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0. Sin dificultad, hallamos que yx = 0 la barra realiza oscilaciones pequeñas alrededor de la vertical. Por consiguiente, si 2 k a 2 > mgl, la posición vertical de la barra es estable. • 0, entonces las trayectorias r — r( 0 para R — e < r < R, entonces cuando t +00 todas las trayectorias suficientemente cercanas se aproximan a la circunferencia r = R tanto desde adentro como desde afuera, es decir, el ciclo límite es estable. Es evidente que el ciclo r — R es inestable si la función / cambia el signo de a " + " cuando pasa por cero. Finalmente, se observa semiestabilidad en el caso en que, cuando t —> +00, las trayectorias se aproximan por uno de los lados al ciclo, mientras que por el otro se alejan. Por consiguiente, se debe cumplir la igualdad dr dr sgn — ™ sgn — , (R,R+S) d(P (fi~efi) d ) = tp * f+- ).
xi-
arceos C.
Como C ~> 1 cuando xl + y2 —> 0, entonces X\ ü, yx 0. Por consiguiente, el punto de reposo es estable, pues a cualesquiera perturbaciones tan pequeñas como se quiera les corresponden trayectorias cerradas contenidas totalmente en círculos de radios tan pequeños como se desee. •
6.
I.!« tidvi-i liiri.ii del sistema <1,• ci íucinm-i
están representadas en el plano de fase de la figura l. ¿Qué se puede decir acerca del comportamiento de las soluciones cuando t —> t-oo? ¿Será la solución nula asintóticamente estable? ¿Será estable según Liapunov?
6
Fig.l •4 Solución. Como vemos en la figura 1, todas las soluciones tienden a cero cuando t —* +00, ya que todas las trayectorias llegan al origen de coordenadas. Supongamos que se cumple la desigualdad \y(t(])\ < 6 (en el caso analizado
a¡,(0 = Ci cos-f - C2ef,
x7[t) = C\t4e ' + 2C 2 .
'
•4 Solución. Sean e > 0 cierto número dado, y fo un instante arbitrario. A partir de este valor de e hallaremos un 5(e) > 0 tal Man
^trayectorias de fase B S W ? ' / que de la desigualdad M í o ) - pftOll = >/(®l(ío) -
Ví^í0.
Para simplificar el procedimiento, tomemos ¿o = 0. Tenemos: l!«(ío) -
- C2e~iaf
+ {C,tyh
= \J{C] - C'2)2 + 4 C 2 ^
V
/ (!C
1l
+
2C2)2^1/2
+ lC2|)2 + 4Cf < 6;
0)
||®(¿) - *>(í)|| = ||®(í)|| = = v ^ C i eos H - C2e
*f + {C^e-1
+ 2C 2 ) 2 íC
< V í l C i l + IC2I)2 + (256|Ci |e-4 + 2|C2|)2. (2) Pero de (1) se deduce que |Ci| < 6, \C2\ < 6; por tanto, podemos continuar la estimación (2) de la manera siguiente: ||®(«)|| <
+ (256c
4
,
+ 2) 2 6 2 =
+ (256c"* + 2)2 6,
de donde se tiene que, si escogemos
x/4 + ( 2 5 b í F ^ T W obtendremos la desigualdad ||x(í)|j < e V i > 0 simultáneamente. De esta manera, conforme a la definición, la solución nula es estable según Liapunov. •
8.
» , « ) = = (Ci - C%t)e'f,
T2(t) =
C: v í
- I -C2. In ( - t 2i
Solución- De la igualdad l|s(*o)ll = \ (Ci - Cdofe-2*»
+
Ci\/tp l n ( í 2 + 2)
se deduce que si C{ + C2 —• 0, entonces )!»(ío)ll lim
+00
m ln (t 2 + 2)
+00,
+ C2 0- Por cuanto
entones, por muy pequeños que escojamos \C\ | \Cí\, siempre se puede hallar un valor de ¿i > 0 tal que para un valor de e > 0 dado se cumple la desigualdad 2\ (Cx - C 2 í a ) V 2 f l +
+ C2
)
)
Por tanto, según la definición, la solución nula es inestable.
>
•
y. Demostrar que si una solución cualquiera de .uiY ,1513-.' tema lineal de ecuaciones diferenciales es estable segúnLja;' pmii'V. entoiiiTi'-; -«iri i'-mMi^ tudas las ^iliu imv» de dicK5¡
I Solución. Sea ip(¿) = (
=
A(t)x(t)+m,
donde A(t) = (a¡j{t)) es una matriz de dimensión n x n, y las funciones x(t), f(i) son funciones vectoriales con valores en K" . Mediante el cambio de variable x(t) =
§=*
<1>
Por cuanto la solución
It'átílli'dad ^trayectorias de fase
jí'í 1.0.1'Demostrar que sí toda solución Üe ún 'sistema linea] • homogéneo se mantiene acotada cuando t +00, entonces la solución nula es estable según Liapunov. Solución. Sea Y la matriz fundamental del sistema dx — = Ax (1) v ' dt es decir, dY — =AV, r(to) = E. at Entonces todas las soluciones del sistema (1) se representan en la forma X ~ YC ( C es un vector arbitrario constante). En virtud de que cada solución del sistema (1) es acotada, se cumple la desigualdad ||Ff| ^ M (Af ^ 0 es una constante). Por consiguiente, ¡\X\\^\\Y\\-\\C\\^M\\C\\. Sea £ > 0 cierto número dado. Entonces, tomando 6
£
——, M a partir de la desigualdad |¡a;(ío)l! = 11^*11 < 6 se obtiene la desigualdad ||x(í)|| ^ M||C|| ^MÓ = s V i > t0. •
11. Analizar la estabilidad de la solución nula del sistema = «it(í)j;i -¡-ai2(í)j;2/ x2 - a^iííí^cj l-fl2;(f)ai, si so cumple que «u(/) í
( a „ ( r ) + a 2 2 (r)) dr j
(1)
tu (consideramos que a,-¿ son funciones continuas en (¿o, +oo)). En virtud de la condición a n ( r ) + a 2 2 (r) —> &0 > 0 cuando r —»• +oo, a partir de (1) se deduce que |W{t)\ oo cuando t —» +oo. Por tanto, una de las soluciones xn(í), xi 2 (í), x2í(t), x^t), las cuales forman el sistema fundamental, no está acotada cuando t —» +oo (esto se deduce de que W{t) — x\\(t)x22{t) ~ x-í2{t)x1\{t)). Por consiguiente, las soluciones del sistema dado = x\\Ci + xn C2, W)
x2{t) = a;2i C¡ + x22C2
cuando C\ + C| 0 y t —^• +00 tampoco están acotadas, lo que indica la inestabilidad de la solución nula del sistema ánalizado. • En los problemas 12-16, investigar la estabilidad de la solución nula con ayuda del primer teorema de Liapunov,
12.
ti ¿s 2 ai jar 2 - x{ + x2, ¿2 ~2xl
- 3 « z + 5,-rf
_ .i.,.*
-4 Solución. Para los términos no lineales tj\(t, x\,x2) g2(t, x\, x2) = 5xf + x\ se verifican las estimaciones I01I = 2{xix2\ ^x¡
= 2x1ar2,
+ xl = oti(xi, a?2)||X||,
l5al = |5s} + a!2l<«2(ai/«2)11X11, donde oíi(xi,x2)=
yx\
a?.{xlf x2)
-
+
+ \x2 V®! +
¡pqi = yjx\ + x¡;
x:
an->0, a 2 - > 0
3
cuando
||JT||
0.
Por tanto, conforme al primer teorema de Liapunov, es suficiente investigar la estabilidad de Ja solución nula del sistema lineal X\ = -xi x2
=
2xí
+ x2, — 3x2.
Construyendo la ecuación característica y resolviéndola -1 - A
1
2
-3-A
= A + 4A + 1;
Ax = - 2 + \Í3, A2 = - 2 - >/Í, vemos que ReAj < 0, ReA2 < 0. Por consiguiente, la solución nula del sistema dado es asintóticamente estable. •
í y trayectorias de fase
•4 Solución. Para hallar los términos lineales, desarrollemos los segundos miembros de las ecuaciones iniciales mediante la fórmula de Maclaurin: ln(4x 2 + e _ 3 K , ) = In ^4x2 +1 — 3^1 + -x] + o = - 3 a i + 4a?2 - 8£ 2 + o (x\4-x\) ; 2x2 ~ 1 + (1 - íiii) 1 / 3 = 2b 2 - 1 +
- 2si -
+ o {x\ + x\) =
— lx2 —2xi -4x\ + o{xl + xl). Por cuanto lffi|= ~8 xl + 12xíx2 +
o(x\-{-xl) 4
¿ 16 xl + xl + o(xl + xl) \gz\= - 4 x¡ +
=ai(®i/x2)||X||,
o{xi+xl)
x\ + xj + o(x\ + xj)
=a2(x-l,x2)]\X}\,
donde ot\{x\, x2) = 16 yjx\ + i j + ° a2(xu x2)
' 4y^x\ + x\ +
+ x\ +
x
lj'
x^j,
y qíj —• 0, a 2 —> 0
cuando
||JTj|
0,
entonces podemos aplicar el primer teorema de Liapunov, es decir, investigar la estabilidad de la solución nula del sistema lineal ±i = — 3®j + 4a?2,
x 2 = - 2 » ! + 2^2-
Dado que Re X\i2 < 0, donde Aj/2 son las raíces de la ecuación característica A2 + A + 2 = 0, es evidente que la estabilidad es asintótica. • .82
1'
14.
i« fililí S
¡Í'V
X! = tg for2 - z, i
J-, -
•
(
- r, ]
^
^
< Solución. Utilizando la fórmula de Maclaurin determinamos la parte lineal en cada uno de los segundos miembros de las ecuaciones dadas: t g (x2
~
2X2 - 2 eos
=
X2~XX
+
o(x\
+
x
2
),
= l + a ; 2 l n 2 + y ln 2 2 + o(«2) -
-2^cos~ •
y +
+ sen | •
=
= -\Z3xj + ® 2 l n 2 + ~ ( z ¡ + x 2 l n 2 2 ) + o(x 2 + « 2 ) . Por tanto, el sistema lineal correspondiente es ±1 = x2~ x\,
x2 = ®2 ln2 -
V3xi,
y su ecuación característica es A2 + A(1 — ln2) + V3 — l n 2 = 0. La parte real de las raíces Ai^ es negativa (Re Ai¿ < 0); por consiguiente, la solución nula es asintóticamente estable. •
15. ln 11
xi = ePi J : - V, l
x2 =4xi-3
sen(j?i + x2),_
< Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, utilizando la fórmula de Maclaurin representamos los segundos miembros de las ecuaciones iniciales en la forma e*1
e
3x3^x
1+3x3
+ ^ x ¿ ~ ~ x ¡ + o(xí + x ¡ + xÍ),
4x 3 - 3 s e n ( x i + x 2 ) = 4x 3 - 3(x¡ -hx 2 )-h o(x 2 + x 2 + x 2 ) , ln (1 + x 3 - 3xi) = x 3 - 3x x - - ( x 3 - 3 x 0 2 + o(x 2 + x 2 + ^3) • Luego investigamos la estabilidad de la solución trivial del sistema Ai = XI + 3X3,
x2 = —3xi - 3x 2 + 4x 3 ,
x3 = —3xi + x 3 .
Las raíces de la ecuación característica 1- A -3
O
3
-3 - A
-3
4
O
= O son
Ai — - 3 ,
A23 = 1 ± 3i.
1- A
Por cuanto Re (A23) > 0, según el primer teorema de Liapunov la solución nula del sistema dado es inestable. •
16.
p
ÍE| = í
X]
—
X2
~
¿2
»
=
F2
^
~
3,Cj,
n
=
X]
-
s
A Solución. Una de las raíces de la ecuación característica 1- A
-1
-1
1
1- A
-3
1
-5
-3 - A
F(X) =
=0
satisface las desigualdades 3 < A < 4 (F{3) > 0, F{4) < 0); consiguientemente, la solución nula del sistema es inestable. •
17.
¿I\i;.l I|I¡i; \ . ¡ ! " r i > re-ik- d.' n
p u n í " -K- :v|»nni f
ü
x2 — 0, Xj = 0 del sistema x1 ~ ast -- x2, x2 = ax¿ x% ~ fiXT, — X\ es estable' M Solución. De la ecuación característica a-A
-1
0
0
a - A
-1
-1
0
a- A
= (a - A) - 1 = 0
, 1 .y/5 A3 = a H 1-1—. 2 1 2 2 Partiendo de la condición .a - 1 < 0 A a + - < 0 hallamos los
obtenemos Ai = a — j , X2 = a-]
1
1—,
2
valores de a para los cuales la solución nula es asintóticamente 1 1 estable: a < — - . Si a > — , entonces ReA2,3 > 0, y la solución 2 1 mi la es inestable. Finalmente, si a = - - , entonces tenemos que milis
3 =
\/3 A2j3 = ±i~,
y la solución general del sistema dado se
expresa linealmente mediante las funciones a/3 V3 11-> e 2 eos — f , sen — í .
2
2
Así, tenemos estabilidad no asintótica {concretamente, en cierto entorno del punto de reposo se observa un proceso oscilatorio). • En los problemas 18-20, investigar para cuáles valores de los parámetros a y b la solución nula es asintóticamente estable.
18.
Jt ~ aj-j - Zr2 + a;2, Jc2 = Ji
¿2 ^ a-ix2.
< Solución. Como x\ ^ xl + x\ = ai{x\, ar2)||X||, \X]X2\ íí -(xl ai(xv
+ xl)
=a2(x1/x2)\\X\\/
x2) = 2ct2(a:i, x 2 ) = y x f + x f - ||X|j
0
cuando a:2 + x\ —> 0, entonces hacemos uso del primer teorema de Liapunov (v. p. 1.2). Según este teorema, para que la estabilidad sea asintótica es necesario que Re A < 0, donde A satisface la ecuación característica del sistema lineal correspondiente: a - A —2 1 1 - A = A - A(o + 1) + a + 2 = 0. De aquí vemos que Re A < 0 sólo cuando se cumple la condición < 0 A D ^ 0j V
A VD +
donde D Por tanto, - 2 < a < —1.
(a + 1)2
- a - 2.
<
,
, i t WÍ «,í ii (< tu¡i nf i ii« i U i 1 9 . V ¿i ~ x ¡ + ax2 +
1 tv
i'itMíw! Htii >»til<
' .>
- c *'i¡|t i¡u-i mj,' l f ií. r,| * ;> • • -
á¡2
ssi»xjl-f3»a
- '
1
, ,
-"a*},
1«, 1 ni» 1
< Solución. No es difícil ver que el análisis de la estabilidad asintótica de ¡a solución nula del sistema se reduce a la búsqueda de las condiciones para las cuales Re A < 0, donde A son las raíces de la ecuación característica 1- A b
a = A 2 + 2A - 3 - ab = 0 =» A1j2 = - 1 ± v ^ + ab. -3-A
Para ab + 4 ^ 0, o bien para ai»+4 > 0, Vab f 4 < 1, tenemos que Re Aj < 0 y Re A2 < 0. Resolviendo las dos últimas desigualdades, hallamos que ab < - 3 . •
20.
¿1 - ln (r + ax O - e*1, x2 = 6a; 1 H tg
< Solución. Primero desarrollamos en series de Maclaurin los segundos miembros de las ecuaciones dadas y despreciamos los términos no lineales. Después investigamos la estabilidad asintótica del sistema lineal a Xi = -Xi - 352/ x2 — bx 1 + ®2e Las raíces de la ecuación característica de este sistema son
De aquí se deduce que las desigualdades Re A] < 0 y ReA 2 < 0 se cumplen, si A ( i
l í a V ,
2 U
\ + 1
)
+
l ) < 0 A
1/a +
r A e
+ l
t
> l ( Í
\2 )
l
_ "
Í
<
0
=> a < —e A b > Q.
B6
+
V'|V
1 A
K
•
4 U
v 2 +
11
1
•"
' • .•'J-
/ -!:.".'rsSi:Vr^v'T^^S^v^&aHvraaBUBfiaK
21. Inves tigar si es estable Ja solución j ^ c o s í , del-sistema • " ' " ' - i , 'L " v •-
» • r^í/j^í
f i l W i, =lr
(xi~2scn - J - y ,
= (4 - x?) eos f - 2a¡a sen 2 1 - eos 3 i. • -
^ *
j¡f|
Solución. Efectuemos los cambios de variable x\ ~ eos t + £\(t), x2 = 2 sen t + £2(t). Ahora investiguemos la estabilidad de la solución nula del sistema 1 2 él = ln (1 + £i) ~ ~£ 2 , é2 — -l£\ - £\ eos t. (1) Teniendo en cuenta el primer teorema de Liapunov, pasamos del sistema (1) al sistema lineal correspondiente 1 ¿1 — C\ — ~£2/
¿2 — —2£I.
Debido a que una de las raíces de la ecuación característica de / 1±V5\ este sistema es positiva I A1;2 = — - — j , según el teorema de Liapunov podemos afirmar que la solución nula del sistema (1) es inestable. Por consiguiente, también son inestables las soluciones indicadas en el ejercicio. • ® Dados los siguientes sistemas (22-27), hallar todas las posiciones de equilibrio e investigar su estabilidad. 22.
í t = j-3 - xy - xlf
x2 = 3rx - x\ - x2.
< Solución. Primero hallamos en el plano Oxxx2 todos los puntos en los cuales x\ = x2 = 0 (puntos de reposo o posiciones de equilibrio), es decir, resolvemos el sistema de ecuaciones 2 2 x2 - X\- xx -- 0, 3xi - xx - x2 = 0. Tenemos dos puntos de equilibrio: (0,0) y (1,2). Para investigar su estabilidad aplicaremos el primer teorema de Liapunov (v. p. 1.2). En el caso del punto (0,0), despreciamos los términos no lineales en los segundos miembros de las ecuaciones iniciales, y para el
^trayectorias de fase M>'i*
.' '
a ¡Th r, i t t t ,,t*H-i u, i
~~
'" "
sistema lineal obtenido construimos la ecuación característica y hallamos sus raíces: Aj = - 1 - V5, A2 = — 1 + y/3. Vemos que el punto de equilibrio (0,0) es inestable. Para analizar la estabilidad del segundo punto de equilibrio (1,2), realizamos los cambios de variable xx — 1 + x 2 = 2 + e2. De esta manera, obtenemos el sistema 2
é\ — £ 2 ~ 3¿1 ~ t\,
¿2 —
— el
2
~ £"2'
Conservando solamente los términos lineales £] y el sistema lineal correspondiente é\ = e2 ~ 3£i, é2 ecuación característica de este sistema A2 + 4A + 2 raíces a A]j2 — - 2 ± \/2, las cuales demuestran asintótica del punto de equilibrio (1,2). •
23.
e?, obtenemos — ex - e 2 . La — 0, tiene por la estabilidad
Xj = x2l x2 ~ sen(¿3 + a^).
4 Solución. Del sistema de ecuaciones x2 — 0, sen(«x + x2) — 0 hallamos los puntos de equilibrio: {hit, 0), k G Z. Haciendo X\ = kit 4- £\, x2 ~ £2, obtenemos el sistema ¿i = £2,
¿2 = ( - 1 ) * sen{£j + e2),
al cual hacemos corresponder el sistema lineal ¿i = e 2 ,
é 2 = (-l) f c (£i + e 2 ).
La ecuación característica de este sistema es A 2 - ( - l ) * A + (~l)* + 1 = 0 . Las raíces de esta ecuación son i
^
2
/I y 4
,
De aquí, en virtud del primer teorema de Liapunov, p. 1.2, se deduce que si k = 2n + 1, la posición de equilibrio es asintóticamente estable, mientras que si k ~ 2n, la posición de equilibrio es inestable. •
. 24.
«
,
» > H r $ t S » f i f l
< Solución. Resolviendo el sistema de ecuaciones 3 - y j l + x ¡ + x 2 - 0,
ln(s? - 3) = 0,
hallamos los puntos de equilibrio: ( - 2 , 1 ) y (2,1). Medíante los cambios de variable x\ = 2{-lf + e\, x2 = 1 + e2 (k — 1,2), obtenemos un sistema respecto a las perturbaciones pequeñas
¿ 1 = 3 - i y 9 + £2 + 4 - ( - l ) f c £ 1
+4,
é2 = ln ( l + 4 ( - l ) A e i 4- e 2 ) . Determinando mediante la fórmula de Taylor los términos lineales en los segundos miembros de estas ecuaciones, obtenemos el sistema lineal éi =
- -U, ó o cuya ecuación característica es
¿2 = 4 ( ~ l ) * £ l ,
Las raíces de la ecuación característica son
De aquí se deduce que para k = 2 se tiene Re Ai|2 < 0; para k = 1 una de las raíces es positiva. Por tanto, el punto de equilibrio (2,1) es estable, mientras que el punto ( - 2 , 1 ) no lo es. •
25.
J-1 = ln (1
4- sen a^), x : - 2 + (3 sen
- 8)1 ' V
^
•4 Solución. El sistema de ecuaciones l n ( i + X2 + senah) = 0,
2 + ( 3 s e n » ! - 8) V 3 = 0
tiene los siguientes pares de raíces reales: (kn, 0), donde k £ Z. Al igual que en los ejemplos anteriores, hacemos los cambios de variable íci = kir +£\, x2 = s2, y por el método ya
Ijííad y trayectorias de fase i rf.1
i
conocido obtenemos un sistema de ecuaciones lineales respecto a las perturbaciones pequeñas £\,£ 2 : É]
= e2 + (-1)%,
&
H)*^I,
Las raíces de la ecuación característica de este sistema son
Apliquemos ahora el primer teorema de Liapunov, p. 1.2: si k — 2n + 1, entonces Re A] 2 < 0 y los puntos de equilibrio ((2n + 1)tt, 0) son asintóticamente estables; si k ~ 2n, entonces • Re A] > 0 y los puntos de equilibrio (2m7t, 0) son inestables. Investigar la estabilidad de las soluciones de las siguientes ecuaciones:
26. M Solución. Sea e(t) una perturbación pequeña de la solución general x = C\ sen 31 +
eos 3t + - sen t
8
de la ecuación dada. Mediante el cambio de variable 1 x = Ci sen 31 + C2 eos 3t + - sen t + £{t), 8 obtenemos de manera usual la siguiente ecuación respecto a la función e = £{t): s + 9e - 0, cuya solución general es £(t) = A$en3t + Bcos3t. Esto implica que si en el instante inicial la perturbación era pequefía (\/A2 + B2 < 6), entonces en virtud de la estimación |£(í)| < VA2 + B2 < 6 = £, la misma seguirá siendo pequeña Vi > ¿o- De este modo, todas las soluciones de la ecuación inicial son estables (no se tiene estabilidad asintótica, pues £(t) 0 cuando t — + o o ) . •
27.
* 4 4 * + ' . 0 * =* t. , ' i >' A. >
• i,
f
' »i
, -
>t i i»l
< Solución. Para analizar la estabilidad de la solución general 2
x(t) = Cj +
e~ 2í (C
eos t + C 3 sen i) + - - - — < 1U <¿3 de la ecuación inicial, introducimos una perturbación £ — £(/), haciendo í 2 - —t 4 + e(í). x = C\ + e 2 i (C 2 eos í + C 3 sen t) + — 10 25 Entonces, respecto a e(í) obtenemos la ecuación 2
£ +4£ + 5é = 0, a partir de la cual hallamos s(t) = Ai + e~2t (Á2 eos t + A3 sen í ) . De aquí vemos que si |-4,¡ -h ^JA\ + Aj < S (pequeñas perturbaciones iniciales), entonces para t > tg también tendremos )e(¿)| < \Ai\ + \fA\ + Al < 6 = e, donde e > 0 es un número fijado de antemano. Por consiguiente, todas las soluciones de la ecuación original son estables (estabilidad asintótica no hay, • debido a que lim x(t) =¡¿ 0), t—*+00
28.
Hallar la solución periódica de la ecuación x - f j ss'Jji e in\i'-íi>Viv i'sMlviid.kl ' , '.j,,, j
Solución. De la solución general de la ecuación dada se deduce la solución periódica 1 x{t) = -(eos t — sen t). Haciendo el cambio de variable x — x(¿) + e(í), obtenemos la siguiente ecuación respecto a la función e = e(í): £
+£ = 0,
cuya solución general £(t) = Cíe" 1 + et/2 (c2
eos
+ C3 sen
—t
'j B
no está acotada en un entorno de t = oo. Por consiguiente, la solución periódica obtenida es inestable, > !¡ En los problemas siguientes, investigar la estabilidad de la solución nula construyendo la función de Liapunov y aplicando el teorema de Chetáev o de Liapunov.
Solución. La función diferenciable v = v(x\, x2) — x] x\ satisface las condiciones a) v(xi, x2) > 0 para x2 + x\ / 0, v(0,0) = 0; dv dv dv b) - r = — + = 2xi{x 2 - xi + Xix 2 ) + dt OX\ OXz 2x2(xi - x 2 ~ x \ - xl) = ~2((xi - x2f + x\) ^ 0. Por consiguiente, según el segundo teorema de Liapunov, p. 1.3, podemos afirmar que la solución nula es estable. Además, por cuanto la superficie z = 2 ((ai ~x2)2 + x\) tiene forma de taza, existe un entorno suficientemente pequeño dv ) < 6i < ||ar|| ^ Sz, tal que -— ^ < 0, donde ¡3 es cierto dt lúmero. Por tanto, la solución nula también es asintóticamente ;stable. • l,
30.
X] = 2x1 - / l í»=r -jt,
- x] + x\.
olución. Dado que en un entorno pequeño del punto (0,0) i función diferenciable v = v(x\, x2) = x\ + x\ satisface las Midíciones a) v(x\, xj) > 0 para x\ + x2 0, i>(0, 0) = 0, dv t * i c b) — = 2^i (2^2 - je?) + 4XÍÍ-XI - x\ + x2) = dt ~2{x\ + x\~2x\) <0, itonces, según el segundo teorema de Liapunov, p. 1.3, la solución ila es estable. • ra,-
í VijiVffiÉHí i I I 31*
-t s¿£ ~
i * Pí^Vs'
*¿ = r - 2*-.
4 Solución, La función « = v(xirx2)
¡ñl'fefflli
~ lxi + xif
+ ~x2 es diferen-
dable, no negativa para x\ + x2 -fi 0 y v(Q, 0) = 0. Su derivada dv total — , en virtud de las ecuaciones del sistema dado, es dt dv 3 4 = 2 ( x i + x2)(xi
+ x2) -t- 2x2xt
=
0.
-6x2
dt Por consiguiente, según el segundo teorema de Liapunov (v. p. 1.3), la solución nula es estable. •
ó¿.
X] ~ Xi ~ xz - JTjJSj, x2 - 2 j \ - x2 -
x?.
•4 Solución. ínicialmente comprobemos que la función diferenciable v = v(xi,x2)
= X\ - Xix2 -f -x2
satisface las condiciones del
segundo teorema de Liapunov, p. 1.3. En efecto, v{X), x2) > 0 para x] + x\ fi 0 {2v = (a?] - x2f
+ ®f > 0)- y v(0,0) - 0;
dv — - (2®! - x2)¿i + (x2 - Xi)¿2 ~ ~xí((x 1 - x2f dt De este modo, la solución nula es estable. •
33.
x\ = - sen
—
+ X?) ^ 0.
,,J"
Solución. Se puede escoger la función de Liapunov 1 , v{xx,x2) = -xx + 1 - eos x2. Es evidente que en cierto entorno pequeño del punto (0,0), excluyendo el propio punto, se tiene que v(xi, x2) > 0. Luego, dv a partir del sistema inicial obtenemos que la derivada total — es di dv — = X\±i + sen x 2 • x2 — xh— sen®2) + sen x-, = 0. dt Consiguientemente, la solución nula es estable. • -esfflw
lí(Ía| y. trayectorias do fase (Mhj^MVMny »„' í I ' i- i11
3
4
^gn/^'^gn'a,
*
t =a
z
donde
1,2,3,4.
Solución. Tomemos la siguiente función de Liapunov: ü(«i,x 2 ) = J
h{z)dz
+ J
f2(z)
dz.
o o Es evidente que v(0,0) = 0. En virtud de la condición sgn f¡(z) ~ sgn z, las integrales «2 J
Mz)dz,
J
h(z)dz
o o ion positivas para x\ -f- 0, x2 0, respectivamente (consideramos ]ue las funciones /,• son continuas). Finalmente, la derivada total es dv = /3Í®l)aftl + /2(«2)«2 = = -/3(2l)(/t(®l) + fl&l))
+ /2{®2)(/3(®l) - /l(®2)) =
= ~{Mxi)fl{xx) + f2(X2)ft(X2)) a multiplicación de dos funciones de igual signo es no negativa); or tanto, la solución nula es estable. •
35.
xi~x¡-
x2r t7 =r a-! + r],
ílución. La función v = v(x¡ , x-¿) = x\ + x\ satisface las condimes a) v(xj, xo) > 0 en la región V: x¡ + x2 0. En la frontera de la región V (en el punto (0,0)) se tiene v(0,0) 0. b) ~ = 2x-i±i + 2a;2á:2 = 2x\{x\ - x2) + 2x2(x\ -f £2) uc 2(x\ + x2) > 0 para (xu x2) £ V.
=
• consiguiente, según el teorema de Chetáev (v. p. 1.3), la ición nula es inestable (señalemos que en calidad de función = w(x) aquí se puede tomar la expresión w — 2{x\ + x*)). •
Solución. En calidad de función de Liapunov escogemos la función v(x\, x2) = xxx2 en la región V: X\ > 0 A 0 < x2 < 1. Es evidente que v{0, x2) = v{x\, 0) = 0 , y que el punto de reposo (0,0) pertenece a la frontera de la región V. Además, tenemos que v > 0 en toda la región V (para todo t), y la derivada total ~ = x i ( l - x2)(x\ + X 2 ) + » 2 = w(xi,íbz) > 0 en V. dt Por consiguiente, según el teorema de Chetáev, la solución nula es inestable. •
37.
x,
-
XiX
*z
•4 Solución. Veamos la función v = v{x\,x2) = x\ - x\ en la región V: x\ < 1A x2 > |a5i |. En una parte de la frontera de dicha región (para ||x|| £0 — 1) tenemos que v = 0 (el punto (0,0) pertenece a la frontera de la región F ) . Además, en V la función v = v(x\, x2) > 0. Considerando las ecuaciones del sistema inicial, obtenemos que la derivada total ~ =2(x\ + £2 + (l ~xi)x2xl) > 0 en V. dt De esta manera, se cumplen todas las condiciones del teorema de Chetáev, lo cual significa que la solución nula del sistema dado es inestable. •
38. .Para que v,iKm>s di- a el ^Mcnu de eahKiiinL'S,, r¡ • .fi • ns. - .i-", .r ; •-- -x- lieiv un punió di- r v p o w j estable en = 0, x2 = 11? Solución. Despreciemos los términos no lineales en los segundos miembros de las ecuaciones y apliquemos el teorema de Liapunov de análisis de estabilidad mediante la primera aproximación. La ecuación característica A2 - a A + 1 = 0 del sistema lineal x\ = x2 + axi,
a x2 — —X] tiene las raíces Ajj = — ± \
a2
1.
r ^ i ^ ^ e c t o ^ a a de fase ; • f>
JmmñM^'/
De aquí se deduce que Re A < 0 si a < 0. En ese caso, conforme al teorema de Liapunov, la solución nula es asintóticamente estable. Si a > 0, según el teorema citado, la solución xx = 0, x2 — 0 es inestable. Si a = 0, utilizando solamente el teorema indicado no podemos decir nada acerca de la estabilidad. Sea a = 0. Escojamos la función v = v(x¡,x2) = x2 + x\ en la región V: x\ + x\ fi 0. Dado que v(xx,x2) > 0 en V, dv 6 6 •»;(0,0) = 0 y ~ = - a ¡ i - a ; 2 ^ _ ^ < 0 e n e l exterior de cierto entorno del origen de coordenadas, entonces, según el segundo teorema de Liapunov, p. 1.3, la solución nula es asintóticamente estable. Así pues, concluimos que para a ^ 0 la solución nula es asintóticamente estable, mientras que para a > 0 es inestable. • En los problemas 39-46, investigar la estabilidad de la solución nula analizando el signo de las partes reales de las raíces del polinomio característico con coeficientes reales.
m
+ 2x
-+- 3± f 2x - 0.
Solución. Para analizar la estabilidad de la solución nula utilizaremos el criterio de Routh—Hurwitz. En este caso la matriz de Hurwitz tiene la forma
(2
1 0 0\
3 4 2 1 0 2 3 4
\0 0 0 2/ Por cuanto sus menores principales Ai - aj = 2 > 0,
A =
2 1 3 4
5 > 0,
0 0 2 1 = 7 > 0, A,= 3 3 4 = 14 > 0, 0 0 2 entonces, según el criterio mencionado, las partes reales de todas las raíces de la ecuación característica A4 + 2A3 + 4A2 + 3A + 2 son negativas, lo cual implica que la solución nula es asintóticamente estable. •
2
IPfy
40.
xv + V F 5 x " l f H 6x" + Sos' + 2* « 0 . , "
Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, apliquemos el criterio de Routh—Hurwitz. La matriz de Hurwitz ¡2 1 0 0 0\ 6 5 2 1 0 2 5 6 5 2 0 0 2 5 6 \ 0 0 0 0 2} tiene los menores principales A, = 2 > 0, 2 6 A¿ = 2 0
A2 1 5 5 0
2 1 = = 4 > 0, 6 5 0 2 6 2
0 1 = 16 > 0, 5 5
2 10 A 3 = 6 5 2 = 8 > 0, 2 5 6
A 5 = 2A 4 = 32 > 0.
Por tanto, según el criterio mencionado, las partes reales de todas las raíces del polinomio A5 + 2A4 + 5A3 + 6A2 + 5A + 2 son negativas, lo cual significa que la solución nula es asin Icticamente estable. •
41.
j- v -r 4J- iv ' 1 6 t " + 25a" I - 1 3 / \
Solución. Apliquemos el matriz de Hurwitz / 4 25 9 0 \ o
- 0
'••"ÍÍ4
criterio de Liénard—Chipar t. Para la 1 16 13 0 o
0 4 25 9
0 1 16 13
o o
0 \ 0 4 25 9 y
los menores diagonales principales que nos interesan son todos positivos 4 1 25 16 = 39 > 0,
A4
j 4 25 9 0
1 16 13 0
0 4 25 9
0 1 = 5210 > 0, 16 13
•a
y a uy celo das de fase
^«^p.aü i
y todos los coeficientes de la ecuación característica X5 + 4A4 + 16A3 4- 25A2 + 13A 4- 9 = 0 son positivos; por tanto, según el criterio citado, las partes reales de todas las raíces son negativas, y esto implica que la solución nula es asintóticamente estable. •
*IV 4- 2x"' >• bx" - 5 / - fxr - 0.
•4 Solución. La matriz de Hurwitz /2 1 0 5 6 2 0 6 5 \0 0 0
0 1 6 6
tiene menores diagonales principales positivos: 2 10 A 3 = 5 6 2 = 11 > 0. 0 6 5
Ai - 2 > 0,
Dado que todos los coeficientes de la ecuación característica A4 + 2A3 + 6A2 + 5A + 6 = 0 son positivos, según el criterio de Liénard—Chipart, las partes reales de todas las raíces de dicha ecuación son negativas. De esta manera, tenemos una estabilidad asintótica. •
43.
j- v )
« 4 * ' " -i •te" •+
2x = ü.
A Solución^ Para investigar la estabilidad emplearemos el criterio de Mijáilov. En el caso dado, las raíces de los polinomios J»(0 = 2-3Í son: £1,2 = 1,2;
-
+ Í2, 3 5
q{V) = if - 4tj +
j
por consiguiente, 0 < & < í/i < £¡ <
Como vemos, se cumplen todas las condiciones del criterio de Mijáilov (v. p. 1.4), por lo que podemos concluir que la solución nula es asintóticamente estable. •
9$
44.
W'^a/'^toasO.'
M Solución. Utilicemos los criterios anteriormente empleados. Dado que a 0 = 1, a\ = 1, a2 — 1, «3 — 2, los menores diagonales principales de la matriz de Hurwitz son Aj=l>0,
A2 •
1 1 2 1
= - 1 < 0,
1 1 0 A 3 = 2 1 1 = - 2 < 0. 0 0 2
Por tanto, según el criterio de Routh—Hurwitz, no todas las partes reales de las raíces de la ecuación A3 + A2 + A + 2 = 0
m
son negativas, lo cual implica que la solución nula no es estable asintóticamente. Por cuanto las raíces de los polinomios m
= 2-Í,
íW = 1-»?
no satisfacen la desigualdad 0 < £1 < r¡i, según el criterio de Mijáilov podemos afirmar que no todas las raíces de la ecuación /(A) = 0 tienen partes reales negativas. Supongamos ahora que al menos una de las raíces de la ecuación /(A) = 0 es un número imaginario puro. Entonces, evidentemente, ambas ecuaciones 2 — ui2 = 0 y w( 1 - w2) 0 deben tener las mismas raíces reales. Sin embargo, dado que no se tienen raíces comunes, hemos llegado a una contradicción. De este modo, la ecuación /(A) = 0 tiene obligatoriamente una raíz con parte real positiva, lo cual significa que la solución nula es inestable. •
45.
x f V + 2x" •<• 3 / + 7x' , 2x
0.
i ,yj¡,"i' J ítlíftóiíit!
M Solución. Los primeros menores diagonales principales de la matriz de Hurwitz son Ai = 2,
A2
2 1 \7 3 = - 1 .
ífíllpcf y tfoyéctorlas do fase
Por tanto, no todas las raíces de la ecuación /(A) = A4 + 2 A3 + 3A2 + 7A + 2 = 0 tienen partes reales negativas. Supongamos que la parte real de una de las raíces es nula: A — iw. Entonces tenemos w4 - 2iu)3 3w2 + 7w + 2 = 0, o bien - 3w2 + 2 = 0 A -2w 3 + 7u¡ - 0. La última relación demuestra que nuestra suposición es imposible; por consiguiente, al menos una raíz tiene parte real positiva, y esto significa que la solución nula es inestable. •
4 6 . • ®v h 5./:,v' + 15*'" + 48»" - 44x' - 74a: = 0. < Solución. Utilicemos el criterio de Mijáilov. Aquí 48£ + 5£ 2 , ¥¡(i}) = 44 ~ 15?? + rf, an = 74 > 0, Además, las raíces 6,2 =
"'"'"": = 74 = 44 > 0.
24 T V m
~ 1,9; 5,7; = 4; 11, o de las ecuaciones p(£) = 0, q(r¡) = 0 satisfacen las desigualdades 0 < £i < f¡\ < £2 < V2- Por consiguiente, la solución nula es asintóticamente estable. • B En los problemas siguientes (47-51), determinar para qué valores de los parámetros a y & la solución nula es asintóticamente estable.
47.
x"'
3x" i. ax' :- bx = t). | f j j
< Solución. Construyendo la matriz de Hurwitz 3 1 0 b a 3 , 0 0 i» vemos que todos sus menores diagonales principales son positivos si 3a - b > 0 y b(3a - b) > 0. Consecuentemente, para 3a > b > 0 la solución nula es asintóticamente estable. • tliíf Í&1 f
-
-
1
, "i. i*. « i . > VI v 11 , > >
< Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, construimos la matriz de Hurwitz 1 a 0 0 I l l a 0 6 1 1 0 0 0 6 y calculamos sus menores diagonales principales 1 a = 1 — a; 1 1
Ai = 1 > 0;
A3-
1 a 0 1 1 1 = 1 - a - b; 0 6 1
A 4 = 6{1 - a - b).
Según el criterio de Routh—Hurwitz, para que haya estabilidad asintótica es necesario y suficiente que se cumpla la relación l - a > 0 A l — a — 6>0A6(1 — a - 6 ) > 0 A a > 0 . Resolviendo este sistema de desigualdades obtenemos las condiciones requeridas: a > 0, í> > 0, a 4- & < 1. •
49.
a: !v i- ax'" i 4 * " + 2x' + hx = 0.
••
-
.-«AU
<4 Solución. Aplicando el criterio de Liénard—Chipart, obtenemos A j = a > 0,
b > 0,
, A3
a 1 0 = 2 4 a = 8a - a 6 - 4 > 0. 0 6 2
Vemos que la estabilidad asintótica se observa si se cumplen las desigualdades a¡ < a < a2/
0 < b < 4;
a
u
— (4 =F 2a/4 - b)b~\
•
-'¡f
líafobüiííad yi trayectorias de fase
V|IV W ' t M^M MI" ' M'llllI'^/aiul'nY ) • 1, . 5 0 ; , ^ í . ^ + V + W + a - d ; * , .W'.fA'.': n I .r-y.'Si,!'
. Ci
í* l.'-'l'Vl»
Solución. Análogamente al ejemplo anterior tenemos Ai = ai > 0,
6 > 0,
A 3 = a5 14 0a = 4ab - a2 - b2 > 0, 0 1 b
de donde hallamos las condiciones de estabilidad asintótica: 2-\/3<^<24-v/3
51.
(a > 0, 6 > 0).
•
x" i- x" 4 (I X + 5a í = 0. Hallar la región de cstabi*
Solución. Apliquemos el criterio de Liénard—Chipart. Por cuanto « a > 0,
A 1 1 = a(a - 5) > 0, A2 = L 2 5a a
tenemos que la solución nula es asintóticamente estable si a > 5. Sea 0 < a < 5. Suponiendo que una de las raíces de la ecuación /(A) = A3 + A2 + a 2 A + 5a = 0 es un número imaginario puro, llegamos a una contradicción, pues f{iu)) = — ib? — LO2 4- ia2u + 5 = 0 =4» w2 = 5a A w2 = a2. Esto significa que para a < 5 no hay estabilidad. Si a = 5, a partir de las últimas expresiones se deduce que Ai,2 = ±5¿. No es difícil hallar que A3 = - 1 . De esta manera, para a = 5 la solución nula es estable {no hay estabilidad asintótica debido a que no existe lim e(í), donde e(t) es la solución perturbada). • í^+oo
52. I n péndulo e-l.i turm.idi' J . v r ii!'.a b,i¡r.i nt-.id.i .le longitud l y un cuerpo de masa m unido al extremo libre {fig. 2). Dos muelles de rigidez k están unidos a la barra a una distancia a del punto de fijación. Determinar la condición de equilibrio del péndulo en la posición superior.
í 02
, I, "i , •Íií'lwíilliiji^^^^^^ A Solución. Sea
U
Fig.2
X 2 2 2 2 L — -mi íp ka ip mgl eos
fdL\ dL 2 , 2 1 I = mí + 2ka tp - mgl sen
donde o =
2 ka
— mgl
. Es evidente que para A ^ 0 no hay estabi-
lidad (el ángulo
53.
n
M'U-m.1 mi'i anii u ivpn-eii!.id.i en L í"i>;ur.i ,1 gíi
ilp'di-diT di-I t¡e Mi o'ii 11:1.1 ve!ui-id..d anjrnlar a>n>-!ciiiti: uiy; l n i iicr¡M de ui.i-i.1 M pikMi- move^e lo largo del eje vertical AB. Determinar l.i |'0-icn':i d-- equi;it>r:.ri de cr-íenu (desprecia)' las masas de las barras). Solución. Para construir la función de Lagrange calculamos las energías cinética y poFig.3
|pli]ti3e(á'yJtrnytícl:oríí>9 de fase, m B t t í S r f f i * ' ^'
•'
tendal del sistema. Tenemos: , M x 2 , K = ma2$2 - y - + Jv , donde I — ma 2 sen2 6, x ~ \CD\ = 2a eos 9. Por tanto, K = ma2é2 + 2Ma2é2
sen2 9 + maw2
sen2 9.
La energía potencial del sistema se analiza respecto al punto B (\CB\ — 2a), pues el sistema no puede alcanzar posiciones inferiores a dicho punto. Es evidente que U = 2mg\K B\+Mg\DB\ =
2mg(2a-acosO)+Mg{2a-2acos9).
De este modo, la función de Lagrange tiene la forma L = (m + 2M sen2 0)a2é2 +
in« 2 w 2
+
sen2
6 + 2ga(m + M) eos 6> - 2ag(2m + M),
y la ecuación de Lagrange es d (0L\
dL
,
4- 2a1 MO1 sen 20 + 2ga(M + m) sen 6 - ma2w2 sen 26» = 0.
(1)
En la posición de equilibrio 8 = 0, 8 = 0; por tanto, a partir de (1) podemos hallar el ángulo de equilibrio 8q, el cual verifica la igualdad sen &o {g(M + m) - mauf eos # 0 ) - 0. De aquí se deducen los valores posibles del ángulo &o'0Q = 0,
g(M + rn) eos 0O = «i < i. mau)¿
Realizando los cambios de variables X\ — 0, ¿r2 = Q, representamos la ecuación (1) en forma del sistema 'xi = x2, mu>2 ± 2 =
;Í04
J ¿
g 2 sen2si—(M + m)senxi-Mxzsen2xi « (m+2Afsen 2 a:i)
\¿)
Analicemos la estabilidad del punto de equilibrio (0,0). Haciendo corresponder al sistema (2) el sistema de ecuaciones linea liza do ±i = x2,
x2 -
^u>2 - |
+
«i
y calculando las raíces \l2
=
y
W,22
8 a
( M f- 1 \m
de su ecuación característica, observamos que para maw2 > g(M + m) el punto de equilibrio (0,0) es inestable por el primer teorema de Liapunov. Sea maw2 ^ g{M + m). Tomando la función de Liapunov v = x\ (m + 2 M sen2 ati) 4- 2(1 - eos »i) x í , \ 2 2X\ \ ~{M + m) - mw eos — , \a 2 J la cual satisface las condiciones íj(0, 0) — 0, v(x\, x2) > 0 para 1 0 < x2 + x\ < -, v{x\, x2) s 0, concluimos, en virtud del segundo teorema, que el punto de equilibrio (0,0) es estable. Analicemos ahora la estabilidad del equilibrio en el punto (00,0). Cambiando las variables x\ = 0O + yu x2 = y2 en la expresión de la función de Liapunov del caso anterior y exigiendo que v(0,0) = 0, obtenemos v(:!A, Vi) - yi{m + 2 M sen2(ó>u + yij)
+ (eos (9{) + y x ) - eos 0Q) x
x ^tow 2 (eos (0O -i- yx) 4- eos 60) -
4- m ) ^ .
La derivada f'(yi)
= »
2
[ • — ( M + m) - eos (0Q + yj) ) sen(0o + Vi), \ amu ¿ )
donde f(Vi) = (eos ($0 + yj)-
eos d0) x
mti?2 (eos (0O + ffi) + eos 0O) - ^ ( M + m ) ^ , satisface las condiciones /'(0) = 0, f'iyi) > 0 para f> > y-, > 0, y fiy\) < 0 para -6 < yx < 0. De este modo, la función / tiene im
y trayectoria'; de fase ppüg'.'f1;1!, un mínimo estricto en el origen de coordenadas. Por consiguiente, la función v — v(y¡, y2) también tiene un mínimo estricto en el punto (0, 0). En virtud del sistema V\ Íl2
yi> muí — sen 2(0O + JL -My\
Vl)
2 - -(M CL
sen 2(0O + yí)
+ m) sen(90 + yx) 1
m + 2Jlísen 2 (flo + ífi)'
tenemos que v{yi,y2) = 0. Por tanto, conforme al teorema de Liapunov, el punto (0,0) en el plano y\Oy2 es estable, es decir, el punto (#0/0) en el plano xi Ox2 es estable. •
§2. Puntos singulares 2.1. Definición de punto singular. Clasificación Supongamos que en el sistema de ecuaciones diferenciales dx
dy — = N(x, y) (1) x dt dt las funciones M,N son diferenciabas con continuidad en cierto entorno del punto (xg, y$) y se anulan simultáneamente en dicho punto, es decir, M{x0r y0) - 0, N(xih y0) - 0. = M(x, y),
Definición. Un punto (®o, j/o) en cuyo entorno las funciones M,N son diferenciables con continuidad y M(xü, yü) = N{x(), y0) = 0, se denomina punto singular del sistema (1) en el plano Oxy. En el caso más simple, cuando M y N son lineales, es decir, M(x, y) = ax + by, N(x, y) = ex + dy, donde a, b, c, d son constantes, la investigación de los puntos singulares se realiza según el esquema siguiente. Primero se hallan las raíces A¡>2 de la ecuación característica -A c •a h£
b = 0. d—A
(2)
Punlob angulares! i
PV.'IUÍJ .atíÉ-Wjiíí
Si las raíces son reales, > 0 y Aj fi A2, entonces el punto singular se denomina nodo (el gráfico de las curvas integrales en un entorno del origen de coordenadas recuerda una familia de parábolas cuyos vértices coinciden con el punto (0,0)). Si las raíces tienen signos diferentes, entonces el punto singular se denomina punto de silla, y las curvas integrales representan una familia de hipérbolas un poco deformadas. Si las raíces son complejas, pero Re A 12 fi 0, entonces el punto singular se denomina foco, y las curvas integrales tienen forma de espirales que se enrollan alrededor del origen de coordenadas. Si Re ~ 0, pero Im A12 fi 0, entonces el punto singular se denomina centro. En este caso las curvas integrales son cerradas y abarcan el origen de coordenadas. Además de estos puntos singulares fundamentales, se distinguen los siguientes: el nodo degenerado (A-j = A2 fi 0) y el nodo dicrítico (tiene lugar sólo cuando el sistema es de la forma dx dy — = a s e , — =ay, a f i 0). dt dt Cuando los puntos singulares son nodos y puntos de silla, el sistema de ecuaciones (1) tiene soluciones representadas por rectas que pasan por el origen de coordenadas. Las direcciones de estas rectas están determinadas por los vectores propios de la matriz
En el caso de un nodo las curvas integrales son tangentes al vector propio correspondiente al A de menor valor absoluto. Para determinar el sentido del movimiento por la trayectoria es suficiente construir en algún punto (x, y) el vector velocidad (x, y).
2.2. Métodos prácticos de estudio de las singularidades Supongamos que en cierto entorno de un punto singular (xo, yo) del sistema (1), donde se ha introducido un sistema de coordenadas cartesianas Oxij/i según las fórmulas x — x 0 + x\, y = y0 + y\, los segundos miembros del sistema se pueden representar en la
y trayectorias tile fase
forma M(x, y) ~ M(x0 + xuy0
+ yi) = axx + byi +
a(xuy{),
N(x, y) = N(xü + xlf y0 + yx) = ex i 4- dyx + p(xu
yx),
donde a , b , c , d son constantes y las funciones a , p son tales que se verifican las siguientes estimaciones afei/yi) rl+s
p{xi,yi) rl+e
^
U
cuando r —* Q (s > 0), r = ^Jx\ + y\. Entonces, si Re A ^ 0, donde A se determina a partir de la ecuación (2), el punto singular (x^, yo) del sistema (1) es del mismo tipo que el punto singular (0,0) del sistema dx\ ~ - a x at
1
+ byi,
dy\ — = cx-¡ + dyv. dt
(3)
Si para el sistema (3) el punto singular es un centro, entonces para el sistema dx i
+ byx +
a(Xj,yi), <4>
dyi ~- = CXi+ dyi + p{xx, yi), dt el punto puede ser tanto un centro como un foco. Si las trayectorias del sistema {4} tienen un eje de simetría que pasa por el punto singular analizado, entonces dicho punto es también un centro para el sistema (4). Pasando del sistema (4) a la ecuación dy _ N{x, y) dx
M(x, y)'
[ }
es fácil hallar el eje de simetría. Si la ecuación (5) no varía al cambiar x por - x , o y por —y, entonces el centro del sistema (3) es centro del sistema (4). Un foco se tiene solamente cuando la solución nula del sistema (1), después de una traslación paralela del sistema de coordenadas al punto singular, es asintóticamente estable cuando t -* 4-oc o cuando t —oo. 108
H En los problemas 54-63, investigar los puntos singulares y representar gráficamente la familia de curvas integrales en un entorno del punto singular.
54.
x ~ x + 3y, y = -hs
, *.ti'1tU tí i,. •
- 5y.
Solución. Construimos y resolvemos la ecuación característica: ~¡A
- 5 - A H
y, i
^=
Como Re Aj^ < 0, el punto (0,0) es un foco estable (fig. 4). Para determinar el sentido en que se enrollan las curvas integrales (espirales), construimos el vector velocidad en el punto (1,0): x = 1, y = - 6 . •
55.
Fig. 4
x - - 2 x - 5y, y - 2x + 2y.
M Solución. La ecuación característica -2-A -5 0 2
(-5,2)
2 - A
tiene raíces = ü V 6 . Por consiguiente, el punto singular es un centro. El sentido del movimiento por la trayectoria se determina mediante el vector velocidad en el punto (0,1) (fig. 5): (±(0,1); j ( 0 , l ) )
Fig. 5 =(-5;2)
Para determinar las ecuaciones de las rectas y — kx en las cuales están situados los ejes de las elipses debemos hallar los extremos de la función / = f(x, y) — x2 + y1, bajo las condiciones y — = k y x — —2x — 5y, y = 2x + 2y. De la condición necesaria x
íÉsUHnliüad y trayecto; ¡as de fase j^apftulo,^'^ ff de ¡os extremos, obtenemos la ecuación df ~ = 2xx -f 2yy = 0, dt a partir de la cual, después de sustituir las expresiones de x,y, y — kx y de simplificar por x2, llegamos a la ecuación 2k 2 - 3fe - 2 = 0. Así pues, los ejes de todas las elipses están situados en las rectas x y - 2x, y~-~. •
56.
ii
,t = 3;c - 4y, y = X - 2y. kSíÜí í miWhfíi ViMm'mSí
Solución. De la ecuación 3-A 1 hallamos que Ai;2
1± 3
-4
|
2 •• A
= 0
Las raíces Aj^ son reales y tienen
signos diferentes; por tanto, el punto singular es un punto de silla. En este caso, en la familia de curvas integrales (hipérbolas) hay dos rectas que pasan por el origen de coordenadas: x — t, y = kt (t es un parámetro). Para hallar la pendiente k sustituimos las ecuaciones paramétricas de las rectas en el sistema de ecuaciones diferenciales. Después de excluir el parámetro t obtenemos una ecuación respecto a k: 4k2 - 5k + 1 = 0, de donde hallamos kx — l, 1 «2 = - . Por consiguiente, entre Fig. 6
las curvas integrales tenemos x las rectas y — x, y — - (fig. 6).
,Punto^ singuleirWJí { !ii
Finalmente, construyendo cuatro vectores velocidad wi(0, - 1 ) = (4, 2); vi (l,
^<0,1) = ( - 4 , - 2 ) ;
= (10);
- ^
v4
= (-1,0)
determinamos el sentido del movimiento por las trayectorias. I ' • I* -
5 7 .
x
2.r
3
• Vji
aSIftii : - "j .iw 1 < * j« ''ílftl
y, y — x • 4,y.
•4 Solución. Resolviendo la ecuación característica (2 - A)(4 - A) - 3 = 0 (Ai = 5, A2 = 1), vemos que eí punto singular es un nodo. Hallemos las rectas integrales sustituyendo x = t e y — kt en el sistema inicial. Como resultado obtenemos la ecuación 3Jfc2 - 2k - 1 = 0,
Fig. 7
1 cuyas raíces son k\ — 1, ki = — - . Por consiguiente, las rectas buscadas son y — x, y =
-f(%7).
Tomando A = A2 — 1 en la ecuación 2 1
3 4
e
2
^ -
(A2 es el valor propio de menor valor absoluto de la matriz 2 3 \ 4 ))/ P a r a
coordenadas en, e 12 del vector propio corres-
pondiente al valor propio A2 obtenemos la expresión e n + 3 e i 2 = 0. De aquí, haciendo ei 2 = 1, hallamos eu — - 3 . Por consiguiente,
el vector e¡ = ( - 3 , 1 ) está dirigido a lo largo de la recta y = — —. Esta recta es tangente a todas las curvas integrales, las cuales tienen forma de parábolas situadas a ambos lados de la recta. Los vértices de las parábolas son los puntos de tangencia con la recta. Finalmente, tomando en las ecuaciones iniciales x x = 1; yi = 2; a?2 = — 1, Vi = ~ 2, hallamos dos vectores velocidad t>i(1, 2) = (8,9); w 2 ( - l , - 2 ) = ( - 8 , - 8 ) , que indican el sentido del movimiento por las trayectorias. •
.L' = 3-r
58.
y, y - y - x .
Solución. Primero hallamos las raíces de la ecuación característica 3 - A
l
-1
1-A
AI =
A2
=
= 0; 2.
Vemos que el punto (0,0) es un nodo degenerado. De la ecuación (3 — A)en + ei 2 = 0, tomando arbitrariamente ei2 = 1, para A = 2 p¡g g obtenemos en = - 1 , De este modo, la recta y = -x es una curva integral y todas las curvas integrales son tangentes a ella en el origen de coordenadas (fig. 8). Utilizando la tabla X
-2
-1
0
1
2
-2
-1
1
2
-2
-1
1
2
y
-4
-2
0
2
4
-2
-1
1
2
0
0
0
0
X
-10
-5
0
5
10
-8
-4
4
8
-6
-3
3
6
y
-2
-1
0
1
2
0
0
0
0
2
1
-1
-2
construimos los vectores velocidad (campo direccional), y a partir de ellos, las curvas integrales. •
•"«•"ice *
'SípIifflfFPSf 59.
ij-
Solución . De la ecuación característica -2-A 1 -4 2-A se deduce que Ai = A2 = 0. Esto significa que los coeficientes de las ecuaciones dadas son proporcionales. Por consiguiente, la recta y = 2x esta formada por puntos singulares. La familia de curvas integrales se halla fácilmente a partir de la ecuación
Fig. 9
— = 2 => y = 2x + C (CfiO). dx Físicamente, la familia de curvas integrales representada en la figura 9 se puede interpretar como el retrato de la corriente laminar de dos flujos líquidos que se mueven al encuentro. Además, en ambos flujos el valor absoluto de la velocidad de la corriente crece a medida que nos alejamos de la línea de separación {y = 2x), donde la velocidad es igual a cero. •
60.
iS
X 5= x, y = y.
Solución. Construyendo y resolviendo la ecuación característica hallamos las raíces Ai = A2 = 1. Esto significa que el punto (0,0) es un nodo dicrítico. Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones iniciales e integrando el resultado, obtenemos la familia de rectas y = kx, x = 0 (fig. 10). Por cuanto Re Ax,2 > 0, concluimos que el nodo es inestable. •
Fig. 10
••BiaSi^v-" T.V"" • l l l ^ l j f ' o ; ^ — 0.
•
' "• • w i U : : 'i
•4 Solución. Es evidente que todo el plano Oxy esta formado por puntos singulares. La familia de curvas integrales en el plano Oxy no existe. • Nota. En el espacio Oxyt las curvas integrales son rectas paralelas al eje Oí,
62. Solución. Resolviendo la ecuación característica 3-A
-2
4
-1-A
hallamos las raíces A u = 1 ± 2 i. Por consiguiente, el punto singular es un foco. Para determinar el sentido del giro de las curvas integrales (espirales) hacemos x = 1, y = 0 en el sistema de ecuaciones x = 3x — 2 y, y =
4x-y.
Entonces, teniendo en cuenta el sentido del vector velocidad v ( l , 0 ) = (3,4) y que el foco es inestable, concluimos que cuando nos alejamos del origen de coordenadas el sentido del movimiento por la espiral es contrario al de las agujas del reloj (fig. 11). • Nota. Acerca de la estabilidad del punto singular de la ecuación original no se puede decir nada, pues al cambiar t por —t la ecuación no varía y las trayectorias del movimiento (curvas integrales) no son cerradas, lo cual implica que en este caso la estabilidad depende del sentido del movimiento por la trayectoria. 11A
63*
y -
• • ••• ,• •
3x + 4y
aCÜ
•4 Solución. Construyendo y resolviendo la ecuación 3-A 4 = 0; 2 1— A Ai — 5,
A2 = - 1 ,
vemos que el punto singular es un punto de silla. Haciendo el cambio de variable y = kx en la ecuación diferencial, hallamos las rectas integrales (asíntotas de la familia de hipérbolas deformadas). Tenemos: 2 +fe 3 + 4fe
'
ki =
Fig.12 1 2'
k2 =
-1.
De esta manera, las rectas buscadas son x y -x. V = El punto singular es inestable (en el caso dado, a diferencia de los anteriores, el carácter de la solución trivial no depende del sentido del movimiento por las trayectorias). La forma aproximada de la familia de curvas integrales está representada en la figura 12. • 1
En los problemas 64-70, hallar e investigar los puntos singulares de las ecuaciones y sistemas dados.
64.
y
=
lx + y
•
'•"áa
x - ly - 5
4 Solución. Del sistema de ecuaciones 2x + y - 0,
x - 2y - 5 = 0,
hallamos las coordenadas del punto singular: x = 1, y — - 2 . Luego trasladamos el origen de coordenadas a dicho punto: x = 1+ 6
y=-2
+ rj.
Como resultado llegamos a la ecuación dn _ 2^ + rj di
~
Z-2t}'
Dado que las raíces de la ecuación característica 11
- A
-2 = 0 1- A son Ay = 1 ± 2i, podemos afirmar que el punto singular es un foco. Tomando £ = 1, i) — 0 en el sistema
v = 2$
+ n,
obtenemos el vector velocidad v(l, 0) = (1,2). Si, además, tenemos en cuenta que para este sistema el punto (0,0) es un foco Fig. 13 inestable, entonces podemos ver sin dificultad que partiendo del origen de coordenadas 0\£r¡ y moviéndonos por las espirales, el sentido de nuestro giro será contrario al de las agujas del reloj (fig-13)Nótese que, al igual que en el ej. 62, acerca de la estabilidad del foco no se puede decir nada. •
'
:-
65.
2y
Solución. Partiendo del sistema 2y = 0,
x2 - y2 - 1
0
hallamos las coordenadas del punto singular: (—1,0), (1,0). Haciendo los cambios de variable x ~ — 1 4y — f], reducimos la ecuación dada a la forma di
e - r f - 2 ?
(1) U
Junto con la ecuación (1), analicemos la ecuación linealizada dr¡
r¡
la cual se obtiene al despreciar los términos no lineales de la ecuación (1). Debido a que las partes reales de las raíces de la ecuación característica correspondiente a esta última ecuación diferencial son diferentes de cero (A|,2 = ±2), y la función
cuando + r¡2 —» 0 (e > 0), entonces, según el p, 2.2, el punto singular de la ecuación (1) es del mismo tipo que el punto singular de la ecuación linealizada. Además, en un entorno pequeño do! punto singular los gráficos de las curvas integrales (1) y de la ecuación linealizada serán aproximadamente iguales (cuanto menor es el entorno, tanto mayor es la coincidencia de los gráficos). De esta manera, el punto ( - 1 , 0 ) es un punto de silla de la ecuación original. Haciendo el cambio de variable x = l + £ , y = t¡, obtenemos la ecuación di} 2 T] =
e - ^ + w
cuya ecuación linealizada es dr]
r¡
T ^ l La ecuación linealizada tiene el punto singular (0,0) que, como se puede deducir a partir de la ecuación
es un nodo dicrítico. Por la misma razón mencionada anteriormente, el punto (1,0) también es un nodo dicrítico de la ecuación inicial. •
lSi.á i fVá M f ráyeítbfiae fie */ ' /ase av,'1* W
Ui»<
J|Hjj
iK.^'i y
: 66.
1
• , 11'.'
i• i
x 4- y -(-1
i Solución. A partir del sistema de ecuaciones y + V i + 20x2 = 0, x + + 1 = 0, hallamos los puntos singulares ( 0 , - 1 ) , ( 2 , - 3 ) . Analicemos cada uno de ellos. Mediante los cambios de variable a? = y = —1-i-rj, la ecuación dada se reduce a 75 , - 1 + (i + 20O 1/4 ^+ - yí2 + °(ñ dj} d€ Z +V La ecuación linealizada
S +V t) + 5£
dr¡
Í + Í/'
como se deduce de su ecuación característica 1—A 1 5
1- A =
tiene un punto de silla (A]/2 = 1 e -
0'
Además, la función
-7je+o(e)^o(r^),
por tanto, según el p. 2.2, el punto (0, - 1 ) también es un punto de silla de la ecuación diferencial inicial. Haciendo los cambios de variable x — 2 + y = - 3 + r/, a partir de la ecuación inicial obtenemos análogamente 20 V + zjt +
dr¡
Oi?)
Construyendo y resolviendo la ecuación característica 1-A 20
1 = 0;
Ai,2 = 1 ±
27' 27 comprobamos que el punto (0,0) es un nodo. Considerando, además, la expresión 0 ( £ 2 ) = o(r 1 + f ), conforme al p. 2.2 concluimos que el punto (2, —3) también es un nodo de la ecuación diferencial dada. • 1- A
<"'VÍ < ' _ 'vil't , f< w -i"-'.'
r
'
ifis-'1 .--íirfl
Solución. Primeramente hallamos las soluciones reales del sistema de ecuaciones ln (2 - y2) - 0,
e* - c* = 0.
De la primera ecuación obtenemos y — ±1; de la segunda x — ± 1 . Por consiguiente, los puntos ( - 1 , - 1 ) y (1,1) son singulares. Investiguemos ahora cada uno de estos puntos. Mediante los cambios de variable x — ± 1 + y = ± 1 + tj reducimos (as ecuaciones diferenciales iniciales a la forma í = ln ( l =f 2i} ~ V 2 ),
V=
(e ( - e").
De aquí, aplicando la fórmula de Maclaurin, obtenemos Í = T2i) + 0(t?),
f¡ = eM(t-i}
) + 0(r2).
Resolviendo la ecuación característica
correspondiente al sistema linealizado 4 = =F2Í7,
^ = c±1(í-i7),
vemos que el primer punto singular le corresponde el signo superior) es que el segundo es un punto de silla. afirmaciones también son válidas para
68.
.i: --
- y +-2-2,
y
(al primer punto siempre un foco estable, mientras En virtud del p. 2.2, estas el sistema analizado. •
arctg (x1
xy)
Solución, El sistema de ecuaciones yjx1 -y+
2 — 2,
xz + xy~
0,
iyectórífis de fase ifítfWU'í í,'r '
1
',<
<
tiene las soluciones X\ = 0 , x2 — - 2 , x 3 = 1 e yx = - 2 , y2 = 2, y3 = - 1 . Por consiguiente, los puntos {0, - 2 ) ; ( - 2 , 2 ) ; (1, - 1 ) son singulares. Haciendo el cambio de variable x = y — -2 + r¡, reducimos el sistema de ecuaciones dado a la forma í = Ví2-V + 4-2, í/ = arctg £ ( - 2 + £ + í?). Desarrollando los segundos miembros de estas ecuaciones mediante la fórmula de Maclaurin y tomando sólo los términos lineales, obtenemos el sistema linealizado i = V - -2ÍLas raíces de la ecuación característica de este sistema son A | 2 = ±\/2, lo cual implica que el punto singular es un punto de silla. Según el p. 2.2, el punto (0, - 2 ) también es un punto de silla del sistema inicial. Traslademos el origen de coordenadas al punto ( - 2 , 2 ) haciendo x — — 2 + 3/ = 2 + j?. Entonces, el sistema inicial adopta la forma i = - 2 + V<2 - O 2 - V, V = -arctg(277 + 2 £ - £ 2 ) . Aplicando la fórmula de Maclaurin a los segundos miembros de este sistema y despreciando los términos no lineales, obtenemos el sistema linealizado f¡ = —2£ — 2r).
¿ =
3 ± V3 Las raíces de la ecuación característica A];2 — — - — son reales y tienen signos iguales. Por tanto, el punto singular es un nodo. Según el p. 2.2, el punto (—2,2) también es un nodo del sistema inicial. Finalmente, haciendo a¡ = 1 + y — - 1 + t¡, tras una serie de cálculos análogos reducimos las ecuaciones dadas a las ecuaciones lineales i
£
v
í .
Las raíces de la ecuación característica | Ai.2 == — — — I son complejas y Re A¡ 2 ^ 0; por tanto, podemos concluir que el punto singular es un foco, y también lo es para el sistema inicial. •
•4 Solución. Del sistema de ecuaciones y
y - 2 = 0,
2
x = y
2
hallamos las coordenadas de los puntos singulares: ( - 1 , - 1 ) ; ( - 2 , 2 ) ; (1, ~1); (2,2). Haciendo x ~ ± l + £ , y = -1+r/, reducimos el sistema de ecuaciones diferenciales inicial a la forma linealizada í - -V,
V = ±2£ + 2Í?.
A partir de la ecuación característica -A
-1
±2
2- A
0,
y en virtud del p. 2.2, deducimos que el punto (1, —1) es un foco (Aij2 = 1 ± i), mientras que el punto (—1, - 1 ) es un punto de silla (AI/2 = 1 ± \/3). Análogamente, haciendo x = ± 2 + y = 2 -)• r), y tomando sólo los miembros lineales, a partir del sistema dado obtenemos el sistema linealizado £ = 7],
f] - ± 4 | - 4j?.
Resolviendo la ecuación característica - A
1
±4
-4 - A
0
y tomando en cuenta el p. 2.2, concluimos que el punto (2,2) es un punto de silla (Ai¿ = — 2 ± 2 V 5 ) , mientras que el punto ( - 2 , 2 ) es un nodo degenerado (Aij2 = - 2 # 0). •
70.
x^
j ^ f - ' - e .
•4 Solución. Partiendo del sistema de ecuaciones y2 - x = 0,
(x - y)2 = 1,
hallamos las coordenadas de cuatro puntos singulares: (0,1); ( 0 , - 1 ) ; (—1,0); (3,2). Haciendo los cambios de variable x =
Íidad''y'tríiyectoi"ins de fase
wiíifjr""'
y = ±1 + r¡, las ecuaciones dadas se reducen a las ecuaciones lineali/adas ( =
ft =
e(-{±2V).
Las raíces de la ecuación característica de este sistema tienen la forma A
l
_ =Fl —± _2e+
_ A-j —
± 2e 2
y/l + 4e(l- ± 1) + 4e 2 , V1 + 4e(1
—
± 1) + 2
4e2
.
Por cuanto AiA 2 < 0 (Aj,A 2 son raíces reales), entonces, según el p.2.2, tenemos que los puntos (0,1), (0, - 1 ) son puntos de silla. Análogamente, trasladando el origen de coordenadas al punto (—1,0) mediante las fórmulas a; = - 1 + y = f), y tomando en los segundos miembros sólo los términos lineales, obtenemos el sistema linealizado . £ =
1 -FO
-
^ - " 4
±
O,
V
=
Debido a que las raíces 1
l
' V 1 6
e 2
son complejas, según el p. 2.2 el punto singular ( - 1 , 0 ) es un foco. Finalmente, haciendo en las ecuaciones dadas # = 3 + £ , y — 2+r¡, y utilizando la fórmula de Maclaurin, obtenemos el sistema linealizado . 1 Í =
V=
e(4r]-0,
cuya ecuación característica tiene las raíces Ai¿ = 2e + - ± 3e
Por cuanto las raíces son reales y tienen 2 ' signos iguales, concluimos que el punto singular (3,2) es un nodo. • m
En los problemas 71-73, construir los gráficos aproximados de las curvas integrales en un entorno del origen de coordenadas.
71.
xy X-r y'
Solución. Determinemos primero las regiones del plano Oxy donde las derivadas y', y" son de signo constante y las curvas integrales en las cuales dichas derivadas son iguales a cero o no están acotadas. Resolviendo las desigualdades xy £0, y x + y obtenemos el resultado siguiente: si (x > 0 A í/ > 0 ) V ( x > 0 A z + í/<0) V ( y > 0 A x + j r < 0 ) , entonces y > 0, mientras que si (a; < 0 A x + y>0) V (x <0 A y <0) V (y <0 A x + y>Q), entonces y' < 0. Dado que y' = 0 para x = 0 ó y = 0, tenemos que las curvas integrales cortan el eje Oy formando ángulos rectos y que el eje Ox es una curva integral. Por cuanto en la recta x -f y = 0 la derivada y' no está acotada (sería más correcto decir que la derivada y no está definida en la recta x + y = 0 0), eny que y' —> oo cuando e+j/ tonces las curvas integrales se acercan a dicha recta por ambos lados formando ángulos rectos con el eje Ox. El cuadro aproximado de las curvas integrales se ilustra en la figura 14: las curvas integrales con derivadas negativas se representan mediante líneas inclinadas hacia la izquierda y las curvas con derivadas positivas, mediante Fig. 14 líneas inclinadas hacia la derecha. Para determinar las regiones de concavidad de las curvas integrales resolvemos las desigualdades y
y(y - y\)(y - ife) £0, (x + y)3
donde yi,2Íx) - 2
±
"
4 x 3
) •
Resolviendo estas desigualdades y denotando las regiones donde y" > 0 mediante el signo " + " , y las regiones donde y" < 0 mediante el signo " - ", obtendremos el cuadro representado en la figura 15.
Así, en las curvas y = 0, y = y\(x), y = yi(x) la segunda derivada se anula, mientras que en la recta x + y — 0 no está acotada (precisemos: en la recta x + y = 0 la segunda derivada no está definida, y en un entorno de la misma no está acotada). Ahora, utilizando esta información acerca del comportamiento de las curvas integrales podemos efectuar una segunda aproximación (fig. 16). Sólo nos queda aclarar algunos detalles del comportamiento xy de las curvas integrales. La función (x, y) y-> ——— y su derivada parcial respecto a y son continuas para x + y fi 0. Por tanto, por cada punto del plano (ar + y fi 0) pasa una única curva integral. Debido a que y = 0 (x fi 0) es solución de la ecuación diferencial dada, ninguna curva integral puede ser tangente al eje Ox. Es evidente que todas las curvas integrales que entran en el ángulo x + y > 0 A y < 0, caen obligatoriamente en el origen de coordenadas (sería más correcto hablar de una tendencia asintótica de las curvas al origen de coordenadas, pues para 1Í24
x = y = O el segundo miembro de la ecuación dada no está definida). Señalemos, además, que existe una curva integral que entra en el origen de coordenadas y está situada entre la familia de curvas integrales parabólicas y la de curvas integrales hiperbólicas (v. segundo cuadrante). Finalmente, demostremos que para x > 0, y > 0 ninguna curva integral entra en el origen de coordenadas. Supongamos lo contrario y escribamos la ecuación integral de la curva que entra en el punto (0,0) para x > 0, y > 0: , , m
f =
J o
ty(t)dt T^m-
En virtud de la desigualdad (í > 0, y(t) > 0),
¡ ^ < 1
a partir de la última ecuación obtenemos la estimación X
J
2
tdt =
j .
o A su vez y{t) ^ ^ t + y(t)^
sup > í
y(t) + 3/(f)
t t + 2'
0 * ,2 r vdt f y(x) < / 5C / ' ^ J t + 2^ J o o etcétera. Continuado las estimaciones, obtiene
r - dt2
x* — 3
en el n-ésimo paso se
De aquí se deduce que y(x) ^ 0 cuando n —> oo, y esto contradice nuestra hipótesis. Hechas estas observaciones, construyamos la tercera aproximación del cuadro real de las curvas integrales (fig. 17). • TstMkU
y trayectorias de fase (i
Í'íi^;;» ' -
k i' \ I
^
("i. |>ft 1¡. <. ,.>>' i ,1, tH ' I' 1,,'WV'^'l'. ¡-U-
-.-t. .
Solución, A partir de las desigualdades 2xy y + x2
<
hallamos las regiones donde la derivada y' tiene signo constante. A saber, si (x > 0 A y > 0) V (y + x2 < 0 A x > 0) V (x < 0 A y < 0 A y + x2 > 0), entonces y' > 0 . En la parte restante del plano (excluyendo las rectas y — 0, x = 0, donde la derivada es igual a cero, y la parábola y = -x2, donde la derivada no está definida) las curvas integrales tienen derivada negativa. De este modo, la primera aproximación del gráfico de las curvas integrales tiene la forma representada en la fig. 17. A partir de la expresión para la derivada segunda
Fig. 17 x'1 + y2 2y ' (y + x2)3
se deduce que para (y > 0) V (y < 0 A x2 + y < 0) las curvas son cóncavas hacia arriba, mientras que para y < 0 A x2 + y > 0, son cóncavas hacia abajo. Teniendo en cuenta la concavidad, el cuadro representado en la figura 18 se puede precisar (segunda aproximación) (fig. 19). Señalemos que para la construcción de las curvas en la figura 19 tuvimos en cuenta que Zxy rhm y ' — lim !• r = n0, ¡c-^oo X—>oc y -\- X
lo cual, geométricamente, significa que las curvas integrales se enderezan a medida que nos alejamos del origen de coordenadas por cualquier horizontal. Además, al cambiar x por — x la ecuación no varía su forma, lo cual indica que todas las curvas integrales son simétricas respecto al eje Ox.
Fig.19
Fig. 18
Finalmente, determinemos cuáles curvas integrales tienden al origen de coordenadas. Es evidente que cualquier curva integral que salga de la región y + x2 < 0 cae en el ángulo (x > 0 A y < 0) V (y + x2 > 0). Por otra parte, según el teorema de existencia y unicidad, por cada punto (x, y), donde y + x2 ^ O, pasa una única curva integral. Por consiguiente, ninguna curva integral que salga de la región y + x2 < 0 puede detenerse en el ángulo indicado. En virtud de ese mismo teorema ninguna de las curvas puede cortar el eje Ox puesto que la recta y = 0 es una recta integral. Además, ninguna de las curvas puede alejarse a lo largo del eje Ox hasta el infinito, pues en el ángulo analizado y" < 0. Por tanto, nos queda una última posibilidad, cuando todas las curvas integrales tienden al punto (0,0). Demostremos ahora que para y > 0 ninguna curva integral puede caer en el origen de coordenadas. Supongamos lo contrario. Para cierta curva y(x) > 0, donde x > 0, pasemos de la ecuación diferencial a la integral X
y(x)
ty{t) dt t2 + y(t)' «HHMM
|,yt*iJ ,L*rVr9^Wtóíias
de fase1,
En virtud de la estimación hallamos
t2
y(t) + y(t)
1,
X
y(x) < 2 J
tdt = x2.
Análogamente
/
Fig. 20
y t (-Ky^i max 2 t2 + y dt = 2'
etcétera. En el n-ésimo paso obtenemos la desigualdad y(x) ^ —. n Por consiguiente, y{x) 0, lo cual contradice la hipótesis. Teniendo en cuenta todas estas observaciones construimos la tercera aproximación del cuadro de las curvas integrales (fig-20). •
73.
y =
*y
I Solución. De un modo análogo al de los ejemplos anteriores, a partir de las desigualdades y 11 xy y-X2 hallamos la región de crecimiento y decrecimiento monótono de las curvas integrales. Luego construimos el cuadro aproximado del comportamiento de las curvas en el plano Oxy (fig. 21). De la expresión para la segunda derivada Fig. 21 y
y(y2{y-x2f
2*4) '
vemos que en los gráficos de las funciones y = ±V2x2 las curvas integrales cambian el sentido de la concavidad. Las regiones donde •Í?R
la derivada segunda tiene signo constante están representadas en la figura 22. Examinemos la curva inteyA gral que viene de la región + + _/ + M * a; < 0 A y> 0 A y <x2. + 1 -I + En esta región y' > 0 y y" > 0; n + ,_/+ + + + u5» + por tanto, la ordenada de la curva \\ + + \\ crece cuando x crece y la concavi-0/ - .r dad de la curva está dirigida hacia _ /+ arriba (fig. 23). Es evidente que lim y = +oo, 3¡—>3¡.„ —0
t
1+
l II' -
-
-00. lim y 2—>3!(,+0 Fig.22 Por tanto, la curva irá hacia arriba y a la izquierda del punto X = xk. En el punto M no hay inflexión; sin embargo, como se deduce de la figura 23, la curva cambia el sentido de la concavidad y en el punto N debe tener una inflexión, pues este punto pertenece a la curva de inflexiones de las curvas integrales y — V2x2. Cambiando nuevamente el sentido de la concavidad, la curva integral, en virtud de que la derivada es negativa, se irá a la izquierda y hacia arriba (hacia +oo).
Fig. 23
Fig. 24
Examinemos ahora la curva integral que parte de un punto (0, y) hacia las x < 0. Por cuanto y' < 0 para y > x2, la ordenada de la curva crecerá (fig. 24). Sin embargo, en vista de que la 3 2 parábola y = -x es solución de la ecuación diferencial dada, vi
jadV feyectprias de fase
la curva integral analizada no puede cortarse con la parábola, lo que significa que dicha curva no puede salir de la región 3 2 y > 2 Por consiguiente, el espacio entre las parábolas y = Vlx2 e y = 3- x 2 estará colmado de curvas hiperbólicas, una de las cuales fue analizada antes. La 3 2 parábola y = -x sirve como línea divisoria de las curvas señaladas. Para un valor de y < x2 fijo tendremos que lim — y
xy —
0;
por tanto, todas las curvas integrales en la región y < x2 se aproximan al eje Ox, pero no lo cortan (ya que y = 0 es solución y para y = x2 se cumplen
25
las condiciones del teorema de unicidad). Para y < todas las curvas Integrales son cóncavas hacia arriba; por tanto, no pueden pasar por el punto (0,0). De esta manera, al origen de coordenadas entran sólo dos curvas 3 2 integrales: y = 0 e y = -x . Vl:r2
Partiendo de los resultados obtenidos construimos el cuadro definitivo de las curvas integrales (fig. 25). •
74. Demostrar que si j||||fH 1] i;: ei .L.i'•:
mmmmamsmBVi
entoníés di,cha ecúación tiene un factor integrante cdptifluoi ¡J en un entorno del origen de coordenadas. • . „ ' -i .a JJ •4 Solución. Buscaremos el factor integrante fi = p.(x, y), el cual en nuestro caso satisface la ecuación du {mx + ny)~ ax
da (ax + by)-~~ = ¡i(b - m), dy
(I)
en la forma fi =
(2)
Hagamos (ma - a¡3)x + (na - b¡5)y = A(ax + (3y), donde A es cierta constante. Entonces, a partir de la última identidad hallamos
{
(m - X)a - a{3 = 0, na ~ (b + X)¡3 = 0.
1
'
Como a fi Oa/3 fi 0, entonces, en virtud de la homogeneidad del sistema (3), llegamos a la condición m - A n
-a -b — X
0 =$>•
^í,2 = ~ (m - b ± s/(m-
b)2 - 4(an - lna) ^ .
Debido a que el punto singular (0,0) es un punto de silla, las raíces Ai, A2 son reales. Por consiguiente, los números a, ¡5 también son reales y tenemos, en general, dos factores integrantes, los cuales se obtienen integrando la ecuación (2): b—m
fil = CX |wi| Al ,
b—m
/x2 = C2\u)z\
,
(4)
donde + ¡3]y, LO2 = a2x + fi2y, siendo C\, C2 las constantes de integración. Señalemos que, como b fi m (esto se deduce de la primera condición de partida), tenemos que los factores (4) no son constantes. Dado que AiA2 < 0, uno de los exponentes de (4) es positivo independientemente del signo de b — m, y esto significa que uno de los factores integrantes es continuo. •
a^V"trayectorias do fase
§3. Plano de fase 3.1. Conceptos básicos Un sistema de ecuaciones diferenciales dxj — = fi{%l,X2,...,Xn), í = l,7l, (1) dt donde la variable í (tiempo) no aparece explícitamente y las funciones fi son diferenciables con continuidad en cierta región, se denomina autónomo. Pongamos en correspondencia cada solución Xi =
.. • ,x„) — 0,
3.2. Construcción del retrato de fase Para dibujar en el plano de fase las trayectorias de un sistema autónomo x - f(x, y), $ = g(x, y), (2) primero es necesario investigar los puntos singulares de este sistema, y, luego, analizar con ayuda de las derivadas y'x, y"i el comportamiento de las curvas integrales de la ecuación dy _ gjx, y) dx
f(x, y)
(señalemos que a veces las soluciones de esta ecuación son cerradas). Cuando se pide construir las trayectorias de la ecuación x = g(x, x),
es necesario introducir la variable y = x, pasando luego de esta ecuación al sistema x = y, y = g(x, y), el cual es un caso particular del sistema (2).
3.3. Ciclos límites Se denomina ciclo límite del sistema (1) una trayectoria cerrada y aislada de este sistema, la cual posee un entorno totalmente lleno de trayectorias en las que el punto de fase se acerca ilimitadamente a la trayectoria cerrada cuando t —> +oo, o bien t —* —oo. Si la trayectoria del sistema (1) se acerca al ciclo límite sólo cuando t —> +oc, el ciclo se denomina estable. Si la trayectoria del sistema (1) se acerca al ciclo límite solo cuando i —• — oo entonce» el ciclo límite es inestable. En el caso n — 2 (plano de fase) también se analizan los ciclos denominados semiestables. Un ciclo límite en el plano de fase se denomina semiestable si por una parte las trayectorias del sistema (2) se acercan al ciclo cuando t —* +oo, y por otra se acercan cuando t -+ —oo. Por consiguiente, los ciclos semiestables pueden ser de dos tipos. Teorema. Sea k un ciclo límite del sistema (2). Supongamos que son continuos tanto los segundos miembros del sistema como sus derivadas parciales respecto a x e y. Entonces, todas la trayectorias internas que comienzan cerca de k se enrollan alrededor de él como espirales, bien cuando t —> 4-OG, bien cuando t —> - o o . Esta afirmación se cumple también para las trayectorias exteriores respecto al ciclo límite.
3.4. Criterios de ausencia de ciclos límites Teorema (criterio de Bendixon). Si en una región simplemente conexa D los segundos miembros de las ecuaciones (2) tienen derivadas parciales de primer orden continuas y la expresión dx ^ dy ^ no cambia de signo en ningún lugar y no es idéntica a cero, entonces en la región D no hay ciclos límite.
Estabilidad y, trayectorias de fase
Teorema (criterio de Poincaré). Sea v(x, y) — C una familia de curvas cerradas suaves que cubren el plano Oxy. Entonces, en toda región D donde la expresión dv dv = i r J conserva el signo no hay ciclos límite. n
+
r y
s
(4)
Una región simplemente conexa D en el plano Oxy no •ontiene ciclos límite si en ella no hay puntos singulares del ¡istema (2).
J.5. Criterios de existencia de ciclos límite Teorema (de Levinson—Smith). Sea una ecuación
diferencial (5)
x + xf{x) + g(x) = 0,
donde las funciones f , g son continuas para todos los valores de x y garantizan una única solución del problema Cauchy, la cual depende continuamente de las condiciones iniciales. Supongamos, además, que se cumplen las siguientes condiciones: 1) xg(x) > 0, para x fi 0; diferenciables; 2) /, 9 son funciones 3) f(x) < 0 en (—x\,xi),_ donde x¡,x2
son positivos y f(x)
^ 0 para el X
resto de los valores de x; además, F(oo) = oo, siendo F(x) = j o
4) (?(±oo) = oo; •
5) G(~xi)
f[s)ds;
£
= G[X2), donde G{x) = J g(s) ds. o
Entonces la ecuación fase (x, x).
(5) tiene un único ciclo límite estable en el plano de
Teorema (de Reissíg). Consideremos
la ecuación
x + f(x) + g{
x)~0,
(6)
iloitde f , g son funciones continuas, /(O) — O y xg{x) > O para x ^ 0. Supongamos que las funciones f , g son continuas respecto a todos sus argumentos y aseguran la existencia de una única solución de la ecuación (6), y que dicha solución satisface las condiciones iniciales y depende continuamente de éstas. Sea, además O Vf(y) ^ O, para |j/| ^ J/i, T¡I > 0; • 2) f(y) sgn y > e > O, para |y| ^ rj2 > qi; 3) max f(y) = M > 0; Ijíl^iji 4) g(x) sgn a; ^ M + e, para 6 > 0. l'jitonces, en el plano de fase del sistema x = y, existe al menos un ciclo límite
y = -~g{x) -
f{y)
estable.
I® Dadas las ecuaciones de los problemas 75-89, dibujar las trayectorias en el plano de fase. 75.
Ü - x + ar = l).
Solución. Haciendo x = y, pasamos al sistema x - y,
y - x - x2,
del cual, dividiendo miembro a miembro sus ecuaciones, obtenemos dy _ x - x2 o bien (para y # 0)
dx ydy = (x-
y x2) dx.
La integral general de la ecuación (1) es 3{y 2 - a;2) + 2x 3 = C. Dado que al cambiar y por - y las ecuaciones de las curvas integrales no varían, todas estas curvas son simétricas respecto al eje Ox. Asignando valores concretos al parámetro C y utilizando los medios usuales del análisis matemático, construimos el cuadro de las trayectorias en el plano de fase (fig. 26). Nótese que a las
y 'trayectoria;* de fase
curvas que abarcan el punto (1,0) les corresponden los valores de C que satisfacen la desigualdad - 1 ^ C < 0. La ecuación (1) tiene dos puntos singulares (0,0) y (1,0). Eliminando x2 en esta ecuación, obtenemos la ecuación linealizada dx
y
-A 1 = A2 - 1 = 0 tiene 1 -A raíces con partes no nulas, entonces, conforme al p. 2.2, el punto singular (0,0) (éste es un punto de silla de la ecuación linealizada) es un punto de silla de la ecuación (1). Dado que su ecuación característica
Investiguemos el punto (1,0). Primero trasladamos el origen del sistema de coordenadas a este punto mediante los cambios ar = u = r¡. Eliminando de la ecuación obtenida los términos no lineales llegamos a la ecuación linealizada óül
d£
=
A
T)'
para la cual el punto singular (0,0) es un centro. De este modo, para el sistema inicial el punto (1,0) puede ser un foco o un centro. En virtud de la simetría de las curvas integrales respecto al eje Ox (v. p.2.2) concluimos que el punto (1,0) es un centro. •
."WISMSPSÍ
< Solución. Haciendo x = y, obtenemos x = y,
y~
-2x
.
De aquí, dividiendo miembro a miembro las ecuaciones e integrando, encontramos la familia de trayectorias en el plano de fase: y2 + a:4 = C. Cada trayectoria representa una circunferencia deformada (fig. 27). El punto (0,0) es un centro. • 1( Tí íj'irr J 77.
x -í 2,c - 2x = 0.
-4 Solución. Tomando x = y llegamos a la ecuación dy dx
2{x~
x3) y
cuya solución general es y — ±yj C + x2(2 — x2).
(1)
Como la trayectoria es simétrica respecto a los dos ejes de coordenadas, consideraremos que x ^ 0, y ^ 0. Si en (1) tomamos x — y — 0, obtenemos que C = 0. Por tanto, la curva y - V x 2 ( 2 - x2) pasa por el origen de coordenadas (fig. 28).
yA
1 {l Fig. 28 Para C > 0 todas las trayectorias pasan por encima de esta curva (fig. 29); además, en el punto x = 0 la derivada y' = 0,
'trayectorias de fase rfiWiJtt'ií'WííMíil.'i«•
:!,i
mientras que para y ~ 0 la derivada no está acotada (mejor dicho, y' —• - o o cuando y —> +0). Para C < 0, a partir de la desigualdad X2(2 — x1) >
-C
se deduce que (c ^ 4 ) .
^ x ^ yj\ + Vi + c
yi^VTTc
listo significa que al disminuir C, la región de existencia de la familia de trayectorias se contrae, y para C = — 1 las trayectorias degeneran en el punto (1,0) (fig. 30). Finalmente, reflejando respecto al eje Ox las curvas representadas en la figura 30, y luego reflejando el cuadro obtenido respecto al eje Oy, obtendremos el cuadro completo de las trayectorias (fig. 31). Es evidente que los puntos (1,0) y ( - 1 , 0 ) son centros, mientras que el punto (0, 0) es un punto de silla. •
C>0
C =0
Fig. 31
78.
« - r J- * + 1 = o.
I Solución. Pasando al plano de fase, tenemos x = y,
V = 2X -
x-1
>
dy
—
=
dx
2X - x - —1
.
y
(1)
Integrando la ecuación (1) obtenemos la familia de trayectorias y
2
=
ln2
x -2x
+ C.
(2)
Ahora, utilizando los métodos usuales del análisis matemático, construiremos el cuadro de las curvas integrales (2) (fig. 32). Señalemos que a la curva que pasa por el punto (1,0) le corresponde el va4 lor C = 3 . A las curln2 vas cerradas que abarcan el origen de coordenadas les corresponden los valores de C que satisfacen la desigualdad
Fig. 32
4 íí C <3 ln2 " " " Los valores de C para las demás curvas se muestran en la figura 32. • 2
79.
x+2eos£-1=0,
< -A
B ^ a l l l l B H i l i i H e S H M B ^
Solución. A partir del sistema x — y, y — 1 — 2 eos x, obtenemos 1 - 2 eos x
dy dx
=
y
z
;
2
y
„ + C.
^2x-4senx
1)
Resolviendo el sistema y = 0, 1 - 2 eos x = 0, encontramos los puntos singulares:
2kir, C^j, Nk
+ 2kir,
, donde
k 6 Z. No es difícil establecer que los puntos M¿ son puntos de silla, mientras que los puntos son centros (fig. 33). AL 7JI 3
^o 3
_ JL 3
M0
JV,
A 3
5JT 3
O
U
Fig. 33
T
x
pStfibllíy'Qd y trayectorias de fase I
p
^
g
i
i
T
T
^
"
:
Para construir el cuadro de la familia (I), primero construimos la curva (fig. 34)
— 2x-Asenx
+
C^0.
Finalmente, construimos la familia (fig, 37) V=
±y/i>i(x).
Precisemos: en la figura 37 se representa sólo una parte de la familia en los entornos del centro
Y del P u n t o de
silla ( o , | ) .
Para obtener todo el cuadro de la familia de trayectorias en el plano de fase Oxy es necesario continuar periódicamente el cuadro representado en la figura 37 (con un período igual a 2TT), 40
J.
-
•
r
'i" ' TSlkn^jTuT&ffl ^ \ Z3, VflPJg
- * f m m t H i
tanto a la izquierda como a la derecha de su posición inicial, lin ese caso obtendremos el cuadro de la figura 38. •
80.
+
1 1
<4 Solución. Mediante el cambio de variable x — y pasamos al sistema lineal x-y, y~ -2y - 5x, con el punto singular (0,0). Como la raíz de la ecuación característica de este sistema es - 1 ± 2i, el punto singular es un foco estable. Tomando x = 1, y — 0 hallamos el vector velocidad de fase v = (0, - 5 ) , mediante el cual, considerando la estabilidad del centro, establecemos el sentido del giro de las trayectorias en el plano de fase (fig. 39). •
81.
£+x
+ 2x - x2 = 0.
Solución. Haciendo en esta ecuación x = y, obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales x = y,
y = x1 - 2x - y,
del cual se deduce que los puntos (0,0), (2,0) son singulares. Analizándolos del modo común, vemos que el punto (0,0) es un foco estable, mientras que el punto (2,0) es un. punto de silla. Las rectas yx - x - 2,
yz = -2x + 4
son tangentes a las curvas integrales que entran en el punto de silía (fig. 40). Ahora, teniendo en cuenta el signo de la derivada , V
x2 - 2x — y / y
podemos esbozar el cuadro de las curvas integrales (fig. 41). Obsérvese que en la parábola y = x2 - 2x las curvas integrales alcanzan valores extremos; ellas cortan el eje Ox perpendicularmente y el eje Oy bajo un ángulo de 45°. Con estos datos podemos construir el cuadro de las curvas integrales (fig. 42). •
Fig. 41
82.
x +
•4 Solución. ción
Fig. 42
o.
Partiendo de la ecua-
dy
x2 - y1 - 1
dx
y
(1)
hallamos las regiones de crecimiento y decrecimiento de las curvas integrales en el plano de fase Oxy (fig. 43). Las curvas integrales cortan las curvas
V>T\ \ T / . . . . i i 11 11111H i i [ II fl I I ñ-H-H-
x2 - y2 - 1 = 0 Fíg. 43 horizontalmente y el eje Ox perpendicularmente. Hallamos los dos puntos singulares ( - 1 , 0 ) , (0,1). Como las raíces de la ecuación característica correspondiente al sistema linealizado ( = ri, r¡ = son imaginarias, el punto singular ( - 1 , 0 ) puede ser un foco o un centro del sistema ±-y,
y = x2 - y2 - 1.
Teniendo en cuenta que al cambiar y por ~y la ecuación (1) no varía su forma, concluimos que el punto singular observado es un centro de dicho sistema. sí'
g l b l í í d a ^ y trayectorias de fase
El punto (1,0) es un punto de silla y las rectas th =
- 1),
y2 = ~V2(x - 1)
son tangentes a las curvas integrales que entran en él. Los puntos singulares se muestran en la figura 44. De esta manera, considerando todo lo dicho y a partir de las figuras 43 y 44 construimos el retrato de fase (fig. 45). •
Fig. 44
83.
Fig. 45
^ -I- 1
;}• | 5 * - 4
= 0.
I Solución. Excluyendo el parámetro t del sistema de ecuaciones diferenciales x-y,
®2 + y = 4 ,ln ™
5- y,
1
(i)
llegamos a la ecuación x2 + l dy dx
y
5y (2)
con puntos singulares en (—1, 0), (1, 0). Resolviendo la desigualdad 4 ln
x2 + \
5y
determinamos las regiones de monotonía de las curvas integrales (2) en el plano de fase (fig. 46). La curva 4 , x2 + 1 y = - ln 5
2
es cortada por las curvas integrales horizontalmente, mientras que la curva y = 0 es cortada verticalmente. Investiguemos ahora los puntos singulares. Haciendo x — y=T) en el sistema (1) y despreciando los términos no lineales, obtenemos el sistema linealizado j¡ - 4£ - 5r¡. Dado que las raíces de la ecuación característica son - 5
A,,2 =
(A, « 0,70;
±
v 5 T
-
Fig. 46
A2 » -5,7),
tenemos que el punto singular (1,0) es un punto de silla. Las rectas y ~ A¿(a; - 1), y = A2(a; - 1) son tangentes a las curvas integrales que entran en el punto. Análogamente, tomando ar = - l - | - £ , t / = í/en (1), obtenemos ei sistema linealizado cuyo determinante característico tiene como ceros a Ai = - 1 ,
A2 = - 4 .
Por consiguiente, el punto singular ( - 1 , 0 ) es un nodo. De la ecuación
encontramos que todas las curvas integrales que pasan por el nodo son tangentes a la recta y — -x — 1, mientras que de la ecuación
se deduce que todas las curvas indicadas se cortan con. una curva integral que pasa por el nodo y que en este punto tiene por tangente a la recta y = ~4x - 4. Los entornos de los puntos singulares se representan en la figura 47. Finalmente, considerando todos los datos obtenidos construimos el cuadro de fase completo (fig. 48). •
84.
& = 4 - 4a: - 2y,
y = xy.
Solución. Partiendo del sistema 4 - 4x - 2y = 0, xy = 0 encontramos los puntos singulares (1,0), (0,2). De la manera usual establecemos que el punto (1,0) es un punto de silla, mientras que el punto (0,2) es un nodo degenerado; en el punto de silla 7r las curvas integrales entran formando un ángulo a = - —. Las curvas integrales cortan el eje Oy horizontalmente y la recta 4 - 4x - 2y = 0 verticalmente. Resolviendo la desigualdad xy £0, 4 - 4x - 2y < establecemos las regiones de monotonía de las curvas integrales (fig. 49). Para representar con más precisión el comportamiento de
las curvas integrales analicemos el signo de la segunda derivada y
,,
donde yi = 2 - x + x, 3 / 2 entonces y
4y(y - y{)(•{./ - y2) (4 - 4x - 4 y ) 3 3/2
2
-
x - xm
(x
>
0).
Si
x < 0,
„ __ 4y (y2 + y{2x - 4) + (1 - x){4 + s 2 ) ) (4 - 4x - 2y)3
+ + + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Fig. 49
Fig. 50
Resolviendo las desigualdades y(y - y\){y - yi) ^ 0, (4 - 4x - 2y)3
para
x ^ 0
y
y ^ 0 para a; < 0, (4 _ 4 X _ 2yp ^ ' hallamos las regiones de concavidad de las curvas integrales (fig. 50). Señalemos que en la recta 4 — 4x — 2y — 0 y en las curvas y — yi, y = yi algunas trayectorias cambian de concavidad. Estudiemos ahora las curvas integrales que pasan por los puntos singulares. Por el punto de silla pasa la recta y = 0 y una curva 5 que corta el eje Ox formando un ángulo a = — arctg - . Esta curva tiene un punto de inflexión en la parábola y — yi, corta el eje Oy
'Sfá.'y trayectoria? de fase
horizontalmente y la recta 4—4x - 2y = 0 verticalmente, y entra en el nodo formando un ángulo de 135° con el eje Ox. La parte inferior de esta recta (para y < 0) pasa por debajo de la parábola £C y ~ 3/2, puesto que: 1) y' ~ — — cuando y —* - o o , e
~ - - x 1 ^ 2 ; 2) no puede
y) .iVr^ \\
2
1 Áv íl A /LA
III-
0 * pertenecer a la región comprendida entre Rys las curvas y ~y% y 4-4x-2y = 0, para 11 \ \ y < 0, pues, de ser cóncava hacia arriba, , vT V\ («>l V A * tendría que cortar la recta 4—4x~2y = 0, lo cual es imposible, o quedarse en esa Fig. 51 misma región, lo que tampoco es posible en virtud de 1) (fig. 51). Investiguemos el nodo. Saliendo del punto angular por la tangente a las curvas y = y\ e y = yi, la trayectoria (a) puede entrar solamente en la región III, pues en la región I es cóncava hacia abajo y esto no es posible para la trayectoria analizada, mientras que en la región 11 la concavidad está dirigida hacia arriba y esto implica que la trayectoria debe cortar la curva integral (a), lo cual también es imposible. De esta manera, después de entrar en la región III, la trayectoria de fase corta la recta 4 - 4x - 2y = 0 verticalmente, después el eje Oy horizontalmente y, como es cóncava hacia arriba, se aleja hacia la izquierda y hacia arriba. Ahora examinemos las trayectorias que salen del nodo hacia arriba y hacia la izquierda. Aquí tenemos dos posibilidades. La primera consiste en que la trayectoria de fase (fi) primero entra en la región I, después en
las regiones If, Ifl y, finalmente, se aleja hacia la izquierda y hacia arriba. La segunda posibilidad es que la trayectoria de fase (7) entra en la región IV, después corta la recta 4 - 4x - 2y — (1 verticalmente, el eje Oy horizontalmente, cambia el sentido de la concavidad en la curva y = y\ y, finalmente, tiende asintóticamente al eje Ox. En la figura 52 se representan las posibles salidas de las trayectorias de fase del nodo. Demostremos, finalmente, que todas las curvas integrales que salen del nodo, salvo la curva (a), tienden asintóticamente al eje Ox cuando x —• + 0 0 . Evidentemente, es suficiente demostrar que Ve > 0 3x para el cual la curva integral (J3) corta obligatoriamente la recta 4 - 4x - 2y — 0. Sustituyendo x por -x en la ecuación diferencia]
(para mayor comodidad), pasamos a la siguiente ecuación integral de la curva (/3): f
ty(t) dt
0 Evidentemente, y(x) > e > 0 para x > 0. Sea y(x) < 2(1 + x) para x > 0. Entonces, a partir de (2) obtenemos la estimación e
f
tdt
{
x
1
\
0 Considerando la última desigualdad, a partir de (2) obtenemos una estimación más precisa: (
1
f 4t + t2 - t ln (1 + t)
X
0
\
16 J o
( x2 = e [ 1+ V 32 v
\ /
t+ 4
j
f t ln (1 + í) , \ / dt ¿ 16 J t+ 4 } ' 7 o l
«rautas
x
1
2
3 2
~~
x
+—
2
—
3 2
16
ln (1 + í) dt]
X
ln (1 + x)
16
=
,
x ^ 0.
Por tanto, 0 < e
x 1+ — + — 32 16
1
+
16
ln (1 + a) ) < y{x) < 2(1 + as).
Fig. 53 De aquí no es difícil ver que V e > 0 3 cc0 para el cual la curva (fl) corta la recta indicada. En efecto, xü satisface la desigualdad 0 < x0 < x, donde x es solución de la ecuación l + ^ +
+
= 2 ( l + x),
x > 0.
Si x +oo e y está acotada, a partir de la ecuación diferencial (1) se deduce que y ~z¡i y(x) ~ Ce 4 y'fr) "150
es decir, cuando x t oo todas las curvas integrales tienden asintóticamente al eje Ox. £1 comportamiento de las curvas integrales para y < 0 no requiere una investigación detallada. La forma aproximada de las trayectorias de fase se representa en la figura 53. •
85. * = 2® i y2JslliásSBiilM
1, y = fe - j M 1.
•
i'fy*]
Solución. Partiendo de las desigualdades 6x - y2 + 1 2x + y2 - 1 determinamos las regiones de monotonía de las trayectorias de fase (fig. 54). Nótese que, salvo en los puntos singulares (0,1) y ( 0 , - 1 ) , las trayectorias cortan la parábola 2x + y2 - 1 = 0 verticalmente y la parábola 6x - y2 + 1 = 0 horizontalmente. Utilizando el método conocido podemos establecer que el punto ( 0 , - 1 ) es un foco inestable, y el punto (0,1), un punto de Fig. 54 silla; además, en este último las rectas y = 1 - 3x e y = 1 + x son tangentes a las curvas integrales (fig. 55), Demostremos ahora que toda trayectoria que pasa por el punto (®o, 0) corta obligatoriamente la parábola 2x + y2 - 1 = 0 (a¡0 < 0). Para mayor comodidad, cambiemos x por —x e y por ~y en la ecuación y =
6x
y1 + 1
2x + y2 — 1 >iuffln
í f g ^ r a y e c t ó r i a s de fase H ^ j p í / p ' V
Fig. 55
Fig. 56
y escribamos la ecuación integral de la trayectoria indicada x „ y\t) + f dt. y(x) ~ 2Í + 1 - y2m
(1)
Como y2(t) ^ 0, entonces de (1) se deduce la desigualdad i0 2® + 1 f 6f - 1 , / dt = 3{« + x0) - 8 ln 1 - 2a; n ' J 2Í + 1 -*0 la cual indica que la ordenada de la curva investigada crece. Debido a que este crecimiento es de orden mayor que el lineal, entonces existe un X\ tal que y{Xl) -
^/T+2x¡.
A partir de la expresión de la segunda derivada y
8 {2x +
y1-\f
8 (2x + y2-
l)3
(y2 - 1 - 2xyy) ((y2 - l)(2x + y2-
= l + 2xy) -
llx2y)
je, entre las parábolas pa vemos que, 6x ~ y2 + 1 = 0 y 2x •[• y2 l = 0, para y < 0 todas las trayectorias son cóncavas hacia arriba. Por
esta razón, las curvas integrales cortan la parábola bx — y2 + 1 = 0 y después se alejan hacia arriba y hacia la derecha. De este modo, teniendo en cuenta todo lo dicho, podemos construir la familia de las trayectorias de fase (fig. 56). •
Solución. Dado que la ecuación diferencial dv
2xii
dx
1 - x2 ~ y2
no varía su forma al cambiar x por -x e y por —y, entonces el cuadro de las trayectorias de fase es simétrico respecto al eje Ox y al eje Oy. No es difícil hallar que los puntos singulares (0, :.t-1) son centros, mientras que los puntos (±1,0) son puntos de silla por los cuales pasa la trayectoria elíptica
Resolviendo las desigualdades xy > 0 i1 — xo¿ - yo ¿ < ' hallamos las regiones de decrecimiento (crecimiento) monótono de las trayectorias de fase (fig. 57) •
Fig. 57
H^^trí»jií?ctorifl5 do fase •> ~
Fig. 59
Fig. 58
87.
* -T ( n
y? - i, y - - y 2 - ¿ + l
-4 Solución. Al igual que en los ejemplos anteriores, primero hallamos las regiones de monotonía de las curvas integrales (fig. 58) y después determinamos los puntos singulares y de qué tipo son: ( 0 , - 1 ) es un punto de silla, (1,0) es un foco inestable, ( - 3 , 2 ) es un nodo y (0,1) es un punto de silla. Del sistema linealizado de ecuaciones diferenciales se deduce que en el punto ( 0 , - 1 ) las tangentes a las curvas integrales tienen la forma y =
x-1,
-1 +
y
l + l/-
]x~l;
y en el punto (0,1) las rectas son y
1
1
En el nodo las trayectorias son tangentes a la recta y
1-
V3. -(x + 3) + 2.
Por este punto pasa, además, una curva integral con tangente y • iS/i
1 + y/3. -(x + 3) + 2.
En la figura 59 se representan \ \ yi los puntos singulares junto con entornos pequeños suyos. Finalmente, es intere10,1) sante determinar el comportamiento de las curvas integrales que pasan por las jr singularidades. En particular, demostremos que la cur(a) va (a) se convierte en una de las espirales del polo (1,0), ( C ) \ mientras que la curva (b) evita el polo y en la franja Fig. 60 {x + y}2 ^ 1 pasa por debajo de la curva (a). Escribamos la ecuación integral de la curva (b) para x > 0, y ^ 0:
\
s
a>
i
- t - t m
{t + y(í))2~
1
dt.
(1)
Tomando en consideración las desigualdades 0 sí y(t) < 1 y i + y{t) > 1, a partir de (1) obtenemos la estimación y{x) > 1
IrX
1
/
(t + y{t)) {t + dt
dt
y(t)f X
> 1
f dt _
x
2~ ' " i -
1 +1 + y{t) j o o De aquí se deduce que la curva (b) corta el eje Ox en el punto z 0 > 2. En la franja (x + y)2 < 1 la derivada y' > 0; esto significa que la ordenada de la curva (a) crece y, por esta razón, puede cortar la recta x + y = 1 en el punto (x\,y\), donde x\ < 2. De esta manera, las trayectorias (a) y (b) no "logran encontrarse": la trayectoria (a), como se puede ver en la figura 60, se convierte en una espiral, mientras que la trayectoria (b), contorneando el polo y cortando verticalmente las rectas x + y — 1 y x + y = —1, tiende asintóticamente a la curva (c).
Proponemos al lector analizar el comportamiento de las demás curvas integrales mencionadas, cuyas formas aproximadas se representan en la figura 60.
A partir de los resultados obtenidos podemos construir el retrato de las trayectorias de fase (fig. 61). •
88.
± - (2x - yf - 9 , y = (je - 2 y f - 9.
I Solución. Partiendo de las desigualdades (a - 2yf - 9
$0 (2x - yf - 9 < hallamos las regiones de monotonía de las curvas integrales (fig. 62). Nótese que las curvas integrales cortan las rectas
2x-y — ±3 vertica [mente y las rectas x-2y = ± 3 horizontalmeiv te. Se puede comprobar que los puntos singulares ( - 1 , 1 ) , {1, - 1 ) son puntos de silla, y que los puntos (3,3), (™3, - 3 ) son nodos. Además, la recta integral y = x pasa por los nodos, mientras que otras dos curvas integrales pasan por dichos puntos perpendicularmente a la recta indicada. Las pendientes de las tangentes a las curvas integrales en el punto (—1,1) son k-¡ — 2 + V3, k2 = 2 — V3. Mediante los camx + y bios de variable u = \/l ' la ecuación didy adopta la forma
dx
[x - 2y) 2 - 9 { 2 x _ y)2 _ 9
dv
uv
a + ¡3u2 + 7t>2 dv. Al cambiar u por —u, o v por ~v, la última ecuación no varía su forma; por tanto, las curvas integrales son simétricas respecto a la recta x + y = 0 y respecto a la recta x — y = 0. Considerando todo lo dicho anteriormente podemos construir la familia de trayectorias de fase (fig. 63). •
89.
t = x2~y,
y~(x-y){x~y
+ 2).
.
•4 Solución. Pasando a un nuevo sistema de coordenadas Ouv mediante las fórmulas x = v, y = 1 - u, a partir del sistema dado obtenemos la ecuación diferencial dv du
1 — v2 - u (u + v)2 -
l'
Fig. 63 cuyas curvas integrales ya fueron analizadas en el ejemplo 87. Por consiguiente, si el sistema de coordenadas representado en la figura 61 se traslada paralelamente hacia la derecha en una unidad y luego se hace girar 90° en el sentido contrario al de las agujas del reloj, entonces obtendremos el retrato de las trayectorias de fase del sistema de ecuaciones diferenciales dado. •
Dibujar en el plano de fase las trayectorias de los sistemas en coordenadas polares de los ejemplos 90-92 y determinar si hay ciclos límites.
90. "158
= 1.
•4 Solución. Dividiendo miembro a miembro una ecuación por la otra, obtenemos dr — = r(r - 1) ( r - 2). dtp
(1)
De aquí, si 0 < r < 1, endr tonces — > 0 , es decir, d¡p r = r(ip) crece monótonamente cuando ip —• +oo (t —>• +oo); dr si 1 < r < 2, entonces < 0, d(p Fig. 64 es decir, r = r(
91.
•ir ds —- - sen r, - — =s 1. df dt
lá
•4 Solución. De la ecuación sen r — 0 se deduce que r = kw (k £ Z , k 0) son trayectorias cerradas aisladas del sistema dado. dr Si 0 < r < 7T, entonces sen r > 0 => — > 0. Por tanto, dt todas las trayectorias que salen de un entorno suficientemente pequeño del origen de coordenadas se aproximan a la circunfedr rencia r — ir cuando t —> +oo. Si ir < r < 2tt, entonces — < 0. dt iWtgMUHlHWli
Fig. 65 Consiguientemente, r jt + 0 cuando i —» +00, es decir, la circunferencia r = 7r es un ciclo límite estable. dr Sea 2ir < r < 3ir. Entonces — > 0 y las espirales se alejan de la circunferencia r = 2n cuando t —> 4-00. Por tanto, el ciclo r — 2TT es inestable. De forma análoga se establece que la circunferencia r = 3x es un ciclo estable. En general, las circunferencias r = (2 k + 1)tt,
k - 0,oo
representan ciclos estables, mientras que las circunferencias r = 2kir, son ciclos inestables (fig. 65).
rkn» 92.
dr - = , . „ - , )
k e N
•
1 d
•4 Solución. Las circvmferencias r = 1—
kir
k =
±1, ±2,
son trayectorias aisladas del sistema estabilidad. 1 Sea 0 < r < 1 . Entonces 7T
dado. Investiguemos su
dr — > 0, lo que significa dt 1 que las espirales se aproximan a las circunferencias r — 1 1 1 dr * desde adentro. S i l < r < 1 , entonces — < 0. Por 7r 2w dt consiguiente, las trayectorias de fase se enrollan alrededor de la circunferencia desde afuera. De este modo, 1 r = 1 7T es un ciclo límite estable. Siguiendo esos mismos razonamientos llegamos a que el 1 ciclo r = 1 - — es inestable. En general, los ciclos *• = ! - , , * (» = 0 , 1 , 2 , . . . ) (2ra+ l)7r son estables, mientras que los ciclos r =
*
n
(« = 0 , 1 , 2 , . . . )
(2 n + 2)?r
son inestables. De la misma manera hallamos que los ciclos , 1 1+—,..., 27T 4ir son estables, y que los ciclos r = 1+
1
1
TT
, 1+
1 (2 n -f 2)ír
1
, ...
1
37T
(2 n + 1)7T
donde n — 0 , 1 , 2 , . . . , son inestables. Dejamos a cargo del lector dibujar las trayectorias de fase.
93.
•
¿Bajo qué condiciones el sistema
•'•*;¡i
SBÉHHPBMHBIM
ñip i - ' -
•
;ft¡íí £
iiiT'.d>- LA IUIKÍ.'III / e- . iiii'i'ii..i, íii-I 11 ciclo límite? ¿Bá]&"$ qué 101 iiliciones dicho ciclo es estable, inestable o ¡semiestablé1??"^
iíy^y Vayectorias de fase
Solución. Supongamos que la ecuación /(r) — 0 tiene una solución positiva aislada r — R, es decir, 3 e > 0 para el cual no hay otras soluciones en el segmento [R ~ e, R -f s]. Supongamos que la función / está definida en ese segmento. Integrando el sistema, obtenemos
I / r
R-e
R+e
tp —
+
dp
TÍPY dp
,
J(P)
R~e
< R,
R
< R + e,
De aquí vemos que si las integrales impropias f
J 75)
R-e
R+e f dp
dp y
J
f(p)
(1)
divergen hacia ±00, entonces cuando r —* R + 0 o cuando r —> R - 0 el ángulo polar
• " v : i : PiSH» ^r,V;.<.»ÍWf:.¡-|¡ .¡H-nMKittU'iJBilSl* «WvllW.ÍIi'ií1" **i 94. ¿Para qué Valores de la constante a el - = ( r - l)(a -i- sen"
—
tiene tul ciclo límite estable? ¿Para qué valores de a'el ciclo es inestable? •4 Solución. Dividiendo miembro a miembro una ecuación por la otra e integrando, obtenemos i i f ( 1^ | r - l | = Cexp |l a + 2 J V
1 T~/ '
sen
De aquí vemos que las trayectorias cerradas son posibles sólo para 1 1 C = 0 (para cualquier a fi - - ) , ypara a—- - (para cualquier Sin embargo, en el último caso tenemos una familia de curvas cerradas pero no aisladas, pues el valor del parámetro C se puede cambiar continuamente. De este modo, la circunferencia r = 1 es la única solución periódica aislada ( a fi - - J . Es evidente que 1 r — r({p) —> 1 cuando ip —» +oo sólo si a < - - , es decir, el ciclo límite es estable solamente para a < - - ,
•
H En los problemas 95-101 establecer si hay ciclos límite.
95.
.i- - af -
- y-, y ^ x* , y 4 y1 - y
'
, í
•4 Solución. Por cuanto las funciones / = f(x, y) = x5 + 3x3 + y2, g — g(x, y) — x'' + y5 — y3 + y tienen derivadas parciales continuas y ^ dx
+ ^ = 5x* + 9x2 + 5y4 + 3y2 +1 dy
> 0,
entonces, conforme al criterio de Bendixon, en el plano de fase no hay ciclos límite.
W"-y?'* Y * 1 • 2y , y =
•
Vi?-
+i/.
Solución. Tomemos la familia de curvas suaves cerradas que cubre el plano Oxy en la forma v(x, y) = 3x2 + y4 = C. Por cuanto « = ~ f + = M ® 3 - 2y3} + 4 0, ax dy entonces, según el criterio de Poincaré, el sistema de ecuaciones diferenciales dado no tiene ciclos límite. •
. 97.
x^x2
+ y2-n,
y^--Ty.
•4 Solución. El sistema dado no tiene puntos singulares; por tanto, según el p.3.4, no existe ninguna región simplemente conexa del plano Oxy que contenga ciclos límite, •
98.
a.- -i 2x 4- j ? i j- = 0,
•4 Solución. Pasemos al sistema x-y, y =
-2y-y3-x
y apliquemos el criterio de Bendixon: dy JL ax
+
d dy
(
_2y
i - y3
_ X)
=
- 2
Por consiguiente, no existen ciclos límite.
99.
£ -Y fx 2
-
•>
3y-
<
0.
•
I J í - x:i = 0.
•4 Solución. Utilicemos el teorema de Levinson—Smith. Aquí las funciones / = f(x) = x2 - 1, g = g(x) = x3 son continuas para todos los valores de x y, evidentemente, garantizan que la solución
del problema de Cauchy es única y depende continuamente de las condiciones iniciales. Además se cumplen las condiciones: 1) xg(x) = xi>0 V x fiO; 2) f , g son funciones diferenciables; 3) x2 - 1 < 0 en ( - 1 , 1 ) , x2 - 1 ^ 0 para Ja?} > 1; x i x
/ o (.s2 - 1) ds = ~ - x y F(oo) = oo; x j X /
o
3ds
s
= j
y G{±oo) ~ 00;
6) G ( - 1 ) = G ( 1 ) = 4 Consiguientemente, de acuerdo con el teorema señalado, en el plano de fase Oxy existe un único ciclo límite estable. •
100.
x + ±3 - a- + x ~ í).
Solución. Apliquemos el teorema de Reissig. Tenemos: 1) /(O) = 0, donde f(y) = y3 - y; 2) xg(x) > 0, donde g{x) — x para x fi 0; 3) yf(y) = yi~y2 = y2(y2 - 1 K o para I j i U I ; 4) f(y) sgn y = \y\(y2 - 1) ^ e > 0 para |p] > r}2 > 1; , 2 5) max \y3 - y\ — M — —= > 0; 6)
sgn x = |x|
2
+ e para ¡x¡ J¡ 6 -
2
+ e;
7) las funciones / y g son continuas y garantizan el cumplimiento de las condiciones de existencia de una solución única y localmente estable del problema de Cauchy. Entonces, según el teorema señalado, en el plano de fase (x, x) existe al menos un ciclo límite estable. •
llétttbllidEl^.y1 trayectorias do fase
•y IÍ.i,•„r, • >,," ", *• 0„donde F es-una-función continua;' m; F(p) ^iO. para ¡/ > 0 yF(y) < 0 para ?/ < 0, •4 Solución. Tomemos la familia de curvas suaves cerradas v(x, y) = x2 + y2 = C y construyamos la expresión dv tl = f— dx
dv +9—, dy
donde / = f(x, y) — y, g = g(x, y) — -x- F(y) son los segundos miembros del sistema de ecuaciones diferenciales x = y,
y - - x -
F(y).
Entonces, como O = -2yF(y) < 0, no hay ciclos límite en el plano de fase (por el criterio de Poincaré). •
Ejercicios Investigar la estabilidad de la solución de las ecuaciones y sistemas siguientes:
1. 2. 3. 4.
x2y" -1 xy' + y = 0. (2x + lfy" + 3(2x +1 )y' - 4y = 0. x3y"' + xy' ~ y = 0. (1 v-1 +~ x•2)y" + xy' + 2t/ = 0. 2ty = 0, + 2tx — 0. + t(2x - y) = 0, t(x -y) = 0. í t2x" + tx' + x - y = 0, l t2y" + ty' - 2x + y = 0. y"+2y'+5y^Q. yv + 2yw + 5y"' = 0. yw + 2y'" + 4y" + 3y' +2y = Q. yw + 2y"' + 3y" + 2y' + ay = 0. x' + x + 5y = 0, y' - x - y = 0. x' = x + z - y, y' = x + y - z, z' = 2x - y. x' = 2x - z, y' = x - y, z' = 3x - y- z. x' = 3x - 3y + z, y' = 3x - 2y + 2z, z' ~-x + 2y.
{i-
8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
Utilizando el primer método de Liapunov, investigar la estabilidad del punto de reposo indicado en los siguientes sistemas:
16. x' = x2 + y2 - 2x, y' = 3x2 -x + 3y; (0,0). 17. x' = ex+2y - eos3®, y' = V^+Sx -2ey; (0,0).
IN. ;«' = ln (3e!y - 2 eos a-), y' = 2c 1 - i^H f 12y; (0,0). 22 10 l'i. x' = tg(« - y) ~ — y' = V9 + 2z - 3, 2' = -—y;
(0,0,0).
An.ilizar la estabilidad del punto de reposo indicado en los siguientes sistemas: 20. ••I, 22. 23. 24. W.
x" = 2x - 3y + xy, y" = x ~ 2y + x2 + 1/2; (0,0). = e9 — 1, y" = ln(l + x); (0,0). x" + 3y" -x + cosy-0, x' + 3y' - e2y + 1 = 0; (1,0). x" - 2 y " + e ^ - 1 + s e n ( j - 3 ¡ / ) = 0, 4y" ~2x"-sen x' +2s/Y^2x x" = -Wl-2x -seny + 4, y" = ln(1 + x); (0,0). x" = x-y, y'= e2*-e»; (0,0).
+ 5y-2
= 0; (0,0).
Utilizando el segundo método de Liapunov, investigar la estabilidad del punto nulo de reposo de los siguientes sistemas: 2f>. x' 27. x' 28. x' 2'). x' 30. x 31. x 32. x 33. x 34. x 35. x 36. x 37. x
— y — 3x - x3, y1 — 6x ~ 2y. — -xy, y' = ~x3. - -y - xy1, y' = 2x - y - y\ - 2y - x3, y' = 2x - y3. = 3y2 — x5, y' = —3x — y5.
= = ~ = =
-x+ 3y' + x2, y" - - y ' - y - 3x. x3 - y + x' - x, y' =x'2 + y2 + y. -y' - x - xy3, y" = x — y — y1. -x-xy, y" = -y3 + x3. —x' — y — x ~ xy1, y' =-y —+y + x' x'-y- 3.
Método de transformaciones integrales de Laplace para la solución de ecuaciones diferenciales lineales Durante el proceso de resolución del problema de Cauchy, para la determinación de las constantes de integración correspondientes es necesario resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Esto se puede evitar si se emplea el método de transfonnaciones integrales de Laplace. Utilizando este método podemos obtener la solución del problema sin recurrir a la solución general de la ecuación. Este método, conocido como cálculo operacional (simbólico), se utiliza ampliamente para resolver muchas clases de ecuaciones diferenciales lineales, tanto ordinarias como en derivadas parciales, así como de ecuaciones integrodiferenciales lineales tipo convolución. Muchos problemas de electrotecnia, radiotecnia, teoría de control automático y muchas otras ramas de la ciencia y la técnica, se reducen a estas clases de ecuaciones.
Transfomiíiclón do [.aplaco. Conctpl
§ 1. Transformación de Laplace. Conceptos y propiedades principales 1.1. Original y transformada Denominaremos función original a toda función / : R —> C definida en toda la recta numérica E y que satisfaga las condiciones siguientes: 1) la función / y todas sus derivadas de orden n son funciones continuas o continuas a trozos en toda la recta numérica; 2)
V i
<
0
/{£) =
0;
3) existen ciertas constantes M > 0 y a > 0, tales que V t. > 0 se cumple la estimación |/(í)| <
Meat.
Se denomina índice de crecimiento de la función / el número a — inf{a}. Para las funciones acotadas a = 0. Las condiciones 1) y 3) se cumplen para la mayoría de las funciones / que describen procesos físicos. Desde el punto de vista físico la condición 2) es completamente natural, pues en física no interesa en absoluto como se comportan las funciones buscadas antes del instante inicial, el cual siempre se puede tomar como el instante t = 0. El método operacional sirve para resolver ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales, de lo cual ya hemos hablado con anterioridad. La función original más simple es la función de Heaviside si t < 0, si t ^ 0. Si cierta función tp satisface las condiciones 1) y 3) pero no satisface la condición 2), entonces, el producto si í < 0, si t
0
satisface la condición 2), es decir, el producto es una función original. En adelante, el factor T¡ no se escribirá en las notaciones de las funciones, sino que éstas se considerarán iguales a cero para t < 0.
[M^tqdp,
transformaciones integrales de Laplnet
Definición. La función de variable compleja p = s + ia determinada polla expresión. +co m = se denomina transformada
J f{t)e-ptdt, o de Laplace de la función /.
(1)
La relación entre las funciones / y F se representa simbólicamente mediante el signo ==, es decir, / = F. El sentido de esta notación es que al original / se le hace corresponder la transformada F, y que la transformada F tiene por original la función /. Si la función / es original y su índice de crecimiento es a , entonces la función F existe y es analítica en el semiplano P = {p G C | Rep > a } .
1.2. Propiedades de la transformación de Laplace Teorema 1 (de homogeneidad). Si/ = F y a € C, entonces af = a,F,
Teorema 2 (propiedad lineal). Sifj = Fp Rep > a¿ (j = 1 ,n), n
entonces
n
X ) ^ f j ^ Y1 j=l j=1
/ijfJ'
R e
p
>
max
Kií»
donde pj son números constantes dados, reales o complejos, índices de crecimiento de las funciones /y.
Teorema 3 (de semejanza). Seaf
y aj son los
== F, Rep > a. Entonces V/3 > 0
Transformación do l.nphKc. Conceptos y propiedades priridjj^f^ •
Teorema 4 (de retraso). Sif A F y r > 0, entonces f(t - r) =
e~prF(j>).
El sentido de esta relación es que al desplazamiento del argumento en la clase de los originales le corresponde la operación de multiplicación por una función exponencial en la clase de las transformadas. Teorema 5 (de adelantamiento). Sif = F y r > 0, entonces f{t + T) = eT
J
e~ptf(t)
dt
Corolario. Si f es una función periódica de período T, T = TTT^f / 1 ® * ' " o
entonces
dL
Teorema 6 (de desplazamiento). Si f = F, p 0 € C, entonces
Teorema 7 (de diferenciación del original). Sif (k = 1, n) son originales, entonces f'(t) =
= F y las
funciones
pF(p)-f(oy,
fi2\t)±p2F(p)-pm-f'm; /<»>(() = pnF(p) donde fík'{0) ~ lim f(k){t)
- pn~'m
- pn~2f'(o)
- . . . - /(ri
(k = 0, n - 1) en el caso general.
l) (o),
^^^Vtr'ttrtsfocmatíones integrales de Laplace ' Í í m P Í Í í y :
"
1
1
1
Teorema 8 (de diferenciación de la transformada). SiF == / , Rep > a, entonces F'(P) = •
~tf(t);
=
f{%)
t2m¡
F(n)(j>) = ( - 1
)ntnf{t).
Teorema 9 (de integración del original). Sif = F, Rep > a, entonces L
I
. F(p) /(r)dr =
Teorema 10 (de integración de la transformada). Sif = F, Rep > a y la +00 integral J F(q) dq converge en el semiplano P — {p £ C | Re p > ai > a } , Q entonces +00 /
f(t) dq = —-—. t
Teorema 11 (de relaciones límites). Si f y su derivada f F = / , entonces
son originales y
lim pF(p) = /(O), p—>00 7T
oo dentro del ángulo |argp| < — - 6 y /(O) — lim /(i). Si, 2 í—i+tx además, existe lim f{t) — f(+oo), entonces í—I>+00
donde p
lim pF(p) = p—t o
/(+oo).
Transformndón de Laplace, Conceptos y propie;
IB Hallar las transformadas de las siguientes funciones: 1.
La función de Heaviside r¡.
" .
•4 Solución. Según la fórmula (1), p. 1.1, tenemos
J
+00
Jt =— lim 1!t_ / e~p dt = F{p) = j r}(t)e -pi dt x—i+oo , O
o
,-pt t=O lim 2->+00 Sí Re p > O, entonces
1 e~p* I-Í+OO \p p lim
p
lim e
= 0. Por consiguiente,
px
X—'+00
1 1 = -,
R e p > 0.
P
•
•4 Solución. Según la definición, tenemos +oo +oo
F(p) = J
eate~pt dt= J
o
o
=
lim
J e
lim x—t+oo p — a
i=z
®->+oo i p — a De este modo,
í=0
- { ? - « ) < dt At = —
1
lim si
le
-{p-a)x \
p—a
|
P~a
R e p > Re a.
al • -, Re p > Re a. = 1 a p—
•
A
^
M la
fratáforma'donés1 integrales1 de Laplace
}{t) - a1 («. > 0).
• 3.
A Solución. Escribamos la función / en la forma a1 utilicemos la solución del ejemplo anterior. Obtenemos , 1 — r Rep>lna. • a ^ p - ln a
.
f[i) = r>,
4.
„í 1n a
«>-i.
A Solución. Según la definición de transformada tenemos + 00
dt. Tomando pt — r , obtendremos F(p)
1
,a+l V
J
e Tra
Fig. 66
dr,
7r donde 7 es un rayo de dirección | argp| < — (fig. 66). La función r i-> e ^ r " es analítica en el semiplano T — { r € C | R e r > 0}. Analicemos el contorno cerrado L, compuesto del conjunto ordenado (71,7^,7") de curvas orientadas (fig. 67). Según el teorema de Cauchy para funciones analíticas, tenemos J
e'Wdr
= J
e~TTadr dT + Jj
7i
0
^ Fig. 67
e-TTadr dT + Jj ,e
7h
T dr = 0,
T
de donde J
e~TTadT = j
e~ltadt + J
e~TTadr
Ti 7R (tuvimos en cuenta que / e~rTadr = - J e^TradT, y que r — t 7 7" en 71). Como lim e~TTa = 0, entonces lim f e TTadr — 0, |r|-»+oo ü->+00
TVmififoi'mm.'lt'ín di' üipluce! Conceptos'y* jprOple^^jíSI^
por consiguiente, +00 = J
e~TradT
J 7
e~ltadt
= F{a + 1),
a + 1 > 0,
o
donde F es la función gamma de Euler. De esta manera, „ ta=
+1)
ría pa+l
,
a > - l , Rep>0.
(I)
El resultado obtenido se puede extender a los casos en que a < —1 A a —n, r é N , ra > 1. Para esto recurriremos a una propiedad conocida de la función gamma, la cual se expresa mediante la fórmula
r(n + a) = (ra + a - 1 )(n + a-2)...
&r{á),
a > ü,
y permite prolongar la función en el semieje negativo sin los puntos xn — —n (ra € N), suponiendo que ,
F(n + a )
r(a)=.
"
-n < a < —n + 1.
a(a + 1 ) . . . (a + n - 1) Para el caso analizado a < — 1A a ^ -n, ra G N, n > 1, tenemos ^ra + a + l)
ta =
m
' (a + l)(a + 2 ) . . . (a + n)pa+l' En este último caso el original y la transformada se denominan
generalizados. •
5.
f{t)
=
2
I Solución. En correspondencia con la fórmula (1), ej.4, tenemos r [ n + 3i n+l/2
\
2
píi+3/2
Utilicemos las siguientes propiedades conocidas de las funciones gamma:
r(a + 1) = aTia),
( 1\ r (ra + - \
(2ra — 1)!! _
=
(2 ra)! _ L^-rf.
i a ÍW ¿íránBÍOímadonps Intégralos de Laplace oítuib a- KF , Obtenemos:
jji+i/2
(2n + l ) ! 0 F
n¡22n+lpn+3/2"
r Vñ 1 En particular, v t = — — ^ .
" 6 .
•
/(tJ^.íTS-
Solución. Apliquemos la fórmula (2), ej.4. Obtenemos V /' I ¿n+1/2 '
En particular,
7.
/if)
- » + J ) (-71 + 3 / 2 ) . . .
P
-ti+1/2
(-l)"v^r2"
(-lfv^rn!
(2n - l ) ! ! p - n + ! / 2
(2n)!p~ B + V 2 '
vt
=
( t, 2« - t, l 0,
si 0 $ í < a, si a < t. < 2a, si / .> 2fl, f < 0.
Solución. Utilicemos la fórmula (1), p. 1.1. integrando por partes, obtenemos +<x> a 2a
F(p) = J 0
f(t)e~pt dt = J te^pl dt + J(2a - t)e~pt dt = 0
a
Tranwfoniuidón do Upliicu. Conceptos i' =
p¿
* p2
+
= I (1 _ e-"")2 . p2 v
p-22
Por consiguiente, 1 P
8.
a) /íí) - '•en/,
b) /(/] • ^h 1:
<j /(/) = c o s í ]
Solución. Utilicemos la solución del ej. 2: e" = Rep > Re «. a) sen* = i
(e ¿ í - e ^ ) = i
-
p - o
, para
=
b)shí = Í ( e ( - e - 0 = - f ^ —^ = - y " — ; ' 2 \ / 2 \p - 1 p+ V p2 - 1 1 1 c)cost=j(e* + e-»)==i( ^p — i p+ i p2 + r d)
p + lj p2- 1 2 \ / 2 \p — 1 Durante la resolución del ejemplo utilizamos la propiedad lineal de la transformación de Laplace. •
9.
a) /(f) = sen at;
b) f(t) = sh at;
c) f{t) = eos a i j
Solución. Recurramos al teorema de semejanza y al ejemplo anterior. Tenemos: 1 1 a a) sen at = ^ " * p2 + a 2 ' a p ar
+1
ta b) i sh at = sen tal ==• — — 7 — 7 , ¿ p + (»a) ¿ 12ta.41
a sh at = —• -; ¿ p - cr
"-fÓinn^ibñee integrales do Laplace
P a
c) eos at ==
p2+a2
+ 1 a d) ch at = eos iat, =.
•p2
P r, -f (ia)•
ch at =
P p2 — a2
10,
a) f(t) = eos 2at; b) f(t) = ch 2at; c) f(t) = sen2 al; d) f(t) = sh 2at; e) f(t) - sen at eos ftt; f) f(t) = sen at ch }5t, g) }(t) =íCOsaísh/tt. Solución, a) Escribamos la función / en la forma f(t) = 1 - ( 1 + c o s 2at) y utilicemos la transformada de la función fj(t) — 1 {v. ej. 1), la de la función fi{a) — eos 2at (en el ej. 9 c, en lugar de a tomamos 2a), y también la propiedad lineal de la transformación de Laplace. Obtenemos A . y \ eos 2 , . M 2 \p p2 + 4a2 /
P2 + 2«2 p(p2 + 4 a 2 ) '
b) Escribamos la función / en la forma /(f) — eos 2 iat y sirvámonos de la solución del ej. a). Hallamos 2
ch at
p2 + 2(ia)2 p{p2 + 4(ia) 2 )
—
p2 -
2a2
p(p2 -
4a2)'
c) Dado que sen2 at = ~(1 - eos 2at), entonces • -1 íI 1 sen2 at* — 2 \p
P \ — p2 + 4a 2 /
2a 2 p(p2
+ 4a2)'
d) Utilicemos Utilicemi la igualdad i2 sh 2at = sen2 iat y la solución del ej.c). Tenemos: 2 2 2 (iflcr i sh at = sen iat == —— .,. . p(p2 + 4(¿a) 2 ) sh 2at =
^U pijp- — 4a 2 )
2a 2 —i 2 p(p - 4 a 2 ) '
Tronsformiición de í.nplact'.
e) Llevemos la función / a la forma
f(t) = ~ (sen(a - p)t + sen(a + p)t) y recurramos a la solución del ej.9a. Obtenemos sen
1 ( a-p a+p \ at eos pt = 2-- [ ™— — + 2— —- = 2 \P + (a - P) p + {a + P)2J a(p2 + a2 - p2) (p2 +
( a
_ /J)2)(p2 + (a
+
"
f) Escribamos la función f en la forma sen a i ch pt sen at eos ipt. Entonces, según el ej. e), / h m sen a i en
+
aip2 + a2 + P2)
+ {a +
_ -
_ a(p2 + a2 + P2) ~ (p2 + a2 — p2)2 + Aa2P2'
g) Escribiendo la función f en la forma eos a sh pt ~i sen ipt eos at, la solución del ejemplo se reduce al caso c Tenemos:
i ( ip-a ip + a —2— — ~2H—z—— 2 ^ 2 \p + (ip-a) p + (zp + a)2 _\ í p+ia p~ia \ 2 2 2 + 2 2 2 ~ 2 \p + a -p - i2ap p + a - p + i2ap ) P(p2 - a2 — p2) {p2a2 — p2)2 + 4a2p2'
cosafsh/3í = — -
11. a) m 5= sen(ut bj / ( / ) ® &h (MÍc) eos (ut d) f{t) =s ch {iüt - yo); e) / ( / ) = (at ~ &
A Solución. Apliquemos los teoremas de semejanza y de retri so para hallar la transformada del original escrito en la forir f(at - t0), donde ¡o > 0 y a es un número complejo. Sea f == 1 /p> Entonces, conforme al teorema de semejanza, f(at) Por el teorema de retraso
-F
= / ( . ( « - £ ) ) * IF(J).-^.
l-
r
a) Utilicemos la fórmula (1) y la solución del ej.9a. Obtenemos sen(wí - *Po) = ¿
m'llJ
p2
w + w2'
b) Análogamente, tomando en consideración la solución del ej.9b, tenemos sh [
C O S
V A partir pl + u>¿
__!L PL +
d) Utilizando la fórmula (1) y la solución del ej. 9 d, obtenemos p2 — w2' e) Teniendo en cuenta la fórmula (!) del ej. 4 y la fórmula (1) del presente ejemplo, hallamos {aí
_
h f
± ± r(a+])
-pbja
omo^)e-vhj
=
Pa+1
0
12.
/¡o
- ,/
u
- I,1,;
[
>to, < to,
ijntidi'ii
uniiU.I
gnu ni/izaJii iír Hrari^uU'). < Solución. Según la solución del ej. 1 y la fórmula (1) del ej. 11, obtenemos e-pto
y(t - k) =
p
Transformación de Uplace, Conceptos y proejé1
J i
-4 Solución. Escribamos la función / en la forma f(t) — (r/(í) r¡(t - r))a. Entonces (1 == a ( \P
m
r tt -
ln, 2/7, / ( / ) = -j 2b - t. li. iI Ü,
1 4I..
e-pT \
1 — e~pT • a . P
P J
si si -i si
2o < t < a +1>, + b, .. a I b < t < 26, 2& oo bien bien t/^ 2 it >> 2b,
gmmu¡f
-iiilWiSlíw'íSI -4 Solución. Como la función / se puede llevar a la forma f(t) = {t- 2a)rj(t - 2a) - (t - 2a)r}{t - a - b) + + (2b - Í)Í/(Í - o - 6) + (¿ - 2b)rj(t - 2b) = = (í - 2a)r¡(t - 2a) -2(t-a-
b)-q(t - a - b) +
+ (t - 2b)r}(t - 2b),
entonces
f(t) = —j jr (v. e j . l l e ) .
j— p1
+ — pz
= i
j p
•
3 m
>
2* 1
6-a O
A
2fl
Fig. 68
O
l Fig. 69
^
!
íes integrales de» laplace
• . ,
s
i
í
<
r.S.^íNt'ff]!^^!^,
0
Solución. Escribiendo la función f en la forma f(t) = r¡(t - 1) - r¡(t - 2) + 2t](t - 2) 4- 2t/(í - 3) + 3rj(t - 3) —3»j(í—4)+- • • + ( n - l ) i / ( í - ( n - l ) ) - ( n - l ) i / ( í - n ) + n í í ( t - n ) + . . . = = 7?(Í - 1) + I}(t - 2) + 7}(t - 3) + • • • + v(t - n) + ..., obtenemos oo p{e? - 1)'
1A
rn\
sií
ffig 70).
Solución. La función / se puede escribir en la forma m
f(t)
= ( l - e " * - » ) q(t - a).
Por consiguiente, e?" /(í) = p
e~pa p + b
be "a p(p
+ b)
0
a Fig. 70
Hallar las transformadas de los siguientes originales periódicos: senf, si 2/?7r<í<(2« 1 l;ir, 17. / ( * ) - / ( / t 2 * ) - - 0, si (2iH-1)JT
Solución. Recurramos al corolario del teorema 5, p. 1.2. Sí / es una función periódica de período T , entonces T
F{p)
Transformación Ui» Uplaco, Conceptc®l>y:pr^{|^diw; '•'V^m'írA« m
jt
2JF
3JE
Fig. 71 En el caso dado tenemos 2it o
n
n
pt - -1 __— e-2^f J e' sen i dt =
e
pt
f e("J' J _ e-2jrp Im y
di
(eos t+p sen t)
(1 - e~2*P)(p? + 1) 1 + e~*p (1 -
e-2*»)(p2
_ +1) ~
1 (p2
+1)(1 -
Así pues, f(t) =
18.
m
e-'P)'
1 (p2 +
l)(l-e-*P)'
^ 1 sen at j (ñg. 72).
'
i
7r Solución. La función / es periódica de período —; por consiguiente, ir ¡a
m
~
r
1 - e-P"/a
I e~pt sen at dt = J 3r/(l
- — 7 - Im Ií e{~p 1 — o-pTT/n e
I i(l)t
dt
Dnes integralea da í,aplace
Fig. 72
e
pt(a
eos at + p sen at)
e~ !>*/"• a
p2 + a2
1+
n/a epx¡2a
a
p2 + a2 1 - e-í™/" TT a 2 , 2¿ Cthj? £ p + a 2a'
e-pjr/2a
p2 + a 2 e ^ l 2 a - e-/"^20 a 7r sen aí =f —Z r cthp—. 2 2 p + a 2a
3?t
4jt
Fig. 73
sení 19.
/roH
r
t ^ i .0,
w
i,
s¡
2i/3r
. 2)?r,
¿
Solución. La restricción de la función / en el semieje positivo es una función periódica de período 2TT; por tanto,
I ifcY -W Transformación de Lnplitcc. Conceptos'y piro <•
<W '
^ ;;
2jt = x_
j o
e~Pt s S n ( s e n
O
n
fydt = 2J
1 ( i0 4 2 "\ = - ( e~F + e~p ) p \ JT * )
pt
1 i — = 1 - e2?* -/ur
(1 - e~pjr)2 _ 1 p(l - e-2*™) ~ p( 1 + e-P*) ~ j eP^/2 _ g-Jw/2 = - th p (eW2 + c-p»/2) p 2 ' Consiguientemente, sen í
1 =
-
sení| ' p
20.
»7T th
•
2
/(f).= / ( M 4 a ) = : - - 4w, -
(0, (tic. 74).
• 4h
«i Ana<-t-:(\a• 2.
-i
M »
•
IR f í
(4/i
f 2)fi,
si ( 4 n + 2 ) a < ¿ < ( 4 « + 4 ) a , í < 0 , • \ ,
^
Solución, La función / es periódica de período 4a, por lo que 4o
o
-iap
dt
=
tír^ansfoñnaciofifesántegrales
do Lapida;
m
K A 0
2a
4a
6a
8a
Fig. 74
1 o(l -
( í
\ (1 ap2(
e~pt'
+
r
(te~pi
+
te~pi
e"4^)
p
P
e~ap)2
(1 ~
1- e ^ )
2a >
2ae~#'
e~pt + — r ap 2 (l
-
€~aJ>)2
e- 2 f l f)(l
+ e~2ai')
th^
1 - e~ap a/>2(l + e^aP)(l + e~2aP)
ap2 (1 +
'
De este modo, th m
=
ap
ap2(í+e~2aP)'
1 Empleando el teorema de desplazamiento, hallar las transformadas de las funciones siguientes:
21.
a) f(t) = c
C)/(Í)-C"
O m
=
1,
nt
CPSWÍ;
sen
son wí:
bj f ( f ) - e~ut shu>f;
d ) / ( * ) = E " > t ch wt;
E> /(¿) = /"C1^;
g) f(t) ^
sen o í ; TI' '^^^^SmswíIÍWw»™ h) /<0 = sh o í ; i) /{f) sh a i ; j) /(/.) = -* * sfiíiSlW
t°co*[it;
Transformación do U placo. Concepto^ y / j i b ^ í e ^ , ^
'••WiSv •<
: j-
i*
K) f(t) « ' ^ « r ' . c o s w ;
1) f{t) =¡= — c h a i ;
•
,,
J
m) f(t) ~ —fincha/. Solución. En los casos a)—e) se puede aplicar directamente el teorema de desplazamiento. En general, si se pide hallar ln transformada de cierta función
a) senwí =
—p2 + w2
desplazamiento e
e
e
miento
w (p + a) 2 + w 2 '
r (v. ej.9b). Por consiguiente,
LO¿
—
t
-at
sh ojt =
w (p + a) 2 - ÜJ2'
(v. ej. 9 c). Entonces , . P+ a eos wt = ' (p + a)2 + u;2'
P (v. ej.9d). Por el teorema de desplazap¿ — iúl e
e) Ia =
Uf
p
c) coswí =
d) ch wt =
sen wí =
aí
b) shwí = — pr
(v. ej. 9 a). Según el teorema de
chwí =
(p + a)2 - w2 '
^ (v- e l ' 4 ) ' Entonces í V
»
na •
En particular, tnept = • P ip
+ iy ip-pr^'
ni /3) ••ir&m
^ f l ^ l p ^ c i o ñ é s ' intégrales de Laplace ¿VM,? I', ' 'I '"•M, Ajrt'Jt'W f) La solución se reduce al caso e). En efecto, t" sen pt i(íV" 2i
tae~il3t), + l)((p + pi)a+1
, r(a t sen pt ~
- (p ~
pif+1)
2¿(p2 + /?2)a+1
Si a = n, entonces n'.SCnP Si a = -
' 2i
(p2 +
p2)n+1
tenemos sen pt Vt
t
v^r y/p + fa - y/p ~ pi 2i
y/fTW
, sen t V VP2 + 1 - V En particular, , — : = , , —. V yfixi 2v/P2Tl g) La solución se reduce al caso f). Tenemos: 1 <J>~P + Pt <xi)n+l-(P~0-<xi)n+1 t • — e r señar = r ¡ 2 »! 2i ({p - p) + a2)n+í h) Escribamos la función / en la forma
2 Vr! m } y utilicemos el resultado del caso g). Tenemos: JX/
tn ni
sh a i * i ( — i
í — )
(p + a ) " f l - (p - a) n + 1 n+l 2(p 2 - a 2 ) i) Utilizando la solución h) y el teorema de desplazamiento, obtenemos n+l t" . (p-p + a)n+l - t p - p - a ) sh at ñf 2({p - P)2 — a2)"+1 j) Llevando la función a la forma f(t) = ^ ( í V " ' +
tae"m)
y sirviéndonos de la solución e) y del teorema de desplazamiento, mmmmmmm^mmmt-ni--
Transformación do Laplace, Conccpioi y ' p í í o p f e d f ^ ^ j
hallamos cos
at ^
•
1
í
r ( a + 1)
,
2 v (p r(a + 1 )(p + i/3f+í wr+í
2
r ( a + 1)
^
(p+ma+1) + (p - Í(3)a+l
(p2 + /32)"+1
En particular, r (P + — eos pt —
+ (p - i f i f ' 1 EOS ¿ _ >/ v V 'VSFÍ2VFTÍ 2(p2+p2)n+l
I+ P '
k) Debido a que, según e) n]
cósate
^ (p + »«)" + 1 + (p - ¿a)" + 1 2{pl + a2}n+l
entonces, conforme al teorema de desplazamiento, hallamos 3 + (P - p—¡—e pt eos a i4 =. (P ~ Z + 2((p - /3)2 + a 2 )
—.
í" 1 /í" í™ _ \ 1) Puesto que — ch at - - í — eat + —e ) , y de acuer n! 2 \n! n\ / n! do con e), = ——r, entonces (p - a ) " + 1 i" 1 / 1 1 \ ^ n! C a ' 2 - a)" + 1 + (p + a ) ^ 1 ) _ (y + a ) " + 1 + (p - a ) " + 1 " 2(p2 - a 2 ) " + 1 m) A partir de la solución l) y del teorema de desplaza miento hallamos tn ept c, h a .í =. (p~p + a)n+l + (p-l3-a)n+1 . — rr¡ • »! 2((p — fl)2 — a 2 ) Hallar las transformadas de las siguientes ecuaciones diferen cíales: 22. Ly = yK(t) - 5y'"(t) - 4y"{t) + 2 ^ ( 0 - y(t) + 8, c o Q las condiciones iniciales «(0) = 5, y'(Q) = 0, ¡/"(O) = - i p n s
I^'tíflrtt^
de Lapla«>
l Solución. Sean y(t) = Y{p). Entonces, a partir del teorema 7, p. 1.2, y de las condiciones iniciales obtendremos y'(t) = pY(p) - 5;
y" (i) = pLY(p) - 5p;
y"'(t) = p3Y(p) - 5p2 + 1;
2/IV(í) = p 4 F(p) - 5 / + p - 2.
Utilizando la propiedad lineal de la transformación de Laplace, hallamos Ly = p4V(p) - 5p2 + p - 2 - 5(p 3 F(p) - 5p2 +1)
-
- 4 ( p V ( p ) - 5p) 4 - 2 ( p Y ( p ) - 5) - y(p) + ^ = =
(p4
—
5p3 - ip2 + 2p
l) Y(p) -
- 5p3 4- 25» 2 4- 21p - 1 7 4 - - . P
•
' 2 3 . \ Ly y"'(l)~2y"{t) + 3y'(t) -y{t), bajo las condiciones Iniciales i/'(0) //(O) = 0, / ( O ) = 1, }){t) = Y{p). < Solución. Sigamos el mismo esquema del ejemplo anterior. Tenemos: y'(t) = pY(p) - 3/(0) =
pY(p);
y"(t) = p2Y(p) - y(0)p - y'(o) =
p2Y(p);
y"'(t) ± p3Y(p) - y(0)p2 - py'(0) - y"(0) = p3Y(p) - 1. Por consiguiente, Ly == p 3 r(p) - 1 - 2p 2 r(p) + 3pY(p) - K(p) = = (p3 — 2p2 4- 3p - l ) F ( p ) - 1.
24.
Hallar la ti irs-formada de la d.-rñada dt l.i funiion
Solución. Tenemos:
. ' (pV'i ) ~ >2 r pG/2 ) 2
3
"
TranMÍomimióndc Laplace, Conceptos y pfppie•
f i l i
La función /'(i) = —7= existe Vi > 0 y no existe para 2vi t — 0. La transformada de este tipo de funciones se halia mediante el teorema de diferenciación del original, en el cual se supone que f{n\t) existe V t > 0, mientras que para t = 0 la derivada f{n)(t) puede no existir. Así pues f ' ( i ) = 1>0J2 - m
=
25. Ly = yv 1 2yK ¡/'"(O) — SÍ1V(Ü) = — 1.
(puesto que /(O) = 0).
•
+ 4y, y(0) = y'(Ü) = /(0)V.¿
•4 Solución. Teniendo en cuenta las condiciones iniciales resulta yv(t)=p5Y(p) Ly = (p$+
U
+ p +1,
ylv(t) = piY(p)
2pA+4jY(p)+p
+ 3.
+1, •
M e d i a n t e el t e o r e m a d e d i f e r e n c i a c i ó n d e l a t r a n s f o r m a d a , h a l l a r las t r a n s f o r m a d a s d e las f u n c i o n e s s i g u i e n t e s :
•
.
26.
" a) f(t) = t sen at, b) f(t) ~ f eos at; c) f(t)
di f'.i) - M -
ni.
•--- /.irmrtt'iw = t sh « í ; Z
a) De acuerdo con el teorema 8, p. 1.2, F'(p) = a Como sen at = — - , entonces z p + a2
< Solución,
a V -5 : = V p2 + a2)
2pa
2 pa r-7, í s e n a í : = — : r-r. (p2 + a2)2 (p2 + a2)2 P b) Dado que eos a i = - , y también - i c o s a i = ^ p2 + a2 3 \ p \' p -2 ot2 , entonces \ p2 + a2} (p2 + a 2 ) 2
-t sen at =
(
-tf{t).
ll^pÜo'd^tr^nafotmaciones integrales do Laplace m<w » V* ¿*•1 í' bm í Wi ERr 1
•> jt / ,• • '
11
a c) En el ej. 9 b obtuvimos que sh at = — ¿ p - cr 2pa
c\p -a—J Y 2
2
Entonces
(p2-a2)2' t sh « í =
P d) Como ch at = — ? 2 p - a2 entonces
2pa (p2
-
a2)2 ( P Y p2 + <*2 — r = - 7-= ^r, 2 2 \p - a / (p¿ - a 2 ) 2
y
pz + a2 t ch at == " (p2 — a2)2'
27.
/ i ' i • t ^en ot sh at.
<4 Solución. Llevando la función f{t) a la forma f{t) = —i sen iat, sen at — - ^ (eos (1 - ¿)aí - eos (1 +
i)at),
y utilizando la solución del ej.9c, obtenemos 1 f p sen ctí sh at = - - I — 2 \p2 + (1 - i f a
2
P \ - • , ; - , .., ~ 1 = p2-h(l + i)2a2 )
2 pa2 p4
+ 4a4'
Conforme al teorema 8, p. 1.2, ( 2pa2 —t sen at sh at = ' l p 4 + 4a 4 I - 2« 2 (4ct 4 - 3p 4 ) _
2a(3p4 - 4a 4 )
(p4 + 4a 4 ) 2
(p4 + 4ct4)2
_
De este modo, t sen at sh at
L92
2a 2 (3p4 - 4a 4 ) '
(p4 + 4a 4 ) 2
: TniiiNÍurnutión do Uiplace. Conteptós y propiedades principa! «^í^n-' 'íK, 28.
.
-i
,•. •
'
' W u < .
,
-^WÉiii! «lk i lf llíMt
A
ti |
_ _
M Solución. Por el teorema 8, p. 1.2, tenemos F"(p) = í2f(l), 2 donde F = /. Al resolver el ej. 10 a, obtuvimos que eos at p2 + 2a2 Por consiguiente, ,2 2 , . ( Pz + 2a2 \ " v6 + 24/ÍV + 32« fi r eos at == — — = 2-—í-5——=—. 2 \ + 4a ) ) p3(p2 + 4a 2 3
¿y*
Hallar las transformadas de las funciones t
sen x
/ o
tvyi;
• dx {seno integral de Fresnel); V2jtíc í eos x
/o dx (coseno integral de Fresnel). •4 Solución. Mediante el cambio de variable x = u2 obtenemos Í2 ^ S(t) = y — J ser\u 2 du,
Í2 ^ y ~ J eos u2du.
:C{í)
o
o Del curso de análisis matemático se sabe que +co
+¡x> f 2 Vi sen u du = j eos u du = —^ 2
/ o
(integrales de Fresnel).
o
Por consiguiente, 5(0) = C(0) = 0, S(+oo) = £7(+oo) = Conforme al teorema 9 de integración del original tenemos
J
f(r) dr =
p
•
F(p)
30.
\U / j F + i - v V
C(í) =
1
\ Vp2 + 1 + p 7==^-•
Hallar las Uansformadas de las funciones
.1)
¡t¡ •• I
b)
(£) = -
c) shi (f) -
J.
inhwll,
/ — — dr (seno integral);
I
dr (seno intrgral
hipnbóüco).
I Solución. Dado que sent =
- — , entonces, conforme al teorep¿ + 1 ma 10 de integración de la transformada, tenemos sen t
^ " J ' p
q2 + l
=
arctSP
TT 1 — — arctg p = arctg - .
Apliquemos ahora el teorema de integración del original. Hallamos í f senr , 1 1 Si (í = / — dr = - arctg Jo T P V
Iranulomuiolón do l.aplnce, Conceptos y*plfópKiHaHeT'pr
sit , T jvupjK ':'i -. i l 1 d 'i.'íri'wi t .
I OO ^
, , sertr
Debido a que J 0 consiguiente, 51
r
„ 7T
_ ,.
7T
dr — —, tenemos si (¿) = Si (t) - —. Por 2 2
1 I T T I / C> * " a r c t S " " 2 p (PUeSt° ^
7r 2 '1 *
7T 1 \ 2 p) •
Escribiendo el seno integral hiperbólico en la forma i shi (t) - Si (it), y teniendo en cuenta el resultado del caso a), obtenemos 1 i i 1 i shi (f) = - arctg - = - arcth - , p p p p
I p i l shi (t) = - ln . 2 p - 1
i En efecto, realizando el cambio de variable arctg - = ia, hallamos V .
i
— tg ia
íp de donde
b
1 th a = —, P
31.
m
=
sen ¿a
1 ei{ia) ~
eos t a
T
— =
-7^-:
% e!<«") +
ei{ia)
TTT-T = i th a,
e-1^
, 1 1 i i a = arcth - , - arctg - = -a P P P P
i 1 = — arcth —. P P
••u 1 = — — .
• • .
•
>'':. §111
M Solución. De acuerdo con el resultado del ej. 21 a, 1 e~~at sen t = ' (p + a)1 + 1 Utilizando el teorema de integración de la transformada, hallamos e
_ y
+00 sen í _ ff dq dq t - J (q + a f + i p
q= + oo =
arCtg {q +
a)
q=p
ir 1 = - - arctg (p + a) = arctg 0 2 p+ a '-i i <1=; • n * r * * * e M « i
^|'|fansformacionos integral les deL.apl.ice
r
K.'l.il íi'jU'^i '' ^ , ,'i't'j i " i.11 sen 7t sen It
i<
t 4 Solución. Primero hallamos la transformada de la función
+ (a +
/3f)'
42p -.. Utilicemos En el caso dado sen7ísen3¿ = —r. {p2 + 16)(p2 +100) ahora el teorema de integración de la transformada. Escribiendo 1
(p2 + 100) - (p2 + 16)
(p2 + 16 )(p2 + 100)
(p2 + 100)(p2 + 16) 1 84
\p2
1
+ 16
obtenemos +oo
m
q2 + 16
q \ q2 + 100 ) 1
4
ln
= Q
p
p2
+ 100
+ 00 i
1 16
p2 + 100
=
1
4
ln P
100 p 2 + 16
§2. Convolución de funciones. Teoremas de desarrollo 2.1. Definición de convolución Sean (p y / dos funciones continuas definidas en el semieje positivo de la recta numérica K. Se denomina convolución
Convoluddn do funcionéf
de las funciones
0)
o La convolución es conmutativa (
2.2. Teorema del producto (E. Borel)
Teorema (de Borel). Si f = F, Re p > «o y (p = <&, Re p > « i , donde <*<) y son Jos índices de crecimiento de las funciones f y respectivamente, entonces f *
2.3. Teorema generalizado del producto (A.M.Efros)
Teorema (de Efros). Si f = F y
T?(p),
donde í> y q son
o
2.4. Integrales de Duhamel t Si f *tp = f f(r)(p(t - r ) dr = F(p)$(j>), entonces o t f(tM0)
+ J / ( r ) ^ ( f - r ) dr = pF(p)
(2) r-ÍSITOHI
?íóf¿MÍÓ'*iíe¡ ^ansfórmaciones intégralos do Laplace féakufó'
~ " " "
o bien
" •
f
¥>(0/(0) + J tp(T)f¡(t-T)dT±PFm(p)(3) o Las primeros miembros de las expresiones (2) y (3) de denominan integrales de Duhamel.
. 33.
f{t) = eos wt.
Hallar
4 Solución. Según la definición i I (t - r) 2 eos wr dr.
tp* f =
o Como coswí tenemos
w p¿
+
2 2 -, t = —r, conforme al teorema de Borel, pi
u¿
34.
2w 3, 2 i
2\-
*
Hallar la tran-tormada de !« fuiuV>n / ( O - C ( í ) c o s í - f 5(í) sen t,
donde C{t.) y S(t) son el coseno integral y el seno integral de Fresnel, respectivamente ív. ej. 29). •4 Solución. La función / tiene la forma t t t cosr f senr f 1 - • — - d r + s e n ¿ / ~ = d r = ¡ cos(t—r) ^—dr. / V27TT J V2írr 7 V2xr 0 0 0 1 De este modo, / = tp * V/ donde
Según el teorema de Borel f(t) = F(/?)
iiw'iwiiminiiiirninniii;
'
'
^
1 V2p
1
' VSTTÍ'
Convolución de funciones. Teoternas de^
Así pues, m
=
VJppz
+ i'
35. Hallar la transformada de !a función
.
" *
,'H\'K
f(t) = C(t) sen t - S[t) eos t. * 1 A Solución. En vista de que f(t) — f s e n ( i - r ) dt, conforme al o v2ir t teorema de Borel, f m m m ,
t,
Por tanto,
36.
Ha'I.ir la M-IIVOILICIIMI
* f
y ^LI transformada'sí
Vit) - t". f ( f ) = t°, a > Q, ¡3 > Q. < Solución. Según el ej. 4, ta
1
' tp
r(a +1) r r{/3 +1) • Basándonos en el teorema de Borel, hallamos 1_ ^ ta . tfi pa+l
^ P(a
+
!) *
r(p+l)'
o bien -
1
pa+/?+2
Dado que • • •-v 1 pa+p+2 r(a + \)r{S5 + 1) 1 +
1
e * ^
• ,T(a + l)r(/? + 1)
= — — r r , entonces -——• r{a + p + 2) r(ot + /3 + 2) de donde r(a + i ) r p 3 + i ) a + f ¡ + 1 = /"(a -f /3 + 2)
¿ transformaciones integrales de Laplace
El resultado obtenido permite establecer una relación entre las funciones beta y gamma de Euler. En efecto, según la definición de convolución,
í
t
r"(t - rf
(IT
r ( a + i ) r ( / 3 + i) r(a
+/?+1
+ p + 2)
Tomando T — tx en la integral, obtenemos dr — tdx,
tax°,
T" =
(t - rf - ^{1 - x f , _ta+0+lr(a+l)F(l3+l)
J ra(t~rfdT=ta+(i+1J
xa(l-zfdx=t
r(a o bien
'
r(a+p+2)
+ p + 2)
'
i J
p-i xa~\l-x)
Nota. La función erf t —
dx
2
_ r(ot)r(p) d,f B{a,p). r(a + p) i f
•
2
J expf • r } dr se denomina integral de probabilidad.
La serie e x p { - í J }
1)T| -y es uniformemente convergente, por lo cual se n=0 puede integrar término a término. Tenemos: 2ÍÍ+1
erft = 4= Í f V l ) " — dr = 4 = T V ! ) " " v 7T J n! \/7r ' n!(2 n Evidentemente, erf (~t) - - erf t, (erf i)' =
+1)
> 0, erf(0) = 0, erf (+oo) =
V7T
—=—— = 1. Por consiguiente, la función erf es impar, continua, y creciente. Para V7T 2 valores grandes del argumento t se analiza la función •t-vX i T^ Erf t~ 1 - erf t =
J e"'
2
dt -
La función Erf es decreciente y continua. ffin
J e" ' dr 7
=
j
e
V
dr.
, / Wl 1 1 1 f ('onvoliu'ión do /unciones, Teoremas de des. •":.'=•."'• paliar ta transformada de la función f{t) ¿
1 1 1 , — = = —- y
t
A Solución. Utilicemos las expresiones e =
P~ 1 V 7TÍ VP
el teorema de Borel. Tenemos: 1
1
-— p-ly/p
t . t dT 2e f t-r M ^ = \ é = — /f e-rTd(Vf) J V^rr VT 7 o o (p-
éxTiyit,f¡£
Ji í = -= / e ¿ ,dx, VW o 2e
L—^e'erft^). VVP
Conforme al teorema de desplazamiento, erf (Vt) =
—• pVp + 1
•
38. Hallar la transformada de la función f(t.) ^Erf A Solución. Según la definición, Erf (Vt) — guiente,
39.
Erf (Vt) ==
p 1
pvp +1 1
P
1 - erf {Vt).
+1 + Vp 1
+1'
Hallar la transformada de la función /(/) = e
^
Por consi-
2
ffffiV'gi .,' " ,"k¡
Solución. Apliquemos la transformación de Laplace. Obtenemos +001
e-¡2 = J
+00
e^e^ 1 e^'e"'
dt === e ^
o
[I e ' ^ f J 0
dt
+00 f
J p/2
dr
-
2 •! üQli
^E^Cífe 'trans formaciones integra les do l aplaco
^'.•.aKcS1 í¡40.WHíiItóT ía transformada de la función '¡{t):~ erf t.
' •' 3
Solución. Sirvámonos de la solución del ej. 39 y del teorema de integración del original: si f = F, entonces ¡ m * * ™ . J V o De este modo,
1 ¿ erf t = - e " Erf
.
P
i'" 4 1 . ICK*.
tl.ill.ir l.i ln>K.ii>n ur.a transí-i:mada e-
Solución. Descomponiendo la función F en fracciones simples, obtenemos 1 1 1 , = ^ p + 1 p + 2 (p + 2)2 Como 1 p+ 1 Ja solución del ejemplo función
. -I 1 . _—2í = e y = e ' p + 2 se reduce a la búsqueda del original de la 1
~ (p + Según el teorema de Borel VÍP)
_ 2)2
1
~ J+2
1 '
t V(p) = j o
J+2' t
e-^-T)e-2rdr
= e~2i J
dr = e" 2 í í.
o
Finalmente, f(t) = e~l - (1 + t)e~2t.
•
Convolución defunciones. Teoremas ÍIV -¿V^ríllíte „MK''i* <><•,.>•„•• •. • ' i • H I, „J , Sf«!¡ , 42v5i'|;;'Halíaferóriginal de la. función'F sí ' ^ t ' f t y f f i f i g F{p)
-
V '"J' V p2 + 9 p2 4 4 y P P tomando en consideración que - r = eos 3i y — == eos 21, M 2 2 p + 9 P + 4 a partir del teorema de Borel obtenemos t
4 Solución. Escribiendo F(p) en la forma F(p) =
f(t) =
J
eos 3(í - r ) eos 2 r dr
-
o
í = - y (eos (5r - 34) + eos (3í - r)) (ir = o 1 ( s e n ( 5 r — 3i) 2 \ 5~ 1 ( s e n 2í sen 3í — — + — 2 V 5 5 1
43.
or-
^ «n(3t-*>
(3 sen 3í — 2 sen 2í).
/ ¡T=0 , sen 2i + sen 3í = •
Hallar el original de la función F, donde
Solución. Llevamos la función F a la forma 1 1 F(P) ~ P' ' -YTT = P
p2 + l
ii-y^l W J
* V'li^'. I"
F(p) ^ —7-^
= sen t = ^(i),
Iramiformacionesintégrale*de Loplnce' Mir^'Ki', Tf' r
• *~
"T'-T.1' i • 't 1' / -'i " ' ' .! y de la fórmula (2), p.2.4, escrita en la forma f(T)
dt
i
obtenemos
d f (t - rf sen r rip +1) " dt J 2
1
dr
o
1
t
/<
, (t —
2 J o
T)
sen
T
t¿ dr = — h eos t - 1. 2
§3. Transformación inversa de Laplace 3.1. Fórmula de inversión de Riemann—Mellin Teorema (fórmula de inversión de Riemann—Mellin). Sita función f es un original, es decir, satisface las condiciones 1), 2), 3), p. 1,1, y F es su transformada, entonces en todo punto de continuidad de f se cumple la igualdad
é¡
m=
O-t-ÍQO
IePtF(p)dp'
(i)
donde la integral se toma a lo largo de cualquier recta {p 6 C | Re p — a > a} y se entiende en el sentido del valor principal de Cauchy. En los puntos de discontinuidad de la función f , en lugar de f(t) en el primer miembro de la l fórmula (1) se puede tomar - (f{t + 0) + f(t - 0)).
3.2. Elementos de la teoría de las funciones de variable compleja Recordamos al lector que una función / : C —> C diferenciable en todo punto de cierta región D, se denomina analítica (regular; monógena) en esta región. '•204
Transformación 'inversa d,e t&ftlfj ' ' ' • ' ^ m m m Una función / analítica en el anillo K = {z e C | r < \z - zo\ < R} puede ser desarrollada en una serie de Laurerü: OO f(Z)= Y , Cn(Z-ZQf. n=—oo
(I)
Esta serie converge uniformemente en cualquier región cerrada perteneciente al anillo K . La serie (1) se puede escribir en la forma oo
oo
/<*) = £ * < * - * ) " + £ ( — - « • Zo) n=o «=i [ Z
(2)
00 La serie ^ <"„(z - zr¡)n es la parte regular de la serie de Laurenl, n=()
oo
E C—ji— es su parte
principal. Si la función / es diferenciable en cierto entorno del punto ZQ, salvo, posiblemente, el propio punto z(], entonces z(l so denomina punto singular uniforme. Si la parte principal de la serie de Laurent es idéntica a cero, entonces ZQ se denomina punto singular evitable. Si la parte principal de la serie de Laurent está compuesta de un número finito de términos, entonces el punto ZQ se denomina polo. El número m es el orden del polo si c m fi O y c..m j — 0 V j e N. Teorema 1. El punto zg es un polo de orden m si, y sólo si, existe cierta función
=
^
V z £ 0Za \ {zo}
y
(3)
donde 0,„ = {z G C | \z - z0\ < fi}. Si c -TÍ fi O para un conjunto infinito de valores de n <E M, el punto zo se denomina punto singular esencial. Por ejemplo, las rtnlH
de transformaciones integrales de I .aplace íítüio'^'r'"" funciones z
e ¡ , z \—* sen Z H eos - tienen en el origen de z z coordenadas un punto singular esencial. La función / se denomina entera (holomorfa) si no tiene puntos singulares. Por ejemplo, las funciones z e*, eos z son enteras. z i—• sen z, z La función f se denomina meromorfa si no tiene otras singularidades que no sean polos. Por definición, una función meromorfa es igual al cociente de dos funciones analíticas en el plano complejo € ; además, la función del denominador tiene al menos un cero aislado en el plano C, y si se tiene un conjunto infinito de ceros, dicho conjunto no tiene puntos límites. El número res f = ~ [ f { z ) d z , a 2iri J
(4)
7
donde 7 = {z 6 C | ¡z - a| = 5} es una circunferencia suficientemente pequeña, se denomina residuo de la función f en el punto singular aislado a. Si la función / se puede desarrollar en una serie de Laurent (2) en un entorno del punto singular aislado a, entonces res / = c_i. a
(5)
En un punto singular evitable el residuo siempre es igual a cero. En un polo de orden m el residuo se calcula mediante la fórmula res / = — ! — lim a (n - 1)! z-*a dzn
({z - a)n f(z))
1 v
'
.
(6)
Para los polos de primer orden la fórmula (6) adopta la forma res / = lim(z - a)f(z). (7) a z—a Si en este caso en un entorno del punto a tenemos que (p(z) ftz) = , donde tp y ib son funciones analíticas en el punto a, ip{z)
Transformación inversa dAj,
se puede emplear la fórmula res / = lim ^ ( z - a) = lim ^ r ^ , « z-.«ip(zy «-a 1>{z) ~ jija) z - a
=
(8)
i)'(a)
3.3. Teoremas de desarrollo El uso directo de la fórmula (1), p. 3.1, es dificultoso. Analicemos los denominados primer y segundo teoremas de desarrollo, los cuales simplifican considerablemente el proceso de reconstrucción del original a partir de la transformada. Teorema 1. Si en un entorno del punto p,; = 0 la transformada
F se puede
desarrollar en una serie convergente de Laurent de potencias de P oo W
=
0)
entonces la función original de F(p) es oc t=o
tk "kl
Antes de formular el segundo teorema de desarrollo,'veamos algunas ideas sugerentes. Si / es una función analítica en todo el interior de la región D, salvo en un número finito de puntos singulares a¡ (j = 1, n), y es continua en la frontera C de esta región, entonces se cumple la fórmula de Cauchy de los residuos r
"
/ f(z) dz = 2ttí J 2
res
/•
(3)
c J=1 px La función subintegral F(p)e en la fórmula (1), p. 3.1, c;analítica y sus puntos singulares se encuentran en el plano p a l< izquierda de la recta de ecuación s = a — a, A la derecha de esl.i recta la función F(p)epz es analítica, puesto que ambos factorw
^ t í f d o . d e transformaciones integrólos de Laplace
son funciones analíticas. Si aplicamos el teorema de los residuos a la integral
l a + bi ;y
\
0
a+bi
S
F(p) dp
S =a
=
C
j
e1 F(p)<j> dp + epxF(p)dp
= J
a-U
a ~ bi
+ j
ep F(p) dp
c„ por el contorno C = Ci U CR (fig. 75) y pasamos al límite para & —> oo, entonces
Fig. 75
J
eptF(p)dp~>
0,
f(t)2iri =
V j
Cn a+bi í eptF{p) y -u
dp
2iTÍ
J
res(e p *í , (p)), Pi
es decir,
Este resultado se conoce en la teoría del cálculo operacional como el segundo teorema de desarrollo. Formulemos este teorema. Teorema 2. Supongamos
que:
1) la transformada F es una función meromorfa en el plano complejo p y analítica en el semiplano Re p > a; 2) existe una sucesión de circunferencias Cn — {p £ C \ \p\ = B„} (Ri < R2 < ..., Rn —» +oo) en la cual F(p) tiende a cero uniformemente respecto a arg p; a+ioo 3) la integral f F(p) dp converge absolutamente para todo a > a. a—¿oo
Entonces el original de la transformada
F(p) es la función
V(t)f(t) = ^ 2 r e 4 é ' i F ( p ) ) . lino
(4)
e"'
TYa nstórmacitíí
Si para un punto ZQ existe un Sentorno tal que al dar una vuelta alrededor del punto zg por cualquier contorno cerrado que pertenezca completamente a este ¿-entorno, una rama de una función multiforme pasa a otra, entonces el punto Zr, se denomina punto de ramificación de la función multiforme. Si entre los puntos singulares de la función epiF{p), además de los polos y puntos singulares esenciales p/; (k — '!, n), se tienen puntos de ramificación p'j (J — 1, m), entonces " . -i m m
E M^F(p)) k=l
Fig. 76
„
- - Y 2 J j=1 ,
(5)
e ^ d p ,
donde y'j son contornos compuestos por circunferencias Cj de radio pequeños y centros en los puntos de ramificación y por los bordes superior e inferior de los cortes del plano a lo largo de rayos que parten de dichos puntos (fig. 76). Hallar los originales de las funciones F dadas a continuación:
44.
F(p) = — ,
a > 0.
.•>'•• •¿mi
Solución. La función F es analítica en el plano p con un corte a lo largo del semieje negativo. En el borde superior del corte tenemos p = petJ y y/p = i ^/p, mientras que en el borde inferior p = pe~'n y ^ = —iyfp. Dado que p — 0 es un punto de ramificación de la función F , según la fórmula (5) m
- 2m - ÍJ %
¿>t[ VP
"H
¥ Fig. 77 dp,
btr^ns fo t mac i oríes integra les de Laplace
donde 7¿ es el contorno representado en la fig. 77, orientado en e! sentido contrario al del movimiento de las agujas del reloj y compuesto de dos rayos y una circunferencia de radio e > 0. Estimemos
/
J C,
VP
f |ept|
\dP\.
VP
Tomando p = ee"p, obtenemos
I
S oP* 1
\dp\ =
VP
IT
~a\ft eos íí eos Ip ®
yfi cuando e f
-+ 0
0. Por tanto, 0
,e~avp
'.
f J
+00
'
~pt
„
+OD
J«
e
%VP ii
+00 m
dp
dp,
iVp .ptCOSOy^ e zi—dp
<
+00
71
eos audu
o ' o (hemos efectuado el cambio de variable v7> = m). Haciendo /(a) = / o
(eos
au du, e integrando por partes, hallamos
senaw ^uhl+co T(a) = e a ¡o
H
+00
f _u2t , { ue sen audu — a J
2t
21 di —. a da
Obtuvimos una ecuación diferencial de variables separables. Resolviéndola, obtenemos a„2 I(a) = Ce
4i
La constante C se halla a partir de la condición +00
c = /(O) = J
e~uH du=~
o
_ JL "
+00
v T T
~
J
e~(us/if
d{u\ít) =
o
fí
2V¿'
Consiguientemente, a2
45.
a"21
/'"(/ii
^ Solución. Sea f{t) = e Aplicando el teorema de derivación de la transformada obtenemos -ajp -tf(t) = ' o bien ^tf(t) = VP
Según la solución del ejemplo anterior tanto, f(t)=z
fl
J
46.
F(p) =r — ,
ft^
y—
e~4¡" '
2
1 _<¿ - í / ( í ) = — P o r a vnt
a" _ <£ == e 4í . ' 2tVrt
a > 0.
-4 Solución. Utilicemos los resultados del ejemplo anterior y el teorema de integración del original. Tenemos:
P
1 f e - ¿4r
2yf% J
•
dr
^^^^itóeifotttwyon^'lntograled do Laplace ÍVMv/'Jiííi^'k.! l1 B H ' v a i Realizando el cambio de variable — = u , hallamos 4r + 00 t 2 /W a 2 A = —= /f e -V du = Erf /Í —7=e - 4rí dr —p 3 j 2V?tí a y \2Vi íTi
por tanto, p
47.
fw
'
Erf
*
1
P¿ + P(/.
Gv¿)'
2)1 p - I*
Solución. Dado que (p - 2)(p2 - p - 20) - (p - 2)(p + 4)(p - 5), la función F tiene polos simples en los puntos p\ — 2, p2 = —4, P3 = 5. Estos puntos también son los polos de la función é'lF{p). Para hallar el original de la función F utilizaremos la fórmula (4), p. 3.3, mientras que los residuos de la función p cptF(p) los hallaremos mediante la fórmula (8), p. 3.2. Tenemos: ^ e res é F(p) = — ^
P
V 1 )
' 18 '
p=2
e f t f + p - 1) res ep F(p) = w P——4 3(p2 -2p-6) „ e^V+p-1) res é F(t) = ——:— w P=5 3(p2 — 2p- 6)
11 p=-4
=
29 p=5
-4í
54 C 5t
27<
Sustituyendo los resultados obtenidos en la fórmula (4), p. 3.3, hallamos /(*) = ¿ ( l l í T 4 t + 5 8 e 5 1
15e21).
•'48
1 f(»)-i•
~
p
•'•;
p + 2
•4 Solución. La función eptF(p) tiene polos simples en los puntos p — ±2i y p = ±i. A partir de la fórmula (8), p.3.2, hallamos ^— res eFrtj?, F(p) KF> P=Í „t res eptF(p) w P=2i
=
(1 + 0 «
- + 2p(2f+5)
—
ept(p2 - p + 2) ^ , 2p(2p2 + 5)
1
~ 1 _2 ¿í
p=2i En los puntos p = — i y p — — 2¿ obtenemos las expresiones complejas conjugadas. Por consiguiente, 2tí
/(í) = 2 Re
i + * «A
= ~(cos 21 + sen 21 - eos t + sen t).
49.
IBÍ111ÍÍSÍSI Wmm Fíp) = í p - l ) V + l)(p-2j
I B I
Solución. La función e^Flp) tiene polos simples en los puntos p — 2, p — db«, y un polo de tercer orden en el punto p = 1. Conforme a la fórmula (4), p. 3.3, /(í) = res ^Fip) + res eptF{p) + res eptF(p) + res eptF(p). p=2 p=i p=-i p=l Calculemos los residuos mediante las fórmulas (6) y (7), p. 3.3: res eptF(p) w p=2 res e^F(p) + res epiF(p) p=i p=—i
=
ept — (p - 1 )3{p2 + 1)
] piF(p) = 2 Re I res eoí"' \p=¿
= ~e 5 p—2
2t
] = apt
= 2 Re
(p-l)3(p + ¿)(p-2)
JL(eos t — 3 sen t), 20
integrales de Laplace ^-«^liHsHr^it c f\ «tj
P=i
1 / 2(6p4-16p3 + 1 5 p 2 ~ 3 ) ^ 2 1
(p2 + l) 3 (p ~ 2)3
(P + 1)2(P ~~ 2)3
+
(p2 + l)(p - 2)
De este modo, e 2í 1 /(*) = y + ~ ( c o s f - 3 s e n í ) - ~(t¿ + l).
50.
F{J1) =
p ch p
•
.
-4 Solución. Por cuanto chp — eos ip, entonces la función tiene un conjunto infinito de polos simples Po = 0,
pk = ± i (k - ^
7T, fc € N.
A partir del segundo teorema de desarrollo tenemos m = JK>
( A S ] \chpjp=0
= 1+2 Re
+ 2
s
R
e
y ( ~ < ¿Vpshp 3¿(í;-1/2)»Í
¿ ( & - - j 7T Sh¿ í fe - - | 7T eos ( k - ~ 1 nt
=
'•214
l+2¿(-l)* Í!=l
k
~ 2 } *
eptF(p)
ymr-mm
Ttónsformaclón Inveróat,
5
- ifftWrS.
No es difícil demostrar que hemos obtenido el desarrollo cosenc de Fourier de la función si 4A: - 1 < t < 4/s + 1, m si Ak + 1 < t < 4k + 3. en el segmento [0,4]. En efecto, los coeficientes de Fourier a¡¡ de la función / se calculan mediante las fórmulas i 2 f fcirí t «fe = y / /(í) eos - y - di (fe G Z ) . 0
o En el caso dado l = 4; por tanto, 4
o = \f
3
f(t)dt=^J o 3
1 f k
~ 2 J
2dt = 2, i
Jfeff c o s
Y
t d t
= 2
nir nir n7r eos COS — — Ssen T —— 4 ™
_ , , nwn-K >. Debido a que eos — sen — = ( - 1 ) para n = 4k - 2 (k 6 N), „ (-1)* . . entonces ojt = 2-7 — — ; por consiguiente, ( . - I ) , ' OU
ít - - I) / 7rf IV COS fLfe L>
/ ( k
1\ ] 7T
«r
1 2, k
si
- 1 < í <4fc + l, 4fc + l < í <4fc + 3.
Con ayuda de la función de Heaviside rj podemos escribir la función f en la forma /(«)=* 2 ¿ ( - l ) * t 7 ( í - 2 f c - l ) . k=0 Así pues pchp
===2 ¿ ( - 1 ) ^ - 2 / 5 - 1 ) . t=o
do LopJ ico •V j *sva '
,
Hallar las transformadas de las funciones siguientes: 5 1 . ; , /(í) = s e n 2 ^ .
•4 Solución. Recurramos al teorema 1, p. 3.3. Desarrollando la función f en una serie de potencias, obtenemos "O r)2n+l sen 2 V i = X ^ C - 1 ) " ? ^ — W (2n + 1)! n=0 Según los resultados del ej.5, i
a+1/2
^ (2n + 1)!v/TF n|22n+ipii+3/2 ;
Por consiguiente,
n=0 1
" * • n=0
^
FK
V V J> eos 2v7
Solución. A partir del desarrollo eos 2\/í
^(-l)W"
1
/
2
<2fe)!
Vi y de la expresión 1 t jb-1/2
[ v
+
2y
fc+l/2
(2fc - l ) ü v ^
í>
hallamos
r eos iVt Vt mm
k=0
ifc!
fc
(2fc)!^F
W'i&gxm ~ 53.
. m
» tnnJ„(2Vt),
donde
V^
1
1
h fX\
^ ' . V j
2 /
es una función cilíndiica (de Bessel) de primeia especie y de'''1"-
f.'ltin'V Solución. Cambiando x por i V t en la fórmula de Jn{x), dremos f(t) = ñ J„(2v/í) = „ 00 - n\n+2k = t5 y - ^ x f - m ' k\r(n + k +1)
°° =
y ^
(
, ~1)¿
obten-
.
kT(n + k (•• 1)
Tomando en consideración los resultados del ej.4, hallamos . . ^ ¿ H n + f e + l) pH+fc+1 Consiguientemente, 1 k
Pn+k+l
fc=0
iV
54.
/:1
Solución. Utilicemos la solución del ejemplo anterior suponiendo que n — 1. Obtenemos
A partir de la fórmula de integración de la transformada (v. teorema 10, p. 1.2) hallamos í 1/2 Jx{lVt) t
7 ° e _ 1 / í d9 • J
q2
= e
-i/» 19
+0°
1 - e'1".
P
Por tanto, f{t) = 1 ~ e
-1/P
§4. Ecuaciones y sistemas diferenciales lineales 4.1. Integración de ecuaciones con coeficientes constantes Sea la ecuación diferencial dny Ly = a0— +
dn^y —
dy +• •• •• + an„r-
+ any = /(i)
(1)
con las condiciones iniciales y(0) = yo,
y'M = y'0
yin~])(0) = vtl)-
(2>
Supongamos que a0 ^ 0 y que tanto la función / como la solución y(t) con todas sus derivadas de hasta el orden n, son originales. Sean Y(p) = y(t), F(p) = f(t). Conforme a las reglas de diferenciación y a la propiedad lineal, en lugar de la ecuación diferencial (1) con las condiciones iniciales (2), obtenemos la ecuación operacional (a>oPn + ftip"-1 H
+ <ín)Y(p) =
= F(P) + yo(aopn'~1 + a i ? " " 2 + • • • + «n-t) + + yó(«o/" 2 + «i pn~3 + -•• + on-2) + • - • +
y{rnao,
o bien A&)Y(p) = F(p) + B
:
Ecuaciones y sis^emWdífeíejr .ti* JfW»" -"US Si la ecuación (1) con las condiciones iniciales (2) tiene una solución y(t) que satisface las condiciones impuestas a los originales, entonces esta solución es el original de Y(p).
4.2. Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes El método operacional se emplea de un modo análogo en los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Supongamos que se pide resolver el sistema de n ecuaciones diferenciales de segundo orden d2Vi. dílF
dvt + Kk
~dt
\ +
°VkVk )
=
M t )
{U =
1' U)
(')
con las condiciones iniciales Vk( 0) = akt
—— = pk. (2) at Si Vk(t)> fv{t) son originales e Yk(p), Ft,(p) son sus transformadas respectivas, entonces el sistema (1) con las condiciones iniciales (2) se puede cambiar por el sistema operacional n (a"kP2 + b"kP + Cvk) Ykip) = n
=
+
E k-1
+ b"*>ak
+ a»iP*)-
(3)
Resolviendo (3) como un sistema de ecuaciones lineales algebraicas, hallamos Yí;(p) y luego sus originales
4.3. Resolución de ecuaciones con condiciones iniciales nulas mediante la integral de Duhamel Supongamos que se pide hallar una solución particular de la ecuación diferencial Ly = y
" ) • • • I an ,•//' I any
J(t)
(I)
Iptófocfc) ele ttárísformadones integrales de I,aplace
con las condiciones iniciales y{0) = y(0) = ...=yin~l)(0)
(2)
= 0.
Analicemos el problema Ly = 1;
y(0)^y'(0)
= ...=
y{n^(0)
= 0,
(3)
donde Ly es el primer miembro de la ecuación (1). Dado que las ecuaciones operacionales correspondientes a los problemas (1), (2) y (3) tienen la forma A(p)Y(p) - F(p),
A{p)Yi(j>) = i P donde F = f , entonces Y(p) = pY\(p)F{p). De esta manera, si se conoce la solución del problema (3), conforme a la fórmula de Duhamel tenemos t y(t) = j
(4)
f(T)y[(t-T)dT
o (tuvimos en cuenta que, según las condiciones iniciales, t/i(0) = 0). La fórmula (4) toma la forma t y(t) = yi(f)/(0) + J
(5)
yi(t)f'(t - r) dr.
o Ofrecemos al lector una tabla con las transformadas de algunas funciones y las indicaciones para su empleo. Si se conoce el original y se necesita hallar su transformada correspondiente, entonces la tabla se lee de izquierda a derecha; si se conoce la transformada y se pide hallar el original, entonces se lee de derecha a izquierda. En la literatura especializada de cálculo operacional se pueden hallar tablas más detalladas que esta.
Tabla de originales y sus transformadas Original i
'•220
,A
Í0, si í < 0 = { 1, si 0
Transformada 1 P
licuaciones y sistemas 'tiiferenciciles^é^jgl
Original
Transformada
2
i" (a > - 1 )
r(a + 1) p"+1
3
e*1, a = const
1 p- <7
4
tneffi, n € N,
n\ (p -
5
sen wí, ^ £ I , m = const
6
eai sen wt, w £ IR,
7
t" sen wt, n € N, w € R, w = const
8
eos wt, tu £ R, w = const
9
eat eos wt, w € ¡R,
= const, w — const
p2
w + w2
ii) (p~
Irn (p + iw)"'1 (p2+w2)n'11 P p2 +w2 p-a (p-a)2 + w2
10
tn eos wt, n € N, w 6 R, ui — const
11
sh wt, u> £ 3R, w ~ const
12
ch wí, u £ R, w = const
p p2 — w2
13
sen wt — - — , w € E, w = const
7T p — — arctg —
14
| sen wt], u> £ R, w — const
15
e~ah\ a € K, a = const
16
—=, a £ K, a = const Vttí
p2
w — w2
OI 7Tp cth „ p2o + w1? 2w i/í * 2 Z— e a 2
Erf
/ a \ \VPJ
1 V^r + a
Ido^Üe^iíansíoririacioncS integrales d<¡ Laplace ¿«íftlj jJi iU II.M'1 Original 17 18
1
~jz=e « , a G 3R, a = const Vjtí 1 1 s e n TT ~F= Vñt 2í
19 20
Transformada
1
1
>/w7
2í
VP
\/P
sen i / p
™ e _ v / ? c o s s/p
VP
{ a \ Erf { —p , a € R a = const \2VtJ
P
Resolver los siguientes problemas diferenciales: 55.
y" + a2y - b sen at; y(0) = ylh y1;)(0) = y'Q.
i - A
Solución. La ecuación operacional correspondiente al problema diferencial es I 2 2 & + a = 2¿ ^ 2¿ + VoP + 2/0p + a Resolviéndola, hallamos ab , P , y'o ~ (p2 +, a27x9 + yo , , , + 2 2 2 2 ) p + a p + a2' Utilizando la tabla de transformadas de funciones vemos que Y(P)
^ yó i- Sen at. + + a ab b 2ap 1 Debido a que r— — — - , entonces, según la (p2 + a2)2 " 2 (p2 + a 2 ) 2 p' fórmula 7 de la tabla y el teorema de integración del original, tenemos í ab• b ff b b == I T sen ar dr = —r(sen at - at eos at). 2 2 2 (p + aa2))2 22 JJ 2a2 o Finalmente, , b \ sen at ( bt\ • yo + r + {y°-Ta)C0SaL a ) ~ y0
P
p¿
aL
(
^ y0 COg atr
p¿
Vo _ a¿
Ecuaciones y ^¡.stemab'd
, '56.
y" + 4 ? / ' + 4 j / - e " 2 í ( c o s í + 2 - í e n í ) ;
< Solución. Pasemos a las transformadas y = Y,
y' = p F + l,
y"=:p2F+p-l,
c o s í + 2 s e n í ==
F +1
Conforme al teorema de desplazamiento, •
e
P + 4
(eos t + 2 sen í) =
^^ (p + 2)2 + l
La ecuación operacional del problema diferencial es p2Y+p-l+4pY
+
4+
4 Y =
{ p
^
+ i
,
y su solución, p 3 + 7p2 + 16p + l l ((p + 2) 2 + \)(p + 2) 2 '
W
Descomponiendo el segundo miembro de esta igualdad en tracciones simples, hallamos p + 4
Yin) —
(p +
w
2)2
+ 1
1
+
(p + 2)2
.
Pasemos al original sirviéndonos de la propiedad lineal, del teorema de desplazamiento y de la tabla de transformadas. Tenemos: y{t) = e~2i(t - eos t - 2 sen í)-
•
57. y'" \ 3y" + 31/' + y = 1; y[Q) = y\0) = y"(0) = 0. ISilgyiÉlw^
-4 Solución. Sea j/(¿) = F(p). Pasando a las transformadas obtenemos la ecuación operacional correspondiente al problema diferencial: (p + í f Y =
-. P
Su solución es Y(p) =
1 p(p + l) 3
1
1 p
p+ 1
1
1 (p + 1)2
(p + l) 3 ••úi^tíímt
^tóy^^e/transformaciones integrales tic La plací'
El original de la transformada Y se halla mediante las fórmulas 1, 3 y 4 de la tabla: t2 y(t) = 1 - e~l - te~l - -c^
tl = 1 - e~l I 1 +1 + - I .
•
y'" r y = l; ¡/(O) - ?/(0J - y"{0) = u.
, 58.
Solución. Al problema diferencial le corresponde una ecuación operacional cuya solución es la función Y(p) =
p(p3 + 1)'
Hallemos el original mediante el segundo teorema de desarrollo: y(t) —
res (^Yip)). ' Pj
La función Y tiene polos simples en
i 1 los puntos px ~ 0, p2 = - 1 , Ps = ~
iV3 1 iV3 J~> P4 = - + — •
Calculando los residuos de la función p i--> epíY(p) mencionados, hallamos resé*—^ pi
+1)
res eptY{p) pi res ep Y(p) + res eptY(p) P>
P4
=
iimcí*_L_ = p-+o p-4 + 1
1#
en los puntos
•
ept t~x = lim — = -—-, i p(p¿ - p + 1 ) 3 e\ 2 = 2 Re 2 . 3
2
J
-3
eos
V3, 1. 2
Finalmente, tenemos e -í 2 . V3 y(t) = 1 - ~ - - e » eos — ¿ .
licLuicíories yvsistehnak
. v
, i, i. • .
5 9 . • • ylv+2y"+y
••
.-..i-» "
= sen í; y(0)
h.,>d'iir ¡i.i'iii !,A,jt ''¡.W-;-,'
/(O)
y'(0)
Solución. La solución de la ecuación operacional correspondiente al problema diferencial (luego de pasar de la función, de sus derivadas y del segundo miembro de la ecuación, a las transformadas) es y
1
(P 2 + I ) 3 '
Hallemos al original y(t) como el residuo de la función p en el punto p = i: y(t) = Re
d2
/
dp2
é*
\ip + lf
P=i
1 3 - - ( 3 - í 2 ) s e n í - -t eos/. 8 ' 8
IHPgpINBHBM 60. yw - y' = tí sen ¿; i/(ü) -
i/ ¡í-,
jí;
< Solución. Como y(t) == Y(p), y'(t) == pY(p)f 1 2
•
/ ( O ) = * / " ( ( : } > 'OA
?/v(0) - l
sen t =
• eJ'r Y(]>)
yv(t) ^ p5Y(p) - 1,
la ecuación operacional correspondiente al proble-
ma diferencial tiene la forma c p5Y -1-pY
8 p2
+ 1'
de donde
y(p) =
p2 + 9 p(p2
- 1 )(p2 + l ) 2 '
Hallemos el original con ayuda del segundo teorema de desarrollo. La función Y tiene polos simples en pj = 0, yb/j — ± 1 y los polos complejos conjugados de segundo orden pit5 = ±-¿. Haciendo p2 + 9 = F[ (p) y (p2 - l)(p 2 + l) 2 = FoXp), obtenemos F W v , ^ = -TTTT' Y(l>)
Hallemos los residuos de la función eptY(p)
en sus polos:
ptv, , F¡ (0) (1 rese' F(p) = — =-9, í'i ^3(11) F r j p 1 0 e ¡ ptvf , res ev F(p) = — — — - = * P2F&2) 8
5 ( = 7- e- ' 4
F(j>3)e^ 5 Ptví , rese y Y(p) = ————- = ~e , i» PiF^i) 4 res e^F(p) r res é"Y{j>) = í'4 PS = 2 Re lim — ( ~
p(p2 - 1 )(p2 + i")2:
=
- 2 Re í
+
+ 9>e" \
p(p2 + l)(p 2 - l) 2
dp
6
¿> V
~
=
J
V _
~ p4i ~ 28p2¿ f ? V - 1)2(P + ¿)3
44p3 + 2?P
+
1
(p2 + 9)Í p(p 2 - l)(p + í) 2
= 2Re
13
eos f 4- 2t sen t.
Así pues, 5 13 y(t) = - 9 + - c h í 4- — cosí + 2 í s e n í . 2 2
61.
y" - J'n
•
>i (r¡(t) - ,}(t - 61); y{0) = íf'(0) ™ 0.
I Solución, Pasemos a las transformadas, leñemos J/==F, y ==p Y, 1 e~bp T¡(t) = —, T¡(t - b) = (por el teorema de retraso). Al problema P P diferencial le corresponde la ecuación operacional
cuya solución es -(1 p(p2 + ÜJ2) *
e~bp).
Por ei segundo teorema de desarrollo, , iút a aa 2a sen' — , == -^r í eos cot 2 2 + ' a/ b) y, por el teorema del retraso, -bP ae 2a 2 ^tt - b) T){t - 6). a
p(j>2
cu2)
pip2
+ W2)
2a T
y(t) =
' LO2
S e n
U)t u(t - b) Tlit-b)}. sen ~~r¡(t) - sen'
•
y" -f 4y = f(t), y(ü) = y'<0) « 0, donde f t-2wc, si 2ft7f<íC(2ni 1 K f(t)=f(t f 27r)= < - í + 2 ( w + l ) í r , si ( 2 í i + ] } j r < í ^ { 2 n 62.
Solución. La restricción de la función en el semieje positivo es una función periódica de período 2ir. Tenemos (v. corolario del teorema 5, p. 1.2) 2r
2jt / «""i" jr te' 1-
e~2wp
¡=
í>2 Jí=
+
;=27M +
f
fe~*
P
|
e'Pt
2ne~Pt
r
p
F=3T
^^^qUo^^e^tramformaciontís integrales de Uplace
1- e
1
, irp ~ - r th — . 2 1 + e~"P) p 2 La función / es continua V t G MQ . Su derivada 1, si 2mr
{
9
p2Y + 4 F = de donde
1 ,
1
th
7T»
irp
Hallemos el original de la transformada Y(p) utilizando el teorema del producto. La transformada de la función /', según el teorema de diferenciación del original, tiene la forma , 1 itp 1 i» Tenemos: j ( 1, - th ~ = < - 1 , 2 ? 10,
si 2n%
sen2í\ — J,
si
0 < í <7r, í
Y ( p ) = y ^(1—cos2r)dr + J | ( - l + c o s 2 r ) d r = o
22K
licuaciones y siótertias Wifere&laleál iiiiifi, wi/kí ft V , 1 { ~4
, t
sen2t +
„ \ ) '
+
S1
7r<í<27r
'
2»
Tt Y(p) = j^(l-coslT)dT+
J^(-\+CO$lT)dT
f 1
\(
+ / -(l-cos2r)dT = - I f
sen21
+
2tt ) , si 27t<í<37t,
2x 1 / - (t 4 V
^(p)^ S
sen2í 2
si 2?i7T<í<(2n+1)7r,
27T7¿ , "
Finalmente, 1 ( - t 4\
sen2t
\ 2-ku ,
2
^
63.
donde
2mr
si si
(2n + l)ir<í^(2n+2)ir ( t< 0,
)' +
A (n € Z 0 ).
si
],
•
y"' \ 6¡/"+1 ty' i ty == /(O; ¡r(0) - 0, tAO) = //"(O) = r 0, /(i) - K l r - 4i -f
m si si
t < 1, 1 < í < 2, t > 2.
Solución. Escribamos la función f en la forma f(t) = V{t - 1) - r¡(t - 2) + (í 2 - 4Í + 5)V(t ~2)
=
J) + ( í - 2 f i / ( í - 2 ) . Entonces m
e'P == —
2e~2p +
—
..i' --i.
(por el teorema de retraso). Continuemos: »(í) = m
y'(t) = pY(p), y"'(t) == p3Y(p)
y"(t) = p2Y(p) - 1,
14- 6p2Y - 6 + l l p F + 6Y =
p3Y ~p~
-p-1, e~p
+
2e~2p
p
r
o bien O-P 2e~2p ( / + 6p + l l p + 6)F ~p + 7+ — + , P P de donde Y{p)
p + 7 (p + l)(p + 2)(p + 3)
+
p(p + l)(p + 2)(p + 3)
2e~lp p 3 (p
+ 1 )(p + 2)(p + 3)
Para determinar los originales de las funciones Y\, Y2,13 aplicamos el segundo teorema de desarrollo. La función Y\ tiene polos simples en pi = —1, p2 = -2, p 3 = - 3 ; por consiguiente, 3
™
*
/
(p + 7)ept
£ /
3
(p + 7)ept
\
f - f l 3p2 + 1 2 p + 1 1 i ft=l
\
/
l
p=~k
= 3e_i - 5e-2í + 2e-3'. La función K2 tiene cuatro polos simples en los puntos Po — 0/ Pi = —1/ P2 - —2, p3 = - 3 . Tenemos: P
r2(p) =
i>(¡-1)
(p + l)(p + 2)(p + 3)
+E ^
r.
+ 7<=n
V(p(P + 1)(P + 2)(P + 3 ) ) 7
1
sf*f i T ^ ' t l í T ' u f l ^
\
e At-V
p(3p2 + 12p + 11) J A=1 \ /
=
- fu
J'»-"-
V i — z — " - i — r
La función Ys tiene un polo de tercer orden en Pa = 0 y polos simples en p x — - 1 , p 2 — - 2 , p$ = - 3 ; por tanto,
n í p )
( * > % + i ) t + 2 ) ( P + 3)
=
^
- l
eV[t'1]
"j
A= e
+
V
~ V(P + 1XP + 2)(P + 3 ) J Í = 0 + 3 / \ 0 P«-2) + 2 E . 6p 5 + 30p 4 + 44p 3 + 18p2 / K—1 \ / J>=s—-Ai =
(2{3p2 V
+
+
11)2
"
3{P +
({/> + l)(P +
_ 2(t~2)(3p2
1)(P + 2)2(P + 3)
2)(p +
3)) 3
+ 12p + ll)
((p + l)(p + 2)(p + 3)}2 +
ü z É (p+i)(P+2)(P+3)
+hl / 85
y 108 c
+
v
2 ( 3 p 3 +
ll(t - 2)
-2(i-2)
^
16
yp=o
15p2+22p + 9) J (t - 2)2
{t_2)
6
e-3(/-2)\
w - ) * -
1
* -
+
eí"'-^-
!éfo<jo tJé triiíieformaciones integrales dt' Implan n "i > La solución del problema diferencial es la función y(t) = 3e _ i - 5e~ 2í + 2e~ 3i + +
e-fí-1}
(\
(
85
11
+
e"^'- 1 »
,
1
,
e" 3 < t - 1 >\ — J * « - l ) 2
+
1 -2ÍÍ-21
- ¿ e - 3 " " 2 1 ) >J<1 - 2). ar'v ; ••••••_ I' ; 64.
•
(,"-fi 2 (/ = 6 t " r ; í/(0} = ;ñ¡i| =0.
Solución. Vamos a resolver el problema con ayuda de la integral de Duhamel, p.4.3. Primero resolveremos el problema y"-a2y
= 1;
¡,(0) = y'{0) - 0,
(1)
y luego recurriremos a la fórmula (4), p.4.3. Sea yL la solución e Y¡ la transformada del problema (1). Entonces Y¡ = •— - •. p(jr - a ¿ ) Utilizando la fórmula 11 de la tabla de transformadas y el teorema de integración del original, obtenemos í i r i Y\ = - / sh a r dr = -rfch at - 1) — yAt). a2' a J Ü
Según la fórmula (4), p. 4.3, b y(t) = -
t
f
e
t2 T
sh a(t - r ) dr.
o Realizando el cambio de variable sha(í - r) = -
- e
y completando cuadrados perfectos, llegamos a la solución del problema en la forma a2 1,(0 = ^
e
4 ( e « erf ( * + £ ) " ^
erf (t - \) ) .
•
Ecuaciones y sistemas diÍGWhb.al^'ft ' .. ,*j< ' I M A.
y;65.
yW+2y"+ti
.1*»^MHÍÉWWI
= eos £; y{0) = y'(0¡ *
M Solución. Hallemos la solución yi del problema yw + 2y" + y = 1, y(0) = ¡/'(O) = y"{0) = /'(O) = 0. Tenemos: *!<*) = JIÍP),
=
yl'fp) 4= iYdpl
1 =
V
La ecuación operacional es p*Yl+2p2Y]
1
-r K, =
V
resolviéndola, llegamos a 1
yi(p) =
Hallamos el original de la función Fj con ayuda del segundo teorema de desarrollo. La función Y\ tiene un polo simple en p = 0 y polos complejos conjugados de segundo orden en p — ± t . De acuerdo con el segundo teorema de desarrollo, 1 i = T T2 T ^ T2 iP + l) U
+2Re
( d i i ept \\ 2 M — ( p i ) P { P 1 + 1)2 / / \dP\
(tp1 - 3 p + {tp - l)i 1¡t\ L e P ) — 1 + 2 Re j — f r ^ k \ p 2 (p +1) 3 \
/
-
t = 1 - cosí--sen/. . 2
p=i
Conforme a la fórmula (4), p.4.3, la solución del problema inicial es y{t) = J c o s r - ^ ^ s e n ( í - r ) ~ ( í - r ) c o s ( í - r ) ^ dr — o 1/
= -
4
r2
V
4 t
rsenM
-YCOSÍ+
cos(¿ —2r) 2
eos (í - 2 r )
/
( Í - T ) I TCOSI
r=t T=0
V
sen(/-2r)
1 =-í(sení-ícosí).
2 •
66.
y" + 3¡f •+ 2y ~ e'; y(0) r- jí'(O) -= 0. fmMMSwm,
< Solución. Sigamos el mismo esquema de resolución de los dos ejemplos anteriores. Tenemos: t y(t)
eTy\(t- T) dr.
J
donde y\ es la solución del problema y" + 3y' + 2y — 1,
y(0) = y'(0) = 0.
(1)
Construyamos la ecuación operacional correspondiente al problema (1): yi(t) = F!(p),
y"(t) = p2Yi(p),
i =
y'\(t) = pY\(p),
p
Y =
p(p + l)(p + 2) La función Y\ tiene polos simples en los puntos /JO=0, PI = - 1 , p2 = —2. Según el segundo teorema de desarrollo yi(t) =
(p + l)(p + 2)
í=o
+
+
PÍP + 2)
e* p{p + l ) =
1 2
Dado que y[(t - r ) = e - ( | - T ) - e - 2 t t - r ) , hallamos y(t) ~ J
eT ( e - W - e - * - * ) dr =
o ¿
= J
(e~t+2r
- e~2t+3r)
e2Tdr
o
= (r^-r™*) sh
- (
e —e
) •
=
e
H
c
21 2
licuaciones y sistemas,dif^^CJalt'
itMSmvsftVriái*' ,*/**' ' t i i 1 1
* * |
' 'Vi 1 • ! v,1 t '
* . ''*
"v^-i, v^r, ^ v• i j». ^ V•frtimia* •i&SM'lf.ífií» , - ' '¡ ,if>i í
,
o/. Una masa puntal m efectúa oscilaciones rectilfneaé Supongamos que el medio no opone resistencia! al movimiento ¡j y que la fuerza de recuperación m u z x es proporéíbñflV'ill desplazamiento. En los instantes í* = kr (k é a lajltiásiM: se le comunican impulsor de magnitud a. Hallar la^cjiadón| de n'i)\ i miento de l.i partícula m !a desviación y-jíjíij : c-'í^i-fái^* velocidad inicial son iguales a cero. Solución. Tomemos la posición de equilibrio del punto como el origen de coordenadas. Conforme a la segunda ley de Newton, la ecuación de movimiento es oo mx + míú2x = a ^T^ S(t — kr), fe=o donde 6 es la función de Dirac. Aplicando a esta ecuación la transformación integral de Laplace obtendremos una ecuación respecto a la transformada X{p) = x(t): ^
m(p2
+
+00 A
u)2)X{p)
e~pt6(t - kr) dt. fc=0 0
Dado que
í
J 6(s - kr) ds = r¡{t -
kr),
-00 es decir, r)'(t - kr) = 6(t - kr), y que por la propiedad del original e~pkT T)(t - kr) = , entonces 6(t - kr) = i}'(t - kr) = p Por consiguiente, +2° / e~pt6{l - kr) dt ^ e~pkr, { en virtud de lo cual encontramos X(p) =
míp 2
e~pkT P
= e~p .
= í1 " o a
+ a>2)(l -
e-r*)'
^ y
1
'
Ip^íScló,1'iie transformaciones Integrales de Laplace
^ m m i ^ ^ ' : :
•
Reconstruyendo el original x(t) == X(j>) hallamos la solución del problema. Para obtener el origina] empleamos el segundo teorema de desarrollo. La función x es meromorfa y tiene polos 2kwi en los puntos = ±»W y Pk = (fe € So). Si T no es un r 2x múltiplo entero de TÍ = — (lo cual se supone), entonces todos w los polos son simples, por lo cual, conforme al segundo teorema de desarrollo, hallando los residuos obtenemos 0:(í) =
a
1
mu)2
T
U>
ÚJT eos u , ( t 2 sen — -
V
+
I ) -
2
(XJ
t=i
2R
r 2 - fe2r2
COS k—Lüt
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes;
68.
f (2x" - x' t yj-) - (y" I- t/ ^ 3y) = 0, { Qx" f x' + 7x) - (//" - y' H 5y) = 0, l ¡r(U) - •*'(()) - 1, 1/(0) = y'(0) = 0.
Solución. El sistema operacional correspondiente al problema dado tiene la forma f (2p2-p + 9)X ~(p2 + p + 3)Y = 2p + l, 2 \ (2p + p + 7)X ~(p2 - p + 5)Y = 2p + 3, donde X{p) == x{t), Y(p) == y(t). Sumando y restando miembro a miembro estas ecuaciones, obtenemos V+1 1 2X-Y=2^r~i-, X+Y = p2 + 4 p - 1 de donde 1 2p 2 3(p - 1) Y =
2
3(^1)
+
3(p2 + 4)
2p
~ 3<jt+A)
1
~
3[p 1 + 4)' 3(p2
2
+ 4)'
xuaciones y sistemas x
-
^
m
m
^
Pasemos a los originales: 1 x(t) = - { e ' + 2 eos 21 + sen 2t), 2 y{t) - -{le1 3
- 2eos 21 - sen 2/,).
y+ z —0, 1 r 1 y, t jí(0) =
'IS®
y(0) = ¿tO) = a-'(O) = p'fl)) = s'(ü) = 0.
f . ;¡
< Solución. Sean £c(í) = X{p), y{l) == Y(p), z{t) = Z{p). El sistema operacional correspondiente al problema diferencial es {p2 -1)X + Y + Z = p, X + {p2 - 1)Y + Z = 0, X + Y + {p2 - l)Z = 0. Resolviendo este sistema por la regla de Cramer, obtendremos „3
X
=
p
Y = Z~
—
Aplicando el segundo teorema de desarrollo hallamos los originales x{t) = \ ch {t\ñ) + - eos t, 3 3 y(í) = z(í) = - I c h ( í V 2 ) + I c o s t . 3 ó 70. x'0 s= - a ^ X f c ',®fc{0) = 0
axb = a%k-1 " •
- Vñ)¡
>
' 3V)(0) .
< Solución. Sean x 0 (¿) = X(p), Xk{t) == (fc = 1, n). El sistema operacional correspondiente al sistema diferencial es (p + ü)Xq = 1,
(p + a)XK
-
a I
M
de donde XK
{p +
a)k+l
{k = 0, n).
=
0,
¡j|t>po fj^ tí'flmfonnacíones integrales do Laplace
Hallamos los originales con ayuda de la fórmula 4 de la tabla:
71.
K r ' t 2.r - //' 4 y = «
l jr(0) = 1/(0) - ]/(0) = ü, x'(0) •= 1.
Solución. Sean x(t) = X(p),
y(t) = F(p). Dado que
x'(t) = pX,
x"(t) = p2X - 1,
y\t)±pY,
y"{t)±p2Y,
e =
1
P-l
• 1 ' p + l' el sistema operacional correspondiente al diferencial es l p2x
- 1 + p X
e'1
+P2Y
pX + 2X-pY
- Y
+ Y =
=
1 ——, p +1
Resolviendo este sistema obtenemos 2p - 1 1 3 1 X(P) = TT7—Í77 = TT + 2 2 2 ( p - l ) ( p + l) 8(p-1) 4(p + l) 8(p + l ) ' 3p Y
hallamos
—— ) = —te"1 p+ l) o bien Finalmente,
—2—- = sh t, p¿ - 1
—— = e\ p+ 1
1 7 777 (p + l) 2
Í
1 3 x{t)--sht+-te~i, 4
msmm&imsmmí'.'-iñMsttsiii
y
[
Y J
TT 2 777 =F í sh í. (P -l)2
y
4
J W - i ) 2P
3 y(t)=-tsht. 4
=-íshí, ,
•
/Z, Tres masas puntuales iguales m están fijadas, a'-üna';| cuerda de forma tal que ésta queda dividida en cuatro partes | iguales de longitud i. En el instante inicial todas las masaS' Sé'"| encuentran en equilibrio y a la masa central se le comunica | una velocidad Hallar la ecuación de movimientó' del |
Fig. 78 Solución. Hallaremos las ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema con ayuda de las ecuaciones de Lagrange, que en el caso de oscilaciones libres pequeñas tienen la forma d f 8T\ dt [ j k j j
8U
_
+
donde T es la energía cinética del sistema, U es la energía potencial, qk son las coordenadas generalizadas, y el punto indica la derivada respecto al tiempo. Si x\{t), x%(t), xj(í) son las desviaciones respectivas de las masas respecto a la posición de equilibrio, entonces 771 ( y 2 2\ T = Y ^áj + x2 + x3 J ,
U~ —^
/
2
2
2
+ x2 + x3 -xix2~
\
x2x3 J ,
donde P es la tensión de la cuerda. Las ecuaciones de movimiento tienen la forma x\ + \{2XÍ - x2) = 0, X2 + A(2«2 — XI — X3) — 0, x3
+ X(2X3
-
x2)
=
0,
P donde A = — T o m a n d o en cuenta las condiciones iniciales mi ®i(0) = x 2 (ü) = x 3 (0) = ±\(0) = a;3(0) — 0, ±2(0) = v0, obtenemos
transformaciones IntcgraleN de Laplace
las ecuaciones operacionales (p 2 + 2A)Xj - XX2 = 0, —AXi + (p2 + 2A)X 2 - AX 3 = v0) - A X 2 + (p2 + 2A)X3 = 0, donde X\ (p) = ®i(t), X 2 (p) == ;e2(£), X 3 (p) = í¡53 (t). Resolviendo este sistema, hallamos p2 + 2A ~
r
_
2A)2 - 2A2
A
~
~
J f T W ^
2
de donde, empleando el segundo teorema de desarrollo, resulta ... ®i í = ®3(í) =
%
/senwíí
2v2 V
Vo /seno^it ®2(í) ~ V 2 v f>i
+
wi
sen w2t\ )/ w2 /
sena>2f\ J ' «2 /
siendo Wi = y ( 2 + v^)A, o>2 - y (2 - \/2)A.
•
§ 5. Ecuaciones integrales tipo convolución. Ecuaciones singulares 5.1. Ecuaciones integrales tipo convolución Toda ecuación de la forma P af(t) =
K(t, t ) / ( t ) dr,
a < i < /?,
(1)
a
donde / es una función desconocida, tp y K son funciones dadas, y a, A, a, ¡3 son constantes, se denomina ecuación integral lineal de Fredhohn de primera especie si a — 0, y de segunda especie si a 0. La función K, definida en el cuadrado DK = {(t, r ) e I 2 | a < t < P,a < r < 13}, se denomina núcleo de la ecuación integral. Si
liauidoiu'ít Integrales tipo coiwoludófy'
La ecuación t af(t) =
K(t,r)f(T)dT
(2)
a se denomina ecuación integral lineal de Volterra de primera especie si a — 0, yde segunda especie si a 0. Si el núcleo K de la ecuación depende solo de la diferencia t - r, es decir, K(t, r ) — K(t - r), entonces la integral í J
K(t-T)f(T)dT
= K(t)*f(t)
(3)
o es la convolución de las funciones K y / . En este caso, la ecuación de Volterra t
fl/(f) -
K(t, r ) / ( r ) dr
(4)
o es una ecuación tipo convolución y su solución se puede hallar con ayuda del método operacional, utilizando el teorema del producto de E. Borel.
5.2. Ecuaciones integrales de segunda especie Si la integral +00
J
e~ptK(l) * f(t) dt
o converge absolutamente, entonces, conforme al teorema del producto de Borel, la transformación de Laplace reduce la convolución al producto de las transformadas, es decir, K{t)*J{t)
=
K{p)F{p)t
donde K{t) = K(p). Por tanto, la ecuación (4), p.5.1, después de pasar a las transformadas f(t) = F(p), ip(t) =
AK(p)F(p)t
,Máodo ^le transformaciones integrales tic* Laplace W ^ p f e
f;
de donde m o bien
Sea
=
1 F(p)=-m+ a
K(p) = — = ^(p) y a - AK(p) F(p) =
le corresponde la solución
a -
AK(p) _ A K(p) rS7T$
a
a
af(t) = ip(t) + Xip(t)
* ip(t)
en la clase de los originales. En particular, si la función K es un polinomio K(t) = ^ ^ a)Jk> s u transformada K(p) tiene la forma fc=o ~ an ai rt\ K{p) = -p + p^1 + • • • + pon+1 n—j-. Fot consiguiente, i[t(p) =
K{p)
a0pn + axpn^ + • - • + n\an
a - AK(p) - Aa0p" - Aaip"" 1 - . . . - Aa n nl La función ^ es racional y su original tp se puede hallar mediante el segundo teorema de desarrollo. De este modo, la solución F(p) de la ecuación operacional correspondiente a la ecuación integral de segunda especie tipo convolución, siempre tiene original.
5.3. Ecuaciones integrales de primera especie A la ecuación integral de primera especie t
(1)
líCLUH'itmt'H lulegniles tipo convolución, Ecnaciohqs
cuya solución es W - T - ^ - W
(2)
El original de la solución (2) no se puede hallar mediante el teorema del producto. Esto se debe a que la función — no K es una transformada, pues la condición necesaria para la existencia de la transformada es el cumplimiento de la igualdad limíifíp))" 1 = 0. Sin embargo, en algunos casos la solución exisJJ—>00 te. Si las funciones K y tp son diferenciables y ÜT(0) fi 0, entonces diferenciando la ecuación (1) obtendremos la ecuación integral de segunda especie ^
K'(t - T)/(r) dr + iT(0)/(í),
(3)
o
Si K{0) = K\0) = . . ' . = jr(B_1>(0) = 0 y íT(r)(0) fi 0,
diferenciando (n + l) veces la ecuación (1) obtendremos la ecuación integral de segunda especie ¿
K{n+Í)(t
- r)/(r) dr + K{n]{0)f(t).
(4)
o
5.4. Ecuaciones integrales singulares. Ecuación integral de Abel Las ecuaciones integrales (1), (2), p. 5.1, se denominan singulares si el núcleo K(t,r) se hace infinito en uno o varios puntos del segmento [a, /?], o si uno o ambos límites de integración a y fi son infinitos. Un ejemplo de ecuación integral singular de Volterra de primera especie es la ecuación integral de Abel
J w^irdT =m f
f(r)
0
o
1 Esta ecuación fue obtenida por Abel para el caso a = - , durante la resolución del problema
de la tantócrona: la curva para la cual
''^Hrnn^fortmcipnes intégrales detaplace f i," se cumple que un punto material que se desliza sin fricción a lo largo de ella alcanza su punto mínimo al cabo de un mismo intervalo de tiempo, independientemente de su posición inicial. Supongamos que el núcleo K de la ecuación (1), p. 5.3, para t = 0 se hace infinito y no tiene derivadas. Analicemos la t convolución f(x)* 1 = / /(r) dr = g{t). Conforme a la propiedad o de integración del original, tenemos 9(t) = G(P) = - F(p) P por lo que la ecuación (2), p. 5.3, adopta la forma =
A pK{p)
f 1(?>•
Según el teorema 11, p. 1.2, lim pK(p) p~>oo
w
— lim K(t) — oo; por t^O
1 1 tanto, lim — = — — 0. Consiguientemente, la función — = — es p-K» ]>K{p) pK(p) una transformada. Aplicando el teorema del producto podemos hallar los originales de ambos miembros de la igualdad (1). Resolver las siguientes ecuaciones integrales de segunda especie:
73.
f{t)^senti-~J(t-T)if(T)dr.
Solución. Pasemos a las transformadas. Tenemos: f(t) =
Fip),sent=
J(t-T)2f(T)dT
= t2*f(t)
p¿ 4 1
t =
-^F(p).
0 La ecuación operacional correspondiente a la ecuación integral es 1 1 2 FW = pT¿ T+T1 + 2 pí d l W
líaiiH'lone» Integrales tipo convolución, I?Cuí|cionés ei^giill
de donde F{p) =
(p-l)(p2 + l)(p2+p + l)' Representemos la función F como una suma de fracciones simples: A Bp + C Dp + E F(p) = r + . . + 2 2 p - 1 P + 1 ' p + p + 1' A partir de la identidad p3 = A(p2 + l)(p 2 + p - t - l ) + + (Bp + C)(p3 - 1) + (Dp + E)(p - l)(p 2 + I) obtenemos el sistema de ecuaciones A + B + D = 0, A + C-D
+
E=l,
2A +
D-E-0,
A-B-D
+ E - 0,
A--C - E = 0, 1 1 1 de donde hallamos A— - , B — -,C — ~,D 6 2 2 Conforme al segundo teorema de desarrollo,
2 1 = —, FJ = - . 3 3
1 ( 1 (p + D e * , 1 (p + l)ep<' /(O = 7 e + ó r
•
74. = / V ' *>f(T)dT ¿itlfelfeéP ttlfe^ 'm^^W^^mSM^i^^^MÉ^i^Mw^^^^^^^^^^^^á^i
rap-rr f"f <
i ' "»
.
,
.
formaciones integrales de Laplace
* Solución. Sea F(p) = f(t). En el segundo miembro de la ecuación pasamos a las transformadas: t o (por el teorema de E. Borel). Entonces 1 P+ 1 3 F(j>) = -r-r^i = + (p + 2 ) ( p - 2 ) 4(p + 2) 4(p-2)'
de donde
f(t) = sen 2t - -
75.
/ sh 3
< Solución. Sea F(p) = /(¿). Utilizando la tabla de transformadas 2 3 hallamos que sen2f = , s h 3 í ^ - = — y mediante el ^ p2 + 4 p2 - 9 ' teorema del producto de Borel, obtenemos i j
Sh3(í - r ) / ( r ) dr =
F(p)~~^.
o A esta ecuación integral le corresponde la ecuación operacional F(p) =
_ J L p¿ 4-4
_
-^-F(p), p¿ - 9
cuya solución es la función 2 F(
=
(P 2 " 9 )
( p 2 - l ) ( p 2 + 4)
, J L
=
p~ 1
, ^ +
p+ 1
p2 + 4
De la identidad Aip + l)(p 2 + 4) +B{p
- 1 )(p2 + 4) + (Cp + Z>)(p2 - 1) = 2(p 2 - 9)
hallamos .
-
4
c - a
« =
f .
Eauidonofl integrales tipó convi)íü^t¿K%;oViáaó^
De este modo, F(p) -
8
-5(p - 1)
+
8
13
5(p + 1)
2
5í> 2 + 4 '
Recurriendo a la tabla obtenemos 8 8 _ / 1 3 f(t) ~~-el + -e + — sen 2t - - ( 1 3 sen 21 - 16 sh t). 5 5 5 5
76.
•
' • m
/ ( 0 - í V / « n f t - r W D * .
' i ®
-4 Solución. Para obtener la ecuación operacional pasamos a las transformadas: f{t) = F{p),
=
F
sen i===
1
i>2 + l '
f jP(p) / sen(í - r ) / ( r ) dr = - 5 - — ' J y +1 o
Utilizando la tabla de transformadas, hallamos m
= ío t'- " +
igl Integrar las siguientes ecuaciones de Volterra de primera especie:
77.
l-cost^
J
sh(t- T)J{T)4T.
<4 Solución. Aquí el núcleo K(t.) — sh t es una función diferenciable y K'(0) 0; por tanto, la ecuación tiene solución. Pasemos a las
P ^ ^ ^ g P ^ ^ m a o i ó h i é s , integrales de l a p l a c e
transformadas: 1 - eos t ==
1
p
p
p2 +1
p(p2
+1)'
í J
sh (í - r ) / ( r ) dT = sh í * / ( í ) =
o La ecuación operacional es 1 p(p2 de donde
f
+ l)
p2-l'
p2 - 1
p
p(p2
1
+ 1) + 1 p De la tabla de transformadas hallamos f(t) — 2cos í - 1. •
78.
sen t = I
eos (í -
p2
r)/(rWr,
Solución. Aquí if(0) fi 0, donde K(t) — cosí. Con ayuda de la fórmula (3), p. 5.3, obtenemos la ecuación integral de segunda especie i eos í = -
í sen(í - r ) / ( r ) dr +
o Pasemos a las transformadas: f(t) = F(p),
eos í =
p¿
P , + 1
f{i).
J t
„_/.. í sen (i - r)/(r) dr =
La ecuación operacional es p
f(p)
p2 + 1
p2 + 1 1 De aquí obtenemos que F(p) — - . Por tanto, f(t) — 1. P
•
liaiík'lmu'rt Integrales tipo convoludón.Eci
- ' " w m i w
79.
1 COSÍ- /
ch(t~T)f(T)dT
Solución. Dado que chO = 1, al igual que en el ejemplo anterioi llevamos la ecuación integral dada (de primera especie) a un. ecuación de segunda especie: i sen t = J
sh (í - r)/(r) dr + f(t).
o La solución de la ecuación operacional correspondiente es F(p)
p2 - 1 p2(p2
+ 1)
Por consiguiente, f(t) = 2 s e n í — t.
80.
=
í(t - r f f ( r ) dr.
2
1
+ 1
p2 '
p2 •
-
..
;
Solución. Aquí K{t) = t2, JST(0) = ÜT'(O) = 0, K"{0) Aplicando la fórmula (4), p.5.3, hallamos 6 = 2 f(t),
/(t) = 3.
•
Resolver los sistemas de ecuaciones siguientes:
= 2
foipkioiwfs integirales de I.,a place
•4 Solución. Sean x(t) = X(p), (
y(t) = Y(p), z(i) = Z(p). Entonces,
/
. Y(p) y(T) dr = 1 * y(t) = P
o
t
í z(r) dr = 1 * z(t) =
— , P
J o i
J
. X(p) dr — 1* x(t) 4
X(T)
o El sistema de ecuaciones operacionales correspondiente es X(p)
2
T(p)
p3
p
1 ^ Z(p) F(p) = -z + , P P
,
1 X(p) Z(p) = - + . P P
Resolviéndolo, encontramos X(p)-.
4
4(p + 2)
3(p-l)
3(p 2 +p + l)
4
4
p+1/2
3 ( p + l/2) 2 +3/4 v ^
^ , p2
4
4
3(p — 1)
3
4
p
3(p - 1 )
V5 (p + 1/2) 2 +3/4 p + 1/2
3 (p + 8
4
y/3/2
3(p-l)'
4
1/2) 2 +3/4
\/3/2
v ^ (p + 1/2)2 + 3/4'
p + 1/2
3 (p + 1/2) +3/4
Hallamos los originales: 4 &(r) = -e w 3
t
4 -V3 e ¿ eos — t 3 2
4 y/3
-
¿ sen — t , 2
4 , 4 - V3 4 -V^3 «(í) = —2í + - e e 2 eos — í -1—-=e ¿ sen — - t , ,/w 3 3 2 . y/3 2 4 i 8 -J V3 z(t) = - 3 + - é + - e 2 eos y t .
•
líciiiH'ionoN integrales Upó c'orivótí
x(t) = t h / y(r) dr, 82.
. __ : ,
«
• - . ' • - ^ v ^ M
^ Solución. Sean x(í) =
j/(í) = Y(p). Entonces
i
í
J y(r) dr = 1 * y(t) = — ,
J a:(r) dr = 1 * x(t) =
o
o
^ 1 t = - , 1 P
•
„
1
X(D)
P
p
p
Resolviendo este sistema, obtenemos
2
V
t
1 14=p
F(p)
X(p)=-—t p2 - 1
XM
F{p) =
2p
p2 - 1
-
1
p
y de la tabla de transformadas hallamos ¡r(í) = 2sh¿,
y(i) = 2 c h i - l .
•
a3. f P mi nraiiloii!inpu-^t'>de m> i-U-im-nto inductivo^ un elemento capacitivo C y una resistencia R conectadas -*th' (M;; 7 lt ;, -v introduce una fueme E. I'n el in-taiili" inicial"' la comente en el circuito y la carga <JQ on el condensador iguales a cero. Determinar la dependencia de la corriente", contorno respecto al tiempo. < Solución. Como es sabido, la corriente i(t) y la tensión Í7(£) en los bornes de un dipolo que contiene un resistencia activa R, una autoinducción L o un condensador C, están relacionadas, respectivamente, por las expresiones uit) = Ri{t),
u(t) = L
di(t) I T '
¿(r) dr + q0
p a onfíiiW W tjrQiisformacioniis integrales dy Laplace wpi MWyWaM ' W/Mfe 1 1 1 L I . I , 7.J1". JJ' ,. 1 donde qo es la carga inicial en las placas del condensador. Basándonos en la ley de Kirchhoff tenemos la ecuación
L
WJiP
I
di L—+RÍ dt
+ -
i r /
C J
E
= E
%{T)ÚT
(1)
Fig. 79 (se tuvo en cuenta que qo — 0). Sea i{t) == I(j>)- A la ecuación integro-diferencial (1) le corresponde la ecuación operacional
cuya solución es E
m
La ecuación 2
R
1
R
R2
(2)
tiene las raíces 1
Sean R — ~ a, ar 2L LC Entonces pi — - a ¡3, p2 — - a - ¡3, y la expresión (2) adopta la forma E l I(P) = -
L E.
(p-pi)(p-p2) ( 1
Hpí~p2)\p-pi
1
E P~PiJ
2 Lf3\p-px
1 p-p2
Pasando a los originales, obtenemos i{t) = w
J L e - ^ 1 - e-P) = v 2/3 L
PL
sh/Jí.
(3)
íeuaclones integrales tipo convolución^Ecúaciónesj] •
1 n- 2 Si a > — , es decir, LC
[L
\ c ' las raíces plt p-> son reales y la fórmula (3) se puede utilizar en lof B > 2
cálculos. Si R < 2W —, las raíces p\ y pj son complejas; entonce? tomamos
por consiguiente, p = iu>. Ya que sh (ia>t) = i senwí, obtenemos i{t) =—~e at semot. wL En este caso en el contorno tiene lugar un proceso oscila toril amortiguado de frecuencia w. En el caso crítico, es decir, pan P — 0, el valor de i(t) se puede obtener a partir de la fórmula (3) pasando al límite cuando p -> 0. Utilizando la regla de L'f I6pil.il hallamos , Ee~at sh pt E _ i ¿ _ iim —-Í= -te aiai. • v ' j3—>o PL L Resolver las siguientes ecuaciones integrales singulares: BflflilliP^ 84.
J
f
(t • r)~
dr
f(t),
Solución. Dado que K(t) = t
0< a < ).
(r,
tenemos
(v. ej. 4). En el punto t — 0 el núcleo K se hace infinito; por tanto la ecuación operacional correspondiente a la ecuación integral SÍ determina mediante la fórmula (1), p.5.4: g(p) = — L - < i > ( p ) = — - — - m XpK{p) p"T{l - a)
fólteaciohés integral^ de Laplace MV.' fV-'á El original de la transformada G(p) se halla aplicando el teorema del producto
g(t) =
„_i
r(a)r{
-I"'t 1 1 - a)
*?>(') •r r =
sen ira tt
t
J
Ra~x
o
(en las transformaciones anteriores hemos utilizado la fórmula del 7T complemento P ( a ) r ( l - a ) = , 0 < a < 1). Suponiendo sen 7ra que la función g es diferenciable, hallamos la solución de la ecuación de Abel g'(t) = ^
m
oc 8 5
r '
J
V ' ( í - r ) dr + ?(0) í»" 1 j
( j
.
mdr ( T ^
=
sení-
i l Solución- Tomando en el ejemplo anterior a =
p(í) = sen t,
hallamos * i 1 sen — r _ i 2- / r 2 eos (í - r ) dr = tt y o
/(i)
(
i
t
2 1 f cosr f senr — \ — | cosí / , - dr + sen t I , dr V 7T \ y V2ñT J V2TTT \ 0 o
=
cos 1 + s w sen
-
o'
donde C(í) y £(í) son las integrales de Fresnel (v. ej.29),
•
Eauieiones integrales tipo ctnwo^ciónl;iEaiai:iontí|,
'' " 86.
too - ' «S ¿.wl fü) — t^ + X f — — / ( t J dr, |A| '*'1 1, í . ->t ó"M j
A Solución. Sea / == F . Según los resultados del ejercicio 4, ^ r(a
+1)
pa+l
Al resolver el ejercicio 51 hallamos que sen 2 VÍ = V
V
P
Por el teorema de semejanza tenemos que sen 2Vtr 7TT
1 ' Py/P
e
T
P.
Hallamos la transformada de la integral
I
+00
sen iVtT
f(r)dT
mediante el teorema de Efros (v. p. 2.3), en el cual se debe tomar 1 $(p) = — , PVP Por consiguiente, 00
/
sen2\/ír v j —p / r dr= Vñr
q<J>) =
1 P
1 „ fl — F pVP \P
La ecuación operacional correspondiente a la ecuación integral inicial es r ( a + 1) A /1 \
Cambiando p por - en (1), obtenemos P F{a + 1 )pa+l +
XpVpFip).
(2)
í Ct;
2
+ 1) + A2F(p),
de donde i Z r c o + i) A r ( « + i) F(p) ~ rT2 I + 1- A \ p P2 Pasando de las transformadas a los originales resulta 1 1 i P2 t ^ h í ^ - a
m
= 1-A2
t a +
\r(a
+1)
r\\-a)ta+l
4'!., I 'V 8 7 . ;f> .i; .
'n
{t~T)/(T)d.T.
•4 Solución. El núcleo K(t) = ln t tiene una singularidad en el punto t — 0, puesto que lim K(t) ~ -oo. Por tanto, la ecuación integral +Ü es singular. Hallemos la transformada de la función í i—• lní. Con este objetivo utilizaremos la solución del ej. 4, en el cual se demostró que tn = —^
P
\ a > — 1. Diferenciando esta
expresión respecto al parámetro a , obtenemos ta lní = ^ - ( / " ( a + 1) - F(a + 1) lnp). Tomando a = 0 y considerando la igualdad JP(1) = 1, hallamos . r'(l)-lnp ln t = . P Del curso de análisis matemático se sabe que r'(i) 256
= -c,
(i)
Ucuaciones integrales tipo convolución,
donde C ~ lim f 1 + - + ••- + - - ln » } = 0,577216... es la n—>00 y 2 n ) c constante de Euler. Sea 7 = e = 1,781072 — Entonces ln
ln t =
( 7 p)
^ P
=
~ K(p).
1 , - , -(l'(p) obtenida anteriormenApK(p) te (ésta es una consecuencia de la fórmula (2), p. 5.3). En el caso dado, Utilicemos la igualdad G{p) -
ln(7í>) Hallemos el original de la función p 1
ln(7 p)
ta
hasta +00 la función a
r(a
obtenemos +00 +00
+1)
. Integrando desde 0
respecto al parámetro ft,
+00
_
f
f
0
„ a + l ln p pa+l
,ff+l
0
p\np
Por el teorema de la semejanza hallamos +00
/
ta-y~a
1 da == + 1) ' p ln (7/;)
r(a
De este modo, +00 9(t)
-
I
ta 7 r(a
+ 1)
da *
es decir,
II t
9(t)
0
/ +00
\0
T 7 r(a
+1)
da 1
^ I P J y ^ T r a n s f ó f t W i d o n e s i n t e g r a W d e Laplace
y la solución de la ecuación tiene la forma /(Í)=Í'(Í) = t
/ +00
_
\
+00
—y (y ^ k ) i a r , ( í - t ) d r - m / w k o \o (v. fórmula (2), p. 2.4).
/
i a
o
•
§ 6. Empleo del cálculo operacional en la resolución de ecuaciones en derivadas parciales Analicemos la ecuación diferencial d2u du
d2u
du
(1) M d x M d i = ° ' donde a, b, c, a\, b\ son funciones continuas que dependen sólo de x y están definidas en el segmento [O, i]- Consideremos que a > O y analicemos dos casos: 1) ai < O (caso hiperbólico); 2) «i = 0 , bt < O (caso parabólico). Se pide hallar la solución u(x,t) de la ecuación diferencial (1) (para y t ^ 0) que satisfaga las condiciones iniciales u(x, 0) —
a
+ b
+ a i
+ C U
8u(x, 0) , — = ip(x) C/b y las condiciones de contorno du(l, t) u(0 , i ) = /(¿), u(x, 0) —
+ b l
, , , (para el caso hiperbólico), du(l, t)
donde a, 0,7 son constantes. Los problemas de este tipo se denominan no estacionarios. Suponiendo que u, —
£/ JL>
y —— son originales (analizadas \J JL/
como funciones de variable t), denotamos mediante +00
U(p, x) - J
u(x, y)e
Pt
pi
dt
Resolución de etuaScwW 1
!v
la transformada de la función u. Entonces, como consecuencia de las suposiciones hechas, tenemos +00 +00 du du __„, dU f du dU dd¿2uu f dxhi d2U vt p == / —e dt = —, —z = -e ~pt dt = 2 2 dx ' JJ dx" dx " dx' dx dx ' JJ dx dx2' o o Por la regla de diferenciación del original, hallamos du
d2u
2rr , « = y1^ - u(x, 0)p 'dt o, teniendo en cuenta las condiciones iniciales, = pU - u(x, 0),
du — = pU - ip(x),
d2u - =
P
U -
du{ ®,0) í.
p
Suponiendo que f(t) es original y que F(ji) = f(t), a partir de las condiciones de contorno obtenemos U
= 7U x-l x-l El método operacional reduce la solución del problema no estacionario en derivadas parciales (1) a la solución de la ecuación diferencial ordinaria =
+ ¡3{pU ~ *>))
d2U dU i—T + b— + AU + B = 0, dx¿ dx
(2)
donde A = c + aip
+bip,
B —-a-fpip - aitp - biip,
(p es un parámetro complejo) con las condiciones de contorno U\ = F{p), > L=o
dU
,
(
C-t
= 0.
(3)
Resolver los problemas siguientes: 88. La temperatura u{r, t) en una barra delgada satisface £ Ja ecuación ¿>
«
a =const
Hallar la di-lnlmcii-n de l.¡ temperatura en la M-nui'sp.K'iu x > 0 si se conoce la ley de variación de la temperatura de^
inte&ralcs de Laplace» H su extremo izquierdo y que la temperatura inicial de la barra es igual a cero: M = Ü, V = f(t). (2) a l B ^ s B íSiSáilliiSSffeKii •4 Solución. Pasando a las transformadas, obtenemos la ecuación diferencial ordinaria 2 7d U pu = (3) con la condición (4)
ü
= F(p). 2=0 La solución general de la ecuación (3) es
De acuerdo con la condición del problema, las funciones u y U deben estar acotadas cuando x —• +oo; por esa razón, C2 = 0 y la solución general de la ecuación (3) es ¡¿Lr U(x,p) ~ Cxe~ « De la condición (4) se deduce, que C\ — Í7(0, p) — F{p). Por consiguiente, U(x, p) —
F(p)e~^x.
Para hallar el original analicemos primeramente el caso particular f{t) = 1. Aquí F(p) =
P la solución del ej. 46, obtenemos
Ui(x,p)
—
. Utilizando
P
XI 2ai/t
=
I e"'dT-
<5)
0 Si las condiciones de contorno (2) son arbitrarias, utilizamos la integral de Duhamel (v. fórmula (2), p. 2.4), suponiendo que
-
—
.
Dado que
;
• ^ r^rnaaBai (v. p.3.3), entonces
U(JJ) — pF(p)UI{p) u(x, t) =
t
x 2 a
^ {
/
m
e 4«J(t-r) dr =
(i-T)Í
+ 00
,
X
\
4a 2 £ 2
2a Vi
(tras el cambio de variable £ =
o". reposo libre x eje de barra.
2aVt - T
Una barra de longitud l se encuentra cn cstado'ÜCf' y uno de sus extremos x = ü está fijo. Sobre el extrémo, ¡J = í actúa una fuerza A senu>í, dirigida a lo'largó déí#| la barra. Hallar las oscilaciones longitudinales tié'lft'5 ' .c i --v ^ ^ - x ^ j v ' á ^ r a i .. ....--••( íiAÍlditíi
Solución. La ecuación de las oscilaciones de la barra es &2u dt2
,d2u a
(i)
dx2'
donde u — u(x, t) es el desplazamiento longitudinal y a2 es un coeficiente constante que depende del material de la barra. Las condiciones iniciales y de contorno son las siguientes: du
du
= — sen (Dt, (2) ~M (=0 A 9 x x=¡ t=o .«o donde E es el módulo de la elasticidad. Al problema diferencial le corresponde el problema operacional u
= 0,
O,
2 2 p2U = a2 U1x=0
O,
di/
d
U
(3)
dx2' A
dx ,=i Ep2 La solución general de la ecuación (3) es
O.' + u>2'
V(x, p) — C\ ch -x + C2 sh -x. a a
(4)
Sáb^e^transformacíones integrales de Laplace
De las condiciones (4) hallamos C\ — 0,
donde b =
Aaw
E operacional es
b C2 — p~, p(p2 + w2) ch -l a
. Por consiguiente, la solución de la ecuación x
U(x, P) = ~TTT~~2\ —7p(p2 + w2) c h l a
= TT^Y(x, p)
<5>
Para hallar el original u(x, t) nos valemos del segundo teorema de desarrollo. La función U tiene un único polo real p = 0 y un conjunto infinito de polos imaginarios puros conjugados. Los polos que están en el semiplano superior p = iw, ira í 1' "Pk y diferentes si w^ / w Vfe E N (condición de ausencia de la resonancia). Conforme al segundo teorema de desarrollo, t t\ = 2 Re r> ( X ( x > i w ) e u(x,t) \Y¿(x,iu)
2
x x +, V>^ —-( >Pk)< ¡Uht j^Y¿(x,pk)
sen —¡csenwf 4vi " i a eos — ft=i a
f-1
. ul-w2uj k
-•
•
k
90. Dos barras iguales de longitud / MO mueven al encuen¡salm por una misma línea paralela a sus ejes. La velocidad de * ambas barras es igual a i»,.. Determinar el desplazamiento de los puntos de las barras después del choque. < Solución. Supongamos que el choque tiene lugar en el instante t = 0 en el origen de coordenadas (el tiempo se mide a partir del instante del choque). En virtud de la simetría es suficiente analizar ci desplazamiento u(x, i) de los puntos de una de las barras, por
I , < | V ^'ííV Resolución de ecuaciones en derivadas par< . _ '.«I*»»} ' /i:",','; ejemplo, de la barra derecha. El problema se reduce a la resolución de la ecuación d2u _ 2 92U W
con las condiciones du u
¥
~
(1)
d^
a
du I -H
=0. (2) =0 \x=i i=ü Al problema diferencial (1), (2) le corresponde el problema operacional t=0
«
-va,
=0'
d U i-. U
ax2
a2
t / U = o,
—
dU dx
cuya solución es U{x,p) = Dado que
e
(3)
T J
0,
(4)
x=¡
-n21"* vQ ' VQ e Pa ' a -L + e P] « J + — 5-pp2 p2 i + e - 4
_ 2f|¡ « < 1, la función p ^
/ 1+ e
representarse mediante la serie convergente -3 oo
(3) 11
I
. puede
2ki
k=0 Por tanto, V0
a- l
Vn xr^
-r?-kl+x
p2(fc-H)l-a;
fc=0 Con ayuda del teorema de retraso hallamos el original u{x,t)^v0
v^ ( -t + ]£(_l)1 fe=o ¿
/ / ( (í
2kl + x\ ( — jíjjí
(2fc + l)í - a; ^ a
2kl + x* a
I +
^ _ (2fc +1)1 - a a
La solución es válida mientras las barras están en contacto, du es decir, mientras <0. • dx £=0
Ejercicios Hallar las transformadas de las funciones:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
shatchpt. eos ai eos ¡3t. chai sh pt. sen at sen pt. shaísh/?í. sh ai —sen ai. chai —eos ai. sh at +sen ai. ehaf + cosaí. eos ai ch/Jt. sen ai sh/3í. f(t)
12.
"{i
-H¿~a)
t
t< 0, fl£Z0. n a < í $ ( n + l)a, í < 0, n€ 14. f(t) = í ° ' < f ^ n + l, \ n +1, n
13. /(i)
(ra,
15. /(í) = f(t + 2a) =
16. f(t) = f(t + a) =
- (in +1),
2na < í < (2n + l)a,
- + 4n + 3,
(2n + l)a < t ^ (2n + 2)a,
l 0, 2t (ln + 1), a 0,
í <0, na < t ^ (n + l)a, t <0, 2njr
17.
/(*) = / ( í + f ) =
a
(2n + 1)JT
— — — — — —
18. 19. 20. 21. 22. 23.
S
^ í^ ^
¿
^
ne
(2ra + 1)tt ~t a (2 n + 2 )ir
t < 0,
e sen 3í eos 2í. eM eos 3i eos 4í. shi cos2í sen3í. chtsen2isen3í. eh3í sen21. sh4icos 2 3í.
Hallar las transformadas de las siguientes expresiones diferenciales:
24. Ly = yw(t)+4y"'{t)+4y"(t); ors.1
y{0) = 1, y'(0)=2, y"(0) = - 2 , y"'(0) = 3.
ne:
25. Ly - 3y"'(t) - 2y"(t) + 5 ; y(0) = - 1 , y'(0) = 2, y"(0) = - 3 . 26. Ly = 4 f { t ) + 3y"(í) + y(í); y(0) = O, i/'(0) = 3, jf"{0) = 0, y"'(0) = - 1 . 27. ¿ y = / ( * ) +2j/lV(/) + 4y(t); y(0) - y'{0) = /(O), /'(O) = / v ( 0 ) = - 1 . Medíante el teorema de derivación de la transformada, hallar Jas transformadas de las funciones: 28. 29. 30. 31.
t2 eos at. í2senaí. ísenafshaí. t eos at c h a i .
Empleando el teorema de integración de la transformada, hallar las transforni.ul.in de las funciones: 32. 33. 34.
e~at sen t sh H t sen 7t sen 31
. t chaf — ch bt 35. . }
36.
shi
37.
eos bt — eos at _ _ .
38.
1 - COS t e 1—
t
.
eat
39'
-fcT-eat sen2 bt 40. — ¡ — . Utilizando el teorema del producto de E. Borel, hallar los originales de las funciones F(p): 41. F(p) = 42
'
Ffoi = W
44. F(p) =
1
(p + lXp + 2)2 P2 ~
(p2+9)(p2+
4)' i
(p2
+ 6p + 13)^
- 6p
+ 10)' •¡ífSSSH
" W - Í T i F -
Aplicando el teorema del producto, hallar los originales de las funciones 48.
, P+ 1 . p 2 ( p - l ) ( p + 2)
W
49.
P^ +1 F(p) — p(p + l)(p + 2)(p +
51-
F ( P ) =
54.
F(p) =
2
( P
+
3)
1P 1 (P + 3)-
a4 p(p2
+ a2)2'
Resolver los problemas diferenciales siguientes: 55. Ay" + 12?/ +9y = 144c" i ' ; y(0) = 1, ?/(0) = 56. 57. 58. 59. 60. 61.
y" - 2y' = e\e + t - 3); y(0) = 2, y'(0) = 2. y" + 4y' + 3y - sh t sen í; ¡/(O) = 0, ¡/'(O) = 1. y" + 2y'+y = e'^cos t +t); y(0) = 1, y'{0) = - 1 . y'" - 3y' + 2?/- 8/,e"'; y(0) = ?/(0) = 0, :
62. y" + by' + 8y = sen í - i? ( i - - ) eos í; y(0) = y'{0) = 1. 63. y" + iy' +20i) = v(t~
eos ^f - ^
; »/(0) = 1, y'{0) = 0-
Resolver los sistemas de ecuaciones diferenciales: r 2x" -x'+9xy" -y'-3y = 0, 64. i 2x" + x' + 7x - y" + y' - 5y = 0; L x(0) = x'{0) = 1, y(0) = ír'(0) = 0.
F:
fi=
' x" ~ x + y + z = O, x + y" - y + z = Q, L
{
®{0) = l x' + 2x + y' - 4a? jf(0) = 0,
ar'(0) = 3/(0) = t/'(0) = 2(0) = z'(0) = 0. y = sen í, 2y = eos í; y{0) = 1.
Resolver las ecuaciones integrales: í 67. f(t) = sení + J
/{r)dr.
o
í
68. /(í) = f +
J(t~T)f(T)dT. 0
t
69. /(í) = í + 2 — 2 eos t — o
t
70. /(í) = t2 + J
f(r)
a 71. /(í) = eos í +
J{t-T)f{r)dT.
J
dr.
i
/(r) dr.
o t 72. /(f) = l + J
el~Tf{r)dr.
o
t
73. /(í) = e 3í + ^ J
sh4(í - r)/(r) dr.
o 74. /(£) =
e 2(
+ eos 3í + J í
75. sen2 t = J Í
¡ sen(í - r ) / ( r ) dr.
o sen(í - r)/(r) dr.
o
76. i 4 = ^(2í 3 - 3í 2 r + r 3 )/(r) dr.
Resolver los sistemas de ecuaciones integrales siguientes:
t x(t)
t
J ( t - T)X(T)
—2t~
dr + J
y{r)
dr,
o
77.
y(t)
J x{r)dr + 3 J ( t - T)y{r) d r .
-2-4
o
t x{t) = 2 + J
o
y(r)dT,
y(t) = 9í - t - t* + J 2
78.
J
z(t) = 15 +
l
z(t) d r ,
i *(r) dr.
'/•
z(í) = 1 - / j/(r) dr, l
t/(f) = eos í - 1 +
79.
z(t) =
Z(T) dr,
o
t
eos
J
t+J
X(T)
dr.
o y(r} dr,
®(í)
o j(i) = 1 -
80.
í3
« + y z(r) dr, o Í
2 ( í ) - 2 í + J X(T) dr. 2
o
Hallar las soluciones de las ecuaciones integrales singulares
si.
7
(í-r)«
=
82. f ^ J L — eos t. J Vt^p o +00 T 2 83. f(t) = t - - j = j ¿ 4í f{r) dr, | A| jé 1. 2 +00
84. ~ L J o+x 85. ~
o
T
e itf(j)dr-]nt
= 0.
2
T
e" 4í /(r) cfr = sen2 - .
J o
Resolver los problemas siguientes:
86,
87.
d2u(x,t) 1 <92m(;M) = d ^ ? ~ u ( M 0 < x < l, a2 > 0.
)
= M(U)
=
=
fluíalo) = ~at
d2u(i- t) , 0u(a:, í) ^¿ ^ = a — u ( 0 , í ) = A, Hm u(x,t) = 0, u(¡c,0) = 0, x ^ 0. dx
dt
X-Í+OC
sen
Respuestas Capítulo 1 _00—. rj^Ji + 22_, — •
1 . y^\+x
5
3. . = 3
• X2j
+
2
¿2
(an
2
5 . y = a 0 + «i® + • •
= ((2-
(J - 3 ) ( J - 4 ) )
O, o3 = —, a 4 = O, J!
-2)
4
6. y = 1 + X + y + ^a; + ^ x + 0(ar5).
11 29 8 . y = 1 + 2(® - 1) + 3(a - l) 2 + —{x - 1 )3 + ~-{x - l) 4 + O ((a - l ) 5 ) . 3 6 x3 9 . ¡f = 2 + — + 0 ( a ; 5 ) . 3
10. y = l
+
4
|--.£f+0(«').
11- ST = ao + a i ( « - l ) + a2(®~l) 2 + C>((3;-l) 3 ), oa = 1-OQ, a 2 = l - a 0 + ag, a
o -
a
o +
+ 3= O
a 0 = - 1 , Si = O, S 2 = 2.
1 2 . y = a 0 -4- oí® + a 2 x 2 + C>(aj3), a 0 = - 1 , ü-t = 1, a 2 = 13. y = a0 +
4 2 + a2x2 + a^x3 + 0 ( V ) , o 0 = O, ñi = -, a 2 = O, a 3 = -.
1 4 . y = a0 + ai(x - 1) + a2{x - 1 f + o 3 (x - l) 3 + O{{x - l ) 4 ) , 8n = 2, a, = - 1 , a2 = 3/2, a 3 - -7/6. 1 5 . y = a0 + a\fi + O (fi2),
a0 = x~2, « 1 = 2
1 6 . y = a0 + O]/i +
a 0 = x~\ a} = 3.
1 7 . ao = (1 - zr)"2, oj = (1 -
^
- a; 2 j .
- ^x 5 + j
-
.
a;2 x7 x6 3 a;4 18. a0 = x + y , ai = — + Y + ^j® + — + 1, » = Oo + /tai + O (/¿2) • 19.
y = a 0 + ai/i + O (/i 2 ), a 0 = sena;, ai = J
ln (1 + sen s) ds + 1.
o x 2 0 . y = a0 + 2 1 . í/= 1.
+ O
(/12),
2 2 . y = x.
a 0 = 2 - eos x, a-i = J 2 3 . y = - 1 - x.
ea°{3)ds - 1.
o 2 4 . y = 1.
2 5 . ¡/ - x.
Capítulo 2 I . Inestables. 3. Inestables. 5 . Estables. 7 . Inestables, 9 . Inestables. II. 0 < a < 2. 1 3 . Inestables, 1 5 . Asintóticamente estables. 1 7 . Inestable. 1 9 . Inestable. 2 1 . Inestable. 2 3 . Inestable. 2 6 . Estable. 2 8 . Estable. 3 0 . Asintóticamente estable. 3 2 . Inestable, v = x' - y. 3 3 . Asintóticamente estable, v = x2 +
2. Inestables. 4 . Inestables. 6. Asintóticamente estables. 8 . Asintóticamente estables. 1 0 . Asintóticamente estables. 1 2 . Estables. 1 4 . Asintóticamente estables. 1 6 . Inestable. 1 8 . Inestable. 2 0 . Inestable. 2 2 . Inestable. 2 5 . Inestable. 2 7 . Inestable. 2 9 . Asintóticamente estable. 3 1 . Estable, v = a;'4 + y*. y2 + y'2.
im
34. Inestable, v = x2 + x'2 + y2. 3 5 . Asintóticamente estable, v = x2 + y'2 -f y2. 3 6 . Asintóticamente estable, v = 1/2(x 2 4- y'2) + 1/4y 4 . 3 7 . Asintóticamente estable, v = x2 4- x'2 + y2.
Capítulo 3 a (p2 - a2 + p2)
(p2 -
" (p2 - (a - p)2) p(p2
'
(p2
+
a2
(a + p f ) ' p2)
+
+ (a — P)2) (p2 + (a +
P)2)
p{p2~a2-p2)
" (p2 — (a 4
p)2) (p2 2app
- (a -f /3)2)
(p2 + (a - /?}2)
p - a 7
^
4
4"
p* - a *
p4 — a 4 p* - a* J> (p 2 +
1 0
-l
2
)
(p2 + a 2 - p2)2 4- 4a2/?2 '
e'^-^í-a). ,
1
p (ea?
- 1)
,
14.
- 1
p (1
-
e~P)
1 B . i j d . f - I . ap¿ 16
2
17. 18
19
2
p
+ aítp P 2+(e~ ( 2 a+ f
L _ e a — 1
p -t-u /
1
-1)
5
2 Vp2 + 8p+41 + p2 + 8p+17, ' 2 \ (p — 3)2 + 49
20.
— - i
22
V V 2\P2~9
23
V
^ (p-3) 2 + l A .
p4 + 4 p4 + 48p2 + 676 „33 „33 1/ p p + 24p \ 21. 2 2 4 2V(p -2) p + 48p2 -f- 676 / + 13P
p4 - 10p2 + 169 ,
2
2
p4
P2"104
^
— 16 + 40p2 + 2704/ ' 4 24. (p4 + 4p3 + 4p2)r{p) - p3 - 6p2 - 10p 5 25. (3p3 - 2p2) Y(p) + 3p2 - 8p + 13 + - . Vp2
26. (4p4 + 3p2 + l)y(p) - 12p2 - 5. 27. {p5 + 2p4 + 4)Y(p)+p + 3.
28. ^
~ 3q2)
(p 2 + a 2 ) 3
29 30.
( 3 ^ - <*') (p 2 + a 2 ) 3
2 a
2
" W - 4 a
(p4
+
4
4a 4 ) 2
)
— 12a 4 )
p2(pi
31<
(p 4 + 4 a 4 ) 2 1 3 2 . arctg . p + a
33. i l n . 4
p2
p2 - 4
i* 4
p 2 + 16
35. 1- l.n p22 - f r 2 2 p - a 36.
3 7
'
38.
2 - «2" l l n t t l . 2 p-1 2
pM-"^2
2
(p + 1)2 p + 1- a
39, ln
+
P+ 1
40. l l n f r + a ) 2 + / . 4 (p + a) 2 4 1 . e~{ - (1 + t)e~2t, 4 2 . ~(3sen 3£ — 2 sen 2í). 5
43. ^ (2 sen 2í ~ eos 2t + e 1 ), 4 4 . -61e * (2 sen t — sen2í). 4 5 . ^ e 2 i ( í 2 - 4í + 6) - e~'(¿ + 3). 4 6 . i ( c o s í + sení)-
47.
é-t-l. 3
t
2e*
e~2t
1
5e~2t
49. - - e + — 6
5e _ 3 t —,
5 0 . ~ (í 2 e 2 í — 4te2t + 6e 2í - 2tel -
2
6e¿).
51 . Í ( ( 2 í 2 - 2 í + l ) e - ' - e - 3 í ) . 52. 53.
/í3 3 N 4í + 1 0 - e _ í ( - + -t2 + 6t + 10 . \ 6 2 J
t2 2
+
27
54. 1 - eos at
+
18 V 3 at sen at.
+
3/
2
(l8í 2 + 2í + 1 ) .
55.
56.
(e f - í 2 - í + 1). 79 3 7 5 7 . - ™ e " 3 í + 0,3e _ í - — e* cosí + — e ( sen í + O^e"1 eos t + 0 , l e " ' sen í.
5 8 . 2e _ i + -e""'í 3 — e _ í eos í. 6 5 9 . 2te~i + té - é + e~2t. 3 19 1 1 M 6 0 . - c h í — — cosí cos3í—ísení. 5 32 160 8 „ , ,2 37 59 e3' / 59' 6 1 . t' + 3t + j t + - + —\22t„ A 3 .2, 9 62. - e - —e 5 17
6 7 ' / 7r\ - — cosí + — sen t + 77{ t - - J x 85 85
f
6 3 . e-2< ( cos4í + \ sen 4Ví ) 85 + r, ( í H
4 377
sen 1
85
f
1 -HA
10 ( « - £ ) 34 eos +
) y 377 1
64. ar(í) = - (e' + 2 eos 2f + sen 2 í ) , y(t) = - (2el - 2 eos 2í - sen 2 í ) . O 1 2 r1 1 / 65. a?(t) = - eos í + - ch V2t, z(t) = <í) = - eos í - - ch \/2í. J O J J
}
6 6 . x(í) = 2 sen t ~ 3í, y(t) = 6í + 3 - 2 eos í - 3 sen í.
67. - fe - eos í + sen í). 2
'
68. s h i . 69. (l + í)sení. 70. 2 ( e ' - í - l ) .
71 . i ^e* + eos í + sen f ^. í
72.1(1 + ^). 7 3 . —- (35e?< + 45 ch 5t + 27 sh 5f).
80 v
7 4 . — (45ez< + 32 eos 31 - 18í - 5 ) . 36
75. - ( 1 + 3 eos 2í). 76. 77. 78. 79. 80.
3
I
®(í) = 2e -í (l - t), y(t) = e'\\ - t).
x(t) = 2(1 + a1), y(t) = 24í, z{t) = 15 + 2í(l + 2í 2 ). a;(f) = eos í , y(t) = sen f, z(í) = sen t + eos t. a(í) = 2í, y(í) = 1/ r(n + i) r*-1 ' r ( l - a ) r(» + a)'
82.
84. 85.
v 7TÍ
+ ~ (eos ÍS(Í) - sen í C ( i ) ) . yjr
ln(7Í 2 ). \ {
t chacos
86. U(x, p) = w r 8 7 . CTÍ», p) -
B p2
"
t \
r r i sen
mx e
Bl nn at nnx , u(x, t) = — sen — sen — nrra e e
«(x, t) = A Erf
.
Indice de materias A
Abel, ecuación integral 243
B
Bendixon, criterio 133 Borel, teorema 197
c
cálculo operacional 168 Cauchy, fórmula de los residuos 207 centro 107 ciclo límite 133 estable 133 inestable 133 semiestable 133 convolución 196 coseno integral de Fresnel 193 criterio de Bendixon 133 — de Liénard—Chipart 73 — de Mijáilov 73 — de Poincaré 134 — de Routh—Hurwitz 72
ch Chetáev, teorema de inestabilidad 71 Chipart—Liénard, criterio 73
D
Duhamel, integral 198
E
ecuación homogénea 240 — integral de Abel 243 lineal de Fredholm de primera especie 240 de segunda especie 240 de Volterra de primera especie 241 de segunda especie 241
— singular 243 — tipo convolución 241 Efros, teorema 197 Euler, método 54 espacio de fase 132
F
foco 107 fórmula de Cauchy de los residuos 207 — de inversión de Riemnnn—Mellin 201 Fredholm, ecuación integral linón 1 do primera especie 240 —, de segunda especie 240 Fresnel, coseno integral 193 —, integral 193 —, seno integral 193 función analítica 204 — de Heaviside 169 — de Liapunov 71 — entera 206 — meromorfa 206 — original 169 generalizada 175 — unidad generalizada de Heaviside 180
H
Heaviside, función 169 •—, — unidad generalizada 180 Hurwitz, matriz 72 Hurwitz—Róuth, criterio 72 índice de crecimiento 169 I integral de Duhamel 198 — de Fresnel 193 — de probabilidad 200 L Laplace, método de transformaciones integrales 168 —, transformada 170
Laurent, serie 205 Levinson—Smith, teorema 134 Liapunov, primer teorema 70 —, segundo teorema 71 Liénard—Chipart, criterio 73 M matriz de Hurwitz 72 Mellin—Riemann, fórmula de inversión 204 método de Euler 54 — de Runge—Kutta 55 — de Stórmer 55 — de transformaciones integrales de Laplace 168 — del parámetro pequeño 17 Mijáilov, criterio 73
N
nodo 107 — degenerado 107 — dicrítico 107 núcleo de una ecuación integral 240 O orden de un polo 205
P
parte principal de la serie de Laurent 205 — regular de la serie de Laurent 205 plano de fase 132 Poincaré, criterio 134 polo 205 problema de la tautocrona 243 — no estacionario 258 propiedad lineal de la transformación de Laplace 170 punto de ramificación 209 — de silla 107 — singular 106 esencial 205 evitable 205 uniforme 205
R
Reissig, teorema 134
residuo de una función 206 Riemann—Mellin, fórmula de inversión 204 Routh—Hurwitz, criterio 72 Runge—Kutta, método 55
s
segundo teorema de desarrollo 208 seno integral 194 de Fresnel 193 hiperbólico 194 serie de Laurent 205 sistema autónomo 132 Smith—Levinson, teorema 134 solución asintóticamente estable 70 — estable según Liapunov 69 — inestable según Liapunov 70 Stórmer, método 55
T
teorema de adelantamiento 171 — de Borel 197 — de Chetáev de inestabilidad 71 — de desarrollo 207 — de desplazamiento 171 — de diferenciación de la transformada 172 del original 171 — de Efros 197 — de homogeneidad 170 — de integración de la transformada 172 del original 172 — de Levinson—Smith 134 — de Liapunov, primero 70 , segundo 71 — de Reissig 134 — de relaciones límites 172 — de retraso 171 — de semejanza 170 transformada de Laplace 170 — generalizada 175 trayectoria 132
V
velocidad de fase 132 Volterra, ecuación integral lineal de primera especie 241 —, de segunda especie 241
Indice Prólogo a "Ecuaciones diferenciales'7
3
Capítulo 1
Métodos de aproximación de las soluciones de las ecuaciones diferenciales § 1. Dependencia de la solución de las condiciones iniciales y de los parámetros . §2. Métodos analíticos de aproximación § 3. Métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales . . .
Capítulo 2
Estabilidad y trayectorias de fase § 1 . Estabilidad § 2. Puntos singulares § 3 . Plano de fase
4 4 16 54
69 69 106 132
Capítulo 3
Método de transformaciones integrales de Laplace para la solución de ecuaciones diferenciales lineales . 168 § 1. §2. § 3. §4. § 5. § 6.
Transformación de Laplace. Conceptos y propiedades principales . Convolución de funciones. Teoremas de desarrollo Transformación inversa de Laplace Ecuaciones y sistemas diferenciales lineales Ecuaciones integrales tipo convolución. Ecuaciones singulares . . . Empleo del cálculo operacional en la resolución de ecuaciones en derivadas parciales
169 196 204 218 240 258
Respuestas
270
índice de materias
277
