Johdatus sähködynamiikkaan ja suhteellisuusteoriaan

Christofer Cronström Pertti Lipas Johdatus sähködynamiikkaan ja suhteellisuusteoriaan J o h d a t u s sähködynamiikka...

Author: Christofer Cronström | Pertti Lipas

332 downloads 615 Views 36MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Christofer Cronström Pertti Lipas

Johdatus sähködynamiikkaan ja suhteellisuusteoriaan

J o h d a t u s sähködynamiikkaan j a suhteellisuusteoriaan Christofer Cronström

Pertti Lipas

Kustantaja on saanut opetusministeriön tuotantotukea. © Limes ry 1.painos ISBN 951-745-187-3 Painettu Limes ry:n graafisissaa laitoksissa Helsingin Kruununhaassa 2000.

Esipuhe Tämän kirjan lähtökohtana on ollut toisen meistä (PL) alkujaan 1970 tekemä ja Limeksen kustantama moniste Elektrodynamiikka. Siitä tehtiin toinen, vain vähän muutettu painos 1977. Moniste rakentui Helsingin yliopiston samannimiselle cum laude -kurssille ja määritteli sen sisällön. Sittemmin Helsingissä pidettävän kurssin opetus ja kehittäminen siirtyivät toiselle meistä (CC). Kurssi on vahvistunut erityisesti teoreettiseen suuntaan. Potentiaaliteoria on nyt paljon aikaisempaa vahvemmalla matemaattisella pohjalla. Suhteellisuusteorian osuutta on ratkaisevasti lisätty ja modernisoitu. Vuosien kehitys tuotti 1986 yhteisen oikean kirjan, (CC&PL) Johdatus elektrodynamiikkaan ja suhteellisuusteoriaan. Nyt käsillä oleva laitos on tämän uudistettu versio. Se on edelleenkin kehittynyt erityisesti potentiaaliteorian ja suhteellisuusteorian osalta. Liisa Koivisto on osallistunut puhtaaksikirjoitukseen. Jouko Arponen on ratkaissut useita L-TgX-ongelmia. Kari Peräjärvi on tehnyt teoksen kaikki kuvat. Kiitämme kaikkia heitä ystävällisestä avusta. Helsingissä ja Jyväskylässä elokuussa 2000 Christofer Cronström

Pertti Lipas

s- vi

-

i •: •„ '

Sisältö

1

Johdanto

1

2

Sähköstatiikan perusteet

5

2.1

Coulombin laki

5

2.2

Gaussin laki

6

2.3

Pyörteettömyys ja potentiaali . . . .,

9

2.4

Sähköstatiikan potentiaaliongelma

11

2.4.1

11

2.5

Peilivarausmenetelmä

2.6

Potentiaaliteorian reuna-arvo-ongelmat

15

2.6.1

15

2.7

2.8 3

Poissonin ja Laplacen yhtälöt .

Yksikäsitteisyyslause ja Greenin funktiot

12

Vektorikentän potentiaalit

25

2.7.1

25

Lähteettömät ja pyörteettömät kentät

Vektorikentän kenttäviivat

29

Potentiaaliteorian sovelluksia

33

3.1

Laplacen yhtälö ja muuttujien erottelu

33

3.2

Laplacen yhtälö pallokoordinaatistossa

35

3.3

Pallon Greenin funktio GD

39

3.3.1

40

Harmonisten funktioiden Poissonin kaava iii

iv

SISÄLTÖ 3.4

4

Pallon Greenin funktio G n

41

3.4.1

42

3.5

Sähköiset multipolipotentiaalit

43

3.6

Dipolikenttä; dipolien vuorovaikutus

45

3.7

Johdepallo ulkoisessa kentässä

47

3.7.1

49 51

4.1

51

4.2

Aineen dipolirakenne Sähköpolaroituma P ja sähkövuon tiheys D

. . . .

52

Väliaineen potentiaaliongelma

55

4.2.1

56

E:n ja D:n reunaehdot rajapinnoilla

4.3

Eristepallo vakiokentässä

58

4.4

Johteet ja pintavarausjakauma

61

4.4.1

62

4.5

6

Pintavaraus ja polarisaatio

Sähköstatiikka väliaineessa

4.1.1

5

Pallofunktioiden yhteenlaskulause

Johdekappaleen kapasitanssi

Johdekuori ja Coulombin laki

67

Energian ja voiman kenttäkuvaus

71

5.1

Kentän energia tyhjiössä

71

5.2

Energiatiheys väliaineessa

75

5.3

Maxwellin jännitystensori

79

Magnetostatiikka

87

6.1

Varauksen säilyminen ja jatkuvuusyhtälö

87

6.2

Amperen laki

92

6.2.1

92

6.3

Magneettivuon tiheys ja vektoripotentiaali

Suoran ja ympyräjohtimen magneettikenttä

99

SISÄLTÖ

v 6.3.1

7

8

9

Magneettidipoli

103

6.4

Magneettinen multipolikehitelmä

103

6.5

Virtasilmukan magneettikenttä

107

6.5.1

108

Magneettinen skalaaripotentiaali

Magnetostatiikka väliaineessa

111

7.1

Magneettikentän voimakkuus H

111

7.2

Kenttien B ja H reunaehdot

114

7.3

Magneettinen jännitystensori

120

7.3.1

123

Vektoripotentiaalin fysikaalinen merkitys

Faradayn laki ja Maxwellin yhtälöt

125

8.1

Faradayn induktiolaki

125

8.2

Maxwellin yhtälöt

128

8.3

Kentät tyhjässä avaruudessa

131

8.3.1

131

Potentiaalien mittamuunnokset

8.4

Varauksisen hiukkasen liike kentässä

135

8.5

Magneettiset monopolit

137

Kentän energia ja liikemäärä

141

9.1

Sähkömagneettisen kentän energia

141

9.1.1

141

Energian säilyminen, Poyntingin lause

9.2

Kentän liikemäärä

144

9.3

Kenttäyhtälöiden yksikäsitteisyyslause

145

10 Kenttien E ja B aaltoyhtälöt

149

10.1 Yleinen aaltoyhtälö

149

10.2 Homogeeninen aaltoyhtälö; tasoaallot

151

vi

SISÄLTÖ 10.3 Tasoaallon polarisaatiotilat

152

10.4 Tasoaaltojen sironta rajapinnasta

155

11 Sähködynamiikka ja suhteellisuusteoria

159

11.1 Aaltoyhtälön invarianssiryhmä

160

11.2 Lorentzin muunnokset

162

11.3 Vakionopeudella liikkuva koordinaatisto

166

11.4 Kenttien E ja B muunnokset

170

11.5 Tasaisella nopeudella liikkuva pistevaraus

175

11.6 Aika-avaruus; Lorentz-tensorit

176

11.7 Suhteellisuusperiaate ja dynamiikka

180

12 Sähködynamiikan kovariantti muoto

187

12.1 Kentät E ja B sekä kenttätensori F ^

187

12.2 Nelipotentiaalrja mittamuunnokset

191

12.3 Nelipotentiaali ja Lorentzin muunnokset

194

12.4 Energia-liikemäärätensori

195

13 Epähomogeeninen aaltoyhtälö

199

13.1 Aaltoyhtälön ratkaisu

200

13.2 Viivästynyt Greenin funktio

204

13.3 Lienardin-Wiechertin potentiaalit

205

13.4 Liikkuvan varauksen kentät ja säteily

210

A Sähködynamiikan yksikköjärjestelmät

215

B Gaussin ja Stokesin lauseet

219

C Konformiryhmän muunnokset

225

x SISÄLTÖ D Operaattori V eri koordinaatistoissa Viitteet

Luku 1 Johdanto Klassinen sähködynamiikka eli elektrodynamiikka on yksi fysiikan kulmakiviä. Runsaat 100 vuotta sitten Maxwell (James Clerk Maxwell, 1813— 1879) yhdisti ja yleisti Coulombin, Amperen, Faradayn ym. aikaisempien tutkimusten tulokset. Maxwellin teoria on sähkömagneettisten kenttien teoria, joka sisältyy seuraaviin Maxwellin yhtälöihin: 1 V • E = —p eo V •B = 0

(1.1) (1.2)

(1.3) (1.4) Nämä osittaisdifferentiaaliyhtälöt kuvaavat sähkökentän E ja magneettikentän B riippuvuutta toisistaan sekä lähteistään varaustiheydestä p ja virrantiheydestä j; eo,/io j a c o v a t Sl-yksikköjärjestelmään kuuluvia vakioita (ks. liitettä A). Yhtälöt on tässä esitetty mikroskooppisessa muodossa; mahdollisen väliaineen ominaisuuksia ei ole otettu huomioon. Kentän E täydellinen nimi on sähkökentän voimakkuus ja kentän B magneettivuon tiheys; viittaamme niihin normaalisti kuitenkin vain sähkökenttänä E ja magneettikenttänä B. Näitä täydentäviä, väliaineeseen liittyviä kenttäsuureita otamme esille tuonnempana. Yhtälöt (1.1-1.4) ymmärretään yleensä osittaisdifferentiaaliyhtälöiksi, jotka määräävät kentät E(r, t) ja B(r, t), kun niille annetaan asianmukai-

LUKU 1.

2

JOHDANTO

set reunaehdot ja kun lähdetermit p(r', t') ja j(r', t') tunnetaan kun t' < t. Myös jälkimmäiset ovat siis yleensä sekä paikan r että ajan t funktioita. Maxwellin teoria, tai yleisemmin 1800-luvun lopun sähkön ja magnetismin teoria, on esitetty seikkaperäisesti Maxwellin omassa teoksessa A treatise on electricity and magnetism [1], joka luonnollisesti on oppikirjana vanhentunut mutta historiallisen arvonsa vuoksi edelleen kiintoisa. Voidaan sanoa, että Maxwellin yhtälöt määrittelevät sähkömagneettiset kentät E ja B. Usein kentät E ja B määritellään kuitenkin operationaalisesti Lorentzin voiman (Hendrik Antoon Lorentz, 1853-1928) lausekkeen avulla, F = g(E + v x B)

(1.5)

Tämä on sähkömagneettisessa kentässä (E, B) nopeudella v liikkuvaan sähkövarauksiseen (varaus q) testihiukkaseen kohdistuva voima F. Yhtälöt (1.1-1.5) sisältävät klassisen Maxwellin-Lorentzin sähködynamiikan. Tässä kirjassa esitämme, miten voidaan päätyä Maxwellin yhtälöihin (1.1-1.4) lähtien aikaisemmin tunnetuista sähköstatiikan ja magnetostatiikan lainalaisuuksista, sekä käsittelemme Maxwellin yhtälöiden sovelluksia. Kirjamme rakenne ön melko perinteinen. Käsittelemme ensin sähköjä magnetostatiikan perusteet ja osoitamme vasta luvussa 8, miten lopulta päädytään Maxwellin kenttäteoriaan. Luku 2 sisältää sähköstatiikan perusteet: Coulombin lain ja siihen liittyviä matemattisia tarkasteluja. Luku 3 sisältää potentiaaliteoriaan kuuluvaa aineistoa, josta on hyötyä sovelluksissa. Luvussa 4 käsitellään väliaineen sähköstatiikkaa. Väliaineen rakenne kuvataan yksinkertaisella tavalla fenomenologisten rakennevakioiden avulla. Luvussa 5 käsitellään energian ja voiman kenttäkuvausta, joka otetaan uudestaan täydellisemmin esille luvuissa 9 ja 12. Luku 6 alkaa perusluonteisella varauksen säilymislailla, ja jatkossa käsitellään Amperen lakia ja sen seurauksia magnetostatiikassa. Luku 7 taas on analoginen luvun 4 kanssa; siinä käsitellään magnetostatiikkaa magnetoituvassa väliainessa yksinkertaisten aineen rakenteeseen liittyvien rakennevakioiden avulla. Luvussa 8 otetaan esille aidosti ajasta riippuva ilmiö, nimittäin sähkömagneettinen induktio, joka melko suoraviivaisesti aikaisempien tulosten kanssa johtaa Maxwellin yhtälöihin. Tässä on ehkä paikallaan todeta, ettei Maxwellin yhtälöitä sinänsä voida aukottomasti johtaa Coulombin laista, Amperen laistaja Faradayn

3

induktiolaista. Maxwellin yhtälöt, jotka sisältävät nämä lait, yhdistävät ne ja ovat niiden yleistyksiä. Luvussa 9 palataan energian ja voiman kenttäkuvaukseen, kun kentät riippuvat ajasta, ja johdetaan energian ja liikemäärän säilymislait. Luvussa 10 johdetaan kenttien E ja B aaltoyhtälöt Maxwellin yhtälöistä sekä käsitellään yksinkertaisia tasoaaltojen sirontaongelmia. Luvussa 11 tutkimme Maxwellin yhtälöiden muunnosominaisuuksia koordinaatistosta toiseen siirryttäessä. Osoitamme, että jos vaaditaan, että Maxwellin yhtälöt säilyttävät muotonsa säännöllisissä koordinaattimunnoksissa ja että kentät muuntuvat lineaarisesti näissä muunnoksissa, kyseiset koordinaattimuunnokset ovat välttämättä ns. konformimuunnoksia. Konformimuunnokset sisältävät koordinaattien tietyt ehdot täyttävät lineaariset ja homogeeniset muunnokset, Lorentzin muunnokset. Käsittelemme näitä muunnoksia sekä niihin liittyvää tensoriformalismia seikkaperäisesti. Maxwellin yhtälöt ovat siis muotoinvariannteja konformimuunnoksissa (ks. liitettä C) ja täten erityisesti Lorentzin muunnoksissa. Tämä tarkoittaa, että Maxwellin yhtälöt ovat sopusoinnussa suppean suhteellisuusteorian kanssa. Käymme läpi suppean suhteellisuusteorian peruskäsitteistöä luvussa I l j a osoitamme sitten luvussa 12, että Maxwellin-Lorentzin sähködynamiikka voidaan kirjoittaa Lorentz- eli nelitensorimuotoon niin, että teoria on suhteellisuusperiaatteen mukainen eli että teoria on ilmiselvästi muotoinvariantti suppean suhteellisuusteorian koordinaattimuunnosten eli Lorentzin muunnosten suhteen. Viimeisessä luvussa 13 analysoidaan yleisen aaltoyhtälön ratkaisua sovelluksena pistemäisen liikkuvan varauksen aiheuttama kenttä, erityisesti sen aiheuttama säteilykenttä. Niistä monografioista ja artikkeleista, jotka ovat olleet tämän teoksen lähdemateriaalina, haluamme tässä erityisesti mainita sähködynamiikan klassikot Jacksonin Classical electrodynamics [2] sekä Panofskyn ja Phillipsin Classical electricity and magnetism [3], jotka ovat vakiintuneita oppikirjoja. Kvanttisähködynamiikasta Nobelin palkinnon saaneiden Richard Feynmanin kirjaa The Feynman lectures on physics [4] ja Julian Schwingerin kirjaa Classical electrodynamics [5] suositellaan oheislukemistoksi.

Luku 2 Sähköstatiikan p e r u s t e e t 2.1

Coulombin laki

Sähköstatiikka perustuu Coulombin lakiin (Charles Augustin Coulomb, 1736-1806). Tämä määrittelee sen sähköisen voiman, joka tyhjiössä vaikuttaa kahden toistensa suhteen levossa olevan varatun kappaleen välillä. Coulombin kokeelliset tulokset voidaan lausua seuraavasti, kun varaukset ovat pistemäisiä. Tarkastelemme liikkumattomia varauksia q\ ja pisteissä ri ja r 2 (kuva 2.1). Tällöin varaus q\ vaikuttaa varaukseen q2 voimalla F12 = -p— < M 2 r ^3 ' 47re0 |r 12 |

r

12 = r 2 ~ r i

(2.1)

Verrannollisuuskerroin e0 liittyy käytettyihin yksikköihin. Sl-järjestelmässä (voiman yksikkö N, pituuden yksikkö m ja varauksen yksikkö C) on o Nm 2 « 8,988 - 1 0 9 — 47TC0 C2 1

(2.2)

Vakiota eo sanotaan sähkövakioksi eli tyhjiön permittiivisyydeksi. Kaavan (2.1) mukaan varauksien qx ja q2 välillä vallitsee kaukovaikutus. Tämä kaukovaikutus voidaan korvata kenttäkuvauksella tarkastelemalla varauksen qi aiheuttamaa sähkökenttää E x (r) varauksen qi ympäristössä. Soveltamalla Lorentzin voiman lauseketta (1.5) esillä olevaan staattiseen tilanteeseen saadaan F12 = Q2 Ei(r 2 )

(2.3)

LUKU 2. SÄHKÖSTATIIKAN

6

O

PERUSTEET

2

Kuva 2.1: Kahden pistevarauksen koordinaatit. joten 1

r — ri

(2.4)

3

Coulombin kokeet osoittavat myös, että useiden varausten q^ i = 1,... ,N aiheuttama kenttä on osakenttien summa, N

(2.5) Tämä on lineaarinen

superpositioperiaate.

Laskemalla kaavan (2.5) määrittelemän kentän divergenssi todetaan suoraan (harjoitustehtävä), että V • E = 0,

2.2

i = 1,2,...,

N

(2.6)

Gaussin laki

Johdamme nyt Gaussin lain, Maxwellin ensimmäisen yhtälön (1.1) Coulombin laista. Tätä varten tarvitsemme divergenssilauseen eli Gaussin lauseen, joka on vektorianalyysin kulmakiviä. Divergenssilause Olkoon U(r) koordinaattien r = (x, y, z) vektoriarvoinen funktio, joka on jatkuva ja jolla on jatkuvat ensimmäisen kertaluvun derivaatat, kun r kuuluu tiettyyn umpinaiseen alueeseen V = V U dV, jonka reunapinta dV on riittävän säännöllinen (sileä). Silloin pätee (2.7)

2.2. GAUSSIN

LAKI

7

missä Un(r) on vektorin U(r) komponentti pitkin pinnan dV ulospäin suuntautuvaa yksikkönormaalia n(r) (kuva 2.2) ja f d2a • • • tarkoittaa pinnan dV yli otettua pintaintegraalia. [Huom. vaihtoehtoinen tapa merkitä pintaintegraalia: f dS • U = f dSUn.]

Kuva 2.2: Divergenssilauseen geometria. Tässä emme todista divergenssilausetta, joka on puhtaasti matemaattinen lause. Täydellisyyden vuoksi annetaan kuitenkin todistus liitteessä B.

Tarkastelemme nyt tiettyä sileää pintaa dV, joka sulkee sisäänsä varauksen qi (kuva 2.3). Muodostamme integraalin Ii -.= [ d2a n ( r ) - E i ( r ) Jav

(2.8)

LUKU 2. SÄHKÖSTATIIKAN

8

missä Ej(r) on varauksen

PERUSTEET

aiheuttama kenttä,

Ei(r) = —— 47re0

(2.9)

|r-r,|3

Olkoon Bp Tj-keskinen p-säteinen pallo, jonka reunapintaa merkitään symbolilla dBp (kuva 2.3). Alueessa V \ Bp on kaavan (2.6) perusteella V • E j = 0,

r eV\Bp

(2.10)

Integraaliksi (2.8) saadaan divergenssilauseen perusteella [ d2a n ( r ) - E i ( r ) = [ d2aep- E;(r) JdV J dBp

(2.11)

missä pallopinnalla dBp on r - r ; = pep ja d2a = p2dQ; dQ. on avaruuskulma-alkio (dO sin Qdcp pallokoordinaatteja käyttäen). Silloin f JdB0

d2aep • Ei(r) = - f dQ = ^ 47re0 J4n e0

(2.12)

Tämän seurauksena pätee d2crn(r) • Ej(r) = —

(2.13)

e

JdV

o

missä dV on mielivaltainen (riittävän sileä) pinta, joka sulkee sisäänsä varauksen q^. Seuraavaksi otamme useita varauksia qj, j = 1 ,...,N, jotka kaikki ovat pinnan dV sisäpuolella. Tulos (2.13) pätee jokaisen varauksen qj synnyttämään kenttään Ej, joten f

JdV

d2an(r)-E(r)

= Y

/

j=1

f

JdV

d2o n(r) • E,(r) = i e

o

(2.14) j=1

missä E(r) on kaikkien varauksien qj, j = 1 ,...,N synnyttämä kenttä [vrt. kaavaan (2.5)]. On huomattava, että pinnan dV ulkopuolellakin voi olla varauksia, mutta ne eivät sisälly summaan Yh^r Voidaan osoittaa, että E voi olla kaikkien (siis myös pinnan ulkopuolella olevien) varauksien aiheuttama kenttä. Yhtälö (2.14) on Gaussin laki pistevarausparvelle. Vaikka varaus onkin kvantittunut (ts. kaikki varaukset ovat elektronin varauksen 1,60 • 10 - 1 9 C kokonaislukumonikertoja), voidaan kuitenkin monissa yhteyksissä

2.3. PYÖRTEETTÖMYYS

JA

POTENTIAALI

9

käyttää jatkuvaa ja sileää varausjakaumaa, jonka varaustiheys on p(r) [tai p(r, t)]. Jos pistevarausparvi korvataan tällaisella (riittävän säännöllisellä) varausjakaumalla p(r), summa Y^ Qj 011 korvattava integraalilla: /d3rp(r) Jv

"

(2.15)

Tällöin saadaan yhtälöstä (2.14) [

d2a n(r) • E(r) = [ d 3 rp(r)

JDV

(2.16)

JV

Pistevarauksen kenttä on singulaarinen lähdepisteessä; nämä singulariteetit poistuvat kuitenkin, kun pistevaraukset korvataan (riittävän sileällä) varausjakaumalla p. Kentästä E tulee tällöin sileä paikan funktio, johon divergenssilause pätee. Soveltamalla lausetta kaavaan (2.16) saadaan [ d3r V • E(r) = e — d 3 rp(r) Jv o Jv

(2.17)

Koska integroimisalue V kaavassa (2.17) on mielivaltainen (eräät säännöllisyysehdot täyttävä) alue, täytyy olla voimassa lokaalinen kenttäyhtälö V • E(r) = —p(r)

(2.18)

joka on ensimmäinen Maxwellin yhtälö, Gaussin laki. Formaalinen yhteys pistevarauskuvauksen ja jatkuvan varaustiheyskuvauksen välille saadaan 5-funktiota (distribuutiota) käyttäen. Jos on vain yksi pistemäinen varaus ^ pisteessä r l . sitä esittää varaustiheys p(r) = qz5\r -

ri)

(2.19)

Kun tämä sijoitetaan yhtälöön (2.16), saadaan yhtälö (2.13). Vastaavasti pistemäisten varausten qj muodostama parvi voidaan kuvata tiheydellä P(r) = J > , 5 3 ( r - r j ) j

2.3

(2.20)

P y ö r t e e t t ö m y y s ja potentiaali

Pistevarausparven aiheuttama kenttä on kaavan (2.5) mukainen. Kaavan ilmeinen yleistys jatkuvan varaustiheyden tapaukseen on

LUKU 2. SÄHKÖSTATIIKAN

10

PERUSTEET

(huom. kenttäpiste r, lähdepiste r'). Integroimisalueena V kaavassa (2.21) on se alue, jossa p(r') / 0. On selvää, että kaava (2.21) määrittelee kentän E(r) sileänä paikan r funktiona ainakin silloin, kun r ^ V. Jos r G V, niin integroitavalla on singulariteetti pisteessä r' = r integraalissa (2.21). Voidaan osoittaa, että integraali (2.21) suppenee ja määrittelee kentän E(r) sileänä paikan funktiona myös silloin, kun r G V, jos p(r) on riittävän säännöllinen. Tarvittavat suppenemistarkastelut kuuluvat matemaattisen potentiaaliteorian piiriin emmekä puutu niihin lähemmin tässä yhteydessä. Oivallinen klassinen viite on lähdeluettelossa mainittu Kelloggin kirja Foundations of potential theory [6]. Nykyaikainen suositeltava viite on S. G. Mikhklin: Mathematical physics, an advanced course [7]. Voidaan suoraan todeta, että r - r' 1 — i- = - V — — |r — r'| |r — r'|

(2.22) V

missä nabla-operaattori V tarkoittaa derivointia r:n suhteen (V = id/dx+ jd/dy + kd/dz karteesisin koordinaatein x,y,z). Sijoittamalla tulos (2.22) kaavaan (2.21) ja siirtämällä operaattori V integraalin ulkopuolelle (luvallista, koska V operoi r:ään) saadaan E (f) - - V ( —

[

\47T6O J

Kaava (2.23) määrittelee

|i" — r | /

(2.23)

skalaaripotentiaalin

ja E(r) = —V(r) (2.25) Koska gradienttikentän roottori häviää identtisesti (V x Vip = 0 kaikilla säännöllisillä funktioilla ip), kaavasta (2.25) seuraa, että sähköstaattinen kenttä E(r) on pyörteetön, V x E(r) = 0. (2.26) Edellä määritellyllä skalaaripotentiaalilla (r) on fysikaalinen tulkinta: potentiaali kuvaa sitä työtä, joka tehdään, kun yksikkövaraus siirretään paikasta r^ paikkaan r^ sähköstaattisessa kentässä E(r). Tämän näemme seuraavasti.

;

2.4. SÄHKÖSTATIIKAN

POTENTIAALIONGELMA

11

Lorentzin voiman lausekkeen mukaan kentässä E olevaan testivaraukseen q kohdistuu voima F(r) = gE(r) (2.27) joten kenttää vastaan suoritettava työ siirrettäessä testivarausta r i i s t a r#:hen on (huom. miinusmerkki) WA.+B = ~Q [ JrA

B

dv E(r) = +q f * dr • V0(r) = +q[<j>(rB) - (rA)] JrA (2.28)

Suure q(r) on hyödyllinen apusuure, jonka avulla sähköstaattinen kenttä E voidaan laskea kaavan (2.25) mukaisesti. Ottamalla kaavan (2.25) divergenssi saadaan Gaussin lain (2.18) avulla —V2(r) = —p(r)

(2.29)

Toisaalta potentiaali (r) on lausuttu varaustiheyden p(r) avulla kaavassa (2.24). On selvää, että on luvallista derivoida (2.24) kerran integraalimerkin sisällä. Jos kuitenkin vastoin klassisen analyysin sääntöjä V 2 operaattori viedään integraalin (2.24) sisälle, saadaan 1 3 2 —p(r) 47re0 Jf d r' p(r')\7 - lr -- r—I = eo

(2.30)

joten on oltava V 2 - j — - = — 47r53(r — r')

(2.31)

Tämä on varsin hyödyllinen formaalinen identtisyys.

2.4 2.4.1

Sähköstatiikan potentiaaliongelma Poissonin j a Laplacen yhtälöt

Edellisessä kappaleessa totesimme, että sähköstaattinen kenttä E on skalaaripotentiaalin 0 gradientti, E(r) = - V 0 ( r )

(2.32)

12

LUKU 2. SÄHKÖSTATIIKAN

PERUSTEET

Gaussin lain nojalla lisäksi totesimme, että potentiaali 4> toteuttaa yhtälön (2.33) Yhtälö (2.33) on Poissonin yhtälö, jota potentiaali 0 noudattaa, kun varaustiheys on p. Erikoistapauksessa p = 0 saadaan Laplacen yhtälö V2(r) - 0

(2.34)

Funktioita jotka toteuttavat Laplacen yhtälön (2.34) tietyssä alueessa V, sanotaan harmonisiksi alueessa V. Harmonisilla funktioilla on tärkeä merkitys potentiaaliteoriassa, kuten tuonnempana nähdään. Jos funktio p tunnetaan koko avaruudessa (sekä häviää riittävän nopeasti äärettömyydessä), niin Poissonin yhtälön (2.33) ratkaisu ei ole mitään muuta kuin lauseke (2.24): (2.35)

Varsinainen potentiaaliongelma käsittää tilanteen, jossa tunnetaan varaustiheys p osittain, ts. avaruuden osa-alueessa V. Poissonin yhtälön (2.33) ratkaiseminen edellyttää silloin, että annetaan jotakin tietoa potentiaalin reuna-arvoista alueen V reunalla dV. Eräissä hyvin symmetrisissä tapauksissa voidaan potentiaaliongelma ratkaista yksinkertaisella tavalla käyttämällä ongelman symmetriaominaisuuksia. Tähän perehdymme seuraavassa kahden esimerkin avulla ja palaamme sen jälkeen yleiseen potentiaaliongelmaan.

2.5

Peilivarausmenetelmä

Otamme kaksi esimerkkiä ns. peilivarausmenetelmästä. Ensimmäinen esimerkki on seuraava. Olkoon annettu varaus q koordinaatiston origossa O sekä ääretön taso T kohtisuorassa x-akselia vastaan etäisyydellä d origosta (kuva 2.4). Kysytään, mikä on järjestelmän potentiaali (r), kun vaaditaan, että potentiaali on nolla tasossa T . Tämä on tyypillinen reuna-arvotehtävä alueessa x < d, missä 4>(r)\x=d = 0. Toisaalta ongelma voidaan myöskin toteuttaa fysikaalisesti; taso T on silloin ohut ideaalijohteen reunapinta.

2.5. PEILIVARA

USMENETELMA

Kuva 2.4: Pistevaraus ja johdetaso. Ideaalijohde on "aine", jossa varaukset voivat liikkua vapaasti. Staattisessa tapauksessa kerittä E häviää silloin johteessa. Johteen reunapinta eli taso T on täten tasapotentiaalipinta (ts. <> / = vakio T:ssä). Reunapinnalla T E-kenttä on kohtisuorassa T:tä vastaan. Tämä seuraa siitä, että testivarauksen siirtäminen pisteestä toiseen tasapotentiaalipinnalla ei vaadi työtä, joten voimakentän on oltava kohtisuorassa tasapotentiaalipintaa vastaan. Tilanteen symmetrian vuoksi voidaan arvata, että kenttä E, joka on kohtisuorassa T:tä vastaan tasossa T, saadaan aikaan siten, että sijoitetaan toinen, kuvitteellinen varaus, ns. peilivaraus q* — —q pisteeseen x = 2d,y = z = 0. Tarkistetaan laskemalla, että tämä pätee. Origossa sijaitsevan varauksen q ja pisteessä (2d, 0, 0) sijaitsevan varauksen q* = —q aiheuttama potentiaali on kaavojen (2.20) ja (2.24) mukaisesti 1

flr^gl-g-,

'

47re0 |r|

(2.36) v

47re0 |r —

'

missä ex on rc-akselin suuntainen yksikkövektori. Tasossa x = d tällöin vallitsee potentiaali m,=ä = T T -0 \y y/d - 2r =+ ry2 =+ 2z2 47re

J 2t t +T yT2 T ^Jd + z2f )J

=

0

mikä todistaa arvauksemme oikeaksi. Taso T vaikuttaa origossa sijaitsevaan varaukseen q voimalla F, joka on sama kuin peilivarauksen q* = —q aiheuttama voima. Tämä voima on

LUKU 2. SÄHKÖSTATIIKAN

14

PERUSTEET

^-akselin suuntainen ja suurudeltaan F =

1

47ren

q_\2

(2.38)

2 d)

Toinen esimerkki, joka on tärkeä myöhempiä sovelluksia varten, on seuraava. Tarkastellaan origokeskistä ii-säteistä pallopintaa 8BR ja pallopinnan sisällä pisteessä r 0 olevaa varausta q (kuva 2.5).

Kuva 2.5: Maadoitetun pallonkuoren sisällä oleva varaus. Kysytään, mikä on potentiaali

\dBR — 0 eli että (f) häviää pallopinnalla 8BR. Ongelma voidaan ratkaista sijoittamalla sopivaan paikkaan pallopinnan ulkopuolelle peilivaraus q*, joka kumoaa varauksen q aiheuttaman potentiaalin pallopinnalla 8BR. Symmetriasyistä on ilmeistä, että varaus q* on origon ja q:n kautta kulkevalla suoralla, ts. jos q*\n paikkavektoria merkitään r*:11a, on r* = Ar0

>

R

(2.39)

Järjestelmän potentiaali on cf>( r) =

1 47re 0 \ | r — r 0 j

+

(f r — r'

(2.40)

Kaavan (2.40) määrittelemä potentiaali on asettamamme ongelman ratkaisu, jos voidaan valita parametrit r* ja q* siten, että
47ren

|i?er — roe 0r |

jRe r — r*e0

(2.41)

2.6. POTENTIAALITEORIAN

15

REUNA-ARVO-ONGELMAT

Vaadimme, että lauseke (2.41) häviää riippumatta e r :n suunnasta (e0r on kiinteä). Valitsemalla e r = e 0r ja e r = —e0r saamme yhtälöt ^ R-r0

•

Cf

r* - R

=0,

+ ^ = 0 r* + R

R + r0

(2.42)

Näistä yhtälöistä seuraa, että d2

r

D * = > <1* - -
(2-43)

Sijoittamalla parametrit (2.43) kaavaan (2.41) saadaan = 4:7re R ( \\e i T T " l\ni Te " 1— e \/ i) ' 0 r - h0e0r\ 0 r 0r

11

h

°

•=

^

R

mistä heti näkee, että (/>(r)||r|=Ä = 0 myös kaikissa muissa suunnissa er ^ ±e 0 r . Sijoittamalla parametrit r* ja q* kaavoista (2.43) kaavaan (2.40) saadaan reuna-arvo-ongelman ratkaisuksi if

^

^

47re0 V k - r o| q

|^0 r - To/ho\

4vre0 l -y/r2 + r2 - 2r • r 0

\JR2 + h2r2 - 2r • r 0 _ (2.45)

Nämä esimerkit osoittavat, että peilivarausmenetelmä edellyttää oivalluksia, jotka perustuvat ongelmien geometrisiin symmetrioihin. Yleisissä tapauksissa on käytettävä raskaampaa koneistoa, jota seuraavassa esitellään.

2.6 2.6.1

Potentiaaliteorian reuna-arvo-ongelmat Yksikäsitteisyyslause j a G r e e n i n f u n k t i o t

Seuraavassa tarkastelemme Poissonin yhtälöä (2.33), kun varaustiheys p tunnetaan mielivaltaisessa alueessa V, jonka reuna dV kuitenkin on riittävän sileä. Tässä, kuten seuraavassa, oletetaan aina, että (avoin) alue V on äärellinen ja yhtenäinen ja että sen reunapinta dV on sileä, ts. että sillä on jatkuva normaali.

LUKU 2. SÄHKÖSTATIIKAN

16

PERUSTEET

Todistamme seuraavan yksikäsitteisyyslauseen: Poissonin yhtälön V20=--p, eo

reV

(2.46)

ratkaisu tunnetaan reunalla dV (Dirichlefn reunaehto) \av = f

(2-47)

tai additiivista vakiota vaille yksikäsitteisesti määritetty, jos (j>:n normaaliderivaatta dn<j) [ks. yht. (2.50] tunnetaan öV:llä (Neumannin reunaehto), dn
(2.48)

missä f ia, h ovat dV:llä annettuja riittävän sileitä (jatkuvia) funktioita. Huomautus 1. Yllä oleva lause ei ole olemassaololause. Ratkaisun olemassaolo on todistettava erikseen. Huomautus 2. Tässä (myös tuonnempana) emme aivan tarkasti esitä tarvittavia säännöllisyysvaatimuksia. Tällaiset tarkastelut kuuluvat matematiikan piiriin. Kelloggin kirja, johon aikaisemmin on viitattu, antaa tarkempia tietoja tällaisista asioista. Yksikäsitteisyyslauseen todistusta varten tarvitsemme identtisyyden, joka tunnetaan Greenin ensimmäisenä kaavana. Ensimmäinen Greenin kaava (Green I) on [ d3ruV2v JV

+ [ d3rVu-Vv= Jv

[ d2audnv JdV

(2.49)

missä u ja v ovat y:ssä määriteltyjä riittävän säännöllisiä funktioita. Kaavan (2.49) todistus on yksinkertainen: sovelletaan divergenssilausetta (2.7) vektoriarvoiseen funktioon uVv. Merkintä dnv kaavassa (2.49) tarkoittaa dnv = n • Vv

(2.50)

missä n = n(r) on pinnan dV ulospäin suuntautuva yksikkönormaali. Todistamme nyt edellä lausutun yksikäsitteisyyslauseen. Olkoot kaksi yhtälön (2.46) ratkaisua fa ja 02, jotka molemmat toteuttavat joko Dirichlefn reunaehdon (2.47) tai Neumannin reunaehdon (2.48). Tällöin erotus tt = i ~
2.6. POTENTIAALITEORIAN

REUNA-ARVO-ONGELMAT

17

toteuttaa yhtälön V2^ = 0 ,

reF

(2.52)

ja joko reunaehdon ^|av = 0

(2.53)

dn^\dv = 0

(2.54)

tai reunaehdon

Greenin ensimmäisestä kaavasta (2.49) tapauksessa ^ = u = v seuraa silloin (huom. V 2 ^/ = 0) [ d3r(W)2=

/" d2a^dn^

JV

(2.55)

JdV

Reunaehdosta (2.53) tai (2.54) seuraa edelleen f d3r(W)2 = 0 Jv

(2.56)

mikä on mahdollista vain jos vi' = vakio

(2.57)

Jos reunaehto (2.53) on voimassa, vakio (2.57) on täsmälleen nolla, siis 4>i = (f)2 Dirchlet'n reunaehdon tapauksessa, ts. ratkaisu 0 on yksikäsitteinen. Jos taas reunaehto (2.54) on voimassa, on tuloksen (2.57) perusteella fa = (j)2 + vakio

(2.58)

siis ratkaisu <> / on vakiota vaille yksikäsitteisesti määritetty Neumannin reunaehdoin. Yksikäsitteisyyslause on näin todistettu. Huomautus. Dirichlefn reunaehtofunktio / kaavassa (2.47) voidaan antaa riippumatta yhtälön (2.46) varaustiheydestä p(r). Sen sijaan Neumannin reunaehtofunktio h ei ole riippumaton p:sta. Integroimalla yhtälö (2.46) divergenssilausetta käyttäen saadaan nimittäin - -e / d 3 r p ( r ) = [ d 3 r V - ( V 0 ) = [ d2adn(f) 0 Jv Jv JdV

(2.59)

eli f

d2a h — —~

e

/ d3rp(v)

(2.60)

JdV o Jv Ehto (2.60) on siten välttämätön ehto sille, että Neumannin reuna-arvoongelmalla on ratkaisu.

LUKU 2. SÄHKÖSTATIIKAN

18

PERUSTEET

Seuraavassa osoitamme, miten Poissonin yhtälön ratkaisu konstruoidaan Dirchlefn tai Neumannin reunaehdoilla. Tarvitsemme kaksi Greenin kaavaa lisää. Ensimmäinen niistä (Green II) on seuraava: [ d3r («V 2 « Jv

V\72U)

= [

d2a (udnv - vdnu)

(2.61)

JDV

Kaava (2.61) seuraa Green I:stä vaihtamalla u ja v sekä vähentämällä saatu tulos alkuperäisestä kaavasta (2.49). Kolmas Greenin kaava (Green III) saadaan soveltamalla Green II:ta tapaukseen (r 0 G V on kiinteä) ^( r 0i r ) = t—~—r > r GV Fo - r l

(2.62)

Muodollisesti on [vrt. yht. (2.31)] V2i>(r0, r) - -47r5 3 (r 0 - r)

(2.63)

Kaavan (2.62) funktio v ei ole kahdesti jatkuvasti differentioituva y:ssä, sillä funktio v on singulaarinen pisteessä r = r 0 . Tarkkaan ottaen emme siis voi soveltaa kaavaa (2.61) tässä tapauksessa. Sijoittamalla lausekkeet (2.62) ja (2.63) Green II:een (2.61) saadaan kuitenkin oikea tulos, Greenin kolmas kaava (Green III): u(r0)

=

~

f d3r -—-—r V 2 w(r) 4tt Jv r0 - r iv

+ — f d2o t — 1 — r d n u ( r ) - (dn-—1—T 47T 'av Fo - r V Fo -

r

) u(r) (2.64)

Täydellisyyden vuoksi esitämme myös Green III:n klassisen todistuksen; yllä päädyimme kaavaan varsin muodollisella tavalla. Olkoon Be(ro) e-säteinen r 0 -keskinen pallo. Koska r 0 on V:n sisäpiste, kaikki alueen Be(r0) pisteet kuuluvat V:hen, kun e on riittävän pieni, ts. Be{r0) C V

(2.65)

Tarkastelemme aluetta Ve, missä Ve = V\Be(

r0)

(2.66)

Merkitään pallopinnan dBe(r0) yksikkönormaalia eo r :lla. Täten —e0r on alueen V6 ulkonormaali pinnalla dBe(r0) (kuva 2.6).

2.6. POTENTIAALITEORIAN

REUNA-ARVO-ONGELMAT

19

n

Alueessa Ve on kaavan (2.62) määrittelemä funktio v(ro, r) harmoninen r:n funktio, V 2 f ( r 0 , r) = 0 ,

rey£

(2.67)

Olkoon u mielivaltainen alueessa V määritelty jatkuva ja kahdesti jatkuvasti differentioituva funktio. Tällöin Green II pätee alueessa Ve funktiopariin u, v: d3r 'vc

1

— V 2, u(r) = / d2a Fo - r 'av.

1

-finu{v) Fo - r

- ( 8n-

) u(r) ro - r

(2.68) Pintaintegraali voidaan edelleen kirjoittaa reunapintojen dV ja dBe yli otettujen integraalien summana, d2a

u{ r) o - r| 1 1 da rdnu(r) - <9, u r r 0 - r| r 0 - r| I av 1 1 + / dza •dnu(r) - d, u( r) Fo - r Fo - r J dBe

IDVE

r0 - r

•dnu(r) -

d,

r

(2.69)

Merkitään nyt P = F - r0

(2.70)

d2a = e2dQ (dQ = d6 sin 6 dtp)

(2.71)

Pinnalla dBf on silloin dnu(r) = -dpu(r)|p=e,

LUKU 2. SÄHKÖSTATIIKAN

20

PERUSTEET

Tutkimme nyt kaavan (2.69) viimeisen pintaintegraalin raja-arvoa, kun e —» 0. Oletuksen mukaan u(r) on jatkuvasti derivoituva V:ssä, joten dpu(r) on rajoitettu, kun r G V. Kaavojen (2.71) mukaan on silloin lim f d2a —-—T dpu(r) = 0 ^°JdB e ko - r |

(2.72)

Edelleen kaavojen (2.71) perusteella [vrt. myös yht. (2.22)] pätee 1 d2a^-, , = -dVt op |r - r 0 |

(2.73)

joten (r = r 0 + pe0r) lim f d2a { S--,—-—rl *->°JdBe \dp\r0-r\J

u(r) = — lim f dflu( r 0 4- ee 0r ) = —4nu(r0) e—>o J (2.74)

Kaavan (2.68) raja-arvo, kun e —» 0, on siis u(r 0 )

=

jrd03 —i—V - r| 2«(r) r 1 1 p [ d2a 47r 'av r0 - r 47T 'V JV f

fr, 1 "\ [dn-, r — r - U r V o L/ (2.75)

Green III on täten todistettu. Greenin kolmas kaava ei sovellu aivan suoraan Poissonin yhtälöön (2.46), sillä siinä esiintyy sekä dNU\QV että u\gy, ja yksikäsitteisyyslauseen perusteella tiedämme, että vain jompikumpi näistä reuna-arvoista voidaan antaa dV:llä. Green III:sta voidaan kuitenkin kehittää integraaliesitys, joka suoraan antaa Poissonin yhtälön ratkaisun, kuten seuraavassa osoitamme. Olkoon F (ro, r) alueessa V määritelty mielivaltainen harmoninen funktio, V 2 F ( r o , r ) = 0,

rG^,

r0 G V

(2.76)

Green II [yht. (2.61)] sovellettuna funktiopariin u, F johtaa silloin seuraavaan tulokseen: 0 = - f dzv F(r0, r) V 2 u(r) + f JV

JdV

d2a{F(r0, r ) c U ( r ) - [dnF(r0, r)]u(r)} (2.77)

2.6. POTENTIAALITEORIAN

21

REUNA-ARVO-ONGELMAT

Merkitään G(RO,

R

) := T—-—R

+ F (RO, r) (2.78) Fo — r| Laskemalla yhteen kaavat (2.75) ja (2.77) kerrottuna l/47r:llä saadaan siten

u(r0)

[ d3r G(r0, r) V 2 it(r) 4vr Jv

=

+J_ f d2a{G(r0,r)dnu(r)-[dnG(r0,r)}u(r)} 4vr J a v

(2.79)

Funktiota G(r 0 ,r) sanotaan Greenin funktioksi. Valitsemalla yllä esiintyvä harmoninen funktio F(r0,r) sopivasti saadaan kaavasta (2.79) Poissonin yhtälön (2.46) ratkaisun integraaliesitys erilaisilla reunaehdoilla. A. Dirichlefn

reunaehdot

Valitsemalla F(r0,r)

= FD(r0,v)

(2.80)

missä F:ssä harmoniselle funktiolle FD asetetaan reunaehdoksi 9V:llä 1 FD(

r 0 ,r) +

= 0

r0-r

(2.81)

redV

ja merkitsemällä vastaavasti GD(

r 0 ,r) =

-R-^—R

Fo — r|

+ FD(r0,r)

(2.82)

saadaan seuraava integraaliesitys kaavasta (2.79): u(r0) = - j - [ 4TT Jv

rf3rGfl(r0!r)V2u(r)-|

f 47T Jgv

d2a[dnGD(r0,r)]u(r) (2.83)

Integraaliesitys (2.83) soveltuu Poissonin yhtälön ratkaisemiseen Dirichlefn reunaehdoilla, V 2 0(r) = - - p ( r ) ,

r G

y.

\dv = f(x),

r G dV

(2.84)

Tämä ratkaisu saadaan muodollisesti kaavasta (2.83), u(r 0 ) = - ^ - f d3rGD(r0,r)p(r)-±47Te0 JV

[

47T JQV

d2a[dnGD(r0,r)]f(r)

(2.85)

LUKU 2. SÄHKÖSTATIIKAN

22

PERUSTEET

Kysymys siitä, onko Dirichlefn ongelmalla ratkaisu, palautuu siis kysymykseen, voidaanko konstruoida V:ssa harmoninen funktio FD{r0,r), joka alueen reunalla dV toteuttaa reunaehdon (2.81), sekä siihen, mitkä säännöllisyysehdot on asetettava annetuille funktioille p(r) ja / ( r ) . Matemaattisessa potentiaaliteoriassa, esimerkiksi teoksissa [6] ja [7] sekä myös klassikoissa [8], [9] ja [10], tällaisia kysymyksiä käsitellään yksityiskohtaisesti. Greenin funktio GD{ro,r) toteuttaa siis (muodollisesti) differentiaaliyhtälön V2GD(r0,r) = - 4 7 r 5 3 ( r 0 - r ) (2.86) sekä reunaehdon 0,

r0eV

(2.87)

Voidaan osoittaa, että G ö ( r 0 , r ) on symmetrinen, GD(r0,r)

= GD(r,r0)

(2.88)

Palaamme tähän todistukseen Neumannin reuna-arvotehtävän tarkastelun jälkeen. B. Neumannin

reunaehdot

Ensin todetaan^ että olipa F ( r 0 , r ) mikä tahansa harmoninen funktio yleisessä Greenin funktion lausekkeessa (2.78), on F:n harmonisuuden ja Gaussin lain perusteella [ks. yht. (2.13) ja (2.22)] - [ d2a dnG{r0, r) = 4tt , Jav

r0 G V

(2.89)

Tämän vuoksi ei ole mahdollista valita funktiota F(r0, r) Neumannin tapauksessa siten, että dnG^{r0,r) häviää reunalla dV, missä Gn(T0,

r) = — ! — ^ + FN(T0, lro ~ r l

r)

(2.90)

Sen sijaan voidaan kiinnittää funktio Fjv(r 0 ,r) reunalla dV vaatimalla, että dnGN(v0,v)\redv = C (2.91) missä C on sopiva vakio. Kaavasta (2.89), joka pätee erityisesti myös GV:ään, seuraa silloin, että - 4 t t = f d2aC Jav

= SC

(2.92)

2.6. POTENTIAALITEORIAN

REUNA-ARVO-ONGELMAT

missä S on pinnan dV ala. Funktio FN(r0,r) ehdosta

määräytyy siis pinnalla dV 47T

dn~,

23

(2.93)

—7 + dnFN( r 0 , r) rf=/5V

Kysymys Neumannin ongelman ratkeavuudesta palautuu siis kysymykseen, voidaanko konstruoida alueessa V harmoninen funktio FN(T0, r), joka reunalla dV toteuttaa ehdon (2.93). Tällä ongelmalla on additiivista vakiota vaille määrätty ratkaisu, kun V ja sen reuna dV on sopivasti rajoitettu säännöllisyysehdoilla. Sijoittamalla ehtojen (2.90) ja (2.93) määrittämä Greenin funktio GN(?o,r) integraaliesitykseen (2.79) saadaan u(r 0 )

=

~

[ 4vr Jv

rf3rGw(r„,r)V2ti(r)

f d2aGN(T0,T)dnu(v) 47T JdV

+ l f d2au{r) S Jqv

(2.94)

Viimeinen termi on vakio, nimittäin u:n keskiarvo pinnalla dV. Soveltamalla integraaliesitystä (2.94) Poissonin yhtälöön Neumannin reunaehdoilla, V2<^(r) = ——p(r), ^o

r G F;

= h{r),

r G dV

(2.95)

saadaan ongelman ratkaisu,
f dhGN{r0,v)p(r)

47T60 J y

+~

f

47T y ö y

d2aGw(ro,r)/l(r)

+ C 0 (2.96)

missä vakio C

(2.97)

Tarkastelemme aluetta V12 (kuva 2.7), missä V12 = V\[B£(r1)UB£(r2)]

(2.98)

24

LUKU 2. SÄHKÖSTATIIKAN

PERUSTEET

Kuva 2.7: Alue V, josta on poistettu e-säteiset, i v ja r 2 -keskiset pallot. Alueessa V12 Greenin funktiot (?£>(ri,r) ja GD(r2,r) ovat harmonisia r:n funktioita. Sovellamme nyt Greenin kaavaa II [yht. (2.61)] funktiopariin G o ^ j . r ) ja G£i(r 2 ,r). Tuloksena on 0 =

[ J av

d2a[GD(ri,r)dnGD(T2,r)-GD(yr2,r)dnGD(T1,r)] d2a[GD(r1,r)dPlGD(v2,v)-GD(v2,r)dPlGD(T1,v)]

- [ JDB,( N)

- f

JDBE{ r 2 )

d2a[GD(rl,r)dP2GD(v2,r)

-GD(T2,v)dP2GD(r1,v)} (2.99)

missä pi '•= |r —

,

i = 1,2

(2.100)

Ensimmäinen integraali kaavassa (2.99) häviää, sillä Greenin funktio GD häviää reunapinnalla dV. Rajalla e —> 0 saadaan siten kaavasta (2.99) [vrt. yht. (2.75)] -ATTGD{T2,

n ) + 47rG D (ri, r 2 ) = 0

eli G o ( r i , r 2 ) on argumenttiensa symmetrinen

(2.101)

funktio.

Myös Neumannin Greenin funktion GN tapauksessa kaava (2.99) pätee sellaisenaan funktion G N harmonisuuden perusteella alueessa V\2. Nyt sen sijaan funktion G n normaaliderivaatta dNGPF saa vakioarvon C pinnalla dV kaavan (2.91) mukaan. Kaavasta (2.99) saadan siten ehto 0 =

C f d2aGN{rur)-C JdV

f JdV

d2aGN(r2,r)

2.7. VEKTORIKENTÄN -

/

JDBE{ N)

POTENTIAALIT

d2a{GN(rl,r)dPlGN{r2,r)

25

-

GN(r2,r)dplGN(rl,r)]

- / d 2 a[G N (ri i r)ö P 2 G i V (r2,r) - G 7 V (r 2 ,r)öp 2 G 7 v(ri,r)] JdBz(r2) (2.102)

Merkitään nyt ^(r,) := ^ A d V G t f f a . r ) , 47T Jay

i = 1,2

(2.103)

Rajalla e —)• 0 saadaan kaavasta tulos (2.102), - [GW(rx, r 2 ) - C/i(rx)] + [GN(r2, n ) - Ch{r2)] - 0

(2.104)

Funktio G n (ro, r) on siis additiivista vakiota vaille argumenttiensa symmetrinen funktio kaavan (2.104) mukaan. Mutta funktio Gjv(ro, r) on vain additiivista vakiota vaille määrätty reunaehdosta (2.92). Lisäämällä (mahdollisesti r 0 :sta riippuva) vakio funktioon G;v(ro,r) voidaan aina saada aikaan tilanne, jossa h{r0) = -i- f d2aGN(r0,r) 47T Jqv

= 0

(2.105)

Täten funktiosta Gjv(ro,r) tulee argumenttiensa r 0 ja r symmetrinen funktio kaavan (2.104) perusteella. Greenin funktioiden Gp ja G N symmetria argumenttiensa vaihdon suhteen on täten todistettu. Edellä olemme esittäneet, miten potentiaaliteorian perusongelmat ratkaistaan periaatteessa mielivaltaisen alueen V tapauksessa, kun V on kuitenkin äärellinen ja yhtenäinen ja sen reunapinta dV on (paloittain) sileä. Tämä on se "raskas koneisto", josta oli puhe edellisessä luvussa. Jatkossa käytämme toistuvasti yllä esitettyjä menetelmiä erikoistapauksissa ja erilaisissa sovelluksissa.

2.7 2.7.1

Vektorikentän potentiaalit L ä h t e e t t ö m ä t j a p y ö r t e e t t ö m ä t kentät

Edellä olemme käsitelleet sähköstaattista kenttää E, joka toteuttaa ehdon [Gaussin laki (2.18] V • E = —p

(2.106)

LUKU 2. SÄHKÖSTATIIKAN

26

PERUSTEET

ja pyörteettömyysehdon V x E = 0

(2.107)

Varaustiheys p on siis kentän E lähde. Tarkkaan ottaen pitäisi puhua lähteistä ja nieluista (alueet, joissa p > 0 j a p < 0 ) ; olemmehan määritelleet sähkökentän E (alunpitäen pistevarauksien tapauksessa) siten, että E:n kenttäviivat alkavat positiivisista varauksista ja päättyvät negatiivisiin varauksiin (tai ulottuvat äärettömyyteen). Olemme osoittaneet, että sähköstaattinen kenttä määräytyy yksikäsitteisesti (potentiaalin kautta) varaustiheydessä p ja asetetuista reunaehdoista. Voidaan kysyä yleisemmin, määräytyykö yleinen vektorikenttä U, joka ei välttämättä ole pyörteetön, kentän lähteistä ja pyörteistä, ts. lausekkeista V • U ja V x U. Osoitamme, että vastaus on myöntävä, kun kentälle U asetetaan sopivat reunaehdot. Yksinkertaisuuden vuoksi oletamme, että vektorikentän pyörteet ja lähteet tunnetaan koko avaruudessa. Tällöin meillä on yhtälöt V x U(r) = C(r)

(2.108)

missä C(r) on annettu vektoriarvoinen funktio, ja V • U(r) = S(T)

(2.109)

\

missä S(r) on annettu skalaarifunktio. Oletamme lisäksi, että funktiot C ja S häviävät (riittävän nopeasti) äärettömyydessä, joten luonnollisena reunaehtona kentälle U vaadimme, että myös U häviää äärettömyydessä. Osoitamme, että kenttä U määräytyy yksikäsitteisesti tiedoista C(r) ja S(r) mainituilla reunaehdoilla. Vektorikentän U konstruktio tapahtuu seuraavasti. Määritetään ensin vektorikenttä Ui, joka toteuttaa ehdot V x Ux(r) = 0

(2.110)

V • Ui(r) = S(R)

(2.111)

ja Pyörteettömyysehdosta (2.110) seuraa, että Ui voidaan esittää skalaarifunktion gradienttina (ks. liitettä B) Ui(r) = — V(r)

(2.112)

Yhtälö (2.111) toteutuu, jos skalaarifunktio cf) toteuttaa yhtälön V2(r) = - S ( r )

(2.113)

2.7. VEKTORIKENTÄN

POTENTIAALIT

27

Tunnistamme tämän Poissonin yhtälöksi, jonka säännöllinen ratkaisu on (2

= 1 1

'114)

Riittävä ehto sille, että integraali (2.114) konvergoi ja määrittelee (r):n Poissonin yhtälön ratkaisuna, joka on äärettömyydessä säännöllinen (ts. r|(r)| rajoitettu suurilla r:n arvoilla), on että funktiolla S(r) on jatkuvat ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat ja että J d 3 r|S(r)| < oo

(2.115)

Valitsemalla funktioksi (j) esityksesä (2.112) kaavan (2.114) määrittelemän funktion olemme siis konstruoineet vektorikentän Ui, joka toteuttaa yhtälöt (2.110) ja (2.111). Konstruoimme nyt vektorikentän U 2 , joka toteuttaa yhtälöt V x U 2 (r) = C(r)

'

(2.116)

ja V • U 2 (r) = 0

(2.117)

U 2 (r) = V x W ( r )

(2.118)

Kirjoittamalla missä W on uusi vektorikenttä, toteutamme lähteettömyysehdon (2.117). Ilman rajoituksia voidaan vaatia, että vektorikenttä W ( r ) toteuttaa ehdon V • W(r) = 0 (2.119) Perustelu on seuraava. Jos ehto (2.119) ei olisi voimassa, voitaisiin W:hen lisätä skalaarifunktion gradientti, W ( r ) -J- W ' ( r ) := W ( r ) + VA(r)

(2.120)

ja kiinnittää funktio A(r) siten, että ehto (2.119) on voimassa W':lle, ts. V 2 A(r) = —V • W ( r )

(2.121)

Yhtälöllä (2.121) on ratkaisu A(r) = i - J d V — i — V ' • W(r')

(2.122)

Olemme siis osoittaneet, että ehto (2.119) ei ole olennainen rajoitus.

LUKU 2. SÄHKÖSTATIIKAN

28

PERUSTEET

Sijoitetaan nyt esitys (2.118) yhtälöön (2.116), V x (V x W ) = V(V • W ) - V 2 W = C

(2.123)

Ehdon (2.119) perusteella saamme V 2 W ( r ) = —C(r)

(2.124)

ts. jokainen W : n (karteesinen) komponentti toteuttaa Poissonin yhtälön. Ratkaisu W on siis [edelleen olettaen, että C(r) häviää riittävän nopeasti äärettömyydessä] W ( r ) = — f d3r'-—-—rC(r') 47t J |r — r'|

(2.125)

Suorittamamme konstruktion perusteella on V x [ U i ( r ) + U 2 (r)] = C(r)

(2.126)

V - [ U 1 ( r ) + U 2 (r)] = 5(r)

(2.127)

U(r) := U i ( r ) + U 2 (r)

(2.128)

ja joten

on asettamamme ongelman yksikäsitteinen ratkaisu. Konstruktion tiivistelmänä voimme todeta seuraavan. Koko avaruudessa määritelty vektorikenttä U, joka häviää riittävän nopeasti äärettömyydessä, voidaan aina esittää kahden kentän summana, U(r) = —V0(r) + V x W ( r )

(2.129)

missä

= 1 1 d3r'v^\v •u(r0

(2 130)

-

ja W(r) = i - f d ^ j ^ V

x U(r')

(2.131)

Yhtälön (2.129) ensimmäinen termi on pyörteetön, siis puhdas lähdekenttä; toinen taas on lähteetön, siis puhdas pyörrekenttä. Täten kenttä U — väitteen mukaisesti — määräytyy lähdetermistään V • U ja pyörretermistään V x U. Suureita (f) ja W sanotaan vektorikentän U skalaari- ja vektoripotentiaaleiksi.

2.8. VEKTORIKENTÄN

KENTTÄVIIVAT

29

Voidaan kysyä, miten edellä saatu vektorikentän U esitys pyörteettömän ja lähteettömän kentän summana muuttuu, jos lähde-ja pyörretermit (ts. V • U ja V x U) tunnetaan vain avaruuden äärellisessä alueessa V. Tämä kysymys palautuu olennaisesti siihen, miten vektorimuotoinen Poissonin yhtälö V2W(r) = -C(r),

reV

(2.132)

ratkaistaan, kun W ( r ) oletetaan lähteettömäksi, ts. V • W(r) = 0 ,

r EV

(2.133)

Ongelman ratkaisemista varten tarvitaan Greenin III kaavan yleistys vektorimuotoiseksi. Tähän päädytään tarkastelemalla integraalia 1 f d 3 r , v , x V - xW(rQ 4vt JVe |r-r'|

T:=

missä integroimisalue Ve on V \ Bt(r), keskinen e-säteinen pallo B e (r).

ts. alue V, josta on poistettu r-

Integroimalla osittain saadaan (pitkähköjen laskujen jälkeen) lähteettömän vektorikentän W integraaliesitys Wfr)

=

- ± [ d¥ 4trjy ~i/8/

V

{

[ n

_ J. f 4n Jdv

|r — r'| ''

W < r

'

) 1 V

'k

±

dV

n-x[VxW(r-)] |r — r'|

r1

+ [n' x W(r')] x

1

(2.135)

Poissonin yhtälö (2.132) voidaan ratkaista tämän avulla. Kaavan (2.135) pintatermit mutkistavat lopputulosta olennaisesti. Tyydymme toteamaan, että äärellisen alueen V tapauksessa voidaan vektorikenttä U aina esittää kolmen kentän summana; skalaari- ja vektoripotentiaalin lisäksi esintyy termi, joka on sekä lähteetön että pyörteetön ja joka määräytyy annetuista reunaehdoista alueen V reunalla dV.

2.8

Vektorikentän kenttäviivat

Tämän luvun alussa puhuttin lyhyesti staattisen kentän E kenttäviivoista. Tämä käsite on hyödyllinen myös yleisen vektorikentän U tapauksessa.

LUKU 2. SÄHKÖSTATIIKAN

30

PERUSTEET

Kenttäviivalla tarkoitetaan käyrää, jonka tangentti on kentän U suuntainen käyrän joka pisteessä. Olkoon (x, y, z) kenttäviivan mielivaltainen piste. Kenttäviivan tangenttivektori tässä pisteessä on (dx, dy, dz), jonka siis on oltava verrannollinen vektoriin (U x , Uy, Uz). Kenttäviivan differentiaaliyhtälöryhmä on täten d d x d z v ,2 1 3 6 n = = Ux(x.y.z) Uy(x.y.z) Uz(x.y.z) Ratkaisemme nämä differentiaaliyhtälöt esimerkkitapauksessa, jossa varaus +q on pisteessä x — —a, y = z = 0 ja varaus —q pisteessä x = a, y — z — 0. Tällöin sähkökenttä on E

r + ae.

{x,y,z)

r — ae 7

47ren

(2.137)

missä e^ on x-akselin suuntainen yksikkövektori ja r± = y i ( x ± a) 2 + y2 + z2

(2.138)

Ongelmamme on selvästi symmetrinen kierrettäessä x-akselin ympäri; riittää siis tutkia kenttäviivoja rry-tasossa (2 = 0). Tällöin saadaan yhtälöistä (2.136) vektorikenttään (2.137) sovellettuina kenttäviivojen differentiaaliyhtälö dcc (ryö o

o

x+a

dy

yrJ

x —a

(2.139)

Lyhyhekön laskun jälkeen, käyttäen ehtoa z — 0, saadaan d 1 + (x+aA

2

3/2

I x—a \

\

V J x—a

3/2

(2.140)

y

V V )

Sijoituksella tan^>±

x± a

(2.141)

y saadaan suoraan yhtälön (2.140) integraaliksi sin ip+ — sin eli

x+a y/(x + a)2 + y2

= C x —a — a)2 +

(2.142)

= C

(2.143)

2.8. VEKTORIKENTÄN

KENTTÄVIIVAT

31

missä C (|C| < 2) on integroimisvakio. Piirtämällä käyräparven (2.143) eri C:n arvoja vastaavat käyrät saadaan kuvassa (2.8) esitetty kenttäviivaparvi. \

Mainittakoon lopuksi, että yleisen lähdekentän kenttäviivat aina alkavat lähteistä ja päättyvät nieluihin tai ulottuvat kentän reunaan, siis äärettömyyteen, jos kenttä on määritelty koko avaruudessa. Yleisen pyörrekentän kenttäviivat ovat umpinaisia tai ulottuvat kentän reunasta reunaan.

Luku 3 Potentiaaliteorian sovelluksia 3.1

Laplacen yhtälö j a m u u t t u j i e n erottelu

Eräs käytännöllinen Laplacen yhtälön ratkaisumenetelmä on muuttujien erottelu. Tarkastelemme ensin Laplacen yhtälöä suorakulmaisissa koordinaateissa (x, y, z), d2(j)

d2(j)

d2i>

.

n

Muuttujien erottelulla tarkoitetaan sitä, että haetaan muotoa .

0(x,y:z)=X(x)Y(y)Z(z)

(3.2)

oleva yhtälön (3.1) ratkaisu. Sijoittamalla yrite (3.2) yhtälöön (3.1) ja jakamalla tulos tulos XYZ: 11a saadaan 1 d2X 1 d2Y + X dx2 Y dy2

1 d2Z = 0 Z dz2

, , (3.3)

Tässä yhtälössä ensimmäinen termi riippuu ainoastaan x:stä, toinen ainoastaan y:stä ja kolmas ainoastaan z:sta. Koska x, y ja z ovat riippumattomia muuttujia, on jokaisen termin oltava vakio yhtälössä (3.3), jotta yhtälö toteutuisi y:n ja z:n eri arvoilla. Voimme siis kirjoittaa 1 d2X 22 2 = a , X dx

1 d2Y Y dy2

2o

= (ö

,

1 d2Z - — -2 = Z dz

22 7

, ^ (3.4)

missä vakiot a, (3 ja 7 toteuttavat ehdon Ö2 + / 3 2 + 7 2 = 0

(3.5)

34

LUKU 3. POTENTIAALITEORIAN

SOVELLUKSIA

Ehdosta (3.5) seuraa edelleen, että (triviaalitapausta a = (3 = 7 = 0 lukuun ottamatta) kaikki vakiot a, (3 ja 7 eivät voi olla reaalisia. Tavallisten differentiaaliyhtälöiden (3.4) ratkaisut ovat muotoa, X{x)

— Ai exp(ax) + A2

Y{y)

=

B1exP(/3y)

Z(z)

=

Ci exp(7z) + C2 exp(—7z)

+

exp(-ax) B2exP(-/3y) (3.6)

missä {Ai, Bi, Ci, i = 1,2) ovat [mahdollisesti {a, /3,7):sta riippuvia] vakioita. Perusratkaisujen (3.6) mielivaltainen lineaariyhdistelmä on myös Laplacen yhtälön ratkaisu; yleinen ratkaisu on siis cj){x,y,z)

=

exp(aa:) + A2 exp ( - a x ) ] x [ £ i exp(0y) + B2 exp(-/fy)] x [Ci exp(72;) + C 2 exp(—72)]

(3.7)

missä summataan (yleisemmin integroidaan) ehdon (3.5) toteuttavien parametrien {a, (3,7) suhteen. Reunaehdot kiinnittävät Laplacen yhtälön ratkaisun. Erityisesti jos on ratkaistava Laplacen yhtälö laatikkomaisessa alueessa, annetaan ehdot koordinaattipinnoilla, missä x, y ja z ovat vakioita. Juuri laatikkomaisessa tapauksessa voidaan käyttää muotoa (3.7) olevia ratkaisuja: reunaehdot määräävät silloin ratkaisussa esiintyvät vakiot a, [3 ja 7 sekä suureet Ai, Bi, Ci, i = 1,2. Muuttujien erottelumenetelmä ei rajoitu vain suorakulmaiseen tapaukseen. Yleisemmin on tarkasteltava koordinaatistoja, ts. kuvauksia (z.j/,*)-» ( 6 , 6 , 6 ) ja lausuttava Laplacen operaattori V etsittävä muotoa

2

(3.8)

koordinaatteja 6 käyttäen sekä

= A(6)s(6)C(6)

(3.9)

olevia ratkaisuja. Voidaan osoittaa, että on olemassa 11 koordinaatistoa (kuvausta (3.8)), joissa V 2 -operaattori separoituu siten, että Laplacen yhtälöllä on muotoa (3.9) olevia perusratkaisuja. (Ks. esim. Morse ja Feshbach: Methods of theoretical physics luku 5) [11]. Reuna-arvot on siis annettava koordinaattipinnoilla 6 = vakio, jotta yleinen muuttujien erottelumenetelmä johtaisi yksinkertaisiin tuloksiin. Seuraavassa tarkastelemme pallokoordinaatistoa, joka on keskeinen esimerkki yllä mainituista 11 koordinaatistosta.

3.2. LAPLACEN

3.2

YHTALO PALLOKOORDINAATISTOSSA

35

Laplacen yhtälö pallokoordinaatistossa

Laplacen yhtälö pallokoordinaatein lausuttuna (kuva 3.1) on rz

jj r

\

1 d ( . „dd)\ 2 r sin 9 89 39 J

jj r

1 d2(j) r2smz9d
e y

- >

Kuva 3.1: Pallokoordinaatit r, 9 ja (p. On huomattava, että kuvaus (.x, y, z)

(r, 9, ip)

(3-11)

ei ole kääntäen yksikäsitteinen pisteissä r = 0, 9 = 0 j a 7 r . Useimmiten tämä seikka ei aiheuta mainittavia haittoja koordinaatteja (r, 9, ip) käytettäessä. Etsimme nyt muotoa u[r) (r,6,
(3.12)

olevia yhtälön (3.10) ratkaisuja. Sijoittamalla yrite (3.12) yhtälöön (3.10) saadaan, kun yhtälö kerrotaan suureella r 2 s i n 2 # ja jaetaan uPQ\ 11a, r 2 sin2 9

1 d2u udr2

+

1 1 d . dP r sin9Pd9Sm ~d9 2

Viimeinen termi yhtälössä (3.13) riippuu ainoastaan :sta. Näin ollen tämän viimeisen termin on oltava vakio, jota merkitsemme symbolilla —m2, 1 d2Q — —m Q dipi

(3.14)

LUKU 3. POTENTIAALITEORIAN

36

SOVELLUKSIA

Yhtälön (3.14) ratkaisut ovat muotoa Q ( f ) = (vakio) exp(±irrvp)

(3.15)

Nyt on vaadittava, että funktion Q((p) raja-arvot yhtyvät, kun

0 ja (f —» 27T, jotta ratkaisu (3.12) olisi jatkuva, kun y — 0, x > 0. Tästä seuraa, että m — 0, ±1, ± 2 , . . .

(3.16)

Yhtälöstä (3.13) saadaan nyt

.

1 0d2u f 1 1 d . dP r 2 i [ ä t ö p i e l l e

m2 (

3

"

1

7

)

Yhtälön (3.17) ensimmäinen termi riippuu ainoastaan r:stä ja toinen termi ainoastaan 0:sta. Yhtälö voi siis toteutua vain jos r:stä riippuva termi on vakio ja #:sta riippuva termi on tämän vakion vastaluku, - r 2 f ?2 = l(Z + l) u dr

(3.18)

ja

1 1 d dP m2 „, , — - — sin0— = -1(1 + 1 3.19 sm 6 P d9 dv sm 6 missä olemme merkinneet kyseiseksi separointivakioksi 1(1 + 1). Vakion kirjoittaminen tähän muotoon osoittautuu tarkoituksenmukaiseksi. Yhtälön (3.18) yleinen ratkaisu on u(r) = Arl+1 + Br~l

(3.20)

missä A ja B ovat vakioita. Käyttämällä muuttujaa £ = cos 9 saadaan yhtälöstä (3.19) funktion P yhtälöksi d .

dP

1(1 + 1)

m2 i - e

P = 0

(3.21)

Vaatimalla, että yhtälön (3.21) ratkaisut ovat äärellisiä heikoissa erikoispisteissä £ = ± 1 (0 = 0,7r), saadaan yhtälössä esiintyvälle parametrille l ehto 1 = | m | , H + l,... (3.22) Yhtälön (3.21) tietyllä tavalla normitettuja ratkaisuja ovat Legendren liittofunktiot P; m (£). Niihin pätee ehto \m\ < l, joten to = {-Z, -l + 1 , . . .,1 -1,1}

(3.23)

3.2. LAPLACEN

YHTALO PALLOKOORDINAATISTOSSA

37

Erikoistapauksessa m — 0 saadaan tavalliset Legendren polynomit P;(£). Ne voidaan tunnetusti määritellä seuraavan sarjakehitelmän eli ns. generoivan funktion avulla: oo

1

y7! - 2hi + h2

\h\
(3.24)

i=o

Sarja (3.24) suppenee kompleksisessa ^-tasossa sellaisen ellipsin sisällä, jonka polttopisteet ovat ±1 ja puoliakselit \(h~l + h) ja \{h~~l — h). Kiinteällä l:n kokonaislukuarvolla on siis 21 + 1 kulmista 9 ja ip riippuvaa ratkaisua, jotka tietyllä tavalla normitettuina määrittelevät harmoniset pallofunktiot Yim(0,
(3.25)

i Näihin pätee myös Yl,^m(e,
(3.26)

missä Y*m tarkoittaa Y\m\ 11 kompleksikonjugaattia. Normitus on /

n27C d
f*TT de8m0Yl:m,{e,
(3.27)

Funktiot Yim muodostavat ortonormitetun ja täydellisen funktio järjestelmän pallopinnalla S2- Tämä tarkoittaa sitä, että mielivaltainen, tietyt säännöllisyysehdot täyttävä S^lla määritelty funktio g(6,
m=-l

missä kertoimet Aim ovat Alm=

f dttYl*m(9,
(dtt = d
(3.29)

Riippuen siitä, minkälaisia säännöllisyysehtoja asetetaan funktiolle g(0,
38

LUKU 3. POTENTIAALITEORIAN Taulukko 3.1: Funk

1= 0

m = 0

Ym{ö,ip)

1= 1

m

= o

Y10(6,
1 = 1 m=

1

SOVELLUKSIA

Yim, l — 0,1,2

Yn(6,
1 = 2 m = 0 y2o{0,ip)

1= 2 m= 1 l= 2 m =2

Y22{6,ip)

Palaamme nyt tämän kappaleen alussa asetettuun ongelmaan. Tiivistelmänä edellisestä analyysistä voidaan todeta seuraava. Laplacen yhtälöllä (3.10) on kahdenlaisia muotoa (3.12) olevia ratkaisuja, nimittäin <j><m(r,9,ip) = rlYlm(e,y)

(3.30)

ja ct>>rn(r,e,v) = r- l - 1 Y l m {e,v)

(3.31)

Näistä ensin mainitut (j)fm ovat Laplacen yhtälön ratkaisuja äärellisillä r:n arvoilla, kun taas funktiot (f>fm ovat Laplacen yhtälön ratkaisuja, kun r > vakio > 0. Yleinen Laplacen yhtälön (3.10) ratkaisu on siten (0 < r < oo) (r, #,¥>) = £

A

imrlYim{6, cp) + ^

lm

Blrnr'[-lYlm(e,

ip)

(3.32)

lm

missä Aim ja Bi m ovat mielivaltaisia kertoimia (kuitenkin sellaisia, että kyseiset sarjat suppenevat) ja summaus on yhtälöiden (3.22) ja (3.23) sallimien (l,m)-arvojen yli, ts. oo

l

£(•••) = £ £ ( • • • ) lm

1=0 m=—l

(3.33)

3.3. PALLON GREENIN FUNKTIO G

39

On selvää, että muotoa (3.32) olevat ratkaisut soveltuvat siihen tapaukseen, että reunaehdot annetaan pallopinnoilla, ts. koordinaattipinnoilla r = vakio.

3.3

Pallon Greenin f u n k t i o Gd

Palaamme nyt kappaleessa 2.6 käsiteltyyn ongelmaan, nimittäin Greenin funktioiden määrittämiseen, kun alue V on origokeskinen pallo BR, Br = {T\ |r| < R}

(3.34)

Merkitsemme nyt Greenin funktion muuttujia r:llä ja r':lla (ts. ro —> r, r —> r', kun verrataan kappaleen 2.6 merkitsemistapaan). Alueen BR Greenin funktio GD(r, r') määrittyy siis ehdoista [vrt. yht. (2.80)—(2.82)] G c (r,r') = - ± - + FD( r,r') |r — r

(3.35)

missä 1 = 0 (3.36) r — r r'e dBR Tämä ongelma on ekvivalentti jo ratkaisemamme ongelman kanssa: pisteessä r G BR sijaitsevan pistevarauksen aiheuttaman potentiaalin 0 määrittäminen, kun reunaehdoksi astetetaan potentiaalin häviäminen pallon pinnalla dB R . Tämä ongelma ratkaistiin kappaleessa 2.5 peilivarausmenetelmää käyttäen, tuloksena kaava (2.45). Ongelman (3.36) ratkaisu on siis vakiota ?/47re0 vaille juuri kaavassa (2.45) annettu lauseke, FD{ R,R')

G ö ( r

'r)

=

+

~ \(R/r)r — (r/R)r'\ 1 Vr 2 - 2r • r' + r' 2

1

^R? - 2r • r' + {rr'/R)'2 (3.37)

Dirichlefn reunaehtotehtävän V 2 0(r) = - - p ( r ) ,

r G BR;

0(r)|w=Ä = /(r),

r G dBR

(3.38)

ratkaisu on siis 0(r) = J -

[ Jb

d V Gd(T, r')p(r') - i - [ r

d2a' [dR,GD(r, r')] /(r')

47T J q B r

(3.39)

LUKU 3. P O T E N T I A A L I T E O R I A N SOVELLUKSIA

40

3.3.1

Harmonisten funktioiden Poissonin kaava

Greenin funktion GD(r, r') normaaliderivaattapinnalla ÖBR voidaan lausua kaavan (3.37) mukaan

dr'GD{r,r')|r'=Ä

=

R2 — r 2 2 —(-R - 2Rr cos turri + r 2 )~ 3//2 ,

r e BR

(3.40) missä u r r i on paikkavektorien r ja r' välinen kulma (kuva 3.2). Sovellamme nyt kaavaa (3.39) tapaukseen p = 0, ts. Laplacen yhtälöön V2(r) = 0,

veBR

(3.41)

reunaehdolla = /(r),

4>{v)\r=R

reaBÄ

(3.42)

Yhtälöistä (3.39) ja (3.40) saamme potentiaaliksi

=

^ i f

fdBR

d2a

'(R2-2Rrl*sL

+

r2y/2

^

Kaava (3.43) on Poiäsonin kaava alueessa BR harmoniselle funktiolle 4>(r), joka saa alueen reunalla dBR annetut arvot / ( r ) .

Kuva 3.2: Paikkavektorien r ja r' välinen kulma wrr>.

3.4. PALLON GREENIN FUNKTIO

3.4

GN

41

Pallon Greenin funktio G n

Edellisessä kappaleessa totesimme, että [vrt. yht. (3.40)] 8r,GD(r,r%,=R

= -

M R2

-r2' |r_r>|3

(3.44) r'=R

Toisaalta suoraan laskemalla nähdään, että ' R2 — r2' |r — r'| 3 r'=R

1 d 1 - 2R |r — r'| dr' !r — r' J r'—R

(3.45)

Edelleen pätee

- r'|

r'y/l - 2 (r/r') cosw rr / +

(3.46)

(r/r'f

Legendren polynomien generoivan funktion (3.24) mukaan, kun r' > r, saamme 00 i1 i v—r (3.47) r —r 1=0

Sijoittamalla kaava (3.47) sekä sen derivaatta r'\n suhteen arvolla r' — R kaavaan (3.45) saadaan 1 R2-r2 = £ ( 2 n + l)^Pn(coswrr0 R |r — r'| 3 r'=R —o n

(3.48)

Olemme siis päätyneet seuraavaan sarjakehitelmään: dr,GD(r,r')\r,=R

^ OO = __^(2n+l) n=0

n

Pn(cosu>rr<)

(3.49)

Kuten luvussa (3.2) totesimme, funktio (3.50) on harmoninen pallossa BR. Siihen pätee siis Poissonin kaava (3.43), joka kehitelmää (3.48) käyttäen saa muodon 00 l

Ylm(9,ip)

= J>n n=0

r i r + 1) — L ^

1/2

dQ'Pn(cosurr,)RlYlm(d',ip')

r

Nn

r) (3.51)

LUKU 3. POTENTIAALITEORIAN

42

SOVELLUKSIA

Kaava (3.51) on voimassa jokaisella r:n arvoilla 0 < r < R. Tästä seuraa, että kaavan (3.51) molemmilla puolilla täytyy esiintyä sama r:n potenssi, ts. on oltava j dVL'Pn{cosurT,)Ylrn(9',y')

l^n

(3.52)

Jf dV Pl{cosurt,)Ylm{0'47r ,
ja

3.4.1

=0,

(3.53)

Pallofunktioiden yhteenlaskulause

Tarkastelemme nyt funktiota P;(costj rr <) kiinteillä /:n ja r:n arvoilla. Meillä on silloin kulmien 9' ja p' funktio, joka voidaan kehittää sarjaksi kaavan (3.28) mukaisesti, ts.

AnmYnm{e\ cp')

Pi(cosLurri) = nm

(3.54)

Kertoimet Anm määrittyvät kaavan (3.29) mukaisesti, Anm = J

COSWrr0

m

,

= (-1 ) I dn'Ynt-m{e ,ip')Pl{cosu*) Sin[-^rYl*m(9,
=

(3.55)

missä olemme käyttäneet yhtälöitä (3.52), (3.53) ja (3.26). Funktioilla P/(cosw rr /) on siis kehitelmä Aqr P(cosuw)

= ^

^ ] T Y: m (9,v)Y l m {0\v') m=—l

mikä on harmonisten pallofunktioiden

(3.56)

yhteenlaskulause.

Kaavan (3.56) avulla saadaan lausekeen l / | r — r'| kehitelmä, missä koordinaatit on täysin faktoroitu. Merkitsemällä r> = maks.(r, r') ja r< = min(r, r') saadaan kaavojen (3.47) ja (3.56) avulla, kun r' ^ r, .

oo

;

= ^ E E 1=0 m=-l

i

i >

V)

(3-57)

3.5. SÄHKÖISET

MULTIPOLIPOTENTIAALIT

43

Tätä kaavaa (3.57) käytetään runsaasti myöhemmin. Tähän asti esitettyjen, funktioita Yjm koskevien tietojen avulla voidaan konstruoida pallon Greenin funktion Gjv(r, r') eksplisiittinen lauseke. Käyttämällä sarjakehitelmää (3.57) ei ole vaikeata ratkaista pallon reuna-arvo-ongelmaa (2.93), joka määrittää Neumannin Greenin funktion GN. Laskujen jälkeen päädytään seuraavaan tulokseen: =

1 1 1 17-^71+ Rö y/l — 2h COS u> i + h2 rr

1 ,

R

(1 — h cos UJttI + \Jl — 2/icosw r r / + h2

lf)ff log I

(3.58) missä

rr' h = -

,

(3.59)

v Tämä luku on tähän asti keskittynyt fysikaalisissa sovelluksissa tarvittavan "käyttömatematiikan" esittämiseen. Seuraavassa annamme useita esimerkkejä tällaisista sovelluksista.

3.5

Sähköiset multipolipotentiaalit

Tarkastellaan varausjakaumaa, jonka tiheys p on nollasta poikkeava ainoastaan äärellisellä alueella, esim. i?-säteisen origokeskisen pallon sisällä, p(r) = 0 ,

|r| > R

(3.60)

Kun varausjakautuman potentiaalille 4> asetetaan luonnollisena ehtona potentiaalin häviäminen äärettömyydessä, kaava (2.24) antaa suoraan r) = - i - f

Jr,
d

3

|r - r'|

(

3

.

6

1

)

Lähdealueen ulkopuolisiin kenttäpisteisiin, |r| > R, pätee kaavan (3.57) mukainen potentiaalin (f) ns. multipolikehitelmä

lm

44

missä kertoimet qim ovat (3.63)

Qim. ' |r'|<Ä

Kertoimia qim sanotaan multipolimomenteiksi. Käyttämällä kappaleessa (3.2) annettuja funktioiden Yim = 0,1,2) lausekkeita voidaan integraalit (3.63) lausua suorakulmaisessa koordinaatistossa: (3.64)

9oo

9 ii =

d r'{x' - iy')p(v') :=

910 = + / J /

d3r'z'p(r')

:=

(Px ~ iPy)

Pz

(3.65) 15 I d3r'(x' - iy')2p{v') := ^ ^ ( Q n 32tt

922 =

921 =

-

920 =

-

15 J d3v< (3z' 2 - r' 2 )p(r') := 167T

- 2iQ12 - Q22)

^ G s a (3.66)

Yllä on annettu suureet qim kun 0 < ui < l ja / = 0,1, 2. Negatiivisilla m:n arvoilla meillä on ®,-m = ( - i r ? ; m

(3.67)

kaavan (3.26) perusteella. Arvoa / = 0 vastaavaa multipolia kutsutaan monopoliksi-, se on vakiota \/l/47r vaille sama kuin järjestelmän kokonaisvaraus Q. Kertoimet määrittelevät ns. (sähkö)dipolimomentin p; kaavojen (3.65 mukaan on p = J d3r' r'p(r') Kertoimet g 2m määrittelevät ns. sähköisen Qiji

(3.68) kvadrupolimomenttitensorin

Qij = / d V r ' ( 3 a ; & - ^ r ' 2 ) p ( r ' )

(3.69)

3.6. DIPOLIKENTTÄ;

DIPOLIEN

VUOROVAIKUTUS

45

Huomeutettakoon, että kavdrupolitensori Qij on symmetrinen ja jäljetön, ts. 3

Qij = Q^ ,

Tr Q = ^ Qu = 0 i=i

(3.70)

Multipolimomentit qim määräävät potentiaalin asymptoottisen kehitelmän, kun r » R kaavan (3.62) mukaisesti. On mahdollista kehittää lauseke (3.61) r:n alenevien potenssien mukaan eteneväksi sarjaksi suoraan Taylorin kehitelmän avulla. Tämä lasku (joka jätetään harjoitustehtäväksi) antaa tulokseksi

Potentiaalin johtava termi suurilla r:n arvoilla on siis sama kuin ori\

gossa sijaitsevan pistevarauksen Q aiheuttama potentiaali. Seuraava termi on sama kuin origossa sijaitsevan dipolin aiheuttama potentiaali. Dipoli on kahden erimerkkisen, lähellä toisiaan sijaitsevan pistevarauksen muodostama järjestelmä, kuten seuraavassa nähdään.

3.6

Dipolikenttä; dipolien vuorovaikutus

Tarkastelemme nyt kahden lähekkäin olevan pistevarauksen muodostamaa järjestelmää. Olkoon negatiivinen pistevaraus —q pisteessä r 0 ja positiivinen. pistevaraus +q pisteessä r 0 + d, missä d on kiinteä vektori (kuva 3.3). Näiden varausten tuottama potentiaali on =

VT 47re0 (\ |hr -— r01+ | r | r -l r 0 -Hl) d|/

(3-72)

Tarkastelemme aluetta |r — ro| > d > 0. Siihen pätee 1 |r-r0-d|

1 . _ 1 -d-VT r + 0(|d|2) |r — r 0 | |r - r 0

Potentiaali (3.72) on siis

47re0

r — ro

(3.73)

46

LUKU 3. POTENTIAALITEORIAN

SOVELLUKSIA

Kuva 3.3: Pisteestä r 0 lähtevä sähködipoli. Matemaattinen idealisoitu dipoli määritellään edellä käsitellyn järjestelmän raja-arvona, kun |d| —>• 0 ja g —>• 0 siten, että suure p, p =

lim

qd

(3.75)

on äärellinen. Vektori p on dipolimomenttivektori (suunta —q:sta +g:hun). Rajalla (3.75) potentiaali (3.74) on tarkalleen ^>(r)

:

( 47re0 jr — r 0 | 3

3

.

7

6

)

Tämä on pisteessä r 0 sijaitsevan (idealisoidun) dipolin aiheuttama potentiaali. Pisteessä r 0 sijaitsevan dipolin kenttä E ® ( r ) saadaan soveltamalla operaattoria —V lausekkeeseen (3.76). Suoraviivaisen laskun tulos on E^(r) =

"3p • (r - r 0 ) (r - r 0 )

47ren

ro

p |r

rg

(3.77)

Tarkastelemme seuraavassa dipolin p potentiaalienergiaa, kun se on ulkoisessa kentässä E(r), jonka potentiaali on 0(r), missä 0(oo) = 0. Siirrämme dipolin pisteeseen ri kentässä E(r). Ensin siirretään varaus —q äärettömyydestä pisteeseen ri. Tähän tarvittava energia on [vrt. yht. (2.28]

VPH

=

-q^n)

(3.78)

Tämän jälkeen on kokonaispotentiaali Mr)

= m

- TT-rr1-!

(3.79)

47T6o |r — Tl |

Nyt siirretään varaus +q pisteeseen rx + d samalla tavalla. Tähän tarvittava energia W ^ on w =

q M n + d) = # ( n + d) -

47ren d

(3.80)

3.7. JOHDEPALLO

ULKOISESSA

KENTÄSSÄ

47

Viimeinen termi kaavassa (3.80) on epäolennainen vakio. Kokonaisenergia on siis W =

+

= g(n + d) - q{n) + vakio

(3.81)

Renormalisoimalla energia siten, että äärettömän kaukana olevan dipolin vuorovaikutusenergia Wvv on nolla eli jättämällä vakio kaavassa (3.81) pois, saadaan nyt kaavasta (3.81) Wvv = qd • V ^ ( r ) | r - r i + 0(q\d\2)

(3.82)

Idealisoidun dipolin rajalla (3.75) saadaan W vv = - p • E ( n )

(3.83)

Lauseke (3.83) on siis pisteessä ri sijaitsevan dipolin p vuorovaikutusenergia eli potentiaalienergia annetussa ulkoisessa kentässä E(r). Olkoon nyt erityisesti kenttä E toisen, pisteesfeä r 2 sijaitsevan dipolin p 2 aiheuttama kenttä. Merkitsemällä kahden dipolin pi ja p 2 vuorovaikutusenergiaa U&.lla saadaan kaavojen (3.77) ja (3.83) mukaisesti TT

U12

1

-

P i -P2 ~ 3 ( p i - n ) ( p 2 - n ) ;

rx

|ri-r2|3

47re0

(3.84J

missä n on (ri — r 2 )-suuntainen yksikkö vektori, n =

3.7

(3.85)

Johdepallo ulkoisessa kentässä

Viimeisenä esimerkkinä laskemme ulkoisessa vakiokentässä olevan homogeenisen, varauksettoman johdepallon aiheuttaman potentiaalin ja kentän. Seuraavassa luvussa käsittelemme tarkemmin sähköstaattisia ilmiöitä väliaineissa; tässä vaiheessa riittää palauttaa mieleen, mitä johteella tarkoitetaan. Johde on määritelmän mukaan väliaine, jossa varaukset voivat liikkua vapaasti. , Olkoon nyt i?-säteinen johdepallo ulkoisessa z-akselin suuntaisessa vakiokentässä E 0 (kuva 3.4). Tämän järjestelmän potentiaalin laskeminen on tyypillinen ns. ulkoprobleema: on laskettava potentiaali pallon |r| = R ulkopuolella.

LUKU 3. POTENTIAALITEORIAN

48

SOVELLUKSIA

Kuva 3.4: Homogeeninen varaamaton johdepallo ulkoisessa kentässä E 0 . Vakiokenttä E0ez on rajatapaus tilanteesta, jossa varaus +Q sijoitetaan pisteeseen (0,0, —Ro) ja varaus — Q pisteeseen (0,0, +Rq), kun Ro —> oo ja Q —> oo siten, että Q/Rq = vakio. Koska varauksia ei ole alueessa R < jr| < oo, on yleisin mahdollinen yrite potentiaaliksi (r) alueessa R < |r| < oo sama kuin Laplacen yhtälön ratkaisu tässä alueessa, siis kaavan (3.32) mukaisesti (r, 0,
Blmr-l-lYlrn(9,

(3.86)

lm

On luonnollista vaatia, että potentiaali (3.86) on suurilla R\n arvoilla sama kuin z-akselin suuntaisen vakiokentän Eo potentiaali 4>o (r) = -Eoz = -Eorcosd

(3.87)

Täten on yhtälössä (3.86) oltava ALM = 0 , kun L > 2

(3.88)

ja FÄir Alm = - ö m 0 J — E 0

(3.89)

kun otetaan huomioon kappaleessa 3.2 annetut >/ m -funktioiden lausekkeet. Potentiaali (3.86) on siis muotoa {r, 9,
Blmr~l-lYlm{B,

cp)

(3.90)

lm

missä a j a Bi m ovat vielä määrittämättömiä vakioita. Nämä vakiot määrittyvät reunaehdosta (r,9,
r r

a+-B00\—=0, K | 4ir

I~ÄTT

Blm = Sm0J—E0R3, Vo

Blm = 0,l>2

(3.92)

3.7. JOHDEPALLO

ULKOISESSA

KENTÄSSÄ

49

Potentiaali on siis {r, e,
-E0r

E.R 3 +

cos 6

(3.93)

Lasketaan nyt vastaava kenttä pallon läheisyydessä. Pallokoordinaatistossa on d Er = -—, or

Ee =

Id —(f), r au

Ev =

I d :— r sm 0 oip

(3.94)

Näemme heti, että E v häviää identtisesti; tämä on luonnollinen seuraus tilanteen aksiaalisymmetriasta. Suorittamalla derivoinnit saamme Er(r,6,
Ee(r,d,v)

= E0

R

-1

cos 6

(3.95)

sin 6

(3.96)

Pallopinnalla |r| = R on Eg = 0, niin kuin pitää ollakin, koska pinta j 1*| = R on tasapotentiaalipinta. Alla olevassa kuvassa 3.5 nähdään järjestelmän kenttäviivat. J

,X —

k

• ^

+ y-— +\ '

•—-cr

-

/

+ +/ - - — —

z •

Kuva 3.5: Johdepallo ja kenttäviivat.

3.7.1

P i n t a v a r a u s j a polarisaatio

Edellä johdetut tulokset voidaan ymmärtää kvalitatiivisesti ottamalla huomioon, että ulkoinen kenttä E0ez aiheuttaa sen, että varauksia kerääntyy

LUKU 3. POTENTIAALITEORIAN

50

SOVELLUKSIA

pallon pinnalle kuvan 3.5 osoittamalla tavalla. Näin pallon pinnalle indusoituu pintavaraus a. Pintavaraustiheys a(9, ip) voidaan laskea seuraavasti. Pinnalla S oleva yleinen pintavaraustiheys a aiheuttaa pinnan ulkopuolella potentiaalin -

1

47re

r

o Js

d S > ^ L

(3.97)

Lauseke on analoginen yhtälön (2.24):n kanssa. Johdekappaleen pintavaraustiheys on yleisesti verrannollinen kokonaispotentiaalin 4> normaaliderivaattaan dn(j) pinnalla S. Tässä emme todista tätä yleisesti vaan rajoitumme tarkastelemaan esimerkkitapaustamme, jossa pinta S on .R-säteisen pallon pinta. Olkoon kenttäpiste r pallopinnan |r'| = R ulkopuolella (r > R). Kehitelmästä (3.57) ja kaavasta (3.97 saadaan tällöin i+i Är^ 1 1 dQ! a(9', (p')Yj*m{Q', (p ) ^o lm , 21 + 1 (3.98) Potentiaali <j>a{v) on juuri kaavassa (3.93) esiintyvä "häiriötermi", ts.

f)

E

E R3 ' ° cos 9 r2 Vertaamalla lausekkeita (3.98) ja (3.99) saadaan

(3.99)

d£l' a(9', ip')YCn(ff, y') = V l ^ i ^ o ^ o

(3.100)

eli (p) = 3e0E0 cos 9 =

dr

(3.101) r=R

Pintavaraus on siis — cq kertaa potentiaalin 0 (huom. ei c/)a) normaaliderivaatta pinnalla. Palaamme yleisemmin tähän tulokseen seuraavassa luvussa. Pintavarauspotentiaali (3.99) on puhdas dipolipotentiaali. Vertaamalla kaavan (3.99) potentiaalia <j)ff origossa sijaitsevan (r 0 = 0) dipolin p aiheuttamaan potentiaaliin (3.76) päättelemme, että pintavaraukset antavat johdepallolle dipolimomentin p = 47re0£o-R3e2 Johdepallo polaroituu ulkoisen kentän vaikutuksesta.

(3.102)

Luku 4 Sähköstatiikka väliaineessa 4.1

Aineen dipolirakenne

i

Tähän asti olemme käsitelleet vapaiden varauksien synnyttämiä kenttiä E. Olemme todenneet, että jos varaukset korvataan varausjakaumalla tiheydeltään p, voidaan edelleen määritellä kenttä E varausjakauman sisällä (missä p ^ 0). Tämä tarkoittaa, että kenttä E sellaisen "aineen" sisällä, joka koostuu vapaista varauksista, ei ole olennaisesti toisenlainen kuin aineen ulkopuolella. Tiedämme kuitenkin, että aineen rakenne ei ole näin yksinkertainen. Aineella on atomaarinen tai molekylaarinen rakenne. Atomi koostuu positiivisesti varautuneesta keskuksesta, atomin ytimestä, joka sisältää suurimman osan atomin massasta, sekä ydintä ympäröivästä elektroniverhosta. Elektroni verhon massa on pieni verrattuna ytimen massaan ja sen varausjakauma yleensä neutraloi ytimen varauksen. Mikroskooppiselta kannalta tällaisen atomin sähkövaraus on "vapaata varausta", joka aiheuttaa sähkökentän. Toisaalta makroskooppiselta kannalta emme voi käsitellä sähkökenttiä, jotka ovat atomien sisällä olevien yksittäisvarausten aiheuttamia. Siksi ajatellaan, että mitattavat sähkökentät ovat tasoitettuja kenttiä, jotka aiheutuvat atomien tai molekyylien keskimääräisistä sähköisistä ominaisuuksista. Makroskooppiselta kannalta atomi on olennaisesti sähköisesti neutraali; atomin varaukset eivät ole vapaita varauksia, vaan ne ovat sidoksissa toisiinsa. Nämä sidotut varaukset voivat kuitenkin vaikuttaa sähkökenttään, sillä voidaan ajatella, että atomit muodostavat alkeisdipoleja (esim.

LUKU7.M A G N E T O S T A T I I K K AVÄLIAINEESSA

52

atomin deformoituessa ulkoisten kenttien vaikutuksesta), jotka on otettava huomioon aineessa esiintyvien kenttien kuvauksessa. On myös molekyylejä, jotka (makroskooppiselta kannalta) muodostavat dipoleja ilman ulkoisten kenttien vaikutusta (esim. HC1). Näiden dipolien suunnat ovat normaalioloissa satunnaisesti jakautuneita, mutta ne orientoituvat ulkoisen kentän vaikutuksesta ja vaikuttavat siten kenttään aineessa. Aineen dipolirakenne voidaan myös ymmärtää kappaleessa 3.5 esitetyn multipolikehitelmän mielessä likimääräisenä kuvauksena aineen sähköisistä ominaisuuksista. Makroskooppisessa mittakaavassa riittää ottaa huomioon vain atomien (molekyylien) varausjakaumien ensimmäiset momentit eli juuri dipolimomentit; tarkemmassa kuvauksessa tulevat sitten korkeammat momentit (kvadrupoli jne.) mukaan. Esimerkiksi Jacksonin klassista elektrodynamiikkaa käsittelevän kirjan [2] luvussa 4, erityisesti kappaleessa 4.5, on analysoitu väliaineessa vallitsevat makro-ja mikroskooppiset kentät klassisen molekyylimallin avulla, ts. ilman kvanttimekaniikkaa. Seuraavassa käsiteltävissä yksinkertaisissa tapauksissa otetaan huomioon vain alkeisdipolit väliaineessa. Oletamme, että väliaineet voidaan riittävän tarkasti kuvata alkeisdipoleja (tai dipolimomenttitiheyttä) käyttäen. Lisäksi voi aineessa esiintyä vapaita varauksia, ts. varauksia, jotka voidaan johtaa pois.

4.1.1

S ä h k ö p o l a r o i t u m a P j a sähkövuon tiheys D

Sähkökentän lähteinä olkoot vapaat varaukset q.t ja dipolit pj. Potentiaali on tällöin

Ä r ) w

47re0^r-rJ i

+

4 7re0 ^ 3

r - r; 3

(4.D

Ensimmäinen termi kaavassa (4.1) on paikoissa vl sijaitsevien vapaiden pistevarauksien ql aiheuttama potentiaali ja toinen [vrt. yht. (3.76)] on pisteissä r j sijaitsevien dipolien p j aiheuttama potentiaali. Yleistämme nyt lausekkeen (4.1) koskemaan jatkuvaa tapausta. Olkoon siis p(r) varaustiheys siten, että (4.2)

4.1. AINEEN

DIPOLIRAKENNE

53

Vastaavasti olkoon P ( r ) dipolimomenttitiheys siten, että

E

Pj • l r [r — r,-|3

/ d r

,P(r')-(r-r') r — r'13

(4.3)

Dipolimomenttitiheys, kenttä P ( r ) tunnetaan myös sähköpolaroitumana. Sen laatu on C/m 2 . Sähköpolaroituma voi olla osittain tai kokonaan ulkoisen kentän aiheuttama. Jatkuvasti jakautuneen varauksen ja dipolimomentin tapauksessa yhtälö (4.1) saa muodon ( i

47ren

dV

^ + r — r'

47re(

d3r'

P(r') • ( r - r ' ) |r — r'| 3

(4.4)

Sijoitamme tähän identtisyyden (huom. derivointi lähdepisteen r' suhteen) , r

- r = V'- 1 '13 r — r'| r —r

(4.5)

ja saamme r

=

47ren

d3 r'

^ U p M - V ' r — r'

1

r — r

(4.6)

Huomautettakoon vielä, että integrointi kaavoissa (4.4) ja (4.6) on lähdealueen V yli, missä (4.7) Käyttämällä Greenin III:n kaavan (2.75) yhteydessä sovellettua rajaarvomenetelmää voidaan kaavan (4.6) viimeinen termi integroida osittain. Tulos on «Kr) = - i - [ d V — [ p ( r ' ) - V' • P(r')] + f dS'p^~ (4.8) 4tte0Jv |r — r'| 4tte0 JdV |r - r'| missä Pn on sähköpolaroituman P normaalikomponentti integroimisalueen rajapinnalla dV. Kaavan (4.8) viimeinen termi on pintavaraustiheyden a := Pn aiheuttama potentiaali. Jos tämä reunaefekti voidaan jättää huomiotta (ts. jos Pn häviää reunalla), on potentiaali (4.8) juuri se, jonka efektiivinen varaustiheys pef aiheuttaa, Pef(r) : = p ( r ) - V • P ( r ) : = p ( r ) + pP(r)

(4.9)

54

LUKU7.M A G N E T O S T A T I I K K AVÄLIAINEESSA

Kaava (4.9) määrittelee polarisaatiovarauksen - V • P.

avaruustiheydeksi

pP =

Sähkökenttä E on edelleen potentiaalin negatiivinen gradientti, E(r) - — V(r)

(4.10)

Tähän kenttään pätee Gaussin laki muodossa V • E(r) = e— Pef(r) = e — [p(r) - V • P(r)] 0 0

(4.11)

Kaavan (4.11) avulla voidaan määritellä uusi, väliaineeseen liittyvä sähkökenttä D(r), jota kutsutaan sähkövuon tiheydeksi. Kenttä D on D(r) :=e 0 E(r) + P(r)

(4.12)

Kaavan (4.11) mukaan kentän D lähteinä ovat vain vapaat varaukset, V • D(r) = p(r)

(4.13)

Tämä yhtälö on vapaita varauksia koskeva Gaussin laki. Ennen kuin väliaineen sähköstaattisia ongelmia voidaan ratkaista, tarvitaan vielä ns. rakenneyhtälö, joka kuvaa sähköpolaroituman P riippuvuuden polaroivasta kehtästä. Tämä riippuvuus lausutaan tavallisesti kokonaiskentän E avulla, P = P(E)

(4.14)

Usein rakenneyhtälö (4.14) on riittävän tarkasti lineaarinen, P(r) :=xe 0 E(r)

(4.15)

Suure x, joka ns. yksinkertaisissa aineissa on vakio, on nimeltään sähköinen suskeptiivisuus. Jos yksinkertainen lineaarinen rakenneyhtälö (4.15) on voimassa, saadaan vastaavanlainen rakenneyhtälö sähkövuon tiheyden D ja kokonaiskentän E välille, D(r) = (1 + x)eoE(r) := «e 0 E(r) := eE(r)

(4.16)

Suure K on suhteellinen permittiivisyys ja e on absoluuttinen permittiivisyys. Permittiivisyydestä on käytetty myös nimeä dielektrisyyskerroin. Aineen eristeominaisuudet (vakiot x, riippuvat yleensä jossakin määrin aineen termodynaamisista muuttujista, kuten paineesta ja lämpötilasta.

4.2. VALIAINEEN

POTENTIAALIONGELMA

55

Taulukko 4.1: Eri aineiden suhteelliset permittiivisyydet K normaaliolosuhteissa Aine

K,

ilma petroli lasi etyylialkoholi vesi

1,0006 2,2 5-16 26 81

Yllä olemme käsitelleet yksinkertaisia aineita, joissa vektorisuureet E , P ja D ovat yhdensuuntaiset. Epäisotrooppisissa aineissa (esim. kiteissä) tämä ei pidä paikkaansa. Silloinkin riippuvuus on yleensä riittävän tarkasti lineaarinen, ACr) = £ e ^ - ( r ) ' (4.17) i Kertoimet e t j muodostavat ns. permittiivisyystensorin (eli dielektrisyystensorin). Vielä yleisemmin D:n ja E:n välinen riippuvuus voi olla epälineaarinen (E:n korkeampia potensseja) tai epälokaalinen sekä ajallisesti että paikallisesti, A(

T,t)

Ej

dt' / d r' dj(r - r', t - t')Ej{r', t')

(4.18)

Seuraavassa rajoitamme tarkastelun ainoastaan tapauksiin (4.16) ja (4.17). Aineen eristeominaisuudet riippuvat ainoastaan permittiivisyyden arvosta; ideaalijohde on muodollisesti rajatapaus e —> oo.

4.2

Väliaineen potentiaaliongelma

Olemme päätyneet seuraaviin, väliaineessa päteviin sähköstatiikan perusyhtälöihin: VxE = 0 (4.19) joten E = -V(p

(4.20)

V-D = p

(4.21)

sekä

56

LUKU7.M A G N E T O S T A T I I K K AVÄLIAINEESSA

missä

(4.22)

D = e0E + P

Jotta yhtälöt (4.19-(4.22) muodostaisivat suljetun järjestelmän, tarvitaan vielä rakenneyhtälö P:n ja E:n välille tai vaihtoehtoisesti E:n ja D:n välille. Rakenneyhtälöksi kelpaa useimmiten yksinkertainen lineaarinen relaatio (4.16), D = eE (4.23) Väliaineen potentiaaliongelmalla tarkoitetaan potentiaalin 4> määrittämistä yhtälöistä (4.19)—(4.21) ja rakenneyhtälöstä (4.23), missä varaustiheyttä p ja permittiivisyyttä e pidetään tunnettuina suureina. Potentiaaliongelmalle voidaan asettaa reunaehtoja pinnoilla, jotka ovat osittain tai kokonaan eristeaineen sisä- tai ulkopuolella. Sen lisäksi on otettava huomioon ne reunaehdot, jotka ovat voimassa eristeiden rajapinnoilla.

4.2.1

E:n j a D:n r e u n a e h d o t rajapinnoilla

Johdamme nyt eristeen ja tyhjiön välisellä rajapinnalla (kuva 4.1) vallitsevat kenttien reunaehdot. Tarkastelemme ensin D-vektoria aineen 1 ja tyhjiön rajapinnassa. Merkitsemme D-vektoria aineessa 1 Didlä ja tyhjiössä D 0 :lla. Piirrämme pienen sylinterinmuotoisen "pillerirasian" rajapintaan, siten että sylinterin akseli on pinnan normaalin suuntainen (kuva 4.2).

tyhjiö

Kuva 4.1: Eristeen ja tyhjiön välinen rajapinta. Olkoon pillerirasian pohjapinta-ala A S ja korkeus 2A h. Soveltamalla divergenssilausetta (2.7) kaavaan (4.21) saadaan A S n • (D 0 - Di) + O (Ah) = f Jrasia

d3 r p( r)

(4.24)

4.2. VALIAINEEN

POTENTIAALIONGELMA

57

missä nyt D 0 :lla ja Di:llä tarkoitetaan kenttien D 0 ja Di raja-arvoja pinnalla ja O (Ah) on jäännöstermi, joka häviää kun Ah —> 0. Yhtälön (4.24) oikea puoli on pillerirasian sisällä oleva vapaa varaus. Kun Ah —> 0, tämä vapaa varaus on joko 0 tai a AS, missä a on (idealisoitu) pintavaraustiheys. Rajalla Ah —> 0 saadaan siis reunaehto n • (D 0 — Di) = a

(4.25)

Jos ei ole vapaita pintavarauksia, on a = 0. D-kentän reunaehto rajapinnalla on siis seuraava: D-kentän normaalikomponentti on jatkuva väliaineen ja tyhjiön välisessä rajapinnassa, jos rajapinnalla ei ole vapaita pintavarauksia, tai D-kentän normaalikomponentti on vapaan pintavaraustiheyden a verran epäjatkuva rajapinnassa. On selvää, että rajapinnan toisella puolella olevan tyhjiön voi korvata toinen aine. Reunaehto (4.25) pätee siis myös kahden eri väliaineen rajapinnassa.

Kuva 4.3: Suorakulmio rajapinnassa. Sähkökentän E reunaehto voidaan vastaavasti johtaa seuraavasti. Tarkastelemme rajapintaan upotettua pientä suorakaidetta, joka on kohtisuo-

LUKU7.M A G N E T O S T A T I I K K AVÄLIAINEESSA

58

rassa pintaa vastaan (kuva 4.3). Sovellamme nyt Stokesin lausetta (ks. liitettä B) sähkökenttään E, [ dS • V x E = [ JS

dl-E

(4.26)

JdS

Pyörteettömyysehdon (4.19) perusteella saadaan suoraan kuvan 4.3 osoittamassa tapauksessa, kun suorakulmion korkeus Ah —> 0, AI • (Ei - E 0 ) = 0

(4.27)

missä AI on mielivaltainen pinnassa oleva (ts. pinnan tangentin suuntainen) infinitesimaalinen vektori. Vaihtoehtoisesti tämä reunaehto voidaan ilmaista yhtälöllä [vrt. yht. (7.24)] nx(Eo-E1) = 0

(4.28)

E-kentän tangenttikomponentti on n x (E x n). E-kentän reunaehto rajapinnassa on siis seuraava: sähkökentän E tangenttikomponentit ovat jatkuvia rajapinnassa. Tämä reunaehto pätee myös sellaisenaan kahden eri väliaineen rajapinnassa. Yllä olemme johtaneet E- ja D-kenttien reunaehdot väliaineen rajapinnoissa vain staattisessa tapauksessa. Osoittautuu, että samat reunaehdot pätevät myös ei-staattisessa tapauksessa, kenttien E ja D kenttäyhtälöiden (Maxwellin yhtälöiden) perusteella.

4.3

Eristepallo vakiokentässä

Olkoon i?-säteinen homogeeninen eristepallo (vakio e) ulkoisessa, z-akselin suuntaisessa vakiokentässä E 0 (kuva 4.4). Oletamme, että pallon sisällä ei ole vapaita varauksia. Järjestelmän kenttäyhtälöt ovat silloin [vrt. yht. (4.19)—(4.21)] E = -\7(j)

(4.29)

V •D = 0

(4.30)

D = eE,

|r| < R

(4.31)

D = e 0 E,

|r| > R

(4.32)

Koska alueessa R < |r| < oo ei ole varauksia, pätee tässä ulkoalueessa ( = u)

V2u = 0

(4.33)

4.3. ERISTEPALLO

VAKIOKENTÄSSÄ

59

Kuva 4.4: Tyhjiössä oleva i?-säteinen eristepallo ulkoisessa vakiokentässä Eq.

Samoin sisäalueessa |r| < R (0 = <j>s) pätee V2^ = 0

(4.34)

Tilanteen aksiaalisymmetrian vuoksi potentiaali ei voi riippua kulmasta 99 (vrt. kappaleen 3.7 johdepallolaskuun). Tällöin harmonisten funktioiden s(r,6) = Y/ArlPi( 1 (j>u{r,e)

= YJ(Blrl

+

cos 6) Clr-l-l)Pl{cos9)

(4.35)

(4.36)

Vakiokenttää EqQz vastaava potentiaali (po on [Pi(cos#) = cosö] Mr,0)

= -E0z

= -E0rP1(cos9)

(4.37)

Vaatimalla taas luonnollisena ehtona, että potentiaali (f>u yhtyy 0:aan suurilla r: n arvoilla, saadaan Bi = —5nE0

(4.38)

Muut kertoimet Ai ja Ci määritetään rajapinnan reunaehdoista. Nämä ovat [vrt. yht. (4.25), (4.27)] lim [E0{R -h,9)-

Eg(R + h, 9)} = 0

(4.39)

lim [Dr{R -h,9)-

Dr(R + h, 9)} = 0

(4.40)

/1-+0

h—fO

eli Rd9^s

r=R

Rd99u

(4.41) r=R

LUKU7.M A G N E T O S T A T I I K K AVÄLIAINEESSA

60

d dr

9 A -eo -^-(Pu or r—R

s r=R

(4.42)

Sijoittamalla sarjat (4.35) ja (4.36) ehtoon (4.42) saadaan + l)ClR-2l~\

elAi=-eQ(l eA1 = -e0(E0

l+ l 3

+ 2Cii?- )

(4.43) (4.44)

Vastaavasti saadaan ehdosta (4.41) l+ l At = QR-21'1 At = -E0 + Cii?"3

(4.45) (4.46)

Yhtälöiden (4.43)-(4.44) sekä (4.45)-(4.46) ratkaisut ovat At = Ct = 0,

l+ l

Al =

e + 2e0 e- e0 Et]R Ci = e + 2e0 (4.47)

Potentiaali on siis 3en -E0r cos 9 e + 2e( e — e0 E0R3 cos 9 r 4>u( > 0) = ~E0r cos 9 + e + 2e0 r2 Mr, e) =

(4.48) Toisin kuin johdepallon tapauksessa (kappale 3.7) on pallon sisällä nyt vakiokenttä E s , joka on ^-akselin suuntainen. Kaavasta (4.48) seuraa, että |E,| =

~—Eq e + 2e,o

(4.49)

Sisäkenttä E s on voimakkaampi tai heikompi kuin kenttä E 0 riippuen siitä, onko e < eo vai e > 6q. Pallon sähköpolaroituma P on P = (e - e 0 )E s =

^ ^ E e + Z6n

0

(4.50)

4.4. JOHTEET

JA

PINTAVARAUSJAKAUMA

61

Pallon ulkopuolella kenttä E u on, alkuperäisen kentän E 0 lisäksi, origossa sijaitsevan dipolin p = pez aiheuttama kenttä. Vertaamalla kaavoja (3.76) ja (4.48) nähdään, että dipolimomentin p itseisarvo on (4.51) Dipolimomentti p on kaavan (4.50) määrittelemän vakiopolaroituman P tilavuusintegraali pallon yli, minkä näkee suoraan. Pallon ulkopuolella kenttäviivat muistuttavat johdepallon kenttäviivoja (kuva 3.5). Erona on kuitenkin se, että kenttäviivat eivät nyt kohtaa pallon pintaa kohtisuoraan. Vertaamalla tässä kappaleessa johdettuja kaavoja ja vastaavia kappaleessa 3.7 esitettyjä johdepalloa koskevia tuloksia toteamme, että jälkimmäiset ovat eristepallon rajatapaukset, kun suhteellinen permittiivisyys K = e/tQ —» oo. Lopuksi toteamme, että yllä johdetut tulokset pätevät sellaisinaan, jos ulkoalue |r| > R (tyhjiö, permittiivisyys e0) korvataan väliaineella, jonka permittiivisyys on esim. Silloin on vain suoritettava vaihto eo —> £2• Jos taas tutkitaan väliaineessa (e) olevaa tyhjiöpalloa, on yllä olevissa tuloksissa vain vaihdettava e ja e0.

4.4

Johteet ja pintavarausjakauma

Olemme aiemmin kappaleessa 3.7 määritelleet ideaalijohteen aineena, jossa varaukset voivat liikkua vapaasti. Reaalijohteessa "vapaat varaukset", ts. johtavuuselektronit liikkuvat suhteellisen vapaasti. Metallit ovat tunnetusti hyviä johteita (hopea, kupari, alumiini, rauta jne.). Tarkastelemme nyt mielivaltaista johdekappaletta staattisessa tilassa. Intuitiivisesti on selvää, että johteen vapaat varaukset kerääntyvät johteen pinnalle; johtavuuselektronit hylkivät toisiaan ja voivat tasapainotilanteessa vain olla johteen pinnalla. Muodollisesti tämän voi todistaa seuraavasti. Ensin toteamme, että sähkökenttä E häviää identtisesti johteen sisällä staattisessa tilassa. Sillä jos näin ei olisi, liikkuisivat varaukset johteen sisällä (tai pinnassa) kentän E voimavaikutuksen johdosta. Edelleen, koska E = 0 johteen sisällä, on potentiaali vakio johteen sisällä. Tämä vakio on potentiaalin arvo johteen pinnalla; johteen pinta

62

LUKU7.M A G N E T O S T A T I I K K AVÄLIAINEESSA

on siis tasapotentiaalipinta. Koska E häviää identtisesti johteessa, häviää myös sähkövuon tiheys D johteessa. Johteen sisällä on siis V •D = 0

(4.52)

joten yhtälöstä (4.21) seuraa, että p= 0

(4.53)

johteen sisällä. Staattisessa tilassa olevalla johdekappaleella voi olla siis vain pintavarausta, jonka tiheyttä merkitään <7:11a.

Kuva 4.5: Johdekappale V, ulkoinen varausjakauma p alueessa C{V). Tarkastelemme nyt erityisesti tilannetta, jossa johdekappaleen ulkopuolella on annettu varausjakauma p mutta ei muuta ainetta (kuva 4.5). Pintavaraus o johdekappaleen pinnalla dV liittyy ulkoisen D-kentän (tässä D = eoE) reuna-arvoihin pinnalla dV yleisten rajapintaehtojen (4.25) mukaisesti. D-kenttä on nolla johteen sisällä [ts. Di = 0 kaavassa (4.25)]. Kun ulkoista kenttää merkitään D:llä [= D 0 kaavassa (4.25)], meillä on <x(r) = n ( r ) - D ( r ) = e 0 n ( r ) - E ( r ) = - e 0

Hm d n 0(r)

r—>dV+

(4.54)

missä merkintä limr_+ay+ tarkoittaa, että rajankäynti tapahtuu pinnan dV ulkopuoliselta alueelta. Olemme täten todenneet johdepalloa koskevan tuloksen (3.101) yleispäteväksi.

4.4.1

J o h d e k a p p a l e e n kapasitanssi

Pintavarausjakauman a laskemiseksi on ratkaistava edellä hahmoteltu sähköstatiikan ongelma. Tämä on ns. ulko-ongelma: on laskettava johdekappaleen ulkopuolisessa alueessa C(V) := R3 \ (V U dV) vallitseva potentiaali
4.4. JOHTEET

JA

PINTAVARAUSJAKAUMA

63

Luvussa 3 annettu Greenin funktion menetelmä ei sovellu aivan suoraan, sillä ulkoalue C(V) on ääretön. On kaksi perustapausta, jotka johtavat hieman erilaisiin reuna-arvotehtäviin: joko johdekappaleen potentiaali (j)c on annettu tai johdekappaleen kokonaisvaraus Qv on annettu. Käsittelemme vain ensin mainittua tapausta. Oletamme yksinkertaisuuden vuoksi, että ulkoinen varaustiheys p on nollasta poikkeava vain äärellisessä alueessa (tai että p häviää riittävän nopeasti äärettömyydessä). Tiedämme silloin, esimerkiksi yleisen multipolikehitelmän peruteella, että potentiaalin asymptoottisesti johtava termi on Qo 1+0 (4.55) t(r) = Aneo r missä Qo on järjestelmän kokonaisvaraus, Qo — Qv + / d3rp(r) Jc(v)

(4.56)

Johdekappaleen kokonaisvaraus on pintavaraustiheyden o avulla lausuttuna Qv=

[ dS cr(r) Jav

(4.57)

Varaus Qy ei ole ennalta annettu; se on laskettava potentiaaliongelman ratkaisusta. Potentiaaliongelmamme on seuraava: on ratkaistava Poissonin yhtälö alueessa C(V), V 2 0(r) = 0,

r EC{V)

(4.58)

kun potentiaali 0 saa vakioarvon fic alueen reunalla dV, lim 0(r) =

(4.59)

r—>DV+

Reunaehdon (4.59) lisäksi on oltava voimassa asymptoottinen lauseke (4.55). Yhtälöt (4.58), (4.59) määrittelevät Dirichlefn probleeman ulkoalueessa C(V), jossa vielä on otettava huomioon lisäehto (4.55). Yllä annettu Dirichlefn ulko-ongelma voidaan ratkaista seuraavasti. Olkoon F{T) = -±-[ d3 r ' - ^ 47re0 Jc(v) |r - r'|

(4.60)

joten V 2 F(r) = ——p(r), eo

r G C(V)

(4.61)

LUKU7.M A G N E T O S T A T I I K K AVÄLIAINEESSA

64

kun oletetaan, että tiheys p on sileä r:n funktio, joka häviää oo:ssä riittävän nopeasti. Funktio F(r) on jatkuva myös rajalla r —» dV. Merkitsemme sen arvot rajapinnalla /(r):llä, lim

T-JrdV+

F(r) := / ( r ) ,

r G dV

(4.62)

Kirjoitamme nyt 4>{r) = F{t) + U{T)

(4.63)

missä funktio U(r) on valittava niin, että potentiaali (r) on ongelmamme ratkaisu. Yhtälöistä (4.57) ja (4.59) seuraa V 2 [/(r) = 0,

r eC(V)

(4.64)

ja U(r)\av

= d>c-f(T),

redV

(4.65)

Kuten helposti nähdään, ehtojen (4.64)ja (4.65) lisäksi on voimassa seuraava asymptoottinen ehto U(r):lle: U(v) =

Qv 4-/reo r

(4.66)

1+ 0 [ r

Yhtälöt (4.64) ja (4.66) tarkoittavat, että U(r) on harmoninen C(V):ssä. On siis konstruoitava C(y):ssä harmoninen funktio U(r), joka saa annetut reuna-arvot (4.65) pinnalla dV. Voidaan helposti todeta, että jos tällainen funktio U(T) on olemassa," se on yksikäsitteinen. Funktion U(r) konstruoiminen on verrattain monimutkainen tehtävä, joka osittain ylittää tämän esityksen vaatimustason. Täydellisyyden vuoksi hahmotellaan kuitenkin kyseisen funktion konstruktio seuraavassa. Oletetaan, että koordinaatiston origo on alueessa V; tähän ei sisälly fysikaalista rajoitusta. Etsitään muotoa U(r) =

fdy dS' h(v')dn, ^

,

r G C(V)

(4.67)

olevaa ratkaisua, missä n' on pinnan dV normaali pisteessä r'; h(r') ja Qv on määritettävä. Kun r G C(V), on ilmeistä, että lauseke (4.67) on harmoninen, ts. toteuttaa ehdot (4.64) ja (4.66). Funktio h(r), r G dV ja varaus Qv määräytyvät siten reunaehdosta (4.65). Reuna-arvotarkasteluja varten on tutkittava seuraavanlaisten funktioiden H(r) käyttäytymistä, kun r G dV\ H{r) := f dS' h(r')dnJdv

- . — - — ( 4 . 6 8 )

4.4. JOHTEET

JA

PINTAVARAUSJAKAUMA

65

Gaussin lain todistuksen yhteydessä [vrt. yht. (2.12, (2.13)] olemme todenneet, että

' av

dS' dr,'-

-47r, r G V 0, r eC(V)

r — r'

(4.69)

Jos pinta dV on riittävän sileä (ns. Liaponovin pinta), on pintaintegraali (4.69) määritelty myös kun r e dV, ja (todistus on esim. Kelloggin kirjasta [6]) [ dS'dn< r 1 r = -2Tr, Jav l ~ I

rtdV

(4.70)

Yllä olevien tulosten perusteella voidaan osoittaa, että kaavassa (4.68) määritelty funktio saa tietyt raja-arvot, kun r —> dV. Merkitään rajaarvoa, kun r —>• dV ulkoalueesta C(V), symbolilla H+{r) ja vastaavasti symbolilla r), kun r dV sisäalueesta V. Tällöin on H±(R) = ±27r/i(r) + HQ(T)

(4.71)

missä H0(R) on (heikosti singulaarinen) integraali, H.ir) Jav

1

dS'h{ r')dn

r G dV

(4.72)

|r-r'|

Soveltamalla tulosta (4.71) integraaliesitykseen (4.67) saadaan U+(r) = 2irh{r) + f dS'h(v')dn, Jav

1 r

l -rl

,+

,

47re

r G dV

(4.73)

o?"

Funktion U(r) reuna-arvot dV\Mä, ovat kaavan (4.65) mukaan U+{v) = (j>c-f(x),

vtdV

(4.74)

Yhtälöstä (4.74) seuraa siten seuraava integraaliyhtälö funktiolle h(r), r G dV: c - /(r)

Qv 47r e0r

(4.75) r edV

Yhtälö (4.75) on (heikosti singulaarinen) Fredholmin yhtälö funktiolle h{r), r e dV, jonka ydin K{r, r') on K{r,r')

:= dn>r—r

(4.76)

LUKU7.M A G N E T O S T A T I I K K AVÄLIAINEESSA

66

Yhtälön (4.75) ns. homogeeninen liittoyhtälö on 9(r') + ± [ dS g(r)K(r, r') = 0 ^ Jav

(4.77)

Jos homogeeniyhtälöllä (4.77) on ei-triviaali ratkaisu g ^ 0, on Fredholmin teorian mukaan alkuperäisellä yhtälöllä [tässä (4.75)] ratkaisu vain jos yhtälön epähomogeeninen termi ja homogeenisen liittoyhtälön ratkaisu ovat ortogonaaliset, ts.

/ Jav

dSg( r) c -

f(r)

Qv 47re0r

= 0

(4.78)

Yhtälöä (4.75) vastaavalla homogeeniyhtälöllä Ao(r) + i / dS'ho(v')dn,-^—=0 27T Jav |r - r'|

(4.79)

on ei-triviaali ratkaisu, nimittäin h0 — vakio, kuten kaavan (4.70) avulla todetaan. Täten myös yhtälöllä (4.77) on ei-triviaali ratkaisu g(r). Voidaan todistaa, että tähän ratkaisuun pätee ehto [ dS-^—g(r)#.0 Jav 47reor

(4.80)

Johdekappaleen varaus Qv määräytyy ehdosta (4.78), Qv f dS g(r) = f dSg(v)[d>c - / ( r ) ] Jdv 4ire0r Jav

(4.81)

Jos ulkoinen varaus p(r) on tasan nolla, on / ( r ) = 0 kaavassa (4.81) ja meillä on Qv = Cc (4.82) missä

c

=LdSs{i)/Lds^

(4

-83)

on johdekappaleen kapasitanssi. Tämä riippuu vain johdekappaleen koosta ja geometrisesta muodosta. Yksinkertaisissa tapauksissa (esim. johdepallo) voidaan kapasitanssi laskea helpommin ratkaisemalla potentiaaliongelma suoraan ongelman symmetriaominaisuuksia hyväksi käyttäen. Palaamme nyt alkuperäisen reuna-arvo-ongelman ratkaisuun. Olemme osoittaneet, että potentiaaliongelma palautuu integraaliyhtälöksi (4.75).

4.5. JOHDEKUORI

JA COULOMBIN

LAKI

67

Tämän (vakiota vaille määritetyn) ratkaisun avulla konstruoidaan funktio U{r) kaavan (4.67) mukaan [määrittämätön vakio ei vaikuta lausekkeeseen, kun r G C(V)], minkä jälkeen potentiaaliongelman ratkaisu (r) saadaan kaavasta (4.63). Tämän jälkeen voidaan laskea johdekappaleen pintavaraus o kaavasta (4.54). Yllä oleva esitys ulko-ongelman ratkaisemisesta on lyhyt ja epätäydellinen; yksityiskohtia ja todistuksia on esimerkiksi W. Pogorzelskin kirjan Integral equations and their applications osassa 1 [12].

4.5

J o h d e k u o r i j a Coulombin laki

Sähköstatiikka perustuu kokonaan Coulombin lakiin (2.1). Onkin luonnollista, että lain kokeellinen todentaminen on ollut sähköopin keskeisiä tehtäviä. Kysymyksen moderni asettelu liittyy sähkömagneettisen kentän kvantin, fotonin massaan. Jos fotonin massa on nolla (niin kuin tähänastiset kokemukset osoittavat), on sähkömagneettinen vuorovaikutus pitkän kantaman vuorovaikutus eli klassisesti Coulombin laki pätee tarkasti. Coulombin lain kokeellinen todentaminen klassisin keinoin on ollut huomion kohteena vielä 1970-luvun alussa. Käytetyt menetelmät ovat parannettuja versioita Cavendishin 1700-luvun lopussa suorittamista kokeista (Henry Cavendish (1731-1810)). Nämä kokeet perustuvat siihen, että johdekuoren ympäröimässä tyhjässä ontelossa ei ole sähkökenttää riippumatta siitä, mikä on staattinen sähkökenttä E johdekuoren ulkopuolella ja riippumatta johdekuoren staattisesta varauksesta. Keskeinen tulos on, että johdekuoren sisäpinta ei ole varattu, mikä on suora seuraus Gaussin laista, joka puolestaan on Coulombin lain matemaattinen seuraus. Kokeen teoria on lyhyesti seuraava. Oletetaan Coulombin lain (2.1) sijasta, että voima F kahden pistemäisen varauksen välillä pienenee etäisyyden r mukaan kuten F(r) oc

(4.84)

missä A on numeerinen parametri. Jos A ^ 2, on johdekuoren sisäpinnalla tietty kokonaisvaraus, joka riippuu kuoren kokonaisvarauksesta ja A:sta. Mittaamalla sopivan muotoisen varatun johdekuoren sisäpinnan varaus Qi saadaan arvo parametrille A. Tulos Qi = 0 vastaa A:n arvoa 2; poikkeamat arvosta QI — 0 antavat nollasta pikkeavan arvon suureelle A — 2. Viimeisimmät tällä tavalla mitatut A — 2:n arvot ovat johtaneet tulokseen

68

LUKU7.M A G N E T O S T A T I I K K AVÄLIAINEESSA

[Physical Review Letters 26 (1971) 721] |A — 2| < 12,7 ± 3,11 • 1CT16

(4.85)

joten Coulombin laki on hyvin tarkasti voimassa. Todistamme vielä täydellisyyden vuoksi, että kun Gaussin laki on voimassa, sähkökenttä E mielivaltaisen johdekuoren ympäröimän tyhjän ontelon sisällä on tasan 0, riippumatta kuoren varauksesta ja kuoren ulkopuolella olevasta staattisesta sähkökentästä. Tarkastelemme johdekuorta, joka ympäröi tyhjää onteloa V. Johdekuoren sisäpintaa (siis V:n reunaa dV) merkitään S^:11a ja ulkopintaa :11a. Kuoren muodosta oletamme vain, että pinnat S ^ ovat (matemaattisen potentiaaliteorian mielessä) riittävän sileitä (kuva 4.6).

Kuva 4.6: Johdekuoren sisällä oleva tyhjiöontelo. Staattisuudesta seuraa, että ontelon sisällä vallitseva kenttä E saadaan potentiaalista c johteessa ja erityisesti sen reunapinnalla E(r) = —V(r),

reV

(4.86)

(

(/>( v) = cj>c, r e S - >

(4.87)

Koska ontelo on tyhjä, on Gaussin laki V • E(r) = 0 ,

veV

(4.88)

josta seuraa V 2 ^>(r)=0,

reV

(4.89)

Olkoon alueen V Dirichlefn ongelman Greenin funktio GD(r,r'). [vrt. yht. (2.85)] yhtälön (4.89) ratkaisu reunaehdolla (4.87) on = 47T . / 5 ( - )

dS'dn,GD{

r,r')

Silloin

(4.90)

4.5. JOHDEKUORI

JA COULOMBIN

LAKI

69

Mutta kun r G V, on (huom. n_ on V:n sisänormaali), on [ dS'dn,GD( Js(-)

r,r') = +47r

(4.91)

riippumatta suljetun pinnan S ^ muodosta, kuten aiemmin on todettu [vrt. (2.89) ja (4.69)]. Siis meillä on 0(r) = fo ,

r Gy

(4.92)

mistä seuraa, että E(r) = -V{r) = 0 , Merkitään sisäpinnan yht. (4.54)] meillä on

r GV

(4.93)

mahdollinen pintavaraus a b i l l a . Mutta [vrt.

a { _ ) (r) =

lim e 0 n_ • E(r) = 0

(4.94)

r >.S'(")

missä rajankäynti tapahtuu alueesta V. Siis sisäpinnalla S e i ole varauksia. Kaikki johdekuoressa olevat varaukset ovat ulkopinnalla S ^ . Todistus, jossa käytimme matemaattisen potentiaaliteorian hienouksia, on täten valmis. Esitämme vielä vaihtoehtoisen, suoraviivaisen todistuksen. Gaussin laista (4.88) seuraa divergenssilauseen perusteella, että 0 = [ d3rV-E(r) = - [ dS n_(r) • E(r) = - e- [ dSa{~\r) Jv Js(-1 0 Js(-) (4.95) eli sisäkuoren kokonaisvaraus häviää. Sovellamme nyt divergenssilausetta vektorikenttään (f)E ontelossa V: / d r V • [(r)E(r)] = dS 0(r)n_(r) • E(r) v Js(-) = -c f dS n_(r)-E(r) Js(-)

(4.96)

sillä (r) saa vakioarvon (j)C pinnalla S^ . Mutta kaavojen (4.86).ja (4. perusteella saamme V • (0E)

= CF)V - E + (V) • E

= -E2

(4.97)

70

LUKU7.M A G N E T O S T A T I I K K AVÄLIAINEESSA

Yhtälö (4.95) antaa nyt / d3r E 2 (r) = Jv

f dS n_(r) • E(r) = 0 Js(-)

(4.98)

Koska E 2 > 0, kaavasta (4.98) seuraa, että E(r) = 0, reV

(4.99)

ja edelleen [vrt. yht. (4.94)] että a ( - } (r) = 0,

re5

H

(4.100)

joten vaihtoehtoinen todistus on valmis. Lopuksi sitaatti Feynmanin mainioista sähködynamiikan luennoista [4]: "Now you also understand why it is safe to sit inside the high-voltage terminal of a million-volt Van de Graaff generator, without worrying about getting a shock—because of Gauss' law."

Luku 5 Energian j a voiman kenttäkuvaus Coulombin laki, johon sähköstatiikka perustuu, antaa kahden liikkumattoman varauksen välisen sähköisen voiman niiden etäisyyden funktiona. Vuorovaikutus on tällöin hetkellinen kaukovaikutus; varaus 1 vaikuttaa etäisyyden r 1 2 päässä olevaan varaukseen 2. Otimme kuitenkin heti käyttöön kentän: varaus 1 luo ympärilleen kentän Ei(r), jonka pisteessä r 2 oleva varaus 2 tuntee. Statiikassa kenttä ei ole välttämätön käsite; vasta dynamiikassa kenttä on välttämätön vuorovaikutuksen välittäjänä, joka etenee valon nopeudella. Kentän käsitteen kelpoisuus edellyttää, että varaus q kokee tietyn voiman kentässä E riippumatta E:n lähteiden luonteesta; määritelmä F = gE jo sisältää tämän ajatuksen. Jos nyt on kaksi varausta 1 ja 2 ja niillä kentät Ei ja E 2 , meidän pitäisi voida kuvata varausten välinen vuorovaikutus (voima ja energia) pelkästään kenttien avulla. Seuraavassa kehitämme tällaisen kuvauksen mielivaltaiselle varauskonfiguraatiolle.

5.1

K e n t ä n energia tyhjiössä

Tarkastellaan järjestelmää, jonka muodostaa n kappaletta varauksia qj äärellisellä alueella V. Ajatellaan, että varaukset ovat aluksi äärettömän kaukana toisistaan ja ne sitten tuodaan asemiinsa Tj. Tämä tehdään "adiabaattisesti", niin hitaasti että tilanne voidaan pitää staattisena koko ajan. Tällöin kenttä on koko ajan konservatiivinen (V X E = 0), ts. varauspar-

72

LUKU 5. ENERGIAN

JA VOIMAN

KENTTAKUVAUS

ven energia ei riipu niistä teistä, joita pitkin varaukset tuodaan paikoilleen. Täten kokoamistyö voidaan yksikäsitteisesti määritellä järjestelmän energiaksi. Tuodaan ensin varaus q\ paikkaan ri tyhjässä avaruudessa. Silloin ei tehdä työtä mitään sähkökenttää vastaan. Potentiaali (f) on tämän jälkeen 0«(r) = - ^ - r ^ — r 47re 0 | r -

(5.1)

ri|

Potentiaalia (5.1) vastaavassa kentässä tuodaan nyt varaus g2 paikkaan r 2 . Kaavan (2.28) mukaan tähän tarvittava työ W ^ on

4ne0 |r! - r 2 | Tämän jälkeen potentiaali on <^(r)

=

—~—f +

1—~—F

47re0 |r — r i |

(5-3)

47re0 |r — r 2 |

Varaus g3 tuodaan sitten paikkaan r 3 . Tähän tarvittava työ on = ^(2)(r3) = T ^ T - ^ — i + ^ r 1 - 7 47re0|ri-r3| 47re0|r2-r3|

(5-4)

Jatketaan tätä menetelmää. Olkoot j kappaletta varauksia q \ , . . . ,qj paikoillaan r i , . . . , Tj. Näiden varausten potentiaali on

=

(5.5)

Tuodaan nyt varaus qj + i paikkaan r3-+1. Tähän tarvittava työ on

= «, + 1 *M(r J + 1 ) = J - ±

j-Mtti-f

(5.6)

Jos kootaan n kappaletta pistevarauksia qi paikkoihin ri, i — 1 , . . . ,n yllä esitetyllä tavalla, varausparven kokoamistyö W on

w

=

U

y

w

u ) = y j>i

1

m. ^—

(5.7) r

5.1. KENTÄN

ENERGIA

TYHJIÖSSÄ

73

eli kaikkien parien (qi, qj) vuorovaikutusenergioiden summa. Lauseke (5.7) voidaan edelleen kirjoittaa muotoihin i n i l p 1 'Mj

E 47re i^j

2 ^

0

.1 . n

n

v-

V-

1=1

jfa

= 2ö^E ^^ E 1

r j - TJ\ J

<

^

1 Qj AneolTi-Tjl J

n

= 2

(5-8)

i=i missä 0(i)(r) on kaikkien muiden kuin varauksen q.t aiheuttama potentiaali. Yleistämme nyt edellä esitetyt tulokset siihen tapaukseen, että pistevarausparvi korvataan jatkuvalla varausjakaumalla p. Silloin saamme

missä <^»(r) on varausjakauman p(r) aiheuttama kokonaispotentiaali. Kaavan (5.8) viimeisestä summasta tulee vastaavasti W = \ J d?r p{r)cf)(r) | ± J

J d* r ' ^ ^

(5.10)

On huomattava, että ehdolla i ^ j summissa (5.8) ei ole vastinetta integraaleissa (5.10). Ehtoa % ^ j vastaisi ehto r ^ r' jälkimmäisessä integraalissa (5.10), mutta tämä ehto ei vaikuta integraalin arvoon, kun p(r) on r:n jatkuva funktio. Tämä liittyy siihen jo aiemmin todettuun seikkaan, että jatkuvan varaustiheyden tapauksessa E-kenttä on säännöllinen myös alueessa, missä p / 0; pistevarausten singulariteetit poistuvat kentästä E, kun pistevaraukset korvataan jatkuvalla jakaumalla p(r). Olemme yllä olettaneet, että varausjakauma p kuvaa vapaita varauksia; avaruudessa ei ole eristeainetta eikä johdekappaleita. Gaussin laki pätee silloin yksinkertaisessa muodossa (2.18), V • E = —p

(5.11)

Sijoittamalla tämä ensimmäiseen integraaliin (5.10) saadaan W=1-e0

d 3 r0(r)V-E(r) = - e 0 J d3r {V • [^(r)E(r)] + E 2 (r)} (5.12)

74

LUKU 5. ENERGIAN

JA VOIMAN

KENTTAKUVAUS

missä olemme käyttäneet tuttua kaavaa (2.25), E(r) = - V 0 ( r )

(5.13)

Olemme olettaneet, että p(r) on lokalisoitunut eli paikallinen jakauma, ts. että tiheys p(r) poikkeaa nollasta vain äärellisessä alueessa. Silloin potentiaali cf>(r) käyttäytyy asymptoottisesti kuten r~~l ja kenttä E kuten r~2. Tällöin divergenssilause pätee ja saamme lim [ J|r|
d3r V • (0E) = limR [

dfl R2(p(r)Er{r)

=0

(5.14)

^°°J\r\=R

sillä pintaintegraali on kertalukua i ? - 1 suurilla R\n arvoilla. Käyttämällä tulosta (5.14) integraalissa (5.12) saadaan W = ^e0 J d3r E 2 (r)

(5.15)

mikä on varausjakauman kokonaisenergia kentän E avulla lausuttuna. On siis kaksi vaihtoehtoista esitysmuotoa varausjakauman määrittelemän järjestelmän energialle. Kaavassa (5.10) energia lausutaan lähdetermien avulla, kun taas"kaavassa (5.15) sama energia lausutaan yksinomaan kentän E avulla. Voiko kokeellisesti ratkaista, sijaitseeko energia lähteissä vai kentässä? Ei. Kyseessä on vain kaksi tapaa nähdä sama asia. Yksinkertainen mekaaninen jousi-massajärjestelmä tarjoaa analogian. Sijaitseeko potentiaalienergia venytetyssä jousessa vai massan paikassa? Fenomenologisesti, makroskooppisesti ajatellen asiaa ei voi ratkaista. Massan paikka vastaa kentän lähteitä, jousi itse kenttää. Siitä huolimatta, että sähköistä energiaa ei voi paikallistaa, W:n integroitavaa käsitellään energiatiheytenä w s (r); yhtälön (5.13) mukaan se on tyhjiössä (ja mikroskooppisesti) w s ( r) = ^e 0 E 2 (r)

(5.16)

Energiatiheyden ws alaindeksi s viittaa sähkökenttään; myöhemmin johdamme vastaavanlaisen magneettisen energiatiheyden wm. Yhtälön (5.15) määrittelemä kokonaisenergia on selvästi ei-negatiivinen. Tämä on ensi silmäyksellä yllättävää; voihan esimerkiksi kahden erimerkkisen pistemäisen varauksen vuorovaikutusenergia olla negatiivinen, kuten kaavasta (5.2) ilmenee, kun q\ > 0 ja q2 < 0. Asia selittyy, kun otetaan

5.2. ENERGIATIHEYS

VÄLIAINEESSA

75

huomioon pistemäisten varausten aiheuttaman kentän E singulaarisuudet lähdepisteissä, 47reo jr — ri| 3

47reoir-r 2 | 3

Jos kaavan (5.17) määrittelemä kenttä E sijoitetaan kaavaan (5.15), saadaan W:lie integraali, joka divergoi pisteissä ri ja r 2 . Jos nämä divergoivat osat (itseisenergiat) jätetään pois, jäljelle jäävästä äärellisestä integraalista saadaan juuri oikea tulos (5.2). Kaava (5.15) pätee oikein tulkittuna myös pistevarausten aiheuttamaan kenttään, vaikka tulos (5.15) onkin johdettu vain riittävän säännöllisten varausjakaumien ja kenttien tapauksessa. Jos lähtökohdaksi otetaan jatkuva varaustiheys p(r), kentän kokonaisenergian lauseke (5.10) voidaan johtaa suoraan käyttämällä variaatiolaskennan käsitteitä. Olkoon annetun varaustiheyden aiheuttama potentiaali 4>(T). Varioidaan varaustiheyttä: p —y p-{-5p. Tähän tarvittava energia on 5W = J d3r
(5.18)

analogisesti kaavan (2.28) kanssa. Mutta potentiaali
[ d V / ^ 1 AneoJ |r — r'|

(5.19)

Siten variaatio 5 integraalissa (5.18) voidaan viedä integraalin ulkopuolelle, ÖW = S^J

d3r(r)p(r)

(5.20)

joten W = \ J d 3 r0(r)p(r)

(5.21)

koska p = 0 vastaa energiaa W = 0. Tämä on juuri aiemmin toisella tavalla johdettu tulos (5.10).

5.2

Energiatiheys väliaineessa

Olkoon meillä tietty varausten ja aineen muodostama järjestelmä, siis annettu varaustiheys p eristeessä, ja siinä kentät E ja D. Lisäämme lähde-

76

LUKU 5. ENERGIAN

JA VOIMAN

KENTTAKUVAUS

alueeseen infinitesimaalisen määrän vapaata varausta, ts. suoritamme variaation p(r) p{r) + 5p(r) (5.22) Voimme ajatella, että variaatio 6p(r) on paikallinen, ts. nollasta poikkeava vain tietyn pisteen pienessä ympäristössä. Oletamme että, järjestelmä on mekaanisesti jäykkä, joten mekaanista työtä ei tehdä varausta lisättäessä. Lisäystä vastaava työ 6W on silloin juuri kaavan (5.18) antama, 5W = J d3r(f>(r)5p(r)

(5.23)

V • D(r) = p(r)

(5.24)

V • 5D(r) = 5p(r)

(5.25)

ÖW = J d 3 r^(r)V-5D(r)

(5.26)

Nyt on [vrt. yht. (4.13)] joten eli

Edelleen toteamme, että V • (<MD) - 0V • 5D + (V) • SD = (/.V • 5D - E • SD

(5.27)

Käyttämällä kaavaa (5.27) ja divergenssilausetta integraalissa (5.26) saamme 5W = J d3rE(r)-«5D(r)

(5.28)

sillä paikallisuuden perusteella pintaintegraali häviää, lim

/

9V—>co IdV

d2a4>5Dn = 0

(5.29)

Kaava (5.28) pätee yleisesti riippumatta E:n ja D:n välisestä rakenneyhtälöstä. Oletamme nyt, että eriste on lineaarinen ja isotrooppinen yhtälön (4.16) mukaan, D(r) = e(r)E(r) (5.30) Aineen ja tyhjiön väliset reunaefektit otetaan huomioon, kun e saa riippua r:stä. Kaavan (5.30) perusteella on E(r) • 5D(r) = ^e(r)<5E2(r)

(5.31)

5.2. ENERGIATIHEYS

77

VÄLIAINEESSA

joten f d3r e(r)E 2 (r) = 5 i f d3r E(r) • D(r)

SW =

(5.32)

eli, samoin perustein kuin kaavan (5.21) yhteydessä, W = ^ j d3re(r)E2(r) Yksinkertaiseen

=

d3rE(r)

• D(r)

(5.33)

eristeeseen liittyvä energiatiheys on siis «<s- = ^ E ( r ) • D(r)

(5.34)

Yleinen lineaarinen tapaus on yhtälön (4.17) mukaan 3

A ( r ) = J ] | ( r ) ^ ( r) 3=1

(5.35) I

joten kaavan (5.28) perusteella S W

= E f dhe^E^ÖE^r) ij

(5.36)

Kysymys siitä, onko olemassa funktionaalia W, jonka ensimmäinen variaatio E:n suhteen on juuri lauseke (5.36), on mutkikkaampi kuin yksinkertaisessa tapauksessa (5.30). Muodollisesti asia ratkaistaan helpoimmin ottamalla käyttöön funktionaaliderivaatan käsite. Olkoon F(r; ip) funktiosta (p riippuva funktionaali. Jos F:n variaatio
(5.37)

lauseke G(r, r';
Voimme kirjoittaa Ei(r) = E /

d3r

'^S3(r

- r')Ek(r')

(5.39)

LUKU 5. ENERGIAN

78

JA VOIMAN

KENTTAKUVAUS

joten = W ( r - n

siis

(5.40)

Jos on olemassa funktionaali W, jonka variaatio on lauseke (5.36), on _

SW

/ N^ / X

=

^ey{r)£i(r)

/ X

(5.41)

Välttämätön ehto sille, että funktionaali W on olemassa, on että W:n funktionaaliderivaatta (5.41) toteuttaa symmetriaehdon

6

5W

6

SE^SEjir)

ÖW

ÖEj(r) ÖEk(r')

.

.

(5.42)

Integroituvuusehto (5.42) on täysin analoginen vektorianalyysistä tunnetun integroituvuusehdon kanssa: välttämätön ehto sille, että vektorikenttä U on skalaarifunktion ip gradientti, Uk = dkip, on integroituvuusehto djUk — dkUj. Käyttämällä kaavaa (5.40) saadaan yhtälöstä (5.41) 5

SEk(r')

SEj(r)

=ekj(r)ö\r-r')

(5.43)

Lauseke (5.43) toteuttaa symmetriaehdon (5.42) vain jos permittiivisyystensori e^ on symmetrinen, € ii (r) =

€ j i (r)

(5.44)

Jos symmetriaehto (5.44) on voimassa, on ÖW

=5

f dhe^E^E^r)

(5.45)

i] eli d3reij(r)Ei(r)Ej(r)

= ^ [ d3rE(r)-D(r)

(5.46)

Kaava (5.34) pätee siis myös yleisessä lineaarisessa ja symmetrisessä tapauksessa. Epälineaarisessa tapauksessa, tai jos permittiivisyystensori ei ole symmetrinen, tulos (5.46) ei päde. Kenttäkonfiguraation energia, joka saattaa riippua kentän historiasta, on silloin laskettava kaavasta (5.28).

5.3. MAXWELLIN

5.3

JANNITYSTENSORI

79

Maxwellin jännitystensori

Coulombin laki on varausten välisen voiman välitön kuvaus. Voimien ekvivalentti kenttäkuvaus tapahtuu ns. Maxwellin jännitystensorin avulla, kuten seuraavassa osoitetaan. Jännitystensori sinänsä on olennaisesti mekaaninen käsite eikä rajoitu sähkömagneettisten voimien kuvaamiseen. Oletamme yksinkertaisuuden vuoksi, että avaruudessa on tietty varausjakauma mutta ei muuta ainetta (eristeitä tai johteita). Tarkastelemme niitä sähköstaattisia voimia, jotka kohdistuvat äärellisessä alueessa V oleviin sähkövarauksiin (kuva 5.1).

Kuva 5.1: Staattisessa kentässä E sijaitseva alue V, jonka sisällä on annettu varaustiheys p. Olkoon avaruudessa staattinen sähkökenttä E(r). Silloin alueen V mielivaltaiseen tilavuusalkioon dV vaikuttaa sähköstaattinen voima dF(r) = d 3 rp(r)E(r)

(5.47)

Alueeseen V kohdistuva kokonaisvoima F saadaan integroimalla lauseke (5.47) F:n yli, F = [ d3r p(r)E(r) Jv

(5.48)

Osoitamme nyt, että alueeseen V kohdistuva voima voidaan korvata ekvivalentilla pintavoimalla F ^ , joka vaikuttaa alueen pinnalla dV. Yhtälön (5.48) integroitava on voimatiheys f(r) (voima tilavuusyksikköä kohti), f(r) = p(r)E(r) = e0[V • E(r)]E(r) (5.49)

LUKU 5. ENERGIAN

80

JA VOIMAN

KENTTAKUVAUS

missä olemme käyttäneet Gaussin lakia (2.18). Tarkoitus on nyt muokata lauseke (5.49) sellaiseen muotoon, että tilavuusintegraalista (5.48) saadaan pintaintegraali dV:n yli. Käytämme suorakulmaisia koordinaatteja r=

(xux2,x3)

(5.50)

joten (5.51)

K

dxi' dx2' dxs

Kaikkien vektorien komponentit merkitään samaan tapaan, esimerkiksi E = (E1,E2,E3)

(5.52)

Kentän E pyörteettömyys, V x E = 0, antaa komponenttiyhtälöt dxE2 - Ö2El = 0 ,

d2E3 - d3E2 = 0 ,

d3E\ - diE3 = 0

(5.53)

Tarkastelemme nyt tilavuusvoiman (5.49) ensimmäistä komponenttia

h = eo [(d^E, eo -dx(El)

+ (d2E2)E\ + (<93£3)£i] + d2(E2El)

+ d3(£3£i)

~ E2d2E\ - E3d3EX (5.54)

Pyörteettömyysehtojen (5.53) avulla saadaan kaavan (5.54) viimeiset termit muotoon E2d2Ex + E3d3Ex = i (d^l

+ d^l)

(5.55)

joten kaavasta (5.54) seuraa, että f i = e0 d1 ( El - ^E2 ) + d2{E2E1) + d3(E3E1/

(5.56)

Permutoimalla indeksit (123) syklisesti (1 —> 2, 2 —3, 3 —>• 1) saadaan f2 = eo d^E^)

+ Ö2 ( E2 - - E 2 ) +

h = e0 d^E.Es)

+ d2(E2E1) + ö 3 ( Ej - - E 2

d3(E3E2)

(5.57)

(5.58)

5.3. MAXWELLIN

JANNITYSTENSORI

81

Kaavojen (5.56)-(5.58) avulla saadaan tilavuusintegraali (5.48) korvatuksi pintaintegraalilla. Tähän tarvitaan seuraava apulause (n on pinnan 8V ulkonormaali): f d3vdiW= [ d2aniW (5.59) 'v 'av Kaava (5.59) on olennaisesti sama kuin divergenssilause (ks. liitettä B), paitsi että funktio W voi olla mielivaltainen (tarpeeksi säännöllinen) skalaarifunktio tai esimerkiksi vektorikentän komponentti. Integroimalla lausekkeen (5.48) ensimmäinen komponentti käyttäen tulosta (5.56) ja apulausetta (5.59) saadaan F, = f d3r /i(r) Jv IV e0 / d2o J av

ni

( El - - E 2 ) + n2E2El

+ n3E3Ei

(5.60)

Komponentit F2 ja F3 voidaan vastaavasti kaavojen (5.57) ja (5.58) avulla lausua pintaintegraaleina. Yhdistämällä tulokset ja palaamalla vektorimerkintään saadaan d2a je 0 [n(r) • E(r)]E(r) - ^ 0 n ( r ) E 2 ( r ) J := F<»>

F =

(5.61)

i av eli kaavan (5.48) mukainen kokonaisvoima F on lausuttu pintavoimana p(p)_ Pintavoiman F ^ pintatiheyttä merkitään f ^ : l l ä , d2o&]

:= F (p)

(5.62)

'av Kaavan (5.61) mukaan on e

oEi(r)Ej(r) - -e 0 %E 2 (r)

Lauseke (5.63) sisältää Maxwellin jännitystensorin

(5.63)

T^, joka on

Tij(r) := €oEi(r)Ej(r) - ^ 0 % E 2 ( r )

(5.64)

Voimatiheys f(r) mielivaltaisessa pisteessä r on juuri kaavan (5.64) määrittelemän tensorin T^-fr) divergenssi, ts. Mr)=J2djTij(r)

(5.65)

LUKU 5. ENERGIAN

82

JA VOIMAN

KENTTAKUVAUS

kuten kaavoista (5.56)—(5.58) suoraan ilmenee. Yllä olemme osoittaneet, että alueeseen V vaikuttava kokonaisvoima F voidaan korvata alueen pintaan dV vaikuttavalla pintavoimalla F(p). Tämä ei vielä takaa, että voimat ovat ekvivalentteja; tähän vaaditaan, että myös voimien momentit (mielivaltaisen pisteen suhteen) ovat yhtä suuret. Alueen V tilavuusalkioon dV kohdistuu vääntömomentti dN (mielivaltaisen origon suhteen), joka on kaavojen (5.47) ja (5.49) mukaan dN(r) = r x dF(r) = d3rr x f(r)

(5.66)

Kokonaisvääntömomentti N on siis N — f d3rrxf(r) Jv

(5.67)

Palaamme taas komponenttiesitykseen, (r x f), = ^ eijk%jfk jk

(5-68)

missä 6ijk on pernmtointisymboli. Lausumalla voimatiheys f jännitystensorin avulla kaavan (5.65) mukaisesti saadaan (r

X f

e

i3k%ATkl

(5-69)

XjdiTki = J 2 d i ( x i T u ) ' i i

(5-70)

)i = jki

Toteamme, että

Kaavojen (5.68)-(5.70) avulla saadaan Ni

= J2 jki

f d h d ^ k X j T u ) - J 2 f d3remTkl Jv jk J v

(5.71)

Viimeinen termi häviää identtisesti, sillä permutaatiosymboli e ljk on täysin antisymmetrinen ja jännitystensori T^ taas on symmetrinen määritelmän (5.64) mukaan. Käyttämällä apulausetta (5.59) ensimmäisessä integraalissa (5.71) saadaan d2aeijkx:jTkini

Ni = J2 jki

JdV

(5.72)

5.3. MAXWELLIN

83

JANNITYSTENSORI

Pintavoiman F(p) tiheys f ^ on kaavojen (5.63) ja (5.64) mukaan (5-73)

./f l Palaamalla vektorimerkintään saadaan siten kaavasta (5.72) N=

[ d2o r x f w ( r ) JdV

(5.74)

eli pintavoimien vääntömomentti on sama kuin tilavuusvoimien antama tulos (5.67). Tilavuusvoima F on siis täysin ekvivalentti pintavoiman F^) kanssa. Olemme täten päätyneet voimien ekvivalenttiin kenttäkuvaukseen Maxwellin jännitystensorin (5.64) avulla. Tarkastelemme vielä pintavoimatiheyden on vektorimuotoisena

lauseketta (5.63), joka

f ^ ( r ) = e0[n(r) • E(r)]E(r) - ^ 0 E 2 ( r ) n ( r )

(5.75)

Pintavoimatiheys (5.75) määrittelee siis pisteessä,r sijaitsevaan pintaalkioon d2a kohdistuvan voiman (kuva 5.2). Pintavoimatiheyden ensimmäinen termi kaavassa (5.75) on kentän E suuntainen ja voidaan tulkinta jännitykseksi, kun taas jälkimmäinen termi on kohtisuorassa pintaa vastaan ja voidaan tulkita paineeksi. Lausekkeesta (5.75) seuraa edelleen suoraan, että |fW(r)| = : e 0 E 2 (r)

(5.76)

joten E(r)

• w m

= E ( r )

'

n ( r )

(5

-77)

eli E puolittaa n:n ja f ^ : n välisen kulman, koska vektorit ovat samassa tasossa. Laskemme vielä näytteeksi pistevarausten +q ja —q välisen voiman jännitystensorin avulla. Olkoon etäisyys varauksien välillä 2d pitkin koordinaatiston 1-akselia. Sijoitamme laatikkomaisen pinnan +q:n ympärille kuvan 5.3 osoittamalla tavalla. Laatikon etuseinällä kenttä on normaalin n suuntainen, ja siis f ^ on myös näiden suuntainen. Laatikon muut seinät viedään äärettömyyteen, jolloin niiden vaikutus pintaintegraaliin (5.61) häviää. Etuseinällä (xi = 0) on pintavoimatiheys kaavan (5.75) mukaisesti f(p) (0,x2,xz)

= ^e0E2{0,x2,x3)e1

(5.78)

LUKU 5. ENERGIAN

84

JA VOIMAN

KENTTAKUVAUS

Kuva 5.2: Sähkökenttä puolittaa normaalin n ja pintavoimatiheyden välisen kulman.

Kuva 5.3: Laatikkomainen pinta varauksen +q ympärillä. missä E(

0,x2,x3)

qd 27re0 (d2 + p 2 ) 3 / 2

2 _

2

2

(5.79)

Varaukseen kohdistuva voima F on siis ^x-akselin suuntainen ja kaavojen (5.61), (5.78) ja (5.79) mukaan suuruudeltaan (d?a = pdpdip)

--(—v Jr

F = 2 \27reo/

0

"27T dpp

/0

1 d(f- 2 " (d + p 2 ) 3

(5.80)

Kun integraali (5.80) suoritetaan (harjoitustehtävä), saadaan F

=

_ i m 2 47ren V2d/

(5.81)

joka tietenkin on sama tulos, joka saadaan suoraan Coulombin laista [vrt. yht. (2.38)]. Palaamme vielä Maxwellin jännitystensorin lausekkeeseen (5.64). Ten-

5.3. MAXWELLIN sorin

85

JANNITYSTENSORI

komponentit muodostavat symmetrisen neliömatriisin,

(

E'l — |E2 E2E1

E\E2 E - |E2

E1E3 E2Es 2

2

\ (5.82)

E3Ei E3E2 El — ^E 2 ) Koska tensorin T^(r) muodostama matriisi on symmetrinen, se voidaan diagonalisoida. Mitään muodollista pääakselimuunnosta ei tähän tarvita. Valitaan yksinkertaisesti tarkasteltavassa pisteessä r koordinaatisto siten, että 1-akseli on kentän E suuntainen. Silloin saadaan heti matriisin (5.82) diagonaalimuoto, 1 T diag (r) = -e 0 E 2 (r) 2

(0 - 1 1

V0

0

0

0

0 -1 /

\

(5.83)

On huomattava, että jännitystensorin ominaisarvot kaavan (5.83) mukaan ovat (u)s, —ws, —ws), missä ws kaavan (5.16) määrittelemä energiatiheys pisteessä r. Analogisesti eristeessä pätevän energiatiheyden kanssa voisi ajatella, että jännitystensori yksinkertaisessa lineaarisessa eristeessä on jy.

= E

.D. _ löijE • D

(5.84)

sillä lauseke (5.84) on jännitystensorin (5.64) suora yleistys, joka rajalla e .—» e0 palautuu lausekkeeseen (5.64). Lauseke (5.84) on kuitenkin vain likimääräisesti yksinkertaisen eristeen jännitystensori (ks. esim. PanofskyPhillips [3] s. 117). Näin ollen voidaan asettaa myös yksinkertaisen eristeen energiatiheyden lauseke (5.35) kyseenalaiseksi. Tulos onkin johdettu olettamalla, että eristejärjestelmä on mekaanisesti jäykkä, mikä sinänsä on approksimaatio.

86

LUKU 5. ENERGIAN

•

•

JA VOIMAN

KENTTAKUVAUS

Luku 6 Magnetostatiikka Tähän saakka olemme tarkastelleet staattisia (liikkumattomia) varauksia ja niiden synnyttämiä kenttiä. Magnetostatiikassa käsitellään magneettisia ilmiöitä käyttäen käsitteitä, jotka monessa suhteessa muistuttavat sähköstatiikan käsitteitä. Kuitenkin on olemassa olennainen ero magnetostatiikan ja sähköstatiikan välillä: ei ole olemassa magneettisia alkeisvarauksia, jotka vastaisivat sähköstatiikan alkeisvarauksia. Sen sijaan magneettiset ilmiöt liittyvät liikkuviin varauksiin. Ensimmäiset systemaattiset havainnot, jotka viittasivat tähän, ovat peräisin 0rstediltä (Hans Christian 0rsted 1777-1851). Hän havaitsi, että virtapiiri voi synnyttää ympärilleen magneettikentän, joka vaikuttaa esim. kompassineulaan. Tämä oli ensimmäinen askel kohti sähkön ja magnetismin yhtenäisteoriaa, joka on juuri Maxwellin teoria. Perehdymme seuraavassa ns. stationaaristen virtojen synnyttämiin magneettikenttiin. Magnetostatiikka käsittelee olennaisesti juuri tällaisia kenttiä.

6.1

Varauksen säilyminen j a j a t k u v u u s y h t ä l ö

Olkoon avaruudessa tietty jakauma vapaita varauksia, jotka voivat liikkua tietyillä nopeuksilla. Tällöin varaustiheys p on sekä paikan r että ajan t funktio, p = p(r, t)

(6.1)

LUKU 6. MA GNE TO ST A TUKKA

88

Koska varaukset voivat liikkua tietyillä nopeuksilla, varaustiheyden jokaiseen pisteeseen r liitetään nopeuskenttä v = v(r, t)

(6.2)

joka ilmoittaa pisteessä r olevan varausalkion nopeuden hetkellä t. Tarkastelemme nyt pientä tilavuusalkiota AV", joka yksinkertaisuuden vuoksi valitaan laatikkomaiseksi (kuva 6.1). Oletamme, että laatikko liikkuu sähkövarauksien mukana. Se laajenee tai supistuu ja muuttaa muotoaan koko ajan siten, että sen sisällä on muuttumaton kokonaisvaraus. Kokonaisvarauksen säilyminen on perusluonteinen säilymislaki: varauksia ei voi luoda eikä hävittää mielivaltaisella tavalla. Kokonaisvarauksen säilymisestä seuraa yhtälö, ns. jatkuvuusyhtälö, joka sitoo suureet (6.1) ja (6.2) toisiinsa. Johdamme tämän yhtälön alkeellisesti, pitämällä laatikkoa "pienenä", joten riittää ottaa huomioon vain ensimmäistä kertalukua olevat pienet suureet laskettaessa laatikon muodonmuutoksia.

Kuva 6.1: Laatikkomainen tilavuusalkio AV, joka liikkuu sähkövarauksien mukana. Olkoon laatikon takaseinän nopeus x-suunnassa vx(x,y, z,t). etuseinän vastaava nopeus on vx{x + Ax, y, z, t) eli övx (x y z t) vx(x + Ax, y, z, t) = vx(x, y, z, t) + Ax— ^ '

Silloin

(6.3)

Laatikon laajenemisnopeus x-suunnassa on siis d a a dvx(x,y,z,t) —Ax = Ax xK ' ' 6.4 at dx Vastaavat kaavat pätevät y- ja ^-suuntien laajenemisnopeuksiin. Näin saadaan laatikon tilavuuden AV laajenemisnopeudeksi d at. dj / a a a = —(AxAyAz) ItAV

x

(dv dv dv \ = I ^ x + ^ v + ^ z)

A AxAyAz

. (6.5)

6.1. VARAUKSEN

SÄILYMINEN

JA

JATKUVUUSYHTALO

89

eli —AV = (V • v)AV HL

(6.6)

Ensimmäinen kertaluvun tarkkuudella laatikon sisällä oleva kokonaisvaraus QAV on =

QAV

(6.7)

PAV

Mutta kokonaisvarauksen säilyminen tarkoittaa, että QAV on vakio, ts. JtQ*v = 0

(6.8)

Nyt on d . JtPl>

, =

dp dx fa dt

+

dp dy ~dy~dt

+

dp dz dz~dt

+

dp dt

= v • Vp + ~

(6.9)

Derivoimalla kaava (6.7) ja yhdistämällä tulokset (6.6) ja (6.9) saadaan

iQAv

v-Vp+(V-v)p+^

Ay

(6.10)

Koska AV on mielivaltainen, yhtälöstä (6.8) seuraa, että V-(pv) + ^

= 0

(6.11)

Tämä on jatkuvuusyhtälö. Se on välitön seuraus kokonaisvarauksen säilymisestä. On huomattava, että yhtälön (6.11) aikaderivaatta d/dt on osittaisderivaatta, joka ilmoittaa varaustiheyden muuttumisnopeuden kiinteässä paikassa r. Varaustiheyden kokonaisderivaatta ajan suhteen on nimenomaan yhtälön (6.9) oikea puoli, jota sanotaan konvektiiviseksi derivaataksi. Tarkastelemme nyt kiinteää aluetta V, jonka reunapintaa merkitään 9V:llä. Kysymme, mikä on pinnan dV läpi aikayksikössä virtaava varausmäärä. Tarkastelemme pinta-alkiota dS pinnassa dV, jonka ulkonormaalia merkitään n:llä (kuva 6.2). Aikana At virtaa tietty varausmäärä AQ pinta-alkion dS läpi. Määrä on sama kuin kuvaan piirretyn sylinterimäisen alueen sisällä oleva kokonaisvaraus eli (ensimmäisen kertaluvun tarkkuudella) AQ = p(r, t)dS n(r) • v(r, t)At (6.12)

LUKU 6. MA GNE TO ST A TUKKA

90

Rajalla At —> 0 saadaan koko pinnan dV läpi ulospäin meneväksi nettovirraksi jtQ = J

dSp{T,t)v(T,t) • n(r)

(6.13)

Vektorisuure pv on virrantiheys, jota seuraavassa merkitään j:llä, j(r,i) : = p ( r , i ) v ( r , i )

(6.14)

Virrantiheyden avullaTausuttuna jatkuvuusyhtälö (6.11) on V.j(r,i)

+

^ M = 0

(6.15)

Integroimme nyt jatkuvuusyhtälön (6.15) kiinteän alueen V yli, J^ d3r V • j(r,i) +

= 0

(6.16)

Koska V on kiinteä, aikaderivaatta voidaan siirtää toisen integraalin ulkopuolelle. Divergenssilauseen avulla ensimmäinen integraali voidaan lausua pintaintegraalina. Yhtälöstä (6.16) saadaan silloin [ d S n ( r ) . j ( r , *) = - - £ f d3r p(v,t) at Jdv Jv

(6.17)

Kaavan (6.17) sisältö on se, että alueessa V olevan kokonaisvarauksen vähenemisnopeus on sama kuin alueen reunapinnan dV läpi ulospäin menevä nettovirta, mikä tarkoittaa juuri kokonaisvarauksen säilymistä. Päättelyjärjestys voidaan kääntää. Koska V on mielivaltainen kiinteä alue, yhtälö (6.17) lausuu varauksen säilymislain. Divergenssilauseen avulla siitä päästään yhtälön (6.16) kautta jatkuvuusyhtälöön (6.15).

6.1. VARAUKSEN

SÄILYMINEN

JA

JATKUVUUSYHTALO

91

Virrantiheyden lauseke (6.14) pätee myös pistemäisiin varauksiin. Jos on yksi tällainen varaus qi, jonka nopeus on Vj, meillä on [vrt. yht. (2.19)] j ( r , t ) = g l v i <5 3 (r-r J )

(6.18)

Pistevarausparven virrantiheys on vastaavasti j(r,t) = ^ f t v l ( 5 3 ( r - r i ) i

(6.19)

Stationaarisella virtauksella tarkoitetaan erikoistapausta, jossa mielivaltaisen kiinteän tilavuusalkion sisältämä kokonaisvaraus on vakio, ts.

^

=o

(6.20)

Jatkuvuusyhtälöstä (6.15) seuraa silloin, että stationaarinen virrantiheys j on lähteetön, V-j(r,t) = 0 (6.21) Lähteettömyysehdosta (6.21) seuraa, että stationaarisen virrantiheyden kenttäviivat ovat umpinaisia käyriä. Tarkastelemme nyt tällaisten kenttäviivojen kimppua eli kenttäputkea, joka saadaan, kun annetun umpinaisen käyrän joka pisteen kautta asetetaan kenttäviiva (kuva 6.3). Olkoon kenttäputken tietyn kohdan poikkileikkauspinta Ai ja vastaavasti toisen kohdan pinta Näiden ei tarvitse olla tasopintoja; merkitään pinnan Ai normaalia pinnan joka pisteessä rijdlä (i = 1,2). Pintojen Ai ja A2 kuvan osoittamalla tavalla rajoittamaa kenttäputken aluetta merkitään V^lla. Laskemme virrantiheysvektorin vuon pintojen Ai (i = 1,2) läpi. Koska kenttäputken normaali putken seinämällä on kohtisuorassa virrantiheysvektoria vastaan, saadaan divergenssilauseen ja lähteettömyysehdon (6.21) avulla (kuva 6.3) [ JA2

dS n 2 - j - /

jAI

dS ni-i

= f d3 r V - j = 0 JV12

(6.22)

Stationaarisen virrantiheyden vuo eli virta /=

[A dS n - j

(6.23)

on siis vakio kenttäputkessa. Olemme puhuneet kenttäputkesta abstraktina konstruktiona; käsitteen fysikaalinen realisaatio on (metallinen) johdinlanka. Johtimessa kulkeva tasainen virta vastaa stationaarista virrantiheyttä.

LUKU 6. MA GNE TO ST A TUKKA

92

Kuva 6.3: Stationaarisen virrantiheyden kenttäputki.

6.2 6.2.1

A m p e r e n laki M a g n e e t t i v u o n tiheys j a vektoripotentiaali

Coulombin lain vastine magnetostatiikassa on Amperen laki (Andre Marie Ampere, 1775-1836), j"oka määrittelee sen sähkömagneettisen voiman, joka vaikuttaa kahden levossa olevan virtasilmukan välillä tyhjiössä, kun silmukoissa kulkevat tietyt vakiovirrat. Tarkastelemme ensin infinitesimaalisen ohuita silmukoita, sulkeutuvia käyriä avaruudessa. Oletamme, että ne ovat säännöllisiä eli että niillä on jatkuva tangentti käyrän joka pisteessä. Oletamme myös, ettei silmukoilla ole yhteisiä pisteitä ja että ne ovat redusoituvia. Redusoituvuus tarkoittaa, että silmukat voidaan supistaa pisteiksi ilman että ne kohtaavat toisiaan. Muutoin ei tehdä erityisiä oletuksia silmukoiden muodon tai sijainnin suhteen. Tarkastelemme siis kahta silmukkaa C\ ja C2, joissa kulkevat virrat I\ ja J 2 (kuva 6.4). Silmukoiden tangenttidifferentiaaleja merkitään suureilla dli ja dl2. Amperen lain mukaan silmukka C\ vaikuttaa silmukkaan C2 voimalla

Verrannollisuuskerroin kaavassa (6.24) on käytettyihin yksikköihin liittyvä vakio, joka määritellään tuonnempana. Tarkastelemme ensin kahden johdinsilmukan ääritapauksena kahta äärettömän pitkää samansuuntaista johdinta, jotka ovat etäisyydellä L

6.2. AMPEREN

LAKI

93

O Kuva 6.4: Kaksi silmukkaa C\ ja £ 2 , joissa kulkevat tietynsuuntaiset väki ovirr at Ii ja / 2 . toisistaan (kuva 6.5) ja kuljettavat vastakkaissuuntaisia virtoja Ii ja / 2 . Kaavasta (6.24) saadaan

Johtimen Ci johtimeen £ 2 kohdistama voima pituusyksikköä kohti on siis d~Fu ~df

= e Z

uo ^I

f l h L

J

dx +

3/2

^

Koska £ i on äärettömän pitkä, integraali (6.26) on riippumaton £:stä ja arvoltaan 2L~ 2 , joten dFn Ho hh =

(6

7)

Sähkövirran yksikkö ampeeri (A) on Sl-järjestelmän perusyksikkö. Se määritellään kaavan (6.27) perusteella. Jos Ii = / 2 = 1 A ja etäisyys L on 1 m, on voima pituusyksikköä kohti suuruudeltaan tasan 2 • 10~7 N/m. Tämän määritelmän mukaan on siis £ = lO" 7 £ 2 4?r A Vakiota /io kutsutaan magneettivakioksi tai tyhjiön

v(6.28)

'

permeabiliteetiksi.

LUKU 6. MA GNE TO ST A TUKKA

94

Kuva 6.5: Kaksi samansuuntaista johdinta, joiden välinen kohtisuora etäisyys on L. On huomattava, että varauksen yksikkö coulombi (C) on johdettu yksikkö: C = As. Tämä tarkoittaa sitä, että Coulombin lain sisältämä verrannollisuuskerroin (47reo)_1 ei ole sopimuksenomaisesti kiinnitetty suuruudeltaan, vaan mittausten avulla määritetty. Kaavan (2.2) antama likimääräinen arvo on 47ren

8,988

10"

"

c2 Nm 2

(6.29)

Kertomalla kaavojen (6.28) ja (6.29) käänteisarvot saadaan 2,998 • 108

\ 2 s /

m

(6.30)

eli valon nopeuden c « 2,9979 • 108 m/s neliön likiarvo. 1970-luvulla tehtyjen mittausten tuloksena valon nopeuden kokeellinen arvo on km c = (299793,0 ± 0,3) —

(6.31)

Yhtälöissä (6.30) ja (6.31) esiintyvien lukuarvojen yhtäpitävyys antaa aiheen identifioida eoAto = ~~0 (6.32) c Tämä on yllättävä yhteys tyhjiön permittiivisyyden ja permeabiliteetin välillä. Myöhemmin kuitenkin osoitamme, että yhteys on perusluonteinen. Huomautus. Sl-järjestelmän pituusyksikkö metri on määritelmän mukaan (Conference Generale des Poids et Mesures 1983) matka, jonka valonsäde

6.2. AMPEREN

95

LAKI

kulkee tyhjiössä ajassa 1/299792458 s. Tämän määritelmän mukaan valon nopeus on siis tarkasti 299792,458 km/s. Palaamme Amperen lakiin (6.24). Laki näyttää epäsymmetriseltä indeksien 1 ja 2 suhteen, ikään kuin Newtonin kolmas laki F 1 2 = — F 2 i ei olisi voimassa. Osoitamme nyt, että tämä epäsymmetria on vain näennäinen. Kehitetään vektorikolmitulo yhtälön (6.24) integroitavassa, dl2 x (dh x r 1 2 ) = (dl 2 • r 1 2 )dli - (dl2 • dljru

(6.33)

Silmukat C\ ja C 2 ovat oletuksen mukaan redusoituvia. Tällöin ensimmäinen termi kaavassa (6.33), joka antaa kokonaisdifferentiaalin, ei vaikuta integraalin (6.24) arvoon, f dl2-r^ = - f dl2-V2—^—7 — Jc2 1^*121 Jc2 ki-r2|

f d ( - , — ) = 0 (6.34) Jc2 V l r i - r 2 | /

Jäljelle jää siis vain Fu = ~ h h f f 4tt JCJC2

dl2-dl11^

|ri ? | 3

= -F21

(6.35)

Amperen laki (6.24) [vaihtoehtoisesti yht. (6.35)] määrittelee kaukovaikutuksen silmukoiden C\ ja C 2 välille. Korvaamme tämän kenttäkuvauksella seuraavasti. Ohuen johtimen poikkipinta-ala olkoon A S. Yhtälöstä (6.23) saamme silloin silmukan C2 virraksi J 2 = AS n • j

(6.36)

missä n on johtimen suuntainen yksikkövektori tarkasteltavassa pisteessä. Käyttäen kuvassa (6.4) esiintyviä merkintöjä ja virrantiheyden j yleistä lauseketta (6.14) saadaan I2d\2 = dl2 AS p(r 2 )v(r 2 )

(6.37)

sillä dl2, v ja n ovat samansuuntaiset silmukan C2 joka pisteessä. Kaavasta (6.37) seuraa, että I2dl2 = dq{r2) v(r 2 ) (6.38) missä dq(r2) on pituusalkiota dl2 vastaava varausalkio ja v(r 2 ) sen nopeus. Silmukka-alkioon d\2 kohdistuva voima g?F12 saadaan, kun integrointi silmukan C 2 yli jätetään suorittamatta kaavassa (6.24), dFw = ^IJ2d\2 4tt

x f JCl

F12I3

(6.39)

LUKU 6. MA GNE TO ST A TUKKA

96

eli kaavan (6.38) mukaan dF 12 = ^ ( r 2 ) v ( r 2 ) x ^ / 1

f dl i x r 12 Ci lr12|3

L

(6.40)

Tämä on virtasilmukan Ci aiheuttama voima, joka kohdistuu pisteessä r 2 nopeudella v liikkuvaan varaukseen dq. Vertaamme nyt lauseketta (6.40) Lorentzin voiman lausekkeeseen (1.5). Jälkimmäisen mukaan nopeudella v liikkuvaan varaukseen dq vaikuttaa magneettikentässä B magneettinen voima dFm = dq v x B

(6.41)

Näemme, että virtasilmukan voimavaikutus on sama kuin magneettikentän (6.42) missä r on mielivaltainen piste silmukan Ci ulkopuolella. Virtasilmukka Ci aiheuttaa kaavan (6.42) mukaisen magneettikentän Bi(r) ympäristössään. Yhtälö (6.42) tunnetaan Biofn-Savartin lakina; se on selvästi ekvivalentti Amperen lain kanssa. »

Jos on monta vierekkäistä silmukkaa, niiden aiheuttama kokonaiskenttä B on yksinkertaisesti osakenttien summa, eli lineaarinen superpositioperiaate pätee myös magneettikenttiin. Superpositioperiaatteen avulla voidaan tulos (6.42) yleistää koskemaan mielivaltaista stationaarista virtajakaumaa, joka rajoittuu tiettyyn alueeseen V. Teemme tämän seuraavasti. Ensin toteamme, että silmukka Ci kaavassa (6.42) voi olla tietyn virrantiheyden j ohut kenttäputki, jonka kohtisuora poikkipinta-ala pisteessä rx on A5(r!). Kenttäviivan tangentti joka pisteessä on silloin vastaavan A5:n yksikkönormaalin n suuntainen. Kaavan (6.23) mukaan pätee silloin J1dl1 = AS(r 1 ) C Mr 1 )j(r 1 )

(6.43)

sillä j on normaalin n suuntainen. Pannaan nyt monta ohutta kenttäputkea vierekkäin. Lähteettömyysehto (6.21) on tässä olennainen: ohuet kenttäputket eivät "sekoitu" vaan täyttävät juuri sen äärellisen alueen V, jossa virtajakauma sijaitsee. Tämän alueen tilavuusalkioiksi dV voidaan silloin ottaa lausekkeessa (6.43) esiintyvät sylinterimäiset tilavuusalkiot dS dli. Yksi ohut kenttäputki aiheuttaa kaavojen (6.42) ja (6.43) mukaan kentän AB(r) = ^ ^ A 5 ( r 1 ) d Z 1 ( r 1 )

j( r i) x ( r - r i ) jr — r^ 3

(6.44)

6.2. AMPEREN

LAKI

97

missä r on alueen V ulkopuolella, r ^ V. Kokonaiskenttä B saadaan laskemalla yhteen kaikkien ohuiden kenttäputkien aiheuttamat osakentät. Yhteenlasku vastaa pintaintegrointia f dS, joten lopuksi saadaan (dS dli —> dV) B(r) = f / d 3 r J ( r 0 x ( r - r 0 471 Jy |r — r'|3 missä tilavuusalkiota dV on merkitty
"

M

-

J

«

"

«

>

Samoin kuin sähköstaattinen kenttä E voidaan myös magnetostaattinen kenttä B esittää potentiaalin avulla. Yksinkertaisin potentiaaliesitys saadaan ns. vektoripotentiaalin A avulla. Johdamme vektoripotentiaalin suoraan kaavasta (6.45). Yhtälön (2.22) avulla voimme kirjoittaa

B(r) =

//Vj(r'}

x

(6

-47)

Gradienttioperaattori V operoi r:ään ja voidaan täten siirtää integraalin ulkopuolelle. Vektoritulon antisymmetrisyyden vuoksi integraalin etumerkki vaihtuu, ja saamme B(r) = V x ~ f d 3 r ' - ^ ~ 4tt Jy |r — r'|

(6.48)

Tämä johtaa stationaaristen virtojen vektoripotentiaalin määritelmään (6.49)

LUKU 6. MA GNE TO ST A TUKKA

98

Jos virrantiheyden j normaalikomponentti jn häviää integroimisalueen V reunalla dV, kaavasta (6.49) ja j:n lähteettömyydestä (6.21) seuraa, että myös kaavan (6.49) määrittelemä vektoripotentiaali A on lähteetön, V • A(r) = 0

(6.50)

minkä todennus jätetään harjoitustehtäväksi. Esityksestä B(r) = V x A(r)

(6.51)

V • B(r) = 0

(6.52)

seuraa heti, että Tämä on Maxwellin toinen yhtälö. Johdimme sen stationaarisessa erikoistapauksessa, mutta tulos osoittautuu yleispäteväksi. Lähteettömyysehto (6.52) tarkoittaa sitä, että ei ole olemassa magneettisia alkeisvarauksia (monopoleja), jotka toimisivat kentän lähteinä. Magneettikentän B kenttäviivat ovat siis umpinaisia. Esityksestä (6.51) ja vektoripotentiaalin lähteettömyydestä(6.50) seuraa vielä B:n toinen kenttäyhtälö. Yhtälön (6.51) roottori on V x B = V x ( V x A ) = V(V • A) - V 2 A = - V 2 A

(6.53)

Yhtälöstä (6.49) seuraa yhtälön (2.31) perusteella, että V 2 A = —po j

(6.54)

V x B = p0j

(6.55)

joten Tämä on Maxwellin neljäs yhtälö stationaarisessa erikoistapauksessa; se ei ole yleispätevä. Yhtälö (6.55) on Gaussin lain (2.18) vastine, V • E = —p eo

(6.56)

Nämä epähomogeeniset Maxwellin yhtälöt liittävät kentät lähteisiinsä. Samoin kuin Gaussin laki voidaan lausua integraalimuotoisena (2.16), voidaan myös yhtälö (6.55) pukea integraalimuotoon. Tarkastelemme mielivaltaista (sileää) avointa pintaa S, jonka reunaa merkitään <9S:llä. Olkoon pinnan joka pisteessä r yksikkönormaali n(r). Muodostamme integraalin / dSnJs

(V x B) = po / d S n - j Js

(6.57)

6.3. SUORAN JA YMPYRÄ JOHTIMEN

MAGNEETTIKENTTÄ

99

Olkoon pinnan S reunakäyrän dS kiertosuunta positiivinen normaalin n suhteen (ruuvisääntö, kuva 6.6). Stokesin lauseen mukaan (liite B) on [ dS n - (V x B ) = f dl • B (6.58) Js Jas kun B on pinnalla S ja sen reunalla dS määritelty jatkuva ja jatkuvasti derivoituva vektorikenttä. Virrantiheyden j vuo pinnan S läpi kaavan (6.57) oikealla puolella on kokonaisvirta I reunakäyrän dS määrittämässä j:n kenttäputkessa. Kaava (6.57) saa siis muodon / dl • B = p0I (6.59) Jas Tämä on kaavan (6.55) integraalimuoto. Myös kaavaa (6.59) sanotaan Amperen laiksi.

Kuva 6.6: Avoin pinta S, jonka reunan dS kiertosuunta on positiivinen pinnan normaalin suhteen.

6.3

Suoran j a y m p y r ä j o h t i m e n magneettikenttä

Tarkastelemme ensin äärettömän pitkän suoran johtimen aiheuttamaa kenttää B. Valitaan koordinaatisto siten, että sen z-akseli yhtyy annettuun johtimeen (kuva 6.7). Kaavan (6.41) mukaan on johtimen aiheuttama kenttä

BM - ^ / T - e * ^

(«o

Tilanne on sylinterisymmetrinen; kannattaa siis lausua paikkavektori r sylinterikoordinaatein (p,
(6.61)

LUKU 6. MA GNE TO ST A TUKKA

100

Kuva 6.7: Suora, z-akselin suuntainen johdin, jossa kulkee virta I. Kaavasta (6.60) saadaan suoraan B(p, (p, z) = — B sin (pex + B cos
(6.62)

missä

Integraali (6.63) on olennaisesti sama.kuin integraali (6.26), joka laskettiin kahden suoran samansuuntaisen johtimen ongelmassa. Kaavasta (6.63) saadaan siten suoraan B = ^

(6.64)

Kentän B (r) suuruus riippuu siis vain kenttäpisteen r kohtisuorasta etäisyydestä p johtimesta, ja kenttä on yksikkövektorin e^ suuntainen. Tämä tulos on historiallinen Biot'n-Savartin laki. Laskemme seuraavaksi ympyränmuotoisen tasosilmukan aiheuttaman magneettikentän. Sijoitetaan koordinaatistoon origo ympyrän keskipisteeseen ja valitaan z-akseli kohtisuoraksi ympyrän tasoa vastaan (kuva 6.8). Magneettikentän B laskeminen voidaan nyt helpoimmin suorittaa yhtälön (6.49) määrittelemän vektoripotentiaalin A avulla. Tästä saadaan virtasäikeen potentiaali A kaavan (6.43) yhteydessä esitetyn päättelyn avulla,

=

jrbi

(6 65)

-

Tämä on yleisen, vakiovirtaa / kuljettavan virtasilmukan C vektoripotentiaali.

6.3. SUORAN JA YMPYRÄ JOHTIMEN

MAGNEETTIKENTTÄ

101

Kuva 6.8: xy-tasossa oleva Ä-säteinen ympyräsilmukka, jossa kulkee virta / positiiviseen kiertosuuntaan z-akselin ympäri. Kuvassa (6.8) esitetyn ympyräsilmukan tapauksessa on r' = R cos
dl' = (—Rsin(p'ex +Rcos(p'ey)d
(6.66)

Käyttämällä pallokoordinaattiesitystä r = (r sin 9 cos p, r sin 9 sin (p, r cos 9)

(6.67)

saadaan kaavasta (6.65) A(r, Q,
r

— sin ip'ex + cos p'ey ^ r 2 + R2 - 2rÄsin#cos(
missä integroimme silmukan yli lähtien kulmasta ip — TV. Ottamalla integroimismuuttujaksi u — p' — p toteamme symmetriatarkastelujen avulla, että kaavan (6.68) määrittelemällä vektoripotentiaalilla A on komponentti vain suunnassa ev, A(r, 9, p) = Av(r, 0, p)elfi ,

e^ = - sin pex + cos
(6.69)

missä . ,

.

.

UQIR

M r , 9,
F+N

du c o s u 1

2

y/r + R - 2rR sm 9 cos u

(6.70)

Magneettikenttä B on vektoripotentiaalin (6.69) roottori. Koska nyt Ar = Ag = 0, saadaan Br(r, 9, p) =

1 3(sin 9AV) — r sm 9 00 —

LUKU 6. MA GNE TO ST A TUKKA

102

1

T, , „ N Be(r,9,
r

d(rAv) or

0 (6.71)

Integraali (6.70) voidaan lausua erikoisfunktioiden, esimerkiksi elliptisten integraalien avulla. Tässä rajoitumme kuitenkin tarkastelemaan kenttää kaukana silmukasta, r » R. Käyttämällä approksimaatiota (r 2 + R2 - 2r R sin 9 cos u)' "1/2 _

1

1-1

R . n / Ä2 sm 9 cos u + GM — — r \ r2

(6.72)

saadaan kaavasta (6.70) Aip(r,9,
sin 0 Mo ^irR2I

47T

1+0

(6.73)

Kaavojen (6.71) avulla saadaan Br(r,

Mo , 47r

9, (p) = Y-TTR

r2

I

cos 0

sinö

1+ 0 1+ 0 1 r

Bip(r, 9,(p) = 0 (6.74) Yhtälön (3.77) määrittelemä z-akselin suuntainen sähködipolin kenttä E(2) on samanmuotoinen: . „

.

1 2ocosö 1+0 47re0 r3 1 p sin 9 1+0 f ^ 4-7T en r 3

9, (p) = O (6.75) Termit 0(R/r) kuvaavat ei-ideaalista dipolia. Yhtälöiden (6.74) ja (6.75) vertailu antaa aiheen määritellä sähköisen dipolimomentin p = pez kanssa analogisen ympyräsilmukan magneettisen dipolimomentin eli magneettimomentin m = mez , m = TTR2I (6.76)

6.4. MAGNEETTINEN

6.3.1

MULTIPOLIKEHITELMA

103

Magneettidipoli

Edellä olemme käsitelleet ympyräsilukkaa, jonka keskipiste on origossa ja jonka normaali on z-akselin suuntainen. Yleistyksenä tarkastelemme ympyräsilmukkaa, jonka keskipiste on mielivaltaisessa pisteessä r 0 ja jonka normaalin n suunta on mielivaltainen. Ideaalinen (matemaattinen) magneettidipoli on tällaisen silmukan rajatapaus, kun R —> 0 ja I —> oo siten, että silmukan magneettimomentti m on äärellinen, m = Magneettidipolin kenttä sähködipolin kenttä (3.77), B®(r) =

lim (nR2)In A—>0,7—>oo

(6.77)

on siten tarkalleen samanmuotoinen kuin

Po 3m • (r - r 0 ) (r - r 0 ) 47T ro

m r

o

r + r0

(6.78)

Kenttä B ® on vastaavan vektoripotentiaalin A ® roottori,

B<2>(r) = V x A(2)'(r)

(6.79)

missä ^omx (,-ro) ( 4n |r — r 0 | 3 kuten suhteellisen helposti todetaan. Toisaalta magneettidipolikenttä B^2^ voidaan myös, analogisesti sähködipolikentän kanssa, johtaa magneettisesta skalaaripotentiaalista q>m [vrt. yht. (3.76] A(2)

Tämä tulos ei rajoitu yksinomaan dipolikenttään; osoitamme tuonnempana, että myös mielivaltaisen äärellisen virtasilmukan aiheuttama magneettikenttä voidaan johtaa skalaaripotentiaalista.

6.4

M a g n e e t t i n e n multipolikehitelmä

Palaamme nyt yleisen lähteettömän virrantiheyden synnyttämään vektoripotentiaaliin (6.49). Oletamme, että virrantiheys j on paikallinen, siis

LUKU 6.

104

MAGNETOSTATIIKKA

nollasta poikkeava vain äärellisen alueen V sisällä. Kaavasta (6.49) saadaan silloin vektoripotentiaalin A asymptoottinen kehitelmä, joka on analoginen sähköstaattisen potentiaalin multipolikehitelmälle. Analysoimme vain kehitelmän johtavat termit. Olkoon koordinaatiston origo alueen V sisällä. Kun paikkavektori r on alueen V ulkopuolella, voimme käyttää integraalissa (6.49) kenttäpisteen etäisyyden |r| = r käänteispotenssien mukaan etenevää kehitelmää I jo

1

j»' I

irjrt + ^ rp 3 +

Vi ry>)3

(6.82)

Silloin saadaan AW

= s ; /rfVj(r,) + s ? / d V ( r ' r ' ) j ( r , ) + 0 ( ? )

(6 83)

'

Ensimmäinen termi vastaa monopolia. Se häviää kuitenkin identtisesti, koska virrantiheys j on lähteetön. Tämä nähdään seuraavasti. Muodostamme divergenssin V • (xjj), missä Xj on yksi r:n suorakulmainen komponentti. Virrantiheyden lähteettömyyden perusteella saamme V - f c j H z i V - j + ( V x O - j = ii

(6-84)

Integroimme tämän ja sovellamme divergenssilausetta, f d3rji(r)

= f

JV

J dV

dSxzn-j

= 0

(6.85)

Tulos on 0, koska ulotamme V:n niin kauas, että virrantiheys j häviää sen reunalla dV (ja reunan ulkopuolella). Tulos (6.85) pätee j:n jokaiseen komponenttiin, joten 3

f d rj(r) = 0 (6.86) Jv eli vektoripotentiaalin (6.83) asymptoottisesti johtava termi on kertalukua r-2. Osoitamme nyt, että kehitelmän (6.83) r~ 2 -termi on ekvivalentti magneettisen dipolipotentiaalin kanssa. Todetaan ensin [esim. kaavan (6.84) avulla], että Xijk + Xkji = V • (xiZjj) (6.87) Integroimalla yhtälö (6.87) saadaan suoraan divergenssilauseen avulla ja lokaalisuuden perusteella f d3r {xtjk + xkji) = 0

(6.88)

6.4. MAGNEETTINEN

MULTIPOLIKEHITELMA

105

Kaavan (6.83) johtava termi sisältää integraalin r-1

d3r' r'ji(r') = I>*

/

=

k

(6-89)

J

missä olemme käyttäneet kaavaa (6.88). Mutta tulos (6.89) voidaan lausua vektorikolmitulon avulla,

dv ^ ( 0 = 4

r x J d3r'r'

x j(r')

(6.90)

Nimitämme kaavan (6.90) integroitavaa magneettimomentin tiheydeksi eli magnetoitumaksi M(r), M(r):=^rxj(r) ja sen integraalia magneettimomentiksi m,

(6.91)

(

m = y d3r M(r)

(6.92)

Kaavasta (6.83) saadaan silloin , , .

«o m x r

^ / 1 \

Paikallisen virrantiheyden j aiheuttaman vektoripotentiaalin A asymptoottisesti johtava termi on siis tarkalleen magneettinen dipolipotentiaali, missä dipolin momentti m on määritelty kaavojen (6.91) ja (6.92) mukaisesti. Olemme tarkastelleet mielivaltaista paikallista virrantiheyttä j. Erikoistapauksena laskemme vielä mielivaltaisen silmukan aiheuttaman potentiaalin A asymptoottisesti johtavan termin. Tämä saadaan tietenkin suoraan yleisestä kaavasta (6.93), kun virrantiheys j on nollasta poikkeava vain tietyssä kenttäputkessa, joka ohuen putken rajalla on virtasilmukka C. Voimme myös käyttää kaavaa (6.65), joka on saatu tällaisen rajankäynnin tuloksena. Sijoittamalla kehitelmä (6.82) kaavaan (6.65) saadaan

LUKU 6.

106

MAGNETOSTATIIKKA

On ilmeistä, että ensimmäinen termi on tasan nolla. Edelleen voimme osoittaa, että [vrt. yht. (6.90)] [ d\'R r' = --T x [ r' x dV Jc 2 J£

(6.95)

Vertaus yhtälöön (6.93) antaa tulokseksi, että silmukan C magneettimomentti on m = \ l [ r x dl 2 Jc

(6.96)

Erityisesti jos silmukka C on taso silmukka, on momentti m tason normaalin n suuntainen, missä normaalin suunta määräytyy siten, että virran kiertosuunta on positiivinen silmukassa (kuva 6.9). Tasosilmukan pintaalkio dS on dS=-\rxdl\

(6.97)

£

Jos tasosilmukan L rajoittamaa pinta-alaa merkitään 5:llä, kaava (6.96) antaa m = ISn (6.98) Tämä on ympyräsilmukan magneettimomentin (6.76) yleistys yleiseen tasosilmukkatapaukseen. Tämän tuloksen perusteella magneettidipoli voidaan määritellä mielivaltaisen tasosilmukan rajatapauksena, kun silmukan rajoittama pinta-ala S pienenee pienenemistään ja silmukassa kulkeva virta I vastaavasti kasvaa siten, että momentti m on äärellinen, m = lim(LS) n

Iin n suhteen.

(6.99)

6.5. VIRTASILMUKAN

6.5

MAGNEETTIKENTTÄ

107

Virtasilmukan m a g n e e t t i k e n t t ä

Tarkastelemme jälleen mielivaltaista virtasilmukkaa, jonka muodostaa säännöllinen umpinainen käyrä, joka ei leikkaa itseään. Olkoon silmukassa tietyn suuntainen vakiovirta I. Olkoon S mielivaltainen äärellinen sileä pinta, jonka reunakäyrä dS on juuri annettu silmukka. Jaamme nyt tämän pinnan pieniin pinta-alkioihin ASj, i — 1 , . . . , N (kuva 6.10).

Kuva 6.10: Pintaan S upotetut pienet virtasilmukat dASi. Pinnan S reunakäyrä dS on annettu virtasilmukka. Voimme kuvitella, että joka alkion ASi reunakäyrässä dAS% kulkee vakiovirta I positiiviseen kiertosuuntaan pinta-alkion yksikkönormaalin rij suhteen. Nämä pinnassa olevat virrat menevät pareittain vastakkain ja kumoavat siis toisensa paitsi reunakäyrällä dS, jossa virrat muodostavat annetun kokonaisvirran I. Täten virtasilmukan aiheuttaman magneettikentän B voidaan ajatella johtuvan pinnan S pinta-alkioiden ASi määrittelemistä virtasilmukoista dASi. Yksi tällainen pieni virtasilmukka aiheuttaa kentän AB,, joka on likimääräisesti dipolikenttä, AB,-fr)

/fo IASi 47r

3ni • (r - n) (r r — r-|5

n,; r - r,:

(6.100)

missä ^ on pinta-alkion ASi mielivaltainen piste ja missä olemme käyttäneet yleisen dipolikentän lauseketta (6.78) sekä silmukan, magneettimomentin likimääräistä lauseketta m,- = IASi n,-

(6.101)

Toisaalta tiedämme, että magneettinen dipolikenttä voidaan lausua vastaavan skalaaripotentiaalin (6.81) avulla. Koska silmukan kokonaiskenttä

LUKU 6.

108

MAGNETOSTATIIKKA

B on osakenttien (6.100) summa, tämä kenttä on johdettavissa skalaaripotentiaalista
Yhtälöt (6.100)-(6.102) ovat likimääräisiä. Ajatellaan nyt, että pinnan S jako alkioihin ASi tehdään yhä hienommaksi siten, että alkiot lopulta supistuvat pistemäisiksi. Tällöin approksimaatiot (6.100)-(6.102) tulevat yhä tarkemmiksi, ja äärettömän hienon jaon rajalla potentiaalista (6.102) tulee tarkka lauseke silmukan dS magneettiseksi skalaaripotentiaaliksi
6.5.1

= ^ [ dS' 47t J s

,

|r — r

r

(6.103)

M a g n e e t t i n e n skalaaripotentiaali

Silmukan dS aiheuttama magneettikenttä B(r) on skalaaripotentiaalin (6.103) negatiivinen gradientti, B(r) = — V^>m(r)

(6.104)

Potentiaali (6.103) voidaan edelleen kirjoittaa muotoon 0m(r) =

[ dS' 4tt Js

d

n ' t — ( 6 . 1 0 5 ) |r — r'|

kun muistetaan normaaliderivaatan dn määritelmä (2.50) ja aiemmin useasti käytetty kaava (2.22). Silmukan dS aiheuttama magneettinen skalaaripotentiaali on siis tietyn pinnalla S määritellyn dipolimomenttipintatiheyden aiheuttama, kuten yhtälöstä (6.103) ilmenee. Olemme itse asiassa jo tarkastelleet funktioita, jotka ovat lausuttavissa muodossa (6.105), johdekappaleen sähköstaattisen ulko-ongelman yhteydessä [vrt. yht. (4.68)]. Viitaten näihin tarkasteluihin voimme todeta, että pinta S on potentiaalin (6.105) epäjatkuvuuspinta. Täydellisyyden vuoksi palautetaan mieleen, miten tämä asia voidaan todistaa. Meillä on nyt avoin pinta S, jonka normaali n on määritelty siten, että pinnan reunalla dS on positiivinen kiertosuunta. Pintaan S liitetään komplementtipinta Sc siten, että pinta SLiSc muodostaa tietyn

6.5. VIRTASILMUKAN

MAGNEETTIKENTTÄ

109

Kuva 6.11: Umpinainen alue V, jonka reunapinta dV on S U Sc(äärellisen) alueen V sileän reunapinnan dV (kuva 6.11) ja että pinnan S normaali on pinnan dV ulkonormaali. Tiedämme [Gaussin lain todistus ja kaava (4.69)], että

Hiv)

{~4o;

^

Tarkastelemme nyt integraalia Ic=f Jsc

dS'dnl-^—r _ l

r

(6.107) I

Annamme paikkavektorin r integraalissa (6.107) lähestyä tiettyä pistettä pinnalla S. Koska integrointi on komplementtipinnan Sc yli, on selvää, että integraali on jatkuva r:n funktio pinnalla S. Toisaalta meillä on Ic+

f dS'dnl,—= Js lr —

r

!

f dS'dn,—^— Jav lr — r I

(6.108)

ja tämä lauseke on epäjatkuva pinnalla S kaavan (6.106) mukaisesti. Jos nyt merkitään potentiaalin m(r) raja-arvoa 0m^(r):llä, kun r lähestyy pintaa S normaalin n puolelta (ulkopuolelta), ja vastaavasti 0^"')(r):llä, kun r lähestyy pintaa S vastakkaiselta puolelta, on yllä esitetyn mukaisesti 4+)W-4")(r) = 4

7

r ^

(6.109)

Kaava (6.109) on keskeinen tulos, josta Amperen laki (6.59) seuraa suoraan, kuten seuraavassa nähdään. Tarkastelemme virtasilmukan dS aiheuttaman kentän B viivaintegraalia sellaisen käyrän yli, joka alkaa tietystä pisteestä r S:n ulkopinnalta, kiertää kerran reunan dS ympäri ja palaa pisteeseen r S\n sisäpinnalle (kuva 6.12).

LUKU 6.

110

MAGNETOSTATIIKKA

r

Kuva 6.12: Suunnattu käyrä L suunnatun silmukan dS ympärillä. Kenttä B on potentiaalin (f)m negatiivinen gradientti (6.104), joten

L

dl-B =

L

dl • V0 m = 4 + ) ( r ) - 4~)(r) = fjiol

(6.110)

kaavan (6.109) mukaisesti. Yllä olemme täydellisyyden vuoksi osoittaneet, että mielivaltaisen virtasilmukan aiheuttama magneettikenttä B voidaan esittää myös skalaaripotentiaalin (j)m avulla. Tämä skalaaripotentiaali on välttämättä epäjatkuva sellaisen sileän ja äärellisen (mutta muuten mielivaltaisen) pinnan S yli, jonka reunakäyrä dS on juuri annettu silmukka. Epäjatkuvuuspinta voidaan siis valita suhteellisen mielivaltaisella tavalla, mutta sitä ei voi poistaa kokonaan. Tämän vuoksi ei skalaaripotentiaalia voi yleistää millään yksinkertaisella tavalla yleisen virrantiheyden (ts. usean lähekkäin olevan silmukan) tapaukseen. Skalaaripotentiaalin käyttö rajoittuu olennaisesti vain yhteen silmukkaan tai hyvin yksinkertaisiin silmukkajärjestelmiin, kuten esimerkiksi solenoidin. Myös yksinkertaisia magneettisia aineita (esim. kestomagneetit) voidaan kuvata magneettisen skalaaripotentiaalin avulla, kuten seuraavassa luvussa esitetään.

Luku 7 Magnetostatiikka väliaineessa 7.1

M a g n e e t t i k e n t ä n voimakkuus H

Luvussa 6 käsittelimme vapaiden, stationaaristen virtojen synnyttämiä magneettikenttiä B. Aivan samoin kuin luvussa 4, missä käsittelimme sähköstaattisia kenttiä väliaineissa, voimme todeta, että realistisissa magnetoituvissa väliaineissa ei ole pelkästään vapaita virtoja. Voidaankin ajatella, että aineessa on sitoutuneita virtoja, jotka johtuvat varausten liikkeistä molekyyleissä ja atomeissa. Makroskooppisesti ajattelemme, että väliaineessa oleva magneettikenttä on tasoitettu kenttä, jonka aiheuttavat atomaaristen virtojen keskimääräiset ominaisuudet. Päädymme aivan samalla tavalla kuin eristeen tapauksessa siihen, että magnetoituva aine on kuvattava tietyllä dipolimomenttitiheydellä M; olemmehan vektoripotentiaalin A multipolikehitelmän (6.93) yhteydessä todenneet, että mielivaltaisen stationaarisen virrantiheyden j aiheuttaman vektoripotentiaalin A johtava termi on dipolitermi. Seuraavassa lähtökohtamme on se, että realistiset magnetoituvat aineet voidaan kuvata tietyllä dipolimomenttitiheydellä eli magnetoitumalla M aineessa mahdollisesti esiintyvän vapaan stationaarisen virrantiheyden j lisäksi. Oletamme, että magnetoituva kappale täyttää tilan V. Tarkastelemme tilavuusalkiota A V (kuva 7.1). Alkion dipolimomentti m(r') on m(r') = M ( r ' ) A V

(7.1)

112

LUKU 7. MAGNETOSTATIIKKA

VÄLIAINEESSA

missä M(r') on dipolimomenttitiheys pisteessä r'. Dipolimomentin m(r') aiheuttama dipolipotentiaali AA' 2 '(r) on kaavan (6.80) mukaan A A ^ ( r ) = — AV 47T

, M(r') x (r - r') |r — r'| 3

(7.2)

Mielivaltaisen stationaarisen virrantiheyden j aiheuttama vektoripotentiaali on määritelty kaavassa (6.49). Sen mukaan tilavuusalkioon A V liittyvä virrantiheys aiheutta'a potentiaalin AA(r) = ^ A V 1 J ( r Ait r — r'

(7.3)

Tilavuusalkion A V aiheuttama kokonaisvektoripotentiaali AA(r) on lausekkeiden (7.2) ja (7.3) summa, AA(r) = — A V 47T

j(r') r —r

+

M(r') x (r — r') r — r'13

(7.4)

Laskemalla yhteen kaikkien alkioiden A V aiheuttamat potentiaalit saadaan kokonaisvektoripotentiaali A. Kun summat vielä korvataan integraaleilla, on tulos A(r) =

Po dV 47T 'V

j(r') r —r

M(r') x (r - r') r — r'13

(7.5)

missä lähdealue V on se, missä j ^ 0 ja M ^ 0. Kaava (7.5) on analoginen sähköstatiikan vastaavan kaavan (4.6) kanssa. Käytämme taas tuttua kaavaa r — rv 13

r —r

(7.6)

7.1. MAGNEETTIKENTÄN

VOIMAKKUUS

H

113

ja suoritamme osittaisintegroinnin kaavassa (7.5) käyttäen aiemmin esitettyä raja-arvotarkastelua. Tulos on [vrt. myös yht. (5.58)] A(r )

=

^/>r,j(r') 4n 'v -e°[ 4tv Jdv

V'xM(r-)

+

x M r

' '' |r — r'|

Viimeinen termi on muodollisesti tietyn efektiivisen Kef aiheuttama, missä K e f (r) := —n(r) x M ( r ) ,

(7.7) pintavirrantiheyden

r e dV

(7.8)

Jos pintavirrantiheys Kef häviää pinnalla, ts. jos magnetoituma M häviää reunalla dV, on vektoripotentiaali (7.7) juuri se, joka saadaan efektiivisestä virrantiheydestä jef(r) : = j ( r ) + V x M ( r ) ,

r e F

(7.9)

Magneettikenttä B (täsmällisesti magneettivuon tiheys) määrittyy edelleen kaavan (6.51) mukaisesti, ts. B(r) = V x A(r)

(7.10)

josta samalla tavoin kuin aiemmin [vrt. yht. (6.53-(6.55)] seuraa, että V x B(r) = /i 0 [j(r) + V x M(r)] = // 0 jef(r),

reV

(7.11)

Määrittelemme nyt uuden kentän H, jota kutsutaan magneettikentän makkuudeksi ja joka on analoginen sähkövuon tiheydelle D, H(r) := —B(r) - M(r) Mo

voi-

(7.12)

Yhtälöstä (7.11) seuraa sitten relaatio V x H(r) = j(r)

(7.13)

missä j(r) on vapaan virran tiheys. Yhtälöstä (7.10) seuraa taas, että V • B(r) .= 0

(7.14)

Yhtälöt (7.13) ja (7.14) ovat magnetoituvien aineiden magnetostatiikan perusyhtälöt. Ne ovat analogiset vastaaville sähköstatiikan yhtälöille V • D(r) = p(r)

(7.15)

114

LUKU 7. MAGNETOSTATIIKKA

VÄLIAINEESSA

V x E(r) = O

(7.16)

Jotta perusyhtälöt (7.13) ja (7.14) antaisivat täydellisen kuvauksen, tarvitaan vielä rakenneyhtälö, joka sitoo kentät B ja H toisiinsa. Rakenneyhtälö kuvaa magnetoituvan aineen ominaisuuksia. Magnetoituvat aineet voidaan karkeasti jakaa kolmeen luokkaan: dia-, para- ja ferromagneettiset aineet. Isotrooppisessa tapauksessa dia- ja paramagneettisia aineita kuvataan yksinkertaisella lineaarisella relaatiolla B(r) = pH(r)

(7.17)

missä /i on aineen permeabiliteetti. Diamagneettisella aineella on p < paramagneettisella p > /ioFerromagneettiselle aineelle on tunnusomaista, että rakenneyhtälö on epälineaarinen ja monikäsitteinen, B = B(H)

(7.18)

Monikäsitteisyys liittyy siihen, että B-kenttä riippuu aineeseen kohdistuvien kenttien historiasta (hystereesi-ilmiö).

7.2

Kenttien B ja H reunaehdot

Kenttien B ja H reunaehdot kahden väliaineen rajapinnalla voidaan johtaa aivan samalla tavalla kuin kenttien E ja D reunaehdot sähköstatiikassa. Lähtökohtana ovat perusyhtälöt (7.13) ja (7.14).

Kuva 7.2: Magnetoituvan aineen ja tyhjiön välinen rajapinta.

7.2. KENTTIEN

B JA H

REUNAEHDOT

115

Yksinkertaisuuden vuoksi tarkastelemme tyhjiön (p 0 ) ja magnetoituvan aineen (//) välistä rajapintaa (kuva 7.2). Tarkastelemme ensin Bkentän yhtälöä (7.14). Tämä yhtälö on muodollisesti sama kuin D-kentän yhtälö (4.21) silloin kun p = 0. Analogisesti D-kentän rajapinta-analyysin kanssa saadaan suoraan (merkinnät kuvassa 7.2) n-(Bo-Bi) = 0

(7.19)

eli B-kentän normaalikomponentti on jatkuva rajapinnalla. H-kentän rajapintatarkasteluun käytämme rajapintaan upotettua pientä suorakaidetta, joka on kohtisuorassa pintaa vastaan (kuva 7.3). Integroimme yhtälön (7.13) suorakaiteen pinnan A S = A l • A h yli, [

dS • (V x H) = [

JAS

dS • j(r)

(7.20)

JAS

Soveltamalla Stokesin lausetta yhtälön (7.20) vasempaan puoleen saamme [

dS • (V x H) = AI • (Hi — H 0 ) -I- O (Ah)

(7.21)

JAS

kun AS on pieni pinta-alkio, niin että riittää ottaa huomioon vain ensimmäisen kertaluvun pituussuureet.

n ik /

rajapinta

r

•

H,

Ah tyhjiö Mo aine /i

AI

Kuva 7.3: Kappale V, jossa on virrantiheys j ja dipolimomenttitiheys M. Yhtälön (7.20) oikea puoli on virrantiheyden vuo eli kokonaisvirta pinta-alkion AS läpi. Ensimmäisen kertaluvun tarkkuudella pinta-alkion AS normaali on yhdensuuntainen vektorin AI x n kanssa. Kun Ah 0, virrantiheyden vuo AS":n läpi on siis lausuttavissa muodossa f

JAS

dS • j(r) = lim (AI x n) • K

(7.22)

116

LUKU 7. MAGNETOSTATIIKKA

(Tässä on ennakoitu, että myös AI —>• 0.) Suure K tavuuden rajalla tarvittava vapaan pintavirran tiheys, ta/pituus. Rajalla AI —> 0 yksikkövektori Al/Al :— t pinnan tangentin suuntainen tarkastelupisteessä r, ja (7.21) ja (7.22) tuloksen

VÄLIAINEESSA on äärettömän johjonka laatu on viron täsmälleen rajasaamme yhtälöistä

t • (Hi — H 0 ) = (t x n) • K = t • (n x K)

(7.23)

Koska t on mielivaltainen tangenttiyksikkövektori, H-kentän tangenttikomponentti on jatkuva, jos ei ole pintavirtaa (ts. K = 0)'; jos on pintavirta, se on epäjatkuva kaavan mukaisesti. Kompaktimmin lausuttuna (harjoitustehtävä) H:n reunaehto on n x (H 0 - Hi) = K

(7.24)

Käytimme magnetostaattisia perusyhtälöltä (7.13) ja (7.14) reunaehtojen johtamiseen. Osoitamme myöhemmin Maxwellin yleisten kenttäyhtälöiden perusteella, että lopputulokset, ts. kaavat (7.19') ja (7.24), pätevät yleisesti. Esitämme nyt lyhyesti magnetostatiikan potentiaaliongelmien formuloinnin. Perusyhtälöt ovat (7.13) ja (7.14), ts. V x H(r) = j(r)

(7.25)

V • B(r) = 0

(7.26)

ja

Näiden lisäksi tarvitaan rakenneyhtälö B = B(H)

(7.27)

jotta yhtälöt (7.25) ja (7.26) muodostaisivat täydellisen yhtälöjärjestelmän. Lähteettömyysehto (7.26) takaa sen, että B-kenttä voidaan aina esittää roottorina, B(r) = V x A(r) (7.28) Tiedämme myös (ks. kappaletta 2.7), että rajoituksitta voidaan A-kentälle asettaa ehto V • A(r) = 0 (7.29) Jos oletamme yksinkertaisen isotrooppisen magnetoituvan aineen, rakenneyhtälö on B(r) = jiiH(r) (7.30)

7.2. KENTTIEN

B JA H

REUNAEHDOT

117

Tällöin saadaan yhtälöstä (7.25) vektoripotentiaalin A differentiaaliyhtälöksi V x

- V x A(r)

j(r)

(7.31)

Jokaisessa alueessa, jossa /j on vakio, saadaan edelleen yksinkertaisempi yhtälö ottamalla huomioon ehto (7.29), V 2 A(r) = —/i j(r)

(7.32)

mikä on aikaisemman tuloksen (6.54) yksinkertainen yleistys. Vektorimuotoinen Poissonin yhtälö (7.32) ratkaistaan periaatteessa samalla tavalla kuin sähköstaattisen potentiaalin vastaava yhtälö. Skalaaritapaukseen verrattuna olennaisen lisävaikeuden muodostavat vektorikentän A reunaehdot. Rajapinnoilla, siis yhtälössä (7.32) esiintyvän permeabiliteetin p epäjatkuvuuspinnoilla, on kenttien B ja H noudatettava reunaehtoja (7.19) ja (7.24). Panofskyn ja Phillipsin oppikirja [3] sisältää (s. 149-156) esimerkkejä yllä hahmoteltujen ongelmien ratkaisuista. Tarkastelemme vielä erikoistapausta, joka tarjoaa esimerkin magneettisen skalaaripotentiaalin 4>m käytöstä. Tämä esimerkki on magneettinen aine, jossa on pysyvä magnetoituma M mutta ei lainkaan virrantiheyttä j. Kestomagneetti on tällaista ainetta. Koska j = 0, kenttä H on pyörteetön yhtälön (7.25) mukaisesti. Tällöin H on lausuttavissa skalaaripotentiaalin (f)m avulla, H = -Vm

(7.33)

Kun käytämme H-, B- ja M-kenttien perusrelaatiota (7.12), toinen perusyhtälö (7.26) johtaa tulokseen - V 2 0 m = - V • M := pm

(7.34)

Tämä on efektiivisen magneettisen varaustiheyden pm sisältävä Poissonin yhtälö. Merkitään V:llä aluetta, jossa M ^ 0. Alueen V reunalla dV, siis aineen rajapinnalla, magnetoituma M on epäjatkuva ja se on tasan nolla dV\n ulkopuolella. Poissonin yhtälön (7.34) ratkaisu on nyt (n on pinnan dV ulkonormaali) M t )

= --L [ 47t Jv

Y ^ M |r — r'|

4tt

M Jdv

|r — r'|

(7.35)

Pintaintegraali takaa sen, että magneettikenttien H ja B asianmukaiset reunaehdot ovat voimassa pinnalla dV. Tämän toteaminen jätetään harjoitustehtäväksi.

LUKU 7. MAGNETOSTATIIKKA

118

VÄLIAINEESSA

y Kuva 7.4: Vakiomagnetoituman M sisältävä Ä-säteinen pallo tyhjässä avaruudessa. Sovelluksena laskemme tasaisesti magnetoidun pallon kentät. Olkoon meillä i?-säteinen pallo BR, jonka sisällä on vakiomagnetoituma M. Valitsemme koordinaatiston siten, että ^-akseli on M:n suuntainen (kuva 7.4). Nyt on siis M = Me, (7.36) joten V • M = 0,

r e B}

(7.37)

Kaavasta (7.35) saadaan

4-rr

J

|r — r'|

(7.38)

Käytämme aikaisemmin johdettua sarjakehitelmää (3.57), i r — r'

00

1

i

i (7.39)

1=0 m=—l

Normitusrelaatioiden (3.27) perusteella on J dQ.'coSe'Yl*rn(e',
=

5llörn0

(7.40)

Käyttämällä tuloksia (7.39) ja (7.40) kaavassa (7.38) saadaan 1

r<

- M R ' ^

cos 0

(7.41)

7.2. KENTTIEN

B JA H

REUNAEHDOT

119

Tämän jälkeen laskemme kentät pallon sisäpuolella (H5, B5) ja ulkopuolella (Hu, B[/). Pallon sisällä on r< = r ja r> = R, joten 4>m(r) =

l

-Mrcos6=l-Mz

(7.42)

Pallon sisällä H-kenttä on kaavan (7.33) mukaan Hs = ~ M e

z

= ~ M

(7.43)

ja B-kenttä yhtälön (7.12) avulla B s = /i 0 (H 5 + M) = ^ M

(7.44)

Toteamme, että pallon sisällä H ja B ovat vastakkaissuuntaiset. Pallon ulkopuolella on r< = R ja r> = r, joten

)= O

(7.45)

T

Potentiaali (7.45) on puhdas dipolipotentiaali. Vertaamalla kaavoja (7.45) ja (6.81) toteamme, että pallon magneettinen dipolimomentti m on m = ^TTR3 M O

(7.46)

Pallon ulkopuolella on puhdas dipolikenttä, ( % ) r = 3 MR3 —

,

(H u)g = -MR3

—

,

(Hv ) v = 0

(7.47)

ja Bf/(r) = /i 0 H^(r),

|r| > R

(7.48)

Voidaan suoraan todeta, että kentät (7.43)-(7.44) ja (7.47)-(7.48) toteuttavat reunaehdot (7.19) ja (7.23). Pallomagneetin ongelma olisi tietenkin myös voitu ratkaista käyttäen vektoripotentiaalia A. Skalaaripotentiaalimenetelmä on kuitenkin yksinkertaisempi tässä tapauksessa. Järjestelmän kenttäviivat nähdään kuvassa (7.5).

120

LUKU 7. MAGNETOSTATIIKKA

VÄLIAINEESSA

Kuva 7.5: Tasaisesti magnetoidun pallon kenttäviivat B ja H.

7.3

M a g n e e t t i n e n jännitystensori

Magneettisten voimien kenttäkuvaus on analoginen sähköstatiikan vastaavan kuvauksen kanssa (luku 5). Tarkastelemme mielivaltaista aluetta V, jossa on stationaarinen virrantiheys j. Alueen reunapintaa merkitään <9V:llä. Yksinkertaisuuden vuoksi oletamme ensin, että alueessa V ei ole magnetoituvaa ainetta, jolloin B = //0 H

(7.49)

Tarkastelemme tilavuusalkioon dV kohdistuvaa magneettista voimaa dFm (kuva 7.6). Lorentzin voiman (1.5) mukaan on d¥m — pdVv x B = dVj x B

(7.50)

Magneettinen voimatiheys f m on siis fm(r)=j(r)xB(r)

(7.51)

Alueeseen V kohdistuva magneettinen kokonaisvoima F m on Fm=

[ d3rfm(r) Jv

(7.52)

Aivan samalla tavalla kuin sähköstatiikassa voidaan kaavan (7.52) määrittelemä voima korvata alueen V pintaan dV vaikuttavalla pintavoimalla Fm . Tämän osoittamiseksi tarvitaan kaavan (7.49) lisäksi magnetostatiikan perusyhtälöä (7.13), V x H = j

(7.53)

7.3. MAGNEETTINEN

JANNITYSTENSORI

121

Voimatiheys (7.51) on siten frn = Po(V x H) x H

(7.54)

Kehittämällä vektorikolmitulon saamme 3

U=

H

k=i

1 ^ k H z - -poö.H 2

(7.55)

Olkoon nyt i P := BiHj - ~ö l3 B • H

(7.56)

Kaavan (7.55) määrittelemät magneettisen voimatiheyden komponentit fmi voidaan nyt lausua muodossa 3 -,(m)

3=1 Olkoon pinnan V yksikkönormaali n. Käyttämällä tulosta (7.57) ja integroimiskaavaa (5.59) voidaan tilavuusintegraali (7.52) saattaa muotoon m

/ dS B ( n H ) - ^ n ( B H ) 'av

:= P j

(7.58)

eli kaavan (7.52) määrittelemä kokonaisvoima on lausuttu pintavoimana r(mp ) . F

Toteamme, että tensori T-'-r':> on täysin analoginen sähköstatiikassa esiintyvän Maxwellin jännitystensorin (5.63) kanssa; tensori onkin magnetostatiikan Maxwellin jännitystensori. Koska tämä tensori on symmetrinen, pintavoima F ^ on täysin ekvivalentti alueeseen V vaikuttavan

122

LUKU 7. MAGNETOSTATIIKKA

VÄLIAINEESSA

kokonaisvoiman F m kanssa. Tämä seikka — siis voimien ja momenttien yhtäsuuruus — todetaan samalla tavalla kuin sähköstatiikassa (kappale 5.3). Jos merkitsemme magneettiseen pintavoimaan F™ liittyvää pintatiheyttä f ^ i l l ä , kaavan (7.58) mukaan on f^ = B(n-H)-in(B.H)

(7.59)

1

(7.60)

Tästä seuraa, että \& =

-B-H

Tuloksen (7.60) perusteella toteamme aivan samalla tavoin kuin vastaavassa sähköstatiikan tapauksessa, että magneettikentän voimakkuus H puolittaa yksikkönormaalin n ja pintavoimatiheyden välisen kulman. Oletimme, että tarkasteltavassa alueessa V ei ole magnetoituvaa ainetta [yht. (7.49)]. Jännitystensorin lauseke (7.56) pätee kuitenkin sellaisenaan yksinkertaiseen magnetoituvaan aineeseen, jos oletetaan, että aine on mekaanisesti jäykkää. Sähköstatiikan analogian perusteella [vrt. yht. (5.82)] päättelemme, että" tensorin (7.56) ominaisarvot (merkkiä vaille) yhtyvät magneettisen energian tiheyteen wm, w

m = ^B • H

(7.61)

Toteamme nyt virtuaalisen työn periaatteen avulla, että lauseke (7.61) on tarkalleen magneettikentän energiatiheys siinä tapauksessa, että avaruudessa ei ole magnetoituvaa ainetta. Tarkastelemme tiettyä pinnan dV pinta-alkiota AS pisteessä r. Deformoimme nyt pintaa dV siirtämällä tätä pinta-alkiota n verran pintavoiman (7.59) suuntaan. Tähän tarvittava työ AWt on kaavan (7.60) mukaan = ^ B • H ASAti

(7.62)

Olkoon energiatiheys pisteessä r tietty kenttien funktionaali wm(r). Silloin on järjestelmän energian muutos AWe pintaa deformoitaessa täsmälleen AWe = wmASA(

(7.63)

Työ AWt on sama kuin energian muutos AWe. Asettamalla tulokset (7.62) ja (7.63) yhtä suuriksi saadaan rajalla ASA£ —» 0 tarkka tulos, wm(r) = -2B-H

(7.64)

7.3. MAGNEETTINEN

JANNITYSTENSORI

123

Olemme todentaneet, että lauseke (7.61) on magneettikentän energiatiheys. Magneettikentän kokonaisenergia Wm on siis Wm = ^Jd3

r B H

(7.65)

Kaavat (7.64) ja (7.65) ovat sähköstatiikan vastaavien kaavojen (5.33) ja (5.34) vastineet magnetostatiikassa.

7.3.1

Vektoripotentiaalin fysikaalinen m e r k i t y s

Lausumme vielä magneettisen kokonaisenergian (7.65) potentiaalin A ja virrantiheyden j avulla. Eliminoimme kentän B kaavasta (7.65) potentiaaliesityksen B = V x A avulla, Wm = ^ I dh (V x A) • H

(7.66)

Käytämme nyt vektori-identtisyyttä V • (A x H) = (V x A) • H - A • (V x H)

(7.67)

Vektorin A x H pintaintegraali häviää, kun integroimispinta viedään äärettömyyteen. Yhtälön (7.53) avulla saamme silloin kaavasta (7.66) Wm = \ J d3r j • A

(7.68)

Lopputulos (7.68) on täsmälleen analoginen sähköstatiikan vastaavan tuloksen (5.10) kanssa, Ws = ^ J d 3 r p 0

(7.69)

On huomattava, että kaava (7.68) on johdettu olettamalla, että tilanne on stationaarinen, V-j = 0

(7.70)

Olemme myös koko ajan käyttäneet ehtoa V •A = 0

(7.71)

Samoin kaava (7.69) pätee sillä edellytyksellä, että lim (j>(r) = 0

|r|—>oo

(7.72)

124

LUKU 7. MAGNETOSTATIIKKA

VÄLIAINEESSA

Kaavojen (7.68) ja (7.69) avulla päädymme potentiaalien ^ ja A fysikaaliseen tulkintaan, ehtojen (7.71)-(7.72) vallitessa. Potentiaalit ovat yksinkertaisesti vastaavien kokonaisenergialausekkeiden funktionaaliderivaatat lähdetermien p ja j suhteen. Olemme jo todenneet tämän sähköstatiikan tapauksessa [vrt. yht. (5.18) ja (5.37)], 6W öp(r)'

'

(7.73)

Samoin, koska potentiaali A on j:n lineaarinen funktionaali, on SWm

Sji( r)

= 4(r)

(7.74)

ilkrfeitäkoon vieiä" varmuuden vuoksi,' että" yllä" esitetty potentiaalien fysikaalinen tulkinta edellyttää, että skalaaripotentiaali toteuttaa ehdon (7.72) ja että vektoripotentiaali A toteuttaa ehdon (7.71). Tämä on ns. Coulombin mittaehto vektoripotentiaalille A. Palaamme myöhemmin-yksityiskohtaisesti mittaehtojen asettamiseen, kun kentät E ja B esitetään skalaari- ja vektoripotentiaalien avulla yleisessä tapauksessa.

Luku 8 Faradayn laki j a Maxwellin yhtälöt 8.1

Faradayn induktiolaki

Tähän asti olemme käsitelleet staattisia ja stationaarisia sähkö- ja magneettikenttiä. Seuraavassa perehdymme ajasta riippuviin sähkömagneettisiin ilmiöihin. Perustava tällainen ilmiö on sähkömagneettinen induktio, jonka Faraday totesi 1830-luvulla (Michael Faraday, 1791-1867). Faradayn lähtökohta oli seuraava: jos kerran sähkövirta aiheuttaa magneettikentän, eikö magneettikenttä aiheuta sähkövirtaa? Faradayn kokeet johtivat kuitenkin siihen tulokseen, että stationaarinen magneettikenttä ei sinänsä aiheuta virtaa, vaan virta aiheutuu ajallisesti muuttuvasta magneettivuosta. Faradayn tulokset voidaan lausua seuraavasti.

Kuva 8.1: Johdinsilmukka C magneettikentässä B.

126

LUKU 8. FARADAYN

LAKI JA MAXWELLIN

YHTÄLÖT

Tarkastelemme magneettikentässä B olevaa johdinsilmukkaa, jonka sähkövastus on R (kuva 8.1). Silmukan läpi menevä magneettivuo $ m on määritelmän mukaan (8.1)

missä S(C) on pinta, jonka reunakäyrä dS on annettu silmukka C mutta joka muuten on mielivaltainen. Faraday totesi kokeissaan, että muuttuva vuo aiheuttaa silmukassa sähkövirran I seuraavasti:

Tämä on Faradayn induktiolaki, lyhyesti Faradayn laki. Miinusmerkki sisältää ns. Lenzin lain (Emil Lenz, 1804-1865): induktiovirta I vastustaa muutosta, joka sen aiheuttaa. On tärkeää pitää mielessä, että nimenomaan magneettivuon aikaderivaatta esiintyy kaavassa (8.2). Magneettivuo voi muuttua monesta syystä: silmukka £ liikkuu tai muuttaa muotoaan ajallisesti vakioisessa kentässä B, tai kenttä B muuttuu ajallisesti. Faradayn induktiolaki on kokeista päätelty samoin kuin Coulombin ja Amperen lait. Menettelemme kuten näiden kanssa: yleistämme lain ja puemme sen kenttäyhtälön muotoon. Tulkitsemme virran I esiintymisen johdinsilmukassa siten, että avaruuteen indusoituu muuttuvasta magneettivuosta aiheutuva sähkökenttä E. Tämä kenttä ei voi olla staattinen, koska staattinen kenttä on identtisesti nolla (ideaali)johteessa. Johtimessa kulkeva virta aiheutuu johtavuuselektroneista, jotka liikkuvat sähkökentän vaikutuksesta. Seuraava yksinkertainen tarkastelu antaa yhteyden sähkökentän E ja johtimen virrantiheyden j välille. Tarkastelemme yhtä johtimen elektronia (massa m, varaus —e). Reaalijohtimessa ei johtavuuselektroni liiku aivan vapaasti. Oletetaan, että siihen vaikuttaa kitkavoima, jonka suuruus on verrannollinen elektronin nopeuteen v. Elektronin liikeyhtälö on silloin dv m — = - e E - kv dt

v(8.3)

'

missä k on verrannollisuusvakio. Kun E ei riipu ajasta (se ei silti ole staattinen), yhtälön (8.3) ratkaisu on (8.4)

8.1. FARADAYN

INDUKTIOLAKI

127

missä vi on vakiovektori. Ajan t kasvaessa vi-termi pienenee nopeasti ja elektronin nopeus saavuttaa arvon v 0 := ~ E

(8.5)

Olkoon johtimen johtavuuselektronien varaustiheys p (< 0) ja keskinopeus kaavan (8.5) mukainen v 0 . Silloin virrantiheys on j = Pvo — —-y-E k

(8.6)

E:n kerroin on positiivinen; j ja E ovat yhdensuuntaiset. Kerroin on nimeltään johtavuus ja sitä merkitään cnlla,

— f

«">

Lopputulos tunnetaan Ohmin lakina, j = (JE

(8.8)

Ohmin laki (8.8) (Georg Simon Ohm, 1789^1854) on luonteeltaan samanlainen kuin aikaisemmin esitetyt sähkö- ja magneettikenttien rakenneyhtälöt. Kenttäkaavasta (8.8) saadaan Ohmin lain alkeellinen muoto V = RI seuraavasti. Tarkastelemme homogeenista ja tasapaksua suoraa johdinlankaa, jonka poikkipinta-ala on AS" ja pituus l (kuva 8.2). Tällaisessa johdinlangassa on virrantiheys j olennaisesti vakiovektori, joka on johdinlangan suuntainen. Laskemme toisistaan etäisyydellä l olevien johtimen pisteiden välisen potentiaalieron AU(l) := Ui — U2A 17(i) = Jda,E

= ±J

=

:= IR

(8.9)

Näin määritellyn R\n tunnistamme johdinlangan vastukseksi. Se on suoraan verrannollinen johdinlangan pituuteen ja kääntäen verrannollinen sen poikkipinta-alaan. Tuloksen (8.9) avulla voimme nyt tulkita Faradayn lakia (8.2). Korvaamme kaavassa (8.2) esiintyvän suureen IR sähkökentän E viivaintegraalilla silmukan yli, ds-E = - ^ - [ dS • B dt Js(c)

(8.10)

LUKU 8. FARADAYN

128

LAKI JA MAXWELLIN

YHTÄLÖT

l

AS

LA

i

u

> n J

u Kuva 8.2: Homogeeninen tasapaksu johdinlanka. Virrantiheys j on vakio ja virta on I = j • nAS. Oletamme nyt, etteivät silmukka £ ja pinta S(C) riipu ajasta. Soveltamalla Stokesin lausetta (liite B) kaavan (8.10) vasempaan puoleen ja viemällä derivoinnin integraalin sisälle oikealla puolella saamme tulokseksi (8.11)

Pinta S(£) on ajasta riippumaton mutta muuten mielivaltainen. Tämän seurauksena täytyy olla voimassa lokaalinen eli paikallinen yhtälö V x E + — = 0

(8.12)

Tämä on Maxwellin kolmas yhtälö. Kenttäyhtälö (8.12) on päätelty Faradayn laista (8.2) Ohmin lain avulla. Lopputulos ei enää sisällä mitään viittausta johdinsilmukkaan C, vaan sitä on pidettävä yleispätevänä kenttien E ja B välisenä relaationa. Itse yhtälöä (8.12) sanotaan toisinaan Faradayn laiksi. Huomautus. Koska oletimme kiinteän silmukan C ja pinnan S(C) yhtälöstä (8.10) eteenpäin, alkuperäinen Faradayn laki (8.2) on itse asiassa yleisempi kuin yhtälö (8.12). Liikkuvan silmukan tapaus voidaan käsitellä Lorentzin voiman avulla; ks. Feynmanin kirjaa [4].

8.2

Maxwellin yhtälöt

Olemme tähän mennessä päätyneet neljään osittaisdifferentiaaliyhtälöön, jotka liittävät sähkö- ja magneettikentän toisiinsa sekä kenttien lähteisiin p ja j. Nämä yhtälöt ovat V D =p (8.13) V -B = 0

(8.14)

8.2. MAXWELLIN

YHTÄLÖT

129

(8.15) V x H = j

(8.16)

Ensimmäinen yhtälö (8.13) on Gaussin laki (4.13), joka on päätelty Coulombin laista (2.1). Toinen yhtälö (8.14) on magnetostatiikan ensimmäinen perusyhtälö; sen mukaan ei magneettisia alkeisvarauksia (monopoleja) ole olemassa. Kolmas yhtälö (8.15) on päätelty Ohmin lain (8.8) avulla Faradayn induktiolaista (8.2). Neljäs yhtälö (8.16) on puolestaan Amperen lain (6.24) seuraus. Yllä käytämme makroskooppisia kenttiä D ja H. Tällöin edellytetään vielä, että meillä on rakenneyhtälöt, jotka liittävät nämä kentät E:hen ja B:hen. Lukuun ottamatta yhtälöä (8.15) olemme johtaneet yllä olevat kenttäyhtälöt on vain staattisissa tai stationaarisissa tapauksissa. Ei voida ilman muuta väittää, että ne olisivat voimassa yleisesti. Itse asiassa yhtälöt (8.13)—(8.16) ovat ristiriitaisia, jos niissä esiintyvät suureet riippuvat ajasta. Ristiriita paljastuu, kun otetaan huomioon perusluonteinen varauksen säilymislaki, joka johtaa jatkuvuusyhtälöön (6.11), V.j(r,t)

+

^ M

= 0

(8.17)

Viimeinen, Amperen lakiin (6.24) perustuva yhtälö (8.16), on voimassa vain jos j on stationaarinen, sillä 0 = V • (V x H) = V • j

(8.18)

Yhtälöstä (8.17) tällöin seuraa, että varaustihevs on ajallisesti vakio. Maxwell keksi yksinkertaisen keinon yhtälön (8.16) korjaamiseksi ei-stationaarisiin tilanteisiin. Korjaus perustuu seuraavaan päättelyyn. Yhdistämällä kaavat (8.13) ja (8.17) saadaan (8.19) Kaava (8.19) määrittelee siis lähteettömän vektorikentän, joka voidaan sijoittaa yhtälön (8.16) oikealle puolelle; stationaarisessa tapauksessa dT)/dt = 0. Maxwellin ehdottama yhtälön (8.16) yleistys on siis (8.20)

130

LUKU 8. FARADAYN

LAKI JA MAXWELLIN

YHTÄLÖT

Yhtälön (8.20) lisätermiä dD/dt kutsutaan Maxwellin kentänmuutosvirraksi. Yhtälöt (8.13)—(8.15) ja (8.20) ovat Maxwellin yhtälöt lopullisessa muodossaan: V • D = p, ^ x r, V E = - ÖB - ,

V •B = 0 „ xH TT V = J . + ÖD(8.21)

Näitä yhtälöitä johtaessamme emme ole tutkineet yleistä aikariippuvuutta. Kaiken klassisen sähködynamiikan kokemuksen perusteella yhtälöt kuitenkin pätevät kaikissa tilanteissa. Huomautamme vielä, että varauksen säilymisen lausuva jatkuvuusyhtälö on sisällytetty Maxwellin yhtälöihin. Sähködynamiikan täydellinen yhtälöjoukko koostuu Maxwellin yhtälöistä, Lorentzin voimasta ja tarvittavista rakenneyhtälöistä. Yksinkertaisten isotrooppisten väliaineiden tapauksessa meillä on rakenneyhtälöinä D = eE,

H = —B (8.22) M Jos väliaine on johde, meillä on rakenneyhtälönä lisäksi Ohmin laki (8.8) j =

ctE

(8.23)

Rakenneyhtälöiden täydentäminä Maxwellin yhtälöt (8.21) muodostavat yhtälöryhmän, joka määrittää kentät E ja B lähteiden p ja j (ja alkuehtojen) avulla. Kentät E ja B puolestaan vaikuttavat lähteisiin Lorentzin voiman (1.5) mukaisesti. Voimatiheytenä f (voima/tilavuus) lausuttuna Lorentzin voima on f = pE + j x B (8.24) Ohmin laki on yksinkertainen esimerkki siitä, miten kenttä vaikuttaa lähteisiin. On tähdennettävä, että yhtälöt (8.22) ja (8.23) ovat yksinkertaisia fenomenologisia rakenneyhtöläitä, joiden paikkansapitävyys on tutkittava erikseen jokaisen sovelluksen yhteydessä. On olemassa tilanteita, joissa nämä yhtälöt ovat huonoja tai peräti kelvottomia approksimaatioita. Palaamme vielä sähkömagneettisten kenttien yleisiin reunaehtoihin Maxwellin yhtälöiden (8.21) pohjalta. Aikaisemmin johtamamme D- ja Bkenttien normaalikomponenttien reunaehdot ovat, yhtälöt (4.25) ja (7.19), n-(D0-Di)=ap,

n • (B 0 - B x ) = 0

(8.25)

8.3. KENTÄT

TYHJÄSSÄ

AVARUUDESSA

131

missä pintavaraustiheyttä on nyt merkitty <jp:llä erotukseksi johtavuudesta a. Nämä yhtälöt perustuvat kahteen ensimmäiseen Maxwellin yhtälöön (8.21) ja pätevät sellaisinaan. Koska suureet <9B jdt ja dD/dt ovat äärellisiä rajapinnoilla, aiemmat suorakaidepäättelymme [vrt. yht. (4.28) ja (7.24)] johtavat myös nyt tangenttikomponentteja koskeviin tuloksiin nx(E0-Ei)=0,

n x (H 0 — Hi) = K

(8.26)

missä K on pintavirrantiheys. Kuten edellä esitystä ilmenee, ei voida väittää, että Maxwellin yhtälöt (8.21) olisi sitovasti johdettu Coulombin, Amperen ja Faradayn laeista sekä varauksen säilymisestä. Toisaalta Maxwellin yhtälöt ennustavat moninaisia, nykyään arkisinakin pidettyjä ilmiöitä. Näiden ennusteiden kokeellinen todentaminen antaa aiheen uskoa Maxwellin yhtälöihin yleisinä klassisina kenttäyhtälöinä. Vasta kvanttifysiikka tuo uusia piirteitä sähködynamiikkaan. Kvanttifysiikan ja klassisen sähködynamiikan pohjalta on kehitetty kvanttisähködynamiikka, joka kuitenkin on tämän esityksen ulkopuolella.

8.3 8.3.1

K e n t ä t tyhjässä avaruudessa Potentiaalien m i t t a m u u n n o k s e t

Siinä tapauksessa, että avaruudessa ei ole polaroituvaa tai magnetoituvaa ainetta, Maxwellin yhtälöt (8.21) saavat yksinkertaisen muodon, V • E = —p

(8.27)

V •B = 0

(8.28)

<9B V x E = —— at _ _ . 1 3E V x B = /x0j + ? —

(8.29) , (8.30)

missä olemme käyttäneet tyhjiön permittiivisyyden e0 ja permeabiliteetin /io välistä perusrelaatiota (6.32), eoPo = \ c

(8.31)

132

LUKU 8. FARADAYN

LAKI JA MAXWELLIN

YHTÄLÖT

Osoitamme nyt, että homogeeniset, ts. lähdetermit tömät:, Maxwellin yhtälöt (8.28) ja (8.29) voidaan ratkaista yleisesti käyttämällä kenttien E ja B potentiaaliesitystä. Lähtökohtana on yhtälö (8.28). Kappaleessa 2.7 esitettyjen tulosten perusteella lähteettömyysehto (8.28) takaa sen, että vektorikenttä B voidaan entiseen tapaan esittää roottorina, B = V x A

(8.32)

Sijoittamalla tämän toiseen homogeeniseen Maxwellin yhtälöön (8.29) saamme V x (E ;

0

(8.33)

Tämä pyörteettömyysehto takaa puolestaan sen, että kenttä E -I- dA/dt voidaan esittää gradienttina, dA E + _ : = - V 0

(8.34)

Edellä määritellyt suureet (f) ja A ovat yleinen skalaari- ja vektoripotentiaali. Ne eivät tietenkään seuraa yksikäsitteisesti ehdoista (8.32) ja (8.34). Vaikuttamatta yhtälön (8.32) esittämään kenttään B voidaan vektoripotentiaaliin A lisätä mielivaltainen gradienttikenttä, A ->• A' := A - VA

(8.35)

Jottei yhtälön (8.34) esittämä kenttä E muuttuisi, skalaaripotentiaalia on (f) muutettava vastaavasti, dj •=

DA

~dt

(8.36)

Muunnoksia (8.35) ja (8.36) kutsutaan (historiallisista syistä) mittamuunnoksiksi. Ne ovat erittäin tärkeitä varsinkin kvanttimekaniikan yhteydessä. Potentiaaliesitykset (8.32) ja (8.34) ovat vastaavien staattisten ja stationaaristen potentiaaliesitysten yleistyksiä. On muistettava, että potentiaalit ja A ovat vain funktion A tuottamaa mittamuunnosta vaille määritettyjä. Tämän ylimääräisen vapausasteen poistamiseksi on potentiaaleille 4> ja A asetettava lisäehto. Kappaleesta 2.7 tiedämme, että jos potentiaali A häviää riittävän nopeasti äärettömyydessä, ehto V •A = 0

(8.37)

8.3. KENTÄT

TYHJÄSSÄ

AVARUUDESSA

133

on mahdollinen mittaehto [vrt. magnetostatiikan yhtälöihin (6.50) ja (7.29)]. Ehtoa (8.37) kutsutaan Coulombin mittaehdoksi tai lyhyesti Coulombin mitaksi. Tätä ehtoa käytettäessä on jokaisen mahdollisen vektoripotentiaalin noudatettava vaatimusta (8.37). Yhtälöstä (8.35) seuraa silloin, että mittafunktion A on täytettävä ehto V2A = 0

(8.38)

Potentiaalin A vaaditun asymptoottisen (|r| —» oo) käyttäytymisen vuoksi funktio A on rajoitettu äärettömyydessä. Harmonisuusehdon (8.38) perusteella A:n täytyy silloin olla avaruusriippuvuudeltaan vakio, mutta se voi olla ajan funktio. Jos vielä voidaan vaatia, että yhtälön (8.34) skalaaripotentiaali (j) häviää äärettömyydessä, yhtälön (8.36) mukaan on oltava ÖA joten A on vakio sekä ajan että paikan suhteen. Tässä esitettyjen asymptoottisten ehtojen ollessa voimassa Coulombin mittaehto (8.37) on siis täydellinen: se kiinnittää potentiaalit A ja ^ epäolennaista vakiota vaille. On olemassa muita täydellisiä mittaehtoja sekä myös epätäydellisiä (mutta muuten mahdollisesti hyödyllisiä) mittaehtoja, kuten pian näemme. Olemme muotoilleet homogeenisten Maxwellin yhtälöiden (8.28) ja (8.29) ratkaisut potentiaaliesitysten (8.32) ja (8.34) avulla. Jäljellä ovat epähomogeeniset Maxwellin yhtälöt. Sijoitamme nyt kenttien potentiaaliesitykset (8.32) ja (8.34) ilman mittaehtoja viimeiseen Maxwellin yhtälöön (8.30). Tulos on 192A c , d t ,

__ s „(ldj> " V A ^ j - V ^ + V-Aj

(8.40)

Tämän yhtälön yksinkertaistamiseksi käytämme edellisestä poikkeavaa, ns. Lorenzin mittaehtoa (Ludvig V. Lorenz, 1829-1891) i f

+ V.A = 0

(8.41)

Palaamme kohta lähemmin mittaehtoon (8.41). Tässä oletamme, että se on voimassa. Määrittelemme d'Alembertin operaattorin eli aalto-operaattorin: 1 d2

134

LUKU 8. FARADAYN

LAKI JA MAXWELLIN

YHTÄLÖT

Vektoripotentiaalin A yhtälöksi tulee silloin • A = /i 0 j

(8.43)

Tämä yhtälö on vektoripotentiaalin epähomogeeninen aaltoyhtälö. Sijoittamalla potentiaaliesitys (8.34) ja mittaehto (8.41) epähomogeeniseen Maxwellin yhtälöön (8.27) saadaan U<j>=-p = p0c2p

(8.44)

Tämä on samanmuotoinen kuin vektoripotentiaalin epähomogeeninen aaltoyhtälö (8.43). Potentiaalien

Ä

= 0+ ^

(8.45)

A = Ä - VA

(8.46)

Jos mittafunktio A voidaan valita niin, että ehto (8.41) pätee kaavojen (8.45) ja (8.46) määrittelemiin potentiaaleihin (j> ja A, mittaehto (8.41) on mahdollinen ehto. Ehdosta (8.41) seuraa mittafunktion A yhtälöksi

Epähomogeenisella aaltoyhtälöllä (8.47) on yleensä ratkaisuja, jos yhtälön oikea puoli toteuttaa eräitä lieviä säännöllisyysehtoja. A siis voidaan ainakin periaatteessa ratkaista yhtälöstä (8.47), joten Lorenzin mittaehto (8.41) on mahdollinen. Ilman lisäehtoja (reunaehtoja tms.) yhtälö (8.47) ei määritä mittafunktiota A yksikäsitteisesti; erikoisratkaisuun voidaan aina lisätä homogeenisen aaltoyhtälön •A/i = 0

(8.48)

mielivaltainen ratkaisu A h- Lorenzin mittaehto (8.41) ei siis ole täydellinen; mitta on homogeenisen aaltoyhtälön (8.48) ratkaisua vaille määrätty.

8.4. VARAUKSISEN

8.4

HIUKKASEN

LIIKE

KENTÄSSÄ

135

Varauksisen hiukkasen liike kentässä

Tehtävänämme on määrittää sähkövarauksisen pistemäisen hiukkasen (varaus q, massa m) liike annetussa sähkömagneettisessa kentässä E, B. Hiukkasen liikkeen differentiaaliyhtälö on Newtonin mekaniikan mukaan mv = g(E + r x B) = F

(8.49)

Lorentzin voimayhtälön (1.5) mukaisesti. Kentät E ja B ovat tässä annettuja ajan ja paikan funktioita, E = E(r, t),

B = B(r, t)

(8.50)

Haluamme muuntaa liikeyhtälön (8.49) kanoniseen Hamiltonin mekaniikan mukaiseen muotoon. Tähän tarvitaan potentiaaliesityksiä (8.32) ja (8.34). Potentiaalien (r, t) ja A(r, t) avulla lausuttuna Lorentzin voiman lauseke (8.49) on F = q [ - V 0 - dtA + v x (V x A)]

(8.51)

Tässä ja jatkossa käytämme karteesisia koordinaatteja r = (xi, x2, £3) ja ly hennysmer kintöj ä (8.52) Tarkastelemme suuretta v x (V x A), [v x (V x A)]j = ^ v A A 3 - v • VAi 3=1

(8.53)

Toisaalta meillä on kokonaisderivaatta [vrt. yht. (6.9)] ' d A(r,t) = ( v V ) A ( r , t ) + ^ A ( r , t ) dt

(8.54)

ja, koska nopeudet ja koordinaatit ovat riippumattomia muuttujia, VjdiAj = öi(v • A) 3=1

(8.55)

Näiden kaavojen avulla saadaan Lorentzin voiman F lauseke (8.51) muotoon d A" F = q —V0 + V(v • A) — (8.56) dt

136

LUKU 8. FARADAYN

LAKI JA MAXWELLIN

YHTÄLÖT

Edelleen on d dt

d_ ^ N ~dt OVi

_ d dt

+ v-A)

(8.57)

sillä skalaaripotentiaali ei riipu nopeudesta v. Lopputulokseksi saadaan d F ^ - J L t o - v r - V + z dv. (q(f> - qv • A)

(8.58)

Tulos (8.58) osoittaa, että Lorentzin voima on lausuttava Lagrangen mekaniikan mielessä yleistetyn potentiaalienergian U(r, v) avulla, U := q — qv • A

(8.59)

Liikeyhtälö (8.49) on yhtälön (8.58) perusteella mx; =

dU dxi

d dU dt dii

(8.60)

Muodostamme nyt Lagrangen funktion L, L := -mv2 2

—U

(8.61)

Siitä saadaan liikeyhtälöt (8.60) 8L dxs

—— - 0 dt dvi

(8.62)

Lagrangen liikeyhtälöt (8.62) ovat toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä. Siirrymme niistä Hamiltonin kanonisiin liikeyhtälöihin, jotka ovat ensimmäistä kertalukua. Koordinaatteja Xi (i = 1, 2, 3)vastaavat kanoniset liikemäärät pi ovat ÖL Pi := — = mvi + qAi (8.63) OVi On tärkeää huomata, että kanoninen liikemäärä p ei ole sama kuin hiukkasen mekaaninen liikemäärä mv; sähkömagneettinen kenttä antaa lisätermin qA. Hamiltonin funktio on H(r,p,t)

:= v • p - L

(8.64)

Yhtälöistä (8.59), (8.61) ja (8.63) saamme sen lausekkeeksi

H = _(p-9A)»

+

(8.65)

8.5. MAGNEETTISET

MONOPOLIT

137

Hamiltonin liikeyhtälöt ovat

dA dxi (8.66)

Derivoimalla ensimmäinen yhtälöistä (8.66) ajan suhteen ja eliminoimalla p näiden yhtälöiden avulla saadaan (harjoitustehtävä) (8.67) eli juuri alkuperäinen Newtonin liikeyhtälö (8.49), missä voima F on kaavan (8.56) mukainen. Yllä hahmoteltu Hamiltonin formalismi on varauksisten hiukkasten ja sähkömagneettisten kenttien kvanttimekaanisen kuvauksen perusta. Tällaisen järjestelmän Schrödingerin yhtälö saadaan suoraan Hamiltonin funktion (8.65) avulla muuntamalla tämä kvanttimekaaniseksi operaattoriksi. On aiheellista huomata, että Hamiltonin formalismissa eivät esiinny kentät E ja B vaan potentiaalit <> / ja A. Tämä liittyy siihen, että Gaussin laki ja B-kenttien lähteettömyysehto V • E = — p,

V •B = 0

(8.68)

eivät ole varsinaisia liikeyhtälöitä, ne kun eivät sisällä aikaderivaattoja. Jälkimmäinen näistä toteutuu identtisesti, kun kentät E ja B lausutaan potentiaalien <$> ja A avulla, kuten aiemmin on osoitettu. Potentiaalit 0 ja A eivät kuitenkaan ole suoraan mitattavia suureita. Tämä ilmenee esimerkiksi siitä, että niihin voidaan tehdä mittamuutoksia.

8.5

Magneettiset monopolit

Olemme aikaisemmin sanoneet, että Maxwellin toinen yhtälö (8.21), ts. magneettivuon tiheyden B lähteettömyysehto V •B = 0

(8.69)

138

LUKU 8. FARADAYN

LAKI JA MAXWELLIN

YHTÄLÖT

on suora seuraus siitä, että ei ole olemassa magneettisia varauksia. Tämä päätelmä perustuu siihen, että yhtälö (8.69) on analoginen sähkövuon tiheyttä D koskevan vastaavan yhtälön kanssa [Gaussin laki eli Maxwellin ensimmäinen yhtälö (8.21)], V • D = pe

(8.70)

missä nyt merkitsemme varaustiheyttä pe:llä. Yhtälö (8.69) ei kuitenkaan välttämättä kiellä magneettisten varausten eli magneettisten monopolien olemassaoloa, kuten seuraavassa osoitamme. Olettakaamme, että sähkövarausten qe lisäksi on olemassa myös magneettivarauksia qm. Merkitsemme magneettivaraustiheyttä p m :llä ja vastaavaa virrantiheyttä j m :llä. Maxwellin yhtälöiden (8.21) luonnollinen yleistys on silloin V • D = pe, —V x E = j m + dtB ,

V • B — pm V x H = j e + dfD (8.71)

Oletamme yksinkertaisen tapauksen D = e0E ,

B = /i 0 H

(8.72)

Yhtälöt (8.71) ovat invariantteja seuraavien ns. dyaliteettimuunnosten suhteen (a on mielivaltainen parametri): E

E' = E cos a + cB sin a

cB —» cB' = —E sin a + cB cos a (8.73) ja 1 qe —> q'e = qe cos a H qm sin a Po c 1 Qm -> Qm = Qe sin a. + qm COS a 6QC

(8.74) Yhtälöistä (8.74) seuraa, että varaustiheydet pe, pm ja virrantiheydet j e , j m muuntuvat samalla tavalla kuin varaukset qe, qm. Yhtälöiden (8.71)

8.5. MAGNEETTISET

MONOPOLIT

139

invarianssi muunnosten (8.72)-(8.74) suhteen tarkoittaa sitä, että samat yhtälöt pätevät kenttiin E', H', D' ja B': V-D'=ye, - V x E' = j' m + d t B',

V - B ' = p'm V x H' = j' e + dtD' (8.75)

Dyaliteettimuunnosten avulla voimme myös päätellä, mikä on Lorentzin voiman (1.5) yleistys koskemaan magneettista varausta qm. Sähkövaraukseen qe vaikuttava Lorentzin voima on F e = qe(E + v x B)

(8.76)

Suorittamalla dyaliteettimuunnos kulman a arvolla 7t/2 saadaan Fra = ? r a ( H - v x D )

(8.77)

Lähtökohtanamme olivat kenttäyhtälöt (8.71), jotka kuvaavat sähköjä magneettivarauksista aiheutuvia kenttiä. Jos kaikkien hiukkasten sähköjä magneettivarausten suhde on sama, voidaan magneettivaraukset qm poistaa kokonaan suorittamalla kulman qm a = arctan ( — — \l cqeJ

(8.78)

suuruinen kierto. Silloin nimittäin muunnetut yhtälöt (8.75) palautuvat täsmälleen Maxwellin yhtälöiksi (8.21). On siis tietyssä mielessä puhdas konventio, kun sanomme, että tavalliset Maxwellin yhtälöt (8.21) eivät salli magneettisia monopoleja. Kysymys magneettisten monopolien olemassaolosta on viime kädessä kokeellinen. Tämä kysymys on pitkään ollut kokeilijoiden huomion kohteena. Aika ajoin on julkaistu tuloksia, jotka viittaavat siihen, että monopoleja on olemassa. Tarkemmat analyysit ovat kuitenkin paljastaneet, että lähes kaikki nämä tiedonannot ovat olleet virheellisiä. B. Cabreran 1982 julkaisema raportti [Physical Review Letters 48 (1982) 1278] viittaa monopolien olemassaoloon. Tätä tietoa ei ole myöhemmin varmistettu eikä kumottu, joten kysymys magneettisten monopolien olemassaolosta on avoin.

140

LUKU 8. FARADAYN

LAKI JA MAXWELLIN

YHTÄLÖT

_

Luku 9 K e n t ä n energia j a liikemäärä Olemme luvuissa 5 ja 7 käsitelleet staattisten ja stationaaristen kenttien energiaa. Tässä luvussa yleistämme aikaisemmat tulokset yleisiin dynaamisiin (ajasta riippuviin) kenttiin — kuitenkin yksinkertaisuuden vuoksi ilman väliaineita — sekä johdamme sähkömagneettisen kentän liikemäärän. Nämä tarkastelut johtavat myös luontevasti Maxwellin yhtälöiden yksikäsitteisyyslauseeseen, jonka todistamme tämän luvun lopussa.

9.1 9.1.1

Sähkömagneettisen kentän energia Energian säilyminen, P o y n t i n g i n lause

Tarkastelemme aluksi pistemäistä varausta q annetussa kentässä (E,B). Olkoon varauksen nopeus v tiettynä hetkenä t. Varaukseen vaikuttaa Lorentzin voima (1.5), F = g(E + v x B )

(9.1)

joten pistevarauksen energian lisäys dW matkalla ds = vdt on dW = qE • vdt eli

dW l r

= ,E.v

(9.2)

(9.3)

Tämä ilmaisee kentän varaukselle q luovuttaman tehon eli kentän tehohäviön. Huomaamme, että magneettikenttä ei vaikuta tässä, koska v J_ v x B.

LUKU 9. KENTÄN

142

ENERGIA

JA

LIIKEMÄÄRÄ

Edellisen yleistyksenä tarkastelemme tilannetta, jossa meillä on jatkuva varaustiheys, mutta ei polaroituvaa tai magnetoituvaa ainetta. Silloin kentän tehohäviö äärellisessä alueessa V on ^ f

i

= j(/3rj(r,i)-E(r,t)

(9.4)

Kentän tehohäviö (9.4) tarkoittaa sitä, että kentän energia pienenee sen muuttuessa virrantiheyden j aiheuttavien varausten mekaaniseksi energiaksi. Käytämme nyt Maxwellin yhtälöitä (8.27)-(8.30) todetaksemme energian säilymisen lähtien kaavasta (9.4). Eliminoimme virrantiheyden j yhtälöstä (9.4) viimeisen Maxwellin yhtälön (8.30) avulla, [ d3r j • E = [ d3r [E • (V x H) - E • <9tD] Jv Jv

(9.5)

missä olemme yksinkertaisuuden vuoksi käyttäneet kenttiä D ja H, jotka tyhjiössä ovat D = e0E ,

H=—B

(9.6)

Käytämme nyt vektori-identtisyyttä V • (E x H) = (V x E) • H - (V x H) • E

(9.7)

ja Maxwellin yhtälöä (8.29), joten E - (V x H) = - ( 9 t B ) • H - V • (E x H)

(9.8)

Sijoittamalla tulos (9.8) kaavan (9.5) saadaan [ d3rj-E Jv

= - / d3r [ V • (E x H) + (ö t B) • H + (0 t D) • E ] Jv

(9.9)

Olemme aikaisemmin todenneet [vrt. yht. (5.16)], että sähköstaattisen kentän energiatiheys ws on ws = ~ E D

(9.10)

ja että magnetostaattisen kentän energiatiheys wm on [yht. (7.64)], Wm = \ B - H

(9.11)

9.1. SÄHKÖMAGNEETTISEN

KENTÄN

ENERGIA

143

Oletamme nyt, että energiatiheyksien (9.10) ja (9.11) summa edelleen yleisessä ajasta riippuvassa tapauksessa on yhtä kuin kenttien (E, B) kokonaisenergiatiheys w, w(r, t) = ^ E ( r , t) • D(r, t) + ^ B ( r , t) • H ( r , t)

(9.12)

Kaava (9.9) saa nyt muodon f d3r | ^

^

+ V • [E(r, t) x H ( r , t)]} = - J dh j(r, t) • E(r, t) (9.13)

Tässä esiintyvä vektorisuure S(r, t) := E(r, t) x H ( r , t)

(9.14)

on tehovuon tiheys; sen laatu on energia/(pinta-alaxaika). Sitä kutsutaan Poyntingin vektoriksi ja kaavaa (9.13) Poyntingin lauseeksi (John Henry Poynting, 1852-1914). Tämän lauseen sisältö on juuri energian säilyminen, kuten seuraavasta nähdään. Avaruuden alueessa V olevan kentän energia Wken=

n

on

f d3rw(r,t) Jv

(9.15)

Koska V ei riipu ajasta, aikaderivointi voidaan siirtää integraalin eteen yhtälössä (9.13). Yhdistämällä yhtälöt (9.4) ja (9.13) ja käyttämällä divergenssilausetta saamme d

Twken

dt

d + Twmek dt

f = - / d2a n • S J dv

(9.16)

missä olemme merkinneet pinnan dV pinta-alkiota d?a\ 11a ja n on pinnan dV ulkonormaali. Kaavan (9.16) oikea puoli esittää pinnan dV läpi menevää tehovuota, joten tulos (9.16) sisältää kokonaisenergian säilymisen. Yhtälön (9.13) johdossa ei tehty mitään erityisiä oletuksia alueesta V. Täten yhtälöstä (9.13) voidaan lukea paikallinen yhtälö ^

+ V-S = - j - E

joka jatkuvuusyhtälön muotoisena ilmaisee energian säilymisen.

(9.17)

LUKU 9. KENTÄN

144

9.2

ENERGIA

JA

LIIKEMÄÄRÄ

K e n t ä n liikemäärä

Osoitamme nyt, että sähkömagneettisella kentällä (E, B) on paitsi energiaa myös liikemäärää. Lähtökohtana on taas Lorentzin voiman lauseke (9.1). ' Olkoon meillä ensin yksi varauksinen hiukkanen (varaus q). Jos hiukkasen liikemäärä on pmek> sen liikeyhtälö on ^Pmek = g(E + V X B)

(9.18)

Yleistämme tämän liikkuvien varausten parveen, jota kuvaavat varaustiheys p ja virrantiheys j. Mielivaltaiseen alueeseen V sisältyvän varausparven liikeyhtälöksi tulee ^Pmek = y ^ 3 r ( p E + j x B )

(9.19)

missä P m e k on hiukkasten kokonaisliikemäärä. Yhtälön (9.19) integroitava on yleinen sähkömagneettinen voimatiheys (8.24). Eliminoimme lähdetermit tästä yhtälöstä Maxwellin yhtälöiden (8.27) ja (8.30) avulla, p = e0V • E = V • D

(9.20)

j = — V x B - e0dtE = V x H - dtB Po

(9.21)

Silloin saadaan pE + j x B = (V • D ) E + (V x H) x B - (ö t D) x B = (V • D ) E - D x (V x E) + (V • B ) H - B x (V x H) - dt{D x B)

(9.22)

missä olemme vielä käyttäneet Maxwellin toista ja kolmatta yhtälöä (8.28) ja (8.29). Toisaalta saamme

[(V • D ) E - D x (V x E)]j = ^ dj (eoEiEj j=i ^

E2] '

3

= 5 3 djT l3 j=i

(9.23)

9.3. KENTTAYHTALOIDEN

YKSIKASITTEISYYSLAUSE

145

missä Tij on juuri kaavassa (5.63) määritelty E-kentän Maxwellin jännitystensori. Samoin saammme [(V • B ) H - B x (V x H)]j = £ 3=1

(9.24)

missä Tf™^ on kaavassa (7.56) määritelty magneettinen jännitystensori. Kokoamalla edelliset tulokset saamme kaavasta (9.19) |

(Pmek + J v d 3 r D x B )

= P J

+Tt]>h

a v

(9-25)

Kun pinta dV valitaan niin etäiseksi, että kentät häviävät siellä, yhtälön (9.25) oikea puoli on nolla. Vasemmalla puolella oleva suure (.. ,)j on silloin säilyvä suure. Sen luonnollinen tulkinta on, että se on varausten ja kenttien muodostaman kokonaisjärjestelmän liikemäärän i-komponentti. Sähkömagneettisella kentällä on täten liikemäärää, jonka tiheys on D x B = e0p0E x H = —S 1

(9.26)

c

Vektori S on Poyntingin vektori (9.14). Kentällä on täten myös pyörimismäärää, jonka tiheys on •4- r x S c

9.3

(9.27)

K e n t t ä y h t ä l ö i d e n yksikäsitteisyyslause

Oletamme edelleen, että avaruudessa ei ole polaroituvaa tai magnetoituvaa ainetta, joten D = e 0 E,

H = —B Ho Maxwellin yhtälöt (8.21) tai (8.27)-(8.30) ovat V •D =

p,

V x H = j + <9fD ,

(9.28)

V •B = 0 V x E =

-dtB (9.29)

Yhtälöt (9.29) muodostavat osittaisdifferentiaaliyhtälöryhmän kenttien E ja B ratkaisemiseksi, kun relaatiot (9.28) otetaan huomioon.

146

LUKU 9. KENTÄN

ENERGIA

JA

LIIKEMÄÄRÄ

On aiheellista kysyä, millä ehdoilla yhtälöryhmällä (9.29) on yksikäsitteinen ratkaisu kentiksi E ja B. Tarkastelemme yhtälöitä (9.29) alueessa LT x (V U dV)

(9.30)

Lt = {t | 0 < t < T}

(9.31)

missä ja VVJdV on yhtenäinen ja äärellinen umpinainen avaruusalue. Oletamme, että kenttien E ja B alkuarvot tunnetaan hetkellä t = 0, E(r,0) = f ( r ) ,

B(r, 0) = g(r)

(9.32)

missä siis f ja g ovat tunnettuja vektoriarvoisia paikan r 6 V funktioita. Olettakaamme, että on olemassa kaksi yhtälöiden (9.29) ratkaisua Ei ja E 2 sekä B x ja B 2 , jotka toteuttavat alkuehdot (9.32). Muodostamme näiden ratkaisujen erotukset, £ := Ei — E 2 ,

E:=Bi-B2

(9.33)

B(r,0) = 0

(9.34)

jotka siis toteuttavat ehdot £(r, 0) — 0, Merkitsemme edelleen V:=e0£,

H := —B Mo

(9.35)

Maxwellin yhtälöt (9.29) ovat lineaarisia yhtälöitä. Yllä määritellyt erotuskentät toteuttavat siis lähteettömät Maxwellin yhtälöt: V - D = 0, V xn

= dtV,

V'B

=0

V x ^ =

-dtB (9.36)

Aivan samalla tavalla kuin Poyntingin lause (9.13) johdettiin, seuraa nyt yhtälöistä (9.36), että ^ [ d 3 r u ( r , t ) = - f d2a n • (£ x U) dt Jv Jov

(9.37)

missä u{r,t) = \ s -V + \b-U Zj ZJ

(9.38)

9.3. KENTTAYHTALOIDEN

YKSIKASITTEISYYSLAUSE

147

Oletamme lisäksi reunaehtona Maxwellin yhtälöille (9.29), että joko Ekentän tai B-kentän tangenttikomponentit annetaan reunalla dV. Tällöin on voimassa n • (£ x W) | d v = 0 (9.39) Integroimme yhtälön (9.37) ajan suhteen välillä (0,t), missä t e LT on mielivaltainen piste. Kun alkuehdot (9.34) otetaan huomioon, saamme [ d3rw(r, t) — 0 Jv

(9.40)

Mutta [ks. yht. (9.35) ja (9.38)] ^ >

= t

£ 2 +

i

s 2

<9'41>

on ei-negatiivinen, joten yhtälö (9.40) voi toteutua vain jos £ = B = 0,

reV

(9.42)

Olemme siis päätyneet siihen, että Maxwellin yhtälöiden ratkaisut ovat yksikäsitteisiä yllä annetuilla alku- ja reunaehdoilla. Yllä todistimme Maxwellin yhtälöiden yksikäsitteisyyslauseen vain äärellisen avaruusalueen V tapauksessa. Lauseen laajentaminen koko avaruuteen R 3 on mahdollista. Tällöin voidaan ajatella, että ensin valitaan V = {r | |r| < R}

(9.43)

ja sitten suoritetaan rajankäynti R —> oo. Ehdon (9.39) tilalle tulee nyt lim /

<Pan- {£ x H) = 0

(9.44)

J\T\=R

Tämä ehto takaa Maxwellin yhtälöiden ratkaisujen E ja B yksikäsitteisyyden annetuilla alku- ja reunaehdoilla, kun alue V on koko avaruus R3. Todistamamme yksikäsitteisyyslause osoittaa, että tiettyyn hetkeen to (yllä to = 0) pätevien alkuehtojen lisäksi tarvitaan myös reunaehtoja tarkasteltavan alueen V reunalla dV, jotta Maxwellin yhtälöiden ratkaisut olisivat yksikäsitteisiä. Reunaehdot (9.39), tai vaihtoehtisesti (9.44) tapauksessa V = R3, ovat yksinkertaisia esimerkkejä tällaisista reunaehdoista. Sovelluksissa on aina tutkittava reunaehdot ongelmakohtaisesti. Reunaehdot (9.39) tai vaihtoehtoisesti (9.44), kun V = R3, saattavat asettaa liian ankaria vaatimuksia Maxwellin yhtälöiden ratkaisuille joissakin tapauksissa.

Luku 10 K e n t t i e n E j a B aaltoyhtälöt 10.1

Yleinen aaltoyhtälö

Luvussa 8 osoitimme, että skalaari- ja vektoripotentiaali toteuttavat epähomogeenisen aaltoyhtälön, kun käytetään Lorentzin mittaa. Tämä antaa aiheen uskoa, että myös kentät E ja B toteuttavat aaltoyhtälön. Osoitamme tämän todeksi. Oletamme, että avaruudessa on magnetoituvaa ja polarisoituvaa isotrooppista ainetta, mutta yksinkertaisuuden vuoksi oletamme, että aineen johtavuus on tasan nolla. Rakenneyhtälöt ovat silloin D = eE

(10.1)

(10.2)

Alueessa, jossa permittiivisyys e ja permeabiliteetti /1 ovat vakioita, Maxwellin yhtälöt (8.21) ovat nyt 1 V • E = -p e

(10.3)

V •B = 0

(10.4) (10.5) (10.6)

150

LUKU 10. KENTTIEN

E JA B

AALTOYHTALOT

Soveltamalla vektorioperaattoria V x yhtälöön (10.5) ja käyttämällä muita yhtälöitä (10.3)-(10.6) saadaan ^ - V » E = - i v , - „ !

(10.7)

Samalla tavalla saadaan yhtälöstä (10.6) ja muista yhtälöistä (10.3)—(10.5) <92B e p — -V2B = pVxj

(10.8)

Yhtälöissä (10.7) ja (10.8) esiintyy aalto-operaattori (10.9) missä v

2

: = - = c

e/i

2

^

e/i

(10.10)

Kaavassa (10.10) olemme käyttäneet valon nopeuden c ja tyhjiövakioiden eo ja /i0 välistä perusrelaatiota (6.32). Toteamme siis, että sähkömagneettiset kentät toteuttavat epähomogeenisen aaltoyhtälön, johon tyhjiössä liittyy vaihenopeus ^ l / e 0 f i 0 . Tämän suureen on aiemmin todettu olevan numeerisesti hyvin tarkasti sama kuin valon nopeus c. Aaltoyhtälöiden (10.7) ja (10.8) perusteella voidaan päätellä, että niiden ratkaisut todella edustavat aaltoliikettä, jonka vaihenopeus väliaineessa on kaavan (10.10) määrittelemä nopeus v. Tyhjiössä tämä sähkömagneettisten aaltojen nopeus on valon nopeus c, eli valo on sähkömagneettista aaltoliikettä. Kaava (10.10) sisältää väliaineen (e, p) taitekertoimen n, n : = J v = e0p0 n

(10.11)

Olemme osoittaneet, että aaltoyhtälöt (10.7) ja (10.8) seuraavat Maxwellin yhtälöistä (10.3)-(10.6). Toisaalta on huomattava, että kaikki yhtälöiden (10.7) ja (10.8) ratkaisut eivät välttämättä toteuta alkuperäisiä yhtälöitä (10.3)-(10.6). Nämä Maxwellin yhtälöt rajoittavat aaltoyhtälöiden (10.7)-(10.8) ratkaisuja, kuten seuraavassa nähdään.

10.2. HOMOGEENINEN

10.2

AALTOYHTALO;

TASOAALLOT

151

Homogeeninen aaltoyhtälö; tasoaallot

Tarkastelemme nyt lähteetöntä tapausta p = 0, j = 0, jolloin yhtälöt (10.7) ja (10.8) muuttuvat homogeenisiksi aaltoyhtälöiksi. Homogeeninen aaltoyhtälö on •„/ = 0

(10.12)

Teemme tasoaaltoyritteen / ( r , t) = exp[z(k • r — ut)]

(10.13)

missä u on vakio ja k on vakiovektori. Yrite toteuttaa yhtälön (10.12), jos ja vain jos w2 - v2k2

(10.14)

eli u = ±vk. Yleinen muotoa (10.13) oleva ratkaisu on siten U{r, t) = Ai exp[i(k • r - ut)] + A2 exp[i(k • r + ut)]

(10.15)

missä Ai ja A2 ovat kompleksiarvoisia vakioita. Ensimmäinen termi kuvaa k:n suunnassa nopeudella v = to/k etenevää aaltoa ja toinen vastakkaiseen suuntaan samalla nopeudella liikkuvaa aaltoa. Sovellamme tulosta (10.15) E- ja B-kenttien homogeenisiin aaltoyhtälöihin, • „ E ( r , t) = 0

(10.16)

•„B(r,i) = 0

(10.17)

Tarkastelemme tiettyyn suuntaan e k := k/k liikkuvia aaltoja. Yhtälöiden (10.16) ja (10.17) tasoaaltoratkaisut ovat silloin E(r,t) =

(10.18)

B(r ,t) = Be^-'-^

(10.19)

missä £ ja B ovat (mahdollisesti kompleksiarvoisia) vakiovektoreita. Fysikaaliset kentät ovat tietenkin reaaliarvoisia. Kaavoihin (10.18) ja (10.19) liittyy käytänne, jonka mukaan fysikaaliset kentät ovat vastaavien kompleksiarvoisten kenttien reaaliosat, Ef y s (r,t) = R e E ( r , t )

(10.20)

Bf ys (r, i) = R e B ( r , t )

(10.21)

152

LUKU 10. KENTTIEN

E JA B

AALTOYHTALOT

Lähteettömät eli homogeeniset Maxwellin yhtälöt ovat [vrt. yht. (10.3)—(10.6)] V • E = 0,

V •B = 0

dB

1 9E

~5t'

iplit

(10.22) ,

(10

"23>

Yhtälöistä (10.22) seuraa, että ratkaisujen (10.18) ja (10.19) on noudatettava ehtoja ek-£ = 0, ek-B = 0 (10.24) eli että kentät E ja B ovat kohtisuorassa etenemissuuntaa e k vastaan (kuva 10.1). Tällaisia aaltokenttiä sanotaan poikittaisiksi. Ensimmäisestä roottoriyhtälöstä (10.23) seuraa vielä, että B=-ekx£ v

(10.25)

Täten E- ja B-kentät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Toinen roottoriyhtälö (10.23) ei aseta mitään uusia rajoituksia.

Kuva 10.1: Poikittainen tasoaalto. Lähteettömien Maxwellin yhtälöiden (10.22)-(10.23) tiettyyn suuntaan ek liikkuvat tasoaaltoratkaisut saadaan yhtälöistä (10.18)-(10.19) ja ehdoista (10.24) ja (10.25). Fysikaaliset kentät saadaan sopimuksen (10.20)-(10.21) mukaisesti.

10.3

Tasoaallon polarisaatiotilat

Vakiovektorien E 0 ja B 0 ominaisuudet määräävät kenttien E ja B polarisaation. Yhtälön (10.25) mukaan ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja yhtälön (10.24) mukaan aallon etenemissuuntaa e k vastaan.

10.3. TASOAALLON

POLARIS A ATIOTIL AT

153

Kuva 10.2: Vektorikanta [ei,e 2 ,e/c]; e k on aallon etenemissuunta. Olkoot ei ja e 2 kaksi yksikkövektoria, jotka e ^ n kanssa muodostavat suorakulmaiset oikeakätiset koordinaattisuunnat (kuva 10.2). E-kentän yleinen tasoaaltoratkaisu on silloin E(r, t) = (.Ei ei + E2e2)ei{k"~urt)

(10.26)

Yhtälö (10.25) antaa B(r, t) =

x E(r, t) = - {-E2el

+ E1e2)

(10.27)

Amplitudit Ei ja E2 yllä olevissa kaavoissa ovat yleisesti kompleksiarvoisia vakioita. Jos Ei:11a ja £?2:lla on sama vaihe <5, E\ = \Ei\eiS,

E2 = \E2\eiö

(10.28)

aallon (10.26) sanotaan olevan lineaarisesti polaroitunut eli tasopolaroitunut. Tällöin fysikaalinen E-kenttä värähtelee suunnassa E 0 := |£i|ei + |£ 2 |e 2

(10.29)

Kenttä on Ef ys (r, t) = E 0 cos(k • r -ut

+ S)

(10.30)

missä yhtälön (10.14) mukaisesti v = vk

(10.31)

Bf y s (r, t) = - e k x Ef y s (r, t)

(10.32)

Yhtälö 10.25) antaa B-kentäksi

Yhtälöiden (10.30)-(10.32 kuvaama sähkömagneettinen aalto etenee kuvan 10.3 mukaisesti.

154

LUKU 10. KENTTIEN

E JA B

AALTOYHTALOT

Jos amplitudeilla E\ ja E2 on eri vaihe, aaltoa sanotaan elliptisesti polaroituneeksi. Tarkastelemme ensin erikoistapausta, jossa amplitudit Ei ja E2 ovat yhtä suuret ja niiden vaihe-ero on 90°. Valitsemme koordinaatiston siten, että z-akseli on k:n suuntainen ja ei = e x , e2 = ey. Tällöin on (Ef ys ) x = E 0 cos(k • r - ut)

(10.33)

(E fys ) y = ±E 0 sin(k • r - ut)

(10.34)

missä E 0 on reaalinen vakioamplitudi. E-vektori on pituudeltaan vakio ja kiertää ympyrän kehää pitkin kulmanopeudella u> (kuva 10.4).

Kuva 10.4: Ympyräpolaroituneita aaltoja. Optiikassa käytetyn sopimuksen mukaan kuvan 10.4 tapauksessa a) aallolla on oikeakätinen ympyräpolarisaatio ja tapauksessa b) vasenkätinen ympyräpolarisaatio. Hiukkasfysiikassa näistä käytetään nimityksiä negatiivinen (a) ja positiivinen (b) helisiteetti. Yleisessä tapauksessa E- ja B-vektorit kiertävät elliptistä rataa pitkin joko oikealle tai vasemmalle, kuten suhteellisen helposti voidaan todeta (harjoitustehtävä).

10.4. TASO AALTOJEN

10.4

SIRONTA

RAJAPINNASTA

155

Tasoaaltojen sironta r a j a p i n n a s t a

Johdamme optiikan tunnetut heijastumis-ja taittumislait tarkastelemalla tasoaaltojen käyttäytymistä kahden aineen rajapinnassa. Oletamme, että väliaineet ovat yksinkertaisia eristeitä (e, p; a = 0) ja että aallot ovat lineaarisesti polaroituneita. Olkoon väliaineiden rajapinta taso, joka valitaan koordinaatiston xytasoksi. Oletamme, että tietyssä suunnassa ek etenevä tasoaalto osuu rajapintaan (taso z — 0). Selvitämme, miten tämä tuleva aalto hajoaa taittuneeksi ja heijastuneeksi aalloksi. Rajoituksitta voidaan valita koordinaatisto siten, että aaltovektori k on xz-tasossa (kuva 10.5). i

e',/*' £, li k;/

X w

/e

Kuva 10.5: Tasoaallon sironta väliaineiden (e, fi) ja (e', //) rajapinnasta z = 0. Tulevaa tasoaaltoa kuvaavat yhtälöt E t u l (r,t) = E 0 ^ k ' r - ^

(10.35)

missä [ks. yht. (10.11) ja (10.14)] u) ~ vk,

v= -, n

n = , e V o^o

(10.36)

ja B t u i M ) = - k x Etul(r,t) LO

(10.37)

Voidaan ajatella, että tuleva tasoaalto hajoaa kahdeksi aalloksi rajapinnassa >2 = 0. Toinen on taittunut aalto (E',B'), joka etenee väliaineessa (e'> A4')» E'(r, t) =

,

B'(r, t) = ^k' LO

x E'(r, t)

(10.38)

LUKU 10. KENTTIEN

156

E JA B

AALTOYHTALOT

missä

u' = v'h>,

v' = - 1, n

(10.39)

y e0yu0

Toinen on heijastunut aalto (E",B"), joka etenee väliaineessa (e, /i), E"(r, t) =

,

B"(r, t) = - ^ k " x E"(r, t) LO

(10.40)

missä UJ" = vk" ,

u= n

n = J ( 1 0 . 4 1 ) V e0/i0

Edeltävissä kaavoissa esiintyvät vapaat parametrit on määritettävä kenttien yleisistä reunaehdoista (8.25) ja (8.26), lim • [D(x, y, +h, t) — T)(x, y, — h, i)] = 0 /i—>o lim e 2 • [B(&, y, +h, t) — B(rc, y, —h, t)] = 0 h-¥ 0

(10.42)

ja lim e 2 x -E (.7;. y. +h, /.) - E(.t. y, /i-s-0 l i m e z x m(x,y,+h,t)-H(x,y,-h,t)] >o

=

0

=

0

- l i . t)}

(10.43)

missä rakenneyhtälöt (10.1) ja (10.2) ovat voimassa. Puoliavaruudessa z > 0 on E(r, t) = E'(r, t),

z>0

(10.44)

kun taas puoliavaruudessa z < 0 on E(r, t) = E tu i(r, t) + E"(r, t),

4 < 0

(10.45)

Vastaavat lausekkeet pätevät B-kenttiin. Tarkastelemme ensin tangenttikomponenttiehtoa (10.43) pisteessä x = y = o,

ez x (E ( ) (r i a ; ' + E{,Vr' v '' - E ^ e " ^ ) = 0

(10.46)

Tämä ehto voi toteutua vain jos CJ = UJ' = cv" kuten helposti todetaan (harjoitustehtävä).

(10.47)

10.4. TASO AALTOJEN

SIRONTA

RAJAPINNASTA

157

Vastaavasti tarkastelemalla ehtoa (10.43) hetkellä t — 0 todetaan, että (k • r) | z = 0 = (k' • r) U=0 - (k" • r) |, = 0

(10.48)

Nämä ehdot osoittavat, että vektorit k, k' ja k" ovat kaikki samassa tasossa, ts. rrz-tasossa, koska niiden erotukset ovat kohtisuorassa r-vektoria vastaan, e* x (k - k') = 0, e z x (k — k") = 0 (10.49) Ehdosta (10.47) seuraa, että |k| = |k'| = |k"|. Jälkimmäinen kaavoista (10.49) johtaa silloin heijastumisen lakiin (merkinnät kuvassa 10.5) 6 = 9" Tulosten (10.36) ja (10.39) avulla seuraa ensimmäisestä kaavasta taittumisen laki sin 6 v n' = sm 6' v' n Kaava (10.51) tunnetaan valon taittumista koskevana Snelliuksen

(10.50) (10.49) . (10.51) lakina.

Yllä olemme käyttäneet vain osan reunaehtojen informaatiosisällöstä. Ehtojen täydellisempi analyysi johtaa aaltojen amplitudien välisiin relaatioihin. Palaamme reunaehtoihin (10.42) ja (10.43). Niistä saadaan relaatiot e z • [e(E0 + E[,') - e'E'0] = 0

(10.52)

e z • (k x Eo + k" x E'0' - k' x E'0) = 0

(10.53)

e, x (E 0 + Eq - E'0) = 0

(10.54)

- ( k x E 0 + k" x E") - - k ' x E' fj, n'

(10.55)

Yhtälön (10.49) mukaan vektorit k, k' ja k" ovat samassa tasossa; tämän xz-tason virittävät esimerkiksi vektorit e 2 ja k. Tarkastelumme rajoittuu tasopolaroituneisiin aaltoihin. Oletamme, että tuleva aalto E tu i (ja siis Eo) on kohtisuorassa xz-tasoa vastaan, E 0 = E0yey

(10.56)

Vektorit Eq ja E'0' ovat kohtisuorassa vektoreita k' ja k" vastaan. Yhtälöistä (10.52)—(10.54) seuraa (harjoitustehtävä), että myös vektorit E'0 ja E'0' ovat kohtisuorassa zz-tasoa vastaan, E; = E'ey

(10.57)

158

LUKU 10. KENTTIEN

E JA B

AALTOYHTALOT

K = Ky*y

(10-58)

Yhtälöistä (10.54) ja (10.55) seuraa nyt, että E0y + Ky - E'0y

(10.59)

ja ^(Eoy

+ Ky) cos 9 - J^-E'0y

cos 9' = 0

(10.60)

Tästä yhtälöparista ratkaistaan E'0y ja E"y tulevan aallon amplitudikomponentin E$y funktioina: 2-y/e/pcos 9 K, =

K

\JtjH cos 9 + \Je'///

- E * cos 9'

\Jtj[i cos 9 — y V //i' COS 9' = ^V/ r/ -i cos 0„ +. \V tA J d I [ i ! cos 9'

(10.61)

<10-62)

Kaavat (10.61) ja (10.62), jotka antavat taittuneen ja heijastuneen aallon amplitudit, ovat olennaisesti optiikassa tunnetut Fresnelin kaavat (Augustin Jean Fresnel, 1788-1827). Fresnelin kaavoissa on [i = / / , mikä on erinomainen approksimaatio optisilla taajuuksilla.

Luku 11 Sähködynamiikka j a suhteellisuusteoria Sähkömagneettista kenttää tyhjässä, lähteettömässä avaruudessa kuvaavat Maxwellin yhtälöt V-E(t,x) = 0

,

(11.1)

V • B(t,x) = 0

(11.2)

VxE(t,x) = -^B(i,x)

(11.3)

V x B(t,x) = e0/io^E(t,x)

(11.4)

missä vakiot eo ja /i0 toteuttavat relaation (6.32), eoMo =

1 cz

(U.5)

Suhteellisuusteorian merkintöjä ennakoiden kirjoitamme aika- ja paikkakoordinaatit nyt muotoon (t, x) aikaisemman (r,i):n sijaan. Kuten edellisessä luvussa näytettiin, seuraa yhtälöistä (11.1)—(11.4), että kentät E ja B toteuttavat homogeenisen aaltoyhtälön, • C E(£, x) = 0

(11.6)

•cB(t,x) = 0

(11.7)

missä [vrt. yht. (10.9)] 1 Ö2

160 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

Valon nopeus c, joka esiintyy kaavoissa (11.5)—(11.8), on aaltoyhtälöiden (11.6)—(11.7) ratkaisujen vaihenopeus. Asetelmassamme piilee seuraava ongelma. Analysoimme kenttiä tyhjässä avaruudessa. Miten sitten on valittu se koordinaatisto, johon kenttäkuvaus viittaa? Tyhjässä avaruudessa ei voi olla mitään erikoisasemassa olevia koordinaatistoja. Tästä seuraa, että jos yhtälöt (11.1)—(11.4) ovat voimassa yhdessä mahdollisessa koordinaatistossa, niiden täytyy olla voimassa myös muissa mahdollisissa koordinaatistoissa. Eräs tapa päästä käsiksi kaikkiin näihin koordinaatistoihin on selvittää kaikki sellaiset koordinaattimuunnokset, joissa yhtälöt (11.1)—(11.4) säilyvät muodoltaan muuttumattomina eli ovat muotoinvariantteja. Tällä tavalla päädytään melko suoraviivaisesti ensin ns. konformimuunnoksiin ja sitten niiden tärkeänä erikoistapauksena suhteellisuusteorian sisältäviin Lorentzin muunnoksiin.

11.1

Aaltoyhtälön invarianssiryhmä

Aaltoyhtälöt (11.6) ja (11.7) seuraavat homogeenisista Maxwellin yhtälöistä (11.1)—(11.4). Tutkimme ensin sellaisia koordinaattimuunnoksia, jotka eivät muuta aaltoyhtälön muotoa. Lähtökohtanamme on tietty koordinaatisto K, johon liittyvät aika t ja suorakulmaiset koordinaatit ( x , y , z ) ja jossa aaltoyhtälöt (11.6)—(11.7) ovat voimassa. Tutkimme muunnosta toiseen koordinaatistoon K', johon liittyvät vastaavasti aika t' ja suorakulmaiset koordinaatit (x', y', z'), (t,x)^(t',x')

(11.9)

Muunnoksessa (11.9) kentät E ja B muuntuvat uusiksi kentiksi E' ja B', E(t,x) -)• E'(t',x')

(11.10)

B(t, x) —» B'(t', x')

(11.11)

Merkitsemme aalto-operaattoria (11.8) koordinaatistossa K ' symbolilla

Maxwellin yhtälöiden muotoinvarianssivaatimuksesta seuraa, että uudet kentät (E\ B') uudessa koordinaatistossa K' myös toteuttavat homogee-

11.1. AALTOYHTÄLÖN

INVARIANSSIRYHMÄ

161

niset aaltoyhtälöt, •' c E'(t',x') = 0

(11.13)

0'cB'{t',x.')

(11.14)

= 0

On tärkeää huomata, että vaihenopeuden c (= valon nopeus tyhjiössä) oletetaan tässä olevan koordinaatistosta riippumaton; yhtälöön (11.5) viitaten oletamme, että vakiot e0 ja /i0 eivät riipu koordinaatistosta. Valon nopeuden invarianssi (muuttumattomuus) on suppean suhteellisuusteorian peruspostulaatti, joka nojaa vahvaan kokeelliseen tietoon. Homogeeniset Maxwellin yhtälöt (11.1)—(11.4) ovat kenttien E ja B lineaarisia yhtälöitä. Kun vaaditaan, että samanmuotoiset yhtälöt pätevät koordinaatistossa K' kenttiin E' ja B', on luonnollista ottaa lähtökohdaksi, että kentät E' ja B' ovat kenttien E ja B lineaariyhdistelmiä. Tämä toteutuu asettamalla ehto •' C = A- 2 D C (11.15) missä verrannollisuuskerroin A on vakio. Verrannollisuuskertoimen kirjoittaminen tähän muotoon kaavassa (11.15) osoittautuu tarkoituksenmukaiseksi. Yhtälön (11.15) eksplisiittinen muoto on ld2 c2dt'2

,0

1 / 1 Ö2 = X2 ™2dt-2 V \c

2

A (11.16)

Ehtoyhtälö (11.16) on ekvivalentti ehdon (
- (dz')2 = X2 [(cdt)2 - (dx)2 - (dy)2 - (dz)2] (11.17) kanssa, kuten lyhyehkön laskun jälkeen voidaan todeta. Mainitsemme täydellisyyden vuoksi, että muunnokset (11.9), jotka toteuttavat ehdon (11.17) tai yhtäpitävästi ehdon (11.16), muodostavat ryhmän, ns. konformiryhmän. Tämän ryhmän perusmuunnokset ovat peilaukset, tietyt lineaarimuunnokset, translaatiot, skaalanmuutokset ja ns. erikoiset konformimuunnokset; yleinen konformimuunnos on näiden muunnosten yhdistelmä. Esimerkki erikoisesta konformimuunnoksesta on inversio origokeskisen hyperpallon suhteen eli seuraava muunnos (suure k on reaalivakio): x —y x = y

k2x x2 + y2 + z2 - (ct)2 k2y x2+y2

+

z2_

162 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA z —y z — ct

ct'

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

r 2

2

x + y + z2 — (ct)2 k2ct x2 + y2 + z2 — (ct)2 (11.18)

Meille tärkeitä ovat ne lineaariset homogeeniset muunnokset, jotka toteuttavat ekvivalentit ehdot (11.16 ja (11.17) sekä ehdon A = 1. Nämä lineaarimuunnokset muodostavat Lorentzin ryhmän. Asettamalla A = 1 suljemme pois mittakaavan muunnokset eli skaalamuunnokset. Historiallinen huomautus. H. Bateman [Proceedings of the London Mathematical Society, Series II 8 (1910) 223] ja E. Cunningham (ibid. s. 77) osoittivat, että Maxwellin yhtälöiden invarianssiryhmä on konformiryhmä. Tämä tapahtui vain viisi vuotta sen jälkeen, kun Einsteinin uraauurtava julkaisu Zur Elektrodynamik der beivegter Körper [Annalen der Physik 17 (1905) 891] oli ilmestynyt. Siinä osoitettiin, että Maxwellin yhtälöt ovat muotoinvariantteja Lorentzin muunnosten suhteen. Tämä melko helppolukuinen julkaisu oli alkusysäys Einsteinin suppealle suhteellisuuseteorialle (nimitys erottaa teorian yleisestä suhteellisuusteoriasta). Se on ilmestynyt englanniksi käännettynä kokoelmateoksessa [13], joka sisältää suppeaan suhteellisuusteoriaan liittyviä varhaisia artikkeleita. Rajoitumme seuraavaksi tarkastelemaan ainoastaan konformiryhmään kuuluvia homogeenisia lineaarimuunnoksia eli Lorentzin ryhmään kuuluvia muunnoksia.

11.2

Lorentzin muunnokset

Rajoitamme tarkastelumme lineaarisiin ja homogeenisiin muunnoksiin ilman skaalanmuunnoksia. Tässä vaiheessa siirrymme suhteellisuusteoriassa käytettävään merkintätapaan. Sen mukaan merkitsemme := ct

(11.19)

ja (x\x2,x3)

:= (x, y, z)

(11.20)

Kirjoitamme yleisen lineaarisen ja homogeenisen muunnoksen muotoon xn -> x,a • - Aa/ri:" ,

« = (0,1,2,3)

(11.21)

11.2. LORENTZIN

MUUNNOKSET

163

Tässä olemme omaksuneet summaussopimuksen: summataan aina 0:sta 3:een sellaisen kahdesti esiintyvän kreikkalaisen indeksin yli, joka esiintyy kerran ylä- ja kerran alaindeksinä. Vakiot A ( p , v — 0,1, 2, 3) määrittelevät lineaarimuunnoksen A. Roomalaiset indeksit, esim. k, saavat arvot (1,2,3); summaussopimus pätee niihinkin. Esimerkki klassisen fysiikan lineaarimuunnoksista on Galilein muunnos (11.22)

c Muunnos (11.22) välittää kuvauksen koordinaatistoon K', joka liikkuu vakionopeudella v = (u1, v2, vs) koordinaatiston K suhteen; aika t = t' on sama molemmissa koordinaatistoissa. Mekaniikan klassiset liikeyhtälöt (Newtonin yhtälöt) ovat muotoinvariantteja Galilein muunnoksen suhteen. Voidaan kuitenkin suoraan todeta, että ehtoyhtälö (11.17) ei ole voimassa Galilein muunnoksen (11.22) tapauksessa. Maxwellin yhtälöt eivät säilytä muotoaan Galilein muunnoksissa. Jatkamme lineaarimuunnosten (11.21) tarkastelua. Tätä varten on tarkoituksenmukaista ottaa käyttöön uusia merkintöjä. Määrittelemme kaksiindeksisen suureen g^ (/i, v = 0,1, 2, 3) seuraavasti:

(11.23)

Määrittelemme vastaavan alaindeksisen suureen g ^ seuraavan yhtälön ratkaisuna: (11.24) Silloin on (11.25)

Kun A = 1, ehtoyhtälö (11.16) voidaan nyt lausua seuraavasti: (11.26)

Lineaarimuunnoksessa (11.21) on (11.27)

164 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

Ehtoyhtälö (11.26) johtaa täten seuraaviin lineaarimuunnoksen (11.21) kertoimia A^v koskeviin rajoituksiin: gaf)A^A-

- g%,

- (0,1, 2, 3)

(11.28)

Kaavat (11.28) sisältävät kymmenen yhtälöä lineaarimuunnoksen (11.21) kuudelletoista kertoimelle A^. Tästä voidaan päätellä, että muunnos (11.21) sisältää enintään kuusi parametria. Näiden parametrien merkitystä analysoidaan tarkemmin myöhemmin. Yhtälöt (11.28) seurasivat vaatimuksesta, että derivaattojen dM bilineaarimuoto (11.26) (= aalto-operaattori) on invariantti muunnoksessa (11.21). Kerromme nyt yhtälöt (11.28) ^ 7 :lla, summaamme v.n yli ja käytämme relaatioita (11.24). Tuloksena saadaan (9a/?A>7) =

(11.29)

M ; := f - ] a f ) p g u l

(11.30)

Merkitsemme Tällöin yhtälö (11.29) saa yksinkertaisen muodon A^M q 7 = &%

(11.31)

josta näemme, että ( A "

1

) ^ ^

(11.32)

Ehtoyhtälöt (11.28) takaavat siis sen, että käänteismuunnos A - 1 on olemassa. Olisimme myös voineet lähteä ehtoyhtälön (11.16) kanssa ekvivalentista ehtoyhtälöstä (11.17), joka tapauksessa A = 1 saa muodon gapdx'adx'p

= g,wdx^d,x'J

(11.33)

Muunnoskaavasta (11.21) ja yhtälöstä (11.33) saadaan gvfiAaliA0lf = g ^

(11.34)

Yhtälöt (11.34) ovat täysin ekvivalentteja yhtälöiden (11.28) kanssa, kuten edellisestä päättelystä ilmenee. Käyttämällä kaavoja (11.24) voidaan suoraan todeta, että yhtälöt (11.34) ovat ekvivalentit ehtojen g a P M^aMUp = g ^

(11.35)

kanssa. Olemme siis osoittaneet, että myös käänteismuunnos M = A - 1 toteuttaa ehdon (11.28), mikä on lähes itsestään selvää.

11.2. LORENTZIN

MUUNNOKSET

165

Osoitamme vielä, että ehtoyhtälöt (11.28) toteuttavat lineaarimuunnokset (11.21) muodostavat ryhmän; tällöin ryhmäalkioiden binaarioperaatio ("tulo") on lineaarimuunnosten yhdistäminen eli 4 x 4-matriisien A kertolasku. Tätä varten pitää todistaa, että seuraavat neljä ryhmäominaisuutta pätevät kaikkiin lineaarimuunnoksiin A, jotka toteuttavat ehdot (11.28): 1. Identiteettimuunnos A ^ =

on olemassa ja toteuttaa ehdot (11.28).

2. Käänteismuunnos A - 1 on olemassa ja toteuttaa ehdot (11.28). 3. Kahden A-muunnoksen tulo A(1)A(2) toteuttaa ehtoyhtälöt (11.28). 4. Muunnosten yhdistäminen on liitännäinen operaatio. Ominaisuus 4 seuraa siitä, että liitännäislaki pätee matriisituloon. Ominaisuus 1 on triviaalisti tosi. Olemme juuri osoittaneet, että ominaisuus 2 on tosi. Ominaisuus 3:n osoitamme todeksi seuraavasti. Todetaan ensin, että ehdot (11.28) ovat ekvivalentteja ehtojen (11.32) kanssa. Tarkastelemme nyt kahden Lorentzin muunnoksen A(l) ja A(2) tuloa. Sen käänteisarvoon pätee [A(1)A(2)]-1 = [A(2)] _1 [A(1)] _1

(11.36)

Tämän kaavan matriisialkiosta saadaan yhtälön (11.32) avulla [(A(1)A(2))-T7 =

[ ( A ( 2 ) ) T 5 [(ACl))-1]^

= (M(2)r5(M(l))57 =

^A(2)>^A(1)^

7

= ^A(2)X1)<^7 = ^

[A(1)A(2)]>, 7

= [M(1)M(2)] Q 7

(11.37)

Kahden Lorentzin muunnoksen tulo toteuttaa siis ehtojen (11.28) kanssa ekvivalentit ehdot (11.32). Johtopäätöksemme on, että kahden Lorentzin muunnoksen yhdiste, matriisitulo A(1)A(2), on Lorentzin muunnos. Ryhmäominaisuus 3 on näin todistettu, joten olemme todentaneet kaikki ryhmäominaisuudet 1-4. Sellaiset lineaarimuunnokset A, jotka toteuttavat ehdon (11.28) tai vaihtoehtoisesti ekvivalentin ehdon (11.34), muodostavat ryhmän, joka

166 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

on nimeltään Lorentzin ryhmä. Analysoimme vielä tämän ryhmän rakennetta. Kun /i = v = 0, ehtoyhtälöistä (11.28) saadaan (A°o) 2 - E

(A°,)2 = 1

(11-38)

fc=i Yhtälöstä (11.38) seuraa, että joko A°0 > 1

(11.39)

A°0 < - 1

(11.40)

tai

Yhtälöistä (11.28) edelleen seuraa melko suoraan, että joko det A = + 1

(H-41)

tai det A = —1

(11.42)

Lorentzin muunnokset jakaantuvat siis neljään luokkaan ominaisuuksien (11.39)—(11.42) mukaan. Rajoitamme jatkotarkastelun sellaisiin muunnoksiin, jotka eivät käännä ajan suuntaa. Niillä on ominaisuus (11.39) ja niitä kutsutaan ortokronisiksi muunnoksiksi. Emme myöskään käsittele koordinaattien peilauksia sisältäviä muunnoksia, joilla on leimallisena ominaisuus (11.42). Niitä muunnoksia, joilla on molemmat ominaisuudet (11.39) ja (11.41), kutsutaan varsinaisiksi ortokronisiksi Lorentzin muunnoksiksi. Ne muodostavat varsinaisen ortokronisen 6-parametrisen Lorentzin ryhmän, jota usein merkitään symbolilla L \ , L\ = { A | g

11.3

a P

A ^ = g ^ , A°0 > + 1 , det A = + 1 }

(11.43)

Vakionopeudella liikkuva koordinaatisto

Aaltoyhtälön lineaarinen ja homogeeninen invarianssiryhmä, homogeeninen Lorentzin ryhmä, muodostuu kaikista ei-singulaarisista koordinaattien (ja ajan) lineaarimuunnoksista, jotka jättävät neliömuodon (11.26)

11.3. VAKIONOPEUDELLA

LIIKKUVA

KOORDINAATISTO

167

tai vaihtoehtoisesti neliömuodon (11.33) invariantiksi. Jälkimmäisestä ehdosta seuraa, että myös koordinaattien xM neliömuoto S2 on invariantti Lorentzin muunnoksissa: S 2 := g ^ x

v

= {ct)2 ~x2-y2-z2

(11.44)

Neliömuodon (11.44) invarianssi karakterisoi koordinaatistojen välisiä muunnoksia. On kuitenkin aiheellista rajoittaa mahdollisia koordinaatistoja vaatimalla, että ne ovat ns. inertiaalijärjestelmiä. Inertiaalijärjestelmällä tarkoitetaan aika-avaruuskoordinaatistoa, jossa vapaa hiukkanen (johon siis ei vaikuta ulkoisia voimia) joko pysyy levossa tai liikkuu vakionopeudella. Osoitamme myöhemmin, että inertiaalijärjestelmä muuntuu inertiaa]ijärjestelmäksi Lorentzin muunnoksissa. Klassisesta mekaniikasta periytyvä inertiaalijärjestelmän käsite on relevantti ja hyödyllinen myös silloin, kun mahdolliset koordinaatistot muuntuvat toisikseen Lorentzin ryhmän muunnosten mukaisesti. Tarkastelemme nyt sellaista Lorentzin muunnosta, jonka avulla siirrytään z-akselin suuntaan vakionopeudella liikkuvaan koordinaatistoon. Olkoon meillä koordinaatisto K, jonka koordinaatit ovat aika t ja avaruuskoordinaatit x, y, z. Tarkastelemme toista koordinaatistoa K', joka liikkuu vakionopeudella v koordinaatiston K suhteen x-akselin suuntaan. Sovimme, että koordinaattitasot y = 0 ja z = 0 yhtyvät vastaaviin tasoihin y' = 0 ja z' = 0 K':ssa ja että koordinaatistojen origot yhtyvät hetkellä t = t' = 0 (kuva 11.1).

K

'z

-z

Kuva 11.1: Tasaisella nopeudella v x-suuntaan liikkuva koordinaatisto. Tiedämme, että K:n ja K':n välinen muunnos säilyttää neliömuodon (11.44) invarianttina, (ct)2

-x2-y2

2

- (ct1)2 - x'2 - y'2

~'2

(11.45)

168 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

Olemme sopineet, että koordinaattitasot y = 0 ja y' = 0 sekä z — 0 ja z' = 0 yhtyvät, joten y

= 0&y'

= 0,

z

z' -0

(11.46)

Sijoittamalla y = z = 0 kaavaan (11.45) saadaan {ct)2 - x2 = {ct')2 - x'2

(11.47)

Vähentämällä yhtälö (11.47) yhtälöstä (11.45) saadaan 2 y

+ ^ = y'2 + z12

(11.48)

Kun z = 0, saadaan kaavasta (11.48) y = ±y'

(n.49)

s = ±z'

(11.50)

sekä vastaavasti Rajalla v —> 0 täytyy olla z' —> z, y' —> y, joten ainoastaan positiivinen etumerkki kelpaa kaavoissa (11.49)—(11.50) eli eli y' = y,

z' = z

(11.51)

Arvoa x' = 0 vastaa a;:n arvo x = vt, joten x' = A(x-vt)

(11.52)

missä A on (mahdollisesti i>:stä riippuva) vakio. Muuttuja t' on a;:n ja t:n lineaarinen funktio, t' = Bx + Ct

(11.53)

missä B ja C ovat (taas mahdollisesti v:stä riippuvia) vakioita. Sijoittamalla lausekkeet (11.52) ja (11.53) ehtoyhtälöön (11.47) ja vertaamalla muuttujien x2, xt ja t2 kertoimia saadaan 1

A = C=—= , v/l - w2/c2

-v/c2 B = 7 ' = v/l - z;2/c2

(11.54)

Lorentzin muunnos pitkin z-akselia vakionopeudella v liikkuvaan koordinaatistoon K' on siis seuraava: x — vt x v/l - v2/c2 y' = y

z = z (v/c2)x t, = t y i - v 2 /c 2 (11.55)

11.3. VAKIONOPEUDELLA

LIIKKUVA

KOORDINAATISTO

169

Muunnos (11.55) on mielekäs vain jos < c; Lorentzin muunnos ei salli siirtymistä valoa nopeammin liikkuvaan koordinaatistoon. Toisaalta, jos nopeus v on pieni verrattuna valon nopeuteen c, on muunnos (11.55) likimain klassisen fysiikan Galilein muunnos (11.22). Galilein muunnos on Lorentzin muunnoksen rajatapaus muodollisella rajalla c —» oo. Muunnoksen (11.55) käänteismuunnos on odotettavasti olemassa. Se saadaan ratkaisemalla yhtälöt (11.55) alkuperäisten muuttujien (x,y,z) suhteen. Yksinkertaisimmin ratkaisu saadaan vaihtamalla (t', x', y', z') -O(t,x,y,z) ja v <-» -v: x' + vt' y/l - V2/c2 y = y'

z = z' _ t' + (v/c2)x' ~ v/l -

v2/c2 (11.56)

Palaamme vielä siihen seikkaan, että valon nopeus ei ole saavutettavissa Lorentzin muunnoksella. Voisi kuvitella, että yhdistämällä monta samanlaista Lorentzin muunnosta päädytään koordinaatistoon, joka liikkuu mielivaltaisella nopeudella alkuperäisen koordinaatiston suhteen. Tämä ei kuitenkaan ole mahdollista, kuten seuraava tarkastelu osoittaa. Olkoon K" koordinaatisto, joka liikkuu ^'-koordinaatiston suhteen vakionopeudella u pitkin ^'-akselia. Silloin muunnos K' —>• K" on seuraava: x" = - £ = 4 2r 2Z , Vi - U /c

y" = y',

z" = z',

= * M*)*2 2 y/l - U /c

(n.57)

Kaavojen (11.55) avulla saadaan nyt = missä

y/l — WZ/C2

/

=

f = ^ y/l —W2/C2 U+ V W= — —2 1 + uv/cz

(11.58)

,

11.59

Kaava (11.59) on nopeuksien yhteenlaskukaava, joka osoittaa, että suorittamalla perättäisiä Lorentzin muunnoksia samaan suuntaan ei voida saavuttaa suurempia nopeuksia kuin valon nopeus c.

170 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

Tässä olemme todenneet, että yhdistämällä kaksi Lorentzin muunnosta (pitkin 2-akselia) saadaan yhdistetty Lorentzin muunnos. Tämä on erikoistapaus jo todetusta ryhmäominaisuudesta: yhdistämällä kaksi mielivaltaista Lorentzin muunnosta saadaan edelleen Lorentzin muunnos. Totesimme edellisessä kappaleessa, että yleinen Lorentzin muunnos voi sisältää kuusi parametria. Näistä kolme vastaa Lorentzin muunnoksia koordinaatistoihin, jotka liikkuvat vakionopeudella pitkin x-, y- tai ^-akselia. Näitä muunnoksia kutsutaan puskuiksi tai puskumuunnoksiksi. Toiset kolme muunnosta vastaavat tavallisia koordinaatiston kiertoja, t->t'

= t,

x

x' = i?x, |x| = |x'|

(11.60)

Yhdistämällä nämä eri Lorentzin muunnokset voidaan siirtyä mielivaltaisen suuntaiseen suorakulmaiseen koordinaatistoon, joka liikkuu vakionopeudella v mielivaltaiseen suuntaan (kuva 11.2).

y X

Kuva 11.2: Vakionopeudella v mielivaltaiseen suuntaan liikkuva koordinaatisto K'.

11.4

Kenttien E ja B muunnokset

Toteamme kertauksena kappaleen 11.1 tuloksen. Lähteettömien Maxwellin yhtälöiden muotoinvarianssivaatimuksen seurauksena sallitut muunnokset ovat konformiryhmän muunnoksia. Olemme rajoittaneet koordinaattimuunnosten yksityiskohtaisen tarkastelun konformiryhmän aliryhmään, nimittäin Lorentzin ryhmään, ja vielä tarkemmin varsinaiseen ortokroniseen Lorentzin ryhmään L\, joka määriteltiin kaavassa (11.43). Olennaiset oletukset olivat seuraavat: 1. Valon nopeus ei muutu koordinaatimuunnoksissa (valon nopeuden invarianssi); suureet e0 ja eivät muutu koordinaatimuunnoksissa.

11.4. KENTTIEN

E JA B

171

MUUNNOKSET

2. Kentät E ja B muuntuvat lineaarisesti

koordinaattimuunnoksissa.

Tarkoitus on nyt selvittää, miten itse kentät E ja B muuntuvat Lorentzin muunnoksissa A € L+. Täydellisyyden vuoksi oletamme nyt, että kentillä E ja B on lähteitä, ts. että avaruudessa on tietty varausjakauma p(t, x) ja virrantiheys j(t, x), mutta ei polaroituvaa tai magnetoituvaa ainetta. Maxwellin yhtälöt ovat silloin [vrt. yht. (8.21)] V - E (t,x) = - p ( t , x )

(11.61)

V • B(t,x) = 0

(11.62)

V x E(t, x) = - d t B ( t , x)

(11.63)

V x B(t, x) = p 0 j(t, x) + e 0 /2 0 d t E(t, x)

(11.64)

missä 1 eono = — (11.65) & Aikaisemmasta tiedämme, että Maxwellin yhtälöihin sisältyy varauksen säilyminen jatkuvuusyhtälönä (6.11) lausuttuna. Komponenttimuotoisena se on d . . d . . . <9 —p[t, x, y, z) + Q^3x\t, x, y, z) +

,

, d x, y, z) +

.

V-,z) =

0

(11.66)

Yhtälö (11.66) on perusluonteinen yhtälö, jonka täytyy koordinaattimuunnoksissa säilyä muodoltaan muuttumattomana, jos Maxwellin yhtälöillä on tämä ominaisuus. Kaikki Lorentzin muunnokset G L \ saadaan aikaan yhdistämällä puskuja toisiinsa, kiertoja toisiinsa ja näitä molempia toisiinsa. Maxwellin yhtälöt ovat kolmiulotteisina vektoriyhtälöinämuotoinvariantteja (x, y, z)koordinaattien kierroissa, joten kierrot eivät ole olennaisia tässä tarkastelussa. Siksi voimme tässä rajoittua yhteen sopivasti valittuun puskuun. Palaamme käsittelemään Lorentzin muunnosta tietystä koordinaatistosta K sellaiseen koordinaatistoon K', joka likkuu K:n a>akselia pitkin vakionopeudella v. Kirjoitamme yhtälöt (11.55) muotoon vx \

(

x' = 7{x-vt),

y' — y,

z'= z

(11.67)

172 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

missä

7 :=

(11.68)

y/l - V2/C2

on Lorentzin tekijä. Muunnosten (11.67) käänteismuunnokset ovat t = 7

vx t' + —

,

x = 7(x' + vt'),

y = y',

z = z'

(11.69)

Maxwellin yhtälöiden (11.61)—(11.64) muotoinvarianssitarkasteluja tarvitsemme osittaisderivaattojen muunnokset. Pienehkö laskutoimitus antaa tulokset dt = l{dt> - vdx>),

dx = ^ (dx> - ^d?)

,

dy = dy>,

dz = dz> (11.70)

Käänteiskaavat ovat dt' = 7f{dt + vdx),

dx> = 7 \dx +

,

dy> = dy ,

dz> = dz (11.71)

Tarkastelemme ensin jatkuvuusyhtälöä (11.66). Lausumme tässä yhtälössä esiintyvät osittaisderivaatat muuttujien (£', x', y', z') avulla. Kaavat (11.70) antavat d.

7P ~ 1~Ö3X + dx> [7jx - -yvp] + dyi [jy] + dz> [jz] = 0 c

(11.72)

Yhtälö (11.72) antaa aiheen seuraaviin alustaviin tunnistuksiin: p'(t', x', y', z') = 7 (p(i, x, y, z) j'x>if,x\y',z!)

= j(jx(t,x,y,z)

j'y>{t',x',y',z')

=

j'zl(t',x',y',z')

= jz(t,

-

jx(t, x, y, z)j vp(t,x,y,z)^J

jy{t,x,y,z) x,y,z) (11.73)

Yhtälöt (11.73) viittaavat siihen, että komponentit ( p , j x , j y , j z ) muuntuvat Lorentzin muunnoksissa samalla tavalla kuin koordinaatit ( t , x , y , z ) . Tarkastelemme tämän jälkeen homogeenisia Maxwellin yhtälöitä (11.62) ja (11.63). Eliminoimme näistä yhtälöistä muuttujien ( t , x , y , z ) suhteen otetut osittaisderivaatat samalla tavalla kuin jatkuvuusyhtälön tapauksessa. Tulos on dx,[Bx]+dy,

7 (By +

-E,

dz, 7 [ B z ~ T 2 E y

0

(11.74)

11.4. KENTTIEN

E JA B

173

MUUNNOKSET

ja dx'h'(Ey - vBz)} - dy,[Ex dy^(Ez

+ vBy)] -

-

dz,[Ex] - dx,[j(Ez

-d,

7 [Bz-

= -dt>[Bx]

+ vBy)} = -dt,

7

(By +

~EZ) (11.75)

Nämä yhtälöt antavat aiheen seuraaviin tunnistuksiin: E'x,(t',x',y',z') E'yi (t',x',y', E'z,(t',x',y',z')

=

Ex(t,x,y,z)

z') = 7(Ey(t,x,y,z) = 7 (Eg(t,x,y,z)

-vBz(t,x,y,z)^) +

vBy(t,x,yiz)^ (11.76)

B'xl(t',x',y',z')

=

Bx(t,x,y,z)

B'y,(t', x', y\ z') = 7(Bv(t, B'z,(t',x',y',z')

x, y, z) + ^Ez{t,

= 7(^Bz(t,x,y,z)

x, y, z f j

- ^Ey(t,x,y,

z)) (11.77)

Tähänastisen tarkastelun tiivistelmänä voimme todeta seuraavan. Jos kentät E'(f', a/, y\ z') ja B ' ( t ' , x ' , y ' , z ' ) määritetään kaavojen (11.76) ja (11.77) mukaisesti Lorentzin muunnoksessa K —>• K', kun koordinaatit muuntuvat kaavojen (11.67) mukaisesti, niin homogeeniset Maxwellin yhtälöt (11.62)—(11.63) ovat voimassa samanmuotoisina koordinaatistossa K' kuin koordinaatistossa K. On siis vielä tutkittava, pätevätkö epähomogeeniset Maxwellin yhtälöt (11.61) ja (11.64) koordinaatistossa K' yhtälöiden (11.76) ja (11.77) mukaisiin kenttiin E'(£', x', y', z') ja B'(£', x', y', z') eli ovatko seuraavat yhtälöt voimassa: V ' - E , (t',x , ) = - p ' ( t ' , x ' ) Co V' x B'(i',x') = /i 0 j'(i',x') + e 0 / i o ^ E ' ( t , x ' )

(11.78) (11.79)

Kaavojen (11.76) antamat E'-kentän (x', y', z')-komponentit ja osittaisderivaatat (11.71) tuottavat tuloksen V' • E' = 7 V • E - yv ( V x B - —dtEyj

174 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA 7 1

P 0

^vfj,0Jx

/

JV .

e

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

— e0 1V7 P - ~2 c Jx (11.80)

missä olemme käyttäneet Maxwellin yhtälöitä (11.61) ja (11.64) sekä relaatiota (11.65). Näemme, että yhtälö (11.78) on voimassa, jos varaustiheys p' koordinaatistossa K' on p'(t\ x', y\ z') = 7 (p(t, x, y, z) - ~jx(t,

(11.81)

x, y, z)j

Tämä on sama tulos, ensimmäinen yhtälö (11.73), johon päädyimme jatkuvuusyhtälön (11.66) muuntumista tarkastellessamme. Käyttäen kaavoja (11.76) ja (11.77), osittaisderivaattalausekkeita (11.71) sekä Maxwellin yhtälöitä (11.61)-(11.64) ja relaatiota (11.65) saamme yhtälöstä (11.79) dx,B'y, - dy-B'x, - ^dt,E'z,

= dxBy - dyBx - i d t E z = Pojz

dy,B'z, - dz,B'ylV - -q2 2dvE'x, x = 7 (dyBz I

- dzBy - \dtEx

- ^2V • E c

= PolUx - vp) dz>B'x, - dx:B'z, - ^dt,E'y,

= dzBx - 8XBZ - ~8tEy

(11.82)

(11.83) = poJy

(11.84)

Näistä tuloksista päättelemme, että Maxwellin yhtälöt (11.79) ovat voimassa, jos myös virrantiheys j muuntuu kaavojen (11.73) mukaisesti. Tarkastelujemme tuloksena voimme todeta, että Maxwellin yhtälöt (11.61)—(11.64) ovat muotoinvariantteja Lorentzin muunnoksessa (11.67), jos muunnoskaavat (11.76) pätevät kenttään E ja muunnoskaavat (11.77) kenttään B sekä jos varaustiheys p ja virrantiheys j muuntuvat kaavojen (11.73) mukaisesti. Tuloksemme voidaan yleistää koskemaan muunnoksia y- tai z-suunnassa vakionopeudella liikkuviin koordinaatistoihin sekä myös koordinaatiston kiertoihin. Koska yleinen Lorentzin muunnos G L \ on tällaisten muunnosten yhdiste, voidaan kussakin tapauksessa konstruoida sellaiset kenttien E ja B sekä varaustiheyden p ja virrantiheyden j muunnoskaavat, että Maxwellin yhtälöiden muotoinvarianssi toteutuu. Palaamme tähän kysymykseen, kun kenttien E ja B Lorentz-tensoriluonne on selvitetty luvun 12 alussa.

11.5. TASAISELLA

11.5

NOPEUDELLA

LIIKKUVA

PISTEVARAUS

175

Tasaisella nopeudella liikkuva pistevaraus

Kenttien E ja B muunnosominaisuuksien sovelluksena laskemme vakionopeudella liikkuvan pistevarauksen sähkömagneettisen kentän. Oletamme, että varaus q liikkuu nopeudella v suuntaan, jonka valitsemme koordinaatiston K x-akseliksi. Varaus on siis levossa koordinaatistossa K', joka liikkuu nopeudella v pitkin K:n x-akselia ja joka yhtyy K\hon tämän mittaamalla hetkellä t = 0. Koordinaattien muunnoskaavat (11.67) sekä kenttien muunnoskaavat (11.76) ja (11.77) soveltuvat suoraan. Kokeellisesti tiedetään, että varaus on Lorentz-invariantti suure, q' = q. Oletamme, että koordinaatistossa K' levossa oleva pistemäinen varaus q sijaitsee K':n origossa. Levossa olevalla varauksella on Coulombin staattinen sähkökenttä mutta ei mitään magneettikenttää. Kenttä (E', B') on täten F'

-

q

X

'

F'

-

q

y

'

F'

q

-

z

'

m

missä R! := y/x'2 + y'2 + z'2

(11.86)

ja B'x, = 0,

B'y, =0,

B'z, = 0

(11.87)

Koordinaatistossa K vallitsevat kentät lasketaan suoraviivaisesti kaavojen (11.76) ja (11.77) käänteiskaavoista Ex(t, x, y, z) = E'x,(t', x\ y', z') Ey(t, x, y, z) = 7[£;, {t', x', y\ z') + vB'z, ( f , x', y\ z')] Ez (t, x, y, z) = j[E'z, ( f , x', ?/, z') - vB'y, ( f , x', y', z')\ (11.88)

Bx(t,x,y,z)

=

By(t,x,y,z)

= 7 B'(t',x',y',z')--E'z,(t',x',y',z')

Bz (t, x, y, z) =

B'x,(t',x',y',z')

7

(B'z, (t\ x', y\ z') + -E'

( f , x',y', z')) (11.89)

176 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

Kun vielä käytetään relaatioita (11.67), lausekkeista (11.85) ja (11.87) saadaan n Ewx(t, x, y, z) =

9 7(z - vt) 47re0 Ä3 _J7 y_ = 7 47re0 R 3 g ^ = 7 47re0 Ä 3

Ey(t,x,y,z) Ez(t,x,y,z)

(11.90) Bx(t,x,y,z) /, BDy(t,x,y,z) Bz(t,x,y,z)

=0 \

= =

7v q z c2 47re0 -R3 y_ ' c 2 47ren R3

(11.91) missä

R:= ^^(x

- vty + yi + z2

(11.92)

Tasaisella nopeudella liikkuvalla pistevarauksella on siis paitsi sähkökenttä E myös magneettikenttä B, kuten voidaan odottaa Amperen laista lähtien. Kun liike tapahtuu nopeudella v x-akselin suuntaan, kenttien täsmälliset lausekkeet ovat yhtälöt (11.90) ja (11.91). On huomattava, että saamamme kvantitatiiviset tulokset pätevät vain tasaisella nopeudella liikkuvaan pistevarukseen. Yleisessä liikkessä olevan pistemäisen varauksen synnyttämät kentät johdetaan luvussa 13.

11.6

Aika-avaruus; Lorentz-tensorit

Palaamme kappaleessa 11.1 esitettyyn aika- ja paikkakoordinaattien merkintätapaan (x°, x\ X2, X3) = (ct, x, y, z) (11.93) Komponentit x^ (p = 0,1, 2, 3) ovat tietyn inertiaalijärjestelmän K muodostaman neliulotteisen avaruuden eli ns. aika-avaruuden tai neliavaruuden pisteiden karteesiset koordinaatit. Siirtyminen toiseen inertiaalijärjestelmään K' tapahtuu yleisen Lorentzin muunnoksen (11.21) avulla, x» -> x'" = t ^ y ,

(0,1,2,3)

(11.94)

11.6. AIKA-AVARUUS;

LORENTZ-TENSORIT

177

Kertoimet A ^ toteuttavat ehdon (11.28) tai vaihtoehtoisesti ehdon (11.34), f » A \ A \ = g"",

w

= (0,1,2,3)

(11.95)

tai gap A%A*V =

(11.96)

9tw

Ainoastaan ne lineaarimuunnokset (11.94), jotka toteuttavat jommankumman ehdoista (11.95) tai (11.96) (toinen on toisen seuraus) ovat Lorentzin muunnoksia. Nelikomponenttinen suure x := (x°,x\x2,x3)

(11.97)

on aika-avaruuden paikkavektori. Tämä vektori muuntuu kaavan (11.94) ilmoittamalla tavalla Lorentzin muunnoksissa. Yleistämme nyt vektorikäsitettä seuraavasti. Jokaista nelikomponenttista yläindeksistä suuretta V = (V0,V\V2,V3)

(11.98)

joka muuntuu kuten paikkavektori, yhtälö (11.94), sanotaan tiksi nelivaktoriksi. Sen muunnoskaava on siis V"(x) A V'"(x') = A'LuVv{x)

kontravarian-

(11.99)

Kertomalla kahden kontravariantin vektorin U ja V komponentit keskenään saadaan kaksi-indeksinen suure T ^ , TtiV{x) Suure

:= U»{x)V»{x)

(11.100)

muuntuu seuraavasti Lorentzin muunnoksessa A: T^(x)

A T'^(x')

= A»aAu0T^(x)

(11.101)

Muunnosominaisuus (11.101) otetaan nyt käyttöön toisen kertaluvun tensorin määritelmänä: jokaista yläindeksistä suuretta , joka Lorentzin muunnoksessa muuntuu kaavan (11.101) mukaisesti, sanotaan toisen kertaluvun kontravariantiksi tensoriksi. Tätä puhetapaa käyttäen nelivektori on ensimmäisen kertaluvun kontravariantti tensori ja skalaari nollannen kertaluvun tensori. Voidaan edelleen määritellä kolmannen kertaluvun kontravariantteja tensoreita X a / 3 l t , __ ^a y^/3

vu

(11.102)

178 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

sekä ilmeisenä yleistyksenä iV:nnen kertaluvun kontravariantteja (yläindeksisiä) tensoreita. Kohdassa 11.2 määrittelimme suureen g1*", kaava (11.23). Tarkistamme onko se tensori. Muodostamme suureen g,»u =

A ,aAUggap

(1L103)

Lorentzin muunnosehdon (11.95) mukaan on

{

+1 jos n = v — 0

- 1 jos 0 = 1/= (1,2,3) (11.104) 0 jos [i + v Muunnosominaisuus (11.103) takaa siis sen, että määritelmä (11.23) pätee jokaisessa koordinaatistossa. Täten komponenttikokoelma g ^ määrittelee tensorin g, jolla on se erikoisominaisuus, että sen komponentit ovat muuttumattomia Lorentzin muunnoksissa. Tensoria g^v sanotaan (kontravariantiksi) metriseksi tensoriksi. Tensoreista yleisesti käytettävä terminologia on sikäli väljää, että tensorin g komponentteja myös sanotaan tensoriksi. Olemme määritelleet myös suureen g a p [yht. (11.24)] r

( 1 U 0 5 )

=

Ratkaisuksi saimme [yht. (11.25)]

{

+ 1 jos fJL = v = 0

- 1 jos n — v — (1, 2, 3) (11.106) 0 jos [i + v Määrittelemme seuraavan operaation yläindeksin muuttamiseksi alaindeksiksi: (11.107) Komponentit

n = (0,1, 2, 3), muodostavat ns. kovariantin vektorin x, x := (x0,xi,x2,x3)

(11.108)

Voi myös puhua vektorin x kovarianteista komponenteista xM ja kontravarianteista komponenteista p = (0,1, 2, 3). Kaavan (11.105) mukaan indeksit nostetaan käytämällä g ^ : t ä , x^ = g» v x v

(11.109)

11.6. AIKA-AVARUUS;

LORENTZ-TENSORIT

179

Näitä indeksien nosto- ja laskusääntöjä sovelletaan yleisesti moni-indeksisiin suureisiin, esimerkiksi Tf =

(11.110)

On huomattava, että indeksien sijainti on merkityksellinen sekä vaakaettä pystysuunnassa. Jos kirjoittaa indeksit päällekkäin esimerkiksi kaksikomponenttisessa suureessa, ei voi tietää indeksien järjestystä kontravariantissa tai kovariantissa komponenttimuodossa eli silloin kun indeksit ovat vierekkäin ylä- tai alaindekseinä. Selvitämme nyt, miten paikkavektorin kovariantit komponentit muuntuvat Lorentzin muunnoksissa. Pudottamalla paikkavektorikomponenttien indeksit kaavassa (11.94) yllä annetun säännön mukaisesti saadaan x^\x'^gmKapg^xv

(11.111)

Mutta Lorentzin muunnoksen ehdoista (11.95)—(11.96) seuraa [vrt. yht. (11.31) ja (11.32)], että ( a - T ^ s ^ A / ^ A ; '

(ii.II2)

Tästä kaavasta saadaan käänteisesti yhtälöt (11.95)—(11.96). Paikkavektorin kovariantit komponentit muuntuvat siis kaavan ( A " 1 ) ^ - A;xu

(11.113)

mukaisesti. Yhtälön (11.44) määrittelemä neliömuoto S2(x) on S2{x) = g ^ x

u

= xvxv

(11.114)

Kaavojen (11.94) ja (11.113) avulla todetaan heti, että S2 on invariantti, S2(x') = x^x"1 = xw(\-1)%Miaxa = xv5\xa = xvxv = S2(x)

(11.115)

Kovarianttien tensorikomponenttien Lorentz-muunnoskaavat saadaan yleisesti vastaavista kontravarianttien komponenttien muunnoskaavoista pudottamalla indeksit, esimerkkinä T^x)

A TlJx')

=

A*AfTa0(x)

(11.116)

180 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

Voidaan todeta, että kovariantit komponentit g m u o d o s t a v a t toisen kertaluvun tensorin g, jolla on se erikoisuusominaisauus, että komponentit pysyvät muuttumattomina Lorentzin muunnoksissa. Olemme edellä esittäneet ne Lorentzin tensorialgebran alkeet, joiden avulla sähködynamiikka voidaan pukea yksinkertaiseen, ns. kovarianttiin eli relativistiseen muotoon.

11.7

Suhteellisuusperiaate j a dynamiikka

Tähän mennessä olemme todenneet, että jos Maxwellin yhtälöt pätevät yhdessä inertiaalikoordinaatistossa, ne pätevät samanmuotoisina myös kaikissa tämän koordinaatiston Lorentzin muunnoksilla saatavissa inertiaalikoordinaaatistoissa. Sähködynamiikan ilmiöiden avulla ei siis voida osoittaa, että mikään inertiaalikoordinaatisto olisi erikoisasemassa muiden Lorentz-ekvivalenttien inertiaalikoordinaatistojen rinnalla. On osoittautunut hedelmälliseksi yleistää kyseinen toteamus kaikkia fysikaalisia ilmiöitä koskevaksi periaatteeksi. Tämä on ns. suppea suhteellisuusperiaate. Suppea suhteellisuusperiaate eli Einsteinin periaate (Albert Einstein, 1879-1955) voidaan lausua seuraavasti: Kaikki Lorentzin muunnosten yhdistämät inertiaalijärjestelmät manarvoisia kaikkien fysikaalisten tapahtumien kuvailussa.

ovat sa-

Fysiikan teorianmuodostuksen kannalta tämä suhteellisuusperiaate tarkoittaa sitä, että kaikki dynaamiset yhtälöt (järjestelmän liikeyhtälöt, kenttäyhtälöt) on voitava lausua siten, että ne ovat muotovariantteja Lorentzin muunnoksissa. Klassisessa fysiikassa (= fysiikka ilman kvanttimekaniikkaa) tämä tarkoittaa sitä, että ainoastaan sellaiset yhtälöt, jotka voidaan kirjoittaa Lorentz-tensoriyhtälöinä, voivat tulla kysymykseen. Tarkastelemme seuraavassa massapistemekaniikkaa käyttäen suhteellisuusperiaatetta ohjenuorana. Klassisessa mekaniikassa kuvaamme pistemäisen hiukkasen liikettä pitkin hiukkasen liikerataa, joka on kolmiulotteisen avaruuden käyrä, rataparametrinä aika t. Olemme todenneet, että Lorentzin muunnokset johtavat luonnollisella tavalla neliulotteisiin inertiaalijärjestelmiin, joissa koordinaatti x° vastaa koordinaattiaikaa t. Täten on luonnollista yleistää liikeradan käsite tarkoittamaan neliavaruudessa sijaitsevaa käyrää. Tällaista liikerataa kutsutaan hiukkasen maailmanvii-

11.7. SUHTEELLISUUSPERIAATE

JA DYNAMIIKKA

181

vaksi (kuva 11.3).

valokartio. Merkitsemme maailmanvirralla olevan pistemäisen hiukkasen koordinaatteja a^illä. Differentiaalit dxM ovat verrannollisia maailmanviivan tangenttivektorin komponentteihin ja määrittävät hiukkasen differentiaalisen siirtymän pitkin maailmanviivaa. Muodostamme skalaarisuureen (Lorentzinvariantin) ds2 = g^dx^dx" (11.117) Suure ds on sama kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Tämän differentiaalin fysikaalinen merkitys saadaan esille seuraavasti. Hiukkasen sijainti alkuperäisessä koordinaatistossa K on x — (x°, xl, x2, x 3 ). Siirrymme koordinaatistoon K j o s s a hiukkanen on hetkellisesti levossa. Silloin koordinaatistossa K' on dx' = (dx10,0,0,0)

(11.118)

ja ds2 = g0o{dx'0)2 = c2{dt')2

(11.119)

Suure (1 /c)ds on invariantti aikaväli hiukkasen hetkellisessä lepokoordinaatistossa mitattuna; se on hiukkasen mukana liikkuvan kellon mittaama aikaväli. Suuretta (kuva 11.3)

(11.120)

182 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

sanotaan hiukkasen ominaisajaksi; se on laskettu mielivaltaisesta kiinteästä maailmanviivan pisteestä s A- Kaavassa (11.120) esiintyy kolminopeus v koordinaatistossa K havaittuna, v =

dx1 dx2

dx3\

(11.121)

Kaavan (11.120) differentiaalinen muoto on dr

= dt

2

yjl-v /c2

(11.122)

joka on ns. aikadilaatiokaava. Olemme näin todenneet, että on olemassa invariantti ominaisaika r, jota voidaan käyttää ainehiukkasen maailmanviivan käyräparametrina. Hiukkasen nelinopeus u = (u") määritellään yhtälöllä dx" u" := — dr

11.123)

Tämä on nelivektori, sillä dx" on nelivektori ja dr on invariantti ominaisaika. Kolminopeuden v avulla lausuttuna nelinopeus u on

(

C

V

V

\

,-p

,

13:=-

(11.124)

Nelinopeuden u neliö on invariantti, = c2

(uf := (u, u) := g^uV

(11.125)

Tämä tulos on määritelmän (11.124) suora seuraus. On huomattava, että nelinopeuden u avaruusosa muodollisella rajalla c —> oo (eli (3 —> 0) on kolminopeus v. Nelikiihtyvyys a on nelinopeuden u derivaatta ominaisajan suhteen, du"

d2x" L

Nelikiihtyvyys on kohtisuorassa nelinopeutta vastaan. Kaavasta (11.125) seuraa nimittäin suoraan, että (a, u) = g^a"uv

= 0

(11.127)

11.7. SUHTEELLISUUSPERIAATE

JA DYNAMIIKKA

183

Näiden kinemaattisten valmistelujen jälkeen voimme kysyä, mikä on massapisteen liikeyhtälö. Luonnollisena lähtökohtana on Newtonin liikeyhtälö f

= F

(11.128)

Tiedämme kuitenkin, että tämä kaava (missä liikemäärä p on mv) Galileiinvarianttina yhtälönä ei voi olla sopusoinnussa suhteellisuusperiaatteen kanssa. Yritämmekin yleistää kaavan (11.128) nelivektoriyhtälöksi, muotoon m 0 - f u » = K tx (11.129) dr missä mo on massanlaatuinen suure ja KM on nelivektorivoima, jota kutsutaan Minkowskin voimaksi (Hermann Minkowski, 1864-1909). Yleistykseltä (11.129) on vaadittava, että muodollisella rajalla c —> oo (eli (5 -» 0) saadaan liikeyhtälö (11.128) kaavan (11.129) avaruusosasta. Lausumme kaavan (11.129) avaruuskomponentit (p = 1,2,3) käyttäen koordinaattiaikaa t ja kolminopeutta v kaavojen (11.122) ja (11.124) mukaisesti, (11

'130)

Jos ulkoinen voima häviää [K1 = 0, i = (1, 2, 3)], liikemäärä pl säilyy, kun liikemääräksi määritellään p' := - ^ L

(11.131)

Rajalla /? —> 0 määritelmä (11.131) yhtyy Newtonin mekaniikan liikemäärän lausekkeeseen. Kaavat (11.128) ja (11.130) ovat siis sopusoinnussa, kun liikemäärä määritellään kaavan (11.131) mukaisesti ja kun kolmivoiman F ja Minkowskin voiman K\ i = (1, 2, 3), välinen relaatio on • Fi = K ^ l - p

2

(11.132)

Nelivektoriyhtälö (11.129) sisältää vielä yhden komponentin (/i = 0). Selvitämme, mikä on sen vastine Newtonin mekaniikassa. Sitä varten kirjoitamme yhtälön (11.129) muotoon m0aM = K " missä

(11.133)

on nelikiihtyvyys (11.126). Relaatiosta (11.127) seuraa, että (K,u) = g^K^

=0

(11.134)

184 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

Sijoittamalla tähän yhtälöt (11.124) ja (11.132) saadaan

Tästä saamme

1 F•v K° = - — . =

(11.136)

joten yhtälön (11.129) O-komponentti on d rriQC2

F v

dty/

(11.137)

Massahiukkasen liike-energia E määritellään Newtonin mekaniikassa siten, että sen aikaderivaatta eli teho on juuri F • v, dE ^ ~dt ~

(11.138)

Jos pidämme kiinni kaavasta (11.138), toteamme, että (mahdollisesti vakiota vaille) E = - ^ L

(11.139)

Kaavasta (11.139) saadaan E

2

v2 2?

_ / v4 0 ?

=

moc

=

m0c2 + ^m0v2 + ...

1 +

+

(11.140)

Näemme, että vakiota moc2 lukuun ottamatta liike-energian lauseke (11.139) yhtyy epärelativistisella rajalla (/3 —> 0) Newtonin mekaniikan liike-energian lausekkeeseen \m0v2. Vakiota moc2, joka esiintyy kaavoissa (11.139) ja (11.140), kutsutaan m 0 -massaisen hiukkasen lepoenergiaksi. Yhdessä liikemääräkomponenttien (11.131) kanssa suure E p° := —

(11.141)

p = (p») := m 0 K )

(11.142)

muodostaa neliliikemäärän

11.7. SUHTEELLISUUSPERIAATE

JA

DYNAMIIKKA

185

Todettakoon, että yhtälön (11.125) seurauksena on (p,p) = 9^PV

= (w)2

(11.143)

Tiivistelmänä voimme todeta, että hiukkasen relativistiset liikeyhtälöt ovat =

M

= (0,1,2,3)

(11.144)

missä p on neliliikemäärä (11.142) ja K on Minkowskin nelivoima. Epärelativistisella rajalla ( v / c —> 0) yhtälöt (11.144) yhtyvät Newtonin mekaniikan yhtälöihin. Hiukkasen massa m 0 on Lorentz-invariantti suure; tämä määrittelee myös hiukkasen lepoenergian EQ, E0 :=

lim E

= TTIQC2

(11.145)

186 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

Luku 12 Sähködynamiikan kovariantti muoto 12.1

K e n t ä t E j a B sekä k e n t t ä t e n s o r i

Olemme useasti todenneet, että kentät E ja B voidaan määritellä operationaalisesi Lorentzin voiman lausekkeen (1.5) avulla, F = q(E + v x B)

(12.1)

Osoitamme nyt, että lauseke (12.1) on sopusoinnussa suhteellisuusperiaatteen kanssa ja johtaa siihen, että kenttien E ja B komponentit voidaan identifioida tietyn antisymmetrisen tensorin, ns. kenttätensorin komponenttien kanssa. Numeroimme kaavassa (12.1) esiintyvien suureiden komponentit seuraavasti: F = (F1, F2, F3) E = {E1, E2, E3) B = (B1, B2, B3) (12.2)

sekä , i 9 o, v = ( „ W ) =

f dx1 dx2 dx3\ ( — , — , — j

(12.3)

Tarkastellaan testihiukkasta, jonka invariantti massa on VHQ ja varaus q. Hiukkasen neliliikemäärä on = m0M'<

(12.4)

188

LUKU 12. SÄHKÖDYNAMIIKAN

KO VARIANTTI

MUOTO

missä u on nelinopeus (11.123). Sen relativistiset liikeyhtälöt ovat dp» dr missä K» on

=

K"

(12.5)

on Minkowskin voima. Yhtälöiden (11.132) ja (11.134) mukaan

K° = - F • v , K1 = j F \ i = 1,2,3 c missä 7 on Lorentz-tekijä (11.68).

(12.6)

Sijoittamalla Lorentzin voiman lauseke (12.1) kaavoihin (12.6) saadaan aikakomponentti (12.7) i=1 missä on käytetty nelinopeuden lauseketta (11.124). Avaruuskomponentit ovat dp1 = q
q i

\E2 + (v3Bl -

v3B2)] vlB3)]

= g7 [E3 + (tvlB2 - V2B1)]

^

(12.8) Kaavan (11.124) avulla nämä yhtälöt voidaan kirjoittaa muotoon = q

dr dp3

'1 1 cE U° +

(u2B3-U3B2)

2 1 = 9 -:E u° + (^B

-

^B3)

1 2 1 = q i ^ V + (u ^ - ^ S )

(12.9) Voimme kirjoittaa yhtälöt (12.7) ja (12.9) nyt seuraavasti: dp»

qupFto,

i i = 0,1,2,3

(12.10)

missä (F°\F02,F03)

=

(-E1,-E2,-E3

(12.11)

12.1. KENTÄT

E JA B SEKA

KENTTATENSORI

189

ja (F23, F31, F12) = (B\B2,B3)

(12.12)

sekä F^ = -Fvtl

(12.13)

Yhtälön (12.10) vasen puoli muuntuu kuten nelivektori. Varaus q on invariantti. Nelinopeus u on nelivektori. Kaavasta (12.10) täten seuraa, että suureet F a / 3 muuntuvat toisen kertaluvun tensorin komponentteina. Komponentit Fa/3 muodostavat siis tensorin, joka on antisymmetrinen kaavan (12.13) mukaan. Olemme todenneet, että kentät E ja B muodostavat toisen kertaluvun antisymmetrisen tensorin Fai3. Kutsumme tätä tensoria sähkömagneettiseksi kenttätensoriksi. Eksplisiittisesti lausuttuna tensori on f (F

a/?

) =

1 E2 B3

-B2

-B3

0

B1

B2

-B1

0

0 0

—

—

h E2 IE»

(12.14) )

Yläindeksisen tensorin muunnoskaavan (11.101) mukaan on F^(x)

A F'^{x')

= A\A»pFa0(x)

(12.15)

Soveliaamme tätä siihen tapaukseen, että Lorentzin muunnos A on muunnos (11.55) koordinaatistosta K koordinaatistoon K', joka liikkuu K:n xakselia pitkin nopeudella v säilyttääen y- ja z-koordinaatit muuttumattomina. Kaavoista (11.55) saadaan seuraavat nollasta poikkeavat matriisialkiot AA'„: A°O=7,

=

A1

O = -^7,

A\ = 7 ,

A22 = l ,

A33 = 1 (12.16)

Käyttämällä matriisialkioita (12.16) muunnoskaavassa (12.15) voidaan suoraviivaisesti todentaa kenttien E ja B aikaisemmat muunnoskaavat (11.76) ja (11.77). Yksinkertaiset tensorimuunnnoskaavat (12.15) ovat siis muunnoskaavojen (11.76) ja (11.77) taustalla. Palaamme nyt yleisiin Maxwellin yhtälöihin edelleen olettaen, että avaruudessa ei ole polaroituvaa tai magnetoituvaa ainetta, V • E(t,x) = e—p(t,x) o

(12.17)

190

LUKU 12. SÄHKÖDYNAMIIKAN

KO VARIANTTI

V • B(t, x) = 0 V x E ( t , x) = -dtB(t,

MUOTO (12.18)

x)

V x B ( i , x ) = /i 0 j (t, x) + \dtE(t,

(12.19) x)

(12.20)

missä e0p0 = c

(12.21)

Kenttätensorin Fal3 avulla, täsmällisesti yhtälöiden (12.11) avulla, voimme kirjoittaa Maxwellin ensimmäisen yhtälön (12.17) muotoon d l F

o i

+

g

2

F 02

+

g

s F

03

=

jloCf)

( 1 2

_22)

missä olemme lausuneet e 0 : n suureen /i0 avulla käyttäen relaatiota (12.21). Samoin, käyttäen myös yhtälöitä (12.12), voidaan viimeiset yhtälöt (12.20) kirjoittaa seuraavasti: d0F10 + d2F12 + d3F13 = doFw + d3F23 + dlF2l

p0j1

= poj2

d0F30 + d1F31 + d2F32 = no f (12.23) Yhtälöiden (12.22) ja (12.23) avulla toteamme (koska /i0 on invariantti vakio), että cp ja j = (j 1 ,:/ 2 , j 3 ) yhdessä muodostavat nelivektorin j = ( f ) := (cp,j)

(12.24)

Nelivektoria j sanotaan lyhyesti nelivirraksi. Maxwellin epähomogeeniset yhtälöt (12.17) ja (12.20) voidaan siis lausua seuraavasti: dfjFafj

= pQ f

(12.25)

Homogeeniset yhtälöt (12.18) ja (12.19) voidaan puolestaan kirjoittaa (harjoitustehtävä) seuraavasti:

daF01 + dpFia

+ Ö 7 F q/3 = 0

(12.26)

Yleiset Maxwellin yhtälöt ovat siis tensoriyhtälöitä ja näin ollen ilman muuta muotoinvariantteja Lorentzin muunnoksessa. Olemme siis uudelleen näyttäneet toteen, että Maxwellin teoria on sopusoinnussa suppean

12.2. NELIPOTENTIAALI

JA

MITTAMUUNNOKSET

191

suhteellisuusperiaatteen kanssa. Tämän tarkastelun lähtökohtana oli Lorentzin voiman lauseke. Vaihtoehtoinen tapa on se, jota jo käytettiin kappaleessa 11.4. Totesimme ensin, että varaustiheys p ja virrantiheys j yhdessä muodostavat nelivektorin (12.24), jonka jälkeen selvitettiin Maxwellin yhtälöiden ratkaisujen E ja B muunnosominaisuudet Lorentzin muunnoksissa. Laajentamalla tätä analyysiä yleisiin Lorentzin muunnoksiin päädyttäisiin siihen, että kentät E ja B muodostavat antisymmetrisen Lorentz-tensorin (12.14). Kenttien E ja B muunnosominaisuudet olisi siten johdettu yleisen Lorentzin muunnoksen tapauksessa käyttämättä Lorentzin voiman lauseketta (1.5). Tämä voitaisiin silloin johtaa Lorentzin muunnoksen avulla liikkumattomaan varaukseen kohdistuvasta voimasta (F = gE). Lorentzin voiman lauseke (1.5) on siis sopusoinnussa Maxwellin yhtälöiden muunnosominaisuuksien kanssa, mutta se ei ole seuraus Maxwellin yhtälöistä. Mainittakoon, että yleisessä suhteellisuusteoriassa testihiukkasen liikeyhtälö on seuraus teorian kenttäyhtälöistä.

12.2

Nelipotentiaali j a m i t t a m u u n n o k s e t

Olemme juuri todenneet, että kentät E ja B muodostavat antisymmetrisen kenttätensorin . Siihen pätevät homogeeniset Maxwellin yhtälöt daFfr + dpFia + c>7Fq/3 = 0

(12.27)

Yhtälöt (12.27) sisältävät neljä ei-triviaalia i^-komponenttien välistä yhtälöä. Ne ovat itse asiassa eräänlaisia integroituvuusehtoja. Teemme yritteen kirjoittaa kenttätensori F ^ nelipotentiaalin AM avulla: F pv = dvA„

-

d^A,,

(12.28)

Osoitamme, että yhtälöt (12.27) ovat välttämättömät ja riittävät ehdot (yhdesti yhtenäisessä neliavaruudessa) sille, että on olemassa tällainen nelipotentiaali. Välttämättömyysosa todennetaan suoraan laskemalla (harjoitustehtävä): jos potentiaaliesitys (12.28) on voimassa, yhtälöt (12.27) ovat identtisesti voimassa. Riittävyysosa voidaan todentaa seuraavasti. Oletetaan,

192

LUKU 12. SÄHKÖDYNAMIIKAN

KO VARIANTTI

MUOTO

että annettu antisymmetrinen tensorisuure F ^ noudattaa ehtoja (12.27). Muodostetaan integraali -1 Ap(x) := / dw wxpFfJip(wx), Jo

wx := (u>x0,wx1,wx2,wx3)

(12.29)

f1 d j dvjwxp-—F^(wx) Jo dx

(12.30)

Sen derivaatta on d f1 A^(x) = / dwwFllll(wx)+ dx"' ' Jo '

Olettamamme F ^ on antisymmetrinen, joten d d -A^(x) 7 - —Au(x) dx" dx»

= 2

f1 'o

dwwFfW{wx)

-l

'o

dwwxp[dl/F^(wx)

+ d^Fpvivjx)] (12.31)

Ehdoista (12.27) seuraa, että d

d - Q^MX)

f1 = 2 / io

dwwF,lu(wx)

4- / dwwxpdfjF^(wx) 'o

(12.32)

Toisaalta todetaan helposti, että x ^ F ^ m x ) = w~Ftlu(wx)

(12.33)

Sijoittamalla kaava (12.33) jälkimmäiseen integraaliin (12.32) ja integroimalla osittain päädytään lopputulokseen d d q ^ M * ) ~ d ^ M z ) = F,Ax)

(12.34)

Olemme siis osoittaneet, että jos ehdot (12.27) ovat voimassa, on olemassa ainakin yksi nelipotentiaali, nimittäin kaavan (12.29) määrittelemä Afj,(x), joka toteuttaa ehdon (12.28). Toisaalta jos a(x) on mielivaltainen kahdesti jatkuvasti derivoituva funktio, on dyd^a^x) - d^dva(x)

= 0

(12.35)

12.2. NELIPOTENTIAALI

JA

MITTAMUUNNOKSET

193

joten yhtälöiden (12.28) yleinen ratkaisu A^ on A^x)

= A„{x) + d ^ x )

(12.36)

Täten yleinen nelipotentiaali A^(x) on saatavissa mittamuunnoksella a(x) erityisratkaisusta (12.29). Kappaleessa (8.3) totesimme, että homogeenisten Maxwellin yhtälöiden avulla voidaan esittää kentät E ja B skalaaripotentiaalin <> / ja vektoripotentiaalin A avulla, vrt. yht. (8.32) ja (8.34). Tässä olemme nyt todenneet saman asian uudestaan. Nostamalla indeksit kaavassa (12.28) saadaan F^(x)

= 3M"(a;) - &*Av(x)

(12.37)

Vertaamalla esitystä (12.37) kaavoihin (8.32) ja (8.34) sekä ottamalla huomioon yhtälöt (12.11)—(12.13) saadaan (>(*)) = ( ^ . A ^ J

(12.38)

Esittämällä kenttätensori F ^ nelipotentiaalin AM avulla ratkaistaan siis homogeeniset Maxwellin yhtälöt (12.26) identtisesti. Jäljelle jäävät silloin ainoastaan epähomogeeniset yhtälöt (12.25), jotka johtavat nelipotentiaalin A^(x) epähomogeeniseen aaltoyhtälöön DA"

A) = fiof

(12.39)

missä d • A := daAa

(12.40)

Jos valitaan Lorenzin mitta (Ludvig Valentin Lorenz, 1829-1891) d-A = 0

(12.41)

saadaan varsinainen epähomogeeninen aaltoyhtälö n A v = flof yhtäpitävästi aikaisempien tulosten (8.43) ja (8.44) kanssa.

(12.42)

LUKU 12. SÄHKÖDYNAMIIKAN

194

12.3

KO VARIANTTI

MUOTO

Nelipotentiaali j a Lorentzin m u u n n o k set

On tavallista, että nelipotentiaali (A^) ymmärretään nelivektorina. Ei kuitenkaan ole loogisesti välttämätöntä vaatia, että nelipotentiaali muuntuisi nelivektorina. Tämä voidaan todeta seuraavasti. Tiedämme, että muuntuu tensorina, = VASFcfitö

/>(*) A

(12.43)

Olkoon A^x)

(12.44)

Silloin pätee tietenkin F ' ^ ' ) = d l A ^ x ' ) - d^AKx')

(12.45)

Kaavasta (12.43) seuraa, että dlA^x')

- dlA'u(x') = A «Af[daAp(x)

- dpAa(x))

(12.46)

Nyt on d'e =

(12.47)

Käyttämällä tulosta (12.47) kaavassa (12.46) saadaan dl [A^x')

- A«Aa(x)}

- ö; [A!v{x') - A„%(x)]

= 0

(12.48)

Yhtälön (12.48) yleinen ratkaisu on 4 ( x ' ) = A ^ A a ( x ) + d'^A(x')

(12.49)

missä $a(x') on mielivaltainen (riittävän säännöllinen) funktio. Kaava (12.49) on siis nelipotentiaalin yleinen muunnoskaava homogeenisissa Lorentzin muunnoksissa A. Vasta jos asetetaan $a(x') = 0 kaavassa (12.49), saadaan potentiaalille Afl (x) tavallinen nelivektorin muunnoskaava. Valinta $ A (x') = 0 ei ole millään tavalla välttämätön. Mainittakoon täydellisyyden vuoksi, että sähkömagneettisen kentän kvanttiteoriassa, kvanttisähködynamiikassa, on usein hyödyllistä käyttää juuri muunnoskaavaa (12.49), missä silloin valitaan $ a ^ 0 teoriassa käytetyn mittaehdon mukaisesti. Tällä tavoin voidaan saada aikaan se, että käytetty mittaehto on sellaisenaan voimassa kaikissa Lorentzin muunnosten yhdistämissä koordinaatistoissa, jos se on voimassa yhdessä koordinaatistossa. Tällä tavalla ymmärrettynä esimerkiksi Coulombin mittaehto on muotoinvariantti Lorentzin muunnoksissa.

12.4. ENERGIA-LIIKEMAARATENSORI

12.4

T»>

195

Energia-liikemäärätensori TIU/

Tässä kappaleessa palaamme luvun 9 keskeisiin kysymyksiin, sähkömagneettisen kentän energian ja liikemäärän säilymiseen (Poyntingin lause). Lähtökohtana aikaisemmissa tarkasteluissa oli Lorentzin voimatiheys f{x) = p(x)E(x)

-1- j (:».') x B(x)

(12.50)

Yhtälön (12.24)) mukaan varaustiheys p ja virrantiheys j yhdessä muodostavat nelivirran 3 = ( f ) = (cp, j)

(12.51)

Kentät E ja B yhdessä muodostavat kenttätensorin F'w kaavojen (12.11)(12.14) mukaisesti. Näihin suureisiin pätevät kovarianttiin muotoon puetut Maxwellin yhtälöt , dpF0* = p0ja (12.52) ja daFPl + dfjFia + d^Fap = 0

(12.53)

Tarkastelemme nyt lauseketta (12.50) käyttäen relativistista merkintätapaa. Merkitsemme f =(/\/ä,/3)

(12.54)

Silloin kaavasta (12.50) saadaan, /'

-f j 2 /i : ! — f B ' 2 = cpF01 + J2F12 - F F31 = JOF01 + J2F21 + J3F31

(12.55)

missä on käytetty yhtälöitä (12.11)—(12.13) sekä indeksien pudotussääntöä (11.110). Ulottamalla tarkastelu myös komponentteihin 2 ja 3 saadaan fi(x)=jaFai(x),

i = 1,2,3

(12.56)

Lorentzin voimatiheys on siis nelivektorin F •= JaFa"

(12.57)

avaruusosa. Tämän nelivektorin 0-komponentti on f° = j«Fa0 = -F0aja

= -E •j c

(12.58)

196

LUKU 12. SÄHKÖDYNAMIIKAN

KO VARIANTTI

MUOTO

Komponentti f ° ilmoittaa siis kentän tehohäviön tilavuusyksikköä kohti kaavaan (9.4) yhteydessä esitetyn tulkinnan mukaan. Eliminoimme nyt nelivirran j kaavasta (12.57) Maxwellin yhtälöiden (12.52) avulla, /" = — (duFau) Fa" (12.59) Mo Osoitamme seuraavaksi, että homogeenisten Maxwellin yhtälöiden (12.53) seurauksena on olemassa tensori TMl/, josta voidaan johtaa nelivoimatiheys Ff = dpT^ (12.60) Olkoon Tvw

— [FauFau Vo V

- \g™FapFaP)

(12.61) J

4

Silloin saadaan dvT™ = — ( d p F a p ) F a u + — ( F j 3 d p f t t u Mo Po \ 2

l

-Fa^FaP\

J

(12.62)

Mutta koska F Q/3 on antisymmetrinen, on FapdpFaoJ - ^FapdPF"0 = FaP (dpFa"

-

= -Fap (dpFa" + daF+ 2

= 0

d^F^) (12.63)

missä viimeisessä vaiheessa on käytetty Maxwellin homogeenisia yhtälöitä (12.53). Siis kaavan (12.59) mukaan on dvTvw = —(df)Fj')Fau Po

= r

(12.64)

Olemme täten näyttäneet toteen, että Lorentzin voimatiheysnelivektori voidaan esittää kaavassa (12.61) määritellyn symmetrisen tensorin (T^) divergenssinä. Tensoria (TMl/) kutsutaan energia-liikemäärätensoriksi. Tutkimme nyt energia-liikemäärätensorin komponentteja tarkemmin. Määritelmä (12.61) sisältää invariantin =

E2-B2)

(12.65)

12.4. ENERGIA-LIIKEMAARA

TENSORI

T"

197

Tämän tuloksen avulla todetaan suoraviivaisesti, että jiOO __1 F 0 Fa0 -+= - 1-E 2 - B' 2 Mo a 1 1 B' :e 0 E 2 2 ' 2p 0

(12.66)

eli —T00 on juuri kaavassa (9.12) määritelty kokonaisenergiatiheys w - T oo

w = -E • D + -B • 2 2

H

(12.67)

Edelleen saamme Toi = —F a °Fai = — — (E x B) p0 /i0c ' -S1

= - - ( E x H) c

(12.68)

missä S 1 (i = 1, 2, 3) on Poyntingin vektorin (9.14) i-komponentti. Viimeksi laskemme energia-liikemäärätensorin komponentit Tkl (k, l — 1,2,3), rpkl

A»o

F ak Fal

4-

1 kl -a 2

= e0EkEl + gkl-E2 2 kl kl T = T:

1

E 2 - B'

1 + — BkBl + gkl . po 2muo (12.69)

missä Tkl on kaavassa (5.63) määritelty Maxwellin sähköinen jännitystensori ja T ^ on vastaava kaavassa (7.56) määritelty magneettinen jännitystensori. Kenttäsuureet energiatiheys, Poyntingin vektori ja jännitystensorit, jotka aiemmin esiintyivät irrallisina suureina, ovat siis saman energialiikemäärätensorin komponentteja. Palaamme lopuksi yhtälöihin (12.57) ja (12.60). Niistä seuraa, että <9/3 T ^ = jaFa'x

(12.70)

Olemme johtaneet tuloksen (12.70) suoraan Maxwellin yhtälöiden (12.52) ja (12.53) avulla. Yhtälöt (12.70) sisältävät Poyntingin lauseen (9.13) paikallisessa muodossa (9.17) sekä liikemäärän säilymislain (9.25) paikallisessa muodossa. Indeksin arvolla p = 0 saadaan nimittäin kaavasta (12.70) tulos O -^

+ dkSk = - E - j

(12.71)

198

LUKU 12. SÄHKÖDYNAMIIKAN

KO VARIANTTI

MUOTO

joka on juuri "jatkuvuusyhtälö" (9.17). Indeksin arvoilla /i = (1, 2,3) saadaan X B)' + dk{T? + T*') = pEl + (j x B)'

(12.72)

joka taas on liikemäärän säilymislaki (9.25) paikallisessa muodossa. Olemme näin esittäneet keskeiset säilymislait kovariantissa muodossa (12.70). Itse asiassa olemme nyt osoittaneet, että koko sähködynamiikka, Maxwellin-Lorentzin teoria (väliaineeton eli eli ns. mikroskooppinen teoria) on esitettävissä relativistisessa muodossa. Sekä käsitteellisesti että muodollisesti tämä ns. kovariantti formulaatio on olennainen edistysaskel klassisessa sähködynamiikassa sekä myös koko fysiikassa.

Luku 13 Epähomogeeninen aaltoyhtälö Luvussa 12 olemme kirjoittaneet Maxwellin yhtälöt kenttätensorin avulla, daFh

+ 8pFja

+ d^FaP = 0 = /i0/

missä nelivirta

_

(13.1) (13.2)

on ( f ) = (cp, j)

(13.3)

Homogeeniset yhtälöt (13.1) toteutuvat identtisesti, kun F p u lausutaan nelipotentiaalin avulla, F^ = d

v

A - d„Av

(13.4)

Sijoittamalla esitys (13.4) kaavaan (13.2) saadaan nelipotentiaalille A^ yhtälö DA"-d"(d-A)

=pQf

(13.5)

d • A = dvAu = 0

(13.6)

Lorenzin mittaehto on

joten mittaehdon (13.6) ollessa voimassa tulee yhtälöstä (13.5) varsinainen aaltoyhtälö • A " = Po f

(13.7)

Seuraavassa esitämme, miten epähomogeeninen aaltoyhtälö (13.7) ratkaistaan.

LUKU 13. EPÄHOMOGEENINEN

200

13.1

AALTOYHTALO

Aaltoyhtälön ratkaisu

Tarkastelemme aaltoyhtälöä Du = ( J ^ - V 2 ) u(x°, x) = /(x°, x)

(13.8)

missä f on annettu funktio. Yhtälön (13.8) ratkaisemiseksi on hyödyllistä suorittaa Fourierin muunnos muuttujien x = (x1, x2, x3) suhteen. Yksiulotteisessa tapauksessa Fourierin muunnos f —>• f on oo dx'e-ikx'f(x')

/

(13.9)

•oo Käänteismuunnos on +ikx 1 r°° f(x) = — ^ J-oo dk e f(k) Sijoittamalla f (k) kaavasta (13.9) kaavaan (13.10) saadaan

i

r+oo r+oo dk eikx' f dx'e-ikx'f{x') ' —OO J —oo

(13.10)

(13.11)

Vaihtamalla muodollisesti integroimisjärjestystä kaavassa (13.11) päädytään siihen, että i r+oo — / dk e-ik(x~x') 27T J

= s(x - x')

(13.12)

mikä on hyödyllinen 5-funktion esitysmuoto. Menettelymme on varsin muodollinen, mutta sitä voidaan tarkentaa sopivalla rajankäynnillä. Valitsemme seuraavan: f(x)=

1 r+oo lim — / dke~Xk2+ikx 2tt j y _

r+oo / dx'e~ikx'f{x') o

(13.13)

c

Nyt voimme vaihtaa integroimisjärjestystä kaavassa (13.13), jolloin r+oo "i / dx' f ix) v ; = lim A—>0+ J — oo —

r+oo /

dk

Xk2 ik x x + ( ~ ') e-

f(x')

(13.14)

josta saamme, edelleen hieman muodollisesti, +00 1 lim — I dke~Xk2+ik^-x,) A—>o+ 27r ' '—OO

= 8(x - x')

(13.15)

13.1. AALTOYHTALON

RATKAISU

201

Esitys (13.14) on voimassa annetussa pisteessä x, kun funktio f toteuttaa asianmukaisen integroituvuusehdon välillä (—oo, +oo) ja sen lisäksi esimerkiksi on rajoitetusti heilahteleva äärellisellä välillä, joka sisältää pisteen x. Jos x on funktion f epäjatkuvuuspiste, yhtälön (13.14) vasen puoli on korvattava funktion f vasemman- ja oikeanpuolisten raja-arvojen keskiarvolla. Kolmiulotteinen Fourierin muunnos on vastaavasti / » = I d 3 x'e-* k - x 7(x')

(13.16)

ja sen käänteismuunnos on / ( * ) = J ^ y f rf3k e i k ' x /(k)

(13.17)

Tästä saamme edelleen muodollisesti J d3kelk'(x"x''

= <53(x - x')

(13.18)

Suorittamalla Fourierin muunnoksen yhtälöön (13.8) saamme (kaksi pistettä symbolin päällä tarkoittaa kaksinkertaista derivointia x°:n suhteen) il(x0, k) - I d 3 xe- l k - x V 2 tt(s°,x) = / ( x ° , k )

(13.19)

Todetaan helposti, esimerkiksi integroimalla osittain, että lim [ d 3 xe _ i k ' x V 2 u(x°,x) = —k 2 {t(x°,k) J\x\
(13.20)

Tällöin on oletettu, että (r = |x|) lim f J

= 0

(13.21)

= 0

(13.22)

i2(x°, k) - k 2 u(x°, k) = f(x°, k)

(13.23)

r - > oo

OT

ja lim f dttr2ere-lk-xu(x°,x) 1—>oo J Yhtälöstä (13.8) saadaan siten

LUKU 13. EPÄHOMOGEENINEN A A L T O Y H T A L O

202

Vastaava homogeeninen yhtälö on öh(x°,k)-k2«ft(s0,k) = 0

(13.24)

Sen yleinen ratkaisu on

uh(x°,k) = A(k)coskx° + B(k)sinkx°,

k = |k|

(13.25)

missä A(k) ja B(k) ovat tuntemattomia kertoimia. Yhtälön (13.23) yleinen ratkaisu saadaan siten tunnetusti lisäämällä yhtälön (13.23) erityisratkaisu u e homogeenisen yhtälön yleiseen ratkaisuun u h . Erityisratkaisun u e yritteeksi kirjoitamme

ue(x°,k)

= A(x°,k)coskx°

+ B(x°,k)smkx\

k = |k|

(13.26)

Voimme asettaa kertoimille A(xQ, k) ja B(x°, k) tarkoituksenmukaisen ehdon Ä(x°, k) cos kx° + B(x°, k) sin kx° = 0 (13.27) Silloin saadaan ii e (x 0 , k) - k 2 u e ( x ° , k). = -kÄ(x°,

k) sin kx° + kB(x°, k) cos kx° (13.28)

Yrite (13.26) toteuttaa siis yhtälön (13.23), jos -kÄ(x°,

k) sin kx° + kB{x°, k) cos kx° = f(x°, k)

(13.29)

Yhdessä yhtälön (13.27) kanssa tästä seuraa, että i(z°,k) = B(x°,k)

(13.30)

= +f(x

0

,k)-^^

(13.31)

Tässä vaiheessa on sopivaa asettaa reunaehtoja yhtälön (13.8) ratkaisuille. Ns. Cauchyn reunaehdot ovat u(cT,x) = $ 0 ( x )

(13.32)

V

(13.33)

ja ' '

=$i(x) J

x°=cT

missä funktiot $j(x), i = 1, 2 ovat annettuja, hetkellä x°/c = T vallitsevia alkuarvoja. Osoitamme nyt, että yhtälön (13.8) ratkaisu u(x°,x), kun x° > cT, määräytyy alkuehdoista (13.32) ja (13.33).

13.1. AALTOYHTALON

RATKAISU

203

Integroimme yhtälöt (13.30) ja (13.31) alkuehdoin A(cT, k) = B(cT, k) - 0:

A(x°,k)

=

- f

JcT

B(x°, k) = + f

dx'°f(x'°,kf^l k

(13.34)

dxl0f(x'°,

(13.35)

JcT

k

Yhtälön (13.23) erityisratkaisu, joka häviää hetkellä x°/c = T ja jonka derivaatta x°:n suhteen häviää hetkellä x°/c = T, on siten kaavan (13.26) mukaan ue(x°, k ) = f

dx'0f(x'0,kfn[k{x°~x'0)]

JcT

(13.36) k

ja yleinen ratkaisu on u(x°, k) = uh(x°, k) + ue(x°, k)

(13.37)

Homogeeniyhtälön ratkaisussa (13.25) esiintyvät kertoimet A (k) ja -B(k) määräytyvät nyt alkuehdoista (13.32) ja (13.33), uh(cT, k) = $ 0 ( k ) ,

uh(cT, k) = $ i ( k )

(13.38)

eli 4(k) = $ 0 (k) coskcT-

^1(kf

B{ k) = $ 0 (k) sin fccT-<1, (k) ^

m k c T

k k

(13.39) (13.40)

Lopputulos on siis uh(x\

k) = $o(k)cos[k(x° - cT)] - $1(k)8m[k(X°~cT)] K

(13.41)

Oletamme, että lausekkeisiin (13.36) ja (13.41) voidaan suorittaa yhtälön (13.17) mukainen Fourierin muunnos. Yhtälön (13.8) ratkaisulle annetuilla alkuehdoilla (13.32) ja (13.33) saadaan silloin «(I°,x) =

I d3 k e l k x [uh(x°,k)

+ ue(x°,k)]

(13.42)

On mahdollista lausua lopputulos (13.42) siten, että ainoastaan funktiot $o(x), $i(x) ja f(x°,x.) näkyvät integraalissa. Tämän teemme seuraavassa tärkeässä erikoistapauksessa T —»• —oo.

204

LUKU 13. EPÄHOMOGEENINEN A A L T O Y H T A L O

13.2

Viivästynyt Greenin funktio

Tarkastelemme seuraavassa aaltoyhtälön (13.8) erityisratkaisua ue, - V 2 ^ e ( x ° , x ) = /(*°,x)

(13.43)

alkuehdoilla lim u e (x°,x) = 0,

lim

d —ue(x°,x)

= 0

(13.44)

Yhtälön (13.43) ratkaisu alkuehdoilla (13.44) ei ole mitään muuta kuin erityisratkaisun (13.36) Fourierin muunnos rajalla T —> — oo. Se on Ue(*0,x) = —^r

[ d'k ^

(2vryj

f

Loo

dx'° f (x'°, k); ^

^

'

= I dx10 f d V / f x V ) - !3 J-oo J (2vr) J

k x

[

~

^ /

Q

k

)

3

(13.45) Merkitsemme n M

.

D p ( ä )

[

-(2WJ

3

jk . z sinÄ£°

(13 46)

Ä-

missä funktion D r argumentti z on nelivektori (z°,z). (13.45) voidaan kirjoittaa muotoon

-

Tällöin lauseke

u e (z°,x) = J dAx'Dr(x-x')f{x'°,x')

(13.47)

Kaava (13.46) määrittelee (singulaarisen) funktion D r , jota kutsutaan viivästyneeksi Greenin funktioksi. Funktion (13.46) laskemiseksi käytämme ensin tulosta [ dQ k e i k z = 4 t t ^ M J k\z\

(13.48)

Sijoittamalla tämä kaavaan (13.46) saadaan Dr(z) =

/ 27T2|z 'o

dk sinfc|z| sinfcz0

e(z°) r°° dk

eik(z°-|z|)

_ eifc(*° + M)

(13.49)

13.3. LIENARDIN - WIECHERTIN

POTENTIAALIT

205

Käyttämällä 5-funktion esitysmuotoa tässä kaavassa päädytään tulokseen (huom. z° + |z| > 0) Dr(z) =

- |z|)

47r|z|

(13.50)

Lopputulos (13.50) näyttää ei-invariantilta; funktiolla Dr(z) on kuitenkin ekvivalentti invariantti esitysmuoto 2

Dr(z) = ^ ö ( z ITI

)

(13.51)

Sijoittamalla lauseke (13.50) kaavaan (13.47) saadaan ue(x°,x)

= ~ f d v r° 4txj J_0o 1 f ,, = 747T - // d x —

d x v v

0

, * ' )

6

^ - ? 0 - ^ ^ |x-x'|

- Ix-xTx') r x1 - x'^ ^

v (13.52) '

On helppo tarkistaa, että lopputulos (13.52) toteuttaa yhtälön (13.43) ja reunaehdot (13.44). Tällöin edellytetään, että lähdetermi /(a;°,x) on kahdesti derivoituva argumenttiensa suhteen ja että se häviää riittävän nopeasti, kun |x°| —> oo ja |x| —> oo. Täten voidaan todentaa, että muodollinen laskumenetelmämme johtaa oikeaan tulokseen, kun lähdetermi f(x°,x) toteuttaa tarpeelliset säännöllisyys- ja asymptootiset ehdot.

13.3

L i e n a r d i n - W i e c h e r t i n potentiaalit

Palaamme nelipotentiaalin A" aaltoyhtälöön (13.7). Yhtälöiden (13.37) ja (13.47) perusteella saadaan yleinen ratkaisu A"{x) = Autul{x) +fi0 j

dAx'Dr(x

- x')f(x')

(13.53)

missä A"ul(x) toteuttaa homogeenisen yhtälön OAU*) = 0

(13.54)

Merkitsemme homogeenisen yhtälön ratkaisua näin, koska tarkoitamme "tulevaa" aaltoa, kaukana menneisyydessä (x° —> — oo) annettua kenttää. Laskemme nyt liikkuvan pistevarauksen aiheuttamat potentiaalit ja kentät yhtälön (13.53) mukaan. Oletamme, että tunnemme pistemäisen

LUKU 13. EPÄHOMOGEENINEN

206

AALTOYHTALO

varauksen q radan r(t) ja nopeuden v(t) = r ( t ) inertiaalikoordinaatistossa K. Varaustiheys p on tällöin kaavan (2.19) mukaan p(t,x) = qS3(x-

r{t))

(13.55)

ja virrantiheys j on kaavan (6.14) mukaan j(i,x) = qv(t)53(x-v(t))

(13.56)

Nelivirta j^1 on siten ( f ) = (cp,j)

(13.57)

Merkitsemme rataa r ( t ) vastaavaa pistevarauksen maailmanviivaa r(r):lla, missä r on varauksen ominaisaika (kappale 11.4), dr = dty/l-v2/c2

(13.58)

Nelivirran (13.57) kovariantti esitysmuoto on tällöin, f ( x ) =qc I dru'1{T)5A(x - r(r))

(13.59)

missä U^(T) on hiukkasen nelinopeus, u*(r)

=

ar

= (7Cj

7V)

i

7

= (1 - v2/c2) " 1 / 2

(13.60)

On luonnollista olettaa, että pistemäisen hiukkasen aiheuttama kenttä ja potentiaali häviävät kaukana menneisyydessä (.x° —> —oo). Tämä merkitsee sitä, että A"ul(x) = 0 kaavassa (13.53). Sijoittamalla lausekkeen (13.59) tähän kaavaan saamme A"(x) = p0qc J dTu^(r)Dr{x

- r(r))

(13.61)

Käyttämällä viivästyneen Greenin funktion Dr lauseketta (13.51) saamme Av{x) = — f dru"(r)6(x° 27T J

- r°(r))6 ([x - r(r)] 2 )

(13.62)

Kaavan (13.62) integraali yli ominaisajan voidaan suhteellisen helposti laskea kaavassa esiintyvän 5-funktion johdosta. Toteamme, että integroitava häviää lukuun ottamatta pisteitä, joissa maailmanviiva r(r) leikkaa x\n kautta kulkevan valokartion eli (kuva 13.1) [x - r(r)] 2 = 0

(13.63)

13.3. LIENARDIN

- WIECHERTIN

POTENTIAALIT

207

olevan mielivaltaisen pisteen x kautta kulkevan valokartion tasan kahdessa pisteessä r(r 0 ) ja T(TQ)

Yhtälön (13.63) juurista tulee kysymykseen vain se (ne), johon (joihin) pätee z 0 > r°(r) (13.64) kaavassa (13.62) esiintyvän 0-funktioehdon mukaisesti. Väitämme, että yhtälöillä (13.63) ja (13.64) on enintään yksi juuri V0. Todistaaksemme tämän väittämän siirrymme hetkeksi takaisin kolmigeometriaan. Olkoon maailmanviivaa r(r) vastaava kolmiavaruuden ratakäyrä r(*) = (£(*), 77(*),C(*)) (13-65) missä aikamuuttujaa on merkitty t:llä. Olkoon P' käyrän r ( t ) mielivaltainen piste r(£'), johon pätee t' < t, missä t on annettu kiinteä arvo. Piirrämme pallopinnan, jonka keskipiste on P' ja jonka säde on R' = c(t — t'). Tarkastelemme sitten käyrän r ( t ) pistettä P", joka aikajärjestyksessä on ennen pistettä P' eli t" < t', ja piirrämme toisen pallopinnan, jonka säde on R" = c(t — t") ja keskipiste P". Väitämme nyt, että ensimmäinen pallopinta on kokonaan toisen pallopinnan sisällä. Pallopintojen lyhin etäisyys toisistaan (euklidisessa mielessä) on (kuva 13.2) dmin = R" - R! - d(P', P")

(13.66)

missä d(P', P") on lyhin etäisyys (taas euklidisessa mielessä) pisteiden P' ja P" välillä. Etäisyyteen d(P', P") pätee d(P', P") < [ dt|v(t)| Jt"

(13.67)

208

LUKU 13. EPÄHOMOGEENINEN

AALTOYHTALO

Kuva 13.2: Kolmiavaruuden ratakäyrä r(t) sekä pisteet P' ja P" keskipisteinä piirretyt R'- ja ^"-säteiset pallopinnat. missä v(£) on kolminopeus pitkin ratakäyrää r(£). Jos ratakäyrä r(t) on massallisen hiukkasen liikerata kolmiavaruudessa, on oltava |v(t)|
. (13.68)

eli d(P', P") < c(t' - t")

(13.69)

Kaavan (13.66) mukaan on täten cUn > 0

(13.70)

eli edellä selostetulla tavalla konstruoidut pallopinnat eivät kohtaa toisiaan. On siis olemassa vain yksi tällainen pallopinta, joka sisältää mielivaltaisen, ratakäyrän r(i) ulkopuolella olevan annetun pisteen ( x , y , z ) . Mutta tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että yhtälöllä [s - £(*')]2 + [y-

v(t')}2 + {x~ at1)}2

= c2(t - t'f

(13.71)

on vain yksi juuri t', johon pätee i! < t. Alkuperäinen väittämämme on täten todistettu. Palaamme integraaliin (13.62) laskemiseen. On helppo todeta, että I dxg{x)8(f(x))

= E

^

j

(13-72)

missä pisteet x^ ovat funktion f(x) integraalin (13.72) integroimisväliin sisältyviä nollakohtia, jotka oletetaan yksinkertaisiksi. Derivoimalla ehtoyhtälön (13.63) saamme i x - r(r)] 2 - —2[x -

T{T)]VUV{J)

(13.73)

13.3. LIENARDIN - WIECHERTIN

POTENTIAALIT

209

Kaavan (13.72) sisältämän <5-funktiolaskusäännön mukaisesti saadaan yhtälöstä (13.62) lopputulos =

^

u"(T)

[x — r(r)] • u(r)

(13.74) T=T0

missä T0 määräytyy valokartioehdosta (13.63) sekä viivästymisvaatimuksesta (13.64). Kaavan (13.74) määrittelemän potentiaalin komponentit tunnetaan Lienardin-Wiechertin potentiaalien nimellä. Lopputulos (13.74) on elegantti mutta ei kovin havainnollinen. Laskemme siitä syystä potentiaalit uudestaan, tällä kertaa ilman suhteellisuusteorian hienouksia. Lähtökohtana on edelleen kaava (13.53), missä oletetaan, että A^ul = 0. Viivästyneen Greenin funktion Dr (x — x') ei-kovariantti esitys on kaavan (13.50) mukaan Dr{x - x') =

47T|x-X / |

V

_ x'0 _

_ x/j\ i i /

(x

(13_75)

)

Laskemme ensin skalaaripotentiaalin 0 = cA°, (f)(x°, x) = /i 0 c f d4x'Q}X" ~X'°h(x0 J 47r|x —x'|

- x* - |x - x ' | ) / ( x , 0 , x ' ) (13.76)

missä [vrt. yht. (13.55)] j\x'0,x')

= cq63(x'-r(t')),

x'° = ct'

(13.77)

Sijoittamalla lauseke (13.77) kaavaan (13.76) ja suorittamalla integraali yli x':n suoraan 5 3 -funktion avulla saadaan = f^p- f 47T

dx'0,

|x-r(t')|

(x° - x'° - |x - r(t')|)

(13.78)

Merkitsemme R(t)

:= x - r ( f ) ,

R(t') := |R(t')|

(13.79)

Käyttämällä muuttujina suureita t ja t' (x° = ct), (x'° — ct') kaavassa (13.78) sekä relaatiota eo/^oc2 = 1 saadaan

LUKU 13. EPÄHOMOGEENINEN

210

AALTOYHTALO

Kuten aiemmin on todettu, on suureella := f + -R(t') c

- t

(13.81)

täsmälleen yksi nollakohta t'(t), johon pätee t' < t, t' + -R(t')=t,

t' = t'{t), t'
(13.82)

Integraalin (13.80) laskemista varten tarvitaan kaavassa (13.81) määritellyn funktion derivaatta, <M(t') _ dt1 ~

x

v(f) •R(f) cR{t')

(13.83)

Laskusäännön (13.72) mukaan saadaan siten (x°,x)

47T£n cR(f) - v ( f ) • R ( f ) t'+R(t')/c=t

(13.84)

Aivan samalla tavalla päädytään tulokseen A(x°, x) = (A1, A2, A3) gcv(f) Mo 47r cR(f) - v ( f ) • R ( f )t'+R{t')/c=t

(13.85)

Tulokset (13.84) ja (13.85) ovat tietenkin yhtäpitäviä kaavan (13.74) kanssa. Tietyllä hetkellä t potentiaalit riippuvat siis sähkövarauksen sijainnista ja liiketilasta aikaisempana hetkenä t', ns. viivästyneenä eli retardoituneena hetkenä, joka on yhtälön (13.82) yksikäsitteinen ratkaisu. Esitämme tämän tilanteen havainnollisessa muodossa vielä kuvassa 13.3.

13.4

Liikkuvan varauksen kentät j a säteily

Tietyllä liikeradalla r (t) liikkuvan pistevarauksen aiheuttamat kentät voidaan laskea edellisessä kappaleessa johdetuista Lienardin-Wiechertin potentiaaleista. Kenttätensori F ^ — ja siis kentät E ja B — saadaan derivoimalla lauseketta (13.74) kaavan (13.4) mukaisesti.

13.4. LIIKKUVAN

VARAUKSEN

KENTÄT

JA

SÄTEILY

211

Kuva 13.3: Varauksisen hiukkasen sijainti ja liiketila hetkellä t' määräävät sähkömagneettisen kentän pisteessä x myöhempänä hetkenä t. Kentän eteneminen pisteestä r(t 1 ) pisteeseen x vie ajan R(t')/c, jonka kuluttua hiukkanen on ehtinyt ratansa pisteeseen r ( t ) . Seuraavassa laskemme kuitenkin kentät E ja B skalaaripotentiaalista 4> (13.84) ja vektoripotentiaalista A (13.85) kolmiulotteista merkintätapaa käyttäen. Täten meillä on E(t,x) = - V 0 ( i , x )

-dtA(t,x)

(13.86)

ja B(t, x) = V x A(i, x)

(13.87)

Derivoitaessa potentiaaleja (13.84) ja (13.85) paikkamuuttujien suhteen on huomattava, että niissä esiintyvä viivästynyt aika t' riippuu x:stä kaavan (13.82) mukaisesti, t' + -|x-r(t')| c

=t

(13.88)

Tästä kaavasta seuraa tulos R(f) cR(t') - v(t') • R(t').

Vf = -

(13.89)

missä esiintyvät suureet R ja R on määritelty kaavassa (13.79). Merkintä [ ] r tarkoittaa, että hakasuluissa oleva lauseke on laskettava viivästyneenä hetkenä t', joka siis toteuttaa ehdon (13.88). Samoin pätee di! "di

cR[t') _cR(t') — v(t') • R(£')_

(13.90)

Kaavasta (13.84) seuraa, että _qc_ V[ci?(t') - v ( f ) • R(t 1 )} V0(x°, x) = — 47ren _ [cR{f) - v{t') • R ( f ) ] 2

(13.91)

LUKU 13. EPÄHOMOGEENINEN

212

AALTOYHTALO

Kaavan (13.89) avulla voidaan todeta, että VR

cR(t') cR{tf)

(13.92)

-R(i')Jr

Samoin saadaan V[v(f) • R ( f ) ]

cR\ + v x (R x v) - (v • R)R ~ cR - v • R

(t')

(13.93)

missä merkintä [ ] r (t') tarkoittaa, että hakasuluissa olevat suureet lasketaan aikana t' ja missä v(/') :

v(f)

(13.94)

Kaavasta (13.91) saadaan siten V$(x°,x) = -

_qc_ c 2 R - ci?v - v x (R x v) + (v • R)R (cR - v • R) 47ren

(0 (13.95)

Kaavan (13.85) vektoripotentiaali A riippuu ajasta t ainoastaan viivästyneen ajan t' välityksellä. Täten pätee dA di! dl' dl

(13.96)

Kaavoista (13.85) ja (13.90) seuraa, että 0

dt A(a; ,x) =

47ren

(cR • v - Äv 2 )v + R[cR\ 4- R x (v x v)] (cR - v • R) 3

(O (13.97)

Laskemalla yhteen tulokset (13.95) ja (13.97) saadaan vihdoin (R-^)-Rx[lvx(R-ivi?)] E (t,x) =

47Te0

(Ä-iv-R)3

(f) (13.98)

Magneettikentän B(t,x) laskeminen vektoripotentiaalin (13.85) roottorina jätetään harjoitustehtäväksi. Tulos voidaan lausua muodossa B(t,x) = —E(t, x) x

M

(13.99)

CÄ(TF)

Toteamme, että magneettikenttä B on kohtisuorassa sähkökenttää E vastaan kaavan (13.99) mukaisesti. Yleisen nelivirran tapauksessa tämä pätee vain asymptoottisesti eli suurilla |x|:n arvoilla.

13.4. LIIKKUVAN

VARAUKSEN

KENTÄT

JA

SÄTEILY

213

Analysoimme nyt sähkökentän (13.98) lauseketta tarkemmin. Toteamme ensin, että liikkumattoman varauksen tapauksessa (v = 0, v = 0) kaavasta (13.98) saadaan oikea tulos eli staattinen Coulombin kenttä. Voimme myös tarkistaa tapauksen, jossa varaus q liikkuu tasaisella nopeudella v (v = 0) esimerkiksi rr-akselin suuntaan. Yhtälöiden (13.98) ja (13.99) antama sähkömagneettinen kenttä on silloin sama kuin kenttä, joka saadaan Lorentzin muunnoksella (11.90) ja (11.91) Coulombin kentästä. Yleisen kaavan (13.98) viimeinen termi on lineaarinen varauksen q kiihtyvyyden v suhteen. Tämä kentän osa pienenee kuten Ä - 1 suurilla R:n arvoilla (kaukana varauksesta q), ja sitä sanotaan säteily kentäksi. Tällaisen säteilykentän olemassaolo tunnetaan kokeellisesti synkrotronisäteilynä ja jarrutussäteilynä. Poyntingin lauseen avulla (luku 9) voidaan todeta, että kiihtyvässä liikkeessä oleva varaus menettää energiaa ja liikemäärää nimenomaan säteilykentän johdosta. Tämä voi tuntua paradoksaaliselta. Voidaanhan kysyä, miten on mahdollista, että varaus liikkuu tietyllä radalla, jos varaus kerran menettää energiaa ja liikemäärää liikkeensä ansiosta. Paradoksi on kuitenkin näennäinen, sillä olemme nimenomaan olettaneet, että varaus liikkuu annettua rataa pitkin. On siis ajateltava, että ulkoinen voima pitää hiukkasen määrätyllä radallaan ja kompensoi varauksen säteilykentän aiheuttamat häviöt. Tilanne muuttuu kuitenkin toiseksi, jos tarkastelemme varauksen liikettä ulkoisessa annetussa kentässä E , B . Edellisen analyysin perusteella tiedämme, että kiihtyvässä liikkeessä oleva varaus luo säteilykentän ympäristöönsä, minkä johdosta sen liiketila muuttuu. Tämä ns. säteilyreaktio on siis otettava huomioon hiukkasen liikettä laskettaessa. Käytännöllisellä tasolla nämä säteilyefektit ovat hallittavissa, mutta niissä piilee tiettyjä perusluonteisia ongelmia. Nämä eivät ratkea ilman tietoa hiukkasten rakenteesta, johon taas klassinen sähködynamiikka ei ulotu. Viittaamme tässä yhteydessä Jacksonin kirjan [2] lukuun 17 ja Rohrlichin teoksen [14] lukuun 6.

214

LUKU 13. EPÄHOMOGEENINEN

•

AALTOYHTALO

Liite A Sähködynamiikan y ksikköj ä r j est elmät Tässä kirjassa olemme koko ajan käyttäneet Sl-järjestelmän yksiköitä. Perusyksiköt ovat massan yksikkö kilogramma (kg), pituuden yksikkö metri (m) ja ajan yksikkö sekunti (s) sekä virran yksikkö ampeeri (A). Ampeeri määritellään suoraan Amperen lain avulla tarkastelemalla kahta äärettömän pitkää, tyhjiössä olevaa samansuuntaista johdinta, joissa kulkevat virrat / ja V ja joiden etäisyys toisistaan on L. Tällöin johtimien välinen voima pituusyksikköä kohti on yhtälön (6.27) mukaan

missä jdo on verrannollisuuskerroin. Yksikkö A määritellään seuraavasti: jos 7 = / ' = l A j a L = l m kaavassa (A.l), voima pituusyksikköä kohti on tasan 2 • 10~7 N/m. Tästä seuraa, että T 47T =

^

A2

A

2

(-> v

'

Varauksen yksikkö coulombi (C) on tällöin johdannaisyksikkö: 1 C = 1 As. Coulombin laki (2.1) ilmoittaa tyhjiössä vallitsevan voiman F kahden toisistaan etäisyydellä r olevan liikkumattoman varauksen välillä, F

=

Verrannollisuuskerroin e0 on nyt periaatteessa mitattava suure, sillä va-

216

LIITE A. SÄHKÖDYNAMIIKAN

YKSIKKÖ JÄRJESTELMÄ

T

rauksen yksikkö C on jo kiinnitetty. Vakion e0 numeerinen likiarvo on A2s2 e0 « 8,854 • 10~12 ^

(A.4)

Kun vakiot e0 ja p 0 yhdistetään, saadaan — « (2,99979 -10 8 ) 2 ^ L eoPo s

(A.5)

Tarkka relaatio on 1

Co/^o

c2

(A.6)

missä c on valon nopeus tyhjiössä. On selvää, että valituilla yksiköillä ei voi olla perustavaa merkitystä. Valitsemalla virran tai varauksen yksikkö toisella tavalla saadaan toisenlaisia arvoja vakioille eo ja p 0 . Useat yksikköjärjestelmät voidaan parametrisoida yhdellä parametrilla K, joka määritellään seuraavasti: K2 - e0poc2

(A.7)

Sl-järjestelmässä valitaan p 0 = 47r • 10 7 N/A 2 ja K — 1, kuten edellä on todettu. Niin sanotussa Gaussin järjestelmässä valitaan sen sijaan K

= C,

47T60 = 1,

47r

= l

(A.8)

On muistettava, että yksiköiden valinta vaikuttaa sekä Lorentzin voiman lausekkeeseen että Maxwellin yhtälöihin. Parametrin K avulla lausuttuina nämä ovat F-g^E + ^vxBj

(A.9)

ja V • E = —p eo

(A.10)

V •B = 0

(A. 11)

V x E = =

KJ

1 ÖB dB — K dt + ^

K, Öt

(A.12) (A.13)

217

Tyhjiössä etenevien kenttien aaltoyhtälöt ovat eoPo Ö2E _ 2 K2 dt e0p0 d 2 B k

2

2

8t

v

,

E = Q

- V2B = 0

(A

i4)

(A.15)

Jos aallot etenevät nopeudella c, on e0/i0 k2 mikä on juuri kaava (A.7).

1 c2

(A.16)

218

LIITE A. SÄHKÖDYNAMIIKAN

YKSIKKÖ JÄRJESTELMÄ

T

Liite B Gaussin j a Stokesin lauseet Luvussa 2 esiintyi divergenssilause eli Gaussin lause muodossa [ d3rV-U(r)= JV

f dS n - U ( r ) J dV

(B.l)

Tässä U(r) on paikkavektorin r = (x, y, z) vekt-oriarvoinen funktio, joka on jatkuva ja jolla on jatkuvat ensimmäisen kertaluvun derivaatat alueessa V = V\JdV, missä dV on (eräät säännöllisyysehdot täyttävä) yhtenäisen ja äärellisen alueen V reunapinta. Esitämme seuraavassa Gaussin lauseen alkeellisen todistuksen. Todistamme ensin Gaussin lauseesta kaksiulotteisen version, joka myös tunnetaan nimellä Greenin tasolause:

L ds {^- d i)-L {piv+Qix)

(B 2)

-

A on yhdesti yhtenäinen äärellinen tasopinta-alue; dA on tämän pintaalueen reuna kuljettuna positiiviseen kiertosuuntaan eli siten, että alue A jää aina vasemmalle, kun edetään reunakäyrää dA pitkin. Funktiot P ja Q ovat :ry-tason muuttujien (x, y) funktioita, jotka ovat jatkuvia ja joilla on jatkuvat ensimmäisen kertaluvun derivaatat suljetussa tasoalueessa A = AUÖA. Oletamme ensin, että tasoalue A on sellainen, että jokainen x- tai y-akselin suuntainen suora kohtaa reunakäyrän dA korkeintaan kahdesti (kuva B.l). Vaakasuora viiva, jonka etäisyys origosta O on y (c < y < d) kohtaa siis käyrän dA kahdessa pisteessä, joita merkitsemme X\(y) ja X2(y) [x2{y) > xx{y),

y e (c,d))].

220

LIITE B. GAUSSIN JA STOKESIN

a

LAUSEET

x b x

Kuva B.l: Kaksiulotteinen divergenssilause eli Greenin tasolause. Tässä tilanteessa pätee rx2(y) Qp dy / dx— ÖX Jx i(»)

dP dxdy = dx = / = /

dy[P(x2(y),y)-P(x1(y),y)] dy P(x2{y),y)

+

dyP(xi(y),y)

dyP(x, 2/) '<9 A

(B.3)

Samoin voimme kirjoittaa dQ dxdy = dy =

6

/•!«(*)

dx / 7W(«) Ja

dx[Q(x,y2{x))

oy -

dx Q(x, y)

Q(x,yi(x))} (B.4)

IDA

Laskemalla kaavat (B.3) ja (B.4) yhteen saadaan (B.5) mikä on tasossa pätevä Greenin lause. Edellä esitetty todistus edellytti, että alue A ja sen reuna dA toteuttavat todistuksessa mainitut ehdot. Lause pätee yleisemmin siinä tapauksessa, että alue A voidaan jakaa äärelliseen määrään osa-alueita, jotka erikseen (paloittain säännöllisine reunoineen) toteuttavat nämä ehdot.

221

Todistamme nyt varsinaisen divergenssilauseen (B.l) käyttäen menetelmää, joka on edellä esitetyn todistuksen suoraviivainen yleistys. Olkoon dV umpinainen pinta, joka ympäröi yhtenäisen äärellisen alueen V. Silloin dV on kaksipuolinen; merkitsemme dV:n ulkonormaalia n:llä. Oletamme, että V on paloittain säännöllinen: dV voidaan jakaa äärelliseen määrään osia siten, että normaali n on joka osalla jatkuva. Teemme vielä teknisen oletuksen. Oletamme, että jokainen z-akselin suuntainen suora leikkaa pinnan dV korkeintaan kahdessa pisteessä (x, y, zi) ja (x, y, z2), missä zi < z2. Tällöin pinta dV jakautuu yläpintaan dV2, jonka pisteet ovat (x,y,z2), ja alapintaan dV\. jonka pisteet ovat (x, y, zi). Oletamme edelleen, että pisteet missä z\ = z2 muodostavat suljetun reunakäyrän, joka erottaa pinnat dV\ ja dV2 toisistaan (kuva B.2). Merkitsemme pintojen dV2 ja dV\ projektiota xy-tasoon A: 11a.

Kuva B.2: Kolmiulotteinen divergenssilause. Tarkastelemme integraalia Iz :=

J^d3r-^Uz{x,y,z) dxdyUz(x,y,z2(x,y))

- / / dx dyUz(x,y, J Ja

zx{x,y)) (B.6)

Pinnan A alkioiden dx dy reunojen kautta asetetut sylinteripinnat jakavat pinnat dVi ja dV2 alkioihin dS (ks. kuvaa B.2). Koska dx dy on kummankin vastaavan alkion dS projektio, niin on

LIITE B. GAUSSIN JA STOKESIN

222

LAUSEET

Tästä seuraa, että Iz=

dSn-ezUz(x,y,z)

+

dS n • ezUz{x,y,

JdV2

= [ dS n • ezUz(x, y, z) JdV eli

z)

JdVl

d dr—Uz(x,y,z)

=

OZ

(B.8)

f J dV

dS n • ezUz(x,y,z)

(B.9)

Vastaavasti johdetaan [ d3r -^-Uy(x, y, z) = [ dS n • eyUy(x,y, Jv oy JdV

z)

(B.10)

dS n • exUx(x, y, z)

(B.ll)

ja d 3 d r —Ux(x,y,z) JV

= /

u h

-

JdV

Laskemalla kaavat (B.9)-(B.ll) yhteen saadaan f ÄVT(r)= Jv

f

dSn-U(r)

(B.12)

JdV

mikä on divergenssilause. Huomautamme vielä lopuksi, että lopputulos (B.12) pätee yleisemmillä aluetta V ja sen reunapintaa dV koskevilla ehdoilla kuin mitä todistuksessa on oletettu. Riittää, että alue V voidaan jakaa osa-alueisiin, joihin edellä mainitut oletukset pätevät. Laskemalla yhteen tällä tavalla saadut kaavat (B.9)-(B.ll) saadaan sama lopputulos (B.12). Viittaamme Kelloggin kirjaan [6], jossa tämä kysymys on tarkemmin analysoitu. Tämän jälkeen todistamme Stokesin lauseen: [ dSnJs

(V x U) = [ dl • U JdS

(B.13)

S on sileä kaksipuolinen reunallinen pinta, jonka yksikkönormaali n on jatkuva funktio, ja dS on pinnan reunakäyrä. Vektorifunktio U oletetaan jatkuvasti derivoituvaksi suljetulla pinnalla S = S U dS. Kaavan oikean puolen viivaintegraali otetaan positiiviseen kiertosuuntaan normaalin n suhteen. Todistamme kaavan (B.13) Greenin lauseen (B.2) avulla. Tästä syystä teemme vielä teknisen oletuksen, että pinta S voidaan parametrisoida

223

Kuva B.3: Stokesin lause. yksikäsitteisesti esimerkiksi xy-tason muuttujien avulla. Tällöin pinnan S yhtälö on (ks. kuvaa B.3) z = z(x,y) (B.14) Oletamme vielä, että pinnan S projektio A xy-tasoon toteuttaa Greenin lauseen (B.2) yhteydessä annetut ehdot. Olkoon r pinnan S mielivaltaisen pisteen (x,y,z) paikkavektori, r = xex + yey + zez

(B.15)

Pinnan S pinta-alkio dS voidaan laskea seuraavasti: dS n = (r X dx) x ( r y d y ) ,

dr dr r x := — , ry := dy

( B .16)

eli dS n =

1

e2 —

dz dx

dz — —e,, dx dy y dy v 1

(B.17)

Tällöin meillä on I := J dS n - (V x U) dz dz [ez - —ex ~ ^ y ) • (V x U)

\dxdy =

dx dy JA

dx

(B.18)

missä viimeinen yhtäsuuruus voidaan helposti todeta. Soveltamalla Greenin lausetta (B.2) kaavan (B.18) viimeiseen integraaliin saadaan I = / JDA

(dy ry • U + dx rx • U)

(B.19)

224

LIITE B. GAUSSIN JA STOKESIN

LAUSEET

Viivaintegraali (B.19) ei ole mitään muuta kuin integraali

L

dl-U

(B.20)

dS

missä reunakäyrä dS on parametrisoitu muuttujien (x, y) avulla. Saamme tulokseksi (B.21) Tämä on juuri Stokesin lause. Huomautamme vielä, että lopputulos (B.21) pätee lievemmillä pintaa S koskevilla ehdoilla kuin mitä edellä on oletettu. Riittää, että pinta S voidaan jakaa äärelliseen määrään osia siten, että tehdyt oletukset ovat voimassa erikseen jokaisen osan suhteen. Stokesin lauseen todistuksemme perustui teknisesti Greenin lauseeseen (B.2). Lause voidaan todistaa suoraviivaisemmin approksimoimalla pintaintegraali pienten tasopinta-alkioiden (tasokolmioiden) yli otettujen pintaintegraalien summana ja soveltamalla Greenin lausetta (B.2) suoraan jokaiseen tällaiseen taso.alkioon. Sopivan rajakäynnin jälkeen päädytään siten suoraan Stokesin lauseeseen (B.13).

Liite C Konformiryhmän muunnokset Olemme luvussa 11 todenneet, että homogeeninen aaltoyhtälö on invariantti sellaisissa muunnoksissa x x', joihin pätee = y

w

dx'»' dx

1 X

(c 1

a

dx dxP

^ '

missä A on mielivaltainen, mahdollisesti x:stä riippuva suure. Osoitamme, että ehdosta (C.l) seuraa ehtoyhtälö g^dx^dx'"

Toteamme ensin, että d dx'»

= \gapdxadr/

(C.2)

dxa d dx'» dxa

(C.3)

=

(c,)

Yhtälöstä (C.l seuraa sitten, että

Kertomalla yhtälö (C.4) suureella gp-f ja summaamalla /3:n yli saadaan dra

(

dr&

\ = ^

(C.5)

Mutta tästä yhtälöstä (C.5) seuraa, että dx'»

=

A niJ

dx?

. , (C.6)

LIITE C. KONFORMIRYHMAN

226

MUUNNOKSET

Relaatioista dx'11 =

dxi

dxi

(C.7);

v

saadaan g,M"dx-

/ BT13 \ f = g,u ( a g ^ — g ^ J

=

8ru \ [\g"—g„TdxT)

gpiQurdx1dxT = Xg1Tdx1dxT

(G.8)

Toisella rivillä olemme käyttäneet ehtoyhtälöä (C.4). Olemme näin osoittaneet, että ehto (C.2) on ehdon (C.l) seuraus; ehdot ovat ekvivalentteja. Tarkastelemme ehdon (C.2) toteuttavia infinitesimaalisia muunnoksia = x» + effM{x)

x»

(C.9)

missäs on infinitesimaalinen parametri. Muunnokset (C.9) ovat siis infinitesimaalisia konjormimuunnoksia, jos ehto (C.2) on voimassa. Yhtälöstä (C.9) seuraa, että df^fr) dx'» = dx" + e \ a1 dxa v(C.10) 8x ' Ehtoyhtälöstä (C.2) seuraa nyt funktioille ehtoyhtälöt dMx) e ^ t e T

dMx) +

. = (A "

.

N

(C.1D

Jatkossa käytämme vapaasti luvussa 11 esitettyjä Lorentz-tensorialgebran alkeita: indeksien nostot ja laskut, indeksien yli kontraktointi jne. Kertomalla yhtälö (C.ll) g a ^\ 11a ja summaamalla kahdesti esiintyvän indeksin yli, eli kontraktoimalla indeksit a ja j5, saadaan A - l = \e{d-f)=l-edar

(C-12)

Käyttämällä tulosta (C.12) kaavassa (C.ll) päädytään funktioita F» (JJ, = 0,1, 2, 3) koskeviin ehtoyhtälöihin daf(i + dpfa = ±(d-f)gal3

(C.13)

Yhtälöt (C.13) muodostavat vakiokertoimisen osittaisdifferentiaaliyhtälöryhmän funktioille f^. Täten voimme tehdä ratkaisuyritteen U = S + b^x" + clwaxv xa

(C.14)

227

missä suureet ja cMJ/(7 ovat a;:stä riippumattoimia. Kertoimet ovat symmetrisiä jälkimmäisten indeksien suhteen, Cfj.ua

C^iav

(C.15)

mutta muuten ei aseteta mitään ennakkorajoituksia kertoimille a ^ b ^ ja Cfii/a • Kaavasta (C.14) saadaan d-f

= baa + 2CaaX

(C.16)

missä olemme käyttäneet symmetriaehtoa (C.15). Määritellään nyt kaksi suuretta a ja Tu seuraavasti: 4a := b\

(C.17)

4T, := CaQi/

(C.18)

dpfa = bap + 2Capvxw

(C.19)

Yhtälöstä (C.14) seuraa, että

Käyttämällä yhtälöä (C.16) ja määritelmiä (C.l-7) ja (C.18) saadaan ehtoyhtälöistä (C.13) bal.3 + b/3a

+ 2 (Ca$v + Cp av )xv = {2a + 4Tvxv)g«p

(C.20)

Täten saamme yhtälöt bai3 + bpa = 2 agap

(C.21)

ja Cap v + Cpau = 2TugaP

(C.22)

Koska on symmetrinen jälkimmäisten indeksien suhteen, yhtälöstä (C.22) seuraa myös, että C a vP + Cpv a = 2 r vyap

(C.23)

Jaamme nyt suureen bap indeksien vaihdon suhteen symmetriseen ja antisymmetriseen osaan, bap = Sap + U[ap]

(C.24)

Sap := ^ [bap + bpa]

(C.25)

missä

U[aP] := 2 [bap - bpa]

(C.26)

LIITE C. KONFORMIRYHMAN

228

MUUNNOKSET

Yhtälöstä (C.21) seuraa silloin, että Sap = cr ga/3

(C.27)

mutta antisymmetriselle suureelle U[ap] ei seuraa mitään ehtoyhtälöä. Suure CpL,a jaetaan myös symmetriseen ja antisymmetriseen osaan ensimmäisten indeksien suhteen, 1 —

1 + 2

~

(C.28)

missä olemme käyttäneet yhtälöä (C.22) kaavan (C.28) toisessa rivissä. Symmetriaehdon (C.15) avulla saadaan edelleen kaavasta (C.28) OFJ,VA

=

Q^IUL-A

+

- ~ [Cv^a +

Yhtälön (C.23) avulla tästä saadaan lopulta + g^T* -

g

(C.29) ™

(

C

.

3

0

)

Edellisen tiivistelmänä voimme todeta seuraavan. Muunnokset (C.9) ovat infinitesimaalisia konformimuunnoksia, jos niissä esiintyvä funktio on seuraava: f^{x) = afl + axp + io^x"

+ 2(r • x)xll - (:x • x)r M

(C.31)

missä r • x = Taxa ,

x-x

= xaxa

(C.32)

Lausekkeessa (C.31) esiintyvien vapaiden parametrien A^, a, UJ^ ja parametreja, merkitys on seuraava: 1. Parametrit ta.

/i = 0,1, 2, 3, vastaavat koordinaatiston translaatioi-

2. Parametri a vastaa skaalamuunnosta. 3. Antisymmetrinen suure (LO^), joka sisältää kuusi parametria, määrittelee infinitesimaalisen Lorentzin muunnoksen. 4. Parametrit

määrittelevät ns. erityisen konformimuunnoksen.

229

Toteamme, että infinitesimaalinen konformimuunnos sisältää 15 vapaata parametria. Peräkkäisillä infinitesimaalisilla muunnoksilla generoidaan ne äärelliset konformiryhmän muunnokset, jotka voidaan jatkuvalla tavalla yhdistää identiteettimuunnokseen. Konformiryhmä on siis "15parametrinen ryhmä.

Liite D O p e r a a t t o r i V eri koordinaatistoissa

LIITE D. OPERAATTORI

232

V ERI

KOORDINAATISTOISSA

Suorakulmaiset koordinaatit x, y, z y dy V72/F, _

V Sf

9 2 $2

' dz

2

2

a $2 , 9 4>2 oo "r, 9y n,,2 ~r fl,2 Öz 9z dUy dy

92 at/.

Pallokoordinaatit r, 6, tp -

~~

P

M + e0 1 9r

9$

V 2 $ — r2gr (r2dg®) + ^gjnflag (sin (9^) +

9$ + eV r s i 1n f i 9
r2s | n 2 0

^f > ^

(r2ar) —

1 9[/«, r sin 9 d
V x U = eT

r sin 6

^(sin ÖUV) -

dUe dtp

+ eg

Sylinterikoordinaatit p, tp, z ^ ^

—

va* =

e

p 9P +

e

9

v p a^

( p g ) + o*2

dz

dtp2 ^

i auv

V

X

u

= ep ( j ^ -

+ e„

-

dz2

avi 92 +e,£ ^ ( p i g -

%

Viitteet [1] J. C. Maxwell, A treatise on electricity and magnetism 1-2, 3. painos (Clarendon, Oxford, 1891; jäljennöspainos Dover, New York, 1954). [2] J. F. Jackson, Classical electrodynamics, 2. painos (Wiley, New York, 1975). [3] W. K. H. Panofsky ja M. Phillips, Classical electricity and magnetism, 2. painos (Addison-VVesley, Reading, Mass., 1962). [4] R. P. Feynman, R. B. Leighton ja M. Sands, The Feynman lectures on physics II (Addison-'YVesley, Reading, Mass., 1964). [5] J. Schwinger, L. L. DeRaad, Jr., K. A. Milton ja W. Tsai, Classical electrodynamics (Perseus, Cambridge, Mass., 1998)'. [6] O. D. Kellogg, Foundations of potential theory (Springer, Berlin, 1929; jäljennöspainos 1967). [7] S. G. Mikhlin, Mathematical physics, an advanced course (NorthHolland, Amsterdam, 1970). [8] R. Courant ja D. Hilbert, Methods of mathematical physcis I (Interscience, New York, 1953). [9] R. Courant ja D. Hilbert, Methods of mathematical physcis II (Interscience, New York, 1962). [10] I. G. Petrowski, Vorlesungen iiber partielle (Teubner, Leipzig, 1955).

Differentialgleichungen

[11] P. H. Morse ja H. Feshbach, Methods of theoretical physics I, II (McGraw-Hill, New York, 1953, 1961). [12] W. Pogorzelski, Integral equations and their applications I (Pergamon, Oxford, 1966).

234

VIITTEET

[13] A. Einstein, H. A. Lorentz, H. Weyl ja H. Minkowski, Das Relativitätsprinzip, 4. painos (Teubner, Leipzig, 1922); jäljennöspainos The principle of relativity (Dover, New York, 1952). [14] F. Rohrlich, Classical charged, particles (Addison-Wesley, Reading, Mass., 1965).

Johdatus sähködynamiikkaan ja suhteellisuusteoriaan edustaa uutta kehitysvaihetta tekijöiden moniste- ja kirjasarjassa, joka alkoi jo 1970. Teksti sopii fysiikan ja pääosaltaan myös sähkötekniikan teoreettisiin opintoihin. Luontevimmin kirja soveltuu sähkömagnetismin yleiskurssin seuraajaksi, mutta se on kirjoitettu matemaattisia menetelmiä myöten varsin omavaraiseksi. Christofer Cronström on toiminut teoreettisen fysiikan viroissa Jyväskylän yliopiston apulaisprofessorina 1971-73, Helsingin yliopiston tutkijana ja apulaisprofessorina 1976-98 ja professorina vuodesta 1998. Hänen tutkimusalansa on kvanttikenttäteoria. Pertti Lipas on ollut Helsingin yliopiston apulaisprofessorina 1964-74 ja sen jälkeen Jyväskylän yliopiston professorina, emerituksena vuodesta 1996. Hänen tutkimusalansa on ydinrakenneteoria.

Kansikuva: synkrotronisäteilyn säteilyk (European Synchrotron Radiation Facil Limes ry 2000 1.painos ISBN 951-745-187-3

Johdatus kvanttimekaniikkaan

Read more

Ja, Duizendmaal Ja

Read more

Ja, duizendmaal ja

Read more

Ja, duizendmaal ja

Read more

Ja, Duizendmaal Ja

Read more

Ja, Duizendmaal Ja

Read more

Ja, duizendmaal ja

Read more

Ja, Aldritch

Read more

Shopaholic Zegt Ja

Read more

Sag doch Ja, John!

Read more

Encyclopaedia Judaica (Ja-Kas)

Read more

Die Antwort ist - Ja

Read more

Mees Ja Madu

Read more

Ja Wam Pokażę

Read more

Ja Kun Je Krijgen

Read more

Ja i mуj cieс

Read more

Sag ja, Dolly!

Read more

Ja hallo erstmal

Read more

Ja Kun Je Krijgen

Read more

Die Antwort ist Ja

Read more

Shopaholic Zegt Ja

Read more

Shopaholic Zegt Ja

Read more

Die Antwort ist - Ja

Read more

Gott Ja - Kirche Nein

Read more

Differentiaali- ja integraalilaskenta II

Read more

Ja-Rael's Lioness

Read more

Ja wam pokażę!

Read more

Ja kun je krijgen

Read more

Ja kun je krijgen

Read more

Melde gehorsamst, das ja!

Read more

Recommend Documents

Johdatus kvanttimekaniikkaan

Christofer Cronström ja Claus Montonen JOHDATUS KVANTTIMEKANIIKKAAN Johdatus kvanttimekaniikkaan C. Cronström ja C. ...

Ja, Duizendmaal Ja

Ja, duizendmaal ja

Ja, duizendmaal ja

Ja, Duizendmaal Ja

Ja, Duizendmaal Ja

Ja, duizendmaal ja

Ja, Aldritch

Shopaholic Zegt Ja

Sag doch Ja, John!

Marie Ferrarella Sag doch Ja, John! Courtney muss heiraten! Und zwar einen Mann, der sich mit seiner eigenen Hände Ar...