Math.ch 100: Schweizerische Mathematische Gesellschaft, Societe Mathematique Suisse, Swiss Mathematical Society, 1910-2010

math.ch/100 Schweizerische Mathematische Gesellschaft Société Mathématique Suisse Swiss Mathematical Society

1910–2010 Bruno Colbois Christine Riedtmann Viktor Schroeder Editors

Editors: Bruno Colbois Institut de Mathématiques Université de Neuchâtel Rue Emile-Argand 11, Case postale 158 CH-2009 Neuchâtel

Christine Riedtmann Mathematisches Institut Universität Bern Sidlerstrasse 5 CH-3012 Bern

E-mail: [email protected]

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Viktor Schroeder Institut für Mathematik Universität Zürich Winterthurer Str. 190 CH-8057 Zürich E-mail: [email protected]

2010 Mathematics Subject Classification: 00B30

ISBN 978-3-03719-089-0 The Swiss National Library lists this publication in The Swiss Book, the Swiss national bibliography, and the detailed bibliographic data are available on the Internet at http://www.helveticat.ch. This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, re-use of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in other ways, and storage in data banks. For any kind of use permission of the copyright owner must be obtained. © 2010 European Mathematical Society Contact address: European Mathematical Society Publishing House Seminar for Applied Mathematics ETH-Zentrum FLI C4 CH-8092 Zürich Switzerland Phone: +41 (0)44 632 34 36 Email: [email protected] Homepage: www.ems-ph.org Typeset using the authors’ T E X files: I. Zimmermann, Freiburg Printed in Germany 987654321

Préface

Cet ouvrage a été édité pour marquer le 100e anniversaire de la Société Mathématique Suisse, fondée en 1910 par R. Fueter, H. Fehr et M. Grosmann. Il réunit vingt-trois articles proposant des éclairages très diversifiés de cent années de mathématiques en Suisse. Les thématiques sont variées : évocation de grands mathématiciens, présence des femmes dans les mathématiques suisses, brèves histoires de certains instituts, comme Fribourg ou Neuchâtel, ou d’institutions, comme le Troisième Cycle Romand. La diversité se retrouve aussi dans la forme, car nous n’avons pas donné de directives précises aux auteurs ayant contribué à ce livre : ils étaient invités à écrire ce qui leur tenait à cœur, dans le style qui leur convenait. Si la plupart des articles sont des contributions originales, certains sont des rééditions, parfois repris sans modification, parfois retravaillés. Il nous a semblé heureux de les réunir en un seul volume. Les articles ont été classés dans l’ordre alphabétique des auteurs, et il n’y a pas d’ordre naturel de lecture. Une exception a été faite pour deux d’entre eux placés au début du livre : celui écrit par M. Plancherel à l’occasion du 50e anniversaire de notre Société, qui donne un aperçu des mathématiques en Suisse à l’aube du XXe siècle, et celui d’E. Neuenschwander, qui constitue une véritable chronique de la SMS depuis sa création jusqu’à nos jours. Cet ouvrage ne se veut aucunement un palmarès de la mathématique suisse au XXe siècle et il ne prétend pas à l’exhaustivité. Nous avons par exemple renoncé à évoquer les mathématiciens encore en vie, ce qui exclut nombre de personnalités ayant fait ou faisant encore rayonner les mathématiques dans notre pays et au-delà. Nous avons également quelques regrets, notamment celui de n’avoir pu faire figurer un article sur l’histoire de la logique à Zurich. Pour conclure, nous aimerions remercier chaleureusement toutes les personnes ayant contribué à la réalisation de ce recueil. Les auteurs que nous avons sollicités nous ont toujours bien accueillis et les discussions avec eux ont été passionnantes. Ils ont considéré ce travail comme une priorité, et nous ont offert dans les délais des contributions originales « sur commande ». Un merci tout particulier à S. Chatterji, qui nous a soutenus dès que l’idée de cet ouvrage a germé et dont les suggestions ont nourri le projet. Enfin, nous sommes reconnaissants aux éditeurs de revues de nous avoir spontanément autorisés à reprendre des articles déjà publiés. B. Colbois, Ch. Riedtmann, V. Schroeder

Contents

Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v Michel Plancherel Mathématiques et Mathématiciens en Suisse (1850–1950) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Erwin Neuenschwander 100 Jahre Schweizerische Mathematische Gesellschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Christian Blatter Ein Mathematikstudium in den Fünfzigerjahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Johann Jakob Burckhardt Herausgegeben und ergänzt von Adolf Th. Schnyder Andreas Speiser (1885–1970) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Peter Buser Heinz Huber und das Längenspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Srishti Chatterji and Manuel Ojanguren A glimpse of the de Rham Era . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Jean Descloux et Dominique de Werra Les mathématiques appliquées à l’École polytechnique de Lausanne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Shalom Eliahou, Pierre de la Harpe, Jean-Claude Hausmann et Claude Weber Michel Kervaire (1927–2007) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Walter Gautschi Alexander M. Ostrowski (1893–1986): His life, work, and students . . . . 257

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Contents

Martin H. Gutknecht Numerical analysis in Zurich – 50 years ago . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 André Haefliger Armand Borel (1923–2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Friedrich Hirzebruch Bericht über meine Zeit in der Schweiz in den Jahren 1948–1950 . . . . . . 303 Norbert Hungerbühler et Martine Schmutz Michel Plancherel, une vie pour les mathématiques et pour le prochain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 Heinrich Kleisli Zur Geschichte des Mathematischen Instituts der Universität Freiburg (Schweiz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Jürg Kramer Martin Eichler – Leben und Werk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 Peter Mani Mathematik an der Universität Bern im neunzehnten und zwanzigsten Jahrhundert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Martin Raussen and Alain Valette An interview with Beno Eckmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 Christine Riedtmann Wege von Frauen: Mathematikerinnen in der Schweiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 Alain M. Robert L’Institut de mathématiques de Neuchâtel 1950–90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 Urs Stammbach Hermann Weyl, Heinz Hopf und das Jahr 1930 an der ETH . . . . . . . . . . . . . 441

Contents

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Kurt Strebel Rolf Nevanlinna in Zurich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 Claude Weber Quelques souvenirs sur le troisième cycle romand de mathématiques et le séminaire des Plans-sur-Bex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 Eduard Zehnder Jürgen Moser (1928–1999) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

Mathématiques et Mathématiciens en Suisse (1850–1950)∗ Michel Plancherel Mesdames, Messieurs, La Société mathématique suisse, dont nous fêtons le cinquantième anniversaire, doit sa fondation à l’initiative de Rodolphe Fueter (Bâle), Henri Fehr (Genève) et Marcel Grossmann (Zurich). Convaincus de l’intérêt scientifique et national qu’il y avait à développer en Suisse la recherche mathématique et à grouper dans ce but les mathématiciens de notre pays, ils demandèrent en mars 1910 à leurs collègues des universités et de l’école polytechnique fédérale de signer avec eux un appel en faveur de sa création. L’appel fut entendu et la société constituée à Bâle le 4 septembre 1910. Fueter, Fehr et Grossmann en furent les premiers présidents. Il est juste que nous rendions aujourd’hui un hommage reconnaissant à leur mémoire. Je dois l’honneur de vous parler au fait d’appartenir à la société depuis sa fondation et d’en être le plus ancien président encore en vie. Des 102 membres que la société comptait à la fin de l’année 1910, six peuvent fêter avec moi son cinquantenaire. J’ai le plaisir d’en apercevoir quelques-uns dans l’assemblée et je leur adresse mon cordial salut. Je suis certain, Mesdames et Messieurs d’être votre interprète en les remerciant de leur fidélité et en leur présentant vos meilleurs vœux. La géométrie analytique de Descartes (1596–1650), le calcul infinitésimal de Leibniz (1646–1716) et de Newton (1642–1727) changent au xviie siècle la face de la science mathématique et donnent à la mécanique et à la physique les instruments indispensables à leur progrès. Au début du XIXe siècle la théorie des fonctions analytiques d’une variable complexe de Cauchy (1789–1857) lui infuse un sang nouveau. A la résolution des équations algébriques, la seule question d’analyse dont les mathématiciens antérieurs au xviie siècle s’étaient occupés, vient s’ajouter le problème plus vaste et plus important de l’intégration des équations différentielles. C’est sur ces deux grands problèmes et sur leurs ramifications que s’est concentré presque tout l’effort mathématique du xviiie et du xixe siècle. Le xviiie siècle, le siècle des Bernoulli (1654–1782), de Leonhard Euler (1707–1783), de Johann Heinrich Lambert (1728–1777) et de Gabriel Cra∗ Conférence donnée à la fête du cinquantenaire de la Société mathématique suisse, le 26 juin 1960, à Zurich. This article is, up to some corrections, identical with the original publication in Enseign. Math. (2) 6 (1960), 194–218 (1961).

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mer (1704–1752) est le « Grand Siècle » mathématique des Suisses. L’histoire en a été écrite dans le livre que M. Edouard Fueter, un neveu de notre premier président Rodolphe Fueter, a publié sous le titre : Geschichte der exakten Wissenschaften in der schweizerischen Aufklärung (1680–1780) (H. R. Sauerländer u. Co. Aarau-Leipzig, 1941). La Suisse a donné à la science de la première moitié du xixe siècle un très grand géomètre, Jacob Steiner (1796–1863) et un grand analyste, Charles Sturm (1803–1855) ; mais, comme ce fut le cas pour Euler et Lambert, c’est à l’étranger que ces deux savants ont illustré leur pays d’origine, Steiner à Berlin et Sturm à Paris. En Suisse même, seuls les noms de Simon Lhuiher (1750–1840) à Genève, de Joseph Raabe (1801–1859) et de Karl Heinrich Graeffe (1799–1873) à Zurich sont à retenir pour cette époque. De Lhuilier nous connaissons les formules de trigonométrie sphérique qui portent son nom ; on doit à Raabe d’utiles contributions à la théorie de la fonction gamma et un critère de convergence des séries à termes positifs ; Graeffe a donné un procédé systématique pratique pour le calcul approché des racines des équations algébriques. La Suisse ne possédait avant 1850 que trois universités : celle de Bâle qui fête cette année son demi-millénaire, et celles de Zurich et de Berne fondées en 1832, resp. en 1834. L’enseignement des mathématiques s’y réduisait essentiellement à celui de la géométrie et des éléments du calcul infinitésimal. La situation changea avec la création de l’école polytechnique fédérale à Zurich (1855) et la transformation en universités des académies de Genève (1874) et de Lausanne (1890). La fondation de l’université de Fribourg en 1889 et la transformation de l’académie de Neuchâtel en université (1909) portèrent à huit le nombre des établissements possédant des chaires de mathématiques supérieures destinées à l’enseignement et à la recherche. Les savants qui y ont enseigné au cours des cent dernières années ont apporté de nombreuses et importantes contributions aux sciences mathématiques. Vous rappeler leurs noms et leurs travaux est l’objet de ma conférence. Mais, le temps dont je dispose m’oblige à faire un choix et à me borner à ne vous parler que des plus grands, de ceux dont les œuvres ont eu une influence décisive. Je devrai donc passer sous silence les noms de nombreux mathématiciens dont l’enseignement et les travaux plus modestes ont aussi contribué à élever le niveau scientifique de nos écoles du degré supérieur et du degré moyen. Pour la même raison et aussi parce que leur œuvre n’est pas achevée et que le recul nécessaire manque pour la juger objectivement, je renoncerai à parler des vivants, bien que les travaux de plusieurs d’entr’eux leur ont acquis un renom international. Ludwig Schläfli fut certainement, après Steiner, le plus grand mathématicien d’origine suisse au xixe siècle. Né à Graswil (Berne) en 1814, il s’intéressa aux mathématiques tout en poursuivant et achevant avec succès des études de théologie à l’université de Berne. Maître de mathématiques

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et de sciences naturelles à la Burgerschule de Thoune de 1837 à 1847, il consacra ses rares loisirs et le peu d’argent qu’il réussissait à économiser sur son maigre traitement à étudier les mathématiques supérieures. La botanique et les langues anciennes (hébreu, arabe, sanscrit, etc.) l’intéressaient aussi. Il entra en relation avec Jacob Steiner, lors d’un séjour de ce dernier à Berne. Sur les instances de Steiner et grâce à un emprunt, il accompagna Borchardt et Steiner en Italie en octobre 1843. Les trois voyageurs rencontrèrent Dirichlet et Jacobi à Florence 1 et se rendirent à Rome avec eux pour y passer l’hiver 2 . Schläfli apprit l’italien en se jouant, servit d’interprète à ses compagnons et traduisit en italien deux mémoires de Steiner et un mémoire de Jacobi pour le « Giornale arcadico di scienze e lettere ». Dirichlet et Jacobi s’intéressèrent à lui et Dirichlet consacra ses matinées à l’introduire dans la théorie des nombres. Rentré à Thoune fin avril 1844, il obtint en 1847 la « venia legendi » à l’université de Berne. Au semestre d’été 1853, il annonça au programme, en plus des cours ordinaires, un cours au titre peu habituel : « Geometrische Betrachtung des Wuchses der Pflanzen und Conchiliometrie, in noch zu bestimmenden Stunden ». Il faut croire qu’il eut à ce cours quelques auditeurs fidèles, car il annonça au programme du semestre d’hiver suivant un « Repertorium der geometrischen Botanik, mit Berücksichtigung auf die natürlichen Familien ». Le peu d’importance que l’on attachait alors chez nous aux mathématiques supérieures dans l’enseignement universitaire fit qu’il dut attendre jusqu’en 1854 avant d’être nommé professeur extraordinaire, malgré le renom que ses travaux lui avaient déjà acquis. Professeur ordinaire à partir de 1872, il enseigna jusqu’en 1891 et mourut en 1895, dans sa quatre-vingt-deuxième année. Une lettre que Schläfli adressa en 1852 au directeur de l’lnstruction publique du canton de Berne en lui faisant hommage de deux exemplaires d’un travail qu’il avait publié dans les « Denkschriften der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften zu Wien » nous renseigne sur sa situation à cette époque 3 . 1 On

trouve un écho de cette rencontre dans une lettre de Rebecka Dirichlet, née Mendelssohn, à sa soeur Fanny Hensel, datée de Florence, 21. X. 1843 ; elle nous laisse supposer que Schläfli a dû probablement la choquer par son accoutrement ou commettre quelque impair qui l’a mise de mauvaise humeur. Elle écrit : « Gestern ist auch St. [Steiner] eingerückt, was eben nicht für mich zur Verschönerung der Reise wesentlich beitragen wird und hat noch einen Schweizer Jüngling mitgebracht, der ein mathematisches Genie sein soll, sicherlich aber ein Rindvieh ist. Was kann man aber auch erwarten, wenn Einer Herr Schläfli heisst. » (S. Hensel. Die Familie Mendelssohn 1729–1847. Nach Briefen und Tagebüchern. 3 Theile. B. Behr’s Buchhandlung (E. Bock), Berlin 1879. Theil III, S. 57.) 2 Le biographe de Schläfli, Johann Heinrich Graf, en donne l’itinéraire dans l’article : Ludwig Schläfli (1814–1895) (Mittheilungen der Naturforschenden Gesellschaft in Bern aus dem Jahre 1895. Bern 1896. S. 120–156) : par poste jusqu’à Ouchy-Lausanne, par bateau à vapeur d’Ouchy à Genève, puis par poste jusqu’à Gênes en passant par Chambéry, le Mont-Cenis et Turin, ensuite par bateau de Gênes à Livourne et enfin en voiture à Florence et à Rome. 3 Loc. cit. 2, pp. 129–130.

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« Hatte ich mir Hoffnung gemacht, mein spärliches Einkommen durch Privatunterricht zu verbessern, so sah ich mich bald auch in dieser Hoffnung getäuscht. Bei der grossen Zahl glücklicherer Privatlehrer fiel mir, der ich hier ganz unbekannt war, von Privatunterricht so viel wie gar nichts zu. Ich bin daher durch meine Habilitation an hiesiger Hochschule, zu welcher ich unter Eröffnung günstiger Aussichten von der Behörde aufgefordert worden [bin], in der That in die drückendste Lage gerathen. Eigenes Vermögen habe ich nicht; das kleine Erbe, das mir von meinen Eltern selig zugefallen, habe ich seiner Zeit der Waisenbehörde von Burgdorf zur Unterhaltung meiner unglücklichen imbecillen Schwester abgegeben; beschränkt einzig auf das (jährliche) Honorar von 400 Franken, muss ich im eigentlichen Sinne des Wortes darben, nicht nur an meiner Person, was ich mit Freuden ertrüge, sondern auch an allen Hülfsmitteln meiner Wissenschaft. Ich sehe sehr wohl ein, dass Sie, hochgeehrter Herr Direktor, bei dem so geringen Bedürfniss nach höherer mathematischer Bildung, das sich hier unter den gegenwärtigen Umständen kund giebt, Anstand nehmen müssen, den Docenten der Mathematik eben reichlich auszustatten; erlauben Sie mir aber gütigst die Freiheit, Sie in aller Bescheidenheit darauf auf merksam zu machen, dass die höhere Mathematik und der Lehrstuhl derselben an und für sich doch ein unumgänglich nothwendiger und wesentlicher Theil einer universitas litterarum ist, der daher an keiner Hochschule fehlen darf, dass ich ohne unbescheiden zu sein, behaupten darf, diesen Zweig der Wissenschaft an unserer Hochschule angemessen und würdig zu vertreten, und dass ich für mein Wirken an dieser offentlichen Anstalt weiter nichts verlange als eine öffentlich anerkannte Stelle, eine Professur mit einer bescheidenen Besoldung, die mich wenigstens davon schützt, an allem Nothwendigen Mangel zu haben. » Citons encore un épisode que Graf rapporte en ces termes 4 : « Am Ende des ersten Jahres seiner Thätigkeit in Bern erhielt er den Steuerzeddel für den Betrag seines doppelten Gehalts. Schläfli reklamierte. Man entgegnete ihm lachend, er werde doch niemand glauben machen wollen, dass er von seinem winzigen Gehalt leben könne. Schliesslich musste er die doppelte Steuer und noch Verzugstrafe zahlen,… Thatsache, ist, dass Schläfli in dieser Zeit im eigentlichsten Sinne des Wortes, wie er uns selbst erzählt hat, den « blauen Hunger » gelitten hat. » 4 Voir

à la page 197, loc. cit. 2, p. 130.

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Les œuvres de Schläfli 5 ont été éditées par notre regretté collègue Louis Kollros et par MM. J. J. Burkhardt et H. Hadwiger au nom du comité Schläfli de la Société helvétique des sciences naturelles. Elles témoignent de la diversité des domaines que ses recherches ont fructifiés et sont un tardif hommage rendu à ce grand et modeste savant. Qu’il s’agisse des fonctions modulaires, c’est-à-dire des fonctions qui restent invariantes lorsqu’on effectue sur la variable complexe une substitution linéaire à coefficients entiers et à déterminant égal à un, qu’il s’agisse des fonctions sphériques, des fonctions de Bessel, des surfaces du troisième ordre ou des correspondances de points sur une cubique plane, nous trouvons dans les traités modernes sur ces sujets, sous forme anonyme ou sous son nom, nombre de théorèmes et de formules dues à Schläfli. La représentation qu’il a donnée des fonctions hypergéométriques sous forme d’intégrales définies est classique. On lui doit aussi une étude des surfaces réelles du troisième ordre et leur classification. Le groupement en double-six qu’il a donné pour la configuration formée par les 27 droites situées sur une surface cubique générale fut célèbre à l’époque 6 . Le premier grand mémoire, qui a assuré la réputation de Schläfli à l’étranger et par ricochet à Berne, a paru en 1852 dans les « Denkschriften der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften zu Wien ». Il porte le titre : « Über die Resultante eines Systemes mehrerer algebraischer Gleichungen. Ein Beitrag zur Theorie der Elimination ». Le problème qu’il résoud est le suivant : Etant donné un système de n équations algébriques indépendantes et homogènes à n inconnues, trouver la condition nécessaire et suffisante que les coefficients de ces équations doivent remplir pour que le système ait une solution non triviale. Bézout, Euler, Cauchy et d’autres ont trouvé cette condition dans le cas n = 2 ; Jacobi et Sylvester l’ont mise sous forme d’un déterminant égalé à zéro. Schläfli montre qu’en adjoignant au système donné n équations linéaires homogènes des n inconnues ayant des indéterminées pour coefficients, on peut obtenir la condition cherchée par des éliminations successives et l’exprimer par une équation algébrique entre les coefficients du système donné ; le premier membre de cette équation est appelé le résultant du système. Pour être certain d’obtenir non seulement une condition nécessaire, mais encore suffisante, Schläfli remarque 5 Ludwig Schläfli. Gesammelte Mathematische Abhandlungen. 3 Bde. Birkhäuser Verlag Basel (1950–1956). J. J. Burkhardt a publié une biographie de Schläfli et un commentaire de ses œuvres dans les Beihefte zur Zeitschrift Elemente der Mathematik. Nr. 4 (1948). 23 S. 6 Le double-six est un système de douze droites de l’espace, qui peuvent être réparties en deux groupes de six réalisant les conditions suivantes : chacune des six droites d’un groupe est associée à une et une seule droite de l’autre groupe, dite son opposée ; chaque droite du double-six ne coupe ni les cinq autres droites de son groupe ni son opposée, mais coupe les 5 autres droites de l’autre groupe. Le nombre total des intersections est égal à 30 et le double-six détermine un système de 27 droites. Ce système de 27 droites possède 36 double-six.

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qu’il faut d’abord faire les éliminations en partant d’équations complètes ayant des indéterminées comme coefficients, quitte ensuite à spécialiser ces coefficients dans le résultat. Il admet sans démonstration que le résultant obtenu par sa méthode est irréductible (ce fait n’a été démontré que beaucoup plus tard par d’autres). Il détermine les propriétés du résultant (degré, poids, invariance) et fait ensuite diverses applications à la surface cubique et à la détermination de son équation tangentielle. Le mémoire le plus original et le plus considérable que Schläfli ait rédigé, sa « Theorie der vielfachen Kontinuität » peut être appelé son œuvre de jeunesse, puisqu’il l’a présenté à la fin de l’année 1851 à l’Académie des sciences de Vienne, qui en a décliné la publication à cause de sa trop grande étendue (il occupe 219 pages dans le tome I des Œuvres). Il n’a été publié qu’en 1901, six ans après la mort de son auteur, dans les « Denkschriften der allgemeinen schweizerischen Gesellschaft für die gesammten Naturwissenschaften (Bd. 38) » par les soins de son élève et successeur à Berne, J. H. Graf. Schläfli y généralise à l’espace à n dimensions la géométrie euclidienne ; il calcule le volume de la boule, l’élément de volume kdimensionnel d’une variété linéaire ou sphérique k-dimensionnelle plongée dans cet espace ; il donne une formule exprimant la différentielle du volume d’un simplexe n-dimensionnel en fonction des différentielles des longueurs de ses arêtes et des différentielles des volumes (n − 2)-dimensionnels des simplexes (n − 2)-dimensionnels de sa frontière ; il établit l’existence de 6 polytopes réguliers convexes dans l’espace à 4 dimensions, de 3 polytopes réguliers convexes dans l’espace à 5 dimensions, celle de polytopes étoiles dans l’espace à 4 dimensions. Schläfli a donné des résumés de sa « vielfache Kontinuität » dans le Journal de mathématiques pures et appliquées (1855) et dans le Quarterly Journal of Mathematics (1858) ; leur lecture, comme celle du mémoire, est difficile et les résultats qu’ils contiennent, restés pour la plupart ignorés des contemporains, ont été retrouvés plus tard et exposés sous une forme plus accessible par d’autres savants. Plusieurs propositions classiques, citons entr’autres la généralisation aux polytopes convexes de la formule d’Euler qui relie le nombre des sommets, des arêtes et des faces d’un polyèdre convexe, le théorème d’inertie des formes quadratiques réelles, la réduction des transformations orthogonales à la forme canonique se trouvent déjà dans ce mémoire et Schläfli en aurait la priorité s’il avait pu les publier en 1852. Permettez-moi, en quittant Schläfli, de signaler un mémoire qui aurait mérité à son auteur de ne pas être totalement oublié s’il avait été publié à la date présumée de sa rédaction. Il s’agit d’un article posthume du Genevois Charles Cellérier (1818–1890), maître de mathématiques à l’école technique de Genève de 1854 à 1875, puis professeur de mécanique à l’université de cette ville. Cellérier a publié un certain nombre de travaux de mécanique

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et de physique. L’article posthume en question semble être le seul travail important de mathématiques qu’il ait rédigé. Il porte le titre : « Note sur les principes fondamentaux de l’Analyse ». Trouvé dans les papiers laissés par Cellérier, il a été publié par le professeur Cailler dans le tome 14 (1890) du Bulletin des sciences mathématiques. M. Cailler l’a fait précéder de la notice suivante (pp. 142–143) : « Il est entièrement écrit de sa main sur un papier jauni par le temps ; l’auteur a mis sur la feuille qui le renfermait la suscription que voici : « Très important et, je crois, nouveau. — Rédaction correcte. Peut être publié tel quel. » Malheureusement, le Mémoire ne porte aucune date, et il sera sans doute impossible de savoir si les résultats essentiels qu’il contient ont été, ou non, obtenus avant ceux que l’on doit à MM. Weierstrass, Schwarz, du Bois-Reymond, Darboux, Dini, etc. Quoi qu’il en soit, ils ont été obtenus indépendamment des travaux que nous venons de rappeler, comme le prouvera la lecture du Mémoire, et en particulier la phrase suivante que l’auteur n’aurait sûrement pas écrite s’il avait eu connaissance des recherches dont les fondements de l’Analyse ont été l’objet depuis une vingtaine d’années : « On pourrait par un raisonnement analogue. . . démontrer quelques autres propriétés essentielles de toutes les fonctions continues, celle de ne pouvoir passer d’une valeur à une autre sans devenir exactement égale à tout nombre intermédiaire, d’être susceptible d’une valeur maxima et minima qu’elle atteint pour une valeur au moins de la variable, etc. Ces questions offrent peu d’intérêt. . . » Ce passage suffirait, s’il en était besoin, à mettre hors de doute la bonne foi de Cellérier. » Terminologie mise à part, on trouve dans le mémoire de Cellérier des définitions correctes de la continuité uniforme, de la convergence uniforme, une démonstration rigoureuse de la légitimité de l’intégration terme à terme des séries uniformément convergentes de fonctions continues, des exemples simples de séries non uniformément convergentes et non intégrables terme à terme, un exemple de fonction continue sans dérivée, différent de celui donné par Weierstrass 7 . Cellérier avait une grande répulsion à publier, dit Cailler, et quand il avait achevé un travail, il l’enfouissait dans un tiroir et n’y pensait plus. 7 Dans

l’article « On infinité dérivâtes » du tome 47 (1916) du Quarterly Journal of Mathematics, Mme Grâce Chisholm Young affirme tenir du physicien genevois Raoul Pictet, un élève de Cellérier, que ce dernier lui aurait, après 1860, parlé d’une fonction continue sans dérivée qu’il aurait construite. Il est donc possible que Cellérier ait rédigé son mémoire avant 1870.

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L’ouverture de l’Ecole polytechnique fédérale de Zurich en 1855 marque une date importante dans la vie scientifique de notre pays. Raabe, dont j’ai déjà parlé, devint le premier professeur de calcul infinitésimal à l’école, tout en conservant sa chaire à l’université. Mais il tomba bientôt malade et l’école se vit obligée de lui trouver un successeur 8 . Le choix tomba sur Richard Dedekind 9 . Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831–1916) était privat-docent à Goettingue lorsqu’il fut appelé en février 1858 à succéder à Raabe. En 1862, il accepta une chaire à l’Ecole technique supérieure de Braunschweig, sa ville natale. Ses travaux sur les nombres algébriques, sa création des idéaux, sa théorie « arithmétique » des fonctions algébriques, etc., le classent parmi les grands mathématiciens du xixe siècle 10 . Dedekind s’intéressa à la vie scientifique zurichoise et la Vierteljahresschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zurich contient quelques-unes de ses premières publications. Les plus importantes ont cependant paru après son départ de Zurich. Je ne les analyserai donc pas et je me bornerai à mentionner que l’opuscule célèbre Stetigkeit und irrationale Zahlen, dont la première édition a vu le jour en 1872 et dans lequel il définit le nombre irrationnel par une « coupure » séparant l’ensemble des nombres rationnels en deux classes contiglies, doit son origine à l’enseignement qu’il a donné à Zurich. Il le rappelle en ces termes dans la préface : « Die Betrachtungen, welche den Gegenstand dieser kleinen Schrift bilden, stammen aus dem Herbst 1858. Ich befand mich damals als Prof. am eidg. Polytechnichum in Zürich zum ersten Mal in der Lage die Elemente der Differentialrechnung vortragen zu müssen, und fühlte dabei empfindlicher als jemals früher den Mangel einer wissenschaftlichen Begründung der Annäherung einer veränderlichen Grösse… » Membre de la Société helvétique des sciences naturelles à partir de 1861, il en devint membre honoraire en 1911. L’édition des œuvres d’Euler l’intéressa vivement et il ne lui ménagea ni son appui moral ni son appui matériel, comme il ressort d’une lettre qu’il écrivit le 27 avril 1908 au professeur Rudio, le rédacteur général des Œuvres 11 : 8 Le nom de Bernhard Riemann fut avancé. Le président du Conseil de l’école, Karl Kappeler, se rendit à Goettingue et assista à une leçon de Riemann. Je tiens du professeur Geiser qu’il le jugea « zu stark in sich gekehrt » pour enseigner à de futurs ingénieurs. 9 L’historien W. Oechsli écrit dans la Festschrift zur Feier des fünfzigjährigen Bestehens des eidg. Polytechnikums (Verlag Huber u. Co., Frauenfeld, 1905) : « Dedekind war der erste jener glänzenden Reihe von Mathematikern, die das Zürcher Polytechnikum zu einem Hauptsitz ihrer Wissenschaft erhoben. » 10 V. Richard Dedekind. Gesammelte Mathematische Werke, hrsg. von R. Fricke, E. Noether u. O. Ore. 3 Bde. Braunschweig, 1930–1932. 11 Cité d’après une notice de F. Rudio dans la Vierteljahresschrift der Naturforschenden

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« In meinem hohen Alter möchte ich noch das grossartige Unternehmen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft mit herzlicher Freude begrüssen und durch eine bescheidene Zeichnung zu unterstützen suchen. » II écrivit encore au même le 23 septembre 1909 12 : « Vor kurzem habe ich zu meiner Freude in den Pariser Comptes Rendus gelesen, dass die Schweizerische Naturforschende Gesellschaft einstimmig beschlossen hat, die Werke Eulers in der Sprache des Originals wiederzugeben, was mir viel natürlicher und auch finanziell vorteilhafter erscheint, als der neulich in der Frankfurter Zeitung enthaltene Vorschlag des Herrn W. Ahrens (Magdeburg), Alles in deutscher Sprache herauszugeben. » L’Ecole polytechnique fédérale est restée reconnaissante à Dedekind des grands services qu’il lui a rendus à ses débuts. Lorsqu’elle eut le droit, à partir de 1909, de délivrer des diplômes de doctorat, Dedekind fut le premier auquel elle conféra le titre de docteur honoris causa en mathématiques. Elwin Bruno Christoffel (1829–1900) succéda à Dedekind en 1862. Professeur brillant, il fut le véritable créateur et l’organisateur de la section des sciences mathématiques et naturelles de l’Ecole polytechnique. Il fut aussi le premier doyen de cette section, dont le but principal était alors la formation de maîtres de gymnases. Ses recherches sur la théorie des surfaces et sur celle des invariants datent de son séjour à Zurich. Son nom reste attaché aux « indices de Christoffel », bien connus de tous ceux qui ont étudié la géométrie différentielle des surfaces, et aux formules de Schwarz– Christoffel, qui donnent la représentation conforme des aires polygonales sur le cercle 13 . Convaincu que les idées de Riemann détermineraient pendant longtemps l’évolution des mathématiques, Christoffel usa avec insistance de son influence pour faire venir à ses côtés, en 1865, Friedrich Emil Prym (1841–1915), un élève de Riemann 14 . Les publications de Prym sur l’intégration de l’équation Δu = 0 sur une surface à plusieurs feuillets, sur la construction d’une fonction analytique ayant sur cette surface des singularités données, ont contribué à rendre les travaux de Riemann accessibles à ses contemporains. On trouve encore un écho des services qu’il a ainsi rendus dans le dernier mémoire que Christoffel a rédigé, mais dont la mort Gesellschaft in Zürich. Bd. 61, S. 731. 12 Loc. cit. 11, S. 732. 13 Voir E. B. Christoffel. Gesammelte mathematische Abhandlungen, hrsg. von L. Maurer. 2 Bde. Leipzig. B. G. Teubner, 1910. Le Tome I contient une biographie de Christoffel et une analyse de ses œuvres, due à C. F. Geiser. 14 Voir la biographie de Prym par A. Krazer dans le tome 25 (1916) du Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung.

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l’a empêché de voir la publication dans le tome 54 des Mathematische Annalen. Il y écrit : « Ich kann diese Gelegenheit nicht vorübergehen lassen, ohne die unbeschreiblichen Verdienste in Erinnerung zu bringen, welche Herr Prym sich durch seine damaligen Publicationen um das Verständnis Riemanns erworben hat ». Christoffel et Prym quittèrent Zurich en 1869 pour aller, le premier à la Gewerbeakademie de Berlin, le second à l’Université de Würzburg. Hermann Amandus Schwarz (1843–1921) et Heinrich Weber (1842–1913) leur succédèrent. Tout étudiant des semestres supérieurs a entendu parler de l’inégalité de Schwarz, du lemme de Schwarz, du principe de symétrie de Schwarz, des formules de Schwarz–Christoffel, de l’invariant différentiel de Schwarz. Les travaux de ce grand géomètre sur les surfaces minima, sur le problème de Dirichlet et la représentation conforme font époque 15 . Plusieurs des plus importants datent de son séjour à Zurich. Schwarz a attribué lui-même le succès de ses recherches à l’aide que la géométrie et l’analyse s’y donnent mutuellement 16 . S’agit-il, par exemple, de déterminer la surface minima limitée par le quadrilatère gauche formé par quatre arêtes d’un tétraèdre régulier, c’est l’analyse et la théorie des fonctions elliptiques qui lui donnent le moyen de résoudre ce problème de géométrie. Veut-il trouver tous les cas où l’intégrale générale de l’équation différentielle hypergéométrique est une fonction algébrique de la variable indépendante, il ramène le problème à la recherche des triangles sphériques dont les symétries par rapport à leurs côtés engendrent par répétition une famille de triangles congruents recouvrant la sphère un nombre fini de fois et sans lacunes. De même, s’il s’agit de construire une fonction analytique qui reste invariante pour une infinité de substitutions linéaires, ce sont des considérations essentiellement géométriques qui lui donnent la solution. Riemann faisait reposer sa théorie des fonctions algébriques sur l’existence d’une fonction harmonique dans un domaine et prenant sur sa fron15 Voir pour la biographie de Schwarz : Georg Hamel. Zum Gedächtnis an H. A. Schwarz (Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung. Bd. 32 (1923). S. 6–13). Citonsen le passage suivant : « . . . Sein offenes, etwas derbes, fast polterndes Gebaren und sein entsprechender Humor, sein naives, ungekünsteltes Wesen, das ihn veranlaßte, manches auszusprechen, was andere ängstlich verborgen hätten, fand wohl meist Verständnis und heitere Zustimmung, wenn auch hier und da eine abstoßende Wirkung auf empfindliche Gemüter nicht zu verkennen war… Schwarz gehörte zu den seltenen Naturen, die wirklich anderen helfen. Man ging als Student gern zu ihm, sowie er gern zu den Studenten kam. Er sprach manches offene Wort frisch von der Leber weg, aber er hörte auch gern ein offenes Wort. Die Nachsitzungen nach seinen Kolloquien waren ein Labsal fur alle Teilnehmer, eine Quelle tiefen Behagens. Wohl immer nahm man daraus etwas an Lebensweisheit mit nach Hause… Und so waren seine Kolloquien eine strenge, aber ausgezeichnete Schule. Etwas konservativ war ja diese Schule. Vielleicht, daß Schwarz zu früh seine eigene Entwicklung abgeschlossen hatte. » 16 Voir Sitzungsberichte der königl. Preuss. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Bd. XXVI, S. 623–626, Berlin, 1893. Antrittsrede von H. A. Schwarz.

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tière des valeurs données. Il ramenait la recherche de cette fonction à celle de la solution du problème suivant du calcul des variations : trouver, dans l’ensemble des fonctions deux fois différentiables dans le domaine et prenant sur la frontière les valeurs données, celle pour laquelle l’intégrale du carré du gradient a la valeur minimale. Sa démonstration prêtait à une objection grave, mettant en cause la légitimité des conséquences qu’il tirait. Il admettait implicitement que l’existence d’une borne inférieure de l’intégrale avait pour conséquence celle d’une fonction rendant l’intégrale égale à cette borne. Schwarz et C. Neumann ont, les premiers, établi l’existence de la fonction harmonique cherchée. La méthode « alternée » qu’ils ont donnée pour la résolution du problème de Dirichlet et les travaux de Schwarz sur la représentation conforme des aires planes simplement connexes sur le cercle sont trop connus pour que je m’y arrête. Ils ont ouvert la voie à la théorie des fonctions automorphes de Félix Klein et d’Henri Poincaré ainsi qu’aux belles recherches de Poincaré et de Koebe sur l’uniformisation des fonctions analytiques. L’étude des surfaces minima a conduit Schwarz à établir dans le cas k ≥ 0 l’existence de la plus petite valeur fondamentale λ du problème aux limites : Δu + λku = 0 dans un domaine et u = 0 sur sa frontière. La méthode employée a servi plus tard de modèle à Erhard Schmidt pour démontrer l’existence d’une valeur fondamentale de l’équation intégrale linéaire à noyau symétrique réel. Schwarz prit une part active à la vie scientifique zurichoise et suisse. Pour la première fois depuis que la Société helvétique des sciences naturelles existait, une section mathématique spéciale se constitua le 22 août 1871 sous sa présidence à la 54e session annuelle de la société, à Frauenfeld. Au programme figurait une communication du professeur Geiser sur la génération de la surface des ondes de Fresnel par un procédé de Steiner et un rapport de Schwarz sur ses recherches concernant la fonction hypergéométrique. A la 56e session, qui se tint à Schaffhouse en 1873, Schwarz donna un exemple de fonction continue sans dérivée ainsi que des condid2 f tions suffisantes pour assurer l’égalité des dérivés secondes mixtes dxdy , d2 f dydx .

A la même réunion, Geiser fit une conférence sur la vie et les œuvres de Jacob Steiner. Lors de la 57e session, Schwarz prit plaisir à donner à ses auditeurs une vérification expérimentale des résultats théoriques qu’il avait obtenus sur les surfaces minima, en particulier sur la surface hélicoidale, en plongeant le contour donné dans une solution de glycérine. Après le départ de Schwarz en 1875 la section spéciale de mathématiques entra en léthargie jusqu’en 1910, année où la Société mathématique suisse fut fondée et devint une section affiliée à la Société helvétique des sciences naturelles.

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Les premiers travaux de Heinrich Weber s’inspirent de ceux de Riemann, Kronecker et Dedekind. A Riemann se rattachent plus spécialement ceux qu’il a consacrés aux problèmes aux limites des équations aux dérivées partielles et aux développements des fonctions en séries de Fourier–Bessel, à l’étude des fonctions abéliennes de genre 3 et à la théorie des caractéristiques des fonctions theta. Ce n’est qu’après son départ de Zurich qu’il publia avec Dedekind une théorie des fonctions algébriques qui s’inspire à la fois des idées de Riemann et de celles que Kronecker et Dedekind ont développées dans leurs travaux sur les idéaux. Grâce à ses écrits, les beaux travaux de Kronecker sur les équations abéliennes et la multiplication complexe des fonctions elliptiques ont été rendus accessibles à un cercle plus étendu. Il a donné la première démonstration rigoureuse et complète du théorème de Kronecker affirmant que les racines des équations abéliennes à coefficients entiers sont des fonctions rationnelles à coefficients entiers des racines de l’unité. Son magistral traité d’algèbre en trois volumes marque l’état de cette discipline à la fin du xixe siècle 17 . Ferdinand Georg Frobenius (1849–1917), élève de Kummer, Kronecker et Weierstrass, succéda à Schwarz. Il occupa la chaire de calcul différentiel et intégral de l’Ecole polytechnique pendant 17 ans, de 1875 à 1892, année où il fut appelé à l’université de Berlin. C’est pendant ses années zurichoises que parurent ses importants mémoires sur l’intégration des équations différentielles linéaires, sur le problème de Pfaff, sur les substitutions linéaires, les formes bilinéaires et les systèmes de nombres hypercomplexes. Pour juger avec compétence l’œuvre de Frobenius, il faudrait dominer mieux que je ne puis le faire tous les domaines où son activité s’est exercée. Je le laisserai se caractériser, lui et l’œuvre de sa période zurichoise, en citant quelques passages de son discours de réception à l’Académie de Berlin 18 . « Die Behandlung algebraischer Fragen übte von Anfang an einen besonderen Reiz auf mich aus und zu ihnen bin ich mit Vorliebe immer wieder zurückgekehrt, wenn ich nach anstrengenden analytischen Arbeiten eine Ruhepause bedurfte. In gleicher Weise fesselten mich die beiden Richtungen der modernen Algebra, die Theorie der Gleichungen und die Theorie der Formen. In dieser zog mich die Lehre von den Determinanten, in jener die von den Gruppen vorzugsweise an. Der Gruppenbegriff, durch Gauss und Galois in die Mathematik eingeführt, hat in neuerer Zeit in allen Zweigen unserer Wissenschaft eine fundamentale 17 Voir l’article nécrologique de A. Voss sur Weber (Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung. Bd. 23 (1914), S. 431–444). 18 Sitzungsberichte der Königl. Preuss. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Bd. XXVI, S. 626–628, Berlin, 1893.

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Bedeutung erlangt, besonders auch in die Teile der Arithmetik zu den[en] Kummers Entdeckung der idealen Zahlen den Grund gelegt hat. Ist doch ein grosser Teil der Ergebnisse, die wir unter dem Namen Zahlentheorie zusammenfassen, nichts anders, als eine Theorie der Gruppen vertauschbarer Elemente, der endlichen sowohl als der unendlichen, wofern sie von endlichen Rang sind. » Parlant de ses travaux sur les fonctions de Jacobi de plusieurs variables, il dit ensuite : « Den Zusammenhang zwischen der Theorie der Jacobischen Transzendenten und der Lehre von den algebraischen Funktionen zu erforschen, war das grosse Problem, das Riemann und Weierstrass gelöst hatten, indem sie von den Eigenschaften der Integrale algebraischer Funktionen ausgingen. Es blieb noch übrig, umgekehrt aus den Relationen zwischen den Thetafunktionen neu die Theorie der algebraischen Grössen und ihrer Integrale zu entwickeln… In der Theorie der Thetafunktionen ist es leicht, eine beliebige grosse Menge von Relationen aufzustellen, aber die Schwierigkeit beginnt da, wo es sich darum handelt, aus diesem Labyrinth von Formeln einen Ausweg zu finden. Die Beschäftigung mit dieser Formelmasse scheint auf die mathematische Phantasie eine verdorrende Wirkung auszuüben. Manche der bedeutenden Forscher, deren zähe Beharrlichkeit es gelang, die Theorie der Thetafunktionen von 2, 3, 4 Variabeln zu fördern, ist nach den hervorragenden Proben glänzendster analytischer Begabung auf lange Zeit oder für immer verstummt. Ich habe diese Lähmung der mathematischen Schaffenskraft dadurch Herr zu werden gesucht, dass ich immer wieder an den Jungbrunnen der Arithmetik Erholung gesucht habe. » Les travaux classiques que Frobenius a publiés ensuite à Berlin sur les groupes abéliens, la représentation des groupes finis par des substitutions linéaires et sur leurs caractères ont fait de lui un maître de la théorie des groupes et ont pleinement confirmé l’affirmation qu’il émettait dans la dernière phrase que j’ai citée. Ludwig Stickelberger (1850–1936), privat-docent à Zurich de 1874 à 1879, reçut en 1879 une chaire à l’université de Fribourg en Brisgau. On lui doit l’étude du groupe des transformations orthogonales ; il démontra aussi avec Frobenius l’existence d’une base dans les groupes abéliens finis. De Friedrich Schottky (1851–1935), qui enseigna à Zurich de 1882 à 1892 aux côtés de Frobenius, nous sommes redevables de profondes recherches sur les fonctions abéliennes et sur la représentation conforme

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des aires planes multiplement connexes. Un théorème célèbre de Riemann affirme que l’on peut toujours (et cela de ∞3 manières) appliquer biunivoquement et d’une manière conforme les intérieurs de deux domaines plans limités par une courbe. Si les domaines sont limités par le même nombre p + 1 (p ≥ 0) de courbes, cette application n’est plus possible, en général. Schottky a donné les conditions nécessaires et suffisantes qui la rendent possible. Partant d’un domaine plan limité par p + 1 courbes il superpose deux exemplaires du domaine et les soude le long des courbes frontières. Le disque infiniment mince à p trous qu’il obtient a deux faces et forme une surface de Riemann fermée à laquelle correspond une classe de fonctions algébriques, uniformes sur le disque, dépendant de 3p − 3 + ρ paramètres (ρ = 0, si p > 1 ; ρ = 1, si p = 1 ; ρ = 3, si p = 0), appelés les modules de Riemann. Pour que les deux domaines soient alors applicables biunivoquement et d’une manière conforme l’un sur l’autre, il faut et il suffit qu’ils aient le même système de modules. On doit aussi à Schottky une généralisation importante d’un théorème de Landau, lui déjà généralisation du célèbre théorème de Picard sur les fonctions entières. La nature de Schottky, moins dynamique que celle de Frobenius, est caractérisée comme suit dans l’adresse que l’école polytechnique lui envoya lors de son 80e anniversaire : « . . . Alle diejenigen, die das Glück hatten Ihre persönlichen Kollegen zu sein, bewundern und loben immer wieder die menschliche Güte Ihres Charakters, die den Verkehr mit Ihnen so angenehm und wertvoll machte. In ihren Augen sind Sie der reine Vertreter jenes Gelehrtentums, das gleichgültig gegen die Güter dieser Welt, die bescheidene und weise Einfalt besitzt, die das Zeichen hoher Gedanken ist und die den Dichter und Träumer verrät… ». Les chaires laissées vacantes par le départ de Frobenius et de Schottky (ce dernier fut aussi appelé à Berlin) furent occupées par Adolphe Hurwitz (1859–1919) et Hermann Minkowski (1864–1909). Les œuvres du premier ont été éditées par Georges Pólya au nom de la section des sciences mathématiques et physiques de l’Ecole polytechnique 19 , celles du second par David Hilbert, Andreas Speiser et Hermann Weyl 20 . Hurwitz fut non seulement un professeur remarquable par la clarté de son enseignement et son talent d’exposition, il fut aussi un grand savant. A l’âge de 17 ans, encore élève au gymnase réal de Hildesheim, sa ville natale, il publie en collaboration avec son maître, Hannibal Schubert, une note sur un théorème de géométrie « énumérative » de Michel Chasles. Sa thèse de doctorat développe une théorie des fonctions modulaires indépendante de 19 Adolf Hurwitz. Mathematische Werke. 2 Bde. Basel 1932. Verlag von Emil Birkhäuser. Le tome I contient les articles nécrologiques de D. Hilbert et de E. Meissner. 20 Hermann Minkowski. Gesammelte Abhandlungen. 2 Bde. Leipzig. 1911. B. G. Teubner. Le tome I contient un article nécrologique de D. Hilbert.

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celle des fonctions elliptiques. A peine âgé de 25 ans, il est appelé comme professeur extraordinaire à Koenigsberg, sur la proposition de Ferdinand Lindemann (le mathématicien qui a définitivement tranché dans le sens négatif la célèbre question de la quadrature du cercle en établissant que le nombre π est transcendent). En 1892, le président du Conseil de I’EPF, alors Hermann Bleuler, se rendit personnellement à Koenigsberg pour offrir à Hurwitz la chaire que le départ de Frobenius laissait vacante. Hurwitz accepta. Quelques jours après, mais trop tard pour Goettingue, il recevait un appel de cette université, lui demandant de succéder à Schwarz qui allait à Berlin. Les contributions de Hurwitz à l’arithmétique supérieure, à l’algèbre, à l’analyse et à la géométrie sont nombreuses et importantes. Je n’en rappellerai que quelques-unes et mon choix est arbitraire. En théorie des nombres il donne une démonstration nouvelle du théorème fondamental de Dedekind sur la décomposition d’un idéal en idéaux premiers et il développe une théorie des quaternions entiers. En algèbre, il donne un critère pour que les racines d’une équation à coefficients numériques réels aient toutes leurs parties réelles négatives. Schwarz avait montré que les courbes de genre 0 et 1 sont les seules qui puissent être transformées en elles-mêmes par une substitution birationnelle renfermant un paramètre arbitraire ; Hurwitz fait l’étude des courbes de genre supérieur à 1, admettant un nombre fini de transformations birationnelles en elles-mêmes. Il étudie aussi pour les petites valeurs de m la relation entre le nombre m des feuillets d’une surface de Riemann, le nombre n de ses points de ramification et le genre p de la surface. Il est le premier à donner, pour le groupe des transformations orthogonales et celui des transformations unimodulaires, ce que nous appelons aujourd’hui la mesure invariante de Haar dans un groupe topologique. En géométrie, il donne des applications géométriques de la série de Fourier et il établit la propriété isopérimétrique du cercle en se servant de la formule de Parseval. Le séjour de Minkowski à Zurich ne dura que quelques années, de 1896 à 1902. Jeune homme, il obtint le grand prix des sciences mathématiques de l’Académie des sciences de Paris, pour son mémoire sur les formes quadratiques à coefficients entiers. Sa Geometrie der Zahlen, son article : Volumen und Oberfläche et ses autres travaux font de lui un des mathématiciens les plus originaux de la fin du xixe et du début du xxe siècle. La conférence dans laquelle il interpréta la relativité restreinte d’Einstein comme une géométrie non-euclidienne de l’espace à 4 dimensions eut un grand retentissement. Minkowski quitta Zurich en 1902 et se rendit à Goettingue. A Fribourg où il enseigna de 1896 à 1906, Matyas Lerch (1860–1922) publia de nombreux travaux sur la fonction gamma incomplète, sur le logarithme intégral et sur d’autres intégrales définies. Plusieurs de ses écrits ont

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contribué à l’époque à clarifier la notion de frontière naturelle d’une fonction analytique, à préciser la différence entre expression et fonction analytique ; il a donné des exemples typiques de comportement de la série de Taylor sur son cercle de convergence et de classes de fonctions continues sans dérivées. En même temps que Volterra, il a donné une démonstration du théorème de Weierstrass sur l’approximation d’une fonction continue par des polynômes, basée sur l’approximation par des polynômes trigonométriques de la fonction représentée par une ligne polygonale. En théorie des nombres, il s’est surtout intéressé aux sommes de Gauss, aux quotients de Fermat et au calcul du nombre des classes des formes quadratiques binaires aux coefficients entiers et son Essai sur ce calcul lui a valu en 1900 le grand prix des sciences mathématiques de l’Académie des sciences de Paris. Lerch quitta Fribourg pour se rendre à l’Ecole technique supérieure tchèque de Prague ; en 1920, il devint professeur à l’université de cette ville. Il mourut en 1922. 21 Theodor Reye (1838–1919), Wilhelm Fiedler (1832–1912) et Karl Friedrich Geiser (1843–1934) peuvent être regardés comme les représentants les plus importants en Suisse des disciplines géométriques désignées sous le nom de géométrie de situation, de géométrie synthétique et de géométrie descriptive. Reye enseigna la géométrie projective comme privat-docent à Zurich de 1863 à 1867 avant de devenir professeur à l’Ecole supérieure technique de Aachen et Wilhelm Fiedler celle de la géométrie descriptive et de la géométrie de position à I’EPF de 1867 à 1912. On doit à Fiedler de nombreux travaux sur la géométrie descriptive et sur son exposition systématique à partir de la projection centrale. Ses traductions des ouvrages de Salmon ont contribué à faire connaître sur le continent les travaux de géométrie et de théorie des invariants de l’école anglaise de Cayley et de Salmon. Le successeur de Fiedler fut Marcel Grossmann (1878–1936). Camarade d’études et ami d’Albert Einstein, sa connaissance des travaux de Ricci et de Levi-Civita sur le calcul tensoriel lui permirent de rendre Einstein attentif au fait que l’instrument mathématique adéquat pour formuler et développer sa théorie de la relativité générale existait déjà ; il lui rendit aussi un grand service en le familiarisant avec ce calcul. Carl Friedrich Geiser était un neveu de Jacob Steiner. Il occupa, à l’Ecole polytechnique, la chaire de géométrie synthétique et de géométrie analytique, d’abord comme privat-docent, puis comme professeur de 1869 à 1913. Geiser établit par voie géométrique une série de théorèmes sur la configuration des tangentes doubles d’une courbe du 4e ordre, théorèmes que Hesse et Steiner avaient obtenus par des méthodes analytiques. Il élucida aussi les questions de réalité des tangentes doubles de ces courbes. 21 Voir Frank Ludwig : On the live of Prof. Matyas Lerch et Škrašek ˇ Iosef : List of works of ˇ Prof. Matyas Lerch (Casopsis Pˇ est Mat., vol. 78 (1953), pp. 119–137 et 139–148).

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Il montra avec Darboux que si on néglige une des 27 droites de la surface cubique ainsi que les 10 autres qu’elle coupe, les 16 droites restantes forment une configuration engendrée par les 16 droites d’une surface du 4e ordre possédant des plans bitangents. Plusieurs fois directeur de I’EPF (1881–1887 et 1891–1895), très lié avec Kappeler, le président du Conseil de l’école, et possédant sa confiance, Geiser joua un rôle discret, mais important, dans le choix des professeurs de mathématiques de cet établissement. Premier président de la commission fédérale de maturité, il contribua à relever le niveau mathématique de l’enseignement moyen. Initiateur et organisateur du premier congrès international des mathématiciens (Zurich 1897), il en fut aussi le président. Rodolphe Fueter, élève de Hilbert, fut d’abord privat-docent à Marbourg et Clausthal, puis professeur à Bâle de 1908 à 1916 avant d’occuper la chaire laissée vacante à l’université de Zurich par le départ de Zermelo. Il a publié une série de livres destinés à l’enseignement. La plupart de ses travaux concernent la théorie des nombres ; ils traitent des équations abéliennes dans les corps de nombres algébriques, des formes d’Hermite, du groupe de Picard, et de la multiplication complexe des fonctions elliptiques sur laquelle il a publié des leçons 22 dans lesquelles il démontre entr’autres que les valeurs singulières des fonctions elliptiques engendrent toutes les équations abéliennes relativement à un corps quadratique imaginaire pris comme domaine de rationnalité. Vers la fin de sa vie Fueter s’est intéressé aux fonctions d’une variable quaternionienne. Il en a étudié une classe spéciale, qui présente des analogies avec celle des fonctions analytiques classiques. La non-commutativité de la multiplication des quaternions fait que l’analogie n’est pas complète et que les applications qu’on peut donner sont peu nombreuses. Il a cependant pu déduire de sa théorie une démonstration nouvelle d’un théorème important de Hartogs sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. 23 Hermann Weyl (1885–1955), privat-docent à Goettingue, arriva en 1913 à Zurich avec une réputation scientifique pleine de promesses pour son avenir. Il venait de publier un mémoire important sur les problèmes aux limites selfadjoints des équations différentielles linéaires singulières du second ordre. Son livre célèbre : Die Idee der Riemannschen Fläche venait de sortir de presse ; on y trouvait pour la première fois une définition de la surface de Riemann répondant aux exigences de rigueur réclamées par la théorie des ensembles et la topologie ; la théorie des fonctions analytiques sur une surface de Riemann y était développée en partant d’une démons22 Vorlesungen über die singulären Moduln und die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen, von Dr. R. Fueter unter Mitwirkung von Dr. M. Gut. 2 Bde. Leipzig 1923–1927. B. G. Teubner. 23 Sur la vie et les travaux de R. Fueter, voir J. J. Burckhardt : Vierteljahresschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, Bd. 95 (1950), S. 284–287.

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tration nouvelle du principe de Dirichlet, inspirée des travaux de E. Levi, S. Zaremba et H. Lebesgue. Parmi les travaux importants que Weyl a publiés pendant l’époque zurichoise de sa vie, je noterai plus spécialement ses études sur la distribution asymptotique des valeurs fondamentales de l’équation intégrale à noyau symétrique réel, sur la répartition homogène des nombres (mod. 1), sur la représentation des groupes topologiques compacts (théorème de Peter–Weyl) et des groupes continus semi-simples et le mémoire dans lequel il rattache la théorie des fonctions presque périodiques de H. Bohr à celle des équations intégrales linéaires. Ses recherches de géométrie différentielle et ses ouvrages : Raum, Zeit, Materie ; Gruppentheorie und Quantenmechanik ; Philosophie der Mathemalik und der Naturwissenschaften ont eu plusieurs éditions et, ont été traduits dans plusieurs langues. Un choix de ses œuvres : Selecta Hermann Weyl, édité par l’ « Institute of Advanced Studies » de Princeton (dont Weyl était membre depuis 1933) et l’Ecole polytechnique fédérale a pu lui être présenté lors de son septantième anniversaire et a paru chez Birkhäuser à Bâle. Weyl enseigna pendant dix-sept ans à Zurich ; il occupa de 1930 à 1933 la chaire de son ancien maître David Hilbert à Goettingue, puis se rendit aux Etats-Unis. J’ai déjà cité, en parlant de Schläfli, le nom de Johann Heinrich Graf (1852–1918). 11 est l’auteur de travaux sur la fonction gamma, sur les fonctions sphériques et de Bessel, qui apportent des résultats nouveaux ou donnent de nouvelles démonstrations de théorèmes déjà connus. Il a publié de nombreuses notices intitulées Notizen zur Geschichte der Mathematik u. der Naturwissenschaften in der Schweiz dans les Mittheilungen der Naturforschenden Gesellschaft Bern. Je rappelle aussi que l’astronome Rudolf Wolf (1816–1893) et Ferdinand Rudio (1856–1929) ont donné dans la Vierteljahresschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zurich des Notizen zur Kulturgeschichte der Schweiz. Dmitri Mirimanoff (1861–1945), professeur aux universités de Genève et de Lausanne, a apporté des contributions intéressantes à la théorie des ensembles de points et au calcul des probabilités ; on lui doit un critère important de résolubilité de l’équation diophantique de Fermat x n + y n = zn 24 . Bien que n’ayant pas enseigné en Suisse, le grand mathématicien anglais William Henry Young (1863–1942) et son épouse Grace Chisholm Young (1868–1944) y ont vécu près de trente ans et ont publié pendant ce temps une série de travaux importants sur la théorie des ensembles, sur celle des fonctions de variables réelles, sur la théorie de l’intégrale (méthode des suites monotones de fonctions), sur les séries de Fourier et de Bessel et sur les dérivées des fonctions continues 25 . 24 Voir H. S. Vandiver : Les travaux mathématiques de Dmitri Mirimanoiï (L’Enseignement mathématique, vol. 39 (1942–1950), pp. 169–179).

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Erhard Schmidt (1876–1959), Ernst Zermelo (1871–1953) et Erich Hecke (1887–1947) ont enseigné, les deux premiers à l’université de Zurich de 1910 à 1911, respectivement de 1911 à 1916, le dernier à Bâle de 1915 à 1918. Les travaux qui leur ont mérité leur renom international ne datent pas de leur court passage en Suisse. Eu égard au temps limité dont je dispose, je me borne à mentionner le nom de ces savants. Pour la même raison, je ne rappellerai que la mémoire de quelques-uns des mathématiciens dont les écrits et l’enseignement méritent notre reconnaissance : Gabriel Oltramare (1818–1896), Charles Cailler (1867–1922), Rolin Wavre (1896–1949), et Henri Fehr (1870–1954) à Genève ; Gustave Dumas (1872– 1955) et Gustave Juvet (1896–1936) à Lausanne ; Franz Daniels (1860–1918) à Fribourg ; Gustave Du Pasquier (1876–1957) à Neuchâtel ; Christian Moser (1861–1935) à Berne ; Hermann Kinkelin (1832–1913) à Bâle ; Albert Meyer (1844–1896), Heinrich Burkhardt (1861–1914), Ferdinand Rudio (1856– 1924), Jérôme Franel (1859–1939), Arthur Hirsch (1866–1948) et Louis Kollros (1878–1959) à Zurich. Mesdames et Messieurs, vous avez certainement remarqué au cours de mon exposé que des domaines qui, il y a 50 ans et plus, étaient au centre des intérêts des mathématiciens, sont aujourd’hui délaissés et que plusieurs des grands problèmes auxquels nos prédécesseurs se sont attaqués sont maintenant résolus plus simplement et sous des conditions plus générales, grâce aux méthodes abstraites des mathématiques modernes. Leur mérite n’en est en rien diminué, car si nous pouvons voir plus loin et de plus haut, c’est parce que nous sommes sur leurs épaules. La revue que je viens de faire est incomplète, car elle a laissé entièrement de côté la contribution des mathématiciens qui vivent encore au milieu de nous. Pour cette raison, l’école polytechnique y a eu la part du lion. Or, depuis quelques décennies, la vie mathématique est devenue plus intense dans nos universités ; le nombre des chaires de mathématiques y a augmenté et plusieurs sont occupées actuellement par des savants dont les œuvres exercent une action considérable sur les mathématiques modernes. Le tableau que cette revue vous donne devrait, de ce fait, recevoir quelques retouches. Mais, quelque incomplète et inégale qu’elle soit, elle vous a montré que les travaux de nos savants, loin de rester en marge des grands courants de la pensée mathématique des cent dernières années, l’ont influencée et ont donné à la Suisse une réputation scientifique dont elle peut être fière, eu égard à sa petitesse démographique. Reconnaissons cependant modestement qu’elle doit en partie cette réputation à de jeunes savants venus de 25 Voir G. H. Hardy : W. H. Young Obituary. Obituary (Notices of Fellows of the Royal Society London, vol. 4 (1942–1944), pp. 307–323) et (Journal of the London Mathematical Society, vol. 17 (1942), pp. 218–237) ; M. L. Cartwright : Grace Chisholm Young Obituary (Journal of the London Mathematical Society, vol. 19 (1944), pp. 185–192).

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l’étranger, qui ont apporté à ses écoles les prémisses de leur talent. Avant 1850, la Suisse a donné de grands mathématiciens à l’Europe ; l’Allemagne lui a rendu le même service après. Souhaitons, dans l’intérêt de la science et de nos écoles, que ce libre échange de savants avec les Etats qui nous entourent puisse continuer comme dans le passé. Il est regrettable que, pour des causes qui tiennent en partie à l’organisation très centralisée de l’enseignement universitaire de la France et de l’ltalie, les échanges soient plus difficiles avec ces pays qu’avec l’Allemagne. Dès son arrivée à Bâle, R. Fueter se rendit compte de l’état d’atomisation dans lequel se trouvaient les mathématiciens en Suisse. Ceux de Zurich exceptés, ils étaient isolés, sans contact avec leurs collègues des autres universités, sans liaison effective avec la Société helvétique des sciences naturelles. Les mathématiciens venus d’Allemagne regardaient leur séjour en Suisse comme devant être temporaire ; ils entretenaient naturellement des relations plus étroites avec leurs collègues des universités d’outre-Rhin qu’avec ceux des universités suisses. En l’absence d’une société mathématique affiliée à la Société helvétique des sciences naturelles, l’organisation d’une section spéciale de mathématiques aux sessions annuelles de cette société était à la merci du hasard et de l’improvisation. Preuve en est que cette section, qui prit naissance en 1871 avec H. A. Schwarz comme président, ne donna plus signe de vie après le départ de ce savant. L’absence d’une société mathématique était particulièrement regrettable pour les jeunes mathématiciens suisses, privat-docents ou préparant une thèse, car la possibilité d’exposer les résultats de ses recherches devant ses camarades et ses aînés est un stimulant. Il existait bien depuis 1901 une association des maîtres de mathématiques des gymnases, mais son but, en partie pédagogique, différait du but exclusivement scientifique d’une société mathématique proprement dite. On peut s’étonner que le premier Congrès international des mathématiciens, qui se tint à Zurich en 1897, n’ait pas été l’occasion de créer cette société. L’édition des Œuvres d’Euler, que la Société helvétique des sciences naturelles avait décidée en 1909, rendit cette création encore plus urgente. J’ai rappelé au début de ma conférence que, grâce à l’initiative de MM. Fueter, Fehr et Grossmann, notre société prit naissance le 4 septembre 1910. Elle s’affilia comme section à la Société helvétique des sciences naturelles ; ses réunions ordinaires d’automne sont réservées à de courtes communications scientifiques de ses membres et aux affaires administratives ; aux réunions du printemps un membre de la société ou un savant étranger invité donne une conférence générale sur un sujet d’actualité (la plupart de ces conférences générales ont été ensuite publiées dans la revue L’Enseignement mathématique). La première guerre mondiale et les années qui la suivirent posèrent bientôt la question de la création d’un organe dans lequel les membres de la

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société pourraient publier leurs travaux. H. Fehr, qui avait fondé avec Laisant en 1906 la revue L’Enseignement mathématique en fut le promoteur ; il proposa aussi la création d’une fondation destinée à soutenir financièrement cet organe. La « Fondation pour l’avancement des sciences mathématiques en Suisse » et les Commentarii mathematici helvetici, dont R. Fueter fut le premier rédacteur et R. Wavre le rédacteur adjoint, prirent naissance en 1929. Trente-quatre tomes de cette revue ont déjà paru ; plusieurs sont en réimpression. Depuis lors, une nouvelle publication Die Elemente der Mathematik fondée par notre collègue Louis Locher est venu compléter la liste des journaux mathématiques paraissant en Suisse ; de même que L’Enseignement mathématique, son but mi-pédagogique et mi-scientifique est de tenir les maîtres des gymnases au courant des progrès de la science dont ils ont à enseigner les éléments. La tenue à Zurich du Congrès international des mathématiciens en 1932, l’édition des œuvres de Schläfli et de Lambert 26 , celle de la correspondance de Jean Bernoulli 27 , l’édition de plusieurs ouvrages de mathématiques supérieures chez Orell-Füssli à Zurich, Birkhäuser à Bâle et aux Editions du Griffon à Neuchâtel, sont des fruits indirects de l’existence de la Société mathématique suisse. Les membres qui ont participé à sa fondation et qui sont ici présents ont la joie de voir qu’elle a pu réaliser dans une mesure plus grande qu’ils ne l’avaient prévue les espoirs qu’ils avaient mis en elle.

26 Johann Heinrich Lambert : Opera omnia, éd. Andreas Speiser, Bd. I (1946), Bd. II (1948). Orell-Füssli, Zurich. 27 Der Briefwechsel von Johann Bernoulli, in 6–8 Bänden, herausgegeben von der BernoulliKommission der Naturforschenden Gesellschaft in Basel, Bd. I (1955). Birkhäuser Verlag, Basel-Stuttgart.

100 Jahre Schweizerische Mathematische Gesellschaft∗ Erwin Neuenschwander

Inhaltsverzeichnis Zur Mathematik auf dem Gebiet der heutigen Schweiz vor der Gesellschaftsgründung

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Gründung, Organisation und Veranstaltungen der SMG

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Die mathematischen Zeitschriften der SMG

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Vertretung in internationalen Gremien und Organisation von deren Kongressen

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Das Archiv der SMG

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Literatur

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Anhang Chronik: 100 Jahre SMG/SMS

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Zur Mathematik auf dem Gebiet der heutigen Schweiz vor der Gesellschaftsgründung Handschriften aus den Stiftsbibliotheken von Einsiedeln und St. Gallen belegen die Auseinandersetzung mit mathematischen Fragen auf dem Gebiet der heutigen Schweiz bereits ab dem Frühmittelalter. Vom 9. bis ins 11. Jh. erlebte die St. Galler Klosterschule im Zuge der karolingischen Bildungsreform eine Hochblüte. Mathematik wurde damals im Rahmen des ∗ Der Auftrag, in relativ kurzer Zeit eine Geschichte der Schweizerischen Mathematischen Gesellschaft (SMG/SMS) zu erarbeiten, erwies sich in Anbetracht des umfangreichen Gesellschaftsarchivs (ETH-Bibliothek, Archive, Hs 1447) als ein recht schwieriges Unterfangen, indem bereits die Sichtung des Archivmaterials ein paar Monate in Anspruch nahm. Wir danken der SMG für den Zugang zu ihrem internen elektronischen Archiv und zahlreichen Altpräsidenten für ihre wertvollen Hinweise. Ein ganz besonderer Dank geht an Norbert Hungerbühler und Urs Stammbach, die uns wiederholt Fragen beantworteten, sowie an die MitarbeiterInnen der Spezialsammlungen der ETH-Bibliothek, die uns bereitwillig bei der Herstellung von über tausend Arbeitskopien halfen. Dank gebührt auch Christian Baertschi für die Durchsicht des Manuskripts und des Korrekturabzugs sowie für seine kritischen Hinweise.

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Quadriviums der Septem artes liberales gelehrt, dem mittelalterlichen Bildungskanon. Unter den in St. Gallen benutzten Schriften zum Quadrivium

Abbildung 1. Gliederung des Quadriviums (Divisio mathematicae) in einer Schulhandschrift aus dem Kloster St. Gallen, 9. Jh. (Stiftsbibliothek St. Gallen, Cod. Sang. 855, S. 276). Mathematische Lehrinhalte wurden im Mittelalter nach dem antiken Kanon der Septem artes liberales (Sieben freie Künste) in den vier Fächern des Quadriviums gelehrt. Diese Gliederung wird hier durch einen Panther visualisiert, dessen Pfoten den Disziplinen Arithmetik, Musik, Geometrie und Astronomie entsprechen. Der Begriff mathematica taucht hier möglicherweise zum ersten Mal in einem Schriftstück aus dem Gebiet der heutigen Schweiz auf.

befinden sich einführende Texte zur Arithmetik, Musiktheorie, Geometrie und Astronomie der spätantiken und frühmittelalterlichen Enzyklopädisten Martianus Capella, Cassiodorus und Isidorus von Sevilla. Tiefer gehen die Texte des Boethius und des Beda Venerabilis, die sich z. T. explizit an Euklids «Elemente» anlehnen. Cod. Sang. 248 und 830 umfassen Abschrif-

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ten mehrerer Werke von Boethius und der Geometrie I (Pseudo-Boethius) mit einem längeren Dialog über geometrische Fragen zwischen Lehrer und Schüler. Der St. Galler Mönch Notker der Deutsche erstellte gemäss eigenen Angaben eine deutsche Übersetzung der Anfangsgründe der Arithmetik, die aber nicht erhalten ist. Auch die Stiftsbibliothek Einsiedeln verfügt über zwei Manuskripte (Cod. 298 und 358) aus dem 10. Jh., welche Abschriften der Geometrie und der Arithmetik des Boethius enthalten. Vereinzelte mittelalterliche Handschriften mit mathematischen Texten befinden sich heute auch im Besitz der schweizerischen Universitätsbibliotheken, wohin sie nach der Auflösung von Klöstern oder durch Schenkung gelangten. Am Übergang zur Neuzeit entstand in Basel im Gefolge des Konzils (1431–49) zunächst eine Konzils- und Kurienuniversität, aus der 1460 die heutige Universität Basel hervorging. Diese Gründung leitete die Entwicklung der Stadt zu einem Zentrum des Humanismus und der Buchdruckerei ein. Unter den zahlreichen in Basel erschienenen mathematischen Schriften ist u. a. die griechische Gesamtausgabe der «Elemente» Euklids (1533) durch den Basler Gräzisten und Theologen Simon Grynaeus zu erwähnen. Grosse Beachtung fanden auch die griech.-lat. editio princeps der Werke von Archimedes (1544) durch Thomas Gechauff Venatorius sowie die Drucke zu Euklid (1562) und Diophantos (1575) von Wilhelm Holtzmann, genannt Xylander. In der bisher wohl umfangreichsten Ausstellung früher griechischer Drucke im deutschen Sprachgebiet, der Graeco-Germania in Wolfenbüttel von 1989, waren von 190 Nummern allein deren sechzig Basler Drucke [Hie1992]. Basel war der einzige Ort in der Schweiz, der vom 16. Jh. an eine ständige Dozentur für Mathematik unterhielt. Diese erstreckte sich zunächst noch auf alle vier Fächer des Quadriviums. Unter den bedeutenderen Lehrstuhlinhabern finden sich Heinrich Loriti (Glarean), Christian Wurstisen sowie Peter Megerlin. Ab 1687 hatten während über hundert Jahren Mitglieder der Familie Bernoulli den Lehrstuhl inne. An den nach der Reformation teils erweiterten, teils neu gegründeten Hohen Schulen in Zürich (1525), Bern (1528), Lausanne (1537), Genf (1559) und Freiburg (1582) hatte die Mathematik bis zum Beginn des 18. Jh. keine eigenen festen Lehrstühle. Das Fach wurde meist von Philosophen oder Theologen vertreten oder in Randstunden von Lektoren gelehrt. Trotzdem befassten sich auch in diesen Städten vereinzelt Gelehrte, Ingenieure, Kartografen, Feldmesser, Instrumentenmacher, Büchsen- oder Rechenmeister eingehender mit mathematischen Fragen. In Zürich entwickelte z. B. Leonhard Zubler neue geometrische Messinstrumente, der Stadtingenieur Johann Ardüser erarbeitete die zwölfbändige «Geometriae theoricae et practicae» (1627) sowie ein nicht veröffentlichtes Werk zur Baukunst, und der Landvogt Hans Heinrich Rahn publizierte seine «Teutsche Algebra» (1659, erweiterte engl. Ausgabe 1668 von John Pell). In Bern publizierte Johann

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Abbildung 2. Titelseite der ersten Druckausgabe der Arithmetik von Diophant in der lateinischen Übersetzung von Wilhelm Holtzmann aus dem Jahre 1575, erschienen bei Eusebius Episcopius in Basel [Hie1992, Nr. 298, S. 440–442]. Zur Rezeption Diophants im 16. Jh. vgl. [Reich2003].

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Rudolf von Graffenried seine wohldokumentierten «Arithmeticae Logisticae popularis libri IIII» (1618). Etliche bekannte Schweizer Mathematiker wie z. B. Konrad Dasypodius (Euklid-Edition, astronom. Uhr am Strassburger Münster), Jost Bürgi (Logarithmen, Coss), Paul Guldin (Guldin’sche Regeln), Barthelemy Souvey (Indivisiblentheorie) oder Johann Baptist Cysat («Mathemata astronomica») wirkten ausserhalb der Eidgenossenschaft. Mit der Berufung Jakob Bernoullis auf den Basler Lehrstuhl 1687 setzte das goldene Zeitalter der Schweizer Mathematik ein. Bernoulli wandte die von Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelte Differential- und Integralrechnung auf Reihen, verschiedene klassische Kurven und Probleme der Variationsrechnung an. Sein postum publiziertes Werk «Ars conjectandi» (1713) war grundlegend für die Theorie der Wahrscheinlichkeit. Nach Jakobs Tod 1705 übernahm dessen jüngerer Bruder Johann den Basler Lehrstuhl. Er entwickelte eine allgemeine Theorie der Integration rationaler Funktionen, neue Lösungsmethoden für Differentialgleichungen sowie zahlreiche Anwendungen der Infinitesimalrechnung auf Probleme der Physik und Astronomie. Unter seinen Schülern befinden sich seine Söhne Daniel, Johann und Nikolaus sowie der noch berühmtere Leonhard Euler. Da der Basler Lehrstuhl bereits besetzt war und Euler mit seiner Bewerbung um die 1727 frei gewordene Physikprofessur in Basel wegen seines jugendlichen Alters kein Glück hatte, wirkte er in St. Petersburg und Berlin. 1724 richtete auch die Genfer Akademie einen Lehrstuhl für Mathematik ein, der zunächst mit Jean-Louis Calandrini und Gabriel Cramer besetzt wurde. In einem Anhang zu seiner «Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques» (1750) behandelte Cramer die nach ihm benannte Regel zur expliziten Auflösung linearer Gleichungssysteme mittels der von Leibniz eingeführten Determinanten, was schliesslich zur Entwicklung der linearen Algebra führte. Zu Cramers Nachfolgern auf dem Lehrstuhl zählen Louis Necker, Louis Bertrand und Simon-Antoine L’Huillier. An der Akademie in Lausanne war damals der Philosoph und Mathematiker Jean-Pierre de Crousaz tätig, der eine Abhandlung zur Theorie der Kurven und Flächen (1718), einen Kommentar (1721) zur bekannten Infinitesimalrechnung des Marquis Guillaume de l’Hôpital und einen «Traité de l’algèbre» (1726) verfasste. Sein Enkel Jean Philippe Loys de Cheseaux war eine Autorität auf dem Gebiet der mathematischen Physik. Im Anhang seines Traktates über den Kometen von 1743/44 befasste sich Loys achtzig Jahre vor Wilhelm Olbers mit der Frage, weshalb der Himmel nachts dunkel ist (Olbers’sches Paradoxon). Ferner verfasste er einen kurzen Artikel mit dem Titel «Probabilités sur la longueur de la vie humaine», in dem er Probleme der späteren Versicherungsmathematik aufgriff. Die Berner Akademie errichtete 1736 eine ao. Professur für die mathematischen Wissenschaften, die 1749 zur ordentlichen aufgewertet wurde.

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Am Collegium humanitatis in Schaffhausen lehrten damals Thomas Spleiss und Christoph Jezler. Der aus dem zugewandten Ort Mülhausen stammende Universalgelehrte Johann Heinrich Lambert bewies die Irrationalität von π und verfasste bedeutende Beiträge zur nichteuklidischen und darstellenden Geometrie sowie Vorarbeiten zum späteren Logikkalkül von George Boole und Gottlob Frege. Die meisten dieser Gelehrten standen untereinander in engem persönlichem Verkehr: Mehrere hatten noch bei den Bernoullis in Basel oder bei Euler studiert, etliche waren durch Empfehlungen ihrer Kollegen auf Stellen im In- oder Ausland berufen worden (so z. B. Lambert durch Euler nach Berlin) und übernahmen später gegenseitig die Edition ihrer gesammelten Werke (z. B. Cramer jene der Schriften der Bernoullis). Der Übergang von der alten Eidgenossenschaft zum Bundesstaat führte im wissenschaftlichen Bereich in der ersten Hälfte des 19. Jh. zum Zerfall alter und der Entstehung neuer Strukturen. Die wenigen bedeutenden Mathematiker dieser Umbruchszeit wirkten meist im Ausland wie der Berner Jakob Steiner und der Genfer Charles François Sturm. Die neu entstandenen schweizerischen Universitäten unterhielten zunächst allenfalls einen einzigen Lehrstuhl für Mathematik, der zudem oft mit Gelehrten besetzt war, die sich mehr um praktische Fragen wie z. B. die damals beginnende trigonometrische Landesvermessung zur Herstellung genauerer Landkarten kümmerten. Bahnbrechende Forschungsleistungen in der reinen Mathematik wurden in der Schweiz erst nach der Gründung des Eidgenössischen Polytechnikums 1855 in Zürich in der zweiten Hälfte des 19. Jh. wieder erbracht. Fünf dort schon in den Anfangsjahren errichtete Lehrstühle für Mathematik (von insgesamt ca. 35 Professuren) sollten angehenden Ingenieuren die mathematischen Grundlagen vermitteln. Unter der Leitung des zweiten Präsidenten des Schulrates, Johann Karl Kappeler, wurde die Forschung systematisch ausgebaut und viele deutsche Nachwuchstalente für das Polytechnikum gewonnen. Nach dem Rücktritt Joseph Ludwig Raabes folgten ihm im raschen Wechsel mehrere dieser hervorragenden Wissenschaftler auf den Lehrstuhl, den sie meist als Sprungbrett für die Berufung an eine deutsche Hochschule nutzten (z. B. Richard Dedekind, Elwin Bruno Christoffel, Hermann Amandus Schwarz oder Ferdinand Georg Frobenius). Da die mathematische Vorbildung der Studenten oft ungenügend war, schuf Kappeler 1866 eine neue sechste Abteilung, die Schule für Fachlehrer mathematischer und naturwissenschaftlicher Richtung, aus der 1909 die Abteilung für Fachlehrer in Mathematik und Physik bzw. 1932 die Abteilung für Mathematik und Physik der ETH entstand. An der 1833 gegründeten Universität Zürich war bereits 1837 ein Ordinariat für Mathematik geschaffen worden, das zunächst durch den international kaum bekannten Anton Müller aus Heidelberg besetzt wurde. Nach dessen Tod lehrten dort als Ordinarien Arnold Meyer-Keyser, Heinrich Burkhardt und Ernst Zermelo, neben Karl Gräffe und einigen anderen Dozenten. 1897 organisierten die Zür-

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cher Mathematiker den ersten Internationalen Mathematiker-Kongress. Die Zusammenarbeit zwischen den Mathematikern der beiden Zürcher Hochschulen war zeitweise sehr eng, da etliche Professoren des Polytechnikums auch an der Universität unterrichteten, die beiden Hochschulen zunächst in denselben Räumlichkeiten untergebracht waren und das Polytechnikum das Recht zur Doktorpromotion erst 1909 erhielt.

Gründung, Organisation und Veranstaltungen der SMG Vor dem oben skizzierten Hintergrund ist auch die Gründung der Schweizerischen Mathematischen Gesellschaft (SMG) zu sehen, die sich als Fachgesellschaft der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft (SNG) konstituierte. Letztere war bereits 1815 in Genf gegründet worden, nachdem die Republik Genf von der eidgenössischen Tagsatzung in den Bund aufgenommen worden war. 1835 zählte die SNG bereits ca. 600 Mitglieder, die meist auch den einzelnen kantonalen Naturforschenden Gesellschaften angehörten, die zuvor schon in einigen Kantonen entstanden waren, namentlich in Zürich 1746, Bern 1786, Genf 1790. Die meisten dieser kantonalen Gesellschaften gaben auch wissenschaftliche Zeitschriften heraus, die ihren Mitgliedern und damit auch den Mathematikern als gern benutzte Publikationsorgane für ihre Arbeiten dienten. Ein wichtiges Charakteristikum der SNG war, dass sie seit ihrer Gründung jedes Jahr in einem anderen schweizerischen Ort tagte, mit der Absicht die naturwissenschaftliche Forschung so in alle Kantone der Eidgenossenschaft zu tragen. Während die wissenschaftlichen Vorträge und Mitteilungen zunächst in einer einzigen gemeinsamen Sitzung abgehalten wurden, tagte man ab 1836 infolge der zunehmenden Spezialisierung der Naturforschung in getrennten Sektionen. Dabei wurden vereinzelt auch Vorträge mathematischen Inhalts präsentiert, die jeweils in der physikalisch-chemischen Sektion gehalten wurden. Erst 1871 findet sich der explizite Versuch von H. A. Schwarz und C. F. Geiser, eine eigene mathematische Sektion zu gründen [Verh. SNG 54 (1871), S. 74 ff.]. Da aber in den nachfolgenden Jahren nur relativ selten mehr als zwei mathematische Vorträge gehalten wurden (z. B. 1873, 1876, 1883, 1896, 1898, 1902) und während etlichen Jahren sogar überhaupt keine (1877–82, 1887–93), blieb dieser Versuch ohne durchschlagenden Erfolg. Die meisten Hochschul-Mathematiker blieben der schweizerischen Gesellschaft damals wohl fern und zogen es vor, ihre Arbeiten in den Publikationsorganen der regionalen naturforschenden Gesellschaften zu publizieren, wie ein Blick in die Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich zeigt: Von 1855–1910 findet man dort immerhin ca. 150 Beiträge mathematischen Inhalts, darunter mehrere von bekannte-

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ren Mathematikern: R. Dedekind (5), J. W. von Deschwanden (6), H. Durege (4), W. Fiedler (25), C. F. Geiser (4), A. Hurwitz (2), F. Rudio (14), L. Schläfli (4) und H. A. Schwarz (3). Die Situation änderte sich erst zu Beginn des 20. Jahrhunderts. Im Jahre 1901 kam es zur Gründung der Schweizerischen Chemischen Gesellschaft [Fra2008]. Am 9. Mai 1908 wurde sodann die Schweizerische Physikalische Gesellschaft gegründet, die auf der nächsten Jahresversammlung der SNG am 31. Aug. 1908 als deren ständige Sektion aufgenommen wurde [HG2008, 41f.; Verh. SNG 91 (1908), I, 15; II. 17–20]. Gleichzeitig fanden im Zentralkomitee der SNG intensive Beratungen darüber statt, wie die Schweiz in der Internationalen Vereinigung der Akademien Vertretung und Stimme erhalten konnte. Wollten die Mathematiker der Eidgenossenschaft nicht riskieren, in wichtigen Fragen übergangen und international isoliert zu werden, so mussten sie sich zusammenschliessen [Fue1960]. Ein weiterer Grund für diesen Zusammenschluss war die Herausgabe der Gesammelten Werke von Leonhard Euler, die Ferdinand Rudio bereits auf dem ersten Internationalen Mathematiker-Kongress in Zürich im Jahre 1897 vorgeschlagen hatte und erneut anlässlich der Feier zum 200. Geburtstag von Leonhard Euler am 15. April 1907 in Basel propagierte. Dank der Initiative von Rudio kam es 1908 zur Gründung einer Euler-Kommission im Schosse der SNG, der acht führende Schweizer Mathematiker angehörten. Aufgrund ihres Berichts und Antrags beschloss die SNG 1909 die Herausgabe der «Leonardi Euleri Opera omnia», eine Gesamtausgabe, die gegen 100 Bände umfassen wird und deren Herausgabe sich bis ins 21. Jh. erstreckt (vgl. [Bur1983]). Bereits im Frühjahr 1910 ergriffen Rudolf Fueter, Henri Fehr und Marcel Grossmann die Initiative und riefen, nachdem sie sich der Unterstützung weiterer Fachmathematiker versichert hatten, zur Gründung der Schweizerischen Mathematischen Gesellschaft und einer eigenen ständigen mathematischen Sektion innerhalb der SNG auf. In einem im Mai 1910 versandten, von 19 führenden Mathematikern aus allen Landesteilen unterzeichneten Rundschreiben führten sie aus, dass den mathematischen Wissenschaften in der Schweiz in weiten Kreisen lebhaftes Interesse entgegengebracht werde, wie die begeisterte Aufnahme des Plans der Herausgabe der sämtlichen Werke von Leonhard Euler beweise. Zwar existiere seit 1901 bereits die «Vereinigung der Mathematiklehrer an schweizerischen Mittelschulen» (heute VSMP - Verein Schweiz. Mathematik- und Physiklehrkräfte), die zu jenem Zeitpunkt über 100 Mitglieder zählte. Da diese Vereinigung aber in der Hauptsache den mathematischen Unterricht zu fördern suche, entspreche eine Gesellschaft, die rein wissenschaftliche Zwecke verfolge und sich deshalb an einen weiteren Interessentenkreis wende, einem wirklichen Bedürfnis. Der Aufruf hatte grossen Erfolg, wie man einem zweiten

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Rundschreiben von Rudolf Fueter vom Juni 1910 entnimmt. Es gingen insgesamt 82 Beitrittserklärungen ein, womit die konstituierende Sitzung am Sonntag, den 4. Sept. 1910, nachmittags 4 Uhr im Bernoullianum in Basel stattfinden und die Gesellschaft nach der Aufnahme am 5. Sept. durch die SNG bereits am 6. Sept. 1910 ihre erste Sektionssitzung abhalten konnte.

Abbildung 3. Einladung zur 1. Jahresversammlung der zu gründenden Schweizerischen Mathematischen Gesellschaft [ETH-Bibliothek, Archive, Hs 1447, 100 (1910), 2].

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In den ersten Jahren wurden in den mathematischen Sektionssitzungen der SNG im Durchschnitt etwa 10 Vorträge gehalten, wie man dem Bericht [Feh1915] und der nachfolgenden Chronik entnehmen kann. Die Referenten waren fast ausschliesslich Mitglieder der SMG, die sich frei dazu anmelden konnten. Der Mitgliederbeitrag betrug zunächst nur Fr. 2.– pro Jahr, ab 1922 Fr. 4.–, ab 1948 Fr. 6.– und wurde 1967 auf Fr. 10.–, 1976 auf Fr. 20.–, 1983 auf Fr. 30.– und schliesslich 1991 auf Fr. 50.– pro Jahr angehoben. 2007 wurde ein spezieller Studenten- und Doktorandentarif (Fr. 10.–) eingeführt, um vor allem junge Neumitglieder zu gewinnen. Die Statuten der Gesellschaft hatten eine grosse Ähnlichkeit mit denje-

Abbildung 4. Einzug nicht eingegangener Mitgliederbeiträge per Nachnahme [ETHBibliothek, Archive, Hs 1447, 402 (1938), 9].

nigen der zwei Jahre zuvor gegründeten Schweizerischen Physikalischen Gesellschaft, vgl. [HG2008, 51]. Sie unterschieden sich von den heutigen nur in Details: Der Vorstand bestand schon damals aus drei Mitgliedern, wobei der Sekretär-Kassier der Gesellschaft in einem zweijährigen Turnus sukzessive zum Vizepräsidenten und Präsidenten aufrückte. Wenn auch die statutenmässige Grundstruktur der Gesellschaft stets die gleiche blieb, vermehrten sich ihre Aktivitäten doch stetig, was sich auch in der Bilanzsumme der Gesellschaft widerspiegelt, die von anfänglich ca. Fr. 1'000.– auf heute über Fr. 100'000.– pro Jahr anwuchs. Um 1928 wurde die Herausgabe einer eigenen Zeitschrift, der Commentarii Mathematici Helvetici, beschlossen sowie die Gründung einer «Stiftung zur Förderung der mathematischen Wissenschaften in der Schweiz», welche die Herausgabe der Zeitschrift finanziell absichern sollte. 1964 nahm der von der Stiftung finanzierte Informations- und Austauschdienst seine Arbeit auf. In einem wöchentlichen Bulletin wurde über mathematische Forschungsseminare, Vorträge, Gastvorlesungen und Gastaufenthalte in der Schweiz berichtet sowie

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Reisekostenbeiträge an Mathematiker in schweizerischen Hochschulinstituten zum Besuch von Tagungen und Kongressen gewährt. 1976 wurde schliesslich die 1946 von Louis Locher-Ernst gegründete Zeitschrift Elemente der Mathematik von der SMG übernommen. Gleichzeitig wurden auch die von der Gesellschaft organisierten Tagungen immer zahlreicher und umfangreicher. Während in den ersten Jahren das Vortragsprogramm auf den Herbstversammlungen sozusagen ausschliesslich durch die Mitglieder bestritten wurde, begann man ab 1976 speziell die Doktoranden an den schweizerischen mathematischen Instituten zu Kurzvorträgen einzuladen, deren Zusammenfassungen anschliessend zuhanden der Mitglieder vervielfältigt wurden. Das vor allem von Peter Gabriel propagierte Konzept scheiterte allerdings teilweise an der mangelhaften Mitwirkung einzelner Professoren und unbefriedigendem Besuch der etablierten Gesellschaftsmitglieder [ETH-Bibl., Archive, Hs 1447, 203 (1980), Dok. 1], weshalb die Herbstsitzungen nach Gabriels Ausscheiden aus dem Vorstand erneut umgestaltet wurden. So wurde die Vervielfältigung der Vortragszusammenfassungen bereits 1982 wieder eingestellt, und im Frühjahr 1984 beschloss man, zu der Herbstversammlung neben den Doktoranden auch ein bis zwei Kollegen zu Übersichtsvorträgen einzuladen, um den Besuch der Tagungen für die Mitglieder attraktiver zu machen [ibid. 501 (1984), 2]. In den nachfolgenden Jahren wurden diese Übersichtsvorträge vermehrt und vielfach an neu berufene Mathematiker vergeben, die den Gesellschaftsmitgliedern so ihre Forschungen präsentieren konnten. Zugleich versuchte man den Kontakt zwischen der älteren und jüngeren Mathematikergeneration zu verbessern [ibid. 501 (1988), 2] und auch jüngere SMG-Mitglieder und Studenten anzusprechen durch die Abhaltung sogenannter Minikurse zu attraktiven neuen mathematischen Gebieten [ibid. 504 (1990), 1]. Analog wurden auch die zunächst nur sporadisch stattfindenden Frühjahrssitzungen ausgebaut. Zu Beginn wurden dort meist ein bis zwei bedeutende Mathematiker vielfach aus dem Ausland eingeladen, wogegen seit 1981 sogenannte «Mathematiktage» oder «Journées» abgehalten werden, an denen mehrere Referenten den Mitgliedern und Doktoranden jeweils ein spezielles Fachgebiet detaillierter vorstellen [ibid. 901 (1981), 1; 201 (1983), 33; 305 (1991), 2/2 f.]. Neben den von der Gesellschaft herausgegebenen mathematischen Zeitschriften und der durch sie bewerkstelligten Vertretung in den internationalen Fachgremien, die weiter unten in speziellen Kapiteln gewürdigt werden, können hier aufgrund des beschränkten Raumes nur einige wenige besondere Ereignisse aus der Gesellschaftsgeschichte herausgegriffen werden. Für weitere Details sei auf die nachfolgende, die gesamten 100 Jahre umfassende Chronik und das Archiv der Gesellschaft an der ETH-Bibliothek (Hs 1447) verwiesen.

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— Von 1925 bis 1931 gab die SMG eine Monographien-Reihe «Veröffentlichungen der Schweizerischen Mathematischen Gesellschaft » bei Orell Füssli heraus, über die in den zu jener Zeit noch relativ spärlichen Akten der Gesellschaft nie explizite berichtet wird. In ihr erschienen bis zur Gründung der Commentarii fünf Werke von Ch. Cailler, A. Speiser, R. Fueter, L. E. Dickson und J. Steiner. Die Herausgabe des grossen nachgelassenen Werkes über Kugelgeometrie von Jakob Steiner durch Rudolf Fueter bildete den Abschluss dieser Reihe und zugleich den Anlass zur 1930 erfolgten Gründung des Steinerarchivs sowie des Steiner-Komitees, das 1937 zum Steiner–Schläfli Komitee erweitert wurde. Die Aufgabe des Steiner-Komitees war die Herausgabe, Verwertung sowie Sammlung des Steinerschen Nachlasses. Das Steiner-Komitee wurde von der SMG gewählt und durch den Zentralvorstand der SNG bestätigt [ibid. 201 (1930), 30 und 801.2 (1930), 11]. 1937 wurde der Auftrag auf die Bearbeitung des in der Schweizerischen Landesbibliothek in Bern liegenden Nachlasses von L. Schläfli ausgedehnt und das Komitee zugleich auf 4–8 Mitglieder erweitert [ibid. 201 (1937), 11]. Zum Präsidenten nach dem bei dieser Erweiterung erfolgten Rücktritt von R. Fueter wurde L. Kollros gewählt, die Funktion eines Generalredaktors übernahm J. J. Burckhardt. Gemäss den 1937 verabschiedeten Statuten war das Komitee verpflichtet, der SNG jährlich Bericht zu erstatten, was bis zu seiner Auflösung nach Vollendung des Auftrags im Jahre 1956 auch geschah. Durch diese Berichte und das Vorwort der durch das Komitee veranstalteten Herausgabe der «Gesammelten Mathematischen Abhandlungen» von Ludwig Schläfli (3 Bde., 1950–1956) kann man sich ein gutes Bild von der vor allem durch L. Kollros, J. J. Burckhardt und H. Hadwiger geleisteten Arbeit machen. — Am 12. Mai 1935 fand die Jubiläumssitzung zur Feier des 25-jährigen Bestehens der Gesellschaft in Bern statt, mit einem Vortrag von Prof. C. Carathéodory aus München, der lange auf die Reisegenehmigung des NS-Regimes warten musste, und verschiedenen Reden von W. Saxer, G. Dumas und A. Speiser. In seiner Rede begrüsste der Präsident der SMG, Prof. Saxer, zunächst die offiziellen Gäste: Prof. Senn, Zentralpräsident der SNG, Prof. S. Dumas, Präsident der Vereinigung Schweizerischer Versicherungsmathematiker, Dr. Marti, Sekundarschulinspektor und Präsident des Vereins schweizerischer Mathematiklehrer. Ferner verlas er ein Schreiben von Bundesrat Etter, worin dieser der Gesellschaft für ihre bisherige Tätigkeit dankte und ihr weiterhin guten Erfolg wünschte. Grosse Freude bereitete ihm die Tatsache, dass viele Gesellschaftsmitglieder der Gründergeneration der Einladung Folge geleistet hatten sowie auch sämtliche früheren Präsidenten ausser Grossmann, der schon seit Jahren an sein Krankenlager gefesselt war. Dann ernannte er im Namen der Gesellschaft deren drei Gründer, erste Präsidenten und beständig tatkräftige Förderer, R. Fueter,

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Abbildung 5. Einladung zur Jubiläumssitzung anlässlich des 25-jährigen Bestehens der SMG in Bern [ETH-Bibliothek, Archive, Hs 1447, 501 (1935), 3].

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H. Fehr und M. Grossmann unter einmütigem Beifall zu Ehrenmitgliedern. Im Anschluss sprach der Präsident einige Gedanken über die Zukunft der Gesellschaft aus. Er wies auf die absolute Notwendigkeit ihrer Existenz angesichts des in der Schweiz dezentralisierten Unterrichtswesens hin und sprach schliesslich die Hoffnung aus, dass die Politik in der SMG nie eine Rolle spielen möge. Stets sollen ihr nur die bei der mathematischen Forschung befolgten Prinzipien «Wahrheit, Klarheit, Einfachheit» als Richtlinien dienen. Gustav Dumas berichtete anschliessend über die Gesellschaftstätigkeit in den vergangenen 25 Jahren. Er wies insbesondere auf die hervorragenden ausländischen Vortragenden hin wie Weyl, Hadamard, de La Vallée Poussin, Fréchet, Blaschke, Hecke, Enriques, Cartan, Montel, deren Referate in der Regel in extenso im L’Enseignement mathématique erschienen waren, sowie auf die Gründung der Commentarii. Anschliessend sprachen noch A. Speiser und S. Dumas, und beim gemeinsamen Mittagessen im Hotel Schweizerhof in Bern überbrachten L. Crelier die Grüsse und Glückwünsche der Universität und Fakultät in Bern, G. Senn diejenigen der SNG und Dr. Marti als Präsident die des Vereins schweizerischer Mathematiklehrer. Im Archiv der Gesellschaft haben sich umfangreiche Unterlagen zur Jubiläumssitzung erhalten: Korrespondenz von W. Saxer mit W. Scherrer und den früheren Präsidenten über die Organisation und Gestaltung der Tagung sowie die Einladungen an die offiziellen Gäste [ibid. 201 und 502 (1935)], die Rede von Saxer mit einem Bericht über das Jubiläum in der NZZ vom 15.5.1935 [ibid. 501 (1935)], wogegen die Rede von G. Dumas auszugsweise im L’Enseignement mathématique 34 (1935), 264–268, erschienen ist. — 1938/39 beteiligte sich die SMG an den Bemühungen, das mathematische Schaffen der Schweiz an der «Landi» 1939 in Zürich zur Geltung zu bringen. Der Anstoss hierzu ging vom damaligen Präsidenten, R. Wavre, aus, der in einem Rundschreiben vom 3. Dez. 1937 an einige Kollegen und frühere Präsidenten der SMG die Meinung vertrat, dass die Mathematik an der Landesausstellung besser durch die SMG als durch die einzelnen mathematischen Institute vertreten werde. Gleichzeitig schlug er vor, dass das mathematische Schaffen der Schweiz auf einer Schautafel in einer grossen geometrischen Figur dargestellt werden könnte (mit Portraits von Euler, den Bernoullis, Steiner, Schläfli; den Gesammelten Werken von Euler, allen Werken der schweiz. Mathematiker, L’Enseignement mathématique, Commentarii, Akten der zwei in der Schweiz abgehalten Internationalen Mathematiker-Kongresse etc.) [ibid. 201 (1937), 35]. Nach einer Beratung über die eingegangenen Reaktionen und weiteren Vorschlägen konzentrierte sich der Vorstand der SMG auf ein Projekt von E. Stiefel und veröffentlichte im Juli 1938 ein Rundschreiben zur Sammlung mathematischer Aufgaben (Rätsel, Denksportübungen), die dann jede Woche in der für

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die Mathematik reservierten Abteilung gestellt werden sollten. Diese sollten keine speziellen oder nur bescheidene Vorkenntnisse erfordern, aber einen typisch mathematischen Gedanken zum Ausdruck bringen. Jede folgende Woche sollte mit der neuen Aufgabe die Lösung der vorangehenden dargelegt werden. Leider trafen nur sehr wenige Aufgaben ein, v. a. von Eduard Stiefel, dem Initianten des Projekts und Hugo Hadwiger [ibid. 201 (1938) und (1939)]. Trotzdem konnte die Idee realisiert werden, wie man einer Publikation von E. Trost entnehmen kann. Darin beschreibt Trost zunächst die Koje Mathematik an der Landesausstellung und berichtet alsdann, dass der Denksportveranstaltung ein voller Erfolg beschieden war, weshalb er die 22 Aufgaben mitsamt Lösungen auch für einen weiteren Kreis in einem kleinen Büchlein publizierte [Tro1939].

Abbildung 6. Die Koje Mathematik an der Schweiz. Landesausstellung Zürich 1939 [Tro1939, S. 2].

— 1945/46 wurde eine Sammlung von mathematischen Werken und Geld zugunsten der polnischen Mathematiker organisiert. Initiiert wurde dies durch einen Brief des polnischen Mathematikers W. Sierpinski an Sophie Piccard, in dem Sierpinski die durch die Nazis ermordeten polnischen Mathematiker und zerstörten Bibliotheken auflistet [ibid. 201 (1945), 1]. Rolin Wavre publizierte eine Zusammenfassung dieses Berichts mitsamt Spendenaufruf im Journal de Genève, No. 269 vom 14.11.1945, unter dem Titel «Le martyre de la Pologne» [ibid. 201 (1945), 6]. Weitere Spendenaufrufe und Berichte erfolgten in den Feuilles d’Avis de Neuchâtel vom 7.3.1946 durch S. Piccard, im Bund vom 17.4.1946 durch H. Hadwiger, in der NZZ

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vom 4.5.1946, in den Elementen der Mathematik 1 (1946), S. 56, durch L. Locher-Ernst sowie in einem Rundschreiben der SMG vom Februar 1946.

Abbildung 7. Spendenaufruf von Sophie Piccard in den Feuilles d’Avis de Neuchâtel vom 7.3.1946 [ETH-Bibliothek, Archive, Hs 1447, 201 (1946), 14 Ad. 1].

Aus den im Archiv erhaltenen umfangreichen Akten ergibt sich, dass die Geldsammlung etwa Fr. 500.– ergab, die durch die SMG auf Fr. 700.– aufgestockt wurden, womit v. a. mathematische Werke und Zeitschriften aus der Schweiz zum Autorenpreis gekauft wurden [ibid. 103 (1946), 1/5]. Dem oben erwähnten Zeitungsartikel von H. Hadwiger entnimmt man, dass ein erster Teil der erfolgreichen Büchersammlung mit dem Polenzug Nr. 6 am 10. April 1946 St. Margrethen in Richtung Warschau verliess und circa 400 Bücher, Zeitschriftenbände und Sonderdrucke aller Art umfasste. Für weitere Details sei auf die ausführlichen Bücherlisten und Korrespondenzen im Archiv [ibid. 201 (1946)] verwiesen. — Am 15. Okt. 1945 wurde von Bundesrat Kobelt auf Antrag von Prof. A. von Muralt ein Globalbeitrag von Fr. 300'000.– zur Unterstützung der wissenschaftlichen Forschung und zur Heranbildung eines schöpferischen Nachwuchses auf den Gebieten der Mathematik, der theoretischen Physik

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und der rein wissenschaftlichen Physik bewilligt. Der Beitrag bezweckte die Vergabe von zwei- bis dreijährigen Stipendien an besonders begabte junge Mathematiker oder Physiker zugunsten ihrer weiteren Ausbildung nach beendigten Hochschulstudien. Die Verwaltung der Mittel wurde einer aus je vier Vertretern der Schweizerischen Mathematischen Gesellschaft und der Schweizerischen Physikalischen Gesellschaft bestehenden Spezialkommission unter dem Vorsitz von Prof. Dr. Paul Scherrer übertragen. Als Vertreter der Mathematiker wurden nach einem angeregten Briefwechsel R. Fueter, A. Speiser, M. Plancherel und G. de Rham ernannt, der damals Präsident der SMG war [ibid. 201 (1945), 39 ff.]. — Am 31. Aug. 1947 ergaben sich auf der Mitgliederversammlung in Genf bei der Wahl des neuen Vorstandes Differenzen, indem der vom alten Vorstand vorgeschlagene prominente Mathematiker Heinz Hopf nicht als Präsident der SMG gewählt wurde durch die 26 anwesenden Gesellschaftsmitglieder. Im Protokoll der Versammlung [ibid. 2, S. 121 f.] findet sich nur die Auflistung des nach dem üblichen Turnus gewählten neuen Vorstandes (Hadwiger, Blanc, Pfluger) und der knappe Vermerk, dass Hopf die nachfolgende einstimmige Wahl in das Redaktionskomitee der CMH nicht angenommen habe. Tiefere Einsichten in das Vorgefallene vermitteln die zahlreichen im Archiv erhaltenen Briefe zu dieser Angelegenheit [ibid. 201 (1947)]. Da wäre zunächst ein leicht gekränkter Brief von Hopf selbst vom 23. Sept. 1947 [ibid., Dok. 56], in dem er für die ehrenvolle Wahl in das Redaktionskomitee der CMH dankt, diese aber nach gründlicher Überlegung nicht annehmen kann, weil damit ebenfalls eine repräsentierende Funktion nach aussen verbunden gewesen wäre. Seiner Wahl in das Redaktionskomitee sei die Ablehnung seiner Wahl zum Präsidenten der SMG unmittelbar vorhergegangen; diese beiden Beschlüsse könnten somit nicht voneinander getrennt werden, da der eine ohne den anderen bestimmt nicht zustande gekommen wäre. Wenn jedoch ein gebürtiger Ausländer nach der Meinung der Mitgliederversammlung schlecht geeignet sei, die SMG dem Ausland gegenüber zu vertreten, so wolle er auch keine andere repräsentierende Funktion in der SMG übernehmen. Am 1. Nov. 1947 folgte ein energischer Protest der ETH-Mathematiker (Gonseth, Kollros, Pfluger, Plancherel, Saxer, Stiefel) an die Kollegen Fehr und Fueter [ibid., Dok. 63], in dem sich jene von dem durch letztere in der Mitgliederversammlung vertretenen nationalistischen Standpunkt distanzieren, dass die SMG einzig von einem gebürtigen Schweizer geleitet werden könne. Wie man einem Schreiben des Genfer Mathematikers Rolin Wavre an den Vorstand und sämtliche Altpräsidenten der SMG vom 6. Dez. 1947 [ibid., Dok. 71] entnehmen kann, waren es vermutlich nicht nur nationalistische Argumente, welche die Wahl von Hopf schlussendlich scheitern liessen. Wavre weist in seinem Brief darauf hin, dass bei dem Wahlvorschlag (Hopf, Blanc, Pfluger)

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des alten Vorstands, die ETH mit zwei Mitgliedern im dreiköpfigen Vorstand vertreten gewesen wäre, was er nicht akzeptieren konnte. Ferner sei nicht einzusehen, weshalb ein gebürtiger Ausländer ohne «Abverdienen» der arbeitsintensiven Ämter des Sekretärs und Vizepräsidenten direkt als Präsident gewählt werden solle, wenn dies den gebürtigen Schweizern im Normalfall verwehrt sei. In der 100-jährigen Geschichte der Gesellschaft findet sich in der Tat nur eine einzige Ausnahme von diesem ausser in den 1920er Jahren üblichen Turnus. So wurde dem damals bereits 59jährigen, soeben zum Präsidenten des Steiner–Schläfli Komitees ernannten ETH-Mathematiker Louis Kollros 1937 einstimmig die Vize- und nachfolgende Präsidentschaft angeboten, nachdem sich P. Buchner freundlicherweise bereit erklärt hatte, nochmals zwei weitere Jahre als Sekretär zu dienen [ibid. 201 (1937), 19 u. 26]. Wie sich einem Brief von M. Gut an H. Hadwiger vom 27. Dez. 1947 entnehmen lässt [ibid. 201 (1947), 78], einigte man sich auf der Frühjahrssitzung in Burgdorf am 18. Mai 1947 anscheinend darauf, dass Hadwiger und Blanc ihre Ämter nochmals zwei weitere Jahre behalten würden, damit Hopf direkt als Präsident einsteigen kann. Im Sommer 1947 wollte Hadwiger jedoch infolge Arbeitsüberlastung [ibid., Dok. 33] und vielleicht auch wegen mangelnder Zustimmung zu seiner Wahl [ibid., Dok. 73] ganz aus dem Vorstand austreten, glaubte sich dann aber dem abweichenden Willen der Mitgliederversammlung in Genf fügen zu müssen und erklärte Annahme der Wahl. Nach dem energischen Protest der ETH-Mathematiker verzichtete er am 26. Nov. 1947 jedoch definitiv auf sein Amt [ibid., Dok. 66], worauf dann am 9. Mai 1948 Ch. Blanc, A. Pfluger und F. Fiala in den Vorstand gewählt wurden. Die Nichtwahl von Heinz Hopf dürfte somit bis zu einem gewissen Grad auch durch die als übermässig empfundene Vertretung der Zürcher Mathematiker bedingt gewesen sein. Solche Ressentiments kamen gelegentlich auch bei der Organisation der in Zürich abgehaltenen drei Internationalen Mathematiker-Kongresse vor. — Am 17./18. Mai 1957 fand in Basel eine grossangelegte Feier zur 250. Wiederkehr des Geburtstages von Leonhard Euler statt, veranstaltet von der SMG unter dem Patronat der Regierung des Kantons Basel-Stadt und der SNG. Am Nachmittag des 17. Mai lud das Radio-Studio Basel zu zwei Vorträgen von Prof. Dr. A. D. Fokker, Beekbergen (Niederlande), und Dr. M. Vogel, Bad Godesberg (Deutschland), ein, die über die Eulerschen Ton-Geschlechter referierten und deren praktische Verwendbarkeit anhand eigens für diesen Anlass von zwei holländischen Komponisten verfassten Musikbeispielen demonstrierten. Am Abend fand dann ein Empfang des Regierungsrats des Kantons Basel-Stadt im Wildt’schen Haus statt mit einer Rede von Regierungsrat Dr. Peter Zschokke (Bericht in Basler Nachrichten vom 18./19. Mai 1957, Nr. 207). Am Morgen des 18. Mai folgte die Festsitzung in der Aula der Universität mit Begrüssung durch den damaligen Präsidenten der SMG,

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Abbildung 8. Einladung zur Eulerfeier der SMG am 17.–18. Mai 1957 in Basel [ETHBibliothek, Archive, Hs 1447:2, S. 164].

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Abbildung 9. Präsenzliste zur Frühjahrssitzung der SMG anlässlich der Eulerfeier mit Rekordbesuch von ca. 100 Teilnehmern [ETH-Bibliothek, Archive, Hs 1447:2, S. 146].

E. Stiefel, und Ansprachen von A. Speiser und C. Truesdell. Am MittagsBankett im Restaurant zum Schützenhaus nahmen 176 Personen teil, ausser den Mitgliedern der SMG insbesondere die zahlreichen Delegierten sowie in- und ausländische Gäste, worunter sich auch eine Anzahl direkter Nachkommen Eulers befanden. Die eigentliche Frühjahrssitzung der SMG

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am Nachmittag zeigte einen Rekordbesuch von ca. 100 Teilnehmern. Anschliessend folgte der Vortrag von H. Hopf, der zuvor zum Ehrenmitglied der SMG ernannt worden war, zum Eulerschen Polyedersatz als Ausgangspunkt und Zentrum der Topologie (Bericht zum zweiten Tag in den Basler Nachrichten vom 20. Mai 1957, Nr. 208; Vortrag von C. Truesdell im L’Enseignement mathématique II.3, 1957, 251–262). An den Kosten für den Anlass beteiligten sich neben der Basler Regierung die SNG mit Fr. 2'000.– und Prof. Speiser mit Fr. 3'000.– [ibid. 201 (1957), 4/Ad 2 ff. und 2, S. 164 ff.]. — 1960 fand das 50-jährige Jubiläum der SMG statt. Der Anlass wurde mit einem internationalen Kolloquium unter dem Patronat der IMU gefeiert, organisiert von einem hochkarätigen Komitee, bestehend aus den Professoren H. Hopf, B. Eckmann, G. de Rham, H. Kneser, H. Whitney und H. Jecklin. Zur Finanzierung gelangte die SMG mit einem Rundschreiben an die Öffentlichkeit mit der Bitte um Unterstützung, damit die hierfür benötigten einigen zehntausend Franken aufgetrieben werden konnten. Wie man den erhaltenen Akten entnehmen kann, scheinen aus Industrie und Wirtschaft gegen Fr. 30'000.– zusammen gekommen zu sein. Die grössten Spenden kamen von der Rentenanstalt und der Schweizerischen RückversicherungsGesellschaft (beide je Fr. 3'000.-), woneben aber auch die Brown, Boveri AG Fr. 2'000.- stiftete mit der Begründung, dass die mathematische Forschung für die Industrie immer wichtiger werde [ibid. 507 (1960), Dok. 1, S. 7 und 509 (1960)]. In dem unter dem Vorsitz von H. Hopf vom 20.–25. Juni 1960 an der ETH organisierten Kolloquium über Differentialgeometrie und Topologie nahmen über 100 Mathematiker aus aller Welt teil. Die Hauptvorträge wurden von R. Bott, H. Busemann, S. S. Chern, B. Eckmann, P. J. Hilton, F. Hirzebruch, A. Lichnerowicz, J. Milnor, N. E. Steenrod und R. Thom gehalten, Akten in [ibid. 506 (1960)], Publikation in [Bott1962]. Dieses Kolloquium bildete zweifelsohne einen der Höhepunkte in der Tätigkeit der SMG, der auch dadurch charakterisiert war, dass damals im Vorstand der IMU vier mit der Schweiz verbundene Mitglieder (R. Nevanlinna, B. Eckmann, K. Chandrasekharan, H. Hopf) sassen. Die eigentliche Jubiläumsfeier der SMG fand am 25.–26. Juni 1960 statt mit der Schlusssitzung des Internationalen Kolloquiums über Differentialgeometrie und Topologie (Vorträge von G. de Rham und H. Hopf), einer Rundfahrt auf dem Zürichsee, einem Bankett im Kongresshaus und mit Festvorträgen des damaligen Präsidenten der SMG, H. Jecklin [Manuskript in ibid. 507 (1960)], und M. Plancherel über Mathematik und Mathematiker in der Schweiz [Plan1960]; siehe S. 1–21 in dieser Festschrift. Zum Kolloquium und zur Jubiläumsfeier erschienen mehrere Artikel in der NZZ, im Tagesanzeiger und im Bund von B. Eckmann, H. P. Künzi und E. Fueter, die im Archiv der Gesellschaft gesammelt wurden [ibid. 511 (1960)] sowie ein ausführlicher Bericht im L’Enseignement mathématique II.6 (1960), S. 142–144.

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Abbildung 10. Auditorium beim Internationalen Kolloquium über Differentialgeometrie und Topologie anlässlich des 50-jährigen Jubiläums der SMG. Vorderste Reihe (von links nach rechts): M. F. Atiyah, J. Eells, Stoll, Morin, H. Whitney, S. S. Cairns, J. Leray. Zweite Reihe: A. Lichnerowicz, A. Douady, (??), R. S. Palais, J. F. Adams, G. Leresche, F. Fiala, A. Frölicher, K. Voss , G. de Rham. Dritte Reihe: K. Leichtweiss, R. Olivier, N. H. Kuiper, A. Borel, N. E. Steenrod, P. J. Hilton, S. S. Chern, (??), H. Busemann, J. Milnor, P. S. Alexandroff [ETH-Bibliothek, Archive, Nachlass Beno Eckmann].

— 1962 wurde unter der Präsidentschaft von B. Eckmann ein aus Vertretern aller mathematischen Hochschulinstitute bestehendes Kuratorium der SMG geschaffen, das Massnahmen zur Förderung der mathematischen Forschung in der Schweiz, insbesondere die Schaffung eines mathematischen Forschungsinstituts studieren sollte. Das Institut sollte gemäss den Plänen des SMG-Vorstandes unter dem Patronat der Gesellschaft stehen, seinen Sitz an der ETH haben und sein Forschungsbudget sollte aus Mitteln des Schweizerischen Nationalfonds zur Förderung der wissenschaftlichen Forschung bestritten werden. Das Kuratorium sollte die Pläne für das skizzierte Institut aufstellen und, sofern das Institut zustande käme, das Patronat über das Institut innehaben [ibid. 203 (1962), 2]. Das im Laufe des Sommers 1962 konstituierte Kuratorium traf sich am 10. Nov. 1962 in Zürich zu einer ersten und am 24. Mai 1963 in Bern

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Abbildung 11. Vortrag von René Thom beim Internationalen Kolloquium über Differentialgeometrie und Topologie anlässlich des 50-jährigen Jubiläums der SMG [ETH-Bibliothek, Archive, Nachlass Beno Eckmann].

zu einer zweiten Sitzung. Nach ausführlichen Diskussionen erachtete es die folgenden Massnahmen als besonders wichtig und geeignet zur Förderung der mathematischen Forschung in der Schweiz: 1. Einladung namhafter ausländischer Mathematiker zu Gastaufenthalten, 2. Informationsdienst zwischen den einzelnen Hochschulinstituten, 3. Förderung des Kontakts zwischen den einzelnen Instituten durch Reisekostenbeiträge zum Besuch von Vorträgen und Seminarien, 4. Organisation von Arbeitstagungen. Der ursprüngliche Plan, diese Massnahmen durch Schaffung eines zentralen schweizerischen mathematischen Hochschulinstitutes zu verwirklichen, wurde fallen gelassen, weil er als zu zentralistisch empfunden wurde. Als besonders dringend wurden ein Informationsdienst und die Ausrichtung von Reisekostenbeiträgen (der spätere Austauschdienst) erachtet, deren Reglemente bereits an der Mitgliederversammlung vom 10. Okt. 1964 angenommen wurden. Ferner wurde beschlossen, dass das Kuratorium als ständiges neues Organ der SMG betrachtet werden soll, welches den Informations- und Austauschdienst überwacht. Erster Leiter des Informationsdienstes war H. P. Künzi vom Rechenzentrum der Universität Zürich, wogegen der Austauschdienst vom jeweiligen Sekretär-Kassier der SMG betreut wurde, der grössere Beitragsgesuche über Fr. 500.– den Mitgliedern

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des Kuratoriums auf dem Zirkularweg vorzulegen hatte [ibid. 202, 203, 302 und 305 (1963 und 1964)]. Informations- und Austauschdienst bestehen noch heute und wurden von der Stiftung im Durchschnitt jährlich mit etwa Fr. 10'000.– unterstützt. Wie man dem Protokoll der 35. Sitzung des Stiftungsrates der Stiftung zur Förderung der mathematischen Wissenschaften in der Schweiz vom 15. Febr. 1964 entnehmen kann, wurde 1963 doch ein Forschungsinstitut für Mathematik an der ETH unter der Leitung von B. Eckmann gegründet, nachdem das zuvor unter dem Patronat der SMG konzipierte Projekt auf eidgenössischer Ebene gescheitert war. Eines seiner Ziele war es, junge, begabte Mathematiker in der Forschung zu beschäftigen und damit ihre Auswanderung nach den USA nach Möglichkeit zu verhindern [ibid. 803.1 (1964), 1]. Um den wissenschaftlichen Austausch zwischen den schweizerischen mathematischen Hochschulinstituten zu verbessern, schlug der damalige Sekretär der SMG, R. Bader, dem Kuratorium am 7. Sept. 1966 vor, alljährlich einen Workshop in den Bergen durchzuführen, wo junge, begabte Mathematiker einander ihr jeweiliges Arbeitsgebiet vorstellen konnten [ibid. 203 (1966), 19]. Die Idee stiess besonders in der Westschweiz auf grosses Interesse, womit bereits vom 18.– 28. März 1968 dank der finanziellen Unterstützung der IMU und einiger Westschweizer Universitäten ein erstes solches Treffen in Les Plans-surBex durch D. Amiguet organisiert werden konnte. Dieses stand unter der wissenschaftlichen Leitung von R. Narasimhan (Genf) und genoss zudem die Unterstützung von B. Eckmann vom Forschungsinstitut für Mathematik an der ETH. Aus dem 7-seitigen Schlussbericht von D. Amiguet und weiteren Akten entnimmt man, dass das Treffen ein voller Erfolg war, indem mehrere spätere Hochschulprofessoren daran teilnahmen und in den nächsten Jahren dank der erneuten finanziellen Unterstützung der IMU weitere analoge Treffen organisiert wurden [ibid. 505 und 506 (1968/69)]. Die vom Kuratorium der SMG angeregten Massnahmen zur Förderung der mathematischen Forschung in der Schweiz führten somit nicht nur zur Gründung des Informations- und Austauschdiensts, sondern indirekt auch zu jener des Forschungsinstituts für Mathematik an der ETH und den Seminaren des «Troisième Cycle Romand de Mathématiques» in Les Plans-sur-Bex. — 1985 erstellte die SMG zuhanden der SNG einen von H. Carnal und A. Robert verfassten, 12-seitigen Bericht über die Bedeutung, gegenwärtige Lage, Zukunft und Bedürfnisse der mathematischen Forschung in der Schweiz unter dem Titel «Mathématiques de l’an 2000 – Prospective Suisse» [ibid. 801.2 (1985), 5]. Die Autoren hielten zunächst fest, dass die Mathematik in eine ständig wachsende Anzahl von Bereichen unseres täglichen Lebens eindringt (Autopilot in Flugzeugen, Verschlüsselung von Banküberweisungen, Computersimulationen). Anschliessend wiesen sie darauf hin, dass die Mathematik ihren verschiedenartigen Benutzern eine gemeinsame

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universelle Sprache liefert, eine grosse historische Tradition in der Schweiz hat und dass darauf zu achten sei, dass die reine Mathematik durch die Informatik-Welle der letzten Jahre nicht ungerechtfertigt in den Hintergrund gedrängt werde. Zum Abschluss folgen Statistiken über Studenten und Dozenten sowie die bange Frage, ob bei der gegenwärtigen Altersstruktur der Dozenten und der Abwanderung junger Forscher ins Ausland oder in andere Disziplinen der Schweiz im Jahr 2000 noch genügend Mathematiker zur Verfügung stehen. — Ab ca. 1985 wurde die SMG auch in zunehmendem Masse mit der Etablierung des Computers in ihren diversen Tätigkeitsbereichen konfrontiert. Im April 1985 erhielt sie vom Data Base Committee des European Mathematical Council (EMC) die Einladung, einen Vertreter in dieses Komitee abzuordnen. Das Komitee bezweckte die Entwicklung eines OnlineKommunikationssystems und einer Datenbank für europäische Mathematiker unter dem Namen «Euromath» [Lah2000, S. 14]. Die Finanzierung der ersten von drei Projekt-Phasen war durch Beiträge der EG und der dänischen Regierung sichergestellt. Als Kreditempfänger figurierte eine juristische Person, der «European Mathematical Trust», in dem die Schweiz durch G. Jäger und später S. Collart vertreten war. In den Sitzungsberichten der SMG wird ausführlich über Euromath berichtet und im Schriftverkehr mit dem EMC finden sich zahlreiche Dokumente hierzu [ibid. 810 (1985 ff.)]. Wie man den SMG-Akten entnehmen kann, musste das Euromath-Projekt wegen Finanzierungsproblemen redimensioniert werden. Im SMG-Bulletin vom Herbst 1991 liest man hierzu: «Trotz grossen Summen aus den Kassen der EG muss man heute leider feststellen, dass aus dem anfänglich vielversprechenden Projekt kaum noch etwas Brauchbares wird» [ibid. 305 (1991), 2/2]. — 1992 wurde die Produktion der Elemente der Mathematik [ibid. 702 (1992)] und 1995 diejenige der Commentarii [ibid. 602 (1994)] auf das mathematische Textverarbeitungssystem TEX umgestellt. 1998 errichtete der damalige Präsident der SMG, G. Wanner, mit der Unterstützung von Stéphane Cirilli deren erste Internet Webseite (http://www.math.ch/), die bereits 1999 ausgebaut wurde mit einem elektronischen Mitgliederverzeichnis, Joblists sowie Links auf alle mathematischen Institute in der Schweiz und die mathematischen Gesellschaften im Ausland. 2006 wurden die SMGWebseiten durch den heutigen Webmaster N. Hungerbühler neu gestaltet und auch das Informationsbulletin der Gesellschaft aufgeschaltet und eine eigene Seite zur Förderung der Mathematik an den Gymnasien erstellt. Die Seite bietet aktuelle Hinweise auf Veranstaltungen, Links zu entsprechenden Aktivitäten der Universitäten, einen Vortragsdienst, Patenschaften für Maturaarbeiten, einen Nachhilfedienst, Literatur und Software-Em-

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pfehlungen sowie eine nützliche Link-Sammlung. Neu in Betrieb genommen wurde damals ebenfalls die Swiss Digital Mathematics Library (SwissDML). Diese wurde in Zusammenarbeit mit dem Konsortium der Schweizer Hochschulbibliotheken und dem Göttinger Digitalisierungszentrum realisiert. Diese elektronische Bibliothek umfasst die vollständigen Bestände der CMH, der Elemente der Mathematik mitsamt ihrer Beihefte und des L’Enseignement mathématique, mit Ausnahme der Jahrgänge, die innerhalb der kommerziellen Nutzungsfrist liegen (in der Regel 5 Jahre). Die Artikel sind über die Web-Seiten der SMG frei zugänglich; Download der PDF-Files und Volltextsuche sind implementiert. Die im Sommer 2006 neu aufgeschalteten Web-Seiten der SMG auf www.math.ch werden rege frequentiert. Ziel der Neugestaltung war es, die vielfältigen Aktivitäten sowie die Struktur der SMG besser darzustellen und die Mechanismen der Gesellschaft transparenter zu machen und damit auch dem Mitgliederschwund entgegenzuwirken. Ab 1996 sind damit sämtliche Jahresberichte, zahlreiche Sitzungsberichte und ab einem etwas späteren Datum auch die meisten der von der SMG unterstützten Tagungen online einsehbar. Andererseits fehlen aber ab diesem Datum die Akten im physischen Archiv an den Spezialsammlungen der ETH für einige Jahre beinahe vollständig, da etliche Vorstandsmitglieder ihre Akten noch nicht an die ETH-Bibliothek abgeliefert haben. Unsere Berichterstattung über diese neueste Zeit bleibt somit gelegentlich etwas lückenhaft, obgleich wir keine Mühe scheuten, die fraglichen Vorstandsmitglieder persönlich zu kontaktieren.

Die mathematischen Zeitschriften der SMG In den ersten Jahren ihres Bestehens besass die SMG keine eigene Zeitschrift. Die Zusammenfassungen der an den Jahresversammlungen gehaltenen Vorträge wurden im L’Enseignement mathématique veröffentlicht und in abgekürzter Form für SNG-Mitglieder auch in den Verhandlungen der SNG publiziert [vgl. Hs 1447, 504 (1936), 1 f.]. Dabei war es die Aufgabe der Referenten, die betreffenden Zusammenfassungen einzureichen und für die Publikation im Enseignement ins Französische zu übersetzen, wie man aus einer Instruktion des damaligen Sekretärs der Gesellschaft S. Bays [ibid. 504 (1927), 4] und vom Enseignement [ibid. 504 (1934), 18] entnimmt. Die an den Sitzungen gehaltenen Hauptvorträge wurden sogar meist integral im Enseignement publiziert. Die SMG bezahlte dem Enseignement den entsprechenden Anteil an den Druckkosten und an der Herstellung von ca. 200–250 Sonderdrucken der Sitzungsberichte, die anschliessend an die Mitglieder verteilt wurden. Nachdem das Enseignement infolge des zweiten

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Weltkrieges während mehreren Jahren nicht erschienen war und die Redaktion nach dem Tod von H. Fehr im Jahr 1954 an J. Karamata übergegangen war, kam es wegen stark erhöhter Rechnungen des Enseignement für die Druckaufträge zu Differenzen [ibid. 201 (1956), 22 ff.]. Die SMG wollte diese Kosten infolge beschränkter, durch den Austauschdienst beanspruchter Mittel ab 1966 nicht mehr übernehmen und die Vortragsberichte bloss in den Verh. SNG publizieren [ibid. 201 (1966), 25 und 503 (1966), 2]. Als jedoch auch diese um 1975 ihre Publikationsform änderten und fortan auf die Publikation von Vortragsberichten der Sektionen verzichteten, wurden die Vortragszusammenfassungen ab 1976 aufgrund der Wünsche einiger Mitglieder zunächst im Offsetverfahren durch die SMG vervielfältigt und in einer beschränkten Anzahl den Mitgliedern und anderen Interessenten zur Verfügung gestellt, was jedoch nach wenigen Jahren wieder eingestellt wurde (vgl. die betreffenden Belegexemplare im SMG-Archiv [ibid. 503 (1976 ff.)] sowie den Bestand Per. 715465:1979-1981 an der ETH-Bibliothek). Die Gründung der gesellschaftseigenen Commentarii Mathematici Helvetici (CMH ) lässt sich in den erhaltenen Dokumenten im Archiv der Gesellschaft relativ detailliert verfolgen [ibid. 600–607 (1928 ff.)]. Bereits am 5. Juni 1926 ersuchte die SMG die SNG in ihrem Subventionsgesuch für 1927, einen Betrag von Fr. 3'500.– aufzunehmen zwecks Gründung einer eigenen wissenschaftlichen Zeitschrift [ibid. 801.2 (1927), 1]. Zur Begründung wurde angeführt, dass nur so die mangelnde Bekanntheit der Forschungsresultate schweizerischer Mathematiker im Ausland wirkungsvoll angegangen werden könne, wie die intensiven Diskussionen auf der Mitgliederversammlung in Aarau im Jahre 1925 gezeigt haben. Zur Realisierung des Projektes wurde eine Kommission eingesetzt, die einen Projektentwurf ausarbeitete, welcher anschliessend in wesentlichen Punkten noch präzisiert wurde [ibid. 600 (1928), 1 f.], so dass nach dessen Billigung auf der Frühjahrsversammlung vom 20. Mai 1928 in Bern bereits Ende 1928 das erste Heft der CMH erscheinen konnte [ibid. 605 (1928), 1]. Gleichzeitig ging man an die Gründung einer Stiftung, welche die Publikation der Zeitschrift unterstützen sollte. Wie man dem Briefwechsel von R. Fueter mit dem Präsidenten der SMG entnehmen kann, waren im April 1929 bereits Fr. 10'000.– gesammelt. Am 16. Juni 1929 konnte das Gründungskomitee der Stiftung (M. Plancherel, A. Speiser, E. Marchand, R. Fueter) der SMG an einer ausserordentlichen Mitgliederversammlung in Bern die Statuten und einen Wahlvorschlag für den Stiftungsrat vorlegen, so dass die «Stiftung zur Förderung der mathematischen Wissenschaften in der Schweiz» nach der Genehmigung durch die Mitgliederversammlung und den Bundesrat am 30. Dez. 1929 ins Handelsregister eingetragen werden konnte [ibid. 201, 25 ff.; 605, 5 f. und 803 (1929) sowie die ebenfalls an der ETH befindlichen, vom Archiv zur Zeit erst teilweise erschlossenen Stiftungsakten, Hs 1064:1].

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Aus den Akten der SMG und dem ersten gedruckten Reglement der CMH entnimmt man, dass der Titel der Zeitschrift in Anlehnung an die kurz zuvor gegründeten Helvetica Chimica Acta und Helvetica Physica Acta der Schweizerischen Chemischen bzw. Physikalischen Gesellschaft ebenfalls auf lateinisch gehalten sein sollte, um keine der drei Landessprachen zu bevorzugen. Die Leitung der Zeitschrift wurde einem alle sechs Jahre zu wählenden Redaktionskomitee übergeben, bestehend aus einem Präsidenten, einem Generalsekretär, einem Hilfssekretär sowie sämtlichen ehemaligen Präsidenten der Gesellschaft. Als Verlag wurde Orell Füssli gewählt, der bereits die Monographien-Reihe Veröffentlichungen der Schweizerischen Mathematischen Gesellschaft ab 1925 herausgegeben hatte. In den CMH durften nur Originalarbeiten wissenschaftlichen Inhalts mit neuen Resultaten oder Methoden publiziert werden. Die Arbeiten mussten in einer der drei Landessprachen abgefasst sein und von schweizerischen oder in der Schweiz ansässigen ausländischen Gelehrten stammen. Über die Möglichkeit der Veröffentlichung von Abhandlungen ausländischer Gelehrter hatte das Komitee zu bestimmen. Der Abonnementspreis wurde in den ersten Jahren auf Fr. 15.– bzw. 18.– für Mitglieder respektive Fr. 25.– für Aussenstehende festgelegt. Vgl. die Broschüre mit dem Beschluss vom 20. Mai 1928 in Bern und dem auf der Jahresversammlung der SMG in Thun am 7. Aug. 1932 verabschiedeten Reglement der CMH [ibid. 601 (1932)]. Zur Finanzierung der CMH dienten einerseits die Bundessubventionen (zunächst Fr. 1'000.– bis Fr. 3'500, ab 1949 Fr. 5'000.–, ab 1953 Fr. 6'400.–, ab 1956 Fr. 8'500.–), die Zuschüsse durch die 1929 gegründete Stiftung [zunächst Fr. 450.–, 1936 Fr. 1'930.–, vgl. die Zusammenstellung in ibid. 803.2 (1936), 2], welche vor allem durch Beiträge von Versicherungsgesellschaften und einigen anderen grossen Unternehmen alimentiert wurde, sowie die Einnahmen aus den Zeitschriften-Abonnements. Als erster Generalsekretär der Zeitschrift wurde Rudolf Fueter gewählt, der sich bis zu seinem Tod in mustergültiger Weise für die Zeitschrift einsetzte. 1937, als die Subvention in Anbetracht der ungünstigen finanziellen und politischen Lage auf Fr. 2'000.– herabgesetzt wurde [ibid. 801.2 (1937), 1], schrieb er am 25.4.1938 an den Präsidenten der SMG: «Ein Stück wertvollster geistiger Landesverteidigung ist unsere einzige wissenschaftliche mathematische Zeitschrift, die Commentarii Mathematici Helvetici. Würde sie nicht existieren, so hätten wir wieder die gleichen Zustände, wie vor & während des Krieges [I. Weltkrieg]. Damals konnten die schweiz. Mathematiker nur im Ausland ihre Forschungen publizieren, & waren auf die Gunst des einen oder andern Grossstaates angewiesen. Eine schweiz. Mathematik konnte es daher nicht geben. Unsere Leistungen wurden dem Staate zugeschrieben, in dem sie erschienen. Durch die Gründung der C.M.H. ist dies anders geworden. Dem Auslande wird gezeigt, was wir arbeiten. Die

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Abbildung 12. Anschreiben von Orell Füssli zur Erstauslieferung von CMH [ETHBibliothek, Archive, Hs 1447, 605 (1929), 4].

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Abbildung 13. Abschrift der Stiftungsurkunde der «Stiftung zur Förderung der mathematischen Wissenschaften in der Schweiz» [ETH-Bibliothek, Archive, Hs 1447, 803.2 (1929), 1 Ad. 1] (Notariatsprotokoll im Staatsarchiv des Kantons Zürich).

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Zeitschrift hat internationalen Ruf erlangt, was sich in den Zusendungen von Manuskripten & in den Anfragen nach Austausch kund tut. Allein die Zeitschrift kann bei dem kleinen Hinterland nicht finanziell aus eigenen Mitteln existieren. Sie kostet pro Jahr Fr. 4'000.– ohne Bureauauslagen, Clichés für Figuren, etc. zu berechnen. Wir sind daher auf Subventionen angewiesen.» [ibid. 605 (1938), 2]. Die Demarchen und Eingaben der SMG [ibid. 201 (1938), 8 ff.] blieben nicht ohne Erfolg; bereits am 16. Sept. 1939 wurde durch die Regierung ein Nachtragskredit eingestellt, womit die Subvention für 1939 wieder auf Fr. 3'000.– zu stehen kam [ibid. 801.2 (1939), 14 Ad. 1]. Nach Fueters Tod (1950) wurde das Reglement der CMH revidiert [ibid. 601 (1951)]. Gemäss dem neuen Art. 3 durften fortan auch Arbeiten in englischer Sprache eingereicht werden. Gemäss Art. 4 setzte sich das Redaktionskomitee nunmehr aus einem Präsidenten, einem Vizepräsidenten und einem Sekretär zusammen. Ihnen stand ein Beirat aus sämtlichen ehemaligen und dem derzeitigen Präsidenten der SMG sowie eventuellen weiteren von der Generalversammlung der SMG bestimmten Mitgliedern zur Seite. Der Abonnementspreis wurde leicht angehoben: Mitglieder der SMG bezahlten jetzt Fr. 18.–, Nichtmitglieder Fr. 30.–. Als Mitglieder des neuen Redaktionskomitees wurden J. J. Burckhardt, A. Pfluger und G. de Rham bestimmt. 1965 kam es zu Klagen über den Orell Füssli Verlag, da die Hefte der CMH wegen Mangels an geeigneten Setzern häufig mit Verspätung erschienen. Zudem wies das Redaktionskomitee der CMH in einem Schreiben an den Vorstand der SMG und an die Stiftung noch auf eine weitere Schwachstelle des Orell Füssli Verlags hin. Ursprünglich habe man die Hoffnung gehabt, der Verlag würde die wissenschaftliche Produktion pflegen, und man habe ihm deshalb die CMH, die Euler-Werke und mathematischen Veröffentlichungen der SMG überlassen. Der Verlag habe jedoch enttäuscht, indem er diesen Sektor nicht weiter ausgebaut habe und die Werbung ungenügend geblieben sei [ibid. 605 (1965), 9]. Nach Konsultationen mit den oben erwähnten Gremien der SMG nahm J. J. Burckhardt deshalb Verhandlungen mit dem Birkhäuser Verlag in Basel auf, und als dieser versprach, auch noch die Ablösungskosten für die von Orell Füssli zu übernehmenden alten Jahrgänge der CMH sowie für die Adressen der Abonnenten zu bezahlen, war der Verlagswechsel perfekt [ibid. 605 (1965), 16 et passim]. 1967 trat de Rham zurück und wurde durch A. Haefliger ersetzt. Wenig später kam es zu Finanzierungsproblemen für die CMH, da die Stiftung wegen der Ausgaben für den Austauschdienst und einer Verringerung der Spenden nicht genügend freie Mittel hatte, den stetigen Preisforderungen des Birkhäuser Verlags nachzukommen. Sie ersuchte deshalb den Schweizerischen Nationalfonds um eine zusätzliche Subventionierung der CMH von Fr. 7'000.– während der nächsten drei Jahre, was auch bewilligt wur-

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de [ibid. 803.2 (1967)]. 1973 wurde die Unterstützung des Nationalfonds in den Unterstützungsbeitrag der SNG integriert und belief sich damals auf Fr. 15'800.– für die CMH. Nur zehn Jahre später war dieser Beitrag bereits auf Fr. 37'000.– angewachsen. Zu Beginn der 1980er Jahre erfolgte eine vollständige Umgestaltung des Redaktionskomitees, indem 1981 der geschäftsführende Redaktionssekretär J. J. Burckhardt aus Altersgründen nach über 30 Jahren zurücktrat und durch P. Gabriel ersetzt wurde. Kurz darauf verliessen auch A. Pfluger und A. Haefliger das Redaktionskomitee, wogegen M. Kervaire, J. Moser, P. Hess, A. Borel und C. Weber von 1980 bis 1984 neu in die Redaktion eintraten. Die neue Redaktion unter der Leitung von P. Gabriel sah sich mit stetig weiter wachsenden Preisen vonseiten des Birkhäuser Verlags konfrontiert sowie mit Ausgaben für den Austauschdienst mit anderen Bibliotheken, für den sie 65 Freiexemplare zur Verfügung zu stellen hatte. Zudem wuchs die Zahl der eingereichten Manuskripte und deren technische Komplexität mit dem Fortschreiten der mathematischen Forschung ständig. P. Gabriel schrieb im Jahresbericht 1989 der CMH, dass im Band 64 (1989) 38 Artikel mit insgesamt 673 Seiten publiziert wurden. Dabei wurden 32 Arbeiten angenommen und 42 abgelehnt (gegen 30 Annahmen im Jahr 1988 und 85 Ablehnungen!) [ibid. 602 (1989)]. Als es zusätzlich noch zu Differenzen innerhalb des Redaktionskomitees kam, traten P. Gabriel (der bereits 1987 auf eine Wiederwahl verzichtet hatte), P. Hess und J. Moser Ende 1989 definitiv zurück, und es musste ein neuer geschäftsführender Redaktor gefunden werden. Glücklicherweise war der dem Birkhäuser Verlag nahestehende H. Kraft bereit, die Redaktion der CMH zu übernehmen. Unter seiner Geschäftsführung traten 1991 M. Struwe und E. Ghys, 1997 M. Burger und ab 2000 J.-B. Bost, G. Levitt, D. A. Salamon, A. Beauville, T. Colding, H. Darmon und W. Lück in die Redaktion ein. Gleichzeitig wurde am Mathematischen Institut der Universität Basel ein Redaktionssekretariat eingerichtet, dessen Bezahlung aber wegen der allgemeinen Finanzprobleme der Stadt Basel schwierig blieb. Nach 15-jähriger Tätigkeit trat H. Kraft im Frühjahr 2006 nach dem Wechsel vom Birkhäuser Verlag zum EMS Publishing House zurück. Seither wird die Zeitschrift von Eva Bayer-Fluckiger als geschäftsführender Redaktorin geleitet. Die Elemente der Mathematik wurden 1946 vom SMG-Mitglied Louis Locher-Ernst gegründet. Dieser berichtete in einem Brief vom 25. Aug. 1945 an den Präsidenten der SMG und in einem Vortrag an der Mitgliederversammlung in Fribourg im Herbst 1945 über das Projekt und stellte dabei die Frage, in welcher Art zum Ausdruck gebracht werden dürfe, «dass die Elemente die Unterstützung der Schweizer. Mathem. Gesellschaft genies-

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sen». Gleichzeitig wies er darauf hin, dass das Patronat der Zeitschrift von drei Ehrenmitgliedern der SMG übernommen werde und auch die meisten der 21 ständigen Mitarbeiter SMG-Mitglieder seien [ibid. 504 (1945), 17, 26– 28]. Sodann ersuchte er die SMG um Unterstützung bei der Gründung der Zeitschrift, und schlug vor, dass passende Vorträge in extenso in der neuen Zeitschrift abgedruckt werden könnten und der Redaktion ein vollständiges Verzeichnis der in den Versammlungen gehaltenen Vorträge zur Verfügung gestellt würde. Dem Titelblatt der ersten Nummern entnimmt man, dass die Zeitschrift die Pflege der Mathematik und die Förderung des mathematisch-physikalischen Unterrichts bezweckte und gleichzeitig offizielles Organ für den Verein Schweizerischer Mathematiklehrer war. Der Abonnementspreis war relativ bescheiden; er erhöhte sich von 1946 bis 1952 von nur Fr. 6.– auf Fr. 10.– pro Jahr. Die Zeitschrift publizierte Abhandlungen und Forschungsberichte aus den einzelnen mathematischen Disziplinen mit besonderer Berücksichtigung des mathematischen und physikalischen Unterrichts, kleine Mitteilungen von höchstens zwei Seiten, Aufgaben insbesondere aus dem Stoffgebiet der Elementarmathematik, Berichte von Tagungen sowie eine detaillierte Literaturüberschau. 1949 trat kurzzeitig Erwin Voellmy und wenig später E. Trost und P. Buchner in die Redaktion ein. Gleichzeitig wurde ein Aufbaufonds zur Sicherstellung der Fortführung und Erweiterung der Zeitschrift gegründet, der von H. Jecklin betreut wurde und bereits in den ersten Jahren von schweizerischen Versicherungsgesellschaften namhafte Beiträge erhielt. Nach dem Tod von L. Locher-Ernst am 15. Aug. 1962 führten Trost und Buchner die Zeitschrift allein weiter, bis 1970 J. Rätz und 1972 M. Jeger in die Redaktion eintraten. Neben den CMH erhielten auch die Elemente stets Unterstützungsbeiträge von der «Stiftung zur Förderung der mathematischen Wissenschaften in der Schweiz». So wurde z. B. bereits 1949 ein Beitrag von Fr. 1'500.– an die Elemente überwiesen [ibid. 2, S. 132], 1962 waren es Fr. 2'500.– [ibid. 803.1 (1962)] und 1966 Fr. 5'000.– [ibid. 803.1 (1966)]. Daneben erhielten die Elemente Defizitbeiträge des Schweizerischen Nationalfonds (SNF), die sich 1968–70 auf Fr. 5'000.– und 1971/72 auf Fr. 6'500.– beliefen. Als jedoch der SNF die Subventionierung der Zeitschriften im Jahre 1973 aufkündigte und die SNG sich weigerte, die Elemente zu unterstützen, da diese Eigentum des Birkhäuser Verlags seien, sah sich die Zeitschrift wegen ihrer ständig steigenden Defizite in ihrer Existenz bedroht [ibid. 205 (1973); 803.2 (1973), 4 und 801.2 (1974), 6ff.]. Redaktion und Vorstand der SMG suchten deshalb gemeinsam nach einer Lösung, bei der die Zeitschrift wie die CMH durch die SNG unterstützt werden konnte, wozu sich dank des Entgegenkommens des Birkhäuser Verlags eine kostenlose Übernahme der Zeitschrift durch die SMG anerbot. Nach der Zustimmung sämtlicher Organe der SMG und umfangreichen Verhandlungen der SMG und der damaligen

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Elemente-Redaktoren Trost und Jeger mit dem Birkhäuser Verlag konnte der Übernahmevertrag im Nov. 1975 unterzeichnet werden [ibid. 705 und 707 (1974–75)]. Die bisherigen Redaktoren Jeger, Rätz und Trost erklärten sich bereit, die Herausgabe der Zeitschrift weiterzuführen. P. Buchner musste aus gesundheitlichen Gründen austreten, wogegen auf Wunsch des Redaktionskomitees die Herren H. Kappus (Basel) und J. Steinig (Genf) neu in die Redaktion aufgenommen wurden. Mit seinem konzilianten und ruhigen Wesen hat Ernst Trost den Charakter der Zeitschrift als geschäftsführender Redaktor während 20 Jahren geprägt und ihr als Ort der Pflege mathematischer Kleinkunst zu internationalem Ansehen verholfen. Nach seinem unerwarteten Tod im Jahre 1982 übernahm sein langjähriger Koredaktor Max Jeger die Geschäftsführung. Unter seiner Leitung wirkten als Redaktoren zunächst H. Kappus, M.-A. Knus, J. Rätz, J. Steinig sowie später ab 1988 Catherine Bandle, F. Bachmann, H. Chr. Im Hof und H. Joris. In den 1980er Jahren verloren die Elemente zunehmend an Abonnenten bei einer gleichzeitigen Steigerung der Produktionskosten. Es wurde damit immer schwieriger, von den Geldgebern die entsprechenden Summen zu erhalten, wobei jeweils die Frage nach dem Kosten-Nutzen-Verhältnis im Raum stand. Da die von der Elemente-Redaktion vorgeschlagenen Reorganisations-Massnahmen der SMG zu wenig weit gingen, wurde auf der Herbstversammlung 1990 eine Kommission eingesetzt, die ein neues Konzept für die Zeitschrift ausarbeiten und insbesondere nachfolgende Fragen klären sollte: Zielpublikum der Elemente, Profil der Zeitschrift (Akzentverschiebung von den Mittelschullehrern zu den Hochschulabsolventen), Pflichtabonnement für SMG Mitglieder, Werbeaktion [ibid. 501, 705 (1990 und 1991)]. Auf der nächsten Frühjahrstagung wurde ein neues Reglement und neue Statuten für die Elemente angenommen und mit der nachfolgenden Genehmigung durch den Beirat der SMG auch eine neue Redaktion auf den 1.1.1992 eingesetzt. Neuer geschäftsführender Redaktor wurde Urs Stammbach, neue Redaktionsmitglieder P. Gallin, H. R. Schneebeli, R. Strebel, H. Walser und später noch Ch. Blatter, J. Kramer, F. Sigrist, H. H. Storrer und H. Widmer. Hauptziel der Reorganisation war eine stärkere Ausrichtung der Zeitschrift auf die Bedürfnisse ihres Leserkreises. Die Zeitschrift sollte vermehrt in ihren Beiträgen «aktuelle und interessante Themen der Mathematik und ihrer Anwendungen aufgreifen und in einer Form darstellen, welche auch Nichtspezialisten anspricht» [Mitteilung der Redaktion, El. Math., Vol. 46, 179 f.]. Gleichzeitig wurden auch vermehrt Besprechungen von Büchern und Computersoftware aufgenommen und das äussere Erscheinungsbild der Zeitschrift verändert: Auf dem Titelblatt erscheint nun zum ersten Mal der Vermerk «Eine Zeitschrift der Schweizerischen Mathematischen Gesellschaft». Mit dem neuen Profil und einer Werbeaktion erhöhte sich die Abonnentenzahl immerhin um etwa 10% [ibid. 702 (1992)].

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Mit dem 1.1.2000 kam es erneut zu einer grösseren Umstellung in der Redaktion der Elemente. Urs Stammbach trat als geschäftsführender Redaktor zurück, und mit ihm traten auch H. Joris und H. Schneebeli aus dem Editorial Board aus. Als neuer Chefredaktor wurde Juerg Kramer von der Humboldt-Universität zu Berlin gewonnen, neue Redaktionsmitglieder sind Frau Baoswan Dzung Wong und die Herren N. Schappacher und G. Wanner und in den nachfolgenden Jahren auch M. Brodmann, P. Ghanaat, N. Hungerbühler, Ch. Leuenberger und E. Warmuth. 2005 gingen Herstellung und Vertrieb der Elemente zusammen mit den Commentarii vom Birkhäuser Verlag an das EMS Publishing House in Zürich über. Die beiden Zeitschriften sind noch heute das Aushängeschild der schweizerischen Mathematiker, wie in den Jahresberichten der SMG ab ca. 1998 unablässig betont wird: Die Commentarii für ihr hohes wissenschaftliches Niveau und internationales Renommee, die Elemente für ihre hervorragend lesbaren, ein breiteres Publikum ansprechenden Texte. Beide Zeitschriften konnten ihre Auflagen seit ihrem ersten Erscheinen wesentlich erhöhen und erreichten um 1975 ihre höchsten Abonnementszahlen, worauf diese dann sukzessive wieder leicht abfielen, bei den Elementen etwas stärker als bei den Commentarii. Die Elemente begannen 1946 mit 319 Abonnements in der Schweiz und 25 im Ausland, steigerten sich 1969 auf 220 Abonnements in der Schweiz und 500 im Ausland [vgl. die detaillierte Zusammenstellung in ibid. 705 (1974), 8/4] und hatten 2008 noch 440 Abonnements. Die Commentarii begannen mit einer Auflagenhöhe von 400–500 Exemplaren, erreichten 1973 insgesamt 912 Abonnements [ibid. 803.1 (1974), 1/3] und wurden 2008 in etwa 550 Exemplaren ausgeliefert. Beide Journale waren für ihr Überleben auf Bundessubventionen angewiesen und sicherten sich finanziell ab durch die Errichtung einer Stiftung bzw. eines Aufbaufonds. Als die Schweizerische Akademie der Naturwissenschaften (SANW) ab 1990 nicht mehr bereit war, die ständig wachsenden Produktionskosten für die wissenschaftlichen Zeitschriften allgemein und insbesondere für die Commentarii und Elemente zu tragen, betonte die SMG zunächst die Wichtigkeit dieser beiden Zeitschriften für die schweizerische Mathematik [ibid. 801.2 (1993), 11], konnte aber den Kürzungsdruck vonseiten der SANW doch nicht gänzlich abwenden, was wohl zusammen mit der Unterstützung für das EMS Publishing House in Zürich einer der wesentlichsten Gründe für den 2005 erfolgten Verlagswechsel gewesen sein dürfte.

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Vertretung in internationalen Gremien und Organisation von deren Kongressen Die Schweiz war im vergangenen Jahrhundert in den internationalen mathematischen Gremien und bei den durch diese organisierten Kongressen gemessen an ihrer relativ bescheidenen Grösse eindeutig überproportional vertreten. Sie hatte als bisher einziges Land die Ehre, den Internationalen Mathematiker-Kongress (ICM) bis heute dreimal in derselben Stadt beherbergen zu dürfen, und konnte auch fünfmal den Präsidenten der Internationalen Mathematischen Union stellen, wenn man die an schweizerischen Hochschulen lehrenden ausländischen Mathematiker mit einbezieht. Diese günstige Entwicklung nahm bereits vor der Gründung der SMG ihren Anfang. Nachdem deutsche und französische Kreise um 1890 die Organisation eines internationalen Mathematiker-Kongresses propagiert hatten, beschloss man, diesen aufgrund eines Vorschlags Georg Cantors in der neutralen Schweiz abzuhalten. Die Zürcher Mathematiker stimmten diesem Ansuchen im Juli 1896 zu und so wurde eine Kommission unter der Leitung von Carl Friedrich Geiser gebildet, die sich um die Festlegung des genauen Datums, um Dauer, Programm, Publikationen, Einladungsform und Finanzierung des Kongresses kümmern sollte. Auf Anraten der Deutschen Mathematiker-Vereinigung wurde das lokale Organisationskomitee bald um mehrere ausländische Vertreter erweitert, so dass die Einladung von einem wirklich internationalen Gremium ausgehen konnte. Der erste Internationale Mathematiker-Kongress in Zürich fand vom 9.–11. August 1897 statt und wurde von insgesamt 208 ordentlichen Teilnehmern besucht (darunter bloss 4 Mathematikerinnen). Zur Organisation des ersten Zürcher Kongresses vgl. das Archiv des lokalen Organisationskomitees in ETH-Bibl., Archive, Hs 637:1; zum Kongress selbst [Rud1898]; zur Geschichte der drei Zürcher Kongresse [Neu1994a] und [Neu1994b]; zur generellen Geschichte des ICM [Cur2009]. Ein weiterer, heute wohl etwas weniger bekannter früher Beitrag zur internationalen Vernetzung der Mathematiker ging vom Wahlgenfer Henri Fehr aus, dem Mitbegründer des L’Enseignement mathématique und langjährigen Generalsekretär der Internationalen Mathematischen Unterrichtskommission (IMUK/ICMI). Fehr wurde nach seinem mehrere Jahrzehnte dauernden Wirken als Generalsekretär 1952 zum Ehrenpräsident der International Commission on Mathematical Instruction (ICMI) ernannt. Fehrs Leistungsausweis für den Mathematikunterricht ist beeindruckend. Während 55 Jahren war er Herausgeber des L’Enseignement mathématique, der ersten internationalen Zeitschrift zum mathematischen Unterricht und offiziellem Organ der ICMI [CFGHS2003]. Und für die schweizerische Subkom-

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Abbildung 14. Anzeigekarte des ersten Internationalen Mathematiker-Kongresses am Eidg. Polytechnikum in Zürich, 9.–11. Aug. 1897. Vignetten auf der Karte mit Portraits von Daniel, Jakob und Johann Bernoulli (oben), Leonhard Euler (links) und Jakob Steiner (rechts) sowie der Südfassade des Polytechnikums illustrieren den schweizerischen Beitrag zur internationalen Mathematikwissenschaft [ETHBibliothek, Archive, Hs 637:1]

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mission hat er 1910–13 einen über 700 Seiten umfassenden Bericht zum mathematischen Unterricht in der Schweiz herausgegeben, der eine überaus wertvolle, heute kaum mehr bekannte Quelle für historische Forschungen auf diesem Gebiete darstellt [Feh1910-13]. Der SMG hat Fehr während vielen Jahren wertvollste Dienste geleistet. So organisierte er den Druck und Versand der Versammlungsberichte und der Mitgliederverzeichnisse und stand mit dem jeweiligen Vorstand der SMG stets in einem freundschaftlichen Verhältnis. In einem Brief anlässlich des 25-jährigen GesellschaftsJubiläums an den damaligen Sekretär der Gesellschaft, W. Scherrer, schreibt Fehr sogar, dass die Initiative zur Gründung der SMG von ihm ausgegangen sei, seine beiden Mitbegründer (Fueter, Grossmann) aber hätten sofort ihre Mitwirkung zugesagt [ibid. 201 (1935), 13]. Nach der Gründung der IMU am 20. Sept. 1920 in Strassburg gab Fehr auf der nächsten Frühjahrsversammlung der SMG in Basel auf Wunsch des Vorstandes Erläuterungen zu den Statuten der IMU, worauf dann auf der Herbstversammlung 1921 in Schaffhausen der Beitritt der Schweiz beschlossen wurde. Fehr gehörte dem Vorstand der IMU von 1924–32 als Vizepräsident an. Nach dem ersten Weltkrieg wurden die besiegten Nationen zunächst während mehreren Jahren von den internationalen wissenschaftlichen Organisationen ausgeschlossen [Leh1998, S. 30]. Infolge der dadurch verursachten Streitereien kam es auf dem Internationalen Mathematiker-Kongress von Bologna (1928) bei der Festlegung des nächsten Kongressortes zu den grössten Schwierigkeiten und peinlichsten Diskussionen, so dass sich Rudolf Fueter im Namen der Schweizer Delegation schliesslich bereit erklärte, den Kongress zu übernehmen, um dessen Durchführung zu retten [Bur1980, S. 11]. Am 11. Februar 1930 fand eine Besprechung der Zürcher Mathematiker statt, bei der Fueter als provisorischer Präsident des Organisationskomitees bezeichnet wurde, mit dem Auftrag, die SMG um Bestätigung dieser Wahl zu ersuchen [ibid. 201 (1930), 2]. Der damalige Präsident der SMG, S. Dumas, wollte diese Bestätigung zunächst einer ordentlichen Mitgliederversammlung vorlegen. Da Fueter aber zur Eile drängte, stimmte er nach einem Treffen am 22. Februar mit Fueter und Fehr in Bern und der Konsultation einiger weiterer prominenter Gesellschaftsmitglieder den Vorschlägen von Fueter schliesslich zu [ibid. 201 (1930), 3 ff.]. Der zweite Internationale Mathematiker-Kongress in Zürich fand vom 4.–12. September 1932 statt. Er wies gegenüber dem ersten eine Verdreifachung beinahe sämtlicher relevanter Daten auf, wie der diesmal von der Universität stammende Präsident des Organisationskomitees, Rudolf Fueter, in seiner Eröffnungsansprache hervorhob: Die Kongressdauer stieg von 3 auf 9 Tage, die Zahl der ausgesandten Einladungen von 2000 auf 6000, die wissenschaftlichen Sektionen von 5 auf 8, die Kongresssprachen von 2 auf 4, die Anzahl der ordentlichen Teilnehmer von 208 auf 667 (worunter 35

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Mathematikerinnen mit Emmy Noether als erster weiblicher Hauptreferentin); Budget und Vortragsanzahl wuchsen gar fast um einen Faktor zehn an (21 Hauptvorträge und ca. 250 Sektionsvorträge) [Sax1932].

Abbildung 15. Emmy Noether, erste und bis 1990 auch einzige weibliche «plenary speaker» an einem ICM, anlässlich der Schiffahrt auf dem Zürichsee beim ICM 1932 [ETH-Bibliothek, Archive, Hs 637:2].

Nach dem zweiten Weltkrieg musste die Internationale Mathematische Union (IMU) neu etabliert werden. Hierzu wurde vom 27.–29. August 1950 eine Gründungsversammlung in New York abgehalten. Schweizer Vertreter waren G. de Rham und W. Saxer. Auf der Frühjahrssitzung der SMG am 20. Mai 1951 in Bern wurde beschlossen, der SNG den Beitritt zur IMU zu beantragen, womit die Schweiz noch vor der ersten Generalversammlung in Rom am 6.–8. März 1952 als Mitglied in der Gruppe II aufgenommen werden konnte und dort durch F. Fiala und A. Pfluger vertreten war [Leh1998, S. 84–100; ibid. 201 (1950), 17 ff.; 201 (1951), 3 ff.; 820 (1952), 1 f.]. Gleichzeitig wurde beschlossen, dass das Schweizerische Nationalkomitee für Mathematik aus dem amtierenden Vorstand der SMG und je einem Altpräsidenten aus den deutsch- und französischsprachigen Landesteilen bestehen sollte. In den nachfolgenden Jahren verfügte die SMG über erheblichen Einfluss im Vorstand der (IMU), indem stets ein oder mehrere Vor-

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standsmitglieder Schweizer oder durch ihre Tätigkeit an einer schweizerischen Hochschule mit der Schweiz verbunden waren. So wirkten von 1955 bis 1966 nacheinander H. Hopf (1955–1958), R. Nevanlinna (1959–1962) und G. de Rham (1963–1966) als Präsidenten der IMU. Gleichzeitig amteten als Sekretär der Union B. Eckmann (1956–1961) und K. Chandrasekharan (1961–1966). Es war deshalb naheliegend, dass die SMG ihr 50-jähriges Jubiläum mit einer von der IMU unterstützten Konferenz feierte und 1958 von der Mitgliedskategorie Gruppe II in Gruppe III avancierte [ibid. 820 (1958), 1; Leh1998, S. 306]. In den darauf folgenden Jahren hatten noch K. Chandrasekharan (1971–1974) und J. Moser (1983–1986) die Ehre, als Präsidenten der IMU zu wirken, woneben man später noch E. Zehnder (1991–1994) als Mitglied des Vorstandes der IMU findet. Im Frühjahr 1980 gelangte das initiative «Office du Tourisme et des Congrès de la Ville de Lausanne» an den damaligen Präsidenten der SMG mit der Anfrage, ob eine Möglichkeit bestehe, den ICM 1986 in Lausanne zu organisieren. P. Gabriel traf sich daraufhin mit dem Direktor der dortigen Kongressabteilung, J. Pelot, in Zürich, kontaktierte K. Chandrasekharan und schrieb an die Lausanner Mathematiker, ob sie bereit wären, die Organisation für den ICM 1986 oder 1990 zusammen mit dem Palais de Beaulieu zu übernehmen. Wie man aus der Antwort von M. Ojanguren und J. Descloux entnehmen kann, wäre das Projekt zwar rein praktisch realisierbar gewesen, aber die Lausanner Mathematiker zeigten sich ausser S. D. Chatterji wenig begeistert und wollten die Verantwortung für die Organisation eines solchen Kongresses nicht übernehmen [ibid. 201 (1980), 27 ff.]. Mehr Erfolg hatte eine Anfrage vom Mai 1989 von O. Lehto, damals Sekretär der IMU, ob die Schweiz an der Durchführung des ICM 1994 interessiert sei. Erste Besprechungen im Sommer 1989 in Zürich zeigten, dass erneut nur Zürich als Kongressort in Frage kam, da in Lausanne, wo die Infrastruktur ebenfalls vorhanden gewesen wäre, die Begeisterung im Rahmen blieb. Eine Arbeitsgruppe bestehend aus Ch. Blatter, A. D. Barbour, H. Carnal (Vorsitz), S. D. Chatterji und H. Jarchow erarbeitete danach eine Kandidatur, die am 31.1.1990 an O. Lehto übersandt wurde. Nach dem Fall der Berliner Mauer interessierten sich auch die deutschen Mathematiker für den ICM 94. Das Site Committee der IMU sprach sich aber in Übereinstimmung mit den Wünschen des damaligen Altpräsidenten, J. Moser, für Zürich aus, da eine Vergabe nach Berlin vielfach noch als etwas verfrüht angesehen wurde und besser erst 1998 terminiert würde. Dieser Vorschlag wurde durch die Generalversammlung der IMU in Kobe im August 1990 bestätigt. Da die SMG die Organisation und finanzielle Verantwortung für den Kongress nicht übernehmen konnte und wollte, wurde im Mai 1990 der «Verein ICM 1994» unter der Präsidentschaft von H. Carnal gegründet [ibid. 201 und 820 (1990)]. Das Organisationskomitee des ICM 94 wurde sukzessive auf über zehn Mit-

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glieder aus allen Landesgegenden erweitert und bemühte sich u. a. um die Einladung der von einem internationalen Komitee vorgeschlagenen 165 Referenten, die Aussendung der Kongress-Ankündigungen an die rund 4'000 Interessenten sowie die Finanzierung des mit einem Budget von ca. zwei Millionen Franken veranschlagten Kongresses. Letzteres konnte dank der grosszügigen Unterstützung durch die beiden ETHs, verschiedener privater Firmen sowie von Stadt und Kanton Zürich und dem Bund gesichert werden. Der dritte Internationale Mathematiker-Kongress in Zürich fand vom 3.–11. Aug. 1994 statt mit ca. 2500 Teilnehmern aus 92 Ländern. An den Vormittagen wurden jeweils 16 einstündige Plenarvorträge im Kongresshaus abgehalten und an den Nachmittagen 148 eingeladene 45-minütige Sektionsvorträge an der Universität und ETH in sieben parallelen Sitzungen. Daneben gab es fünf weitere eingeladene Vorträge von der ICMI und

Abbildung 16. Dritter Zürcher Mathematiker-Kongress. Signet und Briefmarke mit Jakob Bernoulli und dem Gesetz der grossen Zahlen.

fünf von der Internationalen Kommission für Mathematikgeschichte sowie 978 kurze Mitteilungen, welche im Book of Abstracts publiziert und in den Postersessions am Nachmittag in der ETH vorgestellt wurden. Der Präsident des Organisationskomitees, Prof. H. Carnal, wurde zum Kongresspräsidenten gewählt, B. Eckmann zum Ehrenpräsidenten. Die Eröffnungsfeier fand im Kongresshaus Zürich statt, Willkommensgrussworte erbrachten Frau Bundesrätin Ruth Dreifuss, Dr. Alfred Gilgen, Vorsteher des Erziehungsdepartements des Kantons Zürich, und Dr. Thomas Wagner, Stadtpräsident. Im Rahmen des Kulturprogramms wurden die Teilnehmer zu einem Bankett, einem klassischen Konzert und einer Vorstellung der bekannten Pantomimengruppe Mummenschanz zusammen mit der Folklore-Musikgruppe Trio da Besto eingeladen. Für weitere Angaben vgl. [ibid. 201 (1992–1994)], die vom Archiv zur Zeit noch nicht erschlossenen Kongressakten in ETH-Bibl., Akz 1996/2000 mit einer «Chronik des ICM 94» von H. Carnal sowie [Cha1995].

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1997 avancierte die Schweiz in der IMU von der III. in die IV. Mitgliederkategorie. Sie hatte damit Anrecht auf vier statt wie bisher drei Delegierte im Council Meeting, musste dafür aber auch beinahe den doppelten Mitgliedsbeitrag zahlen, was in den nachfolgenden Jahren gelegentlich Anlass zu Diskussionen gab. Auf ihrer Jahresversammlung im Herbst 1999 beschloss die SMG auf Antrag ihres damaligen Sekretärs-Kassiers, Rolf Jeltsch, dem International Council for Industrial and Applied Mathematics (ICIAM) als assoziiertes Mitglied beizutreten. Jeltsch, der die SMG im ICIAM seit dem Jahr 2000 vertrat, erreichte es, dass Zürich 2001 gegenüber New Dehli und Toronto den Zuschlag zur Organisation des ICIAM 2007 erhielt. Auf dem ICIAM 2003 in Sydney wurde von R. Jeltsch und G. Wanner erstmals über die Vorbereitungen zum ICIAM 2007 berichtet. Weitere Beschlüsse wurden am ICIAM Board Meeting am 22. Mai 2004 in Zürich gefasst und am nachfolgenden Board Meeting am 21. Mai 2005 in Florenz, wo R. Jeltsch zum «President elect» des ICIAM gewählt wurde. Der ICIAM 2007 wurde vom 16.–20. Juli an der ETH in Zürich abgehalten und vereinigte über 3000 Teilnehmer aus 89 Ländern. Er umfasste vier eingeschlossene Tagungen der Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik (GAMM),

ICIAM 07

6th International Congress on Industrial and Applied Mathematics Zürich, Switzerland, 16–20 July 2007 Abbildung 17. Ausschnitt aus dem Titelblatt der Proceedings des ICIAM 07 [JW 2009].

European Society for Mathematical and Theoretical Biology (ESMTB), China Society for Industrial and Applied Mathematics (CSIAM) und African Mathematical Union (AMU) sowie sieben Industrietage, an denen der Informationsaustausch zwischen Wissenschaftlern und Anwendern auf speziellen für die Industrie wichtigen Gebieten gefördert werden sollte. In ca. 70 par-

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allelen Sitzungen wurden insgesamt etwa 2900 Referate geboten, die bei den Kongressbesuchern auf reges Interesse stiessen [JW2009]. Rolf Jeltsch ist zur Zeit Präsident des ICIAM und war von 1999–2002 auch Präsident der European Mathematical Society (EMS). Diese ging aus Bemühungen der European Science Foundation (ESF) hervor, eine European Mathematical Federation zu gründen. Auf dem ICM 1978 in Helsinki resultierte daraus der European Mathematical Council (EMC), in dem die Schweiz seit Beginn vertreten war. Dank der steten Bemühungen von Sir Michael Atiyah (seinerzeit Präsident der Royal Society of London), der den verschiedenen Vorgänger-Gremien vorstand, kam es am 27.–28. Oktober 1990 in Madralin bei Warschau zur Gründung der EMS durch Delegierte von 33 mathematischen Gesellschaften aus ganz Europa von Irland bis Georgien. Gemäss einer von der SMG im Auftrag der EMS veröffentlichten Pressemitteilung [ibid. 810 (1990), 35] bemühte sich die Gesellschaft vor allem um das Bewusstsein der Zusammengehörigkeit unter europäischen Mathematikern, strebte eine bessere Koordinierung der Ausbildungsprogramme an und förderte den Austausch über die Ländergrenzen durch den Einsatz moderner elektronischer Technologien und die Organisation und Koordination von Tagungen wie z. B. durch die Herausgabe eines EMS Newsletter und der Veranstaltung europäischer mathematischer Kongresse (ECM), deren erster 1992 in Paris stattfand. Auf dem übernächsten Kongress in Barcelona im Juli 2000 regte der damalige Präsident der EMS, R. Jeltsch, an, ein eigenes Verlagshaus zu schaffen. Dies führte zur Gründung der European Mathematical Foundation und des EMS Publishing House in Zürich, das heute auch die beiden Zeitschriften der SMG herausgibt. Dem ersten Executive Committee der EMS gehörte u. a. auch die Schweizer Professorin Eva Bayer-Fluckiger an. Für weitere Angaben zur Geschichte der EMS vgl. [Lah2000] und http://turn.to/EMSHISTORY99.

Das Archiv der SMG Das Archiv der SMG wurde in den ersten Jahren zusammen mit den laufenden Akten jeweils in einer grossen Kiste von den abtretenden Vorstandsmitgliedern an die neuen übersandt [vgl. z. B. Hs 1447, 201 (1940), 8; (1942), 5; (1948), 11]. 1946 wurde unter dem damaligen Sekretär H. Hadwiger beschlossen, die älteren Akten im Archiv der SNG in Bern zu deponieren [ibid. 201 (1945), 34 sowie (1946), 58 und 61]. Die Zusammenführung und Archivierung der nachfolgenden Akten ist Prof. Urs Stammbach, dem Präsidenten der SMG in den Jahren 1990/91, und Dr. Beat Glaus, dem damaligen Leiter der Wissenschaftshistorischen Sammlungen der ETH-Bibliothek,

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zu verdanken. In Absprache mit dem seinerzeitigen Präsidenten der SMG, F. Sigrist, wurde im Herbst 1994 ein Rundschreiben an die ehemaligen Präsidenten gesandt, mit der Bitte, noch vorhandenes, archivwürdiges Material abzuliefern [ibid. 201 (1994), 39]. Mit der Absicht, die Akten bis 1995 möglichst vollständig zu archivieren, wurde im Sommer 2000, als die Erschliessung des Bestandes schon in Angriff genommen worden war, nochmals ein zweites Rundschreiben verschickt. Bei dieser Gelegenheit wurde das Archiv der ETH Zürich, das nach einer Reorganisation der Spezialsammlungen der ETH-Bibliothek neu auch für die Handschriftensammlung zuständig ist, darauf aufmerksam gemacht, dass ein die ersten Jahre umfassender Teilbestand des Archivs der SMG noch immer im Archiv der Schweizerischen Akademie der Naturwissenschaften bei der Burgerbibliothek in Bern lagerte. Dank dem Entgegenkommen der dortigen Verantwortlichen konnte dieser Bestand aus dem Depositum in der Burgerbibliothek herausgenommen und der ETH-Bibliothek übergeben werden. 2007 schloss die SMG mit der Abteilung Archive und Nachlässe der ETH-Bibliothek einen Vertrag, der die Übernahme bisheriger und zukünftiger SMG-Akten regelt, womit die gesamten SMG-Akten nunmehr an einem einzigen Ort in der ETH-Bibliothek unter der Signatur Hs 1447 aufbewahrt werden. Leider sind die Aktenablieferungen für die Jahre nach 1995 erst zum Teil erfolgt und zur Zeit archivalisch auch noch nicht erschlossen. Für die Jahre nach 1995 ist man deshalb einstweilen noch gezwungen, auf das elektronische Archiv der SMG auf deren Web-Seiten (www.math.ch) auszuweichen, welches allerdings im Vergleich mit dem Papierarchiv nur eine eingeschränkte Auswahl von Dokumenten enthält. Das Papierarchiv wurde inzwischen durch ein über 150 Seiten umfassendes, zur Zeit noch nicht definitiv ediertes Verzeichnis von Frau Dr. Flavia Lanini [Lan2004] erschlossen. Dabei wurde nach Möglichkeit die vorgefundene Ordnung beibehalten und ein Registratur-Schema eingeführt. Die Dokumente sind zunächst nach Jahren, und innerhalb eines Jahres nach diesem Registratur-Schema, abgelegt. Dieses umfasst u.a. die Sachbegriffe Statuten, Protokolle, Jahresberichte, Unterlagen zur Buchhaltung, Mitgliederlisten, Unterlagen zu den Frühjahrs- und Herbstsitzungen und zu den von der Gesellschaft herausgegebenen Zeitschriften sowie Korrespondenzen. Besonders hervorzuheben sind die drei Bücher mit Sitzungsprotokollen bis ins Jahr 1979 und die Kassenbücher bis 1988. Zum erleichterten Suchen findet sich neben der detaillierten Bestandsübersicht in dem von Frau Lanini erstellten Verzeichnis auch ein detailliertes alphabetisches Register sowie eine nach Jahren geordnete Liste der Mitgliederkorrespondenz. Da die SMG-Archivalien von mehreren Personen gesammelt und abgeliefert wurden, variiert die Aktendichte im Laufe der 100-jährigen Geschichte der Gesellschaft stark. Während man bis zur Gründung der CMH prak-

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tisch nur die Jahresabrechnung mitsamt Ausgabenbelegen, die Mitgliederliste, Sitzungseinladungen und Sonderdrucke von den Sitzungsberichten

Abbildung 18. 3.8 Laufmeter Papierarchiv [Foto E.N.].

im L’Enseignement mathématique findet, wurden nach 1925 auch wesentliche Teile der Korrespondenz der Vorstandsmitglieder unter einander sowie mit den jeweiligen Gastreferenten und Gesellschaftsmitgliedern überliefert. Besonders umfangreich ist diese Korrespondenz in den Jahren nach dem 25-jährigen Gesellschaftsjubiläum, wodurch man detaillierte Einblicke in die Organisationsstrukturen der SMG erhält. Diese stark variierende Aktendichte setzt sich auch in den nachfolgenden Jahren fort: Aus der Präsidentschaft von P. Gabriel sind z. B. zwei ganze Archivschachteln Material erhalten, wogegen die drei nachfolgenden Präsidenten zusammen nur eine einzige Schachtel ablieferten. Dabei gibt es bei den zur Zeit von A’Campo versandten Sitzungseinladungen gelegentlich Differenzen zu den Jahresberichten, was eine genaue Erfassung der Gesellschaftstätigkeit in jenen Jahren in Anbetracht der dürftigeren Aktenlage verunmöglicht. Insgesamt erlauben die 37 Archivschachteln aber umfassende Einblicke in die Gesellschaftstätigkeit, die Organisationsstrukturen der Mathematik in der Schweiz sowie deren Einbettung in die internationale mathematische Gemeinschaft und bieten zum Teil aufschlussreiche Angaben zum beruflichen Werdegang einzelner schweizerischer Mathematiker.

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E. Neuenschwander

Literatur [Bott1962]

R. Bott et al., Differentialgeometrie und Topologie. Internationales Kolloquium, Zürich 1960, Monogr. Enseign. Math. 11, Genève 1962.

[Bur1980]

J. J. Burckhardt, Die Mathematik an der Universität Zürich 1916– 1950 unter den Professoren R. Fueter, A. Speiser, P. Finsler. Beihefte Elemente Math., Nr. 16, Birkhäuser Verlag, Basel 1980.

[Bur1983]

J. J. Burckhardt, Die Euler-Kommission der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft – ein Beitrag zur Editionsgeschichte. In Leonhard Euler 1707–1783, Beiträge zu Leben und Werk, Birkhäuser Verlag, Basel 1983, 501–510.

[Cha1995]

S. D. Chatterji (ed.), Proceedings of the International Congress of Mathematicians, August 3–11, 1994, Zürich, Switzerland. Vol. I and II, Birkhäuser Verlag, Basel 1995.

[CFGHS2003] D. Coray, F. Furinghetti, H. Gispert, B. R. Hodgson, and G. Schubring (eds.), One Hundred Years of L’Enseignement Mathématique. Monogr. Enseign. Math. 39, Genève 2003. [Cur2009]

G. P. Curbera, Mathematicians of the World, Unite! The International Congress of Mathematicians – A Human Endeavor. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 2009.

[Feh1910-13] H. Fehr (Hrsg.), Der mathematische Unterricht in der Schweiz. Berichte der Schweiz. Subkommission. [Publication de la] Commission internationale de l’Enseignement mathématique. Fasc. 1–8, Annexe, Georg Verlag, Basel, Imprimerie A. Kündig, Genève 1910–1913. [Feh1915]

H. Fehr, La Société mathématique suisse. Centenaire de la Société Helvétique des Sciences Naturelles, Nouv. Mem. Soc. Helv. Sc. Nat. 50 (1915), 288–289.

[Fra2008]

G. Fráter, Kurze Geschichte der Schweizer chemisch-pharmazeutischen Industrie und der Schweizer Chemischen Gesellschaft. Humboldt-Nachrichten 30, Dezember 2008, 32–40.

[FS2007]

G. Frei und U. Stammbach, Mathematicians and Mathematics in Zurich, at the University and the ETH. Schriftenreihe A, Nr. 8, ETHBibliothek, Zürich 2007.

[Fue1960]

E. Fueter, Die Schweizerische Mathematische Gesellschaft 1910– 1960. Neue Zürcher Zeitung, 26. Juni 1960.

[HG2008]

A. Hool und G. Grasshoff, Die Gründung der Schweizerischen Physikalischen Gesellschaft, Festschrift zum hundertjährigen Bestehen. Bern Studies in the History and Philosophy of Science, Bern 2008.

[Hie1992]

F. Hieronymus, Griechischer Geist aus Basler Pressen. Ausstellungskatalog der Universitätsbibliothek Basel 1992.

100 Jahre Schweizerische Mathematische Gesellschaft

69

[JW2009]

R. Jeltsch and G. Wanner (eds.), ICIAM 07 – 6th International Congress on Industrial and Applied Mathematics, Zürich, Switzerland, 16–20 July 2007. Invited Lectures, Europ. Math. Soc. Publ. House, Zürich 2009.

[Lah2000]

A. Lahtinen, The Pre-history of the EMS. EMS Newsletter, No. 38, December 2000, 14–16.

[Lan2004]

F. Lanini, Schweizerische Mathematische Gesellschaft. Vorwiegend Unterlagen des Vorstandes 1910–1995 (1997), Handschriften und Autographen der ETH-Bibliothek, ETH-Bibliothek 2004 (internes Findmittel).

[Leh1998]

O. Lehto, Mathematics Without Borders, A History of the International Mathematical Union. Springer-Verlag, New York 1998.

[Neu1994a]

E. Neuenschwander, Internationale Mathematikerkongresse: Zur Geschichte der Zürcher Kongresse. unizurich – Journal der Universität Zürich, Nr. 3/94, 2 f.

[Neu1994b]

E. Neuenschwander, International Mathematical Congresses from Zürich 1897 to Zürich 1994: A Historical Survey and an Introduction to the ICHM-Symposium. In Abstracts: Plenary Addresses, Section Lectures, ICMI Lectures, ICHM Lectures, ICM Zürich, 1994, 188– 189.

[Neu2009]

E. Neuenschwander, Mathematik. In Historisches Lexikon der Schweiz, Bd. 8, Schwabe, Basel 2009, 359–364.

[Plan1960]

M. Plancherel, Mathématiques et mathématiciens en Suisse (1850– 1950). Enseign. Math. (2) 6 (1960), 194–218; in dieser Festschrift, pp. 1–21.

[Reich2003]

K. Reich, Die Rezeption Diophants im 16. Jahrhundert. NTM Schriftenreihe für Geschichte der Naturwissenschaften Technik und Medizin 11 (2003), 80–89.

[Rud1898]

F. Rudio (Hrsg.), Verhandlungen des ersten internationalen Mathematiker-Kongresses in Zürich vom 9. bis 11. August 1897. B. G. Teubner, Leipzig 1898.

[Sax1932]

W. Saxer (Hrsg), Verhandlungen des internationalen MathematikerKongresses Zürich 1932. Vol. I und II, Orell Füssli, Zürich 1932.

[Sta1999]

U. Stammbach, Swiss Mathematical Society. EMS Newsletter, No. 33, September 1999, 18–20.

[Tro1939]

E. Trost, Denksport-Aufgaben. Die Mathematik an der Schweiz. Landesausstellung Zürich 1939. Im Auftrag der Schweiz. Mathematischen Gesellschaft zusammengestellt von Dr. E. Trost, Assistent am Mathemat. Institut der Universität Zürich, Orell Füssli Verlag, Zürich 1939.

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Anhang Chronik: 100 Jahre SMG/SMS Über die Aktivitäten der SMG wird in drei Hauptquellen berichtet, welche alle den hier betrachteten Zeitraum nur mit Lücken abdecken, weshalb für die nachfolgende Chronik eine Kombination dieser drei Quellen gewählt wurde. Da die SMG als Fachgesellschaft der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft (SNG, ab 1988 SANW, ab 2004 SCNAT) gegründet wurde, kommen als erste zentrale Quelle deren publizierte Verhandlungen in Betracht, die seit dem Gründungsjahr der SMG einen Jahresbericht und bis 1977 auch Titel und meist kurze Abstracts der an den Jahresversammlungen der SNG abgehaltenen mathematischen Sektionsvorträge beinhalten. Parallel dazu finden sich ähnliche, meist ausführlichere, ins Französische übersetzte Berichte bis 1965 auch im seinerzeitigen Organ der SMG dem L’Enseignement mathématique. Als letzte Quelle sind schliesslich die Protokollbücher und das Archiv der SMG an der ETH-Bibliothek in Zürich zu nennen, wo man die an die Mitglieder verschickten Sitzungsunterlagen, vereinzelte Mitgliederlisten und ab 1928 auch die handschriftlichen Sitzungsprotokolle findet. Naturgemäss variieren die Angaben in diesen drei Quellen in Details, indem z. B. angekündigte Vorträge nicht gehalten wurden und sich die Mitgliederzahl auch während des Vereinsjahrs durch Ein- und Austritte leicht änderte. In der unten stehenden Zusammenfassung folgen wir zunächst den Angaben in den Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft (Verh. SNG, ab 1978 Jahrbuch SNG, ab 1988 Jahrbuch SANW), ergänzen diese aber durch zusätzliche Angaben aus dem L’Enseignement mathématique und dem Archiv der Gesellschaft, um eine möglichst vollständige Darstellung der Aktivitäten der Gesellschaft zu vermitteln. In Anbetracht des grossen Umfangs des Gesellschaftsarchivs (37 Archivschachteln oder 3,8 Laufmeter) kann die nachfolgende Chronik selbstverständlich nur einen ersten Überblick bieten. Andererseits ermöglicht sie aber zusammen mit den oben erwähnten drei Hauptquellen, die Inhalte der Vorträge und Tagungen meist vollständig zu rekonstruieren und erlaubt dadurch detaillierte Einblicke in das mathematische Leben und Schaffen in der Schweiz während der letzten einhundert Jahre. Bei unserer Zusammenfassung folgten wir den Berichten in den Verh. SNG meist wörtlich. Für SNG Mitglieder findet man dort meist eine kurze Zusammenfassung des Vortrags, ansonsten wenigstens den Vortragstitel; ab 1941 wurden für Nichtmitglieder der SNG zur Reduktion der Druckkosten nur noch die blossen Namen der Vortragenden am Ende der Sektionsberichte aufgelistet, was wir in unserer Zusammenfassung jeweils durch die Einfügung von «sowie» kennzeichnen [vgl. Verh. SNG 121 (1941), S. 250 und ibid. 504 (1941), 6 ff.]. Mehrfache

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Vorträge derselben Person werden durch mehrmalige Wiedergabe des Namens angezeigt. Regelmässige Angaben zur Mitgliederzahl finden sich in den Verh. SNG nur bis 1963, in späteren Jahren haben wir hierzu die von der Gesellschaft separat publizierten Mitgliederverzeichnisse oder vereinzelte Angaben im Gesellschaftsarchiv benutzt. Für die Jahre nach 1995 standen wegen noch nicht oder erst teilweise erfolgter Aktenablieferung durch die Gesellschaft nur die Angaben im elektronischen Archiv der SMG aus den dort publizierten Jahresberichten und Sitzungsprotokollen zur Verfügung, weshalb eine detailliertere Würdigung dieser Zeit späteren Forschungen nach Vervollständigung des Papierarchivs vorbehalten bleibt. 1910/11. Präs.: R. Fueter, VPräs.: H. Fehr, Sekr.-Kassier: M. Grossmann, Mitgliederzahl: 107, Organ der Gesellschaft: L’Enseignement mathématique. Die konstituierende Sitzung der Gesellschaft, die am 4. September 1910 im Bernoullianum in Basel unter Anwesenheit von ca. 30 Mitgliedern stattfand, genehmigte die vorgelegten Statuten mit einigen kleinen Änderungen. Für die Jahre 1910 und 1911 wurde der obige Vorstand gewählt. Die 1. ordentliche Jahresversammlung fand am 6. September 1910 im Bernoullianum in Basel gemeinsam mit der Sektion für Mathematik der Schweiz. Naturforschenden Gesellschaft statt. Die Verhandlungen der 93. Jahresversammlung der SNG in Basel geben den Sitzungsbericht wieder. Eine projektierte ausserordentliche Frühjahrssitzung in Zürich musste auf Dezember 1911 verschoben werden. Vorträge an der ersten Mitgliederversammlung in Basel am 6. Sept. 1910: M. Grossmann, R. Fueter, F. Prášil, O. Spiess, D. Mirimanoff, E. Meissner, H. Fehr, F. Rudio, R. Laemmel (vgl. Abb. 3). 1911/12. Präs.: R. Fueter, VPräs.: H. Fehr, Sekr.-Kassier: M. Grossmann, Mitgliederzahl: 118, Organ der Gesellschaft: L’Enseignement mathématique. Ernennung von C. F. Geiser, H. Kinkelin und H. Weber zu Ehrenmitgliedern. Vorträge an der Jahresversammlung in Solothurn am 1. Aug. 1911: L. Kollros, O. Toeplitz, O. Toeplitz, W.-H. Young, R. Laemmel, R. v. Mises, M. Plancherel, G. Dumas, L. Baatard, R. de Saussure, H. Fehr und M. Grossmann, F. Rudio. Ausserordentliche Sitzung am 10. Dez. 1911 in Bern mit einem Vortrag von M. Plancherel. Die Gesellschaft hat ausserdem an der Sitzung des Vereins Schweizerischer Mathematiklehrer am 19. März 1912 in Zürich teilgenommen, zu der sie freundlichst eingeladen worden war. In dieser Sitzung wurde die pädagogische Ausbildung der Mathematiklehrer behandelt. 1912/13. Präs.: H. Fehr, VPräs.: M. Grossmann, Sekr.-Kassier: M. Plancherel, Mitgliederzahl: 131, Organ der Gesellschaft: L’Enseignement mathématique. Vorträge an der Jahresversammlung in Altdorf am 10. Sept. 1912: R. Fueter, F. Bützberger, M. Grossmann, D. Mirimanoff, O. Spiess, J. Andra-

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de, G. Dumas, M. Plancherel, E. Meissner, A. Emch, R. de Saussure, F. Rudio, H. Fehr. Frühjahrssitzung in Neuenburg am 9. März 1913 mit einem Vortrag von Ch. Jaccottet. Diskussion des mathematischen Unterrichts an den Schweizer Universitäten aufgrund eines Berichts von H. Fehr. 1913/14. Präs.: H. Fehr, VPräs.: M. Grossmann, Sekr.-Kassier: M. Plancherel, Mitgliederzahl: 140, Organ der Gesellschaft: L’Enseignement mathématique. Vorträge an der Jahresversammlung in Frauenfeld am 9. Sept. 1913: L. Crelier, R. Fueter, G. Dumas, A. Speiser, L. Bieberbach, E. Marchand, D. Mirimanoff, W.-H. Young, F. Rudio, A. Einstein, M. Grossmann. Beitritt zur Euler-Gesellschaft. Frühjahrssitzung in Zürich am 9. Mai 1914 zusammen mit dem Verein Schweizerischer Mathematiklehrer mit einem Vortrag von H. Weyl. Diskussionen zur Publikation der Gesammelten Werke von Euler und zum Mathematikunterricht an den Schweizer Universitäten. Einsetzung einer Kommission zum Studium des letzteren bestehend aus Vertretern sämtlicher Schweizer Hochschulen. 1914/15. Präs.: H. Fehr, VPräs.: M. Grossmann, Sekr.-Kassier: M. Plancherel, Mitgliederzahl: 142. Ausfall der regulären Mitgliederversammlung infolge des Kriegsausbruchs. Publikation der Vorträge in Verh. SNG 1914, II, S. 93–104: R. de Saussure, S. Mauderli, D. Mirimanoff, J. Franel, Fr. Daniels, M. Plancherel, L. Kollros, H. von Wayer, A. Giger, K. Merz. 1915/16. Präs.: M. Grossmann, VPräs.: M. Plancherel, Sekr.-Kassier: L. Crelier, Mitgliederzahl: 145. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Genf am 14. Sept. 1915: H. Fehr, L.-G. Du Pasquier, G. Pólya, M. Plancherel, W.-H. Young, Mme Grace Chisholm Young, D. Mirimanoff und Mme Grace Chisholm Young, L. Crelier, R. de Saussure, Ch. Cailler, H. Berliner, L. Kollros, F. Gonseth, E. Guillaume. 1916/17. Präs.: M. Grossmann, VPräs.: M. Plancherel, Sekr.-Kassier: L. Crelier, Mitgliederzahl: 147. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Schuls am 8. Aug. 1916: K. Merz, L. Crelier, O. Spiess, Ch. Cailler, M. Grossmann, F. Rudio, H. Weyl, L.-G. Du Pasquier, G. Pólya, H. Berliner, O. Bloch, W.-H. Young, W.-H. Young und Mme Young, Mme Grace Chisholm Young. Frühjahrssitzung in Zürich am 30.5.1917 mit einem Vortrag von J. Hadamard (Paris). 1917/18. Präs.: M. Grossmann, VPräs.: M. Plancherel, Sekr.-Kassier: L. Crelier, Mitgliederzahl: 147. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Zürich am 11. Sept. 1917: A. Emch, G. Pólya, F. Gonseth, L. Kollros, O. Spiess, A. Hurwitz, C. Carathéodory, D. Hilbert, A. Speiser, S. Bays, L.-G. Du Pasquier, H. Berliner, K. Merz, G. Pólya, L.-G. Du Pasquier (vgl. Abb. 19). Ernennung

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Abbildung 19. Einladung zur Herbstsitzung 1917 der SMG mit einem Vortrag von David Hilbert über «Axiomatisches Denken» [ETH-Bibliothek, Archive, Hs 1447:1, Bl. 42].

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von G. Mittag-Leffler zum Ehrenmitglied. Ausserordentliche Versammlung in Fribourg am 24. Febr. 1918 mit Vortrag von C. de La Vallée Poussin (Louvain). 1918/19. Präs.: M. Plancherel, VPräs.: L. Crelier, Sekr.-Kassier: O. Spiess, Mitgliederzahl: 138. Mitgliederversammlung in Lugano auf das nächste Jahr verschoben infolge der Grippe-Epidemie. 1919/20. Präs.: M. Plancherel, VPräs.: L. Crelier, Sekr.-Kassier: O. Spiess, Mitgliederzahl: 135. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Lugano am 8. Sept. 1919: E. Guillaume, G. Ferri, K. Merz, L.-G. Du Pasquier, A. Speiser, M. Plancherel, R. Fueter, S. Bays, L. Crelier, G. Pólya, W.-H. Young. 1920/21. Präs.: L. Crelier, VPräs.: O. Spiess, Sekr.-Kassier: G. Dumas, Mitgliederzahl: 144. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Neuenburg am 31. Aug. 1920: Ch. Willigens, G. Pólya, L. Lichtenstein, L.-G. Du Pasquier, G. Tiercy, A. Emch, S. Bays, F. Gonseth, Ch. Cailler, Ch. Cailler, M. Plancherel und E. Strässle, M. Plancherel, R. Wavre. Frühjahrssitzung in Basel am 8. Mai 1921 mit den Strassburger Mathematikern mit Hauptvorträgen von M. Fréchet (Strasbourg) und G. Dumas (Lausanne) sowie 7 weiteren Mitteilungen von Strassburger und Schweizer Mathematikern. Erläuterungen von H. Fehr zur IMU und Diskussion eines Beitritts der SMG hierzu. 1921/22. Präs.: L. Crelier, VPräs.: O. Spiess, Sekr.-Kassier: G. Dumas, Mitgliederzahl: 163. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Schaffhausen am 27. Aug. 1921: S. Bays, G. Pólya, E. Marchand, R. Wavre, J. Chuard, C. Carathéodory, G. Juvet, R. Wavre, G. Juvet, Chr. Moser. Ernennung von D. Hilbert zum Ehrenmitglied. Frühjahrsversammlung in Biel am 23. April 1922 mit Hauptvorträgen von W. Blaschke, E. Hecke und M. Plancherel sowie weiteren Mitteilungen von E. Guillaume, G. Pólya und D. Mirimanoff. 1922/23. Präs.: G. Dumas, VPräs.: O. Spiess, Sekr.-Kassier: A. Speiser, Mitgliederzahl: 167. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Bern am 26. Aug. 1922: M. Grossmann, A. Speiser, R. Fueter, A. Emch, Ch. Willigens, J. Chuard, R. Wavre, F. Gonseth, E. Anliker, P. Thalmann, W. Scherrer, G. Juvet. Frühjahrsversammlung zusammen mit dem Verein Schweizerischer Mathematiklehrer in Burgdorf (Berthoud) am 6. Mai 1923 mit Vorträgen von R. Fueter, R. Hierholtz, H. Mohrmann und J. Chuard. 1923/24. Präs.: G. Dumas, VPräs.: O. Spiess, Sekr.-Kassier: A. Speiser, Mitgliederzahl: 167. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Zermatt am 31. Aug. 1923: Mme G.-C. Young, A. Speiser, R. Wavre. Frühjahrsversammlung in Lugano am 22. April 1924 zur Verstärkung der Kontakte mit den

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italienischen Mathematikern vertreten durch E. Bortolotti (UMI) mit Hauptvorträgen von F. Enriques (Rom) und M. Plancherel (Zürich) sowie weiteren Mitteilungen von L. Kollros, R. Fueter, L.-G. Du Pasquier und A. Speiser. 1924. Präs.: A. Speiser, VPräs.: Chr. Moser, Sekr.: S. Bays, Mitgliederzahl: 170. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Luzern am 2. Okt. 1924: A. Heyer, L.-G. Du Pasquier, A. Staempfli, G. Juvet, H. Brandt, G. Hunziker, L. Crelier, S. Bays. 1925. Präs.: A. Speiser, VPräs.: F. Gonseth, Sekr.-Kassier: S. Bays, Mitgliederzahl: 171. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Aarau am 9. Aug. 1925: W. Scherrer, H. Krebs, R. Wavre, F. Gonseth. 1926. Präs.: F. Gonseth, VPräs.: E. Meissner, Sekr.: S. Bays, Mitgliederzahl: 179. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Fribourg am 30. Aug. 1926: L.-G. Du Pasquier, E. Meissner, L. Kollros, W. Saxer, Chr. Moser, R. Wavre, G. Juvet, M. Plancherel, H. Krebs, H. Brandt, Frl. H. Staehelin, Mme Gr. Chisholm Young. Eingabe zum Erhalt einer eidg. Subvention zur Gründung einer schweiz. math. Zeitschrift. Ernennung von F. Rudio zum Ehrenmitglied. 1927. Präs.: F. Gonseth, VPräs.: E. Meissner, Sekr.: S. Bays, Mitgliederzahl: 180. Frühjahrsversammlung in Bern am 7. Mai 1927 mit Vorträgen von E. Cartan und H. Weyl. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Basel am 2.–3. Sept. 1927: A. Weinstein, L.-G. Du Pasquier, A. Heyer, J. Kirmse, M. Gut, R. Wavre, G. Pólya, F. Gonseth und G. Juvet, A. Speiser, H. Brandt, P. Finsler, J. J. Burckhardt, W. Krull, S. Bays, S. Bays. 1928. Präs.: S. Bays, VPräs.: G. Juvet, Sekr.-Kassier: W. Saxer, Mitgliederzahl: 176. Frühjahrsversammlung in Bern am 20. Mai 1928 gemeinsam mit dem Verein schweizerischer Mathematiklehrer mit einem Vortrag von W. Saxer. Da E. Meissner die turnusgemäss erfolgte Wahl zum Präsidenten in Basel nicht akzeptierte, musste in Bern ein neuer Vorstand gewählt werden. Beschluss zur Herausgabe einer eigenen Zeitschrift Commentarii Mathematici Helvetici. Redaktionskomitee: A. Speiser, R. Fueter, G. Juvet. Erhalt einer Subvention von Fr. 1'000.– vom Eidg. Departement des Innern hierfür. Gründung einer «Stiftung zur Förderung der mathematischen Wissenschaften in der Schweiz» zur Unterstützung dieser Zeitschrift, zur Vergabe von Stipendien sowie Mathematik-Preisen. Glückwunsch und finanzieller Beitrag zum «Cinquantenaire scientifique de M. Emile Picard». Vorträge an der Mitgliederversammlung in Lausanne am 31. Aug. 1928: L. Kollros, Mlle M. L. Sarasin, R. Wavre, G. Dumas. Entgegennahme von Mitteilungen zur Herausgabe der Commentarii, deren erstes Heft soeben erschienen war. Gewährung eines zusätzlichen Beitrags von Fr. 500.– aus dem Vereinsvermögen an die Zeitschrift (vgl. Abb. 12, 13 und 20).

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Abbildung 20. Gewährung der ersten Bundessubvention an die SMG für die CMH am 12.1.1928 [ETH-Bibliothek, Archive, Hs 1447:1, Bl. 77].

1929. Präs.: S. Bays, VPräs.: G. Juvet, Sekr.-Kassier: W. Saxer, Mitgliederzahl: 173. Ausserordentliche Sitzung in Bern am 16. Juni 1929. Festlegung der Statuten und Wahl eines ersten Stiftungsrates für die Stiftung

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zur Förderung der mathematischen Wissenschaften in der Schweiz. Diese sollte in erster Linie in Verbindung mit der Bundessubvention die Herausgabe der Commentarii Mathematici Helvetici sicherstellen und in zweiter Linie ganz allgemein mathematische Forschungen schweizerischer Gelehrter unterstützen. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Davos am 30. Aug. 1929: S. Bays, E. Schubarth, H. Brandt. 1930. Präs.: S. Dumas, VPräs.: G. Juvet, Sekr.-Kassier: W. Saxer, Mitgliederzahl: 183. Vorträge an der Mitgliederversammlung in St. Gallen am 12. Sept. 1930: E. Marchand, J. J. Burckhardt, L. Kollros, A. Speiser, G. Tiercy, R. Wavre, G. Dumas. Gründung eines Steiner-Archivs beschlossen; Wahl eines Komitees, welches sich um die Sammlung, Aufbewahrung und Publikation von Steiners Manuskripten kümmern soll. Bericht von Prof. Fueter über die Vorarbeiten zur Organisation des Internationalen Mathematiker-Kongresses im Jahre 1932 in Zürich. Durch die Gewährung einer Subvention in der Höhe von je Fr. 10'000.– durch Stadt und Kanton Zürich und den Bund ist die Finanzierung gesichert. Ernennung von H. Weyl zum Ehrenmitglied. 1931. Präs.: S. Dumas, VPräs.: G. Juvet, Sekr.-Kassier: W. Saxer, Mitgliederzahl: 181. Frühjahrssitzung in Fribourg am 3. Mai 1931 mit Vorträgen von H. Hopf und D. Mirimanoff. Vorträge an der Mitgliederversammlung in La Chaux-de-Fonds am 25. Sept. 1931: G. Juvet, A. Weinstein, C. F. Baeschlin, H. Krebs, R. Wavre. Statuten für die Commentarii Mathematici Helvetici durchberaten und angenommen. Ernennung von D. Mirimanoff zum Ehrenmitglied. Zustimmung zur Resolution betreffend Schaffung der FieldsMedaille. 1932. Präs.: G. Juvet, VPräs.: W. Saxer, Sekr.-Kassier: R. Wavre, Mitgliederzahl: 197. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Thun am 7. Aug. 1932: R. Wavre, G. de Rham, G. Juvet, P. Finsler, Alice Roth, J. Grize. Annahme des definitiven Reglementes für die Commentarii Mathematici Helvetici. Das Komitee zur Organisation des Internationalen Mathematiker-Kongresses in Zürich hat allen Kongressteilnehmern einen Band mit den sechs in diesem Jahr erschienenen Heften der Commentarii offeriert. 1933. Präs.: G. Juvet, VPräs.: W. Saxer, Sekr.-Kassier: R. Wavre, Mitgliederzahl: 201. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Altdorf am 2. Sept. 1933: R. Wavre, A. Weinstein, A. Ostrowski, W. Saxer, F. Bäbler, F. K. Schmidt, A. Pfluger, W. Blaschke. Beim ICM 1932 in Zürich ist ein Überschuss von Fr. 18'000.– entstanden, welcher der Stiftung zugewiesen wird. 1934. Präs.: W. Saxer, VPräs.: R. Wavre, Sekr.-Kassier: W. Scherrer, Mitgliederzahl: 207. Frühjahrssitzung in Bern am 27. Mai 1934 mit einem Vortrag von Prof. P. Montel aus Paris. Vorträge an der Mitgliederversammlung in

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Zürich am 7.–8. Sept. 1934: F. Bäbler, J. J. Burckhardt, M. Gut, R. Fueter, G. Dumas, R. Wavre, A. Weinstein, O. Brunner, L. Locher, M. Gut, E. Stiefel, A. Speiser, L. Kollros. Neuer Vertrag mit Orell Füssli zum Druck der Commentarii (neu 100 Freiexemplare, reduzierte Auflageziffer 400). 1935. Präs.: W. Saxer, VPräs.: R. Wavre, Sekr.-Kassier: W. Scherrer, Mitgliederzahl: 219. Jubiläumssitzung zur Feier des 25-jährigen Bestehens der Gesellschaft in Bern am 12. Mai 1935 mit einem Vortrag von Prof. C. Carathéodory aus München und verschiedenen Reden von W. Saxer, A. Speiser und G. Dumas (vgl. Abb. 5, ausführlicher Bericht in L’Enseignement mathématique 34 (1935), 262–268; weitere Details siehe Hauptext unter Jubiläumssitzung zur Feier des 25-jährigen Bestehens). Die drei Gründerväter der Gesellschaft H. Fehr, R. Fueter und M. Grossmann wurden zu Ehrenmitgliedern ernannt. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Einsiedeln am 18.–19. Aug. 1935: L. Bossard, R. de Saussure, S. Bays, S. Bays, E. Stiefel, O. Spiess, E. Trost, A. Weinstein, F. K. Schmidt, A. Pfluger. 1936. Präs.: R. Wavre, VPräs.: W. Scherrer, Sekr.-Kassier: P. Buchner, Mitgliederzahl: 216. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Solothurn am 29. Aug. 1936: G. Hunziker, R. de Saussure, H. Schilt, L. Kollros, G. de Rham, R. Wavre, M. Gut, P. Dive, Fr. Bäbler. 1937. Präs.: R. Wavre, VPräs.: W. Scherrer, Sekr.-Kassier: P. Buchner, Mitgliederzahl: 214. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Genf am 28. Aug. 1937: A. Mercier, E. Schubarth, R. Wavre, E. Marchand, R. Fueter, Ch. Blanc. Die Publikation der Commentarii wird fortgesetzt. Protest gegen die sukzessive Herabsetzung der Bundessubvention von Fr. 3'500.– auf Fr. 2'000.–. L. Kollros wurde einstimmig die Vize- und nachfolgende Präsidentschaft angeboten, nachdem sich P. Buchner freundlicherweise bereit erklärt hatte, nochmals zwei weitere Jahre als Sekretär zu dienen [ibid. 201 (1937), 19 und 26]. Mehrere Mitglieder der Gesellschaft sind in die Publikation der Gesammelten Werke von Euler, Steiner und Schläfli involviert. Das Komitee Steiner wurde in Komitee Steiner–Schläfli umbenannt. Es bestand aus 4–8 Mitgliedern und wurde auf jeweils 6 Jahre gewählt und vom Zentralvorstand der SNG bestätigt. 1938. Präs.: W. Scherrer, VPräs.: L. Kollros, Sekr.-Kassier: P. Buchner, Mitgliederzahl: 209. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Chur am 27.–28. Aug. 1938: K. Merz, H. Ramser, L. Kollros, Sophie Piccard, J. J. Burckhardt, J. J. Burckhardt, E. Marchand, E. Schubarth, W. Scherrer. Da die Bundessubvention für die Herausgabe der Commentarii nicht mehr ausreichte, sah sich die Gesellschaft gezwungen, für diesen Zweck eigene Mittel zur Verfügung zu stellen und dementsprechend ihr traditionelles Tätigkeitsfeld einzuschränken.

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1939. Präs.: W. Scherrer, VPräs.: L. Kollros, Sekr.-Kassier: P. Buchner, Mitgliederzahl: 211. Die ordentliche Jahresversammlung konnte wegen der Generalmobilmachung nicht stattfinden. Vorgesehen waren 9 wissenschaftliche Mitteilungen, von denen kurze Referate in den Verh. SNG zum Abdruck gelangten, nämlich von W. Gruner, P. Humbert, A. Longhi, K. Merz, Sophie Piccard, W. Scherrer, L. Kollros. Die an sich bescheidene Subvention unserer Gesellschaft, die im Laufe der letzten Jahre eine bedrohliche Verminderung erfahren hatte, konnte im Laufe dieses Jahres beinahe auf ihre ursprüngliche Höhe gebracht werden mit Wirkung ab 1. Januar 1940. Unsere Gesellschaft schätzt die damit von den verantwortlichen Behörden bewiesene Einsicht sowie ihr Wohlwollen um so höher ein, als schon zum Zeitpunkt des Beschlusses die allgemeine Lage nicht günstig war. 1940. Präs.: L. Kollros, VPräs.: P. Buchner, Sekr.-Kassier: G. de Rham, Mitgliederzahl: 209. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Locarno am 29.–30. Sept. 1940: Sophie Piccard, A. Mercier, R. Fueter, H. Hopf, G. de Rham, L. Kollros, A. Ostrowski, R. Wavre, A. Longhi, M. Gut, J. J. Burckhardt, P. Humbert, F. Fiala, K. Merz, M. Diethelm. 1941. Präs.: L. Kollros, VPräs.: P. Buchner, Sekr.-Kassier: G. de Rham, Mitgliederzahl: 208. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Basel am 6.–8. Sept. 1941: K. Merz, M. Diethelm, J. J. Burckhardt, L. Kollros, H. Hopf, P. Humbert, G. de Rham, B. Eckmann, W. Scherrer, L. Locher, A. Speiser, R. Wavre sowie Sophie Piccard, J. Malengreau, H. Hadwiger, F. Fiala, Ch. Blanc, P. Bernays, A. Pfluger. Reziprozitätsabkommen zwischen der SMG und der AMS. 1942. Präs.: P. Buchner, VPräs.: G. de Rham, Sekr.-Kassier: M. Gut, Mitgliederzahl: 226. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Sitten am 30. Aug. 1942: P. Nolfi, A. Preismann, B. Eckmann, H. Hopf, M. Gut, H. Hadwiger, R. Wavre, K. Bleuler sowie Sophie Piccard, Ed. Batschelet, E. Stiefel. Versand einer Glückwunschadresse zum 80. Geburtstag an das Ehrenmitglied D. Hilbert. 1943. Präs.: P. Buchner, VPräs.: G. de Rham, Sekr.-Kassier: M. Gut, Mitgliederzahl: 220. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Schaffhausen am 29. Aug. 1943: B. Eckmann, M. Gut, H. Hadwiger, R. Wavre, W. Scherrer (einstündiger Hauptvortrag), W. Habicht, W. Nef, A. Häusermann sowie Edith Müller. Bestätigung von A. Speiser, R. Fueter und R. Wavre für eine weitere Periode von sechs Jahren (1944–1949) als Mitglieder des Redaktionskomitees der Commentarii. Wahl von acht Mitgliedern in das Komitee Steiner– Schläfli für dieselbe Periode. Ehrenmitgliedschaft für C. Carathéodory aus Anlass seines 70. Geburtstages.

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1944. Präs.: G. de Rham, VPräs.: M. Gut, Sekr.-Kassier: H. Hadwiger, Mitgliederzahl: 219. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Sils am 3. Sept. 1944: J. Malengreau, Sophie Piccard, Sophie Piccard, S. Bays, H. Bieri, P. Nolfi, H. Hadwiger, R. Wavre sowie J. Bucher und G. Vincent. Stellungnahme zu den der SMG übermittelten Manuskripte des verstorbenen Mitglieds R. de Saussure. Zuwendung von Fr. 1'000.– aus dem Vereinsvermögen an das Komitee Steiner–Schläfli für die Herausgabe der Werke von Ludwig Schläfli. Ernennung von G. Dumas zum Ehrenmitglied. 1945. Präs.: G. de Rham, VPräs.: M. Gut, Sekr.-Kassier: H. Hadwiger, Mitgliederzahl: 232. Frühjahrsversammlung am 6. Mai 1945 in Bern mit einem Vortrag von L. Ahlfors. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Fribourg am 1.–2. Sept. 1945: M. Diethelm, B. Eckmann, R. Wavre, M. Plancherel, Sophie Piccard, H. Hadwiger, Ch. Blanc, M. Gut, L. Locher, R. Wavre und R. Soudan, J. O. Fleckenstein sowie Ed. Arnous, P. Bidal, P. Bernays, F. Fiala. Die Bundessubvention beträgt nun definitiv Fr. 4'000.–. Die Commentarii ziehen neu bedeutende Arbeiten von ausländischen Fachkollegen an. Herr Locher ersucht für die neu entstehende Zeitschrift Elemente der Mathematik um Unterstützung durch die SMG. Es wird beschlossen, dass passende Vorträge in extenso in den Elementen abgedruckt werden; ferner ist ein vollständiges Verzeichnis der in den Versammlungen gehaltenen Vorträge der Redaktion der Elemente zur Verfügung zu stellen. 1946. Präs.: M. Gut, VPräs.: H. Hadwiger, Sekr.-Kassier: Ch. Blanc, Mitgliederzahl: 248. Frühjahrssitzung am 26. Mai 1946 in Biel mit einem Vortrag von J. Leray (Paris). Vorträge an der Mitgliederversammlung in Zürich am 8. Sept. 1946: H. Bieri, B. Eckmann, Sophie Piccard, Sophie Piccard, J. O. Fleckenstein, M. Diethelm sowie P. Bidal, J. de Siebenthal, E. Specker, J.-P. Sydler, G. Vincent, M. Gut. Zugunsten der polnischen Hochschulbibliotheken führte die Gesellschaft eine Sammlung mathematischer Werke in Verbindung mit einer Geldsammlung durch (vgl. Abb. 7). 1947. Präs.: M. Gut, VPräs.: H. Hadwiger, Sekr.-Kassier: Ch. Blanc, Mitgliederzahl: 255. Frühjahrssitzung am 18. Mai 1947 in Burgdorf mit einem Vortrag von O. Ore (New Haven, Conn.). Vorträge an der Mitgliederversammlung in Genf am 31. Aug. 1947: Th. Reich, G. de Rham, L. Kollros, H. Hadwiger, Sophie Piccard, Sophie Piccard, M. Diethelm sowie A. Ammann, A. Challand und A. Kriszten. Erhöhung des Mitgliederbeitrags von Fr. 4.– auf Fr. 6.–. Wahl des Vorstands für die Jahre 1948/49: Hadwiger, Blanc, Pfluger. Der von gewissen Kreisen favorisierte Vorschlag, H. Hopf als neuen Präsidenten zu wählen, fand keine Mehrheit in der Mitgliedersammlung. Reziprozitätsabkommen zwischen der SMG und der Société Mathématique de France.

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1948. Präs.: Ch. Blanc, VPräs.: A. Pfluger, Sekr.-Kassier: F. Fiala, Mitgliederzahl: 261. Frühjahrssitzung am 9. Mai in Solothurn mit einem Vortrag von A. Weil (Chicago). Neubestellung des Vorstandes nach dem Rücktritt von H. Hadwiger, der an der letzten Mitgliederversammlung in Genf turnusgemäss zum neuen Präsidenten gewählt worden war. Vorträge an der Mitgliederversammlung in St. Gallen am 5. Sept. 1948: H. P. Künzi, S. Piccard, S. Piccard, S. Piccard, H. Hadwiger, W. Scherrer, M. Jeger sowie W. Baum, A. Pfluger, M. Rueff, E. Specker, H. Rauch. 1949. Präs.: Ch. Blanc, VPräs.: A. Pfluger, Sekr.-Kassier: F. Fiala, Mitgliederzahl: 264. Frühjahrssitzung am 22. Mai 1949 in Bern mit einem Vortrag von G. Pólya (Stanford). Vorträge an der Mitgliederversammlung in Lausanne am 4. Sept. 1949: F. Fiala, B. Eckmann, S. Piccard, S. Piccard, M. Gut, Ch. Blanc, R. Zwahlen, W. Kaplan sowie H. Bieri, H. Guggenheimer. Erhöhung der Bundessubvention von Fr. 3'000.– auf Fr. 5'000.–. 1950. Präs.: A. Pfluger, VPräs.: F. Fiala, Sekr.-Kassier: J. J. Burckhardt, Mitgliederzahl: 259. Frühjahrssitzung am 14. Mai 1950 in Biel mit einem Vortrag von R. Nevanlinna. Wahl eines vorbereitenden Nationalen Komitees für die Internationale Mathematische Union: Fueter, Fehr, Speiser, Saxer, Bays, Scherrer, de Rham. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Davos am 26.–27. Aug. 1950: A. Challand, E. Bareiss, S. Piccard, S. Piccard, S. Piccard, L. Locher-Ernst, H. Hadwiger, Rosalind Young sowie J. de Siebenthal. Vorträge von S. Gagnebin und J. O. Fleckenstein zum Gedenken an den 300. Todestag von R. Descartes. Vertretung an der Gründungsversammlung der neuen Internationalen Mathematischen Union vom 27.–29. Aug. in New York und am Internationalen Mathematiker-Kongress vom 30. August bis 6. September in Cambridge (Mass., USA) durch A. Pfluger, F. Fiala, J. J. Burckhardt, Ch. Blanc und M. Gut. Nach dem Hinschied des verdienten Generalsekretärs der Commentarii, Prof. R. Fueter wurde die Redaktion der Zeitschrift vorläufig an drei Sekretäre übertragen (J. J. Burckhardt, A. Pfluger, G. de Rham). 1951. Präs.: A. Pfluger, VPräs.: F. Fiala, Sekr.-Kassier: J. J. Burckhardt, Mitgliederzahl: 264. Frühjahrssitzung am 20. Mai 1951 in Bern mit einem Vortrag von B. L. van der Waerden und geschäftlicher Sitzung. Es wurde beschlossen, der SNG den Beitritt zur IMU zu beantragen. Das Nationale Komitee soll aus dem jeweiligen Vorstand der SMG und zwei Altpräsidenten bestehen. Orientierung über ein neues Reglement betr. Redaktion der Commentarii. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Luzern am 29.–30. Sept. 1951: G. Thierrin, S. Piccard, S. Piccard, H. P. Künzi, M. Gut, Ch. Blanc, L. Locher-Ernst, Rosalind Cecily Young sowie H. Bieri, H. Guggenheimer, G. Hauser, A. Kriszten, H. Meier und K. F. Moppert. Bestätigung des

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neuen Redaktionskomitees der Commentarii. Diesem wurde ein Konsultativkomitee zur Seite gestellt bestehend aus den Altpräsidenten der SMG. 1952. Präs.: F. Fiala, VPräs.: J. J. Burckhardt, Sekr.-Kassier: E. Stiefel, Mitgliederzahl: 268. Frühjahrssitzung am 18. Mai 1952 in Neuenburg mit einem Vortrag von F. Conforto (Rom). Gründung einer Sektion für angewandte Mathematik und Physik der Schweizerischen Physikalischen Gesellschaft. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Bern am 23.–24. Aug. 1952: A. Challand, S. Piccard, H. Hadwiger, B. Eckmann, G. de Rham, G. Hunziker sowie H. Blumer, W. Gautschi, H. Guggenheimer, J. Hersch, M. Jeger, H. Meier und K. Voss. Vertretung der Gesellschaft an der ersten Delegiertenversammlung der IMU in Rom am 6.–8. März 1952. 1953. Präs.: F. Fiala, VPräs.: J. J. Burckhardt, Sekr.-Kassier: E. Stiefel, Mitgliederzahl: 269. Frühjahrssitzung am 7. Juni 1953 in Bern mit einem Vortrag von S. S. Chern (Chicago). Vorträge an der Mitgliederversammlung in Lugano am 6. Sept. 1953: R. Zwahlen, Ch. Blanc, B. Eckmann, S. Piccard, S. Piccard sowie J. Hersch, A. Longhi, J. Milnor und K. Voss. Erhöhung der Bundessubvention von Fr. 5'000.– auf Fr. 6'400.– infolge höherer Druckkosten für die Commentarii. 1954. Präs.: J. J. Burckhardt, VPräs.: E. Stiefel, Sekr.-Kassier: G. Vincent, Mitgliederzahl: 274. Frühjahrssitzung am 30. Mai 1954 in Bern mit einem Vortrag von R. Jost (Princeton, N.J.). Vorträge an der Mitgliederversammlung in Altdorf am 26. Sept. 1954: A. Maret, S. Piccard, Ch. Blanc, A. Pfluger, S. Piccard, H. P. Künzi sowie H. Rutishauser und W. Senft. Die Herren Prof. E. Marchand, M. Plancherel und A. Speiser wurden zu Ehrenmitgliedern ernannt. Am Internationalen Mathematischen Kongress vom 2. bis 9. Sept. 1954 in Amsterdam war die Gesellschaft durch J. J. Burckhardt und E. Stiefel vertreten. H. Hopf wurde für die Periode 1955–58 zum Präsidenten der IMU gewählt. 1955. Präs.: J. J. Burckhardt, VPräs.: E. Stiefel, Sekr.: G. Vincent, Mitgliederzahl: 271. Frühjahrssitzung am 8. Mai 1955 in Basel zum 300. Geburtstag von Jakob Bernoulli mit Vorträgen von J. E. Hofmann und B. L. van der Waerden. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Pruntrut am 25. Sept. 1955: S. Piccard, S. Piccard, H. Meier, M. Kervaire, G. Vincent, S. Piccard. Wahl der Mitglieder des Nationalkomitees der IMU und der IMUK. 1956. Präs.: E. Stiefel, VPräs.: G. Vincent, Sekr.: H. Jecklin, Mitgliederzahl: 267. Frühjahrssitzung am 10. Juni 1956 in Bern mit einem Vortrag von A. Weinstein (University of Maryland). Der Vorstand der SMG beschloss, in diesem Jahr die übliche Organisation der Herbstversammlung insofern zu ändern, als er einen schweizerischen Mathematiker bitten wird, einen

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einstündigen Hauptvortrag aus seinem speziellen Arbeitsgebiet zu halten. Mitgliederversammlung am 23. Sept. 1956 in Basel mit einem Hauptvortrag von H. Hadwiger und weiteren Vorträgen von H. R. Schwarz, J. O. Fleckenstein, J. Hersch, A. Aeppli, A. Calame, J. J. Burckhardt, P.-D. Methée, H. Loeffel, S. Piccard. Prof. Kollros, Präsident des Steiner-Schläfli Komitees, brachte brieflich zur Kenntnis, dass mit der Herausgabe des dritten Bandes der Werke Schläflis die Aufgabe des Komitees erfüllt sei und dasselbe sich aufgelöst habe. Prof. Burckhardt referierte über den Status der Commentarii. Nachdem nun 30 Bände erschienen waren, wurde durch Einfügung eines Registerheftes eine gewisse Zäsur eingeschaltet. Erfreulicherweise wurde die Bundessubvention dieses Jahr von Fr. 6'400.– auf Fr. 8'500.– erhöht. Prof. Jecklin berichtete kurz über eine mit dem L’Enseignement mathématique entstandene Kontroverse wegen der Kosten für den Druck des Versammlungsberichtes und des Mitgliederverzeichnisses, die von der SMG übernommen werden müssen. 1957. Präs.: E. Stiefel, VPräs.: G. Vincent, Sekr.: H. Jecklin, Mitgliederzahl: 269. Frühjahrssitzung am 18. Mai 1957 in Basel im Rahmen der von der SMG unter dem Patronat der Basler Regierung und der SNG veranstalteten Feier zum 250. Geburtstag von Euler (Rekordbesuch an der Mitgliederversammlung von ca. 100 Teilnehmern, 176 eingeladene Gäste beim Festbankett, Budget Fr. 5'000.–; vgl. Angaben im Haupttext im Abschnitt über die Eulerfeier 1957 sowie Abb. 8 und 9). Ernennung von W. Saxer und H. Hopf zu Ehrenmitgliedern. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Neuenburg am 22. Sept. 1957: S. Piccard, R. C. H. Tanner, H. Bieri, K. Arbenz, E. A. Fellmann und J. O. Fleckenstein, J. J. Burckhardt, R. Guy. Hauptvortrag: B. Eckmann. Ernennung von G. Pólya zum Ehrenmitglied. 1958. Präs.: G. Vincent, VPräs.: H. Jecklin, Sekr.: B. Eckmann, Mitgliederzahl: 273. Frühjahrssitzung am 8. Juni 1958 in Bern mit einem Vortrag von J.-P. Serre (Paris). Ernennung von L. Kollros zum Ehrenmitglied. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Glarus am 14. Sept. 1958: J. Riguet, S. Piccard, J. J. Burckhardt, A. Haefliger, A. Pfluger und H. Huber (Hauptvortrag). G. Vincent und J. J. Burckhardt vertraten die Gesellschaft am Internationalen Mathematiker-Kongress in Edinburgh am 14.–21. Aug. 1958. R. Nevanlinna wurde zum Präsidenten der IMU gewählt. Die Vertretung der Schweiz in der IMU soll, entsprechend ihrer Bedeutung, von Gruppe II in Gruppe III aufsteigen. 1959. Präs.: G. Vincent, VPräs.: H. Jecklin, Sekr.: B. Eckmann, Mitgliederzahl: 271. Frühjahrssitzung am 21. Juni 1959 in Bern mit einem Vortrag von M. Eichler. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Lausanne am 12. Sept. 1959: R. C. H. Tanner, A. Ammann, P. Comment, S. Piccard, J. Hersch und Ch. Blanc (Hauptvortrag).

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1960. Präs.: H. Jecklin, VPräs.: B. Eckmann, Sekr.: J. de Siebenthal, Mitgliederzahl: 276. Anstelle der üblichen Frühjahrsversammlung wurde in Zürich das 50-jährige Bestehen der Gesellschaft begangen mit einem Kolloquium über Fragen der Differentialgeometrie und Topologie unter dem Vorsitz von H. Hopf. Dieses stand unter dem Patronat der IMU und fand vom 20.–25. Juni an der ETH statt. In zehn grossen Vorträgen und gegen fünfzig Forschungsmitteilungen wurde über neue Resultate und Entwicklungstendenzen auf diesen Gebieten berichtet. Es nahmen über 100 Gäste aus aller Welt teil. Eigentliche Jubiläumsfeier am 26. Juni in der Aula der Universität mit einem Vortrag von M. Plancherel: Mathématiques et mathématiciens en Suisse (1850–1950). Ernennung von J. Leray (Paris), H. Whitney (Princeton) und G. de Rham (Lausanne) zu Ehrenmitgliedern (vgl. Angaben im Haupttext zum 50-jährigen Gesellschaftsjubiläum sowie Abb. 10 und 11). Vorträge an der Mitgliederversammlung in Aarau am 24. Sept. 1960: H. Bieri, W. Holenweg, J. O. Fleckenstein, P. Nolfi, J. Hersch, S. Piccard, S. Piccard, G. Hunziker. Ausserdem wurde gemeinsam mit den Sektionen «Medizinische Biologie» und «Logik und Philosophie der Wissenschaften» ein Symposium über «Statistische Methoden in Biologie und Medizin» durchgeführt. 1961. Präs.: H. Jecklin, VPräs.: B. Eckmann, Sekr.: J. de Siebenthal, Mitgliederzahl: 273. Frühjahrssitzung am 4. Juni 1961 in Bern mit einem Vortrag von K. Voss. Reziprozitätsabkommen zwischen der SMG und der Australischen Mathematischen Gesellschaft beschlossen. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Biel am 23. Sept. 1961: S. Piccard, C. Tanner, H. P. Künzi, D. Koller, K. Voss, J. Hersch, H. R. Schwarz, B. Scarpellini, S. Piccard. Vom 26.–29. Juni 1961 fand in Lausanne ein internationales Seminar der IMUK (Internationale Mathematische Unterrichtskommission) statt zu Fragen des Unterrichts in Analysis auf der Mittelschulstufe, und die nationale Subkommission der IMUK wurde unter dem Vorsitz von Herrn Prof. M. Rueff neu konstituiert. 1962. Präs.: B. Eckmann, VPräs.: J. de Siebenthal, Sekr.: H. Huber, Mitgliederzahl: ca. 280. Frühjahrssitzung am 3. Juni 1962 in Bern mit einem Vortrag von A. Haefliger. Diskussion über Massnahmen zur Förderung der mathematischen Forschung in der Schweiz in Zusammenarbeit mit dem Nationalfonds. Aufstellung eines Kuratoriums hierzu bestehend aus je einem Vertreter aller schweizerischen mathematischen Hochschulinstitute. Vertretung der Gesellschaft am Internationalen Mathematiker-Kongress in Stockholm vom 15.–22. Aug. 1962 durch den Vorstand. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Ftan-Scuol-Vulpera am 8. Sept. 1962: S. Piccard, S. Piccard, Hch. Matzinger, H. Bieri, J. Sutter, B. Zwahlen, B. Scarpellini. Herr Prof. de Rham, Lausanne, wurde als Nachfolger von Herrn Prof. Nevanlinna

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zum Präsidenten der IMU für die Amtszeit 1963–1966 gewählt. Die Pläne zur Errichtung eines mathematischen Forschungsinstitutes in Zürich machten Fortschritte: Der Schweizerische Schulrat erklärte sich bereit, die Räumlichkeiten und Einrichtungen zur Verfügung zu stellen, während der Schweizerische Nationalfonds gewillt war, die Finanzierung des neuen Forschungsinstitutes zu übernehmen. Das oben erwähnte Kuratorium bemühte sich dafür zu sorgen, dass das neue Forschungsinstitut seine Tätigkeit möglichst bald aufnehmen kann. 1963. Präs.: B. Eckmann, VPräs.: J. de Siebenthal, Sekr.: H. Huber, Mitgliederzahl: ca. 290. Frühjahrssitzung am 9. Juni 1963 in Bern mit Vorträgen von A. Dold und P. Henrici. Annahme der nachfolgenden Anträge des Kuratoriums zur Förderung der mathematischen Forschung: a) Schaffung eines Informationsdienstes über Forschungsseminare, Vorträge, Gastvorlesungen und Gastaufenthalte in der Schweiz; b) Ausrichtung von Reisekostenbeiträgen an Mathematiker in schweizerischen Hochschulinstituten. Finanzierungsgesuch hierfür an die Stiftung zur Förderung der mathematischen Wissenschaften in der Schweiz. Ernennung von R. Nevanlinna zum Ehrenmitglied. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Sitten am 31. Aug. 1963: S. Piccard, S. Piccard, W. Hatcher, C. Piron, P. Jeanquartier, K. Voss, E. Kreyszig, A. Pfluger. 1964. Präs.: J. de Siebenthal, VPräs.: H. Huber, Sekr.: W. Nef, Mitgliederzahl: keine Angabe. Frühjahrssitzung am 7. Juni 1964 in Bern mit einem Vortrag von J. P. Sydler (Bibliothek ETH) über Jakob Steiner. Die Versammlung beschloss einstimmig, die Kosten für die allfällige Verlegung des Grabes von J. Steiner bis zum Betrage von Fr. 500.– zu Lasten der Kasse der Gesellschaft zu übernehmen. Einladung zu der von W. Wegmüller organisierten Gemeinsamen Europäischen Konferenz für mathematische Statistik in Bern vom 14.–18. Sept. 1964 [Akten in ibid. 900, 901 und 902 (1964)]. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Zürich am 10. Okt. 1964: R. Coifman, S. Piccard, J. Hersch, R. Cairoli, K. Voss, A. Frei, C. Weber, W. Scherrer (Hauptvortrag). Informationsdienst und Austauschdienst nahmen ihre Arbeit auf. 1965. Präs.: J. de Siebenthal, VPräs.: H. Huber, Sekr.: W. Nef, Mitgliederzahl: keine Angabe. Frühjahrssitzung am 30. Mai 1965 in Bern mit einem Vortrag von R. Brauer (Harvard). Vorträge an der Mitgliederversammlung in Genf am 25. Sept. 1965: S. Piccard, J. Chuard, A. Ammann, C. Tanner, M.A. Knus, U. Stammbach, F. Sigrist, G. Leresche, J.-C. Holy und H. Debrunner (Hauptvortrag). 1966. Präs.: H. Huber, VPräs.: W. Nef, Sekr.: R. Bader. Frühjahrssitzung am 22. Mai 1966 in Bern mit einem Vortrag von K. Chandrasekharan. Vertretung an der Generalversammlung der IMU in Dubna und am ICM in Moskau

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13.–26. Aug. 1966. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Solothurn am 1. Okt. 1966: J. de Siebenthal, M.-A. Knus und U. Stammbach, M. Ojanguren, Mlle S. Piccard, Mlle S. Piccard, W. Hengartner, J. Steinig, A. Robert, U. Suter. Die SMG kann die Druckkosten für die Versammlungsberichte im L’Enseignement mathématique aufgrund ihrer beschränkten Ressourcen nicht mehr bezahlen. Diese sollen in Zukunft allein in den Verh. SNG erscheinen. Erhöhung des Mitgliederbeitrags von Fr. 6.– auf Fr. 10.–. 1967. Präs.: H. Huber, VPräs.: W. Nef , Sekr.: R. Bader. Frühjahrssitzung am 27. Mai 1967 in Bern mit einem Vortrag von Prof. R. Godement (Paris). Vorträge an der Mitgliederversammlung in Schaffhausen am 30. Sept. 1967: M. Wehrli, R. Rüedy, Frl. C. Bandle, Mlle S. Piccard, A. Ammann, G. Mislin, H. H. Storrer. Die Versammlung setzte den Mitgliederbeitrag 1968 auf Fr. 10.– fest und genehmigte eine Änderung des Vertrages mit dem Verleger der Commentarii. Informations- und Austauschdienst konnten ihre wertvolle Tätigkeit dank der Unterstützung durch die Stiftung zur Förderung der mathematischen Wissenschaften in der Schweiz im bisherigen Rahmen fortsetzen. 1968. Präs.: W. Nef, VPräs.: R. Bader, Sekr.-Kassier: E. Specker. Frühjahrssitzung am 26. Mai 1968 in Bern mit Vorträgen von E. Blanc und P. Henrici. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Einsiedeln am 28. Sept. 1968: H. P. Künzi, P. Hess, H. Bieri, Sophie Piccard, P. J. Erard, F. Sigrist, A. Derighetti. 1969. Präs.: W. Nef, VPräs.: R. Bader, Sekr.-Kassier: E. Specker, Mitgliederzahl: ca. 325. Frühjahrssitzung am 1. Juni 1969 in Bern mit einem Vortrag von V. Strassen. Vorträge an der Mitgliederversammlung in St. Gallen am 4. Okt. 1969: C. Portenier, Frl. C. Bandle, Mlle S. Piccard, M. Gut, A. Wyler, H. U. Kubli. 1970. Präs.: R. Bader, VPräs.: E. Specker, Sekr.-Kassier: A. Haefliger. Frühjahrssitzung am 10. Mai 1970 in Bern mit einem Vortrag von J. Dixmier (Paris). An der Stiftungsratssitzung vom 24. Febr. 1970 wurde beschlossen, zehn Stipendien von je Fr. 500.– an junge Mathematiker zum Besuch des ICM 1970 in Nizza zu vergeben. Professoren sollen in Zukunft keine Beiträge mehr aus dem Austauschdienst beziehen können. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Basel am 17.–18. Okt. 1970: J. Guenot, F. Ronga, J. Boechat, C. Weber, Ch. Glaus, E. Egli, Ch. Wissler, J. Hersch, M. Monkewitz, S. Piccard, F. Fricker, P. Hohler, H. Joris, O. Burlet, G. Philippin; M. Karoubi und H. Hermes (Hauptvorträge). 1971. Präs.: R. Bader, VPräs.: E. Specker, Sekr.-Kassier: A. Haefliger. Frühjahrssitzung am 20. Juni 1971 in Bern mit einem Vortrag von M. A. Kervaire

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(Genf). Vorträge an der Mitgliederversammlung in Fribourg am 9. Okt. 1971: D. Amiguet, O. Burlet, R. Cicurel, A. Derighetti, G. Favre, A. Robert, P. Saillen, J. Schmid, Y. Biollay, G. Philippin, Sophie Piccard, H. M. Reimann, Cl. Auderset, R. Bieri, B. Kaup, U. Würgler. Neubesetzung der schweiz. Subkommission der IMUK: Neuer Präsident wird A. Delessert als Nachfolger von M. Rueff. 1972. Präs.: E. Specker, VPräs.: A. Haefliger, Sekr.-Kassier: H. Kleisli, Mitgliederzahl: ca. 330. Frühjahrssitzung am 28. Mai 1972 in Bern mit einem Vortrag von J. W. Cassels (Cambridge). Vorträge an der Mitgliederversammlung in Luzern am 14. Okt. 1972: J. Dupertuis, S. Piccard, R. Bieri, E. Bolthausen, W. Baur, W. Deuber, U. Kirchgraber, N. Sigrist, C. Bandle, R. Sperb, Ch. Blanc, M.-Th. Jobin, J. Hersch, G. Philippin. Symposium über die Bedeutung der Modelle in der Mathematik mit Beiträgen von J. de Siebenthal und E. Specker veranstaltet von der Schweizerischen Gesellschaft für Logik und Philosophie der Wissenschaften. Berichte über den Austauschdienst, den Reisedienst und die Commentarii. 1973. Präs.: E. Specker, VPräs.: A. Haefliger, Sekr.-Kassier: H. Kleisli, Mitgliederzahl: 326. Frühjahrssitzung am 17. Juni 1973 in Bern mit einem Vortrag von Prof. S. Karlin (Weizmann-Institut, Rehovot). Ernennung von B. L. van der Waerden zum Ehrenmitglied. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Lugano am 20. Okt. 1973: Y. Biollay, S. L. Chan, A. Good, P. de la Harpe, U. Schweizer, H. Walser, A. Wohlhauser, W. Bäni, H. U. Baumann, S. Maumary, S. Piccard, S. Piccard, U. Schneider, F. Sigrist. Besprechung der Subventionskürzungen der SNG für die beiden von der Gesellschaft unterstützten Zeitschriften Commentarii und Elemente: Anstelle der benötigten Fr. 24'000.– erhielt die SMG nur Fr. 15'800.– zugesprochen. Frau Louise Wolf übernimmt die Mitgliedermutationen und Buchhaltung der SMG, da es für Mitglieder und Vorstand mühsam war, alle zwei Jahre beim Wechsel des offiziellen Kassiers und Sekretärs, sich immer wieder an eine andere Anlaufstelle zu wenden. 1974. Präs.: A. Haefliger, VPräs.: H. Kleisli, Sekr.-Kassier: A. Delessert, Mitgliederzahl: 350. Frühjahrssitzung am 25. Mai 1974 in Bern mit zwei Vorträgen von P. Gabriel (Zürich) und Chr. Houzel (Paris). Gewährung von Reisekostenbeiträgen im Umfang von Fr. 9'000.– durch das Kuratorium der SMG aus den Mitteln des Austauschdienstes zum Besuch des ICM 1975 in Vancouver. Vorträge an der Mitgliederversammlung in Neuenburg am 12. Okt. 1974: F. Borel, S. Conod, M. Favre und P. de la Harpe, F. Ronga, M. Huber, O. Burlet, J. C. Hausmann, M.-A. Knus, P. de la Harpe, S. Piccard, T. Rychener, H.-M. Maire, P.-L. Aubert, A. Banyaga, N. Medici, W. Meier, C. Kratzer.

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1975. Präs.: A. Haefliger, VPräs.: H. Kleisli, Sekr.-Kassier: A. Delessert, Mitgliederzahl: 347. Frühjahrssitzung am 1. Juni 1975 in Bern mit einem Vortrag von R. Thom (IHES). Vorträge an der Mitgliederversammlung in Aarau am 4. Okt. 1975: 16 Kurzreferate. Frl. Piccard bedauert, dass die SNG in ihren Verhandlungen keine Vortragszusammenfassungen mehr publizieren will. Der neue Vorstand der SMG wird das Problem studieren. In den nächsten Jahren sollen Kolloquien zu diversen Fachgebieten organisiert werden, beginnend mit einem Kolloquium zur analytischen Zahlentheorie. Verhandlungen zur Übernahme der Zeitschrift Elemente der Mathematik durch die SMG. Erhöhung des Mitgliederbeitrags von 10 auf 20 Franken auf das Jahr 1976. Die SNG gibt der Gesellschaft zur Zeit eine Jahressubvention von Fr. 25'500.–. Weitere Fr. 9'000.– kommen von der Stiftung zur Förderung der mathematischen Wissenschaften in der Schweiz für den Austauschdienst. 1976. Präs.: H. Kleisli, VPräs.: A. Delessert, Sekr.-Kassier: P. Gabriel, Mitgliederzahl: 357. Internationale Tagung vom 7.–13. März 1976 in Les Plans-surBex über «Formes quadratiques, L-séries, formes modulaires» mit 32 Teilnehmern organisiert von Prof. Kervaire. Frühjahrssitzung am 22. Mai 1976 in Bern mit Vorträgen von Prof. R. M. Dudley (Aarhus) und G. Harder (BonnWuppertal). Eine Zusammenfassung der Vorträge der nächsten Herbstversammlung wird vervielfältigt und an alle Mitglieder der SMG versandt. Der Bericht umfasst ungefähr zwei Seiten pro Vortrag. Das angestrebte Ziel der Herbstversammlung liegt im gegenseitigen Informationsaustausch über die Arbeiten an den einzelnen schweizerischen Mathematischen Instituten. Es ist deshalb erwünscht, dass jedes Institut vertreten sei, insbesondere auch, dass die 1976 fertiggestellten Doktorarbeiten kurz vorgestellt werden. Mitgliederversammlung in Genf am 8.–9. Okt. 1976: 36 halbstündige Kurzreferate von Doktoranden und einigen anderen Mathematikern in zwei parallelen Sitzungen. Der Informationsdienst der Gesellschaft versandte 38 Wochenbulletins über Veranstaltungen im In- und Ausland. Vertretung am dritten internationalen Kongress über Mathematikunterricht, dem ICMI, in Karlsruhe vom 16.–21. Aug. 1976 durch A. Carrel. 1977. Präs.: H. Kleisli, VPräs.: A. Delessert, Sekr.-Kassier: P. Gabriel, Mitgliederzahl: 453. Internationales Kolloquium in Topologie und Algebra vom 12.–16. April 1977 an der ETHZ, patroniert durch die SMG und IMU mit über 100 eingeschriebenen Mathematikern. Ernennung von B. Eckmann zum Ehrenmitglied. Frühjahrssitzung am 14. Mai 1977 in Bern mit zwei Übersichtsvorträgen von E. Stiefel (ETH Zürich) und P. Cartier (IHES). Jahresversammlung in Bern am 7.–8. Okt. 1977 mit 33 halbstündigen DoktorandenVorträgen und einem Symposium zum Thema «Die Logik im 20. Jahrhundert» gemeinsam mit der Schweizerischen Gesellschaft für Logik und Phi-

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losophie der Wissenschaften (Vorträge von E. Engeler, D. van Dalen, J. Ladrière, E. Specker). Beitritt zu der neu zu gründenden Europäischen Mathematischen Föderation. Erneuerung des Reziprozitätsabkommens mit der AMS, neues Abkommen mit der DMV. Bemühungen zur Verbesserung des internationalen mathematischen Informationsaustauschs. 1978. Präs.: A. Delessert, VPräs.: P. Gabriel, Sekr.-Kassier: B. Scarpellini. Mitgliederzahl: keine Angabe. Internationales Symposium über Analysis zu Ehren von Prof. A. Pfluger vom 10.–14. April 1978 an der ETHZ unter dem Patronat der SMG. Ernennung von Pfluger zum Ehrenmitglied. Frühjahrssitzung am 27. Mai 1978 in Bern mit zwei Vorträgen von H. Föllmer (Zürich) und H. Amann (Bochum). Jahresversammlung in Brig am 7. Okt. 1978 mit 24 Vorträgen von meist jungen Mathematikern. Fortgesetzte Publikation der Vortragszusammenfassungen zuhanden der Mitglieder und Korrespondenten der SMG. Ernennung von A. Ostrowski zum Ehrenmitglied anlässlich seines 85. Geburtstags. Vertretung am Internationalen MathematikerKongress in Helsinki vom 15.–23. Aug. 1978 und Kontakte mit diversen nationalen mathematischen Gesellschaften (Reziprozitätsabkommen mit der UMI und SMF) und internationalen Gremien (European Mathematical Council, ICMI). 1979. Präs.: A. Delessert, VPräs.: P. Gabriel, Sekr.-Kassier: B. Scarpellini, Mitgliederzahl: 367. Frühjahrssitzung am 5. Mai 1979 in Bern mit zwei Vorträgen von M. Hazewinkel (Rotterdam) und G. Reeb (Strassburg). Jahresversammlung in Lausanne am 5.–6. Okt. 1979 mit Vorträgen von jungen Mathematikern. Erneute Publikation der Zusammenfassungen der 26 Vorträge in einer xerographierten Vervielfältigung für Mitglieder und ausländische Korrespondenten. Feier zum 50. Jahrestag der Gründung der Stiftung zur Förderung der mathematischen Wissenschaften in der Schweiz am 5. Nov. 1979 an der ETHZ. Verabschiedung neuer Statuten für die Stiftung und die Zeitschrift Elemente der Mathematik. B. Scarpellini wollte kein Amt mehr im Vorstand übernehmen, wodurch zwei neue Vorstandsmitglieder zu bestimmen waren. Wahlen in die nationale Subkommission des ICMI: R. Ineichen und M. Jeger traten aus, E. Blanc trat ein. 1980. Präs.: P. Gabriel, VPräs.: A. Robert, Sekr.-Kassier: H. Carnal, Mitgliederzahl: keine Angabe. Frühjahrssitzung am 31. Mai 1980 in Bern mit zwei Vorträgen von C. Berge (Paris) und N. A’Campo (Paris). Jahresversammlung in Zürich am 17.–18. Okt. 1980 versuchsweise getrennt von der SNG im Rahmen des Rutishauser-Symposiums an der ETHZ. Im Anschluss 26 Kurzvorträge junger Schweizer Mathematiker. A. Borel wird der SNG auf deren Anfrage nach Konsultation sämtlicher schweizerischer mathematischer Institute für den Balzan-Preis vorgeschlagen. Vertretung am ICME IV in Ber-

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keley vom 10.–16. Aug. 1980 (ausführliche Berichte von H. Loeffel, P. Favre und E. Blanc in [ibid. 206 (1980), 7 und 826 (1980), 8f.]). 1981. Präs.: P. Gabriel, VPräs.: A. Robert, Sekr.-Kassier: H. Carnal, Mitgliederzahl: 390. Frühjahrssitzung am 23. Mai 1981 in Bern mit zwei Vorträgen von J. Moser und J.-P. Serre. Unterstützung für das SMG-Mitglied Prof. Paul Dedecker, der nach 17 Dienstjahren im Alter von 59 Jahren an der Universität Louvain ohne Pension entlassen wurde. Herbstsitzung am Mathematischen Institut der Universität Neuenburg am 6.–7. Nov. 1981 erneut unabhängig von der Jahresversammlung der SNG. 19 Kurzvorträge von jungen Schweizer Mathematikern, Hauptvortrag von M. H. Stone. Organisation eines Algebra-Treffens am 4.–5. Dez. 1981 an der Universität Zürich mit Vorträgen von M. Brodmann, M.-A. Knus, M. Kervaire, B. Eckmann, K. Bongartz, H. Gross, F. Sigrist und H. Kraft mit ca. 100 Teilnehmern. Berichterstattung über die Zeitschriften der SMG und Wahlen in die diversen Gremien. P. Gabriel löst J. J. Burckhardt als langjährigen Redaktionssekretär der Commentarii ab. Ernennung von J. J. Burckhardt zum Ehrenmitglied der Gesellschaft. 1982. Präs.: A. Robert, VPräs.: H. Carnal, Sekr.-Kassier: S. D. Chatterji, Mitgliederzahl: 399. Frühjahrssitzung am 29. Mai 1982 in Bern mit zwei Vorträgen von H. Kraft und P. Hilton. Es wurde beschlossen zehn Abonnements der Commentarii an Entwicklungsländer zu verschenken. Zur Finanzierung wurde der Abonnementspreis der Commentarii erneut angehoben. Der Mitgliederbeitrag wurde ebenfalls auf Fr. 30.– pro Jahr angehoben. Jahresversammlung am 8.–9. Okt. 1982 in Basel zusammen mit der SNG mit 17 Kurzvorträgen meist junger Schweizer Mathematiker. Der unerwartete Tod von E. Trost bedingte eine Neubesetzung des Redaktionskomitees der Elemente mit M. Jeger (neuer geschäftsführender Redaktor) und M.-A. Knus (neues Redaktionsmitglied). J. Moser wurde anlässlich der Generalversammlung am 9. Aug. 1982 in Warschau zum neuen Präsidenten der IMU für die Amtsperiode 1983–86 gewählt. Der ICM 1982 wurde wegen der kritischen politischen Lage in Polen auf 1983 verschoben. 1983. Präs.: A. Robert, VPräs.: H. Carnal, Sekr.-Kassier: S. D. Chatterji, Mitgliederzahl: 417. Frühjahrssitzung am 28. Mai 1983 in Bern mit einem Vortrag von D. Laugwitz (Darmstadt) zum 200. Todestag von Euler. Beitritt der SMG zur internationalen Kampagne zu Gunsten des Mathematikers Jose Luis Massera, der von der Miltärjunta in Uruguay gefangen genommen und gefoltert wurde. Jahresversammlung am 14.–15. Okt. 1983 in Delémont mit der SNG mit 14 Kurzvorträgen meist junger Schweizer Mathematiker. «Journées d’analyse» an der EPFL am 25.–26. Febr. 1983 unter der Leitung von B. Zwahlen mit 42 Teilnehmern. «Journées de probabilité» im Schloss

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Hünigen (Konolfingen) am 30. Juni bis 2. Juli 1983 unter der Leitung von H. Carnal und S. D. Chatterji mit 72 Teilnehmern vor allem aus der Schweiz und Frankreich. Vertretung am Internationalen Mathematiker-Kongress in Warschau vom 16.–24. Aug. 1983 und in diversen Kommissionen. Für die Unterstützung der Reisen junger Mathematiker standen Fr. 11'000.– der Stiftung zur Förderung der mathematischen Wissenschaften in der Schweiz zur Verfügung. 1984. Präs.: H. Carnal, VPräs.: S. D. Chatterji, Sekr.-Kassier: N. A’Campo, Mitgliederzahl: 424. Frühjahrssitzung am 12. Mai 1984 in Bern mit zwei Vorträgen von E. Zehnder (Bochum) und H. B. Lawson (Stony Brook, USA). Jahresversammlung am 5.–6. Okt. 1984 an der Universität Zürich-Irchel mit der SNG mit 12 Kurzvorträgen meist junger Schweizer Mathematiker und erstmals 3 Vorträgen zur Geschichte und Didaktik der Mathematik von H. J. Benz (Johannesburg), J. Dieudonné (Nice), F. Pluvinage (Strasbourg). «Journées de topologie» am 30. Nov. und 1. Dez. 1984 in Cernets-Verrières mit Vorträgen von U. Suter, G. Mislin, B. Eckmann, U. Würgler und C. Weber. Vertretung am Kongress der IMUK in Adelaide und an der Sitzung des European Mathematical Council (EMC) in Oberwolfach. 1985. Präs.: H. Carnal, VPräs.: S. D. Chatterji, Sekr.-Kassier: N. A’Campo, Mitgliederzahl: keine Angabe. Frühjahrssitzung am 1. Juni 1985 in Bern mit zwei Vorträgen von N. Kuiper (IHES) und E. Bolthausen (TU Berlin). Jahresversammlung am 4. Okt. 1985 in Biel mit der SNG mit 23 Kurzvorträgen meist junger Schweizer Mathematiker und Hauptvorträgen von K. Jacobs (Erlangen) und P. Buser (EPFL) sowie einer Sitzung gemeinsam mit der Schweizerischen Gesellschaft für Logik und Philosophie der Wissenschaften. «Journées scientifiques» zur Geometrie am 22.–25. Nov. 1985 in Basel mit ca. 80 Teilnehmern. Vertretung bei der IMUK und EMC. Informationen zu «Euromath» (Schaffung eines Online-Kommunikationssystems, einer Datenbank und einer Computerumgebung für Mathematiker). Bericht zur Mathematik im Jahr 2000, Perspektiven und Probleme von H. Carnal und A. Robert zuhanden der SNG. 1986. Präs.: S. D. Chatterji, VPräs.: N. A’Campo, Sekr.-Kassier: U. Stammbach, Mitgliederzahl: 433. Frühjahrssitzung am 31. Mai 1986 in Bern mit zwei Vorträgen von V. Bangert (Bern) und J. Tits (Collège de France). Jahresversammlung am 10.–11. Okt. 1986 in Bern mit der SNG mit 9 Kurzvorträgen meist junger Schweizer Mathematiker und 4 eingeladenen Hauptvorträgen von M. Struwe (ETHZ), J. Martinet (Strasbourg), G. Arsac (Lyon) und L. C. Young (Madison). «Journées mathématiques» der SMG zur Mathematischen Physik am 5.–6. Dez. 1986 an der ETHZ unter der Leitung von K. Osterwalder und J. Fröhlich. Teilnahme am Internationalen

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Mathematiker-Kongress in Berkeley am 3.–11. Aug. 1986, Vertretung in IMU, IMUK und EMC. 1987. Präs.: S. D. Chatterji, VPräs.: N. A’Campo, Sekr.-Kassier: U. Stammbach, Mitgliederzahl: keine Angabe. Frühjahrssitzung und «Journées mathématiques» über komplexe analytische Mannigfaltigkeiten unter der Leitung von H. Holmann, B. Kaup und H. Rummler am 22.–23. Mai 1987 in Fribourg mit 70–80 Teilnehmern. Vorträge von J.-P. Demailly (Grenoble), O. Forster (München), F. Hirzebruch (Bonn), L. Kaup (Konstanz), H. Kraft (Basel), T. Vust (Genf). Jahresversammlung am 9.–10. Okt. 1987 in Luzern mit der SNG mit 14 Kurzvorträgen junger Schweizer Mathematiker und 3 eingeladenen Hauptvorträgen von J. P. Eckmann (Genf), W. Ballmann (Zürich) und H. H. Storrer (Zürich). Wechsel im Redaktionskomitee der Elemente der Mathematik: Austritt von M.-A. Knus, Eintritt von H.-C. Im Hof. Formelle Beteiligung an «Euromath» und Beitritt zu dessen Kreditempfänger, dem «European Mathematical Trust». Vertretung in IMU, IMUK und EMC. 1988. Präs.: N. A’Campo, VPräs.: U. Stammbach, Sekr.-Kassier: H. Holmann, Mitgliederzahl: 443. Frühjahrssitzung am 28. Mai 1988 in Bern mit zwei Vorträgen von O. Lanford (ETHZ) und E. Ghys (Genf/Lille) sowie drei Vorträgen der CIEM von G. Arsac (Lyon), A. Schnyder (Basel) und A. Ventura (Zürich). Jahresversammlung am 7.–8. Okt. 1988 in Lausanne mit der SNG mit acht Kurzvorträgen junger Schweizer Mathematiker und eingeladenen Hauptvorträgen von G. Wanner und E. Ruh. Abschluss einer Vereinbarung für die Beteiligung von Deutschschweizer Mathematikern an den Seminaren des «3ème Cycle Romand» in Les Plans-sur-Bex. Mitteilungen über die Fortschritte bei «Euromath». «Journées arithmétiques» der SMG in Genf am 15.–16. April 1988 organisiert von M. Kervaire und J. Steinig mit Vorträgen von K. Ribet, E. Bayer-Fluckiger, B. Mazur, D. Coray, G. Wüstholz und J.-P. Serre. 1989. Präs.: N. A’Campo, VPräs.: U. Stammbach, Sekr.-Kassier: H. Holmann. Frühjahrssitzung am 15. April 1989 in Lausanne in Kombination mit den Mathematiktagen der SMG. Jahresversammlung am 13.–14. Okt. 1989 in Fribourg mit der Schweizerischen Akademie der Naturwissenschaften (SANW) mit sechs Kurzvorträgen frisch promovierter Schweizer Mathematiker und Hauptvorträgen von A. Valette (Neuenburg) und H. Knörrer (ETHZ). Mathematiktage der SMG zum Thema «Analyse harmonique et représentations unitaires» am 14.–15. April 1989 unter der Leitung von S. D. Chatterji und A. Derighetti (Lausanne) mit Vorträgen von A. Terras, E. Kaniuth, J. P. Pier, G. Racher, P. Eymard und V. S. Varadarajan. Rücktritt von Prof. Gabriel als geschäftsführender Redaktor der Commentarii. Sein Amt wird übernommen von Prof. Kraft (Basel). Schwierigkeiten bei der Vervollständigung des

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Redaktionskomitees. Zusammenarbeit mit dem EMC im Bereich des Projekts «Euromath». Kandidatur der Schweiz für den Internationalen Mathematiker-Kongress 1994 unter Federführung von H. Carnal (Bern). Im Laufe des Jahres 1989 konnte in der Person von Prof. U. Kirchgraber (ETHZ) jemand gefunden werden, der sich den Beziehungen zwischen Hochschulmathematikern und den Mathematiklehrern an Gymnasien mit neuen Ideen und grossem Engagement annahm. Organisation eines Weiterbildungskurses für Mathematiklehrer in Brig am 11.–12. Okt. 1989 zum Thema «Dynamische Systeme und Chaos». 1990. Präs.: U. Stammbach, VPräs.: H. Holmann, Sekr.-Kassier: F. Sigrist. Frühjahrssitzung am 19. Mai 1990 in Zürich in Kombination mit den Mathematiktagen der SMG. Jahresversammlung am 3.–4. Okt. 1990 in Genf mit der SANW mit 10 Kurzvorträgen frisch promovierter Schweizer Mathematiker und 3 Hauptvorträgen von P. Salberger (Orsay), M. Brion (Grenoble) und A. Marin (ENS Lyon). Mathematiktage der SMG zum Thema «Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen: Theorie und Numerik» am 17.–19. Mai 1990 unter der Leitung von R. Verfürth und P. Hess an der Universität Zürich mit 24 Vorträgen. Wahl von M. Struwe (ETHZ) und E. Ghys (ENS Lyon) in die Redaktion der Commentarii. Bildung einer Kommission, welche das Profil der Zeitschrift Elemente der Mathematik überdenken soll, da diese unter rückläufigen Abonnementszahlen leidet. Das Projekt «Euromath» kommt trotz erheblicher finanzieller Mittel nur unbefriedigend voran. Beitritt zu der am 27.–28. Okt. 1990 in Madralin bei Warschau gegründeten Europäischen Mathematischen Gesellschaft (EMS). Da die SANW den zu entrichtenden Beitrag von Fr. 2'000.– zunächst nicht übernehmen wollte, wurde beschlossen den Mitgliederbeitrag der SMG von Fr. 30.– auf Fr. 50.– pro Jahr zu erhöhen. Dies ermöglichte gleichzeitig die Schaffung eines festen Sekretariats der SMG an der Universität Fribourg, das während der folgenden zwanzig Jahre von Frau Louise Wolf betreut wurde, welche die Mitgliedermutationen und Buchhaltung bereits 1973 unter der Präsidentschaft von H. Kleisli übernommen hatte. Internationaler Mathematiker-Kongress in Kyoto und Generalversammlung der IMU in Kobe. An dieser Versammlung wurde der nächste Internationale Mathematiker-Kongress (1994) nach Zürich vergeben. Es ist dies ohne Zweifel eine grosse Ehre für die Mathematik in der Schweiz, dass der Internationale Kongress nach 1897 und 1932 nun bereits zum dritten Mal in Zürich stattfinden wird. Die Organisation des Kongresses übernahm der im Berichtsjahr gegründete «Verein ICM 94», als dessen Präsident H. Carnal (Bern) amtete. Im Rahmen der Bemühungen um die Lehrerweiterbildung führte U. Kirchgraber erstmals einen von der SMG unterstützten «Schweizerischen Tag über Mathematik und Unterricht» am 21. Juni 1990 an der Kantonsschule Frauenfeld durch.

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1991. Präs.: U. Stammbach, VPräs.: H. Holmann, Sekr.-Kassier: F. Sigrist, Mitgliederzahl: 464. Frühjahrssitzung am 25. Mai 1991 in Bern mit einem Vortrag von R. Maeder über das Computeralgebra-System «Mathematica». Jahresversammlung am 9.–11. Okt. 1991 in Chur mit der SANW diesmal ohne Doktorandenvorträge, dafür mit 9 grösseren, übersichtsartigen Vorträgen von z. T. neu in die Schweiz gekommenen MathematikerInnen. Drei dieser Vorträge fanden im Rahmen einer erstmals organisierten gemeinsamen Sitzung mit der Schweizerischen Physikalischen Gesellschaft statt. Mathematiktage der SMG als «2nd Analysis Colloquium» am 20.–23. Mai 1991 in Bern unter der Leitung von H. M. Reimann mit 17 Vorträgen von Referenten aus den USA, Sowjetunion, Polen, Finnland, Spanien, Deutschland und der Schweiz. Übernahme des Patronats für die «XVIIèmes Journées arithmétiques» an der Universität Genf vom 9.–13. Sept. 1991 und Vermittlung namhafter finanzieller Beiträge der SANW und der Stiftung zur Förderung der mathematischen Wissenschaften in der Schweiz hierfür. Schlussbericht der Elemente-Kommission mit Vorschlägen zu einer Neuorientierung der Zeitschrift. Wahl eines neuen neunköpfigen Redaktionskomitees für die Elemente: U. Stammbach folgte M. Jeger als neuer geschäftsführender Redaktor. Das ambitiöse Projekt «Euromath» musste stark redimensioniert werden. Frau Bea Wollenmann erzielte eine Bronzemedaille an der 32. Internationalen Mathematik Olympiade (IMO) in Sigtuna (S). U. Kirchgraber organisierte wiederum einen «Schweizerischen Tag über Mathematik und Unterricht» sowie eine Arbeitswoche in Valbella für Gymnasiallehrer zum Thema «Module zur Angewandten Mathematik». Wie in früheren Jahren gab die SMG auch 1991 ein wöchentliches Informations-Bulletin über Veranstaltungen im Gebiete der Mathematik heraus sowie erstmals versuchsweise das «SMG Bulletin SMS», in dem die wesentlichsten Ereignisse der vergangenen zwei Jahre zuhanden der Mitglieder zusammengefasst wurden. 1992. Präs.: H. Holmann, VPräs.: F. Sigrist, Sekr.-Kassier: P. Hess, Mitgliederzahl: keine Angabe. Frühjahrssitzung am 13. Juni 1992 in Basel in Verbindung mit den «Basler Geometrie-Tagen». Jahresversammlung am 2.–3. Okt. 1992 in Basel mit der SANW mit 14 Kurzvorträgen von Doktoranden und 4 Übersichtsvorträgen von E. Ruh (Fribourg), J. Rappaz (Lausanne), C. G. Schmidt (Karlsruhe) und N. Schappacher (Strasbourg). «MathematikTage» der SMG über aktuelle Forschungsgebiete der Geometrie am 11.–15. Juni 1992 in Basel unter der Leitung von H. Kraft und D. Kotschick mit 11 Vorträgen von anerkannten Mathematikern aus dem In- und Ausland. Durch ein neues Profil der Zeitschrift Elemente der Mathematik konnte deren Abonnentenzahl um 10% erhöht werden. Ablehnung der neuen Maturitätsanerkennungsverordnung wegen einseitigem Abbau der mathematisch-naturwissenschaftlichen Komponente in der gymnasialen Ausbil-

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dung. Vereinbarung zur Förderung der Mobilität der Studierenden der Mathematik an den Universitäten und Hochschulen der Schweiz. Vertretung am Council Meeting und ersten Kongress der EMS in Paris vom 4.–10. Juli 1992 sowie am ICME-7 in Quebec vom 17.–28. Aug. 1992. Beitritt zum Verein zur Förderung des Mathematischen Forschungsinstituts Oberwolfach. Vorbereitungen und Spendenaufruf zum ICM 94 in Zürich. Urs Kirchgraber führte am 18. Mai 1992 den von der SMG finanziell unterstützten «3. Schweizerischen Tag über Mathematik und Unterricht» in Bellinzona durch sowie eine «Studienwoche-Mathematik» in Valbella im Rahmen der Stiftung «Schweizer Jugend forscht». 1993. Präs.: H. Holmann, VPräs.: F. Sigrist, Sekr.-Kassier: H. Jarchow. Frühjahrssitzung am 29. Mai 1993 in Neuenburg in Verbindung mit den «Mathematik-Tagen» der SMG. Wahl eines neuen Sekretärs für den am 29. Nov. 1992 infolge eines tödlichen Bergunfalls verstorbenen Peter Hess. Jahresversammlung am 23.–25. Sept. 1993 in Verbier mit der SANW mit neun Übersichtsvorträgen von P. Gabriel, A.-S. Sznitman, R. Aebi, M. Burger, E. Bayer-Fluckiger, D. W. Masser, J. Moser, H. Amann und G. Wanner. «Mathematik-Tage» der SMG zum Thema «Lattices in Semi-simple Lie Groups» am 27.–29. Mai 1993 in Neuenburg unter der Leitung von A. Valette mit 9 Vorträgen. Weitere Vorbereitungen zum ICM 94 in Zürich (finanzielle Unterstützung durch die beiden ETHs und verschiedene private Firmen, Einladung der Referenten, Versand der zweiten Ankündigung). Ein Schweizer Team von vier Schülern nahm vom 13.–24. Juli 1993 an der 34. Internationalen Mathematik Olympiade (IMO) in Istanbul teil und brachte eine Silberund eine Bronze-Medaille heim. Bildung eines IMO-Komitees der SMG unter der Leitung von H. Jarchow. Durchführung des 4. Schweizerischen Tages über Mathematik und Unterricht am 15. Juni 1993 in Solothurn durch U. Kirchgraber mit über 200 Teilnehmern. 1994. Präs.: F. Sigrist, VPräs.: H. Jarchow, Sekr.-Kassier: G. Wanner, Mitgliederzahl: 472. Frühjahrssitzung am 14. Mai 1994 in Fribourg in Verbindung mit den «Mathematik-Tagen» der SMG. Jahresversammlung am 7.–8. Okt. 1994 in Aarau mit der SANW mit 12 Kurzvorträgen von Doktoranden und zwei Übersichtsvorträgen von C. Weber (Genf) und D. Rolfsen (Vancouver). «Mathematik-Tage» der SMG zur Differentialgeometrie am 12.– 14. Mai 1994 in Fribourg unter der Leitung von E. Ruh und H. Rummler mit Hauptvorträgen u. a. von U. Lang (Bonn) und K. Grove (College Park). Hauptereignis war der Internationale Mathematiker-Kongress in Zürich am 3.–11. Aug. 1994 mit 2536 Teilnehmern aus 87 Ländern und SatellitenVeranstaltungen, z. B. in Genf (vgl. Angaben im Haupttext sowie Abb. 16). Zu dessen Gelingen haben v. a. die Leiter des Organisationskomitees H. Carnal und Chr. Blatter beigetragen, die deshalb zu Ehrenmitgliedern der SMG

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ernannt wurden. Satelliten-Konferenz zum ICM 94 in Genf über Operatoralgebra vom 25.–30. Juli 1994 mit 17 Hauptvorträgen und über 100 Teilnehmern organisiert von V. Jones, P. de la Harpe und H. Maire. Vertretungen und Informationen aus der IMU und EMS. Das Jahr 2000 wurde von der UNESCO zum «World Mathematics Year» ernannt. 5. Schweizerischer Tag über Mathematik und Unterricht am 14. Juni 1994 in Olten organisiert von U. Kirchgraber. Erneute «Studienwoche-Mathematik» in Valbella im Rahmen der Stiftung «Schweizer Jugend forscht». Die Stiftung zur Förderung der mathematischen Wissenschaften in der Schweiz hat wie stets den Austausch- und Informationsdienst, die Publikationen der SMG sowie die diversen Tagungen im Verbund mit der SANW unterstützt. 1995. Präs.: F. Sigrist, VPräs.: H. Jarchow, Sekr.-Kassier: G. Wanner. Frühjahrssitzung am 10. Juni 1995 in Zürich in Verbindung mit den «Mathematik-Tagen» der SMG. Jahresversammlung am 8.–9. Sept. 1995 in St. Gallen mit der SANW mit 9 Kurzvorträgen von Doktoranden und zwei Hauptvorträgen von J.-M. Lemaire (Nice) und E. Hairer (Genf). «Mathematik-Tage» der SMG zum Thema Wahrscheinlichkeit in Zürich am 8.–10. Juni 1995 unter der Leitung von A.-S. Sznitman und E. Bolthausen mit insgesamt zehn Vorträgen u. a. von J. Spencer (MIT). Klagen über Subventionskürzungen für die Zeitschriften der SMG durch die SANW. Das Schweizer Team gewann an der IMO in Toronto zwei Silbermedaillen sowie zwei Ehrenmeldungen bei insgesamt fünf Teilnehmern. 6. Schweizerischer Tag über Mathematik und Unterricht in Luzern am 10. Mai 1995 mit ca. 150 Teilnehmern organisiert von U. Kirchgraber. 1996. Präs.: H. Jarchow, VPräs.: G. Wanner, Sekr.-Kassier: U. Würgler, Mitgliederzahl: 474. Frühjahrssitzung am 15. Juni 1996 in Lausanne in Verbindung mit den «Mathematik-Tagen» der SMG. Jahresversammlung am 11.–12. Okt. 1996 an der Universität Zürich-Irchel mit der SANW mit 16 Kurzvorträgen von DoktorandInnen und zwei Hauptvorträgen von V. Schroeder (Univ. Zürich) und F. Delbaen (ETHZ). «Journées mathématiques» der SMG zum Thema «Topologie» in Lausanne vom 13.–15. Juni 1996 unter der Leitung von D. Arlettaz mit Hauptvorträgen von A. Dold (Heidelberg) und D. Quillen (Oxford). Berichte über die Periodica der Gesellschaft, den ECM, die EMS und die IMO, wo das Schweizer Team erneut eine Bronzemedaille gewann. 7. Schweizerischer Tag über Mathematik und Unterricht in Stans am 8. Mai 1996 organisiert von U. Kirchgraber, der auch die 3. Studienwoche Mathematik im Rahmen von «Schweizer Jugend forscht» vom 7.–12. Okt. 1996 in Valbella durchführte. 1997. Präs.: H. Jarchow, VPräs.: G. Wanner, Sekr.-Kassier: U. Würgler. Frühjahrssitzung am 7. Juni 1997 in Bern in Verbindung mit den «Journées»

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der SMG. Jahresversammlung am 10.–11. Okt. 1997 in La Chaux-de-Fonds mit der SANW mit 16 Kurzvorträgen von DoktorandInnen und 2 Hauptvorträgen von Frau Prof. V. Baladi (Genf) und B. Dacorogna (EPFL). Wahl von A. Haefliger, M. Kervaire und J. Moser zu Ehrenmitgliedern. «AlgebraTage» der SMG in Bern am 5.–7. Juni 1997 unter der Leitung von Frau Prof. Ch. Riedtmann. Reziprozitätsabkommen zwischen der SMG und der London Mathematical Society. Innerhalb der Dachorganisation der Mathematiker, der IMU, wird die Schweiz inskünftig mehr Gewicht haben; sie wurde von deren Mitgliedern von der Kategorie III in die Kategorie IV gewählt. Beim nächsten Council Meeting im August 1998, welches unmittelbar vor dem Internationalen Mathematiker-Kongress in Berlin stattfindet, wird die SMG mit einer entsprechend grösseren Delegation vertreten sein. An der IMO 1997 in Mar del Plata (Argentinien) erzielte das SchweizerTeam wiederum zwei Bronzemedaillen. 8. Schweizerischer Tag über Mathematik und Unterricht am 14. Mai 1997 in Wetzikon organisiert von U. Kirchgraber, der auch vom 12.–18. Okt. 1997 in Valbella einen Workshop «Projektartiger Unterricht» durchführte. Erneuter Beitrag von Fr. 12'000.– der Stiftung zur Förderung der mathematischen Wissenschaften in der Schweiz neben Fr. 1'500.– der SANW für Reisekostenbeiträge des wissenschaftlichen Nachwuchses. 1998. Präs.: G. Wanner, VPräs.: U. Würgler, Sekr.-Kassier: R. Jeltsch. Frühjahrssitzung am 6. Juni 1998 in Basel in Verbindung mit den «Journées» der SMG. Jahresversammlung am 23.–24. Sept. 1998 in Airolo mit der SANW mit 19 Kurzvorträgen vor allem von DoktorandInnen. Die geographische Lage des Ortes legte es nahe, als Themenschwerpunkt die berühmte norditalienische Schule über partielle Differentialgleichungen zu wählen, mit den eingeladenen Vortragenden A. Quarteroni (Milano) und F. Brezzi (Pavia). Ein weiterer Hauptvortrag wurde von der Gewinnerin des diesjährigen Schläfli-Preises, Frau V. Baladi, gehalten. «Journées 1998» der SMG unter dem Titel «Basler Geometrie Tage» am 4.–6. Juni 1998 unter der Leitung von N. A’Campo und D. Kotschick mit 8 Hauptvorträgen. Ebenfalls von der SMG unterstützt wurden der «Workshop on Cauchy Riemann Geometry» in Fribourg vom 11.–14. Aug. 1998 und das «Swiss Probability Seminar» mit vier Meetings in Bern. U. Kirchgraber setzte seine Bemühungen zur Förderung des mathematischen Unterrichts in höheren Schulen fort und veranstaltete mit der Unterstützung der SMG den 9. Schweizerischen Tag über Mathematik und Unterricht am 6. Mai 1998 in Biel, eine Studienwoche «Schweizer Jugend forscht» vom 5.–10. Okt. 1998 in Valbella und einen Workshop «Projektartiger Unterricht» vom 12.–14. Aug. 1998 ebenfalls in Valbella. Errichtung einer Internet Website der SMG.

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1999. Präs.: G. Wanner, VPräs.: U. Würgler, Sekr.-Kassier: R. Jeltsch. Jahresversammlung am 14.–15. Okt. 1999 in Luzern mit der SANW mit 15 Kurzvorträgen vor allem von DoktorandInnen. Die SMG nahm das spezielle Datum, am Ende des ausgehenden Jahrhunderts, zum Anlass, um vier ihrer Ehrenmitglieder (B. Eckmann, A. Haefliger, Ch. Blatter und H. Carnal) als Zeitzeugen dieses Zeitraums zu 4 Hauptvorträgen einzuladen. Gemeinsamer Ausflug auf den Pilatus mit einprogrammiertem Sonnenunter- und aufgang, gemeinsamer Übernachtung und weiteren Vorträgen im Kulmhotel bis tief in die Nacht. An der Geschäftssitzung wurde beschlossen, dem ICIAM als Mitglied beizutreten und mit der GDM, OeMG und der Schweizerischen Physikalischen Gesellschaft Reziprozitätsabkommen abzuschliessen. Journées 1999 der SMG unter dem Titel «Groupes finis» am 3.–6. März 1999 in Genf unter der Leitung von P. de la Harpe und L. Bartholdi sowie Kollegen aus Lyon, Grenoble und Savoien mit Minivorlesungen von M. Broué und J.-P. Serre nebst ausgezeichneten Einzelvorträgen. Ebenfalls von der SMG unterstützt wurden die «Arolla Conference on Algebraic Topology» unter der Leitung von D. Arlettaz und K. Hess-Bellwald (Lausanne) sowie das «Swiss Probability Seminar» mit zwei Meetings in Bern. Mit dem 1.1.2000 grössere Umstellung in der Redaktion der Elemente: Rücktritt von U. Stammbach als Chefredaktor sowie H. Joris und H. Schneebeli aus dem Editorial Board. Neuer Chefredaktor wurde Juerg Kramer (Humboldt-Univ. Berlin), neue Redaktionsmitglieder Frau Baoswan Dzung Wong und die Herren G. Wanner und N. Schappacher. U. Kirchgraber setzte seine Bemühungen zur Förderung des mathematischen Unterrichts in höheren Schulen fort und veranstaltete mit der Unterstützung der SMG den 10. Schweizerischen Tag über Mathematik und Unterricht am 5. Mai 1999 in Basel und einen Workshop «Projektartiger Unterricht» vom 10.–16. Oktober 1999 in Valbella. Ausbau der Internetseite (http://www.math.ch). 2000. Präs.: U. Würgler, VPräs.: R. Jeltsch, Sekr.-Kassier: P. Buser. Die geplanten «Journées 2000» der SMG mussten verschoben werden. Jahresversammlung am 12.–13. Okt. 2000 in Winterthur mit der SANW mit 10 Kurzvorträgen und 3 Hauptvorträgen von H. Carnal, Frau E.-M. Feichtner und S. Sauter. Zu speziellen Diskussionen Anlass gab der Umstand, dass die SANW mittelfristig die Beitragszahlung an das IHES (Fr. 135'000.–) nicht mehr garantieren kann. Es besteht die Absicht, dass diese Mitgliedschaft ab 2004 über das Bundesamt für Bildung und Wissenschaft abgewickelt wird. Unterstützung der internationalen Tagung CATOP zu Ehren von Herrn Kleisli und des Swiss Probability Seminars. M. Kervaire und C. Weber traten aus dem Redaktionskomitee der Commentarii aus. Wahl von G. Levitt (Toulouse) und J.-B. Bost (Orsay) als Nachfolger. U. Kirchgraber sowie Austausch- und Informationsdienst setzen ihre bewährten Aktivitäten fort.

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2001. Präs.: U. Würgler, VPräs.: R. Jeltsch, Sekr.-Kassier: P. Buser, Mitgliederzahl: 503. Journées 2001 am 7.–9. Juni in Neuenburg organisiert von A. Valette zum Thema «Riemann’s Zeta Function» mit prominenter internationaler Beteiligung. Jahresversammlung am 18.–19. Okt. 2001 in Yverdon mit der SANW mit 13 Kurzvorträgen und 3 Hauptvorträgen von Frau E. Bayer, D. Salamon und B. Colbois. Unterstützt durch die SMG wurden wiederum das «Swiss Probability Seminar» sowie eine von Frau Kellerhals organisierte Tagung «Aspects of Hyperbolic Geometry» vom 1.–5. Okt. 2001 in Fribourg. Wechsel im Redaktionskomitee der Commentarii und der Elemente. U. Kirchgraber sowie Austausch- und Informationsdienst setzten ihre bewährten Aktivitäten fort. 2002. Präs.: R. Jeltsch, VPräs.: P. Buser, Sekr.-Kassier: H.-Ch. Im Hof. Die Journées 2002 der SMG unter dem Titel «SMS Geometry Meeting» wurden von P. Buser und B. Colbois vom 13.–16. Febr. 2002 an der Universität Neuchâtel organisiert mit 15 einstündigen Hauptvorträgen bei ca. 40 Teilnehmern. Jahresversammlung am 18.–19. Sept. 2002 in Davos mit der SANW mit 8 Kurzvorträgen vor allem von Doktoranden und 4 Hauptvorträgen von M. Lehning (SLF), P. Bühlmann, T. Ratiu und R. Kellerhals. H.-Ch. Im Hof gab seinen Rücktritt als Sekr.-Kassier auf Ende des Berichtsjahres bekannt. An der Geschäftssitzung in Davos wurde N. Hungerbühler neu in dieses Amt gewählt. Einsetzung einer Kommission, die einen etwaigen Verlagswechsel der SMG-Zeitschriften vom Birkhäuser Verlag zum EMS Publishing House studieren soll. Bedeutendstes Ereignis war die von der SMG mitfinanzierte, von E. Hairer organisierte Tagung «Conference on Scientific Computation» an der Universität Genf vom 26.–29. Juni 2002 mit Vorträgen u. a. von J. Butcher (Auckland, Neuseeland), G. Dahlquist (KTH, Stockholm), R. Skeel (Illinois), H. Stetter (Wien). Die Gelegenheit wurde zudem benutzt, um den 60. Geburtstag von G. Wanner zu feiern. Durch die Stiftung der SMG wurde wiederum das «Swiss Probability Seminar» unterstützt. Vertretung der SMG an der General Assembly der IMU in Shanghai. Die SMG ist assoziiertes Mitglied des International Council for Industrial and Applied Mathematics (ICIAM), der Weltorganisation für Angewandte und «industrielle» Mathematik. Die Schweiz wird den alle vier Jahre stattfindenden ICIAM-Kongress 2007 in Zürich durchführen. Es wurde bereits ein Verein gegründet, der die finanzielle Verantwortung übernehmen wird. Der seinerzeitige Präsident der SMG, R. Jeltsch, war in den Jahren 1999– 2002 auch Präsident der EMS. Das Council Meeting wurde anlässlich der Abel Konferenz zur Feier des 200. Geburtstages von Abel in Oslo am 1.– 2. Juni 2002 durchgeführt. Während der Abel Konferenz wurde offiziell die Schaffung des Abel Preises bekannt gegeben. Die Dotierung dieses jährlich zu vergebenden Preises liegt in der Höhe der Nobel Preise, und es wird

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erwartet, dass der Abel Preis einen ähnlichen Stellenwert erhalten wird. U. Kirchgraber veranstaltete am 15. Mai 2002 an der Kantonsschule Obwalden in Sarnen den 13. Schweizerischen Tag über Mathematik und Unterricht und organisierte vom 14.–19. Okt. 2002 in Valbella erneut eine Studienwoche «Schweizer Jugend forscht». Austauschdienst und Informationsdienst setzten ihre bewährten Aktivitäten im üblichen Rahmen fort. Gründung einer Società Matematica della Svizzera Italiana. 2003. Präs.: R. Jeltsch, VPräs.: P. Buser, Sekr.-Kassier: N. Hungerbühler. Die Journées 2003 der SMG unter dem Titel «Basler Numerik-Tage» wurden von M. Grote und D. Schötzau vom 12.–14. Juni 2003 an der Universität Basel organisiert mit 9 einstündigen Hauptvorträgen bei ca. 50 Teilnehmern. Herbsttagung am 17.–18. Sept. 2003 in Solothurn zum ersten Mal seit längerem nicht im Rahmen der Jahresversammlung der SANW mit 11 Kurzvorträgen, 4 Hauptvorträgen von Z. Balogh, A. Alekseev, M. Schweizer und A. Prohl, die ihre Arbeitsgebiete vorstellten, sowie einer von N. Hungerbühler organisierten Podiumsdiskussion «Wozu braucht man Mathematik heute?». Finanzielle Unterstützung für Kolloquien zum 100. Geburtstag von B. L. van der Waerden und J. J. Burckhardt. Letzterem wurde ein ganzes Heft der Zeitschrift Elemente der Mathematik gewidmet. Vertretung am ICIAM Council Meeting und Kongress in Sydney, wo für den ICIAM 2007 in Zürich geworben wurde. Organisation des 14. Schweizerischen Tages über Mathematik und Unterricht durch U. Kirchgraber am 17. Sept. 2003 an der Zürcher Hochschule in Winterthur. Austausch- und Informationsdienst wurden fortgesetzt. Die Periodika der SMG wurden seit 1966 vom Birkhäuser Verlag in Basel produziert und vertrieben. Da sich in der Zwischenzeit das Publikationsumfeld stark veränderte, wurde an der Geschäftssitzung am 18. Sept. 2003 beschlossen, mit den folgenden drei Verlagen Vertragsverhandlungen zu beginnen: Birkhäuser Verlag, Basel; EMS Publishing House, Zürich; Cambridge University Press, Cambridge. 2004. Präs.: P. Buser, VPräs.: N. Hungerbühler, Sekr.-Kassier: V. Schroeder. Frühjahrsssitzung am 26. März 2004 in Bern mit Diskussionen zu einem etwaigen Verlagswechsel. Die Journées 2004 der SMG unter dem Titel «Analysis on Manifolds» wurden von Ruth Kellerhals und N. Hungerbühler vom 10.–12. Juni 2004 an der Universität Fribourg organisiert mit 9 einstündigen Hauptvorträgen bei ca. 50 Teilnehmern. Herbsttagung am 15.– 16. Sept. 2004 in Lausanne fortan nicht mehr im Rahmen der Jahresversammlung der Akademie der Naturwissenschaften Schweiz (SCNAT) mit 12 Kurzvorträgen und 5 Hauptvorträgen von G. Arjantseva, L. Bartholdi, T. Mountford, M. Benaïm und J. Rosenthal bei insgesamt 54 Teilnehmern. Anlässlich einer Geschäftssitzung am 26. März 2004 wurde mit 19 gegen 11

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Stimmen beschlossen, die beiden Zeitschriften der SMG in Zukunft durch das EMS Publishing House in Zürich herausgeben zu lassen. Abschluss eines Reziprozitätsabkommens mit der «Real Sociedad Mathemática Española». Organisation des 15. Schweizerischen Tages über Mathematik und Unterricht durch U. Kirchgraber am 22. Sept. 2004 an der Kantonsschule Burggraben in St. Gallen. Austausch- und Informationsdienst wurden fortgesetzt. 2005. Präs.: P. Buser, VPräs.: N. Hungerbühler, Sekr.-Kassier: V. Schroeder, Mitgliederzahl: 506. Die Journées 2005 der SMG wurden als Teil der Tagung «Asymptotic and Probabilistic Methods in Geometric Group Theory» vom 20.–25. Juni 2005 in Genf mit 130 Teilnehmern abgehalten. Organisatoren waren G. Arjantseva (Genf) und L. Bartholdi (EPFL). Die Herbsttagung der SMG wurde vom 22.–24. Sept. 2005 in Lugano mit 12 Hauptvorträgen unter der Leitung von A. Piatti (Lugano) und P. Buser (Lausanne) durchgeführt. Ziel der Tagung war es, den Mitgliedern der SMG die Università della Svizzera Italiana vorzustellen. An der Geschäftssitzung wurden S. Chatterji und E. Specker zu Ehrenmitgliedern ernannt. Der Präsident berichtete über die Kosten des Verlagswechsels von Birkhäuser zum EMS Publishing House. Von der Unterstützung durch die SMG konnten folgende Veranstaltungen profitieren: der «1st World Congress and School on Universal Logic» unter der Leitung von J.-Y. Béziau (Neuchâtel) vom 26. März bis 3. April 2005 in Montreux, das «XX. Rolf Nevanlinna Kolloquium» vom 8.–13. Aug. 2005 in Lausanne mit 150 Mathematikern aus 15 Ländern sowie erneut das «Swiss Probability Seminar». Am 15. April 2007 jährt sich zum dreihundertsten Mal der Geburtstag des grossen Schweizer Gelehrten Leonhard Euler (1707– 1783): ein guter Anlass, um sein Leben und sein Werk sowohl im historischen als auch im heutigen Kontext zu bedenken. Während des ganzen Jubiläumsjahres soll die Gelegenheit für Begegnungen einer breiteren Öffentlichkeit mit Mathematik, Naturwissenschaften und ihrer Geschichte genutzt werden. Für die Planung der Aktivitäten ist ein Programmkomitee unter der Leitung von H. Kraft und dem Patronat der SCNAT zuständig (http://www.euler-2007.ch). U. Kirchgraber organisierte mit der Unterstützung der SCNAT am 21. Sept. 2005 am Gymnasium Köniz-Lebermatt den 16. Schweizerischen Tag über Mathematik und Unterricht. Austausch- und Informationsdienst wurden im üblichen Rahmen fortgesetzt. 2006. Präs.: N. Hungerbühler, VPräs.: V. Schroeder, Sekr.-Kassier: B. Colbois, Mitgliederzahl: ca. 450. Auf die Durchführung der «Journées de Printemps» wurde 2006 im Hinblick auf die Fülle von Veranstaltungen im kommenden Euler-Jahr und den damit verbundenen finanziellen Belastungen verzichtet. Die Herbsttagung der SMG wurde vom 21.–22. Sept. 2006 an

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der Universität Zürich durchgeführt mit 6 Kurzvorträgen von DoktorandInnen und Hauptvorträgen von F. Kutzschebauch, C. De Lellis, Eva BayerFluckiger, T. Rivière, M. J. Gander und G. Philippin. Von der Unterstützung durch die SMG konnten folgende Veranstaltungen profitieren: das «Swiss Probability Seminar», der «Alpine Operad Workshop», der «10th Rhine Workshop on Computer Algebra (RWCA)», der 17. Schweizerische Tag über Mathematik und Unterricht, die «Journées complexes du Sud», das Festkolloquium «Geometry and Analysis» aus Anlass des 70. Geburtstags von Ernst Ruh, die Konferenz zum 60. Geburtstag von Peter Buser, die «Journées à la mémoire de Michel Matthey» sowie die «Perspectives in fluid dynamics». Im Frühjahr 2006 konnte der neue Verlag der Elemente und der CMH, das EMS Publishing House, seinen ersten Jahresbericht abgeben. Demnach waren zwar die Abonnentenzahlen, dem internationalen Trend folgend, leicht rückläufig, jedoch hat der Kundenstamm den Verlagswechsel am 1. Januar 2005 weitgehend unbeschadet überstanden. Entsprechend erfreulich stellte sich die finanzielle Lage der beiden SMG-eigenen Zeitschriften dar, die 2006 mit einem Gewinn abschlossen. Das EMS Publishing House stimmte grosszügig zu, die Gratisabonnements der CMH für Bibliotheken in Entwicklungsländern zu übernehmen. Die Kosten hierfür werden leider nicht mehr von der SCNAT getragen, und die SMG kann diese auf Dauer nicht aus eigener Kraft finanzieren. Im Frühjahr 2006 übergab der langjährige Chefredaktor, H. Kraft, sein Amt an seine Nachfolgerin, Frau Eva Bayer-Fluckiger. Die SMG war Mitglied in sechs internationalen Organisationen und hatte Reziprozitätsabkommen mit zehn ausländischen mathematischen Gesellschaften. Weiterer Ausbau der SMG-Webseite und Inbetriebnahme der Swiss Digital Mathematics Library (SwissDML) mit den vollständigen Beständen der Elemente, der CMH und vom L’Enseignement mathématique. Austausch- und Informationsdienst wurden im üblichen Rahmen fortgesetzt. 2007. Präs.: N. Hungerbühler, VPräs.: V. Schroeder, Sekr.-Kassier: B. Colbois. Auf die Durchführung der «Journées de Printemps» wurde 2007 im Hinblick auf die Fülle von Veranstaltungen im Euler-Jahr erneut verzichtet. Die Herbsttagung der SMG fand vom 13.–15. Sept. 2007 im Rahmen des Jahreskongresses der SCNAT in Basel statt und war ganz im Zeichen des Euler-Jahres. Im Zentrum des Kongresses stand die fachliche und historische Auseinandersetzung mit den vielfältigen Erkenntnissen Leonhard Eulers in ihrer ganzen Breite. Die Hauptvorträge des ersten Tages wurden von S. Hildebrandt und A. Kleinert gehalten. Am zweiten Tag folgten Vorträge in den Sektionen Mathematik, Physik und Astronomie sowie Euler als Lehrer der Mit- und Nachwelt. Der dritte Kongresstag stand im Zei-

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chen der Schlusspräsentationen der Euler Studienwoche von «Schweizer Jugend forscht» und der traditionellen Geschäftssitzung der SMG, an der auch der Pfluger-Preis (an R. Konsbruck) verliehen wurde. Das vollständige Programm des Kongresses findet sich im elektronischen Archiv der SMG auf www.math.ch. Logistisch oder finanziell wurden folgende Tagungen und Anlässe durch die SMG, mit Hilfe von SCNAT und Stiftung, unterstützt: das «Swiss Probability Seminar», der 18. Schweizerische Tag über Mathematik und Unterricht, die «Ludwig Schläfli Lecture», die internationale Konferenz «Geometric Linearization of Graphs and Groups», die «Semaine d’activité en théorie spectrale et géométrie», die Schweizer Numerikertagung, der «Workshop on Geometry and Topology», das Meeting «Topology in the Swiss Alps», der Workshop «Hyperbolic Volume 2007», die «International Conference on Symmetries of String Theory», die «Conference on Numerical Analysis and Scientific Computing to celebrate the 60th birthday of Professor Jacques Rappaz», das «Swiss- Russian Seminar on Moduli Spaces and Physics». Zu allen genannten Tagungen sind Details auf der SMG-Webseite bzw. im Internet zu finden. Wichtigstes Ereignis war der ICIAM 2007. Er war der grösste MathematikKongress, der je in der Schweiz stattfand. Dank der perfekten Organisation von Rolf Jeltsch und seinem Team wurde der Anlass zu einem grossen Erfolg, welcher der Schweizer Mathematik-Community und der SMG als Hosting Organization international beträchtliches Ansehen eintrug. Auch national wurde in zahlreichen Berichten von Presse, Rundfunk und Fernsehen über den Anlass berichtet (vgl. Angaben im Haupttext und Abb. 17). Die SMG gab im Jahr 2007 den Band 82 der Commentarii Mathematici Helvetici (CMH ) sowie den Band 62 der Elemente der Mathematik heraus. Die Abonnementszahlen gingen im Einklang mit den schwierigen Rahmenbedingungen auf dem Bibliotheksmarkt leicht, aber stetig zurück. Internationale Vertretungen, Informationsbulletin, SwissDML, Web-Seiten, Austauschdienst etc. wurden fortgeführt und weiter entwickelt. Die SMG nahm durch ihren Präsidenten Einsitz in der von EDI und EDK eingesetzten Arbeitsgruppe zur Teilrevision des Maturitätsanerkennungsreglements MAR 95. In den Empfehlungen der Arbeitsgruppe konnte eine deutliche Stärkung von Mathematik und Naturwissenschaften im gymnasialen Unterricht durchgesetzt werden. Die SMG schloss 2007 mit der Abteilung Archive und Nachlässe der ETH-Bibliothek einen Vertrag ab, der die Übernahme der SMG-Akten ins Archiv regelt. Darin sind die Modalitäten der Übergabe, der sicheren Lagerung und des Zugangs festgelegt. Dieses Papierarchiv wird ergänzt durch das elektronische Archiv auf den Web-Seiten der SMG. 2008. Präs.: V. Schroeder, VPräs.: B. Colbois, Sekr.-Kassier: Christine Riedtmann, Mitgliederzahl: über 500. Die Frühjahrssitzung 2008 der SMG fand

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im Rahmen der «Conference on Complex Analysis» vom 7.–11. Juli in Fribourg statt. Sie brachte führende Experten, Doktoranden und Postdocs zusammen. So wurden neben den 17 Hauptvorträgen auch 3 Minicourses von P. Guan (McGill), N. Mok (Hongkong) und M.-C. Shaw (Notre Dame) abgehalten. Jüngere Wissenschaftler konnten sich an einer Poster Exhibition präsentieren. Die Tagung hat mit mehr als 60 Teilnehmern eine sehr grosse Resonanz gefunden. Die Herbsttagung der SMG fand dieses Jahr am 10.–11. Okt. 2008 in Bern statt. Die Hauptredner waren Christiane Tretter (Universität Bern), A. Kresch (Universität Zürich) und A. Dessai (Universität Fribourg). Daneben stellten DoktorandInnen die Ergebnisse ihrer Dissertationen vor. Die SMG unterstützte in Zusammenarbeit mit ihrer Stiftung und der SCNAT im letzten Jahr u. a. folgende Veranstaltungen: den 19. Schweizerischen Tag über Mathematik und Unterricht am 10. Sept. 2008 organisiert von Urs Kirchgraber, das «Swiss Probability Seminar» (organisiert durch Andrew Barbour, Ilya Molchanov, Robe und Robert Dalang), das «Colloque Numérique Suisse» (organisiert von Jean-Paul Berrut) am 25. April 2008 in Fribourg. Internationale Vertretungen, Informationsbulletin, SwissDML, Web-Seiten, Austauschdienst etc. wurden im üblichen Rahmen weiter betrieben. Die ETHZ hat neu den Heinz-Hopf-Preis ausgeschrieben. Er wird alle zwei Jahre vergeben und ist mit Fr. 30'000.– dotiert. Die SMG stellt gemäss den Statuten des Preises ein Mitglied für das Preiskomitee. Als Vertreter der SMG im Preiskomitee wurde Erwin Bolthausen ernannt. 2009. Präs.: V. Schroeder, VPräs.: B. Colbois, Sekr.-Kassier: Christine Riedtmann, Mitgliederzahl: 525. Frühjahrstagung vom 8.-12. Juni 2009 in Neuenburg zum Thema geometrische Spektraltheorie organisiert von B. Colbois, P. Ghanaat und S. Raulot. Herbsttagung am 23.–24. Okt. 2009 in Porrentruy mit Kurzreferaten von DoktorandInnen, Hauptvorträgen von T. Wihler, A. Abdulle und P. Michel sowie zwei öffentlichen Vorträgen über Finanzmathematik und die erstaunliche Verteilung der Ziffern. Ebenfalls von der SMG unterstützt wurden der Workshop «Integral Geometry and Finsler Geometry» von A. Bernig und G. Berck in Fribourg vom 21.–23. Jan. 2009, die «Winter School on Closed Geodesics» von F. Schlenk in Neuenburg vom 6.– 14. Febr. 2009, die «Swiss Knots 2009» von Ruth Kellerhals in Fribourg vom 19.–21. März 2009, die «Conference on Scientific Computing (in honour of E. Hairer)» von M. Gander, C. Lubich und G. Wanner in Genf vom 17.-20. Juni 2009 und der 20. Schweizerische Tag über Mathematik und Unterricht von U. Kirchgraber an der Kantonsschule Schaffhausen am 9. Sept. 2009. Nach mehr als 30 Jahren als Sekretärin für die SMG gab Frau Louise Wolf auf Jahresende ihre Tätigkeit auf. Sie wurde ersetzt durch Frau Claudia Kolly wiederum vom Mathematischen Institut der Universität Fribourg. Der Aus-

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Abbildung 21. Verabschiedung von Frau Louise Wolf durch 10 Präsidenten der SMG (von links nach rechts): A. Robert, V. Schroeder, H. Kleisli, N. Hungerbühler, R. Jeltsch, P. Buser, Ch. Riedtmann, L. Wolf, H. Holmann, G. Wanner, F. Sigrist [Foto: N. Kaup].

tausch der Commentarii mit ausländischen Institutionen wurde auf Ende 2009 im Einverständnis mit H. Kraft beendet, der diesen während vieler Jahre betreut hatte. Die Beiträge der SCNAT sollen in Zukunft weniger für mathematische Tagungen und Kongresse als vielmehr für Öffentlichkeitsarbeit ausgerichtet werden. Internationale Vertretungen, Informationsbulletin, SwissDML, Web-Seiten, Austauschdienst etc. wurden im üblichen Rahmen weiter betrieben.

Ein Mathematikstudium in den Fünfzigerjahren Christian Blatter «Moribus et litteris sacrum», zu Deutsch: der Charakterbildung und der Gelehrsamkeit geweiht, stand auf einem schwarzen Medaillon über dem Tor zu meinem Gymnasium am Basler Münsterplatz. Mein Namensvetter Thomas Platter war hier 1541–1578 Rektor der städtischen Lateinschule gewesen, und 1589 wurde daraus das «Humanistische Gymnasium». Dieses Gymnasium gibt es so nicht mehr; das Medaillon hat aber überlebt und übt weiterhin seine geheimnisvolle Wirkung auf meinen Lebensgang aus. Das HG war ein rein altsprachliches Knabengymnasium, mit sieben Lektionen Latein pro Woche und Altgriechisch während fünf der acht Schuljahre. Das war alles sehr philologisch, mit Konstruktionen von unerhörter Präzision, natürlich auch inhaltsbezogen; aber die Ökonomie und Lebensweise der alten Griechen und Römer kamen nicht zur Sprache. In diese ehrwürdige Institution bin ich 1946 nach vier Jahren Primarschule eingetreten. Anders als heutzutage, wo auch Zehnjährige schon überall waren oder zumindest alles schon am Fernsehen gesehen haben, hat mir das HG von Anfang an eine vollständig neue Welt aufgetan, radikal verschieden von den täglichen Sorgen, die am Familientisch zur Sprache kamen, und vom spielbezogenen Umgang mit den Gleichaltrigen aus dem Quartier. Unsere Klasse war untypisch: Meine Kameraden kamen nicht aus dem Basler «Daig»; es waren die Söhne eines Kleinbasler Polizisten, eines Glasermeisters, eines Friedhofgärtners, und mehrere Knaben aus dem Milieu der Basler Afrika-Mission. Das Fach «Rechnen» der Primarschule hiess nun «Mathematik». Von der Unterstufe ist mir noch der intensive Drill im Kopfrechnen und ein «schriftliches» Verfahren zum Wurzelziehen in Erinnerung. Im Zeichen des Taschenrechners sind das tempi passati; ich bin aber immer noch froh, dass ich alle Quadratzahlen bis 729 jederzeit vorrätig habe. Vom fünften Schuljahr an durften wir die Oberstufen-Bibliothek benutzen, und da hatte es richtige Mathematikbücher. Zum einen die damals weit verbreiteten Werke von Egmont Colerus, Vom Einmaleins zum Integral [6] und Vom Punkt zur vierten Dimension [7]; ferner waren da zwei Bücher von Louis Locher-Ernst, dem Begründer der Elemente der Mathematik, über projektive Geometrie. Besonders beeindruckt hat mich deren zweispaltiger Umbruch, bei dem alle projektiven Sätze parallel zueinander in ihrer eigentlichen und der dazu dualen Form erschienen. Weit über den Schulstoff hinaus wiesen jedoch zwei Bände von Heinrich Tietze [24] über berühmte mathematische Probleme. Die waren im Nachkriegsdeutschland unter schwierigen Bedingungen

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erschienen; ich hatte irgendwie davon erfahren, und meine Eltern haben sie mir 1950 zu Weihnachten geschenkt. Hier erfuhr ich zum ersten Mal Genaueres über das Vierfarbenproblem, und im kleingedruckten Anmerkungsteil wurde unter anderem die Fermatsche Vermutung für die Exponenten 3 und 4 bewiesen. In der Klasse lief derweil das normale Maturitätsprogramm ab. Für ein altsprachliches Gymnasium ging es erstaunlich weit und umfasste auch die Grundzüge der Differential- und Integralrechnung. Der Physiklehrer bestand darauf, dass wir auch den Begriff der Beschleunigung verstünden; in Mädchenklassen höre es allerdings bei der Geschwindigkeit auf, erklärte er. Für prospektive ETH-Studenten führte Fritz Blumer, der MathematikDoyen unserer Schule, einen freiwilligen Kurs in Darstellender Geometrie durch, an dem ich ebenfalls teilnahm, obwohl ich nicht vorhatte, ein Studium an der ETH aufzunehmen. An der mündlichen Maturitätsprüfung wurde mir unter anderem der Ausdruck ii vorgelegt; mit Blumers Hilfe habe ich schliesslich auch herausgebracht, dass e−π /2  0.2079 nicht der einzige denkbare Wert dieses Ausdrucks ist. Experte bei meiner Prüfung war übrigens Markus Fierz, damals noch Ordinarius in Basel, den ich Jahre später als Lehrer in Theoretischer Physik und noch viel später als Kollegen an der ETH erlebt habe. Eines schönen Tages erschien in unserer Klasse der «Akademische Berufsberater» des Kantons Basel-Stadt. In seinem allgemeinen Plädoyer klärte er uns über die Stellenchancen in verschiedenen Sparten auf; geblieben ist mir der Hinweis, dass es keinen Sinn habe, die Berufswahl im Hinblick auf den Posten des Vorstehers der Universitätsbibliothek zu treffen. Item, er stünde auch für anschliessende persönliche Gespräche zur Verfügung. Ich habe mich dann für ein derartiges Gespräch angemeldet, wohl wissend, dass damals Mathematiker in erster Linie als Gymnasiallehrer oder allenfalls als Versicherungsmathematiker gebraucht wurden. Ob ich als Lehrer taugen würde, war ich mir nicht so sicher. Der Berufsberater (Willi Wenk, später wie sein Vater Gustav Ständerat des Kantons Basel-Stadt) war zufälliger Weise im Hauptberuf selbst Mathematiklehrer am MathematischNaturwissenschaftlichen Gymnasium und hat mir kurzer Hand offeriert, nächste Woche in einer seiner Klassen eine Probelektion zu erteilen. Ich sollte mit Hilfe des Satzes von Pythagoras und einiger Rechnung begreiflich machen, wie man aus einem Quadrat durch Abschneiden der Ecken ein reguläres Achteck herstellen kann (Abb. 1). Das habe ich wohl ganz anständig hingekriegt; aber ein Blick auf die Figur liefert ohne irgendwelche Rechnungen α = 3π/8, woraus die Korrektheit der intendierten Konstruktion unmittelbar folgt. An dieser Stelle müssen wir vielleicht kurz von Geld sprechen. Das Gehalt meines Vaters, er war Primarlehrer, reichte zum Nötigsten und gerade

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Abbildung 1

noch so weit, dass wir vier Geschwister neben der Schule ein Musikinstrument erlernen konnten. Mein Grossvater Alfred Schenker war Chefbeamter bei der Bahnpost, und als ich sechzehn geworden war, schleuste er mich in eine Kohorte von anderen Gymnasiasten und Söhnen von Postbeamten ein, die während hektischen Abendstunden als Hilfskräfte bei der Paketumwälzung am Bahnhof Basel tätig waren. So kam ich relativ früh zu einem «festen Gehalt» und gewöhnte mich daran, finanziell mein eigener Herr und Meister zu sein. Als Student bin ich bei verschiedenen Anlässen als «Securitasmann» tätig gewesen, dann während Jahren als Korrektor, als Assistent, als Hilfslehrer und als mathematischer Berater, wovon später noch die Rede sein wird. Bei meinen Eltern genoss ich Kost und Logis; ich habe sie aber nie um Geld bitten müssen. Im Gegenteil, ich konnte noch Geld auf die Seite legen, und als ich mich 1958 verheiratete, war genug gespart, um schuldenfrei die «Erstausrüstung» zu erwerben. Ein Mathematikstudium also, beginnend mit dem Sommersemester 1954, und zwar an der Universität Basel, unter anderem darum, weil ein Studium an der ETH in Zürich nicht zu finanzieren gewesen wäre. Ein universitäres Studium beinhaltete auch drei Nebenfächer und würde mit dem Doktorat enden; Diplom oder Lizenziat gab es damals nicht. Als Nebenfächer waren Experimental- und theoretische Physik gesetzt; als drittes Fach wählte ich Philosophie. Meine Kollegen bei der Post hielten das für eine brotlose Wissenschaft und meinten, ich würde noch früh genug auf Chemie umstellen. Da es mit der theoretischen Physik noch lange hin sein würde, habe ich deswegen in den ersten Semestern auch noch die Grundvorlesungen in Chemie besucht, was mir später in der Tat zustatten kam. Abb. 2 zeigt die erste Doppelseite meines «Testatbuchs». Dieses blaue Heft wird mir als Ariadnefaden für die weitere Niederschrift meiner Studienerinnerungen dienen.

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Abbildung 2

Nur Speisers «Analytische Geometrie» war enttäuschend; alle anderen Vorlesungen haben mich begeistert. In Paul Hubers grosser Physikvorlesung sassen nicht nur die Physik-, die Mathematik- und die Chemiestudenten, sondern auch die sämtlichen Mediziner meines Jahrgangs, darunter sechs meiner ehemaligen Klassenkameraden. Huber musste daher mathematisch behutsam vorgehen, mit Integralrechnung ohne Integralzeichen. Abgesehen von den phantastischen Experimenten bleibt mir die erstmalige Begegnung mit charakteristischen Gleichungen von linearen Systemen in Erinnerung und der Zorn darüber, dass an der Schule nie von diesem mächtigen Zauber die Rede gewesen war. Alexander Ostrowski (1893–1986), seit 1927 in Basel, gab eine Infinitesimalrechnung, die sich nicht wesentlich von den heutigen Analysisvorlesungen unterschied. Die Studenten, etwa dreissig an der Zahl, haben nicht nur zu Beginn und zum Schluss jeder Vorlesungsstunde getrampelt, sondern auch zum glücklichen Beweis von schwierigen Sachen wie der Existenz des Riemannschen Integrals für stetige Funktionen. Ostrowski hatte aber auch seine Verbohrtheiten. So erklärte er uns, es gäbe da in Frankreich eine Gruppe von Mathematikern, die ein ganz normales U in alle möglichen Richtungen stellten, also so: ∪, ⊂, ∩, ⊃, und auch noch das von Weierstrass geheiligte Epsilon für neuartige Zwecke benutzten. Er würde nur das eine Zeichen ≺ sowohl für «Element von»

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wie für «Teilmenge von» verwenden. Ostrowski legte auch viel Wert auf die korrekte Zuschreibung von mathematischen Resultaten. Der allgemein nach Picard benannte Fixpunktsatz hiess bei ihm «Satz von CacciopoliTychonoff». Andreas Speiser (1885–1970), Autor einer seinerzeit viel zitierten Theorie der endlichen Gruppen [23], war in fortgeschrittenem Alter von Zürich nach seiner Vaterstadt Basel berufen worden und stand kurz vor der Emeritierung. Zum Semesterschluss lud er jeweils die verbliebenen Studenten ins Café Spillmann am Fusse des Rheinsprungs, unweit des mathematischen Instituts, ein und gab dort bei Tee und Rahmbaisers politisch nicht immer korrekte mathematische und andere Weisheiten zum Besten. So hielt er nicht viel von «diesen Gödel-Sachen» und empfahl uns stattdessen die Grundlagenphilosophie seines ehemaligen Zürcher Kollegen Paul Finsler. Bei Speiser habe ich nicht viel lineare Algebra, aber eine von Herzen kommende elementare Zahlentheorie gelernt. In den grossen Semesterferien 1954 absolvierte ich in Liestal die Rekrutenschule. Ich habe sie in erster Linie als einen finanziellen Kraftakt erlebt. Die Postangestellten und Primarlehrer unter meinen Kameraden bezogen dank der «Erwerbsersatzordnung» mehr oder weniger ihren vollen Lohn, während ich als Student mit dem mageren Rekrutensold von Fr. 1.25 pro Tag, mit Abzügen für Materialverluste, über die Runden kommen musste. Ein Privileg der Studenten war hingegen, dass sie in einer der letzten RSWochen einen Tag Urlaub nehmen durften, um sich an der Universität fürs nächste Semester einzuschreiben (wozu im Grunde genommen keine Notwendigkeit bestand). Ich habe diesen Tag benutzt, um bei der damaligen Basler National-Zeitung vorzusprechen; denn ich hatte erfahren, dass dort zahlreiche Studenten stundenweise als Korrektoren beschäftigt waren. Ich wurde akzeptiert und habe dort während mehrerer Jahre wöchentlich etwa zehn Stunden Nachrichten und Leitartikel, aber auch Telephonbücher, die im Hause gedruckt wurden, auf Druckfehler abgeklopft. Der Dienst fürs Abendblatt dauerte von 6 bis 10 Uhr; lukrativer war der Einsatz für die letzten Seiten des Morgenblatts, der um 2.30 Uhr in der Früh begann. Mit der Zeit wurde ich auch als Lokalreporter eingesetzt und habe für ein bescheidenes Zeilenhonorar über unzählige Vereinsanlässe, Konzertlein und Vorträge jeweils noch am gleichen Abend in einem Café einen Bericht verfasst und den auf dem Heimweg an der Porte der National-Zeitung abgegeben. Ich erinnere mich an einen öffentlichen Vortrag von van der Waerden über Spieltheorie. Da mir die Sache nicht ganz unvertraut war, bin ich natürlich überzeugt gewesen, dass mein Bericht darüber noch besser ausgefallen war als der Vortrag selbst . . . Im Herbst 1955 ging am Mathematischen Institut ein neuer Stern auf: Als Nachfolger von Speiser war der junge Heinz Huber (1926–2000) auf den

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zweiten Lehrstuhl für Mathematik berufen worden. Aus einfachen Verhältnissen stammend hatte er bei der damaligen Brown-Boveri in Baden ein Praktikum absolviert und war dort «entdeckt» worden. Unterstützt von Th. Boveri konnte er sich auf die Aufnahmeprüfung an die ETH vorbereiten, hätte sie aber wegen einer ungenügenden Note in Schweizer Geschichte fast verpatzt. Item, er durchlief dann das Mathematikstudium an der ETH und doktorierte 1953 bei Saxer und Hopf über ein Thema der geometrischen Funktionentheorie [15]. Es ging um ein vertieftes topologisches und metrisches Verständnis des «Grossen Picardschen Satzes», verbunden natürlich mit einer grossartigen Verallgemeinerung desselben. Huber begann seine Lehrtätigkeit in Basel mit einer Vorlesung über Reelle Funktionen (im wesentlichen Mass und Integral). So etwas war für uns Basler Studenten grundlegend neu. Ostrowskis Vorlesungen waren ja prima, vielleicht etwas altmodisch; aber hier dozierte einer frei, mit phantastischem Tafelbild, und führte uns in lockerer Manier in die Bourbakische Denkweise und Terminologie ein. Natürlich belegte ich im folgenden Semster gleich zwei Vorlesungen bei Huber, «Differentialgeometrie» und «Integralgleichungen». Das Mathematische Institut hatte ausser den beiden Ordinarien (und ein paar Privatdozenten) als einziges Personal einen Assistenten, der jeweils für ein Jahr diesen Posten einnahm (länger wäre das nicht auszuhalten gewesen). In meinem sechsten Semester war ich der nächstliegende Kandidat und auch bereit, das Amt zu übernehmen. Hierzu gehörten die Mitarbeit bei den Analysisübungen, die Betreuung der Bibliothek und allerlei administrativer Kleinkram. Vor allem aber war der Assistent für ein Jahr Ostrowskis Forschungsknecht. Ostrowski dachte nicht vor einem leeren Blatt Papier über neue Sachen nach, sondern an einer grossen Wandtafel, die die ganze Stirnwand seines Büros einnahm. Dies fand täglich von 15 bis gegen 18 Uhr statt, wobei der Meister jeden Gedanken in Echtzeit dem anwesenden Assistenten vordozierte. Während meines Assistentenjahrs beschäftigte sich Ostrowski mit einer Neuausgabe seines Lehrbuchs [18] und mit numerischer linearer Algebra, so dass ich seinen Ausführungen ohne grössere Schwierigkeiten folgen konnte. Natürlich verhedderte er sich bei seinem mathematischen Bramarbasieren bisweilen. Wenn mich die Sache faszinierte, machte ich ihn gleich darauf aufmerksam, wenn nicht, so liess ich es laufen, bis er selbst darauf kam. Zum Abschluss des Nachmittags diktierte er mir jeweils, was er in den letzten Stunden herausgebracht hatte, und ich musste den so entstandenen Text am nächsten Tag in drei schreibmaschinengeschriebenen und farbig annotierten Exemplaren mitbringen. Der einzige bleibende Niederschlag meines Jahres als Forschungsknecht ist eine Fussnote in der Arbeit [19]: Es war meine Idee gewesen, einen gewissen Algorithmus zur Bestimmung von Eigenwerten so zu modifizieren, dass er ohne Mehraufwand «kubisch» konvergierte statt nur «quadratisch».

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Zu den wissenschaftlichen Aktivitäten des Instituts gehörten ein mathematisches Kolloquium, das zwei- bis dreimal pro Semester stattfand, sowie die jährliche Oberrheinische Mathematikertagung. Ich erinnere mich an einen Vortrag von Ludwig Bieberbach über «Dreikreise» [4], das sind Kreisbogendreiecke, bei denen die drei Bögen in den Ecken Winkel 0 oder π einschliessen (Abb. 3). Es geht da um die Existenz von Dreikreisen mit gegebenen Seitenlängen, um einen «Satz von Pythagoras» für «rechtwinklige»

Abbildung 3

Dreikreise und Ähnliches. Da Dreikreise ganz verschiedene Gestalten annehmen können, kommen auch globale Betrachtungen ins Spiel. Chandrasekharan sprach über Ramanujans τ-Funktion, die durch   (1 − qn )24 = q − 24q2 + 252q3 − · · · = τ(n) qn (|q| < 1) q n≥1

n≥1

definiert ist. Die rechter Hand erscheinenden Koeffizienten τ(n) genügen wunderbarer Weise der Funktionalgleichung τ(m n) = τ(m) τ(n)

(ggT(m, n) = 1).

Auch Erdös war einmal da, ferner Mark Kac, der über Walsh-Funktionen sprach. Sein entwaffnendes Auftreten hat uns Studenten dermassen imponiert, dass wir entgegen allgemeinem Usus auch zum anschliessenden Abendschoppen ins Zunfthaus zum Schlüssel mitgegangen sind. Am 17. November 1960 hielt ein junger belgischer Mathematiker namens Jacques Tits einen Vortrag über «Les groupes algébriques simples et leur interprétation géométrique». Dieser Vortrag stand in Zusammenhang mit der Schaffung eines dritten Lehrstuhls. Huber: «Wir brachten die Kuratel herum mit dem

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Argument, nur zwei mathematische Lehrstühle seien etwa dasselbe, wie wenn die Mediziner nur einen Chirurgen und einen Gynäkologen hätten.» Auf diesen Lehrstuhl wurde dann der Schaffhauser Walter Habicht (1915– 1998) berufen. Die Oberrheinischen Mathematikertagungen waren um 1950 eingeführt worden und fanden reihum an den Universitäten Freiburg i.B., Strassburg und Basel statt, später kam auch noch Nancy hinzu. Ein wesentlicher Zweck dieser Veranstaltung war bestimmt, die Institute von Freiburg und Strassburg nach dem Krieg wieder miteinander zu versöhnen. Als junger Student habe ich natürlich von den genauen Zusammenhängen nichts gewusst, und so habe ich nicht mitbekommen, dass die Elsässer Kollegen dem Freiburger Süß nicht unvoreingenommen gegenübertreten konnten. Insgesamt habe ich viermal an diesen Tagungen teilgenommen, sie zweimal als Assistent mitorganisiert und beim letzten Mal auch über meine Dissertation vorgetragen. Die Tagungen fanden übers Wochenende statt, wobei auch für ein Damenprogramm gesorgt war. Für ein Mittagessen wurden die anreisenden Teilnehmer den Familien der gastgebenden Kollegen zugewiesen; für einen Umtrunk, einen kleinen Ausflug und ein grosses Abendessen (im «Adler» in Hinterzarten, zum Beispiel) kam das veranstaltende Institut auf. In Basel hatten wir natürlich kein Budget für Derartiges, und so musste Ostrowski den Vorsteher des Erziehungsdepartements um Hilfe bitten, wobei er «einerseits den Aufwand für diese Tagungen nicht jedes Jahr weiter emporschrauben, anderseits aber auch nicht hinter den Schwesteruniversitäten zurückstehen» wolle. 1958 wurde Ostrowski emeritiert und zog nach Montagnola bei Lugano, wo er seit Jahren ein Haus besass. Er war aber auch später noch in Basel anzutreffen und beschäftigte da noch weitere Jahre einen Privatassistenten. Zu seinem Nachfolger wurde Martin Eichler (1912–1992) berufen. Nach dem Mathematikstudium hatte Eichler zunächst in Peenemünde als angewandter Mathematiker gearbeitet, sich aber nach dem Krieg rasch als Algebraiker mit sehr weitem Horizont einen Namen gemacht und war zuletzt Professor in Marburg gewesen. Ich denke, Eichler war der bedeutendste Mathematiker, der nach 1900 in Basel gewirkt hat. Als Mensch war er warm und besonnen, aber leider nicht mitreissend, und seine Vorlesungen machten vielen Studenten Mühe. Im Winter 1958/59 habe ich versucht, seiner «Darstellung der Gruppen» zu folgen, aber nach der Hälfte des Semesters aufgegeben. Nach Ostrowskis Weggang übernahm Huber das Heft am Institut und bot mir neuerdings das Amt des Institutsassistenten an, das nun auch besser remuneriert sein würde. Ich gab daher das kleine Mathematikpensum, das ich am HG übernommen hatte, auf. Als Faktotum des Instituts überwachte ich unter anderem dessen Umzug (samt Bibliothek) in ein Provi-

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sorium wie auch die Rückkehr ins unterdessen entkernte und wunderbar wieder hergerichtete Gebäude am Rheinsprung. Meine letzte Tätigkeit als Institutsassistent, nach der Promotion und vor der Abreise in die verheissungsvolle mathematische Welt der ETH (Huber: «Da herrscht eine prickelnde Atmosphäre»), war die hundertprozentige Neuaufnahme der Institutsbibliothek, zwei Monate konzentriertes Tippen von Katalogzetteln im damals gängigen Format 75 mm × 125 mm, mit Spiessloch. Zuhanden von meinen Nachfolgern habe ich dazu ein kleines Regel-Handbuch verfasst, das viele Jahre später auch noch in der Mathematikbibliothek der ETH gute Dienste geleistet hat. Wie stand es bei alledem mit meinem Studentenleben? In den unteren Semestern hatte ich kaum persönlichen Kontakt mit meinen Kommilitonen, und wir haben uns weitherum gesiezt. Es gab da aber eine Runde von Mathematikstudenten höheren Semesters, in die ich mit der Zeit aufgenommen wurde. Unbestrittenes Alphatier dieses Kreises war Bernhard Marzetta, ein HG-Absolvent auch er und gesegnet mit einem umwerfenden Sarkasmus. Er war einige Zeit Doktorand bei Ostrowski gewesen, mit dem Dissertieren aber nicht zu Ende gekommen. Marzetta wurde später Blumers Nachfolger am Humanistischen Gymnasium und dann sogar dort Rektor. Dass er als Mathematiker und ohne Doktorhut vom Kollegium dahin befördert wurde, hat natürlich mit seiner Persönlichkeit zu tun, bestätigt aber auch die allgemeine Erfahrung, dass man Mathematiker für alles Mögliche brauchen kann. Sie sind es gewohnt, im Prinzip irgend eine Sache unvoreingenommen zu betrachten und ehrlich zu Ende zu denken. Bei unseren Zusammenkünften in wechselnden Gasthäusern wurden in erster Linie die Professoren und weiteren Dozenten am Platz durchgehechelt; wir haben aber auch über mathematische Grundfragen diskutiert, zum Beispiel über den Begriff der «Dimension» in der Physik. Einmal waren wir bei unserem Mitglied S. C. zu einem Glas Wein eingeladen und machten es uns in dessen Studierzimmer bequem. Dass er die Kreutzer-Sonate in vier LP-Versionen vorrätig hatte, war für einen Studenten damaliger Zeit schon sehr speziell. Aber da stand auch eine vollständige Gelbe Sammlung ! Schon ein einziges dieser Bücher kostete für einen Normalstudenten ein halbes Vermögen, und C., der sich sonst eher im Hintergrund gehalten hatte, besass sie alle – ich war total überwältigt. Eine gemeinsame Aktion unserer Gruppe soll hier nicht unerwähnt bleiben: 1957 war ein Euler-Jahr, und zum 250. Geburtstag des grossen Mathematikers waren in Basel verschiedene Anlässe vorgesehen. Wir fünf waren der Meinung, Euler hätte auch eine Sondermarke verdient, und schrieben daher rechtzeitig einen entsprechenden Brief an die schweizerische PTT. Darin sprachen wir von der wissenschaftlichen Bedeutung Eulers, behaupteten weiter, dass noch nie ein Basler auf einer Briefmarke erschienen sei

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(was nicht ganz stimmte), und schlossen mit dem damals besonders wirksamen Argument, dass man den Schweizer Euler nicht ganz den Sowjets überlassen dürfe. Von der PTT erhielten wir nur eine Standardantwort; Tatsache ist aber, dass 1957 eine 5-Rappen-Marke mit dem Bildnis Eulers erschien (Abb. 4). Natürlich haben wir uns eingebildet, das sei nur unseretwegen geschehen.

Abbildung 4

An der Euler-Feier hielt die damalige Nummer Eins der Zunft, der mathematische Physiker, Wissenschaftshistoriker, Universalgelehrte (und enfant terrible) Clifford Truesdell, die Festrede. Von seinem Vortrag über Eulers Leistungen in der Mechanik [25] sind mir die einleitenden Sätze durch die Jahrzehnte unvergesslich geblieben: «Das grosse Buch der Natur liegt vor uns offen, es ist aber von Gott in einer Sprache geschrieben, die wir nicht sofort verstehen, sondern durch eigenen Fleiss, durch Liebe und Leid lesen lernen müssen. Diese Sprache ist die Mathematik. Das Buch der Natur ist [ . . . ] ein grosses Lehrbuch, das nicht nur die [ . . . ] Hauptgesetze, sondern auch gewisse von Gott gestellte Aufgaben enthält. Der erste Schritt [ . . . ] ist das Lesen. [ . . . ] Dann folgt der schwierigere Teil der Wissenschaft, diese mathematisch formulierten Aufgaben zu lösen.» Dank einer Empfehlung Marzettas tauchte eines Tages der Chemiker Franz Grün (1914–2006) in meinem Elternhaus auf und liess fragen, ob ich für ihn mathematisch arbeiten wolle. Grün war nach einem «summa cum laude» Titularprofessor geworden, hatte dann aber irgendwie den Faden zur big science, die am Physikalisch-Chemischen Institut betrieben wurde, verloren. Nach dem Tod seines Förderers und Schutzpatrons Werner Kuhn musste Grün eine neue Bleibe suchen und fand sie bei einem ehemaligen Dienstkameraden am Basler Augenspital. Bei alledem war Grün

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wirklich gut im Einwerben von Drittmitteln. Dies ermöglichte ihm, während vielen Jahren Mathematikstudenten als «Berater» beizuziehen und mit Nationalfonds-Geld bescheiden zu entlöhnen. Zu meiner Zeit galt sein Interesse der Diffusion, also der partiellen Differentialgleichung ∂2u ∂u =D ∂t ∂x 2

bzw.

∂u = D Δu, ∂t

wobei u die Konzentration eines bestimmten Stoffes und D eine Materialkonstante darstellen. Für Grün ging es darum, mit Hilfe von Zeit- und Konzentrationsmessungen den Wert dieser Diffusionskonstanten in konkreten Fällen zu bestimmen. Hierzu benötigt man «analytische Lösungen» der Diffusionsgleichung in geometrisch einfachen Situationen – ein klassisches Thema der mathematischen Physik. Ich vertiefte mich also in den «Hilbert/Courant» [8] und zog auch die etwas moderneren Bände von Morse und Feshbach [17] zu Rate. Aus unserer Zusammenarbeit sind mehrere gemeinsame Arbeiten entstanden, so zum Beispiel [12]. Von uns zweien habe natürlich ich dabei viel mehr profitiert, nicht nur wegen der mathematischen Physik, die ich dabei gelernt habe, sondern auch in den stundenlangen Diskussionen mit Grün, der die Angewohnheit hatte, auch das Selbstverständlichste noch auf verquere Art zu betrachten und mich damit herauszufordern. Von ihm habe ich auch den Begriff «Daseinsrest». 1958 hatte ich noch nicht mit dem vertieften Studium einer bestimmten mathematischen Teildisziplin begonnen, aber immerhin schon einige Nebenfächer hinter mich gebracht. Davon soll hier als Nächstes die Rede sein. An Paul Hubers Grundvorlesung in Experimentalphysik schloss sich ein zweisemestriges Anfängerpraktikum an. Da waren in einem grossen Saal gut funktionierende Experimente aus allen Teilgebieten der Physik (ausser Kernphysik, natürlich) vorbereitet, und ein Mittwochnachmittag reichte gerade, um ein derartiges Experiment fertig aufzubauen, die Instrumente zu eichen, einige Messreihen durchzuführen und am Schluss im Protokoll festzuhalten, die dynamische Viskosität η von Rizinusöl habe bei Zimmertemperatur einen Wert zwischen 0.876 und 0.924 Pascalsekunden, je nach angewandter «Korrektur». Die Oberaufsicht über dieses Praktikum hatte Professor Otto Miescher inne. Miescher, ein ur-Basler Junggeselle und bedeutender Physiker, ging still zwischen den Experimentiertischen umher und forderte ab und an Studenten, die emsig die aufliegenden Checklisten abhakten, mit listigen Fragen heraus. Meine Antworten haben ihm offenbar gefallen; jedenfalls schloss er mich gleich ins Herz und hat mir viel beigebracht, was nicht im «Kohlrausch» [16] stand. Vor allem habe ich von ihm gelernt, dass ein Student in erster Linie keine Angst haben darf, sich mit einer dummen Frage zu blamieren.

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In diesem Physikpraktikum hatte ich auch verschiedene Schaltungen zusammengesteckt und dabei mitbekommen, dass hier eine linear-algebraische und eine geometrische Struktur auf geheimnisvolle Art zusammenwirken. Das wollte ich nun besser verstehen, und die Vorlesung «Lineare Schaltungen» von Ernst Baldinger, Professor für angewandte Physik, schien mir das dazu geeignete Vehikel. Baldinger sprach von Zwei- und Vierpolen, black boxes mit zwei oder vier Anschlussklemmen und einer konstituierenden Gleichung. Hierunter fallen einfache Sachen wie Batterien oder Widerstände, aber auch Verstärker mit vorgegebenen Kennlinien. Baldinger hat das ganz abstrakt aufgezogen und dann auch einfache Schaltkreise analysiert. Auf eine allgemeine Theorie der Netzwerke, insbesondere die Behandlung der Frage, wieviele Freiheitsgrade nach Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze noch übrig bleiben, wartete ich allerdings vergebens. Diese Dinge sind mir erst Jahre später, beim Studium einer Arbeit von Eckmann [9], klarer geworden. Meine erste Vorlesung in theoretischer Physik waren «Ausgewählte Kapitel aus der Optik» von Markus Fierz – im dritten Semester natürlich way over my head; aber ich war von der Sache absolut fasziniert und kann sagen, dass mir keine andere Physikvorlesung in solch vielfältiger Weise das Tor zu neuen mathematischen Welten (Fourier-Transformation, PDE’s, Wellenfronten, spezielle Funktionen, what have you) aufgestossen hat. Noch heute habe ich Fierz’ Satz im Ohr, «was wir in der vergangenen Stunde unternommen haben, ist nicht eine Fourier-Analyse der Lichtschwingungen, sondern eine Fourier-Analyse des Gitters.» Damals habe ich das bestimmt nicht verstanden, und heute kann ich es nicht mehr nachvollziehen, da ich in einer Aufräum-Orgie anlässlich meiner Pensionierung die sämtlichen Vorlesungsnotizen aus meiner Studentenzeit weggeworfen habe. Zum theoretisch-physikalischen Curriculum gehört auch die Wärmelehre – ein ganz trauriges Kapitel. Ich habe mich wirklich angestrengt, in extremis sogar Plancks Vorlesungen über Thermodynamik [20] angeschafft, bin aber im Dschungel der Axiome, experimentellen Tatsachen, Herleitungen und Hauptsätze steckengeblieben. Ein Hauptgrund hierfür war natürlich, dass damals die Begriffswelt der Mannigfaltigkeiten und Differentialformen noch nicht zum Allgemeingut der Physiker gehörte. Seither habe ich hie und da nachgeschaut, ob es ein definitives Paradigma der «phänomenologischen» Thermodynamik, vulgo: Wärmelehre, gibt, bin aber nicht fündig geworden. Der italienische theoretische Physiker Mario Verde, der ein Jahr für Fierz eingesprungen ist und mich in dem Fach geprüft hat, ging auf Nummer Sicher und hat sich auf statistische Thermodynamik und Quantenmechanik beschränkt; das war mir noch so recht. (Hier noch ein typischer Franz-Grün-Witz: Grün beschreibt, wie er bei einem akademischen oder einem geselligen Anlass die Bekanntschaft des Gastprofessors Verde

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macht. Verde würde sich vorstellen, Grün dann wie sich’s gehört: «Freut mich sehr, Grün» sagen, und erhielte zur Antwort: «Stimmt.») Als drittes Nebenfach war, wie gesagt, Philosophie vorgesehen. Ich habe tatsächlich einige Vorlesungen bei Karl Jaspers besucht, darunter eine «Philosophie in Dichtung und Lebenspraxis», flott mitgeschrieben, meine Notizen aber nie mehr wiedergelesen. Auch Jaspers’ Seminar war eine Vorlesung – es wäre undenkbar gewesen, dass jemand anderer in Jaspers’ grossem Hörsaal vorgetragen oder auch nur das Wort ergriffen hätte. Das war ja alles sehr schön und in einer wunderbaren Sprache formuliert; aber es ist irgendwie an mir abgetropft. Die einzige philosophische Veranstaltung, bei der ich intensiv mitgegangen bin, war ein Philosophisches Proseminar bei dem Existenzphilosophen Heinrich Barth, Bruder des Theologen Karl Barth. Wir waren ein knappes Dutzend Studenten und haben Mark Aurels (121–180) Selbstbetrachtungen [2] Sentenz für Sentenz durchgeharkt, als müssten wir sie gerade wieder neu aus dem Griechischen ins zwanzigste Jahrhundert heraufholen. Die Auseinandersetzung mit diesem Geist, in dem ich mich selber wieder erkannte, hat dazu geführt, dass unser erster Sohn Thomas (1960–2006) den Beinamen «Aurel» erhielt. Der konkrete Anlass, die Philosophie aus meinem Fächerkanon zu streichen, war allerdings mehr formaler Natur. Im Hinblick auf den Lehrerberuf musste ich auch eine «fachwissenschaftliche Prüfung für die mittlere Schulstufe» ablegen. Die umfasste drei handfeste Schulfächer (wozu Philosopie damals nicht gehörte), zum Beispiel Mathematik, Physik und als drittes Fach Chemie. Von der Chemie fehlten mir nur noch die Praktika, die ich nun in meinem achten Semester nachholte. Das anorganische Praktikum bestand aus einem halben Dutzend Analysen, die alle nach dem gleichen Schema abliefen. Man bezog beim Assistenten eine kleine Menge eines unbekannten Salzgemisches und musste sich experimentell durch einen komplizierten Entscheidungsbaum hindurcharbeiten, um festzustellen, welche Ionen (Cl− , Fe++ , NH+ 4 , usw.) in dem Gemisch vorhanden waren. Diese gaben sich, je nachdem, durch Farbumschläge von Indikatorsubstanzen, charakteristische Niederschläge oder spezielle Emailfarben zu erkennen. Das Wort «Algorithmus» war damals noch nicht in jedermanns Mund; aber ich kann heute sagen, dass ich in diesem Praktikum zum ersten Mal die Bekanntschaft mit einem solchen gemacht habe. Das handwerkliche Vergnügen wurde getrübt durch den Umstand, dass das alles sauteuer war, denn Kleinmaterial, Hilfssubstanzen, Lösungsmittel usw. musste der Praktikant selbst berappen. Vor allem aber haben die zuständigen Assistenten durch ihre Feldwebelallüren ein Klima, ich sage es jetzt einmal: des Terrors erzeugt. Sie hielten durch nichts legitimierte Zwischenprüfungen ab und sagten nicht: «Soso, Sie haben Chrom gefunden», oder: «Es fehlt noch ein Halogen», sondern nur: «1 Fehler», worauf

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nichts anderes übrig blieb, als die Analyse noch einmal von vorn zu beginnen. Eine weitere Chance zur Nachbesserung wurde nicht gewährt. Es war mir schleierhaft, wie Hans Erlenmeyer, den ich in der anorganischen Grundvorlesung als imponierenden Charakter erlebt hatte, ein derartiges Regime in seinem Institut dulden konnte. Im organischen Praktikum habe ich mit akzeptabler Ausbeute (ohne Zugabe von Siedesteinen!) Methylviolett hergestellt und bin nun stolzer Besitzer eines Schlusstestats von dem Nobelpreisträger Tadeus Reichstein. Um diese beiden Praktika in einem einzigen Semester hinter mich bringen zu können, habe ich die Erwerbstätigkeit so lange eingeschränkt. Dies und die geplante Gründung einer Familie machten es nötig, andere Geldquellen anzuzapfen. Hier kam mir nun wieder Grün zu Hilfe. Er wies mich auf die Theodor-Engelmann-Stiftung hin, die Studenten, die «Bürger der Kantone Bern oder Basel-Stadt sind und der protestantischen Konfession angehören», mit Stipendien unterstützte. Ich habe mich dort beworben, und es ist mir innert weniger Tage ein Betrag von 2400 Franken zugesprochen worden. Zwei Jahre später durfte ich «ausnahmsweise» noch einmal eine ähnliche Summe entgegennehmen. Im Lebenslauf zu meiner Dissertation habe ich mich dafür bedankt mit den Worten, «dieser Schritt [gemeint ist die Heirat] wurde ermöglicht durch ein Stipendium der Theodor-Engelmann-Stiftung.» Die Herren haben mich dann etwas ungnädig wissen lassen, sie hätten mir das Stipendium zum Studieren verliehen, nicht zum Heiraten. Damit komme ich endlich zu meinem Doktoratsstudium, das ich mit dem Wintersemester 1957/58 beginnen lassen kann. Nachdem Huber mit Vorlesungen über «Funktionentheorie» und «Höhere Funktionentheorie» das Terrain vorbereitet hatte, richtete er nämlich im Herbst 1957 ein Seminar über «Moderne Probleme der Funktionentheorie» ein, das sich über mehrere Semester hinzog. Unser Thema waren Extremallängen, ein Begriff der 1950 von Ahlfors und Beurling [1] eingeführt worden war und inzwischen zu mehreren Arbeiten im Grenzbereich zwischen komplexer Analysis und Differentialgeometrie geführt hatte. Da dieser Begriff auch dem Hauptresultat meiner späteren Dissertation [5] zu Grunde liegt, werde ich ihn hier kurz beschreiben. Gegeben sind eine Riemannsche Fläche R und auf R eine Kurvenschar Γ . Als Beispiel diene ein Kreisring R := {z ∈ C | a < |z| < b} in der z-Ebene, z = x + iy, und Γ sei die Gesamtheit aller geschlossenen Kurven γ, die einmal um das Loch herumlaufen (Abb. 5). Zur Messung von Längen und Flächeninhalten auf R benützen wir nicht die normale euklidische Metrik in der z-Ebene, sondern frei wählbare konforme Metriken ρ(z) > 0. Eine derartige Metrik ρ definiert auf R ein Linienelement ds = ρ(z)|dz| sowie ein Flächenelement dA = ρ 2 (z) d(x, y), wobei d(x, y) das euklidische

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y

R a

b

x

Abbildung 5

Flächenelement bezeichnet. Damit erhält  jede Kurve γ ∈ Γ eine von dem gewählten ρ abhängige Länge lρ (γ) = γ ρ(z) |dz|, und der gesamte Flä cheninhalt von R beträgt Aρ = R ρ 2 (z) d(x, y). Mit Lρ (Γ ) bezeichnen wir die Länge der kürzesten von allen Scharkurven und bilden dann den dimensionslosen Quotienten L2ρ (Γ )/Aρ , der immer noch von der gewählten Metrik ρ abhängt. Der maximal mögliche Wert dieses Quotienten, also die Grösse L2ρ (Γ ) , λ := sup Aρ ρ hängt nur von der Fläche R und der betrachteten Kurvenschar Γ ab und heisst Extremallänge dieser Schar, und die Metrik ρ0 , die diesen Maximalwert λ produziert, heisst Extremalmetrik für die betrachtete Situation. In unserem Beispiel des Kreisrings ist die Extremalmetrik aus Symmetriegründen leicht zu erraten: Es ist die Metrik ρ0 (z) := 1/|z|, die jedem umlaufenden Kreis die Länge 2π erteilt. (Man muss natürlich beweisen, dass jedes andere ρ tatsächlich ungünstiger ist.) Damit ist auch Lρ0 (Γ ) = 2π , und man findet 2π 4π 2 = . λ= Aρ0 log(b/a) So what ? Der entscheidende Punkt ist der, dass die Extremallänge von ihrer Konstruktion her automatisch eine konforme Invariante ist. In unserem Beispiel folgt daraus unmittelbar, dass sich R nur dann auf einen anderen Kreisring R konform abbilden lässt, wenn die Radienverhältnisse b/a und b /a übereinstimmen. In dieser Weise haben wir in dem Seminar Extremallängen von interessanten Kurvenscharen auf der projektiven Ebene, dem

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Möbiusband, dem Torus und der Kleinschen Flasche (Abb. 6) berechnet und uns dabei auch eine gewisse Vertrautheit mit Riemannschen Flächen ganz allgemein erworben. Für einen Torus T zum Beispiel und die Schar Γ aller geschlossenen Kurven auf T , die sich nicht zusammenziehen las√ sen, sondern den Torus irgendwie umrunden, erhält man λ = 2/ 3. Dieses Resultat stammt von Löwner [21] und wird heutzutage folgendermassen interpretiert: Für jede Riemannsche Mannigfaltigkeit T vom Typ des Torus gilt √ 3 (sys(T ))2 , A≥ 2 wobei sys(T ), die sogenannte Systole von T , die Länge der kürzesten nicht zusammenziehbaren geschlossenen Kurve auf T , darstellt. (Systolische Ungleichungen gehen gerade andersherum als isoperimetrische!)

Abbildung 6

Meine Dissertation sollte nun von Extremallängen auf geschlossenen Flächen F höheren Geschlechts, etwa der Oberfläche eines Brezels (Abb. 7), handeln. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen besitzen solche Flächen keine kontinuierliche Gruppe von konformen Automorphismen, so dass die bisher erfolgreiche Beweismethode nicht mehr funktioniert. Ohne nun auf Details einzugehen, möchte ich immerhin das Folgende berichten, weil mir das Heureka noch heute absolut präsent ist: Ich war gerade mit dem Velo am Basler Blumenrain unterwegs, als mir unversehens klar wurde, dass die Feldlinien des zu einer Homologieklasse Z0 dualen harmonischen Differentials auf F geschlossen sein müssen. Ich wusste gleich: Das ist der Durchbruch. Bis zum glücklichen Abschluss meiner Dissertation [5] ging es natürlich trotzdem noch einige Zeit. Ihr Hauptergebnis lautet in moderner Schreibweise: Es gibt absolute Konstanten σg , so dass für jede geschlossene Fläche vom Geschlecht g die Ungleichung A ≥ σg (sys(T ))2 zutrifft. Nach

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Abbildung 7

√ Löwner ist σ1 = 3/2. In [5] habe ich natürlich auch Überlegungen zum Wert von σg (g > 1) angestellt und die Ungleichung σg >

πe π ∼ 2g 2 (g + 1)!  g

(g → ∞)

bewiesen; mehr gab meine Methode nicht her. Fünfzig Jahre später sind Extremallängen nicht mehr en vogue, Systolen aber sehr. In seinem 2008 erschienenen Essay «What is a systole?» [3] kommentiert Marcel Berger mein Ergebnis wie folgt: «In 1960 Accola and Blatter got an inequality, but with a constant, that was getting smaller and smaller as the number of holes became larger and larger. Their papers launched the search in this subject. [ . . . ] For us it is the only case where complex analysis on surfaces gives a result that is dead wrong. One had to wait for Gromov in order to have a constant that grows with the genus.» Starke Worte; aber ich hätte gewarnt sein müssen: Nachdem ich im Zürcher Mathematischen Kolloquium über meine Dissertation vorgetragen hatte, bemerkte Ernst Specker in der anschliessenden Diskussion, seinem Gefühl nach müssten die σg mit g eher wachsen als fallen. Am 27. Mai 1960 fand mein Doktorexamen statt; die Universität Basel war da genau 500 Jahre und 53 Tage alt und stand mitten im Trubel der Jahrhundertfeiern. Huber begann seine Prüfung mit der folgenden Frage: Gegeben sind zwei Punkte z0 , w0 im Einheitskreis D. Gibt es eine analytische Funktion f : D → D mit f (z0 ) = w0 ? Natürlich gibt es das. Und weiter: Kann man auch verlangen, dass zwei gegebene Punkte z0 , z1 ∈ D in gegebene Punkte w0 , w1 ∈ D übergehen? Ich hatte Hubers Dissertation genau studiert und wusste die Antwort: Das geht genau dann, wenn d(w0 , w1 ) ≤ d(z0 , z1 ) ist, wobei d( · , · ) den hyperbolischen Abstand in D bezeichnet. (Zum Beweis muss man zunächst den Spezialfall z0 = w0 = 0 betrachten. Nach dem Schwarzschen Lemma gilt dann |w1 | = |f (z1 )| ≤

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|z1 |.) Für die Prüfung bei Eichler hatte ich das Algebra-Lehrbuch von Rédei [22] durchgearbeitet. Die Prüfung selbst erstreckte sich in erster Linie über verschiedene Ausprägungen der Galois-Theorie. Als am Schluss noch etwas Zeit blieb, fragte mich Eichler noch zum Scherz, was ein Normalteiler sei. Eine Woche zuvor hatte nämlich ein anderer Doktorand diesen Begriff nicht erklären können, was am Institut nicht lange geheim geblieben war. Nach Abschluss der Prüfung schritten wir gleich zur zeremoniellen Verleihung des Doktortitels. Hierzu kamen jetzt durch eine Seitentür der Dekan und der Universitätsweibel, Herr Thomann, herein. Vor Jahren hatte sich Thomann im Studentensport vergeblich angestrengt, mir das Kraulen beizubringen. Heute nun hatte er seinen schwarz-weissen Weibelmantel über den Bürokittel gestülpt und auch ein Schwert mitgebracht. Dieses musste ich anfassen und feierlich schwören, dass ich auch fürderhin ehrlich auf dem Pfad der Wissenschaft wandeln wolle. Damit war ich nun ein frischgebackener Doktor der Philosophie der Universität Basel. Gemessen an den Weltstandards der Zeit war ich allerdings ein ziemlicher Ignorant, was mir allerdings erst zwei Jahre später, nach meiner Ankunft in Stanford, richtig klar wurde. Die Schweizerische Mathematische Gesellschaft feierte ihr 50jähriges Bestehen in erster Linie (und, wie sich zeigen sollte: «nachhaltig») mit einem «Internationalen Kolloquium über Differentialgeometrie und Topologie» [14], das vom 20. bis zum 25. Juni 1960 an der ETH Zürich stattfand. Beno Eckmann und Heinz Hopf, die beiden Organisatoren, hatten hierfür nicht nur die nötigen Geldmittel zusammengebracht, sondern dank ihrer Verbindungen zur IMU auch erreicht, dass in der damaligen Periode des Tauwetters unter Chruschtschow einige russische Kollegen, unter ihnen die beiden Alexandroffs, an dem Anlass teilnehmen konnten. Die Abb. 8 zeigt Hopf mit Paul Alexandroff. Auf Empfehlung meines Doktorvaters erhielt ich ebenfalls eine Einladung zu diesem Kolloquium und durfte sogar über meine Dissertation vortragen. Am Eröffnungstag erschien auf der Frontseite der NZZ ein sehr schöner Artikel von Eckmann [10], der einen weiten Bogen vom Thema dieses Kolloquiums über die Tätigkeit des Mathematikers im allgemeinen bis hin zum Wesen der angewandten Mathematik schlägt. Es war für Jahre das erste und das letzte Mal, dass die Mathematik in der NZZ so prominent zur Sprache kam – aber das ist eine andere Geschichte. Ein Kolloquium, so Eckmann, «gibt dem Forscher die erwünschte Gelegenheit, seine Gedankengänge und Ergebnisse einem besonders kompetenten Kreise vorzulegen. Wenn er hier das Wort ergreift, erfährt er die Reaktion der wissenschaftlichen Welt in unmittelbarer Weise, und er sieht mit Spannung dem Augenblick entgegen, da das Gremium mitgeht, mitdenkt und das Neue aufnimmt, das er ihm vorlegt. [ . . . ] So bedeuten die mathematischen Kolloquien weit mehr als nur die Reihe der Vorträge [ . . . ];

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Abbildung 8

sie schaffen während eines kurzen Zeitraums eine Atmosphäre intensivster geistiger Zusammenarbeit, die nicht nur fachlich, sondern auch menschlich ein unvergessliches Erlebnis ist.» Wenn man das wiederliest, muss man sich natürlich vor Augen halten, dass die phantastischen Kommunikationsmittel, über die wir heutzutage verfügen, damals auch nicht im Traum zur Verfügung standen. Zum Thema der Veranstaltung schreibt Eckmann, und das markiert nun wirklich eine mathematische Zeitenwende: «Im gegenwärtigen Zürcher Kolloquium wird globalen Gesichtspunkten vor den lokalen der Vorzug gegeben; dies bedeutet, dass das Verhalten einer Fläche, geometrischen Figur, einer höherdimensionalen Mannigfaltigkeit nicht nur in der unmittelbaren Nähe eines Punktes, sondern als Ganzes untersucht wird. Die Betrachtungsweise ,im Kleinen‘ ist verhältnismässig alt, diejenige ,im Grossen‘ gehört dagegen zu den besonderen Zügen der neueren mathematischen Begriffsbildung.» Gerade in der Topologie führen die globalen Aspekte «zu interessanteren Fragen und Ergebnissen, die in ihrer Art ziemlich anders aussehen als das, was man sich üblicher Weise unter mathematischer Formulierung vorstellt. Denkt man etwa an Zusammenhangsverhältnisse eines komplizierten Netzwerkes, an Verschlingungseigenschaften von Knoten, an die Möglichkeiten der Deformation einer geschlossenen Fläche [ . . . ], so fällt der stark qualitative Charakter dieses Problemkreises auf.» Zu dem hier angedeuteten Übergang gehören auch, natürlich unter dem Einfluss jener «Gruppe von französischen Mathematikern», eine konzeptionelle Verdichtung der Begriffe und sie begleitend der mathematischen Notation. Gantmachers Matrizenrechnung [11] wurde abgelöst durch Halmos’ Finite-Dimensional Vector Spaces [13], und in den differentialgeome-

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trischen Arbeiten verschwanden die Geröllhalden von Indizes, die stumpfsinnig hinauf- und hinuntergeschoben wurden. Hans Samelson, ein Schüler Hopfs und ebenfalls Teilnehmer an dem Kolloquium, hat mir aus dem Herzen gesprochen, als er gestand, «it has cost me years to understand what was going on here.» Als Beleg für die vorangehenden Ausführungen liste ich hier einige der Kolloquiumsvorträge auf. Bott sprach über «Vector fields on spheres and allied problems», Chern über «Mappings of complex manifolds», dann Hirzebruch über «Charakteristische Klassen und ihre Anwendungen». Milnor gab «A survey of cobordism theory», Thom sprach über «Stabilité topologique des applications différentiables», und Kervaire präsentierte sein Beispiel einer Mannigfaltigkeit, die keine differenzierbare Struktur zulässt. Ferner seien hier noch Smale erwähnt, der über «Topological methods in differential equations» vortrug, und Ossermann mit einem Vortrag über «Minimal surfaces in the large». Man sieht, dass dieses Kolloquium in der Tat alle Protagonisten der «Nachkriegsgeometrie» zusammengeführt hat. Vortragssprachen waren Deutsch, Französisch und Englisch. Es war mir aber nicht entgangen, dass Hirzebruch seinen Vortrag auf Deutsch angekündigt und niedergeschrieben, aber auf Englisch gehalten hat. Da habe ich mir natürlich Gedanken gemacht, ob ich nun auch mein eigenes kleines Referat besser in englischer Sprache halten sollte. Zur Sicherheit bin ich während der vorgängigen Mittagspause auf den Zürichberg gestapft und habe unterwegs versucht, im Kopf meinen Text ins Schulbuben-Englisch zu übersetzen, das mir damals zur Verfügung stand. Natürlich hat dann niemand begehrt, dass ich auf Englisch vortrage; aber Derartiges gehört eben zu den Problemen, die den Anfänger in der wissenschaftlichen Arena umtreiben. Mit der Teilnahme an diesem wissenschaftlichen Anlass hat der formale Teil meines Studiums seinen krönenden Abschluss gefunden. Mein Abgangszeugnis, versehen mit dem Rektoratssiegel der Universität Basel, datiert vom 5. September 1960 und schliesst mit dem Satz: «Über sein Betragen ist nichts Nachteiliges bei uns zur Anzeige gekommen.» Am 1. Oktober 1960 trat ich eine Assistentenstelle bei Professor Saxer an der ETH an und konnte nun zum ersten Mal meine Familie mit dem erworbenen Beruf ernähren. Wer diesem Bericht bis hierher gefolgt ist, wird zum Schluss eine gewisse Bilanz erwarten. Man wird gespürt haben, dass meine Studienzeit, alles in allem, eine freie und glückliche Zeit war. Zum persönlichen Aufbruch gesellte sich damals die Öffnung der westlichen Welt insgesamt. Meine Kommilitonen und ich waren überzeugt, mit dem hier erworbenen Rüstzeug diese immer freiere, schönere und interessantere Welt gestaltend in Besitz nehmen zu können. Alle würden wir eine rechte Stelle und ein Auto haben.

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Für unsere Generation ist es dann auch so herausgekommen. Meine Enkel werden vielleicht in fünf oder zehn Jahren ein Studium beginnen; für sie wird alles radikal anders sein.

Literatur [1] L. V. Ahlfors and A. Beurling, Conformal invariants and function-theoretic nullsets. Acta Math. 83 (1950), 101–129. [2] Marcus Aurelius, Selbstbetrachtungen. Übers. von Wilhelm Capelle, Kröner, 1953. [3] M. Berger, What is a systole? Notices Amer. Math. Soc. 55 (2008), 374–376. [4] L. Bieberbach, Zur euklidischen Geometrie der Kreisbogendreiecke. Math. Ann. 130 (1955), 46–86. [5] C. Blatter, Über Extremallängen auf geschlossenen Flächen. Comment. Math. Helv. 35 (1961), 153–168. [6] E. Colerus, Vom Einmaleins zum Integral: Mathematik für jedermann. Zsolnay, 1934. [7] E. Colerus, Vom Punkt zur vierten Dimension: Geometrie für jedermann. Zsolnay, 1935. [8] R. Courant und D. Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik. Bd. 1 u. 2, Springer, 1924 u. 1937. [9] B. Eckmann, Harmonische Funktionen und Randwertaufgaben in einem Komplex. Comment. Math. Helv. 17 (1944/45), 240–255. [10] B. Eckmann, Mathematische Fragestellungen im Großen. Neue Zürcher Zeitung Nr. 2121, 181. Jhg. (1960), 1–2. [11] F. R. Gantmacher, The theory of matrices. Vol. 1–2, Chelsea, 1959 (urspr. auf Russisch, Moskau 1953). [12] F. Grün and C. Blatter, A generalization of the frit method for the measurement of diffusion coefficients. J. Amer. Chem. Soc. 80 (1958), 3838–3839. [13] P. Halmos, Finite-dimensional vector spaces. Van Nostrand, 1958. [14] H. Hopf (Hg.), Differentialgeometrie und Topologie, Internationales Kolloquium Zürich 1960. Monogr. Enseign. Math. 11, L’Enseignement Mathématique, 1962. [15] H. Huber, Analytische Abbildungen Riemannscher Flächen in sich. Comment. Math. Helv. 27 (1953), 1–73. [16] F. Kohlrausch, Praktische Physik zum Gebrauch für Unterricht, Forschung und Technik. B. G. Teubner, 1943. [17] P. M. Morse and H. Feshbach, Methods of theoretical physics. Part I–II, McGraw Hill, 1953.

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[18] A. Ostrowski, Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Bd. 1–3. Birkhäuser, 1952–54. [19] A. Ostrowski, On the convergence of the Rayleigh quotient iteration for the computation of the characteristic roots and vectors, I. Arch. Rational Mech. Anal. 1 (1958), 233–241. [20] M. Planck, Vorlesungen über Thermodynamik. 10. Aufl., de Gruyter, 1954. [21] P. M. Pu, Some inequalities in certain nonorientable Riemannian manifolds. Pacific J. Math. 2 (1952), 55–71. [22] L. Rédei, Algebra. Teil 1, Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1959. [23] A. Speiser, Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung. Springer, 1923. [24] H. Tietze, Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Bd. 1–2. Biederstein Verlag, 1949. [25] C. Truesdell, Eulers Leistungen in der Mechanik. Enseign. Math. (2) 3 (1957), 251–262.

Andreas Speiser (1885–1970) Johann Jakob Burckhardt

Herausgegeben und ergänzt von Adolf Th. Schnyder∗

1. Teil: J. J. Burckhardt über Andreas Speiser Andreas Speiser wurde geboren am 10. Juni 1885 in Basel und starb daselbst am 12. Oktober 1970. Er war Sohn des Paul Speiser (1846–1935) und der Elisabeth, geborene Sarasin (1861–1938), verheiratet 1916 mit Emmy La Roche (1891–1980). Die Familie Speiser stammt aus Wintersingen BL. Jakob Speiser-Buser (1743–1827) liess sich 1779 dauernd in Basel nieder. Sein Sohn Johann Jakob Speiser-Baumgartner (1777–1856) erwarb dort 1816 das Bürgerrecht. Dessen Sohn Johann Jakob Speiser-Hauser (1813–1856) war eine bemerkenswerte Gestalt der aufstrebenden Handelsstadt Basel. Er gründete eine der ersten Handelsbanken des aufblühenden Handels- und Industriezentrums; er wurde dank seinen monetären Kenntnissen der Reformator des schweizerischen Münzwesens (1848–1852) und war Mitbegründer und erster Direktor der Centralbahn (1852), wahrlich eine grossartige Dienstleistung um das Gemeinwesen in seinem kurzen Leben. Sein Sohn Paul Speiser-Sarasin (1846–1935) war eine nicht weniger profilierte Persönlichkeit Basels: Professor an der juristischen Fakultät, Regierungsrat und zeitweise Nationalrat. In einer grossen Familie verbrachte der Sohn Andreas eine glückliche Jugendzeit. Nach seinen handschriftlichen Aufzeichnungen verdankte er dem Spiel auf zwei Klavieren mit seiner Mutter die Grundlagen für seine profunden Musikkenntnisse und für sein späteres Spiel, er zählte zu den besten Amateuren. Ohne Schwierigkeiten und ohne Auszeichnungen, wie er schreibt, durchlief er die Basler Schulen mit dem Abschluss am Gymnasium auf dem Münsterplatz.1 ∗ Leben

und Werk von Andreas Speiser haben durch Johann Jakob Burckhardt (1903– 2006) im Beiheft Nr. 16 (1980) der Zeitschrift Elemente der Mathematik mit dem Titel Die Mathematik an der Universität Zürich 1916–1950 unter den Professoren R. Fueter, A. Speiser, P. Finsler eine hervorragende Darstellung gefunden. So war es naheliegend, auf diese zurückzugreifen, sie mit Ergänzungen zu versehen und ihr so Eingang in den Jubiläumsband der SMG zu gewähren. Dem Birkhäuser Verlag, Basel, sei für sein Entgegenkommen bestens gedankt. – Besonderer Dank gilt Herrn Dr. Emil A. Fellmann für seine Mithilfe. – Ein paar wenige Sätze, die Andreas Speiser nicht betreffen, hat der Herausgeber weggelassen. – Kleinere Versehen im Text wurden stillschweigend korrigiert.

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Auf Anraten des Mathematikers Karl Von der Mühll bezog er 1904 die Universität Göttingen. Nach einem zweisemestrigen Aufenthalt in Berlin begann er seine Dissertation unter der Leitung von Hermann Minkowski und beendigte im Wintersemester 1908/09 das Studium mit der Dissertation «Theorie der binären quadratischen Formen mit Koeffizienten und Unbestimmten in einem beliebigen Zahlkörper». Minkowski starb kurz vor der mündlichen Prüfung; diese wurde dann von dessen Freund David Hilbert am 3. März 1909 abgenommen. Wanderjahre führten Speiser nach Schottland, London und Paris. Schon damals wurde er auf die Beziehungen der Mathematik mit der Kunst aufmerksam, die ihn das ganze Leben hindurch fesselten. Algebra, Zahlentheorie und Gruppentheorie wurden zu seinen Forschungsgebieten. Heinrich Weber und die Nähe der Heimatstadt trugen dazu bei, dass sich Speiser 1911 in Strassburg habilitierte. Im Sommersemester 1915 vertrat er Rudolf Fueter an der Technischen Hochschule in Karlsruhe.

Auf das Sommersemester 1917 wurde Speiser zum ausserordentlichen Professor für reine Mathematik an die Universität Zürich berufen, 1919 wurde er Ordinarius. In den Jahren 1932 bis 1934 diente er als Dekan der philosophischen Fakultät II und versah dieses Amt vertretungsweise nochmals im Winter 1935/36. Auf das Wintersemester 1944 trat er wegen Berufung an die Universität Basel zurück.

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Speiser bearbeitete in seiner Dissertation [1] Probleme aus dem Gebiet der quadratischen Formen mit zwei Variablen. Durch Arbeiten Leonhard Eulers angeregt, schuf C. F. Gauss in seinem Jugendwerk Disquisitiones Arithmeticae 1801 das schwer zugängliche, reich mit neuen Ergebnissen befrachtete Lehrbuch des beginnenden 19. Jahrhunderts. Den Darstellungen von Dirichlet und von Dedekind verdanken wir den leichteren Zugang zu den schönen Ergebnissen, David Hilbert und Hermann Minkowski deren Ausbau und Weiterführung. Hilbert übertrug die Ideen von Gauss auf die Betrachtung der Ideale in relativ-quadratischen bzw. relativ-abelschen Zahlkörpern. Die Erweiterung auf Formen mit Koeffizienten und Unbestimmten in beliebigen Zahlkörpern wurde der Inhalt der Dissertation von Speiser. √ Zunächst wird die Darstellung einer Zahl im Körper K( δ) behandelt mit dem Ergebnis: Jede zu δ prime Zahl, die in diesem Körper zerfällt, wird durch Formen der Diskriminante δ dargestellt, und zwar nur durch eine endliche Anzahl verschiedener Formenklassen mit derselben Primitivdiskriminante. Aus der Reduktionstheorie folgt, dass es zu gegebener Primitivdiskriminante nur endlich viele Formenklassen gibt. Im zweiten Kapitel wird die Anzahl der Klassen untersucht und mit der Anzahl der Modulklassen verglichen. In der Festschrift für Heinrich Weber [2] ergänzt Speiser Lücken in den Artikeln 234 bis 251 der Disquisitiones Arithmeticae. Er zeigt, dass sich zwei beliebige Formen mit derselben Diskriminante, aber relativ primen Teilern durch unendlich viele bilineare Substitutionen komponieren lassen. Durch ihre Komposition entstehen sämtliche Formen einer bestimmten Formenklasse. Übergehend zu den Geschlechtern wird gezeigt, dass jede Form des Hauptgeschlechtes durch Duplikation entsteht. In seiner dritten Arbeit [3] wendet sich Speiser der Theorie der Substitutionsgruppen zu. Sei N die Ordnung einer irreduziblen Substitutionsgruppe, A eines ihrer Elemente χ(A) die Summe der charakteristischen Wurzeln, insbesondere für die Einheit E, sei χ1 = χ(E), ferner sei h(A) die Anzahl der Elemente in der Klasse von A. Es werden Beziehungen zwischen diesen Grössen hergestellt und Teilbarkeitseigenschaften bezüglich einer Primzahl untersucht. Ist der Grad eines Elementes A relativ prim zum Grad der Gruppe, so ist der kleinste Exponent i, für den Ai in das Zentrum der Gruppe fällt, ein Teiler des Grades der Gruppe. Bis in die neueste Zeit haben drei weitere Abhandlungen von Speiser Beachtung gefunden [4]–[6]. In [4] werden Ergebnisse über die Lagrangeschen Resolventen eines zyklischen Körpers auf Galoissche Körper übertragen. In jedem Zahlkörper gibt es Zahlen, die ein beliebiges zur Gruppe gehöriges Gleichungssystem befriedigen. Es wird die Gesamtheit der zu einem Gleichungssystem (Kleinsches Formenproblem) gehörigen Lösungen angegeben und daraus die Formeln aus der Theorie der Gleichungen fünf-

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ten Grades hergeleitet. Der Zusammenhang mit der Gruppendeterminante wird aufgedeckt, und für den Fall der Normalbasis wird gezeigt, wie sich die Diskriminantenteiler auf die Determinanten der verschiedenen Darstellungen der Gruppe verteilen (siehe auch [4a]. Die von Speiser eingeführten verallgemeinerten Resolventen sind von A. Fröhlich (1966) als Homomorphismen gewisser Moduln erkannt worden. Unter Heranziehung der von Hilbert eingeführten Begriffe des Trägheitskörpers und des Verzweigungskörpers wird ein Ergebnis über die Verzweigungsgruppe erhalten. S. Ullom (1969) nimmt das Resultat von [4] auf: K/F sei eine Galoissche Erweiterung eines Zahlkörpers; damit der Ring OK der ganzen Zahlen von K eine Normalbasis besitzt, muss K/F schwach verzweigt sein. Viel Beachtung fand die Arbeit [5] «Die Zerlegungsgruppe». Sie schliesst an den «Zahlbericht» von D. Hilbert an (Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 4 (1897), 175–546). Speiser geht davon aus, dass die Reste nach den Potenzen eines Primideals eines algebraischen Zahlkörpers ein System von p-adischen Zahlen bilden, und untersucht die Gruppe der Automorphismen eines solchen Systems. Die Substitutionen des Körpers, welche das Primideal P unverändert lassen, bilden die Zerlegungsgruppe Z. Diejenigen, welche die Reste modulo P nicht vertauschen, bilden einen Normalteiler T der Zerlegungsgruppe, welcher Trägheitsgruppe heisst. Ferner bilden die Substitutionen von Z, welche die Reste modulo P2 nicht vertauschen, einen Normalteiler V, der Verzweigungsgruppe heisst. Zunächst wird in § 1 die Faktorgruppe Z/V untersucht: Sie enthält als zyklischen Normalteiler die Gruppe T/V, die näher untersucht wird. In der Reihe der Verzweigungsgruppen V, V1 , … ist jede ein Normalteiler von Z, und die Faktorgruppe zweier aufeinanderfolgender ist eine abelsche Gruppe, deren Ordnung und Typus bestimmt werden. Daraus ergibt sich in § 2 der Satz von Kronecker, wonach jeder abelsche Körper ein Kreiskörper ist. Ist Vi die i-te Verzweigungsgruppe, so liegt nach Satz 3 von § 3 die Gruppe Vi /Vi+1 im Zentrum der Gruppe V1 /Vi+1 . Es stellt sich heraus, dass dies ein Nebenresultat eines Hilfssatzes von E. Artin ist (Artin, J. Reine Angew. Math. 164 (1931), 1–11). Siehe ferner die Arbeiten von Casson-Nogues, Ribenboim und Serre, die auf die Ergebnisse von Speiser hinweisen. Die Arbeit [6] schliesst wiederum an Hilberts Zahlbericht an, insbesondere an den berühmten Satz 90. Sei der Körper K relativ zyklisch bezüglich des Körpers k. Die Substitutionen der zyklischen Relativgruppe seien durch S erzeugt. Jede Zahl a von k, deren Relativnorm in bezug auf k gleich 1 ist, wird die symbolische (1−S)-te Potenz einer gewissen Zahl b von K. Anstatt die Zahlen eines Körpers zu betrachten, untersucht Speiser Matrizen ME , MA , … , die einer Gruppe mit den Elementen E, A, … zugeordnet sind und deren Koeffizienten im Körper K liegen. MES , MAS , … ( S = E, A, …) seien die

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konjugierten Matrizen, und für die Multiplikation gelte MST MT = MST . Speisers Satz besagt dann, dass es in K eine Matrix M gibt mit MS = (M S )−1 M. Als Folgerung ergibt sich hieraus eine wichtige Aussage über die Koeffizienten der Matrizen einer irreduziblen Gruppe von ungeradem Grad. Besitzt diese reelle Charaktere, so lässt sie sich so transformieren, dass ihre Koeffizienten in dem durch die Charaktere bestimmten Körper liegen. Ist hingegen der Grad gerade, ferner das Charakterensystem reell, und enthält die Gruppe eine Substitution, welche die Wurzeln +1 und −1 in ungerader Vielfachheit besitzt, so lässt auch sie sich so transformieren, dass ihre Koeffizienten im Körper der Charaktere liegen. Dieses Ergebnis ist von Hall–Weber (1968) verwendet und von Takahashi (1968) und von Ritter (1977) verallgemeinert worden. Im Anschluss an Speisers Arbeit behandelte I. Schur den Fall, in welchem die Matrizen der Gleichung MST MT = rS,T MST genügen. Das System rS,T muss einer Bedingung genügen und liefert dann genau eine irreduzible Darstellung der Gruppe. Das Problem der Zerlegung einer rationalen Primzahl p in einem Galoisschen Zahlkörper wird in [8] bzw. [8a] zurückgeführt auf die Untersuchung der Ordnung einer gewissen Matrix modulo p. Für Kreiskörper und relativzyklische Körper ergeben sich die aus anderen Untersuchungen bekannten Zerlegungsgesetze, für beliebige Körper ein Algorithmus zur Ermittlung des Grades seiner Primideale. Von der ganzen Betrachtung sind die Diskriminantenteiler ausgenommen. Bleiben wir noch bei der Zahlentheorie. 1932 befasste sich Speiser in der Abhandlung [17] mit den Minima der Formen von Hermite. Im Anschluss an die Dissertation seines Schülers J. Züllig werden durch die Betrachtung von Kugelpackungen Approximationen von komplexen Zahlen ζ durch gekürzte Brüche p/q betrachtet und die Existenz unendlich vieler Paare (p, q) mit √ |ζ −p/q| < 1/[ 3 N(q)] bewiesen. Ein ähnlicher Satz ergibt sich für die Approximation einer reellen Quaternion ξ durch ganzzahlige Quaternionen p  und q ≠ 0. Er besagt, dass die Ungleichung |ξ − p/q| < 1/[ (5/2) N(q)] unendlich  viele Lösungen in ganzzahligen Quaternionen p und q ≠ 0 besitzt. Ob (5/2) die bestmögliche Konstante ist, beantwortete A. L. Schmidt (1969) dahin, dass sie dies in gewissem Sinn tatsächlich ist. 1923 erschien das Lehrbuch Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung. Bisher wurde die Gruppentheorie nur in englischer Sprache von W. Burnside (2. Aufl., 1911) dargestellt, das Werk enthielt viele eigene Forschungen, welche diejenigen von G. Frobenius, L. Sylow, C. Jordan u. a. ergänzten. In deutscher Sprache lagen die Algebra von H. Weber (2. Bd., 2. Aufl., 1899) und Gruppen- und Substitutionstheorie von E. Netto (1908) vor, die nur in Teilgebiete einführten. Speisers Gruppentheorie ist sein Jugendwerk; es blieb über viele Jahrzehnte führend. Bereits beim Erscheinen bemerkt ein Referent: «Es ist er-

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staunlich, was der Verfasser in dem wertvollen Buch auf dem engen Raum von 194 Seiten von elementaren Sachen ausgehend zur Darstellung bringt. … Die vom künstlerischen Standpunkt aus in ihrer Knappheit reizvolle Darstellung dürfte das Eindringen etwas mühvoll machen.» B. L. van der Waerden (1950) charakterisiert das Werk mit den Worten: «Andreas Speiser war einer der Pioniere der modernen Algebra. Sein Buch ist immer noch die schönste Einführung in die Gruppentheorie.» In beiden Zitaten wird also die Schönheit des Werkes betont; dieser verdankt es viele begeisterte Leser, welche die Mühe des Studiums nicht scheuten. Nachdem im Laufe der

zwanziger Jahre durch die Vorlesungen von Emil Artin und Emmy Noether das neuartige abstrakte Denken in die Algebra und die Gruppentheorie eindrang und dort die Methoden völlig neu gestaltete und eine Zusammenfassung im Lehrbuch Moderne Algebra (1. Aufl., 1930) von B. L. van der Waerden fand, ist es erstaunlich zu sehen, dass bereits Speiser in diesen Kategorien dachte. Seine Denkweise wurde richtungweisend, er darf als einer ihrer Vorläufer und Vater bezeichnet werden. Ähnliche Züge werden wir später in seinem philosophischen Denken antreffen. Die zweite Auflage (1927) enthält wertvolle Erweiterungen. Auf vier Seiten wird die Vorgeschichte der Gruppentheorie dargestellt und dabei auf die Ornamentik und die regelmässigen Körper sowie auf die Bedeutung der Symmetrie in der Musik hingewiesen. Im eingefügten sechsten Kapitel werden auf zwanzig Seiten die Streifen- und Flächenornamente hergeleitet. Speiser unternahm 1928 eine Reise nach Ägypten, um die dortigen Ornamente kennen-

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zulernen. Wolfgang Graeser2 begleitete ihn und verfertigte die photographischen Aufnahmen.3 Speisers Darstellung übte tiefe Wirkung auf Künstler aus und regte die zur Rarität gewordene Dissertation von Edith Müller über die Ornamentik in der Alhambra an (Gruppentheoretische und strukturanalytische Untersuchungen der maurischen Ornamente aus der Alhambra in Granada, Diss., Rüschlikon, Zürich 1944). Auf sechs einleitenden Seiten geht Speiser der Herleitung des Gruppenbegriffes nach und zeigt, wie er aus dem erst 1926 von Heinrich Brandt entdeckten Begriff des Gruppoides entwickelt werden kann. Brandt, ein Schüler von Speiser aus dessen Strassburger Zeit, fand diesen Begriff bei der Untersuchung der Komposition quadratischer Formen, die er auf Anregung Speisers unternahm. Die dritte Auflage (1937) enthält wiederum wertvolle Ergänzungen: Die Lehre von den symmetrischen Gruppen wurde im Hinblick auf die Physik ausführlicher dargestellt, und für den Fundamentalsatz von M. Wedderburn wurde der elegante Beweis von E. Witt eingefügt. Eine ganz besondere Freude bereitet es Speiser, dass der Birkhäuser Verlag die vierte Auflage (1956) mit einer Farbtafel der Modul- oder Kreisfigur von Felix Klein schmückte. Dieses Titelbild erläutert Speiser in einem Anhang. Stets wieder hat er, besonders in Gesprächen mit Schülern und mit Künstlern, seiner Begeisterung über diese Figur Ausdruck gegeben. Speiser legte bereits in der ersten Auflage Wert darauf, die Zusammenhänge der Gruppentheorie mit der Kristallographie zu betonen. Diese war damals in Zürich unter Paul Niggli und seinen Schülern in voller Entfaltung, sie empfing reiche Anregung durch das Erscheinen der Gruppentheorie. Speiser hat den enormen Aufschwung der Theorie der Raumgruppen bis zur Herleitung aller dieser Gruppen im Raum von vier Dimensionen nicht mehr erlebt, auch nicht mehr das Eindringen des Gruppoidbegriffes in die Strukturlehre der Kristalle, aber was er gesät hatte, trug reiche Früchte. In [12] und [12a] wird die Bedeutung des Gruppoids für die Bildung von Teilbarkeit und Multiplikation zweier Ideale im Integritätsbereich einer Algebra untersucht. In [13], die teilweise an [6] anschliesst, wird das Problem der Erweiterung von Gruppen durch Hinzufügung eines Zentrums erläutert. Mehrmals ist Speiser auf die Bedeutung der Gruppentheorie für die Kunst zu sprechen gekommen. Er fand in Basel einen Künstler, Karl Gerstner, der diese Anregungen aufnahm und dies in seinem Werk Color Lines (Edition Stähli, Zürich 1978) zum Ausdruck brachte. Darüber hinaus skizzierte dieser mit künstlerischer Feder den Menschen: «So unkonventionell Speiser war, so konventionell war seine Bildung: klassisch-universal, der Humus, auf dem er seine Kürbisse zog. Die farbigsten gediehen aus einer Kreuzung von Mathematik und Kunst.» Und in einem Brief schreibt er:

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«Jetzt, wo er tot ist, vermissen ihn alle, die ihn kannten, weil er doch eine ganz aussergewöhnliche Persönlichkeit war.» In der Malerei interessierten ihn nicht nur die Ornamente, sondern auch die Farben. In [42] wird der Farbraum untersucht. Sind A und B zwei hinreichend benachbarte Farben, so gibt es stets eine Farbe C, die mit A vermischt die Farbe B ergibt. Hieraus folgt, dass jede Farbe als Zentrum einer Involution aufgefasst werden kann. Nach G. Thomsen besitzt diese Ebene eine euklidische Metrik, wenn das Produkt dreier Involutionen wieder eine solche ist. Speiser zeigt, dass die Farben diesem Gesetz genügen. Von der Ebene gelangt man durch Hinzunahme von Hell und Dunkel in den Farbraum. Das schmale Bändchen Algebras and their arithmetics (1923) von L. E. Dickson bildet den Ausgangspunkt der Arbeiten [9] und [22]. Speiser regte eine Übertragung des Buches ins Deutsche an, worauf uns Dickson eine vollständig neu geschriebene und stark erweiterte Fassung zur Übersetzung zusandte. Diese erschien 1927 bei Orell Füssli unter dem Titel Algebren und ihre Zahlentheorie und enthält als 13. Kapitel eine leichte Überarbeitung von Speisers Abhandlung [9], die inzwischen als Sonderdruck zur Rarität geworden war. Das Buch wurde sehr freundlich aufgenommen, es war «die erste deutschsprachige Darstellung einer neu entstandenen, hochbedeutenden Theorie, die in wachsendem Masse das Interesse der Algebraiker und Zahlentheoretiker auf sich zieht. Es ist durchweg klar und elegant geschrieben, fast überall auch leicht fasslich und durch Beispiele belebt.» Der Teil von Dickson ist in der Hauptsache algebraischer Natur, während Speiser die Zahlentheorie entwickelt und eine Übersicht über alle Ideale einer rationalen, halbeinfachen Algebra sowie eine Einsicht in ihre multiplikativen Beziehungen anstrebt. Es gelang ihm zehn Jahre später, seine Entdeckungen in vereinfachter Form in der Arbeit [22] darzustellen. Diese grundlegende Arbeit hat die Entwicklung der Zahlentheorie hyperkomplexer Systeme nachhaltig beeinflusst. Ihren Inhalt fasst H. Brandt zusammen: «In einer einfachen Algebra im Gebiet der rationalen Zahlen wird das Restsystem einer Ord-nung, die zwar höchsten Rang hat, sonst aber beliebig ist, nach einer Primzahlpotenz als Modul betrachtet. In diesem Restsystem auftretende Unregelmässigkeiten werden schrittweise durch Aufsteigen zu umfassenderen Ordnungen beseitigt, bis man schliesslich für maximale Ordnungen klare Gesetzmässigkeiten erhält. Diese Methode liefert zwar auch Erkenntnisse über nicht maximale Ordnungen, bringt aber naturgemäss Komplikationen mit sich, die vermieden werden, wenn man, so wie es in der Abhandlung geschieht, gleich von vornherein Bedingungen zugrunde legt, wie sie maximalen Ordnungen entsprechen. Darin bestehen die Vereinfachungen dieser Abhandlung zur früheren. Die Ergänzungen

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bestehen darin, dass der Anschluss hergestellt wird zu Begriffsbildungen, die von H. Brandt aufgestellt worden sind (Gruppoid der Ideale). Das war zwar schon teilweise von Artin und vollständig von Hasse geschehen, aber nur unter Heranziehung neuer Hilfsmittel. Hier wird gezeigt, dass die ursprünglichen Methoden zu diesem Ziel vollständig ausreichen. Sie ermöglichen die Konstruktion aller maximalen Ordnungen und ihrer Ideale und geben Auskunft über die zwischen ihnen bestehenden Beziehungen.» Ende der zwanziger Jahre dozierte Rolf Nevanlinna als Gastprofessor an der ETH. Er befreundete sich mit Speiser, der durch ihn die Anregung zu einigen Arbeiten aus dem Gebiet der ganzen transzendenten Funktionen erhielt. Anschliessend an Sätze von W. Gross und I. Iversen betrachtet Speiser in [14] jene Riemannschen Flächen, die zu den inversen Funktionen ganzer transzendenter Funktionen gehören und deren endliche Singularitäten isoliert liegen. Seien u = g(z) und w = h(u) zwei eindeutige Funktionen, die entweder ganze transzendente Funktionen der z- bzw. w-Ebene sind oder einen Grenzkreis haben. Beide sollen ihre Gebiete auf gewisse, näher beschriebene Riemannsche Flächen abbilden. Dann ist die Funktion h(g(z)) dann und nur dann ganz transzendent, wenn g(z) und h(u) es sind. Mittels der durch Julia gegebenen Verschärfung des Lemmas von Schwarz werden Abbildungseigenschaften der genannten inversen Funktionen hergeleitet. Am Schluss werden einige Probleme formuliert, die entscheiden sollen, ob eine gegebene Fläche zu einer ganzen transzendenten Funktion oder zu einer Funktion des Grenzkreistypus gehört. Die in [15] betrachteten Riemannschen Flächen sind aus drei Sorten von Blättern aufgebaut. Sorte I: Die volle Ebene, die von +1 → ∞ und von −1 → −∞ längs der reellen Achse aufgeschlitzt ist. Sorten II und III: Volle Ebene mit je nur einem dieser beiden Schlitze. Einer Veranschaulichung solcher Riemannschen Flächen dienen topologische Bäume. Endfolge eines Baumes ist ein Streckenzug ohne Gabelung. Auf zwei Wegen wird bewiesen, dass die Anzahl der Endfolgen eines Baumes entweder endlich oder abzählbar oder von der Mächtigkeit des Kontinuums ist. Alle jene Riemannschen Flächen sind entweder auf die volle Ebene (erste Art) oder auf eine endliche Kreisscheibe (zweite Art) konform abbildbar. Es wird vermutet, dass die Riemannschen Flächen zur ersten Art dann und nur dann gehören, wenn die Zahl der Endfolgen endlich oder abzählbar unendlich ist. Bewiesen werden die folgenden Ergebnisse: Zerschneidet man eine Fläche längs einer Verzweigungslinie, so zerfällt sie in zwei Teile A und B. Durch Spiegelung an der Verzweigungslinie mögen A und B entstehen. Gehört dann A + A zur zweiten Art, so auch A + B. Man kann annehmen, dass bei der Abbildung von A + A die Hälfte von A in einen Halbkreis H übergeht, während A bei der Abbildung von A + B in einen Bereich G übergeht. Die so gestiftete Abbildung von H auf G ist auf den Randbögen von H regulär. Ein

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Weg auf A, der bei der Abbildung von A+B in einen Weg übergeht, der in einem bestimmten von den Halbkreisenden verschiedenen Peripheriepunkt endigt, behält diese Eigenschaft, wenn statt B an A ein anderes Riemannsches Flächenstück der betrachteten Bauart angefügt wird. Eine besondere Betrachtung gilt den Halbkreisenden. Sind A + A und B + B von der ersten Art, aber A + B von der zweiten Art, so besteht der Häufungsbereich der Bildkurve von A und B aus der ganzen Peripherie des Bildkreises. In [24] betrachtet Speiser eine einfach zusammenhängende Riemannsche Fläche, die bei ∞ in allen Blättern logarithmisch verzweigt ist und die sonst nur an den Stellen ±1 logarithmische Windungspunkte aufweist. Kennt man die linearen Substitutionen, die zu der durch diese Fläche bestimmten Untergruppe der modularen Gruppe gehören, so lässt sich ein genaues Kriterium für den Typus der Fläche aufstellen. Die Fläche wird nun längs einer Verbindungsgeraden zwischen zwei Windungspunkten in die Hälften A und B zerlegt. Spiegelt man ähnlich wie oben, so erhält man die Halbflächen A und B. Wenn A + A und B + B hyperbolisch sind (rein hyperbolischer Fall), dann ist auch A+B hyperbolisch. Wenn dagegen A+A und B + B parabolisch sind und A + B trotzdem hyperbolisch ausfällt, so spricht man vom gemischt hyperbolischen Typ. Speiser findet eine Bedingung für den rein hyperbolischen Typ. In [16] wird eine einfach zusammenhängende Riemannsche Fläche F betrachtet, deren Windungspunkte über den Punkten w = 0, 1, ∞ der w-Ebene liegen. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Fläche F zum hyperbolischen Typus gehört, besteht in der Konvergenz der Reihe 1/(a2 +b2 +c 2 +d2 ), erstreckt über alle unimodular geschriebenen Substitutionen z = (az + b)/(cz + d) der zu F gehörenden Gruppe G. Endlich beschreibt [37] die Gruppe der Abbildungen einer einfach zusammenhängenden Fläche auf sich selbst und bestimmt die zu dieser Funktion gehörende Riemannsche Fläche. Mit der Zetafunktion befasst sich Speiser in der Arbeit [20]. Für eine meromorphe Funktion w = f (z) mögen die wesentlich singulären Stellen der Umkehrfunktion z = ϕ(u) an reellen Stellen der w-Ebene liegen. Dann liefern die «reellen» Züge eine gute Übersicht über die Werteverteilung und damit über die Riemannsche Fläche. Speisers Schüler A. A. Utzinger wendete diese «Methode der reellen Züge» in seiner Dissertation (Die reellen Zweige der Zetafunktion, Zürich 1934) zur Untersuchung der Gamma- und der Zetafunktion an. Speiser betrachtet die verwandte Etafunktion η(z) = Γ (z/2)π −z/2 ζ(z). Über diese Eta- und Zetafunktionen werden geometrische Aussagen bewiesen, die mit der Riemannschen Vermutung über die Nullstellen der Zetafunktion äquivalent sind. In beiden Fällen handelt es sich um das Verhalten der reellen Züge in der Nähe der kritischen Geraden. Die Behauptung, dass die Nullstellen der Ableitung der

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Zetafunktion rechts von der kritischen Geraden oder auf ihr liegen, ist mit der Riemannschen Vermutung äquivalent. Gruppentheorie und Funktionentheorie werden in [28] verbunden. Zunächst wird ein Ergebnis über zyklische Gruppen verallgemeinert auf die Darstellung abelscher Gruppen und deren Charaktere. Dies ermöglicht sodann die Herleitung der Funktionalgleichung der L-Funktionen mit relativ einfachen Mitteln. In zwei Arbeiten ist Speiser auf das Gebiet der Geometrie vorgestossen, das ihn später bei der Herausgabe von Eulers Werken so intensiv beschäftigen wird. In [7] bzw. [7a] geben die berühmten Sätze von H. Poincaré und D. Birkhoff Anlass zur Betrachtung geodätischer Linien auf geschlossenen konvexen Flächen. Es wird die Existenz unendlich vieler geschlossener Geodätischer auf gewissen Flächen bewiesen. In [29] wendet sich Speiser der Himmelsmechanik zu. Die Gesamtheit der ebenen Kepler-Bewegungen einschliesslich der Stossbewegungen ist einer stetigen stationären Strömung im projektiven Raum homomorph. Der Beweis erfolgt mittels der Transformation z = w 2 und geeigneter Berührungstransformation, wodurch die Kepler-Bewegung in die Simultanbewegung zweier harmonischer Oszillatoren übergeführt wird. Als einen Beitrag zur Feier des hundertsten Geburtstages von B. Riemann und zugleich des Crelleschen Journals veröffentlichte Speiser ([11]) in dessen Jubiläumsband den Aufsatz «Naturphilosophische Untersuchungen von Euler und Riemann». Euler hatte im Rahmen der Newtonschen Raumauffassung einen Versuch zur Erklärung der Gravitation unternommen, der jedoch noch gewisse unbehobene Schwierigkeiten enthielt. Riemann hat in einem der «Fragmente philosophischen Inhalts» eine Antwort auf eine der verbleibenden Fragen zu geben versucht. Doch folgte er im übrigen keineswegs der Newton–Eulerschen Raumauffassung, schloss sich vielmehr mit Herbarth der von Leibniz an. Seine diesbezüglichen Untersuchungen, denen er selbst grosses Gewicht beigemessen zu haben scheint, stehen in engem Zusammenhang mit seinem Habilitationsvortrag. Die Beschäftigung mit Euler ist das zweite Thema im Leben Speisers, auf das dritte, die Philosophie, treten wir am Schluss ein. Die unter Ferdinand Rudio (1907) ins Leben gerufene Herausgabe der gesammelten Werke von Leonhard Euler erlitt nach einem hoffnungsvollen Beginn durch die Ereignisse des ersten Weltkrieges einen schweren Schlag. Die Redaktion verlor Mitarbeiter, der Verlag Teubner geriet in Schwierigkeiten, und in den zwanziger Jahren erlitt der Euler-Fonds schwere finanzielle Verluste. Speiser trat 1919 in die Redaktion ein, und Fueter wurde deren Präsident. Mit Hilfe des Orell Füssli Verlages gelang es, das Unternehmen weiter zuführen. Bevor ich hierauf näher eintrete, mögen einige Arbeiten über Euler erwähnt werden.

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Im Aulavortrag [21] befasst sich Speiser mit «Euler und die deutsche Philosophie». Zur Zeit Eulers war es in Deutschland die sogenannte Leibniz– Wolffsche Philosophie, die das philosophische Denken beherrschte. Euler zeigte, dass diese nicht imstande war, die Gesetze der mathematischen Physik zu begründen. Er stellte hierauf die gedanklichen Grundlagen für die Herleitung der physikalischen Gesetze auf. In seinen Briefe an eine deutsche Prinzessin legt er dies in meisterhafter Weise dar. Speiser weist nach, welche Bedeutung sie auf Kant ausübten. Im Atlantisband Grosse Schweizer, der im Hinblick auf die Landesausstellung (1939) herausgegeben wurde, gibt Speiser in [27] ein abgerundetes Lebensbild des grossen Schweizers. Mit einem Holzschnitt zu vergleichen sind die kräftigen Sätze «Es ist Euler vorbehalten gewesen, der Mathematik eine völlig veränderte Gestalt zu geben und sie zu dem mächtigen Gebäude auszugestalten, welche sie heute ist». Mit Nachdruck wird darauf verwiesen, wie Euler sich früh mit der Zahlentheorie beschäftigte und sein ganzes Leben nicht davon gelassen hat. «Seine Entdeckungen auf diesem Gebiete sind vielleicht das Schönste und Tiefste, was in der Mathematik gefunden wurde», und wir fühlen bei diesen Worten das innere Mitschwingen von Speiser. Nach der Beschreibung von Eulers Charakter und seiner Tätigkeit in Petersburg und Berlin schliesst Speiser mit dem Verhältnis von Euler zur Theologie, dieser ist dem protestantischen Christentum sein Leben lang treu geblieben. In [26], dem Neujahrsblatt 1939 der «Gesellschaft zur Beförderung des Guten und Gemeinnützigen», gibt der Verfasser einen für weitere Kreise bestimmten Überblick über Basels Mathematiker. Zur Zeit der Reformation tritt Glareanus4 als erster Mathematiker in Basel auf, aber erst mit den Bernoulli wird diese Stadt Mittelpunkt der Mathematik. Jakob, gegen den Willen seines Vaters sich ganz dieser Wissenschaft widmend, beherrschte hier als erster die mächtigen Hilfsmittel der Infinitesimalrechnung und schuf zudem, fast aus dem Nichts, die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Nach seinem Tod (1705) wurde sein Bruder Johann Glanz und Mittelpunkt der Basler Universität und Lehrer von ganz Europa. Speiser widmet diesem eine spannende geisteswissenschaftliche Analyse. Johanns Sohn Daniel, Eulers Freund, begründete die Hydrodynamik, deren wahre Bedeutung erst die neueste Forschung aufgedeckt hat. Auf den letzten zehn Seiten begleiten wir Euler in seinen Wirkungsstätten Petersburg und Berlin, wobei Speiser diesmal das Gewicht auf die Bedeutung Eulers für die Philosophie und die Theologie legt. Als Speiser 1928 in die Redaktion der Euler-Kommission eintrat, waren 14 Bände der Leonhardi Euleri Opera omnia erschienen. Als Generalredaktor von 1928 bis 1965 brachte er 37 Bände heraus, 11 von ihm selbst redigiert. Bei allen wirkte sein Genius mit, und sein Auge prüfte die Korrektu-

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ren. Für seine Verdienste dankte ihm die Universität Bern am 23. November 1957 mit der Laudatio «Die Philosophisch-naturwissenschaftliche Fakultät verleiht die Würde eines Doktors honoris causa Herrn Andreas Speiser, der die Publikation der Opera omnia Leonhard Eulers mit Weitblick und Hingabe geleitet und damit die Ideen eines der grössten Gelehrten aller Zeiten zu neuer Wirkung gebracht hat.»Die Schweizerische Naturforschende Gesellschaft ernannte ihn 1964 zum Ehrenmitglied «in Würdigung seiner langjährigen Verdienste als Präsident der Euler-Kommission5 und der tatkräftigen Förderung der Euler-Ausgabe». Wir werfen einen Blick auf die einzelnen Bände und beabsichtigen, dem Leser einen Hinweis auf eine Menge tiefer Bemerkungen des Herausgebers zu vermitteln. Wir verfahren chronologisch: In Band I/16, 2, auf den Seiten XCVII–CV gibt Speiser Erläuterungen zu Eulers Arbeiten über unendliche Produkte und Kettenbrüche. Gleich zu Beginn finden wir des Herausgebers elegante Darstellung der Kettenbrüche mittels Matrizenschreibweise. Die Lösung der Pellschen Gleichung und der Riccatischen Gleichung bilden Anwendungen. Sodann wird die Umwandlung von Reihen in Kettenbrüche, und umgekehrt, betrachtet. Nachdem 1922 Adolf Krazer und Ferdinand Rudio den ersten Teil des grundlegenden Werkes Introductio in analysin infinitorum (1748) herausgegeben hatten, ein Werk, das «keinen Vorläufer hat», ediert in Band I/9 Speiser den zweiten Teil und bereichert ihn mit einer Vorrede von 26 Seiten, die beide Teile umfasst. «Wenn diese Inhaltsübersicht einen Hauch von dem Geist dieses leichten mathematischen Buches vermittelt und den Leser zur Lektüre anregt, so will ich froh sein.» Auf den Seiten XXXIII–L gibt Speiser eine Übersicht über die von G. Kowalewski 1913 in Band I/10 edierten Institutiones calculi differentialis (1755), die auf die Introductio folgten. Von besonderem Interesse dürften die Ausführungen über die Summation von Reihen und über die unendlich kleinen Grössen sein. Ein besonderes Denkmal setzte sich Speiser mit der Herausgabe der Geometriebände I/26 bis I/29. Zu Beginn dankt Speiser in I/26 auf Seite VII im Jahre 1953 all denen, die die Herausgabe stets wieder unterstützt haben: Firmen der Maschinen- und Zementindustrie, chemische Fabriken, Versicherungsgesellschaften und Banken sowie einzelnen besonders verdienstvollen Persönlichkeiten, die nicht nur materiell, sondern auch in besonders verdienstvoller Weise das Werk moralisch unterstützten. Zum Inhalt: Besonders begeistert war Speiser stets von den MöndchenQuadraturen. Anschliessend finden wir Cramers Paradoxon der Kurven dritten Grades. Der Bestimmung der Lage und der Grösse der Hauptachsen einer Ellipse, gegeben durch zwei konjugierte Durchmesser, gilt Eulers weiteres Interesse. Wir schreiten fort zur berühmten Eulerschen Polyederformel, welche die Grundlage der Topologie bildet, und der Einteilung

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der Polyeder nach Spezies. Es folgen Arbeiten zur sphärischen Trigonometrie, zum Ähnlichkeitszentrum ebener Figuren und zum Kreisproblem von Apollonius. In Band I/27 finden wir erste Arbeiten Eulers zum Problem der reziproken Trajektorien einer ebenen Kurvenschar. Auf dieses Problem kommt Euler in I/28 und I/29 zurück. Wertvoll sind die Erläuterungen des Herausgebers zu Fragen der Katoptrik, die auf Probleme der geodätischen Linien auf Flächen führen. Mit Vergnügen wird man Speisers historische Bemerkungen zu den Gradmessungen auf der Erdkugel lesen, eine wahre Tragikomödie unter den Gelehrten des 18. Jahrhunderts. Band I/28 enthält die grundlegenden Arbeiten zur Kurven- und Flächentheorie, es sind nach den Worten des Herausgebers keine ausgearbeiteten Darstellungen. Drei Abhandlungen betreffen die Abbildung der Kugel auf die Erde und die Herstellung von Landkarten. Euler findet dabei den schönen Satz, dass diejenigen Flächen, die durch blosse Verbiegung ohne Verzerrung in die Ebene ausgebreitet werden können, durch die Tangenten an eine Raumkurve bestimmt werden. Beachten wir auch Speisers Ausführungen auf den Seiten XXXVI–XXXVII über das Zitieren wissenschaftlicher Abhandlungen im 18. Jahrhundert, Bemerkungen, die sich jeder Wissenschafter hinters Ohr schreiben darf. In I/29 beachten wir auf den Seiten VIII–X besonders Speisers Ausführungen zu Eulers Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra: Gauss hat in seiner Kritik den gruppentheoretischen Gehalt des Beweises und das Wesen der analytischen Methode Eulers nicht erfasst. In diesem Band ist die dritte Sektion der Institutionum Calculi Differentialis, erst 1862 postum veröffentlicht, untergebracht. Der Herausgeber weist insbesondere auf die Ausführungen in Kapitel 1, § 8, hin, wo der Begriff des Differentials erläutert wird, «eine Erläuterung, die wohl gänzlich Eulers Eigentum ist und seitdem kaum mehr verstanden wurde». Wer möchte sich nicht hier von Euler und Speiser eine Kostbarkeit entgehen lassen? Die Bände III/3–9 enthalten Eulers Arbeiten zur Optik. Speiser verweist auf Eulers Kontroverse mit Dollond über die Achromasie, bemerkt aber, dass die historische Würdigung von Eulers Arbeiten zur Optik noch aussteht. Zum Glück wurde dies inzwischen (1973) nachgeholt in Band III/9.6 Mehrmals haben wir mit Speiser im mathematisch-philosophischen Seminar Teile aus den Lettres à une Princesse d’Allemagne (1768) besprochen, die Speiser in den Bänden III/11 und 12, zusammen mit der Schrift Rettung der göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister (1747), veröffentlichte. Der Band III/12 enthält sodann auf den Seiten XII–XVII die schöne Ansprache, die Speiser an der Euler-Feier der Schweizerischen Mathematischen Gesellschaft am 18. Mai 1957 hielt. Er spricht dabei den Dank an alle Mitarbeiter der Euler-Edition aus und würdigt ihre hingebungsvolle Mitarbeit.

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Wahrhaftig, Speiser gelang es, geeignete Mitarbeiter zu finden und heranzubilden. Unermüdlich warb er für seine Edition, er hatte den Schlüssel «Sesam öffne dich» in den Händen, wenn er in Wort und Schrift die finanziellen Mittel für das Werk sammelte. Dazu trug wesentlich die Ausstrahlung seiner Persönlichkeit und die Unmittelbarkeit bei, mit der er geeignete Persönlichkeiten suchte und fand. Zudem bemühte er sich, durch Gelegenheitsartikel in der Presse für seine Ideen zu werben und scharte dadurch ein breites Leserpublikum um sich. Ich zähle im Literaturverzeichnis 28 mir bekanntgewordene Artikel auf. Es handelt sich teilweise um Rezensionen neu erschienener Bücher. Speiser besass das Talent, im aufmunternden Ton die positiven Seiten der besprochenen Werke hervorzuheben, gewisse Schwächen wurden höchstens wohlwollend angedeutet, oft nur dem Kenner bemerkbar. Es ist zu bedauern, dass diese Artikel bisher nicht gesammelt herausgegeben wurden, sie enthalten viele Perlen von Speisers Gedanken und Formulierungen. Eng verbunden mit der Euler-Edition ist die Herausgabe der Mathematischen Werke von Johann Heinrich Lambert in den Jahren 1946 und 1948. Leider ist der Wunsch Speisers, dieser Ausgabe möge diejenige der philosophischen Werke des grossen Mülhausers folgen, bisher nicht in Erfüllung gegangen.7 Bevor ich zur Besprechung von Speisers philosophischen Arbeiten übergehe, seien zwei Gelegenheitsartikel erwähnt. Nirgends so sehr wie in diesen ungezwungenen Äusserungen tritt die Persönlichkeit des Verfassers derart offen zutage. In der Festschrift [10] (1926) zum 80. Geburtstag seines Vaters schreibt er erstmals über den Zusammenhang seiner beiden Lieblingsgebiete. Für Speiser wirkt Mathematik, ähnlich wie für Kepler die Planetenaspekte, direkt auf die Seele, indem diese die Proportionen wahrnimmt, die in ihr liegen. Diese Proportionen weist Speiser in der Analyse verschiedener Musikstücke nach. Er betont: «Die Wirkung dieser Formen lässt sich nicht erklären, ebensowenig wie die Tatsache, dass gewisse Folgen von mathematischen Schlüssen plötzlich eine tiefe Einsicht in ein mathematisches Gebilde gewähren, während andere nur formal bleiben und gar nicht irgendwelchen Geist aufnehmen wollen.» So umhüllt die Formenwelt der Musik und auch der übrigen Künste eine Sphäre, nämlich die der Mathematik. In [36] treten Züge zutage, die Speiser sonst höchstens in persönlichen Gesprächen durchblicken liess, und wie er gleich zu Beginn bemerkt, wollte er sich mit diesem Beitrag zum 80. Geburtstag von Heinrich Wölfflin «einen guten Tag machen und frei aussprechen, was man denkt». In der Tat, hier ergiesst sich Speisers Esprit wie ein klarer, ungezähmter Wasserfall, sprudelnd in mathematischem Gehalt. Zunächst, wie könnte es anders sein, begibt er sich in die «musikalische Mathematik» und studiert Fugen

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wie eine mathematische Abhandlung. Die Verbindung mit der Malerei wird über Heinrich Wölfflin hergestellt. Den Höhepunkt auf seinem Wege erreicht Speiser wohl mit der Paraphrase eines Abschnittes aus Ecce homo von Friedrich Nietzsche. Ihr zur Seite steht die Aufdeckung der Symmetrien in einem Satz von Jacob Burckhardt. Wer hat je, vor oder nach Speiser, Sätze derart ins Kaleidoskop gelegt und gespiegelt, ich frage, wer? Diese Analyse leitet zu derjenigen eines Gemäldes von Caravaggio über und zeigt, dass auch der grosse Basler Kunsthistoriker in solchen Gemälden Symmetrien nachwies. Speiser war von ungewöhnlicher Belesenheit. Sein Bestreben war, Gedanken durch den Verlauf der Geschichte zu verfolgen und ihre Auswirkung darzustellen. Zudem versuchte er, hiermit weiteren Kreisen die von ihm erarbeitete und ihm eigene Gesamtschau der Welt unter mathematischem Aspekt darzulegen. In diesem Bestreben veröffentlichte er einige Bücher, auf die wir nun zu sprechen kommen. Deren Widmungen bedeuten Dankbarkeit für empfangene Anregungen und Freundschaft. 1925 erschienen im Orell Füssli Verlag Klassische Stücke der Mathematik, Paul Sarasin gewidmet. Sie geben durch die verbindenden Einführungstexte und durch die Auswahl der Stücke bereits einen Einblick in Speisers Denken. So wird etwa das Raumproblem aufgegriffen und von der Antike über Dante, Tiepolo, Helmholtz bis zu Einstein und Hjelmslev verfolgt, ein wunderbar kühner Wurf, wie sich W. Blaschke zu mir äusserte. Das Buch ist zum Vorläufer verschiedener Versuche geworden, Mathematik breiteren Kreisen zugänglich zu machen. Speiser las wiederholt diese Vorlesung für Hörer aller Fakultäten. Der hochgelegene Hörsaal im Turm hinderte die vielen Studierenden verschiedener Richtungen nicht daran, diesen einzigartigen Stunden beizuwohnen. Speiser, ein hervorragender Amateurpianist, setzte sich etwa ans Klavier und erklärte die Kompositionen der Klassiker Mozart, Beethoven oder Verdi, aber auch diejenigen von Kinderliedern. Oder er liess, unterstützt von Lichtbildern, die Symmetrien der Ornamente aufleuchten. Aus diesen Vorlesungen ist das Buch Die mathematische Denkweise, Zürich 1932, entstanden, das er seinem Schwager Raoul La Roche widmete. Der Glanz jener Stunden ist darin, soweit dies möglich ist, festgehalten und bildet für alle, die diesen Stunden beiwohnten, ein kostbares Juwel. Unter den Bögen am Limmatquai erzählte er uns, dass er soeben im Oberdorf eine Druckerei für das Büchlein gefunden hatte; es war damals nicht leicht, eine solche Schrift herauszugeben. Die zweite Auflage erschien 1945 im Birkhäuser Verlag und ist um Bilder bereichert, die Wolfgang Graeser 1928 auf einer gemeinsamen Ägyptenreise aufgenommen hat, ferner um Goldschmiedrisse, für die sich insbesondere Walter Überwasser interessierte. Den Schluss des Buches bildet die Aularede, die Speiser zum Gedenken des dreihundertsten Todestages von Johannes Kepler 1930 ge-

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halten hat. Auch Kepler war eine Gestalt, der sein ungeteiltes Interesse galt; auch er hatte eine der platonischen Denkweise verhaftete Weltsicht. Um seine Ideen darzulegen, gründete Speiser zusammen mit Karl Dürr und Paul Finsler das mathematisch-philosophische Seminar. Unter anderem wurde hier der Kommentar des Proklos zu den Elementen von Euklid gelesen. Speiser inspirierte hierdurch die Herausgabe der von Leander P. Schönberger stammenden deutschen Übersetzung durch Max Steck. Erstmals mit Wolfgang Graeser gelesen, wurde Platons Dialog Parmenides durchgearbeitet. Als Frucht hiervon erschien 1937 Ein ParmenidesKommentar, dem Andenken Wolfgang Graesers gewidmet. 1959 erlebte das vielbeachtete Werk eine zweite Auflage, vermehrt um einen zweiten Teil «Fichtes Wissenschaftslehre von 1804». Den Kommentar zu dem so sehr umstrittenen Dialog wollte Heinrich Scholz unter diejenigen Bücher eingereiht sehen, die in einer Geschichte der Mathematik der heutigen Zeit nicht fehlen dürfen. Hans-Rudolf Schwyzer schreibt in seiner Besprechung in der Neuen Zürcher Zeitung: «Jedenfalls sind die Philologen dem Mathematiker dankbar, dass er ihnen in einer so hoffnungslosen Aporie beispringt. Denn hier kann bloss einer weiterkommen, der in beiden Sätteln gerecht ist.» Und Willy Theiler sprach mit Anerkennung über die auch philologisch treffenden Interpretationen. Aus Anregungen, die noch in die Zürcher Zeit zurückgehen, ist das 1952 im Birkhäuser Verlag erschienene Buch Elemente der Philosophie und der Mathematik entstanden. Es ist dem Andenken an Rudolf Fueter gewidmet, «meinem bewährten Freund, mit dem ich während 55 Semestern in Zürich zusammenarbeiten durfte und dem ich unbegrenzte Dankbarkeit schulde». Der Titel «Elemente» ist mit Bedacht nach dem Euklidischen Werk gewählt. Wie dort für die Geometrie, so sollen hier für das Denken nicht absolute Gesetze hergeleitet werden, sondern es soll eine Anleitung zum Forschen gegeben werden. Ich habe im ersten Abschnitt versucht, Speisers mathematische Leistungen zu würdigen, und habe dabei ausgeführt, dass er ein Pionier der heutigen modernen Algebra ist. Das bedeutet, dass er abstraktes begriffliches Denken im höchsten Grade beherrschte. Mit dieser Fähigkeit greift er in die Grundlagen der Philosophie ein; wer ihm in diese Gebiete folgen will, muss jenes Denken beherrschen. Wenige sind ihm daher in der Beurteilung seiner Analysen gerecht geworden. Als eine Ausnahme möchte ich aus dem Nachruf von J. 0. Fleckenstein8 zitieren: «Existentieller Ernst ergriff Speiser erst, wenn es um die Grundlagen der ‹philosophischen gleich mathematischen Erkenntnis› ging. Um die scheinbar spielerisch und absichtlich paradox hingeworfenen Gedankensplitter hat er selber immer wieder gerungen: Was als brillante Facette erschien, war nur eine der vielen Seiten eines lang bearbeiteten Diamanten seiner platonischen Dialektik. Wir dür-

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fen von Glück reden, dass ein Basler Mathematiker sich um Plato bemühte; Speiser nahm es in Kauf, im Niemandsland zwischen philosophischer und naturwissenschaftlicher Fakultät unter das Kreuzfeuer von beiden Seiten zu geraten, denn er wusste, dass er unverwundbar war.» Und weiter: «Das scheinbar Paradoxe der Speiserschen Diktion war die Maskerade seiner genialen Intuition in die wirklichen Probleme der ‹Mathesis Perennis›. Immer ging es ihm um die Qualität, nie um die Quantität der Erkenntnisse der Wissenschaft im Sinne Platos.» Dreizehn seiner zu Lebzeiten teils unveröffentlichten Reden und Abhandlungen sind unter dem Titel Die geistige Arbeit 1955 als Buch erschienen. Ganz besonders freute es den Verfasser, dass der Verlag den Umschlag des Buches mit einer siebenfarbigen Kreisfigur von Felix Klein schmückte. Speiser erfreute sich einer zähen Gesundheit und einer grossen Arbeitskraft. Dies kam ihm insbesondere während der Kriegsjahre zugute, die ihm eine starke Belastung brachten. Finsler war zeitweise kränklich und Fueter sehr oft im Militärdienst abwesend, so dass die Haupt-last des mathematischen Unterrichtes auf Speisers Schultern lag. Glücklicherweise frassen Verwaltung und Administration noch nicht an den Kräften der Dozenten. Speiser verliess Zürich auf dem Höhepunkt seiner Wirksamkeit; sein Denken wies vielen Schülern und Anhängern Wege. In Basel fand er die nötige Ruhe, das Euler-Werk gewaltig zu fördern; er sah dem Abschluss der ersten drei Serien entgegen9 . Menschen wie Speiser wirken in die Tiefe. Wir dürfen feststellen, dass er die Saat aufgehen sah. Vieles aber harrt noch des Wachsens. Es liegt in der Natur des Geistigen, dass oft eine oder mehrere Generationen das Erbe nicht nutzen können, doch spätere werden davon um so mehr zehren. Dies gilt auch für das Erbe von Speiser.

Werkverzeichnis Andreas Speiser A. Abhandlungen [1]

Die Theorie der binären quadratischen Formen mit Koeffizienten und Unbestimmten in einem beliebigen Zahlkörper. Dissertation, Göttingen 1909. Druck der Dietrichschen Universitäts-Buchdruckerei, 34 Seiten.

[2]

Über die Komposition der binären quadratischen Formen. In Festschrift Heinrich Weber, B. G. Teubner, Leipzig und Berlin 1912, 375–395.

[3]

Zur Theorie der Substitutionsgruppen. Math. Ann. 75 (1914), 443–448.

[4]

Gruppendeterminante und Körperdiskriminante. Math. Ann. 77 (1916), 546–562.

[4a]

L’équation du cinquième degré. Enseign. Math. 19 (1917), 331–332.

Andreas Speiser (1885–1970)

147

[5]

Die Zerlegungsgruppe. J. Reine Angew. Math. 149 (1919), 174–188.

[6]

Zahlentheoretische Sätze aus der Gruppentheorie. Math. Z. 5 (1919), 1–6.

[7]

Über geodätische Linien auf einem konvexen Körper. Vierteljahresschr. Naturforsch. Ges. Zürich 66 (1921), 28–38.

[7a]

Sur les lignes géodésiques sur les surfaces convexes. Enseign. Math. 20 (1919), 443.

[8]

Die Zerlegung von Primzahlen in algebraischen Zahlkörpern. Trans. Amer. Math. Soc. 23 (1922), 173–178.

[8a]

Sur la décomposition des nombres premiers dans des corps algébriques. Enseign. Math. 22 (1922), 63.

[9]

Allgemeine Zahlentheorie. Vierteljahresschr. Naturforsch. Ges. Zürich 71 (1926), 8–48.

[10]

Musik und Mathematik. Sonderdruck aus der Festschrift für Paul Speiser. Basler Druck- & Verlagsanstalt, Basel 1926, 9 Seiten.

[11]

Naturphilosophische Untersuchungen von Euler und Riemann, J. Reine Angew. Math. 157 (1927), 105–114.

[12]

Über Gruppen und Gruppoide. Verh. Schweiz. Naturforsch. Ges. Basel 1927 (1927), 11. Teil, 85–86.

[12a] Sur les groupes et groupoides. Enseign. Math. 26 (1926), 317–318. [13]

Probleme der Gruppentheorie. In Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, Bologna, 3–10 settembre 1928, Vol. 2, Bologna 1930, 79–80.

[14]

Probleme aus dem Gebiet der ganzen transzendenten Funktionen. Comment. Math. Helv. 1 (1929), 289–312.

[15]

Über Riemannsche Flächen. Comment. Math. Helv. 2 (1930), 284–292.

[16]

Über beschränkte automorphe Funktionen. Comment. Math. Helv. 4 (1932), 172–182.

[17]

Über die Minima Hermitescher Formen. J. Reine Angew. Math. 167 (1931), 88–97.

[18]

Independente Theorie gewisser Funktionenklassen. In Verhandl. des Internat. Mathematiker-Kongresses Zürich 1932, Band II, Orell Füssli, Zürich 1932, 47.

[19]

Der Naturforscher Dante. In Deutsches Dante-Jahrbuch, 16. Bd./Neue Folge 7. Bd., Verlag Herm. Böhlaus Nachf., Weimar 1934, 130–131.

[20]

Geometrisches zur Riemannschen Zetafunktion. Math. Ann. 110 (1934), 514–521.

[21]

Leonhard Euler und die Deutsche Philosophie. Aulavortrag, 22. Februar 1934. Orell-Füssli-Verlag, Zürich, 16 Seiten.

[22]

Zahlentheorie in rationalen Algebren. Comment. Math. Helv. 8 (1935/36), 391–406.

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[Bemerkung des Herausgebers: Folgende Nummern sind abgedruckt im Buch Die geistige Arbeit, die Zahlen in Klammern geben die Kapitel an: 23 (6), 32 (3), 33 (2), 34 (4), 35 (5), 36 (7), 38a (10), 39a (11), 42a (12).] [23]

Der Erlösungsbegriff bei Plotin. In Gestaltung der Erlösungsidee in Ost und West, Bd. II, Eranos Jahrbuch 1937, Bd. V, Rhein-Verlag, Zürich 1938, 137–154.

[24]

Riemannsche Flächen vom hyperbolischen Typus. Comment. Math. Helv. 10 (1937/38), 232–242.

[25]

Leonhard Euler. In Grosse Schweizer, Atlantis Verlag, Zürich 1938, 278–283.

[26]

Die Basler Mathematiker. 117. Neujahrsblatt, hrsg. von d. Gesellschaft zur Beförderung des Guten und Gemeinnützigen, Helbing & Lichtenhahn, Basel 1939.

[27]

Leonhard Euler. In Grosse Schweizer Forscher, Atlantis Verlag, Zürich 1939, 117–118.

[28]

Die Funktionalgleichung der Dirichletschen L-Funktionen. Monatsh. Math. Phys. 48 (1939), 240–244.

[29]

Topologische Fragen der Himmelsmechanik. In Festschrift Rudolf Fueter, Beibl. z. Vierteljahresschr. Naturforsch. Ges. Zürich 85 (1940), Nr. 32, 204–213.

[30]

Der Anteil der Schweiz an der Entwicklung der Mathematik. In Die Schweiz und die Forschung, Bd. 1, Verlag des Guide Pratique, Wabern-Bern und Freiburg 1941, 70–77. Radiovortrag vom 17. Mai 1940.

[31]

Gruppen aus der Klassenkörpertheorie. J. Reine Angew. Math. 182 (1940), 178–179.

[32]

Die Platonische Lehre vom unbekannten Gott und die christliche Trinität. In Trinität, christliche Symbolik und Gnosis, Eranos Jahrbuch 1940/41, Bd. VIII, Rhein-Verlag, Zürich 1942, 11–29.

[33]

Die räumliche Deutung der Aussenwelt. In Verh. Schweiz. Naturforsch. Ges., H. R. Sauerländer & Cie , Aarau 1941, 38–51.

[34]

Platons Ideenlehre und die Mathematik. In Jahrbuch der Schweiz. Philos. Ges. 2, Verlag für Recht und Gesellschaft, Basel 1942, 123–140.

[35]

Wissenschaft und Glaube. In Schriften der Mlle Marie Gretler-Stiftung Zürich, Heft 1, E. Rentsch Verlag, Erlenbach-Zürich 1944, 29–46.

[36]

Die mathematische Betrachtung der Kunst. In Concinnitas, Benno Schwabe & Co., Basel 1944, 215–231.

[37]

Über symmetrische analytische Funktionen. Comment. Math. Helv. 16 (1943/44), 105–114.

[38]

Problemi attuali della teoria dei gruppi astratti. In Atti del Convegno matematico, tenuto in Roma dall’8 al 12 novembre 1942, Tipografia del Senato del dott. G. Bardi, Roma 1945, 85–90.

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[38a] Geist und Mathematik. In Der Geist Eranos Jahrbuch 1945, Bd. XIII, RheinVerlag, Zürich 1946, 95–110. [39]

Einteilung der sämtlichen Werke Leonhard Eulers. Comment. Math. Helv. 20 (1947), 288–318.

[39a] Die Grundlagen der Mathematik von Plato bis Fichte. In Geist und Natur Eranos Jahrbuch 1946, Bd. XIV, Rhein-Verlag, Zürich 1947, 11–38. [40]

La notion de Groupe et les Arts. In Les grands courants de la pensée mathématique, Hrsg. F. Le Lionnais. Cahiers du Sud, Paris 1948, 475–479.

[41]

Sulle superficie Riemanniane. Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 18 (1948), 91–92.

[42]

II gruppo metrico dei colori. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 28 (1949), 231–236.

[42a] Über die Freiheit. Rektoratsrede in Basel, 24. Nov. 1950, Basler Universitätsreden 28, Helbing & Lichtenhahn, Basel 1950. [43]

Rudolf Fueter † 9. August 1950, Ansprache. Elem. Math. 5 (1950), 98–99.

[44]

Neue Proportionen für die Kunst. Les Cahiers techn. de l’Art, Strasbourg 1957, 46–47.

[45]

Oltre la spera. In Deutsches Dante-Jahrbuch, Bd. 36/37, Verlag Herm. Böhlaus Nachf., Weimar 1958, 52–65.

[Zu 46.: Der Herausgeber erlaubt sich, Burckhardts Darstellung durch eine ausführlichere zu ersetzen.] [46]

Übersicht über Speisers Beiträge in der Euler-Edition: I, 5 (1944) Commentationes arithmeticae, vol. 4; Herausgeber: R. Fueter, A. Speiser: Vorwort der Redaktion: VII, Vorwort des Herausgebers: VIII–XXXVII, A. Speiser: Übersicht über die Zahlentheorie in Eulers Algebra, XXXVIII–XLIV. I, 9 (1945) Introductio in analysin infinitorum, Tomus secundus; A. Speiser: Vorwort zu Teil 1 (in I, 8): VII–XIX, A. Speiser: Herausgeber und Verfasser folgender Vorworte: •

Zu Teil 2 (in I, 9): XX–XXXI,

•

Appendix de superficiebus, XXXII,

•

Übersicht über I, 10 : Institutiones calculi differentialis: XXXIII–L.

I, 16/2 (1935) Com. analyticae ad theoriam serierum infinitorum pertinentes; Herausgeber: C. Boehm, Übersicht von C. Boehm, jedoch von A. Speiser: Abschnitt VII: unendliche Produkte und Kettenbrüche, XCVII–CV.

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J. J. Burckhardt I, 24 (1952) Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, …; Herausgeber: C. Carathéodory, Vorwort von A. Speiser: VII, Einführung des Herausgebers VIII–LXIII. I, 25 (1952) Com. analyticae ad calculum variationum pertinentes; Herausgeber: C. Carathéodory, Vorwort von A. Speiser: VII–XXVI. I, 26 bis I 29 Commentationes geometricae; Herausgeber: A. Speiser, I, 26 (1953) Vorwort von A. Speiser: VII, Einleitung von A. Speiser: VIII–XXXVI, I, 27 (1954)

Einleitung von A. Speiser: VII–XLVI ,

I, 28 (1955)

Einleitung von A. Speiser: VII–XLIV,

I, 29 (1956) Einleitung von A. Speiser: VII–XLII, enthält die 3. Sektion der Institutiones calculi differentialis. III 1 (1926) Com. physicae ad physicam generalem ad theoriam soni pertinentes; Herausgeber: E. Bernoulli, R. Bernoulli, F. Rudio, A. Speiser. III 6 (1962) Commentationes opticae 2; Herausgeber: E. Cherbuliez, A. Speiser, Einführung: A. Speiser: VII–XXVIII. III 7 (1964) Commentationes opticae 3; Herausgeber: A. Speiser, Einleitung: W. Habicht: IX–XXVII. III 11 (1960) Lettres à une princesse d’Allemagne 1; Herausgeber: A. Speiser, Übersicht über III, 11 und III, 12 von A. Speiser; Lettres 1 und 2: VII–XXXIII, Rettung der göttlichen Offenbarung: XXXIV–XLIII (10 Seiten, inkl. Eulers Lehre von Raum und Zeit: XXXIX–XLIII), Martin Vogel: Die Musikschriften von Leonhard Euler: XLIV–LX. III 12 (1960) Lettres à une princesse d’Allemagne 2 und Rettung der göttlichen Offenbarung; Herausgeber: A. Speiser, Vorrede: VII–XI, Nachwort: XII–XVII. [47]

Herausgeber von: Johann Heinrich Lambert, Mathematische Werke, 2 Bde., Orell Füssli, Zürich 1946 u. 1948, Vorreden, pp. IX–XXXI bzw. IX–XXIX.

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[Der Herausgeber ergänzt diese Liste durch folgende Nummern: [48]

Mathematik und Wirtschaft. In Wissenschaft und Wirtschaft, Aufsatzreihe hrsg. von der Direktion der Schweizer Mustermesse Basel, Helbing & Lichtenhahn, Basel 1943.

[49]

Platos Ideenlehre. In Studien zum Problem des Archetypischen, Festgabe für C. G. Jung zum 70. Geburtstag, 26. Juli 1945, Eranos Jahrbuch 1945, Bd. XII, Rhein-Verlag, Zürich 1945, 21–51.

[50]

Einführung in Goethes Schriften zur Farbenlehre. In J. W. Goethe, Gedenkausgabe der Werke, Briefe und Gespräche, Bd. 16, Naturwissenschaftliche Schriften: erster Teil, Artemis Verlag, Zürich 1949.

[51a] Über Tonleitern. Radiovortrag zur Fünfhundertjahr-Feier der Universität Basel 1960. Auf Tonträger (CD). [51b] Nachschrift des Radiovortrags, besorgt von A. Schnyder. [52]

Ton und Zahl. In Der Mensch im Spannungsfeld der Ordnungen, Eranos Jahrbuch 1961, Band XXX, Rhein-Verlag 1962, 126–142.

[53]

Un ornamento non euclideo. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 54 (1961), 227–229. ]

B. Bücher [1]

Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, mit Anwendungen auf algebraische Zahlen und Gleichungen sowie auf die Kristallographie. Grundlehren Math. Wiss. 5, Springer-Verlag, Berlin 1923, 2. Aufl. 1927, 3. Aufl. 1937 (Nachdruck 3. Aufl. bei Dover Publ., New York 1945); 4. Aufl., Birkhäuser, Basel 1956.10

[2]

Klassische Stücke der Mathematik. Orell Füssli, Zürich 1925.

[3]

Kapitel XIII: Idealtheorie in rationalen Algebren. In L. E. Dickson, Algebren und ihre Zahlentheorie. Aus dem Englischen übersetzt von J. J. Burckhardt und E. Schubarth. Orell Füssli, Zürich 1927.

[4]

Die mathematische Denkweise. Rascher Verlag, Zürich 1932; 2. Aufl. u. 3. Aufl. bei Birkhäuser, Basel 1945 u. 1952.

[5]

Elemente der Philosophie und der Mathematik. Birkhäuser, Basel 1952.

[6]

Ein Parmenideskommentar, Studien zur Platonischen Dialektik. K. F. Koehler Verl., Leipzig 1937; 2. erw. Aufl. Koehler, Stuttgart 1959.

[7]

Die geistige Arbeit. Birkhäuser, Basel 1955. Ein Verzeichnis von Gelegenheitsartikeln ist veröffentlicht in: J. O. Fleckenstein und B. L. van der Waerden, Zum Gedenken an Andreas Speiser, Elem. Math. 26 (1971), 97–102.

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2. Teil: Ergänzungen des Herausgebers A. Speisers Zeit als Professor in Basel Speisers Lehrtätigkeit Speisers Verpflichtung umfasste die Anfängervorlesung über Analytische Geometrie (heute «Lineare Algebra») vierstündig mit zusätzlich einer Übungsstunde, drei Stunden Vorlesung über höhere Mathematik, eine Stunde Vortragsseminar (zusammen mit Prof. Alexander M. Ostrowski) und zwei Stunden Vorlesung Mathematik für Naturwissenschafter mit zusätzlich einer Übungsstunde. Speisers mathematische Vorlesungen umspannten ein weites Feld: Gruppentheorie, Zahlentheorie (zweisemestrig), Funktionentheorie (heute «Komplexe Analysis», zweisemestrig), Differentialgeometrie, Variationsrechnung, kombinatorische Topologie. Während zweier Urlaubssemester von Prof. Ostrowski konnte Speiser Prof. R. Nevanlinna bzw. Prof. B. L. van der Waerden fürs ganze Semester wöchentlich für einen ganzen Tag nach Basel verpflichten. Immer wieder hielt Speiser gerne Vorlesungen für Hörer aller Fakultäten etwa mit den Themen «Mathematik für Humanisten und Künstler», oder «Symmetrie in Kunst und Wissenschaft», oder «Die mathematische Denkweise (für Hörer aller Fakultäten)». Freiwillig offerierte Speiser zusammen mit dem Philosophen und Platoniker Prof. Hermann Gauss (1902–1966) und dem Mathematikhistoriker und Astronomen Prof. Joachim Otto Fleckenstein (1914–1980) jedes Semester ein zweistündiges Philosophisch-mathematisches Seminar (später kam noch PD Dr. Emil Schubarth (1902–1978) als Dozent hinzu). In diesem Seminar wurden alle namhaften Philosophen studiert, von Plato, Aristoteles, Plotin, Proklus, zu Thomas von Aquin, Nikolaus von Cues, Descartes, Leibniz, Euler, Kant, Fichte, Hegel bis Whitehead. Im Sommersemester 1946 und im Wintersemester 1946/47 war Speiser Dekan der Philosophisch-naturwissenschaftlichen Fakultät und im Sommersemester 1950 und im Wintersemester 1950/51 war er Rektor der Universität. Seine Rektoratsrede Über die Freiheit ist abgedruckt als 12. Kapitel in Die geistige Arbeit.

Speisers Lebensabend Nach seiner Emeritierung (1955) arbeitete Speiser weiter an seiner EulerEdition, siehe Werkverzeichnis [46]. Er offerierte sein Philosophisch-mathematisches Seminar noch vier Mal und noch zwei Mal seine Vorlesung Symmetrie in Kunst und Wissenschaften. Er publizierte in [53] noch sein schönes Ornament mit den Sechs- und Fünfecken. In seinem siebten Jahrzehnt

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musste er sich Augenoperationen unterziehen. Diese konnten den fast völligen Verlust seiner Sehkraft nicht verhindern. Eine zunehmende allgemeine Entkräftung zwang ihn im Mai 1970 sich in Spital- und anschliessend in Krankenpflege zu begeben. Er entschlief sanft in den frühen Morgenstunden des 12. Oktobers 1970.

Die Euler-Edition Speisers Leistungen als Generalredaktor (1928–1965) sind von Burckhardt ausführlich geschildert und gewürdigt worden. Burckhardt schreibt: «In Basel fand Speiser die nötige Ruhe, das Euler-Werk gewaltig zu fördern, …». Wir wollen dies noch mit Zahlen belegen. Von 1928 bis 1965 erschienen 37 Bände, davon 30 zwischen 1944 und 1965, darunter die 11 von ihm selbst herausgegebenen Bände. – Würde man alle von Speiser verfassten Einleitungen sammeln, so gäbe dies ein Buch im Quart-Format von gegen 300 Seiten.

Nicht-euklidische Ornamente Im Jahre 1956 kam Speisers Gruppentheorie in 4. Auflage heraus, verschönert durch das berühmte Ornament mit den Stern-Siebenecken. – In Abbildung 43 auf p. 263 ist das Innere des Einheitskreises der komplexen Zahlenebene als konformes Bild der hyperbolischen Ebene dargestellt, ge-

pflastert mit regelmässigen Siebenecken, bestehend je aus 7 kongruenten Dreiecken mit den Winkel α = 2π /7, β = π /3, γ = π /3, also in Speisers Notation mit m = 7, n = 3. Das Zentrum eines jeden Siebenecks

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ist ein siebenzähliges Drehzentrum, kurz Siebnerzentrum genannt. Jedes Siebnerzentrum ist von sieben benachbarten Siebnerzentren umgeben und von sieben benachbarten Sechsecken. Wie an Hand der Winkel in den Teildreiecken eines Sechsecks ersichtlich, ist das Zentrum des Sechsecks (nur) ein Dreierzentrum; dieses ist umgeben von drei benachbarten Siebnerzentren. Die Mittelpunkte der Siebenecks-Seiten sind Zweierzentren. Speiser löst nun die Aufgabe, wie man mit 7 verschiedenen Farben die Dreiecke aller Siebenecke so anmalen kann, dass in jedem Siebeneck jede Farbe genau einmal vorkommt, und nirgends zwei längs einer Dreiecksseite zusammenstossende Dreiecke die gleiche Farbe haben.

Frontispiz, Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 4. Aufl., 1956. Mit freundlicher Genehmigung des Birkhäuser Verlags Basel.

Spiegelt man in einem Siebeneck jedes gleichschenklige Dreieck am Zweierzentrum seiner Basis, so entsteht ein Stern-Siebeneck in dessen Zentrum sieben Rhomben zusammenlaufen. Zwei benachbarte Stern-Siebenecke haben genau einen Rhombus gemeinsam, zwischen drei benachbarten liegen stets drei Rhomben. Diese bilden ein Sechseck, dessen Zentrum, wie wir wissen, ein Dreierzentrum ist. Die sieben Rhomben eines Sterns erhalten je genau eine der sieben Farben, Rhomben, die längs einer Seite

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zusammenstossen müssen verschiedenfarbig sein. In jedem der Sechsecke erwecken die drei Rhomben in uns das Schrägbild eines Würfels; dadurch wirkt das Ornament plötzlich räumlich. Noch lebendiger wirkt das Ornament, wenn man um das Zentrum des Siebenecks herum geht und dabei von Würfel zu Würfel hüpft. Da 7 eine ungerade Zahl ist, muss man zweimal um das Zentrum herumgehen, bis man wieder beim Ausgangswürfel angelangt ist. Einen andern schönen Spezialfall hat Speiser entdeckt: Man geht aus von der Pflasterung mit Dreiecken. Zwischen den Zentren dreier benachbarter Siebenecke befindet sich ein Sechseck, sein Zentrum ist ein Dreierzentrum. Der Gedanke liegt nahe, genau drei Dreiecke des Sechsecks, die nur einen Punkt gemeinsam haben, mit der gleichen Farbe anzumalen, die andern drei mit Hilfe von drei weiteren Farben. Wir nennen ein solches Gebilde ein Windrädchen oder Kleeblatt. Auch dies gibt ein sehr schönes Ornament.

Speisers mathematische Denkweise Nach Speisers Überzeugung findet überall dort mathematisches Denken statt, wo Zahlen, Formen, Strukturen eine Rolle spielen, also nicht nur in den Naturwissenschaften, sondern auch in der Musik, der Architektur, in den bildenden Künsten, in der Dichtung und in der Philosophie. In seinem Buch Die mathematische Denkweise schreibt er auf p. 11: «Das Wesen des mathematischen Denkens unmittelbar in Worten zu beschreiben ist nicht möglich. Was wir mitteilen können, sind seine Leistungen und Resultate.» Dies hat Speiser getan in seinen Büchern Klassische Stücke der Mathematik und Die mathematische Denkweise sowie in vielen Abhandlungen und Vorträgen, die zum grössten Teil gesammelt sind in seinem Buch Die geistige Arbeit. In den erstgenannten Büchern sind die behandelten Gegenstände ausführlich dargestellt, im letztgenannten oft nur kurz skizziert; somit sind vielleicht ein paar Hinweise angebracht. In Die geistige Arbeit wird auf p. 104 die Fontana delle Tartarughe (Schildkrötenbrunnen) auf der Piazza Mattei in Rom erwähnt (erbaut zwischen 1581 und 1584 von Taddeo Landini nach Zeichnungen von Giacomo della Porta, und um 1658 von Gian Lorenzo Bellini durch die Zugabe der Schildkröten in die jetzige Gestalt gebracht). – Vier Epheben sind rund um das Zentrum des Brunnens regelmässig angeordnet, je zwei benachbarte sind spiegelbildlich, somit je zwei gegenüberliegende deckungsgleich. Also besitzt der Brunnen zwei vertikale Symmetrieebenen, die sich senkrecht schneiden. Zwei benachbarte Epheben gehen durch eine Spiegelung an einer der Symmetrieebenen ineinander über, gegenüberliegende durch eine Halbdrehung um die Schnittgerade der beiden Ebenen. Damit ist der Brun-

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nen eine sehr schöne künstlerische Realisation der Kleinschen Vierergruppe (rund 300 Jahre vor Felix Klein!).

Turm und Helm des Strassburger Münsters Vom Herbst 1910 bis zum Frühjahr 1917 lebte Speiser in Strassburg. Dort machte er u.a. die Bekanntschaft mit Albert Schweizer (siehe hierzu p. 98). Ferner schreibt er auf derselben Seite: «Ich entsann mich, dass ich seinerzeit in der schwindligen Höhe des Strassburger Münsters, am sogenannten Helm, in einem höchst komplizierten Kristallgebilde herumgeklettert war, …», und auf p. 148: «in der Spätgotik finden sich Architekturen, welche schon Raumgitter verwenden, zum Beispiel der Helm des Strassburger Münsters, der den Aufbau des Graphits aufweist.» – Da seit ein paar Jahrzehnten der Turm, und damit auch der Helm, der Öffentlichkeit nicht mehr zugänglich sind, sind ein paar Erläuterungen zu diesem Bijou wohl am Platz. – Am Turm des Münsters kann man drei Teile unterscheiden: das Oktogon (geplant und 1399–1419 zum grössten Teil gebaut von Ulrich von Ensingen), der Helm (geplant und 1419–1439 gebaut von Johannes Hültz) und die Turmspitze. Der Grundriss des Oktogons ist, wie dies sein Name zum Ausdruck bringt, ein Achteck. Ausserhalb des achteckigen Teils sind in vier Nebentürmen Treppenhäuser untergebracht. In dreien befindet sich je eine Wendeltreppe, im vierten zwei Wendeltreppen, die so angeordnet sind, dass sie sich nicht treffen (Vexiertreppe).

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Die Krönung dieser Treppen-Euphorie ist der Helm. Hier gibt es acht Treppenhäuser, die rundherum nebeneinander stehen; sie erzeugen zusammen ein pyramidenförmiges Gebilde. Jedes dieser Treppenhäuser besteht aus sechs offenen Prismen über regelmässigen Sechsecken; die Prismen stehen stufenartig übereinander, so angeordnet, wie es der Grundriss zeigt. Innerhalb dieser Prismen verlaufen die Treppen von einem Prisma zum nächst höher gelegenen schlangenlinien-förmig nach oben. (Leider sind im Grundriss diese Treppen unsorgfältig eingezeichnet, nur bei der mit einem Pfeil markierten stimmt die Schraffur einigermassen.) Oberhalb dieser acht Treppen führen vier weitere Prismen mit Treppen nach oben. Auf der Pyramidenspitze steht ein Türmchen, bestehend aus einer Balustrade, einer Laterne und einem Kreuz. (Ursprünglich stand dort eine Marien-Statue, denn das Münster ist Maria, der Mutter Jesu, gewidmet.)

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Für jede der acht genannten Treppen gilt: Denkt man sich in jeder Prismenecke ein Kohlenstoffatom, so hat man einen typischen Teil der Kristallstruktur des Graphits vor sich. Michelangelos Deckenmalerei in der Sixtinischen Kapelle In Kapitel 13 gibt Speiser zwei Beispiele zur Deckenmalerei. Das zweite betrifft die Sixtinische Kapelle (p. 193 ff.). Er beschreibt, wie durch perspektivisches Sehen der Raum um wohl zehn Meter höher erscheint. Folgender Hinweis könnte hierfür nützlich sein. – Die prächtigen Bilder der Sibyllen und Propheten befinden sich weit oben an den Wänden. Nun würde man erwarten, dass Michelangelo sie so dargestellt hat, dass man sie «von unten» sieht. Doch nein, der Fussboden unter ihnen wird vom Betrachter von oben gesehen, das Auge des Beobachters befindet sich ungefähr auf der Höhe des Bauchs der Sibylle bzw. des Propheten! Der Beobachter muss sich demnach in Gedanken in diese Höhe hinauf versetzen, dann muss er alles andere vergessen und den Blick, so wie Speiser es beschreibt, langsam entlang der Pfeiler nach oben wenden zu den Epheben und weiter zu den Deckenbildern.

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Speiser und die Philosophie In Speisers Basler Zeit fällt das Erscheinen der 2. Auflage seines Buchs Ein Parmenideskommentar 1959. Gegenüber der 1. Auflage ist sie vermehrt um eine 37-seitige Einführung in Fichtes Wissenschaftslehre von 1804. In seiner Abhandlung Platos Ideenlehre ([49]) schreibt Speiser (p. 24): «Es ist wohl der Begriff der Irrationalzahl gewesen, der ihm [Plato] mit der unwiderlegbaren Gewissheit die Existenz einer geistigen Welt eröffnet hat». – Es wurde z. B. bewiesen, dass √ im Quadrat von der Seitenlänge 1 die Länge einer Diagonalen (nämlich 2) niemals gleich einer rationalen Zahl a/b (mit natürlichen Zahlen a und b) sein kann. Diese Tatsache kann weder durch Beobachten noch durch Messen nachgewiesen werden, sondern allein durch das Denken. Ferner ist die Tatsache, dass eine bestimmte Zahl irrational ist, von der Zeit völlig unabhängig. Denn wäre in etwa 20 Jahren √ 2 plötzlich rational, so müsste alsdann gerade gleich ungerade sein. Somit gibt es einen Bereich von Wahrheiten, die von der Zeit unabhängig, also ewig sind, und zu welchen wir durch das Denken Zutritt haben. Plato nannte diesen Bereich die Welt der Ideen. Er untersuchte alle wichtigen Ideen und ihre Beziehungen zueinander. Davon zeugen seine Dialoge, insbesondere sein Parmenides. Diese Untersuchungen führten ihn zu den bedeutendsten Entdeckungen, wie etwa das Sonnengleichnis zeigt (Rep. VI, 506b–509b); vgl. Die geistige Arbeit, Kapitel 3, 4, 5, 8, 10, 11. Die Neuplatoniker griffen Platos Gedanken wieder auf, vor allem Plotin in der Enneade VI/9 über Das Gute oder das Eine. Bedeutend ist auch die Enneade IV/1–5, Über die Seele. Vergleiche Die geistige Arbeit, Kapitel 6, und Elemente der Philosophie und der Mathematik, p. 110. Speiser charakterisierte Plotins Enneaden als höchste Poesie. Ein anderes «Glasperlenspiel» : Speisers Buch Elemente der Philosophie und der Mathematik. Als Einstieg sei kurz auf den utopischen Roman Das Glasperlenspiel von Hermann Hesse (1877–1962) eingegangen. Hesse hat 11 Jahre an ihm gearbeitet und ihn etappenweise veröffentlicht. Die endgültige Fassung erschien 1943. Über das Wesen seines Spiels äussert sich Hesse zum Beispiel auf p. 16 (Seitenzahlen gemäss der ungekürzten Ausgabe 1957 im Suhrkamp Verlag): «Geister wie Abälard, wie Leibniz, wie Hegel haben den Traum ohne Zweifel gekannt, das geistige Universum in konzentrische Kreise einzufangen und die lebendige Schönheit des Geistigen und der Kunst mit der magischen Formelkraft der exakten Disziplinen zu vereinigen.» – Speiser hat sich auch mit Hegel immer wieder intensiv befasst. Er kritisierte erstens, dass Hegel nur mit Triaden (1. Thesis, 2. Antithesis, 3. Synthesis) arbeitet, und zweitens, dass er sie fortlaufend, also nur einstimmig benutzt (Elemente, p. 36). Denn schon Goethe und Fichte fanden diesen Operator zu

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einfach und tendierten auf eine Verfeinerung. Bei Speiser sieht diese so aus: 1. Thesis, 2. Antithesis, 3. Synthesis, 4. Synthesis mit Akzent auf der Thesis, 5. Synthesis mit Akzent auf der Antithesis, 6. Widerspruch und Kampf zwischen den Positionen 4. und 5. – Aus dieser Hexade geht hervor eine neue Thesis (ein neues 1.) und der Operator läuft nun zweistellig weiter: 11, 12, … , 16, dann 21, 22, … ,26 , usw. Diese Fuge ist die Vision Speisers, er skizziert sie bis zum 4-stelligen Operator und weist darüber hinaus. – Es ist beeindruckend wie Speiser die wichtigsten Positionen in seine Fuge einbringt, die Hegel nicht nur in seiner Logik, sondern auch seiner Enzyklopädie der philosophischen Wissenschaften und in seiner Phänomenologie des Geistes erarbeitet hat, und noch viel mehr. – Nach Speisers Überzeugung wird der Operator in erster Linie neue Erkenntnisse aufdecken, also ein Erfindungsoperator sein. Speisers Zukunftvision schliesst mit dem Wunschziel, dass sich der Kreis schliesst, und der Operator am Schluss sich selbst herleitet. Damit geht Speiser weit über das hinaus, was sich Hesse in seinem Glasperlenspiel vorgestellt hat. Hesse kannte Speisers Buch Die Mathematische Denkweise (1. Aufl. 1932) und wahrscheinlich auch weitere seiner Publikationen. – Wir zitieren aus Das Glasperlenspiel von Hesse, wie er sich die lange Entstehungsgeschichte seines Spiels ausgedacht hat. Auf p. 39 ff. fabuliert er: «Ein Schweizer Musikgelehrter, zugleich fanatischer Liebhaber der Mathematik, gab dem Spiel eine neue Wendung und damit die Möglichkeit zu höchster Entfaltung. Der bürgerliche Name dieses grossen Mannes ist nicht mehr zu ermitteln, … , in der Geschichte lebt er als Lusor (auch: Joculator) Basiliensis fort.» Weiter unten nochmals «Joculator Basiliensis», später «der Basler Unbekannte», «die Grosstat des Baslers», «in Zeiten des Baslers». Durch eine einfache Vertauschung beginnt dieses Zitat so: «Ein Schweizer Mathematiker, zugleich fanatischer Liebhaber der Musik …». Passt dies und die Charakteristik als Lusor und Joculator nicht sehr gut auf Andreas Speiser?

B. Anmerkungen 1 Zum

besseren Verständnis von Speisers Werdegang dienen folgende Ergänzungen aus seinen Aufzeichnungen: «Als (Klavier-) Lehrer hatten wir den trefflichen Komponisten Hans Huber, der grossen Einfluss auf meine Kenntnisse der Kunst hatte. Mit meiner Grossmutter mütterlicherseits, Frau Ratsherr Sarasin, verbrachte ich die Abende vor dem Nachtessen, und von ihr lernte ich Spiele und die Kenntnis von Dante.» – «Für die Mathematik entschied ich mich mit etwa 16 Jahren, Eulers Algebra hatte mich dafür gewonnen.» – «Unvergesslich ist mir die Lektüre des Propheten Jeremia in der Originalsprache bei dem grossen Theologen Bernhard Duhm» (Prof. an der Universität und Hebräischlehrer am Gymnasium). 2 Wolfgang Graeser (1906–1928) bemerkte beim Studium von Bachs Kunst der Fuge 1923, dass dieses Werk in z. T. verkehrter Anordnung überliefert ist. Er stellte seine vollkomme-

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ne Symmetrie wieder her und publizierte seine Resultate samt Begründungen im Jahrbuch 1924 der Neuen Bachgesellschaft. 1926 wurde Speiser auf ihn aufmerksam (siehe Die geistige Arbeit, p. 99). Anfang 1928 begleitete er Speiser und dessen Frau nach Ägypten zum Studium der geometrischen Ornamente in den Thebanischen Gräbern. Auf der Schiffsreise studierten Speiser und er Platos Dialog Parmenides. Lit.: Hans Zurlinden, Wolfgang Graeser, C.H. Beck, München 1935, Andreas Speiser, (Nachruf auf) Wolfgang Graeser, NZZ Morgenausgabe, 19.6.1928. 3 Die letzten beiden Sätze gehören wohl zum Abschnitt «Die dritte Auflage». 4 Glareanus Henricus, eigentlich Heinrich Loriti, geb. in Mollis (Kt. Glarus) im Juni 1488, gest. in Freiburg i.Br. am 25.3.1563. Schweizer Humanist und Musiktheoretiker. 5 Es sollte heissen: als Generalredaktor der Euler-Edition. 6 E. A. Fellmann, Leonhard Eulers Stellung in der Geschichte der Optik, Opera omnia III, 9, pp. 295–328; Neudruck einer revidierten Fassung in Leonhard Euler 1707–1783, Beiträge zu Leben und Werk, Gedenkbd. d. Kantons Basel-Stadt, Birkhäuser, Basel 1983, pp. 303–329. 7 Johann Heinrich Lambert: Philosophische Schriften aus dem Nachlaß. Herausgegeben von Armin Emmel und Axel Spree [= Johann Heinrich Lambert: Philosophische Schriften. Begonnen von Hans Werner Arndt †. Fortgeführt von Lothar Kreimendahl. Band X in 3 Teilbänden]. Hildesheim/Zürich/New York: Olms 2008. 8 Siehe J. O. Fleckenstein und B. L. van der Waerden, Zum Gedenken an Andreas Speiser, Elem. Math. 26 (1971), 97–102. 9 Darauf hätte Speiser allerdings noch gut 40 Jahre warten müssen, denn die letzten beiden Bände der Serien I bis III, nämlich die Bände II/26 und II/27 über die astronomische Störungstheorie (herausg. von Andreas K. Verdun in Bern), werden wohl erst in diesen Jahren erscheinen. 10 5. Aufl. (unveränderter Nachdruck), Birkhäuser, Basel 1980 (24 Jahre nach der 4. Aufl. und 10 Jahre nach Speisers Tod!).

Heinz Huber und das Längenspektrum Peter Buser

1. Einleitung Der vorliegende Aufsatz macht den Versuch, einige der sehr eindrücklichen Ergebnisse einem breiteren mathematischen Publikum näher zu bringen, die Heinz Huber (1926–2000) um die Zeit herum erzielte, als die Schweizerische Mathematische Gesellschaft halb so alt war wie sie heute ist. Diese Ergebnisse betreffen die Spektraltheorie der Riemannschen Flächen, die Huber damals mitbegründet hatte und die bis heute Gegenstand intensiver Forschung geblieben ist. Um mit einer kleinen Anekdote zu beginnen: Wer das Privileg hatte, bei Huber in Basel zu studieren, erinnert sich bestimmt der legendären Vorlesungen «Montag, Dienstag, Donnerstag, Freitag, von 11 bis 12», mit ihrem dichten, aufs kleinste Detail ausgearbeiteten Stoff, der sich manchmal besonders «geladen» ankündigte, wenn Huber sich zu Beginn der Stunde auf die Zehen stellte, um ganz oben links an der Tafel in kleiner Schrift die Voraussetzungen hinzuschreiben. Diese Vorlesungen nun waren immer ohne Blatt vorgetragen. Das war in den Anfängervorlesungen so, das änderte sich auch in den Spezialvorlesungen nicht. Ausser an einem denkwürdigen Tag, es war eine Vorlesung zur Differentialgeometrie, da hält er plötzlich stutzend inne und zieht, man erlebt das Undenkbare und schaut sich gegenseitig an, ein Blatt hervor, liest etwas darin, steckt das Blatt dann beruhigt wieder ein und fährt fort. Also hat er doch Notizen bei sich! Aber vielleicht nur dieses eine Mal … Dass Huber ein genauso hervorragender Forscher wie Lehrer war, das war uns Studenten natürlich bewusst; man musste aber schon in die obersten Semester kommen, um den Forschungsinhalt erfassen zu können. Es dauerte auch oft eine Weile, bis man erkannte, dass einiges aus dem Unterricht noch vor gar nicht so langer Zeit vom Unterrichtenden selbst entdeckt worden war. Wir wollen nun zwei besonders schöne Resultate aus jener Zeit dem Aufsatz voranstellen. Diese betreffen das Längenspektrum und haben den Vorteil, dass man sie allgemein verständlich formulieren kann. In den anschliessenden Abschnitten werden wir den Ursprüngen nachgehen, die bis auf Euler zurückführen, und anschliessend verfolgen – zumindest ansatzweise – wie Huber nach und nach zu diesen Resultaten gekommen ist und wie er überhaupt das Längenspektrum entdeckte, das heute zu einem ei-

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genständigen Forschungsgegenstand geworden ist. Die wichtigsten Begriffe, die dabei auftreten, werden an Ort und Stelle genauer erläutert werden. Das erste Resultat ist das asymptotische Gesetz für die Längen der geschlossenen Geodätischen auf Riemannschen Flächen. Dieses Gesetz stimmt mit dem klassischen Primzahlsatz so vollkommen überein, dass man immer wieder erstaunt ist. Wir wollen deshalb mit dem Primzahlsatz selber beginnen. Die darin verwendete Schreibweise «f (x) ∼ g(x), x → ∞» ist synonym für limx→∞ f (x)/g(x) = 1. Im Wortlaut heisst das, dass mit x → ∞ die beiden Funktionen f und g asymptotisch gleich schnell wachsen. Satz 1.1 (Primzahlsatz). Bezeichnet man mit π (x) die Anzahl der Primzahlen, 2, 3, 5, 7, 11, . . . , die im Intervall [0, x] liegen (x ∈ R, x > 0), so gilt π (x) ∼

x , log x

x → ∞.

Im Vergleich dazu lautet der Satz von Huber: Satz 1.2 ([14] «Primzahlsatz» für Geodätische). Bezeichnet man mit πR (L) die Anzahl der geschlossenen Geodätischen auf einer kompakten Riemannschen Fläche R vom Geschlecht g ≥ 2, deren Längen im Intervall [0, L] liegen, so gilt eL , L → ∞. πR (L) ∼ L Nimmt man anstatt der Längen deren Logarithmus, so hat man genau den Primzahlsatz! Die dem Satz zugrunde liegende Liste der Längen aller geschlossenen Geodätischen auf R nennt man mit Huber das Längenspektrum von R. Das zweite Resultat, ebenfalls aus [14], betrifft das Spektrum des LaplaceOperators; es lautet: Satz 1.3 ([14]). Zwei kompakte Riemannsche Flächen vom Geschlecht g ≥ 2 haben genau dann dasselbe Längenspektrum, wenn sie dasselbe Eigenwertspektrum des Laplace-Operators besitzen. Wir werden in Laufe des Aufsatzes weiteren Resultaten Huber’s begegnen und schrauben nun die Geschichte an den Anfang zurück.

2. Euler 1737 In seiner 1737 eingereichten aber erst 1744 erschienen Arbeit «Variae observationes circa series infinitas» [7] nimmt Euler einen Gedankengang von

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Heinz Huber und das Längenspektrum

Goldbach auf, den er alsbald vertieft und dabei in beinahe spielerischer Weise auf die berühmte Eulersche Produktformel stösst. Die Überlegung ist die folgende (in heutiger Schreibweise): Für gegebenes ganzzahliges s = 1, 2, 3, . . . betrachte man die folgende Summe, die sich über alle natürlichen Zahlen erstreckt: ζ(s) = 1 +

1 1 1 1 1 1 1 1 + s + s + s + s + s + s + s + ··· . 2s 3 4 5 6 7 8 9

Nun dividieren wir durch 2s . Das ergibt 1 1 1 1 1 1 ζ(s) = s + s + s + s + + ··· . s 2 2 4 6 8 10s Alle Glieder dieser Reihe kommen in der vorhergehenden vor. Bilden wir die Differenz, so bleiben nur noch diejenigen Glieder übrig, deren Nenner nicht Vielfache von 2s sind:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 − s ζ(s) = 1 + s + s + s + s + + + + ··· . s s 2 3 5 7 9 11 13 15s Nehmen wir nun dieses Ergebnis wieder als Ausgangspunkt und führen dieselbe Überlegung noch einmal durch, jetzt aber mit 3 anstelle von 2, so verschwinden alle Glieder mit Vielfachen von 3s im Nenner:



1 1 1 1 1 1 1 1− s 1 − s ζ(s) = 1 + s + s + + + + ··· . 3 2 5 7 11s 13s 17s Führt man diese Überlegung erneut durch mit 5, dann mit 7, 11 usw., so erhält man links ein Produkt über immer mehr Primzahlen, während rechts ausser der Eins nach und nach alle Summanden verschwinden. Im Grenzübergang erhalten wir so

 1 1 − s = 1, ζ(s) p p∈P wobei sich das Produkt über die Menge P aller Primzahlen erstreckt. Das Resultat wird heute meist so geschrieben: ζ(s) =

 n∈N

n−s =



1 . 1 − p −s p∈P

(2.1)

Euler schliesst in diese Herleitung speziell den Fall s = 1 mit ein. Da dabei ζ(1) unendlich gross wird, muss auch das Produkt rechts in (2.1) unendlich gross sein, und so gewinnt er einen neuen Beweis dafür, dass es unendlich

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viele Primzahlen gibt. Die Formel deutet sogar darauf hin, dass letztere ziemlich dicht gesät sein müssen. Dem Problem nachgehend gibt er in [7] die abenteuerliche Formel

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + · · · = log 1 + + + + + + · · · 2 3 5 7 11 13 2 3 4 5 6



(2.2)

an und schliesst daraus, dass  1 die Primzahlen dichter liegen als die Quadratzahlen, weil die Summe p , erstreckt über alle Primzahlen p, unendlich  1 gross wird, wohingegen die Summe n2 über die Quadratzahlen endlich bleibt. Bekanntlich hat das Rechnen mit Unendlich zu Euler’s Zeiten (im Gegensatz zum Rechnen mit den imaginären Zahlen!) der späteren Grundlegung der Analysis nicht standgehalten. Die Schlussfolgerungen sind aber richtig und lassen sich mit den hundert Jahre später entwickelten analytischen Methoden ohne weiteres korrekt durchführen. Damit ist also bei Euler der Grundstein zum Wachstumsproblem der Primzahlen gelegt mit Ideen, die sich später bis in die Spektraltheorie durchziehen sollten, und sogar der Primzahlsatz selber ist in Ansätzen skizziert.

3. Dirichlet und Riemann Ziemlich genau hundert Jahre später führt Dirichlet die Anwendung analytischer Funktionen in die Zahlentheorie ein, wobei im Mittelpunkt die nach ihm benannten Dirichletreihen  an G(s) = ns n=1 stehen, die je nach Beschaffenheit der Zahlenfolge a1 , a2 , a3 , . . . für genügend grosses s ∈ R konvergieren. Das Urbeispiel ist die oben betrachtete Reihe ζ(s), die Dirichlet nun also für s ∈ R betrachtet, und von der man sofort sieht, dass sie für s > 1 konvergiert. Um die Leistungsfähigkeit der neuen Methode an einem einfachen Beispiel zu zeigen, betrachten wir noch einmal die Formeln (2.1) und (2.2). Bilden wir in (2.1) auf beiden Seiten den Logarithmus und beachten, dass log(1 + x) ≤ 1 + x für x > 0, so erhalten wir

 1  1  1 ≤2 log ≤2 . log ζ(s) = −s s 1−p p p p∈P p∈P p∈P Diese Ungleichung ist richtig für alle s > 1. Wenn s gegen 1 konvergiert, so gilt ζ(s) → ∞. Das kann nur sein, wenn die Reihe ganz rechts divergiert.

Heinz Huber und das Längenspektrum

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In der zwanzig Jahre später erschienen Abhandlung «Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe» [22], pp. 145–153, fügt Riemann der Methode eine weitere Dimension zu, indem er den Definitionsbereich der Funktion ζ auf die komplexe Ebene C ausdehnt. ∞ Dabei zeigt er, dass die nur für Realteil Re(s) > 1 konvergente Reihe n=1 n−s sich auf die ganze komplexe Ebene C fortsetzen lässt zu einer Funktion, ζ(s), die mit Ausnahme von s = 1 holomorph ist und in s = 1 einen einfachen Pol besitzt. Die so fortgesetzte Funktion nennt man die Riemannsche ζ-Funktion. Ausgehend von der Produktformel (2.1) macht Riemann die Entdeckung, dass die Funktion π (x) aus Satz 1.1 sich explizit durch die Nullstellen der ζ-Funktion darstellen lässt. Von diesen zeigt er, dass mit Ausnahme der sogenannten trivialen Nullstellen −2, −4, −6, . . . alle im Streifen {s = σ +it ∈ C | 0 ≤ σ ≤ 1} liegen. Er spricht an dieser Stelle die berühmte Riemannsche Vermutung aus, dass in Wirklichkeit die nichttrivialen Null1 stellen alle auf der Achse σ = 2 liegen, was sogar eine verschärfte Form des Primzahlsatzes mit sich ziehen würde. Mit der Darstellung von π (x) durch die Nullstellen der ζ-Funktion kommt Riemann dem Primzahlsatz also schon sehr nahe, und durch weiteren Ausbau der von Dirichlet und Riemann in die Wege geleiteten Methoden gelingt es schliesslich 1896 Hadamard [11] und de la Vallée Poussin [4], unabhängig voneinander, einen vollständigen Beweis zu liefern. In seiner berühmten Antrittsvorlesung mit dem Titel «Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen» [22], pp. 272–287, liefert Riemann noch einen völlig anderen Beitrag zur Vorgeschichte des Längenspektrums, indem er durch die Begründung der Riemannschen Geometrie sozusagen dessen «Existenzgrundlage» bereitet. Die Antrittsvorlesung musste für nicht mathematisch geschultes Publikum verständlich sein, und so finden wir im Text nur eine einzige Formel:  1  (3.1) dx 2 . ds = α 1 + 4 x2 Riemann untersucht im Vortrag die Grundlagen der Geometrie von der Frage her, welches die verschiedenen Längenmessungen sind, die in einem n-dimensionalen Raum existieren, wobei er sich aus praktischen Gründen auf solche Längenmessungen beschränkt, die sich in Koordinaten durch einen quadratischen Differentialausdruck schreiben lassen. Er verallgemeinert den Begriff der Gauss’schen Krümmung und bemerkt, dass in Bezug auf eine Längenmessung die sogenannte freie Beweglichkeit der starren Körper damit gleichbedeutend ist, dass die Krümmung konstant ist. Am Ende des entsprechenden Abschnitts, der wie der ganze Vortrag ohne Beweise gehalten ist, fügt Riemann hinzu ([22], p. 282): «…, und in Bezug auf

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die analytische Darstellung mag bemerkt werden, dass, wenn man diesen Werth durch α bezeichnet, dem Ausdruck für das Linienelement die Form [(3.1)] gegeben werden kann.» Unter «Längenmessung mit Linienelement ds » muss man sich dabei vorstellen – der Einfachheit halber mit n = 2 –, dass eine zu messende Kurve in «infinitesimale» Segmente mit den Koordinatenabschnitten dx1 , dx2 zerlegt ist. Per Definition soll dann die Länge ds eines Segments durch

ds

dx2

ds =

 1 dx12 + dx22 α 1 + 4 (x12 + x22 )

(3.2)

dx1

bestimmt sein und die gesamte Länge der Kurve ergibt sich durch Summation. Statt «Linienelement» sagt man heutzutage «Riemannsche Metrik». Die im Vortrag vermittelte Botschaft ist also, dass man aus den allgemeinen Erwägungen über die Grundlagen der Geometrie heraus auf einen Raum von konstanter Krümmung α geführt wird, es aber zu jedem α einen solchen auch gibt, und dass somit der euklidische Raum, α = 0, nur ein Sonderfall darstellt. √ Für α > 0 erhält man die Metrik der Sphäre vom Radius R = α. Für α < 0 und mit x auf den Bereich x12 + x22 < 4/|α| eingeschränkt (resp. in 2 < 4/|α|) gibt Riemann damit Dimension n auf den Bereich x12 + · · · + xn zum ersten Mal – aber ohne das ausdrücklich so darzustellen – ein Modell der nichteuklidischen Geometrie an.

4. Die hyperbolische Ebene Wir verlassen nun die weitere Vorgeschichte des Längenspektrums und erläutern stichwortartig einige geometrische Begriffe, die wir weiter unten benötigen. Für eine Einführung in das Gebiet sei z. B. auf [1] verwiesen. Aus Riemanns Differentialausdruck (3.2) ist das Poincaré-Modell der nichteuklidischen Geometrie in der Ebene hervorgegangen, das in zwei Standardversionen dargestellt wird, wobei wir für die Punkte der Ebene sowohl die reelle Schreibweise, z = (x, y), wie auch die komplexe, z = x +iy, verwenden. Das Modell im Einheitskreis ist die Punktmenge D = {z = x + iy ∈ C | x 2 + y 2 < 1},

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Heinz Huber und das Längenspektrum

versehen mit der Riemannschen Metrik dsD =

 2 dx 2 + dy 2 . 1 − (x 2 + y 2 ) 1

(4.1)

1

Substituiert man hier x = 2 x1 , y = 2 x2 , so erhält man den Ausdruck (3.2) mit Krümmung α = −1. Der Krümmungsbegriff selber wird aber im folgenden nicht in Erscheinung treten. Mit der Abbildung η : D → H, z  η(z) = −i

z+1 , z−1

z ∈ D,

(4.2)

wird der Einheitskreis umkehrbar eindeutig auf die obere Halbebene H = {u + iv ∈ C | v > 0} abgebildet. Die Metrik dsD geht dabei über in dsH =

1 2 du + dv 2 . v

(4.3)

Beide Modelle haben ihre Vorteile, beschreiben aber dieselbe abstrakte Riemannsche Mannigfaltigkeit, die wir wie in [13]–[16] mit H bezeichnen, wenn es auf die Wahl des Modells nicht ankommt. H heisst die hyperbolische Ebene und dsD bzw. dsH die hyperbolische Metrik. Für die Länge einer Kurve c in H schreiben wir (c). Die wichtigsten Kurven in H sind die nichteuklidischen Geraden oder Geodätischen. Per Definition heisst eine Kurve c in H eine Geodätische, wenn für je zwei Punkte p, q ∈ c der Kurvenbogen auf c von p nach q die kürzeste Verbindung zwischen p und q darstellt; zudem soll c maximal sein in dem Sinne, dass c nicht echte Teilmenge einer Kurve c ist, die diese Eigenschaft ebenfalls besitzt. Analog zum euklidischen Fall gibt es zu je zwei Punkten p ≠ q in H genau eine Geodätische, die durch p und q geht. Die Länge des Bogens auf der Geodätischen von p nach q, also die Länge der kürzesten Verbindung von p nach q, heisst die hyperbolische Distanz. Wir bezeichnen sie mit (p, q). Im Einheitskreismodell treten die Geodätischen als Kreisbögen in D auf, welche senkrecht auf den Rand von D zulaufen, resp. im Grenzfall als Strecken, die durch das Zentrum von D gehen. Abb. 1 zeigt einige Beispiele. In H sehen die Geodätischen ebenso aus, mit Ausnahme der Grenzfälle, die in diesem Fall Halbgeraden sind, die auf dem Rand von H senkrecht stehen. In beiden Modellen gehören die Randpunkte nicht mehr zu den Geodätischen, und Geodätische sind in Bezug auf die hyperbolische Metrik unendlich lang.

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−1

F

x

−1

1 A

Tβ

c a 1

P (c) P P 2 (c)

D

D

Abbildung 1. Nichteuklidische zyklische Bewegungsgruppen erzeugt von Tβ und P ; die schraffierten Gebiete sind Fundamentalbereiche.

Eine bijektive Abbildung A : H → H heisst eine nichteuklidische Bewegung oder Isometrie, wenn (A(c)) = (c) für jede Kurve c. Beispiele im Einheitskreismodell, denen man diese Eigenschaft unmittelbar ansieht, sind die Drehungen R(z) = eiθ z, z ∈ D, mit θ ∈ R. In H ist für jedes β ∈ R, β ≠ 0, die Abbildung Tβ (w) = eβ w,

w ∈ H,

eine Isometrie, welche die Geodätische y = {u + iv ∈ H | u = 0} auf sich selbst abbildet, und man sieht sofort, dass y die einzige Geodätische in H ist mit dieser Eigenschaft. Bildet man Tβ = η−1 Tβ η, so erhält man die Isometrie z+b , z ∈ D, Tβ (z) = bz + 1 mit b = tanh(β/2). Diese Isometrie hat die eindeutig bestimmte invariante Geodätische x = {x + iy ∈ D | y = 0}. Man nennt nun eine Isometrie T von H eine nichteuklidische Translation, wenn sie, von D aus betrachtet, von der Form T = ATβ A−1 ist mit einer beliebigen Isometrie A : D → D (resp. in H von der Form ATβ A−1 mit einer Isometrie A : H → H). Die Geodätische a = A(x) wird durch T auf sich selbst abgebildet und ist wiederum die einzige Geodätische mit dieser Eigenschaft. Wir nennen sie die Achse von T und schreiben dafür a = aT . Aus der Eindeutigkeit der Achse erhält man die folgende einfache Beziehung für eine Translation T und eine beliebige Isometrie S: aST S −1 = S(aT ).

(4.4)

Heinz Huber und das Längenspektrum

171

Indem man noch einmal auf das Beispiel Tβ zurückgreift, erkennt man, dass für jeden Punkt p auf der Achse einer Translation T = ATβ A−1 der Abstand von p zu T (p) gleich dem Absolutbetrag von β ist, während für alle übrigen Punkte (p, T (p)) > |β| gilt. Wir nennen diesen Betrag die Verschiebungslänge von T und bezeichnen ihn wie in den Arbeiten [13]– [16] mit μ(T ). Schliesslich erwähnen wir noch den Satz, dass eine Isometrie S : H → H genau dann eine Translation ist, wenn inf{(p, S(p)) | p ∈ H} > 0.

5. Nichteuklidische Bewegungsgruppen Wir gehen nun zu den Bewegungsgruppen über, dem Hauptgegenstand in Hubers Arbeiten, und beginnen mit dem in Abb. 1 dargestellten Beispiel. Die Strecke (ohne die Endpunkte) von −1 nach 1 im Bild links ist die Achse 1 x der Translation Tβ (im Bild mit β = 2 ). Die dazu senkrecht eingezeichneten Geodätischen sind äquidistant und werden durch Tβ so verschoben, dass jede auf die dazu benachbarte nach rechts übergeht. Im zweiten Bild ist die Konfiguration einer Isometrie A : D → D unterworfen worden. Die Konjugierte P = ATβ A−1 lässt die Bildgeodätische a = A(x) invariant und permutiert die dazu eingezeichneten Senkrechten in analoger Weise. Wir betrachten jetzt die von P erzeugte zyklische Gruppe Def

Γ = {P } = {P m | m ∈ Z},

(5.1)

bestehend aus allen Potenzen von P resp. der inversen P −1 . Die Bilder P m (F) des von den beiden Geodätischen c und P (c) berandeten Streifens F überdecken D ohne gegenseitige Überlappungen. Man kann nun ausgehend von dieser Gruppe eine Fläche mit Riemannscher Metrik bilden, die wir mit Z = D/Γ bezeichnen und die dadurch zustandekommt, dass man Punkte von D miteinander identifiziert, falls sie durch Elemente von Γ aufeinander abgebildet werden. Jeder Punkt p ∈ D ist mit einem Punkt p ∈ F identifizierbar, aber zwei verschiedene Punkte p, q ∈ F sind nur dann miteinander identifiziert, wenn beide auf dem Rand von F liegen und dabei entweder p = P (q) oder p = P −1 (q) gilt. Anschaulich kann man die Fläche Z so beschreiben: Man schneidet den Streifen F entlang c und P (c) aus D heraus und klebt anschliessend die Randkurven so zusammen, wie in Abb. 2 dargestellt, dass miteinander zu

172

Peter Buser

identifizierende Punkte aufeinander liegen. Bei dieser Konstruktion geht die Achse a von P in eine geschlossene Geodätische α der Länge (α) = μ(P )

(5.2)

auf Z über. Dabei ist μ(P ) die Länge des Abschnitts a ∩ F.

c

F

P (c) w

α

Z

Abbildung 2. Zylinderfläche mit geschlossener Geodätischer α. Der Weg w ist zu α homotop.

Die so angedeutete Konstruktion ist unter sehr viel allgemeineren Voraussetzungen definiert: Man nennt eine Gruppe Γ von Isometrien auf H diskontinuierlich, falls für jeden Punkt p ∈ H die Punktmenge {T (p) | T ∈ Γ } diskret ist. Liegt so eine Gruppe vor, so nennt man eine Teilmenge B ⊂ H einen Fundamentalbereich, wenn die Bilder T (B), T ∈ Γ , ganz H überdecken ohne gegenseitige Überlappungen, d. h. so, dass einerseits jeder Punkt p ∈ H mit einem Punkt p ∈ B identifizierbar ist, aber andererseits p, q ∈ B nur dann miteinander identifizierbar sind, wenn beide auf dem Rand von B liegen und dabei p = T (q) für ein T ∈ Γ . Jede diskontinuierliche Gruppe besitzt solche Fundamentalbereiche, man kann sie aber sehr verschiedenartig wählen. Abb. 3 zeigt ein Beispiel, in D, wo B aus einem geodätischen Achteck besteht. Die Bilder von B sind abwechselnd grau und weiss dargestellt. Sie häufen sich gegen den Rand von D hin und werden rasch sehr klein; bezüglich der hyperbolischen Metrik sind sie aber alle untereinander isometrisch. Wir wollen ab jetzt voraussetzen, dass Γ diskontinuierlich ist und zudem, mit Ausnahme der Identität, aus lauter Translationen besteht. Mit Huber nennen wir eine solche Gruppe eine nichteuklidische Translationsgruppe. Die Einschränkung auf Translationen ist nicht zwingend, erlaubt es aber die Darstellung zu vereinfachen. Ausgehend von Γ kann man genau wie oben eine Fläche mit Riemannscher Metrik R = H/Γ

173

Heinz Huber und das Längenspektrum

T (B)

B T −1 (B)

Abbildung 3. Parkettierung der hyperbolischen Ebene mit Bildern eines Fundamentalbereichs.

bilden, indem man Punkte von H miteinander identifiziert, falls sie durch Elemente von Γ aufeinander abgebildet werden. Man hat dabei eine natürliche sogenannte Überlagerungsabbildung π : H → R = H/Γ , die jedem Punkt in H denjenigen Punkt in H/Γ zuordnet, der durch das Identifizieren entsteht. Für diese Abbildung gilt dann: π (p) = π (q) genau dann wenn q = T (p) für ein T ∈ Γ .

(5.3)

Die Riemannsche Metrik auf R ist so definiert, dass die Abbildung π : H → R längentreu ist. Man nennt R versehen mit dieser Metrik eine (hyperbolische) Riemannsche Fläche. (Man kann noch allgemeinere Riemannsche Flächen definieren, indem man in Γ fixpunktfreie Isometrien zulässt, die keine Translationen sind; diese lassen wir aber hier ausser Betracht.) Da π : H → R längentreu ist, geht für jede Translation T ∈ Γ die Achse aT in eine geschlossene Geodätische π (aT ) auf R über. Nun gilt der Satz, dass man auf diese Weise alle geschlossenen Geodätischen auf R erhält. Man hat also eine natürliche Abbildung T  π (aT ) von Γ auf die Menge der geschlossenen Geodätischen auf R. Diese ist nicht injektiv, es gilt aber auf Grund von (5.3) und (4.4) die folgende Beziehung für T , T ∈ Γ : π (aT ) = π (aT ) genau dann wenn T = S −1 T S für ein S ∈ Γ .

(5.4)

Bildet man deshalb für jedes T ∈ Γ die Konjugationsklasse [T ] = [T ]Γ = {S −1 T S | S ∈ Γ }, Def

(5.5)

so erhält man eine umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen den Konjugationsklassen von Γ und den geschlossenen Geodätischen auf F. Wie

174

Peter Buser

in (5.2) ist die Verschiebungslänge eines Elementes in [T ] gleich der Länge der zugehörigen Geodätischen auf R. Wir nennen diese Länge auch die Verschiebungslänge der Konjugationsklasse und bezeichnen sie mit μ([T ]). Schliesslich erwähnen wir noch den Begriff der Vielfachheit: Für eine gegebene Translation T ∈ Γ bildet die Menge aller Elemente von Γ , welche die Achse aT invariant lassen, eine zyklische Gruppe {P }. Dabei ist P bis auf den Übergang zu P −1 eindeutig durch T bestimmt. Es gibt deshalb eine eindeutig bestimmte positive ganze Zahl ν = ν(T ) derart, dass T = P ν oder T = P −ν . Man nennt ν(T ) die Vielfachheit von T . Konjugierte Elemente haben dieselbe Vielfachheit, und wir schreiben auch ν(T ) = ν([T ]). Vor diesem Hintergrund wenden wir uns nun Hubers Arbeiten und Ideen zum Längenspektrum zu.

6. Flächen mit diskretem Modulspektrum Das Längenspektrum taucht zum ersten Mal eher in einer Nebenrolle auf. In der Promotionsarbeit [12] betrachtet Huber das folgende Problem, das wir zuerst an einem einfachen Fall darstellen. Gegeben sei ein Kreisringgebiet K in der komplexen Ebene, berandet durch zwei konzentrische Kreise. Welcher Art sind die holomorphen Abbildungen F : K → K? Ein Beispiel für F ist in Abb. 4 dargestellt: Der Kreisring wird zuerst vermöge irgend einer holomorphen Funktion abgebildet, dann wird das Bild verkleinert und so verschoben, dass es in K liegt. Die so skizzierte

w F K

F (K)

K

Abbildung 4. Holomorphe Abbildung eines Kreisringgebiets K auf einen Teilbereich; das Bild des Weges w ist in K nullhomotop.

Abbildung F geht aber der Topologie von K «aus dem Weg»: Für jeden geschlossenen Weg w in K ist die Umlaufzahl des Bildweges F (w) um den inneren Rand von K herum gleich Null, und F (w) lässt sich in K stetig in einen Punkt deformieren. Wege, die sich innerhalb eines gegebenen Gebiets

Heinz Huber und das Längenspektrum

175

stetig in einen Punkt deformieren lassen, nennt man nullhomotop. Welcher Art sind die holomorphen Abbildungen F : K → K, wenn man verlangt, dass nicht alle Bildwege F (w) nullhomotop sind? Die Antwort ist sehr einschränkend: Entweder ist F 2 die Identität, oder F ist eine Drehung um den Nullpunkt. Huber erhält dieses Ergebnis als Teil eines sehr viel allgemeineren Satzes, dem wir jetzt ein kurzes Stück nachgehen, weil er uns auf das Längenspektrum führt. Zunächst kann man K sehr leicht konform auf eine Zylinderfläche Z = D/Γ , Γ = {P }, aus Abschnitt 5 abbilden (die Verschiebungslänge von P hängt vom Radienverhältnis der beiden Randkreise von K ab). Wir können also das Problem statt auf K auf Z betrachten, was uns Zugang zu geometrischen Hilfsmitteln verschafft. Wir betrachten aber gleich die folgende allgemeinere Situation: Γ sei eine diskontinuierliche Translationsgruppe auf H wie in Abschnitt 5 und R = H/Γ die daraus gebildete Riemannsche Fläche mit der längentreuen Überlagerungsabbildung π : H → R. Die Länge eines Weges (oder Kurve) c auf R bezeichnen wir wieder mit (c). Um das Abbildungsverhalten von Wegen zu beschreiben, verwenden wir den Begriff der Homotopie: Zwei geschlossene Wege w1 , w2 auf R (wie z. B. die in Abb. 2 dargestellten Wege w und α auf Z) heissen homotop, wenn sich w1 durch eine kontinuierliche Deformation in w2 überführen lässt. Homotopie ist eine Äquivalenzrelation; wir bezeichnen die Homotopieklasse eines geschlossenen Weges w, d. h. die Menge aller zu w auf R homotopen geschlossenen Wege, mit [w]. Aus der Differentialgeometrie ist der folgende Satz bekannt: Für jeden nicht nullhomotopen geschlossenen Weg w auf R gibt es in [w] genau eine Geodätische γw . Für diese gilt (γw ) ≤ (w). (Der Satz, in dieser Form ausgesprochen, gilt nur unter der oben gemachten Voraussetzung, dass die Gruppe Γ aus Translationen besteht.) Nun schliesst Huber aus dem bekannten Lemma von Schwarz über die holomorphen Abbildungen des Einheitskreises in sich, zusammen mit der längentreuen Überlagerungsabbildung π : D → R, dass jede holomorphe Abbildung F : R → R längenverkürzend wirkt, d. h., es gilt (F (w)) ≤ (w) für jeden geschlossenen Weg w auf R. Er zeigt auch (Sätze II und III in [12]), dass F eine Isometrie sein muss, sobald man schon nur einen einzigen Weg w findet, dessen Bild F (w) zu w oder zu dem im umgekehrten Sinn durchlaufenen Weg w −1 homotop ist. Im zweiten Fall gilt noch zusätzlich F 2 = id.

176

Peter Buser

Im Beispiel der Zylinderfläche R = Z liefert dies sofort die oben ausgesprochene Antwort, weil die Geodätische α die kürzeste nicht nullhomotope Kurve auf Z ist, und wenn deren Bild nullhomotop wird, dann ist für jede geschlossene Kurve w das Bild F (w) nullhomotop. Macht man nun die Annahme, dass es auf R eine kürzeste geschlossene Geodätische γ1 gibt, und dass die Anzahl der paarweise nicht homotopen Geodätischen der Länge (γ1 ) endlich ist, so kann man denselben Schluss auch auf R anwenden. Huber kommt aber noch zu interessanteren Aussagen, indem er die Endlichkeitsbedingung weiter einschränkt. Zu diesem Zweck gibt er folgende Definition ([12]). R heisst mit diskretem Modulspektrum, wenn es auf R zu jeder Zahl m > 0 höchstens endlich viele geschlossene Geodätische γ mit 0 < (γ) < m gibt. Die Bezeichnung «Modulspektrum» rührt von der Beziehung zwischen der Länge der geschlossenen Geodätischen auf der Zylinderfläche Z und dem sogenannten konformen Modul des Ringgebiets K her und wird in den späteren Arbeiten durch die Bezeichnung «Längenspektrum» abgelöst. Damit hält also das Längenspektrum Einzug in die Literatur in Form eines Einschränkungskriterium. Als Beispiel der Leistungsfähigkeit dieses Kriteriums zitieren wird den folgenden Satz V aus [12], der unmittelbar Bezug auf die Fragestellung am Anfang dieses Abschnitts nimmt: Satz 6.1 ([12]). Wenn R diskretes Modulspektrum besitzt, dann gibt es zu jeder Homotopieklasse [w] auf R eine ganze Zahl n ≥ 1 derart, dass gilt: Für jede holomorphe Abbildung F : R → R, welche keine Isometrie ist, ist der Weg F n (w) nullhomotop in R.

7. Ein Gitterpunktproblem Die darauffolgende, 1954 eingereichte Arbeit [13] und die Arbeit [14] aus dem Jahre 1959 behandeln ein völlig anderes Thema, das vom klassischen Kreisproblem ausgeht: Für t > 0 sei N(t) die Anzahl der Punkte des ganzzahligen Gitters G = {(m, n) ∈ R2 | m, n ∈ Z}, die im Abstand ≤ t vom Nullpunkt liegen. Was lässt sich über das Wachstum der Funktion N(t) für t → ∞ aussagen? Die folgende einfache Überlegung, die wir in ähnlicher Form schon bei Gauss vorfinden, liefert bereits eine asymptotische Aussage. Die Überlegung beruht auf einem Flächenargument: Wir bezeichnen mit K(t) die abgeschlossene Kreisscheibe vom Radius t mit dem Nullpunkt als Zentrum

Heinz Huber und das Längenspektrum

177

und denken uns jedem Gitterpunkt p ∈ G das Einheitsquadrat Qp zugeordnet, das p zum Eckpunkt «unten links» hat. Wegen der Dreiecksungleichung liegt dann für √ jeden Gitterpunkt p ∈ K(t) das Quadrat Qp ganz in K(t + δ), wobei δ = 2 den Durchmesser von Qp bezeichnet. Umgekehrt gilt: Wenn x = (x1 , x2 ) ∈ K(t − δ), dann gehört x einem Quadrat Qp mit p ∈ K(t) an. Betrachtet man den Flächeninhalt dieser Kreise, so erhält man daraus die folgenden Ungleichungen für t > δ: π (t − δ)2 ≤ N(t) ≤ π (t + δ)2 . Dies ergibt die asymptotische Formel N(t) ∼ π t 2 . Das eigentliche Kreisproblem besteht natürlich darin, diese einfachen Abschätzungen zu verfeinern; für eine Darstellung dieses Problemkreises verweisen wir auf die sehr lesbare «Einführung in die Gitterpunktlehre» von Fricker [8]. Huber stellt jetzt die analoge Frage für eine diskontinuierliche Translationsgruppe Γ in der hyperbolischen Ebene für den Fall, dass Γ einen kompakten Fundamentalbereich B besitzt. Diese letztere Bedingung ist gleichbedeutend damit, dass die Riemannsche Fläche R = H/Γ kompakt ist. Um in Bildern zu reden: Das Gitterpunktproblem von Abb. 5 wird auf Abb. 3 übertragen, wobei die Fundamentalbereiche in Abb. 3 die Rolle der Quadrate in Abb. 5 spielen.

Abbildung 5. Die Punkte des ganzzahligen Gitters G im Abstand ≤ t vom Nullpunkt.

Es ist naheliegend, das Flächenargument auf diesen Fall zu übertragen; man stösst dabei aber auf ein Hindernis, für das wir kurz ausholen müssen: Der Flächeninhalt eines Bereichs D ⊂ D bezüglich der hyperbolischen Metrik (4.1) ist definiert als 4 Def dω = dxdy, (7.1) ω(D) = 2 2 2 D D (1 − (x + y ))

178

Peter Buser

und man kann zeigen, dass ω(A(D)) = ω(D) für jede hyperbolische Isometrie A : D → D. Für die abgeschlossene Kreisscheibe

K(p, t) = {z ∈ D | (p, z) ≤ t} kommt der Flächeninhalt ω(K(p, t)) = 4π sinh2 (t/2) heraus. Definiert man nun für die Gruppe Γ die Abzählfunktion NΓ (p, t) als Anzahl der «Gitterpunkte» T (p), T ∈ Γ , die in K(p, t) liegen, und ist δ der Durchmesser des Fundamentalbereichs B, so erhält man wie im Fall des euklidischen Gitters G die Ungleichungen 4π sinh

2









t−δ t+δ ≤ NΓ (p, t) ≤ 4π sinh2 ; 2 2

(7.2)

im Gegensatz dazu wachsen aber die Schranken exponentiell, und das Verhältnis der oberen zur unteren Schranke konvergiert nicht mehr gegen 1 wie im euklidischen Fall. Man kommt also an dieser Stelle noch zu keinem asymptotischen Gesetz und müsste, um ein solches direkt zu sehen, zusätzliche geometrische Angaben über die Verteilung der Gitterpunkte zur Verfügung haben, was bei einem Vergleich von Abb. 3 mit Abb. 5 recht schwierig erscheint. Die Entdeckung des folgenden Satzes in [14] stellt deshalb eine ausserordentliche Leistung dar. Wir formulieren diesen Satz wieder für H; die darin verwendete Konstante g ist das topologische Geschlecht der Fläche R = H/Γ . Nach dem Satz von Gauss–Bonnet ist der Flächeninhalt des Fundamentalbereichs B folgendermassen mit g verknüpft: ω(B) = 4π (g − 1).

(7.3)

Der Satz lautet etwas allgemeiner: Satz 7.1 ([14]). Bezeichnet man für gegebene Punkte p, q ∈ H mit NΓ (p, q, t) die Anzahl der Gitterpunkte T (p) ∈ H, T ∈ Γ , die innerhalb des Kreises mit Zentrum q und Radius t liegen, so gilt

NΓ (p, q, t) ∼

1 et , 4(g − 1)

t → ∞.

Huber erhält ihn allerdings nicht auf Anhieb. In [13] formuliert er das Problem nämlich zuerst nur für eine einzelne Konjugationsklasse K = {S −1 T0 S | S ∈ Γ } und zeigt für die Abzählfunktion

NK (p, t) = Anzahl aller T ∈ K mit (T p, p) ≤ t

(7.4)

Heinz Huber und das Längenspektrum

179

das asymptotische Gesetz [13], Satz B,

NK (p, t) ∼

1 1 μ(K) · et/2 · · 4π (g − 1) ν(K) sinh μ(K) 2

(7.5)

für t → ∞. Hier bedeuten μ(K) die Verschiebungslänge und ν(K) die Vielfachheit (siehe Abschnitt 5). Der Plan war wohl, von (7.5) aus zum Satz 7.1 zu gelangen; in der vier Jahre später eingereichten Arbeit [14] beginnt aber Huber noch einmal von vorne und beweist den Satz mit einem modifizierten Ansatz auf dem direkten Weg.

8. Dirichletreihen und Eigenwerte des Laplace-Operators Der Beweis der asymptotischen Formeln, wie z. B. (7.5), verläuft nach dem Vorbild der analytischen Zahlentheorie (Abschnitt 11): Zuerst wird aus den Distanzen (T p, p) eine analytische Funktion G(s) hergestellt, ähnlich der Riemannschen Funktion ζ(s). Anschliessend wird eine neue Darstellung von G(s) gesucht, in welcher die analytischen Eigenschaften besser zu Tage treten. Diese Eigenschaften ermöglichen es zu guter Letzt, Rückschlüsse auf die Verteilung der zugrunde liegenden (T p, p) zu ziehen. In [13], wo die Konjugationsklasse K = {S −1 T0 S | S ∈ Γ } untersucht wird, ist G die Funktion  GK (p; s) = (cosh (T p, p) − 1)−s , (8.1) T ∈K

wobei für jedes feste p ∈ H die Reihe – wie man auf Grund der Ungleichung (7.2) leicht zeigt – in der Halbebene Re(s) > 1 lokal gleichmässig konvergiert und dort eine holomorpe Funktion von s darstellt. Für festes s ist GK (p; s) eine Γ -automorphe Funktion von p: GK (S(p); s) = GK (p; s) für alle S ∈ Γ . Die Methode, analytische Eigenschaften von GK «besser zu sehen» ist hier die Entwicklung von GK (als Funktion von p gesehen) nach den Eigenfunktionen des Laplace-Operators. Dieser Operator ist für jede Riemannsche Mannigfaltigkeit definiert und hat auf H, im Modell H beschrieben, die folgende Form für zweimal stetig differenzierbare Funktionen f : H → C: Δf (x, y) = y 2



∂ 2 f (x, y) ∂ 2 f (x, y) . + ∂x 2 ∂y 2

180

Peter Buser

Allgemein gilt für jede kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit der folgende Spektralsatz [19], den wir hier in der Γ -automorphen Version für den Fall der kompakten Riemannschen Fläche R = H/Γ zitieren: Die Eigenwerte λ der Gleichung Δϕ(p) + λϕ(p) = 0, für zweimal stetig differenzierbare Γ -automorphe Funktionen ϕ : H → R, sind reell und lassen sich anordnen in eine Folge λ0 = 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ · · · ;

lim λn = +∞.

n→∞

Es gibt dazu ein orthonormiertes System von Eigenfunktionen ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 , . . . mit Δϕn (p)+λn ϕn (p) = 0, n = 0, 1, 2, . . . , so dass jede zweimal stetig differenzierbare Γ -automorphe Funktion f : H → C sich in eine absolut und gleichmässig konvergente Fourierreihe ∞  an ϕn (p), an = f (p)ϕn (p)dω f (p) = B

n=0

entwickeln lässt, wobei B ein beliebig gewählter kompakter Fundamentalbereich von Γ ist.  Die Integration . . . dω gilt in Bezug auf die hyperbolische Metrik und ist für h : B → C im Modell H wie folgt definiert: 1 h(p)dω = h(x, y) 2 dxdy. y B B Nun sehen allerdings die Fourierkoeffizienten Def GK (p; s)ϕn (p)dω an (s) =

(8.2)

B

der Funktion GK (mit s als Parameter interpretiert) in dieser Form geschrieben nicht «besser» aus als GK . Mit einer geschickten Beschreibung der Konjugationsklasse K, die wir uns im nächsten Abschnitt näher ansehen, gewinnt Huber jedoch die folgende Darstellung [13], Satz V, −s

an (s) = αn · (cosh μ(T0 ) − 1) mit + sn =

1 2

+



1 4

− λn ,

·

+ − Γ (s − 12 sn )Γ (s − 12 sn )

− sn =

Γ 2 (s) 1 2

−



1 4

− λn ,

,

(8.3)

(8.4)

wobei Γ die klassische Gammafunktion ist und αn eine Konstante, die von ϕn abhängt. Die analytischen Eigenschaften von an (s) sind nun vollkommen explizit aus den Eigenschaften der Γ -Funktion ablesbar. Dies ist der wesentliche Schritt. Den weiteren Weg zur Formel (7.5) wollen wir nun nicht verfolgen, weil wir ihm im Zusammenhang mit Satz 1.2 in Abschnitt 11 in einfacherer Form noch einmal begegnen.

181

Heinz Huber und das Längenspektrum

9. Beschreibung mit Primelementen Nach Abschnitt 5 gibt es zu T0 eine Translation P ∈ Γ , so dass T0 = P ν gilt, wobei ν = ν(T0 ) = ν(K) die Vielfachheit von T0 resp. der Konjugationsklasse K = [T0 ]Γ ist. Die Vielfachheit von P selber ist 1. Man nennt P ein primitives Element oder auch ein Primelement von Γ und [P ]Γ eine primitive Konjugationsklasse. Die Darstellung (8.3) gelingt durch folgenden Kunstgriff mit dem Primelement P , der, wie Huber in der Einleitung zu Lemma 1, [13], p. 47, sagt, «für den Erfolg der nachstehenden Untersuchungen in nicht geringem Masse verantwortlich ist». Zuerst schreibt man alle Rechtsnebenklassen der zyklischen Gruppe {P } = {P m | m ∈ Z} hin, indem man in jeder Nebenklasse einen Vertreter Tj wählt: (9.1) Γ = {P }T1 ∪ {P }T2 ∪ {P }T3 ∪ {P }T4 ∪ · · · . Mit dieser Wahl ist jedes S ∈ Γ ein Produkt S = P k Tj mit eindeutig bestimmtem k und j. Für jedes feste ν ∈ Z, ν ≠ 0, erhält man daraus die Aufzählung [P ν ]Γ = {T1−1 P ν T1 , T2−1 P ν T2 , T3−1 P ν T3 , T4−1 P ν T4 , . . . }

(9.2)

der Konjugationsklasse von P ν , wobei jedes Element genau einmal aufgezählt ist, d. h., jedes zu P ν konjugierte Element in Γ ist von der Form Tj−1 P ν Tj mit eindeutig bestimmtem j. Sei jetzt g : H × H → C irgend eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass g(Sp, Sq) = g(p, q) für alle S ∈ Γ , und so beschaffen, dass die nachfolgenden Integrationen erlaubt sind. Dann gilt für einen beliebigen Fundamentalbereich B von Γ ,  T ∈[P ν ]Γ

B

g(T p, p)dω = =

∞  j=1

j=1

Tj ( B )

∞ 



=

g(Tj−1 P ν Tj p, p)dω

B

F∗

g(P ν q, q)dω

g(P ν q, q)dω

∞ mit F∗ = j=1 Tj (B). Die Zerlegung (9.1) zeigt, dass F∗ ein Fundamentalbereich ist für die Gruppe {P }. Gleichzeitig ist die Funktion q  g(P ν q, q) bezüglich {P } automorph (g(P ν P k q, P k q) = g(P k P ν q, P k q) = g(P ν q, q)).

182

Peter Buser

Man darf deshalb F∗ durch jeden anderen Fundamentalbereich ersetzen. Ein besonders handlicher Bereich ist der Streifen F in Abb. 1. Für diesen gilt also



 T ∈[P ν ]

Γ

B

g(T p, p)dω =

F

g(P ν q, q)dω.

(9.3)

Die Handlichkeit kommt noch deutlicher zum Ausdruck, wenn wir die Konfiguration rechts in Abb. 1 mit A−1 in die Lage links versetzen und anschliessend mit der Abbildung η : D → H nach H verpflanzen (siehe (4.2)). μ Dann ist P die Translation P (z) = e ν z, z ∈ H, mit der Achse aP = {z ∈ H | Re(z) = 0}, und als Fundamentalbereich kann μeiner der beiden in Abb. 6 dargestellten Streifen F = {z ∈ H | 1 ≤ |z| ≤ e ν } resp. F = {z ∈ H | 1 ≤ μ Im(z) ≤ e ν } dienen. P

F

μ

ie ν

P

μ

ie ν

F aP

i H

aP

i H

Abbildung 6. Fundamentalbereiche der zyklischen Gruppe {P }.

Der Fundamentalbereich F ist nun so beschaffen, dass man sehr explizit rechnen kann. In [13] wird die Formel (9.3) auf die Funktion g(p, q) = (cosh (p, q) − 1)−s ϕn (p) angewendet, wobei ϕn die Eigenfunktion des Laplace-Operators zum Eigenwert λn ist. Dabei bleibt bei der Integration von ϕn nur die Konstante αn und der in die Γ -Funktion verpackte Eigenwert λn übrig, und es entsteht der Ausdruck (8.3).

10. Das Längenspektrum In [14] wird das Gitterpunktproblem nochmals neu in Angriff genommen, diesmal mit der Dirichletreihe  G(p; q, s) = (cosh (T p, q))−s , (10.1) T ∈Γ

183

Heinz Huber und das Längenspektrum

in welcher q ∈ H die Rolle eines zusätzlichen Parameters spielt. Für feste Wahl von q und s ist G als Funktion von p betrachtet Γ -automorph und lässt sich nach den Eigenfunktionen des Laplace-Operators entwickeln: G(p; q, s) =

∞ 

an (q, s)ϕn (p).

(10.2)

n=0

Da man jetzt über alle T ∈ Γ summiert und T ∈Γ T (B) = H, gestaltet sich die Summierung vom vorhergehenden Abschnitt einfacher [14], p. 16:  an (q, s) = (cosh (T p, q))−s ϕn (p)dω B T ∈Γ

=

H

(cosh (p, q))−s ϕn (p)dω.

Ähnlich wie bei der Integration über F bleibt auch bei der Integration über H von ϕn nur noch eine Konstante und der in die Γ -Funktion verpackte Eigenwert übrig, wobei der Kunstgriff mit dem Einführen von q eine besonders interessante Konstante liefert ([14], Paragraph 4.8): 1 + −

2s−1 Γ 2 s − sn s − sn Γ ϕn (q). an (q, s) = (10.3) Γ Γ (s) 2 2 Mit (10.2) und (10.3) treten die analytischen Eigenschaften von G(p; q, s) klar zutage, so dass man mit den immer noch auf den nächsten Abschnitt verschobenen Methoden der analytischen Zahlentheorie zu Satz 7.1 gelangt. Nun ist Formel (9.3) und die zu ihr führende Herleitung überhaupt nicht zum Zuge gekommen! Dennoch (oder «also») kehrt Huber im letzten Abschnitt von [14] noch einmal auf den Ansatz von [13] zurück und wendet die Formel (9.3) wenigstens ein Mal an, und zwar auf die Funktion g(p, q) = cosh (p, q)−s . (Von der Warte des Abschnitts 9 aus gesehen heisst das, dass er einen 0-ten Fourierkoeffizient berechnet.) Die Formel – plus eingehende Rechnung – liefert dabei für ein beliebiges Primelement P ∈ Γ und beliebiges m ∈ Z, m ≠ 0,  (cosh (T p, p))−s dω = γ(s) · Lm (P )(cosh μ(P m ))−s T ∈[P m ]Γ

B

mit den Abkürzungen 1  1 Γ 2 Γ s−2 , γ(s) = Γ (s)

Lm (P ) = μ(P )

cosh μ(P m ) cosh μ(P m ) − 1

1/2 .

(10.4)

184

Peter Buser

Für die Summation der Integrale über alle Elemente T ∈ Γ kommt deshalb das folgende heraus, wenn man berücksichtigt, dass das neutrale Ele ment T = id wegen der Formel von Gauss–Bonnet (7.3) den Anteil B dω = 4π (g − 1) liefert [14], Satz 2: B

G(p; p, s) dω = 4π (g − 1) + γ(s)

∞  

Lm (P )(cosh μ(P m ))−s .

[P ]Γ m=1

(10.5) Im Ausdruck rechts wird über die Menge aller primitiven Konjugationsklassen [P ]Γ summiert. Es kommen dabei nur die Verschiebungslängen vor. Dies ist die Stelle, wo das Längenspektrum auftaucht. Und zwar gleich mit einem Resultat: Aus den für das Gitterpunktproblem bereitgestellten Formeln (10.2), (10.3) folgt, wenn man q = p setzt,

∞ + −

 s − sn s − sn 2π Γ G(p; p, s) dω = Γ + δ(s) s−1 2 2 B n=1

(10.6)

1 mit der Abkürzung δ(s) = 2s−1 Γ 2 /Γ (s) und den umgeschriebenen Ei± wie in (8.4), die wir der Bequemlichkeit halber nochmals angenwerten sn führen:  ± = sn

1 2

± rn ,

rn =

1 4

− λn .

(10.7)

Huber beweist [14], Satz 4, dass die Reihe rechts in (10.6) eine auf ganz C ± meromorphe Funktion darstellt mit den Polstellen sn − 2l, n, l ∈ N, n ≠ 0, wobei an diesen Stellen die Hauptteile genau die Hauptteile der Funktion  s−s +   s−s −  Γ 2 n Γ 2 n sind. Insbesondere ist die Reihe holomorph auf einem Gebiet, das die abgeschlossene Halbebene Re(s) ≥ 1 umfasst. Aus der Tatsache, dass γ(1) = π , ergibt sich daraus die Darstellung ∞  

Lm (P )(cosh μ(P m ))−s =

[P ]Γ m=1

2 + R(s), s−1

(10.8)

mit einer Funktion R(s), die auf einem Gebiet holomorph ist, das die abgeschlossene Halbebene Re(s) ≥ 1 umfasst. Die Reihe in (10.8) resp. (10.5) führt zu folgender Präzisierung des Begriffs «Längenspektrum» von Γ resp. H/Γ : Zuerst bildet man die der Grösse nach geordnete Liste μ1 < μ2 < μ3 < · · · ,

μn → ∞,

(10.9)

185

Heinz Huber und das Längenspektrum

bestehend aus allen Verschiebungslängen μ([T ]Γ ) von Konjugationsklassen in Γ resp. allen Längen von geschlossenen Geodätischen auf R. Ist μn gegeben, so bestimmt man für jedes m = 1, 2, 3, . . . die Anzahl hnm der primitiven Klassen [P ]Γ , für die μ(P m ) = μn gilt, und bildet die «gewichtete» 1 1 Summe hn = hn1 + 2 hn2 + 3 hn3 + · · · (die nach endlich vielen Gliedern abbricht). Dann lautet die Definition ([14]). Das Längenspektrum von Γ resp. H/Γ ist die Funktion h : R → R, h(t) = hn wenn t = μn ,

h(t) = 0 wenn t ∉ {μ1 , μ2 , . . . }.

Man kann unter dem Längenspektrum aber auch die Folge der Paare (μn ,hn ) verstehen. Das Tandem (10.5), (10.6) liefert eine enge Beziehung zwischen dem Längenspektrum und dem Eigenwertspektrum des Laplace-Operators, und es ist nicht allzu schwierig, daraus Satz 1.3 herzuleiten. Dieser letztere gilt übrigens auch in höherer Dimension (mit einer modifizierten Definition des Längenspektrums), wie Bérard–Bergery [2] und Riggenbach [23] einige Jahre später gezeigt haben. Bevor wir zu Satz 1.2 im nächsten Abschnitt übergehen, wollen wir eine Bemerkung zur Selbergschen Spurformel anfügen. In der Herleitung von (10.5), (10.6) ist die Relation (9.3) auf die Funktion g(p, q) = cosh (p, q)−s angewendet worden. Lässt man aber die Wahl von g offen, so ergibt sich eine allgemeinere Beziehung von der Form ∞  n=0

h(rn ) = ch · (g − 1) +

∞ ∞  

h∗ (μn , m)

(10.10)

n=1 m=1

mit rn aus (10.7) und μn aus (10.9), in der h eine ziemlich ausgedehnte Klasse von Funktionen durchlaufen kann, h∗ mit Hilfe der Fouriertransformation aus h hervorgeht und die Konstante ch ebenfalls in expliziter Weise durch h bestimmt ist. Dies ist die Spurformel aus Selbergs Abhandlung [25], die ziemlich genau zur selben Zeit wie Hubers Arbeit [13] erschien. Selberg verwendet dazu (in Paragraph 2) ein ähnliches Argument wie Huber. Wenn man aber Selberg’s Einleitung zu den «Göttinger Vorlesungen» liest ([26], p. 626), so wird deutlich, dass die Entdeckungen unabhängig voneinander geschehen sind. Huber ist einmal darauf angesprochen worden, warum er nicht ebenfalls die allgemeine Formel (10.10) angegeben habe. Daraufhin soll er geantwortet haben: «Nun ja, ich rechne eben gerne konkrete Sachen aus». Für eine geschichtliche Darstellung der Selbergschen Spurformel verweisen wir auf den Übersichtsartikel von Elstrodt [6].

186

Peter Buser

11. Methoden der analytische Zahlentheorie Wir schrauben nun die Geschichte noch einmal etwas zurück. 1932 liefert Wiener [27] einen neuen Beweis des Primzahlsatzes, der an Riemanns ursprüngliche Idee anknüpft, den Satz aus der Eigenschaft der ζ-Funktion abzuleiten, dass alle nicht-trivialen Nullstellen im Bereich 0 < Re(s) < 1 liegen. Das analytische Instrument ist dabei das Theorem von Wiener–Ikehara, das zentrale Thema der Arbeit [27]. In leicht vereinfachter Form dargestellt geht es um das folgende: Es sei 1 < x1 < x2 < x3 < · · · mit xk → ∞ eine Folge von Werten einer Variablen x, und jedem xk soll ein Funktionswert ak ≥ 0 zugeordnet sein. Man kann dann die Treppenfunktion  ak (11.1) α(x) = xk ≤x

bilden. Nun sagt das Theorem: Wenn für alle s ∈ C mit Re(s) > 1 die nachfolgende Reihe konvergiert und die Darstellung ∞ 

ak xk−s =

k=1

A + r (s) 1−s

besitzt mit einer Konstanten A ∈ C und einer Funktion r , welche auf dem abgeschlossenen Bereich Re(s) ≥ 1 stetig ist, dann gilt lim

x→∞

α(x) = A. x

Betrachten wir nun einige Zwischenschritte im Beweis des Primzahlsatzes, wobei es nur darum geht, den Ablauf so weit zu beschreiben, dass wir ihn nachher mit dem Beweis des Satzes von Huber vergleichen können. Aus der Eulerschen Produktformel (2.1) folgt, wenn wir den Logarithmus bilden,  1 log . log ζ(s) = 1 − p −s p∈P Wenn wir nach s ableiten und das Resultat in eine Reihe entwickeln, so erhalten wir ∞   ζ (s) − p −ms log(p). (11.2) = ζ(s) p∈P m=1 Dies ist im wesentlichen immer noch die Eulerformel. Eine genauere Analyse der ζ-Funktion, in der keine Argumente über Primzahlen vorkommen, ergibt das Verhalten 1 ζ (s) = + r (s), (11.3) − ζ(s) s−1

187

Heinz Huber und das Längenspektrum

mit einer Funktion r , die auf Re(s) ≥ 1 holomorph ist. Für den Einsatz des Wiener–Ikehara Theorems wird {p m | p ∈ P, m = 1, 2, 3, . . . } = {x1 , x2 , x3 , x4 , . . . } gesetzt und die Treppenfunktion (11.1) gebildet mit der Festlegung, dass ak = log(p), wenn xk = p m gilt. Aus (11.2) wird −

∞  ζ (s) ak xk−s , = ζ(s) k=1

und (11.3) liefert α(x) ∼ x. Dieses Resultat lässt sich auch so schreiben:  α(x) = log(p) ∼ x, x → ∞. (11.4) p m ≤x

(Summation über die Paare (p, m), p ∈ P, m = 1, 2, 3, . . . , mit p m ≤ x). Damit ist die Hürde geschafft; eine elementare Umrechnung, zu der keine funktionentheoretische Hilfsmittel mehr benötigt werden, macht daraus  p m ≤x

1∼

x log(x)

und



1∼

p≤x

x , log(x)

x → ∞.

(11.5)

Kehren wir zu den Geodätischen resp. den Konjugationsklassen in der Gruppe Γ zurück! Die Formeln (11.2) und (10.8) weisen eine frappierende Ähnlichkeit auf und legen es nahe, vorzugehen wie im Beweis des Primzahlsatzes: Setzt man {cosh μ(P m ) | [P ]Γ ∈ P, m = 1, 2, 3, . . . } = {x1 , x2 , x3 , x4 , . . . }, wobei P die Menge der primitiven Konjugationsklassen von Γ bedeutet, und bildet die Treppenfunktion (11.1) mit der Festlegung dass ak = Lm (P ) wenn xk = cosh μ(P m ), so folgt aus (10.8) nach kurzer Umrechnung die asymptotische Formel   Lm (P ) ∼ μ(P ) ∼ et . μ(P m )≤t

μ(P m )≤t

Dies ist das Analogon zu (11.4). Man kann die Analogie noch stärker zum Ausdruck bringen, indem man die von Selberg [25] verwendete Notation N(P ) = eμ(P ) verwendet:  log N(P ) ∼ x. (11.6) N(P )m ≤x

188

Peter Buser

Mit derselben Umrechnung, die von (11.4) zu (11.5) führt, gewinnt man aus (11.6) das Resultat 

1∼

N(P )m ≤x

x , log(x)



1∼

N(P )≤x

x , log(x)

x → ∞.

(11.7)

Dies ist, in anderer Form geschrieben, Satz 1.2. Wir erwähnen noch, dass Huber in [16] die schärfere Abschätzung    1   πR (L) − Li(esn L ) ≤ CL− 2 e3L/4 (11.8) 1

0≤λn < 4

angibt für L >  log(2) mit dem Integrallogarithmus Li(x) = 1 und sn = 2 + 14 − λn wie in (10.7).

x 2

dt/ log(t)

12. Fünfzig Jahre später Hubers Entdeckungen haben bis in die heutige Zeit einen starken Einfluss auf die Spektraltheorie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten ausgeübt, besonders natürlich durch den Umstand, dass das Längenspektrum geometrisch sehr viel zugänglicher ist als das Eigenwertspektrum des LaplaceOperators. Die zusammenfassenden Darstellungen [3] und [10] vermitteln einen Eindruck über die gegenwärtigen Entwicklungen und offenen Fragen. Aber auch die mit dem Primzahlsatz verbundenen Resultate sind nach wie vor aktuell, und wir schliessen diesen Aufsatz mit vier Beispielen aus der Forschung ab, die wir allerdings nur aufzählen und für die darin vorkommenden und hier nicht erklärten Begriffe auf die Originalarbeiten verweisen. Das erste Beispiel ist eine Anwendung der Formel (11.8) auf die von Faltings eingeführte Deltafunktion δFal (R). (Die Variable ist die Riemannsche Fläche R, deren Bestimmungsparameter kontinuierlich verändert werden können.) Für das Studium gewisser arithmetischer Flächen in [17] benötigen Jorgenson und Kramer präzise Angaben über das Wachstumsverhalten dieser Funktion. Sie finden dazu in Theorem 4.5, dass δFal (R) = O(h(R)) mit h(R) = gR +

1  1 (0,5) [0, 1 )  N . gR · qR + CHubR + Nev,R4 + λR R geo,R

Darin kommen die folgenden geometrischen Invarianten von R vor: das Geschlecht gR ; die Grösse λR = 1/2 · min{λ1 (R), 7/64} mit λ1 (R) dem

189

Heinz Huber und das Längenspektrum

ersten Eigenwert des Laplace-Operators von R; eine Konstante qR , die von der sogenannten kanonischen Metrik abhängt; die Länge R der kürzesten [0, 1 )

geschlossenen Geodätischen auf R; die Anzahl Nev,R4 der Eigenwerte von R 1

(0,5)

im Intervall [0, 4 ); die Anzahl Ngeo,R der geschlossenen Geodätischen mit Längen im Intervall (0, 5); und die Hubersche Konstante CHub,R = infimum über alle C > 0, für welche die Ungleichung (11.8) gilt. Das zweite Beispiel betrifft das Verhalten des Längenspektrums von H/Γ im Fall, wo Γ eine arithmetische Gruppe ist. Nimmt man zunächst allgemein anstelle der Verschiebungslängen μ(T ) die Spuren σ (T ) = 2 cosh

1



2 μ(T )

,

so wächst nach Satz 1.2 die Anzahl der Spuren im Intervall [0, x], als Funktion von x betrachtet, asymptotisch wie x 2 /(2 log(x)). Die der Grösse nach geordnete Liste σ1 < σ2 < σ3 < · · · , σn → ∞, der verschiedenen Werte von σ (T ), T ∈ Γ , T ≠ id (also die Übersetzung von (10.9)) nennt man die Spurfolge von Γ resp. H/Γ . Luo und Sarnak [18], Lemma 2.1, haben gezeigt, dass im Falle einer arithmetischen Gruppe Γ die Anzahl der Geodätischen mit gegebener Spur σn – die sogenannte Multiplizität von σn – so gross ist, dass in jedem Intervall [x, x + 1] höchstens B(Γ ) Elemente der Spurfolge vorkommen, mit einer von x unabhängigen Konstanten B(Γ ). Luo und Sarnak sprechen die Vermutung aus, dass es nur für arithmetische Gruppen so eine Konstante geben kann. Schmutz [24] und in verbesserter Form Geninska und Leuzinger [9] haben diese Vermutung bewiesen für den Fall, dass H/Γ nicht-kompakt und von endlichem Flächeninhalt ist. Der kompakte Fall und verschiedene verwandte Fragen über die Multiplizitäten bei arithmetischen und nichtarithmetischen Gruppen sind noch völlig offen. Anstelle des gesamten Längenspektrums kann man auch das sogenannte simple Längenspektrum betrachten, das aus den Längen der einfach geschlossenen Geodätischen besteht, d. h. der Geodätischen ohne Selbstschnitte. Ob ein Zusammenhang zwischen dem simplen Längenspektrum und dem Eigenwertspektrum des Laplace-Operators besteht, ist nicht bekannt. Hingegen gibt es ein asymptotisches Gesetz, das erst kürzlich von Mirzakhani [20] gefunden worden ist: Bezeichnet man mit NSR (L) die Anzahl der einfach geschlossenen Geodätischen auf der kompakten Riemannschen Fläche R = H/Γ vom Geschlecht g, so gilt

NSR (L) ∼ cR · L6g−6 ,

L → ∞,

190

Peter Buser

mit einer Konstanten cR , die von R abhängt. Die Beweismethoden sind allerdings völlig anderer Natur und machen keinen Gebrauch vom LaplaceOperator. Für die jüngsten Entwicklungen auf dem Gebiet der einfach geschlossenen Geodätischen verweisen wir auf die zusammenfassende Darstellung [21] von Parlier. Zum Schluss geben wir noch ein Beispiel aus einem völlig anderen Gebiet, der Graphentheorie, an. Ein Graph G = (V , E) mit Knotenmenge V und Kantenmenge E heisst k-regulär, wenn er zusammenhängend ist und wenn von jedem Knoten k Kanten ausgehen. Ein zusammenhängender Graph heisst ein Baum, wenn er unzusammenhängend wird, sobald nur irgendwo eine Kante entfernt wird. Abb. 7 zeigt einen Teil eines 3-regulären Baumes.

v T a X

T (v)

Abbildung 7. Translation auf einem 3-regulären Baum mit Achse a. Die Verschiebungslänge ist μ(T ) = 3.

Reguläre Bäume haben eine gewisse Ähnlichkeit mit der hyperbolischen Ebene, und man kann darauf z. B. diskrete Translationsgruppen Γ betrachten. Dabei heisst ein Automorphismus T : X → X auf einem regulären Baum X eine Translation, wenn T weder einen Knoten noch eine Kante auf sich selbst abbildet. Ähnlich wie für eine hyperbolische Translation lassen sich Verschiebungslänge μ(T ) und Vielfachheit ν(T ) definieren und auf die Konjugationsklasse K von T übertragen. Eine Translation hat auch immer einen eindeutig bestimmten maximalen Kantenzug, den man die Achse von T nennt; trotzdem unterscheiden sich die Translationen auf X in ihren Eigenschaften stark von den Translationen auf H. Ist nun X ein (q + 1)-regulärer Baum und die Translationsgruppe Γ so beschaffen, dass die Äquivalenzklassen einen endlichen nicht bipartiten Graphen G bilden, so hat die Anzahl NK (v, t) der Knoten w ∈ V im Ab-

191

Heinz Huber und das Längenspektrum

stand ≤ t von v das asymptotische Verhalten (Douma [5]) NK (v, 2n + μ(K)) ∼ qn

μ(K) , ν(K) · |G|

n → ∞.

(12.1)

Dabei ist |G| die Anzahl der Knoten von G. Der Beweis in [5] benutzt den kombinatorischen Laplace-Operator Δf (v) =

 1 f (w) q + 1 w∼v

und greift auf die Methode von Huber in [13] zurück. Zur Biographie. Heinz Huber promovierte 1952 an der ETH Zürich bei Walter Saxer und Heinz Hopf. Forschungsaufenthalte führten ihn später nach Boston, Heidelberg und Princeton. 1955 habilitierte er sich an der ETH Zürich und folgte unmittelbar danach einem Ruf an die Universität Basel, der er bis zu seiner Emeritierung im Jahre 1991 treu blieb. 1966 und 1967 war Heinz Huber Präsident der Schweizerischen Mathematischen Gesellschaft.

Literatur [1] A. F. Beardon, The geometry of discrete groups. Grad. Texts in Math. 91, Springer-Verlag, New York 1995. [2] L. Bérard-Bergery, Laplacien et géodésiques fermées sur les formes d’espace hyperbolique compactes. In Sém. Bourbaki (1971–1972), exposé no 406, Lecture Notes in Math. 17, Springer-Verlag, Berlin 1973. [3] Y. Colin de Verdière, Spectrum of the Laplace operator and periodic geodesics: thirty years after. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 57 (2007), 2429–2463. [4] J.-C. de la Vallée Poussin, Recherches analytiques de la théorie des nombres premiers. Ann. Soc. Scient. Bruxelles 20 (1896), 183–256. [5] F. Douma, A lattice point problem on the regular tree. Preprint 2010. arXiv:1002.0932 [math.CO] [6] J. Elstrodt, Die Selbergsche Spurformel für kompakte Riemannsche Flächen. Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 83 (1981), 45–77. [7] L. Euler, Variae observationes circa series infinitas. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 (1744), 160–188; Opera Omnia: Series 1, vol. 14, 217–244. English transl. available at: http://webs2002.uab.es/lbibiloni/Euler/EulerObservat.pdf

192

Peter Buser

[8] F. Fricker, Einführung in die Gitterpunktlehre. Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe, Bd. 73, Birkhäuser Verlag, Basel 1982. [9] S. Geninska and E. Leuzinger, A geometric characterization of arithmetic Fuchsian groups. Duke Math. J. 142 (2008), 111–125. [10] C. Gordon, Sunada’s isospectrality technique: two decades later. In Spectral analysis in geometry and number theory. Contemp. Math. 484, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009, 45–58. [11] J. Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques. Bull. Soc. Math. France 24 (1896), 199–220. [12] H. Huber, Über analytische Abbildungen Riemannscher Flächen in sich. Comment. Math. Helv. 27 (1953), 1–73. [13] H. Huber, Über eine neue Klasse automorpher Funktionen und ein Gitterpunktproblem in der hyperbolischen Ebene. I. Comment. Math. Helv. 30 (1956), 20–62. [14] H. Huber, Zur analytischen Theorie hyperbolischer Raumformen und Bewegungsgruppen. Math. Ann. 138 (1959), 1–26. [15] H. Huber, Zur analytischen Theorie hyperbolischer Raumformen und Bewegungsgruppen. II. Math. Ann. 142 (1960/1961), 385–398. [16] H. Huber, Zur analytischen Theorie hyperbolischer Raumformen und Bewegungsgruppen. II. Math. Ann. 143 (1961), 463—464. [17] J. Jorgenson and J. Kramer, Bounds on Falting’s delta function through covers. Ann. of Math. (2) 170 (2009), 1–43. [18] W. Luo and P. Sarnak, Number variance for arithmetic hyperbolic surfaces. Comm. Math. Phys. 161 (1994), 419–432. [19] S. Minakshisundaram and Å. Pleijel, Some properties of the eigenfunctions of the Laplace-operator on Riemannian manifolds. Canadian J. Math. 1 (1949), 242–256. [20] M. Mirzakhani, Growth of the number of simple closed geodesics on hyperbolic surfaces. Ann. of Math. (2) 168 (2008), 97–125. [21] H. Parlier, Simple closed geodesics and the study of Teichmüller spaces. Erscheint in Handbook of Teichmüller theory. Vol III, IRMA Lect. Math. Theor. Phys. 17, European Math. Soc., Zürich, to appear. [22] B. Riemann, Gesammelte mathematische Werke, wissenschaftlicher Nachlass und Nachträge. Edited and with a preface by Raghavan Narasimhan. SpringerVerlag, Berlin; BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1990. [23] H. Riggenbach, Freie Homotopieklassen und das Eigenwertspektrum des Laplace-Operators bei hyperbolischen Raumformen. Diss. Univ. Basel, Basel 1975.

Heinz Huber und das Längenspektrum

193

[24] P. Schmutz, Arithmetic groups and the length spectrum of Riemann surfaces. Duke Math. J. 84 (1996), 199–215. [25] A. Selberg, Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series. J. Indian Math. Soc. (N.S.) 20 (1956), 47–87. [26] A. Selberg, Collected papers. Vol. I, Springer-Verlag, Berlin 1989. [27] Wiener, N., Tauberian theorems. Ann. of Math. (2) 33 (1932), 1–100.

A glimpse of the de Rham era Srishti Chatterji and Manuel Ojanguren

Introduction The life of Georges de Rham (1903–1990) covered most of the momentous twentieth century, whose extraordinary events are still affecting our lives to-day. The developments in mathematics which took place during the period of de Rham’s mathematical career, roughly the half-century 1925– 1975, in which de Rham himself played a significant role, are still very much present in modern mathematics. The de Rham era to which the title of the article refers, is to be understood as concerning the years (approximately) 1925–1975; the year 1925 marks the year of de Rham’s graduation from the University of Lausanne and his launching into mathematical research; by 1975 de Rham had officially retired from his professorial positions at the Universities of Lausanne and Geneva. Our modest aim is to allow interested readers to have some glimpses of certain events during this era which we have been privileged to acquire through a perusal of de Rham’s extensive correspondence (and other papers) to which we had access. Naturally, we have supplemented this by a study of his collected papers [9], of several memoirs and historical studies by others (referred to subsequently) and finally an interesting brochure [1] produced by de Rham’s friends, students and collaborators in 1995. We do not claim any historical exhaustiveness, the aim being one of offering an impressionistic glimpse, based however on written documentation. We do not attempt to write a biography of de Rham, although some of the basic biographical elements will be enumerated so that those who were not privileged to have known him will have some idea of this major figure in mathematics of twentieth century Swiss Romande. We shall attempt to portray de Rham’s interactions with some of the most prominent mathematicians of his time and the role he played in the development of mathematics locally (in Swiss Romande) nationally (in Switzerland) and internationally. In this year of the hundredth anniversary of the Swiss Mathematical Society (founded in 1910) it seems worthwhile to recapitulate some of the events in Swiss mathematical life as seen through the personal papers of an eminent member of the Society. Since this essay is written with an international readership in view, some facts which are well known to Swiss mathematicians will be reviewed briefly as introductory material. Then we will present a succinct sketch of de Rham’s biography, followed by a concise presentation of his mathematical

196

S. Chatterji and M. Ojanguren

work in very general terms, which should be accessible to non-specialists. Then we shall present a few isolated episodes which are either not well known or else poorly understood. We shall indicate de Rham’s far-flung connections with the most eminent mathematicians of his time and his activities in local, national, and international circles. Several documents (mostly unpublished letters) have been appended (referred to as document n, n = 1, 2, . . . ) just before the bibliography.

Review of some historical and other facts The present constitution of Switzerland is a modification of that of 1848 which, in its actual form divides the country into 23 cantons, of which three are further subdivided into two semi-cantons (these being Appenzell, Basel, Unterwalden). Each canton or semi-canton is sovereign in all internal as well as financial matters (in particular education) and the federal government, with its seat in Bern, has supremacy in a few well-defined areas (summed up by the competencies of the seven federal ministries which together form the federal government). This is not the place to discuss the nature and the constitution of the federal and the various cantonal parliaments and their respective judiciary systems but one point is important to our narrative: only ten of the cantons have a university, these being Basel, Bern, Zurich, Fribourg, Geneva, Vaud, Neuchâtel, St. Gallen, Ticino and Lucerne. Of these, only the first seven will concern us, St. Gallen’s mathematical activities having been always rather limited and the last two being recent creations which do not enter our narrative at all.1 Only the University of Basel can be called really ancient, being created in 1460 as the result of the workings of a controversial Council of the Church (called Council of Basel (1431–49)). Of course, it was the University of Basel which had put Switzerland definitely in the centre of the history mathematics, having brought forth such illustrious mathematicians as Jakob Bernoulli (1654–1705), Johann Bernoulli (1667–1748), Daniel Bernoulli (1700–1782), many other remarkable Bernoullis and finally, and most famously, Leonhard Euler (1707–1783), although the last named spent most of his life (from 1727 onwards) exclusively in Russia (St. Petersburg) and in Prussia (Berlin). All the six other Swiss universities date from after the 1830s: Zurich (1833), Bern (1834), Geneva (1872), Fribourg (1889), Lausanne (in Canton Vaud, 1890), Neuchâtel (1909). Of course, all of these other universities had sprung from much older institutions (mostly 16th century or older) 1 St.

Gallen 1898, Ticino 1996, Lucerne 2005.

A glimpse of the de Rham era

197

but none could be called a university previously. A major novelty introduced by the 1848 Federal Constitution was the possibility on the part of the federal government of creating a Federal Technical University. This latter finally came into being in 1855 in the form of the Eidgenössische Technische Hochschule (ETH). Much later, in 1969, a French-language form of the ETH was created in Lausanne as École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL) which was in fact a federalisation of an engineering school associated with the University of Lausanne in one form or another since 1853 (i.e. predating the official declaration of the Academy in Lausanne as a University). In its last metamorphosis as a part of the University of Lausanne, it was called École Polytechnique de l’Université de Lausanne, with the acronym EPUL which stuck with it for many years in the local population. The creation of EPFL in 1969 correspondingly brought in EPFZ as the French acronym for ETH and ETHZ as the German acronym for ETH in current usage (cf. [2] for more on this). Right from the beginning of Switzerland’s creation (in 1291) the problems of language and religion were important factors of discord and dispute which have now happily come to a stable solution. Without going into any details of this complicated history, let us state the present situation: the cantons of Geneva, Vaud, Neuchâtel and Jura (created in 1978) are French speaking, Ticino is Italian speaking, Bern, Fribourg and Valais are officially bilingual (French and German), Graubünden is trilingual (German, Italian and Romansh) and all the other cantons have German as official language. It is traditional to refer to the French speaking Swiss as “Swiss Romand” (similarly “Swiss German”, “Swiss Italian”). Religion is a more complicated issue; some cantons are considered catholic, others protestant, others secular; fortunately this discussion need not concern us here at all since these problems are a matter of past history. Some idea of the relative demographic importance of the different linguistic groupings is useful to have, although this obviously varies in time. A general statement like 70% German speaking, 20% French, and 10% Italian and Romansh is not accurate, but probably gives a fair average description of the situation. The population of the country is over 7.7 million today; in de Rham’s youth it was closer to 4 million. Because of the multilingual character of the country, it is not uncommon to meet University people well-versed in several languages; in theory, everyone is supposed to be bilingual – the language of the canton and another official language. The reality, however, is far from this ideal theory. At least in de Rham’s days, a Swiss German could read and understand French and/or Italian and a Romand (like de Rham) could read and understand German and/or Italian. By his own admission, de Rham was not a good linguist; his English remained

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essentially functional (he could read and, with help, write in English). But he read German with ease and on several important occasions read Spanish (as we shall see). Of the 61 items listed in de Rham’s collected works [9] all but 4 are in French, 1 in German ([10] in [9]), 3 in English ([39], [49], [54] in [9]); his famous book Variétés différentiables – Formes, courants, formes harmoniques (1st ed. 1953, 2nd ed. 1960, 3rd ed. 1973) was later translated into English (Springer 1984), in Russian (1956) and perhaps in other languages. An important oversight in the bibliography of [9] is de Rham’s lecture notes Lectures on an introduction to algebraic topology (notes by V. J. Lal, Tata Institute, Bombay, 1969). To exemplify how much the creation of the ETH in 1855 accelerated mathematical activities in Switzerland, let us briefly mention the following. In 1897 the Zurich mathematicians organized the first International Congress of Mathematicians (ICM) in Zurich; we shall return to ICM’s later. In 1907 the Société Helvétique des Sciences Naturelles (now called Swiss Academy of Sciences in English) created an Euler Commission for the publication of the complete works of Euler (of which the first volume appeared in 1911 and the last two of about 74 volumes is planned for completion in 2010) with the cooperation of many internationally renowned mathematicians under the organization of Swiss mathematicians. This showed up the need for a national mathematical society, finally established in 1910, named la Société Mathématique Suisse in French; the three founding members were Rudolf Fueter (University of Basel, 1880–1950), Henri Fehr (University of Geneva, 1870–1954) and Marcel Grossmann (ETH, 1878–1936); cf. the article by Michel Plancherel [8], pp. 1–21 of this book, on the occasion of the 50th anniversary of the SMS. Besides these organizational accomplishments, we must name a few of the illustrious mathematicians who occupied professorial positions at the ETH during the last years of the 19th century: Joseph Ludwig Raabe (1801– 1859), Richard Dedekind (1831–1916), Elwin Bruno Christoffel (1829–1900), Friedrich Emil Prym (1841–1915), Hermann Amandus Schwarz (1843–1921), Heinrich Weber (1843–1913), Georg Ferdinand Frobenius (1849–1917), Friedrich Hermann Schottky (1851–1935), Ferdinand Rudio (1856–1927), Adolf Hurwitz (1859–1919), Hermann Minkowski (1864–1909) to give the names of the most well known amongst them. A more complete list and a discussion of their lives and works can be found in the work of Frei and Stammbach [4]. Another impressive list of names of those working at the University of Zurich during the same period can be found also in [4]. It seems clear that each of the two institutions in Zurich provided an incentive for the other to push forward further. Admittedly, the names we have cited are mostly of German origin (Raabe was of Austrian background) and most of them stayed in Zurich for a limited number of years; except for

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Frobenius who stayed for seventeen years , Schottky for ten years, and Hurwitz who died in Zurich in retirement (after having been there from 1892 onwards), all the others stayed in Zurich between five and seven years. But, after all, they were all young men and it was natural in German speaking areas to transfer oneself to a more prestigious place (Göttingen, Berlin, etc.) or to one more conducive to one’s family life. The important thing to notice is that the Federal Government (which supervised all the appointments at the ETH via an organization called the Schulrat) did not hesitate to go after the most promising mathematicians, irrespective of their nationality; this policy was also applied in other branches like Physics and Chemistry with comparable success. It should be understood here that the other cantonal universities are run by the cantonal governments; although they do receive financial support from federal sources, the politics of running those universities are entirely in the hands of the corresponding cantonal administrations; however, in the Swiss tradition of compromise and cooperation, there is naturally a great deal of coordination through well-established channels which we need not describe here in detail. One last word on the evolving linguistic situation at the level of the Universities. In de Rham’s time, it was a well-established practice that the Swiss Romands would generally write in French to their German speaking colleagues and, conversely, the latter would generally write in German to their Swiss Romand colleagues. A similar usage prevailed as regards lectures, whether at Colloquia or at the Swiss Mathematical Society meetings. This continued well into the 1990s; lately, an international brand of English has taken over the role of a lingua franca in translingual communications (as indeed can be seen more and more frequently at many international meetings). This would have made de Rham quite ill at ease.

Some biographical elements Georges de Rham was born in 1903 in the small commune of Roche (present population about 900) situated in the district of Aigle of Canton Vaud; the town of Aigle (chef-lieu du district ) is about 6.5 km from Roche and has a population of about 8000 now; the general area forms the eastern extremity of Canton Vaud and is surrounded by impressive mountains of the pre-Alps and the Alps. It is therefore not surprising that young Georges became an enthusiastic mountaineer and eventually a very professional and competent mountain climber, a venture which he pursued round the globe until the ripe old age of 78. Georges’ father Léon de Rham was a well-to-do engineer working for a railway construction enterprise; Georges was the fifth offspring of a family of six children (five sons, one daughter,

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the eldest) all of whom led successful lives. Georges de Rham has himself given an account of his happy childhood in [1] from which we gather that his first 16 years were spent in Roche, attending college at Aigle (collège in Canton Vaud normally started at the age of 11, preceded by 4–5 years of primary school, which must have been in Roche). The family moved to Lausanne in 1919 where Georges entered the Gymnase classique (section Latin and Greek) to complete his higher secondary education in 1921. It is interesting to observe that the family eventually moved into a set of apartments of the well-known Château de Beaulieu, in central Lausanne, which remained Georges de Rham’s permanent address until the end of his life; thus 7, avenue des Bergières, Lausanne became a familiar address to all his many mathematical friends all over the world, many of whom stayed at this address when they came to Lausanne (as evidenced by several letters). Since Georges de Rham remained a bachelor all his life, for a while his mother seems to have acted as the hostess (his father having died in 1945). A study of the de Rham’s family tree shows how extensive it is, and the surname de Rham flourishes in Canton Vaud and elsewhere. (A wealth of information on de Rham’s family can be found in La famille de Rham: notes généalogiques, historiques et biographiques by Pierre de Rham, SaintSulpice, 1965, which is available at the Archives of Canton Vaud.) We now come to de Rham’s studies at the University of Lausanne between 1921–1925; again we have a fair description of this, both in [1] as well as in his autobiographical article (item [60] in [9]). His choice of mathematics as a specialization seems to have come to him rather late; in any case, he obtained his degree (licence en mathématiques) in 1925. As an illustration of the type of courses which de Rham might have followed, we have reproduced in Document 1 the programme for the winter semester 1923/24. An examination of the programmes of previous years does not show any significant differences. It will be noticed that the content of these programmes is very classical: differential and integral calculus, differential equations, function theory, analytic and descriptive geometry, probability etc. Note the fairly strong dose of descriptive geometry (9 hours a week), a subject much emphasized in continental Europe and almost unknown in English speaking countries. Until the development of computer technology in the 1980s and 1990s, descriptive geometry was compulsory material both at the first year university level (in almost all scientific studies) and at the higher secondary level (gymnase or lycée). One notices the absence of algebra and topology, the latter being still a nascent subject. However, one finds in programmes in Zurich (already in 1897/98) such subjects as calculus of variations, number theory, geometry of numbers, projective geometry, theory of invariants (cf. [4]) and, by 1921, topics like group theory, elliptic modular functions and complex multiplication (ibid.).

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To have some understanding of de Rham’s mathematical development, one must know to some extent the mathematical personalities who were present during de Rham’s studies at the University of Lausanne. As he himself has underlined, two mathematicians had considerable influence on him; the first was Gustave Dumas (1872–1955) who had been appointed as professeur extraordinaire of mathematics in 1913, professeur ordinaire in 1916 (eventually to retire in 1942) to teach differential and integral calculus and higher analysis. For more details concerning the history of the evolution of mathematics at the University of Lausanne (until 1990) one must consult the work [7] of Pierre-Denis Methée (born 1924), a student of de Rham and himself a professor of mathematics at the University of Lausanne for many years (chargé de cours 1953–1954, professeur extraordinaire 1955–1961, professeur ordinaire 1961–1991, retired 1991; cf. [7], p. 582). De Rham admired Dumas a great deal and ascribes to him the fact that he was led to reading the works of Poincaré, firstly the studies of Poincaré concerning curves defined by differential equations (which led him to try vainly for the solution of a famous unsolved problem (the second part of Hilbert’s 16th problem)). For details see pp. 652–656 of de Rham’s own exposition of this in [9]. The second important influence on de Rham was that of Dimitri Mirimanoff (1861–1945), a mathematician of Russian origin who had been in France since the age of 19 and eventually settled down in Geneva where he retired as a full professor in 1936. Mirimanoff’s talent in mathematics was many-sided: from number theory to function theory as well as rather refined problems of set theory and probability theory, Mirimanoff’s published work ranged over 60 items. Following Mirimanoff’s advice, de Rham read up a great deal of classical function theory as well as the new books published by Borel, Baire and Lebesgue along with the standard work on algebra by Serret. But, as de Rham has admitted himself, he did not find function theory or real variable theory to his taste for doing research and went on to the less frequented path of the newly founded field of topology (analysis situs) as sketched out in Poincaré’s prolific but somewhat mysterious papers on the subject, published over the years 1892–1905. (A modern analysis of all these has been bravely undertaken by Dieudonné in [3], Chapter 1). Gustave Dumas was a very well-rounded mathematician who in his youth had completed his formation in Paris, Berlin and Zurich; his published work covered a wide field ranging over algebra, analysis, and geometry. His work would be classified today as classical algebraic geometry (over the complex field) but fairly early he had taken a strong interest in Poincaré’s papers in topology. Thus he induced his student Jules Chuard (1891–1967) to write a doctoral thesis in 1921 with the title Questions d’Analysis Situs, which was an attempt to clarify Poincaré’s work in the special case of 2-dimensional complexes,

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with applications to surfaces. The following citation from his thesis may be interesting: “Mais nous n’étonnerons personne en constatant que la lecture” (of Poincaré’s articles) “en est très aride. G. Darboux lui-même qualifie de difficiles les questions qui y sont traitées”. Chuard’s thesis was published in the Rendiconti of Palermo in 1922 and it was referred to in the well-known text of Seifert and Threlfall Lehrbuch der Topologie (1934). Dumas and Chuard also published a note in the Comptes Rendus of Paris in 1920 with the title Sur les homologies de Poincaré. Chuard went on to become a professor at the University of Lausanne but changed his field of research to combinatorics and probability theory. We have no indication of any mathematical connection between de Rham and Chuard. Before we go on with de Rham’s career, we must mention the presence in Lausanne (from 1928 on) of a promising mathematician, Gustave Juvet (1896–1936) who unfortunately died unexpectedly, presumably of a heart failure while on a walking expedition in the Val d’Anniviers, in Valais (cf. Gustave Dumas’ allocution published in [5] by the University of Lausanne). Juvet was a person of very wide interests; in mathematics, he can be characterized as a mathematical physicist interested in relativity theory, quantum mechanics, and cosmology. He had translated Hermann Weyl’s famous book Raum, Zeit, Materie (1st edition 1918) into French already in 1922 (with R. Leroy) and was a prolific author who had mastered the LeviCivita tensor calculus fairly early in his career (in Paris). Born and brought up in the Canton of Neuchâtel, he became a full professor at the University of Lausanne in 1928. We have a long letter by him written to de Rham (dated 8 January 1931) when the latter was in Göttingen; it shows him in a very interesting light, philosophically and mathematically and discloses him as someone much concerned with the political events of the world. Thus in an end paragraph (referring no doubt to the popular unrest in Berlin of the period) he writes “Reverrons-nous la guerre? C’est un peu mon obsession.” The letter indicates elsewhere de Rham’s collaboration with Juvet in the latter’s teaching activities; de Rham had become an assistant to Dumas in 1925 (at a salary of 200 francs per month) and in the summer of 1926 he had a teaching position at the local Collège classique. However, with encouragement from Dumas, de Rham decided to turn to do research in topology, a field he knew was not much cultivated at the time. Courageously, he left for Paris where he spent two periods of seven months each between 1926 and 1928, apparently with no stipend or scholarship to sustain himself, except his personal savings. As he writes in [1], one could live easily on 100 Swiss francs a month, and a payment of 100 French francs at the Sorbonne (equivalent to 10 Swiss francs at the exchange rate of the time) permitted him to matriculate there and follow any of the courses offered; he mentions the presence of Hadamard and

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Lebesgue at the Collège de France and that of Élie Cartan, Vessiot, Julia, Denjoy, Émile Picard etc. at the Sorbonne. Despite the eternal difficulty of obtaining books at the Sorbonne library (a situation which does not seem to have improved very much at most French universities), de Rham managed to read the principal memoirs of Brouwer (cited in Kerékjártó’s 1923 book on topology (in German)) and a note of J. W. Alexander (Note on two threedimensional manifolds with the same group in Trans. Amer. Math. Soc. 20 (1919), 339–342) as well as all works on topology he could find (we are citing de Rham here almost literally). We continue with de Rham’s own narrative; no one seemed interested in topology at this time in Paris; Lebesgue had indeed given a course on topology at the Collège de France the year before. In fact, Lebesgue’s courses during the previous years were: (1922–23) Sur quelques questions d’Analysis Situs, à propos des travaux de Camille Jordan; (1923–24) Sur l’Analysis Situs; (1924–25) Les divers ordres de connexion des espaces supérieurs (cf. pp. 177–179 in [6], vol. 1). Indeed, all these courses were on topology; but in 1925–26 and 1926–27 Lebesgue had switched entirely to analytical themes: Quelques procédés récents d’intégration (totalisation de M. Denjoy), intégrales de Radon, Hellinger, etc. and Sur la fonction Γ et quelques relations fonctionnelles. Nevertheless, Lebesgue was of great help to de Rham during his stay in Paris; not only did he give de Rham much useful bibliographical and mathematical advice, he also helped him to publish his first article Sur la dualité en Analyis Situs in the Comptes Rendus (1928, item [1] of [9]). De Rham remained grateful to Lebesgue all his life; in all our conversations with him concerning Lebesgue, he expressed great admiration for the man and his work. Thus it did not surprise us to see him going to great pains in order to publish the works of Lebesgue (in 5 volumes, produced by l’Enseignement Mathématique over the years 1972–73); although de Rham’s name does not appear anywhere in these 5 volumes and the “avant-propos” was signed by François Châtelet and Gustave Choquet, it was clear to us that the spirit of de Rham was strongly backing the whole enterprise. We clearly recall his organization of the presentation of these volumes in Geneva in the presence of Jacques Lebesgue (Lebesgue’s son), Gustave Choquet, Marc Kac and many others, followed by a sumptuous dinner to celebrate the occasion, one of his many endearing rituals for marking such events. To continue our narrative (following de Rham [1]), in autumn 1928, after his return to Lausanne to teach (“comme il faut gagner sa vie”) at the Collège and the Gymnase, de Rham discovers Élie Cartan’s note Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos in the Comptes Rendus subscribed to by the library of the École d’Ingénieurs (the future EPFL); as de Rham writes: “Cette note met mon cerveau en ébullition et le lendemain je suis sûr d’avoir la solution de ces problèmes.” This then is the moment

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of discovery of the famous de Rham cohomology theory – although such a terminology would have been unthinkable in 1928. Now comes the final run for de Rham’s thesis; de Rham writes to Lebesgue, eventually the latter is convinced enough to have another Comptes Rendus note published in July 1929 (item [2] of [9]) and finally, in April 1930, de Rham produces the complete text of his thesis for Lebesgue, who immediately sends him to Élie Cartan for consultation. All goes well and, eventually, Lebesgue helps de Rham to publish his thesis in Journal de mathématiques pures et appliquées (also known popularly as Journal de Liouville), vol. 10 (1931), pp. 115–200 (item [3] in [9]); finally, de Rham defends his thesis before an examination commission formed of Cartan (president), Montel and Julia. The thesis is dedicated to “Monsieur Henri Lebesgue, Hommage très respectueux”. Thus is accomplished the first step in an illustrious career; as indicated before, de Rahm had spent, in between, four months in 1930–31 in Göttingen, meeting many important mathematicians, some still in their formative period, like Charles Ehresmann, Edmund Landau, Hermann Weyl, Richard Courant, Emmy Noether, Gustav Herglotz, Pavel Aleksandrov, Andrey Kolmogorov among others. Much of the rest of our narrative is based on de Rham’s correspondence and related documentation. But before we go on with this, we must briefly outline de Rahm’s mathematics.

De Rham’s mathematics De Rham’s collected papers [9] give the best overview of his mathematical work. It is not possible for us to give a detailed survey of all of it; we shall simply point out some salient features. De Rham’s thesis of 1931, entitled Sur l’Analysis Situs des Variétés à n dimensions (item [3] of [9]) forms the foundation of much of his later work. The thesis itself is divided into four chapters; the first gives a good summary with improvements of the theory of finite complexes and their homology; the second chapter discusses intersection theory of chains in a complex; the third chapter introduces the use of multiple integrals over chains in an n-dimensional variety using as integrands differential forms, and the fourth chapter gives several examples of complexes which have the same Betti numbers and the same torsion, but are not equivalent. This last was inspired by the desire to generalize some results of Alexander and later gave rise to much work by de Rham and independently by Reidemeister and by Franz discussing various “lens spaces” which are or are not homeomorphic despite having the same homology groups and fundamental groups. The third chapter eventually led to a general cohomology theory (which came into the forefront only

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after 1935) using differential forms and Schwartz’s later theory (1945) of distributions which permitted de Rham to develop his elegant theory of currents. One way of viewing lens spaces is to consider them as the quotient spaces of spheres modulo certain finite groups of rotations. This induced de Rham to introduce an apparently simple problem at a 1935 meeting of topologists at Moscow, organized by Pavel Aleksandrov and attended by several luminaries like Heinz Hopf, Witold Hurewicz, Jacob Nielsen, André Weil, Hassler Whitney and others. The problem he proposed (in item [8] of [9]) is the following: Two transformations T1 , T2 of a variety V into itself are called homeomorphic if there exists a homeomorphism S of V such that T2 = S −1 T1 S; when are two rotations T1 , T2 of an n-dimensional sphere S n homeomorphic? If the rotations T1 , T2 have the same eigenvalues (as linear endomorphisms of Rn+1 ) then obviously they are homeomorphic (choosing S itself to be a suitable rotation); the converse statement that homeomorphic rotations have the same eigenvalues turns out to be very difficult to settle. We summarize here the positive result obtained by de Rham and the surprising negative result obtained by Cappel and Shaneson much later. By 1964, de Rham had proved that two diffeomorphic rotations (i.e., S is to be a diffeomorphism) have the same eigenvalues; this was a major result, on which de Rham must have spent a lot of effort; the final result appears in item [44] of [9] and there are several instructive previous and subsequent papers on this theme. However, in his final paper (a survey of this problem) in 1981, de Rham announced that Cappel and Shaneson in 1979 had shown that there exist homeomorphic rotations of S 9 which do not have the same eigenvalues. The long paper that Cappel and Shaneson wrote on this problem (and its vast generalizations) in the Annals of Mathematics (vol. 113, 1981) shows the extreme subtlety of the subject. For further information one should consult item [61] of the collected works [9]. It is interesting to observe here the great changes in the nature of topological studies between the time when de Rham was writing his thesis (1931) and the time (1981) when he was composing his last article. This is borne out dramatically by de Rham’s bibliography of 1931 which consisted of items which very few would know today; thus de Rham refers specially to a long memoir (in Spanish) by H. Weyl as being his inspiration for the composition of Chapter 1 (on the general theory of complexes). This reference (dating from 1923) was suggested to him by Lebesgue; a reading of de Rham’s reminiscences in item [60] of [9] is especially interesting in this and matters related to the writing of his thesis. Soon after his thesis, de Rham discovered that his work permitted a generalization and simplification of some work of W. V. D. Hodge from 1930. This led to an interesting exchange of influences at a distance between Hodge and de Rham. As described by de Rham, Hodge used the latter’s

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work to define and study harmonic forms, which in turn led de Rham to one of his famous papers on harmonic differential forms (written with Bidal, published in 1946/47, cf. item [14] in [9]) containing new definitions and proofs. This work in turn led Hodge (and later A. Weil) to their studies on Kähler manifolds. Kodaira had travelled a similar route by entirely independent methods. Needless to say, all this would need much explanation to expose in a meaningful way. We shall comment on Bidal’s work with de Rham later. De Rham mastered the new Schwartz distribution theory very rapidly; no sooner was the first paper in this area published by Schwartz (in 1945) that de Rham gave lectures on it (in January 1947) to the Cercle Mathématique in Lausanne (about which, later). Of course, he saw immediately how distribution theory would place his own theory of currents on an elegant general basis (see Document 6, letter dated 7 January 1947 of de Rham to Schwartz explaining this very clearly and Document 7, Schwartz’s reply of 3 February 1947). With his mastery of the theory of differential forms adjoined to distribution theory, de Rham was now in a position to work on general theorems on partial differential equations (cf. items [28], [29], [34], [40] of [9]). His student Methée (whom we have already mentioned) wrote his thesis on Lorentz invariant distributions in 1953. We shall only barely mention de Rham’s important paper on Riemannian manifolds (published 1952) which, among other things, gives a new proof of the Hopf–Rinow theorem on complete Riemannian manifolds. There is, of course, much more. But we shall now indicate another entirely different aspect of de Rham’s research, which led him to some very interesting results of real analysis. We shall illustrate this by citing one fine theorem (from item [27] in [9], published in 1953). The problem posed is that of determining a bounded function f : [0, 1] → C such that t 1+t f 2 = αf (t), f ( 2 ) = α + (1 − α)f (t), where α ∈ C with |α| < 1 and |1 − α| < 1. Then such a function is uniquely determined and is continuous. If |α| > 1/2 and |1 − α| > 1/2 (α is then necessarily complex) then f = u + iv with u, v real continuous functions which are nondifferentiable everywhere. Finally, if α is real and ≠ 1/2, then f is real, strictly increasing, with f (t) = 0 almost everywhere. We find that the beauty of this theorem is that in one stroke, de Rham obtains, effortlessly, the so-called “singular functions” of real variable theory. De Rham wrote several other papers in this vein, generalizing the constructions and giving probabilistic and geometric interpretations for many of them. Of course, this area is a well-trodden territory and naturally de Rham received a lot of correspondence on these matters, not only from old masters like Denjoy and P. Lévy but also from several younger enthusiasts.

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De Rham’s career Soon after his thesis in 1931, already in 1932 de Rham acquired a teaching position at the University of Lausanne (chargé de cours with the title of privat-docent ). After the premature death of Juvet, de Rham essentially became his successor, first as professeur extraordinaire (from April 1936) and then, from 1943 onwards, as full professor (professeur ordinaire). He also held similar positions simultaneously at the University of Geneva (from 1936 onwards); although he continued to live in Lausanne, he managed to maintain a vigorous teaching and other activities at both universities. By the end of the 1930s, de Rham had obviously become a major personality in the mathematical world of Swiss Romande as well as nationally. From 1932 onwards, de Rham, Juvet and Jules Marchand (1888–1953, professeur extraordinaire 1928–1936, professeur ordinaire 1936–1953) became the organizers of the Cercle Mathématique, a very vigorous group originating with Dumas (as Colloque mathématique des Universités romandes since 1923). Space does not permit us to describe the Cercle in greater detail; it remained active until around the 1980s, organizing lectures by some of the most eminent mathematicians of the world. The three volumes of notes which we have inherited give a vivid survey of the Cercle’s activities, summarizing (sometimes in great detail) the contents of the lectures given at its regular meetings. The members of the Cercle paid very nominal dues, the costs of travel etc. were covered (modestly) from various university funds. There were, of course, in parallel, the activities of the Swiss Mathematical Society (SMS) of which de Rham became a president during the troubled years of 1944–1945, having been in the Committee (as has always been customary for that Society) since 1940 (first as secretary-treasurer for two years, then as vice-president for two years). We shall go into a few details later, regarding some events of the war-torn years of 1939–1945 and the immediate post-war period as evidenced by de Rham’s abundant correspondence from these years. To complete our brief sketch of de Rham’s career, we mention his visiting appointments at Harvard University during the winter of 1949–50, at the Institute for Advanced Study at Princeton in 1950 and again in 1957. These sojourns were obviously very fruitful to de Rham (as shown by his publications) and allowed him to confirm his friendship with such mathematicians as Whitney and Alexander, both of whom he had first met in Switzerland as eager mountaineers. His international renown had become well-established by the time of the publication of his book Variétés différentiables in 1955; it must have been written during 1952–53 since the preface of the first edition is dated August, 1953 (Lausanne). As a young man, he had attended the ICM 1932 in Zurich, where he had presented a communication based on a part of his thesis; he must have been very pleased to hear

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his work being mentioned specially in Élie Cartan’s invited address at the Congress entitled Les espaces riemanniens symétriques. Incidentally, Gustave Juvet (mentioned above) had presented a communication captioned Les nombres de Clifford et leurs applications à la physique mathématique. De Rham had also presented a communication at the first post-war ICM in 1950 at Cambridge, Mass., USA, based on his recent work (title: Intégrales harmoniques et théorie des intersections); he also presented a paper at the next ICM 1954 in Amsterdam (title: La notion de valeur à la frontière pour un courant ). Skipping over various honours bestowed on him already since 1954, (e.g., doctorate honoris causa, University of Strasbourg) we mention his nomination as president of the International Mathematical Union (IMU) for the years 1963–66 and, as such, his presence as president of the IMU at the ICM 1966 in Moscow. This only describes a very small part of his activities for the IMU; in a separate section, we shall describe the long association of Switzerland with IMU and ICM. De Rham’s association with the IMU brought him inevitably in contact with K. Chandrasekharan (about whom see below) who was then in a leading position at the Tata Institute of Fundamental Research (TIFR) at Bombay, India. This led to his visiting position at TIFR during the year 1966 where he wrote his Tata lecture notes in algebraic topology (which we have already mentioned above). We must now mention de Rham’s leading role in the creation of the Troisième Cycle Romand de Mathématiques in Autumn 1969, which played an important part in the development of mathematical activities in Swiss Romande; a complete report on this appears elsewhere in this volume. Suffice it to say here that his assiduous presence at the lectures of the Troisième Cycle (even after his retirement in 1971–73) set up an example for his young colleagues. By this time, de Rham had built up an impressive mathematics department at the University of Geneva with the presence of leading mathematicians like André Haefliger (born 1929) and Michel Kervaire (1927–2007); a passing presence of a year or so in Geneva was that of Raghavan Narasimhan (born 1937) from TIFR who eventually settled down at the University of Chicago but has continued associating himself with many Swiss mathematical activities. A special mention in this context must be made of Armand Borel (1923–2003); born in La-Chaux-de-Fonds (Neuchâtel), he was well known to de Rham and his colleagues and had exerted considerable influence on Swiss mathematics during many years. Borel’s meteoric career led him from ETH to Princeton and back again to ETH and Princeton (amongst many other places). Although his actual professional career in Switzerland was not long, through his personal association (and regular visits to Lausanne) he continued to influence Swiss mathematics.

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We omit de Rham’s activities at various national commissions and his essential influence in associating Switzerland with the creation of the IHES (Institut des Hautes Études Scientifiques) near Paris. A long list of the various honours bestowed on him can be found in [9]. We close with some remarks about two areas where de Rham did not take any active part. The first is in the activities of the Euler Commission; the work here being of a historical nature this is understandable. After all, no one can do everything. A more glaring omission is his absence in the formation of EPFL, which was after all an emanation of the École d’Ingénieurs of the University of Lausanne. This may have several explanations. De Rham was not especially interested in the so-called applied mathematics and the creation of the Mathematics Department of the EPFL was based on separating “pure mathematics” which was to remain at the University and the “applied” to be developed at the EPFL. There may have been personal differences of opinion. A mathematician whose name should be mentioned here in this context is that of Charles Blanc (1910–2006), who was a younger colleague of de Rham for many years at the University of Lausanne. Although he had started with a thesis at the Sorbonne in 1937 in pure mathematics (Riemann surfaces) he had turned to engineering applications rather early in his career. He was a pioneer in the introduction of computers in Lausanne and strongly encouraged the development of fields like Operations Research, Numerical Analysis and Informatics. A full account of this mathematician of the de Rham era is given on pp. 241–245 of this book. Suffice it to say that he was a chargé de cours (1936–1942), professeur extraordinaire (1942–1949), professeur ordinaire (1949–1969) at the University of Lausanne, after which, he continued his professorship at the EPFL from 1969 till his retirement in 1975. Blanc was very active in the publications of the Euler Commission of which he was the president during 1967–1975 and the editor of eight of the volumes of Euler’s works on mechanics and astronomy (Series secunda of the Opera omnia containing 31 volumes, of which volumes 26, 27 are yet to be published – foreseen for 2010). There is of course much more to write on other mathematicians of the de Rham era and some will be mentioned later. Fortunately, the rather pathetic separation of pure and applied mathematics has ended in Lausanne; since approximately 2001 (officially since October 2003), there is only one Mathematics Department, based at the EPFL, combining all of the branches previously practised at either the University or the EPFL, and indeed expanding its domain of activities to keep pace with the progress of mathematics. There is, of course, much more to be said about de Rham’s career – about his teaching, about his research students and collaborators, about his editorial activities, etc. Concerning the last point, we just underline his editorship (along with Albert Pfluger and Johann Jakob Burckhardt) dur-

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ing 16 years (approximately 1950–1966) of the Commentarii Mathematici Helvetici, a journal founded by the SMS in 1928; Pfluger (1907–1993) was a professor at the ETH and Burckhardt (1903–2006) was at the University of Zurich (see [4]); the latter has written a short account of de Rham’s editorship of the Commentarii in [1]. Between 1967–1978, de Rham acted as an editor of L’Enseignement Mathématique, which can be described as the mathematical journal produced by the University of Geneva, although its editorial board has always had the collaboration of many mathematicians from different parts of the world. It was founded in 1899 by Henri Fehr (1870–1954), professor at the University of Geneva and Charles-Ange Laisant (1841–19200), associated with the École Polytechnique of Paris. It has served as the official organ of the Commission internationale de l’enseignement mathématique over many years. In recent years, its articles have been directed more to research mathematicians, albeit with some emphasis towards exposition and avoidance of overly specialized research. Its early numbers offer a fascinating glimpse of the development of mathematics during the early years of the 20th century as well as containing much historical information about mathematics and mathematicians.

De Rham’s correspondence We have found the remains of de Rham’s far-flung correspondence spread over the years 1935–1972 and many letters from later years (up to approximatively 1984). We have already mentioned the single letter (in our possession) of Juvet dated January 1931. We also have several of de Rham’s letters to others, either as carbon copies or rough drafts. Many letters are essentially of a bureaucratic nature (like letters from various University or Government officials, letters of invitation for varied meetings or those inviting de Rham to lecture at different places, or merely administrative documents) or letters to mountaineering acquaintances or some family letters. However, there is a substantial number of a purely (or mostly) mathematical character. The correspondents include some of the most eminent mathematicians of the period and it would be a tiresome task to make a complete enumeration. We shall therefore give a selection of those which we have found most interesting in one way or another; they should give an idea of the mathematical and political climate, especially for the period 1935–1947. The most assiduous correspondent (over the years 1935–1951) was André Weil (1906–1998). Weil’s first letter was from Strasbourg in 1935; his later letters were increasingly mathematical, full of ideas and questions related to de Rham’s work. The fearful period 1940–1945 seemed to find Weil

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in a most creative and exuberant form. We have reproduced (Document 3) his letter dated June 5, 1940, composed after his well-known adventure in Finland in 1939, landing in a jail there (suspected of being a spy), from where he returned to France to be jailed there for a few months in 1940 (for evading military service), all of which Weil later described with gusto in his autobiographical Souvenirs d’apprentissage (Birkhäuser, 1991). He was eventually released and incorporated in the French army in May 1940; this explains the tone of his letter to de Rham, which is almost jovial. His buoyancy is partly explained by his spectacularly successful mathematical activity during the period 1939–40, some of which is described briefly in the letter itself. It is also interesting to read his plans for introducing integrals of differential forms by a suitable extension of his (and Bourbaki’s) theory of Radon measures. As is well known, after the collapse of the French army in mid-June 1940, the army disbanded and Weil managed to get to England in July and thence (after various meanderings described in his autobiography) he finally arrived in New York (with wife and family) by March 3rd, 1941. We shall not repeat here his further story in America, thence to São Paulo in Brazil, finally ending up at Chicago in the autumn of 1947 and from there settling down at the Institute for Advanced Study in Princeton (from 1958 until his death). What is interesting to note here is that he wrote several long letters to de Rham from S. Paulo and from Chicago describing his own work and taking keen interest in de Rahm’s work with Bidal (1946–47); de Rham’s replies are also fairly detailed. A reproduction of their exchange of letters with a careful study of their contents will need a small booklet. We remark in passing that during the period 1940–46, Weil managed to write his books L’intégration dans les groupes topologiques et ses applications (1940) and Foundations of algebraic geometry (1946) as well as several important papers on varying subjects, carrying on vigorously his work for Bourbaki as well (cf. Weil’s three volumes of Collected Papers, Springer, 1978). Backtracking a little, we consider briefly some correspondence of mathematical importance with Kurt Werner Friedrich Reidemeister (1893–1971) and Wolfgang Franz (1905–1996). Reidemeister’s letter from Marburg (dated 10 April 1935) informs de Rham of his complete solution of the homeomorphy problem for 3-dimensional lens spaces (by using the socalled Reidemeister invariants, a term de Rham used in the title of his 1935 conference in Moscow, item [8] of [9]); Franz had indicated in his letter (of 20 June 1935) a complete solution in higher dimensions and de Rham mentions both these facts in his above-mentioned paper given at Moscow, indicating that he had an independent proof of Franz’s theorem. Let us recall that Reidemeister had been forced to move to Marburg in 1933 (from Königsberg) because of his conflict with the Nazi student demonstrators

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(Hitler had been appointed Reichskanzler on 30th January 1933 by President Hindenburg); Reidemeister, however, maintained his full professorship in Marburg, where Franz was his assistant and where Franz obtained his Habilitation in 1936, moving on eventually to the University of Frankfurt where he retired in 1974. De Rham seems to have remained in contact with Franz for many years subsequently, both mathematically and otherwise. Several of de Rham’s later papers refer to Franz’s work while he was generalizing it to his theory of “complexes with automorphisms”, a subject to which de Rahm devoted several papers (e.g., items [11], [22], [49], [50], [51] in [9]). The subject of Reidemeister–Franz–Whitehead (J.H.C.)-torsion seems to have grown in importance, if we follow the 2001 report of Andrew Ranicki, since it allows a finer classification of spaces than that given by homology and other invariants. In January 1938, de Rham gave lectures at Hamburg (Über mehrfache Integrale) on the invitation of Blaschke; this is the only paper in German in his Œuvres (item [10] of [9]). Then in September 1938, he was invited to lecture at a German Physics-Mathematics meeting (14. Deutscher Physikerund Mathematikertag, Baden-Baden, 11–16 September 1938). His talk Sur un procédé de formation d’invariants intégraux was published (and given) in French in the Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung in 1939 (item [12] of [9]). Invited to become a member of the German Mathematical Society (Deutsche Mathematiker-Vereinigung, DMV) he did so in 1938; according to DMV records, he did not renew his membership afterwards. He was again invited to attend a meeting in Münster in July 1939; this however he declined (for reasons of health). Recall that 1938 was the year of Munich (29 September), the Anschluss (12 March) and the Kristallnacht (10 November), amongst other things; by 1 September 1939, the German army had crossed into Poland and by 3 September 1939 Britain and France had declared war. Of course, since the accession of the Nazis to power in 1933, many terrible things were happening in Europe; curiously, the correspondence received by de Rham leaves hardly any echo of any of this. There is a pathetic circular letter from Arthur Rosenthal’s old mother (dated 4 December 1938) stating that her son was in Dachau and asking for help; Rosenthal (1887–1959), who was a full professor at Heidelberg (since 1930, specializing in measure theory and real variables) somehow escaped to the USA by 1940 and ended up as a full professor at Purdue University. While all of these terrible things were happening (not just in Europe but elsewhere also) what impresses us is the desire of the mathematicians to continue with their mathematical research. In 1939, the Jubilé scientifique of Élie Cartan was organized, de Rham being one of the invited persons. In June 1939 a Convegno Volta was organized by Francesco Severi in Rome for 22–28 October 1939, and de Rham received an invitation to participate,

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in a letter signed by Severi and Luigi Federzoni, once the fascist minister of interior and now Presidente della Reale Accademia d’Italia.2 We have seen documents which prove that de Rham’s invitation had been allowed only after a preliminary verification that he was neither Jewish nor anti-fascist. De Rham had accepted to attend the meeting (with his sister), which was however cancelled officially by a letter dated 21 September 1939 (signed by F. Severi) “on account of the prevailing international situation”. We shall at this point refer to his extensive correspondence with Béla Kerékjártó (1898–1946), the Hungarian mathematician from whose topology book (of 1923) de Rham had acquired much useful information while preparing his thesis (in 1926–1930); the correspondence starts in 1937 and continues through to 1946 when Kerékjártó died of ill health resulting, it seems, from lack of suitable medical care. De Rham had visited Kerékjártó in May 1940 (giving a lecture in Budapest) and had tried his best to help the latter by inviting him to come to Geneva (with his ailing daughter) in 1945–46, offering him through the University authorities in Geneva comfortable conditions of staying there for a while. In general, the Swiss mathematicians tried to do whatever they could to help their colleagues elsewhere as is shown by several circulars and letters which we have. For example, Sophie (Alice Caroline) Piccard (1904–1990) from the University of Neuchâtel (she had done her thesis in Lausanne in 1929 under Mirimanoff and was herself of Russian origin) wrote several letters in 1940 and later to de Rham indicating the need to help certain mathematicians in Poland; there is an interesting circular letter from Rolin Wavre (1894–1949, professor at the University of Geneva), dated 24th January 1940, sent to Piccard, de Rham and Hopf, agreeing with their desire to help colleagues, but pointing out the need for some circumspection due to the prevailing political situation. We recall that, by 1940, the Fascist regime was strongly in power in Italy, as were the Nazis in Germany, and Franco’s total victory in Spain (with the help of Italy and Germany) over the republicans there was an accomplished fact. As it turned out, by July 1940, France had fallen (divided for the time being into an occupied zone and a zone where the Vichy collaborationist regime reigned supreme) as had many other small countries in Europe (Belgium, Holland, Denmark, Norway). The feeling of being surrounded by hostile powers was therefore a perfectly natural one, specially for those living in areas like Geneva, Lausanne, Basel, Zurich or Neuchâtel within a stone’s throw from alien territories occupied by bellicose forces. What is remarkable though, is that much mathematical cooperation continued in a very fruitful way as shown in the de Rham correspondence of the period. Thus de Rham himself visited Clermont-Ferrand in November 1940 and again in autumn 1942; many of his French mathematical friends 2 and

Cavaliere dell’Ordine Supremo della Santissima Annunziata.

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were there, having moved from occupied Strasbourg and Nancy (e.g., Henri and Élie Cartan, Charles Ehresmann, Jean Dieudonné, André Lichnerowicz, …, cf. Schwartz’s autobiography Un mathématicien aux prises avec le siècle, Odile Jacob, 1997, p. 155). In 1940, de Rham may have met both Schwartz and Feldbau at Clermont-Ferrand; Feldbau’s letter to de Rham (dated 21 November 1940, Document 2) is interesting. Jacques Feldbau (1914–1945) was a student of Ehresmann whose promising mathematical career ended in a concentration camp (cf. Schwartz’s autobiography cited above); nevertheless, Feldbau managed to publish several papers (some under the pseudonym Jacques Laboureur, one jointly with Ehresmann) in the theory of fibre bundles which was in its infancy then (cf. Steenrod’s account of the Ehresmann–Feldbau work in N. Steenrod’s book The topology of fibre bundles, Princeton University Press, 1951). We may mention here that in de Rham’s mathematical unpublished papers there are some ten pages of an attempt for the development of a theory of fibres spaces; the pages are dated 1939 and this was later somewhat elaborated, but none of this seems to be at a publishable stage. A very interesting fact, described in detail in Schwartz’s autobiography (mentioned above, cf. pp. 238–240), concerns de Rham’s 1942 visit to Clermont-Ferrand when the latter lectured on a tentative theory of courants (not yet named as such); at this point, Schwartz had not yet worked on his own distribution theory. Schwartz remarks that during a conversation with de Rham they speculated on a possible extension of the theory when de Rham apparently said “Ce n’est pas pour nous, ce sera pour la prochaine génération”. As we know, things moved much more rapidly; Schwartz’s distribution theory was ready in 1944–45 and de Rham had already worked out his theory of courants by 1947 (see Documents 6, 7). At this point, we may mention Ehresmann’s considerable exchange of letters with de Rham; their acquaintance went back to their stay in Göttingen in 1930–31 and this seems to have developed into a friendship with considerable mutual esteem. We have reproduced (Document 5) a letter of Ehresmann (dated January 3, 1946) which, besides being interesting in itself for the light it throws on the events in France during 1940–45, gives an indication of their friendship. We may note that de Rham later recommended one of his best students, André Haefliger, to go and do his doctoral work with Ehresmann in 1954 at the University of Strasbourg (cf. Haefliger’s account of this in [1], pp. 69–72). The collected works of Ehresmann (1905–1979) were published in 1983 in Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle, a journal Ehresmann had founded around 1958. We return to our theme of mathematicians meeting each other in the midst of a world-wide war. De Rham himself undertook some hazardous trips. One of the most dangerous seems to have been his trip to lecture

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at the University of Munich on 28 January 1944 at the invitation of Georg Faber (1877–1966). The bureaucratic arrangements to obtain the permission to travel between Lausanne and Munich were indeed very complicated; in one long form filled out by de Rham (for the German authorities) he had to spell out his religious affiliation as “Protestant” and declare himself as “Nicht Juder [sic]”. Finally, for reasons not clear to us, de Rham travelled accompanied by the physics professor from Lausanne Ernst Stückelberg von Breidenbach (1905–1984), belonging to an aristocratic family of Basel (Baron Souverain du Saint Empire) who did some distinguished work in theoretical physics. They arrived in Munich on the evening of 26 January 1944 and were met by Carathéodory at the station. De Rham’s lecture was entitled Sur les formes différentielles harmoniques dans un espace de Riemann. Faber then thanked de Rham in a letter dated 7 February 1944 for his visit and for the reprints he had been given. All this in the midst of a very heavy bombing campaign of the Allies in various parts of Germany! A more curious meeting (to which finally de Rham did not go) was organized by F. Severi (1879–1961) for the beginning of November 1942 (Convegno internazionale di matematica). In his letter of invitation (dated 7 October 1942) Severi indicated that only the participation of mathematicians of Belgio, Bulgaria, Croazia, Germania, Italia, Norvegia, Romania, Spagna, Svizzera, Ungheria was planned. Heinz Hopf in Zurich was also invited; Hopf (who had excellent contacts with de Rham; more on this later) asked de Rham in a letter dated 18 October 1942 whether de Rham was planning to attend and that he himself had refused, giving the excuse of overwork. Recall that, at this time, Italy had been at war against France and that the Mussolini government had already passed in September 1938 its racial laws which essentially excluded its most eminent scientists (like Levi-Civita, Enriques, Castelnuovo, Fubini, Volterra, …) from association with research and teaching in Italy (cf. the book Scienza e razza nell’Italia fascista, il Mulino, Bologna 1998, by G. Israel and P. Nastasi). We shall see later that Hopf knew perfectly well the dangers for any one of Jewish origin of travelling in such countries with racial laws. De Rham however had been to Rome on a visit during the spring of 1942 which apparently had been quite agreeable; in any case, he wrote a formal letter to “Son Excellence le Président de la Réunion Volta” on 23 October 1942, indicating his impossibility to participate due to overwork. De Rham seemed to be fairly unconcerned about political matters; this came out rather clearly when Enrico Bompiani (1889–1975) was invited to lecture to mathematicians in Lausanne without the latter being consulted about the visit at all. De Rham’s colleague Marchand (whom we have already mentioned before) seemed to have been more sensitive to such issues; we do not know of Marchand’s political feelings; however he took much excep-

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tion to the fact that Bompiani was being parachuted on the Cercle Mathématique of Lausanne through a direct invitation of the Istituto Italiano di Cultura, Losanna, with the complicity of the University authorities. Recall that Bompiani (like Severi) was an active member of the Fascist party in Italy and their actions, after the establishment of the racial laws in Italy, were not glorious. Marchand may also have recalled the conferring by the University of Lausanne of a doctorate honoris causa in 1937 to Benito Mussolini, at a time when the fascist dictator was carrying on actively in the Spanish Civil War and had already accomplished his bravura attacks on Ethiopia in 1935. To the great credit of the later University of Lausanne, the Rector of the University (in 1987) instigated a very thorough study of the whole episode for the 450th anniversary of the Academy in Lausanne. A book written on the subject is Des palmes académiques pour Benito Mussolini, L’Age d’Homme, Lausanne 2004, by Jean-Christian Lambelet. The Swiss mathematicians on their side organized various encounters with their French colleagues as much as was possible. An important one was organized by the Cercle Mathématique on 25 October 1942 with the participation of Lichnerowicz, Brelot, Ehresmann, Ferrand, Malécot (amongst the French). The organization was not a minor task, given the difficulties of the times; de Rham took full part in this. There is, of course, much more, even during the years 1935–1945; for example, interesting mathematical correspondence with Heinz Hopf and his student Eduard Stiefel, letters exchanged with Siegel concerning the work of one of de Rham’s promising students Pierre Humbert (1913–1941) whose unexpected death obliged de Rham to see to it that his important work on algebraic number theory was finally published. The death of Humbert induced the mathematicians in Lausanne to invite Beno Eckmann (1917–2008), then a young and very promising student of Hopf to come and join the Faculty in Lausanne over the period 1942–1948; unfortunately for the mathematicians in Lausanne, Eckmann was offered a professorship at the ETH in 1948 where he continued to do brilliant research in the most varied fields of mathematics (topology, geometry, algebra, complex manifolds, etc.), producing perhaps the largest number of successful students who went on to occupy professorial positions in several universities of Switzerland and all over the world. It would take much more space to develop Eckmann’s career (as well as that of the eminent mathematician E. Stiefel mentioned above) but fortunately in [4] there is much valuable information on this score. The correspondence from the post-war period is, as is to be expected, of a much more undramatic nature (except for two incidents which we prefer to develop separately). There are long letters from young mathematicians like Georges Vincent (1916–1999) and André Delessert (born 1923) on

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mathematical matters – both of whom became professors at the University of Lausanne. There are many letters to and from Haefliger, de Rham trying to enrol him for Geneva, letters from Kervaire and so on. As light diversion, let us cite a letter from Hermann Weyl (July 1954) who was to report on Kodaira’s (Fields Medal winning) work at the ICM 1954 in Amsterdam; Weyl writes “[this] causes me considerable headache since I know nothing of algebraic geometry nor of faisceaux”. There are long letters from Serre (March 1954) concerning complex manifolds and the use of faisceaux, and de Rahm’s detailed reply along with related correspondence with H. Cartan. There is a very technical (somewhat long) letter to Harishchandra concerning the calculation of some constants in the fundamental solution of the hyperbolic equation 2 2 − · · · − Dp+q )f = δ (D12 + · · · + Dp2 − Dp+1

related to de Rham’s paper item [40] in [9]; this correspondence continued in 1959. There is a letter from Herbert Seifert (1907–1996) dated 5 August 1949, informing de Rham of the death of William Threlfall (1888–1949); de Rham had met both Seifert and Threlfall during his visit to Baden-Baden in 1938 at the DMV meeting mentioned before. During the difficult post-war years, de Rham had organized much help for Threlfall and later to Seifert. A postcard (Document 8) from Erich Kähler’s mother is interesting: it requests de Rham to send his reprints on Hodge Theory (more or less exact references are given; these are items [14] and [16] of [9]) to her son who was then in a prison camp in France. Erich Kähler (1906–2000) eventually became a full professor at Hamburg; his collected works were published in 2003 by Walter de Gruyter. We feel that we have given some idea of the flavour of the immediate post-war correspondence; a complete coverage of the later period would require much more space and effort. Instead, we now turn to two isolated episodes from the period 1945–47 which merit some clarification.

The case Bidal In a long letter from São Paulo (dated 26 Sept. 1946) Weil writes at length to de Rham on the latter’s work on Hodge Theory (with Bidal) and amongst other things, mentions Kähler’s Prison Camp address in France (see above Kähler’s mother’s postcard to de Rham). He then gives his own ideas on the subject, complimenting de Rham warmly on his work and essentially encouraging the latter not to waste any time on teaching and even to go to a foreign country to achieve this. At the end of the long typewritten letter,

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Weil adds (by hand) “P.S. Qui est Bidal?”. On 19 October 1946, de Rham gives a detailed (typewritten) reply containing various mathematical ideas. At the end, he explains that the paper written with Bidal is, in fact, a thesis which Bidal had written under his (de Rham’s) direction but that, in order to finish it, de Rham had to undertake the complete redaction. This seems to us as the true state of affairs, stated as briefly as possible. Since many rumours had circulated about the matter, we feel that a further clarification seems useful now. Pierre Bidal (1914–1964) had done a licence ès sciences mathématiques in 1937 at the University of Lausanne; this is according to Bidal’s brief biography in [2], p. 595; according to de Rham’s report of 16 Dec. 1945 to members of the Jury for Bidal’s thesis, MM. Ch. Blanc and B. Eckmann, Bidal’s Licence was from Autumn 1936; this is a very minor difference. Bidal then proceeded to work for three years on mathematical physics, learning integral equations, tensor calculus and other matters with great zeal while at the same time holding a teaching position at the Collège of Aigle. All of this and what follows is taken from de Rham’s report. In 1940, Bidal approached de Rham for advice, looking for a thesis topic to be guided by de Rham. The latter proposed to Bidal the study of the harmonic differential forms of Hodge. In particular, de Rham asked Bidal to extend Fredholm’s theorems to integral equations involving differential forms; Hodge’s treatment of this was lacunary and hence needed amendment. Summarizing de Rham’s report at this point, we may say that despite much effort on Bidal’s part in clarifying the problem, Bidal did not succeed and de Rham took over the whole matter in his own hands and worked out a complete theory; de Rham’s conclusion was that the problem was ill-suited for Bidal’s capacity but that seeing the amount of labour invested by Bidal and the fact that Bidal’s vain attempt had finally led de Rham to a solution, he proposed to the Jury that Bidal be granted a doctorate. The Jury accepted this recommendation and Bidal defended his thesis on the 29th Dec. 1945. The joint paper (Bidal–de Rham, item [14] of [9]) supplemented by an explanatory Avant-Propos (not published in item [14], given here as Document 4) was then used as Bidal’s thesis. We have seen the rough draft of a letter of de Rham to Bidal (composed at the end of the year 1945, written as “un collègue et un ami”. We cite some relevant passages: Si votre soutenance n’a pas été tout à fait comme vous l’espériez, ni comme je l’espérais de mon côté, cela est dû en effet en grande partie, me semble-t-il, à une erreur pédagogique de ma part. Je m’étais bien rendu compte que le sujet de votre thèse était trop difficile pour exiger que vous l’acheviez et c’est pour cela que j’ai terminé le travail. . . Vous avez réussi et obtenu le doctorat, c’est l’es-

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sentiel et c’est seulement ça qui compte en définitive . . . ne vous faites plus aucun souci, pas même pour l’avantpropos. . . Quant à l’impression, comme je vous ai dit, je m’en occuperai. We think that de Rham’s gesture here is kind and noble. The relations between de Rham and Bidal remained friendly (as can be gauged from their short letters to each other and Bidal’s continued presence at the Cercle Mathématique. Finally, in 1954, Bidal became a professeur au Cours de mathématiques spéciales (CMS as it has always been known here locally) at l’EPUL (the future EPFL). He continued to participate at the Cercle Mathématique and he himself gave a lecture in 1950. As far as we know, Bidal did not publish any further papers; he died in 1964.

The non-election of Hopf Heinz Hopf (1894–1971) came to the ETH in Zurich in 1931 as a successor of Hermann Weyl (cf. [4] for more details) and was undoubtedly one of the most outstanding and well-respected mathematicians of Switzerland during his life time. As is well known, he was one of the major topologists of the 20th century and his book with P. Aleksandrov Topologie, Erster Band (no further volumes were published) published by Springer-Verlag in 1935 remained for years a major reference in topology. He had many distinguished students (two of them, E. Stiefel and B. Eckmann, haver already been named). It was thus natural that his contacts with the other eminent Swiss topologist, de Rham, were close and they met as often as occasion permitted, cf. de Rham’s description of Hopf’s work as presented in Document 9 (unpublished). For our narrative, it is important to note that Hopf (and his wife) had become Swiss citizens by 26 June 1944. At the autumn 1947 session of the SMS (Swiss Mathematical Society) in Geneva, Hopf’s candidacy for the presidency of SMS for the two-year period 1948–1949 was refused, one of the reasons given being that Hopf was not born in Switzerland; there were other reasons as well (two of the three in the Committee would have been from the same University, namely ETH) but the last named reason upset a lot of people so that on 1 November 1947, a long letter of protestation signed by several leading Swiss mathematicians was sent to Fehr and Fueter. Then on 10 Nov. 1947, de Rham added his own personal voice regretting Hopf’s non-election. This kind of squabbling was unusual for SMS elections and has remained so until today. The eminent mathematician from Bern, Hugo Hadwiger (1908–1981), was then proposed, but Hadwiger refused his own election. Finally, after much polemical writing

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on different sides, they arrived at the following choice (in April 1948) for the Committee: Charles Blanc (president), A. Pfluger (vice-president), F. Fiala (secretary-treasurer). The whole discussion must have seemed very unpleasant to many and especially to Hopf who had undergone, in January 1939, a most disagreeable arrest and other humiliations at the hands of the Gestapo while on a visit to his parents (of Jewish origin) in Germany. This story had remained unknown until quite recently; thanks to a careful account presented by Urs Stammbach [10], we now are aware of this painful incident; the very discrete Hopf would probably not have told this to many, if any at all. Against this particular non-election, we can record Hopf’s election as the president of IMU for the years 1955–1958 (cf. next section).

ICM, IMU and Switzerland Before we proceed, we must clarify the relationship between ICM (International Congress of Mathematicians) and IMU (International Mathematical Union). Without going into the complex history of the birth of the present IMU in detail, let us recall the essential facts (as authoritatively presented by Olli Lehto in Mathematics without borders, Springer-Verlag, 1998; for further details this work is to be consulted and much of the present section is based on this book.) What has been called the old IMU came into existence after the first world war in 1920 and survived until 1932. The foundation of the new IMU dates from 1952 after much preparatory work spread over the years 1945–1951. Whereas all the eleven ICMs (between 1897–1950) were essentially based on the efforts and policies of the corresponding local organizers, from 1954 onwards a decisive role has been played by the Executive Committee of the IMU as regards the choice of the site and that of the scientific content of the ICMs. Thus the first and the ninth Congress held in Zurich (in 1897 and in 1932, respectively) had to be based on Swiss organization and direction; on the other hand, for the 22nd Congress held in Zurich in 1994, all the scientific planning was in the hands of the IMU, although, naturally, the physical organization of the ICM was entirely the responsibility of the Swiss mathematicians. We note in passing that, so far, Switzerland has been the only country where the ICM has met thrice (in Zurich, in 1897, 1932 and 1994). In the old IMU, W. H. Young (1863–1942), played an important part; although originally from Britain, Young had been living in Switzerland since 1909, and since 1915 he and his family (which included his wife G. C. Young (1868–1944), an active mathematician herself) were settled in the region of

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Lausanne. Young was a vice-president of the IMU during 1920–29 and president during 1929–32. Young held no academic position in Switzerland although he participated regularly in the mathematical activities of the region. Young’s friend, Henri Fehr, professor at the University of Geneva, (mentioned before as one of the founders of the Swiss Mathematical Society and of the journal L’Enseignement Mathématique) had the distinction of having attended all of the first eleven ICMs (held between 1897 to 1950), was a vice-president of the old IMU and very influential in the creation of the Commission on the Teaching of Mathematics which, under the acronym ICMI, has been a part of the IMU since 1952. We have already mentioned K. Chandrasekharan (born 1920); well known for his development of mathematical research at the Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, he had become a full professor at the ETH in 1965, retiring from there in 1987; his association with the new IMU in numerous capacities over the years 1955–1978 is best described in the words of Lehto (see reference above) as follows: “for decades he was spiritus rector in the Union” (i.e., IMU); in particular, he was the president of the IMU during 1971–1974. Other presidents of the IMU from Switzerland have been H. Hopf during 1955–1958, G. de Rham during 1963–1966 and Jürgen Moser (1928–1999, professor at ETH since 1980) during 1983–1986. Besides these presidents, we must mention B. Eckmann who was a member of the Executive Committee of the IMU 1955–1962, secretary 1956–1961 and, amongst other associations with the IMU, honorary president of the ICM 1994 in Zurich. Further, A. Borel was a member of the Consultative Committee for the ICM 1966 in Moscow and Chairman of the same Committee of the ICM 1978 in Helsinki (Both Borel and Eckmann have been discussed above). The activities of several others in different Committees of the IMU or the ICM (such as Fields Medal, ICMI, etc.) have not been listed. Let us recall that since 1950 the ICM has been organized every four years in varied locations and this has been one of the main tasks assigned to the IMU which has now taken up other activities as well in the promotion of mathematics internationally; the next ICM will be held in Hyderabad, India, in August 2010 which, as has become customary, will be preceded by a meeting of the general assembly of all the members of the IMU in Bangalore, India. Switzerland will be represented by four delegates at the general assembly. Acknowledgements. We thank Daniel Amiguet for his help with the history of de Rham’s family and in the technical lay-out of the article. We are very grateful to Annalisa Capristo for providing us with little-known documents about the fascist period in Italy.

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Document 2 Châteauroux 21 novembre 1940 Cher Monsieur J’ai bien reçu les tirages à part de vos travaux que vous avez eu l’amabilité de m’envoyer, et je vous en suis infiniment reconnaissant. Cela m’est d’autant plus utile que presque tous mes livres sont restés à Strasbourg et doivent être considérés comme perdus. MM. Ehresmann et A. Weil sont actuellement à Clermont Ferrand (puy de Dôme). M. Ehresmann est professeur à la Faculté des Sciences, 34 avenue Carnot. M. Weil attend son départ pour l’Amérique. Je m’intéresse surtout à des questions de topologie (espaces fibrés, parallélisme absolu dans les sphères, propriétés d’homotopie du groupe orthogonal etc.), et serais heureux de rester en rapport avec l’École Suisse qui s’intéresse à ces mêmes questions. Veuillez agréer, cher Monsieur, l’assurance de ma considération respectueuse. J. Feldbau

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Document 3 5/6/40 Mon cher ami, Me voici soldat depuis quelques semaines, après des péripéties compliquées dont je vous ferai le récit un jour et dont votre cousin (de la Légation Suisse à Londres) vous a peut-être dit quelque chose. Ma situation actuelle est enviable à bien des points de vue : à la campagne, quelque part dans le Cotentin, non loin de la mer ; le seul risque que je cours est d’engraisser. Je serais heureux d’avoir de vos nouvelles, de vous et de vos travaux. Pour moi, j’ai bien travaillé pendant quelques mois que j’ai récemment passés en prison, de février au début de mai. Vous avez dû recevoir ou vous allez recevoir incessamment une quinzaine de tirages à part d’une note aux ComptesRendus sur les corps de fonctions algébriques à corps des constantes finis. Je vous serais très obligé de bien vouloir en transmettre quelques-uns à tous ceux que le sujet peut intéresser, et à qui il me serait difficile de l’expédier moi-même actuellement. Je dois dire que je n’ai pas eu le temps de combler toutes les lacunes dans mes démonstrations ; le lemme essentiel (qui exprime le degré d’une correspondance par une trace) se démontre facilement, en théorie classique, par les fonctions thêta ; j’ai transposé une partie de la théorie de ces fonctions au cas abstrait, mais pas assez pour démontrer le lemme en question. Je ne crois pas cependant y trouver de grande difficulté quand je reprendrai la question. Bourbaki, jusqu’à ces tout derniers temps, a continué son activité. Vous avez dû recevoir le fascicule 1, paru en février ; les suivants (Topologie Générale) sont sous presse ou bien sur le point d’être envoyés à l’impression. L’intégration, qui nous avait longtemps arrêtés, est bien en route. Bien entendu, tout cela a dû être momentanément interrompu. Je commence aussi à y voir clair dans les intégrales de formes différentielles, l’idée étant en gros la suivante : par une forme de degré p dans une multiplicité M n , j’entends une distribution de masse sur une partie compacte de l’espace des simplexes S n−p dans M n ; cela comprend comme cas particuliers, d’une part le variétés V n−p , de l’autre les formes « classiques » de degré p, et même tous vos « courants ». Ecrivez-moi ce que vous en pensez (très probablement vous avez dû y penser de votre côté). Par une distribution de masse sur un espace compact j’entends naturellement une mesure de Radon, ou ce qui revient  au même une fonctionnelle linéaire continue des fonctions continues, f (x)d μ(x).

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Pour l’instant, mon adresse est : Soldat Weil André, 3e Section de la 205e C.M.P., Saint-Vaast-La Hougue, Manche. Mais le plus commode sera encore que vous m’écriviez à mon adresse de Paris, d’où mon courrier me suit. Meilleures amitiés A. Weil

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Document 5 Charles Ehresmann 11, rue de l’Observatoire Strasbourg Strasbourg, le 3 janvier 1946 Mon cher ami, Comment pourrais-je vous expliquer mon silence depuis la libération de notre pays ? Je suis inexcusable de ne pas vous avoir donné de signe de vie autrement que par l’envoi de deux petits tirages à part. C’est une suite de soucis mesquins qui est cause de ma négligence depuis plus de six mois je n’ai même plus répondu aux lettres de mes amis. J’espère que je pourrai enfin retrouver ma vie normale et penser sérieusement aux mathématiques. Ce n’est plus guère le moment de vous parler de ce qui s’est passé autour de moi dans la dernière phase de la guerre et après le libération. Vous savez qu’à Clermont nous avons eu quelques alertes sérieuses : des rafles par la Gestapo et des arrestations en grand nombre. Plusieurs fois je me suis senti menacé directement, principalement au moment de l’arrestation de mon beau-frère qui a été très actif dans la lutte clandestine contre les Allemands (Il a été déporté en Allemagne et comme il n’a plus donné aucun signe de vie nous avons abandonné tout espoir de le revoir). Personnellement je n’ai jamais été inquiété, peut-être parce qu’à plusieurs reprises j’ai vécu retiré à la campagne. Mes collègues mathématiciens et particulièrement les membres du groupe Bourbaki sont tous sortis indemnes de cette guerre, à l’exception de ce pauvre Jacques Feldbau qui a été déporté en Allemagne et y est mort d’épuisement quelques jours à peine avant la libération de son groupe de déportés par les Américains. Vous avez sans doute appris aussi la mort de nos deux philosophes mathématiciens : Jean Cavaillès fusillé par les Allemands au début de 1944 et Albert Lantzman fusillé à Bordeaux comme otage la veille de la libération de Bordeaux. La liste des victimes de la guerre et de la Gestapo parmi mes amis et dans mon entourage est terriblement longue. Depuis avril 1945 j’ai fait plusieurs voyages à Strasbourg et je suis définitivement ici depuis le premier septembre dernier. Je ne vous décris pas la joie que j’ai éprouvée à retrouver cette ville passablement mutilée par les bombardements mais toujours belle. Seulement la réinstallation à Strasbourg a posé un tas de petits problèmes dont le plus embêtant a été celui du logement. Il m’a déjà fait perdre tellement de temps que je n’ai aucune envie d’en parler aussi dans cette lettre. En fait, nous sommes installés dans un appartement que nous cherchons à quitter

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à la première occasion parce qu’il est trop vaste et sans confort. Mais vu la crise du logement, nous risquons d’y être encore quand vous viendrez nous faire une visite à Strasbourg. Je vous rappelle en effet votre promesse de faire une nouvelle visite à notre Université après son retour à Strasbourg. Je serais très heureux si vous pouviez tenir cette promesse au cours de cette année scolaire. Les circonstances ne permettrons sans doute pas encore l’organisation d’une brillante réunion de mathématiciens, comme je l’aurais souhaité pour marquer la reprise de notre activité à Strasbourg. Mais si vous vouliez bien accepter de faire ici une ou plusieurs conférences, vous seriez assuré de trouver un petit cercle d’auditeurs auxquels vous feriez un très grand plaisir. Parmi eux il y aurait mes collègues mathématiciens et une dizaine de mes élèves qui s’intéressent à la Topologie. J’ai en effet commencé un cours de Topologie où, après une introduction à la Topologie générale (comprenant essentiellement le chapitre I de la Topologie de Bourbaki), je compte développer la théorie des espaces fibrés et ses applications aux variétés différentiables et aux groupes de Lie. Au deuxième semestre il y aura de même un cours de Topologie algébrique (Homologie) par Henri Cartan. Vous savez peutêtre déjà que Henri Cartan s’est fait détacher de la Sorbonne pour revenir à Strasbourg. Je pense donc qu’il ne vous serait pas difficile de trouver un sujet qui intéresserait beaucoup de gens ici. Pour que les étudiants soient un peu mieux préparés à comprendre des exposés de Topologie (ou sur des sujets voisins), il conviendrait seulement de choisir une date du 2e semestre, de préférence dans la première quinzaine d’avril ou dans la quinzaine après les vacances de Pâques. Avant la fin de l’hiver votre séjour à Strasbourg risquerait d’être peu agréable. Après le 15 mai il est fort possible que je sois moi-même absent de Strasbourg, car j’envisage d’aller passer l’été prochain à Rio de Janeiro. J’ai adressé une invitation analogue à Hopf et je voudrais inviter également Eckmann. Si possible, il serait peut-être intéressant de faire coïncider les dates de vos visites ; cela formerait un petit meeting mathématique franco-suisse. Le Centre National de la Recherche Scientifique a mis à ma disposition un petit crédit qui me permettrait de rembourser vos frais de séjour en France par une somme de 5000 francs. Dans l’espoir d’une rencontre prochaine, nous vous adressons, ma femme et moi, nos meilleurs vœux pour l’année 1946. Ch. Ehresmann

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Document 6 G. de Rham

Le 7 janvier 1947

7, av. Bergières Lausanne Monsieur Laurent Schwartz 26, rue Saint-Michel Nancy

Cher Monsieur, Je vous remercie très sincèrement de vos tirés à part. Votre article des Annales de Grenoble m’a très directement intéressé, parce que vos idées permettent de donner une forme précise et générale à des notions un peu vagues que j’ai depuis l’époque où j’ai fait ma thèse, et que j’ai esquissées dans des conférences à Genève et à Hambourg (dont je vous envoie des tirés à part, avec quelques autres). Comme vous pensez aussi à l’application de vos idées à l’étude théorique des variétés et des formes différentielles, ainsi que vous le dites dans l’Introduction, je me permets de vous communiquer quelques réflexions sur ce sujet, suggérées par votre article. Dans l’espace à n dimensions E n , je considère les formes différentielles extérieures de degré p, à coefficients infiniment dérivables nuls hors d’un ensemble compact, et j’appelle distribution à p dimensions dans E n toute fonctionnelle linéaire T [ϕ] d’une telle forme ϕ, continue dans un sens facile à préciser comme dans votre définition. Le nombre g = n − p sera dit le degré de la distribution T . Une forme différentielle f de degré g définit une telle distribution, en posant f [ϕ] =

En

f ϕ.

Un champ d’intégration à p dimensions c aussi, en posant c[ϕ] = ϕ. c

Le couple (c, f ) d’un champ c à p +k dimensions et d’une forme f de degré k aussi, en posant (c, f )[ϕ] =

c

f ϕ.

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Ainsi les distributions contiennent comme cas particulier ce que j’appelais courant à p dimensions. Le produit extérieur d’une distribution T de degré g, par une distribution f de degré g qui est égale à une forme différentielle à coefficients infiniment dérivables, se définit naturellement en posant T f [ϕ] = T [f ϕ]. C’est une distribution de degré g + g . Cela étant, on reconnaît que toute distribution T de degré g peut se mettre d’une manière unique sous la forme T =



Ti1 ...ig dx i1 . . . dx ig

d’une somme de produits où Ti1 ...ig sont des distributions de degré 0.  La différentielle dT = dTi1 ...ig dx i1 . . . dx ig se définit directement en posant dT [ϕ] = (−1)g+1 T [dϕ]. Si g = 0, on définit  ∂T ∂xi dxi : c’est bien votre définition.

∂T ∂xi

en posant dT =

Si T est un champ c, dT est (au signe près) le champ égal au bord de c. Avec ces définitions, les théorèmes que j’ai établis au chap. 3 de ma thèse s’étendent aux distributions, et les mêmes méthodes de démonstration s’appliquent presque sans changements. Ainsi, dans E n , toute distribution T fermée (c’est à dire telle que dT = 0) de degré g est égale à la différentielle dS d’une distribution S de degré g − 1 (si g > 0) ; se réduit à une constante si g = 0. Ce dernier point, qui n’est autre que votre théorème « Une distribution dont toutes les dérivées sont nulles est égale à une constante », découle ainsi du lemme II, chap. 3 de ma thèse : soit ϕ0 une forme particulière de degré n telle que E n ϕ0 = 1, en dehors soit ϕ une forme quelconque de degré n (ϕ et ϕ0 sont nulles  d’un certain cube à n dimensions C) et soit k = 1[ϕ] = E n ϕ ; d’après le lemme 2 il existe une forme ϕ nulle hors de C telle que dϕ = ϕ − kϕ0 d’où T [ϕ] = kT [ϕ0 ] : T se réduit à la constante T [ϕ0 ]. Sur une variété close, au lieu de E n , une distribution fermée dont toutes les périodes sont nulles est homologue à zéro. Il faut définir les périodes d’une distribution fermée T comme étant les valeurs de T [ϕ] pour une forme ϕ fermée. Tout cela est si simple et facile après la lecture de votre article, que je ne doute pas que vous n’ayez déjà pensé à tout cela. Sur un espace de Riemann, la distribution adjointe T ∗ à une distribution T se définit en posant T ∗ [ϕ] = (−1)pg T [ϕ∗ ], p étant la dimension de T et le degré de ϕ∗ , g = n−p la dimension de T ∗ et le degré de ϕ. Les opérateurs que j’ai appelés δ et Δ s’appliquent alors aux distributions. Je crois avoir reconnu qu’avec l’aide de la méthode que j’ai exposée à Strasbourg pour

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les formes différentielles harmoniques (et qui va paraître aux Annales de Grenoble) on peut prouver que toute distribution harmonique est égale à une forme différentielle harmonique (ce qui fait prévoir le caractère totalement elliptique de l’opérateur Δ). On peut montrer aussi que l’équation ΔT = S, où S est donnée, a une solution T si S est orthogonale aux formes harmoniques, c’est-à-dire si S[ϕ∗ ] = 0 pour toute forme harmonique ϕ de même degré que S, et ce que j’ai appelé le théorème de décomposition s’étend alors aux distributions. Mais cela appelle encore des recherches, il y a encore bien des problèmes qui méritent d’être étudiés dans cette théorie des formes différentielles harmoniques. Je crois qu’on ne pourra plus le faire sans utiliser vos idées. C’est vous dire tout l’intérêt que j’y porte et avec quelle impatience j’attends la monographie que vous nous annoncez. En vous félicitant très vivement et sincèrement, et en vous remerciant encore de votre envoi, je vous prie de croire, cher Monsieur, à mes sentiments les meilleurs. G. de Rham

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Document 7 F A C U LT É

DES SCIENCES M AT H É M AT I Q U E S

Nancy, le 3 février 1947 Cher Monsieur, je ne suis rentré que récemment d’un séjour à Paris, et j’ai été très heureux de trouver ici vos tirages à part et votre lettre. Naturellement la topologie n’a pas été étrangère à mes recherches. Je me souviens avec intérêt d’une conversation que nous avons eue à Clermont-Ferrand (à la Marquise de Sévigné, si je ne me trompe !) en 1942, à la suite d’une conférence que vous aviez faite pour la faculté de Strasbourg. Je connaissais vos travaux sur les “ courants” et vous m’avez indiqué qu’il y aurait intérêt à unifier d’une façon simple la théorie des champs et celle des formes (unification réalisée pour les dimensions 0 et n sur une variété à n dimensions par l’intégrale de Stieltjes). Les idées que vous développez dans votre lettre sont bien celles que j’avais, et les démonstrations à peu près identiques. J’en ai parlé à « Bourbaki » l’année dernière lors de la présence de Chevalley à Paris. J’ai en vue encore d’autres applications (notamment aux groupes de Lie). Je suis malheureusement très surchargé de travail et je manque de temps pour mettre tout cela au point. En ce qui concerne les formes harmoniques, je pense aussi qu’on peut leur appliquer avec fruit la théorie des distributions, mais je n’y ai jamais réfléchi : je serais très heureux que vous fassiez progresser la question ! J’ai commencé la rédaction de la monographie. Je ne sais pas bien encore ce que je mettrai dedans. Les développements relatifs aux transformations de Fourier et Laplace (calcul symbolique) sont assez longs. Il est possible, pour ne pas trop allonger, que je réunisse les résultats topologiques dans un mémoire séparé. De toute façon je vous enverrai dès que possible une copie dactylographiée du manuscrit, quand je l’aurai terminé ! Je vous remercie encore. J’ai été particulièrement content de voir que mes idées trouvaient chez vous un écho aussi favorable. Croyez à mes sentiments dévoués L. Schwartz

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Document 8

Kähler Leipzig W33 Markt 2 II r Deutschland Leipzig, den 20.4.47

Sehr geehrter Herr Professor! Mein Sohn Erich Kähler bittet mich aus seinem Gefangenlager doch einmal an Sie zu schreiben und Sie zu bitten, ihm wieder einige Sonderabdrücke über Ihre Arbeiten, insbesondere über die Theorie von Hodge (Comm. Helv. 19 u. Ann. Grenoble) zu schicken. Er habe alle die wertvollen Sonderabdrücke verloren, auch alle seine Bücher und wäre Ihnen sehr dankbar dafür. Es ist ihm nicht gestattet viel Briefe zu schreiben, so bittet er mich darum, mich an Sie zu wenden. Seine Adresse ist: Oberleutnant Erich Kähler – Gefangennummer 831623, Depôt n◦ 401/II/13 Komp. Le Mans (Sarthe), Frankreich. Für Ihre Bemühungen herzlichsten Dank. Hochachtungsvoll Frau Elsa Kähler

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Document 9 DISCOURS SUR L’ŒVRE DE M. HEINZ HOPF, 16.12.1965 Georges de Rham C’est avec plaisir que j’accepte, à la demande de Monsieur le Doyen de la Faculté des Sciences, de parler ici de l’œuvre mathématique du Professeur Heinz Hopf. Avec plaisir, mais aussi avec appréhension car il m’est vite apparu impossible de faire en quelques minutes une revue même extrêmement sommaire d’une œuvre aussi considérable. Aussi je me bornerai à en relever quelques aspects, en essayant de faire pressentir le rôle qu’elle a joué dans l’évolution des Mathématiques depuis quarante ans. En tête de l’imposante liste des publications du professeur Hopf, nous trouvons un mémoire intitulé « Zum Clifford-Kleinschen Raumproblem ». C’est la première partie d’une thèse de doctorat, présentée à l’Université de Berlin en 1925 et parue dans les Mathematische Annalen. Le problème qui en fait l’objet consiste à déterminer les espaces doté d’une métrique à courbure constante positive. La donnée est donc une propriété géométrique locale de l’espace : courbure constante positive. Il s’agit d’en tirer les conséquences pour sa structure globale. Et la méthode de résolution fait intervenir la théorie des groupes, c’est-à-dire des notions d’Algèbre abstraite. Dans le beau volume publié récemment par l’École polytechnique fédérale sous le titre Selecta Heinz Hopf, ce premier travail ne figure pas. Faisant un choix, on a retenu d’autres travaux certes beaucoup plus importants, et tout choix implique des sacrifices. Cependant, il est intéressant de voir dans cette thèse de doctorat quelques caractères qui distinguent toute l’œuvre ultérieure de son auteur. D’abord, le choix d’un problème géométrique précis, qui excite l’imagination, et qui comporte ce passage du local au global qui conduit inéluctablement à la Topologie, dont il va être question dans un instant. Ensuite, une méthode d’attaque faisant appel à l’Algèbre abstraite. Enfin et surtout, un problème riche en substance, contenant en puissance des prolongements féconds, comme l’ont montré par exemple la thèse de notre collègue Georges Vincent, faite sous la direction même du professeur Hopf, et les récents et importants travaux du jeune mathématicien américain Joseph Wolf. En 1925, la Topologie était encore dans l’enfance. Les fameux mémoires du grand Henri Poincaré sur l’Analysis Situs, comme on appelait alors cette discipline, en avaient donné les bases au début de ce siècle. Mais ces mémoires pleins d’idées géniales contenaient aussi des obscurités et manquaient souvent de rigueur. Une seconde étape importante est marquée par le profond mathématiciens hollandais Léonard Brouwer dans ses travaux

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d’une rigueur inattaquable, mais trop difficiles pour l’immense majorité des mathématiciens de l’époque. Aussi la Topologie était-elle considérée en général comme un champ un peu en marge des mathématiques et on la cultivait peu. Pourtant, en un sens, c’était l’âge d’or de cette discipline. Elle offrait au jeune chercheur un immense terrain vierge. Aujourd’hui, cette Topologie occupe une place centrale dans les mathématiques, comme l’Algèbre. Elle fait l’objet de cours et d’examens dans les Universités, les publications qui s’y rapportent ne se compte plus. Mais que les jeunes se rassurent, il y a encore beaucoup à moissonner et les problèmes sont encore nombreux qui attendent leur solution. Ce prodigieux développement est dû dans une très large mesure à l’œuvre de Heinz Hopf. Voici quelques unes des directions où il a donné une impulsion décisive. Poincaré et Brouwer avaient montré que, sur les sphères de dimension paire, tout champ de vecteurs a au moins un point singulier. Dans un travail fondamental, Hopf montre qu’il en est de même sur toutes les variétés dont la caractéristique de Euler-Poincaré n’est pas nulle, et sur celles-là seulement. Il pose le problème analogue pour les système de champs de vecteurs et la thèse de M. Stiefel, faite sous sa direction, est à l’origine d’un des chapitre importants de la Topologie, la théorie des classes caractéristiques. Hopf attire l’attention sur le difficile problème que présentent à cet égard les sphères. Un premier résultat important est obtenu, sous son impulsion, par M. Eckmann, puis une véritable compétition internationales s’engage et suscite les travaux de Henry Whitehead, Steenrod, Kervaire, et enfin Frank Adams. Une autre direction, d’ailleurs connexe car tout se tient, c’est la théorie de l’homotopie, à laquelle de beaux théorèmes de Hopf et la découverte de ce qu’on appelle aujourd’hui l’invariant de Hopf ont donné aussi une impulsion extraordinaire. Il faut mentionner la topologie des espaces de groupes et de leur généralisations, qu’on appelle aujourd’hui les espaces de Hopf (ou H-espaces). Et, dans une direction très différente, les deux mémoires intitulés « Le groupe fondamental et le deuxième groupe de Betti » et « Sur les groupes de Betti d’un groupe quelconque » sont véritablement la source d’une immense série de travaux qui ont constitué un nouveau chapitre important de l’Algèbre, l’Algèbre homologique. J’arrêterai ici cette énumération très incomplète, et je parlerai pas des travaux pourtant aussi très importants de pure Géométrie. Toutes les publications de Heinz Hopf se distinguent par leur présentation d’une clarté et d’une élégance parfaites. Ce souci de la forme et de la présentation, malheureusement trop rare aujourd’hui, est sans doute l’une des causes du succès de l’enseignement du professeur Hopf, à côté du charme de sa personnalité, empreinte de modestie et d’humour, et de son hospitalité si cordiale.

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Qu’il me soit permis, à ce propos, de rendre un très respectueux hommage à Madame Heinz Hopf, que la maladie empêche aujourd’hui d’être autrement qu’en pensée avec nous. Une trentaine de jeunes mathématiciens ont fait leur thèse de doctorat sous la direction du professeur Hopf. La plupart occupent maintenant des chaires universitaires, en Suisse et à Lausanne en particulier, dans plusieurs pays d’Europe et d’Amérique. Dans le Colloques et les grands congrès internationaux, la participation du professeur Hopf a toujours été essentielle. En Suisse, nous sommes fiers de le compter parmi les nôtres et nous lui sommes reconnaissant de sa fidélité que les appels flatteurs de grandes universités étrangères n’ont pas réussi à ébranler. Nombreuses sont les distinctions dont il a été honoré. Citons en particulier : Dr. Phil. Universität Berlin, 1925 Membre de la Société mathématique de Moscou, 1930 Dr. Sc. h.c. Princeton University, 1947 Korrespondierendes Mitglied der Heidelberger Akademie der Wissenschaften, 1949 Gauss-Weber Medaille, Göttingen, 1955 Honorary Member London Mathematical Society, 1956 Foreign Associate National Academy of Sciences of the USA, Washington, 1957 Membre honoraire de la Société Mathématique Suisse, 1957 Dr. der Naturwissenschaften h.c., Universität Freiburg /Br., 1957 Dr. sc. h.c. University of Manchester, 1958 Mitglied der Deutschen Akademie der Naturforscher Leopoldina, Halle, 1958 Foreign Honorary Member American Academy of Arts and Sciences, Boston, 1961 Member American Philosophical Society held at Philadelphia for promoting useful knowledge, 1962 Socio straniero dell’Accademia nazionale dei Lincei, Roma, 1962 Dr. h.c. de l’Université de Paris, 1964 Dr. h.c. de la Faculté des sciences, Université libre de Bruxelles, 1965 Nous sommes heureux que l’Université de Lausanne puisse, à son tour, lui témoigner aujourd’hui notre admiration et notre reconnaissance

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S. Chatterji and M. Ojanguren

References [1] D. Bach, O. Burlet and P. de la Harpe (Eds.), Georges de Rham, 1903–1990. Imprimerie Dupuis S.A., Le Brassus 1995. [2] M. Cosandey, Histoire de l’École Polytechnique de Lausanne: 1953–1978. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne 1999. [3] J. Dieudonné, A history of algebraic and differential topology, 1900–1960. Birkhäuser, Basel 1989. [4] G. Frei und U. Stammbach, Die Mathematik and den Zürcher Hochschulen. Birkhäuser, Basel 1994. [5] A la mémoire de Gustave Juvet, 1896–1936. Université de Lausanne, Imprimerie La Concorde, Lausanne 1937. [6] H. Lebesgue, Œuvres scientifiques. 5 vol., L’Enseignement Mathématique, Genève 1972–1973. [7] P.-D. Methée, Les mathématiques à l’Académie et à la Faculté des Sciences de l’Université de Lausanne. Université de Lausanne, Lausanne 1991. [8] M. Plancherel, Mathématiques et Mathématiciens en Suisse (1850–1950). Enseign. Math. (2) 6 (1960), 194–218 (1961). [9] G. de Rham, Œuvres mathématiques. L’Enseignement Mathématique, Genève 1981. [10] U. Stammbach, Ein Zwischenfall dem Heinz Hopf 1939 in Karlsruhe ausgesetzt war. Math. Semesterber. 56 (2009), 233–250.

* The bibliography has been kept to a strict minimum; several relevant references are to be found at the appropriate places of the essay. A preprint of Michèle Audin, Publier sous l’occupation I. Autour du cas de Jacques Feldbau et de l’Académie des Sciences gives considerable further information concerning Feldbau’s work. For information concerning members of the German Mathematical Society (DMV) the publication Mitgliedergesamtverzeichnis der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1890–1990 (Editor: Michael Toepell,Institut für Geschichte der Naturwissenschaften der Universität München, München 1991) is very useful. For facts concerning mathematicians in Germany and Austria who suffered under the Nazi rule, consult Mathematiker auf der Flucht von Hitler by Reinhard Siegmund-Schultze, Vieweg, 1998. An English updated version of this work was published by Princeton University Press in 2009.

Les mathématiques appliquées à l’École polytechnique de Lausanne Jean Descloux et Dominique de Werra∗ Les mathématiques appliquées à l’École polytechnique de Lausanne naissent et se développent grâce au Professeur Charles Blanc auquel cet article est consacré. Pour comprendre son œuvre, il est utile d’en esquisser d’abord le contexte. L’École polytechnique voit le jour en 1853 sous le nom d’« École spéciale » avec un statut d’institution privée. En 1869 elle est rattachée à l’Académie de Lausanne qui deviendra Université en1890. Dès cette date et jusqu’en 1946, elle est « École d’ingénieurs de Lausanne » (EIL) et fait partie de la Faculté des sciences. En 1941, le nouveau directeur, Alfred Stucky, sent son École à l’étroit dans le cadre de la Faculté ; il obtient en 1946 son rattachement direct aux autorités de l’Université et du Canton de Vaud ; ce sera l’EPUL, École Polytechnique de l’Université de Lausanne. Enfin, nouvelle métamorphose, en 1969, l’EPUL se transforme en École polytechnique fédérale de Lausanne, EPFL. Charles Blanc est né Lausanne le 1er juillet 1910. Après un baccalauréat « classique et mathématiques spéciales », une licence ès sciences mathématiques et physiques à l’Université de Lausanne en 1932, il devient docteur ès sciences mathématiques pour sa thèse intitulée « Les surfaces de Riemann des fonctions méromorphes », et défendue le 29 juin 1937 à la Faculté des Sciences de Paris. Notons que son directeur de thèse est le célèbre professeur Georges Valiron. A cette même époque, il effectue un séjour à Göttingen qui l’a beaucoup marqué et il enseigne, comme chargé de cours à l’Université de Lausanne (1936–1942). En 1942, il est nommé professeur extraordinaire à l’École d’ingénieurs. Cette date marque le début des mathématiques appliquées à Lausanne. En effet, Alfred Stucky lui confie la mission, acceptée avec enthousiasme, de créer des cours et des activités dans cette discipline. Alfred Stucky est un personnage de grande envergure, fondateur d’un bureau de génie civil de réputation mondiale, homme de technique mais aussi homme de science. Charles Blanc aimait à raconter cette anecdote : dans le cadre d’une étude pour déterminer la distribution de tuyaux de refroidissement dans un bar∗ Les auteurs de ce texte ont puisé dans les sources suivantes: Pierre-Denis Methée, Les ma-

thématiques à l’Académie et à la Faculté des sciences de l’Université de Lausanne, Université de Lausanne, 1991; Histoire de l’École polytechnique de Lausanne: 1953–1978, Ouvrage collectif à l’initiative de Maurice Cosandey, Presse polytechniques et universitaires romandes, 1999, en particulier deux contributions de Jean de Siebenthal, souvenirs personnels.

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rage en construction, Stucky rencontrait des difficultés dans l’utilisation de fonctions de Bessel. Consulté, Charles Blanc localisa rapidement la source du problème ; il semble que la suite de l’étude fut confiée à l’Institut de mathématiques appliquées nouvellement créé. Fort de ses convictions et de l’appui de son directeur, il se met immédiatement au travail. Il introduit, pour les étudiants du premier semestre, un cours de « méthodes numériques et graphiques ». Il est intéressant de noter que ces termes figurent déjà dans une lettre que Ferdinand Gonseth envoyait en 1927 au directeur de l’EIL Jean Landry qui l’avait contacté en vue d’une éventuelle nomination ; Gonseth proposait une extension très ambitieuse des mathématiques à la Faculté de sciences et à l’EIL ; pour des raisons diverses, ces relations ne se sont pas concrétisées. Le programme du nouveau cours était semblable à celui d’« angewandte Mathematik » que Stiefel donnait au Poly de Zürich : résolution de systèmes linéaires d’ordre 3 avec la règle à calcul, tables numériques et abaques, intégration numérique, équations différentielles. . . Plus audacieuse était l’introduction d’un cours de « mathématiques appliquées » pour les ingénieurs des 3ème et 5ème semestres. Ce cours, qui a fait l’objet d’un volume intitulé « Les équations différentielles de la technique » (Edition du Griffon, 1947) traitait des équations différentielles, aussi bien ordinaires qu’aux dérivées partielles, problèmes aux valeurs propres, séries de Fourier, méthodes variationnelles. . . En même temps, Charles Blanc crée l’« Institut de mathématiques appliquées » (IMA) destiné à promouvoir la recherche ainsi qu’à offrir des services aux différentes sections de l’École, à des bureaux d’ingénieurs et à l’industrie. Équipé initialement de tables numériques et d’appareils graphiques (planimètres, intégraphe, analyseur de Fourier), l’IMA acquiert, dès 1955, des calculateurs mécaniques permettant d’effectuer les quatre opérations et les produits scalaires. Pierre Banderet (1919–2008) chef des travaux et plus tard professeur à l’Université de Neuchâtel, était un expert dans le maniement de ces machines. Pour la construction d’un barrage, par exemple, il avait résolu un système linéaire d’ordre 30, à matrice pleine, par la méthode d’élimination ; cela supposait une organisation stricte, de la ténacité et du temps (trois semaines !) : un exploit pour l’époque. 1958 marque le début du « calcul électronique ». D’une curiosité insatiable, Charles Blanc, quelques années plus tôt, avait envoyé son chef de travaux en exploration à Cambridge pour s’initier à la programmation de l’ordinateur EDSAC. En partenariat avec l’Institut de photogrammétrie, l’IMA fait l’acquisition d’une « ZEBRA ». Conçue par un informaticien génial et réalisée par un constructeur qui l’était malheureusement moins, elle se programmait aisément grâce à un code interprétatif ; le tambour permettait la mémorisation de 1236 instructions et de 1236 nombres en virgule flottante. Le chef de l’IMA s’était pris de passion pour cet instrument ; en cas

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de panne, hélas fréquents, il consultait les énormes volumes contenant les schémas, essayait de localiser le problème, souvent avec succès, et changeait l’« élément » défectueux ; il en résultait un gain de temps précieux. Pierre Banderet, toujours lui, prit un bâton de pèlerin pour prêcher, avec beaucoup de succès d’ailleurs, la bonne nouvelle du calcul électronique et obtenir des fonds permettant le financement de la ZEBRA. Parmi les contributeurs, on peut citer BBC, NESTLE, SECHERON. . . Pendant près de 25 ans, Charles Blanc a donné le cours de calcul différentiel et intégral aux étudiants mathématiciens et physiciens de la Faculté, aux actuaires HEC et aux ingénieurs de toutes les sections, architectes et chimistes exceptés. Le cours était important par l’ampleur de la matière, le poids aux examens, la charge hebdomadaire (six heures de cours, deux heures d’exercices) et le nombre d’étudiants (130). Charles Blanc aimait à faire partager son goût de la précision et de la rigueur. Son autorité naturelle lui valait l’estime de l’auditoire ; elle était renforcée par sa réputation, quelque peu exagérée mais qu’il se plaisait à entretenir, de connaître nommément chacun de ses étudiants dès le premier cours. Bien qu’excellent enseignant, Charles Blanc abhorrait le terme de « pédagogue » ; il ne manquait pas une occasion de citer la bande dessinée de Töpffer « Histoire de Monsieur Crépin » (1827) dont le héros tient des propos aussi ubuesques qu’iconoclastes sur la pédagogie (en visitant « l’institution Parpaillozzi dont la méthode est de faire autrement qu’ailleurs »). Il prônait les mathématiques actives, résolution de problèmes ou recherche, qu’il opposait aux mathématiques contemplatives, ce qui ne l’empêchait pas d’être très sensible à l’élégance d’une démonstration ! Si l’enseignement et les contacts avec le monde économique faisaient partie de ses préoccupations essentielles, Charles Blanc attachait une importance tout aussi grande au développement scientifique de son Institut de mathématiques appliquées. Après l’analyse numérique et l’informatique, il s’initie à un domaine nouveau, la recherche opérationnelle, lors d’un congrès de l’ORSA (Operations Research Society of America) en 1966. Il acquiert immédiatement la conviction qu’il faut développer et enseigner cette branche des mathématiques appliquées. C’est ainsi que s’est introduite à l’École la théorie des graphes dont la paternité est d’ailleurs attribuée à Euler. Parmi les nombreuses thèses qu’il a dirigés dans ces différents domaines, on peut citer celles de Charles Rapin, Dominique de Werra, André Probst, Pierre Bonzon qui embrasseront la carrière académique. Il concentre son intérêt personnel sur les problèmes différentiels et leur résolution numérique, en privilégiant les formulations variationnelles ; il n’est donc pas étonnant que la « méthode des éléments finis » soit ainsi devenue un thème prioritaire des mathématiciens de l’École polytechnique. Il est l’auteur de plusieurs articles en analyse numérique, suite, en particulier à

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deux subsides du Fonds national. Il a publié deux ouvrages : Les équations différentielles de la technique (1947), et plus tard Equations aux dérivées partielles (1976). Le plus célèbre de ses polycopiés est le « pavé » « Calcul différentiel et intégral » (340 pages), souvent réédité et complété et qui a suscité l’admiration et parfois la souffrance de générations d’étudiants. Leonhard Euler représentait sans doute pour Charles Blanc l’idéal du mathématicien. Pendant de nombreuses années, il a participé très activement à l’édition critique de l’œuvre monumentale de ce génie. Sa connaissance du latin lui a permis d’écrire le commentaire de huit volumes (dont deux avec Pierre de Haller) consacrés à divers problèmes de mécanique. Ce travail témoigne de sa grande ouverture d’esprit et de sa culture humaniste. Sous le régime de l’EPUL, les professeurs de mathématiques jouissaient d’un statut assez étrange ; ils étaient automatiquement membres de la Faculté des sciences. L’entente entre les mathématiciens des deux institutions était exemplaire ; tous avaient à cœur le développement de leur discipline. Le fait que Charles Blanc ait été doyen de la Faculté des sciences de 1956 à 1958 le confirme. Cependant à l’approche de la fédéralisation de l’École polytechnique en 1969, le ciel de ces relations s’est assombri rapidement. Georges de Rham, chef de file des cinq professeurs de mathématiques de la Faculté envisageait pour la future EPFL un petit groupe d’enseignants assumant les cours de mathématiques des ingénieurs. Charles Blanc, appuyé par Jean de Siebenthal, Jean Descloux et Heinrich Matzinger, nommé en urgence à la suite d’une démission, demandait la création d’un véritable département, responsable de la formation d’étudiants mathématiciens. Le choc fut assez rude. Il faut dire que l’esprit de l’époque n’était pas favorable à la conciliation. De nombreux mathématiciens sentaient encore le désir de libérer leur discipline de l’emprise de la physique. Leur besoin d’émancipation s’accompagnait parfois d’une teinte de condescendance, voire d’agressivité lorsque, dans le sillage de mai 1968, on associait les mathématiques appliquées aux armes atomiques ! Non sans difficultés, les autorités fédérales adoptèrent finalement le plan élaboré par Charles Blanc. Une convention fut signée selon laquelle la Faculté des sciences s’occuperait exclusivement de mathématiques pures, tandis que l’École polytechnique se consacrerait aux mathématiques appliquées ; de plus les étudiants des deux sections de mathématiques devraient suivre en commun une partie des cours du premier cycle. Malgré sa grande estime pour Georges de Rham, Charles Blanc pensait que la rupture était nécessaire pour assurer le développement de l’École polytechnique. Mais en même temps, toujours visionnaire, il entrevoyait déjà le temps des retrouvailles. . . Pour bien marquer le caractère appliqué du plan d’étude de la nouvelle section, Charles Blanc souhaitait que le diplôme portât la mention « ingénieur mathématicien ». Cette proposition suscita de fortes oppositions, émanant cette fois-ci des sections

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traditionnelles de l’École, mais les arguments en sa faveur l’emportèrent finalement. Grâce à l’appui de Maurice Cosandey, premier président de l’EPFL, le Département de mathématiques prit un essor fulgurant, ce qui ne manqua pas de créer quelques tensions de nature culturelle. Mais tous les professeurs, anciens ou nouveaux, travaillaient au développement du Département, en particulier en proposant aux ingénieurs des nouveaux cours de mathématiques. Dans ce grand chamboulement, l’IMA n’avait plus sa raison d’être, avec son côté familial, café en commun deux fois par jour, dans un bar hors de l’École le samedi matin, gâteau le jour de la saint Charles. . . En 2003, les mathématiciens, physiciens et les chimistes de la Faculté des sciences rejoignent leurs collègues à l’EPFL. L’opération se fait sans douleurs, dans la bienveillance générale. En redonnant aux mathématiques appliquées sa place traditionnelle historique, Charles Blanc a certainement contribué à cette harmonie retrouvée. En 1975, Charles Blanc prend sa retraite. Veuf depuis quelques années, il s’éteint paisiblement en 2006 à l’âge de 96 ans.

Michel Kervaire (1927–2007) Shalom Eliahou, Pierre de la Harpe, Jean-Claude Hausmann et Claude Weber∗ Michel Kervaire est mort le 19 novembre 2007 à Genève. De nationalité française, né le 26 avril 1927 à Czestochowa en Pologne, il avait fait ses études secondaires en France, des études de mathématiques à l’EPF de Zurich (1947–1952), une thèse de doctorat à Zurich [Kerv–56] sous la direction de Heinz Hopf (1955), et une seconde thèse, française, publiée en 1965 [Kerv–65]. Il a été professeur aux universités de New York (1959–1971) et Genève (dès 1971), ainsi que professeur invité à l’Institute for Advanced Study de Princeton (1957/58), à l’Université de Paris (1960/61 et 1965/66), à Chicago, au M.I.T. (Cambridge, U.S.A.), au Tata Institute (Bombay), et à l’Université de Cambridge (G.B.). Il était lauréat d’un doctorat honoris causa de l’Université de Neuchâtel (1986). Michel Kervaire fut à la fois, exemplairement, un généraliste et un spécialiste. Comme généraliste, il savait apprécier et encourager les sujets les plus divers ; il le faisait notamment comme Directeur du Troisième Cycle Romand de Mathématiques, dont l’activité la plus connue hors de Suisse avait pour cadre le modeste village montagnard des Plans-sur-Bex. Comme spécialiste, il a notamment créé un sujet de grand avenir, les nœuds de dimensions supérieures, et il a imprimé sa marque par des résultats spectaculaires en topologie des variétés, en algèbre et en combinatoire.

1. Les Plans Le séminaire des Plans-sur-Bex fut fondé en 1968 par des doctorants locaux, dont Daniel Amiguet, à la suggestion de Roger Bader, avec le soutien financier de l’UIM, et avec la complicité active de Georges de Rham. Il fut rapidement intégré dans les activités du Troisième Cycle Romand de Mathématiques, fondé par André Haefliger et Georges de Rham. Lorsque Kervaire arriva à Genève en 1971, il fut immédiatement élu à la présidence du Troisième Cycle. L’organisation des séminaires des Plans fut son activité « administrative » préférée. Les guillemets sont dus à son refus absolu de jamais tolérer que l’intendance et autres contraintes administratives puissent freiner ses projets. La structure souple des Plans lui convenait ∗ La version originale de cet article a été publiée dans Gazette des Mathématiciens, no. 116, avril 2008, p. 77–82.

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S. Eliahou, P. de la Harpe, J-C. Hausmann et C. Weber

donc parfaitement. Nous logions dans un grand chalet de vacances pour enfants, au confort sommaire, mais nous étions totalement libres de la gestion (à condition de rendre des comptes corrects !). Kervaire décida de compenser la rusticité des locaux par une qualité irréprochable de la table, solidement aidé en cela par le génie culinaire de la mère de Daniel Amiguet. En ce qui concerne les mathématiques, Kervaire choisit de placer le séminaire à l’extrême pointe de la recherche. Evoquons quelques-unes de ces semaines mémorables, le plus souvent deux de suite peu avant Pâques, chacune sur un thème précis. En 1972, Haefliger savait qu’un jeune étudiant de Berkeley avait obtenu des résultats remarquables sur les feuilletages. La nouvelle qu’une semaine serait organisée aux Plans pour en savoir plus se répandit rapidement, et nous fûmes à la limite de refuser du monde. La salle de classe de l’école du village n’avait pas assez de sièges pour accueillir tous les participants. Cet étudiant était William Thurston. En 1978, le premier des deux séminaires était consacré aux feuilletages. A titre d’exemple, voici la liste des participants étrangers à la première semaine : A. Connes, D. Epstein, M. Herman, D. McDuff, J. Milnor, V. Poénaru, L. Siebenmann, D. Sullivan, W. Thurston (plus tout à fait inconnu cette fois), E. Vogt, A. Fathi, R. Langevin, G. Levitt, H. Rummler, R. Stern, et T. Thickstun ; Dennis Sullivan confessa en fin de semaine que, pour la première fois de sa vie, il se sentait fatigué à la fin d’une conférence. Le second séminaire 1978 portait sur les algèbres d’opérateurs. Parmi les rares participants aux deux semaines, il y eut bien sûr Kervaire, ainsi qu’Alain Connes qui fit des exposés aux deux publics, sur des sujets voisins. Aux auditeurs de la première semaine, Connes affirmait qu’il n’était pas nécessaire de savoir quoi que ce soit sur les algèbres d’opérateurs ; à ceux de la seconde, idem concernant les feuilletages. Ainsi, seuls les auditeurs des deux semaines avaient le droit de tout ignorer. Les maîtres scandinaves des algèbres d’opérateurs se racontent encore les danses russes d’un certain expert, tard le soir après la fondue, sur un fonds de conversations mêlant le flot des poids, Atiyah–Singer feuilleté, le dernier vin dégusté, une partie d’échecs en blitz et l’état de la neige pour les skieurs de l’aube à venir. Une autre année (mars-avril 1981), Michael Freedman présenta ses projets (encore à l’état d’ébauche) pour étudier la structure topologique des variétés de dimension 4. Ces idées lui valurent la Médaille Fields en 1986. La semaine suivante était consacrée aux représentations des groupes de Lie. En 1985, de la semaine « codes et formes quadratiques », on se souvient encore des exposés de N. Sloane, A. Odlyzko, J-P. Serre et M. Kneser. La semaine suivante était celle des algèbres de Kac–Moody.

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Michel Kervaire (1927–2007)

Malgré quelques années de pause, ces rencontres du Troisième Cycle Romand se sont poursuivies jusqu’à ce jour, désormais dans d’autres villages montagnards comme Champoussin, Château-d’Oex et Les Diablerets.

Michel Kervaire en 1986

2. La variété de Kervaire et les résultats de Kervaire–Milnor Michel Kervaire donne dans [Kerv–60] le premier exemple d’une variété topologique qui n’admet aucune structure différentiable. Il s’agit d’une va de dimension 10 qui n’a même pas le type d’homotopie d’une riété close V variété différentiable. Pour cela, Kervaire construit une variété V comme plombage de deux copies du fibré tangent en boules à S 5 , la sphère de dimension 5. Grâce à un lemme de Milnor, il sait que son bord bV est homéomorphe à S 9 . La variété  est obtenue en collant un disque sur bV . Kervaire définit une topologique V forme quadratique sur l’homologie modulo 2 de la variété en dimension 5, à valeurs dans le corps F2 à 2 éléments. L’invariant d’Arf d’une telle forme lui permet plus généralement de définir un homomorphisme du (4k + 2)-ième groupe d’homotopie stable des sphères dans F2 , qui s’appelle l’invariant de Kervaire. Par un véritable tour de force, Kervaire démontre que cet invariant  a les propriétés annoncées. est nul en dimension 10, d’où il déduit que V Incidemment, bV est homéomorphe mais non difféomorphe à S 9 . Milnor avait déjà démontré qu’il existe plusieurs structures différentiables sur S 7 . Dans un article célèbre [KeMi–63], Kervaire et Milnor étudient le groupe des sphères d’homotopie différentiables modulo h-cobordisme. Les résultats de Smale impliquent que ce groupe dénombre les structures

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S. Eliahou, P. de la Harpe, J-C. Hausmann et C. Weber

différentiables sur les sphères ; par exemple, il y a exactement 28 structures différentiables sur S 7 . Cet article est l’un des fondements de la chirurgie dans le cas simplement connexe [Brow–72]. Dans un autre article très influent [KeMi–61], Kervaire et Milnor étudient les plongements différentiables de S 2 dans les variétés de dimension 4.

3. Les nœuds de dimension supérieure Soit K un sous-espace de la sphère S p+q homéomorphe à la sphère S p . La dualité de Poincaré-Alexander implique que le complémentaire C = S p+q \K a l’homologie (sur les entiers) de la sphère S q−1 . Supposons désormais que K est une sous-variété différentiable, pour une certaine structure sur S p ; on peut alors préciser la structure de C et de son groupe fondamental. Il y a essentiellement deux cas. (I) Codimension q ≥ 3. Un argument de « position générale » dit que C est simplement connexe, et donc que C a le type d’homotopie de S q−1 . Mieux : un théorème de John Stallings dit qu’il existe un homéomorphisme qui envoie K sur la sphère standard de dimension p dans S p+q . Autrement dit, du point de vue topologique, il n’y a pas de nœud ! Mais il y en a du point de vue différentiable, un résultat surprenant dû à Haefliger et poursuivi par Levine ; voir [Haef–66]. (II) Codimension q = 2. C’est là que Kervaire intervient ([Kerv–63] et [Kerv–65]). Le complémentaire C a l’homologie du cercle S 1 , de sorte que l’abélianisé de π1 (C) est cyclique infini. Question : quels groupes π (nécessairement de présentation finie) peuvent-ils apparaître comme π1 (C) ? Kervaire trouve facilement trois conditions nécessaires : (i) π /π isomorphe à Z ; qui s’écrit aussi H1 (π ) = Z ; (ii) π est engendré par les conjugués d’un seul élément (argument de transversalité qui généralise la position générale du cas q ≥ 3) ; (iii) H2 (π ) = 0, qui résulte d’un théorème de Hopf sur le H2 d’un groupe car H2 (C) = 0. Kervaire entreprend alors de démontrer que n’importe quel groupe qui satisfait ces trois conditions est le groupe fondamental du complémentaire d’un plongement de S p (munie de la structure standard) dans S p+2 pour p ≥ 3. La solution proposée par Kervaire est originale. C’est par chirurgie qu’il construit un nœud dans S p+2 dont le complémentaire a les propriétés désirées. En utilisant la même technique, Kervaire détermine le premier groupe d’homotopie de C qui n’est pas isomorphe au groupe correspondant de S 1 .

Michel Kervaire (1927–2007)

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C’est le début des modules de nœuds dont l’étude fut poursuivie par Jerome Levine et par deux élèves de Kervaire, Eva Bayer et Françoise Michel. Kervaire a également lancé l’étude algébrique du cobordisme des nœuds, dont la détermination fut poursuivie par Levine et achevée par Neal Stolzfus.

4. La conjecture de Kervaire En discutant les conditions (i) à (iii) dans [Kerv–63], Kervaire observe qu’il est facile de trouver des groupes satisfaisant (i) et (iii) : c’est par exemple le cas d’un produit libre G ∗ Z si G satisfait H1 (G) = 0 = H2 (G). (Les groupes de présentation finie qui sont parfaits et qui satisfont (iii) sont exactement les groupes fondamentaux des sphères d’homologie en dimension au moins 5 [Kerv–69].) C’est bien sûr la condition (ii) qui conduit à la conjecture de Kervaire ; elle fut énoncée en 1963/64 dans des conversations avec G. Baumslag, et apparaît dans [MaKS–66], page 403. Elle s’énonce comme suit : soit G un groupe ; s’il existe un élément w, dans le produit libre π = G ∗ Z, tel que le quotient de π par la relation w soit le groupe trivial, alors G lui-même est (conjecturalement) trivial. Voir [FeRo–96] et [GoRa–06] pour quelques résultats ultérieurs.

5. Algèbre, combinatoire et théorie des nombres Michel Kervaire a maintenu une activité mathématique intense jusqu’à ses derniers jours. Passé l’âge de 60 ans, c’est-à-dire entre 1987 et 2007, il a encore publié plus de 25 articles de recherche. Les sujets traités se situent presque tous à l’interface entre l’algèbre et la combinatoire. Un résultat datant de 1990, amplement cité en algèbre commutative, est la résolution d’Eliahou–Kervaire [ElKe–90]. Il s’agit d’une résolution minimale explicite d’une large classe d’idéaux monomiaux, dits stables. On en déduit des formules combinatoires pour leurs nombres de Betti, qui ont des propriétés extrêmales très utiles comme observé ensuite par Bigatti, Hulett et Pardue. Un résultat moins connu concerne une version faible de la conjecture de Hadamard. On conjecture depuis 1893 que, pour tout n multiple de 4, il existe une matrice carrée d’ordre n, à coefficients 1 et −1, orthogonale à un facteur scalaire près. La version faible consiste à n’exiger l’orthogonalité que modulo un entier m donné. Dans un travail de mathématiques expé-

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rimentales [ElKe–01], Kervaire et son coauteur ont résolu le cas m = 32 par constructions explicites. L’ordinateur a joué un rôle crucial mais, en fin de compte, les preuves fournies sont de facture purement classique. La conjecture faible pour tout module m dépassant 32 reste à ce jour ouverte. Plusieurs autres travaux concernent l’existence de suites binaires finies avec propriétés données. Mentionnons par exemple un joli résultat sur les paires complémentaires de Golay. Il est conjecturé depuis 1960 que leurs seules longueurs possibles sont les n = 2r 10s 26t . Kervaire et coauteurs ont montré dans [ElKS–90] qu’aucune paire de Golay ne peut exister en longueur multiple d’un premier p ≡ 3 mod 4. La preuve originale, grandement simplifiée ensuite, exploite la théorie algébrique des nombres. Ce résultat est la seule restriction générale connue à ce jour sur ces longueurs (à part une contrainte facile de parité). Les derniers travaux de Kervaire ont porté sur des extensions du théorème de Cauchy–Davenport en théorie additive des nombres. Ce résultat ancien dit que, pour deux sous-ensembles A, B d’ordres r , s du groupe cyclique Z/pZ avec p premier, l’ensemble-somme A + B contient au moins min{r + s − 1, p} éléments ; cette borne inférieure, de plus, est optimale. Au fil des décennies, les progrès sur la question analogue dans d’autres groupes ont été plutôt sporadiques. Par exemple, Kemperman résout le cas des groupes sans torsion en 1955 et donne |A · B| ≥ r + s − 1 comme borne inférieure optimale (notation multiplicative A · B car le groupe n’est pas nécessairement abélien). Il a fallu attendre 2005 pour voir émerger une solution complète dans le cas abélien. La formule min{r + s − 1, p} du cas d’ordre premier devient alors min(r /h + s/h − 1)h h

pour un groupe abélien quelconque G, où h parcourt l’ensemble des ordres des sous-groupes finis de G [ElKe–05]. On ne sait pas grand chose sur cette question dans le cas non-abélien de torsion. Mais l’un des derniers articles de Kervaire étend la formule du cas abélien aux groupes diédraux [ElKe]. La méthode de preuve fait intervenir des idées inspirées de la topologie algébrique. Oui, c’est Kervaire qui l’a suggérée, établissant ainsi un ultime lien avec ses travaux de jeunesse.

6. Et bien d’autres choses Il faudrait en dire plus : Sur la détermination des sphères parallélisables et des algèbres à division réelles, un problème remontant à Hurwitz. La solution, qui résulte de

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Michel Kervaire (1927–2007)

la périodicité de Bott, fut publiée indépendamment par Kervaire [Kerv–58] et Bott–Milnor [BoMi–58] (pourquoi l’article de Kervaire est-il ignoré de MathSciNet ?). Sur les séances de rédaction pour les Commentarii (de 1980 à 2001) et pour L’Enseignement Mathématique (de 1978 à 2007), ces journaux qui lui doivent tant. Sur tous les cours incroyablement stimulants qu’il donnait. Qui a enseigné le corps de classes mieux que lui ? Et la topologie algébrique ? cours dont par exemple Vaughan Jones dit encore que « il m’a marqué et par le contenu et par la façon dont Michel l’abordait – on sentait quelque chose de magnifique et qu’il se battait avec nous pour le mater”. Et sur ses exposés de séminaire, dont trois à Bourbaki (sur la périodicité de Bott, sur la conjecture de Poincaré, et sur les fractions rationnelles invariantes par un groupe fini) et d’innombrables improvisés. Et surtout sur les fêtes qu’il savait susciter, au tableau noir comme en buvant un café. Et en offrant des repas superbes, dans les restaurants qu’il savait choisir, ou chez lui avec sa femme, le peintre Aimée Moreau.

7. Le problème de l’invariant de Kervaire Resté longtemps ouvert, ce problème a été résolu en 2009 ; voici de quoi il s’agit. Nous remercions Andrew Ranicki de nous avoir suggéré cet ajout. Dans son article de 1960 aux Commentarii, montrant qu’il existe une variété topologique compacte sans bord, de dimension 10, qui ne possède aucune structure différentiable, Kervaire construit pour chaque entier de la forme n = 4k + 2 ≥ 2 un homomorphisme KIn : πnst → F2 appelé depuis invariant de Kervaire, où πnst désigne le n-ième groupe d’homotopie stable des sphères et F2 le corps à deux éléments (KIn est notre notation). Le problème consiste à décider pour chaque n de cette forme si cet homomorphisme est trivial ou non. Résumons comme suit l’état de la question jusqu’en 2008. L’homomorphisme KIn est non trivial pour n=2 n = 6, 14 n = 30 n = 62

Pontrjagin (1955) Kervaire–Milnor (1963) Barratt (1969) Barrat–Jones–Mahowald (1982)

et trivial pour n = 10 n = 8 + 2 n ≠ 2u − 2

Kervaire (1960) Brown–Peterson (1966) Browder (1969).

254

S. Eliahou, P. de la Harpe, J-C. Hausmann et C. Weber

En avril 2009, Mike Hill, Mike Hopkins et Douglas Ravenel ont annoncé lors de la réunion en l’honneur des 80 ans de Michael Atiyah à Edinburgh que l’invariant de Kervaire est nul dans les dimensions laissées ouvertes par Browder (sauf peut-être pour une valeur, encore problématique). Plus précisément : KIn est trivial pour n = 2u − 2 si u ≥ 8. En résumé, KIn est non trivial pour n = 2u − 2 lorsque u = 2, 3, 4, 5, 6, c’est-à-dire n = 2, 6, 14, 30, 62, comme mentionné ci-dessus, et trivial lorsque u ≥ 8. L’ultime cas non encore résolu est u = 7, c’est-à-dire n = 126. Nous suggérons au lecteur intéressé de consulter le site de Douglas Ravenel, qui contient le texte de plusieurs conférences, en particulier celles de mai 2009 à Lisbonne. Voir http ://www.math.rochester.edu/u/faculty/doug/kervaire.html ainsi que Michael A. Hill, Michael J. Hopkins, and Douglas C. Ravenel, On the non-existence of elements of Kervaire invariant one, arXiv:0908.3724v1 [math.AT], 26 Aug 2009.

Références [BoMi–58] R. Bott and J. Milnor, On the parallelizability of the spheres. Bull. Amer. Math. Soc. 64 (1958), 87–89. [Brow–69] W. Browder, The Kervaire invariant of framed manifolds and its generalization. Ann. of Math. (2) 90 (1969), 157–186. [Brow–72] W. Browder, Surgery on simply-connected manifolds. Ergeb. Math. Grenzgeb. 65, Springer-Verlag, Berlin 1972. [ElKe–90]

S. Eliahou and M. Kervaire, Minimal resolutions of some monomial ideals. J. Algebra 129 (1990), 1–25.

[ElKe–01]

S. Eliahou and M. Kervaire, Modular sequences and modular Hadamard matrices. J. Combin. Des. 9 (2001), 187–214.

[ElKe–05]

S. Eliahou and M. Kervaire, Minimal sumsets in infinite abelian groups. J. Algebra 287 (2005), 449–457.

[ElKe]

S. Eliahou and M. Kervaire, Minimal sumsets in finite solvable groups. Discrete Math. 310 (2010), 471–479.

[ElKS–90]

S. Eliahou, M. Kervaire, and B. Saffari, A new restriction on the lengths of Golay complementary sequences. J. Combin. Theory Ser. A 55 (1990), 49–59.

[FeRo–96] R. Fenn and C. Rourke, Klyachko’s methods and the solution of equations over torsion-free groups. Enseign. Math. (2) 42 (1996), 49–74.

Michel Kervaire (1927–2007)

255

[GoRa–06] F. González-Acuña and A. Ramírez, A knot-theoretic equivalent of the Kervaire conjecture. J. Knot Theory Ramifications 15 (2006), 471–478. [Haef–66] A. Haefliger, Sphères d’homotopie nouées (d’après Kervaire-MilnorLevine) Séminaire Bourbaki, 17e année, 1964/65, no 280. Secrétariat mathématique, Paris 1966, 12 pages. [Kerv–56]

M. Kervaire, Courbure intégrale généralisée et homotopie. Math. Ann. 131 (1956), 219–252.

[Kerv–58]

M. Kervaire, Non-parallelizability of the n-sphere for n > 7. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 44 (1958), 280–283.

[Kerv–60]

M. Kervaire, A manifold which does not admit any differentiable structure. Comment. Math. Helv. 34 (1960), 257–270.

[Kerv–63]

M. Kervaire, On higher dimensional knots. Dans Differential and Combinatorial Topology (A Symposium in Honor of Marston Morse), Princeton University Press, Princeton, N.J., 1965, 105–119.

[Kerv–65]

M. Kervaire, Les nœuds de dimensions supérieures. Bull. Soc. Math. France 93 (1965), 225–271.

[Kerv–69]

M. Kervaire, Smooth homology spheres and their fundamental groups. Trans. Amer. Math. Soc. 144 (1969), 67–72.

[KeMi–61] M. Kervaire and J. W. Milnor, On 2-spheres in 4-manifolds. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 47 (1961), 1651–1657. [KeMi–63] M. Kervaire and J. W. Milnor, Groups of homotopy spheres. I. Ann. of Math. (2) 77 (1963), 504–537. [MaKS–66] W. Magnus, A. Karras, and D. Solitar, Combinatorial group theory. John Wiley, New York 1966.

Alexander M. Ostrowski (1893–1986): His life, work, and students∗ Walter Gautschi As a former student of Professor Ostrowski — one of his last — I am delighted to recall here the life and work of one of the great mathematicians of the 20th century. Needless to say that, in view of Ostrowski’s immense and vastly diverse mathematical legacy, this can be done only in a most summary fashion. Further literature on Ostrowski can be found in some of the references at the end of this article. We also assemble a complete list of his Ph.D. students and trace the careers of some of them.

1. His life Alexander Markovich Ostrowski was born in Kiev on September 25, 1893, the son of Mark Ostrowski, a merchant in Kiev, and Vera Rashevskaya. He attended primary school in Kiev and a private school for a year before entering the Kiev School of Commerce. There, his teachers soon became aware of Alexander’s extraordinary talents in mathematics and recommended him to Dmitry Aleksandrovich Grave, a professor of mathematics at the University of Kiev. Grave himself had been a student of ChebyThe mother of Alexander shev in St. Petersburg before assuming a position at the University of Kharkov and, in 1902, the chair of mathematics at the University of Kiev. He is considered the founder of the Russian school of algebra, having worked on Galois theory, ideals, and equations of the fifth degree. The seminar on algebra he ran at the University of Kiev was famous at the time. ∗ Expanded version of a lecture presented at a meeting of the Ostrowski Foundation in Bellinzona, Switzerland, May 24–25, 2002, and published in Italian in [14].

258

W. Gautschi

After a few personal interviews with Alexander, Grave became convinced of Alexander’s exceptional abilities and accepted him — then a boy of 15 years — as a full-fledged member of his seminar. Alexander attended the seminar for three years while, at the same time, completing his studies at the School of Commerce. During this time, with Grave’s assistance, he wrote his first mathematical paper, a long memoir on Galois fields, written in Ukrainian, which a few years later (in 1913) appeared in print. D. A. Grave

When the time came to enroll at the university, Ostrowski was denied entrance to the University of Kiev on purely bureaucratic grounds: he graduated from the School of Commerce and not from High School! This prompted Grave to write to E. Landau and K. Hensel and to ask for their help. Both responded favorably, inviting Ostrowski to come to Germany. Ostrowski opted for Hensel’s offer to study with him at the University of Marburg. Two years into his stay at Marburg, another disruptive event occurred — the outbreak of World War I — which left Ostrowski a civil prisoner. Only thanks to the intervention of Hensel, the restrictions on his movements were eased somewhat, and he was allowed to use the university library. That was all he really needed. During this period of isolation, Ostrowski almost single-handedly developed his now famous theory of valuation on fields. After the war was over and peace was restored between the Ukraine and Germany, Ostrowski in 1918 moved on to Göttingen, the world center of mathematics at that time. There, he soon stood out among the students by his phenomenal memory and his already vast and broadly based knowledge of the mathematical literature. One student later recalled that the tedious task of literature search, in Göttingen, was extremely simple: all one had to do was to ask the Russian student Alexander Ostrowski and one got the Alexander, ca. 1915 answer — instantly and exhaustively! At one time, he even had to come to the rescue of David Hilbert, when during one of his lectures Hilbert needed, as he put it, a beautiful theorem whose author unfortunately he could not recall. It was Ostrowski who had to whisper to him: “But, Herr Geheimrat, it is one of your own theorems!”

Alexander M. Ostrowski (1893–1986): His life, work, and students

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Not surprisingly, therefore, Felix Klein, always keen in recognizing young talents, became interested in Ostrowski, took him on as one of his assistants, and entrusted him, together with R. Fricke, with editing the first volume of his collected works. In 1920, Ostrowski graduated summa cum laude with a thesis written under the guidance of Hilbert and Landau. This, too, David Hilbert caused quite a stir, since it answered, in part, Hilbert’s 18th problem. Ostrowski succeeded in proving, among other things, that the Dirichlet zeta series ζ(x, s) = 1−s x + 2−s x 2 + 3−s x 3 + · · · does not satisfy an algebraic partial differential equation. After his graduation, Ostrowski left Göttingen for Hamburg, where as assistant of E. Hecke he worked on his Habilitation Thesis. Dealing with

Ostrowski, the skater

modules over polynomial rings, this work was also inspired by Hilbert. The habilitation took place in 1922, at which time he returned to Göttingen to teach on recent developments in complex function theory and to receive habilitation once again in 1923. The academic year 1925–26 saw him as a

260

W. Gautschi

Rockefeller Research Fellow at Oxford, Cambridge, and Edinburgh. Shortly after returning to Göttingen, he received — and accepted — a call to the

Ostrowski, in his 40s and 50s, and at 60

University of Basel. The local newspaper (on the occasion of Ostrowski’s 80th birthday) could not help recalling that 200 years earlier, the university lost Euler to St. Petersburg because, according to legend, he found himself at the losing end of a lottery system then in use for choosing candidates (in reality, he was probably considered too young for a professorship at the university). Now, however, the university hit the jackpot by bringing Ostrowski from Russia to Basel! Ostrowski remained in Basel for his entire academic career, acquiring the Basel citizenship in 1950. It was here where the bulk of his mathematical work unfolded. Much of it lies in the realm of pure mathematics, but important impulses received from repeated visits to the United States in the late forties and early fifties stirred his interest in more applied problems, parOstrowski, Washington, D.C., 1964 ticularly numerical methods in conformal mapping and problems, then emerging, relating to the iterative solution of large systems of linear algebraic equations. He went about this work with great enthu-

Alexander M. Ostrowski (1893–1986): His life, work, and students

261

siasm, even exuberance, having been heard, in the halls of the National Bureau of Standards, to exclaim Gottfried Keller’s lines “Trinkt, o Augen, was die Wimper hält, von dem goldnen Überfluss der Welt!”1 . And indeed, exciting problems of pressing significance began to burst forward at this time and demanded nothing less than farsighted and imaginative uses of advanced mathematical techniques. In 1949, Ostrowski married Margret Sachs, a psychoanalyst from the school of Carl Gustav Jung and at one time, as she once revealed to me, a secretary and confidante of Carl Spitteler2 . Her warm and charming personality greatly helped soften the severe lifestyle of Ostrowski, the scholar, and brought into their lives some measure of joyfulness. This, in fact, is the time the author got to know the Ostrowskis, having become his student and assistant, and, on several occasions, having had the pleasure of being a guest at their house in the old part of the city. Ostrowski retired from the University in Margret Ostrowski, 1970 1958. This did not bring an end to his scientific activities. On the contrary! He continued, perhaps at an even accelerated pace, to produce new and important results until his late eighties. At the age of 90, he was still able to oversee the publication by Birkhäuser of his collected papers, which appeared 1983–85 in six volumes. After Ostrowski’s retirement, he and his wife took up residence in Montagnola, where they earlier had built a beautiful villa — Casa Almarost (ALexander MARgret OSTrowski), as they named it — overlooking the Lake of Lugano. They were always happy to receive visitors at Almarost, and their gracious hospitality was legendary. Mrs. Ostrowski, 75th birthday, Buffalo knowing well the inclinations of mathematicians, always led them down to Ostrowski’s library in 1 As

recalled, and kindly related to the author, by Olga Taussky-Todd. poet (1845–1924), 1919 Nobel Laureate in Literature.

2 Swiss

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W. Gautschi

Margret and Alexander Ostrowski at Almarost

order to leave them alone for a while, so they could catch up on the newest mathematics and mathematical gossip. The walls of the library were filled with books, not all mathematical, but also a good many on science fiction and mystery stories, Ostrowski’s favored pastime reading. Mrs. Ostrowski passed away in 1982, four years before Ostrowski’s death in 1986. They are buried in the lovely cemetery of Gentilino, not far from the grave of Hermann Hesse, with whom they were friends. Ostrowski’s merits are not restricted to research alone; they are eminent also on the didactic level, and he exerted a major influence on mathematical publishing. With regard to teaching, his three volumes on the differential and integral calculus [22], which began to appear in the mid-1940s, and in particular the extensive collection of exercises, later published separately with solutions [23], are splendid models of mathematical exposition, which still today serve to educate generations of mathematicians and scientists. His book on the solution of nonlinear equations and systems of equations, published in the United States Ostrowski at the age of 90 in 1960 and going through several edi-

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tions [24], [25], continues to be one of the standard works in the field. And last but not least, he had well over a dozen doctoral students, some having attained international stature of their own, and all remaining grateful to him for having opened to them the beauty of mathematics and imparted on them his high standards of intellectual integrity. On the publishing front, Ostrowski was a long-time consultant to the Birkhäuser-Verlag and was instrumental in establishing and supervising their well-known Green Series of textbooks. To a good extent, he can be credited for Birkhäuser having attained the leading position it now occupies in mathematical publishing. Ostrowski’s achievements did not remain unrecognized. He was awarded three honorary doctorates, one from the Federal Institute of Technology (ETH Zurich) in 1958, one from the University of Besançon in 1967, and another in 1968 from the University of Waterloo. In the early 1980s Professor and Mrs. Ostrowski established an International Prize Cemetery of Gentilino to be awarded every two years after their deaths [13]. It is to recognize the best achievements made in the preceding five years in Pure Mathematics and the theoretical foundations of Numerical Analysis. So far, eleven prizes have been awarded, the first in 1989 to Louis de Branges for his proof of the Bieberbach conjecture, the fourth in 1995 to Andrew Wiles for his proof of Fermat’s last theorem. Characteristically of Ostrowski’s view of mathematics as an international and universal science, he expressly stipulated that the award should be made “entirely without regard to politics, race, religion, place of domicile, nationality, or age.” This high esteem of scientific merits, regardless of political, personal, or other shortcomings of those attaining them, came across already in 1949, when he had the courage of inviting Bieberbach — then disgraced by his Nazi past and ostracized by the European intelligentsia — to spend a semester as guest of the University of Basel and conduct a seminar on geometric constructions. Undoubtedly, it was Ostrowski who successfully persuaded Birkhäuser to publish the seminar in book form [3].

264

W. Gautschi

2. His work Let us now take a quick look at Ostrowski’s mathematical work. A first appreciation of the vast scope of this work can be gained from the headings in the six volumes of his collected papers [27]: Vol. 1 Determinants, Linear Algebra, Algebraic Equations; Vol. 2 Multivariate Algebra, Formal Algebra; Vol. 3 Number Theory, Geometry, Topology, Convergence; Vol. 4 Real Function Theory, Differential Equations, Differential Transformations; Vol. 5 Complex Function Theory; Vol. 6 Conformal Mapping, Numerical Analysis, Miscellany. Much of this work is at the highest levels of mathematics and can be indicated here only by key words and phrases. The same applies to work that, although more accessible, is difficult to adequately summarize in a few words. From the remaining papers, a few results are selected in chronological order and briefly sketched in “excerpts”, hoping in this way to provide a glimpse into Ostrowski’s world of mathematics. We go through this work volume by volume and add dates to indicate the period of his life in which the respective papers have been written. 2.1. Volume 1 Key words: Sign rules of Descartes, Budan–Fourier, and Runge (1928–65); critique and correction of Gauss’s first and fourth proof of the Fundamental Theorem of Algebra (1933); long memoir on Graeffe’s method (1940); linear iterative methods for symmetric matrices (1954); general theory of vector and matrix norms (1955); convergence of the Rayleigh quotient iteration for computing real eigenvalues of a matrix (1958–59); Perron–Frobenius theory of nonnegative matrices (1963–64) Excerpt 1.1. Matrices with dominant diagonal (1937), A = [aij ],

di := |aii | −



|aij | > 0,

all i.

j=i

Hadamard in 1899 provedthat for such matrices det A = 0. Ostrowski sharpens this to |det A| ≥ i di .

Alexander M. Ostrowski (1893–1986): His life, work, and students

265

Excerpt 1.2. M-matrices (1937), A = [aij ], aii > 0, aij ≤ 0 (i = j),   a   11 a12   > 0, . . . , det A > 0. a11 > 0,  a21 a22  Theorem. If A is an M-matrix, then A−1 ≥ 0. The theory of M-matrices and the related theory of H-matrices, stemming from Ostrowski’s 1937 paper, have proved to be powerful tools in the analysis of iterative methods for solving large systems of linear equations. In addition, this theory forms the basis for the general theory of eigenvalue inclusion regions for matrices, as in the case of the well-known Gershgorin Theorem. See also Excerpt 2.2. Excerpt 1.3. Continuity of the roots of an algebraic equation (1939). It is well known that the roots of an algebraic equation depend continuously on the coefficients of the equation. Ostrowski gives us a quantitative formulation of this fact. Theorem. Let xν , yν be the zeros of p(z) = a0 zn + a1 zn−1 + · · · + an ,

a0 an = 0,

q(z) = b0 zn + b1 zn−1 + · · · + bn ,

b0 bn = 0.

resp. If bν − aν = εν aν , then

|εν | ≤ ε,

16nε1/n ≤ 1,

   xν − yν    ≤ 15nε1/n .  x  ν

Excerpt 1.4. Convergence of the successive overrelaxation method (1954). The iterative solution of large (nonsingular) systems of linear algebraic equations Ax = b, A ∈ Rn×n , b ∈ Rn , was an object of intense study in the 1950s culminating in the “successive overrelaxation method” (SOR) Dx k+1 = ω(b − Lx k+1 − Ux k ) − (ω − 1)Dx k ,

k = 0, 1, 2, . . . ,

where ω is a real parameter and D, L, U are, respectively, the diagonal, lower triangular, and upper triangular part of A. The method is said to converge if limk→∞ x k = A−1 b for arbitrary b and arbitrary x 0 ∈ Rn .

266

W. Gautschi

Ostrowski–Reich Theorem. If A is symmetric with positive diagonal elements, and 0 < ω < 2, then SOR converges if and only if A is positive definite. Reich proved the theorem for ω = 1 in 1949. Ostrowski proved it for general ω in (0, 2), even when ω = ωk depends on k but remains in any compact subinterval of (0, 2). Excerpt 1.5. A little mathematical jewel (1979). Theorem. Let p and q be polynomials of degrees m and n, respectively. Define Mf = max |f (z)|. |z|=1

Then

π π sinn . 8m 8n The interest here lies in the lower bound, the upper one being trivial. It is true that this lower bound may be quite small, especially if m and/or n are large. But jewels need not be useful as long as they shine! γMp Mq ≤ Mpq ≤ Mp Mq ,

γ = sinm

2.2. Volume 2 Key words: Algebra of finite fields (1913); theory of valuation on a field (1913–17); necessary and sufficient conditions for the existence of a finite basis for a system of polynomials in several variables (1918–20); various questions of irreducibility (1922, 1975–77); theory of invariants of binary forms (1924); arithmetic theory of fields (1934); structure of polynomial rings (1936); convergence of block iterative methods (1961); Kronecker’s elimination theory for polynomial rings (1977). The fact, proved by Ostrowski in 1917, that the fields of real and complex numbers are the only fields, up to isomorphisms, which are complete (Ostrowski used the older term “perfect” for “complete”) with respect to an Archimedean valuation is known today as “Ostrowski’s Theorem” in valuation theory (P. Roquette [31]). Excerpt 2.1. Evaluation of polynomials (1954). If p(x) = a0 x n + a1 x n−1 + · · · + an−1 x + an , then, by Horner’s rule, p(x) = pn , where p0 = a0 , pν = xpν−1 + aν ,

ν = 1, 2, . . . , n.

Complexity: n additions, n multiplications.

Alexander M. Ostrowski (1893–1986): His life, work, and students

267

Theorem. Horner’s rule is optimal for addition and optimal for multiplication when n ≤ 4. It has later been shown by V. Ja. Pan [28] that Horner’s scheme indeed is not optimal with respect to multiplication when n > 4. Because of this paper, the year 1954 is generally considered “the year of birth of algebraic complexity theory” (P. Bürgisser and M. Clausen [5]). Excerpt 2.2. Metric properties of block matrices (1961), ⎤ ⎡ A11 A12 . . . A1n ⎥ ⎢A ⎢ 21 A22 . . . A2n ⎥ ν×μ ⎢ . A=⎢ . .. .. ⎥ ⎥ , Aνμ ∈ R ⎣ .. . . ⎦ An1

An2

...

Ann

Question. Is Hadamard’s theorem still valid if | · | is replaced by  · ? Answer : Yes, if

⎡

A11 ∗ ⎢ −A21  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ .. ⎢ ⎢ . ⎢ ⎣ −An1 

−A12  A22 ∗

... ...

.. . −An2 

...

⎤ −A1n  −A2n ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ .. ⎥ ⎥ . ⎥ ⎦ Ann ∗

is an M-matrix, where B∗ = min Bx, x=1

B = max Bx. x=1

2.3. Volume 3 Key words: Existence of a “regular” basis for polynomials with coefficients in a finite arithmetic field that take on integer values for integer arguments (1919); arithmetic theory of algebraic numbers (1919); Diophantine equations and approximations (1921–27, 1964–82); existence criterion for a common zero of two real functions continuous inside and on the boundary of a disk (1933); topology of oriented line elements (1935); evolutes and evolvents of a plane curve (1955) and an oval in particular (1957); differential geometry of plane parallel curves (1955); Ermakov’s conver∞ f (x) dx (1955); necessary and suffigence and divergence criteria for cient conditions for two line elements to be connectable by a curve with monotone curvature (1956); behavior of fixed-point iterates in the case of divergence (1956); summation of slowly convergent positive or alternating series (1972).

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Excerpt 3.1. Infinite products (1930), x0 = x,

xν+1 = ϕ(xν ), ∞ 

ν = 0, 1, 2, . . . ,

(1 + xν ) = Φ(x).

ν=0

Example. Euler’s product ϕ(x) = x 2 , Φ(x) = (1 − x)−1 . Problem. Determine all products which converge in a neighborhood of x = 0, and for which ϕ is rational and Φ algebraic. Solution: completely enumerated. Excerpt 3.2. “Normal” power series (1930), ∞ 

aν zν with aν ≥ 0, a2ν ≥ aν−1 aν+1 ,

ν=−∞

and all coefficients between two positive ones are also positive. Theorem. The product of two normal power series, if it exists, is also normal. 2.4. Volume 4 Key words: Dirichlet series and algebraic differential equations, thesis Göttingen (1919); strengthening, or simplifying, proofs of many known results from real analysis (1919–38); various classes of contact transformations in the sense of S. Lie (1941–42); invertible transformations of line elements (1942); conditions of integrability for partial differential equations (1943); indefinite integrals of “elementary” functions, Liouville Theory (1946); convex functions in the sense of Schur with applications to spectral properties of Hermitian matrices (1952); theory of characteristics for first-order partial differential equations (1956); points of attraction and repulsion for fixed-point iteration in Euclidean space (1957); univalence of nonlinear transformations in Euclidean space (1958); a decomposition of an ordinary second-order matrix differential operator (1961); theory of Fourier transforms (1966); study of the remainder term in the Euler–Maclaurin formula (1969-70); asymptotic expansion of integrals containing a large parameter (1975). A technique introduced in the 1946 paper on Liouville’s Theory is now known in the literature as the “Hermite–Ostrowski method” (J. H. Davenport, Y. Siret, and E. Tournier [7]). This work has attained renewed relevance because of its use in formal integration techniques of computer algebra.

Alexander M. Ostrowski (1893–1986): His life, work, and students

269

Excerpt 4.1. The (frequently cited) Ostrowski–Grüss inequality (1970), 1 1  1  1    f (x)g(x) dx − f (x) dx g(x)dx  ≤ osc f max |g |. 8 [0,1] [0,1] 0 0 0 Excerpt 4.2. Generalized Cauchy–Frullani integral (1976), ∞ 0

f (at) − f (bt) a dt = [M(f ) − m(f )] ln , t b

a > 0, b > 0,

where 1 x→∞ x

M(f ) = lim

x 1

f (t) dt,

m(f ) = lim x x↓0

1 x

f (t) dt. t2

In the original version of the formula, there were point evaluations, f (∞) and f (0), in place of the mean values M(f ) and m(f ). 2.5. Volume 5 Key words: Gap theorems for power series and related phenomena of “overconvergence” (1921–30); investigations related to Picard’s theorem (1925– 33); quasi-analytic functions, the theory of Carleman (1929); analytic continuation of power series and Dirichlet series (1933, 1955). Excerpt 5.1. Alternative characterization of normal families of meromorphic functions (1925). Theorem. A family F of meromorphic functions is normal (i.e., precompact ) if and only if it is equicontinuous with respect to the spherical metric. Excerpt 5.2. Carleman’s theorem on quasianalytic functions, as reformulated by Ostrowski (1929). Given a sequence m = {mν }∞ ν=1 of positive numbers mν , an infinitelydifferentiable function f on I = [0, ∞) is said to belong to the class C(m) if |f (ν) (x)| ≤ mν on I, ν = 0, 1, 2, . . . . The class C(m) is called quasianalytic if f ∈ C(m) and f (ν) (0) = 0, ν = 0, 1, 2, . . . , implies f (x) ≡ 0 on I. Ostrowski reformulates, and gives a simplified proof of, one of the main results of Carleman’s theory of quasianalytic functions by introducing the function T (r ) = supν r ν /mν (sometimes named after him).

270

W. Gautschi

Theorem. The class C(m) is quasianalytic if and only if ∞ dr log T (r ) 2 = ∞. r 1 Ostrowski’s work related to Picard’s theorem, though predating R. Nevanlinna’s own theory of meromorphic functions, points in the same direction. 2.6. Volume 6 Key words: Constructive proof of the Riemann Mapping Theorem (1929); boundary behavior of conformal maps (1935–36); Newton’s method for a single equation and a system of two equations: convergence, error estimates, robustness with respect to rounding (1937–38); convergence of relaxation methods for linear n × n systems, optimal relaxation parameters for n = 2 (1953); iterative solution of a nonlinear integral equation for the boundary function of a conformal map, application to the conformal map of an ellipse onto the disk (1955); “absolute convergence” of iterative methods for solving linear systems (1956); convergence of Steffensen’s iteration (1956); approximate solution of homogeneous systems of linear equations (1957); a device of Gauss for speeding up iterative methods (1958); convergence analysis of Muller’s method for solving nonlinear equations (1964); convergence of the fixed-point iteration in a metric space in the presence of “rounding errors” (1967); convergence of the method of steepest descent (1967); a descent algorithm for roots of algebraic equations (1969); Newton’s method in Banach spaces (1971); a posteriori error bounds in iterative processes (1972–73); probability theory (1946–1980); book reviews, public addresses, obituaries (G. H. Hardy, Wilhelm Süss, Werner Gautschi) (1932–75). Excerpt 6.1. Matrices close to a triangular matrix (1954), A = [aij ],

|aij | ≤ m (i > j),

|aij | ≤ M (i < j),

0 < m < M.

The limit case m = 0 corresponds to a triangular matrix with its eigenvalues being the elements on the diagonal. If m is small, one expects the eigenvalues to remain near the diagonal elements. This is expressed by Ostrowski in the following way.

Theorem. All eigenvalues of A are contained in the union of disks i Di , Di = {z ∈ C : |z − aii | ≤ δ(m, M)}, where 1

δ(m, M) =

1

Mm n − mM n 1

1

M n − mn

The constant δ(m, M) is best possible.

.

Alexander M. Ostrowski (1893–1986): His life, work, and students

271

Excerpt 6.2. The Moivre–Laplace formula (1980). If    n ν n−ν p q M(n) = , 0 < p < 1, p + q = 1, n > 0, √ ν |ν−np|≤η

then

2npq

2 M(n) = √ π

where ρ(η, n) = 

η 0

2

e−t dt + ρ(η, n),

rn 2 e−η + O(1/n), 2π npq

n → ∞,

and, with R(x) = x − x,   rn = 1 − R(nq + η 2npq) − R(np + η 2npq). The numbers rn are everywhere dense in [−1, 1]. Prior to Ostrowski’s work, the formula has been stated (incorrectly) with 1 in place of rn .

3. His students Professor Ostrowski has been the primary advisor (“Referent”) for the doctoral students listed below. All dissertations, except one, were written at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences of the University of Basel. (The exception is the thesis by Willy Richter.) 1932

Stefan Emanuel Warschawski (1904–1989) “Über das Randverhalten der Ableitung der Abbildungsfunktion bei konformer Abbildung”

1933

Alwin von Rohr (1903–2001) “Über die Hilbert–Story’schen invariantenerzeugenden Prozesse”

1934

Leo Leib Krüger (1903–?) “Über eine Klasse von kontinuierlichen Untergruppen der allgemeinen linearen homogenen projektiven Gruppe des (2N − 1)-dimensionalen Raumes”

1936

Theodor Samuel Motzkin (1908–1970) “Beiträge zur Theorie der linearen Ungleichungen”

1938

Caleb Gattegno (1911–1988) “Le cas essentiellement géodésique dans les équations de Hamilton–Jacobi intégrables par séparation des variables”

272

W. Gautschi

1938

Fritz Blumer (1904–1988) “Untersuchungen zur Theorie der halbregelmässigen Kettenbruchentwicklungen, I & II”

1944

Eduard Batschelet (1914–1979) “Untersuchungen über die absoluten Beträge der Wurzeln algebraischer, insbesondere kubischer Gleichungen”

1945

Gerhard Stohler (1915–1999) “Über eine Klasse von einparametrigen DifferentialTransformationsgruppen”

1948

Rolf Conzelmann (1916– ) “Beiträge zur Theorie der singulären Integrale bei Funktionen von mehreren Variablen, I & II”

1949

Karl-Felix Moppert (1920–1984) “Über Relationen zwischen m- und p-Funktionen”

1951

Hermann Georg Wundt (1921–?) “Eine neue Methode der Periodogramm-Analyse und ihre Anwendung auf die Reihe der Sonnenflecken-Relativzahlen”

1952

Willy Richter (1915–1998) "Estimation de l’erreur commise dans la méthode de M. W. E. Milne pour l’intégration d’un système de n équations différentielles du premier ordre" (Thèse, Faculté des Sciences, Université de Neuchâtel)

1953

Rudolf Thüring (1924– ) “Studien über den Holditchschen Satz”

1954

Werner Gautschi (1927–1959) “On norms of matrices and some relations between norms and eigenvalues”

1954

Walter Gautschi (1927– ) “Analyse graphischer Integrationsmethoden”

1959

Hans Richard Gutmann (1907–2001) “Anwendung Tauberscher Sätze und Lambertscher Reihen in der zahlentheoretischen Asymptotik”

Many of these students have had successful careers either in academia or in secondary school education. Like Ostrowski himself, some of the earlier students came to Basel from abroad: Warschawski from Königsberg; Krüger from Riga; Motzkin from Berlin; and Gattegno from Alexandria, Egypt. All the other students, except Wundt, a native of Aalen, Württemberg, were born and grew up in, or near, Basel.

Alexander M. Ostrowski (1893–1986): His life, work, and students

273

We have no information about the careers of von Rohr, Krüger, and Wundt. Warschawski became a Ph.D. student of Ostrowski while the latter was still in Göttingen, and moved with him to Basel, where he completed his thesis in 1932. He returned to Göttingen to start his teaching career but was forced to escape from Nazi persecution. He was able, eventually, to reach the United States, where he developed into a highly respected researcher in the area of conformal mapping. He also distinguished himself as a successful academic administrator by building up to prominence two departments of mathematics, one at the University of Minnesota, the other at the University of California at San Diego. For a biography, see [21]. Motzkin, the son of Leo Motzkin, a prominent member of the Zionist movement who participated at the First Zionist Congress (1897) in Basel and in his youth started on a doctoral dissertation under Kronecker, after completion of his thesis moved to the Hebrew University in Jerusalem, where during World War II he worked as a cryptographer for the British government. In 1948 he emigrated to the United States, where in 1950 he became a member of the Institute of Numerical Analysis at the University of California at Los Angeles and a professor ten years later. Motzkin’s work as a mathematician is widely recognized to be brilliant and ingenious. Extremely versatile, he contributed significantly to fields such as linear programming, combinatorics, approximation theory, algebraic geometry, number theory, complex function theory, and numerical analysis. Motzkin numbers and Motzkin paths are mathematical objects still studied extensively in today’s literature. See [1] for an obituary. Gattegno turned his attention to the psychology and didactics of teaching in general, and of teaching mathematics, reading and writing, and foreign languages, in particular. He promoted his innovative and unorthodox approaches in more than 50 books and other publications, conducted seminars throughout the world, founded numerous organizations, and produced relevant teaching material. He earned a second doctorate in psychology in 1952 from the University of Lille. In 1965, Gattegno moved to New York, where he established an educational laboratory and continued his pedagogical activities. For more on Gattegno’s life and work, see [29]. Batschelet was a teacher at the Humanistischen Gymnasium Basel from 1939 to 1960 and a Privatdozent at the University of Basel from 1952 to 1957. In 1958 he was awarded the title of extraordinary professor and two years later moved to Washington, D.C. to assume a professorship at the Catholic University. He returned to Switzerland in 1971 where he became professor of mathematics at the University of Zurich. His field of research was statistics and biomathematics; he taught and wrote successful textbooks in this area. See [18] for an obituary.

274

W. Gautschi

Moppert, after five years of teaching at schools in Basel, emigrated to Australia, where he assumed a lectureship at the University of Tasmania and in 1958 became a senior lecturer in mathematics at the University of Melbourne. In 1967 he joined the Department of Mathematics at Monash University, where he remained until his death. His mathematical work addressed Riemann surfaces — his thesis topic — and miscellaneous other topics including operators in Hilbert space, Diophantine analysis, Brownian motion, and Euclidean and non-Euclidean geometry. He had a knack for scientific instruments, of which a sundial mounted on one of the walls of the Union Building at Monash, “often a better indicator of the correct time than most other clocks on campus” [6], remains a lasting witness. Werner Gautschi, a twin brother of the author, emigrated in 1953 to the United States, where during postdoctoral years at Princeton University and the University of California at Berkeley he worked himself into the areas of mathematical statistics and probability theory. He started his academic career in 1956 at Ohio State University, moved to Indiana University at Bloomington in 1957 and two years later back to Ohio State University. Soon after he arrived there, a massive heart attack put an abrupt end to his life and to a very promising career. See [4] and [26] for obituaries. Walter Gautschi, after two years of postdoctoral work in Rome and at Harvard University, took on positions as a research mathematician at (what was then called) the National Bureau of Standards in Washington, D.C. and at Oak Ridge National Laboratory, Oak Ridge, Tennessee. In 1963 he accepted a professorship in mathematics and computer sciences at Purdue University, where he remained until his retirement in 2000. He worked in the areas of special functions, constructive approximation theory, and numerical analysis, as documented in [15]. Among the students who chose a teaching career at schools in Basel are Blumer, Humanistisches Gymnasium (HG), 1932–1973; Stohler, Mädchengymnasium (MG) (later Holbein-Gymnasium), 1946–1980; Conzelmann, HG (later Mathematisch-Naturwissenschaftliches Gymnasium (MNG)), 1949– 1982; Thüring, Realgymnasium (RG), 1956–1986; Gutmann, RG, 1935–1970 (rector thereof from 1962–1970). Both, Blumer and Conzelmann held also academic positions at the University of Basel, the former a lectorship from 1960 to 1974, the latter a Lehrauftrag in 1956/57, a lectorship from 1958 to 1974, and an extraordinary professorship from 1975 until his retirement in 1984. Richter, injured in a military accident and battling tuberculosis, absolved his university studies by correspondence in the military sanatorium of Novaggio and the sanatorium in Leysin during World War II and wrote most of his thesis on the sick-bed. He became a teacher in Neuchâtel, for a few years at the École de Commerce and then at the Gymnase Cantonal until his retirement in 1978.

Alexander M. Ostrowski (1893–1986): His life, work, and students

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Ostrowski is listed as secondary advisor (“Korreferent”) to the following students: 1931

Heinrich Johann Ruch (1895–1960) “Über eine Klasse besonders einfacher Modulargleichungen zweiten Grades von der Form y 2 = R(x)” (Referent: Otto Spiess)

1942

Ernst Fischer (1914–2000) “Das Zinsfussproblem der Lebensversicherungsrechnung als Interpolationsaufgabe” (Referent: Ernst Zwinggi)

1947

Heinz Hermann Müller (1913–1996) “Scharfe Fassung des Begriffes faisceau in einer gruppentheoretischen Arbeit Camille Jordans” (Referent: Andreas Speiser)

1955

Mario Gottfried Howald (1925–2001) “Die akzessorische Irrationalität der Gleichung fünften Grades” (Referent: Andreas Speiser)

Nothing is known to us about the curricula vitae of these students except for Howald, who was teaching at the MNG from 1951 to 1990 (in between for four years at the Gymnasium Bäumlihof). For two years (1962– 63) he was working at the Natural Science section of the Goetheanum in Dornach. Besides his teaching activity at the Gymnasien, Howald regularly organized courses in Carona (near Lugano) for amateur astronomers. He is the author of two informative articles [16], [17] on Maupertuis’s Lapland expedition to measure the length of a meridional degree that led to the affirmation of the flatness of the earth near the poles. He also edited, and wrote commentaries to, Daniel Bernoulli’s work on positional astronomy [2] and from 1997 to his death was a member of the Curatorium of the Otto Spiess foundation which supports the Bernoulli edition.

4. Epilogue To conclude, let me make a few general remarks about Ostrowski’s work. Apart from the kaleidoscopic variety of themes treated by him, a characteristic quality of his work is a strong desire to go to the bottom of things, to unravel the essential features of a problem and the basic concepts needed to deal with it in a satisfactory manner. This is coupled with a relentless drive to be exhaustive. Notable are also his frequent attempts to establish results, even entirely classical ones, under the weakest assumptions possible, and his delight in finding proofs that are short and succinct. A

276

W. Gautschi

good part of Ostrowski’s work has a definite constructive bent, and all of it exhibits a masterly skill in the use of advanced mathematical techniques, particularly analytic techniques of estimation. His work bears the stamp of scholarly thoroughness, coming from a careful study of the literature, not only the contemporary literature, but also, and perhaps more importantly, the original sources. Acknowledgments and sources. The author gratefully acknowledges help from Dr. H. Wichers of the Staatsarchiv Basel-Stadt to find all Ph.D. students of Prof. Ostrowski and biographical data for some of them. He is indebted to Professor D. Drasin for help with §2.5, to Mireille Richter for providing information about her father’s life, and to Dr. F. Nagel for details about Howald’s career. The photographs in Section 1 are, for the most part, from the private property of Prof. Dr. R. Conzelmann. Those of Ostrowski in Washington, D.C., and of Margret Ostrowski, are from the Oberwolfach Photo Collection, and the one of Ostrowski in his 50s from the author’s own possession.

References [1] Anonymous, Obituary: Theodore Samuel Motzkin, Professor of Mathematics, 1908–1970. J. Combin. Theory Ser. A 14 (1973), 271–272. [2] D. Bernoulli, Die Werke von Daniel Bernoulli. Bd. 1: Medizin und Physiologie. Mathematische Jugendschriften. Positionsastronomie. Birkhäuser, Basel 1996. [3] L. Bieberbach, Theorie der geometrischen Konstruktionen. Birkhäuser, Basel 1952. [4] J. R. Blum, Werner Gautschi, 1927–1959. Ann. Math. Statist. 31 (1960), 557. [5] P. Bürgisser und M. Clausen, Algebraische Komplexitätstheorie. I. Eine Einführung. Sém. Lothar. Combin. 36 (1996), Art. S36a. [6] J. N. Crossley and J. B. Miller, Obituary: Carl Felix Moppert, 1920–1984. J. Austral. Math. Soc. Ser. A 42 (1987), 1–4. [7] J. H. Davenport, Y. Siret, and E. Tournier, Computer algebra. 2nd ed., Academic Press Ltd., London 1993. [8] M. Eichler, Alexander Ostrowski. Über sein Leben und Werk. Acta Arith. 51 (1988), 295–298. [9] D. K. Faddeev, On R. Jeltsch-Fricker’s paper “In memoriam Alexander M. Ostrowski (1893–1986)”. Algebra i Analiz 2 (1990), no. 1, 242–243; English transl. Leningrad Math. J. 2 (1991), no. 1, 205–206 (see [19]). [10] Walter Gautschi, To Alexander M. Ostrowski on his ninetieth birthday. Linear Algebra Appl. 52/53 (1983), xi–xiv.

Alexander M. Ostrowski (1893–1986): His life, work, and students

277

[11] Walter Gautschi, Alexander Ostrowski 90jährig. Neue Zürcher Zeitung, September 24, 1983. [12] Walter Gautschi, Obituary: A. M. Ostrowski (1893–1986). SIAM Newsletter 20 (January 1987), 2, 19. [13] Walter Gautschi, Ostrowski and the Ostrowski Prize. Math. Intelligencer 20 (1998), 32–34; German edited transl. Uni Nova 87 (June 2000), Universität Basel, 60–62. [14] Walter Gautschi, Alessandro M. Ostrowski (1893–1986): la sua vita e le opere. Boll. Docenti Matem. 45 (2002), 9–19. [15] Walter Gautschi, A guided tour through my bibliography. Numer. Algorithms 45 (2007), 11–35. [16] M. Howald–Haller, Wie hat Maupertuis die Abplattung der Erde gemessen? Mitteilungen des Heimatmuseums Schwarzbubenland, Nr. 30/31 (1993/1994), 5–20. [Reissued in 2009.] [17] M. Howald–Haller, Maupertuis’ Messungen in Lappland. In Pierre Louis Moreau de Maupertuis (H. Hecht, ed.), Schriftenr. Frankreich-Zentr. TU Berlin 3., Berlin Verlag Arno Spitz, Berlin 1999, 71–88. [18] R. Ineichen, Professor Dr. Eduard Batschelet (6. April 1914 bis 3. Oktober 1979). Elem. Math. 35 (1980), 105–107. [19] R. Jeltsch-Fricker, In memoriam Alexander M. Ostrowski (1893 bis 1986). Elem. Math. 43 (1988), 33–38; Russian transl. Algebra i Analiz 2 (1990), no. 1, 235–241; annotated English transl. Leningrad Math. J. 2 (1991), no. 1, 199–203. [20] P. Lancaster, Alexander M. Ostrowski, 1893–1986. Aequationes Math. 33 (1987), 121–122. [21] F. D. Lesley, Biography of S. E. Warschawski. Complex Variables Theory Appl. 5 (1986), 95–109. [22] A. Ostrowski, Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Bd. I: Funktionen einer Variablen. Bd. II: Differentialrechnung auf dem Gebiete mehrerer Variablen; Bd. III: Integralrechnung auf dem Gebiete mehrerer Variablen. Birkhäuser, Basel 1945, 1951, 1954. [23] A. Ostrowski, Aufgabensammlung zur Infinitesimalrechnung. Bd. I: Funktionen einer Variablen; Bd. IIA: Differentialrechnung auf dem Gebiete mehrerer Variablen. Aufgaben und Hinweise; Bd. IIB: Differentialrechnung auf dem Gebiete mehrerer Variablen. Lösungen; Bd. III: Integralrechnung auf dem Gebiete mehrerer Variablen. Birkhäuser, Basel 1964, 1972, 1972, 1977. [24] A. M. Ostrowski, Solution of equations and systems of equations. 1st and 2nd ed., Pure Appl Math. 9, Academic Press, New York 1960, 1966. [25] A. M. Ostrowski, Solution of equations in Euclidean and Banach spaces, 3rd ed. of [24]. Academic Press, New York 1973. [26] A. Ostrowski, Werner Gautschi, 1927–1959. Verh. Naturforsch. Ges. Basel 71 (1960), 314–316.

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W. Gautschi

[27] A. Ostrowski, Collected mathematical papers. Vols. 1–6. Birkhäuser, Basel 1983–1985. [28] V. Ja. Pan, Some schemes for computation of polynomials with real coefficients (Russian). Dokl. Akad. Nauk SSSR 127 (1959), 266–269. [29] A. B. Powell, Caleb Gattegno (1911–1988): a famous mathematics educator from Africa? Rev. Bras. Hist. Mat. 2007 (2007), 199–209. [30] J. M. Rassias, Stefan Banach, Alexander Markowiç Ostrowski, Stanisław Marcin Ulam. In Functional analysis, approximation theory and numerical analysis, World Sci. Publ., Singapore 1994, 1–4. [31] P. Roquette, History of valuation theory. I. In Valuation theory and its applications, Vol. I (Saskatoon, SK, 1999), Fields Inst. Commun. 32, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002, 291–355.

Numerical analysis in Zurich – 50 years ago∗ Martin H. Gutknecht Surely, applied mathematics originated in ancient times and slowly matured through the centuries, but it started to blossom colorfully only when electronic computers became available in the late 1940s and early 1950s. This was the gold miners’ time of computer builders and numerical analysts. The venue was not the far west of the United States, but rather some places in its eastern part, such as Boston, Princeton, Philadelphia, and New York, and also places in Europe, most notably, Manchester, Amsterdam, and Zurich. Only long after these projects had begun it became known that the electronic computer had been invented earlier by clever individuals: 1937–1939 by John V. Atanasoff and his graduate student Clifford Berry at Iowa State College, Ames, Iowa, and, independently, 1935–1941 by Konrad Zuse in Berlin. We want to recall here some of the Swiss contributions. We focus on those in numerical analysis and scientific computing, but we will also touch computers, computer languages, and compilers. Responsible for establishing (electronic) scientific computing in Switzerland was primarily Eduard Stiefel (21.4.1909–25.11.1978): he took the initiative, raised the money, hired the right people, directed the projects, and, last but not least, made his own lasting contributions to pure and applied mathematics. Stiefel got his Dr. sc. math. from ETH in 1935 with a dissertation on “Richtungsfelder und Fernparallelismus in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten” written under the famous Heinz Hopf. It culminated in the introduction of the Stiefel(–Whitney) classes, certain characteristic classes associated with real vector bundles. Eduard Stiefel left further traces in pure mathematics with the Stiefel manifold and, later, in 1942, with the Stiefel diagram related to Lie groups and crystallographic groups. Decades later he would time and again capitalize on this knowledge by applying it to various problems in applied mathematics. In WW II, Stiefel spent much time in the army, where he reached the rank of a colonel, commanding the artillery weather services. That must have whetted his appetite for numerical computations. Moreover, soon after the war he must have heard of projects in other countries to build electronic computers, and he quickly started an initiative for establishing an Institute for Applied Mathematics at ETH. Its prime aim was to build an electronic computer – there were none for sale then – and to find out how to use it. ∗ This article, up to a few minor modifications and corrections, has been taken from the Zurich Intelligencer, a non-archival brochure published in July 2007 by Springer-Verlag for the participants of ICIAM 2007.

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M. H. Gutknecht

There were no operating systems yet, no compilers, no programming languages, and little algorithmic thinking. As it turned out, Stiefel’s institute, which was founded officially on January 1, 1948, became one of the few places worldwide that made fundamental contributions to all these areas within 10 years.

Figure 1. Eduard Stiefel, the chief, who had an interest in fishing.

After establishing the institute, Stiefel soon hired two assistants: a young mathematician named Heinz Rutishauser (30.1.1918–10.11.1970) and a young electrical engineer named Ambros Speiser (13.11.1922– 10.5.2003). Rutishauser had been working as a high-school teacher and was about to finish his dissertation on a topic in complex analysis. Speiser was just about to get his diploma. Next, Stiefel went for five months (from October 18, 1948 to March 12, 1949) on a fact finding mission to Amsterdam and the United States. He visited several computer building projects and some colleagues who worked on algorithms for scientific computing. He also organized for each of his two assistants to spend the whole year of 1949 in the US. Each of them could stay half of the time with Howard Aiken at Harvard University and the other half with John von Neumann at Princeton. What a generous boss! And what a clever move for know-how

Numerical analysis in Zurich – 50 years ago

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acquisition! Fostering these two young researchers payed off well – as it generally does. When Stiefel returned in Spring 1949 he had to anticipate that designing and constructing an electronic computer in Zurich would take several years, and during this time work on numerical algorithms would be limited by the impossibility of testing them. He was more than happy to learn one day that Konrad Zuse (22.6.1910–18.12.1995), who lived in the small

Figure 2. Heinz Rutishauser, fond of music, shown below a broken chain, in German Kettenbruch, i.e., continued fraction.

Bavarian village Hopferau, offered to lease him an operational digital electromechanical computer. Konrad Zuse was a real inventor. In 1935–1945 he designed a series of four digital computers with binary floating-point representation in his parents’ apartment in Berlin. While the Z1 was still fully mechanical, the Z2 of 1940 had already an arithmetic unit assembled from electromagnetic relays. It was, however, error-prone, but useful as a prototype to get support for his next project. The Z3 was completed in 1941 and was a fully operational programmable computer based on the relay technology: 600 relays were used for the CPU, 1400 for the memory. A replica is now on display in the German Museum in Munich. Finally, in

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M. H. Gutknecht

Figure 3. Ambros Speiser, who was always trying to maintain the site in order.

1942–1945, Zuse built the more powerful Z4. In the last month of the war, he was able to flee the capital with his Z4 packed up in boxes and to retreat to the secluded village of Hinterstein, close to the Austrian border. Once the end-of-war turmoil had cooled down, Zuse moved to the better accessible Hopferau, where, in 1946–1949, he completed the Z4 in the former flour storage room of a bakery. After inspecting the machine, Stiefel leased the Z4 for CHF 30’000 for five years. It was installed at ETH in August 1950, often ran day and night, and proved very reliable, except for the memory (64 32-bit numbers), which was still mechanical. The technical details have been reported in many newspaper and journal articles, see, e.g., [19], [16], [5], and the references listed in there. Some new features were added in Zurich, e.g., the treatment of conditional branches. Despite the Z4, designing a more powerful electronic computer to be called ERMETH (Elektronische Rechenmaschine der ETH) was still the main target of Stiefel’s quickly growing institute. Responsible for this task was Ambros Speiser, in the meantime the technical director of a group of five engineers and three mechanics. But reportedly, Rutishauser’s ingenious views also had a great influence on the design. Among the traces of their

Numerical analysis in Zurich – 50 years ago

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work are the two reports [15], [10], the latter being Rutishauser’s habilitation thesis describing what we would call now a compiler. Ultimately, the ERMETH started running in July 1956 and remained operational till 1963. Its most impressive part was a large magnetic drum that could store 10 000 floating-point numbers in a 16-decimal representation with an 11-decimal

Figure 4. The South Seas island of ERMETHIA.

mantissa. For further details on the ERMETH see [9] and the references given there. Running the Z4 and at the same time building the ERMETH was a lot of hard work for the team of the institute, work often carried out day and night. The excellent team spirit is reflected in our illustrations that show the mystic South Seas island of ERMETHIA and the four most prominent team members as its inhabitants. The drawings were sketched by Alfred Schai (21.4.1928–28.5.2009) in coal on large sheets of paper around 1956, but only photographs survived the years. Schai was an electrical engineer of the team, who later, 1964–1989, was director of the well equipped Computer Center of ETH Zurich. The availability of the Z4 allowed Stiefel and his collaborators to explore numerical methods on it. They also attacked real applications from civil engineering (dams, plates), quantum chemistry (eigenvalues), and airplane design (deformation of wings). Most of the textbook methods of this area originated from the time when “computers” were still human beings. Some of these methods were suitable for programmable electronic computers, others proved inappropriate or inefficient. The strong limitations regarding memory and program complexity posed severe difficulties and

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Figure 5. Hans Schlaeppi, responsible for the design and construction of the magnetic drum memory.

required special attention. For example, it was important to take advantage of the sparsity and structure of a matrix, and it was easy to do that for the matrices resulting from the finite-difference method if one applied iterative methods for solving linear systems. On his first trip to the USA, Stiefel met Garrett Birkhoff and his student David Young, who was working on the theory of a clever improvement of the Gauss–Seidel method. Young’s successive overrelaxation (SOR) method proved to be very efficient for many symmetric positive definite (spd) problems (and a few others). Stiefel also knew of a number of other, competitive, “relaxation” methods that were equally simple to apply and did not use a matrix splitting, but – like SOR – required choosing certain parameters. The best such method is known as Chebyshev iteration as it makes use of Chebyshev polynomials. But Stiefel was looking for a better method that automatically adapts to each matrix and to the initial approximation of the solution. He discovered it in 1951: an iterative method for spd problems that delivers in every step an optimal approximation of the solution and constructs it with an update process based on simple 2-term recurrences.

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He called it the n-step method, as it delivers the exact solution of a linear n-by-n system in at most n steps. He first mentioned it in a paper submitted in July 1951, in which he reviewed various approaches to the iterative solution of linear systems [17]. In the same month he travelled to the United States for a second, even longer visit (from July 1951 to February 1952), this time to the Institute for Numerical Analysis (INA) of the National Bureau of Standards, which was located at UCLA in Los Angeles. He was invited by Olga Taussky, who knew him from his earlier work in pure mathematics. His visit was scheduled to include the Symposium on Simultaneous Linear Equations and the Determination of Eigenvalues, held at the INA on August 23–25, 1951, and it was there that he found out that Magnus Hestenes of the INA (in collaboration with others of the same institute) had discovered the same method too. Hestenes, who called it the conjugate gradient (CG) method, had published an internal report on it also in July [6]. Stiefel’s long visit gave a perfect chance for a deeper joint investigation. The resulting 28 page two-column paper [7] is one of the most influential papers in numerical analysis. Not only did it make the very effective CG method known to a larger audience, but it also fully explored the method, from related mathematical theories (orthogonal polynomials, continued fractions) to details of implementation (including a very clever stopping criterion and experiments on roundoff effects), from possible generalizations (conjugate-direction methods) to particular applications. In the subsequent fifty years, innumerable publications discussed variations and generalizations of the CG method, which is the role model of what we call now a Krylov subspace method. (The Chebyshev iteration is also a Krylov subspace method, but in contrast to CG it is neither parameter-free nor optimal.) In Zurich, Stiefel had his student Urs Hochstrasser code the method on the Z4, and they were able to solve linear systems with up to 106 unknowns – quite impressive for a memory of 64 numbers! In fact, intermediate results were stored externally by punching holes in old movie films. For further details on the history of the CG method see [2] and the more recently provided historical documents on the Web [20], which include Hochstrasser’s presentation at the Latsis Symposium 2002 commemorating the publication of the Hestenes–Stiefel paper 50 years before. While being occupied with the design of the ERMETH and fundamental questions regarding computer programming, Stiefel’s collaborator Rutishauser was also engaged in developing numerical algorithms. He studied in particular the seminal paper of Lanczos [8] on solving eigenvalue problems (with a Krylov subspace method closely related to CG) and, on suggestion of Stiefel, he approached the problem of finding all the eigenvalues of a  0 Ak y0 (k = 0, 1, . . . ), matrix from a sequence of so-called moments ck := y

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 0 and y0 are suitably chosen initial vectors. Finding eigenvalues where y is a much more challenging problem than solving linear systems of equations, and the methods of the time were quite limited. Many were based on constructing the characteristic polynomial in one way or another, an approach that was shortly after discarded for many reasons. In 1953, improving on ideas of D. Bernoulli, Hadamard, and Aitken, Rutishauser came up with a completely new method, the quotient-difference or qd algorithm. He discovered that it had connections to Lanczos’ work, to the CG method, to (formal) orthogonal polynomials and to continued fractions – that is, to the same circle of ideas Hestenes and Stiefel had encountered. He noted that the original idea of computing the eigenvalues from the moments was a bad one due to ill-conditioning, but that combining the Lanczos algorithm with a “progressive” version of the qd algorithm gave much better results. Moreover, one day in 1954 he realized that one sweep of the progressive qd algorithm can be mimicked by factoring (if possible) a tridiagonal matrix into a unit lower bidiagonal matrix L times an upper bidiagonal matrix R, and then multiplying the factors in reverse order to get another tridiagonal matrix, which is similar to the first one. When such LR steps were repeated ad infinitum the convergence of the qd algorithm was reflected in the convergence of the above mentioned bidiagonal matrices L and R to the unit matrix and a bidiagonal matrix containing the eigenvalues, respectively. This was the birth of the LR algorithm, which, as was easy to see, also worked for full matrices. Rutishauser also discovered that by suitably shifting the spectrum of the matrix the qd and LR algorithms could attain quadratic or even cubic convergence. Over the years, he found other variants of the qd and LR algorithms and also further applications for them. About 20 of his publications are somehow related to qd or LR. Best known are [11] and [12]. Readers interested in the effects of finite-precision arithmetic should consult the appendices of [14]. Yet, he missed finding the most important generalization: it was J. G. F. Francis who, soon after the publication of [12], submitted a first version of a paper, where the idea of factorizing a matrix and assembling the factors in reverse order for obtaining a matrix similar to the original one was used with a QR factorization instead of an LR (or, in English notation, LU) factorization. Francis’ QR algorithm became the standard tool for eigenvalue computations. Only recently has it been challenged by new methods, including the so-called differential qd algorithm, which was rediscovered and perfected by Fernando and Parlett. For further details on the history of qd and LR see [4], and for the history of QR see [3]. The CG, qd, and LR methods are just the three most important topics in numerical analysis that were treated in Zurich in the 1950s and 1960s. And Rutishauser is just the most famous out of a long list of Stiefel’s

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early collaborators, many of whom became professors in numerical analysis (Rutishauser at ETH Zurich; Jean Descloux at EPF Lausanne; Hans-Rudolf Schwarz at the University of Zurich), computer science (Peter Läuchli and Carl August Zehnder at ETH Zurich), and related areas (Max Engeli at ETH Zurich for computer-aided design). In 1955, Ambros Speiser became – at

Figure 6. Peter Läuchli, after 1955 responsible for the ERMETH’s logic.

age 33 – the founding director of the IBM Research Laboratory near Zurich (one of only three worldwide), and in 1966 the founding director of the BBC (later ABB) Research Laboratory near Baden, Switzerland. Moreover, Stiefel had yet other students with careers in pure and applied mathematics. Besides Stiefel, another important Swiss figure with an interest in numerical analysis was Alexander Ostrowski (25.9.1893–20.11.1986). Born in Kiew he was a professor in Basel from 1927 till his retirement in 1958. His work spans nearly all areas of mathematics, but his mostly theoretical work in numerical analysis alone is quite impressive; and he also had a number of well-known students.1 The enthusiasm for computers and applied mathematics that arose in Switzerland in the 1950s, stirred by the activities of the Institute, actually produced more students than the market could absorb. Conse1 See “Alexander M. Ostrowski (1893–1986): His life, work, and students” by Walter Gautschi, pp. 257–278 in this volume.

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quently a number of young Swiss applied mathematicians emigrated to the USA. Many of them, but not all, returned after a few years. Peter Henrici (13.9.1923–13.3.1987), who got his Dr. sc. math. (as he liked to stress) “only formally” under Stiefel, Urs Hochstrasser (b. 1926), student of Stiefel, and Walter Gautschi (b. 1927), a student of Ostrowski, all started with positions at the American University in Washington, D.C., that allowed them to work for the National Bureau of Standards. There, Gautschi and Hochstrasser contributed chapters to the ubiquitous Handbook of Mathematical Functions of Abramowitz and Stegun. Henrici soon became a faculty member at UCLA and returned to ETH Zurich in 1962. Hochstrasser, who already had had a fellowship at the INA at UCLA while Stiefel and Hestenes were working out their CG paper, was a professor and computer center director in Kansas. In 1958 he became the first Swiss science attaché in Washington and Ottawa. Later, 1969–1989 he was the Swiss top official for Education and Science, director of the Bundesamt für Bildung und Wissenschaft (previously Abteilung für Wissenschaft und Forschung), and in this position he kept teaching numerical analysis courses at the University of Bern. Walter Gautschi is one of those who did not return: as is well known, he ended up in Purdue, where he has been on the faculty for some 40 years. Unfortunately, two other Swiss emigrants with promising careers died early. Werner Gautschi (1927–1959), Walter’s twin brother and also a student of Ostrowski, took positions in Princeton, Berkeley, Ohio State, and Indiana before his untimely death [1]. Hans Jakob Maehly (1920–1961), who got his PhD in physics at ETH in 1951 under the famous Paul Scherrer for a dissertation on eigenvalue computations, was at Princeton and Syracuse University and shortly at the Argonne National Lab before his premature death on Nov. 16, 1961. Before we come to an end, we need to mention yet another area of early work in the Institute for Applied Mathematics: the intense participation in the international collaboration that created the seminal programming language algol 60. Again, it was Heinz Rutishauser who, along with his colleagues Friedrich L. Bauer and Klaus Samelson in Munich, got strongly engaged in the definition and use of this language. Hans-Rudolf Schwarz wrote a compiler for its use on the ERMETH. The idea of creating a programming language to be used world-wide for numerical computations was fascinating. As mentioned before, Rutishauser had already developed ideas about a programming language and compilation in [10]. He contributed many ideas to algol 60, wrote a complete textbook for programming in algol 60 with many beautiful examples of numerical algorithms [13], and, together with his colleagues in Zurich and Munich, contributed many perfectly coded numerical procedures to the Handbook project [18]. As he once told us in a lecture, not all of his ideas had been accepted however:

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for example, he wanted to use a wildcard notation to make it possible to specify a column or a row of a matrix as actual values for a vector-valued variable of a function or procedure, as we are used to do it in matlab today. Unfortunately, algol 60 did not find the world-wide acceptance it deserved, but most of the ideas behind it reappeared later in modern computer languages. Rutishauser’s enormous work in computer science and numerical analysis becomes even more astonishing when one knows that as early as 1955 he had heart problems, which ultimately lead to his early death at age 52 in 1970. Acknowledgment. I would like to thank the late Alfred Schai for allowing me to reproduce his drawings and Franz Bachmann for turning old photographs of them into excellent reproductions. The help of my colleagues Walter Gander, Rolf Jeltsch, Wesley Petersen, and Jörg Waldvogel has also been much appreciated.

References [1] W. Gautschi, Reflections and recollections. In Approximation and computation (West Lafayette, IN, 1993), Internat. Ser. Numer. Math. 119, Birkhäuser, Boston 1994, xvii–xxxv. [2] G. H. Golub and D. P. O’Leary, Some history of the conjugate gradient and Lanczos algorithms: 1949–1976. SIAM Rev. 31 (1989), 50–102. [3] G. Golub and F. Uhlig, The QR algorithm: 50 years later its genesis by John Francis and Vera Kublanovskaya and subsequent developments. IMA J. Numer. Anal. 29 (2009), 467–485. [4] M. H. Gutknecht and B. N. Parlett, From qd to LR, or, how were the qd and LR algorithms discovered? IMA J. Numer. Anal., to appear; http://dx.doi.org/10.1093/imanum/drq003 [5] M. H. Gutknecht, The pioneer days of scientific computing in Switzerland. In A history of scientific computing (Princeton, NJ, 1987), ACM Press Hist. Ser., ACM, New York 1990, 301–313. [6] M. R. Hestenes, Iterative methods for solving linear equations. NAML Report 52-9, National Bureau of Standards, Los Angeles, CA (1951), reprinted in J. Optimization Theory Appl. 11 (1973), 323–334. [7] M. R. Hestenes and E. Stiefel, Methods of conjugate gradients for solving linear systems. J. Res. Nat. Bureau Standards 49 (1952), 409–435. http://nvl.nist.gov/pub/nistpubs/jres/049/6/V49.N06.A08.pdf [8] C. Lanczos, An iteration method for the solution of the eigenvalue problem of linear differential and integral operators. J. Res. Nat. Bureau Standards 45

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M. H. Gutknecht (1950), 255–282. http://nvl.nist.gov/pub/nistpubs/jres/045/4/V45.N04.A01.pdf

[9] H. Neukom, ERMETH: The first Swiss computer. IEEE Annals of the History of Computing 27 (2005), 5–22. [10] H. Rutishauser, Automatische Rechenplanfertigung bei programmgesteuerten Rechenmaschinen. Mitt. Inst. Angew. Math. techn. Hochschule Zürich Nr. 3, Birkhäuser Verlag, Basel/Stuttgart 1952; see also Z. Angew. Math. Phys. 3 (1952), 312–313. [11] H. Rutishauser, Der Quotienten-Differenzen-Algorithmus. Mitt. Inst. Angew. Math. techn. Hochschule Zürich Nr. 7, Birkhäuser Verlag, Basel/Stuttgart 1957. [12] H. Rutishauser, Solution of eigenvalue problems with the LR-transformation. In Further contributions to the solution of simultaneous linear equations and the determination of eigenvalues, Nat. Bur. Standards Appl. Math. Ser. 49, U.S. Government Printing Office, Washington, D.C., 1958, 47–81. [13] H. Rutishauser, Description of ALGOL 60 (Handbook for Automatic Computation Vol. Ia). Springer-Verlag, Berlin 1967. [14] H. Rutishauser, Lectures on Numerical Mathematics. Birkhäuser Verlag, Boston/Basel/Stuttgart 1990. [15] H. Rutishauser, A. Speiser, und E. Stiefel, Programmgesteuerte digitale Rechengeräte (elektronische Rechenmaschinen). Mitt. Inst. Angew. Math. techn. Hochschule Zürich Nr. 2, Birkhäuser Verlag, Basel/Stuttgart 1951; also in Z. Angew. Math. Phys., vols. 1–2. [16] H. R. Schwarz, The early years of computing in Switzerland. Ann. Hist. Comput. 3 (1981), 121–132. [17] E. Stiefel, Über einige Methoden der Relaxationsrechnung. Z. Angew. Math. Phys. 3 (1952), 1–33. [18] J. H. Wilkinson and C. Reinsch, Linear Algebra. Handbook for Automatic Computation, Vol. II, Grundlehren Math. Wiss. 186, Springer-Verlag, Berlin 1971. [19] Computer history: A personal perspective. Interview with Konrad Zuse, Siemens Review, no. 4/89, 1989. [20] Historical CG documents on the web: http://www.cs.umd.edu/users/oleary/cggg/historyindex.html, http://math.nist.gov/mcsd/highlights/cg50.html

Armand Borel (1923–2003)∗ André Haefliger Armand Borel est décédé le 11 août 2003 à Princeton à l’âge de 80 ans après une courte maladie, alors qu’il était encore en pleine activité. Son oeuvre mathématique est considérable et présente une remarquable cohérence. Ses travaux, hormis une douzaine de livres ou de notes de cours et ses articles publiés après 1999, ont été publiés par Springer Verlag dans quatre gros volumes réunissant plus de 150 articles (cités ci-après sous [Oe]). Plus de 50 d’entre eux sont écrits en collaboration avec plus de 30 coauteurs différents (notamment neuf travaux communs avec J-P. Serre, cinq avec J. Tits). Ils sont centrés sur les groupes de Lie et leurs actions, ainsi que sur les groupes algébriques et arithmétiques, et abordent des questions centrales concernant une multitude de domaines : topologie algébrique, géométrie différentielle, analytique et algébrique, théorie des nombres, etc. Ils ont joué un rôle fondamental dans le développement des mathématiques de la seconde moitié du 20e siècle. Armand Borel est né à la Chaux-de-Fonds en Suisse le 21 mai 1923. Après des études secondaires faites à Genève, puis dans des institutions privées, il entre en 1942 à l’Ecole Polytechnique Fédérale (EPF) de Zurich dans la section mathématiques et physique, tout en accomplissant son service militaire obligatoire, et obtient son diplôme en mathématiques au printemps 1947 (son travail de diplôme lui avait été proposé par E. Stiefel). Il sera assistant à l’EPF pendant deux ans. Pendant cette période il publie deux travaux, l’un sur la caractérisation des sous-groupes connexes de rang maximum des groupes de Lie compacts (en collaboration avec J. de Siebenthal), et l’autre sur les groupes de Lie compacts opérant transitivement sur des sphères ou des tores. Ils témoignent déjà de ses solides connaissances sur les groupes de Lie compacts et les systèmes de racines, ainsi qu’en topologie algébrique, sujets auxquels il s’est initié en suivant les cours de E. Stiefel et de H. Hopf (tous deux des pédagogues exceptionnels). Ces premiers travaux montrent qu’il a parfaitement assimilé le papier [St] de Stiefel et les deux travaux fondamentaux [H1] et [H2] de Heinz Hopf. Il désirait préparer une thèse sur les groupes de Lie mais Stiefel s’était déjà résolument tourné vers les mathématiques appliquées. Grâce à une bourse d’échange entre l’EPF et le CNRS, il passe l’année académique 1949– 1950 à Paris. Il s’intègre immédiatement à la vie mathématique parisienne ∗ D’abord publié dans Gaz. Math. 102 (2004), 6–14. Ce fascicule contient aussi les articles « Borel’s contributions to arithmetic groups and their cohomology » de G. Prasad et « Discours prononcé en hommage à Armand Borel (1923–2003) » de J.-P. Serre.

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bouillonnante de cette époque. Il participe activement au séminaire de H. Cartan à l’Ecole Normale Supérieure consacré cette année là à la topologie des espaces fibrés ; il y fait deux exposés où il donne un tableau complet de ce qui est connu à cette époque sur les groupes d’homotopie des groupes de Lie compacts. Au Collège de France, J. Leray expose ses conceptions révolutionnaires en topologie algébrique, la théorie des faisceaux et la suite spectrale ; parmi les rares auditeurs figurent Borel et Serre ; ce dernier, découragé, finit par abandonner, mais Borel tenace s’accroche jusqu’au bout (il complète même la théorie et la simplifie dans [Oe, I, 10]). Voici comment Serre évoque dans son entretien avec Marian Schmidt [Sc] le rôle joué par Borel dans les débuts de sa vie de chercheur, alors qu’il était à la recherche d’un sujet de thèse : « J’ai fini, deux ans après ma sortie de l’Ecole Normale, par démarrer. Ce démarrage, je le dois en grande partie au mathématicien suisse Armand Borel ; venu de Zurich, où il avait été l’élève de H. Hopf, il était arrivé à Paris à l’automne 1949 et il y est resté deux ans. Nous avons fait connaissance au séminaire Cartan et nous avons immédiatement sympathisé. Un peu plus âgé que moi, il avait déjà plusieurs publications à son actif et il m’a beaucoup appris sur la technique de la recherche. De plus, ce qui a été capital, il avait réussi à comprendre la mystérieuse théorie de Leray, suites spectrales incluses, et il me l’a expliquée. Un certain dimanche de juin 1950 (le jour où a commencé la guerre de Corée), nous avons trouvé une application de cette théorie qui, sans être difficile, était d’un genre nouveau : nous avons démontré qu’il n’existe pas de fibration d’un espace euclidien dont les fibres soient compactes et non réduites à des points. Nous avons rédigé là-dessus une note pour les Comptes rendus de l’Académie des sciences ; présentée le lendemain à l’Académie par Elie Cartan, elle est parue deux semaines plus tard. Mis en confiance par ce succès, j’ai entrepris d’explorer la théorie de Leray pour voir quelles autres applications on pouvait en tirer ». Et un peu plus loin, à la question : quelles sont les principales influences que vous avez subies ?, Serre répond : « Celles d’Henri Cartan et d’Armand Borel ont été décisives pour ma formation. Ensuite celle d’André Weil ». Ce premier travail commun avec Serre évoqué ci-dessus a joué un rôle de déclic pour l’un comme pour l’autre, car ils ont réalisé le parti que l’on pouvait tirer de l’étude de la suite spectrale d’une fibration pour établir des relations entre les cohomologies de l’espace total, de la fibre et de la base. Borel donne aussi un rapport au séminaire Bourbaki sur les travaux d’Iwasawa et Gleason, en relation avec le 5e problème de Hilbert. Peu après

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il fera d’autres exposés au séminaire Bourbaki et deviendra bientôt un membre actif de Bourbaki, qu’il quittera à l’âge réglementaire de 50 ans. Durant son séjour parisien Borel assimile aussi les nouvelles idées développées par A. Weil, H. Cartan, C. Chevalley et J.-L. Koszul (exposées par H. Cartan au Colloque de Topologie de Bruxelles [Ca]) sur la transgression dans la cohomologie réelle des espaces fibrés et l’homomorphisme de Chern–Weil. Le but de sa thèse (dont le directeur fut J. Leray) sera de réinterpréter ces résultats dans leur cadre géométrique et de les étendre en cohomologie entière et modulo p, en utilisant la suite spectrale de Leray d’une fibration.

Armand Borel, IAS 1980 (© Archives privées de la famille Borel).

De 1950 à 1952, il remplace le professeur d’algèbre à l’université de Genève tout en faisant des séjours fréquents à Paris et à Zurich, où il donne au semestre d’été 1951 un cours sur la Cohomologie des espaces localement compacts, d’après J. Leray. Les notes polycopiées de ce cours, publiées plus tard dans les Springer Lecture Notes in Mathematics, vol. 2, ont circulé partout et ont été très utiles car elles constituaient le premier exposé systématique et détaillé abordable des théories de Leray. C’est pendant cette période qu’il rédige sa thèse, soutenue à Paris au printemps 1952 (le jury était composé de J. Leray, président, H. Cartan et A. Lichnerowitz). Ce travail monumental intitulé « Sur la cohomologie des fibrés principaux et des espaces homogènes de groupes de Lie compacts » sera publié dans les Annals of Math. [Oe, I, 23]. Sa seconde thèse sur les fonctions automorphes de plusieurs variables complexes (un sujet qui lui tiendra à coeur tout au long de sa carrière) fera l’objet d’un article d’exposition dans le Bulletin de la Société Mathématique de France [Oe, I, 22].

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C’est aussi cette année qu’il épouse Gaby Pittet qui est restée sa compagne dévouée jusqu’au bout. En automne 1952, le jeune couple s’embarque pour les Etats-Unis, Armand étant invité à Princeton, comme membre visiteur de l’Institute for Advanced Study (IAS). Ce séjour de deux ans à Princeton sera crucial pour l’élargissement de son champ mathématique, tout autant que son séjour parisien en 1949–1950. Dans son rapport intitulé « The School of Mathematics of the Institute for Advanced Study » [Oe, IV, 138], il décrit avec enthousiasme l’ambiance mathématique exaltante de cette époque (voir pages 212–215). Il retrouve F. Hirzebruch qu’il avait déjà rencontré à Zurich en 1949 et qui comme lui est visiteur à l’IAS ; ensemble ils commencent leur grand travail « Characteristic classes and homogeneous spaces ». Il évoque la genèse du théorème de Riemann–Roch, ses contacts avec D. Montgomery, H. Samelson, J. Moore, et bien d’autres, qui conduisirent à des publications et des collaborations. Après avoir participé à une école d’été sur les groupes et algèbres de Lie organisée par l’AMS où il expose les résultats de sa thèse et où Chevalley donne un cours sur les groupes algébriques, il retourne en automne 1953 à l’Institut pour une seconde année et y poursuit sa collaboration avec Hirzebruch. Influencé par les nouveaux développements de la géométrie analytique et algébrique dus à H. Cartan, J-P. Serre, C. Chevalley, F. Hirzebruch, K. Kodaira, D. Spencer et A. Weil, il commence à s’intéresser à l’aspect analytique complexe et algébrique des groupes de Lie. Ainsi le théorème de Borel-Weil est issu d’une conversation avec Weil à Chicago à la fin de 1953. Il est amené à penser aux groupes algébriques linéaires globalement, plutôt qu’en terme d’algèbres de Lie. Il développera ce point de vue plus profondément pendant l’année académique suivante 1954–1955 qu’il passera à Chicago comme professeur invité, bénéficiant des contacts avec André Weil. De là sortira son travail fondateur monumental « Groupes algébriques linéaires » [Oe, I, 39] qui marque un tournant décisif dans le sujet. En cet automne 1955, il a publié plus de 20 travaux qui représentent déjà une oeuvre mathématique importante. Il est nommé professeur à l’école polytechnique fédérale de Zurich (Heinz Hopf avait toujours été soucieux de le voir revenir en Suisse). Parmi ses obligations, il doit enseigner la géométrie descriptive en français ; il donne également un cours avancé sur la théorie des groupes de Lie. L’année suivante il reçoit une offre prestigieuse : un poste de professeur permanent à l’Institute for Advanced Study (IAS) de Princeton. Après quelques hésitations (voir [Oe, IV, p. 215]), il accepte ; il quitte Zurich au printemps 1957 et arrive à Princeton. Dès lors c’est là qu’il effectuera toute sa carrière, qu’il s’épanouira pleinement, élargissant encore ses domaines de recherches dans de multiples directions, et qu’il consacrera toute son énergie pour animer les activités mathématiques de l’Institut et défendre inlassablement avec André Weil, qui le rejoindra une

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année plus tard, le niveau d’excellence de cette institution (cf. [Oe, IV,138]). Il organisera des séminaires sur des sujets d’actualité qui connaîtront un grand succès en y faisant participer de nombreux collaborateurs. La maison de Gaby et d’Armand à Princeton deviendra aussi un lieu d’accueil privilégié pour tant de visiteurs. Armand Borel a reçu plusieurs distinctions, telles qu’un doctorat h.c. de l’Université de Genève en 1972, la médaille Brouwer en 1978, le Steele Prize de l’American Mathematical Society en 1991 et le prix Balzan en 1992. Il a été nommé membre de plusieurs institutions, en particulier de l’American Academy of Arts and Sciences en 1976, de la National Academy of Sciences, USA, en 1987, associé étranger à l’Académie des Sciences de Paris en 1981, etc.

Quelques résultats mathématiques d’Armand Borel L’œuvre mathématique d’Armand Borel est considérable et touche à tant de domaines différents qu’une analyse détaillée de ses travaux exigerait le concours de plusieurs spécialistes. Je renvoie à l’article de Serre pour une vue générale de son oeuvre, et à Gopal Prasad pour ses contributions aux groupes arithmétiques. Je me bornerai ici à n’évoquer que très brièvement quelques spécimens de ses résultats, ne donnant hélas qu’une vue très limitée de la richesse de son œuvre. Un des buts de la thèse de Borel [Oe, I, 23] est de calculer la cohomologie entière ou modulo p, pour p premier, des groupes de Lie compacts connexes G, ainsi que la cohomologie de l’espace BG classifiant pour les espaces fibrés principaux de groupe G (les éléments de cette cohomologie sont par définition les classes caractéristiques universelles pour ces fibrés). Un des résultats typiques est que si l’algèbre de cohomologie entière (resp. modulo p) de G est une algèbre extérieure dans des générateurs x1 , . . . , xr de degrés impairs 2mi − 1, alors la cohomologie de BG entière (resp. mod p) est une algèbre de polynômes dans des générateurs y1 , . . . , yr , les yi étant de degrés pairs 2mi . L’hypothèse est vérifiée si la cohomologie enière de G est sans torsion (resp. sans p-torsion). Plus précisément si π : EG → BG est un espace fibré principal universel de groupe G, on peut choisir les générateurs xi et yi de sorte que yi soit obtenu par restriction à la fibre G d’une cochaine yi de EG dont le cobord est π ∗ (yi ). On dit alors que les éléments xi sont transgressifs et que yi est l’image de xi par la transgression. Ce résultat est obtenu à l’aide de la suite spectrale de Leray. Un autre résultat important est le suivant. Si T est un tore maximal dans G, on a une application BT → BG induite par l’inclusion. Sous

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l’hypothèse précédente, l’application induite en cohomologie est injective et applique isomorphiquement la cohomologie de BG sur IG , le sous-espace de la cohomologie de BT (qui est une algèbre de polynômes dans des variables de degré 2) formé des éléments invariants par l’action du groupe de Weyl. Ainsi par exemple pour G = U(n), la cohomologie entière de BT est une algèbre de polynômes dans n générateurs t1 , . . . , tn de degré 2, la cohomologie entière de BU(n) est l’algèbre des polynômes dans les classes de Chern qui apparaissent comme les fonctions symétriques élémentaires dans les ti . Borel a obtenu un peu plus tard un résultat analogue pour la cohomologie modulo 2 de O(n) (cf. [Oe, I, 25]). Dans ce cas T est remplacé par le sous-groupe Q(n) des matrices diagonales. La cohomologie modulo 2 de BQ(n) est l’algèbre des polynômes dans n générateurs vi de degré 1 et les classes de Stiefel–Whitney s’identifient aux fonctions symétriques élémentaires dans les v1 , . . . , vn . Auparavant dans le chapitre II de sa thèse il extrait du travail fondamental [H1] de Hopf la condition algébrique que Hopf avait mise en évidence pour l’algèbre de cohomologie d’un espace muni d’un produit et qu’il appelle algèbre de Hopf. Il détermine la structure de telles algèbres sur un corps parfait, en particulier il montre que c’est un produit tensoriel d’algèbres de Hopf avec un seul générateur. Le survol « Topology of Lie groups and characteristic classes » [Oe, I, 33] paru en 1955 dans le Bulletin de l’AMS, qui fait suite à un rapport de Samelson sur le même sujet publié dans le même journal trois ans auparavant, montre combien les méthodes topologiques développées dans la thèse de Borel ont supplanté les techniques précédentes et ont permis d’unifier et de faire progresser la théorie. Signalons une application intéressante d’un travail commun avec Serre [Oe, I, 16], à savoir que, parmi les sphères, seules celles de dimension 2 et 6 admettent des structures presque-complexes. Issue d’une collaboration avec F. Hirzebruch commencée en automne 1952 (cf. [Oe, IV, p. 212–214]) la série des trois articles « Characteristic classes and homogeneous spaces » [Oe, I, 43 et II, 45 et 47] a eu une influence considérable à l’époque, même avant sa publication (1958–1961), en particulier dans la genèse des théorèmes de périodicité de R. Bott, comme en témoigne son long rapport dans les Math. Reviews et ses remarques dans l’annonce de ses résultats (cf. R. Bott, The stable homotopy of the classical groups, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 43 (1957), 933–935). Le but initial de ce travail est de déterminer les classes caractéristiques d’un espace homogène G/U, où U est un sous groupe fermé d’un groupe de Lie compact G, à partir de certaines racines de G. Les auteurs obtiennent une foule de résultats concrets, en particulier un théorème de divisibilité de la classe de Chern d’un fibré vectoriel sur une sphère de dimension paire qui fournit une information sur certains groupes d’homotopie des groupes de Lie, et

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qui contredisait par bonheur un résultat erroné de Toda, en désaccord avec la périodicité. Borel a écrit une série de papiers ([Oe, I, 24 avec Serre, 28, 29, 35 avec Chevalley, 37, II, 51, 52]) dont le but est de calculer la p-torsion de l’algèbre de cohomologie entière des groupes de Lie compacts connexes G et d’établir des relations avec les sous-groupes commutatifs de G. Par exemple il montre que H ∗ (G, Z) n’a pas de p-torsion si et seulement tout sous-groupe abélien produit de groupes cycliques d’ordre p est contenu dans un tore maximal. Ou encore si G a de la p-torsion, alors p divise l’ordre du groupe de Weyl de G (supposé simplement connexe). L’article récent [?] s’inscrit dans la lignée de ces travaux. C’est dans le séminaire que Borel avait organisé à Princeton en 1958– 1959 sur les groupes de transformations (Seminar on transformation groups, Ann. Math. Studies 46, 1960) qu’il a défini et exploité systématiquement la cohomologie équivariante : si X est un espace sur lequel opère continûment un groupe topologique G, la cohomologie équivariante du Gespace X est la cohomologie de l’espace XG , quotient de EG ×X par l’action diagonale de G (c’est ce qu’on appelle maintenant la construction de Borel). Je voudrais mentionner aussi la conjecture que Borel avait énoncé oralement en 1953 dans une conversation informelle, à savoir qu’une variété compacte sans bord dont le revêtement universel est contractible est déterminée à homéomorphisme près par son groupe fondamental (une généralisation très forte du théorème de rigidité de Mostow). Cette conjecture, appelée maintenant conjecture de Borel, est l’objet d’intenses recherches.1 Ce qu’on appelle le théorème de Borel–Weil, qui date de la fin de 1953 et dont le manuscrit ne fut pas publié à l’époque (voir [Oe, I, 30 et son commentaire p. 704, ainsi que IV, p. 214]), est le résultat suivant. Le quotient G/T d’un groupe de Lie simple compact G par un tore maximal T est muni d’une structure complexe invariante. Ainsi G opère sur les espaces de sections holomorphes des fibrés homogènes holomorphes de rang 1 sur G/T . Un tel fibré est déterminé par un caractère χ de T . Le théorème montre en particulier qu’une représentation de G ainsi obtenue est irréductible de poids dominant χ. Le travail fondamental de Borel « Groupes algébriques linéaires », achevé en 1955 ([Oe, I, 39]), marque un tournant décisif dans sa carrière et aussi dans l’évolution de la théorie. Borel considère des groupes linéaires algébriques définis sur un corps algébriquement clos K de caractéristique quelconque ; il doit éviter toute allusion aux algèbres de Lie puisque l’application exponentielle ne peut plus être définie en caractéristique p, et 1 La conjecture de Borel est formulée explicitement (comme un problème ouvert) dans une lettre de Borel à Serre datée du 2 mai 1953. Voir à ce sujet : « The birth of the Borel conjecture », www.maths.edu.ac.uk/surgery/borel.pdf.

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comme il le dit, il s’est inspiré des méthodes globales développées dans les années quarante par Hopf [H1], [H2], Samelson et Stiefel [St] (cf. [?, p. 124 et p. 158] pour la genèse de ce travail). Un résultat de base est l’existence et l’unicité à conjugaison près d’un sous-groupe résoluble fermé connexe maximal, conséquence immédiate d’un théorème d’existence de point fixe démontré géométriquement de manière très directe en quelques lignes (voir [?, p. 124]). Un tel sous-groupe résoluble maximal connexe sera appelé sous-groupe de Borel par Chevalley. Borel développe aussi la théorie des tores maximaux et des éléments réguliers et singuliers (un tore étant défini comme un produit de K ∗ ). Chevalley qui avait lu le manuscrit a immédiatement vu le parti que l’on pouvait en tirer et l’année suivante en 1956 il avait la classification des groupes algébriques simples sur un corps algébriquement clos quelconque. L’étude des groupes algébriques sur un corps quelconque fera l’objet à partir de 1965 d’une série impressionnante de cinq travaux en commun avec J. Tits et conduira à la théorie de Borel– Tits. Un résultat utile est le théorème de densité de Borel [Oe, II, 50]. Soit G un groupe algébrique connexe défini sur R, sans composantes compactes. Soit Γ ⊂ G un sous-groupe topologique fermé tel que G/Γ ait une mesure finie G-invariante. Alors Γ est Zariski dense dans G. Une autre étape très importante est bien sûr le travail « Arithmetic subgroups of algebraic group » avec Harish-Chandra [Oe, II, 54], suivi d’une série d’autres sur les groupes arithmétiques, pour lesquels je renvoie à l’article de Gopal Prasad. Je voudrais pourtant signaler le beau théorème d’existence de réseaux cocompacts [Oe, II, 62] : Un groupe de Lie G semi-simple connexe possède toujours un sous-groupe discret Γ sans torsion tel que G/Γ soit compact. Un autre résultat frappant est le suivant (cf. [Oe, IV, 129]). Soit G un groupe de Lie connexe linéaire semi-simple, K un compact maximal. Alors si le rang de G est égal au rang de K, la cohomologie L2 de l’espace symétrique X = G/K est nulle en dimension différente de dim X/2. Enfin un des résultats les plus remarquables de Borel, un belle incarnation de sa foi dans l’unité des mathématiques, est le calcul de la cohomologie réelle stable des groupes arithmétiques, de ses applications à la K-théorie et ses relations avec les valeurs de la fonction ζ d’un corps de nombres aux points entiers (cf. [Oe, III, 93, 100, 101, 108, 116, 118 et le survol dans IV, 157]). Il montre par exemple que H ∗ (limn→∞ SLn (Z); R) est une algèbre extérieure dans une infinité de générateurs xi de degré 4i + 1. Il en résulte que les groupes de K-théorie Kn (Z) ⊗ Q sont de dimension 1 pour n ≡ 1 mod 4 et nul autrement (n > 1).

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Un homme de communication et de culture Le quatrième volume de ses oeuvres complètes, fort de 700 pages, contient l’ensemble des articles qu’il a publiés alors qu’il avait plus de 60 ans jusqu’en 1999. A part de nombreux travaux de recherche, il contient une quinzaine d’articles destinés à un public plus large et qui sont passionnants à lire. Dans certains (cf. [Oe, III, 119, IV, 149, 150, 153]) il dévoile sa conception personnelle des mathématiques ou encore ses expériences vécues au sein de la communauté mathématique, à l’IAS de Princeton ([Oe, IV, 138]) ou chez Bourbaki [Oe, IV, 165]. Dans d’autres, à caractère historique, il analyse avec une rigueur, une compétence et une objectivité rares, les travaux scientifiques de ses prédécesseurs (E. Cartan, H. Weyl), ou de ses aînés qu’il a côtoyés de près, J. Leray, A. Weil, C. Chevalley, E. Kolchin, D. Montgomery, ou encore Harish-Chandra. Il met en évidence les motivations, la genèse des idées, les influences réciproques, le tout émaillé de souvenirs personnels précieux, lui qui a été un acteur et un témoin privilégié de grands moments de l’évolution des mathématiques de son temps. Son analyse de la part de Poincaré à la relativité restreinte (voir [Oe, IV, 173] et son commentaire aux pages 709–710), ainsi que son analyse de la controverse entre H. Weyl et E. Cartan sur les connexions projectives [?] sont des modèles d’impartialité et sont fascinantes à suivre dans leurs tenants et aboutissants. Comme le relèvent à la fois les citations du Steel Prize et du prix Balzan, Armand Borel a aussi joué un rôle essentiel comme organisateur et animateur de multiples activités mathématiques (séminaires, écoles d’été aux Etats-Unis, en Chine, en Inde, etc) et comme propagateur enthousiaste d’idés nouvelles. Il en est résulté de nombreux livres qui sont devenus des ouvrages de référence. Je me bornerai à citer un seul exemple. Alors qu’il était retourné en Suisse comme professeur à l’EPF de Zurich de 1983 à 1986, il a organisé pendant les semestres d’été un séminaire qui a réuni des étudiants et des professeurs de toutes les universités suisses ainsi que des invités. Les réunions avaient lieu un jour par semaine à l’Institut mathématique de Berne situé à deux pas de la gare. Leur but était d’étudier en commun un sujet d’actualité (tel que l’homologie d’intersection ou les D-modules) et de faire participer activement à la fois des spécialistes et des non-spécialistes qui s’y préparaient durant le semestre d’hiver. Il en résultait des discussions animées et fructueuses pendant la pose de midi et les trajets en train. La tradition du séminaire suisse de Berne (qui porte aujourd’hui son nom) s’est poursuivie après son départ et a grandement contribué à développer les contacts entre les mathématiciens suisses et donné lieu à plusieurs publications de grande valeur.

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D’une très grande force de caractère, encore plus exigeant pour lui que pour les autres, d’une honnêteté jamais mise en défaut et d’une prodigieuse puissance de travail, il était un homme de grande culture. Il était aussi passionné dans ses loisirs que dans son travail. Très sportif, il pratiquait la natation avec une stricte discipline et il aimait beaucoup faire des excursions en montagne. Grand amateur avec Gaby de voyages, il les préparait soigneusement pour pouvoir visiter des sites archéologiques ou des trésors architecturaux et découvrir des paysages nouveaux (en Inde, au Mexique, en Chine, etc.). Il était aussi un grand connaisseur de peinture et un passionné de musique, d’abord de Jazz (il adorait fréquenter les boîtes de Chicago et de New-York dans les annés cinquante), puis de musique contemporaine (Bartok en particulier) et enfin de musique classique indienne dont il était devenu un réel expert. Pendant plusieurs années il a organisé à l’Institut de Princeton une série de concerts, proposant des programmes originaux en dehors des chemins battus. Armand Borel était resté très attaché à la Suisse et à Genève, la ville de son enfance et de son adolescence. Chaque année il passait l’été à la Conversion dans la maison familiale de Gaby qui domine le lac Léman. Il en profitait pour revoir ses amis (par exemple G. de Rham quand il était encore en vie), nager dans le lac et faire des balades en montagne. Fidèle dans ses amitiés, il ne manquait jamais de nous contacter et nous nous retrouvions chaque été en famille avec grand bonheur. Avec son épouse Gaby et ses deux filles Dominique et Anne, nous partageons le sentiment d’avoir perdu un être d’exception.

Références [Oe] A. Borel, Œuvres/Collected Papers. Vol. I, II, III, IV, Springer-Verlag, Berlin 1983, 2001.2 [H1] H. Hopf, Über die Topologie der Gruppen-Manigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen. Ann. Math. (2) 42 (1941), 22–52. [H2] H. Hopf, Über den Rang geschlossener Liescher Gruppen. Comm. Math. Helv. 13 (1941), 119–143. [St]

E. Stiefel, Über eine Beziehung zwischen geschlossenen Lie’schen Gruppen und diskontinuierlichen Bewegungsgruppen euklidischer Räume und ihre Anwendung auf die Aufzählung der einfachen Lie’schen Gruppen. Comm. Math. Helv. 14 (1942), 350–380.

2 Ces quatre volumes ne contiennent pas les publications d’Armand Borel après 1999, à savoir 11 articles et 2 livres.

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[Ca] H. Cartan, La transgression dans un groupe de Lie et dans un espace fibré principal. Colloque de Topologie, Centre Belge de Recherches Mathématiques, Bruxelles, 5–8 juin 1950, Georges Thone, Liège ; Masson & CIE , Paris, 1951, 57–71. [Sc] M. Schmidt, Hommes de Sciences (28 portraits). Hermann, Paris 1990. Parmi les autres hommages dédiés à Armand Borel, mentionnons : Armand Borel (1923–2003). With contributions of James Arthur, Enrico Bombieri, Komaravolu Chandrasekharan, Mark Goresky, Friederich Hirzebruch, Gopal Prasad, Jean-Pierre Serre, Tonny A. Springer, Jacques Tits, Notices Amer. Math. Soc. 51 (2004), no. 5, 498–524. Special issue dedicated to the memory of Professor Borel, edited by John Coates, Lizhen Ji, Gopal Prasad, Yum Tong Siu, Shing Tung Yau. With Photos, homage and memories by Gaby and Domonique Borel, Nolan R. Wallach, Bill Casselman, Ngaiming Mok, Lizhen Ji, Mark Goresky, Asian J. Math. 8, Number 4 (December 2004).

Addendum : Le Fonds Borel Le fonds Armand Borel a été confié en 2004 par Dominique Borel au Département des manuscrits de la Bibliothèque de Genève. La conservatrice du Département, Mme Barbara Roth, s’est alors employée à permettre la mise en valeur du riche contenu intellectuel de cet ensemble. Occupant quelques 7,5 mètres de rayonnages, il contient les documents liés à l’activité professionnelle d’Armand Borel. On y trouve en premier lieu la correspondance scientifique entretenue avec plusieurs centaines d’interlocuteurs actifs dans le champ des mathématiques. Relevons notamment la présence d’un ensemble d’environ 730 lettres échangées avec le mathématicien Jean-Pierre Serre entre 1950 et 2001. Ces archives comprennent également un nombre conséquent de documents en lien d’une part avec les nombreux articles et publications d’Armand Borel et d’autre part avec les cours, séminaires et conférences donnés par celui-ci. A cela, vient s’ajouter le contenu de ses dossiers de travail organisés de manière alphabétique en fonction du nom des chercheurs concernés. Ceux-ci rassemblent des notes, de la correspondance et des articles relatifs à ses centres d’intérêts, mathématiques en premier lieu, mais également musicaux et culturels au sens large. Quelques documents biographiques (diplômes et distinctions) viennent enfin compléter l’ensemble. Le traitement des archives est en cours. La mise en ordre et le catalogage du fonds ont été entrepris par Emmanuel Ducry, archiviste, d’abord grâce à un subside de la Société Académique de Genève, et ensuite dans le cadre

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de la Bibliothèque de Genève. Ce sont André Haefliger et Pierre de la Harpe, de la Section de mathématiques de l’Université de Genève, qui ont joué le rôle de consultants mathématiques. La Bibliothèque espère pouvoir publier l’inventaire sur internet dans le courant de l’année 2011. Le fonds Armand Borel sera alors accessible aux chercheurs à la réserve de quelques documents confidentiels. Pour les correspondances avec des personnes encore en vie, quelques restrictions seront également appliquées.

Bericht über meine Zeit in der Schweiz in den Jahren 1948–1950 Friedrich Hirzebruch Im Dezember 1945 begann ich gerade 18-jährig mit dem Studium an der Universität Münster in Westfalen. Wenn ich damals einen kurzen Lebenslauf abgeben mußte, dann erhielt er immer den Satz: „Von Mitte Januar 1945 bis zum 1. Juli 1945 durchlief ich Arbeitsdienst, Militär und Kriegsgefangenschaft.“ Im Winter-Semester 1945/46 stand der Philosophischen und Natur-wissenschaftlichen Fakultät der Universität Münster nur ein einziger Hörsaal zur Verfügung, denn Stadt und Universität waren stark zerstört. Der Hörsaal konnte von der Mathematik alle drei Wochen für einen Tag benutzt werden. Entsprechend erhielt ich am Ende des Semesters folgende Bescheinigung: „Die Fakultät hat im Winter-Semester 1945/46 keine Vorlesungen abhalten können. Die Studenten wurden in Kursen beraten und mit Hausarbeiten versehen. Herr Fritz Hirzebruch, geb. 17. Oktober 1927, hat am Kursus X über Mathematik, math. Logik und Physik teilgenommen und regelmäßig Hausarbeiten abgeliefert. Es wird bescheinigt, daß auf diese Weise das Studiensemester sinnvoll ausgefüllt war. Die Hausarbeiten und die anschließende Prüfung waren insgesamt erfolgreich.“ Der Dekan, mein akademischer Lehrer Heinrich Behnke, fügte handschriftlich „gut“ hinzu. Der Vorlesungsbetrieb normalisierte sich, zum Beispiel durch Errichtung von Behelfsbauten, ziemlich schnell. Im Sommer-Semester 1946 waren die Vorlesungen nur vierzehntägig, ab dem Winter-Semester 1946/47 dann wieder wöchentlich. Mein 6. Fachsemester, das Sommer-Semester 1948, wurde für meine Beziehung zur Schweiz wesentlich. In diesem Semester konzentrierte ich mich auf das Kolloquium über neuere Forschung in der Funktionentheorie bei Heinrich Behnke, das Kolloquium über neuere Forschung in der Algebra bei Friedrich Karl Schmidt und war, wie schon einige Semester vorher, als studentische Hilfskraft im Seminar für mathematische Logik und Grundlagenforschung bei Heinrich Scholz tätig. Da las ich eine Ausschreibung: „Gesucht werden Studenten für einen dreiwöchigen Landeinsatz in der Schweiz (Ende Mai bis Juni) gefolgt von einer vierten Woche frei zu wählenden Aufenthalts in der Schweiz.“ Man „verlor“ also vier Wochen mitten im Sommer-Semester. Ich füllte trotzdem ein Antragsformular aus und erfuhr die Bedingungen: freie Unterkunft und Verpflegung beim Bauern, fähig und willig, 14 Stunden täglich schwere körperliche Arbeit zu leisten, 40 Schweizer Franken als Finanzierung für die vierte Woche. Wegen der

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körperlichen Arbeit hatte ich Bedenken, denn ich war wegen der unzureichenden Ernährung noch geschwächt, aber ich dachte, das würde sich beim Bauern schnell ausgleichen. Die Bewerber mußten sich einer Kommission von Professoren unterschiedlicher Fächer vorstellen. Die Bewerberzahl war groß, denn die Aussicht auf eine Auslandsreise war zu verlockend. Durch Fragen an die Bewerber wollte die Kommission feststellen, welche Sehenswürdigkeiten man sich in der Schweiz mit Hilfe der 40 Franken ansehen und wie man seinen kulturellen Horizont erweitern würde. Da wurde ich aufsässig und sagte, ich wolle einen Teil meiner 40 Franken zum Kauf dringend benötigter Unterwäsche verwenden. Vermutlich wurde ich durch die treuen Heinriche Behnke und Scholz gerettet und angenommen. Behnke wollte für mich einen Empfehlungsbrief an Heinz Hopf in Zürich schreiben, sagte aber dann doch zu seiner Sekretärin: „Ich kann solche Briefe nicht mehr schreiben, ich habe schon zu oft über deutsche Studenten an Schweizer Professoren geschrieben.“ Die Sekretärin sagte „Aber Sie können doch nicht ausgerechnet bei Herrn Hirzebruch aufhören“, worauf Behnke erwiderte „Da haben Sie recht, mein Kind, also schreiben Sie: ….“Die Sekretärin wurde bald Mathematikstudentin und vier Jahre später meine Frau. Mit einem „vornehmen“ Zug, der nur mit besonderer Erlaubnis benutzt werden durfte (zum Beispiel für Offiziere der britischen Truppen), reiste ich in die Schweiz, wo ich bei meinem Bauern in Gabris bei Heiligkreuz im Thurgau freundlich aufgenommen wurde. Der Hof wurde vom Bauern und seiner Frau allein bewirtschaftet. Nun waren wir zu dritt. Am Montag, dem 24. Mai 1948, fing ich mit der Arbeit in der Ernte an, die durchaus erträglich war, aber der Bauer schaffte dreimal so viel wie ich. Als gegen 19:00 Uhr das Abendessen angekündigt wurde, rechnete ich nach, daß nach Abzug der Pausen etwas weniger als 12 Stunden Arbeit herauskamen. Ich genoß das Abendessen und freute mich auf den Feierabend, aber dann ging die Arbeit weiter und kurz vor 22:00 Uhr gab es das Nacht essen. Die angekündigten 14 Stunden wurden fast erreicht. Am 7. Juni schrieb ich eine Karte an meine Eltern: „(Zeit: 22:00 Uhr kurz nach Feierabend) Zunächst das Wichtigste: Herr Professor Hopf hat mich für die vierte Woche zu sich nach Zürich eingeladen. Ich werde, wenn alles planmäßig verläuft, am 12.6. nach Zürich fahren. Hier geht es mir weiterhin gut. Die ersten 14 Tage sind sehr schnell vergangen … Herr Professor Bernays hat mir auf eine Karte von mir sehr nett geantwortet und mich aufgefordert, ihn in der 4. Woche zu besuchen. Auf diese 4. Woche freue ich mich sehr … Ob ich Renate [meiner Schwester] eine Uhr mitbringen kann, ist sehr fraglich. Mit den Franken ist es so wie z. Bsp. mit den Eiern in Deutschland. Man müßte sie mehrmals verwerten können ….“

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Hopf und Bernays hatten offenbar Briefe von Behnke und Scholz erhalten. Am Samstag, dem 12. Juni, fuhr ich nach Zürich und wurde von Anja und Heinz Hopf in Zollikon, Alte Landstraße 37, freundschaftlich aufgenommen, bekam ein schönes Zimmer und lebte fortan wie im Paradies. Noch heute bewundere ich die beiden Hopfs, daß sie drei Jahre nach dem Krieg einen jungen, ihnen völlig unbekannten Deutschen wie einen Sohn aufnahmen. Ich nahm alle Mahlzeiten mit den Hopfs ein, fuhr mit Heinz Hopf zur ETH zu einer seiner Vorlesungen, erhielt ein Fahrscheinheft für die Straßenbahnen zur Besichtigung von Zürich. Ich besuchte Professor Paul Bernays bei Kaffee und Kuchen und Gespräch über mathematische Logik. (Später, 1959/60, waren Paul Bernays und Kurt Schütte bei uns in Princeton „Babysitter“.) Bei einem Abendessen bei Hopfs war ich so hungrig, daß Herr Hopf sagte: „Herr Hirzebruch, wir gehen schon zum Kaffee ins Nebenzimmer, bitte essen Sie alles auf und kommen dann auch herüber.“ So geschah es. Heinz Hopf und ich hatten viele mathematische Gespräche, auch bei Spaziergängen (der Hund mußte ausgeführt werden) und beim Besuch des Zollikoner Schwimmbades im Zürichsee. Im Mittelpunkt stand Hopfs Arbeit Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten, Studies and Essays presented to R. Courant 1948, d. h. zu Courants 60. Geburtstag. Hier lernte ich komplexe Mannigfaltigkeiten und fast-komplexe Strukturen auf orientierten 2n-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten kennen. Als Anwendung ergab sich, daß S 4 und S 8 und die umgekehrt orientierte komplexe projektive Ebene nicht fastkomplex sind und damit keine komplexe Struktur besitzen. Hopfs Arbeit enthält Andeutungen über die möglichen Indexsummen von Richtungsfelder-Paaren auf 4-dimensionalen orientierten Mannigfaltigkeiten mit endlich vielen Singularitäten mit Verweis auf eine frühere Arbeit von Hopf. Es folgt die Nichtexistenz einer fast-komplexen Struktur auf der zusammenhängenden Summe von p Exemplaren von S 1 × S 3 für p ≥ 2. In der Tat gilt, daß eine 4-dimensionale Mannigfaltigkeit mit verschwindender 2-ter Bettischer Zahl, dann und nur dann eine fast-komplexe Struktur hat, wenn die Eulersche Zahl verschwindet (oder hier gleichbedeutend die erste Bettische Zahl gleich 1 ist). Die Arbeit bringt Ausblicke auf höhere Dimensionen mit Stiefel-Whitneyschen Klassen und Chernschen Klassen. Hopf erwähnt, daß die Stiefel–Whitneyschen Klassen (ganzzahlige Koeffizienten) ungerader Dimension für eine fast-komplexe Mannigfaltigkeit immer verschwinden, und fragt, ob dies für beliebige kompakte orientierte Mannigfaltigkeiten gerader Dimension immer gilt. Die Antwort weiß ich bis heute nicht. (Diese Klassen sind Elemente der Ordnung 2.) Meine Arbeit Übertragung einiger Sätze aus der Theorie der algebraischen Flächen auf komplexe Mannigfaltigkeiten von zwei komplexen Dimensionen, J. Reine Angew. Math. 1953, und die gemeinsame Arbeit von Hopf

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und mir Felder von Flächenelementen in 4-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 1958, hängen eng mit unseren Diskussionen im Juni 1948 zusammen. Die beiden Arbeiten finden sich als Nr. 3 und Nr. 20 in meinen Gesammelten Abhandlungen, Springer-Verlag 1987. Am Sonntag, dem 20. Juni, fuhr ich mit gewöhnlichen Zügen nach Hamm (Westfalen) zu meinen Eltern, versehen mit Reiseproviant durch Frau Hopf. Herr Hopf schenkte mit Sonderdrucke und einige ältere Krawatten. Im Zug gab ich einem Kind eine Apfelsine. Mutter und Kind waren sehr erstaunt über diesen seltenen Genuß. Am nächsten Tag trat die Währungsreform in Kraft (Deutsche Mark statt Reichsmark). Die Versorgungslage in Deutschland verbesserte sich. Man konnte bald auch wieder Apfelsinen kaufen. Jetzt ging das Münsteraner Sommer-Semester für mich weiter. Natürlich wollte ich über das berichten, was ich bei Hopf gelernt hatte. Ich trug in Behnkes Kolloquium vor und stellte, wenn ich mich recht erinnere, den Begriff der fast-komplexen Mannigfaltigkeit in den Vordergrund. Vielleicht erwähnte ich auch schon den Hopfschen σ -Prozeß, das Aufblasen eines Punktes P in einer n-dimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit: Der Punkt P wird ersetzt durch den (n − 1)-dimensionalen komplexen projektiven Raum der komplexen Linienelemente in P . Dieser Prozeß würde dann bald eine wesentliche Rolle für meine Dissertation spielen. Ich weiß aber nicht mehr, ob Hopf mir diesen Prozeß schon in Zürich erklärt hatte, oder ob das erst während meines ETH-Studiums geschah. Jedenfalls konnte ich in meinem Vortrag meine Begeisterung über Heinz Hopf weitergeben. Es folgte dann das Winter-Semester 1948/49, mein 7. Semester und das letzte in Münster. Ich hörte die Vorlesung von Karl Stein über Topologische Mannigfaltigkeiten, die richtige Ergänzung zu meinem Aufenthalt bei Hopf. Karl Stein war Schüler von Behnke (Promotion Münster 1937). Sechs Jahre lang war er Schüler meines Vaters im Mathematik-Unterricht in einem Gymnasium unserer gemeinsamen Heimatstadt Hamm (Westfalen). Von Henri Cartan stammt die Bezeichnung „Steinsche Mannigfaltigkeit“. Ich arbeitete weiter bei Heinrich Scholz und erhielt 150 DM monatlich, ein fürstliches Gehalt in der neuen Währung. Allmählich wurde mein Stipendium für das Studium an der ETH Zürich vorbereitet, sicherlich befürwortet von Heinrich Behnke und Heinz Hopf. Ich sollte 300 Franken monatlich erhalten und mein Vater als Ausgleich bei sich privat ein bescheidenes Guthaben für die ETH einrichten, das diese zu gegebener Zeit für einen „Austauschstudenten“ anfordern könne. Wie das alles im Einzelnen verhandelt wurde, weiß ich nicht. Natürlich mußte ich bei Scholz ausscheiden, der am 5. Januar 1949 an meinen Vater schrieb: „Und eigentlich müßte ich mich nun wie im Schlusschor der Bachschen Passionsmusik mit Tränen vor Ihnen niedersetzen um des Kummers willen, der mir dadurch entsteht, daß … Fritz mich zu Ostern verlassen wird.“ Das Gutha-

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ben wurde erst 1951 bei meinem Vater angefordert, als ich schon wissenschaftlicher Assistent in Erlangen war. Der Präsident des Schweizerischen Schulrates, Pallmann, schrieb am 9. Januar 1951: „Wir wären Ihnen sehr verpflichtet, wenn Sie von diesem unserem Guthaben in den nächsten Tagen vorläufig den Betrag von 900 DM der Kasse der Georg-August-Universität in Göttingen, Wilhelmplatz 1, überweisen wollten mit dem Vermerk Überwei’ sung zugunsten von Herrn Dr. Hans P. Künzi aus Zürich/Olten‘ …“ Hans Künzi habe ich bald kennen gelernt. Er arbeitete als Mathematiker mit dem bekannten Wirtschaftswissenschaftler Wilhelm Krelle in Bonn zusammen (vgl. Künzi, Hans Paul, und Krelle, Wilhelm, Nichtlineare Programmierung, Springer-Verlag, 1962). Er wurde Regierungsrat und damit einer der höchsten Beamten im Kanton Zürich. Die Zürcher S-Bahn geht auf seine Bemühungen zurück. Ein S-Bahn-Zug wurde nach ihm benannt. Meine Frau und ich waren zu Gast in seinem Haus in Zürich. Es war immer eine große Freude, ihn zu treffen. Im April 1949 fuhr ich zum Studium nach Zürich. Die Reiseformalitäten müssen ziemlich kompliziert gewesen sein. Für mein zweites und drittes Schweizer Semester habe ich die Reisepapiere noch: Militärregierung für Deutschland. Vorläufiger Reiseausweis an Stelle eines Passes für deutsche Staatsangehörige Größe: 180 cm Haarfarbe: black Eingetragen sind: – – – – –

Militärische Ausreiseerlaubnis Visum zur Einreise in die Schweiz Anmeldung Einwohnerkontrolle der Stadt Zürich Schweizerisches Rückreisevisum Einreiseerlaubnis für die Amerikanische, Britische, Französische Zone(n) Deutschlands

Jetzt aber zurück zum April 1949. Am 22. April fuhr ich von Hamm (Westf.) nach Frankfurt, wo ich fünf Stunden Aufenthalt hatte. Dann bekam ich einen Nachtzug nach Basel, wo ich frühmorgens ankam. Es war Samstag. Abends schrieb ich an meine Eltern: „… um 6.42 fuhr ich mit einem Leichtmetallschnellzug nach Zürich … Gegen 1/29 war ich bei Schaubs, wo ich freundlich aufgenommen wurde. [Ich nehme an, daß mir Frau Hopf bei Familie Schaub in der Pestalozzistraße 35 in der Nähe der ETH ein Zimmer reserviert hatte.] Die Mansarde ist sehr behaglich eingerichtet, und man hat von ihr aus einen schönen Blick in den Garten. Heute morgen bin ich dann gleich zur ETH gegangen, wo ich Herrn Prof. Hopf traf. Wir gerieten

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gleich in ein math. Gespräch. Er rief zu Hause an, und ich wurde für morgen (Sonntag) zum Mittagessen eingeladen.“ Verglichen mit heute ist es ungewöhnlich, daß man Professoren am Samstagmorgen in der Hochschule antrifft. Damals fanden am Samstagmorgen oft Kolloquien statt, z. B. bei Behnke in Münster. Besonders erfreulich ist es natürlich, wenn ein Student an seinem ersten Tag gleich eine Einladung von seinem Professor zum Mittagessen erhält. Hopf und ich diskutierten dauernd. Ich nehme an, daß diesmal der σ -Prozeß im Vordergrund stand. Hopf erklärte mir, wie er von der topologischen Flächentheorie ausgehend darauf gekommen war: Setzt man gemäß klassischer Terminologie in einer 2-dim. glatten Fläche eine Kreuzhaube ein, dann wird ein Punkt P ersetzt durch die Kreislinie der nicht-orientierten Linienelemente in P ; äquivalent kann man auch sagen, daß man die Fläche locht und entgegengesetzte Punkte des kreisförmigen Lochrandes identifiziert. Die reelle projektive Ebene ist die 2-Sphäre mit einer Kreuzhaube, mit einer weiteren Kreuzhaube erhält man die Kleinsche Flasche. Die Schnitt-Theorie von Kurven geht bei nicht orientierbaren Flächen nur modulo 2. Die Selbstschnitt-Zahl der Kreuzhauben-Kreislinie ist 1 mod 2. Jetzt wird alles analog komplex 2-dimensional betrachtet: Im 2-dim. Koordinatensystem z1 , z2 werde der 0-Punkt aufgeblasen zu der „Trägersphäre“ (komplexen projektiven Geraden) σ . In der neuen Fläche hat man eine Konfiguration

z1 = 0

z2 = 0

A

B

(1)

σ

Der Divisor z1 = 0 hebt sich an zu A + σ . Es ist (A + σ )σ = 0, da A + σ der Divisor einer meromorphen Funktion ist. Es folgt σ σ = −1. Ich kann mir heute noch gut vorstellen, daß die vorstehende Schnittzahlformel für den damaligen Studenten etwas Besonderes war. So fing es an. Es war Hopf und mir nicht klar, daß diese und manche anschließenden Dinge in der algebraischen Geometrie längst bekannt waren, aber sicherlich nicht in dieser lokalen Form. Von Hopf lernte ich, immer auch die topologische Seite zu betrachten, z. B. die Schnittzahl von zwei durch Gleichungen gegebenen irreduziblen Kurven im 0-Punkt des z1 , z2 Koordinatensystems ist gleich der Verschlingungszahl von zwei Kreislinien in der 3-dim. Sphäre |z1 |2 + |z2 |2 = ε. Ich erzählte Hopf (vielleicht schon an diesem ersten Sonntag) von meinem Münsteraner Dozenten Karl Stein, der oft gemeinsam mit mir den

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Personenzug von Münster in unsere gemeinsame Heimatstadt Hamm (ca. 30 km) benutzte. Manchmal kam es zu stundenlangen Verspätungen. Ich hatte dann Privatunterricht bei Stein (eine solche individuelle „Betreuung“ von Studenten gibt es heute wohl nicht mehr), und er erzählte mir von der √ „algebroiden Funktion“ w = z1 z2 , die eine 2-blättrige Überlagerung des C2 definiert mit einer isolierten Singularität, die den reellen projektiven Raum als Umgebungsrand hat. Stein erwähnte zum Beweis die „Uniformisierung“ z1 = u2 , z2 = v 2 , w = uv mit Identifizierung von (u, v) und (−u, −v). Manche allgemeinen Informationen über algebroide Funktionselemente folgten. Man kann sich denken, daß Hopf und ich in den folgenden Wochen des Semesters oft über Singularitäten „algebroider Funktionen“ von zwei Veränderlichen sprachen, und es uns ganz am Anfang klar war, daß die von Stein erwähnte Singularität durch eine glatte rationale Kurve der Selbstschnittzahl −2 aufgelöst wird: 2-fache Überlagerung der Konfiguration (1) verzweigt entlang A und B. Hier war der Anfang des Weges zu meiner Dissertation. Jetzt wieder zum nichtmathematischen Teil des Lebens. Auf der Karte vom 23.4.49 an meine Eltern heißt es weiter: „Montag ist vorlesungsfrei, es findet nämlich Montag das größte Züricher Fest des Jahres, das Sechseläuten, statt (mit Umzügen usw.). Das werde ich mir erstmal gründlich ansehen.“ Am Dienstag meldete ich mich bei dem zuständigen ETH-Büro und erhielt bald ein Einschreibeheft für Fachhörer, das ich noch habe. Danach nahm ich im Sommer-Semester 1949 an Lehrveranstaltungen von Paul Bernays, Beno Eckmann und Heinz Hopf teil. Bernays: Eckmann: Hopf:

Kolloquium über mathematische Logik Differentialgeometrie II Topologie Ausgewählte Kapitel der Funktionentheorie Mathematisches Seminar

In dem Einschreibeheft sind die Unterschriften der drei Professoren für Testate und Schlußtestate, was damals noch üblich war. Um ein wenig anzugeben und meinen Eltern zu zeigen, wieviel ein Zürcher Student zu tun hat, schrieb ich ihnen am 12.6.49: „…, leider ist es Sonntag geworden mit meiner Karte. Gestern bin ich nicht dazu gekommen, denn es war folgendes los: 1. Vorlesung. 2. Besprechung mit Prof. Bernays wegen des Kolloquiums. 3. Der berühmte Hermann Weyl war zu Besuch am Poly. 4. Baden im See. 5. Premiere von Winnetou.“ Hinsichtlich 2. ist zu sagen, daß es sich wohl um die Vorbereitung eines Vortrags von mir gehandelt hat. Zu 3.: Heinz Hopf hat mich Hermann Weyl vorgestellt, bei dieser oder einer späteren Gelegenheit. Am Donnerstag, dem 16.6., trug ich im Semi-

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nar von Hopf vor. Vielleicht war Hermann Weyl dabei. Er hat sich meiner Erinnerung nach einen meiner Vorträge im Hopfschen Seminar in diesem oder einem späteren Semester angehört. Zu 5.: Ich machte beim Züricher Jugendtheater mit. In einem Schauspiel „Winnetou“ (nach Karl May) war ich ein Statist und spielte einen Komanchen, der schreiend davonlief, als ihm ein Apache den Medizinbeutel abriß. Mein Einschreibeheft zeigt, daß ich in allen drei Schweizer Semestern Vorlesungen, Kolloquien oder Seminare bei Bernays, Eckmann und Hopf besuchte. Ich möchte an dieser Stelle über jeden meiner drei Züricher Dozenten etwas sagen. Natürlich hatte ich bei Scholz in Münster viel über Bernays gehört. In der Bibliothek standen die beiden Bände Hilbert–Bernays Grundlagen der Mathematik (Springer-Verlag). Bernays hatte seit 1917 mit Hilbert in Göttingen zusammengearbeitet. Nach 1933 mußte er Göttingen verlassen und ging nach Zürich. Bernays war der Verfasser des zweiten Bandes, der 1939 erschien. Die Zusammenarbeit Hilbert–Bernays ging also trotz der Nazi-Zeit weiter. Scholz war sehr zufrieden, daß mein Kontakt zur mathematischen Logik in Zürich nicht abbrach. Das hatte er sich gewünscht. Bernays war ein großer Musikliebhaber und -kenner, und ein lieber, bescheidener und stets hilfsbereiter Mensch. Nach seinem Kolloquium lud er alle Teilnehmer in ein Café am Züricher See ein. Ernst Specker war häufig dabei. Ich habe oft mit ihm diskutiert. Bei Beno Eckmann, Schüler von Heinz Hopf, habe ich viel gelernt. Seine Vorlesung Differenzierbare Mannigfaltigkeiten im Winter-Semester 1949/50 war wichtig für meine Arbeiten am Institute for Advanced Study in Princeton (1952/54), die in meinem Buch Neue topologische Methoden in der algebraischen Geometrie (Springer-Verlag 1956) veröffentlicht wurden. Zum Beispiel ging meine Kenntnis über Differentialformen und die Sätze von de Rham auf Eckmanns Vorlesung zurück. Eckmann benutzte Arbeiten von H. Cartan, J. Leray und A. Weil (siehe A. Weil, Sur les théorèmes de de Rham, Comm. Math. Helv. 1952). Eckmann hat mich stets gefördert, durch Diskussionen nach seinen Vorlesungen und in seinem Kolloquium für Fortgeschrittene (Sommer-Semester 1950), durch Gespräche beim Mittagessen zu zweit in einem gemütlichen ETH-nahen Restaurant, wo er natürlich die Rechnung beglich, und bei Einladungen zu sich in die Rigistraße 18, wo Doris Eckmann ein leckeres Abendessen zubereitet hatte. Später war ich oft Gast in dem von Eckmann 1964 gegründeten Forschungsinstitut für Mathematik. Wir trafen uns mehrmals in Israel, wo wir beide in Kommissionen an der Bar-Ilan University tätig waren und beide bestrebt waren, die israelischen Mathematiker zu unterstützen. Nach dem 1. Weltkrieg studierte Heinz Hopf bei Erhard Schmidt in Berlin, der einen tiefen Eindruck auf ihn gemacht hat. Für Hopfs Dissertation

Bericht über meine Zeit in der Schweiz in den Jahren 1948–1950

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und Doktorprüfung zitiere ich aus Kurt-R. Biermann Die Mathematik und ihre Dozenten an der Berliner Universität 1810–1933, Akademie-Verlag, Berlin 1988: Promotion Heinz Hopfs, Gutachten und Prüfungsprotokoll. Am 19.2.1925 beurteilte E. Schmidt die von H. Hopf eingereichte Dissertation Über Zusammenhänge zwischen Topologie und ’ Metrik von Mannigfaltigkeiten‘ wie folgt: Die Analysis situs in n Dimensionen, deren erste Zugänge von Poincaré und Brouwer eröffnet worden sind, erscheint mir immer als das schwierigste und zugleich zukunftsreichste Gebiet der Mathematik. Herr H. ist nun auf diesem Gebiete zu einer Fülle wichtiger und überraschender Ergebnisse durchgedrungen. Die Beschreibung der Resultate durch Erhard Schmidt kann ich hier nicht wiedergeben. Schmidt benotete die Arbeit mit „eximium“. Ludwig Bieberbach schloß sich an. Die Dissertation wurde in zwei Teilen in den Mathematischen Annalen Band 95 (1925) veröffentlicht. Die mündliche Prüfung fand am 26.2.1925 statt und wurde von Max Planck in Physik eröffnet. Mir sträuben sich die Haare, wenn ich im Prüfungsprotokoll die Liste der „berührten Gebiete“ lese, zum Beispiel: elastisches Potential, Wirbelbewegung, Torsion, Kugelwellen, Maxwell–Hertzsche und Lorentzsche Theorie, Relativitätstheorie. Max Planck schreibt: „Der Kand. zeigte auf allen berührten Gebiete sehr gute Kenntnisse.“ Dann ging es weiter mit der Philosopie bei Max Wertheimer, etwa über die „Logische Kategorie der Identität“ und die „Geschichte des Kausalbegriffs“. Die Note war „recht gut“. Dann kamen die mathematischen Prüfungen bei Schmidt und Bieberbach, die es in sich hatten und sich nicht auf Topologie und Differentialgeometrie beschränkten, sondern auch die Riemannsche ζ-Funktion und die Verteilung der Primzahlen betrafen. Die Noten waren „summa cum laude“ und „vorzüglich“. Die Note der Gesamtprüfung, Dissertation und mündliche Prüfung, war „summa cum laude“. Ich habe dies ziemlich ausführlich geschildert, weil ich später auf meinen entsprechenden Prüfungstag, den 27.7.1950, zu sprechen komme. Für Hopf muß der 19.2.1925 sehr, sehr anstrengend gewesen sein. Für mich war es 25 Jahre später viel leichter, wie man sehen wird. Behnke schreibt (In memoriam Heinz Hopf, Math. Ann. 196 (1972)): Hopf war 1926 in Berlin mit seinen fundamentalen Arbeiten über Abbildungsklassen habilitiert und schon 1931 als Nachfolger von Hermann Weyl an die Eidgenössische Technische Hochschule in Zürich berufen worden. Er hat lange geschwankt, ob er den Ruf annehmen sollte, denn zur gleichen Zeit war ihm ein Lehrstuhl in

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Freiburg (Breisgau) angeboten. (Wieviel schwieriger wäre sein Leben verlaufen, wenn er nach Freiburg gegangen wäre! Vom braunen Sturm wäre der Verdun-Kämpfer nicht verschont geblieben.) Mein erstes Schweizer Semester (mein achtes Fachsemester insgesamt) ging zu Ende. Ich hatte mir einiges über die algebroiden Funktionen in zwei komplexen Variablen überlegt, und es wurde allmählich klar, daß meine Dissertation in diese Richtung gehen würde. Mein Plan war, die Promotion in Münster anzustreben. Es gab noch keine Bestimmung, daß vorher ein Diplom- oder Staatsexamen abgelegt sein müsse. Ich stand noch nicht besonders unter Druck und unternahm eine Erkundungsreise der Schweiz, bisher kannte ich nur Zürich und den Thurgau. Aus Luzern schrieb ich meiner Schwester Renate am 16.7.1949 und schilderte meinen Reiseplan, der dann genauso durchgeführt wurde: „Ich habe mir ein Rundreisebillet gekauft und zwar fahre ich so: Luzern–Bern–Lausanne–Montreux – durch das Wallis, das ich mir etwas ansehen werde – durch Italien hindurch (über den Simplontunnel nach Domodossola) nach Locarno – Lugano – von dort lautet mein Fahrschein nach Zürich. Lugano–Zürich ist die berühmte Gotthardbahn.“ Ich schrieb von geplanten Fahrtunterbrechungen und Abstechern, sowie von organisatorschen Fragen: „Ich habe sehr leicht die Erlaubnis bekommen, durch Italien zu fahren, darf aber nicht aussteigen … Hoffentlich sind die Jugendherbergen nicht überfüllt. Übernachtung (nur für jünger als 25 J.) kostet 1,– …“ Während eines Teils der Semesterferien arbeitete ich in Hamm (Westf.) bei meinen Eltern. Dann fing mein zweites Semester in Zürich an. Am 24.10.1949 schrieb ich an meine Eltern: „… Nun bin ich schon bald eine Woche hier … Das Kaffeepaket für Euch ist am 19.10. bestellt worden. Inhalt des Pakets: 5 Pfund Rohkaffee + 4 Pfund Zucker … In der Mensa esse ich für 1,40 oder 1,90 …“ In Deutschland gab es noch gewisse Versorgungsund Preisprobleme: Ein Pfund Kaffee kostete 20,– DM. Für einen gut verdienenden „Schweizer“ (300,– Fr/Monat) war der Preis von einem Pfund Kaffee (vielleicht 4,– Fr) erträglich. Die Essens- und Mathematikeinladungen bei Hopfs gingen weiter, und allmählich entstand ein Programm für meine Dissertation. Bei einem dieser Treffen sagte ich Herrn Hopf, ich würde gern an dem Polyball, dem größten gesellschaftlichen Ereignis der ETH, teilnehmen. Ich erwähnte, daß laut Einladung mindestens „Dunkler Anzug“ verlangt würde, ich aber keinen dunklen Anzug hätte, und fragte Hopf, was man da machen könne. Hopf antwortete: „Ziehen Sie den dunkelsten Anzug an, den Sie besitzen.“ Damit war alles klar: Ich besaß nur einen Anzug, und das war dann auch der dunkelste. Hopfs wollten auch zum Ball gehen. Am Montag, dem 14. November 1949, schrieb ich an meine Eltern: „Vorgestern war ich nun doch auf dem Polyball. Ich habe mich mit meinem grauen An-

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zug unter all den Fräcken und großen Abendtoiletten sehr wohlgefühlt … Es war sehr amüsant. Da ich erst gegen 6 Uhr am Sonntagmorgen wieder zu Hause war, habe ich gestern den ganzen Tag geschlafen.“ Jetzt will ich etwas mehr über die Dissertation sagen. Karl Stein hatte mir von algebroiden Funktionselementen in der Dimension 2 erzählt, kannte aber nicht den Hopfschen σ -Prozeß, das Aufblasen von Punkten. Ein algebroides Funktionselement w = f (z1 , z2 ) mit isolierter Singularität im Nullpunkt definiert lokal eine verzweigte Überlagerung des C2 . Durch Aufblasen des 0-Punktes und dann der singulären Punkte, die auf der „Trägersphäre“ entstehen, und Iteration dieses Prozesses kann man alles auf Funktionselemente  n n−q w = z1 z2 (2) zurückführen, wo 0 < q < n und q zu n teilerfremd ist. Jetzt kam eine Arbeit von H. W. E. Jung ins Spiel (Darstellung der Funktionen eines algebraischen Körpers zweier unabhängigen Veränderlichen x, y in der Umgebung einer Stelle x = a, y = b, J. Reine Angew. Math. 133 (1908)). Ich gab mit ihrer Hilfe eine toroidale Konstruktion zur Auflösung der Singularität (2) an. Die Singularität wird aufgeblasen in glatte rationale Kurven Tk (k = 1, . . . , s). Die Kurven Tk , Tk+1 schneiden sich in genau einem Punkt, und zwar transversal (1 ≤ k < s), und Ti , Tk (i < k) schneiden sich nicht, wenn sie nicht aufeinanderfolgen. Die Selbstschnitt-Zahlen Tk ·Tk sind gleich −bk mit bk ≥ 2 und ergeben sich aus dem Kettenbruch n = b1 − q

1 b2 −

1 b3 − .

..

−

1 bs

.

Diese Kettenbruch-Konstruktion fand ich besonders schön und topologisch interessant, denn der Umgebungsrand der Singularität (2) ist der Linsenraum L(n, q), den man also durch „plumbing“, wie es später hieß, aus Kreislinien-Bündeln über der 2-Sphäre erhalten kann. Für n = 2 und q = 1 hat man den einfachsten Spezialfall, den mir Karl Stein erklärt hatte. Die Dissertation wurde in zwei Teilen veröffentlicht (Math. Ann. 124 (1951) und 126 (1953)), die beiden ersten Arbeiten in meinen Gesammelten Abhandlungen. In den Kommentaren zum zweiten Teil (S. 755–756 des ersten Bandes) werden die Antworten auf zwei Fragen, die ich in der Dissertation gestellt hatte, besprochen sowie ein Fehler erwähnt, der später für mich sehr wichtig wurde, und zwar bei der Auflösung der Spitzensingularitäten der Hilbertschen Modulflächen.

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Ende des Winter-Semesters 1949/50 muß die Zeit für mich sehr knapp geworden sein. Die Promotion in Münster sollte schon im Sommer-Semester 1950 stattfinden. Dafür waren meine Ergebnisse in endgültiger Form aufzuschreiben und alles mußte getippt werden. Im Schreiben mit der Maschine hatte ich wenig Erfahrung. Eine Sekretärin schrieb für mich gegen private Bezahlung. Formeln wurden von mir mit der Hand eingetragen. Es kam hinzu, daß im Frühjahr 1950 eine Preisausschreibung der Abteilung für Mathematik und Physik der ETH bekannt wurde mit einem Thema, das gut zu meiner Dissertation paßte. (Welches Mitglied der Abteilung hatte dieses Thema vorgeschlagen? Die Antwort fällt nicht schwer.) Der Ablieferungstermin muß spätestens Ende Mai gewesen sein. Auszug aus dem Protokoll des Präsidenten des Schweizerischen Schulrates Zürich, den 11. Juli 1950 … wird verfügt Herr Fritz Hirzebruch aus Hamm (Westfalen), Fachhörer an der Abteilung für Mathematik und Physik, erhält für die Lösung der Preisaufgabe Förderung der Beziehungen zwischen der Geome’ trie – besonders der Differentialgeometrie und Topologie – einerseits und der Theorie der analytischen Funktionen mehrerer Variablen andererseits‘ einen Preis von Fr. 1000,– nebst der silbernen Medaille der E.T.H. Jetzt mußte die Arbeit auch noch in Münster eingereicht werden. Das Exemplar habe ich zurückbekommen und erinnert mich an die technischen Mühen, die man damals im Gegensatz zu heute hatte. Die Münsteraner Referenten waren H. Behnke und F. K. Schmidt. Wie berichtet spielte das Winter-Semester 1924/25 für Heinz Hopf eine ähnliche Rolle wie für mich das Sommer-Semester 1950. Mein Prüfungstag, an dem alle drei Prüfungen stattfanden, war der 27. Juli 1950. Behnke prüfte mich in Mathematik: komplexe Analysis und Differentialgeometrie. Ich weiß nicht mehr, ob ein zweiter Prüfer oder ein Protokollant dabei war. Ich hatte keine Probleme, vielleicht ein wenig in klassischer Differentialgeometrie. Heinrich Scholz prüfte mathematische Logik. Statt wirklich zu prüfen, ließ er mich über ein mir vertrautes Thema vortragen, er hatte alle seine Studenten dazu eingeladen. Am Schluß wurde diskutiert. Adolf Kratzer (theoretische Physik) prüfte mich über Elektrodynamik, ein Thema, das vereinbart war, und in dem ich mich eingearbeitet hatte. Als alles vorüber war, habe ich an meine Eltern ein Telegramm geschickt: „summa cum laude“. Die Prüfungen waren viel leichter als im Falle Hopf.

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An meinem Prüfungstag war auch das Semesterabschlußfest. Behnke feierte gern. Alle Münsteraner Mathematikstudenten konnten kommen. Meine Promotion wurde mitgefeiert. Als Damenwahl verkündet wurde, forderte die schon erwähnte Mathematikstudentin mich auf. Wer ist nun mein Doktorvater? Offiziell ist es Behnke: 1. Referent der Dissertation und Prüfer im Hauptfach. In der Tat verdanke ich Behnke sehr, sehr viel. Ich habe seine Vorlesungen gehört, in seinen Kolloquien mitgemacht und überall viel gelernt. Er hat sich um mein Schweizer Stipendium bemüht. Sein Schüler Karl Stein hat mir die algebroiden Funktionselemente erläutert. Aber der wirkliche Doktorvater ist Heinz Hopf, der mich manchmal seinen illegitimen Doktorsohn nannte. Anfang August war ich wieder in Zürich, war bei den Hopfs zur Feier der Promotion und bereitete mit Kurt Leichtweiß (später Professor in Stuttgart) eine Italienreise vor. Ich kaufte einen Fahrschein Zürich–Palermo und zurück für 105,– Fr. Das italienische Generalkonsulat stellte ein Visum für einen Aufenthalt von zehn Tagen aus. Die Mutter von Kurt Leichtweiß ermahnte uns, wir sollten in Neapel gewisse Quartiere nicht aufsuchen. Die Reise war großartig. Ich finanzierte sie mit etwa einem Viertel meines Preises. Kurt Leichtweiß und ich besuchten Mailand, Genua, Pisa, Florenz, Rom, Neapel einschließlich Capri und Vesuv und mußten dann zurückfahren, um dem Visum entsprechend nach zehn Tagen wieder in der Schweiz zu sein. Aber die Rückreise brachte uns auch nach Venedig! Bald kehrte ich nach Deutschland zurück. Ich übernahm zum WinterSemester 1950/51 in Erlangen eine wissenschaftliche Assistentenstelle. Damit war meine Schweizer Zeit 1948/50 beendet. Zum Schluß möchte ich deutlich sagen, wie international Zürich auf mich wirkte. Wie schon erwähnt, lernte ich Hermann Weyl kennen. Bei Hopfs traf ich Bartel L. van der Waerden, der einen Ruf an die Universität Zürich hatte und zu Verhandlungen gekommen war. Ich war in Vorlesungen von Rolf Nevanlinna, der an der Universität lehrte. Von der jungen Generation traf ich Armand Borel und Jacques Tits. Beide wurden für mich sehr wichtig und gute Freunde. Armand Borel und ich waren „members“ am Institute for Advanced Study in Princeton während der beiden Jahre 1952/54 und arbeiteten viel zusammen. Jacques Tits war zehn Jahre lang ordentlicher Professor in Bonn (1964–1974). Ich traf den schwedischen Mathematiker Bo Kjellberg, der mich, als ich in Erlangen war, zu einem Vortrag nach Uppsala einlud. Nun ist meine Geschichte zu Ende. Zwei der erlebnisreichsten und intensivsten Jahre meines Lebens habe ich mit viel Freude versucht zu schildern. Der Schweizerischen Mathematischen Gesellschaft viel Glück für die nächsten 100 Jahre, stets so viel Glück, wie ich in meiner Schweizer Zeit hatte!

Michel Plancherel, une vie pour les mathématiques et pour le prochain Norbert Hungerbühler et Martine Schmutz

La vie de Michel Plancherel Les racines. La personnalité de Michel fut beaucoup influencée par celle de son père. Donat Plancherel, le père de Michel, naquit en 1863 à Bussy, un village dans le district de la Broye du canton de Fribourg, non loin d’Estavayer. Il travailla comme instituteur à Villaz-Saint-Pierre puis à Bussy. Dès 1892, la famille Plancherel, composée de Justine et de 8 enfants (dont 2 moururent en bas âge) s’installa à Fribourg où Donat Plancherel occupa simultanément les postes d’administrateur de l’imprimerie St-Paul (gérance de ses ateliers et de ses diverses publications), de professeur au Collège St-Michel (1896–1912) et à l’Ecole secondaire de jeunes filles où il était chargé des cours de comptabilité et de calcul commercial.

Fig. 1. Donat Plancherel, père de Michel.

De par sa fonction à l’imprimerie St-Paul, il eut un contact direct avec La Liberté dont les rédacteurs appréciaient ses connaissances en comptabilité, son esprit d’ordre et de conciliation, son affabilité et sa droiture parfaite. Ces qualités, unies à un travail acharné, et le souci constant d’améliorer les instruments de travail dont il avait la garde, le rendirent indispensable au sein de l’équipe de l’imprimerie. Il fit encore bénéficier de sa science et de son expérience la chose publique, à laquelle il se dévoua durant les législatures qu’il passa au conseil général de la Ville de Fribourg. Les rapports

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qu’il présentait, en tant que rapporteur financier, étaient décrits comme un modèle de concision et de clarté. Donat Plancherel décéda à Fribourg le 27 mai 1912 à l’âge de seulement 49 ans. Michel Plancherel naquit le 16 janvier 1885 à Bussy. Il est l’aîné des 8 frères et sœurs qui composaient la famille Plancherel. Son père était alors tout jeune maître d’école. Il n’avait que 7 ans lorsque la famille déménagea à Fribourg. Michel fit donc ses études de 1896 à 1903 au Collège St-Michel, dans les classes de la section dite industrielle de ce temps-là, qui préparait en particulier les candidats à l’Ecole polytechnique fédérale à Zürich. Il finit ses études au collège avec un Baccalauréat ès sciences en 1903. Ayant le goût et des dispositions spéciales pour les mathématiques, il s’inscrivit à la Faculté des sciences à l’université de Fribourg de 1903 à 1907, où il eut comme professeurs les mathématiciens hollandais et tchèque Mathieu Frans Daniels et Mathias Lerch. Lerch avait la chaire de mathématiques pures et effectuait ses recherches principalement dans la théorie des nombres et en analyse. En effet, Lerch gagna le grand prix de l’Académie des Sciences à Paris en 1900 pour un travail sur la théorie des nombres. Aujourd’hui on connaît, par exemple, la fonction de Lerch et la formule de Lerch.

Fig. 2. Mathias Lerch, directeur de thèse de Michel.

La carrière du mathématicien Plancherel. Michel Plancherel fit sous la direction de Lerch une thèse brillante sur un sujet dans la théorie des nombres et obtint en 1907 à l’âge de seulement 22 ans son doctorat ès sciences mathématiques, à la veille du départ de son maître, appelé à l’Université de Brno, en Moravie. Sa thèse [1] s’intitule : Sur les congruences (mod 2m) relatives au nombre des classes des formes quadratiques binaires aux

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coefficients entiers et à discriminant négatif, tout un programme ! Il avait rédigé cette thèse en partie pendant une période de service militaire. Avec l’aide d’une bourse de l’Etat de Fribourg, il continua ses études à l’Université de Göttingen (1907–1909) et à Paris (1909–1910) au collège de France et à la Sorbonne. A Göttingen, il suivit en particulier les cours de Felix Klein, David Hilbert et Edmund Landau. Il fit là-bas la connaissances de Hermann Weyl aux côtés duquel il devait plus tard enseigner à l’Ecole polytechnique fédérale à Zürich pendant une dizaine d’années ; à la Sorbonne et au Collège de France enseignaient alors Emile Picard, Henri Lebesgue, Edouard Goursat, Jacques Hadamard et d’autres, soit les grands noms de la mathématique française de cette époque. En 1910, Plancherel fut nommé privat docent de mathématiques à l’Université de Genève et dès 1911 professeur extraordinaire puis ordinaire (1913) à Fribourg, comblant ainsi la lacune laissée, à côté de la chaire de mathématiques appliquées du professeur Daniels, par le départ de Lerch en 1906. Après la mort de son père en 1912, Michel, l’aîné de ses frères et sœurs, assista sa famille. En même temps, il était très reconnaissant pour la bourse de l’Etat de Fribourg qui lui avait permis d’étudier à l’étranger. Par conséquent, il refusa alors des appels de Berne et de Lausanne. En 1919 et 1920, Plancherel servit comme doyen de la faculté des sciences. Il resta à Fribourg jusqu’en 1920 quand il devint professeur de mathématiques à l’Ecole polytechnique fédérale de Zürich, succédant au professeur Adolphe Hurwitz, et il s’établit à Zürich, où il occupa la chaire de mathématiques supérieures pendant 35 ans, jusqu’à sa retraite en 1955. Entre 1928 et 1931, Plancherel fut doyen de la section de mathématiques et de physique. La confiance de ses collègues le porta à la dignité de recteur de l’ETH qu’il revêtit de 1931 à 1935. C’est pendant son quadriennat qu’a été institué la Journée de l’ETH, qui est en somme la fête annuelle de cette école, ce qui montre qu’il avait aussi de la compréhension pour ce genre de requête. A l’Ecole polytechnique fédérale, il enseignait surtout à la Section des Mathématiques, mais donna aussi des cours aux Sections des ingénieurs mécaniciens et des ingénieurs électriciens. Ses exposés étaient clairs, bien que son débit rapide en français ne fut pas toujours facile à saisir. Aux examens, il était d’une sévérité militaire, mais toujours correct et juste. Il appliquait à ses élèves à peu près la discipline à laquelle il s’était soumis lui-même. Un petit éclairage sur le personnage de Michel Plancherel nous est rapporté : lorsqu’il faisait ses calculs, il sifflotait. . . un autre jouait du violon, tout faux ! Michel Plancherel était avant tout un savant. Ses travaux de haute valeur scientifique forment une suite ininterrompue. Ses recherches se distinguaient par leur maturité et leur précision, ses cours, par leur clarté

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Fig. 3. Michel Plancherel à l’ETH Zürich.

pénétrante, leur animation entraînante et l’élégance de sa diction. Sous sa direction magistrale sont nées un grand nombre de thèses de valeur (voir la liste en annexe), qui ont éveillé, dans les milieux spécialisés, plus d’écho que ce n’est habituellement le cas pour des travaux de ce genre. L’homme publique. En dépit de sa réserve personnelle et bien qu’il fut dépourvu de tout orgueil et de toute envie de se mettre en avant, Michel Plancherel n’était pas seulement un homme de salle d’étude. Ses collègues surent reconnaître ses éminents talents d’organisateur et le choisirent comme quatrième président de la Société Mathématique Suisse pendent les années 1918 et 1919, juste après Marcel Grossmann (1916–17), Henri G. Fehr (1913–15) et Rudolf Fueter (1910–12). En 1929, Michel Plancherel avait créé avec d’autres personnalités qui partageaient son avis, la Fondation pour l’avancement des sciences mathématique en Suisse, qu’il a présidée pendant de longues années. Ensuite, il fut nommé vice-président du 9ème Congrès international de mathématiques de 1932 à Zürich. Plancherel était président de nombreuses autres institutions au service des hautes études, de la science et de l’économie. Pour l’encouragement à la relève universitaire et l’unification du niveau de la culture dans l’ensemble de la Suisse, il a fonctionné pendant environ 30 ans comme membre et comme président de la Commission suisse de maturité. Au militaire, Michel Plancherel avait le grade de colonel. En 1939, il a été appelé à l’état–major de l’armée et a dirigé, pendant les années critiques 1942–1945 de la deuxième guerre mondiale, la division Presse et Radio. C’est précisément à ce poste des plus délicats qu’il devait faire preuve de la valeur de son caractère : calme réfléchi, impartialité, intégrité absolue et

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sens de l’essentiel, tout cela uni au tact et à l’esprit de conciliation. Il était certes remarquable que cet office, très délicat à cette époque, soit confié à un professeur de mathématiques, après que divers prédécesseurs se furent révélés inaptes. On sait qu’il était très difficile, à cette dangereuse époque des hostilités, de concilier la sauvegarde de la neutralité et la liberté de la presse. La conduite de cette section exigeait de la sagesse, du courage civique, de la perspicacité, du tact et c’est pourquoi elle se trouve au mieux, entre les mains du colonel Plancherel. Un germaniste connu, qui travaillait dans cette section Plancherel, a confié plus tard, qu’au bout d’une semaine de collaboration avec lui, toute la section s’était sentie entièrement en sécurité. Sous le manteau du colonel battait pourtant aussi un cœur chaleureux et secourable, comme l’a prouvé son dévouement à l’Œuvre de secours en faveur des étudiants réfugiés en Suisse. En 1956, après la fuite en Suisse d’environ 550 étudiants hongrois, la Conférence des recteurs avait créé une Commission de financement, dont le seul membre agissant fut le professeur Plancherel, qui parvint à réunir plus de 2 millions de francs. Pendant la crise économique mondiale postérieure à 1930, on a pu le voir fonctionner comme directeur plein d’initiative du Service volontaire de travail dans l’agriculture. Le Secours suisse d’hiver réclama ses services comme président à partir de 1948 et il fut un protecteur inlassable des étudiants hongrois réfugiés. L’homme de famille. La vie de Michel Plancherel était entièrement tournée vers sa famille. Il eut comme principe de passer, même dans le plus grand stress professionnel, au moins une heure par jour avec sa femme et ses enfants. Sa femme, Cécile Tercier, naquit le 15 janvier 1891, à l’Adrey, magnifique ferme fribourgeoise située à une demi-heure de Vuadens, en Gruyère. Après avoir suivi l’école primaire de son village natal, elle compléta son instruction à l’Institut Sainte-Croix à Bulle et aux pensionnats de Melchtal et de Zoug. En 1913, elle fut brillante élève de l’Ecole d’infirmière de Fribourg qui venait d’ouvrir ses portes. Ses camarades appréciaient son caractère enjoué, sa finesse et sa belle intelligence. Elle séjourna plusieurs mois à Rome en s’occupant de nourrissons retrouvés dans les ruines d’Avezzan, lors du tremblement de terre qui détruisit cette localité. Elle épousa le 8 septembre 1915 Michel, alors professeur à la Faculté des Sciences à l’Université de Fribourg. Lorsqu’il fut appelé en 1920 à l’Ecole polytechnique fédérale de Zürich, elle quitta Fribourg avec sa famille en 1921. Cécile et Michel eurent 9 enfants, 5 garçons et 4 filles. Deux de ses

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Fig. 4. Cécile Plancherel-Tercier.

filles, Marthe (sœur Marie Cornelia) et Marguerite ont été élèves de l’Ecole d’infirmière de Fribourg. Quatre enfants sont mariés et treize petits-enfants ont fait la joie de ses derniers jours. Energique, active, pleine d’entrain, elle s’est dépensée sans compter pour sa famille et pour les œuvres de la Mission catholique française de Zürich. Une maladie de cœur l’obligea à suspendre ses activités et à garder le lit depuis novembre 1952. Le 24 novembre, elle s’éteignait doucement. Sa force, Michel Plancherel la trouvait dans ses convictions chrétiennes. Il était lié d’amitié avec les catholiques zürichois de langue française. C’était lui, en effet, qui en 1922 se fit l’interprète des catholiques de langue française auprès de Monsieur l’Evêque de Coire pour obtenir des services français réguliers qui eurent lieu, dès lors, à l’église Saint-Antoine. Lors de la constitution définitive du Comité de la Mission catholique française le 16 septembre 1938, il fut appelé à la présidence. C’est ainsi que durant vingtcinq années, Michel Plancherel exerça ses fonctions avec autorité et une grande compétence jusqu’en 1963. En dépit de toute cette activité, Michel Plancherel n’était pas un homme public, mais toujours uniquement un homme cherchant, par simple conscience de ses responsabilités, à accomplir modestement et fidèlement un devoir qu’il considérait comme allant de soi. Michel Plancherel mourut le 4 mars 1967 à Zürich. La mort s’est présentée à lui de façon inattendue. En pleine possession de ses facultés physiques et d’une fraîcheur intellectuelle enviable, Michel Plancherel a été violemment heurté par un véhicule le soir du 1er mars, alors qu’il revenait de l’Ecole polytechnique fédérale où il avait siégé comme expert des examens fédéraux de maturité. Comme de coutume, il regagnait à pied son foyer de Zürichberg. Il traversait correctement un passage de sécurité de la Glad-

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bachstrasse lorsqu’il fut renversé. Il a succombé à ses graves blessures le 4 mars 1967 sans avoir repris connaissance. Neuf enfants lui furent donnés et vingt-et-un petits-enfants on vu le jour.

L’œuvre de Michel Plancherel Sur le plan de la science, Michel Plancherel s’est occupé surtout de problèmes d’analyse réelle et de la théorie des séries de Fourier. Plusieurs théorèmes de Plancherel ont acquis la célébrité et appartiennent aujourd’hui au bagage classique des mathématiques. La production scientifique ne resta pas non plus sans écho à l’étranger et lui valut de nombreux appels, par exemple du Pérou, d’Egypte, du Japon et des Etats-Unis. Dans sa modestie bien connue, il n’en parlait pourtant jamais, ni n’en tira des avantages. Divers honneurs lui furent attribués, en Suisse et à l’étranger, et c’est ainsi par exemple qu’il était membre correspondant de l’Académie royale de Turin et membre d’honneur de diverses associations scientifiques. En 1954, la Société mathématique Suisse nomma Michel Plancherel membre honoraire. Michel Plancherel s’est occupé principalement d’analyse, de physique mathématique et d’algèbre. Dans une série de travaux datant des années 1910, il s’est consacré à transmettre des résultats de l’analyse de Fourier classique à des espaces fonctionnels généraux (espaces de Hilbert) en étudiant la sommation, la représentation de fonctions par des séries de Fourier respectivement des intégrales de Fourier tout comme les transformations intégrales (transformations de Fourier et Laplace) de différents systèmes de fonctions orthogonales (polynômes de Legendre, séries de Fourier entre autre). Il obtint des résultats fondamentaux, parmi lesquels le théorème de Plancherel, le résultat plus connu comme théorème fondamental de l’analyse harmonique. Ces résultats, parmi tant d’autres, il les appliqua à l’étude d’équations différentielles partielles hyperboliques (voir, par exemple, [37], [39], [42]), paraboliques (voir, par exemple, [37]) et elliptiques (voir, par exemple, [25], [55], [7]), de l’équation intégrale singulière (voir, par exemple, [3], [5], [15]), à la solution de problèmes de variation avec le procédé de Ritz (voir, par exemple, [25]) tout comme à la théorie ergodique. Il donna par exemple en 1913 une preuve pour l’impossibilité de systèmes ergodiques mécaniques (voir [19], [14]). En algèbre, il obtint surtout des résultats dans la théorie des formes quadratiques (voir, par exemple, [1], [2]) et leurs applications, dans la résolution de systèmes d’équation avec une infinité de variables (voir, par exemple, [4], [25]) et à la théorie des algèbres de Hilbert commutatives (théorème de Plancherel–Godemet, voir, par exemple, [8], [10]).

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Le théorème de Plancherel. Dans ce chapitre nous suivons en partie la présentation donnée par Jean-Paul Pier dans son livre [87]. Quand Plancherel a commencé à s’intéresser à l’analyse harmonique, cette théorie avait déjà eu une longue histoire. Par exemple, la formule pour les coefficient d’une série de Fourier se trouve déjà dans l’œuvre d’Euler (voir [83]). Mais c’était Fourier qui épanouit ce domaine : « Les questions de la théorie de la chaleur offrent autant d’exemples de ces dispositions simples et constantes qui naissent des lois générales de la nature ; et si l’ordre qui s’établit dans ces phénomènes pouvait être saisi par nos sens, ils nous causeraient une impression comparable à celles des résonances harmoniques. » (Jean-Baptiste Joseph Fourier) Les fonctions périodiques apparaissent très fréquemment dans la nature : pendule, signaux électriques, des ondes. . . Les fonctions trigonométriques sont les fonctions périodiques les plus simples. Le problème de la décomposition d’une fonction en série de Fourier est le suivant : quelles types de fonctions s’écrivent (se décomposent) comme somme des ces fonctions périodiques élémentaires ? Autrement dit, est-ce que la série de Fourier de f converge ? En quel sens ? Si oui, est-ce vers f ? Ces questions, abordées à la suite des travaux de Joseph Fourier sur l’équation de la chaleur en 1830, ont suscité beaucoup de travaux chez les plus grands mathématiciens (Dirichlet, Cantor, Lebesgue), et font encore l’objet de recherches actives. L’idée a surgit naturellement de problèmes en astronomie ; en fait, on a découvert que les Babyloniens utilisaient une forme primitive de séries de Fourier pour la prédiction d’événements célestes. Un des problèmes les plus intéressants qui occupa les scientifiques du XVIII siècle et qui se présente fréquemment en physique dans les problèmes en relation avec des processus oscillatoires, fut celui de la corde vibrante. On peut décrire la situation la plus élémentaire de la manière suivante : supposons qu’on tende une corde flexible et que ses extrémités sont fixées aux points (0, 0) et (π , 0) sur l’axe des abscisses. On tire alors la corde vers le haut jusqu’à ce qu’elle prenne la forme d’une courbe donnée par l’équation y = f (x) et on la lâche. La question qui se pose est : quel est le mouvement décrit par la corde ? Si ses déplacements se trouvent toujours dans le même plan et si le vecteur du déplacement est perpendiculaire, à tout moment, à l’axe des abscisses, le mouvement sera alors donné par une fonction u(x, t) représentant le déplacement vertical de la corde, où 0 ≤ x ≤ π est la position et t ≥ 0 est le temps. Donc, pour chaque valeur fixée de t, u(x, t), comme fonction de x ∈ [0, π ], est la forme qu’aura la corde à ce moment t. Le problème qui se pose est obtenir u(x, t) à partir de f (x). Le premier qui élabora un modèle approprié pour ce problème fut d’Alembert (1747) qui montra que la fonction u doit, dans des unités

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appropriées, satisfaire les conditions suivantes : ∂2u ∂2u = ∂t 2 ∂x 2 u(x, 0) = f (x) ∂u =0 ∂t u(0, t) = u(π , t) = 0

pour 0 < t, 0 < x < π , pour 0 < x < π , pour 0 < x < π , pour 0 ≤ t.

La première condition est une équation aux dérivées partielles de 2ème ordre connue sous le nom d’équation d’onde. La deuxième condition représente la position initiale de la corde, tandis que la troisième nous dit que la vitesse initiale est nulle. La dernière exprime le fait que les extrémités de la corde sont fixes. D’Alembert démontra que la solution du problème est donnée par  1 ˜ f (x + t) + f˜(x − t) , u(t, x) = 2 où f˜ est le prolongement impaire de période 2π de la fonction f . Le résultat de d’Alembert confirma que la position future de la corde est complètement déterminée par sa position initiale. L’interprétation physique de la solution de d’Alembert est très intéressante : la fonction f˜(x + t) représente une onde qui se déplace vers la gauche à vitesse 1 et de manière analogue, la fonction f˜(x − t) représente une autre onde qui se déplace vers la droite à vitesse 1. La solution du problème est donc la superposition de deux ondes. Euler (1748) proposa de représenter f˜ sous forme d’une série de sinus ∞ 

f˜(x) =

an sin(nx),

n=1

avec la conséquence que u(x, t) =

∞ 

an cos(nt) sin(nx).

n=1

L’harmonique simple cos(nt) sin(nx) est interprétée comme un mode fonn damental de la corde et la fréquence 2π comme un de ses tons fondamentaux. La même idée était avancée par Daniel Bernoulli (1753) et Joseph Louis Lagrange (1759). La recette pour trouver les coefficients an =

2 π

π 0

f (x) sin(nx) dx,

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plus tard associés au nom de Fourier, apparaît pour la première fois dans un article de Euler (voir [83]). La contribution de Fourier commence en 1807 avec son étude sur le problème de la propagation de la chaleur ∂2u ∂u = ∂t ∂x 2 présenté à l’Académie des Sciences en 1811 et publié en partie sous le nom de Théorie analytique de la chaleur (1822). Il fit une sérieuse tentative pour prouver que toute fonction lisse par morceaux f peut être prolongée en une série trigonométrique. Une preuve satisfaisante a été trouvée après par Dirichlet (1829). Riemann (1867) fit également d’importantes contributions à ce problème. La clef pour de nouvelles avancées fut donnée par la nouvelle intégrale de Lebesgue (1904). L’idée était de considérer la classe L2 (a, b) des fonctions f Lebesgue mesurables avec b

1 2 2 |f (x)| dx < ∞. f 2 = a

Au sujet de la série de Fourier se poseront, d’une part, la question de l’unicité du développement, d’autre part, celle de l’existence d’une limite pour les différents modes de convergence imaginables. En effet, la convergence est étudiée très tôt dans l’espace de Hilbert L2 . Parlant du procédé général de la résolution d’équations intégrales linéaires mis au point par Hilbert, Frigyes Riesz met l’accent sur l’importance du problème suivant (voir [90], [91]) : Soit (φi ) un système orthonormé réel de fonctions définies sur un intervalle [a, b], c’est-à-dire, b φi (x)φj (x)dx = δij a

où le symbole de Kronecker δij = 0 si i ≠ j et δij = 1 si i = j. A toute fonction φi on associe un nombre réel ai . Sous quelles conditions existeb t-il une fonction f telle que a f (x)φi (x)dx = ai quel que soit i ? Riesz démontre que, pour qu’il existe f ∈ L2 (a, b)de ce type, une condition nécessaire et suffisante est la convergence de i a2i . Un peu antérieurement à Riesz et indépendamment de lui, Ernst Fischer [84] obtient un résultat équivalent, mais qu’il publie un peu plus tard. Il commence par établir les importantes formules généralisant la convergence des séries. Soit f , g ∈ L2 (a, b) alors le produit f g ∈ L1 (a, b), et b

2 b

b

f (x)g(x) dx ≤ f (x)2 dx g(x)2 dx a

a

a

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et aussi b a

(f (x) + g(x))2 dx

1 2

≤

b a

f (x)2 dx

1 2

+

b a

g(x)2 dx

1 2

.

Fischer en déduit que si (fn ) constitue une suite de Cauchy pour la norme  ·  dans L2 (a, b), elle converge vers un élément de L2 (a, b) relativement à cette norme. maintenant la famille orthonormée (φn ) dans L2 (a, b).  Soit 2 Si la série n an converge, alors n an φn converge vers une fonction f ∈ b L2 (a, b), et an = a f (x)φn (x) dx pour chaque n. Ici se place le mémoire Contribution à l’étude de la représentation d’une fonction arbitraire par des intégrales définies [10] dans lequel Plancherel fait prendre conscience de certains aspects essentiels de l’analyse de Fourier. Il attribue aux travaux de Fredholm l’impulsion qui a donné naissance aux recherches sur le développement d’une fonction réelle d’une variable réelle en série de fonctions orthogonales dont « le type le plus important et le plus anciennement connu » est le développement en série de Fourier d’une fonction définie sur [0, 2π ]. Il observe que la théorie de Fredholm fournit des conditions suffisantes, mais que les travaux de Weyl et de Haar montrent qu’elles sont « bien loin d’être nécessaires ». ) orthoPlancherel considère dans L2 (a, b) une suite de fonctions (φp ∞ normée. Il y adjoint l’ensemble 2 de suites réelles (an ) telle que n=1 a2n converge. La suite (φp ) est dite complète s’il n’existe pas de fonction ψ ∈ b L2 (a, b) de norme 1 telle que a ψ(x)φp (x) dx = 0 pour tout p. L’inégalité de Schwarz lui permet d’associer à f ∈ L2 (a, b) les coefficient de Fourier b f (x)φp (x) dx. cp = a

De l’identité de Bessel b b n n 2   f (x) − cp φp (x) dx = f (x)2 dx − cp2 a

a

p=1

découle l’inégalité

n  p=1

2

cp2 ≤

b a

p=1

f (x)2 dx

donc, (cn ) ∈  . Ce cadre général fixé, Plancherel établit une nouvelle démonstration du p 2 résultat de Riesz et Fischer. Si a = (an ) ∈  alors la suite fp = n=1 an φn converge dans L2 (a, b). D’après une propriété déjà établie par Weyl, il doit alors exister une fonction f dans L2 (a, b) vers laquelle une sous-suite de (fp ) converge presque

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partout ; f est unique à sa détermination sur un ensemble de mesure nulle près. De l’inégalité b a

(f (x) − fq (x))φp (x) dx

découle

≤

b a

a

b

2

(f (x) − fq (x)) dx

a

φp (x)2 dx

b f (x)φp (x) dx = lim

q→∞

De même,

b lim

p→∞

donc

b

2

b a

a

fq (x)φp (x) dx = ap .

 f (x) − fp (x) f (x) dx = 0,



f (x)2 dx = lim

b

p→∞

c’est-à-dire

a

b a

a

f (x)

p 

an φn (x) dx,

n=1 ∞ 

f (x)2 dx =

a2n .

n=1

De ces observations Plancherel déduit l’importante conclusion suivante : si, en particulier, la suite (φn ) est complète, à toute suite (an ) de nombres réels dont la série des carrés converge, est associée exactement une foncb tion f ∈ L2 (a, b) dont le coefficient de Fourier a f (x)φp (x) dx est ap quel que soit p. Pour cette fonction on a b a

2

f (x) dx =

∞ b  n=1

a

f (x)φp (x) dx

2

.

Le résultat, connu sous le nom de formule de Plancherel, donnera lieu à une gamme ininterrompue de travaux d’extension. Pour une fonction définie sur [−π , π ] et les coefficients de Fourier associés, l’identité a été établie par Parseval en 1799 d’une manière formelle, c’est-à-dire en l’absence de considérations de convergence. Qualifiant le résultat du théorème de Riesz–Fischer, Plancherel note encore que si (ap ), (bp ) sont les suites constituées par les coefficients de Fourier des fonctions f , g ∈ L2 (a, b), il a la formule de Riesz (voir [90]) b a

f (x)g(x) dx =

∞ 

ap bp

p=1

Passons maintenant des séries de Fourier à la transformation de Fourier. Rappelons brièvement la théorie de la transformée de Fourier sur L1 (Rn ).

Michel Plancherel, une vie pour les mathématiques et pour le prochain

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On travaille avec différents espaces définis sur Rn , à savoir les espaces Lp (Rn ), 1 ≤ p < ∞, qui contiennent toutes les fonctions mesurables f tel 1 b que f p = ( a |f (x)|p dx) p < ∞. Le nombre f p est appelée la norme de f dans Lp (Rn ). Soit f ∈ L1 (Rn ). La transformée de Fourier de f est la fonction fˆ définie par 1 ˆ f (x)e−ix·ξ dx. f (ξ) = (2π )n/2 Rn L’intégrale qui définit la transformée de Fourier n’est pas définie dans le sens de Lebesgue pour des fonctions générales dans L2 (Rn ) ; malgré cela, la transformée de Fourier possède une définition naturelle sur cet espace et une théorie particulièrement élégante. Si on suppose que f est de carré intégrable, alors fˆ est aussi de carré intégrable. On a le résultat suivant : Théorème. Si f ∈ L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ), alors fˆ2 = f 2 . Ce théorème affirme que la transformée de Fourier est un opérateur linéaire borné défini sur le sous-ensemble dense L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ) : en fait, c’est une isométrie. Il existe donc une unique extension bornée, F , de cet opérateur sur tout L2 (Rn ). F est appelée la transformée de Fourier sur L2 (Rn ). On utilise aussi la notation fˆ = F (f ) pour f ∈ L2 (Rn ). En général, si f ∈ L2 (Rn ), cette définition de la transformée de Fourier ˆ k ), où (hk ) est une suite nous donne fˆ comme la limite L2 de la suite (h quelconque dans L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ) qui converge vers f en norme L2 . Il est convenable de choisir la suite (hk ) avec hk (t) = f (t) pour |t| ≤ k et nulle ˆ k définies partout ailleurs. Alors fˆ est la limite L2 de la suite de fonctions h par 1 ˆ f (t)e−ix·t dt. hk (x) = (2π )n/2 |t|≤k Un opérateur linéaire, bijectif sur L2 (Rn ) qui est une isométrie et agit sur L2 (Rn ) est appelé un opérateur unitaire. C’est une conséquence immédiate du théorème précédent que F est une isométrie. Donc, nous avons la propriété suivante : Théorème. La transformée de Fourier est un opérateur unitaire sur L2 (Rn ). En plus, on a le théorème : Théorème. L’inverse de la transformée de Fourier, F −1 : L2 (Rn ) → L2 (Rn ), est obtenue en posant (F −1 g)(x) = (F g)(−x) pour g ∈ L2 (Rn ).

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Ces deux théorèmes forment le théorème de Plancherel. Un autre théorème dû à Plancherel et connu sous le nom de formule de Plancherel nous ˆ ∈ L1 (Rn ). Alors on a : dit la chose suivante : soient f , fˆ, g, g ˆ f (x)g(x) dx = fˆ(x)g(x) dx. Rn

Rn

André Weil [94] se rend compte que les groupes abéliens localement compacts « forment le domaine naturel de l’analyse harmonique », théorie « qui s’est développée autour de l’intégrale classique de Fourier ». Pour les généralisations des théorèmes de Plancherel dans ce cadre nous recommandons [87]. Il existe aussi une version du théorème de Plancherel pour des groupes localement compacts qui ne sont pas commutatifs.

Liste des distinctions attribuées à Michel Plancherel – Membre correspondant de la Société des sciences de Coimbra (1925) – Membre honoraire de la Société de physique et d’histoire naturelle de Genève (1940) – Membre étranger de l’Académie royale des sciences de Turin (1940) – Membre honoraire de la Société fribourgeoise des sciences naturelles (1943) – Membre honoraire de la Société mathématique Suisse (1954)

Liste des affiliations scientifiques – Société mathématique Suisse – Société fribourgeoise des sciences naturelles – Académie suisse des sciences naturelles – Deutsche Mathematikervereinigung – Circolo Matematico di Palermo – American Mathematical Society

Liste des fonctions administratives – Membre du comité (1913–1919) et président (1918–1919) de la Société mathématique Suisse

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– Membre (1920–) et vice-président (1927–) de la Commission Euler de la Société helvétique des sciences naturelles (aujourd’hui l’Académie suisse des sciences naturelles) – Président de la Fondation pour l’avancement des sciences mathématique en Suisse (1929–) – Membre du Comité de rédaction des Commentarii mathematici helvetici (1929–) – Membre (1926–1956) et président (1954–1956) de la Commission fédérale de maturité (aujourd’hui Commission suisse de maturité) – Président de la Centrale suisse du service volontaire de travail dans l’agriculture (1935–1946) – Président du deuxième congrès international du service de travail, Seelisberg (Uri), septembre 1937 – Membre du comité (1913–1920) et président (1915–1920) de la Société fribourgeoise des sciences naturelles – Vice-président du Comité d’organisation et du Comité exécutif du Congrès international de mathématiques à Zürich (1932) – Délégué de l’ETH à la commission suisse de coopération intellectuelle (1927–1941) – Expert scientifique de la Société des Nations (1935–1938) – Président du groupe de Fribourg de la Nouvelle Société helvétique (1918– 1920) – Membre du Conseil général de la ville de Fribourg (1918–1921) – Membre de la Zentralschulpflege, de la Kreisschulpflege Zürichberg et de la Commission de surveillance de la Gewerbeschule der Stadt Zürich (1939–1945) – Président de la Mission catholique française de Zürich (1938–1963) – Président d’honneur de la Mission catholique française de Zürich (1963–) – Président central du secours suisse d’hiver (1948–1967) – Président du comité exécutif de l’Action des universités suisses en faveur de leurs étudiants hongrois réfugiés (1956–1963) – Directeur des Entreprises électriques fribourgeoises

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Carrière militaire – Lieutenant d’infanterie 10.11.1906 – Premier lieutenant 26.8.1911 – Capitaine 31.12.1915 – Major 31.12.1922 – Lieutenant-colonel 31.12.1928 – Colonel 31.12.1934 Commandements – Cdt. Cp. fus. II/15 (1914–1922) – Cdt. Bat. fus. 15 (1923–1928) – Cdt. Rég. Inf. Mont. 7 (1930–1934) – Etat major de l’armée (1939–1945) – Chef de la division Presse et radio à l’E.M. de l’armée (1942–1945)

Liste des doctorants par ordre chronologique Carl Arnold (1920) Die Probleme von Cantor und von Du Bois-Reymond in der Theorie der Besselschen Reihen Dissertation inaugurale, Faculté des sciences, Université de Fribourg, Nr. Fri. 1919/20, 169 Rapporteur : Michel Plancherel Walter Saxer (1923) Über die Picardschen Ausnahmewerte sukzessiver Derivierten Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 287 Rapporteur : George Pólya ; Corapporteur : Michel Plancherel Ernst Völlm (1925) Über die wärmetheoretische Summation Fourier’scher und Laplace’scher Reihen Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 394 Rapporteur : Michel Plancherel ; Corapporteur : Hermann Weyl Emil Schwengeler (1925) Geometrisches über die Verteilung der Nullstellen spezieller ganzer Funktionen (Exponentialsummen)

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Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 351 Rapporteur : George Pólya ; Corapporteur : Michel Plancherel Walter Rotach (1925) Reihenentwicklungen einer willkürlichen Funktion nach Hermite’schen und Laguerre’schen Polynomen Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 406 Rapporteur : Michel Plancherel ; Corapporteur : Hermann Weyl Hans Zwingli (1930) Elastische Schwingungen von Kugelschalen Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 602 Rapporteur : Ernst Meissner ; Corapporteur : Michel Plancherel Reinwald Jungen (1931) Sur les séries de Taylor n’ayant que des singularités algébrico-logarithmiques sur leur cercle de convergence Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 657 Rapporteur : George Pólya ; Corapporteur : Michel Plancherel Wilhelm Mächler (1932) Laplace’sche Integraltransformation und Integration partieller Differentialgleichungen vom hyperbolischen und parabolischen Typus : ein Beitrag zum Heaviside’schen Operatorenkalkül Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 635 Rapporteur : Michel Plancherel ; Corapporteur : G. Pólya Gottfried Grimm (1932) Über die reellen Nullstellen Dirichlet’scher L-Reihen Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 618 Rapporteur : George Pólya ; Corapporteur : Michel Plancherel Victor Junod (1933) Sur l’unicité du développement d’une fonction en série de fonctions de Bessel Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 571 Rapporteur : Michel Plancherel ; Corapporteur : George Pólya Egon Moecklin (1934) Asymptotische Entwicklungen der Laguerreschen Polynome Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 785 Rapporteur : Michel Plancherel ; Corapporteur : George Pólya Arthur Hess (1935) Über die Struktur von Scharen meromorpher Funktionen Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 852 Rapporteur : Walter Saxer ; Corapporteur : Michel Plancherel

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Lucien Bossard (1936) Über den verallgemeinerten Schottkyschen Satz und seine Anwendungen Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 917 Rapporteur : Walter Saxer ; Corapporteur : Michel Plancherel Franz Fenyves (1938) Beitrag zur Realisierung von Zweipolen mit vorgegebener Charakteristik Diss. Techn. Wiss. ETH Zürich, Nr. 1018 Rapporteur : Fritz Fischer ; Corapporteur : Michel Plancherel Albert Edrei (1939) Sur les déterminants récurrents et les singularités d’une fonction donnée par son développement de Taylor Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 1040 Rapporteur : Georges Pólya ; Corapporteur : Michel Plancherel Salomon Schmidli (1942) Über gewisse Interpolationsreihen Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 1170 Rapporteur : Walter Saxer ; Corapporteur : Michel Plancherel Konrad Bleuler (1942) Über den Rolle’schen Satz für den Operator Δu + λu und die damit zusammenhängenden Eigenschaften der Green’schen Funktion Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 1205 Rapporteur : Michel Plancherel ; Corapporteur : Walter Saxer Henryk Maksymiljan Schärf (1943) Über links- und rechtsseitige Stieltjesintegrale und deren Anwendungen Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 1310 Rapporteur : Walter Saxer ; Corapporteur : Michel Plancherel Werner Leutert (1948) Die erste und zweite Randwertaufgabe der linearen Elastizitätstheorie für die Kugelschale Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 1681 Rapporteur : Hans Ziegler ; Corapporteur : Michel Plancherel Pierre Henri Bloch (1948) Über den Zusammenhang zwischen den Konvergenzabszissen, der Holomorphie- und der Beschränktheitsabszisse bei der Laplace-Transformation Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 1655 Rapporteur : Walter Saxer ; Corapporteur : Michel Plancherel Martin Altwegg (1948) Ein Modell des Hilbertschen Raumes

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Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 1663 Rapporteur : Paul Bernays ; Corapporteur : Michel Plancherel Hans Paul Künzi (1949) Der Fatou’sche Satz für harmonische und subharmonische Funktionen in n-dimensionalen Kugeln Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 1792 Rapporteur : Albert Pfluger ; Corapporteur : Michel Plancherel Kurt E. Meier (1950) Über die Randwerte meromorpher Funktionen und hinreichende Bedingungen für Regularität von Funktionen einer komplexen Variablen Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 1866 Rapporteur : Walter Saxer ; Corapporteur : Michel Plancherel Rudolf J. Hoesli (1950) Spezielle Flächen mit Flachpunkten und ihre lokale Verbiegbarkeit Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 1853 Rapporteur : Heinz Hopf ; Corapporteur : Michel Plancherel Heinz Helfenstein (1950) Über eine spezielle Lamésche Differentialgleichung, mit Anwendung auf eine approximative Resonanzformel der Duffingschen Schwingungsgleichung Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 1985 Rapporteur : Michel Plancherel ; Corapporteur : Fritz Gassmann Jakob Haller (1953) Laplacesche Integraltransformation und Integration partieller Differentialgleichungen vom parabolischen Typus Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 2227 Rapporteur : Michel Plancherel ; Corapporteur : Albert Pfluger Frank W. Sinden (1954) An Oscillation theorem for algebraic eigenvalue problems and its applications Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 2322 Rapporteur : Eduard Stiefel ; Corapporteur : Michel Plancherel Hans Blumer (1954) Beziehungen zwischen speziellen linearen Integralgleichungen erster und zweiter Art und Lösung des Dirichletschen Problems durch das Potential einer einfachen Schicht Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 2240 Rapporteur : Michel Plancherel ; Corapporteur : Walter Saxer Joseph Hersch (1955) Longueurs extrémales et théorie des fonctions

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Diss. Math. ETH Zürich, Nr. 2294 Rapporteur : Albert Pfluger ; Corapporteur : Michel Plancherel Juan Jorge Schäffer (1956) Contributions to the theory of electrical circuits with non-linear elements Diss. Techn. Wiss. ETH Zürich, Nr. 2614 Rapporteur : Maximilian Julius Strutt ; Corapporteur : Michel Plancherel

Liste des publication scientifiques de Michel Plancherel [1] Sur les congruences (mod. 2m ) relatives au nombre des classes des formes quadratiques binaires aux coefficients entiers et à discriminant négatif. Thèse de doctorat, Université de Fribourg, Suisse, 1908. [2] Sur les congruences (mod. 2m ) relatives au nombre des classes des formes quadratiques binaires aux coefficients entiers. Rivista fis. mat. sc. nat. 17 (1908), 265–280, 505–515, 585–596 ; 18 (1908), 77–93, 179–196, 243–257. [3] Note sur les équations intégrales singulières. Rivista fis. mat. sc. nat. 10 (1909), 37–53. [4] Resolvente einer quadratischen Form und Auflösung linearer Gleichungen von unendlich vielen Variabeln. Math. Ann. 67 (1909), 511–514. [5] Über singuläre Integralgleichungen. Math. Ann. 67 (1909), 515–518. [6] Integraldarstellungen willkürlicher Funktionen. Math. Ann. 67 (1909), 519–534. [7] Remarques sur l’intégration de l’équation Δu = 0. Bull. Sci. Math. (Darboux Bull.) (2) 34 (1909), 111–114. [8] Sur la représentation d’une fonction arbitraire par une intégrale définie. C. R. Acad. Sci. Paris 150 (1910), 318–321. [9] Sätze über Systeme beschränkter Orthogonalfunktionen. Math. Ann. 68 (1910), 270–278. [10] Contribution à l’étude de la représentation d’une fonction arbitraire par des intégrales définies. Rend. Circ. Mat. Palermo (1) 30 (1910), 289–335. Thèse d’habilitation, présentée à la Faculté des sciences de l’Université de Genève. [11] Sur l’application aux séries de Laplace du procédé de sommation de M. de la Vallée-Poussin. C. R. Acad. Sci. Paris 152 (1911), 1226–1228. [12] De la sommation des séries de Legendre. Enseign. Math. (1) 13 (1911), 412–413. [13] Sur la sommation des séries de Laplace et de Legendre. Rend. Circ. Mat. Palermo (1) 33 (1912), 41–66. [14] Sur l’incompatibilité de l’hypothèse ergodique et des équations d’Hamilton. Arch. d. Sc. Phys. et Nat. (4) 33 (1912), 254–255.

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[15] La théorie des équations intégrales. Enseign. Math. (1) 14 (1912), 89–107. Conférence donnée à la réunion de la Société mathématique suisse à Berne, le 10 décembre 1911. [16] Les problèmes de Cantor et de Dubois-Reymond dans la théorie des séries des polynômes de Legendre. C. R. Acad. Sci. Paris 155 (1912), 897–900. [17] Unicité du développement d’une fonction en série de polynomes de Legendre et expression anaytique des coefficients de ce développement. Enseign. Math. (1) 15 (1913), 55–57. z [18] Zur Konvergenztheorie der Integrale: limz=∞ a f (x) cos xy dx. Math. Ann. 74 (1913), 573–678. [19] Beweis der Unmöglichkeit ergodischer mechanischer Systeme. Ann. Physik (4) 42 (1913), 1061–1063. [20] Sur la convergence des séries de fonctions orthogonales. C. R. Acad. Sci. Paris 157 (1913), 539–542. [21] Les problèmes de Cantor et de Dubois-Reymond dans la théorie des séries des polynômes de Legendre. Ann. Sci. École Norm. Sup. (3) 31 (1914), 223–262. [22] Sur la convergence et sur la sommation par les moyennes de Cesàro de z limz=∞ a f (x) cos xy dx. Math. Ann. 76 (1915), 315–326. [23] Sur la convergence d’une classe remarquable d’intégrales définies. Enseign. Math. (1) 17 (1915), 344–346. [24] Sur l’unicité du développement d’une fonction en série de polynomes de Legendre. C. R. Acad. Sci. Paris 167 (1918), 325–328. [25] Sur la méthode d’intégration de Ritz. C. R. Acad. Sci. Paris 169 (1919), 1152–1155. [26] Sur la méthode d’intégration de Rayleigh-Ritz. Enseign. Math. (1) 20 (1919), 443–444. [27] Sur l’unicité du développement d’une fonction en série de fonctions sphériques. Bull. Sci. Math. (Darboux Bull.) (2) 43 (1919), 181–196, 212–220, 221–223. [28] avec K. Ogura, Remarks on the note “On the Fourier constants”. Tôhoku Math. J. 17 (1920), 123–128. [29] Sur le calcul des seiches de nos lacs. Bull. Soc. Frib. Sc. Nat. 25 (1920), 100–102. [30] avec Edwin Strässle, Sur l’intégrale de Poisson pour la sphère. Enseign. Math. (1) 21 (1920), 225–226. [31] Sur l’unicité du développement d’une fonction en série de polynomes de Lengendre et en série de fonctions de Bessel. Ann. Sci. École Norm. Sup. (3) 39 (1922), 273–316. [32] Le passage à la limite des équations aux différences aux équations différentielles dans les problèmes aux limites. Bull. Sci. Math. (Darboux Bull.) (2) 47 (1923), 153–160, 170–177.

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[33] Démonstration du théorème de Riesz-Fischer et du théorème de Weyl sur les suites convergentes en moyenne. Bull. Sci. Math. (Darboux Bull.) (2) 47 (1923), 195–204. [34] Sur la méthode d’intégration de Ritz. Bull. Sci. Math. (Darboux Bull.) (2) 47 (1923), 376–383, 397–412. [35] Sur les formules d’inversion de Fourier et de Hankel. Proc. London Math. Soc. (2) 24 (1925), 62–70. [36] Le développement de la théorie des séries trigonométriques dans le dernier quart de siècle. Enseign. Math. (1) 24 (1925), 19–58. Rapport présenté à la réunion de la Société mathématique suisse, tenue à Lugano, le 22 avril 1924. [37] Le rôle de l’intégrale de Fourier dans l’intégration de quelques problèmes mixtes relatifs à certaines équations aux dérivées partielles du type hyperbolique ou parabolique. Enseign. Math. (1) 25 (1927), 286–288. [38] Sur les séries de fonctions orthogonales. In Proc. Internat. Math. Congr. held in Toronto, August 11–16, 1924, Vol. 1, The University of Toronto Press, Toronto 1928, 619–621. [39] Sur le rôle de la transformation de Laplace dans l’intégration d’une classe de problèmes mixtes du type hyperbolique et sur les développements en séries d’un couple de fonctions arbitraires. C. R. Acad. Sci. Paris 186 (1928), 351–353. [40] avec Walter Rotach, Sur les valeurs asymptotiques des polynomes d’Hermite n x2 x2 d − 2 ). Comment. Math. Helv. 1 (1929), 227–254. Hn (x) = (−1)n e 2 (e dx n [41] Formule de Parseval et transformations fonctionnelles orthogonales. Comment. Math. Helv. 1 (1929), 273–288. [42] Sur le dévelopment d’un couple de fonctions arbitraires en séries de fonctions fondamentales d’un problème aux limites du type hyperbolique. In Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, Bologna, 3–10 settembre 1928, Vol. 3, Bologna 1930, 249–253. [43] Sur les valeurs asymptotiques des polynomes d’Hermite. In Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, Bologna, 3–10 settembre 1928, Vol. 3, Bologna 1930, 309–310. [44] avec George Pólya, Sur les valeurs moyennes des fonctions réelles definies pour toutes les valeurs de la variable. Comment. Math. Helv. 3 (1931), 114–121. [45] Sur les formules de réciprocité du type de Fourier. J. London Math. Soc. 8 (1933), 220–226. [46] Sur les systèmes isogonaux de courbes dont le rapport des courbures est constant. Comment. Math. Helv. 8 (1936), 354–358. [47] avec George Pólya, Fonctieres entières et intégrales de Fourier multiples. Comment. Math. Helv. 9 (1937), 224–248.

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[48] Note sur les transformations linéaires et les transformations de Fourier des fonctions de plusieurs variables. Comment. Math. Helv. 9 (1937), 249–262. [49] Quelques remarques à propos d’une note de G. H. Hardy : The resultant of two Fourier kernels. Proc. Cambridge Philos. Soc. 33 (1937), 413–418. [50] Sur le calcul du potentiel de l’ellipsoide homogene par la méthode du facteur de discontinuite. Enseign. Math. (1) 36 (1937), 331–345. [51] avec George Pólya, Fonctions entières et intégrales de Fourier multiples. II. Comment. Math. Helv. 10 (1937), 110–163. [52] Quelques remarques sur la théorie des transformations linéaires bornées des fonctions de plusieurs variables dans les espaces fonctionnels Lα . Comment. Math. Helv. 12 (1940), 225–232. [53] Quelques remarques sur les transformations de Fourier des fonctions de plusierus variables. Vierteljahresschr. Naturforsch. Ges. Zürich 85 (1940), 20–26. Beiblatt Nr. 32 (Festschrift Rudolf Fueter). [54] Méthodes d’obtention de formules asymptotiques. Mitt. Naturforsch. Ges. Bern 1940 (1940). Sitzungsber. Math. Vereinigung Bern, L–LII. [55] Sur la convergence en moyenne des suites de solutions d’une équation aux dérivées partielles du second ordre linéaire et de type elliptique. Verhandl. Schweiz. Naturforsch. Ges. 125 (1945), 99–100. [56] Intégrales de Fourier et fonctions entières. In Analyse Harmonique (Nancy 15.22.6.1947), Colloques Internat. Centre Nat. Rech. Sci. 15, CNRS, Paris 1949, 31–43. [57] Mathématiques et mathématiciens en Suisse (1850–1950). Enseign. Math. (2) 6 (1960), 194–218 (1961). Conférence donnée à la fête du cinquantenaire de la Société mathématique suisse, le 26 juin 1960 à Zürich. [58] Le problème d’itération posé par certaines lois d’impôts. In Studies in Mathematical Analysis and Related Topics, Essays in Honor of G. Pólya, Stanford University Press, Stanford 1962, 281–284.

Liste de publications générales de Michel Plancherel [59] L’édition des œuvres complètes de Leonhard Euler. Bull. Soc. Frib. Sci. Nat. 20 (1912), 22–23. [60] Hypothèses cosmogoniques. Bull. Soc. Frib. Sci. Nat. 22 (1914), 20–26. [61] De quelques paradoxes mathématiques. Bull. Soc. Frib. Sci. Nat. 23 (1916), 55–59. [62] La propagation du son à grande distance et les zones de silence. Bull. Soc. Frib. Sci. Nat. 23 (1916), 110–111.

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[63] Rapport annuel 1915–16 de la Société Fribourgeoise des Sciences Naturelles. Bull. Soc. Frib. Sci. Nat. 23 (1916), pp. 47 ; Rapport annuel 1916–17 de la Société Fribourgeoise des Sciences Naturelles. Bull. Soc. Frib. Sci. Nat. 24 (1918), pp. 3 ; Rapport annuel 1917–18 de la Société Fribourgeoise des Sciences Naturelles. Bull. Soc. Frib. Sci. Nat. 24 (1918), pp. 113 ; Rapport annuel 1918–19 de la Société Fribourgeoise des Sciences Naturelles. Bull. Soc. Frib. Sci. Nat. 25 (1921), pp. 3. [64] Sur la propagation du son à grande distance et les zones de silence. Quelques compléments. Bull. Soc. Frib. Sci. Nat. 24 (1918), 74–75. [65] La théorie élémentaire du planimètre d’Amsler. Bull. Soc. Frib. Sci. Nat. 24 (1918), 130–143. [66] L’œuvre du physicien valaisan W. Ritz. Bull. Soc. Frib. Sci. Nat. 24 (1918), 144–145. [67] Le rôle de l’éther en optique : Les difficultés de la théorie. Bull. Soc. Frib. Sci. Nat. 25 (1921), 22–23. [68] Matière et éther : II. Le principe de relativité. Bull. Soc. Frib. Sci. Nat. 25 (1921), 28–31. [69] Simples questions de mécanique et de physique. Bull. Soc. Frib. Sci. Nat. 26 (1923), 56–58. [70] Coopération intellectuelle et société des nations. Extrait d’un rapport présenté à la réunion de l’Association nationale des Universités suisses, à Zürich, le 22 octobre 1927. Schweizerische Hochschulzeitung (Revue universitaire suisse) 1 (1928), 83–86. [71] Die mathematische Forschung im Zürich des 19. Jahrhunderts. Neue Zürcher Zeitung, Nr. 1632, 5.9.1932. [72] Allocution prononcée par le prof. M. Plancherel, recteur de l’Ecole polytechnique fédérale, Zurich. In Verhandlungen des internationalen MathematikerKongresses Zürich 1932, Band I, Orell Füssli, Zürich 1932, 65–67. [73] Allocutions diverses prononcées en qualité de recteur de l’Ecole polytechnique fédérale, p. ex. lors du Dies academicus, de l’inauguration d’un basrelief du prof. G. Narutowicz, et en d’autres occasions. Archives de la bibliothèque de l’ETH Zürich. [74] Les relations de l’enseignement secondaire et de l’enseignement technique supérieur. In Jahrbuch des Vereins Schweizerischer Gymnasiallehrer, Bd. 62, H. R. Sauerländer & Co., Aarau 1934, 5–14. [75] La préparation mathématique des candidats à l’Ecole polytechnique. In Jahrbuch des Vereins Schweizerischer Gymnasiallehrer, Bd. 65, H. R. Sauerländer & Co., Aarau 1936, 122–128. [76] La ruée vers les études supérieures et le chômage des jeunes intellectuels. In Die Schweiz – La Suisse, Ein Nationales Jahrbuch 1937, Selbstverlag der Neuen Helvetischen Gesellschaft, Basel 1937, 124–131. [77] Die Eidgenössische Technische Hochschule. In Schweizer Buch, hrsg. von Carl Ebner, Schweizer Druck und Verlagshaus, Zürich 1938, 164–167.

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[78] Expériences faites aux examens de maturité. Rapport présenté à la réunion des directeurs de gymnases. In Protokoll der Konferenz Schweizerischer Gymnasial-Rektoren/Procès-verbal de la Conférence suisse des directeurs de gymnase. 30ème conférence du 7–9 juin 1943 à Engelberg. Verlag H. R. Sauerländer & Co., Aarau. [79] L’école polytechnique fédérale a fêté en octobre son centenaire. In La Cité, Revue de la Cité universitaire de Paris, No. 4, Novembre 1955, 80–82. [80] L’ecole des sciences mathématiques et physique et l’enseignement de base en mathématiques et physique dans les autres sections. In 100 Jahre Eidgenössische Technische Hochschule, Festschrift zur Hundertjahrfeier, Verlag Leemann, Zürich 1955, 293–313. [81] Zur mathematischen Bildung der A- und B-Maturanden. In Schweizer Schule, 46. Jahrgang 1959/60, Druck und Verlag Otto Walter AG, Olten, 718–719.

Bibliographie [82] S. Bays, Le Professeur Michel Plancherel. Bull. Soc. Frib. Sci. Nat. 57 (3) (1968), 233–234. [83] L. Euler, Disquisitio ulterior super seriebus secundum multipla cuiusdam anguli progredientibus (E704). Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae 11 (1798), 114–132 ; Opera omnia, Ser. I, vol. 16, 333–353. [84] E. Fischer, Sur la convergence en moyenne. C. R. Acad. Sci. Paris 144 (1907), 1022–1024. [85] S. Gottwald, H.-J. Ilgauds und K.-H. Schlote, Lexikon bedeutender Mathematiker. 2., überarb. und erw. Aufl., Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2006. [86] B. Hauchecorne et D. Suratteau, Des mathématiciens de A à Z. Éditions Ellipses, Paris 2008. [87] J.-P. Pier, L’analyse harmonique : son développement historique. Masson, Paris 1990. [88] Différents documents fournis par Albert C. Plancherel, 2005. [89] M. Plancherel, Wissenschaftlicher Nachlass, Wissenschaftshistorische Sammlungen der ETH-Bibliothek, Zürich. [90] F. Riesz, Sur les systèmes orthogonaux de fonctions. C. R. Acad. Sci. Paris 144 (1907), 615–619. [91] F. Riesz, Über orthogonale Funktionensysteme. Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Math.-Phys. Kl. 1907 (1907), 116–122. [92] E. M. Stein and G. Weiss, Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. Princeton University Press, Princeton 1971. [93] A. Cañada Villar, Series de Fourier y aplicaciones. Ediciones Pirámide, Madrid 2002.

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[94] A. Weil, L’intégration dans les groupes topologiques et ses applications. Actualités scientifiques et industrielles 869. Hermann, Paris 1940.

Remerciements. Les auteurs aimeraient remercier G. von Büren-von Moos, M. König, D. Nadler, H. Völkle et la famille Plancherel pour leur soutien.

Zur Geschichte des Mathematischen Instituts der Universität Freiburg (Schweiz) Heinrich Kleisli Die hier gemachten Ausführungen basieren auf Notizen und Kommentaren zur Geschichte des Mathematischen Instituts, die der Autor 1988 auf Grund von Archivquellen zusammengestellt hat, um zuhanden der Erziehungsdirektion einige Dinge richtig zu stellen. Vor 1966 befanden sich zwei ordentliche Professoren und ein Lehrbeauftragter am Institut. 1988 waren es schon sechs ordentliche Professoren, drei Assistenzprofessoren und mehrere Lehrbeauftragte. Dies war eine ansehnliche Entwicklung, aber keinesfalls, wie unrichtigerweise oft behauptet wurde, ein exponentieller (lies unzulässiger) Verlauf der Entwicklung. Auf die Gründe dieser Entwicklung brauchen wir heute nicht mehr einzugehen, so dass der Autor es vorzieht die historischen Tatsachen ein wenig zurückzustellen. Dies zugunsten einiger anekdotischer Hinweise, welche dem Leser wohl mehr Vergnügen bereiten werden als Archivauszüge. Eine erste Anekdote sei hier erwähnt. Als 1966 sich der damalige Freiburger Erziehungsdirektor an einen bedeutenden Mathematikprofessor einer altehrwürdigen Schweizer Universität mit der Frage wandte: «Wie viele Lehrstühle braucht es, um die Mathematik an einer Universität zu etablieren?», so lautete die Antwort: «Mindestens einen.» Eine echte Mathematikerantwort. Durchaus richtig, aber unbrauchbar. Übrigens wird diese Anekdote auch über andere Politiker erzählt. Die Universität Freiburg im Üechtland, wie sie zur Unterscheidung von der Universität Freiburg im Breisgau oft genannt wird, wurde im Dezember 1886 als Universität der Schweizer Katholiken gegründet. Um diese Zugehörigkeit aufrecht zu erhalten, wurden die mit der Berufung von Professoren beauftragten Behörden und Kommissionen angehalten, die Berufung katholischer Kandidaten zu favorisieren. Die Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät wurde erst im Mai 1895 durch einen Erlass des Freiburger Grossen Rats gegründet. Mit der Lehre und Forschung waren elf Professoren beauftragt, davon sechs französischer und fünf deutscher Sprache. Jeder Dozent unterrichtete in seiner Sprache. Für die Mathematik waren von Anfang an zwei Lehrstühle vorgesehen. Kowalski, der den Auftrag hatte, die Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät zu organisieren, unterbreitete der Erziehungsdirektion die Kandidatur zweier 26-jähriger Mathematiker, eines Österreichers aus Böhmen und eines Holländers.

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Der Lehrstuhl für reine Mathematik wurde mit Mathias Lerch besetzt. Lerch war Privatdozent an der Böhmischen Technischen Hochschule in Prag und Mitglied der k. k. Akademie der Wissenschaften. Er hatte sich bereits einen Namen durch zahlreiche Arbeiten in Funktionentheorie und Zahlentheorie gemacht und wurde an Kowalski durch Weierstrass, der zu den grossen Mathematikern des 19. Jahrhunderts zählt, empfohlen. Inhaber des Lehrstuhls für angewandte Mathematik wurde Matthieu Franz Daniëls. Daniëls war Privatdozent an der Universität Amsterdam und Professor am Gymnasium von Rolduc (Holland). Ausser einem Lehrbuch über Elektrizität und Magnetismus waren seine Arbeiten nicht sehr zahlreich. Ausschlaggebend für Kowalski war ein anderer Vorzug, welchen er mit folgenden Worten an die Unterrichtsdirektion weiterleitete: «M. Daniëls est en rapport suivis avec tous les cercles catholiques de Hollande, il pourrait donc rendre un grand service à l’Université en la faisant connaître dans sa patrie.» Zurück zu Lerch. Dieser hatte zwar l896 den Ruf nach Freiburg angenommen, aber seine Unzufriedenheit mit den Arbeitsbedingungen stieg von Jahr zu Jahr. Er beklagte sich in einem Brief an die Unterrichtsdirektion mit folgenden Worten über die fehlende Unterstützung der Mathematik in Freiburg: «C’est là un signe de la décadence de notre époche animée d’un muséisme aveugle où l’on pense que rassembler c’est pénétrer.» Schliesslich nahm Lerch im Herbst 1906 einen Ruf an die Technische Hochschule Brünn (Mähren) an. Im Jahre l920 wurde er als Professor für Mathematik an die neu gegründete Masaryk Universität in Brünn (heute Brno) ernannt. Dem Rücktritt Lerchs folgte eine längere Vakanz seines Lehrstuhls, während Daniëls zusammen mit Kollegen aus der Physik das Vorlesungspensum von Lerch übernahm. Die fünf Jahre dauernde Vakanz war nicht nur durch Rekrutierungsschwierigkeiten bedingt, sondern auch durch den bereits 1907 ausgesprochenen Wunsch der kantonalen Behörden, den Lehrstuhl durch einen Freiburger Mathematiker besetzt zu sehen. So schrieb die Erziehungsdirektion einem Kandidaten: «Le poste restera vacant dans l’attente d’un de nos jeunes concitoyens qui achève des études spéciales de mathématiques.» Der junge Freiburger war Michel Plancherel, ein begabter Schüler Lerchs, der seine Freiburger Studien nach dem Doktorat an den Universitäten Paris und Göttingen fortsetzte und 1911 an der Universität Genf habilitiert wurde. Er wurde in demselben Jahr auf den vakanten Lehrstuhl in Freiburg berufen. Schon 1913 erhielt er einen zweiten Ruf an die Universität Lausanne, den er ablehnte. Ebenso lehnte er 1919 eine weiteren Ruf an die Universität Bern ab, teilte jedoch am Jahresende der Erziehungsdirektion mit, dass er eine Professur an der ETH Zürich angenommen habe. Besorgt um die Nachwuchssituation in Freiburg verliess er die Universität erst im Jahre 1921.

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Plancherel war einer der grossen Schweizer Mathematiker des 20. Jahrhunderts. Mit seiner wegweisenden Arbeit «Contribution à la représentation d’une fonction arbitraire par des intégrales définies» gilt er als einer der Begründer der harmonischen Analysis. Plancherel hat sich ebenso um die Förderung der mathematische Wissenschaften in der Schweiz verdient gemacht, so als Mitbegründer der Schweizerischen Mathematischen Gesellschaft und der Zeitschrift Commentarii Mathematici Helvetici. Der Tod von Daniëls im Jahre 1918 zog eine neue und unerwartete Vakanz seines Lehrstuhl nach sich. Durch die Verlängerung des Mandats von Plancherel, die Mitarbeit der Physiker und die eben erfolgte Habilitation des jungen Freiburger Mathematiker Severin Bays konnte das bisherige Vorlesungsangebot in Mathematik aufrecht erhalten werden. Wiederum wurde die Ernennung eines Nachfolgers hinausgezogen bis ein Freiburger Kandidat, diesmal der junge Bays, die Bedingungen für eine Berufung erfüllte. Severin Bays war ein Schüler von Daniëls. Nach seinem Doktorat unterrichtete er einige Jahre am Collège St-Michel in Freiburg und unterbreitete 1919 sein Habilitationsgesuch der Fakultät. Auf Antrag Plancherels erhielt er die Venia legendi. Anschliessend wurde er zur Fortsetzung seiner Studien in Göttingen und Paris beurlaubt. Im Jahre 1925 erfolgt seine Ernennung zum ausserordentlichen Professor für Mathematik. Bays hat sich einen Namen gemacht, indem er ein Gegenbeispiel zu einer Vermutung über «Steiner Tripel» des bedeutenden englischen Mathematikers Cayley fand. Dies war der Anfang einer lebenslangen Beschäftigung mit Problemen der Kombinatorik und der Zahlentheorie. Auf den zweiten vakanten Lehrstuhl wurde 1922 J. G. van der Corput berufen, ein holländischer Mathematiker und Studienkollege von Bays in Göttingen. Aber schon nach einem Jahr folgte van der Corput einem Ruf an die Universität Groningen (Holland). Damit ergibt sich eine zweite fünfjährige Vakanz des zweiten Lehrstuhls, der erst im Jahre 1928 von Anton Huber wieder besetzt wurde. Huber war Privatdozent an der Hochschule für Bodenkultur in Wien und seine Forschungsinteressen bewegten sich hauptsächlich im Bereich der Mathematischen Physik. Deshalb wurde sein Lehrstuhl in Lehrstuhl für Mathematik und Mathematische Physik umbenannt. Im März des Jahres 1938 – nach dem Anschluss Österreichs an Deutschland – gab Huber seinen Rücktritt bekannt, um nach Wien zurückzukehren. Nach dem Weggang von Anton Huber beginnt ein Zeitabschnitt, in dem die Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät bei sehr beschränkten finanziellen und personellen Möglichkeiten leben musste. Die Arbeitsbedingungen der Mathematikprofessoren waren unbefriedigend und das Vorlesungsangebot in Mathematik eingeschränkt. Die Universität war in Gefahr, auf alle Fälle war das so für die Mathematik, zu einem akademischen Sprungbrett zu werden.

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Severin Bays sicherte zwar die Kontinuität des ersten Lehrstuhls bis zu seiner Emeritierung im Jahre 1956, der zweite Lehrstuhl hatte aber zwischen 1939 und 1965 drei verschiedene Inhaber und eine sechsjährige Vakanz. Im Jahre 1939 übernahm Albert Pfluger, Privatdozent an der ETH Zürich, die Nachfolge von Anton Huber. Er wurde aber schon 1943 an die ETH zurückberufen. Pfluger wurde ersetzt durch Walter Nef, Privatdozent an der Universität Zürich, der jedoch 1949 eine Professur an der Universität Bern annahm. Zwischen 1949 und 1955 wurde die Vakanz des zweiten Lehrstuhls dadurch überbrückt, dass ein Teil der Vorlesungen von Gastprofessoren übernommen wurde. Einer der Gastprofessoren war Beno Eckmann, Professor an der ETH Zürich und seit 1960 Doktor honoris causa der Freiburger Matematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät. Im Jahre 1954 erfolgte die Berufung von Kurt Strebel, Privatdozent an der Universität Zürich, der aber wegen eines Forschungsaufenthalts in Princeton und Stanford die Stelle erst 1955 antrat. Die Nachfolge von Bays wird 1957 von Alfred Frölicher, einem Schüler von Eckmann und damals Gast am «Institut for Advanced Studies» in Princeton übernommen. Die beiden Mathematiklehrstühle waren damit wieder besetzt und zwar von zwei Professoren mit Arbeitsgebiet ausserhalb der angewandten Mathematik, Strebel in komplexer Funktionentheorie und Fröhlicher in komplexen Mannigfaltigkeiten. Die Fakultät übernahm deshalb ein altes Anliegen von Plancherel und beschloss neben den beiden Lehrstühlen für reine Mathematik einen dritten Lehrstuhl für angewandte Mathematik zu schaffen, wobei der Begriff «angewandte Mathematik» jetzt in einem weiteren Sinn und nicht mehr nur als mathematische Physik zu verstehen war. Die Weiterleitung des Beschlusses an die Behörden zeigt allerdings keine konkrete Folgen. Es sei denn 1963 den Rücktritt von Strebel, der einen Ruf an die Universität Zürich annahm, und 1965 den Rücktritt von Frölicher, der an die Universität Genf berufen wurde. Im Jahre 1965 waren beide Mathematiklehrstühle verwaist und der Vorlesungsbetrieb konnte nur dank des Einsatzes auswärtiger Lehrbeauftragter aufrecht erhalten werden. Daraufhin ergab sich eine grundlegende Änderung der Freiburger Universitätspolitik. Mit dem Beschluss der Eidgenössischen Räte, den Ausbau der kantonalen Hochschulen mit Bundesgeldern zu fördern, zeichnete sich eine Verbesserung der finanziellen Situation an der Universität ab. Die Fakultät unternahm Schritte, einen Plan zu Konsolidierung der Stellen an Ihren Instituten auszuarbeiten. In diesem Plan waren für das Mathematische Institut nicht nur die bisher gewünschten drei Lehrstühle, sondern insgesamt fünf Planstellen für Mathematikprofessoren vorgesehen. Dies war der Beginn einer Entwicklung der Mathematik in Freiburg, welche diese auf den Stand der andern Schweizerischen Universitäten brachte.

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Durch die im akademischen Jahr 1965/66 erfolgte Berufung von drei neuen Professoren, Harald Holmann, Josef Schmid und Heinrich Kleisli, sind die drei «klassischen» Bereiche der Mathematik, nämlich Algebra, Analysis und Geometrie, vertreten. Holmann war Privatdozent an der Universität Münster (Westfalen) und arbeitete auf dem Gebiet der komplexen Anaysis. Schmid war Universitätsdozent an der Universität Innsbruck und Kleisli Associate Professor an der Universität Ottawa (Kanada). Ihre gemeinsamen Forschungsinteressen betrafen die Gebiete der algebraischen Topologie und der homologischen Algebra. Es fehlten aber immer noch die «angewandten» Mathematiker, insbesonders in den immer wichtiger werdenden Bereichen der numerischen Mathematik und der mathematischen Statistik. Die im Konsolidierungsplan der Fakultät vorgesehenen weiteren Stellen, nämlich die eines Ordinarius und eines Assistenzprofessors bzw. Extraordinarius wurden in folgender Reihenfolge ausgeschrieben. Erstens eine Professur in numerischer Mathematik und zweitens eine Professur in mathematischer Statistik. Bis zur Besetzung dieser Stellen wurde der Unterricht in «angewandter» Mathematik durch Gastprofessoren und Lehrbeauftragte ermöglicht. Im Jahre 1971 wurde Jean-Jaques Goël, Lecturer an der Universität Ottawa (Kanada), als Assistenzprofessor für numerische Mathematik ernannt. Neben seiner Lehre und Forschung in numerischer Analysis baute Goël das Rechenzentrum der Fakultät aus und betreute die Grundausbildung in Informatik. Er starb am 14. Mai 1978 eines tragischen Todes. Sein Nachfolger war Hermann Brunner, Associate Professor an der Universität Halifax (Kanada), der die numerische Mathematik bis zu seiner Demission im Jahre 1986 vertrat. Er verliess Freiburg, um eine Professur an der Memorial University in Newfoundland (Kanada) anzunehmen. Die Mathematiker hatten sich dafür eingesetzt, gleichzeitig mit der Schaffung eines Extraordinariats in Informatik die Assistenzprofessur in numerischer Mathematik zu einem Extraordinariat aufzuwerten. Zwar ist inzwischen ein Lehrstuhl für numerische Mathematik geschaffen worden, doch kam diese Massnahme zu spät, um Brunner an der Universität Freiburg zu halten. Anfangs 1988 wurde Jean-Paul Berrut, Assistant Professor an der University of California at San Diego, auf den Lehrstuhl für numerische Mathematik berufen. Die mathematische Statistik erhielt ihren ersten Freiburger Lehrstuhl in der Person von Peter Thullen. Thullen war Titularprofessor an der Universität Zürich. Vorher war er als Chef-Mathematiker am Internationalen Arbeitsamt in Genf und als Professor an der Universität Quito (Ecuador) tätig. Sein ursprüngliches Arbeitsgebiet war die komplexe Analysis, wo er sich schon als junger Mathematiker ein internationales Ansehen geschaffen

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H. Kleisli

hatte. Nach seiner freiwilligen Emigration aus Deutschland in den Jahren vor dem zweiten Weltkrieg wechselte er in das Gebiet der Statistik und der Sozialversicherung. Er vertrat die mathematische Statistik in Freiburg von 1972 bis zu seiner Emeritierung im Jahre 1976. Folgendes ist erwähnenswert. Schon im Jahre 1934 hatte sich Plancherel, zu jener Zeit Rektor der ETH Zürich, für den jungen Peter Thullen eingesetzt. Er schrieb folgende Zeilen an den vorerst nach Italien emigrierten Thullen: «Je me suis informé à Fribourg sur la possibilité de vous y trouver à brève échéance une place même modeste. Je savais qu’un professeur de mathématiques, Autrichien d’origine, souhaitait retourner en Autriche,… Mais malheureusement, les renseignements que j’ai obtenu ont détruit l’espoir que j’avais. Le professeur en question semble avoir changé d’idée.» Er schloss diese Mitteilung mit den Worten: «Il ne fait pas de doute pour moi que s’il y avait à Fribourg une place vacante, vous l’obtiendriez.» Die Nachfolge von Thullen wurde im Jahr 1977 von André Antille übernommen. Antille war ausserordentlicher Professor an der Universität Göttingen und arbeitete auf dem Gebiet der nicht-parametrischen Statistik. Er verfügte seit seiner Ernennung über einen Oberassistenten mit Lehrauftrag. Dieser Lehrauftrag wurde seit 1978 von Jean-Pierre Gabriel wahrgenommen, dessen Arbeitsgebiet «Stochastik und Biomathematik» die mathematische Statistik wertvoll ergänzte. Im Jahre 1988 wurde Gabriel zum assoziierten Professor befördert. Dazu ist zu bemerken, dass der Name «assozierter Professor», eine unglückliche Übersetzung aus dem Französischen «professeur associé», die Bezeichnung «Assistenzprofessor» ersetzen sollte, aber eine vom Lehrstuhlinhaber wesentlich unabhängigere Stellung wurde. Am 21. Juni 1968 wurde von der Fakultät die Einführung eines Diploms in Mathematik beschlossen und erstaunlicherweise schon am 28. März 1969 durch den Staatsrat genehmigt. Bis zu dieser Zeit konnten die Studierenden nur ein Diplom in Mathematik und Physik mit den Fächern Mathematik, Experimentalphysik und Theoretische Physik oder ein Lizentiat mit vier gleichwertigen Fächern der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät erlangen. Mit dem neuen Diplom wurde es den Studentinnen und Studenten ermöglicht, ein Mathematikstudium in Freiburg zu absolvieren, welche den Studien an den anderen Schweizerischen Hochschulen gleichwertig war. Wählbare Nebenfächer waren Experimentalphysik und Theoretische Physik. Ab 1973 wurden weitere Nebenfächer zugelassen: Chemie und Wirtschaftswissenschaften. Das Nebenfach Wirtschaftswissenschaften, sorgfältig eingeplant in ein Mathematikstudium, war damals innerhalb der Schweiz eine Pionierleistung und hat Freiburg während mehrerer Jahre eine grosse Zahl von Studienanfängern gebracht.

Geschichte des Mathematischen Instituts der Universität Freiburg (Schweiz) 349

Im Jahre 1970 wurde die Konvention «Troisième Cycle Romand en Mathématiques» eingeführt. Diese Konvention zwischen den Universitäten Freiburg, Genf, Lausanne, Neuchâtel und der ETH Lausanne (später kam die Universität Bern dazu) ermöglichte das Angebot von gemeinsamen Nachdiplomvorlesungen und Forschungsseminarien für die Mathematikstudenten und Assistenten der Westschweiz. Damit stellte sich dem Mathematischen Institut eine zusätzliche Aufgabe, nämlich den Studierenden eine angemessene Vorbereitung auf den «Troisième Cycle» anzubieten. In dieser Situation war es unumgänglich, Lehraufträge an Mitarbeiter des Mathematischen Instituts zu vergeben, unter andern an Burchard Kaup und Hansklaus Rummler. Inzwischen sind beide zu assoziierten Professoren befördert worden, Kaup im Jahr 1974 und Rummler im Jahr 1980. Im Zusammenhang mit dem Ausbau der Lehrerausbildung an der Universität Freiburg wurde die Mathematik zum obligatorischen Prüfungsfach für die Lehramtskandidaten mathematisch-naturwissenschaftlicher Richtung der Sekundarschulstufe 1. Zudem beschloss die Fakultät eine schon längst gewünschte Abtrennung der Grundausbildung in Mathematik für Lehramtskandidaten. Die dadurch entstehende zusätzliche Vorlesungsbelastung für das Institut war der Anlass der Umwandlung des bestehenden Lehrauftrags «Mathematik für Lehramtskandidaten» in eine volle Professur. Dies erlaubte 1984 die Ernennung von Robert Ineichen zum Professor für Mathematik, insbesondere Mathematik für Sekundar- und Gymnasiallehrer. Ineichen war Professor und Vizerektor am Zentralschweizerischen Technikum in Luzern und hatte den erwähnten Lehrauftrag seit 1961 inne. Er war Verfasser einer Reihe von Lehrbüchern für den Mathematikunterricht an den Schulen sowie zahlreicher Arbeiten, welche ihm ein internationales Ansehen verschafft hatten. Nach seiner Emeritierung im Jahre 1990 übernahm Ralph Strebel seine Nachfolge. Strebel, der zweite mit diesem Namen in der Reihe der Professoren am Institut (der erste war Kurt Strebel, der 1955–1963 in Freiburg tätig war) ist damals einer der wenigen aktiven Mathematiker gewesen, die sowohl Lehrerfahrung an der Mittelschule hatten als auch die Venia legendi an einer Hochschule. Nach der Emeritierung von Josef Schmid im Jahre l990 wurde die frei werdende Stelle durch Ernst Ruh besetzt. Ruh war ein rückkehrwilliger Schweizer Mathematiker, der damals an der Ohio State University lehrte. Er war ein bedeutender Differentialgeometer und war schon vorher an europäischen Universitäten tätig gewesen, unter anderem als ordentlicher Professor an der Universität Basel. Er kehrt aber immer nach kurzer Zeit wieder nach Amerika zurück. Diesmal war es ihm aber Ernst, sesshaft zu werden, wozu seine Ehefrau Esther wohl wesentlich beigetragen hat. Nun glaubt der Autor am Ende seiner Ausführungen angelangt zu sein. Dies aus zwei Gründen. Erstens hat er gelernt, dass historische Betrach-

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H. Kleisli

tungen, die zu nahe der Gegenwart sind, leicht zu soziologischen Betrachtungen oder zu Systemkritik werden. Zweitens hat inzwischen das Mathematische Institut nominell aufgehört zu existieren. Das Institut für reine und angewandte Mathematik wurde von den vorgesetzten Behörden aus juristischen Gründen und mit wenig sprachlichem Feingefühl in Mathematik Departement umbenannt; der autoritäre Name Institutsdirektor wurde zum demokratischen Departementspräsidenten.

Martin Eichler – Leben und Werk1 Jürg Kramer2

Leben Martin Eichler wurde am 29. März 1912 als Sohn des Pastors Max Eichler und seiner Frau Katharina, geb. Pirwitz, in Pinnow (Krs. Greifswald, Pommern) geboren. Seinen ersten Schulunterricht erhielt er von seinen Eltern; in Ermangelung einer geeigneten Schule in der näheren Umgebung seines Heimatortes schickten ihn seine Eltern danach in ein Internat in Westfalen. Durch die strenge Internatserziehung wurde seine bis ins hohe Alter anhaltende Arbeitsdisziplin geprägt. Nach dem Abitur studierte er während dreier Semester Mathematik und Physik in Königsberg. Es war damals sein Ziel, Physiker zu werden; dazu hatten ihn wohl die bahnbrechenden Entdeckungen in der Relativitätstheorie und der Quantenmechanik bewogen. Während des darauffolgenden einjährigen Aufenthalts in Zürich begann er sich zunehmend für die reine Mathematik zu interessieren. Entscheidend dafür war die Bekanntschaft mit Andreas Speiser, der seit 1917 als ordentlicher Professor an der Universität Zürich wirkte. Dem Rate Speisers folgend, setzte Eichler nach seiner Rückkehr nach Deutschland im Jahr 1932 seine Studien in Mathematik unter der Leitung von Heinrich Brandt in Halle fort. Durch seinen Lehrer wurde er mit der Zahlentheorie der Quaternionenalgebren bekannt. Auf diesem Gebiet promovierte Martin Eichler im Jahr 1935 mit der Arbeit [1]. Sein Verhältnis zu seinem Lehrer war ambivalent: Zum einen verpflichtete er sich wie dieser konsequent dem Prinzip, einen mathematischen Gedanken solange reifen zu lassen, bis dieser vollständig durchdrungen ist. Andererseits erkannte er Brandts ablehnende Haltung gegenüber modernen Begriffsbildungen (siehe dazu [36]), eine Eigenschaft, die ihm zeitlebens fremd blieb. Wegen ernsthafter Schwierigkeiten mit den lokalen Nazi-Behörden verlor Eichler seine Anstellung in Halle. Dennoch gelang es ihm, bei Helmut Hasse in Göttingen Assistent zu werden; dort habilitierte er sich im Jahr 1938 mit der Arbeit [7]. In den nun folgenden Kriegsjahren blieb Eichler zwar vom Einsatz mit der Waffe verschont; stattdessen wurde er an die 1 Der vorliegende Beitrag ist eine überarbeitete und erweiterte Fassung der Veröffentlichung «Leben und Werk von Martin Eichler», die in Elem. Math. 49 (1994), 45–60, erschien. 2 Der Autor promovierte als Schüler von M. Eichler im Jahr 1985.

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J. Kramer

Heeresversuchsanstalt in Peenemünde verpflichtet, wo er an der Entwicklung der V-2-Raketen mitzuwirken hatte. Aus diesem Grunde beschäftigte er sich in dieser Zeit mit der Lösung gewisser partieller Differentialgleichungen vom elliptischen Typ. Nach einer Verlegung auf die Insel Usedom lernte Martin Eichler seine zukünftige Frau, Erika Paffen, kennen, die dort ebenfalls einen Kriegsdienst versah. Nachdem sich die beiden kriegsbedingt aber schon bald aus den Augen verloren hatten, fanden sie sich nach Kriegsende auf abenteuerliche Weise wieder und heirateten im Januar 1947. Aus Angst vor russischen Deportationen deutscher Wissenschaftler musste Eichler seine in Göttingen wiederaufgenommene Dozententätigkeit aufgeben und mit seiner Frau nach England fliehen. Dort beschäftigte er sich mit Problemen der Aerodynamik. Im Jahre 1949, nach einem zweijährigen England-Aufenthalt, kehrte die Familie mit ihrem inzwischen geborenen Sohn Ralph – ihm folgte ein Jahr später der zweite Sohn Norbert – nach Deutschland zurück. Zunächst wirkte Martin Eichler als Dozent am Mathematischen Institut der Universität Münster, wo er endlich die Gelegenheit fand, seine grundlegenden Beiträge zur arithmetischen Theorie der quadratischen Formen systematisch zusammenzutragen und in dem Buch Quadratische Formen und orthogonale Gruppen, welches im Jahr 1952 erschien und 1974 ein zweites Mal aufgelegt wurde, festzuhalten. Ab 1954 wandte sich sein Interesse zunehmend der Theorie der elliptischen Modulformen zu. In dieser Periode fand er einen Beweis der Ramanujan-Petersson-Vermutung für das Gewicht k = 2. Die erfolgreiche Tätigkeit dieser Jahre führte 1956 zur Berufung an die Universität Marburg. Im Jahr 1958 folgte er einem Ruf an die Universität Basel. Dort setzte er seine Untersuchungen zur Theorie der Modulformen fort und verfasste sein zweites Buch Einführung in die Theorie der algebraischen Zahlen und Funktionen, welches im Jahr 1963 erschien. Im weiteren Verlauf der sechziger Jahre begann er sich zunehmend für den Riemann-Rochschen Satz zu interessieren. Die nach seinem eigenen Urteil letztlich nicht befriedigenden Ergebnisse zu diesem Thema finden sich im Springer Lecture Notes Band Projective varieties and modular forms zusammengefasst. In den siebziger Jahren wandte sich Eichler wieder der Theorie der elliptischen und Siegelschen Modulformen zu. Ein Teil dieser Arbeiten bereitete ihn auf das erst nach seiner Emeritierung im Jahr 1980 gemeinsam mit D. Zagier durchgeführte systematische Studium der Jacobiformen vor, welches seinen Niederschlag in der 1985 veröffentlichten Monographie The theory of Jacobi forms fand. In den folgenden Jahren musste er wegen gesundheitlicher Probleme seine mathematische Forschungstätigkeit zunehmend einschränken. Dennoch gelangen ihm neue Entdeckungen, wie z.B. in sei-

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Martin Eichler – Leben und Werk

ner letzten, gemeinsam mit J. Brzezinski publizierten Arbeit [89], in der ein auf C. F. Gauß zurückgehendes Resultat verallgemeinert wurde. Ab 1990 begann sich sein Gesundheitszustand leider noch stärker zu verschlechtern. Nach langem Leiden verstarb Martin Eichler am 7. Oktober 1992 in seinem nun zur Heimat gewordenen Arlesheim bei Basel. Martin Eichlers Leben war geprägt durch einen hohen Selbstanspruch und ein hohes Arbeitsethos. Er genoss deshalb grosse Anerkennung in Fachkreisen. Dies zeigte sich in der Ernennung zum Beiratsmitglied der Zeitschrift Acta Arithmetica und zum korrespondierenden Mitglied der Akademie der Wissenschaften in Göttingen sowie der Verleihung der Ehrendoktorwürde durch die Universität Münster. Als Lehrer begeisterte Martin Eichler seine Schüler im Gespräch mit Anmerkungen, welche seinen mathematischen Weitblick immer wieder erkennen liessen. Dazu kam seine verantwortungsbewusste Betreuung seiner Doktoranden, in der sich neben seiner fachlichen Kompetenz auch seine menschliche Grösse zeigte.

1. Mathematisches Werk 1.1. Arithmetik der Algebren. In seiner Dissertation [1] gelang es Eichler, die Brandtsche Kompositionstheorie quaternärer quadratischer Formen (s. [Br25]) auf nicht-maximale Ideale in rationalen Quaternionenalgebren zu übertragen, indem er diejenigen nicht-maximalen Ideale charakterisierte, welche invertierbar sind. Als zweites konnte er die maximalen Ordnungen aufzählen, welche eine gegebene nicht-maximale Ordnung umfassen. Als nächstes beschäftigte sich Eichler mit der Idealklassenzahl zentral einfacher Algebren A vom Grad n über einem Zahlkörper k. Bezeichnet m das Produkt der unendlichen Primstellen von k, an welchen A verzweigt ist, so findet sich in [3] der Satz: Ist n > 2 oder ist A nicht an allen unendlichen Stellen von k verzweigt, so ist die Idealklassenzahl von A gleich der Strahlklassenzahl mod m von k. Dies verallgemeinert das Resultat [Me91] von A. Meyer, dass indefinite ternäre quadratische Formen über Q unter gewissen Voraussetzungen Klassenzahl Eins besitzen. Ein neuer Beweis dieses fundamentalen Satzes wird in [5] gegeben. Eine weitere Verallgemeinerung dieser Ergebnisse findet sich in [7]. Damit blieb einzig die Idealklassenzahl total-definiter Quaternionenalgebren über total-reellen Zahlkörpern k offen. Diese bestimmte Eichler in [4]. Für k = Q und eine über der Primzahl q und im Unendlichen verzweigten Quaternionenalgebra Dq /Q ergibt sich die Klassenzahl hq zu hq =





q−1 1 −1 1− + 12 4 q



+





1 −3 1− 3 q



.

(1)

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J. Kramer

Danach versuchte Eichler Dirichlets Einheitentheorie auf Hauptordnungen in normalen einfachen Divisionsalgebren zu übertragen. Hier war ihm nur ein Teilerfolg beschieden. Ein schönes Resultat in diesem Zusammenhang ist die Beschreibung der Einheitengruppe einer nullteilerfreien, indefiniten Quaternionenalgebra über Q durch Erzeugende und Relationen. Dazu beachte man die Arbeiten [2], [9]. Einen ausgezeichneten Überblick über Eichlers Beiträge zur Zahlentheorie der Algebren vor dem Zweiten Weltkrieg erhält man durch seinen Vortrag [6] anlässlich der Jahrestagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1.2. Quadratische Formen. Mit den beiden Noten [15] und [18] begann Eichler seine systematischen Studien zur Theorie der quadratischen Formen. Es war sein Anliegen, die bekannte Arithmetik der Quaternionenalgebren zu einer arithmetischen Theorie quadratischer Formen beliebiger Reihenzahl zu erweitern. Dies vollbrachte er in den Arbeiten [21], [26], [27], [30], welche er in seinem Buch [31] über quadratische Formen und orthogonale Gruppen zusammenfasste; in diesen Zusammenhang gehören auch die Arbeiten [28], [29]. Entscheidend für den Erfolg der Brandtschen Untersuchungen im Bereich der quaternären quadratischen Formen ist die Tatsache, dass einer Quaternionenalgebra sowohl eine additive als auch eine multiplikative Struktur zugrunde liegen. Bei der Untersuchung beliebiger quadratischer Formen hingegen hat man zwischen einem linearen metrischen Raum V über einem Zahlkörper k (versehen mit einem nicht-ausgearteten Skalarprodukt  · , · ) einerseits, und der Gruppe GSO(V ) der eigentlichen Ähnlichkeitstransformationen von V andererseits, zu unterscheiden.   Zunächst untersucht Eichler nun das Gruppenpaar V , GSO(V ) näher: Es stellt sich heraus, dass der metrische Raum V durch den sogenannten Raumtyp charakterisiert wird. Die Raumtypen ihrerseits lassen sich eindeutig kennzeichnen durch die Parität ihrer Dimension, die Diskriminante, die Signatur an allen archimedischen Stellen und die sogenannten Charaktere an allen endlichen Primstellen von k. Die Gesamtheit der Raumtypen bildet die Wittsche Gruppe. Für die Gruppe GSO(V ), genauer für die spezielle orthogonale Gruppe SO(V ) von V , besteht andererseits die folgende Charakterisierung: Stellen wir g ∈ SO(V ) als ein Produkt von 2m Spiegelungen an den zu den Vektoren v1 , . . . , v2m ∈ V senkrechten Hyperebenen dar, so erhält man durch die Zuordnung g  v1 , v1  · . . . · v2m , v2m  mod k×2 einen Homomorphismus ν : SO(V ) → k× /k×2 ,

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Martin Eichler – Leben und Werk

welchen Eichler als Spinor-Norm bezeichnet; diese Norm wurde bereits von R. Lipschitz eingeführt (s. [Li86], S. 76). Ist V isotrop, dimk V ≥ 5 und −1 ∉ ker(ν), so zeigt sich beispielsweise, dass der Kern ker(ν) von ν eine einfache Gruppe ist. Wir kommen nun zur Darstellung von Eichlers Beiträgen zur Zahlentheorie der quadratischen Formen. Dazu betrachten wir projektive o-Moduln J ⊂ V von maximalem Rang, auch Gitter genannt; hierbei ist o die Hauptordnung von k. Ist p ein Primideal von o, so bezeichnet im Folgenden op die Vervollständigung von o an der Stelle p mit dem Quotientenkörper kp ; weiter setzen wir Vp := V ⊗k kp , Jp := J ⊗o op . Zwei Gitter J, K heissen ähnlich, falls g ∈ GSO(V ) mit K = gJ existiert. Für das Folgende halten wir das Gitter J fest und setzen Kp := {g ∈ GSO(Vp ) | g Jp = Jp },  Kp . KJ := p endl.

Der Idealkomplex von J ist nun gegeben durch den Nebenklassenraum   GSO(Vp ) KJ , p endl.

wobei der Strich andeutet, dass das Produkt im restringierten Sinne zu verstehen ist. Dieser zerfällt in Ähnlichkeitsklassen, gegeben durch den Doppelnebenklassenraum   GSO(Vp ) KJ , G := GSO(V ) p endl.

und es zeigt sich, dass G die Struktur eines Gruppoids trägt. Gröber als die Einteilung des Idealkomplexes in Ähnlichkeitsklassen ist die Einteilung in Geschlechter und Spinor-Geschlechter. Zur Beschreibung des Hauptresultats, bei welchem sich die multiplikative Struktur von GSO(V ) in der additiven Struktur von V widerspiegelt, legen wir ein vollständiges Repräsentantensystem der Ähnlichkeitsklassen J1 , . . . , Jh des vorgegebenen Idealkomplexes zugrunde und definieren die Anzahlmatrix P (n) zu einem ganzen Ideal n von k durch   P (n) := pj,k (n) 1≤j,k≤h , wobei pj,k (n) gleich der Anzahl der Untergitter K ⊂ Jk der Norm n(K) = n n(Jk ) mit vorgeschriebenem Elementarteilersystem ist, welche zum Gitter Jj ähnlich sind. Für teilerfremde ganze Ideale m und n notieren wir die

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Vertauschungsregel P (m) · P (n) = P (m · n) = P (n) · P (m). Schliesslich teilen wir die Vektoren v ∈ Jj (j = 1, . . . , h) in endlich viele Klassen Cl (l = 1, 2, . . .) ein, deren Elemente jeweils in gleichvielen Untergittern (von fester Norm und festem Elementarteilersystem) liegen, und setzen noch ej := |Gj |,

wobei Gj = {g ∈ GSO(V ) | g Jj = Jj },

ej (v) := |Gj (v)|,

wobei Gj (v) = {g ∈ Gj | gv = v}.

Mit den sogenannten Darstellungsmassen mj (t) :=



ej e (v) (v) j

resp. mj (t, Cl ) :=

 (v)∈Cl

ej , ej (v)

wobei die Summe über ein Repräsentantensystem aller Klassen assoziierter Vektoren aus Jj der Norm t n(Jj ) resp. der entsprechenden Klassen in Cl zu nehmen ist, erhält man die wichtige Formel      ρ(Cl ) · mj (nt, Cl ) (2) mj (t) · P (n) = Cl

mit gewissen Anzahlen ρ(Cl ). Viele der von M. Eichler initiierten Gedanken zum Themenkreis der quadratischen Formen regten M. Kneser zu weiteren Untersuchungen an, so zum Beispiel zu seinen Beiträgen zur starken Approximation in algebraischen Gruppen (s. [Kn66]). 1.3. Modulformen. Eichlers Beiträge zur Theorie der Modulformen einer Variablen sind vielfältig und originell. Er selbst ging sogar soweit zu sagen, dass «Modulformen neben der Addition, Subtraktion, Multiplikation und der Division die fünfte Grundrechenoperation bilden». Um seine Beiträge beschreiben zu können, müssen wir zuerst einige Begriffe zusammenstellen. Dazu fixieren wir eine natürliche Zahl N. Die Kongruenzuntergruppe der Stufe N, !  "  a b  ∈ SL2 (Z)  c ≡ 0 mod N , Γ0 (N) := c d operiert stark diskontinuierlich auf der oberen Halbebene H := {τ ∈ C | Im(τ) > 0}. Der Bahnenraum Γ0 (N)\H lässt sich durch Hinzunahme der sogenannten «Spitzen» zu einer kompakten Riemannschen Fläche Γ0 (N)\H

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Martin Eichler – Leben und Werk

machen. Ist beispielsweise N = q eine Primzahl, so berechnet sich das Geschlecht dieser Riemannschen Fläche zu gq =





q+1 1 −1 1+ − 12 4 q



−





1 −3 1+ 3 q



= hq − 1

(3)

mit der Klassenzahl hq aus (1). Zu geradem k definiert man den Raum  Mk Γ0 (N) der Modulformen vom Gewicht k zu Γ0 (N) als die Menge der holomorphen Funktionen f : H → C, welche der Funktionalgleichung f für alle

a b c d

aτ + b (cτ + d)−k = f (τ) cτ + d

∈ Γ0 (N) genügen und eine Fourierentwicklung der Form f (τ) =

∞ 

an e2π inτ

n=0

besitzen. Gilt a0 = 0, so heisst f Spitzenform; ist zudem a  1 = 1,so nennt man f normiert. Der Raum der Spitzenformen sei durch Sk Γ0 (N) bezeichnet. Modulformen entsprechen holomorphen Differentialformen k/2-ten Grades mit gewissen Polen in den Spitzen. Der Einfachheit halber nehmen wir vorerst an, dass N = q eine ungerade Primzahl ist; wir werden diese Annahme im zweiten Teil des Abschnitts 1.3 wieder fallen lassen. Es zeigt sich dann, dass die kompakte Riemannsche Fläche Γ0 (q)\H ein über Q definiertes Modell, die sogenannte Modulkurve X0 (q), besitzt; X0 (q) ist eine über Q definierte, glatte, projektiv algebraische Kurve mit der Eigenschaft, dass für deren komplexe Punkte die Isomorphie X0 (q)(C)  Γ0 (q)\H besteht. Nach [Ig59] hat X0 (q) einzig an der Stelle q schlechte Reduktion; 0 (q)/Fp von X0 (q) für alle Primzahlen p ≠ q sind somit die Reduktionen X mod p glatte Kurven vom Geschlecht gq . Aufgrund der Tatsache, dass die Modulkurve X0 (q) Isomorphieklassen elliptischer Kurven [E] mit fixierter zyklischer Untergruppe der Ordnung q klassifiziert, erklärt man durch die Zuordnung [E] 



[E/C],

C⊂E |C|=p

wobei die (formale) Summe über alle Untergruppen C ⊂ E der Ordnung p zu nehmen ist, die Hecke-Korrespondenzen tp von X0 (q). Die tp ’s (p ≠ q,

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J. Kramer

Primzahl) erzeugen die Hecke-Algebra T. Die Hecke-Korrespondenzen in duzieren Endomorphismen T (p) von Mk Γ0 (q) , welche durch die Formel 

 f |T (p) (τ) = p k−1 f (pτ) + p −1

 b mod p



f

τ +b p



(4)

gegeben sind. Wir erhalten  damit Darstellungen ρk der Hecke-Algebra T im C-Vektorraum Mk Γ0 (q) . Da T kommutativ ist und die T (p)’s bezüglich des Peterssonschen Skalarprodukts selbstadjungiert sind, gibt es eine Basis   von Mk Γ0 (q) , welche aus simultanen Eigenfunktionen bezüglich T, den Eigenformen, besteht. Wir erläutern nun die uns am wichtigsten erscheinenden Beiträge Eichlers zum Themenkreis der Modulformen. Der Artikel [42] bietet hierzu eine ausgezeichnete Übersicht. A. Kongruenzrelation. Für die nach Reduktion mod p (p ≠ q, Primzahl) 0 (q)/Fp beweist Eichler in [32] die Zerinduzierte Korrespondenz t˜p von X legung (5) t˜p = Fp + Vp , wobei Fp resp. Vp die Frobenius-Korrespondenz resp. die Verschiebung 0 (q)/Fp bedeuten.3 Wegen Fp ◦ Vp = p k−1 id genügt Fp auf der Reduktion X damit einer quadratischen Gleichung über der Hecke-Algebra T. Dieses Resultat wurde von G. Shimura auf Siegelsche Modulformen vom Geschlecht 2 und später von P. Deligne (unveröffentlicht) bzw. G. Faltings (s. [FC90]) auf Siegelsche Modulformen beliebigen Grades verallgemeinert. Indem Eichler die Kongruenzrelation (5) zusammen mit der nach H. Hasse und A. Weil bekannten Abschätzung der Eigenwerte von Fp kombinierte, gelang ihm die Abschätzung  |ap | ≤ 2 p für den p-ten (p ≠ q, Primzahl) Fourierkoeffizienten einer normierten Eigenform f ∈ S2 Γ0 (q) . Dies lieferte den Beweis der Petersson-Vermutung für das Gewicht k = 2; man findet ihn ebenfalls in der Arbeit [32] (s. auch [33]). Weitere Verallgemeinerungen dieser Ergebnisse folgten kurz darauf von G. Shimura (beginnend mit [Sh58]). Der Beweis der Ramanujan-Petersson-Vermutung für beliebige Gewichte k gelang schliesslich P. Deligne in [De71]. 3 Eichler beweist die Zerlegung (5) sogar für beliebige Stufe N, allerdings nur für Primzahlen p, welche nicht einer endlichen (nicht explizit angegebenen) Ausnahmemenge angehören.

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Martin Eichler – Leben und Werk

B. Spurformel. Mit der Formel (3) erhält man   dimC M2 Γ0 (q) = gq + 1 = hq . Dies veranlasste E. Hecke bereits im Jahr 1940 zur Vermutung, dass die Thetareihen zu den quadratischen Formen der Diskriminante   quaternären q2 den Raum M2 Γ0 (q) erzeugen. Den Beweis dieser Vermutung, d.h. die Lösung des sogenannten Basisproblems, erbrachte Eichler in den beiden Arbeiten [34], [35] auf die folgende Weise: Es seien Dq /Q die in Abschnitt 1.1 eingeführte definite Quaternionenalgebra, O1 = O eine Maximalordnung und m1 , . . . , mhq ein Repräsentantensystem aller Idealklassen mit Linksordnung O1 ; die Rechtsordnung von mj sei Oj . Nach Brandt repräsentieren damit mj−1 mk (j, k = 1, . . . , hq ) sämtliche Idealklassen mit Linksordnung Oj und Rechtsordnung Ok in Dq . Mit den Brandtschen Anzahlmatrizen   B(n) := bj,k (n) 1≤j,k≤hq , wobei bj,k (n) die Anzahl der ganzen Ideale der Norm n mit Linksordnung Oj bedeutet, welche rechtsäquivalent zu mj−1 mk sind, erhält man in der Form   ϑ(τ) := ϑj,k (τ) 1≤j,k≤hq ,

ϑj,k (τ) :=

∞ 

bj,k (n) e2π inτ ,

n=0

sämtliche Thetareihen zu quaternären Formen der Diskri quadratischen  minante q2 ; es sind Elemente von M2 Γ0 (q) . Eine Anwendung der Formel (2) in diesem speziellen Fall zeigt, dass die Wirkung des Hecke-Operators T (p) auf ϑ(τ) gegeben ist durch   ϑ|T (p) (τ) = B(p) · ϑ(τ). Bezeichnet  Θ den durch die Thetareihen ϑj,k (τ) erzeugten Unterraum in  M2 Γ0 (q) , so  man neben der durch (4) gegebenen Darstellung ρ2  erhält von T in M2 Γ0 (q) die weitere Darstellung ρΘ von T in Θ, welche durch die Brandtschen Anzahlmatrizen gegeben ist. Die Spuren von ρ2 lassen sich mit Hilfe einer auf A. Hurwitz zurückgehenden Formel (s. [Hu87], Formel (29)), einer frühen Form des Lefschetzschen Fixpunktsatzes, ermitteln. Für die Spuren von ρΘ erhält Eichler die Formel  $ %  2   h (σ − 4p)f −2 1  (σ 2 − 4p)f −2   tr ρΘ T (p) = tr B(p) = 1− 2 σ ,f q w (σ 2 − 4p)f −2 √ √ (−2 p < σ < 2 p, 0 < f , (σ 2 − 4p)f −2 ≡ 0 oder 1 mod 4), wobei h(−d) √ resp. w(−d) die Klassenzahl resp. die Anzahl der Einheiten von Q( −d)

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& ' bedeuten und ·· ein verallgemeinertes Legendresymbol ist. Aufgrund der resultierenden Gleichheit der Spuren     tr ρ2 T (p) = tr ρΘ T (p) ergibt sich schliesslich ein Beweis der Heckeschen Vermutung. Eichlers Spurformel stellt einen Spezialfall der allgemeinen Selbergschen Spurformel (s. [Se56]) dar. Im Rahmen des durch R. P. Langlands initiierten Programms, angefangen mit der Arbeit [JL70], wurden die Ideen von Selberg und Eichler weitgehend verallgemeinert. Die aktuellsten Beiträge zu den mannigfachen Ausprägungen der Spurformel finden sich in den Arbeiten von J. Arthur (für einen ausgezeichneten Überblick hierzu s. [Ar05]). C. Kohomologie. Nach der erfolgreichen Lösung des Basisproblems für das Gewicht k = 2 und Primzahlstufe q ging Eichler nun daran, den Fall geraden Gewichts k > 2 und quadratfreier Stufe N zu untersuchen. Dazu wurden Thetareihen zu quaternären quadratischen Formen der Diskrimivom Grad k − 2 herangezogen; sie sind Elenante N 2 und Kugelfunktionen  mente von Sk Γ0 (N) . Dies führte zu den verallgemeinerten Brandtschen Matrizen, deren Spuren in [39] (s. auch [64]) bestimmt wurden; als Vorbereitung dazu diente die Arbeit [37]. Thetareihen zu definiten quadratischen Formen in 2k Variablen konnten nicht verwendet werden, da die Spuren der entsprechenden Anzahlmatrizen (s. Abschnitt 1.2) nicht berechnet werden konnten. Die Spuren der Darstellung ρk andererseits konnten im wesentlichen unter Verwendung der Arbeit [Se56] von A. Selberg bestimmt werden. Eine neue, algebraische Berechnungsart dieser Spuren gab Eichler in der Arbeit [41] (s. auch [43]) durch Heranziehen kohomologischer Methoden: Einer nicht notwendigerweise holomorphen Modulform f vom Gewicht k zu Γ0 (N) wird das unbestimmte Integral 1 F (τ) := (k − 2)!

τ f (ζ)(τ − ζ)k−2 dζ τ0

zugeordnet. Unterwirft man F einer gebrochen linearen Substitution   a b γ= ∈ Γ0 (N), c d so erhält man die Gleichung

F



aτ + b (cτ + d)k−2 = F (τ) + Ωγ (f ) cτ + d

mit einem von f abhängigen Polynom (k − 2)-ten Grades Ωγ (f ) in τ. Die Zuordnung γ  Ωγ (f ) definiert einen 1-Kozyklus der Gruppe Γ0 (N) mit

361

Martin Eichler – Leben und Werk (k−2)

Werten im C-Vektorraum VC der Polynome vom Grad k − 2. Eichler beweist, dass die Abbildung f  Ωγ (f ) einen Isomorphismus      (k−2)  Sk Γ0 (N) ⊕ Sk Γ0 (N)  HP1 Γ0 (N), VC zwischen holomorphen und antiholomorphen Spitzenformen und der er(k−2) (Definition sten parabolischen Kohomologie von Γ0 (N) mit Werten in VC s. [Sh71]) liefert. Diese kohomologische Interpretation der Spitzenformen erlaubte nun einen algebraischen Zugang zu den Spuren der Darstellung ρk . Wiederum verallgemeinerte G. Shimura diesen Gedanken in kurz darauffolgenden Arbeiten (beginnend mit [Sh59]). Grundlegende weitere Verallgemeinerungen zu diesem Themenkreis finden sich im Rahmen der Arbeiten von A. Borel und G. Harder zur Kohomologie arithmetischer Gruppen. Weitere Beiträge zum besprochenen Themenkreis der Modulformen finden sich in den Arbeiten [54], [63], [65] und [68]–[77]; auf sie soll nicht näher eingegangen werden. Bemerkenswert ist die Note [53], in der die Periodenlänge des Kettenbruchs einer quadratischen Irrationalität abgeschätzt wird. D. Taniyama-Shimura-Vermutung. Eichlers Beitrag in diesem Zusammenhang ist eng mit seiner Entdeckung der Kongruenzrelation (5) verknüpft. Um die in Frage stehende Vermutung genauer beschreiben zu können, erinnern wir zunächst an einige Begriffsbildungen zu elliptischen Kurven. Unter einer über den rationalen Zahlen Q definierten elliptischen Kurve E verstehen wir eine glatte, projektive Kurve, die affin durch die Gleichung E : Y 2 = X 3 + aX + b

(a, b ∈ Z)

(6)

gegeben ist, wobei das kubische Polynom rechter Hand in (6) drei verschiedene Nullstellen besitzt. Die letztere Bedingung ist gleichbedeutend mit der Forderung, dass die Diskriminante ΔE = −4a3 − 27b2 des kubischen Polynoms von Null verschieden ist. Ist p eine ungerade Primzahl mit p  ΔE , so erhalten wir nach Reduktion  welche affin durch die mod p die über Fp definierte elliptische Kurve E, Gleichung E : Y 2 = X 3 + aX + b gegeben ist; hierbei sind a = a mod p ∈ Fp und b = b mod p ∈ Fp . Die Anzahl der Fp -rationalen Punkte von E ist gegeben durch   & ' E(F  p ) =  (x, y) ∈ F2p | y 2 = x 3 + a x + b  + 1.

362

J. Kramer

Die elliptische Kurve E heisst nun modular, falls eine natürliche Zahl N und eine normierte Eigenform f (τ) =

∞ 

  an e2π inτ ∈ S2 Γ0 (N)

n=1

derart existiert, dass für alle ungeraden Primzahlen p mit p  N die Gleichung    p ) ap = p + 1 − E(F erfüllt ist. Dies lässt sich geometrisch so interpretieren, dass ein über Q definierter, nicht-konstanter Morphismus ϕ : X0 (N) → E existiert; die fragliche Eigenform f ist dann durch die Gleichung f (τ) dτ = ϕ∗ (ω) bestimmt, wobei ω das (bis auf Skalierung eindeutig bestimmte) reguläre Differential erster Ordnung auf E bedeutet. Die Vermutung von Taniyama-Shimura besagt nun, dass jede über Q definierte elliptische Kurve E modular ist. Sie wurde von Y. Taniyama im Jahr 1955 im Rahmen eines internationalen Symposiums über algebraische Zahlentheorie in Tokio-Nikko in einer ersten Form aufgestellt und in den nachfolgenden Jahren von G. Shimura (s. [Sh61]) und A. Weil (s. [We67]) präziser formuliert. Der Beweis dieser tiefliegenden Vermutung wurde im Jahr 1995 durch A. Wiles zusammen mit R. Taylor in den beiden bahnbrechenden Arbeiten [Wi95], [TW95] gegeben. Die Bedeutung dieses Resultats liegt insbesondere auch darin, dass sich damit die berühmte Vermutung von Fermat aus dem Jahr 1637 nachweisen lässt. Eichlers Beitrag zu diesem Problemkreis besteht darin, dass er die Vermutung von Taniyama-Shimura als erster in gewissen, bis dahin nicht zugänglichen Spezialfällen, die sich aus seiner Arbeit [32] ergaben, nachweisen konnte. Ein typisches Beispiel ist die elliptische Kurve E11 : Y 2 + Y = X 3 − X 2 . Eichler zeigt, dass in diesem Fall für alle Primzahlen p, abgesehen von einer endlichen Ausnahmemenge, die Gleichheit   ap = p + 1 − E11 (Fp ) besteht, wobei ap die Fourierkoeffizienten der eindeutig bestimmten, nor  mierten Eigenform f ∈ S2 Γ0 (11) sind, die durch ∞  n=1

an t n = t

∞ 

(1 − t n )2

n=1

gegeben ist (s. auch [Ta74], S. 200).

∞  n=1

(1 − t 11n )2

(t = e2π iτ )

Martin Eichler – Leben und Werk

363

1.4. Der Satz von Riemann-Roch. In [45] (s. auch [44]) stellte Eichler dem klassischen Minkowskischen Linearformensatz folgendes funktionentheoretische Analogon an die Seite: Sei k ein algebraisch abgeschlossener Kör−1 perund k  ∞ (x) der Körper der Laurentreihen in x mit Koeffizienten in k. Ist mj,k 1≤j,k≤n eine n-reihige Matrix mit Koeffizienten in k∞ (x) und nichtverschwindender Determinante und sind nk (k = 1, . . . , n) positive natürliche Zahlen, so ist die Anzahl linear unabhängiger Lösungen der Ungleichungen n   pj · mj,k ≤ nk − 1 (k = 1, . . . , n) deg j=1

in Polynomen pj = pj (x) mindestens gleich n 

  nk − deg det(mj,k )1≤j,k≤n .

k=1

Mit Hilfe dieses Linearformensatzes für Polynombereiche gelang Eichler ein neuer Beweis des klassischen Riemann-Rochschen Satzes für Divisoren in algebraischen Funktionenkörpern einer Variablen oder – geometrisch gesprochen – für Geradenbündel über glatten, projektiv algebraischen Kurven über k. Dieses Ergebnis zeigt – in Analogie zu früheren Untersuchungen von E. Artin und A. Weil –, wie sich bei Gegenüberstellung der Theorien der Zahlkörper und Funktionenkörper die Sätze von Minkowski und Riemann-Roch entsprechen, ein Leitgedanke, der erst vor kurzem seinen Abschluss durch den Beweis eines arithmetischen Riemann-Rochschen Satzes gefunden hat (s. [Fa92], [GS92]). In den Arbeiten [49]–[51], [55]–[57], im wesentlichen zusammengefasst im Lecture Notes Band [62], formulierte und bewies Eichler einen RiemannRochschen Satz für algebraische Funktionenkörper in mehreren Veränderlichen. Dabei fand er einen neuen Beweis des Serreschen Dualitätssatzes (s. [Se55]). Eichlers Ansatz war allerdings nicht intrinsisch, da seinem Beweis eine gewisse Koordinatenwahl zugrunde lag, die ein Induktionsargument bezüglich der Anzahl der Variablen ermöglichte. Deshalb gelang es auch nicht, Eichlers Satz dem von F. Hirzebruch in [Hi56] und von A. Grothendieck in [BS58] bewiesenen allgemeinen Riemann-Rochschen Satz für kohärente Garben über algebraischen Schemata gegenüberzustellen. 1.5. Jacobiformen. In der Arbeit [67] fand Eichler eine obere Schranke für die Dimension des Vektorraums Siegelscher Modulformen vom Grad g und genügend grossem Gewicht k zur vollen Siegelschen Modulgruppe. Dabei benutzte er wesentlich die bereits von I. Pyatetskii-Shapiro in [Py69] eingeführte Fourier-Jacobi-Entwicklung einer Siegelschen Modulform in Jacobische Modulformen, oder kurz, in Jacobiformen. Daraus entstand das

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Bedürfnis, diese Funktionen – zunächst im Fall g = 1 – für sich allein systematisch zu studieren. Diese Untersuchungen fanden ihren Niederschlag in der zusammen mit D. Zagier verfassten Monographie [80]. Dort wird eine Jacobiform vom Gewicht k, Index m zur Modulgruppe SL2 (Z) definiert als *eine holomorphe Funktion f : H × C → C, welche für alle ) a b  , (λ, μ) ∈ SL2 (Z)  Z2 der Funktionalgleichung c d

   c(z+λτ+μ)2 aτ + b z + λτ + μ 2 = f (τ, z) (cτ + d)−k e 2π im λ τ+2λz− cτ+d , f cτ + d cτ + d genügt und eine Fourierentwicklung der Form  cn,r e2π i(nτ+r z) f (τ, z) = n∈N,r ∈Z 4mn−r 2 ≥0

besitzt. Die wesentlichen Resultate des Buchs [80] bestehen in der Entwicklung einer Hecke-Theorie für Jacobiformen und der Bestimmung der Di  mension des Vektorraums Jk,m SL2 (Z) der Jacobiformen vom Gewicht k, Index m bezüglich SL2 (Z) zu m    + ν 2 ,    dimC Jk,m SL2 (Z) = dimC Mk+2ν SL2 (Z) − 4m , ν=0

wobei x die kleinste ganze Zahl grösser oder gleich x bedeutet. Die in dieser Form entwickelte Theorie führte insbesondere zu einem Beweis der Vermutung von Saito-Kurokawa, welche in der Angabe eines Heckeäquivarianten Isomorphismus zwischen der Maaß’schen Spezialschar, einem arithmetisch definierten Unterraum des Vektorraums der Siegelschen Modulformen vom  = 2, und dem Vektorraum der elliptischen Mo Grad g dulformen M2k−2 SL2 (Z) besteht. In der Zwischenzeit hat sich das Studium der Jacobiformen zu einer eigenständigen Theorie entwickelt: Zagier und Skoruppa gelang in [SZ89] die Bestimmung der Spuren der Jacobischen Hecke-Operatoren; in diesen Zusammenhang gehört auch die Arbeit [79]. In [Kr95] wurde, basierend auf der in [FC90] gegebenen arithmetischen Kompaktifizierung des Modulraums prinzipal polarisierter abelscher Varietäten, eine arithmetisch geometrische Begründung der Theorie der Jacobiformen beliebigen Grades gegeben. Als interessantes Nebenprodukt zu diesem Themenkreis sei noch die Arbeit [78] erwähnt, in der die Nullstellen z0 (τ) der Weierstraß’schen ℘-Funktion ℘(τ, z) modulo dem Gitter Z ⊕ Zτ angegeben werden zu i∞ √

√ 1 Δ(t) log(5 + 2 6) dt , + 144π i 6 (t − τ) z0 (τ) ≡ ± 2 2π i E6 (t)3/2 τ

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Martin Eichler – Leben und Werk

wobei Δ(τ) = t

∞ 

(1 − t n )24 resp. E6 (τ) = 1 − 504

n=1

∞   n=1

 d5 t n

(t = e2π iτ )

d|n

die normierte Spitzenform vom Gewicht 12 resp. die normierte Eisensteinreihe vom Gewicht 6 zu SL2 (Z) bedeuten. In [81] und [86] führte Eichler schliesslich eine weitere Verallgemeinerung des Begriffs der Modulformen ein. Damit verbunden war die Hoffnung, Eigenformen eines Gewichts k1 auf Eigenformen eines höheren Gewichts k2 abzubilden und damit, basierend auf der Kenntnis der Ramanujan-Petersson-Vermutung im Fall k = 2, einen analytischen Beweis dieser Vermutung für Gewichte k > 2 herzuleiten. Dies gelang leider nicht, allerdings zeigen aktuelle Untersuchungen, dass Eichlers Wunsch nach einem analytischen Beweis der Ramanujan-Petersson-Vermutung realisierbar zu sein scheint.

Veröffentlichungen von M. Eichler 4 [1] Untersuchungen in der Zahlentheorie der rationalen Quaternionenalgebren. J. Reine Angew. Math. 174 (1936), 129–159. [2] Über die Einheiten der Divisionsalgebren. Math. Ann. 114 (1937), 635–654. [3] Bestimmung der Idealklassenzahl in gewissen normalen einfachen Algebren. J. Reine Angew. Math. 176 (1937), 192–202. [4] Über die Idealklassenzahl total definiter Quaternionenalgebren. Math. Z. 43 (1938), 102–109. [5] Über die Idealklassenzahl hyperkomplexer Systeme. Math. Z. 43 (1938), 481–494. [6] Neuere Ergebnisse in der Theorie der einfachen Algebren. Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 47 (1938), 198–220. [7] Allgemeine Kongruenzklasseneinteilung der Ideale einfacher Algebren über algebraischen Zahlkörpern und ihre L-Reihen. J. Reine Angew. Math. 179 (1938), 227–251. [8] Zum Hilbertschen Irreduzibilitätssatz. Math. Ann. 116 (1939), 742–748. [9] Zur Einheitentheorie der einfachen Algebren. Comment. Math. Helv. 11 (1939), 253–272. [10] Allgemeine Integration einiger partieller Differentialgleichungen der mathematischen Physik durch Quaternionenfunktionen. Comment. Math. Helv. 12 (1940), 212–224. 4 Die vermutlich erste Publikation von M. Eichler, Reissverfestigung an Glasstäben, findet sich in Z. f. Phys. 98 (1936), 280–282.

366

J. Kramer

[11] Zur numerischen Lösung von Gleichungen mit reellen Koeffizienten. J. Reine Angew. Math. 184 (1942), 124–128. [12] Konstruktion lösender Kerne für singuläre Integralgleichungen erster Art, insbesondere bei Differenzkern. Math. Z. 48 (1942), 503–526. [13] Bemerkungen zu den vorstehenden Vermutungen von Teichmüller. J. Reine Angew. Math. 185 (1943), 12–13. [14] Auflösung einer Integralgleichung von Possio für den harmonisch schwingenden Tragflügel im kompressiblen Medium durch Zurückführung auf ein lineares Gleichungssystem. Jahrbuch der Deutschen Luftfahrtforschung 1942 (1942), 1169–1172. [15] Über gewisse Anzahlformeln in der Theorie der quadratischen Formen. Sitzungsber. Bayer. Akad. Wiss. 1943 (1943), 1–24. [16] Über die Dämpfung von Schwingungen bei zeitlich veränderlichen Kräften. Z. Angew. Math. Mech. 24 (1944), 41–43. [17] Eine Verallgemeinerung des Rungeschen Satzes. Math. Z. 49 (1944), 565–575. [18] Zur Theorie der quadratischen Formen gerader Variablenzahl. In Festschrift zum 60. Geburtstag von Prof. Dr. Andreas Speiser, Orell Füssli Verlag, Zürich 1945, 34–46. [19] Allgemeine Integration linearer partieller Differentialgleichungen vom elliptischen Typ bei zwei Grundvariablen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 15 (1947), 179–210. [20] Zahlentheorie der quadratischen Formen. In Bericht über die MathematikerTagung in Tübingen vom 23. bis 27. September 1946, hrsg. v. Math. Inst., Druck von H. Laupp Jr., Tübingen, 63–64. [21] Grundzüge einer Zahlentheorie der quadratischen Formen I/II. Comment. Math. Helv. 20/21 (1947/48), 9–60; 1–28. [22] On the differential equation uxx + uyy + N(x)u = 0. Trans. Amer. Math. Soc. 65 (1949), 259–278. [23] On the analytic continuation of certain ζ-functions and a fundamental theorem on simple algebras. Ann. of Math. (2) 50 (1949), 816–826. [24] Analytic functions in three-dimensional Riemannian spaces. Duke Math. J. 16 (1949), 339–349. [25] Eine Modifikation der Riemannschen Integrationsmethode bei partiellen Differentialgleichungen vom hyperbolischen Typ. Math. Z. 53 (1950), 1–10. [26] Zur Algebra der orthogonalen Gruppen. Math. Z. 53 (1950), 11–20. [27] Arithmetics of orthogonal groups. In Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Cambridge, 1950), Vol. II, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1952, 65–70. [28] Die Ähnlichkeitsklassen indefiniter Gitter. Math. Z. 55 (1952), 216–252. [29] Note zur Theorie der Kristallgitter. Math. Ann. 125 (1952), 51–55.

Martin Eichler – Leben und Werk

367

[30] Idealtheorie der quadratischen Formen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 18 (1952), 14–37. [31] Quadratische Formen und orthogonale Gruppen. Springer-Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1952, 2. Auflage 1974. [32] Quaternäre quadratische Formen und die Riemannsche Vermutung für die Kongruenzzetafunktion. Arch. Math. (Basel) 5 (1954), 355–366. [33] Modulfunktionen und die Riemannsche Vermutung für die Kongruenzzetafunktion. In Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Amsterdam, 1954), Noordhoff, Groningen, and North-Holland, Amsterdam 1957, 16–18. [34] Zur Zahlentheorie der Quaternionen-Algebren. J. Reine Angew. Math. 195 (1955), 127–151 (Berichtigung, J. Reine Angew. Math. 197 (1957), 220). [35] Über die Darstellbarkeit von Modulformen durch Thetareihen. J. Reine Angew. Math. 195 (1955), 156–171 (Berichtigung, J. Reine Angew. Math. 196 (1956), 155). [36] Heinrich Brandt. Math. Nachr. 13 (1955), 321–326. [37] On the class number of imaginary quadratic fields and the sums of divisors of natural numbers. J. Indian Math. Soc. (N.S.) 19 (1955), 153–180. [38] Der Hilbertsche Klassenkörper eines imaginärquadratischen Zahlkörpers. Math. Z. 64 (1956), 229–242 (Berichtigung, Math. Z. 65 (1956), 214). [39] Modular correspondences and their representations. J. Indian Math. Soc. (N.S.) 20 (1956), 163–206. [40] Lectures on modular correspondences (notes by S. S. Rangachari). Tata Inst. Fund. Res., Bombay 1956, reissued 1965. [41] Eine Verallgemeinerung der Abelschen Integrale. Math. Z. 67 (1957), 267–298. [42] Quadratische Formen und Modulfunktionen. Acta Arith. 4 (1958), 217–239. [43] Eine Verallgemeinerung der Abelschen Integrale. In Sammelband der zu Ehren des 250. Geburtstages Leonhard Eulers der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin vorgelegten Abhandlungen, Akademie-Verlag, Berlin 1959, 112–115. [44] Ein Satz über Linearformen in Polynombereichen. Arch. Math. (Basel) 10 (1959), 81–84. [45] Differentiale und Riemann-Rochscher Satz in algebraischen Funktionenkörpern einer Variablen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 24 (1960), 5–11. [46] Mathematik. In Lehre und Forschung an der Universität Basel zur Zeit der Feier ihres fünfhundertjährigen Bestehens, Birkhäuser-Verlag, Basel, Stuttgart 1960, 275–285. [47] Die Bildungsfrage in der technisierten Welt. In Forschung und Bildung, Akad. Vortr. geh. a. d. Universität Basel 1, Verlag Helbing und Lichtenhahn, Basel 1962, 73–90.

368

J. Kramer

[48] Einführung in die Theorie der algebraischen Zahlen und Funktionen. Birkhäuser-Verlag, Basel und Stuttgart 1963; engl. Übersetzung, Academic Press, London, New York, Toronto 1966. [49] Eine Theorie der linearen Räume über rationalen Funktionenkörpern und der Riemann-Rochsche Satz für algebraische Funktionenkörper I/II. Math. Ann. 156/157 (1964), 347–377; 261–275. [50] Eine Vorbereitung auf den Riemann-Rochschen Satz für algebraische Funktionenkörper. J. Reine Angew. Math. 214/215 (1964), 268–275. [51] Zur Theorie der Divisoren in algebraischen Funktionenkörpern. Arch. Math. (Basel) 16 (1965), 428–438. [52] Eine Bemerkung zur Fermatschen Vermutung. Acta Arith. 11 (1965), 129–131 (Berichtigung, Acta Arith. 11 (1965), 261). [53] Grenzkreisgruppen und kettenbruchartige Algorithmen. Acta Arith. 11 (1965), 169–180. [54] Einige Anwendungen der Spurformel im Bereich der Modularkorrespondenzen. Math. Ann. 168 (1967), 128–137. [55] Dimension und Schnittpunktsanzahl von Divisoren in algebraischen Funktionenkörpern. Math. Z. 97 (1967), 331–375 (Berichtigung, Math. Z. 102 (1967), 118–119). [56] Eine Spurformel für Korrespondenzen von algebraischen Funktionenkörpern mit sich selber. Invent. Math. 2 (1967), 274–300. [57] Berichtigung und Ergänzung zweier Arbeiten zur algebraischen Funktionentheorie. Invent. Math. 3 (1967), 245–256. [58] A new proof of the Baker-Campbell-Hausdorff formula. J. Math. Soc. Japan 20 (1968), 23–25. [59] Zur Begründung der Theorie der automorphen Formen in mehreren Variablen. Aequationes Math. 3 (1969), 93–111. [60] Algebraic methods in the theory of modular forms. In Several complex variables, Part I, Lecture Notes in Math. 155, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1970, 88–96. [61] Andreas Speiser, 1885–1970. Verh. Schweiz. Naturforsch. Ges., wiss. Teil 150 (1970), 325–327. [62] Projective varieties and modular forms. Lecture Notes in Math. 210, SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, New York 1971. [63] On the graded rings of modular forms. Acta Arith. 18 (1971), 87–92. [64] The basis problem for modular forms and the traces of the Hecke operators. In Modular functions of one variable I, Lecture Notes in Math. 320, SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, New York 1973, 75–151 (Berichtigung in Modular functions of one variable IV, Lecture Notes in Math. 476, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1975, 145–147).

Martin Eichler – Leben und Werk

369

[65] Über einige Spezialisierungen der Hilbertschen Modulformen in 2 Variablen. Invent. Math. 20 (1973), 73–86 (Berichtigung, Invent. Math. 20 (1973), 337–340). [66] Zum 1. Fall der Fermatschen Vermutung. Eine Bemerkung zu zwei Arbeiten von L. Skula und H. Brückner. J. Reine Angew. Math. 260 (1973), 214. [67] Über die Anzahl der linear unabhängigen Siegelschen Modulformen von gegebenem Gewicht. Math. Ann. 213 (1975), 281–291 (Berichtigung, Math. Ann. 215 (1975), 195). [68] Les variétés modulaires de Hilbert et Siegel et les courbes automorphes de Poincaré et Shimura. Astérisque 24–25 (1975), 99–107. [69] Über ambige definite quaternäre quadratische Formen von Primzahldiskriminante. Comm. Pure Appl. Math. 29 (1976), 623–647. [70] Représentation moyenne de nombres par des formes quadratiques quaternaires. Astérisque 41–42 (1977), 199–202. [71] On theta functions of real algebraic number fields. Acta Arith. 33 (1977), 269–292. √ [72] Theta functions over Q and over Q( q). In Modular functions of one variable VI, Lecture Notes in Math. 627, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1977, 197–225. [73] On the representation of modular forms by theta series. C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada 1 (1979), 71–74. [74] Über die Wirkung von Hecke-Operatoren auf Thetareihen. Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II 1979 (1979), 29–39. [75] Über die Darstellung von Modulformen durch Thetareihen. Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II 1980 (1980), 7–24. [76] On symmetric and unsymmetric theta functions over real quadratic fields. Acta Arith. 37 (1980), 167–179. [77] Theta series of inhomogeneous quadratic forms. Invent. Math. 66 (1982), 99–113. [78] mit D. Zagier, On the zeros of the Weierstrass ℘-function. Math. Ann. 258 (1982), 399–407. [79] Die Spur der Hecke-Operatoren in gewissen Räumen von Jacobischen Modulformen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 54 (1984), 35–48. [80] mit D. Zagier, The theory of Jacobi forms. Progr. Math. 55, Birkhäuser-Verlag, Boston, Basel, Stuttgart 1985. [81] Eine neue Klasse von Modulformen und Modulfunktionen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 55 (1985), 53–68. [82] The quadratic reciprocity law and the elementary theta function. Glasgow Math. J. 27 (1985), 19–30. [83] Das wissenschaftliche Werk von Max Deuring. Acta Arith. 47 (1986), 187–192.

370

J. Kramer

[84] Heinrich Brandt, Werk und Wesen. Wiss. Beitr. der Martin-Luther-Univ. HalleWittenberg 33 (M48) (1987), 11–18. [85] New formulas for the class number of imaginary quadratic fields. Acta Arith. 49 (1987), 35–43. [86] Eine neue Klasse von Modulformen und Modulfunktionen II (mit einem Anhang von R. Berndt). Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 57 (1987), 57–68. [87] Alexander Ostrowski, Über sein Leben und Werk. Acta Arith. 51 (1988), 295–298. [88] Besprechung von A. N. Andrianov, Quadratic forms and Hecke operators. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 18 (1988), 224–230. [89] mit J. Brzezinski, On the imbeddings of imaginary quadratic orders in definite quaternion orders. J. Reine Angew. Math. 426 (1992), 91–105.

Weitere Literatur [Ar05] J. Arthur, An introduction to the trace formula. In Harmonic analysis, the trace formula, and Shimura varieties, Clay Math. Proc. 4, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 2005, 1–263. [BS58]

A. Borel et J-P. Serre, Le théorème de Riemann-Roch (d’après A. Grothendieck). Bull. Soc. Math. France 86 (1958), 97–136.

[Br25]

H. Brandt, Über die Komponierbarkeit der quaternären quadratischen Formen. Math. Ann. 94 (1925), 179–197.

[De71] P. Deligne, Formes modulaires et représentations -adiques. Sém. Bourbaki, Lecture Notes in Math. 179, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1971, 139–172. [FC90] G. Faltings and C.-L. Chai, Degeneration of abelian varieties. SpringerVerlag, Berlin 1990. [Fa92]

G. Faltings, Lectures on the arithmetic Riemann-Roch theorem. Ann. of Math. Stud. 127, Princeton University Press 1992.

[GS92] H. Gillet and C. Soulé, An arithmetic Riemann-Roch theorem. Invent. Math. 110 (1992), 473–543. [Hi56]

F. Hirzebruch, Neue topologische Methoden in der algebraischen Geometrie. Springer-Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1956.

[Hu87] A. Hurwitz, Über algebraische Korrespondenzen und das verallgemeinerte Korrespondenzprinzip. Math. Ann. 28 (1887), 561–585. [Ig59]

J.-I. Igusa, Kroneckerian model of fields of elliptic modular functions. Amer. J. Math. 81 (1959), 561–577.

[JL70]

H. Jacquet and R. P. Langlands, Automorphic Forms on GL(2). Lecture Notes in Math. 114, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1970.

Martin Eichler – Leben und Werk

371

[Kn66] M. Kneser, Strong approximation. In Algebraic groups and discontinuous subgroups, Proc. Sympos. Pure Math. 9, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1966, 187–196. [Kr95]

J. Kramer, An arithmetic theory of Jacobi forms in higher dimensions. J. Reine Angew. Math. 458 (1995), 157–182.

[Li86]

R. Lipschitz, Die Summen von Quadraten. Verlag von Max Cohen und Sohn, Bonn 1886.

[Me91] A. Meyer, Zur Theorie der indefiniten ternären quadratischen Formen. J. Reine Angew. Math. 108 (1891), 125–139. [Py69]

I. I. Pyatetskii-Shapiro, Automorphic functions and the geometry of classical domains. Gordon & Breach, New York, London, Paris 1969.

[Se56]

A. Selberg, Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series. J. Indian Math. Soc. 20 (1956), 47–87.

[Se55]

J-P. Serre, Faisceaux algébriques cohérents. Ann. of Math. (2) 61 (1955), 197–278.

[Sh58] G. Shimura, Correspondances modulaires et les fonctions ζ de courbes algébriques. J. Math. Soc. Japan 10 (1958), 1–28. [Sh59] G. Shimura, Sur les intégrales attachées aux formes automorphes. J. Math. Soc. Japan 11 (1959), 291–311. [Sh61] G. Shimura, On the zeta-functions of the algebraic curves uniformized by certain automorphic functions. J. Math. Soc. Japan 13 (1961), 275–331. [Sh71] G. Shimura, Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. Iwanami Shoten Publishers, Tokyo, and Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971. [Ta74] J. Tate, The arithmetic of elliptic curves. Invent. Math. 23 (1974), 179–206. [TW95] R. Taylor and A. Wiles, Ring theoretic properties of certain Hecke algebras. Ann. of Math. (2) 141 (1995), 553–572. [We67] A. Weil, Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen. Math. Ann. 168 (1967), 149–156. [Wi95] A. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem. Ann. of Math. 141 (1995), 443–551. [SZ89] N.-P. Skoruppa and D. Zagier, A trace formula for Jacobi forms. J. Reine Angew. Math. 393 (1989), 168–198.

Mathematik an der Universität Bern im neunzehnten und zwanzigsten Jahrhundert Peter Mani∗ Die Hauptpersonen in der Umgebung unserer Universität sind während der genannten Zeit Ludwig Schläfli, Jakob Steiner und Hugo Hadwiger gewesen. Zusammen mit Bernhard Riemann gehört Ludwig Schläfli zu den Entdeckern der höherdimensionalen Räume. Jakob Steiner verdanken wir die Lösungsidee für das jahrtausende alte isoperimetrische Problem, die später von Hugo Hadwiger sorgsam zu einem glücklichen Ende geführt wurde. Hugo Hadwiger schenkte uns viele weitere, spannende Studien zur Masstheorie. Er erklärte immer auch gerne das Paradoxon von Banach und Tarski, mit dem ich diesen Aufsatz beschliessen will.

Ludwig Schläfli (1814–1895) Ludwig Schläfli kam am 15. Januar 1814 in Grasswil zur Welt. Sein Vater war, wie man zu sagen pflegte, ein Handelsmann, seine Mutter, Magdalena Aebi, Tochter eines Arztes. Ludwig, der älteste von drei Brüdern, hatte eine hervorragende mathematische Begabung. Im Alter von fünfzehn Jahren lernte er die Analysis im Selbststudium. Mit der Mathematik war ihm auch ein grosses Sprachtalent geschenkt worden: er korrespondierte in Deutsch, Französisch, Italienisch, Englisch, den klassischen Sprachen, aber auch Hebräisch, Aramäisch, Persisch, Sanskrit. Wir verdanken ihm die Übersetzung grosser Teile des Rigveda. Sein Vater wusste nicht recht, was er mit dem Knaben Ludwig anfangen sollte. Er kam auf den Gedanken, ihn mit einem Warenkorb in die Nachbardörfer zu schicken. Nach einer Woche kehrte Ludwig zurück. Er hatte nichts verkauft, da er nicht verstand, dass man ein Gut für mehr Geld anbieten könne, als man selbst bezahlt hatte. Schliesslich studierte er in Bern Theologie und bestand schon im Jahr 1838 das Staatsexamen. Doch den Beruf des Pfarrers übte er nie aus. Er gab Privatstunden und unterrichtete Naturlehre am Progymnasium Thun. Die grosse Wende trat ein, als ihm Jakob Steiner in Bern begegnete. Jakob Steiner war am 18. März 1796 in Utzenstorf geboren worden. Er kannte den um ein Jahr jüngeren Albert Bitzius. Nach einigen abenteuerlichen Jahren ∗ Frau Giger und Frau Weingart sei an dieser Stelle herzlich gedankt für die Erfassung des Textes in LATEX.

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P. Mani

erhielt er eine feste Position in Berlin. Man erzählt, dass er dort auch die Laufbahn von Albert Bitzius, also Jeremias Gotthelf, förderte. Jakob Steiner kehrte nach Bern zurück, wo er am ersten April 1863 starb. Doch über seine Begegnung mit Ludwig Schläfli ist zu sagen, dass ihn dessen Mathematikund Sprachkenntnisse tief beeindruckten: «Der genialste Tölpel, der mir in der Welt vorgekommen ist.»

Ludwig Schlaefli

Schläfli begleitete eine Gruppe von Kollegen Jakob Steiners als Übersetzer auf ihrer Reise nach Italien. Dort begegneten sie in Rom der Musikerfamilie Mendelssohn. Im April 1844 kehrte Ludwig Schläfli nach Thun zurück. Mit Steiners Unterstützung habilitierte er sich an der Universität in Bern, wo er am ersten April 1848 als Dozent angestellt wurde. Vermutlich hatte wiederum Jakob Steiner für ihn gesprochen. Bald verbreitete sich sein Ruhm weitherum in Europa. Er wurde Mitglied der Academia dei Lincei in Rom, der Königlichen Akademie der Wissenschaften in Berlin und vieler anderer europäischer Institutionen. Schliesslich wurde er auch in Bern zum ordentlichen Professor befördert. Das Institut für exakte Wissenschaften an der Universität Bern trägt den Namen Einstein-Schläfli-Haus. Im Jahr 1876 gründete er mit Fräulein Margareta Spichtin einen gemeinsamen Haushalt. Von nun an lebte er in bescheidenem Wohlstand. Seine Arbeitszeit erstreckte sich in der Regel von drei Uhr morgens bis gegen

Mathematik an der Universität Bern im 19. und 20. Jahrhundert

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zehn Uhr nachts. Am 20. März 1895 starb er an einer Lungenentzündung. Er hatte Margareta Spichtin als Alleinerbin eingesetzt. Sie schenkte seine Manuskripte der Schweizerischen Landesbibliothek. Ludwig Schläfli unterrichtete oft in berndeutschem Dialekt. Er begründete dies so: «Ich trachte im Unterricht immer so frisch und unmittelbar wie möglich zu sein.» Nach dem Kolleg versammelte man sich oft im Café Krone bei einem Glas Bier. Ich sollte hinzufügen: Die weltüberstürmende, erdumwälzende Theorie der vielfachen Kontinuität wurde zu Ludwig Schläflis Lebzeiten nicht publiziert, und Ludwig Schläfli gehörte zu den ersten, die Bernhard Riemanns Gedanken erfassten und weiterführten. Ich werde darüber in einem späteren Teil dieses Aufsatzes etwas präziser berichten. Lassen Sie mich hier mit einigen Zitaten aus der Theorie der vielfachen Kontinuität [12] beginnen: «Wenn man die gegenseitige Abhängigkeit zweier Variablen zur lebhaften Anschauung bringen will, bedient man sich häufig der ebenen Kurven. Wenn aber die Zahl der Variablen über drei hinausgeht, so bleibt die bequeme Nachhilfe der geometrischen Anschauung zurück. Als einen Versuch, nach dieser Seite hin eine neue Bahn in der Analysis zu öffnen, möchte ich die gegenwärtige Abhandlung dem nachsichtigen Urteil des geneigten Lesers überlassen. Wenn eine oder mehrere Gleichungen die n Variablen x, y, z, … enthalten, so nennt man jede Gruppe von Werten dieser letzten, welche allen Gleichungen genügen, eine Lösung des gegebenen Systems. Wenn die Zahl der Gleichungen geringer ist, als die Zahl der Variablen, nenne ich die Gesamtheit aller Lösungen ein Kontinuum, und zwar ein i-faches, wenn i die Zahl der unabhängigen Variablen (oder die Dimensionszahl des Kontinuums) ist. Die 1-, 2- und 3-fachen Kontinua sind als Gerade, Ebene und Raum seit langer Zeit studiert worden. Dies ist ein Versuch, eine neue Bahn der höherdimensionalen Analysis zu eröffnen.» Ein Beispiel: Betrachte die Gleichung 1 · x1 + 0 · x2 + · · · + 0 · x1001 = 0. Die Gesamtheit der Lösungen ist ein 1000-dimensionales lineares Kontinuum. Wir setzen x1 = 0, während für x2 , x3 , …, x1001 beliebige Zahlen