h-platitude des Structures de contact

Monatshefteflit

Mathemalik

Mh. Math. 95, 221--227 ( 1 9 8 3 )

9 by Springer-Verlag 1983

D-platitude des Structures de Contact Par

Gilbert Monna, Montpellier (Refu le 2 Ao~tt 1982)

Abstract. b-flatness of Contact Structures. For most of the usual structures in differential geometry (foliations, complex structures, symplectic structures.... ) the condition of integrability, that is to say the change from an almost structure to a structure, is given by the flatness of the associated structure of the first order. It is not the same for the contact structures. Meanwhile the condition of integrability for the structure definedby a contact form is found to be a condition of b-flatnessin the sense of [2], b being the Heisenberg Lie algebra. We give here some consequences of this property, particularly we show how some technics of geometry of the G-structures permit to obtain a new proof of a result of GRAYand SASAKI,showed in [3] and [6]. Introduction Pour la plupart des structures usuelles en g~om6trie diff6rentielle (feuilletages, structures complexes, structures symplectiques . . . ) la condition d<~int6grabilit6>>, c'est-fi-dire le passage d'une presque structure fi une structure, se traduit par la platitude de la structure du premier ordre associ6e. I1 n'en est pas ainsi pour les structures de contact. N+anmoins la condition d~ int6grabilit6 >>pour les structures d6finies par une forme de contact se trouve ~tre une condition de bplatitude, D 6tant l'alg6bre de Lie de Heisenberg. Nous donnons ici quelques cons6quences de cette propri6t6, n o t a m m e n t nous m o n t r o n s c o m m e n t des techniques de g6om&rie des G-structures permettent d'obtenir une nouvelle d6monstration d ' u n r+sultat de GRAY et SASAKI &abli dans [3] et [6].

I. Vari6t6s et G-structures b-plates On ne rappelle ici que les notions essentielles, la r6f6rence syst6matique 6tant [2]. On d6signe par (eo,..., e2n) la base canonique de ~2n+1 et par b l'alg6bre de Lie de Heisenberg, c'est-fi-dire ~2~+ 1, muni de sa structure

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G. MONNA

usuelle de R-espace vectoriel et du crochet de Lie suivant: ~e~,efl = 0, i < j , s a u f s i i = 2 k -

1 , j = 2 k ( k >~ 1)

et Ee2k-l, e2k~ = e0. On dit qu'une vari&6 est B-plate si chaque fibre T~ V de T V, fibr6 vectoriel tangent de V, est munie d'une structure d'alg~bre de Lie isomorphe/t bet si de plus, au voisinage de tout point de V, il existe une trivialisation locale B-plate de T V, c'est-fi-dire 2 n + 1 champs de vecteurs locaux, lin6airement ind6pendants, et qui v6rifient: Ix,,

=

xj] =

x0

rij d6signant les constantes de structures de b. Si Go d6signe l'ensemble des a u t o m o r p h i s m e s de b e t G u n sous-groupe de Go, une G-structure EG (V) est dite b-plate si et seulement si elle est localement 6quivalente fi EGH, G-structure invariante fi gauche sur H, groupe de Lie de Heisenberg. La donn6e d'une structure B-plate est 6quivalente fi celle d'une G0-structure D-plate.

II. Vari6t6s de contact strict et de presque contact

V d6signe une vari&6 de dimension 2 n + 1. Vsera une vari~t~ de contact strict si est d~finie sur V u n e forme de contact ~, c'est-/t-dire une 1-forme telle que ~ A d~ n soit une forme volume. V sera une vari&~ de presque contact si est d6finie sur V u n couple (~,//) of~ ~ est une 1-forme,/~ une 2-forme, telles que ~ A/~n soit une forme volume. On note Y~(respectivement Y~) l'unique c h a m p de vecteurs tel que i n s = 1, et iyd~ = 0 (respectivement i n ~ = 1 et i y ~ = 0). On l'appelle syst~me dynamique de la forme de contact (respectivement de la structure de presque contact). Proposition 1: Toute varidtd de presque contact ( V, ~, t~), telle que soit une 2-forme fermde, est une varietd D-plate.

On d~finit sur V u n crochet de c h a m p s de vecteurs par: IX, Y~ = - ~ (X, Y) Y~, dgfinissant ainsi une structure d'alg~bre de Lie sur toute fibre Tx V de TV. I1 existe un syst~me de coordonn6es locales, au voisinage de tout point de V, ( x ~ 2n) dans lequel Y~a = ~/ax~ A cause de la

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condition ir~fl = 0, flne d6pend pas de x ~ On peut donc, par un changement des coordonn6es (x l,..., x 2") et en restreignant l'ouvert de d6finition de ces coordonn6es si nhcessaire, d6finir des coordonn4es (y~,...,y2,) darts lesquelles fl s'&rirait d y l A d y 2 + . . . + + d y 2 , - l / x dy 2". On obtient ainsi, un syst6me de coordonn&s locales (x o, y~,..., y2,). On consid6re alors les champs de vecteurs locaux: 8 Xo - 0x 0 , Xl X2k =

8

_

+ y2/

8 8y 1 , )(2 -i

8

_~--

8 _0Y _ 2 + yl

'...

8

X2k+l -

8x ~

cqxO

, . . .

8Y2k+ l

8 X2, -- 8y2, + y 2 , - I 8x ~ .

(X0,-.-, Jf2,) dSfinissent une trivialisation locale b-plate de T V. Coroilaire: Toute varidtd de contact strict est b-plate le crochet de champs de vecteurs dtant ddfini par: I x , I q = - & ( x , Y)

.

On d6signe par C T ( 2 n + 1,R) le sous-groupe de Lie de G L (2 n + 1, R) form6 des matrices de la forme:

(10 0 0i 9

A

, AeSP(2n,

R).

0

La donn+e d'une structure de presque contact est 6quivalente/t celle d'une C T(2 n + 1, [~)-structure, Ec r(2, + 1,~) (lO. Th6or~me 1: Une structure de presque contact est une structure de contact strict (e'est-gt-dire d~ = fl) si et seulement si la C T(2 n + t, ~)structure assoeide est D-plate. Si ~ est une forme de contact, il existe des coordonn6es locales x2"), au voisinage de tout point de V, dans lesquelles ~ s'~crit dx ~ + x ~dx 2 + . . . + x 2~-1 dx 2n. On consid~re alors les champs de vecteurs utilis6s dans la d6monstration de la proposition 1, avec ici O/Sy i = 8/Ox ~. Ils d6finissent encore une trivialisation [~-plate de T V et (x~

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G. MONNA

permettent en plus de construire une trivialisation D-plate de ECT(2n+I,R)(IO" Supposons r~ciproquement qu'il soit donn6 une C T ( 2 n + 1, R) structure, Ecr(2, + ~,R) (I1), b-plate sur V. Soit (U~)i~i u n recouvrement de Vtel q u ' a u dessus de chaque U~ soit d6finie une trivialisation locale en plus une section locale du b-plate de TV, (X~o , ..., X2, ~ ), definlssant " " fibr6 des rep~res, ft valeurs dans E c T(2 n + 1, ~) (V). On note ( 0 0 , . . . , 0/2,) les 1-formes duales. La forme des matrices du groupe C T(2 n + 1, R) m o n t r e que les 1-formes 0 ~ et les 2-formes 0i1/k 0~2 + . . . + + 0 ~"- 1/x 0 ~" se recollent en des formes globales sur V. La l-platitude permet d'6tablir que dO ~ = 0~ ^ 02 + ... + 02"-~ /x 02~ ce qui m o n t r e que 0 ~ est une forme de contact. Signalons enfin que dans [5] on a donn6 une condition n6cessaire et suffisante p o r t a n t sur le tenseur de Chern-Bernard de Ec r(2 n+ l, ~) (V) p o u r que E c T(2 n + 1, N) ( g ) soit b-plate.

Ill. Vari6t6s de contact large On appelle pseudo-groupe de contact, et on note Fn, l'ensemble des diff6omorphismes locaux f de EZn+l tels que f * " 0 = 9"0, off ~0 = dx~ +

xldx2

+ "" +

x2n-ldx2", (x~ .. ", x2n)

d6signant les coordonn6es de ~2,+1 associ6es fi sa base canonique et 6rant une fonction n o n nulle sur le domaine de dbfinition d e f e t C~ U n e structure de contact large sur Vest une/"H-structure, c'est-fidire un atlas maximal 9.I, contenant un atlas {(Ui,f)}i~1, off { Ui}i~ iest un recouvrement de V par des ouverts, et lesf~ des diff6omorphismes d6finis sur Ug, fi valeurs dans ~2,+1, v6rifiant: f/ofj-l:~2n+l

~ ~2n+1

est un ~l~ment de Fu, p o u r t o u s l e s couples d'indices (i,j) tels que f i o f ~1 ait u n sens. U n e vari6t6 de contact large est d o n c un couple (V, 9/), 2[ 6tant une structure de contact large sur V. D6signons par C C T(2 n + 1, R) le groupe conforme de contact, c'est-fi-dire le sous-groupe de Lie de G L (2 n +" 1, R) form6 des matrices de la forme:

bl a~ b2~

O1] 30 (aa a, a~ v) = 2/3o (u, v), 2 e R* et/30 &ant la forme symplectique standard sur N2n.

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L'existence d'une /]
+ 1, N ) ~ m ~ - + b o 0

0 - , ct(1)(2n + 1, R) - , m 2 - - , m

~-,0

soient des suites exactes. P o u r toutes pr~cisions sur les questions de pseudo-groupes de Lie et structures d'ordres sup6rieurs, on se r6f6ra g [1] dont nous avons conserv6 les notations. Soit Ui un ouvert de V sur lequel est d~fini un d i f f 6 o m o r p h i s m e f tel queJ~ff~0 soit une forme de contact sur Ui, repr~sentant local de la structure de contact large d~finie sur V. Soit (X0,..-,Jf2n) une trivialisation locale b-plate de TV. L'application b ~ Tx V d6finie par ei -~ t"i est un rep~re d'ordre 1 de V en x, on le note z 1. Eccr(2,+~,R)(V) &ant transitive, on a: E c c r ( z , + i , e ) ( V ) = = {~v1 (zl), q~~ Iv} off q~(l)d~signe un rel~vement de q~dans le fibr6 des rep6res de V e t / ' v l'ensemble des diff6omorphismes de V-~ N2,+l qui soient une carte locale de l'atlas N. On note z 2 le rep~re d'ordre 2 en x d6fini par j z f i -1 , jet d'ordre 2 en 0 d e f i -1 . ~.z 2 = z ~ et on a l e diagramme commutatif:

<'l

zT,/A-cc-/-(z~./,/P) (Y))

fv

77g I . ~ . . . . . .

Dans lequel il reste A d6finir ~, qui est choisie de telle sorte que le diagramme:

!6

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Bd. 95z3

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G. MONNa

commute, 01 &ant le jet d'ordre 1 de l'identit6, et E ~ H la structure d'ordre 1 d6finie sur H, groupe de Lie de Heisenberg, de mani6re analogue fi Eccr(z.+l,R)(V ) sur V. Le choix de a. revient /t celui d'une torsion de tenseur de torsion - T 0 . Pour un tel choix de a et pour tout 616ment z 2 de E~ c r(2 n+1, ~) (V), l'application a o z 2, d6finie de

D --~ Tz, (EccT(2n+I,e)(V)) d6finit un ~l~ment horizontal tangent fi ECCT(2.+1,~)(V) en z 1, de torsion - To. Soit C le c h a m p d'616ments de contact d6fini par: Cz, est la somme des espaces horizontaux d6finis par z2oa, pour tous les z 2 de

E2CC T(2n+ I,R) (1/). Proposition 2: Si ~zl est un espace horizontal ddfini par une application z2o a, alors Cz! = ~zl 0 c~t(2 n + 1, •)O)z'On a vu que le n o y a u de la troncature m2 ~ ml est r t (2 n + 1, ~)(0. D'autre part < c t ( 2 n + 1, R) 0), t~ > = c t ( 2 n + 1, ~)1. En faisant un raisonnement identique gt celui fait dans [1], on d6montre que pour tout 2"1 ~ ECCT(2n + 1, R) (V), Czl ~- ~z, -~- ~t (2 n + + 1, r)0)~. Proposition 3: Le champ d'dldments de contact C est en involution. En effet, soit z I un point de ECCT(2n+I,~)(V),Xz, et Y~, deux 616ments de Cz,. I1 existe z 2 616ment de E2cr(2n+l, R) (V) tel que:

~Xz,, Yz,~ : [j2f/-1 (if(u)), j ~ f / - 1 (a(V))]

= j ~ f i -l (E~r(u),a(v)~)

d'apr~s [1],

j01 et j02 d6signant les jets d'ordre 1 et 2 de f/-1 en 0. D o n c ~X~,, YI~ est un 616ment de C~, puisque (u),

=

-

(u, v)

0

cause du choix de a, et j~f/-1 Y~o~Cz,. D'apr6s le th6or6me de Frobenius, C est int6grable, il admet donc une vari6t6 int6grale, qui est une sous-vari~t6 E de B ~(V). Vest connexe et simplement connexe, donc E est connexe. Le groupe structural de E est doric un groupe de Lie connexe, d'alg+bre de Lie c t (2 n + 1, R). C T(2 n + 1, R) est connexe, donc le groupe

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structural de E est C T ( 2 n + 1, N) et E est une C T ( 2 n + 1, R)structure. E est [~-plate, 6tant par construction localement 6quivalente fi EG H. D o n c d'apr~s le th6orSme 1, it existe une forme de contact sur V, qui est un repr6sentant de la structure de contact large de V. On a d o n c montr6 le

Th6or6me 2: Sur une varidtd diffdrentiable connexe et simplement connexe, toute structure de contact large admet un reprdsentant de contact strict.

On a vu qu'une structure de contact large d6termine une C C T ( 2 n + 1, R)-structure. On peut 6tablir (voir [4] pour une d6monstration d6taill~e) que le sous-groupe compact maximal de la composante connexe de l'616ment neutre de C C T(2 n + 1, N) est 1 x U ( 2 n , R). D o n c sur une vari~t6 connexe et simplement connexe, toute C C T(2 n + 1, R)-structure admet des (1 x U (2 n))-r6ductions (c'est-/t-dire des structures de presque contact), donc des C T(2 n + + 1, R)-structures. On obtient ainsi une nouvelle forme du th6or6me 2: Th~or6me 2': V dtant une varidtd connexe et simplement eonnexe, une C C T ( 2 n + 1, ~)-structure ddtermine sur V une structure de contact large si et seulement si l'une de ses C T(2 n + 1, R) rdduetions est O-plate. R6f6rences

[1] ALBERT, C., MOLINO, P.: Pseudo-groupes de Lie et structures diff6rentiables. Tome 1. Universit6 des Sciences et Techniques du Languedoc. 1980. [2] ALBERT, C.: Some properties of Vflat manifolds. J. Diff. Geom. 11, 103--128 (1976). [3] GRAY, J. W.: Some properties of contact structures. Ann. Math. 29, 421~450 (1959). [4] MONNA, G.: Techniques de b-platitude en g6om6trie de contact. TnSse. Universit6 des Sciences et Techniques du Languedoc. 1981. [5] MONNA, G.: Int6grabilit6 des structures de presque contact. Compt. Rend. Acad. Sci. Paris 291,215--217 (1980). [6] SASAKI, S.: Almost Contact Manifolds. Lecture Notes. Tohoku University. Vol. 1. 1965. Vol. 2. 1967. Vol. 3. 1968. Dr. G. MONNA Universit~ des Sciences et Techniques du Languedoc Institut de Math6matiques Place EugSne Bataillon F-34060 Montpellier Cedex, France 16'