Physique du solide avancée

Physique du Solide Avanc´ ee I et II

F. Mila

Cours de 4`eme ann´ee. Ann´ee 2003–2004

Table des mati` eres 1 Introduction 1.1 Objectifs du cours . . . . . . . 1.2 Electrons ind´ependants dans un 1.2.1 Th´eor`eme de Bloch . . . 1.2.2 Th´eorie des bandes . . . 1.3 Les isolants de Mott . . . . . .

. . . . . . . . . . . . potentiel p´eriodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Magn´ etisme des isolants de Mott 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Mod`ele de Heisenberg - Consid´erations g´en´erales . 2.3 Cas ferromagn´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Etat fondamental . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Etats exacts de basse ´energie : . . . . . . . 2.3.3 Transformation de Holstein-Primakoff . . . 2.3.4 Cas antiferromagn´etique . . . . . . . . . . . 2.3.5 Etat fondamental . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Syst`emes frustr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Recherche de l’´etat fondamental classique . 2.4.2 Ondes de spin dans un syst`eme h´elico¨ıdal : 2.4.3 Compl´ement : Mod`ele J1 − J2 . . . . . . . . 2.5 Annexe du chapitre 2 : Alg`ebre de spin . . . . . . .

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3 3 4 4 6 9

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12 12 15 16 17 18 21 24 24 32 32 36 40 44

3 Les 3.1 3.2 3.3 3.4

interactions ´ electrons-´ electrons dans les m´ etaux 47 Mod`ele du jellium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 L’approximation de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 D´eveloppement au second ordre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Ecrantage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4.1 Discussion de quelques cons´equences physiques . . . . . . 66 3.4.2 Lien avec le mod`ele de Drude de la constante di´electrique 67 3.4.3 Plasmons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.5 Effet de r´eseau : instabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4 Interaction ´ electrons-phonons 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Phonons - Rappels . . . . . . . . . . . 4.3 Interaction ´electron-phonon : . . . . . 4.4 L’interaction effective ´electron-´electron 2

. . . :

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73 73 73 77 79

5 Supraconductivit´ e 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 La m´ethode de l’´equation du mouvement . . 5.3 Interpr´etation des r´esultats : . . . . . . . . . . 5.4 Temp´eratures finies : . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Electrodynamique des supraconducteurs I : . 5.6 Electrodynamique II : L’´equation de Pippard 5.7 Le mod`ele de Landau-Ginsburg : . . . . . . . 5.8 La quantification du flux : . . . . . . . . . . . 5.9 Effet Josephson : . . . . . . . . . . . . . . . .

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86 86 87 95 101 103 110 118 126 127

A Seconde quantification A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1 Espace de Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.2 Oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . A.2.3 Lien entre bosons et oscillateurs harmoniques A.3 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 Op´erateur champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5 Application : ´electrons en interaction . . . . . . . . . A.5.1 Fonctions propres de r´ef´erence . . . . . . . . A.5.2 Op´erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5.3 Hamiltonien en seconde quantification . . . .

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132 132 133 133 134 135 137 139 140 140 142 143

B Th´ eorie de la r´ eponse lin´ eaire B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Les repr´esentations de la m´ecanique quantique B.2.1 H ind´ependant du temps . . . . . . . . B.2.2 H d´ependant du temps . . . . . . . . . B.3 R´eponse a ` une perturbation . . . . . . . . . . . B.4 Fonction di´electrique . . . . . . . . . . . . . . .

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145 145 145 146 149 150 154

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C Fonctions de Green (Fermions, T=0) 157 C.1 Introduction - Propri´et´es g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 C.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 C.1.2 Exemple : fermions sans interactions . . . . . . . . . . . . 160 C.1.3 Propri´et´es analytiques - Repr´esentation de Lehmann . . . 165 C.1.4 Lien avec les propri´et´es physiques : . . . . . . . . . . . . . 169 C.2 Calcul en perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 C.2.1 Le probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 C.2.2 Th´eor`eme de Gell-Mann et Low : . . . . . . . . . . . . . . 170 C.2.3 Th´eor`eme de Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 C.2.4 Repr´esentation diagrammatique. Th´eor`eme des diagrammes connexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 C.2.5 Equation de Dyson - Self-´energie . . . . . . . . . . . . . . 181 C.2.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

3

Chapitre 1

Introduction 1.1

Objectifs du cours

La physique des solides est l’´etude des propri´et´es des corps condens´es dans leur phase solide, c’est-` a-dire dans la phase o` u la position relative des noyaux est fix´ee en moyenne. Cette d´efinition exclut les liquides mais comprend des corps amorphes comme les verres, ou des objets partiellement ordonn´es comme les cristaux liquides. Par propri´et´es on entend la fa¸con dont les solides se comportent en pr´esence d’une stimulation ext´erieure qui peut ˆetre une action m´ecanique, une impulsion de chaleur ou un champ ´electromagn´etique au sens large (champ ´electrique, champ magn´etique, onde ´electromagn´etique). Ce sujet est extraodinairement vaste, et il est indispensable de faire des choix. L’objectif de ce cours est double : 1. D´evelopper des outils et des concepts modernes qui permettent d’aborder les probl`emes d’actualit´e en recherche fondamentale et appliqu´ee en physique des solides (seconde quantification, fonctions de Green, diagrammes de Feynman, transformations canoniques,. . . ) 2. Les utiliser pour ´etudier un certain nombre de probl`emes s´electionn´es pour leur int´erˆet intrins`eque (magn´etisme, supraconductivit´e,. . . ). Le premier point n’est pas la seule fa¸con de proc´eder. En effet, pratiquement tous les ph´enom`enes d´ecouverts dans les solides peuvent, une fois qu’ils ont ´et´e parfaitement compris, ˆetre d´ecrits par des m´ethodes ´el´ementaires agr´ement´ees des ingr´edients appropri´es. Il est donc tout a ` fait possible de faire un cours de physique des solides avanc´e sans recourir a ` ces techniques sophistiqu´ees. Ceci dit, ces outils sont d’utilisation courante pour ne pas dire syst´ematique dans la litt´erature scientifique contemporaine. Par ailleurs, ils sont indispensables pour se convaincre de la validit´e des descriptions plus simples des ph´enom`enes. C’est ce qui justifie le choix de les d´evelopper de fa¸con d´etaill´ee pour qu’ils puissent ˆetre utilis´es dans d’autres contextes. La contrepartie, c’est que certains sujets ne pourront pas ˆetre abord´es. 4

1.2 1.2.1

Electrons ind´ ependants dans un potentiel p´ eriodique Th´ eor` eme de Bloch

Premi` ere formulation Un grand nombre de myst`eres ont ´et´e ´elucid´es en physique du solide en repr´esentant le gaz d’´electrons comme un gaz de fermions sans interactions ´evoluant dans un potentiel p´eriodique. Le th´eor`eme fondamental de ce point de vue est le th´eor`eme de Bloch : on cherche les solutions de l’´equation de Schr¨ odinger   2 ~ − ∇2 + U (r) ψ(r) = εψ(r) 2m P o` u U (r) est un potentiel p´eriodique (U (r + R) = U (r) si R = j nj aj avec aj 3 vecteurs lin´eairement ind´ependants). Th´eor`eme de Bloch : les solutions sont de la forme ψk (r) = eik.r uk (r) o` u uk (r) est une fonction qui a la mˆeme p´eriodicit´e que U (r). D´emonstration : voir cours de 3`eme ann´ee et exercices. Seconde formulation Pour cela introduisons l’op´erateur de translation TR d´efini par TR ψ(r) = ψ(r + R) Mais si R =

P

(1.1)

nj aj , cet op´erateur commute avec H. En effet,

j

Ta

∂ 2ψ ∂2ψ (x) = (x + a) 2 ∂x ∂x2

et ∂2 ∂2 T ψ(x) = ψ(x + a) = a ∂x2 ∂x2





 ∂   ∂ψ (x + a) d (x + a)  ∂x  ∂x |dx {z } =1

=

∂2ψ d (x + a) (x + a) ∂x2 dx | {z } =1



⇒ Ta −

2

~ ∇2 ψ(r) 2m



2

=−

~ ∇2 Ta ψ(r) 2m

Ceci est vrai quel que soit a, donc en particulier pour les translations du r´eseau : ~2 ∇2 . TR commute avec − 2m Par ailleurs, TR U (r)ψ(r)

= U (r + R)ψ(r + R) = U (r)ψ(r + R) = U (r)TR ψ(r) 5

Donc TR commute avec H. Mais si des op´erateurs commutent, on peut les diagonaliser dans une base commune. Cherchons donc les fonctions propres de Taj . Elles doivent satisfaire : Taj ψ(r) = λj ψ(r) Avec les conditions aux limites de Born-Von Karman : ψ(r + Nj aj ) = ψ(r) pour un syst`eme ayant N = N1 N2 N3 mailles ´el´ementaires, on doit avoir : N

Taj j ψ(r) ≡ ψ(r + Nj aj ) = ψ(r) Mais

N

N

P

Finalement, L’expression

Nj

Taj j ψ(r) = λj j ψ(r) ⇒ λj

2iπ N j mj nj

TR ψ(r) = e j

= 1 ⇒ λj = e 2π iN mj n j j

2π mj iN j

ψ(r)

peut se mettre sous la forme ik.R avec k =

P mj j

les vecteurs a∗j sont d´efinis par :

Nj

a∗j o` u

ai .a∗j = 2πδij Ils d´efinissent le r´eseau r´eciproque. Ceci nous am`ene a ` la deuxi`eme formulation du th´eor`eme de Bloch : ψ(r + R) = eik.R ψ(r) dont on montre ais´ement qu’elle est ´equivalente a ` la premi`ere. Equivalence des deux formulations Les deux formulations du th´eor`eme de Bloch sont bien ´equivalentes : 1. Supposons que ψk (r) = eik.r uk (r), o` u uk a la p´eriodicit´e du r´eseau. On a: ψk (r + R) = eik.R eik.r uk (r + R) = eik.R eik.r uk (r) = eik.R ψk (r) 2. R´eciproquement, supposons que : ψk (r + R) = eik.R ψk (r) et d´efinissons la fonction uk (r) par : uk (r) = e−ik.r ψk (r) On a : uk (r + R) = e−ik.r e−ik.R ψk (r + R) | {z } ψk (r)

= uk (r)

⇒ uk est bien p´eriodique. 6

Zones de Brillouin P Soit G = mj a∗j un vecteur du r´eseau r´eciproque. j

G.R =

X j

2πmj nj ⇒ eiG.R = 1 ⇒ ei(k+G).R = eik.R

Il en d´ecoule que deux vecteurs d’ondes k conduisent a ` la mˆeme solution s’ils ne diff`erent que par un vecteur du r´eseau r´eciproque. On peut donc se limiter a ` une maille ´el´ementaire du r´eseau r´eciproque, par exemple a ` la 1`ere zone de Brillouin. Exemple : r´eseau carr´e de pas a. 2π 2π x ˆ, a∗2 = y ˆ a a

a1 = aˆ x, a2 = aˆ y ⇒ a∗1 =







 

 


 

1.2.2

Th´ eorie des bandes

Si on cherche les solutions de l’´equation de Schr¨ odinger sous la forme ψk (r) = eik.r uk (r), la fonction uk (r) doit satisfaire a ` une autre ´equation diff´erentielle que nous pouvons simplement d´eterminer :
∇ eik.r uk (r) = ikeik.r uk (r) + eik.r ∇uk (r) ∇2 eik.r uk (r)






−

= −k2 eik.r uk (r) + ikeik.r .∇uk (r) + ikeik.r .∇uk (r) + eik.r ∇2 uk (r)
= eik.r −k2 + 2ik.∇ + ∇2 uk (r)


~2 −k2 + 2ik.∇ + ∇2 + U (r) uk (r) = εk uk (r) 2m

En g´en´eral cette ´equation a une infinit´e de solutions que l’on rep`ere par un nombre quantique suppl´ementaire n appel´e indice de bandes. Les fonctions εnk constituent la structure de bandes. 7

  


 Dans la th´eorie des bandes, on suppose que les ´electrons n’interagissent pas entre eux. Les ´etats propres a ` N ´electrons sont alors obtenus en pla¸cant un ´electron dans chaque ´etat quantique. A ce stade, il faut prendre en compte le spin 12 des ´electrons. Chaque ´etat quantique est rep´er´e par son ´energie ε nkσ , σ =↑ ou ↓. En l’absence de champ magn´etique, et si le syst`eme a un centre d’inversion, εnk↑ = εnk↓ . De fa¸con g´en´erale, il existe des ´energies ne correspondant a ` εnkσ pour aucune valeur de (nkσ). Ces ´energies forment des intervalles appel´es bandes interdites. Remarque : l’existence de bandes interdites n’est une r´ealit´e que pour les solides infinis. En pr´esence d’une surface, il y a d’autres solutions dont l’´energie tombe dans les bandes interdites. Il s’agit de solutions telles que : ψ(r + R) = zψ(r) o` u z est un nombre complexe de module diff´erent de 1. De telles solutions sont a priori possibles puisque l’op´erateur de translation peut ´evidemment avoir des valeurs propres de module 6= 1. De telles solutions ne sont pas acceptables dans le volume car leur norme diverge exponentiellement avec la taille du syst`eme, mais elles sont acceptables en pr´esence d’une surface si la fonction d´ecroˆıt lorsqu’on s’´eloigne de la surface. De tels ´etats s’appellent des ´etats de surface. Ils ont ´et´e observ´es et jouent un rˆ ole important dans les propri´et´es ´electroniques des surfaces (catalyse, . . . ). Les conditions de Born-Von Karman, qui imposent |z| = 1, ne permettent pas de d´ecrire ces ´etats de surface.

L’´etat fondamental d’un syst`eme volumique est obtenu en remplissant les niveaux d’´energie en partant du plus bas. Deux cas de figure peuvent se pr´esenter : 1. Toutes les bandes sont soit compl`etement pleines, soit compl`etement vides. Le premier ´etat excit´e est s´epar´e du fondamental par l’´energie ∆ qui s´epare la derni`ere bande occup´ee de la premi`ere bande vide. Du coup il est impossible de mettre les ´electrons en mouvement en appliquant une tension arbitrairement petite ⇒ le syst`eme est isolant. Comme il y a 2N ´etats par bande, ceci n’est possible que si le nombre d’´electrons par maille ´el´ementaire est un entier pair. 2. Une ou plusieurs bandes sont partiellement remplies. L’´energie du dernier ´etat occup´e s’appelle l’´energie de Fermi et est not´ee εF . Dans ce cas, la 8

s´eparation entre le dernier ´etat occup´e et le premier ´etat vide tend vers 0 quand N → ∞. Le syst`eme peut r´epondre a ` des excitations infinit´esimales. De tels syst`emes sont dits m´etalliques (ou conducteurs). Cette classification est sans doute le plus grand succ`es de la th´eorie des bandes. Avant cette th´eorie, l’existence de m´etaux et d’isolants ´etait un grand myst`ere. De tr`es nombreuses cons´equences de cette th´eorie ont ´et´e v´erifi´ees. En particulier, cette th´eorie pr´evoit l’existence d’un ensemble de vecteurs d’onde particulier appel´e surface de Fermi d´efinis par l’´equation : εnkσ = εF La topologie de cette surface a des cons´equences tout a ` fait remarquables. En particulier, elle peut conduire a ` une conduction par trous, et donc a ` un coefficient de Hall positif, un r´esultat tout a ` fait incompr´ehensible dans le cadre de la th´eorie de Drude ou de Sommerfeld. Elle a ´egalement des cons´equences directes sur les oscillations de de Haas-Van Alphen (oscillations de l’aimantation des m´etaux en fonction du champ magn´etique) ou de Chubnikov-de Haas (oscillations de la magn´etor´esistance en fonction du champ). Par ailleurs, la densit´e d’´etats au niveau de Fermi peut ˆetre tr`es ´eloign´ee de sa valeur dans le cadre de la th´eorie de Sommerfeld. Elle est en effet donn´ee par : Z 1 dS gn (εF ) = 3 |∇ε (k)| 4π n Sn (εF ) o` u l’int´egrale est prise sur la surface de Fermi. La densit´e d’´etat peut avoir des singularit´es si le gradient s’annule, voire des divergences en dimension 2 ou 1. Cette densit´e d’´etats intervient directement dans des quantit´es comme la chaleur sp´ecifique : π2 2 k T g(εF ) cv = 3 B ou la susceptibilit´e de Pauli : χ = µ2B g(εF ) Enfin, la th´eorie du transport, dite th´eorie semi-classique, qui en d´ecoule permet d’expliquer de nombreuses propri´et´es. Pourtant, il n’est pas possible d’en rester a ` cette approche d’´electrons ind´ependants pour deux raisons d’ordres tr`es diff´erents : 1. Probl`eme de principe : l’interaction coulombienne entre ´electrons n’est pas n´egligeable. Elle n’est mˆeme pas petite : V (q) =

4πe2 diverge pour q → 0 q2

Comment se fait-il que l’approximation des ´electrons ind´ependants, qui consiste a ` remplacer cette interaction par un potentiel moyen effectif, marche si bien dans un grand nombre de cas ? Pour r´epondre a ` cette question, et pour comprendre les limites de validit´e de cette th´eorie, il est indispensable de travailler avec des fonctions d’ondes a ` plusieurs particules. La seule repr´esentation vraiment pratique se fait dans le cadre de la seconde quantification (voir partie A). 9

2. Les ´echecs de la th´eorie des bandes : malgr´e les efforts consid´erables de l’´epoque, dont ceux de Bloch lui-mˆeme, il a ´et´e impossible d’expliquer la supraconductivit´e a ` partir de la th´eorie des bandes. On sait d´esormais qu’il s’agit d’un ´etat d´ecrit par une fonction d’onde radicalement diff´erente des fonctions propres de la th´eorie des bandes (voir partie 5 sur la supraconductivit´e). C’est un ´echec tout relatif dans la mesure o` u la supraconductivit´e s’explique comme une instabilit´e a ` partir d’un ´etat qui lui est bien d´ecrit par la th´eorie des bandes. Mais il y a un ´echec beaucoup plus radical : certains compos´es ayant un nombre impair d’´electrons par maille ´el´ementaire sont des isolants. Ceci est rigoureusement impossible dans le cadre de la th´eorie des bandes. Ce probl`eme fait l’objet de la section suivante.

1.3

Les isolants de Mott

En 1937, donc quelques ann´ees a ` peine apr`es l’apparition de la th´eorie des bandes (Bloch 1929, Peierls 1929, Wilson 1931), de Boer et Verwey remarqu`erent que NiO, qui est isolant avec un gap de 4 eV environ, devrait ˆetre un m´etal d’apr`es la th´eorie des bandes. Pendant la discussion qui suivit l’expos´e, Peierls dit qu’` a son avis c’´etait un effet des corr´elations. Ce n’est que plusieurs ann´ees plus tard que Mott parvint a ` formuler cette explication de fa¸con pr´ecise. Depuis, de tr`es nombreux contre-exemples ont ´et´e trouv´es, le plus c´el`ebre ´etant La2 CuO4 : dop´e avec du Sr (La2−x Srx CuO4 ) ce compos´e devient supraconducteur a ` 40 K, ce qui a valu le prix Nobel 1988 a ` Bednorz et M¨ uller. La structure de bande de ce compos´e a ´et´e calcul´ee par Mattheiss en 1987 (voir figure 1.1). Comme il y a un nombre impair d’´electrons par maille ´el´ementaire, une bande au moins doit ˆetre partiellement remplie. C’est effectivement le cas : une bande est demi-remplie. Pour comprendre cette structure de bandes, le plus simple est de consid´erer le solide comme une collection d’atomes. Chaque atome a des orbitales plus ou moins remplies. La : [Xe] 6s2 5d1 Cu : [Ar] 3d10 4s1 O : 1s2 2s2 2p4 La position relative des orbitales externes des atomes d´ecide du remplissage dans le solide. Il se trouve que les orbitales 2p de l’oxyg`ene sont plus basses que les orbitales externes de Cu et La. Du coup, les configurations ´electroniques dans le solide sont les suivantes : La3+ : [Xe] Cu2+ : [Ar] 3d9 O2− : 1s2 2s2 2p6 3+ Au total, La2 Cu2+ O2− 4 est neutre ! Par ailleurs, les int´egrales de transfert entre certaines orbitales 3d du cuivre et 2p de l’oxyg`ene sont importantes (' 1 eV ), et la s´eparation entre les niveaux atomiques n’est pas trop grande (' 2 eV ). Du coup, l’hybridation entre ces orbitales est significative, et le niveau de Fermi tombe dans une r´egion en ´energie ou il y a 17 bandes : 5 venant des niveaux 3d du cuivre, et 12 (4×3) venant des niveaux 2p des quatre oxyg`enes de la maille ´el´ementaire. Cette fa¸con de voir la structure de bandes correspond a ` la m´ethode des liaisons fortes. 10

Fig. 1.1 – LAPW energy bands for La2 CuO4 along symmetry lines in the bct Brillouin zone. L.F. Mattheiss, Phys. Rev. Lett. 58, 1028 (1987).

Cette approche est toujours possible, et elle d´ecrit tr`es bien la structure de bandes de nombreux m´etaux. Pourquoi ´echoue-t-elle a ` d´ecrire correctement le fondamental de nombreux compos´es comme La2 CuO4 ? L’argument central dˆ ua ` Mott consiste a ` ´etudier les excitations ´electroniques d’un solide compos´e d’atomes d’hydrog`enes en fonction de la distance entre les atomes. Pour simplifier, essayons de construire un solide imaginaire formant un r´eseau carr´e a ` partir d’atomes d’hydrog`ene. La maille ´el´ementaire comprend un atome d’hydrog`ene, et il y a un ´electron par maille ´el´ementaire. D’apr`es la th´eorie des bandes, le syst`eme doit donc ˆetre un m´etal. Pourtant, si on appelle a la distance entre les atomes d’hydrog`ene, le syst`eme ne peut pas ˆetre m´etallique lorsque a est grand. Essayons en effet de faire passer du courant. Il faut prendre un ´electron et l’amener tr`es loin. Pour que le syst`eme soit m´etallique, il faut pouvoir faire cela avec un apport d’´energie infinit´esimal. Essayons d’´evaluer l’´energie qu’il faut fournir au syst`eme pour faire cela. Si a est tr`es grand, on a au d´epart essentiellement 1 ´electron par site. Lorsqu’on envoie un ´electron tr`es loin, on cr´ee un trou et un site doublement occup´e :

11

L’´energie potentielle de cet ´etat est a ` peu pr`es donn´ee par : E(H − ) + E(H + ) − 2E(H) Du fait de la r´epulsion coulombienne entre les 2 ´electrons de H− , cette quantit´e est strictement positive. On l’appelle en g´en´eral U . Par contre, le syst`eme peut gagner de l’´energie cin´etique : le trou peut se d´elocaliser, et le site doublement occup´e aussi. Si on appelle W la largeur de bande correspondant a ` la d´elocalisation d’un ´electron sur le r´eseau, le trou va se mettre en bas de la bande et gagner W e va faire 2 , et le site doublement occup´ de mˆeme. Ceci suppose que la d´elocalisation du trou et celle du site doublement occup´e se fassent de la mˆeme fa¸con. Ce n’est pas vrai en toute rigueur, mais l’ordre de grandeur est le mˆeme. Cette largeur de bande peut ˆetre estim´ee par un calcul de liaisons fortes. L’int´egrale de transfert dominante est entre premiers voisins. Si on l’appelle t, la relation de dispersion s’´ecrit : E(t) = 2t cos kx + 2t cos ky La largeur de bande W = 8t. Finalement, l’´energie d’une configuration avec un trou et un site doublement occup´e est ´egale a `: ∆c = U − W Dans cette expression, U est essentiellement ind´ependant du param`etre de r´eseau a puisque c’est une quantit´e atomique. Par contre, W d´epend fortement de a. Lorsque a est grand par rapport au rayon de Bohr a0 , le recouvrement dans le calcul de l’int´egrale de transfert fait intervenir la queue exponentielle des a fonctions d’onde, et t ∝ e− a0 est exponentiellement petit. Dans cette limite, ∆c ' U est un nombre positif et grand ⇒ le syst`eme est un isolant. De tels isolants s’appellent des isolants de Mott. ∆c s’appelle le gap de charge. Lorsque a diminue, t augmente, et il doit y avoir une valeur de l’ordre de a0 pour laquelle U = W . En-dessous de cette valeur, le calcul de ∆c n’est plus valable. Le gap ne peut ˆetre n´egatif ! L’argument de Mott pr´evoit donc l’existence d’une transition m´etal-isolant lorsque a augmente. Cette transition peut en principe ˆetre observ´ee en appliquant de la pression sur un isolant de Mott pour r´eduire a et augmenter t. Historiquement une transition de ce type a ´et´e observ´ee pour la premi`ere fois dans V2 O3 au d´ebut des ann´ees 70. Il y a d’autres ingr´edients qui rendent la transition plus compliqu´ee dans ce compos´e, mais la validit´e de l’argument est d´esormais g´en´eralement admise. Il y a une diff´erence fondamentale entre un isolant de Mott et un isolant de bandes. En effet, s’il faut payer une ´energie ∆c pour faire une excitation de charge dans un isolant de Mott, il n’est pas n´ecessaire de payer cette ´energie pour faire une excitation de spin : on peut retourner le spin d’un ´electron sans cr´eer un site doublement occup´e. La description du magn´etisme des isolants de Mott fera l’objet de la partie 2. Pour d´ecrire cette physique de fa¸con pr´ecise dans un cadre g´en´eral incluant a ` la fois les fluctuations de charge et de spin, il faut poss´eder les outils n´ecessaires a ` la description de syst`emes d’´electrons en interaction. Le formalisme le plus adapt´e, la seconde quantification, est pr´esent´e dans la partie A.

12

Chapitre 2

Magn´ etisme des isolants de Mott 2.1

Introduction

Comme nous l’avons vu dans le premier chapitre, les isolants de Mott se distinguent radicalement des isolants de bandes parce qu’ils poss`edent des excitations magn´etiques de basse ´energie. En effet, l’´etat isolant correspond a ` une configuration o` u chaque atome porte un nombre impair d’´electrons, disons 1 pour simplifier, et le spin de cet ´electron peut ˆetre ↑ ou ↓. Dans la limite purement atomique o` u les atomes sont infiniment loin, le spectre d’excitations est tr`es simple. Le fondamental correspond a ` toutes les configurations o` u on a 1 ´electron par site. Il est donc 2N fois d´eg´en´er´e, et son ´energie est ´egale a ` N 0 , o` u 0 , l’´energie d’un ´electron sur un site, peut ˆetre pris comme r´ef´erence d’´energie ( = 0). Le premier ´etat excit´e correspond a ` une configuration o` u on a 1 site vide et 1 site doublement occup´e. Sa d´eg´en´erescence est N (N − 1)2N −2 , et son ´energie U . Et ainsi de suite · · · E E

= 2U = U

E

= 0

··· N (N − 1)2N −2

2N .

Si l’on rapproche les atomes les uns des autres, le premier effet sera de lever la d´eg´en´er´escence dans le sous espace E = 0. Le mod`ele minimal qui permet de d´ecrire cette physique s’appelle le mod`ele de Hubbard. Il est d´efini par l’Hamiltonien

H = −t

X



X
c+ ni,↑ ni,↓ . i,σ cj,σ + h.c. + U i

Le premier terme est un terme de saut entre premiers voisins, dominant lorsqu’on rapproche les atomes de l’infini. Le second terme mesure le nombre de 13

sites doublement occup´es → spectre dans la limite atomique. Pour d´eterminer l’Hamiltonien effectif qui d´ecrit la lev´ee de d´eg´en´er´escence dans la bande du bas, il faut donc faire une th´eorie de perturbations d´eg´en´er´ees par rapport au terme d’´energie cin´etique X
c+ H0 = −t i,σ cj,σ + h.c. . ,σ

Il existe des m´ethodes syst´ematiques pour faire ce d´eveloppement (transformations canoniques, th´eories des perturbations a ` N corps, · · · ). Dans le cas pr´esent, on peut n´eanmoins faire un calcul relativement ´el´ementaire. Au premier ordre en H0 , la th´eorie des perturbations d´eg´en´er´ees pr´edit que l’Hamiltonien effectif est donn´e par < m|Hef f |n >=< m|H0 |n >

o` u |m > et |n > sont des kets du sous-espace fondamental. Mais comme nous sommes au demi-remplissage, |m > et |n > doivent avoir un et un seul ´electron par site. H0 , qui fait sauter un ´electron d’un site a ` un autre, cr´ee n´ecessairement un site vide et un site doublement occup´e. Ses ´el´ements de matrice dans le sousespace fondamental sont donc nuls, et il faut pousser la th´eorie de perturbation a ` l’ordre suivant. Au deuxi`eme ordre, les ´el´ements de matrice sont donn´es par X0 < m|H0 |k >< k|H0 |n > < m|Hef f |n >= E0 − E k |k>

P0

o` u la somme |k> est restreinte aux ´etats qui ne sont pas dans le sous-espace fondamental. Comme H0 cr´ee un site doublement occup´e, Ek = U , ce qui implique 1 X0 < m|Hef f |n >= − < m|H0 |k >< k|H0 |n > U |k>

P0

L’op´erateur |k> |k >< k| est l’identit´e dans le sous-espace des ´etats ayant un site doublement occup´e. Il est commode de le remplacer par une autre reP pr´esentation de l’identit´e dans ce sous-espace, a ` savoir j nj,σ nj,−σ , d’o` u: P j nj,σ nj,−σ H0 Hef f = H0 −U Consid´erons le j-i`eme terme de cette somme. Seuls les termes du type X c+ j,σ ci,σ i(j),σ

vont contribuer, o` u i(j) signifie qu’on somme sur les voisins de j. Le terme de Hef f correspondant s’´ecrit t2 X + − ci,σ0 cj,σ0 nj,σ nj,−σ c+ j,σ 00 ci,σ 00 U 0 00 i(j)σ σ

Il y a quatre cas a ` consid´erer : 14

– σ 0 = σ 00 = σ

+ + c+ i,σ cj,σ nj,σ nj,−σ cj,σ ci,σ = ni,σ nj,−σ cj,σ nj,σ cj,σ .

Or cj,σ nj,σ c+ j,σ = (1 − nj,σ ) car c n = cc+ c = (1 − c+ c)c = c =⇒ cc+ = 1 − n. Le terme du Hamiltonien prend alors la forme : + c+ i,σ cj,σ nj,σ nj,−σ ci,σ cj,σ = ni,σ nj,−σ (1 − nj,σ )

Mais dans le sous espace o` u agit Hef f , tout les sites sont occup´es par un et un seul ´electron. On a donc : nj,σ + nj,−σ = 1 =⇒ 1 − nj,σ = nj,−σ . Par ailleurs, comme nj,−σ nj,−σ = nj,−σ , on a finalement la contribution suivante : + c+ i,σ cj,σ nj,σ nj,−σ ci,σ cj,σ = ni,σ nj,−σ .

– σ 0 = σ 00 = −σ De mˆeme, + c+ i,−σ cj,−σ nj,σ nj,−σ ci,−σ cj,−σ = ni,−σ nj,σ .

– σ 00 = −σ 0 = σ

+ c+ i,−σ cj,−σ nj,σ nj,−σ cj,σ ci,σ

+ = c+ i,−σ ci,σ cj,−σ nj,−σ nj,σ cj,σ | {z } | {z } cj,−σ

=

c+ j,σ

+ −c+ i,−σ ci,σ cj,σ cj,−σ .

– σ 00 = −σ 0 = −σ De la mˆeme mani`ere, + + + c+ i,σ cj,σ nj,σ nj,−σ cj,−σ ci,−σ = −ci,−σ ci,σ cj,σ cj,−σ .

En rassemblant tous les termes, il vient : Hef f =

2t2 U

X

,σ

+ −ni,σ nj,−σ + c+ i,−σ ci,σ cj,σ cj,−σ

15




o` u le pr´efacteur 2 vient du fait que P pour chaque paire < i, j >, un terme vient du terme nj,σ nj,−σ de la somme j nj,σ nj,−σ , et un terme de ni,σ ni,−σ . Or les op´erateurs de spin en seconde quantification s’´ecrivent (voir exercices) :  1 z  Si = 2 (ni,↑ − ni,↓ ) + Si = c + i,↑ ci,↓   − Si = c + i,↓ ci,↑

et les op´erateurs densit´e ni = ni,↑ + ni,↓ . En ´ecrivant les relations suivantes : 1 1 Siz Sjz − ni nj = − (ni,↑ nj,↓ + ni,↓ nj,↑ ) 4 2 + + + Si+ Sj− + Si− Sj+ = c+ i,↑ ci,↓ cj,↓ cj,↑ + ci,↓ ci,↑ cj,↑ cj,↓ on r´e´ecrit le Hamiltonien en fonction des op´erateurs de spin :  
1 1 + − 4t2 X − + z z S S + S i Sj Si Sj − ni nj + . Hef f = U 4 2 i j


~i · S ~j = S z S z + 1 S + S − + S − S + et ni = nj = 1 dans le sous-espace Mais S i j i j i j 2 fondamental. Finalement, le Hamiltonien effectif prend la forme :   1 4t2 X ~ ~ , Si · Sj − Hef f = U 4 A une constante pr`es, c’est le mod`ele de Heisenberg d´efini par :  X  ~i · S ~j , HHeis = J S

avec la constante de couplage J =

2.2

4t2 U .

Mod` ele de Heisenberg - Consid´ erations g´ en´ erales

L’hamiltonien que nous avons obtenu au paragraphe pr´ec´edent est un cas particulier du mod´ele de Heisenberg qui est d´efini de fa¸con g´en´erale par l’hamiltonien :   X α ~α ~α H= Jij Si · Sj . (i,j),α=x,y,z

Le symbole (i, j) indique qu’on somme sur les paires. Les param`etres qui d´eterminent les propri´et´es de ce mod`ele sont : – 1) le signe des couplages. Si les couplages sont positifs, comme dans le cas de la section pr´ec´edente, ils tendent a ` aligner les spins dans des directions oppos´ees. On parle de couplage antiferromagn´ etique. S’ils sont n´egatifs, ils tendent a ` aligner les spins dans la mˆeme direction. On parle alors de 16

couplage ferromagn´ etique. (Attention ! Il arrive qu’on ´ecrive l’hamiltonien avec un signe -, auquel cas c’est J > 0 qui correspond a ` un couplage ferromagn´etique et vice versa). – 2) l’anisotropie des couplages. Si les couplages J x , J y et J z sont ´egaux, comme pour le mod`ele de Hubbard, on parle de couplage isotrope. Sinon, on parle de mod`ele anisotrope. Les cas particuliers les plus importants sont le mod` ele d’Ising (J x = J y = 0) et le mod` ele XY (J z = 0). – 3) la port´ee des couplages. On se limite souvent a ` des couplages entre premiers voisins, mais certaines situations physiques imposent de prendre en compte des couplages a ` plus longue port´ee, avec des cons´equences parfois tr`es importantes (voir par exemple la derni`ere section de ce chapitre). – 4) la valeur du spin S. Dans le cas du mod`ele de Hubbard, on trouve un mod`ele de spin 1/2. Mais le spin d’un syst`eme magn´etique peut a priori prendre toutes les valeurs 1/2 enti`eres. Certaines propri´et´es d´ependent de fa¸con cruciale de la valeur de S. Il est parfois tr`es utile de consid´erer que les spins sont des vecteurs de longueurs 1 et non des op´erateurs. C’est ce qu’on appelle la limite classique. Elle correspond d’une certaine mani`ere a ` la limite S → +∞ du cas quantique. – 5) la dimensionnalit´e de l’espace. La plupart des propri´et´es importantes sont radicalement diff´erentes suivant qu’on ´etudie un syst`eme de dimension 1, 2 ou 3. C’est en partie le nombre important de param`etres qui fait du magn´etisme un vaste sujet, et nous nous limitons a ` l’´etude de quelques situations particuli`eres. Il n’y a par ailleurs que quelques situations o` u des r´esultats exacts ont pu ˆetre obtenus, en g´en´eral par des calculs tr`es compliqu´es, et on est dans la plupart des cas oblig´e de se contenter de m´ethodes approximatives pour ´etudier telle ou telle propri´et´e. La m´ethode a ` employer d´epende de l’´echelle d’´energie ou, de fa¸con ´equivqlente, de l’´echelle de temp´erature a ` laquelle on s’interesse. Si l’on veut ´etudier les propri´et´es a ` basse temp´erature, c’est-` a-dire T /J << 1, il faut essayer de d´eterminer l’´etat fondamental et les premiers ´etats excit´es. La m´ethode la plus utilis´ee est l’approximation des ondes de spin (voir section II - 2.). Si on s’interesse au contraire a ` des temp´eratures de l’ordre de J ou plus grandes, tous les ´etats jouent un rˆ ole important, et la connaissance des ´etats de basse ´energie ne suffit plus. Les techniques sont alors celles de la physique statistique : champ moyen, groupe de renormalisation, etc . . . (voir section II 3.).

2.3

Cas ferromagn´ etique

On consid`ere donc l’hamiltonien H = −J

X

~ i .S ~j , S



17

J >0

P o` u d´esigne la somme sur les paires de premiers voisins d’un r´eseau de Bravais.

2.3.1

Etat fondamental

Cas classique : Il est souvent tr`es utile de commencer par ´etudier la limite dite classique o` u les spins sont assimil´es a ` des vecteurs classiques a ` 3 composantes de longueur unit´e. Dans le cas d’un syst`eme ferromagn´etique, l’´energie est minimale pour les configurations o` u tous les spins pointent dans la mˆeme direction puisqu’une telle configuration minimise ind´ependamment l’´energie de chacun des termes dans la somme. Cas quantique : Par analogie avec le cas classique, on va chercher a ` construire l’´equivalent quantique des ´etats o` u les spins sont compl`etement align´es. Pour cela, on proc`ede en 3 ´etapes : 1) |m1 = S, m2 = S, mN = S > est ´etat propre. Siz Sjz = S 2 , Si+ Sj− donne 0, on a donc l’´energie : E = −J

X



S 2 = −JS 2

z

 N | 2{z }

nb de paires

2) C’est le plus bas. Pour cela, il suffit d’´etablir que : ~i · S ~j >≤ S 2 <S Mais ~i · S ~j S

= =

  2 1 ~ 2 2 ~ ~ ~ Si + Sj − Si − Sj 2 2 1 ~ ~j − S(S + 1) Si + S 2

~i · S ~j est donn´e par : et le maximum de S ~i · S ~j maxS

= =

 2 1 ~i + S ~j − S(S + 1) max S 2 1 2S(2S + 1) − S(S + 1) = S 2 2

3) D´eg´en´erescence : 2N S + 1

18

2.3.2

Etats exacts de basse ´ energie :

Consid´erons l’´etat |i >= |S . . . S − 1 S . . . > | {z } i

√1 S − |F 2S i

Il est reli´e a ` |F > par |i >= > puisque p Si− |F >= S(S + 1) − S(S − 1)|S . . . S − 1 S . . . > | {z } i

De plus,

Si+ |i >=

√

2S|F >

Faisons agir les composantes de l’hamiltonien : z  X Skz Slz |i >= −JS 2 H z |i > = −J N − z |i > −JS(S − 1)z|i > 2

z = (−JS 2 N + JSz)|i >= (E0 + JSz)|i > 2

  X1 + − − + H ⊥ |i > = −J Si Sj + Si Sj  |i > 2 | {z } j(i)

=0

JX − + Sj Si |i > = − 2 | {z }

√ = 2S|F >

j(i)

JX 2S|j > 2 j(i) X = −JS |j >

= −

j(i)

Avec l’´etat |~k >=

√1 N

P

~ ~

i

e−ik·Ri |i >, ce Hamiltonien donne :

X 1 X −i~k·R~ i √ e (−JS) |i + ~τ > N i ~ τ X ~ X 1 ~ ~ = √ (−JS) eik·~τ e−ik·(Ri +~τ ) |i + ~τ > N i ~ τ X ~ ik·~ τ ~ = −JS e |k >

H ⊥ |~k > =

~ τ

=⇒

H|~k > = E0 |~k > +JSz|~k > −JS = E~k |~k >

X ~ τ

~ eik·~τ |~k >

avec E~k

= E0 + JS

 X ~ 1 − eik·~τ ~ τ

19

Remarque : Pour ~k = 0, on a E~k = E0 . Est-ce possible ? Oui. Cet ´etat s’obtient a ` partir de |F > par une rotation du spin total, et l’hamiltonien commute avec le spin total. Dispersion : ~ ~ eik·~τ + e−ik·~τ = 2 cos(~k · ~τ), ~τ = aˆ y, aˆ z x, aˆ P i~ k·~ τ On transforme alors ~τ 1 − e : X ~ τ

~

1 − eik·~τ



X

=

α

= 4

2 (1 − cos(kα a))

X

sin

2

α

=⇒ E~k

= E0 + 4JS

X

sin2

α

 

kα a 2

kα a 2





E 2JSz

Emax

k

or, quand ~k est petit : sin2

kα a 2




∼

2 2 kα a 4

=⇒

= E0 + JS~k 2 a2

E~k

La dispersion est quadratique pour les petits ~k. Exercice : Calculer < ~k|Six Sjx + Siy Sjy + Siz Sjz |~k >. Solution : Six Sjx +Siy Sjy = Regardons tout d’abord : Si− Sj+ |~k >=

1 2


Si+ Sj− + Si− Sj+ , |~k >=

~ ~ √1 e−ik·Rj S − S + |j j i N

>

or Sj+ |j >= et

p

S(S + 1) − S(S − 1)|F >=

20

√

2S|F >

√1 N

P

n

~ ~

e−ik·Rn |n >

√

Si− Sj+ |j >=

2SSi− |F >= 2S|i >

d’o` u 2S ~ ~ Si− Sj+ |~k >= √ e−ik·Rj |i > . N De mˆeme, on montre que : 2S ~ ~ Si+ Sj− |~k >= √ e−ik·Ri |j > . N On a alors : < ~k|


1 + − Si Sj + Si− Sj+ |~k > = 2 = =

 2S X −i~k·R~ n  −i~k·R~ j ~ ~ e < n|i > +e−ik·Ri < n|j > e 2N n  2S  −i~k·(R~ i −R~ j ) ~ ~ ~ e + e−ik·(Rj −Ri ) 2N 2S ~i − R ~ j ). cos ~k · (R N

On cherche alors la valeur moyenne de < ~k|Siz Sjz |~k >. Suivant la mˆeme proc´edure, on a :  P ~j ~n −i~ k·R −i~ k·R Sjz |~k >= √1N |j > |n > +(S − 1)e Se n6=j

Lorsque i 6= j, Siz Sjz |~k >=

√1 N

Finalement : < ~k|Siz Sjz |~k > = +

P

~ ~

~ ~

  X X 1 ~ ~ ~ ~ S 2 e−ik·Rn < m|n > e−ik·Rm  N m n6=j,n6=j   X ~ ~ ~ ~ ~ ~ e−ik·Rm S(S − 1)e−ik·Rj < m|j > +S(S − 1)e−ik·Ri < m|i > m

=

~ ~

2 −ik·Rn |n > +S(S − 1)e−ik·Rj |j > +S(S − 1)e−ik·Ri |i > n6=j,n6=j S e



1  N

X

n6=j,n6=j

= S2 −

2 S N



S 2 + S(S − 1) + S(S − 1)

ind´ependant des indices i et j.

p´eriode ∼

1 ~ k

Mode de basse ´energie : Th´eor`eme de Goldstone (Sym´etrie continue bris´ee =⇒ mode dont l’´energie tend vers 0 quand ~k = ~0).

21



Autres ´etats de basse ´energie ? Oui, bien sˆ ur. On peut renverser 2 spins, 3 spins, etc . . . Probl` eme : |~k, k~0 >= de H.

1 N

P

~

i,j

~

ei(k~ri +k~rj ) Si− Sj− |F > n’est pas un ´etat propre

D´ emonstration : Pour les ´etats a ` 1 magnon, on a cherch´e la solution sous P ~ ~ − la forme |Ψ >= i Ai Si |F > et on a vu que Ai = eik·Ri permet de diagonaliser H. Pour les ´etats ` deux magnons on doit de mˆeme chercher la solution sous la Pa forme |Ψ >= i,j Ai,j Si− Sj− |F >. Mais les coefficients Ai,j doivent satisfaire des ´equations diff´erentes suivant que i et j sont proches voisins o` u pas. Ce problme ` n’a pas de solution exacte sauf en dimension 1 et pour des spins 1/2.

2.3.3

Transformation de Holstein-Primakoff

Pour S donn´e, on peut cr´eer plusieurs d´eviations de spin sur un site → les Si± sont plutˆ ot des bosons que des fermions. Repr´esentation exacte :  z S = S − a+  i ai  q  i √ a+ i ai Si+ = 2S 1 − 2S ai q    − √ a+ + i ai Si = 2Sai 1 − 2S

Approximations :

– on oublie que a+ i ai ≤ 2S – on a-dire : Si+ = √ ne +garde que les termes lin´eaires, c’est-` 2Sai

√

2Sai et Si− =

V´erifions les relations de commutations : [S + , S − ] = S + S − − S − S +   r r   n n n a+ − a+ )ai  = 2S  1− i i (1 −  1 − 2S |ai{z 2S 2S  } 1+a+ i ai



= 2S (1 −

n )+ 2S

r

1−

22

n + a ai 2S i

r

1−

n n − a+ )ai i (1 − 2S 2S



En utilisant les les relations : + a+ i ai ai = (ai ai − 1)ai ni a i = a i ni − a i

et  ni  1 − ai a+ i 2S

a+ i ni a i = a+ a − i i  2S ni  ni + + = a i ai 1 − 2S 2S

on obtient alors :  h  ni  ni ni  ni i + 1− ni − 1 − ni − [S + , S − ] = 2S 1 − 2Si 2S 2S 2S h ni z = 2S 1 − = 2S − 2n = 2S . S De mˆeme, r n S+ 1 z + √ [S , S ] = [n, √ ] = −[n, 1 − ai ] 2S 2S 2S r r n n = −n 1 − ai + 1 − ai n 2S 2S r r n n S+ = − 1− [n, ai ] = − 1 − (−ai ) = √ 2S 2S 2S Calculons a ` pr´esent l’hamiltonien :

H

 1 + + +  S 2 − Sa+ = −J  i ai − Saj aj + 2S(ai aj + aj ai ) 2 

= −J

= −J

X

X
Nz 2 + + + S − JS −a+ i ai − a j aj + a i aj + a j ai 2


N z 2 JS X + + + S − −a+ τ + ai ai+~ τ + ai+~ i ai − ai+~ τ ai+~ τ ai 2 2 i,~ τ

On ´ecrit les transform´ees de Fourrier :

k

a+ i =

P

i~ k·~ ri + ai , ie P −i~k·~ri + 1 √ a~ , ~ ke N k

a~+ =

√1 N

ai =

P

−i~ k·~ ri √1 ai ie N P i~k·~ri 1 √ a~k ~ ke N

a~k =

23

L’hamiltonien se r´e´ecrit alors comme : N z 2 JS X 1 X H = −J S − 2 2 N i,~ τ ~ k1 ,~ k2   ~ ~ ~ ~ −i~ k1 ·~ ri +i~ k2 ·~ ri −i~ k1 ·(~ ri +~ τ )+i~ k2 ·(~ ri +~ τ) e −e + e−ik1 ·~ri +ik2 ·(~ri +~τ ) + e−ik1 ·(~ri +~τ )+ik2 ·~ri × a~+ a~k2 k1

= −J

 N z 2 JS X X  ~ ~ ~ ~ S − −1 − e−ik1 ·~τ +ik2 ·~τ + eik2 ·~τ + e−ik1 ·~τ δ~k1 ,~k2 a~+ a~k2 k1 2 2 ~ τ ~ k1 ,~ k2

 N z 2 JS X X  ~ ~ −1 − 1 + eik·~τ + e−ik·~τ a~+ a~k = −J S − k 2 2 ~ τ

~ k

Finalement, H

X

= E0 +

~k a~+ a~k k

~ k

avec ~k = JS

X ~ τ

~

1 − eik·~τ



Interpr´etation : On se place dans la repr´esentation nombre d’occupation des bosons. |0, · · · , 0 > → ´etat fondamental |0, · · · , |{z} 1 , · · · , 0 > → ´etat a ` un magnon ~ k

|0, · · · , |{z} 1 , · · · , 0, · · · , |{z} 1 , · · · , 0 > → ´etat a ` deux magnons · · · ~ k1

~ k2

Thermodynamique des ondes de spins :

+ < Siz >= S− < a+ i ai > avec ai ai =

1 N

P

~ k1 ,~ k2

~

~

eik1 ~ri −ik2 ~ri a~+ a~k2 . k1

L’aimantation est donn´ee par : 1 X X i~k1 ~ri −i~k2 ~ri 1 X < Siz >= S − 2 e < a~+ a~k2 > <m> = k1 N i N i ~ k1 ,~ k2

1 X < a~+ a~k > = S− k N ~ k

avec β =

1 kB T

1 1 X = S− β ~ N e k −1 ~ k Z d~k 1 , = S− β D (2π) e ~k − 1 .

24

On se rappelle que ~k ∼ JSa2 k 2 . Evaluons la contribution des petits vecteurs d’ondes : Z Z aD d~k d~k aD < m >= S − − 2 k2 2 k2 D D βJSa βJSa (2π) − 1 (2π) −1 |~ k|≤k0 e |~ k|>k0 e | {z } I

Quand k est petit, on a eβJSa

2 2

k

∼ 1 + βJa2 k 2 . I devient : Z aD d~k I= (2π)D |~k|≤k0 βJSa2 k 2

– 3D : a3 2π 2

Z

k0 |~ k|=0

ak0 k 2 dk ∼ 2 2 βJSa k βJS2π

– 2D : a2 1 2π βJS

Z

k0 |~ k|=0

kdk k2

Diverge !

– 1D : a 1 (2π) βJS

Z

k0 |~ k|=0

dk k2

Diverge encore plus !

Pour D = 1 ou 2, il n’y a pas d’ordre magn´etique a ` T finie (Th´eor`eme de Hohenberg-Mermin-Wagner).

2.3.4

Cas antiferromagn´ etique

2.3.5

Etat fondamental

Cas classique Le fondamental est l’´etat de N´eel avec tous les spins ↑ sur le sous-r´eseau A et tous les spins ↓ sur le sous-r´eseau B : ↑↓↑↓ ↓↑↓↑ Cas quantique Par analogie, consid´erons l’´etat : A B B |mA 1 = S, · · · , m N = S, m1 = −S, · · · , m N = −S > . 2

2

Est-ce l’´etat fondamental ? Certainement pas : ce n’est mˆeme pas un ´etat propre ! Consid´erons en effet deux sites voisins (i ∈ A, j ∈ B) : Si+ Sj− → 0

B Si− Sj+ → mA 1 = S − 1, m1 = −S + 1

25

Cet ´etat est coupl´e a ` d’autres ´etats. Comment faire ? La situation est assez semblable au cas ferromagn´etique a ` T finie. Il faut inclure des fluctuations. Transformation de Holstein-Primakoff Comme les spins ont des orientations diff´erentes sur les deux sous-r´eseaux, il faut distinguer deux cas : Sous-r´eseau A = S − a+ i ai r √ ni ai 2S 1 − = 2S r √ ni = 2S a+ 1− i 2S

Siz Si+ Si− Sous-r´eseau B

= −S + a+ j aj r √ nj + = 2S aj 1 − 2S r √ nj = 2S 1 − aj 2S

Sjz Sj+ Sj− Approximation lin´eaire

En ne gardant que les termes d’ordre S 2 et S, le Hamiltonien s’´ecrit :

H

= J

XX i∈A j(i)

+ −S 2 + Sa+ i ai + Saj aj +


2S + ai aj + a + i aj 2



XX
N + + + z + SJ a+ τ + ai ai+~ τ + ai+~ i ai + ai+~ τ τ ai+~ τ ai+~ 2 i∈A ~ τ i  X X 1 X h ~ N JS ~ ~ ~ = −JS 2 z + e−ik1 ~ri +ik2 ~ri + ei(−k1 +k2 )(~ri +~τ ) a~+ a~k2 k1 2 2 i N = −JS 2

~ τ

+

~ k1 ,~ k2

i JS X X 1 X h i~k1 ~ri +i~k2 (~ri +~τ ) ~ ~ e a~k1 a~k2 + e−ik1 ~ri −ik2 (~ri +~τ ) a~+ a~+ k1 k2 2 i N ~ τ

~ k1 ,~ k2

 JS X X  + N ~ ~ a~ a~k + a~+ a~k + a~k a−~k e−ik~τ + a~+ a+~ eik~τ = −JS 2 z + k k k −k 2 2 ~ τ

~ k

Probl`eme : L’hamitonien n’est pas la somme d’oscillateurs harmoniques car il contient des termes de la forme a~k a−~k et a~+ a+~ . k

Transformation de Bogolioubov

26

−k

Si le Hamiltonien ´etait de la forme : X H= ω~k α~+ α~k + Cte k

~ k

on aurait : [H, α~k ] = −ω~k α~k Or, comme [a~+ a~k , a~k ] = a~+ a~k a~k − a~k a~+ a~k = −a~k , k k | k{z } −1+a~k a~+ k

[a~+ a+~ , a~k ] = [a~+ , a~k ]a+~ = −a+~ . k

−k

k

−k

−k

on obtient l’expression du commutateur :   JS X  ~ ~ a~k + a~k + a+~ eik~τ + e−ik~τ −k 2 ~ τ  X ~k · ~τ . a~k + a+ cos = −JS ~ −k

[H, a~k ] = −

~ τ

De mˆeme, comme [a~+ a~k , a~+ ] = a~+ a~k a~+ −a~+ a~+ a~k = a~+ , k k k k k k | {zk} 1+a~+ a~k k

[a~k a−~k , a~+ ] = +a−~k k

il vient : [H, a+~ ] = JS −k

X ~ τ

 a+~ + a~k cos ~k · ~τ . −k

Comme [H, a~k ] et [H, a+~ ] sont des combinaisons lin´eaires de a~k et a+~ , il doit −k −k ˆetre possible de mettre le Hamiltonien sous la forme voulue a ` l’aide d’op´erateurs bosoniques α~+ et α~k qui soient des combinaisons lin´eaires de a~k et a+~ . Plus k −k pr´ecis´ement, cherchons ces op´erateurs sous la forme : α~k = u~k a~k + v~k a+~

−k

Les coefficients u~k et v~k sont d´etermin´es grˆ ace a ` la condition : [H, α~k ] = JS

   i X h −u~k + v~k cos ~k · ~τ a~k + v~k − u~k cos ~k · ~τ a+~ −k

~ τ

= −ω~k α~k , ω~k > 0

27

ce qui conduit a `: (

−u~k JSz + v~k JSz~k = −ω~k u~k −u~k JSz~k + v~k JSz = −ω~k v~k

o` u on a introduit la notation : z~k =

X ~ τ

cos ~k · ~τ

Les solutions existent si : −ω~k − JSz





JSz − ω~k + JSz~k2 = 0

⇒ ω~k2 = (JSz)2 − (JSz~k )2 ω~k = JSz avec γ~k =

z~k z

q 1 − γ~2 , k

= cos kx a ` 1D, 12 (cos kx + cos ky ) a ` 2D · · ·

Les ´equations aux valeurs propres impliquent : p (JSz − ω~k )(JSz + ω~k ) JSz~k v~k = = sign(z~k ) u~k JSz + ω~k JSz + ω~k s JSz − ω~k = sign(z~k ) JSz + ω~k e t α~k doivent ˆetre bosoniques. Cela conduit a ` la Par ailleurs, les op´erateurs α~+ k condition de normalisation :

=⇒ =⇒

u~2k − v~k2 = 1   JSz − ω~k 2 =1 u~k 1 − JSz + ω~k   2ω~k u~2k =1 JSz + ω~k

On peut donc choisir comme solution s s JSz + ω~k JSz − ω~k u~k = v~k = sign(z~k ) 2ω~k 2ω~k Le Hamiltonien est donc de la forme : X αk + Cte H= ω~k α~+ k ~ ~ k

28

Pour d´eterminer la constante, il faut inverser les relations ( α~k = u~k a~k + v~k a+~ −k

α+~ = u−~k a+~ + v~k a~k −k

−k

ce qui conduit a `: ( a~k = u~k α~k − v~k α+~

a~+ = u~k α~+ − v~k α−~k

−k

k

a+~ = −v~k α~k + u~k α+~ −k

k

a−~k = −v~k α~+ + u~k α−~k

−k

k

et reporter ces expressions dans le Hamiltonien ´ecrit en fonction des a~+ , a~k , k qui est donn´e par :  zN JS X  + + H = −JS 2 2za~+ a + z a a + z a a + ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ k k k − k k k k −k 2 2 ~ k

Or, a~+ a~k k



  u~k α~k − v~k α+~ k −k   = u~2k α~+ α~k + v~k2 α−~k α+~ − u~k v~k α~+ α+~ + α~k α−~k k −k k −k   + 2 2 + 2 = u~k α~ α~k + v~k α ~ α−~k + v~k − u~k v~k α~+ α+~ + α~k α−~k

=

u~k α~+ − v~k α−~k

k

a~k a−~k

−k

−k

   u~k α~k − v~k α+~ −v~k α~+ + u~k α−~k k −k   + + = −u~k v~k α~k α~ + α ~ α−~k + u~2k α~k α−~k + v~k2 α+~ α~+ −k k k −k   = −u~k v~k α~+ α~k + α+~ α−~k − u~k v~k + u~2k α~k α−~k + v~k2 α+~ α~+ =

k

a+ k a~+ k −~

k

−k

−k

k

  + − v α u~k α~+ −v α + u α ~ ~ ~ ~ ~ ~ k − k k k k k −k   + + 2 = −u~k v~k α~ α~k + α−~k α ~ + u~k α~+ α+~ + v~k2 α−~k α~k k k −k −k   + + = −u~k v~k α~ α~k + α ~ α−~k − u~k v~k + u~2k α~+ α+~ + v~k2 α−~k α~k =



k

−k

k

−k

Regroupons les termes :

Le terme constant vaut 2zv~k2 −2z~k u~k v~k . Mais d’apr`es l’´equation aux vecteurs propres, on a : v~k JSz − u~k JSz~k = −ω~k v~k et donc :  JS X  = 2zv~k2 − 2z~k u~k v~k 2 ~ k

 X JSzv~k2 − JSu~k z~k v~k ~ k

= −

X

= −

X

ω~k v~k2

~ k

ω~k

~ k

JSz − ω~k 1X JSz X 1+ ω~k =− 2ω~k 2 2 ~ ~ k k | {z } N

29

Le terme constant de l’hamiltonien est donc :

−JS(S + 1)

zN 1X ω~k + 2 2 ~ k

Les termes non constants sont donn´es par :   α~+ α~k × 2zu~2k + 2zv~k2 − 4z~k u~k v~k k


= α~+ α~k 2zu~k − 2z~k v~k u~k + 2zv~k − 2z~k u~k v~k k   2 2 ω~k u~2k − ω~k v~k2 = α~+ α~k k JS JS 2 ω~ = α~+ αk k ~ JS k P ce qui donne finalement une contribution au Hamiltonien ´egale a ` ~k ω~k α~+ αk . k ~ Enfin,   α~k α−~k × −2zu~k v~k + z~k u~2k + z~k v~k2


= α~k α−~k z~k u~k − zv~k u~k + z~k v~k − zu~k v~k
= α~k α−~k ω~k u~k v~k − ω~k u~k v~k = 0

Finalement, le Hamiltonien s’´ecrit : H = −JS(S + 1) zN 2 +

P  ~ k

α~+ α~k + k

1 2



ω~k

Aimantation altern´ee L’´equivalent de l’aimantation du cas ferromagn´etique est l’aimantation altern´ee d´efinie par : X X 1 < Malt = Szi − Szj > N i∈A

i∈B

D’apr`es la transformation de Holstein-Primakoff, on a : Malt = S −

1 X ak > < a~+ k ~ N ~ k

, α~k , on a : ak en fonction des op´erateurs α~+ En utilisant l’expression de a~+ k k ~   < a~+ a~k > = u~2k n(~k) + v~k2 1 + n(~k) k   = u~2k + v~k2 n(~k) + v~k2 30

– T=0 : < a~+ ak >= v~k2 = k ~

JSz − ω~k 6= 0 ! 2ω~k

Il y a des fluctuations quantiques. D=1: < m >= S −

2 2π

Z

π a

dk 0

JSz − ωk 2ωk

Mais pour k petit, ωk ∼ k. Du coup, l’int´egrale diverge et il n’y a pas d’ordre magn´etique. D ≥ 2 : il y aura de l’ordre magn´etique si l’int´egrale est inf´erieure a ` S. C’est le plus souvent le cas. Par exemple, sur un r´eseau carr´e, l’int´egrale vaut a ` peu pr`es 0.2. Ce calcul pr´evoit donc qu’il doit y avoir de l’ordre antiferromagn´etique pour tout S. – T 6= 0 : < a~+ ak >= k ~

JSz − ω~k JSz 1 + ω~k eβω~k − 1 2ω~k | {z } ∼ k12 pour k petit

` longue distance a ` T > 0 D ≤ 2 : L’int´egrale diverge → pas d’ordre a (Th´eor`eme de Hohenberg-Mermin-Wagner). Fondamental : Le vide pour les bosons a+ est l’´etat deN´eel. Ce n’est pas  l’´etat fondamental ! |0 >6= 0. |0 >= v~k a+ L’´etat fondamental v´erifie α~k |F >= 0. Or u~k a~k + v~k a+ −~ k −~ k On peut montrer que l’´etat fondamental est :   Y0 1 v~ |F >= exp − k a~+ a+~ |0 > u~k u~k k −k ~ k

Q0 o` u ~k signifie qu’on ne fait le produit que sur des vecteurs d’ondes ~k et ~k 0 tels que ~k 6= −~k 0 . Pour cela il faut ´etablir que : α~k |F >= 0 . avec α~k = u~k a~k + v~k a+ −~ k a~k |F > = a~k =

  Y0 1 v~ exp − l a~+ a+~ |0 > u~l u~l l −l ~l

Y

~l6=~ k,−~ k

0





h in v +∞ − ~k a+ a+ X u~ ~ k −~ k

v~ 1 1 exp − l a~+ a+~ a~ u~l u~l l −l u~k k n=1 31

k

n!

|0 >

o` u l’on somme depuis n = 1 puisque le terme n = 0 donne 0 vu que a~k |0 >= 0. Or, [a~k , (a~+ )n ] = n(a~+ )n−1 k k D´emontrons-le par r´ecurrence. C’est vrai pour n=1 puisque [a~k , a~+ ] = 1. Supk posons que ce soit vrai a ` l’ordre pour n − 1. Il vient : [a~k , (a~+ )n ] = [a~k , (a~+ )n−1 ]a~+ + (a~+ )n−1 [a~k , a~+ ] k

k

k

k

k

= (n − 1)(a~+ )n−2 a~+ + (a~+ )n−1 k

k

k

= n(a~+ )n−1 k

Ainsi, a~k (a~+ )n = n(a~+ )n−1 + k

k

(a~+ )n a~k | k{z }

donne 0 sur le vide

et on obtient :

v~k n + n−1 + n   +∞ (a ~ ) v~l + + 1 1 X (− u~k ) (a~k ) −k a~k |F > = exp − a~ a ~ |0 > l − l u~l u~l u~k n=1 (n − 1)! ~l6=~ ~ k,−k     Y 01 v~l + + v~k + + 1 −v~k + exp − a~ a ~ a exp − a~ a ~ |0 > = u~l u~l l −l u~k u~k −~k u~k k −k

Y

0

~l6=~ k,−~ k

Finalement : |F > u~k a~k |F >= −v~k a+ −~ k soit α~k |F >= 0. Enfin, v´erifions que |F > est normalis´e. a + )n Y0 1 X  v~ 2n (a−~k a~k )n (a~+ k −~ k k < F |F > = < 0| − |0 > u~2 n u~k n!2 k ~ k Y0 1 X  v~ 2n = − k u~2 n u~k ~ k

k

Y0 1 1 = 2 u~k 1 − ( uv~k )2 ~ ~ k

k

= 1.

32

2.4

Syst` emes frustr´ es

D´efinition : ce sont des syst`emes pour lesquels on ne peut pas minimiser ind´ependamment l’´energie de chaque liaison dans le cas classique. Exemples : – R´eseau triangulaire → origine topologique

?

– R´eseau carr´e avec interactions entre premiers et seconds voisins

J2

?

2.4.1

Recherche de l’´ etat fondamental classique

C’est un probl`eme en g´en´eral non r´esolu. On connaˆıt n´eanmoins la solution lorsque les moments magn´etiques sont situ´es aux noeuds d’un r´eseau de Bravais (i.e. lorsqu’il n’y a qu’un atome par maille). Consid´erons en effet l’´energie d’une configuration E=

1 XX ~~ · S ~~ ~ JR~ n S Ri Ri + Rn 2 i ~n R

Il y a un facteur

1 2

car chaque lien apparaˆıt 2 fois.

~ ~ ||2 = 1. On cherche le minimum sous la contrainte ||S Ri 33

T.F. : X X ~~ = √1 ~i e−i~k·R~ i =⇒ S ~i = √1 ~~ ei~k·R~ i S S S k N i N ~ k k X 1 X ~ ~ ~n −i~ k·R J~k eik·Rn J~k = JR~ n e =⇒ JR~ n = N ~ k

~n R

E=

1 XX 1 X ~~ · S ~~ e~k1 ·R~ n +~k2 ·R~ i +~k3 ·(R~ i +R~ n ) J~k1 S k2 k3 2 N2 ~i R ~n R

~ k1 ~ k2 ~ k3

=⇒ ~k2 = −~k3 = ~k1 . L’´energie prend alors la forme : E=

1X ~ ~ J~k S~k · S−~k 2 ~ k

On proc`ede alors en deux ´etapes : – on ´etudie le probl`eme sous la contrainte plus faible

P

i

~i ||2 = N . ||S

~i ||2 = 1. – on cherche si l’´etat fondamental v´erifie la contrainte plus forte ||S Or X

~2 S i

i

1 X X i(~k1 +~k2 )·R~ i ~ ~~ S~k1 · S e k1 N ~ k1 ~ k2 i X ~~ · S ~ ~ = S k −k

=

~ k

On doit donc minimiser E=

1X ~ ~ J~k S~k · S−~k 2 ~ k

sous la contrainte

P ~ ~ ~ k S~ k · S−~ k = N = cste.

Supposons que J~k soit un minimum pour ~k = ~k0 . Le minimum est obtenu si ~ ~~ S ~ ~ ~ = N. S~k = ~0, ~k 6= ~k0 , −~k0 et S k0 −~ k0 + S−~ k0 S~ k0 Les spins dans l’espace r´eel sont alors donn´es par   ~ ~ e−i~k0 ·R~ ~~ ei~k0 ·R~ + S ~i = √1 S S − k0 k0 N ~~ et S ~ ~ tels que : Peut-on trouver S k0 − k0 N ~~ · S ~ ~ = – S 2 − k0 k0 mais aussi tels que les contraintes locales : ~i r´eel – S ~i ||2 = 1 – ||S 34

soient saitisfaites pour tout i ? Oui ! Par exemple :   √  ~~ =  S  k0

conduit a `:

N 2√ −i 2N

0

 

~ ~ = S  − k0



  ~ cos ~k0 · R    ~i =  S ~  sin ~k0 · R 0

√ N √2 i 2N

0

  

   

On obtient une structure h´elico¨ıdale de vecteur d’onde ~k0 .

Fig. 2.1 – Exemple d’une h´elice 1D de vecteur d’onde ~k0 =

2π 12a .

Conclusions : – la structure est une h´elice dont le vecteur d’onde correspond au minimum de J(~k). – S’il y a plusieurs vecteurs d’onde qui minimisent J(~k), on peut faire des combinaisons lin´eaires, ce qui peut conduire a ` une d´eg´en´erescence continue de l’´etat fondamental. Exemple : mod`ele J1 − J2 sur un r´eseau carr´e

J1

J2

35

H

= J1

X



X

=

~ k

~i · S ~ j + J2 S

X

<>

~~ · S ~ ~ J(~k)S k −k

~i · S ~j S

  ~ ~ ~ ~ J(~k) = J1 eik~x + e−ik~x + eik~y + e−ik~y   ~ ~ ~ ~ + J2 eik(~x+~y) + eik(~x−~y) + e−ik(~x+~y) + eik(−~x+~y)

= 2J1 (cos(kx ) + cos(ky )) + 2J2 (cos(kx + ky ) + cos(kx − ky )) = 2J1 (cos(kx ) + cos(ky )) + 4J2 cos(kx ) cos(ky )

La minimisation donne : ∂J = −2J1 sin(kx ) − 4J2 sin(kx ) cos(ky ) = 0 ∂kx ∂J = −2J1 sin(ky ) − 4J2 sin(ky ) cos(kx ) = 0 ∂ky 

kx = 0, kx = π ky = 0, ky = π



ou −J1 = cos kx 2J2

cos ky = ce qui n’est possible que si

J1 2J2

<1→

J1 2

< J2 .

kx = ky = 0 → J(~k) = 4J1 + 4J2 kx = 0, ky = π → J(~k) = −4J2 kx = ky = π → J(~k) = −4J1 + 4J2 cos kx = cos kx =

−J1 2J2

 J2 −2J1 + 4J2 12 2J2 4J2 2 2 2 −2J1 J J + 1 =− 1 J2 J2 J2

→ J(~k) = 2J1 = Mais si J1 < 2J2 , −4J2 < 0, ky = π ou kx = π, ky = 0. Pour

J2 J1

−J12 J2 .



Le fondamental est donc atteint pour kx =

= 12 , le minimum J(~k) = −2J1 est atteint pour kx = π, ∀ ky

ou ky = π, ∀ kx

Enfin, pour J1 < 2J2 , on peut faire une combinaison lin´eaire des deux h´elices, ce qui conduit a ` une famille d’´etats fondamentaux d´eg´en´er´es. 36

+ comb. lin. kx = 0, ky =π kx = π , ky = 0 kx = ky =π

a

E indep. de a J2/J1 1/2

2.4.2

Ondes de spin dans un syst` eme h´ elico¨ıdal :

Consid´erons un syst`eme d´ecrit par l’hamiltonien 1 XX ~i · S ~ ~ H = JR~ n S i+Rn 2 i ~n R X ~ ~ JR~ n e−ik·Rn J(~k) = ~n R

~ et supposons que J(~k) soit minimum pour ~k = Q. On va faire une rotation dans l’espace des spins de sorte que l’´etat fondamental classique soit d´ecrit par Siu = Siv = 0, Siw = 1. Supposons que l’´etat fondamental soit d´ecrit par   0 ~ ·R ~ i)  ~i =  sin(Q S ~ ·R ~ i) cos(Q

Q.a

~ ·R ~ i autour de S x : et faisons une rotation d’angle θi = Q S u = S x , S v = cos θi S y − sin θi S z et S w = sin θi S y + cos θi S z . L’hamiltonien dans la nouvelle base s’´ecrit : 1 XX u JR~ n [Siu Si+n H = 2 i +

~n R (cos θi Siv

v w + sin θi Siw )(cos θi+n Si+n + sin θi+n Si+n )

v w + (− sin θi Siv + cos θi Siw )(− sin θi+n Si+n + cos θi+n Si+n )]

car Sy Sz

= cos θi Siv + sin θi Siw = − sin θi Siv + cos θi Siw 37

H

= + + + + =

1 XX u JR~ n [Siu Si+n 2 i

~n R v v Si Si+n (cos θi cos θi+n + sin θi sin θi+n ) w Siw Si+n (sin θi sin θi+n + cos θi cos θi+n ) v w Si Si+n (cos θi sin θi+n − sin θi cos θi+n ) v Siw Si+n (− cos θi sin θi+n + sin θi cos θi+n )]



 1 XX u v w v w JR~ n Siu Si+n + cos(θi − θi+n ) Siv Si+n + Siw Si+n + sin(θi − θi+n ) Siw Si+n − Siv Si+n 2 i ~n R

Faisons la transformation de Holstein-Primakoff : Siw Si+ Si− u Siu Si+n

= =

v Siv Si+n

= =

w Siw Si+n

=

v Siw Si+n

=

w Siv Si+n

=

= S − a+ i ai

√ 2Sai √ u v ≡ Si − iSi ' 2Sa+ i ≡ Siu + iSiv '



+ 1 + − + Si+n Si + Si− Si+n 4
S + + + ai ai+n + a+ i ai+n + ai ai+n + ai ai+n 2
+
1 − − Si+n − Si+ − Si− Si+n 4
S + + + − ai ai+n + a+ i ai+n − ai ai+n − ai ai+n 2 + S 2 − S(a+ i ai + ai+n ai+n ) √
S 2S ai+n + a+ i+n 2i √
S 2S ai + a + i 2i

L’hamiltonien prend maintenant la forme : 1 XX S + H = JR~ n [ (ai ai+n + a+ i ai+n )(1 − cos(θi − θi+n )) 2 i 2 ~n R

S + (a ai+n + a+ i+n ai )(1 + cos(θi − θi+n )) 2 i + + [S 2 − S(ai ai + a+ i+n ai+n )] cos(θi − θi+n ) √ S 2S + (ai + a+ + i + ai+n + ai+n ) sin(θi − θi+n )] 2i

+

JR~ n =

1 X 1 X −i~k·~ri + 1 X i~k·~ri ~ ~ J~k eik·Rn , ai = √ e e a~k , a+ a~ i = √ k N N ~ N ~ ~ k

k

k

Cet hamiltonien contient a priori des termes a ` un seul op´erateur de boson de la forme ai et a+ energie classique, qui est donn´ee par : i . Mais l’´ 1 XX JR~ n cos(θi − θi+n ) Eclass = 2 i ~n R

38

doit ˆetre minimale. Si on regroupe tous les termes contenant un angle donn´e θi , il vient : X JR~ n cos(θi − θi+n ) ~n R

puisque chaque paire apparaˆıt deux fois dans l’´energie classique. La condition de minimalit´e de l’´energie impose par ailleurs que

=⇒

X ~n R

∂Eclass ∂θi

= 0

JR~ n sin(θi − θi+n ) = 0

Du coup, les termes en ai et a+ i disparaissent.   1 XX 1 X ~ ~ ~ ~n S i~ k 1 ·R a~ a~ eik2 ·~ri +ik3 ·(~ri +Rn ) H = J e ~ k1 2 i N2 2 k2 k3 ~n ~ R k1 ,~ k2 ,~ k3 ! ~ ~ ~ ~  eiQ·Rn + e−iQ·Rn ~ n) + + −i~ k2 ·~ ri −i~ k3 ·(~ r i +R 1− + a~ a~ e k2 k3 2   S + ~ ~ ~ ~ ~ ~ + a~ a~k3 e−ik2 ·~ri +ik3 ·(~ri +Rn ) + a~+ a~k2 eik2 ·~ri −ik3 ·(~ri +Rn ) k3 2 k2 ! ~ R ~n ~ R ~n iQ· −iQ· e +e × 1+ 2 ~ ~

~ ~

eiQ·Rn + e−iQ·Rn + S2 2   ~ n )+i~ ~ n) + −i~ k2 ·(~ r i +R k3 ·(~ r i +R −i~ k2 ·~ ri +i~ k3 ·~ ri e e + a a − S a~+ a ~ ~ ~ k k 3 k2 3 k2 !# ~ R ~n ~ R ~n iQ· −iQ· e +e × 2 Regardons les termes : ~

~

~

~

~

~k1 = −~k3 , ~k2 = −~k3

– eiRn (k1 +k3 ) ei~ri (k2 +k3 )

→ ~

~

~

~

~

1X S J~k a~k a−~k 2 2 ~ k

~

~k3 = −~k1 − Q ~ , ~k2 = ~k1 + Q ~

– eiRn (k1 +k3 +Q) ei~ri (k2 +k3 )

→− ~

~

~

~

~

1X S a~ a ~ J~k−Q ~ 4 2 k −k ~ k

~

– eiRn (k1 +k3 −Q) ei~ri (k2 +k3 ) →−

1X S J~k+Q a~ a ~ ~ 4 2 k −k ~ k

39

~

~

~

~

~

– eiRn (k1 −k3 ) e−i~ri (k2 +k3 )

→ ~

~

~

~

~

1X S + + J~k a~ a ~ 2 2 k −k ~ k

~

– eiRn (k1 −k3 +Q) e−i~ri (k2 +k3 )

→− ~

~

~

~

~

S + + 1X a a J~k−Q ~ 4 2 ~k −~k ~ k

~

– eiRn (k1 −k3 −Q) e−i~ri (k2 +k3 ) →− ~

~

~

~

1X S + + J~k+Q a a ~ 4 2 ~k −~k ~ k

~

– eiRn (k1 +k3 ) ei~ri (−k2 +k3 ) 1X S J−~k a~+ a~ 2 2 k k

→

~ k

– et tous les autres termes : → → → →

S + 1X a a~ J−~k−Q ~ 4 2 ~k k ~ k

1X S + a a~ J−~k+Q ~ 4 2 ~k k ~ k

1X S + + J~k a~ a~ 2 2 k k ~ k

1X S + J~k+Q a a~ ~ 4 2 ~k k ~ k

→

1X S + J~k−Q a a~ ~ 4 2 ~k k

→

 1 XX 2 eiQRn + e−iQRn S2 1  JQ S JR~ n = N ~ + J −Q ~ 2 i 2 2 2

~ k

~~

R~n

S + → − JQ ak ~ a~ k ~ 4 S + → − J− Q ak ~ a~ k ~ 4 S + → − J− Q ak ~ a~ k ~ 4 S + ak → − JQ ~ a~ k ~ 4

40

~~

Regroupons tous les termes : 

a~+ a+~ + a~k a−~k k

−k



+a~+ a~k  k

 S X 4

~ k

J~k −

 1 J~k+Q ~ + J~ ~ k− Q 2



  1 SX J−~k + J−~k+Q + J ~ ~ + J~ k −~ k−Q 4 2 ~ k   S 1 + J~ ~ + J~k−Q − (JQ ~ + J −Q ~) ~ 2 k+Q 2  S2 1  JQ + N ~ + J −Q ~ 2 2

Soit, puisque J~k = J−~k : H

= +

   N S2 1 SX + ak − 2J J + J + J JQ + ~ a~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Q k k−Q k ~ 2 2 2 k+Q ~ k     SX 1 J~k − J~k+Q a~k a−~k + a~+ a+~ ~ + J~ ~ k− Q k −k 4 2 ~ k

Cet hamiltonien a la mˆeme forme que dans le cas antiferromagn´etique, et une transformation de Bogolioubov conduit a `: s     1  ω~k = S J~ ~ + J~k−Q J~k − JQ ~ − JQ ~ ~ 2 k+Q ( ~k = 0 ω~k = 0 si ~k = ±Q ~

2.4.3

Compl´ ement : Mod` ele J1 − J2

On va d´ecrire quelques effets des fluctuations quantiques dans le cas du mod`ele J1 − J2 . - J2 >

J1 2

: lev´ee de d´eg´en´erescence pour les fluctuations de point 0. E

= cste +

X

αk + α~+ k ~

~ k

→ E0

= cste +

X

ω~k (0)

~ k

Les structures colin´eaires sont selectionn´ees :

41

1 2



ω~k (θ)

- J2 <

J1 2

:

< m >= S −

Z

d~kf (~k) ω~ | {z k } ∆<m>

f (~k) → cste quand ~k → ~0.

La correction sera donc importante si la vitesse des ondes de spin est petite. Or n 2
2 o 12 SJ1 z + SJ2 z(β~k − 1) − SJ1 zγ~k 1 X i~k·~τ2 1 X i~k·~τ1 e , β~k = e = z z

ω~k

=

γ~k

~ τ1

~ τ2

D´eveloppement en ~k : ω~k ∼ ck, c → 0 quand J2 →

J1 2

−→ la correction diverge :

1/S

5

Pas d’ordre longue distance

0.5

J2/J1

Est-ce vrai pour S grand ? Probablement pas. La correction est infinie pour S infini, mais pour S < +∞, il faut prendre en compte les corrections d’ordre sup´erieur. Or, on peut montrer que ∆ < m > diverge comme ln S : → < m >= S − cste × ln S > 0 quand S → +∞ Que se passe-t-il dans le cas S = 21 ? On a sugg´er´e un autre type d’´etat fondamental : une configuration de singulets. Exemple le plus simple : mod`ele 1D, J1 − J2 quand J1 = 2J2 Avant d’´etudier ce syst`eme, regardons tout d’abord le mod`ele J1 − J2 dans le cas classique : 42

J(k) = 2J1 cos k + 2J2 cos 2k ∂J = −2J1 sin k − 4J2 sin 2k ∂k = −2 sin k (J1 + 4J2 cos k) 1. k = 0

⇒

J(k) = 2J1 + 2J2

2. k = π

⇒

J(k) = −2J1 + 2J2

3. cos k =

−J1 4J2

(si J2 ≥

J1 4 )

  J2 −2J12 + 2J2 2 1 2 − 1 4J2 16J2 2 1J = − 1 − 2J2 4 J2

⇒ J(k) =



 −J1 J arccos ≤ J(π) 4J2 1 J2 ⇔ − 1 − 2J2 ≤ −2J1 + 2J2 4 J2 1 J12 ⇔ − + 2J1 ≤ 4J2 4 J2 ⇔ 0 ≤ J12 − 8J1 J2 + 16J22 ⇔ 0 ≤ (4J2 − J1 )2

OK

J(k=0)

J(k= π) 1/4

J2/J1

1/2

J(arccos −J1/4J2)

43

Revenons a ` pr´esent au cas quantique du mod`ele J1 − J2 lorsque J1 = 2J2 . On consid`ere le mod`ele :  X ~i · S ~i+1 + S ~i · S ~i+2 H =J 2S , N sites i

avec (J1 = 2J2 , J2 = J) et (S = 21 ).

On peut r´e´ecrire l’hamiltonien comme :       ~3 + S ~2 · S ~1 · S ~2 + S ~3 + S ~4 + · · · ~1 + S ~2 · S H = J 2S

soit

H=J

X

i impair

h

i    ~i+2 + S ~i+1 · S ~i · S ~i+1 + S ~i+2 + S ~i+3 ~i + S ~i+1 · S 2S

i−1

i+1

i+3

i

i+2

Consid´erons l’´etat |φ >= [1, 2] ⊗ [3, 4] ⊗ · · · o´ u [j, k] = √12 (| ↑j ↓k > −| ↓j ↑k >) est le singulet construit avec la paire (j, k).   ~1 · S ~2 [1, 2] ? Que vaut S     2 2 1 ~ 3 1 ~ 2 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ S1 + S2 − S1 − S2 = S1 + S2 − 2 × S1 · S2 = 2 2 4  2 ~1 + S ~2 [1, 2] = 0 car [1, 2] est le singulet. et S   ~1 · S ~2 [1, 2] = − 3 [1, 2]. On a donc S 4   ~3 [1, 2] : ~1 + S ~2 · S Calcul de S   ~1 + S ~2 · S ~3 S

= (S1z + S2z ) S3z +



1 − 1 + S1 + S2+ S3− + S1 + S2− S3+ , 2 2

et l’´etat est donn´e par [1, 2]σ3 = √12 (| ↑↓> −| ↓↑>) ⊗ |σ3 >. On regarde alors l’action de chacun des trois termes :   1 1 1 − σ3 + σ3 [1, 2]σ3 = 0 (S1z + S2z ) S3z = √ 4 4 2 ( 1 √ (| ↑↑> −| ↑↑>) | ↓>= 0 si σ3 = 1
1 + 2 2 S1 + S2+ S3− = 2 0 sinon (
− 0 si σ3 = 21 1 + + S1 + S 2 S3 = √1 (| ↓↓> −| ↓↓>) | ↑>= 0 si σ3 = − 1 2 2 2 44

  ~1 + S ~2 · S ~3 [1, 2] = 0. On a donc S

Finalement, l’action de l’hamiltonien H sur l’´etat |φ > donne N 2

H|φ >=

× 2J ×

−3 4




|φ >= − 43 JN |φ > .

Donc, |φ > est l’´etat propre d’´energie − 43 JN . Essayons de d´emontrer On peut r´e´ecrire   que cet ´etat est l’´etat fondamental. P ~ ~ ~ ~ ~ ~ H = i hi avec hi = J Si Si+1 + Si+1 Si+2 + Si Si+2 . Or, hi

= =

La somme de 3 spins

  2 J ~ 2 2 2 ~ ~ ~ ~ ~ Si + Si+1 + Si+2 − Si − Si+1 − Si+2 2   2 3 J ~ ~ ~ Si + Si+1 + Si+2 − 3 × 2 4 1 2

est 1 spin



1 2

~i + S ~i+1 + S ~i+2 =⇒ S

ou 23 .

2

=

(

1 2 + 3 3 ou 2 2 1 2

La plus petite valeur propre de hi est − 34 J. Or H=

X

hi

=⇒ Efond (H) ≥

i


1 = 43
+1 = X

15 4

Efond hi

i

=⇒ Efond (H) ≥ N ×

−3 J 4

car nous avons vu que E(φ) = − 43 N J. Donc, |φ > est bien l’´etat fondamental du syst`eme.

2.5

Annexe du chapitre 2 : Alg` ebre de spin

Relations de commutation : [S x , S y ] = iS z . Les op´erateurs d’´echelle : S + = S x + iS y S − = S x − iS y , satisfont les r`egles de commutation :  + − x y y x z  [S , S ] = [S , −iS ] + [iS , S ] = 2S [S z , S + ] = S +   z − [S , S ] = −S − 45

(2.1)

Action des op´erateurs de spin : p S + |m > = S(S + 1) − m(m + 1) |m + 1 > p − S(S + 1) − m(m − 1) |m − 1 > S |m > = S + S − |m > = (S(S + 1) − m(m − 1)) |m >

S − S + |m > = (S(S + 1) − m(m + 1)) |m >

On retrouve la relation de commutation :
S + S − − S − S + |m > = (−m(m − 1) + m(m + 1)) |m > = 2m|m >

et donc [S + , S − ] = 2S z Action de l’op´erateur S 2 : S +S − + S −S +




= 2S(S + 1) − 2m2

or (S z )2 = m2 , ce qui donne :   1 (S z )2 + (S + S − + S − S + ) = m2 + S(S + 1) − m2 = S(S + 1). 2 Question pr´eliminaire : Quelles sont les sym´etries de l’hamiltonien ? H=

X

(i,j) z - Stot =

P

i

  ~i · S ~j . Jij S

Siz

~ 2 = (P S ~ 2 -S tot i i)

z 1) [H, Stot ]=0

~2 ] = 0 2) [H, S tot On ´ecrit H =

P

(i,j)

Jij Siz Sjz + Six Sjx + Siy Sjy

1) Siz commute avec tous les termes sauf : X

Jij Six Sjx + Siy Sjy

j6=i



 Six Sjx , Siz  y y z Si Sj , Si







= −iSiy Sjx = iSix Sjy

46

z =⇒ [H, Stot ] =

XX i

=

X

(i,j)

j6=i

Jij −iSiy Sjx + iSix Sjy





Jij −iSiy Sjx + iSix Sjy − iSiy Sjx + iSix Sjy = 0

~ 2 = (S z )2 + (S x )2 + (S y )2 2) S tot tot tot tot   x,y −→ [H, Stot ]=0 2 z ~tot =⇒ S =0 [H, Stot ]=0→ z 2 −→ [H, (Stot ) ]=0

47

Chapitre 3

Les interactions ´ electrons-´ electrons dans les m´ etaux 3.1

Mod` ele du jellium

Nous avons vu dans le premier chapitre de ce cours que lorsque les ´electrons sont sur un r´eseau l’interaction coulombienne pouvait conduire a ` un ´etat isolant. N´eanmoins ce n’est pas toujours le cas. On s’attend en particulier a ` trouver un ´etat conducteur lorsque le syst`eme est en dehors d’un remplissage correspondant a ` un nombre entier impair d’´electrons par site, ou lorsque la largeur de bande est suffisamment grande. Dans ce cas, il est naturel de prendre comme point de d´epart un ´etat m´etallique en n´egligeant les interactions, et d’inclure les interactions sous forme de perturbation. Il est commode de s´eparer les difficult´es en commen¸cant par n´egliger les effets du r´eseau, ce qui revient a ` partir de la th´eorie de Sommerfeld et de rajouter l’interaction coulombienne. Nous verrons comment traiter l’effet du r´eseau dans la derni`ere section de ce chapitre. On va donc s’int´eresser aux propri´et´es du gaz d’´electrons d´ecrit par l’hamiltonien :

H=

X pσ

avec εp =

~2 p2 2m

εp c+ pσ cpσ +

1 2V

X

kk0 σσ0 q6=0

+ Vq c + k+qσ ck0 −qσ 0 ck0 σ 0 ckσ

et Vq est la transform´ee de Fourier de V (r) =

e2 r .

Pour donner un sens a ` la transform´ee de Fourier, on introduit un facteur de 48

convergence e−ηr , et on laisse tendre η vers 0+ . Vq

Z

e−ηr iq.r dr e r Z +∞ Z 1 = 2πe2 dr d(cos θ)re−ηr eiqr cos θ = e2

0

= 2πe2 = =

2πe2 iq 2πe iq

2

soit, lorque η → 0, Vq =

Z

+∞

−1

dre−ηr

0

Z 

+∞ 0

eiqr − e−iqr iq

  dr ei(q+iη)r − e−i(q−iη)r

ei(q+iη)r e−i(q−iη)r − i(q + iη) −i(q − iη)

+∞ 0

  2πe2 1 4πe2 1 − − = 2 iq iq iq q

Remarque : La divergence en q = 0 n’est pas physique. Si on compense les charges n´egatives par un background positif, on a en r´ealit´e V (q = 0) = 0 (mod`ele du jellium) D´emonstration : q=0⇒

1 2V

X

+ 0 0 V0 c + kσ ck0 σ 0 ck σ ckσ

=

kk0 σσ 0

V (0) X −c+ kσ 2V 0 0 kk σσ

=

(c+0 0 ckσ ) | k σ{z }

c k0 σ 0

δkk0 δσσ0 −ckσ c+ k0 σ 0


V (0) 2 V (0) N2 − N ' N 2V 2V

C’est une constante (N est le nombre de particules). L’interaction entre les charges positives vaut la mˆeme chose, et l’interaction entre les ´electrons et les charges positives vaut 2 fois l’oppos´e. Donc au total ces termes sont nuls. ⇒ V (0) = 0

3.2

L’approximation de Hartree-Fock

On r´e´ecrit l’hamiltonien H = H0 + H1 o` u H0 est l’´energie cin´etique et H1 l’´energie potentielle. L’id´ee de base est de traiter H1 comme une petite perturbation. Le premier calcul qu’on peut faire est la correction de l’´energie du fondamental. Comme le fondamental est non d´eg´en´er´e : Y |F i = c+ kσ |0i k6kF σ

on aura EF = E0 + hF |H1 |F i + . . . 49

Ordre 0 X

E0 = hF |H0 |F i =

εk = 2

X ~2 k 2 2m

k6kF

k6kF ,σ

A la limite continue, X

=

k

V (2π)3

Z

dk

~2 1 = V2 2m (2π)3 ~2 1 kF5 = V 2m π 2 5

Ainsi, E0

Z

kF

4πk 2 k 2 dk

0

Si on veut l’´energie par ´electron, on doit exprimer V en fonction de N . Mais N

=

X

2=

k6kF

=

V (2π)3

Z

kF

2dk = 0

V (2π)3

Z

kF

8πk 2 dk

0

V kF3 3π 2 ⇒ E0 =

3π 2 ~2 1 kF5 3 N = εF N 3 2 kF 2m π 5 5

Premier ordre hF |H1 |F i =

1 2V

X

kk0 σσ0 q6=0

+ Vq hF |c+ k+qσ ck0 −qσ 0 ck0 σ 0 ckσ |F i

Pour que la valeur moyenne soit non nulle, il faut que les op´erateurs destruction agissent sur des ´etats occup´es, et que les op´erateurs cr´eation cr´eent des particules dans les ´etats d´etruits. Comme q 6= 0, la seule possibilit´e est  Ainsi, hF |H1 |F i

=

1 2V

X

k,q6=0,σ

1 = − 2V e2 2V

= σ0 = k+q

σ k0

X

Vq hF |c+ k+qσ

k,q6=0,σ

c+ ck+qσ |kσ {z }

−ck+qσ c+ kσ

ckσ |F i

(q6=0)

Vq hF |nk+q,σ nkσ |F i

4π θ(kF − |k + q|)θ(kF − k) q2 k,q6=0,σ Z Z V 1 e2 2 dk dq 2 θ(kF − |k + q|)θ(kF − k) = − 4π 2 (2π)6 q

= −

X

50

k+q

Volume d´integration • •

q 2 q 2








  

  









  

  









  

  









  

  









  

  









  

  











  

  





q/2 
 
 









  


  













  

  






  

  












  

 

k q

> kF → 0 < kF → 2 fois le volume de la calote sph´erique

                                                                                                                                                                   

q/2

kF

Vcal

=

Z

= π = π

⇒ E1

= = = = = =

q 2



dzπ(kF2 − z 2 )

kF2 z



z3 − 3

 kF q 2

k2 q3 2kF3 − Fq+ 3 2 24 



 2kF3 kF2 q3 q − q+ θ(kF − ) 3 2 24 2  3  Z 2kF 2 3 2kF V k q 4πdq2π −4πe2 − Fq+ 6 (2π) 0 3 2 24   2 4 V k (2k ) 4 F −4πe2 8π 2 k 4 − F 4kF2 + (2π)6 3 F 4 4 × 24   4 16 4π8π 2 −1+ −e2 V 6 6 kF4 2 π 3 4 × 24   1 1 4 −e2 V 3 kF4 −1+ 2π 3 6 1 1 −e2 V 3 kF4 2π 2 3π 2 1 4 1 2 −e N 3 k kF 2π 3 F 2 3 −e2 N kF 4π

V = −4πe (2π)6 2

=

kF

Z

1 dq 2 2π q

51

Il est conventionnel d’introduire un param`etre rs en ´ecrivant que le volume occup´e par un ´electron est 4 π(rs a0 )3 , 3

a0 = rayon de Bohr =

~2 me2

4π 3π 2 V = (rs a0 )3 = 3 N 3 kF  1/3 9π 1 ⇒ a 0 kF = 4 rs

⇒

Par ailleurs, 1Ry =

~2 2ma20

=

e2 2a0

= 13.6eV . On peut donc ´ecrire :

EHF e2 = N 2a0



3 3 (kF a0 )2 − (kF a0 ) 5 2π



ou encore EHF = N

3 5



9π 4

2/3

1 3 − 2 rs 2π



9π 4

1/3

1 rs

!

Ry =



2.21 0.916 − rs2 rs



Ry

Dans les m´etaux, rs varie entre 2 et 6. Le deuxi`eme terme n’est donc pas du tout n´egligeable ! On voit par ailleurs que l’´energie cin´etique varie en r12 alors que l’´energie s potentielle varie en r1s . L’approximation des ´electrons libres a donc des chances d’ˆetre valable dans la limite des fortes densit´es puisque c’est dans cette limite que l’´energie cin´etique domine. Pour aller plus loin, toujours au mˆeme ordre en perturbation, il faut calculer l’´energie des ´etats excit´es. Consid´erons donc un ´etat |k0 σ0 i = c+ k0 σ0 |F i k0 vide hk0 σ0 |H0 |k0 σ0 i = E0 + εk0 1 X + + 0 0 Vq hF |ck0 σ0 c+ hk0 σ0 |H1 |k0 σ0 i = k+qσ ck0 −qσ 0 ck σ ckσ ck0 σ0 |F i 2V 0 0 kk σσ

q6=0

Pour calculer cette valeur moyenne, on utilise de fa¸con r´ep´et´ee les r`egles de commutation fermioniques : + + 0 0 hF |ck0 σ0 c+ k+qσ ck0 −qσ 0 ck σ ckσ ck0 σ0 |F i

=

+ 0 0 = δkk0 δσσ0 hF |ck0 σ0 c+ k+qσ ck0 −qσ 0 ck σ |F i

+ + 0 0 −hF |ck0 σ0 c+ k+qσ ck0 −qσ 0 ck σ ck0 σ0 ckσ |F i

+ + + δkk0 δσσ0 hF |ck0 σ0 c+ k+qσ ck0 −qσ 0 ck0 σ 0 |F i − δk0 k0 δσ 0 σ0 hF |ck0 σ0 ck+qσ ck0 −qσ 0 ckσ |F i

+ + + hF |ck0 σ0 c+ k+qσ ck0 −qσ 0 ck0 σ0 ck0 σ 0 ckσ |F i

Le premier terme n’est non nul que si  0 k =k+q σ0 = σ 52

⇒

1 X + Vq hF |ck0 σ0 c+ k0 +qσ0 ck0 σ0 ck0 +qσ0 |F i 2V q 1 X + = − Vq hF | ck0 σ0 c+ k0 σ0 ck0 +qσ0 ck0 +qσ0 |F i 2V q | {z } 1−c+ k

0 σ0

c k 0 σ0

1 X Vq hF |c+ = − k0 +qσ0 ck0 +qσ0 |F i 2V q

puisque k0 est vide par hypoth`ese. De mˆeme, le deuxi`eme terme donne : −

1 X 1 X + Vq hF | ck0 σ0 c+ Vq hF |c+ k0 −qσ0 ck0 −qσ0 |F i k0 σ0 ck0 −qσ0 ck0 −qσ0 |F i = − 2V q 2V q | {z } 1−c+ k

0 σ0

c k 0 σ0

Enfin, le dernier terme conduit a `:

+ + hF | ck0 σ0 c+ k σ ck+qσ ck0 −qσ 0 ck0 σ 0 ckσ |F i | {z 0 }0

→ Finalement,

1−c+ k 0 σ0 c k 0 σ0 P + + 1 kk0 qσσ 0 hF |ck+qσ ck0 −qσ 0 ck0 σ 0 ckσ |F i 2V

1 X 1 X Vq nk0 +q − Vq nk0 −q 2V q 2V q 1 X = E1 − Vq nk0 −q puisque Vq = V−q V q

hk0 σ0 |H1 |k0 σ0 i = E1 −

Si on d´efinit l’´energie pour ajouter une particule par : ε˜k0 ≡ hk0 σ0 |H0 + H1 |k0 σ0 i − hF |H0 + H1 |F i il vient : ε˜k0 = εk0 −

1 X Vq nk0 +q V q

On peut retrouver le mˆeme r´esultat en cherchant un d´eveloppement des op´erateurs cr´eation tel que : h

i H, c˜+ ˜k c˜+ k,σ =  k,σ

( ˜k = k + O(V ) + c˜+ k,σ = ck,σ + O(V ) h h i i + + Or, H, c+ c + H , c =  1 k 0 k0 ,σ0 k0 ,σ0 k0 ,σ0 . 53

h

+ + c+ k+qσ ck0 −qσ 0 ck0 σ 0 ckσ , ck0 σ0

ckσ c+ k σ | {z 0 }0

+ = c+ k+qσ ck0 −qσ 0 ck0 σ 0

“

i

δkσ,k0 σ0 −c+ k

0 σ0

+ + −c+ k0 σ0 ck+qσ ck0 −qσ 0 ck0 σ 0 ckσ ckσ

”

+ + + + = δkσ,k0 σ0 c+ k+qσ ck0 −qσ 0 ck0 σ 0 − ck+qσ ck0 −qσ 0 ck0 σ 0 ck0 σ0 ckσ + + −c+ k0 σ0 ck+qσ ck0 −qσ 0 ck0 σ 0 ckσ + = δkσ,k0 σ0 c+ k+qσ ck0 −qσ 0 ck0 σ 0 + −δk0 σ0 ,k0 σ0 c+ k+qσ ck0 −qσ 0 ckσ

+ + +c+ k+qσ ck0 −qσ 0 ck0 σ0 ck0 σ 0 ckσ + + −c+ k0 σ0 ck+qσ ck0 −qσ 0 ck0 σ 0 ckσ

i h ⇒ H1 , c + k0 ,σ0

=



→0

1 X + Vq c + k0 +qσ0 ck0 −qσ 0 ck0 σ 0 2V 0 0 k ,q,σ

−

1 X + Vq c + k+qσ ck0 −qσ0 ckσ 2V k,q,σ

Le deuxi`eme terme est ´egal au premier (q → −q et permutations des deux premiers termes). h i 1 X + ⇒ H1 , c + = Vq c + k,σ k+qσ ck0 −qσ 0 ck0 σ 0 V 0 0 k ,q6=0,σ

On voit donc que la premi`ere correction doit contenir des termes a ` 3 fermions. Du coup, la seconde doit conduire a ` un nombre encore plus important de fermions =⇒ c’est inextricable. Cette approche n’est d’une certaine utilit´e pratique que lorsqu’elle est coupl´ee a ` une approximation qui consiste a ` ne retenir que certains termes lin´eaires dans le membre de droite en rempla¸cant les autres op´erateurs par leur valeur moyenne dans le fondamental non perturb´e. Consid´erons donc un terme : + c+ k+qσ ck0 −qσ 0 ck0 σ 0

Les seuls produits d’op´erateurs donnant une valeur moyenne non nulle dans le fondamental non perturb´e sont a priori de la forme c+ k1 σ 1 c k1 σ 1 Comme q 6= 0, la seule possibilit´e est ( k + q = k0 σ = σ0 h i 1 X + ⇒ H1 , c + Vq < c + k,σ ' − k+qσ ck+qσ > ckσ V q 54

Finalement, on obtient :

h

H0 + H 1 , c + k,σ

i

˜k

' ˜k c+ kσ = k −

1 X Vq nk+q V q

Cette approximation s’appelle aussi Hartree-Fock, et on note souvent ˜k = HF k . A cette approximation, l’effet des interactions est simplement de modifier la dispersion. Remarque : E HF = E0 + E1 6=

P

˜k nkσ k,σ 

!

P P k − k ) nkσ . Le facteur 12 vient du En r´ealit´e, E HF = k,σ k nkσ + 12 k,σ (˜ fait qu’on ne doit compter l’interaction entre les 2 e− qu’une seule fois. Malheureusement, cette approximation conduit a ` des cons´equences en d´esaccord flagrant avec l’exp´erience. Calculons en effet plus pr´ecisement ˜k :

˜k − k

= −

1 X Vq nk+q V q

1 X 4πe2 nk 0 V 0 |~k − k~0 |2 k Z d3 k~0 4πe2 nk 0 = − (2π)3 |~k − ~k 0 |2 Z Z 4π2πe2 kF 0 0 2 π 1 = − dθ sin θ 2 dk k 0 2 − 2kk 0 cos θ (2π)3 0 k + k 0 Z Z e 2 kF 0 2 0 1 1 k dk = − dν 2 2 0 π 0 k + k − kk 0 ν −1 = −

Or,

Z

1 −1

dx a − bx

1 1 − ln(a − bx) b −1   1 a − bx = − ln b a + bx   a + bx 1 ln = b a − bx

=

55



˜k − k

  2 (k + k 0 )2 k0 ln dk 2kk 0 (k − k 0 )2 0 2 Z kF k + k0 e 0 0 − dk k ln πk 0 k − k0 "  #kF Z kF   02 2  0 02 k 1 e k+k 1 k − ln + − dk 0 0 πk  2 k − k0 2 k + k k − k0  0 0 ( ) Z kF 02 k + kF e2 kF2 k k − − ln dk 0 πk 2 k − kF k2 − k0 2 0 !) ( Z kF 02 2 2 k + kF k − k k e2 kF2 0 −k dk ln + − πk 2 k − kF k2 − k0 2 k2 − k0 2 0 (  ) Z kF k + kF e2 kF2 1 1 k + kF k − k − ln + dk 0 πk 2 k − kF 2 k − k0 k + k0 0 ) (   2 0 kF k + kF e2 kF2 + kF k − k ln k + k ln − k − k0 πk 2 k − kF 2 0   2 k + kF k + kF e2 kF2 k + kF k − − ln ln πk 2 k − kF 2 k − kF   e2 k + kF k 2 kF2 e2 ln − − kF + π πk k − kF 2 2 e2 − π

= = = |{z} i.p.p

=

= = = = =

Z

kF

0

On ´ecrit souvent ce r´esultat

HF − F = − k avec F (x) =

1 2

+

1−x2 4x

2e2 k kF F ( ) π kF

ln 1+x 1−x .

Pour r´ef´erence ult´erieure, on a donc montr´e Z kF 0 0 k + k k = 2kF F ( k ) ln 0 k k − k kF 0

Eudions plus en d´etail la forme de cette dispersion : ~2 k 2 e2 e2 k + kF (k − kF )(k + kF ) ˜k = − kF + ln 2m π 2π k − kF k d˜ k dk

=

+ =

  1 ~2 k e2 1 (k − kF )(k + kF ) + − m 2π k + kF k − kF k   2 k + kF d k ln k − F2 k − kF dk k    k + kF e2 k − kF − (k + kF ) kF2 ~2 k + + ln 1+ m 2π k k − kF k

d˜ k ⇒ dk k=kF

=

  k + kF ~2 k F e2 −2 + 2 limk→kF ln + m 2π k − kF 56

(3.1)

qui diverge logarithmiquement. Du coup, ρ(F ) = 0 a ` l’approximation de HartreeFock. C’est donc une tr`es mauvaise approximation ! On sait en effet que ρ(F ) est diff´erent de z´ero dans les m´etaux (susceptibilit´e de Pauli, chaleur sp´ecifique).

3.3

D´ eveloppement au second ordre :

Puisque les r´esultats du premier ordre ne sont pas satisfaisants, il faut aller plus loin dans le d´eveloppement. L’id´ee la plus naturelle est d’aller au second ordre. Essayons donc de calculer la correction de l’´energie au second ordre en V. D’apr`es la th´eorie de perturbation, la correction au second ordre s’´ecrit : E (2) = −

X < F |H1 |n >< n|H1 |F > En − E 0 n

D’apr`es la forme de la perturbation, les ´etats n qui contribuent a ` cette somme ont deux trous dans la mer de Fermi et deux ´electrons en dehors de la mer de Fermi. Plus pr´ecis´ement, ces ´etats |n > sont de la forme + 0 0 c+ k0 +q0 ,σ0 ck0 −q0 ,σ 0 ck0 ,σ0 ck0 ,σ0 0

0

(3.2)

avec k0 , k00 < kF et ||~k0 + q~0 ||, ||k~0 0 − q~0 || > kF . < F |H1 |n > s’´ecrit : 1 2V

X

kk0 q6=0σσ 0

+ Vq < F |c+ k+q,σ ck0 −q,σ 0 ck0 ,σ 0 ck,σ

+ 0 0 ×c+ k0 +q0 ,σ0 ck0 −q0 ,σ 0 ck0 ,σ0 ck0 ,σ0 |F > 0

0

Etant donn´e que l’ensemble des indices des op´erateurs destruction doit ˆetre ´egal a ` celui des indices des op´erateurs cr´eation, et vu que k0 et k00 sont n´ecessairement diff´erents de ~k0 + q~0 et k~0 0 − q~0 , il n’y a que quatre possibilit´es :     k = k00 − q0  0 0  k = k + q k + q = k    0 0 0 0       σ = σ 0 σ 0 = σ σ = σ 0 0 0 ⇔ k 0 = k0 + q0 et I) 0 0    k = k − q k − q = k 0 0    0    σ 0 = σ0    0   σ = σ00 σ = σ0 q = q 0  k + q = k00     σ = σ00 II)  k 0 − q = k0    0 σ = σ0

 0 k = k00 + q0    0  σ = σ00 et  k = k 0 + q0    σ = σ0 57

  k = k 0 + q0      σ = σ0 ⇔ k 0 = k00 − q0    σ 0 = σ00    q = k 0 − k − q 0 0 0

uniquement si σ0 = σ00 .   k k + q = k0       σ σ = σ0 III 0 0 0 et k k − q = k   0    0  0 0 σ σ = σ0  k+q =    σ = IV 0 k − q =    σ0 =

 k0 k    σ0 σ et k00 k  0   0 σ00 σ

= = = =

= = = =

   k k0 + q0    σ σ0 k0 ⇔ 0 k0 − q0   σ0   σ00  q

 k   k00 − q0   σ  σ00 k0 ⇒ k0 + q0  0  σ   σ0  q

= = = = =

= = = = =

k0 + q0 σ0 k00 − q0 σ00 −q0

k00 − q0 σ00 k0 + q0 σ0 k0 − k00 + q0

uniquement si σ0 = σ00 . Le facteur dˆ u au potentiel est donc Vq0 pour I et III et Vk00 −k0 −q0 pour II et IV. Par ailleurs, il faut calculer h0|...|0i en faisant attention au signe qui d´epend de la permutation qu’il faut faire pour ramener les op´erateurs qui ont les mˆemes indices l’un a ` cˆ ot´e de l’autre. Pour le terme I, il vient : + + + 0 0 0 0 < F |c+ k00 σ00 ck0 σ0 ck0 +q0 σ0 ck0 −q0 σ0 ck0 +q0 σ0 ck00 −q0 σ00 ck0 σ0 ck0 σ0 |F > + + + =< F |ck0 σ0 ck00 σ00 ck0 +q0 σ0 ck0 +q0 σ0 ck00 −q0 σ00 ck0 −q0 σ0 c+ k0 σ0 ck0 σ0 |F > 0 0 0 0 + + + 0 0 =< F |ck0 σ0 ck0 σ0 (1 − ck0 +q0 σ0 ck0 +q0 σ0 )(1 − ck0 −q0 σ0 ck00 −q0 σ00 )c+ k0 σ0 ck0 σ0 |F > 0 0 0 0 =1

puisque k0 et k00 sont occup´es, et que k0 + q0 et k00 − q0 sont vides. Le terme I a donc le signe +. On v´erifie ais´ement que les termes II, III et IV conduisent au mˆeme r´esultat avec le signe + pour III et le signe − pour II et IV. ⇒ hF |H1 |ni =

 1  Vq0 − δσ0 σ00 Vk00 −k0 −q0 V

Par ailleurs, le d´enominateur vaut : En − E 0

= = =

 ~2  2 (k0 + q0 )2 + (k00 − q0 )2 − k02 0 − k0 2m  ~2  2k0 q0 + q20 − 2k00 q0 + q20 2m ~2 2q0 (k0 − k00 + q0 ) 2m

Enfin si σ0 = σ00 , il y a un double comptage si on effectue la somme sur k0 , k00 et q0 car les ´etats q0 → −q0 et k0 ↔ k00 constituent un seul et mˆeme ´etat. On a donc deux contributions a ` E (2) : σ0 = σ00 On doit diviser par 2, ce qui compense le facteur 2 venant de la sommation sur σ0 (2)

⇒ E1

=−

1 X V2 0

k0 k0 q0

Vq0 − Vk00 −k0 −q0 58


2 nk0 nk00 (1 − nk0 +q0 )(1 − nk00 −q0 ) ~2 m q0 (k0

− k00 + q0 )

o` u le facteur nk0 nk00 (1 − nk0 +q0 )(1 − nk00 −q0 ) a ´et´e introduit pour restreindre la somme sur les ´etats excit´es au cas o` u k0 et k00 sont occup´es, et o` u k0 + q0 et 0 k0 − q0 sont vides. σ0 6= σ00 (2)

⇒ E2

=−

nk0 nk00 (1 − nk0 +q0 )(1 − nk00 −q0 ) 1 X 2Vq20 2 ~2 0 V 0 m q0 (k0 − k0 + q0 ) k0 k0 q0

o` u le facteur 2 vient du spin. Regroupons les termes : (Vq0 − Vk00 −k0 −q0 )2 = Vq20 + Vk200 −k0 −q0 − 2Vq0 Vk00 −k0 −q0 Or, la somme qui fait intervenir Vk20 −k0 −q0 est la mˆeme que celle qui fait 0 intervenir Vq20 , ce qu’on voit ais´ement en faisant le changement de variable q0 → k00 − k0 − q0 . Finalement, on obtient : E2 = −

1 X 4Vq20 − 2Vq0 Vk00 −k0 −q0 nk0 nk00 (1 − nk0 +q0 )(1 − nk00 −q0 ) ~2 0 V2 m q0 .(k0 − k0 + q0 ) k k0 q 0

0

0

Il se trouve que cette contribution est divergente. Consid´erons en effet le terme ∝

X

kk0 q

Vq2 nk (1 − nk+q )nk0 (1 − nk0 −q ) q.(k − k0 + q)

Pour q petit, on a : Z Z Z 1 1 ∝ dqdkdk0 4 nk (1 − nk+q )nk0 (1 − nk0 −q ) q q R 1 dknk (1 − nk+q ) ∝ q, idem pour o` u 1 vient de Vq2 et 1q de q.(k−k 0 +q) . Mais R q4 dk...

kF q

⇒

Z

dq

1 1 qq ∝ q4 q

Z

Divergence logarithmique. 59

q 2 dq ∝ q3

Z

dq q

3.4

Ecrantage

La divergence vient directement du comportement en q12 de la transform´ee de Fourier du potentiel coulombien, donc de la d´ecroissance lente (en r1 ) du potentiel a ` longue distance. Mais en pr´esence d’un gaz d’´electrons, le potentiel cr´e´e par une charge d´ecroˆıt beaucoup plus vite que 1r a ` longue distance car les ´electrons se r´earrangent autour de la charge : c’est l’effet d’´ecran. Cet effet d’´ecran est contenu dans la fonction di´electrique, qui d´ecrit la r´eponse du gaz d’´electrons a ` une charge ponctuelle. D’apr`es le chapitre pr´ec´edent, cette fonction d´electrique est donn´ee par 1 4πe2 = 1 + 2 χρ−q ρq (ω) (~ q , ω) q Ω avec X  < n|ρ−q |0 >< 0|ρq |n >

 < 0|ρ−q |n >< n|ρq |0 > ω − ωn0 + iδ ω + ωn0 + iδ n P o` u l’op´erateur ρq est donn´e en seconde quantification par ρq = kσ c+ kσ ck+qσ . Dans cette expression, les ´etats |0 > et |n > sont les ´etats propres de l’hamiltonien total. χρ−q ρq (ω) =

−

Th´eorie RPA du gaz d’´electrons : Comme on ne connaˆıt pas l’expression exacte des ´etats propres de l’hamiltonien total, on ne peut pas faire ce calcul exactement. Une possibilit´e consiste a ` faire un d´eveloppement perturbatif. Nous verrons dans le chapitre suivant comment proc´eder. Il y a cependant une fa¸con ´el´ementaire d’aboutir au mˆeme r´esultat. D’apr`es la th´eorie de la r´eponse lin´eaire, on a : ρind =

4πe2 χρ ρ δρ Ωq 2 −q q

Or, la seule quantit´e qu’on sait calculer a priori est la fonction de r´eponse χ0ρ−q ρq du gaz d’´electrons libres. Mais si l’on remplace simplement χρ−q ρq par χ0ρ−q ρq dans cette expression de la charge induite, on suppose que les ´electrons ne r´eagissent qu’` a la charge test. Or c’est certainement une tr`es mauvaise approximation puisqu’un ´electron est en interaction coulombienne avec les autres ´electrons du solide. Une fa¸con simple mais approximative d’inclure cette interaction consiste a ` d´ecrire encore cette r´eponse comme celle d’un gaz d’´electrons libres o` u chaque ´electron sent non seulement le potentiel cr´e´e par la charge test, mais aussi le potentiel moyen cr´e´e par les autres ´electrons. Cela revient a ` exprimer la charge induite comme la r´eponse d’un gaz d’´electrons libres a ` la charge ` l’expression : totale ρtot = 1 δρ, ce qui conduit a ρind =

4πe2 0 1 χ δρ Ωq 2 ρ−q ρq 

Mais par d´efinition de , on a : 1 

=

ρind + δρ δρ 60

(3.3)

On en d´eduit une ´equation auto-coh´erente (“self-consistent”) pour

1 

:

4πe2 0 1 χρ−q ρq 2 Ωq  4πe2 0 ⇒ = 1− χ Ωq 2 ρ−q ρq 1 

= 1+

Cette approximation s’appelle l’approximation RPA (Random Phase Approximation = Approximation de Phases Al´eatoires ) du nom de la m´ethode de th´eorie des plasmas qui conduit a ` une expression de ce type. On a donc 1 0

4πe2 0 χ (ω) Ωq 2 ρ−q ρq

= 1+

o` u χ0 est la fonction de corr´elation calcul´ee pour les ´electrons libres et 4πe2 0 χ (ω) Ωq 2 ρ−q ρq

RP A (~ q , ω) = 1 − soit 1 = RP A (~ q , ω) 1−

1 4πe2 0 Ωq 2 χρ−q ρq (ω)

Remarques : 1) Cette expression peut ˆetre retrouv´ee a ` partir de la d´efinition de 1 en fonction de χρ−q ρq en ´ecrivant une ´equation de mouvement pour ρq (t) et en la lin´earisant de fa¸con appropri´ee. 2) L’expression pour premier ordre en χ0 .

1 0 (~ q ,ω)

correspond a ` un d´eveloppement de

1 RP A (~ q ,ω)

au

` calculer χ 0ρ−q ρq La th´eorie de Lindhard de l’´ecrantage consiste pr´ecis´ement a dans le cas d’´electrons sans interaction, c’est-` a-dire a ` ´evaluer l’expression :  X < n|ρ−q |0 >< 0|ρq |n > < 0|ρ−q |n >< n|ρq |0 >  χρ−q ρq (ω) = lim+ − ω − ωn0 + iδ ω + ωn0 + iδ δ→0 n Dans ce cas, les ´etats propres de l’hamiltonien s’obtiennent a ` partir du fondamental en cr´eant des paires ´electron-trou. Avec ρ−q =

X

c+ k+qσ ckσ

kσ

les seuls ´etats |n > donnant une contribution non nulle a ` l’´el´ement de matrice < n|ρ−q |0 > sont de la forme c+ k+qσ ckσ |0 > 61

avec k < kF et |~k + ~q| > kF . L’´energie de cet ´etat vaut En

~2 (k + q)2 ~2 k 2 − 2m 2m 2 ~k · q~ q + m 2m

= E0 +

⇒ ωn0

=

Le premier terme s’´ecrit donc : X ~ k,σ

n~k (1 − n~k+~q ) ω−

~ k·~ q m

−

q2 2m

+ iδ

Le deuxi`eme terme fait intervenir l’´el´ement de matrice < n|ρq |0 >. Avec X c+ ρq = kσ ck+qσ kσ

les seuls ´etats |n > donnant une contribution non nulle a ` l’´el´ement de matrice < n|ρq |0 > sont de la forme c+ kσ ck+qσ |0 > ~ q avec k > kF et |~k + ~q| < kF , d’o` u ωn0 = − k·~ m −

q2 2m .

Le deuxi`eme terme s’´ecrit donc −

X kσ

(1 − n~k )n~k+~q ω−

~ k·~ q m

−

q2 2m

+ iδ

Finalement, la somme des deux termes s’´ecrit : χρ−q ρq (ω) =

X kσ

n~k − n~k+~q ~ k·~ q m

ω−

−

q2 2m

+ iδ

formule qu’on rencontre plus souvent sous la forme ´equivalente obtenue apr`es les changements de variable k 0 = k + q puis k = −k 0 : χρ−q ρq (ω) =

X kσ

n~k+~q − n~k ω+

~ k·~ q m

+

q2 2m

+ iδ

Consid´erons la limite ω → 0 pour se faire une id´ee de l’effet de cette fonction. On peut prendre δ = 0 car si le d´enominateur est nul, le num´erateur l’est aussi et il n’y a pas de contribution.

⇒ χρ−q ρq (ω = 0) =

X n~k+~q − n~k ~ k·~ q m

2

q + 2m X n~k+~q − n~k = 4m 2~k · q~ + q 2 kσ

~ k

62

n~k ~ 2k · q~ + q 2 ~ k Z π Z kF 1 2πΩ 2 sin θdθ k dk = (2π)3 0 2kq cos θ + q2 0 Z kF 2 Z 1 Ω du k = dk 2 (2π) 0 q −1 2ku + q Z kF 2 2k + q Ω 1 k = dk ln (2π)2 0 q 2k 2k − q Z kF k + q2 Ω k = dk ln (2π)2 0 2q k − q2 Z kF k + q2 Ω k = ln dk 16π 2 0 q/2 k − q2   q ΩkF F = 8π 2 2kF 2 1+x + 1−x 4x ln 1−x . X

Mais

avec F (x) =

1 2

X

Par ailleurs,

n~k+~q

2~k · q~ + q 2 X n~k0 2~k 0 · q~ − q 2 ~ k

=

(~k 0 = ~k + q~)

~ k0

= −

X ~ k

n~k ~ 2k · q~ + q 2

⇒ χ0ρ−q ρq (ω = 0) = −

mkF Ω F ~2 π 2

(~k = −~k 0 ) 

q 2kF



On a r´einject´e ~2 dans le d´enominateur. La forme de la fonction F conduit a ` deux conclusions tr`es importantes : – Le potentiel ´ecrant´e d´ecroit en e2 −qT F r e r √ ` = 0.815 rs kF , donc exponentiellement vite a

Vecrante = avec qT F = qThomas-Fermi longue distance. D´emonstration : Pour q petit, on a

RP A (~ q , ω = 0) = 1 − 63

4πe2 0 χ (ω = 0) q 2 Ω ρ−q ρq

Mais

Or, F (x) =

lim

q→0

χ0ρ−q ρq (ω

mkF = 0) = − 2 ΩF π



q=0 2kF



1 1 − x2 1 + x 1 1 − x2 ' + + ln ln(1 + 2x) → 1 quand x → 0 2 4x 1 − x 2 4x ⇒ χ0ρ−q ρq (ω = 0) = −

⇒ RP A (~ q , ω = 0) = 1 + =

1+

mkF Ω ~2 π 2

4πe2 mkF q 2 ~2 π 2

qT2 F q2

avec qT2 F

4kF 4 4πe2 mkF = = kF2 ~2 π 2 πa0 π(a0 kF ) 2  16 3 rs = kF2 3π 2 =

√ qT F = 0.815 rs kF Mais l’utilisation pratique de la constante di´electrique revient a ` dire que le potentiel cr´e´e est ´egal a ` 1 × φext . Ainsi, en transform´ee de Fourier, l’interaction ´ecrant´ee s’´ecrit : Vecrante (q) =

4πe2 1 V (q) = 2  q + qT2 F

Or, lorsque nous avons calcul´e la transform´ee de Fourier de potentiel coulombien, nous avons ´etabli que : e

2

Z

 +∞ e−ηr iq.r 2πe2 ei(q+iη)r e−i(q−iη)r dr e = − r iq i(q + iη) −i(q − iη) 0

ce qui, si η n’est pas nul, vaut : 4πe2 + η2

q2

Si l’on revient dans l’espace r´eel, le potentiel ´ecrant´e vaut donc : Vecrante =

64

e2 −qT F r e r

– La singularit´e a ` q = 2kF (voir discussion pour Hartree-Fock et la singularit´e a ` k = kF ) produit des oscillations qui d´ecroissent comme cos(2kF r) r3 → oscillations de Friedel (oscillations de charge autour d’une impuret´e) → oscillations RKKY (Ruderman-Kittel-Kasuya-Yosida) pour l’interaction d’´echange entre impuret´es magn´etiques localis´ees dans un m´etal. L’utilisation de cette constante di´electrique r´esoud par ailleurs tous les probl`emes de divergence qui ´etaient apparus jusque l` a, et conduit a ` des pr´edictions nouvelles et largement v´erifi´ees pour le gaz d’´electrons : Dispersion pr`es de kF et densit´e d’´etats : V (q) Le plus simple est de remplacer Vq par RP A (q) dans le calcul de la dispersion ˜k : 1 X Vq ˜k → k − nk+q V q RP A (q)

Pour q petit, RP A (q) = 1 +

2 qT F q2

⇒ ˜k ' k −

1 X 4πe2 nk+q V q q 2 + qT2 F

Dans la limite qT F >> kF , on peut montrer que ρ(F ) =

ρ0 (F ) 1+

16 mπe2 3 kF 5 3 qT F

>0

Quand qT F → 0 (pas d’´ecrantage), ρ(F ) → 0. Energie du fondamental : L’´energie d’interaction est donn´ee par < 0|H1 |0 > avec X 1 + 0 0 H1 = Vq c + k+qσ ck0 −qσ 0 ck σ ckσ 2Ω 0 | {z } 0 kk q6=0σσ

= −

1 2Ω

X

+ =−c+ k+qσ ck0 −qσ0 ckσ ck0 σ0

kk0 q6=0σσ 0

  + Vq c + k+qσ δσσ 0 δk0 −qk − ckσ ck0 −qσ 0 ck0 σ 0

=

1 2Ω

−

1 X Vq c + k+qσ ck+qσ 2Ω

=

X

kk0 q6=0σσ 0

+ Vq c + k+qσ ckσ ck0 −qσ 0 ck0 σ 0

kq6=0σ

1 X 1X N Vq ρ−q ρq − Vq 2Ω 2 Ω q6=0

q6=0

65

avec N le nombre d’´electrons. Or, d’apr`es la d´efinition de

1 

et la th´eorie de la r´eponse lin´eaire, on a :

1 = 1 + V (q)χρ−q ρq (ω) (~ q , ω) χρ−q ρq (ω) = lim

δ→0+

X  < n|ρ−q |0 >< 0|ρq |n > ω − ωn0 + iδ

n

−

< 0|ρ−q |n >< n|ρq |0 > ω + ωn0 + iδ



Mais 1 ω − ωn0 + iδ

Z

+∞

dωIm −∞



ω − ωn0 − iδ (ω − ωn0 )2 + δ 2   −δ 1 = ⇒ Im ω − ωn0 + iδ (ω − ωn0 )2 + δ 2 =

1 ω − ωn0 + iδ



 +∞ 1 ω − ωn0 = −δ Arctg δ δ −∞ = −π

Par ailleurs, comme ωn0 > 0, la fonction est piqu´ee autour de ωn0 > 0 quand δ→0     Z +∞ Z +∞ 1 1 ⇒ lim = lim dωIm dωIm δ→0 −∞ δ→0 0 ω − ωn0 + iδ ω − ωn0 + iδ De plus, comme ωn0 > 0, la fonction   1 Im ω + ωn0 + iδ est piqu´ee autour ω = −ωn0  Z +∞ ⇒ lim dωIm δ→0

0

1 ω + ωn0 + iδ



=0

Ainsi ⇒ lim+ δ→0

Z

+∞ 0

dωImχρ−q ρq (ω) = −π

X n

< 0|ρq |n >< n|ρ−q |0 >

= −π < 0|ρq ρ−q |0 >

= −π < 0|ρ−q ρq |0 >

d’o` u

4πe2 q2 Ω

Z

+∞

dωIm 0

Comme Eint

1 4π 2 e2 =− 2 < 0|ρ−q ρq |0 > (q, ω) q Ω

= < 0|

X 2πe2 q2

q

il vient finalement Eint

= −

X Z q

+∞

0

66

ρ−q ρq |0 > − < 0| dω Im 2π



1 (q, ω)



X 2πe2 q

+

q2 Ω

2πN e2 q2 Ω

N |0 > 

Si on utilise 4πe2 0 1 = 1 + χ (ω) 0 (q, ω) q 2 Ω ρ−q ρq pour calculer Eint , on retrouve le r´esultat Hartree-Fock. Par contre, si on utilise 1 = RP A (q, ω) 1−

1 4πe2 0 q 2 Ω χρ−q ρq (ω)

,

on arrive a ` un terme qui donne une correction au r´esultat Hartree-Fock pour l’´energie de corr´elation : RP A Ecorr = 0.062lnrs − 0.142 N

Ry.

(3.4)

Le probl`eme de la divergence du terme d’ordre 2 a ´et´e ´elimin´e en sommant une s´erie g´eom´etrique. On peut d´emontrer, dans le cadre d’une th´eorie de perturbation syst´ematique, que cela revient a ` sommer les contributions les plus divergentes a ` chaque ordre.

3.4.1

Discussion de quelques cons´ equences physiques

Lien avec l’´ ectrostatique des m´ etaux q2T F k2

ε1 (k, ω = 0) ' 1 +

quand k → 0

ε1 → +∞ quand (k → 0, ω = 0) ⇒ ´electrodynamique des m´etaux : ρ = 0, E = 0 (´ecrantage total). Ce n’est vrai que pour des fluctuations de fr´equence nulle et de grande longueur d’onde. Partie imaginaire ε2 (k, ω) est nul si ω est plus grand que la plus grande excitation ωn0 correspondant a ` un vecteur d’onde q. Pour q donn´e, ωn0 vaut : ~



(k + q)2 k2 − 2m 2m



=~



q2 k.q + 2m m



et k doit ˆetre occup´e. max(ωn0 ) = ~

min(ωn0 ) =

(



qkF q2 + 2m m



0 si q < 2kF (⇒ k = − qq q2 )   2 q − qkmF si q > 2kF ~ 2m 67

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               q    




2 Plasmons ε1 (k, ω) = 0 pour ω = ωk . Ceci correspond a ` ε(k, ω) = 0 si ωk est en dehors des excitations ´electron-trou. En faisant un d´eveloppement limit´e, on peut montrer que ε(k, ω) = 1 + avec

(

ωp2 =

ωp2 ωk2 − ωp2 − ω 2

4πne2 m

ωk = ω p 1 +

2 2 3 k vF 10 ωp2

+...



Pour cette fr´equence et ce vecteur d’onde, la r´eponse du syst`eme a ` une perturbation ext´erieure est infinie. En fait, si l’on s’int´eresse a ` la propagation d’onde ´electromagn´etique dans un m´etal, on peut d´emontrer qu’une oscillation de charge de vecteur d’onde k et de fr´equence ωk peut exister de fa¸con stationnaire dans le gaz d’´electrons. Ces oscillations sont typiques des plasmas (= m´elange neutre de charges positives et de charges n´egatives).

3.4.2

Lien avec le mod` ele de Drude de la constante di´ electrique

Consid´erons la r´eponse du gaz d’´electron a ` un champ ´electrique sinuso¨ıdal dans une approximation de temps de relaxation p dp = − − eE dt τ   o` u on choisit E(t) = Re E(ω)e−iωt . On cherche une solution sous la forme p(t) = Re p(ω)e−iωt

⇒ −iωp(ω) = − ⇒ p(ω) = 68




p(ω) − eE(ω) τ −eE(ω) 1 τ − iω

Or le courant est donn´e par j(t) = −nev = −

⇒ j(ω) =



ne2 m τ



nep m E(ω)

1 − iωτ

Soit j(ω) = σ(ω)E(ω) avec σ0 1 − iωτ

σ(ω) =

,

σ0 =

ne2 τ m

Or, il est facile d’´etablir une relation g´en´erale entre la constante di´electrique et la conductivit´e. En effet, j(ω) = σ(ω)E(ω) o` u j(ω) est le courant induit et E(ω) est le champ total. ⇒



∇.E = 4π(ρind + δρ) ∇.j = iωρind

σ(ω)4π(ρind + δρ) = iωρind   iω ρind soit δρ = −1 + 4πσ(ω) Or, d’apr`es la d´efinition de la constante di´electrique, ρtot = ρind + δρ = soit δρ = On en d´eduit : 1 ε

1 ε

1 δρ ε

1 ρind −1

1 iω = −1 + 4πσ(ω) −1

d’o` u ε=1+ Mais σ(ω) =

4πiσ(ω) ω

σ0 σ0 ' 1 − iωτ −iωτ

⇒ ε(ω) ' 1 −

si ω  τ

4πne2 1 4πσ0 = 1 − ω2 τ m ω2

ou encore ε(ω) = 1 −

ωp2 avec ω2 69

ωp2 =

4πne2 m

3.4.3

Plasmons

D’apr`es la d´efinition de la fonction di´electrique, ρtot (ω) =

1 δρ(ω) ε(ω)

Si ε → 0, une perturbation infinit´esimale peut conduire a ` un mode. En r´ealit´e, un mode peut exister ind´ependamment d’une perturbation ext´erieure.  ∇.j = − ∂ρ ∂t ⇒ ∇.j(ω) = iωρ(ω) ∇.E = 4πρ et j(ω) = σ(ω)E(ω) iωρ(ω) = σ(ω)4πρ(ω) Cette ´equation peut avoir une solution non nulle si iω = σ(ω)4π 4πiσ(ω) = 0 ⇔ ε(ω) = 0 ω iσ0 1 si ω  , σ(ω) = τ ωτ 4πσ0 ⇒1− 2 =0 ω τ

soit 1 +

ωp2 4πne2 2 = 0, ω = p ω2 m Autrement dit, si ω = ωp , il existe un mode du gaz d’´electrons correspondant a ` des fluctuations de charge. soit 1 −

Cons´equences physiques Pertes d’´energie d’´electrons a ` travers des films m´etalliques : on observe des pics d’absorption a ` la fr´equence ωp et a ` ses multiples. Propagation des ondes ´electromagn´etiques : ´etudions la possibilit´e qu’une onde ´electromagn´etique se propage sans changement de la densit´e : j(ω) 6= 0 mais ∇.j = 0 Les ´equations de Maxwell s’´ecrivent :  ∇.E = 0 ; ∇ × E = − 1c ∂B ∂t ∇.B = 0 ; ∇ × B = 4π c j+ rot(rotE) = grad divE | {z } −∆E = =0

soit

− ∆E =

iω c

70



1 ∂E c ∂t

iω rotB c

iω 4π j− E c c



soit

− ∆E =

Si ω  1+

1 τ

,

4πiσ ω



ω2 c2



1+

ωp2 4πiσ '1− 2 ω ω

1+

4πiσ E ω

> 0 si ω > ωp < 0 si ω < ωp

L’´equation est donc de la forme ∆E +

ω2 ε(ω)E = 0 c2

ε(ω) > 0 ⇒ E ∝ eik.r ,

k ∈ R3

⇒ propagation possible ε(ω) < 0 ⇒ E ∝ e−kz (z > 0) ⇒ ondes ´evanescentes

⇒ les m´etaux sont transparents pour ω > ωp , r´efl´echissant pour ω < ωp . M´etaux alcalins : λp ' 2000 ˚ A  λvisible . Les m´etaux sont transparents dans l’UV. Mod`ele “trivial” des plasmons Consid´erons un syst`eme de charges positives et n´egatives, et d´epla¸cons les charges n´egatives de d dans une certaine direction (voir figure 3.1). La densit´e de surface est ±nde, o` u n est la densit´e d’´electron. Le champ ´electrique a ` l’int´erieur de ce condensateur est E = 4πσx (CGS;

σ x en SI) ε0

Le gaz d’´electron est donc r´egi par l’´equation du mouvement : N md¨ = −N e4πσ = −4πN ne2 d 2

4πne d ⇒ d¨ = − m ⇒ oscillations de fr´equence ωp2 =

3.5

4πne2 m

Effet de r´ eseau : instabilit´ e

Jusqu’` a pr´esent, nous avons limit´e notre discussion au gaz d’´electrons dans un background homog`ene de charges positives. Mais en r´ealit´e, dans un solide les charges positives sont les ions aux noeuds d’un r´eseau. Pour discuter l’effet du 1 et ε10 : si l’on ´ecrit, par d´efinition r´eseau, revenons a ` la comparaison entre εRPA RPA de χρ−q ρq (ω), 1 = 1 + Vq χRPA ρ−q ρq (ω) RPA ε 71

+ + + + + +

_ _ _ _ _ _ _




 



x

 Fig. 3.1 –

et que l’on exprime εRPA en fonction de χ0ρ−q ρq (ω) : 1 1 = εRPA 1 − Vq χ0ρ−q ρq (ω) on trouve : 1 + Vq χRPA =

1 1 − V q χ0

⇒ (1 + Vq χRPA )(1 − Vq χ0 ) = 1 soit χRPA ρ−q ρq (ω) =

χ0ρ−q ρq (ω) 1 − Vq χ0ρ−q ρq (ω)

Cette formule est tr`es g´en´erale pour la fonction de r´eponse en interaction : χ=

χ0 1 − V χ0

o` u V d´ecrit la force du couplage. Cette expression peut conduire a ` des instabilit´es lorsque V χ0 = 1. Pour la susceptibilit´e de charge, cela ne se produit pas car V χ0 < 0. Par contre, si l’on fait un calcul pour la susceptibilit´e de spin χS + S − (q, ω), on trouve : χRPA +− (q, ω) =

χ0+− (q, ω) 1 − Vq χ0+− (q, ω)

o` u χ0+− (q, ω = 0) =

X nk − nk+q >0 Ek+q − Ek k

Pour le gaz d’´electron homog`ene, le d´enominateur est le plus divergent pour q = 0 ⇒ pas d’onde de densit´e de spin. Par contre, pour un mod`ele sur r´eseau, on peut avoir une instabilit´e pour q 6= 0. Consid´erons par exemple le mod`ele de Hubbard : χ0+− (q) χRPA (q) = +− 1 − U χ0+− (q) et calculons χ0+− (q) dans le cas d’un r´eseau cubique. La dispersion est donn´ee par : Ek = −2t(cos kx + cos ky + cos kz ) 72

On voit que si Q = (π, π, π), on a : Ek+Q = −Ek

(emboitement parfait)

Pla¸cons nous au demi-remplissage. Le niveau de Fermi est ´egal a ` z´ero. Donc si k est occup´e, k + Q est vide. ⇒ χ0+− (Q) = =

X

k occup´ es

Z

W/Z 0

1 −2Ek

ρ(ε)dε 2ε

Comme ρ(ε) → ρ(0) > 0 quand ε → 0, χ0+− (Q) a une divergence logarithmique. L’origine de cette divergence logarithmique vient du fait que pour Q = (π, π, π) et au demi-remplissqge le num´erateur nk − nk+Q est toujours ´egal a ` 1, alors que lorsque ces conditions ne sont pas remplies, il est nul sauf pour une petite r´egion dans la zone de Brillouin. Du coup, il y a une instabilit´e magn´etique de vecteur d’onde Q. Elle correspond a ` une onde de densit´e de spin  ni↑ = 12 + meiQ.ri ni↓ = 12 − meiQ.ri On retrouve un ´etat antiferromagn´etique.

73

Chapitre 4

Interaction ´ electrons-phonons 4.1

Introduction

Jusqu’` a pr´esent, nous avons consid´er´e que le r´eseau ´etait statique. En r´ealit´e, les ions sont anim´es de vibrations autour de leur position d’´equilibre. Ces vibrations ont des cons´equences directes sur les propri´et´es des solides (chaleur sp´ecifique, fusion, conductivit´e thermique) et des cons´equences indirectes via leurs effets sur les ´electrons, notamment la r´esistivit´e et l’interaction attractive qui conduit au ph´enom`ene de supraconductivit´e.

4.2

Phonons - Rappels

~ n,α = R ~n + R ~ α la position d’´equilibre d’un atome, o` ~n D´esignons par R u R ~ α la position a rep`ere la maille ´el´ementaire et R ` l’int´erieur de la maille ´el´ementaire, et appelons ~sn,α (t) le d´eplacement de cet atome par rapport a sa position d’´equilibre. L’´energie cin´etique s’´ecrit : T =

X Mα s˙ 2n,α,i , 2 n,α,i

n = 1 ,··· ,N ;

α = 1 , · · · , r ; i = x, y , z

o` u Mα est la masse de l’atome α dans la maille ´el´ementaire. D´esignons par ailleurs par V ({~sn,α }) l’´energie potentielle du syst`eme comme fonction des positions des ions. Si l’on s’interesse aux petits d´eplacements par rapport a ` la position d’´equilibre, on peut faire un d´eveloppement limit´e autour de cette position d’´equilibre. Si l’on se limite au second ordre, il vient : V ({~sn,α }) − V ({~o}) =

1 X X n0 ,α0 ,i0 sn,α,i sn0 ,α0 ,i0 φ 2 n,α,i 0 0 0 n,α,i n ,α ,i

avec 0 ,α0 ,i0 φnn,α,i

∂2V = ∂sn,α,i ∂sn0 ,α0 ,i0 ~sn,α =~o 74

Les vibrations dans le solide se ram`enent alors a ` un cas particulier du probl`eme g´en´eral des petites oscillations vu en m´ecanique analytique. En particulier, on peut se ramemer, via un changement de variables, a ` une collection d’oscillateurs harmoniques. Ces coordonn´ees s’appellent les coordonn´ees normales. Dans le cas des vibrations dans un solide, la p´eriodicit´e permet de simplifier l’analyse en faisant une transform´ee de Fourier. Le prix a ` payer est d’introduire des coordonn´ees complexes. Le Lagrangien du syst`eme est donc donn´e a ` une constante pr`es par : L=T −V =

X Mα 1 X X n0 ,α0 ,i0 s˙ 2n,α,i − φ sn,α,i sn0 ,α0 ,i0 2 2 n,α,i 0 0 0 n,α,i n,α,i n ,α ,i

Les ´equations de Lagrange pour la variable sn,α,i s’´ecrivent : d dt



∂L ∂ s˙ n,α,i

⇒ Mα¨sn,α,i = −



−

∂L =0 ∂sn,α,i

X

0

0

0

,α ,i φnn,α,i sn0 ,α0 ,i0

n0 ,α0 ,i0

On cherche les modes propres de ce syst`eme, c’est-` a-dire les solutions du type Sn,α,i (t) = √

1 un,α,i e−iωt Mα

Comme le syst`eme est lin´eaire, la partie r´eelle et la partie imaginaire seront ´egalement solution. Il vient : ω 2 un,α,i =

X

0

0

0

0

0

0

n ,α ,i Dn,α,i un0 ,α0 ,i0

n0 ,α0 ,i0

avec n0 ,α0 ,i0 Dn,α,i

,α ,i φnn,α,i =√ Mα Mα0

Les carr´es des fr´equences propres sont donc les valeurs propres de la matrice D. 0 ,α0 ,i0 sont des d´eriv´ees secondes. Or cette matrice est sym´etrique puisque les φnn,α,i Ses valeurs propres sont donc r´eelles. Par ailleurs, la condition de minimalit´e de l’´energie potentielle (et pas simplement d’extr´emalit´e) impose que ces valeurs propres soient positives. D´esignons par ωj > 0 la racine carr´ee de ωj2 . On a donc : 3×r×N

fr´equences propres

o` u 3 vient de i = x, y, z, r est le nombre d’atomes dans la maille ´el´ementaire et N le nombre de mailles ´el´ementaires dans le cristal. (j)

Le vecteur propre associ´e a ` ωj2 est not´e un,α,i .

75

Jusque l` a, le calcul est compl`etement g´en´eral. L’invariance par translation 0 ,α0 ,i0 ne d´epend que de n − n0 . Dans un tel cas, on du syst`eme implique que φnn,α,i peut chercher les solutions sous la forme ~

un,α,i = cα,i ei~q·Rn ⇒ ω 2 cα,i

=

XX

√

α0 ,i0 n0

=

X

0

1 Mα M

0

α0

0

~

~

,i i~ q ·(Rn0 −Rn ) cα0 ,i0 φα α,i e

0

α ,i Dα,i (~ q )cα0 ,i0

α0 ,i0

Pour chaque valeur de ~q, on a donc un syst`eme de 3r ´equations, ce qui conduit a ` 3r fr´equences propres : ωj (~ q ),

j = 1, · · · , 3r (j)

Le vecteur propre associ´e a ` ωj (~ q ) a 3r composantes eαi (~ q ). On l’´ecrit sou(j) vent comme r vecteurs a ` 3 composantes ~ei (~ q ). Ces vecteurs s’appellent les vecteurs polarisations. La solution finale pour le d´eplacement est donc une combinaison lin´eaire des d´eplacements. : ~s(j) q , t) = √ n,α (~ ⇒ sn,α,i (t) = √

1 N Mα

1 ~ ~e(j) q )ei(~q·Rn −ωj (~q)t) α (~ Mα X ~ Qj (~ q , t)e(j) q )ei~q·Rn α (~ j,~ q

Les quantit´es Qj (~ q , t) sont au nombre de 3rN (3r pour j, N pour ~q). On peut donc les consid´erer comme de nouvelles variables. Pour que les sn,α,i (t) soient r´eels, les Qj (~ q , t) doivent ˆetre complexes et satisfaire Q∗j (~ q , t) = Qj (−~ q , t) (j)

(j)

(on peut d´emontrer que ωj (−~ q) = ωj (~ q ) et choisir ~eα (−~ q ) = ~eα (~ q ). ) Par ailleurs, les vecteurs propres d’une matrice sym´etrique sont orthogonaux : X (j) (j 0 ) 0 eα,i (~ q )eα,i (~ q ) = δj,j 0 δ~q,~q0 α,i

A l’aide de ces relations on peut d´emontrer que le Lagrangien s’´ecrit :

L=

i 1 Xh ˙∗ Qj (~ q , t)Q˙ j (~ q , t) − ωj2 (~ q )Q∗j (~ q , t)Qj (~ q , t) 2 j,~ q

L’Hamiltonien se d´eduit par une transformation de Legendre : Pj (~ q , t) =

∂L = Q˙ ∗j (~ q , t) ˙ ∂ Qj (~ q , t) 76

⇒H =

 1 X ∗ Pj (~ q , t)Pj (~ q , t) + ωj2 (~ q )Q∗j (~ q , t)Qj (~ q , t) 2 j,~ q

Quantification : On postule, comme pour l’oscillateur harmonique, les relations de commutation habituelles entre les impulsions et positions des ions. Il en d´ecoule les relations de commutation suivantes pour les coordonn´ees normales : q 0 )] = i~δ~q,~q0 δj,j 0 [Qj (~ q ), Pj 0 (~ si on d´efinit, toujours par analogie avec l’oscillateur harmonique, les op´erateurs de cr´eation et d’annihilation par :  a + q) = √ j (~ aj (~ q) =

1 (ωj (~ q )Q∗j (~ q ) − iPj (~ q )) 2~ωj (~ q) 1 √ (ωj (~ q )Qj (~ q ) + iPj∗ (~ q )) 2~ωj (~ q)

Le Hamiltonien se met sous la forme   X 1 + H= ~ωj (~ q ) aj (~ q )aj (~ q) + 2 j,~ q

Les op´erateurs a+ q ), aj (~ q ) satisfont des r`egles de commutations bosoniques j (~ q )] = δj,j 0 δ~q,~q0 [aj (~ q ), a+ j (~ Les relations inverses donnant les positions et impulsions en fonction des aj (~ q ) et a+ q ) sont : j (~  q Qj (~ q ) + aj (~ q )) q ) = 2ωj~(~q) (a+ j (−~ q ~ωj (~ q) + P (~ (aj (~ q ) − aj (−~ q )) j q) = i 2

La forme de l’hamiltonien montre que le syst`eme se comporte comme un gaz de bosons. Discussion g´en´erale : Les courbes ωj (~ q ) s’appellent les relations de dispersion. Elles sont au nombre de 3r. Quand q~ → 0, toutes les mailles ´el´ementaires vibrent en phase. Si tous les atomes a ` l’int´erieur de la maille vibrent en phase, ωj (~ q ) doit tendre vers 0. Il y a 3 modes qui satisfont cette condition (d´eplacement global dans trois directions de l’espace). Ces modes s’appellent les modes acoustiques. Les 3r − 3 autres modes ne tendent pas vers 0. Ils s’appellent les modes optiques. La forme g´en´erale de la dispersion est donc : 77

Γ

Thermodynamique Le calcul de la chaleur sp´ecifique a ` basse temp´erature est totalement ´equivalent a ` celui des magnons dans les syst`emes antiferromagn´etiques, et il conduit a `: Cv ∼ T 3 A haute temp´erature, la chaleur sp´ecifique sature lorsque la temp´erature est sup´erieure a ` la plus grande fr´equence de phonon. Autres propri´et´es : Les succ`es de ce mod`ele harmonique ne doivent pas faire oublier ses ´echecs. En particulier, il est impossible de rendre compte de la dilatation thermique et de la conductivit´e thermique finie sans inclure des effets anharmoniques. Ils se traduisent en seconde quantification par des termes a ` 3 phonons, 4 phonons, etc ···

4.3

Interaction ´ electron-phonon :

L’interaction ´electron-phonon vient de l’interaction coulombienne qui s’´ecrit : X ~ i) Hel−ion = V (~rl − R l,i

~ i celle de l’ion, et du fait que R ~ n’est pas o` u ~rl est la position de l’´electron et R fix´e a sa position d’´equilibre mais peut effectuer de petites oscillations autour de sa position d’´equilibre. Avec les notations pr´ec´edentes, on ´ecrit : ~ n,α (t) = R ~ +R ~ +~s (t) R | n {z α} n,α ~ n,α R

78

~ i ), o` Si ~sn,α (t) est petit, on peut faire un d´eveloppement limit´e de Vα (~rl − R uV d´epend du site dans la maille ´el´ementaire : ~ n,α − ~sn,α ) = Vα (~rl − R ~ n,α ) − ~sn,α · ∇V ~ α (~rl − R ~ n,α ) Vα (~rl − R Le premier terme d´ecrit le mouvement des ´electrons dans le potentiel p´eriodique du cristal. Il est pris en compte par le th´eor`eme de Bloch. Le deuxi`eme terme d´ecrit l’interaction avec les vibrations du r´eseau. Si l’on reporte l’expression de ~sn,α en fonctions des coordonn´ees normales dans l’expression du Hamiltonien, il vient : Hel−ph = −

X

α,n,l

√

X 1 ~ α (~rl − R ~ n,α )ei~q·R~ n Qj (~ q )~e(j) q ) · ∇V α (~ N Mα j,~q

Pour exprimer ce Hamiltonien en seconde quantification, on proc`ede en 2 temps : – Pour la partie phonons, il suffit de remplacer Qj (~ q ) par son expression en fonction de aj et a+ : j Qj (~ q) =

s


~ a+ q ) + aj (~ q) j (−~ 2ωj (~ q)

– Pour la partie fermions, on utilise les r`egles de la seconde quantification, i.e. on calcul l’´el´ement de matrice de la partie de l’interaction qui d´epend des ~ α (~rl − R ~ n,α ) . Pour cela, il est utile de coordonn´ees ´electroniques, a ` savoir ∇V d´evelopper Vα en s´erie de Fourier : X ~ ~ quelconque car Vα (~r) n’est pas p´eriodique Vα (~r) = eiK~r Vα,K K ~ ~ K

~ α (~rl − R ~ n,α ) = ⇒ ∇V

X

~ ~ ~ eiK(~rl −Rn,α ) Vα,K ~ iK

~ K

Les ´el´ements de matrice de ce potentiel entre des ondes de Bloch s’´ecrivent : ~ α |k, σ >= < k 0 , σ 0 |∇V

X ~ K

~~ ~r 0 0 iK~ ~ e−iK Rn,α Vα,K |k, σ > ~ iK < k , σ |e

avec ~

< k 0 , σ 0 |eiK~r |k, σ >=

Z

~0

~

~

d~ru∗k0 (~r)uk (~r)ei(−k +K+k)~r δσ,σ0

Cette int´egrale est non nulle si et seulement si ~k 0 = K ~ + ~k + G ~ ~0

~

~

~ est un vecteur du r´eseau r´eciproque. En effet, ei(−k +K+k)~r doit avoir la o` uG mˆeme p´eriodicit´e que u∗k0 (~r)uk (~r), qui a la p´eriodicit´e du r´eseau.

79

~ n s’´ecrit : Par ailleurs, la somme sur R X X ~ ~ ~ ~~ ei(~q−K)Rn ei~qRn e−iK Rn = ~n R

~n R

~ = q~ + G ~ o` ~ est un vecteur du r´eseau Cette somme est nulle sauf si K u G r´eciproque. Ainsi, ~k et ~k 0 doivent ˆetre reli´es par ~k 0 = q~ + ~k + G ~ Mais ~k et ~k 0 doivent tous les deux appartenir a ` la premi`ere zone de Brillouin. ~ qui ram`ene ~k + q~ Ainsi, pour ~k et ~q donn´es, il existe un et un seul vecteur G dans la premi`ere zˆ one de Brillouin. On distingue donc deux types de processus : ~ = ~0). – Processus ”normaux” tels que ~k + q~ ∈ BZ (G ~ 6= ~0 et ~k 0 6= ~k + q~. – Processus ”Umklapp” tels que ~k + q~ ∈ / BZ ⇒ G Finalement, l’interaction s’´ecrit s X H = −

N~ 2Mα ωj (~ q) α,σ,~ k,~ q ,j Z i X h (j) ~0 0 ~ 0) Vα (~r0 )ei(~q+G )·~r d~r0 ~eα,~q .i(~ q+G × ~ G

Z

u~∗k+~q+G r )u~k (~r)d~r ~ (~ i h + × a+ q (j) c~ −~ q (j) + a~ ×

~ c~ k,σ k+~ q +G,σ

~ est tel que ~k + q~ + G ~ ∈ 1`ere ZB. o` uG

De fac¸con compacte, ce Hamiltonien s’´ecrit : i h X + ck,σ H= M (~k, ~k 0 , q~, j) a+ q (j) c~ −~ q (j) + a~ k0 ,σ ~ ~ k,~ k0 ,~ q ,j,σ

~ avec ~q = ~k 0 − ~k + G ( ~ = ~0 G ~ 6= ~0 G

4.4

pour les processus normaux pour les processus Umbslapp

L’interaction effective ´ electron-´ electron :

L’une des cons´equences de cette interaction est une contribution importante a ` la r´esistivit´e. Cela suppose que les ´electrons peuvent ˆetre d´ecrits par la distribution de Fermi-Dirac, autrement dit en supposant qu’on a essentiellement des ´electrons libres. 80

Mais les ions sont des particules charg´ees, et l’interaction ´electron-´electron doit ˆetre modifi´ee par leurs vibrations. Le calcul de l’interaction effective ´electron´electron en pr´esence de phonons peut ˆetre fait de deux points de vue ´equivalents : – Les phonons contribuent a ` la fonction di´electrique, ce qui provoque une modification de l’interaction ´electron-´electron. – Les ´electrons interagissent via l’´echange de phonons virtuels. Nous allons faire le calcul en adoptant le second point de vue. Le point de d´epart est le Hamiltonien d’interaction ´eelectron-phonon : i h X H= c~+ c~k,σ M (~ q ) a+ + a q ~ −~ q k+~ q ,σ

~ k,~ q ,σ

o` u pour simplifier nous ne consid´erons qu’une branche de phonon. On suppose par ailleurs que les ´electrons sont d´ecrits par un Hamiltonien du type : X Hel = ~k c~+ ck,σ k,σ ~ ~ k,σ

et que les phonons sont d´ecrits par le Hamiltonien Hph =

X q ~

1 ~ω~q(a+ q + ) q a~ ~ 2

Si les ´el´ements de matrice M~q sont petits, le gaz d’´electrons sera essentiellement d´ecrit par H0 plus une petite correction. Autrement dit, il doit ˆetre possible a priori de trouver un hamiltonien effectif qui se ram`ene a ` H0 quand les couplages M~q tendent vers 0. Ceci rappelle le calcul fait pour les isolants de Mott, o` u la th´eorie des perturbations d´eg´en´er´ees nous a conduit au mod`ele 2 de Heisenberg avec une constante de couplage J = 4tU d’ordre 2 dans le terme cin´etique. Dans le cas pr´esent, le point de d´epart n’est pas d´eg´en´er´e, et il faut recourir a ` une autre technique pour ´etablir la forme de l’hamiltonien effectif. Par d´efinition, un hamiltonien effectif est un hamiltonien qui doit avoir le mˆeme spectre de valeurs propres que l’hamiltonien original. Or il existe une fac¸on syst´ematique de g´en´erer des hamiltoniens ayant les mˆemes valeurs propres qu’un hamiltonien donn´e connue sous le nom de transformation canonique. Transformation canonique : Une transformation canonique est une transformation unitaire du Hamiltonien et des vecteurs de l’espace de Hilbert qui ne modifie pas le spectre : ˆ → U HU ˆ −1 H |Ψ > → U |Ψ > 81

avec U + = U −1 . Les propri´et´es suivante sont alors v´erifi´ees : 1) Le nouvel hamiltonien est hermitique. En effet, ˆ −1 )+ = (U −1 )+ HU ˆ + = U HU ˆ −1 CQFD (U HU ˆ avec la valeur propre E, alors U |Ψ > est 2) Si |Ψ > est ´etat propre de H −1 ˆ ´etat propre de U HU avec la mˆeme valeur propre. En effet, ˆ −1 U |Ψ >= U H|Ψ ˆ >= U E|Ψ >= EU |Ψ >. U HU La propri´et´e U + = U −1 est satisfaite par les op´erateurs de la forme : U = eiS si S est hermitienne. En effet,

+

U + = (eiS )+ = e−iS = e−iS = (eiS )−1 Le transform´e de l’hamiltonien peut s’´ecrire comme un d´eveloppement a ` base de commutateurs : ˆ −iS eiS He

= =

2 ˆ +··· ˆ + i[S, H] ˆ + i [S, [S, H]] H 2! ∞ n X i ˆ+ ˆ H [S, [S, · · · [S, H]]] n! n=1

D´emonstration : ˆ On d´efinit l’op´erateur H(λ) par : ˆ ˆ −iλS H(λ) ≡ eiλS He Alors ˆ dH(λ) dλ ˆ d2 H(λ) dλ2

−iλS ˆ −iλS + eiλS H(−iS)e ˆ = iSeiλS He

ˆ = i[S, H(λ)] ˆ dH(λ) ˆ = i[S, ] = i2 [S, [S, H(λ)]] dλ

ˆ Si H(λ) poss`ede un d´eveloppement en puissances de λ, il s’´ecrit donc : i2 ˆ ˆ + iλ[S, H(0)] ˆ ˆ H(λ) =H + λ2 [S, [S, H(0)]] +··· 2! ˆ ˆ on trouve le En appliquant cette formule a ` λ = 1, et vu que H(0) = H, d´eveloppement cherch´e.

82

Revenons au probl`eme initial. On cherche une description du gaz d’´electrons en interaction avec les phonons qui ne contienne plus de terme d’ordre 1 en M~q, et qui contienne des termes purement ´electroniques d’ordre 2. D’apr`es le d´eveloppement : ˜ = H + i[S, H] − 1 [S, [S, H]] H 2! une condition n´ecessaire est que S satisfasse les deux crit`eres suivants : – Il est d’ordre 1 en M~q – Il est tel que [S, H] annule Hel−ph au premier ordre. Pour trouver la solution de i[S, Hel + Hph ] = −Hel−ph commen¸cons par calculer le commutateur d’un terme de Hel−ph avec Hel + Hph . + + + [a+ ck , c+ ck , c+ l cl ] = a−~ l cl ] −~ q c~ q [c~ k+~ q ~ k+~ q ~ n   + = a+ c~k c~+ c~k − c~+ c~k c~+ c~k −~ q δ~ k,l c~ k+~ q k k k+~ q o  + + + + δ~k+~q,l c~ c~k c~ c~k+~q − c~ c~k+~q c~+ c~k k+~ q k+~ q k+~ q k+~ q n o + + + = a−~q δ~k,l c~ c~k − δ~k+~q,l c~ c~k k+~ q

+ ⇒ [a+ c~k , Hel ] −~ q c~ k+~ q

k+~ q

+ = a+ c~k −~ q (~ k − ~ k+~ q )c~ k+~ q

De mˆeme, [a~qc~+ c~k , Hel ] k+~ q

= a~q (~k − ~k+~q )c~+ c~k k+~ q

Par ailleurs, + + [a+ −~ q , a~ a~ q k ] = −δ~ k,−~ q a−~ k

+ ⇒ [a+ q a−~ −~ q , Hph ] = −~ω−~ q

De mˆeme, [a~q , a~+ a~k ] = δ~k,~qa~q k

⇒ [a~q , Hph ] = ~ω~qa~q Finalement, + + [a+ c~k , Hel + Hph ] = (~k − ~k+~q − ~ω~q )a+ c~k −~ q c~ −~ q c~ k+~ q

k+~ q

83

[a~q c~+ c~k , Hel + Hph ] = (~k − ~k+~q + ~ω~q)a~q c~+ c~k k+~ q

k+~ q

La solution de l’´equation [S, Hel + Hph ] = iHel−ph s’´ecrit donc S

= i

X

M~q a + c+ c~ ~k − ~k+~q − ~ω~q −~q ~k+~q,σ k,σ

X

~k − ~k+~q + ~ω~q

~ k,~ q ,σ

+ i

~ k,~ q ,σ

M~q

a~q c~+

ck,σ k+~ q ,σ ~

(on a rajout´e le spin a ` la fin du calcul). L’op´erateur S satisfait les deux conditions recherch´ees. Les premiers termes en M~q sont alors d’ordre 2. Ils sont donn´es par : i

1 [S, Hel−ph ] − [S, [S, Hel + Hph ]] 2 | {z } iHel−ph

=

i 1 S [S, Hel−ph ] = [Hel−ph , ] 2 2 i

Il nous reste donc a ` calculer le commutateur [S, Hel−ph ]. D’apr`es la forme de S et de Hel−ph , le terme g´en´erique de ce commutateur s’´ecrit : + + ck,σ ck0 ,σ0 c~+ a+ q 0 c~ ±~ q a±~ k+~ q ,σ ~ k0 +~ q 0 ,σ 0 ~

Comme notre objectif est de d´eterminer l’interaction effective entre ´electrons, nous n’allons garder que les termes qui ne font intervenir que des op´erateurs fermioniques. Les autres termes ont une valeur moyenne nulle dans le vide de phonons et ne contribuent pas a ` la limite T → 0. Ecrivons Hel−ph

=

X

~ k1 ,~ q1 ,σ1

+

X

+ M~q1 a+ −~ q1 c~ k +~ q 1

=

X

~ k2 ,~ q2 ,σ2

+

X

~ k2 ,~ q2 ,σ2

c~k1 ,σ1

M~q1 a~q1 c~+

ck1 ,σ1 k1 +~ q1 ,σ1 ~

~ k1 ,~ q1 ,σ1

S i

1 ,σ1

M~q2 ~k2 − ~k2 +~q2 − ~ω~q2

+ a+ −~ q2 c~

ck2 ,σ2 k2 +~ q2 ,σ2 ~

M~q2 a~q c+ c~ ~k2 − ~k2 +~q2 + ~ω~q2 2 ~k2 +~q2 ,σ2 k2 ,σ2 84

Deux termes vont conduirent a ` l’expression qui ne d´epend pas de (a+ , a) : + [a+ −~ q1 c~ k +~ q

1 ,σ1

1

+ = a+ q1 c~ −~ q1 a−~

c~k1 ,σ1 , a−~q1 c~+ k −~ q

1 ,σ2

2

c~k2 ,σ2 ]

ck1 ,σ1 c~+ ck2 ,σ2 k1 +~ q1 ,σ1 ~ k2 −~ q1 ,σ2 ~ + ck2 ,σ2 c~+ ck1 ,σ1 a−~q1 a+ −~ q1 c~ k2 −~ q1 ,σ2 ~ k1 +~ q1 ,σ1 ~

−

|

{z

}

1+a+ a−~ q1 −~ q 1

+ = a+ q1 [c~ −~ q1 a−~

ck1 ,σ1 , c~+ ck2 ,σ2 ] k1 +~ q1 ,σ1 ~ k2 −~ q1 ,σ2 ~

− c~+

ck2 ,σ2 c~+ ck1 ,σ1 k2 −~ q1 ,σ2 ~ k1 +~ q1 ,σ1 ~

De mˆeme, [a~q1 c~+ k +~ q

1 ,σ1

1

+ = a+ q1 [c~ q1 a ~ ~

+ c~k1 ,σ1 , a+ q1 c~ ~ k −~ q 2

1 ,σ2

c~k2 ,σ2 ]

ck1 ,σ1 , c~+ ck2 ,σ2 ] k1 +~ q1 ,σ1 ~ k2 −~ q1 ,σ2 ~

(2)

⇒ Hef f

=

1 2

ck1 ,σ1 c~+ ck2 ,σ2 k1 +~ q1 ,σ1 ~ k2 −~ q1 ,σ2 ~

M~q2

X

~k2 − ~k2 −~q + ~ω~q

~ k1 ,~ k2 ,~ q ,σ1 ,σ2

M~q2

+

+ c~+

~k2 − ~k2 −~q −

(−c~+ ck2 ,σ2 c~+ ck1 ,σ1 ) k −~ q ,σ ~ k +~ q ,σ ~ 2

2

(c+ c~ c+ c~ ) ~ω~q ~k1 +~q,σ1 k1 ,σ1 ~k2 −~q,σ2 k2 ,σ2

1

1

!

Si on r´earrange les op´erateurs cr´eation et annihilation pour les mettre dans le mˆeme ordre (les termes d’ordre c+ c g´en´er´es au passage peuvent ˆetre inclus dans ~k ), il vient : (2)

Hef f

=

1 2

X

V~k2 ,~q c~+

ck1 ,σ1 c~+ ck2 ,σ2 k1 +~ q ,σ1 ~ k2 −~ q ,σ2 ~

~ k1 ,~ k2 ,~ q ,σ1 ,σ2

avec V~k2 ,~q

= M~q2 = M~q2

1 ~k2 − ~k2 −~q − ~ω~q

−

2~ω~q (~k2 − ~k2 −~q )2 − (~ω~q)2

1 ~k2 − ~k2 −~q + ~ω~q

!

Finalement, l’hamiltonien effectif se met sous la forme : (2)

Hef f

=

1 2

X

~ k,~ k0 ,~ q ,σ,σ 0

ck0 ,σ0 c~k,σ c+ V~k,~qc~+ k0 −~ q ,σ 0 ~ k+~ q ,σ ~

avec V~k,~q = M~q2

2~ω~q (~k − ~k+~q)2 − (~ω~q )2

Mais V~k,~q < 0 si |~k − ~k+~q| < ~ω~q ! Il y a une attraction effective entre les ´electrons qui ont des ´energies voisines. Autrement dit, l’interaction ´electron-phonon conduit a ` une modification 85

qualitative de l’interaction ´electron-´electron. Cette interaction est importante d`es que les ´enegies sont proches, pas les impulsions. Du coup, elle l’emporte sur l’interaction coulombienne d`es que q~ n’est pas petit puisque l’interaction coulombienne, qui est en 1/q 2 , n’est importante que pour les petits transferts d’impulsion. L’image physique simple de cette attraction est la suivante : lorsqu’un ´electron circule dans le r´eseau, il attire les ions. Apr`es son passage, il y a un exc`es de charges positives. Cet exc`es de charges positives exerce une attraction sur les autres ´electrons du cristal.

86

Chapitre 5

Supraconductivit´ e 5.1

Introduction

La supraconductivit´e est sans doute le ph´enom`ene le plus remarquable jamais observ´e dans les solides. L’aspect le plus spectaculaire est sans doute l’absence rigoureuse de r´esistance en dessous d’une certaine temp´erature. Au vu de l’effet des phonons sur le transport, l’absence d’une contribution en T 5 a ` la resistivit´e implique qu’une des hypoth`eses de d´epart n’est plus valable en-dessous d’une certaine temp´erature. L’id´ee qui a fini par s’imposer est que le gaz d’´electron subit une transition de phase vers un autre ´etat qui n’est plus d´ecrit par une mer de Fermi, mais par un condensat de Bose de paires d’´electrons qui apparaissent du fait de l’attraction effective entre ´electrons due a ` l’interaction ´electron-phonon. Le point de d´epart est donc l’hamiltonien effectif ´etabli au chapitre pr´ec´edent. Pour simplifier, on l’´ecrit : (2)

Hef f

= − si

(2)

Hef f

V 2N

X

~ k,~ k0 ,~ q ,σ,σ 0

c~+

ck0 ,σ0 c~k,σ c+0 k+~ q ,σ ~ k −~ q ,σ 0 ~

,

V >0

|~k+~q − F |, |~k − F |, |~k0 −~q − F |, |~k0 − F | < ~ωD

= 0

sinon

Autrement dit, on suppose qu’il y a une attraction entre tous les ´electrons qui sont proches de la surface de Fermi, et qu’il n’y a pas d’interaction ´electron´electron sinon. Si l’on consid`ere le cas de deux ´electrons en pr´esence d’une mer de Fermi (voir exercice), on peut d´emontrer qu’il apparaˆıt un ´etat li´e correspondant a ` une paire d’´electrons. Mais une paire d’´electrons se comporte plus ou moins comme un boson. En particulier, l’antisym´etrisation de la fonction d’onde, qui impose de travailler avec des fonctions d’onde toutes diff´erentes si l’on veut construire une fonction d’onde a ` N ´electrons a ` partir de fonctions d’onde a ` 1 ´electron, autorise a ` utiliser N2 fois la mˆeme fonction d’onde de paire : l’antisym´etrisation n’annule pas le r´esultat.

87

L’analogie entre la transition supraconductrice et la condensation de BoseEinstein est manifeste : le nouveau fondamental doit correspondre a ` un ´etat condens´e de paires (dites paires de Cooper). Une fois qu’on a accept´e cette id´ee, la difficult´e que l’on rencontre est d’ordre technique : comment travailler avec une fonction d’onde qui n’est pas un d´eterminant de Slater ou une combinaison simple de d´eterminants de Slater ? Par analogie avec la condensation de Bose-Einstein, les seules m´ethodes simples sont bas´ees sur des fonctions d’onde a ` nombre de particules non-fix´e. – La fonction d’onde BCS (Bardeen - Cooper - Schrieffer) – L’´equation du mouvement

5.2

La m´ ethode de l’´ equation du mouvement

Bien qu’historiquement le premier calcul soit dˆ ua ` BCS, nous allons exposer la m´ethode de l’´equation du mouvement car elle reste tr`es proche dans l’esprit du calcul Hartree-Fock. En repr´esentation Heisenberg, l’´equation du mouvement d’un op´erateur s’´ecrit :

i

∂ OH = [OH , H] ∂t

L’´equation du mouvement c~+ s’´ecrit donc : k,σ

ic˙~+ k,σ

= [c~+ , H0 ] + [c~+ , H1 ] k,σ

k,σ

avec H0 = ⇒

X

~ k + [c~k,σ , H0 ]

~k c~+ c~k,σ

) = −c~+ ck,σ c~+ = ~k (−c~+ k,σ k,σ k,σ ~

[c~+ , H1 ] = − k,σ

(~k = ~0k − µ!)

k,σ

V X + c~ c+0 c+0 0 k+~ q ,σ ~ k −~ q ,σ 0 ~ k ,σ N ~ k0 ,~ q ,σ 0

On a donc V X + c~ c+0 ck0 ,σ0 k+~ q ,↑ ~ k −~ q ,σ 0 ~ N

ic˙~+

= −~k c~+ −

ic˙~+ k,↓

V X + ck0 ,σ0 c~k+~q,↓ c~+ − = −~k c~+ k0 −~ q ,σ 0 ~ k,↓ N

k,↑

k,↑

~ k0 ,~ q ,σ 0

~ k0 ,~ q ,σ 0

De mˆeme, [c−~k,σ , H0 ] = c−~k,σ 88

V X c~k0 −~q,σ0 c−~k+~q,σ c~k0 ,σ0 N

[c−~k,σ , H1 ] =

~ k0 ,~ q ,σ 0

et donc ic˙−~k,↑

= ~k c−~k,↑ +

ic˙−~k,↓

= ~k c−~k,↓ +

V X + c~k0 ,σ0 c~k0 −~q,σ0 c−~k+~q,↑ N ~ k0 ,~ q ,σ 0

V X + c~ 0 0 c~k0 −~q,σ0 c−~k+~q,↓ k ,σ N ~ k0 ,~ q ,σ 0

Dans l’approximation de Hartree-Fock, on a lin´earis´e une ´equation ´equivalente. Mais si le fondamental de r´ef´erence est la mer de Fermi, seules les combinaisons du type < c+ c > peuvent avoir une valeur non nulle. Dans le cas de la supraconductivit´e, cette hypoth`ese est a priori fausse, et d’autres combinaisons peuvent ˆetre envisag´ees. En particulier, guid´es par les propri´et´es de la condensation de Bose-Einstein, on peut supposer que des valeurs moyennes du type < c+ c+ > sont non nulles. Guid´es par le calcul de Cooper, qui pr´evoit que l’´etat de plus basse ´energie est une paire d’impulsion totale nulle et de spin total ´egal a ` z´ero, on va donc supposer que < c~+ c+ >6= 0 dans le k,σ ~ k,σ fondamental, et que toutes autres valeurs moyennes sont nulles. On pose ∆~k =

V X < c−~k−~q,↓ c~k+~q,↑ > N q ~

et on en retient que ces termes dans la factorisation des ´equations du mouvement : V X c+k−~q,↓ > c−~k,↓ < c~+ k+~ q ,↑ −~ N

ic˙~+ k,↑

− = −~k c~+ k,↑

ic˙~+ k,↓

V X − = −~k c~+ c+k+~q,↑ > c−~k,↑ < c~+ k,↓ k−~ q ,↓ −~ N

q ~

q ~

V X < c~k−~q,↓ c−~k+~q,↑ > c~+ k,↓ N

ic˙−~k,↑

= ~k c−~k,↑ +

ic˙−~k,↓

V X = ~k c−~k,↓ + < c~k+~q,↑ c−~k−~q,↓ > c~+ k,↑ N

q ~

q ~

N.B. : Dans les deux ´equations interm´ediaires, on a chang´e q~ en −~ q dans la 89

sommation sur q~ par rapport aux ´equations du mouvement initiales. V X < c~+ c+ > = ∆~∗k k+~ q ,↑ −~ k−~ q ,↓ N q~

V X < c~+ c+ > = −∆∗−~k k−~ q ,↑ k+~ q ,↓ −~ N q~

V X < c~k+~q,↓ c−~k−~q,↑ > = ∆−~k N q~

V X < c~k+~q,↑ c−~k−~q,↓ > = −∆~k N q~

⇒ ic˙~+

k,↑

ic˙−~k,↓ ⇒ ic˙+~

−k,↓

ic˙~k,↑

= −~k c~+ − ∆~∗k c−~k,↓ k,↑

= ~k c+~ − ∆~k c~+ −k,↓

k,↑

= −~k c+~ + ∆~∗k c~k,↑ −k,↓

= ~k c~k,↑ + ∆~k c+ −~ k,↓

N.B. : Ces ´equations ne sont valables que si |~k −F | < ωD ; si |~k −F | > ωD , ∆ doit ˆetre remplac´e par 0. Ce probl`eme est formellement identique a ` celui du calcul des ondes de spin dans un syst`eme AF, et la solution est tout a ` fait analogue. On proc`ede en 3 ´etapes : – a) Transformation de Bogolioubov pour diagonaliser l’hamiltonien – b) Calcul du fondamental de ce hamiltonien + – c) Calcul des valeurs moyennes < c+ equations self-consistantes k c−k > ⇒ ´ pour le gap.

a) Transformation de Bogolioubov : Consid´erons les ´equations relatives a ` c~+ et c−~k,↓ , et cherchons des op´erateurs k,↑ A tels que : iA˙ = −EA

(⇒ A(t) = eiEt A(0))

On cherche A sous la forme A = uc~+ − vc−~k,↓ k,↑

⇒ i(uc˙~+ − v c˙−~k,↓ ) = −E(uc~+ − vc−~k,↓ ) k,↑

k,↑

) − ∆~∗k c−~k,↓ ) − v(~k c−~k,↓ − ∆~k c~+ u(−~k c~+ k,↑ k,↑

= −E(uc~+ − vc−~k,↓ ) k,↑

90

( −u~k + v∆~k = −Eu ⇒ −∆~∗k u − v~k = Ev (

(E − ~k )u + ∆~k v = 0 −∆~∗k u − (E + ~k )v = 0

⇒ −(E 2 + ~2k ) + |∆~k |2 = 0 q ⇒ E~± = ± ~2 + |∆~k |2 k

k

Les coefficients associ´es satisfont ( (E~+ − ~k )u~k+ + ∆~k v~k+ = 0 k

−∆~∗k u~k− − (E~k− + ~k )v~k− = 0

1`ere´eq. 2`eme´eq.

On peut donc choisir (

∗ u~k− = −v~k+

v~k− = u~∗k+

Avec les notations habituelles, on appelle α~+ l’op´erateur associ´e a ` E~+ et k,↑

k

α−~k,↓ l’op´erateur associ´e a ` E~− . Par ailleurs, on pose k

α~+ k,↑

= u~k,↑ c~+ − v~k,↑ c−~k,↓ k,↑

On a donc : α−~k,↓

∗ = u~∗k,↑ c−~k,↓ + v~k,↑ c~+ k,↑

Si l’on consid`ere maintenant les ´equations pour c+~ et c~k,↑ , on peut faire −k,↓ le mˆeme raisonnement et ´ecrire les solutions α+~

−k,↓

α~k,↑

= u−~k,↓ c+~ − v−~k,↓ c~k,↑ −k,↓

∗ = u∗−~k,↑ c~k,↑ + v− c+k,↓ ~ k,↓ −~

D’apr`es les ´equations du mouvement, u−~k,↓ et v−~k,↓ satisfont les mˆemes ´equations que u~k,↑ et v~k,↑ en changeant ∆~k en −∆~k . On peut donc choisir : ( u−~k,↓ = u~k,↑ v−~k,↓ = −v~k,↑ Les ´energies sont par ailleurs les mˆemes. Dans ces conditions, on trouve que α+~ est le conjugu´e hermitique de α−~k,↓ . −k,↓ En effet (α−~k,↓ )+

+ v~k,↑ c~k,↑ = u~k,↑ c+ −~ k,↓

= u−~k,↓ c+~ − v−~k,↓ c~k,↑ = α+~ −k,↓

91

−k,↓

De mˆeme, (α~+ )+

∗ = u~∗k,↑ c~k,↑ − v~k,↑ c+~

k,↑

u∗−~k,↓ c~k,↑

=

+

−k,↓ ∗ v−~k,↓ c+~ −k,↓

= α~k,↑

On a donc trouv´e quatre combinaisons lin´eaires conjugu´ees qui sont op´erateurs stationnaires de l’hamiltonien, avec des ´energies oppos´ees deux a ` deux. Calculons maintenant l’anticommutateur : o o n n ∗ c+~ = u~k,↑ c~+ − v~k,↑ c−~k,↓ , u~∗k,↑ c~k,↑ − v~k,↑ α~+ , α~k,↑ k,↑

k,↑

= |u~k,↑ |2 + |v~k,↑ |2

−k,↓

Si l’on impose la condition de normalisation |u~k,↑ |2 + |v~k,↑ |2 = 1 on a des op´erateurs de fermions, et l’hamiltonien s’´ecrit : H=

X ~ k

E~+ (α~+ α~k,↑ + α+~ α−~k,↓ ) + C te k

k,↑

−k,↓

Pour la suite, sauf ambigu¨ıt´e, on adoptera les notations compactes : u~k v~k α~+ k α~k α+~ −k α−~k

E~k

≡ u~k,↑ ≡ v~k,↑

≡ α~+ k,↑ ≡ α~k,↑

≡ α+~ −k,↓ ≡ α−~k,↓

≡ E~+ > 0 k

Sauf mention contraire, on supposera par ailleurs que u~k et v~k sont r´eels, ce qui est possible si ∆~k est r´eel. Les coefficients u~k et v~k satisfont les ´equations : (

(E~k − ~k )u~k + ∆~k v~k = 0 −∆~k u~k − (E~k + ~k )v~k = 0

et la condition de normalisation. Mais, (

u~2k + v~k2 = 1 v~k =

−∆~k k E~k +~k u~

92

⇒

u~2k

1+

⇒ u~2k = =

∆~2k (E~k + ~k )2

!

=1

1 1+

∆~2 k (E~k +~k )2

(E~k + ~k )2 (E~k + ~k )2 + ∆~2

k

= =

(E~k + ~k )2 2E~2 + 2E~k ~k k  ~k 1 1+ 2 E~k

De mˆeme v~k2 = 1 − u~2k =

1 2



1−

~k E~k



b) Fondamental En fonction de op´erateurs α~+ , α~k , l’hamiltonien effectif obtenu apr`es d´ecouk plage a ` l’aide des param`etres d’ordre < c~+ c+~ > et < c~k,↑ c−~k,↓ > s’´ecrit : k,↑ −k,↓

H=

X ~ k

α k ) + C te αk + α + E~k (α~+ −~ k −~ k ~

Comme E~k > 0, le fondamental correspond au vide des particules α~+ , i.e. il doit k ˆetre tel que α~k |φ0 >= 0 α−~k |φ0 >= 0 pour tout ~k. Si on appelle |0 > le vide des particules c~+ , l’´etat k,σ

Y ~ k

α~k α−~k |0 >

satisfait cette condition puisque les α~k sont des fermions.

93

Mais Y α~k α−~k |0 > ~ k

Y

=

~ k

Y

=

~ k

Y

=

~ k

Y

=

(u~k c~k − v~k c+~ )(u~k c−~k + v~k c~+ )|0 > −k

k

(u~2k c~k c−~k + u~k v~k c~k c~+ − v~k u~k c+~ c−~k − v~k2 c+~ c~+ )|0 > k

−k

−k k

(u~k v~k + v~k2 c~+ c+k )|0 > k −~ v~k (u~k + v~k c~+ c+~ )|0 > k −k

~ k

Par ailleurs, il faut normaliser cette fonction d’onde : Y ⇒ < 0| α+~ α~+ α~k α−~k |0 > −k

~ k

=

< 0|

Y ~ k

=

< 0|

Y ~ k

=

Y

k

v~k2 (u~k + v~k c−~k c~k )(u~k + v~k c~+ c+~ )|0 > k −k

v~k2 (u~2k + v~k2 c−~k c~k )c~+ c+k |0 > k −~

v~k2 (u~2k

+ v~k2 ) = v~k2

~ k

⇒ |φ0 >=

Y

(u~k + v~k c~+ c+~ )|0 > k −k

~ k

c) Equations self-consistentes On constate que ce fondamental est tr`es diff´erent d’une mer de Fermi. En particulier, il m´elange des ´etats ayant des nombres de particules diff´erents. C’est pour cela que des valeurs moyennes telles que < c~+ c+~ > peuvent ˆetre k −k non nulles. Calculons maintenant ∆~k =

V X < c−~k−~q c~k+~q > N q ~

Comme la somme est limit´ee a ` |~k+~q − F | < ωD d’apr`es la forme simplifi´ee de l’interaction choisie par BCS, ∆~k ne d´epend pas de ~k. Par ailleurs, < c−~k c~k > =

Y l

+ < 0|(ul + vl c−l cl )c−~k c~k (ul + vl c+ l c−l )|0 >

c+k |0 > = < 0|u~k c−~k c~k v~k c~+ k −~ = u~k v~k 94

⇒∆=

V X u~k v~k N ~ k

Mais v u ~2 ∆ 1 1u u~k v~k = t1 − k2 = q 2 E~ 2 2 + ∆2 k

⇒∆=

~ k

X 1 V q ∆ 2 2N  + ∆2 ~ k

~ k

Il y a bien sˆ ur la solution ∆ = 0 qui correspond a ` l’´etat normal. Mais cette ´equation poss`ede aussi une solution non nulle : 1 V X q 1 = 2N ~2 + ∆2 ~ k k Z V 1 1 = d() √ d 2 2  + ∆2 Cette int´egrale est limit´ee a ` des ´energies proches de F (` a une distance au maximum de l’ordre de ωD ) pour lesquelles g() ' g(F ) Z +ωD 1 V √ 1 ' g(F ) d 2 2  + ∆2 −ωD i+ωD h p V g(F ) ln( + 2 + ∆2 ) 1 ' 2 −ωD " # p 2 ωD + ω D + ∆ 2 V p g(F )ln 1 ' 2 + ∆2 2 −ωD + ωD Supposons ∆ petit par rapport a ` ωD (` a v´erifier a posteriori)   ∆2 ω + ω (1 + 2 D D V 2ωD  g(F )ln  1 ' ∆2 2 2ωD  2 V 4ωD 1 ' g(F )ln 2 ∆2   V 2ωD 1 ' g(F )2ln 2 ∆   2ωD 1 = ln V g(F ) ∆ −1

⇒ ∆ = 2ωD e V g(F ) Remarque : Le param`etre ∆ n’admet pas de d´eveloppement en puissance de V,. Du coup, les calculs simplement perturbatifs ne sont pas applicables. La m´eQ thode originale de BCS consiste a ` supposer que le fondamental est de la forme ~k (u~k + v~k c~+ c+~ )|0 >, et a ` minimiser l’´energie par rapprt a ` u~k et v~k . k −k Cette m´ethode variationnelle conduit aux mˆemes r´esultats. 95

5.3

Interpr´ etation des r´ esultats :

Nous avons d´emontr´e qu’il existait une autre solution du type ”Hartree-Fock” des ´equations du mouvement. Pour comprendre les implications physiques de l’existence de cette nouvelle solution, il faut : a) Comparer son ´energie aux autres solutions. b) Donner une interpr´etation physique a ` la fonction d’onde . c) Extraire de la solutions les excitations ´el´ementaires et le comportement a ` temp´erature finie. Energie de condensation : Si l’on revient a ` l’hamiltonien de d´epart, H=

X ~ k,σ

~k c~+ ck,σ − k,σ ~

V 2N

X

~ k,~ k0 ,~ q ,σ,σ 0

c~+ c+ k+~ q ,σ ~ k0 −~ q ,σ 0

(5.1)

le d´ecouplage < c~+ c+k,↓ > ne retient que les termes k 0 = −k, σ 0 = σ dans k,↑ −~ la somme. Ceci nous conduit a ` l’hamiltonien r´eduit (aussi appel´e hamiltonien BCS) : Hr´ed =

X ~ k,σ

~k c~+ c~k,σ − k,σ

V X + + c~ c ~ c−~k0 ,↓ c~k0 ,↑ k,↑ −k,↓ N ~ k,~ k0

o` u l’on a remplac´e la somme sur σ par un facteur 2. Le d´ecouplage champ moyen s’´ecrit : c~+ c+~ c−~k0 ,↓ c~k0 ,↑ '< c~+ c+~ k,↑ −k,↓

k,↑ −k,↓

> c−~k0 ,↓ c~k0 ,↑ + c~+ c+~

k,↑ −k,↓

< c−~k0 ,↓ c~k0 ,↑ > − < c~+ c+~

k,↑ −k,↓

Or, si on choisit ∆ r´eel, 1 X ∆ 1 X + >= c < c~+ < c−~k,↓ c~k,↑ >= ~ − k,↓ k,↑ N N V ~ k

⇒ HCM =

~ k

X ~ k,σ

~k c~+ c~k,σ − ∆ k,σ

X ~ k

(c~+ c+~ + c−~k,↓ c~k,↑ ) + k,↑ −k,↓

N ∆2 V

Pour trouver l’´energie du ifndamental, inversons la transformation de Bogo: lioubov pour exprimer HCM a ` l’aide des α~+ k,σ

(

α~+ = u~k c~+ − v~k c−~k,↓ k,↑

k,↑

α−~k,↓ = u~k c−~k,↓ + v~k c~+

k,↑

⇒

  + v~k α−~k,↓ = u~k α~+ c~+   k,↑ k,↑   c~ = u~ α~ + v~ α+ ~ k,↑ k k,↑ k −k,↓

 c+~ = u~k α+~ − v~k α~k,↑   −k,↓ −k,↓    c−~k,↓ = u~k α−~k,↓ − v~k α~+

k,↑

96

>< c−~k0 ,↓ c~k0 ,↑ >

en prenant en compte le fait que v~k change de signe entre ~k, ↑ et −~k, ↓. c~+ c~k,↑ k,↑

= (u~k α~+ + v~k α−~k,↓ )(u~k α~k,↑ + v~k α+~ ) k,↑ −k,↓ + 2 + 2 u~k α~ α~k,↑ + v~k (1 − α ~ α−~k,↓ ) k,↑ −k,↓ u~k v~k (α~+ α+~ + α−~k,↓ α~k,↑ ) k,↑ −k,↓

= + c~+ ck,↓ k,↓ ~

= (u~k α~+ − v~k α−~k,↑ )(u~k α~k,↓ − v~k α+ ) k,↓ −~ k,↑ = u~2k α~+ αk,↓ + v~k2 (1 − α+ α k,↑ ) −~ k,↑ −~ k,↓ ~ − u~k v~k (α−~k,↑ α~k,↓ + α~+ α+~ ) k,↓ −k,↑

c~+ c+~

k,↑ −k,↓

= (u~k α~+ + v~k α−~k,↓ )(u~k α+~ − v~k α~k,↑ ) k,↑ −k,↓ + 2 + 2 u~k α~ α ~ − v~k α−~k,↓ α~k,↑ k,↑ −k,↓ u~k v~k α~+ α~k,↑ + u~k v~k (1 − α+~ α−~k,↓ ) k,↑ −k,↓

= −

c−~k,↓ c~k,↑

= (u~k α−~k,↓ − v~k α~+ )(u~k α~k,↑ + v~k α+ ) k,↑ −~ k,↓ = u~2k α−~k,↓ α~k,↑ − v~k2 α~+ α+k,↓ k,↑ −~

+ u~k v~k (1 − α+~ α−~k,↓ ) − u~k v~k α~+ α~k,↑ −k,↓

Coefficient de

αk,↑ α~+ k,↑ ~

k,↑

:

~k u~2k − ~k v~k2 + ∆u~k v~k + ∆u~k v~k v ! u u1 ~2 ~k k 1− 2 = ~k + 2∆t E~k 4 E~ k s 2 ~ ∆2 = k +∆ = E~k E~k E~k2 Coefficient de α~+ α+~

k,↑ −k,↓

:

~k u~k v~k + ~k u~k v~k − ∆u~2k + ∆v~k2

= 2~k u~k v~k + ∆(v~k2 − u~2k ) ~ ∆ + ∆(− k ) = 0 = ~k E~k E~k

Terme constant : X ~ k

(~k v~k2 + ~k v~k2 − ∆u~k v~k − ∆u~k v~k ) + =

X ~ k

(~k −

~2k E~k

97

−

N ∆2 V

∆2 N ∆2 )+ E~k V

Mais d’apr`es l’´equation du gap : X 1 2N = E~k V ~ k

X

⇒

~ k

(~k −

~2k

E~k

N ∆2 V

)−

Au total, l’hamiltonien s’´ecrit : X HCM = E~k (α~+ α~k,↑ + α+~ α−~k,↓ ) k,↑

−k,↓

~ k

X

+

~ k

(~k −

~2k

E~k

)−

N ∆2 V

Dans le fondamental, comme E~k > 0, il n’y a pas de particules α~+ . Compak rons alors les ´energies du cas non supra (∆ = 0) et du cas supra. ∆=0: q E~k = ~2 = ~k si ~k > 0 (~k vide) k

si ~k < 0 (~k occ)

= −~k

⇒ EF ond =

X

2~k

~ kocc

∆ 6= 0 : EF ond (∆ 6= 0) − EF ond (∆ = 0) X X ~2 ~2 N ∆2 = (−~k − k ) + (~k − k ) − E~k E~k V ~ kocc

= 2

X

~ kvide

(~k −

~ kvide

∆E ' 2g(F ) N

Z

~2k

E~k

)−

N ∆2 V

ωD 0

d( − √

2 ∆2 )− V 2 + ∆ 2

Calculons 2g(F )

Z

ωD 0

d(1 − √

2

 ) + ∆2

Pour cela, il est commode de faire le changement de variables  = ∆ sinh u, d = cosh u du  Z uD  ∆ sinh u ∆2 sinh u cosh u du ⇒ 2g(F ) 1− ∆ cosh u 0 Z uD = 2g(F )∆2 (1 − tanh u) sinh u cosh u du 0

98

or (1 − tanh u) sinh u cosh u = (cosh u − sinh u) sinh u = e−u sinh u =

1 − e−2u 2

d’o` u: 2

= ∆ g(F )

Z

uD 0

(1 − e−2u )du

= ∆2 g(F )(uD + 1 Mais uD = V g( . F) En effet, sinh uD =

e−2uD − 1 ) 2

ωD ∆

Mais le gap est donn´e par : 1 = V g(F )

Z

ωD 0

= V g(F )Argsh

⇒

d √ 2  + ∆2 ω  D

∆

ωD 1 1 = sinh ⇒ uD = ∆ V g(F ) V g(F )

Du coup, uD >> 1. On peut donc n´egliger e−2uD dans le r´esultat pr´ec´edent. Finalement, l’´energie de condensation s’´ecrit :   ∆2 1 1 ∆2 g(F ) − − V g(F ) 2 V et ainsi 1 Econd = − g(F )∆2 2 D`es qu’il y a une solution ∆ 6= 0, son ´energie est plus basse. Or, tant que V est positif, c’est-` a-dire tant que l’int´eraction est attractive, il y a une solution ∆ 6= 0. Finalement, Attraction ⇒ supraconductivit´e b) Interpr´etation de la fonction d’onde : Il y a donc une solution de type champ moyen dont l’´energie est plus basse que la mer de Fermi d`es que V > 0. Essayons de comprendre la physique de cette solution. La fonction d’onde du fondamental s’´ecrit : Y c+k,↓ )|0 > |φ0 >= (u~k + v~k c~+ k,↑ −~ ~ k

La probabilit´e que la paire c~+ c+~

k,↑ −k,↓

soit occup´ee est ´egale a ` |v~k |2 , la proba-

bilit´e qu’elle ne soit pas occup´ee est ´egale a ` |u~k |2 . Il est clair que cette fonction 99

d’onde contient des ´etats ayant des nombres de particules diff´erents. Cela n’est pas gˆenant tant qu’` a la limite des grands syst`emes la distribution du nombre de particules est ”piqu´ee” autour d’une valeur moyenne bien d´efinie. ¯ =< N > et δN = (< (N − N) ¯ 2 >) 12 Calculons donc N < N >=< φ0 |

P

+ ck,σ |φ0 ~ k,σ c~ k,σ ~

>

Consid´erons un terme c~+ c~k0 ,↑ . Tous les op´erateurs u~k + v~k c~+ c+~

k,↑ −k,↓

k0 ,↑

mutent avec lui, sauf u~k0 + ⇒< N >= |{z} 2 spin

X ~ k

v~k0 c~+ c+~ k0 ,↑ −k0 ,↓

< 0|(u~k + v~k c−~k,↓ c~k,↑ )c~+ c~k,↑ (u~k + v~k c~+ c+~ )|0 > k,↑

k,↑ −k,↓

c~+ ck,↑ (u~k + v~k c~+ c+k,↓ )|0 > k,↑ ~ k,↑ −~

= v~k c~+ (1 − c~+ c~k,↑ )c+~ |0 > k,↑

k,↑

−k,↓

= v~k c~+ c+~ |0 > k,↑ −k,↓

⇒< N >= 2

X

v~k2

~ k

¯ +N ¯ 2 >=< N 2 > −N ¯2 δN 2 =< N 2 − 2NN < N 2 >=< φ0 |

X

c~+ c~k,σ c~+0

ck0 ,σ0 |φ0 k ,σ 0 ~

k,σ

~ k,~ k0 ,σ,σ 0

>

Si (~k 0 , σ 0 ) 6= (~k, σ) et 6= (−~k, −σ), les termes commutent −→ v~k2 v~k20 Si (~k 0 , σ 0 ) = (~k, σ) ⇒ c~+

k,σ

c~k,σ c~+ c~k,σ −→ v~k2 k,σ | {z }

1−c~+ c~k,σ k,σ

Si (~k 0 , σ 0 ) = (−~k, −σ) ⇒ c~+ c~k,↑ c+~ c−~k,↓ (u~k + v~k c~+ c+~ ) −→ v~k2 k,↑

⇒< N 2 > =

−k,↓

 2   X X X  v~2  − v~4 − v~2 v~4 − v~2 − k

k

~ k,σ

{z

}

|

k

k

~ k

X ~ k

v~k2 (1 − v~k2 ) 100

{z

}

(~ k0 ,σ 0 )=(−~ k,−σ)

2  X X X  2v~2  − 2 2v~4 + 2 2v~2 ¯2 + 4 N

k

~ k,σ

(~ k0 ,σ 0 )=(~ k,σ)

~ k

=

k

k

~ k,σ

|

=

k,↑ −k,↓

k

~ k

com-

⇒ δN 2 = 4

X

u~2k v~k2

~ k

Conclusion : √ ¯ croit comme N , mais l’´ecart type δN d´ecroit comme N. Ainsi, si on N P ˆ |φN >= N , les λN sont distribu´es comme u < φ N |N ´ecrit φ0 = N λN φN , o` λN

1 N

N 1

N

Du coup, la valeur moyenne de toute observable calcul´ee dans |φ0 > est la mˆeme que celle calcul´ee pour |φN¯ > a ` la limite N → +∞. Mais cette fonction d’onde est beaucoup plus simple a ` manier. Il est en fait facile de comprendre le rapport ´etroit qu’il y a entre cette fonction d’onde et des fonctions d’ondes a ` nombre de particules fix´e. Consid´erons le cas o` u on a 2N ´electrons concern´es par l’instabilit´e (i.e. 2N ´electrons dont l’´energie ~k est comprise entre F − ωD et F ). Il y a donc 2N valeurs de ~k telles que F − ωD < ~k < F + ωD , et la mer de Fermi correspond a ` remplir les N valeurs telles que F − ωD < ~k < F avec un spin ↑ ou ↓. Si l’on essaie de construire une fonction d’onde faite uniquement de paires pour gagner l’´energie potentielle de Hr´ed , et ayant un nombre de particules bien d´efini, un choix naturel serait :  N 1 X |φN >= g~k c~+ c+~  |0 > k,↑ −k,↓ N! ~ k

Si

g~k =

(

1 pour ~k < F 0 sinon

on retrouve la mer de Fermi, et comme il y a N ! termes, il faut diviser par N !. On pourrait, a ` partir de cette fonction d’onde, chercher les g~k qui minimisent l’´energie. Mais cette fonction d’onde est tr`es compliqu´ee. Elle comprend 101

de l’ordre de (2N )N termes ! Par contre, si on ajoute diff´erent |φN > pour construire X |φN > |φ > = N

=

N  X 1 X  g~k c~+ c+~  |0 > k,↑ −k,↓ N! N

~ k

cette fonction d’onde se r´e´ecrit :

|φ > = e

P

~ k

g~k c~+ c+~

k,↑ −k,↓

|0 >

Mais pour des fermions, cet ´etat coh´erent prend une forme plus simple : dans le d´eveloppement de l’exponentielle, seuls les termes d’ordre 0 ou 1 subsistent a ` cause du principe de Pauli Y ⇒ |φ > = (1 + g~k c~+ c+k,↓ )|0 > k,↑ −~ ~ k

v~k u~k ,

Si on pose g~k = on retrouve bien la fonction d’onde BCS. Cette fonction d’onde est beacpup plus simple a ` manipuler. Elle a valu le prix NOBEL a ` Bardeen, Cooper et Schrieffer ! c) Excitations ´el´ementaires : D’apr`es la forme de HCM , une excitation ´el´ementaire consiste a ` rajouter une particule α~+ . Cela coˆ ute une ´energie k,σ

E~k =

q ~2 + ∆~2 k

k

Cette ´energie est sup´erieure ou ´egale a ` ∆.

Il y a donc un gap d’´energie ∆ dans la densit´e d’´etat du syst`eme. On voit donc que le fondement mˆeme de la th´eorie du transport, avec des processus de diffusion de quasiparticules au niveau de fermi n’est plus valable. Il faudra donc d´eterminer les propri´et´es du gaz ´electronique dans ce nouvel ´etat.

5.4

Temp´ eratures finies :

Lorsqu’on est a ` temp´erature finie, on peut toujours faire un calcul de type champ moyen, mais le gap correspond d´esormais a ` la valeur moyenne thermique de < c~+ c+~ >. k,↑ −k,↓

Or, c~+ c+~

k,↑ −k,↓

= (u~k α~+ + v~k α−~k,↓ )(u~k α+~ − v~k α~k,↑ ) k,↑

−k,↓

= −u~k v~k α~+ α~k,↑ + u~k v~k α−~k,↓ α+~ + u~2k α~+ α+~ − v~k2 α−~k,↓ α~k,↑ k,↑

−k,↓

k,↑ −k,↓

= u~k v~k (1 − α~+ α~k,↑ − α+~ α−~k,↓ ) + u~2k α~+ α+~ − v~k2 α−~k,↓ α~k,↑ k,↑

−k,↓

102

k,↑ −k,↓

⇒< c~+ c+~

>= u~k v~k (1 − 2f (E~k ))

k,↑ −k,↓

puisque < α~+ α~k,↑ >=< α+~ α−~k,↓ >= k,↑ −k,↓ 0.

1 e

βE~ k +1

et < α~+ α+~

k,↑ −k,↓

>=< α−~k,↓ α~k,↑ >=

Du coup, l’´equation du gap s’´ecrit : ∆=

V X ∆ (1 − 2f (E~k )) N 2E~k ~ k

E~ k

E~ k

βE~k eβ 2 − e−β 2 eβE~k + 1 − 2 = E~ 1 − 2f (E~k ) = E~ = tanh βE~k k k 2 e +1 β −β 2 e 2 +e La solution non nulle satisfait donc : 1=

βE~k V X 1 tanh N 2E~k 2 ~ k

Lorsque T augmente, β → 0 et cette ´equation est satisfaite pour des valeurs de plus en plus petites de ∆. En particulier, il existe une temp´erature TC o` u ∆(TC ) = 0 donn´ee par 1=

β~ V X 1 tanh k N 2|~k | 2

(β =

~ k

1 = V g(F )

1 = V g(F )

Z

ωD 2TC

0

Z

ωD

tanh 0

1 ) TC

β d 2 

tanh u du u

u=

β 2

Supposons que TC << ωD (c’est raisonnable puisqu’on s’attend a ` ce que TC ' ∆(0) << ωD , les fluctuations thermiques d´etruisant le gap si T >> ∆(0)). Z

ωD 2TC

0

tanh u du = u

Z Z

η 0

tanh u du + u

Z Z

η

ωD 2TC

η

tanh u du u

ωD

2TC du tanh u du + (η >> 1 ⇒ tanh u ' 1) ' u u η 0 Z η ωD tanh u = ln + du − ln η − ln 2 TC u {z } |0

d´ epend peu de η

→ ln

2γ = ln 1.13 π 103

o` u γ est la constante de Euler. −1

⇒ TC ' 1.13ωD e V g(F ) Cette formule n’est pas directement utilisable pour pr´edire Tc dans la mesure o` u ωD , V et g(F ) sont des param`etres ajustables. Par contre, si on compare a ` la formule pour ∆, on trouve ∆ 2 = = 1.76 k B TC 1.13 ∆ et TC sont mesurables ind´ependamment, et cette relation est bien v´erifi´ee dans beaucoup de supraconducteurs. C’est l’une des confirmations de la th´eorie BCS. Paar ailleurs, cette th´eorie pr´edit que ∆(T ) a l’allure suivante :

∆(0)

TC

∆(T ) ' 3.2TC L’exposant

5.5

1 2

r

1−

T TC

est typique du champ moyen.

Electrodynamique des supraconducteurs I :

L’´equation de London Avant de se lancer dans le calcul de la r´eponse d’un supraconducteur a ` un champ externe, il est utile de commencer par quelques remarques sur les ´equations constitutives qui, associ´ees aux ´equations de Maxwell, sont susceptibles de d´ecrire les propri´et´es de base des supraconducteurs. Ces propri´et´es sont au nombre de 2 :

104

1) R´esistivit´e nulle (1911) 2) Effet Meissner (- Oschenfeld) (1933) : le champ magn´etique est nul a ` l’int´erieur d’un supraconducteur. Il passe de la valeur ext´erieure a ` 0 sur une longueur λ dite ”longueur de p´en´etration”. Examinons les cons´equences de ces propri´et´es sur les ´equations constitutives : 1) R´esistivit´e nulle : Dans un m´etal, on suppose en g´en´eral que le mouvement d’un ´electron est r´egit par l’´equation : m

~v d~v ~ + m = +eE dt τ

o` u τ est un temps de relaxation ph´enom´enologique que l’on peut par exemple calculer dans le cadre de l’interaction ´electron-phonon. La solution g´en´erale ~ s’´ecrit comme la somme d’une solution particuli`ere, par exemple ~v = eτ m E, et de la solution g´en´erale de l’´equation sans second membre, t

~v = ~v0 e− τ t

⇒ ~v = ~v0 e− τ +

eτ ~ E m

Au bout d’un temps t >> τ , on a donc : ~v =

eτ ~ E m

mais ~j = ne~v ⇒ ~j = ~ σ= soit ~j = σ E,

ne2 τ ~ E m

ne2 τ m .

C’est la relation constitutive dans les m´etaux. Dans les supraconducteurs, σ = ∞(R = 0) ⇒ τ = +∞ ⇒m

d~v ~ = eE dt

Mais ~j = nS e~v (cette ´equation n’est vraie que pour les supraconducteurs)   1 d~j ~ ⇒m = eE nS e dt soit ~ = E

m d~j nS e2 dt 105

Cette relation ne fixe le courant qu’` a une constante pr`es ⇒ elle ne suffit pas a ` d´ecrire la r´eponse des supraconducteurs. 2) Effet Meissner : Si l’on combine cette ´equation a ` l’´equation de Maxwell, soit ~ ~ = − 1 ∂A E c ∂t on trouve : ~ ~ A m d ~~ 1 ∂ rot rotj = − 2 nS e dt c ∂t m ~~ 1 ~ ~ ~ rotj + rotA = cte ⇒ nS e 2 c ~ = ~0. L’effet Meissner d´ecoule de cette ´equation si cte En effet, d’apr`es les ´equations de Maxwell, ~ ~ B rot

=

~ ~ rot ~ B ⇒ rot

=

4π ~ j c 4π ~ ~ rotj c

2 ~ ~ = −∆B ~ + graddiv ~ et, si cte ~ = ~0, rot ~ ~j = − nS e rot ~ ~ ~ rot ~ B Mais rot B mc | {zA } | {z }

~ B

=0

2 ~ = nS e 4π B ~ ⇒ ∆B mc2

Posons nS e2 4π 1 = λ2 mc2 On a donc : ~ = ∆B

1 ~ B λ2

~ = B(z) ~ Pla¸cons nous dans une g´eom´etrie o` uB z −λ ~ = B(0)e ~ ⇒B

~ d´ecroit exponentiellement sur une longueur caract´eristique ´egale a Le champ B ` λ. Les deux relations : (

~ = m 2 d~j E nS e dt 2 ~ ~ ~j = − nS e rot ~ A rot mc 106

d´ecoulent d’une seule et mˆeme ´equation : 2

~=− 1 A ~ ~j = − nS e A mc λ2 4π C’est l’´equation de London (F. et H. London, 1935 !). Cette ´equation est valable dans la jauge de London : ~=0 – divA ~ → ~0 dans le volume – A Remarque : l’effet Meissner ”implique” dans une certaine mesure l’abscence de resistivit´e. En effet, le champ est nul a ` l’int´erieur parcequ’il est compens´e par un champ cr´e´e en surface de l’´echantillon. Mais un champ magn´etique ne ~ ∼⊥ ~v ). Pour que le courant se maintienne, fournit pas d’´energie (F~ = +e~v ∧ B il faut imp´erativement qu’il puisse circuler sans dissipation. Nous allons donc, sans vraiment perdre en g´en´eralit´e, nous concentrer sur la r´eponse a ` un champ magn´etique statique. R´eponse a ` un champ magn´etique statique : ~ = 0. Consid´erons donc un champ statique dans la jauge divA e~ p~ = m~v + A c ⇒ Hcin

= = =

X 1



1 X e ~ 2 p ~i − A i 2 2m i c i 2 1 X ~ i − e A(~ ~ ri ) −i~∇ 2m i c  ie~ X  ~ ~ 0 ~ ri ) · ∇ ~ i +0(A2 ) + ∇i · A(~ri ) + A(~ Hcin | {z } 2mc i P ~2 1 | {z } i Pi 2m mvi2

=

H1

Le terme 0(A2 ) est un terme sans importance pour le calcul de ~j au premier ordre. ~ r ) = P ~a(~ Posons A(~ q )ei~q·~r , et d´eterminons la forme de H1 en seconde quanq ~ ~ i · A(~ ~ ri ), on a : tification. Pour le terme ∇ ~ X Z e−i~k0 ·~r eik·~r ~ · ~a(~ √ ∇ q )ei~q·~r √ d~r V V q ~ Z X 1 ~0 ~ e−ik ·~r i(~k + q~) · ~a(~ q )ei(k+~q)·~r d~r = V q ~

Comme on suppose que le champ est transverse, q~ · ~a(~ q ) = 0 et on obtient : X i~k · ~a(~ q )δ~k0 ,~k+~q q ~

107

La contribution a ` H1 est donc donn´ee par : −

e~ X ~ k · ~a(~ q )c~+ ck,σ k+~ q ,σ ~ 2mc ~ k,~ q ,σ

~ ri ) · ∇ ~ i , on a : Pour le terme A(~ XZ

~0

e−ik ·~r~a(~ q)

q ~

=

XZ q ~

Z

~ i~k·~r d~r ei~q·~r · ∇e

~0 ~ e−ik ·~r i~k · ~a(~ q )ei(k+~q)·~r d~r

Il redonne la mˆeme chose, et on obtient finalement : −e~ X ~ ck,σ k · ~a(~ q )c~+ k+~ q ,σ ~ mc

H1 =

~ k,~ q ,σ

L’op´erateur courant s’´ecrit :  h  i o n  ~ Ψ(~r) + −i~∇ ~ − eA ~ Ψ+ (~r) Ψ(~r) = J~1 + J~2 ~ − eA ~j(~r) = e Ψ+ (~r) −i~∇ 2m c c o` u Ψ, Ψ+ sont les op´erateurs de champ

o −ie~ n + ~ ~ + (~r))Ψ(~r) Ψ (~r)∇Ψ(~r) − (∇Ψ 2m e~ X ~ + kc~ ck,σ k−~ q ,σ ~ m

J~1 (~r) = ⇒ J~1 (~ q) =

~ k,σ

J~2 (~r) =

−e2 ~ + A Ψ (~r)Ψ(~r) mc | {z } densit´ e

2

= −

e n(~r) ~ A mc

~ et cette relation est similaire a J~2 est proportionnel a ` A, ` l’´equation de London, mais c’est la densit´e totale et non la densit´e supraconductrice qui intervient. Le terme J~1 doit fortement r´eduire cette contribution et mˆeme l’annuler dans un m´etal normal ! On peut aussi ´etablir ces expressions sans passer par les op´erateurs champ : ~ r0 ) = J(~

X

eδ(~r0 − ~ri )~vi

X

e(δ(~r0 − ~ri )

i

=

i

e ~ P~i − A(~ri ))δ(~r0 − ~ri ) m mc

108

−e2 ~ J~2 (~r0 ) = A(~r0 )ˆ n(~r0 ) mc J~1 (~r0 ) =

i

=

 X 1 ~ ~r  ei~q(~r0 −~ri )  ∇ i m N

X −ie~



q ~

Z 1 −ie~ 1 X i~q~r0 X + ~ ~0 c~ c~k0 ,σ e e−ik~r i~k 0 eik ~r e−i~q~r d~r k,σ m N V ~ q ~ {z } | k,~ k0 ,σ i~ k0 δ~k,~k0 −~ q

=

1 X i~q~r0 X e~ ~ + e kc c~ N m ~k−~q,σ k,σ ~ q ~ k,σ {z } | J~1 (~ q)

Si l’on souhaite proc´eder a ` un calcul complet, on peut r´eexprimer H1 a ` l’aide de J~1 , puis faire un calcul de type r´eponse lin´eaire. Ce calcul est compliqu´e (mais pas difficile), et nous nous contenterons de calculer la valeur moyenne de J~1 (~ q) dans la limite q~ → 0 (grande longueur d’onde). Dans ce cas, un calcul plus simple est possible. Commen¸cons par r´eexprimer les op´erateurs H1 et J~1 (~ q ) en fonction des op´erateurs de Bogolioubov : h −e~ X ~ k.~a(~ q ) (u~k+~q α~+ + v~k+~q α−~k−~q,↓ ) H1 = k+~ q ,↑ mc ~ k,~ q

× × =

) |{z} − (u~k α+ (u~k α~k,↑ + v~k α+ − v~k α~k,↑ ) −~ k,↓ −~ k,↓ ~ k→−~ k−~ q

i ) (u~k+~q α−~k−~q,↓ + v~k+~q α~+ k+~ q ,↑ h −e~ X ~ k~a(~ q ) (u~k u~k+~q + v~k v~k+~q) mc ~ k,~ q

×

(α~+ αk,↑ k+~ q ,↑ ~

+

(v~k u~k+~q − u~k v~k+~q )

×

(α~+

− α+~ α−~k−~q,↓ ) −k,↓

α+~ − α−~k−~q,↓ α~k,↑ )

k+~ q ,↑ −k,↓

i

A la limite q~ → ~0, le deuxi`eme terme disparaˆıt, et le premier donne : −e~ X ~ ~ + k.~a(0)(α~ α~k,↑ − α+~ α−~k,↓ ) H1 = k,↑ −k,↓ mc ~ k ( e~ ~ ~ k~a(0) E~k,↑ = E~k − mc ⇒ e~ ~ ~ E~k,↓ = E~k + mc k~a(0) De mˆeme, a ` la limite q~ → ~0, on a : e~ X ~ + α k,↓ ) k(α~k,↑ α~k,↑ − α+ J~1 (~ q → ~0) = −~ k,↓ −~ m ~ k

109

Mais < α~+ α~k,σ >= f (E~k,σ ) k,σ

i e~ X ~ h k f (E~k,↑ ) − f (E~k,↓ ) m

⇒< J~1 >=

~ k

Par ailleurs, f (E~k,↑ ) − f (E~k,↓ )

'

⇒< J~1 (~ q → ~0) > =

  2e~ ~ ~ ∂f k.~a(0) − mc ∂E~k   2e2 ~2 X ~ ~ ~ ∂f ( k.~ a ( 0)) k − m2 c ∂E~k ~ k

Supposons J~1 k ~a(~0) , et k ' kF ⇒< J~1 (~ q → ~0) >'

  2e2 ~2 kF2 X ∂f − ~a(~0) m2 c 3 ∂E~k ~ k

~ = P~ = o` u le 13 provient de la moyenne des cosinus. En effet, posons A k (~k~a(~0))~kh(k), o` u h est une fonction quelconque : X ~ · ~a(~0) = A (~a(~0)~k)2 h(k) ~ k

= = = = = En ins´erant

2 ~ 2 kF 2m

= F ,

Z

d~k

Z

2π sin θ(~a(~0)k cos θ)2 dθk 2 h(k) Z Z 2π sin θ cos2 θdθ dka2 (0)k 2 k 2 h(k) Z 2 dka2 (0)k 4 h(k) 2π 3 Z π Z 1 2π sin θdθ dka2 (0)k 4 h(k) 3 Z 0 1 d~ka2 (0)k 2 h(k) 3 R P 3n g(F ) = 2 et ~k = 12 g(F ) d, il vient : F

< J~1 (~ q → ~0) > '

'

 Z +∞  ∂f 2e2 F g(F ) d − ~a(~0) 3mc ∂E~k −∞  Z +∞  ∂f e2 n d − ~a(~0) mc −∞ ∂E~k

Le courant total s’´ecrit donc :

avec E =

√

< J~ > = < J~1 + J~2 >   Z +∞  e2 n ~ ∂f = − ~a(0) 1 − d − mc ∂E~k −∞ 2 + ∆ 2 .

110

Si ∆ = 0, Z

+∞

d −∞



∂f ∂E~k



Z

=

+∞

dE −∞



⇒ < J~ >= ~0

∂f ∂E



= −1

Mais si ∆ 6= 0, −

Z

+∞

−∞

d



∂f ∂E~k



=2

Z

+∞

∆



∂f E √ dE − ∂E E 2 − ∆2



<1

Si on d´efinit la densit´e de fluide normal par  Z +∞  ∂f nn = n d ∂E~k −∞ et la densit´e superfluide par nS = n − n n on retrouve l’´equation de London −e2 nS ~ ~a(0) J~ = mc N.B : f (E) =

1 eβE + 1

⇒ a ` T = 0, −∂f ∂E = δ(E), et si il y a un gap, nn = 0 et nS (T = 0) = n. Ceci est vrai mais dans ce cas il est important de distinguer les vecteurs d’onde qui participent a ` la supraconductivit´e et ceux qui n’y participent pas. Le terme J~1 annule de toutes fa¸cons la contribution de J~2 venant des ´electrons qui ne participent pas a ` la supraconductivit´e. n est donc la densit´e d’´electrons qui sont a ` ωD de F .

5.6

Electrodynamique II : L’´ equation de Pippard

Si l’on mesure effectivement la longueur de p´en´etration λ, on trouve en g´en´eral qu’elle est beaucoup plus grande que la longueur d’onde de London, que l’on e2 4π notera d´esormais λL , et qui satisfait λ12 = nSmc . D’ o` u peut venir le probl`eme ? 2 L

En fait nous n’avons pas d´emontr´e que ~ ~j = −c A 4πλ2L ~ Mais Nous avons d´emontr´e cette relation pour les composantes a ` q~ = ~0 de ~j et A. ~ n’est pas uniforme. La relation est donc en dans la r´egion o` u le champ p´en`etre, A 111

g´en´eral plus compliqu´ee. Avant de se lancer dans le calcul microscopique reliant ~ en g´en´eral, il est instructif de suivre Pippard, et de postuler une relation ~j et A ~ Pippard a ´emis l’hypoth`ese en 1953 que le courant plus g´en´erale entre ~j et A. d´ependait du potentiel vecteur dans un domaine de longueur caract´eristique ξ0 , mais pas au-del` a. La forme la simple est de supposer que cette d´ependance d´ecroit en ξR0 , d’o` u l’´equation ph´enom´enologique dite ”´equation de Pippard” : ~j(~r) = C

Z

~ r ) · R) ~ ·R ~ −R (A(~ e ξ0 d~r0 4 R

~ = ~r − ~r0 . avec R ~ est constant, on peut le sortir de l’int´egrale Si A Z +∞ Z R4 π − ξR 2 ~ ~ ⇒j ·A = A C dRe 0 2π 4 sin θ cos2 θdθ R 0 0 " R #+∞ Z +1 e − ξ0 2 2π duu2 = A C − ξ10 −1 0 " R #+∞  +1 −ξ e 0 u3 = A2 C 2π 1 3 −1 − ξ0 0

4π = A 2 C ξ0 3

Pour retrouver l’´equation de London, il faut que C

−nS e2 4π ξ0 = 3 mc

⇒C=

−3nS e2 4πξ0 mc

Pour estimer l’effet de cette non localit´e sur la longueur de p´en´etration, on peut ~ ´etait faire le petit raisonnement suivant, valable dans la limite λ, λL << ξ0 . Si A essentiellement constant sur une longueur ξ0 , on aurait ~ ~j = − C A 4πλ2L ~ d´ecroit sur un longueur λ, on doit avoir Mais comme A ~ ~j = − C λ A 4πλ2L ξ0 soit 1 1 λ = 2 ⇒ λ = (λ2L ξ0 ) 3 λ2L ξ0 λ Si ξ0 >> λL , on en d´eduit que ξ0 >> λ >> λL .

112

La deuxi`eme in´egalit´e justifie donc l’introduction d’une relation non locale ~ Une relation plus pr´ecise entre λ, λL et ξ0 sera ´etablie en exercice, entre ~j et A. mais la d´ependance est correcte. L’un des nombreux succ`es de la th´eorie BCS a ´et´e de fournir une base microscopique a ` cette ph´enom´enologie. Comme dans le cadre de la r´eponse lin´eaire, la relation entre le courant et le potentiel vecteur peut s’´ecrire ~ q ) = −C K(~ J(~ q )~a(~ q) 4π o` u le facteur −C 4π est purement conventionnel. L’objectif est donc de calculer la r´eponse a ` un potentiel vecteur ~a(~ q ), q~ 6= ~0. ~ Pour simplifier, nous allons faire le calcul a ` T = 0. Pour ~q = 0, et tant qu’il y a un gap, la correction est nulle : K(~ q = ~0, T = 0) =

1 λ2L (0)

Si q~ 6= ~0, il faut revenir aux expressions de H1 et J1 . Mais la valeur moyenne de J1 (~ q ) ne s’exprime pas simplement a ` l’aide de < α~+ α~k,σ >. Il faut faire un k,σ calcul de perturbation. Dans la mesure o` u il s’agit d’un calcul statique, le plus simple est d’utiliser la th´eorie de Rayleigh : |ΨG >→ |ΨG > −

X < Ψn |H1 |ΨG > |Ψn > En n

o` u En est l’´energie de |Ψn > mesur´ee par rapport a ` l’´energie du fondamental, et X < ΨG |J1 |Ψn >< Ψn |H1 |ΨG > < J1 > = < ΨG |J1 |ΨG > − En n X < ΨG |H1 |Ψn >< Ψn |J1 |ΨG > − En n soit < ΨG |J1 (~ q )|ΨG > −2Re avec

X < ΨG |J1 (~ q )|Ψn >< Ψn |H1 |ΨG > En n

< ΨG |J1 (~ q )|ΨG >= 0 car ΨG est le vide des particules α. α+k,↓ Dans le deuxi`eme terme, seuls les termes de H1 cr´eant une paire α~+ k+~ q ,↑ −~ contribuent, les autres d´etruisent |ΨG > ⇒< J1 (~ q) > =

2 2e2 ~2 X (v~k u~k+~q − u~k v~k+~q ) m2 c E~k + E~k+~q ~ k

× (~k − ~a(~ q )).~k 113

Pour |~ q | petit, essayons d’´evaluer cette expression u~k+~q

~ ~ u~ = u~k + q~ · ∇ k k

~ ~ ~ ( du ) = u~k + q~ · ∇ k k d | {z } ~vF

v~k+~q

~ ~ v~ = v~k + q~ · ∇ k k

~ ~ ~ ( dv ) = v~k + q~ · ∇ k k d

u~k v~k+~q − v~k u~k+~q

  dv du ~ = q~ · ∇~k ~k u − v d d

Mais u

2

v2

u

2u

   1 = 1+ √ 2 2 + ∆ 2    1 1− √ = 2 2 + ∆ 2 dv du = −2v ⇒ 2u d d

dv du −v d d

u2 du vdu − v d d 1 du = − v d = −

du 1 d(u2 ) 1  1 2 = = √ + (− ) 3 ' 2 2 2 2 d d 2 2 ( + ∆ ) 2 2∆ 2  +∆

pour  petit. → (u~k v~k+~q − v~k u~k+~q )2 ∼



~vF q~ ∆

2

Par ailleurs, < J1 (~ q ) > ·~a(~ q) →

X (~k · ~a(~ q ))2 E~k + E~k+~q ~ k

o` u la somme est restreinte aux ~k tels que ~k < ∆. Si on passe en coordonn´ees polaires, il reste Z ∆ d 2 2 q) kF ~a (~ E + E~k+~q ~ 0 k ' 114

∆ 2∆

La somme restreinte sur ~k compense le petit d´enominateur E~k + E~k+~q , et on trouve   K(~ q , 0) = λ−2 q 2 ξ02 L (0) 1 − A~ o` u on d´efinit, en suivant BCS,

ξ0 =

~vF π∆(0)

Si ~q est grand, on peut montrer que le terme correctif tend vers 0 comme

1 qξ0

London

1 q2 ξ2 0

2 λ (0) K(q,0) L

1/qξ 0

~ est donc non locale, et elle s’´ecrit sous la forme La relation entre ~j et A ~ r) = J(~

−3c 2 16π ξ0 λ2L (T )

Z

~ · A(~ ~ r0 ))R ~ (R J(R, T )d~r0 4 R

o` u on a r´eintroduit la d´ependance en T . J(R, T ) a une d´ependance en R semblable a ` celle de Pippard, avec une d´ependance en temp´erature suppl´ementaire. − R La formule de Pippard revient a ` remplacer J(R, T ) par e ξ0 (T ) , ce qui impose J(0, T ) = 1(∀T ), alors que le cacul BCS conduit a ` ( J(R = 0, T = 0) = 1 J(R = 0, T = TC ) = 1.33 L’existence de ces deux longueurs caract´eristiques est a ` l’origine d’une ph´enom´enologie tr`es riche dans les supraconducteurs en pr´esence d’un champ magn´etique. On sait en effet qu’un champ magn´etique assez fort doit d´etruire la supracon2 e de ductivit´e : l’expulsion du champ magn´etique coˆ ute une ´energie H 8π par unit´ volume, alors que l’´etat supraconducteur permet de gagner une ´energie Econd ⇒ Hc2 = 8πEcond Pour H > Hc , le syst`eme doit revenir a ` l’´etat fondamental.

115

Champ critique et p´en´etration du champ : L’expulsion du champ n’est possible que tant que le champ ext´erieur n’est pas trop fort. Consid´erons pour fixer les id´ees un cylindre de m´etal a ` l’int´erieur ~ uniforme. d’un sol´eno¨ıde cr´eant un champ H

H

Si on refroidit le m´etal sous sa temp´erature critique, disons pour simplifier a ` T = 0, il peut devenir supraconducteur. Faisons un bilan ´energ´etique. S’il devient supraconducteur, son ´energie par rapport a ` l’´etat normal est Econd /unit´e de vol. Par contre, il faut expulser le champ magn´etique. Pour ce faire, il faut cr´eer un courant de surface qui s’oppose au champ ext´erieur. Cela coˆ ute une ´energie R ~ ext dτ , dont la densit´e est H 2 . Autrement dit, l’´energie par unit´e de volume ~j · A 8π dans l’´etat supraconducteur est H2 − Econd 8π Il est avantageux de transiter vers l’´etat supra tant que H < Hc , avec Hc2 = 8πEcond Remarque : Un calcul na¨ıf - et faux ! - serait le suivant : dans l’´etat normal, le champ vaut H ⇒ Enormal = En +

H2 8π

Dans l’´etat supra, H = 0, ⇒ Esupra = Econd ⇒ Esupra < Enormal

∀ H!

O` u est l’erreur ? Il faut inclure l’´energie fournie au g´en´erateur du fait de la variation de flux. 116

Mais la p´en´etration du champ magn´etique a ` l’int´erieur de l’´echantillon ne se fait pas de fa¸con uniforme et progressive. Cela d´epend d’une part de la forme de l’´echantillon, mais de fa¸con plus importante des caract´eristiques du m´etal. En particulier, la valeur relative de ξ0 et de λL est d´eterminante pour d´ecider de ces propri´et´es. Or, cela varie ´enorm´ement d’un compos´e a ` l’autre. La description de cette ph´enom´enologie se fait de fa¸con plus compacte dans le cadre de la th´eorie de Landau Ginsburg. L’id´ee de base est la suivante : cr´eer une interface entre une r´egion normale et une r´egion supra permet de gagner de l’´energie magn´etique mais impose de perdre de l’´energie supra. Si ξ0 >> λ, le coˆ ut de l’interface elle-mˆeme est grand, et on en cr´ee le moins possible. Par contre, si ξ0 << λ, une interface rapporte de l’´energie et le domaine normal est petit, le champ magn´etique peut p´en´etrer pour des valeurs beaucoup plus petites que Hc . Pour augmenter la surface en conservant un volume tr`es petit, le champ magn´etique p´en`etre sous la forme de petits cylindres appel´es vortex. Pour fixer les id´ees, supposons que la densit´e d’´energie de condensation d´ecroisse avec ξ0 - nous verrons plus loin que c’est le cas - et faisons une estimation grossi`ere de l’´energie d’une interface. La supraconductivit´e doit ˆetre d´etruite sur une distance de l’ordre de ξ0 . En effet, d’apr`es la relation d’incertitude de Heisenberg, ∆p∆x ≥ ~ Mais pour construire un paquet d’onde pour un ´electron supra, on doit avoir F − ∆ <

p2 < F + ∆ avec 2m

F =

p2F 2m

Posons p22 = F + ∆ 2m et p21 = F − ∆ 2m 1 2 1 (p2 − p21 ) = (p2 − p1 ) (p2 + p1 ) = 2∆ 2m 2m | {z } | {z } ∆p

2pF

⇒ ∆p = 2

2∆ ∆m = pF vF

⇒ ∆x ≥

~vF ' ξ0 2∆

Il est donc impossible de localiser la particule sur une distance inf´erieure a ` ξ0 , et l’´etat supraconducteur doit ˆetre affect´e sur des distances de l’ordre de ξ 0 .

117

Estimation de l’´energie d’interface : ξ0 >> λ

∆

H

ξ 0

H2 ξ0 E = ξ0 − Econd > 0 pour S 8π 2

H = Hc

ξ0 << λ

∆

H

λ

H2 λ E = − Econd λ < 0 pour S 8π 2

H = Hc

Le champ p´en`etre alors sous forme de vortex pour H < Hc . 118

5.7

Le mod` ele de Landau-Ginsburg :

La description la plus efficace des propri´et´es macroscopiques des supraconducteurs est apparue avant la th´eorie BCS. Elle est due a ` Landau et Ginsburg qui ont postul´e en 1951 la forme de l’´energie libre en fonction d’un param`etre d’ordre complexe qui devait d´ecrire : – la densit´e supraconductrice via |Ψ|2 – le couplage au champ ´electromagn´etique via sa phase χ ~0 = A ~ + ∇χ ~ ⇒ Ψ0 = Ψeie∗ hc A

par transformation de jauge. La densit´e d’´energie libre s’´ecrit donc : ! 2 ~ β B2 1 e∗ A 4 ~ f = fn + α|Ψ| + |Ψ| + Ψ + −i~∇ − 2 2m c 8π 2

Les deux premiers termes sont les termes habituels dans un d´eveloppement de type Landau, le troisi`eme terme est la forme du gradient invariante par transformation de jauge pour un param`etre d’ordre complexe. Depuis l’apparition de cette th´eorie, on a d´emontr´e par des techniques du type fonction de Green (Gorkov, 1959) que cette forme de l’´energie libre ´etait une cons´equence de BCS, avec notamment e∗ = 2e. Cette d´emonstration sort du cadre de ce cours, mais l’identification de Ψ avec naturellement P ∆ conduit + + V < c c a ` cette forme. En effet, nous savons que ∆ = N k k,↑ −k,↓ > pouvait a priori prendre des valeurs complexes. Pour un syst`eme homog`ene en l’absence de champ magn´etique, la phase ne joue aucun rˆ ole. Elle disparaˆıt dans toutes les propri´et´es physiques et elle est constante. C’est pourquoi on a choisi la solution r´eelle. Par contre, en pr´esence d’un champ magn´etique, la phase de la fonction d’onde est reli´ee au choix de jauge. En effet, l’´equation de Schr¨ odinger d’une particule libre en pr´esence d’un champ magn´etique s’´ecrit : HΨ =

1 e~ 2 (~ p − A) Ψ = EΨ 2m c

Faisons le changement de jauge ~0 = A ~ + ∇χ(~ ~ r) A L’´equation de Schr¨ odinger 1 e ~0 2 (~ p− A ) Φ = EΦ 2m c ie

est satisfaite pour Φ(~r) = e ~c χ(~r) Ψ(~r). D´emonstration :

119

ie χ(~ r) ~ − eA ~ 0 )e ~c = (−i~∇ Ψ(~r) c e ~0 ie ~ ~c χ(~r) Ψ(~r)) = − A Φ(~r) − i~∇(e c ie ~ ie e ~0 ~ r) Φ(~r) − (i~ ∇χ(~ r ))Φ(~r) + e ~c χ(~r) (−i~∇)Ψ(~ = − A c ~c ie e~ ~ r ) + e ~c χ(~r) (−i~∇)Ψ(~ = − AΦ(~ r) c ie e~ = e ~c χ(~r) (~ p − A)Ψ(~ r) c ~ 0 ), mais en ~ − eA Pour obtenir l’hamiltonien, il faut de nouveau appliquer (−i~∇ c faisant le prosuit scalaire. Supposons qu’on ait un vecteur, et non un scalaire : ie e ~ 0 ie χ(~r) ~ ie χ(~ r) ~ χ(~ r) ~ ~ 0 )e ~c ~ ~c ~ − eA e ~c F (~r) = − A F (~r) − i~∇(e F (~r)) (−i~∇ c c ~ · (pA) ~ = p∇ ~ ·A ~+A ~ · ∇p ~ Mais ∇  ie  ie ie χ(~ r) ~ e ~c χ(~r) F~ (~r) ~ · F~ (~r) + F~ (~r) · ∇e ~ ~c ⇒∇ = e ~c χ(~r) ∇

~ 0 )Φ(~r) ~ − eA (−i~∇ c

ie ie χ(~ r ) ie ~ ~ · F~ (~r) + e ~c = e ~c χ(~r) ∇ ∇χ(~r) · F~ (~r) ~c ie

⇒ H 0 Φ = e ~c χ(~r) HΨ ie

= e ~c χ(~r) EΨ = EΦ

CQF D

Cette propri´et´e se traduit par le fait que l’´energie cin´etique Z 1 e~ 2 Ψ∗ (~r) (~ p − A) Ψ(~r)d~r 2m c est invariante par transformation de jauge.

On pourrait de mˆeme d´emontrer que pour le gap ∆, la forme de l’´energie qui est invariante par transformation de jauge fait intervenir le gradient dans l’expression : 2 ~ 2e A 1 ~ − )∆ (−i~∇ 2m c

~ r) L’´energie libre de Landau-Ginsburg est donc une fonctionnelle des chamsp A(~ et Ψ(~r) donn´ee par :   2 Z 2 ~ ~ Ψ] = d~r α|Ψ|2 + β |Ψ|4 + 1 (−i~∇ ~ − 2eA )Ψ + B  F [A, 2 2m c 8π ~ est hermitique, Comme p~ − ec A Ecin

= =

1 2m

Z

e~ 2 Φ∗ (~r)(~ p − A) Φ(~r)d~r c Z 2 ~ 2eA 1 p− )Φ(~r) d~r (~ 2m c 120

Comme le potentiel vecteur et le param`etre d’ordre peuvent tous les deux varier dans un supraconducteur, il est naturel de minimiser l’´energie libre par rapport aux deux champs. La technique pour d´eterminer les ´equations est l’extension de celle utilis´ee pour ´etablir les ´equations de Lagrange a ` partir du principe de moindre action. ~ du potentiel vecteur : Commen¸cons par une variation δ A ~ + δ A] ~ = F [A + ' + +

2  ~ + δ A) ~ ~ A rot(

  β d~r α|Ψ|2 + |Ψ|4 8π 2 ! ! Z ~ ~ ~ + δA ~ A + δA A d~r ∗ ∗ ~ ~ −i~∇Ψ − 2e Ψ i~∇Ψ − 2e Ψ 2m c c ! Z ~ " ~ δ A A −2e ∗ ∗ ~ + ~ F [A] Ψ i~∇Ψ − 2e Ψ 2m c c !# ~ −2e ∗ ~ − 2e A Ψ Ψ −i~∇Ψ d~r c c Z ~ · rotδ ~ ~ A) ~ A (rot 4π Z

d~r +

Z

~ × B) ~ =B ~ · rot ~−A ~ · rot ~ ~ A ~ B Mais div(A ~ · rotδ ~ = rot ~ · δA ~ + div(δ A ~ × B) ~ ~ A ~ B ⇒B et Z

~ × B) ~ = div(δ A

Z Z

S

~ × B)dσ ~ ~n · (δ A

~ = ~0 a On peut se limiter a ` des variations telles que δ A ` la surface des supraconducteurs. Du coup, Z

~ · rotδ ~ ~ A 1 B = 2m 4π

Z

~ · δA ~ ~ B 1 rot 2m 4π

~ + δ A] ~ − F [A] ~ soit nul pour tout δ A, ~ il faut donc que rot ~ = ~ B Pour que F [A avec   2~ ~ − Ψ∇Ψ ~ ∗ − 4e A Ψ∗ Ψ ~j = −ei~ Ψ∗ ∇Ψ m mc

4π ~ c j

Effectuons maintenant une variation autour de Ψ. Pour une fonction d’une variable complexe f (z, z¯), dire que les variations sont nulles signifie en principe que si z = reiθ , ( ( ( ∂f ∂f ∂f iθ ∂f −iθ =0 ∂r = 0 ⇒ ∂z e + ∂ z¯ e ∂z = 0 ⇒ ∂f ∂f ∂f ∂f iθ −iθ =0 ∂θ = 0 ⇒ ∂z i re + ∂ z¯ (−i r)e ∂ z¯ = 0 si r 6= 0. 121

∂F Exprimons donc F en fonction de (Ψ, Ψ∗ ), et ´ecrivons ∂Ψ ∗ = 0   Z 1 2e ~ 2e ~ ∗ B 2 β 2 ∗2 ∗ ~ ~ (−i~∇ − A)Ψ(i~∇ − A)Ψ + F = d~r αΨΨ + Ψ Ψ + 2 2m c c 8π

F (Ψ, Ψ∗ + δΨ∗ ) = F (Ψ, Ψ∗ )  Z 1 ~ − 2e AΨ) ~ + d~r αΨ + β|Ψ|2 Ψ + (−i~∇Ψ 2m c  2e ~ ~ × (i~∇ − A) δΨ∗ = 0 c Faisons une int´egration par partie sur le dernier terme ∗ ~ ∇δΨ ~ ~ ~ ∇Ψ = div(δΨ∗ ∇Ψ) − δΨ∗ div ∇Ψ } | {z ∆Ψ

o` u l’on a utilis´e la relation de la page 119. Ainsi, Z Z Z ~ ∇δΨ ~ ∗ = ~ ∇Ψ div(δΨ∗ ∇Ψ) − δΨ∗ ∆Ψ Z Z ∗ ~ δΨ ~n∇Ψ − δΨ∗ ∆Ψ = S

R

~ = 0 si on se limite a ` des variation de δΨ∗ qui sont nulles a ` la Mais S δΨ∗~n∇Ψ surface. Du coup, Z Z h i ~ 2 Ψ δΨ∗ ~ ~ ∗= (−i~)2 ∇ −i~∇Ψ.i~ ∇δΨ Par ailleurs,

Z

∗ ~ Ψ∇δΨ

= − = −

R

Z

Z

~ + δΨ∗ ∇Ψ ~ + δΨ∗ ∇Ψ

Z

Z

∗ ~ ∇(ΨδΨ )

~n(ΨδΨ∗ )dσ S

~n(ΨδΨ∗ )dσ = 0 si δΨ∗ = 0 a ` la surface. Ainsi, ! ! Z ~ ~ 2eA 2eA ~ ~ d~r −i~∇Ψ − δΨ∗ Ψ i~∇ − c c   !2 ! Z ~ ~ ~ 2eA 2eA ~ ~ 2 Ψ + − 2eA ~  δΨ∗ (−i~)∇Ψ = d~r (−i~∇) ∇Ψ − Ψ − i~ − c c c

Mais

=

S

Z

d~rδΨ

∗

~ ~ − 2eA −i~∇ c

!2

Ψ

Pour que F (Ψ, Ψ∗ + δΨ∗ ) − F (Ψ, Ψ∗) = 0 au premier ordre en δΨ∗ , il faut donc que 2  1 ~ Ψ=0 ~ − 2e A αΨ + β|Ψ|2 Ψ + −i~∇ 2m c 122

Les deux ´equations obtenues (celle-ci et celle donnant le courant ~j en fonc~ s’appellent les ´equations de Landau-Ginsburg. Elles constituent tion de Ψ et A) la base de la description des propri´et´es macroscopiques des supraconducteurs. Ces ´equations contiennent deux longueurs caract´eristiques qui d´ependent de α et β. Pour s’en rendre compte, ´etudions des solutions particuli`eres : 1) Supposons que le champ ext´erieur soit nul. Dans le volume du mat´eriau, Ψ satisfait l’´equation αΨ + β|Ψ|2 Ψ −

~2 ∆Ψ = 0 2m

En accord avec la th´eorie de Landau des transitions de phase, α = α0 (T − TC ), < 0 si T < TC et > 0 si T > TC . L’´equation pr´ec´edente poss`ede en g´en´eral deux solutions ´evidentes : – Ψ = 0 (∀T ) e que Ψ ´etait r´eel pour – Ψ2 = − α β si α < 0, i.e. si T < Tc (On a suppos´ simplifier). q Dans la phase supraconductrice, il existe donc une solution Ψ0 = −α β 6= 0.

Consid´erons maintenant une interface z = 0 avec une r´egion normale et supposons toujours Ψ r´eel. L’´equation diff´erentielle s’´ecrit : − 2

~2 00 Ψ + αΨ + βΨ3 = 0 2m

2

o` u Ψ00 = ∂∂zΨ2 = ddzΨ2 puisque Ψ ne d´epend que de z. Si on multipie par Ψ0 et qu’on int`egre, il vient − ⇒

~2 00 0 Ψ Ψ + αΨΨ0 + βΨ3 Ψ0 = 0 2m ~2 0 2 α 2 β 4 − Ψ + Ψ + Ψ = cste 4m 2 4

Pour que cette ´equation ait une solution Ψ2 =

−α β

pour z → ∞, il faut que :

β α2 −α2 + = cste 2β 4 β2 2

soit cste = − α 4β

⇒

~2 0 2 Ψ 4m

= = =

β 4 α 2 α2 Ψ + Ψ + 4 2 4β   α2 β 2α 2 4 Ψ + 2 Ψ + 4 β β  2 β α Ψ2 + 4 β 123

√   α − βm Ψ2 + ~ β r z −α Ψ = tanh √ β 2ξ √ (le 2 est conventionnel). En effet soit ξ = √ ~ ⇒ Ψ0

avec ξ 2 =

~2 2m|α|

=

2m(−α)

Ψ

0

r

  −α 1 2 z √ 1 − tanh √ = β 2ξ 2ξ p r   β 2 −α m(−α) 1+ Ψ = β ~ α √   βm α = − Ψ2 + ~ β

Ψ

−α β ξ

z

Cette longueur est l’analogue de la longueur de coh´erence de Pippard a ` basse temp´erature, mais le comportement critique de ξ(T ) ∼ √T 1 −T dans le mod`ele C de Landau-Ginsburg est diff´erent. √ Il est en accord avec la d´etemination microscopique de ξ = ~v∆F avec ∆(T ) ∼ TC − T . 2) Supposons qu’on applique un champ magn´etique tr`es petit, donc un potentiel vecteur variant tr`es lentement avec la distance. Ψ reste essentiellement constant, et ~j est a ` peu pr`es donn´e par 2 ~ ~j = −4e |Ψ0 |2 A mc

Pour s’en convaincre, on ´ecrit localement ~ r) = A(~

~ r) ~ 0 +δ A(~ A |{z}

uniforme

~ r ). A l’ordre 0, Ψ est uniforme d’apr`es la et on fait un d´eveloppement en δ A(~ deuxi`eme ´equation de Landau-Ginsburg, et le r´esultat annonc´e d´ecoule de la 124

premi`ere. Or cette ´equation est l’´equation de London, avec −

c −4e2 −α = 4πλ2 mc β

⇒ Comme ξ, λ ∼

√ 1 TC −T

1 16πe2 −α = λ2 mc2 β

quand T → TC .

Cette description est donc qualitativement en accord avec les consid´erations pr´ec´edentes sur l’´electrodynamique des supraconducteurs. ole d´eterminant Nous allons maintenant voir que le rapport κ = λξ joue un rˆ dans les propri´et´es d’un supraconducteur. Notons tout d’abord qu’en l’absence ~ = ~o) et pour une solution uniforme, le champ critique Hc est de champ (A d´etermin´e par   Hc2 β = − α|Ψ|2 + |Ψ|4 8π 2   α2 −α β α2 + = = − α 2 β 2β 2β 2 4πα ⇒ Hc2 = β Supposons maintenant qu’on vienne d’une r´egion de champ tr`es fort, o` u la solution Ψ = 0 est stable, et ´etudions a ` partir de quel champ il existe une solution des ´equations de Landau-Ginsburg avec Ψ 6= 0. Plus exactement, ´etudions la stabilit´e de Ψ = 0 en cherchant s’il existe des solutions Ψ tr`es petit plus stables. Si on se limite a ` l’ordre lin´eaire en Ψ, on trouve l’´equation 2  1 ~ Ψ = −αΨ ~ − 2e A −i~∇ 2m c Cette ´equation est similaire a ` l’´equation de Schr¨ odinger pour une particule de ~ Les niveaux d’´energie charge 2e dans un champ magn´etique H d´ecrit par A. sont connus et sont donn´es par   1 n+ ~ωc 2 o` u ωc est la fr´equence cyclotron ωc =

2eH mc

c 5~ωc Or, les valeurs propres de l’op´erateur sont ~ω2 c , 3~ω es 2 , 2 , ... Lorsque H est tr` ~ωc grand, 2 > −α, et la seule solution est Ψ = 0. Mais si H diminue, il y a une

125

solution d`es que ~ω2 c = −α. On trouve donc une autre solution que Ψ = 0 d`es que H < Hc2 avec 1 2eHc2 ~ = −α 2 mc ⇒ Hc2 =

−αmc ~e

Ce champ n’est pas directement reli´e a ` Hc , et deux cas de figure peuvent se pr´esenter : Hc2 > Hc : Pour Hc < H < Hc2 , il n’est pas avantageux pour le syst`eme d’ˆetre partout supraconducteur, mais il est avantageux de former des solutions du type pr´ec´edent. Ces solutions ne peuvent pas correspondre a ` une expulsion globale du champ magn´etique puisque H > Hc , mais des portions de l’´echantillon restent supraconductrices. La structure de la solution globale pour Ψ ne peut ˆetre trouv´ee sans aller au del` a de la lin´earisation. En effet, les niveaux de Landau sont d´eg´en´er´es, et ce sont les termes qui l`event la d´eg´en´erescence qui vont d´eterminer la forme de la solution de basse ´energie. Un calcul incluant des termes d’ordre sup´erieur permet de montrer que ces r´egions forment un r´eseau perpendiculaire a ` la surface de l’´echantillon (H ⊥ surface) laissant des cylindres de m´etal normal. Ces cylindres s’appellent des vortex, et en g´en´eral ils forment un r´eseau triangulaire. La condition Hc2 > Hc s’´ecrit encore r −αmc 4π > (−α) ~e β soit p β>

Mais λ κ= ξ

= =

L’in´egalit´e s’´ecrit donc

√ 4π~e mc

√ √ p 2m(−α) mc β √ √ ~ 4 πe −α √ p mc β mc 1 √ √ √ = β√ ~e2 2 π 4π~e 2 1 κ> √ 2

En d’autres termes,

Hc2 Hc

=

√

2κ.

√ Donc, si ξ < 2λ, le syst`eme reste partiellement supraconducteur entre Hc et Hc2 . De tels supraconducteurs sont appel´es supraconducteurs de type II. Hc2 < Hc : Le syst`eme transite directement vers un ´etat supraconducteur. De tels supraconducteurs sont dit de type I.

126

5.8

La quantification du flux :

Supposons que l’on soit a ` l’int´erieur d’un supraconducteur dans une r´egion o` u l’amplitude du param`etre d’ordre est a ` sa valeur d’´equilibre. Si l’on ´ecrit Ψ = |Ψ|eiφ les seules variations possibles sont associ´ees a ` la phase, et le courant prend une forme particuli`ere : ~ = |Ψ|i∇φe ~ iφ = Ψi∇φ ~ ∇Ψ ⇒ ~j

= − =

 −ei~  ∗ ~ ~ Ψ Ψi∇φ − ΨΨ∗ (−i∇φ) m 4e2 2 ~ |Ψ| A mc   2e ~ 2e~ 2 ~ |Ψ| ∇φ − A m ~c

(5.2)

Mais a ` l’int´erieur du supraconducteur, ~j = ~0 I ~j · d~l = 0 ⇒ I I ~ · d~l = 2e A ~ · d~l ∇φ ⇒ ~c | {z } | {z } 2nπ

R

~ S ~ ~ A·d rot

Le premier terme doit ` 2πn pour que le param`etre d’ordre soit bien R ˆetre ´egal a ~ · dS ~ = Φ, o` ~ A d´efini. Par ailleurs, rot u Φ est le flux du champ magn´etique a ` ~ ~ ~ travers le contour vu que rotA = B. On en d´eduit que : Φ=n avec φ0 =

π~c e

=

π~c = nφ0 e

hc 2e .

Cons´equences : – P´en´etration du champ dans les supraconducteurs de type II : en dessous de Hc2 , il y a des tubes de l’´echantillon dans l’´etat normal. D’apr`es cette argument, le flux du champ doit ˆetre un multiple de φ0 . Comme par ailleurs le syst`eme a interˆet a ` avoir un rapport surface / volume normal maximum, il est plus interessant pour faire passer 2φ0 de cr´eer deux vortex ayant chacun φ0 qu’un seul ayant 2φ0 . Le champ p´en`etre donc sous la forme de vortex correspondant a ` un flux hc 2e . – Si la charge des porteurs effectifs ´etait e, comme Landau et Ginsburg l’avaient suppos´e, et non 2e, le flux serait quantifi´e en multiple de hc e et non hc . La mesure de la p´ e riodicit´ e de diff´ e rentes quantit´ e s en fonction du 2e flux a d´emontr´e clairement que le flux ´etait ´egal a ` hc . En particulier si un 2e 127

anneau supraconducteur est plong´e dans un champ magn´etique parall`ele a ` l’axe de l’anneau, des courants apparaissent a ` la surface de l’´echantillon pour ramener le flux a ` un multiple entier de φ0 :

φ int φ 0 φ

3 2 1 φext φ 0

1/2

– Existence de courant permanents : si on fait passer un courant dans un anneau supraconducteur, ce courant doit cr´eer un champ dont le flux est de la forme nφ0 . Pour d´ecroˆıtre, ce courant doit passer une barri`ere de potentiel pour acc´eder a ` l’´etat (n − 1)φ0 , ... etc ... Or, cette barri`ere de potentiel est tr`es haute car le syst`eme doit passer par des ´etats qui ne sont plus globalement supraconducteurs. La probabilit´e est donc tr`es faible, et le courant peut persister sans d´ecroˆıte de fa¸con significative sur des dur´ees de l’ordre de plusieurs ann´ees.

5.9

Effet Josephson :

Consid´erons deux supraconducteurs en contact a ` travers une r´egion normale

S

N

S

et essayons de faire passer du courant a ` travers la jonction. Le plus naturel, puisque l’on doit passer par un ´etat normal, est de faire passer des ´electrons individuels. Mais pour disposer d’au moins un ´electron non appari´e, il faut casser une paire et cr´eer deux particules de Bogolioubov, ce qui coˆ ute au moins 2∆ au total (∆ pour chaque particule). 128

Ek

∆ k

Pour faire une excitation dans le syst`eme, il faut donc appliquer une tension electron. On s’attend donc a ` mesurer une caract´eristique V = 2∆ e pour exciter un ´ courant-tension du type : I

V 2∆

Autrement dit, si on fait passer un courant mˆeme tr`es petit dans l’´echantillon, on devrait s’attendre a ` provoquer une chute de potentiel au moins ´egale a ` 2∆. En 1962, Josephson a provoqu´e une r´evolution dans le monde de la supraconductivit´e en sugg´erant qu’un autre type de courant pouvait circuler a ` travers la jonction, a ` savoir un courant de paires, et que ce courant pouvait circuler sans provoquer de chute de potentiel. Le calcul original de Josephson a ´et´e fait dans le cadre de la th´eorie BCS, en ´etudiant les effets de second ordre d’un Hamiltonien de tunneling d´ecrivant le passage des ´electrons par effet tunnel a ` travers une jonction isolante. Mais cet effet peut se comprendre de fa¸con plus simple dans le cadre de la th´eorie de Landau-Ginsburg. L’id´ee de base est tr`es simple. Revenons a ` l’expression du courant supraconducteur en fonction du param`etre d’ordre. Le calcul de la section pr´ec´edente 129

~ est ´egal a montre que, si A ` ~0, et en l’absence de potentiel, un courant peut circuler si la phase du param`etre d’ordre varie spatialement : ~ ~j = 2e~ |Ψ|2 ∇φ m A l’´equilibre thermodynamique, et dans un supraconducteur simplement connect´e, cette variation de phase coˆ ute beaucoup trop d’´energie et le courant est nul. Mais si on consid`ere une jonction, la phase peut changer de part et d’autre de la jonction. Si le param`etre d’ordre ne s’annule pas compl`etement dans la jonction, ce qui sera le cas si la jonction n’est pas trop grande et que les ´electrons peuvent passer par effet tunnel, un courant supraconducteur peut a priori passer. Pour trouver l’expression de ce courant, on ne peut bien sˆ ur pas n´egliger la variation d’amplitude de Ψ. Le calcul le plus simple consiste a ` revenir a ` l’´equation de Landau Ginsburg pour Ψ : −~2 ∆Ψ + αΨ + β|Ψ|2 Ψ = 0 2m Dans la jonstion, Ψ varie vite et le terme ∆Ψ domine ⇒ ∆Ψ = 0 Supposons que la phase soit φ1 dans le supraconducteur de gauche, φ2 dans celui de droite, et qu’il s’agisse du mˆeme supraconducteur de sorte que l’amplitude soit la mˆeme dans le volume Ψ(~r) = eiφ1 |Ψ0 | loin a ` gauche et Ψ(~r) = eiφ2 |Ψ0 | loin a ` droite. Cherchons Ψ sous la forme   Ψ(~r) = |Ψ0 | f (~r)eiφ1 + (1 − f (~r))eiφ2 o` u f (~r) est une fonction r´eelle. Il vient


|Ψ0 | eiφ1 − eiφ2 ∆f = 0

∆Ψ = 0 ⇒ ∆f = 0 si φ1 6= φ2 .

Dans ce cas, le courant est donn´e par   ~ − Ψ∇Ψ ~ ∗ ~j = −ei~ Ψ∗ ∇Ψ m Ψ∗ = |Ψ0 |f (~r)e−iφ1 + (1 − f (~r))e−iφ2 ~ = |Ψ0 |∇f ~ (~r) eiφ1 − eiφ2 ∇Ψ




 
~ ~ (~r) f (~r)e−iφ1 + (1 − f (~r))e−iφ2 eiφ1 − eiφ2 Ψ∗ ∇Ψ = |Ψ0 |2 ∇f   ~ (~r) f − f e−iφ1 +iφ2 − (1 − f ) + (1 − f )e−iφ2 +iφ1 = |Ψ0 |2 ∇f ~ ∗ Ψ∇Ψ

~ ∗ = (Ψ∗ ∇Ψ) 130

~ − Ψ∇Ψ ~ ∗ ⇒ Ψ∗ ∇Ψ

~ (~r)[−f e−iφ1 +iφ2 − eiφ1 −iφ2 = |Ψ0 |2 ∇f
+ (1 − f ) e−iφ2 +iφ1 − eiφ2 −iφ1 ] ~ (~r)(e−iφ2 +iφ1 − eiφ2 −iφ1 ) = |Ψ0 |2 ∇f




~ (~r) = 2i sin(φ1 − φ2 )|Ψ0 |2 ∇f

2e~ ~ sin(φ1 − φ2 ) |Ψ0 |2 ∇f m Le courant maximum est obtenu lorsque φ1 − φ2 = π2 , et il est de l’ordre ⇒ ~j =

1 2e~ |Ψ0 |2 m L ~ est de l’ordre de 1/L puisque f varie o` u L est la largeur de la jonction (∇f essentiellement dans la jonction). jc =

Si l’on fait passer un courant a ` travers une jonction (SNS’) et qu’on mesure la tension, on s’attend donc a ` trouver V

−> jc

−> j

Les applications de l’effet Josephson sont consid´erables. En particulier, le courant d´epend aussi du champ magn´etique, et si l’on construit deux jonctions suivant le sch´ema N1

S

S’

N2

131

on peut montrer que le courant maximum est une fonction p´eriodique du flux φ qui traverse l’anneau, de p´eriodicit´e φ0 . Mais φ0 = 10−10 G/cm2 . On peut donc d´etecter des changements de champ de l’ordre de 10−9 Gauss. C’est de tr`es loin le magn´etom`etre le plus sensible.

132

Annexe A

Seconde quantification A.1

Introduction

Lorsqu’on s’int´eresse a ` des syst`emes de particules en interaction, on est oblig´e de consid´erer des fonctions d’onde a ` plusieurs particules. Or le principe d’indiscernabilit´e des particules impose de travailler avec des fonctions d’ondes qui soient sym´etriques (bosons) ou antisym´etriques (fermions) dans l’´echange des coordonn´ees de deux particules. En effet, consid´erons un syst`eme de deux particules. Comme elles sont indiscernables, l’´echange des coordonn´ees ne peut pas conduire a ` des propri´et´es physiques diff´erentes. Les deux fonctions d’onde ne peuvent donc diff´erer que d’un facteur de phase : ψ(x1 , x2 ) = eiα ψ(x2 , x1 ) Mais si on fait deux fois cette op´eration, on retombe sur la mˆeme fonction ⇒ e2iα = 1 ⇒ eiα = ±1 → +1 bosons → −1 fermions Du coup, si on d´esigne par {ψi (x)} une base de fonctions d’onde a ` une particule, on ne peut pas se contenter d’utiliser Ψ(x1 , . . . , xN ) = ψi1 (x1 ) . . . ψiN (xN ) comme base de l’espace de Hilbert a ` N particules. Il faut construire des fonctions d’ondes a ` N particules qui soient totalement sym´etriques ou totalement antisym´etriques dans l’´echange des coordonn´ees. Remarque : On peut construire d’autres statistiques que celles des fermions et des bosons. Par exemple, a ` 2D, l’´echange des coordonn´ees peut se faire de deux fa¸cons topologiquement diff´erentes (voir figure A.1). On ne revient a ` l’´etat initial que si on applique successivement (1) et (2) ⇒ ei(α1 +α2 ) = 1 ⇒ α2 = −α1 Mais on peut avoir α1 6= 0, π ⇒ anyons. Cette statistique d´ecrit de fa¸con approximative les excitations d’un gaz d’´electrons 2D en pr´esence d’un champ magn´etique intense (effet Hall quantique fractionnaire). 133

(1)

ou (2)




   Fig. A.1 –

A.2

Bosons

A.2.1

Espace de Fock

Commen¸cons par le cas de deux particules. La fonction d’onde Ψ(x1 , x2 ) = ψi (x1 )ψi (x2 ) est sym´etrique et est donc acceptable. A partir de deux ´etats i et j diff´erents, il faut construire la fonction d’onde 1 Ψ(x1 , x2 ) = √ [ψi (x1 )ψj (x2 ) + ψj (x1 )ψi (x2 )] 2 pour obtenir une fonction d’onde sym´etrique. De fa¸con g´en´erale, une fonction d’onde a ` N particules est d´efinie par le nombre de fois Ni qu’une fonction d’onde donn´ee i apparaˆıt. La fonction d’onde s’´ecrit alors Ψ(x1 , . . . , xN ) = √

X 1 ψiP (1) (x1 ) . . . ψiP (N ) (xN ) Norm P

(A.1)

la somme sur P portant sur toutes les permutations des entiers i1 . . . iN qui conduisent a ` un terme diff´erent. Autrement dit, si deux permutations ne diff`erent que par des permutations a ` l’int´erieur de familles d’indices ´egaux entre eux, elles ne conduisent qu’` a un seul terme dans la d´efinition de fonction d’onde. Le nombre de ces permutations (= nombre de termes dans A.1) est ´egal a `: N! N1 !N2 ! . . . avec la convention Ni ! = 1 si Ni = 0, et bien sˆ ur

P

Ni = N . Par ailleurs, comme

i

les ψi sont orthogonales entre elles, chaque terme donne 1 avec lui-mˆeme et 0 avec les autres termes dans le calcul de hΨ|Ψi. Ainsi, 1 √ = Norm



N1 !N2 ! . . . N!

 21

Exemple : 3 particules en occupant 2 fois ψ1 et une fois ψ2 . ψ1 (x1 )ψ1 (x2 )ψ2 (x3 ) + ψ1 (x1 )ψ1 (x3 )ψ2 (x2 ) + ψ1 (x2 )ψ1 (x3 )ψ2 (x1 ) 134

3! 2!1!

⇒ Norm = 3. Formule g´en´erale :

=3

Comme la fonction d’onde est enti`erement d´efinie par la donn´ee des entiers Ni , on peut la repr´esenter par le ket : |N1 , N2 , . . .i (espace de Fock)

A.2.2

Oscillateur harmonique

1 p2 + mω 2 x2 [x, p] = i~ 2m 2 p  X = mω ~ x 1. Changement de variables : 1 P = √m~ω p H=

⇒H = 2.

(

a a+

= =

~ω 2 (X + P 2 ) 2

√1 (X 2 √1 (X 2

+ iP ) ⇒ − iP )

(

[X, P ] = i

X P

= =

√1 (a+ 2 √i (a+ 2

+ a) − a)

3. [a, a+ ] = 1 1 a a = (X 2 + P 2 − 1) ⇒ H = 2 +



1 a a+ 2 +



~ω

4. Soit N = a+ a, et soit |ϕν i une fonction telle que N |ϕν i = ν|ϕν i. Etablissons un certain nombre de propri´et´es : – Si ν est valeur propre de N , alors ν > 0. En effet, hϕ|a+ a|ϕi = ka|ϕik2 > 0 – Si ν = 0, alors a|ϕν i = 0 En effet, ν = 0 ⇒ ka|ϕν ik2 = 0 ⇒ a|ϕν i = 0 – Si ν > 0, alors a|ϕν i est vecteur propre de N de valeur propre ν − 1. En effet, a+ aa|ϕν i = (aa+ − 1)a|ϕν i

= a a+ a|ϕν i −a|ϕν i | {z } ν|ϕν i

= (ν − 1)a|ϕν i

Comme les valeurs propres sont positives ou nulles, elles doivent ˆetre enti`eres, sans quoi par applications successives de l’op´erateur a on engendrerait des ´etats de valeur propre n´egative. – a+ |ϕν i est toujours non nul. En effet, ka+ |ϕν ik2 = hϕν |aa+ |ϕν i = (ν + 1)hϕν |ϕν i. Or ν > 0 ⇒ ν + 1 > 0. – a+ |ϕν i est un vecteur propre de N de valeur propre ν + 1. En effet, a+ aa+ |ϕν i = a+ (a+ a + 1)|ϕν i = (ν + 1)a+ |ϕν i Finalement, ν peut prendre toutes les valeurs enti`eres positives ou nulles. 135

5. Le fondamental est non d´eg´en´er´e. C’est une propri´et´e de l’´equation diff´erentielle, dont la solution de plus basse ´energie est une gaussienne. Ainsi, tous les ´etats sont non d´eg´en´er´es. La notation usuelle consiste a ` remplacer |ϕn i par |ni. 6. Soient |ni et |n+1i deux ´etats norm´es. On sait, d’apr`es ce qui pr´ec`ede que a+ |ni ∝ |n + 1i. Afin de trouver le coefficent de proportionnalit´e, posons : a+ |ni = cn+1 |n + 1i

Prenons la norme de chacun des membres : |cn+1 |2 hn + 1|n + 1i = hn|aa+ |ni = hn|1 + a+ a|ni = n + 1 | {z } 1

⇒ cn+1 =

√

n+1

De mˆeme, en posant a|ni = cn−1 |n − 1i, on trouve : |cn−1 |2 = hn|a+ a|ni = n

Ainsi,

A.2.3



a+ |ni = a|ni =

√

⇒

cn−1 =

√ n

n+ √ 1 |n + 1i n |n − 1i

Lien entre bosons et oscillateurs harmoniques

Op´ erateurs de cr´ eation et d’annihilation Par analogie avec l’oscillateur harmonique, il est commode d’introduire des op´erateurs ´el´ementaires ai et a+ efinis par : i d´  √ Ni |N1 . . . Ni − 1 . . .i si Ni > 1 ai |N1 . . . Ni . . .i = 0 sinon p Ni + 1 |N1 . . . Ni + 1 . . .i a+ i |N1 . . . Ni . . .i =

Etudions les propri´et´es de ces op´erateurs : p a+ Ni a + i ai |N1 . . . Ni . . .i = i |N1 . . . Ni − 1 . . .i = Ni |N1 . . . Ni . . .i

a+ i ai

= Ni diagonal p ai a+ Ni + 1 ai |N1 . . . Ni + 1 . . .i i |N1 . . . Ni . . .i = ⇒

= (Ni + 1) |N1 . . . Ni . . .i

On en d´eduit :

⇒ a i a+ i = Ni + 1

+ ai a+ i − a i ai = 1  ai aj = a j ai  = a j a+ a+ si i 6= j i i aj + + +  ai aj = a + j ai  [ai , a+ j ] = δij soit finalement + [ai , aj ] = [a+ i , aj ] = 0

136

Op´ erateur ` a un corps Consid´erons un op´erateur a ` un corps sym´etris´e : X fˆ(1) Fˆ (1) = a

a

(1) o` u fˆa n’agit que sur la variable xa . Les ´el´ements de matrice de l’op´erateur fˆ s’´ecrivent : Z (1) fij = ψi∗ (x)fˆψj (x)dx (1) Calculons la valeur moyenne de Fˆ (1) entre deux ´etats. Comme fˆi n’agit que sur une variable a ` la fois, deux ´etats ne seront connect´es par Fˆ (1) que s’ils diff`erent au plus par la fonction agissant sur une variable. On a donc deux types d’´el´ements de matrice non nuls : ( P (1) hN1 . . . Ni . . . |Fˆ (1) |N1 . . . Ni . . .i = i fii Ni (1) √ (1) ˆ h. . . Ni . . . Nk − 1 . . . |F | . . . Ni − 1 . . . Nk . . .i = fik Ni Nk

D´emonstration hN1 N2 . . . |Fˆ (1) |N1 N2 . . .i =

X

(1)

fii Ni

i

(1) (1) N! termes. Pour chaque terme, hfˆa i = fia ia , o` u ia est l’indice de |N1 N2 . . .i contient N !N 1 2 !... la fonction φi de la variable xa . Comme les variables xa d´ecrivent toutes les fonctions φi de |N1 . . .i, il vient : X (1) X (1) h fˆa i = fii Ni a

i

o` u le membre de gauche est la valeur moyenne pour un terme. Comme cette valeur moyenne ne d´epend pas du terme dans la somme, on obtient le r´esultat cherch´e. p (1) N i Nk h. . . Ni . . . Nk − 1 . . . |Fˆ (1) | . . . Ni − 1 . . . Nk . . .i = fik

N! termes. Pour chacun de ces termes, il y a Le ket | . . . Ni − 1 . . . Nk . . .i contient ...N !(N i −1)! k P ˆ(1) (1) Nk termes dans la somme f qui contribuent a ` un ´el´ement de matrice fik donn´e. Par a a ailleurs, les coefficients de normalisation des bras et kets sont : r Nk !(Ni − 1)! | . . . Ni − 1 . . . Nk . . .i → N! r Ni !(Nk − 1)! h. . . Ni . . . Nk − 1 . . . | → N! (1)

Donc le coefficient de fik s’´ecrit : N! . . . Nk !(Ni − 1)! . . . | {z }

r

nombre de termes dans le ket

ce qui donne finalement

Nk |{z} | nombre d’op´erateurs dans (1) Fˆ (1) qui donnent fik

r . . . Nk !(Ni − 1)! . . . . . . (Nk − 1)!Ni ! . . . N! N! {z }

√ N i Nk .

L’op´erateur Fˆ (1) peut donc s’´ecrire : Fˆ (1) =

X

(1)

fik a+ i ak

ik

137

coefficients de normalisation

D´emonstration El´ements diagonaux hN1 N2 . . . |a+ i ak |N1 N2 . . .i = 0 ⇒ hN1 N2 . . . |Fˆ (1) |N1 N2 . . .i

=

fii hN1 . . . |a+ i ai |N1 . . .i

X

fii Ni

i

=

si i 6= k

X

(1)

(1)

C.Q.F.D.

i

El´ements non diagonaux h. . . Ni Nk − 1 . . . |a+ j al | . . . Ni − 1Nk . . .i

=

h. . . Ni Nk − 1 . . . |a+ i ak | . . . Ni − 1Nk . . .i

=

0 sauf si l = k et i = j p Ni Nk C.Q.F.D.

Op´ erateur ` a deux corps De mˆeme, un op´erateur agissant sur deux particules s’´ecrit sous forme sym´etris´ee : X (2) Fˆ (2) = fˆ ab

a
et en seconde quantification :

1 X  ˆ(2) ik + + Fˆ (2) = ai ak am al f 2 lm iklm

avec

Z Z  ik (2) ˆ f = ψi∗ (x1 )ψk∗ (x2 )fˆ(2) ψl (x1 )ψm (x2 )dx1 dx2 lm

Finalement, l’espace de Fock lui-mˆeme peut se d´ecrire simplement a ` l’aide des op´erateurs de cr´eation et d’annihilation. En effet, par application successive de l’identit´e : a+ |N1 . . . Ni i |N1 . . . Ni + 1 . . .i = √ i Ni + 1 on peut ´ecrire :
Ni Y a+ i √ |N1 . . . Ni . . .i = |0i Ni ! i

o` u |0i est le vide, i.e. l’´etat sans particule. On aboutit donc a ` une formulation tr`es compacte du probl`eme a ` N corps dans laquelle les op´erateurs ont la mˆeme expression quel que soit le nombre de particules, et dans laquelle tout peut s’exprimer simplement en termes d’op´erateurs satisfaisant des r`egles de commutation tr`es simples.

A.3

Fermions

Dans le cas des fermions, la fonction d’onde doit ˆetre antisym´etrique. Une telle fonction ne peut se construire qu’` a partir de fonctions d’onde diff´erentes sous la forme d’un d´eterminant de Slater : ψp1 (x1 ) ψp1 (x2 ) . . . ψp1 (xN ) ψp2 (x1 ) ψp2 (x2 ) . . . ψp2 (xN ) 1 Ψ(x1 , . . . , xN ) = √ .. .. .. N! . . . ψpN (x1 ) ψpN (x2 ) . . . ψpN (xN ) 138

Dans l’espace de Fock, chaque ´etat est d´efini par un nombre d’occupation valant 0 ou 1 : |N1 . . . Ni . . .i Il y a une subtilit´e par rapport au cas des bosons. En effet, l’ordre des lignes donne le signe final dans le calcul du d´eterminant. Il faut donc classer les fonctions d’onde une fois pour toutes et s’y tenir. Le d´eterminant se calcule alors avec la convention : p1 < p 2 < . . . < p N Si on calcule les ´el´ements de matrice d’un op´erateur a ` un corps, on peut en principe s’inspirer du calcul pour les bosons avec Ni = 0 ou 1. Mais dans le calcul des termes non diagonaux, il apparaˆıt un signe du fait du d´eterminant : (1)

h1i 0k |F (1) |0i 1k i = fik (−1) avec

X

(k, l) =

P

l X

(i+1,k−1)

Nn

n=k

Du coup, si on veut repr´esenter cet op´erateur a ` l’aide d’op´erateurs cr´eation et annihilation, par analogie avec les bosons, il faut les d´efinir par : P  + ci |n1 , . . . , ni , . . .i = (−1)P(1,i−1) (1 − ni ) |n1 , . . . , ni + 1, . . .i ci |n1 , . . . , ni , . . .i = (−1) (1,i−1) ni |n1 , . . . , ni + 1, . . .i On en d´eduit ais´ement les r`egles d’anticommution suivantes :  + ≡ c+ {c+ i ck + ck ci = δik i , ck } + + {ci , ck } = {ci , ck } = 0 D´emonstration i=k c+ i ci |0i i

ci c+ i |0i i + ci ci |1i i

ci c+ i |1i i

=

0

=

ci (−1)

P

=

c+ i (−1)

=

0

⇒

(1,i−1)

P

|1i i = |0i i

(1,i−1)

|0i i = |1i i

+ c+ i ci + ci ci = 1

i
= =

+ c+ k ci |N1

. . .i

= =

(−1)N1 +...+Nk−1 c+ i (1 − Nk )|N1 . . . Nk + 1 . . .i

(−1)N1 +...+Nk−1 (−1)N1 +...+Ni−1 (1 − Ni )(1 − Nk )| . . . Ni + 1 . . . Nk + 1 . . .i

(−1)N1 +...+Ni−1 c+ k (1 − Ni )|N1 . . . Ni + 1 . . . Nk i

(−1)N1 +...+Ni−1 (−1)N1 +...+Ni +1+Ni+1 +...+Nk−1 (1 − Ni )(1 − Nk )| . . . Ni + 1 . . . Nk + 1 . . .i + + + + + + + ⇒ c+ i ck = −ck ci ⇒ ci ck + ck ci = 0

soit Idem pour {ci , c+ k } et {ci , ck }

+ {c+ i , ck } = 0

139

Quelques remarques sur les r`egles d’anticommutation : + • c+ i ci = ci ci = 0. C’est le principe de Pauli : deux fermions ne peuvent occuper le mˆeme ´etat quantique. • Par ailleurs, on a bien : N1 +...+Ni−1 +Ni+1 +...+Nk−1 + c+ ci |0i 0k i (Ni = 0) i ck |0i 1k i = (−1) N1 +...+Ni−1 +Ni+1 +...+Nk−1 = (−1) (−1)N1 +...+Ni−1 |1i 0k i

= (−1)

P (i+1,k−1)

⇒ Fˆ (1) • Enfin, N =

P

+ i ci ci

|1i 0k i X (1) fik c+ = i ck ik

v´erifie : X Ni |N1 . . .i = nombre de particules N |N1 . . .i = i

Pour les op´erateurs a ` deux particules, l’expression pour les bosons reste valable. Il faut faire attention cette fois a ` l’ordre des op´erateurs !

A.4

Op´ erateur champ

Il est tr`es commode d’utiliser des combinaisons lin´eaires des op´erateurs cr´eation et annihilation appel´es op´erateurs champ et d´efinis par :  P = ϕi (x)ai  Ψ(x) i P + ϕ∗i (x)a+  Ψ (x) = i i

ee une particule dans l’´etat de fonction Etant donn´e que l’op´erateur a+ i cr´ d’onde ϕi (x), l’op´erateur Ψ+ (x0 ) cr´ee une particule dans l’´etat de fonction d’onde δ(x − x0 ). Autrement dit, l’op´erateur champ cr´ee une particule au point x0 . D´emonstration hx|a+ i |0i = ϕi (x) X + ⇒ hx|Ψ (x0 )|0i = ϕ∗i (x0 )hx|a+ i |0i i

X

ϕ∗i (x0 )ϕi (x)

=

i

X

ϕ∗i (x0 )ϕi (x)

i

= δ(x − x0 )

En effet, d’apr`es la d´efinition de la “fonction” δ(x − x0 ), on doit avoir, pour toute fonction d’essai ϕ∗j (x), Z δ(x − x0 )ϕ∗j (x) = ϕ∗j (x0 ) Or,

Z X

ϕ∗i (x0 )ϕi (x)ϕ∗j (x) =

X i

i

140

ϕ∗i (x0 )δij = ϕ∗j (x0 )

Les formules permettant d’exprimer les op´erateurs a ` 1 et 2 particules prennent une forme tr`es simple : Z Fˆ (1) = Ψ+ (x)fˆ(1) Ψ(x)dx Z Z 1 (2) ˆ F = Ψ+ (x)Ψ+ (x0 )fˆ(2) Ψ(x0 )Ψ(x)dxdx0 2 o` u fˆ(1) et fˆ(2) agissent sur les fonctions de x et x0 . En effet, Z X + (1) ˆ ai aj ϕ∗i (x)fˆ(1) ϕj (x)dx F = ij

soit, Fˆ (1) =

X

(1)

fij a+ i aj

ij

Il en est de mˆeme pour Fˆ (2) . Les r`egles de commutation des op´erateurs champs se d´eduisent de celles des op´erateurs a+ ur diff´erentes pour les fermions et pour les i et ai . Elles sont bien sˆ bosons : • Bosons :   Ψ(x), Ψ+ (x0 ) = δ(x − x0 ) En effet :

  Ψ(x), Ψ+ (x0 )

=

X ij

=

X

ϕi (x)ϕ∗j (x0 ) [ai , a+ j ] | {z } δij

ϕi (x)ϕ∗i (x0 )

i

• Fermions :

= δ(x − x0 )   [Ψ(x), Ψ(x0 )] = Ψ+ (x), Ψ+ (x0 ) = 0 {Ψ(x), Ψ+ (x0 )} = δ(x − x0 )

{Ψ(x), Ψ(x0 )} = {Ψ+ (x), Ψ+ (x0 )} = 0

A.5

Application : ´ electrons en interaction

Consid´erons le probl`eme d’un gaz d’´electrons se d´epla¸cant dans un poten2 tiel U (r) et interagissant via l’interaction coulombienne V (r1 , r2 ) = |r1e−r2 | . Essayons de d´eterminer la forme de l’hamiltonien en seconde quantification.

A.5.1

Fonctions propres de r´ ef´ erence

La variable x = (r, σ) comprend dans le cas des ´electrons une partie position (r), et une variable de spin σ qui peut prendre les valeurs + 21 et − 21 . Dans notre fa¸con de construire des ´etats totalement sym´etriques ou totalement antisym´etriques, nous nous sommes r´ef´er´es a ` une fonction d’onde pour la variable x. 141

Pour la partie spatiale, le choix le plus commode est celui des ondes planes : 1 ϕk (r) = √ eik.r Ω o` u l’on se place dans une boˆıte de volume Ω. Les valeurs de k possibles sont discr`etes, et on a : Z ϕ∗k1 (r)ϕk2 (r)dr = δk1 ,k2 Ω

Pour la partie spin, il faut utiliser des fonctions d’onde. Comme ce n’est pas la fa¸con habituelle de proc´eder, explicitons la forme de ces fonctions d’onde dans le cas d’un spin 12 . Description habituelle 2 ´etats | ↑i et | ↓i S + | ↑i = 0 S − | ↑i = | ↓i S z | ↑i = ~2 | ↑i ~ z S − | ↓i = 0 S | ↓i = − 2 | ↓i S + | ↓i = | ↑i Sx =

S+ + S− 2

Sy =

S+ − S− 2i

Description par des vecteurs et des matrices

| ↑i → ~ S = 2 z



 1 0 0 −1 {z } | σz

σx , σy , σz : matrices de Pauli.



1 0



~ S = 2 x

| ↓i → 



 0 1 1 0 | {z }

0 1



~ S = 2 y

σx



 0 −i i 0 {z } | σy

Description par des fonctions d’onde On peut aussi repr´esenter les kets par des fonctions d’onde. Pour un spin 21 , la variable σ peut prendre 2 valeurs, disons 21 et − 21 . On peut alors d´efinir deux fonctions d’onde par : ( η+ 12 ( 12 ) = 1 η+ 21 (− 21 ) = 0 η− 21 ( 12 ) = 0 η− 21 (− 12 ) = 1 ou, de fa¸con plus condens´ee, ησ1 (σ) = δσσ1 Ces fonctions constituent une base orthonorm´ee : X a v´erifier) ησ∗1 (σ)ησ2 (σ) = δσ1 σ2 (` σ

142

Dans cette base, les op´erateurs S x , S y et S z agissent selon :  z  S ησ = ~σησ S x η = ~2 η−σ  y σ S ησ = i~ση−σ

Les fonctions propres sont donc rep´er´ees par deux indices : 1 ϕkσ (r, σ 0 ) = √ eik.r ησ (σ 0 ) Ω

Les op´erateurs cr´eation et annihilation s’´ecrivent donc : c+ kσ

et ckσ

Les op´erateurs champs sont de mˆeme d´efinis par : X ϕkσ0 (r, σ)ckσ0 Ψ(r, σ) = k,σ 0

X 1 √ eik.r δσσ0 ckσ0 Ω 0 k,σ X 1 √ eik.r ckσ Ω k X ϕk (r)ckσ

= = =

k

De mˆeme,

Ψ+ (r, σ) =

X

ϕ∗k (r)c+ kσ

k

A.5.2

Op´ erateurs

Il y a deux op´erateurs a ` un corps : Energie cin´ etique Hcin =

X i

∆i ϕ =

−

X ~2 ∆ i ~2 ∇2i ≡ − 2m 2m i

∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ + + ∂x2i ∂yi2 ∂zi2

Energie potentielle Hpot =

X

U (ri )

i

U (ri )ϕ est juste le produit par la fonction U (r) calcul´ee au point ri . Par ailleurs, la r´epulsion coulombienne conduit a ` un terme a ` deux corps : 1X V (ri − rj ) HCoulomb = 2 ij Le facteur

1 2

a ´et´e introduit pour ne compter qu’une seule fois chaque paire. 143

A.5.3

Hamiltonien en seconde quantification X

Hcin =

c+ k1 σ 1 c k2 σ 2

k1 k2 σ 1 σ 2

dr

X

ϕ∗k1 σ1 (r, σ)

σ

X

=

c+ k1 σ c k2 σ

Z

c+ k1 σ c k2 σ

~2 k22 δk k 2m 1 2

k1 k2 σ

X

=

k1 k2 σ

Hcin =

X ~2 k 2 kσ

Hpot

X

=

c+ k1 σ 1 c k2 σ 2

k1 k2 σ 1 σ 2

=

X



~2 ∆ − 2m



ϕk2 σ2 (r, σ)

ϕ∗k1 σ1 (r, σ) = √1Ω e−ik1 .r δσσ1 ϕk2 σ2 (r, σ) = √1Ω eik2 .r δσσ2

or

⇒ Hcin

Z

c+ k1 σ c k2 σ

k1 k2 σ

Z

Z

2m

dr −ik1 .r ~2 k22 ik2 .r e e Ω 2m

c+ kσ ckσ

dr X −ik1 .r e U (r)eik2 .r δσσ1 δσσ2 Ω σ

dr −ik1 .r e U (r)eik2 .r Ω

D´efinissons la transorm´ee de Fourier du potentiel par : Z dr −ik.r ˜ e U (r) U(k) = Ω On en d´eduit : Hpot =

X

k1 k2 σ

ou encore :

Hpot =

˜ c+ k1 σ ck2 σ U (k1 − k2 )

X

˜ (q)c+ U k+qσ ckσ

kqσ

L’op´erateur : ρ−q =

X

c+ k+qσ ckσ

kσ

est la transform´ee de Fourier de l’op´erateur densit´e. En effet,  R ρq = Pdrρ(r)e−iq.r + ρ(r) = σ Ψ (r, σ)Ψ(r, σ) ⇒ ρq

= =

Z

dr −iq.r X −ik1 .r ik2 .r + e e e c k1 σ c k2 σ Ω k1 k2 σ X c+ kσ ck+qσ kσ

144

On peut donc ´ecrire : Hpot =

X q

HCoul

=

1 2

X

˜ (q)ρ−q U

+ c+ k1 σ 1 c k2 σ 2 c k3 σ 3 c k4 σ 4 .

k1 k2 k3 k4

σ1 σ2 σ3 σ4

.

Z

drdr0

X

ϕ∗k1 σ1 (r, σ)ϕ∗k2 σ2 (r0 , σ 0 )

σσ 0

e2 ϕk σ (r0 , σ 0 )ϕk4 σ4 (r, σ) |r − r0 | 3 3

L’int´egrale s’´ecrit : Z 0 0 drdr0 e−ik1 .r e−ik2 .r eik3 .r eik4 .r X e2 δσ1 σ δσ2 σ 0 δσ3 σ 0 δσ4 σ Ω2 |r − r0 | σσ 0 {z } | δ σ1 σ4 δ σ2 σ3

0

Soit, en posant R = r − r : Z 0 0 0 0 dRdr0 e−ik1 .(R+r ) e−ik2 .r eik3 .r eik4 .(R+r ) e2 Ω2 |R| Z 0 −i(k1 −k4 ).R Z dr −i(k1 +k2 −k3 −k4 ).r0 dR e e = e2 Ω |R| Ω {z } {z }| | δk1 +k2 ,k3 +k4

V˜ (k1 −k4 )

HCoul =

1 2

X

kk0 qσσ 0

+ V˜ (q)c+ k+qσ ck0 −qσ 0 ck0 σ 0 ckσ

A l’aide des op´erateurs densit´e, cela peut encore s’´ecrire : 1X˜ HCoul = V (q) (ρq ρ−q − N ) 2 q

N.B. : Cette expression est valable avec la d´efinition V˜ (q) = Si on d´efinit : Z V (q) = dre−iq.r V (r)

R

dr −iq.r V Ωe

(r).

2

ce qui pour le potentiel coulombien, conduit a ` V (q) = 4πe q2 , alors l’hamiltonien en seconde quantification s’´ecrit : 1 X + V (q)c+ H1 = k+qσ ck0 −qσ 0 ck0 σ 0 ckσ 2Ω 0 0 kk qσσ

C’est cette forme qu’on utilisera par la suite. La transform´ee de Fourier inverse s’´ecrit alors : 1X V (r) = V (q)eiq.r Ω q

soit, pour le potentiel coulombien :

1 X 4πe2 iq.r e2 = e r Ω q q2 Voir le chapitre sur la r´eponse lin´eaire pour la compatibilit´e des notations. 145

Annexe B

Th´ eorie de la r´ eponse lin´ eaire B.1

Introduction

De fa¸con tr`es g´en´erale, les renseignements tir´es des exp´eriences consistent a ` mesurer les r´eponses d’un syst`eme a ` une excitation ext´etrieure. Plus pr´ecis´ement, on mesure une observable en pr´esence d’une perturbation ext´erieure. Si la perturbation est “petite”, ce qui est indispensable si l’on souhaite mesurer les propri´et´es du syst`eme non perturb´e, on peut se limiter au premier terme dans le d´eveloppement de la r´eponse en puissances de l’excitation. Le premier terme non nul est souvent le terme lin´eaire. Le calcul de ce terme fait l’objet de la th´eorie g´en´erale de la r´eponse lin´eaire. On consid`ere donc un syst`eme d´ecrit par l’hamiltonien H 0 = H + δH(t) o` u δH(t) est la perturbation et H est l’hamiltonien sans perturbation (mais avec interaction).

B.2

Les repr´ esentations de la m´ ecanique quantique

On a vu que la description d’un syst`eme a ` plusieurs particules se faisait beaucoup plus simplement a ` l’aide d’op´erateurs que de fonctions d’onde. Mais l’´evolution d’un syst`eme est en g´en´eral d´ecrite par l’´evolution de sa fonction d’onde. Il faut donc adapter le formalisme habituel pour transf´erer cette d´ependance temporelle aux op´erateurs. Dans un premier temps, on supposera H ind´ependant de t. On peut utiliser trois repr´esentations ´equivalentes de la m´ecanique quantique. 146

B.2.1

H ind´ ependant du temps

Repr´ esentation de Schr¨ odinger Dans cette repr´esentation, les observables sont des op´erateurs donn´es une fois pour toutes. L’´evolution du syst`eme est enti`erement contenue dans l’´evolution de l’´etat du syst`eme, qui se fait suivant l’´equation : i~

∂ φS (t)i = H|φS (t)i ∂t

Pour simplifier les expressions, on pose dans tout cet appendice ~ = 1. L’´equation du mouvement s’´ecrit donc : i

∂ φS (t)i = H|φS (t)i ∂t

et s’int`egre en : |φS (t)i = e−iHt |φS (0)i Repr´ esentation de Heisenberg Dans cette repr´esentation, |ΨH i = |φ(0)i est ind´ependant du temps. Par ailleurs, on veut bien sˆ ur que la d´ependance temporelle de la valeur moyenne des observables ne d´epende pas de la repr´esentation . Les observables OH (t) doivent donc d´ependre du temps : hΨ1H |OH (t)|Ψ2H i = hφ1 (t)|OS |φ2 (t)i = hφ1 (0)|eiHt OS e−iHt |φ2 (0)i Ces ´equations sont satisfaites si OH (t) = eiHt OS e−iHt L’´equation du mouvement pour OH (t) s’´ecrit : i


∂ OH (t) = i iHOH (t) + eiHt OS (−iH)e−iHt ∂t ⇒i

∂ OH (t) = [OH (t), H] ∂t

Remarques 1. Il est souvent plus simple de calculer le commutateur que les exponentielles, et d’int´egrer l’´equation diff´erentielle correspondante. 2. Remarquer l’analogie avec la formulation hamiltonienne de la m´ecanique classique : df ∂f = {f, H} + dt ∂t soit df = {f, H} dt si f ne d´epend pas explicitement du temps. Le crochet de Poisson en m´ecanique classique joue le mˆeme rˆ ole que le commutateur en m´ecanique quantique. 147

Repr´ esentation interaction Il est souvent utile de d´ecomposer l’hamiltonien en deux parties : H = H0 + H1 et de transformer une partie seulement de la d´ependance temporelle de H dans l’op´erateur. C’est ce qu’on appelle la repr´esentation interaction (ou interm´ediaire)  OI (t) = eiH0 t OS e−iH0 t |φI (t)i = eiH0 t e−iHt |φS (0)i = eiH0 t |φS (t)i

Dans ce cas,

hφ1I (t)|OI (t)|φ2I (t)i

= hφS (t)|e−iH0 t eiH0 t OS e−iH0 t eiH0 t |φS (t)i = hφS (t)|OS |φS (t)i

Remarque La repr´esentation interaction d´epend de la d´ecomposition de l’hamiltonien. Par exemple, en th´eorie de la r´eponse lin´eaire a ` une perturbation δH, il est commode de d´ecoupler l’hamiltonien suivant : H

+ δH

↓

↓ “H100

“H000 Equations du mouvement i

∂ |φI (t)i ∂t

:


= i iH0 eiH0 t e−iHt − ieiH0 t He−iHt |φS (0)i = eiH0 t (H − H0 )e−iH0 t eiH0 t e−iHt |φS (0)i

soit i

∂ |φI (t)i = H1I (t)|ΦI (t)i ∂t

Par ailleurs, i

∂ OI (t) = [OI (t), H0 ] ∂t

par analogie avec le calcul Heisenberg

Op´ erateur d’´ evolution Il est commode d’introduire l’op´erateur d’´evolution UI (t) d´efini par : |φI (t)i = UI (t)|Φ(0)i D’apr`es la d´efinition de |φI (t)i, il est donn´e par : UI (t) = eiH0 t e−iHt Il satisfait donc l’´equation d’´evolution : ∂ UI (t) = −iH1I (t)UI (t) ∂t avec la condition initiale : UI (0) = 1l 148

D´ eveloppement en s´ erie Si H1 est une perturbation, il est commode d’effectuer un d´eveloppement en s´erie de l’op´erateur d’´evolution en int´egrant formellement l’´equation pr´ec´edente et en it´erant : Z t UI (t) − UI (0) = −i dt1 H1I (t1 )UI (t1 ) 0

⇒ UI (t)

UI (t)

Z

t

dt1 H1I (t1 )UI (t1 ) = 1l − i 0 Z Z t Z t 2 dt1 dt1 H1I (t1 ) + (−i) = 1l − = 1l +

0 +∞ X

0

(−i)

n=1

n

Z

t

dt1 . . . 0

Z

t1

dt2 H1I (t1 )H1I (t2 )UI (t2 ) 0

tn−1

dtn H1I (t1 ) . . . H1I (tn ) 0

Dans cette expression, t > t1 > . . . > tn > 0. Cette expression peut ˆetre mise sous une forme plus sym´etrique en introduisant l’op´erateur chronologique :
T O(tP (1) )O(tP (2) ) . . . O(tP (n) ) = O(t1 ) . . . O(tn ) si t1 > t2 > . . . > tn

o` u P est une permutation quelconque de {1, ..., n}. Alors Z t1 Z t Z tn−1 Z t Z t Z 1 t dt1 dt2 . . . dtn H1I (t1 ) . . . H1I (tn ) = dt2 . . . dtn T (O(t1 ) . . . O(tn )) dt1 n! 0 0 0 0 0 0 On en d´eduit l’expression : UI (t) = 1l +

Z Z t +∞ X (−i)n t dt1 . . . dtn T (H1I (t1 ) . . . H1I (tn )) n! 0 0 n=1

que l’on ´ecrit sous la forme (c’est une d´efinition !) :   Z t 0 0 dt H1I (t ) UI (t) = T exp −i 0

 R  t Attention : on ne peut pas calculer l’exponentielle exp −i 0 dt0 H1I (t0 ) , puis en d´eduire UI (t) ! Ce n’est vrai que si H1 commute avec H0 , puisqu’alors H1I (t1 ) commute avec H1I (t2 ) (en r´ealit´e H1I (t) = H1 dans ce cas). Matrice S : Pour d´ecrire l’´evolution d’un syst`eme entre deux instants t et t0 tous deux diff´erents de 0, on introduit la matrice SI telle que : φI (t) = SI (t, t0 )φI (t0 ) ⇒ SI (t, t0 ) = UI (t)UI+ (t0 ) Elle a les propri´et´es suivantes : • SI (t, t) = 1l • SI+ (t, t0 ) = SI (t0 , t) • SI (t, t0 )SI (t0 , t00 ) = SI (t, t00 ) ∂ SI (t, t0 ) = −iH1I t0 ) • ∂t  (t)S(t,  R t • SI (t, t0 ) = T exp −i t0 dt1 H1I (t1 ) 149

B.2.2

H d´ ependant du temps

Schr¨ odinger ∂ |φS (t)i = HS (t)|ΦS (t)i ∂t ⇒ |φS (t)i = US (t)|φS (0)i

i

US (t) satisfait l’´equation : i

⇒ US (t)

= 1l − i = 1l +

Z

0 +∞ X

∂ US (t) = HS (t)US (t) ∂t

t

HS (t1 )US (t1 )dt1 Z

(−i)n

n=1 +∞ X

t

dt1 0

Z

t1

dt2 . . . 0

Z

tn−1

dtn HS (t1 ) . . . HS (tn ) 0

Z t Z t Z (−i)n t dt2 . . . dtn T [HS (t1 ) . . . HS (tn )] dt1 = 1l + n! 0 0 0 n=1   Z t  0 0 = T exp −i dt HS (t )

US (t)

0

Cas particulier : Si HS est ind´ependant du temps, le T produit est inutile car les HS (ti ) commutent ⇒ US (t) = exp (−iHS t) Heisenberg OH (t) = US+ (t)OS US (t)

,

HH (t) = US+ (t)HS (t)US (t)

∂US+ (t) ∂US ∂OH = OS US (t) + US+ (t)OS ∂t ∂t ∂t or

∂US ∂t

= −iHS (t)US et

⇒

+ ∂US ∂t

= iUS+ (t)HS (t)

∂OH = iUS+ (t)HS (t)U U + OS US (t) − iUS+ (t)OS U U + HS (t)US (t) ∂t ⇒i

∂OH (t) = [OH (t), HH (t)] ∂t

Repr´ esentation interaction HS (t) = H0 (t) + H1 (t) OI (t) = U0+ (t)OS U0 (t) |φI (t)i = U0+ US |φS (0)i = U0+ |φS (t)i 150

i

∂ dU + |φI (t)i = i 0 |φS (t)i + U0+ HS (t)|φS (t)i ∂t dt i

⇒i

∂ |φI (t)i ∂t

∂U0+ = −U0+ (t)H0 (t) ∂t = U0+ (t)(−H0 (t) + HS (t))|φS (t)i = U0+ (t)H1 (t)|φS (t)i = U0+ (t)H1 (t)U0 (t)|φI (t)i

soit i

∂ |φI (t)i = H1I (t)|φI (t)i ∂t i

∂OI = [OI (t), H0I (t)] ∂t

Op´erateur d’´evolution : on d´efinit UI (t) par : |φI (t)i = UI (t)|Φ(0)i ∂ Soit UI (t) = U0+ (t)US (t). Comme i ∂t |φI (t)i = H1I (t)|φI (t)i, on a :

∂ UI (t) = −iH1I (t)UI (t) ∂t Le d´eveloppement en perturbation s’en d´eduit imm´ediatement. u l’hamiltonien ne d´epend Conclusion : les propri´et´es ´etablies dans le cas o` pas du temps restent valables a ` condition de remplacer e−iHt par US (t), etc. . .

B.3

R´ eponse ` a une perturbation

Revenons a ` notre probl`eme initial. L’hamiltonien qui nous int´eresse est la somme d’un hamiltonien suppos´e ind´ependant du temps H et d’une perturbation d´ependant du temps δH(t) : H 0 = H + δH(t) On veut calculer la d´ependance temporelle de la valeur moyenne d’une observable B : < B > (t) ≡< φS (t)|B|φS (t) > Pour cela, on va passer en repr´esentation interaction : < B > (t) =< ΦI (t)|BI (t)|ΦI (t) > On suppose que la perturbation est branch´ee adiabatiquement depuis t = −∞ o` u δH(t = −∞) = 0 ⇒ ΦI (t) = SI (t, −∞)ΦI (−∞) et ΦI (−∞) = Φ0 151

avec

  Z SI (t, −∞) = T exp −i

t

dt1 δHI (t1 ) −∞



⇒< B > (t) =< φ0 |S(t, −∞)+ BI (t)S(t, −∞)|φ0 > Limitons-nous aux termes lin´eaires en δHI    Z t Z < B > (t) ' < φ0 | 1 + i dt1 δHI (t1 ) BI (t) 1 − i −∞

' < φ0 |BI (t)|φ0 > +i < φ0 | − i < φ0 |BI (t)

Z

t

Z

t

t −∞



dt1 δHI (t1 ) |φ0 >

dt1 δHI (t1 )BI (t)|φ0 > −∞

dt1 δHI (t1 )|φ0 > −∞

d’o` u, au premier ordre, < B > (t)

= < φ0 |BI (t)|φ0 > +i

Z

t

−∞

< φ0 | [δHI (t1 ), BI (t)] |φ0 > dt1

Mais |φ0 i est le fondamental de H ⇒ e−iHt |φ0 i = e−iE0 t |φ0 i ⇒ hφ0 |BI (t0 )|φ0 i = hφ0 |eiHt BS e−iHt |φ0 i

= hφ0 |eiE0 t BS e−iE0 t |φ0 i = hφ0 |BS |φ0 i

Notons B0 ≡ hφ0 |BS |φ0 i la valeur moyenne de l’observable B dnas l’´etat non perturb´e. On a donc : < B > (t) = B0 + i

Z

t −∞

< φ0 | [δHI (t1 ), BI (t)] |φ0 > dt1

Supposons que δH(t) soit de la forme δH(t) ⇒ δHI (t)

= AF (t), A : op´erateur, F : fonction = AI (t)F (t)

On a alors :

< B > (t) − B0

avec

=

Z

+∞

F (t0 )χAB (t, t0 )dt0

−∞

χAB (t, t0 ) = i < φ0 | [AI (t0 ), BI (t)] |φ0 > θ(t − t0 ) 152

Mais si H est ind´ependant du temps, χAB ne d´epend que de t − t0 . En effet, h i 0 0 hφ0 | [AI (t0 ), BI (t)] |φ0 i = hφ0 | eiHt AS e−iHt , eiHt BS e−iHt |φ0 i 0

0

= hφ0 |eiHt AS eiH(t−t ) BS e−iHt |φ0 i 0

0

−hφ0 |eiHt BS e−iH(t−t ) AS e−iHt |φ0 i

Or 0

0

0

0

0

0

iHt −iHt hφ0 |eiHt AS eiH(t−t ) BS e−iHt |φ0 i = hφ0 |eiE0 t AS eiH(t−t ) BS |e−iHt {ze } e| {z } |φ0 i e−iH(t−t0 ) e−iE0 t0

0

= hφ0 |AI (0)BI (t − t )|φ0 i

Idem pour le deuxi`eme terme. Ainsi, < B > (t) − B0

Z

=

+∞ −∞

F (t0 )χAB (t − t0 )dt0

On reconnaˆıt le produit de convolution de deux fonctions. Comme la transform´ee de Fourier d’un produit de convolution est le produit des transform´ees de Fourier, il vient : ⇒< B > (ω) = F (ω)χAB (ω) + B0 δ(ω) D´ecomposition spectrale : D´esignons par |φn > les ´etats stationnaires de H d’´energie En , et posons : ωn0 A0n

= En − E0

= < φ0 |A|φn >

On a :

χAB (t − t0 )



  0 X iHt0 = iθ(t − t0 )  Ae−iHt |φn >< φn | eiHt Be−iHt |φ0 > < φ0 |e  n {z } | identit´ e

−

< φ0 |eiHt Be−iHt

χAB (t − t0 ) = iθ(t − t0 )

Xh n

X n

|



  0 0 |φn >< φn | eiHt Ae−iHt |φ0 >   {z } identit´ e

0

0

A0n Bn0 eiωn0 (t−t ) − An0 B0n e−iωn0 (t−t )

Transform´ee de Fourier :

153

i

Comme χAB (t − t0 ) ne tend pas n´ecessairement vers 0 de fa¸con assez rapide lorsque t → +∞, la transform´ee de Fourier est d´efinie par : Z +∞ χAB (t)eiωt e−δt dt χAB (ω) = lim δ→0+

−∞

o` u on a introduit un facteur de convergence e−δt . Calculons cette transform´ee de Fourier en utilisant la d´ecomposition spectrale : Z

+∞

θ(t)e

iωt −iωn0 t −δt

e

e

dt =

−∞

⇒ χAB (ω) =

X n

Z

+∞

ei(ω−ωn0 +iδ)t dt = 0

−1 i(ω − ωn0 + iδ)

A0n Bn0 An0 B0n − ω − ωn0 + iδ ω + ωn0 + iδ

Les pˆ oles de χAB (ω) sont a ` ω = ±ωn0 − iδ. La fonction χAB (ω) est donc analytique dans le demi-plan sup´erieur. Il en d´ecoule plusieurs propri´et´es int´eressantes. Par exemple, consid´erons l’int´egrale Z χAB (ω 0 ) 0 dω O = 0 |{z} C ω−ω fct analytique

C

ω

Le demi-cercle a ` l’infini donne une contribution nulle et le demi-cercle autour de ω donne −iπχAB (ω) (- car le cercle est dans le mauvais sens, iπ et pas 2iπ car c’est un demi-cercle ). Z +∞ χAB (ω 0 ) 0 dω = iπχAB (ω) ⇒ PP ω − ω0 −∞ Prenons la partie r´eelle et la partie imaginaire de cette ´equation. Il vient : ( R +∞ 0 AB (ω ) ImχAB (ω) = − π1 P P −∞ Reχω−ω dω 0 0 Kramers - Kronig R 0 +∞ AB (ω ) ReχAB (ω) = π1 P P −∞ Imχω−ω dω 0 0

Par ailleurs, la d´ecomposition spectrale nous indique que χAB (ω) ∼

1 < φ0 |[B, A]|φ0 > ω 154

quand ω → +∞

Z

χAB (ω 0 )dω 0

= 0 Z =

C0

+∞ 0

0

χAB (ω )dω + −∞

Z

χAB (z)dz C 0 −R

Avec z = reiθ , dz = ridθeiθ

C’

1 dz = idθ ⇒ z ⇒

B.4

Z

+∞ −∞

Z

C 0 −R

dz = iπ z

χAB (ω 0 )dω 0 = −iπ < φ0 |[B, A]|φ0 >

Fonction di´ electrique

D´efinition : S’il se produit une petite fluctuation de charge dans le syst`eme, le potentiel associ´e va polariser les ´electrons , cr´eant ainsi une r´eponse du syst`eme. Si la fluctuation est petite, on peut ´etudier la r´eponse lin´eaire : Z Z ρind (~x, t) = dt0 d~x0 φρ,ρ (~x − ~x0 , t − t0 )δρ(~x0 , t0 ) Il est plus usuel d’introduire la ”fonction di´electrique” d´efinie par Z Z 0 δρ(~x, t) = dt d~x0 (~x − ~x0 , t − t0 )ρtot (~x0 , t0 ) ou, en transform´ee de Fourier, δρ(~k, ω) = (~k, ω)ρtot (~k, ω) . En effet, dans l’´electrodynamique des corps macroscopiques, on distingue le ~ dˆ ”champ de d´eplacement” D u aux charges additionnelles et le champ ´electrique ~ dˆ E ua ` toutes les charges : ( ~ = ρtot (~x, t) divE (0 = 1) ~ = δρ(~x, t) divD 155

soit, en transform´ee de Fourier, ( ~ ~k, ω) = ρtot (~k, ω) i~k.E( ~ ~k, ω) = δρ(~k, ω) i~k.D( Si l’on d´enote par DL (~k) et EL (~k) les composantes longitudinales, c’est-` a-dire ~ ~k) et E( ~ ~k), on a donc : parall`eles a ` ~k, de D( DL (~k, ω) = (~k, ω)EL (~k, ω) ou encore : DL (~x, t) =

Z

dt0

Z

d~x0 (~x − ~x0 , t − t0 )EL (~x0 , t0 )

ce qui est la d´efinition habituelle de la fonction di´electrique. En transform´ee de Fourier, on a donc  ind ~ ~ ω)δρ(~k, ω)   ρ (k, ω) = φρ,ρ (k, h i ~ ~ δρ(k, ω) = (k, ω) ρind (~k, ω) + δρ(~k, ω)   D (~k, ω) = (~k, ω)E (~k, ω) L L

Pour faire le lien avec la th´eorie g´en´erale, on remarque que : Z Z e2 δH(t) = d~r dr~0 ρ(r) δρ(r~0 , t) |~r − r~0 | Z 1X avec ρ~q = ρ(~r)e−i~q·~r d~r ⇒ ρ(~r) = ρ~q ei~q·~r Ω q ~

et

e2

|~r − r~0 |

soit δH(t)

= =

1 X 4πe2 −i~q·(~r−r~0 ) e Ω q2 q ~ Z Z X 1 4πe2 ~0 ~0 d~ r dr~0 ρ~q1 ei~q1 ·~r 2 e−i~q2 ·(~r−r ) δρ~q3 ei~q3 ·r 3 Ω q 2 q q q 1 2 3

d’o` u finalement : δH(t) =

4πe2 Ω

P

q0

ρ(−q~0 ) q10 2 δρ(q~0 , t)

Cette perturbation est la somme sur q~0 de perturbations ayant la formule habituelle avec 4πe2 A = ρ(−q~0 ) et F (t) = 02 δρ(q~0 , t) q Ω A l’approximation lin´eaire, la r´eponse est la somme des r´eponses a ` chacune des composantes, qui s’´ecrivent : Z h i dt0 4πe2 t < φ0 | ρI (−q~0 , t0 ), ρI (~ q , t) |φ0 > δρ(q~0 , t0 ) 0 2 < ρ(~ q , t) >= i Ω −∞ q 156

Mais pour un syst`eme invariant par translation, la valeur moyenne est nulle sauf si q~ = q~0 . La r´eponse totale vaut donc : Z 4πe2 t < ρ(~ q , t) >= i 2 < φ0 | [ρI (−~ q , t0 ), ρI (~ q , t)] |φ0 > δρ(~ q , t0 )dt0 q Ω −∞ On en d´eduit que φρ,ρ (~ q , t − t0 ) =

4πe2 χρ ,ρ (t − t0 ) q 2 Ω −~q q~

et, puisque −1 =

ρind + δρ ρind =1+ δρ δρ

on a finalement : 1 4πe2 = 1 + 2 χρ−~q ,ρq~ (ω). (~ q , ω) q Ω

157

Annexe C

Fonctions de Green (Fermions, T=0) C.1

Introduction - Propri´ et´ es g´ en´ erales

On consid`ere un syst`eme de fermions d´ecrit par un hamiltonine H qui ne d´epend pas explicitement du temps.

C.1.1

D´ efinitions

La fonction de Green chronologique est d´efinie par : Gσ,σ0 (x, t|x0 , t0 ) = −i

< φ|T [Ψ(x, σ, t)Ψ+ (x0 , σ 0 , t0 )]|φ > < φ|φ >

• |φ > : ´etat fondamental du syst`eme Ht

Ht

• Ψ(x, σ, t) = ei ~ Ψ(x, σ)e−i ~ est l’op´erateur champ en repr´esentation de Ht Heisenberg. L’op´erateur d’´evolution s’´ecrit simplement e−i ~ puisque H est suppos´e ind´ependant du temps. • Le symbole T d´esigne le produit chronologique d´efini par ( O1 (t)O2 (t0 ) si t > t0 0 T [O1 (t)O2 (t )] = 0 −O2 (t )O1 (t) si t0 > t Il y a un signe (-) parce qu’il s’agit d’op´erateurs fermioniques a ` une particule qui anticommutent. Les fonctions de Green retard´ee et avanc´ee sont d´efinies par : 0 0 GR σ,σ 0 (x, t|x , t ) = −i

0 0 GA σ,σ 0 (x, t|x , t ) = i

< φ|{Ψ(x, σ, t), Ψ+ (x0 , σ 0 , t0 )}|φ > θ(t − t0 ) < φ|φ >

< φ|{Ψ(x, σ, t), Ψ+ (x0 , σ 0 , t0 )}|φ > 0 θ(t − t) < φ|φ > 158

o` u {O1 , O2 } = O1 O2 + O2 O1 est l’anticommutateur des op´erateurs O1 et O2 . Enfin, θ(t) est la fonction de Heavyside d´efinie par : ( 0 si t < 0 θ(t) = 1 si t > 0 Propri´et´es g´en´erales : • Comme H ind´ependant du temps, G ne d´epend que de t − t0 . D´emonstration : Ψ(x, σ, t) = ei

Ht ~

Ψ(x, σ)e−i

Ht ~

• t > t0 : < φ|Ψ(x, σ, t)Ψ+ (x0 , σ 0 , t0 )|φ > =< φ|ei =e

iE0

“

Ht ~

t−t0 ~

Ψ(x, σ)e−i ”

Ht ~

ei

< φ|Ψ(x, 0)e

Ht0 ~

−iH

Ψ(x0 , σ 0 )e−i “

t−t0 ~

”

Ht0 ~

|φ >

Ψ+ (x0 , 00 )|φ >

• t < t0 : Idem • Si H est invariant par translation, G ne d´epend que de x − x0 . D´emonstration : On utilise la base des ondes planes. En seconde quantification, l’op´erateur impulsion s’´ecrit : ˆX ~ + P~ ~kc~ c~k,σ k,σ

~ k,σ

car

Z

ˆ [Ψ(x, σ), P~ ]

d~x −i~k·~x ~ i~k0 ·~x = ~~kδ~ ~ 0 e (−i~∇)e k,k Ω

=

1 X X i~k·~x ~ 0 √ ck0 ,σ0 ] e ~k [c~k,σ , c~+ k0 ,σ 0 ~ Ω ~ ~0 0 | {z } k k ,σ

=

c~k,σ δ~k,~k0 δσ,σ0

1 X ~ i~k·~x √ ~ke c~k,σ Ω ~ k

~ = −i~∇Ψ(x, σ)

(C.1)

C’est une ´equation differentielle en ~x qui s’int`egre (comme pour l’´equation temporelle) en : Ψ(x, σ) = e−i

ˆ ~ P ·~ x ~

159

Ψ(0, σ)ei

ˆ ~ P ·~ x ~

ˆ Or, par d´efinition, si H est invariant par translation, il commute avec P~ . On peut donc les diagonaliser dans une base commune. En particulier, ˆ P~ |φ >= P0 |φ >. t>t’ : < φ|Ψ(x, σ, t)Ψ+ (x0 , σ 0 , t0 )|φ > =< φ|e =e

ˆ ~ x −i P~·~

−iP0

“

ˆ ~ P ·~ x ~

Ψ(0, σ, t)ei

~ x−~ x0 ~

”

e−i

ˆ 0 ~ P ·~ x ~

< φ|Ψ(0, σ, t)e

~ˆ iP

Ψ(0, σ 0 , t0 )ei “

~ x−~ x0 ~

”

ˆ 0 ~ P ·~ x ~

|φ >

Ψ(0, σ 0 , t0 )|φ >

ne d´epend que de ~x − ~x0 . t < t0 : Idem. Du coup, on peut ´ecrire : ⇒ Gσ,σ0 (x, t|0, 0) = Gσ,σ (x, t) • En l’absence de champ magn´etique, Gσ,σ0 (x, t) = 0 si σ 6= σ 0 . Dans ce cas, on peut ´ecrire : Gσ,σ0 (x, t) = δσ,σ0 G(x, t) . Transform´ees de Fourier : On d´efinit par ailleurs les transform´ees de Fourier spatiales et temporelles par : Gσ,σ0 (~k, t) =

Z

~

d3 ~xe−ik·~x Gσ,σ0 (~x, t)

et Gσ,σ0 (~x, t) =

Z

1 (2π)3

Gσ,σ0 (~k, ω) =

Z

~

d3~keik·~x Gσ,σ0 (~k, t)

dteiωt Gσ,σ0 (~k, t)

et Gσ,σ0 (~k, t) =

1 (2π)

Z

dωe−iω Gσ,σ0 (~k, ω)

Remarque : Pourquoi 3 fonctions de Green ? – La fonction chronologique conduit a ` une th´eorie de perturbation compacte. – La fonction retard´ee (ou causale) permet le calcul des fonctions de r´eponse.

160

C.1.2

Exemple : fermions sans interactions

On consid`ere un syst`eme de fermions sans spin d´ecrit par l’hamiltonien : X k c+ H= k ck k

avec k < 0 si k est occup´e et k < 0 si k est vide. Le fondamental est donn´e par : Y Y |φ >= c+ c+ k |vide >= k |vide > k <0

k occ

et l’op´erateur champ par : 1 X + ~ Ψ+ (x, t) = √ ck (t)e−ik·~x V k Pour calculer la fonction de Green, il faut ´evaluer c~+ (t). Le plus simple est k d’utiliser l’´equation du mouvement en repr´esentation de Heisenberg : d + c (t) = −i[c~+ (t), H] (~ = 1) k dt ~k + + or [c~ , c~ 0 c~k0 ] = 0 si ~k 6= ~k 0 k ik h + + c~ , c~ c~k = c~+ c~+ c~k − c~+ c~k c~+ k

k k

k

k

k

= −c~+ (1 − c~+ c~k ) = −c~+ k

⇒

k

k

d + c (t) = i~k c~+ (t) k dt ~k + i~k t + c~ (t) = e c~ (0) k

k

o` u c~+ (0) = c~+ , l’op´erateur cr´eation en repr´esentation de Schr¨ odinger. k

k

Comme < φ|φ >= 1, la fonction de Green s’´ecrit : G(x, t) = −i < φ|T [Ψ(x, t)Ψ+ (0, 0)]|φ > t>0: G(x, t)

= −i = −i

X 1 ~ < φ|ck1 (t)eik1 ~x c+ k2 (0)|φ > V

~ k1 ,~ k2

X 1 ~ −i t eik1 ~x e ~k1 < φ|ck1 c+ k |φ > V | {z 2 }

~ k1 ,~ k2

=0 si k1 6=k2

X 1 ~ = −i eik~x e−i~k t < φ|ck c+ k |φ > V ~ k

X 1 ~ = −i eik~x e−i~k t (1 − n~k ) V ~ k

161

(C.2)

(C.3)

avec n~k =< φ|ck c+ k |φ >=

(

1 si k occ 0 si k vide

t<0: G(x, t)

= i < φ|T [Ψ(0, 0)Ψ+ (x, t)]|φ > X 1 ~ = i eik~x e−i~k t n~k V ~ k

Finalement, il vient : G(x, t) = −i


1 X i~k~x −i~ t e e k θ(t) − n~k V ~ k

Le r´esultat est plus compact si on prend la transform´ee de Fourier spatiale : Z ~ G(~k, t) = d3 ~xe−ik·~x G(~x, t) Z  X ~ −i t  1 ~ d3 ~xe−ik·~x eik1 ~x e ~k1 θ(t) − n~k1 = −i V ~ k1

Or, 1 V

Z

~ ~

d3 ~xe−i(k−k1 )·~x = δ~k,~k1

⇒ G(~k, t) = −ie−i~k t θ(t) − n~k La fonction de Green retard´ee s´ecrit : GR (x, t)




= −i < φ|Ψ(x, t)Ψ+ (0, 0) + Ψ+ (0, 0)Ψ(x, t)|φ > θ(t)  1 X i~k1 ~x −i~k t + 1 < φ| c e e = −i k1 , ck2 |φ > θ(t) V ~ k1 ,~ k2

1 X i~k~x −i~ t = −i e e k θ(t) V ~ k

soit finalement : ⇒ GR (~k, t) = −ie−i~k t θ(t) De mˆeme, on peut ´etablir ais´ement que GA (~k, t) = ie−i~k t θ(−t) Transform´ee de Fourier temporelle : Il y a une difficult´e nouvelle. En effet, il faut calculer la transform´ee de Fourier de fonctions du type θ(t)eit , qui ne d´ecroissent pas quant t → +∞. Consid´erons en particulier la fonction θ(t). 162

˜ θ(ω)

Z

=



=

+∞

dteiωt θ(t) =

−∞

eiωt θ(t) iω

+∞

Z

+∞

dteiωt

0

=?

0

Pour donner un sens a ` cette expression, il faut consid´erer θ(t) comme la limite de fonctions d´ecroissant suffisament vite. On peut par exemple choisir : ( θ(t) = limδ→0+ θδ (t) θδ (t) = e−δt θ(t) θ˜δ (ω) = =

Z 

+∞

dte(iω−δ)t

0

e(iω−δ)t iω − δ

+∞ 0

=

−1 1 i ω + iδ

Cela conduit a ` la transform´ee de Fourier : ˜ θ(ω) =

lim+

δ→0

−1 1 i ω + iδ

D´emontrons que la transform´ee de Fourier de cette fonction redonne θ(t) Z +∞ 1 dωe−iωt θ˜δ (ω) 2π −∞ Z e−iωt −1 +∞ = dω 2iπ −∞ ω + iδ On va calculer cette int´egrale en passant dans le plan complexe. Il faut distinguer deux cas : t>0 : e−iωt → 0 si Im(ω) < 0. Il faut donc fermer le contour par le bas : Im ω

Re ω −iδ

163

Il y a un pˆ ole en ω = −iδ. Z

+∞

e−iωt ω + iδ

dω −∞

= −2iπRes = −2iπe−i(−iδ)t = −2iπe−δt

−1 ⇒ 2iπ

Z

+∞

dω −∞

e−iωt = e−δt ω + iδ

si

t>0

t<0 : e−iωt → 0 si Im(ω) > 0. Il faut fermer le contour par le haut. Mais la fonction est analytique dans le demi-plan sup´erieur. Du coup, Z

+∞

e−iωt =0 ω + iδ

dω −∞

si

t<0

Finalement, on a d´emontr´e que ⇒

1 2π

Z

+∞

dωe−iωt θ˜δ (ω) = θ(t)e−δt

−∞

Si on prend la limite δ → 0+ , on retrouve θ(t). Revenons aux fonctions de Green. • Fonction de Green retard´ee : GR (~k, t) = −ie−ik t θ(t) =

− i

Z

+∞

dtei(ω−k +iδ)t θ(t)

−∞ Z +∞

= −i

= −i

lim −ie−i(k −iδ)t θ(t)

δ→0+

dtei(ω−k +iδ)t

0



ei(ω−k +iδ)t i(ω − k + iδ)

⇒ GR (~k, ω) =

+∞ 0

lim

δ→0+

=

1 ω − k + iδ

1 ω − k + iδ

• Fonction de Green avanc´ee : GA (~k, t) = ie−ik t θ(−t) = lim ie−i(k +iδ)t θ(−t) δ→0+

164

Z

i

= i

+∞ −∞ 0

Z 

dtei(ω−k −iδ)t θ(−t) dtei(ω−k −iδ)t

−∞

ei(ω−k −iδ)t = i i(ω − k − iδ) ⇒ GA (~k, ω) =

0

=

−∞

lim

δ→0+

1 ω − k − iδ

1 ω − k − iδ

• Fonction de Green chronologique : G(~k, t) = −ie−ik t (θ(t) − n~k )

= −ie−ik t θ(t) = GR (~k, t) = ie−ik t θ(−t) = GA (~k, t)

si ~k vide si ~k occ

On obtient finalement : G(~k, ω) =

lim

1

δ~k

> 0

ω − k + iδ~k si ~k vide

δ~k

< 0

si ~k occ

δ~k →0

Exercice : d´emontrer que les transform´ees de Fourier inverses redonnent les fonctions G(~k, t) et GR,A (~k, t). Une expression du genre lim

δ→0+

1 x + iδ

est d´efinie au sens des distributions et vaut lim

δ→0+

1 1 = P P − iπδ(x) x + iδ x

avec PP

Z

f (x) dx = lim →0 x

Z

− −∞

+

Z



+∞ 

et Z

f (x)δ(x)dx = f (0)

De mˆeme, lim

δ→0+

1 1 = P P + iπδ(x) x − iδ x 165

f (x) dx x

On en d´eduit un certain nombre de propri´et´es : ReGA (~k, ω) = ReGR (~k, ω) = ReG(~k, ω) ImGR (~k, ω) = −ImGA (~k, ω)

ImG(~k, ω) = ImGR (~k, ω) = −ImGA (~k, ω) ~k vide ImG(~k, ω) = −ImGR (~k, ω) = ImGA (~k, ω) ~k occ Z +∞ dω 0 GR,A (~k, ω 0 ) R,A ~ ReG (k, ω) = ∓P P Im Kramers-Kronig π ω − ω0 −∞ Ces propri´et´es restent vraies pour des syst`emes en interaction.

C.1.3

Propri´ et´ es analytiques - Repr´ esentation de Lehmann

Revenons a ` la d´efinition de G(x, t), et ins´erons un ensemble complet de fonctions propres rep´er´ees par les nombres quantiques n et ~k (impulsion). On suppose que tous les ´etats propres, y compris le fondamental, sont norm´es. On peut donc ´ecrire :   X G(x, t) = − i θ(t) < φ|Ψ(x, t)|n~k >< n~k|Ψ+ (0, 0)|φ >  n,~ k   X − θ(−t) < φ|Ψ+ (0, 0)|n~k >< n~k|Ψ(x, t)|φ >  n,~ k

Par ailleurs, on peut ´ecrire

  Ψ(x, t) =  

√1 V

Ψ+ (0, 0) =

P

√1 V

~

~ k1

eik1 ~x eiHt c~k1 e−iHt

P

+ ~ k2 c~ k2

La conservation de l’impulsion impose que ~k1 = ~k2 . Ainsi G(x, t)

1 X i~k1 ~x e < φ|T [c~k1 (t)c~+ (0)]|φ > = −i √ k1 V ~ k1

La transform´ee de Fourier spatiale s’´ecrit donc : (0)]|φ > G(~k, t) = −i < φ|T [c~k (t)c~+ k Posons d´esormais |φ > = |φN 0 > ,

H|φ >= E0N |φ >

+1 +1 > = EnN +1 |φN > H|φN n n N −1 N −1 N −1 H|φn > = En |φn >

166

On a alors : G(~k, t) =

 P iHt −iHt N +1 +1 +  |φn >< φN |ck |φ > , n −i n < φ|e ck e   P N −1 i n < φ|c+ >< φnN −1 |eiHt ck e−iHt |φ > k |φn

=

 P N +1 N +1 + 2 −i(En −E0N )t  −i n | < φn |ck |φ > | e  N −1 N  P i n | < φnN −1 |ck |φ > |2 ei(En −E0 )t

t>0

,

t<0 (C.4)

,

t>0

,

t<0

,

t>0

,

t<0

Introduisons des notations plus parlantes :

= EnN +1 − E0N +1 + E0N +1 − E0N | {z } | {z }

EnN +1 − E0N

N +1 ωn

EnN −1

−

E0N

EnN −1

=

|

On a alors :

− {z

µN +1

E0N −1

}

N −1 ωn

+ E0N −1 |

− EN {z 0}

−µN

 P N +1 N +1 + 2 −i(ωn +µN +1 )t  −i n | < φn |ck |φ > | e

G(~k, t) =

 N −1 N  P i n | < φnN −1 |ck |φ > |2 ei(ωn −µ )t

Introduisons maintenant les densit´es spectrales : X +1 + A(~k, ω) = | < φN |ck |φ > |2 δ(ω − ωnN +1 ) n n

X

B(~k, ω) =

n

| < φnN −1 |ck |φ > |2 δ(ω − ωnN −1 )

La transform´ee de Fourier de G(~k, ω) s’´ecrit : Z +∞ X N +1 N +1 G(~k, ω) = (−i) | · · · |2 e−i(ωn +µ )t eiωt θ(t)dt −∞

+ =

Z

i −∞

X n

+

G(~k, ω) =

Z

+∞ 0

X n

| · · · |2

X

| · · · |2

dω 0

(

n

d’o` u

n

+∞

N +1

| · · · |2 e−i(ωn

+µN )t iωt

e

θ(−t)dt

1 (ω − µN +1 ) − ωnN +1 + iδ (ω −

µN )

1 + ωnN −1 − iδ

A(~k, ω 0 ) B(~k, ω 0 ) + (ω − µN +1 ) − ω 0 + iδ (ω − µN ) + ω 0 − iδ

)

Le mˆeme calcul pour GR et GA donne : ( ) Z +∞ ~k, ω 0 ) ~k, ω 0 ) B( A( + GR,A (~k, ω) = dω 0 (ω − µN +1 ) − ω 0 ± iδ (ω − µN ) + ω 0 ± iδ 0 167

Ces expressions de G, GR et GA s’appellent les repr´esentations spectrales ou repr´esentations de Lehmann. Enfin, a ` la limite thermodynamique, limN →∞ µN , µN +1 = µ. On peut donc ´ecrire : ( ) Z +∞ ~k, ω 0 ) ~k, ω 0 ) A( B( 0 G(~k, ω) = dω + (ω − µ) − ω 0 + iδ (ω − µ) + ω 0 − iδ 0 G

R,A

(~k, ω) =

Z

+∞

dω

(

0

0

B(~k, ω 0 ) A(~k, ω 0 ) + (ω − µ) − ω 0 ± iδ (ω − µ) + ω 0 ± iδ

)

Cons´equences : • ReG(~k, ω) = ReGA (~k, ω) = ReGR (~k, ω) • ImG(~k, ω) = −ImGR (~k, ω) = +ImGA (~k, ω) = πB(~k, µ − ω), ω < µ • ImG(~k, ω) = +ImGR (~k, ω) = −ImGA (~k, ω) = −πA(~k, ω − µ), ω > µ D´emonstration : ωnN +1 = EnN +1 − E0N +1 et ωnN −1 = EnN −1 − E0N −1 sont compris entre 0 et +∞. Du coup, A(~k, ω) et B(~k, ω) sont non nuls si et seulement si ω > 0. Par contre, pour G(~k, ω), c’est diff´erent : Z

ImG(~k, ω) =

Z

+

+∞ 0 +∞ 0

dω 0 A(~k, ω 0 )(−π)δ(ω − µ − ω 0 ) dω 0 B(~k, ω 0 )(π)δ(ω − µ + ω 0 )

= −πA(~k, ω − µ) + πB(~k, µ − ω) ( πB(~k, −ω + µ) , ω < µ = −πA(~k, ω − µ) , ω > µ De mˆeme, comme G (~k, ω) = R

Z

+∞

dω 0

0

(

B(~k, ω 0 ) A(~k, ω 0 ) + 0 ω − µ − ω + iδ ω − µ + ω 0 + iδ

) (C.5)

on a : ImGR (~k, ω) = −πA(~k, ω − µ) − πB(~k, µ − ω) d’o` u: A(~k, ω 0 ) =

(

− π1 ImGR (~k, ω 0 + µ) si 0 sinon

ω0 > 0

B(~k, ω 0 ) =

(

− π1 ImGA (~k, µ − ω 0 ) si 0 sinon

ω0 > 0

168

Relations de Kramers-Kronig : Z

Z +∞ A(~k, ω 0 ) B(~k, ω 0 ) + P P dω 0 0 ω−µ−ω ω − µ + ω0 0 0 Z +∞ Z +∞ R ~ 0 R ~ 0 1 1 0 ImG (k, ω + µ) 0 ImG (k, µ − ω ) = − PP dω dω − P P π ω − µ − ω0 π ω − µ + ω0 0 0 Z +∞ Z −∞ R ~ 0 R ~ 0 ImG (k, ω ) 1 1 0 ImG (k, ω ) dω 0 + P P dω = − PP π ω − ω0 π ω − ω0 µ µ Z +∞ 1 ImGR (~k, ω 0 ) = − PP dω 0 π ω − ω0 −∞

ReGR (~k, ω) = P P

+∞

dω 0

On peut de mˆeme ´etablir ais´ement la mˆeme relation pour GA . Par contre, la fonction de Green chronologique satisfait la relation : Z

PP ReG(~k, ω) = π

+∞

−

µ

Z

−∞ 

dω 0

µ

ImG(~k, ω 0 ) ω0 − ω

Lien avec le cas sans interaction : H=

X

k c+ k ck

k

avec k < 0 si k est occup´e et k < 0 si k est vide. Avec cette convention, rajouter une particule coˆ ute une ´energie nulle, et µ = 0. En d’autres termes, pour que le fondamental d’un tel hamiltonien corresponde a ` un remplissage jusqu’au niveau de Fermi, il faut mesurer les ´energies par rapport au niveau de Fermi. Pour A(~k, ω), on a donc : EnN +1 − E0N = ~k = ωnN +1 A(~k, ω) = (1 − n~k )δ(ω − ~k ) Pour B(~k, ω), EnN −1 − E0N = −~k = ωnN −1 B(~k, ω) = n~k δ(ω + ~k )

Z

Z

+∞

dω 0

A(~k, ω 0 ) ω − ω 0 ± iδ

1 − n~k si ω − ~k ± iδ = 0 si ~k < 0

dω 0

B(~k, ω 0 ) ω + ω 0 ± iδ

n~k si ω − ~k ± iδ = 0 si ~k > 0

0

+∞ 0

La somme des deux redonne

=

=

1 ω−~k ±iδ

.

169

~k > 0

~k < 0

C.1.4

Lien avec les propri´ et´ es physiques :

- Pour une interaction a ` deux corps, on peut calculer l’´energie du fondamental en fonction de G(~k, ω). - Les fonctions spectrales sont directement mesurables dans les exp´eriences de photo´emission et de photo´emission inverse. - Dans des d´eveloppements perturbatifs, les fonctions de corr´elations mesurables (susceptibilit´e, etc · · · ) s’expriment a ` l’aide des fonctions de Green du 0 ~ probl`eme non perturb´e G (k, ω).

C.2

Calcul en perturbation

C.2.1

Le probl` eme

Supposons que l’hamiltonien soit de la forme H H0

= H0 + V X = k c+ k,σ ck,σ k,σ

V

=

Z Z 1 X + 0 3 0 0 d x d 3 x0 Ψ + α (x)Ψβ (x )V (x, x )αα0 ,ββ 0 Ψβ 0 (x )Ψα0 (x) 2 0 0 αα ,ββ

On veut calculer le d´eveloppement de Gσ,σ0 (x, t) en puissance de l’interaction V . D’apr`es la d´efinition de Gσ,σ0 (x, t), il suffit de connaˆıtre l’´etat fondamental de H, soit |φ >, et l’op´erateur d’´evolution donnant l’´evolution temporelle de Ψ(x, σ, t). Or, l’op´erateur d’´evolution admet un d´eveloppement en s´erie (voir chapitre I). Quant a ` |φ >, on peut l’obtenir, si |φ0 > est non d´eg´en´er´e, par la th´eorie des perturbations ind´ependantes du temps sous la forme de la s´erie de RayleighSchr¨ odinger : |φ >= |φ0 > +

+∞ X

n=1

|φ(n) > , < φ0 |φ0 >= 1

(C.6)

Attention : < φ|φ >6= 1 ! La normalisation de |φ > est fix´ee par < φ0 |φ >= 1,

< φ0 |φ(n) >= 0,

n≥1

Si l’on suit cette proc´edure de calcul, on voit que le num´erateur et le d´enominateur sont des s´eries multiples. C’est donc tr`es compliqu´e et inextricable pour les ordres ´elev´es. Heureusement, il existe un autre algorithme de calcul d´evelopp´e par Wick, Gell-Mann et Low, Feynman et Dyson qui permet d’exprimer G a ` l’aide d’une seule s´erie de termes, et qui fournit ´egalement une proc´edure efficace pour calculer les termes de cette s´erie a ` partir de la fonction de Green non pertub´ee G 0 . Cet algorithme proc`ede en plusieurs ´etapes. 170

C.2.2

Th´ eor` eme de Gell-Mann et Low :

Le th´eor`eme de Gell-Mann et Low stipule que si le fondamental est non d´eg´en´er´e, on peut obtenir un ´etat propre, dont on suppose que c’est le fondamental du syst`eme perturb´e, par un branchement adiabatique de la perturbation : H = H0 + e−|t| H1

(H = H0 + H1 )

L’op´erateur d’´evolution en repr´esentation interaction correspondant a ` ce hamiltonien est not´e U (t) et la matrice S est not´ee S (t, t0 ). Plus pr´ecisement, le fondamental |φ > de H v´erifie : |φ > < φ0 |φ >

= =

S (0, +∞)|φ0 > < φ0 |S (0, +∞)|φ0 > S (0, −∞)|φ0 > lim →0 < φ0 |S (0, −∞)|φ0 > lim

→0

La d´emonstration sera faite en exercice. Ce th´eor`eme va nous permettre de r´e´ecrire la fonction de Green a ` l’aide de valeurs moyennes dans le fondamental non perturb´e. Le calcul proc`ede en plusieurs ´etapes : < φ|φ > | < φ0 |φ > |2

< φ0 |S+ (0, +∞)S (0, −∞)|φ0 > →0 < φ0 |S+ (0, +∞)|φ0 >< φ0 |S (0, −∞)|φ0 > < φ0 |S (+∞, 0)S (0, −∞)|φ0 > = lim →0 < φ0 |S+ (0, +∞)|φ0 >< φ0 |S (0, −∞)|φ0 > < φ0 |S (+∞, −∞)|φ0 > = lim →0 < φ0 |S+ (0, +∞)|φ0 >< φ0 |S (0, −∞)|φ0 > < φ0 |S (+∞, −∞)|φ0 > = < φ0 |S+ (0, +∞)|φ0 >< φ0 |S (0, −∞)|φ0 >

=

lim

o` u la limite  → 0 est sous-entendue, de mˆeme que dans les expressions qui suivent. < φ|OH (t)|φ > | < φ0 |φ > |2 < φ|OH (t)|φ > ⇒ < φ|φ >

= =

< φ0 |S (+∞, 0)OH (t)S (0, −∞)|φ0 > < φ0 |S+ (0, +∞)|φ0 >< φ0 |S (0, −∞)|φ0 > < φ0 |S (+∞, 0)OH (t)S (0, −∞))|φ0 > < φ0 |S (+∞, −∞)|φ0 >

Or, OH (t) = lim→0 OH (t). De plus, OH (t) = UH (t)+ OS UH (t) = UH (t)+ UH0 (t)UH0 (t)+ OS UH0 (t)UH0 (t)+ UH (t) ˆ = U+ (t)O(t)U  (t) o` u UH (t) et l’op´erateur d’´evolution en repr´esentation de Heisenberg, U (t) = ˆ UH0 (t)+ UH (t) est l’op´erateur d’´evolution en repr´esentation interaction, et O(t) est l’op´erateur en repr´esentation interaction. On peut donc ´ecrire : 171

ˆ S (+∞, 0)OH (t)S (0, −∞) = S (+∞, 0)U+ (t)O(t)U  (t)S (0, −∞) ˆ = S (+∞, t)O(t)S (t, −∞) h i ˆ = T S (+∞, t)O(t)S  (t, −∞) h i ˆ = T S (+∞, −∞)O(t)

De mˆeme, si t > t0 ,

0 0 ˆ0 0 0 ˆ S (+∞, 0)OH (t)OH (t0 )S (0, −∞)) = S (+∞, t)O(t)S  (t, t )O (t )S (t , −∞) h i 0 ˆ0 0 0 ˆ = T S (+∞, t)O(t)S  (t, t )O (t )S (t , −∞) h i ˆ O ˆ 0 (t0 ) = T S (+∞, −∞)O(t)

Finalement, consid´erons

S (+∞, 0)T [Ψ(t)Ψ+(0)]S (0, −∞) t>0: → S (+∞, 0)Ψ(t)Ψ+ (0)S (0, −∞) ˆ Ψ ˆ + (0)] = T [S (+∞, −∞)Ψ(t) t<0: → −S (+∞, 0)Ψ+ (0)Ψ(t)S (0, −∞) ˆ + (0)Ψ(t)] ˆ = −T [S (+∞, −∞)Ψ + ˆ ˆ = T [S (+∞, −∞)Ψ(t)Ψ (0)] Fianlement, on arrive a ` l’expression ˆ ˆ + (0, 0)S (+∞, −∞)]|φ0 > < φ0 |T [Ψ(x, t)Ψ →0 < φ0 |S (+∞, −∞)]|φ0 >

G(x, t) = −i lim avec S (+∞, −∞) =

Z Z +∞ +∞ X (−i)n +∞ ˆ 1 (t1 ) · · · H ˆ n (tn )] dt1 · · · dtn T [H n! −∞ −∞ n=0

N.B : Dans l’expression originale de la fonction de Green, les op´erateurs sont en repr´esentation de Heisenberg. Dans cette expression, ils sont d´esormais en repr´esentation interaction. R´ecapitulation : Cette formule est bas´ee sur les hypoth`eses et th´eor`eme suivants : Hypoth`ese 1 : La s´erie de perturbation pour l’op´erateur d’´evolution converge.

172

Th´eor`eme de Gell-Mann et Low : lim

→0

S (0, +∞)|φ0 > < φ0 |S (0, +∞)|φ0 >

existe et est un ´etat propre de H = H0 + H1 . Hypoth`ese 2 (adiabatique) : cet ´etat propre est l’´etat fondamental du syst`eme perturb´e i h ˆ ˆ + (0, 0)S (+∞, −∞) |φ0 > t)Ψ < φ0 |T Ψ(x, ⇒ G(x, t) = −i lim →0 < φ0 |S (+∞, −∞)|φ0 > Attention : on ne peut pas prendre la limite du num´erateur et du d´enomia nateur s´epar´ement : < φ0 |S (+∞, −∞)|φ0 >∼ ei  , a ∈ R. Cette difficult´e est lev´ee par le th´eor`eme des diagrammes connexes (voir ci-dessous).

C.2.3

Th´ eor` eme de Wick

Si le terme d’interaction est de la forme : Z Z 1 X + 0 3 0 0 V = d x d 3 x0 Ψ + α (x)Ψβ (x )V (x, x )αα0 ,ββ 0 Ψβ 0 (x )Ψα0 (x) 2 0 0 αα ,ββ

son ´evolution temporelle dans la repr´esentation interaction est donn´ee par Z Z 1 X ˆ α0 (x, t) ˆ + (x, t)Ψ ˆ + (x0 , t)V (x, x0 )αα0 ,ββ 0 Ψ ˆ β 0 (x0 , t)Ψ d 3 x d 3 x0 Ψ Vˆ (t) = α β 2 0 0 αα ,ββ

Qu’il s’agisse du num´erateur ou du d´enominateur de la fonction de Green, il faut donc ´evaluer des expressions du type : ˆ + (x1 , t1 )Ψ ˆ + (x2 , t2 ) · · · Ψ ˆ + (xn−1 , tn−1 )Ψ ˆ + (xn , tn )]|φ0 > < φ0 |T [Ψ Ceci peut se faire grˆ ace au th´eor`eme de Wick. Commen¸cons par quelques d´efinitions : Produit normal : Soient U, V, · · · des op´erateurs qui d´etruissent le fondamental, o` u dont l’adjoint d´etruit le fondamental. On appelle produit normal N (U, V, · · · ) le produit obtenu en pla¸cant a ` droite les op´erateurs qui d´etruissent le fondamental affect´e du signe de la permutation faisant passer U, V, · · · a ` N (U, V, · · · ). Remarque : on peut mettre les op´erateurs qui d´etruisent (resp. qui ne d´etruisent pas) le fondamental dans l’ordre qu’on veut car ils anticommutent. Contraction : La contraction de deux op´erateurs est d´efinie par 173

UV=T(UV)−N(UV) N(UVW...)=

UW N(V...)

Suivant la perturbation qu’il faut faire.

Th´eor`eme : T(UVW...)=N(UV...) + N(UVW...) + N(UVW...) + ... +N(UVWXYZ...) + N(UVWXYZ...) +N(UVWXYZ...) + N(UVWXYZ...) + ...

Se d´emontre par r´ecurrence (voir exercices). Utilisation : On remarque d’abord que

UV est un scalaire. En effet,

T [U (t)V (0)] = θ(t)U (t)V (0) − θ(−t)V (0)U (t)

N (U (t)V (0)) = U (t)V (0)

→ UV = [θ(t) − 1]U (t)V (0) − θ(−t)V (0)U (t) ou → UV = θ(t)U (t)V (0) − [θ(−t) − 1]V (0)U (t) ou encore ⇒ UV = −θ(−t) {U (t), V (0)} ou ⇒ UV = θ(t) {U (t), V (0)} 174

ou

− V (0)U (t)

Mais pour des op´erateurs cr´eations ou annihilation, U (t) = e±ik t U (0). {U (t), V (0)} est donc ´egal a ` un facteur de phase qui multiplie {U, V }, et l’anticommutateur de deux op´erateurs cr´eations et annihilation est soit nul soit ´egal a ` l’identit´e. Comme la contraction est un scalaire, elle est ´egale a ` sa valeur moyenne dans n’importe quel ´etat, donc en particulier dans le fondamental :

UV =< φ0 | UV |φ0 >

= < φ0 |T (U V )|φ0 > − < φ0 |N (U V )|φ0 > {z } | =0

= < φ0 |T (U V )|φ0 >

Enfin, il est clair, d’apr´es la d´efinition du produit normal, que < φ0 |N ( UV W XY Z · · · )|φ0 >= 0 sauf si tous les op´erateurs appartiennent a ` une contraction. Ainsi, < φ0 |T (U V W · · · )|φ0 >

···

= (−1)P1 < φ0 |T (U V )|φ0 >< φ0 |T (W X)|φ0 > · · ·

+ (−1)P2 < φ0 |T (U W )|φ0 >< φ0 |T (V X)|φ0 > · · ·

Par ailleurs, on v´erifie ais´ement que tout reste vrai si les U V · · · sont la somme d’un op´erateur qui d´etruit le fondamental et d’un op´erateur dont l’adjoint d´etruit le fondamental, donc entre autre pour Ψ(x) = Ψ(+) (x) + Ψ(−) (x) 1 X −i~k~x 1 X −i~k~x = √ e a~k + √ e a~k V k occ V k vide Cons´equences : les termes qui apparaissent au num´erateur et au d´enominateur de la fonction de Green sont des produits de contractions du genre : ˆ 1 , t1 )Ψ ˆ + (x2 , t2 )]|φ0 > < φ0 |T [Ψ(x

= iG0 (x1 , t1 , x2 , t2 )

c’est a ` dire des produits de fonctions de Green de l’hamiltonien H0 .

C.2.4

Repr´ esentation diagrammatique. Th´ eor` eme des diagrammes connexes.

Revenons au d´eveloppement de G en puissances de l’interaction. Pour simplifier les notations, introduisons des coordonn´ees dans l’espace-temps : (x, t) → x˜. Le potentiel est instantan´e, et on ´ecrit : U (˜ x1 , x ˜2 ) = V (x1 , x2 )δ(t1 , t2 ). Pour 175

simplifier, on laisse tomber les tildes (il ne devrait pas y avoir de confusion). Le num´erateur dans l’expression G(x, y) = −i

ˆ Ψ ˆ + (y)S (+∞, −∞)]|φ0 > < φ0 |T [Ψ(x) < φ0 |S (+∞, −∞)|φ0 >

s’ ´ecrit au premier ordre iGα,β (x, y)

= iG0α,β (x, y) X 1Z + (−i) d4 x1 d4 x01 U (x1 , x01 )λ,λ0 ,µ,µ0 2 0 0 λ,λ ,µ,µ

ˆ α (x)Ψ ˆ + (y)]|φ0 > + · · · ˆ λ0 (x1 )Ψ ˆ + (x1 )Ψ ˆ + (x0 )Ψ ˆ µ0 (x0 )Ψ < φ0 |T [Ψ 1 µ 1 β λ

Utilisons le th´eor`eme de Wick pour regrouper le terme du premier ordre. Il y a 6 termes : (1) iGα,β (x, y)

= ×

avec

Z −i X d4 x1 d4 x01 U (x, x01 )λ,λ0 ,µ,µ0 2 0 0 λ,λ ,µ,µ n o (0) (0) 0 iGα,β (x, y)[(A) + (B)] + iGα,λ (x, x1 )[(C) + (D)] + iG(0) (x, x )[(E) + (F )] α,µ 1  0 0 0 0  (A) = iGµ0 ,µ (x1 , x1 )iGλ0 ,λ (x1 , x1 )    (B) = −iG0µ0 ,λ (x01 , x1 )iG0λ0 ,µ (x1 , x01 )   (C) = iG0 (x , x0 )iG0 (x0 , y) 1 λ0 ,µ 1 µ0 ,β 1 0  (D) = −iGλ0 ,β (x1 , y)iG0µ0 ,µ (x01 , x01 )      (E) = iG0µ0 ,λ (x01 , x1 )iG0λ0 ,β (x1 , y)    (F ) = −iG0µ0 ,β (x01 , y)iG0λ0 ,λ (x1 , x1 )

On peut associer un diagramme a ` chaque terme. La fonction de Green sans interaction est repr´esent´ee par une fl`eche allant du second argument au premier : G0α,β (x, y) = x

α

y β

Le potentiel est repr´esent´e par un trait ondul´e :

Uλ,λ0 ,µ,µ0 (x1 , x01 ) =

λ x1 λ’

µ x1’ µ’

d’o` u: 176

x

x

x1

y

x1’

x1 y

(A)

x

x1’

(B)

x

x1 x1

(C)

x1’

x1’ (D) y

y

x

x

x1’ x1’ (E)

x1

x1 (F) y

y

: vertex

Remarque : • G0 (x1 , x1 ) ≡ G0 (x1 , t1 |x1 , t1 ) est ambig¨ ue. Ces termes viennent du d´eve177

loppement de l’interaction, dans laquelle ψ + est toujours a ` gauche de ψ. On choisit donc iG0α,β (x, x)

=

ˆ α (~x, t)Ψ ˆ + (~x, t0 )]|φ0 > lim < φ0 |T [Ψ β

t0 →t+

Il y a deux types de diagrammes : • connexes : (C), (D), (E) et (F) • non connexes : (A), (B) Th´eor`eme des diagrammes connexes : Consid´erons un terme d’ordre n correspondant a ` un diagramme non connexe. Sa contribution peut se factoriser : (−i)n n!

R

×

dt1 · · · dtm < φ0 |T [Vˆ (t1 ) · · · Vˆ (tm )Ψ(x)Ψ+ (y)]|φ0 >con Z dtm+1 · · · dtn < φ0 |T [Vˆ (tm+1 ) · · · Vˆ (tn )]|φ0 >

Dans la s´erie de perturbation, le mˆeme diagramme va apparaˆıtre Cnm = n! m!(n−m)! fois. La contribution de tous ces diagrammes s’´ecrit donc (−i)m m!

R

×

dt1 · · · dtm < φ0 |T [Vˆ (t1 ) · · · Vˆ (tm )Ψ(x)Ψ+ (y)]|φ0 >con Z (−i)n−m dtm+1 · · · dtn < φ0 |T [Vˆ (tm+1 ) · · · Vˆ (tn )]|φ0 > (n − m)!

Regroupons d´esormais tous les termes contenant un diagramme connexe donn´e. Ils donnent une contribution (−i)m m!

R

dt1 · · · dtm < φ0 |T [Vˆ (t1 ) · · · Vˆ (tm )Ψ(x)Ψ+ (y)]|φ0 >con  Z Z 1 ˆ × 1 − i dtm+1 < φ0 |V (tm+1 )|φ0 > − dtm+1 dtm+2 < φ0 |T [Vˆ (tm+1 )Vˆ (tm+2 )]|φ0 > 2 Z (−i)k +···+ dtm+1 · · · dtm+k < φ0 |T [Vˆ (tm+1 ) · · · Vˆ (tm+k )]|φ0 > k! +···]

Or, la partie entre crochet est exactement ´egale a ` < φ0 |S (−∞, +∞)|φ0 >, c’est-` a-dire au d´enominateur de la fonction de Green. Ce facteur se simplifie et on a donc iG(x, y) =

Z +∞ X (−i)m dt1 · · · dtm m! m=0

< φ0 |T [Vˆ (t1 ) · · · Vˆ (tm )Ψ(x)Ψ+ (y))]|φ0 >con 178

Remarque : en se d´ebarassant du d´enominateur, on s’est aussi d´ebarass´e de la phase qui diverge lorsque  → 0. On peut donc d´esormais prendre la limite  → 0 directement dans l’expression de la perturbation. Finalement, la mˆeme contribution est obtenue si on permute les Vˆ (ti ) (le signe ne change pas car Vˆ (ti ) a un nombre pair de fermions). Donc chaque terme va apparaˆıtre m! fois.

→ iG(x, y) =

+∞ X

(−i)

m=0

m

Z

dt1 · · · dtm

< φ0 |T [Vˆ (t1 ) · · · Vˆ (tm Ψ(x)Ψ+ (y))]|φ0 >con.dif f. (C) ⇔ (E) et (D) ⇔ (F) : 1 en consid´erant les diaL’argument qui permet de se d´ebarasser du facteur m! grammes qui ne diff´erent que par une permutation des termes d’interaction n’explique pas cette ´equivalence et la fa¸con de se d´ebarasser d’un des diagrammes. Par contre, l’argument est que chaque ligne d’interaction va g´en´erer deux termes correspondant a ` l’´echange x ↔ x0 .

Ces deux termes peuvent ˆetre regroup´es en un seul terme en consid´erant ˜ (x, x0 ) = 1 [U (x, x0 ) + U (x0 , x)]. l’interaction sym´etris´ee U 2 ˜ (x, x0 ) = U (x, x0 ). On peut donc ne Mais comme U (x, x0 ) est sym´etrique, U consid´erer qu’un diagramme en prenant U (x, x0 ) et non 21 U (x, x0 ) pour le terme d’interaction. R`egles de construction (terme d’ordre n) : 1) Former tous les diagrammes topologiquement diff´erents ayant 2n vertex et 2 points externes. 2) A chaque ligne droite, associer G0α,β (x, x0 ) 3) A chaque ligne ondul´ee, associer Vˆ (x, x0 ). 4) Int´egrer sur toutes les coordonn´ees de vertex et sommer sur les spins. 5) Multiplier par (−i)(−i)n i2n+1 = in 6) Multiplier par (−1)F , o` u F est le nombre de boucles ferm´ees dans le diagramme (voir l’exemple du terme d’ordre 1).

179

Exercice: tracer les diagrammes au deuxieme ordre

(i)

(ii)

Remarque: (i) et (ii) ne sont pas topologiquement equivalents.

Transform´ee de Fourier : L’expression de la fonction de Green est plus simple en transform´ee de Fourier. Posons k = (~k, ω), kx = ~k · ~x − ωt. On a 1 Gα,β (x, y) = (2π)4

Z

d4 keik·(x−y) Gα,β (k)

Si l’on suppose que V (~x, ~x0 ) ne d´epend que de ~x − ~x0 , on peut poser : Vˆ (x, x0 )αα0 ,ββ 0 =

1 (2π)−4

Z

~

d3~ke−ik·~x V (~x)αα0 ,ββ 0

(ne d´epend pas de ω). Revenons au calcul au premier ordre, et consid´erons la contribution du dia180

gramme (C) : Gα,β (x, y)

Z

d4 x1 d4 x01 G0αλ (x, x1 )G0λ0 µ (x1 , x01 )G0µ0 β (x01 , y)U (x1 , x01 )λλ0 µµ0 Z Z 1 4 4 0 = i d x1 d x1 d4 k d4 p d4 p1 d4 q G0αλ (k)U (q)λλ0 µµ0 G0λ0 µ (p)G0µ0 β (p1 ) (2π)16

= i

0

0

0

× eik(x−x1 ) eiq(x1 −x1 ) eip(x1 −x1 ) eip1 (x1 −y)

Les int´egrales sur x1 et x01 imposent Z 0 0 0 d4 x1 d4 x01 eik(x−x1 ) eiq(x1 −x1 ) eip(x1 −x1 ) eip1 (x1 −y) = (2π)8 δ(k − q − p)δ(q + p − p1 )eikx e−p1 y

d’ o` u Gαβ (x, y) = i

1 (2π)8

Z

d4 keik(x−y)

Z

d4 pU (k − p)λλ0 µµ0 G0αλ (k)G0λ0 µ (p)G0µ0 β (+k)

Or, Z

Gαβ (k1 ) =

→ Gαβ (k) =

i (2π)4

Z

d(x − y)e−ik1 (x−y) Gαβ (x − y) d4 pU (k − p)λλ0 µµ0 G0αλ (k)G0λ0 µ (p)G0µ0 β (k)

Cette forme peut se lire directement sur le diagramme suivant : α k λ

p

λ’

k−p

µ µ’ k β

Cette proc´edure ce g´en´eralise ais´ement a ` tous les diagrammes. Les r`egles sont les suivantes : 1) Tracer tous les diagrammes connexes topologiquement diff´erents. 2) Partir de k, arriver a ` k, et conserver l’´energie et l’impulsion de chaque vertex.

181

3) Associer a ` chaque ligne la fonction de Green non perturb´ee G0αβ =

δαβ ω − ω~k + i δ sign ω~k

,

ω~k = ~k − µ

4) Chaque ligne ondul´ee correspond a ` V (~ q )λλ0 µµ0 . 5) Sommer sur les spins. 6) Int´egrer sur les impulsions-´energie internes. 7) Multiplier par in (2π)−4n (−1)F , o` u F est le nombre de boucles de fermions form´ees. 8) Toutes les lignes qui forment une boucle ou qui sont reli´ees aux extr´emit´es (0) d’une mˆeme ligne ondul´ee correspondent a ` eiωη Gαβ (~k, ω), et η → 0+ a ` la fin du calcul.

C.2.5

Equation de Dyson - Self-´ energie

Comme tous les diagrammes intervenant dans G(k, ω) commencent et finissent par G0 (k, ω), sauf le terme d’ordre 0, on appelle ”noyau” un diagramme priv´e de la premi`ere et de la derni`ere ligne fermionique. On peut ´ecrire  X noyaux G0 G = G 0 + G0 Consid´erons maintenant les ”noyaux irr´eductibles”, c’est-` a-dire les noyaux qui ne peuvent ˆetre s´epar´es en deux en coupant une seule ligne fermionique.

Irreductible

Reductible

On peut ´ecrire : G = G 0 + G0

X

 noyaux irr´eductibles G

P~ D´efinition : La self ´energie P (k, ω) est la somme de tous les noyaux irr´eductibles. L’´equation G = G0 + G0 G est appel´ee : Equation de Dyson. On peut aussi ´ecrire :

G=

G0 P 1 − G0 182

– Si on calcule Σ a ` un certain ordre, on g´en`ere des termes a ` tous les ordres dans G. C’est souvent une m´ethode plus fructueuse que de calculer G au mˆeme ordre. – Si on remplace G0 par

1 ω−ωk +iδk ,

G=

il vient imm´ediatement :

ω − ωk −

d’o` u l’appellation self-´energie.

1 P (k, ω) + iδk

– Si on repr´esente G par une double ligne

L’equation de Dyson s’ecrit graphiquement:

C.2.6

Applications

On va s’int´eresser aux propri´et´es du gaz d’´electrons d´ecrit par l’hamiltonien H=

X

p~ c+ p,σ cp,σ +

p ~,σ

o` u V~q =

4πe2 q2

1 2V

X

kk0 ,σσ 0 ,q6=0

+ V~q c+ k+q,σ ck0 −q,σ 0 ck0 ,σ 0 ck,σ

est la transform´ee de fourier de V (~r) =

e2 r

(voir chapitre 3).

Remarque 1 : G0αβ (~k, ω) =

δαβ ⇒ on se limite a ` α=β ω − ω~k + iδ~k

⇒ Gαα (~k, ω) =

G0αα (~k, ω) P ω − ω~k − αα (~k, ω) + iδ~k 183

De plus, l’interaction coulombienne s’´ecrit : V (~ q )λλ0 µµ0 = V (~ q )δλλ0 δµµ0 ⇒ aux extr´emit´es d’une ligne d’interaction, les spins sont les mˆemes. Remarque 2 : Y a-t-il un petit param`etre ? Oui ! Dans quelle limite peut-on esp´erer que l’´energie potentielle soit une petite correction ? Soit n0 = d´efinit rS par

1 v0

la densit´e de gaz ´eelectronique, et a0 le rayon de Bhor. On 4π 1 = (rs a0 )3 ≡ v0 n0 3

→ la distance moyenne entre les ´electrons est rs a0 (rs est sans dimension). 0

1

10

20 rs

forte densite

metaux reels

cristal de Wigner

L’´energie cin´etique est de l’ordre de

2 kF 2m

∼

1 rs



π rs a0



1 2m ,

soit Ec ∼

1 rs2 ,

alors

que l’´energie potentielle est d’ordre (voir chapitre 3). Ainsi, Ec >> Ep dans la limite rs → 0, i.e. dans la limite des hautes densit´es. On fait donc essentiellement un d´eveloppement en rs . On va calculer les premi`eres contributions a ` la self-´energie. 1er ordre : il y a deux types de diagrammes k’, ω ’ β

β q=0 ω=0

et

α k, ω

α α

k, ω

(1a)

(1b)

ω

Σ

(1a)

−2i (~k, ω) = 2π 4

Z

d~kV (~0)

Z

dω 0 eiω

0

η

ω0

1 − ω~k0 + i δ sign ω~k0

Le facteur 2 est pr´esent car on somme sur les spins, i.e. sur β. 184

Z

dωeiωη

1 ω − ω~k0 + i δ sign ω~k0

On doit fermer par le haut a ` cause du facteur de convergence eiωη . Les pˆ oles sont a ` ω = ω~k0 − i δ sign ω~k0 . Z 1 → ωeiωη = 2iπn~k0 ω − ω~k0 + i δ sign ω~k0 Σ (N = 2

R

d~ k0 k0 (2π)3 n~

(1a)

= 2V (~0)

Z

d~k 0 n~ 0 = V (~0)N (2π)3 k

a ` cause du spin.)

Mais pour le mod`ele du jellium, V (~0) = 0 → Σ(1b) (~k, ω) = =

α

α k, ω

P(1a)

ne contribue pas.

Z Z 0 i eiω η ~k 0 V (~k − ~k 0 ) dω 0 d (2π)4 ω 0 − ω~k0 + i δ sign ω~k0 Z −1 d~kV (~k − ~k 0 )n~k0 (2π)3

k−k’

ω−ω ’

α

α

α

k’, ω ’

α k, ω

(Pas de somme sur les spins). Au premier ordre, la self-´energie ne d´epend donc pas de ω, et elle est donn´ee par : Z d3~k 0 4πe2 (1b) ~ Σ (k) = − (C.7) nk 0 (2π)3 |~k − ~k 0 |2 185

Cette int´egrale a d´ej` a ´et´e calcul´ee au chapitre 3 dans le cadre de l’approximation de Hartree-Fock, et on obtient : Σ

(1b)

  e2 e2 k + kF k 2 kF2 ~ (k) = − kF + ln − π πk k − kF 2 2

(C.8)

Calculer la self-´energie au premier ordre conduit donc a ` un r´esultat ´equivalent au r´esultat Hartree-Fock, qu’on peut ´ecrire : E(k) =

~2 k 2 + Σ(1b) (k) 2m

(C.9)

Deuxi`eme ordre : Sur les 10 diagrammes du deuxi`eme ordre, seuls 6 ont un noyau irr´eductible. Parmi ceux-l` a, les 4 diagrammes

sont nuls car ils contiennent tous une expression du genre Z

+∞

dωG0 (p, ω)2

−∞

Or cette int´egrale vaut 0. Pour s’en convaincre, le plus simple est de fermer le contour du cˆ ot´e o` u il n’y a pas de pˆ ole. Il n’y a donc que 2 diagrammes non nuls, les diagrammes not´es (2a) et (2c) sur la figure suivante :.

(2a)

(2b)

(2c)

Le diagramme (2b), qui est nul a ` T = 0, n’est pas nul a ` T 6= 0. Evaluons les separ´ement. 186

Σ(2a) k−k’,ω −ω ’ k’’−k’+k, ω ’’−ω ’ +ω k, ω

k’’, ω ’’

k’, ω ’

k, ω

k’−k’’, ω ’−ω ’’

Z Z −1 ~k 0 dω 0 d~k 00 dω 00 V (~k − ~k 0 )V (~k 0 − ~k 00 ) d (2π)8 0 00 00 00 0 00 0 × G0 (~k 0 , ω )G0 (~k , ω )G0 (~k − ~k + ~k, ω − ω + ω)

Σ(2a) (k, ω) =

Consid´erons l’int´egrale

=

Z

Z

dω

dωG0 (~ p, ω)G0 (~ p − p~0 , ω − ω 0 )

1 1 × 0 ω − ωp~ + iδp~ ω − ω − ωp~−~p0 + iδp~−~p0

Cette fonction a des pˆ oles a ` ωp~ − iδp~ et ω 0 + ωp~−~p0 − iδp~−~p0 . |p|, |p − p0 | > kF : δp0 δp+p0 > 0, les pˆ oles sont tous les deux en dessous. On ferme par dessus → 0. |p|, |p − p0 | < kF : δp0 δp+p0 < 0 → 0 (Idem). |p| < kF ,|p − p0 | > kF : les pˆ oles sont a ` ω = ωp + iδ et ω 0 + ωp−p0 − iδ. On ferme par le haut →

(1 − np−p0 )np × 2iπ ωp − ω 0 − ωp−p0 + iδ

|p| > kF ,|p − p0 | < kF : les pˆ oles sont a ` ω = ωp − iδ et ω 0 + ωp−p0 + iδ. On ferme par le bas →

−(1 − np )np−p0 × 2iπ ωp − ω 0 − ωp−p0 − iδ

Remarque : On peut fermer le contour par le cˆ ot´e qu’on veut. Le r´esultat est le mˆeme.

Σ

(2a)

(~k, ω) =

−1 (2π)8 (

× 2iπ

Z

d~k 0

Z

00 00 d~k V (~k − ~k 0 )V (~k 0 − ~k )

(1 − n~k00 −~k0 +~k )n~k

ω − ω 0 + ω~k00 − ω~k00 −~k0 +~k + iδ

Int´egrale sur ω 0 :

187

−

Z

0 dω 0 G0 (~k 0 , ω )

(1 − n~k00 )n~k00 −~k0 +~k

ω − ω 0 + ω~k00 − ω~k00 −~k0 +~k − iδ

)

Pour le premier terme, le pˆ ole du facteur en (1 − n)n est a ` ω 0 = ω + ω~k00 − ω~k00 −~k0 +~k + iδ → il vaut mieux fermer par le bas (pˆ ole ω 0 = ω~k0 − iδ)

→ −(2iπ)2

(1 − n~k00 −~k0 +~k )n~k00 (1 − n~k0 ) ω − ω~k0 + ω~k00 − ω~k00 −~k0 +~k + iδ

Pour le deuxi`eme terme, le pˆ ole du facteur en (1 − n)n est a ` ω~k0 = ω + ω~k00 − ω~k00 −~k0 +~k − iδ → il vaut mieux fermer par le haut (pˆ ole ω 0 = ω~k0 + iδ)

→ (2iπ)2

→ Σ(2a) (~k, ω) = ×

Σ(2c)

Z

(

Z 00 00 d~k d~k 0 V (~k − ~k 0 )V (~k 0 − ~k ) (2π)3 (2π)3

−(1 − n~k00 −~k0 +~k )n~k00 (1 − n~k0 )

ω − ωk0 + ω~k00 − ω~k00 −~k0 +~k + iδ

+

(1 − n~k00 )n~k00 −~k0 +~k n~k0

ω − ωk0 + ω~k00 − ω~k00 −~k0 +~k − iδ

)

k’’−k’ , ω ’’−ω ’

k’, ω

=

k’, ω ’

k’’, ω ’’

k, ω

Σ(2c)

(1 − n~k00 )n~k00 −~k0 +~k n~k0

ω − ω~k0 + ω~k00 − ω~k00 −~k0 +~k − iδ

k, ω

k−k’ ω−ω ’

2 (2π)8

Z

00

dk 0 dk V (k 0 )2

Z

00 0 00 00 00 0 00 dω 0 dω G0 (~k − ~k , ω − ω 0 )G0 (~k , ω )G0 (~k − ~k , ω − ω 0 )

La bulle du graphe s’appelle l’insertion de polarisation. Z 00 00 00 00 00 0 00 0 −2i (1) ~ 0 0 P (k , ω ) = dω d~k G0 (~k , ω )G0 (~k − ~k , ω − ω ) 4 (2π) " # Z (1 − n~k00 −~k0 )n~k00 (1 − n~k00 )n~k00 −~k0 00 2 d~k − = (2π)3 ω 0 + ω~k00 − ω~k00 −~k0 + iδ ω 0 + ω~k00 − ω~k00 −~k0 − iδ 188

→ Σ(2c)

Z

i (2π)4

=

0 Probl`eme : V (~k )2 ∼

0 0 d~k V (~k )2

1 ~ k0 4

Z

0 0 dω 0 G0 (~k − ~k , ω − ω 0 )P (1) (~k , ω 0 )

→ l’int´egrale diverge.

Probl`eme de la divergence : Pour aller plus loin, il faut r´efl´echir ! 1) Ordre d’un diagramme : ~k ∼ kF q, q sans dimension 1er ordre :

R

2`eme ordre :

d3 ~ k dω k2 ω

R

d3 ~ k k2

R

∼ kF ∼

1 rs

0

dωdω 0 d3 ~ k k0 2 ωω 0 (ω−ω 0 )

d3 k1 d3 k2 d3 k3 dω1 dω2 dω3 ω5 k12 k22 k32

3`eme ordre :

(ω ∼ kF2 )

∼ 1,

∼ kF−1 ∼ rs

ordre n : ∼ rsn−2 On fait bien un d´eveloppement en rs . 2) A chaque ordre, il y a un diagramme qui diverge plus que les autres. q q

2`eme ordre :

R

q

3

d q q4

p

R

→ +∞

d3 q q2

: fini

q q

q

p

q

3`eme ordre :

rs

R

d3 q q6

+

rs

q

R

d3 q q4

+···

q q

q

q

q

p

q

` eme

4

ordre :

rs2

R

d3 q q8

+

q

rs2

R

d3 q q6

+···

Solution : On somme les diagrammes les plus divergents a ` chaque ordre, donc la s´erie : 189

+

+ ...

Le terme contenant n bulles donne une contribution (2c) Σ(n)

i = (2π)4

→

(2c) Σtot

(2c) Σtot

=

Z

0 0 d~k V (~k )n+1

Z

0 0 dω 0 G0 (~k − ~k , ω − ω 0 )P (1) (~k , ω 0 )n

Z Z 0 0 0 i ~ ~ dk V (k ) dω 0 G0 (~k − ~k , ω − ω 0 ) = (2π)4   h i2 0 0 (1) ~ 0 0 (1) ~ 0 0 ~ ~ × V (k )P (k , ω ) + V (k )P (k , ω ) + · · ·

i (2π)4

Z

0 0 d~k V (~k )

Z

0 0 0 V (~k )P (1) (~k , ω 0 ) 0 ~ ~ dω G (k − k , ω − ω ) 1 − V (~k 0 )P (1) (~k 0 , ω 0 )

0

0

0

La divergence due au facteur V (~k )2 a disparu. Si on d´efinit V (~ q )P (1) (~ q , ω) 1 1 =1+ = RPA (~ q , ω) 1 − V (~ q )P (1) (~ q , ω) 1 − V~q P (1) (~ q , ω) on peut finalement regrouper le terme du premier ordre Σ(1b) et l’ensemble des (2c) termes de Σtot pour obtenir l’approximation dite “RPA” de la self-´energie :

⇒

(2c) Σtot

+Σ

(1b)

i = (2π)4

Z

0 0 d~k V (~k )

Z

dω

0G

0

0 (~k − ~k , ω − ω 0 ) RPA (~k 0 , ω 0 )

Lien avec la fonction di´electrique : La fonction di´electrique est reli´ee a ` la susceptibilit´e g´en´eralis´ee χ ρ−q ,ρq (ω) par la relation : 1 = 1 + V (~ q )χρ−~q ,ρq~ (ω). (C.10) (~ q , ω) Or, χρ−q ,ρq (ω) s’obtient a ` partir de la susceptibilit´e chronologique en rempla¸cant ±iδ par +iδ, et la susceptibilit´e chronologique est d´efinie par Z +∞ < φ|T [ρ−q (t)ρq (0)]|φ > eiωt dt χ ˜ρ−q ,ρq (ω) = < φ|φ > −∞ Dans cette expression, |φ > est le fondamental exact, et on doit inclure le produit < φ|φ > si ce fondamental n’est pas normalis´e.

190

Calcul en perturbations : L’algorithme de calcul d´evelopp´e pour les fonctions de Green se transpose int´egralement au calcul en perturbation de cette fonction. La premi`ere ´etape, le th´eor`eme de Gell Mann et Low, ne d´epend pas des op´erateurs qui apparaissent dans le produit chronologique. Par ailleurs, X

ρ(~r, t) =

Ψ+ r , t)Ψσ (~r, t) σ (~

σ

1 V

=

ρ(~ q , t)

≡ =

Z

1 V

X

~

~

c~+ ck2 ,σ ei(k1 −k2 )·~r k ,σ ~

~ k1 ,~ k2 ,σ

1

ρ(~r, t)ei~q·~r d~r X

c~+ ck2 ,σ k ,σ ~

~ k1 ,~ k2 ,σ

1

Z

~

~

ei(k1 −k2 −~q)·~r d~r

1 X + c~k ,σ c~k2 ,σ V δ(~k1 − ~k2 − q~) 1 V ~ k1 ,~ k2 ,σ X = c~+ c~k,σ

=

k+~ q ,σ

~ k,σ

Le th´eor`eme de Gell Mann et Low nous ram`ene donc directement au calcul de valeurs moyennes de produit d’op´erateurs cr´eation et annihilation dans le fondamental non perturb´e. On peut donc utiliser le th´eor`eme de Wick pour ´evaluer ces fonctions de corr´elations, et le th´eor`eme des diagrammes connexes, qui permet de se d´ebarasser du d´enominateur et de ne garder que les diagrammes connexes diff´erents, reste valable. Terme d’ordre 0 : Comme ρ−q ρq =

XX σσ 0

c~+

ck,σ c~+0 ck0 ,σ0 k+~ q ,σ ~ k +~ q ,σ 0 ~

~ k,~ k0

le calcul de la valeur moyenne dans le fondamental non perturb´e ne contient, pour q~ non nul, que le produit de convolution X → G0σσ (k + q)G0σσ (k) k,σ

Plus pr´ecis´ement, il correspond au diagramme : k+q

k

→ P (1) (~ q , ω) 191

P (1) (~ q , ω) =

−2i (2π)4 | {z }

Z

dω 0

Z

d~ q 0 G0 (~ q 0 , ω 0 )G0 (~ q 0 − q~, ω 0 − ω)

d’o` u vient ce facteur ?

– 2 : somme sur les spins – −1 : une boucle fermionique ferm´ee –

i 4 : dans le diagramme de la fonction de Green, on doit multiplier par h(2π) in i . Chaque facteur est associ´e a ` une int´egration sur une fr´equence (2π)4 et une impulsion interne.

Donc le terme d’ordre 1 dans

1 (~ q ,ω)

s’´ecrit

1 = 1 + V~q P (1) (~ q , ω) (~ q , ω) Termes d’ordre sup´erieur : Ils s’obtiennent en incluant des lignes d’interaction de toutes les facons topologiquement diff´erentes. Par exemple, les termes du premier ordre sont : +

+

+

. . .

S´erie RPA : Elle correspond a ` la resommation des diagrammes +

+

⇒

+

. . .

V~q P (1) (~ q , ω) 1 1 =1+ = (1) RPA (~ q , ω) 1 − V~q P (~ q , ω) 1 − V~q P (1) (~ q , ω)

Cons´equences physiques : Les cons´equences physiques sur la r´eponse di´electrique du gaz d’´electrons (´ecrantage, plasmons) ont d´ej` a ´et´e discut´ees dans le chapitre sur les interactions ´electron-´electron. L’approche en termes de fonctions de Green permet de discuter l’effet des interactions sur les fonctions spectrales, qui sont directement mesurables en photo´emission. Fonctions spectrales :

192

A la fin d’un calcul, on trouve un r´esultat pour la self-´energie qu’on peut d´ecomposer comme suit : Σ(~k, ω) = ReΣ(~k, ω) + iImΣ(~k, ω) La fonction de Green est donn´ee par 1

G(~k, ω) =

ω − ω~k − Σ(~k, ω) + iδ~k

– Supposons ImΣ(~k, ω) 6= 0. On peut alors oublier iδ~k . Il vient ImG(~k, ω) =

h

ImΣ(~k, ω) i2 h i2 ω − ω~k − ReΣ(~k, ω) + ImΣ(~k, ω)

Les r´esultats de l’analyse spectrale (repr´esentation de Lehmann) impliquent : ω<µ:

B(~k, µ − ω) = h

ω>µ:

A(~k, ω − µ) = h

+ π1 ImΣ(~k, ω) i2 h i2 ω − ω~k − ReΣ(~k, ω) + ImΣ(~k, ω)

− π1 ImΣ(~k, ω) i2 i2 h ω − ω~k − ReΣ(~k, ω) + ImΣ(~k, ω)

– Comme A et B sont toujours positifs, cela impose

ImΣ(~k, ω) > 0 si ω < µ ⇒ ImΣ(~k, µ)

< 0 si ω > µ = 0 par continuit´e

Consid´erons les solutions de l’´equation ω − ω~k − ReΣ(~k, ω) = 0 aussi appel´ee ´equation de Dyson. Pour un vecteur d’onde donn´e, elle peut avoir plusieurs solutions. Soit E~k une solution, et supposons E~k < µ. Etudions le comportement de B(~k, µ − ω). Pour ω ' E~k , on peut ´ecrire   ∂ ~ ~ ω − ω~k − ReΣ(k, ω) = 1 − ReΣ(k, ω) (ω − E~k ) ∂ω ω=E~ k

Posons Z~k = h

1 1−

∂ ~ ∂ω ReΣ(k, ω)

193

i

ω=E~k

On a 1 B(~k, µ − ω) ' h π

ImΣ(~k, ω) i2
i2 h ω − E~k + ImΣ(~k, ω)

Z~−1 k

Si Im(~k, E~k ) est petit, cette fonction aura un maximum bien marqu´e autour de ω = E~k . Le poids de cette structure peut se calculer en ´evaluant l’int´egrale Z 1 +∞ ImΣ(~k, ω) h i2 dω
i 2 h π −∞ Z~−1 ω − E~k + ImΣ(~k, ω) k

En rempla¸cant ImΣ(~k, ω) par ImΣ(~k, E~k ), on doit int´egrer une Lorentzienne : Z +∞ Z ImΣ(~k, E~k ) 1 +∞ dx 1 2 ~ ImΣ(k, E~k )Z~k h i2 h i2 dx = 2 π −∞ π k, E~k )Z~k )2 −∞ x + (ImΣ(~ Z~−1 x + ImΣ(~k, E~k ) k !#+∞ Z +∞ " x 1 2 Arctg ImΣ(~k, E~k )Z~k = π ImΣ(~k, E~k )Z~k −∞ −∞ = Z~k

Or, Z

=

+∞ −∞

h

i A(~k, ω − µ) + B(~k, µ − ω) dω

2 X < f |c~ |φ > 2 + |φ > < f |c~+ k k f

= = ⇒

ck |φ > |φ > + < φ|c~+ < φ|c~k c~+ k ~ k n o < φ| c~k , c~+ |φ >=< φ|φ >= 1 k

0 ≤ Z~k ≤ 1

Au voisinage d’une solution de l’´equation de Dyson, et si la partie imaginaire de la self-´energie est suffisament petite, la fonction spectrale a donc l’allure suivante : B(k, ω)

partie dite incoherente

k < kF

ω

Ek

194

La hauteur du pic est 1 , ImΣ(~k, E~k ) sa largeur est ImΣ(~k, E~k ) × Z~k et son poids est Z~k . Or quand E~k → µ, on sait que ImΣ(~k, E~k ) → 0 car ImΣ(~k, µ) = 0. On aura toujours une structure. Pour que cette structure soit bien d´efinie, i.e. qu’on puisse suivre sa dispersion, il faut que la largeur du pic soit plus petite que sa distance a µ. Autrement dit, il faut que ImΣ(~k, E~k ) << E~k − µ quand E~k → µ

(C.11)

Fonction de distribution des impulsions :

n(~k) =

Z

+∞ −∞

B(~k, µ − ω)dω

≡

< φ|c~+ c~k |φ > k

< φ|φ >

! (C.12)

(ATTENTION : ne pas confondre avec n~k = θ(kF −~k) ≡ n0 (~k) sans interaction). E~k < µ :

B(~k, µ − ω) ' Blorentz + Breg (~k, µ − ω) avec

Blorentz = h

Z~−1 k

ImΣ(~k, ω) i2
i 2 h ω − E~k + ImΣ(~k, ω)

Quand ~k → kF , E~k → µ et ImΣ(~k, E~k ) → 0. ⇒ Blorentz → Z~k δ(ω − E~k ) . E~k > µ : pas de Lorentzienne dans B. A la travers´ee de kF , il y a donc un saut de hauteur Z(kF ) (on suppose une sym´etrie sph´erique) : 195

1

Z(k F )

Z(k F )

Th´eorie de Landau des liquides de Fermi : La self-´energie satisfait une relation de type Kramers-Kronig : 1 ReΣ(~k, ω) = (~k) + π

Z

+∞ −∞

|ImΣ(~k, ω 0 )| 0 dω ω − ω0

On en d´eduit que :

1−

∂ ReΣ(~k, ω) = 1 + ∂ω

Z

+∞ −∞

|ImΣ(~k, ω 0 )| 0 dω (ω − ω 0 )2

La condition : 

∂ 1− ReΣ(~k, ω) ∂ω



ω=µ

< +∞ ⇔ Z(kF ) > 0

implique donc que ImΣ(kF , ω) = o(ω − µ) Comme ImΣ(~k, ω) est une fonction r´eguli`ere de ~k, cela implique ´egalement que : ImΣ(~k, E~k ) = o(E~k − µ) Il y a donc un pic dans la fonction spectrale. La th´eorie du gaz d’´electrons 3D conduit a ` la condition plus pr´ecise ImΣ(kF , ω) = O(ω − µ)2 Landau a construit une description ph´enom´enologique du gaz d’´electrons bas´ee sur cette hypoth`ese, et il a d´emontr´e que le gaz d’´electrons se comporte pratiquement comme des ´electrons libres avec des param`etres renormalis´es. Cette th´eorie s’appelle la th´eorie de Landau. 196