Examenes Ecuaciones Diferenciales

´ EXAMEN DE ECUACIONES DIFERENCIALES Mu˜ noz - Sonia 1-2-2002 Teor´ıa 1. Teorema de existencia y unicidad de soluci´on para y 0 = f (x, y) con f ∈ C(R2 ) y verifica una condici´on global de Lipschitz, respecto de y. (Soluci´on definida en todo R) (1-2-02) 2. Teorema de Cartan sobre la proyecci´on de un sistema de Pfaff al anillo de integrales primeras de su sistema caracter´ıstico. (1-2-02) 3. Teorema de reducci´on local de un campo (conocido el teorema de existencia). (5-2-03) 4. Teorema de Darboux (5-2-03) 5. m´etodo de las caracter´ısticas de Cauchi para las ecuaciones en derivadas parciales de 1 orden (15-9-03)

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Problemas 1. Dada la ecuaci´on: (1-2-02) y 0 + p(x) = g(x) ∂ a) Comprobar que admite la transformaci´on infinitesimal X = φ(x) ∂y , siendo φ(x) una soluci´on particular de la ecuaci´on homog´enea.

b) Encontrar la forma m´as general de las ecuaciones de primer item y 0 = f (x, y) que admiten la transformaci´on X. c) Integrarlas. 2. Dada la forma: (1-2-02) ω = (y − xyz 2 ) dx + dy − x2 yz dz a) Comprobar que el sistema de Pfaff generado por ω es completamente integrable. Calcular su sistema caracte´ıstico. b) Restringir ω al plano z = 1 e integrar dicha restricci´on. c) Aprovechando el apartado anterior integrar ω. 3. Dada la ecuaci´on p − q 2 = 0 y la curva Γ = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 1, z = y 2 } (1-2-02) a) Encontrar por el m´etodo de las caracter´ısticas de Cauchy una superficiesoluci´on de la ecuaci´on que pase por Γ. b) Encontrar una integral completa de la ecuaci´on y utilizarla para calcular la superficie soluci´on del apartado anterior. 4. Encontrar la forma general de las ecuaciones diferenciales de primer orden ∂ ∂ + y ∂x y rey 0 = f (x, y) que admiten la transformcaci´on infinitesimal X = x ∂y solverlas. 5. Sea F (x, p, q) = 0 una ecuaci´on en derivadas parciales de primer orden. a) Encontrar una integral completa. b) Aplicar lo anterior a la ecuaci´on xp+p2 −q = 0 para encontrar una superficie soluci´on que contenga a la recta x=0, y=t, z=t. 6. Dada la 1-forma ω = yz dx + xz dy − (xy − 1) dz, calcular sus sistemas ortogonal y caracter´ıstico, decidir si es totalmente integrable y calcular la variedad-soluci´on de dimensi´on m´axima que pasa por (1,3,1). (12-9-03) 7. (15-9-03) a) Encontrar la forma general de las ecuaciones diferenciales de primer orden y 0 = f (x, y) que admiten la transformaci´on infinitesimal: ∂ ∂ + βy ∂y , α, β ∈ R. D = αx ∂x b) Aplicar lo anterior a la ecuaci´on y 0 y = x2 (x3 + y). 2

8. Sea f (x, p) = φ(y, q) una ecuaci´on en derivadas parciales de primer orden.(15-903) a) Encontrar una integral completa. b) Aplicar lo anterior a la ecuaci´on p2 x = q 2 y para encontrar una superficie soluci´on que contenga a la recta x = t, y = t, z = t. 9. Sea M el sistema de Pfaff en R4(x,y,z,u) generado por ω = x dy + z du.(15-9-03) a) Comprobar que M no es totalmente integrable. b) Restringir ω a la superficie S de R4 de ecuaciones x = y, z = u2 y calcular las soluciones de ω en S. c) Extender las soluciones obtenidas en el apartado anterior, para obtener soluciones de M de dimensi´on 2. 10. Dado el campo (12-9-03) D=

∂ ∂ ∂ + x3 + F (x1 , x3 ) ∂x1 ∂x2 ∂x3

en R3 . a) Determinar la funciones F para las que D admite la transformaci´on infinitesimal X = x1 ∂x∂ 1 + x2 ∂x∂ 2 . b) Utilizando el apartado anterior integrar D. 11. Calcular la superficie soluci´on de la ecuaci´on en derivadas parciales, z = xp + yq + pq + q 2 , que pasa por la curva x = y = z. (12-9-03) 12. Se consideran en R3 los campos:(11-9-01) D1 = y

∂ ∂ −z ∂z ∂y

∂ ∂ −x ∂x ∂z ∂ ∂ D3 = x −y ∂y ∂x D2 = z

Demostrar que en un entorno de cada punto distinto de (0,0,0) generan un ´algebra de Lie regular de dimensi´on 2 y calcular sus variedades soluci´on. 13. Considerar la ecuaci´on en derivadas parciales xp + q 2 − z = 0. a) Calcular una integral completa. b) Encontrar la superficie soluci´on que pasa por x = t, y = 2, z = −t2 14. Resolver la ecuaci´on diferencial (D4 + 2D2 + 1)z = 1 siendo D el campo en R2 dado por:(11-9-01) ∂ x−y ∂ D= + ∂x x + y ∂y 3

15. Integrar:(11-9-01) a) yy 00 + (y 0 )2 = 0  ∂x = y ∂t b) ∂y = −x + ∂t

1 cos t

16. Dada la ecuaci´on diferencial, y 0 + F (x)y = G(x): (8-2-00) a) Demostrar que su haz integral puede escribirse de la forma: y = Cφ(x)+ϕ(x) (0.5 ptos) b) Utilizando el resultado anterior probar que si y1 (x) e y2 (x) son soluciones particulares entonces: (1 pto) y − y1 =K y2 − y1 c) Comprobar que las tangentes a dos elementos del haz integral en los puntos de ordenadas y1 , y2 correspondientes a una misma abscisa x se cortan en un punto que solo depende de la abscisa. Queda as´ı definida la curva gu´ıa; determinar sus ecuaciones.(2 ptos) d ) Resolver la siguiente ecuaci´on diferencial. y = x(1 − y) + y 2 (2 ptos) e) ¿Cu´al es la ecuaci´on de la curva gu´ıa de la ecuaci´on lineal asociada a la anterior? (0.5 ptos) 17. Hallar la forma de un espejo tal que los rayos que pasan por un punto dado P, al reflejarse, salen paralelos a un direcci´on dada.(4ptos) (8-2-00)



Q=(x,y)
α Y=0
P → P
β PP PP
PP PP
PP P=(0,0)
PP PP
PP
PP Y-y=y’(X-x)

α=β

Gelowin 2004

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