Analysis 1 + 2: Ein Wegweiser zum Studienbeginn

Springer-Lehrbuch

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Rupert Lasser  Frank Hofmaier

Analysis 1 C 2 Ein Wegweiser zum Studienbeginn

Rupert Lasser Technische Universität München, Deutschland

Frank Hofmaier Technische Universität München, Deutschland

ISBN 978-3-642-28643-8 DOI 10.1007/978-3-642-28644-5

ISBN 978-3-642-28644-5 (eBook)

Mathematics Subject Classification (2010): 97I10, 97I30, 97I40 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.

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Vorwort

Das vorliegende Buch beruht auf den Vorlesungen Analysis 1 und Analysis 2 im Bachelor-Studium der Mathematik an der Technischen Universit¨at M¨unchen. Die Analysis ist sicherlich eine der a¨ ltesten und anwendungsreichsten Theorien und somit ein klassisches Fach der Mathematik. Insofern kann dieses Buch nur Ergebnisse enthalten, die wohlbekannt und auch in zahlreichen weiteren B¨uchern zur Analysis zu finden sind. Unsere Referenzliste enth¨alt nur einen kleinen Teil der Gesamtheit von Lehrb¨uchern zu diesem Thema. ¨ Uber das gesamte Lehrbuch hinweg legen wir Wert auf die mathematische Pr¨azision. Durch zahlreiche motivierende Beispiele werden die mathematischen Sachverhalte beleuchtet, der Idee folgend Abstraktes mit Konkretem zu verkn¨upfen. Das Buch ist in 16 Kapitel unterteilt. Die ersten beiden Abschnitte geben die notwendigen Grundlagen zu reellen und komplexen Zahlen. Der zentrale Begriff der Konvergenz steht im Mittelpunkt der drei folgenden Kapitel. Konvergenz wird nicht nur im Bereich der reellen oder komplexen Zahlen sondern allgemein in metrischen R¨aumen studiert. Es folgen Abschnitte u¨ ber Stetigkeit, Differentiation und Integration. Die Kapitel 9 bis 11 befassen sich mit Konvergenz von Funktionsfolgen, insbesondere Taylorreihen und Fourierreihen. Die wichtige Eigenschaft der Kompaktheit bildet den Inhalt von Kapitel 12. Als vorbereitender Teil werden dann Grundlagen zu normierten Vektorr¨aumen pr¨asentiert. Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen, Umkehrsatz und implizite Funktionen bilden die Basis der mehrdimensionalen Analysis und sind Inhalt der Kapitel 14 und 15. Im letzten Kapitel werden elementare L¨osungsmethoden von gew¨ohnlichen Differentialgleichungen vorgestellt. Das vorliegende Buch umfasst somit die Analysis der ersten beiden Semester des Bachelor-Studiums Mathematik und gibt an vielen Stellen Einblick in dar¨uber¨ hinaus gehende mathematische Sachverhalte. Eine Reihe von Ubungsaufgaben am Ende jedes Kapitels runden das Werk ab. Garching b. M¨unchen, Februar 2012

Rupert Lasser Frank Hofmaier

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Inhaltsverzeichnis

Einleitende Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1 Archimedisch angeordnete K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Intervallschachtelung und Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Supremumseigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

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Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1 Konstruktion der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

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Folgen reller und komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Folgen und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Rechnen mit Grenzwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Asymptotische Gleichheit und rekursiv definierte Folgen . . . . . . . . . 3.4 Eine Intervallschachtelung f¨ur den Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 23 26 30 32 35

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Metrische R¨aume und Cauchyfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Metrische und normierte R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Cauchyfolgen und Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Skalarprodukt und Orthogonalit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Teilfolgen und H¨aufungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 37 42 45 48 53

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Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Konvergenz und absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Umordnungssatz und Cauchy-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Exponentialreihe und Eulersche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 55 59 65 68 71 vii

viii

Inhaltsverzeichnis

5.6 Die R¨aume 1 , 2 und  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6

Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Stetige Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Eigenschaften stetiger reellwertiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Stetige Funktionen auf [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79 79 84 89 92 93

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Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.1 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.2 Mittelwertsatz und lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.3 Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

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Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 8.1 Regelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 8.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . 119 8.3 Methoden zur Berechnung von Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 8.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 8.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

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Funktionenfolgen und gleichm¨aßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.1 Gleichm¨aßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 9.2 Differentiation und Integration von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.3 Der Approximationssatz von Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 9.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

10 Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.1 Der Satz von Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.2 Potenzreihen mit allgemeinem Entwicklungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . 145 10.3 Der Abelsche Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 10.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 11 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 11.1 Trigonometrische Polynome und Fourierkoeffizienten . . . . . . . . . . . . 151 11.2 Konvergenz nach Dirichlet und Fej´er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 11.3 Konvergenz im quadratischen Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 11.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 12 Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 12.1 Kompakte metrische R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 12.2 Charakterisierung kompakter Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 12.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Inhaltsverzeichnis

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13 Normierte Vektorr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 13.1 Stetige lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 13.2 Kurven in Vektorr¨aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 13.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 14 Totale Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 14.1 Totale und partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 14.2 Richtungsableitungen und Niveaumengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 14.3 Mittelwertsatz und stetig differenzierbare Abbildungen . . . . . . . . . . . 199 14.4 Ableitungen h¨oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 14.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 15 Umkehrsatz und implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 15.1 Invertierbare lineare Abbildungen und Diffeomorphismen . . . . . . . . . 213 15.2 Lokale Invertierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 15.3 Implizit definierte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 15.4 Extrema unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 15.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 16 Elementar l¨osbare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 16.1 Der Satz von Picard-Lindel¨of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 16.2 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . 239 16.3 Lineare Systeme von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 16.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Bezeichnungen und Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

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Einleitende Anmerkungen

Wesen Der Gegenstand der Mathematik ist schwer zu umgrenzen, jedenfalls schwieriger als der von Physik, Chemie oder Brauwissenschaft etc. F¨ur Mathematik ist nicht ihr Gegenstand charakterisierend als vielmehr die Art des Schließens. Von Alexander Markowitsch Ostrowski (1893-1986, Basel) [16] stammt folgendes Zitat: Jedesmal, wenn man aus einem endlichen, u¨ bersichtlich dargestellten System von scharf ” formulierten Pr¨amissen logisch einwandfreie Schl¨usse zieht, treibt man Mathematik.“

Insofern ließe sich als Gegenstand der Mathematik alles beschreiben, was sich auf endlich viele scharf formulierte Grundtatsachen (Axiome) ” zur¨uckf¨uhren l¨asst.“

Auf diesem Hintergrund erkl¨aren sich zumindest die Wesensz¨uge, die die Mathematik auszeichnen, • • • •

die Sch¨arfe der Begriffsbildung, die pedantische Sorgfalt im Umgang mit Definitionen, die Strenge der Beweise, die abstrakte Natur der mathematischen Objekte.

Mathematische Symbole Um der l¨uckenlosen Exaktheit und Klarheit zu gen¨ugen, hat sich eine Darstellung ¨ mathematischer Uberlegungen entwickelt (math. Symbolik), die f¨ur Nichtspezialisten (bzw. nicht pr¨azise und klar formulierende Personenkreise) schwer zug¨anglich ist. Hermann Weyl (1885-1955, Princeton) sagt: Ein auff¨alliger Zug aller Mathematik, der den Zugang zu ihr dem Laien so sehr erschwert, ” ist der reichliche Gebrauch von Symbolen.“

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Einleitende Anmerkungen

Der mathematische Formalismus ist kein u¨ berfl¨ussiges Glasperlenspiel“. Die kom” plexen Zusammenh¨ange, die h¨ochsten Grad pr¨aziser Beschreibung bed¨urfen, lassen sich verbal und romanhaft nicht mehr darstellen. (Ein sch¨ones Beispiel findet man in der Einleitung im Buch von H.Heuser: Lehrbuch der Analysis [9]). Wir werden uns weitgehend an u¨ bliche Notation und Konventionen halten. Symbole wie z.B. ∀ ( f¨ur alle“) oder ∃ ( es existiert...“) und Begriffe wie etwa Menge ” ” oder Abbildung, die nicht nur in der Analysis sondern in allen Zweigen der Mathematik von grundlegender Bedeutung sind, wollen wir als bekannt voraussetzen. Wir verweisen hierzu auch auf die B¨ucher von O. Deiser [3] und H. Koch [12]. Historische Entwicklung Betrachtet man die Erfolge der großen Mathematiker der Vergangenheit und die heutigen Anforderungen an die Mathematik, so lassen sich orientiert um die eigentliche mathematische Methodik folgende weitere Aufgaben erkennen: • pr¨azise Abstraktion naturwissenschaftlicher, ingenieurwissenschaftlicher, lebenswissenschaftlicher oder o¨ konomischer Abl¨aufe in klar definierte mathematische Begriffe (mathematische Modellbildung), • begleitende h¨ochst-rechnerintensive Untersuchungen (numerische Simulation). Letzteres ist eine Entwicklung der letzten Jahre, erm¨oglicht durch die Verf¨ugbarkeit leistungsf¨ahiger Computer. In diesem Zusammenhang sollten die numerischen K¨unste der großen Mathematiker (insbesondere Carl Friedrich Gauß, 1777-1855) der Vergangenheit besonders erw¨ahnt werden. Da wir uns hier mit Analysis, d.h. im wesentlichen mit Infinitesimalrechnung befassen, wollen wir noch einen sehr kurzen Blick in deren Historie wagen. Die zentralen ersten Entwicklungspunkte werden Newton (Isaac Newton, 1643-1727, London) und Leibniz (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716, Hannover, Berlin) zugeschrieben. Nat¨urlich findet man bereits bei Archimedes, Kepler, Cavalieri, Fermat, Pascal, Wallis, Huygens, Toricelli, Descartes Vorl¨aufer analytischer Methodik. Folgendes scheint klar zu sein: Die beiden  Symbole d“ und “ wurden am 29. Oktober 1675 von Leibniz zum erstenmal ver” ” wendet. Der Blick von Leibniz galt grob gesprochen dem Tangentenproblem und der Quadratur (Berechnung von Fl¨acheninhalten), symbolisch dv = v dx . Newton hingegen entwickelte die Differential- und Integralrechnung innerhalb der so genannten Fluxionsrechnung. Dabei sind alle Gr¨oßen zeitabh¨angig, x = x(t) . ˙ die Ableitung nach t. Die Fluxion“ bezeichnet dann x, ” Im Jahr 1699 entstand der Priorit¨atsstreit zwischen Newton und Leibniz. Dabei wurde Leibniz vorgeworfen, die Differentialrechnung nicht selbst¨andig erfunden, sondern von Newton entlehnt zu haben. Bis 1710 wurden Argumente ausgetauscht,

Einleitende Anmerkungen

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schließlich sprach sich eine eigens eingesetzte Kommission dahingehend aus, dass Newton der erste Erfinder der Infinitesimalrechnung ist. Leibniz und Newton blieben auch aus politischen Gr¨unden zerstritten. Erst im 19. Jahrhundert setzte sich durch, dass Leibniz und Newton unabh¨angig voneinander den Grundstock zur Analysis gelegt haben. Seither haben sich Generationen von Mathematikern mit der Analysis besch¨aftigt, die wir unm¨oglich alle hier erw¨ahnen k¨onnen. Zu den bekanntesten Lehrb¨uchern z¨ahlen etwa die Werke von J. Dieudonn´e [4] oder W. Rudin [19]. Als deutschsprachige B¨ucher auf diesem Gebiet seien unter anderen K. K¨onigsberger [13], [14] und H. Heuser [9] sowie O. Forster [7], [8] genannt.

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Kapitel 1

Die reellen Zahlen

Die Menge IN := {1, 2, . . .} der nat¨urlichen Zahlen wollen wir hier als bekannt voraussetzen, ebenso wie die Menge ZZ := {0, ±1, ±2, . . .} der ganzen Zahlen. Weiter schreiben wir IN0 := IN ∪ {0} = {0, 1, 2, . . .}. Diese Mengen sind allesamt diskret, d.h. zwischen zwei aufeinander folgenden nat¨urlichen (oder ganzen) Zahlen liegt keine weitere nat¨urliche (oder ganze) Zahl. Eine wichtige Beweismethode, die auf den Grundeigenschaften von IN beruht, ist das Induktionsprinzip: Ist M eine Menge mit den Eigenschaften (i) 1 ∈ M (Die Zahl 1 ist ein Element von M), (ii) n ∈ M ⇒ n + 1 ∈ M (Ist n ∈ M, dann folgt n + 1 ∈ M), so gilt IN ⊆ M. Aus dem Induktionsprinzip leitet sich die Beweismethode der vollst¨andigen Induktion ab: Jeder nat¨urlichen Zahl n ∈ IN sei eine Aussage A(n) zugeordnet (die richtig oder falsch sein kann). Gelten (i) A(1) ist richtig“ (Induktionsanfang), ” (ii) A(n) ist richtig“ ⇒ A(n + 1) ist richtig“ (Induktionsschritt), ” ” so gilt A(n) ist richtig“ f¨ur alle n ∈ IN. ” Wir wollen dies hier nicht weiter vertiefen, sondern verweisen auf Lehrb¨ucher zur diskreten Mathematik, wie etwa Matouˇsek/Neˇsetˇril [15] oder Taraz [20].

1.1 Archimedisch angeordnete K¨orper Die Rechenoperationen (Addition, Multiplikation) f¨uhren uns von den nat¨urlichen und ganzen Zahlen zun¨achst zur Menge Q der rationalen Zahlen,  m : m ∈ ZZ, n ∈ IN . Q := n R. Lasser, F. Hofmaier, Analysis 1 + 2, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-28644-5_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

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1 Die reellen Zahlen

Die Menge Q gen¨ugt der folgenden Definition. Definition 1.1. Sei K eine Menge (mit mindestens 2 Elementen), auf der zwei Verkn¨upfungen + ( Addition“) und • ( Multiplikation“) gegeben sind, sodass gilt: ” ” (K1) Assoziativit¨at der Addition: a + (b + c) = (a + b) + c ∀a, b, c ∈ K. (K2) Neutrales Element der Addition: Es gibt 0 ∈ K mit der Eigenschaft 0 + a = a + 0 = a ∀a ∈ K. (K3) Inverses bezuglich ¨ Addition: Zu jedem a ∈ K gibt es −a ∈ K, sodass a + (−a) = 0. (K4) Kommutativit¨at der Addition: a + b = b + a ∀a, b ∈ K. (K5) Assoziativit¨at der Multiplikation: a • (b • c) = (a • b) • c ∀a, b, c ∈ K. (K6) Neutrales Element der Multiplikation: Es gibt 1 ∈ K mit der Eigenschaft 1 • a = a • 1 = a ∀a ∈ K. (K7) Inverses bezuglich ¨ Multiplikation: Zu jedem a ∈ K, a = 0, gibt es a−1 ∈ K, sodass a • a−1 = 1. (K8) Kommutativit¨at der Multiplikation: a • b = b • a ∀a, b ∈ K. (K9) Distributivit¨at: a • (b + c) = a • b + a • c ∀a, b, c ∈ K. Dann heißt K ein kommutativer K¨orper. An Stelle von a • b schreibt man auch kurz ab, statt a−1 gelegentlich auch 1a . Weiter schreibt man a − b f¨ur a + (−b) und an := a • a •. . .• a. n−mal

Folgerungen: Sei K ein kommutativer K¨orper. F¨ur a, b ∈ K gilt dann (i) (ii) (iii) (iv) (v)

−(−a) = a , (a−1 )−1 = a, a • 0 = 0, ab = 0 =⇒ a = 0 oder b = 0, a(−b) = −(ab) , insbesondere a(−1) = −a, (−a)(−b) = ab.

Diese Eigenschaften kann man leicht aus den Axiomen (K1)-(K9) folgern. Man fordert sie also nicht in der Definition, dennoch gelten sie in jedem kommutativen K¨orper. Wenn in obiger Definition alles außer (K8) erf¨ullt ist, spricht man von einem (nicht-kommutativen) K¨orper; in der Algebra werden K¨orper genauer untersucht. Wir wollen hier nur festhalten, dass Q mit der gew¨ohnlichen Addition und Multiplikation ein kommutativer K¨orper ist, IN und ZZ hingegen nicht. Wir werden bald noch weitere Beispiele f¨ur kommutative K¨orper kennen lernen: die Menge IR der reellen Zahlen sowie die Menge C der komplexen Zahlen. Eine weitere Eigenschaft, die Q (und auch IR aber nicht C, wie wir noch sehen werden) zu eigen ist, ist die M¨oglichkeit einer Anordnung.

1.1 Archimedisch angeordnete K¨orper

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Definition 1.2. Ein kommutativer K¨orper K heißt angeordneter K¨orper, falls in K eine Teilmenge der positiven Elemente (Schreibweise: a > 0 steht f¨ur a ist ” positiv“) ausgezeichnet ist, die die folgenden Eigenschaften besitzt: (A1) (A2)

F¨ur jedes a ∈ K gilt genau eine der drei Bedingungen a > 0 oder a = 0 oder −a > 0. Aus a > 0 und b > 0 folgen a + b > 0 sowie ab > 0.

Ein angeordneter K¨orper heißt archimedisch angeordneter K¨orper, wenn er zus¨atzlich die folgende Eigenschaft hat: (A3)

Zu a > 0, b > 0 existiert ein n ∈ IN, sodass na := a + a + . . .+ a > b gilt. (Archimedisches Axiom)    n−mal

Schreibweisen: Ist −a > 0, so heißt a negativ und man schreibt a < 0. Ist a − b > 0, so heißt a gr¨oßer als b und man schreibt a > b. a ≥ b bezeichnet a > b oder a = b. a < b bezeichnet b > a. a ≤ b bezeichnet a < b oder a = b. Einfache Folgerungen aus (A1) und (A2): (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi)

a < b, b < c =⇒ a < c (Transitivit¨at) a < b ⇐⇒ a + c < b + c f¨ur alle c ∈ K a < b, c > 0 =⇒ ca < cb a > b > 0 =⇒ 1a < 1b

0 ≤ a < b =⇒ a2 < b2 F¨ur a = 0 gilt a2 > 0.

(insbesondere 1 = 12 > 0)

In jedem angeordneten K¨orper gilt die folgende Ungleichung, die nach Jakob Bernoulli I (1654-1705, Basel) benannt ist. (Es gab noch einige weitere bekannte Mathematiker namens Bernoulli.) Satz 1.3 (Bernoulli-Ungleichung). Sei K ein angeordneter K¨orper. F¨ur jedes x ∈ K mit x ≥ −1 und alle n ∈ IN gilt (1 + x)n ≥ 1 + nx .

(1.1)

Beweis. Wir beweisen die Ungleichung mittels vollst¨andiger Induktion. F¨ur n = 1 hat man sogar Gleichheit. Gelte nun (1.1) f¨ur ein n ∈ IN. Dann folgt (iii)

(vi)

(1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx2 ≥ 1 + (n + 1)x und die Ungleichung ist auch f¨ur n + 1 erf¨ullt.



8

1 Die reellen Zahlen

Mit dem archimedischen Axiom folgt: Satz 1.4. Sei K ein archimedisch angeordneter K¨orper. Dann gelten: (a) (b)

Ist b > 1, so gibt es zu jedem M > 0 ein n ∈ IN derart, dass bn > M. Ist 0 < q < 1, so gibt es zu jedem  > 0 ein n ∈ IN derart, dass qn <  .

Beweis. (a) Setze x := b − 1 > 0. Mit Satz 1.3 gilt bn = (x + 1)n ≥ 1 + nx. Mit (A3) gibt es zu M > 0 ein n ∈ IN, sodass nx > M. Zusammengefasst gilt bn ≥ 1 + nx > 1 + M > M . Die Aussage (b) folgt aus (a), indem man b := q−1 und M :=  −1 setzt.



In jedem angeordneten K¨orper K kann man einen Absolutbetrag einf¨uhren. F¨ur a ∈ K definiert man a falls a ≥ 0 , |a| := −a falls a < 0 . Es gelten folgende Regeln: (1) (2)

|ab| = |a| |b|



|a + b| ≤ |a| + |b| und |a| − |b| ≤ |a − b| (Dreiecksungleichung)

Beweis. Regel (1) erh¨alt man mit den Folgerungen (iv) und (v) von Definition 1.1. Wir kommen zum Nachweis von (2). Es gelten ±a ≤ |a|, ±b ≤ |b|, und damit a + b ≤ |a| + |b| sowie −(a + b) ≤ |a| + |b|. Daraus folgt |a + b| ≤ |a| + |b|. Die zweite Ungleichung erh¨alt man aus |a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b| und aus |b| = |b − a + a| ≤ |b − a| + |a| = |a − b| + |a|; damit gilt ±(|a| − |b|) ≤ |a − b|.  Schreibweisen: (1)

Sind K ein kommutativer K¨orper und a1 , a2 , . . . , an ∈ K, so schreiben wir abk¨urzend n

 ak := a1 + a2 + . . . + an .

k=1

(2) (3)

Wir setzen 0! := 1 sowie (n + 1)! := (n + 1) (n!) f¨ur n ∈ IN0 , also 1! = 1, 2! = 2 , 3! = 6 , 4! = 24 usw. (n! spricht man als n Fakult¨at “). ” F¨ur n, k ∈ IN0 , n ≥ k, erkl¨aren wir die Binomialkoeffizienten  n n! . := k! (n − k)! k Seien K ein kommutativer K¨orper, a, b ∈ K und n ∈ IN. Wenn wir (a + b)n ausrechnen und dann zusammenfassen (vgl. Kapitel 1.4, Aufgabe 5), erhalten wir die so genannte Binomialformel, n  n k n−k n a b (a + b) =  . k=0 k

1.2 Intervallschachtelung und Vollst¨andigkeit

9

1.2 Intervallschachtelung und Vollst¨andigkeit Die Menge Q der rationalen Zahlen ist uns noch nicht umfassend genug; beispielsweise gibt es keine rationale Zahl x derart, dass x2 = 2 gilt. Angenommen, es w¨are x ∈ Q, x2 = 2, so schreibe x = qp als gek¨urzten Bruch mit p, q ∈ ZZ. Dann gilt 2q2 = p2 . Dann enth¨alt auch p die Zahl 2 als Faktor, d.h. p = 2r mit r ∈ ZZ. Folglich ist 2q2 = p2 = 4r2 und dann q2 = 2r2 . Somit enth¨alt q auch 2 als Faktor – im Widerspruch dazu, dass qp gek¨urzt ist. Mehr dazu findet man u.a. in [3, Kap. 1.1]. Wir wollen nun diese L¨ucken ” auff¨ullen“. n n+1

Beispiel 1.5. F¨ur n ∈ IN seien an := n+1 und bn := n+1 . n n F¨ur alle n ∈ IN gilt

n+1 n

> 1, also auch 0 < an < bn . Weiter gilt

 2 n+1 (n + 2)n+1nn n + 1 (n2 + 2n)n+1 n + 1 an+1 n + 2n = = = an (n + 1)2n+1 n (n + 1)2n+2 n n2 + 2n + 1   n+1 1 1 n+1 n+1 1− 1− =1, = ≥ n (n + 1)2 n n+1 wobei wir im vorletzten Schritt die Bernoulli-Ungleichung verwendet haben. Ebenso erhalten wir  2 n+2  n+2 bn n + 2n + 1 1 (n + 1)2n+3 n n 1+ 2 = = = bn+1 (n + 2)n+2nn+1 n+1 n2 + 2n n+1 n + 2n  n+2 n n+1 n 1+ 2 = =1. ≥ n+1 n + 2n n+1 n Damit gilt 0 < an ≤ an+1 < bn+1 ≤ bn f¨ur alle n ∈ IN und es folgt schließlich an < bk f¨ur alle n, k ∈ IN.

6 656 Aus b5 = 65 = 46 15 625 < 3 erhalten wir an < 3 und damit  3 1 an − an = < f¨ur alle n ∈ IN . bn − an = an 1 + n n n Hier stellt sich nun die Frage, ob es eine Zahl c gibt, sodass an ≤ c ≤ bn f¨ur alle n ∈ IN gilt. In Kapitel 5.7, Aufgabe 8 werden wir zeigen, dass c ∈ / Q ist. Dies war bereits ein erstes Beispiel f¨ur eine Intervallschachtelung; wir werden diesen Begriff im Folgenden noch allgemein definieren. In einem angeordneten kommutativen K¨orper K bezeichnen wir (a, b ∈ K, a ≤ b) die Mengen [a, b] := {x ∈ K : a ≤ x ≤ b} ]a, b] := {x ∈ K : a < x ≤ b}

[a, b[ := {x ∈ K : a ≤ x < b} ]a, b[ := {x ∈ K : a < x < b}

10

1 Die reellen Zahlen

als Intervalle. Erstere heißen abgeschlossen, letztere offen, die anderen bezeichnen wir als halboffen. Ist I eines dieser Intervalle, so bezeichnet |I| := b − a die L¨ange von I. Definition 1.6. Sei K ein archimedisch angeordneter kommutativer K¨orper. Eine Intervallschachtelung ist eine Folge (In )n∈IN von abgeschlossenen Intervallen In = [an , bn ] mit In+1 ⊆ In f¨ur alle n ∈ IN (d.h. a1 ≤ . . . ≤ an ≤ an+1 ≤ . . . ≤ bn+1 ≤ bn ≤ . . . ≤ b1 ). (ii) Zu jedem  > 0 existiert ein n ∈ IN mit |In | = bn − an <  .

(i)

Der K¨orper K heißt vollst¨andig, falls zu jeder Intervallschachtelung (In )n∈IN genau ein x ∈ K existiert mit x ∈ In f¨ur alle n ∈ IN. Es gibt weitere a¨ quivalente Charakterisierungen der Vollst¨andigkeit, siehe Kapitel 4.2 und auch [3]. Obige geht auf Karl Weierstraß (1815-1897, Berlin) zur¨uck. Die Menge IR der reellen Zahlen ist ein vollst¨andiger archimedisch angeordneter K¨orper. Wir werden uns k¨unftig, wenn Aussagen u¨ ber IR hergeleitet werden, letztendlich nur auf die genannten Gesetze (Axiome) st¨utzen. Diese Eigenschaften, d.h. (K1),...,(K9), (A1), (A2), (A3) und die Vollst¨andigkeit legen IR fest. Der K¨orper Q ist nicht vollst¨andig. Wir werden gleich feststellen, daß in IR stets Wurzeln existieren, in Q nicht. Auch die im folgenden Beispiel konstruierte Zahl e ist nicht rational (siehe auch Kapitel 5.7, Aufgabe 8). n n+1

Beispiel 1.7 (Eulersche Zahl). Seien an := n+1 , bn := n+1 , In := [an , bn ], n n so ist (In )n∈IN eine Intervallschachtelung, siehe Beispiel 1.5. Man bezeichnet 

In = {e} .

n∈IN

Eine N¨aherung (im Dezimalsystem) f¨ur e ist e ≈ 2.71828182845904523536... Satz 1.8 (Existenz von Wurzeln). Zu jedem x ∈ IR, √ x > 0, und k ∈ IN existiert genau eine reelle Zahl y > 0 mit yk = x. Man schreibt y = k x oder y = x1/k . Beweis. Sei zun¨achst x ≥ 1. Wir konstruieren eine Intervallschachtelung In = [an , bn ] mit

n−1 akn ≤ x ≤ bkn und |In | = 12 |I1 | f¨ur n ∈ IN . (1.2) Dazu starten wir mit a1 := 1, b1 := x + 1, also I1 = [a1 , b1 ] = [1, x + 1] . Wegen x ≥ 1 gilt bk1 = (x + 1)k ≥ xk ≥ x ≥ 1k = ak1 , also ist (1.2) f¨ur n = 1 erf¨ullt.

1.2 Intervallschachtelung und Vollst¨andigkeit

11

Ist In = [an , bn ] mit (1.2) gegeben, so sei m := 12 (an + bn ) = an + 12 (bn − an). Wir setzen  [an , m] , falls mk ≥ x , In+1 = [an+1 , bn+1 ] := [m, bn ] , falls mk < x . x an

m

bn

akn

mk

bkn

an+1 bn+1

Mit dieser Konstruktion ist (1.2) auch f¨ur In+1 erf¨ullt. Es ist In+1 ⊆ In ; ferner gibt es

n−1  mit Satz 1.4 zu jedem  > 0 ein n ∈ IN mit 12 < x , also |In | <  . Da IR vollst¨andig ist, existiert y ∈ IR mit



n∈IN

In = {y}.

Wir zeigen nun yk = x. Dazu beachte man, dass Ink := [akn , bkn ] ebenfalls eine Interk vallschachtelung ist. Es gilt In+1 ⊆ Ink , da In+1 ⊆ In , und k−1 k−1 + bk−2 . |Ink | = bkn − akn = (bn − an)(bk−1 n n an + . . . + an ) ≤ |In | k b1

 , also |Ink | <  . kbk−1 1 F¨ur alle n ∈ IN folgt x ∈ Ink mit (1.2) und wegen y ∈ In gilt yk ∈ Ink . Es gibt genau  k ein Element in In und damit ist yk = x. Ist nun  > 0, so existiert ein n ∈ IN mit |In | <

n∈IN

Zum Beweis der Eindeutigkeit nehmen wir an, es sei x = yk = zk mit y, z > 0. Aus y < z folgt x = yk < zk = x, ein Widerspruch (ebenso bei y > z). Also gilt hier y = z. Schließlich bleibt der Fall 0 < x < 1. 1 x

gibt es wie eben gezeigt ein y > 0 mit yk = 1x , also x =

1 yk

=

 k 1 y

. 

√ In Q kann man nicht Wurzeln jeder Zahl ziehen. Wie schon erw¨ahnt ist 2 nicht rational. Zur Bestimmung von Quadratwurzeln mittels Intervallschachtelung siehe auch Kapitel 1.4, Aufgabe 8. Zum Schluss dieses Abschnitts zeigen wir ein einfaches Lemma, das uns sp¨ater noch von Nutzen sein wird. √ √ √ Lemma 1.9. F¨ur 0 ≤ b < c und k ∈ IN gilt 0 < k c − k b ≤ k c − b. √ √ Beweis. Aus k c ≤ k b folgt c ≤ b unmittelbar√aus den √ Anordnungsaxiomen, im Widerspruch zur Voraussetzung. Also muss 0 < k c − k b sein. √ √ √ Angenommen, es gilt k c − k b > k c − b, so folgt √ √ √ √ √ √ √ k k k c = ( k c)k > ( b + k c − b)k = ( b)k + k · ( b)k−1 · k c − b + · · · + ( k c − b)k F¨ur

≥ b + (c − b) = c (alle Summanden sind nicht-negativ). Dies ist ein Widerspruch; damit ist die rechte Ungleichung ebenfalls bewiesen. 

12

1 Die reellen Zahlen

1.3 Supremumseigenschaft Ist A ⊆ IR eine beliebige Menge reeller Zahlen, so heißt b ∈ IR eine obere Schranke (bzw. untere Schranke) von A, falls a ≤ b (bzw. a ≥ b) f¨ur alle a ∈ A gilt. Besitzt A eine obere Schranke, so heißt A nach oben beschr¨ankt. Entsprechend definiert man nach unten beschr¨ankt. Gilt beides, so nennt man A beschr¨ankt. Liegt eine obere (bzw. untere) Schranke b von A sogar in A selbst, so heißt diese Maximum (bzw. Minimum) von A; wir schreiben dann b = max A (bzw. b = min A). Beachte, dass max A und min A wegen (A1) eindeutig bestimmt sind, wenn sie existieren. Definition 1.10. Eine Zahl s ∈ IR heißt Supremum einer Menge A ⊆ IR, falls gilt: (i) (ii)

s ist obere Schranke von A und f¨ur jede obere Schranke t von A ist t ≥ s.

Das heißt, s ist die kleinste obere Schranke von A. Man schreibt s = sup A. Entsprechend definiert man s als das Infimum von A ⊆ IR, falls gilt: (i) (ii)

s ist untere Schranke von A und f¨ur jede untere Schranke t von A ist t ≤ s.

Das heißt, s ist die gr¨oßte untere Schranke von A. Man schreibt s = inf A. Bemerkung: Sei etwa A = [a, b] mit a, b ∈ IR, a < b, so ist b = max A = sup A. Das ˜ aber kein Maximum. Intervall A˜ = [a, b[ hingegen besitzt ein Supremum b = sup A, Auch Supremum und Infimum brauchen nicht immer zu existieren. Beispielsweise besitzen die nach oben unbeschr¨ankten Intervalle [a, [= {x ∈ IR : x ≥ a} kein Supremum. Zur Frage der Existenz sei auf den nachfolgenden Satz verwiesen. Existiert sup A (oder infA), so ist es eindeutig bestimmt: Sind s und s˜ zwei Suprema von A, so muss s ≤ s˜ und s˜ ≤ s gelten, also s = s. ˜ Satz 1.11 (Supremumseigenschaft). Jede nach oben (bzw. nach unten) beschr¨ankte nicht-leere Menge A ⊆ IR besitzt ein Supremum (bzw. Infimum). Beweis. Wir studieren hier nur den Fall, dass A nach oben beschr¨ankt ist. Dazu konstruieren wir eine Intervallschachtelung (In )n∈IN , In = [an , bn ], mit den Eigenschaften

n−1 (i) bn+1 − an+1 = 12 (bn − an) (daraus folgt |In | = 12 |I1 | f¨ur alle n), (ii) bn ist obere Schranke von A, (iii) an ist keine obere Schranke von A. Wir beginnen mit I1 = [a1 , b1 ], wobei b1 eine beliebige obere Schranke von A und a1 ∈ IR keine obere Schranke ist. Sind I1 , . . . , In bereits gefunden, sodass (i), (ii) und (iii) gelten, dann sei mn := 12 (an + bn). Offensichtlich ist an ≤ mn ≤ bn . Nun setze In+1 = [an+1 , bn+1 ] :=

[an , mn ] , [mn , bn ] ,

falls mn obere Schranke von A ist, falls mn keine obere Schranke von A ist.

1.3 Supremumseigenschaft

13

Damit gilt In+1 ⊆ In und bn+1 − an+1 = 12 (bn − an ). Ferner ist bn+1 eine obere Schranke von A und an+1 ist keine obere Schranke von A.

n−1  Ist nun  > 0, so existiert laut Satz 1.4 ein n ∈ IN mit 12 < b1 −a . Folglich gilt 1 |In | <  ; damit ist (In )n∈IN eine Intervallschachtelung. Wegen der Vollst¨andigkeit gibt es eine Zahl s ∈ IR mit {s} =



In .

n∈IN

Wir zeigen s = sup A. Dazu ist nachzuweisen: (a) (b)

s ist eine obere Schranke von A und s ist kleinste obere Schranke von A.

Zu (a): Angenommen, es gibt x ∈ A mit s < x. Dann existiert zu  := x − s ein n ∈ IN mit bn − an <  = x − s. Wegen s ∈ [an , bn ] gilt bn − s ≤ bn − an < x − s und damit bn < x im Widerspruch dazu, dass bn obere Schranke von A ist. Zu (b): Angenommen, es gibt eine obere Schranke s˜ von A mit s˜ < s. Dann existiert zu  := s − s˜ ein n ∈ IN mit bn − an <  = s − s. ˜ Weiter folgt wegen s ∈ [an , bn ] nun s − an ≤ bn − an < s − s, ˜ also an > s. ˜ Damit gilt aber an > s˜ ≥ x f¨ur alle x ∈ A, d.h. an ist obere Schranke von A, ein Widerspruch. Damit ist s = sup A gezeigt.



Man kann zeigen, dass ein archimedisch angeordneter K¨orper, der die Supremumseigenschaft erf¨ullt, stets vollst¨andig ist. Daher kann man die Vollst¨andigkeit auch mittels Supremumseigenschaft definieren (das wird auch gelegentlich so gemacht). Eine weitere Charakterisierung der Vollst¨andigkeit erfolgt u¨ ber so genannte Cauchyfolgen, siehe Kapitel 4.2. Lemma 1.12. Seien A, B nicht-leere nach oben beschr¨ankte Teilmengen von IR. (a) (b)

Ist A ⊆ B, so gilt sup A ≤ sup B. Bezeichnen A + B := {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, rA := {ra : a ∈ A} f¨ur r ∈ IR und A · B := {ab : a ∈ A, b ∈ B}, so hat man sup(A + B) = sup A + supB , sup(rA) = r sup A , falls r ≥ 0 , sup(A · B) = sup A sup B ,

falls A, B ⊆ [0, [ .

Entsprechende Aussagen gelten f¨ur das Infimum, falls A und B nach unten beschr¨ankt sind. Beweis. Seien  := sup A,  := sup B. (a) Es ist  eine obere Schranke von A, denn aus  ≥ x ∀x ∈ B folgt  ≥ x ∀x ∈ A. Da  die kleinste obere Schranke von A und  eine obere Schranke von A ist, folgt  ≤ .

14

1 Die reellen Zahlen

(b) Aus a ≤  ∀a ∈ A und b ≤  ∀b ∈ B folgt a + b ≤  +  ∀a ∈ A, b ∈ B, also sup(A + B) ≤  +  . Mit der Definition des Supremums als kleinste obere Schranke existieren zu jedem  > 0 ein a0 ∈ A und ein b0 ∈ B mit a0 >  − 2 und b0 >  − 2 . Damit ist a0 + b0 > ( +  ) −  . Da  > 0 beliebig klein gew¨ahlt werden darf, ist  +  die kleinste obere Schranke von A + B. Aus  ≥ x ∀x ∈ A folgt r ≥ rx ∀x ∈ A und weiter r ≥ y ∀y ∈ rA. Also ist r eine obere Schranke von rA. Sei nun a < r . Dann ist ar <  , d.h. ar ist keine obere Schranke von A; folglich gibt es ein x ∈ A mit ar < x. Damit ist rx ∈ rA und a < rx; also ist a keine obere Schranke von rA. Damit folgt: r ist kleinste obere Schranke von rA. Im Fall A, B ⊆ [0, [ gilt  ,  ≥ 0. F¨ur  = 0 oder  = 0 gilt A · B = {0} und die Behauptung ist offensichtlich wahr. Wir k¨onnen also  ,  > 0 annehmen. Aus x ≤  ∀x ∈ A und y ≤  ∀y ∈ B folgt dann xy ≤  ∀x ∈ A, y ∈ B. Also ist  eine obere Schranke von A · B. Wir nehmen nun an, dass  nicht die kleinste obere Schranke von A · B ist. Dann gibt es ein c ∈ IR mit c <  und c ≥ x ∀x ∈ A · B. Wir −c setzen  :=   + . Es gilt  > 0 und nach Definition des Supremums gibt es a ∈ A mit a >  −  sowie b ∈ B mit b >  −  . Daraus folgt ab > ( −  )( −  ) =  −  ( +  ) +  2 ≥  −  ( +  ) = c im Widerspruch dazu, dass c obere Schranke von A · B ist. Damit ist  tats¨achlich die kleinste obere Schranke von A · B. Die entsprechenden Aussagen f¨ur das Infimum zeigt man ganz analog.



Wir schließen diesen Abschnitt mit einigen Resultaten zur Lage von IN, ZZ und Q innerhalb IR. Vorweg zeigen wir ein Resultat u¨ ber IN, das auf den ersten Blick selbstverst¨andlich erscheint. Man bedenke aber, dass wir IR abstrakt nur als einen vollst¨andigen archimedisch angeordneten K¨orper erkl¨art haben; Begriffe wie Supremum oder Maximum haben wir definiert v¨ollig unabh¨angig davon, ob oder wie wir IN in IR wiederfinden. Satz 1.13. Sei A ⊆ IN ⊆ IR eine nicht-leere Menge nat¨urlicher Zahlen. Es gilt: (a) (b)

A besitzt ein Minimum. Ist A beschr¨ankt, so hat A ein Maximum.

Beweis. (a) Sei U := {n ∈ IN : n ist untere Schranke von A}. Dann gilt offensichtlich 1 ∈ U. Außerdem ist U eine echte Teilmenge von IN, denn ist k ∈ A, so ist k+1 ∈ / U. Mit dem Induktionsprinzip finden wir ein n0 ∈ U mit n0 + 1 ∈ / U, sonst w¨are U = IN. Wir zeigen n0 = min A. Es gilt n0 ≤ n ∀n ∈ A. Zu zeigen bleibt n0 ∈ A. W¨are n0 ∈ / A, so w¨are n0 < m ∀m ∈ A und damit m − n0 ≥ 1. Das heißt m ≥ n0 + 1 ∀m ∈ A, woraus n0 + 1 ∈ U folgt – im Widerspruch zu oben. (b) Sei s := sup A. Nach (A3) existiert ein n1 ∈ IN mit s < n1 . Damit gilt k ≤ s < n1 f¨ur alle k ∈ A, also n1 − k ∈ IN ∀k ∈ A. Laut (a) existiert m := min{n1 − k : k ∈ A}. Dann ist n1 − m = max A. 

1.4 Aufgaben

15

Satz 1.14. (a) Zu jedem x ∈ IR existiert genau ein k ∈ ZZ mit k ≤ x < k + 1. (b) Zu je zwei reellen Zahlen a, b mit a < b gibt es eine Zahl r ∈ Q mit a < r < b. Die Zahl k gem¨aß Aussage (a) wird mit [x] bezeichnet. Demnach ist [x] die gr¨oßte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist. Man nennt [ ] auch Gaußklammer. Beweis. (a) Nach (A3) existiert ein n ∈ IN mit 1 − x < n, also 1 < n + x. Laut Satz 1.13 existiert eine gr¨oßte Zahl m ∈ IN mit m ≤ n + x. Damit ist k := m − n die gr¨oßte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist. (b) W¨ahle n ∈ IN mit 1n < b − a und setze k := [na]. F¨ur r := 1 1+an 1+k r > na n = a und b > n + a = n ≥ n = r.

k+1 n

∈ Q gilt dann 

1.4 Aufgaben 1. Beweisen Sie die im Anschluss an Definition 1.1 angegebenen Folgerungen. Geben Sie in jedem Schritt an, welches Axiom Sie dabei ben¨utzen. 2.

a b

< dc .

Folgern Sie aus den Axiomen: Es gilt stets

<

a. Seien a, b, c, d positive reelle Zahlen mit

a b

b. Gibt es positive reelle Zahlen a, b, c, d derart,

a+c b+d < dass ab +

c d. c a+c d = b+d

gilt?

3. Beweisen Sie die nach Definition 1.2 genannten Folgerungen. 4. Zeigen Sie, dass IF2 := {⊥, } mit den durch ⊥ + ⊥ := ⊥ ,

⊥ +  :=  ,

 + ⊥ :=  ,

 +  := ⊥ ,

⊥ • ⊥ := ⊥ ,

⊥ •  := ⊥ ,

 • ⊥ := ⊥ ,

 •  :=  ,

erkl¨arten Operationen ein kommutativer K¨orper ist. 5. Seien K ein kommutativer K¨orper, a, b ∈ K und n ∈ IN. Weisen Sie die Binomialformel n  n k n−k n (a + b) =  a b k=0 k mittels vollst¨andiger Induktion nach. 6. Zeigen Sie: Zu jedem  > 0 gibt es ein N ∈ IN mit 1 √ < n

f¨ur alle n ≥ N .

16

1 Die reellen Zahlen

7. Besitzen die folgenden Mengen ein Minimum, Maximum, Infimum, Supremum ? M1 := {x ∈ IR : x2 > 7}    1 1 1 n : n ∈ IN M3 := + : m, n ∈ IN M2 := (−1) 1 − n n m Bestimmen Sie diese gegebenenfalls. 8. Arithmetrisches, Geometrisches und Harmonisches Mittel; eine Intervallschachtelung f¨ur die Quadratwurzel. Seien a, b positive reelle Zahlen. Wir setzen A(a, b) :=

a+b , 2

G(a, b) :=

√ ab ,

H(a, b) :=

1 A( 1a , 1b )

=

2ab . a+b

a. Zeigen Sie: Es gilt min{a, b} ≤ H(a, b) ≤ G(a, b) ≤ A(a, b) ≤ max{a, b}, wobei Gleichheit nur im Fall a = b auftritt. Nun sei 0 < a < b. Wir setzen a1 := a, b1 := b und an+1 := H(an , bn ) ,

bn+1 := A(an , bn )

f¨ur n ∈ IN .

b. Zeigen Sie: F¨ur alle n ∈ IN gilt an < bn . c. Zeigen√Sie: Die Intervalle In := [an , bn ] bilden eine Intervallschachtelung; es gilt ab ∈ In ∀n ∈ IN. 1 (bn − an)2 . d. Zeigen Sie: F¨ur alle n ∈ IN gilt bn+1 − an+1 ≤ 4a

√

√

1 . e. Berechnen Sie eine N¨aherung c f¨ur 2 mit c − 2 ≤ 10000

9. Seien x ∈ IR \ Q und r ∈ Q. Zeigen Sie: a. Es gilt x + r ∈ IR \ Q. b. Im Fall r = 0 gilt auch rx ∈ IR \ Q.

Kapitel 2

Die komplexen Zahlen

In IR k¨onnen wir zwar aus jeder positiven Zahl die Wurzel ziehen, aber es gibt z.B. keine reelle Zahl x mit x2 = −1. Wir wollen nun einen kommutativen K¨orper C, die Menge der komplexen Zahlen, konstruieren, in dem es eine Zahl i gibt mit i2 = −1 und der die reellen Zahlen enth¨alt. Dabei m¨ussen wir allerdings auf die archimedische Anordnung verzichten.

2.1 Konstruktion der komplexen Zahlen Wir definieren die Menge der komplexen Zahlen als Menge von Paaren reeller Zahlen, C := IR × IR = {(x, y) : x, y ∈ IR}. Eine komplexe Zahl z = (x, y) schreiben wir auch in der Form z = x + iy . Dabei entspricht i = 0 + 1 i = (0, 1). Ferner heißen Re z := x der Realteil von z und Im z := y der Imagin¨arteil von z. Wir fassen IR k¨unftig als Teilmenge von C auf: IR = {x + 0i : x ∈ IR} = {z ∈ C : Im z = 0} ⊂ C. Die Menge C ist mit und

(x + iy) + (u + iv) := (x + u) + i(y + v) als Addition (x + iy)(u + iv) := (xu − yv) + i(xv + yu) als Multiplikation

ein kommutativer K¨orper; man kann leicht nachpr¨ufen, dass (K1),. . . ,(K9) hier erf¨ullt sind. Die imagin¨are Einheit i ist dabei besonders ausgezeichnet. Es gilt i2 = −1. Insbesondere gibt es keine Anordnung auf C, die (A1) und (A2) erf¨ullt, denn dann m¨usste i2 > 0 gelten! F¨ur z ∈ C \ IR sind daher Aussagen wie z > 0 “ nicht sinnvoll. Man kann aber ” einen Absolutbetrag in C einf¨uhren. F¨ur z = x + iy ∈ C setzt man  |z| := x2 + y2 . √ Dies ist im Fall x2 + y2 > 0 laut Satz 1.8 wohldefiniert; sonst setze 0 := 0. R. Lasser, F. Hofmaier, Analysis 1 + 2, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-28644-5_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

17

18

2 Die komplexen Zahlen

i IR

Grafisch stellt man C u¨ blicherweise als Ebene dar. Im kartesischen (x, y)Koordinatensystem ist |z| dann der Abstand des Punktes z vom Nullpunkt.

i iy

F¨ur z = x + iy nennt man z := x − iy die zu z konjugiert komplexe Zahl.

0

Es gelten die folgenden Rechenregeln, die man leicht herleiten kann.

−iy

z = (x, y) = x + iy |z| 1

x

IR

z

Satz 2.1. Seien z, w ∈ C. Dann gelten: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

z + w = z + w , zw = z w z=z Re z = 12 (z + z) , Im z = 2i1 (z − z) |Re z| ≤ |z| , |Im z| ≤ |z| |z| ≤ |Re z| + |Im z| √ |z| = z z |z| = |z| = | − z| |zw| = |z| |w| Stets ist |z| ≥ 0 ; |z| = 0 ist a¨ quivalent zu z = 0. Gesondert wollen wir die Dreiecksungleichung auff¨uhren.

Satz 2.2. Seien z, w ∈ C. Es gelten (a) (b)

|z + w| ≤ |z| + |w| , | |z| − |w| | ≤ |z − w| .

Beweis. Es ist |z + w|2 = (z + w) (z + w) = z z + z w + z, w + w w = |z|2 + 2Re (z w) + |w|2 ≤ |z|2 + 2 |Re (z w)| + |w|2 ≤ |z|2 + 2 |z w| + |w|2 = (|z| + |w|)2 . Daraus folgt (a). Die Aussage (b) zeigt man nun wie im Reellen.



Zur Veranschaulichung sei erw¨ahnt, dass f¨ur a ∈ C und r > 0 durch Ur (a) := {z ∈ C : |z − a| < r}

und

Kr (a) := {z ∈ C : |z − a| ≤ r} eine offene (bzw. abgeschlossene) Kreisscheibe um a mit Radius r bestimmt ist. (Die Begriffe offen und abgeschlossen werden wir in Kapitel 12 noch allgemein definieren.)

2.1 Konstruktion der komplexen Zahlen

19

Beispiel: F¨ur festes w ∈ C umfasst die Menge {z ∈ C : |z − w| = 2} genau diejenigen komplexen Zahlen, die von w den Abstand 2 haben. Es handelt sich also um einen Kreis mit Mittelpunkt w und Radius 2. Die Abbildung rechts zeigt diese f¨ ur w = 1 √ √ und w = 2(1 + i). Im Fall w = 2(1 + i) liegt der Nullpunkt auf diesem Kreis, denn f¨ur z = 0 gilt hier  √ 2 √ 2 |z − w| = |w| = 2 + 2 =2.

√ 2(1 + i)

i 0

1

Wir nennen eine Teilmenge A ⊆ C beschr¨ankt, falls es ein M ≥ 0 gibt, sodass |z| ≤ M f¨ur alle z ∈ A gilt. Beachte aber, dass man Begriffe wie Supremum und Maximum f¨ur Teilmengen von C nicht einf¨uhren kann. Die folgende wichtige algebraische Eigenschaft des K¨orpers C sollte nicht unerw¨ahnt bleiben. Satz 2.3 (Fundamentalsatz der Algebra). Seien a0 , . . . , an−1 ∈ C. Die Gleichung zn + an−1zn−1 + . . . + a1z + a0 = 0 hat in C mindestens eine L¨osung. Bemerkung: Im Reellen stimmt diese Aussage nicht, z.B. gibt es keine reelle Zahl x, die die Gleichung x2 + 1 = 0 erf¨ullt. Der Fundamentalsatz der Algebra wurde erstmals von Carl Friedrich Gauß bewiesen, inzwischen ist eine Vielzahl ganz unterschiedlicher Beweise bekannt. Mit den uns bis hier zur Verf¨ugung stehenden Mitteln k¨onnen wir diesen Satz allerdings noch nicht beweisen; wir werden dieses Resultat f¨ur unsere Zwecke auch nicht weiter ben¨otigen. Mit Mitteln der Funktionentheorie kann man den Fundamentalsatz der Algebra recht leicht zeigen, bei Remmert/Schumacher [17] etwa findet man vier verschiedene Beweise. F¨ur weitere Beweise dieses Satzes, die nur auf Resultaten der Analysis basieren, sei u.a. auf K¨onigsberger [13] oder Beals [2] verwiesen. F¨ur einen rein algebraischen Beweis siehe z.B. Karpfinger/Meyberg [11]. Beispiel: Die dritten Einheitswurzeln. Wir wollen alle komplexen Zahlen bestimmen, die die Gleichung z3 = 1 erf¨ullen. Wie u¨ blich schreiben wir z = x + iy. Dann ist (x + iy)3 = x3 + 3x2 iy + 3x(iy)2 + (iy)3 = x3 − 3xy2 + i(3x2 y − y3) .

20

2 Die komplexen Zahlen

Es gilt also z3 = 1 + 0i genau dann, wenn x3 − 3xy2 = 1

und

3x2 y − y3 = 0

(2.1)

erf¨ullt ist. √ F¨ur y = 0 lautet die zweite Gleichung 3x2 = y2 ; es folgt y = ± 3 x. Setzen√wir dies in die erste Gleichung ein, ergibt sich −8x3 = 1, also x = − 12 und y = ± 12 3. F¨ur y = 0 ist die zweite Gleichung in (2.1) erf¨ullt und die erste Gleichung liefert x3 = 1, also x = 1. Die Gleichungen (2.1) sind daher genau dann erf¨ullt, wenn x und y einer der Bedingungen (1) (2) (3) gen¨ugen. Insgesamt haben wir also drei L¨osungen von z3 = 1 gefunden. Es gilt |z1 | = |z2 | = |z3 | = 1 und z1 + z2 + z3 = 0. Diese Punkte bilden die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks, siehe auch Aufgabe 5.

1 x=− , 2 1 x=− , 2 x = 1,

1√ 3, 2 1√ y=− 3, 2 y=

y=0, √ z1 = − 12 + 12 3 i z3 = 1

√ z2 = − 12 − 12 3 i

2.2 Aufgaben 1. Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x + iy dar: a. 2i + 2i1 b.

1+3i 1−2i

c. (1 + i)43 2. Skizzieren Sie die folgenden Punktmengen in C: a. {z ∈ C : |z| = c} f¨ur c = 12 , c = 1 und c = 2 b. {z ∈ C : Re z > 0}   c. z ∈ C : z = 1z

2.2 Aufgaben

21

3. Geben Sie f¨ur a. z = i , b. z = 1 + i , c. z = 2 − 3i , d. z = − √12 − √12 i , jeweils z2 , i z und 1z in der Form x + iy an und skizzieren Sie alle diese Punkte in der komplexen Ebene. 4. Gegeben Sei eine komplexe Zahl w. Bestimmen Sie alle z ∈ C mit z2 = w. 5. Es seien z1 , z2 , z3 ∈ C mit z1 + z2 + z3 = 0 und |z1 | = |z2 | = |z3 | = c > 0. Zeigen Sie: z1 , z2 , z3 sind die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks. Tipp: Schreiben Sie die Ausdr¨ucke |z1 − z2 |2 + |z2 − z3 |2 , |z2 − z3 |2 + |z3 − z1 |2 und |z3 − z1 |2 + |z1 − z2 |2 mit Hilfe von |z|2 = z z als Summe und benutzen Sie die Voraussetzungen um zu folgern, dass |z1 − z2 | = |z2 − z3 | = |z3 − z1 | gilt. 6. Zeigen Sie: F¨ur alle z, w ∈ C gilt 

|z + w|2 + |z − w|2 = 2 |z|2 + |w|2 . Interpretieren Sie diese Gleichung geometrisch. 7. F¨ur z, w ∈ C sei z ≺ w : ⇐⇒ Re z < Re w oder Re z = Re w und Im z < Im w . Zeigen Sie: ≺ erf¨ullt (A1). Insbesondere gilt f¨ur beliebige z, w ∈ C genau eine der drei Bedingungen z ≺ w, z = w oder w ≺ z. Zeigen Sie weiter, dass (A2) hier nicht gilt.

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Kapitel 3

Folgen reller und komplexer Zahlen

Wir haben in Kapitel 1 gesehen, dass man mit Folgen von Intervallen reelle Zahlen n

definiert. Dort haben wir schon beobachten k¨onnen, dass an = 1 + 1n der EulerZahl e mit wachsendem n immer n¨aher kommt. Auf Fourier (Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830, Paris) geht etwa die n¨aherungsweise Bestimmung von 4 durch Folgen sn , die sich als Summen schreiben, zur¨uck: 1 1 1 1 sn = 1 − + − + . . . ± (−1)n , 3 5 7 2n + 1 siehe auch Kapitel 11.2, Beispiel (1). Was passiert, wenn man Summen rn = 1 +

1 1 1 + + ... + 2 3 n

betrachtet, n¨ahern sie sich einer Zahl an (und was genau ist darunter u¨ berhaupt zu verstehen?); wenn ja, welcher? Dar¨uber hinaus stellen sich Fragen nach m¨oglichst schneller N¨aherung an bestimmte Zahlen, z.B. e oder  . Obige Ann¨aherung an 4 ist sehr langsam. Beispielsweise wird heutzutage √ 8 n (4k)! 1103 + 26390k 1 sn = −→  4 4k 9801 k=0 (k!)  396 zur Berechnung von etwa 2 Milliarden Stellen von  benutzt. Letzteres stammt von Srinivasa Ramanujan (1887-1920, Madras, Cambridge).

3.1 Folgen und Grenzwerte Eine Folge (an )n∈IN reeller Zahlen an ∈ IR (oder komplexer Zahlen an ∈ C) ist eine Abbildung von der Menge der nat¨urlichen Zahlen in die Menge der reellen (oder komplexen) Zahlen, d.h. jedem n ∈ IN wird eine Zahl an zugeordnet. Zun¨achst sei R. Lasser, F. Hofmaier, Analysis 1 + 2, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-28644-5_3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

23

24

3 Folgen reller und komplexer Zahlen

erw¨ahnt, dass eine Folge (an )n∈IN etwas anderes ist als die Menge {an : n ∈ IN}. Folge kommt es auf die Reihenfolge an. So sind etwa ((−1)n )n∈IN und

Bei der  n+1 (−1) zwei verschiedene Folgen, w¨ahrend die Menge der Folgenglieder in n∈IN beiden F¨allen {−1, 1} ist. Analog kann man auch Folgen der Form (an )n∈IN0 oder gar (an )n∈ZZ erkl¨aren. Definition 3.1. Sei (an )n∈IN eine Folge reeller (oder komplexer) Zahlen. Man sagt, die Folge konvergiert gegen a ∈ IR (bzw. a ∈ C), falls gilt: Zu jedem  > 0 existiert ein N ∈ IN mit |an − a| < 

f¨ur alle n ≥ N .

Die Zahl a heißt dann Grenzwert (auch: Limes) der Folge. 





C

IR a Alle an mit n ≥ N liegen in ]a −  , a +  [.

Alle an mit n ≥ N liegen in U (a).

Bemerkung: Grenzwerte sind eindeutig bestimmt. Beweis. Seien a, b Grenzwerte der Folge (an )n∈IN . Dann gibt es zu jedem  > 0 nat¨urliche Zahlen N, M mit |an − a| < 

f¨ur alle n ≥ N

und

|an − b| < 

f¨ur alle n ≥ M .

Daraus folgt |b − a| = |(ak − a) − (ak − b)| ≤ |ak − a| + |ak − b| < 2 , wobei etwa k := max{N, M} sei. F¨ur jedes  > 0 gilt also |b − a| < 2 ; es bleibt nur |b − a| = 0. 

Schreibweise: Konvergiert die Folge (an )n∈IN gegen a, so schreibt man a = lim an n→

oder

an → a mit n →  .

Gilt speziell lim an = 0, so bezeichnet man (an )n∈IN auch als Nullfolge. n→ Beispiele: (1) (2)

Sei an := a f¨ur alle n ∈ IN. Dann gilt lim an = a, denn |an − a| = 0 ∀n ∈ IN. n→

Sei an :=

1 n

f¨ur n ∈ IN. Hier gilt lim an = 0. n→

Begr¨ Zu  > 0 existiert N ∈ IN mit

1 undung:

− 0 = 1 ≤ 1 <  f¨ur alle n ≥ N. n n N (3)

Sei an :=

n+1 n

1 

< N, vgl. (A3); folglich gilt

1

= . = 1 + 1n f¨ur n ∈ IN. Es gilt lim an = 1, denn 1 − n+1 n n n→

3.1 Folgen und Grenzwerte

(4) (5)

25

n

Sei an := 1 + 1n f¨ur n ∈ IN. Es gilt lim an = e (Beispiel 1.7, Korollar 3.4). n→

qn

Seien q ∈ C mit |q| < 1, an := f¨ur n ∈ IN. Es ist lim an = 0 wegen |qn − 0| = |q|n und Satz 1.4(b). n→

(6)

n

Seien q ∈ C mit |q| < 1, sn :=  qk f¨ur n ∈ IN. Es gilt lim sn = k=0

n→

1 1−q .

Begr¨undung: F¨ur q = 0 ist (1 − q)sn = 1 − qn+1 und folglich





n+1



1



qn+1

1 (5)

sn − 1 = 1 − q − = = |q|n+1 −→ 0 .

1 − q 1 − q 1 − q 1 − q |1 − q| n

Sei (an )n∈IN eine Folge und sn :=  ak wie im vorangehenden Beispiel. k=1

Falls (sn )n∈IN konvergiert, so schreibt man 

lim sn .  ak := n→

k=1

Man bezeichnet dies als Reihe und (sn )n∈IN als Folge ihrer Partialsummen. Man kann (und das wird tats¨achlich gemacht) den Ausdruck 

 ak

k=1

auch als einfache Abk¨urzung f¨ur die Folge der Partialsummen (sn )n∈IN verwenden. Dieses Symbol hat also, je nach Zusammenhang, zwei verschiedene Bedeutungen: Es bezeichnet entweder die Reihe an sich oder aber deren Grenzwert. 

Beispielsweise nennt man  qk die Geometrische Reihe. k=0

Wir werden in Kapitel 5 noch in einer allgemeineren Situation auf Reihen zu sprechen kommen. Satz 3.2. Ist (an )n∈IN eine konvergente Folge, so ist die Menge {an : n ∈ IN} beschr¨ankt. Beweis. Sei a := lim an . Dann existiert ein N ∈ IN mit |an − a| < 1 ∀n ≥ N, also n→

|an | ≤ |an − a| + |a| < 1 + |a| ∀n ≥ N . Mit M := max {|a1 |, |a2 |, . . . , |aN−1 |, 1 + |a|} gilt nun |an | ≤ M f¨ur alle n ∈ IN.



Wir haben mit Satz 3.2 eine notwendige Bedingung f¨ur die Konvergenz einer Folge, n¨amlich die Beschr¨anktheit von {an : n ∈ IN}, gefunden. Zum Beispiel kann (qn )n∈IN nicht konvergieren, falls |q| > 1 ist, da dann {qn : n ∈ IN} unbeschr¨ankt ist, siehe Satz 1.4(a).

26

3 Folgen reller und komplexer Zahlen

Der folgende Satz enth¨alt ein hinreichendes Kriterium f¨ur Konvergenz. Eine Folge (an )n∈IN reeller Zahlen heißt monoton wachsend (bzw. monoton fallend), falls an+1 ≥ an (bzw. an+1 ≤ an ) f¨ur alle n ∈ IN gilt. Satz 3.3. (a) Jede monoton wachsende und nach oben beschr¨ankte Folge (an )n∈IN reeller Zahlen konvergiert gegen das Supremum von {an : n ∈ IN}, d.h. lim an = sup{an : n ∈ IN} .

n→

(b) Jede monoton fallende und nach unten beschr¨ankte Folge (an )n∈IN reeller Zahlen konvergiert gegen das Infimum von {an : n ∈ IN}, d.h. lim an = inf{an : n ∈ IN}. n→

Beweis. Wir f¨uhren den Nachweis hier nur f¨ur den Fall einer monoton wachsenden und nach oben beschr¨ankten Folge. Laut Satz 1.11 existiert s := sup{an : n ∈ IN}. Sei nun  > 0. Dann gibt es ein N ∈ IN mit aN > s −  , denn sonst w¨are s nicht die kleinste obere Schranke. Mit aN ≤ an ≤ s folgt |an − s| ≤ s − aN <  f¨ur alle n ≥ N. 

Man schreibt auch sup an := sup{an : n ∈ IN}, inf an := inf{an : n ∈ IN}. n∈IN

n∈IN

Wir notieren noch eine einfache Folgerung. Korollar 3.4. Sei (In )n∈IN eine Intervallschachtelung, In = [an , bn ], so gilt lim an = sup an = a = inf bn = lim bn

n→

n∈IN

n∈IN

n→

mit



In = {a} .

n∈IN

3.2 Rechnen mit Grenzwerten Die folgenden Rechenregeln erleichtern die Bestimmung von Grenzwerten. Satz 3.5. Seien (an )n∈IN , (bn )n∈IN zwei Folgen mit a = lim an und b = lim bn . n→ n→ Es gelten: (1) (2) (3) (4) (5) (6)

lim |an | = |a|

n→

lim ( an ) =  a

n→

( ∈ C)

lim (an + bn ) = a + b

n→

lim (an bn ) = ab

n→

Ist b = 0, so existiert ein n0 ∈ IN mit bn = 0 f¨ur alle n ≥ n0 , und die Folge (an /bn )n≥n0 konvergiert gegen ab . √ √ Ist an ≥ 0 f¨ur alle n, so gilt lim k an = k a (k ∈ IN). n→

3.2 Rechnen mit Grenzwerten

27

Beweis. (1) Seien  > 0 und N ∈ IN mit |an − a| <  ∀n ≥ N. Dann gilt auch | |an | − |a| | ≤ |an − a| <  ∀n ≥ N. (2) Der Fall  = 0 ist trivial. Andernfalls findet man zu  > 0 nun ein N ∈ IN mit |an − a| < | | ∀n ≥ N. Damit gilt | an −  a| <  ∀n ≥ N. (3) Zu  > 0 w¨ahle N ∈ IN mit |an − a| <  /2 und |bn − b| <  /2 f¨ur alle n ≥ N. Es folgt |(an + bn) − (a + b)| ≤ |an − a| + |bn − b| <

  + = 2 2

f¨ur alle n ≥ N .

(4) Nach Satz 3.3 existiert ein M > 0 mit |an | ≤ M f¨ur alle n ∈ IN. Setze K := max{|b|, M}. Zu  > 0 existiert ein N ∈ IN mit |an − a| <  /2K und |bn − b| <  /2K f¨ur alle n ≥ N. Damit gilt |an bn −ab| = |an(bn −b)+(an −a)b| ≤ |an||bn −b|+|b||an −a| < K

  +K = 2K 2K

f¨ur alle n ≥ N. (5) Mit dem vorangehenden Ergebnis gen¨ugt es, den Fall an = 1 zu betrachten. Es existiert ein n0 ∈ IN mit |b| − |bn| ≤ |b − bn | < |b| ur alle n ≥ n0 . Folglich gilt 2 f¨ |b| ≤ |b | f¨ u r alle n ≥ n . Insbesondere gilt b = 0 f¨ u r alle n ≥ n0 . n n 0 2 Es bleibt noch zu zeigen, dass n→ lim n≥n0

1 bn

=

1 b

gilt.

Zu  > 0 existiert ein N ∈ IN, N ≥ n0 mit |bn − b| < 2 |b|2 ∀n ≥ N. Damit gilt





2

1 1 bn − b

= 1 |bn − b| ≤ 2 |bn − b| < 2  |b| = 

− =

bn b bn b |bn | |b| |b|2 |b|2 2 f¨ur alle n ≥ N.



Zum Nachweis von (6) ben¨otigen wir noch folgendes Resultat. Satz 3.6. Seien (an )n∈IN eine konvergente Folge mit a = lim an und c ∈ IR. n→

(a) (b)

Ist an ∈ IR mit an ≤ c (bzw. an ≥ c) f¨ur alle n ∈ IN, so gilt a ≤ c (bzw. a ≥ c). Ist |an | ≤ c (bzw. |an | ≥ c) f¨ur alle n ∈ IN, so gilt |a| ≤ c (bzw. |a| ≥ c).

Beweis. (a) Seien zun¨achst an ≤ c f¨ur alle n ∈ IN. Ist a > c, so findet man zu  := a − c ein m ∈ IN mit |am − a| <  . Daraus folgt am = am − a + a ≥ a − |am − a| > a −  = c, ein Widerspruch. Es gilt also a ≤ c. Im Fall an ≥ c gilt −an ≤ −c und wir erhalten analog −a ≤ −c, also a ≥ c. (b) Aus an → a folgt |an | → |a| laut Rechenregel (1) aus Satz 3.5. Mit dem eben Bewiesenen folgt die Behauptung. 

Zu Satz 3.6 sei noch erw¨ahnt, dass aus an > c f¨ur alle n nicht notwendigerweise auch a > c folgt. Als Gegenbeispiel dient etwa an := 1n .

28

3 Folgen reller und komplexer Zahlen

Beweis (von Satz√ 3.5(6)). Wegen an ≥ 0 f¨ur alle n ist laut Satz 3.6 auch a ≥ 0. Daher existiert die Zahl k a. Sei nun  > 0. Dann ist  k > 0 und es gibt ein N ∈ IN derart, dass |an − a| <  k gilt f¨ur alle n ≥ N. Mit Lemma 1.9 folgt

√ √ 

k an − k a ≤ k |an − a| ≤  √ √ f¨ur alle n ≥ N. Also ist lim k an = k a. 

n→

Beispiel: lim

√

n→

n2 + n − n = 12 .

Beweis. Es ist √ √  ( n2 + n − n)( n2 + n + n) n 1 2 √ n +n −n = =√ = 2 2 n +n +n n +n +n 1 + 1n + 1 1 n→ n

und mit lim

= 0 sowie den Rechenregeln aus Satz 3.5 folgt

 1 1 1 = n2 + n − n = lim  =√ n→ n→ 1 + 0+ 1 2 1 + 1n + 1 lim



wie behauptet. Wir notieren noch eine weitere Folgerung.

Satz 3.7. Seien (an )n∈IN , (bn )n∈IN und (cn )n∈IN Folgen reller Zahlen mit an ≤ cn ≤ bn f¨ur alle n ∈ IN. Falls (an )n∈IN und (bn )n∈IN konvergent sind mit dem selben Grenzwert a, so gilt auch lim cn = a. n→

Beweis. Sei  > 0. Dann gibt es N1 , N2 ∈ IN mit |an − a| < |bn − a| < 3 f¨ur alle n ≥ N2 . Aus an ≤ bn folgt mit der Dreiecksungleichung

 3

f¨ur alle n ≥ N1 und

bn − an = |bn − an| = |bn − a − (an − a)| ≤ |bn − a| + |an − a| , folglich gilt bn − an < 23  f¨ur alle n ≥ N := max{N1 , N2 }. Außerdem gilt wegen an ≤ cn ≤ bn auch cn − an ≤ bn − an . Insgesamt erhalten wir damit |cn − a| = |cn − an + an − a| ≤ |cn − an| + |an − a| = cn − an + |an − a| ≤ bn − an + |an − a| <  . f¨ur alle n ≥ N. Es ist also lim cn = a wie behauptet. n→



3.2 Rechnen mit Grenzwerten

29

Beispiel: Es gilt

⎧ ⎪ ⎨1

1 lim = 12 n→ 1 + xn ⎪ ⎩ 0

f¨ur 0 ≤ x < 1 , f¨ur x = 1 , f¨ur x ≥ 1 .

Beweis. Wir beginnen mit dem einfachsten Fall x = 1. Hier ist 1 1 n ∈ IN, also auch lim 1+x n = 2.

1 1+xn

=

1 2

f¨ur alle

n→

Im Fall 0 ≤ x < 1 gilt lim xn = 0; mit den Rechenregeln aus Satz 3.5 erhalten wir n→

lim

n→

F¨ur x > 1 gilt 0 <

1 1+xn

<

1 xn

1 1 =1. = n 1+x 1+0 1 n n→ x

und lim

1 n n→ 1+x

= 0; mit Satz 3.7 folgt lim

= 0.



1

n=8 n=4 n=2

1 2

Die Abbildung zeigt das 1 ur Verhalten von 1+x n f¨ 0 ≤ x ≤ 2 und n = 2, 4, 8.

x 1

2

Weitere wichtige Grenzwerte: √ (1) lim n a = 1 f¨ur jedes a > 0 , n→ √ (2) lim n n = 1 , n→

(3)

nk n n→ z

lim

= 0 f¨ur jedes k ∈ IN und z ∈ C mit |z| > 1 .

Beweis. (1) Wir betrachten zun¨achst den Fall a ≥ 1. √ F¨ur n ∈ IN setzen wir an := n a − 1. Mit der Bernoulli-Ungleichung (Satz 1.3) erhalten wir a = (1 + an)n ≥ 1 + nan, also an ≤ a−1 n . Wegen a ≥ 1 gilt weiter an ≥ 0 f¨ur alle n√und laut Satz 3.7 erhalten wir mit n lim a−1 a = 1. n = 0 schließlich lim an = 0, also lim

n→

n→

n→

Es bleibt noch zu zeigen, dass die Behauptung auch f¨ur 0 < a < 1 gilt. In diesem Fall ist 1a > 1 und wir k¨onnen das bereits Bewiesene mit 1a an Stelle von a ben¨utzen: Es gilt √ 1 1  =1. lim n a = lim  = n→ n→ n 1 lim n 1a a n→

30

3 Folgen reller und komplexer Zahlen

(2) F¨ur n ∈ IN setzen wir an :=

√ n n − 1, dann gilt an ≥ 0 und weiter

n = (1 + an)n = 1 + n an +

n(n − 1) 2 n(n − 1) 2 an + · · · + ann ≥ 1 + an 2 2

f¨ur n ≥ 2, da alle Summanden auf der rechten Seite positiv sind. Nun folgt  2 n(n − 1) 2 n 2 an ⇒ 1 ≥ an ⇒ an ≤ n−1 ≥ 2 2 n  f¨ur alle n ≥ 2. Mit lim 2n = 0 und Satz 3.7 erhalten wir lim an = 0, also n→

n→

lim

n→

√ n n=1.

(3) Sei x := |z| − 1 > 0. F¨ur jedes n ∈ IN mit n > 2k + 1, also

n+1 2

> k + 1, ist

n n(n − 1) · · ·(n − k) k+1  n k+1 xk+1 x ; |z| = (1 + x) > xk+1 = > (k + 1)! 2 (k + 1)! k+1 n

n



daraus folgt

k

k+1

n

< nk 1 (k + 1)! = 2 (k + 1)! n→ −→ 0

zn

n k+1 xk+1 xk+1 n 2

nk n n→ z

und mit Satz 3.7 erhalten wir lim

= 0.



3.3 Asymptotische Gleichheit und rekursiv definierte Folgen F¨ur p, q ∈ IN, 0 , . . . , a p ; 0 , . . . , q ∈ C,  p = 0, q = 0, gilt ⎧  / , falls p = q , p p−1  p n +  p−1 n + · · · + 0 ⎨ p q 0 , falls p < q , = lim n→ q nq + q−1 nq−1 + · · · + 0 ⎩ konvergiert nicht, falls p > q . Der Grenzwert h¨angt also nur vom jeweils ersten Term in Z¨ahler und Nenner ab. Dies gibt Anlass zu folgender Definition. Definition 3.8. Zwei Folgen (an )n∈IN , (bn )n∈IN heißen asymptotisch gleich, falls lim bann = 1 gilt. Man schreibt: an ∼ = bn f¨ur n → .

n→

Hierbei wird nicht verlangt, dass die Folgen (an )n∈IN oder (bn )n∈IN selbst konvergent sind. Insbesondere gilt

 p n p +  p−1 n p−1 + · · · + 0 ∼ = p np

(0 , . . . ,  p ∈ C) .

3.3 Asymptotische Gleichheit und rekursiv definierte Folgen

31

Beispiel 3.9 (Wallissches Produkt). F¨ur n ∈ IN sei pn :=

n 2k 2n 2 4 6 · · ··· = . 1 3 5 2n − 1 k=1 2k − 1

√ Es gilt pn ∼ =  n, wobei  ∈ IR ist mit Beweis. Einerseits ist 

p √n+1 n+1 pn √ n

andererseits ist 

pn √ n

2 =

√ pn n+1

p √n+1 n+2 √ pn n+1

√

2 ≤  ≤ 2.

monoton fallend, denn

n (2n + 2)2 4n(n + 1) 4n2 + 4n <1; = = n + 1 (2n + 1)2 (2n + 1)2 4n2 + 4n + 1

monoton wachsend, denn

2 =

n + 1 (2n + 2)2 4(n + 1)3 >1. = n + 2 (2n + 1)2 4n3 + 12n2 + 9n + 2

Daraus folgt √ pn p1 pn ≤ √ ≤ · · · ≤ p1 = 2 . 2 = √ ≤ ··· ≤ √ n n+1 2 Also ergibt sich mit Satz 3.3 nun √ pn pn lim √ = inf √ =:  ≥ 2 n→ n n∈IN n pn pn lim √ = sup √ =:  ≤ 2 . n + 1 n∈IN n + 1 √ Insbesondere ist mit (3.1) gezeigt, dass pn ∼ =  n gilt. Weiter gilt auch  =  wegen und

n→

pn √ n √ pn n+1

=

pn pn In := √ ,√ n+1 n

Tats¨achlich gilt  =

 n∈IN

(3.2)

√ n+1 √ →1. n

Insbesondere erh¨alt man durch

eine Intervallschachtelung mit

(3.1)

!

In = { }.



√  ; zum Beweis siehe Kapitel 8.3.

Es ist oft sinnvoll oder sogar n¨otig, eine Folge rekursiv zu definieren, d.h. mittels einer Vorschrift, die angibt, wie man an+1 aus a1 , . . . , an berechnet.

32

3 Folgen reller und komplexer Zahlen

Beispiel 3.10 (Algorithmus zur Bestimmung der Quadratwurzel). Sei x > 0. Dann ist durch  1 x an + f¨ur n ∈ IN , a1 := x , an+1 := 2 an eine Folge (an )n∈IN erkl¨art. Wir wollen uns u¨ berlegen, ob diese Folge konvergent ist. Falls an > 0 ist, so folgt auch an+1 > 0. Zusammen mit a1 = x > 0 erhalten wir induktiv an > 0 f¨ur alle n ∈ IN, insbesondere ist der Bruch axn u¨ berhaupt erkl¨art. Wenn wir annehmen, dass lim an =:  existiert, so gilt auch lim an+1 =  und n→

n→

 1 1 x x an + = ,  = lim an+1 = lim + n→ n→ 2 an 2  falls  = 0. √ Wegen  = 12 ( + x√) ⇒ 2 2 =  2 + x ⇒  = ± x kommen als Grenzwert nur die Werte 0 und ± x in Frage. Wir haben allerdings noch nicht gezeigt, dass die Folge konvergent ist! √ Behauptung: Es gilt lim an = x. n→

Beweis. F¨ur jedes n ∈ IN gilt  √  (an − x)2 √ √ √ 1 2 1 x an − 2 x + = an − 2 x an + x = ≥0. an+1 − x = 2 an 2an 2an Weiter ist √ √ √  an − x 1 √  1 an − x an − x ≤ 0 ≤ an+1 − x = 2 an 2    ≤1

≤ ··· ≤

1 2n−1

1 √ 2 n ( x − 1) n→ 2

Mit lim

√  a2 − x =

1 2n−1



√ 1 1 √ (x + 1) − x = n ( x − 1)2 . 2 2

√ = 0 erhalten wir nun lim an − x = 0 wie gew¨unscht. n→



3.4 Eine Intervallschachtelung fur ¨ den Logarithmus Folgendes Konzept stammt von Adolf Hurwitz (1859-1919, K¨onigsberg; Studium in M¨unchen). Wir werden in Kapitel 6.3 sehen, dass es sich bei dem hier konstruierten so genannten Logarithmus in der Tat um die Umkehrung der Exponentialfunktion handelt.

3.4 Eine Intervallschachtelung f¨ur den Logarithmus

33

Wir betrachten f¨ur beliebiges x > 0 eine rekursiv definierte Folge (xn )n∈IN0 . Es seien x0 := x ,

xn+1 :=

√ xn

(n ∈ IN0 ) .

(3.3)

Wir zeigen, dass unabh¨angig vom Startwert x immer lim xn = 1 gilt. n→

Beweis. Ist x0 = x ≥ 1, so ist auch xn ≥ 1 ∀n ∈ IN und daher xn+1 ≤ x2n+1 = xn , d.h. (xn )n∈IN0 ist monoton fallend und nach unten beschr¨ankt. Laut Satz 3.3 existiert  := lim xn ≥ 1. Da aber auch  = lim xn+1 ist, gilt n→

n→

 2 = lim x2n+1 = lim xn =  . n→

n→

Daraus folgt  = 0 oder  = 1. Schließlich ist  = 0 aber nicht m¨oglich wegen xn ≥ 1 ∀n ∈ IN.  Ist 0 < x < 1, so betrachte 1x als Startwert. Mit √1x = 1x folgt dann analog zu obiger Berechnung ebenfalls die Behauptung. 

Lemma 3.11. Sei x > 0. Mit der in (3.3) erkl¨arten Folge (xn )n∈IN0 setze  1 n , bn := 2n (xn − 1) . an := 2 1 − xn

(3.4)

Dann ist (In )n∈IN0 mit In := [an , bn ] eine Intervallschachtelung. Beweis. Wir zeigen zun¨achst bn+1 ≤ bn und an ≤ an+1 sowie an ≤ bn f¨ur alle n ∈ IN. Dazu benutzen wir die Ungleichungen (i)

2(y − 1) ≤ y2 − 1

und

(ii)

y+

1 ≥2 y

f¨ur beliebiges y > 0, die man leicht aus y2 − 2y + 1 = (y − 1)2 ≥ 0 folgern kann. Mit (i) erhalten wir bn+1 = 2n+1(xn+1 − 1) ≤ 2n (x2n+1 − 1) = 2n (xn − 1) = bn sowie     1 1 1 n 1 − = an − 1 ≥ −2n − 1 = 2 an+1 = −2n+1 xn+1 xn x2n+1   und mit (ii) schließlich an = 2n 1 − x1n ≤ 2n (xn − 1) = bn . Also sind (an )n∈IN0 und (bn )n∈IN0 konvergente Folgen, siehe Satz 3.3, denn (an )n∈IN0 ist monoton steigend, beschr¨ankt nach oben durch b0 und (bn )n∈IN0 ist monoton fallend, beschr¨ankt nach unten durch a0 .   Wegen an xn = 2n 1 − x1n xn = 2n (xn − 1) = bn und lim xn = 1 gilt lim an = lim bn . n→

Damit ist gezeigt, dass (In )n∈IN0 eine Intervallschachtelung ist.

n→

n→



34

3 Folgen reller und komplexer Zahlen

Ausgehend von x > 0 haben wir u¨ ber (3.3) und (3.4) eine Intervallschachtelung (In )n∈IN0 mit In = [an , bn ] definiert. Bezeichne ln(x) := lim an = lim bn , also n→

{ln(x)} =



n→

In .

n∈IN0

Wir nennen diese Zahl den (naturlichen) ¨ Logarithmus von x. Satz 3.12. F¨ur alle x, y > 0 gelten (a)

ln(1) = 0 ,

(b)

  √ 1 − 1x ≤ ln(x) ≤ x − 1 und 2 1 − √1x ≤ ln(x) ≤ 2( x − 1) ,

(c)

ln(xy) = ln(x) + ln(y) .

(Funktionalgleichung des Logarithmus)

Beweis. (a) F¨ur x = 1 gilt xn = 1, also an = bn = 0 f¨ur alle n ∈ IN, und somit ln(1) = 0. (b) Wie in Lemma 3.11 gezeigt, gilt an ≤ ln(x) ≤ bn ∀n ∈ IN0 (wobei an , bn von x > 0 abh¨angen). F¨ur n = 0 erh¨alt man 1 ≤ ln(x) ≤ x − 1 . x   √ √ F¨ur n = 1 gilt x1 = x, also hat man 2 1 − √1x ≤ ln(x) ≤ 2( x − 1). 1−

(c) Es sei z := xy > 0. Wir betrachten nun x0 = x, y0 = y, z0 = z und xn+1 = √ √ yn+1 = yn , zn+1 = zn gem¨aß (3.3). Unter Benutzung der bn zu x bzw. y bzw. z erh¨alt man

√ xn ,

ln(z) = lim 2n (zn − 1) = lim 2n (xn yn − 1) = lim (2n xn (yn − 1) + 2n(xn − 1)) n→

= lim xn n→



n→

n→

 lim 2n (yn − 1) + lim 2n (xn − 1) = ln(y) + ln(x)

n→

n→

wie behauptet.



Korollar 3.13. Es gelten

 (a) ln 1x = − ln(x) f¨ur alle x > 0, (b)

0 < x < y ⇒ ln(x) < ln(y).

Beweis. (a) Mit der Funktionalgleichung erhalten wir   1 1 + ln(x) = ln x = ln(1) = 0 . ln x x (b) Setze c := yx . Mit c > 1 folgt aus Satz 3.12(b) zun¨achst ln(c) ≥ 1 − 1c > 0; mit der Funktionalgleichung folgt nun ln(y) = ln(cx) = ln(c) + ln(x) > ln(x). 

3.5 Aufgaben

35

ln(x) Der Logarithmus wird zwar beliebig groß, aber a¨ ußerst langsam. Um im Maßstab der Abbildung 30 cm auf der y-Achse an H¨ohe zu gewinnen (A4-Blatt), braucht man auf der x-Achse 100 Millionen Kilometer (≈ 23 × Abstand Erde – Sonne).

x

3.5 Aufgaben 1. Welche der Folgen 1 , an := √ n+1

bn :=

1 − 2n , 5 + 3n

cn := (−1)n

sind konvergent ? Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. Benutzen Sie dabei direkt die Definition 3.1 und keine weiteren Resultate aus Kapitel 3. 2. Berechnen Sie die Grenzwerte der durch an :=

n2 + 3n + 2 n3 + 1

und

bn :=

5n8 − 7n − 1 n8 + n4 + n2 + 1

erkl¨arten Folgen. 3. Ist die durch

 1 n an := 1 − 2 n

erkl¨arte Folge (an )n∈IN konvergent ? Bestimmen Sie ggf. den Grenzwert. 4. Zeigen Sie mit Hilfe von Satz 3.3, dass die durch an :=

1 1 1 + + ···+ 1+n 2+n n+n

erkl¨arte Folge (an )n∈IN konvergiert. 5. Es sei (an )n∈IN eine Folge komplexer Zahlen. Zeigen Sie: Die Folge (an )n∈IN ist konvergent genau dann, wenn (Re an )n∈IN und (Im an )n∈IN beide konvergent sind.

36

3 Folgen reller und komplexer Zahlen

6. Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. √ √ a. an := n + t − n mit t > 0  √ mit t > 0 b. bn := n + nt − n √ c. c1 := 1 , cn+1 := 2 + cn f¨ur n ∈ IN √ mit 0 ≤ a ≤ b (Hinweis: bn ≤ an + bn ≤ 2bn ) d. dn := n an + bn 7. Es seien (an )n∈IN eine Folge komplexer Zahlen und a ∈ C. Zeigen Sie, dass die folgenden drei Aussagen a¨ quivalent sind. (i)

Zu jedem  > 0 gibt es ein N ∈ IN mit |an − a| <  f¨ur alle n ≥ N.

(ii)

Zu jedem  > 0 gibt es ein N ∈ IN mit |an − a| ≤  f¨ur alle n ≥ N.

(iii)

Zu jedem  > 0 gibt es ein N ∈ IN mit |an − a| <

 2

f¨ur alle n ≥ N.

8. Das Arithmetisch-geometrische Mittel. Es seien a, b ∈ IR mit 0 < a < b. Wir setzen a0 := a, b0 := b und an+1 := G(an , bn ) ,

bn+1 := A(an , bn )

f¨ur n ∈ IN0 ,

wobei A und G wie in 1.4, Aufgabe 8, erkl¨art sind. Zeigen Sie: a. F¨ur alle n ∈ IN0 gilt an < bn . b. Die Intervalle In := [an , bn ] bilden eine Intervallschachtelung. 1 c. F¨ur alle n ∈ IN0 gilt bn+1 − an+1 ≤ 8a (bn − an)2 .

Kapitel 4

Metrische R¨aume und Cauchyfolgen

Wir haben den Begriff der Konvergenz sowohl f¨ur reelle als auch f¨ur komplexe Folgen erkl¨art. Dabei haben wir nur den Begriff des Abstandes“ zwischen x und y ” ben¨utzt, n¨amlich |x − y|. Hat man einen sinnvollen Abstandsbegriff in anderen R¨aumen als IR oder C, so kann man dort auch Konvergenz erkl¨aren.

4.1 Metrische und normierte R¨aume Wir f¨uhren nun einen allgemeinen Abstandsbegriff auf beliebigen Mengen ein. Definition 4.1. Sei M eine Menge. Eine Abbildung d : M × M → IR heißt Metrik, wenn (M1) (M2) (M3)

d(a, b) ≥ 0 und d(a, b) = 0 ⇐⇒ a = b, d(a, b) = d(b, a), d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c), (Dreiecksungleichung)

f¨ur alle a, b, c ∈ M gilt. Man sagt dann, (M, d) ist ein metrischer Raum, und nennt d(a, b) den Abstand von a und b. Beispiele: (1)

Auf IR oder C haben wir eine nat¨urliche“ Metrik, d(x, y) := |x − y|. ” Wir schreiben k¨unftig IK f¨ur IR oder C.

(2)

Auf jeder Menge M = ∅ ist durch d(a, b) :=

0 , f¨ur a = b , 1 , f¨ur a = b ,

eine Metrik gegeben, die diskrete Metrik.

R. Lasser, F. Hofmaier, Analysis 1 + 2, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-28644-5_4, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

37

38

4 Metrische R¨aume und Cauchyfolgen

Sei M := {0, 1}n := {x = (x1 , . . . , xn ) : x1 , . . . , xn ∈ {0, 1} }. Durch

(3)

d(x, y) := |x1 − y1 | + . . . + |xn − yn | (die Anzahl der Stellen, an denen x und y verschiedene Eintr¨age haben) ist eine Metrik definiert. Sie heißt Hamming-Abstand. (4)

Auf IK haben wir bereits zwei Metriken, die nat¨urliche und die diskrete Metrik. Eine weitere ist durch d(x, y) :=

|x − y| 1 + |x − y|

definiert. (M1), (M2) sind offensichtlich erf¨ullt. Um (M3) zu zeigen, verwenden wir folgende Hilfsaussage: F¨ur 0 ≤ s ≤ t gilt s t ≤ 1+t . s(1 + t) = s + st ≤ t + st = t(1 + s) und daraus folgt 1+s Mit s = |x − z| und t = |x − y| + |y − z| gilt d(x, z) =

(|x − y| + |y − z|) |x − z| ≤ 1 + |x − z| 1 + (|x − y| + |y − z|) =

|y − z| |x − y| + 1 + (|x − y| + |y − z|) 1 + (|x − y| + |y − z|)

≤

|y − z| |x − y| + = d(x, y) + d(y, z) , 1 + |x − y| 1 + |y − z|

also ist (M3) ebenfalls erf¨ullt. Man beachte, dass in einem metrischen Raum (M, d) jede Teilmenge L ⊆ M mit d|L, der Einschr¨ankung von d auf L, ein metrischer Raum ist. Ist die zu Grunde liegende Menge sogar ein IK-Vektorraum (IK = IR oder C), so erh¨alt man Metriken u.a. u¨ ber so genannte Normen. Definition 4.2. Sei X ein IK-Vektorraum. Eine Abbildung  ·  : X → IR heißt Norm, wenn (N1) (N2) (N3)

x ≥ 0 und x = 0 ⇐⇒ x = 0,  x = | |x, x + y ≤ x + y, (Dreiecksungleichung)

f¨ur alle x, y ∈ X und alle  ∈ IK gilt. Weiter heißt (X ,  · ) dann normierter Raum. Man sieht sofort, daß bei gegebener Norm  ·  durch d(x, y) := x − y

(4.1)

eine Metrik auf X definiert wird. Die Metriken auf einem IK-Vektorraum, die durch Normen gem¨aß (4.1) bestimmt sind, kann man einfach charakterisieren.

4.1 Metrische und normierte R¨aume

39

Satz 4.3. Sei X ein IK-Vektorraum. Eine Metrik d auf X wird gem¨aß (4.1) von einer Norm definiert genau dann, wenn (a) (b)

d(x + a, y + a) = d(x, y) d( x,  y) = | | d(x, y),

und

f¨ur alle x, y ∈ X,  ∈ IK gilt. Beweis. Bei gegebener Norm  ·  setzen wir d(x, y) := x − y f¨ur x, y ∈ X . Dann gelten d(x + a, y + a) = (x + a) − (y + a) = d(x, y)

und

d( x,  y) = ( x) − ( y) = | | d(x, y) . Sei umgekehrt d mit (a) und (b) gegeben. Wir setzen nun x := d(x, 0) f¨ur x ∈ X . Dann gilt x = 0 ⇐⇒ d(x, 0) = 0 ⇐⇒ x = 0. Ferner ist (b)

 x = d( x,  0) = | | d(x, 0) = | |x . Schließlich gilt auch (a)

x + y = d(x + y, 0) = d(x, −y) ≤ d(x, 0) + d(0, −y) (b)

= d(x, 0) + d(−y, 0) = x + y . Es bleibt zu pr¨ufen, dass zwischen der so definierten Norm und d die Beziehung (4.1) gilt. In der Tat ist (a)

x − y = d(x − y, 0) = d(x, y) 

wie behauptet. Beispiel: Normen auf IKd . F¨ur x = (x1 , . . . , xd ) seien x1 :=

d

 |xk | ,

k=1

 x2 :=

d

1/2

 |xk |

2

,

k=1

x := max |xk | . k=1,...,d

Die Eigenschaften (N1) und (N2) gelten offensichtlich in allen drei F¨allen. Die Dreiecksungleichung (N3) ist f¨ur  · 1 und  ·  ebenfalls einfach zu sehen. Die Dreiecksungleichung f¨ur  · 2 heißt auch Minkowski-Ungleichung (Hermann Minkowski, 1864-1909, Z¨urich, G¨ottingen). Zu deren Nachweis ben¨otigen wir die

40

4 Metrische R¨aume und Cauchyfolgen

Cauchy-Ungleichung; auch Cauchy-Schwarz-Ungleichung oder Cauchy-SchwarzBunjakowski-Ungleichung genannt (Augustin Louis Cauchy, 1789-1857, Paris; Viktor Jakowlewitsch Bunjakowski, 1804-1889, Petersburg; Hermann Amandus Schwarz, 1843-1921, Berlin). Satz 4.4 (Cauchy-Ungleichung). Seien (a1 , . . . , ad ) , (b1 , . . . , bd ) ∈ IRd . Dann gilt

 1/2  1/2

d

d d



.

 ak bk ≤  a2k  b2k

k=1

k=1 k=1 Beweis. Es ist   d



k=1

a2k



d



k=1

b2k

 −

2

d

 ak bk

=

k=1

d

d

d

d

  a2k b2i −   ak bk ai bi .

k=1 i=1

k=1 i=1

Auf der rechten Seite fallen die Summanden f¨ur k = i jeweils weg; wir erhalten d

d

d

d

d

d

  a2k b2i −   ak bk aibi =  

k=1 i=1

k=1 i=1

a2k b2i − ak bk ai bi

k=1 i = 1



i = k

=

d

d

 

k=1 i=k+1

=

d

d

 

a2k b2i − 2ak bk ai bi + a2i b2k



(ak bi − ai bk )2 ≥ 0

k=1 i=k+1

und weiter



2

d

 ak bk

k=1

 ≤



d



k=1

a2k

d



k=1

 b2k

.

Da die Summen auf der rechten Seite nicht negativ sind, ist

 1/2  1/2

d

d d



 ak bk ≤  a2k  b2k

k=1

k=1 k=1 

wie gew¨unscht.

Satz 4.5 (Minkowski-Ungleichung). Seien x = (x1 , . . . , xd ) , y = (y1 , . . . , yd ) ∈ IKd . Dann gilt x + y2 ≤ x2 + y2. Beweis. Es ist x + y22 =

d

d

k=1

k=1

 |xk + yk |2 ≤  |xk + yk | (|xk | + |yk |)

und mit Hilfe der Cauchy-Ungleichung erhalten wir

4.1 Metrische und normierte R¨aume d

41

d

 |xk + yk | |xk | +  |xk + yk | |yk |

k=1



≤

k=1

1/2 

d

 |xk + yk |

2

k=1

d

1/2

 |xk |

2

 +

k=1

d

1/2 

 |xk + yk |

2

k=1

d

1/2

 |yk |

2

k=1

= x + y2 (x2 + y2) . Daraus folgt x + y2 ≤ x2 + y2.



Damit ist gezeigt, dass auch  · 2 eine Norm auf IKd ist. Man nennt sie die Euklidische Norm. Der normierte Raum (IRd ,  · 2) heißt Euklidischer Raum. Die folgende Abbildung zeigt f¨ur jede der Normen  · 1 ,  · 2 und  ·  in IR2 die so genannte Einheitskugel K1 (0) := {x ∈ IR2 : x ≤ 1}. (0, 1)

(1, 1)

(0, 1)

(1, 0) (1, 0)

F¨ur x = (x1 , x2 ) mit x1 ≤ 1 gilt x1 ∈ [−1, 1] und x2 ∈ [−1 + |x1 |, 1 − |x1 |].

(1, 0)

Die Einheitskugel bez¨uglich  · 2 ist genau die Kreisscheibe {(x1 , x2 ) ∈ IR2 : x21 + x22 ≤ 1}.

Die Einheitskugel bzgl.  ·  ist das Quadrat [−1, 1]2 .

Beispiel: Der Raum  . Wir bezeichnen den Raum aller beschr¨ankten Folgen reeller (oder komplexer) Zahlen mit  . Mit den f¨ur x = (xn )n∈IN , y = (yn )n∈IN und  ∈ IK definierten Operationen (x + y)n := xn + yn und ( x)n :=  xn ist dies ein IK-Vektorraum. Wir wollen sehen, dass durch x := sup |xn | eine Norm auf  erkl¨art ist. n∈IN

Die Eigenschaften (N1) und (N2) sind leicht ersichtlich. Zum Nachweis der Dreiecksungleichung seien x, y ∈  . F¨ur jedes k ∈ IN gilt |xk + yk | ≤ |xk | + |yk | ≤ sup{|xn | : n ∈ IN} + sup{|yn | : n ∈ IN}, also auch x + y = sup{|xk + yk | : k ∈ IN} ≤ sup{|xn | : n ∈ IN} + sup{|yn | : n ∈ IN} = x + y . Bezeichnungen: Ist (M, d) ein metrischer Raum, so definieren wir Ur (a) := {b ∈ M : d(b, a) < r} und Kr (a) := {b ∈ M : d(b, a) ≤ r} sowie Sr (a) := {b ∈ M : d(b, a) = r} f¨ur feste a ∈ M, r > 0.

42

4 Metrische R¨aume und Cauchyfolgen

4.2 Cauchyfolgen und Vollst¨andigkeit F¨ur Folgen (an )n∈IN , an ∈ M, liegt es nun auf der Hand, einen Konvergenzbegriff einzuf¨uhren. Definition 4.6. Seien (M, d) ein metrischer Raum und (an )n∈IN eine Folge in M. (i)

Die Folge (an )n∈IN heißt konvergent gegen a ∈ M, falls zu jedem  > 0 ein N ∈ IN existiert mit d(an , a) < 

f¨ur alle n ≥ N .

d

Man schreibt lim an = a oder an −→ a. n→

(ii)

Die Folge (an )n∈IN heißt Cauchyfolge, falls zu jedem  > 0 ein N ∈ IN existiert mit d(an , am ) <  f¨ur alle n, m ≥ N .

(iii)

Der Raum (M, d) heißt vollst¨andig, falls jede Cauchyfolge in M konvergiert. Ein vollst¨andiger normierter Raum heißt Banachraum (Stefan Banach, 1892-1945, Lemberg).

Beispiel: F¨ur x ∈ IR setze  (x) :=

x 1+|x| .

Dann ist durch

d(x, y) := | (x) −  (y)| eine Metrik d auf IR erkl¨art, sodass (IR, d) nicht vollst¨andig ist. Beweis. Aus der Definition folgt unmittelbar, dass d(z, y) ≥ 0 ist f¨ur alle x, y ∈ IR; im Fall x = y gilt offensichtlich d(x, y) = 0. Sei nun d(x, y) = 0, so folgt y x = ⇒ x(1 + |y|) = y(1 + |x|) ⇒ x + x |y| = y + y |x| . 1 + |x| 1 + |y| In den F¨allen x, y ≥ 0 oder x, y ≤ 0 erhalten wir x |y| = y |x| und damit x = y. Andernfalls k¨onnen wir ohne Einschr¨ankung annehmen, dass x > 0 und y ≤ 0 gilt. Wir erhalten −x |y| = y |x| und weiter x + x |y| = y − x |y| ⇒ 2x |y| = y − x. Wegen x > 0 und y ≤ 0 ist dies ein Widerspruch. Es gilt also d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y. Damit ist (M1) gezeigt; (M2) ist offenbar auch erf¨ullt. Seien x, y, z ∈ IR, dann gilt





x z



x y y z



d(x, z) =

− = − + − 1 + |x| 1 + |z| 1 + |x| 1 + |y| 1 + |y| 1 + |z|





x y



y z



− + − = d(x, y) + d(y, z) , ≤

1 + |x| 1 + |y| 1 + |y| 1 + |z|

womit (M3) auch gezeigt ist. Folglich ist d eine Metrik.

4.2 Cauchyfolgen und Vollst¨andigkeit

43

Es sei an := n f¨ur a ∈ IN. F¨ur beliebiges N ∈ IN und N ≤ m ≤ n gilt dann





n m



n(1 + m) − m(1 + n)

n−m

d(an , am ) =

− = = 1 + n 1 + m (1 + n)(1 + m) (1 + n)(1 + m) ≤

1 1 n = ≤ . n(m + 1) m + 1 N

Wenn wir zu  > 0 also N ∈ IN so w¨ahlen, dass d(an , am ) < 

1 N

<  ist, erhalten wir

f¨ur alle n, m ≥ N ,

d.h. (an )n∈IN ist eine Cauchyfolge in (IR, d). d

Angenommen, es gibt a ∈ IR mit an → a. Offensichtlich ist dann a > 0. F¨ur n ∈ IN, n > 2a, folgt



n

n a

|n − a| 1 2

d(an , a) =

− = > = . 1 + n 1 + |a| (1 + n)(1 + |a|) 2n(1 + |a|) 4(1 + |a|) Zu  =

1 4(1+|a|)

gibt es demnach kein N ∈ IN derart, dass gilt d(an , a) < 

f¨ur alle n ≥ N

d

im Widerspruch zu an → a. Die Folge konvergiert also nicht. Wir haben hiermit eine Cauchyfolge in (IR, d) gefunden, die nicht konvergiert. Folglich ist (IR, d) nicht vollst¨andig. 

Bemerkungen: (1)

Eine Folge in (M, d) kann gegen h¨ochstens einen Grenzwert konvergieren. Man kann den Beweis aus Abschnitt 3.1 fast w¨ortlich kopieren.

(2)

Auch nach Definition √ 4.6 √ ist Q mit der nat¨urlichen Metrik nicht vollst¨andig: In jedem Intervall [ 2, 2 + 1n ] finden wir ein an ∈ Q. Damit ist (an )n∈IN eine Cauchyfolge in Q, konvergiert aber nicht (in Q).

(3)

Jede konvergente Folge (an )n∈IN in (M, d) ist eine Cauchyfolge, denn seien a = lim an und  > 0, so gibt es ein N ∈ IN mit d(an , a) < 2 f¨ur alle n ≥ N, n→ und damit gilt d(an , am ) ≤ d(an , a) + d(a, am) <

  + = 2 2

falls n, m ≥ N .

Wenn wir im Folgenden von Konvergenz in IR oder C (ohne zus¨atzliche Angabe) sprechen, meinen wir stets Konvergenz in der nat¨urlichen (Betrags-)Metrik. Satz 4.7. Jede Cauchyfolge (an )n∈IN in IR ist konvergent.

44

4 Metrische R¨aume und Cauchyfolgen

1 Beweis. Zu k ∈ IN gibt es nk ∈ IN mit |an − am | 2k+1 f¨ur alle n, m ≥ nk . Wir k¨onnen diese so w¨ahlen, dass nk+1 ≥ nk gilt. Definiert man Intervalle mittels  1 Ik := x ∈ IR : |x − ank | ≤ k , 2

dann ist an ∈ Ik f¨ur alle n ≥ nk . Weiter gilt Ik+1 ⊆ Ik : Ist n¨amlich x ∈ Ik+1 , so gilt 1 1 |x − ank+1 | ≤ 2k+1 . Da mit nk+1 ≥ nk auch |ank+1 − ank | < 2k+1 ist, folgt |x − ank | ≤ |x − ank+1 | + |ank+1 − ank | < Die L¨ange der Ik ist

1 . 2k−1

1 , 2k

also x ∈ Ik .

Somit ist (Ik )k∈IN eine Intervallschachtelung.

Gem¨aß der Vollst¨andigkeit von IR nach Definition 1.6 sei nun Wir zeigen, dass lim an = a gilt. n→

Ist  > 0, so w¨ahle k ∈ IN mit

1 2k

 

k=1

Ik = {a}.

< 2 . F¨ur n ≥ N := nk gilt dann

|an − a| ≤ |an − ank | + |ank − a| <

  1 1 + < + = . 2k+1 2k 2 2

Folglich konvergiert die Folge (an )n∈IN gegen a.



Bemerkung: Im Beweis von Satz 4.7 haben wir die Vollst¨andigkeit von IR bez¨uglich Intervallschachtelungen benutzt um Vollst¨andigkeit bzgl. Cauchyfolgen zu zeigen. Fordert man in der Konstruktion der Menge IR als vollst¨andigen archimedisch angeordneten K¨orper die Vollst¨andigkeit mittels Cauchyfolgen, so kann man daraus wiederum die Vollst¨andigkeit bez¨uglich Intervallschachtelungen zeigen. Dar¨uberhinaus ist auch die Supremumseigenschaft (vgl. Satz 1.11) eine a¨ quivalente Charakterisierung der Vollst¨andigkeit von IR. Weitere Details zur Menge der reellen Zahlen findet man u.a. in [3]. Konvergenz im Euklidischen Raum: Es sei (xn )n∈IN eine Folge in IKd , xn = (xn,1 , ..., xn,d ). Wegen d

 |xn,k − xk |2 → 0

⇐⇒ xn,k → xk f¨ur alle k ∈ {1, . . . , d}

k=1

konvergiert (xn )n∈IN gegen x ∈ IKd bzgl.  · 2 genau dann, wenn alle Komponentenfolgen (xn,k )n∈IN gegen xk konvergieren. Ebenso sieht man, dass (xn )n∈IN Cauchyfolge in (IKd ,  · 2 ) ist, genau dann, wenn alle Komponentenfolgen (xn,k )n∈IN , k = 1, . . . , d, Cauchyfolgen in IK sind. Damit folgt: Korollar 4.8. Der Euklidische Raum (IRd ,  · 2 ) ist vollst¨andig. Insbesondere ist auch C (mit der nat¨urlichen Metrik) vollst¨andig.

4.3 Skalarprodukt und Orthogonalit¨at

45

Wir wollen noch ein Beispiel f¨ur einen weiteren Banachraum angeben. Sei M eine beliebige Menge, und bezeichne B(M) den Raum aller beschr¨ankten Funktionen f : M → IK, d.h. B(M) enth¨alt genau diejenigen Abbildungen f , f¨ur die { f (x) : x ∈ M} eine beschr¨ankte Teilmenge von IK ist. Mit f , g ∈ B(M) und  ∈ IK gilt offensichtlich auch f + g ∈ B(M) und  f ∈ B(M), daher ist B(M) ein IK-Vektorraum. Weiter sei  f  := sup | f (x)| . x∈M

Man kann direkt nachrechnen, dass  ·  eine Norm auf B(M) ist. Gelegentlich schreibt man auch  · M an Stelle von  ·  . Satz 4.9. Der normierte Raum (B(M),  ·  ) ist ein Banachraum. Beweis. Zu zeigen bleibt, dass jede Cauchyfolge in (B(M),  ·  ) konvergiert. Sei ( fn )n∈IN eine Cauchyfolge in (B(M),  ·  ). Zu jedem  > 0 gibt es demnach ein N ∈ IN mit  fn − fm  <  f¨ur alle m, n ≥ N. F¨ur beliebiges x ∈ M folgt daraus | fn (x) − fm (x)| <  ∀ m, n ≥ N, wobei N unabh¨angig von x ist. Folglich ist ( fn (x))n∈IN eine Cauchyfolge in IK. Diese ist konvergent, da IK vollst¨andig ist. Also existiert der Grenzwert lim fn (x) =: f (x). n→ Sei n ≥ N zun¨achst fest gew¨ahlt. Es ist lim | fn (x) − fm (x)| = | fn (x) − f (x)| und damit | fn (x) − f (x)| ≤  ∀x ∈ M. m→ Da fn beschr¨ankt ist, ist somit auch f beschr¨ankt. Weiter gilt  fn − f  = sup | fn (x) − f (x)| ≤  x∈M

f¨ur alle n ≥ N ,

also konvergiert die Folge ( fn )n∈IN im Raum (B(M),  ·  ) gegen f ∈ B(M).



4.3 Skalarprodukt und Orthogonalit¨at Definition 4.10. Sei X ein IK-Vektorraum. Eine Abbildung ·, · : X × X → IK heißt Skalarprodukt, wenn (S1)

x, x ≥ 0

und x, x = 0 ⇐⇒ x = 0,

(S2)

 x, y =  x, y,

(S3)

x, y = y, x,

(S4)

x + y, z = x, z + y, z,

f¨ur alle x, y, z ∈ X und alle  ∈ IK gilt. Einen Vektorraum mit Skalarprodukt bezeichnet man auch als Pr¨ahilbertraum. Weiter sagt man, x und y sind orthogonal, falls x, y = 0 ist. Sei I eine beliebige Indexmenge. Eine Menge {xi : i ∈ I} ⊆ X heißt orthonormal, falls xi , x j  = 0 f¨ur i = j und xi , xi  = 1 f¨ur alle i ∈ I gilt.

46

4 Metrische R¨aume und Cauchyfolgen

 Wit werden sehen, dass in einem Pr¨ahilbertraum X durch x := x, x eine Norm erkl¨art ist. Die Eigenschaften (N1) und (N2) sind offensichtlich. Zum Nachweis der ¨ Dreiecksungleichung (N3) sind noch einige Uberlegungen n¨otig. Satz 4.11 (Pythagoras). Sei {x1 , . . . , xn } eine endliche orthonormale Menge in einem Pr¨ahilbertraum X . " "2 Dann gilt " " n n " " 2 2 x =  |x, xk | + "x −  x, xk  xk " . " " k=1 k=1 n

Beweis. Mit s :=  x, xk  xk und der Orthonormalit¨at erhalten wir k=1

# s2 =

n

n

k=1

j=1

$

 x, xk  xk ,  x, x j  x j

=

n

n

n

  x, xk x, x j  xk , x j  =  |x, xk |2

k=1 j=1

k=1

n

sowie s, x =  |xk , x|2 = x, s. Insgesamt gilt also k=1

n

x − s2 = x − s, x − s = x, x − x, s − s, x + s, s = x2 −  |x, xk |2 k=1



wie behauptet.

Eine unmittelbare Konsequenz ist die Besselsche Ungleichung (Friedrich Wilhelm Bessel, 1784-1846, K¨onigsberg): Ist {x1 , . . . , xn } eine endliche orthonormale Menge in einem Pr¨ahilbertraum X , so gilt x2 ≥

n

 |x, xk |2

f¨ur alle x ∈ X .

(4.2)

k=1

Korollar 4.12 (Cauchy-Schwarz-Ungleichung). Sei X ein Pr¨ahilbertraum. F¨ur alle x, y ∈ X gilt |x, y| ≤ x y. Beweis. Im Fall y = 0 ist die Behauptung klar. Andernfalls betrachte die orthonor1 y und benutze (4.2). 

male Menge {x1 } mit x1 = y Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung erh¨alt man weiter x + y2 = x + y, x + y = x2 + 2Rex, y + y2 ≤ x2 + 2 |x, y| + y2 ≤ x2 + 2 x y + y2 = (x + y)2 und damit die Dreiecksunleichung f¨ur  · . Damit ist nun auch bewiesen, dass es sich hierbei tats¨achlich um eine Norm handelt. Ist X mit dieser Norm vollst¨andig, so bezeichnet man X als einen Hilbertraum (David Hilbert, 1862-1943, G¨ottingen).

4.3 Skalarprodukt und Orthogonalit¨at

47

Beispiel: Das gew¨ohnliche Skalarprodukt in IKd : Durch x, y :=

d

 xk yk

f¨ur x = (x1 , . . . , xd ) , y = (y1 , . . . , yd ) ∈ IKd

k=1

wird ein Skalarprodukt erkl¨art, wie man leicht nachrechnen kann. Als zugeh¨orige Norm ergibt sich 1/2  d  x = x, x =  |xk |2 k=1

die Euklidische Norm. Laut Korollar 4.8 ist IKd mit dieser Norm vollst¨andig, also ein Hilbertraum. Satz 4.13. Seien {x1 , . . . , xn } eine endliche orthonormale Menge in einem Pr¨ahilbertraum X und x ∈ X. Bezeichne s :=

n

 x, xk  xk

und

t :=

k=1

n

  k xk

mit 1 , . . . , n ∈ IK .

k=1

Es gilt x −t ≥ x − s, wobei Gleichheit genau dann gilt, falls k = x, xk  f¨ur alle k = 1, . . . , n ist. Damit ist s also dasjenige Element aus dem von {x1 , . . . , xn } aufgespannten Unterraum von X , welches den kleinsten Abstand von x hat. Beweis. Es gilt n

n

k=1 n

k=1

n

x − t2 = x, x −  k xk , x −  k x, xk  −  k k k=1

n

= x, x −  x, xk  x, xk  +  (k − x, xk ) (k − x, xk ) k=1 n

k=1

n

= x2 −  |x, xk |2 +  |k − x, xk |2 k=1 n

k=1

≥ x2 −  |x, xk |2 = x − s2 , k=1

wobei die letzte Gleichung exakt der Satz von Pythagoras ist. Gleichheit gilt offensichtlich genau im Fall k = x, xk  f¨ur alle k = 1, . . . , n. 

Beispiel: Wir bestimmen im Euklidischen IR3 den Punkt s in der von x1 := (1, 0, 0) und x2 := (0, 1, 1) aufgespannten Ebene, welcher von x := (2, 3, 4) den geringsten Abstand hat. Es gilt s = x, x1  x1 + x, x2  x2 = 2x1 + 7x2 = (2, 7, 7).

48

4 Metrische R¨aume und Cauchyfolgen

4.4 Teilfolgen und H¨aufungswerte Eine notwendige Eigenschaft f¨ur die Konvergenz einer Folge (an )n∈IN in einem metrischen Raum ist deren Beschr¨anktheit. Dabei heißt eine Teilmenge A in einem metrischen Raum (M, d) beschr¨ankt, falls ein K ≥ 0 und ein Punkt b ∈ M existieren mit d(a, b) ≤ K f¨ur alle a ∈ A. Satz 4.14. Ist (an )n∈IN eine Cauchyfolge in einem metrischen Raum (M, d), so ist {an : n ∈ IN} beschr¨ankt. Den Nachweis f¨uhrt man wie den von Satz 3.2. Man beachte, dass jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist. Eine analoge Aussage zu Satz 3.3 existiert deshalb nicht, da Monotonie in metri¨ schen R¨aumen nicht sinnvoll erkl¨art werden kann. Folgende Uberlegungen umgehen dieses Problem, und gelten nat¨urlich auch f¨ur IR. Streicht man aus einer Folge (an )n∈IN einige Glieder, so erh¨alt man eine neue Folge. Formal kann man dies wie folgt beschreiben. Definition 4.15. Ist n1 < n2 < . . . < nk < . . . eine Folge nat¨urlicher Zahlen, so heißt (ank )k∈IN eine Teilfolge von (an )n∈IN. . Ist z.B. an = (−1)n , so sind sowohl (bk )k∈IN mit bk = 1 als auch (ck )k∈IN mit ck = −1 Teilfolgen von (an )n∈IN . Selbstverst¨andlich hat (an )n∈IN noch weitere Teilfolgen. Satz 4.16. Ist (an )n∈IN eine Folge in einem metrischen Raum (M, d), die gegen a ∈ M konvergiert, so konvergiert auch jede Teilfolge (ank )k∈IN gegen a. Beweis. Ist n1 < n2 < . . ., so gilt nk ≥ k f¨ur alle k ∈ IN. Zu  > 0 existiert ein N ∈ IN mit d(ak , a) <  f¨ur alle k ≥ N. d

Folglich gilt auch d(ank , a) <  f¨ur alle k ≥ N, also ank −→ a mit k → .



Lemma 4.17. Es seien (an )n∈IN eine Folge in einem metrischen Raum (M, d) und a ∈ M. Folgende drei Aussagen sind a¨ quivalent: (i)

Zu jedem  > 0 und jedem N ∈ IN gibt es ein n ≥ N mit d(an , a) <  .

(ii)

F¨ur jedes  > 0 ist die Menge {n ∈ IN : d(an , a) <  } unendlich.

(iii)

Es gibt eine Teilfolge (ank )k∈IN von (an )n∈IN , die gegen a konvergiert.

Beweis. Wir zeigen (i)⇒(iii)⇒(ii)⇒(i). Gilt (i), so existiert zu  = 1 und N = 1 ein n1 ≥ 1 mit d(an1 , a) < 1. Betrachte nun  = 12 und N = n1 + 1. Dazu existiert n2 ≥ N > n1 mit d(an2 , a) < 12 . Rekursiv erh¨alt man n1 < n2 < . . . mit d(ank , a) < 1k f¨ur alle k ∈ IN, also lim ank = a. k→

Gilt (iii), so existiert zu beliebigem  > 0 ein N ∈ IN mit d(ank , a) <  f¨ur alle k ≥ N, d.h. {nk ∈ IN : k ≥ N} ⊆ {m ∈ IN : d(am , a) <  }, womit letztere Menge unendlich ist.

4.4 Teilfolgen und H¨aufungswerte

49

Schließlich gelte (ii). Seien  > 0 und N ∈ IN vorgegeben. Dann muss es einen Index n geben mit n ≥ N und d(an , a) <  , denn sonst w¨are {n ∈ IN : d(an , a) <  } endlich. 

Definition 4.18. Sei (an )n∈IN eine Folge in einem metrischen Raum (M, d). Ein Element a ∈ M heißt H¨aufungswert von (an )n∈IN , falls f¨ur jedes  > 0 die Menge {n ∈ IN : d(an , a) <  } unendlich ist. Lemma 4.17 liefert demnach drei gleichwertige Charakterisierungen der Aussage a ist H¨aufungswert von (an )n∈IN “. ” Satz 4.19 (Bolzano-Weierstraß). Jede beschr¨ankte Folge (an )n∈IN reeller Zahlen besitzt einen H¨aufungswert. Beweis. Da {an : n ∈ IN} beschr¨ankt ist, existieren A1 , B1 ∈ IR mit {an : n ∈ IN} ⊆ [A1 , B1 ] =: I1 . Wir konstruieren rekursiv Ik = [Ak , Bk ] mit (i)

[Ak , Bk ] enth¨alt unendlich viele Glieder von (an )n∈IN ,

(ii)

[Ak+1 , Bk+1 ] ⊆ [Ak , Bk ] ,

(iii)

Bk − Ak =

1 (B1 − A1 ) 2k−1

.

Dazu gehen wir wie folgt vor: Ist [Ak , Bk ] gegeben, so setze M := 12 (Ak + Bk ). Da [Ak , Bk ] unendlich viele Glieder von (an )n∈IN enth¨alt, sind mindestens in einem der beiden Intervalle [Ak , M] und [M, Bk ] unendlich viele an . Wir setzen  [Ak , M] , falls in [Ak , M] unendlich viele an liegen, [Ak+1 , Bk+1 ] := [M, Bk ] , sonst. Damit ist (Ik )k∈IN eine Intervallschachtelung. Sei

  k=1

Ik = {a}.

Nun ist a H¨aufungswert von (an )n∈IN , denn zu  > 0 existiert ein k ∈ IN mit [Ak , Bk ] ⊆ U (a) =]a −  , a +  [, also enth¨alt ]a −  , a +  [ unendlich viele an . 

Korollar 4.20. Jede beschr¨ankte Folge (an )n∈IN in (IRd ,  · 2 ) besitzt einen H¨aufungswert. (Insbesondere hat jede beschr¨ankte Folge in C einen H¨aufungswert.) Beweis. Sei etwa an = (an,1 , . . . , an,d ) ∈ IRd . Wir betrachten die beschr¨ankte Folge (an,1 )n∈IN in IR. Laut Satz 4.19 und Lemma 4.17 existiert eine konvergente Teilfolge (ank ,1 )k∈IN von (an,1 )n∈IN . Betrachte nun (ank ,2 )k∈IN . Wir setzen bk,2 := ank ,2 . Wieder existiert eine konvergente Teilfolge (bk ,2 )∈IN . Geht man weiter so vor bis zur d-ten Komponente, erh¨alt man eine Teilfolge (anm )m∈IN von (an )n∈IN , die in (IRd ,  · 2 ) konvergiert, da jede der Komponentenfolgen (anm , j )m∈IN , j = 1, . . . , d, in IR konvergiert. 

50

4 Metrische R¨aume und Cauchyfolgen

Definition 4.21. Man sagt, eine Folge (an )n∈IN reeller Zahlen divergiert gegen  (oder konvergiert uneigentlich gegen ), wenn es zu jedem C > 0 ein N ∈ IN gibt, sodass an > C f¨ur alle n ≥ N gilt. Divergiert (−an )n∈IN gegen , so sagt man, dass (an )n∈IN gegen − divergiert. Beispiel: (qn )n∈IN divergiert gegen , falls q > 1 ist. Es sei (an )n∈IN eine nach oben beschr¨ankte Folge reeller Zahlen. F¨ur jedes n ∈ IN existiert bn := sup{ak : k ≥ n} und (bn )n∈IN ist eine monoton fallende Folge. Wir unterscheiden zwei F¨alle: • Ist {bn : n ∈ IN} nach unten beschr¨ankt, dann existiert nach Satz 3.3   lim sup an := lim bn = inf bn = inf n→

n→

n∈IN

n∈IN

sup ak k≥n

.

• Ist {bn : n ∈ IN} nicht nach unten beschr¨ankt, so divergiert (bn )n∈IN gegen −, und wir schreiben lim sup an := − . n→

Falls (an )n∈IN nicht nach oben beschr¨ankt ist, so setzen wir lim sup an := . n→

Man bezeichnet lim sup an als Limes superior der Folge (an )n∈IN . n→

Analog f¨uhren wir den Limes inferior von (an )n∈IN ein. Falls die Folge (an )n∈IN nach unten beschr¨ankt ist, betrachten wir cn := inf{ak : k ≥ n}. Dann ist (cn )n∈IN eine monoton wachsende Folge. • Ist {cn : n ∈ IN} nach oben beschr¨ankt, so setzen wir  lim inf an := lim cn = sup cn = sup inf ak . n→

n→

n∈IN

n∈IN

k≥n

• Ist {cn : n ∈ IN} nicht nach oben beschr¨ankt, so schreiben wir lim inf an :=  . n→

Ist schließlich (an )n∈IN nicht nach unten beschr¨ankt, so setzen wir lim inf an := −. n→

Beispiele: (1)

Sei an := n. Hier gilt lim sup an = , da {an : n ∈ IN} nicht nach oben beschr¨ankt ist. n→

F¨ur den Limes inferior gilt cn = inf{ak : k ≥ n} = n. Da (cn )n∈IN nicht nach oben beschr¨ankt ist, folgt lim inf an = . n→

Achtung: Es ist lim inf an = inf an ! n→

n∈IN

4.4 Teilfolgen und H¨aufungswerte

(2)

51

Sei an := (−1)n n. Es gilt lim sup an = 

und

n→

lim inf an = − , n→

da (an )n∈IN weder nach oben noch nach unten beschr¨ankt ist. (3)

Seien a < b und

an :=

a f¨ur n ungerade , b f¨ur n gerade .

Dann gilt lim sup an = b und lim inf an = a, denn bn = b, cn = a ∀n ∈ IN. n→

(4)

Sei an :=

n→



 , d.h. (an )n∈IN = −2, 32 , − 43 , 54 , − 65 , . . . .Es gilt  f¨ur n gerade , 1 + 1n bn = sup{ak : k ≥ n} = 1 1 + n+1 f¨ur n ungerade .

(−1)n

1+

1 n

Folglich ist lim sup an = lim bn = 1. Ferner haben wir n→

n→

 cn = inf{ak : k ≥ n} =



− 1 + 1n

 1 − 1 + n+1

f¨ur n ungerade , f¨ur n gerade ,

also lim inf an = lim cn = −1. n→

n→

Bemerkung: Da, falls (an )n∈IN nach oben und unten beschr¨ankt ist, offensichtlich cn = inf{ak : k ≥ n} ≤ sup{ak : k ≥ n} = bn gilt, folgt stets lim inf an ≤ lim sup an . n→

n→

Dies ist auch richtig f¨ur eine unbeschr¨ankte Folge (an )n∈IN , wenn wir − < a <  f¨ur a ∈ IR vereinbaren. Satz 4.22. Eine Folge (an )n∈IN reeller Zahlen ist genau dann konvergent, wenn − < lim inf an = lim sup an <  n→

n→

gilt. Wir haben dann Gleichheit der drei Grenzwerte, lim inf an = lim an = lim sup an . n→

n→

n→

Beweis. Sei (an )n∈IN konvergent gegen a. Zu  > 0 existiert also ein N ∈ IN mit a −  < an < a +  f¨ur alle n ≥ N. Es folgt a −  ≤ inf{ak : k ≥ n} ≤ sup{ak : k ≥ n} ≤ a +  f¨ur n ≥ N und damit a −  ≤ lim inf an ≤ lim sup an ≤ a +  . n→

n→

Da  > 0 beliebig war, folgt lim inf an = lim an = lim sup an . n→

n→

n→

52

4 Metrische R¨aume und Cauchyfolgen

Gelte nun a = lim inf an = lim sup an f¨ur ein a ∈ IR. n→

n→

Zu  > 0 existiert also ein N ∈ IN mit a −  < inf{ak : k ≥ n} ≤ sup{ak : k ≥ n} < a +  f¨ur alle n ≥ N. Es ist dann a −  < an < a +  f¨ur n ≥ N, also lim an = a. n→



Bemerkung: Man kann sich leicht u¨ berlegen, dass f¨ur uneigentliche Konvergenz folgendes gilt: Eine Folge (an )n∈IN reeller Zahlen ist genau dann uneigentlich konvergent gegen  (bzw. −), falls lim inf an = lim sup an =  (bzw. −) . n→

n→

Wir wollen nun noch die Beziehung zu H¨aufungswerten aufzeigen. Satz 4.23. (a) Eine nach oben beschr¨ankte Folge (an )n∈IN reeller Zahlen hat genau dann mindestens einen H¨aufungswert, wenn a∗ := lim sup an endlich ist. n→

In diesem Fall ist a∗ der gr¨oßte H¨aufungswert von (an )n∈IN . (b) Eine nach unten beschr¨ankte Folge (an )n∈IN reeller Zahlen hat genau dann mindestens einen H¨aufungswert, wenn a∗ := lim inf an endlich ist. n→

In diesem Fall ist a∗ der kleinste H¨aufungswert von (an )n∈IN . Beweis. Wir zeigen nur (a); der Beweis von (b) geht ganz analog. Sei s ein H¨aufungswert von (an )n∈IN . Dann gilt bn := sup{ak : k ≥ n} ≥ s, also ist (bn )n∈IN konvergent mit a∗ = lim bn ≥ s. n→

Ist umgekehrt a∗ := lim sup an ∈ IR, so gibt es zu  > 0 ein N ∈ IN mit bn − a∗ < n→

 2

f¨ur alle n ≥ N, denn (bn )n∈IN konvergiert monoton fallend gegen a∗ . Weiter gibt es zu jedem n0 ∈ IN ein n ≥ n0 mit |an − a∗ | <  ; laut Lemma 4.17 ist a∗ ein H¨aufungswert von (an )n∈IN . 

Bemerkung: Unbeschr¨ankte Folgen k¨onnen durchaus H¨aufungswerte haben. Zum Beispiel hat (an )n∈IN mit  1 f¨ur n ungerade , an = n (−1)n/2 n f¨ur n gerade . einen H¨aufungswert 0, ist aber nach oben und unten unbeschr¨ankt. Korollar 4.24. Sei (an )n∈IN eine nach oben und unten beschr¨ankte reelle Folge. Dann ist lim inf an der kleinste und lim sup an der gr¨oßte H¨aufungswert von (an )n∈IN . n→

n→

Beweis. Die beidseitige Beschr¨anktheit liefert, dass lim bn und lim cn existieren. n→ n→ Nun wende Satz 4.23 an. 

4.5 Aufgaben

53

N¨utzlich ist folgende Ungleichung. Seien (an )n∈IN und (dn )n∈IN zwei Folgen reeller Zahlen mit an ≤ dn f¨ur alle n ≥ N, wobei N eine feste nat¨urliche Zahl ist. Es gilt lim inf an ≤ lim inf dn ,

(4.3)

lim sup an ≤ lim sup dn .

(4.4)

n→

n→

n→

n→

Zum Schluss halten wir noch eine charakteristische Eigenschaft von Limes superior und Limes inferior fest. Satz 4.25. (a) Seien (an )n∈IN eine nach oben beschr¨ankte Folge reeller Zahlen und x ∈ IR mit x > lim sup an . Dann existiert N ∈ IN mit an < x f¨ur alle n ≥ N. n→

(b) Seien (an )n∈IN eine nach unten beschr¨ankte Folge reeller Zahlen und x ∈ IR mit x < lim inf an . Dann existiert N ∈ IN mit an > x f¨ur alle n ≥ N. n→

Beweis. Wir zeigen nur die Aussage (a). Angenommen, die Behauptung gilt nicht. Dann gibt es also zu jedem N ∈ IN ein n ≥ N mit an ≥ x. Damit existiert eine Teilfolge (ank )k∈IN mit ank ≥ x f¨ur alle k ∈ IN. Satz 4.19 liefert nun eine konvergente Teilfolge mit Limes gr¨oßer oder gleich x im Widerspruch zur Voraussetzung. 

4.5 Aufgaben 1. Seien (an )n∈IN eine Folge in einem metrischen Raum (M, d) und a ∈ M. Zeigen Sie, dass die folgenden drei Aussagen a¨ quivalent sind. (i)

Zu jedem  > 0 gibt es ein N ∈ IN mit d(an , a) <  f¨ur alle n ≥ N.

(ii)

Zu jedem  > 0 gibt es ein N ∈ IN mit d(an , a) ≤  f¨ur alle n ≥ N.

(iii)

Zu jedem  > 0 gibt es ein N ∈ IN mit d(an , a) <

 2

f¨ur alle n ≥ N.

2. Es sei d : C × C → IR gegeben durch  |z − w| , falls  ≥ 0 existiert mit z =  w , d(z, w) := |z| + |w| , sonst. Zeigen Sie, dass d eine Metrik ist. 3. Sei d die Metrik aus dem Beispiel zu Definition 4.6. Gibt es eine Norm  ·  in IR derart, dass d(x, y) = x − y f¨ur alle x, y ∈ IR gilt ? 4. Zeigen Sie: Jede Folge reeller Zahlen besitzt eine monotone Teilfolge.

54

4 Metrische R¨aume und Cauchyfolgen

5. Geben Sie jeweils Folgen (an )n∈IN , (bn )n∈IN mit lim an =  und lim bn =  n→ n→ an, sodass gilt: a. d.

lim (an − bn ) = 0

b.

lim an n→ bn

e.

n→

=1

lim (an − bn) = 

c.

lim an n→ bn

f.

n→

=0

lim (an − bn) = −

n→

lim an n→ bn

=

6. Zwei Normen  · a und  · b auf X heißen a¨ quivalent, wenn c,C > 0 existieren derart, dass c · xa ≤ xb ≤ C · xa gilt f¨ur alle x ∈ X . Zeigen Sie, dass die Normen  · 1,  · 2 und  ·  auf IRd a¨ quivalent sind. 7. Bestimmen Sie alle H¨aufungswerte der Folgen (an )n∈IN mit n

a. an := 1 + 1n , b.

an := 2n + 1,

c.

an := in ,

d.

an := 1n in .

8. Geben Sie jeweils eine Folge (an )n∈IN reeller Zahlen an derart, dass die Menge der H¨aufungswerte von (an )n∈IN a.

leer,

b.

die Menge {0, 1},

c.

die Menge ZZ,

ist. 9. Bestimmen Sie Limes Inferior und Limes Superior der Folgen (an )n∈IN mit 1−2n 5+3n , n i + (−i)n ,

a.

an := (−1)n

b.

an :=

c.

an :=

√ n n a + bn

(a, b ≥ 0).

Kapitel 5

Reihen

Wir haben in Kapitel 3.1 bereits definiert, was Konvergenz einer Reihe 

 ak

k=1

im Fall ak ∈ IK bedeutet. Wir wollen diesen Begriff auf beliebige normierte R¨aume ausdehnen. Seien die ak nun Elemente eines normierten Raumes (X ,  · ). Wie in IK betrachten wir die Partialsummen sn :=

n

 ak ∈ X .

k=1

Wenn die Folge (sn )n∈IN der Partialsummen gegen ein s ∈ X konvergiert, so sagen wir, dass die Reihe in X gegen s konvergiert und schreiben s=



 ak .

k=1

5.1 Konvergenz und absolute Konvergenz Zun¨achst f¨ullen wir unseren Vorrat an Beispielen auf. (1)

Die Geometrische Reihe: Sei q ∈ C. Es gilt 1 + q + q2 + ... =



1

 qk = 1 − q

f¨ur |q| < 1 ,

k=0

siehe Beispiel (6) in Kapitel 3.1. Wir werden sehen (als Anwendung von Korollar 5.2), dass die Reihe f¨ur |q| ≥ 1 nicht konvergiert.

R. Lasser, F. Hofmaier, Analysis 1 + 2, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-28644-5_5, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

55

56

(2)

5 Reihen

Die Harmonische Reihe



1

 k konvergiert nicht.

k=1

n

Mehr noch, die Folge ihrer Partialsummen sn := 

k=1

1 k

divergiert gegen .

F¨ur k ∈ IN und n ≥ 2k gilt

Beweis.

1 1 1 + + ···+ 2  3 n   1 1 1 1 1 1 1 + + + ···+ + · · · + k−1 + ···+ k ≥ 1+ + 2 3 4 5 8 2 +1 2 1 1 1 1 1 ≥ 1 + + 2 + 4 + · · · + 2k−1 k = 1 + k . 2 4 8 2 2

sn = 1 +

Daher divergiert sn gegen . Es ist sogar lim inf sn =  = lim sup sn . n→

(3)

n→



  1 1 =: e =  . Die Eulersche Zahl. Es gilt lim 1 + n→ n k! k=0 Wir haben die Zahl e in Beispiel 1.7 durch eine Intervallschachtelung erkl¨art. Zu zeigen bleibt das zweite Gleichheitszeichen. n n

Beweis. Bezeichne sn :=  k!1 und tn := 1 + 1n . Es gilt k=0

   n 1 n 1 n 1 + tn = 1 + + ···+ 2 n2 1 n n nn = 1+1+

1 n(n − 1) 1 n(n − 1)(n − 2) + + ··· 2! n2 3! n3

1 n(n − 1) · · ·(n − (n − 1)) n! nn    1 1 1 2 1 1− + 1− 1− + ··· = 1+1+ 2! n 3! n n    1 2 n−1 1 1− 1− ··· 1 − . + n! n n n +

Folglich haben wir tn ≤ sn und mit (4.3) folgt e = lim tn ≤ lim inf sn . n→ n→ F¨ur n ≥ m gilt ferner    1 1 1 m−1 1 1− + ···+ 1− ··· 1 − . tn ≥ 1 + 1 + 2! n m! n n H¨alt man m fest, so folgt mit n →  nun e = lim tn ≥ 1 + 1 + n→

1 1 + ···+ = sm 2! m!

5.1 Konvergenz und absolute Konvergenz

57

und mit m →  erhalten wir schließlich lim sup sm ≤ e ≤ lim inf sn , n→

m→

also lim sn = e.



n→

(4)

Die Reihe



1

 k(k + 1) .

k=1

1 1 Hier k¨onnen wir die Partialsummen direkt ausrechnen. Mit k(k+1) = 1k − k+1 erhalten wir    n 1 1 1 1 1 1 1 = 1− + − + · · ·+ − = 1− . sn =  2 2 3 n n+1 n+1 k=1 k(k + 1)

Die Folge (sn )n∈IN ist konvergent; es gilt 

1

lim sn = 1 .  k(k + 1) = n→

k=1

Wir kommen zu einigen elementaren Eigenschaften konvergenter Reihen. Satz 5.1. Sei (ak )k∈IN eine Folge in einem normierten Raum (X ,  · ). 

Falls die Reihe  ak in (X,  · ) konvergiert, so gilt: k=1

Zu jedem  > 0 existiert ein N ∈ IN mit " " " " n " " f¨ur alle n > m ≥ N . "  ak " <  "k=m+1 "

(5.1)

Ist (X ,  · ) ein Banachraum (also vollst¨andig), so folgt aus (5.1) die Konvergenz der Reihe in (X,  · ). Insbesondere ist in (IRd ,  · 2 ) die Bedingung (5.1) a¨ quivalent zur Konvergenz der Reihe. Beweis. Wegen sn − sm =

n

m

n

k=1

k=1

k=m+1

 ak −  ak = 

ak

ist die Bedingung (5.1) a¨ quivalent dazu, dass die Folge der Partialsummen eine Cauchyfolge bildet. Die erste Aussage gilt, da jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist, vgl. Bemerkung (3) in Kapitel 4.2. In einem Banachraum gilt nach Definition 4.6 auch die Umkehrung; insbesondere ist (IRd ,  · 2) ein Banachraum, siehe Satz 4.8. 

Korollar 5.2. Sei (ak )k∈IN eine Folge in einem normierten Raum (X ,  · ). 

Konvergiert die Reihe  ak , so gilt ak → 0 in (X ,  · ) mit k → . k=1

58

5 Reihen

Beweis. Man muss nur in Satz 5.1 speziell n = m + 1 w¨ahlen.



Die Umkehrung gilt jedoch nicht! Ein prominentes Gegenbeispiel ist die Harmonische Reihe. Hier gilt ak = 1k → 0; wie wir bereits festgestellt haben, ist die Reihe 



k=1

1 k

divergent.

Anwendung: Die Geometrische Reihe 

 qn

n=0

ist im Fall |q| ≥ 1 divergent, denn f¨ur n →  gilt hier qn → 0. 



k=1

k=1

Zu jeder Reihe  ak mit ak ∈ (X,  · ) k¨onnen wir eine Reihe  ak  bilden, deren Summanden nicht-negative reelle Zahlen sind.

Korollar 5.3. Sei (ak )k∈IN eine Folge in einem Banachraum (X ,  · ). 



k=1

k=1

Konvergiert die Reihe  ak  in IR, so konvergiert die Reihe  ak in X . Beweis. Es ist

" " " n " n " " "  ak " ≤  ak  . "k=m+1 " k=m+1





k=1

k=1

Erf¨ullt  ak  die Bedingung (5.1) in IR, so gilt diese also auch f¨ur  ak in X .



Definition 5.4. Sei (ak )k∈IN eine Folge in einem normierten Raum. 



k=1

k=1

Die Reihe  ak heißt absolut konvergent, falls  ak  konvergiert. Korollar 5.3 besagt also, dass jede absolut konvergente Reihe konvergent ist. Weiter ist folgende hinreichende Bedingung f¨ur Konvergenz von Reihen mit nichtnegativen Gliedern sehr n¨utzlich. Satz 5.5. Sei (ak )k∈IN eine Folge reeller Zahlen mit ak ≥ 0 f¨ur alle k ∈ IN. Die Reihe 

 ak konvergiert genau dann, wenn die Menge Ihrer Partialsummen beschr¨ankt ist.

k=1

Beweis. Die Folge (sn )n∈IN der Partialsummen ist hier offensichtlich monoton wachsend. Mit Satz 3.3 folgt aus der Beschr¨anktheit von {sn : n ∈ IN} die Konvergenz (der Folge der Partialsummen), also ist die Reihe in diesem Fall konvergent. Ist {sn : n ∈ IN} hingegen unbeschr¨ankt, so divergiert (sn )n∈IN gegen . 

5.2 Konvergenzkriterien

59

5.2 Konvergenzkriterien Oft kann man Konvergenz durch Vergleich mit bekannten Reihen zeigen. 

Satz 5.6 (Majorantenkriterium). Seien  ck eine konvergente Reihe mit ck ≥ 0 k=1

f¨ur alle k, sowie (ak )k∈IN eine Folge in einem Banachraum (X ,  · ) und k0 ∈ IN mit 

ak  ≤ ck f¨ur alle k ≥ k0 . Dann konvergiert die Reihe  ak absolut. k=1





Die Reihe  ck bezeichnet man dann als (konvergente) Majorante f¨ur  ak . k=1

k=1

Beweis. Sei  > 0. Laut Satz 5.1 existiert N ≥ k0 mit Da

n



ak  ≤

k=m+1

n



n

 ck <  f¨ur n > m ≥ N.

k=m+1

ck

k=m+1 

gilt, folgt wiederum mit Satz 5.1 die absolute Konvergenz von  ak . k=1

Anwendung: Die Reihe F¨ur k ≥ 2 gilt

1 k2

≤





1

 k2 .

k=1 1 (k−1)k .

Da die Reihe 

1

 (k − 1)k ,

k=2

wie in Beispiel (4) gezeigt, konvergent ist, folgt mit dem Majorantenkriterium die 

Konvergenz der Reihe 

k=1

1 . k2

Den Grenzwert dieser Reihe k¨onnen wir hier allerdings nicht bestimmen. Wir werden dies in Kapitel 11.2, Beispiel (2) mit Hilfe von Fourierreihen tun; es gilt 



k=1

1 k2

=

2 6 .

Bemerkung: Das Majorantenkriterium beinhaltet das so genannte Minoranten

kriterium. Sei  ck divergent mit ck ≥ 0 f¨ur alle k. k=1

Ist (ak )k∈IN eine Folge in (X ,  · ) mit ak  ≥ ck f¨ur alle k ≥ k0 , so kann die 

Reihe  ak jedenfalls nicht absolut konvergieren, denn sonst w¨are (ak )k∈IN eine k=1

konvergente Majorante f¨ur (ck )k∈IN . Die folgenden Konsequenzen aus dem Majorantenkriterium werden meistens f¨ur Reihen in IK formuliert. Die Verallgemeinerung f¨ur Reihen in einem Banachraum kann man sich einfach u¨ berlegen.

60

5 Reihen

Satz 5.7 (Quotientenkriterium). Sei (ak )k∈IN eine Folge in IK. Wenn ein Index k0 ∈ IN und eine reelle Zahl q mit 0 ≤ q < 1 existieren, sodass |ak+1 | ≤ q |ak |

f¨ur alle k ≥ k0



gilt, dann ist die Reihe  ak absolut konvergent. k=1

Beweis. F¨ur k > k0 gilt |ak | ≤ qk−k0 |ak0 | = (|ak0 |q−k0 ) qk . 

Da  qk konvergiert (Geometrische Reihe), k¨onnen wir das Majorantenkriterium k=k0





anwenden und erhalten die absolute Konvergenz von  ak . k=1

Bemerkung: Hat man nur |ak+1 | < |ak | f¨ur alle k ≥ k0 , so l¨asst sich daraus nicht die 

Konvergenz der Reihe  |ak | herleiten. k=1



Zum Beispiel erf¨ullen die Harmonische Reihe 

k=1

1 k



und auch die Reihe 

k=1

1 k2

die

Beziehung |ak+1 | < |ak |. W¨ahrend die Harmonische Reihe divergiert, konvergiert die zweite Reihe. Satz 5.8 (Quotientenkriterium). Sei (ak )k∈IN eine Folge in IK mit ak = 0 ∀ k ∈ IN.





a

Wenn lim sup k+1 ak < 1 gilt, dann konvergiert  ak absolut. k=1 k→





ak+1

Wenn k0 ∈ IN existiert mit a ≥ 1 f¨ur alle k ≥ k0 , dann ist  ak divergent. k

k=1



a

∗ Beweis. Sei a∗ := lim sup k+1 ak < 1. Dann existiert q mit a < q < 1 und aus k→



a

Satz 4.25 erhalten wir k0 ∈ IN mit k+1 ur alle k ≥ k0 . Laut Satz 5.7 folgt ak < q f¨ nun die erste Behauptung. Die zweite Aussage impliziert |an | ≥ |ak0 | > 0 f¨ur alle n ≥ k0 . Also ist die Bedingung an → 0 hier nicht erf¨ullt und mit Satz 5.1 folgt die Divergenz der Reihe. 

Beispiel: Die Reihe Hier gilt



k 3 3k . k=1 k!







ak+1 (k + 1)3 3k+1 k! 1 3 3

= 1 + = ,

a

(k + 1)! k3 3k k+1 k k



a

also lim k+1 a = 0 < 1. Die Reihe ist daher laut Quotientenkriterium konvergent. k→

k

5.2 Konvergenzkriterien

61

Satz 5.9 (Wurzelkriterium). Sei (ak )k∈IN eine Folge in IK. Wenn es c, q ∈ IR mit 0 ≤ q < 1 und c ≥ 0 gibt derart, dass |ak | ≤ c qk

f¨ur alle k ∈ IN



gilt, so ist  ak absolut konvergent. k=1

Beweis. Man kann direkt das Majorantenkriterium anwenden mit 

c  qk k=1



als konvergente Majorante. Das Wurzelkriterium wird oft in folgender Form geschrieben. Satz 5.10 (Wurzelkriterium). Sei (ak )k∈IN eine Folge in IK. Bezeichne  a∗ := lim sup k |ak | . k→

Es gilt: (a) (b)



Ist a∗ < 1, dann konvergiert die Reihe  ak absolut. Ist 1 <

a∗



k=1

≤ , dann divergiert  ak . k=1

Beweis. (a) Sei q mit a∗ < q < 1. Laut Satz 4.25 existiert ein N ∈ IN mit f¨ur alle k ≥ N. Damit gilt |ak | < qk f¨ur alle k ≥ N und mit  |a j | : j = 1, . . . , N c := max qj

 k |ak | < q

erhalten wir schließlich |ak | ≤ c qk f¨ur alle k ∈ IN. Die absolute Konvergenz der Reihe folgt nun aus Satz 5.9.  (b) Ist 1 < a∗ ≤ , so existiert eine Teilfolge mit nm |anm | → a∗ f¨ur m → . Damit ist |an | > 1 f¨ur unendlich viele n ∈ IN; insbesondere gilt also an → 0 und mit Korollar 5.2 folgt die Divergenz. 

Bemerkung: Im Fall a∗ = 1 erlaubt Satz 5.10 keine Aussage zu Konvergenz oder 

Divergenz. Betrachte z.B. wieder die Reihen  Beispiel: Die Reihe





√ k k k−1 .

k=1

k=1

1 k



und 

k=1

1 . k2

  √ Mit k |ak | = k k − 1 und lim k |ak | = 0 haben wir hier insbesondere a∗ < 1; das k→

Wurzelkriterium liefert Konvergenz der Reihe.

62

5 Reihen

Das Wurzelkriterium (Satz 5.10) hat einen gr¨oßeren Anwendungsbereich als das Quotientenkriterium (Satz 5.8); es gilt folgendes. Lemma 5.11. Sei (cn )n∈IN eine Folge positiver Zahlen. √ c Dann gilt lim sup n cn ≤ lim sup n+1 cn . n→

n→

Beweis. Mit der Konvention r <  f¨ur alle r ∈ IR gilt die Behauptung im Fall c lim sup n+1 cn =  offensichtlich. n→

Im Fall a := lim sup n→

cn+1 cn

∈ IR gibt es zu beliebigem  > 0 ein m ∈ IN mit

cn+1 ≤ a+ cn

f¨ur alle n ≥ m ;

es folgt cn+1 ≤ (a +  ) cn f¨ur alle n ≥ m. Wir erhalten induktiv cm+p ≤ (a +  ) p cm f¨ur alle p ∈ IN  √ und weiter m+p cm+p ≤ (a +  ) m+p (a+cm )m f¨ur alle p ∈ IN. Damit ergibt sich √ lim sup n cn = lim sup n→

p→

√ cm+p ≤ (a +  ) lim sup

m+p

 m+p

p→

= (a +  ) lim sup n→

 n

cm (a +  )m

cm = (a +  ) , (a +  )m

wobei wir zwei Mal Satz 4.23(a) benutzt haben. Dies gilt f¨ur jedes  > 0; es folgt √ c lim sup n cn ≤ a = lim sup n+1 

cn wie behauptet. n→

n→

Man findet leicht Reihen, deren Konvergenz man mittels Wurzelkriterium, nicht aber mit dem Quotientenkriterium feststellen kann. Sei etwa a2 j = a2 j+1 = 0 f¨ur





ak+1

alle j ∈ IN, so gilt lim sup a ≥ 1; dennoch ist lim sup k |ak | < 1 m¨oglich. k→

k

k→

Der folgende Satz verallgemeinert die Beweisidee, die beim Nachweis der Divergenz der Harmonischen Reihe benutzt wurde. Satz 5.12 (Verdichtungskriterium). Sei (ak )k∈IN eine Folge reeller Zahlen mit a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ 0. 

Die Reihe  ak konvergiert genau dann, wenn k=1



 2n a2n = a1 + 2a2 + 4a4 + 8a8 + · · ·

n=0

konvergiert.

5.2 Konvergenzkriterien

63

Beweis. Wir verwenden Satz 5.5 und zeigen die Beschr¨anktheit der jeweiligen Partialsummen. Dazu seien sn := a1 + a2 + · · · + an und tm := a1 + 2a2 + · · · + 2m a2m . F¨ur n ≤ 2m gilt sn ≤ a1 + (a2 + a3) + · · · + (a2m + · · · + a2m+1−1 ) ≤ a1 + 2a2 + · · · + 2m a2m = tm .

F¨ur n ≥ 2m gilt andererseits sn ≥ a1 + a2 + (a3 + a4) + · · · + (a2m−1+1 + · · · + a2m ) ≥

1 1 1 1 1 a1 + 2a2 + 4a4 + · · · + 2m a2m = tm . 2 2 2 2 2

Daher sind die Folgen (sn )n∈IN und (tm )m∈IN entweder beide beschr¨ankt oder beide unbeschr¨ankt. 

Beispiele: (1)

Die Reihe



1

 ns mit s ∈ Q.

n=1

Sie konvergiert f¨ur s > 1 und divergiert f¨ur s ≤ 1. 1 ns

Beweis. Sei zun¨achst s ≤ 0. Dann gilt Divergenz.

→ 0 und mit Korollar 5.2 folgt 

Im Fall s > 0 betrachten wir die verdichtete“ Reihe  2n a2n . Es ist ” n=0 



1

 2n 2ns =  2(1−s)n .

n=0

n=0

Weiter gilt 2(1−s) < 1 genau dann, wenn 1 − s < 0, also s > 1 ist und mit der Konvergenz bzw. Divergenz der Geometrischen Reihe folgt schließlich die Behauptung. 

(2)

Die Reihe



1

 n (ln n)s .

n=2

Diese konvergiert f¨ur s > 1 und divergiert f¨ur s ≤ 1. Beweis. F¨ur s ≤ 0 ist die Harmonische Reihe eine Minorante und es folgt die Divergenz. Sei nun s > 0. Da ln n monoton w¨achst, k¨onnen wir Satz 5.12 anwenden. Hier gilt 

1



1

1



1

 2n 2n (ln 2n )s =  (n ln 2)s = (ln 2)s  ns

n=1

und mit (1) folgt die Behauptung.

n=1

n=1



64

5 Reihen

Seien (ak )k∈IN0 und (bk )k∈IN0 zwei Folgen in IK. Weiter sei A−1 := 0 und bezeichne n



k=0

k=0

An :=  ak die n-te Partialsumme der Reihe  ak . F¨ur alle m, n ∈ IN0 , m < n, gilt n

n

n

n−1

k=m

k=m

k=m

k=m−1

 ak bk =  (Ak − Ak−1) bk =  Ak bk −  =

Ak bk+1

n−1

 Ak (bk − bk+1) + An bn − Am−1 bm .

(5.2)

k=m

Die Gleichung (5.2) ist auch unter dem Namen Abelsche partielle Summation bekannt (Niels Henrik Abel, 1802-1829, Norwegen). Mit ihrer Hilfe wenden wir uns Reihen zu, deren Glieder Produkte sind. Folgendes Kriterium ist benannt nach Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859, Berlin, G¨ottingen). Satz 5.13 (Dirichlet). Seien (ak )k∈IN0 und (bk )k∈IN0 zwei Folgen in IK mit folgenden Eigenschaften: n

(i)

Die Partialsummen An =  ak bilden eine beschr¨ankte Folge.

(ii)

Es gilt b0 ≥ b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ 0 und

(iii)

k=0

lim bk = 0.

k→



Dann konvergiert die Reihe  ak bk . k=0

Beweis. Nach (i) gilt M := sup |An | < . n∈IN0

 . F¨ur n ≥ m ≥ N erhalten wir Sei  > 0. Wegen (iii) existiert N ∈ IN mit bN < 2M mit (ii) und (5.2) nun





n

n−1







 ak bk =  Ak (bk − bk+1 ) + An bn − Am−1 bm

k=m

k=m

 

≤M

n−1

 (bk − bk+1) + bn + bm

= 2M bm ≤ 2M bN <  .

k=m

Mit Satz 5.1 folgt die Konvergenz. Korollar 5.14. Sei (ck )k∈IN eine Folge reeller Zahlen mit (i)

|c1 | ≥ |c2 | ≥ |c3 | ≥ · · · ,

(ii)

c2k−1 ≥ 0 und c2k ≤ 0 f¨ur alle k ∈ IN,

(iii)

lim ck = 0.

k→



Dann konvergiert die Reihe  ck . k=1



5.3 Umordnungssatz und Cauchy-Produkt

65

Beweis. Man hat nur Satz 5.13 anzuwenden mit ak = (−1)k+1 und bk = |ck |.



In Korollar 5.14 handelt es sich um eine alternierende Reihe, d.h. ihre Glieder sind abwechselnd positiv und negativ. Dieses Resultat wird oft wie folgt formuliert. Korollar 5.15 (Leibniz-Kriterium). Ist (bk )k∈IN eine monoton fallende Nullfolge, 

so konvergiert die Reihe  (−1)k+1 bk . k=1

Das folgende Beispiel zeigt, dass auf die Monotonie im Leibniz-Kriterium nicht verzichtet werden kann. Seien etwa a2n−1 := Es gilt 0 < ak ≤ 



k=1

(−1)k+1 a

k

4 k

2 n

und a2n :=

1 n

f¨ur n ∈ IN .

f¨ur alle k ∈ IN und daher lim ak = 0. Allerdings ist die Reihe k→

nicht konvergent:

Betrachten wir dazu die Folge (sn )n∈IN der Partialsummen. F¨ur gerades n, also f¨ur n = 2m mit m ∈ IN, gilt m 1 sn =  . k=1 k Die Folge der Partialsummen ist daher divergent.

5.3 Umordnungssatz und Cauchy-Produkt 

Die Reihe  (−1)k+1 1k ist laut Leibniz-Kriterium konvergent. Einerseits ist k=1

   1 1 1 1 1 1 5 + − + 1+ − + + − + +··· < . 2 3 4 5 6 7 6       <0

<0

Wenn wir die gleichen Summanden aber in einer anderen Reihenfolge aufaddieren, etwa immer zwei positive und dann einen negativen, erhalten wir    1 1 1 1 5 1 1 1 1 1+ − + + − + − + +··· > . 3 2 5 7 4 9 11 6 6       >0

>0

Die Reihenfolge der einzelnen Summanden in einer Reihe spielt also eine wichtige Rolle. Wir wollen nun zeigen, dass man im Fall einer absolut konvergenten Reihe die Summanden beliebig umordnen kann, und der Grenzwert sich dabei nicht a¨ ndert. Die obige Reihe ist nicht absolut konvergent. Den Wert der Reihe k¨onnen

66

5 Reihen

wir an dieser Stelle noch nicht berechnen; dazu verweisen wir auf Kapitel 10.3, Gleichung (10.2). 



k=1

k=1

Ist  : IN → IN bijektiv, so bezeichnen wir  a (k) als Umordnung der Reihe  ak . Satz 5.16 (Umordnungssatz). Ist eine Reihe in einem normierten Raum absolut konvergent, dann konvergiert auch jede Umordnung dieser Reihe und alle Umordnungen haben den selben Grenzwert. 

Beweis. Sei  ak absolut konvergent. Weiter seien  : IN → IN bijektiv und k=1

sn :=

n

 ak ,

rn :=

k=1

n

 a (k)

k=1

die Partialsummen der urspr¨unglichen bzw. der umgeordneten Reihe. Nach Voraussetzung ist (sn )n∈IN konvergent. Wir m¨ussen zeigen, dass lim (sn − rn ) = 0 gilt. n→

Dazu betrachten wir f¨ur n ∈ IN die Menge Mn := IN \ { (1),  (2), . . . ,  (n)}; ihr kleinstes Element bezeichnen wir mit mn . Wir erhalten " " " " " " sn − rn  = " a − a " k k   " "k∈{1,...,n}∩M k∈{ (1),..., (n)}∩{n+1,n+2,...} n



≤

ak 

+

k∈{1,...,n}∩Mn

≤





k=mn

ak  +







k∈{ (1),..., (n)}∩{n+1,n+2,...}

ak 

ak  ,

k=n+1

wobei wir die absolute Konvergenz der Reihe benutzt haben, da letztere Ausdr¨ucke sonst gar nicht existieren. Wegen Mn ⊇ Mn+1 ist die Folge (mn )n∈IN monoton wachsend. Außerdem gibt es zu jedem j ∈ IN ein k j mit j =  (k j ); dann ist j ∈ / Mk j und weiter j ∈ / Mn f¨ur alle n ≥ k j . Die Folge (mn )n∈IN ist deshalb nicht beschr¨ankt. 

Sei nun  > 0. Laut Satz 5.1 gibt es ein N ∈ IN mit  ak  < 2 . k=N

F¨ur alle n mit n ≥ N und mn ≥ N gilt folglich sn − rn  <  . Daher haben wir lim (sn − rn ) = 0, was a¨ quivalent zu

n→





k=1

k=1

 ak =  a (k)

ist. Die umgeordnete Reihe konvergiert also gegen den selben Grenzwert wie die urspr¨ungliche.



5.3 Umordnungssatz und Cauchy-Produkt

67 



n=0

n=0

Satz 5.17 (Cauchy-Produkt). Seien  an und  bn konvergente Reihen in IK. n

F¨ur n ∈ IN0 setze cn :=  ak bn−k . k=0





Wenn  an absolut konvergent ist, dann ist die Reihe  cn konvergent mit n=0

n=0









 cn =  a n

n=0





 bn

n=0

.

n=0

Beweis. Nach Voraussetzung existieren die Grenzwerte 



k=0

k=0

 ak =:  ,  bk =: 

und



 |ak | =: x .

k=0

Wir bezeichnen die Partialsummen der Reihen mit

n :=

n

 ak ,

n :=

k=0

n

 bk ,

k=0

n :=

n

 ck ,

k=0

und setzen n := n −  f¨ur n ∈ IN0 . Damit gilt

n = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 ) + · · · + (a0 bn + a1 bn−1 + · · · + an b0 ) = a0 n + a1 n−1 + · · · + an 0 = a0 ( + n ) + a1( + n−1) + · · · + an( + 0 ) = n  + a0 n + a1 n−1 + · · · + an 0 .    =:rn

Wir m¨ussen zeigen, dass lim n =  gilt. n→

Wegen lim n =  bleibt lediglich lim rn = 0 zu zeigen. n→

n→

Sei  > 0. Wegen lim n = 0 gibt es N ∈ IN mit |n | <  f¨ur alle n ≥ N. Es folgt n→

|rn | ≤ |an 0 + · · · + an−N N | + |an−N−1 N+1 + · · · + a0 n | ≤ |an 0 + · · · + an−N N | +  (|an−N−1 | + · · · + |a0|) ≤ |an 0 + · · · + an−N N | +  x f¨ur n ≥ N. Aus lim an = 0 erhalten wir lim |an 0 + · · · + an−N N | = 0. Daher gilt n→

n→

lim sup |rn | ≤  x. Da  beliebig gew¨ahlt werden kann, bleibt nur lim |rn | = 0.



n→

n→







n=0

n=0

n=0

Die Reihe  cn bezeichnet man als Cauchy-Produkt der Reihen  an und  bn . Wenn letztere beide nicht absolut konvergent sind, so ist deren Cauchy-Produkt m¨oglicherweise nicht konvergent, vgl. Aufgabe 7a.

68

5 Reihen

5.4 Potenzreihen Definition 5.18. Ist (ck )k∈IN0 eine Folge komplexer Zahlen, so heißt der Ausdruck 

 ck zk

k=0

eine Potenzreihe. Die ck nennt man die Koeffizienten der Reihe. Wir wollen untersuchen, f¨ur welche Werte von z ∈ C eine Potenzreihe konvergiert, und werden gleich sehen, dass jede Potenzreihe f¨ur alle z im Inneren eines ¨ gewissen Kreises konvergiert und f¨ur z aus dem Außeren divergiert. 

Gelegentlich werden auch Reihen der Form  ck (z − z0 )k betrachtet. Man bek=0

zeichnet z0 dann als Entwicklungspunkt. 

Satz 5.19. Sei  ck zk eine Potenzreihe. Setze k=0

 := lim sup k→

 1 k |ck | und R := 

(dabei ist R = , falls  = 0 und R = 0, falls  = ). Damit gilt: Ist |z| < R, so ist die Reihe absolut konvergent. Ist |z| > R, so ist die Reihe divergent.

(a) (b)

Beweis. Setze ak := ck zk .



Laut dem Wurzelkriterium (Satz 5.10) konvergiert die Reihe  ak absolut, falls k=0    lim sup k |ak | = |z| lim sup k |ck | < 1 ist, und divergiert im Fall |z| lim sup k |ck | > 1. k→

k→

k→



Das ist exakt die Behauptung. Die Zahl R heißt Konvergenzradius der Potenzreihe. Offensichtlich gilt %  R = sup r ≥ 0 :



 ck rk konvergiert absolut

,

k=0

wobei R =  zu setzen ist, falls diese Menge nicht beschr¨ankt ist. Man kann den Konvergenzradius in vielen F¨allen auch mit Hilfe des Quotientenkriteriums bestimmen. 

Satz 5.20. Sei  ck zk eine Potenzreihe. k=0



c

Wenn  := lim k+1 ck existiert, so ist R = k→

1 

ihr Konvergenzradius.

(wiederum mit R = , falls  = 0 und R = 0, falls  = )

5.4 Potenzreihen

69

Beweis. Es gilt





ck+1 zk+1

ck+1





<1. lim

lim

< 1 ⇐⇒ |z| k→ k→ ck zk ck

   =

Im Fall  = 0 erhalten wir mit dem Quotientenkriterium (Satz 5.8): 1 Die Reihe konvergiert

f¨ur |z| <  = R absolut. Ist hingegen |z| > R, so gibt es ein

ck+1

1 N ∈ IN derart, dass ck > |z| gilt f¨ur alle k ≥ N, und es folgt



ck+1 zk+1



c zk ≥ 1 k

f¨ur alle k ≥ N ;

die Reihe divergiert. Im Fall  = 0 gilt |z| < 1 f¨ur alle z ∈ C. Die Reihe konvergiert dann absolut f¨ur alle z ∈ C, d.h. R = ; die Aussage gilt also auch in diesem Fall. 

Beispiele: (1)

Die Exponentialreihe exp(z) :=



zk

 k! .

k=0

Ihr Konvergenzradius ist R = , denn mit folgt absolute Konvergenz f¨ur alle z ∈ C. (2)

Die Sinusreihe sin(z) :=



|zk +1| k! (k+1)! |zk |

=

z2k+1

|z| k+1

z3

→ 0 und Satz 5.8 z5

z7

 (−1)k (2k + 1)! = z − 3! + 5! − 7! ± · · · und

k=0



die Cosinusreihe cos(z) :=

z2k

z2

z4

z6

 (−1)k (2k)! = 1 − 2! + 4! − 6! ± · · ·

k=0

(3) (4)

Sie konvergieren beide f¨ur jedes z ∈ C, denn die Exponentialreihe ist jeweils konvergente Majorante. Also haben diese Reihen ebenfalls den Konvergenzradius R = .  k z Die Reihe  hat den Konvergenzradius R = 1. k=1 k Die Reihe



 kk zk hat den Konvergenzradius R = 0.

k=1



 zk hat den Konvergenzradius R = 1.

(5)

Die Geometrische Reihe

(6)

F¨ur s ∈ C und k ∈ ZZ verallgemeinern wir die Binomialkoeffizienten, ⎧ s(s − 1) · · · (s − k + 1) ⎪ ⎪  f¨ur k ∈ IN , ⎨ s k! := 1 f¨ur k = 0 , ⎪ k ⎪ ⎩ 0 f¨ur k < 0 .

k=0

70

5 Reihen

Die Binomialreihe zum Exponenten s ∈ C ist definiert durch   s k s(s − 1) 2 z + ··· Bs (z) :=  z = 1 + sz + 2! k k=0  s = 0 f¨ur k > s. Insbesondere f¨ur s = n ist damit Im Fall s ∈ IN0 gilt k n  n n z = (1 + z)n . Bn (z) =  k=0 k Ist s ∈ / IN0 , so hat die Potenzreihe Bs (z) den Konvergenzradius R = 1. Es gilt n¨amlich

s  k+1





s z

k

|s − k| k+1



s = |z| = |z|

− → |z| mit k →  ,

zk

k+1 k + 1 k + 1

k also haben wir absolute Konvergenz f¨ur |z| < 1 und Divergenz f¨ur |z| > 1. Wurzel- und auch Quotientenkriterium liefern keine Aussage u¨ ber das Konvergenzverhalten auf dem Rand des Konvergenzkreises, also f¨ur diejenigen z mit |z| = R. In der Tat gibt es Potenzreihen, die f¨ur manche z mit |z| = R konvergieren, f¨ur andere jedoch nicht. Die Geometrische Reihe hat den Konvergenzradius R = 1 und konvergiert f¨ur kein z mit |z| = 1. 

Satz 5.21. Sei  ck zk eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R = 1 und es gelte k=0

c0 ≥ c1 ≥ c2 ≥ · · · ≥ 0 sowie lim ck = 0. k→

Dann konvergiert die Potenzreihe f¨ur alle z ∈ C mit |z| = 1, z = 1. n

Beweis. Wir setzen an := zn , bn := cn und An :=  zk . k=0

Es gilt (1 − z)An = 1 − zn+1. Ist nun |z| = 1, z = 1, so erhalten wir



n

1 − zn+1





≤ 2 |An | =  zk =

k=0

1 − z |1 − z| f¨ur alle n ∈ IN0 und mit Satz 5.13 folgt nun die Behauptung.

 k zk z und  2 . k k k=1 k=1 Sie erf¨ullen beide die Voraussetzungen von Satz 5.21 (die Tatsache, dass es hier keinen 0-ten“ Koeffizienten gibt, spielt keine Rolle, wie man sich leicht u¨ berlegen ” kann), sind also konvergent f¨ur alle z mit |z| = 1, z = 1. Allerdings konvergiert erstere nicht f¨ur z = 1 (Harmonische Reihe), w¨ahrend die zweite f¨ur z = 1 konvergent ist (siehe auch die Anwendung nach Satz 5.6).

Anwendung: Die Reihen







5.5 Exponentialreihe und Eulersche Formel

71

5.5 Exponentialreihe und Eulersche Formel Die Exponentialreihe ist uns im vorigen Abschnitt bereits begegnet. Sie hat den Konvergenzradius R = , ist also f¨ur alle z ∈ C konvergent. Daher ist durch exp(z) :=



zk

 k!

k=0

eine Abbildung exp : C → C erkl¨art. Man bezeichnet sie als Exponentialfunktion. Sie spielt eine herausragende Rolle in der Analysis ( nat¨urliches“ Wachstum) und ” steht in engem Zusammenhang mit den trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus (die wir bisher nur u¨ ber Potenzreihen definiert haben!). Aus der absoluten Konvergenz der Reihe erhalten wir f¨ur z, w ∈ C mit dem Cauchy-Produkt (Satz 5.17)       n   n k z wn z wn−k =     n=0 n! n=0 n! n=0 k=0 k! (n − k)! =





n=0



n! 1 n  k! (n − k)! zk wn−k n! k=0

 =



(z + w)n . n! n=0



Es gilt also die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, exp(z + w) = exp(z) exp(w)

(5.3)

f¨ur alle z, w ∈ C. Weiter betrachten wir die Reihen cos(z) :=



(−1)k 2k z k=0 (2k)!



und



sin(z) :=

(−1)k

 (2k + 1)! z2k+1 .

k=0

Beide werden durch die Exponentialreihe majorisiert und sind deshalb f¨ur alle z ∈ C absolut konvergent. F¨ur n ∈ IN erhalten wir 4n+1



j=0

1 1 1 4n (iz) j 1 = 1 − z2 + z4 − z6 ± · · · + z j! 2 4! 6! (4n)!  1 3 1 5 1 4n+1 z +i z − z + z ∓ · · · + 3! 5! (4n + 1)! =

2n

(−1)k 2k z k=0 (2k)!



2n

(−1)k 2k+1 z . k=0 (2k + 1)!

+i 

Grenzwertbildung n →  liefert nun die als Eulersche Formel bekannte Gleichung exp(iz) = cos(z) + i sin(z) . Mit cos(z) = cos(−z) und sin(z) = − sin(−z) folgt

(5.4)

exp(−iz) = cos(z) − i sin(z).

72

5 Reihen

Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion:   1 1 = e = lim 1 + , vgl. Kapitel 5.1, Beispiel(3). (1) Es gilt exp(1) =  n→ n k=0 k! (2)

1 F¨ur alle z ∈ C gilt exp(−z) = exp(z) und insbesondere exp(z) = 0, denn die Funktionalgleichung (5.3) liefert exp(z) exp(−z) = exp(z − z) = exp(0) = 1.

(3)

Es ist exp(x) > 0 f¨ur alle x ∈ IR; genauer gilt sogar exp(x) > 1 f¨ur x > 0 und 0 < exp(x) < 1 f¨ur x < 0. Beweis. Die Aussage f¨ur x > 0 ist klar, da in der Reihe dann alle Glieder positiv sind; die Aussage f¨ur x < 0 folgt nun mit (2). 

(4)

F¨ur x, y ∈ IR mit x < y gilt exp(x) < exp(y). Beweis.

Laut (3) gilt exp(y − x) > 1; Funktionalgleichung und (2) liefern exp(y − x) = exp(y) exp(−x) =

exp(y) exp(x)

und insgesamt folgt exp(x) < exp(y). (5)



F¨ur alle t ∈ IR gilt | exp(it)| = 1. Beweis. Aus der Eulerschen Formel (5.4) erhalten wir cos(t) = Re (exp(it)) sowie sin(t) = Im (exp(it)) und damit exp(−it) = exp(it) f¨ur t ∈ IR. Ande1 rerseits gilt auch exp(it) = exp(−it) ; es bleibt also nur | exp(it)| = 1. 

i sin(t)

exp(it) 1 cos(t)

Fasst man C als Euklidischen Raum auf, so liegen die Punkte z = exp(it) auf dem Kreis um den Nullpunkt mit Radius 1. Es gilt cos(t) = Re (exp(it)), sin(t) = Im (exp(it)) sowie 1 = | exp(it)|2 = (cos(t))2 + (sin(t))2 .

Satz 5.22 (Additionstheoreme fur ¨ Sinus und Cosinus). F¨ur z, w ∈ C gilt cos(z + w) = cos z cos w − sin z sin w

und

sin(z + w) = sin z cos w + cosz sin w . Beweis. Mit Hilfe von Eulerscher Formel und Funktionalgleichung erhalten wir cos(z + w) + i sin(z + w) = exp(i(z + w)) = exp(iz) exp(iw) = (cos z + i sin z)(cos w + i sin w) = cos z cos w − sin z sin w + i(sin z cos w + cosz sin w)

5.6 Die R¨aume 1 , 2 und 

73

und cos(z + w) − i sin(z + w) = exp(−i(z + w)) = exp(−iz) exp(−iw) = (cos z − i sin z)(cos w − i sin w) = cos z cos w − sin z sin w − i(sin z cosw + cosz sin w) . 

Addieren bzw. subtrahieren wir die Gleichungen, so folgt die Behauptung.

5.6 Die R¨aume 1 , 2 und  Den normierten Raum  = {a = (an )n∈IN : an ∈ IK , {an : n ∈ IN} beschr¨ankt} mit der Norm a = sup |an | kennen wir bereits aus Kapitel 4.1. Wir definieren nun n∈IN

1 := {a = (an )n∈IN : an ∈ IK , 2

 := {a = (an )n∈IN : an ∈ IK ,



 |an| < } ,

n=1

a1 :=



 |an| ,





 |an|

2

n=1

< } ,

a2 :=

und

n=1



1/2

 |an|

2

n=1

.

Es ist nicht schwer einzusehen, dass 1 mit  · 1 ein normierter Raum ist. Dies kann einfach auf direktem Wege gezeigt werden. ¨ F¨ur 2 sind hierzu einige weitere Uberlegungen n¨otig. Aus a = (an )n∈IN ∈ 2 und b = (bn )n∈IN ∈ 2 folgt a + b = (an + bn )n∈IN ∈ 2 , denn es ist |an + bn |2 ≤ |an |2 + 2|an| |bn | + |bn|2 ≤ 2(|an |2 + |bn |2 ). Auch in 2 gilt eine Cauchy-Ungleichung (vgl. Satz 4.4). Satz 5.23 (Cauchy-Ungleichung). Seien a = (an )n∈IN ∈ 2 und b = (bn )n∈IN ∈ 2 . Dann gilt ab = (an bn )n∈IN ∈ 1 und ab1 =







1/2 

 |an bn| ≤  |an |

n=1

n=1

n=1

Beweis. Aus Satz 4.4 erhalten wir 1/2   d

d

n=1

n=1

 |anbn | ≤  |an |  ≤



1/2

d

2

= a2 b2 .

1/2

 |bn|

2

 |an |2

n=1



 |bn|

2

2

n=1

1/2 



 |bn|2

n=1

1/2 = a2 b2 < 

f¨ur jedes d ∈ IN. Damit folgt (an bn )n∈IN ∈ 1 und die Ungleichung ist erf¨ullt.



74

5 Reihen

Analog zum Beweis von Satz 4.5 folgt nun die Minkowski-Ungleichung in 2 . F¨ur alle a, b ∈ 2 gilt a + b2 ≤ a2 b2 . Damit ist nun leicht ersichtlich, dass auch 2 mit  · 2 ein normierter Raum ist. Zum Schluss zeigen wir noch, dass die hier betrachteten R¨aume vollst¨andig sind. Satz 5.24. Die normierten R¨aume ( p ,  ·  p), p ∈ {1, 2, }, sind Banachr¨aume. Beweis. Wir m¨ussen nur noch die Vollst¨andigkeit zeigen. Sei (an )n∈IN eine Cauchyfolge in  p . Man beachte, dass hier an ∈  p ist, also etwa an = (an,1 , an,2 , an,3 , . . .). Zu  > 0 gibt es dann N ∈ IN mit 

1/p



 |an,k − am,k |

an − am  p =

p

<

(p = 1, 2)

k=1

bzw. an − am  = sup |an,k − am,k | <  k∈IN

(p = )

f¨ur m, n ≥ N. Damit ist f¨ur jedes k ∈ IN die Folge (an,k )n∈IN eine Cauchyfolge in IK. Also existiert der Grenzwert k := lim an,k . n→

· p

Zu zeigen bleibt  = (k )k∈IN ∈  p und an −→  . Mit m →  erhalten wir f¨ur alle n ≥ N und l ∈ IN nun 

l

 |an,k − k |

1/p p

≤

bzw.

≤

bzw.

sup |an,k − k | ≤  .

k=1,...,l

k=1

Damit gilt auch 



 |an,k − k |

1/p p

k=1

sup |an,k − k | ≤ 

k∈IN

f¨ur alle n ≥ N und es folgt die Behauptung. Satz 5.25. In 2 ist durch a, b :=





 ak bk

k=1

ein Skalarprodukt erkl¨art. Mit diesem ist 2 ein Hilbertraum. Beweis. Mit Satz 5.23 sehen wir, dass die Reihe a, b in der Tat f¨ur alle a, b ∈ 2 konvergiert. Die geforderten Eigenschaften eines Skalarproduktes kann man nun mit Hilfe der Rechenregeln f¨ur Grenzwerte einfach nachpr¨ufen.  Weiter gilt nach Konstruktion a, a = a2 und mit dieser Norm ist 2 laut Satz 5.24 vollst¨andig. Also ist 2 ein Hilbertraum. 

5.7 Aufgaben

75

5.7 Aufgaben 1. Welche der folgenden Reihen sind konvergent ? a. d.



nn

 n! + nn



n2 + 3n

 n3 − 3n

b.

n=1

n=1





n!

 nn

n=1 1 + a

2. Zeigen Sie:

n2

n=1

an



e.

n=1



 n!

c. (a > 0)

n

 |an | konvergent. Wenn die Reihe  an absolut konvergent ist, dann ist  n n=1 n=1 



3. Zeigen Sie, dass die folgenden Reihen konvergieren und bestimmen Sie ihren Grenzwert. 

a.

n−1 n=1 n!

b.

 n(n + 2)

 

1

n=1 

c.

an  n+1 n=0 (a + 1)

d.

 (−1)n a2n



n=0

(a ∈ C , a = −1) (a ∈ C)

4. Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen. a.



n=0

d.

nn

 (n + 1)! zn 



n=0



2n n z n

b.



zn

 (n + (−1)n)!

c.

n=0

e.



 (an + bn)zn

n=1



 2nzn

2

n=1

(a, b > 0)

5. Finden Sie ein Beispiel einer Reihe, deren Konvergenz man mit dem Wurzelkriterium (Satz 5.10), nicht aber mit dem Quotientenkriterium (Satz 5.8) folgern kann. 6. Sei (bk )k∈IN eine monoton fallende Nullfolge. Laut Leibniz-Kriterium existiert der Grenzwert s :=



 (−1)k+1bk .

k=1

Zeigen Sie: F¨ur die Partialsummen sn dieser Reihe gilt |sn − s| ≤ bn+1 ∀n ∈ IN.

76

7.

5 Reihen 

a. Die Reihe 

n=0

(−1)n √ n+1

ist laut Leibniz-Kriterium konvergent.

Zeigen Sie, dass das Cauchy-Produkt dieser Reihe mit sich selbst divergent ist. Betrachten Sie also (−1)n an := bn := √ n+1

und cn :=

n

 ak bn−k f¨ur n ∈ IN

k=0 

und zeigen Sie, dass die Reihe  cn nicht konvergiert. n=0



√1 n

b. Folgern Sie, dass die Reihe 

n=1



8. Zeigen Sie, dass e = exp(1) = 

n=0

Gehen Sie dabei wie folgt vor:

1 n!

N

Zeigen Sie Sie zun¨achst 0 < e − 

n=0

nicht konvergiert.

irrational ist.

1 n!

≤

2 (N+1)!

f¨ur n ∈ IN.

Nehmen Sie nun an, es sei e ∈ Q, d.h. es gebe p ∈ ZZ, N ∈ IN mit e = folgern Sie daraus   N 1 ∈ IN. N! e −  n=0 n!

p N

und

Leiten Sie hieraus unter Benutzung obiger Absch¨atzung einen Widerspruch her. 9.

a. Zeigen Sie: F¨ur z ∈ C und n ∈ IN gilt (cos z + i sin z)n = cos(nz) + i sin(nz) . b. Geben Sie sin(3z) mit Hilfe von cosz und sin z an.

10. Die Folge der Fibonacci-Zahlen wird definiert durch a0 := 0 ,

a1 := 1 ,

an+1 := an + an−1

f¨ur n ∈ IN .

a. Zeigen Sie: F¨ur alle n ∈ IN gilt an+1 an−1 − a2n = (−1)n . an+1 . F¨ur n ∈ IN betrachten wir qn := an b. Zeigen Sie, dass die Folge (qn )n∈IN konvergent ist. n

Hinweis: Es gilt qn+1 − 1 =  (qk+1 − qk ). k=1

c. Bestimmen Sie den Grenzwert lim qn . n→ 1 Tipp: Es gilt qn+1 = 1 + qn

5.7 Aufgaben

77





11. Seien  an zn und  bn zn Potenzreihen mit Konvergenzradien Ra bzw. Rb . n=0

n=0

n

Weiter sei cn :=  ak bn−k f¨ur n ∈ IN0 . k=0

Zeigen Sie: F¨ur z ∈ C mit |z| < min{Ra , Rb } gilt    

 anzn

n=0



 bnzn

n=0

12. Eine Reihe der Form



=



 cn zn .

n=0

ak

 ks

k=1

(hier zun¨achst f¨ur s ∈ Q) heißt Dirichletsche Reihe. Zeigen Sie: a. Konvergiert



ak

 k s0

f¨ur ein s0 , so konvergiert

k=1



ak

 ks

f¨ur jedes s > s0 .

k=1

b. Es gibt  ∈ IR, sodass die Reihe konvergiert f¨ur s >  und divergiert f¨ur s < . 13. Zeigen Sie: Es gilt 1  2   .

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Kapitel 6

Stetigkeit

Wir werden den Begriff der Stetigkeit hier f¨ur Abbildungen zwischen metrischen R¨aumen einf¨uhren. In Kapitel 12 werden wir diesen Begriff weiter ausbauen. Die Stetigkeit kann noch allgemeiner in beliebigen so genannten topologischen R¨aumen, die nicht notwendigerweise eine Metrik tragen m¨ussen, erkl¨art werden. Wir werden dies am Ende von Kapitel 12.2 kurz aufgreifen; mehr dazu findet man in Lehrb¨uchern zur Topologie, wie etwa [10] oder [18].

6.1 Stetige Abbildungen Definition 6.1. Seien (X , dX ) und (Y, dY ) metrische R¨aume. Eine Abbildung f : X → Y heißt stetig in p ∈ X , falls f¨ur jedes  > 0 eine Zahl  > 0 existiert, sodass gilt: dY ( f (x), f (p)) < 

f¨ur alle x ∈ X mit dX (x, p) <  .

Ist f stetig in allen Punkten p ∈ X, so heißt f stetig (oder stetig auf X ). Den Raum der stetigen Funktionen X → Y bezeichnen wir mit C(X ,Y ). Im Fall Y = IK mit der nat¨urlichen Metrik schreiben wir C(X ) an Stelle von C(X , IK).

 f (p)

f (p)





p



p

Zu jedem  > 0 gibt es ein  > 0 derart, dass dY ( f (x), f (p)) <  f¨ur alle x ∈ X mit dX (x, p) <  gilt. Man beachte, dass  von  und auch von p abh¨angen kann. R. Lasser, F. Hofmaier, Analysis 1 + 2, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-28644-5_6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

79

80

6 Stetigkeit

Mit der Bezeichnung UrdX (x) := {y ∈ X : dX (y, x) < r}, vgl. Kapitel 4.1, kann man die Stetigkeit wie folgt ausdr¨ucken: Die Abbildung f ist stetig in p genau dann, wenn es zu jedem  > 0 ein  > 0 gibt mit   f UdX (p) ⊆ UdY ( f (p)) . Sind z.B. X = M ⊆ IR und Y = IR (jeweils mit der gew¨ohnlichen Metrik), so heißt Stetigkeit in p ∈ M, dass zu jedem  > 0 ein  > 0 existiert mit f ( ]p −  , p +  [ ) ⊆ ] f (p) −  , f (p) +  [ . Beispiele: (1)

Die konstante Funktion f : IR → IR, f (x) = c, ist stetig, denn es gilt stets | f (x) − f (p)| = 0 <  .

(2)

Die Funktion f : IR → IR, f (x) = x2 ist stetig.    Beweis. Zu p ∈ IR,  > 0 w¨ahle  = min 1, 2|p|+1 . Ist dann n¨amlich |x − p| <  , so gilt | f (x) − f (p)| = |x2 − p2| = |x + p| |x − p| ≤ (|x| + |p|) |x − p| und mit |x| ≤ |x − p| + |p| erhalten wir weiter (|x| + |p|) |x − p| ≤ (|x − p| + 2|p|) |x − p| ≤ (1 + 2|p|) |x − p| <  . Es gilt also | f (x) − f (p)| <  f¨ur alle x ∈ IR mit |x − p| <  .

(3)



Die Funktion f : IR → IR, ⎧ ⎨ 1 f¨ur x > 0 , 0 f¨ur x = 0 , f (x) = sgn (x) := ⎩ −1 f¨ur x < 0 , ist nicht stetig in p = 0, denn f¨ur  ≤ 1 gibt es kein passendes“  > 0, sodass ” sgn ( ] −  ,  [ ) ⊆ ] −  ,  [ gilt, weil stets sgn ( ] −  ,  [ ) = {−1, 0, 1} ist.

(4)

Sei (M, d) ein metrischer Raum. Die Identit¨at f : M → M, f (x) = x ist stetig, denn zu  > 0 kann man  =  w¨ahlen. Aus |x − p| <  folgt dann immer | f (x) − f (p)| <  .

(5)

Seien (M, d) ein metrischer Raum, b ∈ M ein fester Punkt. Die Funktion f : M → IR, f (x) = d(x, b) ist stetig. Beweis. Zu  > 0 w¨ahle  =  . Aus d(x, p) <  folgt dann mit der Dreiecksungleichung | f (x) − f (p)| = |d(x, b) − d(p, b)| ≤ d(x, p) <  =  . 

(5)

Sei (IRd ,  · 2 ) der d-dimensionale Euklidische Raum. F¨ur j ∈ {1, . . . , d} bezeichnen wir mit  j : IRd → IR,  j (x) = x j , die Projektion auf die j-te Ko-

6.1 Stetige Abbildungen

81

ordinate (Koordinatenfunktion). Die Funktionen  j sind stetig, denn wegen | j (x) −  j (p)| ≤ x − p2 k¨onnen wir  =  w¨ahlen. (6)

Sei  j : 2 → IK,  j (a) = a j , f¨ur a = (a1 , a2 , . . .) ∈ 2 , j ∈ IN. Analog zu vorigem Beispiel zeigt man, dass auch diese Koordinatenfunktionen stetig sind.

Der folgende Satz liefert eine Charakterisierung der Stetigkeit mittels Folgen. Satz 6.2 (Folgenkriterium). Seien (X , dX ), (Y, dY ) metrische R¨aume, f : X → Y eine Abbildung und p ∈ X. Die Abbildung f ist genau dann in p stetig, wenn gilt: F¨ur jede gegen p konvergente Folge (xn )n∈IN in X konvergiert die Bildfolge ( f (xn ))n∈IN in Y gegen f (p). Beweis. Seien f stetig in p ∈ X und (xn )n∈IN eine Folge in X mit p = lim xn . n→

Zu  > 0 gibt es dann ein  > 0, sodass dY ( f (x), f (p)) <  f¨ur alle x ∈ X mit dX (x, p) <  gilt. Weiter existiert zu  ein N ∈ IN mit dX (xn , p) <  f¨ur alle n ≥ N. Damit folgt dY (( f (xn ), f (p)) <  f¨ur alle n ≥ N, d.h. lim f (xn ) = f (p). n→

F¨ur die umgekehrte Implikation sei nun vorausgesetzt, dass f nicht stetig in p ist. Das heißt: Es gibt ein  > 0, sodass f¨ur jedes  > 0 ein Punkt x ∈ X existiert mit sowohl dX (x, p) <  als auch dY ( f (x), f (p)) ≥  . Insbesondere gibt es dann zu jedem n ∈ IN einen Punkt xn ∈ X mit dX (xn , p) < 1n und dY ( f (xn ), f (p)) ≥  . Damit ist (xn )n∈IN konvergent gegen p in X, aber ( f (xn ))n∈IN konvergiert nicht gegen f (p) in Y . 

Schreibweise: Seien X,Y metrische R¨aume, D ⊆ X und f : D → Y eine Abbildung. Falls f (xn ) → c ∈ Y gilt f¨ur jede Folge (xn )n∈IN in D, die gegen p ∈ X konvergiert, so schreibt man lim f (x) = c. Falls f in p stetig ist, haben wir damit also c = f (p). x→p

Zu f : X → Y und g : Y → Z bezeichnen wir die durch g ◦ f (x) := g( f (x)) erkl¨arte Abbildung g ◦ f : X → Z als Komposition von f und g. Wir wollen zeigen, dass die Komposition zweier stetiger Funktionen auch wieder stetig ist. Satz 6.3. Seien (X, dX ), (Y, dY ) und (Z, dZ ) drei metrische R¨aume sowie p ∈ X. Wenn die Abbildungen f : X → Y stetig in p und g : Y → Z stetig in f (p) ∈ Y sind, dann ist g ◦ f : X → Z stetig in p. Beweis. Sei  > 0.   Da g stetig in f (p) ist, gibt es  > 0 mit g UdY ( f (p)) ⊆ UdZ (g( f (p))).   Zu  > 0 gibt es nun  > 0 mit f UdX (p) ⊆ UdY ( f (p)), weil f stetig in p ist. Zusammen haben wir     g ◦ f UdX (p) ⊆ g UdY ( f (p)) ⊆ UdZ (g ◦ f (p)) , also ist g ◦ f stetig in p.



82

6 Stetigkeit

Sind X ein metrischer Raum, f : X → IK, g : X → IK Abbildungen und  ∈ IK, so sind durch ( f )(x) :=  f (x) ,

( f + g)(x) := f (x) + g(x) ,

( f g)(x) := f (x) g(x)

weitere Abbildungen f + g,  f , f g : X → IK erkl¨art. Ist f (x) = 0 f¨ur alle x ∈ X , so ist

1 f

: X → IK definiert durch

1 f

(x) :=

1 f (x) .

Satz 6.4. Seien (X, d) ein metrischer Raum, f : X → IK und g : X → IK stetig in p ∈ X sowie  ∈ IK. Dann sind auch f + g,  f und f g stetig in p. Ist f stets = 0, so ist auch 1f stetig in p. Beweis. Wir verwenden das Folgenkriterium (Satz 6.2). Ist (xn )n∈IN konvergent gegen p, so konvergieren auch f (xn ) gegen f (p) und g(xn ) gegen g(p). Laut den Rechenregeln f¨ur Grenzwerte (Satz 3.5) konvergieren ( f + g)(xn ) gegen ( f + g)(p) und  f (xn ) gegen  f (p) sowie f g(xn ) gegen f g(p) und, unter der gegebenen Voraussetzung, 1f (xn ) gegen 1f (p). 

Beispiele: (1)

Mit Satz 6.4 sind Polynome P : IK → IK, P(x) = an xn + an−1xn−1 + · · · + a0 , mit n ∈ IN, a0 , . . . , an ∈ IK, stetige Funktionen.

(2)

Seien P und Q zwei Polynome. Setzt man M := {x ∈ IK : Q(x) = 0}, so ist P Q : M → IK stetig. Funktionen dieser Bauart heißen rationale Funktionen.

Es liegt nun auf der Hand zu fragen, ob auch durch (konvergente) Potenzreihen erkl¨arte Funktionen stetig sind. Sei M eine beliebige Menge und bezeichne B(M) den Raum aller beschr¨ankten Funktionen f : M → IK. Weiter sei  f M := sup | f (x)| . x∈M

Man kann direkt nachrechnen, dass  · M eine Norm auf B(M) ist. (Aus Satz 4.9 wissen wir bereits, dass B(M) mit dieser Norm sogar vollst¨andig, also ein Banachraum, ist.) Satz 6.5. Seien (X , d) ein metrischer Raum und p ∈ X. Ferner seien fn : X → IK (n ∈ IN) beschr¨ankte Funktionen, die in p stetig sind. 

Wenn die Reihe   fn X konvergent ist, dann ist durch n=1

f (x) :=



 fn (x)

n=1

eine in p stetige Funktion f : X → IK definiert.

f¨ur x ∈ X

6.1 Stetige Abbildungen

83 



n=1

n=1

Beweis. F¨ur jedes x ∈ X ist   fn X eine konvergente Majorante von  fn (x). Daher ist f : X → IK u¨ berhaupt erkl¨art (wohldefiniert). Zu zeigen bleibt noch die Stetigkeit in p. F¨ur jedes x ∈ X und (zun¨achst beliebiges) N ∈ IN gilt



N

N  



| f (x) − f (p)| ≤  fn (x) −  fn (p) +  | fn (x)| +  | fn (p)| .

n=1

n=N+1 n=1 n=N+1 

Sei  > 0. Da   fn X konvergiert, gibt es ein N ∈ IN mit Damit ist

n=1 

 | fn (x)| <

n=N+1

 3



  fn X < 3 .

n=N+1

f¨ur alle x ∈ X . Somit haben wir



N

2 N



| f (x) − f (p)| ≤  fn (x) −  fn (p) +  .

n=1

3 n=1



N

N



W¨ahle nun  > 0, sodass  fn (x) −  fn (p)

< n=1 n=1

 3

f¨ur alle x mit d(x, p) <  ist.

Dann gilt | f (x) − f (p)| <  f¨ur alle x ∈ X mit d(x, p) <  . Folglich ist f stetig in p.



Mit Hilfe von Satz 6.5 k¨onnen wir zeigen, dass jede Potenzreihe im Inneren ihres Konvergenzkreises eine stetige Funktion darstellt. Genauer gilt folgendes: 

Korollar 6.6. Sei  ck zk eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R. Dann ist durch k=0

f (z) :=



 ck zk

k=0

eine in UR (0) stetige (falls 0 < R < ) bzw. in ganz C stetige (falls R = ) Funktion f erkl¨art. Beweis. Sei z ∈ UR (0). Dann gibt es r mit |z| < r < R. Die durch fk (z) := ck zk , k ∈ IN, erkl¨arten Funktionen sind auf X := Ur (0) beschr¨ankt und stetig. Ferner gilt  fk X ≤ |ck | rk , also ist 



k=0

k=0

  fk X ≤  |ck | rk <  ,

da die Potenzreihe in UR (0) absolut konvergiert. Nun folgt mit Satz 6.5 die Stetigkeit im Punkt z. Da dies f¨ur jedes z ∈ UR (0) gilt, haben wir die Stetigkeit auf ganz UR (0). Die Aussage im Fall R =  folgt ganz analog, wenn man C an Stelle von UR (0) betrachtet. 

84

6 Stetigkeit

Laut Korollar 6.6 sind u.a. die folgenden Funktionen stetig. (1)

Die Exponentialfunktion ist stetig auf ganz C.

(2)

Sinus und Cosinus sind stetig auf ganz C.

(3)

Die Binomialreihe zum Exponenten s,  s k Bs (z) =  z , k=0 k 

vgl. Kapitel 5.4, Beispiel (6), ist stetig auf U1 (0). (4)

Die Potenzfunktion z → az := exp(z ln a) ist stetig auf ganz C. Diese allgemeinen Potenzen f¨ur beliebiges z ∈ C werden wir in Kapitel 6.3 noch genauer untersuchen.

Bemerkung: Die im Beweis zu Korollar 6.6 benutzte Einschr¨ankung auf Ur (0) mit 

r < R ist notwendig, da   fk UR (0) m¨oglicherweise divergiert, wie z.B. bei der 

Potenzreihe  zk .

k=0

k=0



sin x x

=

1 x



(−1)k 2k+1 x (2k+1)!



(−1)k 2k x , insbesondere (2k+1)! k=0 k=0  (−1)k 2k z ist die Reihe auf der rechten Seite konvergent. Die Potenzreihe f (z) :=  (2k+1)! k=0

Anwendung: F¨ur x = 0 gilt

= 

stellt daher eine auf ganz C stetige Funktion dar und mit dem Folgenkriterium erhalten wir sin x lim = lim f (x) = f (0) = 1 . x→0 x x→0

6.2 Eigenschaften stetiger reellwertiger Funktionen Wir wenden uns nun stetigen Funktionen zu, die auf Teilmengen von IR definiert und reellwertig sind. Satz 6.7 (Nullstellensatz). Sei f : [a, b] → IR stetig mit f (a) < 0 und f (b) > 0 oder f (a) > 0, f (b) < 0. Dann existiert mindestens ein x0 ∈ ]a, b[ mit f (x0 ) = 0. Beweis. Im Fall f (a) < 0, f (b) > 0 konstruieren wir rekursiv eine Intervallschachtelung (In )n∈IN0 mit In = [an , bn ], f (an ) < 0, f (bn ) ≥ 0 und |In | = 21n |I0 |. Dazu beginnen wir mit I0 := [a, b]. Sei In mit den angegebenen Eigenschaften bereits gefunden. Dann betrachten wir m := 12 (an + bn ) und definieren  [an , m] , falls f (m) ≥ 0 , [an+1 , bn+1 ] := [m, bn ] , falls f (m) < 0 .

6.2 Eigenschaften stetiger reellwertiger Funktionen

85

Damit haben wir eine Intervallschachtelung und es gibt x0 mit {x0 } =

 n∈IN0

In .

Nun gilt lim an = x0 = lim bn und, da f stetig ist, erhalten wir mit Satz 6.2 n→

n→

0 ≥ lim f (an ) = f (x0 ) = lim f (bn ) ≥ 0 , n→

n→

also f (x0 ) = 0. Der Beweis im Fall f (a) > 0 und f (b) < 0 geht ganz analog.



Korollar 6.8 (Zwischenwertsatz). Sei f : [a, b] → IR stetig. Zu jedem c ∈ ] f (a), f (b)[ (falls f (a) < f (b) gilt) bzw. c ∈ ] f (b), f (a)[ (falls f (b) < f (a) ist), existiert ein x0 ∈ ]a, b[ mit f (x0 ) = c. Beweis. Betrachte g : [a, b] → IR, g(x) := f (x) − c, und wende Satz 6.7 auf g an.



Anschaulich besagt der Zwischenwertsatz, dass f jeden Wert zwischen f (a) und f (b) annimmt: Im Fall f (a) < f (b) ist [ f (a), f (b)] ⊆ f ([a, b]). Gilt f (a) > f (b), so ist [ f (b), f (a)] ⊆ f ([a, b]). Anwendung: Es gibt eine kleinste positive Zahl x0 ∈ ]0, 2[ mit cos(x0 ) = 0. Beweis. Es gilt cos(0) = 1 und  (−1)k 2k 4 42 4 42 2 = 1− + 1− + ∓ ··· cos(2) =  2! 4! 5·6 5·6·7·8 k=0 (2k)!  n 2  4 2 1 3 < −1 +  = −1 + =− , 4 3 n=0 30 3 1 − 30 13 

also cos(0) > 0 und cos(2) < 0. Mit der Stetigkeit des Cosinus folgt zun¨achst, dass es mindestens eine Zahl c ∈]0, 2[ gibt mit cos(c) = 0. Wir betrachten M := {c > 0 : cos(c) = 0} und setzen x0 := inf M. Dann gibt es eine Folge (xn )n∈IN in M mit xn → x0 f¨ur n → . Mit dem Folgenkriterium erhalten wir cos(x0 ) = lim cos(xn ) = 0 und wegen cos(0) = 1 gilt x0 = 0, also x0 ∈ M. n→ 

Folglich ist x0 die kleinste positive Nullstelle des Cosinus. Wir sind jetzt in der Lage, weitere wichtige Eigenschaften von Sinus und Cosinus herzuleiten. Aus Kapitel 5.5 wissen wir bereits, dass sin2 x + cos2 x = 1 f¨ur alle x ∈ IR gilt. Dabei sind sin2 x und cos2 x abk¨urzende Schreibweisen f¨ur (sin x)2 bzw. (cos x)2 .



 ¨ Ublicherweise setzt man  := 2x0 . Es gilt also cos 2 = 0 und daher sin 2 = 1

  oder sin 2 = −1. Behauptung: F¨ur x ∈ ]0, 2[ gilt sin x > 0.

86

6 Stetigkeit

Beweis. F¨ur x ∈ ]0, 2[ ist sin(x) 1  (−1)k 2k+1 x2 x4 x6 =  x = 1 − + − ± ··· x x k=0 (2k + 1)! 3! 5! 7!  x2 x2 x4 > 1− 1+ + + ··· 3! 4·5 4·5·6·7  n 4  1 4 4 1 > 1−  = 1− = > 0, 4 3! n=0 20 3! 1 − 20 6 also auch sin(x) > 0.

 



Folglich bleibt nur sin 2 = 1. Weiter erhalten wir f¨ur alle z ∈ C mit den Additionstheoremen (Satz 5.22)





 • cos z + 2 = cos(z) cos 2 − sin(z) sin 2 = − sin(z), 





• sin z + 2 = sin(z) cos 2 + cos(z) sin 2 = cos(z), 



• cos( ) = cos 2 + 2 = − sin 2 = −1 und damit sin( ) = 0, • cos(z +  ) = cos(z) cos( ) − sin(z) sin( ) = − cos(z), • sin(z +  ) = sin(z) cos( ) + cos(z) sin( ) = − sin(z), • cos(z + 2 ) = cos(z +  ) cos( ) − sin(z +  ) sin( ) = cos(z), • sin(z + 2 ) = sin(z +  ) cos( ) + cos(z +  ) sin( ) = sin(z). Mit der Eulerschen Formel (5.4) folgt exp(i ) = cos( ) + i sin( ) = −1 und mit Hilfe der Funktionalgleichung (5.3) erhalten wir schließlich exp(z + 2 i) = exp(z) exp(2 i) = exp(z) (cos(2 ) + i sin(2 )) = exp(z) f¨ur alle z ∈ C. Als weitere Folgerung aus Satz 6.7 wollen wir noch einen Fixpunktsatz notieren. Fixpunkts¨atze sind wichtige mathematische Instrumente. So wird uns etwa der so genannte Fixpunktsatz von Banach (Satz 15.4) sp¨ater noch von großem Nutzen sein. Korollar 6.9 (Fixpunktsatz). Sei f : [a, b] → [a, b] stetig. Dann existiert ein x0 ∈ [a, b] mit f (x0 ) = x0 . Beweis. Nach Voraussetzung gilt a ≤ f (x) ≤ b f¨ur alle x ∈ [a, b]. Ist f (a) = a oder f (b) = b, so bleibt nichts zu zeigen. Seien also a < f (a) und f (b) < b. Die Funktion g : [a, b] → IR, g(x) := f (x) − x, ist stetig mit g(a) > 0 und g(b) < 0. Laut Satz 6.7 existiert x0 ∈ ]a, b[ mit g(x0 ) = 0. Damit gilt f (x0 ) = x0 . 

6.2 Eigenschaften stetiger reellwertiger Funktionen

b

87

Die stetige Funktion f : [a, b] → [a, b] besitzt mindestens einen Fixpunkt x0 ∈ [a, b], d.h. es gilt x0 = f (x0 ). Anschaulich bedeutet dies, dass der Graph von f die Winkelhalbierende in mindestens einem Punkt schneidet.

a a

b

Analog wie bei Folgen heißt eine Funktion f : [a, b] → IR monoton wachsend, wenn aus y > x stets f (y) ≥ f (x) folgt. Falls aus y > x sogar immer f (y) > f (x) folgt, so heißt die Funktion streng monoton wachsend. Entsprechend definiert man die Eigenschaften (streng) monoton fallend. Satz 6.10. Seien I ⊆ IR ein Intervall, f : I → IR streng monoton wachsend oder streng monoton fallend und M := f (I). Dann ist f : I → M bijektiv und die Umkehrfunktion f −1 : M → I ist stetig. Beweis. Die Injektivit¨at folgt direkt aus der strengen Monotonie. Zu zeigen bleibt die Stetigkeit von f −1 . Sei f streng monoton wachsend. Zu festem p ∈ M betrachte a ∈ I mit f (a) = p. Wir m¨ussen zeigen: Zu jedem  > 0 gibt es ein  > 0 derart, dass |x − a| < 

f¨ur alle x ∈ I mit | f (x) − p| < 

gilt. Dies ist genau dann der Fall, wenn die folgenden Bedingungen beide erf¨ullt sind. Zu jedem  > 0 gibt es ein 1 > 0, sodass gilt:

(i)

a−x <  (ii)

f¨ur alle x ∈ I , x < a , mit p − f (x) < 1 .

Zu jedem  > 0 gibt es ein 2 > 0, sodass gilt: x−a < 

f¨ur alle x ∈ I , x > a , mit f (x) − p < 2 .

Wir wollen nun sehen, dass (i) erf¨ullt ist. Ist a ∈ I linker Randpunkt von I, so ist nichts zu zeigen. Sei also a ∈ I nicht linker Randpunkt von I. Dann gibt es b ∈ I, b < a, mit a − b <  und wir setzen 1 := p − f (b). Ist nun x ∈ I, x < a mit p − f (x) < 1 , so folgt f (b) < f (x) und damit b < x wegen der Monotonie. Weiter folgt a − x < a − b <  , also ist (i) nachgewiesen. Ganz analog zeigt man auch (ii). Ebenso analog f¨uhrt man auch den Beweis im Fall einer streng monoton fallenden Funktion. 

88

6 Stetigkeit

Bemerkung: Es wird bei Satz 6.10 nicht gefordert, dass f selbst stetig ist. Auch braucht f (I) = M kein Intervall zu sein. Unter der zus¨atzlichen Voraussetzung, dass f stetig ist, folgt mit dem Zwischenwertsatz allerdings, dass M ein Intervall ist. Beispiel: Sei n ∈ IN. Die Funktion f : [0, [ → [0, [, f (x) := xn , ist streng monoton wachsend.√Die Umkehrfunktion ist die n−te Wurzelfunktion f −1 : [0, [ → [0, [, f −1 (x) = n x. Nach Satz 6.10 ist diese stetig. Wir f¨uhren noch einen weiteren Begriff ein. Seien D ⊆ IR, Y ein metrischer Raum und f : D → Y eine Abbildung. Wenn f¨ur jede Folge (xn )n∈IN in D, die gegen p ∈ IR konvergiert und xn > p ∀n erf¨ullt, f (xn ) → c gilt, so bezeichnet man c als rechtsseitigen Grenzwert und schreibt c = lim f (x). Gebr¨auchlich sind auch die Schreibweisen lim f (x) und f (p + 0). x→p+0

x↓p

Entsprechend erkl¨art man ggf. auch einen linksseitigen Grenzwert und schreibt dann lim f (x) oder lim f (x) bzw. f (p − 0). x→p−0

x↑p

Wenn D ein Intervall und p ∈ D kein Randpunkt von D ist, so ist f offensichtlich stetig in p genau dann, wenn rechts- und linksseitiger Grenzwert existieren und u¨ bereinstimmen. Satz 6.11. Sei f : [a, b] → IR monoton wachsend. F¨ur jedes p ∈ ]a, b[ existieren f (p + 0) sowie f (p − 0) und es gilt f (p − 0) ≤ f (p) ≤ f (p + 0) . Die Grenzwerte f (a + 0) und f (b − 0) existieren; es gelten f (a) ≤ f (a + 0) sowie f (b − 0) ≤ f (b). Entsprechende Aussagen gelten f¨ur monoton fallende Funktionen. Beweis. Sei p ∈ ]a, b[. Da f monoton wachsend ist, existiert das Supremum c := sup{ f (x) : x ∈ [a, p[ } und es gilt c ≤ f (p). Zu  > 0 existiert x ∈ [a, p[ mit c −  ≤ f (x ) ≤ c. Auf Grund der Monotonie gilt deshalb c −  ≤ f (x) ≤ c f¨ur alle x ∈ [x , p[ . Ist nun (xn )n∈IN eine Folge in [a, p[ mit xn → p, so findet man ein N ∈ IN derart, dass xn ∈ [x , p[ f¨ur alle n ≥ N gilt. Damit ist c − f (xn ) <  f¨ur alle n ≥ N. Folglich gilt lim f (xn ) = c und damit c = f (p − 0). n→

Die anderen Nachweise laufen analog.



Wir erw¨ahnen noch, dass sich die Rechenregeln f¨ur Grenzwerte mit Hilfe von Satz 6.4 auf lim f (x), lim f (x) und lim f (x) u¨ bertragen lassen. x→p

x→p±0

x→±

6.3 Exponentialfunktion und Logarithmus

89

Seien etwa lim f (x) = c und lim g(x) = b, so gelten x→p

x→p

lim ( f + g)(x) = c + b ,

x→p

und, falls b = 0 ist, haben wir

lim

x→p

lim ( f g)(x) = cb ,

x→p

f c (x) = . g b

6.3 Exponentialfunktion und Logarithmus Die Exponentialfunktion ist eine auf ganz C stetige Funktion. Schr¨anken wir uns auf die reellen Zahlen ein, so erhalten wir eine streng monoton wachsende Funktion exp : IR → ]0, [, wie wir aus Kapitel 5.5 bereits wissen. An Hand der Reihendarstellung sieht man weiter, dass exp(x) > x f¨ur alle x > 0 gilt. Daher ist die Bildmenge exp(IR) nach oben unbeschr¨ankt. Weiter gilt 1 exp(−x) = exp(x) < 1x f¨ur x > 0. Zu jedem y ∈ ]0, [ gibt es deshalb ein x ∈ IR mit exp(−x) < y < exp(x). Folglich existiert laut Zwischenwertsatz ein x0 ∈ IR mit exp(x0 ) = y; also ist exp(IR) = ]0, [. Nun k¨onnen wir mit Satz 6.10 folgern, dass die reelle Exponentialfunktion eine stetige Umkehrfunktion g : ]0, [→ IR besitzt; d.h. wir haben g ◦ exp : IR → IR , exp ◦ g : ]0, [ → ]0, [ ,

und

g ◦ exp(x) = x exp ◦ g(y) = y .

e

1

Die Exponentialfunktion bildet IR bijektiv auf das Intervall ]0, [ ab. 1

Wir werden sehen, dass g mit dem Logarithmus aus Kapitel 3.4 u¨ bereinstimmt. Dazu sind jedoch noch einige Vor¨uberlegungen n¨otig. Zun¨achst wollen wir eine weitere Charakterisierung der Exponentialfunktion herleiten. Diese wird motiviert durch das Problem der stetigen Verzinsung“. W¨achst ” etwa ein Kapital K durch Zinsen in einem Jahr auf K(1 + x), so hat man nach dem

90

6 Stetigkeit

n-ten

Teilneines Jahres, z.B. n = 12 bei monatlicher Verzinsung, einen Zuwachs auf K 1 + nx . Man fragt sich nun, ob ein Grenzwert f¨ur n →  existiert.  z n Satz 6.12. F¨ur alle z ∈ C gilt lim 1 + = exp(z). n→ n F¨ur z = 1 kennen wir dies schon, vgl. Beispiel (3) in Kapitel 5.1. Beweis. Wegen  z n = exp(z) − 1 + n =

n  k zk n z  k! −  k nk k=0 k=0 

n



k=0

  zk n(n − 1) · · ·(n − k + 1) zk + 1−  k! k=n+1 k! nk    =: cnk



n zk zk = 0 bleibt zu zeigen, dass  cnk = 0 gilt. n→ k! k=n+1 k! k=0

und lim



Dazu halten wir fest, dass 0 < cnk < 1 f¨ur alle k, n ∈ IN und lim cnk = 0 ist. n→

Zu  > 0 finden wir (vgl. Satz 5.1) ein N ∈ IN derart, dass n

|z|k < k=m k!



gilt. Damit erhalten wir



n zk



 cnk ≤

k=0 k!

N

 cnk

k=0

f¨ur alle m, n mit N < m < n

n |z|k |z|k +  cnk < k! k=N+1 k!

N

 cnk

k=0

|z|k + . k!

Ganz rechts k¨onnen wir nun den Grenzwert f¨ur n →  bilden; die Anzahl der Summanden h¨angt hier nicht mehr von n ab. Damit folgt



n N zk

|z|k

+ =  lim sup  cnk ≤ lim  cnk n→ k!

k! n→ k=0 k=0 und weiter, da dies f¨ur jedes  > 0 gilt, die Behauptung.



Nun wenden wir uns dem Logarithmus zu. F¨ur x > 0 haben wir den Wert ln(x) mittels einer Intervallschachtelung definiert. Lemma 6.13. F¨ur 0 < a < b gilt 1 − ab ≤ ln(b) − ln(a) ≤ ba − 1.

 Beweis. Aus Satz 3.12 folgt zun¨achst 1 − ab ≤ ln 1a + ln(b) ≤

 ln 1a = − ln(a), siehe Korollar 3.13, erhalten wir die Behauptung.

b a

− 1 und mit 

Satz 6.14. Die Funktion ln : ]0, [ → IR, definiert wie in Kapitel 3.4, ist stetig.

6.3 Exponentialfunktion und Logarithmus

91

Beweis. Seien p ∈ ]0, [ und (xn )n∈IN eine Folge in ]0, [, die gegen p konvergiert.











Zu  > 0 gibt es dann ein N ∈ IN mit xpn − 1 <  und xpn − 1 <  f¨ur alle n ≥ N. Außerdem haben wir aus Lemma 6.13  xn −1 0 ≤ ln(xn ) − ln(p) ≤ p  p −1 0 ≤ ln(p) − ln(xn ) ≤ xn

falls xn > p , falls xn < p .

Daher ist | ln(xn ) − ln(p)| <  f¨ur alle n ≥ N. Also gilt lim ln(xn ) = ln(p). Mit Satz 6.2 folgt die Stetigkeit.



n→

Satz 6.15. F¨ur alle x ∈ IR gilt ln(exp(x)) = x. Beweis. Wegen exp(x) > 0 f¨ur alle x ∈ IR ist der Ausdruck ln(exp(x)) f¨ur alle reellen Zahlen x erkl¨art. Seien zun¨achst x > 0 und n ∈ IN. Setzt man a = n und b = x + n in die Ungleix chung aus Lemma 6.13 ein, so ergibt sich n+x ≤ ln(n + x) − ln(n) ≤ nx . 

n 

= ln n+x , vgl. Korollar 3.13, folgt Mit n(ln(n + x) − ln(n)) = n ln n+x n n  nx x n  ≤ ln 1 + ≤x n+x n n 

und Satz 3.7 liefert lim ln 1 + nx = x. n→

Wegen der Stetigkeit des Logarithmus folgt mit Hilfe von Satz 6.12 nun    x n  x n  = ln lim 1 + = ln(exp(x)) . x = lim ln 1 + n→ n→ n n   1 Sei nun x < 0. Dann ist −x = ln(exp(−x)) = ln exp(x) = − ln(exp(x)). Die Behauptung gilt also auch in diesem Fall; f¨ur x = 0 gilt sie offensichtlich.  Umgekehrt gilt dann f¨ur jedes x ∈ ]0, [ auch exp(ln(x)) = x. Mit Hilfe von Exponentialfunktion und Logarithmus k¨onnen wir nun allgemeine Potenzfunktionen erkl¨aren. F¨ur x > 0 und z ∈ C setzt man xz := exp(z ln x) . Ist speziell x = e, so hat man ez = exp(z), da ln(e) = 1 ist. F¨ur x, y > 0 und z, w ∈ C ergibt sich damit unmittelbar x1 = x ,

x0 = 1 ,

xz xw = xz+w ,

x−z =

1 , xz

(xy)z = xz yz

92

6 Stetigkeit

und f¨ur x > 0, y ∈ IR, z ∈ C gilt (xy )z = (exp(y ln x))z = exp(z ln(exp(y ln x))) = exp(zy ln x) = xyz . Die Wurzelfunktion ist ein Spezialfall der Potenzfunktionen. Ist z =  > 0, so ist x → x eine streng monoton wachsende, stetige, bijektive Abbildung ]0, [ → ]0, [. Die zugeh¨orige Umkehrfunktion ist x → x1/ , denn (x )1/ = x (1/ ) = x1 = x. Wir wollen noch verifizieren, daß f¨ur n ∈ IN die beiden Definitionen xn := x · · · x und xn := exp(n ln x) u¨ bereinstimmen. Dies ist der Fall, denn es gilt exp(n ln x) = exp (ln x + · · · + ln x) = exp(ln x) · · · exp(ln x) = x · · · x = xn .       n Summanden

n Faktoren

Damit stimmt die Umkehrfunktion x → x1/n auch mit x →

√ n

x u¨ berein.

6.4 Stetige Funktionen auf [a, b] Wir leiten noch einige Eigenschaften f¨ur stetige Funktionen her, die auf Intervallen der Form [a, b] definiert sind. Wir werden diese in Kapitel 12 noch verallgemeinern, wenn wir stetige Funktionen auf so genannten kompakten Mengen untersuchen. Satz 6.16. Sei f : [a, b] → IR stetig. Dann ist f ([a, b]) eine beschr¨ankte Teilmenge von IR und f nimmt Maximum und Minimum an. Das heißt, es existieren ein p ∈ [a, b] mit f (p) = sup{ f (x) : x ∈ [a, b]} und ein q ∈ [a, b] mit f (q) = inf{ f (x) : x ∈ [a, b]}. Beweis. Wir f¨uhren den Nachweis nur f¨ur das Maximum. Sei  sup{ f (x) : x ∈ [a, b]} , falls f ([a, b]) nach oben beschr¨ankt ist, M := , falls nicht. Dann existiert eine Folge (xn )n∈IN in [a, b] mit lim f (xn ) = M. n→

Da (xn )n∈IN beschr¨ankt ist, existiert nach Satz 4.19 eine Teilfolge

 (xnk )k∈IN mit lim xnk = p ∈ [a, b]. Mit der Stetigkeit von f folgt f (p) = lim f xnk = M. 

k→

k→

Definition 6.17. Seien (X, dX ) und (Y, dY ) zwei metrische R¨aume. Eine Funktion f : X → Y heißt gleichm¨aßig stetig auf X, falls zu jedem  > 0 ein  > 0 existiert, sodass gilt: dY ( f (x), f (x )) < 

f¨ur alle x, x ∈ X mit dX (x, x ) <  .

Ist f : X → Y gleichm¨aßig stetig, so ist f offensichtlich in jedem Punkt p ∈ X stetig.

6.5 Aufgaben

93

Satz 6.18. Seien (Y, dY ) ein metrischer Raum und f : [a, b] → Y stetig. Dann ist f auch gleichm¨aßig stetig. Beweis. Angenommen, f ist nicht gleichm¨aßig stetig. Dann gibt es ein  > 0 derart, dass f¨ur jedes n ∈ IN zwei Punkte xn , xn ∈ [a, b] existieren mit |xn − xn | <

1 n

und dY ( f (xn ), f (xn )) ≥  .

Laut Satz 4.19 existiert nun eine konvergente Teilfolge (xnk )k∈IN von (xn )n∈IN mit lim xnk = p ∈ [a, b]. Mit |xnk − xnk | < n1k gilt auch lim xnk = p. Da f stetig ist, folgt

k→

k→

lim dY ( f (xnk ), f (xnk )) = dY ( f (p), f (p)) = 0

k→

im Widerspruch zu dY ( f (xnk ), f (xnk )) ≥  f¨ur alle k ∈ IN. Die Annahme ist demnach nicht erf¨ullbar. 

Beispiel: Die Funktion f : ]0, [→ IR, f (x) := 1x , ist auf jedem Intervall [c, 1] mit 0 < c < 1 gleichm¨aßig stetig, aber sie ist nicht gleichm¨aßig stetig auf ]0, 1]. Beweis. F¨ur festes c mit 0 < c < 1 ist f nach Satz 6.18 gleichm¨aßig stetig auf [c, 1]. Um zu zeigen, dass f im Intervall ]0, 1] nicht gleichm¨aßig stetig ist, betrachte etwa  = 1. Wir nehmen an, es gibt ein  > 0 mit



f (x) − f (y) < 1 f¨ur alle x, y ∈ ]0, 1] mit |x − y| <  . & ' Nun w¨ahlen wir a ∈ 0, 12 mit a <  .

Mit x := a und y := 2a gilt dann x, y ∈ ]0, 1] sowie |y − x| <  und weiter | f (x) − f (y)| =

1 1 1 − = >1= a 2a 2a

im Widerspruch zur Annahme; es gibt also kein solches  . Folglich ist f nicht gleichm¨aßig stetig auf ]0, 1].

6.5 Aufgaben 1. Zeigen Sie, dass z → Re (z) ,

z → Im (z) ,

z → z und z → |z|

in ganz C stetig sind. Folgern Sie exp(z) = exp(z)

f¨ur alle z ∈ C .



94

6 Stetigkeit

2. Begr¨unden Sie, dass lim cos(x)−1 existiert, und berechnen Sie diesen Grenzwert. x x→0

3. Zeigen Sie, dass die Funktion f : IR → IR,  1 f¨ur x = 0 , sin x f (x) := 0 f¨ur x = 0 , im Punkt x = 0 nicht stetig ist: a. direkt an Hand der Definition; zeigen Sie, dass man beispielsweise zu  = 12 kein passendes“  finden kann; ” b. mit dem Folgenkriterium (Satz 6.2). 4. Zeigen Sie, dass die Funktion f : IR → IR, 

 f¨ur x = 0 , x sin 1x f (x) := 0 f¨ur x = 0 , auf ganz IR stetig ist. Hinweis: Um die Stetigkeit im Nullpunkt zu zeigen, k¨onnen Sie z.B. das Folgenkriterium und die Absch¨atzung | f (x) − f (0)| ≤ |x − 0| verwenden. 5. Seien f , g : IR → IR stetige Funktionen mit f (x) = g(x) f¨ur alle x ∈ Q. Zeigen Sie, dass f (x) = g(x) f¨ur alle x ∈ IR gilt. 6. Seien (X, dX ) und (Y, dY ) metrische R¨aume. Eine Funktion f : X → Y heißt Lipschitz-stetig, wenn es ein L > 0 gibt mit dY ( f (x), f (y)) ≤ L dX (x, y)

f¨ur alle x, y ∈ X .

a. Zeigen Sie: Jede Lipschitz-stetige Funktion ist gleichm¨aßig stetig. b. Geben Sie eine Funktion f : IR → IR an, die in ganz IR stetig, aber nicht Lipschitz-stetig ist. 7. Seien p ∈ IR und f : IR → IR eine stetige Funktion derart, dass f (x + p) = f (x) f¨ur alle x ∈ IR gilt. Zeigen Sie, dass f gleichm¨aßig stetig ist. 8. Zeigen Sie, dass die Funktion f : IR → IR, f (x) := cos(x2 ), nicht gleichm¨aßig stetig ist. √ Hinweis: Betrachten Sie f ( k ) f¨ur k ∈ IN.

6.5 Aufgaben

95

9. Zeigen Sie, dass es genau eine reelle Zahl x gibt, die die Gleichung x = e−x l¨ost. 10. Seien M eine nicht-leere Menge und d : M × M → IR definiert durch 0 falls x = y , d(x, y) := 1 sonst . a. Zeigen Sie, dass (M, d) ein metrischer Raum ist. b. Bestimmen Sie alle stetigen Abbildungen f : (M, d) → (M, d). 11. Sei f : IR → C eine im Punkt x = 0 stetige Funktion derart, dass f (x + y) = f (x) + f (y)

f¨ur alle x, y ∈ IR

gilt. Zeigen Sie, dass eine Zahl c ∈ C existiert mit f (x) = cx

f¨ur alle x ∈ IR .

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Kapitel 7

Differentiation

Die Differentiation, mit der wir uns in diesem Kapitel besch¨aftigen werden, stellt ein weiteres wichtiges Werkzeug der Analysis dar. Sie wird unter anderem durch folgende Problemstellungen motiviert: • Konstruktion einer Tangente an den Graphen einer Funktion in einem vorgegebenen Punkt • Lokale Approximation einer Funktion durch eine m¨oglichst einfache Funktion, n¨amlich ein Polynom ersten Grades • Bestimmung der Momentangeschwindigkeit eines Teilchens • als Gegenspieler der Integration“ (vgl. Kapitel 8) ” Trotz der vielen Gesichter finden wir einen einfachen Zugang mittels Grenzwerten.

7.1 Differenzierbarkeit Definition 7.1. Seien I ⊆ IR ein Intervall und x ∈ I. Eine Funktion f : I → IK nennt man differenzierbar in x, falls der Grenzwert lim

t →x t ∈ I , t = x

f (t) − f (x) t −x

df (x). dt  Weiter heißt f (x) die Ableitung (oder Differentialquotient) von f in x.

existiert. Wir bezeichnen diesen Grenzwert dann mit f  (x) oder

Ist die Funktion f in jedem x ∈ I differenzierbar, so heißt f differenzierbar. Falls x ein Randpunkt von I ist, wollen wir den Limes als rechts- bzw. linksseitigen Grenzwert verstehen. Die Angabe t ∈ I, t = x werden wir k¨unftig nicht mehr explizit ausschreiben. Man sollte aber im Kopf behalten, welche t f¨ur die Grenzwertbildung zugelassen sind. R. Lasser, F. Hofmaier, Analysis 1 + 2, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-28644-5_7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

97

98

7 Differentiation

Bemerkung: Man kann Differenzierbarkeit analog auch f¨ur Funktionen f : I → X definieren, wobei X ein beliebiger normierter Raum ist, und zwar als Grenzwert in X. Wir verzichten darauf an dieser Stelle, merken aber an, dass wir komplexwertige Funktionen zulassen. Satz 7.2. Sei f : I → IK im Punkt x ∈ I differenzierbar. Dann ist f stetig in x. Beweis. F¨ur t ∈ I, t = x haben wir f (t) − f (x) =

f (t) − f (x) (t − x) → f  (x) · 0 = 0 t −x

mit t → x .

Demnach ist f laut Folgenkriterium (Satz 6.2) stetig in x.



Die Umkehrung von Satz 7.2 gilt nicht; siehe etwa Beispiel (6). Schreibt man die Gleichung des Beweises etwas um, erh¨alt man folgendes. Mit P(t) := f (x) + f  (x) (t − x) gilt lim

t→x

f (t) − P(t) =0, t −x

d.h. die lokale Approximation von f (t) durch P(t) ist schneller“ als die, mit der t ” gegen x strebt. Man bezeichnet P(t) auch als lineare Approximation von f in x.

P f (x)

f

Die Abbildung zeigt die Graphen einer differenzierbaren Funktion f sowie der durch P(t) := f (x)+ f  (x)(t − x) erkl¨arten linearen Approximation. Die durch die Abbildung P beschriebene Gerade trifft den Graph von f an der Stelle (x, f (x)) tangential.

x

Bevor wir einige Ableitungen berechnen, zeigen wir grundlegende Rechenregeln. Satz 7.3. Seien f : I → IK und g : I → IK im Punkt x ∈ I differenzierbar und c ∈ IK. Dann sind c f , f + g und f g in x differenzierbar. Ist g(x) = 0, so ist auch gf in x differenzierbar. Dabei gelten: •

(c f ) (x) = c f  (x)

•

( f + g) (x) = f  (x) + g(x)

•

( f g) (x) = f  (x) g(x) + f (x) g (x)   f g(x) f  (x) − g(x) f (x) (x) = g g(x)2

•

(Produktregel) (Quotientenregel)

7.1 Differenzierbarkeit

99

Beweis. Die ersten beiden Aussagen folgen direkt aus den Rechenregeln f¨ur Grenzwerte. Zur Produktregel betrachten wir g(t) − g(x) f (t) − f (x) f (t) g(t) − f (x) g(x) = f (t) + g(x) . t −x t −x t −x Grenzwertbildung t → x liefert nun ( f g) (x) = f  (x) g(x) + f (x) g (x). Zu zeigen bleibt die Quotientenregel. Dazu sei h := gf . Wir haben dann  1 f (t) − f (x) g(t) − g(x) h(t) − h(x) = g(x) − f (x) . t −x g(t)g(x) t −x t −x Mit g(t) → g(x) f¨ur t → x erhalten wir im Grenzwert h (x) =

g(x) f  (x) − f (x) g (x) . g(x)2

Die Behauptungen zur Differenzierbarkeit sind mit der Bestimmung der Formeln auch bewiesen. 

Beispiele: ct − cx = c. t −x

(1)

Sei f : IR → IK, f (x) := cx mit c ∈ IK, so gilt f  (x) = lim

(2)

Seien n ∈ IN0 und f : IR → IR, f (x) := xn . Es gilt f  (x) = nxn−1 .

t→x

Beweis. F¨ur n = 0 gilt die Aussage offensichtlich. Gilt sie f¨ur ein n, so setze h : IR → IR, h(x) := xn+1 = x f (x). Mit Induktionsvoraussetzung und Produktregel folgt h (x) = 1 · f (x) + x f  (x) = xn + xnxn−1 = (n + 1)xn. 

Damit sind auch alle Polynome differenzierbar und alle rationalen Funktionen sind differenzierbar, außer an den Punkten, an welchen der Nenner = 0 ist. Die Ableitungen bestimmt man gem¨aß Satz 7.3. Insbesondere erhalten wir nun mit der Quotientenregel f¨ur f : IR \ {0} → IR, n−1 f (x) := x1n , dass die Ableitung f  (x) = 0−nx = x−n n+1 ist. Also haben wir insgesamt x2n (xn ) = nxn−1

f¨ur alle n ∈ ZZ .

Es folgt eine weitere wichtige Regel, die wir oft nutzen werden. Sie betrifft die Komposition von differenzierbaren Funktionen. Satz 7.4 (Kettenregel). Seien I und J zwei Intervalle. Wenn die Funktionen f : I → J im Punkt x ∈ I sowie g : J → IK in y = f (x) ∈ J differenzierbar sind, so ist g ◦ f : I → IK in x differenzierbar und es gilt (g ◦ f ) (x) = g (y) f  (x) .

100

7 Differentiation

Beweis. Da g in y differenzierbar ist, ist die Funktion G : J → IK, ⎧ ⎪ ⎨ g(s) − g(y) f¨ur s = y , s−y G(s) := ⎪ ⎩ f¨ur s = y , g (y) stetig im Punkt y und es gilt g(s) − g(y) = (s − y) G(s). Man erh¨alt weiter, da f stetig in x ist, lim

t→x

g( f (t)) − g( f (x)) ( f (t) − f (x)) G( f (t)) = lim = f  (x) G( f (x)) = f  (x) g (y) t→x t −x t −x 

wie behauptet. Weitere Beispiele: (3)

Sei f : IR → IK, f (x) := exp(cx), mit c ∈ IK. Aus der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion erhalten wir exp(ct) − exp(cx) exp(c(x + h)) − exp(cx) = lim h→0 t −x h exp(ch) − 1 exp(ch) − 1 = c exp(cx) lim = c exp(cx) . = exp(cx) lim h→0 h→0 h ch

f  (x) = lim t→x

(4)

Ist f : I → C in x ∈ I differenzierbar, so sind Re f : I → IR und Im f : I → IR in x differenzierbar und es gilt (Re f ) (x) = Re f  (x) ,

(Im f ) (x) = Im f  (x) .

Dies folgt direkt aus f = Re f + i Im f und der Tatsache, dass eine Folge komplexer Zahlen genau dann konvergent ist, wenn die Folgen der Real- und der Imagin¨arteile beide konvergent sind. Betrachten wir nun f : IR → C, f (t) := exp(it) = cost + i sint, so erhalten wir aus (1) als Ableitung f  (t) = i exp(it) = i(cost + i sint) = − sint + i cost. Somit haben wir cos (t) = − sint (5)

sin (t) = cost .

und

1 ln(t) − ln(x) 1 ≤ ≤ f¨ur 0 < x < t. t t −x x Vertauscht man die Rollen von t und x, so ergibt sich

Aus Lemma 6.13 erhalten wir

1 ln(t) − ln(x) 1 ≤ ≤ x t −x t

f¨ur 0 < t < x .

Insgesamt erhalten wir daraus mit t → x die Ableitung des Logarithmus, ln (x) =

1 . x

7.1 Differenzierbarkeit

(6)

101

Die Funktion f : IR → IR,  f (x) :=

x sin

1 x

0

f¨ur x = 0 , f¨ur x = 0 ,

ist auf ganz IR stetig, vgl. Kapitel 6.5, Aufgabe 4. F¨ur x = 0 erhalten wir mit Produkt- und Kettenregel   1 1 1  f (x) = sin − cos . x x x Im Fall x = 0 sind beide S¨atze nicht anwendbar. Wir betrachten  f (t) − f (0) 1 = sin . t −0 t Ein Grenzwert f¨ur t → 0 existiert nicht. Daher ist f in x = 0 nicht differenzierbar. Wir haben hier also ein Beispiel einer Funktion, die im Nullpunkt stetig aber nicht differenzierbar ist. (7)

Die Funktion f : [0, [ → [0, [, f (x) := x2 , ist bijektiv und differenzierbar. √ Ihre Umkehrabbildung f −1 : [0, [ → [0, [, f −1 (x) = x, ist im Nullpunkt nicht differenzierbar, denn sonst m¨usste laut Kettenregel

 

1 = f −1 ◦ f (0) = f −1 ( f (0)) f  (0) gelten, was wegen f  (0) = 0 nicht m¨oglich ist.

¨ Die Uberlegung in Beispiel (7) kann man f¨ur jede bijektive differenzierbare Funktion f durchf¨uhren. Sie belegt, dass f¨ur die Differenzierbarkeit von f −1 in y = f (x) die Ableitung f  (x) notwendigerweise ungleich Null sein muss. In Kapitel 7.3 werden wir sehen, dass diese Bedingung auch hinreichend f¨ur die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion ist. Wenn die Ableitung f  einer differenzierbaren Funktion selbst wieder differenzierbar ist, so bezeichnet man f  := ( f  ) als die zweite Ableitung von f . Entsprechend erkl¨art man gegebenenfalls auch eine dritte Ableitung usw. Statt f  , f  , . . . schreibt man auch f (2) , f (3) , . . . Definition 7.5. Eine differenzierbare Funktion f : I → IK heißt stetig differenzierbar, wenn f  : I → IK stetig ist. Falls die Ableitungen f (1) , . . . , f (n) existieren und stetig sind, so sagt man, f ist n-mal stetig differenzierbar. Man beachte, dass jede differenzierbare Funktion stetig ist; daher folgt aus der Existenz von f (k) bereits die Stetigkeit von f (k−1) . Den Raum der n-mal stetig differenzierbaren Funktionen f : I → IK bezeichnen wir mit Cn (I). Weiter schreiben wir C (I) f¨ur den Raum der beliebig oft (stetig) differenzierbaren Funktionen.

102

7 Differentiation

Beispielsweise sind die Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus sowie auch alle Polynomfunktionen beliebig oft stetig differenzierbar. Wir wollen ein Beispiel einer differenzierbaren, aber nicht stetig differenzierbaren, Funktion angeben. Die Funktion f : IR → IR, 

 x2 sin 1x f¨ur x = 0 , f (x) := 0 f¨ur x = 0 , ist in allen Punkten x = 0 differenzierbar. Die Ableitung erhalten wir mittels Produkt- und Kettenregel; dort gilt      1 1 1 1 1  2 f (x) = 2x sin + x − 2 cos = 2x sin − cos . x x x x x Wir zeigen nun, dass f auch in x = 0 differenzierbar ist. Dazu betrachten wir  f (t) − f (0) 1 = t sin . t −0 t

 Da die Abbildung t → t sin 1t an der Stelle t = 0 stetig ist, erhalten wir mit dem Folgenkriterium  f (t) − f (0) 1 = lim t sin =0, lim t→0 t→0 t −0 t also ist f im Nullpunkt differenzierbar mit f  (0) = 0. Allerdings kann man (etwa wiederum mit dem Folgenkriterium) leicht sehen, dass f  am Punkt x = 0 nicht stetig ist. Daher ist f  dort auch nicht differenzierbar, eine zweite Ableitung existiert hier also nicht.

7.2 Mittelwertsatz und lokale Extrema Definition 7.6. Sei f : X → IR eine Funktion auf einem metrischen Raum X . Man sagt, dass f ein lokales Maximum (bzw. lokales Minimum) im Punkt p ∈ X besitzt, wenn ein r > 0 existiert derart, dass f (x) ≤ f (p) f¨ur alle x ∈ Ur (p) gilt (bzw. f (x) ≥ f (p) f¨ur alle x ∈ Ur (p) gilt). Lokale Maxima oder Minima nennen wir lokale Extrema. Satz 7.7. Sei f : [a, b] → IR eine Funktion, die im Punkt x ∈ ]a, b[ ein lokales Extremum besitzt. Wenn f  (x) existiert, dann gilt f  (x) = 0. Beweis. Wir betrachten nur den Fall eines lokalen Maximums; die Aussage f¨ur das Minimum beweist man ganz analog.

7.2 Mittelwertsatz und lokale Extrema

103

Sei r > 0 gem¨aß Definition 7.6. Ohne Einschr¨ankung k¨onnen wir annehmen, dass Ur (x) = ]x − r, x + r[ ⊆ ]a, b[ gilt. f (t) − f (x) ≥ 0 und mit t → x folgt f  (x) ≥ 0. t −x f (t) − f (x) F¨ur x < t < x + r gilt ≤ 0 und mit t → x gilt nun f  (x) ≤ 0. t −x Es bleibt also nur f  (x) = 0.

F¨ur x − r < t < x gilt



Die Umkehrung von Satz 7.7 gilt nicht. Beispielsweise hat die Funktion x → x3 an der Stelle x = 0 kein lokales Extremum, obwohl ihre Ableitung dort den Wert 0 hat. Man beachte auch, dass Satz 7.7 nur eine Aussage u¨ ber Extrema im Inneren des Intervalls, also in ]a, b[, erm¨oglicht und auch nur an Punkten, wo f differenzierbar ist. So hat etwa die Funktion f : [−1, 1] → IR, f (x) := |x|, ein Minimum im Punkt x = 0, ist dort aber nicht differenzierbar, und sie hat Maxima jeweils bei x = 1 und bei x = −1. Als eine erste Folgerung erhalten wir ein Resultat, welches nach Michel Rolle (1652-1719, Paris) benannt ist. Satz 7.8 (Rolle). Sei f : [a, b] → IR eine stetige Funktion mit f (a) = f (b), die auf ]a, b[ differenzierbar ist. Dann gibt es ein x ∈ ]a, b[ mit f  (x) = 0. Beweis. Ist f konstant, so ist nichts zu zeigen. Sei also f eine nicht-konstante Funktion. Laut Satz 6.16 gibt es nun c, d ∈ [a, b] mit f (c) = max f ([a, b]) und f (d) = min f ([a, b]). Wegen f (a) = f (b) und da f nicht-konstant ist, muss mindestens einer der beiden Punkte c oder d in ]a, b[ liegen, d.h. es gibt x ∈ ]a, b[ derart, dass f in x ein lokales Extremum hat. Nach Satz 7.7 gilt f  (x) = 0. 

Man beachte, dass Differenzierbarkeit in den Randpunkten nicht erforderlich ist. Nun k¨onnen wir den so genannten Mittelwertsatz einfach herleiten. Wir formulieren gleich eine leicht verallgemeinerte Version. Satz 7.9. Seien f : [a, b] → IR und g : [a, b] → IR stetige Funktionen, die auf ]a, b[ differenzierbar sind. Dann gibt es ein x ∈ ]a, b[ mit ( f (b) − f (a)) g (x) = (g(b) − g(a)) f (x) . Beweis. Die Funktion h : [a, b] → IR, h(x) := ( f (b)− f (a))g(x)−(g(b)−g(a)) f (x), ist stetig, auf ]a, b[ differenzierbar, und es gilt h(a) = f (b) g(a) − f (a) g(b) = h(b) . Nach Satz 7.8 existiert ein x ∈ ]a, b[ mit h (x) = 0, woraus direkt die Behauptung folgt. 

104

7 Differentiation

Der Sonderfall g(x) = x wird Mittelwertsatz (der Differentialrechnung) genannt: Satz 7.10 (Mittelwertsatz). Ist f : [a, b] → IR eine stetige Funktion, die auf ]a, b[ differenzierbar ist, so gibt es ein x ∈ ]a, b[ mit f  (x) =

f (b) − f (a) . b−a

Eine physikalische Interpretation lautet wie folgt. L¨auft man etwa 100 Meter in 10 Sekunden, so betr¨agt die Durchschnittsgeschwindigkeit 36 km/h. Laut dem Mittelwertsatz gibt es dabei mindestens einen Zeitpunkt, an dem die Momentangeschwindigkeit (aufgefasst als Ableitung, also der Grenzwert der durchschnittli” chen Geschwindigkeit, wenn die zur¨uckgelegte Wegstrecke gegen 0 geht“) genau 36 km/h ist. Aus dem Mittelwertsatz erhalten wir eine Reihe interessanter Ergebnisse zum Verhalten von differenzierbaren Funktionen. Korollar 7.11. Sei f : [a, b] → IR stetig und auf ]a, b[ differenzierbar. Dann gelten: (i)

Ist f  (x) ≥ 0 f¨ur alle x ∈ ]a, b[, so ist f monoton wachsend.

(ii)

Ist f  (x) = 0 f¨ur alle x ∈ ]a, b[, so ist f konstant.

(iii)

Ist f  (x) ≤ 0 f¨ur alle x ∈ ]a, b[, so ist f monoton fallend.

Beweis. F¨ur alle drei Aussagen ziehen wir die Gleichung f (x2 ) − f (x1 ) = f  (x) (x2 − x1 ) heran, die laut dem Mittelwertsatz f¨ur beliebige x1 , x2 ∈ [a, b], x1 < x2 , mit einem geeigneten x ∈ ]x1 , x2 [ gilt. Ist nun f  (x) ≥ 0 f¨ur alle x ∈ ]a, b[, so folgt f (x1 ) ≤ f (x2 ), d.h. f w¨achst monoton. Entsprechend geht man auch f¨ur die anderen beiden Aussagen vor. 

Bemerkungen: (1)

In Korollar 7.11 gelten jeweils auch die Umgekehrten Implikationen. Ist etwa f (x) f monoton wachsend, so gilt f (t)− ≥ 0 f¨ur alle x,t ∈ ]a, b[ und damit auch t−x  f (x) ≥ 0, falls f in x differenzierbar ist.

(2)

Gilt sogar f  (x) > 0 f¨ur alle x ∈ ]a, b[ (oder f  (x) < 0), so ist f streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend), wie sofort aus dem Nachweis von Korollar 7.11 folgt. Hier gilt die Umkehrung allerdings nicht! Die durch f (x) := x3 erkl¨arte Funktion ist zwar auf ganz IR streng monoton wachsend, aber ihre Ableitung nicht u¨ berall positiv: Es gilt f  (0) = 0.

(3)

Mit Korollar 7.11(ii) gilt auch folgendes. Seien f , g : [a, b] → IK stetig und auf ]a, b[ differenzierbar mit f  (x) = g (x) f¨ur alle x ∈ ]a, b[. Dann existiert eine Konstante c ∈ IK mit f (x) = g(x) + c f¨ur alle x ∈ [a, b]. Zum Nachweis braucht man nur h := f − g zu betrachten.

7.2 Mittelwertsatz und lokale Extrema

105

Definition 7.12. Sei f : I → IK gegeben. Eine differenzierbare Funktion F : I → IK heißt Stammfunktion von f , falls F  = f gilt. Laut Bemerkung (3) ist F bis auf eine additive Konstante durch f eindeutig bestimmt. Korollar 7.13. Seien  ∈ IK sowie f : [a, b] → IK stetig und in ]a, b[ differenzierbar derart, dass f  (x) =  f (x) f¨ur alle x ∈ ]a, b[ ist. Dann gilt f (x) = c exp( x) f¨ur alle x ∈ [a, b] , wobei c ∈ IK eine Konstante ist. Beweis. Setze g(x) := f (x) exp(− x). F¨ur alle x ∈ ]a, b[ gilt damit g (x) = f  (x) exp(− x) −  f (x) exp(− x) = 0 . Folglich ist g eine Konstante, also gilt f (x) = c exp( x) mit einem c ∈ IK zun¨achst f¨ur alle x ∈ ]a, b[ und wegen der Stetigkeit dann auch f¨ur alle x ∈ [a, b]. 

Die Exponentialfunktion ist also die einzige differenzierbare Funktion f : IR → IR, die den Bedingungen •

f = f

•

f (0) = 1

gen¨ugt. Wir geben noch weitere Erg¨anzungen zum Mittelwertsatz an. Das n¨achste Resultat ist benannt nach Jean Gaston Darboux (1842-1917, Paris). Korollar 7.14 (Darboux). Seien f : [a, b] → IR differenzierbar und c ∈ ] f  (a), f  (b)[, falls f  (a) < f  (b) gilt (bzw. c ∈ ] f  (b), f  (a)[, falls f  (b) < f  (a) gilt). Dann existiert x0 ∈ ]a, b[ mit f  (x0 ) = c. Beweis. Sei f  (a) < c < f  (b). Mit g(x) := f (x) − cx gilt g (a) < 0 und g (b) > 0. Wegen g(t) − g(a) 0 > g (a) = lim t→a+ t −a gibt es ein t1 ∈ ]a, b[ mit g(t1 ) < g(a). Ebenso folgt, dass ein t2 ∈ ]a, b[ existiert mit g(t2 ) < g(b). Laut Satz 6.16 nimmt g auf [a, b] sein Minimum an, und wegen der vorangehen¨ den Uberlegungen nimmt g dieses Minimum an einer Stelle in x0 ∈ ]a, b[ an. Mit Satz 7.7 folgt g (x0 ) = 0. Daher gilt f  (x0 ) = c. 

Unter Verwendung des verallgemeinerten Mittelwertsatzes k¨onnen einige Grenzwerte recht einfach bestimmt werden. Wir leiten die so genannte L’Hospitalsche Regel her (L’Hospital, Marquis de Sainte-Mesme, 1661-1704, Paris; die L’Hospitalsche Regel stammt von Johann Bernoulli I, 1667-1748, Basel).

106

7 Differentiation

Satz 7.15. Seien f , g : ]a, b[ → IR differenzierbare Funktionen. Weiter sei g (x) = 0 f¨ur alle x ∈ ]a, b[ und es gelte lim f (x) = 0 = lim g(x). x→b

x→b

f  (x) =:  existiert, so gilt x→b g (x)

Dann ist g(x) = 0 f¨ur alle x ∈ ]a, b[. Wenn lim

f  (x) f (x) =  = lim .  x→b g (x) x→b g(x) lim

Eine entsprechende Aussage gilt f¨ur x → a. Dies gilt auch im Fall eines uneigentlichen Grenzwertes  = ± und auch bei a = − oder b = . Beweis. Sei zun¨achst b ∈ IR. Nach Voraussetzung kann man f und g fortsetzen zu stetigen Funktionen auf ]a, b] und es gilt f (b) = 0 = g(b). Zu c ∈ ]a, b[ gibt es nach dem Mittelwertsatz ein x ∈ ]c, b[ mit g(c) = g(c) − g(b) = g (x) (c − b). Dann ist auch g(c) = 0 f¨ur alle c ∈ ]a, b[. Laut Satz 7.9 existiert zu jedem c ∈ ]a, b[ ein x = x(c) ∈ ]c, b[ mit f (c) − f (b) f  (x) f (c) = =  . g(c) g(c) − g(b) g (x) Mit c → b gilt auch x(c) → b und es folgt die Behauptung. Die Aussage f¨ur x → a beweist man ganz analog (zun¨achst f¨ur a ∈ IR). Nun betrachten wir den wir a > 0 anneh' b = . Ohne Einschr¨ ' & Fall

 ankung & k¨onnen

 men. Wir setzen  : 0, 1a → IR,  (t) := f 1t und  : 0, 1a → IR,  (t) := g 1t . Die Funktion  ist differenzierbar mit

 −g 1t   (t) = = 0 t2 & ' f¨ur alle t ∈ 0, 1a und es gilt lim  (t) = 0 = lim  (t). Schließlich haben wir t→0

t→0

  1

 t2 f t f  1t   (t) f  (x) = lim  = lim 2  1  = lim  1  = lim  x→ g (x) t→0  (t) t→0 t g t→0 g t t und mit dem bereits Bewiesenen folgt

 f 1t  (t) f (x) = lim 1  = lim  = lim x→ t→0  (t) t→0 g g(x) t 

wie behauptet. Beispiele: (1)

Es gilt

sin x cos x = lim = 1. x→0 x x→0 1 lim

7.2 Mittelwertsatz und lokale Extrema

107





(2)

1 x − sinx 1 − = lim . x→0 sin x x x sin x Mit f (x) := x − sin x und g(x) := x sin x sind die Voraussetzungen von Satz 7.15 erf¨ullt; man beachte, dass g (x) = 0 in einem Intervall ]0, b[ mit einem geeigneten b gilt. Wir erhalten

Wir bestimmen

lim

x→0

lim

x→0

x − sin x 1 − cosx sin x = lim = lim =0, x→0 x cos x + sinx x→0 −x sin x + 2 cosx x sin x

wobei wir ein zweites Mal Satz 7.15 angewendet haben (nachdem wir uns u¨ berzeugt haben, dass die Voraussetzungen wiederum erf¨ullt sind). Eine zweite Regel von L’Hospital befasst sich mit dem Fall lim g(t) = ±. t→b

Satz 7.16. Seien f , g : ]a, b[ → IR differenzierbare Funktionen. Weiter sei g (x) = 0 f¨ur alle x ∈ ]a, b[ und es gelte lim g(x) = . x→b

f  (x) =:  existiert, so gilt Wenn lim  x→b g (x) f  (x) f (x) =  = lim .  x→b g (x) x→b g(x) lim

Eine entsprechende Aussage gilt f¨ur x → a. Dies gilt auch im Fall eines uneigentlichen Grenzwertes  = ± und auch bei a = − oder b = . Beweis. Sei zun¨achst  ∈ IR. Zu  > 0 gibt es s ∈ ]a, b[ mit



f (x)



f¨ur alle x ∈ [s, b[ .

g (x) −  <  und g(x) > 0 Nun w¨ahle t ∈ ]s, b[, sodass |g(x)| >

| f (s)| 

und |g(x)| >

|g(s)| 

f¨ur alle x ∈ [t, b[ gilt.

F¨ur beliebiges x ∈ ]t, b[ gibt es laut Satz 7.9 ein  ∈ ]s, x[ mit g ( ) ( f (x) − f (s)) = f  ( ) (g(x) − g(s)) . Dies k¨onnen wir umformen zu f (x) f  ( ) =  g(x) g ( )

 g(s) f (s) 1− + . g(x) g(x)

Man erh¨alt daraus









f (x)

f ( )

f ( ) g(s) f (s)











g(x) −  ≤ g ( ) −  + g ( ) g(x) + g(x) <  + (| | +  )  +  . Damit gilt lim

x→b

f (x) = . g(x)

108

7 Differentiation 

(x) Nun sei  = . Zu M > 0 gibt es dann s ∈ ]a, b[ mit gf  (x) ≥ M und g(x) > 0 f¨ur alle x ∈ [s, b[. W¨ahle t ∈ ]s, b[ mit g(x) > − f (s) und g(x) > 2g(s) f¨ur alle x ∈ [t, b[.

F¨ur beliebiges x ∈ ]t, b[ erh¨alt man wiederum mit Hilfe von Satz 7.9 ein  ∈ ]s, x[, sodass  f (x) f  ( ) g(s) f (s) 1 =  1− + > M−1 g(x) g ( ) g(x) g(x) 2 gilt. Damit folgt lim

x→b

f (x) = . g(x)



Beispiele: lim x ln x = lim

ln x

= lim

1 x

= 0.

(1)

Es gilt

(2)

Dieses Beispiel soll zeigen, dass man bei den L’Hospitalschen Regeln auf die Voraussetzung g (x) = 0 nicht verzichten kann. Es stammt von O. Stolz (1842-1905, Innsbruck).

x→0 1 x

x→0

x→0

− x12

Seien f (x) := x + sin x cos x und g(x) := f (x) exp(sin x). Ein Grenzwert lim

x→

f (x) = lim exp(− sin x) g(x) x→

existiert nicht!

Hingegen ist f  (x) 2 cos2 x = lim  x→ g (x) x→ cos x exp(sin x) (2 cos x + f (x)) lim

= lim

x→

2 cos x exp(− sin x) =0, f (x) + 2 cosx

da der Z¨ahler beschr¨ankt bleibt und f (x) →  mit x →  gilt. Von den Voraussetzungen ist zwar lim g(x) =  erf¨ullt, aber g (x) = 0 ist x→ nicht m¨oglich, auch nicht nach eventueller Einschr¨ankung des Definitionsbereichs, wegen g (x) = cos x exp(sin x) (2 cos x + f (x)) = 0

f¨ur alle x =

 + k , k ∈ ZZ . 2

7.3 Ableitung der Umkehrfunktion Satz 7.17. Sei f : I → IR streng monoton und differenzierbar in x ∈ I mit f  (x) = 0. Setze J := f (I).

−1  1 Dann ist f −1 : J → I in y = f (x) differenzierbar und es gilt f (y) =  . f (x)

7.3 Ableitung der Umkehrfunktion

109

Beweis. Sei (sn )n∈IN eine Folge in J mit sn → y = f (x) und sn = y ∀n. Bezeichnet tn := f −1 (sn ), so ist tn = x und es gilt tn → x, da f −1 laut Satz 6.10 stetig ist. Folglich haben wir f −1 (sn ) − f −1 (y) tn − x 1 lim = lim =  n→ n→ f (tn ) − f (x) sn − y f (x) 

wie behauptet. f

Grafisch erh¨alt man die Umkehrabbildung durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden.

tn = f −1 (sn )

f −1

x = f −1 (y) y

sn

Die Steigung der Tangente an den Graph von f −1 im Punkt (y, f −1 (y)) ist gleich dem Kehrwert der Steigung der Tangente an den Graph von f im Punkt (x, f (x)) = ( f −1(y), y).

Beispiele: (1)

' & Die Funktion f : − 2 , 2 → [−1, 1], f (x) := sin x, ist differenzierbar mit f  (x) = cos x. & ' Wir wissen bereits, dass cos im Intervall − 2 , 2 positiv ist, also ist sin laut Korollar 7.11 ' dort & streng monoton wachsend. Man sieht unmittelbar, & dass f' auch auf − 2 , 2 streng wachsend ist, denn f¨ur alle x ∈ − 2 , 2 



monoton gilt schließlich −1 = f − 2 < f (x) < f 2 = 1. & ' Die Umkehrfunktion f −1 : [−1, 1] → − 2 , 2 heißt Arcus-Sinus und wird mit arcsin bezeichnet. Diese ist f¨ur alle y ∈ ] − 1, 1[ differenzierbar, und mit y = sin x gilt arcsin (y) =

1 1 1 1 = = . = cos x cos(arcsin y) 1 − y2 1 − sin2 (arcsin y)

 2

−1 1

− 2

Die Abbildung zeigt den Graphen der ' & Funktion arcsin : [−1, 1] → − 2 , 2 .

110

(2)

7 Differentiation

  Die Funktion tan : IR \ (2k + 1) 2 : k ∈ ZZ → IR, tan(x) := renzierbar mit

sin(x) , cos(x)

ist diffe-

1 cos2 (x) + sin2 (x) = = 1 + tan2 (x) . 2 cos (x) cos2 (x) ' & wachsend Insbesondere ist f : − 2 , 2 → IR, f (x) := tan(x), streng '

& monoton und mit lim tan(x) = , lim tan(x) = − folgt f − 2 , 2 = IR. tan (x) =

x→ 2

x→− 2

' & Nach Satz 7.17 existiert eine Umkehrfunktion f −1 : IR → − 2 , 2 ; wir bezeichnen diese mit arctan. F¨ur die Ableitung gilt arctan (tan(x)) =

1 . tan (x)

Mit y = tan(x) erhalten wir schließlich arctan (y) =

1 tan (arctan(y))

=

1 1 = . 2 1 + (tan(arctan(y)) 1 + y2

7.4 Aufgaben 1. Ist die Funktion f : IR → IR,  f (x) :=

 x2 cos ln(x2 )

f¨ur x = 0 ,

0

f¨ur x = 0 ,

differenzierbar ? Bestimmen Sie gegebenenfalls die Ableitung f  und untersuchen Sie diese ebenfalls auf Stetigkeit. 2. Zeigen Sie, dass die Funktion f : IR → IR, f (x) := |x|3 , zwei Mal differenzierbar ist. Bestimmen Sie f  und f  . Zeigen Sie weiter, dass f  an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar ist. 3. Seien I ⊆ IR ein Intervall und f : I → IR differenzierbar derart, dass f  beschr¨ankt ist. Zeigen Sie, dass f Lipschitz-stetig ist. 4. Seien I ein offenes Intervall und f : I → IR eine zwei Mal differenzierbare Funktion. Zeigen Sie: a. Ist x0 ∈ I mit f  (x0 ) = 0 und f  (x0 ) < 0, so hat f in x0 ein lokales Maximum. b. Ist x0 ∈ I mit f  (x0 ) = 0 und f  (x0 ) > 0, so hat f in x0 ein lokales Minimum. Hinweis: Wenden Sie Korollar 7.11 zun¨achst auf f  an Stelle von f an.

7.4 Aufgaben

111

5. Seien I ein Intervall und f : I → IR eine monoton wachsende differenzierbare Funktion. Zeigen Sie, dass f genau dann streng monoton wachsend ist, wenn es kein Intervall J ⊆ I positiver L¨ange gibt mit f  (x) = 0 ∀x ∈ J. 6. Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von f : IR → IR, f (x) := x3 + ax2 + bx, in Abh¨angigkeit von a, b ∈ IR und entscheiden Sie jeweils, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt. 7. Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion f : IR → IR,  |x| ln(|x|) f¨ur x = 0 , f (x) := 0 f¨ur x = 0 , und entscheiden Sie jeweils, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt. 8. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.  1 1 a. lim − x→0 x ln(x + 1) b. c. d.

lim

x→1

ln(x) − x + 1 (x − 1)2

ln(cos(ax)) (a, b ∈ IR, b = 0) ln(cos(bx))  cos(x) − 1 lim exp x→0 x2 lim

x→0

9. Sei I ein Intervall. Eine Funktion f : I → IR heißt konvex, wenn f ( x1 + (1 −  )x2) ≤  f (x1 ) + (1 −  ) f (x2) f¨ur alle x1 , x2 ∈ I und f¨ur alle  ∈ [0, 1] gilt. Eine konvexe Funktion f heißt streng konvex, wenn in obiger Ungleichung Gleichheit nur in den Trivialf¨allen x1 = x2 oder  ∈ {0, 1} gilt. a. Sei f : I → IR differenzierbar. Zeigen Sie: Die Funktion f ist genau dann (streng) konvex, wenn f  (streng) monoton wachsend ist. b. Sei nun f : I → IR zwei Mal differenzierbar. Zeigen Sie: Die Funktion f ist genau dann konvex, wenn f  (x) ≥ 0 f¨ur alle x ∈ I ist. c. Zeigen Sie weiter, dass f¨ur eine zwei Mal differenzierbare, streng konvexe Funktion f nicht notwendigerweise f  (x) > 0 f¨ur alle x ∈ I folgt.

112

7 Differentiation

10. Gegeben sei die Funktion f : IR → IR, f (x) := arcsin



2x 1+x2



.

a. Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von f und entscheiden Sie jeweils, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt. b. Zeigen Sie: F¨ur −1 < x < 1 gilt f (x) = 2 arctan(x). Gilt eine a¨ hnliche Identit¨at auch f¨ur |x| > 1 ? 11. Die Funktionen Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus sind wie folgt definiert:  1 x sinh : IR → IR , sinh(x) := e − e−x , cosh 2 cosh : IR → IR ,

cosh(x) :=

 1 x e + e−x . 2

Zeigen Sie: a. F¨ur alle x, y ∈ IR gilt sinh(x + y) = cosh(x) sinh(y) + sinh(x) cosh(y) ,

sinh

cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y) . b. F¨ur alle x ∈ IR gilt cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1. c. Die Funktionen sinh und cosh sind differenzierbar mit sinh (x) = cosh(x)

und

cosh (x) = sinh(x) .

d. Die Funktion sinh besitzt eine differenzierbare Umkehrabbildung arsinh : IR → IR mit 1 arsinh (x) = √ . 2 x +1 e. Die Einschr¨ankung von cosh auf das Intervall [0, [ besitzt eine in ]0, [ differenzierbare Umkehrabbildung arcosh : [1, [ → [0, [ mit 1 arcosh (x) = √ . 2 x −1 f. Es gilt    arsinh(x) = ln x + x2 + 1    arcosh(x) = ln x + x2 − 1

f¨ur alle x ∈ IR , f¨ur alle x ∈ [1, [ .

Kapitel 8

Integration

Die Grundidee der Integration ist es, den Inhalt der Fl¨ache, die zwischen Graph einer Funktion f : [a, b] → IR und x-Achse innerhalb der Intervallgrenzen liegt, zu berechnen. F¨ur so genannte Treppenfunktionen bereitet uns dies keine Probleme. Mittels eines Grenz¨ubergangs werden wir das Integral auf allgemeinere Funktionen erweitern. Die anschauliche Vorstellung als Fl¨acheninhalt gilt zwar f¨ur reellwertige Funktionen, wir werden dennoch auch C-wertige Funktionen zulassen. Neben dem Regel-Integral, welches wir in diesem Kapitel einf¨uhren, existieren einige weitere Arten von Integralen, wie etwa das Riemann-Integral oder das Lebesgue-Integral.

8.1 Regelfunktionen Definition 8.1. Eine Funktion f : [a, b] → IK heißt Treppenfunktion, wenn es a0 , . . . , an ∈ [a, b] mit a = a0 < a1 < . . . < an = b und c1 , . . . , cn ∈ IK gibt, sodass f (x) = ck

f¨ur alle x ∈ ]ak−1 , ak [

(k = 1, . . . , n)

gilt. F¨ur die Werte f (a0 ), . . . , f (an ) wird nichts weiter vorausgesetzt. Wir nennen a = a0 < a1 < . . . < an = b eine Teilung (oder Partition) von [a, b] und bezeichnen ( b

a

f (x) dx :=

n

 ck (ak − ak−1)

∈ IK

k=1

als das Integral von f . Man beachte, dass an jeder Sprungstelle“ von f ein Teilungspunkt liegt, aber ” nicht jeder Teilungspunkt eine Sprungstelle zu sein braucht. Als Feinheit der Teilung bezeichnet man das Maximum max{ak −ak−1 : k = 1, . . . , n}. Ist a j−1 < a < a j f¨ur ein j = 1, . . . , n, so heißt die Teilung a = a0 < . . . < a j−1 < a < a j < . . . < an = b feiner als a = a0 < . . . < an = b.

R. Lasser, F. Hofmaier, Analysis 1 + 2, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-28644-5_8, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

113

114

8 Integration

Anschaulich liefert das Integral einer nichtnegativen Treppenfunktion den Inhalt der Fl¨ache zwischen Graph und x-Achse.

a = a0

a1

Der Wert des Integrals a¨ ndert sich nicht bei verschiedenen Teilungen, die durch Hinzuf¨ugen oder Fortnehmen von passenden Punkten auseinander hervorgehen.

an = b

Mit T ([a, b]) bezeichnen wir die Menge aller Treppenfunktionen f : [a, b] → IK.. Mit zwei Treppenfunktionen f und g ist auch deren Summe eine Treppenfunktion; durch Verfeinerung einer Teilung zu f und einer Teilung zu g erh¨alt man eine gemeinsame Teilung zu f und g. Offensichtlich ist auch  f ∈ T ([a, b]), falls f ∈ T ([a, b]) und  ∈ IK. Daher ist T ([a, b]) ein IK-Vektorraum. Weiter ist der Raum der Treppenfunktionen ein Untervektorraum von B([a, b]), dem Raum der beschr¨ankten Funktionen [a, b] → IK. Dieser ist laut Satz 4.9 mit der so genannten Supremumsnorm  ·  ein Banachraum. Wir halten einige Eigenschaften des Integrals von Treppenfunktionen fest: ( b

( b

( b

(1)

F¨ur f , g ∈ T ([a, b]) gilt

(2)

F¨ur f ∈ T ([a, b]) und  ∈ IK gilt

(3)

Sind f , g ∈ T ([a, b]) reellwertig und ist f (x) ≤ g(x) f¨ur alle x ∈ [a, b], so gilt

a

( b a

(4)

( f (x) + g(x)) dx = ( b a

a

f (x) dx +

 f (x) dx = 

f (x) dx ≤

( b a

( b a

a

g(x) dx.

f (x) dx.

g(x) dx .

(b

( b



f (x) dx

≤ | f (x)| dx ≤  f  (b − a). F¨ur f ∈ T ([a, b]) gilt

a a

Beweis. F¨ur (1) brauchen wir nur eine gemeinsame Teilung zu f und g zu w¨ahlen und (2) folgt direkt aus der Definition. Zum  Nachweis von (3) sei zun¨achst f ∈ T ([a, b]) mit f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b]. Hier gilt ab f (x) dx ≥ 0 und der allgemeine Fall folgt mit Hilfe von (1), wenn wir f − g betrachten. Aus einer Teilung a = a0 < . . . < an = b zu f erhalten wir schließlich noch





n n



 ck (xk − xk−1 ) ≤  |ck | (xk − xk−1 ) ≤ max |ck | (b − a) ≤  f  (b − a) ,

k=1

k=1 k=1,...,n womit auch (4) gezeigt ist.



Wir merken noch an, dass der Wert des Integrals nicht von den Funktionswerten f (a j ) an den Sprungstellen abh¨angt, die Norm  f  hingegen schon. Bei der Erweiterung des Integrals auf gr¨oßere Funktionsklassen als die der Treppenfunktionen ist die Vorgehensweise nicht mehr ganz so offensichtlich. Der einfachste

8.1 Regelfunktionen

115

Weg ist der, den Cauchy (1823) gew¨ahlt hat. Er l¨asst sich kurz wie folgt beschreiben: Man dehne das Integral, das eine lineare (1), (2) und stetige (4) Abbildung T ([a, b]) → IK darstellt, aus auf den Abschluss (vgl. Kapitel 12) des Raumes der Treppenfunktionen im Banachraum (B([a, b]),  · ). Definition 8.2. Eine Funktion f : [a, b] → IK heißt Regelfunktion (oder integrierbar im Cauchyschen Sinn), wenn eine Folge ( fn )n∈IN in T ([a, b]) existiert, die im Raum (B([a, b]),  · ) gegen f konvergiert (d.h. lim  fn − f  = 0). n→

Man sagt dann, dass man f gleichm¨aßig durch Treppenfunktionen approximieren kann. Den Raum der Regelfunktionen bezeichnen wir mit R([a, b]). Wir haben R([a, b]) so gew¨ahlt, damit wir das Integral, das bisher f¨ur f ∈ T ([a, b]) erkl¨art ist, auch f¨ur f ∈ R([a, b]) einfach definieren k¨onnen. Seien f ∈ R([a, b]) eine Regelfunktion, und fn ∈ T ([a, b]) mit lim  fn − f  = 0. n→ Dann heißt ( ( b

a

f (x) dx := lim

b

n→ a

fn (x) dx

das Regel-Integral von f . Wir m¨ussen uns noch klar machen, dass dieser Grenzwert u¨ berhaupt existiert und unabh¨angig von der gew¨ahlten Folge ( fn )n∈IN ist. Laut den Eigenschaften (1) und (4) des Integrals f¨ur Treppenfunktionen gilt

( b

( b



fn (x) dx − fm (x) dx

≤  fn − fm  (b − a)

a

a

≤ ( fn − f  +  f − fm  ) (b − a) ( b fn (x) dx eine Cauchyfolge in IK ist. und mit  fn − f  → 0 folgt, dass a

n∈IN

Damit ist die Existenz des Grenzwertes gesichert. Ist (gn )n∈IN eine weitere Folge in T ([a, b]) mit lim gn − f  = 0, so gilt n→

( b

( b





≤  fn − gn  (b − a) f (x) dx − g (x) dx n

a n

a ≤ ( fn − f  +  f − gn ) (b − a) und es folgt lim

( b

n→ a

gn (x) dx = lim

( b

n→ a

fn (x) dx.

Nun haben wir belegt, dass die Definition widerspruchsfrei ist. Bemerkungen: (1)

Wir werden in K¨urze eine Charakterisierung der Regelfunktionen geben, aus der unmittelbar folgt, dass jede stetige Funktion f : [a, b] → IK eine Regelfunktion ist. Also existiert f¨ur jede stetige Funktion das Regel-Integral.

116

8 Integration

(2)

Wenn eine Folge ( fn )n∈IN von Regelfunktionen eine Cauchyfolge bez¨uglich  ·  ist, dann konvergiert diese im Banachraum (B([a, b]),  ·  ) gegen eine Funktion f , vgl. Satz 4.9. Man kann leicht einsehen, dass dann auch f wieder durch Treppenfunktionen approximiert werden kann, also eine Regelfunktion ist. Folglich ist (R([a, b]),  · ) ein Banachraum.

(3)

Auf Konvergenz von Funktionsfolgen bez¨uglich  ·  (gleichm¨aßige Konvergenz) werden wir in Kapitel 9 noch ausf¨uhrlicher zu sprechen kommen.

Beispiel: Sei f : [0, 1] → IR, f (x) := x. Wir zeigen, dass f ∈ R([0, 1]) gilt und berechnen

( 1 0

f (x) dx.

Zu n ∈ IN betrachten wir fn : [0, 1] → IR mit fn (0) = 0 und ! ! k−1 k k fn (x) := f¨ur x ∈ , (k = 1, . . . , n) . n n n & & k k k−1 1 1 F¨ur x ∈ k−1 n , n gilt damit | f n (x) − f (x)| < n − n = n , also  f n − f  ≤ n . Somit ist f ∈ R([0, 1]) und ( 1 0

f (x) dx = lim

n→

( 1 0

fn (x) dx = lim

n→

n

k 1

n

1

lim 2  k = lim  n n = n→ n→ n

k=1

k=1

n(n + 1) 1 = . 2n2 2

Satz 8.3. Seien f , g ∈ R([a, b]) und  ∈ IK. Dann gelten: (1) (2)

( b a

( b a

( f (x) + g(x)) dx =

 f (x) dx = 

( b a

( b a

f (x) dx +

( b a

g(x) dx.

f (x) dx. ( b

( b

(3)

Sind f , g reellwertig und f ≤ g, so gilt

(4)

Auch | f | ist eine Regelfunktion und

(b

( b



f (x) dx

≤ | f (x)| dx ≤  f  (b − a) .

a

a

f (x) dx ≤

a

g(x) dx.

a

Beweis. Die Behauptungen (1) und (2) folgen mit den Rechenregeln f¨ur Grenzwerte direkt aus den entsprechenden Eigenschaften des Integrals f¨ur Treppenfunktionen. Zum Nachweis von (3) gen¨ugt es wiederum zu zeigen, dass aus f ≥ 0 stets b f (x) dx ≥ 0 folgt. a Sei also f ∈ R([a, b]) mit f (x) ≥ 0 f¨ur alle x ∈ [a, b]. Dann gibt es eine Folge ( fn )n∈IN von Treppenfunktionen mit  f − fn  → 0. Mit fn+ (x) := max{ fn (x), 0} ist auch fn+ ∈ T ([a, b]) und es gilt  fn+ − f  → 0. Nun ist

b +  ur alle n ∈ IN und damit auch ab f (x) dx ≥ 0. a f n (x) dx ≥ 0 f¨

8.1 Regelfunktionen

117

Im Hinblick auf (4) halten wir fest, dass | | f (x)| − | fn (x)| | ≤ | f (x) − fn (x)| f¨ur alle x ∈ [a, b] ist. Also gilt  | f | − | fn |  ≤  f − fn  . Da mit fn ∈ T ([a, b]) auch | fn | ∈ T ([a, b]) ist, folgt | f | ∈ R([a, b]). F¨ur die Treppenfunktionen fn wissen wir

( b

( b





≤ f (x) dx | fn (x)| dx ≤  fn  (b − a) n



a

a

und lim  f − fn  = 0. Mit n→

(

lim

n→

b a

(



fn (x) dx

=

a

b



f (x) dx

,

lim

( b

n→ a

| fn (x)| dx =

( b a

| f (x)| dx

und lim  fn  =  f  folgen die Ungleichungen auch f¨ur f .



n→

Bemerkung: F¨ur f : [a, b] → C, f ∈ R([a, b]) gilt stets auch Re f , Im f ∈ R([a, b]). Außerdem ist ( b a

Re f (x) dx = Re

( b a

f (x) dx und

( b a

Im f (x) dx = Im

( b a

f (x) dx .

Schreibweise: Seien I, X zwei Mengen und f : I → X eine Abbildung. Ist weiter J ⊆ I, so bezeichnen wir mit f |J die Einschr¨ankung von f auf J, d.h. f |J ist diejenige Funktion J → X, die mit f auf J u¨ bereinstimmt. Satz 8.4. Seien a < b < c reelle Zahlen und f : [a, c] → IK eine Abbildung. Es gilt f ∈ R([a, c]) genau dann, wenn f |[a, b] ∈ R([a, b]) und f |[b, c] ∈ R([b, c]) ist. Gegebenenfalls ist dann ( c a

f (x) dx =

( b a

f (x) dx +

( c b

f (x) dx .

Beweis. Man braucht nur f |[a, b] und f |[b, c] mit Treppenfunktionen zu approximieren und nehme diese Treppenfunktionen zur Approximation von f . Umgekehrt liefert jede Approximation von f mit Treppenfunktionen, eventuell nach Hinzunahme von b als weiteren Teilungspunkt, Approximationen von f |[a, b] und f |[b, c]. 

Vereinbarungsgem¨aß setzt man ( b a

f (x) dx := −

( a b

f (x) dx f¨ur a > b

und

( a a

f (x) dx := 0 .

Satz 8.5. Sei f : [a, b] → IK eine Abbildung. Es gilt f ∈ R([a, b]) genau dann, wenn f¨ur jedes x ∈ ]a, b[ sowohl der linksseitige Grenzwert f (x−) als auch der rechtsseitige Grenzwert f (x+), f¨ur x = a der rechtsseitige Grenzwert f (a+) und f¨ur x = b der linksseitige Grenzwert f (b−) existieren.

118

8 Integration

Beweis. Sei f ∈ R([a, b]). Zu x0 ∈ [a, b[ und  > 0 finden wir eine Treppenfunktion g ∈ T ([a, b]) mit  f − g < 2 . Dann existiert ein Intervall ]x0 , a j [, sodass g| ]x0 , a j [ konstant ist, wobei a j aus einer Teilung von g ist. F¨ur beliebige x, y ∈ ]x0 , a j [ gilt damit | f (x) − f (y)| ≤ | f (x) − g(x)| + |g(y) − f (y)| <  . Ist nun (xn )n∈IN eine gegen x0 konvergente Folge mit xn > x0 ∀n, so gibt es ein N ∈ IN mit xn ∈ ]x0 , a j [ f¨ur alle n ≥ N. Mit obiger Absch¨atzung folgt, dass ( f (xn ))n∈IN eine Cauchyfolge ist. Daher existiert der Grenzwert f (x0 +). Analog argumentiert man f¨ur x0 ∈ ]a, b], um Existenz von f (x0 −) zu begr¨unden. F¨ur die umgekehrte Beweisrichtung sei vorausgesetzt, dass f (x0 +) f¨ur x0 ∈ [a, b[ und f (x0 −) f¨ur x0 ∈ ]a, b] existieren. Wir nehmen an, dass f nicht durch Treppenfunktionen approximiert werden kann. Dann gibt es also ein  > 0, sodass  f − g ≥  f¨ur alle g ∈ T ([a, b]) gilt. Wir konstruieren daraus induktiv eine Intervallschachtelung ([an , bn ])n∈IN0 mit sup | f (x) − g(x)| ≥ 

x∈[an ,bn ]

f¨ur alle g ∈ T ([an , bn ]) .

Dazu beginnen wir mit [a0 , b0 ] := [a, b]. Sind [a0 , b0 ], [a1 , b1 ], . . . , [an , bn ] bereits erkl¨art, so setzen wir M := 12 (an + bn ). Dann m¨ussen auch auf mindestens einer der H¨alften [an , M] oder [M, bn ] alle Treppenfunktionen einen  ·  -Abstand von f haben, der gr¨ oßer oder gleich  ist. Wir k¨onnen nun [an+1 , bn+1 ] entsprechend w¨ahlen. Sei x0 = [an , bn ]. n∈IN0

Wir betrachten den Fall, dass x0 ∈ ]a, b[ ist (f¨ur die F¨alle x0 = a oder x0 = b kann man die Argumentation leicht anpassen). Da f (x0 +) und f (x0 −) existieren, gibt es zu beliebigem  > 0 eine Zahl  > 0 mit

und

| f (x) − f (x0 +)| < 

f¨ur alle x ∈ ]x0 , x0 +  [

| f (x) − f (x0 −)| < 

f¨ur alle x ∈ ]x0 −  , x0 [ .

Schließlich gibt es n ∈ IN mit [an , bn ] ⊆ ]x0 −  , x0 +  [. Definiert man die Treppenfunktion g : [an , bn ] → IK durch ⎧ ⎪ ⎨ f (x0 −) f¨ur x ∈ [an , x0 [ , f¨ur x = x0 , g(x) := f (x0 ) ⎪ ⎩ f (x0 +) f¨ur x ∈ ]x0 , bn ] , so gilt sup | f (x) − g(x)| < 

im Widerspruch zu oben.

x∈[an ,bn ]

Damit ist gezeigt, dass f ∈ R([a, b]) ist.



8.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

119

Korollar 8.6. Es gilt C([a, b]) ⊆ R([a, b]), d.h. jede stetige Funktion ist eine Regelfunktion. Auch jede monotone Funktion ist Regelfunktion. Beweis. Ist f ∈ C([a, b]), so gilt f (x+) = f (x) = f (x−) f¨ur jedes x ∈ ]a, b[ sowie f (a+) = f (a) und f (b−) = f (b). Mit Satz 8.5 folgt f ∈ R([a, b]). Ist f monoton, so benutze Satz 6.11. 

8.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Satz 8.7. Sei f ∈ R([a, b]). F¨ur x ∈ [a, b] setze

F(x) :=

( x a

f (t) dt.

Dann ist F : [a, b] → IK gleichm¨aßig stetig. Ist f stetig in x0 ∈ [a, b], so ist F im Punkt x0 differenzierbar, und es gilt F  (x0 ) = f (x0 ) . Beweis. Falls f die Nullfunktion ist, ist nichts zu zeigen. Andernfalls ist  f  > 0 und f¨ur a ≤ x < y ≤ b folgt mit Satz 8.3(4) sowie Satz 8.4

( y





|F(y) − F(x)| =

f (t) dt

≤  f  (y − x) . x

Zu  > 0 w¨ahlt man  =

  f 

und sieht, dass F gleichm¨aßig stetig ist.

Sei nun f stetig in x0 . Zu beliebigem  > 0 gibt es  > 0 mit | f (t) − f (x0 )| <  f¨ur alle t ∈ ]x0 −  , x0 +  [ ∩ [a, b]. F¨ur solche t mit t = x0 gilt dann



( t

F(t) − F(x0 )

1 (t

1



− f (x0 ) =

f (s) ds − f (x0 ) ds



t − x0 t − x0 x0 t − x0 x0



( t

1

=

( f (s) − f (x0 )) ds

<  . t − x0 x0 Daraus folgt F  (x0 ) = f (x0 ).



Der folgende Satz zeigt uns, wie die meisten Integrale zu l¨osen sind, n¨amlich u¨ ber Stammfunktionen, vgl. Definition 7.12. Man nennt diesen zusammen mit Satz 8.7 auch Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, da Differenzieren und Integrieren in Beziehung gesetzt werden. Satz 8.8. Ist f ∈ R([a, b]) und existiert eine differenzierbare Funktion F : [a, b] → IK mit F  (x) = f (x) f¨ur alle x ∈ [a, b], so gilt ( b a

f (x) dx = F(b) − F(a) .

120

8 Integration

1 Beweis. Sei m ∈ IN. Es gibt gm ∈ T ([a, b]) mit  f − gm  < m(b−a) und dazu eine Teilung a = a0 < a1 < . . . < anm = b, sodass gm | ]ak−1 , ak [= ck f¨ur k = 1, . . . , nm . Da F differenzierbar ist, gibt es laut dem Mittelwertsatz (Satz 7.10) nun Punkte k ∈ ]ak−1 , ak [ mit F(ak ) − F(ak−1 ) = f (k ) (ak − ak−1). Damit haben wir



nm

nm nm



 f (k ) (ak − ak−1 ) −  ck (ak − ak−1) ≤  | f (k ) − ck | (ak − ak−1)

k=1

k=1 k=1

<

und andererseits Daraus folgt

nm

nm

k=1

k=1

nm 1 1 (ak − ak−1) =  m(b − a) k=1 m

 f (k ) (ak − ak−1) =  (F(ak ) − F(ak−1 )) = F(b) − F(a).





1 nm



(F(b) − F(a)) −  ck (ak − ak−1) < .

m k=1

Mit m →  erhalten wir schließlich die Behauptung, da lim

m→

nm

 ck (ak − ak−1) = lim

m→

k=1

( b a

gm (x)dx =

( b a

f (x)dx 

(laut Definition des Integrals) ist.

Bemerkung: Wenn eine solche Stammfunktion F existiert, so ist sie bis auf eine additive Konstante eindeutig, siehe auch Bemerkung (3) zu Korollar 7.11. Setzt man in Satz 8.8 sogar f ∈ C([a, b]) voraus, so folgt die Behauptung sofort aus Satz 8.7, denn mit G(x) := ax f (t) dt gilt dann G (x) = f (x). Damit haben wir F  (x) = G (x) f¨ur alle x ∈ [a, b] und folglich ist G − F eine Konstante. Wegen G(a) = 0 hat diese Konstante nun den Wert −F(a). Somit gilt  G(x) = F(x) − F(a) und ab f (t) dt = G(b) = F(b) − F(a). 

Mit Satz 8.8 hat man nun eine sehr praktische Methode, das Integral ab f (x) dx zu berechnen, vorausgesetzt man kennt eine Stammfunktion von f . Satz 8.7 sagt uns weiter, dass zumindest jedes stetige f eine Stammfunktion besitzt. Wir wollen noch einige Beispiele von Funktionen f angeben, f¨ur die wir bereits eine Stammfunktion F kennen. f (x) := xn

(1)

f : IR → IR,

(2)

f : ]0, [ → IR,

f (x) := xa

(3)

f : ]0, [ → IR,

f (x) :=

(n ∈ IN) ,

1 , x

F(x) =

(a ∈ IR, a = −1) , F(x) = ln x.

xn+1 . n+1 F(x) =

xa+1 . a+1

8.3 Methoden zur Berechnung von Integralen

121

(4)

f : IR → IR,

f (x) := ex ,

F(x) = ex .

(5)

f : IR → IR,

f (x) := sin x ,

F(x) = − cosx.

(6)

f : IR → IR,

f (x) := cos x ,

F(x) = sin x.

1 , F(x) = arctan x. 1 + x2 Schreibweise: Oft schreibt man f¨ur die Stammfunktionen von f einfach das Symbol

(7)

f : IR → IR,

f (x) :=

(

f (x) dx .

Man nennt dies das unbestimmte Integral von f . Nat¨urlich ist dieses auch nur bis auf eine additive Konstante festgelegt. b Weiter schreibt man auch F(x)|x=b x=a oder F(x)|a an Stelle von F(b) − F(a).

8.3 Methoden zur Berechnung von Integralen Satz 8.9 (Partielle Integration). Seien f , g ∈ R([a, b]), zu denen differenzierbare Funktionen F und G existieren mit F  (x) = f (x) und G (x) = g(x) f¨ur alle x ∈ [a, b]. Dann gilt ( b a

F(x)g(x) dx = F(b)G(b) − F(a)G(a) −

( b a

f (x)G(x) dx .

Beweis. Durch H(x) := F(x)G(x) ist eine differenzierbare Funktion erkl¨art und die Produktregel liefert H  (x) = f (x)G(x) + F(x)g(x). Man beachte weiter, dass H  eine Regelfunktion ist (dies folgt etwa mit Satz 8.5). Mit Satz 8.8 erhalten wir nun F(b)G(b) − F(a)G(a) = H(b) − H(a) = =

( b a

( b a

H  (x) dx f (x)G(x) dx +

( b a

F(x)g(x) dx 

wie behauptet. Beispiel: Seien 0 < a < b. Wir berechnen das Integral

( b a

ln x dx.

Dazu setzen wir F(x) = ln x und g(x) = 1. Dann gilt f (x) = 1x und als Stammfunktion zu g w¨ahlen wir G(x) = x. Mittels partieller Integration erhalten wir ( b a

ln x dx = b ln b − a ln a −

( b a

1 dx = b ln b − b − (a ln a − a) .

122

8 Integration

Damit haben wir auch gleich eine Stammfunktion des Logarithmus gefunden: Die Funktion L : ]0, [ → IR, L(x) := x ln x − x, ist differenzierbar mit L (x) = ln x, oder, als unbestimmtes Integral geschrieben, (

ln x dx = x ln x − x .

Als weitere Anwendung der partiellen Integration leiten wir eine Rekursionsformel zur Berechnung von (

(

cosn x dx

und

sinn x dx

her. (Hier steht wie u¨ blich cosn x als Abk¨urzung f¨ur (cos x)n , entsprechend bei sin.) Mit F(x) = cosn−1 x und G(x) = sin x in Satz 8.9 erhalten wir (

cosn x dx = cosn−1 x sin x + (n − 1) = cosn−1 x sin x + (n − 1) (

und daraus n

( (

cosn−2 x sin2 x dx cosn−2 x (1 − cos2 x) dx

cosn x dx = cosn−1 x sin x + (n − 1) (

Analog zeigt man auch n

(

cosn−2 x dx.

sinn x dx = − sinn−1 x cos x+ (n − 1)

(

Mit den Grenzen a = 0 und b = 2 ergibt sich nun f¨ur die durch cn := erkl¨arte Folge (cn )n∈IN die folgende Rekursionsformel: 2n c2n = 2n

(  /2 0

cos2n x dx = (2n − 1)

(  /2 0

sinn−2 x dx.   /2 0

cosn dx

cos2n−2 x dx = (2n − 1)c2n−2 .

Also haben wir c2n =

2n − 1 2n − 1 2n − 3 1 c2n−2 = ··· 2n 2n 2n − 2 2

(  /2 0

1 dx =

2n − 1 2n − 3 1  ··· . 2n 2n − 2 2 2

Ebenso gilt auch (2n + 1)c2n+1 = 2n c2n−1 und folglich c2n+1 =

2n 2n − 2 2 ··· 2n + 1 2n − 1 3

(  /2 0

cos x dx =

2n 2n − 2 2 ··· . 2n + 1 2n − 1 3

Dies wollen wir nun noch benutzen, um das Wallissche Produkt zu berechnen. In Beispiel 3.9 haben wir die Folge (pn )n∈IN mit n

2k 2k −1 k=1

pn =  pn √ n→ n

untersucht. Wir zeigen noch, dass lim

=

√

 gilt.

8.3 Methoden zur Berechnung von Integralen

123

& ' Zun¨achst erhalten wir aus cos2n x ≥ cos2n+1 x ≥ cos2n+2 x f¨ur x ∈ 0, 2 , dass (cn )n∈IN monoton fallend ist, und weiter 1≥

c2n+1 c2n+2 2n + 1 →1 ≥ = c2n c2n 2n + 2

mit n →  ,

c2n+1 = 1. c2n Andererseits folgt aus den Gleichungen (3.1) und (3.2), dass

also gilt lim

n→

lim

n→

mit einer Zahl

p2n 2 = 2n + 1 2

√ 2 ≤  ≤ 2 ist. Wegen 1 lim √ n→ n

 c2n+1 p2n = ergibt sich  2 =  , also 2n + 1 2 c2n n

2k

 2k − 1 =

√ .

k=1

Der n¨achste Satz liefert uns noch ein weiteres n¨utzliches Hilfsmittel zu Berechnung von Integralen. Satz 8.10 (Substitutionsregel). Seien f : [A, B] → IK stetig und  : [a, b] → [A, B] stetig differenzierbar. Dann gilt ( b a

f ( (y))   (y) dy =

(  (b)  (a)

f (x) dx .

Beweis. Die stetige Funktion f besitzt laut Satz 8.7 eine Stammfunktion F. Nun ist F ◦  differenzierbar; die Kettenregel (Satz 7.4) liefert (F ◦  ) (y) = f ( (y))   (y). Nach Voraussetzung ist   stetig. Damit ist y → f ( (y))   (y) insbesondere eine Regelfunktion und mit Satz 8.8 ergibt sich ( b a

f ( (y))   (y) dy = F( (b)) − F( (a)) =

(  (b)  (a)

f (x) dx 

wie behauptet. Beispiele: (1)

Die Funktion  : IR → IR, ' (y)& := sin(y), ist stetig differenzierbar mit   (y) = cos(y) und es gilt  0, 2 = [0, 1]. Damit ist ( 1 0

1 − x2 dx =

(  ( /2)   (0)

1 − x2 dx = =

(  /2  0

(  /2 0

1 − sin2 y cosy dy

cos2 y dy = c2 =

 . 4

124

(2)

8 Integration

Das Integral

( 2 0

sin

√  x dx.

Wir setzen  : IR → IR,  (y) := y2 . Die Abbildung  ist stetig differenzierbar und bildet das Intervall [0,  ] auf [0,  2 ] ab. Weiter gilt   (y) = 2y und damit ( 2 0

(

√  sin x dx =

 ( )

 (0)

(

√  sin x dx =

=



sin

0

( 

   (y)   (y) dy

2y sin y dy .

0

Mit Hilfe partieller Integration erhalten wir schließlich ( 

 ( 

2y sin y dy = 2y(− cosy) − 2(− cosy) dy 0

0

0

= −2 cos  + 0 cos 0 + 2 sin  − 2 sin 0 = 2 .

8.4 Uneigentliche Integrale Definition 8.11. Eine Funktion f : ] ,  [ → IR, die auf jedem Intervall [a, b] ⊆ ] ,  [ integrierbar ist, heißt uneigentlich integrierbar, wenn f¨ur ein (und damit f¨ur jedes) c ∈ ] ,  [ die Grenzwerte lim a↓

( c a

f (x) dx

und

lim

( b

b↑

c

f (x) dx

existieren. Man nennt dann (  

f (x) dx := lim a↓

( c a

f (x) dx + lim b↑

( b c

f (x) dx

das uneigentliche Integral von f u¨ ber ] ,  [. Diese Definition gilt sinngem¨aß auch in den F¨allen  = − und  = . Ist f auch auf dem abgeschlossenen Intervall [ ,  ] integrierbar, so stimmt das uneigentliche Integral nat¨urlich mit dem gew¨ohnlichen Integral u¨ berein. Dies folgt direkt mit Satz 8.7. Beispiele: (1)

( 

1 dx. 2 − 1 + x Eine Stammfunktion zu x →

Das Integral

lim

( 0

a→− a

1 dx+ lim b→ 1 + x2

( b 0

1 1+x2

kennen wir bereits. Es gilt

1 dx = lim (− arctan a)+ lim arctan b =  . a→− b→ 1 + x2

8.5 Aufgaben

(2)

125

Das Integral

( 0 −

ex dx.

Hier gen¨ugt es, den Grenzwert f¨ur a → − zu betrachten, denn die Exponentialfunktion ist auf jedem Intervall [a, 0] stetig und damit dort auch integrierbar. Wir erhalten ( 0 −

(3)

Das Integral

ex dx = lim

a→− a

( 1 1

ex dx = lim (e0 − ea ) = 1 . a→−

(s > 0).

dx

xs

0

( 0

F¨ur a ∈]0, 1[ gilt ( 1 1 a

xs

dx =

( 1 a

⎧

1 1 ⎨ −s+1 x−s+1 a , falls s = 1 , −s x dx =

1 ⎩ ln(x) a , falls s = 1 .

Im Fall s = 1 existiert das Integral nicht, denn es ist lim ln(a) = −. a↓0

Im Fall s > 1 ist lim a−s+1 = , also existiert das Integral hier ebenfalls nicht. a↓0

Gilt 0 < s < 1, so ist −s + 1 > 0 und wir haben lim a−s+1 = 0, also a↓0

( 1 1 0

xs

dx = lim a↓0

( 1 1 a

xs

 1 −s+1 1 1 . − a−s+1 = −s + 1 1−s

dx = lim a↓0

8.5 Aufgaben 1. Berechnen Sie die folgenden Integrale. a. d. 2.

(  /4 0

( 2 1

cos(3x −  ) dx

ln x dx

b. e.

( 4 2 x − 3x + 4

√ x

1

( 1 0

x ex dx

dx

c. f.

( 3 0

( 1 0

x2 √ dx 1 + x2 x dx x+1

a. Sei g : [a, b] → IR differenzierbar mit g(x) = 0 ∀x ∈ [a, b]. Zeigen Sie: Es gilt



( b 

g(b)

g (x)

. dx = ln

g(a)

a g(x) b. Berechnen Sie

(  /2 cosx − sin x 0

cosx + sin x

dx.

c. Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f : IR → IR, f (x) :=

2x . x2 +1

126

8 Integration

( 2

3. Seien m, n ∈ ZZ. Zeigen Sie: Es gilt

4. Zeigen Sie: F¨ur s > 1 gilt

(  1 1

0

dx =

xs

 einx e−imx dx =

2

f¨ur m = n ,

0

f¨ur m = n .

1 . 1−s

5. Begr¨unden Sie, warum der Grenzwert lim

( a

a→

−a

sin x dx

existiert, nicht aber das uneigentliche Integral (  −

sin x dx .

6. Pr¨ufen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren und berechnen Sie gegebenenfalls deren Wert. a. 7.

( 1

1 √ dx −1 1 − x2

( 1

b.

0

ln x dx

c.

(  0

ln x dx

a. Zeigen Sie, dass (R([a, b]),  · ) ein Banachraum ist. b. Sei nun ( fn )n∈IN eine Folge, die in (R([a, b]),  · ) gegen f konvergiert. Zeigen Sie: Es gilt lim

( b

n→

a

fn (x) dx =

( b a

f (x) dx .

c. Konstruieren Sie eine Folge ( fn )n∈IN in R([0, 1]), welche punktweise gegen f ∈ R([0, 1]) konvergiert, d.h. lim fn (x) = f (x) ∀x ∈ [0, 1], aber dass n→

lim

( 1

n→

0

fn (x) dx =

( 1 0

f (x) dx

gilt. 8. Zeigen Sie, dass  f : [0, 1] → IR , keine Regelfunktion ist.

f (x) :=

1 f¨ur x ∈ Q , 0 f¨ur x ∈ / Q,

8.5 Aufgaben

127

9. Zeigen Sie: Ist f : [a, b] → C eine stetige Funktion mit ( b a

| f (x)| dx = 0 ,

so gilt f (x) = 0 f¨ur alle x ∈ [a, b]. 10. Die so genannte Gammafunktion wird wie folgt erkl¨art:

 : ]0, [ → IR ,

 (x) :=

(  0

t x−1 e−t dt .

a. Zeigen Sie, dass dieses uneigentliche Integral existiert. Hinweis: F¨ur 0 ≤ t < 1 gilt t x−1 e−t ≤ t x−1 . Weiter existiert eine positive Zahl c mit t x−1 ≤ c e−t/2 f¨ur t ≥ 1. b. Zeigen Sie c. Folgern Sie

 (x + 1) = x  (x)  (n + 1) = n!

f¨ur alle x ∈ ]0, [ . f¨ur alle n ∈ IN .

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Kapitel 9

Funktionenfolgen und gleichm¨aßige Konvergenz

Wir wollen eine Problemstellung bez¨uglich Folgen von Funktionen zun¨achst an Hand von einigen Beispielen er¨ortern. (1)

(2)

sin(nx) √ . n Offensichtlich existiert eine Grenzfunktion f (x) := lim fn (x) = 0. n→ √ Weiter ist auch jedes fn differenzierbar mit fn (x) = n cos(nx). Andererseits gilt f  (x) = 0. Somit konvergiert fn keinesfalls gegen f  . F¨ur n ∈ IN sei fn : IR → IR, fn (x) :=

Sei fn : [0, 1] → IR, fn (x) := n2 x(1 − x2 )n . Hier haben wir fn (0) = 0 = fn (1) f¨ur alle n ∈ IN und f¨ur x ∈ ]0, 1[ gilt lim fn (x) = 0. Hingegen gilt n→

( 1 0

und folglich

x(1 − x2)n dx =

( 1 0

fn (x) dx = n2

Somit konvergiert (3)

( 1

( 1 0

1 1 yn+1

1 = 2 n + 1 0 2n + 2

yn dy =

1 → . 2n + 2 (

fn (x) dx nicht gegen

1

lim fn (x) dx = 0.

0 n→

Setzt man gn (x) := nx(1 − x2)n , so gilt lim

n→

(4)

0

1 2

( 1 0

gn (x) dx =

1 = 2

( 1

lim gn (x) dx = 0 .

0 n→

F¨ur n ∈ IN sei fn (x) :=

1 , falls x = 0 , sonst.

k n!

f¨ur ein k ∈ ZZ ,

Damit ist fn | [0, 1] laut Definition 8.1 eine Treppenfunktion und folglich auch integrierbar.

R. Lasser, F. Hofmaier, Analysis 1 + 2, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-28644-5_9, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

129

130

9 Funktionenfolgen und gleichm¨aßige Konvergenz

Als Grenzfunktion f (x) := lim fn (x) ergibt sich n→

 f (x) =

1 , falls x ∈ Q , 0 , falls x ∈ IR \ Q ,

denn f¨ur x ∈ IR \ Q gilt fn (x) = 0 f¨ur alle n ∈ IN; ist x ∈ Q, etwa x = qp mit p ∈ ZZ, q ∈ IN, so haben wir f¨ur n ≥ q auch n! x ∈ ZZ, also fn (x) = 1 ∀n ≥ q. Damit ist f | [0, 1] ∈ / R([0, 1]). An diesen Beispielen sehen wir, dass bei (punktweiser) Konvergenz von Folgen ( fn (x))n∈IN die Differentiation oder Integration mit der Limesbildung nicht vertauscht werden d¨urfen. Das letzte Beispiel zeigt sogar, dass f¨ur die Grenzfunktion das Integral gar nicht gebildet werden kann. Mit anderen Worten: R([a, b]) ist nicht abgeschlossen unter punktweiser Konvergenz.

9.1 Gleichm¨aßige Konvergenz Wir kennen inzwischen einen Konvergenzbegriff f¨ur beschr¨ankte Funktionen. Ist M eine Menge, so ist der Raum (B(M),  ·  ) der beschr¨ankten Funktionen mit der durch  f  = sup | f (x)| erkl¨arten Norm ein Banachraum und es gilt x∈M

·

fn −→ f ⇐⇒ sup | fn (x) − f (x)| → 0 , x∈M

vgl. auch Satz 4.9. St¨orend ist hierbei noch, dass wir prinzipiell nur beschr¨ankte Funktionen betrachten k¨onnen. Definition 9.1. Sei M eine Menge. Eine Folge ( fn )n∈IN von Funktionen fn : M → IK heißt gleichm¨aßig konvergent gegen f : M → IK, falls gilt: Zu jedem  > 0 existiert ein N ∈ IN mit | fn (x) − f (x)| < 

f¨ur alle n ≥ N und alle x ∈ M .

Letzteres ist a¨ quivalent zu sup | fn (x) − f (x)| → 0 mit n → . x∈M

Wir schreiben: fn → f gleichm¨aßig auf M. Sind f und alle fn beschr¨ankt, so gilt fn → f gleichm¨aßig auf M genau dann, wenn fn → f bez¨uglich  ·  gilt. Der folgende Satz behandelt gleichm¨aßige Konvergenz und Stetigkeit. Satz 9.2. Seien (M, d) ein metrischer Raum und ( fn )n∈IN eine Folge von Funktionen fn : M → IK, die gleichm¨aßig auf M gegen f : M → IK konvergiert. Sind alle fn in einem Punkt a ∈ M stetig, so ist auch f stetig in a.

9.1 Gleichm¨aßige Konvergenz

131

Beweis. Sei  > 0. Auf Grund der gleichm¨aßigen Konvergenz gibt es ein N ∈ IN mit | fn (x) − f (x)| < 3 f¨ur alle x ∈ M und alle n ≥ N. Wegen der Stetigkeit von fN in a gibt es  > 0 derart, dass | fN (x) − fN (a)| < 3 f¨ur alle x ∈ M mit d(x, a) <  gilt. Die Grenzfunktion f erf¨ullt dann | f (x) − f (a)| ≤ | f (x) − fN (x)| + | fN (x) − fN (a)| + | fN (a) − f (a)| <  f¨ur alle x ∈ M mit d(x, a) <  . Folglich ist f stetig in a.



Bemerkung: Es muss nicht notwendigerweise gleichm¨aßige Konvergenz vorliegen, damit eine punktweise Grenzfunktion stetiger Funktionen stetig ist. Die Folge von Beispiel (2) konvergiert gegen die stetige Nullfunktion. aber nicht  Sie konvergiert



n 1 n 1 3/2 gleichm¨aßig, denn wegen 1 − n → exp(−1) gilt fn √n = n 1 − 1n → . Demnach haben wir hier sogar  fn − 0 → . Der Raum C([a, b]) der stetigen Funktionen f : [a, b] → IK ist ein Untervektorraum des normierten Raumes (B([a, b]),  ·  ), da jede auf [a, b] stetige IK-wertige Funktion beschr¨ankt ist, vgl. Satz 6.16. Korollar 9.3. Der Raum (C([a, b]),  · ) ist ein Banachraum. Beweis. Zu zeigen bleibt nur die Vollst¨andigkeit. Sei ( fn )n∈IN eine Cauchyfolge bez¨uglich  ·  in C([a, b]). Dann ist diese auch Cauchyfolge in B([a, b]) und konvergiert, da (B([a, b]),  ·  ) ein Banachraum ist (siehe Satz 4.9), gegen eine Funktion f ∈ B([a, b]). Weiter folgt nun mit Satz 9.2, dass f ∈ C([a, b]) ist. Also ist (C([a, b]),  · ) ein Banachraum wie behauptet. 

Das n¨achste Resultat behandelt gleichm¨aßige Konvergenz und Integration. Satz 9.4. Sei ( fn )n∈IN eine Folge in R([a, b]), die gleichm¨aßig gegen eine Funktion f : [a, b] → IK konvergiert. Dann ist f ∈ R([a, b]) und es gilt ( b a

f (x) dx = lim

n→

( Insbesondere ist auch die Folge

( b

a

b

a

fn (x) dx .

fn (x) dx

konvergent. n∈IN

Beweis. Zu  > 0 gibt es nach Definition der Regelfunktionen f¨ur jedes n ∈ IN eine Treppenfunktion gn : [a, b] → IK mit gn − fn  < 2 . Nach Voraussetzung gibt es ein N ∈ IN mit  fn − f  < 2 f¨ur alle n ≥ N. Damit haben wir gn − f  ≤ gn − fn  +  fn − f  <  f¨ur alle n ≥ N.

132

9 Funktionenfolgen und gleichm¨aßige Konvergenz

Folglich gilt gn → f bez¨uglich der  ·  -Norm, also gleichm¨aßig auf [a, b]. Mit anderen Worten: Die Funktion f ist durch Treppenfunktionen approximierbar und somit eine Regelfunktion. F¨ur das Integral gilt mit Satz 8.3 (4) nun

( b

( b

( b







f (x) dx − fn (x) dx = ( f (x) − fn (x)) dx

≤  f − fn  (b − a)

a

a

a

und mit n →  folgt die Behauptung.



Die Aussage von Satz 9.4 beinhaltet auch, dass (R([a, b]),  ·  ) ein Banachraum ist, vgl. auch Bemerkung (2) zu Definition 8.2. Wir notieren noch eine unmittelbare Folgerung. Korollar 9.5. Sei ( fn )n∈IN eine Folge in R([a, b]) derart, dass die Reihe f (x) =



 fn (x)

n=1 N

N→

gleichm¨aßig auf [a, b] konvergiert, d.h.  fn (x) −→ f (x) gleichm¨aßig auf [a, b]. Dann ist f ∈ R([a, b]) und es gilt

(

n=1 b

a

f (x) dx =



( b

n=1

a



fn (x) dx.

Nun wenden wir uns den Beziehungen zwischen gleichm¨aßiger Konvergenz und Differentiation zu. An Hand von Beispiel (1) sehen wir, dass gleichm¨aßige Konvergenz es nicht immer erm¨oglicht, Differentiation und Grenzwert zu vertauschen. Satz 9.6. Sei ( fn )n∈IN eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen fn : [a, b] → IK, die punktweise gegen eine Funktion f : [a, b] → IK konvergiert. Weiter konvergiere die Folge ( fn )n∈IN der Ableitungen gleichm¨aßig auf [a, b]. Dann ist f differenzierbar und es gilt f  (x) = lim fn (x) n→

f¨ur alle x ∈ [a, b] .

Beweis. Setze g(x) := lim fn (x). Nach Satz 9.2 ist g : [a, b] → IK stetig. n→

Laut dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt fn (x) = fn (a) + Satz 9.4 liefert

( x a

( x a

fn (t) dt

n→

fn (t) dt −→

( x a

f¨ur alle x ∈ [a, b] und alle n ∈ IN .

g(t) dt; damit ist f (x) = f (a) +

Durch Differentiation erhalten wir schließlich f  (x) = g(x).

( x a

g(t) dt. 

9.2 Differentiation und Integration von Potenzreihen

133

9.2 Differentiation und Integration von Potenzreihen In Kapitel 5.4 haben wir Potenzreihen eingef¨uhrt und untersucht; in Korollar 6.6 haben wir die Stetigkeit einer Potenzreihe im Inneren des Konvergenzkreises hergeleitet, und zwar mittels eines Satzes u¨ ber Majoranten (Satz 6.5). Zur Differentiation von Potenzreihen ben¨otigen wir ein Resultat zur gleichm¨aßigen Konvergenz, um Satz 9.6 anwenden zu k¨onnen. Satz 9.7. Seien M eine Menge und fk : M → IK beschr¨ankte Funktionen (k ∈ IN) mit 

 fk M := sup | fk (x)|. Weiter gelte   fk M < . x∈M

Dann konvergiert die Reihe

k=1   fk k=1

absolut und gleichm¨aßig auf M gegen eine 

beschr¨ankte Funktion f : M → IK mit  f M ≤   fk M . k=1



Beweis. Wie im Beweis von Satz 6.5 gilt, dass f (x) :=  fk (x) wohldefiniert ist; k=1

die Reihe konvergiert absolut in jedem x ∈ M mit | f (x)| ≤





k=1

k=1

 | fk (x)| ≤   fk M .



Also ist  f M ≤   fk M . Zu zeigen bleibt die gleichm¨aßige Konvergenz. k=1

n

Dazu betrachten wir die Partialsummen sn (x) :=  fk (x). Zu  > 0 existiert N ∈ IN, sodass



k=1

  fk M <  f¨ur alle n ≥ N gilt.

k=n+1

F¨ur alle x ∈ M und n ≥ N ist dann





 



|sn (x) − f (x)| =  fk (x) ≤  | fk (x)| ≤   fk M <  .

k=n+1

k=n+1 k=n+1 Daher konvergiert (sn )n∈IN gleichm¨aßig gegen f . Anwendung: Durch f (x) :=





1

 n2 + x2 ist eine stetige Funktion f : IR → IR erkl¨art.

n=1

Beweis. F¨ur n ∈ IN betrachte fn : IR → IR, fn (x) := 

Da 

n=1

1 n2

1 . n2 +x2

Es gilt sup | fn (x)| = x∈IR

1 . n2



konvergent ist, folgt mit Satz 9.7 gleichm¨aßige Konvergenz von  fn (x).

Weiter ist jedes fn stetig; mit Satz 9.2 folgt jetzt die Stetigkeit von f .

n=1



Wir wollen nun den vorangehenden Satz in Zusammenhang mit Potenzreihen stellen. F¨ur z0 ∈ C und  ≥ 0 bezeichne wie u¨ blich K (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤  } die abgeschlossene Kreisscheibe mit Mittelpunkt z0 und Radius  .

134

9 Funktionenfolgen und gleichm¨aßige Konvergenz 

Satz 9.8. Sei  ck zk eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. k=0

Weiter sei 0 <  < R. Dann konvergiert die Potenzreihe absolut und gleichm¨aßig auf K (0). 

Die Reihe  k ck zk−1 konvergiert ebenfalls absolut und gleichm¨aßig auf K (0). k=1



Insbesondere ist die Funktion f : ] − R, R[ → IK, f (x) :=  ck xk , differenzierbar mit k=0

f  (x) =



 k ck xk−1 .

k=1

Mehr noch, f ist beliebig oft differenzierbar mit f (n) (x) =



 k(k − 1) · · · (k − n + 1) ck xk−n .

k=n

Beweis. Betrachte fk (z) := ck zk . F¨ur |z| ≤  gilt | fk (z)| ≤ |ck  k |. Damit erhalten wir  fk K (0) ≤ |ck  k |. Wegen  < R ist die Reihe 

 ck  k

k=0

absolut konvergent, siehe Satz 5.19.



Mit Satz 9.7 folgt die gleichm¨aßige Konvergenz von  ck zk auf K (0). Aus

√ k

k=0

  k → 1 folgt lim sup k k|ck | = lim sup k |ck | = R1 . Die Reihe k→

k→



 k ck zk−1

k=1

hat also ebenfalls den Konvergenzradius R. Mit der gleichen Argumentation wie eben erh¨alt man, dass auch diese gleichm¨aßig auf K (0) konvergiert. F¨ur die Aussagen zu den Ableitungen w¨ahlen wir zu x ∈ ]− R, R[ eine Zahl  > 0 mit |x| <  < R. Fasst man die Partialsummen sn (x) :=

n

 ck xk

k=0

als Funktionen sn : [− ,  ] → IK auf, so erh¨alt man die Behauptung zu f  nun mit Satz 9.6. Durch Wiederholung dieser Beweisf¨uhrung folgt schließlich auch die allgemeine Behauptung. 

9.2 Differentiation und Integration von Potenzreihen

135

Bemerkung: Eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R konvergiert zwar gleichm¨aßig auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe K (0) mit 0 <  < R, aber eventuell nicht gleichm¨aßig auf der offenen Kreisscheibe UR (0) = {z ∈ C : |z| < R}. Auch ist mit Satz 9.8 keine allgemeine Aussage u¨ ber Konvergenz oder Divergenz auf dem Rand des Konvergenzkreises, also f¨ur diejenigen z mit |z| = R, m¨oglich. Das Konvergenzverhalten f¨ur |z| = R der urspr¨unglichen und der differenzierten Reihe kann verschieden sein, wie etwa das Beispiel zu Beginn von Kapitel 10.3 zeigt. Satz 9.8 beinhaltet speziell f (n) (0) = n! cn

∀n ∈ IN0

(9.1)

(dabei sei f (0) := f ). Diese Formel ist bemerkenswert: Man erh¨alt die Koeffizienten der Potenzreihe von f durch Ableitungen f (n) an einer einzigen Stelle. Umgekehrt lassen sich die Ableitungen an dieser Stelle direkt aus den Koeffizienten bestimmen. Man beachte aber, dass es Funktionen f gibt, die beliebig oft differenzierbar 

sind, bildet man jedoch die Potenzreihe  cn zn mit cn = n=0

f (n) (0) n!

gem¨aß (9.1), so

konvergiert diese Reihe f¨ur kein z = 0 gegen f (z). Eine solche werden wir in Kapitel 10.1, Beispiel (2) finden. 

Korollar 9.9. Sei  ck zk eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. k=0

Dann ist die Funktion F : ] − R, R[ → IK ,

F(x) :=





k=0

ck k+1 x , k+1



differenzierbar mit F  (x) =  ck xk . k=0



 ck

= lim sup k |ck | = Beweis. Wegen lim sup k k+1 k→

k→





k=0

1 R

hat auch die Reihe

ck k+1 z k+1

den Konvergenzradius R. Die Behauptung folgt direkt mit Satz 9.8.



Beispiel: Die Potenzreihenentwicklung des Arcus-Tangens. Wir wissen bereits aus Kapitel 7.3, Beispiel (2), dass arctan differenzierbar ist mit 1 arctan (x) = 1+x 2. F¨ur |x| < 1 gilt weiter

1 1+x2





k=0

k=0

=  (−x2 )k =  (−1)k x2k (Geometrische Reihe).

Eine Stammfunktion dieser Reihe erhalten wir laut Korollar 9.9 durch F : ] − 1, 1[ → IR ,

F(x) :=





k=0

(−1)k 2k+1 x . 2k + 1

136

9 Funktionenfolgen und gleichm¨aßige Konvergenz

Folglich gilt F  (x) = arctan (x) f¨ur |x| < 1 und damit arctanx = F(x) + c mit einem noch zu bestimmenden c. Einsetzen von etwa x = 0 liefert schließlich c = 0. Also haben wir arctan x = F(x), zun¨achst f¨ur x ∈ ] − 1, 1[. Die Reihe F(x) konvergiert laut Leibniz-Kriterium allerdings auch f¨ur x = ±1. Wir wollen noch zeigen, dass ihr Wert auch dort mit dem Arcus-Tangens u¨ bereinstimmt. F¨ur x ∈ ] − 1, 1[ gilt (vgl. auch Kapitel 5.7, Aufgabe 6) die Absch¨atzung



n (−1)k 2k+1

|x|2n+3

x .

arctan(x) − 

≤

2n + 3 k=0 2k + 1 Wegen der Stetigkeit aller beteiligten Ausdr¨ucke gilt dies auch f¨ur x = ±1, also



n (−1)k

1

.

arctan(1) − 

≤

2n + 3 k=0 2k + 1 Grenzwertbildung n →  liefert die Behauptung. Insgesamt haben wir damit arctan(x) =





k=0

Insbesondere gilt

(−1)k 2k+1 x 2k + 1

f¨ur x ∈ [−1, 1] .

  (−1)k 1 1 1 = arctan(1) =  = 1 − + − ± ··· 4 2k + 1 3 5 7 k=0

9.3 Der Approximationssatz von Weierstraß Wie wir gezeigt haben, kann jede Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0 auf abgeschlossenen Intervallen [− ,  ] mit 0 <  < R gleichm¨aßig durch eine Folge von Polynomen, n¨amlich den Partialsummen der Reihe, approximiert werden. Wir wollen nun den Weierstraßschen Approximationssatz herleiten, der besagt, dass sogar jede auf einem Intervall [a, b] stetige IK-wertige Funktion der Grenzwert einer gleichm¨aßig konvergenten Folge von Polynomen ist. Dazu betrachten wir das so genannte n-te Bernsteinpolynom zu einer Funktion f : [0, 1] → IK, welches wie folgt definiert ist:   n n k k Bn (t; f ) :=  f t (1 − t)n−k . n k k=0 Unser Ziel ist, zu zeigen, dass f¨ur f ∈ C([0, 1]) stets Bn (·; f ) − f  = sup |Bn (t; f ) − f (t)| → 0 t∈[0,1]

mit n →  gilt.

9.3 Der Approximationssatz von Weierstraß

137

Zun¨achst bestimmen wir Bn (t; f j ) f¨ur f j (t) := t j , j = 0, 1, 2. Es gilt

 n k t (1 − t)n−k = (t + (1 − t))n = 1 Bn (t; f0 ) =  k k=0

  und f¨ur n ≥ 1 erhalten wir mit nk nk = n−1 k−1 nun n

Bn (t; f1 ) =

n



k=0

=

k n

 n  n k n−1 k t (1 − t)n−k =  t (1 − t)n−k k k − 1 k=1

n−1 



k=0

(9.2)

n − 1 k+1 t (1 − t)n−(k+1) = t (t + (1 − t))n−1 = t . k

(9.3)

F¨ur n ≥ 2 haben wir schließlich  n  2  n−1 k + 1 n − 1 k+1 k n k t (1 − t)n−(k+1) t (1 − t)n−k =  Bn (t; f2 ) =  n n k k k=0 k=0 1 = n = =

 n−1 k n−1 k n − 1 k+1 n−1−k t (1 − t)n−1−k t (1 − t) + t n k k k=0

n−1 



k=0

t t(n − 1) + n n

n−1



k=0

k n−1

 n−1 k t (1 − t)n−1−k k

t(1 − t) 2 t t(n − 1) + t= +t . n n n

(9.4)

Weiter gilt Bn (t; f + g) = Bn (t; f ) + Bn (t; g) sowie Bn (t;  f ) =  Bn (t; f ) f¨ur  ∈ IK und f , g : [0, 1] → IK. Falls f und g reellwertige Funktionen sind mit f ≤ g, so ist auch Bn (t; f ) ≤ Bn (t; g). Satz 9.10 (Weierstraßscher Approximationssatz). Sei f ∈ C([a, b]). Es existiert eine Folge von Polynomen (Pn )n∈IN derart, dass lim Pn − f  = 0

n→

gilt. Ist f reellwertig, so k¨onnen die Pn reell gew¨ahlt werden. F¨ur a = 0 und b = 1 kann man Pn (t) = Bn (t; f ) w¨ahlen. Beweis. Wir k¨onnen  [a, b] = [0, 1] annehmen. Die allgemeine Aussage folgt dann, t−a indem wir f b−a betrachten. Sei also f ∈ C([0, 1]). Da f nach Satz 6.18 gleichm¨aßig stetig ist, gibt es zu beliebigem √  > 0 ein  > 0 derart, dass | f (s) − f (t)| <  f¨ur alle s,t ∈ [0, 1] mit |s − t| <  gilt.

138

9 Funktionenfolgen und gleichm¨aßige Konvergenz

Sei  :=

2 f   .

Als n¨achstes zeigen wir

| f (s) − f (t)| ≤  +  (s − t)2

f¨ur alle s,t ∈ [0, 1] .

(9.5)

Im Fall |s − t| <  gilt dies wegen der speziellen Wahl von  ; andernfalls ist

 +  (s − t)2 ≥  +  =  + 2 f  > | f (s)| + | f (t)| ≥ | f (s) − f (t)| . Damit ist (9.5) bewiesen. Wir betrachten die Funktion gs : [0, 1] → IR, gs (t) := (s − t)2 . Aus (9.5) erhalten wir − −  gs ≤ f (s) − f ≤  +  gs f¨ur alle s ∈ [0, 1]. Es folgt −Bn (· ;  +  gs ) = Bn (· ; − −  gs ) ≤ Bn (· ; f (s) − f ) ≤ Bn (· ;  +  gs ) und weiter (9.2)

| f (s) − Bn (t; f )| = |Bn (t; f (s) − f )| ≤ Bn (t;  +  gs ) =  +  Bn (t; gs )

(9.3),(9.4)



2

 +  s − 2 st + 

=

t(1 − t) 2 +t n



f¨ur alle s,t ∈ [0, 1]. Setzt man s = t, so folgt t(1 − t)  ≤+ n n

| f (t) − Bn (t; f )| ≤  + 

f¨ur alle t ∈ [0, 1]. Mit n →  folgt schließlich die Behauptung, da  > 0 beliebig w¨ahlbar ist. 

9.4 Aufgaben 1. Zeigen Sie, dass die mittels fn (x) := gleichm¨aßig auf IR konvergiert.

sin(nx) √ n

erkl¨arte Funktionenfolge ( fn )n∈IN

2. F¨ur x ∈ IR seien fn (x) :=

nx4 , 1 + nx2

2

gn (x) := e−nx

und

hn (x) :=

nx . 1 + n 2 x2

Untersuchen Sie, ob die Funktionenfolgen ( fn )n∈IN , (gn )n∈IN bzw. (hn )n∈IN gleichm¨aßig konvergent auf IR sind. 3. Seien I, J Intervalle und ( fn )n∈IN eine Folge von Funktionen fn : I → J, die gleichm¨aßig gegen f : I → J konvergiert. Weiter sei g : J → IR gleichm¨aßig stetig. Zeigen Sie, dass die Folge (g ◦ fn )n∈IN ebenfalls gleichm¨aßig konvergent ist.

9.4 Aufgaben

139

4. Untersuchen Sie, ob die gegebenen Funktionenfolgen (i) (ii) a. b. c.

5.

gleichm¨aßig konvergent sind, einen stetigen Grenzwert haben. fn : [0, 1] → IR, fn (x) := xn , ' & gn : 0, 12 → IR, gn (x) := xn ,

1

hn : [0, 1] → IR, ⎧ 1 2nx , f¨ur 0 ≤ x ≤ 2n , ⎪ ⎪ ⎨ 1 1 hn (x) := 2 − 2nx , f¨ur 2n < x ≤ n , ⎪ ⎪ ⎩ 0, sonst .

1 n

1

Die Abbildung zeigt den Graph der Funktion hn .

a. Zeigen Sie, dass durch f (x) :=



1

 (n + x)2

n=1

f¨ur x ≥ 0

eine stetige Funktion f : [0, [ → IR erkl¨art ist. b. Begr¨unden Sie, dass f differenzierbar ist. c. Berechnen Sie

( 1 0

f (x) dx.

6. Eine Folge ( fn )n∈IN von Funktionen fn ∈ R([a, b]) heißt konvergent im quadratischen Mittel gegen f ∈ R([a, b]), falls lim

n→

( b a

| fn (x) − f (x)|2 dx = 0 .

a. Zeigen Sie: Wenn eine Folge ( fn )n∈IN von Regelfunktionen gleichm¨aßig auf [a, b] gegen f konvergiert, dann konvergiert die Folge auch im quadratischen Mittel gegen f . b. Geben Sie ein Beispiel einer Folge an, die im quadratischen Mittel aber nicht gleichm¨aßig konvergent ist. c. Zeigen Sie, dass mittels

( b a

f (x) g(x) dx

ein Skalarprodukt auf C([a, b]) definiert ist. Warum ist dies kein Skalarprodukt auf R([a, b]) ? Zeigen Sie ferner, dass C([a, b]) mit der durch dieses Skalarprodukt erkl¨arten Norm nicht vollst¨andig ist.

140

9 Funktionenfolgen und gleichm¨aßige Konvergenz

7. Der Integralsinus (oder Sinus Integralis) ist definiert durch Si : IR → IR , Zeigen Sie: F¨ur x ∈ IR gilt Si(x) =

Si(x) := 



k=0

( x sint 0

t

dt .

(−1)k x2k+1 . (2k + 1)! (2k + 1)

Kapitel 10

Taylorreihen

Aus der Gleichung (9.1) wissen wir, dass eine Funktion, die durch eine Potenzreihe dargestellt wird, durch die Werte ihrer Ableitungen an einem einzigen Punkt eindeutig bestimmt ist. Wir wollen uns nun u¨ berlegen, inwiefern man allgemein eine beliebig oft differenzierbare Funktion rekonstruieren kann, wenn man die Ableitungen an einer bestimmten Stelle kennt. Ist eine Funktion nur n-mal differenzierbar, so kann man sich immerhin fragen, ob man mit Kenntnis der Ableitungen an einer Stelle wenigstens in der Lage ist, diese Funktion n¨aherungsweise zu bestimmen. Dies f¨uhrt uns zu den so genannten Taylorpolynomen und Taylorreihen (Brook Taylor, 1685-1731, Cambridge).

10.1 Der Satz von Taylor Satz 10.1 (Taylor). Sei f : [a, b] → IK eine Funktion derart, dass f (n−1) stetig auf [a, b] ist und f (n) (t) f¨ur alle t ∈ ]a, b[ existiert. Ferner seien c, x ∈ [a, b], c = x. Dann existiert eine Zahl  zwischen x und c mit f (x) =

n−1



k=0

f (k) (c) f (n) ( ) (x − c)k + (x − c)n . k! n!

Beweis. F¨ur t ∈ [a, b] bezeichne Tn−1 (t; f ) :=

n−1



k=0

f (k) (c) (t − c)k . k!

f (x) − Tn−1 (x; f ) Mit M := haben wir f (x) = Tn−1 (x; f ) + M (x − c)n . (x − c)n Es bleibt zu zeigen, dass n! M = f (n) ( ) f¨ur ein  ∈ ]c, x[ bzw.  ∈ ]x, c[ gilt. Die Funktion g : [a, b] → IK, g(t) := f (t) − Tn−1 (t; f ) − M (t − c)n , ist in ]a, b[ n-mal differenzierbar mit g(n) (t) = f (n) (t) − n! M . R. Lasser, F. Hofmaier, Analysis 1 + 2, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-28644-5_10, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

141

142

10 Taylorreihen

Somit ist nur noch zu zeigen, dass es  zwischen x und c gibt mit g(n) ( ) = 0. (k)

F¨ur k = 0, . . . , n − 1 gilt Tn−1 (c; f ) = f (k) (c) und damit g(k) (c) = 0. Nach Wahl von M ist g(x) = 0; laut dem Mittelwertsatz gibt es ein x1 zwischen x und c mit g (x1 ) = 0. Mit dem Paar c, x1 folgt analog, dass ein x2 zwischen x1 und c existiert mit g (x2 ) = 0. Nach n Schritten kommt man zu einem xn zwischen xn−1 und c mit g(n) (xn ) = 0. Mit  := xn folgt nun die Behauptung. 

Bemerkung: F¨ur n = 1 ist der Satz von Taylor genau der Mittelwertsatz. f (n) ( ) (x − c)n in Satz 10.1 n! als Lagrange-Restglied (Joseph Louis Lagrange, 1736-1813, Berlin, Paris). Der Satz zeigt, dass f durch ein Polynom vom Grad n − 1 n¨aherungsweise beschrieben werden kann; eine m¨ogliche Fehlerabsch¨atzung erh¨alt man etwa, wenn man eine Schranke f¨ur | f (n) | kennt. Die Polynome

Man bezeichnet den letzten Summanden Rn (x) :=

Tn−1 (t; f ) :=

n−1



k=0

f (k) (c) (t − c)k k!

nennt man Taylorpolynome mit Entwicklungspunkt c. Ist f beliebig oft differenzierbar, so heißt  f (k) (c) (t − c)k T f (t) :=  k! k=0 die Taylorreihe von f mit Entwicklungspunkt c. Ob die Taylorreihe von f mit f u¨ bereinstimmt, kann nur u¨ ber Absch¨atzung der Restglieder erfolgen. Versch¨arft man die Voraussetzung an f , so erh¨alt man ein Restglied in Integralform. Satz 10.2. Sei f : [a, b] → IK eine n-mal stetig differenzierbare Funktion. Ferner seien c, x ∈ [a, b]. Dann gilt ( x n−1 (k) f (c) 1 f (x) =  (x − c)k + (x − t)n−1 f (n) (t) dt . k! (n − 1)! c k=0 Beweis. Bezeichne Rn (t) := f (t) − Tn−1(t; f ). (n) Dann ist Rn : [a, b] → IK auch n-mal stetig differenzierbar und Rn (t) = f (n) (t). (k) (k) Wegen Tn−1 (c; f ) = f (k) (c) gilt weiter Rn (c) = 0 f¨ur k = 0, . . . , n − 1. Mit partieller Integration erhalten wir ( x c

(x − t)n−1 f (n) (t) dt =

( x c

(n)

(x − t)n−1Rn (t) dt (n−1)

= (x − t)n−1 Rn = (n − 1)

( x c

( x

t=x

(n−1) (t) +(n − 1) (x − t)n−2Rn (t) dt t=c

(n−1)

(x − t)n−2Rn

c

(t) dt .

10.1 Der Satz von Taylor

143

Wiederholung der partiellen Integration f¨uhrt schließlich zu (n − 1)(n − 2) · · · 1

( x c

(x − t)0 Rn (t) dt = (n − 1)! (Rn (x) − Rn (c)) = (n − 1)! Rn (x) , 

womit die Behauptung bewiesen ist. Beispiele: (1)

Sei f : IR → IR, f (x) := exp(x). Mit c = 0 erhalten wir f¨ur beliebiges x = 0, da f (k) (0) = 1 ∀k ∈ IN ist,





n−1 k

x

f (n) ( ) n

e|x| |x|n

x ≤

f (x) −  =



n! n! k=0 k! mit einem  zwischen 0 und x. Damit kann man zeigen, dass e nicht rational ist: Angenommen, es gelte e = qp mit p, q ∈ IN. Dann folgt q! e ∈ IN und auch  := q! (e − 1 − 1!1 − 2!1 − · · · − q!1 ) ∈ IN. Mit obiger Restgliedabsch¨atzung erhalten wir aber 0 <  = q! Rq+1 (1) ≤ besondere  ∈ / IN, ein Widerspruch!

e q! (q+1)!

=

e q+1

< 1. Daraus folgt ins-

T2 T1 Die Abbildung zeigt die Graphen der Exponentialfunktion sowie der Taylorpolynome T1 , T2 und T3 zum Entwicklungspunkt c = 0. Man erkennt, dass das Restglied, also die Differenz zwischen Taylorpolynom und Funktionswert, in der N¨ahe des Entwicklungspunktes klein ist, aber rasch w¨achst, wenn man sich vom Entwicklungspunkt entfernt.

(2)

Sei f : IR → IR,

 f (x) :=

T3

exp(−1/x2)

f¨ur x = 0 ,

0

f¨ur x = 0 .

Wir werden sehen, dass f beliebig oft differenzierbar ist und f (n) (0) = 0 gilt f¨ur alle n ∈ IN0 . Damit ist die Taylorreihe von f mit Entwicklungspunkt c = 0 identisch 0, obwohl f nicht die Nullfunktion ist.

144

10 Taylorreihen

Es gilt sogar

 f

(n)

(x) =

pn (1/x) exp(−1/x2)

f¨ur x = 0 ,

0

f¨ur x = 0 ,

wobei pn ein Polynom ist. Beweis. Wir beweisen dies mit vollst¨andiger Induktion. F¨ur n = 0 ist die Aussage offensichtlich erf¨ullt. Gilt die Behauptung f¨ur ein n, so erhalten wir f¨ur x = 0 nun    1 1 d f (n+1) (x) = pn exp − 2 dx x x     1 1 1 1 1 −pn . = exp − 2 + 2p n x x x2 x x3 Setze pn+1 (t) := −t 2 pn (t) + 2t 3 pn (t). Da pn ein Polynom ist, ist auch pn+1 ein Polynom. Schließlich gilt f (n+1) (0) = lim t→0

f (n) (t) − f (n) (0) pn (1/t) exp(−1/t 2) = lim t→0 t t = lim s pn (s) exp(−s2 ) = 0 , s→

womit die Behauptung auch f¨ur n + 1 gezeigt ist. (3)



Wir wollen mit √ Hilfe des Satzes von Taylor und Restgliedabsch¨atzung eine N¨aherung f¨ur 2 bestimmen. √ Dazu betrachten wir die Funktion f : [0, [ → IR, f (x) := x. Diese ist im Intervall ]0, [ beliebig oft differenzierbar. Es gilt f  (x) =

1 √ , 2 x

f  (x) = −

√1 4 x3

und f  (x) =

√3 . 8 x5

Das Taylorpolynom T3 zum Entwicklungspunkt c > 0 lautet demnach T3 (t; f ) =

√ t − c (t − c)2 (t − c)3 c+ √ − √ + √ . 2 c 8 c3 16 c5

1 = Im Fall c = 1 und t = 2 erhalten wir T3 (2; f ) = 1 + 12 − 18 + 16

23 16 . √ Um zu sehen, wie weit dieser Wert vom wahren“ Funktionswert 2 entfernt ” ist, m¨ussen wir die Differenz f (t) − T3 (t; f ) = R4 (t) absch¨atzen. Laut dem Satz von Taylor gibt es ein  ∈ ]1, 2[ derart, dass

√ f (4) ( ) (2 − 1)4 2 = f (2) = T3 (2; f ) + 4! gilt, und mit f (4) (x) = −

15 √ 16 x7

erhalten wir

10.2 Potenzreihen mit allgemeinem Entwicklungspunkt

145









1





√ 5 5 23 15





2 − = | f (2) − T3(2; f )| =

 =

 ≤ .



24 16  7 128  7 128 16 aherungswert unterscheidet sich vom Mit anderen Worten: Die Zahl 23 16 als N¨ √ 5 wahren Wert von 2 um nicht mehr als 128 .

10.2 Potenzreihen mit allgemeinem Entwicklungspunkt H¨aufig berechnet man Taylorreihen durch Umformung bekannter Reihen. Dazu ben¨otigen wir ein Ergebnis u¨ ber Umstellungen in der Reihenfolge der Summation. Lemma 10.3. Gegeben sei eine Doppelfolge (ai j )i∈IN , j∈IN von Zahlen ai j ∈ IK mit folgenden Eigenschaften: 

 |ai j | = bi

(i)

j=1

(ii)

(absolute Konvergenz bei festem i),



 bi konvergiert.

i=1

Dann folgt





  ai j =

i=1 j=1





  ai j .

j=1 i=1

Beweis. F¨ur n ∈ IN sei xn := 1n . Weiter sei x0 := lim xn = 0. n→

Die Menge M := {x0 , x1 , x2 , . . .} ist mit der nat¨urlichen Metrik ein metrischer Raum. Zu jedem i ∈ IN definieren wir eine Funktion fi : M → IK mittels fi (x0 ) :=



 ai j

j=1

und

fi (xn ) :=

n

 ai j

j=1

f¨ur n ∈ IN .

Es gilt lim fi (xn ) = fi (x0 ); laut Folgenkriterium (Satz 6.2) ist jedes fi stetig in x0 . n→



Wegen | fi (xn )| ≤ bi f¨ur alle n ∈ IN0 folgt mit Satz 9.7, dass die Reihe  fi i=1

gleichm¨aßig auf M gegen eine Grenzfunktion g : M → IK konvergiert und Satz 9.2 liefert dann die Stetigkeit von g im Punkt x0 . 

Nach Konstruktion von g gilt weiter g(x1 ) =  ai1 sowie i=1



g(x j ) − g(x j−1) = 

i=1

f¨ur j ≥ 2. Damit haben wir

  fi (x j ) − fi (x j−1 ) = 

i=1

n

g(xn ) = g(x1 ) + 

j=2



j

j−1

k=1

k=1



 aik −  aik

 g(x j ) − g(x j−1) =



=  ai j i=1

n





  ai j

j=1

i=1

 .

146

10 Taylorreihen

Schließlich erhalten wir, mit dem Folgenkriterium angewandt auf g,   

n



j=1

i=1





lim   ai j   ai j = n→

j=1 i=1





= lim g(xn ) = g(x0 ) =  fi (x0 ) =   ai j n→

i=1

i=1 j=1



wie behauptet.

Bemerkung: Man beachte, dass die spezielle Wahl der Folge (xn )n∈IN im Beweis von Lemma 10.3 keine Rolle spielt. Es kommt lediglich darauf an, dass der Grenzwert x0 = lim xn existiert und dass xn = xm f¨ur n = m gilt. n→

Ein Beispiel f¨ur eine Doppelfolge, bei der die Reihenfolge der Summation nicht vertauscht werden darf (und die folglich die Voraussetzungen von Lemma 10.3 nicht erf¨ullt), bringen wir in Aufgabe 3 am Ende dieses Kapitels. Satz 10.4. Sei f : ] − R, R[ → IK durch eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0 definiert, etwa f (x) =



 ck xk .

k=0

Weiter sei c ∈ ] − R, R[. F¨ur x ∈ UR−|c| (c) = ] c − (R − |c|) , c + (R − |c|) [ gilt dann f (x) =





k=0

f (k) (c) (x − c)k . k!

Beweis. F¨ur x ∈ UR−|c| (c) haben wir f (x) =



 cn ((x − c) + c)n =

n=0

Wir setzen ank := cn   



n=0



 |ank |

k=0

n k

=



 n (x − c)k cn−k . k k=0 n

 cn 

n=0

(x − c)k cn−k f¨ur k = 0, . . . , n und ank := 0 f¨ur k > n. Da







n n−k k

n

c c (x − c)   n k

=  |cn | ( |x − c| + |c| ) n=0 k=0 n=0 

n

konvergiert, sind die Voraussetzungen von Lemma 10.3 erf¨ullt und wir erhalten        n f (x) =   ank =   ank =   cn cn−k (x − c)k . n=0 k=0 k=0 n=0 k=0 n=k k Laut Satz 9.8 gilt   f (k) (c) 1  n =  n(n − 1) · · ·(n − k + 1) cn cn−k =  cn cn−k k! k! n=k k n=k

und die Behauptung ist bewiesen.



10.2 Potenzreihen mit allgemeinem Entwicklungspunkt

147

Bemerkung: Satz 10.4 gilt entsprechend auch im Fall R = . Betrachten wir Reihen der Form 

 ck (z − c)k

k=0

f¨ur ein c ∈ IK, so gibt es laut Satz 5.19 genau ein R ≥ 0 (oder R = ) derart, dass die Reihe absolut konvergiert f¨ur z ∈ UR (c) und divergiert f¨ur |z| > R. Man braucht nur u := z − c zu betrachten. Diesen Wert R nennen wir ebenfalls Konvergenzradius, der Punkt c heißt Entwicklungspunkt. Beispiel: Die Geometrische Reihe hat den Konvergenzradius 1; f¨ur |x| < 1 ist 

f (x) :=

1

 xk = 1 − x .

k=0

Sei c := − 12 . Aus

1 k!

 k+1 f (k) − 12 = 23 und mit Satz 10.4 ergibt sich   k+1  1 2 1 k = x+ 1 − x k=0 3 2

(10.1)

zun¨achst f¨ur x ∈ ] − 1, 0[. Letztere Reihe hat allerdings den Konvergenzradius R = 32 . Sie konvergiert daher sogar f¨ur x ∈ ] − 2, 1[. Wir wollen noch einige wichtige Eigenschaften festhalten. Sei f (z) =



 ck (z − c)k

k=0

eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0 (oder R = ). Die Funktion f ist in UR (c) = {z ∈ IK : |z − c| < R} stetig (vgl. Korollar 6.6). Damit

folgt, dass (10.1) tats¨achlich f¨ur alle x ∈ ] − 2, 1[ und sogar f¨ur alle x ∈ C mit

x + 1 < 3 gilt. 2 2 Im Folgenden sei c ∈ IR. Laut Satz 9.8 ist f in ]c − R, c + R[ beliebig oft differenzierbar und es gilt f (n) (x) =



 k(k − 1) · · · (k − n + 1) ck (x − c)k−n .

k=n

Die Taylor-Reihe von f mit Entwicklungspunkt c ist genau die Potenzreihe, denn es ist f (n) (c) = n! cn . Insbesondere gilt also folgender Identit¨atssatz: 



k=0

k=0

Korollar 10.5. Falls  ck (x − c)k =  dk (x − c)k f¨ur alle x ∈ ]c −  , c +  [ mit einer Zahl  > 0 ist, so gilt ck = dk f¨ur alle k ∈ IN0 .

148

10 Taylorreihen

Analog zu Korollar 9.9 ergibt sich, dass durch F : ]c − R, c + R[ → IK ,

F(x) =



ck

 k + 1 (x − c)k+1

k=0

eine Stammfunktion von f gegeben ist.

10.3 Der Abelsche Grenzwertsatz Wir beginnen mit einem Beispiel. 1 . Die Funktion f : ]− 1, [ → IR, f (x) := ln(1 + x), ist differenzierbar mit f  (x) = 1+x 

F¨ur |x| < 1 k¨onnen wir f  (x) als Potenzreihe schreiben: Es gilt f  (x) =  (−1)k xk . k=0

Eine Stammfunktion dieser Reihe k¨onnen wir leicht angeben. Damit erhalten wir 

 (−1)k

k=0

xk+1 k+1

= f (x) + c mit einer Konstante c ∈ IR.

Einsetzen von etwa x = 0 liefert c = 0. Somit haben wir ln(1 + x) =



xk+1

 (−1)k k + 1

f¨ur |x| < 1 .

k=0

Laut dem Leibniz-Kriterium (Korollar 5.15) konvergiert die Reihe rechts auch noch f¨ur x = 1. Um zu zeigen, dass sie gegen ln(2) konvergiert, benutzen wir den folgenden Satz. Man beachte, dass die differenzierte Reihe f¨ur x = 1 nicht konvergiert. Satz 10.6 (Abelscher Grenzwertsatz). 

Es sei f (x) =  ck (x − c)k eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0, c ∈ IR. k=0



F¨ur den Randpunkt x = c + R sei die Reihe  ck Rk auch konvergent. k=0

Dann gilt lim

x→(c+R)−

f (x) =



 ck R k .

k=0



Insbesondere ist f : ]c − R, c + R] → IK, f (x) =  ck (x − c)k , stetig. k=0

Beweis. Ersetzt man x durch Ry + c, so ergibt sich eine Potenzreihe um Null mit Konvergenzradius 1. 



k=0

k=0

Es reicht also, f (x) =  ck xk mit R = 1 und konvergenter Reihe  ck anzunehmen. n

Mit Sn :=  ck f¨ur n ∈ IN0 und S−1 := 0 gilt k=0

10.4 Aufgaben

149 N

N

N−1

k=0

k=0

k=0

 ck xk =  (Sk − Sk−1) xk = (1 − x)  Sk xk + SN xN

und mit N →  folgt 

f (x) = (1 − x)  Sk xk

f¨ur |x| < 1 ;

k=0





 k

diese Reihe ist konvergent, denn es gilt  Sk x

≤ max |Sn |  xk . n∈IN0 k=0



k=0

Betrachte S := lim Sn =  ck . n→

k=0

Zu  > 0 existiert N ∈ IN mit |S − Sn| < 2 ∀n ≥ N. Wir erhalten







k

| f (x) − S| = (1 − x)  (Sk − S) x



k=0 N

≤ (1 − x)  |Sk − S| |xk | + k=0

  (1 − x)  |x|k 2 k=0    =1

N

 ≤ (1 − x)  |Sk − S| + . 2 k=0 N

Nun gibt es eine Zahl  > 0 mit (1 − x)  |Sk − S| < k=0

 2

f¨ur alle x ∈ ]1 −  , 1].

Damit haben wir schließlich | f (x) − S| <  f¨ur alle x ∈ ]1 −  , 1[. Folglich gilt lim f (x) = S wie gew¨unscht. 

x→1−

Kehren wir zur¨uck zu unserem Beispiel. Mit Satz 10.6 erhalten wir nun ln(2) =



1

1

1

1

 (−1)k k + 1 = 1 − 2 + 3 − 4 ± · · · ,

(10.2)

k=0

den Wert der Alternierenden Harmonischen Reihe.

10.4 Aufgaben 1. Es sei I ein Intervall derart, dass f¨ur jedes x ∈ I auch −x ∈ I gilt. Eine Funktion f : I → IK heißt gerade, wenn f (x) = f (−x) gilt f¨ur alle x ∈ I; sie heißt ungerade, wenn f (x) = − f (−x) gilt f¨ur alle x ∈ I. Zeigen Sie: Alle Taylorpolynome zum Entwicklungspunkt 0 (sofern sie existieren) einer geraden/ungeraden Funktion sind ebenfalls gerade/ungerade.

150

10 Taylorreihen

2. Es sei f : IR → IR eine differenzierbare Funktion mit f  = f und f (0) = 1. Bestimmen Sie die Taylorreihe T f (x) von f zum Entwicklungspunkt 0. F¨ur welche x konvergiert diese gegen f (x) ? 3. Ein Gegenbeispiel zur Vertauschung bei Doppelsummen. F¨ur i, j ∈ IN sei −1 0 0 ⎧ f¨ur i < j , ⎪ 1 ⎨0 0 2 −1 ai j := −1 f¨ur i = j , 1 1 ⎪ ⎩ j−i 4 2 −1 2 f¨ur i > j . 1 1 1 Zeigen Sie, dass







8



.. .

  ai j =   ai j

i=1 j=1

4

.. .

2

.. .

0

···

0

···

0

···

−1 · · · .. . . . .

j=1 i=1

gilt und geben Sie an, welche der Voraussetzungen von Lemma 10.3 im vorliegenden Fall nicht erf¨ullt ist. 4. L¨osung der Schwingungsgleichung mittels Taylor-Entwicklung. Es sei f : IR → IR eine zwei Mal differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft f  (x) + f (x) = 0

f¨ur alle x ∈ IR .

Zeigen Sie mit Hilfe der Talyor-Entwicklung von f , dass gilt: f (x) = f (0) cos x + f  (0) sin x

f¨ur alle x ∈ IR .

5. Es seien  ∈ IR und f : IR → IR eine differenzierbare Funktion mit f (0) = 0 derart, dass f  (x) = f ( x) gilt f¨ur alle x ∈ IR. a. Zeigen Sie, dass f beliebig oft differenzierbar ist und berechnen Sie f (k) f¨ur k ∈ IN. b. Bestimmen Sie die Taylorreihe von f um den Nullpunkt und deren Konvergenzradius. c. Zeigen Sie mit Hilfe einer Absch¨atzung des Lagrangeschen Restglieds, dass f¨ur | | ≤ 1 die Taylor-Reihe von f auf ganz IR gegen f konvergiert. 

6. Sei z0 ∈ C. Die Potenzreihe  ck (z − z0 )k habe den Konvergenzradius R > 0. k=0

Weiter sei z1 ∈ UR (z0 ). Zeigen Sie: F¨ur alle z ∈ UR−|z1 −z0 | (z1 ) gilt 



k=0

j=0

 ck (z − z0 )k =  b j (z − z1) j



mit b j = 

k= j

k j

ck (z1 − z0 )k− j .

Kapitel 11

Fourierreihen

Fourierreihen eignen sich zur Analyse von Funktionen, von denen man annimmt, ¨ dass sie eine Uberlagerung von Grundschwingungsfunktionen (mit bestimmten Frequenzen) sind, d.h. von sin(kx), cos(kx) oder eikx . Dabei k¨onnen diese Funktionen Sprungstellen haben (so genannte Pulsfunktionen). Zun¨achst ist eine Vorbemerkung zu periodischen Funktionen angebracht. Eine Funktion f : IR → IK heißt periodisch mit der Periode  > 0, falls f (x +  ) = f (x)

f¨ur alle x ∈ IR

gilt. Es gilt dann auch f (x + k ) = f (x) f¨ur alle x ∈ IR und alle k ∈ ZZ. Wir k¨onnen immer davon ausgehen, dass eine Funktion

mit  Periode  = 2 vorliegt, indem wir f durch eine Funktion g mit g(x) := f 2 x ersetzen.

11.1 Trigonometrische Polynome und Fourierkoeffizienten Ein trigonometrisches Polynom ist eine Summe der Form f (x) =

n a0 +  (ak coskx + bk sin kx) 2 k=1

(x ∈ IR)

mit Koeffizienten a0 , . . . , an ; b1 , . . . , bn ∈ IK.



 Wegen cos x = 12 eix + e−ix und sin x = 2i1 eix − e−ix kann man obige Darstellung auch schreiben als f (x) =

n



ck eikx .

k=−n a0 2

1 2 (ak − ibk )

Dabei ist c0 = und ck = sowie c−k = 12 (ak + ibk ) f¨ur k ∈ IN. Umgekehrt gilt dann nat¨urlich a0 = 2c0 , ak = ck + c−k und bk = 1i (c−k − ck ) f¨ur k ∈ IN.

R. Lasser, F. Hofmaier, Analysis 1 + 2, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-28644-5_11, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

151

152

11 Fourierreihen

Wegen

( 2 0

einx dx =

1 inx

2 e =0 in 0

f¨ur n = 0

erf¨ullt die doppelseitige“ Folge (ek )k∈ZZ von Funktionen ek (x) := eikx die folgende ” Orthogonalit¨atsrelation: Es gilt  ( ( 1 f¨ur k = m , 1 2 i(k−m)x 1 2 ek (x) em (x) dx = e dx = 2 0 2 0 0 f¨ur k = m . n

Ist nun f (x) =  ck eikx ein trigonometrisches Polynom, so haben wir k=−n

( 2 0

f (x) e−imx dx =

( 2 0

n



n



ck eikx e−imx dx =

k=−n

k=−n

ck

( 2 0

ei(k−m)x dx = 2 cm

f¨ur m ∈ {−n, . . ., n}. Das Integral auf der linken Seite k¨onnen wir nicht nur f¨ur trigonometrische Polynome, sondern f¨ur beliebige integrierbare Funktionen bilden. Definition 11.1. Sei R p := { f ∈ R([0, 2 ]) : f (0) = f (2 )}. F¨ur f ∈ R p heißen die Zahlen 1 f)(k) := 2

( 2 0

f (x) e−ikx dx ,

k ∈ ZZ ,

die Fourierkoeffizienten von f . Die formale Reihe 



f)(k) eikx

k=−

heißt Fourierreihe von f . Bemerkungen: (1)

Die Fourierreihe ist zun¨achst nur ein formales Gebilde. Es gibt zahlreiche F¨alle, bei denen sie f¨ur kein x ∈ IR konvergiert.

(2)

Wir werden die Konvergenz einer Fourierreihe (wenn nicht anders angegeben) wie folgt verstehen: 



k=−

(3)

f)(k) e−ikx := lim

n→

n



f)(k) e−ikx .

k=−n

Bez¨uglich Fourierreihen k¨onnen wir 2 -periodische Funktionen g : IR → IK und Funktionen f : [0, 2 ] → IK mit f (0) = f (2 ) als gleichwertig sehen. Man kann f zu einer 2 -periodischen Funktion g : IR → IK fortsetzen mittels g(x + 2 n) := f (x) f¨ur x ∈ [0, 2 [ und n ∈ ZZ. Wir werden die 2 -periodische Fortsetzung stets auch wieder mit f bezeichnen.

11.1 Trigonometrische Polynome und Fourierkoeffizienten

153

Damit ist auch klar, dass die Fourierkoeffizienten f)(k) durch 1 f)(k) = 2

( 2 0

f (x) e−ikx dx =

1 2

(  +2 

f (x) e−ikx dx

f¨ur beliebiges  ∈ IR gegeben sind. Als erstes Beispiel sei f eine so genannte Pulsfunktion,  1 f¨ur x ∈ [0,  ] ∪ {2 } , f (x) := −1 f¨ur x ∈ ] , 2 [ . Es gilt f)(0) = 0 und f¨ur k = 0 erhalten wir (   ( 2 1 1 e−ikx

 e−ikx

2 −ikx −ikx ) f (k) = e dx − e dx =

−

2 2 −ik 0 −ik   0   i  −ik i  −ik (e 2e − 1) − (1 − e−ik ) = −2 = 2 k 2 k  0 , falls k gerade , = − 2ik , falls k ungerade . Die Fourierreihe von f lautet also −

2i  1 1 4  i(2k+1)x e sin(2k + 1)x . =    k=− 2k + 1  k=0 2k + 1

1 2

 −1 Es ist aufschlussreich, die Partialsummen S2n+1 f (x) :=

4 

n



k=0

1 sin((2k + 1)x) 2k + 1

f¨ur verschiedene n zu berechnen, um so die Approximation von f (x) zu veranschaulichen. Die Abbildung zeigt S1 f (x) und S3 f (x).

Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830, Paris) behauptete, dass f¨ur jedes f ∈ R p deren Fourierreihe gegen f strebt (er benutzte diese Reihen, um die W¨armeleitung

154

11 Fourierreihen

in einem K¨orper zu beschreiben). Dies ist falsch. Man erkennt an obigem Beispiel, dass etwa an der Stelle x =  die Fourierreihe gegen 0 = f ( ) konvergiert. Viele Mathematiker (u.a. Cauchy) haben Fouriers Behauptung mit falschem Beweis nachgewiesen“. Erst Dirichlet brachte Ordnung in die Untersuchungen. Paul ” du Bois-Reymond (1831-1889, T¨ubingen, Berlin) konnte zeigen: Es gibt eine stetige 2 -periodische Funktion f , deren Fourierreihe an der Stelle x = 0 gegen  divergiert. Ein wichtiges Resultat stammt von Lip´ot Fej´er (1880-1959, Budapest; damals 19-j¨ahrig). Er bewies, dass n  |k| f)(k) eikt → f (t) 1 − f¨ur n →   n + 1 k=−n gilt, falls die 2 -periodische Funktion f stetig ist (sogar mit gleichm¨aßiger Konvergenz). Wir werden in Satz 11.5 und Satz 11.6 darauf zur¨uckkommen.

11.2 Konvergenz nach Dirichlet und Fej´er Wir zeigen zun¨achst wichtige Gleichheiten f¨ur gewisse trigonometrische Polynome. F¨ur n ∈ IN betrachten wir Dn (x) :=

n



n

k=−n

eikx = 1 + 2  cos(kx) und k=1

n n  |k| 1 n 1 ikx Fn (x) :=  Dk (x) = n + 1  ((n + 1) − |k|) e =  1 − n + 1 eikx . n + 1 k=0 k=−n k=−n Man bezeichnet (Dn )n∈IN als Dirichlet-Kern und (Fn )n∈IN heißt Fej´er-Kern. Lemma 11.2. F¨ur x ∈ / {2k : k ∈ ZZ} gilt

 sin (2n + 1) 2x

 Dn (x) = sin 2x

1 Fn (x) = n+1

und



 2

sin (n + 1) 2x

 . sin 2x

Weiter ist Dn (2k ) = 2n + 1 sowie Fn (2k ) = n + 1 f¨ur k ∈ ZZ. Beweis. Die Behauptungen f¨ur x = 2k sind offensichtlich. Andernfalls gilt 2n

Dn (x) = e−inx  (eix )k = e−inx k=0

=e

−inx

2n+1 eix −1 eix − 1

 ei(2n+1)x/2 ei(2n+1)x/2 − e−i(2n+1)x/2 sin (2n + 1) 2x

 = eix/2 eix/2 − e−ix/2 sin 2x

11.2 Konvergenz nach Dirichlet und Fej´er

155

und mit Hilfe von cos(z − w) − cos(z + w) = 2 sin z sin w (siehe Satz 5.22) erhalten wir weiter   x 2   x 2 n sin (n + 1) Fn (x) = sin  Dk (x) 2 2 k=0 x  n x sin (2k + 1) =  sin 2 2 k=0 n

cos(kx) − cos((k + 1)x) 2 k=0   2 (n + 1)x 1 − cos((n + 1)x) = sin = , 2 2

=





womit die Behauptung gezeigt ist.

Zu f ∈ R p betrachten wir nun die folgenden trigonometrischen Polynome: n n  |k| ikx ) f)(k) eikx . und n ( f )(x) :=  1 − Sn ( f )(x) :=  f (k) e n+1 k=−n k=−n Das n¨achste Lemma gibt eine Integraldarstellung von Sn ( f ) und n ( f ) an. Lemma 11.3. Sei f ∈ R p . Es gilt Sn ( f )(x) =

1 2

n ( f )(x) =

1 2

( 2 0

( 2 0

f (y) Dn (x − y) dy =

1 2

f (y) Fn (x − y) dy =

1 2

f¨ur alle x ∈ IR und es ist Beweis. Mit

n ( f ) =

( 2 0

( 2 0

f (x − y) Dn (y) dy

sowie

f (x − y) Fn (y) dy

1 n  Sk ( f ). n + 1 k=0

 ( 2  |k| 1 −iky 1 − f (y) e dy eikx  n + 1 2  0 k=−n ( n  |k| 1 2 eik(x−y) dy = f (y)  1 − 2 0 n + 1 k=−n

n ( f )(x) =

n

1 = 2

( 2 0

f (y) Fn (x − y) dy

ist die Gleichheit links in der zweiten Behauptung gezeigt. Die rechte Gleichung erh¨alt man durch Substitution mit t := x − y. Die entsprechenden Aussagen f¨ur Sn beweist man ganz analog. Daraus folgt die letzte Behauptung jetzt direkt mit der Definition von Fn . 

156

11 Fourierreihen

Wir wollen sehen, unter welchen Bedingungen die Fourierreihe einer Funktion f ∈ R p gegen f konvergiert. Mit anderen Worten, uns interessiert das Verhalten von Sn ( f ) f¨ur n → . Dar¨uberhinaus wollen wir auch n ( f ) auf Konvergenz untersuchen. Es stellt sich heraus, dass n in gewissen F¨allen besser zur Approximation geeignet ist als Sn . Dies liegt u.a. an folgenden Eigenschaften. Lemma 11.4. Es gelten (i)

Fn (x) ≥ 0

(ii)

1 2

(iii)

( 2 0

f¨ur alle x ∈ IR,

Fn (x) dx = 1,

f¨ur jedes 0 <  <  konvergiert Fn (x) → 0 gleichm¨aßig auf [ , 2 −  ] mit n → .

Beweis. Die erste Behauptung erkennt man sofort an Hand der Darstellung aus Lemma 11.2. Weiter ist ( 2  ( 1 2 |k| 1 n Fn (x) dx =  1 − n + 1 0 eikx dx , 2 0 2 k=−n wobei das Integral nur f¨ur k = 0 einen von Null verschiedenen Wert, n¨amlich 2 , hat. Somit ist auch die zweite Aussage gezeigt. Ist nun 0 <  <  , so erhalten wir, wieder mit Lemma 11.2, f¨ur alle x ∈ [ , 2 −  ] die Absch¨atzung 1 Fn (x) ≤ n+1



1 sin(x/2)

2

1 ≤ n+1



1 sin( /2)

2

n→

−→ 0 .

Der Ausdruck rechts h¨angt nicht mehr von x ab; daher konvergiert Fn (x) gleichm¨aßig auf [ , 2 −  ]. 

Satz 11.5. Sei f ∈ R p . Ist f im Punkt x stetig, so gilt lim n ( f )(x) = f (x). n→

Beweis. Sei  > 0. Auf Grund der Stetigkeit gibt es eine Zahl  > 0 derart, dass | f (y) − f (x)| ≤ 2 f¨ur alle y mit |y − x| <  gilt. Ohne Einschr¨ankung k¨onnen wir M :=  f  > 0 annehmen. Laut Aussage (iii) von Lemma 11.4 gibt es N ∈ IN mit |Fn (y)| ≤

 4M

f¨ur alle y ∈ [ , 2 −  ] und alle n ∈ IN .

Mit den Resultaten (i) und (ii) aus Lemma 11.4 gilt ferner (  0

|Fn (y)| dy +

( 2 2  −

und wir erhalten schließlich

|Fn (y)| dy ≤

( 2 0

|Fn (y)| dy =

( 2 0

Fn (y) dy = 2

11.2 Konvergenz nach Dirichlet und Fej´er

157

( 2

(

1

1 2

|n ( f )(x) − f (x)| =

f (x − y) Fn (y) dy − f (x) Fn (y) dy

2 0 2 0

(



1

2 = ( f (x − y) − f (x) ) Fn (y) dy



2 0 ≤

1 2

(  0

| f (x − y) − f (x)| Fn (y) dy 1 + 2 +

≤

 2M + 2 2

1 2

( 2  − 

( 0 −

| f (x − y) − f (x)| Fn (y) dy

( 2  − 

| f (x − y) − f (x)| Fn (y) dy

Fn (y) dy ≤

 M + 2 

f¨ur alle n ≥ N.

( 2  −  

4M

dy ≤  

Satz 11.6 (Fej´er). Sei f ∈ R p stetig. Dann gilt n ( f ) → f gleichm¨aßig auf [0, 2 ] mit n → . Beweis. Da f laut Satz 6.18 gleichm¨aßig stetig ist, gibt es zu  > 0 ein  > 0 derart, dass | f (y) − f (x)| < 2 f¨ur alle x, y mit |y − x| <  gilt, d.h.  h¨angt nicht von x ab. Nun kann man exakt wie im Nachweis von Satz 11.5 vorgehen. 

Wir notieren noch einige wichtige Folgerungen. Korollar 11.7 (Weierstraßscher Approximationssatz). Sei f ∈ R p stetig. Dann existiert eine Folge trigonometrischer Polynome (Pn )n∈IN , die gleichm¨aßig auf IR gegen f konvergiert, also lim Pn − f  = 0. n→

Beweis. W¨ahle Pn = n ( f ).



Korollar 11.8 (Eindeutigkeitssatz). Seien f , g ∈ R p stetig mit f)(k) = g)(k) ∀k ∈ ZZ. Dann ist f = g. Beweis. Aus der Voraussetzung folgt n ( f ) = n (g) f¨ur alle n ∈ IN0 . Mit Satz 11.6 erhalten wir f = g. 

In den Beweisen zu Satz 11.5 und Satz 11.6 werden von Fn nur die Eigenschaften aus Lemma 11.4 benutzt. Man erh¨alt die selben Resultate daher auch, wenn man an Stelle von Fn andere Systeme von trigonometrischen Polynomen verwendet, sofern diese ebenfalls die Aussagen von Lemma 11.4 erf¨ullen. F¨ur den Dirichlet-Kern, also die Dn , ist dies allerdings nicht der Fall. Dennoch gilt in vielen F¨allen auch Sn ( f ) → f mit n → .

158

11 Fourierreihen

Satz 11.9 (Riemann-Lebesgue-Lemma). Sei f ∈ R([a, b]). Dann gilt lim

( b

n→ a

f (x) sin(nx) dx = 0 = lim

( b

n→ a

f (x) cos(nx) dx.

Insbesondere gilt f¨ur f ∈ R p damit lim f)(n) = 0. |n|→

Beweis. Seien zun¨achst g eine Treppenfunktion und a = a0 < a1 < · · · < am = b, sodass g(x) = ck f¨ur x ∈ ]ak−1 , ak [ gilt. F¨ur n ∈ IN ergibt sich



m

( b

m



1

g(x) sin(nx) dx =  ck (cos(nak−1 ) − cos(nak ))

≤ 2  |ck | n→ −→ 0 .



a

n k=1 k=1 n Sei nun f ∈ R([a, b]). Zu jedem  > 0 gibt es dann eine Treppenfunktion g mit   f − g < b−a und weiter

( b

( b ( b





a f (x) sin(nx) dx − a g(x) sin(nx) dx ≤ a | f (x) − g(x)| dx <  . Da  beliebig klein gew¨ahlt werden kann, bleibt nur lim

( b

n→ a

f (x) sin(nx) dx = 0.

F¨ur cos zeigt man dies ganz analog. Die abschließende Behauptung ergibt sich dann unmittelbar mit e−inx = cos(nx) − i sin(nx). 

Nun k¨onnen wir ein wichtiges Resultat u¨ ber punktweise Konvergenz von Fourierreihen beweisen. Wir erinnern uns (Satz 8.5), dass f¨ur eine Regelfunktion f ∈ R([a, b]) an einer Stelle x ∈ [a, b] stets die einseitigen Grenzwerte f (x+) und f (x−) existieren. Satz 11.10. Sei f ∈ R p . Wenn an einer Stelle x ∈ IR die einseitigen Ableitungen f  (x+) := lim

t→0+

existieren, so gilt

f (x + t) − f (x+) t

f  (x−) := lim

und

t→0−

f (x + t) − f (x−) t

lim Sn ( f )(x) = 12 ( f (x+) + f (x−)).

n→

Wenn f u¨ berdies an der Stelle x stetig ist, konvergiert die Fourierreihe an diesem Punkt also gegen den Funktionswert. Beweis. Wegen Dn (−x) = Dn (x) ergibt sich mittels Substitution ( 0 −

und auch

f (x − y) Dn (y) dy = (  0

Dn (y) dy =

1 2

( 

(  −

0

f (x + s) Dn (s) ds

Dn (y) dy =  .

Wir setzen dies in die Darstellung aus Lemma 11.3 ein und schreiben schließlich Dn wie in Lemma 11.2. Damit erhalten wir

11.2 Konvergenz nach Dirichlet und Fej´er

159

1 Sn ( f )(x) − ( f (x+) + f (x−)) 2 = =

1 2

(  −

( 1 

2

1 = 

0

( 

1 f (x − y) Dn (y) dy − ( f (x+) + f (x−)) 2

( f (x + y) + f (x − y) − f (x+) − f (x−) ) Dn (y) dy



0

f (x + y) − f (x+) f (x − y) − f (x−)



 + 2 sin 2y 2 sin 2y



 y dy . sin (2n + 1) 2

Mit der Regel von L’Hospital (Satz 7.15) gilt weiter lim

y→0+

f (x + y) − f (x+)

 = f  (x+) 2 sin 2y

und

lim

y→0+

f (x − y) − f (x−)

 = f  (x−) . 2 sin 2y

Daher ist g : [0,  ] → IK mit g(0) := f  (x+) − f  (x−) und g(y) :=

f (x + y) − f (x+) f (x − y) − f (x−)



 + 2 sin 2y 2 sin 2y

f¨ur y = 0

im Nullpunkt stetig. Insbesondere ist g eine Regelfunktion und mit Satz 11.9 folgt  (  1  1 y dy = 0 lim Sn ( f )(x) − ( f (x+) + f (x−)) = lim g(y) sin (2n + 1) n→ n→  0 2 2 

und damit die Behauptung. Beispiele: (1)

Fourierkoeffizienten und Fourierreihe der Pulsfunktion f ∈ R p ,  1 f¨ur x ∈ [0,  ] ∪ {2 } , f (x) := −1 f¨ur x ∈ ] , 2 [ . haben wir bereits berechnet. Mit Satz 11.10 folgt nun ⎧ ⎪ ⎨ 1 f¨ur x ∈ ]0,  [ ,  4 1  2k + 1 sin(2k + 1)x = ⎪ −1 f¨ur x ∈ ] , 2 [ ,  k=0 ⎩ 0 f¨ur x ∈ {0,  , 2 } . Speziell f¨ur x =

 2



erhalten wir mit sin (2k + 1) 2 = (−1)k den Wert

4  (−1)k  2k + 1 = 1 ,  k=0

also

 1 1 1 = 1 − + − ± ··· 4 3 5 7

160

11 Fourierreihen

(2)

Sei f ∈ R p definiert durch f (x) := x2 f¨ur x ∈ [− ,  ]. Laut Satz 11.10 konvergiert deren Fourierreihe u¨ berall gegen den Funktionswert. (  2 Wir berechnen die Fourierkoeffizienten. Es gilt f)(0) = x2 dx = ; mit 3 − (  (  1 2 −ikx

 1 x e x2 e−ikx dx = 2x e−ikx dx

− −ik − −ik − −  ( 

 4 1 1 1

2x e−ikx − = 2e−ikx dx = (−1)k 2 ik −ik − −ik − k ergibt sich f)(k) = (−1)k k22 f¨ur k = 0 und wir erhalten Sn f (x) =

n



k=−n

=

2 3

 n  f)(k) eikx = f)(0) +  f)(k) eikx + f)(−k) e−ikx k=1

n

+  (−1)k k=1

n 2 ikx 2 (−1)k −ikx + 4 (e + e ) = cos(kx) .  2 k2 3 k=1 k

Setzen wir etwa x = 0 oder x =  ein, so haben wir 0 = f (0) =

 2 (−1)k +4  2 3 k=1 k

⇒

(−1)k 2 = 2 12 k=1 k

 2 1 +4  2 3 k=1 k

⇒

 k2 =

 2 = f ( ) =



 

1

k=1

und

2 . 6

11.3 Konvergenz im quadratischen Mittel Man kann leicht nachpr¨ufen, daß C p := { f ∈ R p : f stetig} mit 1  f , g := 2

( 2 0

f (x) g(x) dx

 ein Pr¨ahilbertraum ist. Mit der durch  f 2 :=  f , f  erkl¨arten Norm ist C p ein normierter Raum. Wir wissen auch bereits, dass {en : n ∈ ZZ} mit en (x) := einx eine orthonormale Familie in C p bildet. F¨ur die Fourierkoeffizienten von f ∈ C p gilt nach Definition f)(k) =  f , ek . Die Besselsche Ungleichung (4.2) f¨ur C p liefert 1 2

( 2 0

| f (x)|2 dx =  f 22 ≥





k=−

| f , ek |2 =





k=−

| f)(k)|2 ;

11.3 Konvergenz im quadratischen Mittel

161

insbesondere ist die Reihe rechts konvergent. Wir werden in K¨urze sehen, dass hier sogar Gleichheit gilt. Satz 11.11. Seien f , g ∈ C p . Es gelten (a)

 f − Sn( f )2 → 0 mit n → ,

(b)

1 2

(c)

1 2

( 2 0

| f)(k)|2 ,

(Parsevalsche Gleichung)

k=−

( 2 0





| f (x)|2 dx =



f (x) g(x) dx =



f)(k) g)(k).

k=−

Beweis. (a) Sei  > 0. Nach dem Satz von Fej´er (Satz 11.6) gibt es N ∈ IN mit | f (x) − n ( f )(x)| <  f¨ur alle x ∈ [0, 2 ] und alle n ≥ N. Damit gilt auch   f − n ( f )2 =

1 2

( 2 0

| f (x) − n ( f )(x)|2 dx

1/2

<

f¨ur alle n ≥ N .

Betrachte nun f¨ur jedes n ∈ IN die orthonormale Familie {ek : k = −n, . . . , n}. Satz 4.13 liefert  f − Sn ( f )2 ≤  f − n ( f )2 . Damit gilt auch  f − Sn ( f )2 <  f¨ur alle n ≥ N. (b) Laut dem Satz von Pythagoras (Satz 4.11) gilt  f − Sn( f )22 =  f 22 −

n



| f)(k)|2 ≥ 0 .

k=−n

n

Mit (a) folgt lim  | f)(k)|2 =  f 22 . Dies ist genau die Parsevalsche Gleichung. n→ k=−n

(c) Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung (Korollar 4.12) erhalten wir



# $





n n





 f , g −  f)(k) g)(k) =  f , g −  f)(k) ek , g = | f , g − Sn ( f ), g|





k=−n k=−n = | f − Sn( f ), g| ≤  f − Sn ( f )2 g2 . 

Daraus folgt mit (a) die Behauptung.

Beispiel: Die Fourierkoeffizienten der durch f (x) := x2 f¨ur x ∈ [− ,  ] definierten 2 Funktion f ∈ C p kennen wir schon. Es gilt f)(0) = 3 und f)(k) = (−1)k k22 f¨ur k = 0. Andererseits gilt  f 22 =

1 2

(  −

x4 dx =

Die Parsevalsche Gleichung liefert

4 5

=

4 1 1 5 ( − (− )5 ) = . 2 5 5 

2 3

2



+2 

k=1

 2 2 k2

.

162

11 Fourierreihen

Damit haben wir



1 1  k4 = 8 k=1



4 4 − 5 9

=

4 . 90

Bemerkung: Die Folgerungen in Satz 11.11 gelten nicht nur f¨ur stetige Funktionen. Dar¨uberhinaus kann man Fourierkoeffizienten und Fourierreihen f¨ur eine weitaus gr¨oßere Klasse von Funktionen definieren, wenn man z.B. auch uneigentliche Integrale zul¨asst oder indem man einen umfassenderen Integralbegriff benutzt, wie etwa das Lebesgue-Integral. Man kann zeigen, dass die Eigenschaften (a), (b) und (c) aus dem Satz a¨ quivalent und sogar f¨ur alle Regelfunktionen erf¨ullt sind.

11.4 Aufgaben 1. Bestimmen Sie die Fourierkoeffizienten der 2 -periodischen Fortsetzung der Funktion  0, x<0, f : ] −  ,  ] → IR , f (x) := x, x≥0. F¨ur welche x konvergiert hier die Fourierreihe gegen den Funktionswert ? 2. Bestimmen Sie die Fourierreihe der durch f (x) := |x| f¨ur x ∈ [− ,  ] definierten Funktion f ∈ R p und berechnen Sie damit den Wert der Reihe 

1

 (2k + 1)2 .

k=0

3. Bestimmen Sie die Fourierreihe der durch f (x) := 2 − |x| f¨ur x ∈ [− ,  ] definierten Funktion f ∈ R p und berechnen Sie mit Hilfe der Parsevalschen Gleichung den Wert der Reihe  1  (2k + 1)4 . k=0 4. Seien f ∈ R p , y ∈ IR. Weiter sei Ty f : IR → IR, Ty f (x) := f (x − y). Bestimmen Sie die Fourierkoeffizienten von Ty f . 5. Sei f ∈ R p eine