heißt auch Sekantenverfahren. Beispiel: f (x) = x3 + 2x2 + 10x − 20 F¨ ur x1 = 1 und x2 = 1, 5 gilt f (x1 ) = f (1) = −7 und f (x2 ) = f (1, 5) = 2, 875. Eine bessere

8.4 Ableitung einer Funktion

337

N¨ aherungsl¨ osung f¨ ur die Nullstelle von f (x), die zwischen 1 und 1,5 liegt, erh¨ alt man mit Regula falsi: 0, 5 1, 5 − 1 2, 875 = 1, 5 − 2, 875 = 1, 3544 . . . x3 = 1, 5 − 2, 875 − (−7) 9, 875 Wegen f (x3 ) = −0, 3020 . . . < 0 l¨ asst sich im n¨ achsten Schritt das Verfahren auf x3 und x2 anwenden: x3 − x 2 1, 3544 . . . − 1, 5 f (x3 ) = 1, 3544 . . . − (−0, 3020 . . .) = 1, 3682 . . . x4 = x 3 − f (x3 ) − f (x2 ) −0, 3020 . . . − 2, 875 Es gilt f (x4 ) = −0, 0113 . . ., das heißt, x4 ist schon eine gute N¨ aherung f¨ ur die Nullstelle x0 . Will man die N¨ aherung weiter verbessern, so wendet man Regula falsi im n¨ achsten Schritt auf x4 und x2 an (f (x4 ) und f (x3 ) haben dasselbe Vorzeichen, deshalb kann das Verfahren nicht auf x4 und x3 angewandt werden).

Newtonsches Verfahren Das Newtonsche Verfahren ist eine Methode zur n¨aherungsweisen Bestimmung einer Nullstelle einer stetig diﬀerenzierbaren Funktion. Bei diesem Verfahren wird die Funktion in der N¨ahe einer Nullstelle nicht durch eine Sekante wie bei Regula falsi, sondern durch eine Tangente ersetzt. F¨ ur eine stetig diﬀerenzierbare Funktion y = f (x) wird eine Nullstelle, also eine Stelle x0 mit f (x0 ) = 0 gesucht. Ist x1 eine Stelle in der N¨ahe der Nullstelle x0 , dann ersetzt man die Funktion durch die Tangente in dem Punkt P (x1 |f (x1 )). Der Schnittpunkt x2 dieser Tangente mit der x-Achse ergibt einen neuen N¨aherungswert f¨ ur die Nullstelle x0 . x2 = x1 −

f (x1 ) f (x1 )

Damit x2 tats¨achlich ein besserer N¨ aherungswert als x1 f¨ ur die Nullstelle x0 ist, muss in f (x) · f (x) < 1 erf¨ der Umgebung von x0 die Bedingung ullt sein. [f (x)]2 y

x0 0

x1

x2

x3

x

Abbildung 8.14 Newtonsches Verfahren

Dasselbe Verfahren l¨ asst sich auch auf x2 anwenden. Man erh¨alt als weitere Verbesserung

338

8 Diﬀerential- und Integralrechnung

f (x2 ) . Allgemein ﬁndet man durch folgende Iterationsvorschrift f (x2 ) aus x1 eine Folge von verbesserten N¨ aherungswerten x2 , x3 , x4 , . . . f¨ ur die Nullstelle x0 .

den Wert x3 = x2 −

xk+1 = xk −

f (xk ) , k = 1, 2, 3, . . . f (xk )

Diese Methode zur Bestimmung von N¨ aherungswerten einer Nullstelle einer stetig diﬀerenzierbaren Funktion heißt Newtonsches Verfahren (nach dem englischen Mathematiker Isaac Newton, 1642-1727) oder auch Tangentenverfahren. Beispiel: f (x) = x3 + 2x2 + 10x − 20 Wegen f (x) = 3x2 + 4x + 10 erh¨ alt man die Iterationsvorschrift x3k + 2x2k + 10xk − 20 . 3x2k + 4xk + 10 F¨ ur die Anfangsn¨ aherung x1 = 1 gilt f (x1 ) = f (1) = −7, und man berechnet

xk+1 = xk −

x2 x3 x4 Die

= 1, 4117 . . . mit f (x2 ) = 0, 9175 . . . , = 1, 3693 . . . mit f (x3 ) = 0, 0111 . . . , = 1, 3688 . . . mit f (x4 ) = 0, 000 001 . . . . aherung f¨ ur die Nullstelle x0 . Zahl x4 ist also schon eine sehr gute N¨

8.5 8.5.1

Integralrechnung Unbestimmtes Integral

Ist y = f (x) eine Funktion mit einem Intervall I als Deﬁnitionsbereich, dann heißt eine diﬀerenzierbare Funktion F (x) mit demselben Intervall I als Deﬁnitionsbereich eine Stammfunktion von f (x), wenn f¨ ur alle x ∈ I gilt F (x) = f (x) Die Funktion f (x) heißt dann integrierbar. Ist F (x) eine Stammfunktion von f (x), so ist auch F (x)+c f¨ ur eine beliebige Konstante c eine Stammfunktion, denn eine additive Konstante verschwindet bei der Diﬀerentiation. Somit ist {F (x) + C|C ∈ IR} die Menge aller Stammfunktionen von f (x). Stammfunktionen sind also bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt. Beispiele: 1.

2. 3.

Funktion: f (x) = x2 − 2x − 3 1 Stammfunktion: F (x) = x3 − x2 − 3x, aber zum Beispiel auch 3 1 F1 (x) = x3 − x2 − 3x + 5 3 Funktion: f (x) = sin x Stammfunktion: F (x) = − cos x oder etwa F1 (x) = − cos x + 3 Funktionen: f (x) = xk

(k ∈ IR, k = −1) xk+1 Stammfunktionen: F (x) = + C (C ∈ IR) k+1

8.5 Integralrechnung

4. 5.

339

1 x Stammfunktionen: F (x) = ln x + C (C ∈ IR) Funktion: f (x) = ex Stammfunktionen: f (x) = ex + C (C ∈ IR)

Funktion: f (x) = x−1 =

Die Gesamtheit aller Stammfunktionen F (x) + C heißt unbestimmtes Integral der Funktion y = f (x), gesprochen: Integral u ¨ ber f (x) dx und geschrieben 0 f (x) dx = F (x) + C 1 Das Zeichen heißt Integralzeichen, und f (x) heißt Integrand. Die Variable x nennt man Integrationsvariable und C Integrationskonstante. Die Konstante C soll andeuten, dass F (x) durch die Funktion f (x) bis auf eine additive Konstante bestimmt ist. Beispiele:

0

6.

0

x3 dx =

1 4 x +C 4

cos x dx = sin x + C

7.

0 8.

8.5.2

(x4 − 3x2 + 1) dx =

1 5 1 1 x − 3 · x3 + x + C = x5 − x 3 + x + C 5 3 5

Integrationsregeln

Die folgenden Integrationsregeln zur Berechnung der unbestimmten Integrale von Funktionen lassen sich durch Diﬀerentiation der entsprechenden Gleichung beweisen. 1. Faktorregel Ein konstanter Faktor im Integranden kann vor das Integralzeichen gezogen werden. 0 0 cf (x) dx = c f (x) dx (c ∈ IR) Beispiel:

0

0

3x dx = 3

x dx = 3 ·

1 2 3 x + C = x2 + C 2 2

2. Potenzregel 0 xn dx = Beweis:

d 1 xn+1 + C = xn dx n + 1 Beispiel: 0 1 x5 dx = x6 + C 6

1 xn+1 + C n+1

340

8 Diﬀerential- und Integralrechnung

3. Summenregel Das unbestimmte Integral einer Summe ist gleich der Summe der unbestimmten Integrale (falls Stammfunktionen existieren). 0

Beispiel:

0

(4x3 − 3x2 + 5) dx =

0

=4

x3 dx − 3

0

0

(f (x) + g(x)) dx =

f (x) dx +

0

0

0

4x3 dx − x2 dx +

0

3x2 dx +

0 5 dx = 4 ·

g(x) dx

5 dx

1 4 1 x − 3 · x3 + 5x + C 4 3

= x4 − x3 + 5x + C

4. Ist der Integrand ein Bruch, in dem der Z¨ ahler die Ableitung des Nenners ist, dann ist das unbestimmte Integral gleich dem nat¨ urlichen Logarithmus des Absolutbetrages der Nennerfunktion. 0 f (x) dx = ln |f (x)| + C f (x) Beweis: Nach der Kettenregel zur Diﬀerentiation zusammengesetzter Funktionen gilt:

f (x) d ln f (x) + C = dx f (x) Beispiel: 0 2x + 3 dx = ln |x2 + 3x − 5| + C x2 + 3x − 5

5. Partielle Integration L¨asst sich die Funktion f (x) als Produkt zweier Funktionen g(x) = u(x) und h(x) = v (x) darstellen, also f (x) = g(x) · h(x) = u(x) · v (x), dann gilt 0

u(x)v (x) dx = u(x)v(x) −

0

u (x)v(x) dx

Beweis: Mit der Produktregel der Diﬀerentialrechnung ergibt sich d (u(x) · v(x)) = u (x) · v(x) + u(x) · v (x), dx woraus mit der Summenregel der Integralrechnung die Behauptung folgt. 1 Mit dieser Methode wird 1 ein Integral der Form u(x)v (x) dx auf das oft leichter berechenbare Integral u (x)v(x) dx zur¨ uckgef¨ uhrt. Beispiele: 0 1.

ln x dx Setzt man u(x) = ln x und v (x) = 1, dann ist u (x) =

1 und v(x) = x, und es ergibt x

8.5 Integralrechnung sich

0

0

ln x dx =

0 2.

341

0 1 · ln x dx = x · ln x −

x·

= x · ln x − x + C

1 dx = x · ln x − x

0 dx

xex dx

Setzt man u(x) = x und v (x) = ex , dann ist u (x) = 1 und v(x) = ex , und es folgt

0 0

xex dx = xex −

0

1 · ex dx = xex − ex + C = (x − 1)ex + C

x · cos x dx

3.

Setzt man u(x) = x und v (x) = cos x, dann ist u (x) = 1 und v(x) = sin x, und es ergibt sich

0 0

4.

0

x · cos x dx = x · sin x − xn · ln x dx

1 · sin x dx = x · sin x + cos x + C

(n ∈ IN)

Setzt man u(x) = ln x und v (x) = xn , dann ist u (x) = ergibt sich

0

0

1 xn+1 und v(x) = , und es x n+1

xn+1 xn+1 1 1 xn+1 x · ln x dx = · ln x − · dx = · ln x − n+1 x n+1 n+1 n+1 xn+1 1 = xn+1 + C · ln x − n+1 (n + 1)2 n

0

xn dx

6. Substitutionsmethode Durch Substitution x = ϕ(t) der unabh¨ angigen Variablen einer Funktion y = f (x), also Einf¨ uhrung einer neuen Variablen t, ergibt sich f¨ ur das unbestimmte Integral 0

0 f (x) dx =

f (ϕ(t))ϕ (t) dt

Durch geeignete Substitution kann das Integral auf der 1rechten Seite der Gleichung einfacher zu berechnen sein als das Ausgangsintegral f (x) dx. Die Substitution muss so gew¨ahlt sein, dass x = ϕ(t) nach t diﬀerenzierbar ist. Beispiele: 0 dx 1. (2 + 3x)2 Substituiert man 2 + 3x = t, also x = ϕ(t) = dt dx = , und es ergibt sich 3

0 0 2.

dx = (2 + 3x)2 (1 + x)n dx

0

1 t−2 dx , dann ist ϕ (t) = = oder 3 dt 3

1 dt 1 1 1 · =− +C =− · +C t2 3 3t 3 2 + 3x

(n ∈ IN)

dx Substituiert man x = ϕ(t) = t − 1, dann ist ϕ (t) = = 1, also dx = dt, und es ergibt dt sich

342

8 Diﬀerential- und Integralrechnung 0 0 3.

(1 + x)n dx =

0

tn dt =

(x + 1)n+1 tn+1 +C = +C n+1 n+1

(x2 + 7)8 · x dx

√ Die Substitution x2 + 7 = t, also x = ϕ(t) = t − 7, ergibt mit der Kettenregel dx 1 1 1 dt = ·√ ·√ ϕ (t) = · 1 oder dx = , und es folgt dt 2 2 t−7 t−7 0 0 0 √ 1 1 dt = ·√ (x2 + 7)8 · x dx = t8 · t − 7 · t8 dt 2 2 t−7 1 1 1 = · · t9 + C = (x2 + 7)9 + C 2 9 18

Das letzte Integral l¨ asst sich noch einfacher berechnen, wenn man die obige Substitutionsgleichung von rechts nach links liest (mit der Substitution u = ϕ(x)). 0

0

f (ϕ(x))ϕ (x) dx = Beispiel 3.

0

0

1 (x + 7) · x dx = 2 2

8

u8 du =

f (u) du

1 9 1 u +C = (x2 + 7)9 + C 18 18

mit der Substitution u = x2 + 7, woraus du = 2x dx folgt. Spezialfall 0

[f (x)]n · f (x) dx =

Beispiel:

0

5

0

cos x · sin x dx = −

[f (x)]n+1 +C n+1

cos5 x · (− sin x) dx = −

(n = −1)

1 cos6 x + C 6

7. Partialbruchzerlegung Die Integration gebrochener rationaler Funktionen y = f (x) mit an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 f (x) = bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b2 x2 + b1 x + b0 wird oftmals durch eine Partialbruchzerlegung von f (x) (siehe Abschnitt 5.5.2) einfacher oder u oglich. ¨berhaupt erst m¨ Beispiele: 0 6x2 − x + 1 dx 1. x3 − x Partialbruchzerlegung der Funktion liefert (vgl. Abschnitt 5.5.2, Beispiel 3): 6x2 − x + 1 1 3 4 = + + x3 − x x x−1 x+1 Mit der Summenregel folgt:

0

6x2 − x + 1 dx = x3 − x

0

1 dx + x

0

3 dx + x−1

0

4 dx x+1

= ln |x| + 3 ln |x − 1| + 4 ln |x + 1| + C

8.5 Integralrechnung 0 2.

343

3x2 − x + 1 dx x3 − 2x2 + x

Durch Partialbruchzerlegung erh¨ alt man (vgl. Abschnitt 5.5.2, Beispiel 2): 1 2 3 3x2 − x + 1 = + + x3 − 2x2 + x x x−1 (x − 1)2 Daraus errechnet sich das unbestimmte Integral der Funktion:

0

0 3.

3x2 − x + 1 dx = x3 − 2x2 + x

0

1 dx + x

0

2 dx + x−1

= ln |x| + 2 ln |x − 1| −

0

3 dx (x − 1)2

3 +C x−1

12x3 − 27x2 − 8x + 37 dx 3x2 − 3x − 6

Polynomdivision ergibt f¨ ur den Integranden: 12x3 − 27x2 − 8x + 37 x+7 = 4x − 5 + 3x2 − 3x − 6 3(x2 − x − 2) Nullstellen des Nenners: x1 = 2, x2 = −1 Zerlegung des Nennerpolynoms: x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) Ansatz zur Zerlegung des Bruches in Partialbr¨ uche: x+7 A B = + 3(x2 − x − 2) x−2 x+1 Multiplikation mit dem Hauptnenner: x + 7 = 3A(x + 1) + 3B(x − 2) = (3A + 3B)x + (3A − 6B) Vergleich der Koeﬃzienten von x und der Absolutglieder: 1 = 3A + 3B, 7 = 3A − 6B L¨ osung dieses Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Variablen A und B: 2 A = 1, B = − 3 Damit ergibt sich f¨ ur das unbestimmte Integral:

0

12x3 − 27x2 − 8x + 37 dx = 3x2 − 3x − 6

0

0

4x dx −

0

5 dx +

= 2x2 − 5x + ln(x − 2) −

8.5.3

1 dx − x−2

0

2 dx 3(x + 1)

2 ln(x + 1) + C 3

Unbestimmte Integrale einiger algebraischer Funktionen

Mit den Integrationssregeln aus Abschnitt 8.5.2 lassen sich die unbestimmten Integrale von algebraischen Funktionen berechnen. Rationale Funktionen 0 a dx = ax + C 0 x dx =

1 2 x +C 2

344

8 Diﬀerential- und Integralrechnung

0 xn dx = 0

xn+1 +C n+1

(an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ) dx = 0 0 0

an−1 n a1 an xn+1 + x + . . . + x2 + a0 x + C n+1 n 2

1 dx = ln |x| + C x 1 1 1 dx = − +C n n−1 x n−1 x

(n = 1)

xm xm+1 1 dx = +C n x m − n + 1 xn

(n = m + 1)

Irrationale Funktionen 0 √ 2 3 x dx = x 2 + C 3 0 √ n √ n n x dx = xn+1 + C n+1 √ √ 0 m m x xm+1 mn √ √ dx = +C n n x n − m + mn x 8.5.4

Unbestimmte Integrale einiger transzendenter Funktionen

Auch f¨ ur einige transzendente Funktionen lassen sich die unbestimmten Integrale mit den Integrationsregeln aus Abschnitt 8.5.2 berechnen. Trigonometrische Funktionen 0 sin x dx = − cos x + C 0 cos x dx = sin x + C 0 tan x dx = − ln | cos x| + C 0 cot x dx = ln | sin x| + C 0 0

1 dx = tan x + C cos2 x 1 dx = − cot x + C sin2 x

Exponentialfunktionen 0 ex dx = ex + C

π x = 2k + 1 , k ∈ ZZ 2 (x = kπ, k ∈ ZZ)

8.5 Integralrechnung 0 ax dx =

345

1 · ax + C ln a

(a ∈ IR, a > 0 konstant)

Logarithmusfunktionen 0 ln x dx = x · (ln x − 1) + C 0 loga x dx =

8.5.5

(x > 0)

1 · x · (ln x − 1) + C ln a

(a ∈ IR, a > 0 konstant, x > 0)

Bestimmtes Integral

Ist y = f (x) eine beschr¨ ankte Funktion mit einem abgeschlossenen Intervall als Deﬁnitionsbereich, also D = [a, b], dann ist das bestimmte Integral von f (x) deﬁniert durch 0 b n f (x) dx = lim f (ξk )Δxk , falls dieser Grenzwert existiert und unabh¨angig von a

n→∞

k=1

der Wahl der Zahlen xk und ξk ist (gesprochen: Integral von a bis b u ¨ber f (x) dx). Dabei ist a = x0 < x1 < . . . < xn = b eine Einteilung (Zerlegung) des Intervalls [a, b] mit Δxk = xk − xk−1 und ξk , k = 1, 2, . . . , n, ein beliebiger Zwischenpunkt mit xk−1 ≤ ξk ≤ xk . 0 b n f (x) dx = lim f (ξk )Δxk a

n→∞

k=1

y f (x)

0 a = x0 x1 x2

xk−1 ξk xk xk+1

xn−1 b = xn

x

Abbildung 8.15 Zur Deﬁnition des bestimmten Integrals

1 Die Funktion f (x) heißt dann im Intervall [a, b] integrierbar. Das Zeichen heißt Integralzeichen. Man nennt a die untere Integrationsgrenze, b die obere Integrationsgrenze, f (x) den Integranden und x die Integrationsvariable. Diese Integraldeﬁnition geht auf Bernhard Riemann zur¨ uck (deutscher Mathematiker, 1826-1866). 1b Gilt f (x) ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ [a, b], dann ist a f (x) dx gleich dem Inhalt der von der Kurve (Graph der Funktion y = f (x)) und der x-Achse zwischen x = a und x = b berandeten 1b Fl¨ache. F¨ ur f (x) ≤ 0 f¨ ur alle x ∈ [a, b] ist a f (x) dx der negative Fl¨acheninhalt. Besitzt 1b y = f (x) in [a, b] Nullstellen, so ist a f (x) dx die Diﬀerenz der Fl¨acheninhalte oberhalb

346

8 Diﬀerential- und Integralrechnung

( +“) und unterhalb ( −“) der x-Achse. ” ” y y = f (x)

+

+

+ −

0

a

x

b

−

Abbildung 8.16 Bestimmtes Integral

Existenz des bestimmten Integrals: Jede in einem Intervall [a, b] stetige Funktion ist dort auch integrierbar. Auch jede im Intervall [a, b] beschr¨ ankte Funktion, die in [a, b] nur endlich viele Unstetigkeitsstellen besitzt, ist in diesem Intervall integrierbar. Beispiele: 1.

F¨ ur die Funktion f (x) = c, c ∈ IR, D = [a, b] und eine beliebige Einteilung a = x0 < x1 < . . . < xn = b des Intervalls [a, b] gilt lim

n

n→∞

f (ξk )Δxk

= lim

n

n→∞

k=1

c · Δxk = lim c n→∞

k=1

= c · (b − a)

n

(xk − xk−1 ) = lim c · (b − a) n→∞

k=1

Also ist die Funktion f (x) im Intervall [a, b] integrierbar, und es gilt

0

b

c dx = c · (b − a) a

2.

Es sei f (x) = x, D = [a, b]. Da f (x) stetig ist, ist f (x) in [a, b] integrierbar. W¨ ahlt man f¨ ur b−a , also a = x0 < x1 = a + Δ < x2 = eine Intervalleinteilung xk = a + kΔ mit Δ = n a+2Δ < . . . < xn = a+nΔ = b, dann folgt Δxk = xk −xk−1 = a+kΔ−(a+(k −1)Δ) = Δ. W¨ ahlt man außerdem ξk = xk , also ξk = a + kΔ, dann gilt n

f (ξk )Δxk

=

n

k=1

xk Δ =

k=1

=a·Δ

n k=1

denn

n k=1

n

(a + kΔ)Δ =

k=1 2

1+Δ

n k=1

n k=1

a·Δ+

n

k · Δ2

k=1

b − a 2 (n + 1)n b−a k =a· · ·n+ n n 2

(b − a)2 1 = a(b − a) + , · 1+ 2 n 1 = n und

n k=1

k=

(n + 1)n . F¨ ur das bestimmte Integral ergibt sich dann 2

8.5 Integralrechnung 0

347

(b − a)2 1 (b − a)2 1 = a(b − a) + · 1+ lim 1 + n→∞ n→∞ 2 n 2 n a (b − a)2 b2 a2 = − , = a(b − a) + 2 2 2 1 1 denn es gilt lim 1 + = 1. = 1 + lim n→∞ n→∞ n n b

x dx

8.5.6

= lim

a(b − a) +

Hauptsatz der Diﬀerential- und Integralrechnung

Der Hauptsatz der Diﬀerential- und Integralrechnung liefert den Zusammenhang zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral einer Funktion y = f (x). Ist die Funktion y = f (x) mit D = [a, b] im Intervall [a, b] integrierbar, und besitzt f (x) eine Stammfunktion F (x), so gilt 0

b

f (x) dx = F (b) − F (a) a

Das bestimmte Integral ist also Funktionswert von F an der oberen Intervallgrenze minus Funktionswert von F an der unteren Intervallgrenze. Dabei ist F (x) eine beliebige Stammfunktion von f (x). b x=b = F (x) . Statt F (b) − F (a) schreibt man auch F (x) x=a

a

Mit diesem Satz wird die Berechnung des bestimmten Integrals einer Funktion auf die Berechnung einer Stammfunktion der Funktion zur¨ uckgef¨ uhrt. Der Satz stellt somit den Zusammenhang zwischen dem bestimmten und dem unbestimmten Integral einer Funktion y = f (x) her. Er wurde von Gottfried Wilhelm Leibniz (deutscher Mathematiker, 1646-1716) und Isaac Newton (englischer Mathematiker, 1642-1727) entdeckt. Beispiele:

0

b

x dx =

1.

0a 3 2.

01 5 3.

01 π 4.

3 dx = ln x 1 = ln 3 x x3 dx =

0

8.5.7

1 4 5 1 1 54 − 1 x 1 = 54 − 14 = = 156 4 4 4 4

π

sin x dx = − cos x 0 = − cos π − (− cos 0) = 1 + 1 = 2

00 2π 5.

1 2 b 1 2 b − a2 x a= 2 2

2π

cos x dx = sin x 0 = sin 2π − sin 0 = 0

Eigenschaften des bestimmten Integrals

Die folgenden Eigenschaften zur Berechnung des bestimmten Integrals einer Funktion lassen sich mit Hilfe der Deﬁnition beweisen. 1. Vertauschung der Integrationsgrenzen 0

0

a

f (x) dx = − b

b

f (x) dx a

348

8 Diﬀerential- und Integralrechnung Beispiel:

0

2

x dx = 6

0

6

− 2

1 2 2 1 1 x 6 = 22 − 62 = 2 − 18 = −16 2 2 2

6 1 1 1 x dx = − x2 2 = − 62 − 22 = −(18 − 2) = −16 2 2 2

2. Zusammenfassen der Integrationsintervalle 0

0

b

f (x) dx + a

0

c

f (x) dx = b

c

f (x) dx a

y

f (x)

0

a

b

c

x

Abbildung 8.17 Zusammenfassen der Integrationsintervalle Beispiel:

0

π

0

0

0

π 2

cos x dx =

π

cos x dx +

cos x dx π 2

0

Einzelberechnung der Integrale:

0

π

0

0

π 2

0

0

π π 2

π

cos x dx = sin x 0 = sin π − sin 0 = 0 − 0 = 0

π

cos x dx = sin x 02 = sin

π − sin 0 = 1 − 0 = 1 2

π

cos x dx = sin x π = sin π − sin 2

y 1

π = 0 − 1 = −1 2

f (x) = cos x 1

0

π 2

−1

π

−1 0

π

cos x dx = 0

Abbildung 8.18 0

x

8.5 Integralrechnung

349

3. Gleiche untere und obere Integrationsgrenze 0 a f (x) dx = 0 a

Beispiel:

0

3

x3 dx =

3

1 4 3 1 1 x 3 = 34 − 34 = 0 4 4 4

0

0

b

4. Existieren die bestimmten Integrale a

c1 , c2 ∈ IR 0

0

b

a

0

b

0

3

0

4

(2x − 4x ) dx = 2

4

x dx − 4

1

1

b

f (x) dx + c2 a

Beispiel: 4

g(x) dx, so gilt f¨ ur beliebige a

(c1 · f (x) + c2 · g(x)) dx = c1 0

b

f (x) dx und

g(x) dx a

x3 dx

1

Einzelberechnung der Integrale:

0

4

1

4

(2x − 4x3 ) dx = (x2 − x4 )1 = (42 − 44 ) − (12 − 14 ) = −240 − 0 = −240

0

1

4

x dx = 2

2 1

0

−4

4

4

1

x2 1 = 2

1

x3 dx = −4

1

8.5.8

2

4

4

2

· 42 −

1

x4 1 = −4

4

1 2 1 = 15 ·1 =2 8− 2 2 · 44 −

1 4 1 = −255 · 1 = −4 64 − 4 4

Einige Anwendungen der Integralrechnung

Es gibt sehr viele Anwendungen der Integralrechnung in der Technik und in den Ingenieurwissenschaften. Im Folgenden sind exemplarisch einige davon genannt. Bogenl¨ange Die L¨ange eines Kurvenst¨ ucks bezeichnet man als Bogenl¨ange. L¨asst sich der Bogen durch eine stetig diﬀerenzierbare Funktion y = f (x), f : [a, b] → W beschreiben, dann gilt f¨ ur die Bogenl¨ ange s 0

b

s=

1 + [f (x)]2 dx

a

Beweis: Ist a = x0 < x1 < . . . < xn = b eine Zerlegung Z des Intervalls [a, b] mit Δxk = xk − xk−1 , k = 1, 2, . . . , n, dann sind Pk = Pk (xk |yk ) mit yk = f (xk ) Punkte des Kurvenst¨ ucks.

350

8 Diﬀerential- und Integralrechnung y

Pk

Δ sk

P1 P0

Δyk

Pk−1

Pn

Δxk

0

x0 = a x1

...

xk−1

xk

. . . xn = b

x

Abbildung 8.19 Streckenzug zu einer Zerlegung Z

Die geradlinige Verbindung dieser Punkte ergibt einen Streckenzug, dessen L¨ange sZ die Summe der L¨angen der Teilstrecken Δsk ist: n n n sZ = Δsk = (xk − xk−1 )2 + (yk − yk−1 )2 = Δx2k + Δyk2 k=1

=

k=1

n

1+

k=1

k=1

Δy 2 k

Δxk

Δxk

Der Mittelwertsatz der Diﬀerentialrechnung sagt aus, dass es f¨ ur eine stetig diﬀerenzierbare Funktion y = f (x), f : [a, b] → W mindestens eine Stelle ξ mit a < ξ < b gibt, f (b) − f (a) = f (ξ). Es folgt, dass es in allen Intervallen (xk−1 , xk ) Zwischenso dass b−a f (xk ) − f (xk−1 ) Δyk = = f (ξk ). Damit folgt f¨ ur die L¨ange sZ des stellen ξk gibt mit Δxk xk − xk−1 Streckenzugs Z: n sZ = 1 + [f (ξk )]2 Δxk . k=1

ur die Bogenl¨ange s mit der Mit f ist auch 1 + f 2 in [a, b] stetig, und somit folgt f¨ Deﬁnition des bestimmten Integrals: 0 b n 1 + [f (ξk )]2 Δxk = 1 + [f (x)]2 dx s = lim n→∞

a

k=1

Beispiel: Bogen: y =

1 − x2 , D = [a, b] = [−1, 1] (Halbkreis)

0

1

Bogenl¨ ange: s =

1+

−1

√

−x 1 − x2

0

2

1

√

dx = −1

1 1 dx = arcsin x−1 = π 2 1−x

Volumen und Mantelﬂ¨ache von Rotationsk¨orpern Ein Rotationsk¨orper ist ein K¨ orper, der entsteht, wenn die Kurve einer Funktion y = f (x) mit f (x) ≥ 0 um die x-Achse (Rotationsachse) zwischen x = a und x = b rotiert

8.5 Integralrechnung

351

(oder die inverse Funktion um die y-Achse). Rotationsk¨orper sind aus dem Alltag bekannt: Vasen, Gl¨aser oder gedrechselte Figuren zum Beispiel. y = f (x)

y

f (x)

0

a

x

b

x

Abbildung 8.20 Rotationsk¨ orper

Ein Rotationsk¨orper ist durch zwei Schnitte senkrecht zur Rotationsachse begrenzt. Die von der Kurve, der x-Achse und den Geraden x = a und x = b begrenzte Fl¨ache heißt die erzeugende Fl¨ache des Rotationsk¨ orpers. Die Kugel ist zum Beispiel ein Rotationsk¨ orper. Sie entsteht durch Rotation eines Kreises mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung um eine der beiden Achsen. Auch gerade Kreiskegel und gerade Kreiszylinder sind Rotationsk¨orper. F¨ ur das Volumen V und f¨ ur den Inhalt AM der Mantelﬂ¨ache eines Rotationsk¨orpers gilt 0 Volumen

b

V =π a

f 2 (x) dx

0

b

Mantelﬂ¨ ache AM = 2π

f (x) 1 + [f (x)]2 dx

a

Beispiel: Die Gleichung des oberen Halbkreises mit dem Radius r lautet (explizite Form in kartesischen √ Koordinaten) y = r 2 − x2 , D = [−r, r]. 1 1 −x Die Ableitung dieser Funktion ist y (x) = (−2x) √ = √ . 2 2 2 2 r −x r − x2 Somit berechnet man nach den obigen Formeln f¨ ur das Volumen V und die Oberﬂ¨ ache AO (hier: Mantelﬂ¨ ache = Oberﬂ¨ ache) einer Kugel mit dem Radius r

0

b=r

V =π

(r 2 − x2 ) dx = 2π

a=−r

b=r

AO = 2π a=−r r

0 = 4π

0

r

(r2 − x2 ) dx = 2π(r 2 x −

0

2 4 = 2π · r 3 = πr3 3 3

0

0

r 2 − x2

x2 1+ 2 dx = 4π r − x2

r r dx = 4π · rx0 = 4πr2

0

r

1 3 r x )0 3

r 2 − x2

0

r2

r2 dx − x2

352

8 Diﬀerential- und Integralrechnung

Volumen und Mantelﬂ¨ ache von Rotationsk¨ orpern lassen sich auch mit Hilfe der guldinschen Regeln berechnen (benannt nach dem Mathematiker Paul Guldin, 1577-1643): 1. guldinsche Regel Das Volumen eines Rotationsk¨ orpers ist gleich dem Produkt aus dem Inhalt der auf einer Seite der Rotationsachse liegenden erzeugenden Fl¨ache und der L¨ange des Weges, den der Fl¨achenschwerpunkt bei der Rotation zur¨ ucklegt. 2. guldinsche Regel Der Inhalt der Mantelﬂ¨ ache eines Rotationsk¨ orpers ist gleich dem Produkt aus der L¨ange des auf einer Seite der Rotationsachse liegenden erzeugenden Kurvenst¨ ucks und der L¨ange des Weges, den der Schwerpunkt des erzeugenden Kurvenst¨ ucks bei der Rotation zur¨ ucklegt. Massentr¨agheitsmoment von Zylindern 1. Deﬁnition des Massentr¨agheitsmoments Dreht sich ein Massenpunkt der Masse m im Abstand r um eine Rotationsachse, so gilt f¨ ur die Geschwindigkeit v = ωr, wobei ω die Winkelgeschwindigkeit ist. F¨ ur die kinetische Energie gilt: m 2 m W = v = (ωr)2 2 2 Betrachtet man ein System von n Massenpunkten der Massen Δmk , k = 1, 2, . . . , n, die sich mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse drehen, so gilt f¨ ur die kinetische Energie: W =

n Δmk (ωrk )2

2

k=1

=

n ω2 2 rk · Δmk 2 k=1

Der Vergleich mit einer geradlinig bewegten Masse zeigt, dass der Geschwindigkeit v die Winkelgeschwindigkeit ω entspricht und der Masse m bei der Rotation die n Summe rk2 · Δmk . Diese Summe wird Massentr¨agheitsmoment J genannt: k=1

J=

n

rk2 · Δmk

k=1

2. Massentr¨agheitsmoments eines Vollzylinders Der betrachtete Vollzylinder hat die H¨ ohe h und ist homogen, das heißt, er hat konstante Dichte ρ, und er rotiert um die Zylinderachse. Denkt man sich den Zylinder in n Hohlzylinder der Dicke Δrk zerlegt, dann gilt f¨ ur deren Volumen ΔVk ≈ 2πrk · Δrk · h. Ist Δrk sehr klein, dann haben alle Massenpunkte eines Hohlzylinders nahezu den gleichen Abstand rk von der Drehachse, und es gilt f¨ ur das Massentr¨ agheitsmoment JV des Vollzylinders JV ≈

n k=1

rk2 Δmk =

n k=1

rk2 · ρ · ΔVk ≈ ρ

n k=1

rk2 · 2πrk · Δrk · h = 2πρh

n k=1

rk3 Δrk

8.5 Integralrechnung

353 R rk

Δrk h

Abbildung 8.21 Zum Massentr¨ agheitsmoment eines Vollzylinders

W¨ahlt man die Unterteilung immer feiner, also Δrk → 0, so folgt mit der Deﬁnition des bestimmten Integrals 0 R n 1 R4 3 JV = 2πρh lim = πρhR4 rk Δrk = 2πρh r3 dr = 2πρh · n→∞ 4 2 0 k=1

2

R R2 · πρhR2 = · mV 2 2 mV = πρhR2 ist die Masse des Vollzylinders =

3. Massentr¨agheitsmoments eines Hohlzylinders Das Massentr¨agheitsmoment JH eines Hohlzylinders mit dem Außendurchmesser Ra , dem Innendurchmesser Ri , der H¨ ohe h und der konstanten Dichte ρ in Bezug auf die Zylinderachse erh¨ alt man als Diﬀerenz der Tr¨agheitsmomente zweier Vollzylinder. 0 Ra 0 Ri 0 Ra r4 Ra 3 3 JH = 2πρh r dr − 2πρh r dr = 2πρh r3 dr = 2πρh 4 Ri 0 0 Ri =

1 R2 + Ri2 R2 + Ri2 πρh(Ra4 − Ri4 ) = a · πρh(Ra2 − Ri2 ) = a · mH 2 2 2

mH = πρh(Ra2 − Ri2 ) ist die Masse des Hohlzylinders

Ra Ri h

Abbildung 8.22 Zum Massentr¨ agheitsmoment eines Hohlzylinders

354

8.6

8 Diﬀerential- und Integralrechnung

Funktionenreihen

Zur Untersuchung von Eigenschaften gegebener Funktionen ist es oftmals sinnvoll, eine Funktion n¨aherungsweise durch eine unendliche Reihe darzustellen. Eine solche Darstellung heißt Entwicklung der Funktion in eine unendliche Reihe. H¨auﬁg w¨ahlt man, gerade bei praktischen Anwendungen, als Darstellung eine Potenzreihe oder, besonders bei Funktionen, die periodische Vorg¨ ange beschreiben, Fourier-Reihen.

8.6.1

Deﬁnitionen

F¨ ur jedes n = 1, 2, 3, . . . sei fn (x) eine Funktion mit dem Deﬁnitionsbereich D ⊆ IR. Die Folge dieser Funktionen heißt Funktionenfolge. (fn (x)) = (f1 (x), f2 (x), f3 (x), . . .) W¨ ahlt man x = x0 ∈ D fest, so erh¨ alt man eine gew¨ohnliche Zahlenfolge (an ) mit an = fn (x0 ) (vgl. Abschnitt 8.1). Beispiel: fn (x) = xn ⇒ Funktionenfolge: (fn (x)) = (xn ) = (x, x2 , x3 , x4 , . . .) x = x0 = 2 ⇒ Zahlenfolge: (2n ) = (2, 22 , 23 , 24 , . . .) = (2, 4, 8, 16, . . .)

Die Konvergenz von Funktionenfolgen wird analog zur Konvergenz von Zahlenfolgen deﬁniert: Die Funktionenfolge (fn (x)) konvergiert in einem Bereich E ⊆ D ⊆ IR gegen die Funktion f (x), wenn f¨ ur jedes x ∈ E die Folge (fn (x)) gegen den Funktionswert f (x) konvergiert. Das heißt, zu jedem x ∈ E l¨ asst sich nach Vorgabe einer positiven Zahl ε ein n0 ∈ IN (im Allgemeinen sowohl von x als auch von ε abh¨ angig, also n0 = n0 (ε, x)) so ﬁnden, dass f¨ ur alle n ≥ n0 gilt |f (x) − fn (x)| < ε. Man nennt dieses punktweise Konvergenz der Funktionenfolge und schreibt daf¨ ur lim fn (x) = f (x) f¨ ur x ∈ E

n→∞

H¨angt dagegen die Gr¨ oße von n0 nur von ε ab und nicht auch von x, also n0 = n0 (ε), dann heißt die Funktionenfolge gleichm¨ aßig konvergent in E. Die Funktion f (x) heißt Grenzfunktion der Funktionenfolge (fn (x)). Beispiel:

/ 1.

fn (x) = xn , D = 0,

2

1 F¨ ur ein beliebiges > 0 w¨ ahlt man n0 so, dass n < ε ist. F¨ ur alle n ≥ n0 und f¨ ur alle x ∈ D 2 0 1 1 n gilt dann: |fn (x) − 0| = x ≤ n ≤ n < ε. 2 2 0 Die Funktionenfolge ist also gleichm¨ aßig konvergent im Deﬁnitionsbereich D mit der Grenzfunktion f (x) = 0.

8.6 Funktionenreihen

355

Eine Funktionenreihe ist die Summe der Glieder einer Funktionenfolge (fn (x)). f1 (x) + f2 (x) + . . . + fn (x) + . . . =

Funktionenreihe

∞

fk (x)

k=1

Die folgenden Summen heißen Partialsummen der Funktionenreihe. F1 (x) = f1 (x), F2 (x) = f1 (x) + f2 (x), F3 (x) = f1 (x) + f2 (x) + f3 (x), . . ., Fn (x) = f1 (x) + f2 (x) + f3 (x) + . . . + fn (x) =

n

fk (x)

k=1

In Analogie zu den gew¨ ohnlichen Reihen heißt eine Funktionenreihe in einem Bereich n E ⊆ D ⊆ IR konvergent, wenn die Folge der Partialsummen Fn (x) = fk (x) der Funkk=1

tionenreihe in E gegen eine Funktion F (x) konvergiert. Man schreibt dann n

F (x) = lim

n→∞

k=1

fk (x) =

∞

fk (x)

k=1

Ist die Konvergenz der Folge der Partialsummen in E punktweise, dann heißt auch die Funktionenreihe in E punktweise konvergent. Ist dagegen die Konvergenz der Folge der Partialsummen gleichm¨ aßig, so heißt auch die Funktionenreihe gleichm¨aßig konvergent. Die Funktion F (x) heißt Grenzfunktion der Funktionenreihe in E. Man nennt F (x) auch die durch die Funktionenreihe dargestellte Funktion (im Konvergenzbereich E). ∞ ∞ f (x) heißt in E absolut konvergent, wenn |fk (x)| < ∞ Die Funktionenreihe k k=1

k=1

f¨ ur jedes x ∈ E gilt. Bei absolut konvergenten Funktionenreihen darf die Summationsreihenfolge der Ausgangsreihe beliebig ge¨ andert werden, ohne dass sich dadurch der Wert der Reihe ¨andert. Beispiel: Funktionenreihe:

∞ k=1

F¨ ur x = 0 gilt fk (x) =

x2 , (1 + x2 )k

x ∈ IR

x2 = 0. (1 + x2 )k

2 1 k 1 F¨ ur festes x = 0 ist < 1, die Reihe fk (x) = x ist also eine konvergente 2 1+x 1 + x2 ∞

∞

k=1

k=1

geometrische Reihe (vgl. Abschnitt 8.2.3) mit der Grenzfunktion F (x) =

∞ k=1

x2

1 k 1 k 1 = x2 = x2 · = x2 · 1 1 + x2 1 + x2 1 − 1+x 2 ∞

k=1

1 x2 1+x2

= 1 + x2 .

356

8 Diﬀerential- und Integralrechnung

Die Funktionenreihe

F (x) =

8.6.2

∞ k=1

x2 ist f¨ ur alle x ∈ IR konvergent mit der Grenzfunktion (1 + x2 )k

1 + x2

f¨ ur x = 0

0

f¨ ur x = 0

Potenzreihen

Funktionenreihen

∞

fk (x) mit fk (x) = ak (x − x0 )k , wobei ak , k = 0, 1, 2, . . . , und x0

k=0

reelle Zahlen sind, heißen Potenzreihen. Potenzreihe

∞

ak (x − x0 )k = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + a3 (x − x0 )3 + . . .

k=0

Die reellen Zahlen a0 , a1 , a2 , . . . heißen Koeﬃzienten der Potenzreihe, x0 heißt ihr Entwicklungspunkt. Der Konvergenzbereich einer Potenzreihe ist die Menge aller Zahlen, die man f¨ ur x einsetzen kann, so dass die entstehende numerische Reihe konvergiert. Beispiel: Zum Konvergenzbereich der Potenzreihe die numerische Reihe

∞ 1 k

2

k=0

vergiert.

∞

xk = 1 + x + x2 + x3 + . . . geh¨ ort die Zahl

k=0

konvergiert, die Zahl −2 aber nicht, da die Reihe

∞

1 , denn 2

(−2)k di-

k=0

F¨ ur den Konvergenzbereich einer Potenzreihe gibt es drei M¨oglichkeiten: • Die Reihe konvergiert nur im Entwicklungspunkt x0 . • Die Reihe konvergiert f¨ ur alle x ∈ IR. • Die Reihe konvergiert f¨ ur alle x aus einem endlichen oﬀenen Intervall (x0 −r, x0 +r). In den beiden Randpunkten x0 − r und x0 + r kann die Reihe konvergent oder divergent sein. Die Zahl der Potenzreihe. Sie wird bestimmt durch r = a r heißt Konvergenzradius 1 n , falls diese Grenzwerte existieren. lim oder r = n→∞ an+1 lim n |an | n→∞

Die erste ur den Konvergenzbereich einer Potenzreihe folgt aus M¨oglichkeit f¨ lim n |an | = ∞, es ist dann r = 0. Die zweite M¨oglichkeit folgt aus lim n |an | = 0, n→∞ n→∞ es ist dann r = ∞. Beispiele: 1.

∞

k k xk

k=1

lim

n→∞

n

|an | = lim

n→∞

√ n

nn = lim n = ∞ n→∞

Somit ist r = 0, der Konvergenzbereich besteht also nur aus dem Entwicklungspunkt x0 .

8.6 Funktionenreihen

2.

∞ 2k−1 k=0

kk+1

357

xk

n

2n 1 2 = lim √ √ · = 0, n→∞ n→∞ n→∞ n 2 · n n n 2n · nn √ √ n 2 = lim n n = 1. denn lim |an | = lim

lim

n→∞

n

n→∞

Es ist also r = ∞, die Reihe konvergiert f¨ ur alle x ∈ IR. 3.

∞

k2 5k (x − 2)k

k=0

lim

n

|an | = lim

n→∞

√ n

n→∞

√ n

n2 5n = lim 5 · n→∞

√ n2 = 5 lim ( n n)2 = 5 n→∞

1 Der Konvergenzradius ist folglich r = . Um den genauen Konvergenzbereich zu bestim5 9 11 1 1 men, m¨ ussen die Randpunkte x1 = 2 − = und x2 = 2 + = untersucht werden. F¨ ur 5 5 5 5 ∞ ∞ 2 k 1 k alt man die numerische Reihe k 5 − = (−1)k k2 und f¨ ur x2 die Reihe x1 erh¨ 5 ∞ k=0

2

k

k 5

1 k 5

=

∞

k=0

k=0

2

k . Beide numerischen Reihen divergieren, die Potenzreihe konvergiert

k=0

somit in keinem der Randpunkte. Der Konvergenzbereich der Potenzreihe ist das oﬀene 9 11 , Intervall . 5 5

Im Konvergenzbereich der Potenzreihe wird die Grenzfunktion F (x) durch die Potenzreihe dargestellt. F (x) =

∞

ak (x − x0 )k

k=0

Eine durch eine Potenzreihe dargestellte Funktion F (x) ist im Innern des Konvergenzbereichs stetig. Eine Potenzreihe konvergiert in jedem abgeschlossenen Teilintervall des Konvergenzbereichs gleichm¨ aßig. Jede Potenzreihe darf im Innern des Konvergenzbereichs gliedweise diﬀerenziert und integriert werden. Die so entstehenden Potenzreihen haben den gleichen Konvergenzradius r wie die Ausgangsreihe. F¨ ur x ∈ (x0 − r, x0 + r) gilt somit

F (x) = F (x) = 0 F (x) dx

=

∞ k=0 ∞ k=0 ∞ k=0

ak (x − x0 )k k · ak (x − x0 )k−1 ak (x − x0 )k+1 + C k+1

Die Integrationskonstante ist durch Einsetzen (zum Beispiel x0 = 0) zu bestimmen.

358

8 Diﬀerential- und Integralrechnung

Beispiel: Potenzreihe: F (x) =

∞

xk =

k=0

1 1−x

(vgl. Abschnitt 8.2.3)

an = lim 1 = 1 Konvergenzradius: r = lim n→∞ an+1 n→∞ 1 In den Randpunkten x1 = −1 und x2 = 1 divergiert die numerische Reihe, der Konvergenzbereich der Potenzreihe ist somit das oﬀene Intervall (−1, 1). Diﬀerentiation: F (x) =

d 1 1 = dx 1 − x (1 − x)2

k xk−1 =

k=0

0 Integration:

∞

F (x) dx =

∞ k=0

1 xk+1 + C = k+1

0

f¨ ur x ∈ (−1, 1)

dx = − ln(1 − x) 1−x

Aus x = 0 folgt C = 0, es gilt daher ∞ k=0

1 xk+1 = − ln(1 − x) k+1

f¨ ur x ∈ (−1, 1)

F¨ ur zwei Potenzreihen F (x) =

∞

ak (x − x0 )k und G(x) =

k=0

∞

bk (x − x0 )k mit dem

k=0

gleichen Entwicklungspunkt x0 gelten folgende Rechenregeln (x liegt dabei im Innern des Konvergenzbereichs beider Reihen):

Summe

F (x) + G(x)

Diﬀerenz

F (x) − G(x)

Produkt

F (x) · G(x)

=

=

∞ k=0 ∞

(ak + bk )(x − x0 )k (ak − bk )(x − x0 )k

k=0

= a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )(x − x0 ) +(a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 )(x − x0 )2 + . . . ∞ (a0 bk + a1 bk−1 + . . . + ak b0 )(x − x0 )k =

F (x) G(x)

Quotient

=

k=0 ∞

ck (x − x0 )k

k=0

Die Produktdarstellung nennt man Cauchy-Produkt (nach dem franz¨osischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy, 1789-1857). Den Quotienten berechnet man durch Multiplikation mit dem Nenner ∞ ∞ ∞

ak (x − x0 )k = bk (x − x0 )k ck (x − x0 )k k=0

k=0

k=0

und anschließendem Koeﬃzientenvergleich der Potenzen von (x − x0 )k auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens.

8.6 Funktionenreihen 8.6.3

359

Fourier-Reihen

In der Praxis treten h¨ auﬁg periodische Vorg¨ ange auf (zum Beispiel Schwingungen in der Elektrotechnik, Akustik oder Optik), die sich am besten durch periodische Funktionen beschreiben lassen. Oftmals ist es dann notwendig oder vorteilhaft, eine solche periodische Funktion exakt oder angen¨ ahert durch eine Funktionenreihe, deren Summanden bestimmte Summen aus trigonometrischen Funktionen sind, darzustellen. Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Bedingung f (x + T ) = f (x) f¨ ur alle x aus dem Deﬁnitionsbereich D erf¨ ullt, wobei T = 0 eine Konstante ist, heißt periodische Funktion (vgl. Abschnitt 5.2.7). Die kleinste positive Zahl T mit dieser Eigenschaft heißt Periode der Funktion, man nennt die Funktion y = f (x) auch T -periodisch. Eine T -periodische Funktion y = f (x) ist eindeutig bestimmt durch ihr Verhalten auf einem beliebigen Intervall der L¨ ange T . Diese Tatsache f¨ uhrte zur Einf¨ uhrung von FourierReihen. ∞ πk πk Funktionenreihen x + bk sin x f¨ ur k = 1, 2, 3, . . . fk (x) mit fk (x) = ak cos p p k=0 a0 (ak und bk sind reelle Zahlen) und f0 (x) = heißen trigonometrische Reihen. 2 ∞

Trigonometrische Reihe

fk (x) =

k=0

∞ πk πk

a0 ak cos + x + bk sin x 2 p p k=1

Dabei sind (ak ), k = 0, 1, 2, . . . und (bk ), k = 1, 2, 3, . . . Zahlenfolgen. Ist eine trigonometrische Reihe f¨ ur alle x ∈ IR konvergent, so stellt sie in IR eine Funktion F (x) dar: ∞ a0 πk πk

+ x + bk sin x F (x) = ak cos 2 p p k=1

In diesem Fall ist F (x) eine 2p-periodische Funktion, denn es gilt f¨ ur alle x ∈ IR: ∞

πk πk a0 F (x + 2p) = ak cos + (x + 2p) + bk sin (x + 2p) 2 p p k=1 ∞

πk πk a0 ak cos + x + 2πk + bk sin x + 2πk = 2 p p k=1 ∞

πk πk a0 + x + bk sin x = F (x) = ak cos 2 p p k=1

Sind die numerischen Reihen

∞

ak

und

k=1

∞

bk

absolut konvergent (vgl. Ab-

k=1

schnitt 8.6.1), dann gilt: 1. Die trigonometrische Reihe

∞ πk πk

a0 ak cos + x + bk sin x ist f¨ ur alle x ∈ IR 2 p p k=1

konvergent. 2. Die Funktion F (x) mit F (x) =

∞ πk πk

a0 ak cos + x + bk sin x ist in IR stetig. 2 p p k=1

360

8 Diﬀerential- und Integralrechnung

Es sei y = f (x) eine 2p-periodische Funktion, die u ¨ ber dem Intervall [−p, p] integrierbar ist. Dann heißen die Zahlen ak und bk die Fourier-Koeﬃzienten der Funktion f (x).

FourierKoeﬃzienten von f (x)

ak = bk =

1 p 1 p

0

p

−p

0

f (x) · cos

πk x dx (k ∈ IN) p

f (x) · sin

πk x dx p

p

−p

(k ∈ IN)

Die mit Hilfe dieser Fourier-Koefﬁzienten gebildete trigonometrische Reihe ∞ a0 πk πk

ak cos + x + bk sin x heißt die zur Funktion f (x) geh¨orende oder die 2 p p k=1 durch f (x) erzeugte oder die f (x) formal zugeordnete Fourier-Reihe (Name nach dem franz¨osischen Mathematiker Jean-Baptiste-Joseph Fourier, 1768-1830). Man schreibt: f (x) formal zugeordnete Fourier-Reihe

∞ πk πk

a0 ak cos + x + bk sin x 2 p p

f (x) ∼

(∗)

k=1

Das Zeichen ∼ soll andeuten, dass die Zuordnung von f (x) zu ihrer Fourier-Reihe eine formale Zuordnung ist. Es ist nichts ausgesagt u ¨ber die Konvergenz dieser Fourier-Reihe und nichts dar¨ uber, ob im Falle der Konvergenz die Fourier-Reihe die Funktion f (x) auch darstellt, das heißt, ob in (∗) die Gleichheit gilt. Da die Integranden der Fourier-Koeﬃzienten 2p-periodisch sind, kann dort jedes Intervall der L¨ange 2p als Integrationsintervall verwendet werden, zum Beispiel [0, 2p]. Ist f (x) eine gerade Funktion, das heißt, gilt f (x) = f (−x) (vgl. Abschnitt 5.2.2), so folgt ak = f (x) gerade Funktion

2 p

0

p

f (x) · cos

0

πk x dx p

bk = 0

(k = 0, 1, 2, . . .) (k = 1, 2, 3, . . .)

F¨ ur eine ungerade Funktion f (x), also f (x) = −f (−x), folgt ak = 0 f (x) ungerade Funktion

2 bk = p

(k = 0, 1, 2, . . .) 0 0

p

f (x) · sin

πk x dx (k = 1, 2, 3, . . .) p

Die Bestimmung der Fourier-Koeﬃzienten einer Funktion heißt harmonische Analyse. Der Satz von Dirichlet (nach dem Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 18051859) gibt hinreichende Bedingungen daf¨ ur an, dass eine Funktion f (x) durch ihre (konvergente) Fourier-Reihe dargestellt wird, das heißt daf¨ ur, dass in (∗) Gleichheit f¨ ur alle x gilt.

8.6 Funktionenreihen

361

Satz von Dirichlet: (1) Die Funktion f (x) mit der Periode 2p ist im Intervall [−p, p] bis auf endlich viele Sprungstellen (vgl. Abschnitt 8.3.7) stetig. (2) Das Intervall [−p, p] l¨ asst sich so in endlich viele Teilintervalle zerlegen, dass f (x) in den einzelnen Teilintervallen monoton (monoton fallend oder monoton wachsend) ist (vgl. Abschnitt 5.2.1). Gelten (1) und (2) f¨ ur eine Funktion f (x), so konvergiert die Fourier-Reihe von f (x) und stellt die Funktion auch dar. An den Sprungstellen der Funktion nimmt die Fourier-Reihe den Mittelwert an, das heißt,

1 f¨ ur eine Sprungstelle x1 gilt f (x1 ) = lim f (x) + lim f (x) x→x1 −0 2 x→x1 +0 (vgl. Abschnitt 8.3.2). H¨auﬁg kommt es vor, dass die Funktion f (x) nur in dem Intervall [−p, p] deﬁniert, nicht aber periodisch ist. In diesem Fall setzt man die Funktion f (x) einfach nach links und nach rechts periodisch fort und bestimmt dann die Fourier-Reihe zu der fortgesetzten Funktion (siehe Beispiele 2 bis 4). In den folgenden Beispielen werden die Fourier-Reihen von Funktionen berechnet, die h¨auﬁg in der Praxis auftreten. Beispiele: 1.

Rechteckpuls Es sei f (x) die 2π-periodische Funktion mit ⎧ π A f¨ ur |x| < ⎪ ⎪ 2 ⎨ π A f (x) = f¨ ur |x| = 2 2 ⎪ ⎪ ⎩ 0 f¨ur π < |x| ≤ π 2 (periodisch fortsetzen).

f (x) A

1

−2π

−π

0

1

π

2π

Abbildung 8.23 Rechteckpuls Bestimmung der formalen Fourier-Reihe von f (x): ur die Fourier-Koeﬃzienten bk . Da f (x) eine gerade Funktion ist, gilt bk = 0 f¨

x

362

8 Diﬀerential- und Integralrechnung Berechnung der ak : k=0: k ∈ IN :

=

a0

=

ak

=

2 π 2 π

0

π

f (x) dx =

0

0

2 π

0

π 2

A dx = A 0

π

f (x) cos kx dx = 0

⎧ ⎨(−1)n+1 · ⎩

2A π

2A (2n − 1)π 0

0

π 2

cos kx dx = 0

kπ 2A sin kπ 2

f¨ ur k ungerade, k = 2n − 1 f¨ ur k gerade, k = 2n

Fourier-Reihe von f (x): f (x) ∼

∞ A cos 3x 2A (−1)n+1 A 2A cos 5x cos x − + · cos(2n − 1)x = + + −+... 2 π 2n − 1 2 π 3 5 n=1

Darstellbarkeit:

π π π π , π stetig und moDie Funktion ist in den Teilintervallen − π, − , − , und 2 2 2 2 noton. An den Sprungstellen ist der Funktionswert gleich dem arithmetischen Mittel der einseitigen Grenzwerte. Nach dem Satz von Dirichlet wird die Funktion f (x) somit durch ihre Fourier-Reihe dargestellt: f (x) =

∞ 2A (−1)n+1 A + · cos(2n − 1)x 2 π 2n − 1 n=1

2.

Dreieckpuls Man setze die Funktion f (x) = 1 − |x|, −1 ≤ x ≤ 1 periodisch fort und entwickle sie in eine Fourier-Reihe.

f (x) 1 0

−5 −4 −3 −2 −1

1

2

3

4

5

x

Abbildung 8.24 Graph der periodisch fortgesetzten Funktion von Beispiel 2

Die periodisch fortgesetzte Funktion hat die Periode 2, in den Formeln muss deshalb 2p = 2, also p = 1, gesetzt werden. Da f (x) eine gerade Funktion ist, folgt bk = 0 f¨ ur k = 1, 2, 3, . . .. Berechnung der ak :

0

1

k = 0 : a0 = 2 0

1

(1 − x) dx = −(1 − x)2 = 1, 0

denn im Intervall [0, 1] gilt 1 − |x| = 1 − x.

8.6 Funktionenreihen

363

0 k = 0 :

ak

1

(1 − x) cos πkx dx

=2 0

0

0

1

0

1 1 sin πkx − =2 πk 0

=2 −

1 (πk)2

=

x cos πkx dx 0

1 x 1 sin πkx + cos πkx πk (πk)2 0

cos πk − 1

=

1

cos πkx dx −

=2

2 1 − (−1)k (πk)2

⎧ ⎨ 4

f¨ ur k ungerade, k = 2n − 1

⎩ 0

f¨ ur k gerade, k = 2n

(πk)2

Das zweite Integral berechnet man mit zweimaliger partieller Integration. Fourier-Reihe von f (x): f (x) ∼

4 1 1 + a2n−1 cos π(2n − 1)x = + cos(2n − 1)πx 2 2 π 2 (2n − 1)2 ∞

∞

n=1

n=1

Darstellbarkeit: (1) (2)

Die Funktion f (x) = 1 − |x| ist im Intervall [−1, 1] u ¨ berall stetig. Zerlegt man das Periodenintervall [−1, 1] in die zwei Teilintervalle [−1, 0] und [0, 1], so ist f (x) in [−1, 0] monoton wachsend und in [0, 1] monoton fallend.

Nach dem Satz von Dirichlet wird die Funktion f (x) somit durch ihre Fourier-Reihe dargestellt: 1 4 cos(2n − 1)πx + 2 π 2 (2n − 1)2 ∞

f (x) =

n=1

3.

Man setze die Funktion y = sin x, 0 ≤ x ≤ π periodisch fort und entwickle sie in eine Fourier-Reihe.

f (x) 1

−2π

−π

0

1

π

2π

x

Abbildung 8.25 Graph der periodisch fortgesetzten Funktion von Beispiel 3 Die fortgesetzte Funktion ist die Funktion f (x) = | sin x|, sie hat die Periode π, es folgt also π p= . 2 ur alle k. Wegen | sin(−x)| = | − sin x| = | sin x| ist f (x) gerade, es folgt bk = 0 f¨

364

8 Diﬀerential- und Integralrechnung Berechnung der ak : k = 0 : a0 =

2 π

0

π

sin x dx = 0

2 π

π

− cos x = 0

2 4 1+1 = , π π

denn im Intervall [0, π] gilt | sin x| = sin x. k = 0 :

ak

=

2 π

0

sin x cos 2kx dx

=

π 0

2 1 1 π sin x sin 2kx − π 2k 2k 0

0

π

cos x sin 2kx dx 0

2 1 1 π = cos x cos 2kx + 2 π 4k2 4k 0

0

π

sin x cos 2kx dx 0

Bei beiden Umformungen wurde die Methode der partiellen Integration angewandt. Es folgt ak =

π 2 2 4k2 1 4 cos x cos 2kx 0 = · 2 (−1 − 1) = − 2 π 4k − 1 4k π(4k 2 − 1) π(4k2 − 1)

Fourier-Reihe von f (x): f (x) ∼

∞ 4 cos 2kx 2 − π π 4k2 − 1 k=1

Darstellbarkeit: Die Funktion f (x) = | sin x| ist im Intervall [0, π] stetig. π π monoton steigend und in (2) Die Funktion f (x) ist in 0, , π monoton fallend. 2 2 Nach dem Satz von Dirichlet gilt somit Gleichheit: (1)

f (x) =

∞ 2 4 cos 2kx − π π 4k2 − 1 k=1

4.

Man setze die Funktion f (x) =

x

f¨ ur 0 < x ≤ 1

1

f¨ ur 1 ≤ x < 2

periodisch fort und berechne die zugeh¨ orige Fourier-Reihe.

f (x) 1

−5 −4 −3 −2 −1

0

1

2

3

4

5

x

Abbildung 8.26 Graph der periodisch fortgesetzten Funktion von Beispiel 4 Die fortgesetzte Funktion hat die Periode 2, es folgt p = 1. Die Funktion ist weder gerade noch ungerade, es m¨ ussen also sowohl die Fourier-Koeﬃzienten ak als auch bk berechnet werden.

8.6 Funktionenreihen

365

Berechnung der ak :

0

k=0:

0

2

=

a0

x dx +

0

0 k = 0 :

ak

0

1

f (x) dx = 0

=

=

0

2

0

0 2 − 2 2 k π

cos πkx dx 1

f¨ ur k gerade f¨ ur k ungerade

0

1

f (x) sin πkx dx = 0

=

2

x cos πkx dx +

cos πkx x sin πkx 1 sin πkx 2 cos πk 1 + = 2 2 − 2 2 + 2 2 k π kπ kπ k π k π 0 1

Berechnung der bk : =

0

0

1 = 2 2 (−1)k − 1 = k π

bk

1 2 1 2 3 x + x = 2 2 0 1

1

f (x) cos πkx dx = 0

1dx = 1

0

2

2

2

x sin πkx dx + 0

sin πkx dx

1

sin πkx x cos πkx 1 (− cos πkx) 2 − + 2 2 k π kπ kπ 0 1

=−

cos πk cos π2k cos πk 1 − + =− kπ kπ kπ kπ

osung des ersten Integrals Sowohl bei der Berechnung von ak als auch von bk wurde zur L¨ zweimalige partielle Integration durchgef¨ uhrt. Fourier-Reihe von f (x):

1 3 (−1)k − 1 + sin πkx cos πkx − 4 k2 π2 kπ ∞

f (x) ∼

k=1

Darstellbarkeit: Die Funktion ist im Intervall (0, 2) stetig und monoton. Mit der Deﬁnition 1 1 f (0) = f (2) = sind die Bedingungen des Satzes von Dirichlet erf¨ ullt, die 1+0 = 2 2 Funktion f (x) wird somit durch ihre Fourier-Reihe dargestellt:

3 (−1)k − 1 1 cos πkx − + sin πkx 4 k2 π2 kπ ∞

f (x) =

k=1

9

Kombinatorik

Die Kombinatorik ist ein mathematisches Teilgebiet, in dem man sich mit endlichen Mengen besch¨aftigt. Dabei werden Anordnungen (Konﬁgurationen) von Objekten (Elementen) endlicher Mengen untersucht, so dass bestimmte Bedingungen erf¨ ullt sind. Man unterscheidet Fragen nach der Existenz bestimmter Konﬁgurationen (sogenannte Existenzprobleme), Fragen nach der Anzahl bestimmter Konﬁgurationen (Anzahlprobleme) sowie Fragen nach der Konstruierbarkeit von L¨osungen (Konstruktionsprobleme). Der Name Kombinatorik kommt von dem aus dem Lateinischen abgeleiteten Wort kombi” nieren“, was zusammenstellen“ oder verkn¨ upfen“ bedeutet. ” ” Jeder hat schon mit kombinatorischen Problemen zu tun gehabt, etwa beim Lotto (Wie viele verschiedene M¨ oglichkeiten gibt es, 4 Richtige zu haben?), beim Toto (Wie viel verschiedene M¨oglichkeiten gibt es insgesamt?), beim Skat (Was ist die Anzahl der verschiedenen Kartenverteilungen?) oder beim Weg zur Arbeit/Ausbildungsst¨atte (Was ist die Anzahl der Wege von der Wohnung zur Arbeit/Ausbildungsst¨atte, wenn man auf jedem Weg dem Ziel immer n¨ aher kommt?). Historisch hat sich die Kombinatorik aus unterhaltungsmathematischen und spieltheoretischen Fragestellungen entwickelt. Kombinatorik war zun¨achst ein Teil der Wahrscheinlichkeitstheorie und ist seit etwa Mitte des 20. Jahrhunderts eine eigene mathematische Disziplin, deren Bedeutung immer mehr w¨ achst, nicht zuletzt aufgrund computertechnischer Anwendungen.

9.1

Kombinatorische Grundprinzipien

H¨auﬁg verwandte Methoden in der Kombinatorik sind vollst¨andige Induktion (vgl. Kapitel 1), Summen- und Produktregel sowie das Schubfachprinzip und Erweiterungen davon. Summenregel (Additionsprinzip) L¨asst sich ein Objekt a aus einer Menge A auf m Arten ausw¨ahlen und ein Objekt b aus einer anderen Menge B auf n Arten, so l¨ asst sich a oder b (entweder a oder b) auf m + n Arten ausw¨ahlen. Produktregel (Multiplikationsprinzip) L¨ asst sich ein Objekt a aus einer Menge A auf m Arten ausw¨ahlen und ein Objekt b aus einer anderen Menge B auf n Arten, so lassen sich a und b (sowohl a als auch b) auf m · n Arten ausw¨ahlen. Beispiele: 1.

Aus vier Frauen und drei M¨ annern lassen sich zw¨ olf verschiedene Paare und sieben verschiedene Einzelpersonen ausw¨ ahlen, denn es gibt 4 · 3 = 12 M¨ oglichkeiten, sowohl eine Frau als auch einen Mann auszuw¨ ahlen, und 4 + 3 = 7 M¨ oglichkeiten, entweder eine Frau oder einen Mann auszuw¨ ahlen.

2.

In einem Schachturnier treﬀen drei Mannschaften A, B, C aufeinander, wobei Mannschaft A aus vier Spielern, Mannschaft B aus f¨ unf und Mannschaft C aus sechs Spielern besteht. Wie viel Spiele gibt es insgesamt, wenn jeder Spieler einer Mannschaft gegen jeden Spieler der anderen Mannschaften antreten soll?

A. Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn, DOI 10.1007/978-3-8348-8258-5_9, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

9.1 Kombinatorische Grundprinzipien

367

Nach der Produktregel gibt es 4 · 5 Spiele zwischen den Mannschaften A und B, 4 · 6 Spiele zwischen A und C und 5 · 6 Spiele zwischen B und C. Nach der Summenregel ist somit die Gesamtzahl der Spiele gleich 4 · 5 + 4 · 6 + 5 · 6 = 74. 3.

Zwischen den St¨ adten A und B gibt es zwei Verbindungsstraßen, zwischen den St¨ adten B und C f¨ unf und zwischen den St¨ adten C und D drei Verbindungsstraßen. Auf wie viele verschiedene Arten kann man von A u ¨ ber B und C nach D fahren? Nach der Produktregel ist diese Anzahl gleich 2 · 5 · 3 = 30. Wie viele Rundreisen A − B − C − D − C − B − A gibt es? Diese Anzahl ist 302 (= 2 · 5 · 3 · 3 · 5 · 2) = 900. Wie viele Rundreisen A − B − C − D − C − B − A gibt es, wenn jede Straße nur einmal befahren werden soll? F¨ ur diese Anzahl berechnet man nach der Produktregel 2 · 5 · 3 · 2 · 4 · 1 = 240.

4.

Wie viel ungerade Zahlen zwischen 1000 und 9999 haben lauter verschiedene Ziﬀern (wie 2347 oder 5013)? F¨ ur die Tausenderstelle kommen die Ziﬀern 1, 2, . . . , 9 in Frage, f¨ ur die Hunderterstelle die Ziﬀern 0, 1, . . . , 9, f¨ ur die Zehnerstelle ebenfalls die Ziﬀern 0, 1, . . . , 9 und f¨ ur die Einerstelle die Ziﬀern 1, 3, 5, 7, 9 (ungerade Zahlen). W¨ ahlt man zun¨ achst die Einerstelle aus, so gibt es daf¨ ur 5 M¨ oglichkeiten. W¨ ahlt man anschließend die Tausenderstelle aus, so gibt es daf¨ ur 9−1 M¨ oglichkeiten (von den 9 M¨ oglichkeiten 1, 2, . . . , 9 f¨ allt eine weg, da Tausender- und Einerstelle verschieden sein sollen). F¨ ur die Hunderterstelle gibt es danach 10 − 2 M¨ oglichkeiten und f¨ ur die Zehnerstelle dann 10 − 3 M¨ oglichkeiten. F¨ ur die gesuchte Anzahl ergibt sich somit nach der Produktregel 5·(9−1)·(10−2)·(10−3) = 5 · 8 · 8 · 7 = 2240.

Schubfachprinzip Verteilt man n Objekte auf k Schubf¨ acher, n > k, so gibt es (mindestens) ein Fach, das mindestens zwei Objekte enth¨ alt. Verallgemeinerung Verteilt man q1 +q2 +. . .+qk −k+1 Objekte auf k Schubf¨acher Si (qi ∈ IN, i = 1, 2, . . . , k), dann gibt es ein Schubfach Sj , 1 ≤ j ≤ k, das mindestens qj Objekte enth¨alt. Dieses einfache kombinatorische Prinzip, das erstmals von dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet(1805-1859) explizit formuliert wurde und deshalb mitunter auch Dirichletsches Prinzip genannt wird (oder Taubenschlagprinzip), hat viele zum Teil u ¨ berraschende Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik. Beispiele: 5.

Von acht Personen haben mindestens zwei am gleichen Wochentag Geburtstag.

6.

Es gibt in Hannover mindestens zwei Menschen mit derselben Anzahl von Haaren auf dem Kopf. Begr¨ undung: Die Maximalanzahl von Kopfhaaren ist 500 000 (es gibt also 500 001 Schubf¨ acher), in Hannover leben mehr als 500 001 Menschen.

7.

In einem Kino sitzen n Personen (n ≥ 2). Darunter gibt es immer zwei, die dieselbe Anzahl von Bekannten im Kino haben. Begr¨ undung: Man w¨ ahlt n Schubf¨ acher mit den Bezeichnungen 0, 1, 2, . . . , n − 1. In das Schubfach i (0 ≤ i ≤ n − 1) kommen Karten mit den Namen aller derjenigen Kinobesucher, die genau i Bekannte unter den anderen Kinobesuchern haben. Kennen“ bzw. Bekannt” ” sein“ ist symmetrisch (zwei Personen kennen sich gegenseitig), das heißt, die Schubf¨ acher

368

9 Kombinatorik S0 ( niemand kennen“) und Sn−1 ( n − 1, also alle anderen kennen“) k¨ onnen nicht gleich” ” zeitig belegt sein. Somit sind h¨ ochstens n − 1 Schubf¨ acher belegt, das heißt, mindestens ein Schubfach ist doppelt belegt.

9.2

Fakult¨ aten, Binomialkoeﬃzienten und Pascalsches Dreieck

F¨ ur eine nat¨ urliche Zahl n ∈ IN ist n! (gesprochen: n Fakult¨at) deﬁniert als das Produkt der ersten n nat¨ urlichen Zahlen. n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n Außerdem wird 0! = 1 f¨ ur n = 0 gesetzt. Die Fakult¨at l¨asst sich mit der Formel n! = n · (n − 1)!, n ∈ IN, berechnen (Rekursionsformel). Beispiele: 0! = 1, 1! = 1, 2! = 1 · 2 = 2, 3! = 1 · 2 · 3 = 6, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24, 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120, 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720

F¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen n, k mit 1 ≤ k ≤ n ist der Binomialkoeﬃzient chen: n u ¨ ber k) deﬁniert durch

n k

(gespro-

) * n n! = k k!(n − k)! Man setzt außerdem n0 = 1 und 00 = 1. F¨ ur die praktische Rechnung eignet sich die folgende Formel, die man durch K¨ urzen aus der Deﬁnitionsgleichung erh¨ alt. ) * n(n − 1)(n − 2) · . . . · (n − k + 1) n = k 1 · 2 ·3 · ...· k Z¨ ahler und Nenner bestehen jeweils aus k Faktoren. Dabei sind die k Faktoren im Nenner von 1 an um jeweils 1 aufsteigend und im Z¨ ahler von n an um jeweils 1 fallend. F¨ ur die Binomialkoeeﬁzienten gibt es eine Reihe von Rechenregeln. F¨ ur die praktische Berechnung sind wichtig: ) * ) * n n = Symmetrie k n−k ) * ) * ) * n−1 n−1 n + = Additionssatz k−1 k k Beweis der Symmetrie: ) * n! n = k k!(n − k)!

9.2 Fakult¨aten, Binomialkoeﬃzienten und Pascalsches Dreieck )

n n−k

* =

369

n! n! n! = = (n − k)!(n − (n − k))! (n − k)!k! k!(n − k)!

Beweis des Additionssatzes: ) * ) * (n − 1)! (n − 1)!(n − k + k) (n − 1)! n−1 n−1 + = + = k!(n − 1 − k)! (k − 1)!(n − k)! k!(n − k)! k k−1 ) * n! n = = k!(n − k)! k Beispiele:

) * 8 3

8·7·6 8! = = 56; = 3! 5! 1·2·3

) * n n

) * = 1,

n 1

) * = n,

n 2

=

) * 8 3

) * =

8 5

n · (n − 1) 2

F¨ ur jede nat¨ urliche Zahl n lassen sich die Binomialkoeﬃzienten nk , k = 0, 1, . . . , n, im pascalschen Dreieck darstellen nach dem franz¨osischen Mathematiker Blaise (Name Pascal, 1623-1662). Wegen n0 = nn = 1 sind die Zahlen der R¨ander des Dreiecks gleich Eins. Jede nicht am Rand stehende Zahl des Dreiecks ist wegen des Additionssatzes gleich der Summe der beiden unmittelbar dar¨ uberstehenden Zahlen. Pascalsches Dreieck: ) * 0 0 ) * ) * 1 1 0 1 ) * ) * ) * 2 2 2 0 1 2 ) * ) * ) * ) * 3 3 3 3 0 1 2 3 ) * ) * ) * ) * ) * 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4 ) * ) * ) * ) * ) * ) * 5 5 5 5 5 5 0 1 2 3 4 5 ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * 6 6 6 6 6 6 6 0 1 2 3 4 5 6 ·············································

Rechnet man die Binomialkoeﬃzienten aus, so lauten die ersten Zeilen des pascalschen Dreiecks:

370

9 Kombinatorik

1 1 1 1 1 1 1

1 2

3 4

5

1 3

6 10

1 4

10

1 5

1

6 15 20 15 6 1 .............................................

Am pascalschen Dreieck erkennt man die Symmetrie der Binomialkoeﬃzienten. Oftmals ist es einfacher, die Binomialkoeﬃzienten nicht direkt, sondern mit Hilfe des pascalschen Dreiecks zu berechnen.

9.3

Binomischer Lehrsatz

F¨ ur beliebige reelle Zahlen a, b = 0 und jede nat¨ urliche Zahl n gilt der binomische Lehrsatz (binomische Gleichung n-ten Grades) ) * ) * ) * ) * n n−1 n n−2 2 n n−3 3 n n−k k (a + b)n = an + a b+ a b + a b + ...+ a b + ... 1 2 3 k ) * n + abn−1 + bn n−1 n ) * n n−k k = b a k k=0

urzte Summenschreibweise (gesprochen: Summe u ¨ ber untere Form ist die abgek¨ Die n n−k k a b von k = 0 bis k = n). Man erh¨ a lt also alle Summanden der Summe, wenn k man f¨ ur den Index k zun¨ achst 0, dann 1, dann 2 usw. und schließlich n setzt. Die so erhaltenen Glieder werden dann addiert. Man beachte, dass n0 = nn = 1, a0 = b0 = 1 und a1 = a, b1 = b gilt. F¨ ur n = 2 ergeben sich die beiden ersten binomischen Formeln. Spezialf¨alle: ) * ) * ) * ) * n ) * n n n n n a=b=1: + + + ...+ = = (1 + 1)n = 2n 0 1 2 n k k=0

Die Summe der Binomialkoeﬃzienten der n-ten Zeile des pascalschen Dreiecks ist also 2n . ) * ) * ) * ) * ) * n n n n n n = = (1 − 1)n = 0 (−1)k a = 1, b = −1 : − + − + . . . + (−1)n n k 0 1 2 k=0

Die alternierende Summe (das heißt, abwechselnde Vorzeichen + und −) der Binomialkoeﬃzienten der n-ten Zeile des pascalschen Dreiecks ist also 0.

9.4 Permutationen und Variationen Beispiele: (a + b)3

1.

(a − b)6

2.

=

3

=

a + 3a2 b + 3ab2 + b3

=

0 3

6 0 6

a3 + a6 −

3 1

a2 b +

6

5

1

a5 b +

3

371

2

6

2 4 2

ab2 +

3

a4 b 2 −

3

b3

6

3 3

3

a3 b3 +

6

2 4

4

a2 b 4 − 5

6 5 6

ab5 +

6 6

b6

= a − 6a b + 15a b − 20a b + 15a b − 6ab + b Man vergleiche die Koeﬃzienten mit der letzten hingeschriebenen Zeile des pascalschen Dreiecks! 3.

(x − 3)5

= =

9.4

5 0 5

x5 +

5 1 4

x4 (−3) + 3

5 2

x3 (−3)2 + 2

5 3

x2 (−3)3 +

5 4

x(−3)4 +

5 5

(−3)5

x − 15x + 90x − 270x + 405x − 243

Permutationen und Variationen

Gegeben ist eine Menge mit endlich vielen (etwa n) verschiedenen Elementen. Aus dieser Menge soll eine feste Anzahl von Elementen (etwa k) ausgew¨ahlt werden. Auf wie viele verschiedene Arten ist dies m¨ oglich? So allgemein l¨asst sich diese Frage nicht beantworten, denn man muss unterscheiden zwischen • geordneten und ungeordneten Auswahlen (Sollen nicht nur die Elemente unterschieden werden, sondern auch die Reihenfolge, in der sie ausgew¨ahlt werden?) und zwischen • Auswahlen mit und ohne Wiederholung (Darf ein Element mehrfach ausgew¨ahlt werden oder nicht?). Es gibt auf die obige Frage also (mindestens) vier verschiedene Antworten. Permutationen und Variationen sind geordnete Auswahlen, das heißt, die Reihenfolge, in der die Elemente ausgew¨ ahlt werden, wird unterschieden. Ungeordnete Auswahlen heißen Kombinationen. Ist Sn eine endliche Menge mit n Elementen, dann ist eine k-Permutation von Sn ein geordnetes k-Tupel von Elementen aus Sn ohne Wiederholung der Elemente. Eine kVariation von Sn ist ein geordnetes k-Tupel von Elementen aus Sn mit m¨oglicher Wiederholung der Elemente. Die Anzahl der verschiedenen k-Permutationen von Sn wird mit P (n, k) bezeichnet, die Anzahl der verschiedenen k-Variationen von Sn mit V (n, k). F¨ ur die Anzahl P (n, k) der verschiedenen k-Permutationen einer n-elementigen Menge gilt P (n, k) =

n! (n − k)!

Beweis: F¨ ur das erste der k auszuw¨ ahlenden Elemente gibt es n M¨oglichkeiten, f¨ ur das zweite Element gibt es n − 1 M¨ oglichkeiten, f¨ ur das dritte Element gibt es n − 2 M¨oglichkeiten, und so weiter, und f¨ ur das k-te Element gibt es n − k + 1 M¨oglichkeiten. Mehrfache Anwendung der Produktregel ergibt somit n! P (n, k) = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1) = . (n − k)!

372

9 Kombinatorik

Beispiel: n = 3, k = 2; S3 = {a, b, c} 3! = 6 : ab, ac, ba, bc, ca, cb P (3, 2) = (3 − 2)!

Eine n-Permutation einer n-elementigen Menge Sn , also eine geordnete Auswahl aller Elemente der Menge und damit eine Anordnung der Elemente von Sn , heißt einfach Permutation von Sn (lateinisch permutare = vertauschen). Wegen (n − n)! = 0! = 1 gilt n! dann P (n, n) = = n! (n − n)! Beispiel: n = 3; S3 = {a, b, c} P (3, 3) = 3! = 6 : abc, acb, bac, bca, cab, cba

F¨ ur die Anzahl V (n, k) der verschiedenen k-Variationen einer n-elementigen Menge gilt V (n, k) = nk Beweis: F¨ ur jedes der k auszuw¨ ahlenden Elemente gibt es n M¨oglichkeiten. Somit folgt mit mehrfacher Anwendung der Produktregel V (n, k) = n · n · n · . . . · n = nk . Beispiel: n = 3, k = 2; S3 = {a, b, c} V (3, 2) = 32 = 9 : aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc 1.

Weitere Beispiele: Wie groß ist die Anzahl der 4-stelligen Dualzahlen? Es ist n = 2 und k = 3 (denn die erste Ziﬀer ist eine 1 und liegt damit fest), und daher ist die Anzahl der 4-stelligen Dualzahlen gleich V (2, 3) = 23 = 8. Die Anzahl der unterscheidbaren Bytes ist V (2, 8) = 28 = 256.

2.

In wie viel verschiedenen Reihenfolgen k¨ onnen sich zehn Studenten in eine Liste eintragen? L¨ osung: P (10, 10) = 10! = 3 628 800

3.

An einem runden Tisch sitzen f¨ unf Damen. Sp¨ ater kommen drei M¨ anner dazu. Auf wie viele Arten k¨ onnen sich die M¨ anner zwischen die Damen setzen, wenn keine M¨ anner nebeneinander sitzen sollen? F¨ ur die drei M¨ anner gibt es f¨ unf freie Pl¨ atze zwischen den Damen, also ist die gesuchte 5! 5! = = 60. Anzahl P (5, 3) = (5 − 3)! 2

4.

Wie groß ist die Anzahl der m¨ oglichen Tippreihen beim Fußballtoto (Elferwette)? L¨ osung: V (3, 11) = 311 = 177 147

5.

Wie viel verschiedene W¨ orter“ der L¨ ange 4 (also vier Buchstaben lang) kann man aus den ” Buchstaben a, b, c, d, e bilden, wenn jeder der Buchstaben a) beliebig oft vorkommen darf, b) h¨ ochstens einmal benutzt wird? L¨ osungen: a) V (5, 4) = 54 = 625,

9.5 Kombinationen

373

5! = 120. (5 − 4)! Die Anzahl der verschiedenen W¨ orter“ der L¨ ange 5 mit unterschiedlichen Buchstaben ist ” oﬀensichtlich ebenfalls 120. b) P (5, 4) =

6.

Ich habe Zeit, an jedem Abend einer gegebenen Woche einen Freund zu besuchen. Es gibt zw¨ olf Freunde, die ich gern besuchen m¨ ochte. Auf wie viele Arten kann ich die Woche planen, wenn a) ich jeden Freund mehr als einmal besuchen kann, b) wenn ich jeden Freund h¨ ochstens einmal besuchen m¨ ochte? L¨ osungen: a) V (12, 7) = 127 = 35 831 808, 12! 12! = = 3 991 680. b) P (12, 7) = (12 − 7)! 5!

9.5

Kombinationen

Ist Sn eine endliche Menge mit n Elementen, dann ist eine k-Kombination von Sn eine ungeordnete Auswahl von k Elementen aus Sn ohne Wiederholung der Elemente. Eine k-Kombination von Sn mit Wiederholung ist eine ungeordnete Auswahl von k Eleoglicher (uneingeschr¨ ankter) Wiederholung der Elemente. Statt menten aus Sn mit m¨ k-Kombination mit Wiederholung sagt man auch k-Kombination mit Zur¨ ucklegen. Die Anzahl der verschiedenen k-Kombinationen von Sn wird mit C(n, k) bezeichnet, die Anzahl der verschiedenen k-Kombinationen von Sn mit Wiederholung mit W (n, k). F¨ ur die Anzahl C(n, k) der verschiedenen k-Kombinationen einer n-elementigen Menge gilt ) * n n! = C(n, k) = k!(n − k)! k Beweis: n! Die Anzahl der k-Permutationen einer n-elementigen Menge Sn ist P (n, k) = (n−k)! (vgl. Abschnitt 9.4). Die Auswahlen davon, die nur durch Permutation (Vertauschung der Elemente) fester k Elemente auseinander hervorgehen, d¨ urfen insgesamt nur einmal gez¨ahlt werden. Da es k! Permutationen von k festen Elementen gibt (siehe Abschnitt 9.4) gibt, folgt ) * P (n, k) n! n C(n, k) = = = . k! (n − k)!k! k Beispiel: n = 3, k = 2; S3 = {a, b, c}

) *

C(3, 2) =

3 2

= 3 : ab, ac, bc

F¨ ur die Anzahl W (n, k) der verschiedenen k-Kombinationen einer n-elementigen Menge mit Wiederholung gilt ) * n+k−1 W (n, k) = k

374

9 Kombinatorik

Beweis: Zu einer festen Auswahl von k Elementen aus den n verschiedenen Elementen von Sn werden alle n Elemente hinzugenommen. Anschließend werden diese n + k Elemente so sortiert, dass gleiche Elemente nebeneinander stehen. Verschiedene Elemente werden dann jeweils durch einen senkrechten Strich getrennt. Zu jeder Auswahl geh¨ort eindeutig eine solche Strichfolge und umgekehrt. Die Anzahl der Striche ist gerade n − 1 (denn es gibt n verschiedene Elemente), und die Anzahl der Pl¨atze, wo die Striche stehen k¨ onnen, ist n + k − 1 (denn zwischen n + k Elementen gibt es n + k − 1 Zwischenr¨ aume). verschiedene M¨oglichkeiNach dem Ergebnis oben gibt es C(n + k − 1, n − 1) = n+k−1 n−1 ten, n − 1 Striche auf n + k − 1 Pl¨ atze zu setzen. Wegen der eineindeutigen Zuordnung zu diesem Problem ist*somit die gesuchte Anzahl ) ) * (n + k − 1)! n+k−1 (n + k − 1)! n+k−1 W (n, k) = = = = . n−1 (n − 1)!(n + k − 1 − (n − 1))! (n − 1)!k! k Beispiel: n = 3, k = 2; S3 = {a, b, c}

)

W (3, 2) =

*

3+2−1 2

) *

=

4 2

= 6 : aa, ab, ac, bb, bc, cc

Alle Beweise in diesem und im vorigen Abschnitt lassen sich auch mit vollst¨andiger Induktion (vgl. Abschnitt 1.2.3) f¨ uhren, die Beweise sind dann allerdings l¨anger (und man muss das Ergebnis vorher kennen). ¨ Die folgende Tabelle enth¨ alt eine zusammenfassende Ubersicht der Anzahl der M¨oglichkeiten der verschiedenen Auswahlen von k Elementen aus einer Menge von n Elementen.

Anzahl verschiedener Auswahlen von k Elementen aus n Elementen mit Wiederholung

ohne Wiederholung

mit Ber¨ ucksichtigung der Reihenfolge

V (n, k) = n

P (n, k) =

k

n! (n − k)!

ohne Ber¨ ucksichtigung der Reihenfolge ) * n+k−1 W (n, k) = k C(n, k) =

) * n k

Weitere Beispiele:

1.

Auf wie viele M¨ oglichkeiten kann man mit vier verschiedenen 10-Cent-M¨ unztypen einen Euro zusammenstellen? Wegen n = ) 4 und k = 10*ist ) die gesuchte Anzahl * 4 + 10 − 1 13 = = 286. W (4, 10) = 10 10

2.

Ein 8-k¨ opﬁges Komitee soll aus einer Gruppe von 10 Franzosen und 15 Deutschen gebildet werden. Auf wie viele verschiedene Arten kann das Komitee zusammengesetzt werden, wenn

9.5 Kombinationen a) b) c)

375

es vier Mitglieder jeder der beiden Nationalit¨ aten enthalten soll, es mehr Franzosen als Deutsche enthalten soll, es mindestens zwei Franzosen haben soll?

L¨ osungen:

a)

oglichkeiten, vier Franzosen auszuw¨ ahlen, und C(15, 4) = 15 Es gibt C(10, 4) = 10 4 M¨ 4 M¨ oglichkeiten, vier Deutsche auszuw¨ ahlen. Da sowohl Franzosen als auch Deutsche ausgew¨ ahlt werden, ergibt ) * sich ) nach * der Produktregel f¨ur die gesuchte Anzahl 10 15 C(10, 4) · C(15, 4) = · = 210 · 1365 = 286 650. 4 4

b)

Mehr Franzosen als Deutsche im Komitee bedeutet, entweder 5 Franzosen (und damit 3 Deutsche) oder 6 Franzosen oder 7 Franzosen oder 8 Franzosen auszuw¨ ahlen. Mit Anwendung von Produktregel und Summenregel folgt f¨ ur die gesuchte Anzahl somit C(10, 5) · C(15, 3) + C(10, 6) · C(15, 2) + C(10, 7) · C(15, 1) + C(10, 8) · C(15, 0)

) * ) *

c)

3.

a) b) c) d)

) * ) *

) * ) *

) * ) *

10 15 10 15 10 15 10 15 · + · + · + · = 5 3 6 2 7 1 8 0 = 252 · 455 + 210 · 105 + 120 · 15 + 45 · 1 = 114 660 + 22 050 + 1800 + 45 = 138 555. Die gesuchte Anzahl erh¨ alt man, wenn man von der der M¨ oglichkeiten, Gesamtanzahl ), die Anzahl der M¨ oglichkeiten das Komitee zu besetzen (= C(10 + 15, 4 + 4) = 25 8 abzieht, dass kein Franzose enthalten ist (= C(15, 8) · C(10, 0) = 15 ) oder dass nur 8 10 ein Franzose enthalten ist (= C(15, 7) · C(10, 1) = 15 · ): 7 ) *1 ) * ) * ) * 25 15 15 10 − − · C(25, 8) − C(15, 8) · C(10, 0) − C(15, 7) · C(10, 1) = 8 8 7 1 = 1 081 575 − 6435 − 6435 · 10 = 1 010 790. Wie Wie Wie Wie

groß ist beim Zahlenlotto 6 aus 49“ die Anzahl der m¨ oglichen Einzeltipps? ” viel verschiedene M¨ oglichkeiten gibt es, genau 3 Richtige zu erzielen? groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Richtige zu erzielen? groß ist die Wahrscheinlichkeit, u ¨ berhaupt einen Gewinn zu erzielen?

L¨ osungen:

a) b)

= 13 983 816 verschiedene Einzeltipps. Es gibt C(49, 6) = 49 6 Genau 3 Richtige bedeutet, sowohl drei der sechs richtigen Zahlen als auch drei der 43 nicht richtigen Zahlen zu haben. Somit folgt f¨ ur die gesuchte Anzahl nach der Produktregel ) * ) * 6 43 C(6, 3) · C(43, 3) = · = 246 820. 3 3

c)

Die klassische Deﬁnition von Laplace der Wahrscheinlichkeit P ist die Anzahl der g¨ unstigen F¨ alle dividiert durch die Anzahl der m¨ oglichen F¨ alle (vgl. Abschnitt 10.5). Es gilt somit f¨ ur die Wahrscheinlichkeit P , 3 Richtige zu erzielen,

6 43 · 246 820 = 0, 017 650 . . . P = 3 493 = 13 983 816

6

d)

¨ Uberhaupt einen Gewinn zu erzielen bedeutet, dass man entweder genau 3 Richtige oder genau 4 Richtige oder genau 5 Richtige oder genau 6 Richtige hat. Mit Anwendung von Produkt- und Summenregel folgt f¨ ur diese Wahrscheinlichkeit P damit

6 43 P =

3

·

3

+

6 43 6 43 6 43 · 2 + 5 · 1 + 6 · 0 246 820 + 13 545 + 258 + 1 4 49 = 6

= 0, 018 637 . . .,

13 983 816

376

9 Kombinatorik also weniger als zwei Prozent.

4.

Die 6 Anzahl der verschiedenen M¨oglichkeiten, 5 Richtige mit Zusatzzahl zu erzielen, ist 5 · 1 = 6, diese sind aber bei ”genau 5 Richtige“ mitenthalten. Wie viele verschiedene W¨ orter“ der L¨ ange 8 kann man aus den 26 Buchstaben unseres ” Alphabets bilden, wenn a) b)

jeder Buchstabe beliebig oft vorkommen kann, das Wort genau drei Vokale enthalten soll?

L¨ osungen: a) b)

V (26, 8) = 268 = 208 827 064 576, Es gibt C(8, 3) M¨ oglichkeiten f¨ ur die drei Stellen der Vokale in dem Wort der L¨ ange 8. Außerdem gibt es V (5, 3) · V (21, 5) M¨ oglichkeiten, sowohl aus den f¨ unf m¨ oglichen Vokalen drei als auch aus den 21 Konsonanten f¨ unf auszuw¨ ahlen. Mit der Produktregel ist die gesuchte Anzahl somit

) *

C(8, 3) · V (5, 3) · V (21, 5) =

9.6

8 3

· 53 · 215 = 28 588 707 000.

Permutationen mit eingeschr¨ ankter Wiederholung

Es sei S = {a1 , a2 , . . . , ak } eine Menge mit endlicher Wiederholungszahl n1 , n2 , . . . , nk der Elemente a1 , a2 , . . . , ak (n1 ist die Wiederholungszahl von a1 , n2 von a2 , und so weiter). Eine n-Permutation von S mit eingeschr¨ankter Wiederholung ist ein geordnetes n-Tupel von Elementen aus S, das das Element ai genau ni -mal enth¨alt (1 ≤ i ≤ k, n = n1 + n2 + . . . + nk ). Die Anzahl der verschiedenen n-Permutationen von S mit eingeschr¨ankter Wiederholung wird mit Pn (n1 , n2 , . . . , nk ) bezeichnet. Es gilt Pn (n1 , n2 , . . . , nk ) =

n! n1 !n2 ! . . . nk !

Beweis: Da das Element a1 genau n1 -mal vorkommt, a2 genau n2 -mal, und so weiter, muss die Gesamtzahl P (n, n) der Permutationen von S durch das Produkt der Fakult¨aten der Wiederholungszahlen ni , i = 1, . . . , k, dividiert werden: n! P (n, n) = Pn (n1 , n2 , . . . , nk ) = n1 !n2 ! . . . nk ! n1 !n2 ! . . . nk ! Beispiele: 1.

2.

S = {a, b}, die Wiederholungszahl von a sei gleich 1 und die Wiederholungszahl von b gleich 2. 3! P3 (1, 2) = = 3 : abb, bab, bba 1!2! S = {a, b}, die Wiederholungszahl von a sei gleich 3 und die Wiederholungszahl von b gleich 2. 5! P5 (3, 2) = = 10 : 3!2! aaabb, aabab, aabba, abaab, ababa, abbaa, baaab, baaba, babaa, bbaaa

9.7 Multinomialsatz 3.

4.

5.

377

S = {a, b, c}, die Wiederholungszahl von a sei gleich 2, die Wiederholungszahl von b gleich 1 und die Wiederholungszahl von c gleich 2. 5! = 30 : P5 (2, 1, 2) = 2!1!2! aabcc, aacbc, aaccb, abacc, abcac, abcca, acabc, acacb, acbac, acbca, accab, accba, baacc, bacac, bacca, bcaac, bcaca, bccaa, caabc, caacb, cabac, cabca, cacab, cacba, cbaac, cbaca, cbcaa, ccaab, ccaba, ccbaa Die Anzahl der Permutationen der Buchstaben in dem Wort MISSISSIPPI“ ist ” 11! P11 (1, 4, 4, 2) = = 34 650, 1!4!4!2! denn das Wort enth¨ alt den Buchstaben M einmal, I viermal, S viermal und den Buchstaben P zweimal. Was ist die Anzahl der verschiedenen Kartenverteilungen beim Skat? 32! ≈ 2, 753 294 · 1015 L¨ osung: P32 (10, 10, 10, 2) = 10!10!10!2!

9.7

Multinomialsatz

Die Multinomialkoeﬃzienten sind Verallgemeinerungen der Binomialkoeﬃzienten (vgl. Abschnitt 9.2). F¨ ur eine nat¨ urliche Zahl n und nichtnegative ganze Zahlen n1 , n2 , . . . , nk mit n = n1 + n2 + . . . + nk ist der Multinomialkoeﬃzient n1 ,n2n,...,nk (gesprochen: n u ¨ ber n1 , n2 , . . . , nk ) deﬁniert durch ) * n n! , n = n1 + n2 + . . . + nk = n1 !n2 ! . . . nk ! n 1 , n 2 , . . . , nk Der binomische Lehrsatz (vgl. Abschnitt 9.3) gibt eine Summendarstellung der n-ten Potenz einer Summe aus zwei Summanden. Der Multinomialsatz verallgemeinert den binomischen Lehrsatz. F¨ ur nat¨ urliche Zahlen k und n sowie beliebige reelle Zahlen x1 , x2 , . . . , xk gilt der Multinomialsatz )

(x1 + x2 + . . . + xk )n =

(n1 ,...,nk ) n1 +...+nk =n ni ∈ZZ, ni ≥0

n n1 , n2 , . . . , nk

* xn1 1 xn2 2 . . . xnk k

Dabei erstreckt sich die Summation u ¨ ber alle Folgen (n1 , n2 , . . . , nk ) von nichtnegativen ganzen Zahlen ni , i = 1, 2, . . . , k (ni ∈ ZZ, ni ≥ 0), die die Bedingung n1 +n2 +. . .+nk = n erf¨ ullen. Der Multinomialsatz beschreibt also die Summenentwicklung der n-ten Potenz einer Summe aus k Summanden, wobei k eine beliebige nat¨ urliche Zahl ist. Beispiele: 1. (x1 + x2 + x3 )3

=

3 3,0,0

+ =

3 1,0,2

x31 +

3 2,1,0

x1 x23

+

x21 x2 +

3 0,3,0

x32

3 2,0,1

+

3 0,2,1

x21 x3 +

x22 x3

3 1,2,0

+

3 0,1,2

x1 x22 +

x2 x23

3 1,1,1

+

x1 x2 x3

3 0,0,3

x31 + 3x21 x2 + 3x21 x3 + 3x1 x22 + 6x1 x2 x3 + 3x1 x23 + x32 + 3x22 x3 +3x2 x23 + x33

x33

378 2.

9 Kombinatorik (a − b + c − d)2

=

2 2,0,0,0

+ + =

9.8

2 0,2,0,0

2 0,0,1,1

a2 +

2 1,1,0,0

(−b)2 + c(−d) +

a(−b) +

2 0,1,1,0

2 0,0,0,2

2 1,0,1,0

(−b)c +

ac +

2 0,1,0,1

2 1,0,0,1

a(−d)

(−b)(−d) +

2 0,0,2,0

c2

(−d)2

a2 − 2ab + 2ac − 2ad + b2 − 2bc + 2bd + c2 − 2cd + d2

Prinzip der Inklusion und Exklusion

Bei Abz¨ahlproblemen ist es oftmals einfacher, die Zahl der Objekte einer Menge mit einer gegebenen Eigenschaft nicht direkt, sondern indirekt zu bestimmen. Will man zum Beispiel die Anzahl der nat¨ urlichen Zahlen zwischen 1 und einschließlich 600 bestimmen, die nicht durch 6 teilbar sind, so kann man dies indirekt folgendermaßen tun: Die Anzahl der nat¨ urlichen Zahlen zwischen 1 und 600, die durch 6 teilbar sind, ist 600 : 6 = 100, denn jede sechste ganze Zahl ist durch 6 teilbar. Somit sind 600−100 = 500 der nat¨ urlichen Zahlen zwischen 1 und 600 nicht durch 6 teilbar. Das Prinzip, das in dieser indirekten Anzahlbestimmung benutzt wurde, ist das folgende. Ist A eine Teilmenge einer endlichen Menge S, A ⊆ S, dann ist die Anzahl der Objekte (Elemente) in A gleich der Anzahl der Objekte in S vermindert um die Anzahl der Objekte, die nicht in A liegen. F¨ ur A ⊆ S bezeichnet A das Komplement von A bezogen auf die Menge S. Das Komplement A enth¨alt alle Elemente von S, die nicht in A liegen. F¨ ur die M¨achtigkeiten (also die Anzahl der Elemente, vgl. Abschnitt 1.1) der Mengen S, A, A gilt dann |A| = |S| − |A| beziehungsweise |S| = |A| + |A|. Beispiel: S = {1, 2, . . . , 10}, A = {1, 3, 5, 7, 9}, A = {2, 4, 6, 8, 10}; |S| = 10, |A| = 5, |A| = 5

Das Prinzip der Inklusion und Exklusion ist eine wichtige Verallgemeinerung dieser einfachen Regel. Viele Anzahlprobleme lassen sich mit diesem Prinzip l¨osen. Es sei S eine endliche Menge von Objekten, und E1 und E2 seien zwei Eigenschaften, die jedes Element von S entweder besitzt oder nicht besitzt. Es soll die Anzahl der Objekte in S bestimmt werden, die weder Eigenschaft E1 noch Eigenschaft E2 haben. Dazu subtrahiert man von der Gesamtanzahl |S| aller Objekte in S die Anzahl der Objekte, die Eigenschaft E1 besitzen, sowie die Anzahl der Objekte, die Eigenschaft E2 besitzen (Exklusion). Objekte, die beide Eigenschaften E1 und E2 besitzen, werden zweimal abgezogen und m¨ ussen deshalb wieder einmal addiert werden (Inklusion). Bezeichnet man mit A1 die Teilmenge der Objekte von S, die die Eigenschaft E1 haben, und mit A2 die Teilmenge der Objekte von S, die die Eigenschaft E2 besitzen, dann besteht A1 ⊆ S aus den Objekten von S, die die Eigenschaft E1 nicht haben, und A2 ⊆ S aus den Objekten, die die Eigenschaft E2 nicht besitzen. Die Objekte der Teilmenge A1 ∩ A2 von S sind dann diejenigen Elemente, die weder Eigenschaft E1 noch Eigenschaft E2 besitzen. Nach dem oben beschriebenen Prinzip der Inklusion und Exklusion f¨ ur diesen Fall gilt dann f¨ ur die gesuchte Anzahl |A1 ∩ A2 | |A1 ∩ A2 | = |S| − |A1 | − |A2 | + |A1 ∩ A2 |,

9.8 Prinzip der Inklusion und Exklusion

379

denn |A1 ∩ A2 | ist die Anzahl der Objekte in S, die sowohl Eigenschaft E1 als auch Eigenschaft E2 haben. Dieses Prinzip l¨asst sich auf mehr als zwei Eigenschaften verallgemeinern. Es sei S eine endliche Menge, und E1 , E2 , . . . , Em seien m Eigenschaften, die jedes Objekt von S entweder besitzt oder nicht besitzt. F¨ ur i = 1, 2, . . . , m wird mit Ai die Teilmenge von Objekten von S bezeichnet, die die Eigenschaft Ei haben (m¨oglicherweise auch noch andere). Dann ist Ai ∩ Aj die Teilmenge von Objekten, die die Eigenschaften Ei und Ej (und m¨oglicherweise noch andere) besitzen, Ai ∩ Aj ∩ Ak ist die Teilmenge von Objekten von S, die die Eigenschaften Ei , Ej und Ek haben, und so weiter. Die Teilmenge der Objekte, die keine der Eigenschaften besitzt, ist A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Am . Das Prinzip der Inklusion und Exklusion bestimmt die Anzahl der Objekte in dieser Menge durch das Z¨ahlen der Objekte von S, die bestimmte der vorgegebenen Eigenschaften haben. Prinzip der Inklusion und Exklusion Die Anzahl der Objekte einer endlichen Menge S, die keine der Eigenschaften E1 , E2 , . . . , Em besitzen, ist gegeben durch

|A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Am | = |S| −

m

|Ai | +

|Ai ∩ Aj |

1≤i<j≤m

i=1

−

|Ai ∩ Aj ∩ Ak | + . . .

1≤i<j
A2 ∩ . . . ∩ Am |

Dabei bedeutet 1 ≤ i < j ≤ m, dass u ¨ ber alle 2-Kombinationen {i, j} der m-elementigen Menge {1, 2, . . . , m} addiert wird, und 1 ≤ i < j < k ≤ m entsprechend, dass u ¨ber alle 3-Kombinationen {i, j, k} von {1, 2, . . . , m} addiert wird, und so weiter. Beispiele: 1.

Wie groß ist die Anzahl der nat¨ urlichen Zahlen zwischen 10 und 100 (jeweils ausschließlich), die weder durch 3 noch durch 5 teilbar sind? L¨ osung: Mit S = {11, 12, 13, . . . , 99} und A1 = {x|x ∈ S, x ist teilbar durch 3} = {12, 15, . . . , 99}, A2 = {x|x ∈ S, x ist teilbar durch 5} = {15, 20, . . . , 95} folgt A1 ∩ A2 = {x|x ∈ S, x ist teilbar durch 3 und durch 5, also durch 15} = {15, 30, 45, 60, 75, 90}. F¨ ur die M¨ achtigkeiten dieser Mengen gilt |S| = 89, |A1 | = 30, |A2 | = 17, |A1 ∩ A2 | = 6. Nach dem Prinzip der Inklusion und Exklusion erh¨ alt man somit f¨ ur die gesuchte Anzahl |A1 ∩ A2 | = 89 − 30 − 17 + 6 = 48.

2.

Man bestimme die Anzahl der nat¨ urlichen Zahlen unter 100, die weder durch 2 noch durch 3 noch durch 7 teilbar sind. L¨ osung: Es wird S = {1, 2, 3, . . . , 99} und A1 = {x|x ∈ S, x ist teilbar durch 2} = {2, 4, 6, . . . , 98}, A2 = {x|x ∈ S, x ist teilbar durch 3} = {3, 6, 9, . . . , 99}, A3 = {x|x ∈ S, x ist teilbar durch 7} = {7, 14, 21, . . . , 98} gesetzt. F¨ ur die Schnittmengen ergibt sich: A1 ∩ A2 = {x|x ∈ S, x ist teilbar durch 2 und durch 3, also durch 6} = {6, 12, 18, . . . , 96},

380

9 Kombinatorik A1 ∩A3 = {x|x ∈ S, x ist teilbar durch 2 und durch 7, also durch 14} = {14, 28, 42, . . . , 98}, A2 ∩ A3 = {x|x ∈ S, x ist teilbar durch 3 und durch 7, also durch 21} = {21, 42, 63, 84}, A1 ∩ A2 ∩ A3 = {x|x ∈ S, x ist teilbar durch 2, durch 3 und durch 7, also durch 42} = {42, 84}. Die entsprechenden M¨ achtigkeiten sind: |S| = 99, |A1 | = 49, |A2 | = 33, |A3 | = 14, |A1 ∩ A2 | = 16, |A1 ∩ A3 | = 7, |A2 ∩ A3 | = 4, |A1 ∩ A2 ∩ A3 | = 2. Damit ergibt sich nach dem Prinzip der Inklusion und Exklusion f¨ ur die zu bestimmende Anzahl |A1 ∩ A2 ∩ A3 | = 99 − (49 + 33 + 14) + (16 + 7 + 4) − 2 = 28.

3.

Auf wie viele Arten kann man s verschiedene B¨ ucher auf 3 Personen verteilen, wenn keine der Personen leer ausgehen soll (das heißt, wenn jede der Personen mindestens ein Buch erhalten soll)? L¨ osung: Zur L¨ osung des Problems mit Hilfe des Prinzips der Inklusion und Exklusion werden folgende Mengen eingef¨ uhrt: S sei die Menge aller m¨ oglichen Verteilungen der s B¨ ucher auf die 3 Personen (ohne irgendwelche Einschr¨ ankungen; es werden also auch Verteilungen ber¨ ucksichtigt, bei denen eine Person oder zwei Personen kein Buch erhalten), A1 sei die Menge der Verteilungen, bei denen die Person P1 kein Buch erh¨ alt, alt, A2 sei die Menge der Verteilungen, bei denen die Person P2 kein Buch erh¨ alt. A3 sei die Menge der Verteilungen, bei denen die Person P3 kein Buch erh¨ F¨ ur die M¨ achtigkeiten dieser Mengen errechnet man: |S| = V (3, s) = 3s (denn die Anzahl aller m¨ oglichen Verteilungen ist eine 3-Variation der s-Menge der B¨ ucher), |A1 | = |A2 | = |A3 | = V (2, s) = 2s (denn wenn eine bestimmte Person leer ausgeht, dann kann jedes der s B¨ ucher noch auf zwei Arten verteilt werden). F¨ ur die M¨ achtigkeiten der Schnittmengen ergibt sich entsprechend: |A1 ∩ A2 | = |A1 ∩ A3 | = |A2 ∩ A3 | = V (1, s) = 1s = 1, |A1 ∩ A2 ∩ A3 | = 0 (denn es gibt keine Verteilung, bei der alle Personen leer ausgehen). Somit ergibt sich f¨ ur die Anzahl der Verteilungen von s verschiedenen B¨ uchern auf 3 Personen, bei denen keiner leer ausgeht, as = |A1 ∩ A2 ∩ A3 | = 3s − 3 · 2s + 3 · 1. Zum Beispiel f¨ ur s = 3, s = 4 beziehungsweise s = 5 (also 3 B¨ ucher, 4 B¨ ucher beziehungsweise 5 B¨ ucher) ergeben sich die Anzahlen a3 = 27 − 3 · 8 + 3 = 6, a4 = 81 − 3 · 16 + 3 = 36, a5 = 243 − 3 · 32 + 3 = 150.

10

Wahrscheinlichkeitsrechnung

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung befasst man sich mit den Gesetzm¨aßigkeiten des zuf¨ alligen Eintretens bestimmter Ereignisse aus einer vorgegebenen Ereignismenge bei Versuchen allgemeiner Art. Dabei wird vorausgesetzt, dass diese Versuche unter unver¨anderten Bedingungen beliebig oft wiederholt werden k¨onnen. Mit der mathematischen Statistik fasst man heute die Wahrscheinlichkeitsrechnung zur Stochastik zusammen, der Mathematik des Zufalls“. ” Die Wahrscheinlichkeitsrechnung besitzt viele Anwendungen in anderen mathematischen Disziplinen, aber auch in vielen Bereichen der Naturwissenschaften, der Technik und der ¨ Okonomie.

10.1

Zuf¨ allige Ereignisse

Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, das als Ergebnis eins von mehreren m¨oglichen Ergebnissen hat. Das Ergebnis l¨ asst sich nicht eindeutig vorhersagen. Die Menge aller m¨ oglichen Ergebnisse heißt Ergebnismenge, bezeichnet mit dem griechischen Buchstaben Ω ( Omega“). Ein beliebiges einzelnes Ergebnis eines Zufallsexperi” ments wird mit ω (kleines Omega“) bezeichnet. ” Beispiele: 1.

Beim Werfen einer M¨ unze kennt man den Versuchsausgang vorher nicht. Man kennt aber alle m¨ oglichen Ergebnisse dieses Versuchs, n¨ amlich Wappen W und Zahl Z, also Ω = {W, Z}.

2.

Beim Werfen eines W¨ urfels kann als Ergebnis eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 auftreten. Die Ergebnismenge lautet also Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

3.

Beim Zahlenlotto 6 aus 49“ werden sechs Zahlen aus den Zahlen 1, 2, . . . , 49 zuf¨ allig aus” gew¨ ahlt. Ein Ergebnis dieses Zufallsexperiments besteht aus 6 gezogenen Zahlen, die man der Gr¨ oße nach geordnet angibt (denn die Reihenfolge, in der die Zahlen gezogen werden, ist f¨ ur einen Gewinn uninteressant). Ein beliebiges Ergebnis ω wird also durch ein 6-Tupel (n1 , n2 , n3 , n4 , n5 , n6 ) von Zahlen ni beschrieben, die der Bedingung 1 ≤ n1 < n2 < n3 < n4 < n5 < n6 ≤ 49 gen¨ ugen. Die Ergebnismenge ist dann Ω = {(n1 , n2 , . . . , n6 ) | 1 ≤ n1 < n2 < . . . < n6 ≤ 49}.

Ein zuf¨alliges Ereignis oder kurz Ereignis A ist eine Teilmenge von Ω: A ⊆ Ω. Ein Ereignis ist also eine Menge von m¨ oglichen Versuchsausg¨angen (Ergebnissen) eines Zufallsexperiments. Ereignisse werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet: A, B, C, . . . Beispiele: 1. 2. 3.

W ist beim Werfen einer M¨ unze das Ereignis Wappen“. ” U = {1, 3, 5} ist beim Werfen eines W¨ urfels das Ereignis Eine ungerade Augenzahl wird ” gew¨ urfelt“. A = {(n1 , n2 , . . . , n6 ) | 1 ≤ n1 < n2 < . . . < n6 ≤ 10} ist beim Zahlenlotto das Ereignis Alle gezogenen Zahlen sind kleiner oder gleich 10“. ”

A. Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn, DOI 10.1007/978-3-8348-8258-5_10, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

382

10 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ein Ereignis A tritt genau dann ein, wenn das Ergebnis ω des Zufallsexperiments ein Element von A ist: ω ∈ A ⇔ A ist eingetreten; ω ∈ A ⇔ A ist nicht eingetreten. Beispiele: 1.

M¨ unzwurf: ω = Z: W ist nicht eingetreten.

2.

W¨ urfeln: ω = 3: U ist eingetreten.

3.

Zahlenlotto: ω = (3, 5, 6, 23, 35, 41): A ist nicht eingetreten.

Besondere Ereignisse: Einelementige Ereignisse heißen Elementarereignisse. Das Ereignis Ω selbst heißt sicheres Ereignis, denn f¨ ur jedes Ergebnis ω eines Zufallsexperiments tritt Ω ein. Das unm¨ogliche Ereignis ∅ (leere Menge) ist ein Ereignis, das nie eintreten kann. Beispiele: 1.

W beim Werfen einer M¨ unze ist ein Elementarereignis. Das sichere Ereignis ist Ω = {W, Z}.

2.

3 ist beim W¨ urfeln ein Elementarereignis. Das sichere Ereignis ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

3.

Beim Zahlenlotto ist zum Beispiel (5, 6, 12, 34, 37, 48) das Elementarereignis, dass genau die Zahlen 5, 6, 12, 34, 37, 48 gezogen werden. Das sichere Ereignis ist Ω = {(n1 , n2 , . . . , n6 ) | 1 ≤ n1 < n2 < . . . < n6 ≤ 49}.

Man kann Ereignisse A und B zu neuen Ereignissen kombinieren. Vereinigung: A ∪ B = {ω | ω ∈ A oder ω ∈ B} ist das Ereignis A oder B“. ” Durchschnitt: A ∩ B = AB = {ω | ω ∈ A und ω ∈ B} ist das Ereignis A und B“. ” Komplement¨arereignis: Das Komplement¨arereignis oder entgegengesetzte Ereignis zu A ist das Ereignis A¯ = {ω | ω ∈ A}. Disjunkte Ereignisse: Zwei Ereignisse A und B heißen disjunkte oder unvereinbare Ereignisse, wenn A ∩ B = ∅ gilt. Die Ereignisse A und B k¨ onnen also nicht gleichzeitig eintreten. Diﬀerenz: ¯ A \ B = {ω | ω ∈ A und ω ∈ B} heißt Diﬀerenz. Es gilt A \ B = A ∩ B. Teilmenge: A ⊆ B bedeutet, dass mit dem Ereignis A auch das Ereignis B eintritt. Man sagt, dass A das Ereignis B nachzieht. Summe: F¨ ur zwei disjunkte (unvereinbare) Ereignisse A und B schreibt man statt A ∪ B auch A + B und nennt A + B Summe von A und B.

10.2 Absolute und relative H¨ auﬁgkeit von Ereignissen

383

Beispiele: 1.

M¨ unzwurf: A = {W }, B = {Z} : ¯ = {Z} = B, A \ B = {W } A ∪ B = A + B = {W, Z} = Ω, A ∩ B = {} = ∅, A

2.

W¨ urfeln: A = {1, 3, 4}, B = {1, 2, 3} : ¯ = {2, 5, 6}, B ¯ = {4, 5, 6}, A \ B = {4}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4}, A ∩ B = {1, 3}, A B \ A = {2}, A ⊆ B, B ⊆ A, A ∩ B = ∅, also sind A und B nicht disjunkt, ¯ = {4}, A¯ ∩ B = {2}, A ¯∪B ¯ = {2, 4, 5, 6} A∩B

3.

Zahlenlotto: A = {(n1 , n2 , . . . , n6 ) | 1 ≤ n1 < n2 < . . . < n6 ≤ 10}, B = {(n1 , n2 , . . . , n6 ) | 5 ≤ n1 < n2 < . . . < n6 ≤ 20} : A ∪ B = {(n1 , n2 , . . . , n6 ) | 1 ≤ n1 < n2 < . . . < n6 ≤ 20 und falls n1 < 5, dann n6 ≤ 10}, A ∩ B = {(n1 , n2 , . . . , n6 ) | 5 ≤ n1 < n2 < . . . < n6 ≤ 10} = {(5, 6, 7, 8, 9, 10)}, ¯ = {(n1 , n2 , . . . , n6 ) | 1 ≤ n1 < n2 < . . . < n6 ≤ 49 und n6 > 10}, A A\B = {(n1 , n2 , . . . , n6 ) | 1 ≤ n1 < n2 < . . . < n6 ≤ 10 und (n1 , . . . , n6 ) = (5, 6, 7, 8, 9, 10)}, A ⊆ B, B ⊆ A, A ∩ B = ∅, also sind A und B nicht disjunkt.

10.2

Absolute und relative H¨ auﬁgkeit von Ereignissen

Es sei A ein bestimmtes Ereignis eines beliebigen Zufallsexperiments, das n-mal unter denselben Bedingungen durchgef¨ uhrt wird. Die Anzahl derjenigen Versuche, bei denen das Ereignis A eintritt, heißt die absolute H¨ auﬁgkeit des Ereignisses A, bezeichnet mit hn (A). Der Quotient rn (A) =

hn (A) n

heißt relative H¨auﬁgkeit des Ereignisses A. Die relative H¨auﬁgkeit des Ereignisses A ist also die Anzahl der Versuche, bei denen A eintritt, dividiert durch die Gesamtanzahl der Versuche. Man beachte, dass die absolute und die relative H¨auﬁgkeit nicht nur von n, also der Anzahl der Versuche, abh¨ angen, sondern auch von den Versuchsausg¨angen (Versuchsergebnissen). Eigenschaften der absoluten H¨ auﬁgkeit: 1. 2. 3. 4. 5.

ur jedes n und jedes A ⊆ Ω, 0 ≤ hn (A) ≤ n f¨ hn (Ω) = n, hn (∅) = 0, hn (A ∪ B) = hn (A) + hn (B), falls A ∩ B = ∅, hn (A ∪ B) = hn (A) + hn (B) − hn (A ∩ B), falls A ∩ B = ∅.

F¨ ur die relative H¨auﬁgkeit gilt entsprechend 1. 2. 3. 4. 5.

ur jedes n und jedes A ⊆ Ω, 0 ≤ rn (A) ≤ 1 f¨ rn (Ω) = 1, rn (∅) = 0, rn (A ∪ B) = rn (A) + rn (B), falls A ∩ B = ∅, rn (A ∪ B) = rn (A) + rn (B) − rn (A ∩ B), falls A ∩ B = ∅.

384

10 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Beispiel: In der folgenden Tabelle sind die Augenzahlen eines Versuchs notiert, bei dem 17-mal ein W¨ urfel geworfen wurde. In der dritten Zeile sind die Versuche mit einem A gekennzeichnet, bei denen das Ereignis A = {1, 2} eingetreten ist, und in der vierten Zeile entsprechend die Versuche mit einem B, bei denen das Ereignis B = {4, 5} eingetreten ist.

Versuchsnummer

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Augenzahl

2

6

3

3

5

1

5

4

6

4

1

4

1

2

3

6

4

A = {1, 2}

A

A

A

B = {4, 5}

A B

A B

B

B

B

B

In der Versuchsreihe ist 5-mal das Ereignis A und 6-mal das Ereignis B eingetreten. somit gilt f¨ ur diese Versuchsreihe 5 6 ≈ 0, 29, r17 (B) = ≈ 0, 35. h17 (A) = 5, h17 (B) = 6, r17 (A) = 17 17

Die Zahlen rn (A) f¨ ur ein Ereignis A sind Ergebnisse von Zufallsexperimenten. Es kann daher vorkommen, dass sie stark schwanken, auch wenn n noch so groß gew¨ahlt wird. Oftmals ist es jedoch so, dass die relativen H¨ auﬁgkeiten f¨ ur große n relativ wenig um einen festen Zahlenwert schwanken. Solche Stabilisierungseﬀekte treten fast immer ein, wenn die einzelnen Versuche unabh¨angig voneinander durchgef¨ uhrt werden, wenn also der Ausgang eines jeden Einzelexperiments von denen der u ¨ brigen Versuche nicht beeinﬂußt wird. Solche Versuchsserien werden oft als Bernoulli-Ketten der L¨ ange n und das einzelne Experiment als BernoulliExperiment bezeichnet (nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli, 1654-1705).

10.3

Stichproben

Bei statistischen Erhebungen oder Untersuchungen werden an ausgew¨ahlten Versuchsoder Untersuchungseinheiten die Werte bestimmter Merkmale festgestellt. Dabei ist ein Merkmal eine Gr¨oße der Versuchseinheit, die untersucht wird. Ein Wert, der von Merkmalen angenommen werden kann, heißt Merkmalswert oder auch Merkmalsauspr¨agung. Beispiel: Versuchseinheit: Klasse 5 c der Gaußschule Merkmal: Zensur der Mathematik-Klassenarbeit vom 5.6.2002 Merkmalsauspr¨ agung: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Bei Merkmalen wird zwischen quantitativen und qualitativen Merkmalen unterschieden. Quantitative Merkmale sind zahlenm¨ aßig erfassbar. Man unterteilt sie in diskrete und stetige Merkmale. Diskrete Merkmale haben isolierte Zahlenwerte als Auspr¨agungen, wohingegen die Auspr¨ agungen eines stetigen Merkmals jeden Wert in einem Intervall annehmen k¨onnen.

10.3 Stichproben

385

Beispiel: Diskrete Merkmale: Zensur in Noten oder Punkten, Alter in Jahren, Einkommen pro Jahr Stetige Merkmale: L¨ ange, Gewicht, Gr¨ oße

Die Menge der Versuchs- oder Untersuchungseinheiten, u uglich eines oder ¨ber die bez¨ mehrerer Merkmale eine Aussage gemacht werden soll, wird Grundgesamtheit genannt. Eine Stichprobe ist eine endliche Teilmenge aus einer Grundgesamtheit, die zuf¨allig gewonnen wird. Hat diese Teilmenge n Elemente, so spricht man von einer Stichprobe vom Umfang n. Beispiel: Grundgesamtheit: Alle Sch¨ uler einer Schule Stichprobe: Menge aller Sch¨ uler in 10 zuf¨ allig ausgew¨ ahlten Klassen, die in Woche 23 Geburtstag haben

Besteht eine Stichprobe eines Merkmals X aus den Elementen x1 , x2 , . . . , xn , dann schreibt man (x1 , x2 , . . . , xn ) f¨ ur diese Stichprobe vom Umfang n. Besitzt das Merkmal X genau s m¨ ogliche verschiedene Auspr¨agungen a1 , a2 , . . . , as , so ergeben sich die absoluten H¨ auﬁgkeiten hj , j = 1, . . . , s, der Auspr¨agungen a1 , a2 , . . . , as des Merkmals X in der Stichprobe (x1 , x2 , . . . , xn ) zu hj =

n

1

(j = 1, . . . , s, h1 + . . . hs = n).

i=1 xi =aj

Die relativen H¨auﬁgkeiten rj , j = 1, . . . , s, der Auspr¨agungen a1 , a2 , . . . , as des Merkmals X in der Stichprobe (x1 , x2 , . . . , xn ) ergeben sich entsprechend zu rj =

n 1 hj = · 1 n n i=1

(j = 1, . . . , s, r1 + . . . rs = 1).

xi =aj

Dabei liefert in der Summe ein i genau dann den Beitrag 1, wenn xi = aj gilt. Durch Bildung dieser absoluten bzw. relativen H¨auﬁgkeiten erh¨alt man die sogenannte empirische H¨auﬁgkeitsverteilung des Merkmals X in der Stichprobe (x1 , x2 , . . . , xn ). Beispiel: In einer Mathematikarbeit erreichten die Sch¨ uler eines Kurses der Sekundarstufe II in alpabetischer Reihenfolge die folgenden Punktezahlen: 12, 3, 5, 1, 6, 8, 13, 14, 8, 8, 7, 11, 10, 9, 3, 2, 12, 11, 6, 11, 15, 10, 4, 8, 3. Die Stichprobe besteht aus den 25 Sch¨ ulern (x1 , x2 , . . . , x25 ) des Kurses, die die Arbeit mitgeschrieben haben. Das Merkmal X ist die Punktezahl der Mathematikarbeit mit den Auspr¨ agungen 0, 1, 2, . . . , 15. Berechnet man die absoluten und relativen H¨ auﬁgkeiten dieser Auspr¨ agungen in der Stichprobe, so kann man das Ergebnis in einer Tabelle (H¨ auﬁgkeitstabelle) darstellen.

Punktezahl

15

14

13

12

11

10

9

8

absolute H¨ auﬁgkeiten

1

1

1

2

3

2

1

4

relative H¨ auﬁgkeiten

0, 04

0, 04

0, 04

0, 08

0, 12

0, 08

0, 04

0, 16

386

10 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Punktezahl

7

6

5

4

3

2

1

0

absolute H¨ auﬁgkeiten

1

2

1

1

3

1

1

0

relative H¨ auﬁgkeiten

0, 04

0, 08

0, 04

0, 04

0, 12

0, 04

0, 04

0, 00

Die Summe der absoluten H¨ auﬁgkeiten ist gleich dem Umfang der Stichprobe, also gleich 25, die Summe der relativen H¨ auﬁgkeiten betr¨ agt 1.

Es gibt verschiedene M¨ oglichkeiten der Darstellung empirischer H¨auﬁgkeitsverteilungen ¨ sowohl f¨ ur absolute als auch f¨ ur relative H¨ auﬁgkeiten. Ubliche Darstellungsformen sind Tabellen, Stabdiagramme, Kreisdiagramme und Histogramme. In einer Tabelle sind den Auspr¨ agungen eines Merkmals, also den Merkmalswerten, die zugeh¨origen absoluten bzw. relativen H¨ auﬁgkeiten zugeordnet (vgl. obiges Beispiel). In einem Stabdiagramm sind die absoluten bzw. relativen H¨auﬁgkeiten als St¨abe u ¨ber den entsprechenden Merkmalswerten aufgetragen. In einem Kreisdiagramm werden in einem Kreis mit der Fl¨ache 1 den relativen H¨ auﬁgkeiten der Auspr¨agungen des Merkmals Kreissektoren zugeordnet, deren Fl¨ acheninhalt der relativen H¨auﬁgkeit entspricht. In einem Histogramm werden die absoluten bzw. relativen H¨auﬁgkeiten als Rechteckﬂ¨achen u ¨ ber den einzelnen Merkmalswerten eingezeichnet. Ist der Umfang n einer Stichprobe im Vergleich zur Anzahl s der m¨oglichen Merkmalsauspr¨agungen klein, so teilt man f¨ ur Darstellungen empirischer H¨auﬁgkeitsverteilungen die Stichprobenwerte x1 , x2 , . . . , xn in disjunkte Klassen ein. Beispiel: Bei der Bundestagswahl im September 2009 wurden die Parteien SPD, CDU/CSU, FDP, Gr¨ une und Die Linke in den Bundestag gew¨ ahlt. Dabei entﬁelen auf die SPD 23,0 % der Stimmen, auf die CDU/CSU 33,8 %, auf die FDP 14,6 %, auf die Gr¨ unen 10,7 % und auf Die Linke 11,9 % der Stimmen. Tabellarische Darstellung der Ergebnisse:

Partei

Stimmen (in Prozent)

SPD

23,0

CDU/CSU

33,8

FDP

14,6

Gr¨ une

10,7

Die Linke

11,9

Sonstige

6,0

10.3 Stichproben

387

Stabdiagramm: Stimmen in %

50

40

30

20

10

SPD

CDU/ CSU

FDP

Gr¨ une

Die Sonstige Linke

Abbildung 10.1 Stabdiagramm Kreisdiagramm: Sonstige

Die Linke SPD Gr¨ une

FDP CDU/CSU

Abbildung 10.2 Kreisdiagramm

388

10 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Histogramm:

50

40

30

20

10

SPD

CDU/ CSU

FDP

Gr¨ une

Die Sonstige Linke

Abbildung 10.3 Histogramm

Empirische H¨auﬁgkeitsverteilungen beinhalten ausf¨ uhrliche Informationen u ¨ ber das Ergebnis einer statistischen Erhebung. Oftmals sind so ausf¨ uhrliche Informationen nicht notwendig, es reicht die Angabe einer oder weniger Zahlen, die m¨oglichst viel Informationen u ¨ ber die Stichprobe enthalten. Solche Zahlen heißen Kennzahlen einer Stichprobe. Man unterteilt die Kennzahlen einer Stichprobe in Lagemaße und Streuungsmaße. Ein Lagemaß ist eine Zahl, die die ungef¨ ahre Lage einer Stichprobe auf der Zahlengeraden beschreibt. Ein Streuungsmaß ist eine Zahl, die eine Aussage u ¨ber die Streuung der Stichprobenwerte um das Lagemaß liefert. Typische Lagemaße einer Stichprobe sind Modalwert, Mittelwert und Median, Streuungsmaße einer Stichprobe sind zum Beispiel Varianz und Standardabweichung. Der Modalwert einer Stichprobe ist der Merkmalswert, der in der Stichprobe am h¨auﬁgsten vorkommt. Der Mittelwert x ¯ einer Stichprobe (x1 , x2 , . . . , xn ) vom Umfang n ist das arithmetische Mittel (vgl. Abschnitt 1.10.1) der Stichprobenwerte 1 1 xi · (x1 + x2 + . . . + xn ) = · n n i=1 n

x ¯=

10.3 Stichproben

389

Tritt in der Stichprobe (x1 , x2 , . . . , xn ) der Wert aj genau hj -mal auf (j = 1, 2, . . . , s; h1 + h2 + . . . + hs = n), so berechnet sich x ¯ aus x ¯=

s 1 hj · aj . · n j=1

Der Median oder Zentralwert x ˜ einer Stichprobe (x1 , x2 , . . . , xn ) vom Umfang n ist der Merkmalswert, der in der Mitte der der Gr¨ oße nach geordneten Folge der Merkmalswerte steht. Ist n eine gerade Zahl, so ist der Median x˜ das arithmetische Mittel der beiden mittleren Merkmalswerte. Beispiel: In einer zuf¨ allig ausgew¨ ahlten Filiale einer Lebensmittelkette arbeiten 10 Angestellte und Arbeiter. Ihre monatlichen Bruttoverdienste betragen in EURO (alphabetisch geordnet nach den Nachnamen der Mitarbeiter) 1675, 1475, 1395, 1550, 3500, 1475, 1625, 1475, 1625, 1395. Der Modalwert dieser Stichprobe vom Umfang 10 ist 1475, denn 1475 ist der in der Stichprobe am h¨ auﬁgsten vorkommende Merkmalswert. Der Mittelwert x ¯ berechnet sich zu x ¯=

1 10

· (1675 + 1475 + 1395 + 1550 + 3500 + 1475 + 1625 + 1475 + 1625 + 1395) =

17190 10

= 1719.

Sortiert man die Verdienste der Gr¨ oße nach, also 1395, 1395, 1475, 1475, 1475, 1550, 1625, 1625, 1675, 3500, so ergibt sich der Median x ˜ dieser Stichprobe aus dem arithmetischen Mittel der beiden mittleren Merkmalswerte: x ˜ = 12 · (1475 + 1550) = 1512, 5. Der im Vergleich zu Modalwert und Median relativ hohe Mittelwert beruht auf dem Ausreißer“ ” 3500 (Verdienst des Filialleiters).

Modalwert, Mittelwert und Median liefern zwar gewisse grobe Informationen u ¨ ber eine Stichprobe, sie sind jedoch in vielen F¨ allen nicht ausreichend f¨ ur eine Charakterisierung, da sie nichts u uglich dieser Parameter, also u ¨ ber die Lage der Merkmalswerte bez¨ ¨ber die sogenannte Streuung, aussagen. Aussagen u ¨ber diese Streuung liefern Streuungsmaße wie Varianz und Standardabweichung. Das klassische Streuungsmaß ist die durch n 1 · s = (xi − x ¯ )2 n − 1 i=1 2

deﬁnierte Varianz oder Stichprobenvarianz von (x1 , x2 , . . . , xn ). Dabei ist x ¯ der Mittelwert der Stichprobe. Die Quadratwurzel aus s2 2 3 √ 3 2 s= s =4

n 1 (xi − x ¯ )2 · n − 1 i=1

heißt Standardabweichung oder Stichprobenstandardabweichung von (x1 , x2 , . . . , xn ).

390

10 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Sind die Stichprobenwerte xi ganzzahlig, der Mittelwert x ¯ dagegen nicht, so ist die Berechnung von s2 (und damit auch von s) nach der Deﬁnitionsgleichung m¨ uhsam. In solchen F¨allen l¨asst sich die folgende umgeformte Gleichung einfacher anwenden: n n 1 1 2 (xi − x ¯) = (x2 − 2xi · x ¯+x ¯2 ) · · s = n − 1 i=1 n − 1 i=1 i 2

= =

n n n

1 1 · · x2i − 2¯ x xi + n · x ¯2 = x2i − 2n¯ x2 + n¯ x2 n−1 n−1 i=1 i=1 i=1 n

1 · x2i − n · x ¯2 n−1 i=1

Formel zur praktischen Berechnung der Varianz einer Stichprobe s2 =

n

1 · x2i − n · x ¯2 n−1 i=1

Beispiel: F¨ ur die Stichprobe vom Umfang n = 10 des letzten Beispiels errechnet sich 1 s2 = · (2 · 13952 + 3 · 14752 + 15502 + 2 · 16252 + 16752 + 35002 − 10 · 17192 ) 9 1 1 = · (33 158 300 − 29 549 610) = · 3 608 690 9 9 ≈ 400 966 √ als Varianz und s = s2 ≈ 633 als Standardabweichung.

10.4

Axiomatische Deﬁnition der Wahrscheinlichkeit

Ein Wahrscheinlichkeitsbegriﬀ muss auf beliebige Zufallsexperimente, die unter denselben außeren Bedingungen beliebig oft wiederholbar sind, anwendbar sein. Die relative H¨auﬁg¨ keit eines Ereignisses (vgl. Abschnitt 10.2) gen¨ ugt gewissen einfachen Gesetzm¨aßigkeiten, die man als Grundlage f¨ ur eine axiomatische Deﬁnition der Wahrscheinlichkeit P (A) eines Ereignisses A benutzt. Axiome sind nicht beweisbare Grundpostulate. Die Axiome der Deﬁnition der Wahrscheinlichkeit P (A) orientieren sich an den Eigenschaften 1, 2 und 4 relativer H¨auﬁgkeiten. Diese Axiome legen zwar die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses selbst nicht fest, man kann jedoch mit ihnen eine allgemeine Wahrscheinlichkeitstheorie ableiten. Diese Deﬁnition stammt von dem russischen Mathematiker Andrej Nikollajewitsch Kolmogorov (1903-1987). Der Buchstabe P steht f¨ ur probabilitas, das lateinische Wort f¨ ur Wahrscheinlichkeit (englisch: probability). Es sei Ω = ∅ eine endliche Ergebnismenge und P eine auf den Teilmengen von Ω (also auf den Ereignissen A) deﬁnierte reellwertige Funktion. Die Funktion P heißt Wahrscheinlichkeit, wenn sie folgende drei Eigenschaften besitzt: (A1) F¨ ur jedes Ereignis A gilt 0 ≤ P (A) ≤ 1, (A2) P (Ω) = 1 f¨ ur das sichere Ereignis Ω (Normierung), (A3) P (A ∪ B) = P (A) + P (B),

falls A ∩ B = ∅ (Additivit¨at).

10.4 Axiomatische Deﬁnition der Wahrscheinlichkeit

391

Man nennt das Paar (Ω, P ) auch (endlichen) Wahrscheinlichkeitsraum und P Wahrscheinlichkeitsverteilung oder Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω (genauer: auf den Teilmengen A von Ω). Ist Ω endlich oder abz¨ ahlbar unendlich (eine Menge heißt abz¨ahlbar unendlich, wenn sie die gleiche M¨achtigkeit wie die Menge der nat¨ urlichen Zahlen besitzt), so nennt man das Paar (Ω, P ) diskreten Wahrscheinlichkeitsraum. Aus den geforderten drei Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit lassen sich unmittelbar weitere Eigenschaften als Folgerungen ableiten. ¯ = 1 − P (A) f¨ P (A) ur das Komplement¨arereignis A¯ Beweis: Wegen A ∪ A¯ = Ω und A ∩ A¯ = ∅ folgt aus (A2) und (A3) die Identit¨at 1 = P (Ω) = ¯ = P (A) + P (A) ¯ und daraus die Behauptung P (A) ¯ = 1 − P (A). P (A ∪ A) P (∅) = 0 Beweis: Da das unm¨ogliche Ereignis ∅ das Komplement¨arereignis des sicheren Ereignisses Ω ist, gilt nach der eben bewiesenen Eigenschaft P (∅) = 1 − P (Ω) = 1 − 1 = 0. A ⊆ B ⇒ P (A) ≤ P (B) f¨ ur zwei Ereignisse A und B Beweis: Wegen der Darstellung B = A + (B \ A) (A und B \ A sind disjunkt) folgt P (B) = P (A) + P (B \ A) und aus P (B \ A) ≥ 0 damit die Behauptung P (B) ≥ P (A).

P

n i=1

n

Ai = P (Ai ),

falls A1 , A2 , . . . , An paarweise disjunkt sind

i=1

Beweis: Diese Eigenschaft ergibt sich durch mehrfache Anwendung der Additivit¨at (A3). P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) f¨ ur zwei beliebige Ereignisse A und B Beweis: Zerlegt man die Menge A∪B in die disjunkten Teile A\B, A∩B und B\A, dann folgt nach der zuvor bewiesenen Eigenschaft P (A ∪ B) = P (A \ B) + P (A ∩ B) + P (B \ A). Da A = A∩B+A\B und entsprechend B = B∩A+B\A und deshalb P (A) = P (A∩B)+P (A\B) sowie P (B) = P (A ∩ B) + P (B \ A) nach Axiom (A3) gelten, folgt durch Einsetzen P (A∪B) = (P (A)−P (A∩B))+P (A∩B)+(P (B)−P (A∩B)) = P (A)+P (B)−P (A∩B), also die Behauptung. Da ein Ereignis A die Vereinigung von endlich vielen disjunkten Elementarereignissen {ω} ist, also A= {ω} ω∈A

392

10 Wahrscheinlichkeitsrechnung

nach der Schreibweise von Abschnitt 10.2, so folgt aus der Additivit¨at der Wahrscheinlichkeit P (A) = P ({ω}) = p(ω). ω∈A

ω∈A

F¨ ur ein Elementarereignis wird abk¨ urzend p(ω) f¨ ur P ({ω}) geschrieben. Gilt f¨ ur die Ergebnismenge Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωs }, dann folgt aus den Axiomen (A1) und (A2) sowie aus den hergeleiteten Eigenschaften 0 ≤ p(ωj ) ≤ 1

(j = 1, 2, . . . , s)

p(ω1 ) + p(ω2 ) + . . . + p(ωs ) = 1 Durch die Wahrscheinlichkeiten p(ωj ) der Elementarereignisse ωj sind somit die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse eindeutig bestimmt. Beispiel: In einem Holzw¨ urfel aus homogenem Material sei an der Seite, auf der die Zahl 1 steht, eine Stahlplatte eingearbeitet. In diesem Modell besitzen die Elementarereignisse {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit. Es gilt etwa p(2) = p(3) = p(4) = p(5) = 0, 15. Die beiden Wahrscheinlichkeiten p(1) und p(6) h¨ angen von der St¨ arke der Stahlplatte ab, zum Beispiel p(1) = 0, 1 und p(6) = 0, 3. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der sechs Elementarereignisse ist 1: p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 1. Das Ereignis G ( die gew¨ urfelte Augenzahl ist gerade“) besitzt die Wahrscheinlichkeit P (G) = ” p(2) + p(4) + p(6) = 0, 15 + 0, 15 + 0, 3 = 0, 6. Das Ereignis U ( die gew¨ urfelte Augenzahl ist ” ¯ = 1 − P (G) ungerade“) besitzt die Wahrscheinlichkeit P (U ) = P (G) = 0, 4.

10.5

Klassische Deﬁnition der Wahrscheinlichkeit

Es gibt viele Zufallsexperimente mit endlich vielen Ausg¨angen (Ergebnissen), bei denen alle Ausg¨ange gleich wahrscheinlich sind. Solche speziellen Zufallsexperimente wurden von dem franz¨osischen Mathematiker Pierre Simon Laplace (1749-1827) bereits untersucht, lange bevor Kolmogorov sein Axiomensystem zur Deﬁnition der Wahrscheinlichkeit aufstellte. Daher nennt man solche Zufallsexperimente Laplace-Experimente, die zugeh¨orige Wahrscheinlichkeit auch Laplace-Wahrscheinlichkeit oder klassisch deﬁnierte Wahrscheinlichkeit. Klassische Deﬁnition der Wahrscheinlichkeit: (K 1) Die Ergebnismenge Ω = {ω1 , ω2 . . . , ωs } ist endlich. (K 2) Alle s Elementarereignisse ω1 , . . . , ωs besitzen die gleiche 1 1 (j = 1, 2, . . . s). Wahrscheinlichkeit: p(ωj ) = = s |Ω| Dabei bedeutet |Ω| die M¨ achtigkeit von Ω, also die Anzahl s der Elemente der Menge Ω (vgl. Abschnitt 1.1). Aufgrund der Additivit¨ at der Wahrscheinlichkeit gilt somit f¨ ur ein beliebiges Ereignis A⊆Ω

10.5 Klassische Deﬁnition der Wahrscheinlichkeit

P (A) =

393

|A| Anzahl der Elemente in A |A| = = s |Ω| Anzahl der Elemente in Ω

Man sagt auch, P (A) ist die Anzahl der g¨ unstigen F¨alle (also Anzahl der F¨alle, in denen A eintritt) dividiert durch die Anzahl der m¨oglichen F¨alle (Anzahl aller m¨oglichen Ergebnisse). Beispiele: 1.

2.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem echten (unverf¨ alschten) W¨ urfel eine ungerade Zahl zu w¨ urfeln? |A| 3 L¨ osung: Mit Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und A = {1, 3, 5} folgt P (A) = = = 0, 5. |Ω| 6 Es werden ein roter und ein weißer W¨ urfel nach gutem Sch¨ utteln des Knobelbechers geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt die Augensumme 10 auf? L¨ osung: Die Versuchsergebnisse sind Zahlenpaare (i, j), wobei i die Augenzahl des roten und j die Augenzahl des weißen W¨ urfels angibt. Die Ergebnismenge Ω ist somit Ω = {(i, j) | 1 ≤ i, j ≤ 6} = {(1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), (2, 2) . . . , (2, 6), (3, 1), . . . , (6, 6)}. Bedeutet Ak das Ereignis Augensumme gleich k“, so gilt A10 = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}, denn ” die Augensumme ist genau f¨ ur die drei Elementarereignisse (4, 6), (5, 5), (6, 4) gleich 10. Es folgt |A10 | 3 1 P (A10 ) = = = . |Ω| 36 12 Schreibt man die 36 Elemente von Ω in Form einer quadratischen Matrix auf, so erkennt man, dass die Augensumme bei allen Elementen auf der Nebendiagonalen (vgl. Abschnitt 2.9.4) und jeweils bei allen Elementen auf den Parallelen zur Nebendiagonale konstant sind. (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)

(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)

(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)

(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)

(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)

(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)

Man erh¨ alt also folgende Werte f¨ ur die Wahrscheinlichkeiten P (Ak ), k = 2, 3, . . . , 12 :

3.

k

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

P (Ak )

1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1 36

Es werden zwei nicht unterscheidbare W¨ urfel (also zum Beispiel zwei weiße W¨ urfel) gleichzeitig geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt die Augensumme 10 auf? L¨ osung: Oﬀenbar ist bei diesem Zufallsexperiment die Zahl unterscheidbarer Elementarereignisse kleiner als im vorangegangenen Beispiel. F¨ ur die Ergebnismenge Ω gilt n¨ amlich Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 6)}, also |Ω| = 21. Hier bedeutet ein Versuchsergebnis (i, j), dass einer der W¨ urfel i zeigt und der andere j.

394

10 Wahrscheinlichkeitsrechnung Bei diesem Zufallsexperiment handelt es sich nicht um ein Laplace- Experiment, denn zum Beispiel treten die Augensummen 11 und 12 nicht mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. 2 Das Ergebnis (5, 6) hat die doppelte Wahrscheinlichkeit wie das Ergebnis (6, 6), n¨ amlich 36 1 im Vergleich zu 36 . Denn w¨ are einer der W¨ urfel rot und der andere gr¨ un gef¨ arbt, dann w¨ urde eine farbenblinde Person diesen Unterschied nicht wahrnehmen und w¨ are in der Situation dieses Beispiels. Eine nicht farbenblinde Person w¨ urde das Ergebnis des roten vom Ergebnis des gr¨ unen W¨ urfels unterscheiden k¨ onnen und w¨ are in der Situation des vorangegangenen Beispiels 2. Die gefragte Wahrscheinlichkeit l¨ asst sich also nicht als Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen.

Bei vielen Zufallsexperimenten kann man davon ausgehen, dass es sich um LaplaceExperimente handelt. Oftmals ist es jedoch schwierig, die Anzahl der Elemente eines Ereignisses A, also die M¨ achtigkeit |A| zu bestimmen. Mit Hilfe der kombinatorischen Methoden der Abschnitte 9.4 bis 9.6 lassen sich solche Anzahlprobleme jedoch in einer Reihe von F¨allen l¨ osen. Urnenmodell I (Ziehen unnummerierter Kugeln ohne Zur¨ ucklegen): Aus einer Urne mit N nicht nummerierten Kugeln, von denen M rot und die u ¨ brigen N − M weiß sind (1 ≤ M < N ), werden zuf¨ allig und ohne Zur¨ ucklegen n Kugeln gezogen. ur die Bedeutet Ak das Ereignis Unter den n Kugeln sind genau k rote Kugeln“, so gilt f¨ ” Wahrscheinlichkeit P (Ak ): ) * ) * M N −M · k n−k ) * P (Ak ) = , N n

k = 0, 1, . . . , min{M, n}, n ≤ N

Beweis: Nach Abschnitt 9.5 ist C(N, n) = N oglichkeiten, n verschiedene n die Anzahl der M¨ Kugeln aus der Urne mit N Kugeln zu entnehmen. Also gilt |Ω| = N n . Die Anzahl derverschiedenen M¨ oglichkeiten, k Kugeln aus den M roten Kugeln zu ziehen, ist C(M, k) = M oglichkeiten, die noch fehlenden k , und die Anzahl der verschiedenen M¨ −M n − k Kugeln aus den N − M weißen Kugeln zu ziehen, ist C(N − M, n − k) = Nn−k . M N −M Nach der Produktregel (vgl. Abschnitt 9.1) folgt |Ak | = k · n−k . Somit ergibt sich f¨ ur die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Ak |Ak | P (Ak ) = = |Ω|

M N −M k · n−k N . n

Beispiel: Eine Warenlieferung von 200 St¨ uck enth¨ alt versehentlich 6 fehlerhafte St¨ ucke. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a)

von 4 zuf¨ allig ausgew¨ ahlten St¨ ucken genau eins fehlerhaft ist,

b)

von 4 zuf¨ allig ausgew¨ ahlten St¨ ucken nicht alle fehlerfrei sind?

10.5 Klassische Deﬁnition der Wahrscheinlichkeit

395

L¨ osungen: a)

Ist A1 das Ereignis, dass sich genau ein fehlerhaftes unter den n = 4 ausgew¨ ahlten St¨ ucken beﬁndet, dann folgt mit N = 200, M = 6, k = 1 aus dem Urnenmodell I

6 200−6 6 194 · 6 · 194 · 193 · 192 · 2 · 3 · 4 1 · 2004−1 ≈ 0, 111 136 58. P (A1) = = 1 2003 = 4

b)

4

2 · 3 · 200 · 199 · 198 · 197

Sind nicht alle vier ausgew¨ ahlten St¨ ucke fehlerfrei, so sind entweder eins oder zwei oder drei oder alle vier St¨ ucke fehlerhaft. Bezeichnet B das Ereignis Nicht alle vier St¨ ucke sind ” ucke sind fehlerhaft“, i = 1, 2, 3, 4, so fehlerfrei“ und Ai das Ereignis Genau i der vier St¨ ” gilt also B = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 . Da die Ereignisse A1 , A2 , A3 , A4 paarweise unvereinbar (disjunkt) sind, gilt P (B) = P (A1 ) + P (A2 ) + P (A3 ) + P (A4 ). Berechnung von P (Aj ), j = 2, 3, 4, nach dem Urnenmodell I:

6 194 · 6 · 5 · 194 · 193 · 2 · 3 · 4 P (A2 ) = 2 2002 = ≈ 0, 004 341 27 4

6 194 · P (A3 ) = 3 2001 = 4

6 194 · P (A4 ) = 4 2000 = 4

2 · 2 · 200 · 199 · 198 · 197

6 · 5 · 4 · 194 · 2 · 3 · 4 ≈ 0, 000 059 98 2 · 3 · 200 · 199 · 198 · 197 6·5·2·3·4 ≈ 0, 000 000 23 2 · 200 · 199 · 198 · 197

F¨ ur die gesuchte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B ergibt sich somit P (B) = P (A1 ) + P (A2) + P (A3 ) + P (A4 ) ≈ 0, 111 136 58 + 0, 004 341 27 + 0, 000 059 98 + 0, 000 000 23 = 0, 115 538 06.

Urnenmodell II (Ziehen nummerierter Kugeln mit Zur¨ ucklegen): Eine Urne enthalte N Kugeln, von denen M rot und die u ¨ brigen N − M weiß sind (1 ≤ M < N ). Die Kugeln sind durchnummeriert, die roten Kugeln haben etwa die Nummern von 1 bis M und die weißen die Nummern von M + 1 bis N . Es werden aus der Urne zuf¨allig und mit Zur¨ ucklegen n Kugeln gezogen. Jede gezogene Kugel wird also vor dem n¨achsten Zug in die Urne zur¨ uckgelegt. Bedeutet Ak das Ereignis, dass sich unter den n Kugeln genau k rote Kugeln beﬁnden, so gilt f¨ ur die Wahrscheinlichkeit P (Ak ): *n−k ) *) *k ) n M M P (Ak ) = , 1− N N k

k = 0, 1, 2, . . . , n

Beweis: Nach Abschnitt 9.4 ist V (N, n) = N n die Anzahl der verschiedenen M¨oglichkeiten, n nummerierte Kugeln (also mit Ber¨ ucksichtigung der Reihenfolge) aus der Urne mit N Kugeln zu entnehmen, wobei nach jedem Zug die entnommene Kugel zur¨ uckgelegt wird (also mit Wiederholung). Somit gilt |Ω| = N n . Die Anzahl der M¨ oglichkeiten, mit Ber¨ ucksichtigung der Reihenfolge und mit Wiederholung aus den M roten Kugeln k auszuw¨ ahlen, ist V (M, k) = M k , und die entsprechende Anzahl, aus den restlichen N − M weißen Kugeln n − k auszuw¨ahlen, ist V (N − M, n − k) = (N − M )n−k . Die Anzahl der M¨oglichkeiten, an welchen nPositionen die k roten Kugeln unter allen n gezogenen Kugeln stehen, ist C(n, k) = k (vgl. Ab schnitt 9.5). Nach der Produktregel folgt somit |Ak | = nk · M k · (N − M )n−k .

396

10 Wahrscheinlichkeitsrechnung

F¨ ur die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Ak gilt damit n *n−k ) *) *k ) k · (N − M )n−k M |Ak | n M k ·M 1− P (Ak ) = = = . |Ω| Nn N N k Beispiel: Bei einem Einstellungstest wird dem Bewerber ein Fragebogen mit 10 Fragen vorgelegt. Zu jeder Frage sind drei Antworten vorgegeben, von denen jeweils genau eine richtig ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei dem Test mindestens die H¨ alfte der Fragen richtig zu beantworten, wenn bei jeder Frage eine Antwort zuf¨ allig angekreuzt wird? L¨ osung: Bei jeder der zehn Fragen steht der Kandidat vor der gleichen Situation: Eine Urne enth¨ alt drei Kugeln, eine rote Kugel (f¨ ur richtig“) und zwei weiße Kugeln (f¨ ur falsch“). Nach jedem Zug ” ” wird die Kugel zur¨ uckgelegt. Bedeutet Ai das Ereignis, dass unter den 10 ausgew¨ ahlten Kugeln genau i rote sind, und B das Ereignis, dass unter den 10 ausgew¨ ahlten Kugeln mindestens 5 rote (also mindestens die H¨ alfte) sind, so gilt B = A5 ∪ A6 ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10 . Berechnung von P (Aj ), j = 5, 6, . . . , 10, nach dem Urnenmodell II:

) *) *5 ) *5 P (A5 ) =

10 5

1 3

2 3

=

10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 25 ≈ 0, 136 564 55 2 · 3 · 4 · 5 · 310

10 6

1 3

2 3

=

10 · 9 · 8 · 7 · 24 ≈ 0, 056 901 90 2 · 3 · 4 · 310

10 7

1 3

2 3

=

10 · 9 · 8 · 23 ≈ 0, 016 257 68 2 · 3 · 310

10 8

1 3

2 3

=

10 · 9 · 22 ≈ 0, 003 048 32 2 · 310

10 9

1 3

2 3

=

10 · 2 ≈ 0, 000 338 70 310

10 10

1 3

) *) *6 ) *4 P (A6 ) =

) *) *7 ) *3 P (A7 ) =

) *) *8 ) *2 P (A8 ) =

) *) *9 ) *1 P (A9 ) =

) *) *10 ) *0 P (A10 ) =

2 3

=

1 ≈ 0, 000 016 94 310

Da die Ereignisse Aj paarweise disjunkt sind, gilt somit f¨ ur die gesuchte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B P (B) = P (A5 ) + P (A6 ) + P (A7) + P (A8 ) + P (A9 ) + P (A10 ) ≈ 0, 136 564 55 + 0, 056 901 90 + 0, 016 257 68 + 0, 003 048 32 + 0, 000 338 70 + 0, 000 016 94 = 0, 213 128 09 Die Chance des Bewerbers, mit der gew¨ ahlten Zufallsmethode bei dem Test mindestens die H¨ alfte der Fragen richtig zu beantworten, liegt also bei mehr als 21 Prozent.

Weitere Beispiele:

1.

Beim sogenannten Geburtstagsproblem werden n Personen zuf¨ allig ausgew¨ ahlt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei der ausgesuchten n Personen am gleichen Tag Geburtstag haben? L¨ osung: Zur Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit wird angenommen, dass das Jahr 365 Tage

10.6 Bedingte Wahrscheinlichkeiten

397

hat, die als Geburtstage f¨ ur jede der n Personen gleich wahrscheinlich sind. Werden die n Personen durchnummeriert, dann gilt |Ω| = V (365, n) = 365n , denn f¨ ur jede der n nummerierten (und damit unterscheidbaren) Personen sind 365 Tage im Jahr m¨ oglich. Ist An das Ereignis Mindestens zwei der n Personen haben am gleichen Tag Geburtstag“, ” ur n ≥ 366. so gilt P (An ) = 1 f¨ F¨ ur n ≤ 365 wird zun¨ achst das Komplement¨ arereignis A¯n Alle n Personen haben an lauter ” ¯n eintritt, sind f¨ ur die erste Person verschiedenen Tagen Geburtstag“ betrachtet. Damit A 365, f¨ ur die zweite 364, f¨ ur die dritte 363, ..., f¨ ur die n−te Person 365 − (n − 1) Tage m¨ oglich. ¯n | = 365 · 364 · . . . · (365 − n + 1) und damit Es folgt also |A ¯n ) = 365 · 364 · . . . · (365 − n + 1) . P (A 365n ¯ = 1 f¨ Wegen P (A) + P (A) ur ein Ereignis A und das Komplement¨ arereignis A¯ (vgl. Abschnitt 10.4) ergibt sich somit f¨ ur die gesuchte Wahrscheinlichkeit ¯n ) = 1 − P (An ) = 1 − P (A

365 · 364 · . . . · (365 − n + 1) . 365n

allig ausgew¨ ahlW¨ ahlt man etwa n = 23, so erh¨ alt man P (A23 ) ≈ 0, 507 297 23. Unter 23 zuf¨ ten Personen ist es also wahrscheinlicher, dass zwei von ihnen am gleichen Tag Geburtstag haben, als dass alle an verschiedenen Tagen Geburtstag haben. Weitere Werte sind zum Beispiel P (A10 ) ≈ 0, 116 948 18, P (A50 ) ≈ 0, 970 373 58, P (A100 ) ≈ 0, 999 999 69. 2.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass beim Skatspielen a) b)

Kreuz- und Pikbube im Skat liegen, genau ein Bube im Skat liegt?

L¨ osungen: a)

F¨ ur den Skat gibt es C(32, 2) =

32 2

M¨ oglichkeiten, also |Ω| =

32 2

.

F¨ ur das Ereignis AKb,P b , dass sowohl der Kreuz- als auch der Pikbube im Skat liegen, gibt es genau eine M¨ oglichkeit. Es folgt 1 1 P (AKb,P b ) = 32 = ≈ 0, 002 016 13. 496 2 b)

Im Skat soll genau ein Bube liegen, das heißt, ein Bube und eine Karte, die kein Bube ist. Da es 4 Buben gibt und 28 Karten, die keine Buben sind, folgt somit f¨ ur das Ereignis ur die AB ( Genau ein Bube im Skat“) nach der Produktregel |AB | = 4 · 28 und somit f¨ ” gesuchte Wahrscheinlichkeit P (AB ) =

10.6

|AB | 4 · 28 7 = 32 = ≈ 0, 225 806 45. |Ω| 31 2

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Bei manchen Zufallsexperimenten gibt es im Vorfeld die Information, dass das Ergebnis zu einer bestimmten Teilmenge der Ergebnismenge Ω geh¨ort. Interessiert sich zum Beispiel Spieler S beim Skatspielen f¨ ur die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, dass Mitspieler M zwei Asse hat, so wird Spieler S zun¨achst seine eigenen Asse z¨ahlen. Hat S drei oder vier Asse, so ist f¨ ur ihn die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A nat¨ urlich 0,

398

10 Wahrscheinlichkeitsrechnung

hat er jedoch maximal zwei Asse, so ist diese Wahrscheinlichkeit positiv. Bei bedingten Wahrscheinlichkeiten sind solche Teilinformationen u ¨ ber stochastische Vorg¨ange verwertet. F¨ ur beliebige Wahrscheinlichkeitsr¨ aume (Ω, P ) und Ereignisse A, B ∈ Ω mit P (B) > 0 ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P (A|B) von A bei gegebenem B beziehungsweise unter der Bedingung B deﬁniert durch: P (A|B) =

P (A ∩ B) P (B)

Man schreibt auch PB (A) statt P (A|B). F¨ ur die bedingte Wahrscheinlichkeit PB (A) gilt bei festem bedingenden Ereignis B (1) 0 ≤ PB (A) ≤ 1

f¨ ur jedes Ereignis A ⊆ Ω,

(2) PB (A) = 1, falls B ⊆ A, also unter anderem PB (Ω) = 1 und PB (B) = 1, (3) PB (A1 ∪ A2 ) = PB (A1 ) + PB (A2 ) PB (A1 ∪ A2 ) =

P ((A1 ∪A2 )∩B) P (B)

=

f¨ ur A1 , A2 ⊆ Ω mit A1 ∩ A2 = ∅, denn

P ((A1 ∩B)∪(A2 ∩B)) P (B)

=

P (A1 ∩B) P (B)

+

P (A2 ∩B) P (B)

= PB (A1 ) + PB (A2 ). Man nennt Ereignisse A1 , A2 ⊆ Ω mit A1 ∩ A2 = ∅ disjunkt oder unvereinbar. Somit gelten f¨ ur PB (A) die Eigenschaften (A1)–(A3) (siehe Abschnitt 10.4), das heißt, die Funktion PB ist bei einem festen bedingenden Ereignis B eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Ω. F¨ ur Elementarereignisse ω folgt aus der Deﬁnition pB (ω) = PB ({ω}) = und pB (ω) = 0, falls ω ∈ / B.

p(ω) P (B) ,

falls ω ∈ B,

Beispiel: Aus einer Urne mit 3 roten und 7 weißen Kugeln werden zuf¨ allig und ohne Zur¨ ucklegen nacheinander zwei Kugeln gezogen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass beide gezogene Kugeln rot sind. Ist B das Ereignis Die zuerst gezogene Kugel ist rot“ und A das Ereignis Die ” ” zweite gezogene Kugel ist rot“, dann ist P (A ∩ B) die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Oﬀenbar 3 gilt P (B) = 10 . Ist das Ereignis B eingetreten, so bleiben in der Urne noch 2 rote und 7 weiße ur Kugeln u ur die bedingte Wahrscheinlichkeit P (A|B) = 29 und damit f¨ ¨ brig. Somit ergibt sich f¨ 3 1 die gesuchte Wahrscheinlichkeit P (A ∩ B) = P (A|B) · P (B) = 29 · 10 = 15 . Zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit h¨ atte man auch das Urnenmodell I (vgl. Kapitel 10.5) mit M = 3, N = 10, n = k = 2 verwenden k¨ onnen.

Wie in diesem Beispiel wird in der Praxis meist nicht P (A|B) aus P (B) und P (A ∩ B) berechnet, sondern umgekehrt P (A ∩ B) aus P (B) und P (A|B). Man verwendet dazu wie oben die Deﬁnitionsgleichung in der umgeschriebenen Form P (A ∩ B) = P (B) P (A|B)

10.6 Bedingte Wahrscheinlichkeiten

399

Diese Formel l¨asst sich induktiv verallgemeinern. Sind A1 , A2 , . . . , An Ereignisse mit P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1 ) > 0, so gilt P (A1 ∩ A2 ∩ . . . An ) = P (A1 ) · P (A2 |A1 ) · P (A3 |A1 ∩ A2 ) · . . . · P (An |A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1 ) Die Formel l¨asst sich einfach mit vollst¨ andiger Induktion beweisen. Man beachte dabei, dass aus P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1 ) > 0 auch P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Ak−1 ) > 0 f¨ ur alle k mit 1 ≤ k ≤ n − 1 folgt, so dass die auftretenden bedingten Wahrscheinlichkeiten deﬁniert sind. Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass beim Skat jeder der drei Spieler nach dem Kartenverteilen genau ein Ass hat? Aus Symmetriegr¨ unden kann man annehmen, dass Spieler S1 die ersten 10 ausgeteilten Karten achsten 10, dann Spieler A3 ebenfalls 10 und die letzten 2 Karten schließerh¨ alt, Spieler A2 die n¨ alt (i = 1, 2, 3). lich den Skat bilden. Es sei Ai das Ereignis, dass Spieler Si genau ein Ass erh¨ Dann ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P (A1 ) · P (A2 |A1 ) · P (A3 |A1 ∩ A2 ). (3)(19) ( )(28 9) (vgl. Abschnitt 10.5) und P (A2 |A1 ) = 1 229 , denn nachdem Spieler S1 32 (10) (10) zehn Karten und darunter genau ein Ass erhalten hat, sind noch 3 Asse unter den 22 verblie2 10 ( )( ) alt man f¨ ur die gesuchte benen Karten. Analog ergibt sich P (A3 |A1 ∩ A2 ) = 1 129 . Damit erh¨ (10) Wahrscheinlichkeit Es gilt P (A1 ) =

4 1

428 319 210 5 · 7 · 11 3 2 · 5 2 · 52 · · = ≈ 0, 0556. P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 1329 · 1229 · 1129 = 10

10

19 · 31

10

7

3 · 11

29 · 31

In einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) heißt eine Menge {B1 , B2 , . . . , Bn } von Ereignissen eine Zerlegung oder Partition von Ω, wenn die Bi paarweise disjunkt (unvereinbar) sind und ihre Vereinigung Ω ist, also ur i, j = 1, . . . , n, i = j, und B1 ∪ B2 ∪ . . . Bn = Ω. Bi ∩ Bj = ∅ f¨ F¨ ur jedes Ereignis A ⊆ Ω und jede Zerlegung {B1 , B2 , . . . , Bn } von Ω mit P (Bi ) > 0 f¨ ur i = 1, 2, . . . , n gilt die sogenannte Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit: P (A) =

n

P (Bi ) P (A|Bi )

i=1

Beweis: Mit den gegebenen Voraussetzungen ergibt sich wegen der Additivit¨at der Wahrscheinlichkeit (vgl. (A3) in Abschnitt 10.4) und der Deﬁnition der bedingten Wahrscheinlichkeit P (A) = P (A ∩ Ω) = P (A ∩ (B1 ∪ B2 ∪ . . . Bn )) = P ((A ∩ B1 ) ∪ (A ∩ B2 ) ∪ . . . ∪ (A ∩ Bn )) =

n i=1

P (A ∩ Bi ) =

n i=1

P (Bi ) P (A|Bi ),

400

10 Wahrscheinlichkeitsrechnung

denn A ist die disjunkte Vereinigung der A ∩ Bi . F¨ ur jede Zerlegung {B1 , B2 , . . . , Bn } von Ω mit P (Bi ) > 0 f¨ ur i = 1, 2, . . . , n und jedes Ereignis A ⊆ Ω mit P (A) > 0 gilt die sogenannte Formel von Bayes:1 P (Bk |A) =

P (Bk ) P (A|Bk ) n P (Bi ) P (A|Bi ) i=1

Beweis: Mit der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit ergibt sich P (Bk |A) =

P (A ∩ Bk ) P (Bk ) P (A|Bk ) P (Bk ∩ A) . = = n P (A) P (A) P (Bi ) P (A|Bi ) i=1

Beispiel: In einem Land sind 55 % der Bev¨ olkerung weiblich und 45 % m¨ annlich. Von dem weiblichen Teil der Bev¨ olkerung leidet 1 % an einer bestimmten Krankheit und von dem m¨ annlichen Teil 5 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass eine zuf¨ allig ausgew¨ alte Person an dieser Krankheit leidet? Das Ereignis Die ausgew¨ alte Person ist m¨ annlich“ sei mit M bezeichnet und das Ereignis Die ” ” ausgew¨ alte Person leidet an der Krankheit“ mit K. Dann ergibt sich f¨ ur die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten ¯ ) = 0, 55; P (K|M ) = 0, 05; P (K|M ¯ ) = 0, 01, P (M ) = 0, 45; P (M woraus mit der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit folgt ¯ ) P (M ¯ ) = 0, 05 · 0, 45 + 0, 01 · 0, 55 = 0, 028. P (K) = P (K|M ) P (M ) + P (K|M Eine zuf¨ allig ausgew¨ alte Person leidet an dieser Krankheit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass es sich dabei um eine m¨ annliche Person beziehungsweise um eine weibliche Person handelt? Mit der Formel von Bayes ergibt sich P (M ) P (K|M ) 0, 45 · 0, 05 = ≈ 0, 804 P (K) 0, 028 ¯ |K) = 1 − P (M |K) ≈ 0, 196. P (M

P (M |K) =

10.7

Zufallsvariablen

Ereignisse eines Zufallsexperiments sind Teilmengen der Ergebnismenge Ω (vgl. Abschnitt 10.1). Ordnet man jedem Elementarereignis ω des Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu, so nennt man diese Zuordnung eine Zufallsvariable X auf Ω. Eine Funktion X : Ω → IR 1 Thomas

Bayes (1702?-1761)

10.7 Zufallsvariablen

401

von Ω in die Menge IR der reellen Zahlen heißt (reellwertige) Zufallsvariable (auf Ω)2 . Man beachte, dass Variablen in diesem Zusammenhang nicht die sonst in der Mathematik u ¨ bliche Bedeutung haben: Eine Zufallsvariable ist eine Funktion. Zufallsvariablen werden mitunter auch Zufallsgr¨ oßen genannt. Steht etwa Ω f¨ ur die Menge der m¨ oglichen Ausg¨ange eines Gl¨ uckspiels, so k¨onnte X(ω) der Gewinn sein, den ein Spieler beim Ausgang ω des Spiels erh¨alt (wobei ein negativer Wert einen Verlust darstellt). Eine Zufallsvariable X heißt diskret, wenn die Bildmenge X(Ω) endlich oder abz¨ahlbar unendlich ist. Beispiel: Es wird mit einem Knobelbecher gew¨ urfelt, in dem sich ein roter und ein weißer W¨ urfel beﬁndet (vgl. Beispiel 2 im Abschnitt 10.5). Die Ergebnismenge Ω dieses Zufallsexperiments ist Ω = {(i, j) | 1 ≤ i, j ≤ 6}. Bezeichnet i das Ergebnis des roten W¨ urfels und j das Ergebnis des weißen W¨ urfels, und deﬁniert man X(ω) = i + j, ω = (i, j), so steht die Zufallsvariable X f¨ ur die Augensumme aus beiden W¨ urfeln. Die Bildmenge von X ist {2, 3, 4, . . . , 11, 12} (X ist somit eine diskrete Zufallsvariable). Schreibt man abk¨ urzend {X = k} = {ω ∈ Ω | X(ω) = k} f¨ ur das Ereignis X nimmt den ” Wert k an“, so kann man die Ereignisse {X = k} als Elementarereignisse eines Experiments ansehen, bei dem X(ω) (anstelle von ω selbst) als Ausgang beobachtet wird. Jedes durch die Zufallsvariable X beschreibbare Ereignis ist dann eine Vereinigung der f¨ ur verschiedene Werte von k disjunkten Elementarereignisse. Beispiel: Bei dem W¨ urfeln mit einem roten und einem weißen W¨ urfel (siehe obiges Beispiel) gilt etwa {X = 4} = {(3, 1), (2, 2), (1, 3)}. Das Ereignis Die Augensumme ist mindestens 9“ l¨ asst sich mit ” Hilfe der Zufallsvariablen X in der Form {X ≥ 9} = {X = 9} + {X = 10} + {X = 11} + {X = 12} darstellen, und das Ereignis Die Augensumme liegt zwischen 4 und 10“ zum Beispiel durch ” 10 {4 ≤ X ≤ 10} =

{X = k}.

k=4

Ist X eine endliche Menge, so kann die Zufallsvariable X oﬀenbar auch nur endlich viele verschiedene Werte X(ω) annehmen. H¨ auﬁg besitzt die Bildmenge X(Ω) = {X(ω) | ω ∈ Ω} von X jedoch deutlich weniger Elemente als Ω. Ist (Ω, P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum, also Ω eine endliche Ergebnismenge und P eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Ω (vgl. Abschnitt 10.4), und X : Ω → IR eine Zufallsvariable, so schreibt man abk¨ urzend P (X = x) = P ({X = x}) = P ({ω ∈ Ω | X(ω) = x}) und entsprechend P (X ≤ x) = P ({X ≤ x}) oder P (a ≤ X ≤ b) = P ({a ≤ X ≤ b}) und so weiter. Nimmt die Zufallsvariable X die Werte x1 , x2 , . . . , xs an, gilt also X(Ω) = {x1 , x2 , . . . , xs }, so folgt f¨ ur alle x mit x ∈ {x1 , x2 , . . . , xs }, dass {X = x} = ∅ und somit P (X = x) = 0 gilt. Fasst man X(Ω) als Ergebnismenge eines Zufallsexperiments auf, bei dem der Wert X(ω) beobachtet wird, so sind {x1 }, {x2 }, . . . , {xs } gerade die Elementarereignisse dieses Experiments. Die Gesamtheit der Paare (xk , pk ) mit pk = P (X = xk ), k = 1, 2, . . . , s, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X. Aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X kann 2 In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden Funktionen nicht wie ublich mit f oder g bezeichnet, ¨ sondern mit großen lateinischen Buchstaben aus dem hinteren Teil des Alphabets.

402

10 Wahrscheinlichkeitsrechnung

wegen der Additivit¨ a t von P die Wahrscheinlichkeit jedes durch X beschreibbaren Ereignisses P (X = xk ), P (a ≤ X ≤ b) = P (X = xk ) und so weiter bedurch P (X ≤ x) = rechnet werden.

xk ≤x

a≤xk ≤b

Die Funktion F (x) = P (X ≤ x) heißt Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X. Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable X einen Wert zwischen −∞ und x (einschließlich) annimmt. Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen ist eine monoton wachsende Funktion (eine sogenannte Treppenfunktion, eine st¨ uckweise konstante Funktion). Eine diskrete Zufallsvariable X, die die Werte xk mit den Wahrscheinlichkeiten P (X = xk ) = pk , k = 1, 2, . . ., annimmt, hat die Verteilungsfunktion F (x) = P (X ≤ x) =

P (X = xk ) =

xk ≤x

pk .

xk ≤k

Beispiel: Bei dem W¨ urfeln mit einem roten und einem weißen W¨ urfel (vgl. obiges Beispiel) sei die Zufallsvariable X deﬁniert durch X(ω) = max{i, j} ( maximale Augenzahl eines W¨ urfels“). Da ” 1 (vgl. Abschnitt 10.5). alle ω = (i, j) ∈ Ω, 1 ≤ i, j ≤ 6 gleich wahrscheinlich sind, gilt p(ω) = 36 Es folgt P (X = 1) = p1 = P ({(1, 1)}) =

1 , 36

P (X = 2) = p2 = P ({(2, 1), (2, 2), (1, 2)}) =

3 36

und entsprechend P (X = 3) = p3 =

5 7 9 11 , P (X = 4) = p4 = , P (X = 5) = p5 = , P (X = 6) = p6 = . 36 36 36 36

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsvariablen X ist somit

1,

1 3 5 7 9 11 , 2, , 3, , 4, , 5, , 6, . 36 36 36 36 36 36

F¨ ur das Ereignis 2 ≤ X ≤ 4 ( maximale Augenzahl mindestens 2 und h¨ ochstens 4“) berechnet ” man die Wahrscheinlichkeit zu P (2 ≤ X ≤ 4) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = p2 + p3 + p4 =

3 5 7 15 5 + + = = , 36 36 36 36 12

das Ereignis X ≤ 2 ( maximale Augenzahl h¨ ochstens 2“) hat die Wahrscheinlichkeit ” 1 3 4 1 P (X ≤ 2) = P (X = 1) + P (X = 2) = p1 + p2 = + = = . 36 36 36 9 F¨ ur die Verteilungsfunktion F (x) = P (X ≤ x) gilt etwa f¨ ur x = 4 F (4) = P (X ≤ 4) = p1 + p2 + p3 + p4 =

1 3 5 7 16 4 + + + = = . 36 36 36 36 36 9

Mit den Zufallsvariablen X und Y auf Ω ist auch die durch (X + Y )(ω) = X(ω) + Y (ω) mit ω ∈ Ω deﬁnierte Summe von X und Y eine Zufallsvariable auf Ω (deﬁniert als elementweise Summe von Funktionen). In analoger Weise lassen sich etwa auch die Diﬀerenz (X − Y )(ω) und das Produkt (X · Y )(ω) zweier Zufallsvariablen X und Y deﬁnieren. Beispiel: Bei dem zweifachen W¨ urfeln mit einem W¨ urfel sei die Zufallsvariable X deﬁniert durch X(ω) = i und die Zufallsvariable Y durch Y (ω) = j, ω = (i, j) (X beschreibt also das Ergebnis des ersten

10.7 Zufallsvariablen

403

Wurfs und Y das des zweiten). Dann beschreibt die Zufallsvariable Z = X + Y die Augensumme aus beiden W¨ urfen. Will man f¨ ur eine reellwertige Zufallsvariable X : Ω → IR einen mittleren Wert“ angeben, so ” gewichtet man die Werte X(ω) mit den zugeh¨origen Wahrscheinlichkeiten p(ω) und addiert sie X(ω) p(ω), Diese Summe ist auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsanschließend, also ω∈Ω

raum (Ω, P ) wohldeﬁniert. Man nennt diese Summe den Erwartungswert E(X) von X: E(X) =

X(ω) p(ω).

ω∈Ω

Beispiel: Bei dem W¨ urfeln mit einem roten und einem weißen W¨ urfel mit der Zufallsvariablen X f¨ ur die Augensumme aus beiden W¨ urfeln, also X(ω) = i + j, ω = (i, j), ist {2, 3, 4, . . . , 11, 12} die 1 2 3 Bildmenge von X (siehe oben). Es gilt oﬀenbar P (X = 2) = 36 , P (X = 3) = 36 , P (X = 4) = 36 , 4 5 6 5 4 P (X = 5) = 36 , P (X = 6) = 36 , P (X = 7) = 36 , P (X = 8) = 36 , P (X = 9) = 36 , P (X = 3 2 1 , P (X = 11) = 36 und P (X = 12) = 36 . Damit errechnet sich der Erwartungswert von 10) = 36 X zu E(X) = 2·

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 252 +3· +4· +5· +6· +7· +8· +9· +10· +11· +12· = = 7. 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

Sind X und Y Zufallsvariablen auf Ω und a ∈ IR, so gilt f¨ ur den Erwartungswert: (E1)

E(X + Y ) = E(X) + E(Y ),

(E2)

E(a · X) = a · E(X),

(E3)

aus X(ω) ≤ Y (ω) f¨ ur alle ω ∈ Ω folgt E(X) ≤ E(Y ).

Mit vollst¨ andiger Induktion ergibt sich aus (E1) die wichtige Regel E

n

Xi

i=1

f¨ ur beliebige Zufallsvariablen X1 , X2 , . . . , Xn .

=

n i=1

E(Xi )

A

Symbole und Bezeichnungsweisen

=

gleich

=

ungleich

≈

ungef¨ ahr gleich

<

kleiner als

≤

kleiner oder gleich

>

gr¨ oßer als

≥

gr¨ oßer oder gleich

sehr viel kleiner als

sehr viel gr¨ oßer als

∼

proportional

±

plus oder minus

∓

minus oder plus

n

ak

= a1 + a2 + a 3 + . . . + a n ;

ak

= a1 · a 2 · a 3 · . . . · a n ;

Summe u ¨ ber ak von k = 1 bis k = n

k=1 n

Produkt u ¨ber ak von k = 1 bis k = n

k=1

{a, b, c}

Menge aus den Elementen a, b, c

{x|E(x)}

Menge aller x, die die Eigenschaft E(x) haben

∈

Element von

∈

nicht Element von

⊆

Teilmenge

∅

leere Menge

∪

Vereinigung von Mengen

∩

Durchschnitt von Mengen

|M |

M¨ achtigkeit der Menge M

A∧B

A und B

A∨B

A oder B

¬A

nicht A (Negation von A)

A⇒B

aus A folgt B

A⇔B (a, b)

A und B sind a ¨quivalent (gleichwertig) geordnetes Paar

(a, b, c)

geordnetes Tripel

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405

parallel

AB

Gerade durch die Punkte A und B

AB

Strecke AB

|AB|

L¨ ange (Betrag) der Strecke AB

a − −→ PQ

Vektor a

− − → | a|, |P Q|

∼ ∼ =

Vektor P Q L¨ ange des Vektors ahnlich ¨ kongruent

IN

= {1, 2, 3, . . .};

ZZ

= {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .};

Q

= {m |m, n ∈ ZZ, n = 0}; n

IR

Menge der reellen Zahlen

C

= {z = a + bj|a, b ∈ IR, j = ∗

Menge der nat¨ urlichen Zahlen Menge der ganzen Zahlen

Menge der rationalen Zahlen √

−1};

Menge der komplexen Zahlen

ZZ

= {. . . , −3, −2, −1, 1, 2, 3, . . .} = {x|x ∈ ZZ, x = 0}; Menge der ganzen Zahlen ohne die Null

Q∗

= {m |m, n ∈ ZZ∗ } = {x|x ∈ Q, x = 0}; n Menge der rationalen Zahlen ohne die Null

IR∗

= {x|x ∈ IR, x = 0};

ZZ

+

Q+

Menge der reellen Zahlen ohne die Null

= IN = {1, 2, 3, . . .} = {x|x ∈ ZZ, x > 0}; Menge der positiven ganzen Zahlen = {m |m, n ∈ IN} = {x|x ∈ Q, x > 0}; n Menge der positiven rationalen Zahlen

IR+

= {x|x ∈ IR, x > 0};

IP i

= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . .}; √ are Einheit = −1; imagin¨

∞

unendlich (gr¨ oßer als jede reelle Zahl)

−∞

minus unendlich (kleiner als jede reelle Zahl)

n!

= 1 · 2 · 3 · . . . · n;

) * n k

|a| an √ a √ n a

Menge der positiven reellen Zahlen Menge der Primzahlen

n Fakult¨ at

n(n − 1)(n − 2) · . . . · (n − k + 1) n! = ; k!(n − k)! 1 · 2 · 3 · ... · k Binomialkoeﬃzient n u ¨ ber k“ ” Betrag oder Absolutbetrag einer Zahl a =

a hoch n, n-te Potenz von a Wurzel aus a n-te Wurzel aus a

406

A Symbole und Bezeichnungsweisen

loga b

Logarithmus b zur Basis a

lg b

dekadischer Logarithmus (Zehnerlogarithmus), Logarithmus zur Basis a = 10

ln b

nat¨ urlicher Logarithmus, Logarithmus zur Basis a = e = 2, 718 281 82 . . .

ld b

bin¨ arer Logarithmus (Zweierlogarithmus), Logarithmus zur Basis a = 2

[a, b]

= {x|x ∈ IR und a ≤ x ≤ b}; abgeschlossenes beschr¨ anktes Intervall

(a, b)

= {x|x ∈ IR und a < x < b};

oﬀenes beschr¨ anktes Intervall

[a, b)

= {x|x ∈ IR und a ≤ x < b};

halboﬀenes beschr¨ anktes Intervall

(a, b]

= {x|x ∈ IR und a < x ≤ b};

halboﬀenes beschr¨ anktes Intervall

[a, ∞)

= {x|x ∈ IR und x ≥ a}; halboﬀenes Intervall, nach rechts unbeschr¨ ankt

(a, ∞)

= {x|x ∈ IR und x > a}; oﬀenes Intervall, nach rechts unbeschr¨ ankt

(−∞, a]

= {x|x ∈ IR und x ≤ a}; halboﬀenes Intervall, nach links unbeschr¨ ankt

(−∞, a)

= {x|x ∈ IR und x < a}; oﬀenes Intervall, nach links unbeschr¨ ankt

(−∞, ∞)

= {x|x ∈ IR}; oﬀenes Intervall, nach links und nach rechts unbeschr¨ ankt

(an )

= (a1 , a2 , a3 , . . .);

Folge, Zahlenfolge

n

ak

endliche Reihe

ak

unendliche Reihe

k=1 ∞

k=1

lim an

Limes, Grenzwert der Folge (an )

lim f (x)

Grenzwert (Limes) der Funktion f (x) f¨ ur x gegen a

n→∞ x→a

lim f (x)

linksseitiger Grenzwert der Funktion y = f (x) an der Stelle x = a

lim f (x)

rechtsseitiger Grenzwert der Funktion y = f (x) an der Stelle x = a

x→a−0 x→a+0

f (x0 ) df (x0 ) dx

Ableitung von f (x) an der Stelle x = x0

f (x)

Ableitung der Funktion f (x)

Ableitung von f (x) an der Stelle x = x0

f (x)

zweite Ableitung der Funktion f (x)

f (x)

dritte Ableitung der Funktion f (x)

f (n) (x)

n-te Ableitung der Funktion f (x)

407 0 f (x) dx

0

unbestimmtes Integral der Funktion y = f (x)

b

f (x) dx

bestimmtes Integral der Funktion y = f (x) von x = a bis x = b

a

(fn (x)) ∞

= (f1 (x), f2 (x), f3 (x), . . .);

fk (x)

Funktionenreihe

ak (x − x0 )k

Potenzreihe

Funktionenfolge

k=0 ∞

k=0

P (n, k)

Anzahl verschiedener k-Permutationen einer n-elementigen Menge

V (n, k)

Anzahl verschiedener k-Variationen einer n-elementigen Menge

C(n, k)

Anzahl verschiedener k-Kombinationen einer n-elementigen Menge

W (n, k)

Anzahl verschiedener k-Kombinationen einer n-elementigen Menge mit Wiederholung

Pn (n1 , n2 , . . . , nk )

Anzahl verschiedener n-Permutationen mit eingeschr¨ ankter Wiederholung

hn (A)

absolute H¨ auﬁgkeit des Ereignisses A

rn (A)

relative H¨ auﬁgkeit des Ereignisses A

P (A)

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A

p(ω)

Wahrscheinlichkeit des Elementarereignisses ω

B

Mathematische Konstanten

√

2

=

1, 414 213 562 373 095

3

=

1, 732 050 807 568 877

10

=

3, 162 277 660 168 379

π

=

3, 141 592 653 589 793

π2

=

9, 869 604 401 089 359

π

=

e e2

1 √ 2 1 √ 3 1 √ 10 1 π

=

0, 707 106 781 186 543

=

0, 577 350 269 189 626

=

0, 316 227 766 016 838

=

0, 318 309 886 183 791

1 π2

=

0, 101 321 183 642 338

1, 772 453 850 905 516

1 √ π

=

0, 564 189 583 547 756

=

2, 718 281 828 459 045

1 e

=

0, 367 879 441 171 442

=

7, 389 056 098 930 650

1 e2

=

0, 135 335 283 236 613

e

=

1, 648 721 270 700 128

1 √ e

=

0, 606 530 659 712 633

lg e

=

0, 434 294 481 903 252

1 = ln 10 lg e

=

2, 302 585 092 994 046

lg 2

=

0, 301 029 995 663 981

1 = log2 10 lg 2

=

3, 321 928 094 887 362

√ √

√

√

Ist die letzte Ziﬀer unterstrichen, dann ist die Konstante aufgerundet, im anderen Fall abgerundet.

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C

Das griechische Alphabet

Alpha

A

α

Jota

I

ι

Rho

P

ρ

Beta

B

β

Kappa

K

κ

Sigma

Σ

σ

Gamma

Γ

γ

Lambda

Λ

λ

Tau

T

τ

Delta

Δ

δ

My

M

μ

Ypsilon

Υ

υ

Epsilon

E

Ny

N

ν

Phi

Φ

ϕ

Zeta

Z

ζ

Xi

Ξ

ξ

Chi

X

χ

Eta

H

η

Omikron

O

o

Psi

Ψ

ψ

Theta

Θ

ϑ

Pi

Π

π

Omega

Ω

ω

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Literaturverzeichnis [1] A. Beutelspacher: Das ist o. B. d. A. trivial!“ 9. Auﬂage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden, ” 2009. [2] A. Beutelspacher: Lineare Algebra. 7. Auﬂage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2010. [3] K. Bosch: Mathematik-Taschenbuch. 5. Auﬂage. Oldenbourg, M¨ unchen, Wien, 1998. [4] I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol und H. M¨ uhlig: Taschenbuch der Mathematik. 7. Auﬂage. Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main, 2008. [5] G. Fischer: Analytische Geometrie. 7. Auﬂage. Vieweg, Braunschweig/ Wiesbaden, 2001. [6] G. Fischer: Lineare Algebra. 17. Auﬂage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2010. [7] O. Forster: Analysis 1. 9. Auﬂage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2008. [8] W. Gellert, H. K¨ ustner, M. Hellwich und H. K¨ astner: Handbuch der Mathematik. Buch und Zeit, K¨ oln, o. J. [9] W. Gellert, H. K¨ astner und D. Ziegler: Fachlexikon ABC Mathematik. Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main, 1978. [10] N. Henze: Stochastik f¨ ur Einsteiger. 8. Auﬂage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2010. [11] F. Kemnitz und R. Engelhard: Mathematische Formelsammlung. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden, 1977. ¨ [12] L. Papula: Mathematik f¨ ur Ingenieure und Naturwissenschaftler. 3 B¨ ande, Ubungsbuch und Formelsammlung. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden, 2008-2009. [13] W. Sch¨ afer, K. Georgi und G. Trippler: Mathematik-Vorkurs. 6. Auﬂage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2006. ¨ [14] W. Scharlau: Schulwissen Mathematik: Ein Uberblick. 3. Auﬂage. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden, 2001. [15] J. Tietze: Einf¨ uhrung in die angewandte Wirtschaftsmathematik. 15. Auﬂage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2010. [16] P. Tittmann: Einf¨ uhrung in die Kombinatorik. Spektrum, Heidelberg, 2000. [17] J. Wendeler: Vorkurs der Ingenieurmathematik. 2. Auﬂage. Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main, 2002.

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Sachwortverzeichnis Abbildung, siehe Funktion Ableitung, 318, 324, 326, 327 —h¨ ohere, 323 Ableitungsfunktion, 319 abrunden, 28 Absolutbetrag, 35 Absolutglied, 76 Abstand —Gerade - Gerade, 254 —Punkt - Gerade, 254 —Punkt - Punkt, 254 Abszisse, 172 Abszissenachse, 39, 172, 241 Achsenabschnitt, 186, 249 Achsenabschnittsform, 251 Achsensymmetrie, 144 Addition, 6 —korrespondierende, 54 Additionsprinzip, siehe Summenregel Additionssystem, 26 Additionstheoreme, 229 Additionsverfahren, 77, 78, 81 Adjunkte, 89 ¨ Ahnliche Figuren, 147 ¨ Ahnlichkeit, 147 ¨ Aquatorebene, 246 aquivalente Aussagen, 2 ¨ aquivalente Gleichungen, 50 ¨ aquivalente Umformung, 50 ¨ außeres Produkt, 296 ¨ algebraische Form einer komplexen Zahl, 39 algebraische Gleichung, 5 algebraische irrationale Zahl, 5 Amplitude, 179 Analyse —harmonische, 360 Analytische Geometrie, 241 Ankathete, 220 Antisymmetrie, 34 Apollonios —Satz von, 126 —von Perge (∼ 262 − 190 v. u. Z.), 126 Arcus, 143 Argument, 39, 171 Arkusfunktion, 237 —Hauptwert, 239 Arkuskosinus, 237 Arkuskosinusfunktion, 238 Arkuskotangens, 237

Arkuskotangensfunktion, 239 Arkussinus, 237 Arkussinusfunktion, 238 Arkustangens, 237 Arkustangensfunktion, 238 Assoziativgesetz, 9, 292 Asymptote, 206, 218, 271 aufrunden, 28 Ausdr¨ ucke —unbestimmte, 314 Auspr¨ agung, 384 Aussageform, 2 Auswahlen, 371, 374 —geordnete, 371 —mit Wiederholung, 371 —ohne Wiederholung, 371 —ungeordnete, 371 Außenglied, 53 Axialsymmetrie, 144 Basis, 17, 28 Basisvektor, 292 Bayes —Formel von, 400 Beizahl, siehe Koeﬃzient Bernoulli —J. (1654-1705), 384 Bernoulli-Experiment, 384 Bernoulli-Kette, 384 Bestimmungsgleichung, 48 Betrag, 35, 290 Bild, 170 Bildmenge, 170 Bin¨ arcode, 28 bin¨ arer Logarithmus, 30 Bin¨ arsystem, siehe Dualsystem Binom, 12 Binomialkoeﬃzient, 368 binomische Formeln, 12 binomische Gleichungen, 12 binomischer Lehrsatz, 12, 370 Bit, 28 Bogenl¨ ange, 349 Bogenmaß, 99, 143, 223 Brahmagupta —Satz des, 129 Breitenkoordinate, 246 Brennpunkt, 267, 271, 276 Briggs —H. (1556-1630), 29

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Sachwortverzeichnis briggsscher Logarithmus, 29 Bruch, 13 —echt, 13 —gleichnamig, 15 —unecht, 14 —ungleichnamig, 15 Bruchgleichung, 70 Buchstabenrechnen, 7 Byte, 28 cardanische Formel, 61 Cartesius, siehe Descartes Cauchy —A. L. (1789-1857), 358 Cauchy-Produkt, 358 Cavalieri —B. (1598-1647), 161 cavalierisches Prinzip, 161 Cheopspyramide, 159 Computer, 28 Cramer, G. (1704-1752), 88 cramersche Regel, 88 Deﬁnitionsbereich, 170 Deﬁnitionsmenge, 170 dekadischer Logarithmus, 29 Descartes —R. (1596-1650), 242 Determinante, 87 —dreireihige, 88 —zweireihige, 87 Dezimalbruch, 27 —endlicher, 5 —unendlicher periodischer, 5 Dezimalschreibweise, 26 Dezimalsystem, 26 Dezimalzahl, 5, 26 Diagonale, 124 Diagonalmatrix, 83 Diﬀerential- und Integralrechnung —Hautsatz, 347 Diﬀerentialquotient, 318 Diﬀerentialrechnung —Mittelwertsatz, 350 Diﬀerentiationsregeln, 320 Diﬀerenz, 6 Diﬀerenz von Ereignissen, 382 Diﬀerenzenquotient, 318 Diﬀerenzierbarkeit, 319 Dirichlet —P. G. L. (1805-1859), 360 —Satz von, 360 Diskriminante, 57, 58, 196, 198

413 Distributivgesetz, 9, 292 Divident, 6 Division, 6 Divisor, 6 Dodekaeder, 164 Doppelindex, 81 Doppelkreiskegel, 265 Drachen, 128 Drachenviereck, 128 Dreieck, 107 —Außenwinkel, 109 —Außenwinkelsumme, 109 —Eckpunkte, 107 —Fl¨ acheninhalt, 109 —gleichschenklig, 110 —gleichseitig, 110 —Grundkonstruktionen, 120 —H¨ ohe, 111 —Inkreis, 111 —Innenwinkel, 108 —Innenwinkelsumme, 108 —Kongruenzs¨ atze, 118 —Median, 114 —Mittelsenkrechte, 111 —Orthozentrum, 111 —rechtwinkliges, 109, 111 —regelm¨ aßiges, 111 —regul¨ ares, 111 —Schwerpunkt, 114 —Seiten, 108 —Seitenhalbierende, 114 —Seitenl¨ angen, 108 —spitzwinkliges, 109 —stumpfwinkliges, 109 —Umfang, 109 —Umkreis, 111 —Winkelhalbierende, 113 Dreiecke —¨ ahnliche, 147 Dreieckpuls, 362 Dreiecksberechnung —Grundaufgaben, 233 Dreiecksmatrix —obere, 83 —untere, 83 Dreiecksungleichung, 36 Dreiecksungleichungen, 108 dualer Logarithmus, 30 Dualsystem, 27 Dualzahl, 27 Durchmesser, 134 Durchschnitt von Ereignissen, 382 Durchschnitt von Mengen, 1

414 e, siehe eulersche Zahl e-Funktion, 217, 218 Einheitskreis, 134 Einheitskugel, 166 Einheitsmatrix, 83 Einheitsvektor, 290 Einsetzungsverfahren, 77, 80 Element, 1 Elementarereignis, 382 Elemente einer Matrix, 81 Ellipse, 265, 267 —Brennpunkte, 267 —Fadenkonstruktion, 271 —G¨ artnerkonstruktion, 271 —Halbparameter, 268 —Hauptachse, 268 —Hauptscheitelpunkte, 268 —lineare Exzentrizit¨ at, 268 —Nebenachse, 268 —Nebenscheitelpunkte, 268 —numerische Exzentrizit¨ at, 268 Ellipsengleichung, 269 —Mittelpunktsform, 269 —Normalform, 269 —Parameterdarstellung, 269 Entwickeln einer Determinante, 89 Entwicklungspunkt, 356 Ereignis, 381 —entgegengesetztes, 382 —sicheres, 382 —unm¨ ogliches, 382 —zuf¨ alliges, 381 Ereignisse —disjunkte, 382, 398 —unvereinbare, 398 Erg¨ anzungskegel, 162 Erg¨ anzungspyramide, 161 Ergebnismenge, 381 Erwartungswert, 403 Erweitern, 14 Erzeugende, 154, 159, 265 Euklid —Erster Satz des, 116 —von Alexandria (∼ 365 − 300 v. u. Z.), 116 —Zweiter Satz des, 117 Euler —L. (1707-1783), 30, 326 eulersche Formel, 229 eulersche Zahl, 29, 46, 217, 326 eulerscher Polyedersatz, 164 Exklusion, 378 Exponent, 17 Exponentialform einer komplexen Zahl, 47

Sachwortverzeichnis Exponentialfunktion, 216–218, 327, 328, 344 —nat¨ urliche, 217 Exponentialgleichung, 50, 73 Extremum, siehe Extremwert Extremwert, 329 Exzentrizit¨ at —lineare, 268, 272 —numerische, 268, 272 Fadenkonstruktion, 271, 276, 280 Faktor, 6 —kubischer, 63 —linearer, 63 —quadratischer, 63 Faktor eines Polynoms, 63 Faktorregel, 320, 339 Fakult¨ at, 368 Folge, 300 —alternierende, 301 —arithmetische, 301 —beschr¨ ankte, 301, 303 —bestimmt divergente, 304 —divergente, 302, 304 —endliche, 300 —geometrische, 302 —Glied, 300 —Grenzwert, 302, 303 —konstante, 300 —konvergente, 302 —Limes, 302 —monoton fallende, 301 —monoton wachsende, 301 —monotone, 301 —nach oben beschr¨ ankte, 301 —nach unten beschr¨ ankte, 301 —streng monoton fallende, 301 —streng monoton wachsende, 301 —unbestimmt divergente, 304 —unendliche, 300 Folgenglied, 300 Formel von Bayes, 400 Fourier —J.-B.-J. (1768-1830), 360 Fourier-Koeﬃzient, 360 Fourier-Reihe, 359, 360 Fundamentalsatz der Algebra, 49 Funktion, 170 —Ableitung, 318 —algebraische, 182, 324, 343 —Argument, 171 —beschr¨ ankte, 177 —bijektive, 179 —diﬀerenzierbare, 318

Sachwortverzeichnis —echt gebrochene rationale, 184, 204 —elementare, 182, 185 —Extremwert, 329 —ganze rationale, 183 —ganze rationale n-ten Grades, 199 —gebrochene lineare, 184 —gebrochene lineare, 204 —gebrochene rationale, 183, 203 —gerade, 175 —goniometrische, 221 —Graph, 171, 172 —Grenzwert, 311 —implizite, 171 —injektive, 177 —integrierbare, 338 —inverse, 179 —inverse trigonometrische, 237 —irrationale, 182, 213, 324, 344 —komplexe, 182 —konkave, 330 —konstante, 183, 185, 320 —konvexe, 330 —Kr¨ ummung, 331 —kubische, 183, 198, 214 —Kurve, 172 —lineare, 183, 186 —Maximum, 198 —Minimum, 198 —monoton fallende, 173 —monoton wachsende, 173 —monotone, 173 —nach oben beschr¨ ankte, 177 —nach unten beschr¨ ankte, 177 —Nullstelle, 204 —periodische, 179, 359 —Pol, 204, 316 —Pol k-ter Ordnung, 204 —quadratische, 183, 190, 214, 278 —rationale, 182, 324, 343 —reelle, 171, 181 —Schaubild, 171, 172 —Sprungstelle, 316 —stetig diﬀerenzierbare, 319, 337 —stetige, 315, 336 —streng monoton fallende, 174 —streng monoton wachsende, 173 —surjektive, 178 —symmetrische, 175 —T -periodische, 359 —transzendente, 182, 216, 344 —trigonometrische, 220, 223, 324, 327, 344 —unecht gebrochene rationale, 184, 204 —ungerade, 175

415 —unstetige, 316 —Wendepunkt, 332 —Wertetabelle, 171, 173 —zyklometrische, 237 Funktionenfolge, 354 —gleichm¨ aßig konvergente, 354 —konvergente, 354 —punktweise konvergente, 354 Funktionenreihe, 355 —absolut konvergente, 355 —gleichm¨ aßig konvergente, 355 —konvergente, 355 —punktweise konvergente, 355 Funktionsgleichung, 48, 50, 171 —explizite Darstellung, 171 —implizite Darstellung, 171 —Parameterdarstellung, 172 Funktionswert, 170 Fußballtoto, 372 G¨ artnerkonstruktion, 271 ganze Zahl, 4, 5 Gauß —C. F. (1777-1855), 38 gaußsche Zahlenebene, 5, 38 Gay-Lussacsches Gesetz, 189 Geburtstagsproblem, 396 Gegenkathete, 220 Gerade, 98, 186, 248 —Richtungskoeﬃzient, 249 —Steigung, 249 Geraden —parallele, 98 Geradengleichung —Achsenabschnittsform, 251 —allgemeine, 248 —Hauptform, 249 —hessesche Normalform, 252 —Normalform, 249 —Punktsteigungsform, 250 —Zweipunkteform, 251 Geschwindigkeit —konstante, 53 —Weg-Zeit-Diagramm, 189 Gizeh —Pyramiden von, 159 gleichnamige Br¨ uche, 15 gleichschenkliges Dreieck, 110 —Basis, 110 —Basiswinkel, 110 —Schenkel, 110 —Spitze, 110 gleichseitiges Dreieck, 110

416 Gleichsetzungsverfahren, 77, 79 Gleichung, 48 —algebraische, 49 —biquadratische, 66 —graphisches L¨ osen, 285 —kubische, 49, 60, 288 —lineare, 49, 52, 286 —logarithmische, 50, 74 —quadratische, 49, 54, 55, 58, 286 —transzendente, 49, 288 —trigonometrische, 50, 75 Gleichung n-ten Grades, 67 Gleichungssystem, 76 —graphisches L¨ osen, 289 —lineares, 76, 289 gleichwertige Aussagen, 2 goldene Zahl, 150 goldener Schnitt, 150 Gon, 100 goniometrische Gleichung, 75 goniometrische Form einer komplexen Zahl, 39 Grad, 99 Grad einer Gleichung, 49 Gradmaß, 99, 143, 224 Grenzfunktion, 354 Grenzwert, 302, 311, 313 —einseitiger, 312 —linksseitiger, 312 —rechtsseitiger, 312 Grundaufgabe WSW, 233 Grundaufgabe SSS, 234 Grundaufgabe SSW, 233 Grundaufgabe SWS, 234 Grundaufgabe SWW, 233 Grundgesamtheit, 385 Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal, 103 Grundzahl, siehe Basis Guldin —P. (1577-1643), 352 guldinsche Regeln, 352 H¨ auﬁgkeit —absolute, 383, 385 —relative, 383, 385 H¨ auﬁgkeitsverteilung —empirische, 385 Halbgerade, 98 Halbparameter, 268, 272 Halbraum, 247 harmonische Analyse, 360 Hauptachse, 268, 272 Hauptdiagonale, 87

Sachwortverzeichnis Hauptform der Kreisgleichung, 256 Hauptform der Kugelgleichung, 264 Hauptnenner, 15 Hauptscheitelpunkt, 268 Heron —von Alexandria (1. Jh. u. Z.), 109 heronische Fl¨ achenformel, 109 Hesse —L. O. (1811-1874), 252 hessesche Normalform, 252 Hexadezimalsystem, 28 Hexaeder, 164 Histogramm, 386 Hochzahl, siehe Exponent H¨ ohensatz, 117 Hohlzylinder, 156, 353 hookesches Gesetz, 53, 188 Horner —W. G. (1786-1837), 203 Horner-Schema, 202 Hyperbel, 204, 265, 271 —Brennpunkte, 271 —Fadenkonstruktion, 276 —Halbparameter, 272 —Hauptachse, 272 —lineare Exzentrizit¨ at, 272 —n-ter Ordnung, 204 —numerische Exzentrizit¨ at, 272 —Scheitelpunkte, 272 Hyperbelachse, 272 Hyperbelgleichung, 273 —Mittelpunktsform, 273 —Normalform, 273 Hypotenuse, 111, 220 identische Gleichung, 48 Identit¨ at, 48 Ikosaeder, 164 imagin¨ are Achse, 39 imagin¨ are Einheit, 5, 37 imagin¨ are Zahl, 5, 38 Imagin¨ arteil, 5, 38 Implikation, 2 Index, 11 indisch-arabische Ziﬀern, 27 Induktionsanfang, 3 Induktionsannahme, 3 Induktionsschluss, 3 Induktionsschritt, 3 Induktionsverankerung, 3 Induktionsvoraussetzung, 3 Inklusion, 378 Inklusion und Exklusion

Sachwortverzeichnis —Prinzip der, 378 Innenglied, 53 Inneres Produkt, 295 Integral —bestimmtes, 345, 347 —unbestimmtes, 339, 343, 344, 347 Integralzeichen, 339, 345 Integrand, 339, 345 Integration, 338 —partielle, 340 Integrationsgrenze —obere, 345 —untere, 345 Integrationskonstante, 339 Integrationsregeln, 339 Integrationsvariable, 339, 345 Intervall, 36 —beschr¨ anktes, 36 —halboﬀenes, 36 —nicht beschr¨ anktes, 36 —oﬀenes, 36 irrationale Zahl, 5 Junktoren, 2 Kathete, 111, 220 Kathetensatz, 115 Kegel, 160, 161 —allgemeiner, 160 —gerader, 160 —schiefer, 160 Kegelmantel, 168 Kegelschnitt, 265 —entarteter, 267 Kegelschnittgleichung, 267 Kegelstumpf, 162 Kehrwert, 7 Kennzahl, 32 Kennzahlen einer Stichprobe, 388 Kettenregel, 322 Klammerrechnung, 9 Koeﬃzient, 5, 49, 356 Kolmogorov —A. N. K. (1903-1987), 390 Kombination, 371, 373 —mit Wiederholung, 373 —mit Zur¨ ucklegen, 373 Kommutativgesetz, 9, 292 Komplement, 378 Komplement¨ arereignis, 382 Komplementwinkel, 101, 222 komplexe Zahl, 4, 5, 37 Komponente, 293, 294

417 Kongruente Figuren, 118 Kongruenz, 118 konjugiert komplexe Zahlen, 38 konkav, 330 Konklusion, 2 Konstante, 179 Konvergenz, 354 —gleichm¨ aßige, 354 —punktweise, 354 Konvergenzbereich, 356 Konvergenzkriterium, 303 —leibnizsches, 311 Konvergenzradius, 356 konvex, 330 Koordinaten —geographische, 247 —kartesische, 242, 245 —sph¨ arische, 247 Koordinatenachse, 241, 245 Koordinatensystem —kartesisches, 39, 172, 241, 245–247 —Kugel-, 246 —Polar-, 242 —rechtwinkliges, 241 —Zylinder-, 247 Koordinatenursprung, 241, 245 Kosinus, 220 Kosinusfunktion, 227, 326 Kosinuskurve, 226 Kosinussatz, 232 Kotangens, 220 Kotangensfunktion, 228, 326 Kotangenskurve, 226 Kreis, 133, 255, 258, 265 —Durchmesser, 134 —entarteter, 134 —Fl¨ ache, 134 —Mittelpunkt, 133, 255 —Radius, 133, 255 —Umfang, 134 —Winkels¨ atze, 138 Kreisabschnitt, siehe Kreissegment Kreisausschnitt, siehe Kreissektor Kreisbogen, 134 Kreisdiagramm, 386 Kreise —exzentrische, 135 —konzentrische, 135, 156 Kreisﬂ¨ ache, 134 Kreisfunktion, 221 Kreisgleichung, 255, 256 —allgemeine Form, 256 —Hauptform, 256

418 —Mittelpunktsform, 256 —Parameterdarstellung, 257 Kreiskegel, 160 —gerader, 160, 265, 351 Kreiskegelstumpf, 163 Kreisperipherie, 134 Kreisrand, 134 Kreisring, 135 Kreissegment, 136 Kreissektor, 135 Kreiszahl, 134 Kreiszylinder, 155 —gerader, 155, 351 Kreuzprodukt, 296 Kr¨ ummung, 331 Kr¨ ummungskreis, 331 Kr¨ ummungsradius, 331 Kr¨ ummungsverhalten, 330 Kubikwurzel, 21 K¨ urzen, 14 Kugel, 166, 264, 351 —Durchmesser, 167 —Mittelpunkt, 166, 264 —Radius, 166, 264 Kugelabschnitt, siehe Kugelsegment Kugelausschnitt, siehe Kugelsektor Kugelﬂ¨ ache, 166 Kugelgleichung, 264 —Hauptform, 264 —Mittelpunktsform, 264 Kugelkappe, 167, 168 Kugelkoordinaten, 246 Kugelkoordinatensystem, 246 Kugeln —konzentrische, 166 Kugelschicht, 168 Kugelsegment, 167 Kugelsektor, 167 Kugelzone, 168 Kurvendiskussion, 333 L¨ angenkoordinate, 246 Lagemaß, 388 Laplace —P. S. (1749-1827), 392 Laplace-Experiment, 392 Laplace-Wahrscheinlichkeit, 392 leere Menge, 1 Leibniz —G. W. (1646-1716), 311, 347 leibnizsches Konvergenzkriterium, 311 Leitkurve, 154, 159, 265 Leitlinie, 276

Sachwortverzeichnis Limes, 302, 311 Linearfaktor, 59 L¨ osung, 5, 49 L¨ osungsmenge, 49, 93 Logarithmentafel, 32 logarithmische Gleichung, 50, 74 Logarithmus, 28 Logarithmusfunktion, 217, 218, 326, 328, 345 —nat¨ urliche, 217, 218, 327 logische Zeichen, 2 Lot, 103, 104 M¨ achtigkeit, 2 Mantelﬂ¨ ache, 152, 155, 157, 160, 167 Mantellinie, 152, 155, 160, 265 Mantisse, 32 Massentr¨ agheitsmoment, 352, 353 mathematisch positiver Sinn, 123, 242 Matrix, 81 —antisymmetrische, 84 —inverse, 86 —orthogonale, 86 —quadratische, 82 —symmetrische, 84 —transponierte, 84 Matrizen vom gleichen Typ, 83 Maximum —absolutes, 329 —globales, 329 —relatives, 329 Maßstab, 241, 242 Median, 388, 389 Menge, 1 —endliche, 2 —leere, 1 Merkmal, 384 —diskretes, 384 —qualitatives, 384 —quantitatives, 384 —stetiges, 384 Merkmalsauspr¨ agung, 384 Merkmalswert, 384 Minimum —absolutes, 329 —globales, 329 —relatives, 329 Minuend, 6 Mittel —arithmetisches, 32 —geometrisches, 33 —harmonisches, 33 —quadratisches, 33 Mittelpunktswinkel, 134

Sachwortverzeichnis Mittelsenkrechte, 111 Mittelwert, 388 Mittelwertsatz, 350 Modalwert, 388 Modul, 39 Moivre —Formel von, 229 Moivre, A. de (1667-1754), 44 M¨ uller —J. (1436-1476), 129 Multinomialkoeﬃzient, 377 Multinomialsatz, 377 Multiplikation, 6 Multiplikationsprinzip, siehe Produktregel N¨ aherungsl¨ osung, 285, 336 N¨ aherungsverfahren, 67, 286, 336 nat¨ urliche Zahl, 4 nat¨ urlicher Logarithmus, 29 Nebenachse, 268 Nebendiagonale, 87 Nebenscheitelpunkt, 268 Nebenwinkel, 101 n-Eck, 130, 132 —Innenwinkelsumme, 131 —regelm¨ aßiges, 130 —regul¨ ares, 130 Nenner, 13 Neper —J. (1550-1617), 29 neperscher Logarithmus, 29 Neugrad, 100 Newton —I. (1642-1727), 338, 347 Newtonsches Verfahren, 337 newtonsches Verfahren, 67 Nordrichtung, 246 Normale, 261 Normalform der Geradengleichung, 249 Normalform der biquadratischen Gleichung, 66 Normalform der kubischen Gleichung, 60 Normalform der linearen Gleichung, 52 Normalform der quadratischen Funktion, 196 Normalform der quadratischen Gleichung, 56 Normalparabel, 190, 214 —gespiegelte kubische, 199 —gespiegelte verschobene, 194 —kubische, 198 —verschobene, 191 n-seitige Pyramide, 157 n-seitiges Prisma, 152 n-te Ableitung, 323 n-te Einheitswurzeln, 45

419 n-te Potenz, 18 n-te Wurzel, 21 Nullfolge, 302 Nullmatrix, 82 Nullpunkt, 241 Nullrichtung, 246 Nullstelle, 204, 336, 337 —reelle, 64 Nullstelle eines Polynoms, 64 Nullvektor, 290 Nullwinkel, 100 Numerus, 28 Oktaeder, 164 Oktalsystem, 28 Ordinate, 172 Ordinatenachse, 39, 172, 241 Orientierung, 241, 242, 246 Ort —geometrischer, 107 Ortsvektor, 290 Parabel, 190, 195, 265, 276 —Brennpunkt, 276 —Fadenkonstruktion, 280 —kubische, 198 —Leitlinie, 276 —n-ter Ordnung, 200 —Parameter, 276 —Scheitelpunkt, 191 —Streckungsfaktor, 195 Parabelachse, 276 Parabelgleichung, 277 —Normalform, 277 —Scheitelpunktsform, 277 Parabolspiegel, 276 Parallele, 105 Parallelepiped, 153, 298 Parallelﬂach, 153, 298 Parallelogramm, 125 Parallelprojektion, 106 Parameter, 172, 276 Partialbruchzerlegung, 210, 342 Partialbr¨ uche, 211 Partialsumme, 305, 355 Partition, 399 Pascal —B. (1623-1662), 369 pascalsches Dreieck, 369, 370 Passante, 137, 167, 259 Periode, 179, 359 Peripheriewinkel, 134 Permutation, 371, 372

420 —mit eingeschr¨ ankter Wiederholung, 376 π, 134 Planimetrie, 98 Platon —(427-347 v. u. Z.), 164 platonische K¨ orper, 154, 158, 164 Platzhalter, siehe Variable Pol, 204, 242, 246, 316 —k-ter Ordnung, 204 Polarachse, 242 Polarkoordinaten, 40, 242 —r¨ aumliche, 247 Polarkoordinatensystem, 242 Polarwinkel, 242 Polyeder, 163 —konvexes, 163 —konvexes regul¨ ares, 164 Polygon, 132, 163 —einfaches, 132 —Fl¨ acheninhalt, 132 —Innenwinkelsumme, 132 —konvexes, 132 —regelm¨ aßiges, 132 —regul¨ ares, 132 —Seiten, 132 —Umfang, 132 Polynom, 62 Polynomdivision, 61, 63 Polynome —teilerfremde, 204 Positionssystem, 26 Potenz, 17 Potenzfunktion, 200, 321 Potenzieren, 8, 18 Potenzrechnung, 8, 17 Potenzregel, 339 Potenzreihe, 356 (p, q)-Formel, 56 Pr¨ amisse, 2 Primfaktorzerlegung, 5 Primzahl, 4 Prisma, 152, 155, 161, 163 —allgemeines, 152 —gerades, 152 —physikalisches, 152 —schiefes, 152 Produkt, 6, 12 Produktregel, 321, 366 Produktzeichen, 12 Proportion, 53 —stetige, 53 Proportionale, 53 —mittlere, 53

Sachwortverzeichnis Proportionalfunktion, 187 Proportionalit¨ atsfaktor, 187 Ptolemaios —von Alexandria (∼ 83 − 161 u. Z.), 129 Ptolem¨ aus —Satz des, 129 —verallgemeinerter Satz des, 124 Punkt, 98 Punktmenge, 1 Punktrechnung, 8 Punktsteigungsform, 250 Punktsymmetrie, 144 Pyramide, 157, 160, 161, 163 —allgemeine, 157 —gerade, 158 —gerade quadratische, 158 —regul¨ are n-seitige, 157 —schiefe, 158 Pyramidenstumpf, 161 Pythagoras —Satz des, 116, 117, 232 —von Samos (∼ 580 − 500 v. u. Z.), 117 Quader, 153 Quadrant, 224 Quadrat, 127 quadratische Erg¨ anzung, 56 quadratische S¨ aule, 153 Quadratwurzel, 21 Quadratwurzelfunktion, 214 Quersumme, 7 —alternierende, 8 Quotient, 6 Quotientenregel, 322 Radiant, 143 Radikand, 21 Radius, 133 rationale Zahl, 4, 5 Raute, 126 Realteil, 5, 38 Rechteck, 127 Rechteckpuls, 361 Rechtssystem, 242, 245 Reduktionsmethode, 61 reelle Achse, 39 reelle Zahl, 4, 5 Reﬂexivit¨ at, 34 Regula falsi, 67, 336 Reihe, 305 —alternierende, 310 —alternierende harmonische, 310 —arithmetische, 308

Sachwortverzeichnis —bestimmt divergente, 306 —divergente, 306 —endliche, 305 —geometrische, 308 —Glied, 305 —harmonische, 309 —konvergente, 306 —Partialsumme, 305 —Summe, 306 —Teilsumme, 305 —trigonometrische, 359 —unbestimmt divergente, 306 —unendliche, 305 Reihenglied, 305 Rekursion, 300 reziproker Wert, 7 Rhombus, 126 Richtung —mathematisch positive, 223 Richtungskoeﬃzient, 249 Riemann —B. (1826-1866), 345 r¨ omisches Zahlensystem, 26 Rotationsk¨ orper, 350 runden, 28 Sarrus —P. F. (1798-1861), 90 —Regel von, 90 Sattelpunkt, 332 Scheitelform der quadratischen Funktion, 196 Scheitelpunkt, 99, 272, 276 Scheitelwinkel, 101 Schenkel, 99 Schubfachprinzip, 367 Sehne, 129, 134, 167, 328 Sehnensatz, 141 Sehnenviereck, 129 Sekante, 134, 137, 166, 259, 328 Sekantensatz, 142 Sekantentangentensatz, 142 Sekantenverfahren, 336 Senkrechte, 103, 104 Sinus, 220 Sinusfunktion, 226, 324 Sinuskurve, 226 Sinussatz, 232 Skalar, 290 Skalarprodukt, 295 Skat, 377, 397 Spaltenvektor, 293 Spat, 153, 298 Spatprodukt, 298

421 Sprungstelle, 316 Stabdiagramm, 386 Stammbruch, 14 Stammfunktion, 338, 347 Standardabweichung, 388, 389 Steigung, 186, 249 Stellenwert, 26 Stellenwertsystem, 26 Stereometrie, 152 Stetigkeit, 315 Stichprobe, 385 Stichprobe vom Umfang n, 385 Stichprobenstandardabweichung, 389 Stichprobenvarianz, 389 Strahl, 98 Strahlensatz —erster, 145 —zweiter, 146 Strecke, 99, 103 —Betrag einer, 99 —L¨ ange einer, 99 Streckenteilung, 148 —¨ außere, 149 —harmonische, 149 —innere, 149 —stetige, 150 Streckung —zentrische, 144 Streuung, 389 Streuungsmaß, 388 Strichrechnung, 8 Stufenwinkel, 102 Substitution, 66 Substitutionsmethode, 341 Substitutionsverfahren, 77 Subtrahend, 6 Subtraktion, 6 —korrespondierende, 54 Summand, 6 Summe, 6, 11 Summe von Ereignissen, 382 Summenregel, 320, 340, 366 Summenzeichen, 11 Supplementwinkel, 101 Symbol, 1, 7 Symmetrieachse, 144 Symmetriezentrum, 144 Tangens, 220 Tangensfunktion, 227, 326 Tangenskurve, 226 Tangente, 137, 167, 259, 261, 328 Tangenten

422 —¨ außere, 140 —innere, 141 Tangentenverfahren, 338 Tangentenviereck, 130 Tangentialebene, 167 Teilbarkeitsregeln, 7 Teilmenge, 1 Teilmenge eines Ereignisses, 382 Teilsumme, 305 Term, 48 Tetraeder, 158, 164, 299 Thales —Satz von, 138 —von Milet (∼ 624 − 546 v. u. Z.), 138 Thaleskreis, 138 Transformation, 243 Transitivit¨ at, 34 transzendente Zahl, 5 Trapez, 125 —gleichschenkliges, 125 —Grundlinien, 125 —H¨ ohe, 125 —Mittellinie, 125 —Schenkel, 125 Treppenfunktion, 402 Trigonometrie, 220 trigonometrische Form einer komplexen Zahl, 39 trigonometrische Gleichung, 50, 75 Umfangswinkel, 134 Umkehrfunktion, 179, 214, 323 unbestimmte Zahl, 7 unendlich, 36 Unendlichkeitsstelle, 316 ungleichnamige Br¨ uche, 15 Ungleichung, 34, 92 —lineare, 92 Ungleichungskette, 34 Ungleichungssystem —lineares, 93 Unstetigkeitsstelle, 316 unvereinbare Ereignisse, 382 Urbild, 170 Urbildmenge, 170 Urnenmodell I, 394 Urnenmodell II, 395 Variable, 1, 2, 7, 49 —abh¨ angige, 171 —unabh¨ angige, 171 Varianz, 388, 389 Variation, 371, 372

Sachwortverzeichnis Vektor, 290 —Betrag, 290 —freier, 290 —kartesische Koordinaten, 293, 294 —Komponenten, 293, 294 —Komponentendarstellung, 292, 293 —L¨ ange, 290 —normierter, 290 —Skalarmultiplikation, 290 Vektoraddition, 291 Vektoren —orthogonale, 296 Vektorprodukt, 296 Vektorsubtraktion, 291 Ver¨ anderliche, siehe Variable Vereinigung von Ereignissen, 382 Vereinigung von Mengen, 1 Verkn¨ upfungsgesetz, siehe Assoziativgesetz Vertauschungsgesetz, siehe Kommutativgesetz Verteilungsfunktion, 402 Vi¨eta —Satz von, 60, 68 Vi´ete, F. (1540-1603), 60 Vieleck, siehe Polygon Vielfachheit einer Nullstelle, 64 Viereck, 123 —Diagonalen, 124 —Eckpunkte, 123 —Fl¨ acheninhalt, 124 —regelm¨ aßiges, 127 —regul¨ ares, 127 —Seiten, 123 —Seitenl¨ angen, 123 —Umfang, 124 —Winkelsumme, 124 vollst¨ andige Induktion, 3 Vollwinkel, 100 Vorzeichenregeln, 10 Wahrheitswert, 2 Wahrscheinlichkeit, 390 —Additivit¨ at, 390 —axiomatische Deﬁnition, 390 —bedingte, 398 —klassische Deﬁnition, 392 —Normierung, 390 —totale, 399 Wahrscheinlichkeitsmaß, 391 Wahrscheinlichkeitsraum, 391 —diskreter, 391 Wahrscheinlichkeitsverteilung, 391, 401 Walze, siehe gerader Kreiszylinder Wechselwinkel, 102

Sachwortverzeichnis Wendepunkt, 332 Wertebereich, 170 Wertemenge, 170 Winkel, 99, 104 —gestreckter, 100 —halbgleichliegende, 102 —rechter, 100 —spitzer, 100 —stumpfer, 100 —¨ uberstumpfer, 100 Winkeldiﬀerenz, 229 Winkelfunktion, 221 Winkelhalbierende, 113 Winkelsumme, 229 Winkelvielfache, 229 W¨ urfel, 154, 164 Wurzel, 21, 49 Wurzelexponent, 21 Wurzelfunktion, 213, 215 Wurzelgleichung, 71 Wurzelrechnung, 21 Wurzelziehen, 21 x-Achse, 172, 241, 245 y-Achse, 172, 241, 245 y-Achsenabschnitt, 249 z-Achse, 245 Z¨ ahler, 13 Zahlenebene —gaußsche, 5, 38 Zahlenfolge, 300 Zahlengerade, 5 Zahlenintervall, 36 Zahlenlotto, 375 Zahlzeichen, siehe Ziﬀer Zehnerlogarithmus, 29 Zehnersystem, siehe Dezimalsystem Zentralprojektion, 106 Zentralsymmetrie, 144 Zentralwert, 389 Zentriwinkel, 134 Zerlegung, 399 Zerlegungsgesetz, siehe Distributivgesetz Ziehen mit Zur¨ ucklegen, 395 Ziehen ohne Zur¨ ucklegen, 394 Ziﬀer, 7, 26 Zufallsexperiment, 381 Zufallsvariable, 400 —diskrete, 401 —Wahrscheinlichkeitsverteilung, 401 Zweierlogarithmus, 30

423 Zweiersystem, siehe Dualsystem Zweipunkteform, 251 Zylinder, 154, 161, 352 —allgemeiner, 154 —gerader, 155 —schiefer, 155 Zylinderkoordinaten, 247 Zylinderkoordinatensystem, 247