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est nulle autour de t = o et pour a et 3 assez petits -+-8) —
60
CHA1MTKE 111.
est aussi nulle. C'est dire que la serie de Fourier de fK—/•* est convergente pour la valeur x\ par suite, les series de Fourier de fK et de f2 sont convergentes ou divergentes a la fois; c'est le theoreme de Riemann : La convergence de la serie de Fourier de f pour une valeur delerminee de x ne depend que de la maniere dont se comporte f autour de cette valeur x. Gette propritte peut se deduire de notre raisonnement d'une autre maniere. Ce qui nous a oblige a etudier a part la contribution de l'intervalle (o, •—-—j dans l'integrale R/M c'est que 6 n'a peut-etre pas dintegrale dans cet intervalle. Quand on suppose que
/4
2/T+i
et le second membre tend vers zero quand n croit, puisque l'integrale indefinie de 1^(^)1 existe, et par suite est continue. D'autre part, dans l'hypothese consideree? on peut ecrire f Jo
|^(^H-3) —
ty(t)\dt$ f
\b(t-h
—
Jo
le second membre tendant vers zero avec 3. Done, si *b a une integrate dans ^o, '* )>
i)t
dt
tend vers zero avec - • Qu'y aurait-il de change si Ton etudiait la meme integrate etendue de a a 6, an lieu de o a -» i ayant une integrale dans (a, 6)?
SKR1ES DE FOUItlER COXVHIUJENTKS.
Gl
Tous nosraisonnements s'appliqueraient; seulementon aurait en general deux termes de forme irreguliere, analogues a celui qui a ete designe par e /o Fun fourni par le commencement de («, 6), l'autre par la fin. II n y aurait encore rien d'essentiel a modifier s'il s'agissait d'etudier lintegrale de &(t) smntj ou celle de 'l(t) cosnt, au lieu d'etudier I'integrale de ^(/) sin(2/i + i). De la resulte un autre throri'ine de Riemann : Si la fonction
rb I
rb <\>(t)cosnt dt,
/
b(t)
sin
ntdt
tendent vers zero avec - > et, en particulier : La suite des coefficients d'une serie de Fourier toujours vers zero.
converge
Riemann a demontre ce theoreme pour les series de Fourier relatives aux fonctions aiixquelles sa definition permet d'attacher une integrate; la demonstration donnee ici s'applique a toutes les series de Fourier des fonctions sommables. Le theoreme n'est pas necessairement exact pour les series de Fourier generalisees (n° 19); Riemann l'a montre par un exemple au paragraphe XIII de son Memoire. C est pour cela que la methode employee ici pour etudier la convergence des series de Fourier ne parait pas pouvoir servir pour Fetude des series de Fourier generalisees. Du second theoreme enonce, celui qui a ete donne le premier se deduit immediatement. Reprenons les fonctions / , e t / 2 ; les fonctions 6{ et J^2 correspondantes sont identiques dans un certain intervalle (o, a); alors, dans chacun des restes correspondantsR, ?/0 R2 ,n la contribution de I'intervalle (o, a) est la meme et la contribution
/
<\tl(t)sin(ui-l-i)tdt
ou
/
tyi(t)
sin( in -\- \)t dt
de 1 intervalle ^a, ^ j tend vers zero avec i - C'est dire que R|jW et R2,n tendent ou ne tendent pas en meme temps vers zero, d?ou le theoreme enonce.
CHAPITRE 111.
35. Les deux especes de conditions de convergence. — Ce theoreme de Riemann prouve que, pour la convergence de la serie de Fourier de / , au point x il est necessaire que / possede une certaine propriete en ce point; il n'est pas necessaire que / p o s sede une certaine propriete dans tout un intervalle. La condition de convergence qui vient d'etre enoncee ne fait intervenir qu'une propriete au point x; les conditions enoncees au Chapitre precedent faisaient intervenir des proprietes relatives aux intervalles. Aussi ces conditions etaient-elles, en realite, des conditions de convergence uniforme. M. P. Fatou (*) a remarque que, de toutes les conditions de convergence en un point actuellementconnues, onpouvait deduire des conditions de convergence uniforme en supposant que les conditions de convergence en un point soient remplies uniformement dans tout un intervalle; le sens precis du mot uniformement etant facile a fixer dans chaque cas. Pour la condition de convergence en un point precedemment trouvee la remarque de M. Fatou s'applique aisement. D'apres la signification de R;/, il faut, pour la convergence uniforme dans un intervalle ou f est continue, que R,, tende uniformement vers zero; il suffil pour cela (n° 33) que la somme
/
t'n
-\2 //-hi
tende uniformement vers zero. D'abprd | e,t | tend uniformement vers zero; on a, en effet,
I o(0 I dt;
>%ij 2«-rl
l/l-hi
la premiere inegalite a ele obtenue au n° 33, la seconde resulte de (l)
Socie'te Math, de France, seance du 18 mai 190.5.
SERIES DE FOURIER CONVERGENTES.
63
ce que sin/ surpasse - au voisinage de - • Or, le troisieme membre tend uniformement vers zero, car on a, to (I) designant le maximum de Poscillation de l'integrale indefinie de \f\ dans un intervalle quelconque d'etendue 2/,
X
a+ l
~a-hl
Un raisonnement semblable s'applique a | e^|. On a vu, d autre part, que Ton a, quand f est continue dans un intervalle qui contient x, 2«H- 1
/
sin(2n
Hn etant une valeur que prend
) ; done l'integrale
du premier membre tend uniformement vers zero dans tout intervalle completement interieur a l'intervalle de continuite considere. Done : La serie de Fourier d'une fonction f continue dans (a, 6), est uniformement convergente dans (a,, bK), ( si I'integrate
qui est une fone lion de 0 et de x, tend uniformement avec 0, quel que soit x dans (a,, bK).
vers zero
On va voir, dans un instant, que Ton peut remplacerla limite superieure dintegration - para, avec la condition o < a << -'36. Transformations Posons
dans les deux conditions
des conditions
de convergence.
—
de convergence oblenues, on peut
64
CHAPITRK III.
remplacer par Vune des quantiles •U-4-3)-cp(
On va legitimer seulement les deux premieres transformations. Pour cela, il suffira evidemment de poser
I R(o)| dt et I I S(8) I o?£ tendentvers zero avec £; et cela uniformement, quel que soit x dans tout intervalle completement interieur a un intervalle de continuite de.f(x) (*) :
C etant la valeur de la derivee de ^— pour une valcur t = T prise dans (t, £ + 3). Comme on a ..
T ( d sin^\
lim - ( —
)
_.
TCOST — sin T
= lim
I
=—-;
on pourra choisir A, independamment de x, de maniere quey dans (3, a), | £ | lie surpasse pas AT. Mais on a done | R(S)|< a A8| ^C de cette formule on deduit
X ( ' ) Lc nombre a est toujours tel quc Ton ait o < a < - ; avec certaines expressions des condilions dc convergence on peut prendre a quelconque positif.
SERIES DE FOURIER CONVERGENTES.
65
et la premiere transformation est legitimee. Pour la seconde, on a
d'ou
Integrons par parties; en conservant toujours les memes notations (n° 33), nous avons
Puisque nous supposons 3>'(o) = o, les deux premiers terme s tendent vers zero avec 8. La convergence est d'ailleurs uniforme; ceci resulte, pour le premier terme, de ce que $(a + 8) est bornee, quels que soient x, a et 3; pour le deuxieme, de ce que T; <E> (20) est au plus egal a quatre fois l'oscillation maximum de / dans un intervalle d'etendue io, pris dans (a, b)\ reste ]r. troisieme terme. L'ordre de grandeur de ce terme est le meme qur celui de 0 I — ^"
dt, [3 etant choisi positif quelconque. Or on
peut prendre ^ assez petit pour que l'on ait, dans (8, (3),
etant positif arbitrairement choisi. Alors on a %
dt
_
o = 2 e
_
2 e ; < a £
.
La seconde transformation de la condition de convergence en un point est ainsi justifiee. Pour que la meme transformation soit justifiee pour la condition de convergence uniforme il suffit de remarquer que le choix de (3, correspondant a e, peut etre fait indcpendamment de x et de prouver que 8 /
—
dt tend unifor-
mement vers zero. Or cela resulte de l'inegalite evidente
L.
(>(>
CHAPITRE
III.
II n'a pas encore ete demon tre que, dans la condition de convergence uniforme, on pouvait remplaeer lintegrale de o a - par la meme integrate prise de o a a. Pour montrer que cela est possible il nous suffira, d'apivs ce qui precede, de montrer que
rli!f_Lil tend uniformement vers o avec o. Or cela resulte de Finegalite r\idente
,27U
37. Condition de M. Dini. — 11 a ete demontre incidemment au n° 34 que S/z tendait vers zero quand 'I avail une integrale de o a - . done la serie de Fourier de f est convergentc au point x si 'I (t) a une integrate dans ( o, '*) . 11 est evident que
serie de Fourier de f converge au point x si I— L^ZS—/ a une integrate dans lout intervalle. Ces conditions de convergence ont ete donnees par M. Dini pour le cas particulier des fonctions integrables au sens de R.iemann(l). On pourrait demontrer facilement qu'elles rentrent comme cas parliculiers dans l'enonce du n" 33; on pourrait aussi en deduire une condition de convergence uniforme. Je laisse tout cela de cote pour donner les enonces plus particuliers que celui de M. Dini. ( l ) Serie dl Fourier e rappresentazioni analitiche clelle funzioni di una varlabile reale. Pise, 1880.
SERIES DE FOUR I Ell CONVERGENTES.
67
Nous obtiendrons de tels enonces en appliquant a |<[>|, |y | ou a f(x+t)-f(x) des criteres connusde convergence des integrates; ceux de Cauchy et de Bertrand, par exemple. Bornons-nous aux premiers; on voit alors, en particulier, que, si I'on a
oil M et § sont des nombres positifs constants c/uelconques, la serie de Fourier de / est convergence au point x parce que le 1
^
1
?
i-
»
cntere de Lauchy s applique a
f(v-+-t)
— f'
(x)
Cette condition de convergence est souvent designee sous le nom de condition de Lipschitz bien que Lipscliitz n'ait enonce qu'une condition assez differente qui estune condition de convergenceuniforme; on la rencontrera plus loin (n° 39). Un enonce plus particulier encore est relatif au cas ou 9 = i. fix ' t) /' (x) Alors ————-— etant borne, / a ses nombres derives bornes au point x. La serie de Fourier de f est convergente au point x siy en ce point, fa des nombres derives bornes et en particulier si, en ce point, f a une derivee determinee etjinie. Nous aurions eu des enonces plus generaux en operant sur <1> ou y T ' f(&-+-t) — f(x)• au lieu di>operer sur — 38. Exemples de foactions developpables en serie de Fourier. — Voici des exemples qui montreront quelques-unes des singularites que peut presenter la somme d'une serie de Fourier. Prenons f(x) telle que
f\x) = i
pour
/(a?)=-i
pour
_L>af>_I_
JL-JLJL-.JL-. >X>: >X>:
(p =
0,},%,...),
(p =
o,i,*,...).
La serie de Fourier de f{x) est partout convergente parce que, quel que soit a?,
68
CHAPITRE I I I .
presente des points de discontinuity de premiere espece : les points 7c, - , ^> • ••> qui sont des points reguliers. L'origine est un point de discontinuity de seconde espece. Changeons f{x) dans les inlervalles ou sa valeur etait ± i de maniere qu'elle devienne egale a - = - la ou elle etait egale a i et a
rL=. la ou elle egalait — i (— TZ<^X <^-\-r~). \f(x)\ a une vl*l integrale, f(x) a une serie de Fourier et, comme ®(0 a toujours une derivee pour t — o, cette serie de Fourier converge partout vers f(x). La fonction f(x) presente les memes singularites que precedemment et de plus elle est non bornee. Void inaintenant an exemple de fonction non integrable au sens de Riemann et cependant representee partout par sa serie de Fourier. II nous suffira de definir cette fonction f dans (o, 2TC). Nous supposons marque dans (o, 2?:) un ensemble ferme E, donto et 2TU font partie, de mesure non nullc. La fonction f(x) aura les points de E pour points de discontinuite, elle ne sera done pas integrable dans (o, 2TT) par la methode de Riemann. Soit, d'autre part, une fonction u(t) continue et bornee dans (3, oo) qui a partout des derivees premieres et secondes et telle que w'(/) ne s'annule que pour les valeurs entieres de t, pour lesquelles on a 1 Mt) = i
i h - - + - . . . H-
2
J
V
(— iV '-•
t—1
Soit (<7, b) un intervalle contigu a E, c?est-a-dire un intervalle dont les extremites appartiennent a E et qui ne contient pas d'autre point de E. Nous supposons E tel que tous les intervalles (a, b) soient de longueur inferieure a -• Nous prendrons
de a j u s q u a la plus grande valeur a + c q u i n e surpasse p a s et p o u r laquelle cette derivee s ' a n n u l e . D e a + c a 6 p r e n d r a / = o : de b — c a b on p r e n d r a
con
SERIES DE FOUIUER CONVERGENTES.
69
11 est evident que si ra'(*) ne tend vers aucune limite quand t croit,/admet tous les points de E pour points de discontinulte de seconde espece; d'ailleurs, en prenant / = o pour les points de E, / e s t bornee si mf est bornee, ce que nous supposerons ('); a l o r s / a une serie de Fourier. Cette serie de Fourier converge v e r s / e n tous les points qui ne font pas partie de E, parce qu'en ces points f(x) a une derivee. Soit# 0 unpomtdeE, on va voirque
^
- a une integrate. Soient
I X ~~~' X'Q
(a, b) unintervallecontigu aE, c le nombre precedemment defini, et supposons a^x0. On a x — # 0 > x — a dans (a, a + c ) , x — XQ> x — a^> b — x dans (b — c, 6), done
A*) X
—
-s:
dx dx-
-f
fix) X
dx
Xe\
dx. x—a
La d e m o n s t r a t i o n serail la me"me si I o n avait On a
b"^x0.
dx, x —a
car m est une fonction positive, ra est inferieure a i, done " | w ' ( 0 . dt.
Soit y le plus grand entier non superieur a -> on a dt n = <x>
n = oo
\is(n -hi) — 7z(n) a
( l ) Les conclusions resteraient exactes sans cette supposition; voir mon Meinoire des Annales deVEcole Normale; oclobre 1903.
CHAPITRE III.
Comme y est au moins egal a 3, car c est au plus egal a est au plus egal a —— , done inferieur a ic. L'integrale de
/(•••
X — XQ
p a r suite i n f e r i e u r e a ^(b
dans (a, 6) est done inferieure a 8c el — a);
d o n e l'integrale d e
-X
prise XQ
de o a 27c est inferieure a 871. Comme on a y ( # 0 ) = o, on voit que la condition de M. Dini est remplie au point xOj la serie de Fourier de f converge done par tout vers f (*). 39. Condition de Lipschitz-Dini. — Les conditions de convergence qu'on va trouver sont surtout interessantes comme conditions de convergence uniforme. Supposons o(t) continue et designons par A (8) le maximum de | o (£ + 8) — 'f(^)|? alors on a
II suffit done que A(o) 4^.(0) tende vers zero avec 3 pour qu'il y ait convergence. On enonce generalement ce resultat pour le cas on f(x) verifie la condition analogue; d'ou ce theoreme : Si f{x) est convergente dans un intervalle (a, 6), a Vinterieur duquel | [f(x -+- 0) —/(&)] • %3 \ tend uniformement vers zero avec 0, la serie de Fourier de f converge uniformement dans tout intervalle ( « , , b< ) completement interieur a (a, b). Cette propriete resulte des raisonnemeuts de Lipschitz {Journal de Crelle, t. 63) tres differents de ceux du texte; mais Lipschitz n'avait conclu que pour le cas plus particulier ou l'on a, dans tout un intervalle,
( l ) La fonction/(a?) du texte n'est pas enticroment determinee; pour qu'elle le soit, il faudrait nonimev un ensemble E et une fonction m satisfaisant aux conditions indiquees; cela ne pre*sente pas de difficultes. Dans tous les c a s / est une fonction derivee non integrable au sens de Hieinann; si Ton remplacait, dans la definition de / , &(t) par sin£, on aurait la premiere fonction derivee non integrable, au sens de Riemann, qui a ete construitc; clle est due a M. Vollerra [Sui pruicipii del Calcolo integrate (Giornale de Battaglini, 18S1)].
SERIES DE FOURIER CONVERGENTES.
71
M et a etant positifs. Lipschitz enoncait ainsi une condition de convergence uniforme qui correspond a la condition de convergence en un point enoncee au n° 37. C'est M. Dini qui a remarque lc premier que le raisonnement de Lipschitz conduisait a une conclusion plus etendue (Sopra la serie di Fourier, Pise, 18-2). 40. Condition de M. Jordan et condition de Dirichlet. — Pour arriver a ces conditions, je vais enoncer quelques theoremes intermediaires. La serie de Fourier de fest convergente au point regulier x, si Vune des fonctions y (*) ou
=
r20
,, a -+- o
*- /
vS()dt-
Les deux integrates du troisieme memfore tendent evidemment
U
20
< 2 L,
y(t)clt
o(t)\dt;
L, qui designe la limite superieure de | o| dans (8, 20), tend vers zero puisqu'il s'agit d'un point regulier, pour lequel, par consequent, ®(t) est nulle et continue pour t = o. Si la condition supposee etait remplie dans tout un intervalle («!, 6,) completement interieur a l'intervalle de continuite (a, b), L et /
\o(t)dt\
tendraient uniformement vers zero avec 2, done
on serait assure de la convergence uniforme dans (a«, bK). On peut encore affirmer la convergence de la serie de Fourier au point x lorsque y est la difference de deux fonctions monotones y | et y 2 telles que cpt = ^y,, cp2 = /y 2 tendent vers zero avec t. Lorsqu'il en est ainsi y est a variation bornee dans (t, a), t y£ c», nous allons calculer l'ordre de grandeur de sa variation totale v(t). Si les fonctions y K et %2 sont decroissantes, on a
72
CUAP1TRE III.
et, comme les qiianliles enlre crochets sont positives, il en resulte
p(t) el n(t) e l a n t les variations totales positives et negatives de y(i) dans ( / , a ) (n° 4 ) . P u i s q u e v(t) =p(t) •+ n(t), il est evident q u e t v{t) tend vers zero avec t. R e c i p r o q u e m e n t , si t v (t) tend vers zero avec t, il en sera de m e m e de tp(t) de t nit) et aussi de tyx ( / ) , / / 2 ( 0 si Ton p r e n d Zi(O - X ( * ) " H '/.(*) I + ' * ( ' ) ,
7/2(0 = I / ( * ) I
-H/>(0-
Ainsi : /« seWe de Fourier converge cut point x vers la fonetion sil est possible de trouper a > o tel que, que I que soit t y£ o r/a/z.v (o, a), y(t) ou &(t) soit a variation bornee dans (£, a), la variation totale correspondante v(t) croissant assez lentement avec - pour que tv(t) tende vers zero avec t. Calculons les limites superieures L, et L2 de o, et o>2 dans (o, 20). Puisque dans (o, 20) on a | o{ | £ 2 6y,, on a aussi
ot une inegalite analogue pour L 2 . Done, en utilisant les inegalites ccrites au commencement de ce numero, on voit que, si la condition precedente est remplie dans (a^ b{), interieur a Vintervalle de continuity ((0> done celle de y , q u ' o n n o t e r a V ( ^ ) , dans (/, a) = (J, P) + ([3, a ) , satisfait a 1'inegalite ( n ° 4 )
Avec cette formule on reconnait que / V ( / ) tend vers zero avec t, puisqu'on peut prendre [i tel que ^(P) + |o(p) | soit aussi petit que Ton veul; lorsqu'il est possible de choisir [3 independamment de x9 t \ (t) tend uniformement vers zero. De la un carac-
SERIES DE FOUIUER CONVEHGENTKS.
73
I ere de convergence en un point que je n'enonce pas et le caractere de convergence uniforme bien connu qu'on doit a M. Jordan (*).
La serie de Fourier d 'une fonction fconverge vers la fonction en tous les points de continuity et en tous les points reguliers d}un intervalle (A, B) oil f est a variation bornee; la convergence est uniforme dans tout intervalle {aK, hK)completement interieur a un intervalle de continuity («, 6), inter ieur lui-meme d (A, B). Gette condition de convergence contient comme cas particulier la celebre condition due a Dirichlet, la premiere qui fut connue ( - ) .
La serie de Fourier dyune fonction f satisfaisant aux conditions enoncees au n° 3 sous le nom de conditions de Dirichlet, converge vers la fonction en tous ses points reguliers et cela uniformement dans tout intervalle complete me nt inter ieur a un intervalle de continuite. Au n" 3 il est dit en particulier que la fonction f est bornee; on renonceparfois a cette restriction pourvu que |/"|ait une integrale. Rien dans nos raisonnements ne supposant qu'il s'agisse dune fonction bornee, la conclusion indiquee reste exacte pour ces fonctions non bornees satisfaisant aux conditions de Dirichlet. Dirichlet enoncait cette condition :§/"n'a qu'un nombre fini de points de discontinuity. Cette condition lui etait indispensable parce qu'a l'epoque de Dirichlet on ne savait pas integrer les fonctions n'y satisfaisant pas. Pour se debarrasser en partie de cette restriction, Dirichlet a etendu quelque peu la notion d'integrale et l'a appliquee a certaines fonctions ayant une infinite de points de discontinuite. Ces travaux de Dirichlet ne nous sont parvenus que par le Memoire de Lipschitz deja cite. Les travaux de M. Jordan ont permis de laisser entierernent de cote la restriction de Dirichlet, de sorte que le theoreme reste exact si, par fonction satisfaisant aux conditions de Dirichlet, on entend une fonction/qui ne cesse d'etre croissante pour devenir decroissante ou inversement qu'en un nombre fini de points et, de plus, (') Comptes renclus, 1881. ( 2 ) Journal de Crelle, I. 4.
74
CHAPITIIE III.
telle que | / | ait une integrale. Notre demonstration est valable pour ce cas. 11. — APPLICATIONS DIVERSES.
41. Formule de Fourier. — Les resultats obtenus jusqu'ici sont relatifsa la convergence de l'integrale TTS,, sin(-2/i -f- i) •2 sin
quand n augmente indefiniment. Nous avons vu que la limite de cette integrale restait la meme quand on l'etend de ft a y au lieu de Fetendre de a a 2ic + a, pourvu que Ton ait fj < x < y < {3 + 2 7;. II existe toute une classe de fonctions ©(/?, 9) des deux variables n et 0 qui jouissent des proprietes suivantes : i° pour une certaine valeur x de 9 la fonction ©(/?, 9) croit indefiniment avec n; 2° / o(/i, §) eft) tend vers zero avec /i pourvu que # n'appartienne pas a l'intervalle ([3? y); 3° au contraire cette integrale tend vers une limite determinee et non nulle quand n croit, si x est interieur a l'intervalle (P, v); cette limite est alors evidemment independante de [i et y. Ges integrates ont recu le nom d'integrales singulieres; dans beaucoup de cas on peut demontrer qu'une integrale est singuliere et rechercher sa limite en utilisant des raisonnements analogues a ceux qui ont servi a l'etude de Tintegrale singuliere TCS//. G'est d'ailleurs toujours par l'emploi des methodesquicon\iennent au cas de -S,, et, en particulier, par l'emploi des theoremes de la mojenne qu'onaetudie les integrates singulieres plus generates. Le principal interet dune telle etude c'est quelle permet de demontrer du meme coup la possibility dedevelopper une fonction en seiie de Fourier et en d'autres seriesparticulirrescomme relies dont les termes sont des polynomes de Legendre (*). Je vais me ( ' ) On pourra consulter a ce sujet TOuvrage deja cite de J\l. Dini : Serie
Fourier e altra reprezentazioni, M. Jordan.
elc. et le Tome II du Coitrs d'Analyse
de
dc
SERIES DE FOURIER CONVERGENCES.
?5
contenter ici d'etudier l'integrale de Fourier tres vuisine de I'integrale TCS,,. On a TZSU=
I
/(O)sin/i(.r — 6 ) cot
•— 2
K)3
'2
,2 7TH-a
/ ( 6 ) cos/*(.r — 9) <:/0; a
du theoreme de Rieman, sur la limite des modules des coefficients des series de Fourier, il resulte que la derniere integrale de l'egalite precedente tend vers zero quand n croit. Par suite, s'il s'agit d'une fonction f n'ayant que des points de discontinuity de premiere espece et dont la serie de Fourier est convergente, on a
X
— 0) cot X ~~ d
'l
2
2
"2
Supposons en particulier q u e / s o i t a variation bornee; alors il en est de meme de * __* t a n g x ~
et Ton peut appliquer a cetle
fonction la formule precedente, ce qui donne
lim f
,2TU-4-a
x
Jusqu'ici nous avons suppose q u e / ( 9 ) etait de periode 2?: et alors le choix de a importait peu; si f (9) n'a pas la periode 2~ il faut prendre a de telle maniere que x soit interieur a (a, 2TT -+- a ) . Pour rendre fixes les limites de notre integraleremarquons que, si existe e t a une integrale dans (—oo? + o o ) ( J ) , on a 6
pour j 3 > 2 ^ + a la premiere integrale du second membre tend (') L'integrale dans un intervalle infini se definit comme dans un inLervalle fini, dc sorte que / n'a une integrale que si | / | en a une.
CHAP1TRK
III.
vers zero quand n croit, car x est exterienr a (27c + a, (3); d'autre part OQ peut prendre (3 assez grand pour que la seconde integrale du second membre soit aussi petite que Ton veut; done l'integrale du premier membre tend vers zero quand n croit. On peut raisonner de lneme pour l'inlegrale etendue de — 00 a a ; cela nous donne le resultat suivant : Si y(9) est a variation
bornee dans (—00, + 0 0 ) et si
§ a un sens, on a, en tout point
C
f (°)
n = °° •/ _ oe
regulier,
^
:r
2
Gette formule est connue sous le nom de formule de Fourier. II serait facile, bienentendu, de la demontrer dans des cas plus generaux et de la demontrer directement; il serait facile aussi d'etudier la convergence uniforme, quand n croit, de Vintegrale de Fourier qui figure au premier membre de la formule. Fourier a obtenu sa formule sous une autre forme qu'il est interessant de connaitre; je ne la demontrerai que dans le cas tres simple ou /
|/(8)!r/6 a un sens et oil il nexiste
qu'un
nombre fini de points en lesquels ./'(O) cesse de croitre pour decroitrc, ou i averse men t; on supposera de plus comme plus haut quey n a que des points reguliers. Remarquons que Ton a ——- = /
cosv(a? —
de sorte qu'on peut ecrire l'integrale de Fourier Fn sous la forme F
_ r" 1 " 00 j-ao
rnf-Q Jo I v
/ ( 6 ) cosv(a7 — 0) dft dv.
J—a
Donnons a v une valeur quelconque, l'integrale f y(0)cosv(a? —6)d8 J— a
SERIES DE FOURIER CONVERGENCES.
a une limite pour a = oo qui est /
77
/(8)cosv(.r— 8)rf9etla
*.' — OO
difference entre l'integrale et sa limite esl bornee, quels que soient a et v; nous sommes done dans un cas (n° 12) ou Ton a I
/(8)COSV(J? —
.-hoc
r>l
= /
/
/(8)cosv(.r — 0)rf
Remplacons maintenant la variable discontinue /i, par variable continue qu'on notera n -+- z, (z < i); on a F/
une
*/0 */_
Partageons I'integrale de — oo a + GO, qui figure dans cette formule, en des integrates prises respectivement de —oo a — a , de —a a + a, de a k + 0 0 . On peut faire en sorte que la premiere et la troisieme aient une somine inferieure a P en valeur absolue. Quant a J inteerale de —a a -ha,
elle est de l'ordre de
?
M etant fixe (n° 27). Done, puisque z est inferieur a 1,
Fn+z— Fn\
f
^)
/
11
oo
/
/(O) cosv(a? — 6) rf8 tfv (*).
(*) On ecrit generalement le second menibre sous la forme
X
OO
y^» •+" *
/
/ ? ( 8 ) cos v (^Z7 — 6 ) ct6 r/v?
mais, avec les conventions adoptees ici, du fait que / *y o
cp(v)o?v a une limite
78
CHAPITRH III.
i!2. For mules sommatoires. — On a vu que l'integrale sin(2/i -h 1)
2 sin
avait, pour n = oc, une limite independante de l'intervalle auquel on Fetend, pourvu cependant que cet intervaJle er la fonction/(Q) satisfassent a rertaines conditions. Dans ce qui suit, on va supposer, ce qui sera bien suffisamment general, f(§) a variation bornee, mais on ne supposera plus/(9) periodique. Quelle est la limite de l,n si on etend cette integrale a l'intervalle (A, B)? Tout d'abord on peut toujours supposer B — A multiple de 27c, car, si cela n'etait pas, et si B,— A etait un multiple de 2ir, B| etant superieur a B, on pourrait etendre In de A a B h a condition de faire/(6) = o dans (B, B<). Ceci pose, partageons (A, B) en (A, A + 27i), (A + 2TT, A + 4^)? • •. et appliquons a chacun de ces intervalles les resultats trouves, nous obtenons limlJL= / ( ^ ) + /(.r 2 ) +...-;- 1 [a/(A) + p/(B)], Xi, ^o, . . . etant les valeurs congrues a x suivant le module 27: et interieures a (A, B), a (ou ^) etant egal a 1 011 o suivant que A (ouB) est ou non congru a x sui\ant le module 2TT. Si 1 on remarque que -1,4 est la sonime des n premiers termes dune serie analogue a la serie de Fourier, on a, en designant par S la somme figurant au second membre de la formule precedente,
1
r
i
v/
Appliquons cette formule au cas ou V = o, B =
2/IT:,
puis faisons
quand jx croit, on n'a pas le droit de conclure a ^existence de l'integrale
Hien entendu, celte remarque n'est pas une critique adressee aux Ouvrages classiqucs: ellc a seulement pour but d'eviter les erreurs qui pourraient resulter de confusions entre des conventions diflerentes.
SERIES DE FOURIER CONVERGENTES.
79
le changement de variable qui remplace — par pour x = a,
-f{a + n — 1 w) H
, nous aurons,
/('«-*- «w) = S, •>.pr.(l — a) . cos -J— -dt; to
cest la formule sommatoire de Poisson. Gette formule est employee au calcul de S ou au calcul de l'erreur commise en prenant coS pour valeur approchee de Tintegrale / f(t)dt]
aussi est-il utile de pouvoir apprecier l'ordre de
grandeur des termes de la serie du second membre. Ces termes sont analogues a ceux d'une serie de Fourier, on aura leur ordre de grandeur par les procedes indiques precedemment (n° 27). Admettons, en particulier, q u e / ' a i t des derivees continues, au moins jusqu'a l'ordre im\ alors chaque terme pourra etre transforme par des integrations par parties successives et l'on utilisera des egalites telles que la suivante :
I
f(t)c,os'2pK
~a> dt
En posant
ou B a est le ai6mc nombre de Bernoulli, nous trouvons
•-«(b)—
80
CHAPiTRE III.
et
C'est laformule sommatoire d'Eider et Maclaurln. Pour l'appliquer, il est bon de remarquer que Ton a /
de sorte que, quand f('lm"> a tin signe constant, le reste R,w est an plus egal, en valeur absolue, au dernier terme regulier conserve. La formule d'Euler et Maclaurin s'applique facilement dans deuxcas : quand f est indefiniment derivable et que Km tend vers zero quand m croit, alors la formule conduit au calcul d'une serie convergente; quand cette serie existe, mais est divergente, elle peut encore servir au calcul si ses termes commencent a decroitre pour croitre ensuite, car on obtient alors une valeur approchee de la quantite a calculer en prenant la somme de tous les termes jusqu'au plus petit. Ge procede, qui n'est legitime ici que si la derivee/ (2 "^ correspondant au reste neglige est de signe constant, est employe, comme Ton sait, pour beaucoup de series divergentes, la serie de Stirling par exemple. L'emploi de la formule sommatoire d'Euler et Maclaurin suppose que Ton a calcule les Y 2a et les B a ; ce calcul peut se faire a Faide de la formule meme. Si Ton y fait/(Q) = 9-w, a = o, 6 = 1 , (o = i, on aura une formule de recurrence entre les m premiers nombres Y 2w . De cette formule on deduira facilement que les Y et les B sont rationnels. 43. Sommes de Gauss. — Dirichlet a fait connaitre un procede s= n —l
de calcul des sommes de Gauss, V cos-^-^, •v = 0
.v = / i — i
V s i n 9 r g 2 , qui .v — 0
utilise la formule de Poisson {Journal de Crelle, t. 18 et21). Les sommes a calculer constituent la partie reelle et le coefficient de I dans l'expression S
=
SERIES DE FOURIKR CON\ERGENTES.
81
ou Ton a pris / ( 8 ) = e2n7U. La formule de Poisson s'applique a cette fonction / , parce qu'elle s'applique a sa partie reelle et a sa partie iitiaginaire; cette formule donne e*** dt + >iS
I
e^n ipriTZ
Supposons d'abord n multiple de 4, auquel cas e qui permet d'ecrire
•r
it*
. 2/17T
2
= i , ce
it*
La somme Sy, des /? + i premiers termes de la formule de Poisson peut done s'ecrire
Or, en posant r
= £, on a 2A17T
'
si done on pose
(*) Pour demontrer l'existence de la limite, il suffit de demontrer l'existence . . • rAcost , f*Asint . ,, , . . I on s occupe, par exemple, de la de hmites pour j —— dt et I —— dt\ si v/7 ^o \t Jo \t seconde integrate, on verifiera facilement que la serie r
o
_—'
-
f
r- ^v
'
I
^-at
-+-...
sft
est a termes alternes, indefiniment et constaiiiment decroissants en valeur absolue* L.
6
8'i
CHAPITRE HI.
on a = limS»= IOL \/'imz,
S =4 / —
a#
P o u r /* = 4 , p a r u n calcul direct on a S = 2 ( i - h i ) ; d ' o u a, puis la formule generale q u i d o n n e S, •2(1-+- i) = 4 / - a , \/
a = (i+«)| / - >
7T
I
S = v / w ( i •+- / ) .
'I
Pour passer au cas 011 n n'est pas multiple de 4^ posons a\ec Dirichlet
m et /? entiers, /? positif. Remarquons que Ton a i°
cp(/?i',/i) = cp(/w, 71)
si
in'= m
(mod/2).
On a encore, si c est premier avec /*, 20
cp ( m , /i) = cp(c i m, ; i ) :
en effet, les restes des divisions - - ( 5 = 0, 1,...,/? — 1) etant tons difFerents, sont egaux a o, 1, . . . , n — 1. Les termes qui composent les deux membres sont done les memes, a l'ordre pres. Enfin, si m et n sont positifs et premiers entre eux, on a 3"
O ( / ? ? , 7Z ) Cp( 71, /// ) = Cp(
en effet, le premier membre est egal a ) I = 0, t = 0
,
,
( 7715 -I- lit)'1
et les restes de
sont egaux a o, 1, . . . , mn — 1.
Ceci pose, on a, pour n = o (mod 4), 9 ( 1 , n)
=
V / T T ( I -f-
i).
Soit / ? = ± i (mod 4), on a, d'apres 3°, 4 , n)
4 ; = ©fi, }7ij =
•>.(] - H t j / ^ .
SERIHS DE FOURIER CONVERGENTES.
83
0
D'apres 2 , on a 0 ( 4 , n) =
p u i s , d'apres i ° , cp(n, 4) = cp(i,4)
ou
suivant q u e n est c o n g r u ( m o d 4 ) a + 1 ou a — 1 ; 0 ( 1 , 4 ) et c?(3, 4 ) s e c a l c u l e n t d i r e c t e m e n t , on trouve
2(1-4-1)
ou
2 ( 1 — 1)
et
Supposons enfin n pair et - impair, d'apres 3°,
d'apres iw
La formule v—n — 1
>
s —n —1 2
cos — s — i
y
»in z— — ss22 = = sin
r sjn I
.s• = 0
resume Jes resultats obtenus qui ont ete donnes par Gauss comme consequence de ses recherches sur les equations de division du ^ercle (Disquisitiones Arithmeticce, n°356). Toutefois, il subsistait une indetermination relativement au signe du radical; Gauss a leve cette indetermination de diverses manieres et, en particalier, par Temploi de formules d'interpolation trigonometrique.
CHAP1TRE IV. SERIES DE FOURIER QUELCONQUES.
I.
—
EXISTENCE DE SERIES DE F O U R I E R
DIVERGENTES.
4i. Exemple de fonction continue dont la serie de Fourier ne converge pas partout. — Paul du Bois-Reymond reussit le premier a construire des fonctions continues dont la serie de Fourier ne converge pas partout (' ). L'etude du tres remarquable Memoire de Paul du Bois-Reymond doit etre recommandee a tous ceux qui veulent approfondir les questions relatives a la convergence eta la divergence des series de Fourier. Du Bois-Reymond y introduit une notion que nous n'avons pas eu 1'occasion d'utiliser : la notion de type d* infinitude d} une fonction f(t) qui crolt indejiniment avec t ( 2 ). Pour les fonctions continues qu'etudie du Bois-Reymond, fonctions toutes speciales et formees par un procede tres particulier il est vrai, c'est par la comparaison de types d'infinitudes qu'on peut decider de la convergence on de la divergence. 11 y a la un fait Hont devront sans doute tenir compte ceux qui voudraient essayer d'obtenir des conditions de divergence des series de Fourier. Je ne donnerai pas ici les fonctions a series de Fourier divergentes construites par P. du Bois-Reymond; leur definition et leur etude sont assez compliquees. De I'exemple general de du BoisReymond, M. Schwarz a deduit un exemple plus particulier et plus (*) Untersuchungen iiber die Convergenz und Divergenz der Fourierschen Darstellungsformeln (Abhandlungen der Bayer. Akad., Math. vhys. Classe, t. XII, 1876). (-) Au sujet de cette notion, voir la Note II des Legons sur la theorie des fonctions de M. Borel et les Lecons sur les series a termes positifs du meme auteur.
SEIUES DE FOURIER QITKLCONQUES.
85
simple qu'il a fait connaitre dans ses Gours et qu'on trouveia dans la Notice de M. Arnold Sachse deja eitee (n° 15). Voici un exemple un peu plus simple que celui de M. Schwars duquel d'ailleurs il differe peu. Soient Ci, c2 . . . des nombres tendant vers zero; soient n0? AI1? H2? ••• des entiers impairs croissant indefiniment, posons a(k) = n0nin2nz. . .nk,
et designons par 1* l'intervalle
-77-—:> -jjr
" D^finissons une
fonction continue par la condition que Ton ait f(x)=f(— x) et, os dans Yki en conservant les relations des n 33 et suivants,
f{x) est ainsi entierement determinee pour x assez petit, on la definira ailleurs par la condition qu'elle soit partout continue et de periode 2TT. Pour cette fonction, on a
f
r s i n ( •in -+- Dt s\\\[a(k)t] t
WT&O -
V^
nc n
/" sin a ( •
a(k)->
s'\n[a(p)t]
La premiere integrale tend vers zero quand k croit, c'est le resultat d'un calcul deja fait; e"tudions les autres. Pour p^k, on a rs\n[a(k)t]siti\a{p)t\Jt
<|
, fdt
_
86
CHAPITRE IV.
Pour p = A\ on a
I
cos[2a(k)t] ,
a(k)
i a(k):
TT
d'apres Tinegalite du n° 25. Done, on a, 7|* n'augmentant pas indefiniment avec A", n= k— 1
Si done on fait en sorte que
augmente indefiniment a\ec A", la serie de Fourier de f sera divergente pour t = o. Or cette condition est facile a realiser; on pourra prendre, par exemple, |CA-|-CnA=4A'P,
cA.= ^
d'ou
nA-=(cp)»A.
Pour P = J^3, nk= 38/f sera bien impair. io. Reniarques sur la convergence des series de Fourier, — On peut rattacher l'existence de series de Fourier divergentes a une remarque immediate qu'on peut enoncer ainsi : La limite superieure M.p(n)de la valeur absolue des (n-\-\)i:'mes sommes S,, des series de Fourier des fonetions f(x)y telles que Von ait constamment | / | < M , croit indefiniment avec n. On a en eflet k
/ £M 71
r" ^(1
sin
(in
•f(j-h2t)dt
dt = Mp(w);
SERIES DE POl'RIER QUELCONQUES.
87
cette limite Mo(/i) est atteinte quand f(x + 2t) est la fonction 2n
discontinue/, egale a ± M et de meme signe que
~*~ • 11
sin i
resulte de la qu'on peut s'approcher autant qu'on le veut de cette limite en prenant pour / des fonctions continues comprises entre ± M et tendant vers/, (n° 12); on peut d'ailleurs supposer que ces fonctions f sont a variation bornee et sont des fonctions paires comme f\, c'est-a-dire -telles que f(x-ht)=f(x— t). Reste a etudier p(n). Considerons les intervalles dans lesquels |sin(2/z-f-i)£| suri
f
1
I
passe -•
r
6p H-1
7u -—
b('2 7 l + l )
6/> -h 5
' 71 —r
"1
6 ( A / i -r- I) |
! .
n
est un tel intervalle; sa contri'
bution dans ofl est superieure a
G ( 2 n -+-
pw (jst done superieure a la somme des 2n + i premiers termes de la serie dont le terme general est 6/? -h
Or cette serie est divergente, car p up tend vers la limite quand p croit, done pw croit indefiniment avec n. A cette remarque j'en ajoute une autre qui ne differe d'ailleurs pas du premier theoreme du n° 34. Si Con a constaintnent j / | < M et si, dans (x0 — A, x0 + A), cm a / = o,
OAZ
/?^/^ tracer
pour
|S«(J?0)|
/me
limite
supe-
rieure de la forme MR (A). En efl'et, dans ces conditions, on a
46. ^f ^^/-^ example de serie de Fourier divrrgente. — Je pose f(.c) = zlfi
88
CHAPITRE IV.
dans cette expression les s, sont positifs et la serie ^ s/ est convergente et de somme inferieure a i, les fonctions / / sont des fonctions de periode 2 IT, continues, paires, a \ariation bornee et infVrieures a i en valeur absolue. Deplus, l'une au moins des sommes de la serie de Fourier de s//#(0 doit, pour £ = o, surpasser / + i quand on la prend en valeur absolue ; soit pi l'indice dune telle somme. Quant a /?/, c'est le phis petit des indices des sommes de la serie de Fourier uniformement convergente de F/_,, a partir duquel ces sommes, prises en valeur absolue, ne surpassent pas i. Dans ces conditions, il est evident que / est continue et de periode STT et que, pour x = o, la somme d'indice ntpi de la serie de Fourier de /, qui est egale a la somme correspondante de F/, a une valeur absolue superieure a i. La serie de Fourier de f diverge pour # = o. 47. Existence de fonctions continues representables par leurs series de Fourier non uniformement convergentes. — Considerons des valeurs # 0 = TT, a n a 2 , ... positives, decroissantes et tendant vers zero. 1^ designera Tintervalle {a^p-, a2p-\), xp sera son milieu, ihp sa longueur. fp(x) sera une fonction de periode 2T, continue, a variation bornee, et telle que l'on ait \p/P\ < i . De plus, en xp, Tune des sommes, prise en valeur absolue, de la serie de Fourier de fp surpassera p 4- H(hp) (n° £0): soit pp Tindice dune telle somme. Alors, si f(x) est tine fonction impaire, continue, de periode >.TT, a variation bornee sauf autour de x = o, et, quel que soit /?, egale a fp dans 1^, sa serie de Fourier converge partout, meme a I'origine puisque cette serie ne contient que des sinus. Cependant cette serie n'est pas uniformement convergente autour de x = o, puisqu'en xp la somme d'indice \xp de cette serie surpasse p quand on la prend en valeur absolue, d'apres le second enonce du n° 45 (*). Nous venons de construire des fonctions presentant une certaine singularite a I'origine; a 1'aide de series construites a partir (l) Les raisonnements qui precedent peuvent etre utilises pour l'etude do developpements plus generaux que les series de Fourier (voir H. LEBKSGUE, Comples rendus, 17 novembre 1905).
SERIES DE FOURIER QUELCONQUES.
89
de ces fonctions nous pourrions obtenir de nouvelles fonctions pour lesquelles la singularity consideree se presenterait pour tous les points de certains ensembles. Mais il parait plus difficile de savoir si Ton peut faire en sorte que la singularite consideree se presente partout, c'est-a-dire de repondre a ces questions : Existel-il des fonctions continues dont la s6rie de Fourier est divergente partout? Existe-t-il des fonctions continues dont la serie de Fourier est partout convergente, sans etre uniformement convergente dans aucun intervalle (')? Je signale une autre question analogue : on a vu qu'il existait des fonctions sommables, non integrables au sens de Riemann dans (o, 2 iz) et qui sont representables partout par leurs series de Fourier conver^entes; existe-t-il de telles fonctions qui ne soient integrables an sens de Riemann dans aucun intervalle?
II.
So.VTMATION DES SERIES DE FoUllIER DIVE11GEWTES.
48. Procede de Poisson. — A 1'epoque de Poisson, contemporain de Fourier, la convergence des series de Fourier n'etait pas demontree; de plus, on ne distinguait pas encore soigneusement les series de Fourier des autres series trigonometriques et il arrivait frequemment qu'un calcul analjtique conduisait a une serie trigonometrique divergente. C'est ainsi que, si Ton derive terme a terme Tegalite sin nx
on obtient l'egalite toute fonnelle 1
v
•2
d
dans laquelle le second membre est une serie divergente (n° 21). ( l ) Dans une Note des Comptes rendus (29 decembre 1902) M. SteklofT a indique que la reponse a la premiere de ces questions e*tait, pour lui, negative. La demonstration de cette propriete n"a pas encore ete publiee et les renseignements que contient la Note citee sont insuffisants, k ce qu'il me semble, pour permettre la reconstitution de cette demonstration.
90
CHAPITRE IV.
De sorte que, ou bien il fallait renoncer a l'emploi de ces series divergentes simples bien qu'elles n'aient jamais trompe dans les cas ou on les avait employees : c'est le parti qu'on a pris generalement a la suite de Gauchy et d'Abel; ou bien il fallait adopter an procede de sommation des series autre que le procede ordinaire : c'est le parti que prit Poisson. Pour sommer la serie - a0 -+- 7 (a,i cosnx
-+- bn sin nx ),
Poisson considere la fonction f( r, x) = - a0 -h / /•"(a/t cosnx -h b,{ smax),
qui existe, pour / < i, dans tous les cas qu'il considere, et il convient que la somme de la serie pour x = x{) sera, par definition, f(x{))=
\imf(r,x0)
(l)-
S'il s'agit d'une serie de Fourier, ./(/', ./') existera toujours pour /* < 1. Les considerations du Chapitre II montrent que le procede de Poisson permet de remoiiter de la serie de Fourier a la fonction correspondante, en tous les points reguliers de cette fonction, s'il s'agit d'une fonction bornee n'ayant quun nombre fini de discontinuity ( n ' 31). M. Schvvarz, auquel est due la demonstration rigoureuse dc ce rcsultat, 1'a etendu a des cas plus generaux. 49. Procedr de Riemann. — Admeltons une propriete qui va etre bientot demontree (n" 53) : toute serie de Fourier est inlegrable terme a terme. L'integrale ¥(x) = / f(-z) dx de la fonc0
tion sommable f(x)
sera done egale a
F(x) — - aox -f-N - \an %\x\nx — b,,(cosnx '2t
ASM
— i)J,
ft
les an et bn etant les coefficients de la serie de Fourier de f. (') Journal de VEcole Poly technique, 18e Cahier.
SERIES DE FOURIER QUELCONQUES.
91
Or, quand on connaitF(^), on en deduit / ( # ) , en tout point oii / est la derivee de F, c'est-a-dire en tous les points sauf en ceux d'un ensemble de mesure nulle (n° 11), par Temploi de formules telles que ... F(x / ( a ? ) = lim / o
+ h)—F(x) { i, n
,, /(x)
=
.. lim
/
-2 h
L'emploi de la seconde formule est preferable, parce qu'elle permet de calculer / en tous ses points reguliers. Avec cette formule, on a .... .. f i v< sin ah . ~| j(x)
= lim - a 0 -+- > h=o [_> *-i
j — ( « w c o s r t ^ -+- bn s i n / 2 ^ ) = lim p/n nh J //=V
en tous les points ou notre procede desommation s'applique. Precisons quels sont ces points : ce sont d'abord ceux deja nommes pour lesquels,/ est la derivee de F; mais ce sont aussi les points x tels que la fonction de A, f(x -f- h) -\-,f\x — h) — 'if\x)j qui est nulle pour h nul, soit la derivee de son integrale indefinie. Si l'on se rappelle que cette fonction a ete designee par ®(- )» on pourra conclure que le procedv de sotnmation qui vient d'etre indique petit etre applique en tous les points tels que rintegrate indefinie de oil) a tine derivee nulle pour £ = o , et en parliculier pour tous les points reguliers de la fonction f et en tous ceux oil f est la derivee de son integrale indefinie. La serie ?i(#) H-rpiU1)—•?!(#)] •+• rpiO) — pi(^) I -+•-•• fournit done Line representation analytique de la fonction f(x) valable partout, sauf pour un ensemble de valeurs de x de mesure nulle. Comme on peut ecrire cette representation des que Ton connait la serie de Fourier de / , il en resulte qu'u/ie fonction est determinee, sauf pour un ensemble de valeurs de mesure nulle, par sa serie de Foutlier (n° 24). La serie qui represente F ( x ) est uniformement convergente (n° 53), done on a, si ${x) est 1'integrale de F(x) etendue de o a x, 'V
— -^(an cosnx -h bn sinnx) -h -£ -+- -^x
.
9*2
CHAPITRE IV.
Or (n"6)/(#) est la limite, pour h = o, de =
t rl//
(X)
en tous les points oil s'applique le procede de sommation; done nous pouvons remplacer dans nos enonces z^ par
A/Ax)
= - a0— 7 I i
^a \
~
I (ancosnx
-h bfl
sinnx).
hi
Ce nouveau procede de sommation est celui qu'a indique Riemann. A la verite, Riemann ne se proposait pas, comme le faisait Poisson, de sommer des series trigonometriques divergentes, mais il a demontre, comme on le fera plus loin (n" 58), que ce procede peut remplacer le procede de sommation ordinaire partout ou celui-ci s'applique, et c'est a l'etude de ce procede de sommation, plus simple a plusieurs egards que le procede ordinaire, qu'il a consacre son celebre Memoire Sur la possibilite de re presenter une fonction par une serie trigonometrique. II faut observer que si / est toujours compris entre ni et M il en est de meme des rapports F(x-+-h) — Fix — h)
Z(x-h h)-h ri(x — h) — i
puisque F et T s'obtiennent en integrant une el deux fois la fonction f (n" 11). De plus, pour la meme raison, si f est compris entre m el M dans (a — h0: b-i-h{)), o^ elA/i sont encore compris entre m et M, pour It << Ao. Done p^ et sify sont toujours compris entre les limites inferieure et superieure de f et Us tendent uniformement vei s f dans tout interval le (a, (3) oil f est continue ; car, si / e s t d'oscillation an plus egale a s dans tout intervalle de longueur 2h0 interieur a (a — Ao, b -\- Ao), pour h < h0 les quantites o^ el R/, different de f au plus de £, dans (a, b). 50. Procede de M. Fejer. — Les deux procedes du numero precedent rentrent comme cas particulier dans ies procedes generaux de sommation des series di\ergentes que M. Borel puis
SERIES DE FOURIER Ql'ELCONQUES.
93
M. Mittag-Leffler ont employes recemment pour l'etude des series entieres. On sait que ces procedes conduisent a atlribiier a la serie
une somnie definie ainsi : considerons la serie
les coefficients ai(h) tendant vers zero quand i croit pour h differant d'une certaine valeur singuliere, o par exemple, et se reduisant tous a i quand h a cette valeur singuliere. Si les cii(h) sont convenablement choisis, cette serie sera convergente. La limite, que je suppose existante, vers laquelle tend sa somme quand h tend vers la valeur singuliere est, par definition, la somme de la serie proposee. Bien entendu les ai(h) sont assujettis a plus de conditions que je n'en ai enoncees, le plus souvent ces coefficients sont entierement determines; quant au parametre h il est pris continu ou discontinu suivant les cas (*). L'exemple le plus simple de ces procedes de sommation, celui qui est le plus ancien, c'est le procede de sommation par la moyenne arithmetique, qui consiste a attribuer comme somme a la serie consideree, dont les n + i premiers termes ont une somme S/M la limite pour n = oo, quand elle existe, des quantites
= u0 -h ui
1
\
-+- M 2
1
\
nj
H - . . . -+- un I 1
nj
\
nj
Ici le parametre h est discontinu, il est egal a - • Cette methode a ete employee tout d'abord a la sommation de la serie O -+- COS X -+- COS IX
-\- COS 3 X - + - . . . ,
que nous avons dejarencontree (n° 48). Alors i
. x i sin —
(l) Pour plus de renseignemcnts sur ce sujet, voir, par exemple, les Legons sur les series divergentes de M. E. Borel.
94
CHAP1TRE IV.
ce qui conduit a attribuera la serie la somme — -> sauf pour# = o, cas auquel nos calculs ne s'appliquent pas (D'ALEMBERT, Opuscules math., t. IV, p. 156 et sui\.). M. Fejer a pense a appliquer cette methode a toutes les series de Fourier {Math. Ann., t. LV1II); alors on a - i ) t
sin/ /sin/iA* 0
/
<*(t)dt. '
Je vais demontrer que la methode de M. Fejer permet la sommation de la serie en tous les points pour lesquels \ o(t) \ est la derivee de son integrate
indefinie
$ ( / ) = / \®(t)\dt, pour
t = o, c'est-a-dire en tous les points pour lesquels ^ ' ( o ) = o (*). Faisons dabord Line remarque ties simple. On a S 0 H - Si,-H. . . - i - S^ a
/i
. . .-f-
/>
n—
S/i_ii \n
^> p )i
done si, a partir dune certaine valeur p de q, tous les S^ sont compris entre m et M il en sera de ineme de la limite, ou des limites, de ov En particulier le procede de sommation par Ja moyenne arithmetique s'applique toujoiirs quand la serie est convergente; il est alors d'accord avec le procede de sommation ordinaire. Ceci pose, partageons 1'intervalle I o, - ) en (o, a) et fa, - ]• La contribution de ( a, - ) dans <jn — / est la moyenne des contributions du meme intervalle dans les differences So— / , Sj — / , . . . , Sn_{—f\ or la contribution dans Sq—f
tend vers zero a\ec—>
par suite la contribution de (a, -^ I dans o-^ — f tend vers zero
( ! ) J'ai demontre pour la premiere fois cette propriete dans un Memoire Sur la convergence des series de Fourier, paru aux Math. Ann., t. LX1. La methode du texte est beaucoup plus simple que celle que j'avais employee tout d'abord.
SERIES DE FOURIER Q l ELCONQUES.
avec - • 11 suffit de s'occuper de o(t)dt
=
/ mzjo i
. 4 y(t)dt-\ \ sin/ / T sin nt
,
/ mzj ,
( —-. ) y(t)dt. \ sin/ / TV '
w
.
,
remplacant . par n dans la premiere integrate et par dans la seconde, on trouve 7T sin i
r */sin /sin nt\* nt\
•2 /I
Si, dans (o, a), on a constamment <£(£)< 9/, la plus grande des limites, pour n = oo, est au plus -9 n
^9a; et, comme on peut
prendre 9 aussi petit que Ton veut, a condition de prendre a assez petit, il est demontre que <7/t —./ tend vers zero quand n croit indefiniment. Si /'est continue d£ns (a, 6), j compris a et 6, on pourra, ajant choisi 9 arbitrairement petit, prendre la valeur correspondante de a independamment de x dans (a, b) et alors les contributions de (o, a) et (a, ^ j dans <jn — / ' tendent uniformement vers zero quel que soit x dans (a, b). Cela est evident pour la contribution de (o, a), et cela resulte pour la contribution de (a, 7 \ dans
96
CHAPITRE IV.
Le multiplicateur de Q est re que devient
et cela sera realise en particulier quand \f(x-\-2t)—f(&)\ I J\x — it) — f(&) I seront, pour t = o, les derivees de leurs integrates indefinies, e'est-a-dire quand | y ( X ) — f { x ) \ , consideree comme fonction de X, sera, pour X = x, la deri\ee de son integrale indefinie. Or nous savons (n11 11) que cette condition est realisee pour tous les points sauf peut-etre pour ceux d'un ensemble de mesure nulle; les sommes in ont done des proprietes entierement analogues aux sommes G^ et&h.
51. Nature de la divergence des series de Fourier. — Je laisse de cote le procede de Poisson, tres peu etudie ici, et pour l'examen duquel on pourrait d'ailleurs utiJiser les resultats des deux autres procedes ('). Ces deux procedes, et tous ceux qu'on peut deduire des procedes generaux de sommation de M. Borel (voir le § 2 du Memoire de M. Fejer), fournissent des resultats equivalents. Tous ces procedes montrent qu'une fonction / sommable est determinee par sa serie de Fourier et fournissent une representation analjtique de /', comme il a ete dit au n° 49. Tous permettent de demontrer le theoreme de Weierstrass sur la representation (') Voir, au sujet du procede de Poisson, un iMemoire de M. P. Fatou qui parailra dans les Acta mathematica.
SEBIES DE F0UR1EK QUELCONQUES.
97
approchee des fonctions d'une maniere analogue a celle employee au n° 29 ( l ) . Le procede de M. Fejer est particulierement commode pour l'approximation des fonctions parce que les quantites in aiixquelles il conduit sont des suites finies de Fourier et non des series} nous I'utiliserons de preference aux autres, sauf dans le Chapitre V consacre a l'etude du procede de sommation de Riemann. Voici des consequences evidentes de nos resultats : Une serie de Fourier ne petit etre convergente en un point de continuite x0 de f(x) sans converger vers / ( # 0 ) , ni en un point de discontinuity de premiere espece xK sans converger vers
72[f(xi — °) + / ( a ? « + °)L J>uisque?n(a;0)et?n(xi) tendent vers ces valeurs. Lorsqu'une serie de Fourier est divergente en un point de continuite x0 ou en un point de discontinuity de premiere espece xK la plus petite et la plus grande des limites des sommes successives de cette serie contiennent toujours entre elles f(x0)
ou [/(#§ — o) ~f-f(xt + o)], sans cela ?n, dont la
limite est comprise entre ces plus petite et plus grande limites, ne tendrait pas vers f(x0)
ou -[f(xi
— o) 4- f(xt
-+- o)]. Les points
de divergence sont done, en x0 etx^ des points d'indetermination de la serie et non pas des points ou les sommes successives tendent vers + oo ou vers — oo. II en est d'ailleurs presque toujours ainsi. On a, en effet, en appelant L la limite superieure de / ,
^a
\
sin
(l) Lorsqu'on utilise de la meme maniere le procede de Poissou, suppose legitime par le raisonoement de M. Schwarz et non par celui du n° 31, on a la demonstration du theoreme de Weierslrass qu'a fait connaitre M. Picard ( Trailed'Analyse, t. I). L.
CHAPITRE
IV.
dans le dernier meinbre, le multiplicateur de L est ce que devient in quand ; /(6) est constante et egale a i, done ce multiplicateur egale i. De ce raisonnement et d'un raisonnement analogue on deduit que
III.
— OPERATIONS sun
LES SERIES DE FOURIER.
52. Multiplication. — Pour pouvoir utiliser une serie il ne suffit pas de savoir lui attribuer une somme, il faut encore savoir effectuer sur elle certaines operations simples. 11 est evident que la serie de Fourier de afK + bf2, a et b etant des constantes, s'obtient par l'addition des series de Fourier de f\ et f2 multiplies respectivement par a et b. 11 est plus difficile de former la serie de Fourier de /\f2=z F- Nous poserons ^(
cospx H- bp si sin per).
- Ao -h \^( kp cospx -h B7> sinpx)\
nous nous bornerons au cas ou / , et/ 2 sont bornees ce qui permet d'afiirmer que F a une serie de Fourier si fK et f2 en ont une.
SERIES DE FOURIER QlELCONQl KS.
99
Nous avons trouve des cas ou les coefficients a,, &/, a/, 3/ forment des suites absolument convergentes, n° 28: alors les series representant J\ et f., sont absolument convergentes, on peut les multiplier terme a terme, remplacer les produils de cosinus ou sinus par des soinmes algebriques de cosinus et sinus et ^Touper les termes ainsi obtenus d'une maniere quelconque. Groupons ensemble les termes contenant cosp.r ou sin/?./, nous obtenons. en convenant que a_/s=at(. A_* = —6*,
p=\ TO
Ces egalites ne sont jusquici demontrees que si les serie? 7 «/ . 7 \bi . 7 |a/|. \
3/| sont convergentes et en particulier elles
sont vraies quand ces series ne contiennent qu'un nombre fini de termes non nuls, c'est-a-dire quand il sagit de multiplier deux suites finies de Fourier. Elles sont vraies aussi quand une seule des series de Fourier a multiplier se reduit a une suite finie: pour le voir il suffira evidemment d'examiner le cas ou f.> se reduit a cospx ou a sinpx. Supposons. par exemple. f.2= co^px et examinons seulement Tegalite relative a A/l? tous les a et les 3 sont alors nuls sauf y.p qui est egal a 1. Fegalite qui donne \ n se reduit a An= -(ap^n—ap-a), ce qui n est qu une autre maniere d ecrire 1 egahte evidente :
1
'' \_Jo
*A
J
Ces remarques faites, il suffira evidemment de demontrer la
100
CHAPITRE IV.
premiere des egalites (M) pour tous les systemes de deux fonctions bornees et sommables pour avoir le droit de conclure a Inexactitude de toutes les formules (M) pour ces fonctions; car, si l'on applique la premiere formule (M) aux fonctions fK et /' 2 cos/i#, dont on connait les series de Fourier, on a la formule qui donne Aw et de meine, si l'on applique la premiere formule (M) aux fonctions J\ et /'2 sinnx, on a la formule qui donne B,,. Simplifions encore le theoreme a demontrer. Dans le cas du produit /';, il se reduit a
Si cette egalile etait demontree, il suffirait de l'appliquer au calcul de
=f
Jo
), designant une constante indeterminee, pour en deduire la premiere des formules (M). En definitive, pour demontrer ces formules (M), il nous suffira de faire voir que, pour toute fonction f bornee et sommable, f ~ -«o-+- ^y.(aP cospx+ bp sinpx), on a
Cette formule est exacte, nous le savons, quand il s'agit d'une suite finie de Fourier; appliquons-la a la somme <jn de M. Fejer relative a la fonction f. On trouve
D'ailleurs, / etant bornee, les
,,27T
/
«r* a?9 tend vers J
f* d%, quand n augmente
SERIES DE FOURIER QUELCONQUES.
IOI
indefiniment(n°12). Par suite l'egalite (IN) serait demontree si Ton convenait d'appliquer au second membre de (JV) le procede de sommation suivant : a la serie i -t-
on fait correspondre comme somme la Jimite de v !„ = uo-h
l
/ iii
V
I
\
I
*V
H- u-2 I — -
n/
\
n/
"\2
I "+-• • --+- un
I
\
•
n/
Pour que (N) soit demontree quand on emploie le procede ordinaire de sommation des series, il suffit done de prouver que le procede de sommation par les 2,, fournit le meme resultat que le procede ordinaire quand on l'applique a une serie a termes positifs, comme celle qui figure dans (N). Or, cela resulte de ce que, quand les u sont positifs, 2/z est au moins egal a la somme de ses p premiers termes, laquelle tend vers la somme des p premiers termes de la serie proposee quand n crott indefiniment, et de ce que 2,2 est. au plus egal a t t o - h ( / , + . . . + un. L'egalite (N) et, par suite, les egalites (M) sont ainsi demontrees pour toutes les fonctions sommables bornees, e'est-a-dire que nous savons ecrire la serie de Fourier du produit de deux telles fonctions donnees par leurs series de Fourier. Ge n'est qu'assez recemment que cette multiplication des series de Fourier a ete legitimee pour toutes les series correspondant a des fonctions integrables au sens de Riemann; la methode qui vient d'etre employee pour le cas des fonctions sommables est peu differente de celle qu'avait utilisee M. Hurwitz pour le cas des fonctions integrables de Riemann ( •). Jl serait naturel maintenanl d'etudier la division des series de Fourier; on ne connait que bien peu de choses a ce sujet. L'idee qui se presente immediatement a l'esprit consiste a considerer dans les equations (M) les A, B, a et [i comme connus et les a et b comme inconnus. Le probleme est ainsi ramene a la resolution d'une infinite dequations a une infinite dinconnues; je me boinerai a renvoyer aux quelques travaux que j'ai cites (l) Voir Math. Ann., t. LV1I et L I \ . On trouvera la des indications bibliographiques concernant la multiplicalion et Tintegration des series de Fourier.
102
CHAPITRK IV.
(n° 18) et qui concernent ces%systemes, ainsi qa'a un article de M. P. Appell (Bull, de la Soc. math, de France, t. XIII). Jindique encore une question qui meriterait d'etre etudiee soigneusement : de la convergence des series de Fourier de f\ et/' 2 peut-on rondure, dans des cas etendus, a la convergence de la scrie de Fourier de /*, y\? 53. Integration. f~
— Soit une fonction sommable — H- /
( dp cos/?a? -+- bp sin/?^r),
son integrate P(x) = / /(-*•) dx\ etanta \ariation bornee (n° 11), Jo est representable dans (o, 2TI) par sa serie de Fourier uniformement convergence (n° 40), sauf an tour de r ^ o, F(.r) =J—^+ ; ( A;, cospx -+- Bp sin/;.r)
(o < x < -Jt-),
a\ec, pour p ^ o, i r27r AfJ= - I F cos/?.r dx 71 Jo / P
Jo
PKJ0
f %\n px ax = p
i f cos/?.rI© i r271 = - F *— H / / cospxdx= -I /? J271 P^Jo h (3?) =
h > ^
cospx H
,
J
^- sin/?37
a0
a» H £ P P
sin/?^ ) .
Faisons x = o; en tenant compte de F(-+- o) = o on trou ve o) -+- F(:>.IT — o )
7ra u
=
Ao
\7i
= +2
doii A o ; et, d'aulre part, dans (o, 2TU), 7
° sin/?37 =
a0,
b.,
SERIES DE FOURIER QUELCONQUES.
io3
done on a F(x) = — x -\-^^—[aps\np.r—
bn{ cosa?— i)];
la serie de Fourier de / est done integrable lerme a terme de o a ^ < 2 7 r . En soustrayant F(x.2) de F ( # , ) on verra que la serie de Fourier d e / e s t integrable dans (.#,, a?2), pourvu que dans cet intervalle ne se trouve aucune valeur congrue a o. Si l'on faisaitle changement de variable x = X — a avant le raisonnemenl, on serait conduit a constater la possibilite d'integrer la serie de Fourier dans (#,, x+) ne contenant pas de valeur congrue a a, e'esta-dire, puisque a est quelconque, dans tout intervalle d'etendue moindre que IT:. En partageant un intervalle quelconque en parties d'etendues moindres que 2TU, on verifiera l'enonce general: La serie de Fourier de f\ integree terme d terme dans un intervalle quelconque, fournit Vintegrale de f dans cet intervalle. Si V une des extremites de cet. intervalle est variable, la serie obtenue est uniformement convergente. 54. Derivation. — Supposons qu'on connaisse la serie de Fourier d'une fonction F(.r) partout derivable, sauf pour x = o, et dont la derivee est sommable, et proposons-nous de former la serie de Fourier de sa derivee/'; ou bien, supposons que F(JC) soit rintegrale indefinie d e / , et proposons-nous de former la serie de f. En conservant les notations du nuinero precedent, les t'galites qui y ont ete etablies resolvent le probleine; seulement, comme on ne suppose plus F ( + o) = o, Tegalite qui nous a servi a calculer Ao doit etre remplacee par la suivante : •2
d'ou l'on tirera F(27T — O) —
F(+n)
Supposons que l'on derive terme a terme la serie de Fourier de F, nous obtenons, en tenant compte des relations indiquees, N — pkv sinpx -+-p Bf) cospx =z\^bp sinpx -f- ap cospx — a0 cospx
104
CHAPITRE IV.
En general ce n'est pas une serie convergente; en effet, ap tend verszero quand p croit, done, sauf si aft = o, le coefficient (tf^— a 0 ) de cospx dans celte serie ne tend pas vers zero, et nous verrons que c'est la une condition de divergence (n°57). La serie obtenue ne differe de la serie de Fourier de f que par l'absence du terme constant et par la presence des termes a0cospx. Mais, d'apres ce qui a ete dit au n° 50 sur Papplication du procede de M. Fejer a la serie £cos/?#, la serie obtenue en derivant la serie de Fourier de F est sommable par le procede de la moyenne arithmetique et represente f en totts les points ou la serie de Fourier de f serait sommable par le me me procede. Bien entendu la serie obtenue en derivant la serie de Fourier de F pourrait aussi etre sommee par le procede de Riemann, en tout point si / est la derivee de F, partout sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle si F est l'integrale indefinie de /'. Pour que la serie de Fourier de F fournisse, par derivation, la serie de Fourier de f il faut et il suffit que ^ / 0 = o , e'est-a-dire que F soit periodique, et c'est dans ce cas seulement que la derivation peut conduire a une serie convergente partout. Ainsi, quand on est dans les meilleures conditions possibles, une serie de Fourier derivee terme a terme conduit a une serie de Fourier; integree une fois elle conduit en general a une serie trigonometrique plus un polynome du premier degre, integree n fois elle conduit a une serie trigonometrique plus un polynome dn numii degre. Si done on vent utiliser les series de Fourier pour obtenir des developpements qu'on puisse deri\ er ou integrer indefiniment terme a terme sans que le developpement change de forme il sera naturel d'essayer si Ton ne pourrait pas arriver au resultal desire par Temploi de la somme d'une serie de Fourier et d'une serie entiere. En fait M. Borel a demontre que ces sommes convenaient pour la representation des fonctions indefiniment derivables ('). ( l ) Voir la These de M. Borel (Annales de VEcole Normale, 1895, p. 37) ou le Chapitre IV de ses Lecons sur les fonctions de variables re'elles. Dans le Volume cite des Ann. de VEc. Norm, on trouvera aussi un Memoire de M. M. Lerch : Sur la derivation d'une classe de series trigonome'triques.
SERIES DE FOURIER QUELCONQUES.
IV.
—
io5
APPLICATIONS GEOM6TRIQUES.
55. Theoreme de Jean Bernoulli, — Pour appliquer les resultats qu'on vient d'obtenir, je vais demontrer un theoreme de Jean Bernoulli par la methode qu'a employee Poisson dans ce but (Journal de I Ecole Poly technique, Gainer 18). Considerons une courbe G ayant des tangentes et supposons que, lorsqu'un point M parcourt C, la tangente en M tourne toujours dans le meme sens, ce que nous exprimerons en disant que G est convexe (*). Soit AB Tare de courbe C considere, noiis supposons que la tangente en B fait un angle droit avec la tangente en A. Soit T celle des developpantes de G dont le rayon de courbure en A est nul, e'est-a-dire qui passe par A. J'appelle B, son extremite. Soit G, celle des developpantes de F qui passe par B{, j'appelle A< son extremite. Soit F, celle des developpantes de C< qui passe par A,, j'appelle B2 son extremile, et ainsi de suite. Les points A, A4, A2, ... sont sur la normale AX a C en A; les points B, B1? B2, ... sont sur la tangente BX' a C e n B. AX et BX7 sont deux droites paralleles. Nous nous proposons de rechercher si les courbes C; et les courbes I\, qui s'eloignent indefiniment entre AX et BX', ne tendraient pas vers une forme limite. Considerons un point M de C et les points [/. et M, correspondants de F et C,. Designons par x Tangle aigu de la tangente en M avec BX', par s Tare BM de G, par r le rayon de courbure de C en M; par xK, siy r{ nous designons les elements analogues de C, ; par \ l'angle aigu de la tangente a V en JJL avec AX, par a- Tare A|x de T, par p le rayon de courbure de F en JJL. Avant d'aller plus loin remarquons qu'on nintroduit aucune hypothese nouvelle en supposant l'existence de rayons de courbures, car, si C n'en avait pas, C1 en aurait un et il suffirait de faire commencer a G, la suite
( l ) Bien qu'une droite puisse parfois renconlrer Gen plus de deux points; e'est ainsi qu'avec la definition du texte un arc quelconque de spiralc d'Archimede est convexe. Cette definition est celle qu'a adoptee M. Borel dans sa Geometrie e'le-
mentaire, p. 3o. et l\o.
IO6
CHAP1TRK IV.
des courbes C. On a x = xu
x -+- £ = ->
s -+- p = const.,
or -h r, = const.,
d'ou d(~ dx ~~ dx Posons alors /• r^j bj s'mx -h 6 3 s\n'$x -+- 65 sin 5^7 H-. . . ,
ce qui est possible puisque /* n'est encore defini que dans f o, - j Onpourraitd'ailleuis remplacer cetteegalite formelle par une egalite entre nombies telle que la serie du second membre soituniformement convergente, car, a condition peut-etre de supprimer les premieres courbes C, C,, . . ., on pent supposer que /*(n) = o et que r(x) a pai tout une derivee bornee. Kn integrant deux fois on aura — /*, ; si I'on remarque que rt (0) = o et —-3—- = p ( - j = o on obtient — p = b\ cosa? H — - c o s 3 ^ n — — cos 5x -+- . . , /•, = 6, sina; -h -^ s i n 3 ^ -+- - ^ sin 5.r -H. . . .
Par suite le rayon de courbure rp de C^ est rp = 6j sin x -+- —-f sin 3 a; -+- r ^ j sin j .?• -+-. . .,
rp(x) tend done vers R(x) = bK sin«r. On deduira facilement de la (jue, si Ton etFectuait sur C|, G2, . . ., les translations le long de BX' qui amenent B M B 2 , . . . en B, les positions que prendraient M,, M2, . . . tendent vers un point de la courbe 0 passant par B et definie par Tegalite R(a?) = 6, sin.r entre son rayon de courbure R et Tangle x que sa tangente fait avec BX'. Les formules ordinaires de la geometrie permettent de verifier que G est une demi-cycloi'de ayant B pour point de rebrousse-
SERIES DE FOLIUEH QUELCONQUES.
IO7
ment et qui est normale a AX. D'ailleurs, des qu'est demontree 1'existence d'une courbe limite C ne dependant que du seul parametre 6,, b\ = — / KJ0
/• sin x dx = - I Kjo
sin a? ( -r- 1 dx = — h, \dx)
7T
h representanl la distance de AX et BX', il est evident que 8 est cette cycloYde puisque, pour elle, toutes les courbes C/ sont egales. Les courbes F, ont evidemment pour limite une demi-cycloide egale a C On verrait de meme que, si la courbe C etait convexe, mais que les tangentes aux extremites ne fassent pas entre elles un angle droit, les courbes C,, C2, . . . et F, F,, . . . tendraient vers une forme liinite epicycloVdale; pour que ces courbes elles-memes aient une courbe limite il faudrait efifectuer sur elles des transformations par figures semblables, les rapports de similitude ne dependant que de Tangle des tangentes a G en A et B. Dans le cas ou G nest pas convexe il semble bien qu'il n'existe pas de propriete analogue; on le verra en considerant le cas d'une courbe Cformee par un arc aj3 de circonference puis par le meme arc parcouru en sens inverse de [i vers a. Le cas des courbes gauches n'a pas ete examine que je sache. 06. rheoreme des isoperimetres. — Pour faire connaitre une autre application geometrique je vais demontrer, par la methode de M. Hurwitz, I'inegalite qui constitue le theoreme des isoperimetres ('). Soit C une courbe plane fermee sans points multiples, rectifiable, c'est-a-dire de longueur finie L; M. Jordan a demontre qu'une telle courbe partageait le plan en deux regions et que la region iiiterieure est de celles qu'il a appelees quarrables et auxquelles on peut attacher une aire A. M. Jordan a montre de plus que, de quelque facon qu'on exprime les points de G comme fonctions continues d'un parametre, ces coordonnees sont des fonctions a variation bornee de ce parametre. Enfin, de quelque facon qu'une
(*) Voir Annales de I'Ecole normale supe'rieure, 1902.
108
CHAP1TRE IV.
courbe rectifiable C< tende uniformement vers C, la longueur L< de Ci a une plus petite limite au moins egale a L el l'aire A< de C{ a pour'limite A. D'ailleurs, on peut toujours choisirCj demaniere que L, tende vers L. Geci pose, exprimons les coordonnees des points de C en fonction de 1'arc 5 de C compte a partir d'une origine arbitraire et posons / = —r-* Nous aurons x = - a0-+- ^.(ai)
cospt -+- bp sin/>/),
y = - a0 -+- ^ ( a y j c° s pt -f- $p sin/?/;,
les series qui figurent dans x et dansy etant uniformement convergentes. Supposons d'abord que x ely aient partout des derivees en / et qLie ces derivees soient sommables; nous aurons, puisqu'il s'agit de fonctions periodiques (n° 54), dx
^., ,
.
. — pap sin/?/),
el, d'alitre part,
" ^ / dx \ 2
/
\~dt / ^tj
C'^i
I
dv \ ^
\ ~7T ) c^t
Par
mule (N) du n° 52. De ce caleul nous tirons
D'autre part, de la premiere des formules (M) du n° 52, nous deduirons A./
Done
.:
SERIES DE FOURIER QUELCONQUES.
IO9
Debarrassons-nous maintenant de l'hypothese faite relativement a l'existence de —r- et - ~ En remarquant que x(t) et y(t) sont a nombres derives bornes et, par suite, ont des d^rivees presque partout (n° 11), on pourrait verifier que nos calculs sont corrects dans tous les cas; mais les remarques qui suivent suffiront. Prenons une courbe C| qui tend vers C et dont la longueur L, tend vers L; il est facile de construire cette courbe de facon qu'elle soit de celles auxquelles s'appliquent les raisonnements precedents. Aiors, les elements atlectes d'un indice 1 correspondant a C,, on a Lf— ^^
= '2
Le premier membre tend vers L J — 4TC A quand G| tend vers C; la somme des k premiers termes du second membre tend vers la somme correspondante relative a la courbe G, done on a
et, par suite,
L2 —4-nA > o,
sauf peut-etre si d\ = P J ,
b\ = — y.\,
a-2 = a% = . . . = b$ = 6 3 = . . . = a 2 = a 3 = . . . = o ;
auquel cas G est une circonference et l'on a bien L2= Done, pour toute courbe fermee sans point double, ftable et de longueur L, limitant une aire A, on a
le signe = ne convenant qu'au cas de la circonference.
recti-
CHAPITRE V. SERIES TRfGONOMETRIQUES QUELCONQUES.
Les recherches exposees dans ce dernier Chapitre continuent et complement celles dont il a ete question an Ghapitre II; comme celles-ci, elles ont pour but principal de nous faire connaftre quelles peuvent etre les series trigonometriques representant des fonctions donnees. 57. Theoreme de M. Georg Cantor, — Lorsqu' une serie trigonometriq ue est convergente pour tous les points d' un intervalle, ses coefficients tendent vers zero. Gela sera evidemment prouve si nous demontrons que la serie trigonometrique dont le terme general est on cosn(x — a,,) ne peut converger que pour un ensemble de valeurs de x de mesure nulle lorsque p,, ne tend pas vers zero quand n croit. En effet, lorsqu'il en est ainsi, on pent trouver une suite croissante dentiers ni tels que les nombres pw correspondants soienttous superieurs a un nombre fixe m diflerent de zero, t etant arbitrairement choisi positif, le nombre \^n.cosni(x — a.n.) | surpasse s, sauf pour des valeurs de x qui forment, pour o < x < 2TT, un ensemble de mesure au plus egale a t) = 4 a r c sin—» et nous devons en conclure (n° 9) que la mesure de Tensemble des points de convergence est au plus r4. Notre theoreme est ainsi demontre, car Y| tend vers z£ro avec e. Ce theoreme, que Riemann semble avoir consid&re comme evident, a ete demontre pour la premiere fois par M. G. Cantor (*). ( J ) Journal de Crelle, t. 72; Math. Annalen, t. IV; Ada mathematica, t. IT.
SERIES TRKiONOMKTKIOl' liS QI/KLCONQUISS.
Ill
Pour les recherches suivantes, il est possible de s'en passer comme l'ont remarque Riemann et Kronecker ( f ) ; il suffit pour cela, ayant la serie trigonometrique S(.r) convergente pour# = # 0 , de raisonner uniquement sur la serie en 8, S ( # o + 8 ) - h S(# o —5), dont les coefficients tendent vers zero. Une serie dont les coefficients ne tendent pas vers zero peut avoir des points de convergence dans tout intervalle; on en trouvera des exemples dans le dernier paragraphe du Memoire de Riemann, le plus simple est celui de la serie Ssin/zlTr^ qui est evidernment convergente pour toute valeur rationnelle de x (-). 58. Theoreme fondamental de Riemann. — Nous allons considerer maintenant une serie trigonometrique (S), dont les coefficients tendent vers zero, (S)
-«o-+-^(tf/2 cosw.r -+- bn si
et rechercher dans quels cas on peut lui appliquer le procede sommatoire de Riemann (n° 49) qui consiste, comme on le sait? a poser r^, x n , r t (x) = L> - h Li\X
^o^1 2
A.J I
2
A2
'2'
1
A3 — —- — . . ., 3-
et a attribuer comme so mine a la serie proposee la limite, pour h = o, d'une quantite que l'on notera, en modifiant Jegerement les notations du n° 6,
Le theoreme fondamental qu'on va tout d'abord demonlrer est le suivant : lorsque (S) est convergente, le procede sommatoire de Riemann syapplique et est d'accord avec le procede de sommation ordinaire. (•) Voir le paragraphe II du Memoire de Riemann et un travail de Kronecker dans le Tome 72 du Journal de Crelle. ( 2 ) On prouvera facilement que la serie £ra sin/? \TZX n'est convergente que pour les valeurs rationnelles de x.
I 12
CHAPITRE V.
II suffira, pour cela, de montrer que ^ A^ ( — f - ) tend, quand h tend vers zero, vers la serie SA.^ supposee convergente. D'apres le n° 25, il suffit de montrer que la quantite
VI est u n i f o r m e m e n t b o r n e e . D a n s le second m e m b r e p r e n o n s T e n tier A? de facon que le signe | | soit inutile dans la p r e m i e r e s o m m e ; il suffira, p o u r cela, que l'on ait n\h\ <^TZ
j
,
/sinA\ 2
/sinnhy2
La premiere somme est alors / —7— ) — ( —r— ) ' bornee. La seconde somme est egale a
quantite
(sinphy—_[sin(p-hi)h]* L__^
en remarquant que la difference des can es des sinus est egale a | sin(2/> + i) h sin A | < | h |, on voit que cette somme est inferieure a h\
r"
i
dt
i
i
,
quantite bornee, car elle tend vers - + - • Demontrons encore que Con a toujours : .=lim Cela resulte (n() 25) de ce que Ton a, en conservant les notations
SERIES TRIGONOMETRIQUES QUELCONQUES.
Il3
precedentes,
quantite bornee, car elle tend vers TC + - ('). 59. Condition necessaire et stiffisante demon tree par Riemann. — Soit une fonction f(x) de periode 27c, nous nous demandons a quelles conditions elle doit satisfaire pour qu'il existe une serie trigonometrique, dont les coefficients tendent vers zero, a laquelle s applique le procede sommatoire de Riemann et dont la somme, obtenue par ce procede, egale f(x). II faut evidemment tout d'abord que la condition suivante soit remplie (n° 6) : i° f(x) continue
est la derivee seconde generalisee d'une F(x).
fonction
La derivee seconde generalisee de F(x + 27c) — F(x) est egale k f\x -f- 27c) —f(x) = o; done F(x + 2TC) — F(x) est une fonction lineaire (n" 6) que I'on peut noter 2^[A Ot r -4- TCA 0 + C< ] ; on verifie de suite que, si I'on pose
;
= L -h
\J>\X
2
H
i2
.
a2
.
.
nL
?
An etantde la forme acosnx-\- ft sinnx; ilreste seulement a ecrire ( l ) Pour d'aulres applications des raisonnements de Riemann, voir une Note de M. Fa tou (Comptes rend us, 1905). L. 8
Il4
GHAPITRK V.
que A,, Lend \erszero pour ecrire du nieine coup que Tegalite prccedente est une egalite entre nombres el que, en derivant deux fois le second membre, on a une serie a coefficients tendant vers zero qui represente f(x) a la maniere indiquee. D'ou cette seconde condition : 2° En posant — ~\n = n2 I
le second membre tend vers zero avec -> uniformement
quel
que so it x. Les conditions i° et 2° constituent la condition necessaire et suffisante cherchee: on verrait facilement comment il faut la modifier si f(x) n'existait pas en certains points ou si Ton renoncait a la sommabilite de la serie, ou a Tegalite de f(x) et de sa somme en certains points. Je laisse cela de cote pour indiquer la transformation que Riemann a fait subir a la condition 2°, et qui est la partie importante de cette recherche. 11 est evident en efFet que la condition i", qui n'est qu'une tautologie, serait suffisante si Ton ne s'imposait pas la restriction supplementaire que les coefficients de la serie representantf(x) tendent vers zero en vue d u n application ulterieure an procede de sommation ordinaire. Nous designerons par [*(•#) une fonction continue de periode 2TT ayant partout une derivee premiere et ayant partout, sauf en un nombre fini de points, une derivee seconde a variation bornee. D'apres les nos 27 et28, si le (/i-f-1 )ieme terme de la serie de Fourier de \L(X) estan cosnx -+- bn sin/i^, nzan et n3 bn sont bornes, done n-citi et n'bn tendent vers zero. D'autre part, si lc(n -+- I )ic'llle terme de la serie de Fourier de
lini n- I n - » J-
SERIES TRIGONOMETRIQUES QUELCONQUES.
Tl5
Admettons que [/, n'est different de zero qae dans une partie (a, b) de (a, STU + a), ce qui exige fi(a) =
[i(b)
=
(j.'(a) =
fx'(6) =
o;
on pourra remplacerles limites d'integratioii (a, vs-rc-f-a) par a et 6. D'autre part, JJ. ay ant les proprietes indiquees, l'expression !_*•
tend vers zero a\ec - , carla quantite entre crochets est ie(n -\-i)[kme terme de la serie de Fourier de \^{x) (Gx -\
^ - ] » qui est con-
tinue ainsi que sa derivee premiere et dont la derivee seconde est a variation bornee. Par suite, si 2° est remplie, cosn(x' — t) dt tend vers zero avec - . Pour conclure, enoncons une condition 2f. 2f Designons par X(£) une foaction dejinie dans (A, B) qui y est continue ainsi que sa derivee premiere, qui a, sauf un nombre fini de points, une derivee seconde a variation bornee, #t telle que Von ait A(A)
= X(B) = X'(A) = X'(B) = o .
La quantite 2
n'
tend uniformement
rh I
\(t)F(t)cosn(x
— t)dt
vers zero, quel que soit x, avec —•
Je dis que 2° et 2f sont deux conditions equivalentes. En effet, si 2° est remplie, 2' Test aussi, car on peut considerer \ comme la somme d'un nombre fini de fonctions [/., et remplacer ainsi I'integrale ou figure X par des integrales ou figurent des fonctions pi, •et qui sont etendues seulement a des intervalles (a, b) de longueur moindre que 2TT.
Il6
CHAP1TRE V.
Supposons maintenant que 2f est remplie, c'est-a-dire que n2
/
l(t)$>(t)cosn(x
— t) dt
tend vers zero avec n-• Faisons d'abord la-dedans
et X( t) = cos* clans (
> oj
et
( 2 7U, — U
X(' / ) = i dans (o, 27c);
puis B = -+--, 2
La contribution de ( —? o ) est la meme dans les deux cas; la con\a / tributionde f 2 7t, — ) dans le premier cas est egale a celle de (o, - j dans le second. Si done on soustraitles deux resultats obtenus, on \oit que I'integrale .2 /
cos/iO — f)
•-0
lend vers zero, avec —;; 2' entraine 2 0 .
Riemann donne a la condition 2f une forme un peu plus generale en ne supposant pas que n soit entier, il serait facile de monIrer que les deux formes de 2; sont equivalentes (*). Je ne m'y arrete pas, d'autant que l'on utilisera seulement l'egalite (A) precedemment.trouvee, dans laquelle \n(t) est une fonction de periode 27T, ayant une derivee seconde a variation bornee. La methode qui conduit a l'egalite (A) fournit aussi l'egalite (B) (B)
lim n
I
<&(t) j-ti (t) c o s n{x — t) dt = o ,
( l ) La methode de Riemann, exposee d'une facon un peu concise par Tauteur, ne prete a aucune difficulte si Ton tient compte des notes que H. Weber a ajoutees au Memoire de Riemann (voir surtout 2e edition des QEuvres de Riemann)^ Jai utilise ces notes dans le texte.
SERIES TRIGONOMETRIQUES QUELCONQUKS.
1 17
dans laquelle \^\(t) est une fonction de periode IITZ, ayant une derivee premiere a variation bornee. A. ces egalites il faut en joindre une troisieme o 7c -+- CL
(G)
1 iin / " = -«/a
sin
&( t) UL*( t)
dt = o, S
ini
1
dans laquelle [A2(0 designe une fonction qui jouit de toutes les proprietes de [/«(£) et qui, de plus, s'annule pour la valeur .r comprise entre a et L>TC-|- a. Cette egalite resulte de ce que Fintegrale qui y figure est, au facteur — pres, la somme des (n-hi) premiers termes de la serie de Fourier de $(x) |JU(#), serie qui est absolument convergente. 60. Retour au procede de sommation ordinaire. — La somme des n -h i premiers termes de la serie qui represente/(^), quand on la somme par le procede ordinaire, est evidemment egale a 1
,27u + a
^
.
sin
( i n
-hi)(x—
. x —t sin
t)'
dt,
'2
valeur que Ton obtient en prenant la derivee seconde de la somme des n -+- i premiers termes de la serie F ( # ) ; au lieu d'etudier directement cette somme, nous allons lui faire subir des transformations analogues a ceJles qui ont permis de passer de la condition 2° a la condition 2f. Demandons-nous tout d'abord dans quelcas la serie trigonometrique 5, qu'on obtient en derivant deux fois de suite terme a terme la serie de Fourier de 0, peut etre remplacee par la serie trigonometrique s{ qu'on deduit par le meme procede de la serie de Fourier de 4>A, ou X est la fonction de l'enonce i1. Mais, pour parler de la serie de Fourier de <J>X, il faut que cette fonction ait la periode 2TC, aussi supposera-t-on dorenavant que Von a
\{t) etant supposee de periode 2iz et egale a o dans (B, _\-+- 2iz)
8
CHAP1TRE V.
On a evidemment
par suite, si l'on emploie le procede sommatoire de Riemann, s et S\ peuvent se remplacer mutuellement quand on a
on supposera dorenavant ces conditions remplies. Si Ton emploie le procede de sommation ordinaire, on est conduit a considerer la difference des sommes des n premiers termes de s et s^ laquelle s'ecrit sin('j»n - h i)-
. x— t sin
—
dt.
Posons i — X = p,
x— t = M,
etdesignons les derivees par des accents, on a I sin( n -h •£) a l r / sin(n-t-\) u [ . i cosec - u A P • • = —T^ psm-u L sinU J sinJ-M ( " 2 -+-• (in -hi) cos nu J p cos - u cosec' - u — (2 n -h i) sin nu j p sin - u cosec' - u > — ln-\—j
sinnu)p cot - u? 2 COS/IW j p j .
Par un calcul eleinentaire qu'il est inutile de developper ici, on verifie que les quantites placees entre accolades ont des deriveesbornres jusqu'a J'ordre 2, pour les trois premieres quantites, et jusqu'a l'ordre 3, pour les deux dernieres, si \(t) a des derivees continues jusqu'a Vordre 4, ecu mo ins autour de t — xy
SEMES TRIGONOMKTRIQUES Ql ELCONQLKS.
I 19
on suppose/a ceite condition remplie\ Alors la premiere quantite est mie des fonctions [JU dont il a ete parle a la fin du numero precedent, les deux suivantes sont des fonctions [/.,, les deux dernieres des fonctions ku. Si done nous partageons l'integrale a calculer en cinq autres a l'aide de l'egalite precedente, il est evident que ces cinq integrales tendenl toutes vers zero; la premiere a cause de (G), les deux suivantes a cause de (B), les deux dernieres a cause de ( \ ) . De sorte que s peut etre remplacee par^i meme quand on emploie le procede de sommation ordinaire (•). Avant de conclure, remarquons que pour ?.)
la serie de Fourier de / est certaineinent coiivergenle et que sa somme, quand t = x: egale 2 L . Go mine les fonctions F(/) el<&(t) correspondant a cette serie sont egales a (K + K, t + on peut ecrire x— t
lim - L C .X sin
— t
En faisant dans (D) : K = o, K, = C,, K 2 = —, et en utilisant Je resultat precedent, on est conduit a l'enonce de Riemann :
Soit A < x < B-^ A + arc, et \(t) tine fonction ay ant des derivees continues jusqud. fordre 4, telle que Von ail X(A; = X ( B j = Xr(A) = >/(B) = o,
X(a?> = 1,
X'(^r) = l " ( x ) = o ;
alors la difference entre Ao + A, + . . . + Aft (volr le n(l 59) (') En utilisant, par exemplc, l'integration par parties, il est possible de ne se servir, clans la demonstration, que de la formule ( A ) qu'on peut considerer comme une consequence immediate de 2' Mais, dans tous les cas, les differentes integrales que l'on rencontre ne peuvent etre traitees toutes de la meme maniere; aussi, en ce qui concerne cette partie du AJemoire de Riemann, les notes de H. Weber me paraissent avoir besoin d'etre completees.
I2O
CHAPITRK V.
et
tend vers zero quand n croit indefiniment (i). Riemann remarque que, si Ton modifie f en dehors de (A, B), on ne modifie en rien la convergence ou la divergence, au sens ordinaire, de la serie trigonometrique qui represente / quand on lui applique le procede de Riemann. En effet, une telle modification ne peut avoir pour resultat que d'ajouter a Fune fonction lineaire, d'apres le theoreme de Schwarz (n° 6) demontre posterieurement aux recherches de Riemann, et cette fonction d'apres (D) n'a aucune influence sur la convergence ou la divergence. C'est par ce raisonnement que Riemann demontra que la convergence au sens ordinaire, de la serie trigonometrique, qui represente une fonction f quand on lui applique le procede de Riemann, ne depend que de la faeon dont se comporte f an voisinage du point considere. Cet enonce n'est pas entierement equivalent a celui du n' 34. II est interessant de remarquer que ce resultat suppose demontre le theoreme de Schwarz et, par suite, le theoreme du numero suivant. D'ailleurs, dans le Memoire de Riemann, on trouve aussi lYnonce du theoreme de M. G. Cantor qui a fait l'objet du n° 57; le theoreme de du Bois-Reymond qu'on lira plus loin est aussi iidmis implicitement par Riemann (-). 61. Theoreme de Heine-Cantor.
— Le procede de sommation
(*) Ici on n'a pas le clroit de supposer, sans precautions supplementaires, que B —A est superieur a 2it. On verifiera facilement que Tenonce serait encore exact si, les autres conditions etant remplies, on remplacait la condition A < 5 7 < B = A - f - 2 i t par la condition qu'il y ait des valeurs coni;rues a x dans ( A, B) et les conditions que doit remplir X pour t — x par la condition que Ton ait X( t) = V ( t ) = \" (t) = o pour toute valeur de ( V, B) congrue a x sauf pour Tune d'elles pour laquelle il faut que Ton ait X( t) = i, X (t) = V(t) = o. ( 2 ) Au paragraphe VII du Memoire de Riemann on lit: « Si les coefficients a et b tendent vers zero pour n croissant a l'infini, les termes de la serie Q [celle qui, peut-etre, represente f(x)] finiront par devenir infiniment petits, quel que soit x\ sinon, ils ne pourront le devenir que dans des valeurs particulieres de x. » C'est le theoreme du n° 57. Quant au theoreme de du Bois-Reymond, il est admis, mais moins nettement, a la fin du paragraphe HI et dans le paragraphe X.
SEltlKS TIUUONOMETIUQUES QUELCONQIES.
121
de Riemann etant plus general que le procede ordinaire, pour qu'une fonction soit representable trigonometriquement, il faut qu'elle satisfasse a la condition i ' du n° 59. Et alors, d'apres le theoreme de M. Schwarz (n° 6), la fonction F(£), qui admet f(t) pour derivee seconde generalisee, est entierement determinee a une fonction lineaire additive pres. Nous avons vu que, quand F(t) est ainsi determinee, la serie trigonometrique qui, sommee par le procede de Riemann, donne /', est entierement determinee. Done : il existe au plus une serie trigonometrique convergence (') qui represente une fonction donnee. Ge theoreme a ete drmontre tout d'abord par Heine (Journal de Cre/le, t. 71); mais en imposant diverses restrictions aux series considerees parce que le theoreme du n° 57 n'etait pas etabli. G'est M. G. Cantor (/oc. cit.) qui a donne l'enonce precedent en raeme temps que des enonces plus generaux. Jusqu'ici on a suppose la serie partout convergente et egale a /*; admettons qu'en certains points exceptionnels l'une ou l'autre de ces deux hypotheses ne soit plus remplie. M. &. Cantor a montre que le theoreme est encore exact lorsque Vensemble des points exceptionnels est reductible (n" 7). S'il y avait deux series trigonometriques convergentes representant / , sauf peut-etre en ces points exceptionnels, leur difference serait egale a o, sauf en ces points et, par suite, dans tout intervalle ne contenant pas de points exceptionnels, la fonction F(/) correspondant a cette difference serait lineaire d'apres le theoreme de M. Schwarz. Soit A un point exceptionnel isole; avant A, F ( ^ ) = l v + K,^; apres A, F ( 0 = K 7 +K', £. F etant continue, on a Mais, d'apres le second theoreme du n° 58, ——
n
i —
1V
1
(l) Ou rnenie seulernent a coefficients tendant vers zero et sommables pai^ le procede de Riemann.
I'll
CHAP1TRE V.
doit tendre vers zero avec A; done
Par suite, s'il n y a qu'un nombre fini de points exceptionnels dans (o, 2TC), F(/) est partout egale a la |meme fonction lineaire, le theoreme est demontre. S'il y a un nombre infini de points exceptionnels, notre raisonnement montre que F(t) ne peut changer de forme qifaux points Jimites de cet ensemble. Mais on peut refaire, a loccasion d'un point limite isole, le raisonnement fait pour A, et l'on voit ainsi que le theoreme est exact si, dans (o, '2TO), le premier derive de 1'ensemble des points exceptionnels n'a qu'un nombre fini de points. On peut ainsi s'elever de proche en proche jusqu'a l'enonce general de M. Cantor. 62. Theoreme de Paul da Bois-Reymond. — [1 n'y a qu^une seule serie trigonometrique convergente represenlant une fonction donnee /', nous venons de l'apprendre. Mais quelle est-elle? C'est la serie de Fourier de / quand cette serie est convergente et represente/', mais dans les autres cas n'y a-t-il pas une serie trigonometrique, autre que la serie de Fourier de / , qui represente la fonction donnee / ? MM. Dini, \scoli et surtout P. du Bois-Reymond ont repondu negativement a cette question dans des cas etendus ('). Ici on ne fera que la seule hypothese : f est bornee (-). Si f est representable par une serie trigonometrique, e'est qu'elle est mesurable (n° 8); etant de plus bornee, elle est sommable (n° 10). Soit F la fonction correspondant, comme il a ete dit, a la serie representant f. On a lim
nous savons que —
=
f(r);
est bornee (n° 11), done (n° 12) on peut
(') DINI, Sopra La serie de Fourier, Pise, 1873. — ASGOLI, Annali di Matematica, t. VI, 187.3. — P. DU BOIS-KEYMOND, Abhand. der bayer. Akad., t. XII. (-) LEBESGUE, Annales de VEcole JSormale, 190.3.
SERIES TRIGONOMETRIQUKS QUELCONQUES.
123
integrer sous le signe « lim ». Appelons F4 e t F 2 deux fonctions primitives successives de F, on a
ou, puisque F est la derivee seconde de F2, A2F
F(^)-F(o)-^lim
h=o
^°^ f
\h>
f
Jo Jo
f{t)dtd*.
La limite qui subsiste dans cette formule existe bien puisque tous les autres termes sont determines, et Ton a F(x)=
I
/ f(t)dtd§-+- kx-t- B.
Connaissant F(x) on pourrait appiiquer la methode du n° 59 a la recherche de la serie trigonometrique; il sera plus rapide de remarquer que, en conservant toujours les memes notations, (^) est de la forme Jo
2
Jo
^ ete t '\\ sont les coefficients du (/i+i) leme terme
d'ou, puisque
de la serie de Fourier de ^x
2 7T
/
/
w
I't
/
Jo Jo
4
/(t)cosnxdtdtidx—fl i2^ ,
'
n
_ * » = ! f r f f(t)s\
n2 Jo Jo Maintenant, -enJochangeantl'ordre des integrations, ce que permet la consideration des integrates triples (n° 10), en efl'ectuant d'abord les integrations en x, puis celles en 9 et enfin celles en /, on a
« r27Z a
; i
= -
K
/ Jo
bn = - I 71
Jo
i r'271
T f(t) cosnt fit) sinntdt
'
dt -+- 2 A L
o
— n \2r.A0
L
~l
—— / '•?jTC*/o — 2a
j{t)dl\, J /
f(t) (in —t) dt\.
^ 0
J
124
CHAP1TRE V.
Pour que an et bn tendent vers zero, quand n croit, il faut evidemment que les quantites entre crochets soient nulles; done : si une fonction bornee f est developpable en serie Lrigonometricjue convergente cette serie est la serie de Fourier de f. Si Ton admettait qu'ily ait des points exceptionnels en lesquels la representation par la serie trigonometrique cesse d'etre valable, le raisonnement precedent ferait connaitre, a une fonction lineaire additive pres, la forme de (#) dans tout intervalle ne contenant pas de points exceptionnels. Et le raisonnement du numero precedent montrerait que cette fonction lineaire est toujours la meme si l'ensemble des points exceptionnels est reductible; de sorte que, dans ce cas, le theoreme precedent est encore exact. 63. Exemple de serie trigonometrique partout convergente qui nJest pas une serie de Fourier. — Nous avons du supposer, dans le numero precedent, que ./est bornee; le theoreme s'etend cependant au cas ou / est sommable et ne devient infini qu'au voisinage des points d'un ensemble reductible. On petit meme demontrer que, si certaines fonctions non sommables sont representables analytiquement, ce ne peut etre que par leurs series de Fourier generalisees (n° 19). Je renvoie pour ce point a mon Memoire, cite au numero precedent. Cequ'il importede remarquer, e'est que la question posee n'est pas resolue completement pour les fonctions non bornees. II est d'ailleurs facile de voir que, si l:on conserve aux mots serie de Fourier le sens que nous avons adopte (n° 19), il existe des fonctions qui sont representables par des series trigonometriques convergentes, qui ne sont pas des series de Fourier. En voici un exemple qui m'a ete indique par M. P. Fatou. Nous avons vu incidemment (n° 53) que, pour une s^rie de Fourier, la serie \ —
etait convergente et meme nous avons
calcule sa valeur. Done, la serie N —-.
n'est pas une serie de
Fourier; elle est cependant partout convergente (n" 26). 64. Theoreme sur la multiplication des series de Fourier. — Supposons /continue, auquel cas F a une derivee premiere F' et une derivee seconde F / 7 = / . Soit \ la fonction qui figure dans
SKRlks TRIGOXOMKTRIQUKS QUKLCONQUKS.
125
l'enonce du n° 60. Gomme Ton a
+ a
F ( T — i h ) — F ( . r ) X O - + - •ill) — \(x
^17*
— -2.il)
p
il en resulte lim - J | ^ =/.X + 2 F'.V+FX w . La fonction 2F / X / + FX" a une derivee, sa serie de Fourier est done convergente. Mais on sait que la serie obtenue en derivant deux fois la serie qui represente FX converge en meme temps que celle qui se deduit de F, e'est-a-dire en meme temps que la serie de Fourier de f. Par suite, les series de Fourier de f el f k convergent en meme temps au point x, les conditions du n° 60 etant remplies. G'est la un enonce tres particulier; j'ai tenu a l'indiquer en terminant parce qu'il montre qu'il y aurait interet a n'assujettir les fonctions X, [i. des paragraphes precedents qu'a des conditions moins restrictives.
FIN.
TABLE DES MATIERES.
Pages. v
PREFACE INDEX
vn
INTRODUCTION. — PROPRIETES DES FONCTIONS
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.
Les deux especes de points de discontinuite Points reguliers Fonctions monotones ; conditions de Dirichlet Fonctions a variation bornee Nombres derives Derivee seconde generalisee. Theoreme de M. Schwarz Ensembles de points Ensembles mesurables; fonctions rnesurables Theoreme sur la convergence des series Definition cje I'integrale Proprietes de I'integrale indefinie.., Theoreme sur Tintegration des series Theoreme general sur les fonctions sommables
i
'...
CHAPITRE I. — DETERMINATION DES COEFFICIENTS DES SERIES TRIGONOMETRIQUES REPRESENTANT UNK FONCTION DONNEE
i 2 2 3 5 5 7 8 9 10 12 14 i5
17
14. Definition des series trigonometriques 17 15. Comment fut pose le problerne de la representation d'une fonction arbitraire par une serie trigonometrique.... 19 16. Formules d'Euler et Fourier 22 17. Formules d'interpolation 23 18. Methode de Fourier 26 19. Series de Fourier 3o CHAPITRE II. —THEORIE ELEMENTAIRE DES SERIES DE FOURIER
I. — Sommation
de series trigonometriques
20. Generalites 21. Procede d'Euler et de Lagrange 22. Procede de Fourier
33
33 33 33 35
TABLE DES MAT1ERES.
12J Pages.
II.. — Etude 23. 24. 25. 2b. 27. 28.
29. 30. 31. 32.
e'lementaire
de la convergence
Principe de la methode Determination d u n e fonction par sa serie de Fourier Transformation d'Abel. Tlieoreme de la moyenne Conditions de convergence d'une serie trigonometrique Ordre de grandeur des coefficients d'une serie de Fourier Cas de convergence des series de Fourier
36 37 38 4a 45 46
III. — Applications
48
Representation approchee des foiictions continues Principe de Dirichlet Integrale de Poisson Propriete fondamentale des foiictions liarinoniques
4$ 49 5i 53
CHAPITRK II[. — SEIUES DE FOURIER CONVERGENTES
33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.
36
55
I. — Recherches sur la convergence
55
Caractere de convergence des series de Fourier Theoremes de Riemann Les deux especes de conditions de convergence Transformations des conditions de convergence Condition de \ 1 . Dini Exemples de foiictions developpables en serie de Fourier Condition de Lipschitz-Dini Condition de M. Jordan et condition de Dirichlet
55 59 62 63 66 67 70 71
II. — Applications
74
diverses
41. Formule de Fourier 42. Formules somrnatoires 43. Sommes de Gauss
74 78 80
CHAPITRE IV.
84
— SERIES DE FOURIER QUELGONQUES
I. — Existence de series de Fourier divergentes 44. Exemple de fonction continue dont la serie de Fourier ne converge pas partout 45. Remarques sur la convergence des series de Fourier 46. Autre exemple de serie de Fourier divergente 47. Existence de fonctions continues representables par leurs series de Fourier nou uniformement convergentes II. — Sommation 48. 49. 50. 51.
des series de Fourier diver gentes
Procede de Poisson Procede de Riemann Procede de M. Fejer Nature de la divergence des series de Fourier
84 84 86 87 88 89 8
9 9° 92 96
128
TABLE DES MAT1ERES. Pages.
III. — Operations
sur les series de Fourier
52. Mukiplication 53. IntegraLiou 54. Derivation
98 98 102 io3
IV. — Applications ge'ometriques 55. Theoreme de Jean Bernoulli 56. Theoreme des isoperimetres CHAPITRE V. — SERIES TRIGONOMETRIQUKS QUELCONQUES
57. 58. 59. 60. 61. 62. 63.
io5 io5 107 no
Theoreme de Georg Cantor no Theoreme fundamental de Riemann in Condition necessaire et suffisante demontree par Riemann n3 Retour au procede de sommation ordinaire 117 Theoreme de Heine-Cantor 120 Theoreme de Paul du Bois-Reymond 122 Exemple de serie trigonometrique, partout convergente, qui n'est pas une serie de Fourier 124 64. Theoreme sur la multiplication des series de Fourier 124
FIN DK LA TABLE DES MATIEKES.
Paris.— lmprimerie GAUTHIER-VILLARS, quai des Crands-Augustins 55
