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d < Z >= et REMARQUE. Les moyennes de Z et P ob´eissent aux ´equations dt m d i i d < P >= − < V (Z) > (par exemple < P >= (ψ, [H, P ]ψ) avec [H, P ]ψ = dt dt V ∂z ψ − ∂z (V ψ) = −V ψ). Ce r´esultat, qui ressemble aux ´equations de la m´ ecanique classique (sauf que < V (Z) >= V (< Z >) uniquement pour V quadratique), justifie en partie le choix de H fait plus haut. L’introduction des interactions ´electromagn´etiques a partir d’un principe de jauge est faite a` la section 9.2.2. `
Etats gaussiens ; ´ etats coh´ erents ; lien avec l’espace de phase La famille de fonctions
i ψ(z) ∝ exp
β 2 p0 z + (z − z0 ) , 2
avec p0 et z0 r´eels et β = β1 + iβ2 (β2 > 0) se prˆete `a des calculs explicites et est stable vis-`a-vis des ´evolutions associ´ees `a des hamiltoniens au plus quadratiques dans le couple β2 2 2 (Z, P ). ψ(z) qui v´erifie |ψ| ∝ exp − (z − z0 ) est repr´esent´ee (pour p0 = 0) sur la figure 25. Dispersion en z et p. On d´eduit des propri´et´es des gaussiennes r´eelles que < Z >= z0 et que (δz)2 =< (Z − z0 )2 >= (2β2 )−1 . Comme (P ψ)(z) = (p0 + β(z − z0 )) ψ(z) on a si aussi < P >= p0 et (δp)2 =< (P − p0 )2 >= |β|2 (2β2 )−1 ; en particulier δz δp = 2 β1 = 0. Enfin, il r´esulte de [P − p0 , Z − z0 ] = −i que :
4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique
126
1 < (P − p0 )(Z − z0 ) + (Z − z0 )(P − p0 ) >=< (Z − z0 )(P − p0 ) > −i = β1 (2β2 )−1 . 2 2 Si on assimile ces valeurs moyennes aux corr´elations Γ de deux v.a. gaussiennes Z et P (cf. section 10.2.1), leur densit´e de probabilit´e conjointe est proportionnelle `a 1 2 |β| (z − z0 )2 − 2β1 (z − z0 )(p − p0 ) + (p − p0 )2 , exp − β2 r´esultat ´evident si β1 = 0. En ´ecrivant que le crochet [. . . ] est par exemple plus petit que 2 on peut associer a` ψ une tache elliptique dans l’espace de phase (z, p) assimilable au support de la densit´e de probabilit´e (figure 26). Cette tache, d’aire h ind´ependante de β (petit calcul ; cf section 4.2.3), est inclin´ee par rapport aux axes (z, p) si β1 = 0 et inscrite dans un rectangle de cˆot´es 4 δz, 4 δp (propri´et´e facile `a v´erifier si β1 = 0).
p t=0
p t=0
t>0
p
4 Æp
0
z
4 Æz 0
t>0 z0
z
Figure 26
Figure 27
1 P2 + mω 2 Z 2 (oscillateur harmonique), une ´evolution infiEvolution. Si H = 2m 2 i i nit´esimale exp − H = 1 − H donne : ψ(z) → ψ(z) 1 − i 2m (p0 + β(z − z0 ))2 − iβ + m2 ω 2 z 2 ∝ ψ(z) exp −i 2m (p0 + β(z − z0 ))2 + m2 ω 2 z 2 . Elle conserve donc le caract`ere gaussien. Par identification on voit que, dans le temps , δβ = −(mω 2 + m−1 β 2 ) et (petit calcul) δp0 = −mω 2 z0 et δz0 = m−1 p0 . On en d´eduit les ´equations d’´evolution : dβ dp0 dz0 = −(mω 2 + m−1 β 2 ) , = −mω 2 z0 et = m−1 p0 . dt dt dt Les deux derni`eres sont attendues (cf. remarque ci-dessus) ; la premi`ere est identique a` p0 celle v´erifi´ee par , ce qui permet de la r´esoudre facilement. z0
4.4 Physique quantique et espaces vectoriels
127
EXEMPLES. 1) ω = 0 (particule libre) 1 z0 (t) = p0 (t) 0
t m
1
−1 t z0 (0) et donc β(t) = β(0) 1 + β(0) ; p0 (0) m
cette expression permet de discuter l’´etalement en z d’un paquet d’ondes (figure 26). On v´erifie que : (δp)2 (t) = (δp)2 (0) ;
|β(t)|2 (δz)2 (t) = |β(0)|2 (δz)2 (0) .
2) Si β(0) = imω on a β(t) = β(0) ; un tel ´etat, dont la tache dans le plan (z, p) ne se d´eforme pas au cours du temps, est appel´e ´ etat coh´ erent (figure 27 o` u m = ω = 1). REMARQUE. Dans le cas e ral : g´en´ z0 (t) z0 (0) cos ωt (mω)−1 sin ωt = . p0 (t) p0 (0) −mω sin ωt cos ωt L’´ evolution des´etats gaussiens est donc enti` e rement d´ e termin´ e e par des matrices de transfert de d´etermi z0 (0) z0 (t) a ` . Le lecteur fera le lien avec l’optique matricielle, z et p jouant le nant 1 reliant p0 (t) p0 (0) rˆ ole des coordonn´ees x et p d’un rayon et t celui de la coordonn´ee z sur l’axe optique. L’analogue des ces ´ etats gaussiens sont, en optique ondulatoire, les faisceaux gaussiens (ondes sph´ eriques si β2 0).
4.4.4
Oscillateur harmonique ; champ ´ electromagn´ etique
Oscillateur harmonique ; op´ erateurs d’annihilation et de cr´ eation Si dans l’hamiltonien
1 P2 + mω 2 Z 2 , 2m 2 on remplace , m et ω par 1, ceci revient `a choisir comme unit´e de temps, de longueur 1 2 et ω. On v´erifie alors facilement qu’en introet d’´energie respectivement ω −1 , mω duisant les op´erateurs H=
a=
Z + iP √ 2
a† =
,
Z − iP √ 2
([a, a† ] = 1 car [Z, P ] = i) ,
on obtient l’expression de H et les relations de commutation : H = a† a +
1 2
,
[H, a] = −a
,
[H, a† ] = a† .
On en d´eduit (d´emonstration ci-dessous) que les ´ etats propres ψ n de H forment une suite d’´etats orthogonaux reli´es les uns aux autres par a et a† et que les niveaux d’´ energie sont quantifi´es et r´eguli`erement espac´es : √ √ 1 H ψn = n + ψ n avec a† ψ n = n + 1 ψ n+1 et a ψn = n ψ n−1 (n = 0, 1, 2 · · · ) . 2 (a ψ 0 = 0 pour l’´etat fondamental ψ 0 .) L’action sur ψ n de a et a† faisant disparaˆıtre ou apparaˆıtre un quantum d’´energie, a et a† sont appel´es op´ erateurs d’annihilation et
4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique
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de cr´ eation. Comme < a˙ >= i < [H, a] >= −i < a >, leur moyenne dans un ´etat ψ(t) v´erifie (en r´etablissant ω) : < a > (t) = e−iωt < a > (0) et < a† > (t) = eiωt < a† > (0) . ´ DEMONSTRATION. Soit ψ un ´ etat tel que Hψ = Eψ, alors φ = aψ v´ erifie Hφ = (E − 1) φ (car Haψ = (aH − a) ψ) et (φ, φ) = (ψ, a† aψ) = E − 12 . Comme (φ, φ) est toujours positif il en r´esulte 1 et aψ 0 = 0 (unique puisque (z +∂z ) ψ0 (z) = 0 2 z2 exp − 2 ). Comme H (a† ψ) = (E +1) a† ψ (et a† ψ 2 = E + 12 ), d´ efinit la fonction d’onde ψ0 (z) = (π) √ eduisent de ψ 0 par action de a† ; l’introduction du facteur n + 1 dans le passage de les ´etats ψ n se d´ 2 2 a ψn+1 assure que ψ n+1 = 1 si ψn = 1. ψn `
l’existence d’un ´etat d’´ energie minimale ψ 0 tel que E0 = −1 4
√ 1 1 eduit : ψn (z) = ( π 2n n!)− 2 × REMARQUE. Fonctions propres. De ψn = (n!)− 2 a†n ψ 0 , on d´ z2 z2 z2 ecrit aussi Hn (z) e− 2 o` u Hn (z) est le n`eme polynˆ ome de Hermite (z −∂z )n e− 2 . (z −∂z )n e− 2 s’´ (H0 (z) = 1, H1 (z) = z, H2 (z) = 4z 2 − 2, H3 (z) = 8z 3 − 12z · · · ; cf . figure 28). Si on r´etablit , ω et m on obtient : ! 1 √ 1 1 mω 2 mω 4 H z e− 2 z ψn (z) = ( π 2n n!)− 2 mω n 1
(en n’oubliant pas que la normalisation de ψn (z) entraˆıne que sa dimension est [L]− 2 ).
E
V(z) 3 n=3 2 n=2 1
h
n=1
0 n=0
0
z
Figure 28
Etats coh´ erents et limite classique Ces ´etats introduits plus haut par (P ψ)(z) = (p0 + β(z − z0 )) ψ(z), avec β = i, sont les ´etats propres de a. Si on les rep`ere par leur valeur propre α, on a a ψα = α ψα
1 avec α = √ (z0 + ip0 ) , 2
o` u z0 et p0 sont les valeurs moyennes de Z et P . On v´erifie : (ψ α , aψ α ) =< a >= α
,
(ψ α , a† ψ α ) =< a† >= α et (ψ α , a† aψ α ) =< a† a >= |α|2 .
Dans la base ψ n la relation a ψ α = α ψ α et la condition de normalisation conduisent a` : ψ α = exp −
∞ 1 |α|2 (n!)− 2 αn ψ n ; 2 n=0
4.4 Physique quantique et espaces vectoriels
129
en particulier ψ α=0 ≡ ψ n=0 (´etat fondamental). Pour |α| 1, l’oscillateur quantique dans un ´etat coh´erent devient assimilable a` un oscillateur classique. En effet, dans un tel ´etat les dispersions deviennent n´egligeables 1 1 car z0 δz = 2− 2 et p0 δp = 2− 2 (cf. ´etats gaussiens) ; l’´energie E est elle aussi quasi fix´ee car la loi de probabilit´e |α|2n pn = |(ψ n , ψ α )|2 = exp −|α|2 n! pour les valeurs de n dans un ´etat ψ α (loi de Poisson, cf. section 10.2.2) donne une σ δE ∼ = |α|−1 0. Enfin moyenne < n >= |α|2 et une dispersion σ = |α|, d’o` u E
Champ ´ electromagn´ etique ; ´ emissions induite et spontan´ ee → − → − → − En physique classique, ce champ d´efini par son action F = q ( E + v ∧ B ) sur une → − particule charg´ee, est une grandeur r´eelle. Par exemple E ∝ cos(ωt − kx x) zˆ pour un mode propagatif selon x et polaris´e rectilignement selon z. (On rappelle que dans une boite cubique de volume V = L3 , un mode est d´efini par (kx , ky , kz ) = 2π L (m, n, p) avec m, n, p ∈ Z). Quand ce champ intervient dans le hamiltonien de N H3 , on a vu que les termes en eiωt et e−iωt jouent des rˆoles diff´erents en induisant respectivement des transitions ψ e → ψ f et ψ f → ψ e , transitions dont on sait qu’elles s’accompagnent de l’´emission et de l’absorption d’un photon. Cette remarque, et aussi le fait qu’un mode est l’analogue d’un oscillateur, conduisent a` remplacer la fonction classique Ez (t) = E0 e−iωt + E0 eiωt par le champ quantique ω † avec C = , Ez = C (a + a ) 2V 0 op´erateur dont la moyenne est < Ez > (t) = C (< a > (0) e−iωt + < a† > (0) eiωt ). a et a† sont les op´erateurs sans dimension d’annihilation (absorption) et de cr´eation (´emission) d’un photon du mode consid´er´e et C, dont la valeur est justifi´ee ci-dessous, assure l’homog´en´eit´e dimensionnelle. Les ´etats propres ψ n de l’oscillateur d´esignent maintenant les ´etats `a n photons. Cette expression pour Ez permet de montrer que les probabilit´es de transition “atomiques” de ψ e vers ψ f et de ψ f vers ψ e en pr´esence de n photons sont respectivement proportionnelles ` a n + 1 (´ emissions induite et spontan´ ee) et `a n (absorption) (d´emonstration 1 et application a` la section 10.3.2). On retrouve le champ classique, avec une amplitude et une phase bien d´efinies, lorsque les ´etats du mode sont des ´etats coh´erents `a grand nombre moyen de photons (d´emonstration 2). ´ DEMONSTRATION 1. Dans la transition ψe → ψf (resp. ψ f → ψ e ) il y a passage de n ` a n+1
photons (resp. de n ` a n − 1). Dans la r`egle d’or de Fermi la quantit´e |E0 |2 doit alors ˆetre remplac´ee par |(ψn+1 , Ez ψ n )|2 = C 2 (n + 1) (resp. |(ψ n−1 , Ez ψn )|2 = C 2 n). ´ DEMONSTRATION 2. Dans un ´ etat ψ α on a < Ez >= C (α e−iωt + α eiωt ) et (petit calcul) < Ez2 >= < Ez >2 +C 2 . Les fluctuations de Ez deviennent donc n´egligeables si |α|2 1 (par exemple |α|2 > 1015
130
4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique
pour un faisceau laser), et Ez est alors assimilable ` a sa valeur moyenne. L’´energie ´electromagn´etique classique contenue dans un volume V , qui est la moyenne temporelle de deux fois 12 0 E 2 V (facteur 2 pour tenir compte de l’´energie magn´etique), vaut 0 2C 2 |α|2 V = |α|2 ω, ce qui justifie la valeur de C. On notera que dans un ´etat ψ n , < Ez2 >= 2C (n + 12 ) mais que < Ez >= 0 ; on interpr`ete ce r´esultat en associant ` a un tel ´etat un champ classique dont la phase est ind´etermin´ee (´ equir´ epartie sur [0, 2π]). C’est le cas aussi de la phase du champ associ´e ` a une lumi`ere thermique qui correspond ` a un m´elange statistique d’´etats ψ n .
4.4.5
E.D.P. relativistes de Klein-Gordon, Weyl, Dirac ; champs quantiques ; particules et antiparticules
Dans cette section on pose = c = 1 pour simplifier l’´ecriture des formules, et on se limite a la description de particules libres pour lesquelles l’´energie E positive et la quantit´e de ` → mouvement − p v´erifient (cf. section 4.3.3) : 1 → E = (p2 + m2 ) 2 ; E = |− p | si m = 0 .
→ Comme la relation entre E et − p est non polynomiale, contrairement au cas galil´een 2 E = p /2m, il n’y a pas d’E.D.P. relativiste ayant pour seules solutions des fonctions → → d’onde exp −i(Et − − p ·− r ). Les E.D.P. admettant ces solutions ont aussi des solutions → − → − exp i(Et − p · r ) historiquement dites d’´energie n´egative et consid´er´ees alors `a tort comme des fonctions d’onde d’antiparticules.
E.D.P. de Klein-Gordon ; champs classiques et quantiques ; particules et antiparticules De la mˆeme fa¸con que l’E.D.P. de Schr¨ odinger est associ´ee `a la relation E = p2 /2m (cf. section 4.4.3), l’E.D.P. de Klein-Gordon est associ´ee `a la relation relativiste E 2 = p2 + m2 . Elle s’´ecrit (Δ − ∂t2 ) ψ = m2 ψ (ψ scalaire) et admet, suivant que le champ est r´eel ou complexe, des solutions ondes planes : −ip·x ip·x −ip·x ip·x − − − − − − ψ→ + α→ ou ψ→ + β→ p = α→ pe pe p = α→ pe pe → → (avec p · x = Et − − p ·− r ). Tant que le champ ψ r´eel est consid´er´e comme classique, les − − amplitudes α→ p et α→ p sont des nombres, mais si le champ est quantique ces nombres, qui sont respectivement en facteur de e−iEt et eiEt deviennent, comme on l’a justifi´e pour le champ ´electromagn´etique, des op´erateurs proportionnels aux op´erateurs d’annihilation † − a→ eation a→ , qui concernent ici des particules de masse m et de quantit´e de − p et de cr´ p → − mouvement p . On peut aussi consid´erer que le champ classique correspond `a une somme → (discr`ete ou continue) de modes d’oscillateurs caract´eris´es chacun par une valeur de − p (cf. sections 8.1-2) ; le champ quantique est alors obtenu par quantification de ces oscillateurs.
Ce qu’apporte de nouveau un champ complexe, c’est l’op´eration de conjugaison faisant − passer de ψ→ a: p ` ip·x −ip·x − − − ψ→ + β→ . pe pe p = α→ − − − − Si le champ est quantifi´e α→ ` un facteur pr`es des op´erateurs p , α→ p et β→ p , β→ p deviennent a † † → − → − d’annihilation et de cr´eation a p , a→ et b p , b→ , associ´es respectivement `a la particule − − p p
et a` son antiparticule (l’appellation “particule” ´etant conventionnelle puisque ψ et ψ jouent des rˆoles semblables).
4.4 Physique quantique et espaces vectoriels
131
E.D.P. de Weyl ; particules de masse nulle et d’h´ elicit´ e ± 12 L’E.D.P. de Klein-Gordon est du second ordre en temps. Les E.D.P. invariantes relativistes du premier ordre les plus simples sont les E.D.P. conjug´ees (la notion de conjugaison ´etant celle introduite `a la section 4.2.4) : (=0 ∂ψ
,
→ ( − → − → → (∂ = I∂t − − σ ·∇ ; ∂ = I∂t + − σ · ∇) .
( =0 ∂ψ
Elles concernent des spineurs et ont pour solutions onde plane −ip·x ip·x −ip·x ip·x (→ → − → − → − → − ψ m m+ (ˆ = α e + β e (ˆ p ) , ψ = β e + α e p) , − → − p p p p − p p → → p 2 = 0 et (− σ · pˆ) m± (ˆ p) = ±m± (ˆ p). Si on se limite au terme en e−ip·x , on peut avec E 2 − − (→ consid´erer que ψ d´ecrit une particule de masse nulle et d’h´ elicit´ e −1/2, par exemple − p un neutrino ; ψ→ d´ecrit alors un antineutrino (masse nulle, h´elicit´e 1/2). Quand le − p − − − − a des op´erateurs champ est quantifi´e, α→ p , α→ p et β→ p , β→ p deviennent proportionnels ` d’annihilation et de cr´eation de particule (neutrino) et antiparticule (antineutrino).
( et de ce que ∂ et ∂ ( se transJUSTIFICATION. L’invariance r´esulte des lois de transformation de ψ et ψ → − ( puisque (∂t , − ∇) est un quadrivecteur ; par exemple ∂ ψ ( = (M∂M† )(M†−1 ψ) ( forment comme X et X
( = ∂−1 ; par exemple si ∂ ψ ( = 0, ( = 0. La conjugaison des ´equations se d´eduit de ∂ = 0 ´equivaut a ` ∂ψ −1 ( ( ( ( on a ∂ ψ = 0 et donc aussi ∂(ψ) = 0. Si on cherche les solutions exp ±ip · x de ∂ψ = 0 par → → → → → ( = 0, ce qui implique det (EI + − σ ·− p ) = E2 − − p 2 = 0 (masse exemple, on est conduit ` a (EI + − σ ·− p )ψ → − ( ( ( a m (ˆ p) (cf. section 4.2.4). Dans une rotation d’axe pˆ nulle) et ( σ · pˆ)ψ = −ψ, donc ψ proportionnel ` −
θ
et d’angle θ, m− (ˆ p) est multipli´e par ei 2 (action de Upˆ(θ)). Si on se rappelle (cf. sections 3.4.2, 4.2.5 et 4.4.1) qu’une fonction d’onde correspondant ` a un moment cin´etique Jz = m selon z est multipli´ee par e−imθ dans un rotation d’axe zˆ et d’angle θ, on en d´eduit que l’onde e−ip·x m− (ˆ p) correspond ` a une h´elicit´e −1/2. Quant ` a la solution eip·x m− (ˆ p), son ´evolution en temps est eiEt et correspond ` a une rotation dans le sens direct ; il est naturel qu’elle soit associ´ee ` a l’antiparticule d’h´elicit´e 1/2 quand le champ est quantifi´e. ( sont aussi not´es ψ et ψ (L pour left et R pour right). 2) L’´ REMARQUES. 1) Les champs ψ et ψ etude L R
† † − − , b→ doivent plus d´etaill´ee de la quantification de ces champs montre que les op´erateurs a→ − − p , a→ p , b→ p p
v´ erifier des relations d’anticommutation (au lieu de commutation). Cette r`egle est ` a l’origine du principe d’exclusion de Pauli relatif aux particules de spin (ou d’h´elicit´ e) demi entier (fermions) : impossibilit´e d’avoir deux particules dans le mˆeme ´etat quantique (cf. ouvrages sp´ ecialis´es).
E.D.P. de Dirac ; particules massives de spin
1 2
( et ψ, not´es ici ψ et ψ : L’E.D.P. de Dirac couple des spineurs de types ψ L R i∂ψ L = mψ R
,
( i∂ψ = mψ L . R
Le lecteur v´erifiera comme ci-dessus son invariance et le fait que la conjugaison est une op´eration interne : ψR −ψ L 0 1 C . solution , avec = ψD = solution =⇒ ψ D = −1 0 ψL ψ R
4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique
132
L’E.D.P. admet des solutions exp ∓ip · x si : → → ±(EI + − σ ·− p )ψ L = mψ R
,
→ → ±(EI − − σ ·− p )ψ R = mψ L .
2 2 → → → p )ψ R,L = m2 ψ R,L et donc E 2 = − p + m2 . Si − p =0 Ceci implique en particulier (E 2 − − (E = m, particules au repos), on a ψ R = ±ψ L , et la solution a la forme g´en´erale :
m+ m− −m+ −m− + α− + eimt β + + β− . ψ D = e−imt α+ m+ m− m+ m− L’E.D.P. de Dirac d´ecrit donc, lorsqu’elle est quantifi´ee, des particules et antiparticules de masse m et de spin 1/2 (avec leurs deux ´etats de spin) par exemple des ´ electrons et des positrons (cf. ouvrages sp´ecialis´es). REMARQUE. Il existe des ´equations invariantes plus simples, les E.D.P. de Weyl-Majorana ( = meiβ ϕR ∂ϕL = meiα ϕL ou ∂ϕ R 2 → (phases α, β arbitraires) conduisant ` a E2 = − p + m2 . Mais, comme elles couplent un champ spinoriel a la fois ϕ− et ϕ+ a son conjugu´e, les solutions onde plane sont de la forme ϕ− e−ip·x + ϕ+ eip·x avec ` ` non nuls ; elles n’ont pour l’instant pas d’interpr´etation physique simple. Le lecteur peut v´erifier ` a titre a quatre composantes se s´epare en deux d’exercice que l’E.D.P de Dirac qui concerne un spineur ψ D ` E.D.P. de Weyl-Majorana pour les combinaisons ` a deux composantes ψR ± ψL .
Masse et fr´ equence En physique quantique, la conception “classique” de la masse comme r´esistance ` a la modification de la vitesse n’a pas de sens. Une particule libre n’est pas d´ecrite par sa position et sa vitesse mais par sa → → → fonction d’onde exp −i(Et − − p ·− r ) dans laquelle E et − p figurent comme des fr´equences (` a 2π pr`es). En physique quantique relativiste, la masse (´energie au repos) est donc une fr´equence temporelle. Pour l’interpr´eter simplement, consid´erons un espace ` a une dimension et les ´equations coupl´ees (∂t + ∂z )ϕ1 = mϕ2
,
(∂t − ∂z )ϕ2 = −mϕ1 .
a Pour des solutions exp −i(Et − pz) elles conduisent ` a la relation de dispersion E 2 = p2 + m2 et ` (E − p)ϕ1 = imϕ2 . Pour m = 0, ϕ1 et ϕ2 sont associ´ees aux ´etats de mouvement c = 1 et c = −1. La masse peut donc ˆetre consid´er´ ee comme une fr´equence de transition entre ces ´etats, en analogie a la section 4.4.2. Si ϕ1 et ϕ2 avec le couplage des deux ´etats de repos z = ±z0 de la mol´ecule NH3 ` sont prises comme amplitudes de probabilit´e de ces ´ etats, on v´ erifie que la vitesse moyenne d´efinie par v = (|ϕ1 |2 − |ϕ2 |2 )/(|ϕ1 |2 + |ϕ2 |2 ) est bien la vitesse p/E de la particule de masse m ou la vitesse de groupe dE/dp de l’onde. Une image “classique” de ces transitions est donn´ee ` a la figure 20b (avec erifiera que pour des solutions ne d´ependant que de t et z, les E.D.P. de Δt = m−1 ). Le lecteur v´ Klein-Gordon et de Dirac peuvent se ramener aux ´equations pour ϕ1 et ϕ2 , de mˆeme que les E.D.P. de Weyl-Majorana en changeant ϕ2 en ϕ2 . Cette interpr´etation sugg`ere que les ´etats de mouvements (invariants) ` a la vitesse c sont en physique plus fondamentaux que les ´etats inertiels galil´een de repos ou de vitesse constante v < c.
Chapitre 5
Fonctions d’une variable ; analyse des signaux L’´etude des fonctions, longtemps limit´ee `a celles connues pour leur “utilit´e” (polynˆomes, logarithme, fonctions trigonom´etriques...), a connu une premi`ere approche g´en´erale avec l’introduction vers 1670 du “calcul infinit´ esimal” par Leibnitz et Newton et ses applications `a la m´ecanique et `a la g´eom´etrie analytique. Ce savoir-faire bas´e sur les calculs de d´eriv´ees, d’int´egrales et de d´eveloppements limit´es reste tr`es utile en physique. Cette ´etude a chang´e d’objectif quand il s’est agit, dans la seconde moiti´e du XIX `eme si`ecle, de distinguer des propri´et´es “fines” comme celles de continuit´e, de d´erivabilit´e et d’int´egrabilit´e ou d’´etablir l’existence (auparavant admise) de fonctions ´ecrites sous forme de s´eries de Taylor ou de Fourier. Ce d´eveloppement de l’analyse contemporain de la construction des r´eels a conduit, les fonctions ´etant des objets beaucoup plus “riches” que les nombres, a` la d´efinition de crit`eres de convergence et d’espaces fonctionnels vari´es, adapt´es `a tel ou tel th´eor`eme. Au XX `eme si`ecle un point de vue “int´egral” (“th´ eorie de la mesure”), initi´e par Lebesgue (1902), a conduit a` abandonner la notion de fonction “d´efinie point par point” pour celle plus g´en´erale de distribution (1940-60). Ce point de vue “moderne” n’est pas ´eloign´e de celui de la physique. En effet, dans la deuxi`eme moiti´e du XX `eme si`ecle, s’est d´egag´ee en physique une approche “traitement du signal” des fonctions. Elle correspond au d´eveloppement de m´ethodes exp´erimentales g´en´erales d’analyse des signaux bas´ees souvent sur des techniques d’int´egration : filtrage, d´etection synchrone (analyse de Fourier), corr´elation, ´echantillonnage, analyse en ondelettes, etc. L’int´erˆet de ces m´ethodes est d’ˆetre applicables `a des signaux extrˆemement divers : de dur´ee “finie” (d´echarge d’un condensateur) ou “infinie” (champ ´electrique dˆ u a` une source lumineuse), p´eriodiques (signaux d’un g´en´erateur BF) ou chaotiques (bruit de fond d’une r´esistance), d´eterministes (r´egis par une ´equation diff´erentielle) ou non, d’apparence “continue” ou “discr`ete” (suite d’impulsions d´elivr´ees par un photomultiplicateur), etc. Comme on le verra aussi dans ce chapitre, elles s’´etendent aux fonctions de plusieurs variables (ondes ou images en optique). De plus en plus elles concernent des signaux num´eris´es (apr`es ´echantillonnage et quantification).
5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux
134
Cette approche a contribu´e a donner en physique une importance primordiale aux op´ erations effectu´ ees sur les fonctions et leurs propri´et´es math´ematiques formelles plutˆot qu’` a l’appartenance des fonctions `a tel ou tel espace fonctionnel. Paradoxalement l’hypoth`ese la plus raisonnable est de consid´erer que les fonctions en physique sont a priori les plus “braves” possibles (pourquoi pas ind´efiniment d´erivables a` support compact ?). Les fonctions “singuli`eres” (discontinues, fonction δ. . .) ou dont le support va a` l’infini, tr`es utiles conceptuellement, correspondent a` des situations id´ealis´ees (transition “brutale” entre deux milieux, source ponctuelle, ou milieu infini, signal permanent. . .) ; ces fonctions peuvent toujours ˆetre approch´ees par des “braves” fonctions, non au sens na¨ıf de la convergence point par point mais a` celui des distributions (cf. exemple de l’impulsion de Dirac).
5.1 5.1.1
SAVOIR-FAIRE CONCERNANT LES FONCTIONS Graphe et informations sur une fonction
L’int´erˆet d’un graphe par rapport a` une tabulation est de mettre en valeur certaines informations qualitatives importantes.
Domaine et comportement aux bornes Pour construire le graphe, les premiers points a` examiner sont le domaine de la variable x pour lequel la correspondance x → y = f (x) est bien (univoquement) d´efinie, et le comportement aux bornes de f (x). Par exemple pour x → ∞ on peut chercher si il existe une droite asymptote (cas o` u f (x)−(ax+b) → 0), ou une branche parabolique f (x) d’axe Ox ou Oy (cas o` u tend vers z´ero ou l’infini), par exemple f (x) = xα pour x 0 < α < 1 ou pour α > 1 (figure 1).
«>1
x«
«=1 0<
1
«<1 «=0
«< 0 1
x
Figure 1 Il peut ˆetre plus judicieux d’utiliser un graphe log-log (c.a.d. log|f (x)| versus logx) pour faire apparaˆıtre une asymptote si f (x) a un comportement en xα (exemple des diagrammes de Bode pour les fonctions de transfert en ´electronique) ou un graphe semi-log
5.1 Savoir-faire concernant les fonctions
135
(en g´en´eral log|f (x)| versus x) pour distinguer par exemple des comportements f (x) → 0 2 tr`es diff´erents pour x → ∞ tels que xα (α < 0), e−x ou e−x . Si x0 est un point singulier ou un point d’arrˆ et du domaine on ´etudie, lorsque x → x0 par valeur sup´erieure ou (et) inf´erieure, si f (x) devient infinie, par exemple comme |x − x0 |α pour α < 0 ou ln|x − x0 |, ou si f (x) tend vers une constante, par exemple comme |x − x0 |α pour α > 0 ; dans ce dernier cas il faut pr´eciser la direction de la tangente en x0 (verticale si α < 1 et horizontale si α > 1). Souvent cette ´etude “aux bornes” et quelques valeurs particuli`eres suffisent pour avoir une allure du graphe.
D´ eriv´ ees Un compl´ement d’information, l` a o` u f (x) a un comportement r´egulier, est donn´e par l’´etude des d´eriv´ees premi`ere f (x) = lim
→0
f (x + ) − f (x)
´egale, en coordonn´ees cart´esiennes, a` la pente tg α(x) de la tangente au graphe, et seconde f (x) qui permet, grˆ ace au d´eveloppement de Taylor (cf. section 1.1.2) f (x + a) = f (x) + a f (x) +
a2 f (x) + · · · , 2!
de situer le graphe par rapport a` la tangente : l’´ecart en x + a avec la tangente en x a2 f (x) pour a petit et f (x) = 0. Rappelons que est f (x + a) − f (x) + a f (x) 2 localement la fonction f est croissante si f (x) > 0, d´ecroissante si f (x) < 0 et qu’elle est stationnaire (ou extr´emale) en x0 si f (x0 ) = 0 (maximum si f (x0 ) < 0, minimum si f (x0 ) > 0). f est une fonction concave si f (x) ≤ 0, convexe si f (x) ≥ 0 (graphe respectivement en dessous et au dessus de la tangente), et pr´esente un point d’inflexion en x0 si f (x) s’annule en ce point en changeant de signe. EXEMPLE. L’´ equation d’´ etat de Van der Waals en variables r´eduites s’´ecrit : 3 p + 2 (3v − 1) − 8t = 0 = F (p, v, t) . v P V T , v = et t = sont les valeurs de la pression, du volume et de la Pc Vc Tc temp´erature en prenant les coordonn´ees du point critique comme unit´es). Les graphes 3 8t des fonctions pt (v) = − , pour diff´erentes valeurs fix´ees de t (isothermes du 3v − 1 v 2 fluide en coordonn´ees de Clapeyron) (figure 2a) se d´eduisent des remarques suivantes : 1+ p → 0+ pour v → ∞ (asymptote horizontale p = 0) ; p → ∞ pour v → (asymptote 3 1 verticale v = ) ; pt2 (v) > pt1 (v) si t2 > t1 ; annulation avec changement de signe 3 3 dpt 2 sur la courbe en cloche p = 2 − 3 , par le sommet C (p = 1, v = 1) de de dv v v laquelle passe l’isotherme critique t = 1. Pour les autres informations pr´esentes sur le graphe (palier de liqu´efaction AB, zones de retard AA `a la vaporisation et BB `a la liqu´efaction), le lecteur se reportera ` a la section 7.4.1 et aux ouvrages de physique. (p =
5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux
136
y
p
t > tM
t = tM t>1
C
1
B’
t>1 B
A A’
1/3
te
pto
m asy
t>1 t=1 t<1
lieu des extrema
1
C
1
v
t=1 p
1
(a)
(b) Figure 2
En coordonn´ees d’Amagat (p, y = pv) l’´ equation s’´ecrit : 2
3y − p + 9p − 3p − 8t = 0 = G(y, p, t) . y y2 On en d´eduit facilement que les isothermes se comportent pour p petit (c.a.d pr`es de y = 83 t) comme 9 p, pour p grand (c.a.d. pour yp = v−1 ∼ 3) comme yt ∼ 13 p + 83 t (asymptotes yt ∼ 83 t + 13 − 8t obliques parall`eles) et que leurs pentes s’annulent sur la parabole de Mariotte y 2 − 9y + 6p = 0 (obte) ; noter aussi que dyt = v + pt dv devient infini au point critique C (figure 2b). nue en annulant ∂G ∂p dp d pt Pour t < 1 les fonctions yt (p) (comme v(pt )) ne sont plus d´efinies partout de fa¸con univoque.
Autres informations (figure 3)
1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 f−x f’ 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 + 0000 1111 0000 1111 x0 0000 1111 0000 1111 00000 11111 x 00000 11111 − 00000 11111 00000 11111 (x)
f(x)
x− f f’
«
d
« R
dl f’(x)
Figure 3 Le graphe de f (x) permet aussi de donner une repr´esentation g´eom´etrique d’un certain x
nombre de fonctions reli´ees `a f telles que : les primitives Fx0 (x) =
f (s) ds, somme x0
des aires alg´ebriques des boucles orient´ees sur la figure ; la d´ eriv´ ee logarithmique f (x) 1 d ln |f (x)| = = ; dx f (x) Δ(x) les fonctions f (x)−xf (x) et x−
f (x) , dont les valeurs sont donn´ees par les intersections f (x)
5.1 Savoir-faire concernant les fonctions
137
de la tangente avec les axes ; la fonction inverse f −1 d´efinie par la correspondance y = f (x) ←→ x = f −1 (y) et dont le graphe, ensemble des points de coordonn´ees (y, x), est le sym´etrique par rapport a la premi`ere bissectrice de celui de f , ensemble des points (x, y) ; on fera attention que ` f −1 n’est d´efinie que si la correspondance entre x et y est biunivoque, par exemple y = ex et x = ln y, ou y = sin x et x = arcsin y pour x ∈] − π/2, π/2]). REMARQUE. Si y = f (x) repr´esente une courbe du plan euclidien, le profil d’une corde vibrante, la section d’un dioptre par un plan..., les quantit´es intrins`eques `a cette courbe, c.a.d. ind´ependantes du syst`eme d’axes orthonorm´es choisi, sont son ´ el´ ement de lon dα(x) 1 gueur dl = dx2 + dy 2 et sa courbure = ; R(x) est le rayon du cercle R(x) dl (osculateur) qui approche au mieux la courbe pr`es de x, et dα(x) l’angle dont tourne la tangente lorsque on se d´eplace de dl sur la courbe (cf. section 3.2.1). On a f (x) 1 2 dl = 1 + f 2 (x) dx et = (x) 1 , 3 f (x) si f R(x) (1 + f 2 (x)) 2 dα(x) x2 1 d tgα(x) car f (x) = = 1 + f 2 (x) ; la courbure en x = 0 de y = est . dx dx 2R R
5.1.2
D´ erivation, d´ eveloppements limit´ es : principaux r´ esultats
R` egles de d´ erivation (rappels) D´ eriv´ ee d’une fonction de fonction : sont inverses l’une de l’autre).
d f (g (x)) = f (g (x)) g (x) (= 1 si f et g dx
Addition des d´ erivations “partielles” : lorsque x apparaˆıt `a plusieurs endroits dans une expression il faut ajouter les d´eriv´ees obtenues en ne faisant varier x qu’` a une seule place `a la fois par exemple (uv) = u v + uv , (uv) = u v + 2u v + uv ou x+a x+a ∂f (x, y) d dy. Si y(x) est d´efini de f (x, y) dy = f (x, x + a) − f (x, x + b) + dx x+b ∂x x+b ∂G ∂G mani`ere implicite par G(y(x), x) = 0, on obtient y par y + = 0 (donc y = 0 ∂y ∂x ∂G = 0 ; cf. isothermes de Van der Waals ci-dessus). pour ∂x d f (x) D´ eriv´ ee logarithmique : ln |f (x)| = . Elle est tr`es utile pour calculer f dx f (x) quand f contient des produits et des quotients : α1 α2 α1 α2 f1 f f1 f2 . . . = f1 f2 . . . α1 + α2 2 + . . . ; f1 f2 1 mv 2 est par exemple le maximum de la distribution de Maxwell P (v) ∝ v 2 exp − 2kB T −1 hν 2 mv obtenu pour − pour = 0 et celui de la loi de Planck u(ν) ∝ ν 3 exp −1 v kB T kB T
5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux
138 3 h hν − exp ν kB T kB T
−1 hν exp −1 = 0 soit hν 3kB T . kB T
EXEMPLES de d´ eriv´ ees et de primitives. Si on d´esigne le passage d’une fonction f a sa d´eriv´ee f par f f et `a sa primitive la plus simple F par f F on a : ex ex ; ` xα+1 (α = −1 et cosh x sinh x cosh x ; cos x sin x − cos x ; α xα−1 xα α+1 1 x > 0 si α n’est pas entier) ; x−1 ln |x| x ln |x| − x ; tg x − ln | cos x| ; cos2 x # π π" 1 1 tanh x ln cosh x ; arctg x = ϕ (x = tg ϕ ; ϕ ∈ − , ); 2 1 + x2 2 2 cosh x " 1 1 π π# √ arcsin x = ϕ (x = sin ϕ ; ϕ ∈ − , ) ; √ argsinh x = 2 2 1 − x2 1 + x2 1 ln x + x2 − 1 = ϕ (x = ± cosh ϕ). ln x + 1 + x2 = ϕ (x = sinh ϕ) ; √ 2 x −1 EXEMPLES de d´ eveloppements limit´ es. Le d´eveloppement en s´erie de Taylor ∞ ∞ n xn x (n) x de quelques fonctions “classiques” s’´ecrit : e = , cosh x = f (x) = f (0) n! n! n=0 n=0 ∞ ∞ ∞ ∞ x2n x2n+1 x2n x2n+1 , sinh x = , cos x = , sin x = , (−1)n (−1)n (2n)! (2n + 1)! (2n)! (2n + 1)! n=0 n=0 n=0 n=0 ∞ xn (1 + x)α = 1 + (attention |x| < 1 pour la convergence), α(α − 1) · · · (α − n + 1) n! n=1 ∞ xn et ln(1 + x) = (attention |x| < 1). (−1)n+1 n n=1 Remarque : en physique il est rare que la s´erie compl`ete soit utile ; en effet ces d´eveloppements, qui interviennent lors de calculs de perturbation ne pouvant ˆetre conduits que jusqu’` a un certain ordre, n’ont d’int´erˆet que si les premiers termes correctifs sont “petits” (ce qu’il faut toujours v´erifier a posteriori) et suffisants (ce qu’on esp`ere mais qu’il est souvent difficile de prouver). En pratique les d´eveloppements suivants suffisent souvent : ex = 1+x+
x2 x3 x2 x3 x2 , cosh x = 1+ , sinh x = x+ , cos x = 1− , sin x = x− , 2 2 3! 2 3!
α(α − 1) 2 x2 x et ln(1 + x) = x − . 2 2 Rappelons qu’on peut faire tous les calculs a` partir des d´eveloppements limit´es `a condition de rester coh´erent quant aux ordres trait´es ; par exemple la connaissance de cosh x x2 x2 x3 et sinh x ` a l’ordre 3 permet de d´eterminer tanh x = x 1 + 1− = x− 2 3 3! 1 x2 x2 x 1 = 1+ 1− −1 = uniquement a` a l’ordre 3, mais cotanh x − ` x x 2 3! 3 1 1 3 l’ordre 1 ; de mˆeme (1 − 2ax + x2 )− 2 = 1 − (−2ax + x2 ) + (−2ax + x2 )2 + · · · = 2 8 (3a2 − 1) 2 x ` a l’ordre 2 (application section 4.2.5). 1 + ax + 2 (1 + x)α = 1 + αx +
5.1 Savoir-faire concernant les fonctions
5.1.3
139
Int´ egration ; cas des fonctions piqu´ ees ou rapidement oscillantes
R` egles d’int´ egration (rappels)
x2
ϕ2
dx dϕ `a condidϕ x1 ϕ1 tion de prendre garde que x(ϕ) couvre bien une fois [x1 , x2#] lorsque" ϕ parcourt [ϕ1 , ϕ2 ] π π (exemple : f (x) = (1 + x2 )−1 , x = tgϕ, f (x) dx = dϕ, ϕ ∈ − , ). 2 2 x2 x2 x2 Int´ egration par parties : u v dx = uv − uv dx, formule que l’on peut it´erer x 1 x1 x1 P (x) ax ax P (x) − + si on sait int´egrer u ; par exemple une primitive de e P (x) est e a a2 P (x) · · · , formule utile si P (x) est un polynˆ ome, et applicable `a eiax P (x) pour obtenir a3 la primitive de cos ax P (x). Changement de variable d’int´egration :
f (x) dx =
f (x (ϕ))
D´ erivation par rapport ` a des param` etres introduits ou choisis astucieusement (exemples) : n ∞ ∞ d 1 −x n −ax 1) e x dx = − e dx = = n! ; da a a=1 0 0 2) `a l’aide de
∞
e −∞
−ax2 2n
x
n
d dx = − da
∞
e
−ax2
−∞
√ 1 3 π 2n − 1 −(n+ 12 ) = π ··· a , dx = a 2 2 2
on obtient les moments de la loi gaussienne :< x2 >= σ 2 , < x4 >= 3σ 4 et de fa¸con g´en´erale < x2n >= (2πσ 2 )− 2 1
∞ −∞
x2
x2n e− 2σ2 dx = 1 × 3 × · · · × (2n − 1) σ 2n ;
3) la moyenne du module de la vitesse (loi de Boltzmann) est, avec a =
∞
e 0
−av 2 3
v dv
∞
e
−av 2 2
m : 2kB T
−1
v dv
0
−1 ∞ ∞ 2 2 d d − e−av v dv − e−av dv da 0 da 0 −1 1 d 1 π d 1 2 − = − = √ a− 2 . da 2a da 2 a π =
Le lecteur trouvera de nombreux autres exemples en physique statistique.
5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux
140
Approximation de la “m´ ethode du col” (figure 4a) Si f (x) est maximale en x∗ ∈]x1 , x2 [ on a pour K grand x2 ∗ 2π eK f (x ) g(x) eK f (x) dx g(x∗ ) I= (x∗ )| K|f x1
(K 1) ,
ou en pratique ln I K maxf (x). Ce r´esultat se justifie en remarquant que exp Kf (x) est tr`es piqu´ee autour de x∗ et qu’on peut par cons´equent remplacer g(x) par g(x∗ ), f (x) (x − x∗ )2 ∗ f (x ) et consid´erer que l’int´egrale de la gaussienne va de −∞ `a par f (x∗ ) + 2 +∞. ∞ ∞ √ x→ny EXEMPLE : n! = xn e−x dx = n en(ln n+ln y−y) dy 2πn nn e−n , d’o` u 0
0
la formule de Stirling
ln n! n(ln n − 1) pour n grand (qu’on a aussi par ln n! = ln 1 + · · · + ln n
n 1
ln x dx).
S1 (U1 )+S2 (U −U1 ) dU1 exp k1 maxU1 S1 (U1 ) + S2 (U − REMARQUES. 1) On a de mˆeme e B U1 ) : le nombre total d’´etats microscopiques pour un syst`eme de deux corps dont l’´energie totale U 1 kB
est fix´ee est donc pratiquement ´egal, pour le calcul de l’entropie, au nombre d’´etats microscopiques correspondant ` a l’´ etat macroscopique d’´equilibre (cf. section 1.1.4). 2) Si f a plusieurs maxima seul le plus grand “compte”. 3) La m´ethode du col et l’expression de ln I s’´ etendent aux fonctions de plusieurs variables.
e K f(x)
cos Kx2
g(x)
g(x) 0
x* x*
x
x
(a)
(b) Figure 4
Approximation de la phase stationnaire La formule pr´ec´edente s’applique au cas de fonctions rapidement oscillantes (remplace∗ ment u de K par iK). La r´egion de x autour de x qui contribue a` I est alors celle o` exp iK f (x) oscille le moins (figure 4b). Attention : Kf (x∗ ) peut ici ˆetre positif ou ∞ ∗ )2 2π π ±i|Kf (x∗ )| (x−x 2 e±i 4 . e dx = n´egatif et ∗ |Kf (x )| −∞ −i ω(k)t−kx+ϕ(k) EXEMPLE 1. Toute combinaison d’ondes planes |A(k)|e telles que |A(k)| varie lentement mais dont chaque terme de la phase varie “vite” (donc en particulier pour t et x grands) s’´ecrit, `a un facteur pr`es, ∗ ∗ ∗ |A(k)|e−i ω(k)t−kx+ϕ(k) dk ∝ |A(k ∗ )|e−i ω(k )t−k x+ϕ(k ) , D
5.1 Savoir-faire concernant les fonctions
141
dϕ ∗ (k ) = 0 (s´ o` u k ∗ (x, t) ∈ D (vecteur d’onde local) est tel que vg (k ∗ )t−x+ eparation dk dω (k ∗ )). Si il n’existe pas de des ondes selon leur vitesse de groupe vg (k ∗ ) = dk valeur de k ∗ satisfaisant cette condition l’onde r´esultante (l’int´egrale) est “n´egligeable”. Dans le cas particulier o` u D est un domaine ´etroit autour de k0 (et k0 = k ∗ sinon il n’y a pas d’onde r´esultante), on a affaire a` un paquet d’ondes localis´e `a l’instant t dϕ autour du point x = vg (k0 )t + (k0 ) ; il se d´eplace `a la vitesse de groupe vg (k0 ) (cf. dk une autre approche a` la section 8.2.1).
surface d’onde (argument de A(m) fix´ e) le point m∗
2π
ei λ mM 2 d m ´ etendue ` a une iλmM qui contribue essentiellement ` a A(M ) dans
EXEMPLE 2. Dans l’int´egrale d’Huygens-Fresnel A(M ) =
A(m)
l’approximation de l’optique g´ eom´ etrique (λ “petit”) est celui pour lequel m∗ M est stationnaire, −−−→ a la surface d’onde : m∗ M est alors un rayon. Si il y a plusieurs c’est-` a-dire tel que m∗ M est orthogonal ` u M est proche d’une caustique ; cf. section 7.3.2), il faut ajouter leurs contributions points m∗ (cas o` (qui donnent alors des franges d’interf´erences).
5.1.4
Concavit´ e de l’entropie ; travail maximum ; transitions de phase
On consid`ere le cas simple o` u l’entropie S ne d´epend que de l’´energie interne U (et pas du volume V : syst`emes quasi incompressibles tels que des solides, des liquides...). Le but est d’illustrer sur des graphes le lien entre le second principe et les propri´et´es (admises ici) 2 dS 1 d S 1 dT de croissance monotone = > 0 et de concavit´e ≤ 0 de S, = − dU T dU 2 T 2 dU ainsi que quelques r´esultats classiques (travail maximum extrait, transitions de phase...) cons´equences directes de ces propri´et´es. Dans la suite on utilise les grandeurs massiques U S u= et s = . (Remarque : pour des syst`emes compressibles et des transformations m m a pression constante, par exemple la vaporisation d’un corps pur, il faudrait consid´erer ` l’entropie comme fonction de la variable enthalpie H, qui est la seule variable dont d´epend alors S, et utiliser S (H) = T −1 .)
Thermalisation et travail maximum s
s(u)
s1
M1
E R
s000000000000 111111111111 I I IM 1 m 2 s2 = M2 m IM 1
2
u2
uI
u1
u
Figure 5 EXEMPLE. Sur la figure 5 les points Mi (i = 1, 2) de coordonn´ees (ui , si ) correspondent aux ´etats d’´equilibre initiaux de deux corps de masse mi constitu´es d’un mˆeme
5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux
142
mat´eriau, l’un (i = 1) chaud et l’autre (i = 2) froid. Ils se trouvent sur le graphe de la fonction s(u) caract´eristique du mat´eriau. Les ´energie et entropie massiques moyennes m 1 u 1 + m2 u 2 m 1 s1 + m 2 s2 du syst`eme des deux corps sont uI = et sI = , coordonn´ees m1 + m2 m1 + m2 du point I repr´esentatif de l’´etat initial hors ´equilibre du syst`eme. Si le syst`eme est isol´e, la mise en contact thermique des corps conduit chacun d’eux dans le mˆeme ´etat d’´equilibre E sur s(u) tel que uE = uI (´energie conserv´ee, premier principe). L’augmentation d’entropie (sE > sI : second principe) est donc associ´ee `a la concavit´e de s(u). Si le syst`eme est en contact avec un syst`eme “m´ecanique” (Smeca = 0 ; cf. section W 1.1.4), l’´etat d’´equilibre final F est sur la courbe s(u) `a l’abcisse uF = uI + m1 + m2 (premier principe ; W travail re¸cu) avec sF ≥ sI (second principe). On voit sur la figure que le travail maximum que le syst`eme peut fournir est (−W )max = (m1 +m2 )(uI −uR ), R ´etant le point de s(u) tel que sR = sI (´evolution r´eversible). Si u = u0 + c(T − T0 ), du T alors = T implique s = s0 + c ln , et pour m1 = m2 = m on obtient aussitˆ ot ds T0 √ T1 + T2 , TR = T1 T2 et (−W )max = 2mc(TE − TR ). TE = 2
axe s
Transition de phase sL(u) sS (u) S’
B
M
M2 (liquide)
A I
S (liquide surfondu) M 1(solide) axe u
Figure 6 EXEMPLE 1. La figure 6 montre les graphes (concaves et croissants) des entropies sS (u) et sL (u) des phases solide et liquide d’un mˆeme corps, en supposant que sL (u) > sS (u) pour u grand (´etat liquide stable `a haute temp´erature) et sS (u) > sL (u) pour u petit (´etat solide stable a` basse temp´erature). La r´eunion des parties stables des deux graphes n’´etant pas concave, elle ne peut repr´esenter la fonction s(u) du corps. Soit AB leur tangente commune de pente T0−1 o` u T0 est la temp´erature des phases solide (en A) et liquide (en B). Si on part du point I repr´esentatif d’un m´elange (hors m M1 I ´equilibre) de solide dans l’´etat M1 et de liquide dans l’´etat M2 ( = L ) tel que M2 I mS
5.1 Savoir-faire concernant les fonctions
143
uA < uI < uB , l’´evolution spontan´ee vers l’´equilibre se fait par transformation d’une phase dans l’autre : M1 se d´eplace donc sur sS (u) et M2 sur sL (u) en respectant pour I (m´elange) les conditions u = constante et s maximum `a l’´equilibre ; ceci am`ene le point I en M sur AB. La courbe repr´esentative de s(u) (arc M1 A, segment AB, arc BM2 ) est appel´ee enveloppe concave des deux graphes. Le segment AB correspond au domaine de coexistence des deux phases (palier de fusion `a T0 ), et L = uB − uA = T0 (sB − sA ) est la chaleur latente massique de fusion. Remarques. 1) M´ etastabilit´ e. Exp´erimentalement on observe le graphe de sL (u) au del`a de B (existence de liquide surfondu tel que S). Si on introduit un germe, une ´evolution irr´eversible am`ene S en S (uS = uS , sS > sS ) ; l’´etat final est soit du solide (cas de la figure), soit un m´elange liquide-solide. 2) Des graphes de sS (u) et de sL (u), on d´eduit les ´ energies libres fS,L(T ) = u − T sS,L (u), intersections de la tangente avec l’axe des u (cf. section 5.1.1) ; on voit sur la figure qu’`a T fix´e (s (u) fix´e) la phase stable est celle qui a la plus petite ´energie libre. EXEMPLE 2. Paramagn´ etisme et ferromagn´ etisme. Pour un syst`eme de N moments magn´etiques align´es selon Oz et pouvant prendre les valeurs ±μ, le nombre d’´ etats microscopiques correspondant a un taux d’aimantation x = `
N+ −N− N
=
M Nμ
est Ω =
N! . N+ ! N− !
ln N ! = N ln N − N , on a : ln S(x) = kB ln Ω = −N kB 1+x 2 Le graphe de S(x) est repr´esent´e sur la figure 7 :
dS dx
=
1+x 2 B − Nk 2
+ ln
porte comme N kB x au voisinage de 0. Soit
U (x) = −N μBx +
1 2
Kx2
En utilisant la formule de Stirling
1−x 2 1+x 1−x
ln
1−x 2
.
est infini en x = ±1 et se com-
l’´ energie du syst`eme (figure 8) ; le terme −N μBx rend exactement compte des energies de couplage ∓μB de chaque moment ±μ avec un champ magn´etique ext´ erieur B selon Oz ; le second terme rend compte des ´energies de couplage de chaque moment avec ses voisins, mais de fa¸con approch´ee, les moments individuels ´etant remplac´es par des moments moyens (th´eorie de champ moyen ; cf. section 10.2.3). K > 0 correspond aux corps ferromagn´etiques et K = 0 aux corps paramagn´etiques.
U(x)
S(x) −1
M
½
1 x B=0
B>0
−1
0 Figure 7
1 x
− NK 2
M0
Figure 8
L’observation des graphes de S(x) et de U (x) conduit aux graphes de S(U ) (figures 9a pour le paramagn´etisme et 9b pour le ferromagn´etisme). Dans le cas ferromagn´etique et pour B = 0, on v´erifie que −1 dS a 0, la temp´erature T = dU ` passe de 0 ` a Tc = kK et |x| lorsque U passe de la valeur − NK 2 dx dx B
passe de 1 ` a 0 : il existe donc une aimantation spontan´ee pour T < Tc ; pour T > Tc il faut consid´erer que x = 0 (cf. la limite B → 0 ci-dessous). Pour B > 0, la partie physiquement acceptable du graphe
5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux
144
de S(U ) correspond au passage de l’´energie U de −N μB − N K (´ energie la plus basse, x = 1, T = 0, 2 a 0 (x = 0, T infini, point M∞ ) ; la partie en pointill´e ne l’est pas car pour U < 0 elle ne point M0 ) ` 2
dS d S > 0 et dU maximise pas S, et pour U > 0 elle ne v´ erifie pas ` a la fois dU 2 < 0. a T fix´ ee Remarque : on retrouve ces r´esultats en repr´esentant les graphes de FT (x) = U (x) − T S(x) ; `
la phase stable est celle qui minimise FT (figure 10 pour B = 0).
U(x)−TS(x) −1
1
x T=0
S
(a)
S
(b)
T
B=0
Tc
T =Tc
B>0
T Tc
0 U
−N B
0
U
Figure 9
Figure 10
Un calcul simple montre que l’´egalit´e
dU dx
x = tanh
=T
μB kB T
dS dx
donne l’´ equation d’´ etat : Tc (kB Tc = K) . +x T
La courbe d’aimantation x(T, B = 0) (figure 11a) et les isothermes xT (B) (figure 11b) s’obtiennent en ´ etudiant les intersections de la droite y = x respectivement avec les courbes y = tanh x TTc , dont la pente ` a l’origine vaut TTc (figure 12a), et avec les courbes y = tanh kμBT + x TTc , qui se d´eduisent B les unes des autres par translation lorsque B varie (figure 12b). Un d´eveloppement limit´e pr` es de 3 x = 0 et B = 0 donne pour l’´equation d’´etat x 1 − TTc = kμBT − 13 kμBT + x TTc + · · · . Il permet B B ! d’obtenir facilement les comportements critiques pr`es de T = Tc : x(T, B = 0) = 3 TcT−T (T < Tc ), c
1
|xTc (B)| ∝ B 3 (isotherme critique), (temp´erature de Curie).
x (B)
x (T,0) 1
dxT dB B=0
(a)
pour T > Tc , et
B
μ 2kB (Tc −T )
pour T < Tc
y
x
x
−1 (b)
Figure 11
μ kB (T −Tc )
y
1
T
T −1
=
(a)
(b) Figure 12
5.2 Op´erations sur les fonctions ; analyse de Dirac
5.2 5.2.1
145
´ OPERATIONS SUR LES FONCTIONS ; ANALYSE DE DIRAC Op´ erations sur les fonctions
Les principales op´erations sur les fonctions f (x), ou signaux f (t), sont les suivantes.
La dilatation Comme f
f (x) → [Dk f ](x) = f
x
x
k>0
k
prend la valeur f (x0 ) en x = kx0 , cette op´eration se traduit par une k t varie plus homoth´etie de rapport k du graphe de f suivant l’axe des x. Le signal f k ω lentement que f (t) si k > 1 et plus vite si 0 < k < 1 (cf. cos ωt et cos t ou figure 15). k Dans l’op´eration l’aire sous le graphe est multipli´ee par k.
La parit´ e
f (x) → [Pf ](x) = f (−x)
(P2 = I)
Les fonctions paires f (−x) = f (x) et impaires f (−x) = −f (x) sont fonctions propres de P associ´ees aux valeurs propres 1 et -1. Toute fonction est la somme f = f+ + f− f (x) ± f (−x) . Une cons´equence importante est que tout de telles fonctions f± (x) = 2 probl`eme physique lin´eaire poss´edant la sym´etrie x → −x admet une base de solutions ayant chacune une parit´e bien d´efinie ; en effet si f est solution, Pf l’est aussi par raison de sym´etrie, et donc f+ et f− aussi par lin´earit´e. Dans le cas non d´eg´en´er´e une seule de ces fonctions est non nulle (cf. par exemple les fonctions propres de l’oscillateur quantique, section 4.4.3).
La translation
f (x) → [Ta f ](x) = f (x − a)
Comme f (x − a) prend la valeur f (x0 ) en x0 + a cette op´eration se traduit par une translation a du graphe de f selon x. Le signal f (t − τ ) a un retard (alg´ebrique) de τ par rapport ` a f (t) (cf. figure 15).
La p´ eriodisation
f (x) → fper (x) =
∞
f (x − na)
n=−∞
REMARQUE : toute fonction p´ eriodique de p´eriode a, c.a.d. pour laquelle Ta est la plus petite translation la laissant invariante, peut s’´ecrire comme la p´eriodis´ee fper (x) d’une fonction f (x). Par exemple pour f (x) on peut prendre toute restriction de la fonction p´eriodique `a un intervalle [x0 , x0 +a[ ; mais il existe une infinit´e d’autres d´ecompositions, car rien n’interdit que les supports des fonctions f (x − na) se recouvrent (penser `a un circuit RC soumis `a une suite p´eriodique de cr´eneaux et aux r´eponses `a chaque cr´eneau).
L’´ echantillonnage
f (x) → fech (x) = a
∞
f (na) δ(x − na)
n=−∞
Cette op´eration ´etudi´ee `a la section 5.3.2. revient `a limiter la connaissance de f au sous ensemble d´enombrable des points xn = na. On verra que dans cette “discr´etisation” l’information sur f peut cependant ne pas ˆetre perdue.
146
5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux
Le produit avec une fonction g
f (x) → f (x) g(x)
" a a# qui corresEXEMPLES : la restriction d’une fonction `a un intervalle x0 − , x0 + 2 2 x − x 0 o` u Π(x) est la fonction porte (figure 13), pond a` la multiplication par Π a ou encore la multiplication de f (t) par cos ω0 t qui intervient dans l’op´eration de modulation d’amplitude f (t) → a 1 + mf (t) cos ω0 t. A deux dimensions, la diffraction par une ouverture de coefficient de transmission t(x, y) dans le plan z = 0 correspond a la multiplication de l’onde incidente dans ce plan par t(x, y). `
(x)
(a−x) 1
11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 111111111111 000000000000 00 11 −1/2
0
x
1/2
(x) 1
(x) 1
1111111111 0000000000
−1/2
0
1/2
111111111111 000000000000
x
−1
Figure 13
0
a 1 x
Figure 14
La convolution avec une fonction g
f (x) → g ∗ f (x) =
∞
−∞
f (y) g(x − y) dy
Le produit de convolution est commutatif f ∗ g = g ∗ f et associatif f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h. Pour le translater ou le d´eriver il suffit de translater ou d´eriver un terme du produit. On verra qu’en physique le filtrage se traduit par la convolution (cf. section 5.2.4.). Un exemple est la moyennisation de f sur un intervalle de largeur a : x − y 1 x+a/2 1 +∞ f (x) → fmoyenn´ee (x) = dy . f (y) dy = f (y) Π a x−a/2 a −∞ a De fa¸con g´en´erale la convolution avec Π(x) a un effet de lissage sur les fonctions et ´etale leur support. Ainsi alors que Π est discontinue la fonction “triangle ” Λ = Π∗ Π = Π∗2 est continue (figure 14), Π∗3 est partout une fois d´erivable... et on verra au chapitre 10 √ √ ∗N que NΠ Nx tend vers une gaussienne lorsque N → ∞. En plus de Π ∗ Π = Λ d’autres exemples classiques (en optique, probabilit´es...) sont La ∗ Lb = La+b (La (x) = 1 a fonction lorentzienne) et π a2 + x2 Ga ∗ Gb = G√a2 +b2
x2 1 Ga (x) = √ e− 2a2 fonction gaussienne . 2πa2
5.2 Op´erations sur les fonctions ; analyse de Dirac
147
REMARQUE. Pour des signaux nuls pour t < 0 (cf. ´ electronique) la convolution s’´ecrit : t f (s) g(t − s) ds . g ∗ f (t) = 0
La corr´ elation avec une fonction g f (x) → Γf,g (a) =
−∞
(Ta g, f ) La fonction de corr´elation Γf,g v´erifie : Γf,g (a) = Γg,f (−a)
et
|Γf,g (a)| ≤
∞
f (x) g(x − a) dx =
! Γf,f (0) Γg,g (0) (in´egalit´e de Schwarz) .
Si f = g, Γf,f (a) not´ee Γf (a) est maximum en 0. Si f et g sont des signaux p´eriodiques ou stationnaires, l’int´egrale de −∞ ` a ∞ (non d´efinie) est remplac´ee par une moyenne temporelle (cf. section 5.3.3.). REMARQUE : Γf,g (a) est une mesure du “recouvrement” (des graphes) des fonctions f et Ta g. Cette notion se retrouve dans diff´erentes m´ethodes d’analyse des signaux. Par exemple dans l’analyse de Dirac (cf. section 5.2.3), les valeurs f (t0 ) mesurent les recouvrements du signal f (t) avec les “fonctions piqu´ees” δ(t − t0 ) (corr´elation de f avec δ), dans l’analyse de Fourier les coefficients fˆ(ν) mesurent equence ν. Dans une analyse “temps-fr´ equence” on consid`ere les ceux avec les fonctions ei2πνt de fr´ recouvrements avec des fonctions ϕ(t − t0 ) ei2πνt (par exemple ϕ fonction porte) et dans l’analyse en ondelettes (“temps-´echelle”) ceux avec les ondelettes ϕ(ν(t − t0 )) (ϕ fonction d’int´egrale nulle ; figure 15).
(t )
(2 (t− t
0) )
0
t0
t
Figure 15
Lin´ earit´ e et stationnarit´ e des op´ erations Consid´er´ees comme des syst`emes entr´ee-sortie (cf. section 2.4.2), toutes ces op´erations sont lin´eaires (sauf f → Γf et la modulation d’amplitude). Parmi elles la translation, la p´eriodisation et la convolution sont stationnaires (invariantes par translation). On rencontre aussi en physique de nombreuses op´erations non lin´eaires qui peuvent ˆetre stationnaires (d´etection quadratique f → f 2 , “redressement” f → |f |, d´ecalage de z´ero f → f +constante, quantification...) ou non (modulations d’amplitude et de fr´equence...).
5.2.2
Impulsion de Dirac (« fonction delta ») ; exemples m´ ecaniques
La fonction δ(x) (ou δ( r) = δ(x) δ(y) δ(z) `a trois dimensions) ou l’impulsion δ(t) ont une signification physique intuitive. Elles servent a` d´ecrire des grandeurs localis´ ees sur l’axe x en x = 0 (ou dans l’espace : charge ´electrique ou source lumineuse ponctuelles
5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux
148
situ´ees `a l’origine), ou localis´ees dans le temps (signal bref `a t = 0). La repr´esentation de toute fonction comme “somme continue” de fonctions delta (analyse de Dirac) est implicite dans de nombreux domaines de la physique.
D´ efinitions Pratiquement δ(x) est la limite (au sens indiqu´e ci-dessous) ∞ 1 x g avec δ(x) = lim g(x) dx = 1 →0 || || −∞ pour toute fonction g(x) (d’int´egrale ´egale a` 1), par exemple Π(x) (figure 16), Λ(x), sinc(πx), gaussienne, lorentzienne, etc. Dans les calculs concrets cette limite intervient toujours dans des int´egrales avec des “braves” fonctions ϕ(x), par exemple : ∞ ∞ 1 x − a g ϕ(x) dx = g(y) ϕ(a + y) dy → ϕ(a) . || −∞ || −∞ Tout se passe comme si δ(x − a) (d’aire ´egale a` 1) avait pour support le point x = a. REMARQUE : pour repr´esenter le graphe de C δ(x − a), on dessine soit une fonction tr`es piqu´ee en x = a dont on pr´ ecise l’aire C, soit une fl`eche verticale proportionnelle `a C. ∞ La fonction “cha” (x) = n=−∞ δ(x − n) (p´eriodis´ee de δ(x) de p´eriode 1) s’appelle “peigne” de Dirac.
1
x
ε
primitive
εΠ ε
1
ε
1 x
O Figure 16
Propri´ et´ es ; d´ eriv´ ees de fonctions discontinues On d´eduit de la d´efinition et de la “localisation” en a de δ(x − a) : ∞ x = |k|δ(x) donc δ(x) paire ; f (x) δ(x−a) = f (a) δ(x−a) . δ(x) dx = 1 ; δ k −∞ x 1 y g dy tend vers la fonction de Heaviside (ou ´ echelon), Comme de plus || −∞ || H(x) = 0 si x < 0 et H(x) = 1 si x > 0 (figure 16), on a aussi : δ(x) =
d H(x) . dx
5.2 Op´erations sur les fonctions ; analyse de Dirac
149
Plus g´en´eralement, au sens des distributions, on peut d´eriver une fonction f (x) ayant une discontinuit´e en a (c.a.d. la limite d’une fonction a` variation arbitrairement rapide entre a− et a+ ) et d´erivable ailleurs : on ajoute a` la d´eriv´ee habituelle l’impulsion f (a+ ) − f (a− ) δ(x − a) (dont l’int´egrale entre a− et a+ donne la discontinuit´e). On notera enfin ∞ que −∞ δ(x) dx = 1 entraˆıne que la dimension de δ(x) est [x]−1 .
Applications m´ ecaniques ; forces et percussions Intuitivement un mouvement de vitesse continˆ ument variable v(t) peut ˆetre approch´e par un mouvement dont la vitesse vp (t) est constante par paliers, avec des sauts Δvn aux instants tn (figure 17). La force correspondante ne peut ´evidemment pas ˆetre nulle. dvp En fait Fp (t) = m = m Δvn δ(t − tn ) est une suite d’impulsions m´ecaniques dt n (percussions repr´esent´ees par des fl`eches sur la figure).
vp (t)
t
Figure 17 dv = F (t), on Inversement pour r´esoudre de fa¸con approch´ee l’´equation diff´erentielle m dt peut remplacer F (t) par son ´echantillonn´ee Fech (t) = T n F (nT ) δ(t − nT ). On obtient vn − vn−1 = alors, en int´egrant entre les instants nT − et nT + , la discr´ etisation m T F (nT ) de l’´equation de d´epart (vn = v(nT + )). Les exemples ci-dessus permettent de comprendre comment r´esoudre les ´equations v ¨ + 2λx˙ + ω02 x = δ(t) (2) (λ < ω0 ) v˙ + = δ(t) (1) et x τ avec conditions initiales nulles a` t = −∞ (particule en milieu visqueux et oscillateur amorti au repos soumis a` une percussion `a t = 0). Comme δ(t) = 0 pour t = 0, on a v(t) −t −λt ou cos (ωt + ϕ) (avec ω = x(t) = 0 pour t < 0, et a priori v(t) = Ae τ ou x(t) = A e 2 2 ω0 − λ ) pour t > 0. L’effet de δ(t) ´etant simplement une variation brutale de vitesse de 1 a` t = 0, on a v(0+ ) = x(0 ˙ + ) = 1, d’o` u les solutions (r´ eponse impulsionnelle) : sin ωt −λt e (2) . ω REMARQUE : le saut de vitesse ´etant fini il ne peut y avoir de d´eplacement instantan´e a t = 0 induit par δ(t). ` t
R(t) = H(t) e− τ (1)
;
R(t) = H(t)
5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux
150
5.2.3
Analyse de Dirac ; r´ eponse impulsionnelle ; convolution ; filtrage
La formule (cons´equence imm´ediate des propri´et´es de δ) ∞ f (a) δ(x − a) da = [f ∗ δ](x) , f (x) = −∞
montre, d’une part que δ(x) est l’unit´ e de la convolution, et d’autre part que toute fonction f (x) peut s’interpr´eter comme somme “continue” d’impulsions f (a) δ(x − a), contribution a` f (x) de chaque point a de son support. Cette d´ecomposition de f (x) sur la base des fonctions δ(x − a), limite continue de l’´echantillonnage, constitue l’analyse de Dirac de f (x).
R´ eponse impulsionnelle ; convolution Consid´erons une op´eration lin´eaire et stationnaire et soit R(x) (r´eponse impulsionnelle) le r´esultat de cette op´eration sur δ(x). La stationnarit´e et la lin´earit´e entraˆınent qu’` a la fonction (de x) f (a)δ(x − a) correspond le r´esultat f (a)R(x − a) et, en sommant sur a, que l’op´eration sur f (x) s’´ecrit sous la forme d’une convolution : ∞ f (x) → f (a) R(x − a) da = [R ∗ f ](x) . −∞
EXEMPLE 1. Circuit RC. Soit e(t) (“entr´ee”) la tension aux bornes du g´en´erateur et s(t) (“sortie”) celle aux bornes de C. On d´eduit des formules (1) ci-dessus t 1 − t−t τ s˙ + s = e =⇒ s(t) = e τ e(t ) dt , −∞ τ 1 −t e τ . Si τ est grand devant le temps caract´eristique τ t 1 e(t ) dt (circuit int´ egrateur). Si τ est petit de variation de e(t), alors s(t) −∞ τ l’exponentielle est concentr´ee autour de t = t et s(t) e(t) ; en prenant alors comme sortie la tension sR aux bornes de la r´esistance, on obtient sR (t) = τ s(t) ˙ τ e(t) ˙ (circuit d´ erivateur). o` u τ = RC et R(t) = H(t)
EXEMPLE 2. Principe d’Huygens Fresnel. Si f (x, y, 0) est l’amplitude complexe d’une onde en tout point m du plan z = 0 (` a la sortie d’un ´ecran), la formule d’HuygensFresnel (cf. section 2.5.2) dit qu’en tout M du plan z (pr`es de l’axe) : (X−x)2 +(Y −y)2 1 i2π z zλ f (X, Y, z) = e λ f (x, y, 0) eiπ dx dy . iλz La propagation de z = 0 a` z > 0 se traduit donc par une op´eration de convolution (` a deux dimensions) dont la r´eponse impulsionnelle est l’onde sph´erique x2 +y2 1 i 2π 1 i 2π r e λ z+ 2z e λ Rz (x, y) = iλz iλr ´emise par une source ponctuelle en O (r = x2 + y 2 + z 2 ).
5.3 Transformation de Fourier ; analyse de Fourier
151
EXEMPLE 3. Electrostatique. La relation entre une distribution volumique de charges ρ( r ) et le potentiel qu’elle cr´ee V ( r ) est elle aussi donn´ee par un produit de convolution (` a trois dimensions) ρ(r0 ) 3 1 d r V ( r ) = 4π 0 | r− r0 | 0 dont la r´eponse impulsionnelle 4π1 r est le potentiel cr´e´ e par une charge ponctuelle unit´e en O. 0
EXEMPLE 4. Optique incoh´ erente. La r´ epartition d’intensit´e, dans le plan (x , y ), de l’image d’un R(x − γx, y − γy) I(x, y) dx dy, o` u R(x , y ) objet incoh´erent dans le plan (x, y) s’´ ecrit I (x , y ) = est l’intensit´e de la tache de diffraction associ´ee ` a une source ponctuelle δ(x)δ(y) sur l’axe optique ; γ est le grandissement. EXEMPLE 5. Signaux num´ eriques (cf. section 2.4.2). Le signal {Rn } joue le rˆ ole de la r´eponse impulsionnelle.
Filtrage La convolution appliqu´ee `a une exponentielle imaginaire donne (calcul d´ej`a vu a` la section 2.4.2) : ∞ ∞ i2πνt i2πνt i2πνt ˆ ˆ R ∗ Ae = R(t − t ) Ae dt = R(ν) Ae (R(ν) = e−i2πνt R(t) dt) . −∞
−∞
Elle a donc pour effet de modifier le module et la phase de l’amplitude complexe du signal de fr´equence ν. Ce r´esultat est tr`es important quand on sait que tout signal peut s’´ecrire comme une somme d’exponentielles complexes (analyse de Fourier ; cf. section 5.3.1). La lin´earit´e entraˆıne : ∞ ∞ ˆ f (t) = fˆ(ν) ei2πνt dν −→ [R ∗ f ](t) = fˆ(ν) R(ν) ei2πνt dν . −∞
−∞
L’op´eration de convolution revient a` multiplier chaque composante de Fourier fˆ(ν) du ˆ ˆ signal par R(ν), fonction de transfert de l’op´eration de filtrage. Suivant que |R(ν)| est grand surtout pour ν petit, pour ν grand, ou pour ν dans un intervalle, on a affaire a` un ˆ filtre passe bas, passe haut, ou passe bande. Si R(ν) = eiϕ(ν) on parle de filtre de phase ; −i2πντ ˆ pour une ligne a` retard f (t) → f (t − τ ) car : ei2πνt → ei2πν(t−τ ) . R(ν) =e REMARQUE. Il est important de noter qu’en physique on a souvent un acc`es plus direct ˆ ` la fonction de transfert a a la r´eponse impulsionnelle R(t). Par exemple pour un ∞R(ν) qu’` t 1 ˆ e−i2πνt H(t) e− τ dt = (1 + i2πντ )−1 n’est rien d’autre que circuit RC, R(ν) = τ −∞ le coefficient de ei2πνt dans la solution stationnaire de τ s˙ + s = ei2πνt (cf. section 2.4.2). ˆ R(ν) correspond a` un filtre passe bas du premier ordre, int´egrateur si 2πντ = ωτ 1.
5.3
TRANSFORMATION DE FOURIER ; ANALYSE DE FOURIER
L’analyse de Fourier s’identifie en physique a` la ”volont´e” de d´ecomposer les fonctions sur la base, discr`ete ou continue, constitu´ee par les exponentielles imaginaires, fonctions caract´eris´ees par une fr´equence “pure”. Comme on l’a vu ci-dessus elle est bien adapt´ee a la physique lin´eaire et stationnaire et `a la notion de filtrage. Historiquement introduite ` pour les fonctions p´eriodiques a` propos de l’´etude de l’´equation de la chaleur (Fourier 1822), elle s’applique `a une classe tr`es large de fonctions, aux distributions (donc a` δ), et sert aussi a` distinguer les signaux stationnaires chaotiques des signaux quasi-p´eriodiques (cf. section 5.3.3). Les formules seront ´ecrites pour des signaux f (t) de transform´ ee de ˆ Fourier (T.F.) f (ν).
5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux
152
5.3.1
D´ ecomposition de Fourier ; spectre d’un signal ; formule de Poisson
Formules de base et justifications
∞
f (t) =
fˆ(ν) ei2πνt dν
fˆ(ν) =
avec
−∞
fper(t) =
∞
∞
f (t) e−i2πνt dt .
−∞
n
fn ei2π T t avec fn =
n=−∞
1 T
t0 + T2
n
n
fper (t) e−i2π T t dt = < fper (t) e−i2π T t > .
t0 − T2
d´ ef
La premi`ere formule est une cons´equence directe de la d´ ecomposition de Fourier de la fonction de Dirac : ∞ δ(t) = ei2πνt dν . −∞
JUSTIFICATION. La derni`ere ´ egalit´ e s’obtient en consid´erant la limite → 0 d’expressions telles que :
1/2
i2πνt
e −1/2
dν =
1 sin πt/ ou πt/
∞
−2π|ν|
e −∞
i2πνt
e
dν =
π(t2 + 2 )
(cf.d´ efinition de δ(t) ` a la section 5.2.2). Comme f = f ∗ δ, on en d´eduit : " # f (t) = f (t ) ei2πν(t−t ) dν dt = fˆ(ν) ei2πνt dν .
REMARQUES : 1) La correspondance f (t)⇐⇒fˆ(ν) est biunivoque ; le passage de fˆ(ν) a f (t) s’appelle la T.F. inverse. 2) La dimension de fˆ est [fˆ] = [f ][t]. ` La seconde formule concerne seulement les fonctions p´eriodiques. L’expression donnant les coefficients de la s´erie de Fourier fn (moyenne temporelle sur une p´eriode T ), d´ecoule p q des relations < ei2π T t e−i2π T t >= 0 si p = q et 1 si p = q (en particulier f0 est la valeur moyenne < f (t) >). Une formule ´equivalente, dite formule de Poisson, est :
fper (t) =
∞
f (t − nT ) =
n=−∞
1 T
∞ n=−∞
n n ei2π T t . fˆ T
JUSTIFICATION. Cette formule est une cons´equence directe de la relation facile ` a v´ erifier fper (t) = f ∗ ∞ δ(t − nT ) , n=−∞ et de la d´ ecomposition de Fourier du peigne de Dirac : ∞ nt i2π T 1 ∞ . n=−∞ δ(t − nT ) = T n=−∞ e ∞ −|n| Cette derni`ere s’obtient en consid´erant la limite → 0 de einϕ , ou la limite N → ∞ de n=−∞ e N inϕ (cf. figures 27 et 28 du chapitre 2). n=−N e ∞ fˆ(ν) ei2πνt dν : le REMARQUE. Dans la limite T → ∞, la formule de Poisson redonne f (t) = −∞ membre de gauche devient f (t) (les f (t − nT ), n = 0, “partant ` a l’infini”), et la somme de Riemann du second membre se transforme en int´egrale.
5.3 Transformation de Fourier ; analyse de Fourier
153
Spectre d’un signal C’est l’ensemble des fr´equences ν impliqu´ees dans la d´ecomposition de Fourier du signal. Le spectre peut ˆetre continu (cf. exemples ci-dessous) ou discret (par exemple le signal f (t) = ei2πν0 t obtenu pour fˆ(ν) = δ(ν − ν0 )). Dans le premier cas il existe en g´en´eral un lien entre les propri´et´es de r´egularit´e de fˆ(ν) et la d´ecroissance plus ou moins rapide de f (t) lorsque t → ±∞ (et r´eciproquement ; cf. section 5.3.2. “d´erivation”). n Les fonctions p´eriodiques ont un spectre discret dont les fr´equences (harmoniques T 1 d’ordre n) sont multiples de la fr´equence fondamentale . Cette fr´equence peut ne pas T apparaitre, par exemple fper (t) = cos 3t + cos 5t de p´eriode 2π ne contient que les harmoniques ±3 et ±5). Remarque : traditionnellement on utilise plutˆ ot la d´ecomposition qui fait intervenir les coefficients de Fourier que la formule de Poisson. Cependant cette derni`ere est non seulement tr`es utile, puisqu’on obtient en une seule fois tous les fn `a partir de fˆ(ν), mais aussi plus riche de sens physique : elle montre que p´eriodiser une 1 fonction f ` a la p´eriode T ´equivaut `a ´echantillonner sa T.F. a` la p´eriode c.a.d. consiste T n a ne retenir dans son spectre que les fr´equences νn = . ` T
Fonctions r´ eelles Si f (t) est r´eelle fˆ(−ν) = fˆ(ν) ou f−n = fn : toute l’information concernant le signal est contenue dans la partie ν ≥ 0 du spectre. On pr´ef`ere alors souvent ´ecrire les d´eveloppements `a l’aide de fonctions r´eelles. Par exemple n n fper (t) = a0 + an cos 2π t + bn sin 2π t , T T n≥1
avec a0 =< fper (t) >= f0 , an = 2 < fper(t) cos 2π Tn t > et bn = 2 < fper (t) sin 2π Tn t >, donc 2fn = an − ibn pour n ≥ 1 ; bn = 0 si fper est paire et an = 0 si fper est impaire.
Exemples de T.F. Parmi les exemples porte de largeur courants facilement calculables, citons la fonction t ν TF TF−1 τ centr´ee Π (fonction de transfert =⇒ τ sincπτ ν et ν0 sincπν0 t ⇐= Π τ ν0 TF
d’un filtre passe bas id´ eal) ; δ(t) =⇒ 1 (donc dans la fonction δ toutes les fr´equences TF apparaissent avec le mˆeme poids), et 1 =⇒ δ(ν), qui sont des limites des cas pr´ec´edents ; t 2τ τ |t| TF TF (filtre passe bas du premier =⇒ ; H(t) e− τ =⇒ exp − 2 τ 1 + (2πτ ν) 1 + i2πτ ν ordre). Un autre exemple important dans la pratique est celui de la fonction gaussienne TF 1 TF exp −πt2 =⇒ exp −πν 2 , et aussi en optique √ exp(iπx2 ) =⇒ exp(−iπσ 2 ). i
Exemple de fonction p´ eriodique (figure 18) Les coefficients fn de la fonction cr´eneaux s’obtiennent en prenant la moyenne sur τ2 n T T 1 : fn = − , A e−i2π T t dt. On en d´eduit le d´eveloppement : 2 2 T − τ2 ∞ ∞ τ i2π n t n t − nT =A Π e T sincπτ . A τ T T n=−∞ n=−∞
5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux
154
A
0
T
t
Figure 18
Figure 19
t 1 ˆ n f o` u f (t) = A Π (formule de Poisson). T T τ ∞ Dans la limite τ → 0, A → ∞ avec Aτ = 1, on retrouve la relation δ(t − nT ) = On v´erifie sur cet exemple que fn =
∞
n=−∞
T 2p e . Pour τ = , on remarque que les fr´equences ν2p = (p = 0) dispa2 T n=−∞ A T la s´erie vaut , c.a.d. prend la valeur moyenne des deux varaissent et que pour t = 4 2 leurs situ´ees de part et d’autre de la discontinuit´e. Ce dernier r´esultat est g´en´eral dans les d´eveloppements de fonctions discontinues ; il s’accompagne au niveau num´erique, quand on tronque la s´erie, de grandes oscillations pr`es de la discontinuit´e (ph´ enom` ene de Gibbs) ; la figure 19 correspond aux 15 premiers termes pour la fonction cr´eneaux. 1 T
5.3.2
n i2π T t
Propri´ et´ es : dualit´ e temps fr´ equence
En choisissant bien une des expressions donnant f (t) ou fˆ(ν), on d´eduit en g´en´eral sans calcul les propri´et´es suivantes. TF - Lin´ earit´ e : λf + μg =⇒ λfˆ + μˆ g. ∞ ˆ f (t) dt ; f (0) = - Aires : f (0) = −∞
∞
fˆ(ν) dν .
−∞
- R´ ealit´ e : f (t) r´eelle ⇐⇒ fˆ(−ν) = fˆ(ν) . t TF =⇒ k fˆ(kν) . - Dilatation : f k Donc plus une fonction varie vite (resp. lentement), plus les hautes (resp. basses) fr´equences TF doivent ˆetre pr´esentes dans son spectre. Pour k → 0 (resp. k → ∞) on retrouve δ(t) =⇒ 1 TF (resp. 1 =⇒ δ(ν)). Cette dualit´e entre les ´echelles de temps et de fr´equence peut se traduire qualitativement par Δt Δω 1, formule analogue aux relations de Heisenberg Δt ΔE ou Δx Δpx en m´ecanique quantique. TF - Parit´ e : f (−t) =⇒ fˆ(−ν) .
Donc si f r´eelle est paire (resp. impaire), fˆ est r´eelle paire (resp. imaginaire pure et impaire).
5.3 Transformation de Fourier ; analyse de Fourier
155
- Translation et multiplication par une exponentielle : TF f (t − τ ) =⇒ e−2iπτ ν fˆ(ν)
et
TF e2iπν0 t f (t) =⇒ fˆ(ν − ν0 ) .
Si l’instant d’´emission d’un signal est d´ecal´e dans le temps, ceci ne se traduit donc que par un facteur de phase au niveau de sa T.F. La modulation d’amplitude x(t) → f (t) = A 1 + mx(t) cos 2πν0 t a pour but de transf´erer le spectre basse fr´equence de x(t) (|ν| ∈ [0, B]) dans celui de haute fr´equence de f (t) (|ν| ∈ [ν0 − B, ν0 + B]) qui permet les t´el´ecommunications. Apr`es transmission on peut d´emoduler par une op´eration de d´ etection synchrone f (t) → f (t) cos 2πν0 t (spectre |ν| ∈ [0, B] et |ν| ∈ [2ν0 − B, 2ν0 + B] car cos2 2πν0 t = 1 (1 + cos 4πν0 t)), suivie d’un filtrage passe-bas qui redonne x(t). 2 - D´ erivation et multiplication par une puissance : dn f (t) TF =⇒ (i2πν)n fˆ(ν) dtn
TF
(−2iπt)n f (t) =⇒
;
dn fˆ(ν) . dν n
Si un signal a une discontinuit´ e finie en t0 , sa d´eriv´ee contient un δ(t − t0 ) et fˆ(ν) se −1 comporte comme |ν| ` a l’infini (cf. porte) ; un comportement en |ν|−2 traduit fonction |t| )... : plus f est r´eguli`ere plus fˆ d´ecroˆıt vite `a une discontinuit´e de f (cf. exp − τ l’infini (et r´eciproquement). - Convolution et produit : TF [f ∗ g] (t) =⇒ fˆ(ν) gˆ(ν)
;
TF
f (t) g(t) =⇒
La premi`ere relation se d´emontre en ´ecrivant : ∞ ∞ i2πν(t−t ) f (t ) gˆ(ν) e dν dt = [f ∗ g] (t) = −∞
−∞
" # fˆ ∗ gˆ (ν) .
∞
fˆ(ν) gˆ(ν) ei2πνt dν .
−∞
Sa traduction en termes de filtrage a d´ej`a ´et´e vue `a la section5.2.3. Pour la seconde on " # ∞ ∞ ∞ −i2π(ν−ν )t ˆ v´erifie fˆ ∗ gˆ (ν) = dt dν = −∞ f (ν ) −∞ g(t) e −∞ f (t) g(t) t (troncature de f (t)), la convolution de fˆ(ν) par gˆ(ν) = e−i2πνt dt. Si g(t) = Π T T sincπνT conduit a` un ´elargissement du spectre de f . - Causalit´ e : l’id´ee de causalit´e (“l’effet ne pr´ec` ede pas la cause”) se traduit sur la r´eponse impulsionnelle par R(t) = 0 pour t < 0, soit ∗ R](ν) R(t) = Θ(t) R(t) avec Θ(t) = 1 pour t > 0 et − 1 pour t < 0, ou R(ν) = [Θ . ˆ Comme Θ(t) est r´eelle impaire, Θ(ν) est imaginaire pure ; ceci entraˆıne l’existence de relations (Kramers Kronig) entre les parties r´eelle et imaginaire de la fonction de transfert R(ν). Un exemple est donn´e (t), polarisation di´electrique d’un milieu non parfait, ` par la r´ eponse P a un champ ´electrique E(t) et la e complexe (ω) ´ etant reli´ ee ` a l’indice complexe fonction de transfert associ´ee (ω) − 0 ; la permittivit´ eral aussi dissipatif par (ω) = n2 (ω) 0 , tout milieu dispersif (e (ω) fonction d´ependant de ω) est en g´en´ ( m (ω) = 0), c.a.d. le si`ege de pertes d’´energie.
5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux
156
REMARQUES. 1) Un filtre passe bas id´ eal (R(t) = ν0 sincπν0 t) n’est pas causal. 2) Techniquement ∞ 4πν 1 Θ(t) e−|t| e−i2πνt dt = i(2 +4π egularisation de iπν pr`es Θ(ν) est la limite pour → 0 de −∞ 2 ν 2 ) (r´ de ν = 0).
- Autocorr´ elation, densit´ e spectrale d’´ energie. Un calcul semblable `a celui fait pour la convolution conduit a` la d´ecomposition spectrale d’une fonction de corr´elation Γf (τ ) =
∞
∞
f (t) f (t + τ ) dt = −∞
−∞
|fˆ(ν)|2 ei2πντ dν ,
qui pour τ = 0 donne la formule de Parseval :
∞
−∞
|f (t)|2 dt =
∞
−∞
|fˆ(ν)|2 dν
(= 2
∞
|fˆ(ν)|2 dν pour f r´eelle) .
0
∞ Par exemple l’´energie E = −∞ |f (t)|2 dt contenue dans un signal lumineux est la somme des contributions de chaque fr´equence : composantes violette, bleue...rouge de son spectre obtenu avec un prisme. La densit´e spectrale d’´energie d’un signal r´eel E(ν) = 2|fˆ(ν)|2 est donc reli´ee a la T.F. de Γf . Ce r´esultat est l’´equivalent pour les signaux d’´energie finie du th´ eor` eme de Wiener-Khintchine pour les signaux stationnaires (cf. sections 5.3.3 et 10.3.3). - P´ eriodisation et ´ echantillonnage. On a d´ej`a vu (formule de Poisson) que p´eriodiser f (t) conduit `a ´echantillonner fˆ(ν) ; inversement ´echantillonner f (t) conduit `a p´eriodiser ˆ f(ν) :
fech (t) = T
∞
TF f (nT ) δ(t − nT ) =⇒ f* ech (ν) =
n=−∞
∞ n=−∞
n . fˆ ν − T
Cette relation se d´ emontre en remarquant que fech (t) s’´ecrit aussi fech (t) = T n f (t) n δ(t − nT ) = f (t) n ei2π T t . Application : si f (t) a son spectre contenu dans [−B, B], 1 et si l’´echantillonnage est assez serr´e (T < condition de Shannon), les graphes 2B n des fonctions fˆ ν − ne se recouvrent pas (figure 20). On peut alors reconstruire f (t) T a partir de fech (t) en effectuant une op´eration de filtrage dont lafonction ` de transfert n ˆ ˆ ˆ (n = 0). On R(ν) vaut 1 sur le support de f (ν) et 0 sur ceux des fonctions f ( ν − T en d´eduit : ∞ R(t − nT ) f (nT ) ; f (t) = T n=−∞
ˆ par exemple pour R(ν) =Π
ν
on a R(t) = 2B sinc2πBt, mais en resserrant l’´echantilB lonnage et en prenant R(ν) plus r´eguli`ere, on peut assurer une convergence plus rapide de la somme sur n.
5.3 Transformation de Fourier ; analyse de Fourier
157
1 f (t) T ech
0
T
fn
2T 3T
4T 5T
fper( )
−B 0 B
t
6T
fq
1/T
Figure 20 REMARQUE. Le facteur T dans l’expression de fech(t) est n´ecessaire pour que fech soit ˆ dimensionnellement homog`ene `a f et pour que fech(t) et f* ech (ν) redonnent f (t) et f (ν) dans la limite “continue” T → 0. - Transform´ ee de Fourier discr` ete (T.F.D). Le traitement des signaux par les calculateurs n´ecessite le passage de l’analogique (signaux continus) au num´erique (signaux discr´etis´es). La T.F.D. (et son esentatifs de fˆ(ν) ` aN´ echantillons fn = f (nT ) repr´esentatifs de f (t) inverse) relie N ´ echantillons fˆq repr´ par :
N−1 ˆ i2π q n N . q=0 fq e ∞ −i2πνnT (calcul (ν) = T f Pour v´ erifier que les fˆq ainsi d´efinis conviennent, on ´ecrit f* ech n=−∞ (nT ) e fˆq =
1 N
N−1 n=0
n
fn e−i2π N q
;
fn =
direct de la T.F. de fech (t)). Si f (t) est convenablement centr´ee et n´egligeable en dehors de [0, N T [, la N−1 −i2πνnT est proche de f* (ν). Si de plus l’´ echantillonnage de f est fonction f N−ech (ν) = T ech n=0 fn e 1 (ν) pour ν ∈ 0, sont ´ e gales (modulo un r´ e arrangement) ` a celles de fˆ(ν) assez serr´e, les valeurs de f* ech T q 1 1 q N−1 −i2π N n = T , 2T (figure 20). L’ensemble des valeurs f f e = N T fˆq pour ν ∈ − 2T n N−ech NT n=0 (q = 0, 1, · · · , N − 1) est donc bien repr´esentatif de fˆ(ν). L’int´ erˆ et num´erique de la T.F.D. est que pour N = 2p il existe un algorithme (T.F. rapide ou F.F.T. en anglais) qui ram`ene les N 2 (en gros) a seulement N (p − 1). Un autre int´erˆ et est l’existence, pour op´ erations n´ecessaires au calcul des fˆq ` 2 chaque propri´et´ e de dualit´e ´ ecrite ci-dessus pour f (t) et fˆ(ν), d’une propri´et´ e analogue pour les suites ecialis´es). de nombres fn et fˆq (cf. ouvrages sp´
5.3.3
Transform´ ee de Laplace
Elle est donn´ee, pour les signaux d´efinis sur [0, ∞], par ∞ f (t) → F (p) = e−pt f (t) dt , 0
et v´erifie les propri´et´es (faciles a` ´etablir) : δ(t) → 1, e−at → (p + a)−1 , cos ωt → p (p2 + ω 2 )−1 , sin ωt → ω (p2 + ω 2 )−1 , d2 df d f (t) → p F (p) − f (0), (0) − p f (0) , f (t) → p2 F (p) − 2 dt dt dt
5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux
158
f ∗ g (t) =
t
f (s) g(t − s) ds → F (p) G(p), e−λt f (t) → F (p + λ) (eλ ≥ 0) .
0
Elle a l’int´erˆet de prendre en compte les C.I. pour la r´esolution des E.D. ; par exemple de x ¨ + ω 2 x = f (t) =⇒ X(p) = (p2 + ω 2 )−1 F (p) + x(0) ˙ + px(0) , on d´eduit x(t) = t sin ω(t − s) sin ωt + f (s) ds (cf. aussi section 6.2.1). x(0) cos ωt + x(0) ˙ ω ω 0
5.3.4
Signaux stationnaires ; signaux chaotiques ; langage probabiliste
Signaux stationnaires ; d´ etection synchrone Ce sont, id´ealement, des signaux pour lesquels toutes les moyennes temporelles < · · · >= lim
T →∞
1 T
t0 + T2
t0 − T2
( · · · ) dt n
ont un sens (ind´ependant de t0 ), par exemple pour un signal r´eel les moments < (f (t)) > ou la fonction de corr´elation Γ(τ ) =< f (t) f (t + τ ) >. De tels signaux ont une ´energie E infinie mais une “puissance moyenne” Γ(0) finie. Parmi eux il y a les signaux p´eriodiques mais aussi plus g´en´eralement les signaux quasi-p´ eriodiques qui, par d´efinition, ont un spectre discret sur lequel est concentr´ee leur puissance : fq−per(t) = A0 +
An cos(2πνn t + ϕn )
νn >0
;
Γ(τ ) = A20 +
A2 n cos 2πνn τ . 2 n
Le signal est p´eriodique si les fr´equences sont commensurables, par exemple cos 2t + cos(3, 14 t) mais pas cos 2t + cos πt qui est quasi-p´eriodique ; cet exemple montre qu’il n’est pas toujours facile de distinguer pratiquement ces deux types de signaux. Pour analyser un signal stationnaire f (t), on peut le multiplier par une fonction sinuso¨ıdale et effectuer la moyenne temporelle du produit ; on d´etecte ainsi la pr´esence de la fr´equence correspondante dans le spectre de f (t) (m´ethode de d´ etection synchrone) : si fν0 =< f (t) e−i2πν0 t >= 0 on a f (t) = fν0 ei2πν0 t + g(t) avec < g(t) e−i2πν0 t >= 0. On peut (en principe) en explorant ainsi toutes les fr´equences extraire la partie quasip´eriodique d’un signal.
Signaux chaotiques r´ eels Ces signaux apparaissent dans tous les domaines de la physique (fluctuations microscopiques, ´emission de la lumi`ere par les atomes, t´el´ecommunications...). Tantˆ ot ils jouent un rˆ ole fondamental dans la connaissance des ph´enom`enes (mouvement brownien, largeur de raie...), tantˆot ils interviennent comme un “bruit” et on cherche a` les ´eliminer (t´el´ecommunications...). Du point de vue de l’analyse de Fourier ce sont les signaux tels que < f (t) e−i2πνt >= 0 quel que soit ν : ils sont orthogonaux aux ei2πνt et se caract´erisent par un spectre continu (puissance concentr´ee sur aucune fr´equence particuli`ere). Leur fonction de corr´elation s’´ecrit (Th´ eor` eme de Wiener-Khintchine) : ∞ 2 2 + Γ(τ ) = fT0 (ν) . I(ν) cos 2πντ dν avec I(ν) = lim T0 →∞ T0 0
5.3 Transformation de Fourier ; analyse de Fourier
159
Elle est une version “continue en fr´equences” de celle des signaux quasi-p´eriodiques. ´ (t) le signal tronqu´e sur un intervallede largeur T0 et f+ DEMONSTRATION : soit fT0 T0 (ν) ∞ ∞ 2 1 1 i2πντ + fT0 (ν) e fT0 (t)fT0 (t+τ ) dt = lim dν sa T.F., on a Γ(τ ) = lim T0 →∞ T0 −∞ T0 →∞ T0 −∞ d’o` u l’expression de I(ν) pour un signal r´eel (fˆ(ν) = fˆ(−ν)). Γ(τ ) a la propri´et´e importante de tendre vers z´ero lorsque τ → ∞ (ce qui n’est pas le cas pour un spectre discret, par exemple Γ(τ ) = cos 2πν0 τ pour I(ν) = δ(ν − ν0 )). On appelle temps de corr´ elation τc une valeur typique de τ telle que Γ(τ ) 0 si τ > τc 1 o` u Δν est la dispersion du spectre du signal). En optique τc est (en g´en´eral τc Δν un temps de coh´erence. On appelle bruit blanc (par r´ef´erence `a la lumi`ere blanche) un signal chaotique dont le spectre de puissance est constant, au moins dans une tr`es large bande de fr´equences ; dans ce cas τc 0. EXEMPLE. En optique une lumi` ere quasi-monochromatique correspond a` I(ν) = P(ν − ν0 ) > 0 , 1 ν0 . On a (th´eor`eme ci-dessus) o` u le profil de la raie P a une largeur Δν τ c ∞ Γ(τ ) = e P(ν − ν0 ) ei2πντ dν e ei2πν0 τ P (τ ) 0
∞
o` u P (τ ) = −∞ P (ν ) ei2πν τ dν est une fonction lentement variable de τ (par exemple ν − ν0 ). Dans une exp´erience d’inP (τ ) = Δν sinc(π Δν τ ) pour P (ν − ν0 ) = Π Δν 2 terf´erence, o` u le d´etecteur mesure < |f (t) + f (t + τ )| >= 2Γ(0) + 2Γ(τ ) (cf. section 2.5.1.), le caract`ere quasi-monochromatique du signal se traduit par Γ(τ ) Γ(0) cos 2πν0 τ pour τ τc (contraste des franges proche de 1), tandis que le caract`ere chaotique se traduit par Γ(τ ) |P (τ )| 0 Γ(0) P (0)
pour τ τc (contraste nul aux grands ordres ν0 τ d’interf´erence). Remarques. 1) L’´etude de P (τ ) renseigne sur le profil de la raie : il est gaussien si P (τ ) est gaussien, lorentzien si P (τ ) ∝ e
|τ |
−τ c
, sym´ etrique si P (τ ) est r´eel, etc. (Voir aussi la section 10.3.3. pour le profil
lorentzien.) 2) Si on mod´elise le signal lumineux par une somme de paquets d’ondes (r´ eels) ´emis ` a −i2πνt i a partir de fˆT0 (ν) = ϕ(ν) des instants al´eatoires f (t) = i ϕ(t − ti ) on peut montrer (` ie T0 T0 2 avec ti ∈ − 2 , 2 ) que I(ν) = n 2|ϕ(ν)| o` u n est le nombre moyen de paquets par unit´e de temps.
Filtrage des signaux chaotiques eˆ que la relation entre les spectres Il d´ ecoule du th´eor` eme ci-dessus et de la relation entr´ee-sortie sˆ = R de puissance des signaux chaotiques ` a l’entr´ee et ` a la sortie d’un filtre est : 2 I (ν) . Is (ν) = |R(ν)| e 2 donc Γ (τ ) Si e(t) est un bruit blanc (Ie (ν) 1) , Γe (τ ) δ(τ )) on a pour la sortie Is (ν) |R(ν)| s es du filtre (moins complet mais aussi moins “brutal” qu’avec ΓR (τ ), ce qui permet un acc`es aux propri´et´
δ(t)).
5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux
160
EXEMPLE 1. Filtrage passe bas. L’´ equation de Langevin m v˙ (t) + α v (t) = f(t) (bruit blanc) d´ ecrit le mouvement brownien d’une particule soumise aux chocs mol´eculaires. Pour “le signal de sortie” v (t), on a 2 ∝ (1 + 4π 2 ν 2 τ 2 )−1 avec τ = m ˆ Iv (ν) ∝ |R(ν)| c c α et donc Γv (τ ) ∝ e
|t| c
−τ
; le coefficient de proportionnalit´e est Γv (0) =< v2 >. Le mouvement
peut donc ˆetre assimil´ e a ` une marche au hasard (cf. section 10.3.1) constitu´ee de pas de longueur √ epar´es par un intervalle de temps T τc ; on obtient pour le coefficient de diffusion l τc < v2 > s´ D < v2 > τc
kB T α
(relation d’Einstein).
EXEMPLE 2. Filtrage passe bande. Dans les t´ el´ ecommunications on sait que la modulation de fr´equence x(t) → A cos 2π(ν0 t +Δν t x(s) ds) est moins sensible au bruit que la modulation d’amplitude x(t) → A (1 + mx(t)) cos 2πν0 t. Pour le comprendre on remarque que, puisque lors de u [−B, B] est le spectre de x(t), il suffit la d´etection on ne filtre que la bande [ν0 − B, ν0 + B], o` u d’´ etudier l’effet sur A cos 2πν0 t de l’addition d’un bruit de la forme a(t) cos 2πν0 t + b(t) sin 2πν0 t o` les spectres de a(t) et b(t) sont dans [−B, B]. Sous l’hypoth`ese que le bruit est faible, l’addition se traduit par : cos 2πν0 t − b(t) . A cos 2πν0 t −→ A 1 + a(t) A A 2
> En modulation d’amplitude il faut donc comparer m2 < x2 > ` a 1 > 4π 2 (Δν)2 < x2 > ` a A2 = A2 −B (2πν)2 |ˆb(ν)|2 dν < 4π 2 B 2
Langage probabiliste (figure 21) f(t)
1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 t 0 1 0 1 0 1 0 1
x 111111 000000 000000 111111
P(x)
1111 0000 0000 1111 0000 1111
Figure 21 Il s’introduit naturellement quand on s’int´eresse (dans l’esprit de l’int´egration d´efinie par Lebesgue) `a la fraction de temps P (D) pendant laquelle un signal f (t) a une valeur x comprise dans un intervalle D. (P (D) est aussi la moyenne temporelle < χD (f (t)) > o` u χD (x) = 1 si x ∈ D et 0 si x ∈ D.) P (D) satisfait en effet les axiomes des probabilit´es, par exemple : P (D1 ∪ D2 ) = P (D1 ) + P (D2 ) si D1 ∩ D2 = ∅ , P (R) = 1 . dx dx , x+ est infinit´esimal, cette fraction s’´ecrit en g´en´eral P (x) dx ; Si D = x − 2 2 |dt| pour f (t) = A cos(ωt + ϕ), on d´eduit de |df | = ω A2 − f 2 |dt| et de P (x) dx = 2 T
5.4 Optique de Fourier ; filtrage optique
161
1 (figure 21). Si f (t) passe une fraction de temps finie pi sur une π A2 − x2 valeur xi , alors P (x) = pi δ(x − xi ) + · · · .
que P (x) =
√
A l’aide de P (x) on peut traduire les moyennes temporelles en moyennes probabilistes ; en effectuant un r´earrangement ∞des intervalles de temps sur lesquels ∞ on int`egre, on obtient par exemple < f n (t) >= −∞ xn P (x) dx ou < eiuf (t) >= −∞ eiux P (x) dx (fonction caract´eristique des valeurs x du signal). De mˆeme on peut r´ecrire la fonction de corr´elation d’un signal t0 + T2 1 Γf (τ ) = lim f (t) f (t + τ ) dt = xy Pτ (x, y) dx dy , T →∞ T t0 − T2
# dx , x+ en introduisant la fraction de temps Pτ (x, y) dx dy pendant laquelle f (t) ∈ x − 2 # dy dx " dy " et f (t + τ ) ∈ y − (cf. densit´e de probabilit´e conjointe : section 10.2.1). , y+ 2 2 2 Signaux ` a perte de m´ emoire. Dans le langage probabiliste, l’ind´ependance des valeurs du signal a` deux instants s´epar´es de τ se traduit par la factorisation Pτ (x, y) = P (x) P (y), et donc pour des signaux de moyenne nulle par Γf (τ ) = 0. Donc la relation Γf (τ ) → 0 pour τ → ∞, qui caract´erise les signaux chaotiques du point de vue de l’analyse de Fourier, est une condition n´ecessaire (dont on se contente souvent !) pour pouvoir affirmer que ce sont des signaux “`a perte de m´emoire”. Elle entraˆıne que toute moyenne temporelle pour ces signaux peut ˆetre calcul´ee sur des dur´ees T finies pourvu qu’elles soient grandes 1 devant le temps de corr´elation τc ; l’erreur relative commise est alors de l’ordre de √ N T (comme pour une somme de N variables al´eatoires ind´ependantes ; cf. avec N = τc section 10.2.1).
5.4 5.4.1
OPTIQUE DE FOURIER ; FILTRAGE OPTIQUE D´ ecomposition en ondes planes ; filtrage
Principe g´ en´ eral Soit f (x, y, 0) l’amplitude lumineuse (monochromatique) d’un objet coh´ erent ´emettant vers les z > 0, et dont le d´eveloppement de Fourier s’´ecrit f (x, y, 0) = fˆ(σx , σy ) ei2π(σx x+σy y) dσx dσy , avec fˆ(σx , σy ) =
f (x, y, 0) e−i2π(σx x+σy y) dx dy. On peut aussi l’´ecrire
f (x, y, 0) =
2π dα dβ α β , ei λ (αx+βy) , fˆ λ λ λ λ
et interpr´eter f (x, y, 0) comme repr´esentant dans le plan z = 0 une somme d’ondes planes allant dans des directions u ˆ(α, β, γ) donn´ees par α = λσx , β = λσy (γ = 1 − α2 − β 2 ).
5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux
162
x
«
u ¬
x’
X
«
système
F
O
z
optique
plan objet
lentille plan de Fourier
plan image
Figure 22 On suppose la longueur d’onde λ, ou les fr´equences spatiales σx,y , assez petites pour que λσx,y < 1. Si on place une lentille de distance focale d apr`es l’objet, chaque onde plane issue de l’objet va converger dans le plan focal image (F ; X, Y ) au point (X = αd, Y = βd) (figure 22). Cette “s´eparation point par point” des ondes permet un filtrage optique imm´ediat en mettant dans ce plan (plan de Fourier) un filtre (pupille) de coefficient de transmission p(X, Y ). Si on place alors apr`es ce plan un syst`eme optique qui fait, avec la lentille, l’image du plan z = 0, cette image est celle que l’on obtiendrait (sans filtre) d’un objet (fictif) appel´e objet filtr´ e dont l’amplitude lumineuse serait : ˆ x , σy ) p(λσx d, λσy d) ei2π(σx x+σy y) dσx dσy . ffiltr´ee (x, y, 0) = f(σ p(λσx d, λσy d) est la fonction de transfert du filtre. x
x
EXEMPLE 1. Soit f (x, y, 0) = cos2 πx = 12 + 14 ei2π a + 14 e−i2π a . A un trou en F correspond l’objet a a un ´ecran ponctuel en F l’objet filtr´e ffiltr´ee (x, y, 0) = 12 cos 2πx filtr´ e uniforme ffiltr´ee (x, y, 0) = 12 , et ` a (dont l’intensit´e
1 4
cos2
2πx a
a une p´eriode spatiale moiti´e de celle de l’objet initial).
EXEMPLE 2. Soit f (x, y, 0) = A eiϕ(x,y) A eiϕ0 (1 + iδϕ(x, y)) un objet de phase dont on suppose les fluctuations de phase petites. Si on place en F une lame introduisant un retard de ± π2 ou un ´ecran, esente des variations d’intensit´e et l’objet filtr´e est ffiltr´ee (x, y, 0) = iA eiϕ0 (±1 ou 0 + δϕ(x, y)). Il pr´ son image devient observable (principe du contraste de phase ou de la strioscopie).
Lien avec la diffraction de Fraunhofer L’intensit´e observ´ee dans le plan de convergence des ondes planes (F ; X, Y ) (avant fil2 α β , . On retrouve l’intensit´e de la figure de diffraction trage) est proportionnelle `a fˆ λ λ a “l’infini” associ´ee `a f (x, y, 0) et calcul´ee autrement `a la section 2.5.2. `
Lien avec la diffraction de Fresnel Comme la propagation du plan z = 0 au plan z > 0 se traduit simplement pour l’onde 2π i 2π λ (αx+βy) dans le plan z = 0 par la multiplication par le facteur ei λ γz (γ(α, β) = e 1 − α2 − β 2 ), l’amplitude f (X, Y, z) dans le plan z est : 2π dα dβ α β , ei λ (αX+βY +γ(α,β)z) . f (X, Y, z) = fˆ λ λ λ λ
5.4 Optique de Fourier ; filtrage optique 2π
Le facteur de phase ei λ
γz
163
(analogue de R(ν) pour des signaux)), qui s’´ecrit 2π
ei λ
z
2 2 z (σx , σy ) e−iπλz(σx +σy ) = R
α2 + β 2 ), n’est autre que la transform´ee de 2 Fourier a` deux dimensions de la r´eponse impulsionnelle Rz (x, y) introduite a` la section 5.2.3. Le principe d’Huygens Fresnel est donc une cons´equence de la propagation des ondes planes (et de l’analyse de Fourier) et n’est pas un principe physique nouveau. dans l’approximation de Gauss (γ 1 −
EXEMPLE. Si on ´ eclaire avec un laser sous incidence normale un r´eseau p´eriodique situ´e dans le plan x z z = 0 de coefficient de transmission t(x, y) = n tn ei2πn a = f (x, y, 0) , on a f (x, y, z) = ei2π λ × 2 n x 2 −iπλz ( a ) ei2πn a . Dans les plans z = 2p aλ (p entier) on retrouve (en intensit´e) le r´ eseau : n e a2 f x, y, 2p λ = |f (x, y, 0)|.
5.4.2
Illustrations optiques de la transform´ ee de Fourier
Soit t(x, y) le coefficient de transmission d’un ´ecran ´eclair´e sous incidence normale par une onde plane d’amplitude 1. On consid`ere la relation 2π α β dα dβ t(x, y) = tˆ , ei λ (αx+βy) λ λ λ λ qui exprime la d´ecomposition en ondes planes de l’amplitude transmise. Le lecteur est encourag´e `a repr´esenter les “´ecrans” t et les “intensit´es” |tˆ|2 dans les plans (x, y) et α β ( , ) pour les exemples ci-dessous (cf. ouvrages d’optique). λ λ
Intensit´ e diffract´ ee ; ouverture rectangulaire La formule de Parseval
|t(x, y)| dx dy = 2
α β ˆ , t λ λ
1 ˆ α β , I(α, β) = 2 t λ λ λ
2
dα dβ montre que λ λ
2
est l’intensit´e lumineuse diffract´ee (`a l’infini)dans la direction (α, β) par unit´e d’angle x y Π (ouverture rectangulaire), qui solide. Un exemple classique est t(x, y) = Π a b conduit a` 2 2 ab πbβ πaα 2 I(α, β) = sinc sinc λ λ λ (l’int´egrale double ´etant ici un produit d’int´egrales simples).
Lin´ earit´ e ; r´ ealit´ e ; aires Deux ´ecrans sont dits “compl´ementaires” si t1 + t2 = 1 (fente fine et fil opaque) ; alors tˆ1 = δ − tˆ2 et les intensit´es diffract´ees sont les mˆemes (sauf au centre α = β = 0) : th´ eor` eme de Babinet.
5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux
164
Si t(x, y) est r´eel (´ ecran r´ eel), I(α, β) = I(−α, −β): la figure de diffraction est sym´etrique mˆeme si l’´ecran ne l’est pas ! Si t(x, y) > 0 alors I(α, β) est maximum au centre (α = β = 2 0) ; en particulier si l’´ecran est un trou de surface S, alors I(0, 0) = λ−2 t(x, y) dx dy = S 2 /λ2 , tandis que l’intensit´e totale, int´egr´ee sur toutes les directions vaut S ; ceci se comprend en remarquant que la tache de diffraction a une extension angulaire Δα Δβ λ2 /S.
Dilatation
x y se traduit par I(α, β) → , k1 k2 k12 k22 I(k1 α, k2 β) (changement d’´echelles inverse) ; en particulier si k2 → ∞ (ouverture tr`es large en y), I(α, β) se concentre sur les directions β = 0. Un changement d’´echelles sur l’´ecran t(x, y) → t
Translation de l’´ ecran tˆ est multipli´e par une phase et la figure de diffraction n’est donc pas modifi´ee. Par contre le facteur de phase se manifeste lors de la diffraction par plusieurs ´ecrans translat´es les N N uns par rapport aux autres. Par exemple a` t(x−na, y) correspond I(α, β) | einϕ |2 n=1
n=1
produit de I(α, β) par l’intensit´e d’une interf´erences `a N trous ponctuels (ϕ = −
2παa ). λ
2π
Multiplication de t(x, y) par ei λ (α0 x+β0 y) Elle correspond a` un ´ eclairage sous incidence oblique et conduit a` I(α − α0 , β − β0 ) (d´ecalage angulaire de la figure de diffraction).
P´ eriodisation Un r´ eseau infini a un facteur de transmission p´eriodique t∞ (x) =
∞
τ (x − na) =
n=−∞
∞ 1 p i2πp x a e τˆ a p=−∞ a
(formule de Poisson). τ (x) (restreint `a [0, a]) caract´erise le motif du r´ eseau ; l’enjeu des r´ eseaux “blaz´ es” est de choisir judicieusement le motif τ (x) pour concentrer toute la lumi`ere diffract´ee dans un seul ordre q (pour augmenter p la luminosit´e), le plus ´elev´e possible pour avoir le pouvoir s´eparateur maximum : τˆ = 0 sauf pour p = q. Un a i2π x exemple est τ (x) = e a . L’´ecran correspondant est un prisme d’angle au sommet θ q 2π (n − 1) θ = 2π . petit et d’indice n tel que λ a REMARQUE. Si le r´ eseau est limit´e par une ouverture de coefficient de transmission O(x, y), alors : α−αp β ∞ t(x, y) = t∞ (x) O(x, y) et tˆ α , β = 1 . ˆ p O , p=−∞ τ λ
λ
a
a
λ
λ
x
Cette formule peut s’interpr´eter comme la diffraction des diff´ erentes ondes planes ei2παp λ par l’ouver α−αp , β (pour les diff´erentes ture. Si celle-ci est plus large que le pas du r´ eseau a, les fonctions O λ λp 2 1 ∞ ˆ a IO (α − αp , β), o` u valeurs de p) ne se recouvrent pas et l’intensit´e diffract´ee est a2 p=−∞ τ esigne l’intensit´e diffract´ ee par l’ouverture. IO (α, β) d´
5.4 Optique de Fourier ; filtrage optique
165
Echantillonnage
Si t∞ (x) correspond ` a un r´eseau de fentes fines (ˆ τ pa =constante), on peut consid´erer que t∞ (x) O(x, y) α β α , β . Dans le cas est l’´echantillonn´ee en x de “l’objet ”O(x, y) ; tˆ λ , λ est alors la p´eriodis´ee de O λ λ de non recouvrement (condition de Shannon satisfaite), un filtrage passe-bas ne laissant passer que le α , β permet de r´ecup´ terme O erer O(x, y) (principe du d´ etramage). λ λ
Discontinuit´ e Si t(x, y) est discontinu le long d’une ligne x = 0 la figure de diffraction s’´etend dans la direction α sur l’axe β = 0. La technique d’apodisation consiste ` a r´ eduire cette g´en´ eration de hautes fr´equences, par exemple en rempla¸cant t(x) = Π x Π x par tapod (x) = cos2 πx , dont la T.F. (petit calcul) a a a a ˆ (σ) = sincπσa est un peu plus ´ e tal´ e e que t (σ) et d´ e croˆ ıt comme σ−3 au lieu de σ−1 t apod 2 2 2(1−a σ )
(discontinuit´e de t apod ).
Autocorr´ elation EXEMPLE 1 : optique incoh´ erente. Les exemples ci-dessus relevaient de l’optique coh´erente. Si une a l’infini arrive dans r´ epartition angulaire d’intensit´e I(α0 , β0 ) en provenance d’un objet incoh´erent ` la pupille d’entr´ee d’un instrument de surface S et de coefficient de transmission t(x, y), l’intensit´e ` a la sortie de la pupille est donn´ee par le produit convolution (normalis´e de sorte que If = I si I est uniforme et t = 1) 1 2 0 , β−β0 I(α0 , β0 ) tˆ α−α dα0 dβ0 . If (α, β) = λ λ Sλ2 esulte de l’addition des intensit´es des figures de diffraction associ´ees chacune ` a une onde plane). (If r´ La pupille effectue donc un filtrage sur l’objet. Si on introduit les T.F. des intensit´es I et If par α , σβ ) = I(α, β) e−i2π(σα α+σβ β) dα dβ I(σ (σα et σβ fr´ equences angulaires), on a If = T Iˆ avec pour fonction de transfert de l’instrument T (σα , σβ ) = S1 t(x, y) t(x − λσα , y − λσβ ) dx dy la fonction d’autocorr´ elation de la pupille. Comme une pupille a toujours une extension finie, T (σα , σβ ) a un support born´e et l’instrument coupe les hautes fr´equences. Si il s’agit de deux trous disa tants de a dans la direction x, il ne laisse passer que les fr´equences σα = σβ = 0 et σα = ± , σβ = 0. λ ˆ α , σβ ) et remonter ` a I(α, β) (principe de l’interf´ erom´ etrie stellaire). On peut ainsi ´etudier I(σ → EXEMPLE 2 : diffusion. Si N diffuseurs isotropes identiques, occupant les positions − r i dans un → −
→ −
volume, sont ´eclair´es par une onde plane ei k 0 · r , l’intensit´e diffus´ee dans la direction du vecteur → − d’onde k est proportionnelle ` a: → − − → → − → − → → (2π − σ = k − k 0) . S(− σ ) =< |Σi e−i2π σ · r i |2 > → − → −
(La moyenne < · > est ` a prendre si les positions des diffuseurs sont al´eatoires.) Comme Σi e−i2π σ · r i est la T.F. (tridimensionnelle) de la densit´e de diffuseurs → → → n(− r ) = Σi δ(− r −− r i) , → − S( σ ) est la T.F. de la fonction d’autocorr´elation de la densit´e : → → → → → → → r +− r ) d3 r > = < ij δ(− r −− ri+− r j ) > N g(− r). < n(− r ) n(− → − − → 3 3 g( r ) d r est le nombre moyen de diffuseurs dans d r, sachant qu’il y en a un en r = 0.
Chapitre 6
Equations diff´ erentielles ; syst` emes dynamiques
Une ´ equation diff´ erentielle (E.D.) ordinaire d’ordre n se pr´esente comme une relation, en g´en´eral non lin´eaire, entre une fonction d’une variable et ses d´eriv´ees d’ordre 1, · · · , n. La r´esoudre consiste traditionnellement `a en donner la solution g´en´erale, mais ceci est rarement r´ealisable `a part quelques cas classiques, et fait perdre de vue l’information “cod´ee” par les E.D. en physique. C’est pourquoi il est utile de commencer par l’approche qualitative et g´eom´etrique des syst`emes dynamiques (o` u la variable est le temps). Cette approche repose sur la propri´et´e d’un syst`eme d’E.D. d’ordres quelconques d’ˆetre ´equivalent a` une E.D. “vectorielle” du premier ordre d´ecrivant le mouvement d’un point dans l’espace de phase. Elle met en valeur le rˆole important des conditions initiales (C.I.). On verra que, lorsque la variable est l’espace, ce rˆ ole est tenu plutˆ ot par les conditions aux limites (C.L.). Quand une solution ´evidente est connue (par exemple l’´etat de repos pour un pendule), il est naturel de s’int´eresser `a l’ E.D. satisfaite au premier ordre par une perturbation (petites oscillations). C’est pourquoi les E.D. lin´ eaires (E.D.L.) jouent un rˆ ole privil´egi´e. On ´etudiera leurs propri´et´es, non seulement lorsque les coefficients sont constants, cas des E.D.L. stationnaires (E.D.L.S), avec la notion de mode propre stable ou instable, mais aussi dans le cas g´en´eral, avec la notion de matrice de transfert. L’approche lin´eaire ayant ses limites, on ´etudiera enfin quelques m´ethodes, notamment la m´ethode des ´equations d’amplitude, permettant de traiter les corrections non lin´eaires et les bifurcations de solutions.
6.1 Syst`emes dynamiques et espace de phase
6.1 6.1.1
167
` SYSTEMES DYNAMIQUES ET ESPACE DE PHASE D´ efinitions ; propri´ et´ es g´ en´ erales
Syst` emes dynamiques L’id´ee de d´ eterminisme, dans sa version “continue”, se traduit par le fait que la connaissance de l’´ etat x(t0 ) d’un syst`eme `a un instant arbitraire t0 (conditions initiales) entraˆıne sa connaissance `a un instant voisin t0 + , ce qu’on ´ecrit : soit lorsque → 0 x(t) ˙ = f x(t), t . x(t0 + ) x(t0 ) + f x(t0 ), t0 ∀t0 et x(t0 ) L’´etat est ainsi connu de proche en proche, au moins dans un certain intervalle de temps, aussi bien dans le futur que dans le pass´e, d`es que sa “vitesse d’´evolution” f (x, t) l’est. On parle alors de syst` eme dynamique (S.D.) dont l’´ evolution est r´egie par l’E.D. “vectorielle” du premier ordre. Attention. Une E.D. d´ecrit l’´evolution, non d’un ´etat initial particulier, mais celle de n’importe quel ´etat initial x(t0 ). Elle “code” une correspondance g´en´erale, souvent tr`es compliqu´ee, entre ´etats pour deux instants diff´erents (figure 1) : Ft,t
x(t0 ) −−−−−0−→ x(t) .
Ft t
0
F t 0 x (t 0)
Ft
x( )
x ( t) t
t0 Figure 1
Cette correspondance n’est pas quelconque ; elle doit satisfaire la loi de composition : Ft,t0 = Ft,τ ◦ Fτ,t0 . Par exemple la relation x(t) = a x(t0 ) + (t − t0 ) ne satisfait cette loi que si a = 1. En effet, en prenant un instant quelconque τ , on doit avoir x(t) = a x(τ ) + (t − τ ) = a a x(t0 ) + (τ − t0 ) + (t − τ ). Le cas a = 1 correspond au S.D. x˙ = 1.
Espace de phase ; degr´ es de libert´ e La notation x sous entend que pour caract´eriser l’´etat d’un syst`eme il faut, en g´en´eral, se donner plusieurs grandeurs (ses composantes x1 , x2 , · · · , xn ). En m´ecanique il faut connaˆıtre initialement les positions et les vitesses des corps, en ´electricit´e les charges des
168
6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques
condensateurs et les intensit´es dans les inductances, en cin´etique chimique toutes les concentrations, etc. Ces grandeurs (fonctions du temps) qui caract´erisent un ´etat d´efinissent l’espace de phase, espace de tous les ´etats possibles, dans lequel tout ´etat initial d´ecrira une “trajectoire” au cours du temps. La dimension de cet espace caract´erise le nombre de degr´es de libert´e du S.D. L’int´erˆet de la notion d’´etat dans l’espace de phase est de ramener toute E.D. (ou syst`eme d’E.D.) de n’importe quel ordre a` un syst` eme du premier ordre (pour les composantes ... de l’´etat). Par exemple l’´equation du troisi`eme ordre x= g(x, x, ˙ x ¨, t) s’´ecrit aussi ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x˙ 1 x2 ⎝x˙ 2 ⎠ = ⎝ ⎠ x3 = f x(t), t , de la forme x(t) ˙ x˙ 3 g(x1 , x2 , x3 , t) ˙ x3 = x ¨ sont les composantes de l’´etat x, et x2 , x3 , g celles de f ; il y o` u x1 = x, x2 = x, a trois degr´es de libert´e et il faut trois C.I. x1 (t0 ) = x(t0 ), x2 (t0 ) = x(t ˙ 0 ), x3 (t0 ) = x¨(t0 ) pour d´efinir une solution x(t). Inversement il est `a noter qu’en physique toutes les lois “de base” ne font intervenir que → ˙ V = LI˙ en ´electricit´e, p = m r˙ , p˙ = − les d´eriv´ees premi`eres des grandeurs : I = Q, F ( r, v , t) en m´ecanique (loi de Newton), etc. Ce n’est que parce qu’on proc`ede habituellement par “´elimination” pour r´esoudre ces syst`emes d’E.D. du premier ordre, qu’apparaissent des E.D. d’ordre sup´erieur, dont la difficult´e technique fait du coup perdre de vue le rˆ ole des C.I.
Stationnarit´ e Lorsque t n’apparaˆıt pas explicitement dans f (x, t), c’est-`a-dire lorsque les coefficients des E.D. (qui sont les param`etres “caract´eristiques” du syst`eme physique, la masse d’un corps ou la raideur d’un ressort par exemple) ne d´ependent pas du temps, on parle d’un S.D. stationnaire (S.D.S.). Dans ce cas, la relation entre les ´etats x(t0 ) et x(t) ne fait intervenir les instants t0 et t qu’` a travers leur diff´erence t − t0 car il n’y a pas d’origine des temps privil´egi´ee. EXEMPLE : x˙ = x(1 − x), qui d´ecrit l’´evolution d’une “population” x (biologique, chimique, etc.) dont le taux de variation 1 − x d´ecroit quand x croit. L’int´egration de −1 dt = x(1 − x) dx = x−1 + (1 − x)−1 dx = d ln x(1 − x)−1 −1 . donne x(t) = x(t0 ) exp(t − t0 ) 1 + x(t0 ) exp(t − t0 ) − 1 CONTRE EXEMPLE : x˙ = λ(t) x, o` u le taux de variation λ(t) de la “population” x t d´epend explicitement du temps. Alors x(t) = x(t0 ) exp t0 λ(s) ds ; on ne retrouve la d´ependance en t − t0 que si λ est constant. D’un point de vue g´eom´etrique f (x, t) repr´esente un champ de vecteurs dans l’espace de phase. Dans le cas stationnaire, les trajectoires suivies par les ´etats sont les lignes de champ, lignes partout tangentes aux vecteurs f (x), puisque x˙ = f (x). Le tableau ci-dessous et les figures 2 pr´esentent quelques exemples d’´equations adimensionn´ees tir´ees de la m´ecanique ; les variables de l’espace de phase sont (x, x). ˙ La constante C est une int´egrale premi`ere des ´equations.
6.1 Syst`emes dynamiques et espace de phase
S.D.
(a) mouvement inertiel
(b) mouvement unif. acc´el´ er´ e
E.D.
x ¨=0
x ¨=1
champ de vecteurs f
x˙ 0
x˙ 1
trajectoires dans l’espace de phase
x˙ = C droites
x = 12 x˙ 2 + C paraboles
x et x˙ fonction des C.I. ` at=0
x = x0 + x˙ 0 t x˙ = x˙ 0
x = x0 + x˙ 0 t + 12 t2 x˙ = x˙ 0 + t
repr´ esentation matricielle de Ft,0
1 0
169 (c) pendule pr`es du pt. (d) pendule pr`es du pt. d’´ equilibre stable d’´ equilibre instable x ¨ = −x
x˙ −x
x˙ x x2 − x˙ 2 = C hyperboles
x2 + x˙ 2 = C cercles
x = x0 cos t + x˙ 0 sin t x = x0 cosh t + x˙ 0 sinh t x˙ = x˙ 0 cos t − x0 sin t x˙ = x˙ 0 cosh t + x0 sinh t
t 1
cos t − sin t
.x
sin t cos t
cosh t sinh t
sinh t cosh t
.x x
.x
x ¨=x
x
(a)
(b)
(c)
(d)
x
.x x
Figure 2
Lin´ earit´ e Un S.D. lin´eaire (S.D.L.) est un syst`eme tel que si x1 (t) et x2 (t) sont deux solutions arbitraires λ1 x1 (t) + λ2 x2 (t) est aussi solution. L’espace de phase a alors une structure d’espace vectoriel. 0 1 x x avec x = . EXEMPLE : x ¨ + a(t) x˙ + b(t) x = 0 ⇐⇒ x˙ = −b(t) −a(t) x˙ CONTRE EXEMPLE : x¨ = 1 (cf. tableau). La propri´et´e essentielle d’un S.D.L. est que sa solution g´ en´ erale est une combinaison lin´eaire de solutions lin´eairement ind´ependantes o` u, ce qui est ´equivalent, que chaque
6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques
170
composante de l’´etat x(t) d´epend lin´eairement des composantes de l’´etat x(t0 ). Ainsi la solution g´en´erale de x ¨ + a(t) x˙ + b(t) x = 0 s’´ecrit x(t) = R0 (t, t0 ) x(t0 ) + R1 (t, t0 ) x(t ˙ 0) , x(t) ˙ se d´eduisant simplement par d´erivation de cette relation. Dans cette expression R0 (t, t0 ) est la solution qui vaut 1 pour t = t0 et dont la d´eriv´ee s’annule pour t = t0 , tandis que R1 (t, t0 ) est la solution qui s’annule en t = t0 et a une d´eriv´ee ´egale a` 1 pour t = t0 . Cette remarque ´el´ementaire est ` a la base du formalisme de la matrice de transfert d´evelopp´e `a la section 6.4.1.
6.1.2
Exemples de syst` emes dynamiques et de leurs portraits de phase
La repr´esentation des trajectoires des ´etats d’un S.D. dans l’espace de phase, appel´ee portrait de phase, pr´esente l’int´erˆet de visualiser toutes les solutions d’une E.D., en fonction des C.I., mˆeme lorsqu’il n’y a pas de formule explicite ou que celle-ci est compliqu´ee.
Portrait de phase (` a une dimension) de x˙ = f (x) L’´evolution de x(t) est sch´ematis´ee en pla¸cant simplement sur l’axe x les points o` u f s’annule, et en mettant entre ces points une fl`eche dans le sens d’´evolution de x(t), donc li´ee au signe de f (x). La seule chose qui reste `a pr´eciser est de savoir si x s’approche o` u s’´eloigne des points o` u f s’annule en un temps fini ou infini. EXEMPLE 1. x˙ = x(1 − x) et x > 0 (figure 3). Pr`es de x = 1 on a x˙ 1 − x, d’o` u dt (1 − x)−1 dx et t − ln |1 − x| ; on retrouve que l’approche de 1 est exponentiellement lente. Pour x proche de 0, on a dt x−1 dx ; il faut donc un temps Δt | ln | pour s’´ecarter d’une distance finie d’une position initiale x(t0 ) = arbitrairement proche de l’origine.
0
axe x
1 Figure 3
EXEMPLE 2 (figure 4a). En m´ ecanique, l’´equation m¨ x = −V (x) (V (x) ´energie potentielle) dont l’espace de phase est a priori a` deux dimensions, se r´eduit, compte 1 tenu de la conservation de l’´energie E = mx˙ 2 + V (x), a` x˙ = ± 2m(E − V (x)). 2 Pour E = E1 , x atteint ou quitte la valeur extrˆeme xB1 , telle que V (xB1 ) = E1 , en − 1 un temps fini. En effet, au voisinage de xB1 l’E.D. s’´ecrit dt ∝ E1 − V (x) 2 |dx| ∝ 1
|xB1 − x|− 2 |dx|, et donc Δt ∝ |xB1 − x 2 . La mˆeme analyse vaut pour xA1 et, comme l’acc´el´eration x ¨ ne s’annule ni en xB1 ni en xA1 , x oscille ind´efiniment entre ces deux valeurs extrˆemes. 1
6.1 Syst`emes dynamiques et espace de phase
171
− 1 Au contraire pour E = E2 , au voisinage de xB2 on a dt ∝ E2 − V (x) 2 |dx| ∝ |xB2 − x|−1 |dx|, et donc xB2 apparaˆıt comme une valeur limite atteinte exponentiellement lentement.
V(x) E2
A2 (a)
E1
A1
B2 B1 x
x
courbes E= Cste
(b) x
Figure 4
Portrait de phase (` a deux dimensions) de x¨ = g(x, x) ˙ Les remarques suivantes aident a` sa construction. a) Dans l’espace de phase param´etr´e par (x, x) ˙ l’´evolution de x (resp. x) ˙ est donn´ee par le signe de x˙ (resp. g). Il convient de rechercher les ´eventuels points fixes (ceux laiss´es invariants par l’´evolution) et d’´etudier leur stabilit´e. Par exemple pour le syst`eme 1 1 m´ecanique ci-dessus, on a mx˙ 2 + V (x∗ ) (x − x∗ )2 = Cste pr`es de toute valeur x∗ telle 2 2 que V (x∗ ) = 0. Si V (x∗ ) = 0, le portrait de phase (figure 4b) est localement analogue a celui des figures 2c et 2d. ` b) La pente d’une trajectoire est : dx˙ x ¨ g(x, x) ˙ = = . dx x˙ x˙ Pour θ fix´e, cette ´equation d´efinit dans le plan (x, x) ˙ une courbe appel´ee isocline (en pointill´e sur la figure 2), le long de laquelle tous les vecteurs tangents aux diff´erentes trajectoires sont parall`eles `a une direction donn´ee de pente tg θ. Deux trajectoires ne peuvent se couper (en vertu du d´eterminisme) ; elles peuvent `a la rigueur tendre l’une vers l’autre (par exemple a` la fin de l’´evolution). tg θ =
Autres exemples ` a deux dimensions EXEMPLE 1 : x˙ 1 = k1 x1 (1 − x2 ), x˙ 2 = −k2 x2 (1 − x1 ) avec k1 et k2 > 0 (oscillateur de Lotka-Volterra d’un syst` eme proies-pr´ edateurs). Les proies x1 ont un taux de
6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques
172
croissance k1 (1−x2 ) limit´e par les pr´edateurs x2 . Les pr´edateurs au contraire ont besoin de proies en nombre suffisant (x1 > 1) pour que leur taux de croissance −k2 (1 − x1 ) devienne positif. Si on choisit comme variables (x1 , x2 ) dans le plan de phase, les points O (0, 0) et A (1, 1) sont des points fixes (figure 5). Au voisinage de O les E.D. x˙ 1 k1 x1 et x˙ 2 −k2 x2 montrent que O est lin´ eairement instable : bien qu’on se rapproche de O dans la direction Ox2 (“contractante”), on s’en ´eloigne dans la direction Ox1 (“dilatante”). Au contraire le point A est “marginalement” stable (aucune direction dilatante ni contractante) ; dans son voisinage les E.D. s’´ecrivent u˙ 1 −k1 u2 et u˙ 2 k2 u1 (avec u1,2 = x1,2 − 1) et les trajectoires sont les ellipses centr´ees en A d’´equations k2 u21 + k1 u22 = Cste ; leur sens de parcours est donn´e par le signe de x˙ 1 ou x˙ 2 .
x2
1
A
O
1
x1
Figure 5 EXEMPLE 2 : x¨ = −x + F (x). ˙ Si la force F (x) ˙ est telle que F (x) ˙ = 1 si x˙ < v , F (x) ˙ = −1 si x˙ > v , −μ ≤ F (x) ˙ ≤ μ si x˙ = v , c’est l’´equation adimensionn´ee d’un oscillateur entraˆın´ e avec frottement solide (figure 6), μ ≥ 1 ´etant le rapport des coefficients de frottement statique et dynamique. 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1111 0000 1111111 0000000 0000 1111 0000 1111 x 0000 1111 1 0
v
Figure 6 Si x˙ = v alors x ¨ = −x ± 1 et x˙ 2 + (x ∓ 1)2 = constante. Les trajectoires sont donc des arcs de cercle centr´es en A (-1,0) si x˙ > v, et des cercles (ou arcs de cercle) centr´es en B (1,0) si x˙ < v (figure 7a). Le raccord des cercles sur la ligne x˙ = v est trivial sauf si x ∈ [−μ, μ] (entre C et D). En tout point de CD le module de la force de rappel | − x| est inf´erieur `a μ. Ceci permet `a la force de frottement solide F (x) ˙ de “s’adapter” pour avoir x˙ = v. Ce mouvement uniforme se poursuit jusqu’en D o` u l’adaptation cesse d’ˆetre possible, et la trajectoire devient l’arc DEF centr´e en B.
6.1 Syst`emes dynamiques et espace de phase
173
A partir du point F ces trajectoires se confondent avec le cycle FDEF, suite d’adh´erences au sol et d’oscillations li´ee `a l’in´egalit´e stricte μ > 1. Le cas particulier v = 0 (pas d’entraˆınement) μ = 1, est repr´esent´e sur la figure 7b ; les trajectoires s’arrˆetent sur le segment AB.
x I
(2)
F
C
x x=v
D K
B
O A
(3)
A
x
B
x
E
(1)
(a)
(b) Figure 7
EXEMPLE 3 : x¨ + ω 2 (t) x = 0 (oscillateur param´ etrique lin´ eaire ; figure 8). La T 1 + T2 avec ω(t) = pulsation ω(t) est p´eriodique (ω(t) = ω(t + T )) de p´eriode T = 4 T1 T1 2π , ω(t) = ω2 pour < t < T et T1,2 = ω1 pour 0 < t < . Pour chaque ωi 4 4 ω1,2 la quantit´e x˙ 2 + ωi2 x2 est conserv´ee. Dans le diagramme (ω0 x, x), ˙ o` u ω0 d´esigne une pulsation interm´ediaire (ω1 > ω0 > ω2 ), la trajectoire est donc une ellipse d’´equation ω2 x˙ 2 + i2 (ω0 x)2 = Cste , dont le grand axe est alternativement l’axe x˙ (si i = 1) puis ω0 ω1 T1 , l’axe ω0 x (si i = 2). Partant de A (1,0) a` t = 0, on arrive donc en A1 (0,− ) a` t = ω0 4
x
M (1,1)
B AT
O
B1
A 0
MT
x
BT A1
M1
Figure 8 ω1 , 0) au bout d’une p´eriode, etc. (spirale divergente). Partant de B (0,1) ω2 ω0 T1 ω2 , puis en BT (0, − ) au bout d’une p´eriode, a t = 0, on arrive en B1 ( , 0) a` t = ` ω1 4 ω1
puis en AT (−
6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques
174
etc. (spirale convergente). Si maintenant on part a` t = 0 d’un point M quelconque de −−→ −→ coordonn´ees (ω0 x(0), x(0)), ˙ ´egales `a 1 sur la figure, donc tel que OM = ω0 x(0) OA + −−→ x(0) ˙ OB, alors la lin´earit´e de l’E.D. entraˆıne qu’on arrive a` l’instant t en Mt tel que − −− → −−→ −−→ OMt = ω0 x(0) OAt + x(0) ˙ OBt , o` u At et Bt sont les positions respectives de A et B a l’instant t. Il en r´esulte que, sauf si x(0) = 0, toutes les trajectoires divergent vers ` l’infini : ceci traduit le ph´enom`ene de r´ esonance param´ etrique. EXEMPLE 4 : oscillateur de Van der Pol ; oscillations de relaxation (voir la section 6.5.2).
6.2
´ ´ EQUATIONS LINEAIRES STATIONNAIRES ; ´ MODES PROPRES ; STABILITE
Nous commen¸cons par rappeler les solutions bien connues des ´equations du premier et du second ordre. Les modes propres de toute autre ´equation se ram`enent, en g´en´eral, a` l’un de ces deux cas.
6.2.1
Equations du premier et du second ordre sans et avec second membre
E.D.L.S. du premier ordre r´ eelle et complexe : x˙ + λx = 0
et z˙ + (λ + iω)z = 0 (z = x + iy) .
Leurs solutions s’´ecrivent : x(t) = x(0) e−λt
et z(t) = z(0) e−(λ+iω)t ;
elles correspondent respectivement, pour λ > 0, `a l’exemple le plus simple de relaxation sans oscillation vers le point d’´equilibre x = 0, et de relaxation avec oscillations (pour les variables x et y) de pulsation ω vers le point d’´equilibre x = y = 0. Dans ce deuxi`eme cas, l’´equivalence avec l’´equation habituelle d’un oscillateur amorti s’obtient en s´eparant parties r´eelle et imaginaire dans l’E.D. pour z, x˙ = −λx + ωy et y˙ = −λy − ωx, et en ´eliminant une des variables (par exemple y) : x ¨ + 2λx˙ + ω02 x = 0
o` u ω02 = ω 2 + λ2 .
Donc le plan complexe z = x + iω −1 (x˙ + λx) est une reparam´etrisation de l’espace de phase (x, x) ˙ qui rend simple le mouvement de l’oscillateur amorti.
E.D.L.S. du second ordre (r´eelle) : x¨ + ax˙ + bx = 0 (a = 2λ et b r´eels) Rappelons qu’elle a pour solution g´en´erale (si p1 = p2 ) : x(t) = A1 ep1 t + A2 ep2 t
;
p1 , p2 solutions de p2 + ap + b = 0 .
Compte tenu de la lin´earit´e vis-`a-vis des C.I. le lecteur peut ´etablir “de tˆete” l’expression : x(t) = x(0)
p2 ep1 t − p1 ep2 t ep2 t − ep1 t + x(0) ˙ . p2 − p1 p2 − p1
6.2 Equations lin´eaires stationnaires ; modes propres ; stabilit´e
175
Dans le cas o` u p1 et p2 sont complexes conjugu´es (b > λ2 > 0 et p1 = −λ − iω = p2 ), on utilise les combinaisons lin´eaires de e−λt cos ωt et e−λt sin ωt : sin ωt sin ωt + x(0) ˙ e−λt (ω = b − λ2 ) . x(t) = x(0) e−λt cos ωt + λ ω ω Enfin dans le cas p1 = p2 (limite ω → 0 du cas pr´ec´edent) : ˙ t e−λt . x(t) = x(0) e−λt (1 + λt) + x(0) Connaissant x(t) on d´eduit x(t) ˙ et l’´etat x(t). Il s’´ecrit, pour p1 = p2 : 1 1 x p1 t p2 t = A1 e + A2 e = A1 (t) m1 + A2 (t) m2 . x(t) = p1 p2 x˙ Si p1 et p2 sont r´eels, le vecteur x(t) s’obtient par addition de deux vecteurs parall`eles `a m1 et m2 et d’amplitudes connues. Pour λ > 0, ces amplitudes sont d´ecroissantes et le vecteur x(t) tend a` devenir colin´eaire avec le vecteur affect´e de l’amplitude qui d´ecroit la moins vite, soit m1 si p2 < p1 < 0. La trajectoire dans l’espace de phase finit donc tangentiellement a` la droite x˙ = p1 x. Une diff´erence avec un S.D. du premier ordre est qu’il existe des C.I. telles que x(t), ou x(t), ˙ change de signe en tendant vers z´ero. Si p1 et p2 sont complexes conjugu´es, il est pr´ef´erable d’´ecrire l’´etat x(t) (r´eel), non comme la somme de deux vecteurs complexes conjugu´es, mais comme la partie r´eelle de l’un d’eux : , 1 −λt −i(ωt+ϕ) = e z(t) m . x(t) = Ae e e −λ − iω Pour λ > 0 la trajectoire tend vers z´ero en s’enroulant autour de l’origine. Les deux portraits de phase correspondant aux cas p1 et p2 r´eels ou complexes conjugu´es sont repr´esent´es sur les figures 9 et 10. La construction des trajectoires utilise les isoclines qui sont les droites (tgθ + a)x˙ + bx = 0. 111111 000000 000000 111111 000000 111111 x 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 000000111111 111111 000000 111111 x 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 Direction de m1 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 Direction de m2 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 Figure 9
x
isocline tg
=−a
isocline
=
2
x isocline
Figure 10
=0
6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques
176
E.D.L.S. avec second membre Bien que non lin´eaires les ´equations x˙ + λ x = f (t) ; z˙ + (λ + iω)z = f (t) ;
x ¨ + ax˙ + bx = f (t) ,
dites “lin´eaires avec second membre”, et qui apparaissent en physique d`es qu’il y a des sources (forces en m´ecanique, g´en´erateurs en ´electricit´e, etc.), sont ´etudi´ees ici car leur r´esolution se ram`ene `a l’´etude pr´ec´edente. La solution g´ en´ erale de ces ´equations d´epend lin´eairement des C.I. et du second membre f , ce qui pour f en particulier signifie une d´ependance lin´eaire vis-`a-vis de toutes les valeurs f (s) dans l’intervalle [0, t]. Pour les ´ equations du premier ordre on v´erifie : t x˙ + λx = f (t) =⇒ x(t) = x(0) e−λt + e−λ(t−s) f (s) ds ; 0
(z(t) est obtenu en faisant simplement les changements x → z et λ → λ + iω). En effet la d´eriv´ee de l’int´egrale I(t) ci-dessus donne deux contributions : l’une obtenue en d´erivant l’exponentielle vaut −λI(t), et l’autre en d´erivant par rapport a` la borne sup´erieure d’int´egration vaut f (t). Pour l’´ equation du second ordre, on v´erifie de la mˆeme mani`ere que :
t
R1 (t − s) f (s) ds .
x ¨ + ax˙ + bx = f (t) =⇒ x(t) = R0 (t) x(0) + R1 (t) x(0) ˙ + 0
R0 (t) et R1 (t) sont les solutions de l’´equation sans second membre telles que R0 (0) = 1, R˙ 0 (0) = 0 et R1 (0) = 0, R˙ 1 (0) = 1. Les deux premiers termes constituent la solution de l’´equation sans second membre satisfaisant les C.I. ; l’int´egrale est la solution particuli`ere x0 (t) de l’´equation avec second membre qui satisfait x0 (0) = x˙ 0 (0) = 0. Exemple : ˙ x ¨ + ω 2 x = f (t) =⇒ x(t) = x(0) cos ωt + x(0)
sin ωt + ω
0
t
sin ω(t − s) f (s) ds . ω
Pour l’E.D.L. du n`eme ordre x(n) + an−1 x(n−1) + · · · + a1 x˙ + a0 x = f , on peut v´erifier a titre d’exercice que sa solution s’´ecrit (mˆeme si les coefficients d´ependent du temps et ` qu’on ne peut pas la d´eterminer explicitement) :
t
x(t) = R0 (t, t0 ) x(t0 )+R1 (t, t0 ) x(t ˙ 0 )+· · ·+Rn−1 (t, t0 ) x(n−1) (t0 )+
Rn−1 (t, s) f (s) ds , t0
o` u Rj (t, t0 ) est la solution de l’´equation sans second membre dont toutes les C.I. (prises (k) a t0 ) sont nulles sauf la d´eriv´ee d’ordre j qui vaut 1 : Rj (t0 , t0 ) = δjk (j, k = 0 · · · n−1). ` Donc l’effet du second membre f (t) dans tout intervalle [s, s + ds] est de g´en´erer une solution Rn−1 (t, s) f (s) ds de l’´equation sans second membre. Rn−1 (t, s) est la r´eponse `a une impulsion δ(t − s) (on rappelle que f (t) = f (s) δ(t − s) ds). REMARQUE. On peut aussi, pour r´esoudre ces ´equations, commencer par la recherche d’une solution particuli`ere. Une fois une telle solution x0 (t) (resp. z0 (t)) trouv´ee, il suffit de lui ajouter la solution g´ en´ erale de l’´equation sans second membre, puisqu’en effet x − x0 (resp. z − z0 ) satisfait cette ´equation.
6.2 Equations lin´eaires stationnaires ; modes propres ; stabilit´e
6.2.2
177
Cas g´ en´ eral ; modes propres ; oscillateurs coupl´ es
Modes propres Si on a bien pris garde de ne pas ´eliminer de grandeurs, l’´equation g´en´erale pour un syst`eme lin´eaire stationnaire s’´ecrit x˙ = A x ,
d x x 0 1 . = x˙ −b −a dt x˙ La solution est facile a` obtenir lorsque la matrice A est diagonalisable, c’est-` a-dire lorsqu’il existe une base de vecteurs propres m1 , m2 · · · mn satisfaisant A mα = p α mα (pα valeurs propres). Sion d´ecompose α aα (t) mα , le x(t) sur cette base, x(t) = syst`eme de d´epart s’´ecrit α a˙ α mα = α aα pα mα , et se ram`ene donc a` des E.D. du premier ordre pour chaque composante : a˙ α (t) = pα aα (t). La solution g´en´erale est (Aα constantes arbitraires) : Aα epα t mα (A mα = pα mα ) . x(t) = o` u A est une matrice n×n ` a coefficients constants. Exemple :
α
Chaque solution particuli`ere epα t mα s’appelle un mode propre. La caract´eristique d’un mode propre est que toutes les composantes x1 (t), x2 (t) · · · xn (t) de x(t) ont le mˆeme comportement en temps, et donc ne diff`erent que par une constante multiplicative. Lorsque A est r´eelle, on distingue parmi ces modes les modes r´ eels non oscillants (p et m r´eels) et les modes oscillants (p = −(λ + iω) et m = c + is, c et s vecteurs r´eels). Dans le premier cas, les trajectoires dans l’espace de phase sont des demi droites de direction m passant par O. Dans le deuxi`eme cas, comme on l’a fait pour l’´equation du second ordre, on regroupe les modes complexes m et m associ´es aux valeurs propres p et p complexes conjugu´ees sous la forme r´eelle : , −λt −i(ωt+ϕ) Ae = A e−λt cos(ωt + ϕ) c + sin(ωt + ϕ) s . e m e Les trajectoires sont alors des spirales “elliptiques” dans le plan (c, s). REMARQUE. En pr´esence de “forces” ou de “g´en´erateurs” ext´erieurs, l’´equation devient : x(t) ˙ = A x(t) + F (t) . ene aux n ´equations d´ecoupl´ees (d´ej`a La d´ecomposition F (t) = α fα (t) mα la ram` r´esolues) a˙ α (t) = pα aα (t) + fα (t) (α = 1 · · · n). La solution peut aussi se mettre sous la forme (valable mˆeme si A n’est pas diagonalisable) : t x(t) = eAt x(0) + eA(t−s) F (s) ds . 0
EXEMPLE. R´ esonance magn´ etique nucl´ eaire (R.M.N.). L’´ equation g´en´ erale pour l’aimantation − → → − M(t) d’un milieu en pr´esence d’un champ magn´etique ext´ erieur constant B 0 et d’un champ variable → − → − B (t) (en pratique un champ tournant dans un plan perpendiculaire ` a B 0 ) est : − → − → − → − → M − M0 M⊥ dM − → − → − → =− − + γ M ∧ B 0 + B (t) , dt τ τ⊥
6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques
178
− → − → − → → − o` u M et M ⊥ d´ esignent respectivement les composantes de M (t) parall`ele et perpendiculaire ` a B 0, → − → − − → a B 0 . Pour B (t) = 0, cette ´equation vectorielle s’´ecrit et o` u M 0 est un vecteur constant parall`ele ` ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ 0 −λ⊥ −ω0 M1 M 1 1 d ⎝ −λ⊥ 0 ⎠ ⎝ M2 ⎠ avec λ⊥, = M 2 ⎠ = ⎝ ω0 et ω0 = −γB0 , dt M − M τ ⊥, 0 0 −λ M −M 3
0
3
0
− → l’axe 3 ´etant choisi selon B 0 (M3 ≡ M ). C’est l’´ equation d’un S.D.L. ` a trois degr´es de libert´e, qui poss`ede un mode propre r´eel correspondant ` a la relaxation sans oscillation (temps caract´eristique τ ) equilibre M0 . Les deux autres modes sont complexes conjugu´es de la composante M vers sa valeur d’´ − → et correspondent ` a la relaxation de M ⊥ vers z´ero (temps caract´eristique τ⊥ ), accompagn´ee d’une erifie z˙ = (−λ⊥ + iω0 )z. rotation ` a la vitesse angulaire ω0 (figure 11) ; en effet z = M1 + iM2 v´
M 3− M 0
M2 M1 0
0; Figure 11
→ − La pr´ esence de B (t) de composantes B1 (t) = B cos ωt et B2 (t) = B sin ωt a pour effet principal − → u le terme en d’induire le ph´enom`ene de r´esonance pour M ⊥ . Consid´erons pour simplifier le cas o` → − − → − → egligeable. L’´ evolution de M (t) n’est alors pas modifi´ee ; par contre l’´equation pour M ⊥ ∧ B (t) est n´ − → M ⊥ , c.a.d. pour z, devient : z˙ = (−λ⊥ + iω0 ) z + iγM3 Beiωt . En r´ egime permanent, donc pour t τ , on peut remplacer M3 (t) par sa valeur limite M0 . On obtient la solution stationnaire : z(t) = |z| eiωt
;
− 1 − → |z| = γM0 B λ2⊥ + (ω − ω0 )2 2 = |M ⊥ | .
− → → − |M ⊥ | pr´esente une r´esonance pour ω = ω0 (quantit´e alg´ebrique), c’est-` a-dire lorsque B (t) tourne dans − → le mˆeme sens et ` a la mˆ eme vitesse que M en absence de champ tournant.
Cas des oscillateurs coupl´ es sans frottement 1 t 1 x˙ Mx˙ et xt Kx sont les formes quadratiques d´efinies positives exprimant l’´energie 2 2 cin´etique et l’´energie potentielle en fonction des ´ecarts x1 (t), x2 (t) · · · `a l’´equilibre, l’´equation du mouvement en pr´esence de forces ext´erieures a la forme g´en´erale (cf. section 4.2.2) :
Si
Mx ¨ = −K x + F
avec M et K matrices sym´etriques positives .
Par exemple pour le syst`eme de masses et de ressorts de la figure 12, les ´equations sont
6.2 Equations lin´eaires stationnaires ; modes propres ; stabilit´e
179
m¨ x1 = −2kx1 + kx2 + F1 et m¨ x2 = −2kx2 + kx1 + F2 ou : x1 x ¨1 2k −k F1 m =− + ; −k 2k x ¨2 x2 F2
k
m
k
m
k x
F1
F2
Figure 12 le syst`eme non coupl´e est obtenu en ne gardant que la partie diagonale de K. Plutˆ ot que de passer `a des ´equations du premier ordre comme on l’a fait jusqu’` a pr´esent, il est plus simple d’introduire les solutions de M x ¨ = −K x de la forme x(t) = epα t mα . Elles doivent v´erifier p2α M mα = −K mα , ce qui implique que les pα sont solutions de det K+p2α M = 0. On a vu que les propri´et´es de M et K entraˆınent que les mα forment une baser´eelle, et que les p2α sont du type 2 2 pα = −ωα . En ´ecrivant x(t) = α aα (t) mα et F = α fα (t) M mα , on obtient comme pr´ec´edemment n E.D. d´ecoupl´ees, mais du second ordre, pour les nouvelles composantes aα (t) de x(t) : a ¨α (t) = −ωα2 aα (t) + fα (t) . Donc un ensemble d’oscillateurs coupl´es x1 (t), x2 (t) · · · se ram`ene `a un ensemble d’oscillateurs ind´ependants a1 (t), a2 (t) · · · ` a condition de choisir les bons vecteurs de base, ou ce qui est ´equivalent, les bonnes combinaisons lin´eaires des xi (t). La solution g´ en´ erale pour F = 0 x(t) = Aα cos(ωα t + ϕα ) mα α
se pr´esente comme une somme de n solutions appel´ees modes propres d’oscillation de pulsations ωα (`a distinguer des modes propres introduits pr´ec´edemment qui sont en nombre double). Dans un tel mode, associ´e au vecteur mα , toutes les variables x1 (t), x2 (t) · · · oscillent en phase, ou en opposition de phase (suivant les signes relatifs des diff´erentes composantes du vecteur mα ), avec la mˆeme pulsation ωα . esonance En pr´esence de forces ext´erieures sinuso¨ıdales F (t) = F cos ωt, on observe une r´ lorsque ω est ´egal a` l’une des pulsations propres ωα . Si par exemple ω = ω1 , toutes les amplitudes aα (t) (α = 1) restent finies alors que a1 (t) tend vers l’infini, et on a par cons´equent x(t) a1 (t) m1 : une excitation a` la pulsation propre ωα met en ´evidence le mode propre “α” correspondant. Dans l’exemple ci-dessus on a : k 3k F1 + F2 F1 − F2 1 1 , ω12 = , ω22 = m1 = ; m2 = ; F = m1 + m2 . 1 −1 m m 2 2
6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques
180
Le mode 1 (resp. 2) rentre en r´esonance si ω = ω1 (resp. ω2 ), sauf si F1 = −F2 (resp. F1 = F2 ). Les bonnes combinaisons lin´eaires de x1 et x2 sont dans ce cas x1 ± x2 : m(¨ x1 + x¨2 ) = −k(x1 + x2 ) + F1 + F2 et m(¨ x1 − x ¨2 ) = −3k(x1 − x2 ) + F1 − F2 . x1 + x2 x1 − x2 x1 = a1 et = a2 sont les composantes de x = dans la “bonne” base x2 2 2 m1 , m2 .
6.2.3
Stabilit´ e et instabilit´ e d’un syst` eme dynamique lin´ eaire stationnaire
Conditions de stabilit´ e Un S.D.L.S. est stable si toute solution tend vers la valeur d’´equilibre x = 0. Toute solution ´etant une combinaison de modes propres, ceci implique que tous les modes (solutions dont le comportement est en epα t ) soient stables, donc que : e pα < 0 ∀α . EXEMPLE : stabilit´ e d’un S.D.L.S. ` a deux degr´ es de libert´ e. Suivant l’´ecriture des ´equations, les conditions de stabilit´e sont : E.D. du second ordre x ¨ + ax˙ + bx = 0 a>0, b>0
forme matricielle d dt
x1 x =M 1 x2 x2
tr M < 0 , det M > 0
forme complexe z˙ = αz + βz e α < 0 , |α| > |β|
D´emonstration : dans le cas de l’E.D. du second ordre, on a p2 + ap + b = 0 donc p1 + p2 = −a et p1 p2 = b ; la condition a > 0 et b > 0 ´equivaut `a, soit p1 et p2 r´eels n´egatifs, soit p1,2 = −λ ± iω complexes conjugu´es avec une partie r´eelle n´egative. Dans le cas matriciel p1 et p2 sont les valeurs propres de M, donc p1 + p2 = tr M et p1 p2 = det M. Enfin l’E.D. complexe avec z = x1 + ix2 , α = α1 + iα2 et β = β1 + iβ2 α1 + β1 β2 − α2 . est ´equivalente a` une E.D. matricielle pour x1 , x2 avec M = β2 + α2 α1 − β1
Bifurcations vers l’instabilit´ e (figure 13) Quand, faisant varier un param`etre, un syst`eme stable devient instable, en g´en´eral quatre cas peuvent se produire : - soit une valeur propre p r´eelle n´egative devient positive (exemple 1) ; - soit deux valeurs propres complexes conjugu´ees −λ ± iω ont leur partie r´eelle n´egative qui devient positive (exemple 2) ; - soit un mode oscillant disparaˆıt (exemple 3) ; - soit les fr´equences initialement distinctes de deux modes oscillants deviennent ´egales (exemple 4).
6.2 Equations lin´eaires stationnaires ; modes propres ; stabilit´e
p
1
2
p
p
p
p
3
181
4
p
p
p
Figure 13 EXEMPLE 1. L’´equation x¨ + ax˙ + bx = 0 avec a > 0 voit un de ses modes non oscillants stables devenir instable (non oscillant) lorsque b passe d’une valeur positive a une valeur n´egative. ` EXEMPLE 2. La mˆeme ´equation avec b > 0 voit son mode oscillant stable devenir instable (oscillant) lorsque a (“coefficient de frottement”) passe d’une valeur positive a une valeur n´egative. ` EXEMPLE 3. L’´equation x¨ + bx = 0 voit son mode oscillant marginalement stable donner naissance a` deux modes non oscillants, dont un instable, lorsque b passe d’une valeur positive `a une valeur n´egative (passage d’un minimum `a un maximum d’´energie potentielle). ....
EXEMPLE 4. Syst` eme ` a deux modes oscillants : x + a¨ x + bx = 0. Un exemple est fourni par le syst`eme des oscillateurs coupl´es de la figure 14
Q C (A−1)R L
L
C
M
R
Figure 14 qui est r´egi par l’´equation ....
(L2 − M 2 ) Q +
2L − AM ¨ Q Q+ 2 =0 , C C
6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques
182
ou sous forme adimensionn´ee : ....
x+x=0 ; (1 − m2 ) x + (2 − mA)¨ M est tel que |m| < 1. Ce syst`eme est marginalement stable pour a > 0, b > 0 et L 2 a > 4b ; en effet il poss`ede deux modes oscillants car l’´equation p4 +ap2 +b = 0 a quatre racines imaginaires pures conjugu´ees deux `a deux p1 = −p1 = iω1 et p2 = −p2 = iω2 . Si, lorsque les param`etres a et b (ou A et m) varient, ω1 tend vers ω2 , c’est que dans le plan (a, b) le point repr´esentatif P se rapproche d’un point Q de la courbe d’´equation a2 = 4b (figure 15). Si cette courbe est franchie (point R dans le plan (a, b)), p21 et 2 2 p2 deviennent complexes, et les quatre racines ± p1 et ± p22 ont deux a` deux des parties r´eelles oppos´ees. Un des modes oscillants devient stable et l’autre instable. m=
b= 1
1−m² a² = 4b
m fixé > 0
1
a = 2b (A = 0)
Q
R
P P0 2
a = 2−mA 1−m²
Figure 15 Remarque. Cette instabilit´ e par confusion de fr´ equences ne peut se produire dans la r´ealit´e que si le syst` eme re¸coit de l’´ energie de l’ext´erieur. La condition d’instabilit´e (2 − mA)2 < 4(1 − m2 ) n’est jamais satisfaite sans amplificateur op´erationnel. Si A = 0 le syst`eme des oscillateurs coupl´es par la mutuelle M reste marginalement stable : point P dans le plan (a, b). Certes les fr´equences propres se confondent pour m = 0, mais la courbe a2 = 4b n’est jamais franchie. L’instabilit´e par confusion de fr´ equences des modes de torsion et de flexion d’ailes d’avion est possible car le couplage de ces deux modes se fait avec apport d’´energie li´e au mouvement de translation dans l’air avec frottement ; de mˆ eme l’instabilit´e a ` l’origine du rayonnement laser correspond ` a la confusion d’une fr´equence de la cavit´ e et d’une fr´equence atomique avec apport d’´energie li´e au pompage optique.
6.3
´ DIX EQUATIONS VECTORIELLES CLASSIQUES
Un certain nombre de mouvements classiques faisant partie de la culture du physicien sont bri`evement ´etudi´es ici. Certains ont d´ej`a ´et´e vu dans les sections 2.3.3 et 2.3.4.
Mouvement uniform´ ement acc´ el´ er´ e : r¨ = a La solution
1
r(t) = r0 + v0 t + at2 o` u r(0) = r0 , r˙ (0) = v0 2 correspond `a une trajectoire parabolique d’axe parall`ele `a a et situ´ee dans le plan passant par r0 et parall`ele `a v0 et a. Une propri´et´e caract´eristique moins connue de ce mouvement
6.3 Dix ´equations vectorielles classiques de la physique
183
est la possibilit´e d’exprimer exactement la vitesse et l’acc´el´eration a` l’aide d’accroissements finis
r(t + T ) − r(t − T )
r(t + T ) + r(t − T ) − 2 r(t) , a(t) = , 2T T2
v (t) =
et donc d’avoir une construction g´eom´etrique pr´ecise de ces grandeurs : sur la figure 16a, −−→ BC −−→ et a = 2AM (T = 1). Pour des mouvements quelconques l’expression de a
vA = 2 reste souvent une bonne approximation ; elle permet de d´eduire la position r(t + T ) `a partir de r(t − T ), r(t) et a(t) ; la figure 16b fournit par exemple la r´esolution graphique
r approch´ee de r¨ = − connaissant r(0) et r(1). 4
vA
a
At
t=3
t+1 t=4
C t=5
M t−1
t=2
t=1
B t=0
(a)
(b) Figure 16
Une autre propri´et´ e utilis´ee en optique ´electronique, spectrographie de masse... est illustr´ee sur la figure 17. Si une particule p´en` etre ` a t = 0 en I dans un champ d’acc´el´ eration uniforme avec une vitesse vI ⊥ a, et le quitte en J ` a l’instant t, la relation −→ − → vJ t) = IK + 12 vJ t IJ = vI t + 12 at2 = 12 (vI t + 2 montre que la trajectoire, rectiligne ` a la sortie du champ, semble venir du milieu M du segment IK, quel que soit le module | vI | de la vitesse initiale.
M
I a
K J
Figure 17 REMARQUES 1) En pr´esence de frottement visqueux, l’´ equation devient v˙ + − τt
− τt
v τ
= a et s’int`egre
facilement : v (t) = aτ + ( v0 − aτ ) e et r (t) = r0 + aτ t − ( v0 − aτ ) τ (e − 1). La trajectoire pr´ esente une asymptote parall`ele ` a a et passant par le point de rayon vecteur r0 + v0 τ . → 2) L’´ equation de la chute libre dans le r´ ef´ erentiel local est v˙ = g − 2− ω ∧ v (cf. section 3.3.1). Elle
6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques
184
se r´ esoud, au premier ordre en ω, en posant v (t) = v0 + g t dans le membre de droite. On obtient : 2 3 → r (t) = r + v t + 1 g t2 − − ω ∧ v t + g t . 0
→ ω ∧ g Pour v0 = 0, la correction −−
t3 3
0
2
0
3
d´ ecrit la “d´eviation vers l’est” (due ` a la force de Coriolis).
Mouvement harmonique : r¨ + ω 2r = 0
k ω2 = m
Sa solution
r(t) = r0 cos ωt + v0
sin ωt o` u r(0) = r0 , r˙ (0) = v0 ω
a ´et´e ´etudi´ee `a la section 2.3.4. On v´erifie ais´ement qu’elle poss`ede neuf int´egrales premi`eres (grandeurs conserv´ees) x˙ 2 + ω 2 x2 , y˙ 2 + ω 2 y 2 , z˙ 2 + ω 2 z 2 , x˙ y˙ + ω 2 xy, x˙ z˙ + ω 2 xz, y˙ z˙ + ω 2 yz, xy˙ − y x, ˙ xz˙ − z x, ˙ et y z˙ − z y, ˙ soit cinq de plus que les quatre atten2 1 2 ˙ dues que sont l’´energie E = (m r + k r ) et les trois composantes du moment cin´etique 2 → − L = r ∧ m r˙ .
r Mouvement de Kepler : r¨ = −α 3 r Ce mouvement ´etudi´e `a la section 2.3.3. poss`ede les int´egrales premi`eres : − → − → → −
r α 1 ; C = r ∧ r˙ ; A = r˙ ∧ C − α . “E” = r˙ 2 − 2 r r → − “E” est ici proportionnel a` l’´energie totale et C (constante des aires) au moment cin´etique. → −
r˙ → − dA r
˙r A est le vecteur de Lenz. (On v´erifie que = r¨ ∧ ( r ∧ r˙ ) − α + α 2 = 0 en utilisant dt r r
r l’´equation du mouvement pour ´ecrire le premier terme sous la forme −α 3 ∧ ( r ∧ r˙ ) = r 1 d r2
r · r˙
r˙ = r · r˙ pour ´ecrire le troisi`eme terme −α 3 r + α , et en utilisant l’identit´e rr˙ = r r 2 dt → −
r( r · r˙ ) sous la forme α ). r ´etant orthogonal `a C , la trajectoire est dans le plan passant r3 → − − → par O et perpendiculaire a` C ; A est situ´e dans ce plan. Les relations − → →2 − A · r = C − αr
et
→2 − 2− −2 → →2 − →2 C 2 ˙ = α2 + 2“E” C A = r C + α − 2α r
montrent que, avec un choix convenable de l’origine des angles, l’´equation de la trajectoire en coordonn´ees polaires s’´ecrit : →2 − → − →2 − C |A| p 2“E” C avec p= , e= = 1+ r= . 1 + e cos θ α |α| α2 Il s’agit donc, comme on l’a d´ej`a vu, d’ellipses si e < 1 donc pour “E” < 0 (ce qui implique α > 0), de paraboles si e = 1 donc pour “E = 0” (α > 0 aussi), et de branches
6.3 Dix ´equations vectorielles classiques de la physique
185
d’hyperboles si e > 1 donc pour “E” > 0 (α quelconque). On retrouve l’angle Δ de la → − diffusion de Rutherford (cf. section 2.3.3) en ´ecrivant la conservation de A `a t = ±∞ : → − → − → − − → r1 = v2 ∧ C − αˆ r2 =⇒ ( v2 − v1 ) ∧ C = α(ˆ r2 − rˆ1 ) . A = v1 ∧ C − αˆ
Mouvements impliquant des vecteurs tournants → − → Rappelons l’´equation satisfaite par un vecteur V (t) qui tourne a` vitesse angulaire − ω → − uniforme, et l’expression de V (t) en fonction des valeurs initiales de ses composantes → − → − → parall`ele V 0 et perpendiculaire V 0⊥ ` a− ω : → − → − d V (t) − =→ ω ∧ V (t) dt
;
− → → − → − sin ωt → → − − V (t) = V 0 + cos ωt V 0⊥ + ω ∧ V 0⊥ . ω
Les exemples physiques sont multiples. - Mouvement de pr´ ecession d’une toupie (figure 18).
n
G O
mg
Figure 18 → − → − Dans l’approximation gyroscopique, le moment cin´etique est J = IΩˆ n, o` u Ω = Ωn ˆ est −−→ le vecteur rotation de la toupie et I le moment d’inertie selon l’axe OG ; O est le point de contact, suppos´e fixe, avec le sol et G le c.d.m. On d´eduit du th´eor`eme du moment cin´etique → − dJ = ln ˆ (t) ∧ m g (l = OG) , dt → − → − → dJ − d’abord que | J | = IΩ est constant ( J · = 0), puis que l’axe de la toupie (parall`ele dt ml → an ` ˆ ) pr´ecesse `a la vitesse angulaire − ω =−
g autour de la verticale. L’approximation IΩ est valable si ω Ω. → − - Pr´ ecession d’un moment magn´ etique
μ dans un champ magn´ etique B . ( μ = → − → − → − μ 1 d
dJ = = μ ∧ B montre γg J o` u γg est le facteur gyromagn´etique). L’´equation dt γg dt → − → − que
μ pr´ecesse autour de B ` a la vitesse angulaire ω = −γg B .
6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques
186
- Mouvement d’une particule charg´ ee, relativiste ou non, dans un champ − → v 2 − 1 1 B (figure 19). La conservation de l’´energie E = γmc2 = 1 − 2 2 mc2 (ou mv 2 ), c 2 cons´equence de v · d
p = 0, implique celle du module de la quantit´e de mouvement p = γm v (ou m v ). L’´equation d
p → − d v = q v ∧ B = γm dt dt → → − q − B (ou montre que la vitesse v pr´ecesse autour de B `a la vitesse angulaire ω = − mγ → q− − B ). La trajectoire r(t) s’obtient imm´ediatement par int´egration de v (t) : m
r(t) = r0 + v0 t +
sin ωt 1 − cos ωt
v0⊥ +
ω ∧ v0⊥ . ω ω2
On voit sur cette expression que le mouvement transversal se fait sur un cercle centr´e en ω ∧ v0⊥
v0⊥ → −
r0 + et de rayon , dans le sens direct par rapport a` B si q < 0, et indirect 2 ω ω → − 2π
v0 (repr´esent´ee si q > 0. La trajectoire est une h´elice d’axe parall`ele `a B et de pas ω sur la figure pour des charges oppos´ees et des C.I. identiques).
B v0
charge q>0
v0
charge q<0
Figure 19 - Pendule de Foucault et effet Zeeman. L’´ equation du pendule de Foucault est : r − 2m ωT ∧ r˙ . m r¨ = −mω02 → ω T = ω cos θ zˆ est la composante verticale locale de la vitesse de ω0 = g/l est la pulsation du pendule ; − → rotation − ω de la Terre. Cette ´equation apparaˆıt comme un cas particulier bidimensionnel, le d´eplacement du pendule r (t) s’effectuant dans le plan horizontal xOy, de l’´ equation tridimensionnelle → − 2 ¨ ˙ m r = −mω r + q r∧B , 0
qui d´ecrit le mouvement non amorti d’un ´electron atomique galil´een en pr´esence d’un champ magn´etique → − B (selon Oz). En posant Z = x + iy cette derni`ere ´equation se ram`ene ` a: Z¨ = −ω02 Z + iωc Z˙ et z¨ = −ω02 z , est la pulsation cyclotron. Le mouvement selon z est celui d’un oscillateur harmonique. o` u ωc = − qB m
6.4 Equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients variables
187
Quant au mouvement transverse il r´esulte, en vertu de la lin´earit´e de l’´equation, de l’addition des vecteurs tournants Z+ (t) = a eiω+ t et Z− (t) = b eiω− t , o` u ω± sont les racines positive et n´egative de l’´equation ω 2 − ωωc − ω02 = 0. Le premier tourne dans le sens direct ` a la pulsation ω+ ω0 + ω2c (si |ωc | ω0 ), le second dans le sens r´etrograde ` a la pulsation ω− −ω0 + ω2c . L’effet Zeeman est la traduction exp´erimentale de ces mouvements sur les champs rayonn´es par la charge : existence de trois fr´equences ω0 et |ω± |, avec leurs polarisations respectivement rectiligne et elliptiques obtenues par projection du mouvement sur un plan perpendiculaire ` a la direction de propagation (figure 20).
z
plan d’observation
B 0
+
x
y
− Figure 20 Pour le pendule de Foucault seul le mouvement transverse existe. Les solutions Z± (t) sont valables, mais correspondent ` a des conditions de lancement du pendule tr`es particuli`eres. La solution g´en´ erale Z(t) = a eiω+ t + b eiω− t (a eiω0 t + b e−iω0 t ) ei
ωc 2
t
correspond ` a la pr´ecession lente (due ` a la force de Coriolis) dans le sens r´etrograde, ` a la pulsation ωc = −ω = −ω cos θ, d’un mouvement elliptique (rectiligne si |a| = |b| ; cf. section 2.3.4) dans le plan T 2 (xOy).
6.4
´ ´ ` COEFFICIENTS EQUATIONS DIFFERENTIELLES A VARIABLES
Le but de ce paragraphe est d’exploiter la lin´earit´e d’une E.D. du second ordre pour d´ecrire aussi bien : la conjugaison objet-image en optique de Gauss, la quantification des niveaux d’´energie en m´ecanique quantique, ou celle des fr´equences des ondes stationnaires en m´ecanique classique, la structure en bandes des niveaux d’´energie ´electroniques dans un cristal, ou celle des fr´equences de r´esonance d’un oscillateur param´etrique. Il est aussi de montrer que, lorsque la variable est l’espace et non le temps, les conditions aux limites (C.L.) jouent souvent un rˆ ole plus important que les C.I.
6.4.1 Quatre exemples ; matrices de transfert Exemples : m´ ecanique ; optique ; quantique ; ondes Consid´erons les ´equations : d2 x + ω 2 (t) x = 0 dt2
et
dx d α(z) = −β(z) x . dz dz
La premi`ere d´ecrit le mouvement x(t) d’un oscillateur param´ etrique, dont la pulsation
6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques
188
ω(t) varie. La seconde est une r´ecriture de l’´equation du second ordre la plus g´en´erale. Elle correspond par exemple a` la trajectoire x(z) dans le plan xOz d’un rayon lumix2 + y 2 neux “proche” de l’axe Oz d’une fibre optique d’indice n(x, y, z) α(z) − β(z) 2 −−→ d (approximation lin´eaire de la loi de Descartes (nˆ u) = grad n obtenue en posant dl dz, dl dx ux ), ou encore a` des trajectoires ´electroniques pr`es de l’axe dans un potentiel axidz sym´etrique. Consid´erons de mˆeme les ´equations d’ondes a` une dimension : −
2 d2 ψ + V (z) − E ψ = 0 2 2m dz
et
dψ d α(z) = −β(z, ω) ψ . dz dz Et
La premi`ere d´ecrit un ´ etat stationnaire quantique Ψ(t, z) = e−i ψ(z) d’une particule d’´energie potentielle V (z) (E.D. de Schr¨ odinger), et la seconde d´ecrit des ondes classiques Ψ(t, z) = e−iωt ψ(z) en notation complexe. Par exemple, l’´equation des ondes sonores dans un fluide inhomog`ene de masse volumique ρ(z) et de compressibilit´e χ(z) ρ(z)
∂2Ψ ∂P = − ∂t2 ∂z
avec P (surpression) = −
1 ∂Ψ χ(z) ∂z
conduit a` une ´equation de cette forme pour ψ(z) avec α = χ−1 et β = ρ ω 2 . D’autres exemples sont fournis par les cordes vibrantes, les ondes ´electromagn´etiques guid´ees, et aussi par bon nombre de probl`emes classiques ou quantiques o` u les variables radiale et angulaires peuvent ˆetre s´epar´ees (cf. section 8.3.2).
Matrice de transfert Toutes ces ´equations recouvrent des r´ealit´es physiques tr`es diff´erentes, mais leur contenu math´ematique est essentiellement le mˆeme. C’est pourquoi, afin d’´eviter d’inutiles r´ep´etitions, nous ´enon¸cons les principaux r´esultats pour l’´equation relative a` x(z), r´esultats que nous transposerons ensuite aux autres exemples. Cette ´equation s’´ecrit, comme pour un S.D.L., d x(z) dx 0 (α(z))−1 x(z) o` u p(z) = α(z) = , p(z) p(z) −β(z) 0 dz dz et sa solution g´en´erale a donc la forme (d´ependance lin´eaire dans les C.I.) : a(z, z0 ) b(z, z0 ) x(z0 ) x(z) x(z0 ) = = M(z, z0 ) . p(z) c(z, z0 ) d(z, z0 ) p(z0 ) p(z0 ) M(z, z0) est appel´ee matrice de transfert de z0 `a z. Elle poss`ede les propri´et´es : M(z, z0 ) = M(z, z1) M(z1 , z0 )
et
det M(z, z0 ) = 1 .
La premi`ere est la loi de composition vue a` la section 6.1.1 ; la seconde est ´etablie cidessous.
6.4 Equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients variables
189
dx est important, car mˆeme si α(z) et β(z) sont discontinus dz (tr`es souvent α(z) et β(z) sont constants par morceaux), x(z) et p(z) sont eux continus. On v´erifie de plus que ce choix conduit a` la conservation du wronskien x1 p2 − x2 p1 de deux solutions arbitaires (x1 , p1 ) et (x2 , p2 ) : Le choix de p(z) au lieu de
d x1 (z) p2 (z) − x2 (z) p1 (z) = 0 . dz Cette conservation ´equivaut `a det M(z, z0 ) = 1 puisque (petit calcul) : x1 (z) p2 (z)−x2 (z) p1 (z) = x1 (z0 ) p2 (z0 )−x2 (z0 ) p1 (z0 ) a(z, z0 ) d(z, z0 )−b(z, z0 ) c(z, z0 ) . d2 x β = − x, ce qui permet dz 2 α d’exprimer facilement x(z) puis p(z) en fonction de x(z0 ) et de p(z0 ). On obtient les expressions :
Cas importants. Lorsque α et β sont constants, on a
(αk)−1 sin k(z − z0 ) cos k(z − z0 ) M(z, z0 ) = −αk sin k(z − z0 ) cos k(z − z0 ) −1 (αK) sinh K(z − z0 ) cosh K(z − z0 ) M(z, z0 ) = αK sinh K(z − z0 ) cosh K(z − z0 )
si si
β = k2 > 0 , α
(1)
β = −K 2 < 0 . α
(2)
Lorsque z → z0 , β → ∞, β(z − z0 ) → A constante (c.a.d. β(z) = A δ(z − z0 )) la matrice de transfert s’´ecrit : 1 0 . (3) M(z0+ , z0− ) = −A 1 Dans ce cas singulier, x(z) est continu mais p(z) a une discontinuit´e −Ax(z0 ) en z0 . Applications aux rayons. Le formalisme de la matrice de transfert est identique ` a celui introduit a la section 4.3.2 ; x(z) et p(z), produit de l’indice n(0, 0, z) sur l’axe par la pente du rayon, sont ` les coordonn´ees d’un rayon. Les r´esultats vus alors peuvent ˆetre repris. Par exemple la condition de conjugaison de deux plans z0 et z0 s’´ ecrit b(z0 , z0 ) = 0, et on a O M0 = a(z0 , z0 ) OM0 o` u a(z0 , z0 ) est le grandissement (figure 21).
plans conjugués
x(z 0) M0
x(z’0) M’0 O’ z z’0
O z0 Figure 21
1 0 x2 0 1 0 1 0 1 0000 1111 0 1 0000 1111 0 1 00000 11111 00 11 0000 1111 0 1 00000 11111 0 1 00 11 0000 1111 0 1 00000 11111 0 1 00 11 0000 1111 0 1 00000 11111 0000 1111 0 1 00000 11111 0 1 M O1 O’2 M’ z 0 1 0 1 0 1 Figure 22
x1
De mˆ eme si la matrice (ses ´el´ements a, b, c, d) est connue pour les deux plans d’entr´ee O1 et de sortie O2 (dans l’air) d’un syst`eme optique, la relation de conjugaison de deux points objet M et image M situ´ es sur l’axe (figure 22) s’´ecrit comme ` a la section 4.3.2 : aq + b q = (M O1 = q , M O2 = q ) . cq + d
6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques
190
Enfin la propri´et´ e det M(z, z0 ) = 1 ´equivaut a ` la conservation dx dp = dx0 dp0 de l’´ etendue optique d’un pinceau lumineux (produit de ses dispersions spatiale dx et angulaire dp) lors du passage d’un plan a un autre plan z. z0 `
REMARQUE. Pour des ´equations d’ordre n quelconque la notion de matrice de transfert persiste ainsi que la loi de composition mais la propri´et´e det M = 1 n’est plus vraie en g´en´eral.
6.4.2
Ondes stationnaires ; ´ etats li´ es ; quantification
Dans de nombreux probl`emes d’ondes la solution est d´etermin´ee non par les “C.I.” ψ(z0 ) dψ dψ et (z0 ) (ou p(z0 ) = α(z0 ) (z0 )), mais par deux conditions aux limites (C.L.) dz dz en deux points z1 et z2 > z1 . Ces conditions en chaque point peuvent ˆetre du type dψ (zi ) = 0 (tuyau ouvert ou corde ψ(zi ) = 0 (tuyau sonore ferm´e ou corde fix´ee en zi ), dz dψ (zi ) + μi ψ(zi ) = 0 (tuyau ou corde branch´es sur un imp´edance acoustique libre), ou dz ou m´ecanique, μi ´etant r´eel si l’imp´edance est imaginaire pure). Les C.L. en z1 et z2 entraˆınent automatiquement l’annulation d’une combinaison lin´eaire des coefficients a, b, c et d de la matrice M(z2 , z1 ). Comme les ´el´ements de la matrice de transfert d´ependent de la pulsation ω (ou de l’´energie E en quantique), les conditions aux limites ne peuvent ˆetre satisfaites, sauf exception tr`es rare, que pour des valeurs discr`etes, en nombre fini ou infini, de ω (ou E). C’est l’origine de la quantification des fr´ equences des ondes stationnaires ou des niveaux d’´ energie. EXEMPLE 1. Fr´ equences d’un tuyau sonore (milieu homog`ene : ρ et χ constants ; dψ longueur L = z2 − z1 ). On v´erifie que les C.L. ψ(z1,2 ) = 0, ou (z1,2 ) = 0, ou dz dψ (z2 ) = 0, s’´ecrivent respectivement b = 0, ou c = 0, ou d = 0. Ceci ψ(z1 ) = 0 et dz implique que M est de la forme (1). Par exemple c = 0 conduit a` sin kL = 0 et `a la √ nπ dψ = ωn χρ. Plus g´en´eralement, si (z1,2 ) = k tg ϕ1,2 ψ(z1,2 ), quantification kn = L dz le lecteur v´erifiera en proc´edant comme dans l’exemple 2 la condition de quantification kL = ϕ1 − ϕ2 (mod π). EXEMPLE 2. Etats li´ es de l’E.D. de Schr¨ odinger. Consid´erons le puits de potentiel plat tel que V (z) = V0 < 0 pour 0 < z < L et nul ailleurs, et un ´etat li´e d’´energie 2m 2 2 K < 0. On pose k02 = 2 (E − V0 ) > 0. Pour les grandeurs continues ψ et E=− 2m dψ on a : dz ψ(L) ψ(0) cos k0 L k0−1 sin k0 L = . dψ dψ −k0 sin k0 L cos k0 L dz (L) dz (0) dψ dψ Les conditions aux limites sont (0) = K ψ(0) et (L) = −K ψ(L), puisque ψ(z) ∝ dz dz eKz pour z ≤ 0 et ψ(z) ∝ e−Kz pour z ≥ L. La quantification de l’´energie est donn´ee par : −K =
−ko sin k0 L + K cos k0 L cos k0 L + K sinkk00 L
ou
k0 L = 2ϕ (mod π) avec tg ϕ =
K . ko
6.4 Equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients variables
191
Cette relation devient simple pour le puits “delta” V (z) = −
2 A δ(z), c’est-`a-dire 2m
2 A fini (A > 0). En effet la matrice de 2m transfert est de la forme (3), et la condition de quantification devient −K = K − A ; 2 A2 . elle conduit a` un seul ´etat li´e d’´energie E = − 2m 4 Remarque. Dans le cas d’une barri` ere de potentiel carr´ee de largeur L et de hauteur constante V0 > 0, la matrice de transfert est de la forme (2) : 2m K0−1 sinh K0 L cosh K0 L avec K02 = − 2 (E − V0 ) > 0 . M= K0 sinh K0 L cosh K0 L
dans la limite |V0 | → ∞, L → 0 et |V0 |L =
6.4.3
Ondes propagatives ; r´ eflexion, transmission, adaptation d’imp´ edance
L’´etude de la r´eflexion et de la transmission d’ondes est un probl`eme avec comme condition aux limites la forme de l’onde pour z → ∞. Dans la suite on consid`ere des milieux homog`enes pour z < 0 (α(z) = α1 ) et pour z > L (α(z) = α2 ).
R´ eflexion et transmission Consid´erons des ondes de la forme : ψ(z < 0) = A1 eik1 z + B1 e−ik1 z
et
ψ(z > L) = A2 eik2 z .
Eventuellement k2 = iK2 pour une onde ´evanescente. Supposant connue la matrice de transfert M on a : ψ(0+ ) ψ(L− ) a b = . − + c d α dψ α dψ dz (L ) dz (0 ) La continuit´e de ψ et de α
dψ en 0 et L conduit aux deux ´equations dz
A2 eik2 L = a(A1 +B1 )+iα1 k1 b(A1 −B1 ) et iα2 k2 A2 eik2 L = c(A1 +B1 )+iα1 k1 d(A1 −B1 ) qui permettent de d´eterminer le coefficient de r´eflexion r =
B1 et le coefficient de transA1
A2 . En physique classique ces coefficients sont souvent exprim´es en fonction A1 des imp´ edances des ondes dans chaque milieu Zi ∝ ω −1 αi ki , le coefficient de proportionnalit´e ne d´ependant pas du milieu (cf. exemples section 8.1.2). mission t =
Pour L = 0 (contact de deux milieux semi infinis), la matrice de transfert est ´evidemment ´egale a` l’identit´e (a = d = 1; b = c = 0). On obtient : r=
α1 k1 − α2 k2 Z1 − Z2 = . α1 k1 + α2 k2 Z1 + Z2
Le cas L = 0 avec un milieu interm´ediaire entre 0 et L homog`ene (α(z) = α0 , 0 < z < L) est calculable, la matrice M ´etant alors de la forme (1) ou (2). Il correspond a` de nombreux exemples connus en physique classique et quantique. En physique classique un cas particulier int´eressant est celui de l’adaptation d’imp´ edance entre les milieux 1 et 2 :
6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques
192
il s’agit de d´eterminer le milieu interm´ediaire pour que le coefficient de r´eflexion du cˆ ot´e 1 soit nul, donc B1 = 0. On d´eduit des relations ci-dessus entre A1 , B1 et A2 la condition : iα2 k2 (a + ibα1 k1 ) = c + idα1 k1 . Comme α1 k1 = α2 k2 par hypoth`ese, et que a = d, l’´egalit´e des parties imaginaires implique a = d = 0. Ceci n’est possible que si M est de la forme (1) et a = cos k0 L avec π k0 L = (milieu interm´ediaire propagatif et de longueur L ´egale a` un quart de longueur 2 d’onde). Comme alors c = −α0 k0 = −b−1 , l’´egalit´e des parties r´eelles c = −bα1 k1 α2 k2 implique la condition sur les imp´edances Z02 = Z1 Z2 (cf. section 8.1.2). REMARQUE. Si les milieux 1 et 2 sont identiques (mais diff´erents du milieu interm´ediaire) on ´etablit de mˆeme que r = 0 si sin k0 L = 0 soit k0 L = nπ. C’est aussi la condition de transparence du puits de potentiel plat quantique.
Bilans ´ energ´ etiques Dans l’expression Ψ(t, z) = e−iωt ψ(z) d’une onde, la partie spatiale ψ(z) est a priori complexe. Comme l’´equation d’onde est `a coefficients r´eels, ψ(z) et ψ(z) constituent deux solutions auxquelles on peut appliquer la conservation du wronskien. On en d´eduit que la quantit´e r´eelle i d d j= ψ (αψ) − ψ (αψ) 2 dz dz ne d´epend pas de z. j est proportionnel en physique classique au flux d’´ energie (moyenn´e dψ dψ dans le temps) et en quantique au courant de probabilit´ ei ψ −ψ (cf. 2m dz dz section 4.4.3). Dans un milieu homog`ene (α et β constants) on obtient, pour des ondes propagatives : ψ(z) = A eikz + B e−ikz
j = α k(|A|2 − |B|2 ) ;
;
j est alors la somme alg´ebrique des flux associ´es aux deux ondes se propageant en sens oppos´es. Pour des ondes non propagatives on obtient : ψ(z) = A e−Kz + B eKz
;
j = 2 αK m (BA) ;
donc j = 0 si B = 0 (cas d’une onde ´evanescente). Le bilan ´energ´etique pour un probl`eme de r´eflexion transmission s’´ecrit : α1 k1 (1 − |r|2 ) = α2 k2 |t|2
pour k2 r´eel
ou
α1 k1 (1 − |r|2 ) = 0 pour k2 = iK2 .
|r| = 1 si dans le milieu 2 l’onde est ´evanescente.
Matrice S Le cas o` u il n’y a qu’une seule onde A2 eik2 z pour z > L est particulier. Dans le cas g´en´ eral il y en a deux : ψ(z ≥ L) = A2 eik2 z + B2 e−ik2 z . Si la matrice de transfert est connue, on peut exprimer A2 et B1 , coefficients des ondes sortant de la r´egion [0, L], lin´ eairement en fonction de A1 et B2 , coefficients des ondes rentrant dans la r´egion [0, L]. La matrice correspondante est appel´ee matrice S : A2 S11 S12 A1 = . B1 S21 S22 B2 Elle contient la mˆeme information sur la r´egion [0, L] que la matrice de transfert. Le bilan α1 k1 (|A1 |2 − |B1 |2 ) = α2 k2 (|A2 |2 − |B2 |2 ) montre que si les milieux 1 et 2 sont identiques, ou si on renormalise convenablement A1 , B1 et A2 , B2 , S est une matrice unitaire.
6.4 Equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients variables
6.4.4
193
Equations avec param` etres p´ eriodiques ; th´ eor` eme de Floquet-Bloch
Th´ eor` eme de Floquet Quand une E.D. lin´eaire a des coefficients p´eriodiques, la solution g´ en´ erale est une somme de “modes”, chacun ´etant le produit d’une exponentielle (r´eelle ou complexe) par une fonction p´eriodique de mˆeme p´eriode que les coefficients. Lorsque la p´eriode est nulle, on retrouve le cas des coefficients constants o` u chaque “mode” est une simple exponentielle. Ce r´esultat g´en´eral se comprend bien sur l’exemple des E.D. du second ordre. Consid´erons le cas de l’oscillateur param´ etrique avec une pulsation ω(t) de p´eriode T , et notons MT sa matrice de transfert de t = nT ` a t = (n + 1)T (n = · · · − 1, 0, 1 · · · ) : x(T ) x(0) = MT x(T ˙ ) x(0)¸ ˙
;
a MT = c
b . d
Si m est un vecteur propre de MT correspondant `a la valeur propre λ, et si m(t) d´esigne la solution telle que m(0) = m, alors m(T ) = λm(0). Dans l’intervalle [T, 2T ], la solution va donc reproduire celle de l’intervalle [0, T ] multipli´ee par λ, et ainsi de suite. Ceci implique t t m(t + T ) = λ m(t), d’o` u on d´eduit, en posant m(t) = λ T mper (t) = e T ln λ mper (t), que mper (t) est p´eriodique (mper (t + T ) = mper (t)). Il suffit alors de remarquer que des C.I. arbitraires peuvent s’´ecrire sous la forme de combinaisons lin´eaires des vecteurs propres de MT (en supposant qu’ils forment une base) pour comprendre le th´eor`eme.
R´ esonance param´ etrique Si l’un des “modes” m(t) correspond `a une valeur propre de module sup´erieur `a 1, le syst`eme est instable. Comme det MT = 1, ceci se produit lorsque les deux valeurs propres λ et λ−1 sont r´eelles, c’est-`a-dire pour (a + d)2 − 4 ≥ 0 ou |Tr MT | > 2. EXEMPLE. Consid´erons un oscillateur harmonique ordinaire x ¨ + ω02 x = 0 subissant la perturbation suivante : a` chaque instant nT (n = 1, 2 · · · ) sa vitesse x(nT ˙ ) est incr´ement´ee de la quantit´e −A x(nT ) proportionnelle a` son ´elongation a` cet instant. Dans ces conditions, la matrice de transfert MT de l’oscillateur perturb´e de t = 0+ `a t = T + est le produit de la matrice de transfert de t = 0+ `a t = T − de l’oscillateur harmonique non perturb´e et de la matrice de transfert de T − `a T + qui rend compte de cette perturbation : MT
1 0 cos ω0 T −A 1 −ω0 sin ω0 T
=
A Sa trace 2 cos ω0 T − sin ω0 T = ω0
4+
ω0−1 sin ω0 T cos ω0 T
.
A2 cos (ω0 T + ϕ) est repr´esent´ee en fonction ω02
6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques
194
A A > 0 petit (tg ϕ = ϕ) ; les zones d’instabilit´e sont ω0 2ω0 hachur´ees. La premi`ere instabilit´e correspond pour les perturbations a` une fr´ equence double de la fr´equence propre de l’oscillateur (ω0 T π).
de T sur la figure 23 pour
tr M’T 2
/
3 /
0
0
0
T 2 /
0
4 /
0
−2 Figure 23
Bandes d’´ energie dans les cristaux L’E.D. de Schr¨odinger en pr´esence d’un potentiel p´eriodique, de p´eriode L, a la mˆeme structure que l’´equation de l’oscillateur param´etrique. Le th´eor`eme de Floquet s’appelle alors th´ eor` eme de Bloch. Cependant les fonctions d’onde ψ(z) doivent rester finies pour z → ±∞. Ceci implique que les valeurs propres λ de la matrice de transfert ML sont de module 1 et donc du type e±ikL . Les facteurs exponentiels λz/L pr´esents dans les modes propres sont alors de la forme e±ikz , c’est-`a-dire des ondes planes. Cela correspond a |tr ML | = |2 cos kL| ≤ 2. On voit que a` cause de la p´eriodicit´e spatiale du potentiel, les ` niveaux d’´energie ne sont plus d´etermin´es par des ´egalit´es entraˆınant leur quantification, mais par des in´egalit´es impliquant leur regroupement par bandes d’´ energie. EXEMPLE. Pour une suite infinie p´eriodique de puits de potentiel “delta ”, s´epar´es par des r´egions de longueur L o` u le potentiel est nul, la matrice de transfert ML de 0+ ` a L+ est le produit de celle de la r´egion “homog`ene” V = 0 par celle d’un “delta” (cf. section 6.4.2) : 2 k02 1 0 cos k0 L k0−1 sin k0 L ML = pour E = >0 −A 1 −k0 sin k0 L cos k0 L 2m 2 K02 1 0 cosh K0 L K0−1 sinh K0 L pour E = − <0. = −A 1 K0 sinh K0 L cosh K0 L 2m Pour E > 0 la condition |tr ML | ≤ 2 conduit a` la structure en bandes correspondant aux zones non hachur´ees sur la figure 23 (zones de stabilit´e de l’oscillateur paA ram´etrique). Pour E < 0 on doit avoir |2 cosh K0 L − sinh K0 L| < 2, ce qui K0 A implique A > 0 ; l’´etat li´e du puits “delta” (K0 = ) obtenu `a la section 6.4.2. est 2 remplac´e par une bande d’´energie. Inversement, en faisant tendre L vers l’infini (pour A n’avoir qu’un seul “delta”), l’in´egalit´e pr´ec´edente donne K0 = et on retrouve l’´etat 2 li´e.
6.4 Equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients variables
6.4.5
195
Equations d’amplitude ; approximation adiabatique
La m´ethode de l’´equation d’amplitude s’applique a` des syst`emes dont l’´equation d’´evolution est “proche” de celle x ¨ + ω02 x = 0 d’un oscillateur harmonique non amorti (dont 1 la solution g´en´erale s’´ecrit x0 (t) = (a0 eiω0 t + a0 e−iω0 t )). Elle consiste `a consid´erer 2 que toute “petite” modification de cette ´equation se traduit sur x0 (t) par un effet de modulation (d’amplitude et de phase). La solution x(t) de l’´equation perturb´ee s’obtient en posant x(t) =
1 (a(t) eiω0 t + a(t) e−iω0 t ) 2
et en r´esolvant l’´equation obtenue pour l’amplitude complexe a(t) suppos´ee lentement variable par rapport a` e±iω0 t .
Oscillateur param´ etrique : x¨ + 2λ x˙ + ω02 (1 + h cos γt) x = 0 Cette ´equation s’´ecrit aussi : a ¨
1 + λa˙ + i ω0 (a˙ + λ a) eiω0 t + c.c. = − ω02 h (eiγt + e−iγt )(a eiω0 t + a e−iω0 t ) . 2 4
A priori tr`es compliqu´ee, elle se simplifie beaucoup dans le cas o` u les param`etres λ > 0 et h sont petits devant 1, car alors a(t) est une fonction lentement variable du temps. D’abord on peut n´egliger a ¨ et λ a˙ devant ω0 (a˙ + λ a) ; ensuite, en multipliant les deux membres par e−iω0 t , on peut ne conserver que les termes qui, comme a(t), sont `a variation lente. Ceci est ´equivalent a` ne retenir dans l’´equation ci-dessus que les termes dont la variation est proche de eiω0 t . On est donc amen´e `a ´eliminer le terme “complexe conjugu´e” (qui varie essentiellement comme e−iω0 t ). Quant au second membre, la seule possibilit´e, pour qu’il existe des termes variant comme eiω0 t , est que γ = 2ω0 + δω avec δω ω0 . On obtient l’E.D. d’amplitude : 1 i ω0 (a˙ + λ a) = − ω02 h eiδωt a . 4 Pour ´etudier la r´esonance param´etrique posons a(t) = ei
δω 2 t
b(t). L’´equation
˙ = − λ + i δω b(t) + i ω0 h b(t) , b(t) 2 4 ω h 2 0 de la forme z˙ = α z + β z conduit a` une instabilit´e (cf. section 6.2.3) pour ≥ 4 δω 2 λ2 + ; la zone de r´esonance dans le plan (γ = 2ω0 + δω, h) est hachur´ee sur la 2 figure 24.
6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques
196
h
1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111
4 0
2
0
1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111
Figure 24 REMARQUE. Si la perturbation au lieu d’ˆetre harmonique comme h cos γt est seulement p´eriodique de , la condition de r´esonance γ = 2ω0 devient n γ = 2ω0 ; c’´etait le cas de l’oscillateur p´ eriode T = 2π γ soumis ` a une suite d’impulsions consid´er´ e` a la section 6.4.4.
Oscillateur dont la pulsation varie adiabatiquement Consid´erons l’oscillateur x ¨ + ω 2 (t) x = 0 dans le cas o` u la pulsation ω(t) est une fonction lentement variable du temps (temps 2π ). Il est alors naturel caract´eristique de variation tr`es sup´erieur `a la p´eriode instantan´ee ω de poser : t t 1 x(t) = a(t) ei 0 ω(s) ds + a(t) e−i 0 ω(s) ds . 2 a i t ¨ + iω a˙ + aω˙ ei 0 ω(s) ds + complexe conjugu´e = 0 conduit ausL’´equation exacte 2 2 1 sitˆot `a l’´equation d’amplitude ω a˙ + ω˙ a = 0 et au r´esultat 2 E(t) ω(t) |a(t)|2 = Cste ou = Cste (invariant adiabatique), ω(t) l’´energie E d’un oscillateur ´etant proportionnelle a` ω 2 |a|2 . Donnons des exemples d’application. - Confinement magn´ etique. On a vu (cf. section 6.3) que le mouvement d’une particule charg´ee galil´ eenne dans un champ magn´etique constant est, pour sa composante transverse, assimilable ` a celui d’un → − 1 2 . Si la composante oscillateur de pulsation qB et d’´ e nergie mv v est petite, et si B varie lentement ⊥ m 2 d’un point de l’espace ` a l’autre, le mouvement transversal est celui d’un oscillateur de fr´equence variant v2
2 + v2 ) adiabatiquement ; la quantit´e B⊥ est donc conserv´ee. Comme de plus l’´energie totale E = 12 m(v⊥ l’est aussi, le mouvement longitudinal est limit´e ` a des r´egions o` u le champ n’est pas trop grand.
- Pression de radiation. Une onde stationnaire pouvant ˆetre assimil´ ee ` a un oscillateur, consid´erons π une corde vibrante de longueur L fix´ ee ` a ses extr´emit´es. La condition de quantification k = n entraˆıne L dω = − dL , d’o` u on d´eduit que lorsque la longueur L de la corde varie adiabatiquement : dE = − dL . ω L E L La relation dE = −F dL donne la valeur F = E de la force de radiation exerc´ e e par la corde sur son L extr´emit´e. On ´etablit de mˆeme que pour une cavit´e r´ esonnante (sonore ou electromagn´etique) cubique E de volume V = L3 , la pression de radiation P , d´ eduite de dE = −P dV , vaut P = 3V et que, pour une particule libre quantique dans une boite (E = ω = monoatomique) (cf. aussi section 9.4).
2 k2 ), 2m
P =
2E 3V
(pression cin´ etique du gaz parfait
6.5 Oscillateurs non lin´eaires
197
REMARQUE. L’E.D. de Schr¨ odinger ` a une dimension ´etant math´ematiquement semblable ` a l’´equation de l’oscillateur, l’espace jouant le rˆ ole du temps et k(z) celui de ω(t), l’approximation adiabatique s’applique aussi en quantique lorsque la longueur caract´eristique de variation du potentiel est tr`es sup´erieure ` a la longueur d’onde locale. Une onde progressive Ψ(z) est alors de la forme : 1 E − V (z) . Ψ(z) ∝ k(z)− 2 exp i z k(z ) dz avec k 2 (z) = 2m 2 Cette approximation connue sous le nom d’approximation WKB s’applique aussi aux ondes classiques.
6.5
´ OSCILLATEURS NON LINEAIRES
L’´etude des syst`emes dynamiques non lin´eaires (S.D.N.L.) se justifie pour de nombreuses raisons. La premi`ere est que les lois physiques lin´eaires ne sont souvent que des approximations ; il faut donc au moins estimer les corrections non lin´eaires `a apporter aux S.D.L. Une deuxi`eme r´eside dans l’instabilit´ e de certains S.D.L. Le fait que leur solution tende vers l’infini n´ecessite de revoir les hypoth`eses ayant conduit aux ´equations d’´evolution, et d’examiner comment les non lin´earit´es modifient ´eventuellement les conclusions de l’analyse lin´eaire. Enfin certains ph´enom`enes “auto-entretenus” qui tendent asymptotiquement vers un cycle limite xlim (t) ne peuvent pas d´ecouler d’une ´evolution lin´eaire, puisque λ xlim (t) n’est ´evidemment pas solution. Un S.D.N.L. peut bien sˆ ur ˆetre abord´e num´eriquement, mais son ´etude syst´ematique en fonction des diff´erents param`etres (adimensionn´es) pr´esents dans l’´equation devient vite impossible et reste de toute fa¸con “ph´enom´enologique”. Dans l’immensit´e du domaine non lin´eaire, les aspects les plus int´eressants sont les changements qualitatifs de solution, appel´es bifurcations, lorsque l’on fait varier un param`etre. Il est remarquable que leur ´etude repose essentiellement sur une lin´earisation du probl`eme au voisinage du point de bifurcation. Dans la suite on utilisera principalement la m´ethode de l’´equation d’amplitude pour ´etudier des exemples d’oscillateurs non lin´eaires. (Cette m´ethode constitue en fait le premier ordre d’une m´ethode g´en´erale : la “mise sous forme normale” d’´equations pr`es des bifurcations.) Elle s’av`ere appropri´ee en particulier pour d´eterminer les corrections non lin´eaires lorsque les coefficients des termes non lin´eaires sont petits.
6.5.1
Oscillateurs lin´ eairement stables faiblement non lin´ eaires
Consid´erons l’´equation : x ¨ + 2λx˙ + ω02 x + αx2 + βx3 = f cos ωt
(λ > 0) .
Elle peut d´ecrire les oscillations d’un pendule simple, auquel cas x ≡ θ est l’´elongation ω2 angulaire, α = 0 et β = − 0 (si on se limite `a des valeurs de θ telles que l’approximation 6 θ3 est valable). Elle peut aussi s’appliquer `a la polarisation N qx d’un milieu sin θ = θ − 6 di´electrique, x d´ecrivant les oscillations non lin´eaires du nuage ´electronique en pr´esence qE ) ; les termes non lin´eaires sont alors dans la d’un champ ´electrique oscillant (f = m r´ealit´e “tr`es petits”. Souvent il apparaˆıt un seul terme, αx2 ou βx3 , en liaison avec l’absence ou la pr´esence de la sym´etrie x → −x du probl`eme consid´er´e.
6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques
198
Methode de perturbation “na¨ıve” L’approche la plus naturelle consiste `a poser x(t) = x0 (t) + x1 (t), o` u x0 (t) est la solution de l’´equation lin´eaire avec second membre et x1 (t) une “petite” correction. En portant x(t) dans l’E.D., on obtient l’E.D. lin´earis´ee pour x1 (t) (les termes en x21 et x31 sont n´eglig´es devant ceux en x1 ) : x ¨1 + 2λx˙ 1 + ω02 x1 + (2αx0 + 3βx20 )x1 = −αx20 − βx30 . On peut mˆeme `a priori supprimer (2αx0 + 3βx20 )x1 puisque l’hypoth`ese |x1 | |x0 | entraˆıne par exemple |αx0 x1 | |αx20 |. Cette ´equation, avec x0 (t) = a0 cos(ωt + ϕ0 ), rend compte des effets qualitatifs suivants. 1) Optique a des termes constant et non lin´ eaire. Le terme αx20 (resp. βx30 ) conduit pour x1 (t), et donc pour x(t), ` a f 3 ). Dans l’exemple de la de pulsation 2ω proportionnels ` a f 2 (resp. de pulsation ω et 3ω proportionnels ` polarisation di´electrique, les effets associ´es sont connus sous le nom d’effet Kerr optique et de g´en´ eration de lumi`ere ` a la pulsation 2ω (resp. de d´ependance de l’indice vis-` a-vis de l’intensit´e lumineuse E 2 et de g´ en´ eration de lumi`ere ` a la pulsation 3ω). 2) Ces harmoniques 2ω, 3ω · · · induites par les termes non lin´ eaires d’une E.D. peuvent expliquer des effets de r´ esonance de l’oscillateur pour des sous multiples ω =
ω0 ω0 , 3 2
· · · de sa pulsation naturelle de r´esonance ω0 . 3) Le terme 2αx0 x1 peut, pour ω = 2ω0 ,
induire un effet de r´ esonance param´ etrique ; il n’est alors plus n´egligeable.
L’utilisation de cette m´ethode m´erite attention. Dans le cas du mouvement libre d’un pendule λ = α = f = 0, l’´equation pour x1 (t) avec x0 (t) = a0 cos ω0 t, qui s’´ecrit x ¨1 + ω02 x1 = −βa30 cos3 ω0 t = − conduit a` :
βa30 (3 cos ω0 t + cos 3ω0 t) , 4
3βa30 βa30 t sin ω0 t + cos 3ω0 t . 8ω0 32ω02 La “perturbation” en t sin ω0 t, due au terme “r´esonnant” en cos ω0 t pr´esent dans le second membre de l’´equation pour x1 , surprend puisqu’elle tend vers l’infini et viole la conservation de l’´energie. En fait elle n’a de sens que pout t petit ; x(t) se met alors sous la forme 3βa20 βa30 x(t) = a0 cos ωt + a3 cos 3ωt avec ω = ω0 + et a3 = , 8ω0 32ω02 x(t) = a0 cos ω0 t −
et on retrouve le r´esultat connu que la p´ eriode d´ epend de l’amplitude et qu’il y a des harmoniques. Une fa¸con de montrer que ce r´esultat reste correct pour t grand consiste a porter a priori x(t) = a0 cos ωt + a3 cos 3ωt dans l’´equation du pendule. En ne gardant ` que les termes dominants, de pulsation ω et 3ω, on obtient βa30 (3 cos ωt + cos 3ωt) = 0 , 4 d’o` u on d´eduit les mˆemes expressions pour a3 et ω − ω0 . (ω02 − ω 2 ) a0 cos ωt + (ω02 − 9ω 2 ) a3 cos 3ωt +
M´ ethode de l’´ equation d’amplitude Elle permet d’´eviter le terme r´esonnant. Rappelons qu’elle consiste `a porter 1 x(t) = (a(t) eiω0 t + a(t) e−iω0 t ) 2 dans l’´equation de d´epart, et `a ne retenir que les termes `a variation proche de eiω0 t .
6.5 Oscillateurs non lin´eaires
199
En remarquant que dans αx2 il n’y a pas de tels termes, que dans βx3 seul le terme en a2 a est de ce type, et que dans f cos ωt il n’y a de contribution que si ω − ω0 = δω est petit devant ω0 , on obtient l’E.D. d’amplitude : (iω0 + λ) a˙ + iω0 λa =
1 iδωt 3 2 fe − βa a . 2 8
Si f = λ = 0 (cas du mouvement libre d’un oscillateur non amorti anharmonique) on 3 β 2 a : a˙ = i |a| a. Cette ´equation, avec l’´equation complexe conjugu´ee pour a, montre 8 ω0 3 β |a0 |2 t . On retrouve que |a| est constant (aa ˙ + aa˙ = 0) et conduit `a a(t) = a0 exp i 8 ω0 3 β 2 |a0 | . ainsi rapidement le r´esultat ω = ω0 + 8 ω0 Si f et λ sont non nuls (´ etude de la r´ esonance non lin´ eaire pr`es de ω0 ), le r´egime permanent est obtenu en cherchant une solution sous la forme a(t) = Aeiϕ eiδωt . Tenant δω compte de 1 on obtient imm´ediatement : ω0 3 β 2 2 f2 A ) + λ2 = . A2 (δω − 8 ω0 4ω02 Les courbes A(δω) se d´eduisent par rotation de 90o du graphe de δω(A), qui lui r´esulte simplement de la superposition de la courbe bien connue associ´ee `a la r´esonance lin´eaire 3 β 2 et de la parabole A (figure 25) : 8 ω0 f2 3 β 2 δω = A ± − λ2 . 8 ω0 4ω02 A2 On notera sur la figure 25 le d´eplacement de la fr´equence de r´esonance et la constance de la valeur du maximum de l’amplitude a` la r´esonance, et sur la figure 26, la possibilit´e d’hyst´er´esis en fr´equence. (En effet quand ω augmente, l’amplitude de l’oscillateur saute de B `a C, et lorsque ω diminue, elle saute de D a` E, car on peut montrer que les points de l’arc BD de la courbe sigmo¨ıde correspondent `a des solutions instables.)
Æ =+
f² 4
² A²
²
A
résonance nonlinéaire
A
E B
0
(résonance linéaire)
Æ =3 8
¬
A²
D
0
C
Æ Figure 25
Æ Figure 26
6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques
200
Cas des oscillateurs coupl´es ; instabilit´e non lin´eaire La m´ ethode ci-dessus permet aussi d’´etudier des oscillateurs d´ecrits par les ´equations adimensionn´ees x ¨1 + x1 + βx31 = γ(x2 − x1 )
,
x ¨2 + x2 + βx32 = γ(x1 − x2 ) ,
lorsque les coefficients non lin´eaire β et de couplage γ sont comparables et petits. En posant xi (t) = 1 (a (t) eit 2 i
+ ai (t) e−it ), on obtient imm´ediatement les E.D. d’amplitudes : i a˙ 1 = − 38 βa21 a1 +
γ 2
(a2 − a1 )
i a˙ 2 = − 38 βa22 a2 +
γ 2
(a1 − a2 ) . Elles poss`edent les solutions particuli`eres (attendues) a1 (t) = a2 (t) = a0 exp i 38 β|a0 |2 t pour le mode 3 sym´ etrique, et a1 (t) = −a2 (t) = a0 exp i 8 β|a0 |2 t exp iγt pour le mode antisym´etrique. Un effet moins attendu, facilement v´erifiable exp´erimentalement avec des pendules, est l’instabilit´ e du mode ,
sym´ etrique si β < 0 et si 34 |β||a0 |2 > γ, c.a.d. si les amplitudes d’oscillation sont assez grandes. (Le etudiera la stabilit´e de l’´ equation lin´earis´ee pour lecteur posera ai (t) = (a0 + bi (t)) exp i 38 β|a0 |2 t , et ´ ecrit iz˙ = − γ + 38 β|a0 |2 z − 38 βa20 z.) Si β > 0 c’est le mode antisym´etrique qui peut z = b1 − b2 , qui s’´ devenir instable.
6.5.2
Oscillateurs lin´ eairement instables ; exemple de Van der Pol ; bifurcations de Hopf et d’un cycle limite
L’´equation adimensionn´ee, qui se rencontre dans de nombreux domaines de physique (m´ecanique, ´electronique...) x ¨ − 2(1 − x2 )x˙ + x = f cos ωt
( > 0) ,
d´ecrit un oscillateur (de Van der Pol) dont le coefficient d’amortissement −2(1 − x2 ), n´egatif pour x petit, peut redevenir positif si l’amplitude est assez grande ; le terme non lin´eaire a donc pour effet de stabiliser le syst`eme. Sa r´esolution fournit un bon exemple d’application de la m´ethode des isoclines pour f = 0, et de la m´ethode des ´equations d’amplitudes pour f = 0 et petit. On discutera ensuite la “g´en´ericit´e” de cet exemple.
M´ ethode des isoclines Pour f = 0 l’´equation s’´ecrit plus simplement : y˙ + x = 0
avec
y = x˙ + F (x) et
x3 . F (x) = −2 x − 3
Ceci sugg`ere de prendre x et y, plutˆ ot que x et x, ˙ comme coordonn´ees dans l’espace de phase. Des relations dy + x dt = 0 et y − F (x) dt = dx, on d´eduit (en ´eliminant dt) dy l’´equation y − F (x) + x = 0 satisfaite par les trajectoires y(x), et l’´equation des dx dy isoclines ( = tg θ) : dx y = −cotg θ x + F (x) . π sont respectivement l’axe Oy (x = 0) et la cubique y = F (x) ; 2 x3 π les isoclines θ = ± sont les cubiques y = (−2 ∓ 1)x + 2 . 4 3 Les isoclines θ = 0 et θ =
6.5 Oscillateurs non lin´eaires
201
Dans le cas 1 (figure 27), le lecteur se convaincra que la forme des isoclines implique qu’une trajectoire initialement proche de O s’en ´eloigne, tandis qu’une trajectoire initialement loin de O s’en rapproche. Ceci conduit a` penser que toute trajectoire tend vers un cycle limite. On estime sa “taille” a en posant xlim (t) = a cos t, et en ´ecrivant que sur la dur´ee d’un cycle la force de frottement ne travaille pas, et donc que sa puissance moyenne < −2(1 − x2 )x˙ 2 > est nulle ; on obtient a = 2. Ce r´esultat est confirm´e ci-dessous.
y isocline =
4
=
y M
4 2
=
C
3 2
N D
x
x B
A
Figure 27
Figure 28
x3 qui est Dans le cas 1 (sch´ematis´e sur la figure 28), c’est le terme −2 x − 3 dominant dans l’´equation des isoclines, sauf dans le voisinage imm´ediat de θ = 0, o` u c’est au contraire le terme −cotg θ x qui domine. Il en r´esulte que, `a part celles qui π correspondent `a θ 0, toutes les isoclines sont tr`es proches de l’isocline θ = . D`es 2 lors une trajectoire qui part d’un point M de Oy (o` u θ = 0) reste quasiment horizontale jusqu’` a ce qu’elle s’approche de N sur la courbe y = F (X). Elle se trouve alors “pi´eg´ee” par le r´eseau tr`es serr´e d’isoclines jusqu’en A. Entre A et B elle redevient horizontale, puis “pi´eg´ee” entre B et C, horizontale a` nouveau entre C et D, pour finalement d´ecrire ind´efiniment le cycle limite ABCDA. On peut d´eduire de cette rapide analyse du portrait de phase l’allure de la fonction x(t). Comme x˙ = y − F (x), x˙ sera petit sur les parties DA et BC du cycle et grand sur CD et AB. x(t) va donc ˆetre p´eriodique et pr´esenter des oscillations avec des phases de variations lentes puis rapides bien s´epar´ees : ce sont des oscillations de relaxation (figure 29).
x(t)
A
D
t B
C Figure 29
6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques
202
M´ ethode de l’E.D. d’amplitude 1 a(t) eit + a(t) e−it dans l’´equation et on 2 conserve seulement les termes `a variation proche de eit :
Pour 1 on porte l’expression x(t) =
|a|2 i a˙ = − f eiδωt + a 1 − 2 4
avec
ω − 1 = δω 1 .
Pour f = 0, en posant a(t) = A(t)eiϕ(t) , on v´erifie que ϕ est constant et que A˙ = 1 1 A 1 − A2 . Comme A˙ est du signe de 1 − A2 , A(t) tend toujours vers 2 et on 4 4 ´etablit ainsi l’existence du cycle limite. Pour f = 0, toute solution stationnaire stable de la forme a(t) = a0 eiδωt , pour laquelle l’oscillateur a (comme dans le cas lin´eaire) la mˆeme pulsation 1 + δω = ω que la force, bien que sa fr´equence “naturelle” soit ´egale ` a 1, caract´erise ce qu’on appelle un accrochage de fr´ equence. On montre que cet erifie l’´equation accrochage a lieu si |f | > 4|δω|, c.a.d. si la force est assez grande. D´emonstration : |a0 |2 v´ |a |2 (δω)2 + 2 (1 − 04 )2 |a0 |2 = 14 |f |2 . Pour f petit elle admet une solution proche de |a0 |2 = 0 et aussi, a condition que |f | > 4|δω|, deux solutions |a0 |2± 4 ± −1 |f |2 − 16(δω)2 (proches de 4). On ´etudie ` iδωt , et en regardant si la perturbation a1 (t) tend vers z´ero. leur stabilit´e en posant a(t) = a0 + a1 (t) e |a |2 L’´ equation lin´earis´ee a˙ 1 = 1 − 02 − i δω a1 − 14 a20 a1 conduit aux conditions de stabilit´ e (cf. section 3.2.4) |a0 |2 > 2 et 2 (1 −
|a0 |2 2 ) 2
+ (δω)2 >
1 2 |a0 |4 . 16
On v´erifie que la solution |a0 |2+ est stable.
Bifurcation de Hopf L’oscillateur de Van der Pol donne un exemple de cycle limite, mais ne permet pas de d´ecrire comment, quand on fait varier des param`etres, un oscillateur lin´eairement stable peut bifurquer vers un tel cycle. Pr`es de la bifurcation la m´ethode de l’´equation p −iω t (p−1) d’amplitude, qui ne garde que les termes en eiω0 t (du type a eiω0 t ae 0 ), conduit en l’absence de forces ext´erieures `a l’´equation g´en´erale a˙ = a − (γ + iδ)|a|2 a , limit´ee ci-dessus `a l’ordre trois. (Van der Pol correspond a` γ > 0 et δ = 0, le pendule amorti a` = −λ, γ = 0 et δ ∝ β.) De l’´equation ρ˙ = 2ρ ( − γρ) v´erifi´ee par ρ = |a|2 , on d´eduit en ´etudiant le signe de ρ˙ que, lorsque varie, la solution a = 0 qui est stable pour < 0 bifurque pour > 0 vers le cycle limite d’amplitude |a| = si γ > 0 ; −δ γ γ est la correction non lin´eaire `a la pulsation. Si γ < 0 on ne peut pas donner de r´esultat g´en´eral a` cet ordre du d´eveloppement en puissances de a.
Bifurcations d’un cycle limite Le cycle de Van der Pol est toujours stable, mais c’est un cas particulier. Pour ´etudier de mani`ere g´en´erale la stabilit´e d’un cycle limite xlim (t) de p´eriode T dans l’espace de phase (a priori a` n dimensions), on pose x(t) = xlim (t) + x1 (t). L’´equation lin´earis´ee pour x1 (t) est `a coefficients p´eriodiques, et on est amen´e (cf. section 6.4.4.) `a ´etudier sa matrice de
6.5 Oscillateurs non lin´eaires
203
transfert MT d´efinie par x1 (T ) = MT x1 (0). Le cycle est stable si ses valeurs propres λi v´erifient |λi | < 1. Quand on fait varier des param`etres, il peut devenir instable dans les trois cas suivants (de travers´ee du cercle unit´e par les λi ; figure 30).
1
−1 O
−
Figure 30
1) Une valeur propre devient ´egale a` −1 ; la p´eriode passe brutalement de T `a 2T : doublement de p´ eriode (figure 31). 2) Une paire de valeurs propres devient ´egale a` e±iθ ; il apparaˆıt une nouvelle p´eriode T θ p 2π et x(t) devient quasi-p´ + q ; figure 32). eriodique (de fr´equences θ T T 3) Une valeur propre devient ´egale a` 1 ; il n’y pas alors de conclusion g´en´erale. x(t) peut mˆeme devenir chaotique si n ≥ 3 ; on parle alors de chaos d´ eterministe (voir ouvrages sp´ecialis´es).
x1( )
x1(t)
0
T
2T
Figure 31
3T t
0
1 T
2 T
Figure 32
3 T
Chapitre 7
Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle Les fonctions de plusieurs variables apparaissent d`es qu’on fait de la g´eom´etrie dans l’espace (par exemple pour d´ecrire en optique des surfaces d’onde et les rayons qui leurs sont orthogonaux), ou qu’on consid`ere des grandeurs (champs) d´ependant de l’espace et du temps. Les notions de gradient (de champs scalaires), de divergence ou rotationnel (de champs vectoriels), de d´eriv´ee dans une direction ou en suivant le mouvement, etc. sont des outils naturels d’analyse “locale” des champs. Ils trouvent de nombreuses applications en particulier en hydrodynamique. Cette description diff´erentielle est reli´ee par les th´eor`emes de Stokes et d’Ostrogradski `a une description int´egrale bas´ee sur les notions plus intuitives (d´ej`a vues au chapitre 3) de circulation et de flux. Cette approche “globale” plus g´en´erale (prise en compte des discontinuit´es), et moins technique, est bien adapt´ee aux bilans de grandeurs et a` une introduction a` l’´electromagn´etisme. Un exemple classique qui concerne des variables non spatio-temporelles est la thermodynamique des ´etats d’´equilibre o` u l’´etude exp´erimentale des formes diff´erentielles “chaleur” δQ et travail δW a jou´e un rˆ ole historique pour la d´ecouverte des grandeurs ´energie interne U et entropie S (premier et second principes). Mˆeme si l’approche moderne a radicalement chang´e (cf. section 1.1.4), le calcul diff´erentiel reste un outil n´ecessaire, notamment pour d´eterminer les ´etats d’´equilibre (extremum de “potentiels”) et maˆıtriser les changements entre les nombreux choix possibles de variables ind´ependantes.
7.1 7.1.1
´ CALCUL DIFFERENTIEL D´ eveloppement de Taylor ; diff´ erentielles ; variation seconde ; extremum ; E.D.P. simples
D´ eriv´ ees partielles Une fonction de plusieurs variables f (x1 , x2 · · · ) (ou f (x)) devient une fonction d’une seule variable, x1 par exemple, lorsque les autres x2 , x3 · · · restent constantes. La d´eriv´ee ∂f correspondante (x) (ou ∂1 f (x)) mesure le “taux de variation de f (x) dans la direction ∂x1
7.1 Calcul diff´erentiel
205
“x1 ” au point x ; elle d´epend a` priori de x1 , x2 · · · xn . Par exemple : 1 − 1 ∂i xj = δij , ∂i x21 + x22 + · · · + x2n 2 = xi x21 + x22 + · · · + x2n 2 . Si ∂1 f = 0 pour tout x, f ne d´epend pas de x1 . Les op´erations de d´erivation ∂1 , ∂2 · · · ∂n sur f (x) peuvent ˆetre compos´ees (comme pour une variable). Elles ont la propri´et´e importante de commuter : ∂ ∂ ∂2f ∂ ∂ ∂2f donc = = : ´ egalit´ e de Schwarz . ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi On en d´eduit, en int´egrant successivement sur x1 et x2 , que la solution de l’´equation aux d´eriv´ees partielles ∂2 ∂1 f = 0 s’´ecrit : f (x) = f1 (x2 , x3 · · · xn ) + f2 (x1 , x3 · · · xn ). La commutation ci-dessus est une cons´equence de celle des op´erations de translation sur les diff´erentes variables x1 → x1 + a1 · · · xn → xn + an et du lien (d´ej`a vu a` la section 1.1.3.) entre translation et d´erivation ; par exemple : a2 f (x1 + a1 , x2 · · · xn ) = 1 + a1 ∂1 + 1 (∂1 )2 + · · · f (x) = ea1 ∂1 f (x) . 2 Si on translate toutes les variables x → x + a, on obtient (pour des “bonnes” fonctions) le d´ eveloppement de Taylor en puissances des ai de ea1 ∂1 · · · ean ∂n f (x) : f (x + a) = f (x) +
n i=1
ai
n n ∂f 1 ∂2f ai aj (x) + (x) + · · · . ∂xi 2 ∂xi ∂xj i=1 j=1
Diff´ erentielle La diff´erentielle de f (x) est d´efinie de fa¸con formelle par : df (x) =
n ∂f (x) dxi . ∂x i i=1
Si les dxi repr´esentent des variations “petites” des xi , la quantit´e df (x), “variation infinit´ esimale” de f (x), est l’approximation lin´eaire (ordre 1) de la variation exacte f (x + dx) − f (x). Elle est tr` es utile pour exprimer la d´eriv´ee par rapport a` λ de la fonction d’une variable f x(λ) obtenue lorsque les xi d´ependent d’un param`etre λ (chemin param´etr´e) : d ∂f x(λ) x˙ i (λ) f x(λ) = dλ ∂xi i
avec x˙ i (λ) =
dxi (λ) . dλ
Pour un chemin γ allant de x1 = x(λ1 ) `a x2 = x(λ2 ) on en d´eduit λ2 d def f x(λ) dλ = f (x2 ) − f (x1 ) , df = γ λ1 dλ r´esultat ind´ependant du chemin γ (si f est bien d´efinie cf. section 7.2.2).
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
206
Variation seconde L’´ecart entre la variation exacte de f et sa diff´erentielle [f (x + dx) − f (x)] − df (x) est donn´e, si les dxi sont “petits”, par le deuxi`eme terme du d´eveloppement de Taylor : 1 ∂2f 1 ∂f 2 dxi . δ f= dxi dxj = d 2 i,j ∂xi ∂xj 2 i ∂xi Interpr´ etation g´ eom´ etrique (figure 1) : soient z = ψ(x, y) l’´equation d’une surface et, sur cette surface, un point fixe m0 (x0 , y0 , z0 ) et un point courant m(x, y, z) proche de m0 (x = x0 + dx, y = y0 + dy). Le d´eveloppement de z − z0 limit´e au premier terme z − z0 = (x − x0 )
∂ψ ∂ψ (x0 , y0 ) + (y − y0 ) (x0 , y0 ) ∂x ∂y
donne l’´equation (exacte) du plan tangent P `a la surface en m0 . La variation seconde 1 ∂2ψ ∂2ψ ∂ 2ψ 2 2 2 (x0 , y0 ) dx dy + (x0 , y0 ) dx + 2 (x0 , y0 ) dy δ z= 2 ∂x2 ∂x ∂y ∂y 2 repr´esente l’´ecart “vertical” du point m ` a ce plan. Si δ 2 z > 0 quel que soit m proche de m0 , la surface est situ´ee au dessus du plan tangent tandis que, si δ 2 z < 0, elle est situ´ee en dessous (surface localement concave) ; si le signe de δ 2 z n’est pas d´efini, la surface coupe en g´en´eral le plan selon deux directions obtenues en ´ecrivant δ 2 z = 0 (figure 2).
z m 2
Æz m0
m0
P
P
y x0 y0
x
x0 + dx y0 + dy
Figure 1
Figure 2
Extremum Par d´efinition f (x) est extremum (stationnaire) en x0 si : ∂i f (x0 ) = 0
(i = 1, 2 · · · n)
ou
df = 0 en x0 .
2
Il s’agit d’un maximum si δ f < 0 et d’un minimum si δ 2 f > 0. (Pour la surface z = ψ(x, y) un extremum de ψ en m0 correspond a` un plan tangent “horizontal” en ce point.) Extremum avec contraintes. Souvent on doit chercher un extremum de f (x) lorsque les variables sont li´ees par des relations Cα (x) = 0 (α = 1, 2 · · · p < n) qui ne permettent plus d’expliciter f comme fonction de variables ind´ependantes. On montre que la solution
7.1 Calcul diff´erentiel
207
de df (x) = 0 avec Cα (x) = 0 s’obtient en introduisant p param`etres λα (multiplicateurs de Lagrange) et en r´esolvant, pour les λα et les xi , les p + n ´equations : ∂Cα ∂f λα Cα (x) = 0 ⇐⇒ =− λα . Cα (x) = 0 et d f (x) + ∂x ∂xi i α α V´erification : avec cette expression pour ∂i f , on a bien df = i ∂i f dxi = − α λα dCα = 0 si les contraintes sont satisfaites. (Voir applications aux sections 7.3.2 et 7.4.1,2.)
E.D.P.
i
ai (x) ∂i f = G(f ) et
i
ai (f ) ∂if = 0
La r´esolution de ces ´equations aux d´eriv´ees partielles se ram`ene simplement a` celle de syst` emes En effet dans le premier cas, soient x(λ) les chemins dynamiques. d´efinis par x(λ) ˙ = a x(λ) et une condition initiale (C.I.) ; alors sur chacun d’eux f x(λ) ob´eit a` df = G(f ). Dans le second cas, si on se donne la valeur l’´equation diff´erentielle ordinaire dλ f (x0 ) = K de la fonction en un point, on a aussi f (x) = K sur la droite x(λ) ˙ = a(K) df passant par x0 (car sur cette droite = 0). dλ EXEMPLE 1. E.D.P. d’Euler : xi ∂i f = nf . Sur les chemins x(λ) = eλ x0 (x˙ = i
d ln f x(λ) = n, d’o` x), f v´erifie u f eλ x0 = enλ f (x0 ) pour tout x0 . En posant dλ k = eλ (et en changeant x0 en x) on obtient f (kx) = k n f (x) (fonction homog` ene de d n−1 degr´ e n). Inversement f (kx) = nk f (x) entraˆıne l’E.D.P. d’Euler pour k = 1. dk Remarque : comme ∂j f (kx) = k ∂j f (kx), ∂j f est homog`ene de degr´e n − 1, ∂j ∂k f de degr´e n − 2, etc. EXEMPLE 2. E.D.P. d’onde simple : ∂t f +c(f ) ∂x f = 0. Ici x = (t, x) et f (x, t) = K sur la droite t = λ , x = x0 + c(K) λ. Par cons´equent on obtient le graphe de f (x, t) (en fonction de x) en translatant horizontalement chaque point M (x) du graphe de f (x, 0) de la quantit´e c f (x, 0) t. Cette E.D.P. (´etablie `a la section 7.2.4) est la plus simple qui d´ecrit une propagation sans d´eformation si la vitesse c est constante ; si c croit avec f , il y a g´en´eration d’une onde de choc (lorsque f (x, t) n’est plus d´efinie univoquement ; figure 3).
f
f(x,0)
f(x,t)
M(x)
x
x+c(f(x,0))t
Figure 3
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
208
7.1.2
D´ eriv´ ees spatiales de champs scalaires et vectoriels
Gradient et surfaces (figure 4)
Surfaces f = Cste
grad f u
n
Figure 4 La diff´erentielle df = ∂x f dx+∂y f dy+∂z f dz d’une fonction f ( r) s’´ecrit vectoriellement : −−→ − → df = gradf · dr
avec
−−→ ∂f ∂f ∂f gradf = x ˆ+ yˆ + zˆ . ∂x ∂y ∂z
−−→ Donc le champ de vecteurs gradf est orthogonal aux surfaces de niveau f ( r) = Cste ou df = 0 (´equipotentielles, surfaces d’onde...), et le plan tangent en r0 `a une telle surface −−→ −−→ −−→ a pour ´equation gradf ( r0 ) · ( r − r0 ) = 0. La relation gradf = gradf n ˆ d´efinit le vecteur unitaire normal a` la surface f ( r) = Cste . −−→ EXEMPLE : f (x, y, z) = z − ψ(x, y) ; gradf = −∂x ψˆ x − ∂y ψ yˆ + zˆ = 1 + (∂x ψ)2 + 1 − → (∂y ψ)2 2 n ˆ . Une aire ´ el´ ementaire dS = dS n ˆ sur la surface z = ψ(x, y) est reli´ee `a sa projection dS n ˆ · zˆ = dx dy sur le plan (x, y) par : 2 2 2 2 ∂ψ ∂ψ 1 ∂ψ 1 ∂ψ dS = dx dy 1 + + dx dy 1 + + ∂x ∂y 2 ∂x 2 ∂y −−→ si gradψ 1 .(Cette formule g´en´eralise l’expression d’un ´el´ement de longueur dl sur une courbe ; cf. section 5.1.1.)
Exemples de gradients −−→ → − → − Une fonction de gradient constant gradf = A s’´ecrit f ( r) = A · r + Cste , et a pour surfaces de niveau des plans (cf. section 3.2.2). Une fonction `a sym´ etrie sph´ erique −−→ ste 2 2 2 f (r) (surfaces de niveau r = x + y + z = C ) a pour gradient gradf = f (r) rˆ ; en −−→ 1 rˆ particulier −grad = 2 (cf. champ ´electrique cr´e´e par une charge ponctuelle en O dont r r −−→ p · r q p
(
p · r) r ). Si
p est un vecteur fixe, −grad 3 = − 3 + 3 le potentiel est donne (` a 4π0 r r r r5 μ 0 pr`es) le a (4π0 )−1 pr`es) le champ ´electrique en r cr´e´e par un dipole p en O, ou (` 4π
7.1 Calcul diff´erentiel
209
− → champ magn´etique en r cr´e´e par une petite spire de moment magn´etique p ≡ μ = i dS. Enfin, −−→ p 1 · p 2 p2 · r) 3 (
p1 · r) (
grad = − 4 (
p1 ·
−3 p2 ) rˆ+ p1 (
p2 ·ˆ r )+ p2 (
p1 ·ˆ r )−5(
p1 ·ˆ r)(
p2 ·ˆ r ) rˆ r3 r5 r donne (` a (4π0 )−1 pr`es) la force exerc´ee par un dipole p1 en O sur un dipole p2 en r (force non colin´eaire `a r ; cf. section 7.3.1).
D´ eriv´ ee dans une direction ; op´ erateur nabla − → Si dr = u ˆ on a df = (ux ∂x f + uy ∂y f + uz ∂z f ). Donc → − ∂ ∂ ∂ + uy + uz u ˆ · ∇ = ux ∂x ∂y ∂z correspond a` la d´erivation dans la direction uˆ (figure 4). On appelle nabla l’op´erateur −−→ → − ∂ ∂ ∂ − → ∇ = xˆ + yˆ + zˆ (donc ∇f = gradf ) ∂x ∂y ∂z dont le caract`ere vectoriel sera justifi´e `a la section 7.1.4.
Op´ erateur laplacien ; solution de Δf (r) = Constante → − → − → − 2 u · ∇)(ˆ u · ∇)f ( r). Une moyenne Au second ordre : f ( r + ˆ u) = f ( r) + (ˆ u · ∇)f ( r) + (ˆ 2 1 sur les directions (< u2i >= ; < ui uj >= 0 si i = j) conduit a` < f ( r + ˆ u) − f ( r) >= 3 2 Δf ( r) avec : 6 → − ∂2f ∂2f ∂2f ∂2 ∂2 ∂2 Δf = + + ; Δ = + + = ∇ 2 op´erateur Laplacien . ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 Application : une fonction qui v´erifie dans un domaine l’E.D.P. de Laplace Δf = 0 (potentiel ´electrostatique, gravitationnel...) est telle que sa valeur en un point est ´egale a` sa valeur moyenne sur une petite sph`ere centr´ee en ce point ; ceci exclut tout maximum ou minimum a` l’int´erieur du domaine (donc pas d’´equilibre stable pour une particule dans un tel potentiel). Cas particuliers. Pour une fonction f (r) `a sym´ etrie sph´ erique Δf (r) = f (r) +
2 f (r) r
(= C si f (r) = A +
et a` sym´ etrie cylindrique (r =
x2 + y 2 ) :
Cr2 B e±ikr + , et = −k 2 f si f ∝ ), r 6 r
1 Cr2 f (r) (= C si f (r) = A + B ln r + ). r 4 REMARQUES. 1) Pour f (r = x21 + x22 + · · · + x2n ), on a : n x 2 xi ∂2f 1 x2i n−1 i , ∂i 2 f = f − 3 f . et Δf = ∂i f = f + f 2 =f + r r r r ∂x r i i=1 Δf (r) = f (r) +
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
210
→ − → def − 2) Pour un champ de vecteurs A ( r) : Δ A = ΔAx x ˆ + ΔAy yˆ + ΔAz zˆ.
→ − D´ erivations spatiales d’un champ de vecteurs A (r) Les d´eriv´ees partielles relatives aux composantes sont au nombre de neuf (∂i Aj , i, j = → − → − 1, 2, 3). Compte tenu du caract`ere vectoriel de ∇, on peut former avec A (cf. section → − 3.2.1) un champ scalaire, divergence de A , → − − → − → ∂Ax ∂Ay ∂Az div A = ∇ · A = + + , ∂x ∂y ∂z → − un champ vectoriel, rotationnel de A , → − → − → − →− rot A = ∇ ∧ A = (∂y Az − ∂z Ay ) x ˆ + (∂z Ax − ∂x Az ) yˆ + (∂x Ay − ∂y Ax ) zˆ , et aussi un champ “quadrupolaire” (cf. section 4.3.1) de composantes : 1 → − 1 (∂i Aj + ∂j Ai ) − div A δij . 2 3 → − Interpr´ etation (figures 5a,b) : on verra a` la section 7.2.3. que div A dV est le flux de → → − → − − →− A ` a travers la surface infinit´esimale qui limite le volume dV , et que le flux rot A · dS → − est la circulation de A le long du circuit infinit´esimal ferm´e fronti`ere de dS (r´esultats importants utilis´es `a la section 7.1.3).
1111111 0000000 0000000 1111111 A 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 dV 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111
dS 111111 000000 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111
(a)
A
(b) Figure 5
Exemples de divergences et de rotationnels (Les calculs, ´el´ementaires, sont laiss´es au lecteur.) Pour un champ a` sym´ etrie sph´ erique : 2 C − → f (r) + f (r) (= 0 si f (r) = 2 ) et rot f (r)ˆ r=0. r r x y y x Pour un champ a` sym´ etrie cylindrique (r = x2 + y 2 , rˆ = , , 0 et θˆ = − , , 0 ), r r r r il y a trois cas : divf (r)ˆ r=
- champ selon z :
− → divf (r) zˆ = 0 , rot f (r) zˆ = −f (r) θˆ (= 0 si f (r) = C) ;
7.1 Calcul diff´erentiel
211
1 C − → f (r)+f (r) (= 0 si f (r) = ) , rot f (r)ˆ r =0; r r C 1 − → f (r)+f (r) zˆ (= 0 si f (r) = ) . - champ orthoradial : divf (r) θˆ = 0 , rot f (r) θˆ = r r
- champ radial : divf (r) rˆ =
Autres exemples. Si
ω est un vecteur fixe (par exemple (0, 0, ω)), on a div( ω ∧ r) = 0 − → et rot (
ω ∧ r) = 2 ω ; pour le champ des vitesses d’un solide v = v0 + ω ∧ r =⇒ → − → − → − →− rot v = 2 ω ; pour un champ magn´ etique constant B = rot A le potentiel vecteur → → 1− − est A = B ∧ r (`a un gradient pr`es). De mˆeme sur l’exemple p = (0, 0, p) constant, on 2 −−→ p · r p ∧ r 1 3(
p · r) r − → p ∧ r v´erifie div = 0 et rot = − 3 p + (= −grad 3 d’o` u deux 3 3 5 r r r r r → − → rˆ − → − − → I dl = I dl ∧ 2 fa¸cons d’´ecrire le champ d’un dipole) ; en prenant dl zˆ, on v´erifie : rot r r (cf. formule de Biot et Savart d´eduite du potentiel vecteur pour un ´el´ement de courant situ´e en O). → − REMARQUE de vocabulaire. On prendra garde qu’un champ tel que div A = 0 (resp. → − →− rot A = 0) n’a pas n´ecessairement des lignes de champ qui divergent (resp. tournent) (figures 6a,b). Inversement un champ dont les lignes divergent (resp. tournent) peut → − → → − rˆ → − θˆ − →− v´erifier div A = 0 (resp. rot A = 0) (cf. A = et A = en sym´etrie cylindrique ; r r figures 6c,d). y
y
A = f(x) x div A = 0
A = f(y) x
A=
rot A = 0
r r
A=
div A = 0
θ r
rot A = 0
(a)
x
(b)
x
(c)
(d)
Figures 6
Propri´ et´ es de l’op´ erateur nabla
− → ∇ poss`ede la double propri´et´e de se comporter comme un op´ erateur de d´ erivation et comme un vecteur dans des formules telles que celles du double produit vectoriel ou du produit mixte. Cette remarque permet d’´ecrire directement de nombreuses relations concernant les gradients, divergences et rotationnels, sans avoir `a passer par les composantes. Les plus utilis´ees concernant les gradients et les divergences sont −−→ −−→ −−→ → − → − → − ∇(f g) = f ∇g + g ∇f (grad(f g) = f gradg + g gradf ) , −−→ → − − → ∇ · ∇f = Δf (= divgradf ) , −−→ − → − → − → − − → → − − → → − → → − ∇ · (f A ) = ∇f · A + f ∇ · A (div(f A ) = gradf · A + f div A ) , → − − → − → → −→ − ∇ · ( ∇ ∧ A ) = 0 (div(rot A ) = 0) , → − − → − → → − − → − → → − − → − → → − − → → −→ − − → − → − → →− ∇ · ( A ∧ B ) = B · ( ∇ ∧ A ) − A · ( ∇ ∧ B ) (div( A ∧ B ) = B · rot A − A · rot B ) ,
212
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
et, concernant les rotationnels : −−→ → − → − → − → − → − − → −→ − → → − → − →− ∇ ∧ (f A ) = ∇f ∧ A + f ∇ ∧ A (rot (f A ) = gradf ∧ A + f rot A ) , → − − → − → −−→ ∇ ∧ ( ∇f ) = 0 (rot gradf = 0) , −−→ → − − → − → →− − → − → → − → → − → − − → −→ − ∇ ∧ ( ∇ ∧ A ) = ∇( ∇ · A ) − Δ A ( rot (rot A ) = grad (div A ) − Δ A ) , → − → − − → → − → − − →− → − → A2 + (∇ ∧ A ) ∧ A , ( A · ∇) A = ∇ 2 → − − → − → → − − →− → → − − →− → → − − →− → → − − →− → ∇ ∧ ( A ∧ B ) = ( ∇ · B ) A + ( B · ∇) A − ( ∇ · A ) B − ( A · ∇) B . → − → − → − − → → − − → ´ DEMONSTRATION (un exemple). Pour calculer ∇ ∧ ( A ∧ B ) on ´ecrit ∇ = ∇A + ∇B → − → − − → → − o` u par d´efinition ∇A n’agit que sur A et ∇B que sur B . Alors : → − − → → − − → − → → − − →− → → − − →− → → − − →− → → − ∇A ∧ ( A ∧ B ) = ( B · ∇A ) A − ( ∇A · A ) B = ( B · ∇) A − ( ∇ · A ) B . → − − → → → − − − → → − − → − → → − − →− → → − − →− → → − De mˆeme ∇B ∧ ( A ∧ B ) = ( ∇B · B ) A − ( A · ∇B ) B = ( ∇ · B ) A − ( A · ∇) B .
7.1.3
D´ eriv´ ees temporelles et applications hydrodynamiques
D´ eriv´ ees partielle et particulaire ∂f ∂t (ou ∂t f ) d´ecrit l’´evolution de f en un point r fix´e. On peut aussi ˆetre int´eress´e, par exemple dans le cas d’un fluide en mouvement dont le champ de vitesse est v ( r, t), par ce que serait l’´evolution locale de f “en suivant le fluide” (qui se d´eplace de v dans l’intervalle de temps ). La limite → 0 de −1 (f ( r + v , t + ) − f ( r, t)) ´egale a` → − ∂ df = + v · ∇ f dt ∂t En physique les champs f ( r, t) d´ependent en g´en´eral du temps. La d´eriv´ee partielle
est la d´ eriv´ ee particulaire (ou en suivant le mouvement) not´ee aussi en abr´eg´e dt f . On → − remarquera que dt f est fonction de r et t, et que la d´efinition entraˆıne que dt = ∂t + v · ∇ → − →− − → poss`ede toutes les propri´et´es d’une d´erivation : dt (f g) = f dt g+g dt f , dt ( A · B ) = (dt A )· → − − → → − e B + A · dt B ... Noter aussi que la propri´et´e ∂t f = 0 caract´eristique de la stationnarit´ d’un champ n’implique en g´en´eral pas dt f = 0 (et r´eciproquement). EXEMPLES. Si f ( r, t) = x alors ∂x x = 1, ∂t x = ∂y x = ∂z x = 0 et dt x = vx ( r, t). Plus g´en´eralement dt r = v est le champ de vitesse et dt v = a le champ d’acc´el´eration du fluide. Si f ( r, t) = 0 est l’´equation de la surface de s´eparation (´evolutive) de deux fluides 1 et 2, le fait que, par d´efinition, un fluide ne puisse pas passer de f < 0 `a f > 0 conduit a` dt f = 0 sur la surface ; ceci entraˆıne la continuit´ e de la composante normale de la vitesse puisque : → − → − dt f = ∂t f + v1 · ∇f = ∂t f + v2 · ∇f . → − Approximation dt ∂t . Pour des ondes sonores planes la condition “ v · ∇ ∂t ” est ω (vitesse d’oscillation du fluide tr`es inf´erieure `a la vitesse du son, ou satisfaite si v k d´eplacement tr`es inf´erieur `a la longueur d’onde).
7.1 Calcul diff´erentiel
213
Champ de vitesse et d´ eformations (figure 7)
B
t
v Bd
dl + Æ ( dl )
dl A
vA dt
Figure 7 −− → −− → Le vecteur AB joignant deux points entraˆın´es par le fluide varie de δ(AB) = ( vB − vA ) dt → → − − → −− → − entre les instants t et t + dt. Si A et B sont voisins (AB = dl), alors δ( dl) = dv dt ou encore : → − → − → − 1− 1 → rot v ∧ dl + [] ˙ dl avec [] ˙ ij = (∂i vj + ∂j vi ) . δ( dl) = dt 2 2 1 ´ (∂z vx − ∂x vz ) dz − (∂x vy − DEMONSTRATION. On v´erifie pour δ(dlx ) par exemple : 2 1 2∂x vx dx + (∂x vy + ∂y vx ) dy + (∂x vz + ∂z vx ) dz = ∂x vx dx + ∂y vx dy + ∂y vx ) dy + 2 ∂z vx dz = dvx . → − La premi`ere contribution a` δ( dl) correspond a` une rotation de vitesse angulaire ω = 1− → rot v . La seconde correspond `a une d´ eformation, et entraˆıne une variation rela2 tive de volume dt tr[] ˙ = dt div v (cf. section 4.3.1). On en d´eduit que, en suivant le mouvement (cf. aussi section 7.2.3) : d 3 (d r) = div v d3 r . dt − → Un ´ecoulement est irrotationnel si rot v = 0 et incompressible si div v = 0.
Th´ eor` emes de Bernouilli, Kelvin, Helmholtz et Lagrange Le champ des vitesses d’un fluide poss`ede des propri´et´es remarquables lorsque sa d´eriv´ee particulaire est un gradient : −−→ d v ∂ v → − = + ( v · ∇) v = −gradf dt ∂t (par exemple f =
P + gz pour un fluide incompressible dans le champ de pesanteur ; cf. ρ
section 7.2.4).
v 2 + f est constant 2 2
v + f est uniforme. le long d’une ligne de courant et, s’il est de plus irrotationnel, alors 2
- Th´ eor` eme de Bernouilli : si l’´ecoulement est stationnaire, alors
214
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
→ − ´ DEMONSTRATION : la stationnarit´e implique dt ≡ v · ∇ ; en particulier : v 2 v 2 → − soit dt +f =0 . −dt f = − v · ∇f = v · dt v = dt 2 2 →2 − →A − → − → − → − → v 2 − De plus (cf. ∇ ci-dessus) − ∇f = ( v · ∇) v = ( ∇ ∧ v ) ∧ v + ∇ soit, dans le cas 2 2 → v 2 − → − → v 2 − + f = 0. (Ce r´esultat s’´etend `a ∇ + f + ∂t ϕ si v = ∇ϕ n’est irrotationnel ∇ 2 2 pas stationnaire.) - Th´ eor` eme de Kelvin : la circulation de v sur un contour ferm´e emport´e par le fluide reste constante, soit − → dt
v · dl = 0 . − −−→ − 2 → → − → − → ´ DEMONSTRATION : dt ( v · dl) = (dt v )· dl + v ·(dt dl) = − gradf · dl + v ·d v = d −f + v2 = 0. − → - Th´ eor` eme d’Helmholtz : les tubes de vortex (compos´es de lignes de vortex parall`eles ` a rot v = 2 ω ) sont entraˆın´ es par le fluide et conservent leur “force” (flux de ω ` a travers une section du tube). ´ DEMONSTRATION (figure 8) : la surface d’un tube ´etant par d´efinition tangente en tout point ` a ω , le − → − → flux ω · dS ` a travers tout ´el´ ement dS de cette surface est nul, et donc aussi la circulation de v “autour” − → de dS. Or cette circulation se conserve dans le transport (th´eor` eme de Kelvin). Pour ´etablir le second − → − → → r´ esultat on choisit dS ω ; ω · dS est une caract´eristique du tube car div − ω = 0 (consid´erer un volume de tube limit´e par deux sections droites).
dS 1111111 0000000 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111
Figure 8 - Th´ eor` eme de Lagrange : un ´ ecoulement initialement irrotationel ( ω = 0 partout) reste irrotationnel. ´ DEMONSTRATION : si ω devenait non nul quelque part, la circulation de v “autour” d’un ´el´ ement dS parall`ele ` a ω serait non nul, ce qui contredit le th´eor` eme de Kelvin. Ces th´eor` emes sont ` a la base de la physique des tourbillons (cf. ouvrages sp´ecialis´es).
7.1.4
Changements de variables ; r` egles de calcul
D´ efinition et mise en garde Si les n variables xi sont des fonctions de p variables ind´ependantes xj , l’´egalit´e f (x1 , x2 · · · xn ) = f x1 (x ), x2 (x ) · · · xn (x ) = g(x1 , x2 · · · xp )
7.1 Calcul diff´erentiel
215
d´efinit une nouvelle fonction g des xj diff´erente de f (mˆeme si p = n). Cependant l’habitude (fˆ acheuse) en physique est de conserver la mˆeme appellation f , car on a affaire a la mˆeme grandeur ; par exemple pour l’entropie, on d´esigne toujours par S les fonctions ` pourtant diff´erentes S(U, V ) et S(P, T ). On corrige si n´ecessaire cette ambigu¨ıt´e lors des calculs de d´eriv´ees partielles en pr´ecisant en indice les variables mises en jeu, par exemple en ´ecrivant : ∂ ∂f f x1 (x ), x2 (x ) · · · xn (x ) = . ∂x1 ∂x1 x2 ,x3 ···xp EXEMPLE. L’´energie d’un condensateur dont la capacit´e C d´epend d’un param`etre x s’´ecrit : 1 1 Q2 (Q = C(x)V ) . E = C(x)V 2 = 2 2 C(x) ∂E 1 ∂E = C (x)V 2 ` a ne pas confondre avec ∂x V 2 ∂x (cf. section 7.3.1.).
On a
Q
=−
1 C (x) 2 1 Q = − C (x)V 2 2 C 2 (x) 2
R` egles de calcul La diff´erentielle de la nouvelle fonction et ses d´eriv´ees partielles s’obtiennent en portant ∂xi (x ) les diff´erentielles dxi = dxj dans l’expression originale de df , et en regrou ∂x j j pant les termes en dxj : df =
∂f ∂f ∂xi ∂f dxi = dxj = dx ∂xi ∂xi ∂xj ∂xj j i i,j j
avec
∂xi ∂f ∂f = , ∂xj ∂xj ∂xi i
d’o` u la r`egle pour les op´erations de d´erivation : ∂xi ∂ ∂ = . ∂xj ∂xj ∂xi i 1 2 1 1 2 ∂x − ∂t f = EXEMPLE 1. E.D.P. de propagation ∂x − 2 ∂t f = ∂x + ∂t c c c 0. Si u = x + ct et v = x − ct, alors ∂x = ∂u + ∂v et ∂t = c(∂u − ∂v ). L’´equation devient 4∂u ∂v f = 0 et a pour solution f1 (x − ct) + f2 (x + ct) (cf. section 7.1.1). → − EXEMPLE 2. Caract` ere vectoriel de ∇. Dans une rotation de θ du r´ef´erentiel xOy, on a, pour les coordonn´ees x = x cos θ − y sin θ et y = x sin θ + y cos θ d’o` u, pour les d´eriv´ees partielles : ∂x = cos θ ∂x + sin θ ∂y et ∂y = − sin θ ∂x + cos θ ∂y . Ces relations sont identiques a` celles qui font passer de (x, y) a` (x , y ). Plus g´en´eralement si dx = M dx (M matrice n × p), alors ∂x = Mt ∂x (Mt transpos´ee de M). Donc ∂x a la mˆeme loi de transformation que dx si Mt = M−1 (matrice orthogonale n × n, par exemple une rotation pour n = 3).
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
216
EXEMPLE 3. Dans une transformation de Lorentz, ct = ct cosh ϕ + x sinh ϕ et x = ct sinh ϕ + → − eralement ( 1c ∂t , − ∇) se x cosh ϕ, on v´erifie que ( 1c ∂t , ∂x ) se transforme comme (ct, −x) ; plus g´en´ transforme comme le quadrivecteur (ct, r ). Dans une transformation de Galil´ ee : t = t et → − → − − → u : ∂t = ∂t + V · ∇ = ∂t (donc stationnarit´e ∂t = 0 d´ ependante du r´ef´ erentiel), r = r + V t , d’o` → → − → − − → → − − → → − − def v − V ) · ∇ = dt (d´eriv´ ee particulaire invariante). ∇ = ∇, et dt = ∂t + v · ∇ = ∂t + V · ∇ + (
´ CALCUL INTEGRAL
7.2 7.2.1
Int´ egration ` a n dimensions ; jacobien ; cas des tr` es grandes dimensions
Int´ egration et domaines d’int´ egration Rappelons que le volume dans Rn d’un “parall´ el´ epip` ede de base” P (produit des intervalles [a , b ]) est μ(P) = (b − a )(b − a ) · · · (b − a 1 1 2 2 n n ). Dans l’approche de Riemann i i l’int´egrale · · · D f (x1 , x2 · · · xn ) dx1 dx2 · · · dxn est d´efinie, a` partir du pavage de Rn avec des parall´ el´epip`edes de base Pα , comme la limite lorsque les μ(Pα ) tendent vers z´ero de la somme α f (xα ) μ(Pα ) ´etendue aux Pα qui intersectent D (xα point de Pα ). En pratique le calcul d’une telle int´egrale se ram`ene `a une suite de calculs d’int´egrales `a une dimension (sur xi ` a xk( =i) fix´es puis sur xj ` a xk( =i et j) fix´es, etc.). Le r´esultat ne d´epend pas, lorsque l’int´egrale a un sens, de l’ordre dans lequel sont effectu´ees les int´egrations successives ; par contre les domaines des int´egrations partielles eux en d´ependent. Par exemple (figure 9) :
(x 2)
x2
(x1)
2
x1 1
Figure 9
D
f (x1 , x2 ) dx1 dx2 =
D1
" D(x1 )
f (x1 , x2 ) dx2 dx1 =
mˆeme si f (x1 , x2 ) = f1 (x1 )f2 (x2 ), le r´esultat n’est pas
"
#
D1
D2
D(x2 )
# f (x1 , x2 ) dx1 dx2 ;
f1 (x1 ) dx1 ×
D2
f2 (x2 ) dx2
(sauf si D = D1 × D2 ). Heureusement le domaine D et la fonction f poss`edent souvent
7.2 Calcul int´egral
217
des propri´et´es de sym´etrie et, par un choix judicieux de nouvelles variables d’int´egration, on peut se ramener a` un domaine simple (parall´el´epip`ede de base) ; reste `a savoir r´ecrire une int´egrale lorsqu’on fait un changement de variables.
Changements de variables x(x ) Le pavage avec des parall´el´epip`edes infinit´esimaux de base pour les coordonn´ees x correspond, pour les coordonn´ees x, a` un pavage dont les parall´el´epip`edes ne sont pas de base (figures 10 et 11).
y
x’2 = x 1+ x 2
x2
r
d dr
1111 0000 0000 1111 0000 1111 rd 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 dr 1111
O
x
1111 0000 0000 1111 ’ 0000 1111 0000 1111
O
r
O
Figure 10
111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111
111 000 000 111 000 111 ’ 000 111 000 111 000 111
x1
O
x’1 = x 1
Figure 11
∂xi dx des xi et donc, A chaque variation dxj (j fix´e) correspondent les variations ∂xj j ∂xi dans l’espace x, un d´eplacement δj x = dx eˆi qui n’est pas parall`ele `a un ∂xj j i vecteur de base eˆk de cet espace. Le volume (alg´ebrique) du parall´el´epip`ede construit sur les vecteurs δj x vaut (cf. section 4.1.3) J(x, x ) dx1 dx2 · · · dxn , o` u J(x, x ) est le ∂xi d´eterminant (jacobien) de la matrice (de Jacobi) d’´el´ements . Avec ce nouveau ∂xj pavage : ··· f (x) dx1 dx2 · · · dxn = ··· f x(x ) |J(x, x )| dx1 dx2 · · · dxn , D
D
o` u D est le domaine (en x ) associ´e `a D (en x). REMARQUE : si J(x , x) est plus facile `a calculer que J(x, x ), on utilise J(x, x ) = −1 [J(x , x)] . EXEMPLE 1. 1 J = det −1
x1= x1 et x2 = ax2 − x1 ; alors δ1 x = dx1 (ˆ e1 − eˆ2 ) et δ2 x = a dx2 eˆ2 ; 0 = a. a
EXEMPLE 2. Si x = r et si les δj r forment un tri`edre orthonormal direct, le volume infinit´esimal est le produit des |δj r|, ´egal par exemple a` (dr) (r dθ) (r sin θ dϕ) en coordonn´ees sph´eriques. Exemple 3. Le potentiel rayonn´e par une distribution de charge quasi-ponctuelle (de charge totale q) suivant une trajectoire s(t) (parcourue ` a la vitesse v (t) = s˙ (t)) s’´ ecrit (cf. section 7.5.2) :
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
218
V ( r0 , t0 ) =
1 4π0
ρ r− s t0 −
| r− r0 | c
d3 r .
| r− r0 |
Bien que le domaine d’int´egration soit concentr´e sur la charge et se limite donc au seul point ∗
a l’instant retard´e d´ efini par t∗ = t0 − |s(t c)−r0 | , le r´ esultat n’est s∗ = s(t∗ ), position de la charge ` →∗ − q r0 − s∗ = R∗ u ˆ∗ ) mais : pas V ( r0 , t0 ) = 4π R∗ (avec R = 0 v (t∗ )·u ˆ ∗ −1 (potentiel de Lienart-Wiechert) . V ( r0 , t0 ) = 4πq R∗ 1 − c 0 | r − r0 | La raison est que le jacobien qui correspond au changement de variable r = est r − s t0 − c v u r ) = det δij − ic j = 1− vc·uˆ . On retrouve ce r´esultat plus rapidement en ´ecrivant : (petit calcul) J( r , ρ(r−s(t)) | r − r0 | 1 V ( r0 , t0 ) = 4π d3 r dt . δ t − t0 + | r− r0 | c 0 | s(t)− r0 | q |s(t) − r0 |−1 δ t − t0 + dt et celle sur t, avec L’int´ egration sur r donne V ( r0 , t0 ) = 4π c le changement de variable t = t − t0 +
0
| s(t)− r0 | , c
conduit au r´esultat (car
dt dt
=1−
v ·u ˆ ). c
Volumes ` a tr` es grand nombre de dimensions L’intuition des petites dimensions est trompeuse lorsque n devient grand. Exemples : le volume d’un domaine Dn,α (R) d´efini par ni=1 |xi |α < Rα (sph`ere “pleine” si α = 2) devient concentr´e sur sa surface et la loi de r´epartition d’une coordonn´ee devient “piqu´ √ ee” en 0 ; le “rayon” typique d’un cube de cˆ ot´e a (volume an ) est proportionnel `a a n. DEMONSTRATION. Le volume de Dn,α (R) s’´ecrit dimensionnellement Vn,α (R) = Rn Vn,α , δR Vn,α (R − δR) = 10−6 ) = d’o` u pour n grand (cf. section 1.1.4 : n = 1014 et R Vn,α (R) n δR δR δR 1− 0 (au lieu de 1 − n 1 pour n petit). Si on fixe par exp −n R R R n exemple x1 , le nouveau domaine d´efini par i=2 |xi |α < Rα − |x1 |α a un volume propor α n−1 |x n 1| n−1 α α α . , qui se comporte pour n grand comme R exp − tionnel a` (R − |x1 | ) α Rα Si toutes les positions `a l’int´erieur de Dn,α (R) sont suppos´ees ´equiprobables, cette quantit´e est proportionnelle (cf. section 10.1.2) a` la densit´e de probabilit´e Pn,α (x1 ) de x1 n a2 (figure 12). Pour le cube centr´e en O : R2 =< x2i >= n 12 i=1
Pn,2 (x 1) n=1 n=2 n grand
largeur R n
R x1
−R Figure 12
REMARQUE. Le calcul de Vn,α (volume pour R = 1) peut se faire en ´ecrivant . α α ∞ 1= n e−A|xi | dxi = 0∞ e−Ar n Vn,α r n−1 dr . i=1 −∞
7.2 Calcul int´egral
219
A = 2 si α = 1 et A = π si α = 2. A l’aide de la m´ethode de d´ erivation par rapport ` a un param`etre n p 2p+1 . Pour d´ ecrite ` a la section 5.1.3., on obtient exactement Vn,1 = 2n! , V2p,2 = πp! et V2p+1,2 = π p (2p+1)!! 1
α quelconque et n grand, le changement de variable r = n α u donne le comportement dominant n
Vn,α (R) ∼ Rn n− α (au lieu de Rn pour un cube de cˆ ot´e R). Le calcul de l’int´egrale restante, dans l’approximation de la m´ ethode du col, ne donne que des facteurs “sous dominants” du type exp(Cste n). EXEMPLE (cf. section 1.1.4). En physique de tels volumes interviennent dans l’espace de phase en 2i 1 p physique statistique ; par exemple la r´egion U − δU ≤ N ri2 ≤ U ` a 6N dimensions pour i=1 2 m + K U 3N , et la densit´e de probabilit´e P6N,2 (xi ou pi,x ) N oscillateurs (α = 2) a un volume d’ordre N n’est autre que la loi de Boltzmann (r´ eflexion laiss´ee au lecteur).
7.2.2
Formes diff´ erentielles ; formules de Stokes et Ostrogradski
Forme diff´ erentielle C’est une expression i Ai (x) dxi qui sert a` d´efinir des int´egrales curvilignes le long de chemins γ param´etr´es : γ
def
λ2
Ai (x) dxi =
λ1
i
i
dxi dλ . Ai x(λ) dλ
Si le chemin est ferm´e (x(λ1 ) = x(λ2 )) l’int´egrale curviligne est not´ee γ . La diff´erentielle d’une fonction f est un cas particulier pour lequel : ∂f ∂Ai ∂Aj Ai (x) = (x) (1) d’o` u = (2) et Ai (x) dxi = 0 (3) . ∂xi ∂xj ∂xi γ i Inversement si (3) est v´erifi´ee pour tout chemin γ ferm´e dans un domaine D, la forme erentielle (unique a` une constante additive i Ai (x) dxi est bien la diff´ x d’une fonction pr`es). Elle est d´efinie par f (x) = x Ai (x ) dxi + f (x0 ), car alors l’int´egrale de x0 `a i 0 x ne d´epend pas du chemin suivi (figure 13).
x
x0 Figure 13 On va voir, sur les cas particuliers n = 2 et n = 3, que (2) implique aussi (1) sous la r´eserve importante que, dans D, tout chemin ferm´e peut ˆetre r´eduit continˆ ument a` un point.
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
220
Formule de Stokes (ou Green) dans le plan y
1111 0000 0000 1111 + + 0000 1111 000 111 − 000 111 000 111 000 111 0000 1111 + + 0000 1111
+
(a)
−
(b)
+ (c) −
(d)
(e)
x Figure 14 Dans le cas simple d’un chemin ferm´e ne se coupant pas, limitant une surface S et parcouru soit dans le sens direct (figure 14a) soit dans le sens indirect (figure 14b), on a (Ax dx + Ay dy) = (∂x Ay − ∂y Ax ) dS avec dS = ±dx dy γ
S
(signe + pour le sens direct et − pour le sens indirect). ´ DEMONSTRATION : pour un rectangle “direct” (figure 15a) la circulation vaut exactement x2 y2 Ax (x, y1 ) − Ax (x, y2 ) dx + Ay (x2 , y) − Ax (x1 , y) dy = x1 y1 x2 y2 −∂y Ax + ∂x Ay dx dy . x1
y
y1
y
2
*
y1 x1
(a)
x2
x (b)
Figure 15 Pour ´etendre ce r´esultat au chemin “direct” γ de la figure 15b, il suffit de paver le plan avec des rectangles arbitrairement petits permettant d’approcher γ par un chemin en escalier γ ∗ . La somme des circulations sur les rectangles est ´egale a` celle sur γ ∗ , qui dans la limite tend vers celle sur γ. La g´en´eralisation de ce r´esultat `a un circuit ferm´e
7.2 Calcul int´egral
221
γ quelconque (figures 14c,d,e) s’obtient en remarquant qu’il est la r´eunion de circuits ferm´es simples, et en ajoutant leurs contributions. → − REMARQUE (figure 16). La d´emonstration demande que A et ses d´eriv´ees soient d´efinies → − a l’int´erieur de γ. Un contre exemple connu est celui du champ B cr´e´e par un fil infini ` − → → − (selon z) parcouru par un courant I, pour lequel ∂x By −∂y Bx = 0 mais γ B · dl = μ0 I si → − γ entoure le fil ; B n’´etant pas d´efini sur le fil, γ ne peut ˆetre r´eduit a` un point. Un autre est l’´ecoulement irrotationnel d’un fluide autour d’une aile d’avion (cf. section 8.3.3).
y
y
x dy
−y dx
B I
00000000000 0 1 dy11111111111 00000000000 11111111111 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
x
dx
Figure 16
x
Figure 17
EXEMPLE (figure 17). L’aire alg´ ebrique associ´ee `a une courbe ferm´ee orient´ee γ (cf. section 2.2.1) est : 1 S= x dy = −y dx = (x dy − y dx) . 2 γ γ γ Si x = V (volume) et y = P (pression), γ −P dV est le travail re¸cu au cours d’un cycle (positif si le cycle est direct).
Formule de Stokes ` a trois dimensions (figure 18) z
M1
1 2
M2
S
y
x
1111 0000 (S) 0000 xy 1111 0000 1111
(x,y,0)
Figure 18 Soit γ une courbe ferm´ee orient´ee et S une surface ayant γ pour fronti`ere. On suppose de plus que S est une surface orientable, c.a.d. que pour tout point r de S tout circuit ´el´ementaire γr entourant ce point poss`ede une orientation qui peut ˆetre d´efinie de mani`ere
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
222
unique “par continuit´e” `a partir de celle de γ ; (ceci n’est pas toujours possible ; par exemple, en un tour sur la bande de M¨obius, γ est chang´e en −γ ; figure 19).
Figure 19 On a alors : (Ax dx + Ay dy + Az dz) = γ
+ Dzx (S)
Dyz (S)
(∂y Az − ∂z Ay ) dSx
(∂z Ax − ∂x Az ) dSy +
Dxy (S)
(∂x Ay − ∂y Ax ) dSz .
Les domaines d’int´egration des int´egrales doubles sont les projections de S sur les plans orient´ es (y, z), (z, x) et (x, y), et le choix de signe dSx = ±dy dz, dSy = ±dz dx et dSz = ±dx dy en un point r d´epend du caract`ere direct ou indirect de la projection de γr sur ces plans. ´ DEMONSTRATION. Le r´ esultat est ´evident si γ suit les cˆ ot´es d’un parall´el´ epip`ede de base (figure 20).
z
2
1
−
= + y x dSx = dy dz
+ 3
dS y = −dx dz
ou
3
+ −
+ 1
2
dSz = dx dy
Figure 20
En effet on a γ = γ + γ + γ o` u les γi sont les projections de γ sur les plans (y, z), (z, x) et (x, y) et 1 2 3 a deux dimensions (puisque la troisi`eme variable est ` chaque γi on peut appliquer la formule de Stokes ` a fix´ ee). On ´etend ce r´esultat par un pavage de l’espace permettant d’approcher la surface S (figure 18) par une surface “en escaliers” S ∗ constitu´ee par un ensemble de rectangles arbitrairement petits parall`eles aux plans de base (l’orientabilit´e assurant que les circulations sur ces rectangles se compensent, sauf sur γ). Pour les rectangles parall`eles au plan de base (x, y), par exemple, la somme des circulations donne en´ eral plusieurs points M de S de coordonn´ees (x, y) ; pour chacun on calcule l’int´egrale sur Sz . Il y a en g´ ∂x Ay − ∂y Ax et dSz = ±dx dy suivant l’orientation de la projection de γr sur le plan (x, y).
REMARQUE : aucune structure m´etrique n’a ´et´e utilis´ee dans la d´emonstration. Cependant lorsqu’elle existe (cas de l’espace usuel), le choix dSz = ±dx dy correspond − → − → simplement au signe du produit scalaire dS · zˆ avec dS = dS n ˆ , le sens de n ˆ ´etant d´eduit de − → − → → − → − →− l’orientation de γr par la r` egle du tire-bouchon. On a alors γ A · dr = S rot A · dS.
7.2 Calcul int´egral
223
Formule d’Ostrogradski (espace `a trois dimensions) Pour un volume V limit´e par une surface S ferm´ee, orient´ ee vers l’ext´ erieur du volume, on a : ∂Ay ∂Az ∂Ax dx dy dz . (Ax dSx + Ay dSy + Az dSz ) = + + ∂x ∂y ∂z S V ´ DEMONSTRATION. Pour la figure 21, et les orientations choisies le parall´el´epip`ede de x y pour ses faces, on ´ecrit : (∂z Az ) dx dy dz = x12 y12 [Az (x, y, z2 ) − Az (x, y, z1 )] dx dy = eme (∂x (ou y) Ax (ou y) dx dy dz = S Ax (ou y) (x, y, z) dSx (ou y) . S Az (x, y, z) dSz ; de mˆ Le r´esultat g´en´eral s’obtient par un pavage de l’espace par des parall´el´epip`edes arbitrairement petits.
z2 z1 y1 x1 x2
y2 11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 Figure 21
Figure 22
REMARQUE : il existe des surfaces ferm´ees (non orientables) qui ne limitent pas de volume (bouteille de Klein ; figure 22). −−→ → − − → →− Expressions de gradf , div A , rot A et Δf en coordonn´ ees curvilignes Ces formules, d’une utilit´e limit´ ee puisque le cas de champs sym´etriques a d´ej` a´ et´ e trait´ e a ` la section 7.2.1, sont plus faciles ` a obtenir en consid´erant plus g´en´ eralement un syst`eme de coordonn´ees curvilignes ∂ r (x1 , x2 , x3 ) = (x, y, z) tel que les vecteurs eˆ1 , eˆ2 et eˆ3 d´ efinis par ∂x = ei eˆi forment une base orthoi norm´ee directe. Dans cette base, on a (en tout point r) : − → → − A = A1 eˆ1 + A2 eˆ2 + A3 eˆ3 , dr = e1 dx1 eˆ1 + e2 dx2 eˆ2 + e3 dx3 eˆ3 , − → d3 r = e1 e2 e3 dx1 dx2 dx3 . dS = e2 e3 dx2 dx3 eˆ1 + e3 e1 dx3 dx1 eˆ2 + e1 e2 dx1 dx2 eˆ3 Alors des formules −−→ − → df = i ∂i f dxi = gradf · dr , − − → → → − → − →− A · dr = (A1 e1 dx1 + · · · ) = ((∂2 (e3 A3 ) − ∂3 (e2 A2 )) dx2 dx3 + · · · ) = rot A · dS (cf. Stokes) , − → − → − → A · dS = (A1 e2 e3 dx2 dx3 + · · · ) = (∂1 (e2 e3 A1 ) + · · · ) dx1 dx2 dx3 = div A d3 r −−→ (cf. Ostrogradski), et enfin de Δf = div (gradf ), on d´eduit respectivement les expressions −−→ ∂f ∂f ∂f eˆ1 + e1 ∂x eˆ2 + e1 ∂x eˆ3 , gradf = e1 ∂x 1 1 2 2 3 3 → − →− 1 ∂ ∂ rot A = e e ∂x (e3 A3 ) − ∂x (e2 A2 ) eˆ1 + permutation circulaire , 2 3 2 3 → − ∂ ∂ ∂ (e e A , div A = e e1 e 2 3 1 ) + ∂x (e3 e1 A2 ) + ∂x (e1 e2 A3 ) ∂x 1 2 3
1
2
3
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
224 Δf =
1 e1 e2 e3
∂ ∂x1
e2 e3 ∂f e1 ∂x1
+
∂ ∂x2
e3 e1 ∂f e2 ∂x2
+
∂ ∂x3
e1 e2 ∂f e3 ∂x3
.
Pour les coordonn´ ees sph´ eriques (r, θ, ϕ) (resp. cylindriques (r, θ, z)), on a (e1 , e2 , e3 ) ≡ (1, r, r sin θ) (resp. (1, r, 1)).
7.2.3
Analyse vectorielle ; fronti` eres et champs d´ ependant du temps ; loi de Lenz ; hydrodynamique
→ − L’analyse vectorielle repose sur les identit´es (1-3), ci-dessous et les propri´et´es de ∇.
Identit´ es de base ; vocabulaire et notations associ´ es
2
f ( r2 ) − f ( r1 ) = 1
−−→ gradf · d r
(1)
− → A · d r =
,
γ
→ → − − − → A · dS = div A d3 r S
→ → − −→ − rot A · dS (2)
et
S
(3) .
V
→ − (1) a ´et´e discut´ee `a la section 7.1.2. (2) (Stokes) relie la circulation Cγ ( A ) du champ → → − − →− a travers une surface ouverte S limit´ee et A le long du contour γ au flux ϕS (rot A ) ` → → − → − −→ − orient´ee par γ ; si γ est infinit´esimal Cγ ( A ) = rot A · dS. (3) (Ostrogradski) relie le flux → − → − ΦS ( A ) de A ` a travers une surface ferm´ ee S (orient´ee vers l’ext´erieur) a` l’int´egrale, → − → − → − dans le volume V qu’elle entoure, de div A ; si V est infinit´esimal ΦS ( A ) = div A d3 r. Avec la convention de sommation d’Einstein (cf. section 4.1.3), (2) et (3) s’´ecrivent Ai dxi = ijk ∂j Ak dSi (2 ) et Ai dSi = (∂i Ai ) d3 r (3 ) , γ
S
S
V
o` u Ai ≡ Ax , Ay , Az peuvent ˆetre trois fonctions arbitraires. −−→ → − → − → −→ − Conditions de nullit´ e. 1) Si A = gradf (resp. A = rot V ), les int´egrales (2) (resp. (3)) sont nulles. La r´eciproque est vraie si le domaine dans lequel les int´egrales sont nulles → − − → peut ˆetre continˆ ument r´eduit a` un point. (Remarque : on peut avoir a` la fois A = ∇f → − − → − → → − → 1− − → et A = ∇ ∧ V , par exemple f ( r) = A · r et V = A ∧ r). 2) L’int´egrale (2) (resp. (3)) 2 → − tend vers 0 si γ (resp. S) s’en va `a l’infini et si | A ( r )| d´ecroit plus vite que r−1 (resp. r−2 ) lorsque r → ∞.
Autres identit´ es Celles-ci ´etant tr`es nombreuses on se limite a` deux exemples. EXEMPLE 1. Dans un milieu continu la r´esultante des forces de contraintes `a la surface S d’un volume V et leur puissance s’´ecrivent comme des int´egrales sur V : − → [σ] dS = f c d3 r avec fc,x = ∂x σxx + ∂y σxy + ∂z σxz (idem pour fc,y et fc,z ) S
V
et
− → v · [σ]dS = P d3 r S
V
˙ . avec P = div([σ] v ) = f c · v + tr [σ][]
7.2 Calcul int´egral
225
([σ] = −[P] est la matrice des contraintes ; cf. section 4.3.1). Ceci donne pour des forces de pression : − → −−→ −−→ − P dS = − grad P d3 r ; P = −grad P · v − P div v . S
V
∂j σij d3 r et vi σij dSj = ∂j (vi σij ) d3 r = D´emonstration : σij dSj = S V S V 1 ∂i vj + ∂j vi d3 r car σij est sym´etrique. (Si [σ] avait vi ∂j σij d3 r + σij 2 V V 1 ∂i vj − ∂j vi une partie antisym´etrique cij , il faudrait rajouter l’int´egrale de cji 2 → − interpr´etable comme la puissance C ·
ω de couples volumiques ; l’hypoth`ese σij = σji ´equivaut donc a` l’absence de tels couples dans la mod´elisation habituelle des milieux continus.) EXEMPLE 2. Dans le calcul du potentiel scalaire (ou vectoriel) dˆ u ` a une r´epartition volumique de dipoles ´ electriques (ou magn´ etiques), on utilise les relations (avec f ( r ) ∝ | r − r0 |−1 ) : − − − → → → − − → − → − → − → − → 3 → − → → − − → 3 P · ∇f ou M ∧ ∇f d r = f − ∇ · P ou ∇ ∧ M d r + S f P · dS ou M ∧ dS . V V → − D´ emonstration : on consid`ere les int´egrales de surface. Dans le cas ´electrique ΦS (f P ) est l’int´egrale sur − → − → → − → − − → → − V de div(f P ) = P · ∇f + f div P . Dans le cas magn´etique, quel que soit u constant, u S f M ∧ dS = − → u ∧ M ) ( u “passant sous le signe somme”) est l’int´egrale sur V de : ΦS (f − − → − → → → − → − → − → − → − →− → − →− u− u · rot M + ∇f · ( u ∧ M) = u · M ∧ ∇f − f rot M . div f ( u ∧ M ) = f M · rot 3 (D´ emonstration plus rapide : S ijk f Mj dSk = Mj ∂k f + f ∂k Mj d r). V ijk
Fronti` eres et champs d´ ependant du temps dr
S1
d
Æl
Æl
2
−
dS
1
+ S2
Figure 23
Figure 24 − → Un d´eplacement infinit´esimal δl ( r) “continu” des points de γ ou S (ferm´es) entraˆıne les variations : → − → → − − → → → − → − − − →− rot A · δl ∧ dr ; δ δ f d3 r = f δl · dS . A · dl = γ
γ
V
S
− → → − → − ´ u {γ2 −γ1 } est le circuit ferm´e de DEMONSTRATION : Cγ2 ( A )−Cγ1 ( A ) = C{γ2 −γ1 } ( A ) o` − → − → − → la figure 23 qui limite une surface lat´erale (suppos´ee orientable) de vecteur dΣ = δl ∧ dr. La variation de l’int´egrale triple a elle simplement pour origine les volumes hachur´es − → − → (alg´ebriques) dS · δl (figure 24).
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
226
→ − → − Applications en ´ electromagn´ etisme. Si le champ A et le d´eplacement δl d´ependent → − du temps (avec δl = vγ ( r, t) dt), alors : − → − → → → − − → d ∂ A −→ − + rot A ∧ vγ · dr . A · dr = dt ∂t γt γt (Ceci r´esulte de − − − − → → → → − → Cγt+dt A ( r, t + dt) − Cγt A ( r, t) = Cγt+dt A ( r, t + dt) − A ( r, t) + C{γt+dt −γt } A ( r, t) → ∂− − → − → A dt au premier ordre). Une et du fait que Cγt+dt A ( r, t + dt) − A ( r, t) = Cγt ∂t dϕ premi`ere application est la loi de Lenz e = − , qui relie la circulation du champ dt → − → − → − → − → − →− ´electromoteur E em = −∂t A + vγ ∧ B au flux de B = rot A pour des fils conducteurs en mouvement `a la vitesse vγ . Remarque : les contre exemples connus `a cette loi sont des cas o` u, soit vγ est discontinue (dynamo unipolaire ; figure 25a), soit γt balaye une surface non orientable (galvanom`etre a` champ radial ; figure 25b).
N
discontinuité de vitesse
S
0000000 1111111 0000000 1111111 111111 000000 0000000 1111111 000000 111111 0000000 1111111 000000 111111 0000000 1111111 000000 111111 0000000 1111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 surface
d non orientable
(a)
(b) Figure 25
Une seconde application est le bilan ´ energ´ etique (pouvant ˆetre ´etendu `a plusieurs → − → − → − → − → dϕS ( B ) ∂A − · dr = I − circuits) I I(dr ∧ B ) · vγ , qui relie la d´eriv´ee temporelle ∂t dt γ γ de l’´energie magn´etique aux puissances fournies par des sources ´electriques et par des sources m´ecaniques s’opposant aux forces de Laplace (cf. sections 7.3.1 et 7.5.2). Applications en hydrodynamique. Si dans l’int´egrale triple le domaine Vt d´epend du temps, chaque point ´etant entraˆın´e par le champ de vitesse ve ) (qui n’est pas n´ecessairement celui du fluide), on a pour toute fonction f ( r, t) : − → d ∂f ( r, t) 3 ∂f 3 d r + f ( r, t) ve · dS = + div(f ve ) d3 r f ( r, t) d r = dt ∂t Vt V St Vt ∂t t → − ∂ df d + f div ve d3 r avec = + ve · ∇ . = dt dt ∂t Vt ´ DEMONSTRATION. La premi`ere ´egalit´e r´esulte de ce que la diff´erence des int´egrales de f ( r, t + dt) sur Vt+dt et de f ( r, t) sur Vt est la somme de l’int´egrale de f ( r, t + dt) − f ( r, t)
7.2 Calcul int´egral
227
sur Vt+dt , ou Vt au premier ordre, et de l’int´egrale de f ( r, t) sur {Vt+dt − Vt }. Les autres d 3 fd r sont des cons´equences imm´ediates. La derni`ere expression se d´eduit aussi de dt d 3 avec d r = div ve d3 r (ou justifie cette ´egalit´e si on choisit f = 1). dt Si f = ρ (masse volumique) et ve = v (vitesse du fluide), la conservation de la masse dans le volume Vt entraˆın´e par un fluide se traduit par : ∂ρ + div(ρ v ) = 0 ∂t
(ou
dρ + ρ div v = 0) dt
L.C. de la masse .
Plus g´en´eralement si G est une grandeur de densit´e volumique ρG = ρg (g grandeur massique, g = 1 pour la masse, g = V = ρ−1 pour le volume, g = v pour la quantit´e de 1 mouvement, g = v 2 pour l’´energie cin´etique et g = e pour l’´energie interne), on a : 2 d ∂(ρg) dg 3 GVt = + div(ρg v ) d3 r = d r. ρg d3 r = ρ dt ∂t Vt Vt Vt dt La derni`ere ´egalit´e r´esulte de la L.C. de la masse et s’obtient aussi directement en ´ecrivant que dt (ρg d3 r) = ρ d3 r dt g car dm = ρ d3 r est constant.
7.2.4
Bilans de grandeurs ; applications aux milieux continus
Circulation automobile Cet exemple simple sert d’introduction aux divers raisonnements sur les bilans. Sur une voie de circulation, soient n(x, t) la densit´e lin´eique de voitures se d´epla¸cant a` la vitesse v(x, t) et j(x, t) = n(x, t) v(x, t) leur flux. La L.C. des voitures se traduit, pour leur dNAB nombre NAB entre deux points A et B, par le bilan = jA − jB si A et B sont dt dNAB = 0 si A et B sont entraˆın´es avec les voitures. Pour A et B fixes, et par le bilan dt “proches” (xA = x, xB = x + dx) et n et j “continus”, le premier s’´ecrit d ∂n (n dx) = dx = j(x, t) − j(x + dx, t) soit ∂t n + ∂x j = 0 , dt ∂t et le second dn d n(xB − xA ) = dx + n dv = 0 soit dt n + n ∂x v = 0 dt dt (r´esultats ´equivalents). Si on s’int´eresse `a une grandeur g transport´ee par chaque voiture (g = m, mv, sa densit´e est ρG = ng et son flux (ou courant) est jG = ngv. La quantit´e
1 mv 2 · · · ), 2
τ = ∂t (ng) + ∂x (ngv) = n ∂t g + nv ∂x g (L.C. des voitures) = n dt g est l’apport (par unit´e de longueur) aux voitures de la grandeur consid´er´ee (force lin´eique exerc´ee par la route si g = mv).
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
228
S’il existe une onde de choc (provoqu´ee par des voitures arr´et´ees `a un feu par exemple), alors pour A et B fixes situ´es de part et d’autre de la discontinuit´e qui se d´eplace `a la vitesse V , le bilan est dNAB = (n1 − n2 )V dt (car dans l’intervalle de temps dt une densit´e lin´eique n2 est remplac´ee par n1 sur la longueur V dt ; figure 26).
Vt
n 2 v2
n 1 v1= 0
t t+ t
N
A
B x
Figure 26 De
dNAB = (n1 − n2 )V = jA − jB = n1 v1 − n2 v2 , dt n1 v1 − n2 v2 . On notera enfin qu’une distribution continue peut induire on d´eduit V = n1 − n2 une onde de choc si il existe une relation (ph´enom´enologique) j(n) entre densit´e et courant dj (flux) ; en effet la L.C. qui s’´ecrit alors ∂t n + c(n) ∂x n = 0 avec c(n) = est l’´equation dn d’onde discut´ee `a la section 7.1.1.
Ecritures g´ en´ erales d’un bilan Soit GV une grandeur extensive relative `a un volume fixe. On peut souvent distinguer dGV ce qui est dˆ u a` des ´echanges `a travers la fronti`ere S (notion de flux associ´e dans dt a une densit´e de courant jG ), de la “production sur place” de grandeur (associ´ee `a des ` termes de source alg´ebriques τG ). Le bilan s’´ecrit, sous forme int´egrale − → d ∂ρG 3 3
GV = d r = − jG · dS + ρG d r = τG d3 r , dt V V ∂t S V et sous forme diff´erentielle :
∂ρG + div jG = τG . ∂t
dGVt dGV et de montre ependant du temps, la comparaison de Si Vt est un volume d´ dt dt qu’il suffit de remplacer jG par jG = jG − ρG vS ou vS est la vitesse d’un point de la surface ( vS = v si Vt suit le fluide).
Lois de conservation (L.C.) La grandeur G est dite conserv´ ee localement si τG = 0 (pas de cr´eation). C’est le cas de la masse, de la charge ´electrique, de la quantit´e de mouvement en absence de forces `a distance... Par contre τS ≥ 0 pour l’entropie (cf. section 8.2.3).
7.2 Calcul int´egral
229
REMARQUES. 1) Notamment dans le cas de l’´ energie il est important de bien pr´eciser la “forme” consid´er´ee : ´energie cin´etique, ou interne, ou relative a` un sous syst`eme (par exemple `a des particules dans un champ ´electromagn´etique), ou a` une onde (qui peut ˆetre absorb´ee par le milieu), etc ; en effet mˆeme si τG = 0 pour la grandeur totale, en g´en´eral τG = 0 pour chaque “forme”. 2) Si S est une surface de discontinuit´e (onde de choc), la L.C. s’´ecrit (´egalit´e des flux de part et d’autre de la discontinuit´e) : − → − → ( jG,2 − ρG,2 vS ) · dS = ( jG,1 − ρG,1 vS ) · dS
(vS =
jG,2 − jG,1 `a une dimension) . ρG,2 − ρG,1
Lois de conservation microscopiques Les L.C. locales d´efinies ci-dessus concernent des grandeurs macroscopiques. Il existe aussi en physique des L.C. microscopiques : pour des particules ponctuelles i poss`edant une caract´eristique gi constante au cours du temps (nombre gi ≡ 1, masse mi , charge qi ...), et d´ecrivant des trajectoires ri (t) `a la vitesse vi (t), on a automatiquement : +div jGmicro = 0 avec ρmicro = gi δ r − ri (t) et jGmicro = gi vi (t) δ r − ri (t) . ∂t ρmicro G G i
i
Cette loi reste valable si on remplace δ( r ) par une fonction “lissante” f ( r). → − ´ DEMONSTRATION : pour tout f on a ∂t f r − ri (t) = − vi (t) · ∇f = −div f vi(t) ; si gi d´ependait du temps on aurait un terme de source τGmicro = i g˙ i (t) f r − ri (t) . C’est ainsi, par des op´erations de lissage (moyenne), que beaucoup de bilans macroscopiques peuvent ˆetre d´eduits de bilans microscopiques.
Flux en hydrodynamique et ´ elasticit´ e − → Quand on suit dans son mouvement avec le milieu un ´el´ement de surface dS (1 et 2 d´esignant le milieu de part et d’autre), le flux de masse, le flux de quantit´e de mouvement (force de contact exerc´ee par 1 sur 2) et le flux d’´energie (“puissance de la force de contact + flux thermique”) valent respectivement : − → − → − → − → dϕm = 0 ; d
ϕ p = [P] dS (ou − [σ] dS) ; dϕE = v · [P] dS + jth · dS . − → − → Si dS est fixe, comme jG = jG + ρG v , il faut ajouter a` ces flux ρG v · dS avec ρG = ρ ou ρ v 1 ou ρ v 2 + e). Pour un fluide parfait ([P] ≡ P pression, jth = 0) on obtient (cf. aussi 2 la section 3.2.4) : 1 − → − → − → − → P v2 + e + ρ v · dS . d
ϕp = ρ v ( v · dS) + P dS ; dϕE = dϕm = ρ v · dS ; 2 ρ Application : vitesse d’une onde sonore ` a une dimension. Les L.C. de la masse et de la quantit´e de mouvement en pr´esence d’une discontinuit´e donnent : vS =
ρ2 v2 − ρ1 v1 (P2 + ρ2 v22 ) − (P1 + ρ1 v12 ) = . ρ 2 − ρ1 ρ2 v2 − ρ1 v1
Si la discontinuit´e est faible et le fluide proche du repos (ρi vi2 Pi ), alors vS2
dP . dρ
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
230
− → REMARQUE. On peut ajouter ` a dϕE le terme ρgz v · dS si l’´ energie potentielle de pesanteur n’est pas prise en compte par ailleurs (cf. bilans locaux ci-dessous). Les bilans d´eduits des flux ci-dessus recouvrent P 1 une grande quantit´e d’applications pratiques. Beaucoup concernent la quantit´e v2 + e + + gz qui, en 2 ρ ´ ecoulement permanent, reste constante le long d’une ligne de courant si l’´energie du fluide est conserv´ee (th´ eor` eme de Bernouilli), ou varie d’une quantit´e reli´ee aux travaux et ´echanges thermiques effectu´es par une masse unit´e de fluide lors de son ´ecoulement entre les points consid´er´ es. On trouvera des exemples dans les livres d’hydrodynamique pour ing´enieurs.
Bilans locaux et ´ equations des milieux continus Pour une masse dm de mati`ere qui occupe un volume ´el´ementaire d3 r et se d´eplace `a la vitesse v , les bilans de quantit´e de mouvement et d’´energie s’´ecrivent (l’effet des forces de contraintes ayant ´et´e d´ecrit `a la section 7.2.3) : d d v (dm v ) = f c d3 r + dm g + f a d3 r = dm , dt dt 2 d
v dm +e = div [σ] v d3 r − div jth d3 r + v · (dm g + f a d3 r) + τa d3 r . dt 2 dm g est la force due au champ de pesanteur local ; f a d´esigne des forces volumiques → − autres, par exemple de Laplace j ∧ B en magn´etohydrodynamique, de Coriolis −2ρ ω ∧ v et“centrifuge” dans un r´ef´erentiel non inertiel, etc. ; τa d´esigne les sources d’´energie autres (effet Joule par exemple). En divisant les deux membres par d3 r, le bilan de quantit´e de mouvement s’´ecrit : d v → − ∂ v ρ =ρ + ( v · ∇) v = f c + ρ g + f a . dt ∂t On en d´eduit, en faisant le produit scalaire avec v , le bilan d’´energie cin´etique et potentielle : d 1 2 d(gz) ρ
v + gz = (f c + f a ) · v car ρ g · v = −ρ . dt 2 dt Il permet de r´ecrire le bilan d’´energie sous la forme, ne faisant intervenir que l’´energie interne (premier principe) : ρ
de ˙ − div jth + τa = tr [σ][] dt
˙ ij = ([]
1 (∂i vj + ∂j vi )) . 2
Dans la suite jth = 0, f a = 0 et τa = 0. Par exemple pour un fluide parfait (f c = −−→ −−→ d v −grad P ), on obtient l’E.D.P d’Euler ρ = −grad P + ρ g qui, si ρ est constant (ou dt d v est un gradient et conduit a` tous les th´eor`emes si P ne d´epend que de ρ), fait que dt ˙ = −P div v correspond vus a` la section 7.1.3 ; la puissance interne volumique tr [σ][] dV en thermodynamique. au terme −P dt AUTRES EXEMPLES. 1) Fluide visqueux. Il faut alors ajouter la force de composantes fc,i = 2η v ; ceci eaire (cf. section 4.3.1), σij = η(∂i vj + ∂j vi ) + δij ζ − 3 div j ∂j σij avec, dans le cas lin´ donne −−→ −−→ ρ dv = −grad P + ρg + η Δ v) v + ζ + η3 grad (div dt
7.3 Applications `a la m´ecanique et `a l’optique g´eom´etrique
231
qui, pour un fluide incompressible (divv = 0), est l’E.D.P. de Navier-Stokes. On v´erifie que ˙ > 0 (augmentation locale de l’´energie interne du fluide). 2) Milieu ´ tr ([σ][]) elastique lin´ eaire. Avec → − → − div ψ , ψ d´ esignant le champ de d´eplacement (infinit´esimal) et σij = μ (∂i ψj + ∂j ψi ) + δij χ−1 − 2μ 3 on obtient l’E.D.P. des ondes ´ elastiques : − −−→ 2→ → −1 − → − +μ grad (div ψ ) . ρ ∂∂tψ 2 = μΔψ + χ 3 ˙ est alors la d´eriv´ tr ([σ][]) ee temporelle d’une ´energie ´elastique.
7.3 7.3.1
` LA MECANIQUE ´ ` L’OPTIQUE APPLICATIONS A ET A ´ ´ GEOM ETRIQUE M´ ecanique et fonctions ´ energie potentielle
Dans de nombreux cas importants, les forces (et les couples) peuvent se calculer a` partir de la diff´erentielle d’une fonction des positions (et orientations) des corps concern´es appel´ee ´energie potentielle Ep . Cette fonction d´epend aussi de param`etres d´ecrivant l’´etat des corps ou leur environnement, param`etres qui, par d´efinition, restent fix´es dans la diff´erentiation. Sa d´etermination a` partir des ´energies connues en physique d´epend de fa¸con cruciale du choix effectu´e pour les param`etres.
Syst` eme de points mat´ eriels Pour des points mat´eriels (isotropes) l’´energie potentielle est une fonction Ep ( r1 , r2 · · · rn ) de leurs positions telle que les forces f i sur chacun d’eux s’en d´eduisent par : − → → − → − ∂ ∂ ∂ def
. , , fi · dr i soit fi = − ∇i Ep avec ∇i ≡ dEp = − ∂xi ∂yi ∂zi i L’´equilibre (f i = 0) correspond a` Ep extremum ; il est stable si δ 2 Ep > 0. → −
La force r´ esultante F α = i∈α fi sur un sous ensemble α de points s’obtient en → − − → − → − → − → remarquant que dEp = − F α · dr α lorsque dri∈α = dr α et dr i∈α = 0 (donc en consid´erant par la pens´ee une translation rigide de l’ensemble α, les autres points restant fixes). → − Pour le moment r´ esultant des forces Γ α = ri ∧ f i , on remarque aussi que : i∈α
→ − → − → − → → − − dEp = − Γ α · dθ α lorsque dri∈α = dθα ∧ ri et dri∈α = 0 (rotation rigide de l’ensemble α, les autres points restant fixes). Si Ep est invariante par translation (resp. rotation) la force r´esultante totale (resp. le moment total) est nulle. − → → − REMARQUE. Le travail ´el´ementaire des forces f i ´etant δW = i f i · dri la diff´erentielle dEp = −δW est le travail δWsm qu’une source m´ ecanique (un “op´erateur”), exer¸cant les forces −f i , devrait effectuer pour rendre les d´eplacements quasi-statiques. −1 EXEMPLE 1. Electrostatique : Ep = (4π0 )−1 (i,j) rij qi qj . Divisons les charges en deux groupes α et β. Comme les interactions ne d´ependent que de rij = | ri − rj | il suffit, pour avoir les actions de β sur α (ou de α sur β), de consid´erer l’´ energie poten-
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
232
tielle d’interaction qui est la restriction de la double somme aux couples (i∈α, j ∈β) : −1 qi Vext ( ri ) avec Vext ( ri ) = (4π0 )−1 rij qj . Epint = i∈α
j ∈β
Par exemple si α est un dipole p = i qi ri ( i qi = 0) situ´e en rα ri , on a Epint = i qi Vext ( ri ) = → − → − → − − p · E ( rα ) avec E = − ∇Vext . Dans une translation infinit´esimale selon x, dEpint = −(px ∂x Ex + → − → → − → − − → − →− u Fx = ( p · ∇) Ex (en utilisant rot E = 0) et F = ( p · ∇) E . Dans une py ∂x Ey + pz ∂x Ez ) dx d’o` − → → − → − → − int ) · E d’o` u le couple C = p ∧ E . (Avec une rotation infinit´esimale centr´ee en rα , on a dEp = −(dθ ∧ p → − → − − → ependent pas du rotation de centre O on obtiendrait le moment Γ = C + rα ∧ F .) Ces r´esultats ne d´ caract`ere d´eformable ou ind´eformable (induit ou pas) du dipole. Si β est aussi un dipole, l’invariance → − → − → − → − rβ − rα ) ∧ par translation et par rotation de Ep entraˆıne F β→α + F α→β = 0 et C β→α + C α→β + ( → − → − → − F α→β = 0 ; en g´en´ eral F α→β = − F β→α n’est pas parall`ele ` a rβ − rα car un dipole, mˆeme ponctuel, n’est pas isotrope. ri − rj . Ceci n’est pas toujours le cas, par Remarque : ci-dessus Ep est une somme de fonctions de exemple pour les atomes d’une mol´ecule ou d’un cristal avec des liaisons d´elocalis´ees ; il n’y a alors → − aucun moyen naturel de d´ecomposer fi = − ∇i Ep sous la forme traditionnelle fi = j =i fj→i .
B
+ d
dr
dl
dr dl I
Figure 27 → − EXEMPLE 2. Circuit ´ electrique dans un champ ext´ erieur B (figure 27). − → Dans un d´eplacement infinit´esimal “virtuel” dr de chaque point r du circuit, le travail − − → − − → − → → − → − → → − → des forces de Laplace I dl ∧ B s’´ecrit δW = (I dl ∧ B ) · dr = (I dr ∧ dl) · B = → − → − I dϕ (conservation du flux de B ). La force et le moment totaux qu’exerce B sur le circuit s’obtiennent donc a` partir de Ep = −Iϕ (o` u ϕ d´epend des 6 coordonn´ees qui d´eterminent la position et l’orientation dans l’espace du circuit rigide). Pour une petite → − → − spire, Ep = −
μ · B (avec
μ = I S ) comme pour un dipole ´electrique.
Fonction Ep et ´ energie cin´ etique Ep a un lien math´ematique simple avec l’´energie cin´etique Ec (relativiste ou non). Comme − → dEc def = f i · vi on a, si les param`etres dEp = − i f i · dri (`a param`etres fixes) et dt i d´ependent du temps : ∂Ep d (Ep + Ec ) = . dt ∂t La loi Ep + Ec = Cste pour un syst`eme isol´e a beaucoup d’applications en m´ecanique.
7.3 Applications `a la m´ecanique et `a l’optique g´eom´etrique
233
Th´ eor` eme du viriel. Toute fonction homog`ene Ep d’ordre n v´ erifie : → − nEp = i ri · ∇i Ep (E.D.P d’Euler) = − i ri · fi (viriel des forces) = − d ( i ri · mi vi ) + 2Ec . dt Si le domaine de variation des positions et des vitesses est limit´e, la moyenne sur un grand intervalle de d ( i ri · mivi ) > est nulle et : temps < dt 2 < Ec >= n < Ep > . Les applications principales correspondent ` a n = −1 (interactions gravitationnelles en astrophysique ou ´ electrostatiques pour l’atome de Bohr) et n = 2 (oscillateurs harmoniques coupl´es).
Fonctions Ep en ´ electromagn´ etisme Partons d’un exemple ´el´ementaire de bilan d’´energie o` u la connaissance (physique) des ´energies impliqu´ees et des puissances fournies par les g´en´erateurs ´electriques permet de d´eduire les travaux ´el´ementaires δWsm des sources m´ecaniques. Circuit RLC avec inductance et capacit´ e d´ eformables (figure 28a).
x x
VC
q
VL
x
I
i −F C
F
−F L (a)
(b) Figure 28
dϕ q dq , VL = (loi de Lenz avec ϕ = LI) et VC = , on d´eduit les ´egalit´es (qui dt dt C 1 1 concernent les ´energies ´electromagn´etiques LI 2 et CVC2 ) : 2 2 1 1 1 1 LI 2 = I dϕ − I 2 dL ; CVC2 = VC dq − VC2 dC . d d 2 2 2 2 De I =
Chaque diff´erentielle apparaˆıt comme la somme dEem = δWse + δWsm de travaux (connus) fournis par des sources ´electriques (VL dq et VC dq), et de travaux (li´es aux 1 d´eformations) qu’il est naturel d’attribuer a` des sources m´ecaniques (δWsm = − I 2 dL 2 1 et δWsm = − VC2 dC). On d´eduit de δWsm = dEp que les fonctions Ep sont, au choix, 2 1 q2 1 1 ϕ2 1 2 et − LI et − CVC2 (c.a.d. −Eem ) si I et VC sont les param`etres fixes, ou 2 2 2 L 2 C (c.a.d. Eem ) si ϕ et q sont les param`etres fixes. Pour un sol´eno¨ıde de longueur x constitu´e N 2S 1 dL 2 ), la force (“contractante”) est : FL = I = de N spires de section S (L = μ0 x 2 dx
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
234
S 1 N 2S 1 S − μ0 2 I 2 . De mˆeme FC = − 0 2 VC2 pour un condensateur plan avec C = 0 . 2 x 2 x x AUTRES EXEMPLES. Pour un ´ electroaimant (figure 28b) dont l’entrefer x a une section S, on a B2 2μ0
2
B S dx si ϕ = BS est constant ( 2μ ´ energie volumique dans l’entrefer) ; la force d’attraction 0 2 B electriques, Eem = 12 entre les faces vaut F = − 2μ S. Pour un ensemble de circuits ´ i I i ϕi 0 et δWse = i Ii dϕi (cf. section 7.5.2), ϕi = j Mij Ij ; on en d´eduit δWsm = 12 ij dMij Ii Ij et etant pris comme param`etres). Si on s’int´eresse aux seules actions Ep = − 21 ij Mij Ii Ij (les courants ´
dEem =
(1)
sur le circuit 1, on ne garde que les termes i = 1, j = i et i = j, j = 1 et on retrouve Ep
= −I1 ϕ
o` u ϕ est le flux du champ ext´erieur. Le cas des conducteurs m´ etalliques en ´ equilibre se d´eduit de l’exemple pr´ec´ edent en faisant les changements Ii → Vi et ϕi → Qi (pour les variables intensives et extensives) et Mij → Cij .
7.3.2
Optique g´ eom´ etrique : rayons ; surfaces d’onde ; caustiques et probl` emes d’extremum
On se place dans l’approximation de l’optique g´eom´etrique (o` u les ondes sont localement planes) et on consid`ere des milieux isotropes. Surfaces d’ondes et rayons sont alors deux concepts reli´es par la notion de gradient.
Des rayons aux ondes
M m
S0
S
Figure 29 Rappelons (cf.section 3.2.3) que le chemin optique L(A, B) ≡ L( rA , rB ) calcul´e le long B du rayon joignant deux points A et B correspond a` un extremum de A n( r) dl, et qu’il a pour diff´erentielle − → − → dL = nB u ˆB · dr B − nA u ˆA · dr A (ˆ u( r) vecteur unitaire port´e par le rayon). Les surfaces d’onde L( r) = constante sont une fa¸con de regrouper les rayons par familles de sorte que, en tout point, n( r) uˆ( r) soit le gradient de L( r). Par exemple (figure 29) consid´erons la famille des rayons orthogonaux a une surface S0 et, pour tout point M ( r) situ´e sur un rayon issu de m ∈ S0 , po` sons L( r) = L( rm , r). La surface S d´efinie par L( r) = L (constante) est la surface d’onde L d´eduite de S0 (L( r) = 0) apr`es le temps de propagation . La surface L( r) = L + dL s’en c
7.3 Applications `a la m´ecanique et `a l’optique g´eom´etrique
235
dL ; on passe ainsi de proche en n( r) proche de S0 ` a S. Ceci n’est autre que la construction de Huygens des surfaces d’onde comme enveloppes d’ondelettes sph´eriques, et des rayons comme trajectoires orthogonales → − a ces surfaces. Elle fournit la solution de l’E.D.P. eikonale | ∇L( r)| = n( r) avec la ` condition aux limites L = constante sur une surface donn´ee. d´eduit en portant sur chaque normale une longueur
REMARQUE. La figure 30 montre, sur le cas particulier n = Cste o` u les rayons sont des droites, que les surfaces S, d´eduites de S0 en portant sur les rayons une longueur L, deviennent en g´en´eral singuli`eres lorsque L croˆıt (cf. surface S2 ). La singularit´e se produit sur les caustiques, surfaces enveloppe des rayons, et est li´ee au fait que L( r) n’est plus d´efinie univoquement (cf. exemples ci-dessous).
x caustique
m* 1 m*
M
2
R
O
z S 0 S1
S2 Figure 30
Des ondes aux rayons
Soit ψ(t, r) = A( r) exp −i ωt − ϕ( r) une onde monochromatique, et soit (par r´ef´erence a une onde plane A exp− i(ωt − k . r)) ` −→
k( r) = − gradϕ( r) le vecteur d’onde local. L’onde est localement plane si k( r) et A( r ) varient peu, en 2π (domaine non gris´e sur la figure valeur relative, sur des distances de l’ordre de λ = k 31).
Figure 31
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
236
→ − ω Alors k( r) v´erifie la relation de dispersion locale k( r) = | ∇ϕ | = n( r) . Si on appelle c rayon une courbe γ0 tangente en tout point a` k( r), k donnant la direction de propagation de l’´energie, on en d´eduit pour γ0 ` a la fois le principe de Fermat et la loi de Descartes : B B −−→ d d k −−→ = grad k( r) ou nˆ u = grad n . k( r) dl ou n( r) dl minimum local ; dl dl A A ´ DEMONSTRATION : pour Fermat (figure 32) on ´ecrit → → − → − → − − − → | k( r)| dl = | ∇ϕ| dl ∇ϕ · dl = ϕ(B) − ϕ(A) = ∇ϕ · dl < γ0
γ0
γ
γ
→ − → − (car ∇ϕ est parall`ele `a dl sur γ0 mais pas sur toute autre trajectoire γ allant de A `a B) ; pour Descartes on ´ecrit dkx dx dy dz 1 = ∂x kx + ∂y kx + ∂z kx = ∂x (kx2 + ky2 + kz2 ) = ∂x k dl dl dl dl 2k en utilisant pour ϕ).
− → kx dx = · · · ( k parall`ele `a dl sur γ0 ) et ∂y kx = ∂x ky · · · (´egalit´e de Schwarz dl k
0 A
lentille
B
dl Figure 32
M A O
A’
B
Figure 33
→ − REMARQUES 1) On a suppos´e que ∇ϕ est non singulier. Le rayon γ0 ´ etant donn´e, ceci peut toujours ˆ etre satisfait localement mais pas globalement ; si tous les rayons issus de A convergent en un point A situ´ e avant B sur γ0 , le chemin optique de A ` a B n’est alors plus minimum mais simplement stationnaire ; sur la figure 33 le chemin optique (AM B) est plus court que (AOA B) = (AM A ) + (A B). → − 2) Si ψ(t, r ) = A(t, r ) expiϕ(t, r ) est localement une onde plane, on pose ω = −∂t ϕ et k = ∇ϕ. Soit ω = f (k, t, r ) la relation de dispersion (milieu lin´eaire mais non isotrope, non stationnaire et non homog`ene), → − vg . ∇ une “d´eriv´ ee particulaire” (dt r= vg ). Un bon soit vg = ∂k ω la vitesse de groupe et soit dt = ∂t + → − eralisent exercice de d´eriv´ ees partielles consiste ` a montrer que dt ω = ∂t f et dtk = − ∇f (relations qui g´en´ les lois de Descartes et relient optique g´ eom´ etrique et m´ ecanique ; cf. section 9.1).
Caustiques et probl` emes d’extremum Soient dans l’air (n = 1) une surface d’onde z = f (x, y) (point courant m(x, y, z)) et M (X, Y, Z) un point fixe ext´erieur. On cherche les rayons m∗ M passant par M , c.a.d. −→ les droites qui rendent la distance mM extr´emale (d(mM ) = −ˆ um · dm = 0 pour m∗ ).
7.3 Applications `a la m´ecanique et `a l’optique g´eom´etrique
237
Les caustiques (enveloppes de rayons) correspondent aussi aux lieux g´eom´etriques des points M o` u le probl`eme d’extremum admet une bifurcation (c.a.d. un changement du nombre de solutions pour m∗ ). x3 x2 +A (A > 0 ; figure 30). Pour M pr`es de la normale 2R 6 en O a` la surface (axe Oz) on a mM = (Z − f )2 + (X − x)2 + (Y − y)2 Z − f + 1 A (X − x)2 + (Y − y)2 . x∗ et y ∗ v´erifient − x∗2 + x∗ (Z −1 − R−1 ) − Z −1 X = 0 et 2Z 2 u a` priori 0 ou 2 solutions. Le cas limite de la racine double x∗1 = x∗2 d´efinit y ∗ = Y , d’o` la caustique (parabolo¨ıde) d’´equation (Z − R)2 − 2AR3 X = 0. Si A = 0, la caustique est la droite Z = R, X = 0 (il y a alors une infinit´e de solutions pour x∗ ). EXEMPLE 1. f (x, y) =
y2 (R1 R2 > 0). Pour M pr`es de Oz, x∗ et y ∗ sont 2R2 −1 ∗ −1 −1 ∗ −1 −1 Y ; les caustiques sont les deux droites donn´es par x (Z − R1 ) = Z X et y (Z − R−1 2 )=Z de directions perpendiculaires Δ1 (Z = R1 , X = 0) et Δ2 (Z = R2 , Y = 0) ; elles se r´eduisent au
EXEMPLE 2 (figure 34a). f (x, y) =
x2 2R1
+
foyer de l’onde (0, 0, R) si R1 = R2 = R. En pratique la surface d’onde est limit´ee par une pupille 2 circulaire x2 + y 2 = rmax . Le calcul pr´ec´ edent montre que les rayons qui en sont issus coupent alors un plan Z = Cste ` a l’int´erieur de l’ellipse |R2 −R1 | dans le plan de 2R0 |R2 −R1 | longueur 2rmax R sur 0
X 2 R2 1 (R1 −Z)2
+
Y 2 R2 2 (R2 −Z)2
2 = rmax . Cette ellipse est un cercle
de rayon rmax
convergence “moyen” Z =
segments de
les caustiques (figure 34b).
x
(a)
y (b)
R1 +R2 2
= R0 , et se r´ eduit ` a des
R 1 R 0 R2
1111111111 0000000000 00000000000000 11111111111111 00000 11111 0000000000 1111111111 00000000000000 11111111111111 00000 11111 00000 11111 0000000000 1111111111 00000000000000 11111111111111 00000 11111 000 111 0000000000 1111111111 000 z 111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 1 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 2
11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11
pas de solution 0000000 1111111 0000000 1111111 ue 0000000 1111111 stiq 0000000 1111111 0000000 1111111 cau
0000000 2 solutions 1111111
0000000 1111111 O 0000000 1111111 1111111 0000000 cau 0000000 1111111 0000000 1111111 stiq 0000000 1111111 ue 0000000 1111111
z
pupille
Figure 34
EXEMPLE 3. f (x, y) = −Bx0 x(x2 + y 2 ) +
M (4 solutions)
y
x
Figure 35
x2 +y 2 2d
(B > 0). Cherchons la trace de la caustique sur
le plan Z = d (plan de convergence de l’onde sph´erique si B = 0) pr`es de l’axe Oz. m∗ s’obtient en , ce qui donne X = Bx0 r ∗2 (2+cos 2ϕ∗ ) et Yd = Bx0 r ∗2 sin 2ϕ∗ extr´emalisant Bx0 x(x2 +y 2 )− xX+yY d d
en posant x∗ = r ∗ cos ϕ∗ et y ∗ = r ∗ sin ϕ∗ . Dans le plan Z = d, les cercles r ∗ = Cste centr´es en (X = 2Bx0 r ∗2 , Y = 0) et de rayon Bx0 r ∗2 remplissent la r´egion X > 3|Y | (figure 35). Dans cette
r´ egion il y a pour tout point M quatre solutions m∗ (deux valeurs de r ∗ et pour chacune les solutions ϕ∗ et ϕ∗ + π). A l’ext´erieur de cette r´egion (X < 3|Y |) il n’y a pas de solution. La caustique est donc form´ee des deux demi-droites X = 3|Y | faisant entre elles un angle de 60o . (En pratique une u il y a deux solutions.) pupille r = rmax limite la caustique et introduit une “sous r´egion” o`
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
238
Aberrations g´ eom´ etriques d’un syst` eme optique centr´ e La figure 36 rappelle la situation exp´erimentale (cf. cours d’optique pour plus de d´etails).
x0
u+ Æ u
x m
m0 r0
m’ m’0
u
r
z y
y0
système centré objet
d pupille de sortie
image
Figure 36 Si m0 ´ etait l’image rigoureuse de m0 , le chemin optique de m0 ` a un point m de la pupille de sortie −−−→ ˆ du rayon en m serait parall`ele ` a mm0 . Les s’´ ecrirait L(m0 , m) = Cste − mm0 , et le vecteur unitaire u corrections ` a L s’´ ecrivent ` a priori δL =
A 4
( r · r )2 + B( r · r ) ( r · r0 ) +
1 2
C( r · r0 )2 + C ( r· r ) ( r0 · r0 ) + D( r · r0 ) ( r0 · r0 )
en vertu de la sym´etrie de r´evolution du syst`eme ; (il n’y a pas de scalaires du troisi`eme degr´e et ceux du second degr´e ont ´ et´ e d´ ej` a pris en compte dans l’approximation de Gauss). On en d´eduit la correction d’orientation du rayon sortant : r · r0 ) r + B 2( r· r0 ) r + r2 r0 + C( r0 + C r02 r + Dr02 r0 . δu ˆ δu ˆ⊥ = ∂r δL = Ar 2 −−−→ Ce rayon coupe le plan image en m tel que m0 m δu ˆ d (aberration). A d´ efinit l’aberration de efinit sph´ ericit´ e (courbure de la surface d’onde plus grande en A2 qu’en A1 sur la figure 37a) ; B d´ celle de coma (analogue de l’exemple 3 ci-dessus avec r0 ≡ (x0 , 0)), C (analogue de
1 R1
−
1 R2
dans
celle de courbure de champ (responsable de l’´ecart entre l’exemple 2) celle d’astigmatisme, C + C 2 le point de convergence moyen et le plan image), et enfin D celle de distorsion (correction D r02 d au grandissement ; la figure 37b repr´esente l’image “distordue” d’un carr´e).
A2
D
0 y
D
0
F
A1
x’
S0 (b)
(a) Figure 37
7.4
` LA THERMODYNAMIQUE APPLICATIONS A
Changements de variables, d´efinition de grandeurs importantes par des d´eriv´ees partielles, ´egalit´e de Schwarz, relation d’Euler, variations secondes, m´ethode des multiplicateurs de Lagrange, etc. figurent parmi les outils fr´equemment utilis´es en thermodynamique. Un choix d’exemples qui reprend quelques grandes probl´ematiques de cette discipline est bri`evement pr´esent´e (cf. aussi les sections 1.1.4, 5.1.4 et 10.2.3).
7.4 Applications `a la thermodynamique
7.4.1
239
Rˆ ole cl´ e de l’entropie ; ´ equations d’´ etat ; coexistence de phases
Coefficients ´ elastiques et thermiques La thermodynamique a commenc´e avec l’´etude exp´erimentale des ´equations d’´etat de fluides f (P, V, T ) = 0 (P V = RT pour une mole de gaz parfait (G.P.)) et celle des apports thermiques r´eversibles. Les coefficients ´elastiques α , β et χT sont d´efinis par α=
1 ∂V V ∂T
,
β=
P
1 ∂P P ∂T
χT = −
, V
1 ∂V V ∂P
, T
1 dV dV = α dT − χT dP et dP = β P dT − , et les coefficients thermiques V χT V cV , l, cP et h ainsi que χS sont d´efinis par (δQrev forme diff´erentielle) : c’est-`a-dire
1 dV `a δQrev = 0 . V dP Tous ces coefficients ne sont pas ind´ependants. En ´ecrivant df = ∂V f dV + ∂P f dP + ∂T f dT = 0, on exprime α , β et χT en fonction des trois d´eriv´ees partielles de f (par exemple αV = −(∂T f ) (∂V f )−1 ), et on obtient α = P β χT . De mˆeme en portant dV (resp. dP ) dans la premi`ere (resp. la seconde) expression de δQrev , il vient cP − cV = c h dV χ c l α V = −h β P . Enfin δQrev = 0 entraˆıne = V d’o` u T = P . A ce niveau de dP l cP χS cV description les trois fonctions P (T, V ) , cV (T, V ) et l(T, V ) sont ind´ependantes. δQrev = cV dT + l dV = cP dT + h dP
;
χS = −
Equations d’´ etat et entropie : gaz parfait ; gaz r´ eel ; corps noir La diff´erentielle de S(U, V ) (U ´energie interne, V volume) dS =
1 (dU + P dV ) T
(´equivalent a` dU = −P dV +δQrev avec δQrev = T dS) d´efinit la temp´ erature thermo∂S −1 ∂S dynamique T (U, V ) = et la pression P (U, V ) = T . On d´eduit donc de S `a ∂U V ∂V U la fois l’´equation d’´etat P (T, V ), l’´energie interne U (T, V ) et les coefficients thermiques. Trois exemples explicites sont : 3 1 a ; S = Cste U 4 V 4 . S = R ln V + f (U ) ; S = R ln(V − b) + f U + V Pour le premier (une mole de G.P.), R ln V mesure la libert´e de position des mol´ecules et f (U ) celle associ´ee `a la r´epartition de l’´energie U entre elles. Dans le second (une mole de gaz r´eel), on tient compte de la taille des mol´ecules (restriction du volume “libre”) et a de l’´energie potentielle (li´ee aux interactions `a distance) − , n´egative et proportionnelle V a la densit´e. La troisi`eme expression (corps noir, c.a.d. gaz de photons) a ´et´e introduite ` aux sections 1.1.4. et 1.3.2. Pour le G.P. la relation dS = RV −1 dV + f (U ) dU donne P V = RT (donc T co¨ıncide bien avec la temp´erature du gaz parfait) et f (U ) = T −1 (relation qui d´efinit UGP (T )) ; on a α = β = T −1 , χT = P −1 , l = P , cP − cV = R et −T 2 f (U ) (fonction de T ). Pour le gaz r´eel un calcul aussi simple donne cV = a a P + 2 (V − b) = RT (´ equation de Van der Waals) et U = UGP (T ) − ; enfin V V
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
240
3 dU 1 dV 4U dS = + donne T = et, pour la pression de radiation pour le corps noir S 4 U 4 V 3S U P = ∝ T 4 (loi de Stefan). 3V REMARQUE. La connaissance de P (T, V ) entraˆıne celles de l(T, V ) et de ∂V cV T ; pour obtenir cV (T, V ) et donc S, il reste `a d´eterminer la d´ependance en T de cV . D´emonstration : appliqu´ee `a l’´energie libre F = U −T S et `a S(T, V ) dont les diff´erentielles s’´ecrivent dF (T, V ) = −S dT − P dV et dS(T, V ) = T −1 (cV dT + l dV ) , l’´egalit´e de Schwarz donne l = T ∂T P V et ∂V cV T = T ∂T (T −1 l) V . En consid´erant la diff´erentielle dG(T, P ) = V dP − S dT de l’enthalpie libre G = F + P V et dS(T, P ), on ´etablit des relations analogues pour h(T, P ) et cP (T, P ).
Syst` emes ouverts ; extensivit´ e de l’entropie ; enthalpie libre Pour une phase contenant ni moles des esp`eces chimiques i, l’entropie d´epend des grandeurs extensives X ≡ (U, V, ni ). L’expression dS = T −1 (dU + P dV − i μi dni ) d´efinit les potentiels chimiques d’´equilibre μi . L’extensivit´e S(kX) = k S(X) de S entraˆıne que S est une fonction homog`ene de degr´e un et que (relation d’Euler) S= Xj ∂j S = T −1 U + P V − μi ni , j
i
soit, `a l’aide de l’enthalpie libre : μi ni . G = U + PV − TS = i
Elle entraˆıne aussi que S(X) = n S(x) avec n = i ni et x = n−1 X (grandeurs molaires). Les d´eriv´ees partielles de S(X) satisfont f (kX) = f (X) ; ces fonctions homog`enes de degr´e z´ero, qui ne d´ependent que x, sont des grandeurs intensives. EXEMPLES. Pour une seule esp`ece chimique : U V , , 1 = n s(u, v) et G(P, T, n) = n μ(P, T ) . S(U, V, n) = n S n n Pour le corps noir, S est bien extensive (S(kU, kV ) = k S(U, V )), mais comme n n’apparaˆıt pas, on a μ = 0 et G = 0. REMARQUE. Si au lieu de U , V et ni on choisit les variables P , T et ni , toutes les grandeurs extensives u f = (U , V , S, G...) satisfont f (P, T, kni ) = k f (P, T, ni ), d’o` i ni fi avec fi = ∂ni f |P,T (relation elange parfait si chaque fi ne d´epend que de P , T et ni et d’Euler pour les variables ni ). On a un m´ pas des nj =i .
Concavit´ e de l’entropie ; stabilit´ e thermodynamique Soient deux parties d’un mˆeme fluide initialement s´epar´ees et ayant chacune ni (i = 1, 2) moles et des grandeurs molaires xi ≡ (ui , vi ). Si n1 x1 + n2 x2 ´etant fix´e (syst`eme isol´e) l’´evolution des deux parties se fait vers un mˆeme ´etat d’´equilibre (cas d’une seule phase), le second principe entraˆıne que : n1 x1 + n2 x2 (n1 + n2 ) s ≥ n1 s(x1 ) + n2 s(x2 ) . n1 + n2
7.4 Applications `a la thermodynamique
241
Ceci implique la concavit´e de s (donc aussi celle de S pour n fix´e) : le segment joignant deux points de coordonn´ees (ui , vi , si ) de la surface s(x) est situ´e en dessous d’elle. On en d´eduit (cf. section 7.1.1) la condition (dite de stabilit´ e thermodynamique) : P 1 1 1 δ 2 S(U, V ) = d dU + d dV = (dP dV − dT dS) < 0 . 2 T T 2T Cons´equences : en annulant successivement dT , dS, dV et dP dans l’in´egalit´e on obtient que χT , χS , cV et cP sont positifs. Comme dG = V dP − S dT on a aussi : δ 2 G(T, P ) =
1 dP dV − dT dS < 0 . 2
EXEMPLE : fluide de Van der Waals. La consid´eration des termes du second ordre en dU et dV dans S(U + dU, V + dV ) = R ln(V + dV − b) + f U + dU + a(V + dV )−1 donne : R a δ2 S = − 12 (V −b) dV 2 + 12 f (ϕ) dϕ2 (ϕ = U + Va = UGP (T )) . 2 + TV 3 Le terme en dϕ2 est n´egatif (en admettant la concavit´e de S pour le G.P.). Celui en dV 2 s’´ ecrit 1 2
∂V P |T dV 2 (cf. ´ equation d’´etat) et a le signe de −χT . Dans le plan (V, P ) la r´ egion δ2 S < 0 est
celle o` u les isothermes (dϕ = 0) ont une pente n´egative (r´egion physiquement observable, y compris les zones de retard ` a la vaporisation et ` a la liqu´ efaction ; cf. figure 2a du Chapitre 5) ; c’est aussi la r´ egion non gris´ee sur la surface S(U, V ) (figure 38).
S isotherme T =1 c
lignes S = Cste
C
U
V =1 1 Vc 0 3
Figure 38
Coexistence de phases Avec les conditions d(n1 + n2 ) = 0 et d(n1 x1 + n2 x2 ) = 0 (x ≡ (u, v)), l’´etat d’´equilibre correspond au maximum de n1 s(x1 ) + n ethode des mul2 s(x2 ) et s’obtient avec la m´ tiplicateurs de Lagrange. En ´ecrivant d ( i ni (s(ui , vi ) + λn + λu ui + λv vi )) = 0, on obtient les six relations (annulation des coefficients de dui , dvi et dni ) λu = −Ti−1 , λv = −Pi Ti−1 et s(ui , vi ) + λn + λu ui + λv vi = 0 ,
242
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
d’o` u T1 = T2 , P1 = P2 et g1 = g2 (ou μ1 = μ2 ). Ces trois ´equations admettent toujours la solution x1 = x2 mais, suivant le m´elange initial, elles peuvent avoir une autre solution x1 = x2 (coexistence de deux phases) d’entropie plus grande. C’est elle qui conduit pour le fluide de Van der Waals a` la construction de Maxwell des paliers d’´equilibre gazliquide dans le plan (V, P ). Cette construction revient (r´eflexion laiss´ee au lecteur) a` remplacer la surface de la figure 38 par son enveloppe concave (g´en´eralisation de la figure 6 du chapitre 5).
7.4.2
Potentiels thermodynamiques et ´ equilibres
Contraintes int´ erieures ; ´ equilibre global ; variables associ´ ees Un syst`eme contraint int´erieurement peut ˆetre compos´e de plusieurs parties chacune en ´equilibre sans qu’il y ait ´equilibre global entre elles, par exemple plusieurs phases avec des parois adapt´ees permettant le contrˆ ole des ´echanges volumiques, thermiques et mol´eculaires. Il peut aussi n’y avoir qu’un ´equilibre partiel au sein des phases (contrˆ ole des r´eactions chimiques une par une dans chaque phase avec des catalyseurs adapt´es). On peut aussi envisager des contraintes par la pens´ee si elles ne sont pas contradictoires avec les lois physiques. Dans tous les cas il faut distinguer dans l’expression de l’entropie totale St du syst`eme les variables X t qui ne varient pas lors de l’´evolution vers l’´equilibre global de celles X dont les valeurs changent avec la lev´ee des contraintes. X t ´etant fix´e l’´equilibre global est atteint lorsque St , fonction de X, est maximum. EXEMPLE 1. Equilibres chimiques. (Syst`eme comportant c esp`eces chimiques i, ϕ phases α et si`ege de r r´eactions ρ). Pour chaque phase dSα = Tα−1 dUα + Pα dVα − eme est isol´e, Ut = es. Si il i μiα dniα . Si le syst` α Uα et Vt = α Vα sont fix´ est ferm´e, on peut s´ e parer dans dn l’effet des r´ e actions et celui des ´ e changes entre iα phases : dniα = ρ νiρ dξρα + δniα ; ξρα est l’avancement de la r´ eaction ρ dans la phase α, νiρ est le coefficient stoechiom´etrique de l’esp` ece i dans la r´eaction ρ, et on a les conditions α δniα = 0. L’´equilibre global, St = α Sα maximum, s’obtient en introduisant les 2 + c multiplicateurs de Lagrange λU = −T −1 , λV = −T −1 P et λni = T −1 μi . De / 0 μi 1 P d niα − =0, dSt − dUα − dVα + νiρ ξρα T α T α T α ρ i on d´eduit (annulation des coefficients de dUα , dVα , dniα et dξρα ) : μiα = μi ; − μi νiρ = Aρ = 0 . Tα = T ; Pα = P ; i
Ceci exprime l’´egalit´e des temp´eratures, des pressions, des potentiels chimiques de chaque esp`ece et l’annulation des affinit´es Aρ . Cons´equence : si on s’int´eresse aux 2 + ϕ(c − 1) variables intensives P , T , et niα /nα d´ecrivant l’ensemble des situations d’´equilibre exp´erimentalement observables, les (ϕ − 1)c + r conditions sur les potentiels font que seules v = c − r + 2 − ϕ d’entre elles sont ind´ependantes (r` egle des phases pour la variance). EXEMPLE 2. Loi de Boltzmann. La r´ epartition de N constituants microscopiques identiques et ind´ependants (pas n´ecessairement monoparticulaires) ` a raison de Nα par ´etat microscopique α
7.4 Applications `a la thermodynamique
243
(d’´energies α fix´ ees) peut se faire de Ω = Π N! fa¸cons. On en d´eduit que S(X ≡ {Nα }) α Nα ! Nα Nα − α kB Nα ln N (formule de Stirling), et que dS = −kB α ln N dNα (car α dNα = 0). La es s’obtient comme dans l’exemple 1 par : r´ epartition d’´equilibre avec U = α Nα α et N = α Nα fix´ Nα 1 dS−T −1 α (α −μ) dNα = 0. En annulant les coefficients des dNα , il vient N = exp− k T (α −μ). B
Potentiels thermodynamiques Souvent on s’int´eresse `a des ´evolutions relatives a` des syst`emes en ´equilibre de temp´erature et de pression avec une source qui fixe P et T (l’atmosph`ere par exemple), ou a` des d´eplacements d’´equilibre lorsque P et (ou) T varient. Il faut alors consid´erer l’entropie St = S + T −1 (Us + P Vs ) = S + Ss de l’ensemble isol´e constitu´e par le syst`eme (d’entropie S) et la source (indic´ee par s) : St = T −1 (Ut + P Vt − G)
avec Ut = U + Us , Vt = V + Vs et G = U + P V − T S .
St d´epend de X t ≡ (Ut , Vt , P, T ) et, a` travers G, de variables de contraintes internes au syst`eme X. Si on ´ecrit dS = T −1 (dU + P dV ) + ∂X S U,V dX, on a : dG = V dP − S dT − A dX avec A = −∂X G
P,T
= T ∂X S
U,V
.
En tant que fonction de X, G(P, T, X) s’appelle potentiel thermodynamique car toute ´evolution ΔSt ≥ 0 de l’ensemble isol´e syst`eme plus source (Ut et Vt fix´es) s’accompagne d’une diminution de G (jusqu’` a un minimum). A l’´equilibre A = 0 et Geq (P, T ) = G P, T, X eq (P, T ) . REMARQUES. 1) Si l’ensemble est thermiquement (mais pas m´ecaniquement) isol´e, et si ΔVt = 0, la a la notion de travail utile maximum −ΔG condition ΔSt ≥ 0 devient −ΔUt ≤ −ΔG. Elle conduit ` pouvant ˆ etre extrait de l’ensemble lorsque X varie (exemple : travail ´electrique fourni par une pile). 2) Si la source ne fixe que la temp´erature, G doit ˆ etre remplac´e par F = U − T S.
D´ eplacements d’´ equilibres Une variation de P et (ou) T induit une variation de X eq . En se limitant `a une seule composante pour X, ce d´eplacement s’obtient en minimisant (par rapport a` X) G(P + dP, T + dT, X) = G(P, T, X) + V (P, T, X) dP − S(P, T, X) dT , dont le d´eveloppement pr`es de Xeq = Xeq (P, T ) est la fonction du second degr´e en X : " # 1 G(P, T, Xeq ) − ∂X A P,T (X − Xeq )2 + ∂X V P,T dP − ∂X S P,T dT (X − Xeq ) . 2 (∂X A
P,T
< 0 puisque G(P, T, X) est minimum en Xeq .)
EXEMPLE 1. Une r´ eaction chimique dans une phase (ferm´ ee). Dans ce cas X = ξ est l’avancement de la r´ e action (dn = ν dξ ), et A = − i i i μi νi (on rappelle que dS = T −1 (dU + P dV − i μi dni )). Pour dT = 0, dξeq a le signe de (−∂X V ) dP : loi de Le Chatelier ; (la figure 39 repr´esente le d´eplacement d’´equilibre pour dP > 0 et V (P, T, ξ) fonction croissante de ξ). Pour dP = 0, dξeq a le signe de ∂X S P,T dT (ou encore de ∂X H P,T dT car d(H = U + P V ) = T dS si dP = 0 et si ξ = ξeq ) : loi de Van’t Hoff.
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
244
V(P,T, ) dP
G
G(P+dP,T, )
G Barrière de potentiel n1 1 + n2
2
G(P,T, )
d eq
0
eq
Figure 39
n2 Figure 40
EXEMPLE 2. Syst` eme diphas´ e : G = n1 μ1 + n2 μ2 avec n1 = n − n2 . Il y a ´ equivalence avec une epar´ees, μ1 et μ2 ne d´ependent que r´ eaction 1 2 (ξ = n2 et A = μ1 − μ2 ), mais les phases ´etant s´ es (o` u ∂ξ A|U,V = 0), on a ´ evolution totale de P et T et ∂ξ A|P,T = 0. Contrairement au cas U, V fix´ vers la phase de plus petit μ (par exemple la glace, phase 2, si θ < 0o C). Remarque : l’observation, en apparence contradictoire, d’eau surfondue (phase 1) tient ` a ce que si on avait un petit gla¸con dans l’eau, il faudrait tenir compte dans l’´energie totale U (et donc dans G) de l’´energie de tension 2
superficielle γ × (surface du gla¸con) ∝ (n2 ) 3 . Alors, pr`es de n2 = 0, G(P, T, n2 ) croit au lieu de d´ ecroitre : il y a une barri` ere de potentiel (figure 40) qui explique la m´ etastabilit´ e de l’eau surfondue. EXEMPLE 3 : Bifurcation ; param` etre d’ordre. Si le potentiel thermodynamique Φ (F ou G ou...) → − est tel que la variation d’un param`etre de controle X t (P , T , champ magn´etique B , etc.) entraˆıne pour X, au lieu d’un simple d´eplacement d’´equilibre, une bifurcation de la solution d’´equilibre X eq (correspondant au minimum du potentiel), on dit que X est un param`etre d’ordre. La figure 41 donne, quand T varie, un exemple d’´echange de deux solutions, et la figure 42 le passage de une ` a deux solutions “sym´etriques” l’une de l’autre. Comme
d dT
G (T, P, Xeq (T )) = ∂T G = −S ` a P constant, le
premier cas correspond ` a S2 = S1 ; un exemple explicite est fourni par le fluide de Van der Waals (avec T fix´ e et P variable) : G(T, P, X ≡ V ) = − Va + ϕ(T ) + P V − T R ln(V − b) + f (ϕ(T )) . Le ` la section 5.1.4. (figure 10) en est un second cas correspond a ` S2 = S1 ; le ferromagn´etisme trait´e a exemple (avec Φ ≡ F et X ≡ x taux d’aimantation).
1
2
1
2
1
2
T < T0 phase 1 stable
T < T0 deux solutions
T =T0
T =T0
T > T0 phase 2 stable
T > T0 une solution
X Figure 41
X Figure 42
7.5 Applications `a l’´electromagn´etisme
7.5 7.5.1
245
` L’ELECTROMAGN ´ ´ APPLICATIONS A ETISME Formulation int´ egrale ; champs statiques ; milieux
Electromagn´ etisme dans le vide → − Rappelons les ´ equations de Maxwell qui relient les champs ´electrique E et magn´etique → − B aux densit´es volumiques de charge ρ et de courant j : − → ρ div E = 0
− → div B = 0
;
;
→ − − ∂B − →→ rot E = − ∂t
→ − − ∂E −→ →
rot B = μ0 j + 0 . ∂t
;
Ces E.D.P. sont la version locale des relations int´egrales (avec contours et surfaces fixes) : → − → − → − → − → − → − d Q d ΦS ( E ) = ; ΦS ( B ) = 0 ; Cγ ( E ) = − ϕS ( B ) ; Cγ ( B ) = μ0 I +0 ϕS ( E ) . 0 dt dt Les notations ϕS , ΦS et Cγ sont d´efinies a` la section 7.2.3. Q est la charge contenue dans le volume limit´e par la surface ferm´ee S, et I est l’intensit´e du courant (flux ϕS ( j) ou quantit´e de charge par unit´e de temps) `a travers la surface ouverte S qui s’appuie sur γ. Pour le circuit {γ − γ} de la figure 43 (sur lequel s’appuie une surface ferm´ee), la derni`ere relation s’´ecrit (puisque alors ϕ ≡ Φ) 0=I+
dQ dt
(version int´egrale de ∂t ρ + div j = 0) ; c’est cette L.C. de la charge que Maxwell a pris → − en compte pour introduire le courant de d´ eplacement 0 ∂t E .
dS n
−
n dl
2
2
1
dl
1 (b)
(a) Figure 43
n
Figure 44
→ − → − (Dis)continuit´ es de E et B . Soit Σ une surface porteuse de densit´es surfaciques de charge σ et de courant js . Si V est un petit volume cylindrique (limit´e par S ferm´ee) qui d´ecoupe sur Σ la surface ´el´ementaire dΣ et dont la hauteur tend vers z´ero (figure 44a), alors : → − → − σs ΦS ( E ) = (En2 − En1 ) dΣ = dΣ et ΦS ( B ) = (Bn2 − Bn1 ) dΣ = 0 ; 0
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
246
on en d´eduit, pour les composantes normales des champs : En2 − En1 =
σs 0
;
Bn2 = Bn1 .
De mˆeme si γ est un circuit ´el´ementaire ferm´e dont les cˆot´es qui coupent Σ tendent vers → − → − z´ero, et les cˆ ot´es parall`eles `a Σ sont dl cˆot´e 2 et − dl cˆot´e 1 (figure 44b), alors : → − → − → − → − → − → − → − → − → − n ∧ dl) . Cγ ( E ) = ( E 2 − E 1 ) · dl = 0 et Cγ ( B ) = ( B 2 − B 1 ) · dl = μ0 I = μ0 js · (ˆ Ceci entraˆıne pour les composantes tangentielles des champs : → − − → E t2 = E t1
− → → − B t2 − B t1 = μ0 js ∧ n ˆ.
;
La seule hypoth`ese faite est d’avoir suppos´e les champs born´es.
Champs statiques ; approximation des r´ egimes quasi-stationnaires (A.R.Q.S) La formulation int´egrale permet de d´eterminer ces champs tr`es simplement en utilisant des “arguments de sym´etrie” (cf. section 3.4.3). On se limite `a l’´etablissement des formules de base. → − Electrostatique. Pour une charge ponctuelle q `a l’origine, E ( r) est dirig´e selon rˆ. → − q Donc pour une sph`ere S de rayon r centr´ee en O, on a ΦS ( E ) = 4πr2 E = , d’o` u 0 → − 1 q rˆ. E ( r) = 4π0 r2 Magn´ etostatique. On d´emontre facilement la formule de Biot et Savart donnant la → − contribution d’un ´el´ement de courant I dl situ´e en m au champ magn´etique en M → − −→ μ0 dl ∧ rˆ I dB = 4π r2
−−→ avec r = mM
dB M
+ Q(t)
m
.
I(t) = Q(t)
− Q(t)
Figure 45 −→ en rempla¸cant l’´el´ement de courant par le dipole (ou l’antenne) de la figure 45. Comme dB −→ −→ d est orthoradial, on a Cγ (dB) = 2πr sin θ dB = 0 μ0 ϕS (dE), avec dans l’approximation dt −→ 1 1 dl sin θ , ´electrostatique ϕS (dE) = Q 2π(1 − cos θ+ ) − 2π(1 − cos θ− ) = Q sin θ 4π0 20 r
7.5 Applications `a l’´electromagn´etisme
247
μ0 I sin θ dl. Un fil parcouru par un courant I peut ˆetre mod´elis´e par une 4πr2 → − “suite continue” de tels dipoles. Remarque : si I donc B d´epend du temps, il y a un ¨ ; il est n´egligeable si I varie champ ´electrique induit suppl´ementaire proportionnel a` Q lentement : A.R.Q.S. qui consiste `a n´egliger les d´eriv´ees secondes par rapport au temps des grandeurs impliqu´ees. d’o` u dB =
S´ eparation macroscopique des charges et courants dans un milieu neutre (di´electrique et/ou magn´etique) (figure 46) On consid`ere un milieu dans lequel les charges sont regroup´ees par “paquets neutres” − → (mol´ecules par exemple) et, par la pens´ee, un ´el´ement de surface dS = dS n ˆ `a l’int´erieur. − → Il va couper de nombreux “paquets” et laisser des deux cˆot´es (1 et 2) de dS des charges → − → − − → proportionnelles a` dS et oppos´ees, qu’on peut ´ecrire ± P · dS ( P = 0 si le milieu est → − polaris´e). Si P ( r, t) est une fonction r´eguli`ere de r, on en d´eduit qu’un volume ´el´ementaire → − → − d3 r dans le milieu contient une charge −div P d3 r (flux de − P `a travers sa surface), et − → → → − − que l’intensit´e du courant associ´e au mouvement de ces charges `a travers dS est ∂t P · dS.
dS vide +P . dS
−P . dS
+ + +−+− − −
vide
dS
milieu
n dS
pol dS
dl
− div P d3 r j mag
dl
n
milieu
Figure 46
Figure 47
Le milieu peut donc ˆetre d´ecrit par des densit´ es de charges et de courants dites de polarisation di´ electrique : → − ∂P
σpol . ; ρpol ; jpol = ∂t − → (σpol dS est la charge laiss´ee `a la fronti`ere du milieu quand dS s’en rapproche.) La L.C. − → des charges ∂t ρpol + div jpol = 0 est satisfaite. Mais comme div rot (· · · ) = 0, on peut − → − → cependant ajouter a priori a` jpol une densit´e volumique rot M (qui devient surfacique `a → − → − → − → − → − → −→ − la fronti`ere du milieu : rot M · dS = M · dl = (M ∧ n ˆ ) · ( dl ∧ n ˆ ) ; figure 47). Cette contribution, dite magn´ etique aux courants, est donc : − → = P ·n ˆ
→ →−
jmag = − rot M
− → = −div P
;
→
js,mag = − M ∧n ˆ.
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
248
→ − REMARQUE : en premi`ere approximation P est la densit´e volumique de moments dipolaires ´electriques ; par exemple (figure 48) pour une densit´e uniforme n de dipoles p = q l → − → → − − identiques, on a P · dS = nq l · dS, car les dipoles coup´es en deux par dS ont leurs − → − → centres situ´es dans un volume l · dS. De mˆeme M est assimilable `a la densit´e volumique n μ de moments magn´etiques si on consid`ere des “boucles microscopiques de courant” de → − moment
μ = i s (figures 49a,b). En effet un ´el´ement dl traverse n dl · s boucles auxquelles → − → − → − est associ´e le courant ni dl · s = M · dl, et donc tout circuit ferm´e γ est travers´e par un − → − → → − → − →− courant γ M · dl = rot M · dS.
s
+q +q
+q +q
−q
+q
dl
dS +q
−q
−q
−q −q
(a)
l
−q Figure 48
(b)
Figure 49
→ − − → Equations de Maxwell. Les lois pour les champs macroscopiques E et B dansles milieux sed´eduisent → − → − → − →− P + rot M , o` u Qext alors de celles dans le vide en rempla¸cant Q par Qext −ΦS ( P ) et I par Iext +ϕS ∂∂t → − − → − → → − → − − → et Iext sont les charges et courants ext´erieurs aux milieux. En posant D = 0 E + P et B = μ0 ( H + M ) elles s’´ecrivent simplement : → − → − ΦS ( B ) = 0 ΦS ( D ) = Qext ;
→ − → − → − → − Cγ ( E ) = − d ϕS ( B ) ; Cγ ( H ) = Iext + d ϕS ( D ) . dt dt Elles impliquent, ` a la travers´ ee de toute surface S neutre s´eparant deux milieux, la continuit´e de Dn , → − → → − → − − → − Bn , E t et H t et, comme cons´equence, celle du flux du vecteur de Poynting ( E ∧ H ) · dS, qui correspond ;
au flux d’´ energie ´ electromagn´ etique. Sous forme diff´erentielle ces lois s’´ecrivent : → − → → − → − − → − − →− − →→ div B = 0 ; rot E = −∂t B div D = ρext ; ; rot H = jext + ∂t D .
7.5.2
Potentiel scalaire et potentiel vecteur ; bilans d’´ energie et de quantit´ e de mouvement ; A.R.Q.S.
On consid`ere les ´equations de Maxwell dans le vide.
Potentiels scalaire et vecteur ; solution g´ en´ erale → − Les conditions de nullit´e vues `a la section 7.2.3 entraˆınent que div B = 0 a pour solution − → → → → → − → −−→ − −→ − − →− −→ − B = rot A , et que rot E = −∂t (rot A ) permet d’´ecrire E = −∂t A − gradV . Les deux autres ´equations deviennent : → − ρ , −∂t (div A ) − ΔV = 0 −−→ → → − → − → −−→ − − → − →− rot (rot A ) = grad (div A ) − Δ A = μ0 j + 0 (−∂t2 A − grad ∂t V ) .
7.5 Applications `a l’´electromagn´etisme
249
Elles se simplifient grandement si on remarque que le changement de jauge sur les potentiels → − → −−→ − A → A + gradϕ ; V → V − ∂t ϕ → − − → laisse les champs E et B inchang´es quel que soit ϕ. En choisissant ϕ de sorte que le nou− → → − veau couple (V, A ) v´erifie div A + 0 μ0 ∂t V = 0 (jauge de Lorentz), elles deviennent : → 1 ∂2 ρ 1 ∂2 − Δ− 2 2 V =− ; Δ − 2 2 A = −μ0 j (0 μ0 c2 = 1) . c ∂t 0 c ∂t La solution “physique” de ces ´equations | r − r | 1 ρ r, t0 − c 0 V ( r0 , t0 ) = d3 r 4π0 | r − r0 |
;
− → A ( r0 , t0 ) =
| r − r | μ0 j r, t0 − c 0 d3 r 4π | r − r0 |
est ´etablie `a la section 8.2.2. L’A.R.Q.S. (“∂t2 n´egligeable”) ´equivaut `a faire tendre c vers l’infini dans les E.D.P. ci-dessus et consiste donc `a ne pas tenir compte de la propagation dans leur solution. Concr`etement pour un ph´enom`ene de p´eriode T , l’A.R.Q.S. n’est valable que dans un domaine dont la taille L est telle que L cT .
Bilans d’´ energie et de quantit´ e de mouvement Des ´equations de Maxwell dans le vide on d´eduit les relations
→2 − → − −2 → → B E → B − − 3 + d r = − E ∧ · dS ∂t 0 2 2μ μ 0 0 V V S − − → → → − → − − → ρ E + j ∧ B d3 r + 0 ∂t ( E ∧ B ) d3 r = − [P] dS → 3
j · − Ed r+
V
avec Pxx
V
S
−2 → −2 → E 1 B 1 2 − Ex + − Bx2 · · · et Pxy = −0 Ex Ey − = 0 Bx By · · · . 2 μ0 2 μ0
→ → − → − − → →− − → − →− → → − − →− →− ´ DEMONSTRATION : la premi`ere r´ esulte de div ( E ∧ B ) = B rot E − E rot B = − B ∂t B − μ0 E (j + → − 0 ∂t E ). Pour la deuxi`eme on d´eduit des E.D.P. de Maxwell que le membre de gauche n’est autre que → − − → − → → − → − − → − → → − → − →− →− l’int´egrale triple de [−0 ( E ∧ rot E − E div E ) − μ−1 0 ( B ∧ rot B − B div B )], car div B = 0 ; pour trouver [P] au second membre, il suffit d’´ecrire chaque composante de [· · · ] comme une divergence ; par → − − → − → → − →− exemple : ( E ∧ rot E − E div E )x = Ey (∂x Ey − ∂y Ex )− Ez (∂z Ex − ∂x Ez )− Ex (∂x Ex + ∂y Ey + ∂z Ez ) = electromagn´ etique. ∂x 21 (Ey2 + Ez2 − Ex2 ) + ∂y (−Ey Ex ) + ∂z (−Ez Ex ). [P] est la matrice de pression ´
→ − − → Interpr´etation : comme pour une charge libre q soumise `a l’action de E et B les variations → − → − → − dEc d
p d
p = q ( E + v ∧ B ) et = v · = q E · v , de quantit´e de mouvement et d’´energie sont dt dt dt il est naturel (en consid´erant le premier terme du membre de gauche) d’interpr´eter ces deux relations pour des charges libres comme :
d [´energie ou quantit´e de mouvement, dans le volume V , des charges et du champ dt ´electromagn´etique] =− [flux sortant d’´energie ou de quantit´e de mouvement `a travers la surface S qui limite V ] ”. “
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
250
En particulier 0
→2 − −2 → B E + est la densit´e volumique d’´energie ´electromagn´etique du 2 2μ0
champ.
− → → −→ − − → → −−→ − Approximation A.R.Q.S.. En ´ecrivant E 2 = E · (−∂t A − gradV ) et B 2 = B · rot A , et en utilisant les ´equations de Maxwell, un calcul ´el´ementaire conduit `a : 0
→ − → → − → − − → → − − → → − E2 B2 1 1 0 − + ( A · ∂t E − E · ∂t A ) , = (ρV + j · A ) − div(0 V E + μ−1 0 B ∧ A) + 2 2μ0 2 2 2 → − → − et − j · E = j · ∂t A + V ∂t ρ + div(V j) (avec la L.C. de la charge) .
Dans l’A.R.Q.S. les int´egrales sur R3 des divergences donnent 0 (d´ecroissance `a l’infini au → − → − → → − − moins en r−2 et r−1 des champs et potentiels), et la d´eriv´ee temporelle de A ·∂t E − E ·∂t A est n´egligeable. Le bilan ´energ´etique devient : # → − → d " 1 − 1 Eem = ρV + j · A d3 r = (V ∂t ρ + j · ∂t A ) d3 r . dt 2 2 On peut mˆeme s´eparer le bilan ´ electrique du bilan magn´ etique. Eem est facile ` a calculer pour des fils parcourus par des courants (magn´etostatique). Comme pour chaque − → → − → 3 j · − A d r = I fil A · dr = I ϕ on obtient : fil fil Eem = i 21 Ii ϕi . → → 3 → − − j · ∂t − A d r = I fil ∂t A · dr. Comme on a vu ` a la section 7.2.3 que De mˆ eme pour chaque fil fil − → − → − → → − − → d I∂ ϕ ( B ) − I( dr ∧ B ) · v , on en d´ e duit le bilan g´ e n´ e ral d’´ e nergie A · dr = I t γ γ dt S dEem = i Ii dϕi − δW o` u −δW , oppos´e du travail des forces de Laplace, est le travail des sources m´ecaniques et i Ii dϕi est energie potentielle celui des sources ´electriques (cf. section 7.3.1). On v´erifie que −δW = dEp avec pour l’´ Ep = Eem ou Ep = −Eem suivant que les param`etres choisis sont les flux ou les intensit´es.
7.5.3
Calculs avec des densit´ es microscopiques ; rayonnement
On rappelle (cf. section 7.2.4) que pour des charges ponctuelles : qi δ r − ri (t) ; j micro ( r, t) = qi vi δ r − ri (t) . ρmicro ( r, t) = i
i
Int´egr´ees dans un volume V , ces densit´es donnent i qi et i qi vi o` u la somme porte sur les charges contenues dans V ` a l’instant t. Pour un volume ´ e l´ e mentaire d3 r centr´e en
r contenant suffisamment de charges, i qi et i qi vi sont assimilables `a ρ( r, t) d3 r et →
j( r, t) d3 r (ou I − dl pour un ´el´ement de courant) avec ρ et j “continus”. Nous allons voir quelques applications de ce “double langage” avant de consid´erer l’effet du lissage de ces densit´es (remplacement de δ( r) par f ( r)).
Moments dipolaire et quadrupolaire ´ electriques ; moment magn´ etique Certains r´esultats sont beaucoup plus rapides `a obtenir “microscopiquement”. Par exemple d d
p pour un volume V contenant toutes les charges, la relation qi vi = qi ri = dt dt i i
7.5 Applications `a l’´electromagn´etisme
251
(
p moment dipolaire electrique) est ´evidente, alors que la d´emonstration de son ´ d 3
j ( r, t) d r = ´equivalent continu ρ ( r, t) r d3 r fait appel `a l’´egalit´e dt V V −−→
ji = j · grad xi = div (xi j) − xi div j
j ( r, t) et a` la L.C. ∂t ρ + divj = 0. De mˆeme on ´etablit facilement que la quantit´e V 1 1 d qi vi ( ri · u ˆ) = qi ( ri ∧ vi ) ∧ u ˆ+ qi ri ( ri · u ˆ), o` u μ = ( r · u ˆ) d3 r s’´ecrit 2 i 2 dt i i 1 qi ( ri ∧ vi ) est un moment magn´ etique, et o` u i qi ri ( ri · u ˆ) est un terme (de 2 i type) grandeur quadrupolaire.
Applications 1) Pour une distribution stationnaire (magn´ etostatique), on a
→ − j( r) μ0 μ0 ˆ0 3
j( r) 1 + r · u d r= + · · · d3 r A ( r0 ) = 4π r − r0 | 4πr0 r0 V |
V
r0 ) ; l’int´egrale de j, ´egale p ˙ , ´etant nulle (
p ind´ependant r0 de t) ainsi que la d´eriv´ee temporelle du terme quadrupolaire, la distribution de courants est ´equivalente a` un moment magn´etique : → − μ0 A ( r0 )
μ ∧ u ˆ0 . 4πr02 a grande distance (avec u ` ˆ0 =
2) De mˆeme pour le potentiel rayonn´ e (termes proportionnels a` r0−1 ) par une distribution quelconque de charges et de courants, on a | r− r | → − μ0 j r, t − c 0 d3 r A ( r0 , t0 ) = 4π | r − r0 | ˆ0 3 μ0
j r, t0 − r0 d3 r + d
j r, t0 − r0 r · u d r + ··· 4πr0 c dt c c V V | r − r0 | pour r0 grand). Avec les densit´es microscoc piques on obtient imm´ediatement le d´ebut du d´eveloppement multipolaire → − μ0 ˙ 1 ˙ 1 d2 A ( r0 , t0 ) μ∧u ˆ0 + p+
q
r (
r · u ˆ ) + · · · , i i i 0 4πr0 c 2c dt2 i (d´eveloppement au num´erateur de
r0 le second membre ´etant calcul´e `a l’instant t0 − . Au premier ordre en r0−1 l’action sur c → − → − → − u ˆ0 → − → − → − u ˆ0 ∧ ∂t0 A et, `a A de ∇ r0 ´equivaut `a − ∂t0 ; on en d´eduit que B = ∇ r0 ∧ A = − c c → − → − → − → − → − partir de ∇ r0 ∧ B = 0 μ0 ∂t0 E , que E = −c u ˆ 0 ∧ B (comme pour une onde plane). Si → − → − ∂t0 A est selon Oz, alors E = −∂t0 Az sin θ θˆ (figure 50). Si vi c, ou pour des courants de p´eriode T confin´es dans une antenne de dimension l cT = λ, le premier terme du d´eveloppement est dominant : rayonnement dipolaire ´ electrique.
7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle
252
z B t 0A
θ
u0
r E
Figure 50 Lissage des charges et des courants dans un milieu neutre Regroupons les charges par paquets neutres α (mol´ecules par exemple), et soient rα (t) le vecteur position de leur centre de masse et ri,α (t) le vecteur joignant le c.d.m. ` a une charge qi,α d’un paquet ; pour chaque 1 ri,α (t) et μα (t) = ri,α (t) ∧ vi,α (t). 1) La forme “liss´ee” paquet posons p α (t) = i∈α qi,α i∈α 2 qi,α micro q f ( r − ( r + r )) de ρ (δ remplac´ e par f ) s’´ e crit, ` a l’aide du d´eveloppement au α i,α i,α α i → − ri,α )) f ( r − rα ) − ri,α · ∇f ( r − rα ), et en tenant compte de la neutralit´e de premier ordre f ( r − ( rα + → − ( α (t) · ∇f ( r − rα (t)) = −div α (t) f ( r− rα (t) = −div P r , t) = ρpol ( r , t). chaque paquet : − α p αp → − P ( r , t) repr´esente une densit´e volumique demoments dipolaires. 2) De mˆ e me un d´ e veloppement de la densit´ e de courant microscopique “liss´ee” vα + vi,α ) f ( r − ( rα + ri,α )) α (−( pα · α i qi,α ( → − → − ∇f ) vα + p ˙ α f − μα ∧ ∇f ) (en n´egligeant le terme quadrupolaire) montre que la densit´e moyenne de → − → − → − →− P + rot M avec M ( r , t) = α (t) f ( r− rα (t)) si on peut n´egliger aussi courant s’´ ecrit j( r , t) = ∂∂t α μ | pα | | vα | devant | μα |. REMARQUE. Dans les conducteurs (et pour des charges libres de mˆeme type), on ´ecrit plus simplement vi (t) f ( r− ri (t)) = v(t) r − ri (t)) = ρ( r , t) v ( r , t) , i qi i q f ( → − o` u ρ et v sont la densit´e de charge et la vitesse moyennes ; en r´egime variable ρ v correspond ` a ∂t P dans la mod´elisation pr´ec´ edente.
Chapitre 8
Equations aux d´ eriv´ ees partielles ; propagation ; diffusion
En physique les ´equations aux d´eriv´ees partielles (E.D.P.) relient des champs, d´ependant en g´en´eral de l’espace et du temps f ( r, t), a` leurs d´eriv´ees partielles. Lorsque la variable t est pr´esente il est naturel, comme le montre l’analogie entre corde vibrante et chaˆıne d’oscillateurs coupl´es, de consid´erer les E.D.P. comme des syst`emes dynamiques `a un nombre infini (continu) de degr´es de libert´e indic´es par r. Cependant un aspect nouveau tr`es important est le rˆ ole jou´e par les conditions aux limites (C.L.), par exemple la donn´ee de f ` a tout instant sur des surfaces, a` la place des (ou avec les) conditions initiales (C.I.). On ´etudiera essentiellement le cas particulier, mais non trivial, des E.D.P. lin´eaires `a coefficients constants (sans ou avec second membre), notamment celles introduites a` propos des cordes vibrantes (d’Alembert 1747), de la conduction thermique (Fourier 1822), de la gravitation et de l’´electromagn´etisme (Laplace 1780, Poisson 1813, Maxwell 1864, etc.) et de la m´ecanique quantique (Schr¨ odinger 1925). Quelques exemples autres (non lin´eaires en particulier) montreront au lecteur que la richesse du domaine des E.D.P. ne se r´esume pas a` l’´etude de ces exemples historiques.
8.1
` ´ ; CHAINES DE SYSTEMES DYNAMIQUES COUPLES LIMITE CONTINUE
On ´etudie, a` partir d’exemples, quelques syst`emes infinis d’E.D. lin´eaires et stationnaires (pour des grandeurs not´ees Ψn (t) ≡ Ψ(n, t) ; n = −∞ · · · − 1, 0, 1 · · · ∞), pr´esentant une invariance de translation discr`ete (Ψn → Ψn+1 ). Dans la limite continue les Ψ(n, t) deviennent une onde Ψ(x, t) et le syst`eme infini d’E.D. une E.D.P. ; de nombreuses grandeurs passent ainsi du “discret” au “continu”.
254
8.1.1
8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion
Chaines d’oscillateurs ; rˆ ole des conditions aux limites ; phonons
Petites oscillations longitudinales de pendules simples coupl´ es (figure 1)
a
a g
n−1
n
n+1
Figure 1 Les ´ecarts aux positions d’´equilibre Ψn (t) satisfont les ´equations : ¨ n = −mω02 Ψn − K(Ψn − Ψn−1 ) − K(Ψn − Ψn+1 ) mΨ
(ω0 pulsation d’un pendule isol´e) .
Comme pour un nombre fini d’oscillateurs, il est naturel de chercher les solutions sous forme de modes (cf. section 6.2.2). En posant Ψn (t) = An e−iωt , on obtient la relation de r´ecurrence d’ordre 2 : K . γAn−1 + (ω 2 − ω02 − 2γ) An + γ An+1 = 0 γ= m (Si on pose Ψn (t) = an cos(ωt+Φ) les an satisfont la mˆeme relation.) Sa solution g´en´erale d´epend a` priori de deux constantes ; on v´erifie facilement, en essayant des solutions An = αrn , qu’elle s’´ecrit α1 r1n + α2 r2n o` u r1 et r2 sont les racines de l’´equation du second degr´e γr2 + (ω 2 − ω02 − 2γ) r + γ = 0. r1 et r2 sont de la forme r1,2 = e±ϕ si ω 2 ∈ [0, ω02 ] (solutions qui disparaissent si ω0 = 0), r1,2 = e±iϕ si ω 2 ∈ [ω02 , ω02 + 4γ] et r1,2 = −e±ϕ si ω 2 > ω02 + 4γ. Ce passage des E.D. a` une relation de r´ecurrence puis aux solutions Ψn (t) = Ψ rn e−iωt , o` u r satisfait une ´equation alg´ebrique, s’applique `a de nombreux autres exemples.
Rˆ ole des conditions aux limites (C.L.) Pour un syst` eme infini les solutions acceptables sont celles avec |r| = 1 car elles doivent rester born´ees quand n → ±∞. Bien que la p´eriodicit´e spatiale “a” du syt`eme (cf. figure 1) n’apparaisse pas dans les ´equations, on pose r = e±ika ; k est d´efini " π π# 2π et en pratique on choisit k ∈ − , . La solution g´en´erale (complexe) modulo a a a Ψn (t) = α1 e−i(ωt−nka) + α2 e−i(ωt+nka) s’interpr`ete alors comme une somme de deux ondes propagatives se propageant en sens inverses le long de la chaˆıne de pendules. De γr + (ω 2 − ω02 − 2γ) + γr−1 = 0 on d´eduit la relation ω 2 = ω02 + 2γ (1 − cos ka) entre ω et k appel´ee relation de dispersion des ondes (figure 2). Cette relation est ´egalement valable pour les solutions (r´eelles) Ψn (t) = a cos(ωt + Φ) cos(nka + ϕ). Ces ondes stationnaires sont l’analogue des modes propres ´etudi´es `a la section 6.2.2, les fr´equences propres (discr`etes) ´etant ici remplac´ees par une bande (continue) de fr´equences.
8.1 Chaines de syst`emes dynamiques coupl´es ; limite continue
255
(k) 2 0 + 4
0
0
−a
a
k
Figure 2 Pour un syst` eme semi-infini (n = 0, 1 · · · ∞) la racine r telle que |r| < 1 est aussi acceptable. En posant r = e−|k|a (si ω 2 < ω02 ) ou r = −e−|k|a (si ω 2 > ω02 + 4γ), on obtient les solutions de la forme e−iωt e−n|k|a ou e−iωt (−1)n e−n|k|a , et les relations ω 2 = ω02 + 2γ (1 ∓ cosh |k|a). De telles solutions non propagatives sont observ´ees si on impose au pendule “0” une pulsation ω satisfaisant les conditions ci-dessus. Le cas d’un syst` eme fini de N pendules identiques peut ˆetre d´eduit de celui du syst`eme infini en imposant a` ce dernier des C.L. particuli`eres. Par exemple toute solution du syst`eme infini de la figure 1 qui v´erifie Ψ0 = ΨN +1 = 0 est acceptable pour le syst`eme des N pendules de la figure 3a. Appliqu´ees `a An ∝ cos(nka + ϕ), on trouve (p) facilement que ces C.L. conduisent `a N modes propres Ψn (t) ∝ cos(ωp t + Φ) sin nkp a avec (N + 1) kp a = pπ (p = 1, 2 · · · N ) et ωp = ω(kp ). Si le pendule N est libre (figure 4a), les C.L. `a imposer au syst`eme infini sont Ψ0 = 0 et ΨN = ΨN +1 (ainsi le pendule N 1 kp a = n’est soumis `a aucune force de la part du ressort “de droite”) ; on a alors N + 2 1 π (p = 1, 2 · · · N ). Les figures 3b et 4b montrent les deux premiers modes propres p− 2 de ces syst`emes (pour N = 5).
(a)
(a)
1
N (=5) (b)
(b) 0
N (=5)
1
1
2
3
4
Figure 3
5
6
0
1
2
3
Figure 4
4
5
8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion
256
AUTRES EXEMPLES. Petites oscillations longitudinales d’une chaˆıne d’atomes (cristal a ` une dimension) 1) Dans le cas o` u les atomes sont identiques et les interactions ne se limitent pas aux plus proches voisins (figure 5a) on a : ¨ n = − ∞ mΨ n =−∞ Kn−n Ψn
avec Kq = K−q et
∞
q=−∞
Kq = 0 .
Ces ´ equations se d´eduisent de l’existence d’une ´energie potentielle d’interaction quadratique invariante par translation Ep = 12 n,n Kn−n Ψn Ψn . La relation de dispersion pour des ondes (phonons) iqka . obtenue en posant Ψn = Ψe−i(ωt−nka) est ω 2 = m−1 ∞ q=−∞ Kq e
(k)
2K
2K m−
(a) n−2 (b)
n
n−1
− +n n−1
n+1
= vk
n+2
−n +n+1
−a
Figure 5
0
2K m+
a
k
Figure 6
2) Si la chaˆıne est la r´ep´ etition d’un motif de deux atomes (figure 5b) et si (pour simplifier) les interactions se font entre plus proches voisins, on a : + − + − ¨+ m+ Ψ n = −K(Ψn − Ψn ) − K(Ψn − Ψn−1 ) En
± −i(ωt−nka) , il vient : posant Ψ± n =Ψ e 2 (m+ ω − 2K) Ψ+ + K (1 + e−ika ) Ψ−
et
− + − + ¨− m− Ψ n = −K(Ψn − Ψn ) − K(Ψn − Ψn+1 ) .
= 0 et (m− ω 2 − 2K) Ψ− + K (1 + eika ) Ψ+ = 0 .
Ce syst`eme de deux ´equations ` a deux inconnues n’a de solutions Ψ± = 0 que si (petit calcul) : 1 −1 −1 −1 2 −1 −1 2 2 ka 2 . ω = K (m+ + m−1 − ) ± K (m+ + m− ) − 4m+ m− sin 2 Dans ce cas le graphe de la relation de dispersion des phonons (figure 6) contient deux branches : l’une dite “sonore” pour laquelle ω 2 v2 k 2 et Ψ+ Ψ− pour k 0 (avec 2(m+ + m− ) v2 = Ka2 ) ; l’autre dite “optique” pour laquelle ω2 2K μ−1 et m+ Ψ+ + m− Ψ− 0 pour k 0 (avec μ masse r´ eduite).
8.1.2
Limite continue ; cordes vibrantes ; lignes ´ electriques ; hydrodynamique ; imp´ edances
Dans cette section on consid`ere les ´equations (analogues a` celles des pendules avec ω0 = 0) ¨ n = − T (Ψn − Ψn−1 ) − T (Ψn − Ψn+1 ) = Fn − Fn+1 . mΨ a a La relation de dispersion associ´ee est ω 2 =
2T (1 − cos ka). Elles d´ecrivent les oscillama
8.1 Chaines de syst`emes dynamiques coupl´es ; limite continue
257
tions transversales d’une chaˆıne de masses coupl´ ees par des ressorts de tension T (figure 7a) dans l’approximation o` u les lignes des ressorts font des petits angles avec l’axe “x” de la chaˆıne. (Fn est la composante transverse de la force qu’exerce le ressort “de gauche” sur la masse n.) Des ´equations identiques d´ecrivent la chaˆıne de quadripoles T ˙ n ↔ In ´ electriques de la figure 7b, moyennant les correspondances m ↔ L, ↔ C −1 , Ψ a et Fn ↔ Vn .
(a)
n−1 n−1 (b)
n
n+1 n+1
n a
a
x
In
Vn+1
Figure 7
Limite continue L’approximation continue (ou “grande ´echelle”) correspond au cas o` u, pour tout n, Ψn (t) et Ψn+1 (t) sont proches. Les Ψn (t) sont alors consid´er´es comme les valeurs en x = na d’une fonction r´eguli`ere Ψ(x, t) `a laquelle on peut appliquer le d´eveloppement : Ψn±1 (t) = Ψ(x ± a, t) = Ψ(x, t) ± a ∂x Ψ(x, t) +
a2 2 ∂ Ψ(x, t) · · · 2 x
Dans l’exemple de la figure 7a le syst`eme d’´equations pour les Ψn devient (apr`es division par a) : ρ
∂2Ψ ∂2Ψ ∂F + ··· =T + ··· = − 2 ∂t ∂x2 ∂x
m ∂Ψ ρ= , F (x) = −T . a ∂x
a2 T ∂x4 Ψ) sont n´egligeables (par rapport a` T ∂x2 Ψ) 3 si l’´echelle de longueur typique L des variations spatiales de Ψ(x, t) v´erifie L a, et ils m = ρ masse lin´eique finie. deviennent nuls dans la limite continue a → 0, m → 0 avec a L’´equation obtenue est celle d’une corde vibrante qu’on peut aussi obtenir directement Les termes oubli´es (dont le premier est
8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion
258 en ´ecrivant (figure 8) :
(ρ dx) ∂t2 Ψ(x, t) = F (x, t) − F (x + dx, t) avec F (x, t) = −T ∂x Ψ(x, t) .
(x+dx, t)
F(x, t)
x
x+dx Figure 8
La vitesse de propagation des ondes est v = limite continue ω 2 =
T . (Elle est obtenue aussi `a partir de la ρ
T 2T (1 − cos ka) → k 2 .) ma ρ
dIn REMARQUES. 1) Dans l’exemple de la figure 7b les ´equations Vn = L + Vn+1 et dt dVn = In−1 − In deviennent, dans la limite continue, l ∂t I = −∂x V et γ ∂t V = −∂x I, C dt L et qui sont celles d’une ligne ´ electrique d’inductance et de capacit´e lin´eiques l = a C γ = . Elles conduisent pour I ` a l’E.D.P. γl ∂t2 I = ∂x2 I qui est aussi celle v´erifi´ee par V a 1 t ou Q = I(x, t ) dt (analogue ´electrique de Ψ) ; ici v = (γl)− 2 . 2) Dans l’exemple de la figure 1, la limite continue a → 0, = −ω02 ψ + v2 ∂x2 ψ ω02 + v2 k 2 . Pour ω0
∂t2 ψ
la relation de dispersion est ω 2 = dans une barre dont E est le module d’Young.
→ ρ et Ka → E conduit ` a l’E.D.P. ! E avec v = ; ρ m a
= 0 cette E.D.P. d´ecrit les ondes longitudinales
Bilans ´ energ´ etiques ˙ n , on obtient le bilan ´energ´etique pour le syst`eme En multipliant l’´equation pour Ψn par Ψ i` eme ouvert constitu´e par la n masse et le ressort “de droite” : 1 T d 1 2 2 ˙ n − Fn+1 Ψ ˙ n+1 . ˙ m Ψn + (Ψn − Ψn+1 ) = Fn Ψ dt 2 2 a 1 T (Ψn − Ψn+1 )2 = T δln est le surcroˆıt d’´energie du ressort li´e `a son allongement.) 2 a Ce bilan, divis´e par a, conduit, dans la limite continue a` la L.C. de l’´energie (qu’on peut aussi obtenir en multipliant l’E.D.P. par ∂t Ψ) : (
8.1 Chaines de syst`emes dynamiques coupl´es ; limite continue
259
1 1 ρ (∂t Ψ)2 + T (∂x Ψ)2 et j = −T (∂x Ψ)(∂t Ψ) . 2 2 e est une densit´ e lin´ eique d’´ energie (cin´etique + potentielle li´ee `a l’allongement de la corde) et j = F ∂t Ψ un flux d’´ energie (ou courant). Le lecteur ´etablira (et interpr`etera) un bilan analogue pour la ligne ´electrique ; on a alors j = V I = −γ −1 (∂x Q)(∂t Q). ∂t e + ∂x j = 0
avec e =
Comme pour les oscillateurs, l’E.D.P. ρ ∂t2 Ψ − T ∂x2 ψ = 0 peut se d´eduire, inversement, de la L.C. de l’´energie. Par exemple, pour une corde fix´ee `a ses deux extr´emit´es (Ψ(0, t) = Ψ(L, t) = 0), on ´ecrit d 0= dt
L
0
L 1 1 2 2 ρ (∂t Ψ) + T (∂x Ψ) dx = ∂t Ψ ρ ∂t2 Ψ − T ∂x2 Ψ dx 2 2 0
(apr`es int´egration par parties de T (∂x Ψ)(∂x ∂t Ψ)). L’E.D.P. r´esulte alors de ce que ∂t Ψ peut ˆetre, `a un instant donn´e, une C.I. arbitraire. REMARQUE : cette m´ethode permet de mod´eliser simplement une tige “rigide” (corde de piano ; figure 9) en ajoutant a` la densit´e lin´eique d’´energie un terme de courbure 2 2 1 ∂ Ψ D . 2 ∂x2
V
M
(x+dx, t)
11 00 T 00 11 00 11 00 11 00 11 11 00 00 11 O 00 11 00 11
x
x+dx M
M Figure 9 Du terme suppl´ementaire dans la d´eriv´ee temporelle de l’´energie entre 0 et L d dt
0
L
D 2
∂2Ψ ∂x2
2
L
D (∂x2 Ψ)(∂x2 ∂t Ψ) dx
dx = 0
L
D (∂t Ψ)(∂x4 Ψ) dx
= 0
(en tenant compte des C.L. ∂x Ψ(0, t) = ∂x Ψ(L, t) = 0), on d´eduit l’E.D.P. (valable aussi pour des oscillations de plaques minces) : ρ
∂2Ψ ∂2Ψ ∂4Ψ = T − D . ∂t2 ∂x2 ∂x4
8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion
260
(Une description en termes de forces et de couples est plus subtile ; il faut ´ecrire les ´equations T (x, t) = T (x + dx, t) et ρ ∂t2 Ψ(x, t) = V (x, t) − V (x + dx, t) pour les forces, M (x, t) − M (x + dx, t) − T ∂x Ψ(x, t) dx − V (x, t) dx = 0 pour les couples, et faire appel a la relation M = −D ∂x2 Ψ entre couple et courbure.) ` Imp´ edance (cf. aussi section 6.4.3) La notion d’imp´edance pour une onde est importante en physique lorsqu’on s’int´eresse ` a des transferts d’´ energie de l’onde vers d’autres syst`emes (en r´egime sinuso¨ıdal). Pour une ligne ´electrique, si I(x, t) = a (exp i(ωt − kx) + rI exp i(ωt + kx)) (solution g´en´ erale de l’E.D.P. pour ω fix´ e), on d´eduit de γ ∂t V = −∂x I et v = ! avec Z0 =
ω k
1
= (γl)− 2 que
V (x, t) = Z0 a (exp i(ωt − kx) + rV exp i(ωt + kx)) l γ
et rV = −rI (coefficients de r´ eflexion). Z0 qui repr´esente le rapport
V I
lorsqu’il n’y
edance caract´ eristique de la a pas d’onde r´efl´ echie (rV = rI = 0 “adaptation d’imp´edance”) est l’imp´ ligne (limite continue de l’imp´edance it´erative des quadripoles). Le rapport Z(x) =
V (x,t) I(x,t)
est l’imp´edance en x. On d´eduit de ces d´efinitions que si une imp´edance Z est branch´ee au bout de la 1−r 0 −Z = −r . Un calcul ´ u rI = Z el´ ementaire ligne (pris comme origine x = 0), on a Z = Z0 1+rI d’o` V Z +Z 1 2
donne alors le flux moyen d’´energie sur la ligne : pour z = 0, ` a :
1 2
0
I
e(V I) =
1 2
Z0 |a|2 (1 − |rI |2 ). Ce flux est aussi ´egal,
eZ |I(0, t)|2 (puissance dissip´ee dans Z). Un calcul simple montre que l’imp´edance
vue sur la ligne en z = −L est : Z(−L) = Z0 Z Z
cos kL+iZ0 sin kL cos kL+iZ sin kL
0
.
Si pour z > 0 on a une ligne d’imp´edance Z2 , et pour z < −L une ligne d’imp´edance Z1 = Z2 , l’adaptation des deux lignes (passage int´egral de l’´energie de 1 ` a 2) s’obtient lorsque Z(−L) = Z1 , c’est ` dire cos kL = 0 (ligne interm´ediaire quart d’onde) et Z02 = Z1 Z2 . a Cet exemple classique a son analogue pour la corde vibrante qu’on d´eduit des correspondances V ↔ F = √ −T ∂x Ψ, I ↔ ∂t Ψ, l ↔ ρ et γ −1 ↔ T ; on a alors Z0 = ρT . Si on place au bout de la corde (x = 0) le syst` eme m´ecanique de la figure 10 (masse m attach´ee ` a un ressort de raideur K et coulissant avec edance m´ ecanique frottement), l’´equation m ∂t2 Ψ = −KΨ − f ∂t Ψ − T ∂x Ψ montre que l’imp´ 1 , analogue m´ e canique de Z = R + i Lω − Cω . a ce bout n’est autre que Z = f + i mω − K ` ω
m
corde (frottement) f
x K
Figure 10
−T ∂x Ψ ∂t Ψ
8.2 Solutions de quelques E.D.P. dynamiques
261
Exemples en hydrodynamique 1) Les ondes sonores dans un tuyau ` a paroi extensible (figure 11) sont r´ egies par les ´equations : ρ ∂t2 Ψ = −∂x P et − χ P =
(donc P = −(χ + D)−1 ∂x Ψ) . P est la surpression, D le coefficient d’extensibilit´e d´ efini par dSS = DP (S section du tuyau) et δV V
= ∂x Ψ + DP
δV V
la variation relative de volume d’une tranche de fluide de masse volumique ρ et de compressibilit´e χ ; on v´erifie la L.C. ∂t e + ∂x j = 0
avec
e=
1 ρS(∂t Ψ)2 2
+ 12 (χ + D)SP 2
et
j = P S(∂t Ψ) .
x
S
(x, t) (x+dx, t)
S+dS
(x, t)
x
x+dx
(x, t) (x+dx, t)
h
x
Figure 11
x+dx
x
Figure 12
2) Les ondes de surface dans un canal peu profond de hauteur h et section S (figure 12) sont r´ egies par les ´equations analogues (avec χ = 0) : ρ ∂t2 Ψ = −∂x P avec P = ρgη et
η δV = ∂x Ψ + h = 0 (conservation du volume) . V P et Ψ est remplac´e par le volume d´eplac´e SΨ ;
Dans ces exemples le rˆ ole de F est tenu par 1 1 avec v = (ρ(χ + D))− 2 ou v = (gh) 2 , et Z = alors Z0 = ρv S
8.2 8.2.1
P S(∂t Ψ)
on a est l’imp´ edance acoustique.
SOLUTIONS DE QUELQUES E.D.P. DYNAMIQUES E.D.P. lin´ eaires ` a coefficients constants et solutions ondes planes
Ces E.D.P. (sans second membre, c.a.d. en l’absence de sources) concernent des champs dans des milieux dont les propri´et´es sont les mˆemes en tout point (homog´en´eit´e) et `a tout instant (stationnarit´e), et tels que ces champs peuvent se superposer (lin´earit´e). Elles poss`edent des solutions onde plane en fonction desquelles toute solution peut s’exprimer.
Onde plane A e−i(ωt−k·r) (notation complexe) Comme on le verra ω et k peuvent ˆetre complexes : ω = ω1 + iω2 et k = k1 + i k2 . Pour l’onde physique (r´eelle) ω1 et k1 sont li´es `a la propagation tandis que ω2 et k2 d´ecrivent la (d´ e)croissance de l’amplitude. Par exemple pour une grandeur scalaire e A e−i(ωt−k·r) = a eω2 t e−k2 ·r cos(ω1 t− k1 · r1 +ϕ) (avec A = a e−iϕ ). Pour une grandeur → − vectorielle (cf. exemple `a la section 2.5.3), A d´ecrit les ´etats de polarisation (rectiligne si → − A est r´eel). Sur une onde plane les d´eriv´ees partielles agissent comme des multiplications :
262
8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion
→ − → − → − ∂t ≡ −iω, ∂x ≡ ikx · · · . Par exemple pour E ( r, t) = E 0 exp −i(ωt − k · r) on a ∂t2 E = → − → − → − − → → − → − → − →− −ω 2 E , div E = i k · E , rot E = i k ∧ E , Δ E = −k 2 E , etc.
Relation de dispersion Lorsqu’on cherche des solutions sous la forme d’ondes planes, le syst`eme d’E.D.P. devient un syst`eme d’´equations alg´ebriques lin´eaires sans second membre pour les amplitudes des ondes. Comme un tel syst`eme n’admet de solutions non nulles que si il existe des relations entre les coefficients, lesquels d´ependent ici de ω et k, on en d´eduit que les ondes planes sont solutions si il existe une (au moins) relation entre ω et k. Donnons des exemples. Pour l’ E.D.P. de diffusion et l’E.D.P. de propagation on obtient ∂t f = D Δf =⇒ ω = −ik 2 D
,
∂t2 f − v 2 Δf = 0 =⇒ ω 2 = v 2 k 2 ,
et pour un milieu di´ electrique conducteur de conductivit´e γ (cf. cours d’´electricit´e) : → − → − → − Δ E = μ ∂t2 E + γ ∂t E =⇒ k 2 = μω 2 + iμγω . γ γ Dans ce dernier exemple, dont les deux premiers sont les cas limites ω et ω , l’“imaginaire pur” i apparaˆıt dans la relation ; ceci est li´e `a la pr´esence de processus → − irr´eversibles (ici la conduction ohmique j = γ E ) ; comme 2 k1 · k2 = m k 2 = μγω > 0, l’onde s’att´enue au cours de sa propagation (on suppose ω r´eel positif). 2 REMARQUE : l’E.D.P. de Schr¨ odinger i∂t ψ = − Δψ, identique formellement `a 2m i , mais r´eversible (laiss´ee invariante par les changel’´equation de diffusion avec D = 2m k 2 . (cf. aussi les E.D.P. ments t → −t et ψ → ψ), conduit a` la relation r´eelle : ω = 2m relativistes section 4.4.5.) Pour l’E.D.P. des ondes ´ elastiques en milieu isotrope → − → − μ −−→ → − ρ ∂t2 Ψ = μ Δ Ψ + χ−1 + grad(div Ψ ) , 3 → → − μ − (k · Ψ ) k ou, en s´eparant les composantes parall`ele on obtient (ρω 2 −μk 2 ) Ψ = χ−1 + 3 → − 4 et perpendiculaire a` k : ρω 2 − χ−1 + μ k 2 Ψ = 0 et (ρω 2 − μk 2 ) Ψ ⊥ = 0. Ce 3 4 → − syst`eme a deux solutions ; soit ρω 2 = χ−1 + μ k 2 et Ψ ⊥ = 0 (onde sismique longitu3 dinale), soit ρω 2 = μk 2 et Ψ = 0 (onde sismique transversale) ; `a chacune est associ´ee une polarisation. → − Milieux di´ electriques anisotropes parfaits. Des ´equations de Maxwell (cf. section 7.5.1) div D = 0, → − → − → → − → − → − → − → − → − →− − →− div B = 0, rot E = −∂t B et rot H = ∂t D avec B = μ0 H et D = [] E ([] matrice sym´etrique r´eelle), on d´ eduit les relations : → → − → − − → → − → − k · − D = 0 , k · B = 0 , k ∧ E = ω B et k ∧ H = −ω D .
8.2 Solutions de quelques E.D.P. dynamiques
263
→ − − → → − Elles permettent imm´ediatement de d´eterminer les directions relatives des vecteurs k, D , H , E et − → → − − → → − P = E ∧ H pour une onde plane (figure 13) et, en ´ecrivant k ∧ (k ∧ E ), d’obtenir la relation : → − → − k 2 E ⊥ = μ0 ω 2 [] E . Celle-ci n’est ais´ement exploitable que dans une base o` u [] est diagonale (Dx = 0 n2x Ex · · · ), et si on choisit k dans un plan de sym´etrie, par exemple k = (kx , 0, kz ). Alors les ´equations pour Ey et pour le → − eparent. De celle pour Ey on d´ eduit k 2 = kx2 + kz2 = 0 μ0 ω 2 n2y et D parall`ele ` a yˆ. couple (Ex , Ez ) se s´ 2 2 k k → − a k De celles pour (Ex , Ez ) il r´esulte (petit calcul) que x2 + z2 = 0 μ0 ω 2 et que D est perpendiculaire ` nz nx et yˆ. Dans le cas particulier d’un cristal uniaxe o` u nx = ny = no = nz = ne , la sym´ etrie de r´evolution permet toujours de choisir l’axe “x” de sorte que ky = 0. La surface des vecteurs d’onde (lieu de l’extr´emit´e de k ` a ω fix´ e) est alors constitu´ee, d’une part par la sph`ere k 2 = 0 μ0 ω 2 n2o pour les ondes → − − → → − “ordinaires” (car analogues ` a celles d’un milieu isotrope avec en particulier D E et P k), et 2 + k2 2 k k x y = 0 μ0 ω 2 pour les ondes “extraordinaires”. La figure 14 d’autre part par l’ellipso¨ıde z2 + no n2e repr´ esente ces surfaces en coupe et, pour une direction donn´ee de k, les caract´eristiques des deux ondes. kx kz Pour l’onde extraordinaire la relation kx Dx + kz Dz = 0 ´equivalente ` a 2 Ex + 2 Ez = 0 montre que n n e − o → − → Ee est tangent ` a l’ellipso¨ıde (car orthogonal ` a sa normale) et donc que P e , qui indique la direction de propagation de l’´energie, n’est pas parall`ele ` a k.
kz De
D E E
H
k
o Ee
e
O ne no c c
Eo ,Do kx
k B ou H Figure 13
Figure 14
Choix des solutions onde plane Une relation de dispersion peut ˆetre satisfaite d’une infinit´e de fa¸cons. C’est la physique qui d´etermine le choix. Consid´erons l’exemple ω = −iDk 2 de la diffusion `a une dimension. Si k est r´eel, alors " # 2 e A e−i(ωt−kx) = a e−Dk t cos(kx − ϕ) d´ecrit l’amortissement “sur place” d’une perturbation sinuso¨ıdale (spatialement) pr´esente 1 12 1+i 2D 2 iω (avec δ = =± ) ; la solution a t = 0 dans le milieu. Si ω est r´eel, k = ` D δ ω " # x x e A e−i(ωt−kx) = a e∓ δ cos ωt ∓ + ϕ δ correspond alors a` une perturbation de pulsation ω introduite a` l’entr´ee d’un milieu semi-
264
8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion
infini ([0, ∞] pour le signe “−” ou [−∞, 0] pour le signe “+”), et qui, en “progressant” dans le milieu, s’amortit sur une distance δ (longueur de p´en´etration en thermique, ´epaisseur de peau en ´electromagn´etisme, etc.). De mani`ere g´en´erale ω est r´eel si l’onde est g´en´er´ee par une source monochromatique (ext´erieure `a la r´egion consid´er´ee). Notons que dans ce cas, mˆeme si la relation de dispersion est r´eelle, k peut ˆetre complexe. C’est le cas lors de la r´ eflexion totale d’une onde ` a la surface de s´eparation z = 0 de deux milieux (i = 1, 2) isotropes pour lesquels ω 2 = vi2 k 2 avec v1 < v2 (figure 15) ; pour une onde arrivant sous une incidence θ1 telle que v1 ω ω2 2 2 sin θ1 et alors k2z = 2 − k2x < 0. sin θ1 > , la loi de Descartes impose k2x = k1x = v2 v1 v2 L’onde dans le milieu 2 (z < 0) est une onde ´evanescente qui se propage parall`element au plan z = 0 et dont l’amplitude d´ecroˆıt comme exp |k2z |z.
z
k1 k1
1
1
x 1
k2
sin 1
Figure 15
Solution g´ en´ erale Toute solution des E.D.P. lin´eaires `a coefficients constants rencontr´ees en physique, qu’elles concernent un milieu infini ou limit´e (avec des C.L.), est une somme (continue ou discr` ete) d’ondes planes satisfaisant la relation de dispersion associ´ee `a l’E.D.P. consid´er´ee. On d´ecrit ci-dessous quelques exemples de combinaisons d’ondes planes souvent rencontr´ees en physique. EXEMPLE 1. Paquet d’ondes. Pour voir ce qui se rapproche le plus d’une solution → − onde plane, sommons des ondes dont les vecteurs d’onde k = k0 + K sont proches de
k0 : − − − → − → − → → → Ψ( r, t) = a( k0 + K ) e−i ω(k0 + K )t−(k0 + K )·r+ϕ(k0 + K ) d3 K (| K | 0)) , avec ω( k) donn´ee par la relation de dispersion de l’E.D.P. consid´er´ee. En posant ω( k0 ) = ω0 et ϕ( k0 ) = ϕ0 , et en effectuant les d´eveloppements au premier ordre → − → − → − → − ∂ω( k) et ω( k0 + K ) = ω0 + vg · K et ϕ( k0 + K ) = ϕ0 + r0 · K (avec vg =
k k=k0 ∂ ∂ϕ( k) ) on obtient :
r0 = ∂ k k=k0 − → → − → − Ψ( r, t) = e−i(ω0 t−k0 ·r+ϕ0 ) f ( r− vg t− r0 ) avec f ( r) = a( k0 + K ) ei K ·r d3 K (| K | 0).
8.2 Solutions de quelques E.D.P. dynamiques
265
Ψ repr´esente une onde plane modul´ee en amplitude dont l’enveloppe f , lentement variable, se d´eplace `a la vitesse de groupe vg ( k0 ). (La figure 16a repr´esente un paquet a` une dimension de largeur Δz reli´ee `a la dispersion Δk par Δz Δk 1.)
vg
f(z−z 0 , 0)
v 0
z
(a)
z ( k)−1 Paquet d’ondes f(z−z 0− vg t , t) à t = 0
(b)
z Paquet d’ondes étalé à t > 0
Figure 16 −−→ REMARQUES. 1) Dans un milieu anisotrope vg ´ egale ` a gradk ω, et donc perpendiculaire ` a la surface a k ; la figure 17 illustre la r´efraction “extraordinaire” des vecteurs d’onde ω(k) = Cste , n’est pas parall`ele ` sous incidence normale (k = 0 continu) d’un paquet dans un tel milieu.
111 000 paquet d’ondes 000 111 000 111 incident 000 111 000 111 000 111 air cristal anisotrope
paquet d’ondes 1111 0000 0000 1111 réfracté 0000 1111 0000 1111 0000 1111
vg
k Figure 17
2) Dans un milieu isotrope (ou ` a une dimension) on a en g´en´ eral vg = dω = vϕ = ω ; par exemple en dk k ω 2 optique (k = n(ω) c ), pour des vagues en haute mer (ω = kg) et pour des particules libres quantiques 2
−1 k (ω = 2m ), on obtient respectivement vg−1 = vϕ +
ω dn c dω
(en pratique
vϕ −vg vϕ
10−1 ), vg =
1 2
vϕ et
vg = 2 vϕ . a-vis de k (` a une dimension Δvg = ω (k) Δk) est la cause de l’´etalement 3) La d´ ependance de vg vis-` equences en son sein (figure 16b ; cf. aussi (Δvg t) des paquets et de la s´eparation (dispersion) des fr´ section 5.1.3).
8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion
266
4) La figure 18 montre l’arriv´ee a ` t = 0 en r0 = 0 d’un paquet d’ondes sur le plan z = 0 dans des conditions de r´eflexion totale pour les ondes qui le composent (coefficients de r´eflexion r(k) = e−iΦ(k) ). La formule donnant le paquet r´efl´ echi diff`ere de celle du paquet incident par les changements k(kx , ky , kz ) → −−→ k (kx , ky , −kz ) et ϕ → ϕ + Φ. Sa position (fictive) ` a t = 0 est donc r0 = gradk Φ ; ceci explique que le paquet r´efl´ echi est d´ecal´e en position (effet Goos H¨ anchen) et en temps par rapport ` a ce que donnerait une r´eflexion “g´eom´ etrique instantan´ee”.
z
1111 0000 0000 1111 0000 1111
0
1111 0000 0000 1111 0000 1111 1111 0000 0000 1111 0000 1111
x
r’0
Figure 18 5) Signalons enfin un r´esultat tr` es g´ en´eral et non trivial qu’on peut, en consid´erant la somme de deux → − ondes avec ω et k voisins, d´eduire de la L.C. de l’´energie ∂t e + divj = 0 et du caract`ere quadratique en egale au ψ de e et j : dω < e > −dk· < j >= 0. Ce r´esultat entraˆıne que la vitesse de groupe vg (k0 ) est ´ e pour l’onde plane (ω0 , k0 ) (vitesse de l’´ energie). De rapport des moyennes temporelles <j> calcul´ <e>
equivalente ` a < e >> 0 dans tous les r´ef´ erentiels), on d´eduit | vg | ≤ c. l’in´egalit´e < e >≥ | < j > | c−1 (´
EXEMPLE 2. Ondes guid´ ees. Si on fixe ω et kz = k cos θ, et qu’on somme sur kx et ky en respectant la relation de dispersion (par exemple ω 2 = v 2 k 2 ), on obtient des solutions du type f (x, y) e−i(ωt−kz z) . Elles concernent des syst`emes (guides d’ondes) invariants par translation selon z. Un exemple simple est la somme de deux ondes A± e−i(ωt∓kx x−kz z) se propageant dans une r´egion x ∈ [0, a] (figure 19).
x a
0
1
plans de phase constante
k+
v = 2 kz
k− 2
v
kz
z
Figure 19 Les C.L. sont A+ = r1 A− en x = 0 et A− e−ikx a = r2 A+ eikx a en x = a, avec r1,2 = e−iϕ1,2 coefficients de r´eflexion totale sur ces plans ; ϕ1,2 d´ependent en g´en´eral de kx et kz et des milieux 1 et 2. Elles conduisent `a la relation de quantification 2kx a = def ϕ1 + ϕ2 = ϕ (modulo 2π) pour kx , et `a la relation de dispersion ω 2 = v 2 kx2 (kz ) + kz2 .
8.2 Solutions de quelques E.D.P. dynamiques
267
π ω v si r1,2 = −1.) Pour ces ondes : vϕ = et (petit = a kz cos θ −1 ∂ϕ dω ∂ϕ 2a − calcul) vg = = v cos θ + v sin θ ; vg = v cos θ si r1,2 = −1. dkz ∂kz ∂kx
(Par exemple kx = n
Remarque. Si on somme des ondes planes de vecteurs d’onde (kx = k⊥ cos ϕk , ky = k⊥ sin ϕk , kz = k cos θ), avec ω, k, θ fix´ es et ϕk variable de sommation, chaque onde ´etant affect´ee d’un poids (2π)−1 e−imϕ k , on obtient en coordonn´ees polaires : f (r, ϕ) = (2π)−1 02π e−imϕ k eik⊥ r cos(ϕ−ϕ k ) dϕk = e−imϕ Jm (k⊥ r) ; (les fonctions de Bessel sont d´ efinies par Jm (u) = (2π)−1 02π e−imϕ eiu cos ϕ dϕ.) Ces fonctions 2 ) f = 0 (comme les fonctions ei(kx x+ky y) ) interviennent naturellement f qui v´ erifient (∂x2 + ∂y2 + k⊥ dans la physique des guides d’ondes cylindriques.
EXEMPLE 3. Ondes sph´ eriques (figure 20). Une somme d’ondes planes monochromatiques de mˆeme amplitude et dont les vecteurs k (| k| fix´e) sont proches de l’axe z ((kx , ky ) dans un “petit” domaine D autour de (0, 0)) s’´ecrit : kx2 + ky2 Ψ( r, t) = . e−i(ωt−kx x−ky y−kz z) dkx dky avec kz k − 2k D
x
0
z
Figure 20 En utilisant l’approximation de la phase stationnaire (cf. section 5.1.3), le lecteur x y ∗ ∗ montrera que, pour z “grand”, on a Ψ 0 si kx = k, ky = k ∈ D, et z z 2 2 x +y Ψ ∝ z −1 exp −i ωt − k z + 2z sinon. Pour z > 0 (resp. z < 0) il s’agit d’une onde sph´erique divergente (resp. convergente) en O ; le passage par O entraˆıne un d´ ephasage de π (li´e au signe de z −1 ).
8.2.2
Equations de diffusion et de propagation ; fonctions de Green ; ondes stationnaires
Pour r´esoudre ces ´equations, on utilise la d´ependance lin´eaire de la solution vis-` a-vis des C.I. (prises `a t = 0) lorsqu’il n’y a pas de source. On montre ensuite que la solution causale en pr´esence de source se d´eduit facilement du cas sans source. Cette d´emarche est celle suivie pour les E.D. `a la section 6.2.1, la notion de fonction de Green g´en´eralisant aux E.D.P. celle de r´eponse impulsionnelle.
8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion
268
E.D.P. de diffusion : ∂t f (x, t) − D ∂x2 f (x, t) = g(x, t) (`a une dimension) Si g = 0 on v´erifie facilement que l’E.D.P. admet, pour x ∈ [−∞, ∞] et t > 0, la solution particuli`ere : 1 x2 G(x, t) = (4πDt)− 2 exp − . 4Dt
G(x,t) t
0+ t>0 x
0 Figure 21
√ Il s’agit d’une fonction gaussienne centr´ee en 0, normalis´ee et d’´ecart type 2Dt qui s’´etale sans se propager quand t croˆıt (figure 21). Quand t → 0+ elle est au contraire de plus en plus piqu´ee et tend vers δ(x). On en d´eduit que la fonction
∞
f (x, t) = −∞
G(x − x , t) ϕ0 (x ) dx
est, pour t > 0, la solution satisfaisant la C.I. f (x, 0) = ϕ0 (x). Si g = 0 (diffusion avec source) la solution causale (“dont les variations ne pr´ec`edent pas celles de la source”) est alors :
t
∞
f (x, t) = −∞
−∞
G(x − x , t − t ) g(x , t ) dx
dt .
´ DEMONSTRATION : comme la fonction entre crochets satisfait (comme G) ∂t [· · · ] = t D ∂x2 [· · · ], et vaut g(x, t) pour t = t , on obtient ∂t f = g + −∞ ∂t [· · · ] dt = g + D ∂x2 f . Cas particulier : si g(x, t) = δ(t) δ(x), alors f (x, t) = H(t) G(x, t) ; cette r´eponse `a une impulsion en x = 0 a` t = 0 est appel´ee fonction de Green du probl`eme de diffusion `a une dimension. REMARQUE. A n dimensions les r´esultats pr´ec´edents restent valables ; il suffit de rem1 n placer x par x et (4πDt)− 2 par (4πDt)− 2 . Pour l’E.D.P. de Schr¨ odinger on remplace i D par . 2m
8.2 Solutions de quelques E.D.P. dynamiques
269
E.D.P. de propagation ` a une dimension : ∂t2 f (x.t)−v 2 ∂x2 f (x, t) = g(x, t) Pour g = 0 la solution g´en´erale f (x, t) = f1 (x − vt) + f2 (x + vt), somme d’ondes propagatives vue `a la section 7.1.4, s’´ecrit aussi en fonction des C.I. f (x, 0) = ϕ0 (x) et ∂t f (x, t)|t=0 = ϕ1 (x) (v´erification imm´ediate) : f (x, t) =
1 1 ϕ0 (x − vt) + ϕ0 (x + vt) + 2 2v
x+vt
ϕ1 (x ) dx .
x−vt
Pour une corde vibrante le premier terme d´ecrit l’´evolution d’une “perturbation de position” (obtenue en ´ecartant la corde de sa position d’´equilibre puis en la lˆ achant ; figure 22a), et le second (produit par t de la moyenne de ϕ1 (x) sur l’intervalle [x − vt, x + vt]) celle d’une “perturbation de vitesse” (obtenue en soumettant la corde `a une percussion ; figure 22b).
(a)
0 (x)
f(x,t)
x 2vt (b)
1 (x)
f(x,t)
x 2vt Figure 22 Si g = 0, il r´esulte de la relation entre f et ϕ1 que la solution causale est : 0 t / x+v(t−t ) 1 f (x, t) = g(x , t ) dx dt . 2v −∞ x−v(t−t ) ´ DEMONSTRATION : les propri´et´es de la fonction entre crochets, ∂t2 [· · · ] = v 2 ∂x2 [· · · ] t ainsi que [· · · ] = 0 et ∂t [· · · ] = g(x, t) pour t = t , entraˆınent ∂t f = −∞ ∂t [· · · ] dt puis ∂t2 f = g + v 2 ∂x2 f . On notera que la solution s’´ecrit comme celle de la diffusion, la 1 x Π au lieu de la gaussienne G(x, t). fonction de Green ´etant la porte 2v 2vt
E.D.P. de propagation ` a trois dimensions : ∂t2 f (r, t)−v 2 Δf (r, t) = g(r, t) Tous les r´esultats d´ecoulent du lemme suivant : soit ϕ( r ) une fonction arbitraire de r ; alors la fonction Φ( r, t) = t < ϕ >S(r,vt) , produit par t > 0 de la moyenne de ϕ sur la sph`ere centr´ee en r et de rayon vt, est telle que : ∂t2 Φ( r, t)−v 2 ΔΦ( r, t) = 0 ;
Φ( r, 0) = 0 ;
∂t Φ( r, t)|t=0 = ϕ( r) ;
∂t2 Φ( r, t)|t=0 = 0 .
8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion
270
´ DEMONSTRATION : la relation ϕ → Φ ´etant lin´eaire on peut, en vertu de l’analyse de Fourier, se limiter au cas o` u ϕ est une onde plane eik·r . Un point arbitraire sur la sph`ere S( r, vt) ´etant rep´er´e par r + vtˆ u on a (dΩuˆ angle solide ´el´ementaire “autour”de u ˆ) : sin ωt def t eik·(r+vtˆu) dΩuˆ = eik·r (avec ω = vk) . Φ( r, t) = 4π ω Les propri´et´es annonc´ees deviennent alors ´evidentes. - Premi`ere cons´equence : si g = 0, la solution f ( r, t) s’exprime en fonction des C.I. f ( r, 0) = ϕ0 ( r) et ∂t f ( r, t)|t=0 = ϕ1 ( r) sous la forme (v´erification imm´ediate) : f ( r, t) = ∂t t < ϕ0 >S(r,vt) + t < ϕ1 >S(r,vt) . - Deuxi`eme cons´equence : pour g = 0 la solution causale (causalit´e illustr´ee sur la figure 23), d´eduite de la relation ci-dessus entre f et ϕ1 , s’´ecrit (d´emonstration comme `a une dimension) : t dt . f ( r, t) = (t − t ) < g( r , t ) > S r,v(t−t )
−∞
f( r , t)
r
support de g( r’, t’)
v(
t−
t’)
r,t
localisation de 0 et 1
valeurs de g( r’, t’) qui contribuent à f( r , t)
v t2
v t1
(a) Figure 23
t2 t
t1 (b) Figure 24
En posant r = r + Rˆ u avec R = v(t − t ), elle devient ∞ R 1 R dR g r + Rˆ u, t − dΩuˆ , f ( r, t) = 4π v v v 0 ou encore (forme plus habituelle de la solution causale en physique) : f ( r, t) =
r | g r , t − |r− v d3 r . 4πv 2 | r − r |
ρ est ´ecrite `a la section 7.5.2). La fonc0 r (“pulse” sph´erique tion de Green, r´eponse `a δ( r ) δ(t), est ici H(t) (4πv 2 r)−1 δ t − v naissant a` t = 0 en r = 0). (Par exemple la solution de ΔV − c−2 ∂t2 V = −
REMARQUES (pour g = 0). 1) Il r´esulte de la premi`ere cons´equence que, si ϕ0 et ϕ1 sont localis´ees (figure 24a), l’onde n’est pr´esente en tout point r que pendant un intervalle de temps fini (figure 24b).
8.2 Solutions de quelques E.D.P. dynamiques
271
2) Dans le cas statique (f ( r , t) ≡ ϕ0 ( r ) et Δϕ0 = 0), elle entraˆıne aussi que la valeur ϕ0 ( r ) est la r (g´en´eralisation du r´esultat ´ etabli ` a la section 7.1.2). moyenne de ϕ0 sur toute sph`ere centr´ee en 3) Les r´esultats relatifs ` a la propagation ` a une (resp. deux) dimension se d´eduisent du cas ` a trois dimensions en consid´erant des fonctions ϕ0 et ϕ1 ne d´ependant que de x (resp. x et y), et en int´egrant toujours sur les trois variables. On v´erifie par exemple que la moyenne sur la sph`ere S( r , vt) devient la moyenne sur le segment [x − vt, x + vt] ` a une dimension.
Introduction de conditions aux limites (C.L.) ; ondes stationnaires Les solutions pr´ec´edentes supposent un espace infini. Si on impose des C.L. ind´ependantes du temps, les ondes stationnaires f ( r, t) = f ( r) h(t) (produit d’une fonction de l’espace par une fonction du temps), solution des ´equations en absence de source (g = 0), jouent un rˆ ole important. ¨ h f Par exemple l’E.D.P. (∂t2 − v 2 ∂x2 )f (x) h(t) = 0 conduit a` = v2 = −ω 2 = Cste h f (en divisant par f h). (0n suppose h born´e pour t → ±∞). Les variables t et x ´etant ind´ependantes on en d´eduit (si ω = 0) : ω f (x) h(t) = A cos(kx + ϕ) cos(ωt + φ) avec k = . v Pour une corde vibrante attach´ee en x = 0 et x = L, les C.L. fixent la d´ependance π spatiale en sin kn x avec kn = n (n > 0). La solution g´en´erale est alors f (x, t) = L etermin´es par les n sin kn x an cos ωn t + bn sin ωn t ; les coefficients an (resp. bn ) sont d´ d´eveloppements en s´erie de Fourier de f (x, 0) (resp. ∂t f (x, t)|t=0 ). f h˙ = De mˆeme, pour l’E.D.P. de diffusion (∂t − D ∂x2 ) f (x) h(t) = 0, on obtient = D h f 2 −Dk 2 (h born´ee `a t → ∞), d’o` u f (x) h(t) = A cos(kx + ϕ) e−Dk t (si k = 0). Pour des 2 C.L. nulles en x = 0 et x = L la solution g´en´erale est f (x, t) = n an sin kn x e−Dkn t et L 2 les C.I. donnent an = f (x, 0) sin kn x dx. (Pour des C.L. constantes non nulles il L 0 faudrait ajouter un terme a0 x + b0 correspondant `a k = 0.) Ce type de solutions s’´etend ` a trois dimensions et `a d’autres ´equations. Par exemple les E.D.P. de propagation en milieux lin´eaires inhomog`enes ∂t2 f = v 2 ( r) Δf , ou l’E.D.P. de 2 Δf + V ( r) f , conduisent aux E.D.P. spatiales Schr¨ odinger i ∂t f = − 2m Δ + k 2 ( r) f ( r) = 0 avec respectivement k( r) = (pour h(t) ∝ exp −i
Et ).
ω 2m (pour h(t) ∝ cos(ωt + ϕ)) et k 2 ( r) = 2 E − V ( r) v( r)
Fonction de Green avec C.L.. Consid´erons l’exemple de l’´equation de diffusion ` a une dimension ci-dessus dans [0, L] avec C.L. nulles. L’expression des an ci-dessus permet d’´ecrire la relation lin´eaire entre la solution f (x, t) et la C.I. f (x, 0) sous la forme : 2 2 −Dkn t . f (x, t) = 0L G(x, x , t) f (x , 0) dx avec G(x, x , t) = L n sin kn x sin kn x e 2 La fonction G(x, x , t) qui v´ erifie ∂t G = D ∂x G, les C.L., et qui est ´egale ` a δ(x − x ) pour t = 0,
8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion
272
est la fonction de Green du probl` a la solution f (x, t) = #eme de diffusion dans [0, L]. Elle conduit ` t " L , t − t ) g(x , t ) dx dt du mˆ G(x, x e me probl` e me en pr´ e sence de source. −∞ 0
8.2.3
Six E.D.P. li´ ees ` a une loi de conservation
On consid`ere les bilans (sans source) ∂t f + ∂x j = 0 (`a une dimension) et ∂t f + div j = 0 (`a trois dimensions) . Ces bilans dans lesquels f est en g´en´eral une densit´e (lin´eaire ou volumique) de grandeur additive conserv´ee, conduisent a` une E.D.P. pour f lorsque l’intensit´e du courant j, ou sa densit´e volumique j, est li´ee `a f . EXEMPLE 1. Si j est une fonction j(f ) on obtient l’E.D.P. d’onde simple non lin´eaire ∂t f + c(f ) ∂x f = 0 (avec c(f ) = j (f )) qui peut conduire a` une onde de choc (cf. exemple de la section 7.2.4). −−→ EXEMPLE 2. Si j = −D ∂x f ou j = −D gradf on obtient l’´equation de diffusion. Un exemple est l’´ equation de la “chaleur” ρc ∂t T = K ΔT , qui correspond `a un bilan d’´energie interne ∂t (ρe) + div jth = 0 pour un solide, avec T −−→ e= c(T ) dT et jth = −K gradT .
Remarque. Le lecteur ´etablira et interpr`etera le bilan relatif ` a l’entropie massique s = T T −1 c(T ) dT : − − → ∂t (ρs) + divjS = τS avec jS = T −1jth et τS = KT −2 (gradT )2 .
EXEMPLE 3. Si j(x, t) = V (x, t) f (x, t) l’E.D.P. lin´eaire inhomog`ene ∂t f + ∂x (V f ) = 0 d´ecrit l’entraˆınement d’une grandeur en tout point x `a l’instant t par un ´ecoulement dont le champ de vitesse est V(x, t). En effet, en suivant le mouvement d´efini par x˙ = V (x, t), on a dt f (x, t) dx = (dt f + f ∂x V ) dx = ∂t f + ∂x (f V ) dx = 0 (cf. sections 7.1.3 et 7.2.3). Remarque. La mˆeme notion d’entraˆınement s’applique ` a la L.C. ∂t f + ∂x (V (x, t) f ) = 0 en dimension a divergence nulle (∂x · V = 0), alors dt f = 0 ; un exemple est donn´e arbitraire. Si de plus V est ` par l’E.D.P. de Liouville satisfaite par toute densit´e de probabilit´e f (q, p, t) lorsque les points de l’espace de phase ob´eissent ` a une dynamique hamiltonienne : V ≡ ∂p H, −∂q H (cf. section 9.1). EXEMPLE 4. Citons ´egalement deux E.D.P. associant l’effet d’entraˆınement ` a d’autres effets. L’E.D.P. de Fokker-Planck introduite ` a la section 10.3.1 combine entraˆınement et diffusion. L’E.D.P. de Boltzmann ∂t f +
→ − F m
→ − 0 · ∂v f + v · ∇f = − f −f , τ
relative ` a une densit´e de probabilit´e dans l’espace de phase f ( r, v , t) ` a une seule particule, combine → − F ) et entraˆınement (mouvement d’un point ( r , v ) sous l’action d’une force ext´erieure : r˙ = v et v˙ = m v ), de Maxwell ou Fermi-Dirac). relaxation vers une distribution d’´equilibre (en g´en´ eral du type f0 ( Sous sa forme lin´earis´ee, elle sert ` a d´ ecrire de nombreux ph´ enom` enes de transport ; par exemple → − → − → − si F = q E est constante, la conductivit´e ´ electrique γ, d´efinie par j = γ E , s’obtient en ´ecrivant : → − q E · ∂v f0 = f0 + δf et j = q v δf d3v . f = f0 − τ m
8.2 Solutions de quelques E.D.P. dynamiques
8.2.4
273
Trois exemples d’E.D.P. non lin´ eaires ; ondes solitaires
Ces E.D.P. se rencontrent dans tous les domaines (hydrodynamique, optique, plasmas, chimie, biologie...) avec des applications dans la vie courante (´ecoulements d’eau, houle, organisation des nuages, propagation des incendies...). En g´en´eral les nonlin´earit´es sont dues aux propri´et´es des milieux et, en hydrodynamique, a` la pr´esence de la d´eriv´ee → − particulaire dt = ∂t + v · ∇. Si elles sont petites on peut montrer, comme pour les oscillateurs (cf. section 6.5.1), par une m´ethode de perturbation, que leurs effets sont la d´ependance ω(k, a) de la relation de dispersion vis-` a-vis de l’amplitude a et la pr´esence d’harmoniques. On consid`ere ci-dessous trois exemples ”classiques” d’E.D.P. non lin´eaires `a une dimension et leurs solutions particuli`eres du type f (u = x − V t). Ces ondes qui se propagent sans d´eformation `a vitesse constante V , et sont constantes (ou nulles) pour u infini, sont appel´ees ondes solitaires.
E.D.P. de Sine Gordon ∂t2 f = −ω02 sin f + v 2 ∂x2 f Elle est la limite continue du syst`eme d’´equations ml2 θ¨n = −mgl sin θn − C(θn − θn−1 ) − C(θn − θn+1 ) d´ecrivant des pendules simples oscillant dans un plan perpendiculaire a` l’axe horizontal “x” et coupl´es lin´eairement par des ressorts de torsion port´es par cet axe. Dans la suite on fera ω0 = v = 1, le lecteur pouvant r´etablir dimensionnellement ω0 et v dans toutes les formules (cf. chapitre 1). L’´equation pour f (u), qui s’´ecrit (1 − V 2 ) f = sin f , est aussi celle d’un mobile de masse 1 − V 2 se d´epla¸cant dans le potentiel U (f ) = 1 + cos f .
U(f) 2 (a) B f
A f+(x,t)
f− (x,t)
(b) 0
x v
t
Figure 25 On voit alors sur la figure 25a que f ne tend vers une constante `a l’infini que si ce mobile va 2 de A ` a B ou de B ` a A (modulo 2π). L’int´egrale premi`ere d’“´energie” (1−V 2 ) f2 +U (f ) = 1 2 conduit `a (1 − V 2 ) 2 df = ±2 sin f2 du et aux solutions (figure 25b) : x−Vt f± (x − V t) = 4 Arctg exp ± √ . 1−V2
8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion
274
En pratique on obtient ces ondes en faisant faire un tour complet “` a la main” au pendule situ´e `a une extr´emit´e d’une longue chaˆıne. REMARQUE. Si on fait faire un tour complet aux deux bouts de la chaˆıne on observe que les deux ondes, qui se propagent en sens inverses, reprennent asymptotiquement leur forme initiale apr`es s’ˆetre “travers´ees” ; on les nomme “solitons”. Un exemple de solution superposition non lin´eaire de deux solitons # " f+ (x ± V t) est (v´ erification laiss´ee au lecteur) : f2 (x, t) = 4 Arctg V sinh √ x 2 cosh−1 √ V t 2 + 2π. 1−V
1−V
E.D.P. de Korteweg-De Vries ∂t f + (c0 + c1 f ) ∂x f + ν ∂x3 f = 0 1
Elle d´ ecrit des ondes de surface dans un canal peu profond (c0 = (gh) 2 ; cf. section 8.1.2). Dans la suite on pose c0 = c1 = ν = 1. En proc´edant par int´egrations successives, et en supposant que f → 0 pour f 2 + 16 f 3 , dont on d´eduit (petit u → ±∞, on obtient l’´equation 12 f 2 + U (f ) = 0 avec U (f ) = 1−V 2 calcul) :
f (x − V t) = a cosh−2
"!
a 12
# (x − V t)
avec V = 1 +
a 3
.
La non d´ eformation de cette onde solitaire tient au fait qu’elle est un compromis entre d’une part les paquets d’ondes solutions de l’E.D.P. lin´earis´ee qui s’´etalent (relation de dispersion ω = k − k 3 ), et a une onde de choc (cf. d’autre part l’onde solution de ∂t f + (1 + f ) ∂x f = 0, ´equation qui conduit ` section 7.1.1).
E.D.P. de Burgers ∂t f + (c0 + c1 f ) ∂x f = D ∂x2 f Elle ajoute des effets de diffusion ` a l’´ equation d’onde simple. La solution onde solitaire (avec c0 = c1 = 1) −1 t avec V = 1 + a2 et l = 2 D f (x − V t) = a 1 + exp x−V l a montre que la diffusion a pour effet d’´etaler l’onde de choc.
8.3 8.3.1
´ E.D.P. « SPATIALES » IMPLIQUANT L’OPERATEUR LAPLACIEN Exemples et analogies physiques ; conditions aux limites
E.D.P. de Laplace Δf = 0 Elle concerne des fonctions “potentiel” (f ≡ V, ϕ, n, T, . . . ) et apparaˆıt chaque fois qu’un → − champ a un rotationnel et une divergence nuls, par exemple en ´ electrostatique ( E = −−→ → − → − −grad V et div E = 0), en ´ electrocin´ etique (idem avec j = γ E ), en gravitation −−→ ( g = −grad V ), en hydrodynamique des ´ecoulements irrotationnels incompressibles −−→ −−→ ( v = grad ϕ et div v = 0), dans des probl`emes stationnaires de diffusion ( jn = −D grad n − − → et div jn = 0), ou de conduction thermique ( jth = −K grad T et div jth = 0). En → → − −→ − magn´ etostatique (rot B = 0 et div B = 0) on a ΔVmag = 0 pour le potentiel scalaire −−→ → − → − magn´etique d´efini (localement) par B = −grad Vmag , et Δ A = 0 pour le potentiel → − − → → − →− vecteur d´efini par B = rot A et div A = 0. Cette identit´e math´ematique entre diff´erents domaines de la physique permet des analogies. Ainsi pour un tube de champ limit´e par deux ´equipotentielles, les quantit´es V1 − V2 V1 − V2 C −1 = (C capacit´e d’un condensateur), R = (r´esistance ´electrique) Q I
8.3 E.D.P. « spatiales » impliquant l’op´erateur laplacien
275
T1 − T2 (r´esistance thermique) font appel `a un mˆeme calcul, celui du rapport Ith → − R de la circulation du champ (respectivement E , j et jth ) entre les ´equipotentielles et de son flux dans le tube : R = 0 C −1 , γR et KRth . R ne d´epend que de la g´eom´etrie et est homog`ene `a [L]−1 . Pour des g´eom´etries planes (figure 26a), sph´eriques, cylindriques (deux cas diff´erents correspondant aux figures 26b et 26c), on a respectivement : V ∼ x 1 1 1 et R = Δx S −1 (S section du tube) ; V ∼ r−1 et R = ; enfin V ∼ ln r et − 4π r1 r2 r r2 −1 2 (l longueur du cylindre) ou V ∼ θ et R = (Δθ) l ln . R = (l Δθ)−1 ln r1 r1 et Rth =
x
r2 r1
r1
(a)
r2
(b)
(c)
Figure 26
Autres ´ equations L’E.D.P. de Poisson Δf = g apparait dans les exemples pr´ec´edents lorsque des → − ρ sources statiques sont pr´esentes, par exemple ΔV = − ou Δ A = −μ0 j. L’´equation 0 Δ + k 2 ( r) f = 0 (E.D.P. de Helmholtz si k 2 = Cste > 0) apparait quand on recherche des solutions onde stationnaire a` une ´equation de propagation ou de Schr¨ odinger (cf. section 8.2.2). Souvent k 2 ( r) = k02 + δk 2 ( r ) o` u la perturbation δk 2 ( r) d´ecrit des 2mE 2m “inhomog´en´eit´es” (par exemple k02 = et δk 2 ( r) = − 2 V ( r)). 2
Conditions aux limites En g´en´eral les domaines dans lesquels les ´equations pr´ec´edentes s’appliquent sont limit´es par des surfaces. Les conditions aux limites sont dites C.L. de Dirichlet si c’est f qui −−→ est donn´ee sur la surface, et C.L. de Neuman si c’est sa d´eriv´ee normale n ˆ · gradf . En ´electrostatique c’est souvent le potentiel V qui est fix´e (et constant) sur la surface, −−→ tandis qu’en hydrodynamique c’est le “courant” n ˆ · gradϕ (´egal a` 0 si la surface limite le fluide). Dans certains domaines les deux types de C.L. (et mˆeme des conditions mixtes faisant intervenir l’imp´edance `a la surface) peuvent ˆetre rencontr´ees. Si le domaine n’est pas limit´e par des surfaces, il faut pr´eciser le comportement `a l’infini de f ; par exemple, en quantique, la fonction d’onde est exponentiellement d´ecroissante pour des ´ etats li´ es, ik0 r e et du type eik0 ·r + A( k, k0 ) pour des ´ etats de diffusion ( k0 est le vecteur d’onde r incident et k = | k0 | rˆ indique la direction d’observation de l’onde diffus´ee).
8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion
276
8.3.2
Unicit´ e des solutions ; identit´ e de Green ; s´ eparation des variables
Unicit´ e des solutions de Δf = g Pour des C.L. de Dirichlet ou des C.L. de Neuman il y a unicit´e (´eventuellement modulo une constante) de la solution de l’E.D.P. Δf = g dans un volume V limit´e par une ou plusieurs surfaces S. Si de plus g = 0, la solution minimise l’int´egrale → − 1 I= | ∇f |2 d3 r . 2 V I peut repr´esenter une ´energie (´electrostatique, cin´etique...), une puissance dissip´ee ou encore, `a deux dimensions, l’aire d’une surface z = f (x, y) s’appuyant sur une courbe ferm´ee (lame d’eau savonneuse). Ces r´esultats d´ecoulent de l’identit´e : − → → − → − → − G ∇F · dS = G ΔF d3 r + ∇F · ∇G d3 r . S
V
V
´ DEMONSTRATION de l’unicit´e : supposons qu’il existe deux solutions f1 et f2 satisfaisant les mˆemes − → → − → − ˆ dS = 0 C.L. et posons F = G = f2 − f1 . Alors sur S soit G = 0 (Dirichlet), soit ∇F · dS = ∇F · n → 2 − (Neuman) ; l’int´egrale de surface est donc nulle et, comme ΔF = 0, on en d´eduit | ∇F | = 0 soit F = Cste (= 0 pour Dirichlet). D´emonstration du minimum (pour g = 0) : on pose F = f et G = δf (Dirichlet) ou F = δf et G = f (Neuman). L’int´egrale de surface est alors nulle et, comme Δf = 0, on − → − → 3 ee inf´erieurement. V ∇f · ∇(δf ) d r = δI = 0 ; l’extremum est un minimum car I > 0 est born´
a
M´ ethode des images Elle est bas´ee sur l’unicit´e de la solution. Si par exemple en ´electrostatique on veut ρ r´esoudre ΔV = − dans une r´egion limit´ee par une surface S sur laquelle une C.L. 0 est donn´ee, cette m´ethode consiste `a introduire une r´epartition ρ∗ de charges situ´ees de ρ + ρ∗ l’autre cˆ ot´e de S qui, avec ρ, r´ealisent la condition sur S puis a` r´esoudre ΔV = − 0 (sans plus se pr´eoccuper de la C.L.). EXEMPLE 1 (figure 27a). Si une charge q1 est `a l’ext´erieur d’une sph`ere m´etallique S centr´ee en O, de rayon R au potentiel VS = 0, on d´etermine une charge −q2 et sa q1 q2 position de sorte que l’´equation − = 0 soit celle de la sph`ere (cf. section 2.2.2). r1 r2 Le potentiel a` l’ext´erieur de S est celui dˆ u a` q1 et −q2 . Si VS = 0, on ajoute en O une charge Q = 4π0 RVS . EXEMPLE 2. Si la sph` ere m´etallique au potentiel V = 0 est en pr´esence d’un champ ext´erieur → − → − a E 0 le champ d’un dipole de moment constant E 0 (figure 27 b), on remarque qu’en superposant ` → − e en O, le potentiel en tout point est : p E 0 plac´ p cos θ V (r, θ) = −E0 r cos θ + 4π 2 . 0r → − L’´ equipotentielle V = 0 co¨ıncide avec S si p = 4π0 R3 E 0 . V (r, θ) d´ ecrit alors toutes les propri´et´ es (lignes de champ, r´epartition de charges et pression ` a la surface de la sph`ere) du syst`eme “sph`ere plus
8.3 E.D.P. « spatiales » impliquant l’op´erateur laplacien
277
→ − champ E 0 ” pour r ≥ R. Si sur S (suppos´ee maintenant non m´etallique) on impose une condition de → − = −2π0 R3 E 0 . Cette derni`ere C.L., Neuman du type Er = −∂r V = 0, on voit qu’on doit prendre p non r´ ealiste pour un champ ´electrostatique, le devient pour la vitesse v d’un ´ecoulement autour d’un → − obstacle sph´erique (figure 28), ou pour le champ magn´etique B ` a la surface d’un supraconducteur → − sph´erique ` a l’int´erieur duquel B = 0 en raison de l’effet Meissner (cf. section 9.4).
(a) q1
r1
11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 r2 00000000 11111111 O 00000000 11111111 00000000 11111111 q2 Q − 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 V 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111
(b) E
v
V= 0
Figure 27
Figure 28
Identit´ e de Green et applications Green Pour tout point r0 ` a l’int´erieur d’un volume V limit´e par une surface S on a : ik|r−r0 | ik|r−r0 | − − → → − → eik|r−r0 | e e f ( r) ·dS− Δ+k 2 f ( r) d3 r . 4π f ( r0 ) = ∇f ( r) − ∇ | r − r0 | | r − r0 | r − r0 | S V |
´ DEMONSTRATION (figure 29) : elle s’appuie sur l’expression int´egrale de la formule de Green : → − − → − → 3 S (F ∇G − G ∇F ) · dS = V (F ΔG − G ΔF ) d r .
S V¯ ¯
S¯ r0
Figure 29 On pose alors F = f et G = | r− r0 |−1 eik|r−r0 | , et on prend pour V le volume V limit´ e par S et la r0 et orient´ee vers l’ext´ erieur). Dans la limite → 0 l’int´egrale sur S sph`ere S (de rayon , centr´ee en → − → − → − → − de G ∇F tend vers z´ ero (G ∇F ∼ −1 et S = 4π2 ), celle de F ∇G tend vers 4π f ( r0 ) (| ∇G| ∼ −2 ), et dans V → V on a ΔG =
d2 G dr 2
+
2 dG r dr
= −k 2 G, d’o` u l’identit´e.
8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion
278
Citons quelques cons´ equences remarquables de cette identit´e. r − r0 | 1) Si Δf = 0, si k = 0 et si S est une sph`ere de rayon R centr´ee en r0 , on retrouve facilement (car | est constant sur S) le r´ esultat de la section 8.2.2 : f ( r0 ) =< f >S(r0 ,R) . 2) Si Δf = g (E.D.P. de Poisson), et dans l’hypoth`ese o` u l’int´egrale de surface tend vers z´ero lorsque S va a ` l’infini, elle donne :
f ( r ) = −(4π)−1
r |−1 g( r ) d3 r . | r −
(On v´ erifie ` a posteriori que l’hypoth`ese sur l’int´egrale de surface est justifi´ee lorsque g est localis´ee dans a l’infini.) une r´egion finie car f se comporte alors comme r −1 ` a 3) Diffusion : si f satisfait (Δ + k 2 ) f = g et se comporte comme une “onde sph´erique sortante” ` l’infini, on obtient : f ( r ) = −(4π)−1
| r − r|−1 eik|r
− r|
g( r ) d3 r .
Une application int´eressante concerne les probl`emes de diffusion r´egis par l’´equation Δ + k02 + δk 2 ( r ) f ( r) = 0
o` u δk 2 ( r ) peut ˆetre trait´e comme une perturbation. La solution non perturb´ee ´ etant f0 ( r ) ∝ eik0 ·r , on 2 2 i k · r 0 r ) f ( r ) −δk ( r) e (en premi` ere approximation) ; la solution perturb´ee pour r pose g( r ) = −δk ( grand (c.a.d. loin du diffuseur suppos´e localis´e, ce qui permet de faire un d´eveloppement limit´e au premier r | dans l’int´egrale ci-dessus) s’´ecrit alors (approximation de Born de la diffusion) : ordre de | r − −i(k−k )·r 2 3 ik0 r 1 0 f ( r ) = eik0 ·r + A(k, k0 ) e r e avec A(k, k0 ) = 4π δk ( r )d r (k = k0 rˆ) ; l’amplitude de diffusion est proportionnelle ` a la T.F. de la perturbation.
Probl` emes ` a sym´ etrie sph´ erique ; s´ eparation des variables En coordonn´ees sph´eriques le laplacien s’´ecrit (cf. section 7.2.2) 1 ∂ ∂2 ∂2 ∂ 2 ∂ 1 + 2 Δθ,ϕ avec Δθ,ϕ = sin θ + , Δ= 2 + sin θ ∂r r ∂r r ∂θ ∂θ ∂ϕ2 sin2 θ et les harmoniques sph´eriques Ylm (θ, ϕ), introduites `a la section 4.1.2, forment une base de fonctions propres de Δθ,ϕ satisfaisant (cf. justification ci-dessous) : Δθ,ϕ Ylm (θ, ϕ) = −l (l + 1) Ylm (θ, ϕ) . On cherche alors particuli`eres de la forme f (r, θ, ϕ) = fl (r) Ylm (θ, ϕ). Par des 2solutions exemple pour Δ + k (r) f = 0 on obtient : d2 2 d l(l + 1) + k 2 (r) − fl (r) = 0 . + 2 dr r dr r2 Si k 2 = 0 la solution est fl (r) = Arl + Br−(l+1) . Si k 2 (r) = 0 n’est pas plus singulier que r−1 (cas de l’E.D.P. de Schr¨ odinger pour l’atome d’hydrog`ene), cette expression Arl + Br−(l+1) donne le comportement de fl (r) pour r 0. Lorsque 0 appartient au domaine d’´etude de fl , des conditions de normalisation (ou de finitude de l’´energie) entraˆınent B = 0, ce qui ´equivaut `a une C.L. en r = 0. L’ajout d’une C.L. en r = r0 (cavit´e r´esonnante sph´erique) ou a` l’infini (´etat li´es en m´ecanique quantique), conduit a la quantification des param`etres ω (pulsation) ou E (´energie) pr´esents dans k 2 (r) (cf. ` section 6.4.2). JUSTIFICATION de Δθ,ϕ Ylm (θ, ϕ) = −l (l + 1) Ylm (θ, ϕ). La d´ efinition des polynˆ omes de Legendre par ∞ l r −l−1 ou r l r −l−1 P (cos θ), leur ind´ r e pendance et la propri´ et´ e Δ(| r − r0 |−1 ) = 0 l 0 0 l=0
| r − r0 |−1 =
pour r = r0 , entraˆınent que r l Pl (cos θ) et r −l−1 Pl (cos θ) sont (pour r = 0) solutions de Δf = 0. Comme 2 −1 eduit que Δθ,ϕ Pl = −l (l + 1) Pl . Cette relation est aussi vraie ∂r + 2r ∂r r l = l (l + 1) r l−2 , on en d´ eduisent des Pl par rotation, et l’op´erateur Δ est invariant par rotation. pour les Ylm car elles se d´
8.3 E.D.P. « spatiales » impliquant l’op´erateur laplacien
8.3.3
279
Equation de Laplace Δf = 0 dans le plan et fonctions d’une variable complexe ; applications hydrodynamiques
Les fonctions f (z) d´erivables introduites au chapitre 2 (et associ´ees aux transformations conformes ; cf. section 2.2.2) poss`edent de nombreuses propri´et´es math´ematiques remarquables (voir ouvrages sp´ecialis´es). On se contente ici de montrer qu’elles offrent des exemples simples de solutions (appel´ees fonctions harmoniques) de l’E.D.P. de Laplace (∂x2 +∂y2 ) V (x, y) = 0, avec des conditions aux bords correspondant a` des g´eom´etries vari´ees.
Fonctions de z f (z) = P (x, y) + iQ(x, y) et ´ equations ΔP = ΔQ = 0 Les parties r´eelle et imaginaire de f (z) sont des fonctions harmoniques. Ceci est une cons´equence imm´ediate des formules de Cauchy Riemann ∂Q ∂P =− ∂x ∂y
,
∂Q ∂P = ∂y ∂x
f (z + dz) − f (z) . En dz effet, la limite ne devant pas d´ependre de la mani`ere dont dz tend vers z´ero, en prenant dz = dx et dz = idy on obtient f (z) = ∂x P + i∂x Q = −i(∂y P + i∂y Q). On comprend heuristiquement le rˆ ole des fonctions f (z) dans la r´esolution de ΔV = 0 en remarquant que le changement de variables (x, y) → (z = x+iy, z = x−iy) transforme cette ´equation 1 en ∂z ∂z V = 0 et donc, V ´etant r´eel, V = f (z) + c.c.). 2 → − Applications aux ´ ecoulements irrotationnels incompressibles ( v = ∇P , div v = ΔP = 0). 1) Pour f (z) = z α (= rα eiαθ ), ln z (= ln r + iθ) et −i ln z, on a respectivement P = α rα cos αθ, ln r et θ. On # que les fonctions z d´ecrivent des ´ecoulements dans des " πvoit ; en effet la vitesse est tangente aux bords car vθ = r−1 ∂θ P = r´egions “en coin” θ ∈ 0, α 0 sur les bords (radiaux) (figure 30). Les fonctions ln z et −i ln z d´ecrivent des ´ecoulements radiaux (avec source) et circulaires (cf. figures 26b et 26c). qui r´esultent elles mˆemes de l’existence de la d´eriv´ee f (z) = lim
dz→0
111111111111 000000000000 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 « 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 00000000000000 11111111111111 000000000000 111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 Figure 30
2) La fonction
Γ r2 ln z = P + iQ f (z) = v0 z + 0 + z 2iπ
8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion
280
d´ecrit l’´ecoulement autour d’un cylindre de rayon r0 et d’axe Oz. En effet, en explicitant P (r, θ) on obtient Γ r2 r2 vr = ∂r P = v0 cos θ 1 − 02 et vθ = r−1 ∂θ P = −v0 sin θ 1 + 02 + , r r 2πr et on voit que v est bien tangente au cylindre. On v´erifie aussi que, si |Γ| < 4πv0 r0 on a Γ
v = 0 pour r = r0 et sin θ = (figure 31a) et que, si |Γ| > 4πv0 r0 on a v = 0 pour 4πv 0 r0 Γ2 Γ π ± − r02 (signe + pour Γ > 0 et − pour Γ < 0 ; figure 31b). θ = et r = 2 4πv0 16π 2 v02
(a)
(b) Figure 31
→ − Le calcul de la force lin´eique F due a` la pression p exerc´ee par le fluide sur le cylindre − → F =
2π
−p (cos θ xˆ + sin θ yˆ) r0 dθ = −ρv0 Γˆ y 0
1 2 1 ρvθ puisque la quantit´e p + ρv 2 est constante (th´eor`eme 2 → 2 − de Bernouilli ; section 7.1.3) et que vr (r0 ) = 0. On a F = 0 si Γ = 0 (effet Magnus).
se fait en rempla¸cant −p par
G´ eom´ etrie des lignes P = constante et Q = constante −−→ Les formules de Cauchy Riemann montrent que, en tout point, le vecteur grad Q se d´eduit −−→ π de grad P par une rotation de . Les deux r´eseaux de courbes P (x, y) = constante et 2 Q(x, y) = constante sont donc orthogonaux. Comme de plus ces gradients ont mˆeme −−→ module (´egal `a |f (z)|), le flux de grad P ` a travers toute courbe γ est ´egal a` la circulation −−→ de grad Q le long de γ (et inversement). APLICATION. Pour un domaine du plan limit´e par les lignes P (x, y) = P1 et P2 (´ equipotentielles γ1 et γ2 ) et les lignes Q(x, y) = Q1 et Q2 (lignes de champ ou de courant), la quantit´e R introduite ` a la section 8.3.1 est donn´ee (pour une longueur unit´e perpendiculaire au plan) par la formule tr`es simple : R=
|P2 −P1 | . |Q2 −Q1 |
8.3 E.D.P. « spatiales » impliquant l’op´erateur laplacien
EXEMPLE (figure 32) : pour f (z) = ln e−f )
z c
! +
z2 c2
281
− 1 = P + iQ, ce qui correspond ` a
z c
=
1 2
(ef +
= cos Q cosh P − i sin Q sinh P , les ´equipotentielles (P fix´ e, Q variable) et les lignes de champ (Q
fix´ e, P variable) forment un r´eseau d’ellipses et d’hyperboles homofocales dont les foyers sont situ´es en (faire un z = ±c. Pour les ´ equipotentielles 0 (segment [−c, c]) et P (ellipse) on a R = (2π)−1 ln a+b c 1
tour du segment correspond ` a une variation de 2π de Q). On remarque aussi que f (z) = (z 2 − c2 )− 2 → − est infini en z = ±c ; si P est un potentiel ´electrostatique, |f (z)| = | E | et cette divergence du champ
´ electrique est associ´ee au “pouvoir des pointes”.
b
−c
y
c O
a x
Figure 32
Propri´ et´ es int´ egrales des fonctions f (z) Les formules de Cauchy Riemann entraˆınent aussi que les champs de composantes (P, −Q) et (Q, P ) ont un rotationnel nul. Par application de la formule de Stokes aux parties r´eelle et imaginaire de l’int´egrale, on obtient :
def
f (z) dz =
(P (x, y) + iQ(x, y)) (dx + idy) = 0 .
γ
γ
Comme on l’a vu a` la section 7.2.2. cette formule n’est vraie que si γ entoure un domaine ` l’int´erieur duquel les rotationnels, donc f (z), sont d´efinis. Si ce n’est pas le cas on a en d´eduit cependant que l’int´egrale (non nulle) reste inchang´ee lorsque γ est d´eform´e sans qu’aucune singularit´e ne le traverse ; cette remarque permet souvent son calcul. Par exemple si γ fait un tour (direct) autour de z0 , en prenant le cas particulier d’un cercle z = z0 + reiϕ , on obtient : γ
dz = (z − z0 )n
2π
i 0
reiϕ rn einϕ
dϕ = 0 si n = 1 et 2iπ si n = 1
(cas particulier du th´eor`eme des r´esidus ; cf. ouvrages sp´ecialis´es).
8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion
282
→ − Application ` a l’´ ecoulement autour d’un obstacle (figure 33). La vitesse est donn´ee par v = ∇P ou (cf. Cauchy Riemann) f (z) = vx − ivy . Si γ est la fronti`ere orient´ee de l’obstacle on a : 2 → − f (z) dz = γ v . dl ; f (z) dz = γ v2 (dx − idy) . γ γ
y F
<0 n dl
v0
x Figure 33
´ (DEMONSTRATION : v ´ etant tangent ` a γ, on a vx = v dx et vy = v dy , et donc f (z) dz = (vx − dl dl ivy )(dx + idy) = v dl o` u v est la mesure alg´ebrique de v sur la tangente ` a γ orient´ee.) La premi`ere int´egrale donne la circulation Γ du champ de vitesse le long de γ. La seconde permet de → − → − calculer la force lin´ eique F exerc´ee par le fluide sur l’obstacle : F = γ −pˆ n dl avec n ˆ dl = (dy, −dx). En rempla¸cant −p par
1 2
ρ v2 on obtient : Fx − iFy = γ 21 ρv2 (dy + idx) = i ρ2 γ f 2 (z) dz . L’avantage de ces int´egrales complexes est de rester inchang´ees si on remplace γ par tout autre circuit entourant l’obstacle. En particulier si la vitesse asymptotique est v0 (prise parall`ele ` a 0x), ` a grande distance de l’obstacle on doit avoir a priori Γ f (z) = v0 + a−1 z −1 + a−2 z −2 . . . et a−1 = 2iπ −1 2 (cf. int´egrale de f (z)). En consid´erant le terme en z dans f (z) on voit que Fx − iFy = iρv0 Γ, soit → − → − Fx = 0 et Fy = −ρv0 Γ ou vectoriellement F = ρ v0 ∧ Γ . Ce r´ esultat g´ en´ eral montre la n´ecessit´e de la circulation de l’air autour d’une aile pour avoir un effet de portance.
REMARQUES. 1) L’int´erˆ et principal des variables complexes est, partant d’un ´ecoulement connu, de d´ eduire d’autres ´ecoulements en d´eformant l’obstacle ` a l’aide d’une transformation conforme arbitraire Z = g(z). Dans le plan (X, Y ) la fonction F (Z) = f (z) correspond alors ` a un ´ ecoulement dont les ´ equipotentielles et les lignes de champ sont les transform´ees de leurs homologues associ´ees ` a f (z) dans le plan (x, y) (cf. ouvrages sp´ecialis´es). −−→ 2) Un ´ecoulement stationnaire incompressible avec viscosit´e v´ erifie −gradp + ρg + η Δ v = 0 (cf. section 7.2.4). En posant vx = ∂y Ψ, vy = −∂x Ψ et en prenant le rotationnel des deux membres de l’´equation on obtient Δ2 Ψ = 0 ou ∂z2 ∂z2 Ψ = 0. Ceci conduit ` a des solutions du type Ψ = f (z) + z g(z) + c.c.. Ces fonctions biharmoniques se rencontrent aussi en ´ elasticit´e, dans des probl`emes plans de d´eformations.
Chapitre 9
Principes variationnels Les principes d’extremum ont ´et´e introduits de longue date, en optique avec le principe de Fermat, et en m´ecanique avec les principes de moindre action de Maupertuis, Lagrange et Hamilton. Ils permettent de caract´eriser de mani`ere ´el´egante les trajectoires ou ´evolutions r´eellement observ´ees par rapport a` d’autres a priori possibles et satisfaisant les mˆemes conditions aux limites. Ils conduisent ´egalement `a une technique de calcul, les ´ equations d’Euler-Lagrange, tr`es efficace et permettant n’importe quel choix de coordonn´ees. Enfin ils constituent un moyen remarquable d’associer les grandes lois de conservation (L.C.) de la physique `a des propri´et´es d’invariance par sym´ etrie.
9.1
EXEMPLES HISTORIQUES ; FORMALISMES DE LAGRANGE ET DE HAMILTON
Le tableau ci-dessous pr´esente quatre principes d’extremum que nous commen¸cons par commenter et relier entre eux en admettant provisoirement les ´equations d’Euler-Lagrange ´etablies `a la section 9.1.3 et rappel´ees dans le tableau.
9.1.1
Principes de Fermat, Maupertuis, Lagrange
En param´etrant le chemin de A a` B par x(λ), y(λ) et z(λ) le principe de Fermat 1 s’´ecrit “ 0 n(x, y, z) x2 + y 2 + z 2 dλ extremum” comme celui de Lagrange. Le signe d´esigne la d´erivation par rapport a` λ qui joue le rˆole du temps et le lagrangien est : L(x, y, z, x , y , z ) = n(x, y, z) x2 + y 2 + z 2 . L’E.D. d’Euler-Lagrange pour la variable qi = x (cf. tableau) d ∂L ∂L ∂n 2 ∂L ∂L x 2 + z 2 et avec = = x + y = n = nux dλ ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x x2 + y 2 + z 2
9 • Principes variationnels
284
d r est le vecteur unitaire tangent au rayon) conduit imm´ediatement `a la loi de dl −−→ d Descartes (nˆ u) = grad n projet´ee sur l’axe x. dl (o` u uˆ =
Math´ematiquement identique au principe de Fermat, le principe de Maupertuis s’applique `a des particules d’´energie totale E fix´ee et d’´energie potentielle U ( r), donc en particulier a` l’optique ´ electronique. Le module p( r) de la quantit´e de mouvement en tout point est d´etermin´e `a partir de la L.C. de l’´energie E = Ecin + U ( r) (par exemple p 2 ). Comme dEcin = v dp = −dU , relation ´egalement p( r) = 2m(E − U ( r)) si Ecin = 2m dl d
p −−→ = grad p multipli´ee par v = donne la loi vraie en relativit´e d’Einstein, l’´equation dl dt −−→ d
p de Newton = −grad U ( r). dt REMARQUE. Lien avec les ondes. Comme en optique ondulatoire le module du vecteur d’onde v´erifie r ) (cf. section 7.3.2), le principe de Fermat s’´ecrit aussi AB k( r ) dl extremum. Il s’´etend, sous k( r) = ωc n( cette forme, ` a d’autres ondes (ultrasons, ondes sismiques, etc.). La relation de de Broglie p = k unifie les principes de Fermat et de Maupertuis.
Principes
Quantit´es extremum B
Fermat
A
B
Maupertuis
A
Lagrange
S=
n( r) dl p( r) dl
q2 t2
L(q, q˙ , t) dt
q1 t1
ex : q = r ; q˙ = v Hamilton
1 L = m v 2 − U ( r, t) 2 q p t2 2 2
(p · q˙ − H(q, p, t)) dt
q 1 p1 t1
ex : q = r ; p = p
H=
p 2 + U ( r, t) 2m
Equations −−→ d (nˆ u) = grad n dl −−→ d
p = grad p dl
Lois Descartes Newton (´energie fix´ee)
d ∂L ∂L = dt ∂ q˙i ∂qi −−→ d m v = −grad U dt
Equations d’ Euler-Lagrange
∂H ∂H ; p˙i = − ∂pi ∂qi −−→ d
p p
; = −grad U
v = m dt
Equations de Hamilton
q˙i =
Newton
Newton
Principe de Lagrange ; propri´ et´ es g´ en´ erales Ce principe est la forme la plus g´en´erale sous laquelle on peut exprimer un probl`eme d’extremum impliquant des fonctions qi (t) et leurs d´eriv´ees premi`eres q˙i (t). q(t) est un chemin dans l’espace de configuration (q1 , · · · , qn ) dont les extr´emit´es q 1 et q 2 aux instants t1 et t2 sont fix´ees. On discute ici ses principales propri´et´es. Addition au lagrangien d’une d´ eriv´ ee totale. Comme les extr´emit´es sont fix´ees, les ´equations d’Euler-Lagrange sont inchang´ees si on ajoute au lagrangien L(q, q, ˙ t) une d F (q(t), t). En effet son int´egrale F (q(t2 ), t2 ) − d´eriv´ee totale par rapport au temps dt F (q(t1 ), t1 ) a une variation nulle.
9.1 Exemples historiques ; formalismes de Lagrange et de Hamilton
285
Changements de variables. Le formalisme lagrangien est invariant vis `a vis des changements de variables. En effet si on pose q = f (Q, t), la quantit´e `a extr´emaliser devient d ˙ t) dt et conduit aux ´equations : L f (Q, t), f (Q, t), t dt = L(Q, Q, dt d ∂L ∂L d ∂L ∂L = ´equivalentes a` = . ˙ dt ∂ Q ∂Q dt ∂ q˙ ∂q Sym´ etries. Si un probl`eme de m´ecanique est invariant par rotation autour d’un axe Oz, il est judicieux d’´ecrire le lagrangien en coordonn´ees cylindriques par exemple : L=
1 m(r˙ 2 + r2 θ˙2 + z˙ 2 ) − U (r, θ, z) . 2
∂L d ∂L = 0 conduit a` la conserva= dt ∂ θ˙ ∂θ ∂L tion de la composante z du moment cin´etique mr2 θ˙ = . Si en plus U ne d´epend pas de ∂ θ˙ ∂L . De fa¸con z, on a conservation de la composante z de la quantit´e de mouvement mz˙ = ∂ z˙ g´en´erale si Qi n’apparaˆıt pas dans le lagrangien L (on dit que Qi est une coordonn´ ee ∂L cyclique), la quantit´e est une constante (int´ egrale premi` ere) du mouvement. ∂ Q˙ i Contraintes. Si il existe des relations entre les coordonn´ees qi , n’impliquant pas leurs d´eriv´ees q˙i , on exprime le lagrangien en fonction de variables ind´ependantes et de leurs d´eriv´ees. Par exemple pour un pendule dont le point de fixation oscille verticalement (figure 1), Comme U ne doit pas d´ependre de θ, l’´equation
A
x
n
¬
l
O
O
«
OA = a cos t
l C
u
l l
l
FC
A B
z m
Figure 1
F
A
FB
Figure 2
1 z = a cos γt − l cos ϕ et x = l sin ϕ et le lagrangien L = m(x˙ 2 + z˙ 2 ) − mgz s’´ecrit 2 1 L(ϕ, ϕ, ˙ t) = ml2 ϕ˙ 2 + ml(g − aγ 2 cos γt) cos ϕ (apr`es ´elimination de d´eriv´ees totales). 2 aγ 2 g cos γt ϕ = 0 d´ecrit un oscillateur L’´equation d’Euler-Lagrange lin´earis´ee ϕ¨ + 1 − l g param´etrique (cf. sections 6.1.2 et 6.4.4).
9 • Principes variationnels
286
Cas des ´ equilibres. Pour un lagrangien du type “(´energie cin´etique) −(U ( r1 , r2 , · · · , rn ) ´ energie potentielle)”, le principe d’extremum pour une position d’´equilibre se ram`ene ` a δU = 0 puisque toute variation de l’´energie cin´etique est du second ordre. Si les ri sont ind´ependants cela donne les conditions connues a un moyen, appel´e historiquement th´ eor` eme des travaux ∂ri U = 0, mais si ils ne le sont pas on a l` i sont appliqu´ees ` a des virtuels, d’obtenir l’´equilibre. Ainsi lorsque des forces ext´erieures constantes F equilibre est d´etermin´e par points ri d’un syst`eme articul´e l’´ i · δU = δ − i F ri ) = − i F ri = 0 , i · δ les ri ´ etant exprim´es en fonction des variables libres du syst`eme. Prenons l’exemple d’un losange arB , F C appliqu´ A , F ees en A, B, C (preticul´e (figure 2), avec des branches sans masse et des forces F nant en compte la pesanteur si A, B et C sont massifs). En fonction des variables libres α et β, on a δ +δ(2l cos β)ˆ On v´ ˆ ∧ OA, rB = δα n ˆ ∧ OB u et δ rC = (δα+δβ) n ˆ ∧ OC. erifie qu’annuler δ rA = (δα−δβ) n le facteur de δα dans δU revient ` a exprimer que le moment r´esultant des forces par rapport ` a O est nul ; ∧F C − OA ∧F A ) · n B · u ˆ = (OC ˆ. annuler le facteur de δβ conduit ` a la relation moins triviale 2l sin β F
9.1.2
Principe de Hamilton dans l’espace de phase (q ,p)
Dans ce principe les variables qi (t) et pi (t) sont par d´efinition ind´ependantes et
pi q˙i − H(q1 , q2 · · · qn ; p1 , p2 · · · pn ; t) = LH (q1 , q2 · · · qn ; p1 , p2 · · · pn ; q˙1 , q˙2 · · · q˙n ; t)
i
est le lagrangien relatif `a ces 2n variables ; H(q, p, t) est appel´e hamiltonien. On v´erifie ∂LH ∂LH d ∂LH d ∂LH = = et sont les E.D. que les E.D. d’Euler-Lagrange dt ∂ q˙i ∂qi dt ∂ p˙ i ∂pi de Hamilton : ∂H ∂H p˙ i = − et 0 = q˙i − . ∂qi ∂pi Plus g´en´eralement l’´evolution de toute fonction g(q, p) s’´ecrit aussi g˙ = −{H, g} en introduisant les crochets de Poisson {f, g} = i ∂qi f ∂pi g − ∂qi g ∂pi f . Une propri´et´e remarquable du mouvement dans l’espace de phase est de conserver le volume (th´ eor` eme de Liouville). Ceci r´esulte de ce que la “divergence” (` a 2n dimensions) du champ de vitesse (˙q ,p) ˙ est nulle : i ∂qi (∂pi H) + ∂pi (−∂qi H) = 0. REMARQUE. Lien avec les ondes. En identifiant p ` a k et H ` a ω le principe de Hamilton devient : # " Φ= k( r , t) · d r − ω(k, r , t) dt extremum . L’interpr´etation physique est la suivante : Φ d´esigne une variation de phase et la fonction ω(k, r , t) est la relation de dispersion satisfaite par l’onde en r` a l’instant t. Les ´ equations de Hamilton d r dt
=
∂ω ∂ k
(= vitesse de groupe locale)
et
d k dt
= − ∂ω ∂ r
d´ efinissent le mouvement r(t) et les caract´eristiques k(t) et ω(t) d’un paquet d’ondes. L’invariance du eme de Liouville) ´equivaut a ` celle de l’´ etendue optique vue ` a la section 3.2.5. r d3k (th´eor` volume d3
Comparaison des approches lagrangienne et hamiltonienne De mani`ere g´en´erale on passe de la premi`ere `a la seconde en posant pi =
∂L ∂ q˙i
(pi moment conjugu´ e de qi )
et
H(q, p, t) =
i
pi q˙i − L(q, q˙ , t) ,
9.1 Exemples historiques ; formalismes de Lagrange et de Hamilton
287
´etant entendu que pour ´ecrire H il faut exprimer les q˙i en fonction des qi , pi et t, par p 2 1 + U . Les E.D. de Hamilton exemple : L = m v 2 − U =⇒ p = m v =⇒ H = p · v − L = 2 2m ∂L ∂L ∂L d´ecoulent alors de dH = dt. En effet, puisque pi dq˙i + q˙i dpi − dqi − dq˙i − ∂q i ∂ q˙i ∂t i ∂L ∂H ∂H ∂L d ∂L pi = = −p˙ i . On remarque aussi , on a bien = q˙i et =− =− ∂ q˙i ∂pi ∂qi ∂qi dt ∂ q˙i ∂L ∂L dH =− ; donc H , on a que au cours du mouvement, c’est `a dire lorsque p˙ i = ∂q i dt ∂t est une constante du mouvement lorsque L ne d´epend pas explicitement du temps. En m´ecanique classique l’int´erˆet du formalisme de Hamilton est d’ˆetre invariant dans des changements de coordonn´ees, dits canoniques, pouvant m´elanger les 2n variables pi et qi et pr´eservant les crochets de Poisson (voir section 9.1.4), ce qui le rend rend encore plus souple que le formalisme de Lagrange. L’autre int´erˆet est de permettre un passage du hamiltonien classique au hamiltonien quantique (presque automatique) en rempla¸cant les pi par les op´erateurs −i∂qi , et les crochets de Poisson par des commutateurs (cf. section 4.4.1).
9.1.3
Equations d’Euler-Lagrange ; sym´ etries et lois de conservation ; E.D.P. d’Hamilton-Jacobi
Variation g´ en´ erale de l’action et E.D. d’Euler-Lagrange On peut ´ecrire la quantit´e `a extr´emaliser sous la forme ∞ L(q, q˙ , t) χ(t) dt S= −∞
en introduisant la fonction caract´eristique χ(t) de l’intervalle [t1 , t2 ] (figure 3). Dans une variation infinit´esimale qui concerne `a la fois les fonctions qi (t) et l’intervalle [t1 , t2 ] donc χ(t), qi (t) → qi (t)+δqi (t) =⇒ q˙i (t) → q˙i (t)+
d dχ δqi (t) et χ(t) → χ(t+(t)) = χ(t)+(t) , dt dt
la variation de l’action contient deux contributions, une li´ee `a la variation du lagrangien ∂L ∂L δL = δqi + δ q˙i et une a` la variation de χ. Apr`es une int´egration par parties ∂qi ∂ q˙i i on obtient : ∞ ∞ ∂L ∂L d ∂L dχ L− δqi (t) dt+ δS = χ(t) − δqi dt = δS1 +δS2 . ∂qi dt ∂ q˙i ∂ q˙i −∞ −∞ dt i i Supposons t1 et t2 fix´es ( = 0) ainsi que les extr´emit´es des chemins (δqi (t1 ) = δqi (t2 ) = dχ 0). Cela entraˆıne δS2 = 0 puisque le support de se limite aux instants t1 et t2 dt (figure 3). Alors le principe d’extremum exprime que pour le mouvement r´eellement observ´e δS1 = 0 quelles que soient les variations δqi (t). On en d´eduit les E.D. d’EulerLagrange :
9 • Principes variationnels
288
∂L d ∂L = p˙ i (pi moment conjugu´e de qi ). = ∂qi dt ∂ q˙i
= Æ (t−t 1 ) Æ (t− t 2)
espace à une dimension
(t)
s
1 q2
t2 t1
t
q1 t1
Figure 3
t2
temps
Figure 4
Sym´ etries et lois de conservation On appelle sym´etrie une op´eration qui fait passer d’un chemin γ quelconque (a priori non extr´emal) a` un chemin γs sans modifier l’action (figure 4) : S(γ) = S(γs ) . Dans la suite on ne consid`ere que des op´erations infinit´esimales. EXEMPLES : l’op´eration χ(t) → χ(t + ) et qi (t) → qi (t + ) = qi (t) + q˙i (t) avec constant est unesym´etrie si L ne d´epend pas explicitement e ∞ du temps (stationnarit´ ∞ de L) ; en effet : L q(t + ), q(t ˙ + ) χ(t + ) dt = L q(t), q˙ (t) χ(t) dt. Autres −∞
−∞
exemples avec χ inchang´ee ( = 0) : si L( ri , vi ), lagrangien de n particules, ne d´epend de leurs positions que par l’interm´ediaire des diff´erences ri − rj , alors l’op´eration ri → ri + est une sym´ etrie de translation car L( ri + , vi ) = L( ri , vi ) ; de mˆeme si L( ri , vi ) ne fait intervenir que des produits scalaires des ri et vi , l’op´eration ri → ri +δθ n∧ ri , vi →
vi + δθ n ∧ vi est une sym´ etrie de rotation. Consid´erons l’action ´ecrite pour le chemin γ correspondant au mouvement r´eel et effectuons une op´eration de sym´etrie infinit´esimale. Dans cette op´eration δS = 0 par d´efinition d’une sym´etrie, et δS1 = 0 puisque les ´equations d’Euler-Lagrange sont satisfaites sur γ. Par cons´equent ∞ ∞ ∂L dχ d ∂L L − δS2 = δqi dt = 0 = χ δqi − L dt ∂ q˙i dt i ∂ q˙i −∞ dt −∞ i (int´egration par parties). Comme le support de χ est arbitraire on en d´eduit que sur la trajectoire r´eelle la quantit´e pi δqi −L est conserv´ee. Pour les trois exemples ci-dessus i
on a respectivement δqi = q˙i , δ ri = et = 0, δ ri = δθ n ∧ ri et = 0, ce qui conduit a` :
9.1 Exemples historiques ; formalismes de Lagrange et de Hamilton - stationnarit´e de L =⇒ L.C. de l’´ energie H =
289
pi q˙i − L ,
i
- homog´en´eit´e de L =⇒ L.C. de la quantit´ e de mouvement p = - isotropie de L =⇒ L.C. du moment cin´ etique J =
i
ri ∧
∂L , ∂ vi i
∂L . ∂ vi
Diff´ erentielle de l’action ; E.D.P. d’Hamilton-Jacobi Soit S(q 2 , t2 ; q 1 , t1 ) la valeur de l’action S pour la trajectoire allant de q 1 `a q 2 dans l’intervalle de temps [t1 , t2 ]. On consid`ere la trajectoire voisine qui va de q 1 + dq 1 `a q 2 +dq 2 dans l’intervalle [t1 +dt1 , t2 +dt2 ]. En reprenant l’expression ci-dessus de δS2 avec (t1,2 ) = −dt1,2 et (r´eflexion laiss´ee au lecteur, cf. figure 4) δq(t1,2 ) = dq 1,2 − q˙ 1,2 dt1,2 , on obtient la diff´erentielle dS = (p2 dq 2 − H2 dt2 ) − (p1 dq 1 − H1 dt1 ) avec p1,2 = p(t1,2 ) et H1,2 = H(q 1,2 , p1,2 , t1,2 ). On en d´eduit que, en temps que fonction de (q 2 , t2 ) ≡ (q, t), S v´erifie l’E.D.P. de Hamilton-Jacobi : ∂S ∂S ,t . = −H q, ∂t ∂q 2 → v et H = Par exemple pour une particule libre galil´eenne pour laquelle L = 12 m− on a : → → r 1 )2 r 2−− 1 −→ 2 1 (− ∂S → − S(− r 2 , t2 ; → =− (∇S) . r 1 , t1 ) = m ; 2 t 2 − t1 ∂t 2m
1 2
, 2m p
On remarquera que dS ci-dessus g´en´eralise la diff´erentielle du chemin optique dL = → → nB u B · d− r B − nA u A · d− rA vue a` la section 3.2.3 et que l’E.D.P. de Hamilton-Jacobi −→ → g´en´eralise l’E.D.P. eikonale |∇L| = n(− r ) de la section 7.3.2.
9.1.4
Equations de Hamilton et g´ eom´ etrie de l’espace de phase
Espace de phase ; g´ eom´ etrie symplectique Rappelons que, ` a une dimension, un vecteur de l’espace de phase pour une particule est d´efini par les co→ → → → ordonn´ees (q, p) (q ≡ x position et p ≡ mx˙ quantit´e de mouvement) et par (− r 1, · · · , − r N,− p 1, · · · , − p N) pour N particules ` a trois dimensions. Plus g´en´ eralement, on note x le vecteur colonne de coordonn´ees (q1 , · · · , qn , p1 , · · · , pn ). La g´ eom´ etrie symplectique est d´ efinie par l’ensemble des transformations lin´ eaires x → x = Mx qui laissent invariante la forme antisym´etrique (cf. section 4.1.3), dite symplectique : 0 In σ(x, y) = xt Jy avec J = et In matrice identit´e n × n . −In 0 Les matrices symplectiques M v´ erifient Mt JM = J. Par exemple si n = 1, x = (q (1) , p(1) )t et y = (q (2) , p(2) )t , on a σ(x, y) = q (1) p(2) −q (2) p(1) et les matrices M sont les matrices 2×2 de d´ eterminant (1) (2) (2) (1) ´ egal ` a 1. Plus g´en´eralement σ(x, y) = i (qi pi − qi pi ) est la somme des aires alg´ebriques des projections sur les “plans” (qi , pi ) du parall´elogramme construit sur x et y et les matrices M conservent cette somme. REMARQUE. A l’aide de la relation Jt = −J, on ´ etablit facilement qu’une matrice symplectique infinit´esimale s’´ecrit M = I + JS avec S = St , matrice sym´etrique.
9 • Principes variationnels
290 Equations de Hamilton et transformations canoniques
Le lien de la g´eom´ etrie symplectique avec la physique se fait via les ´ equations de Hamilton q˙i = ∂pi H et p˙ i = −∂qi H , cons´equences de l’existence d’un principe variationnel (cf. section 9.1.2). On v´erifie en effet que ces ´ equations s’´ecrivent x˙ = J∂x H avec ∂x ≡ (∂q1 , · · · , ∂qn , ∂p1 , · · · , ∂pn )t , et qu’elles sont laiss´ees invariantes par les transformations ci-dessus : x˙ = MJ∂x H = MJMt ∂x H (cf. section 7.1.4) = J∂x H. Plus g´en´eralement elles sont laiss´ees invariantes par les transformations ees par une matrice jacobienne canoniques (q, p) → (q (q, p), p (q, p)) caract´eris´
∂(q ,p ) ∂(q,p)
symplectique.
On v´erifie aussi que l’´evolution d’une perturbation infinit´esimale est symplectique. En effet on a δx˙ = JH δx ou δx(t + dt) = I + JH dt δx(t) avec H = [H ]t matrice hessienne (des d´eriv´ees secondes) du hamiltonien H. REMARQUE. Les lois de l’optique g´ eom´ etrique, ´egalement issues d’un principe variationnel (de Fermat), mettent aussi en jeu des transformations symplectiques (cf. les matrices de transfert de d´eterminant ´ egal ` a 1 des sections 4.3.2 et 6.4.1).
9.2
´ ERALISATION ´ PRINCIPES DE MOINDRE ACTION ET GEN DES MOUVEMENTS INERTIELS
Un ´eclairage int´eressant sur les principes d’extremum en m´ecanique est fourni par un retour sur les mouvements inertiels qui jouent un rˆole essentiel en physique. On rappelle (cf. section 4.3.3) que le mouvement inertiel, c’est-`a-dire a` vitesse uniforme entre deux points d’espace-temps (A, t1 ) et (B, t2 ) maximise le temps propre : (B,t2 ) v2 τ= 1 − 2 dt . c (A,t1 )
9.2.1
Collisions et introduction de la masse inertielle
Si on consid`ere le choc ´elastique de deux particules (figure 5a) entre des positions initiales (A et B) et finales (A et B ) fix´ees, on sait que la particule la plus massive (m1 > m2 ) est celle dont le mouvement est le plus proche d’un mouvement inertiel (ACA plus “proche” de AA que BCB de BB ). Il est donc naturel d’introduire les masses par le principe “m1 τ1 + m2 τ2 maximum”, o` u chaque temps propre τ est pond´er´e par la masse m. Il est remarquable que, plus g´en´eralement, les L.C. de la quantit´e de mouvement et de l’´energie sont une cons´equence du principe tr`es simple mi τi extremum . i
´ DEMONSTRATION : consid´erons l’exemple “typique” 1 + 2 → 3 + 4 + 5, les particules finales pouvant diff´erer des particules initiales (figure 5b). Entre les instants initial ou final et l’instant du choc, chaque particule i effectue `a vitesse uniforme la translation
i dans le temps Ti , avec T1 = T2 avant le choc et T3 = T4 = T5 apr`es. Pour chaque R R2 12 et particule i on a τi = Ti2 − 2i c
i
i · dR Ri2 − 12 R 2
i , T − = Ei dTi − p i · dR mi c2 dτi = mi c2 Ti dTi − i c2 c2
9.2 Principes de moindre action et g´en´eralisation des mouvements inertiels
291
v 2 − 12 v 2 − 12 o` u Ei = mi c2 1 − i2 et p i = mi vi 1 − i2 sont l’´energie et la quantit´e de c c mouvement de la particule. Effectuons une variation t = dT1 = dT2 = −dT3 = −dT4 =
1 = dR
2 = −dR
3 = −dR
4 = −dR
5 de sa position ; −dT5 de l’instant du choc et = dR 2 alors : d c mi τi = (E1 + E2 − E3 − E4 − E5 )t − (
p1 + p 2 − p 3 − p 4 − p 5 ) · = 0. t et i
´etant arbitraires ceci conduit a`
p1 + p 2 = p 3 + p 4 + p 5 et E1 + E2 = E3 + E4 + E5 . On peut montrer que l’extremum est un maximum. Ce principe (et des raisons d’homog´en´eit´e et de minimum) ont conduit `a poser que l’action pour une particule libre est S = −mc2 τ v 2 12 et le lagrangien L = −mc2 1 − 2 . c
A
m1
τ1 C
A’ m1
m1
(R 3T 3)
(R 4T 4)
(R 1T1 )
m4
τ2 B
m
m
2
m3
(R T )
B’ 2
(R 5T 5)
m2
2 2
m
5
(b)
(a) Figure 5
Approximation galil´ eenne. Rappelons (cf. section 4.3.3) que l’´energie de liaison, not´ee ici U , d’une particule compos´ee (atome, noyau...) est la diff´erence entre son ´energie au repos mc2 et la somme m∗ c2 des ´energies de masse de ses constituants. En physique galil´eenne |U | mc2 , v c, et m∗ est conserv´ee. L’approximation v 2 12 1 −mc2 1 − 2 −m∗ c2 + mv 2 − U c 2 1 → montre que le lagrangien peut ˆetre pris ´egal a` L = mv 2 − U , ou a` 12 mv 2 − U (− r , t) si 2 → − U ( r , t) est l’´energie potentielle en pr´esence d’un syst`eme ext´erieur. Si on consid`ere des 1 R2 mi i − Ui Ti extremum” et on obtient les L.C. de la chocs, le principe devient “ 2 Ti i 1 quantit´e de mouvement m v et de l’´energie m v 2 + U . 2
9.2.2
Particules charg´ ees et interactions ´ electromagn´ etiques
Principe de jauge et interactions ´ electromagn´ etiques Le principe d’extremum pour une particule libre s’´ecrit aussi (B,t2 ) v2 2
· v dt extremum −mc 1 − 2 − U + A S= c (A,t1 )
9 • Principes variationnels
292
constants puisque les termes additionnels −U dt = U (t1 − t2 ) et quels que soient U et A
v dt = A·(
rB − rA ) ne d´ependent que des bornes d’int´egration. U et A
constituent des A·
degr´es de libert´e suppl´ementaires. Le principe de jauge en physique consiste, lorsqu’une sym´etrie globale existe (ici la possibilit´e d’ajouter les termes contenant les constantes U
sans modifier les ´equations du mouvement), a` introduire les interactions en imposant et A la “localit´ e” de la sym´ etrie, c’est-`a-dire en faisant d´ependre de r et de t les degr´es
constants (ou nuls) est l’action de libert´e li´es `a la sym´etrie. Alors que S avec U et A
r , t) o`
sont les d’une particule libre, S avec U ( r, t) = qV ( r, t) et A( r, t) = q A(
u V et A potentiels scalaire et vecteur est l’action pour une particule charg´ee en interaction avec le champ ´electromagn´etique. Pour cette action il reste une sym´etrie de jauge associ´ee ∂ϕ
→ A
+ ∇ϕ
(avec ϕ( r, t) arbitraire), au changement de jauge V → V − et A ∂t dϕ changement qui revient `a ajouter au lagrangien la d´eriv´ee totale q . dt REMARQUE. En m´ ecanique quantique l’´ equation de Schr¨ odinger i∂t ψ =
1 2m
→ − ( i ∇)2 ψ pour une
particule libre poss`ede la sym´etrie globale ψ → eiϕ ψ (ϕ constant). Pour rendre cette sym´etrie locale ϕ → ϕ( r , t) il faut effectuer dans l’´equation les remplacements → − → − , i∂t → i∂t − qV et i ∇ → i ∇ − q A qui introduisent l’interaction ´electromagn´etique. L’´equation obtenue est laiss´ee invariante par le change → →A +− ment (sym´etrie de jauge) V → V − ∂t ϕ, A ∇ϕ et ψ → ψ exp i qϕ .
Mouvement d’une particule charg´ ee dans un champ ´ electromagn´ etique Le lagrangien L = −mc2
1−
v2
−V) + q( v · A c2
ou
L=
1
− V ) pour v c mv 2 + q( v · A 2
conduit a` l’´equation d’une particule soumise `a la force de Lorentz : v 2 − 1 −→ d
p →
v ∧B)
avec E
= −∂t A−
−
=− = q(E+
gradV , B rot A , p
= m v 1− 2 2 (ou m v ) . dt c d ∂L ∂L ´ DEMONSTRATION : on ´ecrit les ´equations = avec, par exemple pour la dt ∂vi ∂xi premi`ere composante, ∂V ∂L ∂Ax ∂Ay ∂Az ∂L =q − + vx + vy + vz , = px + qAx et ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂vx ∂A d ∂L dpx ∂Ax ∂Ax ∂Ax x +q + vx + vy + vz . = dt ∂vx dt ∂t ∂x ∂y ∂z Attention. Il est important de remarquer que le moment conjugu´ e P de r est diff´erent ∂L
Le hamiltonien H(P , r) = de la quantit´e de mouvement p puisque P = = p + q A. ∂ v P . v − L s’´ecrit (petit calcul) : ! H(P , r) =
2 + m2 c4 + qV c2 (P − q A)
ou
H(P , r) =
2 (P − q A) + qV pour v c . 2m
9.2 Principes de moindre action et g´en´eralisation des mouvements inertiels
293
donc B,
n’existait pas, est tromLe fait que H s’exprime en fonction de
p, comme si A, peur. H doit ˆetre consid´er´e, dans le formalisme de Hamilton, comme une fonction non de p mais de P . Cette remarque, qui explique que les ´equations du mouvement ne sont pas
= 0 et B
= 0, est encore plus importante quand on passe en physique les mˆemes pour B → − quantique avec la correspondance P ↔ −i ∇. Donnons trois exemples.
constant. En utilisant l’expression - Particule non relativiste dans un champ B 1
= B
∧ r on obtient A 2 H=
2 2 2
2 P 2 (P − q A)
+ q B r⊥ , + qV = + qV − μ · B 2m 2m 8m
q
r ∧ P . Consid´erant H comme un 2m
= 0 par deux termes. L’un − μ · B
hamiltonien quantique, on voit qu’il diff`ere du cas B est l’´energie d’un dipole magn´etique
μ ; il est responsable du paramagn´ etisme. L’autre, pr´esent mˆeme si
μ = 0, est l’´energie associ´ee au diamagn´ etisme.
et μ = avec r⊥ composante de r perpendiculaire a` B
- Courant supraconducteur. Dans un supraconducteur les ´electrons de la surface de Fermi forment >= 0. Le courant ´electrique j = N q < v > vaut des ´ etats li´ es (paires de Cooper) pour lesquelles < P 2 et est li´e ` On peut montrer ` donc jsupra = −N qm A a l’existence du potentiel vecteur A. a partir de − → Nq 2 1 c 2 l’´ equation ΔA = δ2 A cons´ equence de ΔA = −rot B = −μ0 j (δ = ω avec ωp = m ) que le champ p
0
magn´etique ne p´ en`etre dans le mat´eriau que sur une tr`es faible ´epaisseur δ (effet Meissner). - Effet Aharonov-Bohm (1956) (figure 6). Dans une exp´erience d’interf´erences de trous d’Young avec une source S d’´electrons, la diff´erence de phase en un point M du champ d’interf´erences s’´ecrit v · d r , o` u γ est le chemin ferm´e qui partant de S va ` a M en passant par un trou et revient Δϕ = 1 γ m a S en passant par l’autre trou. En pr´esence d’un champ magn´etique, Δϕ devient ` · d v + q A) r = 2π Δl + qΦ Δϕ = 1 γ (m λ h o` u Δl est la diff´erence des longueurs des deux chemins allant de S ` a M, λ = mv la longueur d’onde de de Broglie et Φ le flux de B a ` travers γ. La pr´ esence du champ se traduit donc par un d´eplacement de qΦ h
d’interfranges (effet Aharonov-Bohm). Cet effet a lieu mˆeme si = 0. les ´electrons ne passent que dans des r´egions o` uB
la figure d’interf´erences d’un nombre
M
S
i Solénoide
Figure 6
9 • Principes variationnels
294
9.2.3
Temps propre et gravitation ; courbure de l’espace-temps
Gravitation et g´ eom´ etrie ; ´ equation des g´ eod´ esiques −−→ Dans un potentiel gravitationnel newtonien V ( r), dont d´erive le champ g = −grad V , l’´energie potentielle d’une particule de masse m est U ( r) = mV ( r) (identit´ e des masses V v2 1 gravitationnelle et inertielle). Si 2 1 et 2 1 le lagrangien galil´een mv 2 − U c c 2 v 2 2V 12 . Ceci revient `a introduire un temps propre “modifi´e” ´equivaut `a L −mc2 1− 2 + 2 c c (on suppose V = 0 a` l’infini) : (B,t2 ) 2V d r2 dτ avec dτ 2 = (1 + 2 ) dt2 − 2 . τ= c c (A,t1 ) Les mouvements de chute libre, qui extr´emalisent τ , apparaissent alors comme des g´ eod´ esiques de l’espace-temps muni d’une m´ etrique c2 dτ 2 d´etermin´ee par la gravitation (analogie avec les g´eod´esiques de l’espace qui minimisent les distances). Ce point de vue g´eom´etrique sur la gravitation est renforc´e par le fait que, pour un mouvement quelconque, τ est effectivement ce que mesure toute horloge interne `a un syst`eme physique (par exemple des horloges atomiques). Dans un syst`eme arbitraire de coordonn´ees xμ (μ = 0, 1, 2, 3) le temps propre s’´ecrit a priori sous la forme τ = dτ avec c2 dτ 2 = gμν (x) dxμ dxν > 0 (gμν = gνμ ) . (Dans toute cette section la sommation sur un indice est sous-entendue si celui-ci figure une fois en position haute et une fois en position basse ; dans le cas newtonien ci-dessus : → x0 = ct, {xi } ≡ − r (i = 1, 2, 3), g00 = 1 + 2V c−2 , gii = −1 et gμν = 0 si μ = ν). μ Les g´eod´esiques x (λ), param´etr´ees par λ, ob´eissent alors aux E.D. d’Euler-Lagrange relatives au lagrangien " dxμ dxν # 12 c dτ = gμν L= . dλ dλ dλ Pour la coordonn´ee xα on obtient (calcul analogue a` celui de la section 9.1.1 pour l’obtention de la loi de Descartes a` partir du principe de Fermat) d " 1 dλ dxμ # 1 dλ dxμ dxν ∂ 2gμα = (∂α gμν ) ∂α ≡ , dλ 2 dτ dλ 2 dτ dλ dλ ∂xα ou, en introduisant la quadrivitesse uμ =
dxμ (analogue du vecteur unitaire u ˆ) : c dτ
1 d gμα uμ = (∂α gμν ) uμ uν . c dτ 2 Dans le cas newtonien (avec V c2 et v 2 c2 ), on retrouve la conservation de l’´energie −−→ → − 1 2 2 v + V pour α = 0 et la loi de Newton a = −grad V pour α = 1, 2, 3. REMARQUES. 1) En pr´esence d’un champ de gravitation, il n’y a pas de forme “canonique” pour la m´ etrique. Seules des hypoth`eses (stationnarit´e, isotropie, comportement ` a l’infini... cf. la m´ etrique de
9.2 Principes de moindre action et g´en´eralisation des mouvements inertiels
295
Schwarzschild) conduisent ` a une ´ecriture plus simple pour un choix de coordonn´ees. Un changement a r´ ecrire l’invariant c2 dτ 2 sous la forme de coordonn´ ees arbitraire {xμ } → {xα } conduisant ` (x ) dxα dxβ c2 dτ 2 = gαβ
avec
(x ) = g gαβ μν (x)
∂xμ ∂xν ∂xα ∂xβ
,
il n’existe ´ evidemment pas de choix des quatre fonctions xμ qui permette de rendre par exemple les dix constantes comme pour un espace-temps plat. fonctions gαβ → → 2) En m´ecanique newtonienne la relation − a =− g peut faire penser qu’on peut ´eliminer la gravitation en se
→ pla¸cant dans un r´ef´ erentiel en chute libre, mais c’est inexact car − g n’est jamais rigoureusement uniforme. → − → → → ¨ Dans ce r´ef´ erentiel, un point r en chute libre voisin de l’origine v´erifie − r =− g ( r) − − g (0) = δ g ( r ) = 0 ;
le champ δ g ( r ), appel´e champ de mar´ ee car ses ´equipotentielles correspondent ` a des surfaces de niveau → de masses fluides en chute libre, d´epend des d´eriv´ ees secondes de V ( r ) en − r = 0 et ne peut ˆetre annul´e. De mˆ eme, on montre que le changement {xμ } → {xα } permet, au mieux, de mettre en un point dτ 2 sous → r 2 pour garder la sym´ etrie de Lorentz) et d’annuler une forme diagonale (suppos´ee ˆ etre dt2 − c−2 d− (mais pas les d´eriv´ ees secondes si l’espace-temps est courbe). en ce point les d´eriv´ees premi`eres des gαβ
Tests de la m´ etrique de Schwarzschild Dans le champ dˆ u a` une masse M sph´erique on a exactement (r´esultat admis ici) : 2GM 2 r2 dr2 . dt − 2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) − dτ 2 = 1 − 2 rc c c2 1 − 2GM 2 rc
- Redshift gravitationnel. Si une source ´emet des “tops” en r1 fixe, a` intervalles de temps Δt1 = T r´eguliers, ils sont re¸cus en r2 fixe, a` intervalles de temps r´eguliers eux aussi Δt2 = T (car la m´etrique et donc les temps de propagation ne d´ependent pas de t) ; mais les fr´equences ν1 = (Δτ1 )−1 et ν2 = (Δτ2 )−1 mesur´ees en ces points par des horloges 12 12 / 1 − 2GM (redshift ν2 < ν1 si “physiques” sont diff´erentes : ν2 /ν1 = 1 − 2GM r1 c 2 r2 c 2 r2 > r1 ). - Trajectoires d’un point mat´ eriel. Si on param`etre un mouvement par t(λ) et r(λ), on a dτ = L dλ avec 12 2α 2 2α −1 2 t − 1− L= 1− r − r2 θ2 − r2 sin2 θ ϕ2 (α = GM et c = 1) , r r f d´esignant la d´eriv´ee de f par rapport a` λ. Un argument simple montrant que la π trajectoire est plane consiste `a remarquer que θ = = Cste correspond a` un extremum 2 π de l’action, puisqu’en posant θ = + la variation de L dλ est en 2 . De plus comme 2 ∂L ∂L les variables t et ϕ n’apparaissent pas dans L, les quantit´es et sont constantes. ∂t ∂ϕ Si on note f˙ la d´eriv´ee de f par rapport ` a τ on a 2α ˙ 1− t=A r
,
r2 ϕ˙ = C
et
1−
2α ˙2 2α −1 2 dτ 2 t − 1− r˙ − r2 ϕ˙ 2 = 2 = 1 , r r dτ
2α 1 d d 2α = 1− . En posant u = et en utilisant = ϕ˙ = d’o` u A2 − r˙ 2 − C 2 r−2 1 − r r r dτ dϕ C d on obtient, apr`es d´erivation par rapport a` ϕ, l’´equation de la trajectoire : r2 dϕ d2 u α + u − 2 − 3αu2 = 0 . dϕ2 C
9 • Principes variationnels
296
- D´ eplacement du p´ erih´ elie. Dans le probl`eme de Kepler habituel (cf. section 2.3.3) le terme non 2 lin´ eaire en u2 est absent et la solution est l’ellipse u0 (ϕ) = p1 (1 + e cos ϕ) avec p = Cα . Si on consid`ere ce terme comme une perturbation, en posant u(ϕ) = u0 (ϕ) + δu(ϕ) et en ne prenant en compte dans 3αu20 que le terme r´esonnant (cf. section 6.5.1), un calcul ´el´ ementaire conduit ` a δu(ϕ) = 3αp−2 eϕ sin ϕ. )ϕ. Ainsi r ne reprend Tout se passe donc comme si dans u0 (ϕ) il fallait remplacer cos ϕ par cos (1 − 3α p la mˆeme valeur que lorsque ϕ varie de 2π + Δϕ avec Δϕ =
6πα p
=
6πα . a(1−e2 )
- D´ eviation des rayons lumineux. Pour ´ etudier la d´ eviation des rayons lumineux (photons de masse nulle) il faut consid´erer la limite dτ = 0 ce qui correspond ` a C infini dans l’´equation pour u. Si on n´ eglige 1 le terme en u2 , la solution est la droite u0 (ϕ) = R cos ϕ parall`ele ` a l’axe y et passant ` a une distance R de O (pas de d´eviation du photon) ; la prise en compte de ce terme dans un calcul de perturbation cos 2ϕ 3α donne δu(ϕ) = 2R . En ´ ecrivant qu’` a l’infini ϕ est tel que u(ϕ) = 0 et sachant qu’alors 2 1 − 3 ϕ = ±( π2 + ), on obtient la d´eviation des rayons lumineux δϕ = 2 = 4α . R
Transport parall` ele et courbure Le premier membre de l’´equation des g´eod´esiques s’´ecrit aussi μ μ d + ∂ν gμα uμ uν = gμα du + 12 ∂ν gμα + ∂μ gνα uμ uν . gμα uμ = gμα du c dτ c dτ c dτ En multipliant les deux membres de cette ´equation par les nombres g βα = g αβ tels que g βα gμα = 1 si β = μ et ´ egal ` a 0 si β = μ (nombres qui constituent les ´el´ ements de la matrice sym´etrique inverse de celle ayant pour ´el´ ements {gμα }) on obtient (apr`es sommation sur α) : duβ c dτ
μ ν = −Γβ μν u u
βα 1 (∂ g o` u Γβ + ∂μ gνα − ∂α gμν ) = Γβ μν = g νμ (symboles de Christoffel). 2 ν μα
Ceci implique que, dans un d´eplacement infinit´esimal le long de la g´eod´esique, les composantes de la quadrivitesse varient comme μ ν duβ = −Γβ μν dx u . L’int´erˆ et de cette relation est qu’elle correspond au transport parall` ele de la quadrivitesse. En effet, comme pour la sph`ere (cf. section 3.2.6), le transport de x en x + dx d’un quadrivecteur est d´efini de sorte qu’il conserve sa norme et sa projection sur la g´eod´esique. Or uμ est un quadrivecteur (quantit´e, qui en x, se transforme comme dxμ dans un changement de coordonn´ees), il est tangent ` a la g´ eod´esique en tout point (car proportionnel ` a dxμ ) et est unitaire (uμ (x) gμν (x) uν (x) = dτ 2 /dτ 2 = 1). On peut v´ erifier que pour un quadrivecteur quelconque Aμ (non n´ecessairement tangent aux g´eod´esiques et non unitaire) la mˆeme relation μ ν δAβ = −Γβ μν dx A convient pour d´efinir son transport parall`ele car elle assure la conservation du produit scalaire : (Aμ + δAμ ) gμν (x + dx) (B ν + δB ν ) = Aμ gμν (x) B ν . (Pour cela ´ecrire gμν (x + dx) = gμν (x) + (∂ρ gμν ) dxρ et utiliser la d´efinition des Γ.) La courbure est d´efinie, comme pour la sph`ere, ` a partir du transport parall`ele d’un quadrivecteur le long d’un circuit ferm´e orient´e. Pour un parall´elogramme infinit´esimal situ´e en x de cˆ ot´es δ1 xμ , δ2 xμ , −δ1 xμ , −δ1 xμ , et dont les projections des aires sur les plans (xμ , xν ) sont δS μν = δ1 xμ δ2 xν −δ1 xν δ2 xμ , la variation d’un quadrivecteur dans le transport s’´ecrit (g´en´eralisation de la formule de Stokes de la section 7.2.2) β β 1 α ν α α μν , ΔAβ = − Γβ να A dx = − 2 [∂μ (Γνα A ) − ∂ν (Γμα A )] δS etant d´ eduit de δAα , r´ eflexion laiss´ee au lecteur) ou encore (∂μ Aα au point x ´ α μν ΔAβ = − 12 Rβ αμν A δS
avec
β β β β σ σ Rβ αμν = (∂μ Γαν − ∂ν Γαμ ) + (Γσμ Γαν − Γσν Γαμ ) .
Rβ αμν ,
Les coefficients fonctions du premier degr´e des d´ eriv´ ees secondes des gμν , caract´ erisent la courbure de Riemann de l’espace-temps. (Rappelons que pour la sph`ere la rotation d’un vecteur lors de son transport est aussi proportionnelle ` a la surface du circuit et ` a la courbure.) Les grandeurs d´eriv´ ees Rαμ = Rβ αμβ (courbure de Ricci)
,
R = g αμ Rαμ (courbure scalaire) ,
qui ont les propri´et´ es remarquables respectivement, de se transformer comme les gαμ (avec Rαμ = Rμα ), et d’ˆetre invariante, jouent un rˆ ole important pour les ´equations d’Einstein de la gravitation (cf. section 9.3.3).
9.3 Champs et principes de moindre action
297
JUSTIFICATION des propri´et´ es de transformation de Rμν et de R dans un changement de coordonn´ees. Elles r´esultent des deux relations (dont la d´emonstration est donn´ee ci-apr`es) : (a) Rδ γρσ =
∂xδ ∂xα ∂xμ ∂xν β R ∂xβ ∂xγ ∂xρ ∂xσ αμν
(b) gγδ =
et
Pour Rμν , il suffit de faire δ = σ dans (a) en remarquant que R, on d´ eduit de (b) l’´egalit´e :
g γδ Rγδ
=
∂xγ ∂xμ
∂xδ ∂xν
g μν
∂xρ ∂xγ
∂xν ∂xσ ∂xσ ∂xβ
∂xσ
∂xδ
Rρσ =
∂xγ ∂xδ μν g . ∂xμ ∂xν
= 1 si β = ν et 0 si β = ν. Pour
g μν
Rμν . La relation (a) s’obtient
β ` partir de l’expression d´efinissant la courbure de Riemann Rβ a αμν en exprimant les quadivecteurs ΔA , ∂xν α μ ν ν σ A , δx et δx en x en fonction des mˆemes quantit´es prim´ees, par exemple δx = ∂xσ δx . La relation = 1 si β = γ et 0 si β = γ. Enfin, la d´emonstration de Rαμ = Rμα (b) se v´erifie en observant que g γα gαβ
revient ` a v´ erifier que ∂μ Γβ etrique en μ et α ; ceci est vrai car Γβ βα est sym´ βα =
1 μν g 2
∂α gμν (cf. d´ efinition
˜ t δA) = ∂α lnΔ avec Δ = |detgμν |. (En effet, pour tout matrice A : δ(detA) = tr(A ˜ matrice des cofacteurs cf.section 4.2.2.) (detA) tr(A−1 δA) avec A
des Γ) s’´ecrit aussi
9.3 9.3.1
1 2
CHAMPS ET PRINCIPES DE MOINDRE ACTION Equations de Maxwell ; action de Schwarzschild
On obtient les deux ´equations de Maxwell impliquant les sources en rendant extremum, → − par rapport aux potentiels A et V , l’action invariante S=
1 2
→2 − → →2 − → − − 0 ( E − c2 B ) + ( j · A − ρV ) d3r dt ,
→ − → −−→ − − → − → →− dans laquelle E = −∂t A − gradV , B = rot A et le terme d’interaction avec les charges → − → g´en´eralise le terme q (− v · A − V )introduit a` la section 9.2.2. → − ´ DEMONSTRATION. La variation de A se traduit sur S par : δS =
→ − → − → 3 → −
− c2 − B · rot δ A + j · δA d r dt . 0 E · (−∂t δ A)
→
´etant pris nul a` l’infini), et utilisation de div(δ A∧
− Apr`es int´egration par parties (δ A B) = − − → → − →
− → 2
B · rot δ A − δ A · rot B (et 0 μ0 c = 1), δS s’´ecrit : δS =
→ − 1− → − → 3 →− 0 ∂t E − rot B + j · δ A d r dt . μ0
→ → − − →− →
− La condition δS = 0 quelle que soit la fonction δ A( r , t) conduit `a rot B = μ0 ( j + → − → − → − 0 ∂t E ). On obtient de mˆeme div E = ρ0 en faisant varier V (et en utilisant E · −−→ → − → − (−gradδV ) = −div( E δV ) + δV div E ). L’invariance de S r´esulte de ce que dans une →2 − →2 − transformation de Lorentz (cf. section 4.3.3) E − c2 B est invariant de mˆeme que → → − − ρV − j · A (produit scalaire de deux quadrivecteurs) et d3r dt (car le jacobien des transformations vaut a` 1). Elle garantit l’invariance relativiste des ´equations de Maxwell. → − − → Le lecteur v´erifiera que l’autre invariant 0 c E · B ne contribue pas a` δS.
9 • Principes variationnels
298
9.3.2
Equation de Schr¨ odinger ; th´ eor` eme adiabatique
Equation de Schr¨ odinger L’´equation i∂t ψ = Hψ, qui est une E.D.P. si le vecteur d’´etat ψ(t) est une fonction → d’onde ψ(− r , t), entraˆıne :
t2
S=
(ψ , (i∂t − H)ψ) dt
extremum .
t1
t t ´ VERIFICATION : δS = t12 (δψ , (i∂t − H)ψ) dt + t12 (ψ , (i∂t − H)δψ) dt. Apr`es int´egration par parties et compte tenu de l’hermiticit´e de H, le deuxi`eme terme s’´ecrit t aussi t12 ((i∂t − H)ψ , δψ) dt. La r´eciproque , facile `a montrer, est laiss´ee au lecteur. E
Etat stationnaire (H ind´ependant du temps, ψ(t) = e−i t ψ(0) vecteur propre de H). Le principe conduit a` (ψ , Hψ) extremum (cf. section 4.2.3, calculs de perturbation).
Th´ eor` eme adiabatique quantique . Soient ψ n (t) et En (t) les vecteurs propres (base orthonorm´ee) et valeurs propres “instantan´es” d’un hamiltonien H(t) qui d´epend lentement du temps, et dont on suppose le spectre discret. Si l’´echelle de temps de variation TH de H(t) est grande devant les p´eriodes Tnm = (hypoth`ese adiabatique) on a, pour un ´etat quelconque Em − En ψ(t) = n ρn (t) eiϕn (t) ψ n (t) (avec ρn r´eel) : ρn = constante ´ DEMONSTRATION : S =
et
n ρn ei(ϕm −ϕn ) (n
ϕ˙ n = −
En (t) + i (ψ n (t) , ψ˙ n (t)) .
iρ˙ n − ϕ˙ n ρn − En ρn +
m
iρm ei(ϕm −ϕn ) (ψ n , ψ˙ m ) dt. En
n´ egligeant les termes en = m) qui oscillent “rapidement” et contribuent peu ` a S (approxi ee totale), le lagrangien s’´ecrit : mation adiabatique), et en oubliant le terme n ρn ρ˙ n (d´eriv´ L = n ρ2n −ϕ˙ n − En + i(ψ n (t) , ψ˙ n (t)) . Les E.D. d’Euler-Lagrange pour les variables ρn et ϕn donnent le r´esultat annonc´e.
Cons´equence : puisque les ρn sont constants, une ´evolution adiabatique n’induit pas de transition entre niveaux d’´energie ; en particulier si l’´etat initial est l’´etat propre instantan´e ψ n (0), l’´etat a` l’instant t sera, `a une phase pr`es, l’´etat propre instantan´e ψ n (t). Cela conduit en physique statistique des syst`emes en ´equilibre thermique a` une distinction microscopique entre travail et ´echanges thermiques r´eversibles : d(U = Nn En ) = Nn dEn + En dNn = δWrev + δQrev . n
n
Dans une transformation adiabatique les populations Nn des niveaux d’´energie sont constantes et on retrouve la d´efinition thermodynamique de l’adiabaticit´e δQrev = 0. De fa¸con g´en´erale un travail r´ eversible modifie les niveaux d’´energie tandis qu’un apport thermique modifie leurs populations. Par exemple pour une particule libre dans une 2 dV 2 π 2 2 δEnpq da boite cubique de cˆ ot´e a, on a Enpq = =− . (n + p2 + q 2 ) et = −2 2 2m a Enpq a 3 V
9.3 Champs et principes de moindre action
299
2 dV = −P dV , on retrouve l’exEn ´ecrivant le travail δWrev = Nnpq δEnpq = − U 3 V 2 U pression bien connue P = de la pression cin´ etique d’un gaz parfait monoatomique. 3 V
Phase de Berry. On appelle ainsi le d´ephasage suppl´ementaire ϕB = tt2 i(ψ n (t) , ψ˙ n (t)) dt li´ e au 1 fait que le syst`eme ´evolue dans un environnement lentement variable. Il est mis en ´evidence dans des exp´eriences d’interf´erences o` u, sur les deux chemins, les En (t) sont les mˆemes mais les ψn (t) sont r ) dont seule la direction diff´erents (spins 12 se d´ epla¸cant “lentement” dans un champ magn´etique B( varie).
Transport quantique. La phase de Berry correspond ` a un transport naturel entre deux ´etats quantiques voisins ψ et ψ + δψ. En effet la minimisation de (ψ + δψ)eiδϕ − ψ 2 , rendant ces deux ´etats les plus proches possible, conduit ` a l’ajustement de phase δϕ = i(ψ, δψ).
9.3.3
Equations d’Einstein de la gravitation ; action de Hilbert
Les ´ equations d’Einstein relient la courbure de Ricci de l’espace-temps ` a la mati`ere, d´ ecrite de fa¸con continue par Tμν (voir interpr´etation physique ci-dessous) : Tμν (Tμν = Tνμ ) . Rμν − 12 gμν R = − 8πG c4 Ce sont des E.D.P. du second ordre pour les coefficients de la m´etrique. Elles ´equivalent dans le vide (Tμν = 0) ` a Rμν = 0 (car g μν (Rμν − 12 gμν R) = R − 2R = 0), et dans la mati`ere ` a Rμν = − 8πG (Tμν − c4 1 αβ T 2 = (1 + 2V c−2 ) dt2 − c−2 d 2 o` g T ) avec T = g . Dans le cas newtonien dτ r u les seules d´ eriv´ ees αβ 2 μν non nulles des gμν sont les ∂i g00 (i = 1, 2, 3) et o` u on ne garde que les termes proportionnels ` a V ou ses d´ eriv´ ees, on peut v´erifier que les Rμν se r´ eduisent ` a R00 −ΔV /c2 ; comme dans cette limite ne reste aussi que T00 ρc2 (ρ masse volumique), on retrouve l’E.D.P. de Poisson ΔV = 4πGρ . (Pour une masse ponctuelle ` a l’origine cette E.D.P a pour solution V = −Gm/r, de mˆeme que pour une charge ´electrique ponctuelle V = q/(4π0 r) correspond ` a ΔV = −ρ/0 .) erentiel local o` u Pour un faisceau monocin´etique de particules de masse m et de densit´e n0 dans le r´ef´ elles sont au repos : Tμν = gαμ gβν T αβ avec T αβ = n0 mc2 uα uβ (uα = dxα /c dτ est la quadrivitesse introduite ` a la section 9.2.3 et les coefficients gαμ et gβν assurent que Tμν se transforme comme Rμν et gμν ). Dans un espace-temps plat, et dans un r´ef´ erentiel o` u v est la vitesse des particules et n = γn0 1
(γ = (1 − v2 /c2 )− 2 ) est leur densit´e on a : T 00 = nγmc2 , {T 0i } ≡ nγmc v , T11 = nγmvx2 · · · , T12 = nγmvx vy · · · . 00 T est donc la densit´ e d’´ energie, les cT 0i correspondent ` a la densit´ e de courant d’´ energie (et les c−1 T 0i ` a la densit´ e de quantit´ e de mouvement) et les T ij d´ ecrivent un flux de quantit´e de mouvement (cf. l’analogue non relativiste section 3.2.4). Ces interpr´etations physiques sont pour l’essentiel les mˆ emes en espace-temps courbe, que les T μν soient associ´es ` a de la mati`ere ou ` a des champs (comme le champ ´electromagn´etique). On montre aussi (cf. ouvrages sp´ecialis´es) que les ´ equations d’Einstein ob´eissent ` a un principe variationnel, les variations portant ici sur les gμν , dont l’action invariante par changement de coordonn´ees est de la forme (action d’Hilbert) : √ c3 S = Sg´eom´etrie + Smati`ere avec Sg´eom´etrie = − 16πG R Δ d4 x . Dans l’expression de Sg´eom´etrie , partie de l’action qui conduit aux ´equations d’Einstein dans le vide, √ | = |det g 2 u J = det (∂xμ /∂xα ) Δ d4 x est un volume invariant (propri´et´ e qui se d´eduit de |det gαβ μν |J o` est le jacobien du changement de coordonn´ees, et Δ = |det gμν |). Smati`ere g´ en´ eralise l’action d’une par ticule ponctuelle Sparticule = −m c2 dτ = −m c gμν dxμ dxν ; enfin T μν est d´efini par √ μν 1 δSmati`ere = − 2c T δgμν Δ d4 x , 1 relation semblable ` a δ( −mc2 dτ ) = − 2c mc2 uμ uν δgμν c dτ . r , il est d’usage de REMARQUE sur les dimensions. Comme en espace-temps plat x0 = ct et {xi } ≡ −1 ], [Rβ poser [xμ ] = [L]. On a alors [gμν ] = [g μν ] = [Δ] = 1 (sans dimension), [Γβ μν ] = [L αμν ] = [Rαμ ] = [R] = [L−2 ] ... . Le lecteur v´erifiera l’homog´en´ eit´e des formules des sections 9.2.3 et 9.3.3.
Chapitre 10
Probabilit´ es ; processus al´ eatoires
Le calcul des probabilit´es intervient chaque fois que, r´ep´etant “ a` l’identique” une mˆeme exp´erience, le r´esultat trouv´e pour la mesure d’une grandeur n’est pas unique : chiffre sur lequel un d´e retombe, temps au bout duquel un noyau radioactif se d´esint`egre, d´eplacement et vitesse d’une particule brownienne, mesure entach´ee d’erreur... Les raisons du caract`ere al´eatoire du r´esultat sont multiples : sensibilit´e aux conditions initiales, interventions d’un grand nombre de variables dont la connaissance compl`ete est impossible, mesures “classiques” sur des objets quantiques... Quelles que soient ces raisons le caract`ere al´eatoire des r´esultats ne signifie pas l’absence d’information. L’approche probabiliste qui traite des fr´equences d’apparition des r´esultats (id´ealis´ees par les probabilit´es) permet le calcul de grandeurs moyennes et la confrontation `a l’exp´erience. Elle joue un rˆ ole fondamental dans la compr´ehension de nombreux ph´enom`enes : loi des grands nombres et caract`ere gaussien des erreurs, distribution al´eatoire d’instants et comptages ob´eissant `a une loi de Poisson, marche au hasard et bruit blanc, ´equiprobabilit´e des ´etats microscopiques et loi de Boltzmann en thermodynamique... Le calcul des probabilit´es joue ´egalement un rˆ ole pratique important pour les probl`emes d’estimation statistique.
10.1
´ LANGAGE DES PROBABILITES
Ce langage qui traite en apparence d’´evidences (il y est question d’exp´eriences et de leurs r´esultats) s’appuie sur des raisonnements de logique (utilisation de “ou”, “et”, “sachant que”) qui demandent un minimum d’attention. Le concept cl´e est celui de probabilit´e d’un r´esultat. Appliqu´e aux grandeurs al´eatoires il conduit a` la notion de loi de probabilit´e (pour leurs valeurs), qui permet de d´efinir les grandeurs moyennes.
10.1 Langage des probabilit´es
10.1.1
301
Grandeurs al´ eatoires et raisonnements logiques ; conditionnement
Exp´ eriences et grandeurs al´ eatoires Le premier point a` d´efinir est l’ensemble Ω des exp´eriences physiques ω consid´er´ees. Toutes doivent ob´eir `a un mˆeme protocole (d´efinition de l’´etat initial d’un ´echantillon radioactif, des r`egles d’un jeu de hasard...), et les mesures ou observations effectu´ees doivent ˆetre de mˆeme nature. En g´en´eral les exp´eriences ω conduisent a` des nombres (mesures de grandeurs physiques, gains attach´es aux r´esultats d’un jeu, etc.). Une grandeur mesur´ee X est al´eatoire si sa valeur x = X(ω) d´epend de l’exp´erience ω ∈ Ω. On parle de variable al´ eatoire (v.a.) si X(ω) est un nombre, et de vecteur al´ eatoire (ou v.a. a` n dimensions) si X est une famille (X1 , X2 · · · Xn ) de v.a. L’ensemble des valeurs possibles X(ω) (ou X(ω)) s’appelle le spectre de X (ou X). Il peut ˆetre discret, continu ou mˆeme les deux `a la fois (comme certains spectres d’´energie). Une v.a. qui d´epend du temps est appel´ee processus al´ eatoire. EXEMPLE (figure 1). Dans l’´etude d’´echantillons radioactifs identiques le nombre N (t) de d´esint´egrations dans l’intervalle [0, t] est, a` t = τ fix´e, une v.a. discr`ete tandis que les instants T1 , T2 ... des premi`ere, seconde... d´esint´egrations sont des v.a. continues. A chaque exp´erience ω correspondent une suite d’instants tn = Tn (ω) diff´erente et un comptage N (τ, ω) diff´erent. On dit aussi que N (t) = n H(t − Tn ) est une fonction al´ eatoire dont les fonctions ordinaires N (t, ω) = n H(t − tn ) sont les r´ealisations (H fonction de Heaviside).
3
N ( t , 2)
N ( t , 1)
2
2
1
1 t1 t 2
t3
t
t1 t 2
t3 t
Figure 1
R´ esultats et raisonnements logiques Pour un protocole donn´e d’exp´erience on peut faire ´etat de beaucoup de r´esultats (on dit aussi d’´ ev` enements). Ainsi, si il est vrai que pour deux lancers successifs d’un d´e les r´esultats ´el´ementaires directement observ´es sont les 36 couples ordonn´es (i, j) avec 1 ≤ i, j ≤ 6, on peut en imaginer d’autres, chacun ´etant d´efini par une affirmation {· · · } `a laquelle une exp´erience r´epond n´ecessairement par “oui” ou par “non”. Par exemple si X1 et X2 sont les nombres al´eatoires du premier et du second lancer, {X1 = 1} est identique a {(1, 1) ou (1, 2) . . . ou (1, 6)}, {X1 = i et X2 = j} est identique `a {(i, j)}, {X1 X2 > 1} ` est identique `a {non (1, 1)}, {X1 X2 = 7} est impossible tandis que {X1 X2 ≥ 1} est certain.
10 • Probabilit´es ; processus al´eatoires
302
Une repr´esentation ensembliste (figure 2) des r´esultats (et op´erations logiques) consiste a identifier chaque r´esultat A au sous ensemble de Ω (not´e aussi A) dont les ´el´ements ` sont les exp´eriences conduisant (“r´epondant oui”) `a A. Alors aux r´esultats {A ou B}, {A et B}, {non A} correspondent les sous ensembles A ∪ B, A ∩ B et A (compl´ementaire de A). Les r´esultats certain et impossible correspondent `a Ω (= A ∪ A) et ∅ (= A ∩ A). De tr`es nombreux raisonnements font appel `a la notion de r´ esultats exclusifs tels que {A et B} est impossible (A ∩ B = ∅), ainsi qu’`a la notion de partition, famille de r´esultats exclusifs (Ai ∩ Aj = ∅ pour i = j) dont l’union est certaine (∪i Ai = Ω), par exemple A et A. Une partition est ´ el´ ementaire si tout r´esultat est une union de Ai . C’est le cas des r´esultats (i, j) ci-dessus, ou pour une v.a. discr`ete X prenant les valeurs xi , des r´esultats {X = xi } (repr´esent´es par les sous ensembles X −1 (xi ) de Ω ; figure 3). Pour une v.a. continue `a valeurs dans R, une partition de Ω est induite par une partition de R avec des intervalles pouvant “` a la limite ˆetre infinit´esimaux”.
ª
−1 X ( x 1)
111111 000000 00000 11111 000000 111111 00000 11111 000000 111111 ª 00000 11111 000000 111111 00000 11111 000000 111111 00000 11111 000000 111111 X X
B A
X x = X( )
−1 X ( x 2)
x
Figure 2
x1
x2
x
Figure 3
Conditionnement Cette notion logique tr`es utilis´ee consiste simplement, si on sait qu’un r´esultat B est v´erifi´e, a` ne prendre en compte que les exp´eriences qui conduisent a` B et donc `a remplacer Ω par ΩB = B. Le r´esultat {A sachant B} not´e A/B (A conditionn´e par B) correspond au sous ensemble A ∩ B de B. La connaissance d’un r´esultat peut changer radicalement les choses. Par exemple si le r´esultat B implique le r´esultat A, c.a.d B ⊂ A, le r´esultat A/B est certain tandis que B/A ne l’est pas, et cela bien que A ∩ B = B ∩ A (exemple : B ≡ {X = 2 ou 4} et A ≡ {X pair} pour le lancer d’un d´e).
10.1.2
Probabilit´ es ; lois de probabilit´ e
Probabilit´ es de r´ esultats Quand on fait N exp´eriences dont NA ont donn´e le r´esultat A on observe que, pour N NA tend vers une limite : la “fr´equence d’apparition de plus en plus grand, le rapport N de A”. L’approche probabiliste postule qu’`a tout r´esultat A on peut associer un nombre, sa probabilit´e P (A) ∈ [0, 1] ; il doit v´erifier P (Ω) = 1 (probabilit´e 1 pour un r´esultat certain) et P (A ou B) = P (A) + P (B) si {A et B} = ∅ : addition des probabilit´ es
10.1 Langage des probabilit´es
303
pour des r´esultats exclusifs (en particulier i P (Ai ) = 1 pour une partition, d’o` u P (A) = 1 − P (A)). Dans cette approche la donn´ee de P est une pr´ediction sur les fr´equences des r´esultats ; ceci est n´ecessaire car on ne peut en effet pratiquement pas faire une infinit´e d’exp´eriences.
Probabilit´ es conditionnelles ; ind´ ependance Si A est conditionn´e par B, la fr´equence concern´ee est la limite du rapport
NA et B qui est NB
NB NA et B par . C’est pourquoi on appelle probabilit´e conditionnelle N N P (A et B) P (A et B) P (A/B) = = P (B/A) = . P (B) P (A)
aussi le quotient de la quantit´e :
En particulier deux r´esultats sont dits ind´ependants si le conditionnement de l’un par l’autre est sans effet sur les probabilit´es : P (A/B) = P (A) ou P (B/A) = P (B)⇐⇒P (A et B) = P (A) P (B) . Plus g´en´eralement on parle de r´esultats ind´ependants Ai si P (A1 et A2 et . . . ) = P (A1 ) P (A2 ) · · · (multiplication des probabilit´ es). On notera qu’il ne faut pas confondre “exclusifs” (affirmation logique {A et B} = ∅) et “ind´ependants” (affirmation sur les probabilit´es). EXEMPLE. Il est naturel de supposer que les r´esultats A1 et A2 associ´es `a la non d´esint´egration d’un noyau radioactif donn´e dans des intervalles [t1 , t1 + Δt1 ] et [t2 , t2 + Δt2 ] disjoints sont ind´ependants. Si on suppose de plus que P (Ai ) ne d´epend que de Δti (et pas de ti ), c.a.d. si P (Ai ) = f (Δti ) on obtient, en prenant t2 = t1 + Δt1 , f (Δt1 + Δt2 ) = f (Δt1 ) f (Δt2 ) et donc P (A) = e−λ Δt (cf. section 1.1.3). Il est clair que A1 et A2 ne sont pas exclusifs. A l’oppos´e les d´esint´egrations dans ces mˆemes intervalles sont des r´esultats A1 et A2 exclusifs et non ind´ependants. Les formules suivantes montrent comment, `a partir des probabilit´es d’une partition Bi et des probabilit´es conditionn´ees par les Bi , on peut remonter a` toutes les probabilit´es d’une autre partition Aj ainsi qu’aux probabilit´es conditionnelles “inverses” : P (A) =
P (A/Bi ) P (Bi )
i
;
P (Aj /Bi ) P (Bi ) . P (Bi /Aj ) = i P (Aj /Bi ) P (Bi )
(Il suffit d’appliquer les d´efinitions et de remarquer que A = ∪i (A ∩ Bi ).) La premi`ere est tr`es utilis´ee en physique. La seconde (th´ eor` eme de Bayes) sert en analyse statistique.
Lois de probabilit´ e de v.a. def Si une est discr`ete, a` chaque valeur xi est associ´ee une probabilit´e pi = P {X = v.a. X esultats forment une partition. Si la v.a. X est xi } et on a i pi = 1 puisque ces r´ continue on appelle densit´ e de probabilit´ e la fonction PX (x) (dont la dimension est [X]−1 ) telle que PX (x) dx est la probabilit´e de {X ∈ [x, x + dx]} ; son int´egrale sur ] − ∞, ∞[ vaut 1.
10 • Probabilit´es ; processus al´eatoires
304
EXEMPLE 1. La loi de Bernouilli correspond a` une v.a. qui prend les valeurs 0 et 1 avec les probabilit´es 1 − p et p. On peut aussi lui associer une densit´e PX (x) = (1 − p) δ(x) + p δ(x − 1) car chaque pi δ(x − xi ) est localis´e en xi et a pour int´egrale pi (figure 4). Exemples : jeu de pile ou face, loi de Boltzmann pour un syst`eme `a deux niveaux.
H (t) e
− t 1/q
(a)
0
P (x) X
1−p
−1
−q/2 0
t
1
x
Figure 4
(d) x
0
q/2 x
G (x)
(c) 0
( xq )
(b)
La (x)
p
1 q
0
x
Figure 5
EXEMPLE 2. La densit´e de probabilit´e de l’instant T de d´esint´egration d’un noyau est PT (t) = H(t) λ e−λt (loi exponentielle ; figure 5a). D´emonstration : on ´ecrit t que la probabilit´e de {T < t} est 0 PT (t ) dt = 1 − e−λt (car la probabilit´e de non d´esint´egration dans l’intervalle [0, t] est e−λt ), et on d´erive par rapport a` t. Les densit´es d’autres lois continues, loi uniforme, loi lorentzienne (ou de Cauchy) La (x) et loi gaussienne Gσ (x), discut´ees plus loin, sont repr´esent´ees sur les figures 5b,c,d. La densit´e PY (y) d’une fonction de v.a. Y = g(X) s’obtient en remarquant que la probabilit´e PY (y) dy de {Y ∈ [y, y + dy]} est celle de {X ∈ [x1 , x1 + dx1 ] ou [x2 , x2 + dx2 ] ou · · · } o` u les xi constituent l’image inverse g −1 (y). Par exemple (figure 6) pour 1 1 sur [−π, π] on a |dx1 | = |dx2 | = |dy| (a2 − y 2 )− 2 et Y = a cos X et PX (x) = 2π dxi 1 1 = (a2 − y 2 )− 2 . PY (y) = PX (xi ) dy π i
dy − x1 dx 1
1 0 y = a cos x 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 y 0 1 0 1 0 1 0 1 x2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 dx 2 1 0 1
Figure 6
x
10.1 Langage des probabilit´es
305
Lois de probabilit´ e relatives ` a une famille de v.a. On appelle densit´ e de probabilit´ e conjointe de n v.a. la fonction PX (x) telle que PX (x) dx1 · · · dxn est la probabilit´e de {X1 ∈ [x1 , x1 + dx1 ] et · · · et Xn ∈ [xn , xn + dxn ]}. Si on s’int´eresse a une seule variable, X1 par exemple, sa densit´ ` e de probabilit´ e marginale PX1 (x1 ) s’obtient (les autres v.a. pouvant prendre n’importe quelle valeur) en int´egrant PX (x) sur x2 · · · xn : ∞ ∞ ··· PX (x1 , x2 , · · · , xn ) dx2 · · · dxn ; PX1 (x1 ) = −∞
−∞
sa densit´ e de probabilit´ e conditionnelle (conditionn´ee par les valeurs x2 · · · xn des autres v.a.) s’obtient en faisant le quotient de la probabilit´e conjointe PX (x) dx1 dx2 · · · dxn par la probabilit´e de la condition dx2 · · · dxn PX (x) dx1 , c.a.d. simplement en normalisant la fonction de x1 obtenue en fixant x2 · · · xn dans PX (x) : PX1 (x1 /x2 · · · xn ) =
PX (x1 , x2 · · · xn ) PX (x1 , x2 · · · xn ) dx1
(x2 · · · xn fix´es) .
Pour des v.a. ind´ependantes la densit´e de probabilit´e conjointe est le produit des densit´es marginales : PX (x) = PX1 (x1 ) · · · PXn (xn ). Enfin la densit´e de probabilit´e PY (y) d’une fonction de plusieurs v.a. Y = g(X) s’obtient en int´egrant PX (x) sur le domaine des valeurs de X correspondant a` {Y ∈ [y, y + dy]} et en divisant le r´esultat par dy. EXEMPLE 1. La figure 7a correspond au cas de deux v.a. X et Y avec une densit´e conjointe uniforme sur le disque x2 + y 2 ≤ 1. La figure 7b montre la densit´e marginale 2 PX (x) = 1 − x2 de X (identique a` celle de Y ). Comme PX (x, y) = PX (x) PY (y), π ces v.a. ne sont pas ind´ependantes (elles le seraient dans le cas d’un domaine rectangulaire de cˆot´es parall`eles aux axes x et y). Ceci est confirm´e par le fait que les densit´es 1 1 1 conditionnelles PX (x/y) = (1 − y 2 )− 2 (pour |x| < (1 − y 2 ) 2 ) de X d´ependent de y 2 (figure 7c).
P (x)
(b)
P (x,y)
X
2/
XY
1/
−1 y = 3/ 2 1
O x
P (x/y) 1
(a)
X
y=0
y
1
1x
0
(c) −1
Figure 7
0
1x
10 • Probabilit´es ; processus al´eatoires
306
→ − EXEMPLE 2 (figure 8). La densit´e de probabilit´e du vecteur vitesse V ≡ (Vx , Vy , Vz ) d’une mol´ecule dans un fluide `a l’´equilibre a` une temp´erature fix´ee (β = (kB T )−1 ) est 1 −1 2 − (
m
v P→ v ) = Z exp −β V 2 2π 32 − (
(distribution de Maxwell), o` uZ= est donn´e par P→ v ) d3 v = 1. Les V mβ → − trois composantes de V sont donc ind´ependantes et la densit´e (marginale) de Vx par exemple est : 2π − 12 1 PVx (vx ) = exp −β mvx2 . mβ 2 → − − → 1 Les densit´es de V = | V | > 0 et E = mV 2 > 0, fonctions de V , sont respectivement 2 1 PV (v) = Z −1 4πv 2 exp −β m v 2 2 − (
v ) sur le domaine | v | ∈ [v, v + dv]) et (obtenue a` partir de l’int´egration de P→ V 1 3√ PE () = 2π − 2 β 2 exp −β
(obtenue en ´ecrivant PE () d = PV (v) dv avec =
x2
PE ( ¯)
PV(v)
dy
PV (vx)
y
x
0
1 1 mv 2 soit dv = (2m)− 2 d). 2
2 k BT/m
(a)
v
0 k BT/2 (b)
Figure 8
¯
0
y
x1
Figure 9
EXEMPLE 3. Pour une lumi` ere thermique la densit´e conjointe des parties r´eelleX et imaginaire Y de l’amplitude complexe A = X+iY est PX,Y (x, y) = (2πσ 2 )−1 exp − √ 1 2 2 (x + y ) . On en d´eduit celle de l’intensit´e I et de la phase Φ (A = IeiΦ ) en 2 2σ ´ecrivant 1 PX,Y (x, y) dx dy = PI,Φ (I, ϕ) dI dϕ avec dx dy = dI dϕ ; 2 1 1 I 1 on obtient PI,Φ (I, ϕ) = exp − 2 . La densit´e de I est PI (I) = × 2 2 2π 2σ 2σ 2σ I 1 (loi uniforme sur [0, 2π]) exp − 2 (loi exponentielle), celle de Φ est PΦ (ϕ) = 2σ 2π et les deux v.a. sont ind´ependantes.
10.1 Langage des probabilit´es
307
EXEMPLE 4. Somme de deux v.a. Y = X1 + X2 . L’observation de la figure 9 montre que ∞ PY (y) = PX1 ,X2 (x1 , y − x1 ) dx1 . −∞
Si les v.a. sont ind´ependantes PX1 ,X2 (x1 , y − x1 ) = PX1 (x1 ) PX2 (y − x1 ) ; donc la densit´e de probabilit´e PX1 +X2 de la somme de deux v.a. ind´ependantes est le produit de convolution PX1 ∗ PX2 des deux densit´es.
10.1.3
Grandeurs moyennes ; moments ; corr´ elations
Cas d’une v.a. Si pour une v.a. X discr`ete une valeur xi est obtenue Ni fois lors de N exp´eriences, −1 la moyenne “exp´ e rimentale ” est N eorique” est < X >= i xi Ni ; la moyenne “th´ x p . (La notation < · · · > pour la moyenne est celle couramment utilis´ee en phyi i i sique ; en math´ematique on ´ecrit plutˆ ot E(· · · ) et le mot moyenne est remplac´e par “esp´ erance”, “expectation” en anglais). De fa¸con g´en´erale on appelle moyenne d’une fonction f (X) de la v.a. X continue (ou discr`ete) le nombre ∞ < f (X) >= f (x) PX (x) dx (ou f (xi ) pi ) . −∞
i
En particulier la moyenne de X est mX =< X >=
∞
−∞
x PX (x) dx
(ou
xi pi )
i
(mX = 0 pour une v.a. centr´ ee), et sa variance est le nombre positif ∞ 2 σX =< (X − mX )2 >= (x − mX )2 PX (x) dx =< X 2 > −m2X −∞
2 (σX
= 1 pour une v.a. r´ eduite). On introduit aussi la fonction caract´ eristique (reli´ee a la T.F. de PX (x)) : ` ∞ iuX <e >= eiux PX (x) dx (ou eiuxi pi ) . −∞
i
Lorsque cette fonction de u admet un d´eveloppement de Taylor en u = 0, on obtient tous les moments d’ordre n par (iu)n < eiuX >= < Xn > n! n (idem pour les moments centr´ es < (X − mX )n > `a partir du d´eveloppement de iu(X−mX ) <e >). EXEMPLES (figures 4 et 5b,c,d). Loi de Bernouilli (cf. section 10.1.2) : < X >= p, 2 σX = p(1 − p) et < eiuX >= peiu + q (avec q = 1 − p). " q q# 1 x q2 2 : PX (x) = Π , < X >= 0 et σX . = Loi uniforme sur − , 2 2 q q 12
10 • Probabilit´es ; processus al´eatoires
308
Loi gaussienne : 2 2 1 (x − m)2 iuX ium − u 2σ 2 PX (x) = √ exp − ⇐⇒ < e >= e e ; < X >= m et σX = σ2 . 2σ 2 2πσ 2 u2 σ 2 montre que les seuls moments centr´es non nuls sont Le d´eveloppement de exp − 2 2p < (X −m) >= 1.3.5 · · · (2p−1) σ 2p ; en particulier < (X −m)4 >= 3 < (X −m)2 >2 . REMARQUES. La variance, lorsqu’elle existe, “ mesure” la tendance d’une v.a. `a ˆetre plus ou moins “piqu´ee” autour de sa moyenne. En effet on d´emontre que la probabilit´e pour que X s’´ecarte de sa moyenne de plus de λ fois l’´ ecart type σX est inf´erieure `a λ−2 ; pour une v.a. gaussienne elle vaut 5 × 10−2 pour λ = 2, et 4 × 10−3 pour λ = 3. Si la variance est nulle la v.a. est certaine (et r´eciproquement). Il existe cependant des 1 a exemples comme la loi lorentzienne PX (x) = , pr´esentant une “largeur typique 2 π a + x2 a”, mais n’ayant pas d’´ecart type ; (< eiuX >= e−a|u| n’est pas non plus d´eveloppable en puissances de u).
Cas d’une famille de v.a. La d´efinition des moyennes est une g´en´eralisation de celle donn´ee pour une v.a. : ∞ ∞ ··· f (x) PX (x) dx1 · · · dxn . < f (X) >= −∞
−∞
Donc la moyenne d’une somme de fonctions des v.a. est la somme des moyennes de chaque fonction. En plus des moyennes mi =< Xi > de chaque v.a. et de leurs variances σi2 =< (Xi − mi )2 >, les quantit´es les plus utilis´ees sont les corr´ elations : Γij =< (Xi − mi )(Xj − mj ) >=< Xi Xj > −mi mj
(i = j ; Γii = σi2 ) .
Γij mesure la tendance des v.a. centr´ees Xi − mi et Xj − mj `a varier dans le mˆeme sens (Γij > 0) ou en sens inverse (Γij < 0). Les v.a. Xi et Xj sont corr´el´ees (resp. non corr´el´ees) si Γij = 0 (resp. Γij = 0). Dans le cas de v.a. ind´ependantes PX (x) factorise. Donc si f (X) factorise aussi on a : < Πi fi (Xi ) >= Πi < fi (Xi ) > . u Γij = 0 (i = j). Donc l’ind´ependance des En particulier < Xi Xj >=< Xi >< Xj > d’o` Xi entraˆıne leur non corr´elation. On fera attention que, sauf pour les v.a. gaussiennes, la r´eciproque est fausse. (cf. exemple 1 de la section 10.1.2. pour lequel il est ´evident que < X >=< Y >=< XY >= 0 alors que X et Y ne sont pas ind´ependantes).
10.2 10.2.1
ORIGINE ET DISCUSSION DE QUELQUES LOIS IMPORTANTES EN PHYSIQUE Th´ eor` eme de la limite centrale et lois gaussiennes
Dans de nombreuses situations physiques la v.a. X est la somme d’un grand nombre de v.a. Xi . Ce peut ˆetre une erreur X accumulation de petites erreurs, le d´eplacement → − → − → − → − R = R 1 + R 2 + · · · + R N d’une marche au hasard constitu´ee de N pas, la somme
10.2 Origine et discussion de quelques lois importantes en physique
309
|Ai | eiΦi de nombres complexes (amplitude complexe d’une lumi`ere thermique ou d’une figure de speckles), un signal r´esultant X(t) = a t fix´e) lorsque i f (t − Ti ) (` beaucoup de fonctions f (t − ti ) se recouvrent (superposition de paquets d’ondes ´emis a des instants al´eatoires), etc. On observe alors g´en´eralement que la loi de X est bien ` approch´ee par une gaussienne. On va le justifier dans le cas o` u les Xi sont des v.a. ind´ependantes et de mˆeme loi, caract´eris´ee par une moyenne m et une variance σ 2 . Ces conditions peuvent ˆetre “assouplies” ; l’existence des variances et de “pas trop de corr´elation” suffit. i
Propri´ et´ es de X = X1 + X2 + · · · + XN La lin´earit´e de l’op´eration de moyenne entraˆıne N N < Xi > ; < X 2 >= < Xi Xj > . < X >= i=1
i,j=1
Si les Xi sont ind´ependantes on a < Xi Xj >=< Xi >< Xj > pour i = j. On en d´eduit que la variance de X est la somme des variances des Xi et que si les Xi ont mˆeme loi : < X >= N m
et
2 = N σ2 . σX
EXEMPLES. Si les Xi sont des erreurs de moyenne nulle et de valeur “typique” σ, √ l’erreur X ` a une valeur “typique” N σ. Dans une marche au hasard sans ! d´erive √ →2 − → − (< R i >= 0), le “d´eplacement typique” au bout de N pas est N l avec l = < R i >. σ X qui a pour ´ecart type √ devient la variable sure ´egale a` m pour Enfin la v.a. N N N → ∞. REMARQUE. Si m = 0 on peut assimiler X `a sa valeur moyenne N m car l’erreur σX σ relative commise = √ tend vers 0 pour N grand ; c’est le cas des grandeurs <X> m N extensives de la thermodynamique. Par contre ceci devient faux pour des sommes de 2 v.a. “fortement d´ependantes”, par exemple σX = N 2 σ 2 pour X = X1 + · · · + X1 = N X1 . On peut aussi v´erifier explicitement que pour l’intensit´e d’une figure de speckles I = iΦi 2 N = i,j=1 ei(Φi −Φj ) , avec Φi v.a. ind´ependantes et uniformes sur [0, 2π], on a ie < I >= N et (petit calcul) σI2 = N 2 − N ; la figure pr´esente de grandes fluctuations d’intensit´e.
Th´ eor` eme de la limite centrale X − Nm √ , qui est centr´ee et de variance σ 2 , tend N vers une gaussienne. On peut alors approximer la densit´e de la v.a. X = N i=1 Xi , pour N grand, par 1 (x − N m)2 PX (x) √ exp − . 2N σ 2 2πN σ 2 Lorsque N tend vers l’infini la v.a. Z =
JUSTIFICATION : Z est la somme des N v.a. Xi =
√1 (Xi − m) qui sont centr´ ees et de variance N σ2 iuZ . Sa fonction caract´eristique < e > est le produit Πi < eiuXi > (ind´ ependance des Xi ), ´ egal ` a N N 2 2 σ2 2 u +· · · qui tend vers exp − σ 2u (si la somme des termes < eiuX1 >N (Xi de mˆeme loi), soit 1 − 2N
non ´ecrits du d´eveloppement peut ˆetre n´ eglig´ ee).
10 • Probabilit´es ; processus al´eatoires
310
1 REMARQUES. 1) Si les Xi sont ´equir´ eparties sur − 12 , 12 leur densit´e est Π(x), celle de N − 2 Xi est √ √ √ √ ∗N N Π( N x) et celle de Z est le produit de convolution N Π( N x) ; pour N → ∞ il tend vers une gaussienne comme annonc´e ` a la section 5.2.1. evident en consid´erant 2) Si les Xi sont des v.a. lorentziennes de densit´e La (x) la densit´e de X est LNa (x) (´ les fonctions caract´eristiques) qui ne tend pas vers une gaussienne pour N grand ; ceci ne contredit pas le th´ eor` eme car alors σ2 n’existe pas.
Famille de v.a. gaussiennes On a d´ej`a vu, avec les composantes de la vitesse d’une mol´ecule d’un gaz, un exemple de trois v.a. gaussiennes ind´ependantes. Dans le cas g´en´eral une loi gaussienne (en supposant les variables centr´ees pour simplifier l’´ecriture) est d´efinie par la densit´e (A matrice sym´etrique positive) n 1 1 PX (x) = (2π)− 2 (det A) 2 exp − xt Ax 2
(xt Ax =
n
xi Aij xj ) ,
i,j=1
ou de fa¸con ´equivalente par la fonction caract´eristique : <e
iut X
1 >= exp − ut Γu 2
−1
avec A = Γ
t
(u X =
n
u i Xi ) .
i=1
L’´equivalence des deux d´efinitions est facile a` d´emontrer dans la base o` u A est diagonale. t
t
La comparaison des d´eveloppements au second ordre en u de < eiu X > et e− 2 u Γu montre que Γij =< Xi Xj >. Si les Xi ne sont pas corr´el´ees, Γ et donc aussi A sont diagonales et la densit´e factorise ; on en d´eduit que non corr´ elation et ind´ ependance sont des notions identiques pour des v.a. gaussiennes. Une autre propri´ e t´ e importante est que toute combinaison lin´eaire de v.a. gaussiennes Y = a X est aussi gaussienne ; i i i en effet < eiuY >= exp − 21 u2 i,j ai Γij aj (car ui = uai ) est la fonction caract´eristique d’une gaussienne de variance σY2 = i,j ai Γij aj . Plus g´en´eralement le filtrage lin´eaire pr´eserve le caract`ere gaussien d’un processus. 1
REMARQUE. Pour des v.a. non centr´ees il suffit de remplacer dans ce qui pr´ec`ede X par X − m avec mi =< Xi >.
10.2.2
Loi binomiale et loi de Poisson
Loi binomiale C’est la loi de probabilit´e de la somme X = X1 + X2 + · · · + XN de N v.a. de Bernouilli ind´ependantes et de mˆeme loi (caract´eris´ee par la probabilit´e p). Donc : 2 2 < X >= N < X1 >= N p et σX = N σX = N p(1 − p) . 1
N n n N −n iun De la fonction caract´eristique < eiuX >= (peiu + q)N = e = n=0 CN p q N iun p e , on d´ e duit que X prend les valeurs n = 0, 1 · · · N avec les probabilit´ e s n=0 n (caract´eris´ees par N et p) : n n N −n pn = CN p q
(q = 1 − p) .
10.2 Origine et discussion de quelques lois importantes en physique
311
n On peut aussi obtenir ce r´esultat en remarquant qu’il y a CN fa¸cons d’avoir n v.a. ´egales a 1 et N − n v.a. ´egales `a 0 et que pour chacune la probabilit´e est le produit pn q N −n . `
EXEMPLE. Dans une enceinte de volume V contenant N mol´ecules d’un gaz parfait, X compte le nombre de mol´ecules dans un volume ΔV : Xi = 1 ou 0 selon la pr´esence ΔV . La fluctuation relative de densit´e ou l’absence de la mol´ecule i dans ΔV et p = V 1 σX V − ΔV 2 = est n´egligeable si ΔV reste macroscopique ; on peut alors dire <X > N ΔV que, a` l’´echelle ΔV , la r´epartition des particules dans V est uniforme.
Loi de Poisson Elle est la limite de la loi binomiale lorsque N tend vers l’infini, p tend vers z´ero, le produit N p = m restant fini. Le spectre d’une v.a. de Poisson est donc constitu´e par tous les entiers n = 0, 1, 2 · · · et : 2 < X >= σX =m
;
pn =
mn e−m n!
;
iu
< eiuX >= em(e
−1)
.
´ DEMONSTRATION : on r´ecrit pour la loi binomiale m N m −n N (N − 1) . . . (N − n + 1) m n 1− 1− , n! N N N m N < eiuX >= 1 + (eiu − 1) , N puis on fait tendre N vers l’infini. La loi de Poisson ne d´epend que du seul param`etre m. pn =
REMARQUE. En faisant le produit des fonctions caract´eristiques, on voit que la somme de v.a. de Poisson ind´ependantes de moyenne mi est une v.a. de Poisson de moyenne i mi . Une v.a. de Poisson dont la moyenne est grande (m 1) est quasi-continue ; elle peut ˆetre vue comme la somme d’un grand nombre de v.a de Poisson et (th´eor`eme de la limite centrale) elle se comporte donc comme une √ v.a. gaussienne ; son ´ecart type n’est pas quelconque mais reli´e `a la moyenne par σ = m.
Ev` enements al´ eatoires dans le temps La loi de Poisson intervient chaque fois que des ´ev`enements se produisant de fa¸con al´eatoire dans le temps ob´eissent aux trois hypoth`eses suivantes (tr`es souvent satisfaites exp´erimentalement) : i) l’occurrence de plus d’un ´ev`enement dans un intervalle dt a une probabilit´e n´egligeable (pas d’´ev`enements simultan´es) ; ii) la probabilit´e d’occurrence d’un ´ev`enement dans un intervalle dt est λ dt (λ constant ind´ependant de t) ; iii) les occurrences d’´ev`enements qui se produisent dans des intervalles de temps qui ne se recouvrent pas sont ind´ependantes. En effet en divisant un intervalle de largeur Δt en un Δt grand nombre N d’intervalles de largeur δt = , on obtient pour la probabilit´e Pn (Δt) N λΔt N −n n λΔt n de l’occurence de n ´ev`enements dans Δt (limite N → ∞ de CN 1− ): N N Pn (Δt) =
(λΔt)n −λΔt e . n!
10 • Probabilit´es ; processus al´eatoires
312
REMARQUES. 1) De l’expression de Pn (Δt) on d´eduit que la probabilit´e pour que le ni`eme ´ ev` enement, n−1 −λt λ dt. e compt´e ` a partir de t = 0, se produise dans l’intervalle [t, t + dt] est Pn−1 (t) P1 (dt) = (λt) (n−1)! a la section 10.1.1 est : Donc la densit´e de probabilit´e de la v.a. Tn introduite ` n−1 n) e−λtn λ . PTn (tn ) = (λt (n−1)! Pour n = 1 on retrouve la loi exponentielle, et comme l’origine des temps est arbitraire, cette loi est aussi valable pour l’intervalle de temps Ti − Ti−1 entre deux d´esint´egrations. De l’ind´ependance des v.a. eduit que la densit´e de probabilit´e conjointe des instants T1 , T2 · · · Tn des T1 , T2 − T1 · · · Tn − Tn−1 , on d´ n premiers ´ev` enements est le produit : PT1 ,T2 ···Tn (t1 , t2 · · · tn ) = λH(t1 )e−λt1 λH(t2 − t1 )e−λ(t2 −t1 ) . . . λH(tn − tn−1 )e−λ(tn −tn−1 ) . 2) Si λ d´ epend du temps, la remarque sur l’addition des v.a. de Poisson montre qu’il suffit de remplacer edentes (r´eflexion laiss´ee au lecteur). λΔt par tt+Δt λ(t ) dt dans les expressions pr´ec´
Ces r´esultats s’appliquent par exemple aux ´emissions de particules par un ´echantillon radioactif, aux collisions d’un atome dans un gaz, aux appels qui arrivent a` un standard t´el´ephonique, etc. ainsi qu’aux signaux al´eatoires du type i f (t−Ti ) (bruit de grenaille ; figure 10a), ou plus g´en´eralement aux processus qui consistent, aux instants al´eatoires Ti , a` effectuer une modification (souvent elle aussi al´eatoire) du signal.
f(t− t i ) (a) t1
t2 t 3 x(t)
(b) t1
t4 t t2
t
Figure 10 EXEMPLE : ´ elargissement de raie. Le signal lumineux a exp −i(2πν0 t+ϕ0 ) exp −γt ´emis `a t = 0 par un atome non perturb´e (γ ´etant li´e `a la largeur naturelle de la raie) voit sa phase modifi´ee d’une quantit´e al´eatoire a` chaque collision avec un autre atome (fig.10b avec γ = 0). A un instant t > 0 le signal est X(t) = a exp −i 2πν0 t + ϕ0 + Φ(t) exp −γt, avec Φ(t) = 0 si il n’y a pas eu de choc entre 0 et t (probabilit´e e−λt ), et avec Φ(t) ´equir´epartie sur [0, 2π] si il y a eu un ou plusieurs chocs (probabilit´e 1−e−λt ). On voit sur le “signal moyen” e−λt (a exp −i(2πν0 t + ϕ0 ) exp −γt) + (1 − e−λt ) × 0 que l’effet des collisions est d’´elargir la raie en changeant γ en γ + λ (cf. aussi section 10.3.3).
10.2.3
Loi de Boltzmann ; g´ en´ eralisations ; statistiques quantiques ; r´ eponse lin´ eaire et fluctuations
On se limite a` l’´etablissement et `a quelques propri´et´es g´en´erales de la loi de Boltzmann (cf. aussi section 7.4.2). Le lecteur est renvoy´e aux ouvrages de thermodynamique et de physique statistique pour les applications.
10.2 Origine et discussion de quelques lois importantes en physique
313
Etablissement de la loi de Boltzmann On consid`ere pour commencer un syst`eme macroscopique isol´e S d’´energie U0 fix´ee constitu´e de N0 particules discernables sans interaction, chacune d’elle ´etant susceptible d’ˆetre dans des ´etats α (discrets pour simplifier l’´ecriture) bien d´efinis d’´ nergie α . On e−1 suppose que les ´etats microscopiques possibles de S, au nombre de exp kB S(U0 , N0 ) d’apr`es la d´efinition de l’entropie (cf. section 1.1.4), sont ´equiprobables (cf. section 10.3.2 “distribution microcanonique”). La probabilit´e pα pour qu’une particule donn´ee soit dans l’´etat α (et donc les N0 −1 autres dans des ´etats quelconques mais avec une ´energie totale U0 −α ) s’obtient alors en faisant le rapport du “nombre de cas favorables” au “nombre de cas possibles”. En utilisant la formule g´en´erale de thermodynamique dS = T (dU − μ dN ) F (μ = , avec F = U −T S, est le potentiel chimique par particule) et l’in´egalit´e α U0 , N un d´eveloppement au premier ordre donne : −1 exp kB S(U0 − α , N0 − 1) α − μ −1 . = exp − pα = kB T exp kB S(U0 , N0 ) Une autre ´ecriture, pratique pour les calculs, utilise la fonction de partition Z(β) : pα =
e−βα Z(β)
avec
Z(β) =
e−βα = e−βμ
β=
α
1 . kB T
REMARQUE. Si gi est le nombre d’´etats d’´energie i (gi facteur de d´ eg´ en´ erescence du niveau i ) la probabilit´e qu’une particule ait l’´energie i est p(i ) = pi = Z −1 gi e−βi . Particules en interaction (interactions suppos´ees `a courte port´ee). Au lieu de consid´erer les particules individuellement, on divise par la pens´ee le syst`eme S (de volume V0 ) en un grand nombre de sous syst`emes de volume V (V V0 ) comportant chacun un nombre suffisant N de particules (N N0 mais macroscopique) pour que les interactions entre sous syst`emes (effet de surface) soient n´egligeables devant les interactions internes (effet de volume). Alors la d´emonstration pr´ec´edente, reprise pour les sous syst`emes et leurs ´etats A, conduit a` la loi de Boltzmann pA ∝ e−βEA si on ignore les fluctuations de N . Par exemple dans un gaz r´eel la densit´e de probabilit´ e conjointe des vitesses et positions des 1 2 particules est P ( v1 , · · · vN ; r1 , · · · rN ) ∝ exp −β m
v + V (
r −
r ) ; contraii j i i 2 (i,j) rement au cas du gaz parfait, les positions ne sont pas ind´ependantes ; par contre les vitesses le restent. REMARQUE. Les niveaux d’´ energie des sous syst`emes ont une d´ eg´ en´ erescence “macroscopique” : g(E) = exp
S(E,N) kB
et donc p(E) ∝ exp
S(E,N) kB
e−βE .
a N ) sont tr`es grands devant kB ∼ 10−23 , la Comme S et T −1 E (grandeurs extensives proportionnelles ` probabilit´e p(E) est tr`es “piqu´ee” autour de la valeur E = U (´ energie interne macroscopique des sous maximum. Donc l’´etat d’´ equilibre observ´e est celui qui rend le potentiel syst` emes) qui rend S(E, N ) − E T thermodynamique F = E − T S minimum. Dans la pratique il est tr`es rare qu’on puisse d´eterminer exactement ce minimum. On appelle th´ eorie de champ moyen une approximation qui consiste ` a exprimer S et E en fonction d’un param`etre d’ordre x (le taux d’aimantation d’un site dans le cas du ferromagn´etisme ; cf. section 5.1.4), puis ` a calculer la valeur x∗ (T ) de x qui minimise F (x) = E(x)−T S(x) (cf. section 7.4.2).
10 • Probabilit´es ; processus al´eatoires
314
G´ en´ eralisations ; statistiques quantiques Si l’´etat A caract´erise les particules contenues dans un sous volume V d’un syst`eme isol´e S, il faut pr´eciser `a la fois l’´energie EA et le nombre de particules NA . En utilisant la formule g´en´erale dS = T (dU + P dV − μ dN ), on obtient comme pr´ec´edemment la loi de probabilit´e dans le formalisme grand canonique : −1 exp kB S(U0 − EA , V0 − V, N0 − NA ) −1 pA = = e−βP V e−β(EA −μNA ) . exp kB S(U0 , V0 , N0 ) Ce formalisme est utile quand on consid`ere des particules quantiques pour lesquelles les r`egles d’occupation des ´etats particulaires α d´ependent de la statistique (Fermi-Dirac ou Bose-Einstein). Dans ce cas, si les particules sont sans interaction, un ´etat A est enti`erement d´efini par l’ensemble {nα } des nombres d’occupation des ´etats α avec les conditions nα = NA et nα α = EA α
α
(nα = 0 ou 1 pour les fermions et 0, 1, 2 · · · pour les bosons). Ceci entraˆıne que la probabilit´e pA factorise : pA ∝ Πα e−β(α −μ) nα . De la loi de probabilit´e marginale relative au nombre d’occupation nα d’un ´etat p(nα ) ∝ e−β(α −μ) nα (loi exponentielle pour nα ), on d´eduit que le nombre moyen d’occupation est < nα >=
1 ou ∞
nα p(nα ) =
nα =0
1 eβ(α −μ) ± 1
(+1 fermions, −1bosons) ,
∞ et que la variance vaut < n2α > − < nα >2 =< nα > 1∓ < nα > (utiliser 0 np xn = (x∂x )p (1 − x)−1 pour les bosons). Pour des fermions l’´ecart type vaut 0 si < nα >= 1 (´etat α occup´e) ; pour des bosons il vaut < nα > si < nα > est grand. Si l’´etat α est 1 peu occup´e (< nα > 1) l’´ecart type vaut < nα > 2 pour les bosons comme pour les fermions ; on est alors dans les conditions de la physique statistique classique. REMARQUES. Le potentiel chimique μ est d´etermin´e par la condition Σα < nα >=< N > N o` u N est le nombre de particules du syst`eme ´etudi´ e (grandeur macroscopique dont les fluctuations sont n´ egligeables). Dans le cas particulier des photons N n’est pas fix´e et μ = 0 ; < n >= (eβhν − 1)−1 . Pour un volume V et une bande de fr´equences [ν, ν + dν], le nombre d’´etats de photons est (compte tenu des 2 dp avec p = hν ; on en d´eduit que la densit´ e volumique spectrale d’´energie est polarisations) 2 V 4πp c h3 u(ν, β) = hν
8πν 2 c3
(eβhν − 1)−1 (loi de Planck).
R´ eponse lin´ eaire et fluctuations (exemples) Pour un syst`eme macroscopique paramagn´etique, les ´etats A en pr´esence d’un champ magn´etique ext´erieur B ont une ´energie EA − MA B. La fonction de partition Z(β, B) = exp −β(EA − MA B) A
(dont l’expression pr´ecise n’importe pas) permet de calculer l’aimantation moyenne pA = Z −1 exp −β (EA − MA B) pA M A < M >= A
10.2 Origine et discussion de quelques lois importantes en physique et la variance < (δM )2 >= < M >= β
−1
A
∂B ln Z
pA MA2 − < M >2 : ;
2
< (δM ) >= β
−2
2 Z ∂B − Z
315
∂B Z Z
2 .
On en d´eduit la relation ∂B < M >= β < (δM )2 > : la r´eponse du syst`eme `a une petite variation de B est une petite variation de M proportionnelle a` ses fluctuations. (χ = μ0 ∂B < M > |B=0 est la susceptibilit´e.) De mˆeme la r´eponse `a une petite variation de temp´erature ΔT est une petite variation d’´energie interne ΔU = cv ΔT du syst`eme et on v´erifie que la capacit´e thermique cv = ∂T U est reli´ee aux fluctuations de l’´energie par : T cv = T ∂T U = −β ∂β U = β
∂2 Z β
Z
−
∂β Z 2 = β < (δE)2 > Z
(car U =< E >= −∂β ln Z). REMARQUE. A la temp´erature de la transition entre paramagn´etisme et ferromagn´etisme, l’exp´erience montre que χ devient infini (cf. aussi section 5.1.4). Donc < (δM )2 >= ij (< μi μj > − < μi >< μj >) eflexion laiss´ee au lecteur, qu’il y a entre les (car M = i μi ) tend aussi vers l’infini. Ceci implique, r´ a longue port´ee (mˆeme si les interactions sont ` a courte port´ee). moments individuels μi des corr´elations `
10.2.4
Estimation et lois de χ2 (khi-deux)
Estimation Un probl`eme fr´equemment rencontr´e est celui de l’estimation de la valeur a d’une grandeur (non al´eatoire) `a partir des r´esultats x1 , x2 · · · xn de n mesures (entach´ees d’erreurs non syst´ematiques) relatives a` une grandeur x fonction connue x(a) de a. Ici les n mesures sont ind´ependantes et peuvent correspondre `a des protocoles exp´erimentaux diff´erents, ne pas avoir le mˆeme degr´e de pr´ecision, etc. Pour prendre en compte les erreurs, l’id´ee est de consid´erer pour chaque i le nombre xi comme l’une des valeurs possibles d’une de a est une v.a. fonction v.a. Xi , les Xi ´etant n v.a. ind´ependantes. Un estimateur A des Xi qui, pour ˆetre bon, doit ˆetre sans biais (< A >= a), de variance la plus petite sˆ possible, et convergent (A ur pour n → ∞). Sa d´etermination par la m´ ethode du maximum de vraisemblance consiste `a se donner une densit´e de probabilit´e Πi pi (xi − x(a)) “raisonnable” pour les erreurs Xi − x(a), et `a retenir la valeur a ˆ (fonction des xi ) qui maximise cette probabilit´e. a ˆ(x1 , x2 · · · xn ) est une r´ealisation exp´erimentale de l’estima=a teur A ˆ(X1 , X2 · · · Xn ).
Estimations conduisant ` a un χ2 On se limite a` deux exemples d’estimation amenant `a consid´erer des r´ealisations χ2exp d’une v.a. χ2 , qui est la somme des carr´es de v.a. gaussiennes centr´ees ind´ependantes. EXEMPLE 1. Si la grandeur mesur´ee est directement celle qu’on veut estimer (x ≡ a) (xi − x)2 . et si les erreurs sont gaussiennes de variances σi2 , alors Πi pi (xi −x) ∝ Πi exp − 2σi2
10 • Probabilit´es ; processus al´eatoires
316
Maximiser cette fonction par rapport a` x revient `a minimiser la quantit´e χ2 (x) =
n (xi − x)2 σi2 i=1
(χ2 ` a n degr´ es de libert´ es) .
i wi Xi avec wi = σi−2 , et sa r´ealisation est : L’estimateur est X = i wi wi xi . x ˆ = i i wi Il donne un poids plus grand aux mesures les plus pr´ecises ; ce n’est que si toutes sont faites avec la mˆeme pr´ecision que l’estimation exp´erimentale est la moyenne arithm´etique des r´esultats de mesure. Le χ2 exp´erimental a pour expression χ2exp = n (xi − x ˆ)2 . 2 σi i=1 EXEMPLE 2. Estimation d’une v.a. X. On cherche alors ` a estimer sa moyenne, sa variance, sa loi de probabilit´e, etc. ` a partir des valeurs x1 , x2 · · · xn obtenues lors de n mesures de X (les mesures ind´ependantes ´etant ici suppos´ees se faire sans erreur). Comme pr´ec´ edemment pour chaque i, mais parce que X est al´eatoire et non ` a cause d’erreur de mesure, xi est une valeur possible d’une v.a. etant ind´ependantes. On v´erifie en calculant explicitement leurs moyennes que Xi ≡ X, les Xi ´ +)2 + = X1 +X2 +···+Xn et V = 1 n (Xi − M M i=1 n n−1 sont des estimateurs sans biais de la moyenne et de la variance de X. Si on s’int´ eresse ` a la loi de probabilit´e de X (suppos´ee discr`ete pour simplifier), et si lors d’une s´erie de n mesures la valeur xα du spectre de X a ´ et´ e trouv´ ee nα fois, Pα = Nα est un estimateur sans biais de la probabilit´e th´eorique pα n
de cette valeur ; Nα est la v.a. dont les valeurs nα d´ ependent de la s´erie de n mesures effectu´ ee. On peut α −npα sont proches de gaussiennes centr´ees, r´ eduites ; on pose montrer que pour n grand les v.a. N√ npα 2 α) alors χ2exp = sα=1 (nα −np . (Ici le nombre de degr´es de libert´e est r = s − 1 car les Nα sont reli´es np α par la contrainte α Nα = n.)
Loi et test de χ2 Apr`es avoir obtenu une estimation se pose toujours le probl`eme du “degr´e de confiance” dans cette estimation qui n’est qu’une r´ealisation de l’estimateur. C’est l`a qu’intervient r la loi du χ2 ` a r degr´ es de libert´ e : loi de la v.a. Z = i=1 G2i o` u les v.a. Gi sont des gaussiennes centr´ees r´eduites ind´ependantes. Les tables de χ2 donne la valeur χ2p telle que P ({Z < χ2p }) = p pour p = 0, 5, 0, 90, 0, 95 . . . Le test du χ2 consiste alors `a se donner une valeur de p (proche de 1) `a laquelle correspond une valeur χ2p , et `a comparer cette derni`ere au χ2exp ; le test est n´egatif si χ2exp > χ2p (puisque la probabilit´e 1 − p tr`es petite de cette ´eventualit´e devrait pratiquement l’exclure). Si χ2exp < χ2p le test est positif, ce qui ne constitue pas une preuve de validit´e. Ce n’est qu’en satisfaisant simultan´ement plusieurs types de tests qu’une estimation devient de plus en plus plausible ; par exemple, il faut v´erifier aussi que < X 4 > −3 < X 2 >2 0 pour une v.a. gaussienne centr´ee. REMARQUE. Une autre application importante est l’ajustement de donn´ees exp´erimentales par la m´ethode des moindres carr´es (cf. section 11.3.3).
10.3 Processus al´eatoires
10.3
317
´ PROCESSUS ALEATOIRES
Consid´erons une particule brownienne dans un fluide situ´ee en O `a t = 0. Lors d’une exp´erience ω1 son mouvement, dˆ u aux chocs avec les mol´ecules du fluide, est d´ecrit par une fonction “ordinaire” r1 (t) ; dans une autre exp´erience ω2 la trajectoire r2 (t) → − est diff´erente. Ces fonctions sont des r´ealisations d’une fonction al´eatoire R (t). En g´en´eral on ne s’int´eresse pas `a la trajectoire enti`ere, mais on cherche `a savoir si il existe des corr´elations entre les positions a` des instants diff´erents, comment se comporte le → − → − → − → − → − d´eplacement R (t2 ) − R (t1 ), etc. Ce sont donc les v.a. R (t1 ), R (t2 ) · · · R (tn ) (t1 , t2 . . . tn ´etant des param`etres) qu’on ´etudie, et en pratique on se limite aux familles a` un et deux instants qui caract´erisent en g´en´eral assez bien le processus. On commence ici par consid´erer la marche au hasard qui est plus simple que le mouvement brownien et peut servir d’introduction aux autres processus ´etudi´es par la suite.
10.3.1
Marche al´ eatoire ; processus de diffusion ; mouvement brownien
Mod´ elisations de la diffusion ; bruit blanc Consid´erons un marcheur qui, partant de l’origine O a` t = 0, se d´eplace sur une droite en effectuant aux instants 0, τ, 2τ · · · nτ · · · des pas ind´ependants ±l avec la mˆeme probabi1 lit´e (de transition) . Sa position X(t) est une somme de v.a. ind´ependantes, centr´ees et 2 de variance l2 d’o` u: < X(t) >= 0
;
< (X(t))2 >= nl2 = 2Dt (t = nτ ) .
l2 = V l. Ces r´esultats restent valables τ quelle que soit la loi des pas pourvu qu’elle soit de moyenne nulle et de variance l2 ; l et V sont des libre parcours moyen et vitesse typiques.
D est le coefficient de diffusion d´efini par 2D =
Un processus de diffusion correspond `a la limite continue o` u τ et l tendent vers z´ero, D restant fix´e. Il peut aussi ˆetre consid´er´e comme une “vision `a grande ´echelle” de la t marche al´eatoire. Si τ = le nombre de pas n = effectu´es dans l’intervalle [0, t] tend vers l’infini lorsque → 0, et (cf. section 10.2.1) X(t) devient une v.a. gaussienne. Sa variance ´etant 2Dt et sa moyenne nulle, sa densit´e s’´ecrit : 1 x2 ; PX (x, t) = √ exp − 4Dt 4πDt elle v´erifie l’E.D.P. de diffusion (cf. section 8.2.2) ∂t P = D ∂x2 P pour t > 0. La densit´e de probabilit´e conditionnelle de X(t2 ) sachant que X(t1 ) = x1 (t2 > t1 > 0) s’appelle probabilit´ e de transition du processus not´ee Pt2 ,t1 (x2 / x1 ) ; son expression − 1 (x2 − x1 )2 Pt2 ,t1 (x2 / x1 ) = 4πD(t2 − t1 ) 2 exp − 4D(t2 − t1 ) se d´eduit de celle de PX (x, t) en rempla¸cant l’intervalle [0, t] par [t1 , t2 ] et x par (x2 − x1 ). Plus g´en´eralement les d´eplacements X(t2 ) − X(t1 ) sont des v.a. gaussiennes centr´ees, de
10 • Probabilit´es ; processus al´eatoires
318
variance 2D(t2 − t1 ), et qui sont ind´ependantes si les intervalles [t1 , t2 ] ne se recouvrent pas. REMARQUE. Si t2 − t1 = dt est infinit´esimal on peut poser X(t2 ) − X(t1 ) = dX(t). Les physiciens appellent bruit blanc (gaussien) le “processus limite” d´efini par : dX(t) . dt = t (ind´ ependance
B(t) = limdt→0
des d´eplacements dX(t) et Il v´ erifie < B(t) >= 0 et < B(t) B(t ) >= 0 pour t dX(t )). Comme la variance de (t2 −t1 )−1 (X(t2 ) − X(t1 )) vaut 2D(t2 −t1 )−1 on voit que < B(t) B(t ) > est singulier pour t = t . On justifie l’expression < B(t) B(t ) >= 2D δ(t − t ) en remarquant que cela redonne bien : 2 < X(t) >= 0t 0t < B(t ) B(t ) > dt dt = 2Dt .
Autre mod´ elisation. Consid´erons une chaˆıne d’atomes et un ´electron pouvant sauter d’un atome vers les deux atomes voisins distants de a avec une ´egale probabilit´e λ dt dans l’intervalle [t, t + dt]. Alors si P (x, t) est sa probabilit´e de pr´esence `a l’abscisse x `a l’instant t, on a (cf. p(A) = i p(A/Bi ) p(Bi )) P (x, t + dt) = P (x + a, t) + P (x − a, t) λ dt + P (x, t) (1 − 2λ dt) , ce qui donne l’´equation maˆıtresse ∂t P (x, t) = P (x+ a, t)+ P (x− a, t)− 2P (x, t) λ. Dans la limite continue a → 0 , λ → ∞ et λa2 = D, on retrouve l’´equation ∂t P = D ∂x2 P .
E.D.P. de Fokker-Planck Ce mod`ele se g´en´eralise en consid´erant des probabilit´es de transition par unit´e de temps de x vers x±a asym´etriques et inhomog`enes de la forme λ±(x). Ceci conduit aux termes suppl´ementaires −P (x + a, t) (x + a) + P (x − a, t) (x − a) et, dans la limite continue avec A(x) = 2a(x) fix´e, `a l’´equation : ∂P (x, t) ∂ ∂ 2 P (x, t) =− (A(x) P (x, t)) + D . ∂t ∂x ∂x2 A(x) est la vitesse de d´ erive associ´ee au d´eplacement moyen a(λ + (x)) dt − a(λ − (x)) dt = A(x) dt dans le temps dt. Si A = 0 l’´equation d´ecrit de la diffusion pure. Si D = 0 l’´equation ∂t P (x, t) + ∂x (A(x)P (x, t)) = 0 d´ecrit l’´evolution temporelle d’une densit´e de points sur une droite lorsque x˙ = A(x) (syst`eme d´eterministe ; cf. section 8.2.3). Equation de Langevin ` a une dimension : mV˙ + αV = F (t) Elle d´ ecrit le mouvement brownien d’une particule dans un fluide en supposant que la force due aux chocs avec les mol´ecules du fluide se s´epare en un effet moyen de friction αV et une force F (t) de moyenne nulle, ind´ependante de la position X(t) et de la vitesse V (t) de la particule et de type bruit blanc gaussien. Pour un petit intervalle de temps Δt, la variation de vitesse ΔV contient une partie “d´ erive” −αm−1 V Δt (qui empˆeche la vitesse de devenir trop grande) et une partie “diffusion” telle 2 que < (ΔV )2 >= m−2 < 0Δt F (t ) dt >= 2DV Δt en appelant DV le coefficient de diffusion dans e P (v, t) ob´eit donc l’espace des vitesses ; (si α ´ etait nul < V 2 (t) > tendrait vers l’infini avec t). La densit´ a l’´ ` equation :
∂t P = ∂v
α m
v P + DV ∂v2 P .
10.3 Processus al´eatoires
319
Sa valeur d’´equilibre Peq ∝ exp
−αv 2 2mDV
(telle que ∂t Peq = 0) correspond ` a la loi de Boltzmann si
m2 DV = αkB T . Il existe donc une relation entre les fluctuations de F (t) (force due aux chocs pour V = 0), le coefficient de friction α (caract´ erisant la r´eponse lin´eaire des mol´ecules ` a un mouvement de la particule) et la temp´erature T . On obtient la diffusion en position X en ´ ecrivant : d < XV > . m−1 α < XV >= m−1 < XF > − < X V˙ >= − < X V˙ >=< V 2 > − dt 2 >= k T et, comme d < X 2 >= 2 < XV >, on a α < XV > m < V On en d´ eduit que pour t m B α dt il vient :
10.3.2
< X 2 (t) > 2Dt avec D =
kB T α
(relation d’Einstein) .
Processus de Markov ; probabilit´ es de transition ; bilan d´ etaill´ e
D´ efinition Ce sont des processus al´eatoires tels que la connaissance de la valeur de X(t) `a un instant t0 r´esume tout le pass´e, c.a.d. d´etermine la loi de probabilit´e de X(t) pour t > t0 . Le processus de diffusion (pour X(t)), de Langevin (pour V (t)), de mˆeme que la marche au hasard en sont des exemples (avec respectivement t continu et t discret). Si les valeurs prises par le processus sont discr`etes, celui-ci est d´etermin´e par les probabilit´ es de transition Pt,t0 (x/x0 ) donnant la probabilit´e (conditionnelle) pour que X(t) = x sachant que X(t0 ) = x0 ; elles deviennent des densit´es si les valeurs x sont continues. Comme on peut passer de x0 ` a x en transitant par une valeur quelconque y `a un instant interm´ediaire τ , ces probabilit´es v´erifient Pt,t0 (x/x0 ) =
Pt,τ (x/y) Pτ,t0 (y/x0 )
y
(relation analogue a` celle Ft,t0 = Ft,τ ◦ Fτ,t0 ´ecrite `a la section 6.1.1. pour les syst`emes dynamiques, mais ici avec τ ∈ [t0 , t]).
Chaˆınes de Markov ; bilan d´ etaill´ e Il s’agit de processus `a temps discret (tn = nτ ) o` u le syst`eme peut transiter d’un ´etat j vers un ´etat i avec la probabilit´e constante Pij ( i Pij = 1). Si le nombre d’´etats est fini, la probabilit´e pi (n + 1) d’ˆetre dans l’´etat i ` a l’instant (n + 1)τ est reli´ee aux probabilit´es pj (n) d’ˆetre dans un ´etat j ` a l’instant pr´ec´edent nτ par : pi (n + 1) =
Pij pj (n)
ou sous forme matricielle
p (n + 1) = P p (n) .
j
L’exemple le plus simple de matrice de transition est P = a, b ∈ [0, 1]) ; elle correspond a` un syst`eme `a deux ´etats.
a 1−b 1−a b
(avec
Propri´ et´ es des matrices P. 1) Les valeurs propres v´erifient |λ| ≤ 1 ; en effet, si v est un vecteur propre on a |λ| |vi | = | j Pij vj | ≤ esultat. j Pij |vj |, et en sommant sur i on obtient le r´
10 • Probabilit´es ; processus al´eatoires
320
2) Si la matrice est sym´etrique les valeurs propres sont r´eelles. La valeur propre -1 est exceptionnelle (pour la matrice 2 × 2 ci-dessus il faudrait a = b = 0, cas d’une transition certaine). La valeur propre 1 correspond au vecteur propre dont les composantes sont ´egales ; elle est en g´en´ eral non d´eg´ en´ er´ ee. En P v = P v , on d´ e duit P (v − v ) = 0 pour tout i (car P = 1 et effet, de vi = ij j ji i ij j i ji j j j j e des composantes car si il en existait une, vi , plus petite que les autres, Pji = Pij ) ; ceci implique l’´egalit´ l’´ egalit´e ci-dessus serait viol´ee (en supposant que les Pij ne sont pas nuls). 3) Sauf exception, la matrice P−1 n’est pas une matrice de transition ; (pour la matrice 2 × 2 ci-dessus il faudrait soit a = b = 1 soit a = b = 0). Les processus de Markov d´ecrivent en g´en´ eral des ph´ enom` enes irr´ eversibles. Micror´ eversibilit´ e et distribution microcanonique. En m´ ecanique quantique les probabilit´es de transition entre ´etats sont sym´etriques (cf. section 4.4.2) : Pij = Pji . Si on consid`ere pour i, j · · · les ´ etats microscopiques d’un syst`eme macroscopique isol´e (point de vue microcanonique), on d´eduit des propri´et´ es de la matrice P qu’il y a une seule distribution d’´equilibre qui est la distribution uniforme o` u tous les ´etats sont ´equiprobables. Toute distribution initiale tend vers elle. En effet en d´ecomposant l’´ etat initial p(0) sur les vecteurs propres de P, on voit que, au cours de l’´evolution, seule sa composante a la valeur propre λ = 1 va subsister : p(n) = Pn p(0) → peq sur le vecteur propre peq correspondant ` quand n → ∞ (car les autres valeurs propres v´erifient |λ| < 1).
On dit qu’une distribution d’´ equilibre (d´efinie par Ppeq = peq ) ob´eit `a la relation de eq bilan d´ etaill´ e si il y a autant de transitions de i vers j que de j vers i : Pji peq i = Pij pj (cf. exemple ci-dessous et section 11.5). Cette relation qui correspond a` l’absence de courant dans l’espace des ´etats (figure 11a) n’est pas a priori n´ecessaire pour peq (figure 11b).
1
1
3
2
3
2 (b)
(a) Figure 11
Equation maˆıtresse Si le temps est continu, on introduit des probabilit´es de transition par unit´e de temps wij . L’´ equation maˆıtresse satisfaite par les probabilit´es de pr´esence pi (t) s’obtient intuitivement en faisant le“ bilan des arriv´ees et des d´eparts” : p˙ i (t) =
j
wij pj (t) −
wji pi (t) .
j
On peut la consid´erer comme limite continue de l’´equation pi (n + 1) = j Pij pj (n) d’une chaˆıne de Markov. Un ´etat d’´equilibre correspond a` p˙ eq = 0 et la condition de eq bilan d´etaill´e s’´ecrit wji peq i = wij pj .
10.3 Processus al´eatoires
321
EXEMPLE : coefficients d’Einstein. Pour d´ecrire un atome `a deux niveaux (le niveau 2 ´etant le niveau excit´e) en ´equilibre avec le rayonnement thermique a` la temp´erature T (β = (kB T )−1 ), Einstein a pos´e w12 = A(ν) + B12 (ν) u(ν, β) et w21 = B21 (ν) u(ν, β) o` u u(ν, β) est la densit´e volumique spectrale d’´energie, B12 et A sont respectivement associ´es aux ´emissions induite et spontan´ee et B21 `a l’absorption (cf. cours de physique). En ´ecrivant la relation de bilan d´etaill´e w12 e−β2 = w21 e−β1 (avec A(ν) avec la loi de Planck 2 − 1 = hν), et en comparant u(ν, β) = B21 (ν) eβhν − B12 (ν) A (cf. section 10.2.3), il en a d´eduit l’´egalit´e B12 = B21 et l’expression du rapport . B12
12 =
10.3.3
Processus stationnaires ; th´ eor` eme de Wiener-Khintchine ; ergodicit´ e
D´ efinitions Un processus est stationnaire si ses propri´et´es statistiques ne d´ependent pas du choix de l’origine des temps. Pour le d´ecrire on se limite en g´en´eral a` sa moyenne (constante, prise ´egale a` z´ero dans la suite) et sa fonction de corr´ elation d´efinie par : Γ(τ ) =< X(t) X(t + τ ) > . Elle v´erifie Γ(τ ) = Γ(−τ ) (changement t → t − τ ) et Γ(0) ≥ |Γ(τ )| (cons´equence de < |X(t + τ ) + λ X(t)|2 > ≥ 0 quel que soit λ). En g´en´eral Γ(τ ) fait intervenir un temps de corr´elation (ou de coh´erence) τc au del` a duquel X(t) et X(t + τ ) ne sont quasiment plus corr´el´es ; τc est nul pour un bruit blanc car alors Γ(τ ) ∝ δ(τ ) (cf. section 10.3.1). Parmi les processus stationnaires fr´equemment rencontr´es figurent les processus gaussiens pour lesquels toute famille de v.a. X(t1 ), X(t2 ) · · · X(tn ) est gaussienne, et qui sont donc enti`erement caract´eris´es par Γ(τ ), et les processus poissonniens tels que X(t) change de mani`ere al´eatoire aux instants Ti d´efinis ` a la section 10.2.2 . EXEMPLE 1. Signal lumineux ´emis par un atome soumis `a des chocs dans un gaz (figure 10b) : X(t) = a exp −i(2πν0 t + Φ(t)) o` u Φ(t), v.a. ´equir´epartie sur [0, 2π], change aux instants Ti . Si entre t1 et t2 aucun choc ne s’est produit (´ev`enement A), on a Φ(t2 ) = Φ(t1 ) ; si au moins un choc s’est produit dans cet intervalle (´ev`enement A), Φ(t1 ) et Φ(t2 ) sont ind´ependantes. En ´ecrivant < Xt1 Xt2 > =< Xt1 Xt2 /A > P (A)+ < Xt1 Xt2 /A > P (A) = |a|2 exp −2iπν0 (t2 − t1 ) P (A) + 0 × P (A) avec P (A) = exp −λ|t2 − t1 | (cf. section 10.1.2), on obtient la fonction de corr´elation : Γ(τ ) =< Xt1 Xt2 >= |a|2 exp −2iπν0 τ exp −λ|τ | .
10 • Probabilit´es ; processus al´eatoires
322
EXEMPLE 2. La vitesse du mouvement brownien, donn´ee par V (t) = est une v.a. gaussienne car somme de v.a. gaussiennes. De < (petit calcul) < V (t1 ) V (t2 ) >= DV
m α
F (s) F (s )
t −∞
α exp − m (t−s)
>= 2DV
m2
T (ν) = La transform´ee de Fourier (tronqu´ee) X 1 T (ν ) X T (ν) > = 1 <X T T
T 2
− T2
T 2
− T2
e−i2πντ Γ(τ ) dτ
T 2
− T2
e−i2π(ν
−ν)t
´ DEMONSTRATION : on fait le changement de variable t = t + τ dans t
ds,
on d´eduit
e−i2πνt X(t) dt v´erifie pour T τc :
Γ(ν) sincπ(ν − ν)T .
e−i2πν
F (s) m
α exp − m |τ | = Γ(τ ), avec τ = t2 − t1 (cf. aussi section 5.3.3).
Th´ eor` eme de Wiener-Khintchine
δ(s−s ),
< X(t) X(t ) > dt dt .
T 2
dt
− T2
T 2
− T2
ei2πνt
Pour ν = ν le sinus cardinal vaut 1 et on obtient le th´eor`eme : T (ν)|2 > . Γ(ν) = lim T −1 < |X T →∞
Ce r´esultat est semblable a` celui ´etabli `a la section 5.3.3 pour la densit´e spectrale de puissance d’un signal chaotique stationnaire. Pour l’exemple 1 ci-dessus Γ(ν) ∝ 4π 2 (ν − −1 : les chocs conduisent a` un profil de raie lorentzien. ν0 )2 + λ2 Pour ν = ν et T grand le sinus cardinal vaut z´ero ; on interpr`ete ce r´esultat comme l’absence de corr´elation entre les composantes de Fourier d’un signal stationnaire. Ergodicit´ e Une question importante dans la pratique est de savoir si les moyennes statistiques < · · · > relatives ` a un T2 1 processus stationnaire X(t) peuvent ˆetre remplac´ees par les moyennes temporelles limT →∞ T T (· · · ) dt −2
relatives ` a une r´ ealisation “typique” x(t) = X(t, ω) du processus. Un processus pour lequel ceci est possible est dit ergodique et on doit avoir en particulier : T < X(t) >= limT →∞ T1 2T x(t ) dt ; < X(t)X(t + τ ) >= limT →∞ −2
1 T
T 2
−T 2
x(t ) x(t + τ ) dt .
Pour que, par exemple, l’´egalit´e relative ` a la moyenne soit satisfaite il est n´ecessaire que, dans la limite T2 1 2 = 1 × T → ∞, la v.a. Y = T X(t) dt devienne sure, c.a.d. que σY tende vers z´ ero ; de σY T2 −T T 2 T2 T2 ) > dt dt = 1 2 < X(t)X(t Γ(τ ) dτ (calcul identique au pr´ e c´ e dent), on d´ e duit que ceci T T T T −2
−2
−2
est satisfait notamment si Γ(τ ) → 0 quand τ → ∞ (cas des exemples ci-dessus). Plus g´en´ eralement les “processus ` a perte de m´ emoire”, tels que les v.a. X(t) et X(t ) deviennent ind´ependantes pour |t − t| fini, sont des exemples de processus ergodiques.
Chapitre 11
Analyse num´ erique ; physique discr` ete
L’´etude num´erique d’un probl`eme physique se d´eroule sch´ematiquement en trois ´etapes. La premi`ere concerne sa formalisation math´ematique ; les dix premiers chapitres de ce livre y ont ´et´e consacr´es, l’accent ´etant mis sur l’importance des concepts math´ematiques. La seconde concerne l’´elaboration d’un mod`ele num´erique “sens´e mimer au mieux” le mod`ele math´ematique ; elle rel`eve de l’analyse num´erique abord´ee ici en raison de son importance de plus en plus grande en physique. Enfin la derni`ere concerne la mise en œuvre sur l’ordinateur de la m´ethode pr´ec´edente ; c’est la phase de programmation, situ´ee hors du champ de cet ouvrage. Une fois formalis´e, par exemple sous la forme d’une ´equation diff´erentielle (E.D.), un probl`eme physique n’est pas pour autant r´esolu. Mˆeme si la solution analytique de l’´equation est connue, le physicien est int´eress´e non seulement par les valeurs prises par cette solution en fonction de la variable, mais aussi en fonction des conditions initiales (C.I.) (ou aux limites (C.L.)), des param`etres de l’´equation ... Se posent alors de nombreux probl`emes num´eriques, tel que celui du choix, crucial, du pas de discr´etisation (de la variable, des param`etres ...) qui conditionne la pertinence et la pr´ecision d’un calcul, ou tel que l’interpolation pour le trac´e de graphes. Mais tr`es souvent le probl`eme physique n’a pas de solution explicite, par exemple s’il conduit a` une E.D. lin´eaire `a coefficients variables ou `a une E.D. non lin´eaire. Le recours au num´erique est alors indispensable ; il implique, pour ces exemples, la discr´etisation des op´erations de d´erivation et donc la transformation d’un syst`eme dynamique (S.D.) continu en un S.D. discret. La v´erification que ce dernier constitue une bonne approximation du S.D. continu est un probl`eme important et non trivial, souvent facilit´e par la connaissance pr´ealable (physique et math´ematique) des propri´et´es qualitatives de la solution. Sous r´eserve de cette v´erification la simulation du probl`eme physique permet une “exp´erimentation num´erique” y compris dans des domaines de param`etres non accessibles a l’exp´erimentation physique. Inversement, l’´etude a priori de mod`eles num´eriques peut ` aider a` la compr´ehension et a` la formalisation math´ematique de probl`emes physiques.
11 • Analyse num´erique ; physique discr`ete
324
Les m´ethodes d’analyse num´erique ne concernent ´evidemment pas que les E.D. (ou les E.D.P.). La physique lin´eaire, l’analyse des signaux, la formulation de solutions physiques en terme d’extremum, ainsi que la physique statistique y font largement appel. Inversement, les m´ethodes num´eriques peuvent s’inspirer des outils th´eoriques d´evelopp´es dans ces secteurs (cf. ci-apr`es, section 11.2.3, la m´ethode de Lax dans laquelle on ajoute des termes diffusifs `a certains sch´emas num´eriques pour les rendre stables ou, section 11.5.2, la m´ethode du recuit simul´e qui utilise la loi de Boltzmann pour trouver le minimum principal d’une fonction en ´evitant de rester “pi´eg´e” dans un minimum secondaire). Compte tenu de l’´etendue du sujet nous nous contentons dans ce chapitre de d´ecrire quelques m´ethodes num´eriques parmi les plus utiles aux physiciens, en pr´ecisant leurs limites (stabilit´e, pr´ecision ...) et en donnant une id´ee de leurs applications.
11.1 11.1.1
´ DISCRETISATION Repr´ esentation des nombres ; erreurs ; stabilit´ e num´ erique
Repr´ esentation des nombres Dans un ordinateur les nombres sont repr´esent´es en binaire (suite de 0 et de 1) dans un format dont la longueur d´epend du nombre de bits utilis´es (32 en simple pr´ecision et 64 en double pr´ecision). Dans la repr´esentation a` point flottant un nombre s’´ecrit ±M 2e−q
avec
1 ≤M <1. 2
M est la mantisse, e l’exposant et q un nombre fixe (d´ecallage d’exposant). × × × × × × × ×× (1) × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ××
signe exposant e mantisse M En simple pr´ecision le premier des 32 bits sp´ecifie le signe (0 pour + et 1 pour -) ; les huit bits suivants codent l’exposant e compris entre 0 et 28 − 1 = 255, l’exposant total e − q variant de -126 a` 129 (q = 126) ; enfin les 23 bits restants (en fait 24 car la condition 1 ıne que le premier bit de M est toujours ´egal a` 1 et est sous-entendu dans 2 ≤ M entraˆ cette repr´esentation) codent la mantisse comprise entre 12 et 1 − 2−24 . Il en r´esulte que le domaine des nombres x repr´esentables est 2−127 5, 9 10−39 ≤ x ≤ 2129 (1 − 2−24 ) 6, 8 1038 . Mais il est important de remarquer que tous les nombres de ce domaine ne peuvent pas ˆetre repr´esent´es exactement (par exemple 13 dont la mantisse devrait ˆetre la suite p´eriodique infinie 101010...).
Nombres en physique (rappel) De tr`es grands et de tr`es petits nombres peuvent apparaˆıtre en physique. Cependant les valeurs des grandeurs physiques sont toujours relatives a` un syst`eme d’unit´es. Avant de rentrer des valeurs dans l’ordinateur il est donc important d’effectuer une analyse dimensionnelle et d’ordre de grandeur du probl`eme afin de mettre en ´evidence des nombres
11.1 Discr´etisation
325
sans dimension, d’´eventuelles propri´et´es d’´echelle (cf. section 1.3.2)... puis de choisir des unit´es adapt´ees. (Par exemple 10−34 J.s et m 10−30 kg disparaissent de l’E.D.P. de Schr¨ odinger pour un ´electron dans un potentiel V ( r), de valeur typique V0 , si les unit´es 1 de temps et de longueur sont prises ´egales `a V0−1 et (2mV0 )− 2 .)
Erreurs d’arrondi et de troncature Le fait que la mantisse ne comporte qu’un nombre fini de bits entraˆıne des erreurs d’arrondi dans la repr´esentation des nombres et lors des op´erations (additions, multiplications...). En petits nombres positifs repr´esentables 12 2−q et 1 simple pr´ecision, les deux plus −24 −q −24 −q 2 sont s´epar´es de 2δx = 2 2 . Il en r´esulte une erreur relative d’arrondi 2 +2 =
δx = 2−24 = 6 . 10−8 . x
(En double pr´ecision le plus petit nombre repr´esentable est 10−308 et l’erreur relative d’arrondi vaut 10−16 .) Une autre source d’erreur, a` priori ind´ependante de la pr´ec´edente, est l’erreur de troncature li´ee `a l’utilisation de sch´emas avec un pas h de discr´etisation fini. Regardons sur un exemple comment les deux types d’erreurs interviennent sur la pr´ecision d’un r´esultat. EXEMPLE. Si on calcule la d´eriv´ee d’une fonction par f (x) = h−1 f (x + h) − f (x) ou f (x) = (2h)−1 f (x + h) − f (x − h) , l’erreur de troncature, estim´ee par un d´eveloppement de Taylor, se comporte comme h |f | (ordre 1) ou h2 |f | (ordre 2) ; elle diminue avec h. L’ordre de grandeur de l’erreur d’arrondi est dans les deux cas × h−1 |f | (´etant entendu que h est toujours repr´esent´e exactement) ; elle croit avec h−1 . La somme est minimale pour une valeur de h optimale # 12 # 13 " " √ 1 |f | |f | ou hopt = |f|f| | et vaut Δ ou 3 Δ, o` u Δ |f|f|| |f hopt = |f|f|| | |f | est une longueur typique sur laquelle f et ses d´eriv´ees varient (cf. chap. 5, figure √ 3). Pour cette valeur optimale l’erreur relative sur f se comporte donc comme 2 plus grande que (par exemple de ou 3 . On remarque qu’elle peut ˆetre nettement √ quatre ordres de grandeur si on compare `a pour = 10−8 ). On remarque aussi que cette erreur s’approche de quand l’ordre de l’erreur de troncature (puissance en h) augmente. On verra comment augmenter cet ordre tout en partant d’un sch´ema num´erique d’ordre bas (extrapolation de Richardson).
Stabilit´ e d’un sch´ ema num´ erique Un autre probl`eme relatif aux erreurs, auquel il faut veiller, concerne leur ´evolution dans un sch´ema r´ecurrent. Celui-ci peut les amplifier, auquel cas il est dit instable. Ceci n’est pas grave si le sch´ema num´erique est pr´ecis et le nombre d’it´erations limit´e, mais est en g´en´eral a` ´eviter. Un exemple ´el´ementaire (g´en´eralis´e plus loin aux E.D. et aux E.D.P.) √ 2 est le calcul des puissances un = xn du nombre x = 5−1 2 . Comme x + x − 1 = 0 on peut utiliser la r´ecurrence un+1 = un−1 − un avec u0 = 1 et u1 = 0, 680... = x (` a la pr´ecision de la machine). Une erreur se propage alors selon la r`egle δun+1 = δun−1 − δun
11 • Analyse num´erique ; physique discr`ete
326
qui admet pour solution g´en´erale δun = αxn + β(−x)−n (cf. section 8.1.1). L’erreur est donc amplifi´ee `a chaque pas : elle ´evolue comme x−n avec x < 1. En simple pr´ecision δun devient de l’ordre de un vers n 16 (alors que x16 10−4 ).
11.1.2
D´ erivation et int´ egration ; extrapolation de Richardson
D´ erivation On consid`ere des fonctions f (t), une discr´etisation de pas tn+1 − tn = h constant et on pose f (tn ) = fn . Les approximations les plus simples (dites “avant”, “arri` ere” et “centr´ ee”) de la d´ eriv´ ee premi` ere f (tn ) sont : fn+ =
fn+1 − fn h
,
fn− =
fn − fn−1 h
fn0 =
,
fn+1 − fn−1 . 2h
Elles correspondent aux pentes des segments BC, AB et AC sur la figure 1 et sont respectivement d’ordre 1, 1 et 2 (erreurs en h, h et h2 ) ; par exemple |fn+ − f (tn )| ≤ h sup |f (t)|, avec t ∈ [tn , tn+1 ]. La premi`ere approximation de la d´ eriv´ ee seconde 2 t fn+1 − 2fn + fn−1 (cf. sections 6.3 et 8.1.2). f (tn ) est fn = h2 REMARQUE. En dimension 2, le laplacien ∂x2 + ∂y2 f (x, y) d’une fonction f (x, y), discr´etis´ee selon f (x0 + jh, y0 + kh) = fj,k , est repr´esent´e par : Δfj,k = h−2 fj+1,k + fj−1,k + fj,k+1 + fj,k−1 − 4fj,k .
f(t)
f n+1
C
f n +1
h2 f n"
fn
2
B A t n −h
tn
t n +h
Figure 1
f(t)
f(t)
f(t)
t n t n+1
t n t n+1
t n t n+1
t n t n+1
fn h f n’ 0
f n−1
f(t)
h f n’ + h f n’ −
(a)
(b)
(c)
(d)
Figure 2
Int´ egration L’int´egrale de f (t) entre tn et tn+1 peut, par exemple, ˆetre approch´ee par : t + t fn + fn+1 n n+1 , h . h fn , h fn+1 , h f 2 2 Ces approximations, qui sont respectivement dites m´ethode du rectangle ` a gauche, du rectangle ` a droite, du point milieu et du trap` eze, sont illustr´ees sur la figure 2.
11.1 Discr´etisation
327
Les erreurs correspondantes sont born´ees par h2 sup |f | pour (a) et (b),
h3 sup |f | pour 4
h3 sup |f | pour (d). Pour un intervalle fini Δt compos´e de N sous intervalles de 12 Δt , les erreurs d´ependent donc de N comme N −1 (N −2 × N ) pour les longueur h = N m´ethodes des rectangles et N −2 (N −3 × N ) pour celles du point milieu et du trap`eze. Par exemple pour le trap`eze : t+Δt=tN 1 Δt f0 fN + f1 + · · · + fN −1 + +O S= . f (t) dt = N 2 2 N2 t=t0 (c) et
L’int´erˆet de cette m´ethode est qu’on peut montrer que l’erreur est une fontion paire de h, donc du type AN −2 + BN −4 + · · · en fonction du nombre de pas. Donc si SN est N pas, on a la valeur approch´ee de l’int´egrale pour N pas (N pair), et SN/2 celle pour 2 −2 −2 SN = S + AN + · · · , SN/2 = S + 4AN + · · · et : 1 4 1 SN − SN/2 = S + O . 3 3 N4 Donc, sans diminuer h mais en tenant compte de la valeur approch´ee pour 2h, on a am´elior´e l’estimation de S de 2 ordres ! Cette technique d’am´elioration de la pr´ecision, bas´ee sur la d´ependance en N (donc en h) de SN , est un cas particulier de l’approche de Richardson de la valeur limite ; cette technique, qui peut s’appliquer a` de nombreux probl`emes, consiste `a utiliser les r´esultats obtenus pour diff´erents pas (h, 2h,...) pour approcher, par extrapolation, la valeur exacte associ´ee `a la valeur limite h = 0.
11.1.3
Nombres al´ eatoires ; m´ ethode de Monte-Carlo
G´ en´ erateurs de nombres al´ eatoires Dans les ordinateurs, les entiers al´eatoires r´epartis de fa¸con ´ equiprobable entre 0 et un grand entier m − 1, sont engendr´es (pour les g´en´erateurs les plus courants) en utilisant la m´ethode de la congruence lin´eaire. Les entiers I1 , I2 , · · · sont alors obtenus, `a partir d’un entier quelconque I0 (le germe), par la r´ecurrence : In+1 = aIn + c
modulo m .
(Il existe des valeurs optimum pour a et c qui d´ependent de celle de m.) Une telle suite ´etant p´eriodique de p´eriode m, on voudrait pouvoir prendre pour m le plus grand nombre repr´esentable par la machine mais la multiplication par a conduit a` des “overflows”. (En simple pr´ecision on ne peut pas d´epasser m 106 , nombre “petit”, mais l’utilisation d’un g´en´erateur faisant intervenir successivement plusieurs germes diff´erents permet d’allonger la p´eriode.) On engendre les lois courantes de probabilit´e en consid´erant des fonctions des In . Pour In . Pour la loi exponentielle, on la loi uniforme sur [0, 1], on utilise la suite xn = m dx utilise la suite yn = −λ−1 ln(xn ) ; en effet, de p(y) dy = p(x) dy (cf. section 10.1.2) dy 2 on d´eduit p(y) = λ exp[−λy]. √ Pour la loi gaussienne de moyenne μ et de variance σ , on utilise la suite yn = μ + −2σ 2 ln xn cos 2πxn+1 .
11 • Analyse num´erique ; physique discr`ete
328
√ ´ DEMONSTRATION. Soient x et x deux v.a. ´equir´ eparties sur [0, 1] et y = −2σ2 ln x cos 2πx, √ 1 arctan yy et x = exp − 2σ1 2 (y 2 + y 2 ) ). De p(y, y ) dy dy = y = −2σ2 ln x sin 2πx (alors x = 2π ∂(x,x ) ∂(x,x ) p(x, x ) ∂(y,y ) dy dy , on d´eduit p(y, y ) = ∂(y,y ) = √1 exp − 2σ1 2 y 2 √1 exp − 2σ1 2 y 2 . Donc y 2π 2π et y sont deux v.a. gaussiennes ind´ependantes de moyenne nulle et de variance σ2 ; il suffit alors de poser x = xn , x = xn+1 et y + μ = yn .
Pour une loi quelconque p(x), une m´ethode g´en´erale est la m´ethode de rejet (cf. remarque ci-dessous).
Int´ egration par la m´ ethode de Monte-Carlo f(x) fmax
lancer avec chevauchement
0
lancer sans chevauchement
b
a
b
− π/ 2
x
(a) b
a
0 (b)
a cos θ
π/ 2
Figure 3
Le calcul de I = a f (x) dx (f (x) > 0) par la m´ethode de Monte-Carlo consiste `a tirer N points au hasard a` l’int´erieur d’un rectangle d’aire A = (b − a)fmax qui contient le graphe ; les coordonn´ees xi et yi des points sont des v.a. ´equir´eparties sur [a, b] et [0, fmax] (figure 3a). I est alors estim´ee par l’aire A multipli´ee par la fraction de points qui sont 1 “tomb´es” en dessous de la courbe ; l’erreur se comporte comme N − 2 . REMARQUE. M´ ethode de rejet. Si f (x) est une loi de probabilit´e sur [a, b], les coordonn´ees xi des points conserv´es sont distribu´ees selon cette loi. EXEMPLE historique : aiguille de Buffon. La d´ etermination “exp´erimentale” de π en jetant N fois “au hasard” une aiguille de longueur a sur un parquet dont les lames ont une largeur b > a, et en comptant la proportion des cas o` u l’aiguille chevauche deux lames, revient ` a calculer l’aire sous la courbe repr´ esent´ee sur la figure 3b par la m´ethode de Monte-Carlo (r´eflexion laiss´ee au lecteur qui montrera que la probabilit´e de chevauchement vaut
2a ). πb
La m´ethode d’int´egration de Monte-Carlo se g´en´eralise `a d dimensions. En dimension 1 ce n’est pas la plus performante, mˆeme dans des versions plus ´elabor´ees que celle pr´esent´ee ci-dessus (Monte-Carlo adaptatif qui utilise des ´echantillons al´eatoires non uniform´ement r´epartis par exemple). Par contre c’est la plus efficace pour le calcul d’int´egrales multiples lorsque le domaine d’int´egration a une forme compliqu´ee ou (et) en grande dimension.
´ ´ 11.2 RESOLUTION NUMERIQUE D’E.D. ET D’E.D.P. 11.2.1 Syst` emes dynamiques ; sch´ emas d’Euler et de Runge Kutta Rappelons que toute E.D. ou syst`eme d’E.D. d’ordre quelconque se ram`ene `a un syst`eme d’ordre 1 pour n fonctions (cf. section 6.1). Pour simplifier on consid`ere le cas n = 1 : x(t) ˙ = f (x(t), t)
,
x(0) = x0 .
11.2 R´esolution num´erique d’E.D. et d’E.D.P.
329
Le temps ´etant suppos´e discr´etis´e de fa¸con r´eguli`ere dans un certain domaine, on pose : xn = x(tn ) ,
fn = f (x(tn ), tn )
avec tn+1 − tn = h .
La r´esolution num´erique du S.D. consiste `a exprimer xn+1 en fonction des valeurs connues xn−k (k ≥ 0).
Sch´ emas principaux Les m´ethodes les plus simples sont les sch´emas d’Euler xn+1 = xn + hfn
ou xn+1 = xn + hfn+1
qui correspondent `a l’int´egration de f (x(t), t) par les m´ethodes du rectangle. Ce sont des sch´emas d’ordre 1 (une sch´ema d’int´egration ´etant d’ordre n si l’erreur tend vers 0 comme hn+1 ). Le premier est explicite (xn+1 n’apparaˆıt pas dans le membre de droite). Le second est implicite et demande en g´en´eral la r´esolution d’une ´equation a` chaque pas (par la m´ethode de Newton-Raphson par exemple). Les deux ont ´et´e combin´es pour →− → → → ¨r = − l’obtention graphique de trajectoires solutions de − F (→ r ) `a partir de − r n+1 = − rn+ → − → − → − → − h v n , v n = v n−1 +h F n (cf. section 6.3, figures 16 o` u h = 1). Un autre sch´ema implicite est celui de Crank-Nicolson h xn+1 = xn + (fn + fn+1 ) (ordre 2) 2 qui correspond `a l’int´egration de f par la m´ethode du trap`eze. Sch´emas implicites et explicites sont souvent combin´es dans des m´ethodes dites de pr´ edicteur-correca fournir une valeur de xn+1 pour le teur. Ainsi celui d’Euler explicite xn+1 = xn + hfn peut servir ` membre de droite de l’´equation de Cranck-Nicholson. Si on se limite ` a la premi`ere it´eration on obtient la formule de Runge-Kutta d’ordre 2 (R.K.2) xn+1 = xn + h2 f (xn , tn ) + f (xn + hfn , tn + h) ´ equivalente ` a xn+1 = xn + hf xn + 12 hfn , tn + h2 . Le sch´ema R.K.2 donne donc xn+1 en estimant x˙ au point milieu, au lieu des points extrˆemes comme les sch´emas d’Euler. (On notera que xn+1 obtenu 1 E E E u xE a partir de xn par le sch´ema R.K.2 s’´ecrit aussi xR n+1 = 2 (xn+1 + xn+2 ) o` n+1 et xn+2 sont obtenus ` par le sch´ema d’Euler explicite ; cf. figure 4 qui correspond ` a x˙ = −x et h =
x
A
xn
1 .) 2
Runge Kutta 2
1 Euler implicite
0.5
x Rn+1 x En+1
0
x En+2
1 Euler explicite
tn
t n+1
t n+2
Figure 4
t
2
λh
Crank−Nicolson
−1 Figure 5
Un sch´ema tr`es utilis´e parce que tr`es pr´ecis est celui de Runge-Kutta d’ordre 4 (er1 reur en h5 ) donn´e par xn+1 = xn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) avec k1 = hf (xn , tn ), 6 k1 h k2 h , k3 = hf xn + , tn + et k4 = hf (xn + k3 , tn + h). Il k2 = hf xn + , tn + 2 2 2 2
11 • Analyse num´erique ; physique discr`ete
330
estime x˙ en tn , tn + h et deux fois en tn + h2 . Le lecteur v´erifiera qu’appliqu´es au cas (trivial) x˙ = −λx, les sch´emas d’Eulerexplicite, R.K.2 et R.K.4 donnent respectivement x(t + h) = (1 − λh) x(t), x(t + h) = 1 − λh + 2 2 3 3 4 4 λ2 h2 x(t) et x(t + h) = 1 − λh + λ 2h − λ 6h + λ24h x(t) au lieu de x(t + h) = e−λh x(t). 2
Stabilit´ e et pr´ ecision L’´etude de la stabilit´ e de ces sch´emas consiste `a estimer l’effet sur xn+1 d’une perturbation sur xn . Un sch´ema est stable si δxn n’est pas amplifi´e ; cette condition s’´ecrit : |A| ≤ 1
avec A =
∂xn+1 δxn+1 = . δxn ∂xn
Par exemple pour l’´equation x(t) ˙ = −λx(t) + g(t) on obtient δxn+1 = (1 − λh) δxn pour Euler explicite. Ce sch´ema est donc stable si λh ≤ 2. En calculant de mˆeme A pour Euler implicite, Crank-Nicolson et R.K.2 le lecteur v´erifiera que les sch´emas implicites sont plus stables que les sch´emas explicites (figure 5). Un exemple d’instabilit´e est donn´ee par le sch´ema leapfrog xn+1 = xn−1 − 2h(λxn + gn ) (d´eriv´ee centr´ee) qui conduit a` A2 + 2hλ A − 1 = 0, soit a` deux valeurs pour A dont une v´erifie |A| > 1 quel que soit h. Pr´ ecision. La condition de stabilit´e est n´ecessaire au calcul mais elle ne garantit pas sa pr´ecision. Pour cel` a on sait qu’il faut que h soit nettement plus petit que le temps caract´eristique τ d’´evolution de x(t) (l’erreur ´etant d’ordre (hτ −1 )n+1 pour un sch´ema d’ordre n). Par exemple pour x˙ = −λx, τ = λ−1 et il faut λh 1. Par contre, pour x(t) ˙ = −λx(t) + g(t), avec g lentement variable “` a l’´echelle λ−1 ” (temps caract´eristique −1 τg = Kλ avec K 1), il suffit que λh K (en dehors du r´egime transitoire). Dans ce dernier cas on a int´erˆet `a choisir un sch´ema stable pour des valeurs de λh grandes devant 1 afin d’´eviter des temps de calcul trop longs et l’accumulation d’erreurs. Une fa¸con de d´eterminer h pour obtenir une pr´ ecision donn´ee, quand celle-ci ne peut pas ˆetre estim´ee a priori, est la suivante. Soit x∗ (t + 2h) la solution exacte d´eduite de x(t) et soient x2h et xh+h les valeurs correspondantes donn´ees par le sch´ ema num´erique pour un pas 2h (en une ´ etape) et pour deux it´erations de pas h. Pour le sch´ ema R.K.4 par exemple, les erreurs sont x2h − x∗ (t + 2h) = C (2h)5 et ∗ 5 xh+h − x (t + 2h) = 2C h . La diff´erence x2h − xh+h C (2h)5 permet d’estimer C et donc l’erreur a chaque pas h. On peut alors ajuster le pas h en cours de calcul pour atteindre la pr´ecision Δ = C h5 ` 01 5. requise : si Δ0 est cette pr´ecision il faut prendre un nouveau pas h0 = h Δ Δ
11.2.2
E.D. avec conditions aux limites ; m´ ethode de tir
Consid´erons (cf. section 6.4) une E.D. lin´eaire du second ordre pour une fonction y(x) repr´esentant l’amplitude d’une onde stationnaire de pulsation ω. L’onde est d´efinie sur un intervalle [a, b] aux extr´emit´es duquel sont impos´ees des C.L. impliquant lin´eairement y et sa d´eriv´ee. L’E.D. du second ordre se ram`ene `a deux E.D. du premier ordre dyi (x) = aij (x, ω) yj (x) dx j
(i, j = 1, 2)
(avec par exemple y1 = y et y2 = y ). Celles-ci peuvent ˆetre discr´etis´ees sous la forme 1 n+1 (anij yjn + an+1 ) (sch´ema d’ordre 2) yin+1 − yin = (xn+1 − xn ) ij yj 2 j
11.2 R´esolution num´erique d’E.D. et d’E.D.P.
331
avec yjn = yj (xn ), anij = aij (xn , ω) (n = 1, 2, · · · N − 1). Ce syst`eme de 2(N − 1) ´equations u y n d´esigne le vecteur colonne de comlin´eaires s’´ecrit matriciellement y n+1 = An yn o` n n posantes (y1 , y2 ) et An une matrice 2 × 2 jouant le rˆ ole de matrice de transfert discr`ete. Les C.L. s’´ecrivent α1 y1 (a) + α2 y2 (a) = 0 et β1 y1 (b) + β2 y2 (b) = 0. Dans une m´ ethode de tir (figure 6a o` u y(a) = y(b) = 0) le principe consiste `a se donner (` a un facteur λ pr`es) y(a) satisfaisant la C.L. en a puis a` calculer, comme dans un probl`eme de C.I., y(b) par application de la matrice de transfert, la constante λ ´etant d´etermin´ee par une normalisation sur y(b) (par exemple y2 (b) = 1 si la C.L. en b le permet). On calcule alors la quantit´e Δ(ω) = β1 y1 (b)+β2 y2 (b), fonction de la pulsation ω qui doit ˆetre nulle pour la solution. Avec une discr´etisation de ω, on rep`ere les intervalles o` u Δ(ω) change de signe puis on applique dans chacun de ces intervalles une m´ethode de recherche de z´ero (cf. section 11.3.2) pour obtenir les pulsations propres. Au lieu de a, la m´ethode de tir peut partir de b ou de a et b simultan´ement (avec recollement des deux solutions en un point interm´ediaire).
y
y
solution
0
a
0
b x
(a)
a
(b)
b x
Figure 6 Le choix entre ces diverses possibilit´es devient d´eterminant si l’E.D. du second ordre est singuli`ere en un point de [a, b]. Par exemple si la singularit´e est en b, il existe pr` es de x = b deux solutions puissance du etant pas ´ egal ` a une pulsation propre au d´epart, type (b − x)γ+ et (b − x)γ− avec γ+ > 0 et γ− < 0. ω n’´ un tir ` a partir de a va avoir une composante sur la solution divergente et conduire automatiquement ` a des valeurs infinies pour y(x) en b (figure 6b). Il faut donc partir de b avec la condition y (b) = −γ+ y(b). (On a vu ` a la section 8.3.2 qu’en sym´etrie sph´ erique une E.D.P. faisant intervenir le laplacien conduit, apr`es s´ eparation des variables, ` a une E.D. singuli`ere en r = 0 pour la partie radiale avec des solutions en r l et r −(l+1) .)
11.2.3
E.D.P. avec conditions initiales : propagation, diffusion
E.D.P. de propagation Consid´erons l’´equation de propagation la plus simple : ∂t f + c ∂x f = 0
(c constante) .
Soient Δt et Δx les pas de discr´etisation et fjn la valeur de f pour t = tn et x = xj . Un sch´ema num´erique a priori naturel (Euler explicite pour t, d´eriv´ee centr´ee pour x) est : (a)
fjn+1 = fjn − c Δt
n n fj+1 − fj−1 c Δt h n n = fjn − fj+1 − fj−1 . avec h = 2 Δx 2 Δx
11 • Analyse num´erique ; physique discr`ete
332
(On observera que Δt et Δx n’apparaˆıssent qu’`a travers h qui est sans dimension.) L’´etude de sa stabilit´e consiste `a voir comment ´evolue une perturbation δfjn . La relation (a) ´etant lin´eaire a` coefficients constants, il suffit (cf. section 8.2.1) de consid´erer une perturbation de type onde plane de vecteur d’onde k. Apr`es un pas celle-ci est multipli´ee par une constante. On v´erifie en effet que : δfjn ∝ eik jΔx −→ δfjn+1 = (1 − ih sin k Δx) δfjn = Aa fjn . n On aurait de mˆeme Ab = 1 + h − heik Δx pour le sch´ema (b) fjn+1 = fjn − h(fj+1 − fjn ). Etonnamment, ces deux sch´emas sont instables : |Aa,b | > 1. La raison est d’origine physique : l’E.D.P. d´ecrit une propagation a` la vitesse c vers les x > 0 et donc fjn+1 ne n n n peut d´ependre a priori que des fjn , fj−1 , fj−2 ..., mais pas de fj+1 . Les figures 7a et 7b n+1 n illustrent la propagation des donn´ees fj et la d´ependance de fj vis a vis des fjn .
t
t c Δt
t n+1
Δx
t n+1
Δt tn
tn x j−1
xj
xj+1
x j−1
x
(a)
xj
xj+1
x
(b) Figure 7
La figure 7b permet de comprendre qualitativement pourquoi le sch´ema n (pour lequel Ac = 1 − h + h e−ik Δx ) (c) fjn+1 = fjn − h fjn − fj−1 est stable si h < 1 : les donn´ees f (tn , x) n´ecessaires `a l’obtention de f (tn+1 , xj ) correspondent a` des valeurs de x comprises entre xj−1 et xj . Le lecteur v´erifiera que les sch´emas n n − + fj−1 (d) fjn+1 = 12 fj+1
h 2
n n fj+1 − fj−1
et
(e)
n n fjn+1 = fjn−1 − h fj+1 − fj−1 1
sont aussi stables si h < 1 (Ad = cos k Δx − ih sin k Δx et Ae = −ih sin k Δx ± (1 − h2 sin2 k Δx) 2 , n − cons´ equence de A2e = 1 − 2ihA(e) sin k Δx). (d) corrige (a) par l’ajout d’un terme de diffusion en fj+1 n−1 n n n ethode de Lax) et (e) en introduisant fj au lieu de fj (sch´ ema leapfrog) ; dans 2fj + fj−1 (m´
les deux cas ces modifications font que les donn´ees f (tn , x) pour x ∈ [xj , xj+1 ] deviennent n´ecessaires n au second membre des sch´emas (d) pour l’obtention de f (tn+1 , xj ), ce qui justifie la pr´esence de fj+1 et (e). L’int´erˆ et de (e) est que |Ae | ne d´epend pas de k et que la d´ependance en k de la phase est la
plus petite. La figure 8 repr´esente les courbes A(k) dans le plan complexe pour ces diff´erents cas (avec Δt = 12 ). Il faut en pratique h ≤ 15 . h = cΔx REMARQUES. 1) L’analyse ci-dessus reste valable si c d´ epend de f , la propagation d’une valeur fjn se faisant alors a ` la vitesse c(fjn ) ; les difficult´es num´eriques apparaˆıssent avec l’onde de choc (cf. chap. 7, figure 3) car elle met en jeu de grandes fr´equences spatiales, i.e. k (Δx)−1 . 2) L’E.D.P. de propagation du second ordre se discr´etise naturellement sous la forme : n Δt n ∂t 2 f − c2 ∂x 2 f = 0 −→ fjn+1 − 2fjn + fjn−1 = h2 fj+1 − 2fjn + fj−1 . avec h = cΔx
11.2 R´esolution num´erique d’E.D. et d’E.D.P.
333
L’´ etude de stabilit´e analogue ` a celle faite ci-dessus conduit ` a (A − 1)2 = −4Ah2 sin2 k Δx ,´ equation qui 2 admet deux solutions avec A1 A2 = 1. Il y a stabilit´e pour h ≤ 1 (alors |A1,2 | = 1). Cette condition peut se comprendre ` a partir de figures analogues aux figures 7a et b, la propagation se faisant maintenant n n + fj−1 et dans les deux sens x > 0 et x < 0. Pour h = 1 l’E.D.P. discr´ etis´ee s’´ ecrit fjn+1 + fjn−1 = fj+1 a pour solution exacte fjn = u(j + n) + v(j − n) comme l’´equation d’onde.
1
A (c)
(d)
(a)
O
A (e)
(b)
Figure 8
E.D.P. de diffusion L’E.D.P. de diffusion se discr´etise naturellement sous la forme : n D Δt n avec h = − 2fjn + fj−1 . ∂t f = D∂x 2 f −→ fjn+1 − fjn = h fj+1 (Δx)2 a la condition h ≤ 12 . L’´etude de stabilit´e conduit (petit calcul) a` A = 1 − 4h sin2 k Δx 2 et ` L’interpr´etation physique de cette condition est illustr´ee sur les figures 9a et 9b qui montrent comment les donn´ees diffusent et comment fjn+1 d´epend des fjn .
t
t 2 D Δt
t n+1
Δx
t n+1
Δt tn
tn x j−1
xj
xj+1
x
x j−1
xj
xj+1 x
(b)
(a) Figure 9
Typiquement, une diffusion sur une distance L demande un temps τ tel que Dτ ∼ 1 (cf. section 10.3.1). L2 Cependant, comme l’´echelle de longueur L des ph´enom`enes ´etudi´ es doit n´ecessairement v´erifier L Δx, 2 les temps caract´eristiques d’´evolution LD de ces ph´ enom`enes vont impliquer un nombre de pas de temps interm´ediaires
L2 D Δt
=
L2 (Δx)2
tr` es grand. Dans la m´ethode de Crank-Nicolson (du second ordre en
temps), le sch´ema num´erique et son facteur d’amplification sont :
11 • Analyse num´erique ; physique discr`ete
334 fjn+1 − fjn =
D Δt 2(Δx)2
n n+1 n+1 n fj+1 + fj+1 − 2fjn+1 + fj−1 − 2fjn + fj−1
;
A=
1−2h sin2 k Δx 2 1+2h sin2 k Δx 2
.
On observe que A < 1 pour tout h, ce qui permet de choisir des Δt en fonction de la physique, et non de a partir des fjn est un probl`eme lin´eaire faisant intervenir des matrices la grille Δx. L’obtention de fjn+1 ` tridiagonales (cf. section 11.4.1). REMARQUE. L’E.D.P. de Schr¨ odinger i∂t Ψ = HΨ (avec H = −∂x 2 +V (x) pour un choix convenable d’unit´es) est analogue ` a l’E.D.P. de diffusion, mais il faut respecter le caract`ere unitaire de l’´evolution. 2 ` Ψn+1 se Pour la r´ esoudre on approxime e−iH Δt par le produit ei Δt ∂x e−i Δt V (x) . Le passage de Ψn j a j fait alors en deux ´etapes en utilisant la transform´ee de Fourier discr`ete et son inverse (cf. section 5.3.2) : 1 1 2 2 n+ 2 = 1 N−1 e−ikq j e−i Δt Vj Ψn → Ψn+1 = N−1 eikq j e−ikq Δt Ψ n+ avec kq = 2πq . Ψn q j → Ψq j q=0 j=0 j N N
11.3
APPROXIMATION DE FONCTIONS ; INTERPOLATION ; ´ ; METHODE ´ ´ MOINDRES CARRES DE BEZIER
L’approximation de fonctions revˆet des formes tr`es vari´ees. Un premier type de probl`emes concerne des fonctions d´efinies par des s´eries infinies. L’approximation consiste alors souN vent `a utiliser des “repr´esentations vectorielles finies” f (x) = n=1 cn φn (x) o` u les φn (x) peuvent ˆetre des polynˆ omes (de Tchebytchev par exemple), des polynˆomes par morceaux (B-splines par exemple), des fonctions sinuso¨ıdales .... Ces repr´esentations servent aussi au trac´e de graphes, a` l’int´egration num´erique (int´egration de Gauss), `a la r´esolution num´erique d’E.D. (les cn ´etant alors les inconnues `a d´eterminer)... Dans un autre type de probl`emes on dispose d’un ensemble de donn´ees y = yi pour x = xi (i = 1, 2, · · · , N ) dont on souhaite une traduction analytique y = f (x). Si les yi sont “exacts” il s’agit d’un probl`eme d’interpolation ; l’approximation par des polynˆ omes (de Lagrange) ou des polynˆomes par morceaux (“cubic-splines”) passe alors par les points (xi , yi )). Si par contre les yi sont entach´es d’erreurs, l’interpolation exacte n’a plus de sens et on utilise une m´ethode de moindres carr´es qui fait passer “au mieux” l’approximation au milieu du nuage de points.
11.3.1
Approximations polynomiales (Tchebytchev, B-splines...)
Bases de polynˆ omes orthogonaux Une base {PN , N = 0, 1, 2 · · · } est caract´eris´ee par un intervalle de d´efinition [a, b] et un produit scalaire : b < P, Q >= w(x) P (x) Q(x) dx . a
Le d´eveloppement de f (x) sur cette base est alors donn´es par : f (x) =
cn Pn (x)
;
− 1 cn = < Pn , Pn > 2 < Pn , f > .
n
Par exemple les polynˆomes de Legendre Ln (x) (cf. section 4.1.2) correspondent a` l’in1 tervalle [−1, 1] et w(x) = 1, ceux de Tchebytchev Tn (x) `a [−1, 1] et w(x) = (1 − x2 )− 2 , 2 ceux de Hermite Hn (x) (cf. section 4.4.4) `a [−∞, ∞] et w(x) = e−x , ceux de Laguerre α α −x Ln (x) ` a [0, ∞] et wα (x) = x e ... Pour chaque base Pn est de degr´e n, a n z´eros (un dans chaque intervalle d´efini par ceux de Pn−1 ) et il existe des relations simples entre les
11.3 Approximation de fonctions ; interpolation ; moindres carr´es ; m´ethode de B´ezier
335
polynˆ omes de diff´erents degr´es (par exemple Tn+1 = 2x Tn −Tn−1 ) et entre les polynˆ omes et leurs d´eriv´ees (par exemple (1 − x2 ) Tn = −nx Tn + n Tn−1 ). Les polynˆ omes de Tchebytchev Tn (x) = cos(n arc cos x) (= cos nϕ) , qui ont leurs n + 1 extrema tous ´egaux en valeur absolue (figure 10), jouent un rˆ ole privil´egi´e dans l’approximation de fonctions. En effet, ils poss`edent la propri´et´e remarquable que, parmi tous les polynˆomes de degr´e n (avec un coefficient de xn normalis´e `a 1), 2−n Tn (x) est celui dont les oscillations ont la plus petite amplitude sur [−1, 1].
1
1 −1
x
0
−1 T1(x)
T2(x)
T4 (x)
T3(x) Figure 10
Ces oscillations ´etant uniformes, l’approximation d’une fonction f (x) par le d´eveloppement limit´e n dx c0 2 1 f (x) Tk (x) √ √ + f (x) ck Tk (x) avec ck = dx = dϕ 2 π −1 1 − x2 1 − x2 k=1 conduit “pratiquement” au polynˆ ome P de degr´e n qui minimise
sup |f (x) − P (x)|. x∈[−1,1]
Comme de plus ces polynˆomes v´erifient la relation d’orthogonalit´e discr`ete N i=1
Tk (xi )Tl (xi ) =
N δkl si k ou l = 0 2
et
N
T0 (xi )T0 (xi ) = N ,
i=1
π 1 (i − ) sont les z´eros de TN (x) = cos N ϕ (N > k, l), les coefficients o` u les xi = cos N 2 ck du d´eveloppement limit´e peuvent ˆetre calcul´es par la formule exacte N 2 f (xi ) Tk (xi ) . ck = N i=1 xk (k) REMARQUES. 1) En analyse on utilise beaucoup les d´eveloppements limit´es de Taylor N (0). k=0 k! f Pour eux l’erreur , d’ordre |x|N+1 , croit quand on s’´eloigne du point de d´eveloppement et n’est donc pas uniforme sur l’intervalle consid´er´ e (qu’on peut toujours ramener ` a [−1, 1] par un changement de variable). L’int´erˆ et d’un d´eveloppement de Tchebytchev est d’obtenir la mˆeme erreur mais uniform´ement sur [−1, 1] et avec un polynˆ ome de degr´e inf´ erieur ` a N. 2) Les polynˆ omes ne constituent pas la seule fa¸con d’approcher une fonction. On peut aussi utiliser des
11 • Analyse num´erique ; physique discr`ete
336
fractions rationnelles. Par exemple l’approximation de Pad´ e d’une s´erie p ∞ b xi (x) k 0 f (x) = k=0 ak x −→ R(x) = 1+ q ic xj = P , Q(x) 1
j
o` u les bi et les cj sont obtenus ` a partir des ak par identification des d´eveloppements formels, est souvent une approximation “efficace” qui peut mˆeme repr´esenter f (x) au del` a du rayon de convergence de la ∞ k → R(x) = (1 − x)−1 ). x k=0
s´ erie initiale (cf. f (x) =
Int´ egration de Gauss. De fa¸con g´en´erale, l’utilisation de polynˆ omes orthogonaux comme base pose le probl`eme du calcul des coefficients du d´eveloppement par int´egration. La m´ethode de Gauss, qui joue sur le choix des points d’interpolation xi , est tr`es efficace. Si les xi sont les z´eros du polynˆome PN (x) associ´e au poids w(x) et les wi des constantes adapt´ees (`a ne pas confondre avec w(xi )), on montre que b N w(x) g(x) dx wi g(xi ) ; a
i=1
cette expression est exacte si g(x) est un polynˆ ome de degr´e inf´erieur `a 2N et constitue une bonne approximation pour g quelconque. Un exemple vient d’ˆetre vu avec PN = N π × TN et wi = N2 ; dans ce cas, l’erreur ee par 2N −1 k=1 ck Tk (x) est major´ 2 (2N )! −1 sup |g (2N ) (x)|. Pour PN = LN on a wi = 2 (1 − x2i ) LN (xi ) et l’erreur est d’ordre x∈[−1,1]
((2N )!)−1 sup |g (2N ) (x)|.
B-splines On se donne une suite de nombres x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xN appel´es noeuds. Les fonctions Bi,k (x) d’ordre k ≥ 1 sont alors d´efinies par la r´ecurrence (sur k) : x − xi xi+k − x Bi,k−1 (x) + Bi+1,k−1 (x) , Bi,k (x) = xi+k−1 − xi xi+k − xi+1 omes par avec Bi,1 (x) la fonction porte ´egale a` 1 sur [xi , xi+1 ]. Les Bi,k (x) sont des polynˆ morceaux de support [x , x ], positifs, de degr´ e k−1, d´ e rivable k−2 fois (pour k ≥ 3) et i i+k tels que i Bi,k (x) = 1. La figure 11a donne des exemples pour k = 1, 2, 3 et des noeuds xi r´eguli`erement espac´es (B-splines uniformes). Notons que plusieurs noeuds peuvent cependant ˆetre confondus et il est souvent utile de consid´erer ce cas (cf. ci-dessous).
B i,k (x)
B i,2 (x)
k=1
1
B i,3 (x)
i=1 1 i=0
k=2
i=2
i=3
1
i=−1
i=5
i=0
i=1
i=2
i=3
i=4
k=3 xi
xi+2
x i+1
(a)
xi+3
x 0,1
x2
x3
x 4,5
x −1,0,1
(b)
x2
x3
x4
x5
x 6,7,8
(c) Figure 11
L’approximation d’une fonction f (x) par une combinaison lin´eaire de B-splines d’ordre fix´e k s’adapte au cas o` u f (x) est restreinte `a un intervalle fini [a, b] (x1 = a, xN = b). Pour cel` a on garde la r´ecurrence ci-dessus mais, pour que l’approximation puisse prendre les valeurs
11.3 Approximation de fonctions ; interpolation ; moindres carr´es ; m´ethode de B´ezier
337
f (a) et f (b) (diff´ erentes de z´ero en g´en´ eral) en a et b, on ajoute ` a chaque extr´emit´e de l’intervalle u N = 4) on ajoute k − 1 noeuds confondus avec x1 et xN . Par exemple pour k = 2 (figure 11b o` x0 confondu avec x1 et xN+1 confondu avec xN , ce qui introduit les deux fonctions suppl´ementaires x−x −x B1,1 (x) = 0 en x1 et BN−1,2 (x) = x −xN −1 BN−1,1 (x) = 0 en xN (les deux fonctions B0,2 (x) = xx2−x 2
N
1
N −1
egalement introduites ´etant nulles car de supports ]x0 , x1 [ et ]xN , xN+1 [ porte B0,1 (x) et BN,1 (x) ´ “vides”). Pour chaque k on construit ainsi au total N + k − 2 fonctions Bi,k (x) avec i allant de 2 − k ` N − 1. (Le lecteur v´erifiera que N + k − 2 = (N − 1)k − (N − 2)(k − 2) est la dimension de l’espace a vectoriel des polynˆ omes de degr´e k − 1 et d´ erivables k − 2 fois en x2 , x3 · · · xN−1 .) Les fonctions Bi,k (x) sont alors nulles en dehors de [a, b] et v´erifient toujours i Bi,k (x) = 1. Pour i = 2 − k, 3 − k, · · · , 1, elles partent toutes de x1 et ont pour support [x1 , x2 ], [x1 , x3 ] · · · [x1 , xk+1 ] ; elles sont de plus en plus a d´ eriv´ ee premi`ere discontinue r´ eguli` eres en x1 lorsque i augmente (discontinue pour i = 2 − k, continue ` pour i = 3 − k...) ; les B-splines pour i = N − 1, N − 2, · · · N − k ont un comportement similaire en xN (figure 11c o` u N = 6 et k = 3).
Un int´erˆet de la repr´esentation de f (x) par des B-splines d’ordre fix´e k f (x)
N −1
ci Bi,k (x)
i=2−k
est que pour tout x elle n’implique qu’un petit nombre (k au plus) de Bi,k (x). Un autre int´erˆet est qu’elle permet d’´ecrire simplement les conditions aux limites susceptibles d’ˆetre impos´ees `a f en x1 et xN ; par exemple, pour k = 3, on a c−1 = f (a) et cN −1 = f (b). Enfin, comme pour les familles de polynˆ omes orthogonaux, il existe des relations remarquables entre les Bi,k et leurs d´eriv´ees, par exemple : B Bi+1,k−1 (x) i,k−1 (x) Bi,k . (x) = (k − 1) − xi+k−1 − xi xi+k − xi+1 L’ensemble de ces propri´et´es fait que la repr´esentation de f par des B-splines est bien adapt´ee `a la r´esolution d’E.D. avec conditions aux limites.
11.3.2
Interpolation de Lagrange et par “cubic-splines”
Polynˆ omes de Lagrange Par N points (xi , yi = f (xi )) du plan (x, y) il ne passe qu’une seule courbe polynomiale y = P (x) de degr´e N − 1. P (x) est donn´e par la formule explicite de Lagrange P (x) =
N
f (xi ) li (x)
i=1
avec li (x) =
1 x − xj . xi − xj j =i
P (x) peut aussi ˆetre repr´esent´e sur la base 1, (x − x1 ), (x − x1 )(x − x2 ), · · · par P (x) = f (x1 ) +
N
f [x1 , x2 , · · · , xk ] (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xk )
k=1
erences divis´ ees, sont donn´es par la o` u les coefficients f [x1 , x2 , · · · , xk ], appel´es diff´ r´ecurrence f [x1 , x2 , · · · , xk ] =
f [x2 , x3 , · · · , xk ] − f [x1 , x2 , · · · , xk−1 ] xk − x1
avec f [xi ] = f (xi ) .
11 • Analyse num´erique ; physique discr`ete
338
Ces expressions g´en´eralisent l’interpolation lin´eaire pour deux points (N = 2) : P12 (x) =
(x2 − x)f (x1 ) + (x − x1 )f (x2 ) f (x2 ) − f (x1 ) = f (x1 ) + (x − x1 ) . x2 − x1 x2 − x1
En pratique P (x) est obtenu en d´efinissant a` chaque ´etape des polynˆ omes qui interpolent ceux de l’´etape pr´ec´edente (m´ethode de Neville). EXEMPLE (N = 3) (figure 12). On part ` a l’´etape 0 des polynˆ omes constants Pi = f (xi ) (i = 1, 2, 3). a On construit, ` a l’´ etape 1 les interpolations lin´eaires P12 (x) (expression ci-dessus) et P23 (x), puis ` a partir de l’´ etape 2 le polynˆ ome P123 (x) = (x3 − x1 )−1 (x3 − x)P12 (x) + (x − x1 )P23 (x) obtenu ` a partir de P1 et P3 ). P12 et P23 comme l’est P13 `
P23 y
P2
P123
y 4
P3
P12
3
P1
1 x1
x
x2
3
M(x,y)
x3
M 1
2 x
(a)
Figure 12
2 (b)
x
Figure 13
Interpolation en dimension 2 (figure 13). Pour une grille rectangulaire elle est donn´ee par f (x, y) = λx λy f1 + (1 − λx )λy f2 + λx (1 − λy )f3 + (1 − λx )(1 − λy )f4 (λx = (x2 − x)(x2 − x1 )−1 , λy = (y3 − y)(y3 − y2 )−1 et fi = f (xi , yi )) ; pour une grille triangulaire f (x, y) = λ1 f1 + λ2 f2 + λ3 f3 o` u les λi sont les coordonn´ees barycentriques (λ1 =
x1
x2
x3 x 4 x (a)
x
0
x1
x 2 x3 x (b)
8
0
f(x)
8
f(x)
aire M 23 · · · , cf. section 2.2.1). aire 123
x
Figure 14 Interpolation et recherche de z´ eros. Supposons que x1 et x2 sont proches d’une valeur x∞ o` u f (x) s’annule. En posant P12 (x) = 0 dans l’interpolation lin´eaire ci-dessus P12 (x) − f (x1 ) (x2 − x1 ) on trouve une valeur approch´ee x3 = x1 − r´ecrite x = x1 + f (x2 ) − f (x1 )
11.3 Approximation de fonctions ; interpolation ; moindres carr´es ; m´ethode de B´ezier
339
f (x1 ) (x2 − x1 ) pour laquelle f (x) = 0. On it`ere cette m´ethode en rempla¸cant f (x2 ) − f (x1 ) ecante ; figure 14a). Cette (x1 , x2 ) par (x2 , x3 ) pour obtenir x4 etc. (m´ethode de la s´ f (xi ) lorsque m´ethode remplace celle de Newton-Raphson (figure 14b) xi+1 = xi − f (xi ) f (xi ) n’est pas connue avec assez de pr´ecision. (Attention, ces m´ethodes peuvent ne pas converger si on part trop loin de la solution x∞ .)
“Cubic-splines” Vouloir interpoler entre un tr`es grand nombre de points avec un seul polynˆome (n´ecessairement de degr´e ´elev´e) n’est pas raisonnable car les oscillations entre points augmentent avec le degr´e. Il est pr´ef´erable, notamment pour avoir des graphes “lisses”, de raccorder des interpolations polynomiales “locales” en assurant la continuit´e jusqu’` a la d´eriv´ee seconde aux points de raccordement. Construction : deux points x1 et x2 = x1 + h ´ etant donn´es, soient λ1 = h−1 (x2 − x) et λ2 = h−1 (x − x1 ) les coordonn´ees barycentriques d’un point interm´ediaire x et f (xi ) = fi . La fonction cubique d´efinie sur [x1 , x2 ] par a1 3 a2 3 (λ − λ1 )h2 + λ2 f2 + (λ − λ2 )h2 S(x) = λ1 f1 + 6 1 6 2 v´ erifie S(xi ) = fi et S (x) = λ1 a1 + λ2 a2 , d’o` u S (xi ) = ai . L’interpolation obtenue par recollement de ces fonctions, d´efinies chacune sur un intervalle [xi , xi+1 ], est donc continue ainsi que sa d´eriv´ ee seconde. Reste ` a assurer la continuit´e de la d´eriv´ ee premi`ere en chaque point xi , ce qui donne un syst`eme d’´ equations pour les ai . Un petit calcul conduit ` a la r´ ecurrence d’ordre 2 : xi − xi1 xi+1 − xi−1 fi+1 − fi fi − fi−1 xi+1 − xi ai+1 + ai + ai−1 = − . 6 6 6 xi+1 − xi xi − xi−1 Cette relation a une solution unique si on fixe deux conditions, par exemple a1 = aN = 0 (cubic-splines “naturelles”) ou en fixant S (x1 ) et S (xN ). Cette solution est obtenue en pratique par la r´esolution d’un syst` eme lin´eaire tridiagonal (cf. section 11.4.1).
11.3.3
M´ ethode des moindres carr´ es
Moindres carr´ es lin´ eaires Sous cette forme la plus simple il s’agit d’extraire une forme analytique f (x) d’un ensemble de n donn´ees fi , entach´ees d’erreur, correspondant aux valeurs xi d’une variable. Pour ce faire on cherche, comme pr´ec´edemment, f (x) sous la forme d’une combinaison finie de p < n fonctions de base φj (x) (des polynˆ omes par exemple) f (x) =
p
cj φj (x) ,
j=1
les coefficients cj ´etant ici obtenus en minimisant le carr´e de l’´ecart (norme L2 ) : e2 =
n i=1
p 2 wi fi − cj φj (xi )
wi = σi−2 > 0 .
j=1
Si on a une estimation des incertitudes sur les fi , le poids wi accord´e `a chacun est d’autant plus grand que l’erreur le concernant est petite. Si les erreurs sur les fi peuvent
11 • Analyse num´erique ; physique discr`ete
340
ˆetre assimil´ees `a des variables al´eatoires gaussiennes ind´ependantes de variance σi2 , e2 est un χ2 ` a n degr´es de libert´e (cf. section 10.2.4). En ´ecrivant p n 1 ∂e2 fi − = −2 cj φj (xi ) φk (xi ) = 0 2 ∂ck σ i=1 i j=1
on voit que les cj v´erifient l’´equation matricielle : Gt G c = Gt b
(ct = (c1 , · · · , cp )) .
G est la matrice n × p d’´el´ements Gij = σi−1 φj (xi ) et b le vecteur `a n composantes bi = σi−1 fi . Malheureusement la matrice p × p Gt G est g´en´eralement mal conditionn´ee (c.a.d. qu’une petite variation dans les donn´ees (fi , xi ) change compl`etement la solution) et son inversion num´erique est alors probl´ematique (cf. section 11.4). EXEMPLE. Pour φj (x) = xj−1 (approximation polynomiale), wi = 1 pour tout i et les xi r´ eguli` erement distribu´es sur [−1, 1] on obtient t j+k−2 n 01 xj+k−2 dx = G G kj = n i=1 xi
n j+k−1
.
Gt G est une matrice p × p de type Hilbert connue pour ˆetre mal conditionn´ee d`es que p ≥ 10.
REMARQUE. Il n’est souvent pas n´ecessaire de consid´erer de grandes valeurs de p. Une valeur convenable de p est atteinte si, apr`es avoir diminu´e rapidement quand p augmente, e2 minimum ne diminue que lentement au del` a de cette valeur.)
Moindres carr´ es non lin´ eaires Si la forme analytique f (x, a) de la fonction qui doit repr´esenter les donn´ees est connue par la physique, la m´ethode des moindres carr´es sert `a ajuster les valeurs des param`etres a ≡ (a1 , a2 , · · · ap ). On minimise comme pr´ec´edemment la quantit´e e2 (a) =
n
2 wi fi − f (xi , a) ,
i=1
et on obtient un syst`eme de p ´equations non lin´eaires pour les aj n ∂f (xi , a) ∂e2 = −2 wi fi − f (xi , a) =0 ∂aj ∂aj i=1
(j = 1, 2, · · · p)
de la forme gj (a1 , a2 , · · · ap ) = 0 (g : gradient de e2 ) . La r´esolution num´erique de ce syst`eme s’effectue par une m´ethode de Newton modifi´ee. On choisit des valeurs initiales a(0) (suppos´ees pas trop ´eloign´ees de la solution) et on p (0) ∂gj (0) (ak − ak ) . lin´earise le syst`eme en ´ecrivant : gj (a) gj (a ) + ∂ak k=1
En notant J la matrice hessienne de e2 , dont les ´el´ements de matrice sont Jkj =
n n ∂ 2 f (xi , a) ∂f (xi , a) ∂f (xi , a) ∂ 2 e2 ∂gj = =2 wi −2 wi f (xi , a) − fi , ∂aj ∂ak ∂ak ∂aj ∂ak ∂aj ∂ak i=1 i=1
11.3 Approximation de fonctions ; interpolation ; moindres carr´es ; m´ethode de B´ezier
341
le syst`eme d’´equations lin´earis´ees pour a s’´ecrit (sous forme matricielle) : g(a(0) ) = −J(0) (a − a(0) ) (J(0) = J pour a = a(0) ) . Sa solution a(1) est la solution approch´ee `a l’ordre 1. Ensuite on it`ere le processus en rempla¸cant a(0) par a(1) dans l’´equation matricielle pour obtenir a(2) et ainsi de suite : g(a(i) ) = −J(i) (a(i+1) − a(i) ) . REMARQUE. Pr` es du minimum les diff´erences (f (xi , a) − fi sont petites et non corr´el´ees de telle sorte qu’il est l´ egitime de n´egliger la deuxi`eme somme dans l’expression de Jkj . Dans cette approximation la matrice sym´etrique J est le plus souvent d´efinie positive mais peut dans certains cas ˆetre presque positive semi-d´efinie ; elle n’est donc pas toujours inversible et pour ´eviter ce probl`eme on r´esoud le syst´ eme modifi´e −1 a(i+1) = a(i) + J(i) + λ(i) I g(a(i) ) o` u la matrice J(i) + λ(i) I est d´efinie positive. On v´erifie que e2 (a(i+1) ) < e2 (a(i) ) (sinon on augmente λ(i) ) et on it`ere le processus en diminuant la valeur de λ ` a chaque pas pour le faire tendre vers 0 lorsque le degr´e de convergence est jug´e satisfaisant (m´ ethode de Levenberg-Marquardt).
11.3.4
M´ ethode de B´ ezier
A l’inverse des m´ethodes d’interpolation et de moindres carr´es o` u le but est de “faire passer au mieux” une fonction par des points fixes donn´es, dans la m´ethode de B´ ezier, tr`es utilis´ee en CAO (comception assist´ee par ordinateur), on d´eplace les points de contrˆ ole d’une courbe en param´etrique (ou d’une surface) pour obtenir une forme donn´ee, par exemple celle d’un caract`ere d’imprimerie (ou d’une carrosserie d’automobile).
Courbes de B´ ezier O´ etant un point fixe quelconque, la courbe de B´ezier ` a n + 1 points de contrˆ ole P0 , P1 , · · · , Pn est celle d´ ecrite, lorsque t parcourt l’intervalle [0, 1], par le point mobile P (t) d´ efini par n − −−− → −−→ k k Cn t (1 − t)n−k OPk . OP (t) = k=0 k tk (1 − t)n−k (polynomes de P (t) est le barycentre des points Pk affect´es des poids Bkn (t) = Cn n (t) = 1 ). Berstein qui v´ erifient n B k=0 k −−−−→ −−−→ - Cas de deux points de contrˆ ole (degr´e 1) : en pla¸cant 0 en P0 il vient P0 P (t) = t P0 P1 ; la courbe de B´ ezier est le segment P0 P1 .
P1
P2
P12 P1
P1 2
P012
P123 t=1 2
P01 P0
1
t= 3
1 t= 2
2
t= 3
P(t)
t=0
P(t) P2 t=1
Figure 15
P23
P01 P0
P3
t=0
t=1
Figure 16
− −−− → −−→ −−→ −−→ - Cas de trois points de contrˆ ole (degr´e 2) : OP (t) = (1 − t)2 OP0 + 2t(1 − t)OP1 + t2 OP2 . Pour tracer la courbe on utilise l’associativit´e dans la d´etermination du barycentre : si P01 est le barycentre de P0 (poids 1 − t) et de P1 (poids t) et si P12 est le barycentre de P1 (poids 1 − t) et P2 (poids t) alors P (t) est le barycentre de P01 (poids 1 − t) et P12 (poids t). Lorsque t varie de 0 ` a 1, P01 d´ ecrit le segment P0 P1 , P12 le segment P1 P2 et P (t) la courbe de B´ezier (figure 15).
11 • Analyse num´erique ; physique discr`ete
342
−−−→ −−→ −−→ −−−→ −−→ −−→ V´ erification : OP01 = (1 − t) OP0 + t OP1 et OP12 = (1 − t) OP1 + t OP2 d’o` u − −−− → −−→ −−→ −−−→ −−→ −−−→ 2 OP (t) = (1 − t) OP01 + t OP12 = (1 − t) OP0 + 2t(1 − t)OP1 + t2 OP2 − −−− → −−→ −−→ −−→ −−→ 3 2 - Cas de quatre points de contrˆ ole (degr´e 3) : OP (t) = (1−t) OP0 +3t(1−t) OP1 +3t2 (1−t)OP2 +t3 OP3 . Le trac´e de la courbe s’obtient comme pr´ec´edemment, “en prenant le barycentre de deux barycentres de poids 1 − t et t”, mais avec une ´etape suppl´ementaire (figure 16). Dans la pratique on ne consid`ere pas de courbes de B´ezier de degr´e sup´ erieur. Dans le cas d’un grand nombre de points de contrˆ ole on pr´ef´ ere raccorder, en certains de ces points, des courbes de degr´e deux ou trois. La raison principale est la suivante. Une courbe de B´ezier a un caract`ere global : le d´ eplacement d’un point de contrˆ ole affecte toute la courbe (cf. la figure 17 o` u P1 est d´ eplac´e en P’1 et P(t) transform´ee en P’(t)). Sur la figure 18, o` u la courbe en pointill´es est celle associ´ee aux 7 points de contrˆ ole, la courbe en trait plein est constitu´ee de deux (sous)courbes P(t) et P’(t) (chacune de degr´e 3 construite sur les 4 points de contrˆ ole P0 P1 P2 P3 et P’0 P’1 P’2 P’3 ) raccord´ ees en P3 ≡P’0 ; sur cette courbe fractionn´ee on peut d´eplacer P1 ou P0 (et amener ce dernier en P3 par exemple pour transformer P(t) en un lobe ferm´ e) sans modifier la partie P’(t). En consid´erant un courbe fractionn´ee on acquiert donc la possibilit´e de corriger localement la forme de la courbe. Une courbe fractionn´ee sera “lisse” (d´eriv´ ee continue) au point de raccord si celui-ci est situ´e sur le segment d´efini par le point qui le pr´ec` ede et celui qui le suit ; si de plus il est au milieu de ce segment, la d´eriv´ ee seconde est aussi continue. Ceci r´esulte du fait −−−−→ −−−→ −−−→ que pour tout t les vecteurs P01 P12 (confondu avec P0 P1 pour t = 0 et P1 P2 pour t = 1 ; figure 15) −−−−−−→ −−−→ −−−→ et P012 P123 (confondu avec P0 P1 pour t = 0 et P2 P3 pour t = 1 ; figure 16) sont proportionnels au − −−− → − −−− → −−−−→ (t) (t) . (Le lecteur montrera que dOP = 2P01 P12 pour une courbe de degr´e 2 et que vecteur tangent dOP dt dt − −−− → −−−−−−→ dOP (t) = 3P012 P123 pour le degr´ e 3.) dt 7 6
P2
P1
P2
P(t) P1
0
P(t)
P0
P’ 0 P3
P’1
P’(t)
6
P3
t=0
t=1
P’3 P6 P5 P’2
3
P0
P’(t)
P’1 P4 0
Figure 17
3
9 10 11
15 16
Figure 18
REMARQUE. Courbes B-splines. Les B-splines Bi,k (t) forment une base dans l’espace des polynomes de degr´e k − 1 et satisfont i Bi,k (t) = 1 comme les polynomes de Berstein. On peut donc, par analogie avec les courbes de B´ezier, utiliser la relation N−1 − −−− → −−→ OP (t) = Bi,k (t) OPi i=2−k
pour d´ ecrire des courbes en param´etrique : P (t) est le barycentre des N + k − 2 points de contrˆ ole Pi affect´es des poids Bi,k (t). Ces courbes B-splines ont un caract`ere local : les Bi,k ayant un support limit´e un d´eplacement de Pi ne modifie la courbe qu’au voisinage de ce point. Elles sont, comme les courbes de B´ ezier, tr`es utilis´ees en CAO.
Surfaces de B´ ezier Pour engendrer une surface, une g´en´ eralisation naturelle consiste ` a consid´erer le point P (u, v) d´ efini par la relation : n m −−−−−−→ k l k −−−→ OP (u, v) = Cn Cm u (1 − u)n−k uk vl (1 − v)m−l OPkl ; k=0 l=0
11.4 R´esolution d’´equations, d’E.D. et d’E.D.P. lin´eaires
343
il d´ ecrit la surface de B´ezier associ´ ee aux (n + 1) × (m + 1) points de contrˆ ole Pkl lorsque les deux param`etres u et v varient entre 0 et 1. Les deux courbes de B´ezier associ´ees aux groupes de points de contˆ ole {P0l } et {Pnl } (l = 0, 1, · · · , m) limitent la surface en “latitude” tandis que celles associ´ees aux points de contrˆ ole {Pk0 } et {Pkm } (k = 0, 1, · · · , n) la limitent en “longitude” (“latitude” et “longitude” ´ etant interchangeables).
11.4
RESOLUTION D’EQUATIONS, D’E.D. et D’E.D.P. LINEAIRES
Nous avons vu dans ce chapitre que l’´etude num´erique de nombreux probl`emes (interpolation par des cubic splines, m´ethode des moindres carr´es lin´eaires ou lin´earis´es, diverses m´ethodes aux diff´erences finies appliqu´ees aux E.D. ou E.D.P.) conduit a` un syst`eme d’´equations alg´ebriques lin´eaires du type Ax = b. Nous allons voir a` la section 11.4.2 qu’il en est de mˆeme lors de la r´esolution d’E.D. ou d’E.D.P. par une m´ethode spectrale. Un tel syst`eme lin´eaire, ´etudi´e au chapitre 4, se r´esoud th´eoriquement en inversant la matrice A ou en la diagonalisant, mais le probl`eme n’est pas simple car la dimension de A peut ˆetre grande (par exemple sup´erieure `a 100 × 100). Heureusement dans de nombreux cas la matrice A est proche d’une matrice diagonale (souvent tri-diagonale) et des algorithmes d’inversion efficaces peuvent alors lui ˆetre appliqu´es. Cependant il arrive que des lignes (ou des colonnes) de A soient presque proportionnelles (lin´eairement d´ependantes) ; le probl`eme est alors dit mal conditionn´e et sa r´esolution rel`eve de la d´ecomposition S.V.D. (singular value decomposition).
11.4.1
Equations lin´ eaires r´ eguli` eres et singuli` eres
Syst` eme r´ egulier ; “triangularisation” Soit a` r´esoudre le syst`eme de n ´equations (ind´ependantes) `a n inconnues n
aij xj = bi
(i = 1, · · · , n) ou Ax = b .
j=1
Puisque x = A−1 b on pourrait penser que le probl`eme num´erique consiste `a d´eterminer A−1 . Cependant cel` a demande plus d’op´erations (donc plus de temps de calcul et une augmentation des erreurs d’arrondi) que les m´ethodes par “triangularisation”. Dans la m´ ethode du pivot de Gauss, les inconnues sont num´erot´ees de telle sorte que dans les n ´equations a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 , · · · · · · , an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn le pivot a11 = 0 soit le plus grand possible (en valeur absolue). On ´elimine x1 des ´equations 2, 3, · · · , n en le rempla¸cant par son expression tir´ee de la premi`ere pour obtenir le nouveau syst`eme a11 x1 +a12 x2 +· · ·+a1n xn = b1
et
(1)
(1)
(1)
(1)
ai2 x2 +ai3 x3 +· · ·+ain xn = bi
(i = 2, · · · , n) .
On it`ere ensuite le processus : renum´erotation ´eventuelle des n − 1 variables restantes (1) (“pivotage”) pour que le pivot a22 = 0 soit le plus grand possible (en valeur absolue),
11 • Analyse num´erique ; physique discr`ete
344
´elimination de x2 des ´equations 3, 4, · · · , n en le rempla¸cant par son expression tir´ee de la seconde etc. On obtient finalement le syst`eme “triangulaire” a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn = b1 (1) (1) (1) (1) a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn = b2 (2) (2) (2) a33 x3 + · · · + a3n xn = b2 .. .. . . (n−1) (n−1) ann xn = bn , qui permet d’obtenir successivement xn , xn−1 · · · . La d´ ecomposition LU d’une matrice A consiste `a trouver une matrice L (triangulaire inf´ erieure, d’o` u L pour “lower”) et une matrice U triangulaire sup´ erieure (U pour “upper”) telles que : A = LU . Le lecteur se convaincra, en consid´erant par exemple la d´ecomposition d’une matrice 3×3 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a11 a12 a13 U11 U12 U13 1 0 0 ⎝a21 a22 a23 ⎠ = ⎝L21 1 0⎠ ⎝ 0 U22 U23 ⎠ , L31 L32 1 a31 a32 a33 0 0 U33 qu’en posant Lii = 1 on obtient successivement et par alternance les colonnes de U et −1 L : U11 = a11 , Li1 = U11 ai1 , U12 et U22 , Li2 · · · (relations `a la base de l’algorithme de Crout). La solution de Ax = LUx = b s’obtient alors en r´esolvant les syst`emes triangulaires Lc = b puis Ux = c. Du point de vue efficacit´e (temps de calcul et pr´ecision) elle est comparable `a la m´ethode du pivot de Gauss mais elle permet en plus, connaissant L et U, d’obtenir de fa¸con “´economique” le d´eterminant de A (produit des Uii ). REMARQUES. 1) Si A = T est tridiagonale, L et U sont tr`es simples (bidiagonales). 2) On peut aussi introduire des matrices L et U telles que LA = U en prenant pour L un produit de transformations de Householder (voir ci-dessous). 3) Si A est sym´etrique d´efinie positive, on utilise aussi la d´ecomposition de Cholevsky A = LLt (L triangulaire inf´erieure).
Probl` eme mal conditionn´ e ; m´ ethode T.S.V.D. EXEMPLE. Consid´erons la minimisation d’une forme quadratique positive F (x1 , x2 ) = 1 2 2 2 2 (αx1 + 2βx1 x2 + γx2 ) − b1 x1 − b2 x2 (avec α > 0, γ > 0 et αγ − β = > 0). Elle conduit au syst`eme lin´eaire αx1 + βx2 = b1 βx1 + γx2 = b2
ou
Ax = b ,
et peut s’interpr´eter comme la d´etermination des coordonn´ees du point M d’intersection de deux droites D1 et D2 dans le plan (x1 , x2 ). Si la forme est presque d´eg´en´er´ee ( 0), les lignes de A sont quasi proportionnelles et les droites quasi parall`eles ; ceci entraine que la position du minimum M est mal d´efinie car tr`es sensible `a des petites variations desparam`etres de F . Dit autrement, F varie tr`es peu dans la direction du β associ´e `a la valeur propre proche de 0 de A et la minimisation dans vecteur −α
11.4 R´esolution d’´equations, d’E.D. et d’E.D.P. lin´eaires
345
cette direction est a priori non pertinente (si on n’a pas d’autres informations sur le probl`eme physique qui a conduit a` F ). Cette direction est celle du grand axe des ellipses tr`es allong´ees d’´equations F (x1 , x2 ) = C ste qui dessinent les lignes de niveau d’une vall´ee plutˆ ot que celles d’un puits (figure 19). La m´ ethode T.S.V.D. consiste a restreindre la minimisation `a l’espace ` orthogonal (direction du petit axe des ellipses) α associ´e `a la valeur propre finie de A (point MR ). qui est engendr´e par le vecteur β
x2
D2
α β
D1
M
00 11
11 M00 R
β α
x1 Figure 19 λmax des valeurs propres λmin extrˆemes de A est tr`es sup´erieur `a 1 (propri´et´e qui reste vraie, comme la quasi-d´ependance lin´eaire de lignes ou de colonnes, si on multiplie A par une constante). De la relation Un syst`eme lin´eaire est dit mal conditionn´e si le rapport K =
δx A−1 δb δb = ≤K −1 x b A b (et d’une relation analogue si A fluctue) on d´eduit que, pour K 1, x est tr`es sensible aux erreurs exp´erimentales sur b et A, et aux erreurs num´eriques en cours de calcul. (A δx δx est dite “num´eriquement singuli`ere” si K ≥ 1, o` u est l’erreur relative d’arrondi.) x x En grande dimension il est tr`es important d’identifier ce type de probl`eme avant de se lancer dans la r´esolution num´erique d’un syst`eme lin´eaire. La d´ ecomposition S.V.D. (Singular Value Decomposition) d’une matrice n × n r´eelle A s’´ecrit n A= σi ui vi t i=1
o` u les ui et les vi sont les vecteurs propres orthonorm´es des matrices (sym´etriques, d´efinie-positives) AAt et At A associ´es aux valeurs propres σ12 ≥ σ22 ≥ · · · ≥ σn2 > 0. Cette d´ecomposition est unique si tous les σi sont distincts. On voit sur l’expression de l’inverse de A n A−1 = σi−1 vi ui t i=1
(AA−1 = A−1 A = I car ui t uj = vi t vj = δij et i ui ui t = i vi vi t = I) qu’elle permet de d´etecter si un syst`eme Ax = b est mal conditionn´e : il correspond `a σp+1 , · · · , σn
11 • Analyse num´erique ; physique discr`ete
346
proches solution x = A−1 b contient alors une partie singuli` ere de−1 0. La t xS = s σs vs us b (s = p + 1, · · · , n), et une partie r´ eguli` ere xR =
σr−1 vr ur t b
(r = 1, · · · , p)
r
qui est la solution T.S.V.D. du probl`eme (T pour “truncated” puisque les valeurs σi avec i > p n’apparaissent pas). Si on pose AT = r σr ur vr t on v´erifie que xR est le vecteur de norme minimum qui minimise AT x − b 2 (point MR de la figure 19). ´ DEMONSTRATION. AT xR = r ur ur t b entraˆıne AT (xR + y) − b 2 = − s us us t b + AT y 2 = egalit´e a AT xR − b 2 + AT y 2 (car AT y est une combinaison de vecteurs ur ) ≥ AT xR − b 2 . L’´ lieu si y ∈ KerAT est une combinaison des vecteurs us et alors xR + y 2 = xR 2 + y 2 ≥ xR 2 . xR est donc, parmi les vecteurs qui minimisent AT x − b 2 , celui qui a la norme minimum.
REMARQUES. 1) Probl` emes surd´ etermin´ es. Si A est une matrice m × n avec m > n le syst`eme Ax = b contient plus d’´equations (plus de donn´ees bi ) que d’inconnues et n’a pas de solution. La d´ecomposition S.V.D. A = i σi ui v ti existe encore mais les ui sont les vecteurs propres orthonorm´es (`a m composantes) de AAt associ´es aux n valeurs propres non nulles σ12 ≥ σ22 ≥ · · · ≥ σn2 > 0. La solution T.S.V.D. xR est donn´ee par la mˆeme expression que ci-dessus et minimise AT x − b 2 . Si A n’est pas singulier, AT = A et xR = (At A)−1 At b. 2) Il existe des strat´egies vari´ees bas´ees sur la d´ecomposition S.V.D. et permettant de r´egulariser un probl` eme d’inversion mal conditionn´e. On peut minimiser AT x − b 2 en profitant de l’ind´etermination sur x pour imposer une condition plus adapt´ee au probl`eme physique que “ x 2 minimum”. On peut u p est une fonction poids qui ne coupe pas brutalement aussi remplacer A−1 par i p(λ, σi ) (σi−1 vi ui t ) o` ethode de Tikhonov qui consiste ` a minimiser les σi proches de 0 ; c’est ce que fait en particulier la m´ a remplacer At A par At A + λ2 I ou σi2 par σi2 + λ2 . AT x − b 2 +λ2 x 2 , et donc `
La d´ecomposition S.V.D. requiert la d´etermination des valeurs et vecteurs propres de matrices (At A et AAt qui sont sym´etriques positives) ; c’est l’objet de l’algorithme QR.
Diagonalisation ; algorithme QR En th´eorie les valeurs propres λi d’une matrice A sont obtenues en d´eterminant les racines du polynˆome caract´eristique P (λ) = det(A − λI) (et les vecteurs propres v i en r´esolvant les ´equations Av i = λi v i ). Cependant, du point de vue num´erique, il existe des m´ethodes beaucoup plus efficaces pour trouver les λi . Nous d´ecrivons dans la suite la plus couramment utilis´ee en nous limitant au cas des matrices r´eelles sym´etriques. Dans un premier temps on transforme A en une matrice tridiagonale T (sym´etrique) par des transformations successives de Householder. Celles-ci A → A1 = P1 AP1 →
A2 = P2 A1 P2 · · · , avec Pi = Pti = Pi −1 , font apparaˆıtre les z´eros de T successivement dans les premi`eres colonne et ligne, secondes colonne et ligne... Par exemple, apr`es deux transformations : ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗⎟ ⎜ 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗⎟ A=⎜ ⎟ −→ A2 = ⎜ ⎟ . ⎜ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗⎟ ⎜ 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗⎟ ⎝ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗⎠ ⎝ 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗⎠ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ w
La matrice Pr qui fait passer de Ar−1 ` a Ar est de la forme Pr = I − 2ur utr , o` u ur = ||wr || est un r vecteur unitaire dont les r premi`eres composantes sont nulles ; par exemple P3 doit v´ erifier :
11.4 R´esolution d’´equations, d’E.D. et d’E.D.P. lin´eaires ⎛
∗ ⎜∗ ⎜ ⎜0 A3 = P3 A2 P3 = ⎜ ⎜0 ⎝0 0
∗ ∗ ∗ 0 0 0
0 ∗ ∗ ∗ 0 0
0 0 ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 0 ∗ ∗ ∗
⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ∗⎟ ∗⎠ ∗
347 ⎛
o` u
1 ⎜0 ⎜ ⎜0 P3 = ⎜ ⎜0 ⎝0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 P43 P53 P63
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ . 0⎟ 0⎠ 1
On montre que les n − r composantes non nulles de wr qui conviennent sont : wr,i = ar r+1 + n 1 2 2 si i = r + 1 et w signe (ar r+1 ) el´ ements de mar,i = ari pour i = r + 2, · · · , n (aij ´ i=r+1 ari trices de A) ; les ´el´ ements de matrice Pir (i > r) de Pr s’en d´eduisent. En op´erant ainsi n − 2 fois on transforme A en une matrice tridiagonale T.
Dans un deuxi`eme temps les ´el´ements de part et d’autre de la diagonale de T sont rendus de plus en plus petits par une succession de transformations qui constituent l’algorithme QR. Il consiste `a factoriser a` chaque ´etape “s” la matrice Ts en une matrice orthogonale Qs et une matrice triangulaire sup´erieure Rs (R pour triangle “right”) puis `a renverser l’ordre du produit pour obtenir Ts+1 : Ts = Qs Rs
et Ts+1 = Rs Qs = Qts Ts Qs
(T1 = T) .
On montre que si T a des valeurs propres distinctes, Ts tend vers une matrice diagonale ayant pour ´el´ements les valeurs propres de A (rang´ees par ordre croissant de module), λ s i les ´el´ements non diagonaux (Ts )i i+1 = (Ts )i+1 i tendant vers 0 comme . λi+1
11.4.2
E.D. et E.D.P. lin´ eaires ; m´ ethodes spectrales ; ´ el´ ements finis
Principe des m´ ethodes spectrales La r´esolution num´erique par une m´ethode spectrale d’une E.D., par exemple y (x) = F (y, y , x) , consiste `a approcher y par un d´eveloppement fini sur une N base de fonctions connues (fonctions sinuso¨ıdales, polynˆ omes, B-splines...) y(x) p=1 cp φp (x) et `a obtenir les coefficients cp en portant ce d´eveloppement dans les deux membres de l’E.D. (avec y = p cp φp et y = p cp φp ). Celle-ci ne peut pas ˆetre satisfaite exactement mais peut l’ˆetre de fa¸con approch´ee - soit par une m´ ethode de collocation qui consiste a` restreindre l’´egalit´e y = F `a un ensemble discret de points y (xi ) = F (y(xi ), y (xi ), xi ). (Comme dans l’int´egration de Gauss, il peut y avoir des choix des xi plus judicieux que d’autres, selon la base {φp }.) - soit par la m´ ethode de Galerkin (ou des ´ el´ ements finis) qui consiste `a projeter l’E.D. sur la base a` l’aide d’un produit scalaire : < φq ,
N
cp φp >=< φq , F >
(q = 1, · · · , N ) .
p=1
Notons que certains coefficients cp peuvent ne plus apparaˆıtre comme des inconnues si ils ont servi a` satisfaire des C.L. (ou des conditions de normalisation pour des solutions ondes stationnaires). Inversement d’autres inconnues que les cp peuvent ˆetre pr´esentes dans l’E.D., par exemple ω pour les ondes stationnaires (cf. section 11.2.2). Dans tous
11 • Analyse num´erique ; physique discr`ete
348
les cas on est conduit `a r´esoudre un syst`eme d’´equations lin´eaires comportant un grand nombre d’inconnues. Ceci est ´evident si F est lin´eaire (et si ω n’apparaˆıt pas comme inconnue). Dans le cas g´en´eral notons a les inconnues (qui ne se limitent pas forc´ement aux cp ) et gq (a) = 0 les ´equations a` satisfaire. Leur r´esolution par lin´earisation est analogue a` celle vue `a la section 11.3.3. REMARQUE. La r´ esolution d’une E.D. par des diff´erences finies, o` u on remplace par exemple y par −2 −1 a de tels syst`emes h (yi+1 − 2yi + yi−1 ) et y par (2h) (yi+1 − yi−1 ) avec yi = y(xi ), conduit aussi ` lin´ eaires pour les yi .
El´ ements finis ` a une dimension EXEMPLE. Consid´erons, sur un intervalle [a, b], l’E.D. −y (x) + f (x) y(x) = g(x) et projetons le membre de gauche sur un E.V. de fonctions test φ suffisamment r´eguli`eres (φ continue sur [a, b]) engendr´e par des fonctions {φq }. Une int´egration par parties donne : b b φ −y + f y dx = (φ y + f φy) dx + φ(a) y (a) − φ(b) y (b) . a
a
Le terme φ(a) y (a) disparait si y (a) = 0 (C.L. de Neuman en a pour y(x), auquel cas φ(a) est arbitraire) ou si φ(a) = 0 (condition impos´ee `a φ(x) lorsque y(x) ob´eit `a la C.L. de Dirichlet y(a) = 0) ; il en est de mˆeme pour le terme φ(b) y (b). Avec ces conditions et apr`es projection, l’E.D. conduit a` : b b (φ y + f φy) dx = φg dx . a
a
N
Si y est cherch´e sous la forme y esolution (approch´ee) de l’E.D. p=1 cp φp , la r´ conduit au syst`eme lin´eaire : b b Aqp cp = gq o` u gq = φq g dx et Aqp = (φq φp + f φq φp ) dx . p
a
a
La matrice A d’´el´ements Aqp a comme propri´et´es int´eressantes d’ˆetre sym´etrique, d´efinie positive si f (x) > 0, et proche d’une matrice diagonale si les fonctions φq et φp ne se recouvrent plus d`es que |q − p| est assez grand. Par exemple si [a, b] est divis´e en N + 1 intervalles ´egaux (x0 = a et xN +1 = b) et si y(a) = y(b) = 0, le choix le plus simple pour φp est la fonction triangle de hauteur 1 et de base [xp , xp+2 ] avec p = 1, · · · , N (approximation de y par des fonctions lin´eaires par morceaux). On a alors Ap+1 p = App = Ap p+1 = 0 et Aqp = 0 sinon (matrice tridiagonale). Remarque : le caract`ere sym´etrique de A est li´e math´ematiquement `a l’absence de terme (lin´eaire) en y dans l’E.D. et physiquement au fait que l’E.D. correspond a` b l’extr´emalisation d’une “´energie” a 12 y 2 + 21 f y 2 −gy dx dont qp 21 Aqp cq cp − q cq gq est une forme discr`ete approch´ee.
11.4 R´esolution d’´equations, d’E.D. et d’E.D.P. lin´eaires
349
El´ ements finis ` a deux dimensions EXEMPLE. Consid´erons, dans un domaine D, l’E.D.P. de Poisson −Δf (x, y) = g(x, y) o` u g est un terme de source et o` u f satisfait sur la fronti`ere γ de D (figure 20a) soit des C.L. de Diri→ − chlet (f = C ste sur la partie γ1 de γ) soit des C.L. de Neuman ( ∇f · n ˆ = 0 sur la partie γ2 = γ − γ1 ). A l’aide de la formule de Green on obtient, pour une fonction test φ suffisamment r´eguli` ere − → − → → − ∇f · ∇φ dx dy − −(Δf ) φ dx dy = φ ∇f · n dl , D D γ et, comme ` a une dimension, le terme de bord disparaˆıt si on impose φ = 0 sur γ1 .
A
1
2
t C n
B
n (a)
(b) Figure 20
Pour appliquer la m´ ethode des ´ el´ ements finis on d´ecoupe D en ´ el´ ements simples. Par exemple dans une triangulation les ´el´ ements sont des triangles t (disjoints ou ayant en commun soit un sommet soit un cot´e entier ; figure 20b). Soient n les nœuds “libres” num´erot´es du r´eseau, sommets de triangles sur lesquels la valeur de f n’est pas fix´ee par les C.L.. Dans le cas d’une approximation de f par des fonctions lin´eaires par morceaux, la valeur f (x, y) de f en un point M int´ erieur d’un triangle t = ABC direct est approxim´ee par f (x, y) f (A)λtA (x, y) + f (B)λtB (x, y) + f (C)λtC (x, y) o` u les λtn sont les coordonn´ees barycentriques de M relatives aux nœuds n = A, B, C. On a alors : → − − − → −→ −→ ∇f = Δ−1 ˆ ∧ f (A) BC + f (B) CA + f (C) AB avec Δt = 2 aire (ABC) . t z
1
1 λtΑ
φ p(x,y) z
A
C x
B
y
p
(b)
(a) Figure 21
→ − → − − − → (On obtient cette expression en observant que ∇λtA est constant car λtA est lin´eaire, que ∇λtA ⊥ BC → − −→ car λtA est nulle sur BC et que ∇λtA · BA = 1 ; λtB et λtC satisfont des relations ´equivalentes ; figure 21a.) L’espace des fonctions φ sur lequel on projette l’E.D.P. est engendr´e par des fonctions φp elles aussi lin´eaires par morceaux, ´egales ` a 1 au nœud p et nulles aux autres nœuds ; elles se confondent avec λtp sur les triangles t de sommet libre commun p (figure 21b). Les inconnues f (n) ≡ fn , valeurs
11 • Analyse num´erique ; physique discr`ete
350
de f aux nœuds libres, sont alors solutions du syst`eme lin´ eaire : − → − → A f = g avec A f = · ∇f dx dy et gp = D φp g dx dy . ∇φ pn n p pn n p n n D → − → − Remarques. 1) Apn = t Δt ∇φp · ∇φn o` u la somme porte sur les triangles ayant pour sommets les u la somme porte nœuds libres n et p (Apn = 0 si les sommets ne sont pas contigus) ; gp = t 61 Δt gt o` sur les triangles de sommet p et o` u g est assimil´e ` a une constante gt sur chaque triangle (l’int´egrale de φp sur le triangle t valant 16 Δt ). − → 2 2) Le syst` eme lin´ eaire s’obtient aussi par minimisation de D 12 ∇f − f g dx dy.
Recherche de valeurs propres par collocation EXEMPLE. Consid´erons, dans un domaine D de fronti`ere γ, l’E.D.P. −Δf (x, y) = E f (x, y) avec des C.L. de Dirichlet f = 0 sur γ. On peut choisir pour les fonctions φp des ondes planes → − e et des directions de k isotropes. sin(kx x + ky y) et cos(kx x + ky y) avec kx2 + ky2 = k 2 = E fix´ Puisque ces fonctions satisfont l’E.D.P., on d´etermine leurs coefficients simplement en exprimant que N erieur fix´e. En prenant des points f = p=1 cp φp = 0 en M points de γ, et f = 1 en un point int´ suppl´ementaires Pi sur γ (environ trois fois plus), on calcule la quantit´e I(k) = i |f (Pi )|2 qui devrait ˆ etre nulle si f ´ etait une fonction propre. Lorsque k (donc E) varie, I(k) pr´ esente des minima pour les valeurs propres cherch´ees. En pratique, pour que I(k) varie “r´ eguli` erement”, il faut non seulement consid´ erer un grand nombre d’ondes planes (N ∼ 100), mais aussi choisir N > M + 1 ce qui implique de r´esoudre un syst`eme lin´eaire sous d´etermin´e pour les cp , et donc d’utiliser une m´ethode S.V.D. (cf. section 11.4.1).
11.5 11.5.1
RECHERCHE DE MINIMA M´ ethodes utilisant le gradient
M´ ethodes de la steepest descent et du gradient conjugu´ e
x(0) x(1) Figure 22 La m´ethode de la steepest descent consiste, `a l’´etape k `a partir de x(k) , a` chercher le minimum de f (x) dans la direction de −∂f (x(k) ) qui est celle dans laquelle f d´ecroit le (k) plus vite. Elle revient donc a` d´eterminer la valeur αm de α(k) qui minimise f x(k) − (k) α(k) ∂f (x(k) ) , puis a` it´erer le processus `a partir de x(k+1) = x(k) − αm ∂f (x(k) ). Cette m´ethode n’est pas tr`es efficace car si il existe une vall´ee les plus grandes pentes locales ont tendance `a y faire descendre le chemin avant d’atteindre le minimum ; par ailleurs le chemin de steepest descent d´ecrit une ligne bris´ee qui tourne a` angle droit en chaque point x(k) ce qui n’est pas la meilleure orientation a` prendre pour “viser” le minimum (figure 22).
11.5 Recherche de minima
351
Ces d´efauts sont corrig´es dans la m´ethode du gradient conjugu´ e. Le premier pas de x(0) ` a x(1) est toujours effectu´e dans la direction de plus grande pente. Mais au lieu de tourner `a angle droit aux points x(k) , la direction suivie de x(k) `a x(k+1) (k ≥ 1) est donn´ee par : ∂f (x(k) )t ∂f (x(k) ) s(k) = −∂f (x(k) ) + s(k−1) . ∂f (x(k−1) )t ∂f (x(k−1) ) 1 t x Ax est 2 (0) x +α(0) s(0)
Justification (figure 22). Si f (x) = s(0)
−Ax(0) .
x(1)
une forme quadratique, la direction de d´epart en x(0) est
= Le point = est d´etermin´e par la condition s(0)t Ax(1) = 0 qui exprime (0) (1) est orthogonal au gradient de f en x . La direction id´eale de minimisation en x(1) n’est pas que s
ee direction conjugu´ ee de s(0) par rapport ` a A ; fl`eche sur la figure). On −Ax(1) , mais −x(1) (appel´ peut l’obtenir ` a deux dimensions (ou s’en rapprocher si n > 2) en posant s(1) = −Ax(1) + μ(0) s(0) et en imposant s(0)t As(1) = 0. Un rapide calcul donne μ(0) = Ax(1) 2 Ax(0) −2 .
M´ ethodes de Newton et quasi-Newton Nous avons d´ej`a d´ecrit `a la section 11.3.3 (“moindres carr´es non lin´eaires”) la m´ ethode de Newton pour la minimisation d’une fonction f (x) (χ2 (a) dans cet exemple). Apr`es avoir lin´earis´e au voisinage d’un point x(k) choisi proche du minimum l’´equation ∂f = 0, on r´esoud ce syst`eme d’´equations lin´eaires par une m´ethode it´erative. Lorsque la matrice hessienne est d´efinie positive, cette m´ethode est une g´en´eralisation directe de la m´ethode de Newton-Raphson de recherche de 0 `a une dimension (cf. section 11.3.2) appliqu´ee `a la d´eriv´ee f (x) d’une fonction convexe (f (x) > 0) ; le gradient `a n dimensions ∂ remplace simplement la d´eriv´ee premi`ere et la matrice hessienne J la d´eriv´ee seconde : f (x(k) ) = −f (x(k) ) (x(k+1) − x(k) )
−→
∂f (x(k) ) = −J(k) (x(k+1) − x(k) ) .
REMARQUE. Lorsque J est seulement semi-d´efinie positive nous avons introduit la m´ethode de Levenberga faire tendre λ(k) vers 0 lorsqu’on s’approche Marquardt qui consiste ` a remplacer J(k) par J(k) +λ(k) I et ` du minimum. Cette m´ethode interpole entre celle de la steepest descent (au d´epart, pour λ grand) et celle de Newton (pour λ petit, pr`es du minimum, lorsque la pente tend vers 0).
n(n − 1) 2 d´eriv´ees secondes de la matrice hessienne J et calculer J−1 ; ensuite le point x(k+1) ne correspond pas au minimum de la fonction f (x) dans la direction s(k) de x(k+1) − x(k) ; pire, si J n’est pas d´efinie positive, ce qui peut arriver loin du minimum, elle peut conduire a s’´eloigner de ce minimum (consid´erer l’exemple n = 1 avec f (x(k) ) < 0). Dans les ` m´ ethodes quasi-Newton on construit des matrices sym´etriques d´efinies positives G(k) jouant le rˆ ole de [Jk ]−1 et ne faisant intervenir que ∂f . Soient x(k) et G(k) le point et la matrice obtenus `a l’´etape k ; on utilise la m´ethode de Newton pour d´eterminer la direction dans laquelle on minimise : s(k) = −G(k) ∂f (x(k) ). Soient x(k+1) la position du minimum dans cette direction, δ (k) = x(k+1) − x(k) et γ (k) = ∂f (x(k+1) ) − ∂f (x(k) ) ; on pose (formule D.F.P. : Davidon, Fletcher, Powell) : La m´ethode de Newton pr´esente des inconv´enients : d’abord il faut d´eterminer les
G(k+1) = G(k) +
1 δ (k) t γ (k)
δ (k) δ (k) t −
1 G(k) γ (k) γ (k) t G(k) . γ (k) t G(k) γ (k)
On it`ere le processus en partant de x(0) et en prenant par exemple G(0) = I.
11 • Analyse num´erique ; physique discr`ete
352
REMARQUES. La formule D.F.P. conserve les caract`eres sym´etrique et d´efinie positive de G(0) et assure que x(k+1) −x(k) = G(k+1) ∂f (x(k+1) )−∂f (x(k) ) (condition quasi Newton). Une formule plus ´elabor´ee satisfaisant aussi ces conditions est la formule BFGS (de Broyden, Fletcher, Goldfarb et Shanno).
11.5.2
M´ ethodes du simplex et du recuit simul´ e
M´ ethode du simplex C’est une m´ethode purement g´eom´etrique qui fonctionne en comparant les valeurs de la fonction en diff´erents points qui constituent les vertex d’un simplex. Un simplex est une figure g´eom´etrique qui, a` n dimensions, est constitu´e de n + 1 vertex interconnect´es par des segments de droites : `a deux dimensions ce sont des triangles, a` trois dimensions des t´etra`edres etc. Dans cette m´ethode la fonction f (x) ´etant ´evalu´ee aux n + 1 vertex d’un simplex de l’espace {x} (les sommets du triangle ABC sur la figure 23 o` un =2 E C A
D B’ B
Figure 23 et x ≡ (x1 , x2 )), le vertex qui correspond a` la plus grande valeur de f (sommet A) est remplac´e par son sym´etrique (D) par rapport au barycentre des n autres vertex (milieu de BC). On obtient ainsi un nouveau simplex (BCD) sur lequel on recommence l’op´eration (BCD→CDE) et ainsi de suite. Apr`es p it´erations (2 sur la figure), il peut arriver que le nouveau vertex (E) corresponde, comme son pr´ed´ecesseur (B), `a la plus grande valeur de f ; dans ce cas l’it´eration suivante ram`ene au simplex de l’´etape p (BCD) et la minimisation ne progresse plus. Pour ´eviter ce ph´enom`ene, le simplex est alors contract´e dans la ou les directions qui conviennent (par exemple B→B’) ; son volume tend donc vers 0 lorsque qu’on se rapproche du minimum.
M´ ethode du recuit simul´ e Cette m´ethode s’applique a` la minimisation d’une quantit´e f (x) d´ependant de nombreuses variables discr`etes ou continues et pr´esentant un tr`es grand nombre de minima secondaires dans lesquels d’autres m´ethodes risquent de rester “pi´eg´ees” avant d’atteindre le minimum global. L’id´ee g´en´erale est de g´en´erer une marche au hasard (processus de Markov) dans l’espace {x} qui conduit a` une loi de probabilit´ e de Boltzmann exp − f (x) , puis de faire tendre la “temp´ e rature” T lentement vers 0 pour selectionner T la configuration x qui minimise f (x) (figure 24). Si on se trouve dans un minimum secondaire, l’effet de l’“agitation thermique” (T = 0) est d’en sortir avec une probabilit´e finie pour explorer l’espace de configuration au del`a de ce minima (effet analogue au “recuit” d’un solide qui, pr´ealablement “tremp´e” dans un ´etat amorphe ou polycristallin correspondant `a un minimum local d’´energie, est refondu puis refroidi lentement pour atteindre l’´etat (mono)cristallin d’´energie minimum).
11.5 Recherche de minima
353
f({x}) loi de Boltzmann
{x} Figure 24 EXEMPLES. L’´energie E({S}) = − (ij) Jij Si Sj de N spins Si = ±1 est une fonction qui, pour N grand ({S} prend 2N valeurs) et pour des couplages entre paires de voisins Jij de signes vari´es, pr´esente un grand nombre de minima. Pour obtenir le minimum global de cette fonction l’algorithme de Metropolis consiste, `a partir d’une configuration donn´ee, `a tirer un spin i au hasard et a` le retourner (changer Si en −Si ) avec une probabilit´e ´egale a` 1 si le retournement entraˆıne une diminution ΔE (au lieu de 0) si ΔE > 0. Le lecteur v´erifiera de E (ΔE < 0) et ´egale a` exp − T que les probabilit´es de transition ainsi d´efinies entre deux ´etats α et β (qui diff`erent Eα par le retournement d’un spin) v´erifient la condition de bilan d´etaill´e Pβα exp − = T Eβ Pαβ exp − (cf. section 10.3.2) ; ceci garantit que l’algorithme g´en`ere une distribution T de Boltzmann. En pratique l’algorithme de Metropolis est r´ealis´e en tirant un nombre x au hasard dans [0, 1] (avec une loi uniforme) et en acceptant le retournement si x < exp − ΔE T (quel que soit le signe de ΔE), et en le refusant dans le cas contraire (m´ethode de rejet). D’autres exemples d’application de la m´ethode du recuit simul´e concerne des probl`emes d’optimisation tel que celui du voyageur de commerce, qui consiste `a trouver le chemin le plus court passant une seule fois par N villes, ou tel que l’assemblage optimum de circuits ´el´ementaires sur une puce en micro´electronique.
Index aberrations g´eom´etriques, 238 acc´el´eration, 31, 62, 77 action, 17, 283, 287, 291, 297, 299 adiabatique (approximation), 195, 298 adimensionn´ee (´equation), 20, 172, 182 Aharonov-Bohm (effet), 293 aire, 26, 61, 69, 93, 208, 221 loi des, 32 al´eatoire, 301 amplitude complexe, 39, 42 de probabilit´e, 118 analyse dimensionnelle, 18 de Dirac, 150 de Fourier, 151 vectorielle, 224 angle, 5, 16 de diffusion, 37, 116 solide, 72 anisotrope di´electrique, 48, 262 milieu, 265 antiparticule, 130 antisym´etrie, 83, 85 application lin´eaire, 89, 95 approximation adiabatique, 195, 298 A.R.Q.S., 246, 247, 249, 250 de Born, 278 du champ moyen, 143, 313 dt ∂t , 212 galil´eenne, 55, 113, 291 de Gauss, 45, 108, 163 de la m´ethode du col, 140, 219 de l’optique g´eom´etrique, 141, 234 de Pad´e, 336 de la phase stationnaire, 140, 267 WKB, 197 Babinet (th´eor`eme de), 163 barri`ere de potentiel, 191, 244 base, 88
changement de, 88, 98 orthonorm´ee, 90 Bayes (th´eor`eme de), 303 Beer (loi de), 7 Bernouilli loi de, 304, 307 th´eor`eme de, 71, 213, 230 Berry (phase de), 299 Bessel (fonctions de), 267 Bethe-Harris (exp´erience de), 119 B´ezier (courbes, surfaces), 341, 342 bifurcation, 180, 197, 202, 237, 244 de Hopf, 202 bilan d´etaill´e, 320, 321 d’´energie, 230, 249, 258, 272 de grandeurs, 227 de quantit´e de mouvement, 230, 249 binomiale (loi de probibalit´e), 310 Biot et Savart (formule de), 211, 246 Bloch (th´eor`eme de), 194 Boltzmann, 8 E.D.P. de, 272 loi de, 219, 242, 312, 319, 352 Born, 87 approximation de, 278 Bose-Einstein (statistique), 314 boson, 18, 101, 314 boule de billard (mouvement d’une), 82 Bragg (condition de), 85 brownien (mouvement), 21, 160, 318, 322 bruit blanc, 159, 318, 321 de grenaille, 312 Buffon (aiguille de), 328 Burgers (E.D.P. de), 274 Cantor, 1 ensemble de, 21 Cauchy, 3 loi de, 304 suite de, 3, 90 Cauchy Riemann (formules de), 279–281
Index causalit´e, 112, 155, 270 caustique, 235, 236 Cayley, 87 Cayley-Hamilton (th´eor`eme de), 98 cercle, 29, 30 de Mohr, 107 osculateur, 62, 137 chaleur, voir thermique champ moyen, 143, 313 quantique, 129, 130 vectoriel, 60 changement de base, 88, 98 de jauge, 249, 292 de r´ef´erentiel, 5, 53, 77 d’unit´e, 2, 15 de variable, 139, 214, 217, 285 chemin optique, 67, 111, 236, 289 χ2 , 315, 340 Christoffel (symbole de), 296 circuit ´electrique, 13, 40, 150, 151 circulation, 210, 220, 224, 282 cisaillement, 105 coh´erence largeur de, 67 temps de, 159 collisions, 115 commensurables fr´equences, 158 grandeurs, 2 commutateur, 95, 97, 120, 124, 127, 287 complexe amplitude, 39, 42 nombre, 22 notation, 39, 46 plan, 26 compressibilit´e, 19, 107, 239, 261 Compton effet, 116 longueur d’onde, 18 concave (fonction), 135, 206 concavit´e (de l’entropie), 142, 240 conditionnement, 302 conditions initiales (C.I.), 166, 168, 174, 176, 331
355 conditions aux limites (C.L.), 187, 190, 254, 266 de Dirichlet, 275, 276, 348 de Neuman, 275, 276, 348 cˆone, 72 de lumi`ere, 112 configuration (espace de), 284 coniques, 32, 37, 99 conjugaison complexe, 23, 130 optique, 108, 189 de spineurs, 103, 131 contrainte, 9, 242, 285 extremum avec, 206 matrice des, 106, 225 contraste, 43, 49 de phase, 162 convention de signe, 11, 14 de sommation d’Einstein, 94, 224, 294 convolution, 41, 146, 150, 307 coordonn´ees barycentriques, 27, 338, 339, 349 curvilignes, 223 cycliques, 285 d’espace-temps, 102, 294 polaires, 31, 184 sph´eriques, 71, 224, 278 Copernic (r´ef´erentiel de), 56, 78 corde de piano, 259 corde vibrante, 256, 269, 271 Coriolis acc´el´eration de, 77 force de, 184, 187, 230 corps noir, 9, 19, 239 corr´elation fonction de, 40, 42, 44, 147, 156, 158, 161, 165, 321 en probabilit´e, 308 temps de, 159, 321 courant de probabilit´e, 125, 192, 320 courbure ´energie de, 259 de l’espace-temps, 294, 296 de Gauss, 74 rayon de, 62, 92, 137 d’une surface, 93
356 cristal, 84, 256 uniaxe, 263 crochets de Poisson, 286, 287 Curie principe de, 83 temp´erature de, 144 cycle limite, 197, 201, 202 d’Alembert, 253 d’Alembertien, 117 d´eplacement, 55, 57 de Broglie (relation de), 17, 115, 118, 284 d´ecibel, 6 d´eformations, 105, 106, 213 d´eg´en´erescence (facteur de), 313 degr´es de libert´e, 88, 124, 168 densit´e de probabilit´e, 125, 303 conditionnelle, 305 conjointe, 305, 313 marginale, 305 d´eriv´ee, 3, 24, 135, 138 dans une direction, 209 au sens des distributions, 149 logarithmique, 136, 137 particulaire, 212, 213, 216 partielle, 204, 212 totale, 284, 292 Descartes (lois de), 67, 84, 188, 236, 264, 284 d´etection synchrone, 155, 158 d´eterminant, 97 d´eveloppement limit´e, 138, 144 multipolaire, 91, 104, 251 de Taylor, 7, 205, 307, 335 diamagn´etisme, 293 di´electrique anisotrope, 262 milieu, 197, 247 polarisation, 155, 198, 247 diff´erentielle, 66, 205, 215, 219 de chemin optique, 67 forme, 219 diffraction de Fraunhofer, 46, 162 de Fresnel, 45, 162 diffusion, 165
Index angle de, 37, 116 E.D.P. de, 262, 268, 271, 317 ´etat de, 275, 278 processus de, 317 de Rutherford, 37, 185 dilatation, 105, 145, 164 dimension, 15 fractale, 21 dioptre, 30, 67, 73, 109 dipole, 19, 60, 121, 208, 211, 225, 232, 248, 251 Dirac analyse de, 150 E.D.P. de, 131 impulsion de, 147 Dirichlet (C.L. de), 275, 276, 348 dispersion (relation de), 132, 254, 256, 262, 266 divergence, 210, 211, 223, 272, 286 domaine d’int´egration, 216, 218 Doppler (effet), 66, 114 droite, 27 dualit´e temps fr´equence, 154 ´ecart type, 308 ´echantillonnage, 145, 156, 165 E.D. d’amplitude, 195, 199, 200, 202 d’Euler, 82 d’Euler-Lagrange, 283, 286, 287, 298 de Hamilton, 286 de Schr¨ odinger, 190, 194 E.D.L. du n`eme ordre, 176 E.D.L.S., 25 du premier ordre, 174 du second ordre, 25, 174 avec second membre, 176 avec second membre sinuso¨ıdal, 40 E.D.P. de Boltzmann, 272 de Burgers, 274 de diffusion, 262, 268, 271, 317, 333 de Dirac, 131 eikonale, 235, 289 d’Euler (hydrodynamique), 230 (relation), 207, 233, 240
Index de Fokker-Planck, 272, 318 de Hamilton-Jacobi, 289 de Helmholtz, 275 de Klein-Gordon, 130 de Korteweg-De Vries, 274 de Laplace, 209, 274, 279 de Liouville, 272 de Naviers-Stokes, 231 non lin´eaire, 273 des ondes ´elastiques, 231, 262 d’onde simple, 207, 228, 272, 331 de Poisson, 275, 278, 299, 349 de propagation, 215, 262, 269, 332 de Schr¨ odinger, 125, 262, 268, 271, 278, 334 de Sine Gordon, 273 de Weyl, 131 de Weyl-Majorana, 132 Einstein, 51 coefficients d’, 321 ´equations d’, 299 relation d’ (diffusion), 160, 319 relativit´e, 111 ´elasticit´e, 107, 229, 282 ´electricit´e, 12 ´electromagn´etisme, 85, 226, 233, 245 invariance de l’, 63, 117, 297 ´electrostatique, 31, 151, 209, 231, 246, 274 ´el´ements finis (m´ethode des), 347 ellipse, 33, 38, 47, 99, 281 ´emission induite, 129, 321 spontan´ee, 129, 321 ´energie, 17, 32, 229, 291 bilan d’, 230, 249, 258 cin´etique, 79, 81, 115, 227, 232 ´electromagn´etique, 130, 233, 250 d’un ´etat stationnaire, 119 flux d’, 71, 192, 229, 248, 259 interne, 141, 227, 230, 239, 272, 313 L.C. de l’, 123, 258, 266, 289 de liaison, 19, 115, 291 libre, 143, 240 potentielle, 32, 125, 170, 181, 231, 291 vitesse de l’, 266 ensemble complet, 3
357 dense, 3 enthalpie libre, 240 entiers alg´ebriques, 2 entraˆınement d’une grandeur, 226, 272 vitesse et acc´el´eration d’, 77 entropie, 8, 140, 141, 239, 272, 313 enveloppe concave, 143, 242 ´equation de la chaleur, 272 des cordes vibrantes, 257 d’´etat, 144, 239 de Langevin, 160, 318 d’Einstein, 299 lin´eaire, 89, 343 maˆıtresse, 318, 320 de Maxwell, 117, 245, 248, 262, 297 de Schr¨ odinger, 119, 298 ergodicit´e, 322 erreur, 309, 315 d’arrondi, 325 de troncature, 325 espace de configuration, 284 de Hilbert, 90 de phase, 73, 125, 167, 170, 175, 286, 289 vectoriel (E.V.), 87, 169 dual, 91 des ´etats quantiques, 118 de fonctions, 90 espace-temps, 53, 102, 112, 294 estimateur, 315 ´etat coh´erent, 125, 128 de diffusion, 275 excit´e, 121 fondamental, 121 gaussien, 125 li´e, 190, 194, 275 de polarisation, 46, 96, 118 quantique (E.V.), 118 stationnaire, 120, 188, 298 ´etendue optique, 73, 109, 190, 286 Euclide, 1, 51 Euler E.D. d’, 82 E.D.P. d’ (hydrodynamique), 230
358 hyperbolique, 8 inverse, 137 logarithme, 5 lorentzienne, 146 d’onde, 124 de partition, 313 p´eriodique, 145, 152, 153 porte, 146, 153, 269, 336 propre, 100, 128 sinus cardinal, 41 sinuso¨ıdale, 23 de transfert, 41, 151, 153, 162, 165 de v.a., 304 Fermat (principe de), 30, 36, 67, 111, 236, de z, 24, 279 283 force, 62, 116, 149 Fermi (r`egle d’or de), 123 centrale, 32, 36, 38, 80 Fermi-Dirac (distribution de), 314 de Coriolis, 184, 187, 230 fermion, 18, 101, 131, 314 de Laplace, 230, 232, 250 ferromagn´etisme, 143, 315 de Lorentz, 117, 292 filtrage, 151, 159 de pression, 107, 225 optique, 161 forme Floquet (th´eor`eme de), 193 diff´erentielle, 219, 239 fluide, 108 p-lin´eaire, 91 fluide parfait, 107, 229, 230 quadratique, 91, 111, 178 flux, 210, 224 formule d’un champ de vecteurs, 71 de Biot et Savart, 211, 246 de charges, 70 de Cauchy Riemann, 279–281 d’´energie, 71, 192, 229, 248, 259 de Green, 277, 349 de masse, 70, 229 d’Ostrogradski, 223 de particules, 70 de Parseval, 163 de quantit´e de mouvement, 70, 229 de Poisson, 164 Fokker-Planck (´equation de), 272, 318 de Stirling, 140, 143, 243 fonction de Stokes, 220, 221, 224, 281, 296 al´eatoire, 301, 317 Foucault (pendule de), 75, 186 de Bessel, 267 Fourier caract´eristique, 307, 310, 311 analyse de, 151 cha ou peigne de Dirac, 148, 152 s´erie de, 152 concave, 135, 206 transformation de, 151 de corr´elation, 40, 42, 44, 147, 156, 158, transform´ee de, 41, 46, 153, 163 161, 165, 321 delta, 147 foyer (d’une conique), 34 ´energie potentielle, 231 Fraunhofer (diffraction de), 46, 162 exponentielle, 6, 25 fr´equence spatiale, 64, 162 gaussienne, 146, 153, 268 Fresnel (diffraction de), 45, 162 de Green, 268, 270, 271 Galerkin (m´ethode de), 347 harmonique, 279 Galil´ee, 51 de Heaviside, 148 transformation de, 55, 216 homog`ene, 207, 233, 240
E.D.P. d’ (relation), 207, 233, 240 sch´ema num´erique d’, 329, 331 Euler-Lagrange (E.D. d’), 283, 286, 287, 298 exponentielle d de ,7 dx fonction, 6, 25 imaginaire, 23 loi de probabilit´e, 123, 304, 306, 312 de matrice, 96 extremum, 135, 206, 236
Index
Index Gauss, 22, 51 approximation de, 45, 108, 163 courbure de, 74 int´egration num´erique de, 336 m´ethode du pivot, 343 th´eor`eme de, 73 gaussien (processus), 321 gaussienne fonction, 146, 153, 268 loi, 304, 308 gaz parfait, 9, 71, 239, 299 g´en´erateur, 8, 96, 97 g´eod´esique, 74, 294 g´eom´etrie de l’espace, 55 de l’espace-temps, 294 de Lobatchevski, 113 du plan, 26 sph´erique, 16, 74 symplectique, 289 Gibbs (ph´enom`ene de), 154 Goos-H¨ anchen (effet), 266 gradient, 115, 208, 215, 223, 350 grandeur additive, 1 alg´ebrique, 11 extensive, 9, 19, 240, 309 intensive, 240 massique, 141, 227 molaire, 240 quadrupolaire, 104, 210, 251 scalaire, 59, 104 vectorielle, 59, 104 grandissement (optique), 110 graphe, 134 gravitation, 18, 104, 274, 294 Green fonction de, 268, 270, 271 formule de, 277, 349 grossissement (optique), 110 groupe de Lie, 97 de Lorentz, 102, 103 des rotations, 103 de sym´etrie, 52, 53, 84, 102 gyrotrope (milieu), 48
359 Hall (effet), 89 Hamilton, 101 E.D. d’, 286 formule de, 102 principe de, 286 Hamilton-Jacobi (E.D.P. de), 289 hamiltonien, 119, 286, 287, 292 harmonique, 153, 198 fonction, 279 harmoniques sph´eriques, 91, 104, 278 Heisenberg, 87 in´egalit´e de, 90, 124 h´elicit´e, 118, 131 Helmholtz E.D.P. de, 275 th´eor`eme d’, 214 Hermite (polynˆ omes de), 128, 334 hermitien (produit), 90 Hilbert, 87 action de, 299 espace de, 90 homog´en´eit´e, 51, 261, 289 homoth´etie, 20, 28, 80, 105 Hopf (bifurcation de), 202 Householder (transformation de), 346 Huygens (construction d’), 235 Huygens-Fresnel (principe de), 45, 141, 150, 163 hydrodynamique, 20, 93, 212, 226, 229, 261, 274, 279 hyperbole, 33, 281 hyperbolo¨ıde, 36 image d’une application lin´eaire, 89 m´ethode des, 276 imp´edance, 30, 41, 260, 261 adaptation d’, 191, 260 impulsion de Dirac, 147 incompressible, 213, 279 ind´ependance lin´eaire, 88, 94 en probabilit´es, 303, 308, 310 induction, 12, 226 in´egalit´e de Heisenberg, 90, 124 de Schwarz, 50, 90
360 inertie matrice d’, 81 r´ef´erentiel d’, 51 inertiel (mouvement), 113, 290 inertielle (masse), 290 instabilit´e, 82, 111, 180, 195, 197, 200 int´egrale premi`ere, 32, 38, 168, 184, 285 interactions ´electromagn´etiques, 291 faibles, 63 interf´erences, 36, 42, 49, 59, 64, 67, 68, 159, 293 interpolation de fonctions, 337 lin´eaire, 337 invariance, 15, 52, 83, 107, 115, 130 de l’´electromagn´etisme, 63, 117, 297 inverse (fonction), 137 inversion (g´eom´etrie), 28 irr´eversible, 9, 123, 320 irrotationnel (´ecoulement), 213, 279 isocline, 171, 175, 200 isotropie, 51, 289 Jacobi (identit´e de), 95 jacobien, 217 jauge changement de, 249, 292 de Lorentz, 249 sym´etrie de, 292 Kelvin (th´eor`eme de), 214 Kepler (mouvement de), 36, 184, 295 Klein, 51, 87 Klein-Gordon (E.D.P. de), 130 Koenig (th´eor`eme de), 78 Korteweg-De Vries (E.D.P. de), 274 Kramers-Kronig (relations de), 155 Kronecker (symbole de), 90 Lagrange multiplicateurs de, 207, 241, 242 principe de, 284 th´eor`eme de, 214 Lagrange-Helmholtz (relation de), 110 lagrangien, 284 Langevin (´equation de), 160, 318 Laplace, 253
Index E.D.P. de, 209, 274, 279 force de, 230, 232, 250 transform´ee de, 123, 157 laplacien, 209, 278, 326 L.C., 85, 228 de la charge, 245 de l’´energie, 123, 258, 266, 289 de la masse, 227 microscopiques, 229 du moment cin´etique, 80, 289 de la quantit´e de mouvement, 289 Lebesgue, 133, 160 mesure de, 3 Le Chatelier (loi de), 243 Legendre (polynˆomes de), 91, 278, 334 Lenz (loi de), 226 Levenberg-Marquardt (m´ethode de), 341, 351 Lie, 87 groupe de, 97 Lienart-Wiechert (potentiel de), 218 lieux g´eom´etriques, 30, 35 ligne de champ, 168 ´electrique, 256 limite centrale (th´eor`eme de la), 309, 311 classique, 128 continue, 257, 317, 318, 320 lin´eaire application, 89, 95 ´equation, 89 lin´earit´e, 39, 41, 147, 150, 169, 187, 261 Liouville E.D.P. de, 272 th´eor`eme de, 286 lissage, 146, 229, 252 Lobatchevski, 51, 113 localisation (des interf´erences), 68 logique, 300 loi de Descartes, 84, 236 de Laplace, 93 de Le Chatelier, 243 de Lenz, 226 de Newton, 168, 284 de Planck, 314, 321
Index
361
d’inertie, 81 de Stefan, 19, 240 inverse, 97 de Van’t Hoff, 243 de Jones, 49 loi de probabilit´e, 303 de Jordan, 99 de Bernouilli, 304, 307 orthogonale, 95, 96, 100, 215, 347 binomiale, 310 de Pauli, 101, 102 de Boltzmann, 139, 219, 242, 312, 319, de pression, 106, 249 352 projecteur, 95, 101 de χ2 , 315, 340 S, 192 exponentielle, 123, 304, 306, 312, 327 spectre d’une, 98 gaussienne, 139, 304, 308, 308, 327 sym´etrique, 95, 99, 105, 178, 262, 310 lorentzienne, 304, 308 symplectique, 289 de Poisson, 129, 311 de transfert, 108, 110, 188, 203 uniforme, 304, 306, 307, 327 de transition (probabilit´e), 319 Lorentz transpos´ee, 94 condition de, 117 triangulaire, 344, 347 force de, 117, 292 tridiagonale, 334, 344, 346, 348 groupe de, 102, 103, 295 unitaire, 95, 96, 99, 102, 192 jauge de, 249 Maupertuis (principe de), 284 transformations de, 54, 112, 216 maximum de vraisemblance, 315 lorentzienne Maxwell, 253 fonction, 146 construction de (palier gaz-liquide), 242 loi, 304, 308 distribution de, 137, 272, 306 Lotka-Volterra (oscillateur de), 171 ´equations de, 117, 245, 248, 262, 297 magn´etostatique, 31, 89, 246, 251, 274 m´ecanique du solide, 76 Magnus (effet), 280 Meissner (effet), 293 Malus (th´eor`eme de), 68 m´etastabilit´e, 143, 244 marche au hasard, 309, 317 m´ethode mar´ee (champ de), 295 du col, 140 Markov (processus de), 319 des isoclines, 200 masse de la phase stationnaire, 140 d´efaut de, 115 m´ethode (num´erique) et fr´equence, 132 de B´ezier, 341 gravitationnelle, 294 de collocation, 350 inertielle, 132, 290 des ´el´ements finis, 347 nulle, 115, 131 de Galerkin, 347 r´eduite, 79 du gradient conjugu´e, 350 matrice, 94 de Householder, 346 adjointe, 94 d’int´egration de Gauss, 336 colonne, 94 de Lax, 332 des contraintes, 106, 225 de Levenberg-Marquardt, 341, 351 LU, 344 des d´eformations, 105 des moindres carr´es, 339 densit´e, 50, 119 de Monte-Carlo, 328 diagonale, 99, 347 de Neville, 338 exponentielle de, 96 de Newton, 340, 351 hermitienne, 50, 95, 96, 99, 102 de Newton-Raphson, 339 hessienne, 290, 340
362 du pivot de Gauss, 343 QR, 347 quasi Newton, 351 du recuit simul´e, 352 de rejet, 328 de la s´ecante, 339 du simplex, 352 spectrale, 347 de la steepest descent, 350 SVD, 345 de Tikhonov, 346 de tir, 331 du trap`eze, 326 m´etrique, 91 de l’espace-temps, 111, 294 de la sph`ere, 72 structure, 90 m´etrologie, 17 Metropolis (algorithme de), 353 micror´eversibilit´e, 123, 320 Miller (indices de), 65 minima (recherche de), 350 miroir, 36, 59, 67, 109, 111 M¨ obius (bande de), 222 modes propres, 100, 177, 179, 255 modulation, 195 d’amplitude, 42, 155, 160 de fr´equence, 42, 160 module de rigidit´e, 107 moindres carr´es (m´ethode des), 339 moment cin´etique, 69, 79, 81, 118, 185 cin´etique (L.C. du), 80, 289 conjugu´e, 286, 292 de la loi de Gauss, 139 magn´etique, 69, 185, 209, 248, 251 d’une v.a., 307 mouvement d’une boule de billard, 82 brownien, 21, 160, 318, 322 harmonique, 38, 184 inertiel, 113, 290 de Kepler, 36, 184 d’une particule charg´ee, 116, 186, 196, 292 de pr´ecession, 185 d’un solide, 58, 80
Index de translation, 56 uniform´ement acc´el´er´e, 182 moyenne, 307 quantique, 119 temporelle, 39, 119, 158, 161, 322 moyennisation, 41, 146 multiplicateurs de Lagrange, 207, 241, 242 multipolaire (d´eveloppement), 91 Naviers-Stokes (E.D.P. de), 231 Neuman (C.L. de), 275, 276, 348 neutrino, 131 Neville (m´ethode d’interpolation), 338 Newton loi de, 168, 284 m´ethode de minimisation de, 340, 351 relations de (optique), 110 Newton-Raphson (m´ethode de), 339 nombres al´eatoires, 327 alg´ebriques, 2 complexes, 22 rationnels, 2 r´eels, 3 notation complexe, 39, 46 noyau (d’une application), 89 Ohm (loi d’), 13 onde de choc, 207, 228, 229, 274 ´elastique, 231, 262 ´evanescente, 191, 192, 264 guid´ee, 266 et m´ecanique, 236, 284, 286 plane, 64, 161, 235, 261 propagative, 191, 254 simple (E.D.P. d’), 207, 228, 272 sismique, 262 solitaire, 273 sonore, 19, 86, 188, 212, 229, 261 sph´erique, 67, 150, 267, 270 stationnaire, 190, 254, 271 de surface, 261, 274 surface d’, 141, 234 op´erateur d’annihilation, 128, 130 de cr´eation, 128, 130 hamiltonien, 119
Index
363
phase de Berry, 299 espace de, 125, 167, 286, 289 vitesse de, 64 phonon, 19, 256 photon, 73, 96, 116, 118, 119, 123, 129, 314 plan, 64 complexe, 26 r´eticulaire, 65, 85 tangent, 206, 208 Planck ´echelle de, 18 facteur de, 74 loi de, 137, 314, 321 Planck-Einstein (relation de), 17, 115, 118 point fixe, 171 points de vue actif et passif, 53 Poisson, 253 coefficient de, 108 crochets de, 286, 287 E.D.P. de, 275, 278, 299, 349 formule de, 152, 154, 164 loi de, 129, 311 paquet d’ondes, 124, 127, 141, 264, 274, polarisation, 38, 100, 187 286 di´electrique, 155, 198, 247 parabole, 33 ´etats de, 46, 96, 118 paramagn´etisme, 143, 293, 315 polynˆ ome param´etrage additif, 4 de Berstein, 341 param`etre d’ordre, 244, 313 caract´eristique, 98 param´etrique (oscillateur), 173, 174, 187, de Hermite, 128, 334 193, 195, 198, 285 de Legendre, 91, 278, 334 param´etrique (oscillateur amorti), 195 minimal, 98 parit´e, 55, 145 de Tchebytchev, 335 Parseval (formule de), 156, 163 porte (fonction), 146 partition portrait de phase (d´efinition), 170 de l’ensemble des r´esultats, 302 potentiel fonction de, 313 chimique, 240, 242, 313, 314 Pauli de Lienart-Wiechert, 218 matrices de, 101, 102 scalaire, 248, 292 thermodynamique, 243, 313 principe de, 131 vecteur, 211, 248, 292 pendule de Foucault, 75, 186 Poynting (vecteur de), 248 percussion, 82, 124, 149, 269 pr´ecession (mouvement de), 185 p´eriodique (fonction), 145, 152, 153 pression, 239 p´eriodisation, 145, 156, 164 cin´etique, 71, 196, 299 permutation, 94, 101 force de, 107, 225 Perot Fabry, 44
laplacien, 209, 278 nabla, 209, 211 de position, 124 quantit´e de mouvement, 124 de sym´etrie, 118, 120, 124 optique de Fourier, 161 g´eom´etrique (approximation de l’), 141, 234 incoh´erente, 151, 165 matricielle, 108, 111, 127 non lin´eaire, 198 orbitale atomique, 104 oscillateur amorti, 149, 174 coupl´es, 92, 100, 178, 200 entraˆın´e avec frottement solide, 172 harmonique quantique, 126, 127 de Lotka-Volterra, 171 non lin´eaire, 197 param´etrique, 173, 187, 193, 195, 285 de Van der Pol, 20, 200, 202 Ostrogradski (formule de), 223
364
Index
racines d’un polynˆome, 25 rang (d’une application lin´eaire), 89 rapidit´e, 5, 54, 112 Rayleigh-Ritz, 100 rayon de courbure, 62, 137 optique, 67, 108, 188, 189, 234, 235, 296 rayonnement, 19, 86, 251 recuit simul´e (m´ethode du), 352 r´ecurrence (relation de), 254 redshift gravitationnel, 295 r´ef´erentiel du centre de masse, 78, 115 changement de, 53, 77 de Copernic, 56, 78 g´eocentrique, 56 d’inertie, 51 local, 78, 183 r´eflexion coefficient de, 191, 260, 266 totale, 264, 266 r`egle d’or de Fermi, 123, 129 relativit´e d’Einstein, 17, 111 renversement du temps, 55 r´eponse impulsionnelle, 149, 150 lin´eaire (Boltzmann), 314 repr´esentation lin´eaire (d’un groupe), 52, 102–104 r´eseau, 43, 65, 84, 163, 164 r´eciproque, 65 r´esonance, 40, 179 non lin´eaire, 199 param´etrique, 174, 193, 195, 198 quantique, 122 r´esultats (probabilit´es), 301 r´eversible, 55, 262, 298 Reynolds, 15 QR (algorithme), 346 nombre de, 20 quadrivecteur, 114, 216, 296 Ricci (courbure de), 296 ´energie-quantit´e de mouvement, 114 Richardson (extrapolation de), 327 quadrupole, 19, 104, 251 Riemann, 51 quantification, 190, 194, 266, 278 courbure de, 296 quantit´e de mouvement, 79, 124, 227, 291 int´egrale de, 3, 216 L.C. de la, 289 quasi-monochromatique (signal), 42, 123, R.M.N., 177 rotation, 28, 54, 56, 58, 60, 76, 96, 213, 231 159 sym´etrie de, 85, 288 quasi-p´eriodique (signal), 158
de radiation, 71, 196 primitive, 136, 138 principe de Curie, 83 de Fermat, 30, 36, 67, 111, 236, 283 de Hamilton, 286 de Huygens-Fresnel, 45, 150, 163 de Lagrange, 284 de Maupertuis, 284 de moindre action, 283 de Pauli, 131 probabilit´e, 302 amplitude de, 118 courant de, 125, 192, 320 densit´e de, 125, 303 lois de, 303 de transition, 123, 129, 317, 319 probl`eme `a deux corps, 79 processus al´eatoire, 301, 317 de diffusion, 317 gaussien, 321 de Markov, 319 poissonnien, 312, 321 stationnaire, 321 produit hermitien, 90 mixte, 60, 93 scalaire, 26, 60, 90, 95 tensoriel, 88, 104 vectoriel, 60 projecteur, 50, 90, 95, 101 propagation (E.D.P. de), 215, 262, 269 pseudovecteur, 62 puits de potentiel, 120, 190, 192, 194 Pythagore (th´eor`eme de), 16
Index rotationnel, 210, 211, 223 Runge-Kutta (sch´ema num´erique de), 329 Rutherford (diffusion de), 37, 185 scalaire grandeur, 59, 104 potentiel, 292 produit, 60, 90, 95 sch´ema num´erique de Crank-Nicolson, 329, 333 d’Euler, 329, 331 leapfrog, 330, 332 de Runge-Kutta, 329 Schr¨ odinger, 87, 253 E.D. de, 188, 190, 194 E.D.P. de, 125, 262, 268, 271, 278 ´equation de, 119, 298 Schwarz ´egalit´e de, 205, 236, 240 in´egalit´e de, 50, 90, 147 Schwarzschild action de, 297 m´etrique de, 295 s´eparation des variables, 278 s´erie de Fourier, 152 Shannon (condition de), 156, 165 signal chaotique, 158, 159 complexe (analytique), 39 quasi-monochromatique, 42, 123, 159 quasi-p´eriodique, 158 stationnaire, 158 signal lumineux, 156, 159, 312, 321 Sine Gordon (E.D.P. de), 273 Smith (abaque de), 30 solide, 9 champ des vitesses d’un, 80, 211 m´ecanique du, 76 mouvement d’un, 58, 80 somme directe (d’E.V.), 88, 104 spectre de fr´equences d’un signal, 153 d’une matrice, 98 d’une v.a., 301 sph`ere, 72 spineur, 103, 104, 131 splines
365 B-splines, 336 cubic-splines, 337 stabilit´e num´erique, 325, 330, 332, 333 d’un syst`eme dynamique, 172, 180 thermodynamique, 241 stationnarit´e, 41, 147, 150, 168, 212, 216, 261, 289 statistiques quantiques, 314 Stefan (loi de), 19, 240 Stirling (formule de), 140, 143, 243 Stokes (formule de), 220, 221, 224, 281, 296 supraconducteur, 277, 293 surface, 206, 208, 212 ferm´ee, 224 de niveau, 208 d’onde, 141, 234 orientable, 221 ouverte, 224 des vecteurs d’onde, 263 SVD (singular value decomposition), 345 sym´etrie, 52, 288 discr`ete, 58, 62, 85, 95 groupe de, 52, 53, 84 de jauge, 292 op´erateur de, 118, 120, 124 de rotation, 85, 285, 288 de translation, 84, 288 symbole de Kronecker, 90 symplectique (g´eom´etrie ; matrice), 289 syst`eme dynamique, 167, 170, 207 Taylor (d´eveloppement de), 7, 135, 205, 307, 335 Tchebytchev (polynˆomes de), 335 temp´erature, 17, 239 temps de coh´erence, 159 de corr´elation, 159, 321 propre, 113, 290, 294 tension (d’un ressort), 12 th´eor`eme de Bayes, 303 de Bernouilli, 71, 213, 230 de Bloch, 194 de Floquet, 193 d’Helmholtz, 214
366 de Kelvin, 214 de Lagrange, 214 de la limite centrale, 309, 311 de Liouville, 286 du viriel, 233 de Wiener-Khintchine, 158, 322 thermique (´echange), 71, 229, 239, 298 thermodynamique, 27, 141, 238 tire-bouchon (r`egle du), 13, 57, 222 trace, 97 transfert fonction de, 41, 151, 153, 162, 165 matrice de, 108, 110, 188, 203 transformation canonique, 287, 290 conforme, 29, 282 de Fourier, 151 de Galil´ee, 55, 216 de Lorentz, 54, 102, 112, 216 transform´ee de Fourier, 41, 46, 153, 163 de Fourier discr`ete, 157, 334 de Laplace, 123, 157 en z, 24, 41 transition de phase, 142 quantique, 122 translation, 28, 56, 60, 145, 164, 231 d’espace-temps, 54 mouvement de, 56 sym´etrie de, 84, 288 transmission (coefficient de), 191 transport parall`ele, 74, 296 quantique, 299 travail, 231, 233, 250 en thermodynamique, 142, 243, 298 travaux virtuels (th´eor`eme des), 286
Index Van der Pol (oscillateur), 20, 200, 202 Van der Waals ´equation de, 135, 239 fluide de, 241, 244 Van’t Hoff (loi de), 243 variance, 307, 309 vecteur axial, 63 de Jones, 47 de Lenz, 37, 184 d’onde (surface des), 263 polaire, 62 potentiel, 292 de Poynting, 71, 248 propre, 98–101, 121, 177, 319, 345, 346 surface, 69 tournant, 38, 76, 185, 187 unitaire, 31, 62 vectoriel (produit), 60 vectorielle (grandeur), 59 viriel (th´eor`eme du), 233 viscosit´e, 108, 282 vissage, 57 vitesse ar´eolaire, 27 c (de la lumi`ere), 54 de l’´energie, 266 de groupe, 125, 132, 141, 236, 265, 286 de phase, 64 volume, 61, 106, 213 forme, 93 `a tr`es grand nombre de dimensions, 218 Weyl (E.D.P. de), 131 Wiener-Khintchine (th´eor`eme de), 158, 322 WKB (approximation), 197 wronskien, 189, 192
v.a. ind´ependantes, 305, 307, 308, 317 Young (module d’), 108, 258 valeur propre, 98–101, 106, 111, 121, 177, 319, 346 Zeeman (effet), 186
