Introduccion A La Logica Algebraica

Introducci´on a la L´ogica Algebraica

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Renato Lewin Pontificia Universidad Cat´olica de Chile

Introducci´ on Los cursos universitarios de matem´atica suelen comenzar con una unidad de L´ogica, habitualmente dentro de un curso denominado Introducci´ on al Algebra o algo similar. En esta unidad se estudia una suerte de traducci´on entre el castellano y un idioma, que algunos llaman lenguaje matem´atico, que contiene s´ımbolos como ¬, ∨, ∧, → u otros. Enseguida se introduce las llamadas tablas de verdad, se aprende a manipularlas, se define conceptos como tautolog´ıa y contradicci´on, con suerte se explica los conceptos de consecuencia l´ ogica o de consistencia. Luego se hace un desarrollo, que podr´ıamos llamar axiom´atico, en el que a partir de unas pocas tautolog´ıas y unas reglas que nos permiten reemplazar ciertos pedazos de una oraci´on por otras expresiones que son equivalentes, podemos pasar de unas tautolog´ıas a otras. En el mejor de los casos, se nos hace ver que este procedimiento y el de las tablas de verdad son equivalentes. Todo lo anterior se llama L´ ogica Proposi´ltimo, se ampl´ıa el idioma y se introducen variables, cional Cl´asica. Por u predicados, cuantificadores, etc., se extiende la traducci´on a estos y se hace algunas manipulaciones parecidas a las anteriores. A esto se llama l´ogica de predicados o l´ogica de primer orden. Esto completa la unidad. Entonces el curso comienza otro tema, habitualmente Teor´ıa de Conjuntos, en el que ∗

Estas Notas fueron preparadas para un curso dictado con el patrocinio de FOMEC en la Universidad Nacional de La Plata, Rep´ ublica Argentina, en noviembre de 1999. La presente versi´on revisada se us´o como material de apoyo para el cursillo Introducci´ on a L´ ogica Algebraica dictado por el autor en las XIV Jornadas de Matem´atica de la Zona Sur, Lican Ray, Chile, en abril de 2000.

1

se estudian las propiedades elementales de los conjuntos, uniones, intersecciones, subconjuntos, relaciones y funciones y dem´as. No se percibe ninguna teor´ıa sino m´as bien otro poco de “lenguaje matem´atico”. Nuevamente, si tenemos suerte, se nos hace notar la similitud entre los conectivos ¬, ∨, ∧ y las operaciones conjuntistas c , ∪, ∩, de complemento, uni´on e intersecci´on, respectivamente. El programa del curso prosigue con diversos temas en los que no se percibe la menor relaci´on con esa “L´ogica” y esa “Teor´ıa de Conjuntos”, salvo por el uso de los s´ımbolos que usamos como una taquigraf´ıa que nos permite ahorrar unas pocas palabras. Con todo, las personas m´as atentas no pueden dejar de percibir ciertas analog´ıas entre esta manipulaci´on simb´olica y las operaciones aritm´eticas. Por ejemplo, reemplazando los s´ımbolos adecuadamente, vemos que

p∧q ↔ q∧p A∪B = B∪A x · y = y · x, o p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) x · (y + z) = (x · y) + (x · z) , son instancias de reglas muy similares, las que bien podemos llamar conmutatividad y distributividad, respectivamente. Por supuesto, haciendo el mismo reemplazo, hay otras que no se cumplen, por ejemplo, mientras p ∨ p ↔ p es una tautolog´ıa, su identidad asociada x + x = x se cumple s´olo si x = 0. Podemos as´ı pensar que esta relaci´on entre oraciones tautol´ogicamente equivalentes e identidadesaritm´eticas genera un ´algebra diferente, que comparte algunas propiedades con aquella de los n´ umeros enteros, pero que difiere en otras. ¿Qu´e estructura tiene esta ´algebra? ?Se le puede asociar una clase de ´algebras abstractas como similar a los anillos, grupos, etc.? Estas son algunas de las motivaciones iniciales de la l´ogica algebraica. 2

Existe una retroalimentaci´on entre la l´ogica y la matem´atica. Aunque lamentablemente nuestro curso introductorio de ´algebra no lo puso de manifiesto, cuando demostramos un teorema estamos usando esas mismas reglas l´ogicas que aprendimos fuera de contexto. Por su parte, las analog´ıas se˜ naladas antes nos inducen a pensar que hay m´etodos matem´aticos que pueden ser aplicados a la l´ogica. Antes de proseguir y dado que lo que aprendimos, si no err´oneo, es muy insuficiente, debemos ponernos de acuerdo en un punto. ¿Qu´e es la l´ogica?

1

L´ ogica

Cuando deseamos establecer una verdad, cuando queremos convencer a alguien de que nuestra posici´on o ideas son las correctas, recurrimos a un razonamiento o bien presentamos evidencia que respalda nuestras opiniones. Este razonamiento o evidencia presentada con el prop´osito de demostrar algo es un argumento. Por supuesto hay buenos y malos argumentos, en t´erminos muy vagos, la l´ogica es la ciencia que trata de distinguir los buenos argumentos de los malos argumentos. La vaguedad de la definici´on anterior estriba en que no hemos dicho qu´e entendemos por “buen argumento” o “mal argumento”, de hecho, ni siquiera hemos dicho en forma precisa qu´e es un argumento. ´ltima de ellas se Un argumento es un conjunto de una o m´as oraciones. La u denomina conclusi´on, las anteriores se llaman premisas. Intuitivamente, las premisas son la evidencia o razones que nos deben convencer de la veracidad de la conclusi´on. El argumento es la concatenaci´on de las primeras con la u ´ltima.   Oraci´on 1  Oraci´on 2 Premisas  ..  .

Conclusi´on

¿Qu´e caracteriza a un “buen” argumento? No se trata aqu´ı de definir argumentos convincentes en el sentido de la ret´orica, sino aquellos que garanticen 3

que sus conclusiones deben ser aceptadas cuando todas las premisas han sido aceptadas. Un argumento es correcto si en toda situaci´on en la que sus premisas son verdaderas, su conclusi´on tambi´en lo es. En otras palabras, un argumento no puede producir una conclusi´on falsa a partir de premisas verdaderas. La l´ogica es el estudio de los argumentos correctos. Ni las premisas ni la conclusi´on tienen que ser verdaderas para que el argumento sea correcto. Es s´olo que si las premisas son verdaderas, tambi´en debe serlo la conclusi´on. Se puede por lo tanto tener conclusiones falsas usando argumentos correct´ısimos. Ejemplos: 1.

Todos los hombres son mortales. S´ocrates es hombre. Luego S´ocrates es mortal.

2.

Si S´ocrates es hombre, entonces S´ocrates es mortal. S´ocrates es hombre. Luego S´ocrates es mortal.

3.

Juan ir´a al cine o dormir´a. Juan ir´a al cine. Luego Juan no dormir´a.

4.

Algunos hombres son mortales. Algunos mortales son mam´ıferos. Luego algunos hombres son mam´ıferos.

5. 6.

7.

T´ u ya no me quieres como antes. Somos o no somos. Ese perro ladra. Ese perro no ladra. Luego algunos hombres son mam´ıferos. 4

Los ejemplos 5 y 6 son un caso extremo de argumento en el que no hay premisas, s´olo conclusi´on. Los ejemplos 1, 2, 6 y 7 son argumentos correctos. El 6 es correcto simplemente porque su conclusi´on no puede ser falsa. De hecho, podemos agregar todas las premisas que queramos y el argumento seguir´a siendo correcto. El u ´ltimo es correcto porque no es posible que las dos premisas sean verdaderas. Los ejemplos 1 y 2 los analizaremos m´as adelante. La evidencia presentada por las premisas no es suficiente para afirmar la conclusi´on de los argumentos 3, 4 y 5. El argumento 3 es incorrecto porque obviamente Juan podr´ıa ir al cine y dormir all´ı. Para 4, si reemplazamos la palabra “mam´ıfero” por “cuadr´ upedo”, vemos que el argumento obtenido es “el mismo” (ya volveremos sobre esto en la pr´oxima secci´on), si acepto uno como correcto, el otro tambi´en debe serlo. Sin embargo las premisas de la segunda versi´on son verdaderas y la conclusi´on falsa. Debemos desechar este argumento por incorrecto. No es necesario hacer notar que 5 no es un buen argumento, sin embargo, es uno de los m´as usados en la vida cotidiana.

1.1

Estructura L´ ogica de los Argumentos

Intuitivamente, la correcci´on de un argumento depende m´as de la forma en que se relacionan las oraciones que los componen que del tema del que se est´a hablando de tal manera que si alguien no conoce el significado de una palabra, igual debe poder determinar la correcci´on del argumento. Por ejemplo, 8.

Todas las flores son rojas. Esta margarita es una flor. Luego esta margarita es roja.

es el mismo argumento que 1. en el sentido de tener la misma forma o estructura l´ogica. Si aceptamos la correcci´on del primero, debemos aceptar la del segundo, obs´ervese sin embargo, que en este la conclusi´on es falsa. De alguna manera, el contenido de lo que se dice m´as bien oculta que esclarece esta estructura. Por ejemplo, consideremos 9.

Todos los flum son pran. Frafr´a es un flum. Luego Frafr´a es un pran. 5

Este es el mismo argumento que 1 y que 8 a pesar de que no sabemos sobre qu´e se est´a hablando. Demos un paso m´as y usemos s´olo variables: 10.

Todos los A son B. c es un A. Luego c es un B.

El u ´ltimo paso es escribir estas oraciones en el lenguaje de primer orden que aprendimos en nuestro curso de Introducci´on al Algebra. 11.

∀x(A(x) → B(x) ) A(c) B(c)

La introducci´on de lenguajes m´as y m´as formales son una necesidad para obtener el esqueleto del argumento. Representan distintos grados de abstracci´on que nos permiten tambi´en eliminar las ambig¨ uedades de los lenguajes naturales. En el caso de nuestro ejemplo 1 (y por lo tanto tambi´en 8, 9, 10, y 11) visto como equivalente al argumento 11, podemos aplicar una sencilla herramienta matem´atica, los diagramas de Venn, (¡probablemente aprendidos en la unidad de Teor´ıa de Conjuntos!), para verificar que se trata de un argumento correcto. Dado un universo U, la primera premisa nos dice que el conjunto de los objetos de U determinado por el predicado A(x) es un subconjunto de aquel determinado por el predicado B(x). La segunda premisa nos dice que el objeto denotado por c pertenece al primero de estos conjuntos, luego debe pertenecer al segundo, que es lo que afirma la conclusi´on. Por lo tanto el argumento es correcto, ya que esos conjuntos son abstracciones de todas las posibles situaciones en las que queremos evaluar la verdad o falsedad de las oraciones involucradas. Podemos incluso escribirlo en la terminolog´ıa de los conjuntos. 12.

A⊆B c∈A c∈B

El caso del argumento 2 es distinto. Formaliz´andolo se traduce en el argumento conocido como Modus Ponens (M.P.). 6

13.

p → q p q

La correcci´on de este argumento puede considerarse como la definici´on de lo que en l´ogica cl´asica se entiende por implicaci´on. Si es cierto que una oraci´on implica a otra y que la primera es verdadera, entonces la segunda tambi´en debe serlo. Obs´ervese que nada se dice si la primera oraci´on es falsa, no interesa. Los argumentos 1 y 2 son correctos por motivos muy distintos. En el primero, se habla de objetos de un cierto contexto o universo del discurso, con ciertas propiedades (ser hombre, ser mortal, ser flor, ser roja, ser flum y ser pran, todas ellas simbolizadas por A(x) o por B(x)). La correcci´on del argumento se debe a c´omo est´an relacionadas entre s´ı esos objetos y sus propiedades. En el segundo ejemplo, se relacionan oraciones por medio de conectivos l´ogicos, la correcci´on del argumento se debe a la particular estructura de los conectivos que aparecen en esas oraciones y reflejan lo que entendemos por ellos. Son la consecuencia directa de c´omo los definimos y su significado est´a dado, o m´as bien resumido, en las tablas de verdad. Los primeros corresponden a la l´ogica de predicados, los segundos a la l´ogica proposicional. En este curso nos concentraremos en la segunda, el estudio de la estructura de conectivos de los argumentos.

1.2

Consecuencia L´ ogica

La relaci´on que se establece entre las premisas Γ = {ϕ1 , ϕ2 , . . . } y la conclusi´on ψ de un argumento correcto se denomina consecuencia l´ogica y la denotamos Γ  ψ. Tambi´en decimos que ψ es consecuencia l´ogica de Γ.

1.3

La L´ ogica y las L´ogicas

¿Hay argumentos que son correctos en un contexto pero no en otro?, en otras palabras, ¿Existe una u ´nica l´ogica o hay l´ogicas alternativas? En un sentido bastante trivial, hemos visto que hay argumentos como el Ejemplo 1, que es correcto en el contexto de la l´ogica de predicados pero no lo es 7

dentro de la l´ogica proposicional. En este caso, debemos contar con un lenguaje que nos permita expresar la estructura del argumento y el lenguaje del c´alculo proposicional cl´asico es insuficiente para ello. Podemos pensar en otras l´ogicas, obtenidas de la L´ogica Proposicional Cl´asica, (en adelante LC), ampliando el lenguaje, no ya con cuantificadores y s´imbolos de predicado, etc., sino con otros conectivos. Un ejemplo bastante conocido es el de las l´ogicas modales. Estas se obtienen agregando f´ormulas 2ϕ, cuya interpretaci´on es ϕ es necesariamente verdadera. Es razonable pensar que en esta l´ogica, por ejemplo, 2ϕ |= ϕ debe ser un argumento correcto: si suponemos que una oraci´on es necesariamente verdadera, entonces ella debe ser verdadera. Podemos pensar en otros conectivos, los que en principio, dar´an origen a otras l´ogicas. (Obs´ervese que no es del todo claro que la l´ogica modal reci´en insinuada sea distinta de la LC, bien podr´ıa ser que el nuevo conectivo se pudiera definir dentro del lenguaje de la LC y luego probar sus propiedades dentro de esa l´ogica). Las l´ogicas as´ı obtenidas son extensiones m´as o menos naturales de la LC. Sin embargo hay otras cuyas diferencias con ´esta las convierten en l´ogicas alternativas o no–est´andar. Hay algunas que se obtienen dando una interpretaci´on distinta de la usual a los conectivos. Por ejemplo, el condicional ϕ → ψ tiene en la LC una interpretaci´on material, (todos los conectivos la tienen), es decir, su valor de verdad depende funcionalmente de los valores de verdad de ϕ y de ψ, y no de otras consideraciones. Esto es muy insatisfactorio fuera del contexto de la matem´atica, por ejemplo, nos vemos obligados a aceptar que la oraci´on: “ Si 2 + 2 = 5, entonces el cielo es azul”, es verdadera, ya que su antecedente es falso. El sentido com´ un nos dir´a que esta oraci´on no es ni verdadera ni falsa, sino m´as bien, un sinsentido. Han sido propuestas varias l´ogicas en las que, para afirmar el condicional, se exige no los meros valores de verdad del antecedente y del consecuente, sino cierta relaci´on entre ellos. Algunas de ´estas reciben el nombre de l´ogicas relevantes. Algo similar sucede con distintas interpretaciones de la negaci´on. Hay otras l´ogicas en las que se cambia los posibles significados de las oraciones ampliando el espectro de valores de verdad que ´estas pueden tomar, es decir, adem´as de verdadero y falso, puede haber uno o m´as valores “intermedios”, por ejemplo “indeterminado”. Esto da origen a l´ogicas llamadas multi–valuadas 8

Sin intentar agotar la gama de posibles l´ogicas distintas de la LC, vemos que hay muchas alternativas. Esto nos indica que para comprender la L´ogica se debe estudiar diversas l´ogicas.

1.4

L´ ogica Matem´ atica

Determinar si Γ  ϕ es pr´acticamente imposible: tendr´ıamos que ser capaces de verificar si la conclusi´on del argumento es verdadera en todas las instancias (o interpretaciones posibles de las palabras que componen el argumento) en las que las premisas son verdaderas. Como dijimos en la introducci´on, el estudiante avispado nota que en sus estudios de l´ogica surge naturalmente una suerte de ´algebra, o manipulaci´on simb´olica. Vimos tambi´en c´omo puede usarse los diagramas de Venn para demostrar la correcci´on de cierto tipo de argumentos. Por otra parte, hicimos notar que la relaci´on de consecuencia l´ogica depende de la estructura sint´actica de las oraciones que componen un argumento y no de su significado. Resulta natural entonces pensar que se puede estudiar este concepto usando herramientas matem´aticas. La l´ogica matem´atica no es un tipo de l´ogica como los mencionados m´as arriba, sino la disciplina que (entre otras cosas) desarrolla modelos matem´aticos del concepto de consecuencia l´ogica, cualquiera sea la l´ogica involucrada. Obviamente, no hay un u ´nico camino para hacerlo. Nosotros usaremos m´etodos conocidos como estilo Hilbert, los que, grosso modo, significan emplear el m´etodo axiom´atico.

1.5

L´ ogicas y Sistemas Deductivos

En esta secci´on definiremos la relaci´on de derivabilidad Γ ` ψ entre conjuntos de f´ormulas y f´ormulas, que refleje las propiedades de la relaci´on de consecuencia l´ogica en el siguiente sentido: • Debe ser una relaci´on sint´actica, es decir, debe depender s´olo de la forma ´ogica de las oraciones y no de su significado, esta condici´on es la que facilita la aplicaci´on de m´etodos matem´aticos. • Debe ser correcta, es decir, si Γ ` ψ, entonces Γ  ψ. No debe ser posible demostrar cosas que no son consecuencia l´ogica de la premisas. 9

• Debe ser completa, o sea, si Γ  ψ, entonces Γ ` ψ. Esta es la propiedad que andamos buscando, ser capaces de demostrar sint´acticamente a partir de Γ , todas sus consecuencias l´ogicas. Como hicimos notar m´as arriba, introducir un lenguaje formalizado es imprescindible para establecer la estructura l´ogica de las oraciones y argumentos. Es necesaria tambi´en para eliminar las ambiguedades de los lenguajes naturales. Resulta tambi´en u ´til para aplicarles herramientas matem´aticas. Un lenguaje proposicional, o simplemente un lenguaje, es un conjunto CL de s´ımbolos llamados conectivos l´ogicos. Cada conectivo est´a asociado con un n´ umero natural, su aridad (o rango). Estos definen el tipo de similaridad del lenguaje, una funci´on ρ : L −→ ω, que en adelante subentenderemos sin mayor menci´on. Las constantes son consideradas conectivos de aridad cero. El conjunto FmL de las f´ormulas de CL se define recursivamente de la manera usual a partir de los conectivos l´ogicos y de un conjunto de variables proposicionales P = {pj : j ∈ ω} aplicando un n´ umero finito de las reglas siguientes: • P ⊆ FmL . • Si α ∈ L es un conectivo n–ario y ϕ1 , . . . , ϕn ∈ FmL , entonces α(ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ) ∈ FmL . Si α es un conectivo binario, usaremos la notaci´on habitual ϕ1 α ϕ2 , en lugar de α(ϕ1 , ϕ2 ). Lema 1 FmL es el conjunto mas peque˜ no que contiene a P y que es cerrado b : FmL n −→ bajo todos los conectivos l´ogicos, considerados como funciones α FmL , donde n es la aridad de α y α b(ϕ, ψ) = ϕ α ψ.

Ejemplos:

1. El C´alculo Proposicional Cl´asico (CPC), tiene por lenguaje los conectivos L = {→, ∧, ∨, ¬} y su tipo de similaridad es h2, 2, 2, 1i. Las f´ormulas, adem´as de las variables proposicionales, son ϕ1 → ϕ2 , ϕ1 ∧ ϕ2 , ϕ1 ∨ ϕ2 y ¬ϕ1 . 10

2. El lenguaje de las l´ogicas modales agrega al anterior un conectivo unario 2, llamado operador de necesitaci´on de tal modo que si ϕ es una f´ormula, 2ϕ tambi´en lo es. Una funci´on σ : P −→ FmL se puede extender recursivamente de manera u ´nica a la funci´on σ ¯ : FmL −→ FmL como sigue: ¯ (ϕ(p1 , . . . , pn )) = ϕ(σ(p1 ), . . . , σ(pn )) . σ Dicha funci´on la llamaremos substituci´ on y la denotaremos por la misma letra σ. Para cada Γ ⊆ FmL denotaremos σ(Γ) al conjunto de f´ormulas σ(Γ) = {σ(ϕ) : ϕ ∈ Γ}. Una regla de inferencia sobre CL es un par hΓ, ϕi, donde Γ ⊆ FmL , Γ es finito y ϕ ∈ FmL .

Diremos que ψ es directamente demostrable a partir de ∆ por la regla hΓ, ϕi, si existe una substituci´on σ tal que σ(ϕ) = ψ y σ(Γ) ⊆ ∆.

Un axioma es una regla de la forma h∅, ψi. Cualquier sustituci´on de un axioma es directamente demostrable a partir de cualquier conjunto de f´ormulas ∆. Cada sustituci´on ser´a una instancia del axioma. Una formula tal que ∅ `S ϕ es un teorema de S y lo denotamos simplemente `S ϕ

Un sistema deductivo S sobre L, est´a determinado por un conjunto de axiomas y de reglas de inferencia. Entenderemos a S como un par hL, `S i donde `S es una relaci´on entre conjuntos de f´ormulas y f´ormulas definida de la manera siguiente: ∆ `S ψ si y s´olo si existe una sucesi´on finita hϕ1 , ϕ2 , . . . ϕn i de f´ormulas de FmL , tal que ϕn = ψ y para todo i ≤ n, se cumple alguna de las condiciones siguientes: • ϕi es una instancia de un axioma. • ϕi ∈ ∆ • para ciertos i1 , i2 , . . . , ik todos menores que i, ϕi es directamente demostrable a partir de {ϕi1 , . . . , ϕik }. 11

on de ψ a partir de Γ. Una f´ormula Esta sucesi´on se llama una demostraci´ tal que `S ψ es un teorema S. Ejemplos: 1. El C´alculo Proposicional Cl´asico (Versi´on 1). Axiomas: A1

p → (q → p)

A2

(p → q) → ((p → (q → r) → (p → r))

A3

(p ∧ q) → p,

A4

(p ∧ q) → q,

A5

p → (q → (p ∧ q)),

A6

p → (p ∨ q),

A7

q → (p ∨ q),

A8

(p → z) → ((q → z) → ((p ∨ q) → z)),

A9

(¬p → ¬q) → (q → p).

Regla: Modus Ponens MP

p → q , p `CP C q .

2. El C´alculo Proposicional Cl´asico (Versi´on 2). El lenguaje L = {→, ¬}. Axiomas: A1

p → (q → p)

A2

(p → q) → ((p → (q → r) → (p → r))

A3

(¬p → ¬q → (q → p)

12

Regla: Modus Ponens Ejemplo. Demostrar `CP C p → p.

σ1 σ2 σ3 σ4 σ5

= p → (p → p), = (p → (p → p)) → ((p → ((p → p) → p)) → (p → p)), = (p → ((p → p) → p)) → (p → p), = p → ((p → p) → p), = p → p,

(A1), (A2), (MP), (A1), (MP).

hσ1 , σ2 , σ3 , σ4 , σ5 i, es una demostraci´on de p → p a partir del conjunto vac´ıo, o sea, es un teorema de CPC. 3. El sistema de l´ogica modal S4 tiene el lenguaje de CPC (versi´on 1 o 2) y el conectivo unario 2. Axiomas: A1 Todas las tautolog´ıas del CPC son axiomas. A2

2(p → q) → (2p → 2q) .

A3

2p → p,

A4

2p → 22p.

Reglas: MP N

p → q , p `S4 q, p `S4 2p.

4. Un sistema deductivo puede ser a´ un m´as abstracto. Consideremos el lenguaje L = { · , −1 , e} y sobre el definamos el sistema G . G1

((p · q) · r) · (p · (q · r))−1 ,

G2

(p · e) · p−1 ,

G3

(e · p) · p−1 , 13

G4

p · p−1 ,

G5

p−1 · p.

Reglas: R1

p · q −1 `G q · p−1 ,

R2

p · q −1 `G p−1 · q −1 ,

R3

{p · q −1 , q · r−1 } `G p · r−1 ,

R4

{p · q −1 , r · s−1 } `G (p · r) · (q · s)−1 ,

R5

p `G p · e−1 ,

R6

p · e−1 `G p.

−1

En los dos primeros ejemplos, los sistemas deductivos est´an asociados a la L´ogica Proposicional Cl´asica, en el sentido de que ambos son sistemas correctos y completos: Γ  ϕ

si y s´olo si

Γ ` ϕ.

La diferencia entre ambos es el lenguaje, sin embargo, si al primer sistema se agregan las definiciones: p ∨ q := ¬p → q p ∧ q := ¬(p → ¬q), en el se puede probar todos los axiomas correspondientes del segundo sistema. La demostraci´on de la completud de los sistemas CPC se puede encontrar en []. En el caso del sistema de l´ogica modal S4 de Lewis, no hemos desarrollado una sem´antica con respecto a la cual el sistema sea completo, sin embargo ´esta existe y se puede estudiar, por ejemplo, en []. 14

La pregunta obvia aqu´ı es ¿A qu´e l´ogica corresponde el sistema deductivo del cuarto ejemplo? Lema 2 Si S = hL, `S i es un sistema deductivo, entonces ∆ `S ψ si y no de f´ormulas que contiene a ∆, s´olo si ψ pertenece al conjunto m´as peque˜ a todas las substituciones de los axiomas y es cerrado bajo pruebas directas. on de consecuencia de S , satisface: La relaci´on `S , llamada relaci´ Lema 3 ([1], pag. 5 ) Si S = hL, `S i es un sistema deductivo, entonces para todo Γ , ∆ ⊆ FmL y ϕ , ψ ∈ FmL se tiene: 1. ∆ `S ϕ , para todo ϕ ∈ ∆. 2. Si ∆ `S ψ y ∆ ⊆ Γ, entonces Γ `S ψ. 3. Si ∆ `S ψ y Γ `S ϕ, para todo ϕ ∈ ∆, entonces Γ `S ψ. 4. Si ∆ `S ψ, entonces existe Γ ⊆ ∆ finito tal que Γ `S ψ. Diremos que S es finitario. 5. Si ∆ `S ψ, entonces σ(∆) `S σ(ψ), para toda substituci´on σ. Diremos que S es estructural Cualquier relaci´on que satisfaga 1–5 es la relaci´on de consecuencia de alg´ un sistema deductivo. Podemos as´ı definir un sistema deductivo como un par S = hL, `S i, donde `S es una relaci´on entre conjuntos de f´ormulas y f´ormulas que verifica 1–5. N´otese que esta definici´on no hace alusi´on alguna a reglas de inferencia ni a axiomas.

15

2

Algebra Universal

En esta secci´on veremos algunos conceptos elementales de Algebra Universal, la rama del ´algebra que estudia propiedades comunes a distintos tipos de ´algebras, que son necesarias para el desarrollo posterior.

2.1

Algebras

Dado un lenguaje L = {ω1 , ω2 , . . . , ωn }, una L–´algebra es una estructura A = hA; ω1 A , ω2 A , . . . , ωn A i, donde A es un conjunto no vac´ıo llamado el universo de A y para cada i ∈ {1, . . . , n}, ωi A es una operaci´on sobre A de la misma aridad que ωi , i.e. una funci´on ωi A : An −→ A, donde n es la aridad de ωi . Para toda esta secci´on se puede consultar el excelente libro [4]. u´ıstico, su asociada ωi A es una Obs´ervese que mientras ωi es un s´ımbolo ling¨ funci´on con un dominio y un rango bien determinados. Sin embargo, para aliviar la notaci´on, generalmente omitimos el super´ındice A, si se subentiende el ´algebra de la que se est´a hablando y no hay riesgo de confusi´on. Ejemplos: umeros enteros Z con sus operaciones habituales es 1. El conjunto de los n´ un ´algebra. 2. El grupo Sn = hSn : ◦,−1 , Idi de todas las permutaciones de un conjunto de n elementos. La operaci´on binaria ◦ es la composici´on de funciones y la constante Id es la funci´on identidad. Obviamente, cualquier grupo es un ´algebra. 3. En general, la mayor´ıa de las estructuras estudiadas en un curso de Algebra Abstracta son ´algebras. Una excepci´on son los cuerpos: en ellos el inverso multiplicativo no es una operaci´on ya que no est´a definida para 0. Llamamos a este tipo de estructura ´ algebras parciales y su teor´ıa es mucho m´as compleja que la de las ´algebras. 4. Definimos 2 = h{0, 1}; ∨∧i, donde ∨, ∧ son las operaciones binarias: x ∨ y := max{x, y} x ∧ y := min{x, y}. 16

Esta es un ´algebra. 5. Un ejemplo importante para nosotros es el ´algebra F mL , cuyo universo es el conjunto FmL de las f´ormulas de un lenguaje proposicional L y cuyas operaciones se definen de la manera obvia: para cada conectivo n–ario α ∈ L y f´ormulas ϕ1 , . . . , ϕn , αF mL (ϕ1 , . . . , ϕn ) = α(ϕ1 , . . . , ϕn ) .

F mL es conocida tambi´en como el ´ algebra f´ormulas de L o el ´algebra totalmente libre sobre el conjunto P de las variables proposicionales.

6. An´alogamente, dado un lenguaje algebraico CL y un conjunto X de variables, construimos el conjunto T erm(X) de los t´erminos sobre X de la misma manera como construimos las f´ormulas de la l´ogica. Con este conjunto como universo construimos en el ´algebra totalmente libre de t´erminos Term(X).

2.2

Construcciones B´ asicas

A partir de un conjunto de ´algebras del mismo tipo se puede construir otras. Tres son las construcciones m´as elementales: sub´algebras, productos directos e im´agenes homomorfas. Todas ellas se han visto en alg´ un curso anterior de estructuras algebraicas o similar, por lo que no es necesario dar ejemplos. Sean A = hA; ω1 A , ω2 A , . . . , ωn A i y B = hB; ω1 B , ω2 B , . . . , ωn B i dos ´algebras. B es sub´algebra de A , lo que denotamos B ≤ A , si B ⊆ A es no vac´ıo y cada operaci´on ωi B de B es la restricci´on a B de la operaci´on correspondiente de A . Si B ⊆ A, para que exista una sub´algebra con universo B , basta que ´este sea no vac´ıo y cerrado bajo todas las operaciones de A . Un homomorfismo entre dos ´algebras A y B del mismo tipo es una funci´on f : A −→ B tal que para cada operaci´on n–aria ω f (ω A (a1 , a2 , . . . , an ) ) = ω B (f (a1 ), f (a2 ), . . . , f (an ) ).

Es inmediato que f (A) es no vac´ıo y cerrado bajo las operaciones de B , por lo tanto existe una sub´algebra de B cuyo universo es f (A) . Esta se llama la imagen homomorfa de A y la denotamos f (A) . 17

Un homomorfismo biyectivo es un isomorfismo. En tal caso, f (A) = B y decimos que A y B son isomorfas, lo que denotamos A ∼ = B . Si bien lo presentamos como un caso particular, el concepto de isomorfismo es m´as elemental que el de homomorfismo. Dos ´algebras isomorfas son iguales en todo sentido algebraico, s´olo difieren en sus elementos y los s´ımbolos usados para denotar sus operaciones. DadaQ una familia hAi : i ∈ Ii de ´algebras del mismo tipo, su producto directo A = i∈I Ai es el ´algebra cuyo universo es el conjunto de todas las funciones [ f : I −→ Ai i∈I

tales que para cada i ∈ I, f (i) ∈ Ai y para cada operaci´on n–aria ω, y f1 , f2 , . . . , fn elementos de A , [ ω A (f1 , f2 , . . . , fn ) : I −→ Ai i∈I

esta definida por ω A (f1 , f2 , . . . , fn )(i) = ω Ai (f1 (i), f2 (i), . . . , fn (i)). Abusando un poco de la nomenclatura, podemos considerar I como el conjunto de las coordenadas de los elementos de A, de tal manera que cada coordenada de un elemento de A pertenece al (universo del) ´algebra correspondiente y las operaciones se hacen coordenada a coordenada. De hecho, si I es finito, el producto directo de A1 , A2 , . . . , An es isomorfo al producto cartesiano A1 × A2 × · · · × An . Una variedad es una clase de ´algebras cerrada bajo im´agenes homomorfas, sub´algebras y productos directos.

2.3

Ecuaciones

Una L–ecuaci´on (o simplemente ecuaci´ on) ([1], pag. 13 ), es una expresi´on de la forma ϕ ≈ ψ, donde ϕ, ψ ∈ T erm(X), denotaremos al conjunto de las ecuaciones de CL por EqL . 18

En el Algebra Abstracta se estudia clases de ´algebras, de un tipo de similaridad dado, definidas por ciertas propiedades o axiomas. Para nosotros reviste especial importancia aquellas clases de ´algebras que satisfacen ciertas ecuaciones, o clases ecuacionales. Un importante teorema demostrado por Birkhoff dice que una clase de ´algebras es ecuacional si y s´olo si es un variedad. (Ver [4] pag. 75). Ejemplos: 1. La variedad de los ret´ıculos es la clase de todas las ´algebras L = hL, ∨, ∧i, donde ∨ , ∧ son operaciones binarias sobre L que verifican las identidades: R1

x∨x=x

x∧x=x

R2

(Idempotencia)

x∨y =y∨x x∧y =y∧x

R3

(Conmutatividad)

x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z

x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z R4

(Asociatividad)

x ∨ (x ∧ y) = x

x ∧ (y ∨ z) = x

(Absorci´on)

Si adem´as verifica R5

x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)

x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)

(Distributividad)

hablamos de la variedad de los ret´ıculos distributivos. Por ejemplo, el ´algebra 2 definida m´as arriba es un ret´ıculo distributivo. 2. La variedad de las Algebras de Boole es la clase de todas las ´algebras B = hB, ∨, ∧,0 , ⊥, >i, tales que B = hB, ∨, ∧i es un ret´ıculo distributivo, 0 es una operaci´on unaria y ⊥, > son constantes tales que: B1

x∨>=>

(Ultimo elemento)

x∧⊥=x

(Primer elemento), 19

B2

x ∨ x0 = >

x ∧ x0 = ⊥

(Complemento).

3. Los anillos, grupos y algunas otras estructuras conocidas y definidas sobre un lenguaje apropiado son tambi´en variedades.

2.4

Algunos Resultados sobre Ret´ıculos

Dentro del A.U. los ret´ıculos, adem´as de ser objeto de estudio, son una herramienta importante debido a que muchos conceptos definen clases de objetos ordenados reticularmente. Veremos en esta secci´on algunas propiedades de los ret´ıculos que ser´an usadas m´as adelante. Un ret´ıculo L se dice completo W Vsi para todo A ⊆ L, existen el supremo y el ´ınfimo de A, denotados A y A, respectivamente. W W V V Debe notarse que L = ∅ es el mayor elemento de L y que L = ∅ es el menor elemento de L y que si L es completo, ambos existen. Ejemplos: 1. El ret´ıculo hP(X); ∪, ∩i de todos los subconjuntos de un conjunto X, es completo. 2. Los ret´ıculos hSU(G); ∨, ∧i y hSUN (G); ∨, ∧i de todos los subgrupos y de todos los subgrupos normales de un grupo G, son completos. En ambos caso las operaciones son H ∨ K = hH ∪ Ki y H ∧ K = H ∩ K, donde hAi es el subgrupo generado por A. 3. Q y R con sus ordenes habituales no son ret´ıculos completos. Si a R le agregamos un punto final +∞ y un punto inicial −∞, entonces R es completo. Lema 4 Un ret´ıculo es completo si y s´olo si es cerrado bajo supremos. Lo mismo ocurre si es cerrado bajo ´ınfimos. W A Un elemento c de un ret´ıculo L es compacto si toda vez que c ≤ (obs´ervese que esto presupone que tal supremo existe), hay un subconjunto W finito B ⊆ A tal que c ≤ B. 20

Un ret´ıculo es algebraico si es completo, y todos sus elementos son el supremo de un conjunto de elementos compactos. Ejemplos: 1. El ret´ıculo P(X) es algebraico. Los elementos compactos son los subconjuntos finitos de X. 2. Los ret´ıculos SU(G) y SUN (G) son algebraicos. En ambos casos los elementos compactos son los subgrupos finitamente generados. 3. R no es algebraico. De hecho, no tiene elementos compactos.

2.5

Relaciones de Equivalencia y Congruencias

Una relaci´on de equivalencia sobre un conjunto A es una relaci´on binaria ϑ tal que para todo a, b, c ∈ A se satisface: E1 : aϑa. E2 : Si aϑb, entonces bϑa. E2 : Si aϑb y bϑc, entonces aϑc.

(reflexividad) (simetr´ıa) (transitividad)

Una relaci´on de equivalencia ϑ particiona al conjunto en clases de equivalencia, vale decir, conjuntos formados por elementos relacionados entre s´ı, m´as t´ecnicamente, la clase de equivalencia de a m´ odulo ϑ es el conjunto: [a]ϑ = {x ∈ A : xϑa}. Es f´acil ver que el conjunto A | ϑ de todas estas clases de equivalencia, odulo ϑ, es una partici´on de A. llamado el cuociente de A m´ Reflexividad, simetr´ıa y transitividad son en un sentido particular las propiedades esenciales de la identidad. Una relaci´on con esas propiedades me permite identificar objetos de un conjunto dado y tratarlos como uno s´olo. Desde el punto de vista algebraico es interesante hacer notar que el par hE(A), ⊆i, de todas las relaciones de equivalencia sobre A ordenado por inclusi´on, es un ret´ıculo distributivo completo. Antes de revisar este resultado, observemos que dada una familia de relaciones de equivalencia sobre A, su intersecci´on tambi´en lo es, es decir, si para 21

T cada i ∈ I, ϑi es una relaci´on de equivalencia sobre A, entonces i∈I ϑi es una relaci´on de equivalencia sobre A. Por otra parte, notemos que tanto la identidad, denotada por 4A , como la relaci´on trivial ∇A , son relaciones de equivalencia sobre A. Las operaciones de supremo e ´ınfimo sobre E(A) est´an dadas por: ϑ1 ∧ ϑ2 = T ϑ1 ∩ ϑ2 ϑ1 ∨ ϑ2 = {ϑ : ϑ1 ∪ ϑ2 ⊆ ϑ}, T por las observaciones del p´arrafo anterior, {ϑ : ϑ1 ∪ ϑ2 ⊆ ϑ} es la menor congruencia que contiene a ϑ1 y a ϑ2 . Hay tambi´en una forma constructiva de definir el supremo. ϑ1 ∨ ϑ2 = {ha, bi : existen c0 , . . . , cn tales que c0 = a, cn = b y para cada i , ci ϑ1 ci+1 o bien ci ϑ2 ci+1 }. El lector debe verificar que esto efectivamente define la menor relaci´on de equivalencia que contiene tanto a ϑ1 como a ϑ2 . Por otra parte, la observaci´on m´as arriba implica que el ret´ıculo es completo ya que ^ \ ϑi = ϑi . i∈I

i∈I

Una relaci´on de equivalencia sobre (el universo de) un ´algebra A es una congruencia sobre A si es compatible con todas las operaciones del ´algebra, vale decir, para cada operaci´on n–aria ω y elementos ai , bi ∈ A, si ai ϑbi para i ≤ n, se verifica ω A (a1 , . . . , an )ϑω A (b1 , . . . , bn ). La condici´on de compatibilidad nos dice que si escogemos elementos de distintas clases de equivalencia y los operamos, la clase a la que pertenece el resultado no depende de los elementos particulares que se usaron, sino de las clases de las que fueron tomados. Esto es lo que nos permite definir una estructura algebraica sobre elconjunto cuociente de la siguiente manera: A | ϑ = hA | ϑ, ω1 A|ϑ , ω2 A|ϑ , . . . , ωn A|ϑ i, 22

donde dadas las clases [a1 ]ϑ , . . . , [an ]ϑ , la operaci´on ω A|ϑ ([a1 ]ϑ , . . . , [an ]ϑ ) = [ ωiA (a1 , . . . , an ) ]ϑ . La compatibilidad garantiza que ´esta est´a bien definida. A | ϑ se denomina el ´algebra cuociente de A por ϑ. Para los efectos de estas Notas, lo m´as interesante es que el conjunto de todas las congruencias sobre un ´algebra A, ordenado por inclusi´on, es un ret´ıculo distributivo y completo al que denotamos Con(A). Dejamos al lector la verificaci´on de estas afirmaciones. Ejemplos: 1. Si G es un grupo y N un subgrupo normal de G, entonces la relaci´on xϑy si y s´olo si x y −1 ∈ N es una congruencia. El grupo cuociente G | ϑ es por supuesto el mismo que el grupo cuociente G | N que el lector ha estudiado en sus cursos de ´algebra abstracta. Un caso particular interesante es cuando el grupo es Z y el subgrupo es nZ. En este caso, la relaci´on anterior es la conocida congruencia m´odulo n de la teor´ıa de n´ umeros, de donde se ha tomado prestado el nombre. 2 Sobre el ret´ıculo de cuatro elementos 0 < a < b < 1 , considere la congruencia que identifica 0 con a y 1 con b. El ret´ıculo cuociente tiene dos elementos [0] < [1].

2.6

Operadores de Clausura

(Ver por ejemplo [4], Cap´ıtulo 1, §4 y §5.)

Un operador de clausura sobre un conjunto A es una funci´on C : P(A) −→ P(A) que satisface lo siguiente. C1

X ⊆ C(X)

C2

C(C(X) ) ⊆ C(X)

C3

X ⊆ Y implica C(X) ⊆ C(Y )

Si adem´as C verifica: 23

C(X) =

C4

S {C(Y ) : Y ⊆ X es finito, }

decimos que C es un operador de clausura algebraico. Ejemplos: 1. En un espacio topol´ogico X 7−→ X es un operador de clausura. 2. La identidad es un operador de clausura.

3. Si G es un grupo, entonces la funci´on X 7−→ hXi que env´ıa cualquier subconjunto de G en el (universo del) subgrupo que genera, es un operador de clausura. Teorema 1 Sea C un operador de clausura sobre un conjunto A. Entonces el conjunto LC = {X ⊆ A : C(X) = X} dotado de las operaciones !   _ ^ \ [ C(Ai ) = C y C(Ai ) , Ai C(Ai ) = i∈I

i∈I

i∈I

i∈I

es un ret´ıculo completo. Los elementos de LC se llaman conjuntos cerrados. Si adem´as C es un operador algebraico, LC es un ret´ıculo algebraico en el que los elementos compactos son los subconjuntos cerrados C(B), para alg´ un B finito. Teorema 2 Todo ret´ıculo algebraico es isomorfo al ret´ıculo de los subconjuntos cerrados de alg´ un conjunto dotado de un operador de clausura algebraico. Idea de la demostraci´ on. Sea L un ret´ıculo algebraico y C el conjunto de sus elementos compactos. Para X ⊆ L definimos _ C(X) = {c ∈ C : c ≤ X}. Entonces C es un operador de clausura algebraico. La funci´on f : L es un isomorfismo.

−→ P(C) _ {c ∈ C : c ≤ x} , x 7−→ 24

2

2.7

Un Ejemplo Importante

Sea S = hL, `S i un sistema deductivo. Si definimos CnS (∆) = {ϕ ∈ FmL : ∆ `S ϕ}, CnS define un operador CnS : ℘(FmL ) −→ ℘(FmL ) sobre el conjunto de las f´ormulas, llamado operador de consecuencia de S . Las propiedades 1–5 de `S que aparecen en el Lema 3, implican que CnS es un operador de clausura algebraico. Se puede hacer el estudio de sistemas deductivos a partir de operadores de consecuencia, (ver [1], pag. 6 ), pero no lo haremos en estas Notas. Los conjuntos cerrados bajo este operador se llaman S–teor´ıas. En otras palabras, una teor´ıa es un conjunto T de f´ormulas que es cerrado bajo `S , T `S ϕ =⇒ ϕ ∈ T. El conjunto de los teoremas S, (aquellas f´ormulas ϕ tales que ∅ `S ϕ, o equivalentemente, aquellas f´ormulas directamente demostrables a partir de cualquier conjunto ∆ de f´ormulas), es la menor S–teor´ıa. Por otra parte, FmL es la mayor S–teor´ıa. Observemos que CnS (∆) es la menor S–teor´ıa que contiene a ∆. El conjunto de todas las S–teor´ıas se denota T hS ([1], pag.7 ). Sobre este conjunto definimos las operaciones ∧S y ∨S , que son respectivamente, la intersecci´on usual de conjuntos y la teor´ıa generada por la uni´on conjuntista de teor´ıas, es decir, para T , U ∈ T hS , T ∧S U = T ∩ U

T ∨S U = CnS (T ∪ U ).

y

Observemos que la intersecci´on arbitraria de teor´ıas es una teor´ıa y como FmL es la mayor S–teor´ıa, el ret´ıculo ThS = hT hS, ∧S , ∨S i es un ret´ıculo completo. El siguiente lema se desprende f´acilmente de las propiedades de los operadores de clausura algebraicos. 25

Lema 5 ([1], Lema 1.1 ) Sea S = hL, `S i un sistema deductivo. 1. Los elementos compactos de ThS son las S–teor´ıas finitamente generadas. 2. El ret´ıculo ThS el algebraico. 3. T hS es cerrado bajo uniones dirigidas.

2.8

La L´ ogica de las Ecuaciones

Lema 6 Sean σ(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ T erm(X) y A una L–´algebra. Una funci´on ´nica a I : X −→ A, definida por xi 7−→ ai , i ∈ ω, se extiende de manera u I¯ : FmL −→ A σ(x1 , x2 , . . . , xn ) 7−→ σ A (a1 , . . . , an ). I se llama una interpretaci´on de las variables en A. Por ejemplo, una sustituci´on s de las letras proposicionales P es una interpretaci´on de P en el ´algebra F mL definida m´as arriba. Sea K una clase de L–´algebras. Definimos la relaci´on |=K entre un conjunto de ecuaciones y una ecuaci´on de la manera siguiente ([1], pag. 13 ): Γ |=K σ ≈ τ si y s´olo si para toda A ∈ K y para toda interpretaci´on a ¯ = (a1 , a2 , . . . , an ) de las variables de Γ ∪ { σ ≈ τ } se tiene: a) = η A (¯ a) = τ A (¯ a). ξ A (¯ a) , para ξ ≈ η ∈ Γ =⇒ σ A (¯ Esta relaci´on es llamada relaci´ on de consecuencia ecuacional determinada por K. Es f´acil ver que la u ´nica propiedad de `S que |=K no tiene necesariamente es la finitud. Por ejemplo, directamente de la definici´on se observa que |=K es estructural.

Lema 7 ([1], Lema 3.1 ) Si K es una clase de ´algebras entonces para conjuntos de ecuaciones Γ , ∆ ⊆ Eq(X) y toda ecuaci´ on σ ≈ τ se tiene: 26

1. ∆ |=K δ ≈ ε , para todo δ ≈ ε ∈ ∆. 2. Si ∆ |=K σ ≈ τ y ∆ ⊆ Γ, entonces Γ |=K σ ≈ τ . 3. Si ∆ |=K σ ≈ τ y Γ |=K δ ≈ ε, para todo δ ≈ ε ∈ ∆, entonces Γ |=K σ ≈ τ . 4. Si ∆ |=K σ ≈ τ , entonces s(∆) |=K s(σ) ≈ s(τ ), para toda substituci´on s. Es decir, |=K es siempre estructural. Podemos definir el concepto de operador de clausura CnK ,el de teor´ıa ecuacional y el ret´ıculo ThK de todas las teor´ıas ecuacionales respecto de |=K .

(Para una teor´ıa general de l´ogica ecuacional, el lector puede consultar [4], Cap´ıtulo 2, §14).

27

3

L´ ogica Algebraica

Los or´ıgenes del estudio algebraico de los sistemas deductivos se remontan, quiz´as, a los trabajos de G. Boole, vale decir, antes del nacimiento de la l´ogica matem´atica. Los trabajos de Tarski, o m´as precisamente del grupo de Varsovia, (ver [13]) en los a˜ nos 20 y 30 son el punto de partida del estudio de los sistemas deductivos en general y de la l´ogica algebraica tal como se la entiende hoy. En [14] (una versi´on en ingl´es aparece en [13]), Tarski introduce el ´algebra de f´ormulas del c´alculo proposicional y define la relaci´on: ϕ∼ψ

si y s´olo si

`CP C ϕ ↔ ψ .

Enseguida muestra que ´esta es lo que hoy llamamos una congruencia y que el ´algebra cuociente, que ahora es conocida como el ´ algebra de Lindenbaum– Tarski del c´alculo proposicional cl´asico, es un ´algebra de Boole. Rec´ıprocamente, indica como construir un sistema deductivo a partir de una axiomatizaci´on de las ´algebras de Boole. Conocida esta relaci´on entre el C´alculo Proposicional Cl´asico y las Algebras de Boole, el m´etodo se aplic´o a otras l´ogicas, representadas por otros sistemas deductivos, a los que les corresponden otras clases de ´algebras. Entre los principales est´an: C´alculo Proposicional Intuicionista L´ogicas multi–valuadas L´ogicaModal L´ogica de Primer Orden

Algebras de Heyting MV–´algebras Algebras Modales Algebras Cil´ındricas, etc.

¿Cu´al es la naturaleza de est´a relaci´on? ¿Qu´e condiciones debe satisfacer un sistema deductivo para contar con una clase de ´algebras asociada? En los dos importantes libros de H. Rasiowa y R. Sikorski [12] y H. Rasiowa [11] se decantan varias d´ecadas de resultados en esta l´ınea. El tratamiento dado en estos libros se aplica a sistemas con ciertas particularidades, por ejemplo, presupone la existencia de una implicaci´on con ciertas propiedades est´andar. Por lo tanto muchos sistemas no son en este sentido algebrizables

28

simplemente porque no cuentan con una implicaci´on, o porque la que tienen no goza de las propiedades adecuadas. No ha sido sino hasta muy recientemente que se ha dado una definici´on general y precisa del concepto de algebrizabilidad. Esta ha sido propuesta por W. Blok y D. Pigozzi en [1]. Basados en una generalizaci´on del proceso de Lindenbaum–Tarski, ellos proponen un tratamiento m´as general o “abstracto” del problema, uno que no dependa del lenguaje subyacente del sistema ni de la presencia de ciertos axiomas o reglas predeterminados. Naturalmente, hay muchos sistemas que tampoco son algebrizables en este sentido, sin embargo, no lo son por motivos m´as profundos y generales que el lenguaje en el que se expresan. ¿Qu´e tan buena es esta noci´on de algebrizabilidad? Esta pregunta s´olo podr´a responderse al ver las aplicaciones que la teor´ıa tenga, especialmente, el uso de t´ecnicas del ´algebra universal en las clases de ´algebras para obtener resultados sobre las l´ogicas asociadas. En el u ´ltimo tiempo se ha llamado L´ogica Algebraica Abstracta al estudio de sistemas deductivos usando herramientas del ´algebra universal. Varios autores han perfeccionado, extendido o modificado estos conceptos iniciales. Ver por ejemplo [2, 5, 6, 8, 9, 10]. Con todo, la idea esencial sigue siendo la misma, es por eso que he centrado estas charlas en una exposici´on de esta teor´ıa, como punto de partida para quien se interese en la l´ogica algebraica.

3.1

L´ ogicas Algebrizables

Intuitivamente, un sistema deductivo S es algebrizable si existe una clase K de ´algebras del mismo tipo y existe una correspondencia entre f´ormulas de FmL y ecuaciones de EqL tal que las relaciones `S y |=K sean “equivalentes”. Es decir, dada una f´ormula α existe una ecuaci´on α b y dada una ecuaci´on σ ≈ τ existe una f´ormula σ^ ≈ τ tales que : b |=K α 1. Γ `S α si y s´olo si Γ b,

e |=K σ^ 2. Σ |=K σ ≈ τ si y s´olo si Σ ≈τ,

e b, 3. α a `S α

^ 4. σ ≈ τ =||=K σ\ ≈τ. 29

Por ejemplo, si S es CPC y K es la variedad de las ´algebras de Boole, haciendo: • α b=α≈>

• σ^ ≈ τ = σ ↔ τ, como sabemos, se verifican las cuatro condiciones de arriba.

3.2

Sem´ anticas Algebraicas Equivalentes

Formalizaremos aqu´ı las ideas intuitivas del p´arrafo anterior. Definici´ on 1 ([1], Def. 2.2 ) Sea S = hL, `S i un sistema deductivo y K una clase de L-algebras. K es una sem´antica algebraica para S si `S puede ser interpretado en |=K de la manera siguiente. Existe un conjunto finito δi (p) ≈ εi (p), para i < n, de ecuaciones en una variable p, tal que para Γ ∪ {ϕ} ⊆ FmL para cada j < n : (1) Γ `S ϕ si y s´olo si {δi (ψ) ≈ εi (ψ) : i < n , ψ ∈ Γ} |=K δj (ϕ) ≈ εj (ϕ) ;

j < n.

δi ≈ εi son llamadas ecuaciones de definici´on para S y K. Definici´ on 2 ([1], Def. 2.4 ] ) K es una sem´antica algebraica equivalente para un sistema deductivo S si existe un conjunto finito ∆j (p, q), para j < m , de f´ormulas con dos variables tal que para todo ϕ ≈ ψ ∈ EqL se tiene: (2) ϕ ≈ ψ =||=K δi (ϕ∆j ψ) ≈ εi (ϕ∆j ψ) ;

i < n, j < m.

El conjunto de f´ormulas ∆j (p, q) es llamado sistema de f´ormulas de equivalencia para S y K. Abreviaremos δ ≈ ε para el sistema de ecuaciones de definici´on y ∆(p, q) para el sistema de f´ormulas de equivalencia. Lema 8 ([1], Lema 2.9 ) Sea S = hL, `S i un sistema deductivo y K una sem´antica algebraica equivalente con ecuaciones de definici´on δ ≈ ε y f´ormulas de equivalencia ∆(p, q) . Entonces para todo Σ ⊆ EqL y toda ecuaci´on ϕ ≈ ψ, 30

(3) Σ |=K ϕ ≈ ψ si y s´olo si {ξ∆η : ξ ≈ η ∈ Σ} `S ϕ∆ψ, y para cada θ ∈ FmL , (4) θ a`S δ(θ)∆ε(θ). Rec´ıprocamente, si existen f´ormulas ∆ y ecuaciones δ ≈ ε que satisfagan (3) y (4), entonces K es una sem´antica ´algebraica equivalente para S.

Definici´ on 3 Un sistema deductivo S se dice algebrizable si tiene una sem´ antica algebraica equivalente.

A continuaci´on veremos que, esencialmente, todo sistema algebrizable tiene una u ´nica sem´antica equivalente. Lema 9 ([1], Cor. 2.11 ) Si K es una sem´antica algebraica para S, entonces K es una sem´antica algebraica equivalente si y s´olo si KQ , la cuasivariedad generada por K, lo es. Esto se debe a que la segunda parte de (2) es equivalente a un sistema de cuasi–identidades ^ δ(ψ) ≈ ε(ψ) =⇒ δ(ϕ) ≈ ε(ϕ). ψ∈Γ

Teorema 3 ([1], Teo. 2.15 ) Sean S un sistema deductivo algebrizable, K y K0 dos sem´anticas algebraicas equivalentes. Entonces K y K0 generan la misma cuasivariedad. Idea de la demostraci´ on. (a) Usando las propiedades de ≈ , se demuestra que `S x∆y define una relaci´on de congruencia sobre FmL . 31

(b) x , x∆y `S y . (i) x ≈ y , δ(x) ≈ ε(x) |=K δ(y) ≈ ε(y) , (ii) x ≈ y =||=K δ(x∆y) ≈ ε(x∆y) , (iii) δ(x∆y) ≈ ε(x∆y) , δ(x) ≈ ε(x) |=K δ(y) ≈ ε(y) , (iv) x∆y , x `S y ,

prop. de ≈, (2), (i), (ii), (1).

Sean K y K0 dos sem´anticas algebraicas equivalentes al sistema S y sean x∆y y x∆0 y sus respectivas f´ormulas de equivalencia. (c) x∆y a`S x∆0 y .

Consideramos α(p) = x∆0 p . Entonces

x∆y `S α(x)∆α(y) , x∆y `S (x∆0 x)∆(x∆0 y) , x∆y `S (x∆0 y) ,

(a), def., (a), (b).

Similarmente probamos en la otra direcci´on. (d) KQ = K0 Q . Σ |=K ϕ ≈ ψ si y s´olo si {α∆β : α ≈ β ∈ Σ} `S ϕ∆ψ , Σ |=K ϕ ≈ ψ si y s´olo si {α∆0 β : α ≈ β ∈ Σ} `S ϕ∆0 ψ , Σ |=K ϕ ≈ ψ si y s´olo si Σ |=K0 ϕ ≈ ψ ,

(3), (c), (3). 2

El rec´ıproco de este teorema es falso. Existen sistemas deductivos distintos que tienen la misma sem´antica algebraica equivalente. Ver ejemplo en [1], Secci´on 5.2.4.

3.3

Sem´ anticas Matriciales

Una L–matriz ([1], pag. 8 ) es un par A = hA, F i, donde A es una L– ´algebra y F es un subconjunto del universo de A , los elementos de F son llamados elementos designados de A . Para una clase de matrices M definimos la relaci´on |=M entre un conjunto de f´ormulas y una f´ormula de la manera siguiente: 32

Γ |=K ϕ si y s´olo si para toda A ∈ M y para toda interpretaci´on a¯ de las variables de Γ ∪ {ϕ}, ψ A (¯ a) ∈ F , para todo ψ ∈ Γ

a) ∈ F. =⇒ ϕA (¯

Una matriz A es un modelo matricial de S si Γ `S ϕ

=⇒ Γ |={A} ϕ,

en tal caso F se denomina un S–filtro.

Observemos que si T es una S–teor´ıa, entonces hF mL , T i es un modelo matricial de S. Estas matrices se llaman matrices de Lindenbaum para S. Definici´ on 4 Sea S = hL, `S i un sistema deductivo. Una clase de matrices M es una sem´antica matricial de S si para todo Γ ∪ {ϕ} ⊆ FmL se tiene Γ `S ϕ

si y s´olo si

Γ |=M ϕ .

Por ejemplo, la clase de todas las matrices de Lindenbaum para S y la clase de todos los modelos matriciales de S son sem´anticas matriciales.

4

El Operador de Leibniz

Definici´ on 5 ([1], Def. 1.4 ) Sean A una L-´algebra y F ⊆ A. Definimos la relaci´on binaria sobre A:

ΩA F =

š

ha, bi :

ϕA (a, c¯) ∈ F ⇐⇒ ϕA (b, c¯) ∈ F, para todo ϕ(p, q1 , . . . , qn ) ∈ FmL y todo c¯ ∈ An

›

.

on de Leibniz en A sobre F . El operador La relaci´on ΩA se llama la relaci´ sobre las partes de A, que denotaremos ΩA , es llamado operador de Leibniz sobre A. Si A es el ´algebra de f´ormulas F mL , el operador de Leibniz se denota simplemente Ω. De la definici´on anterior se desprende inmediatamente que ΩA es una congruencia sobre A. Intuitivamente, nos dice que ΩA identifica todos aquellos 33

elementos de A que el ´algebra A no puede distiguir relativamente a un conjunto F . Evidentemente esta definici´on es inmanejable desde el punto de vista pr´actico: dif´ıcilmente podremos calcular ΩA en un caso particular a partir de ella. Un par de teoremas nos ayudar´an en esto. Una congruencia Θ de A se dice compatible con el subconjunto F de A, si para todo a, b ∈ A, si a ∈ F y ha , bi ∈ Θ entonces b ∈ F . Teorema 4 ([1], Teo. 1.5 ) Para toda ´algebra A y cualquier F ⊆ A, ΩA F es la mayor congruencia compatible con F . Teorema 5 ([1], Teo. 1.6 ) Sea A un ´algebra y F ⊆ A. Sea Θ una relaci´ on binaria sobre A que es elementalmente definible sobre la matriz h A, F i con par´ ametros y sin igualdad: (i) Si Θ es reflexiva, entonces ΩA F ⊆ Θ. (ii) Si adem´as Θ es una congruencia compatible con F , entonces ΩA F = Θ.

5

Los Ret´ıculos de Teor´ıas de S y de K

La esencia de la teor´ıa de algebrizaci´on desarrollada por Blok y Pigozzi, est´a en el siguiente teorema. Daremos su demostraci´on porque ilustra c´omo las ecuaciones de definici´on y las f´ormulas de equivalencia aparecen m´as o menos naturalmente. Teorema 6 ([1], Teo. 3.7 ) Sea S un sistema deductivo y K una cuasivariedad. Entonces K es la sem´antica algebraica equivalente de S si y solamente si existe un isomorfismo entre ThS y ThK que conmuta con sustituciones. Idea de la demostraci´ on. Supongamos que K es la sem´antica algebraica equivalente de S. Entonces ΩK :

ThS −→ ThK T 7−→ CnK {δ(ϕ) ≈ ε(ϕ) : ϕ ∈ T } 34

preserva el orden y las uniones dirigidas. De ah´ı es f´acil demostrar que ΩK es un isomorfismo de ret´ıculos que conmuta con sustituciones. Por otro lado, supongamos que h : ThS −→ ThK es un isomorfismo que conmuta con sustituciones. Consideramos la S–teor´ıa T = CnS {p} . Como T es compacta, su imagen θ = h(T ) tambi´en lo es y por lo tanto, es finitamente generada, (ver Lema 5). O sea, θ = CnK {κi (p, r1 , . . . , rk ) ≈ τi (p, r1 , . . . , rk ) : i < n}. Sea σ una sustituci´on tal que σ(p) ≈ p σ(rj ) ≈ p ,

para j ≤ k .

Usando el hecho de que h conmuta con sustituciones, se demuestra que σ(T ) = CnS {σ(p)} = T , luego (con un abuso de notaci´on), θ = h(T ) = h(σ(T )) = σ(h(T )) = σ(CnK {κi (p, r1 , . . . , rk ) ≈ τi (p, r1 , . . . , rk ) : i < n} = CnK {κi (p, p, . . . , p) ≈ τi (p, p, . . . , p) : i < n} . Hagamos Entonces

δi (p) = κi (p, p, . . . , p) y εi (p) = τi (p, p, . . . , p) , para i ≤ n .

Γ `S ϕ ssi ssi ssi ssi

CnS {ϕ} ⊆ CnS T h(CnS {ϕ}) ⊆ h(CnS T ) CnK {δ(ϕ) ≈ ε(ϕ)} ⊆ CnK {δ(γ) ≈ ε(γ) : γ ∈ Γ} {δ(γ) ≈ ε(γ) : γ ∈ Γ} |=K δ(ϕ) ≈ ε(ϕ) .

Similarmente, θ = CnK {p ≈ q} es una K–teor´ıa compacta, luego h−1 (θ) tambi´en lo es y por lo tanto, es generada por un conjunto finito de f´ormulas {ϕj (p, q, r1 , . . . , rk )} : j < m . 35

Haciendo ∆(p, q) = ϕ(p, q, p, . . . , p) , se cumple p ≈ q =||=K δ(p∆q) ≈ ε(p∆q) , completando la demostraci´on del teorema.

2

El isomorfismo ΩK T del teorema puede encontrarse de la siguiente manera. Lema 10 ([1], Lema 3.8 ) Sea S algebrizable y K su sem´antica algebraica equivalente. Sea ∆ el sistema de equivalencias para K. Entonces para T ∈ T hS, ΩK T = {ϕ ≈ ψ : ϕ ∆ ψ ∈ T }.

6

Criterios de Algebrizabilidad

Hay dos importantes caracterizaciones para los sistemas algebrizables.

6.1

Algebrizabilidad y el Operador de Leibniz

Lema 11 ([1], Teo. 4.1 ) Sea S algebrizable y K su sem´antica algebraica equivalente K. Entonces para cada T ∈ T hS ΩT = {hϕ, ψi : ϕ ≈ ψ ∈ ΩK T } = {hϕ, ψi : ϕ∆ψ ∈ T }. Teorema 7 ([1], Teo. 4.2 ) Un sistema deductivo S es algebrizable si y s´olo si el operador de Leibniz sobre FmL cumple las condiciones: (i) Ω es inyectivo y preserva el orden de ThS. (ii) Ω preserva uniones de subconjuntos dirigidos en ThS. Idea de la demostraci´ on. Se define K = {F mL /θ : θ ∈ ΩT hS} y se demuestra que Ω es un isomorfismo entre ThS y ThK. Aplicamos entonces el teorema 6. 2 36

6.2

Algebrizabilidad y T´ erminos

Teorema 8 ([1], Teo. 4.7 ) Un sistema deductivo S es algebrizable si y s´olo si existen un sistema de f´ormulas de equivalencia ∆ y un sistema de ecuaciones de definici´on δ ≈ ε que satisfacen las condiciones siguientes para ϕ , ψ , θ ∈ FmL . (i) `S ϕ ∆ ϕ , (ii) {ϕ ∆ ψ} `S ψ ∆ ϕ , (iii) {ϕ ∆ ψ , ψ ∆ θ} `S ϕ ∆ θ , (iv) Para todo conectivo n–ario α de L, {ϕ1 ∆ ψ1 , . . . , ϕn ∆ ψn } `S α(ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn ) ∆ α(ψ1 , ψ2 , . . . , ψn ) , (v) θ a`S δ(θ) ∆ ε(θ) . Idea de la demostraci´ on. Se define Ω∆ T = {ϕ ≈ ψ : ϕ ∆ ψ ∈ T } ´ltimo y se demuestra que Ω∆ es inyectivo y preserva uniones dirigidas. Por u 2 se demuestra que Ω∆ = Ω y se aplica el teorema 7. on suficiente para que un sisCorolario 1 ([1], Cor. 4.8 ) Una condici´ tema deductivo S sea algebrizable es que exista un sistema ∆ de f´ormulas de equivalencia que satisfaga las condiciones (i)-(iv) del teorema anterior y adicionalmente las condiciones. (vi) {ϕ , ϕ ∆ ψ} `S ψ, (conocida como regla de corte). (vii) {ϕ , ψ} `S ϕ ∆ ψ, (conocida como regla G, por G¨odel). En este caso la ecuaci´ on de definici´on es p ≈ p ∆ p.

37

6.3

Algebrizabilidad y Matrices

Existe una conexi´on estrecha entra las sem´anticas algebraicas y las sem´anticas matriciales de un sistema deductivo algebrizable. El siguiente teorema es muy u ´til, especialmente para verificar que un sistema no es algebrizable. Dada una cuasivariedad K y una L–´algebra A, diremos que una congruencia Θ de A es una K–congruencia si el cuociente A/Θ ∈ K. Teorema 9 ([1], Cor. 5.1 ) Sea S algebrizable y K una cuasivariedad. Entonces S es algebrizable con sem´antica algebraica equivalente K si y s´olo si para toda L–´algebra A, el operador de Leibniz ΩA es un isomorfismo entre los ret´ıculos de S–filtros y de K–congruencias de A. Lema 12 ([1], Lema 5.2 ) Sea S algebrizable y sea ∆ un sistema de f´ormulas de equivalencia. Entonces para toda L–´algebra A y todo S–filtro F ⊆ A ΩA F = {hϕ, ψi : ϕ ∆A ψ ∈ F }. Una matriz hA, F i se dice reducida si ΩA F = IA , la identidad sobre A. La matriz cuociente hA/ΩA F, F/ΩA F i es una matriz reducida. Teorema 10 ([1], Cor. 5.3 ) Sean S algebrizable, K la cuasivariedad que es su sem´antica algebraica equivalente y M∗ la clase de todas las S–matrices reducidas. Entonces K es la clase de los reductos algebraicos de M, es decir, K = {A : hA, F i ∈ M∗ , para alg´ un S–filtro F }.

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