Johdatus kvanttimekaniikkaan

(4.38)

Kiertojen parametriavaruus on siis 7r-säteinen kuula, missä kuulan rajapinnan (ts. 7r-säteinen pallonpinta) vastakkaiset pisteet samaistetaan (raja e —» 0 kaavassa (4,38)).

Luku 4 Kierto ja

90

4.3

impulssimomentti

Aaltofunktioiden muunnosominaisuudet

Palataan nyt aikaisemmin käsitteltyyn aiheeseen, nimittäin siihen miten erilaiset funktiot (erityisesti aaltofunktiot) muuntuvat kierroissa. Oletetaan, että aaltofunktio ip on skaalarifunktio. Kierroissa x

4

x

1

funktio ip(x) muuntuu silloin kaavan

=

R x

( 4 . 3 9 )

( 4 . 1 3 )

mukaisesti seuraavasti

ip'(x) = xp(R~1x).

( 4 . 4 0 )

Tarkastellaan nyt infinitesimaalista kiertoa u> miehvaltaisen kiertoaksehn n ympäri. Silloin on, kaavan ( 4 . 3 1 ) mukaan, R^x

= x + un x x + 0{u>2)

if,'(x) = ip(x + cin Kehittämällä funktio kaavan daan, ip'(x)

=

( 4 . 4 2 )

X

x)

-f

(4.41)

0{w2).

( 4 . 4 2 )

oikealla puolella (Taylorin) sarjaksi saa-

ip(x) + (u;nxx)-Vip(x)

=

+ 0(w2)

+

( 4 . 4 3 )

missä L = —ihx

X

V

on ns. impulssimomenttioperaattori koordinaattiesityksessä. äärellinen versio on (tuttuun tapaan) t P ' { X )

=

e >

n

-

L

^ ( x )

( 4 . 4 4 )

Kaavan

( 4 . 4 3 )

( 4 . 4 5 )

Muunnoskaava ( 4 . 4 5 ) voidaan yleistää aidoksi operaattorirelaatioksi seuraavasti. Todetaan, että ^{x) = (x\iP).

( 4 . 4 6 )

Muunnoksessa x

- >

x '

—

R x

( 4 - 4 7 )

4.3 Aaltofunktioiden

muunnosominaisuudet

91

täytyy olla

IV»)-»14>') = U(RM

(4.48)

missä U(R) on (R:stä riippuva) unitaarinen operaattori. Silloin il>'{») = (xW)

= J (x\U (R)\y) (y\ip) d 3 y.

(4.49)

Vertaainalla kaavoja (4.45) ja (4.49) todetaan, että U(R) =

(4.50)

missä L on impulssimomenttioperaattori, L - x xp.

( 4 -51)

[Li,Lj] = iheijkLk

(4.52)

Todetaan, että

suoraviivaisena seurauksena Sf ja p k - op eraat torien peruskommutaatiorelaatiosta (2.31). Kommutaatiorelaatiot ovat samat (lukuunottamatta tekijää h) kuin ne jotka kiertojen matriisigeneraattorit E; toteuttavat (vrt. (4.30)). Palataan vielä vektorifunktioiden muunnoskaavoihin (4.15), ts. 3

i=i Käyttämällä infinitesimaalista kiertoa (ui < 1) ja parametrisaatiota (4.33) saadaan 3

rP'k(x) = tpk(x + ™ x i ) +

^)kiMx)

+

(4.54)

;=i Edelleen, Taylorin kehitelmän avulla (analogisesti skalaarifunktiotapauksen kanssa), 3

V4(*) = M*)

.

i + E Twn' i=i

^klL + hlhlWl

(4.55)

eli, äärellisen kierron tapauksessa 4k(*)=£(^wri-J)kiM*) ;=i

(4.56)

Luku 4 Kierto ja

92

impulssimomentti

missä

(J)u = 8klL + h(2)u

(4.57)

Aidossa operaattoriformalismissa on ^(SB) = ( * , * # )

(4.58)

m * w ) = u(Rm.

(4.59)

ja

Relaatio ^k(x)=(x,k\i>')

= (x,k\U(RM

(4.60)

edellyttää nyt, kaavan (4.53) mukaisesti, että 3

U(R)\x,k)

= J2\Rx,l)Rlk i=i

(4.61)

eli, käyttämällä myös kaavoja (4.56) ja (4.57), U(R) = e^n
(4.62)

Todetaan siis, että vektoriaaltofunktion tapauksessa kierto-operaattori U(R) sisältää yleisemmän impulssimomenttioperaattorin kuin skalaarifunktion tapauksessa; rataimpulssimomenttioperaatt oriin L = x x p on lisätty matriisiarvoinen vektori h U, jonka komponentit toteuttavat kiertoryhmän Lien algebran (johon nyt on sisällytetty tekijä li kuten kaavassa (4.52)), [HSi, hZj] = iheijkhXk.

(4.63)

Voidaan kysyä onko muita matriiseja kuin edellä annetut £;:t jotka toteuttavat algebran (4.63). Jos näin on, määrittelee jokainen tällainen matriisikokoelma (/?Si, ^£2, ^£3) uuden kiertoryhmän esityksen, R -4 U{R)

(4.64)

analogisesti kaavan (4.62) kanssa. Seuraavassa konstruoidaan kaikki matriisit, jotka toteuttavat algebran (4.63).

4.4 Impulssimomenttioperaattorien

4.4

matriisiesitykset

93

I m p u l s s i m o m e n t t i o p e r a a t t o r i e n matriisiesitykset

Tässä halutaan konstruoida kaikki matriisit, jotka toteuttavat Lien algebran so(3), ts. kommutaatiosäännöt (tekijä H on taas sisällytetty kommutaatiorelaatiohin mukavuussyistä) [Ji,J2] = ifoJ3j [Ji,Jz] = ihJi,

[J3,Ji] = itij2

(4.65)

Todetaan, että operaattori J2 = Jl + j f + Jf

(4.66)

kommutoi jokaisen J;:n kanssa, [J 2 , Ji] = 0, » = 1,2,3

(4.67)

Näin ollen voidaan samanaikaisesti diagonahsoida J 2 ja yksi operaattoreista Ji, valitaan J3. Konstruoidaan siis kanta, jonka kantavektorit merkitään |j,m):llä, jotka toteuttavat ominaisarvoyhtälöt J2\j,m)

= h2f(j)\j,m)

(4.68)

J3\j, m) = hm\j,m),

(4.69)

missä J2:n ominaisarvoksi olemme merkinneet f ( j ) , missä f ( j ) on toistaiseksi tuntematon j:n funktio. Sekä f ( j ) että indeksi m ovat dimensiottomia lukuja yhtälöiden (4.68) ja (4.69) mukaisesti. Huomautetaan vielä, että kantavektorien | j,m) virittämä avaruus on varustettu positiividefiniitillä hermiittisellä sisätulolla {u\v), {«|Aiv)

=

Ai(u|v)


=

A;<«|w>

(4.70)

missä X\ ja A2 ovat mielivaltaisia kompleksilukuja. Vaaditaan, että matriisit Ji (i = 1,2, 3) ovat hermiittisiä sisätulon (4.70) suhteen, ja että kantavektorit | j, m) ovat normitettuja ykköseen. Määritellään nyt ns. nosto- ja laskuoperaattorit J± seuraavasti J± = Ji±iJ2,

(4.71)

ji = J_

(4.72)

joten

94

Luku 4 Kierto ja

impulssimomentti

Peruskommutaattoreista (4.65) seuraa suoraviivaisesti, että [J2, J±) = 0, [J3,J±] = ±hJ± Tarkastellaan ensin vektoria J+\j,m). taattorin mukaisesti on J2J+\j,m)

(4.73)

Ensimmäisen yhtälön (4.73) kommu-

= h2f(j)J+\j,m)

(4.74)

Myös J3J+\j,m)

= ([J 3 ) J+] + J+J3)\j,m)

= h(m + l)J+\j,m)

(4.75)

Yhtälöiden (4.74) ja (4.75) mukaisesti on siis J+\j,m)

= C+(j,m)\j,m+l)

(4.76)

missä C+(j, m) on (toistaiseksi) tuntematon verrannollisuuskerroin. samalla tavalla kuin yllä osoitetaan, että JaJ-\j,m)

= h(m-l)\j,m)

Aivan

(4.77)

eli J-\jim)

= C-{j,m)\j,m-l)

(4.78)

missä C-(j,m) on toinen (toistaiseksi) tuntematon verrannollisuuskerroin. Ryhdytään nyt määrittämään nämä kertoimet sekä myös indeksit (parametrit) j ja m. Tarvitaan (helposti todettava) tulos, J±J--f = J2 ~ 4 ± Ma-

(4.79)

Nyt 0

< = = =

||J±|i,m)|j 2 (j,m\JTJ±\j,m) ( j , m\J2 - J | ^ hJs\j, m) 2

2

2

(4.80)

2

(f(j)h -h m Tfi m)(j,m\j,m).

Yhtälöstä (4.81) seuraa (kun \j,m) ei ole nolla-vektori), että f ( j ) - m2 - m > 0,

f { j ) - m 2 -f m > 0

(4.81)

Epäyhtälöistä (4.81) seuraa edelleen, että on olemassa suurin arvo m , ja pienin arvo m p siten, että | - y / f ( j ) +\
+ y/f(j) + \

(4.82)

4.4 Impulssimomenttioperaattorien

95

matriisiesitykset

Jos indeksillä m on jo suurin mahdollinen arvo (kiinteällä j:llä) yhtälössä (4.76) niin tätä arvoa ei voi enää nostaa suuremmaksi nosto-operaattorilla J+, joten täytyy olla voimassa J+\j,m,)

= 0.

(4.83)

J-\j,mp)

= 0.

(4.84)

Vastaavasti

Kertomalla (4.83) J_:lla saadaan 0

=

J-J+\j,ms) 2

=

{J -Ji-hJ3)\j,m,)

(4.85)

f ( j ) = m2s+ms.

(4.86)

Vastaavasti, kertomalla (4.84) J^ :11a, 0

=

J+J-\j,mP)

=

2

( J - Jl + hJ3)\j,mp)

(4.87)

f ti) = m 2 - mp

(4.88)

Yhdistämällä kaavat (4.86) ja (4.87) saadaan siis m

*

=

+

y

f

ti)

+ \

=

~mP

(

4

-89)

Identifioidaan nyt luvut j ja m„, joten kaavan (4.86) mukaisesti, f ti) = iti + 1)

(4-90)

Edelleen, h2f(j)(j,m\3,m)

(j,m\J2\j,m)

= =

\\Ji\j,m)\\2

>

0

+ \\J2\j,m)\\2

+

\\J3\j,m)\\2

joten j > 0.

(4.91)

Luku 4 Kierto ja

96

impulssimomentti

On siis todettu, että indeksi m saa arvoja ykkösen välein siten, että - j <m<

j.

(4.92)

Todetaan edelleen, että arvot m voidaan nostaa ja laskea operaattoreilla J+ ja J _ , eli ( J + ) r | j , m ) = vakio \j,m + r)

(4.93)

(7_)"|j,m) = vakio | j , m - s ) ,

(4.94)

missä r ja s ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja. Erikoisesti J+\j,m

+ r) = 0,

(4.95)

jos m + r = ms — j.

(4.96)

Samoin J-\j,m-

s) = 0

m - s = mp = —j.

(4.97)

(4.98)

Vähentämällä yhtälöt (4.98) ja (4.96) toisistaan saadaan r+s

= 2j

(4.99)

Koska r ja s ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja seuraa yhtälöstä (4.99) että 2 j on ei-negatiivinen kokonaisluku, eli, että j voi ainoastaan saada seuraavat arvot J = 0,1,1,1,2,1,...

(4.100)

Kiinteällä j:n arvolla luku m taas voi ainoastaan saada arvot m = {-j,-j+ l,...,j-l,j}

(4.101)

eli, toisin sanoen, kiinteällä j':n arvolla kantavektorit \ j,m) virittävät (2j + l)ulotteisen avruuden.

4.4 Impulssimomenttioperaattorien

97

matriisiesitykset

On vielä määrättävä verrrannollisuuskertoimet C±(j,m) kaavoissa (4.76) ja (4.78) ennen kuin voidaan laskea kaikki matriisielementit (j,m'\Ji\j,m) (i = 1,2, 3). Tämä käy esimerkiksi konjugoimalla yhtälöä (4.76) tuloksella (j,m\J-

= C*+(j,m){j,m+l\

(4.102)

ja kertomalla yhtälöt (4.76) ja (4.102) keskenään, ( i , m | J _ J + | j , m ) = \C+{j,m)\2{j,m+l\j,m+l) Käyttämällä tulosta (4.79) ja normitusehtoja (j,m\j,m) sekä ( j , m + l\j,m+ 1) = 1 saadaan

(4.103) = 1

| G + ( i , m ) | 2 = h2{j - m)(j + m + l).

(4.104)

Jos sopimuksenomaisesti vahtaan kerroin C+ positiiviseksi (ns. Condonin ja Shortley'n vaihesopimus), saadaan C+(j, m) = hy/{j - m)(j + m+ 1)

(4.105)

Vastaavasti saadaan, samankaltaisella vaihesopimuksella, C~(j, m) = hy/{j + m)(j - m + 1)

(4.106)

Tulosten (4.105) ja (4.106) avulla voidaan välittömästi laskea kaikki tarvittavat matriisielementit kiinteällä j:n avulla. Osoitetaan kuitenkin ensin, että eri j:n arvoja vastaavat tilat ovat ortogonaaliset. Tätä varten kirjoitetaan ominaisarvoyhtälö (4.68) konjugoidussa muodossa, (j',m'\J2

= h2j'(j'+l)(j',m'\.

(4.107)

Kertomalla (4.107) oikealta tilalla \j,m) missä j ^ j' saadaan 0 " - i ) ( j " + i + l)(j',m'\j,m) Koska j'

= 0

(4.108)

j on siis (j',m'\j,m}

= 0

j' / j.

(4.109)

Olemme jo vaatineet, että tilat \j,m) ovat normitettuja kiinteällä j : n arvolla, || |i, m) ||2 = ( i , m | j , m ) = l

(4.110)

Osoitetaan nyt, että tilat \j,m) itse asiassa ovat ortogonaaliset. Kirjoitetaan yhtälö (4.69) konjugoidussa muodossa, (j,m'\J3

= hm'(j,m'\

(4.111)

Luku 4 Kierto ja

98

impulssimomentti

Kertomalla (4.111) oikealta \ j, m):llä, missä m ^ m1 saadaan (TO — rn')(j, m'\j, m) = 0

(4.112)

Yhdistämällä kaikki kaavat (4.109-(4.112) saadaan vihdoin (j',m'\j,m)

= Sj>i8m'm

(4.113)

Tämän jälkeen voidaan antaa kaikki tarvittavat matriisielementit yleisessä muodossa. Yhtälöstä (4.76) seuraa, yhtälöiden (4.105) ja (4.113) avulla (j',m'\J+\j,m)

= h\J(j - m)(j + m + 1 )5j,j6Tn,tm+1

(4.114)

= h \ f t i + m)ti

(4.115)

Vastaavasti, {j',m'\J-\j,m)

~m +

Määritelmien (4.71) mukaisesti on siten (j,«*Vi|i>™>

=

^ y / t i - m)ti +

+ m + l)fyj£ m # > m + 1

+ m)U

+ l)Sj'j6m',m-i-

(4.116)

Samoin, (j,m'\J2\j,m)

-

~\/ti

+ m)ti

-

m

+

- J \ / t i - m){j + m + 1

(4.117)

J 3 :n matriisielementit saadaan suoraan ominaisarvoyhtälöstä (4.69) yhtälön (4.113) avulla (j',m'\J3\j,m)

= hmSj.jSm'^

(4.118)

Yhteenvetona edellisistä laskuista toteamme seuraavan: Olemme konstruoineet kaikki matriisit Ji, jotka toteuttavat Lien algebran so(3), ts. yht. (4.65), laskemalla näiden matriisien elementit ominaisarvokannassa \ j, m) (vrt. yht. (4.68) ja (4.69)). Tässä yhteydessä olemme todenneet, että J 2 ominaisarvoon liittyvä parametri j (impulssimomenttikvanttiluku) voi saada ainoastaan seuraavat arvot j = 0,1,1,1,2,...

(4.119)

Kiinteällä j:n arvolla J 3 :n ominaisarvoon liittyvä ns. magneettinen kvanttiluku m voi saada vain seuraavat (2j -f- 1) arvoa m = {-j,-j+ l,...,j-l,j}

(4.120)

Kiinteällä j:n arvolla matriiisit J; ovat siis (2j +1) X (2j + l)-matriiseja. Kohta palataan arvoja j = | ja j = 1 vastaaviin matriiseihin.

4.5 Symmetria

4.5

99

kvanttimekaniikassa

S y m m e t r i a kvanttimekaniikassa

Klassisessa mekaniikassa sanotaan, että jokin (koordinaatti)muunnos on fysikaalisen systeemin symmetria, jos systeemin liikeyhtälöt ovat muuttumattomia kyseisessä muunnoksessa. Toisin sanoen, muunnos on symmetria, jos muunnettu systeemi toteuttaa samat liikeyhtälöt kuin alkuperäinen systeemi. Kvanttimekaniikassa määritellään symmetriat periaatteessa samalla tavalla kuin klassisessa mekaniikassa. Seuraavassa käsitellään vain kiertoja R, ja näitä kiertoja vastaavat (operaattori)muunnokset U(R). Alla olevat argumentit ovat kuitenkin sinällänsä voimassa yleisemminkin; jos kierrot R korvataan jollakin toisella (jatkuvalla) muunnosryhmällä, jonka alkiot merkitään esimerkiksi Millä, on vaan korvattava muunnokset U(R) alla olevissa kaavoissa vastaavilla operaattorimuunnoksilla U(M). Kvanttimekaniikassa kaikki informaatio fysikaalisen systeemin dynamiikasta sisältyy Schrödingerin yhtälöön, ihdt\1>) = H\4>)

(4.121)

Oletetaan nyt, että suoritetaan koordinaatin kierto R, joka implikoi, että IV) -

W) = U(R)\ip)

(4.122)

missä U(R) on kiertoa R — e » u n ' s vastaava unitaarinen operaattori, U(R) = e > n - J ,

(4.123)

J = L + S

(4.124)

missä

ja S on matriisioperaattori, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot (4.65). Sanotaan, että muunnos \ip) —> \ip') on symmetria, jos muunnettu tilavektori |ip') toteuttaa saman dynaamisen yhtälön kuin alkuperäinen tilavektori ts. ihdt\iP') = H\tl>').

(4.125)

Käyttämällä relaatiota (4.122) saadaan ihdt\ip) = U-\R)HU{R)\iP).

(4.126)

Ylitalot (4.121) ja (4.126) voivat olla yhteensopivia (yleisellä tilavektorilla \ip)) vain jos H = U~l{R)HU{R),

(4.127)

Luku 4 Kierto ja

100

impulssimomentti

joka siis on ehto sille, että systeemi, jonka Hamiltonin operaattori on H, olisi symmetrinen koordinaatiston kierroissa. Yhtälössä (4.127) riittää tarkastella infinitesimaalisia kiertoja (vrt. (4.123)), U{R) = 1 + jun-J

+ 0(u>2).

(4.128)

Symmetriaehdoiksi saadaan siten [H,Ji\ = 0, « = 1,2,3

(4.129) w

Ehdot (4.129) ovat siis ekvivalentteja ehtojen (4.127) kanssa.

4.6

Spin

Kullakin J 2 : n ominaisarvolla voidaan edellisen pykälän mukaan esittää impulssimomenttioperaattorit ]jm)-kannassa (2j + 1) X (2j -f 1) matriiseina, joiden alkiot ovat (J)rnm' = {jm\J\jm'). Luku j voi saada arvot 0, 1, § , . . . . Näiden impulssimomenttioperaattorien esitysten tärkeä sovellus on alkeishiukkasten spin. On todettu, että alkeishiukkasten vapautusasteiden lukumäärä ei yleensä rajoitu kolmeen, esim. hiukkasten koordinaatteihin x,y,z, vaan hiukkasilla on lisäksi sisäinen impulssimomentti, eli spin S. Kvanttimekaniikan kielellä voidaan sanoa, että alkeishiukkasen täydellinen observaalijoukko koostuu esim. operaattoreista x,y, z, S 2 ja Sz, joiden yhteiset ominaistilat ovat \x,y, z, s. m 3 ). Koska kullakin hiukkaslajilla s on aina vakio (eli S 2 = ,s(s -f 1 )/i 2 , jätetään se usein merkitsemättä. Spin havaitaan mm. sen synnyttämän magneettisen momentin /xcx S avulla. Aineen rakenteen kannalta tärkeimpien hiukkasten, elektronin, protonin ja neutronin spinit ovat kaikki s = | . Tarkastelemme tätä tapausta yksityiskohtaisemmin: Spin- \ hiukkasen spinoperaattorit voidaan esittää 2 X 2-matriiseina. Yhtälöiden (4.116), (4.117) ja (4.118) mukaan nämä matriisit ovat (ylemmän vaakarivin ja vasemman pystyrivin indeksi on + | )

(4.130)

V 4.6 Spin

101

Merkitsemällä S = J
(4.131)

saadaan siis 0 1 \ 1 0 '

=

0 -i i 0

)

cr, =

( 1 0

.

(4.132)

Nämä ovat ns. Paulin spinmatriisit. Spin-1 hiukkasen tilan [?/>) koordinaatti-ja spinesityksen aaltofunktio, spinori on ifi(x,m3)

= (x,y,z,ms\ip),

ms = ±1/2.

(4.133)

Käyttäen hyväksi spin-operaattorien matriisiesitystä voidaan esittää aaltofunktion (4.133) kaksikomponenttisen pystyvektorina

johon spin-operaattorit vaikuttavat niinkuin matriisi pystyvektoriin. Aaltofunktio (4.134) voidaan katsoa kehitelmäksi s 2 :n ominaisvektorien ("spin-ylös" ja "spin-alas" vektorien) a = ^

,
(4.135)

mukaan: 1> = il;+(x)a + tl>-(x)p.

(4.136)

Kahden tilavektorin skalaaritulo on koordinaatti- ja spinesityksessä (huomaa että täydellisyysrelaatio on nyt 1 = Y,m,=±i/2 I d 3 a:|®,m s )(a:,m s |) {V>\4>)

YI

/ d3®V*(®.ms)4{x,m»)

m, =±1/2

=

J d3x{
(4.137)

Aaltofunktion osien tulkinta on ilmeisesti seuraava: \ip+(x)\2(\i{>-(x)\2) on verrannollinen todennäköisyyteen että hiukkanen on paikassa x ja että sen spinin z-komponentti on + | I i ( — |/i).

Luku 4 Kierto ja

102

impulssimomentti

Spin-| hiukkasen observaabelit ovat spinoperaattorien tavoin esitettävissä hermiittisinä 2 x 2 matriiseina. Koordinaatti-spinesityksessä matriisielementit voivat olla differentiaalioperaattoreita. Esimerkkinä voi olla seuraava mahdollinen Hamiltonin operaattori H

=

-i-p2 2m

+ V{x) +

W[r)tr-L

2 m

W(r)(Lx

+ iLy)

i p

2

+ V(x) -

W(r)L

x 2 -p (4.138)

Operaattorin (4.138) kaksi ensimmäistä termiä ovat spinistä riippumattomia, ja siis verrannolliset 2 x 2 yksikkömatriisiin. Sen sijaan kolmas termi (ns. spinrata vuorovaikutus) kytkee spin-ylös ja spin-alas tilat toisiinsa. Jos systeemin Hamiltonin operaattori ei riipu spinistä (esim. (4.138):n kaksi ensimmäistä termiä), voidaan aaltofunktiolle tehdä separoiva yrite ip{x,m„t)

=
(4.139)

sillä jos

(4.140)

Jos hiukkanen on levossa, sen rataimpulssimomentti häviää, L ~ 0, ja J = S. Tutkitaan nyt, miten levossa oleva spin-1 hiukkanen käyttäytyy kierroissa. Yhtälön (4.123) mukaan kierto-operaattori on e+'fn-(r

UR{n,a)=

(4.141)

Paulin spin-matriisien algebrallisia ominaisuuksia kuvaavan identiteetin cTiCTj = 1Sij + ieijkak

(4.142)

nojalla ( a - n ) 2 = 1, joten (4.141) potenssisarjakehitelmä antaa

Ur(ti, q)

(X

(X

= leos—\-in-ersin — , 2 2

(4.143)

Jos kiertokulma a = 2ir, on UR(n,2ir) = —1. Kierto 27r:n eli 360°:n verran muuttaa siis aaltofunktion etumerkin! Tämä yllättävä ominaisuus on yhteinen kaikille puolilukuspinsysteemeille. Se ei johda ristiriitoihin, sillä kuten luvussa 2 huomautettiin, tilavektorit \ip) ja — \ip) kuvaavat samaa fysikaalista tilaa.

103

4.6 Spin

Voidaan edelleen todeta, että spin | kierto-operaattorit Uf{(n,a) ovat unitaarisia ja unimodulaarisia (s.o. det Ur = 1) 2 x 2 matriiseja. Tälläiset matriisit määräävät itse asiassa ryhmän, jota kutsutaan nimellä SU(2) (Special Unitary Group in 2 dimensions). Voidaan sanoa, että kvanttimekaaninen kiertoryhmä onkin SU(2) eikä SO(3). Annetaan vielä j — 1 esityksen matriisit Ji (» = 1,2,3)

Ji

=

Ji

=

m = / 0 i

m'= 1 m' = 0 ra' = - 1

-1

! A 0

A

x

(4.144)

/

m = 1, 0, - 1 f 0 =k V2 0 \

ra' = 1 m' = 0 m' = -1

0

1,

f 10

(4.145)

T> o

0

m' = 1 m' = 0 ra' = - 1

=

o,

*0

0

V

m h

i,

0,

- 1

0 \

0

0

yo

o

(4.146)

0

—i /

Huomataan, että j = 1 matriisit Ji yllä eivät ole identtiset aikaisemmin kaavoissa (4.21), (4.27) ja (4.29) annettujen matriisien £ j kanssa,

00 0 > / 0 0i 0 f ° sx = 0 0 , Sa = 0 0 0 , = i 0 0 \0i , \ -i 0 0) 1° 0 0/ f

—i

\

—i

\

(4.147)

0

Spin-1 matriisit (4.144-4.146) onkin annettu kvanttimekaanisessa kaimassa jl,ra), missä paikkavektori annetaan sen ns. pallokomponenttien avulla X\ —1X2 V2 Xo = X3 — ai+taa x+i =

x-i

(4.148)

T ä m ä kanta on unitaarisesti ekvivalentti tavalhsen kamian kanssa, joten on olemassa unitaarinen muunnos V joka välittää kuvauksen pallokomponenttien ja karteesisten komponenttien ja myös matriisien J, ja £ ; välillä,

/ \

( = V

X3

®l+»®2 v^

/

«!

\

X2

\

*3 /

Jt =

(4.149)

Luku 4 Kierto ja

104

impulssimomentti

Taulukko 4.1. Hiukkanen

5

Massa (MeV/c 2 )

Elinaika

0

< 000017

stabiili

0

< 0,27

stabiili

0

< 35

stabiili

-1

0,511

stabiili

-1

105,7

2,2-10~ 6

Varaus

Tärkein h a j .kanava

(0

Leptonit

VT e M T

1 2 1 2 1 2 1 2 X

2 1?,

3-10~

evv

13

-1

1784(±3)

1

938,3

stabiili

0

939,6

889

jj,vv,evv, i/-)-hadr.

Hadronit Baryoneja

n

1 2 1

A

1 2

P

2

A fi

0

1115,6

3 2 3

2,1,0,-1

1232

2

-1

1672,4

0

±1

139,6

peF

2, 6-10~ 1 0

10

-23

p 7 T _ ,n7T° p7r,n7r

0,82-10

-10

AK-

Mesoneja TT* 7T°

0

0

135,0

2,6-10-8 0,84-10

(IV

-16 8

77

K±

0

±1

493,7

1,24-10~

K°

0

0

497,7

0,89-10~ 10 5,2-10-®

P

1

±1,0

768

~

io-

2 3

7T7T

V

1

0

3097

~

io-

2 0

e+e_

,hadr.

T

1

0

9460

~

io-

2 0

e + e~

fi~, hadr.

Fotoni 7

1

0

0

W

1

±1

~ 80600

Z

1

0

~ 91160

(IV, 7T7T 7T7T,

KTTIT, TTeV

stabiili ~

io-

~ 10~

2 5

ev, f.lv, f + h a d r .

25

e + e _ ,///x,hadr.

4.7 Impulssimomentin

105

yhteenlasku

Taulukko 4.2. Kvarkki

s

varaus

u

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 2 3

d

s c

b t

Hadroni P n A n 7T + T~ V> T

kvarkkisisältö uud udd uds sss ud ud | (uu — dd) cc bb

missä i V2 V =

0

0

1 V V2

i

0 \

( i V2

1 0

)

l

\

0

1 V2 i V2

1

0

/

0

o

Spin-| ja spin-1 hiukkasia esiintyy runsain mitoin ns. alkeishiukkasten joukossa. Esitetään taulukossa (4.1) esimerkkejä eri alkeishiukkasista antaen niiden tärkeimmät ominaisuudet. Aiheellisesti voidaan kysyä, ovatko spin, massa, magneettinen momentti, elinikä ja muut hiukkasten ominaisuudet selitettävissä jonkin hiukkasten rakenteen teorian avulla. Leptonit näyttävät tällä hetkellä pistemäisiltä, rakenteettomilta. Hadroneilla sen sijaan on sisäinen rakenne. Nykyisen teorian (kvanttiväridynamiikan) mukaan baryonit muodostuvat kolmesta kvarkista ja rnesonit kvarkki-antikvarkkiparista (taulukko 4.2). Hadroneja pitää koossa ns. gluonien välittämä voima. Fotoni, gluoni ja heikon vuorovaikutuksen välittäjäbosonit W ja Z kuuluvat vuorovaikutuksia välittävien hiukkasten perheeseen; niiden spin on kokonaisluku.

4.7

Impulssimomentin yhteenlasku

Tarkastellaan kahta impulssimomenttioperaattoria J1 ja J2- Ji:n komponentit kommut oivat j y . n komponenttien kanssa: [Ju, Jij] = 0

(4.151)

Luku 4 Kierto ja

106

impulssimomentti

ja J i sekä J2 toteuttavat kommutaatiorelaatiot (4.65) [Jij,Jik} = ihejkiJii,

[J2j, J-ik] - ihtjkihl

(4.152)

ja Jiz'-11 ortonormaalit ominaistilat ovat \ j i m i ) , joihin J 2 ei vaikuta. Vastaavasti |j 2 m 2 ) ovat J 2 : n ortonormaalit ominaistilat, joihin J \ ei vaikuta. Voidaan muodostaa neljän kommutoivan operaattorin J\, J\z, J\, J2z yhteiset ominaistilat |j1j2mim2)

= \jiTnl)\j2Tn2)

(4.153)

Summa J = Jr + J2 toteuttaa myös kommutaatiorelaatiot (4.65) ja on näin ollen impulssimomenttioperaattori: [Jj,Jk] = ihtjkiJi-

(4.154)

Relaatioista (4.151) ja (4.152) seuraa, että [ J 2 , J ] = [ J 2 , J ] = 0.

(4.155)

Toinen neljän kommutoivan operaattorin joukko on siis J 2 , J 2 , Jz. Mer2 kitsemme näiden yhteisiä ominaistiloja |j 1 j 2 jm):llä, missä J : n ominaisarvo on j ( j + 1 )h2 ja Jz\n ominaisarvo m/L Valitaan nyt kiinteät arvot j\ :lle ja j 2 :lle. Sekä kytketyn kannan tilat \j1j2jm) että kytkemättömän kannan tilat (4.153) virittävät (2ji + l ) x ( 2 j 2 + l)ulotteisen aliavaruuden, missä j\:llä ja j 2 :lla on em. arvot. Toisen kannan vektorit ovat siis lausuttavissa toisen kannan vektorien avulla: \j1J2jm) =

\jij2m1m2)(j1j2m1Tn2\jij2jm)

(4.156)

m i , m2

Muunnosfunktiot toimia. Mitkä ovat j:n on ilmeistä, että häviää ellei t ä m ä m 2 < j2, saadaan

(j\j2mim2|

j i j2jm) ovat nimeltään Clebschin-Gordanin

ker-

ja m:n mahdolliset arvot? Ensinnäkin koska Jz — Jlz -f J2z, m = m-y + m 2 ; toisin sanoen Clebschin-Gordanin kerroin ehto ole täytetty. Toiseksi, koska — j i < mi < j i ja - j 2 < edellisen mukaan

~ji < m — m2 < ji, —J2 < m - mi < j2. Asetetaan näissä epäyhtälöissä m = j, mi = j\, m 2 = jf2, jolloin niistä seuraa lii - h \ < j < Ji + h

(4.157)

4.7 Impulssimomentin

107

yhteenlasku

ts. j i , j' 2 , J3 ovat kolmion kolmen sivun pituudet. Koska m = m i + m 2 on välillä [—j,j], j voi saada vain arvot i = i i + 32, i l + 32 - 1, • • •, lii - h I •

(4.158)

Täten kaikki j'i, j2 ja j ovat kokonaislukuja tai yksi niistä on kokonaisluku ja muut ovat puolilukuja. Kytkemättömässä kaimassa oli (2ji + 1 ) X (2j2 + 1 ) tilaa. Kytketyn kannan tilojen lukumäärän on oltava sama. Kiinteällä j :n arvolla ra saa (2j + 1 ) arvoa. Nyt pätee (oletamme että j i > 32) [2(ii + i 2 ) + l]

+

[2(ii + ia - 1 ) + 1] + • • • + [2(ii - h ) + 1]

=

(2ii + 1)(2J-2 + 1).

T ä m ä tulos ilmoittaa, että J : n sallituista arvoista (4.158) jokainen esiintyy täsmälleen kerran kytketyssä kannassa. On esitetty monta tapaa Clebschin-Gordanin kertoimien laskemiseksi. Eräs nopeimmista on seuraava, nosto- ja laskuoperaattoreihin J+, J_ perustuva menetelmä (E. E. Tuttle ja J. B. Calvert, Am. J. Phys. 49, 165 (1981)). Lasketaan ensin tietyn j':n arvon m = j tila:

Silja ii) = YI an\ii32h

- n, j

- il + n).

( 4 . 1 5 9 )

n

an on kerroin ( j i j a i i — n j — j'i + n j i u ^ i i ) ja n käy läpi ne kokonaislukuarvot joille - j ' i < j'i — n < ji, - j 2 < j - i i + n < j' 2 . Aimetaan operaattorin J+ = Ji+ + J2+ operoida yhtälön (4.159) molempiin puolin. Vasemmalla puolella saadaan 0, koska m:n arvo on jo suurimmillaan. Oikealla puolella käytetään tulosta (4.115), jonka avulla saadaan kytkemättömän kaiman yhdistelmä. Asettamalla jokaisen eri tilan kerroin nollaksi, saamme joukon homogeenisia yhtälöitä kertoimille an. Lisäksi kertoimia sitoo normitusehto y>ni n

2

= i

(4.160)

Luku 4 Kierto ja

108

impulssimomentti

sekä ns. Condonin-Shortleyn vaihesopimus ( h h h i ~ ii

\j1J2jj)

>

0.

(4.161)

Yhdessä nämä yhtälöt riittävät määräämään kertoimet an. Esimerkkinä olkoon tapaus j\ — 2, j2 = 3, j = 3. (4.159) saa muodon |2333) = a 0 |2321) + a 1 |23 12)+ a212303). Kertomalla J + :11a saadaan 0 = (vTÖa 0 + 2ai)|23 22) + (v / 6oi + v / 6a a )|23 13), josta seuraavat yhtälöt VTÖa0 + 2ai = 0,

ai + a 2 = 0.

(4.162)

Normitusehto (4.160) ja vaihesopimus (4.161) antavat yhdessä (4.162):nkanssa ratkaisuksi =

«1 =

a2 =

Kyn kytketyn kannan tila \j1j2jj) on näin saatu lasketuksi, saadaan tilat \ j i j 2 j m ) , m < j , yksinkertaisesti operoimalla •/_ tarpellinen määrä kertoja. Koska ja J_ :n kaikki matriisielementit ovat reaaUsia, ja koska vaihesopimus (4.161) antaa reaalisen "alkuarvon", seuraa että kaikki Clebschin-Gordanin kertoimet ovat reaalisia. Kytketyn kannan ja kytkemättömän kaiman täydellisyydestä saadaan ehdot

Yj

{hj2rn1Tn2\jij2jrn)(j1j2rn1m2\j1j2j'rn')

TTl\ ,7712

Y (ilJ2mim 2 1il j2 jm) (ii j2m[m2\ jxj2 jm) 771 1 ,7712

=

=

Sjj'6mm',

(4.163)

£ mim /«$ m2m /(4.164)

Käytännössä ei Clebschin-Gordanin kertoimia kannata laskea, vaan niiden arvot otetaan taulukoista. Joka toinen vuosi ilmestyvä Review of Particle Properties sisältää kätevän, mutta suppean taulukon. Laajin taulukko on M. Rotenberg, R. Bivins, N. Metropolis ja K. Wooten, Jr: The 3 j and 6 j Symbols, MIT Press, Cambridge, Massachusettes (1959). Siellä annetaan ns. 3 j - symbolien

(mx

m2

m )

=

~ m)

(4.165)

109

4.8 PaMgfunktiot

arvot. Clebschin-Gordanin kertoimiin verrattuna niiden etu 011 siinä, että ne ovat symmetrisempiä, esim.

[ Ä \ -mi

31

32

m 1

r«2

33 \ ms

J2 -m2

J3 -m3

_

/

\ J

/ ]2

J3

Jl

l

m

m\

m

2

3

(4.166)

=

h+h+h (-1)

f J2 l m2

31 mx

J3 m3

=

r^h+h+m

{ Ji \ mx

J2 m2

33 j , 4 m3 / '

%

fc/

Useat kvanttimekaniikan kirjat sisältävät lisäksi taulukot tapauksille j i mielivaltainen, j2 — | tai 1.

4.8

Pallofunktiot

Kappaleessa 4.4 on tutkittu impulssimomenttialgebran (4.65) yleisiä seurauksia ominaistilojen jj,m) suhteen. Tarkastellaan nyt yleistä rataimpulssimomenttioperaattoria L, x x p

(4.168)

e

(4.169)

ts. Li =

ijk x jPk-

3k Komponentit Li toteuttavat kommutaatiorelaatiot, \Li,Lj] = ifte ij kLi t .

(4.170)

Kaikki kappaleessa 4.4 johdetut tulokset, jotka vain riippuvat operaattorialgebrasta (4.170) ovat tietenkin myös voimassa operaattorien Li tapuksessa. Erikoisesti ominaisarvoyhtälöitä (4.68) ja (4.69) vastaavissa yhtälöissä £ 2 | / , m) = h21(1 + l)\l,m)

(4.171)

ja L3\l,m)

= hm\l,m)

(4.172)

voidaan suoraan käyttää sitä tosiseikkaa, että kvanttiluvut l ja m voivat sam an aikaisesti saada vain joko kokonais- tai puolikasarvoja, ts. m

{-1,-1

+ 1,... ,1-1,1}

(4.173)

Luku 4 Kierto j a

110

impulssimomentti

Ja 1 = 0,^,1...

(4.174)

Nyt voidaan kysyä millä ehdoilla yhtälöiden (4.171) ja (4.172) m ä ä r ä ä m ä t tilat 11, m) voidaan realisoida funktioina koordinaattiavaruudessa. Sitä varten käytetään koordinaattiesitystä, (x\pk\x')

=

- x')

dxk

(4.175)

Koordinaattiesityksessä yhtälö (4.172) on seuraava, J (x\L3\x')(x'\l,m)d3x'=

frm(x\l,m).

(4.176)

- x'),

(4.177)

Yhtälön (4.175) mukaisesti on (x\L\x')

= —ih{x X \/)8^\x

joten yhtälö (4.176) on itse asiassa differentiaaliyhtälö, (x x V)3{x\l,m)

= im(x\l,m)

(4.178)

Vastaavasti saadaan yhtälöstä (4.171) -{x

X V ) 2 ( ® | l , m ) = l(l+l){x\l,m)

(4.179)

Funktiot (x\l, m) määräytyvät siis (osittais)differentiaaliayhtälöistä (4.178) j a (4.179), jotka ovat alkuperäisten ominaisarvoyhtälöiden (4.171) ja (4.172) koordinaattiavaruusvastineita. Yhtälöt (4.178) ja (4.179) yksinkertaistuvat pallokoordinaateissa x — (r sin 9 cos (p, r sin d sin ip, r cos 9)

(4.180)

Käyttämällä merkitsemistapaa L = —ihx x V

(4.181)

j a tulosta V = er— + ar

r o9

+

— — r sm 9 a
4.182

111

4.8 Pallo funktiot saadaan Li

=

i2

=

Lz

=

d d — iH(— sin tp-— — cos tp cot 6-^—) 89 o

(4.183)

o
Ylitalot (4.178) ja (4.179) ovat siten (a; | l,m) Oip 1

sm6d6K

sin20öv>2

86'

l,m)

— im(x\l,m) =

l(l +

(4.184)

l)(x\l,m) (4.185)

Todetaan, että differentiaalioperaattori (a x V) 2 on verrannollinen Laplacen operaattorin V 2 kulmista 6 ja tp riippuvaan osaan. Käyttäen merkitsemistapaa (4.181) tarkka yhteys on seuraava, =

(4.186)

eli L2 =

d 1 F)2 s m d i ) + V ^ ) S i n 6d6x 06J sin 2 6 dtp2' 1

f)

y(4.187)

'

Todetaan, että differentiaaliyhtälöt (4.184) ja (4.185) eivät sisällä parametria r = |a|. Ainoa mahdollinen r-riippuvuus ratkaisuissa ( a | l , m ) sisältyy siten normitus vakioihin (jotka kiinnittävät ratkaisut yksikäsitteisesti). Itse asiassa jos käytetään normitusta I-2tt /••jr / dtp d6 sin 6(1', m'\x)(x\l, Jo Jo

m) = 8in8mlm

(4.188)

silloin funktiot ( a | l , m ) yhtyvät ns. palloharmonisiin funktioihin Yj m , (a| l,rn) = Ylm(e,
(4.189)

On tavallista ratkaista yhtälöt (4.184) ja (4.185) tavallisina (osittaisdifferentiaaliyhtälöinä. Yhtälöstä (4.184) seuraa välittömästi, että (x\l,m)

gim tp = -j=FLm{6) v2 TT

(4.190)

112

Luku 4 Kierto ja

impulssimomentti

missä funktio toteuttaa yhtälöstä (4.185) saatava ns. Legendren liittopolynomien yhtälö. Tässä edetään kuitenkin toisella tavalla, koska ominaisarvoyhtälö on ratkaistu yleisesti jo kappaleessa 4.4. Palautetaan mieliin nostoja laskuoperaattorit L± = Li ± iL2, joiden diffrenetiaalioperaattorivastineet koordinaattiesityksessä ovat L± = he±iv{±d8

+ icot6dv).

(4.191)

Yhtälöitä (4.83) ja (4.84) vastaavat yhtälöt koordinaattiesityksessä ovat siten L+(x\l,l)

= 0

I _ ( a s | f , - / ) = 0.

(4.192)

(4.193)

Ottamalla huomioon yhtälö (4.190) saadaan seuraava differentiaaliyhtälö funktiolle F t _i(e) yhtälöstä (4.193), ( - ^ - f c o t 6)Flt_l{e) = 0. Funktion

(4.194)

normitusehto on, yhtälöiden (4.187) ja (4.190) mukaisesti

Jo

dösinfllF;,^)!2 = 1

(4.195)

Jos normitusvakio valitaan reaaliseksi ja positiiviseksi saadaan seuraavan normitusehdon (4.195) täyttävä differentiaaliyhtälön (4.194) ratkaisu

missä r on Eulerin gammafunktio. Kaiken kaikkiaan on siis (4.197) Kaikki muut funktiot { x \ l , m ) voidaan suoraan konstruoida operoimalla toistuvasti nosto-operaattorilla L+ tilaan 11,-1). Käyttämällä tuloksia (4.76) ja (4.105)saadaan =

( 4 1 9 8 )

113

4.8 PaUgfunktiot Siirtymällä koordinaattiesitykseen (vrt. raava tulos yhtälön (4.197) mukaan, (x\l, m) = C(l,m)(siner

(4.191)) saadaan välittömästi seu-

[ d(co^);+L

j ^

(4-199)

missä normitus vakio C(l, m) on seuraava (vaihetekijä konventionaalinen), C(l m)-

(-l),+m

/O»+ ! ) ( * - " Ö !

(4200)

Huomautetaan, että lopputulos (4.199) on saatu suoraan käyttämällä vain rataimpulssimomenttioperaattoreiden operaattorialgebraa (4.170) oletuksella että funktioavaruuden normista (4.188) saatava sisätulo on hermiittinen. Erikoisesti kvanttiluvut l ja m voivat edelleen periaatteessa olla joko kokonais- tai puolikaslukuja. On kuitenkin vielä yksi yhtälö, nimittäin (4.192) jonka paikkansapitävyyttä on vielä tarkistettava. Sijoittamalla yhtälöstä (4.199) arvolla m = l saatava funktio (x\l, l) ehtoyhtälöön (4.192) saadaan J2/+1

d(cosö) 2i + 1

(sinö)

= 0.

(4.201)

Jos l on kokonaisluku, on (sin 9)21 cos0:n 2i-asteinen polynomi, joten (4.201) on identtisesti voimassa. Sen sijaan, jos l on puolikaskokonaisluku, ehto (4.201) ei voi olla voimassa identtisesti. Siis rataimpulssimomenttioperaattoreiden ominaisfunktiot koordinaattiavaruudessa ovat olemassa vain jos l on kokonaisluku. Viime kädessä t ä m ä seikka siis johtuu siitä vaatimuksesta, että operaattorit Li (i — 1,2,3) voitaisiin realisoida hermiittisinä (itse-adjungoituneina) differentiaahoperaattoreina koordinaattiavaruudessa. Annetaan lopuksi yhtälöistä (4.199) ja (4.200) saatavat pallofunktiot Yj m , Ylm{6,
1 4tt

Yio{0,
\ — cos 9 V 47T

V o TT

(4.202)

114

Luku 4 Kierto j a

Y2,±l(0,v)

=

/TS" , • =Fv'—sm (9 cos ö e ^ ' V 8tt sm 0e ±2iv5 .

impulssimomentti

Luku 5

Liike k e s k e i s k e n t ä s s ä 5.1

Kaksihiukkassysteemi

Tarkastelemme kahden (spinittömän) hiukkasen muodostamaa systeemiä, jonka Hamiltonin operaattori on

p, ja Xi (p 2 ja x2) ovat hiukkasen 1 (2) impulssi- ja paikkaoperaattorit, jotka toteuttavat [® IA, pii]

=

[®lfe,P2i] =

[x2k,P2i] = ihSu

(5.2)

[®2fc,Pll] = [®lA,®2i] = \Plk,P2l] = 0.

Kuten klassisessa mekaniikassakin, on hyödyllistä ottaa käyttöön massakeskipiste R ja suhteellinen paikka r (jotka kvanttimekaniikassa tietenkin ovat operaattoreita): f, mixi + m2x2 it = , m i + m2

_ ^ r = Xi - x2.

. (5.3)

Etsitään nyt näiden operaattoreiden konjugoidut operaattorit, s.o. operaattorit P ja p , jotka toteuttavat:

[h, Ri]

=

[P,f} = \p,R] = 0

-

[Pfe,n] = «'Mw.

(5.4)

T ä t ä varten voidaan käyttää koordinaattiesitystä, jossa p x = —ihV Xl , p 2 = —il)VX2, ja jossa ehdot (5.4) toteuttavat operaattorit ovat ilmeisesti P =

116

Luku 5 Liike keskeiskentässä

—HiVr, p = —i/)Vr. Lyhyt lasku antaa (vrt. klassinen mekaniikka) P

= p1+p2

P

=

(5.5)

™2Pi - ™iP 2 m1 + m2

Näiden operaattoreiden fysikaalinen tulkinta on selvä: P on systeemin kokonaisimpulssi ja p suhteellisen liikkeen impulssi. H a r j o i t u s t e h t ä v ä Osoita, että -£MKP + -^SUHT, missä -CMKP = RX

L\ + L2 = Xi P, Lsuht = f x p.

-&kok —

X

P l

+

x2

X

p2 =

Hamiltonin operaattori (5.1) on nyt uusien operaattoreiden avulla

M = mi + m2 on systeemin kokonaismassa ja /x = sen redusoitu massa. Erikoisen tärkeä ja mielenkiintoinen on tapaus, jolloin V riippuu vain hiukkasten suhteellisesta paikasta: V = V ( f ) . Tällöin [ H , P ] = 0 eli kokonaisimpulssi säilyy, mikä vastaa systeemin invarianssia siirroissa X\ —» x\ + a . ®2 ®2 + S eh R —> R + A, R —> F. Massakeskipiste liikkuu siis vakionopeudella P/M, ja aaltofunktion Ä-riippuvuus voidaan separoida: =

(5.7) (27T/1.)Z

Systeemin energia on

missä e on suhteellisen liikkeen energia, joka saadaan Sclirödingerin yhtälöstä Hsuht^(r)

.2

=

+ V(r) j

=

fi^(r).

(5.9)

Keskeiskenttä

Tärkeä vuorovaikutusluokka on se, missä hiukkasten välinen voima riippuu vain niiden etäisyydestä toisistaan: V = V(r) (r = |r|). Tämä potentiaali on pallosymmetrinen ja rataimpulssimomentti säilyy. Käyttäen pallokoordinaatteja r = (r, 9,

2 fir'

+ V{r) tp(r) = etp(r).

(5.10)

5.2

Keskeiskenttä

117

Yhtälön (5.10) vasemmalla puolella esiintyvä (suhteellisen liikkeen) Hamiltonin operaattori kommutoi (koordinaattiesityksen) rataimpulssimomenttioperaattorin L = —ifrr X V jokaisen komponentin kanssa, joten voidaan diagonalisoida yhtäaikaa H, L2 ja esim. Lz. (Jos hiukkasilla on lisäksi spinit «i ja s2, ovat s f , s2, s\z, s2z tai s2, s 2 , ( s j + s2)2 ja (si + s2)z hyviä kvanttilukuja.) Tämän mukaisesti otetaan aaltofunktion yritteeksi x/,(r) = R{r)Ylm{9,
(5.11)

jolloin radiaaliselle aaltofunktiolle R(r) saadaan radiaalinen Schrödingerin yhtälö

Energian ominaisarvot e määräytyvät siitä, että vain tietyillä e:n arvoilla yhtälöllä (5.12) on R:n reunaehdot: \R(r)\ < oo, 0 < r < oo ja sidotuille tiloille lisäksi ehdon

f

Jo

dr r 2 | Ä ( r ) | 2 = 1,

(5.13)

täyttäviä ratkaisuja. Koska (5.12) ei sisällä magneettista kvanttilukua ra, energian ominaisarvot eivät riipu siitä, vaan ovat {21 + l)-kertaa degeneroituneita. (Jos hiukkasilla on spin, on degeneraatio vastaavasti suurempi.) Tämä tulos tuntuu luonnolliselta kun ottaa huomioon potentiaalin kiertosymmetrian; eihän mikään suunta ole erikoisasemassa. Sidottujen tilojen energiat muodostavat diskreetin joukon £„;, missä tietyllä !:n arvolla pääkvanttiluku tai radiaalinen kvanttiluku n sopimuksenomaisesti saa arvot n = / + 1, / + 2 , . . . (vertaa vetyatomi, seuraava luku, toisiakin sopimuksia esiintyy), siten että eni < en'i jos n < n'. Toinen historiallisiin seikkoihin perustuva sopimus on antaa tilojen nimityksessä l:n arvoille seuraavat koodimerkinnät / = 0 1 2 3 4 5 6 7... s p d f g h i k . . . Näin ollen esim. n = 2,1 = 0 -tilaa kutsutaan 2s-tilaksi, n = 3,/ = 1 -tilaa 3p-tilaksi, jne. Sidotut tilat voidaan siis kirjoittaa muotoon | n l m ) (johon mahdollisesti lisättävä spinin tai spinien z-komponenttien ominaisarvot); tämän tilan aaltofunktio on Rnti^Yi^d, tp), missä Rni on (5.12):n ratkaisu kun € = en(-. Sirontatilojen energiat e muodostavat jatkumon, ja niitä voimme merkitä je/ra):llä.

Luku 5 Liike

118

keskeiskentässä

Kuva 5.1. Kirjoittamalla Rni(r) u n i ovat

=

jolloin reunaehdot sidotun tilan funktiolle

u„j(0) = 0,

/•oo / dr|u n ((r)| 2 = 1, Jo

(5.14)

saadaan (5.12) saman muotoiseksi kuin yksiulotteisen liikkeen Schrödingerin yhtälö (

h2 d2u

\

missä V l { r )

J V ( r ) ( oo,

+

^ f l , r > 0 r < 0.

"Seinä" r = 0:ssa pakottaa aaltofunktion u(r) häviämään origossa. Vi(r):ssa esiintyy lisäksi sentrifugaalipotentiaali Tämä voi kvalitatiivisestikin muuttaa potentiaalin käyttäytymistä attraktiivisesta repulsiiviseksi (kuva 5.1) Näin ollen sidottujen tilojen spektri on vahvasti Z:stä riippuvainen. Oletetaan, että V(r) lähestyy raja-arvoa Vo kun r —» oo. Liittyen kappaleen 1.6.1 tarkasteluihin voimme tällöin päätellä mm. seuraavaa: • Jatkuva spektri on e > F 0 ; välillä (F m ; n , Vö) on mahdollisesti sidottujen tilojen energia-arvoja.

Kuva 5.2. s Tietyllä l:n arvolla on alimman sidotun tilan aaltofunktiolla ui + i t i(r) nollakohta vain r = 0:ssa, seuraavalla tilalla U[+2,i{r) yksi nollakohta r > 0, jne. (kuva 5.2). s Sidottujen tilojen radiaaliset aaltofunktiot voidaan valita reaalisiksi. Hamiltonin operaattorilla -f V ( f ) on kiertoinvarianssin lisäksi toinen symmetria: se pysyy invarianttina muunnoksessa r —* —f, p —» — p. T ä m ä on luvussa 1.6.1 tarkastellun yksiulotteisen liikkeen pariteettimuunnoksen yleistys kolmeen ulottuvuuteen. Määrittelemme unitaarisen operaattorin P , joka aikaansaa pariteettimuunnoksen PxP-1

= -x,

PpP'1

PLP*1

= +L.

= -p.

(5.17)

Tästä seuraa, että (5.18)

Vektoreita, jotka muuntuvat kuten x ja p (5.17), kutsutaan polaarivektoreiksi; vektorit jotka muuntuvat kuten L (5.18), ovat aksiaalivektoreita. Myös spin S ja täten jokainen impulssimomentti J on aksiaalivektori. Hamiltonin operaattorin invarianssi pariteettimuumioksessa tarkoittaa PHP~l = H eli [H,P] — 0. Kaksi peräkkäistä pariteettimuunnosta johtaa takaisin alkuperäiseen tilanteeseen, eli P2 = 1, josta P = P' -i = pt , eli P on myös hermiittinen (observaabeli), ja se voidaan diagonaiisoida samanaikaisesti H:n kanssa (sekä L2:n, Lz:n kanssa, koska (5.18) implikoi [P, L] = 0). P:n ominaisarvot tt voivat olla vain + 1 tai - 1 (P2\ip) — Pw\ip) = 7r2|%[>) ~=

Luku 5 Liike

120

keskeiskentässä

eli 7r2 — 1) Tilat | n l m ) ovat itse asiassa jo P:n ominaistiloja, sillä pallokoordinaattien avulla muunnos x —» — x lausutaan (r,$,ip) —• (r,ir — 0,tp + x) ja (4.199) ja (4.202) mukaan Y (m (ir - 9,

5.3

Vetyatomi

Olkoon nyt V(r) potentiaali hiukkaselle, jonka varaus on —e ja joka liikkuu pistevarauksen + Ze synnyttämässä Coulombin kentässä:

Kun Z = 1, t ä m ä kuvaa vetyatomia. (Siinä approksimaatiossa, jossa elektronin j a protonin vuorovaikutus on täsmälleen (5.19), näiden hiukkasten spinit eivät vaikuta dynamiikkaan, vaan ainoastaan tilojen degeneraatioasteeseen, niin kuin edellisessä pykälässä todettiin.) Redusoitu massa on m

=

°mP ~ m m e + mp

(5.20)

koska ytimen massa m p > m p r , j t o n ; > m e . Tehtävänä on m ä ä r ä t ä vetyatomin sidotut tilat. On siis löydettävä ne energian arvot e, joilla radiaalisella yhtälöllä (vrt. (5.15)) h2 d 2 u

/ h2 1(1 + 1)

Ze2 \

, .

,

,

N

N

on reunaehdot (5.14) täyttäviä ratkaisuja. Suurilla r (5.21) on likimain d2u

2ue

d^ =

^

Positiivisilla e (5.22):n ratkaisut ovat oskilloivia: u(r) ~ cie eikä (5.14) voi olla toteutunut.

lkr

lkr

+ C2e~~ , k =

Ainoastaan negatiivisilla e saadaan

integroituvia ratkaisuja u(R) ~ e~Kr, K = y " f ^ - Sidottuja tiloja on siis olemassa vain negatiivisilla energioilla, mikä on sopusoinnussa edellisen hi v an yleisten tarkastelujen kanssa. Otetaan käyttöön dimensiottomat m u u t t u j a t (5.23)

•5.3 Vetyatomi

121

j a merkitään, ottamalla huomioon u(r):n tunnettu käyttäytyminen suurilla r, u(r) = pl+1e~pw(p).

(5.24)

Sijoittamalla (5.23) ja (5.24) yhtälöön (5.21) todetaan, että funktio w(p) toteuttaa yhtälön A2

A

P-rr £ + 2(Z + 1 dp

ap

+ bo - 2(1 + 1 )]w = 0.

(5.25)

Kehitetään w(p) potenssisarjaksi w(p) = Y / a k p k k

(5.26)

ja sijoitetaan se (5.25):een. Merkitsemällä pk:n kerroin nollaksi saadaan {k + 1 )[k + 2(1 + l)]a f e + 1 +

- 2 ( k + l+ l)]a fc = 0,

(5.27)

josta nähdään, että a_i = 0. Potenssisarja (5.21) alkaa siis vakiotermillä ao, eli u(r) käyttäytyy (5.24):n mukaan kuten rl+1 pienillä r. T ä m ä tulos pätee kaikille potentiaaleille, jotka eivät ole Coulombin potentiaalia singulaarisempia kun r —> 0). Kun k — 0 , 1 , 2 , . . ( 5 . 2 7 ) on yhtäpitävä rekursiorelaation afe+1 ak

2(k + Z + 1) - po (k + l)(Jfe + 2Z + 2)

kanssa. Mikäli sarja (5.26) ohsi päättymätön, suurten p:n potenssien kertoimet toteuttaisivat relaation ak+1

2

dj.

k

-

oo

0,

(5.29)

jolloin w(p) ~ e2p, mikä on vastoin reunaehtoa (5.14), kun p —> oo. Näin ollen sarjan (5.26) tulee päättyä ja w(p) on siis polynomi. Olkoon w(p) astetta N, eh ajv+i = 0, a^ 0. Tällöin saadaan relaatiosta (5.28) p0 = 2(N + 1+1),

1 = 0,1,2,...,

ja JV = 0 , 1 , 2 , . . . .

Sijoitetaan (5.30):een po:n lauseke (5.23) ja määritellään pääkvanttiluku n = N + l +1=^>1.

(5.30) n (5.31)

122

Luku 5 Liike

keskeiskentässä

Näin saadaan Z2

e2

\

Z2*2 2 1 f i C - j2, 2 n '

1

,

x

71 = 1 , 2 , 3 , . . .

Kaavassa (5.32) esiintyy luku a =

62 4tt €0hc

1 137,04

(5.33)

eli hienorakennevakio. Vetyatomin (Z = 1) perustilan energia ej on—13,595 eV (tällöin n = 1 ja l — 0). Energia a2 —m e l c 2 = 13,605 eV,

.

(5.34)

missä redusoitu massa on korvattu elektronin massalla, käytetään usein atomifysiikan energiayksikkönä, ja on nimeltään Rydberg. Sidottujen tilojen energia (5.33) voidaan myös kirjoittaa muotoon Z2e 2 8x60 a n 2 ' missä pituussuure a = a0 =

(5.35)

on likimain yhtä suuri kuin Bohrin säde,

2

me ie

= 0,5292-10"lom

(5.36)

(10~ 10 m = 1 ängström (A)). Sidottuja tiloja on äärettömän monta. Kun n —> oo niiden energia lähenee nollaa, josta jatkuva spektri (joka kuvaa ionisoitunutta vetyatomia) alkaa. Energian arvot riippuvat vain pääkvanttiluvusta n, En ~ Kaikki tilat ovat degeneroituneita, sillä ® kutakin l:n arvoa vastaa 21+1 magneettisen kvanttiluvun m arvoa —Z:stä +/:ään. e kutakin n:n arvoa vastaa (5.31):n mukaan n sivukvanttiluvun l arvoja nollasta (n — l):een. a energia ei riipu elektronin spinistä, jonka z-komponentti voi saada arvot ± | h.

123

•5.3 Vetyatomi

Taulukko 5.1. n = 1,2,3 radiaaliset aaltofunktiot. ra

l

Rni

1

0

2(f)1 e"?

2

1

^(f)1""-

3

»

i j s ( i +

3 1

5k( f ^ - e k »

&

^

81V3Ö

(Ö")

Energian En omaavien tilojen lukumäärä on siis n—1

2 ] T ( 2 i + 1) = 2n 2 . /=o Edellisen kappaleen 5.2 yleisten tarkastelujen mukaisesti odottaisi vain ensimmäiseen ja viimeiseen kohtaan liittyvää degeneraatiota. Ns. satunnainen degeneraatio (toinen kohta) liittyy siihen, että Hamiltonin operaattorilla - ~ on suurempi symmetria kuin pelkkä kiertosymmetria. Symmetriaryhmä on 0(4). Satunnaista degeneraatiota esiintyy myös potentiaalissa V(r) = k kr2, jolloin symmetriaryhmä on SU(3). Polynomi w(p) on Laguerren liittopolynomi (katso jotain erikoisfunktioiden oppikirjaa) w(p) L2l+%

(

=

V

_

(5.3?) /

l^at+l

(

n

+ 0

!

x -(2l+l)

d "

-

'

- 1

-mn+l.

Täydellinen normitettu aaltofunktio on ^nim{r, e, <j>) = Rnl{r)Ylm{0, missä Rnl(r)

=

^

<j>),

(5.38)

v 124

Luku 5 Liike l(n-l

- 1 )\Z f2Z\l+1

,

- v •>[(»+oi--U)

zr 2/-t-i

keskeiskentässä /2Zr\

(5-39>

Tatdukkoon 5.1 on kirjoitettu muutaman radiaalisen aaltofunktion lausekkeet. Bohrin säteen a 0 (tai parametrin o) fysikaalinen merkitys selviää tarkastelemalla aaltofunktioiden r-käyttäytymistä. Perustilan aaltofunktio on

V>iooM,4>)= f ^ V Radiaalinen jakauma perustilassa on T*2 |*0IOO|2 pisteessä r = r n odotusarvo on

(5.40) x

r2e~2Zr/a,

jonka maksimi on

a ilmoittaa siis vetyatomin elektronikuoren ulottuvuuden suuruusluokan. Kaava (5.32), ns. Balmerin kaava, on tietenkin vain ensimmäinen approksimaatio todellisen vetyatomin energian ominaisarvoille. Sen mukaan vetyatomin spektri on kuvan 5.3 kaltainen. Tarkemmassa teoriassa on otettava huomioon (i) elektronin liikkeen relativistiset korjaukset ja sen spin (hienorakenne), (ii) protonin spin, magneettinen momentti ja äärellinen koko (ylihienorakenne) sekä (iii) vuorovaikutus sähkömagneettisen säteilykentän kanssa (Lambin siirtymä). (Ks. kuva 5.4)

•5.3 Vetyatomi

125

Kuva 5.3. Vetyatomin spektri.

J

Luku 5 Liike

v 126

E

keskeiskentässä

(eV)

3p 3/2 -1,51 - 3s 1/2

3

-3,39

2p 3/2 " 2p xr2 =

2s 1/2

-13,6 - i s

Pl/2 :

= k

j=l

3d 5/2 ' 3d 3/2 :

Hienorakenne } Lambin siirtymä

} Ylihienorakenne

(sel- s prot )

+s

Kuva 5.4. Osa vetyatomin spektristä sellaisella tarkkuudella, että mm. relativistiset efektit ovat näkyvissä. Energiaskaala on katkaistu kuvassa.

Luku 6

Likiarvomenetelmät: sidotut tilat 6.1

Variaatiomenetelmä

On hyvin vähän systeemejä, joissa Schrödingerin yhtälö voidaan ratkaista analyyttisesti, "paperilla". Nykyään ratkaistaan usein kvanttimekaniikan tehtävät tietokoneilla numeerisen analyysin menetelmiä käyttäen. Monessa yhteydessä osoittautuvat myös erilaiset likiarvomenetelmät hyödylhsiksi. Tässä luvussa käsitellään sidottujen tilojen energioiden ja aaltofunktioiden likimääräistä laskemista, ja aloitetaan variaatiomenetelmällä (jota myöskin kutsutaan Rayleighin-Ritzin periaatteeksi). Tarkastellaan systeemiä, jonka Hamiltonin operaattori on H ja vastaavat ominaisarvot En ja -tilat |n) H\n) = En\n),

E0<E1<E2....

(6.1)

Oletetaan, ettei tunneta (6.1):n tarkkoja ratkaisuja. Halutaan löytää likiarvo perustilan energialle E0 ja perustilan tilavektorille |0). Vahtaan fysikaalisin perustein tila \
(6.2)

Ilmeisestikin (E) ei ole sama kuin Eo, mutta jos |tp) on vahttu hyvin, ero voi olla pieni. Osoitetaan, että (E) on aina suurempi tai yhtäsuuri kuin perustilan oikea energia Eo- Kehitetään \
\
(6.3)

Luku 6 Likiarvomenetelmät:

128

sidotut

tilat

Sijoitetaan t ä m ä (6.2):een (E) = ] T < c n £ n = Eo + Y , \cn\2(En n

- E0).

(6.4)

n

Viimeinen termi on positiivinen (EN > Eq), joten (E) > E 0 . Yhtäsuuruus on voimassa vain, jos | joka tulee olemaan parametrien a i , . . . ,ajy funktio; etsitään tämän funktion minimi, joka siis on perustilan energian likiarvo (tarkasti yläraja). Vastaava tila | tp) approksimoi perustilaa. Yleensä perustilan energian arvo on tarkempi kuin tilavektorin arvio: Olkoon = |0) + (0|V) = 0, tällöin (E) = E\%^\v) = E0 + 2 0(A ). Jos tilavektorin virhe on kertalukua A, on siis energian virhe kertalukua A2. Menetelmää voidaan periaatteessa käyttää myös viritettyjen tilojen löytämiseksi. Oletetaan, että tunnetaan H:n N alinta ominaistilaa |0),..., \N — 1). Tilaa | N ) approksimoidaan yritetilajoukolla {|(£>}}, josta jokainen on ortogonaalinen tiloja |0),..., |JV — 1) vastaan: (ip\k) = 0, k = 0,..., N — 1. Tällöin | Ejy. E^:tl arvio on siis {(p\H\(p):n minimi joukossa ja |iV):n arvio on vektori |
rj-i H

-

2m

h2 +

-

2m

2e 2

2

"

e2 +

(6 5)

"

missä Xi ja ®3 ovat elektronien 1 ja 2 paikat, ja ri2 = |®i — x2\ on elektronien välinen etäisyys. Kirjoitetaan (6.5):n H — Hi + H2 + l v v Perustilan aaltofunktioyritteeksi otetaan kahden vetyatomin perustilan aaltofunktion (5.40) tulo, jättäen kuitenkin ytimen varauksen Z variaatioparametriksi. On odotettavissa että paras Z < 2, sillä elektroni 1 varjostaa osittain elektronin 2 näkemää ytimen varausta: siis
=

Vl00(*2,£)Vl0c(a: 2 ,Z)=

Tr a°

(6.6)

Energian odotusarvo on (E) = J d^xd 3 »i 2
6.2

129

Häiriökehitelmä Koska V'ioo(®i, Z) on operaattorin — — ominaisfunktio ominaisarvolla Z2ei (merkitään vedyn perustilan energiaa eidlä)

\i>ioo{x1,Z)\2 ri Z2(l + Z

=

h^a

e 2

^

{ i Z

'

Z 2 ) e i

-

(6 8)

"

Sama tulos saadaan (#2} die. Termi ( H v v ) voidaan laskea käyttäen hyödyllistä kaavaa (katso esim. Cronström - Lipas: Elektrodynamiikka) 00

1

'

i

E

1=0

! (6.9)

m= — l

>

missä ?•> = max(|a>! |, \xa1) j a r< = mindsBj. |, \x21). Saadaan

i>l00(xl,Z)rl>l00(x2,Z) |®1 — ®2 e2

47T60

a

/»oo

dnne-»"/- r Jo i»oo

dnr?e-2»ri'° /

+ / Jo =

r Jo

dr a r>2 - 2 Zr2/o

dr 2 r 2 e- 2 ^=/°)

Jt!

-jjZe!.

(6.10)

Kaiken kaikkiaan siis

^ i o ^2 + — 27Z)e , lf - -Z)ei -_ (—2iT

(£) = (8Z -

(6.11)

jonka minimi Z\n suhteen saavutetaan arvolla Z — 27/16. Arvio heliumin perustilan energialle on näin ollen ^f

e

= 2 ( - ) 2 e 1 ~ - 7 7 , 4 6 eV.

Kokeellinen arvo on —78, 98 eV. Käyttämällä yritefunktiota, joissa on enemmän vapaita parametreja voidaan variaatiomenetelmän tulosta huomattavasti parantaa.

6.2

Häiriökehitelmä

Kvanttimekaniikan häiriöteorian ("perturbaatioteorian") eri muodot perustuvat ominaisarvojen, ominaistilojen jne. kehittämiseen jonkun pienen parametrin potenssisarjoiksi. (Tässä mielessä edellisessä pykälässä esitetty variaatiomenetelmä on "epäperturbatiivinen"). Olkoon H = Ho + H1 = H0 + gV,

(6.12)

Luku 6 Likiarvomenetelmät:

130

sidotut

tilat

missä oletetaan tunnetuiksi H0:i\ ominaistilat |
0

\ f n ) =

Eon\
{'fimlfn) =

(6.13)

Smn,

ja missä parametri g on pieni: \g\ n) = En\^n).

(6.14)

Sanotaan, että Ho on häiriötön Hamiltonin operaattori ja Hi = gV häiriö. Oietaan seuraavassa, ettei häiriö H\ muuta energiaspektrin luonnetta, ts. että diskreetti spektri pysyy diskreettinä. Koska H —> HO kun g —> 0, on odotettavissa, että En lähenee Hq ominaisarvoa Eon, joka oletetaan degeneroitumattomaksi. Tällöin voidaan olettaa, että |xp n ) lähenee vastaavaa (yksikäsitteistä) häiriötöntä ominaistilaa j
=

(6.15) n=0

oo En

E{°] = E0n

=

(6.16)

71=0

Joissakin yksinkertaisissa tapauksissa suureet |tf> n ) ja En ovat todella parametrin g analyyttisiä funktioita, jotka ovat säännöllisiä tason origon (riittävän pienessä) ympäristössä. Näin ei kuitenkaan tarvitse olla; sarjakehitelmät (6.15) ja (6.16) voidaan myös tulkita esim. asymptoottlsina sarjoina g-tason origon ympäristössä. Myöhemmin tullaan tutustumaan tälläiseen esimerkkiin. Alla esitetty muodollinen analyysi on voimassa myös tässä tapauksessa. Sijoitetaan nyt sarjat (6.15) ja (6.16) ominaisarvoyhtälöön (6.14), CO ^ «r (;Wn>(m) +

OO = x >

771 = 0

771 E 4p)i^>(m-p)

m

771=0

(6.17)

p—0

missä on järjestelty yhtälön (6.17) oikealla puolella esiintyvän kaksinkertainen sarja sopivalla tavalla, ja missä = 0. Identifioimalla g:n potenssit yhtälön (6.17) molemmilla puolilla saadaan Tn

'

+

= E

,

[

E r?Mn)

(rn

~

P)

m = 0,

...

(6.18)

p=0

Huomattakoon vielä, että tilat \ipn) oletetaan normitetuiksi, {lpn\4n) = 1.

(6.19)

6.2

Häiriökehitelmä

131

Sijoittamalla sarjakehitelmä (6.15) normitusehtoyhtälöön (6.19) saadaan, oo E s

m r o

(l

E

771=0

P= 0

/

(0)

Vn|tM(m-p) = 1

(6.20)

(^n|^n)(0)=l

(6.21)

m

E

(p)

P =o

( ^ n | ^ > ( r a _ p ) = o, m > 1

(6.22)

Ehto (6.21) on voimassa identtisesti yhtälön (6.13) mukaisesti, jäljelle jäävät ehtoyhtälöt (6.22) sekä yllä johdetut yhtälöt (6.18) muodostavat yhtälöryhmän suureille \ i p } ja E£m) (m > 1). Tapauksessa m = 0 yhtälö (6.18) on identtisesti voimassa. Ensimmäinen ei-triviaali yhtälö saadaan tapauksessa m = 1, { m )

n

£o|^n>(l) + t > ^ n ) ( 0 ) = 4 0 ) | ^ n ) ( l ) + Kertomalla yhtälö (6.23) vasemmalta bra-tilalla

(6.23) ipn\ saadaan välittömästi

E™ =

(6.24)

T ä m ä on erikoistapaus yleisestä tilanteesta: kertalukua m olevat energiakorjaukset voidaan laskea kun tunnetaan tilavektori kertalukuun m — l asti. Korjausten 1 4 > n ) ^ laskemiseksi on tarkoituksenmukaista kehittää \ipnkannassa \y>n) (= (joka on oletettu täydelliseksi ja ortonormitetuksi kannaksi), !^n)

(1)

oo = E

(6.25)

771=0

Sijoittamalla kehitelmä (6.25) yhtälöön (6.23) saadaan tulokseksi, oo E

71=0

oo + v

\

=

Eon E

TO=0

C£lWm){0) + 4 1 ) | ^ ) ( 0 ) (6.26)

missä on käytetty tuloksia E0M = (6.24).

ja missä E^

on annettu yllä kaavassa

132

Luku 6 Likiarvomenetelmät:

Kertomalla yhtälöt (6.26) vasemmalla bra-tilalla

sidotut

tilat

saadaan yhtälö-

rylimä tuntemattomille kertoimille Cril, (.E0p - E0n)Cg)

- E^6pn

-

( ° ) ( V

P

( 6 . 2 7 )

Tapauksessa p = n yhtälö (6.27) on sama kuin yhtälö (6.24). Kun p ^ n saadaan C!S =

"

' ^ y JhQn ~ J^op

(6.28)

Tulokseksi on siis nyt saatu,

l<M ( 1 ) =

+ E

(0)

(

)|^)W

(6.29)

missä kerroin Cnn edelleen on tuntematon. Vielä ei kuitenkaan ole käytetty normitusehtoa (6.22), joka tapauksessa m = 1 saa muodon (0)

W„|lM(1) +

0

(6.30)

ts. Re

= 0

(6.31)

Ehtoyhtälö (6.31) merkitsee, että kerroin Cnn on puhtaasti imaginaarinen. Yhteenvetona edellisestä todetaan seuraavaa,

1*0 = (1 + » a | t f „ ) < ° > +

E

(

( 0 )

^ m | F y n ) - ) l ^ ) ( 0 ) + 0 ( , 2 ) (6.32)

ia

V En = 4 ° ) + g ( ° > ^ n | % n ) ( 0 ) + 0 ( f f 2 )

(6.33)

missä merkintä 0(g2) tarkoittaa kertalukua g2 olevaa korjaustermiä. Todettakoon edelleen, että m ä ä r ä ä m ä t t ä jäänyt imaginaariluku Cnn lausekkeessa (6.32) kiinnittää vain epäoleellisen vaihetekijän, sillä jos Cnn — i a n , 1 + gCtt

= e*"» + 0(g2).

(6.34)

6.3 Epäharmoninen

värähtelijä

133

Periaatteessa voitaisiin laskea myös toisen ja korkeamman kertaluvun korjauksia tiloihin \ i f i n ) ja energian ominaisarvoihin E n . Tyydytään tässä antamaan energian ominaisarvo En toisen kertaluvun tarkkuudella,

* =E

0n

+j / nE 1 (0)^'yOj(0)'a + O t f )

+9

(6.35)

Tulos (6.35) johdetaan yksinkertaisesti käyttämällä kaavan (6.29) antamaa ensimmäisen kertaluvun korjausta kaavassa (6.18) tapauksessa m = 2. Tuntematon imaginaarivakio Cnn joka esiintyy l ^ ^ ^ t n lausekkeessa supistuu laskuista (kuten pitääkin), eikä näy lopputuloksessa (6.35). Edellä johdetut häiriökehitelmät suureille \ipn) ja En tunnetaan Rayleigh'nSchrödingerin häiriökehitelminä. Vaikka kyseiset kehitelmät voidaan laskea mielivaltaiseen kertalukuun saakka^-tulevat kuitenkin vain edellä annetut ensimmäisen ja toisen kertaluvun tulokset useimmiten kysymykseen käytännön sovelluksissa.

6.3

E p ä h a r m o n i n e n värähtelijä

Esimerkkinä häiriöteoriasta tarkastellaan epäharmonista värähtelijää, jonka Hamiltonin operaattori on P2 , 1 2-2 , 2^ + 2mU X +

fr H

=

1 4

,r g

—

*

qcs (6 36)

'

Edellisen kappaleen merkimiöin Ho — ^^r ^mu>2x2, V — m ^ x4. Energian ensimmäisen korjauksen määräämiseksi on yhtälön (6.24) mukaan laskettava (n|2 4 |n), missä |n) on harmonisen värähtelijän ominaistila. T ä m ä voidaan kätevästi tehdä lausumalla x 4 operaattorien 2 ja o) avulla käyttäen kaavaa (3.2). Tilojen |n) ortogonaalisuuden vuoksi vain ne termit, joissa sekä a j a a* esiintyvät kahdesti, antavat kontribuution diagonaaliseen matriisielementtiin (n|z 4 |n), eli x 4 = ( ä ^ b ) 2 [ 2 2 2 t 2 + 22+22* + 2 2 t z 2 + 2+222+ + 2*23+2 + 2 t 2 a 2 ] + (muita termejä). Soveltamalla edelleen relaatioita (3.15) saadaan (n|® 4 |n)

=

( - A - ) 2 [ ( n + 2 ) ( n + l ) + (rz + l ) 2 + n ( n + l ) +n(n + 1) + n2 + n(n - 1)] _n 3 k ( ^2 7mTu) 2 ( 2 n 2 + 2 n + 1 ) -

Ensimmäisen kertaluvun tulos on siis En

=

E0n +

g(n\V\n)

(6.37)

Luk u 6 Liki arvoine n et e lm ai: sidotut til at

134

=

tiu)(n + h + -^-(-ghuj{2n2 + z ib

=

M l + | ) ( n

+

i ) + | ^ n

2

n 2

+

1 )

( 6 . 3 8 )

.

Nähdään, että tarkastellulla häiriöllä on kahdenlainen vaikutus: se lisää (i) t a a j u u t t a määrällä % / 8 j a (ii) tilojen etäisyyttä A E energian (n:n) kasvaessa. Epäharmoninen yärähtelijä (6.36) on riittävän yksinkertainen, j o t t a voidaan vastata, iiielenkiintoiseen kysymykseen: Kuinka hyvä on häiriölaskun tulos? Tarkastellaan perustilan energiaa jolle häiriöteoria a n t a a lausekkeen oo

E0 = J 2 4 k ) 9 k -

(6-39)

k—O Oletetaan ensin, että potenssisarja (6.39) suppenee kun g < g„. Tällöin se suppenee kaikilla |c?| < g o, varsinkin kun g on negatiivinen. Potentiaalin U(x) = ^mu)2x2 + J < j • ' x4 käyttäytyminen positiivisilla j a negatiivisilla g on kuitenkin täysin erilainen (kuva 6,1). Kun g > 0, kyseessä on potentiaalikuoppa, jonka perustilan energia on positiivinen (nollapisteen energia!) m u t t a kun g < 0, U(x) on alhaalta r a j o i t t a m a t o n eikä perustilaa ole enää edes olemassa. (Voidaan rakentaa yriteaaltofunktio, jolle energian odotusarvo on mielivaltaisen pieni ottamalla funktio, joka on nollasta eroava riittävän suurilla |E|). Tila, jonka aaltofunktio hetkellä t = 0 on keskittynyt x — 0 ympärillä olevaan kuoppaan h a j o a a ennenpitkään tunneloitumalla potentiaalivallin läpi. Tällainen tila on korkeintaan metastabiili (vertaa a - h a j o a m i n e n , kappeleen 1 . 7 loppuosa). Nojautuen ylläolevaan fysikaaliseen argumenttiin voidaan odottaa, että oletus sarjan (6.39) suppenevuudesta ei ole perusteltu. Näin todellakin

6.3 Epäharmoninen

värähtelijä

135

on; C. M. Bender j a T . T . Wu (Phys. Rev. D7, 1620(1973)) osoittivat ensimmäisinä, että sarjan kertoimet k ä y t t ä y t y v ä t isoilla k seuraavasti

4 k ) = M ^ ) 1 / a ( - f ) f c r ( * + | ) ( 1 + 0(\)),

(6.40)

j a koska r(fc) ~ fc!, kertoimien kasvu on niin nopea, että (6.39):n suppenemissäde on nolla. Hamiltonin operaattorin (6.36) spektrin tarkastelu osoittaa, e t t ä perustilan energialla Eo g:n funktiona on singulariteetti, kiertopiste g = 0:ssa, j a näin ollen funktiota Eo(g) ei voida kehittää potenssisarjaksi t ä m ä n pisteen ympärillä. Häiriökehitelmä (6.39) ei kuitenkaan ole täysin käyttökelvoton, se on nim i t t ä i n ns. asymptoottinen sarja, jokardivergenssistään huolimatta voi a n t a a hyvän arvion E 0 :lle, kun g > 0. Asymptoottiseksi sarjaksi kutsut a a n funktion f ( z ) esitystä oo

( 6 - 41 )

f(z) = Yf*zk> 0

jolle (tietylle a r g z : n välille) pätee

n |/«-£/*z

f e

|
M

.1|2r+

1

(6.42)

fc= o kaikille n, kun \z\ —• 0. (Analyysissä tunnetuimpia asymptoottisia sarj o j a lienee Stirlingin approksimaatio T-funktiolle). Eräissä tapauksissa m ä ä r ä ä v ä t asymptoottisen sarjan (6.41) kertoimet funktion f ( z ) yksikäsitteisesti. Jos esimerkiksi kuten kaavassa (6.40)

fk ~ c(-a)kk!

(a > 0)

voidaan muodostaa sarja

oo , k- 0 joka suppenee kun \za\ < 1, j a joka määrittelee analyyttisen funktion koko puolitasossa Rez > 0. Lisäksi pätee ,00

f(z)=

/

dte~tBf(zt)

(6.44)

Jo muodollisesti potenssisarjana; toisaalta integraali yhtälön (6.44) oikealla puolella suppenee. Yhtälö (6.44) on Borelin summakaava asymptoottiselle sarjalle (6.41) j a 5 / ( z ) on / : n Borelin muunnos. Epäharmonisen värähtelijän häiriösarja on siis Borel-summautuva.

Luku 6 Likiarvomenetelmät:

136

sidotut

tilat

Yllä kuvattu tilanne on kvanttimekaniikan häiriöteorian kannalta tyypillinen. Vain poikkeustapauksissa sarja suppenee, parhaimmissa tapauksissa se on asymptoottinen j a Borel-summautuva. Tapauksissa, missä häiriösarjan luonne on t u n t e m a t o n (ja niitä on riittämiin!) voimme vain n o j a u t u a häiriöteorian tulosten fysikaaliseen mielekkyyteen j a yhtäpitävyyteen koetulosten kanssa halutessamme oikeuttaa häiriöteorian käytön.

8.4

Degeneroitunut häiriökehitelmä

Tutkitaan seuraavaksi tapausta, että H:n ominaisarvo Eon, jonka häiriötermin gV aiheuttama korjaus haluamme laskea, on N (n)-kertaisesti degeneroitunut, ts. ominaisarvoyhtälöllä Ho\y>nk)

(6.45)

= Eon\
on N (n) lineaarisesti riippumatonta ratkaisua \ jonka kantavektorit | Vnfe) virittävät. Luvun 2 tarkastelujen mukaan kantavektorit {|y n fc)} voidaan aina valita ortonorm.it etuiksi (oletetaan, että E0n kuuluu H0:n diskreettiin spektriin), ja ne ovat luonnollisesti ortogonaalisia Hq:i\ muihin ominaisarvoihin E0m liittyviin ominaisvektoreihin |<{>mk)'(Pnj\
n f m

(6.46)

Kun häiriintymätön Hamiltonin operaattori H0 muutetaan täydelliseksi operaattoriksi H, (6.12), odotetaan, että IIq:n tilavektorialivaruus ? i 0 n muuttuu H:n ominaisvektorien (l^na), a — 1 , . . . ,N(n)} virittämäksi aliavaruudeksi H n ] Sl^na)

^ (Bo + gV)\iPna)

= Ena\yna)

a = 1 , 2 , . . . ,N(n).

(6.47)

Oletetaan, että energian ominaiarvot EnK voidaan (ainakin muodollisesti) kehittää g:n potenssien mukaan eteneväksi sarjaksi oo

SJ

_ V — /_.• y m=0

(6.48)

^na

missä

E^

= E0n,

a — 1,...,

N (n).

(6.49)

6.4 Degeneroitunut

häiriökehitelmä

Vastaavasti kirjoitetaan tiloille

137

\ipna)

oo |Vw) = E 9 m l < / w ) ( m )

(6.50)

771—0

Nollannen kertaluvun tilasta | t p n a ) ( 0 ) (jollakin a:n arvolla) voidaan ainoastaan todeta, että se kuuluu alivaruuteen Ko n , sen ei tarvitse yhtyä mihinkään (mielivaltaisesti valituista) kantavektoreista |(p n k)- Täten on kirjoitettava N(n)

|
(0)

= E cnk(a)\ipnk). fe=i

(6.51)

Sijoittamalla sarjat (6.48) ja (6.5U) yhtälöihin (6.47) saadaan samalla tavalla kuin kappaleessa 6.2 (vrt. yhtälö (6.18)) £o|Vw}(0) H0\^nJm) + V\i>

n a

)^

£on|Vw) ( 0 ) m

=

(6-52)

=

m = 1,2,3,... P =o

(6.53) Tarkastellaan ensin yhtälöä (6.53) tapauksessa m = 1: £o^nQ>(1) + F|Vw>(0) =

+

n a )(o).

(6.54)

Kertomalla yhtälö (6.54) vasemmalta bra-vektorilla (ynji saadaan ottamalla huomioon (6.45) <¥V#|^n«)(0) =

(6.55)

Yhtälön (6.51) mukaisesti on silloin N( n)

E jfe=i

- E^Sjk)cnk(a)

= 0,

(6.56)

missä on käytetty myös ortonormitusehtoja (6.46). Homogeenisella hneaariyhtälöryhmällä (6.56) on (tunnetusti) nollasta eroavia ratkaisuja kertoimille c n k(a) jos j a vain jos yhtälöryhmän determinantti häviää, det((^n#l¥>n f e ) - E ^ S j k ) = 0,

(6.57)

Luku 6 Likiarvomenetelmät:

138

sidotut

tilat

eli toisin sanoen, energian ensimmäisen kertaluvun korjaukset Ena ovat hermiittisen N(n) X JV(n)-matriisin ({
a = 1 , . . . , N {n),

(6.58)

missä siis suureet E„2 ovat matriisin ((
8„5

Starkin ilmiö

Toisena häiriölaskuesimerkkinä tarkastellaan tasaisen (ts. vakio-) sähkökentän vaikutusta atomiin. Itse atomia (JV-eiektroma koordinaatiston origossa sijaitsevan pistevarauksen +Ze ympäristössä) kuvataan seuraavalla Hamiltonin operaattorilla (koordinaattiesityksessä) N /

f2

7

2

2 \

_i_v? ——— ] + y —

i=i \

2 m

2

47re

°Ti)

iZj4Te°rii

6.5 Starkin

ilmiö

139

missä ri = |«i|,

rij = |®i - xj\

(6.60)

ja Xi tarkoitta z:nnen elektronin paikkavektoria. Potentiaalitermit lausekkeessa (6.59) kuvaavat sähköistä attraktiota pistevarauksessa \Ze "ytimen" ja elektronien (varaus —e) välillä sekä sähköistä repulsiota elektronien välillä. Merkitään Hamiltonin operaattorin ominaisfunktioita symbolilla $ a t , #at*at,n = ^ a t . n

(6-61)

missä n luetteloi ominaistilat. Oletetaan nyt, että atomien elektronit vuorovaikuttavat ulkoisen vakiosähkökentän E kanssa. Valitaan koordinaatisto siten, että z-akseli on E:n sutmtainen. Silloin kenttä E voidaan kuvata skalaaripotentiaalilla
(6.62)

Elektronien vuorovaikutusenergia on silloin N

N

- e ' £ i < p ( x i ) = e \ E \ Y ; z i = 9V. 1=1 1=1

(6.63)

Varsinkin heikon ulkoisen kentän tapauksessa, voidaan (6.63) katsoa häiriötermiksi koko Hamiltonin operaattorissa. Tällöin ensimmäisen kertaluvun energiakorjaus on 4 1 } = -|^l(*»t>n, £ ( - e ) * * a t , n ) i

(6.64)

« * = ] £i ( - « ) « *

(6-65)

y missä (,) on aaltofunktion sisätulo. on Lauseke elektronikuoren sähköisen dipolimomenttioperaattorin

z-komponentti koordnaattiesityksessä. Todetaan, että dipolimomentti on tavallinen polaarivektori, joka siis m u u t t a a merkkiään peilauksessa, pdp-1

=

= E ( - e ) ( - ® ' ) = -d

(6.66)

Jos tilat j $ a t,n) ovat degeneroitumattomia j a pariteettioperaattorin ominaistiloja, P\V*t,n) = *n|*.t,n),

Tn = ± 1

(6.67)

Luku 6 Likiarvomenetelmät:

140

sidotut

tilat

todetaan välittömästi, että sisätulo (6.64) häviää. Näissä olosuhteissa ensimmäisen kertaluvun energiakorjaus häviää identtisesti, joten energiakorjaukset ovat vähintään toista kertalukua ("kvadraattinen Starkin ilmiö"). Tarkastellaan seuraavassa yksi-elektronista atomia, jossa lineaarinen Starkin ilmiö on mahdollinen tilojen degeneraation takia. Systeemin Hamiltonin operaattori koordinaattiesityksessä on (vrt. luku 5) -h2 Ze2 H = -——V2 + e\E\z 2 /J, 47re0 r

(6.68)

missä Z = 1 vetyatomin tapauksessa. Häiriöttömän ( E = 0) systeemin ominaisfunktiot \? n z m (r) on annettu kaavoissa (5.38) ja (5.39). Todetaan edellisten tarkastelujen mukaisesti, että ensimmäiset ei-triviaalit ensimmäisen energiakorjaukset saadaan tapauksessa n = 2. Vastaavat ominaisfunktiot ovat (vrt. (5.38) j a (5.39)) , N =

$21m(r)

=

1 ,Z.
(6 69)

-

Tilat (6.69) ovat degeneroituneita, joten on käytettävä edellisessä pykälässä annettuja degeneroituneen häiröteorian menetelmiä. Numeroidaan tarkastellut tilat seuraavasti, n = 2, / = 0, m = 0

j = 1

n = 2, / = 1, m = 1

j = 2

n = 2, l — 1, m = 0 «-> j = 3 n = 2, / = 1, m = —1

j = 4

(6.70)

Merkitään vastaavasti häiriön e|23|z matriiselementtejä Veellä, Vjj' = (*2Jm,c|^|i-co8Ö$alw)

(6.71)

Käyttämällä kaavassa (6.69) esiintyvien pallofunktioiden Yj m lausekkeita

Ylo(e,
Y 1±1 {e,
T

^

S

m0e

± i

^

(6.72)

6.5 Starkin

141

ilmiö

todetaan suoraviivaisella laskulla, että / (Vjf) =

V

0 0 —3e|JE7|a 0 0 0 — 3e| JS|a 0 0

o

o

o

0 \ 0 0

(6.73)

o

4 x 4 matriisin (Vjj') ominaisarvot A saadaan yhtälöstä /

-A 0 det —3e| jS|a \ 0

0 -A 0 0

-3e|J5|a 0 -A 0

0 \ 0 = 0. 0 -A

(6.74)

Ominaisarvot ovat siten seuraavat A = (0,0,-3e|jB|o,3e|JB|o).

(6.75)

Nelinkertainen degeneraatio on siis osittain poistunut. Häiriö ei vaikuta tilohin |211) ja | 2 1 — 1), joiden energiat eivät muutu ensimmäisessä kertaluvussa. Sen sijaan häiriö vaikuttaa tiloihin |2 0 0) ja \21 0) alentaen kombinaation

energiaa e|.E|a:lla j a lisäten saman määrän kombinaation

4=(|200>-|210» energiaan. Satunnaisen degeneraation ansiosta esiintyy siis vetyatomissa lineaarinen Starkin ilmiö. Mainittakoon lopuksi, että vaikka yllä esitetty lasku antaa hyvän approksimaation energiasiirtymille, on kuitenkin yksi häiriöteorian perusoletuksista väärä tässä tapauksessa. Hamiltonin operaattorin (koordinaattiesityksessä) (6.68) spektri nimittäin on jatkuva kaikilla \E\ > 0 olipa \E\ kuinka pieni tahansa. Kyseinen spektri voidaan laskea eksaktisti separoimalla systeemin ominaisarvoyhtälö parabolisessa koordinaatistossa. Se seikka, että spektri muuttuu jatkuvaksi kun "häiriö" E kytketään päälle johtuu lähinnä siitä, että kyseinen JS-kenttä on vakio koko avaruudessa, jolloin vastaava potentiaali kasvaa r a j a t t a kun \z\ —> oo. Fysikaalisesti realisoitavissa tilanteissa jB-kenttä on tietenkin likimäärin vakio vain äärellisessä alueessa.

Luku 7

Sirontateoria 7.1

Sironnan peruskäsitteitä

Tietoa aineen mikroskooppisesta rakenteesta saadaan pääasiallisesti kahdenlaisilla menetelmillä: spektroskopialla ja sirontakokeilla. Spektroskopiassa havaitaan siirtymät useimmiten atomeista koostuvan systeemin sidottujen tilojen välillä, ja käyttämällä energian säilymislakia saadaan sidottujen tilojen energiat. Sirontakokeessa pyritään lopputiloja analysoimalla tekemään päätelmiä kohtio- ja tai suihkuhiukkasten ominaisuuksista. Se on siten spektroskopiaa epäsuorempi menetelmä, mutta monessa tapauksessa ainoa käytettävissä oleva keino tutkittaessa mm. ydinten ja alkeishiukkasten rakennetta. Tyypillinen sirontakoe on esitetty kaavamaisesti kuvassa 7.1. Lähes monoenergeettinen ja hyvin kollimoitu (pieni suhteellinen impulssin hajonta suihku hiukkasia A osuu hiukkasista B koostuvaan kohtioon, josta sironneet hiukkaset havaitaan ilmaisimella. Suihkun tulee olla niin intensiivinen, että saadaan kohtuullinen määrä sirontatapauksia aikayksikössä, mutta ei niin intensiivinen, että suihkuhiukkasten keskenäinen vuorovaikutus täytyy otta huomioon, mikä huomattavasti vaikeuttaisi analyysiä. Kohtio on yleensä makroskoopinen näyte, jossa on suuri määrä 5-hiukkasia. Oletetaan, että kohtiohiukkasten väliset etäisyydet ovat suihkuhiukkasten De Broglien aallonpituutta huomattavasti suurempia, jolloin eri hiukkasista sironneet aallot eivät interferoi (huomattavan poikkeuksen tähän oletukseen muodostavat diffraktiokokeet neutroneilla, elektroneilla, röngten- ja UV-säteillä, jne.), sekä lisäksi, että kohtio on niin ohut, että jokainen suihkuhiukkanen siroaa korkeintaan kerran. Tällöin voidaan redusoida kahden sirontakokeen analysointi yksittäisten A- ja 5-hiukkasi en törmäyksien tarkasteluksi. Törmäys on elastinen, jos hiukkaset A ja B siroavat toisistaan muuttamatta rakennettaan A + B -> A + B.

( 7 . 1 )

7.1 Sironnan

peruskäsitteitä

143

Kuva 7.1. Jos törmäyksessä sen sijaan jommankumman (tai molemman) hiukkasen rakenne muuttuu, tai jos törmäyksessä syntyy lisää hiukkasia, on kyseessä epäelastinen törmäys. Esimerkkinä tarkastellaan positronin ja perustilassa olevan vetyatomin törmäystä. Elastisen sironnan e + + H —> e+ -f H lisäksi voi esiintyä m m . seuraavat epäelastiset prosessit: e + -f H -> e+ -f H" e

+

+

+ H —> e + p + e" e

+

+H

p + 2j

e

ionisointi annihilaatio

+

positroniumin muodostus

+

parinmuodostus

e+ + H —> p + ( e e " ) +

H-atomin viritys

+ H —> ji + 2e 2e~

Neljää viimeistä prosessia (joista viimeinen voi esiintyä vain riittävän suurilla energioilla) kutsutaan usein reaktioiksi. Niissä lopputilassa esiintyvät hiukkaset ovaf erilaisia kuin alkutilan hiukkaset. Sirontakokeessa mitataan lopputilassa esiintyvien hiukkasten impulssit, siis sekä impulssin suuruus että sen suunta, suuntakulmien 9,

TT + T~Tl,

on eksklusiivinen koe. Jos taas tyydytään määräämään lopputilasta vain tietyn hiukkasen impulssi, riippumatta siitä, m i t ä muuta lopputilassa voi esiintyä,

Luku 7 Sirontateoria

144

Kuva 7.2. esim. 7r~p —• 7r+ + X, X = mitä tahansa, kyseessä on inklusiivinen koe. Tietyn sirontakokeen tulokset riippuvat luonnollisesti sekä suihkun että kohtion ominaisuuksista. Jotta eri kokeiden tulokset olisivat keskenään vertailukelpoisia, ne on esitettävä suihkun intensiteetistä ja kohtion hiukkasten lukumäärästä riippumattomien suureiden avulla. Tällaisia suureita ovat vaikutusalat. Tietyn sirontaprosessin A + B —» A' + B' + C' +... vaikutusala on t ä m ä n sirontaprosessin tapahtumien lukumäärä siroavaa hiukkasta kohti aikayksikössä jaettuna hiukkasten vuolla. Suihkuhiukkasten vuo on kohtioon suunnattujen hiukkasten, jotka läpäisevät suihkua vastaan kohtisuoran pintaalkion (emien kohtiota), lukumäärä aikayksikössä ja pinta-alayksikössä. Seuraavassa valaistaan käsitteitä vaikutusala j a vuo yksinkertaisen sirontaprosessin kuvauksessa.

7.2

Sirontaprosessi efektiivisenä yksihiukkasprobleemana

Edellisessä kappaleessa on osoitettu, että sirontaprosessi voidaan tietyin edellytyksin redusoida hiukkasen törmäykseksi. EdeUeen, luvun 5 mukaan, voidaan kaksihiukkasprosessi redusoida efektiiviseksi yksihiukkasprosessiksi. Tällöin tarkastellaan suihkuhiukkasia, jotka suunnataan kiinteätä voimakeskusta O (kohtiota) kohti (kuva 7.2). Ajatellaan, että koko sirontakokeen aikana suunnataan Na kappaletta hiukkasta kohti O:ta (Na voi olla hyvin suuri luku,

7.3 Aaltopaketit,

vuotekijä ja vaikutusala

145

m u t t a äärellinen luku joka tapauksessa). Näistä AN$ kappaletta siroaa tiettyyn lopputilaan (esim. avaruuskulma-alkioon AO). Silloin kyseisen lopputilan todennäköisyys on (7.2)

On huomattava, että kaavassa (7.2) esiintyy absoluuttisia hiukkaslukumääriä. Homogeenisten hiukkassuihkujen tapauksessa nämä voidaan kuitenkin korvata hiukkasten lukumäärillä aikayksikössä, sillä osamäärä (7.2) pysyy silloin edelleen m u u t t u m a t t o m a n a . Todennäköisyys (7.2) liittyy vaikutusalaan A a , jonka määritelmä sisältää suihkuhiukkasten vuon. Määritellään nyt suihkuhiukkasten (absoluuttinen) vuo suureena, joka on kohtiota kohti suunnattujen hiukkasten, jotka läpäisevät suihkua vastaan kohtisuoran pinta-alkion (ennen kohtiota), lukumäärä pinta-alayksikössä. Absoluuttisen vuon laatu on siten l/pinta-ala. Vaikutusala on sirontatapahtumien lukumäärä A N s jaettuna vuolla eli (7.3) Edelleen todettakoon, että absoluuttinen lukumäärä A Ns, ja absoluuttinen vuo $yi voidaan kaavassa (7.3) korvata vastaavilla suureilla aikayksikössä ilman, että osamäärä (7.3) muuttuu. Vaikutusalan Acr määritelmä (7.3) on siis täysin ekvivalentti sen sanallisen määritelmän kanssa, joka annettiin kappaleen 7.1 lopussa. Huomautettakoon, että vaikutusalan yksikkö kaavan (7.3) mukaan on pinta-ala. Seuraavassa osoitetaan, miten edellä annetut käsitteet (vaikutusala, lopputilan todennäköisyys) liittyvät sirontaprosessin kvanttimekaaniseen kuvaukseen, erityisesti suihkuhiukkasten aaltofunktioihin.

7.3/ A a l t o p a k e t i t , v u o t e k i j ä j a v a i k u t u s a l a Sirontakokeessa preparoidaan hiukkassuihku siten, että hiukkasilla on tietyllä tarkkuudella määrätyt impulssit (ja paikat) sirontaprosessin alkuhetkellä, joka (ilman rajoitusta) vahtaan ajankohdaksi i = 0. Mielivaltainen suihkuhinkkanen kuvataan siis ajanhetkellä t = 0 aaltopaketilla $ ^ ( 0 , r ) , missä $ 4 ( 0 , r) on keskittynyt tietyn pisteen r 0 = (0,0, ~z0) ympäristöön, joka on sirontakeskuksen (kohtion) O voimien kantaman ulkopuolella. Edelleen vaaditaan, että impulssin odotusarvo tilassa $^t(0, r) on akselin suuntainen, hk0 = ( 0 , 0 , hk0),

( 7 . 4 )

Luku 7

146

Sirontateoria

t =0 (0,0Mq>

v w v (0,0,-Zq) \

/ \

/ \

/ \

Ns

^^

•

Kuva 7.3. Suihkuhiukkanen sirontaprosessin alkutilassa (f = 0) kuvataan aaltopaketilla, joka on keskittynyt pisteen (0,0, —z0) ympäristöön, jossa z0 on suurempi kuin sirontakeskuksen O voiman äärellinen kantama R. jotta aaltofunktio '5^(0, r) edustaisi hiukkasia, jotka suunnataan (pitkin zakselia) origossa (0,0,0) sijaitsevaa kohtiota O kohti. (Kuva 7.3) Seuraavassa kappaleessa käsitellään tarvittavat aaltopaketit yksityiskohtaisesti; tässä tarvitaan vain edellä mainitut kvalitatiiviset ominaisuudet. Yhden suihkuhiukkasen todennäköisyysjakauma paikka-avaruudessa hetkellä t — 0 on | $ ( 0 , r ) | 2 . Koska kaikki Na suihkuhiukkasta on preparoitu identtisesti, on suihkun (oikein normitettu) avaruusjakauma ^ = > ^ ( 0 , r)|2.

(7.5)

Pinta-alkion AA (ks. kuva 7.3) läpäisseiden hiukkasten lukumäärä A Na on siten r

ANA

p-zo + j

= Na

dxdy Jaa

j

dz|$^(0,r)|2,

J - z o - y

(7.6) —

eli — z 0 -keskeisessä, tilavuuden AA- L omaavassa "laatikossa" olevien hiukkasten lukumäärä, missä L on sopivasti valittu pituus. Itse asiassa, koska !^(0,T»)| 2 on hyvin pieni, paitsi pisteen r*0 — (0,0,— zQ) välittömässä läheisyydessä, voidaan ilman mainittavaa virhettä siirtyä rajalle L —* oo integraalissa (7.6). Edelleen, jos poikkipinta-ala on riittävän pieni (ja keskittynyt z-akselille), on hyvin suurella tarkkuudella oo

/

-CX)

cU|^(0,0,0,z)|2)AA

(7.7)

7.4 Aaltopaketit

paikka- ja imp nissiä vara u des s a

147

Integraali (7.7) antaa siis suoraan edellä määritellyn absoluuttisen vuon $^4, /•OO

dz|$A(0,0J0,2)|2.

= NA I

(7.8)

OO

Merkitään oo /

-00

dz\^A(Ö,0,0,z)\2.

(7.9)

Suuretta F , jonka laatu on l/pinta-ala, sanotaan seuraavassa vuotekijäksi. Palataan nyt vaikutusalan kaavaan (7.3). Sijoittamalla tulos (7.8), saadaan (huomioimalla ffr9)) 1 AN s

eli vaikutusala Aa on todennäköisyys AP (vrt. (7.2)) jaettuna vuotekijällä F, A
(7.11)

Jos kaavassa (7.11) lasketaan yhteen (integroidaan) kaikkien mahdollisten lopputilojen A yli saadaan ns. kokonaisvaikutusala ax, „

A P

A

'

Myöhemmin palataan hieman konkreettisemmin kokonais vaikutusalan käsitteeseen.

7.4

Aaltopaketit paikka- j a impulssiavaruudessa

Luvussa 1 on tutustuttu aaltopaketteihin ja niiden ominaisuuksiin yksiulotteisessa avaruudessa. Seuraavassa esitetään yksityiskohtaista tietoa kolmiulotteisista aaltopaketeista sekä paikka- että impulssiavaruudessa Tiedetään, että impulssi- ja paikka-avaruuden aaltofunktiot ovat toistensa Fourierin muunnoksia, f(r)

9(k)

I d3ki>(k)elk-r (2tt) 3 / 2 1 f d3r<${r)e~ikr, (2

(7.13) (7.14)

148

Luku 7

Sirontateoria

missä impulssiavaruuden muuttujana käytetään aaltovektoria k impulssimuuttujan p (p — hk) sijasta. Vaaditaan, että funktiot ja ovat normitettuja, l = / d » r | * ( r ) | ' = /d>fc|#(fc)|».

(7.15)

Tarkastellaan ftmktiota *J°(fe) :=

C

e~a^k-k^~ik-r\

(7.16)

missä k0, r0 ja a ovat parametreja, joiden merkitys ilmenee kohta, ja C on normitus vakio. Itse asiassa, käyttämällä tulosta

I l

=

f x

< "

7

>

j a normitusehtoa J d3fe|$g(fe)|2 = l,

(7.18)

saadaan \C\ = {a\f^)3/2.

(7.19)

TT

Todennäköisyysjakauma ^-avaruudessa on siten !$ro(fe)| 2 = {aJ^fe-2°2(k-k0r "fco

f

(7>20)

Tuloksesta (7.20) päätellään, että k:n keskiarvo tilassa, jonka (fc-avaruuden) aaltofunktio on $£°(fe), on k0, ja että parametri a m ä ä r ä ä jakauman hajonnan: Mitä suurempi parametri a on, sitä kapeampi jakauma (7.20), eli sitä pienempi on fc:n hajonta ko:n ympäri. Funktiossa (k) esiintyvä parametri rQ ei esiinny jakaumafunktiossa (7.20); t ä m ä n parametrin merkitys ilmenee ehkä selvimmin kun siirrytään paikka-avaruuteen,

(2tt)3/2

C J d 3 fce-° a ( f c - f c «) a + i f c -( r - P ( ') (2tt) 3 / 2 npiko-{r-ro) „ „ t (2tr)3/2

J

aU€

(7.21)

7.4 Aaltopaketit

paikka- ja

impulssiavaruudessa

149

jat symbolisesti esitettyinä (kuvassa 1-ulott.eisina). Käyttämällä tulosta (harjoitus)

J ^ue~a2u2+iu

A

=

,

(7.22)

saadaan

•EM = J ^ f n

t "

0

^

+ ik

°• ( ' - *>>) •

<7-23>

Gaussista Aä-avaruuden aaltofunktiota $£°(fe) vastaa siis gaussinen paikkaavaruuden aaltofunktio joka on keskittynyt pisteen r 0 ympäristöön. Parametrin ro merkitys on siten selvitetty. Todetaan lopuksi, että parametri a em. aaltofunktiossa säätelee vastaavien todennäköisyysjaukumien leveyden: Jos parametri a on suuri, on k - avaruusj akau rna kapea (mutta ravaruusjakauma leveä) ja jos a on pieni, on fc-avaruusj akauma leveä, m u t t a 7» - avaruusj akaum a kapea. Nämä ominaisuudet ovat tietenkin Heisenbergin epämääräisyysperiaatteen reaalisaatioita gaussisten aaltofunktioiden tapauksessa. (Kuva 7.4). Näiden alkuvalmistelujen jälkeen voidaan palata sirontaongelman alkutilaan $a(0,t»). Vaadittiin, että <$^(0, r ) on keskittynyt 2-akselilla jossakin pisteessä — zq (riittävän) kaukana origosta ja että impulssin keskiarvo alkutilassa on määrätyn suuruinen (k 0 ) ja 2-akselin suuntainen. Nämä ehdot täyttävä gaussinen aaltofunktio $JI(0,T-) on

Luku 7 Sirontateoria

150 missä fc0 = ( 0 , 0 , k 0 ) , r0 =• (0,0,-,zo) {z0>

R> 0),

(7.25)

ja C on normitus vakio (7.19). Sironta-ongelman kvanttimekaaninen käsittely edellyttää siis, että ratkaistaan Schrödingerin dynaaminen (ajasta riippuva) yhtälö, ihdt*{t,r)

= H*{t,r)

(7.26)

alkuehdolla lim $ ( t , r ) = $ A ( 0 , r ) , t->0+

(7.27)

missä funktio $4(0,1") on annettu kaavassa (7.24). Palautetaan mieleen ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön formaalinen ratkaisu. Tarkastellaan stationaarista ominaisarvoyhtälöä H*n{r)

= En$n(r),

(7.28)

missä siis {i?n} on H:n spektri (yksinkertaisuuden vuoksi oletettu diskreetiksi). Jos ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön alkutila $(0,r-) voidaan kehittää (yleistetyksi Fourierin) sarjaksi ominaisfunktioiden *J n (r) mukaan, *(0,r) = ]Tcn$n(r),

(7.29)

n

on seuraava ajasta riippuva funktio *(t,r) =

(7.30) n

Schrödingerin yhtälön ratkaisu annetulla alkuehdoUa. Sovelletaan edellä hahmoteltua formalismia sirontaprobleemaan. On siis löydettävä sopivia Schrödingerin yhtälön stationaarisia ratkaisuja, joiden mukaan sirontaprobleeman alkutilafunktio (7.24) voidaan kehittää yleistetyksi Fourierin sarjaksi tai integraahksi. Osoitetaan seuraavassa, että on olemassa tällaisia ns. sirontaratkaisuja.

7.5

S i r o n t a r a00 t k a i s u t , S c h r ö d i n g e r i n y h t ä l ö i n t e g r a a h y h t a l o1n a

1 ® "B i

Tarkastellaan edelleen sirontaprobleemaa efektiivisenä yksiliiukkasprobleemana, jonka Hamiltonin operaattori koordinaattiavaruudessa on H = - ^

2

+ V ( r ) ,

(7.31)

7.5 Sirontaratkaisut,

Schrödingerin yhtälö integraaliyhtälönä.

151

missä fj, on hiukkasen (redusoitu) massa ja potentiaali V(r) kuvaa voimakenttää sirontakeskuksen (origon) ympäri. Käsitellään ainoastaan elastista sirontaa (ei hiukkastuottoa). Useaan otteeseen aikaisemmin on oletettu, että voimilla on äärellinen kantama R. T ä m ä tarkoittaa, että potentiaali häviää identtisesti Ä-säteisen pallon ulkopuolella, V ( r ) = 0, | r j > R,

(7.32)

missä R on kiinteä parametri (mahdollisesti suuri luku jossakin mittakaavassa). Oletus (7.32) tehdään osittain mukavuussyistä; myöhemmin esitettävät laskut ovat helposti perusteltavissa, jos potentiaali on identtisesti nolla riittävän suurilla etäisyyksillä. Olisi myös mahdollista tulla toimeen lievemmällä asymptoottisella ehdolla, nimittäin oo

/

d r r 2 | F ( r ) | < oo

(7.33)

eli, oleellisesti Hm

r3V(\r\)

= 0.

T—>00

(7.34) '

Vaatimus (7.33) tai (vaihtoehtoisesti (7.34)) sulkee pois tärkeän Coulombin potentiaalin . . vakio y(P) = _ _

(7.35)

joka vaatii erikoiskäsittelyn sirontateoriassa. On myös tarpeellista rajoittaa potentiaalin mahdollista singulariteettia origossa; vaaditaan, että / d r r | V ( r ) | < oo Jo

(7.36)

Hm r2V{\r\)

(7.37)

eli, oleellisesti >0 +

= 0.

Ehtojen (7.33) j a (7.36) lisäksi täytyy vaatia, että potentiaali on (ainakin paloittain) säännöllinen ääreHisillä r:n arvoilla. 1 1

Potentiaalisironnan teoria on esitelty m a t e m a a t t i s e s t i melko tarkasti esim. teoksessa V. de Alfaro, T . Regge: Potential Scattering, N o r t h Holland (1965).

152

Luku 7

Sirontateoria

Tarkastellaan nyt stationaarista ominaisarvoyhtälöä, (

~CV2

+

= Ek*k(r)>

(7.38)

missä h2 k 2 Ek

=

(7.39)

Käytetään siis aaltovektoria k ominaisarvoparametrina yhtälössä (7.38), eikä energiaa E, joka on lausuttavissa fc:n avulla, kuten yhtälössä (7.39). Käyttämällä vielä lyhennettä U(r)

:= ^ V ( r )

(7.40)

kirjoitetaan yhtälö (7.38) seuraavasti, (V2 + k2)*k(r)

= U(r)Vk(r).

(7.41)

Yhtälöä (7.41) vastaava homogeeniyhtälö (U = 0) on (V 2 + fc2)$fc(r) = 0,

(7.42)

jonka sopivasti normitettu ratkaisu on P-43)

= < 5 ^ * * -

Kirjoitetaan nyt yhtälö (7.41) integraaliyhtälönä operaattorin V 2 + fe2 Greenin funktion G k avulla, *fc(') = * * ( ' ) + /

dVGfc(r,r')tf(r')*fe(r').

(7.44)

Yhtälön (7.44) määrittelemä funktio toteuttaa (ainakin muodollisesti) differentiaaHyhtälön (7.41), jos Greenin funktio toteuttaa yhtälön (V 2 + k2)Gk(r,r')

=

- r').

(7.45)

Operaattori V 2 j a distribuutio 6( 3 )(r—r') ovat translaatioinvariantteja, ts. muuttumattomia sijoituksissa r r -f a , r' r' -f a , missä a on mielivaltainen vakiovektori. Näin ollen on kohtuullista vaatia, että myös Gk(r,r') olisi translaatioinvariantti, eli Gk(r

+a,r'

+ cl) = Gk(r,r').

(7.46)

7.5 Sirontaratkaisut,

153

Schrödingerin yhtälö integraaliyhtälönä.

Yhtälön (7.46) ratkaisu on Gk(r,r')

= Gk(r-r'),

(7.47)

eli Greenin funktio G^ on ainoastaan avaruuskoordinaattivektorien erotuksen funktio (käytetään edelleen samaa funktiomerkintää Gfe yhtälön (7.47) oikealla puolella merkitsemistavan yksinkertaisuuden vuoksi). Greenin funktio on siis muotoa (7.47) olevan yhtälön (7.45) ratkaisu. Tiedetään yleisesti, että Greenin funktio määräytyy tarkasti vasta ongelman reunaehtojen kautta; t ä m ä seikka tulee myös kouriintuntuvasti esille ratkaistaessa (ainakin muodollisesti) yhtälöä (7.45) alla. Yhtälö (7.45) ratkaistaan helpoimmin Fourierin muunnoksen avulla, J d 3 r e ~ ^ r ( W 2 + k2)Gk{r

- 7»') = J d

-

r%

(7.48)

ts. j d3«e-^

tt

( V 2 + k2)Gk{u)

= 1.

(7.49)

Suorittamalla osittaisintegrointi kaavassa (7.49) saadaan (muodollisesti) (Jk2 - q2)Gk(q)

= 1,

(7.50)

missä Gk(q)

:= j

d3ue^uGk(u).

(7.51)

Todetaan ensin, että funktio G k ( q ) ei ole vektorimuuttujan k:n funktio, vaan riippuu ainoastaan k:n pituudesta Jatkossa muutetaan siten merkitsemistapaa hieman, Gk(q)

-

Ö„(q).

(7.52)

Kaavan (7.51) käänteiskaava on G k H

=

^ t f !

(7.53)

Todetaan nyt, että lauseke (7.50) määrittelee funktion Gk(q) kaikkialla paitsi pallopinnalla q2 = k2. Muodollisesti t ä m ä vaikeus voidaan ohittaa (ts. nollalla jakaminen ratkaistaessa Gk kaavan (7.50) avulla) lisäämällä imaginaariosan parametriin k, k —» k -f- ie-

(7.54)

Luku 7

154

Sirontateoria

Tarkastellaan siis funktiota

Lauseke (7.55) on hyvin määritelty kaikilla q:n arvoilla (kun e / 0). Otetaan siis lauseke (7.55) lähtökohdaksi ja tutkitaan myöhemmin rajankäyntiä e —> 0. Kaavan (7.53) mukaan on, 1

ei(lu

c

Lasketaan integraali (7.56) yksityiskohtaisesti alla, 1 /»oo p2tt p-k AqucosO Gk+Uu) = -—3 J / dqq 2 / d / d ö s i n ö — - — l (27r) Jo Jo Jo (« + ie)-* - q

(7.57)

Alkeellisten kulmaintegrointien jälkeen saadaan kaavasta (7.57), l Gk+Uu)

=

dgg2 eiqu rc 2 2 Jo (k + ie) — q

iqu

9 dq qeiqu dgge* "

f00

, .

,

4TT2U J_oo g 2 - (k + i e ) 2 '

Lasketaan nyt viimeinen integraali (7.58) residy-lauseen avulla. Jos parametri e > 0, suljetaan integroimistie integraalissa (7.58) ylemmässä puolitasossa ( Im q > 0), jonka jälkeen residylause antaa tulokseksi l

Gk+ie(u)

= - -

ei(k+ie)\u\

H

,

e>0.

(7.59)

Jos taas e < 0, suljetaan integroimistie alemmassa puohtasossa ( Im q < 0) ja saadaan vastaavasti 1 e-i(fc+«e)|ii| Gfc + i e (u) = - j j , 4-7T |li|

e<0.

(7.60)

Rajalla e —> 0 molemmat tulokset voidaan lausua seuraavasti, l

Gk±i0{u)

= -

4-7T

e±ik\u\

|M|

—

(

7

.

6

1

)

Merkin valinta Greenin funktion lausekkeessa (7.61) liittyy itse asiassa vastaavan yhtälön (7.44) ratkaisun asymptoottiseen reunaehtoon, kuten alla osoitetaan. Otetaan nyt Greenin funktioksi funktio G k + i o { u ) J a merkitään vastaava

integraaliyhtälönä.

155

yhtälön (7.44) ratkaisu \P^(T*):llä. Tämä ns. sirontaratkaisu yhtälön

toteuttaa siis

7.5 Sirontaratkaisut,

Schrödingerin yhtälö

= *fc(r) - ±

/

')$«(,')•

(7-62)

Tutkitaan nyt sirontaratkaisun asymptoottista käyttäytymistä suurilla r:n arvoilla. Koska potentiaali U poikkeaa nollasta vain Ä-säteisen pallon sisällä, on [r»'| < R efektiivisesti integraalissa (7.62), joten integraalissa voidaan käyttää approksimaatiota |r> — r'\

= =

\A—

2r- v'

I

r• r'

+

r12 -) = r-er.r'

+

0(

T

),

(7.63)

missä er on r : n suuntainen yksikkövektori. Merkitsemällä k' := ker

(7.64)

ja huomioimalla funktion r ) määritelmä (7.43) saadaan siten yhtälöstä (7.62) seuraava asymptoottinen lauseke kaavan (7.63) avulla, *(fc+V) = J ^

e i k

r

- £

/

+

7.65)

Huomautettakoon, että asymptoottinen lauseke (7.65) pätee myös lieveni ui ällä oletuksella kuin U(r) = 0, | r | > R; itse asiassa ehto (7.33) riittää. Merkitään vielä fk(Qr)

:= ( 2 7 r ) 3 / 2 { - i / d U ( r ' ) ^ \ r ' ) }

(7.66)

{k' = |fc|e P ). Suure joka siis on vektorin k itseisarvon k ja summan sekä myös suunnan er (eli Oy») funktio, on nimeltään sironta-amplitudi. Asymptoottinen kaava (7.65) saa siten muodon,

eli sirontaratkaisu koostuu suurilla |r|:n arvoilla tasoaallosta e l k ' r sekä (laajenevasta) palloaallosta elkr jr moduloitmia sironta-amphtudilla ffc(Qr ) Seuraavassa osoitetaan, että konstruoitua sirontaratkaisua voidaan käyttää sirontaongelman alkutilafunktion kehittämiseksi yleistetyksi Fourierin

Luku 7

156

Sirontateoria

integraaliksi. T ä m ä siis tarkoittaa, että Schrödingerin yhtälön (7.26) ratkaisu r ) alkuehdolla (7.27) voidaan konstruoida nimenomaan sirontaratkaisujen avulla. Sirontateorian oleelliset suureet (vaikutusala tms.) sisältyvät siis sirontaratkaisuihin

7.6

kuten kohta nähdään.

S i r o n t a o n g e l m a n Schrödingerin yhtälön ratkaisu ja sen o m i n a i s u u d e t

Palataan nyt ajasta riippuvaan Schrödingerin yhtälöön (7.26), jonka ratkaisu 9(t,r) etsitään alkuehdolla (7.27), ts. lim $ ( i , r ) = ^ ( O . r ) ,

(7.68)

missä funktio ^ ( O , r ) on gaussinen aaltopaketti (7.24). Todetaan ensin, yhtälöiden (7.21) j a (7.23) mukaisesti, että funktiolla -$^(0, r) on seuraava Fourierin integraaliesitys, *x(0,r) -

*i°o(r) =

J

funktio

(fc) on axmettu kaavassa (7.16) (vrt. myös (7.19) ja

d»Wg(fc)eA-f

(7.69)

missä taas (7,21)). Yhtälöiden (7.43) ja (7.62) mukaisesti on 1 I / 4 ih\V—7*'\ J ^ e ^

= *< fc +) (r) + l

f d ^ y - ^ U i r ' ) ^ ' ) .

(7.70)

Sijoittamalla kaava (7.70) yhtälöön (7.69) saadaan = /

d a f c # J ( f c ) « W ( r ) + Rj,

(7.71)

missä Rj on seuraava jäännöstermi

Rj = ±J

d^Hik)

j

dV^jlr(r')«i

+ )

(rO.

(7.72)

Halutaan nyt osoittaa, että jäännöstermi Rj on itse asiassa hyvin pieni, niin että se voidaan ilman oleellista virhettä j ä t t ä ä pois kaavan (7.71) oikealta puolelta. Todistus perustuu paitsi sirontaratkaisun ominaisuuksiin, myös siihen, että funktio (k) on gaussinen aaltopaketti (fc-avaruudessa), joka on keskittynyt pisteen k 0 ympäristöön. T ä m ä tarkoittaa sitä, että ainoastaan ne k:n arvot, jotka ovat lähellä k0:aa ovat tärkeitä integraalissa (7.72).

7.6 Sironi aongelman Schrödingerin yhtälön ratkaisuja

sen ominaisuudet 157

Nyt fe = k0 + (fe -

fco),

(7.73)

joten fe2

= fe2 + 2fe0-(fc - k0) + (fe - fe0)2 fe0 fe0

Kaavasta (7.74) seuraa, että

fe0 fe0 -

Ml

+

~

e u •«, ei,

.

«0

Kl)

=

(T.75)

&0 —. jfe0

Käyttämällä (edellä perusteltua) approksimaatiota (7.75) kaavassa (7.72) saadaan R j K

h i

d V

] S i *£>')

- r'i) - (7-76)

/

missä myös on approksimoitu

integraalimerkin alla. Yhtä-

lön (7.69) mukaan on (vrt. (7.21))

J

d 3 fe$£«(fc)exp (ifc.e f c o |r - r ' | ) =

^ f ^ e ^ r

- r'|).

(7.77)

M u t t a funktio on oleellisesti nollasta poikkeava vain pisteen r0 = (0,0, — zo) vähttömässä läheisyydessä (ts. eksponentiaalisesti pieni paitsi r*o:n välittömässäläheisyydessä), joten lauseke (7.77) on hyvin (eksponentiaalisesti) pieni kaikilla r:n ja r':n arvoilla. Näin ollen koko jäännöstermi (7.76) on hyvin pieni (voimien äärellisen kantaman takia r'-integrointi kaavassa (7.76) ei muuta suuruusluokkia). Siis hyvin suurella tarkkuudella on voimassa *£°o(r)« j dfe$£(fe)*W(r). (7.78)

$

Tässä palataan vielä siihen, miksi yllä on käytetty juuri sirontaratkaisua eikä esimerkiksi sitä toista ratkaisua ' ( r ) , joka saataisiin kaavasta

Luku 7

158

Sirontateoria

(7.44) valitsemalla Greeenin funktioksi Gk-io{r - f')- Yhtälö (7.78) on keskeinen tulos, joka perustuu sekä käytettyjen aaltopakettien ominaisuuksiin että funktion ominaisuuksiin, eli oleellisesti siihen, että funktio käyttäytyy asymptoottisesti kaavan (7.65) ilmoittamalla tavalla. Käyttämällä ratkaisua \ r ) ratkaisun sijasta ei olisi mahdollista johtaa yhtälön (7.78) kaltaista integraaliesitystä alkutila-aaltofunktiolle tntegraaliesitys (7.78) puolestaan mahdollistaa ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön ratkaisim esittämistä yksinkertaisella (ja sirontateorian kannalta tarkoituksenmukaisella) tavalla, kuten jo on todettu kappaleessa 1.7 yksiulotteisessa tapauksessa, j a kuten myös seuraavassa nähdään. Aikaisemmin on kiinnitetty sirontaprobleeman alkutila $ ^ ( 0 , r ) yhtälön (7.69) mukaisesti (vrt. (7.23) ja (7.24)). Ilman oleellista virhettä voidaan edellä esitetyn perusteella kiinnittää funktio seuraavasti, * 4 ( 0 , r ) = f d3fc$£«(fc)$j+V)-

(7.79)

Kaava (7.79) otetaan tästä lähtien alkutilafunktion ^ ( O , r) eksaktiksi määritelmäksi, joka siis hyvin suurella tarkkuudella yhtyy aikaisempiin määritelmiin (7.23), (7.24). Tulos (7.79) merkitsee itse asiassa, että Schrödingerin yhtälön (7.26) ratkaisu alkuehdolla (7.27) on seuraava (vrt. (7.28)-(7.30)), $(t,r) = J d 3 k ^ { r ) ^ ) { r ) e ~ ' J ^ ' t .

(7.80)

Aaltofunktion (7.80) laskemiseksi tarvitaan siis sirontaratkaisut jotka määräytyvät integraaliyhtälöstä (7.62) tai vaihtoehtoisesti Schrödingerin yhtälöstä (7.41) yhdessä asymptoottisten reunaehtojen (7.67) kanssa. On kuitenkin mahdollista saada tietoa funktion $(£, r) ominaisuuksista ilman yksityiskohtaista tietoa sirontaratkaisuista (r). Ensiarvoisen tärkeää aaltofunktion tulkinnan kannalta on t ä m ä n funktion asymptoottinen käyttäytyminen. Tähän kysymykseen paneudutaan seuraavassa. Tarkastellaan aaltofunktion $ ( f , r ) asymptoottista käyttäytymistä suurilla r : n arvoilla. Sijoittamalla sirontaratkaisun asymptoottinen lauseke (7.67) kaavaan (7.80) saadaan

*(l-r)

=

(dpi /

+

1 r eikr m2 8 ( 2 ^ J d W£W/fc(nr)—e-^-1.

(7.81)

7.6 Sirontaongelman

Schrödingerin yhtälön ratkaisuja

sen ominaisuudet

159

Käytetään tulosta fc2 = - f c 2 + 2k k0 + (fc - k0)2,

(7.82)

josta seuraa, että (A on mielivaltainen äärellinen kompleksiluku) exk

=e-Afeo-e2Afc'feo(l + 0(fe-fe0)2).

2

(7.83)

Sijoittamalla kaava (7.83) A:n arvolla —iht/2fi kaavaan (7.81) j a jättämällä ensimmäisessä approksimaatiossa pois jäännöstermi 0(k - fc0)2 saadaan iHk

o

1

r

/ d 3 fe$£° o (fc)exp

j

[ik.(r

hkn -

\

- ± t ) ) +

*sir(*,r"),

(7.84) missä

1 *sUt>r)

S

eikT

/"

ihk2 t

( 2 J

*

f7"85)

Kaavasta (7.84) seuraa edelleen (vrt. (7.21)),

n-0

+

= — . /J,

(7.86)

Ensimmäinen termi kaavassa (7.86) esittää (suurella tarkkuudella) alkutilaaaltopakettia, joka muotoaan m u u t t a m a t t a , m u t t a moduloituna tekijällä e x p l i i k k u u z-akselia pitkin "klassisella radalla" r = r0 + v0t.

(7.87)

Käyttämällä samalla tavalla approksimaatiota fc « fc0 lausekkeessa (7.85) saadaan (vrt. myös (7.75)), 9*(t,r)

*

=

d»fc^(fc)«p(ifc.(efcdr-«oO)

- «oO-

(7.88)

Muistetaan, että gaussinen aaltopaketti $ £ ° ( r ) on oleellisesti nollasta poikkeava vain pisteen r*o -— (0,0,— z 0 ) välittömässä läheisyydessä. Lauseke (7.88) sironneelle aallolle $ s i r (t, r ) edustaa siis funktiota, joka on oleellisesti nollasta poikkeava vain pallopinnalla r = -z0 + v0t

(7.89)

Luku 7 Sirontateoria

160

ja jonka, kulmariippuvuus sisältyy kokonaan sironta-amplitudiin f k g ( Q r ) Edellä annettu analyysi on hyvin suuressa määrin käyttänyt hyväksi funktion $T" (k) gaussissta luonnetta, jonka mukaan on voitu approksimoida k ~ fSo ko. Myös sirontaratkaisujen ominaisuudet (erityisesti asymptoottiset ominaisuudet) ovat olleet oleellisia yllä olevia tuloksia johdettaessa (vrt. vastaavat tarkastelut kappaleessa 1.7 yksiulotteisessa tapauksessa). On tietenkin mahdollista tarkastella yllä hahmoteltujen approksimaatioiden korjaustermejä. T ä m ä on vaivalloinen tehtävä, joka ei kuitenkaan tuo mitään u u t t a sirontateoriaan; joitakin "patologisia" erikoistilanteita lukuunottamatta edellä annettu analyysi riittää sirontateorian oleellisten käsitteiden (vaikutusalat) hallitsemiseksi.

7.7

Sironta-amplitudi ja vaikutusala

Palataan nyt aaltofunktion todennäköisyystulkintaan. Olkoon (yksihiukkassysteemin) aaltofunktio $ ( £ , r ) . Silloin vastaava todennäköisyystiheys p(t,r) on p(i,r) = |*(f,r)|2,

(7.90)

ja ns. todennäköisyysvirta j(t, r) on j(t,r) = -^:($*V$-(V$*)«), 2

(7.91)

missä p, on hiukkasen massa. ns. jatkuvuusyhtälö

Edellä määriteltyjä suureita sitoo toisiinsa

dtp

+ V - j { t , r ) = 0.

(7.92)

Todennäköisyys sille, että hiukkanen määrätyllä ajanhetkellä t sijaitsee annetussa (äärellisessä) tilavuusalkiossa AV, on PAV(t)=

f

d3rp{t,r).

(7.93)

Jav

Nyt halutaan käyttää em, todennäköisyystulkintaa sirontateoriassa, eri lopputilojen todennäköisyyksiä laskiessa. Efektiivisessä yksihiukkastapauksessa, jota koko a j a n on käsitelty, voidaan, silloin kun spin jätetään huomiotta, ainoastaan kysyä mikä on todennäköisyys sille, että hiukkanen siroaa tiettyyn (jollakin tarkkuudella määriteltyyn) suuntaan. T ä m ä on ekvivalentti seuraavan kysymyksenasettelun kanssa: Mikä on todennäköisyys sille, että hiukkanen jollakin riittävän suurella t:n arvolla (ja näin ollen riittävän kaukana

7.7 Sironta-amplitudi

ja

vaikutusala

161

Kuva 7.5. Katkaistu kartiomainen alue A F Ä 0 -säteisen pallon ulkopuolella summassa Cl — sirontakeskuksesta eli origosta) löytyy tilavuusalkiossa A F , joka on sopivan säteisen (Äo) pallonpinnan ulkopuolella oleva (katkaistu) kartiomainen alue, jonka suunta fl on annettu tarkkuudella Afl. (Ks. kuva 7.5.) Lopputilan todennäköisyys lasketaan nyt periaatteessa kaavan (7.93) avulla, missä $(£,?*) on sirontaprobleeman aaltofunktio (7.80) ja A F em. kartiomainen alue. Lasketaan ensin PAy(t):n aikaderivaatta kaavojen (7.93) ja (7.92) avulla, f d3rdtp{t,r) MF

d3r»V- j(t,r).

(7.94)

- P±v(t = 0) = - T dt f d 3 r V - j(t, r). Jo JAV

(7.95)

i-PAy(t)= at

= - / JAV

Integroimalla (7.94) välillä (0,i) saadaan PAV(t)

Todetaan ensin, että P \ v { t = 0) on häviävän pieni, koska alkutilan (t = 0) aaltofunktio on keskittynyt pisteen ro = (0, 0, — zo) ympäristöön. Rajoitutaan seuraavassa kysymyksenasettelussa niin, että ei tarkastella sirontaa etusuunnassa (0 = 0). Silloin on suurella tarkkuudella (ja kaukana origosta) tfsir(i,r),

(7.96)

= ~^(v? 5 * i r V* s i r - ( v s : i r ) * 5 i r ) .

(7.97)

ja i(t,r)

162

Luku 7 Sirontateoria

Koska nimenomaan tarvitaan todennäköisyysvirta j(t,r) lausekkeen suurilla r:n arvoilla riittää tarkastella funktion § s i r ( t , r ) asymptoottista lauseketta (7.88). Laskemalla vektorin j(t,r) komponenttien (asymptoottisia) arvoja lausekkeen (7.88) avulla todetaan, että r : ä ä vastaan kohtisuorat komponentit ovat r:ssä yhtä kertalukua pienempiä kuin radiaalinen komponentti jr = er • j. Näin ollen, kun käytetään divergenssiteoreemaa tilavuusintegraalin muuttamiseksi pinta-integraaliksi, saadaan (muistaen myös, että P&v(t = 0) ~ 0) P

A V

(t)^tdt[ R20dner-j{t,r)\T=Ro. Jo J An

(7.98)

Kaavan (7.98) johdossa on myös käytetty hyväksi sitä tosiasiaa, että häviää nopeasti äärettömyydessämielivaltaisellakiinteällä (vaikkakin suurella) t:n arvolla. Käyttämällä vihdoin funktion $ s ir (i, r ) eksplisittistä (asymptoottista) lauseketta (7.88) saadaan er-i(t,r)|r=JJo ~ ^ | * s i r | 2 = ^ o - ^ ^ f c ( e f /i ILQ O

e (

£ o - v0t)\2.

(7.99)

Todennäköisyys PAV(0 on siten kaavan (7.98) mukaan seuraava, PAV(«)W

/

J An

dn|/fc m

2

f Jo

dtvo\yr°(0,0,Ro-vot)\2.

(7.100)

Kaavassa (7.100) edellytetään, että aika t on riittävän suuri, j o t t a ^-integrointi kyseisessä kaavassa sisältäisi sen alueen (Rq — vot ~ — zo), missä funktio | Ko on oleellisesti nollasta poikkeava. Siis on oltava (7.101) Ilman oleellista virhettä voidaan nyt itse asiassa integroida kaikkien reaalisten arvojen yli ^-integraalissa (7.100), sillä funktio j on joka tapauksessa oleellisesti nollasta poikkeava vain sellaisilla f :n arvoilla, jotka toteuttavat approksimatiivisen yhtäläisyysmerkin kaavassa (7.101). Kaavan (7.100) lopullinen muoto on näin ollen seuraava, PAV(t)=

/ d f i | / f e (fi)| 2 d£|^:(0,0,£|2. J An J-oo ""O

(7.102)

M u t t a viimeinen integraali kaavassa (7.102) ei ole mitään muuta kuin kaavassa (7.9) määritelty vuotekijä F , joten vaikutusalan (7.11) määritelmän mukaisesti on, A
(7.103)

7.8 Sironta-amplitudi,

Bornin approksimaatio

163

ja L-S yhtälö

Symbolit A yllä liittyvät siihen, että on laskettu todennäköisyys sille, että hiukkanen siroaa suuntiin, jotka määräytyvät äärellisen välin AQ (= A0, Aip) mukaisesti. Laskemalla yhteen kaikki mahdolliset suunnat (ts. integroimalla koko avaruuskulman yh kaavassa (7.103)), saadaan ns. kokonaisvaikutusala *T=f d n \ j k (n)\ 2 . Jiir

(7.104)

Kokonaisvaikutusala riippuu siten vain siroavien hiukkasten energiasta li 2 k^/2p. Niin sanottu differentiaalinen vaikutusala dcr/dH määritellään funktiona, jonka integraali on äsken annettu kokonaisvaikutusala, siis (7.105) Differentiaalinen vaikutusala on siis sekä energian (fc0 = (0,0, fco)) e t t ä kulmamuuttujien O funktio. On siis (käyden läpi melkoisen koneiston) tultu siihen tulokseen, että kaikki oleellinen tieto sironnasta sisältyy sironta-amphtudiin /j^ (fi). T ä m ä sirontaamplitudi puolestaan määräytyy täysin sirontaratkaisusta $ ^ ( 7 ' ) , joka toteuttaa integraaliyhtälön (7.62), lausekkeen (7.66) avulla (vaihtoehtoisesti (7.67) avulla). Seuraavassa osoitetaan, miten sironta-amplitudi melko suoraviivaisesti voidaan laskea em. integraaliyhtälöstä.

7=8

Sironta-amplitudi, Bornin approksimaatio ja Lippmannin-Schwingerin yhtälö

Palataan vielä sirontaratkaisujen

integraaliyhtälöön (7.62), ts.

=
- r')U(r')¥+\r'),

(7.106)

missä Greenin funktio Gk+io(r - f ' ) on annettu kaavassa (7.61), ja funktio ^ k ( r ) o n t a s o a a l t o (7.43). On (tietyin edellytyksin) mahdollista ratkaista yhtälö (7.106) iteroimalla, ts. = *fe(»-) + / d3rGk+i0(r + f d3r' J

- r')U{r')Zk{r')

(7.107)

d3r"Gk+io(r-r')U(r')Gk+io(r'-r")U(v")^k{r")+....

On mahdollista osoittaa, että sarja (7.107) suppenee pallosymmetrisen potentiaalin tapauksessa (ts. U(r) riippuu ainoastaan |r|:stä) ainakin, jos ehtojen

164

Luku 7 Sirontateoria

(7.33) ja (7.36) lisäksi, potentiaali U on niin heikko, ettei —|J/|:lla ole sidottuja tiloja. Lausumalla sironta-amplitudi f j g f ä r ) kaavan (7.66) mukaisesti, ts. 4(fip)

=

-2*2J

d3v'^k,(r')U(r')^\r')

k1 =

(7.108)

ker,

ja sijoittamalla sarjaratkaisu (7.107) paikalle, saadaan vastaavasti potentiaalin U potenssien mukaan etenevä sarjakehitelmä sironta-amplitudille / j k ( f i r ) . T ä t ä sarjaa kutsutaan useimmiten Bornin sarjaksi (kuten usein myös sarjaa (7.107)). Tehokkaampi tapa laskea sironta-amplitudi on kuitenkin se, että tälle funktiolle johdetaan integraaliyhtälö suoraan yhtälöstä (7.106). Todetaan ensin, että sironta-ampilutudi on vektorin k funktio, sekä vektorin k' suunnan funktio, sillä (7.108) mukaan on voimassa k'2 = k2.

(7.109)

Määritellään nyt kahden riippumattoman vektorimuuttujan k ja k' funktio, ns. T-matriisielementti seuraavasti, T(k',k):=

J &3r$l,(r)U(r)^\r).

(7.110)

Silloin on, yhtälön (7.108) mukaan 4 ( % ) = -27T 2 T(fe',fc)| fe , 2=fc2 .

(7.111)

Johdetaan nyt yhtälö T-matriisielementille T(k', k) kertomalla yhtälö (7.106) (p):lläja integroimallar:n suhteen. Yhtälön (7.110) mukaan on silloin T{k',k)

=

J d3r$*k,{r)U{r)$k(r)

+

Hm J d3r^k,(r)U(r)

(7.112) J d3r'Gk+u(r

-

r')U(r')^\r').

Sijoittamalla vielä Greenin funktion Gk+ie integraaliesitys (7.56) kaavaan (7.112), ja vaihtamalla integroimisjärjestykset saadaan T(k',k)=U(k',k)+

hm f e-»o+ J

d

3 q ( 7 . (k + ieY — q^

1

1

3

)

7.8 Sironta-amplitudi,

Bornin approksimaatio

165

ja L-S yhtälö

missä U(k',k)

d3r$*k,{r)U{r)$k(r)

:=

J

=

j t f ! ^ ^ ' ^ n r )

s U{k - k').

(7.114)

Yhtälö (7.113), jota kutsutaan Lippmanin-Schwingerin yhtälöksi, on lineaarinen, ns. singulaarinen integraaliyhtälö T-matriisielementille T(k'. k), josta sironta-amplitudi voidaan laskea kaavan (7.111) mukaisesti. Suure U(k',k), joka esiintyy Lippmannin-Schvvingerin yhtälössä (7.113), on potentiaalin U ( r ) Fourierin muunnos U kaavan (7.114) mukaisesti, ja on näin ollen ainoastaan vektorimuuttujan k — k' funktio. Yhtälön (7.113) ratkaisu voidaan esittää U:n potenssien mukaan etenevänä sarjana soveltamalla tavanomaista iteraatiomenetelmää mainittuun yhtälöön. Siis,

Ensimmäisessä (Bornin) approksimaatiossa saadaan siten seuraava lauseke sironta-amplitudille /&(0) yhtälön (7.111) mukaisesti, ~ / ! ( % ' ) = -2^2U(k -

fc%w.

(7.116)

Erikoisesti, jos potentiaah on pallo symmetrinen (U = U(\r\)), voidaan kulmaintegroinnit Fourierin muunnoksessa suorittaa välittömästi,

^-•0 = »5?y0 T~r/,

./x

1

f°° i

11

\ sin(|fc - fe'|r)

( 17)

•

"

eli (7.118) Pallosymmetrisessä tapauksessa on siis sironta-amplitudi ensimmäisessä Bornin approksimaatiossa ainoastaan vektorien k ja k' välisen kulman funktio skalaarimuuttujan k2(= k'2) lisäksi. T ä m ä pitää yleisemminkin paikkansa pallosymmetrisissä tapauksissa jos vaan yhtälöllä (7.113) on yksikäsitteinen ratkaisu (niinkuin täytyy olla). Todistetaan t ä m ä lyhyesti seuraavassa. Olkoon R mielivaltainen kiertomatriisi (ts. RR( = 1, det R = +1). Tarkastellaan yhtälöä (7.113), missä riippumattomiksi muuttujiksi otetaan vektorit Rk j a Rk' (ts. yhtälössä (7.113) tehdään vaihto k Rk, k' —> Rk'), T(Rk,

Rk) = U(Rk', Rk) + lim f e->o+ J

d

( 7 . 1 (k + ie) - qz

1

9

)

Luku 7 Sirontateoria

166

Koska det R = 1, voidaan siirtyä uuteen integroimismuuttujaan Rq yhtälössä (7.119) m u u t t a m a t t a mittaa d 3 q. Koska vielä vektorin pituus säilyy muuttum a t t o m a n a kierrossa (q 2 = (Rq)2), saadaan T(RV,

Rk) = U(Rk>, Rk) + Um /

(7,120)

Potentiaalin pallosymmetria merkitsee vielä (vrt. (7.114) ja (7.117)), että U(Rk'.Rk)

= U(k',k),

Vk, k'.

(7.121)

Näin ollen

Funktio T(Rk', Äfc) toteuttaa siis saman yhtälön kuin T(fc', fc) joten (oletetmi yksikäsitteisyyden vuoksi) täytyy olla T{Rk',Rk)

= T(k',k),

(7.123)

mielivaltaisilla vektorimuuttujilla fc', fc ja kierrolla Ä. Toisin sanoen T(fc',fc) on kiertovariantti, ja voi täten riippua ainoastaan niistä (kolmesta) riippumattomasta skalaarimuuttujasta, jotka voidaan muodostaa kahdesta 3-vektorista, nimittäin k2,k'2,k-k'. Pallosymmetrisessä

(7.124)

tapauksessa on siis T(k',k)

= F(k2,k'2,k-k'),

(7.125)

missä funktio F on kolmen merkityn skalaarimuuttujan funktio. Palataan vielä hetkeksi ensimmäiseen Bornin approksimaatioon pallosymmetrisessä tapauksessa (7.118). Sovelluksena tarkastellaan Yukawan potentiaalia o

e-r/r

U(r) = U0

r

,

(7.126)

missä Uo ja r0 ovat vakioita (r 0 :aa sanotaan usein potentiaalin kantamaksi). Sijoittamalla lauseke (7.126) kaavaan (7.118), saadaan lyhyehkön laskun jälkeen (fc- fc' = kk' cosö), f

k ^ k ' ) = ( JL)2 +

k

y

= (i)2

+ 4

psin2e-

(7-127)

7.9 Osa-aaltoanalyysi

167

Yukawan potentiaalin tapauksessa on siis differentiaalinen vaikutusala seuraava ensimmäisessä Bornin approksimaatiossa, — = dO ((-L)2 +

r/

o

4fc2sin2|)2'

(7

^ •

128)

>

Jos annetaan kantaman r0 lausekkeessa (7.126) kasvaa r a j a t t a , saadaan Coulombin potentiaali (vakiolla Uo on silloin arvo (2/z/h 2 )- Ze2 /47re0), ja kaavasta (7.128) ainakin muodollisesti d
Z22e_4 (4ireo)2E2 sin 4 | '

(7.129)

imssa n2k2 E = h-±

(7.130)

Kaava (7.129), joka ei enää sisällä vakiota fi, on myös klassisen Rutherfordin sironnan tulos. Itse cisia-ssci tulos (7.129) on myös kvanttimekaanisen Coulombin sironnan tarkka tulos, joka on sinänsä ihmeteltävä asia. On huomattava, että kaava (7.129) on niin voimakkaasti singulaarinen pisteessä 0 — 0, että sen integraali fi:n yli (joka periaatteessa antaa kokonaisvaikutusalan (7.104) ja (7.105) mukaisesti) divergoi. T ä m ä on yhteydessä siihen, että Coulombin potentiaalin kantama (^o) on ääretön. Realistisissa fysikaalisissa tilanteissa toiset sähkövaraukset varjostavat aina sirottavaa varausta aiheuttaen voimien äärellisen kantaman, j a näin ollen äärellisen kokonaisvaikutusalan.

7.9

Osa-aaltoanalyysi

Edellisessä kappaleessa osoitettiin miten potentiaalin pallosymmetria johtaa siihen, e t t ä T-matriisielementti on ainoastaan kolmen skalaarimuuttujan funktio. Osoitetaan alla, että pallosymmetria johtaa oleellisiin yksinkertaistuksiin sirontateoriassa; useat yhtälöt muuttuvat efektiivisesti yksiulotteisiksi symmetrian ansiosta. Tällaisiin tuloksiin päädytään erottamalla radiaali- ja kulm a m u u t t u j a t (palloharmonisten funktioiden avulla) siten kuin jo luvussa 5 on hahmoteltu. Perehdytään yksityiskohtaisemmin tähän ns. osa-aaltoanalyysiin seuraavassa. Oletetaan siis nyt (ja jatkossa, ellei toisin mainita) että potentiaali on p allosymmetrinen, U = C(|r|).

(7.131)

168

Luku 7 Sirontateoria

Koko sirontateoria palautuu viime kädessä sirontaratkaisujen löön (7.62), ts.

yhtä-

= $ f e ( r ) -f J d 3 r ' G k + i 0 ( r - r')U(r')^\r'),

(7.132)

missä

Gk+io(r-r') =

-

-

e

y

(

7

.

1

3

4

)

Merkintä U(r') yhtälössä (7.132) sisältää oletetun pallosymmetrian, r' = |r'|. On ehkä ilmeistä, että yhtälön (7.132) ratkaisun täytyy olla invariantti kierroissa kiinteän vektorin k ympäri pallosymmetrian ansiosta. T ä m ä on tärkeä seikka jota myöhemmin tarvitaan, joten annetaan todistus alla. Olkoon Rjg kiertomatriisi (siis R^Rfc = 1 ja det R k = +1), joka esittää mielivaltaista kiertoa vektorin k ympäri, Rkk

= k.

(7.135)

Korvataan nyt m u u t t u j a r yhtälössä (7.132) muuttujalla = **(***)

+ J d\'Gk+l0(Rkr-v')U(r')^

Edelleen muuttujanvaihdoksella r" —> Rkr' ^ ( R

k

r ) = *k(Rkr)

+j

^r'Gk+i0(Rk(r

Rkr, \r').

(7.136)

saadaan (koska det Rk = - f l ) , -

r')U(r')^\Rkr'), (7.137)

missä on jo käytetty potentiaalin U pallosymmetriaa, ts. invarianssia kierroissa. Kaavan (7.134) mukaan on Gk+i0{R{r

- r ' ) ) = G k + i 0 ( r - r')

(7.138)

mielivaltaisen kierron R tapauksessa. Tasoaalto ei ole invariantti mielivaltaisissa kierroissa, m u t t a kylläkin kierroissa k-vektorin ympäri, sillä (7.133) antaa suoraviivaisesti tuloksen = *Ä-ifc(r) = $fc(r),

(7.139)

7.9

Osa-aaltoanalyysi

169

missä on hyödynnetty R^:n ominaisuutta (7.135). Yhtälöstä (7.137) saadaan siis lopullisesti, ^k](

R

kr)=

+/

d3r'Gk+io{r

- r')U(v)^\Rkr>).

(7.140)

Funktio ^ ^ ( R ^ r ) toteuttaa siis täsmälleen saman yhtälön kuin funktio \ £ ^ ( r » ) (vrt. (7.132)), joten (koska ratkaisun tulee olla yksikäsitteinen) on oltava *{+\Rkr)

= *j+>(r),

(7.141)

missä siis Rj^, on mielivaltainen kierto fe-vektorin ympäri. Erityisesti, valitsemalla (nyt j a jatkossa) r*-kordinaatiston z-akseli fe:n suuntaiseksi, todetaan kaavan (7.141) perusteella, että funktio ei riipu azimutaalikulmasta (f) vaan ainoastaan polaarikulmasta 9. Separoidaan nyt kulmamuuttujat kehittämällä funktion (7.141) palloharmonisten funktioiden mukaan eteneväksi sarjaksi, oo l = E E Rlm(k, r)Ylm(n), i=Qra=I

(7.142)

missä O tarkoittaa kulmamuuttujia 9 j a 0 ja funktiot Y/m on käsitelty luvussa 4, erikoisesti kappaleessa 4,4. Kertoimet Rim(k, r) sarjassa (7.142) m ä ä r ä t ä ä n (muodollisesti) funktioiden Yim ortonormitusehtojen avulla, J dQY; r o ,(Q)Y ( m (fi) = SvlSm.m

(7.143)

dfi = d(j> d6 sin 9 (vrt. (4.187) j a (4.188)). Kertomalla sarja (7.142) funktiolla Y{;m, ja integroimalla saadaan (7.143):n mukaisesti (kun vielä vaihdetaan l' —» l, m' —* m integroinnin jälkeen),

Rlm(k,r) = J

dny^(n)^+)(r).

(7.144)

Edelleen, koska sirontaratkaisu ei, äskeisen todistuksen mukaan, riipu kulmasta antaa (7.144) suoraviivaisesti tuloksen (vrt. (4.188), (4.199) j a (4-200)), Rim{k,r)

= 2ir6m0 £

d9 sm9Yl*0{n)V{+\r),

(7.145)

Luku 7 Sirontateoria

170 missä yhtälöiden (4.199) ja (4.200) mukaisesti

^

- 2 f e V ^ ^ 8 " ' ' ' Sf ^ ^ '

(7'146)

Tässä on käytetty ns. Rodriguesin kaavaa, „, .

(-1 )ldl(l-z*)1

Legendren polynomien Pi(z) määritelmänä. Radiaahnen funktio Ri0(k,r) sisältää nyt kaiken olennaisen informaation sironnasta. Tälle funktiolle voisi johtaa integraaliyhtälön suoraan yhtälöstä (7.132) integroimalla t ä m ä yhtälö kulmien yh kaavan (7.144) mukaisesti. Sen sijaan tarkastellaan t ä t ä integraaliyhtälöä vastaavaa differentiaaliyhtälöä (7.41), ts. (V 2 +

fc2)^+)(r)

= ^ ^ ( r ) .

(7.148)

Kertomalla yhtälö (7.148) funktiolla Y ^ f l ) ja integroimalla kulmamuuttujien fi = (6,<j)) yh saadaan suoraviivaisesti tutunnäköinen (vrt. kaavat (4.185), (4.186) ja luku 5) radiaahnen yhtälö funktiolle

Ri0(k,r),

On muistettava, että differentiaaliyhtälön (7.148) ratkaisu tettävä siten, että suuriUa r:n arvoiha on

on kiinni-

Huomautettakoon vielä, että koska funktio ei (pallosymmetrian takia) riipu azimutaalikulmasta (f>, on t ä m ä myös voimassa yhtälössä (7.150) esiintyvän sironta-amplitudin f^(O.) suhteen; t ä m ä funktio riippuu k:n (= (0,0, k)) lisäksi vain polaarikulmasta 9 (ts. vektorien k ja r välisestä kulmasta). Asymptoottinen ehto (7.150) on siis vielä rakennettava sisään yhtälön (7.149) ratkaisuihin. Koska potentiaali U, perusoletuksen mukaan, on nolla kun r ylittää tietyn äärellisen r a j a n (tai häviää riittävän nopeasti äärettömyydessä) on yhtälön (7.149) asymptoottinen muoto seuraava,

7.9

Osa-aaltoanalyysi

171

M u t t a yhtälö (7.151) on oleellisesti ns. Besselin pallofunktioiden ji ja n; differentiaaliyhtälö. Ratkaisu Rf^{k,r) on, R%{k,r)

= A(l, k)ji(kr)

+ B(l, k)ni(kr)

(7.152)

eli yhtälön (7.151) lineaarisesti riippumattomien ratkaisujen ji(kr) ja ni(kr) jokin (reaalinen) lineaariyhdistelmä. Palautetaan mieleen funktioiden jj(z) j a ni(z) yhteys Besselin funktioihin Jv(z), = ]ffzJi+l^z) nl(z) = ( - l ) l + \ [ ^ J _ l d z ) . 2z

(7.153)

Seuraavassa tarvitaan oikeastaan vain näiden funktioiden asymptoottisialausekkeita, eli n{z)

=

ni(z)

=

l s i n ( z - ^ ) ( l + 0(i)) l y i - -cos(s--£)(l + 0(-)). z l z

(7.154)

Lausekkeessa (7.152) esiintyvien parametrien A(l,k) ja B(l,k) sijasta käytetään nyt parametreina uusia funktioita C(l,k) j a fii(k), jotka määräytyvät seuraavasti, A(l,k) = B(l,k) =-C(l,

C(l,k)*m6i{k) k) cos 6i(k).

[

J

Yhdistämällä kaavat (7.152), (7.154) ja (7.155) saadaan R?o(b, r) = ^

^

sin {kr - y + *,(*)).

(7.156)

On erikoisesti muistettava, että funktio S[{k), jota kutsutaan vaihesiirroksi on reaahnen funktio potentiaalin U reaalisuuden takia, ja häviää identtisesti, jos potentiaali U on tasan nolla kaikkialla. Asymptoottista kaavaa (7.156) on vielä verrattava yhtälöstä (7.150) saatavaan tulokseen, eli r ÄS(t,r) = /

i k r e

dorro(n){^57? + —

1 / f e (

eikr n ) — } .

(7.157)

,s

Tasoaallon e ' r kehitelmä Legendren polynomien mukaan sarjaksi on tunnetusti (9 = k:n ja r:n välinen kulma) 00 l (7.158) £ikr = Y/{2l+l)i ji{kr)Pl{cos9).

Luku 7

172

Sirontateoria

Ensimmäinen integraali kaavassa (7.157) on siten helposti laskettavissa Legendren polynomien ortonormitusehtojen / + 1 dcos #P/'(cos #)JP;(COS 9) =

J-i

(7.159)

22 + 1

avulla. Käyttämällä Yjo:n lauseketta (7.146) saadaan

(27r) 3/2 1 121 + leöf

Kehittämällä sironta-amphtudi väksi sarjaksi,

.

2tt. .

1

(Q) Legendren polynomien mukaan etene-

00 2 /

= E (

+

(7.161)

i=o voidaan lausua toinen integraali kaavassa (7.157) kätevästi yllä esiintyvien ns. osa-amplitudien fi(k) avulla. Kaavojen (7.159) ja (7.146) mukaan on nimittäin, fiW

= -

dcos»4.(f!)P,(cos«)

TsmrTj

f

i

m

m

m

-

(7 152)

'

Kaiken kaikkiaan on siis

missä on jätetty merkitsemättä (epärelevantit) korjaustermit O ( ^ ) . Kaava (7.163), joka on siis melko suoraviivainen seuraus asymptoottisesta ehdosta (7.150) ja osa-aaltoamplitudien fi(k) määritelmästä (7.162), on vielä verrattava radiaalisen Schrödingerin yhtälön analyysistä saatuun asymptoottiseen kaavaan (7.156). Näiden kaavojen vertailu antaa välittömästi tulokseksi (verrataan sin(&r - y ) ja cos(kr - y ) kertoimet erikseen), että k f l

1+

W =tan5;(fc) ikh(k)

(7.164)

7.9

Osa-aaltoanalyysi

173

eli, fl(k)=yeiS^khmSl(k). K

(7.165)

Normalisaatioker t oimelle C(l, k) saadaan myös lauseke vaihesiirron 6i(k) avulla, 2Z + 1

)

C(l,k)=^-f

,

(7.166)

m u t t a tällä seikalla ei ole suurta merkitystä verrattuna tulokseen (7.165). Muistetaan, että vaihesiirto Si(k) on reaalinen potentiaalin reaalisuuden takia (ts. Hamiltonin operaattorin hermiittisyyden takia). T ä m ä seikka johtaa yhtälön (7.165) mukaisesti siihen, että osa-aalto fi(k) toteuttaa ehdon Im

=

(7.167)

joka on ns. elastinen unitaarisuusehto. T ä m ä on tärkeä epälineaarinen ehto sironta- amplitudille. Tarkastellaan alla yhtä tärkeää seurausta ehdosta (7.167) joka on nimeltään optinen teoreema. Todetaan ensin, että elastinen kokonaisvaikutusala ax on lausuttavissa sironta-amplitudin avulla yhtälön (7.104) mukaisesti, <7T = 2TT f Jo

d$ s m 0 | 4 , ( f i ) | 2 .

(7.168)

Sijoittamalla sarjakehitelmä (7.161) kaavaan (7.168) saadaan, ortonormitusehdon (7.159) avulla,

CTr

oo = 47r£(2/ l=o

+

l)|/ i (A ; )| 2 .

(7.169)

Toisaalta, tarkastelemalla sironta-amplitudin (7.161) imaginaariosaa etusuunnassa (9 = 0), saadaan (koska P;(l) = 1), oo Im fk{Q)\e=o =

+ 1) Im ft(k).

(7.170)

1=0

Ottamalla huomioon elastinen unitaarisuusehto (7.167), saadaan kaavojen (7.169) ja (7.170) seurauksena 47T
(7.171)

174

Luku 7

Sirontateoria

Edellä esitetty osa-aaltoanalyysi mahdollistaa useiden sirontaan liittyvien yhtälöiden redusoinnin yksiulotteisiksi ja on näin ollen hyvin tärkeä menetelmä sirontateoriassa. Tässä on voitu esittää vain osa-aaltoanalyysin alkeet; lisää aineistoa tästä (kuten potentiaalisironnasta yleensä) löytyy jo mainitusta teoksesta: V. de Alfaro, T. Regge: "Potential Scattering", jota suositellaan lämpimästi.

Luku 8

A j a s t a r i i p p u v a t ilmiöt 8.1

Kvanttimekaniikan dynamiikan kuvat, ajasta riippuva häiriöteoria

Etsitään vastausta yleiseen kysymykseen: Jos tiedetään että systeemi on tilassa hetkellä to, millä todennäköisyydellä on se siirtynyt tilaan \ip') myöhempänä ajanhetkenä t, kun tällä välin systeemin dynamiikkaa on ohjannut (yleensä ajasta riippuva) Hamiltonin operaattori .ff(i)? Häiröteoria on vain eräs, vaikkakin käytännössä tärkeä tapa vastata tähän kysymykseen. Aloitetaan esittelemällä vaihtoehtoisia esityksiä, eli kuvia kvanttimekaanisen systeemin aikariippuvuudelle (dynamiikalle). Tähän asti on käytetty Schrödingerin kuvaa, missä tilavektori riippuu ajasta yhtälön =

ih-^-Ms dt

Hsty) s

(8.1)

mukaisesti. (Indeksi "S" viittaa Schrödingerin kuvaan). Operaattorit (observaabelit), esim. paikka tai impulssi, eivät sen sijaan riipu ajasta (ellei niihin sisälly jokin systeemistä ulkopuolinen, eksplisiittisesti ajasta riippuva suure, ns. "ulkoinen kenttä"). Yhtälön (8.1) ratkaisu on lausuttavissa unitaarisen aikakehitysoperaattorin (kappale 2.3) avulla: (8.2)

Us(t,t0)

=

e-tit-t°)S*.

(8.3)

Observaalin Ä matriisielementti hetkellä t on

s(Mt)\MMt))s

= s(MQ)\Ul{t,0)ÄsUs(t,0)\MO))s-

(8.4)

Luku 8 Ajasta riippuvat

176 Määritellään nyt ajasta riippumattomat w

H

= \ m )

s

Heisenbergin kuvan

= ul(t,t0)\m)s = ^

ja ajasta riippuvat Heisenbergin kuvan

S s t

\m)

ilmiöt

tilavektorit s

(s.5>

operaattorit

AH(t) = Ul{t, O ) Ä s U s { t , 0) = e*SstÄse~

$Sst

(8.6)

(erityisesti H g — H s = H ) . Matriisielementtien arvot pysyvät muuttumattomina:

s(M*)\Äs\Mt))s = H^x\ÄH(t)\^)H. Heisenbergin kuvan operaattorit toteuttavat liikeyhtälöt, jotka seuraavat aikakehitysoperaattorin liikeyhtälöstä (2.39) : ih~Us(t,0)

= HUs{t,0)-,

(8.7)

r\

-ih~ul{t,0)

=

ul(t,0)H.

Näin ollen =

+ ÄsH)Us(t,

0) = [ÄH(t),H].

(8.8)

Liikeyhtälö (8.8) on sama kuin klassisen Hamiltonin mekaniikan liikeyhtälö jos kommutaat t ori / ili korvataan Poissonin sulkusuureella. Heisenbergin kuva on muodollisesti lähempänä klassista mekaniikkaa kuin Schrödingerin kuva. Schrödingerin kuvan kommutaatiosäännöt pysyvät voimassa Heisenbergin kuvan samanaikaisina kommutaattoreina, sillä jos [As,i?s] = iCs, niin [Äii{t),BH(t)] = iCnit). Sen sijaan konmiutaattorin [y£#(f), J?#(f')], t ^ t', laskeminen vaatii jo liikeyhtälön (8.8) ratkaisemista. Schrödingerin ja Heisenbergin kuvien lisäksi voidaan ottaa käyttöön kuva, missä sekä tilat että observaabelit riippuvat ajasta. Hamiltonin operaattori jaetaan kahteen osaan: H = H0 + V, missä ainakin hermiittinen Ho ei riipu ajasta, ja määritellään kuvan (eli Diracin kuvan) tilavektorit \m)i=^Sotm))s-

(8.9) vuorovaikutus-

(8.io)

Observaabelien muoto määräytyy taas siitä, että matriisielementtien arvot tiettynä ajanhetkenä ovat samat kaikissa kuvissa, eli Är(t) = e^HoiÄse-iHot.

(8.11)

8.1 Ajasta riippuva

177

häiriöteoria

Vuorovaikutuskuvan tilojen liikeyhtälöksi saadaan

m)i eli, kun Hs =

Hq

= ^Sot(-Ho + Hs)\m)s

(8-12)

+ Vs (H0s = Hoi), =

(8-13)

Tilavektorin aikakehitys on siis operaattorin Vi(t) määräämä. Observaabelille saadaan ih^p- = -H0E^SOTÄSE-^SOT di

+ E%SOTÄSE-TSOTHO

= [ÄAt), %].

(8.14)

T ä m ä yhtälö on samanmuotoinen kuin Heisenbergin kuvan liikeyhtälö, m u t t a koko Hamiltonin operaattorin sijasta esiintyy vain sen osa H 0 Tilojen liikeyhtälö (8.13) voidaan taas ratkaista muodollisesti liKt))j = £ i ( t , t o M t o ) > j .

(8-15)

Tässä esiintyvä vuorovaikutuskuvan aikakehitysoperaattori Ui(t, to) toteuttaa yht älön A

iti-Ui{t,to) ot

= VMUfato)

(8.16)

ja alkuehdon UI{t0,t0)

= l.

(8.17)

Yhtälöt (8.16) ja (8.17) voidaan yhdistää integraaliyhtälöksi Ui(t,t0)

= l - j

f

n Jto

(8.18)

T ä m ä n yhtälön etu on siinä, että se mahdollistaa aikakehitysoperaattorin, ja samalla tilavektorin, systemaattisen kehitelmän operaattorin Vj potenssien mukaan. Jos V (ja siis Vj) on verrannollinen pieneen parametriin g, saadaan näin systeemin aikakehitys lausutuksi g:n potenssisarjana, ja eri asteen approksimaatiot katkaisemalla sarja vastaavan lukumäärän termien jälkeen. Edellä mainittu kehitelmä saadaan ratkaisemalla (8.18) iteratiivisesti Uj{t,to)

=

1 - j f dhVjiih) + C-)2 f df a f 'dt2VI(ti)VI(t2) + ... Il Jto » Jto Jto ™ i rt ftx rtu-1 £ ( - 7 ) n / db / di 2 - • • / df n Vj(ix) • • -Vi(tn). (8.19) n Jtn J tn Jto 71-0

Luku 8 Ajasta riippuvat

178

ilmiöt

On tärkeää huomata, että jokaisessa termissä operaattorien Vi(ti) järjestys on niiden aika-argumenttien määräämä: ti > t2 > • • • > tn. Jos V on heikko häiriö, on Uf.n ensimmäinen approksimaatio (8.20)

n jto Jos systeemin alkutila on ^ ( f o ) } / = |tpi), on siis |tf,{t))j ~

- J f

n Jto

d i ! Vi{h)\
(8.21)

Todennäköisyysamplitudi sille, että systeemi hetkellä t on tilassa | i p f ) , on siis C f i = (
-

(
-

\ J*

toi(
(8.22)

Oletetaan, että sekä alku- että lopputila ovat H o ", n ominaistiloja: Ho\
=

ja todennäköisyysamplitudi on Cfi ~ % - x - j * dti(tpf\Vs(ti)\Vi)e^Ef~E^.

(8.23)

Todennäköisyys sille, että systeemi on ajassa t — to siirtynyt alkutilasta |;)) o n s"s Pfi(t,t0) =

f

(8.24)

t

T ä m ä tulos voidaan vaihtoehtoisesti johtaa kehittämällä Schrödingerin kuvan tilavektori H 0 :n ominaistilojen mukaan ( H 0 \ ( p n ) = En\.5 = E c n ( i ) c " ^ " t l v ~ ) 71 Sijoittamalla (8.25) S-kuvan liikeyhtälöön i f t j j \ i p ) s = H\ip)s

(8-25) saadaan

8.2 Kultainen

sääntö

179

ja ottamalla skalaaritulo (v?fc|:n kanssa vihdoin yhtälö ^

:lle:

= E

(8-26)

n

Jos nyt hetkellä t0 c n (t 0 ) = Sni ja Vs on heikko, voidaan yhtälöiden (8.26) oikealla puolella ensimmäisessä approksimaatiossa asettaa c n (t) ~ 5n{ j a integroida cf:rL yhtälö, jolloin cf(t) ~ 5fi - ~ £

6t{,pf\Vs(t)\Vi)e^Ef-E^,

(8.27)

missä termi Sfi varmistaa alkuehdon paikkansapitävyyden. kuin tulos (8.23) koska c

f

( t ) =

( v

f

m ) )

s

^

E

t

t

=

( < p t \ e - $

B o t

w ) ) i ' *

E t t

=

M

(8.27) on sama

m

)

i

=

c

m

.

Vaikkakin t ä m ä johto on yksinkertainen ja suoraviivainen, on vuorovaikutuskuva kuitenkin käyttökelpoisempi kun tulokset halutaan yleistää.

8.2

Siirtymät l o p p u t i l a j a t k u m o o n . K u l t a i n e n sääntö

Usein joudutaan tarkastelemaan siirtymiä, joissa lopputila kuuluu systeemin energian jatkuvaan spektriin. Esimerkkeinä mainittakoon radioaktiivinen hajoaminen j a viritetyn tilan hajoaminen, missä lopputila koostuu vapaasti liikkuvasta hiukkasesta (a-, /3-hiukkanen, fotoni) ja rekyylin saaneesta hajonneesta ytimestä tai atomista. Toinen esimerkki on sirontaprosessi, missä sekä alku- ja lopputila (vapaasti liikkuvia hiukkasia) ovat kuvattavissa jatkuvan spektrin ominaistilojen avulla. Tällöin lopputila ei määräydy yksikäsitteisesti energian arvosta E, vaan joudutaan laskemaan yhteen siirtymätodemiäköisyydet kaikkiin tiloihin, joiden energia on välillä ( E , E + d E ) . Otetaan käyttöön tilojen tilojen tiheysfunktio p(E); p(E)dE ilmaisee niiden tilojen lukumäärää, joiden energia sijaitsee välillä (E, E + di?) (älä sotke tiheysfunktiota tiheysmatriisiin p\). Lasketaan esimerkkinä vapaan, spinittömän hiukkasen (massa m) tilojen tiheysfunktio. J o t t a äärettömyyksistä vältyttäisiin, korvataan avaruus R 3 suurella kuutiolla, jonka särmän pituus on. L (ja tilavuus siis V = L3), ja jonka reunoille astetaan periodiset reunaehdot tp(x + L, y + L, z + L)

=

ip(x, y, z).

(8.28)

180

Luku 8 Ajasta riippuvat

ilmiöt

Energian ominaisfunktiot ja -arvot tällöin lfrfc(») = ^

i

k

E(k) = missä aaltovektori k saa arvot ,2f 2i 2jt , fc = ( — nx, — ny, — n z ) \

X

(8.29) l

(

8

rii = 0, ±1, ±2, • • •;

.

3

0

i = x,y,z.

)

(8.31)

(Periodisten reunaehtojen etu on siinä, että impulssin säilymislaki j ä ä voimaan.) Energian ominaistiloja kuvaa siis vektori fc, jonka sallitut arvot muodostavat kuutiollisen hilan fc-avaruudessa. Hilan alkeiskopin tilavuus on ( ^ f ) 3 = joten tilojen tiheys fe-avaruudessa on j^ys- Ne tilat, joiden energia on E, sijaitsevat fc-avaruudessa pallokuorella, jonka säde on jfc^j = \f2mEjt\2. Niiden tilojen lukumäärä, joiden energia on välillä E, E + AE on siis yhtä kuin |fej5|- ja |fc# + A#|-säteisten pallonkuorien välille jäävän alueen tilavuus kertaa tilojen tiheys ^-avaruudessa, eli p(E)AE

= 4n\kE\2(\kE+AE\

= 47r- (

- \kE\)-

2

™ f - J i ^ A ä .

Saadaan siis p(E) = C-VVE,

(8.32)

missä vakion C arvo on 6

~

4*71"2

( 8

h*

"

3 3 )

Jos hiukkasella spin s, on jokainen fc-tila (2s + l)-kertaa degeneroitunut, joten Ps{E)

= {2s + 1)CVVE.

(8.34)

(Siirryttäessä takaisin rajoittamattomaan avaruuteen, eli kun otetaan rajaarvo V —• oo, suureella y p , eli tilojen tiheydellä tilavuusyksikössä, on hyvin määritelty r a j a ) . Palataan siirtymätodennäköisyyksien laskemiseen. Ajasta riippuvan häiriöteorian 1. kertaluvun kaavan (8.24) mukaisesti keskimääräinen siirtymätodennäköisyys aikayksikössä, eli siirtymänopeus johonkin lopputilaan, jonka energia on välillä A E, on W

=

\ \ J-

h2T

d EfP(Ef)Pfi(t,t0)

(8.4)

j a e

/ Jae

dEfp{Ef)\

f dh^ flV sih^ eU^ f- ^ l JT0

2

,

8.2 Kultainen

sääntö

181

sin 2 £iT

-3JT/T -2IT/R -N/T

N/T

2RC/T

3N[X

Kuva 8.1. missä T — t - toTarkastellaan nyt tärkeää tapausta missä Vs ei riipu ajasta. Tällöin integraali ti:n yli yhtälössä (8.35) voidaan suorittaa eksplisiittisesti; käyttäen lyhennettä flfi = j ( E f — Ei) saadaan dtleinfih = I t,0

—(eiQfit «fi/i

— ei0fit°)

= — f^/i

sin

nfiT ^ 2

(8.36)

eli

w

dE

= hL ^

4(sin^)2 \(
(8.37)

Tuloksessa (8.37) esiintyy funktio ^ " q s j ^ » (O = fi/i/2), jonka käyttäytymistä fi:n funktona tarkastellaan lähemmin (Kuva 8.1). Kun T kasvaa, nousee ti — 0:ssa olevan maksimin arvo kuten T, kun taas keskipiikin leveys j a sivumaksimien korkeus ovat kääntäen verrannollisia T:hen. Käyttäen tulosta da; s m f = Tr voidaankin kirjoittaa hm r-00

7-+-— (Q 2 T)

= iro(U). v '

(8.38)

Tarkastellessa siirtymiä hyvin pitkän ajanjakson yli saadaan siis siirtymänopeudelle lauseke (ottaen huomioon S ( ^ ) = 2hS(Ef - Ei)), 2 TT W =

Tp(Ei)\MVs\
2

,

(8.39)